Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

Stefania Gabelli

Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

Springer

STEFANIA GABELLI

Dipartimento di Matematica Universita degli Studi Roma Tre, Roma

ISBN 978-88-470-0618-8 Springer Milan Berlin Heidelberg New York e-ISBN 978-88-470-0619-5 Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science-l-Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

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Impianti: PTP-Berlin, Protago I^-Production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu) Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Signum Sri, Bollate (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia srl - Via Decembrio 28 -20137 Milano

Prefazione

L'algebra e nata come lo studio della risolubilita delle equazioni polinomiali e tale e essenzialmente rimasta fino a quando Evariste Galois - matematico geniale dalla vita breve e avventurosa - ha definitivamente risolto questo problema, ponendo alio stesso tempo le basi per la nascita dell'algebra moderna intesa come lo studio delle strutture algebriche. La Teoria di Galois classica viene oggi insegnata a vari livelli nell'ambito dei Corsi di Laurea in Matematica. Questo libro di testo e stato di conseguenza scritto per essere usato in modo flessibile. La prima parte e dedicata alio studio degli anelli di polinomi ed e una rielaborazione di appunti scritti alcuni anni fa in collaborazione con Florida Girolami. La seconda parte contiene le nozioni di base della Teoria dei Campi e potra essere utile agli studenti di tutti i corsi piii avanzati di Algebra, Geometria e Teoria dei Numeri. I gruppi di Galois e la corrispondenza di Galois vengono studiati nella parte centrale del testo, con molti esempi dettagliati. Nella quarta parte, dedicata alle applicazioni, grande spazio e riservato al problema della risolubilita per radicali - con particolare attenzione alle equazioni di grado basso ed alle equazioni cicliche - come pure al problema della costruibilita delle figure plane con riga e compasso. Questi argomenti possono essere svolti anche nell'ambito di corsi di Matematiche Complementari per I'indirizzo didattico. Infine, nelle appendici, vengono richiamate le nozioni di Teoria dei Gruppi e di Teoria degli Insiemi che sono state utilizzate nel testo. II libro contiene anche alcune note storiche. Gli esercizi proposti alia fine di ogni paragarafo (alcuni dei quali risolti) costituiscono un necessario strumento di verifica. Ringrazio sentitamente Carmelo Antonio Finocchiaro per utili suggerimenti e per I'esecuzione dei disegni.

Roma, giugno 2008

Stefania Gabelli

Introduzione

Vn^ equazione polinomiale di grado n su un campo K e un'equazione che si ottiene uguagliando a zero un polinomio di grado n a coefficienti in K, ovvero f{X) := a^X" + an-iX^~^ + . . . + ao = 0. Se i coefficienti di f{X) sono indeterminate algebricamente indipendenti su un sottocampo F di K, I'equazione f{X) = 0 si chiama Vequazione polinomiale generale di grado n su F; in caso contrario, si dice che essa e un^equazione speciale^ o particolare. Ogni equazione di grado n a coefRcienti numerici fissati e un'equazione speciale e puo essere ottenuta dall'equazione generale di grado n sul campo dei numeri razionali, dando particolari valori numerici ai coefficienti. Risolvere I'equazione polinomiale f{X) = 0 significa trovare, in un opportuno campo contenente K, le radici di / ( X ) , cioe degli elementi a tali che / ( a ) := ana"" + a^-io;''"^ + . . . + ao = 0. Questi elementi si chiamano le soluzioni dell'equazione. Se e possibile risolvere I'equazione generale di grado n sui razionali, allora e possibile risolvere tutte le particolari equazioni di grado n a coefficienti numerici. Ad esempio, le ben note formule per le soluzioni ae (3 dell'equazione generale di secondo grado

aX^ + &X + c = 0, che sono

-b + Vb'^ - 4ac ^ -b - \Jb^ - 4ac :; ; P 2a ' " 2a ' forniscono, specificando le variabili a, 6 e c, le soluzioni di tutte le possibili equazioni di secondo grado a coefficienti numerici. II Teorema Fondamentale dell'Algebra, dimostrato per la prima volta in modo completo da Carl Friedrich Gauss nel 1797, asserisce che ogni equazione polinomiale a coefficienti numerici ha soluzioni nel campo dei numeri complessi. c^ =

VIII

Introduzione

I primi risultati utili al fine di determinare le soluzioni di equazioni polinomiali con metodi puramente algebrici furono ottenuti dagli arabi, tra il IX e il XIV secolo. Vale la pena di notare, per inciso, che la parola Algebra deriva dal termine arabo al-jabr che indica Poperazione di spostare i termini di un'equazione da una parte all'altra del segno di uguaglianza. Gia nell'antichita era noto come risolvere alcune equazioni particolari di secondo grado a coefficienti razionali, ma le formule risolutive per I'equazione generale di secondo grado furono scoperte dal matematico arabo Al-Khawarizmi, che visse tra i secoli VIII e IX e dal cui nome sembra sia derivato il termine algoritmo. Esse furono poi divulgate da Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, nel libro XV del suo Liber Abaci (1202). Usando il linguaggio algebrico moderno, il procedimento di Al-Khawarizmi per risolvere ad esempio un'equazione del tipo X^ + 2pX = c, con pec

numeri razionali positivi, e dato dalla seguente successione di passi: X^ + 2pX = c

X2 + 2 p X + / = cc+ / (X+pf = c^p' X +p=

sjc^p^

X = yc-hp^-p. Notiamo che, per I'ipotesi restrittiva su p e c, questa equazione e in realta un'equazione di tipo particolare; ma, per la mancanza del concetto di numero negativo, era allora necessario distinguere tra diversi casi. Successivamente, il maggior progresso si ebbe in Italia durante il Rinascimento, ad opera della scuola matematica bolognese; in quel periodo furono infatti scoperte le formule algebriche per risolvere le equazioni polinomiali di terzo e quarto grado. Poiche in queste formule compaiono, oltre alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, soltanto estrazioni di radici di indice opportuno, si usa dire che le equazioni di grado al piu uguale a quattro sono risolubili per radicali Metodi generali per la risoluzione delle equazioni polinomiali di terzo grado del tipo

X^+pX^q, con peg numeri razionali positivi, furono trovati per la prima volt a attorno al 1515 da Scipione del Ferro, che tuttavia non li rese pubblici. Successivamente, le formule risolutive furono riscoperte da Niccolo Fontana, detto Tartaglia, che le comunico a Gerolamo Cardano a condizione che questi le mantenesse segrete. Tuttavia Cardano, convinto della loro importanza, e venuto a conoscenza del fatto che esse erano gia state dimostrate da Scipione del Ferro, le rese note pubblicandole nel suo libro Ars Magna del 1545. Inoltre Cardano estese

Introduzione

IX

il metodo di Tartaglia per risolvere anche le equazioni del tipo X^ — pX -\-q e X^ + q = pX. Success!vamente, RafFaele Bombelli ripubblico queste formule con I'aggiunta di alcuni commenti esemplificativi nel secondo capitolo del suo libro Algebra, nel 1572. Se i coefHcienti deU'equazione X^ + pX + g = 0 sono numeri reali, allora le radici sono tutte reali oppure una radice e reale e due radici sono non reali, complesse coniugate. Questo dipende dal segno del discriminante deU'equazione, cioe del numero

D{f):=-{4p'+27q^). Tale numero e nullo se e soltanto se f{X) ha radici reali multiple. Nel caso in cui D{f) < 0, f{X) ha una radice reale e due radici non reali (complesse coniugate). Se D{f) > 0, allora f{X) ha tre radici reali distinte; tuttavia, se questo accade, I'espressione fornita dalle formule di Tartaglia-Cardano contiene necessariamente numeri complessi non reali. Per questo motivo il caso in cui D{f) > 0 venne denominato casus irriducibilis. Poiche nel casus irriducibilis la quantita \/—T permetteva di determinare correttamente, tramite le formule risolutive, le soluzioni razionali di un'equazione di terzo grado ma tale quantita non compariva piu nel risultato finale, non sembro subito necessario attribuirle un significato proprio. I numeri complessi furono pienamente accettati dalla comunita matematica soltanto piu di un secolo dopo: I'espressione numero immaginario fu usata per la prima volta da Rene Descartes nel suo Discours de la Methode (1637), mentre il termine numero complesso sembra sia dovuto a Gauss, che per primo defini rigorosamente i numeri complessi e ne studio le proprieta {Disquisitiones Arithmeticae, 1801). Fu Ludovico Ferrari, un discepolo di Cardano, a dimostrare per primo che I'equazione generale di quarto grado puo essere risolta per mezzo di radicali quadratic! e cubici: le sue formule risolutive furono pubblicate per la prima volta da Cardano nell'^rs Magna. In seguito molti matematici si adoperarono per determinare formule risolutive per le equazioni polinomiali di grado superiore: tra questi Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange e Friedrich Gauss. I loro success! riguardarono pero soltanto equazioni di tipo particolare. Ad esempio Gauss, nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae mostro che tutte le equazioni del tipo X'^ — 1 = 0 sono risolubil! per radicali. Di particolare importanza si rivelo a posteriori il lavoro di Lagrange. Nella sua memoria Reflexions sur la resolution algebrique des equations (1770), egli diede un metodo unitario per risolvere le equazioni di secondo, terzo e quarto grado fondato sulle proprieta di simmetria delle radici, ponendo cosi le basi dello studio dei gruppi di permutazioni. Benche questi stessi metodi permettessero di risolvere anche alcune equazioni particolari di grado superiore al quarto, lo stesso Lagrange si rese ben presto conto che essi non potevano essere estesi per studiare le equazioni general! di ogn! grado. Infatti il suo procedimento portava a risolvere alcune equazioni ausiliarie che, nel caso

X

Introduzione

delle equazioni di terzo e quarto grado erano di grado inferiore a quelle delI'equazione data, mentre nel caso delle equazioni di quinto grado risultavano generalmente di grado superiore. II primo ad osservare che non sarebbe stato possibile trovare formule radical! per le soluzioni dell'equazione generale di quinto grado fu Paolo Ruffini. A partire dal 1799, egli pubblico varie dimostrazioni, tutte incomplete, di questo fondamentale risultato. Successivamente, a partire dal 1824, Niels Henrik Abel, che forse non era a conoscenza dei lavori di RufRni, diede indipendentemente altre dimostrazioni di questo stesso teorema; tali dimostrazioni furono considerate corrette dai contemporanei, ma ad un successivo riesame si rivelarono anche esse incomplete. Maggiori dettagli si possono trovare in [31, 39]. II Teorema di RufEni-Abel non escludeva pero la possibilita che, dando specifici valori numerici ai coefRcienti del polinomio generale di quinto grado, si ottenesse ogni volta un'equazione risolubile per radicali. II contribute fondamentale di Evariste Galois alia teoria delle equazioni algebriche e stato quello di formulare dei criteri per stabilire in modo inequivocabile se una particolare equazione a coefficienti numerici fosse o meno risolubile. I suoi risultati resero definitivamente chiaro che non tutte le equazioni polinomiali a coefficienti numerici di grado maggiore di quattro sono risolubili per radicali. La teoria sviluppata da Galois e essenzialmente contenuta nel suo lavoro Memoire sur les conditions de resolubilite des equations par radicaux, che risale al 1830 ma che fu pubblicato postumo da Joseph Liouville soltanto nel 1846. Galois fu infatti ucciso in duello nel 1832, all'eta di soli venti anni, dopo una vita breve e avventurosa [40]. Una traduzione italiana delle sue opere e stata pubblicata nel 2000 a cura di Laura Toti Rigatelli [9]. Galois riprese e sviluppo i metodi di Lagrange, associando ad ogni equazione polinomiale un particolare gruppo di permutazioni sulle radici (quello che oggi viene chiamato il gruppo di Galois dell'equazione) e caratterizzando le equazioni risolubili per radicali attraverso determinate proprieta di questo gruppo. In questo processo apparve per la prima volta evidente I'importanza di quel particolari sottogruppi di un gruppo che vengono oggi chiamati sottogruppi normali. L'annuncio, dato da Liouville nel 1843, della imminente pubblicazione della memoria di Galois diede grande impulso alio studio dei gruppi di permutazioni. In particolare Augustin-Louis Cauchy pubblico intorno al 1845 una serie di lavori che contenevano risultati di grande importanza per il successivo sviluppo della teoria dei gruppi astratti. In seguito alia loro divulgazione, i risultati di Galois furono ampiamente commentati e semplificati e alia fine del XIX secolo vennero pubblicati vari trattati universitari su questi argomenti. Tra tutti ricordiamo il monument ale lavoro di Camille Jordan Traite des substitutions et des equations algebriques^ del 1870. In Italia la formazione algebrica di molti matematici del XX secolo fu grandemente influenzata dal trattato di Luigi Bianchi Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Galois^ apparso

Introduzione

XI

nel 1899. Un'esposizione in linguaggio moderno della memoria di Galois sulla risolubilita delle equazioni polinomiali e contenuta in [7]. L'opera di Galois favori anche la nascita della teoria dei campi, che si sviluppo principalmente in Germania ad opera di Heinrich Weber, Richard Dedekind e Leopold Kronecker durante il secolo XIX. Le basi della moderna teoria dei campi astratti furono successivamente poste da Ernst Steinitz nella sua fondamentale memoria Algebraische Theorie der Korper del 1910, in cui venivano ampiamente illustrate anche le connessioni di questa nuova teoria con i risultati di Galois. La presentazione della Teoria di Galois che viene oggi piu frequentemente proposta, e che seguiremo in questo testo, e dovuta ad Emil Artin e risale alia fine degli anni trenta. Essa fu pubblicata in due quaderni di lezioni: Foundations of Galois Theory (1938) e Galois Theory (1942). Attraverso il lavoro di Artin, la Teoria di Galois perse definitivamente il suo carattere computazionale e si trasformo in una teoria riguardante le relazioni esistenti tra gli ampliamenti di campi e i loro gruppi di automorfismi, divenendo cosi una disciplina del tutto generale, di cui la risolubilita per radicali delle equazioni polinomiali e soltanto una delle possibili applicazioni. Per approfondimenti storici sugli sviluppi della Teoria di Galois, si puo consultare [37].

Indice

Parte I ANELLI DI POLINOMI 1

Anelli e campi: nozioni di base 1.1 Anelli e ideal! 1.2 Anelli quoziente e omomorfismi di anelli 1.3 Ideali primi e massimali 1.4 Divisibilita in un dominio 1.4.1 Massimo comune divisore 1.4.2 Domini a fattorizzazione unica 1.4.3 Domini a ideali principali 1.5 II campo delle frazioni di un dominio 1.6 La caratteristica di un anello 1.7 Esercizi

3 3 8 11 15 16 17 19 21 23 24

2

Anelli di polinomi 2.1 Polinomi a coefficienti in un anello 2.1.1 Polinomi in piu indeterminate 2.1.2 II grado di un polinomio 2.1.3 Polinomi invertibili e irriducibili 2.2 Polinomi a coefficienti in un campo 2.2.1 Divisione euclidea e massimo comune divisore 2.2.2 Fattorizzazione unica 2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi 2.3.1 II valore di un polinomio 2.3.2 Funzioni polinomiali 2.3.3 Radici di polinomi 2.3.4 Radici multiple 2.3.5 Formule di interpolazione 2.3.6 Cambio di variabile 2.4 Polinomi a coefficienti complessi 2.4.1 Polinomi a coefficienti reali

29 29 31 33 35 36 36 41 43 43 45 46 50 51 54 56 58

XIV

Indice 2.4.2 Radici complesse deH'unita 2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica 2.5.1 II lemma di Gauss 2.5.2 Criteri di irriducibilita 2.5.3 Fattorizzazione su Q 2.6 II teorema della base di Hilbert 2.7 Polinomi simmetrici 2.7.1 Funzioni simmetriche 2.7.2 II polinomio generale 2.7.3 II discriminante di un polinomio 2.7.4 II risultante di due polinomi 2.8 Polinomi in infinite indeterminate 2.9 Esercizi

60 63 63 67 70 74 78 84 86 87 90 95 97

Parte II TEORIA DEI C A M P I 3

Ampliamenti di campi 3.1 Isomorfismi di campi 3.2 Ampliamenti di campi 3.3 Elementi algebrici e trascendenti 3.3.1 Numeri trascendenti 3.3.2 II polinomio minimo di un elemento algebrico 3.4 Ampliamenti semplici 3.5 Ampliamenti finiti 3.5.1 Ampliamenti quadratici 3.5.2 Ampliamenti biquadratici 3.5.3 Ampliamenti del tipo Q{^, Vh) 3.5.4 II composto di due campi 3.6 Ampliamenti algebrici finitamente generati 3.6.1 Un ampliamento algebrico che non e finito 3.7 Esercizi

109 109 Ill 114 115 119 120 123 125 125 126 128 130 131 131

4

Campi di spezzamento 4.1 Costruzione di un campo di spezzamento 4.2 Estensione di isomorfismi 4.2.1 Isomorfismi in C 4.2.2 Isomorfismi tra campi di spezzamento 4.3 Campi finiti 4.3.1 Polinomi irriducibili su Fp 4.3.2 Gli automorfismi di un campo finito 4.4 Ampliamenti ciclotomici 4.4.1 Irriducibilita del polinomio ciclotomico 4.4.2 Irriducibilita del polinomio X^ -a 4.4.3 Gli automorfismi di un ampliamento ciclotomico

135 135 141 144 147 150 154 157 159 163 165 169

Indice 4.4.4 Un teorema di Dirichlet 4.4.5 Un teorema di Wedderburn 4.5 Esercizi 5

Ampliamenti algebrici 5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi 5.1.1 Isomorfismi tra chiusure algebriche 5.2 AmpHamenti normah 5.2.1 Chiusura normale 5.3 AmpHamenti separabili 5.3.1 Campi perfetti 5.3.2 II teorema dell'elemento primitivo 5.3.3 II grado di separabiHta 5.3.4 AmpHamenti puramente inseparabiH 5.3.5 Chiusura separabile 5.3.6 Norma e traccia 5.4 AmpHamenti di Galois 5.5 Esercizi

6

Ampliamenti trascendenti 6.1 Dipendenza algebrica 6.2 Basi di trascendenza 6.3 II teorema degli zeri di Hilbert 6.4 II teorema di Liiroth 6.5 Gli automorfismi del campo complesso 6.6 Esercizi

XV 170 171 172 179 .179 183 186 189 191 193 194 197 200 202 204 207 210 215 215 218 221 224 225 226

Parte III LA C O R R I S P O N D E N Z A DI GALOIS 7

La corrispondenza di Galois 7.1 II gruppo di Galois di un ampliamento 7.2 Campi fissi 7.2.1 II lemma di Artin 7.2.2 Chiusura inseparabile 7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois 7.3.1 II caso non finito 7.3.2 Un teorema di estensione 7.3.3 Alcuni esempi 7.4 Esercizi

231 231 234 237 239 241 246 249 251 257

8

II gruppo di Galois di un polinomio 8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni 8.1.1 Alcuni esempi 8.2 Calcolo del gruppo di Galois di un polinomio. 8.2.1 Riduzione modulo p

261 261 264 275 278

XVI

Indice 8.3 II problema inverso 8.3.1 Polinomi su Q con gruppo di Galois totale 8.3.2 Polinomi su Q con gruppo di Galois abeliano 8.3.3 Un polinomio su Q con gruppo di Galois isomorfo al gruppo delle unita dei quaternioni 8.4 Esercizi

280 280 285 290 292

Parte IV APPLICAZIONI 9

Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali 9.1 Ampliamenti radicali 9.2 Risolubilita per radicali 9.3 Equazioni di terzo grado 9.3.1 Le formule di Tartaglia-Cardano 9.3.2 II "casus irriducibilis" 9.3.3 Formule trigonometriche 9.4 Equazioni di quarto grado 9.4.1 Le formule di Ferrari 9.4.2 Le formule di Descartes 9.4.3 II gruppo di Galois di un polinomio di quarto g r a d o . . . . 9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radicali 9.5.1 Equazioni di quinto grado 9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radicali 9.6.1 Equazioni cicliche 9.6.2 Risolventi di Lagrange 9.6.3 Calcolo delle radici p-esime dell'unita 9.7 Esercizi

299 299 305 311 312 313 316 317 318 319 322 325 329 332 333 335 338 339

10 II teorema fondamentale delPalgebra

345

11 Costruzioni con riga e compasso 11.1 Punti costruibili 11.1.1 Alcune costruzioni geometriche 11.2 Caratterizzazione algebrica dei punti costruibili 11.3 Numeri complessi costruibili 11.4 Costruzioni impossibili 11.5 Costruibilita dei poligoni regolari 11.6 Esercizi

347 347 348 352 356 358 360 364

Indice

XVII

Parte V A P P E N D I C I 12 Complementi di teoria dei gruppi 12.1 Azioni di gruppi 12.1.1 II coniugio e I'equazione delle classi 12.1.2 p-gruppi finiti 12.2 I teoremi di Sylow 12.3 Gruppi risolubili 12.3.1 Gruppi semplici 12.4 Gruppi abeliani finiti 12.4.1 II gruppo delle unita di Z^ 12.5 Esercizi

369 369 371 374 374 377 380 382 385 386

13 La cardinalita di un insieme 13.1 La cardinalita del numerabile 13.2 La cardinalita del continue 13.3 Operazioni tra cardinalita

389 391 394 398

Riferimenti bibliografici

401

Indice analitico

405

Parte I

ANELLI DI POLINOMI

1

Anelli e campi: nozioni di base

In questo primo capitolo richiameremo brevemente la terminologia ed alcune nozioni elementari di teoria degli anelli che ci saranno utili nel seguito. Per eventuali approfondimenti, il lettore puo consultare [43] o [50].

1.1 Anelli e ideal! Diciamo che un insieme A su cui siano definite due operazioni, usualmente denominate addizione e moltiplicazione^ -i- : Ax A —y A]

(x, y) ^

x-\-y,

' : Ax A —> A;

(x, y) ^

xy,

e un anello se (a) A e un gruppo commutativo rispetto all'addizione, cioe 1. L'addizione e associativa e commutativa; 2. Esiste un (unico) elemento 0 G A tale che x -\-0 = x^ per ogni x G A {0 si chiama lo zero, o Velemento nullo di A); 3. Per ogni x G A, esiste un (unico) elemento x' tale che x + x' = 0 (x' si chiama Vopposto di x e si denota con —x); (b) A e un semigruppo rispetto alia moltiplicazione, cioe 4. La moltiplicazione e associativa (c) Valgono le proprieta distributive 5. (x H- y)z = xz ^ yz, z{x -^y) = zx -\- zy, per ogni x^y^z e A. Diciamo poi che un anello A e commutativo se: 6. La moltiplicazione e commutativa; e che A e unitario se: Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

4

1 Anelli e campi: nozioni di base

7. Esiste un (unico) elemento 1A ^ A tale che IAX = x = X ^ A {1A^^ chiama Vunitd moltiplicativa di A).

XIAJ

per ogni

Se A e un anello, per ogni x G A, si ha. xO — 0 = Qx. Quindi su un insieme {x} con un solo elemento si puo definire banalmente una struttura di anello ponendo x = 0. L'anello {0} si chiama Vanello nullo. Se non specificato altrimenti, considereremo sempre anelli non nulli e indicheremo con A* := A \ {0} I'insieme (non vuoto) degli element! non nulli di un anello A. Un elemento x e A si chiama uno zero-divisore sinistro (rispettivamente destro) se esiste un elemento non nullo y G A tale che xy = 0 (rispettivamente yx — 0). Lo zero di A e banalmente uno zero-divisore, sinistro e destro. Se poi A e unitario, con unit a moltiplicativa 1 := 1^, un elemento u ^ A si dice un elemento invertibile^ o una unitd, di A se esiste v G A tale che uv = 1 = vu. L'insieme degli elementi invertibili di A sara denotato con U{A).E evidente che leU{A). Proposizione 1.1.1 Se A e un anello unitario, Vinsieme U{A) degli elementi invertibili di A e un gruppo moltiplicativo. Inoltre Vinsieme degli zero-divisori e quello degli elementi invertibili di A sono disgiunti. Dimostrazione. Per mostrare che U{A) e un gruppo, basta osservare che, se u^v e U{A) allora uv~~^ G U{A). Infatti uv~^ e invertibile, con inverso vu~^. Siano poi x^y e A tali che xy = 0. Se x e U{A), allora ux = 1 per qualche u e A e uxy — y = 0. Quindi x non puo essere uno zero divisore sinistro. Analogamente si vede che x non puo essere uno zero divisore destro. Proposizione 1.1.2 (Legge di cancellazione) Se A e un anello e x ^ A non e uno zero-divisore, in particolare e un elemento invertibile, allora xy = xz => y = z;

yx = zx =^ y = z^

per ogni y, z ^ A, Dimostrazione. Se xy = xz, allora x{y — z) = 0. Da cui, poiche x non e uno zero-divisore, y — z = 0. Similmente si ottiene I'altra implicazione. Un anello privo di zero-divisori si chiama un anello integro. In un anello integro, per la proposizione precedente, ogni elemento di verso da zero e cancellabile. Un anello commutativo unitario ed integro si chiama un dominio di integritd (o un dominio integro, o semplicemente un dominio). Un anello unitario in cui ogni elemento non nullo e invertibile si chiama anche un corpo. Un campo e un corpo commutativo, cioe un anello commutativo unitario in cui ogni elemento non nullo e invertibile. Dunque un anello commutativo unitario ^ e un campo se e soltanto se U{A) = ^4*. In particolare, ogni campo e un dominio integro. Un sottoinsieme B di un anello A si dice un sottoanello di ^ se 5 e un anello rispetto alle stesse operazioni di A. Si vede facilmente che questo

1.1 Anelli e ideali

5

accade se e soltanto se B e nn sottogruppo additivo di A ed e un semigruppo moltiplicativo, cioe per ogni x, y £ B, risulta x — y^BexyGB. Un sottanello I di A e un ideale se, per ogni a E A e x e I, risulta ax G I e xa E I. Tra gli ideali di A ci sono sempre lo stesso A e V ideale nullo, formato dal solo elemento zero. Questi si chiamano gli ideali banali di A. Un ideale non banale si dice anche un ideale propria. L'insieme degli ideali di un anello forma un reticolo rispetto all'inclusione, con inf(/, J ) = / n J ;

sup(/, J ) = / + J := {x + y; x G / , ?/ G J } .

Se A e un anello commutativo e unitario, dato un sottoinsieme S C A^ l'insieme

{S) •= s 5Z ^^^^; aie A.Xie S e il minimo ideale contenente 5 e si chiama I'ideale generato da S. Si dice che un ideale / e finitamente generato se esiste un insieme finito S :— { x i , . . . , Xn} tale che / = (S) := {xi,...,Xn)

:= {aixH

ha^Xn; a^ G A}.

Se 5 := {x} ha un solo elemento, I'ideale (5) := (x) := {ax; a e A} si chiama V ideale principale generato da x. Notiamo che (1) — A e che (0) e I'ideale nullo. Se / , J sono ideali di A, Videale prodotto IJ e I'ideale generato da tutti i prodotti tra gli elementi di / e quelli di J. Cioe IJ := {ab;ae I,be

J).

E evidente che IJ C I nJ. Se I = {S) e J = (T), si vede subito che / + J = (/ U J) = (5 U r ) ;

IJ={st',seS,teT).

In particolare, se / e J sono finitamente generati anche / -f J e / J lo sono. Inoltre il prodotto di due ideali principali (x) e (y) e principale, infatti {x){y) = Proposizione 1.1.3 Sia A un anello commutativo unitario e sia I un ideale di A. Allora (a) I = A se e soltanto se I contiene un elemento invertibile; (b) A e un campo se e soltanto se i suoi unici ideali sono (0) e A — (1).

6

1 Anelli e campi: nozioni di base

Dimostrazione. (a) Se / = ^ , allora 1 G / e 1 e invertibile. Viceversa, sia u e I un elemento invertibile. Allora u~^ ^ A e percio 1 = uu~^ ^ I. Ne segue che ^4 = (1) C / e dunque I = A. (b) Sia A un campo e sia. I y^ (0). Se x G I e x ^ 0, allora x e invertibile e quindi I — A per il punto (1). Viceversa, sia A un anello commutativo unitario i cui ideali siano soltanto (0) e (1). Se x G A e x 7^ 0, allora (x) = (1). Ne segue che ax — \ per qualche a G A. Dunque x e invertibile in A. Esempi 1.1.4 (1) Ogni anello di numeri e un dominio integro. Z denota r anello degli interi relativi. Per I'algoritmo euclideo della divisione, ogni ideale di Z e principale, generato da un intero n > 0. Infatti, sia / C Z un ideale non nullo e sia n il minimo intero positivo in / . Per ogni x G / , si ha x = ng + r con 0 < r < n. Poiche r = X — nq G I^ per la minimalita di n deve allora essere r = 0 e X — nq, Dunque n genera / . Si usa indicare I'ideale principale di Z generato da n con nZ. (2) Un campo di numeri si chiama un campo numerico. Ogni campo numerico e un sottocampo del campo C dei numeri complessi. Quindi un insieme di numeri e un campo se e soltanto se esso e chiuso rispetto alle operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e quoziente. Questa e la definizione originaria di campo di numeri data da R. Dedekind nel 1871. Q denota il campo dei numeri razionali e M il campo dei numeri reali. Un sottocampo di M si chiama un campo reale. (3) L'insieme numerico Z[i] : = { a + 6i; a, 6 G Z} e un anello, che si chiama V anello degli interi di Gauss, ma non e un campo. Infatti si vede facilmente che U{Z[i\) := {1, — 1, i, —i}. Invece 1'insieme numerico Q{i):={x

+

yi;x,yeQ}

e un campo. Notiamo infatti che, se (x, y) ^ (0,0),

(x + ^i)-^

x-yi

(4) Se A e un anello commutativo e unitario, I'insieme Mn{A) delle matrici quadrate di dimensione n a valori in A e un anello unitario rispetto alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione righe per colonne, definite rispettivamente da n

{aij) + {bij) := {aij + bij);

{cLij){bij) := {cij) dove Cij := ^ k=0

aikbkj.

1.1 Anelli e ideali

7

Lo zero di M.n{A) e la matrice nulla, i cui elementi sono tutti zero, mentre I'unita e la matrice unitaria In := (^ij), dove Sa — 1 e Sij = 0 per i y^ j . Tuttavia I'anello Aln(^) non e ne commutativo, ne integro. Ad esempio, per n := 2 e a / 0, si ha

-(oo)(-/-\)^(-/-\)(s;)=(7-:)Una matrice M G M.n{A) e invertibile se e soltanto se il suo determinante d e t M e un elemento invertibile di A, In questo caso, indicando con L^ij la sottomatrice di M di ordine n — 1 ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna e ponendo Cij := (—1)*"^-^ detC^j, la matrice inversa di M e data dalla matrice {1/ detM){cji). (5) Se Ae B sono due anelli (commutativi), il loro prodotto diretto Ax B e ancora un anello (commutativo) con le operazioni definite sulle componenti: (ai,a2) +(61,62) = (ai + 6 i , a 2 + 6 2 ) ;

(ai,a2)(6i,62) = (ai6i,a262).

Lo zero di AxB elei coppia (0^, OB) e^seAeB sono unitari, AxB e unitario, con unita (1^, I5). II prodotto diretto di due anelli non e mai integro. Infatti sea^AebGB sono elementi diversi da zero, allora (a, OB)(OA, b) — (OA, OB) con (a, OB) e (Oyi,6) elementi non nulli. Nello stesso modo, per induzione su n > 2, si vede che il prodotto diretto di n anelli (commutativi, unitari) e ancora un anello (commutativo, unitario) non integro. (6) Se A e un anello (commutativo, unitario) e S e un qualsiasi insieme, I'insieme !F{S^ A) := A^ di tutte le funzioni di dominio S e codominio A e a sua volt a un anello (commutativo, unitario) non integro rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione puntuali definite rispettivamente da {if + i;){s) - ip{s) + i;{s);

{(pi^){s) = (p{s)ip{s),

per ogni s e S. Lo zero di T{S^A) e la funzione nulla, che assume valore costante 0 su tutto 5 e, se 1 e I'unita di A, I'unita moltiplicativa di ^ ( 5 , A) e la funzione costante che assume valore 1 su tutto S. (7) Se ^4 e unitario ma non e commutativo, la condizione U{A) = A* non bast a ad assicurare che A sia un campo. Un anello unitario e non commutativo in cui ogni elemento non nullo e invertibile e ad esempio il corpo dei quaternioni really costruito da W. R. Hamilton nel 1843 (Esercizio 1.9). Tuttavia, un importante teorema dimostrato da J. Wedderburn (1905) ci assicura che se A ha un numero finito di elementi e U{A) — ^4*, allora A e commutativo e quindi e un campo. Daremo una dimostrazione di questo teorema nel successivo Paragrafo 4.4.5. Uno studio approfondito dell'anello dei quaternioni si trova in [49, Chapter 7].

8

1 Anelli e campi: nozioni di base

1.2 Anelli quoziente e omomorfismi di anelli Se ^4 e un anello e I C A e un ideale, la relazione di congruenza modulo 7, definita da X = y mod / <^ x — y G I e una relazione di equivalenza su A che rispetta le operazioni, cioe xi = yi, X2 = y2

=>

xi+yi=X2

+ y2, ^i2/i = 2^22/2.

La classe di equivalenza di un elemento x ^ A si indica con x +1. L'insieme quoziente di A rispetto alia relazione di congruenza modulo / si indica con A/1 ed e un anello con le operazioni definite da: {x + I)^{y-\-I)

= {x + y)+I;

{x + I){y + I) ^ {xy) + L

Lo zero di A/1 e la classe dello zero di A, cioe 0 + / = / . Inoltre, se A e commutativo unitario, anche A/I e commutativo unitario e la sua unita moltiplicativa e la classe 1 4- / deH'unita di A. Esempi 1.2.1 Dati due interi a e n > 2, n divide a se e soltanto se a G nZ. Quindi due interi a^h G Z sono congrui modulo I'ideale nZ se e soltanto se a ~b e nZ, se e soltanto se n divide la differenza a — 6. In questo caso, a e b si dicono congrui modulo n e si scrive a = b mod n. L'anello quoziente Z/nZ si indica con Z^ e si chiama Vanello delle classi resto modulo n. Questo nome e dovuto al fatto che ogni elemento a e Z e congruo modulo n al suo resto nella divisione per n. Poiche i possibili resti della divisione per n sono 0 , l , . . . , n — 1, indicando con a la classe di a, si ha

Z,:={Oj,...,n}.

Notiamo che a G Z^ e invertibile se e soltanto se MCD(a,n) = 1. Infatti, se MCD(a,n) = l e a x H - n y = l e una identita di Bezout, allora ax = 1 e quindi a e invertibile. Viceversa, se MCD(a, n) = d 7^ 1, si ha a = dx, n = dy con 0 < \y\ < n. Allora ay = nx e ay = 0 con y 7^ 0. Ne segue che a e uno zero-divisore e in particolare non e invertibile (Proposizione 1.1.1). L'ordine del gruppo moltiplicativo U{Zn)^ cioe il numero degli interi positivi minori di n tali che MCD(a, n) = 1, si indica con (f{n) e la funzione aritmetica (f:N—>N; n y-^ (p{n) si chiama la funzione, o indicatore, di Eulero. Se B e un sottoanello (rispettivamente, un ideale) di A contenente I'ideale / , si verifica subito che l'anello quoziente B/I e un sottoanello (rispettivamente, un ideale) di A/L Proposizione 1.2.2 Siano A un anello e I C. A un ideale. La corrispondenza

1.2 Anelli quoziente e omomorfismi di anelli

9

e una corrispondenza suriettiva che conserva le indusioni tra gli ideali di A e gli ideali di A/1. Inoltre tale corrispondenza, ristretta agli ideali di A contenenti I, e biiettiva. Dimostrazione. E evidente che la corrispondenza J H-> [J -\- I)/I conserva le inclusioni. Sia H un ideale di A/1 e sia J := {x G A; x + / G i^}. Allora J e un ideale di A contenente / (perche I = 0-\-I^H)eH = J/1. Quindi la corrispondenza e suriettiva. Inoltre, supponiamo che Ji e J2 siano due ideali di A contenenti I e che Ji/I = J2/I' Allora, per ogni x G Ji, risulta x + I G J2/I ^ dunque Ji C {y e A]y -\-1 ^ J2/I} = ^2- Simmetricamente, J2 Q Ji; quindi Ji = J2. Un'applicazione (f : A —> A' tra due anelli si dice un omomorfismo se, comunque scelti x,y e A, risulta: ip{x -i-y) = ^{x) + (p{y),

(p{xy) = (p{x)(p{y).

Un omomorfismo biiettivo si chiama un isomorfismo. Se A e A^ sono unitari, con unita moltiplicativa 1A e IA' rispettivamente, un omomorfismo di anelli (f : A —> A' si dice unitario se ^{1A) = 1A'Proposizione 1.2.3 Se A' e un dominio di integritd, in particolare un campo, ogni omomorfismo non nullo di anelli (p : A —> A! e unitario. Dimostrazione. Poiche (f e non nullo, allora (/?(I^) 7^ 0, altrimenti si avrebbe (p{x) = IP{X1A) = (P{X)(P{1A) — 0, per ogni x G A. Inoltre (^(1^)^ = ^ ( ^ A ) — (P{1A)' Allora (^(U)

e, poiche A' e integro,

- ^(IA)^ (P{1A)

=

= ^(1A)(1A' - ^(U))

= 0

1A'-

Se (p : A —> A' e un omomorfismo di anelli, I'insieme Kenp := {x G A; (p{x) = 0} si chiama il nucleo di A. L'immagine di cp sara denotata con limp. Si verifica subito che Ker (p e un ideale di A, che Im(/? e un sottoanello di A'. Se (p e iniettivo, Im (p e un sottoanello di A' isomorfo ad A; in questo caso, diremo che A e contenuto isomorficamente in A\ Per ogni ideale I C A, I'applicazione TT : A — > — ,

X \-^ X ^ I

e un omomorfismo di anelli suriettivo e KerTr = / . Questo omomorfismo si chiama la proiezione canonica di A sul quoziente A/1. Proposizione 1.2.4 Un sottoinsieme I di un anello A e un ideale se e soltanto se e il nucleo di qualche omomorfismo di anelli A —> A'.

10

1 Anelli e campi: nozioni di base

Dimostrazione. Se (p : A —> A' e un omomorfismo di anelli, Kenp e un ideale di A. Viceversa, ogni ideale I di A e il nucleo della proiezione canonica TT'.A—^ A/L Teorema 1.2.5 (Teorema Fondamentale di Omomorfisino) Per ogni omomorfismo di anelli (p : A —> A', I'applicazione Tp : — Ker (^

> Im(/p,

X -\- Ker (f i-> ip{x)

e hen definita ed e un isomorfismo di anelli. Dimostrazione. L'applicazione Tp e ben definita ed iniettiva perche ^{x) = (p{y) ^ (f{x) - (f{y) =(p{x-y) =0 <^ X — y e Ker (p ^^^ x -\- Ker (p = y -\- Ker ^p. Inoltre ^ e un omomorfismo perche lo e (p. Infine, per ogni y G Imc/?, si ha y = (p{x) — Tp(x -\- Ker (p) per qualche x G A. Percio ^ e un omomorfismo suriettivo. CoroUario 1.2.6 Un omomorfismo di anelli (p : A —> A' e iniettivo se e soltanto se il suo nucleo e Videale nullo. Dimostrazione. Basta osservare che, per il Teorema 1.2.5, risulta ip{x) = (p{y) se e soltanto se y ^ x -\- Ker ip. CoroUario 1.2.7 Se F e un campo, ogni omomorfismo di anelli non nullo (p : F —> A e iniettivo. Dimostrazione. Poiche gli ideali di un campo sono soltanto quelli banali (Proposizione 1.1.3 (b)), se Ker 99 7^ F , necessariamente Ker(/p = (0). Quindi possiamo applicare il CoroUario 1.2.6. Se ^ e un anello, un isomorfismo A —> A si dice un automorfismo di A. L'insieme degli automorfismi di A si indica con Aut(A). Proposizione 1.2.8 Se A e un anello, Vinsieme Aut(74) degli automorfismi di A e un gruppo rispetto alia composizione di funzioni. Dimostrazione. La composizione di due automorfismi e evidentemente un automorfismo. L'identita su A e un automorfismo ed e I'elemento neutro di Aut(^). Infine, se (^ G Aut(A), l'applicazione inversa (p"^ e un automorfismo di A. Infatti, per ogni x,y e A^ risulta (p{p-\x)ip-'^{y))

= ip{ip~'^{x))(p{(p~'^{y)) =xy =

e allora, per I'iniettivita di (^, (p~^{xy) = (p~^{x)(p~'^{y).

(p{(p-\xy))

1.3 Ideali primi e massimali

11

Esempi 1.2.9 (1) Se A^2(^) e I'anello delle matrici reali quadrate di dimensione 2, I'applicazione C —^ A^2(M);

a + hi^

(^^

J

e un omomorfismo non nullo di anelli. Quindi esso e iniettivo e la sua immagine Ma,biF) ••= {Ma,b := f^^ ^"j ; a,6 G F | e un sottocampo di M2{^) isomorfo a C. (2) L'applicazione di coniugio complesso^ definita da C —> C ;

a-\-bi \-^ a-\-bi := a — bi

e un' automorfismo di C. Infatti, un calcolo diretto mostra che Zi -\- Z2 = Zi -\- Z2 ;

Zi ' Z2 = Zi ' Z2,

per ogni zi, 2:2 G C. (3) Siano A un anello, S un insieme e J-{S, A) I'anello di tutte le funzioni di dominio S e codominio A (Esempio 1.1.4 (6)). Fissato un elemento s G 5, si consideri l'applicazione

^•.T{S,A)-^A;

f^fis).

Allora (f e \in omomorfismo suriettivo di anelli (perche in F{S, A) ci sono le funzioni costanti) e il nucleo di (/? e costituito dalle funzioni che si annullano in 5, cioe Kev (p = J^ := {/ G !F{S, A); f{s) = 0}. Per il Primo Teorema di Omomorfismo, l'applicazione

HS.A) Is

A;

f^I,^f{s)

e un isomorfismo di anelli.

1.3 Ideali primi e massimali Sia A un anello commutativo e unitario. Un ideale M di A si chiama un ideale massimale se M ^ A e non esiste alcun ideale / di ^4 tale che M C I C A. Si dice poi che P e un ideale primo se P ^ A e, comunque scelti x^y G A, quando xy G P^ allora x G P oppure y e P. Questo equivale a dire che I'insieme differenza A\ P e chiuso rispetto alia moltiplicazione. E evidente dalle definizioni che I'ideale nullo e un ideale primo se e soltanto se ^ e un dominio. L'esistenza, in un anello commutativo unitario, di ideali primi e massimali e garantita dal cosiddetto Lemma di Zorn^ di cui ricordiamo qui I'enunciato (Teorema 13.0.2).

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1 Anelli e campi: nozioni di base

Lemma 1.3.1 (Lemma di Zorn) Sia S un insieme non vuoto parzialmente ordinato. Se ogni sottoinsieme totalmente ordinato di S ha un maggiorante in S, allora S ha almeno un elemento massimale. Teorema 1.3.2 Se A e un anello commutativo unitario e I ^ A e un ideale di A, esiste almeno un ideale massimale di A contenente I. Dimostrazione. Sia S I'insieme degli ideali di A contenenti / e diversi da A. S e non vuoto, perche / G 5, ed e parzialmente ordinato rispetto aH'inclusione. Se {Jc^} e un sottoinsieme totalmente ordinato di 5, si vede subito che J := IJ^ Ja e un ideale appartenente a 5 ed e un maggiorante per I'insieme {Ja}- Per il Lemma di Zorn, allora S ha almeno un elemento massimale M ed e evidente che M e un ideale massimale di A contenente / . Proposizione 1.3.3 Se A e un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale di A e un ideale primo. Dimostrazione. Sia M C A un ideale massimale. Supponiamo che xy e M e X ^ A\ M. Allora I'ideale M + (x), contenendo propriamente M, e uguale ad A. Ne segue che 1 = m + ax, per opportuni m G M e a e A. Percio y — \y — my + axy G M e quindi M e un ideale primo. Una utile caratterizzazione degli ideali primi e la seguente. Proposizione 1.3.4 Sia A un anello commutativo e unitario. Un ideale P di A e primo se e soltanto se P ^ A e ogni volta che P contiene un prodotto di ideali Ii.. .In, P contiene almeno un ideale Ik, I < k < n. Dimostrazione. Per induzione su n, basta considerare il caso n = 2. Siano / , J ideali di ^ e supponiamo che ogni volta che / J C P , allora I ^ P oppure J C P . Allora scegliendo I = (x) e J = {y) principali, si ottiene che se xy C P allora x G P oppure y G P. Quindi P e un ideale primo. Viceversa, supponiamo che P sia primo. S e / ^ P e J ^ P , esistono elementi x G I e y G J tali che x^y ^ P. Allora xy G IJ\P e quindi IJ ^ P . Gli ideali primi e massimali possono essere caratterizzati anche attraverso gli anelli quoziente. Proposizione 1.3.5 Sia A un anello commutativo unitario e sia P ^ A un li A. Allora: (a) Vanello quoziente A/P e un dominio integro se e soltanto se P e un ideale primo; (b) Vanello quoziente A/P e un campo se e soltanto se P e un ideale massimale. Dimostrazione. (a) segue subito dalle definizioni e dall'osservazione che

{x + P){y + P) = xy-hP = P^xy

G P.

(b) A/P e un campo se e soltanto se esso non ha ideali non banali (Proposizione 1.1.3 (2)). Basta allora applicare la Proposizione 1.2.2.

1.3 Ideali primi e massimali

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Esempi 1.3.6 (1) Ogni ideale di Z e della forma dZ con d > 0 (Esempio 1.1.4 (1)) e, dati d, n > 0, si ha che d divide n se e soltanto se nZ C dZ. Allora rideale nZ e massimale se e soltanto se n > 2 e n non ha divisori positivi diversi da 1, cioe se e soltanto se n = penn numero primo. Inoltre, se n non e un numero primo 1'ideale nZ non e un ideale primo. Infatti, se n = a&, con 1 < a < 6 < n, allora ab = n e nZ, ma evidentemente a ^ nZ e b ^ nL. Ne segue che gli ideali primi di Z sono tutti e soli gli ideali pZ, con p primo ed essi sono tutti massimali. Inoltre I'anello Z^ := Z / n Z delle classi resto modulo n e un campo se e soltanto se Z^ e un dominio, se e soltanto se n = p e un numero primo. Se p e un numero primo, il campo Z/pZ si indica con Fp, mentre la notazione Zp viene riservata al caso in cui si consideri Z/pZ come gruppo additivo. Inoltre, gli elementi di Fp verranno spesso denotati senza la barra. (2) Nella Proposizione 1.3.5, I'ipotesi che Panello A sia commutativo e unitario e necessaria. Ad esempio I'ideale 4Z dell'anello non unitario 2Z e un ideale massimale, ma I'anello quoziente 2Z/4Z non e integro. Due ideali / e J di un anello commutativo unitario A si dicono coprimi se non esiste alcun ideale massimale che li contiene entrambi, cioe se I -\- J = A. Lemma 1.3.7 Sia A un anello commutativo unitario e siano / i , . . . , /^ ideali di A tali che Ij + Ik = A per 1 < j < k
-In

sono coprimi, per ogni k =

(b) / i . . . / n = / i n - - - n / n . Dimostrazione. (a) Se M e un qualsiasi ideale massimale di A contenente J/c, allora M, essendo primo, contiene qualche ideale / j , per j ^ k. Poiche Ij + /fc = A, ne segue che Ik ^ M. Quindi Jk + Ik = A. (b) E evidente che Ii.. .In C /i n • • • fl 7^. Viceversa, procediamo per induzione su n > 2. Dati due ideali / e J, se / + J = yl, si ha

/ n J = (/ + J)(/ nj) = /(/ n J) + J{i n J) c ij. Quindi I'asserto e vero per n = 2. Supponiamo ora, per ipotesi induttiva, che J :— Il... In-i = /i n • • • n / ^ - i . Per il punto (a), risulta J-\-In = Ae quindi, come volevamo,

Il...In = J/n = e/ n In = /i n • • • n In. Teorem.a 1.3.8 (Teorema cinese dei resti) Sia A un anello commutativo unitario e siano J i , . . . , /^ ideali di A tali che Ij -\- Ik = A per 1 < j < k < n. Allora, posto I := Ii.. .In, Vapplicazione A

A

e un isomorfismo di anelli.

A

r

f

T

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1 Anelli e campi: nozioni di base

Dimostrazione. Consideriamo I'applicazione A A 7T : A —> ^ := — X ••• X — ;

x

H^

(x + / i , . . . , x + /n).

Si verifica subito che TT e un omomorfismo di anelli. Mostriamo che n e suriettivo. Sia (ai + / i , . . . , an + /n) ^ B, ak G A per /c = 1,...,n. Fissato fc, poiche gli ideali Jk := / i . . . Ik-ih+i - - -In ^ Ik sono coprimi (Lemma 1.3.7 (a)), esistono Uk G Jk ^ Vk ^ Ik tali che Uk -\- Vk — I. Allora Uk -\- Ik — I + Ik ^ Uk -{- Ij = Ij per j ^ A:. Ne segue che, posto X = ai-ui H httn'^^n,risulta n{x) = (ai + / i , . . . , an + /n). Poiche il nucleo di TT e evidentemente I'ideale /i fl • • • Pi /n e coincide con I'ideale / := I i . . . /„ per il Lemma 1.3.7 (b), la conclusione segue dal Teorema Fondamentale di Omomorfismo (Teorema 1.2.5). Esempi 1.3.9 (1) Usando la nozione di congruenza modulo un ideale, il Teorema Cinese dei Resti si puo enunciare dicendo che, se gli ideali / i , . . . , /n sono coprimi a coppie, dati a i , . . . , a n G A, esiste un elemento x ^ A tale che X = Gk mod Ik^ per ogni k — 1,.. .,n. Inoltre tale elemento e unico mod I\.. ./n(2) Dati due interi m^n > 2, gli ideali nZ e mZ di Z sono coprimi se e soltanto se non esiste alcun ideale massimale pZ, con p primo, tale che nZ, mZ C pZ. Questo equivale a dire che n e m non hanno divisori primi in comune, cioe che MCD(n,m) = 1. Allora il Teorema Cinese dei Resti per Z puo essere enunciato dicendo che, se n i , . . . , n^ sono numeri interi positivi tali che MCD(ni, rij) = 1 per 1 < i < j < s e n := ni... ris, si ha un isomorfismo naturale ^n

^ ^ni

X • • • X ^ris •

Cio significa che il sistema di congruenze X = Gi

mod n^

z = l,...,5

e sempre risolubile ed ha una unica soluzione mod r i i . . . rig. Dal momento che in un isomorfismo unitario di anelli elementi invertibili si corrispondono, I'isomorfismo Zn —> Zm x • • • x Zn^ induce un isomorfismo di gruppi moltiplicativi W(Zn) —> W(Zn J X • . • X W(Zn J . Poiche I'ordine del gruppo U{Zn) e dato dal valore ^{n) della funzione di Eulero (Esempio 1.2.1), una prima conseguenza e che la funzione di Eulero e moltiplicativa^ nel senso che, se MCD(r, 5) = 1, allora (p{rs) = (p{r)(p{s). Un semplice calcolo mostra poi che, se p e un numero primo, si ha ^(p'=)=/-/-i=/-i(p-i)=p'=(i-^),

1.4 Divisibilita in un dominio

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per ogni A: > 1. Quindi, sen = Pi^P2^ • • -p^^ e la fattorizzazione di n in numeri primi distinti, risulta

1.4 Divisibilita in un dominio Per definire in un anello commutativo unitario A una buona teoria della divisibilita, e conveniente assumere che A non abbia zero-divisori, cioe die A sia un dominio. Dati due elementi x^y di un dominio A^ si dice che y divide x in A se esiste un elemento z E A tale che x = yz. In tal caso si dice anche che y e un divisore o un fattore di x in A e che x e un multiplo di y. Lo zero di A divide soltanto se stesso ma e diviso da ogni elemento di A, infatti Ox = 0 per ogni X e A. Gli elementi invertibili di A sono i divisori dell'unita moltiplicativa 1 di A. Denoteremo al solito con U{A) il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di A. Si dice che y e associato a x in yl se esiste un elemento u E U{A) tale che y = ux.Si verifica subito che quest a e una relazione di equivalenza su A e che X e y sono associati se e soltanto se si dividono reciprocamente (Esercizi 1.24 e 1.25). Ogni elemento x e A e diviso dagli elementi invertibili di A e dai suoi associati. Infatti x = Ix = u{u~^x), per ogni u G U{A). Un divisore di x non invertibile e non associato a x si chiama un divisore propria di x. Notiamo che y divide x se e soltanto se (x) C {y). Quindi x e y sono associati se e soltanto se (x) = {y) e y e un divisore proprio di x se e soltanto se (x) C (y) ^ A. Se K e un campo, ogni elemento non nullo e invertibile e quindi non ha divisori propri; per questo motivo in un campo la teoria della divisibilita diventa banale. Un elemento x di un dominio A si chiama un elemento irriducibile se x e non nullo e non invertibile e non ha divisori propri. Un elemento non nullo che ha divisori propri si dice riducibile. Un elemento primo di A e un elemento x non nullo e non invertibile tale che, scelti comunque y^z E A^ quando x divide yz allora x divide y oppure x divide z. Quindi, per induzione su n > 2, un elemento primo x che divide un prodotto yiy2 • • -yn divide almeno uno dei fattori yi. CoroUario 1.4.1 Sia A un dominio e siax E A un elemento non nullo e non invertibile. Allora x e un elemento primo se e soltanto se Videale principale (x) e un ideale primo. Dimostrazione. Segue direttamente dalle definizioni.

16

1 Anelli e campi: nozioni di base

Proposizione 1.4.2 In un dominio A, ogni elemento primo e irriducibile. Dimostrazione. Sia p e A un elemento primo. Se p = xy, allora p divide x oppure y. Nel primo caso, p e x sono associati eye invertibile. Nel secondo caso, p e y sono associati e a: e invertibile. Quindi p non ha divisori propri. Esempi 1.4.3 Gli elementi irriducibili di Z sono esattamente i numeri primi e i loro opposti e coincidono con gli elementi primi. 1.4.1 Massimo comune divisore Se ^ e un dominio e x^y E A sono non entrambi nulli, un massimo comune divisore di x e ?/ e un divisore comune di x e y diviso da ogni altro divisore comune. Precisamente, un elemento d ^ A e un massimo comune divisore di X e y se: 1. d divide x e y\ 2. Se d' divide x e y^ allora d' divide d. Un massimo comune divisore di x e y^ se esiste, non e univocamente determinato. Infatti dalla proprieta (2) segue subito che se d G ^ e un massimo comune divisore, lo sono anche tutti gli elementi di A associati a d, Nell'impossibilita di privilegiare un particolare massimo comune divisore di due elementi, se d e un qualsiasi massimo comune divisore di x e y, si usa scrivere (x^y) — d. Se gli unici divisori comuni di x e y sono gli elementi invertibili di A, si scrive {x,y) = 1 e si dice che x e y sono elementi coprimi. Notiamo che (x^y) = 1 se e soltanto se I'unico ideale principale contenente x e y e A^ ma se questo accade non e detto che gli ideali principali {x) e (y) siano coprimi, perche puo essere {x)-\-{y) C A, come vedremo successivamente nell'Esempio 2.5.9. Lemma 1.4.4 Sia A un dominio. Un elemento q ^ A, non nullo e non invertibile, e irriducibile se e soltanto se, per ogni x G A, q divide x oppure {x,q) = 1. Dimostrazione. Poiche gli unici divisori di q sono gli elementi invertibili di A e gli elementi associati a. q, se q non divide x, gli unici divisori comuni di x e q sono gli elementi invertibili. Quindi (x,g) = 1. Diremo che A e un dominio con il massimo comune divisore se due qualsiasi elementi non nulli di A hanno un massimo comune divisore. Un campo soddisfa banalmente questa proprieta. Proposizione 1.4.5 (Lemma di Euclide) Sia A un dominio con il massimo comune divisore e siano x^y^z ^ A"". Se x divide yz e (x,y) = 1, allora x divide z. Dimostrazione. Si verifica facilmente che {xz^yz) = z{x,y) (Esercizio 1.27). Allora, se {x,y) = 1 e X divide yz, si ha che x divide {xz, yz) = z{x,y) = z.

1.4 Divisibilita in un dominio

17

Corollario 1.4.6 Sia A un dominio con il massimo comune divisore e siap e A. Allorap e un elemento primo se e soltanto sep e un elemento irriducibile. Dimostrazione. Sia p un elemento irriducibile di Ae supponiamo die p divida xy. Se p non divide x, allora {p,x) = 1 (Lemma 1.4.4) e quindi p divide y per il Lemma di Euclide (Proposizione 1.4.5). Viceversa, in ogni dominio un elemento primo e irriducibile (Proposizione 1.4.2). 1.4.2 Domini a fattorizzazione unica Un dominio A si dice un dominio a fattorizzazione unica se soddisfa le due seguenti condizioni: 1. Ogni elemento non nullo e non invertibile x ^ A puo essere fattorizzato nel prodotto di un numero finito di elementi irriducibili (non necessariamente distinti): X = P1P2 '' 'Pn^

con Pi irriducibile per i = 1 , . . . , n.

2. Se X = pi.. .pn = qi'' -qm sono due fattorizzazioni dello stesso elemento di A in elementi irriducibili (non necessariamente distinti), allora n — m e gli elementi qi possono essere rinumerati in modo tale che pi e qi siano associati per i = 1 , . . . , n. Un campo e banalmente un dominio a fattorizzazione unica. Si usa esprimere la proprieta (2) dicendo che la fattorizzazione in elementi irriducibili e unica, a meno deWordine e di elementi invertihili. Se A e un dominio a fattorizzazione unica e x, y G A* sono due elementi non invertibili, considerando tutti i fattori irriducibili sia di x che di y, possiamo scrivere x = pj^ .. .p^ e y = p^ .. .p^^ dove P i , . •. ,Pn sono elementi irriducibili distinti e a^, 6^ > 0, per i = 1 , . . . , n. Proposizione 1.4.7 Sia A un dominio a fattorizzazione unica. Allora A e un dominio con il massimo comune divisore. Inoltre, se

dove p i , . . .,Pn sono elementi irriducibili distinti di A e ai^bi > 0, per i = 1,.. .,n, si ha {x^y) = p^^ .. .p^"^, dove rrii :— min{a^, bi\, per z = 1,...,n. Dimostrazione. E una semplice verifica, osservando che, se uno tra gli elementi x e y e invertibile, si ha (x, y) = 1. Teorema 1.4.8 Sia A un dominio in cui ogni elemento non nullo e non invertibile pud essere fattorizzato nel prodotto di un numero finito di elementi irriducibili. Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) A e un dominio a fattorizzazione unica, doe la fattorizzazione in elementi irriducibili e unica, a meno deWordine e di elementi invertibili;

18

1 Anelli e campi: nozioni di base

(ii) Ogni elemento irriducibile di A e un elemento primo; (iii) A e un dominio con il massimo comune divisore. Dimostrazione. (i) =4> (iii) segue dal Proposizione 1.4.7. (iii) ^ (ii) e il Corollario 1.4.6. (ii) => (i) Supponiamo che p i . . .pr = Qi - - -Qsi dove i pi e QJ sono elementi irriducibili per i = l , . . . , r e j = 1,...,5. Poiche pi e un elemento primo di A, allora pi divide uno degli elementi QJ. A meno di riordinare i fattori Qj, possiamo supporre che pi divida qi. Allora, essendo pi e qi entrambi irriducibili, essi devono essere associati, cioe deve essere qi = upi, con u G U{A). Quindi, cancellando pi, risulta P2 - - -Vr = uq2 . • .qs- Cosi proseguendo, si ottiene che r = 5 e, a meno dell'ordine, gli elementi pi e qi sono associati per i = 1,.. .,r. Esempi 1.4.9 (1) II Teorema Fondamentale delVAritmetica asserisce che I'anello degli interi Z e un dominio a fattorizzazione unica. L'esistenza di una fattorizzazione in numeri primi si puo dimostrare per induzione sul modulo. (2) Se ^ e un dominio a fattorizzazione unica, ogni elemento non nullo di A ha un numero finito di divisori non associati tra loro. Quindi se U{A) e un insieme finito, ogni elemento non nullo ha un numero finito di divisori. Infatti, sia X G ^*. Se x G U{A), i suoi divisori sono tutti associati tra di loro, e associati a 1. Se x ^ ^ ( ^ ) ^ ^ = Pi • - -Pn e una fattorizzazione di x in elementi irriducibili, ogni divisore proprio di x deve essere associato a un elemento del tipo Pi-^ .. .pi^ con m < n. In ogni dominio, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi irriducibili e garantita dalla condizione della catena ascendente sugli ideali principals Si dice che un dominio A soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali se ogni catena di ideali principali propri di A (xi) C {x2) C .. . C (x,) C . . . e stazionaria, cioe se esiste un (minimo) intero n > 1 tale che {xn) = (xm) per m> n. Proposizione 1.4.10 Se A e un dominio che soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali, ogni elemento di A, non nullo e non invertihile, pud essere fattorizzato nel prodotto di un numero finito di elementi irriducibili. Dimostrazione. Supponiamo che la tesi non sia vera e sia S 1'insieme degli ideali principali propri (a) di A tali che a non possa essere fattorizzato in elementi irriducibili. Allora S ha un elemento massimale (x), perche altrimenti sarebbe possibile costruire una catena infinita di ideali principali generati da elementi di S (xi)C(x2)C...C(x,)C....

1.4 Divisibilita in un dominio

19

Poiche X non puo essere primo, altrimenti sarebbe banalmente fattorizzabile, possiamo scrivere x = yz, con y, z fattori propri di x. Allora (x) C {y) e {x) C {z). Per la massimalita di (x), ne segue che y e z possono essere fattorizzati nel prodotto di un numero finite di elementi irriducibili. Ma allora anche x puo essere fattorizzato. Quest a e una contraddizione. Teorema 1.4.11 Un domino A e a fattorizzazione unica se e soltanto se sono verificate le seguenti condizioni: 1. A soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali; 2. Ogni elemento irriducibile di A e un elemento primo. Dimostrazione. Se A e un dominio a fattorizzazione unica, la seconda condizione e verificata per il Teorema 1.4.8. Per mostrare che A soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali, ricordiamo che (x) C {y) se e soltanto se y divide x. D'altra parte ogni elemento non nullo x ha un numero finito di divisori non associati tra loro (Esempio 1.4.9 (2)), quindi ogni catena ascendente di ideali principali propri e necessariamente stazionaria. II viceversa, segue dalla Proposizione 1.4.10 e dal Teorema 1.4.8. Notiamo che, se vale la condizione (1) del Teorema 1.4.11, la condizione (2) equivale all'esistenza del massimo comune divisore (Teorema 1.4.8). 1.4.3 Domini a ideali principali Un dominio si dice a ideali principali se ogni suo ideale e principale. Un campo e banalmente un dominio a ideali principali (Proposizione 1.1.3 (2)). Come conseguenza dell'algoritmo della divisione, Z e un dominio a ideali principali (Esempio 1.1.4 (1)). Mostriamo ora che alcune proprieta di divisibilita dei numeri interi, come ad esempio I'esistenza di un massimo comune divisore e della fattorizzazione in elementi primi, si possono estendere ai domini a ideali principali. Teorema 1.4.12 Se A e un dominio a ideali principali, allora A e un dominio con il massimo comune divisore. Inoltre, dati x,y G A*, d e un massimo comune divisore di x e y se e soltanto se (x, y) — {d). In particolare (x, y) = I se e soltanto se (x^y) — A. Infine, se d e un massimo comune divisore di x ey, esistono due elementi a, b G A tali che d = ax -\-by (Identita di Bezout) Dimostrazione. Basta ricordare che x divide y se e soltanto se (y) C {x) e che gli ideali di A formano un reticolo rispetto all'inclusione. II seguente risultato mostra in particolare che, come in Z, in un dominio a ideali principali ogni ideale primo non nullo e massimale.

20

1 Anelli e campi: nozioni di base

Proposizione 1.4.13 Sia A un dominio a ideali principali e sia p ^ A un elemento non nullo e non invertibile. Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

(p) e un ideate massimale; (p) e un ideale primo; p e un elemento primo di A; p e un elemento irriducibile di A; L^anello quoziente A/{p) e un campo; L'anello quoziente A/{p) e un dominio integro.

Dimostrazione. (i) => (ii) perche ogni ideale massimale e primo (Proposizione 1.3.3). (ii) <^ (iii) e il Corollario 1.4.1. (iii) <^ (iv) perche yl e un dominio con il massimo comune divisore (Teorema 1.4.12) e quindi elementi primi e irriducibili coincidono (Corollario 1.4.6). (iv) =^ (i) Sia p un elemento irriducibile di ^ e supponiamo che {p) C (x). Allora X divide p. Se x h invertibile, allora (x) = A. Se invece x e associato a p, allora (x) = {jp). Ne segue che {p) e un ideale massimale. (i) <^ (v) e (ii) <=> (vi) seguono dalla Proposizione 1.3.5. Se A e un anello commutativo unitario e / = (a) e un ideale principale di A^ risulta x = y mod / se e soltanto se a divide x — y. In questo caso si dice anche che x = y mod a. II Teorema Cinese dei Resti per i domini a ideali principali si puo allora riformulare, come per Z, in termini di divisibilita (Teorema 1.3.8 ed Esempio 1.3.9) . Proposizione 1.4.14 Sia A un dominio a ideali principali. Se d i , . . . , d^ G A sono tali che [di^dj) = 1 per I < i < j < n, comunque scelti a i , . . .,an G A, esiste un elemento x G A tale che x = Oi mod di, per ogni i = 1,.. . , n . Inoltre, se y e un altro elemento con questa proprietd, allora x = y mod di.. .dnMostriamo infine che i domini a ideali principali sono a fattorizzazione unica. Teorema 1.4.15 Ogni dominio a ideali principali e un dominio a fattorizzazione unica. Dimostrazione. Sia A un dominio a ideali principali. Poiche ogni elemento irriducibile di A e primo (Proposizione 1.4.13), per il Teorema 1.4.11 basta far vedere che A soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali. Sia (^l) Q {X2) C . .. C (xi) C .. .

una catena di ideali principali e sia / := |J^>^(xi). Si vede facilmente che / e un ideale di ^4 e quindi / e principale per ipotesi. Se / = (x), per definizione X G (xn) per qualche n > 1. Ne segue che / = {xn) = (xm) per m > n. Lo studio degli anelli di polinomi ci permettera di dare nel Capitolo 2 molti esempi di anelli principali e di anelli a fattorizzazione unica che non sono principali.

1.5 II campo delle frazioni di un dominio

21

1.5 II c a m p o delle frazioni di un dominio II procedimento che permette di costruire, a partire da Z, il campo dei numeri razionali puo essere generalizzato per costruire, a partire da un qualsiasi dominio A^ un "campo minimale" contenente A in cui siano risolubili tutte le equazioni lineari a coefBcienti in A. Dato un dominio A, consideriamo la relazione su A x A* definita da: {x,y) p {x^y')

^

xy'

^x'y.

Si vede subito che p e una relazione di equivalenza. L'insieme quoziente di A X A* rispetto a p si indica con Qz(74). Per semplicita di notazione, si usa indicare la classe della coppia (:r,y) X

.

.

.

rispetto a p con —, m modo da poter scnvere V

Q z ( A ) : = | - ; x.y^A,

y^ol.

Le operazioni X y

z w

xw -\- zy yw

Xz yw

xz yw

sono ben definite (cioe non dipendono dai rappresentanti delle classi scelti) e rispetto a queste operazioni Qz{A) e un campo. Se 1 e 1'unit a moltiplicativa di A, lo zero di Qz{A) e I'elemento - e I'unita moltiplicativa di Qz{A) e - . X

V

y

X

Inoltre, se x 7^ 0, I'inverso di — e —. II campo Qz{A) si chiama il campo delle frazioni di A. Le seguenti proprieta si verificano facilmente e ci dicono in particolare che, a meno di isomorfismi, Qz{A) e il piu piccolo campo contenente A (Esercizio 1.30). Teorema 1.5.1 Sia A un dominio con unita moltiplicativa 1. (a) L^applicazione L : A —> Clz{A);

X

x^

-

e un omomorfismo iniettivo di anelli. (b) A e un campo se e soltanto se A e isomorfo a Qz{A); (c) Se K e un campo e if : A —> K e un omomorfismo iniettivo, Vapplicazione ij : Qz{A) ^ K; ^ ^ ^{x^y)-^ e ben definita ed e un omomorfismo (iniettivo) di campi. Inoltre ij; e Vunico omomorfismo di campi tale che ip = ip o L;

22

1 Anelli e campi: nozioni di base

(d) Se A' e un dominio e r] : A —> A' e un omomorfismo iniettivo di anelli, rapplicazione

Qz(A)->Qz(^0;

y

- ^ ^ v{y)

e ben definita ed e un omomorfismo (iniettivo) di campi. In particolare, domini isomorfi hanno campi delle frazioni isomorfi. Se A e contenuto in un campo K^ per il Teorema 1.5.1 (c), I'applicazione ^ : Qz(A) —> K]

- ^ xy~^ y

e un omomorfismo non nullo di campi e la sua immagine F:={xy-^;x,yeA,yy^O}CK e il piu piccolo sottocampo di K contenente A. Diremo che il campo F e il campo delle frazioni di A in K. Esempi 1.5.2 (1) II campo delle frazioni di Z in C e il campo Q dei numeri razionali. Poiche ogni campo numerico contiene Z (perche contiene 1 ed e un gruppo additivo), allora esso contiene Q. Ne segue che Q e il piu piccolo campo numerico. (2) II campo delle frazioni in C delPanello degli interi di Gauss Z[i] e Qz(Z[i]) = {(a + bi){c + c^i)"^; a,fo,c, d G Z , c + di 7^ 0} =^{x-^yi',x,yeQ}=:Q{i). (Esempio 1.1.4 (3))

X ax (3) Se A e un dominio e x,y e A^y ^ 0, per definizione risulta — = — per y

ay

Ogni a e A*. Quindi un numero finito di elementi — , . . . , — G Qz{A) possono 2/1

yn

sempre essere ridotti a comune denominatore. Infatti, se d := yiy2''-yn 7

J

1

. -,

Xi

aiXi

Xj

I

A

'

e

t

di \— ay- , si na — = - — = ^ , con x- G A, per z = 1 , . . . , n. yi diyi d (4) Se A e un dominio con il massimo comune divisore, in particolare X

un dominio a fattorizzazione unica, ogni frazione non nulla — G Qz{A) puo y

essere ridotta ai minimi termini, cioe si puo supporre che (x^y) = 1. Infatti, se (x,y) = d, scrivendo x — dx' ey — dy', si ha — = —- = — con (x',y') — 1. X

E evidente che ogni frazione non nulla ha una unica rappresentazione — con

{x,y) = 1.

y

1.6 La caratteristica di un anello

23

Se A C B, A' C B' sono anelli e (p : A —> A! e un omomorfismo, si dice che un omomorfismo -0 : B —> B' estende (p (o che (p si pud estendere a '0) se i[;{x) = ^{x) per ogni x G A, ovvero se la restrizione di -0 ad A coincide con (p. II punto (d) del Teorema 1.5.1 asserisce che se A e A' sono domini, ogni omomorfismo iniettivo (p : A —> N si puo estendere ad un omomorfismo (necessariamente iniettivo) tra i rispettivi campi delle frazioni.

1.6 La caratteristica di un anello Sia A un anello. S e a G ^ e m > 1, definiamo per ricorsione Oa:=0;

ma := (m — l)a + a;

[—m)a\——[mo).

Se esiste un intero positivo m tale che vna — 0, per ogni a G ^ , il minimo intero positivo n con questa proprieta si chiama la caratteristica di A e si dice che A ha caratteristica finita, o positiva (uguale a n). Altrimenti si dice che A ha caratteristica zero. E evidente che I'unico anello che ha caratteristica 1 e r anello nullo. Notiamo che, se A ha caratteristica finita uguale a n, I'ordine additivo di ogni elemento non nullo di A e finito e divide n. Proposizione 1.6.1 Sia A un anello unitario, con unitd moltiplicativa IAAllora A ha caratteristica finita uguale a n > 2 se e soltanto se 1A ha ordine additivo finito uguale a n. Dimostrazione. Sia n I'ordine additivo di 1A- Poiche ma = m{lACi) = (mlA)^, per ogni m > 0 e a G ^ , allora na = 0, per ogni a ^ A. D'altra parte n divide la caratteristica di A^ quindi e uguale ad essa. II viceversa e ovvio. Se A e un anello unitario con unita moltiplicativa 1^, I'intersezione di tutti i sottoanelli di A contenenti 1^ e un anello, che si chiama il sottoanello fondamentale di A. Esso e chiaramente il piii piccolo sottoanello di A contenente IA- Analogamente, I'intersezione di tutti i sottocampi di un campo i^ e un campo, che si chiama il sottocampo fondamentale o il sottocampo minimo di K. Proposizione 1.6.2 Se A e un anello unitario con unitd moltiplicativa IA, H suo sottoanello fondamentale e Vanello {ZIA ;Z eZ}. Esso e isomorfo aZ se (e soltanto se) A ha caratteristica zero ed e isomorfo alVanello Z^ delle classi resto modulo n se (e soltanto se) A ha caratteristica finita uguale a n>2. Dimostrazione. Consideriamo I'applicazione / : Z —> A;

z ^

ZIA-

24

1 Anelli e campi: nozioni di base

Si verifica subito che / e un omomorfismo di anelli non nullo; percio la sua immagine I m / = {ZIA ; Z e Z} enn sottoanello di A. Inoltre, ogni sottoanello di A che contiene 1A contiene anche I m / , perche e un gruppo additive. Quindi I m / = {ZIA ; Z G Z } e il sottoanello fondamentale di A. II nucleo di / e I'ideale Ker / = {z G Z ; ZIA = 0} C Z . Allora, per definizione, A ha caratteristica zero se e soltanto se K e r / = (0). Altrimenti K e r / = nZ, dove n 7^ 2 e il minimo intero positivo in K e r / . Quindi K e r / == nZ se e soltanto se A ha caratteristica finita uguale a n. Per il Teorema Fondamentale di Omomorfismo, se A ha caratteristica zero, allora I m / e isomorfo a Z. Altrimenti, I m / e isomorfo a Z^ := Z/nZ, dove n > 2 e la caratteristica di A. Corollario 1.6.3 Se A e unitario e non ha zero-divisori, il suo sottoanello fondamentale e isomorfo a Z oppure al campo ¥p, per qualche primo p>2. Dimostrazione. Per la Proposizione 1.6.2, il sottoanello fondamentale di A e isomorfo a Z oppure a Z^. Nel secondo caso, poiche A non ha zero-divisori, Zn deve essere integro; percio n = p deve essere un numero primo (Esempio 1.3.6). Corollario 1.6.4 (E. Steinitz, 1910) Se K e un campo, il suo sottocampo fondamentale e isomorfo a Q oppure a ¥p, per qualche primo p>2. Dimostrazione. Per il Corollario 1.6.3, il sottoanello fondamentale di K e isomorfo a Z oppure a Fp. Nel primo caso, per la Proposizione 1.5.1 (c), il sottocampo fondamentale di K e isomorfo al campo delle frazioni di Z in C, cioe a Q. II risultato precedente ci assicura che un campo di caratteristica finita ha caratteristica prima. Corollario 1.6.5 Ogni sottocampo di un campo K ha la stessa caratteristica diK. Esempi 1.6.6 Ogni campo numerico ha caratteristica zero. Un campo di caratteristica zero, contenendo isomorficamente Q e infinito; quindi ogni campo finito ha caratteristica finita. Un esempio di campo infinito che ha caratteristica finita sara dato successivamente (Esempio 2.1.6 (2)).

1.7 Esercizi 1.1. Mostrare che un anello unitario A ha una unica unita moltiplicativa e che un elemento invertibile di A ha un unico elemento inverso. 1.2. Un elemento a di un anello A si dice idempotente se a^ = a e si dice nilpotente se a"^ = 0 per qualche n > 1. Mostrare che s e a 7 ^ 0 , l A e a e idempotente o nilpotente allora a e uno zero-divisore di A.

1.7 Esercizi

25

1.3. Determinare esplicitamente gli elementi idempotenti e nilpotenti di Zg, Z i 2 , Z2 X Z 4 .

1.4. Sia n > 2 un numero intero e sia n = p^^ .. -p^^ e^ > 1, la sua fattorizzazione in numeri primi distinti. Mostrare che a £ Zn e nilpotente se e soltanto se il prodotto pi.. .pn divide a. 1.5. Un anello si dice booleano se ogni suo elemento e idempotente. Mostrare che (1) Un anello (non nullo) booleano e un anello commutativo di caratteristica 2. (2) L'anello ^ ( 5 , Z2) delle funzioni su un insieme S a valori in Z2 e booleano, rispetto alle operazioni puntuali (Esempio 1.1.4 (6)). 1.6. Mostrare che, per ogni numero primo p > 2, 1'insieme

n^]):={a

+

b^;a,beZ}

e un anello, il cui campo dei quozienti in C e Q(Vp):={a + 6 v ^ ; a , 6 G Q } . 1.7. Sia K := {0,1, a, /?} un insieme su cui siano definite una addizione e una moltiplicazione (con elementi neutri 0 e 1 rispettivamente) e in cui valgano le relazioni 2x = 0, per ogni x G K, l + ce = /3ea^H-/3 = 0. Mostrare che K e un campo e determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di K. 1.8. Mostrare che un dominio con un numero finito di elementi e un campo. 1.9 (II corpo dei quaternioni di Hamilton, 1843). Si considerino le seguenti matrici a coefficienti complessi

•^

1 0\

.

A 0\

.

/O - 1 \

,

/O -i

V^ V '

^

io-ij '

^

VI 0 r

^

V-i 0

Verificare che: (1) Valgono le relazioni ij = k = - j i ;

j k = i = - k j ; ki = j = - i k .

(2) L'insieme di matrici H := {al + 6i + cj + dk; a, b, c, d G R} e un'anello unitario e non commutativo in cui ogni elemento x ^ 0 e invertibile. Questo anello si chiama V anello dei quaternioni reali Inoltre l'insieme H := {1, i, j , k, - 1 , —i, —j, —k} e un gruppo moltipHcativo che si chiama il gruppo delle unitd dei quaternioni. Suggerimento: Se x := a l + 6i+cj+dk G H, poniamox := al — bi — c} — dk. Allora xx = a'^ ^b"^ -\-c^ -\- d'^ e, se x 7^ 0, x~^ = x/(a^ + 6^ + c^ + d'^).

26

1 Anelli e campi: nozioni di base

1.10. Mostrare che un'intersezione di sottoanelli (rispettivamente ideali, sottocampi) di un anello A e un sottoanello (rispettivamente un ideale, un sottocampo) di A. 1.11. Mostrare che se AiC A2C As C...C

An

C...

e una catena di sottoanelli (rispettivamente ideali, ideali primi, sottocampi) di un anello A, allora B := [j^y^ Ai e un sottoanello (rispettivamente un ideale, un ideale primo, un sottocampo) di A. 1.12. Mostrare che la composizione di due omomorfismi di anelli e un omomorfismo. 1.13. Siano A, B anelli unitari e sia / : A —> B un omomorfismo. Mostrare che (1) Se / e suriettivo, allora / e unitario; (2) Se a € A e invertibile e / e unitario, allora f{a) e invertibile e f{a)~^ = 1.14 (Immersione di un anello in un anello unitario). Sia A un anello (possibilmente non unitario). Verificare che I'insieme Z x A dotato delle operazioni (zi.ai) -h (z2, ^2) = {zi -h Z2, ai + a2); {zi,ai){z2,a2)

= {ziZ2, aia2 -^ zia2 -\- Z2ai)

e un anello unitario, con unita (1,0), contenente isomorficamente A. 1.15. Senza usare la nozione di ideale, dimostrare che se (p : F —> K e un omomorfismo di campi ed esiste un elemento non nullo x G F tale che ip{x) = Q^ allora Lp e 1'omomorfismo nullo. 1.16. Stabilire se I'applicazione 0 ( ^ 2 ) -^

Q(^/3);

a + 6V2

per ogni a, 6 G Q e un omomorfismo di campi. 1.17. Dimostrare che, se 5 e un sottoanello (rispettivamente un ideale) di A contenente /, allora 1'anello quoziente B/I e un sottoanello (rispettivamente un ideale) di A/1. 1.18. Sia / : A —y B un omomorfismo di anelli. Mostrare che la corrispondenza J ^ f~^{J) e una corrispondenza biunivoca tra gli ideali (primi) di B e gli ideali (primi) di A contenenti Ker / . Suggerimento: Usare il Teorema Fondamentale di Isomorfismo e la Proposizione 1.2.2.

1.7 Esercizi

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1.19 (Teorema del doppio quoziente). Sia A un anello e siano / , J ideali di A tali che I C J. Mostrare che I'applicazione -JJJ-^J'^

(a: + /) + J / J ^ X + J

e ben definita ed e un isomorfismo di anelli. 1.20. Siano P , Q due ideali primi di un anello A. Mostrare che P fi Q e un ideale primo se e soltanto se P C Q oppure Q ^ P. 1.21. Sia P un ideale primo e siano / i , . . . , /^ ideali di un anello A. Mostrare che, se P 3 /i n • • • n In, allora P D Ij^ per qualche j = 1 , . . . , n. 1.22. Sia Pi 2 ^2 2 Ps 2 . . . 2 Pn 2 . . . una catena di ideali primi di un anello A. Mostrare che I'ideale n2>i ^i ^ ^^ ideale primo. 1.23 (II radicale di un ideale). Sia A un anello commutativo unitario e sia I ^ A un ideale di A. Mostrare che (1) rad(/) := {a e A;a^ e I^ per qualche n > 1} e un ideale di / . Questo ideale si chiama il radicale di J e gli ideali tali che I — rad(/) si chiamano ideali radicali. (2) Gli elementi nilpotenti di A formano un ideale di A. Questo ideale e il radicale dell'ideale nullo e si chiama il nilradicale di A. (3) rad(/) = f]{P; P e un ideale primo e / C P } . Suggerimento: (1) e una semplice verifica e segue comunque da (3) perche un'intersezione di ideali e un ideale. (2) segue da (1) per / = (0). (3) Se a'^ G /, allora d^ E. P per ogni ideale primo P contenente / . Quindi a e P e rad(/) C P . Viceversa, sia a G P per ogni ideale primo P contenente / , e supponiamo che a ^ rad(/). Consideriamo I'insieme S = {a^'•, n > 1}. Allora S e chiuso rispetto alia moltiplicazione e I Pi 5 = 0. Allora I'insieme U degli ideali J tali che lCJeJnS = ^e non vuoto e parzialmente ordinato per inclusione. Se inoltre {Jx} e una catena in U, allora UA ^^ G W e per il Lemma di Zorn esiste un ideale P G U massimale rispetto alia proprieta di contenere / e non intersecare S. Dal fat to che S e chiuso rispetto alia moltiplicazione segue che P e primo. Ma allora a G P e S ' n P 7 ^ 0 , il che e una contraddizione. 1.24. Dimostrare che, se A e un anello commutativo unitario, la relazione p su A\ {0} definita da: a pb

<^

a~ uh ^ u ^ ^ ( ^ )

{^

a eh sono associati)

e una relazione di equivalenza. 1.25. Dimostrare che, se yl e un dominio, due elementi non nulli a, 6 G ^4 sono associati se soltanto se a e 6 si dividono reciprocamente in A.

28

1 Anelli e campi: nozioni di base

1.26. Verificare che U{Z[i]) = {1, - 1 , i, - i } . 1.27. Sia A un dominio con il massimo comune divisore e siano a, 5, c E A*. Mostrare che (1) (ac^bc) = {a,b)c; (2) Se (a, 6) = 1 = (a, c), allora (a, 6c) = 1; (3) Se (a, 6) = 1 e a, 6 dividono c, allora a6 divide c. 1.28. Sia A un dominio e siano a, b e A due elementi non nulli. Si dice che m e un minimo comune multiplo di a e 6 se m e un multiplo comune di a e 6 ed inoltre m divide ogni altro multiplo comune. Dimostrare che (1) Se m e un minimo comune multiplo di a e 6, anche tutti i suoi associati lo sono. (2) a e 6 hanno un minimo comune multiplo m se e soltanto se (a) Pi (b) = (m). 1.29. Sia A un dominio con il massimo comune divisore. Mostrare che (1) Due qualsiasi elementi non nulli a, 6 G A hanno un minimo comune multiplo; (2) Se d ed m sono rispettivamente un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo di a e 6, allora ab e dm sono associati in A. 1.30. Verificare le proprieta elencate nel Teorema 1.5.1. 1.31. Siano K un campo di caratteristica prima uguale a.p, Mostrare che n a = 0 se e soltanto se p divide n oppure a = 0.

aeKen>0.

1.32. Mostrare che, se K e un campo di caratteristica prima uguale a p e ai^.. .^an ^ K^ n > 2, allora (ai + • • • + an^ = a f + • • • + < ' , per ogni s > 1. Suggerimento: Osservare che, se p e un numero primo, allora p divide tutti i coefficienti binomiali (^), per 0 < A: < p. Procedere poi per doppia induzione, su n ed s. 1.33. Mostrare che, se f{X) e ¥p[X], allora f{X)P = /(X^) Suggerimento: Ricordare che, per ogni intero a ed ogni numero primo p^ aP = a mod p {Piccolo Teorema di Fermat, 1640) ed usare I'esercizio precedent e. 1.34. Mostrare che la caratteristica dell'anello prodotto diretto Zm x Z^ e uguale a mcm(m, n). 1.35. Sia p G Z un numero primo. Mostrare che I'anello quoziente A := Z[i]/(p) ha caratteristica p. Dare inoltre un esempio in cui A non e integro. Suggerimento: Ricordare che un numero primo p puo essere riducibile in Z[i]: ad esempio 2 = (1 + i)(l — i).

2

Anelli di polinomi

Questo capitolo e dedicate alio studio degli anelli di polinomi a coefRcienti in un anello commutativo unitario. Saremo maggiormente interessati al caso in cui ranello dei coefficienti sia un dominio ed in particolare un campo.

2.1 Polinomi a coefRcienti in un anello Ricordiamo che una successione di elementi di un insieme S e una funzione / : N —> S. Ponendo f{i) := Q ed identificando / con la sua immagine in S^ la successione / si indica usualmente con la notazione (Q)Z>O := (co,Ci,.. . , C i , . . . ) ,

o pill semplicemente con ( Q ) . Se ^ e un anello commutativo unitario, I'insieme ^4^ di tutte le successioni di elementi di ^ e un anello commutativo unitario rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione definite rispettivamente nel seguente modo: {ai) -\-{bi) = {ai +6i), {ai){bi) = (c/c),

dove c/c = ^

aibj.

i-\-j=k

Lo zero di A^ e la successione nulla ( 0 , 0 , . . . , 0 , . . . ) , i cui elementi sono tutti uguale a zero, e la sua unita moltiplicativa e la successione ( 1 , 0 , . . . , 0 , . . . ) , in cui Co = 1 e c^ = 0 per i > 1. La successione (c^) si dice quasi ovunque nulla se esiste un intero k > 0 tale che Cj = 0 per ogni i > k. Questo equivale a dire che c^ 7^ 0 al piii per un numero finito di indici i, infatti per 0 < i < A:. Lo zero e 1'unita di A^ sono successioni quasi ovunque nulle. Denotiamo per il momento con (CQ, c i , . . . , c/c_i, 0 —>) la successione quasi ovunque nulla in cui c^ = 0 per i > k e con PA I'insieme delle successioni quasi Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

30

2 Anelli di polinomi

ovunque nulle di elementi di A. Poiche evidentemente differenze e prodotti di successioni quasi ovunque nulle sono ancora successioni quasi ovunque nulle, PA e un sottoanello unitario di A^. Inoltre, posto c := (c, 0 — ^ ) , Papplicazione: A—> PA;

ch->c:=(c,0—>)

e un omomorfismo iniettivo di anelli; dunque Pinsieme delle successioni c := (c, 0 —y)^ al variare di c G A, costituisce un sottoanello di PA isomorfo a A. L'elemento X := (0,1,0 —>) G P A e di particolare importanza. Infatti, per come sono definite le operazioni, risulta: (co, c i , . . . , Cn, 0 —>) = c^ + ciX H

h CnX''.

Quindi, identificando A con la sua immagine in P A , ovvero identificando c con c, per ogni c G A, gli elementi dell'anello PA si possono scrivere come espressioni formali del tipo: f{X) := Co + ciX + • • • + CnX"", n > 0, Ck ^ A per A: = 0 , . . . , n, oppure, ponendo X^ := 1, n 2=0

Privilegiando queste scritture, si usa indicare I'anello PA delle successioni quasi ovunque nulle di elementi di A con il simbolo ^[X]. Per definizione, si ha che (a^) = (bi) se e soltanto se a^ = 6^, per ogni i > 0. In particolare, (co, c i , . . . , Cn, 0 —>) = Co + ciX H

h CnX"" = 0

se e soltanto se co = ci = • • • = c^ = 0. Questa proprieta si esprime dicendo che X e una indeterminata su A. L'espressione f{X):=co + ciX + --- + CnX^ si chiama un polinomio nell'indeterminata X con coefficienti Co,...,Cn e I'anello A[X] si chiama Vanello dei polinomi a coefficienti in A (o su A) neir indeterminata X. II polinomio che ha tutti i coefficienti nulli e lo zero di A[X] e si chiama il polinomio nullo. Gli elementi di A si chiamano i polinomi costanti o semplicemente le costanti di ^[X]. Naturalmente I'indeterminata X puo essere denotata con un qualsiasi simbolo: abitualmente si usano le ultime lettere maiuscole dell'alfabeto. La seguente affermazione deriva subito dalla definizione.

2.1 Polinomi a coefficienti in un anello

31

Proposizione 2.1.1 (Principio di Uguaglianza dei Polinomi) SiaA un anello commutativo unitario e sia X una indeterminata su A. Allora due polinomi non nulli di A[X\ sono uguali se e soltanto se hanno tutti i coefficienti ordinatamente uguali. Notiamo che, per come sono definite le operazioni tra successioni, se f{X) := ao + a i X + .. • + a^X^ e g{X) := bo + biX ^ • • - + hmX"^ con m> n, risulta: f{X) + g{X) = (ao + 6o) + (ai + bi)X + . . . f{X)g{X)

= {aobo) + (ao&i + aibo)X + . . . + I Y,

^ih I X ' + • • • + {anbm)X^^'^.

\i+3=k

)

Nel seguito, porremo (/ + g){X) := f{X) + g{X) ;

{fg){X) :=

f{X)g{X).

2.1.1 Polinomi in piu indeterminate II fatto che, se ^4 e un anello commutativo unitario, anche A[X] e un anello commutativo unitario, ci permette di iterare la costruzione illustrata nel paragrafo precedente e definire, per ricorsione su n > 1, V anello dei polinomi in n indeterminate X i , . . . , Xn su A ponendo Ao:=A;

Ai=Ai_i[Xi]

per 1 < i < n. L'anello A^ cosi ottenuto e commutativo e unitario e viene denotato con ^ [ X i , . . . , X^]. Per le proprieta delle operazioni, i suoi elementi possono essere scritti come espressioni formali /(Xl,...,X„):=5]cfc,...fc„X^...X^, dove Ck^.,,kr, ^ ^ e 0 < A^i H

\-kn <m per un opportuno intero m (con la

convenzione che X^ := 1 per i = 1 , . . . , n). Ad esempio, per n = 2, / ( X i , X2) := /o + /1X2 + • • • + fmXT con fj := fj{Xi)

:= CQJ + CijXi H

h c„^jX"' e ^[-^i] e quindi

f{XuX2)=J2cijXixi. Un polinomio del tipo cX^ ^ ... X^^, c G A, si chiama un monomio. Ogni polinomio e dunque somma di monomi.

32

2 Anelli di polinomi

Poiche Xi e una indeterminata su A^_i, per i — 1 , . . . ,n, per induzione su n si ha che / ( X i , . . . , Xn) = 0 se e soltanto se tutti i suoi coefficienti sono nulli. Se n > 2, quest a proprieta si esprime anche dicendo che gh elementi X i , . . . , Xn sono indeterminate (algebricamente) indipendenti su A. Sempre per le proprieta delle operazioni, mettendo in evidenza le potenze di Xi^ possiamo scrivere / ( X i , . . . , X„) = /o + / i X i + • • • + /„,X™^, dove fk e un polinomio in cui non compare Tindeterminata X^, per k = 0 , . . . , m^. Poiche le indeterminate sono indipendenti, Xi e una indeterminata anche sull'anello Bi := A[Xi,..

.,X^_i,X2+i,... ,X^]

e possiamo considerare il poHnomio f{Xi,..., X^) come un polinomio nell'indeterminata Xi a coefficienti nell'anello B^. Per semplicita di notazione, si usa anche porre X := {Xu .. . , X , } ;

A[X.] := A[Xu .. . , X , ]

Alio stesso modo, se k := (fci,..., fcn), fcz G N, si pone X

: = X^^^ . . .X^"^ ;

Ck :=

Cki...kn'

Con questa notazione si ha il vantaggio di poter scrivere

In questo contesto, la n-pla di numeri naturali A: := (/ci,..., kn) si chiama un multiindice. Per scrivere un polinomio / ( X ) := / ( X i , . . . , X^) nella forma /(X):=^CfcX^ e utile ordinare linearmente i monomi di ^[X]. Per fare questo, bast a ordinare linearmente i multiindici. Ad esempio, si puo usare V ordine lessicografico, indicato con
^

ks < hs per il piu piccolo intero s tale che kg y^ hgDefinendo al solito I'addizione di due multiindici sulle componenti, ( / l l , . . . , /in) + (fci, . . . , fen) : = {hi + fci, . . . , /in +

kn),

risulta X^X^ = X'^^^. In questo modo, due polinomi / ( X ) := ^ah^^, g{X.) := ^6feX^ G ^[X] si possono addizionare e moltiplicare formalmente come polinomi in una indeterminata.

2.1 Polinomi a coefficienti in un anello

33

2.1.2 II grado di un polinomio Se f{X) := ^ c ^ X * e un polinomio non nullo in una indeterminata X su A, esiste un intero n > 0 tale che c^ 7^ 0 e Q = 0 per i > n. Tale intero n si chiama il grado di f{X), Se f{X) ha grado n, si scrive d e g / : = d e g / ( X ) = n. In tal caso risulta f{X) := CQ + ciX H h CnX^ con c^ ^ 0. II coefEciente c^ si chiama il coefficiente direttore di f{X) e c^X^ si chiama il termine direttore

di f{X). Un polinomio ha grado 0 se e soltanto se e una costante non nulla. II grado del polinomio nullo non e definito. Se X := { X i , . . . , X ^ } e un insieme di indeterminate indipendenti su A e / ( X ) G ^[X] e non nullo, il suo grado rispetto aWindeterminata Xi e il grado di / ( X ) come polinomio in Xi a coefficienti nell'anello Bi := ^ [ X i , . . . ^Xi-i^ XiJ^i^... ,Xn]. e un monomio non nullo, il suo grado rispetto all'indeterminata Xi e quindi ki. II grado totale (o semplicemente grado) di un monomio cX^^ .. .X!^'^ si definisce come fci H h &n- H grado totale (o semplicemente grado) di un polinomio non nullo / ( X ) si definisce come il massimo grado dei monomi suoi addendi. Naturalmente un polinomio / ( X ) G A[X] puo avere pill monomi dello stesso grado; / ( X ) si dice omogeneo di grado n se tutti i monomi suoi addendi hanno lo stesso grado n. Una volta ordinati i monomi di A[X], se / ( X ) := ^ c ^ X ^ 7^ 0, il piu grande monomio non nullo c ^ X ^ di / ( X ) si chiama il monomio direttore^ o anche il termine direttore^ di / ( X ) (rispetto all'ordinamento scelto) e il suo coefficiente Cm si dice il coefficiente direttore di / ( X ) . Inoltre, il multiindice m = ( m i , . . . , m n ) si dice il multigrado di / ( X ) (rispetto all'ordinamento scelto); esso verra indicato con m d e g / :— mdeg/(X). In una indeterminata, il grado coincide con il multigrado rispetto all'ordinamento naturale di N. Fissato un ordinamento sui monomi, il Principio di Uguaglianza dei Polinomi si puo estendere per induzione al caso di piu indeterminate nel seguente modo. Proposizione 2.1.2 (Principio di Uguaglianza dei Polinomi) anello commutativo unitario e sia 1^ := { X i , . . . , X ^ } un insieme terminate indipendenti su A. Fissato un ordinamento sui monomi due polinomi non nulli di A[X.] sono uguali se e soltanto se hanno multigrado e tutti i coefficienti ordinatamente uguali. fix)

Sia A un di indedi A[K\, lo stesso

Per come sono definite le operazioni, se f{X) e g{X) G A[X] sono tali che + g{X) ^ 0 e fiX)g{X) ^ 0, si ha: deg(/ + g){X) < max{deg f{X), deg{fg)iX)

degg{X)};

< deg/(X) +degg(X).

34

2 Anelli di polinomi

Analogamente, in piu indeterminate, se / ( X ) e ^(X) G -A[X] sono tali che fix) + g(X) ^ 0 e /(X)5(X) j^ 0, si ha: mdeg{f + g){X) < max{mdeg/(X),mdeg5(X)}; mdeg(/5)(X) < mdeg/(X) + mdeg5(X), dove I'addizione tra n-ple e la usuale addizione componente per componente. Proposizione 2.1.3 (Formula del grado) Sia A un anello commutativo unitario e sia li. := { X i , . . .^Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora Vanello A\X\ e un dominio se e soltanto se A e un dominio. In questo caso, vale Vuguaglianza mdeg(/^)(X) = mdeg/(X) +mdeg5r(X). In particolare, in una

indeterminata,

deg f{X)g{X)

= degfiX)

+ degg{X).

Dimostrazione, Siano / ( X ) , ^'(X) G ^[X] due polinomi non nulli, di multigrado n e m rispettivamente e coefRcienti direttori an ^ bm- Se A e nn dominio, risulta anbm / 0 e dunque /(X)^(X) ^ 0. Ne segue che A[X.] e un dominio e inoltre mdeg/(X)^(X) =n + m. Viceversa, se A non e integro, I'anello A[X], contenendo A, non e integro. Esempi 2.1.4 Se ^4 non e integro, non vale la formula del grado. Ad esempio, in ZQ [X] il prodotto dei polinomi non nulli 2X e 3X e il polinomio nullo e il prodotto dei polinomi di primo grado 2X + 1 e 3X + 1 e il polinomio di primo grado 5X + 1. Se X e un campo e X := { X i , . . .,Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su K, il campo delle frazioni del dominio K[K] e il campo

K{X) := { g | ; f{X),g{X) e K{X], g{X) + o | (Paragrafo 1.5). Questo campo si chiama il campo delle funzioni razionali nelle indeterminate X su K. Proposizione 2.1.5 Se A e un dominio con campo delle frazioni K eX.:= {Xi,..., Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A, il campo delle frazioni di A[X] e il campo K{X.). Dimostrazione. A meno di isomorfismi, Qz(^[X]) C Qz(K[X]) = K{X.). D'altra parte, K := Qz{A) C Qz(A[X]) e quindi K{X) C Qz(A[X]) (Proposizione 1.5.1). Esempi 2.1.6 (1) II campo delle frazioni sia di Z[X] che di Q[X] e il campo Q(X) delle funzioni razionali su Q. (2) Per ogni anello commutativo unitario A, A e ^[X] hanno la stessa caratteristica. Quindi il campo delle funzioni razionali Fp(X) e un campo infinito di caratteristica finita uguale a p.

2.1 Polinomi a coefficienti in un anello

35

2.1.3 Polinomi invertibili e irriducibili Se A e un dominio e g{X) divide in A[X] un polinomio non nullo f{X), per la formula del grado (Proposizione 2.1.3), deve essere deg^(X) < d e g / ( X ) . Questo fatto ci permette di dimostrare subito il seguente risultato. Proposizione 2.1.7 Sia A un dominio e sia X := { X i , . . . , X^} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora gli elementi invertibili di A[X.] sono tutti e soli gli elementi invertibili di A. In particolare, se K e un campo, gli elementi invertibili di K[X.] sono tutte e sole le costanti non nulle. Dimostrazione. II prodotto di due polinomi / ( X ) e ^(X) entrambi non nulli ha multigrado uguale alia somma dei due multigradi mdeg/(X) e mdeg^(X) (Proposizione 2.1.3) e coefficiente direttore uguale al prodotto dei due coefficienti direttori di / ( X ) e di ^'(X). Pertanto, per il Principio di Uguaglianza dei Polinomi (Proposizione 2.1.2), il prodotto /(X)^(X) puo essere uguale a 1 soltanto quando entrambi i fattori sono costanti, ciascuno invertibile in A. Quindi U{A[X.])=U{A). Corollario 2.1.8 Sia A un dominio e sia^ := { X i , . . . , X^} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora due polinomi non nulli / ( X ) e g(X.) sono associati in A[X.] se e soltanto se / ( X ) = ug{X.), dove u e un elemento invertibile di A. In particolare due polinomi associati hanno lo stesso grado rispetto ad ogni indeterminata e lo stesso multigrado. Un polinomio in n indeterminate / ( X ) G ^[X] si dice monico se il suo coefficiente direttore e uguale a 1. Se il coefficiente direttore di / ( X ) e un elemento invertibile u di A, allora u~^f(K) e I'unico polinomio monico associato

a/(X)in4X].

Si vede subito che gli unici divisori costanti di un polinomio monico sono gli elementi invertibili di A. Esempi 2.1.9 (1) Poiche U{Z) = {1, - 1 } , allora Z^(Z[X]) = {1, - 1 } . Inoltre i polinomi / ( X ) e ^(X) sono associati in Z[X] se e soltanto se ^(X) = d=/(X). (2) Se i^ e un campo, U{K[X]) = U{K) = i^* e i polinomi / ( X ) e ^(X) sono associati in K[X.] se e soltanto se ^(X) = cf{X.), dove c G K* e una costante non nulla. In particolare, ogni polinomio di K[X.] e associato a un (unico) polinomio monico di i^[X]. (3) Se A non e un dominio, ci possono essere in A[X] polinomi invertibili che hanno grado positivo. Ad esempio in Z4[X] risulta {2X + 1)(2X + 1) = T. Se A e un dominio e X := { X i , . . . , Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A^ un polinomio p(X) G A[K] si dice un polinomio irriducibile su A se p(X) e un elemento irriducibile del dominio ^[X] (Paragrafo 1.4), cioe se p(X) e non nullo e non invertibile e i suoi unici divisori in A[X.] sono quelli banali. Se invece un polinomio ha divisori non banali si dice che esso e riducibile.

36

2 Anelli di polinomi

CoroUario 2.1.10 Sia A un dominio e sia X := { X i , . . .jXn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Un polinomio non nullo p(X) G ^[X] e irriducibile su A se e soltanto se p(X) e non invertibile e i suoi unici divisori sono gli elementi invertihili di A ed i polinomi del tipo up{X) con u un elemento invertibile di A. Dimostrazione. Basta osservare che, se ^ e un dominio, i divisori banali di un polinomio p(X) sono le unita Z^(A[X]) = U{A) (Proposizione 2.1.7) e i polinomi associati a p(X). CoroUario 2.1.11 Sia A un dominio e sial^ := { X i , . . . , X^} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Un polinomio non nullo / ( X ) e riducibile su A se e soltanto se / ( X ) = g{X.)h{X.), con g(X.), h{X.) ^ U{A). Dimostrazione. Se ^(X), h{X.) ^ W(A) = ZY(A[X]), allora ne ^'(X) ne /^(X) sono associati a / ( X ) . Quindi ^(X) e h{X.) sono divisori propri di / ( X ) . II viceversa e chiaro. Esempi 2.1.12 (1) Se A e un dominio, per ogni a G ^ , il polinomio X — a e irriducibile su A. Infatti, per la formula del grado, I'unico modo per fattorizzare X — asuAeX — a — c{aX + b) con ac = 1. Quindi c G U{A) —

U{A[X]). Tuttavia un polinomio di primo grado che non e monico puo essere riducibile. Ad esempio, il polinomio 2X G Z[X] e riducibile su Z, perche ne 2 ne X sono polinomi invertibili di Z[X]. (2) Se X := { X i , . . . , Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A, per i = 1 , . . . ,n, possiamo scrivere ogni polinomio di A[X] come un polinomio in Xi a coefficienti nel dominio Bi := A [ X i , . . . , X^-i, X^+i,..., Xn] (Paragrafo 2.1.1). Poiche quando ^ e un domimo U{A) = U{Bi)^ vediamo che / ( X ) e irriducibile su A se e soltanto se / ( X ) e irriducibile su 5^, per ogni i.

2.2 Polinomi a coefficienti in un campo La nozione di grado ci permette di dimostrare che le proprieta di divisibilita degli anelli di polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo K sono simili a quelle dell'anello degli interi Z. 2.2.1 Divisione euclidea e massimo comune divisore II primo risultato mostra che, se K e un campo e X e una indeterminata su i^, tra due polinomi non nulli di K[X] si puo sempre effettuare la divisione col resto, detta divisione euclidea.

2.2 Polinomi a coefficienti in un campo

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Teorema 2.2.1 (Algoritmo della divisione euclidea) Sia A un dominio e sia X una indeterminata su A. Se f{X), g{X) G A[X] sono due polinomi non nulli e il coefficiente direttore di g{X) e invertibile, esistono e sono univocamente determinati, due polinomi q{X), r{X) G A[X] tali che f{X) =g{X)q{X)+r{X)

e r{X) = 0 oppure degr(X) < deg^(X).

In questo caso q{X) si chiama il quoziente della divisione e r{X) si chiama il resto della divisione. Dimostrazione. Se d e g / ( X ) < deg^(X), basta prendere q{X) := 0 e r{X) := f{X). Supponiamo pertanto che n := d e g / ( X ) > deg^(X) =: m e siano an Q hjn \ coefficienti direttori di f{X) e g{X) rispettivamente. Essendo hm invertibile e n > m^ possiamo considerare il polinomio qi{X) := anb^X'^~'^. Allora il polinomio g{X)qi{X) ha termine direttore {hmX'^){anb^X'^~'^) = anX'^. Avendo f{X) e g{X)qi{X) lo stesso termine direttore, il pohnomio fi{X) := f{X) — g{X)qi{X), se non e nullo, ha grado minore di n e risulta f{X) = giX)q,iX) + f,{X). Ripetendo il procedimento con fi{X) al posto di f{X), otterremo un polinomio f2{X) := fi{X) — g{X)q2{X) che e nullo oppure ha grado minore di quello di / i ( X ) . Inoltre risultera f{X) = g{X){qi{X) + q2{X)) + /2(X). Dopo un numero finito k di passi otterremo un polinomio q{X) := qi{X) + q2{X)-\ h qk{X) di A[X] tale che il polinomio f{X) - g\x)q{X) o e nullo oppure ha grado minore di m = deg^(X). A questo punto, basta porre r{X) := f{X) — g{X)q{X). Questo prova I'esistenza. Per dimostrare Tunicita, supponiamo che f{X)^g{X)q^{X)+niX)=g{X)q2{X)+r2{X), dove ri{X) — 0 oppure degri(X) < deg^(X) ed inoltre r2(X) = 0 oppure degr2(X) < deg^(X). Sottraendo si ottiene g{X){q2{X) - qiiX)) = n{X) - r2{X). Essendo g{X) non nullo, risulta ri{X) — r2{X) = 0 se e soltanto se q2{X) — qi{X) = 0. Ma, se fosse ri{X) — r2{X) ^ 0, almeno un polinomio tra ri{X) e r2{X) sarebbe necessariamente non nullo ed inoltre, per la formula del grado, si avrebbe: deg(ri(X) - r2(X)) = deggiX) + deg(g2(X) - gi(X)) > degg{X); in contraddizione con I'ipotesi su ri{X) e r2{X) (ognuno di essi o e nullo oppure e di grado inferiore a quello di g{X)). CoroUario 2.2.2 Se K e un campo e f{X), g{X) E K[X] sono due polinomi non nulli, esistono e sono univocamente determinati due polinomi q{X), r{X) G K[X] tali che f{X) =g{X)q{X)^r{X)

e r{X) = 0 oppure degr(X) < deg^(X).

38

2 Anelli di polinomi

Esempi 2.2.3 (1) Siano f{X) := 3X^ - 2X2 + 2X + 2;

^ ^ j ^ ^ .= x ^ - X + 1 e Z[X].

Allora q, (X) = 3 X ;

/ i (X) : - / ( X ) - ^(X)^! (X) = X^ - X + 2

q2{X) ^ 1;

/2(X) := / i ( X ) - g{X)q2{X) = 1.

Ne segue che q{X) := gi(X) + q2{X) = 3X + 1;

r(X) := / ( X ) - g{X)q{X) = 1.

In conclusione f{X) = (3X + l)g{X) + 1. (2) Se A e un dominio con campo dei quozienti K e / ( X ) , p(X) G A[X], la divisione euclidea tra f{X) e ^'(X) si puo sempre effettuare in i^fX]. Cioe si puo sempre scrivere f{X) — g{X)q{X) + r{X) con q{X), r{X) e K[X] e r{X) = 0 oppure degr(X) < deg^(X). (3) Un tipo di divisione col resto si puo effettuare anche tra polinomi in piu indeterminate X := { X i , . . . , X^} a coefficienti in un campo K, procedendo formalmente come nel caso di una indeterminata. Fissato un ordinamento tra i monomi di i^[X], ad esempio I'ordinamento lessicografico, si considerino i polinomi non nulli / ( X ) := ^ a / ^ X ^ , ^(X) := J2bkX^ G K[X\ e sia 6 ^ X ^ il termine direttore di g{X) (Paragrafo 2.1.1). Se ttgX^ e il primo termine di / ( X ) divisibile per X ^ , definiamo /i(X):=/(X)-a,6-iX^-™3(X). Poiche il grado del primo termine di /i(X) divisibile per X"^ e minore di 5, ripetendo il procedimento, dopo un numero finito di passi otteniamo il polinomio nullo oppure un polinomio i cui termini non sono divisibili per X ^ . La possibilita di effettuare la divisione col resto ci permette di dimostrare che K[X] e un dominio a ideali principali. Teorema 2.2A Se K e un campo, K[X] e un dominio a ideali principali. Precisamente, se I C K[X] e un ideale non nullo, risulta I = {p{X)), dove p{X) e un qualsiasi polinomio di grado minimo in I. Inoltre I ha un unico generatore monico. Dimostrazione. Se / 7^ (0), / contiene qualche polinomio non nullo. Quindi Finsieme

S^{den;d^degfiX),

/(X)G/\{0}}

e un sottoinsieme non vuoto di N ed in quanto tale, per il Principio del Buon Ordinamento, ha un minimo. Sia p{X) G / un polinomio di grado minimo n. Per ogni f{X) G / , possiamo scrivere

2.2 Polinomi a coefRcienti in un campo f{X) =p{X)q{X)^r{X)

39

e r{X) = 0 oppure degr(X) < degp(X) = n

(Corollario 2.2.2). Ma poiche r{X) = f{X) -p{X)q{X) G /, per la minimalita di n G 5 deve essere r{X) = 0. Quindi / = (p(X)). Infine, poiche tutti i generatori di un ideale principale sono tra loro associati e ogni polinomio di K[X] e associate ad un unico polinomio monico di K[X] (Esempio 2.1.9 (2)), esiste un unico polinomio monico che genera I'ideale / . Essendo K[X] un dominio a ideali principali, dal Teorema 1.4.12 otteniamo subito il seguente risultato. Corollario 2.2.5 Se K e un campo, due polinomi non nulli f{X), g{X) G K[X] hanno sempre un massimo comune divisore. Precisamente, d{X) e un massimo comune divisore di f{X) e g{X) se e soltanto se {f{X),g{X)) = {d{X)), ovvero d{X) e un polinomio di grado minimo della forma d{X) = a{X)f{X)

+ b{X)g{X),

a(X), b{X) G K[X]

(Identita di Bezout).

Poiche tutti i massimi comuni divisori di due elementi sono tra loro associati, due polinomi non nulli f{X), g{X) G K[X] hanno un unico massimo comune divisore monico; esso verra indicato con MCD(/, ^). Un massimo comune divisore di f{X) e g{X) ed una identita di Bezout per esso possono essere determinati con I'algoritmo euclideo delle divisioni successive. Proposizione 2.2.6 (Algoritmo delle divisioni successive) Siano f{X), g{X) due polinomi non nulli a coefficienti in un campo K. Poniamo ro{X) := g{X) e supponiamo che f{X) =

g{X)q,{X)+n{X), ri{X) = 0 oppure degri(X) < deg^(X);

g{X) =

r,{X)q2{X)+r2{X), r2{X) = 0 oppure degr2{X) < degri(X);

rn-2{X) =

rn-i{X)qn{X)+rn{X), rn{X) = 0 oppure deg rn{X) < degrn-i(X);

rn-iiX)=rn{X)qn^i{X). AlloraMCD{f{X),g{X)) e il polinomio monico associato Inoltre, dalla successione di uguaglianze:

arn{X).

rn{X)=rn-2{X)-qn{X)rn-i{X); rn-i{X)

= rn-siX)

-

qn-irn-2{X);

per sostituzioni successive, si ottiene esplicitamente una identita di Bezout.

40

2 Anelli di polinomi

Dimostrazione. Notiamo intanto che, se f{X) — g{X)q{X) + ^ ( ^ ) , allora {f{X),g{X)) = {g{X),r{X)). Poiche deg^(X) > degri(X) > degr2(X) > , . . e una successione strettamente decrescente di numeri interi non negativi, allora esiste un numero naturale n tale che rn{X) ^ 0 e rn-\-i{X) = 0. Risalendo nella catena di uguaglianze, si ottiene che (r„(X)> = (r„(X),r„_i(X)) = (r„_i(X),r„_2(X)) = ••• =

{fiX),g{X)}

e r„(X) e un massimo comune divisore di f{X) e g{X) (Corollario 2.2.5). Esempi 2.2.7 Siano/(X) := X'^-X^-iX'^+iX+l

eg{X) :^X'^-X-1

G


f{X)=g{X){X'-3)

+

g{X) = {X-2)iX

+ l) + l

{X-2);

risulta MCD(/(X),^(X)) = 1. Inoltre una identita di Bezout si ottiene nel seguente modo: (X-2) = /(X)-(X^-%(X); l = = g{X)-{X

g{X)-{X^l){X-2) +

l){f{X)-{X'-3)g{X))

= -{X + 1)/(X) + {X^ + X^ - 3X -

2)g{X).

II corollario seguente ci assicura che il massimo comune divisore monico di due polinomi a coefficienti numerici e univocamente determinato in C[X]. Corollario 2.2.8 Siano F C K due campi e siano f{X) e g{X) due polinomi non nulli a coefficienti in F. Allora: (a) La divisione euclidea di f{X) per g{X) effettuata in F[X] oppure in K[X] da lo stesso risultato; (b) g{X) divide f{X) in F[X] se e soltanto se lo divide in K[X]; (c) f{X) e g{X) hanno lo stesso massimo comune divisore monico in F[X]

eK[X]. Dimostrazione. (a) segue dal fatto che i coefficienti del quoziente e del resto della divisione euclidea di f{X) per g{X) sono univocamente determinati come funzioni razionali dei coefficienti di f{X) e g{X). (b) e (c) seguono direttamente da (a), perche il massimo comune divisore di due polinomi si puo determinare con I'algoritmo euclideo delle divisioni successive (Proposizione 2.2.6). Infine, mostriamo che anche gli anelli quoziente di K[X] hanno proprieta simili a quelle degli anelli quoziente di Z (Esempio 1.3.6).

2.2 Polinomi a coefficienti in un campo

41

Proposizione 2.2.9 Sia K un campo e sia I := {m{X)) C K[X] un ideale non nullo. Allora: (a) K[X]II = {r{X) + / ; d e g r ( X ) < degm(X)} U {/}; (b) Per ogni polinomio f{X) G K[X] \ I, la classe f{X) -\- I e invertibile nelVanello quoziente K[X]/I se e soltanto se MCD(/(X),m(X)) = 1, altrimenti f{X) +1 e uno zero-divisore; (c) L^anello quoziente K[X]/I e un campo se e soltanto se m{X) e irriducibile su K. Altrimenti, se m{X) e riducihile, K[X]/I ha zerodivisori. Dimostrazione. (a) Per ralgoritmo della divisione, si ha f{X) = m{X)q{X) + r(X), con r{X) = 0 oppure degr(X) < degm(X). Allora f{X) - r{X) el e quindi/(X) + / = r ( X ) + / . (b) Se MCD(/(X), m{X)) = 1 e 1 = a{X) f (X)^b{X)m{X) e una identita diBezout, a l l o r a a ( X ) / ( X ) + / = ( a ( X ) + / ) ( / ( X ) + / ) = 1+/. Q u i n d i / ( X ) + / e invertibile in K[X]/I^ con inverso a{X) + / . Supponiamo die invece MCD(/(X),m(X)) = d{X) ^ 1. Allora f{X) G / se e soltanto se d{X) e m{X) sono associate Altrimenti risulta f{X) = d{X)g{X), m{X) = d{X)h{X) con g{X), h{X) ^ 1. In quest'ultimo caso, le classi di f{X) e h{X) sono non nulle modulo / mentre f{X)h{X) = 7n{X)g(X) G / . Ne segue che f{X) + / e uno zero-divisore. (c) Se m{X) e irriducibile, per ogni f{X) G i^[X], si ha che m{X) divide f{X) oppure MCD(/(X),m(X)) = 1 (Lemma 1.4.4). Quindi per il punto (b), ogni classe non nulla di K[X]/I e invertibile. Altrimenti, se m{X) = g{X)h{X) con 1 < degg{X),degh{X) < degm(X), le classi di g{X) e h{X) sono non nulle modulo / ma il loro prodotto lo e. Quindi K[X]/I ha zerodivisori. Esempi 2.2.10 Se / ( X ) , m{X) G K[X] sono tah che MCD(/(X),m(X)) = 1, posto / := (m(X)), I'inverso della classe 7 := / ( X ) + / in K[X]/I puo essere determinato con I'algoritmo della divisione euclidea (Teorema 2.2.6). Infatti con tale algoritmo si possono trovare due polinomi ^(X) e h{X) tali che g{X)f{X) + h{X)m{X) = 1 (Identita di Bezout), da cui g{X)f{X) = 1 m o d / e 7~^ = g{X) + / . 2.2.2 Fattorizzazione unica Poiche Tanello dei polinomi K[X] in una indeterminata X su un campo K e un dominio a ideali principali (Teorema 2.2.4), esso e anche un dominio a fattorizzazione unica (Teorema 1.4.15). In questo paragrafo daremo una dimostrazione diretta di questa import ante proprieta, che meglio illustra I'analogia di comportamento tra K[X] e Z. Ricordiamo che, se K e un campo, gli element! invertibili di K[X] sono tutte e sole le costanti non nulle (Proposizione 2.1.7). Dunque un polinomio non costante / ( X ) G K[X] e irriducibile se e soltanto se gli unici suoi divisori sono le costanti non nulle ed i polinomi del tipo c/(X), con c G K*

42

2 Anelli di polinomi

(Corollario 2.1.10). Ricordiamo anche che, essendo K[X] un dominio con il massimo comune divisore (Corollario 2.2.5), un polinomio irriducibile su K e un elemento primo di K[X] (Proposizione 1.4.6). Quindi, un polinomio di grado positivo p{X) e un polinomio irriducibile se e soltanto se, quando p{X) divide un prodotto in i^[-^], esso divide almeno uno dei fattori. Proposizione 2.2.11 Sia K un campo. Un polinomio non nullo f{X) G K[X] e riducibile su K se e soltanto se f{X) ha un divisore g{X) G K[X] tale che 1 < deg^(X) < d e g / ( X ) . In particolare, se d e g / ( X ) = 1^ allora f{X) e irriducibile. Dimostrazione. Per la formula del grado, se g{X) divide / ( X ) , deve essere degg{X) < d e g / ( X ) . Basta allora osservare che i polinomi di grado zero sono tutte le costanti non nulle, cioe gli elementi invertibili di i^[X], e che due polinomi associati hanno lo stesso grado. Teorema 2.2.12 (Teorema di Fattorizzazione Unica) Se K e un campo, ogni polinomio di grado positivo f{X) G K[X] ha una fattorizzazione del tipo f{X)=cp,{X)p2{X)...psiX), dove c G K* e pi{X)^p2{X),... ^ps{X) G K[X] sono polinomi monici irriducihili. Inoltre la costante c ed i polinomi pi{X), p2{X)^..., Ps{X) sono univocamente determinati (a meno deWordine). Dimostrazione. Per dimostrare I'esistenza di una fattorizzazione, si procede per induzione sul grado di f{X). Se d e g / ( X ) = 1, allora f{X) = c{X — a) e irriducibile (Proposizione 2.2.11). Supponiamo dunque che deg f{X) > 2 e che il teorema sia vero per tutti i polinomi di grado inferiore. Se f{X) non e irriducibile, possiamo scrivere f{X) = g{X)h{X)^ con 1 < degg{X)^degh{X) < deg f{X) (Proposizione 2.2.11). Per I'ipotesi induttiva, g{X) e h{X) si possono fattorizzare nel modo richiesto, quindi anche f{X) si puo fattorizzare. Per I'unicita, supponiamo che f{X) abbia due fattorizzazioni del tipo richiesto, f{X) = ap,{X)p2iX)..

.ps{X) = hqr{X)q2{X).

..qt{X).

Poiche i polinomi Pi{X) e qj{X) sono monici, a = 6 e il coefRciente direttore di f{X). Inoltre, Pi{X) e un elemento primo di K[X] per ogni i = 1,.. . , s (Proposizione 1.4.6). Quindi ad esempio pi(X), dividendo / ( X ) , divide uno dei polinomi qj{X). A meno di riordinare i fattori, possiamo supporre che Pi{X) divida qi{X). Allora, essendo Pi{X) e qi{X) entrambi irriducibili e monici, deve essere Pi{X) = qi{X). Quindi Pi{X) si puo cancellare e P2{X)...ps{X)=q2{X)...qt{X). Cosi proseguendo, si ottiene che s = t e Pi{X) = qi{X) per i = 1 , . . . , 5.

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi

43

La proprieta di fattorizzazione unica implica che il massimo comune divisore monico di due polinomi non costanti di K[X] e il prodotto di tutti i polinomi monici irriducibili, non necessariamente distinti, che dividono entrambi i polinomi (Proposizione 1.4.7).

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi Ricordiamo che, se A e un anello commutativo unitario, I'insieme !F{A^^ A) di tutte le funzioni di dominio A^ e codominio A e un anello commutativo unitario rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione puntuali definite rispettivamente da {if + V^)(a) = cp{cx) + V^(a);

(^^)(«) = (/p(a)V^(a),

per ogni a G A^ (Esempio 1.1.4 (6)). In questo paragrafo vedremo come e possibile associare ad ogni polinomio in n indeterminate su A un elemento di J^{A^^A) e quindi considerare i polinomi come funzioni. Per fare questo abbiamo bisogno di definire il valore di un polinomio. 2.3.1 II valore di u n polinomio Siano A C B anelli commutativi unitari e sia X := { X i , . . . , Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Se / ( X ) := J2 ^ki...krt^i^ • • -^n"^ ^ ^ W ? data una n-pla ex := ( a i , . . . , an) di elementi di B, possiamo considerare I'elemento di B che si ottiene sostituendo ordinatamente gli elementi a i , . . . , ce^ alle indeterminate X i , . . . , X^j ovvero 1'elemento definito da / ( a ) := f{au . . . , a^) := ^

c/,,.../c^Q^i' • • • c^n".

Questo elemento si chiama il valore del polinomio / ( X ) calcolato negli elementi a i , . . .,anE facile verificare che I'applicazione

v^:A[X]-^B;

/(X) ^ / ( a ) ,

che ad ogni polinomio di A[K] associa il suo valore in a e un omomorfismo di anelli; infatti, per le proprieta delle operazioni tra polinomi, risulta (/ + g)icx) = / ( a ) + g{(x);

{fg){(x) = f{cx)g{oc).

Denoteremo con A[a] := A[au . . . , « „ ] : = { / ( a i , . . . , a„) ; / ( X ) e A[X]} il sottoanello di B immagine dell'omomorfismo VQC- Per il Teorema Fondamentale di Omomorfismo, A[cx\ e isomorfo all'anello quoziente A[X.]/KevVo,, dove KeiVoc e I'ideale dei polinomi di ^[X] che si annullano in a .

44

2 Anelli di polinomi

Proposizione 2.3.1 Siano A C B anelli commutativi unitari e siano ai, ..., an ^ B. Allora A [ a i , . . . , a^] e il minimo sottoanello di B contenente sia A che Vinsieme { a i , . . . , a ^ } . Dimostrazione. Se / ( X ) := c G A e un polinomio costante, esso assume valore c in a := ( a i , . . . , a n ) , percio A C A[cx\. Inoltre, poiche a^ e il valore che assume il polinomio Xi calcolato in a , i = 1 , . . . , n, allora { a i , . . . , a^} ^ A[a]. D'altra parte, per chiusura additiva e moltiplicativa, ogni sottoanello di B contenente sia A che {a:i,..., an} contiene A[cx\. Se (f : A —y B e nn omomorfismo unitario di anelli commutativi unitari, la moltiplicazione scalare Ax B —> B ;

(x, b) ^ xb := (p{x)b

definisce su B una struttura di A-modulo. L'anello B dotato di questa moltiplicazione scalare si chiama una A-algebra e (p si chiama Vomomorfismo di struttura. Se ^ e un sottoanello unitario di B, la moltiplicazione scalare definita dalPinclusione coincide con la moltiplicazione in B; quindi B e automaticamente una A-algebra. Se poi (p : A —> B e iniettivo (ad esempio A e un campo), identificando A con la sua immagine (p{A) C 5 , si puo supporre che I'omomorfismo di struttura sia I'inclusione. Definizione 2.3.2 Una A-algebra B con omomorfismo di struttura (p : A —> B si dice finitamente generata su A se esistono a i , . . . , a^ G 5 tali che B = (p{A)[ai,..., an]- In tal caso, si dice anche che c^i,..., a^ generano B su A. Proposizione 2.3.3 Un anello commutativo unitario B e una A-algebra finitamente generata se e soltanto se esiste un omomorfismo suriettivo di anelli A[Xi^..., Xn] —y B, per un opportuno n > 1. Dimostrazione. Se B = (p{A)[ai,..., an] e una A-algebra finitamente generata con omomorfismo di struttura (p : A —> B^ I'applicazione ^:A[Xr,...,Xn]^B;

J]a^X* ^

^^(a,)a^

e un omomorfismo suriettivo di anelli. Viceversa, se ip : A[Xi,.. .^Xn] —> ^ e un omomorfismo suriettivo di anelli e ai := '^(X^), i = l , . . . , n , allora B = '0(A)[ai,..., a j ^ una Aalgebra finitamente generata, il cui omomorfismo di struttura e la restrizione di "tp ad A. Esempi 2.3.4 (1) Se A e un dominio con campo delle frazioni K, i polinomi di K[X] che calcolati in element! di A assumono valori in A si chiamano i polinomi a valori interi su A. L'insieme Int(^) := {/(X) e KIX]; f{A) C A}

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi

45

dei polinomi a valori interi su A e un anello tale che A[X] C Int(A) C K[X]. Un polinomio con coefficienti non interi che assume valori interi su Z e, per n > 1,

Lo studio sistematico di questo tipo di anelli risale al 1919 con due lavori di G. Polya e A. Ostrowsky, entrambi dal titolo tlber ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkorpern, ed ha avuto in tempi recenti sviluppi molto interessanti, per i quali si rimanda alia monografia [4]. (2) Se A e un anello commutativo unitario, Tapplicazione (p : Z —> A;

z \-^

ZIA

e un omomorfismo di anelli (Proposizione 1.6.2). Quindi A e una Z-algebra rispetto alia moltiplicazione scalare definita ddi za := {Z1A)CL(3) Se A e anello commutativo unitario e / C A e un ideale, la proiezione canonica TT : A—>A/I; x ^ x-\-1 definisce sull'anello quoziente A/I una struttura di A-algebra rispetto alia moltiplicazione scalare A X A/1 —> A/1;

(x, a + / ) h^ (x + I){a + /) = xa + / .

(4) Se A e anello commutativo unitario e / C 74[Xi,..., Xn] e un ideale, 1'anello quoziente A [ X i , . . . , Xn\/I e una A algebra, finitamente generata su A dalle classi delle indeterminate ai := X^ + / . Infatti, se

e la proiezione canonica, allora A[Xi,...,

Xn]/I = 7T{A)[ai,..., a^].

D'altra parte, per la Proposizione 2.3.3, ogni A algebra finitamente generata e un quoziente dell'anello di polinomi A [ X i , . . . , X^], per qualche n > 1. (5) Una A-algebra che e finitamente generata come A-modulo e finitamente generata anche come yl-algebra. II viceversa non e vero; ad esempio I'anello di polinomi K[Xi^..., Xn] e una iC-algebra finitamente generata da X i , . . . , Xn, ma e uno spazio vettoriale su K di dimensione infinita, una cui base e costituita da tutti i monomi monici. 2.3.2 Funzioni polinomiali La nozione di valore di un polinomio rende possibile associare ad ad ogni polinomio / ( X ) in n indeterminate su A una funzione di T{A'^, A)^ precisamente la funzione (pf : A^ —> A, OL\-^ f{oL)

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2 Anelli di polinomi

che ad ogni elemento a G A^ associa il valore di / ( X ) in ex. Per questo motivo, le indeterminate X i , . . . ,X^ vengono talvolta chiamate variabili su A. Notiamo che la funzione (pf e univocamente determinata da / ( X ) . Le funzioni cosi definite si chiamano le funzioni polinomiali su A^. Le funzioni costanti sono funzioni polinomiali; infatti ogni elemento c di ^ definisce in modo univoco la funzione (pc G T{A'^^A) che assume valore costante c su tutto A^. In questo modo i polinomi costanti si identificano con le funzioni costanti e questo giustifica la terminologia. Proposizione 2.3.5 Sia A un dominio e sia^ = {-^i, • • •, ^n} un insieme di indeterminate indipendenti su A. L^applicazione A[X] —> T{A^^ A) che ad ogni polinomio / ( X ) G ^[X] associa la funzione polinomiale (pf : A^ —> A e un omomorfismo di anelli. Dimostrazione. E immediato constatare che, per come sono definite le operazioni, alia somma di polinomi (/ + ^)(X) := / ( X ) + p(X) resta associata la somma cpf + (pg delle funzioni polinomiali corrispondenti rispettivamente a / ( X ) e ^(X) e, analogamente, al prodotto di polinomi {fg)(X.) := /(X)^(X) corrisponde il prodotto di funzioni polinomiali Pf^PgEsempi 2.3.6 In generale, polinomi differenti possono definire la stessa funzione polinomiale. Ad esempio, se A = { a i , . . . , a^} ha un numero finito di elementi, il polinomio non nullo f{X) := {X — ai).. .{X — an) si annulla su tutto A e quindi la corrispondente funzione polinomiale pf : A —> A e la funzione nulla. Tuttavia vedremo tra poco che, se A e un dominio con infiniti elementi, due funzioni polinomiali su A sono uguali, cioe assumono lo stesso valore su ogni elemento di ^ , se e soltanto se i polinomi che le definiscono sono uguali, cioe hanno coefficienti uguali (CoroUario 2.3.17). 2.3.3 Radici di polinomi Dati due anelli commutativi unitari A C B, se f{X) G A[X] e a e B, indichiamo al solito con / ( a ) il valore di f{X) calcolato in a. Definizione 2.3.7 Se X e una indeterminata su A e f{X) G ^[X]; un elemento a G A si dice una radice (o uno zero^ di f{X) se f{a) = 0. Ogni elemento di A e trivialmente radice del polinomio nullo, mentre i polinomi costanti non nulli non hanno radici. Inoltre, poiche in un anello unitario gli elementi invertibili sono cancellabili, e evidente che polinomi associati hanno le stesse radici. Notiamo da subito che, se A C B^ un polinomio f{X) G A[X] puo avere radici in B anche se non ne ha in A. Ad esempio, se A e un dominio con campo delle frazioni K, ogni polinomio di primo grado aX -\-b G A[X] ha la radice a = —b/a in K; ma a e Ase e soltanto se a divide b in A. Mostreremo nel successivo Capitolo 4 che, se A e un dominio, dato un qualsiasi polinomio

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi

47

di grado positivo f{X) G A[X]^ esiste sempre un campo contenente A in cui f{X) ha tutte le sue radici. Se A e un dominio e f{X) = g(X)h{X)^ una radice a di f{X) e radice di g{X) oppure di h{X). Infatti, essendo il valore in a un omomorfismo di anelli, si ha f{a) = g{a)h{a) = 0; da cui, poiche A e integro, segue che g{a) — 0 oppure h{a) = 0. Teorema 2.3.8 (Teorema del Resto, P. Ruffini, 1809) Sia A un dominio e sia f{X) G A[X] un polinomio non nullo, Se a ^ A, il resto della divisione di f{X) per {X — a) e f{a). In particolare a e una radice di f{X) se e soltanto se {X — a) divide f{X) in A[X]. Dimostrazione. Per Talgoritmo della divisione tra polinomi (Teorema 2.2.1), f{X) = (X - a)q{X) + r{X) con r{X) = 0 oppure degr(X) < 1. Quindi r{X) := c e un polinomio costante. Calcolando in a si ottiene / ( a ) = c. Esempi 2.3.9 (1) Se A e un dominio, f{X) := a^X^ + \-QQ G A[X] e f{X) = {X- a)q{X) + / ( a ) , con q{X) : - 6n-iX^"^ + • • • + 6o, i coefficienti bi di q{X) e / ( a ) si possono calcolare per ricorsione, attraverso la cosiddetta Regola di Ruffini: &n-i = cin;

bk = a/c+1 + abk+i, 0 < fc < n - 2;

/ ( a ) = ao + ab^.

(2) Sia A un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K (ad esempio, A := Z, K := Q) e sia f{X) := a^X^ + • • • + ao G A[X]. Se a := x/y e K e una radice di / ( X ) , con {x^y) = 1, allora x divide ao e y divide a^. In particolare, se f{X) e monico e a e K e una sua radice, allora a ^ A e a divide aoInfatti, calcolando in a, si ottiene y^'fic^) = y^'ianot'' + an-ia""-^ + • • • -h a i a + ao) = anx"" + yian-ix""'^

+ • • • + y''~'^aix + 2/''~^ao)

= xianx""-^ + • •. + a i ^ " - i ) + y-ao = 0 e quindi, poiche (x^y) = (x'^^y) = {x^y'^) = 1, dal Lemma di Euclide (Proposizione 1.4.5) segue che x divide a^ e y divide a^. Poiche un numero intero ha un numero finito di divisori, per quanto abbiamo appena visto e possibile verificare se un polinomio a coefficienti interi ha radici intere o razionali con un numero finito di tentativi. In generale, poiche i divisori di un elemento a e A sono determinati a meno di elementi invertibili, lo stesso metodo puo essere usato se A e un dominio a fattorizzazione unica e U{A) e un insieme finito (Esempio 1.4.9 (2)). (3) Se A e un dominio e a G A, il valore in a

Va:A[X]^A-

f{X)^f{a)

48

2 Anelli di polinomi

e un omomorfismo suriettivo (perche Va{c) = c, per ogni c G A) il cui nucleo e I'ideale di A[X] formato da tutti i polinomi che si annullano in a. Allora, per il Teorema del Resto, Ker v^ = {X — a) e, per il Teorema Fondamentale di Omomorfismo, I'applicazione

^'^^

{X-a)

'A-

fiX) +

{X-a)^f{a)

e un isomorfismo. Poiche ^ e un dominio, ne segue che {X — a) e un ideale primo e X — a e un elemento primo di A[X] (Corollario 1.3.5). Se poi A := i^ e un campo, ugualmente otteniamo che I'ideale {X — a) e massimale (Proposizione 2.2.9 (c)). Se X := {Xi,..., Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A^ scrivendo ogni polinomio di A[X.] come un polinomio nell'indeterminata Xi a coefficienti in Bi := [ X i , . . . , X^_i, X^+i,..., X^], otteniamo che, per ogni i = 1,.. . , n e Q;^ G 5 i , il polinomio Xi ± ai e un elemento primo di ^[X]. In particolare tutte le indeterminate Xi e tutti i polinomi del tipo Xi ± Xj, i y^ j^ sono elementi primi di ^[X]. Per il Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8), un polinomio a coefficienti in un domino A che ha grado maggiore di uno ed ha una radice in A e riducibile su A. Nel caso in cui A sia un campo, ci sono relazioni piii strette tra la riducibilita e I'esistenza di radici. Proposizione 2.3.10 Sia K un campo e sia f{X) G K[X] un polinomio non nullo. Allora f{X) ha una radice in K se e soltanto se f{X) ha un fattore di primo grado in K[X]. Dimostrazione. Se f{X) = {aX + b)g{X), a ^ 0, allora a := —b/a e K e una radice di f{X). II viceversa segue dal Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8). Corollario 2.3.11 Sia K un campo e sia f{X) G i^[X]. (a) Se d e g / ( X ) = 1, allora f{X) e irriducibile; (b) Se deg f{X) = 2 oppure deg f{X) = 3^ allora f{X) e soltanto se f{X) ha una radice in K.

e riducibile su K se

Dimostrazione. Un polinomio f{X) G K[X] e riducibile su iC se e soltanto se ha un divisore g{X) G K[X] tale che 1 < degg{X) < d e g / ( X ) (Proposizione 2.2.11). Quindi un pohnomio di primo grado e irriducibile e un polinomio di grado uguale a 2 oppure 3 e riducibile se e soltanto se ha un fattore di primo grado. Allora (b) segue dalla Proposizione 2.3.10. Esempi 2.3.12 ( l ) S e A non e un campo, un polinomio di primo grado su A puo essere riducibile; ad esempio il polinomio 2X G Z[X] e riducibile su Z (Esempio 2.1.12 (1)). Inoltre un pohnomio di primo grado su A puo non avere radici in A; quindi un polinomio di secondo grado su A puo essere riducibile

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi

49

senza avere radici. Ad esempio, il polinomio (2X + 1)(3X + 1) G Z[X] e ovviamente riducibile su Z ma non ha radici in Z. (2) Se K e un campo, un polinomio f{X) G K[X] di grado almeno uguale a quattro puo essere riducibile senza avere radici in K. Ad esempio il polinomio (X^ + 1){X'^ — 2) e certamente riducibile su Q senza avere radici razionali. Vediamo ora che il numero delle radici di un polinomio f{X) a coefficienti in un dominio e limitato dal grado. CoroUario 2.3.13 Sia A un dominio e sia f{X) G A[X] un polinomio non nullo di grado n > 1. Allora f{X) ha al piu n radici in A. Dimostrazione. Procediamo per induzione sul grado n di f{X). Se f{X) := aX -\-b e di primo grado, esso ha al piii una radice in A; infatti se ace + 6 = 0 = a/3 + 6, allora a — 13. Supponiamo quindi che f{X) abbia grado n > 1 e sia a G A una radice di f{X)\ allora f{X) = (X - a)g{X) con g{X) G A[X] e deg^(X) = n — 1. Per I'ipotesi induttiva, g{X) ha al piii n — 1 radici in A. Ma, poiche A[X] e un dominio, una radice di f{X) e una radice di g{X) oppure e Tunica radice a d\ X — a. Quindi f{X) ha al piii n radici in A. Esempi 2.3.14 (1) Se A non e integro, il numero delle radici di un polinomio f{X) G A[X] puo essere maggiore del grado di f{X). Ad esempio il polinomio X ( X + T) G ZQ[X] ha grado 2 ed ha 3 radici 0, 2, 5 G Ze(2) Un polinomio non nullo in n > 2 indeterminate su A puo annullarsi in infiniti elementi di A"^. Ad esempio il polinomio / ( X , Y) \= X -Y ^ Z[X, Y] si annulla nella coppia (a, a) per ogni a G Z. Notiamo pero che I'unica radice di / ( X , y ) , visto come un polinomio in F a coefficienti in Z[X] h a := X. CoroUario 2.3.15 Sia A un dominio e siano f{X), g{X) G A[X] polinomi non nulli di grado al piu uguale a n > 1. Se f{X) e g{X) assumono stessi valori in n-\-l elementi distinti di A, allora f{X) = g{X). Dimostrazione. Se f{X) e g{X) assumono stessi valori in n + 1 elementi di A e f{X) 7^ g{X)^ allora f{X) — g{X) e un polinomio non nullo di grado al piu uguale a n che ha n + 1 radici. Questa e una contraddizione per il CoroUario 2.3.13. Proposizione 2.3.16 Sia A un dominio e sia X := { X i , . . . , Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Se S e un sottoinsieme infinito di A, Vunico polinomio di A\X\ che si annulla su tutto S'^ e il polinomio nullo. Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero n delle indeterminate. Se n = 1, un polinomio di grado positivo non puo annullarsi in infiniti elementi di A (CoroUario 2.3.13) e d'altra parte I'unico pohnomio costante che ha radici e il polinomio nullo, che si annulla su tutto A. Siapoi / ( X ) := E ^ n . . . i n ^ i ' • • • ^ ^ ^ A [ X i , . . . , X , ] . Se / ( X ) si annulla su tutto 5^, fissato c ^ S\ {0}, il polinomio / ( X i , X 2 , . . . ,Xn_i, c) =

50

2 Anelli di polinomi

Y.c'^(^il...ir^^l^ ' '-K^-l ^ ^ [ ^ 1 . • • •. Xn-i] si annulla su tutto 5^-^ e quindi, per I'ipotesi induttiva, e il polinomio nullo, cioe tutti i suoi coefScienti c^'^ciii...in sono uguali a zero. Cancellando c^^^, ne segue che tutti i coefficienti ^zi...zn di / ( X ) sono uguali a zero e quindi / ( X ) e il polinomio nullo. Corollario 2.3.17 Se A eun dominio con infiniti elementi, Vanello dellefunzioni polinomiali su A^ e isomorfo alVanello dei polinomi in n indeterminate A{Xu...,Xn]. Dimostrazione. Sia iff -.A^'-^A,

OL^ f{OL)

la funzione polinomiale corrispondente a / ( X ) . Per la Proposizione 2.3.16, otteniamo che se iff e la funzione nulla, cioe se / ( X ) si annulla su tutto A^, allora / ( X ) e il polinomio nullo. Quindi la corrispondenza / ( X ) i-> (^/ e un isomorfismo (Proposizione 2.3.5). 2.3.4 Radici multiple Se f{X) e un polinomio a coefficienti in un dominio A e a ^ Ah una radice di / ( X ) , per il Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8) e la formula del grado, esiste un intero m, compreso tra 1 e deg / ( X ) , tale che {X — a)'^ divide f{X) mentre {X — a)^+^ non lo divide. Definizione 2.3.18 Siano A un dominio, f{X) e A[X] e a e A. Se m > 1 e un intero tale che {X — a ) ^ divide f{X) mentre {X — a)'^'^^ non lo divide, si dice che a e una radice di f{X) con molteplicita m. Una radice con molteplicita uno si chiama una radice semplice^ mentre una radice con molteplicita m > 2 si chiama una radice multipla. Per stabilire se un polinomio ha radici multiple, e utile introdurre il concetto di derivata formale. Definizione 2.3.19 Se A e un dominio e f{X) := J^CkX^ G A[X], il polinomio f {X) := ^kckX^~^ si chiama il polinomio derivato di f{X). Se f{X) G A[X], anche f\X) facile verifica: (/ + 5)'(X) = f{X)

+ g'{X);

G A[X] e valgono le seguenti proprieta, di {fgYiX)

= nX)g{X)

+

f{X)g'{X).

Proposizione 2.3.20 Siano A un dominio, f{X) G A[X] ea G A una radice di f{X). Allora a e una radice multipla di f{X) se e soltanto se f {OL) — 0. Dimostrazione. Per definizione, a e una radice multipla di f{X) se e soltanto se (X - af divide f{X) in A[X]. Se f{X) = (X - afg{X), passando alle derivate formali si ottiene

nX)=2{X-a)g[X) Quindi / ' ( a ) = 0.

+

{X-afg'{X).

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi

51

Viceversa, se f{a) = f'{a) = 0, allora {X — a) divide sia f{X) che f'{X) (Teorema 2.3.8). Se f{X) = (X - a)h{X), con deg/i(X) > 1, si ottiene

nX)

= h{X) +

{X-a)h'{X).

Poiche (X — a) divide / ' ( X ) , ne segue che (X — a) divide h{X) e allora ( X - a ) 2 divide/(X). Esempi 2.3.21 (1) Se A = E e il campo reale e

e la funzione polinomiale corrispondente a / ( X ) , la derivata analitica if'o di ^f corrisponde al polinomio derivato f {X). Cioe (^'^ = (/?//: R —^ R,

a f->

f'{a).

(2) Se f'{X) = 0, ogni radice di / ( X ) e multipla. Nel caso numerico, e piu in generale in caratteristica zero, un calcolo diretto mostra che f{X) = 0 se e soltanto se / ( X ) e un polinomio costante. Tuttavia in caratteristica positiva puo accadere che il polinomio derivato di un polinomio non costante sia il polinomio nullo. Ad esempio, se / ( X ) := X'^ — 1 G Fp[X] e p divide n, si ha / ' ( X ) = n X ^ - i = 0. 2.3.5 Formule di interpolazione Due polinomi non nulli a coefHcienti in un dominio A che hanno grado al piu uguale ad n ed assumono stessi valori in n + 1 elementi distinti di A sono uguali (Corollario 2.3.15). Percio, scelti ao, a i , . . . , a^ G A, tutti distinti, esiste al piii un polinomio di A[X] di grado k < n che assume valori fissati 6o, ^1, • •., ^n in ao, a i , . . . , a^ rispettivamente. D'altra parte, un'applicazione del Teorema Cinese dei Resti (Teorema 1.3.8) mostra che, se K e un campo, un tale polinomio esiste. Proposizione 2.3.22 Sia K un campo. Scelti n + 1 elementi distinti GQ^ ..., an e n + 1 elementi 6o? • • •, ^n di K, esiste ed e unico un polinomio / ( X ) G K[X] di grado al piu uguale ad n tale che f{ai) = bi, i = 0 , . . . , n. Dimostrazione. Per il Teorema di RufRni, dati a^b ^ K^ un polinomio / ( X ) G K[X] e tale che /(a) = 6 se e soltanto se X — a divide / ( X ) - b (Teorema 2.3.8). Allora /(a^) = bi se e soltanto se / ( X ) = bi mod (X — a^), per ogni z = 0 , . . . , n. Poiche i polinomi X — a^ sono irriducibih (Corollario 2.3.11), essi sono a maggior ragione coprimi a coppie. Allora, essendo K[X] un dominio a ideali principali, I'esistenza di / ( X ) e garantita dal Teorema Cinese dei Resti. Inoltre, / ( X ) e ^(X) sono due pohnomi tali che /(a^) = ^(a^), se e soltanto se / ( X ) = ^(X) mod h{X) := (X - a o ) . . . (X - a^) (Teorema 1.4.14). Poiche deg h = n + 1 , Nella classe di / ( X ) mod h{X) c'e un unico polinomio di grado al pill uguale a n (Proposizione 2.2.9 (a)).

52

2 Anelli di polinomi

Se i^ e un campo, runico polinomio di grado al piu uguale a n che assume valore fissato 6^ in a^, i = 0 , . . . , n, resta definito dalle seguenti formule, che vengono chiamate Formule di Interpolazione perche, dati i valori 6^, esse permettono di calcolare immediatamente i valori che il polinomio assume in ogni elemento del campo. Proposizione 2.3.23 (Formula di Interpolazione di Lagrange) Sia K un campo e siano a o , . . . , a^ G K, elementi distinti. Allora, dati bo^.. .^bn G K, il polinomio := V bi{X-ao)..{X-a,.,)iX-a,^,)..iX-a) ^ [ai - a o ) . . . [ai - ai-i)[ai - a^+i)... (a^ - an)

^

e tale che f{ai) = bi, per z = 0 . . . , n. II polinomio f{X) tale che f{ai) = 6^, per i = 0 . . . , n , si puo anche costruire per ricorsione con un metodo dovuto a Newton, imponendo passo dopo passo le condizioni richieste. Si inizia considerando I'unico polinomio costante /o(-^) •= AQ G K[X] che assume il valore bo in ao; ovviamente deve essere AQ = 6oProcedendo per ricorsione, sia 1 < /;: < n e sia fk-i{X)

:= Ao + Ai(X - ao) + • • • + Xk-i{X - ao)(X - a i ) . . . (X - ak-2)

il polinomio di K[X] di grado al piu uguale a /c — 1 che assume i valori bo,... ,bk-i in a o , . . . , afc_i rispettivamente. Allora il polinomio fk{X) := fk-M)

+ Afe(X - ao)(X - a i ) . . . (X -

au-i)

assume ancora valore bi in ai per i = 0,...,A: — l e assume ulteriormente il valore bk in a^ per ^

bk - fk-l{(^k) (afc - ao)(a/c - a i ) . . . (a^ -

ak-i)

II polinomio fk{X) prende il nome di k-esima funzione interpolare di f{X). Per fc = n si ottiene il polinomio f{X) = UX)

:= Ao + Ai(X - ao) + \2{X - ao)(X - ai) + . . . + A„(X - ao)(X - a i ) . . . (X - o„_i).

I coefRcienti Afe si possono calcolare per quozienti di differenze successive nel seguente modo. Per cominciare deve essere /(ao) = Ao = bo. Poi, posto ^ , ( X ) : = f f l i : / M ^ A i + A 2 ( X - a i ) + --- + A „ ( X - a i ) . . . ( X - a „ _ i ) , A — ao

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi si ha

53

, , . f{ai) - f{ao) h -bo Ai = (pi{ai) = = . ai — ao ai — ao

Success!vamente, posto ^ 2 ( X ) := ' / ^ i W - y ^ i ( ^ i ) ^ X2 + X3{X-a2) A — ai

+ -• •+ A„(X-a2)... (X-a„_i),

si ottiene

^2 - Ao A2 = (^2(«2j =

-

a2 - ai

. - Ai

a2 - ai

Cos! proseguendo, ponendo (po{X) : = / ( X ) e definendo per ricorsione /^>^ . ^ (/^fc-i(^) - y ^ f e - i K - i ) A — afc_i per 1 < fc < n si ottiene bk - ^0 dk — QQ

^ M y\2

- — Afc-

Afc = ^k[cik) = —

—

Notiamo che, nelle formule precedenti, Xk e il coefficiente di X^ in fk{X). Questo prova che il calcolo di A^ non dipende dall'ordine in cui si sono scelti a o , . . . , afc. Se K e u n campo numerico reale, possiamo ad esempio ordinare gU ai in modo crescente, affinche nelle formule per determinare i coefficienti Ai t u t t e le differenze a denominatore siano positive. Possiamo riassumere questo calcolo nella seguente proposizione. P r o p o s i z i o n e 2 . 3 . 2 4 ( F o r m u l a di I n t e r p o l a z i o n e di N e w t o n ) SiaKun campo e siano ao,... ^an, bo,.. .,bn G K, con a o , . . •, a^i tutti distinti. Allora il polinomio f{X) G K[X] di grado al piu uguale ad n tale che f{ai) = bi per z = 0 , . . . , n si pud scrivere come f{X)

= Ao + A i ( X - ao) + A2(X - a o ) ( X - a i ) + . . . + Xn{X - ao){X - a i ) . . . ( X - a ^ - i ) ,

dove i coefficienti

Xk sono definiti per ricorsione

,n(Y\. f(ir\ ^ o ( A ) : = f[X) per 1 < k
. e

^r.(v\. ^k-i{X) (pk{X) :=

allora Xk = (pkiak)-

nel seguente modo. -(/^fc-i(afc_i) — A - ak-i

Posto

54

2 Anelli di polinomi

Esempi 2.3.25 (1) Usando la formula di interpolazione di Lagrange, il polinomio f{X) G Q[X] di grado al piu uguale a 2 che assume valori bo := 0, 6i := 1, 62 := 2 rispettivamente in ao := 1, ai := 2, a2 := 3 e il polinomio di primo grado: ^ X-l){X-3) 2(X-l)(X-2) ^ •^^ ^ (2-l)(2-3) (3-l)(3-2) (2) Costruiamo il polinomio su Q di grado al piii uguale a 3 che assume valori bo := 1, 61 := —1, ^2 •= 1, ^3 •= 0 rispettivamente in ao := 0, ai := 1, a2 := —1, as := 2. Usando le formule di Newton otteniamo: Ao = 1,

Al = - 2 ,

A2 = —1,

5 A3 = - . D

Dunque il polinomio cercato e:

+ lx{x - i)(x +1) = Ix^ -x^-^x

f{x) = i-2x-x{x-i)

6

D

O

+h

Se ordiniamo gli a^ in modo crescente, ponendo ao = —1,^1 = 0, a2 = 1, 03 = 2 e, consistentemente, 60 = 1, 61 = 1, 62 = —1, 63 = 0, otteniamo lo stesso polinomio. Infatti risulta Ao = 1,

Al = 0,

A2 = - 1 ,

5 A3 = - , 6

da cui f{X) = 1-{X

+ 1)X+ ^{X + 1)X{X - 1) = ^X3 - X2 - ^ X + 1.

2.3.6 Cambio di varlabile Se A C B sono domini e X e una indeterminata su A, per ogni a e B, il valore in a

Va:A[X]^B;

f{X) ^

f{a),

e un omomorfismo di anelli (Paragrafo 2.3.1). Sia ora T un'altra indeterminata su A. Poiche A C A[T], fissato g{T) G A[T]^ possiamo calcolare il valore in g{T) di un qualsiasi polinomio f{X) a coefRcienti in A. In questo modo, otteniamo un omomorfismo di anelli A[X] - , A[T] •

f{X) ^

f{g{T))

che trasforma un polinomio nell'indeterminata X in un polinomio nell'indeterminata T. Per questo motivo, la trasformazione X = g{T) si chiama un cambio di variabile. In modo analogo, se X := { X i , . . . , Xn} e T := { T i , . . . , T^} sono insiemi di indeterminate indipendenti su A^ dati n polinomi ^ i ( T ) , . . . , ^n(T) G ^[T],

2.3 Funzioni polinomiali e radici di polinomi

55

le trasformazioni Xi = ^i(T), i = 1 , . . . , n, definiscono un cambio di variabili A[Xi,...,Xn]—^A[Ti,...,T,]. Cambiare variabile puo essere utile per trasformare un polinomio in un altro polinomio di forma piu semplice, al fine di studiarne I'irriducibilita o determinarne le radici. Proposizione 2.3.26 Sia K un campo e siano a^b G K, a ^ 0. Allora il cambio di variabile X — aT -\-b, definisce un isomorfismo i, : K[X] -^

K[T] •

f{X) ^ f{T) := /{aT + b)

die conserva il grado. Quindi f{X) e irriducibile su K se e soltanto se lo e f{T). Inoltre a e K e una radice di f{T) se e soltanto se (3 := aa -\- b e una radice di f{X). Dimostrazione. L'omomorfismo ij) e biiettivo, con inverso definito dal cambio di variabile T = a~^{X — b). Inoltre %jj mantiene il grado, perche a ^ 0 e i^ e integro. Allora si ha f{X) = g{X)h{X), con d e g / > deg^ > 1 se e soltanto se / ( T ) = g{T)h{T), con d e g / > deg^ > 1. Per la Proposizione 2.2.11, otteniamo die f{X) e / ( T ) sono irriducibili o riducibili alio stesso tempo. Infine, / ( a ) = f{aa + 6), per ogni a G K. Quindi / ( a ) = 0 se e soltanto se f{aa + b) = 0. Esempi 2.3.27 (1) Se K e un campo di caratteristica zero, il cambio di variabile X — T ^^^—- trasforma il polinomio n f{X) := X^ + an-iX""-' + an-2X^-^ + • • • + ao G K[X], in un polinomio f{T) = T^+6n-2^^~^H h^o iii cui non compare il termine di grado n — 1. Questo cambio di variabile si chiama la trasformazione di F. Viete ed il polinomio trasformato f{T) si chiama la forma ridotta di f{X). La forma ridotta di un polinomio e particolarmente utile, come vedremo nel seguito, per calcolarne le radici. Piu generalmente, con una sostituzione X = g{T)^ dove g{T) e un polinomio convenientemente scelto di grado al piu uguale a n — 1, si puo trasformare il polinomio f{X) in un pohnomio / ( T ) := T^ -f fe^.iT^-^ + - " + bo dello stesso grado n in cui alcuni coefficienti bi sono nulli. Questo metodo e dovuto a E. W. Tschirnhaus (1683) ed e descritto ad esempio in [27, Paragrafo 6] oppure [16, Paragrafo 3.3]. (2) La Proposizione 2.3.26 si estende senza difficolta al caso di piu variabili. Infatti, se gi(X.) G i^[X], e un polinomio di primo grado per z = 1 , . . . , n, il cambio di variabili Xi — gi{T), definisce un isomorfismo V': K[X] - > K[T] •

/ ( X i , . . .,X„) ^ / ( T j , . . .,T„) := / ( g i ( T ) , . . .,5„(T))

che conserva il grado in ogni indeterminata Xi.

56

2 Anelli di polinomi

Se yl e un dominio con campo delle frazioni K^ possiamo anche calcolare un polinomio f{X) G A[X] o una funzione razionale ^{X) G K{X) in una qualsiasi funzione razionale di K(T) e in questo modo ottenere una funzione razionale in T. Esempi 2.3.28 (1) Se iC e un campo, il cambio di variabile X = 1/T, trasforma il polinomio/(X) := anX^ ^an~iX^~^ ^ h a i X + ao ^ ^[X] nella funzione razionale / [pj

= ^{an

+ an-,T +••• + a,T^-' + a^T^).

Se ao 7^ 0, un elemento a G K* e una radice di f{X) una radice del polinomio fr{T) := T " / (^

se e soltanto se a~^ e

= a„ + a^-iT + • • • + a^T^'^ + aoT".

Notiamo che I'insieme S dei polinomi f{X) G K[X] con termine noto non nullo e moltiplicativamente chiuso, percio e un semigruppo moltiplicativo di iir[X]. Inoltre, I'applicazione

V': 5 ^ 5 ; f{X) ^ U{T) := T^^^// (^^^ indotta dal cambio di variabile X = 1/T e un isomorfismo di semigruppi che e I'identita su K* e conserva il grado. Quindi, f{X) e irriducibile su if se e soltanto se lo e fr{T). Un polinomio f{X) G «S si ctiiama un polinomio reciproco se ogni volta che f{a) = 0 anche /(a~^) = 0. Quindi f{X) e un polinomio reciproco se e soltanto se f{X) e fr{X) sono polinomi associati (Esercizio 2.35). (2) Se K e un campo e M := P ^ j G M2{K) e tale che det M = ad-cb 7^ 0, il cambio di variabile X = {aT + b)/{cT + d) si chiama una trasformazione lineare fratta e definisce un isomorfismo K{X)-,K{T)-

^(X)^^(T):=^(^^±^)

il cui inverso e 1'isomorfismo definito dalla trasformazione T = 1 f d -h^ associata alia matrice M ^

detM \-c

-cX^a

a

2.4 Polinomi a coefflcienti complessi II Teorema Fondamentale delVAlgebra^ ottenuto da F. Gauss nel 1797, e un risultato di grande importanza nella Teoria delle Equazioni Algebriche ed

2.4 Polinomi a coefficienti complessi

57

asserisce che ogni polinomio non costante a coefficienti numerici ha sempre radici nel campo C dei numeri complessi. Una sua dimostrazione verra data nel successivo Capitolo 10. Teorema 2.4.1 (Teorema Fondamentale delP Algebra) Ogni polinomio f{X) G C[X] di grado positivo ha una radice in C. T e o r e m a 2.4.2 Sia f{X) un polinomio a coefficienti numerici di grado positivo. Allora esistono s < d e g / ( X ) numeri complessi distinti a i , . . .,0^5 ed interi positivi mi, i = 1 , . . . , 5^ tali che

/(X) = c ( X - a i r v . . ( X - a , n In particolare, se d e g / ( X ) > 2, allora f{X)

e riducibile su C.

Dimostrazione. Per il Teorema Fondamentale dell'Algebra, f{X) ha una radice aeCe, per il Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8), f{X) = {X - a)g{X), con deg^(X) = n — 1. Possiamo allora procedere per induzione sul grado di

f{x). Talvolta si usa esprimere la proposizione precedente dicendo che un polinomio a coefficienti numerici di grado n > 1 ha esattamente n radici complesse contate con la loro molteplicita. Per stabilire se un tale polinomio ha radici multiple, si deve studiare la sua derivata formale (Paragrafo 2.3.4). Proposizione 2.4.3 Sia K C C un campo numerico e sia f{X) G K[X] di grado positivo. Allora, indicando con f {X) la derivata formale di f{X) e posto d{X) := M C D ( / ( X ) , f (X)); (a) // polinomio f{X) ha una radice complessa multipla se e soltanto se d{X) ^ 1. In questo caso, le radici complesse multiple di f{X) sono esattamente le radici del polinomio d{X); (b) II polinomio f{X)/d{X) ha le stesse radici di f{X), tutte semplici; (c) Se f{X) e irriducibile su K, allora f{X) ha esattamente n radici complesse distinte. Dimostrazione. (a) II polinomio f{X) ha una radice multipla ce G C se soltanto se a e radice anche del polinomio derivato f\X) (Proposizione 2.3.20). Dal Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8) segue che a e una radice multipla se e soltanto se {X - a) divide il polinomio d{X) := MCD(/(X), f{X)) in C[X], se e soltanto se d{a) = 0. (b) Per il Teorema 2.4.2 possiamo scrivere

f{X)^c{X-air^...{X-asr^ dove gli ce^ G C sono tutti distinti e m^ > 1. Allora

f{X) = c{X - a i r ^ - i . . . (X -

asr^-'g{X),

58

2 Anelli di polinomi

con g{ai) ^ 0. Ne segue che d{X) - (X - ai)"^'-^

. . . (X - as)"^^'^ e

/(X)MX)=c(X-ai)...(X-a,). (c) Se / ( X ) e irriducibile su K, d{X) ^ 1 soltanto se f{X) divide / ( X ) in X[X]. Ma, essendo f'{X) ^0 e d e g / ' ( X ) < deg/(X), questo non e possibile. Quindi / ( X ) non puo avere radici multiple per il punto (a). 2.4.1 Polinomi a coefficienti reali II Teorema Fondamentale dell'Algebra ci assicura che i soli polinomi irriducibili su C sono quelli di primo grado (Teorema 2.4.2). Per studiare la riducibilita sul campo reale M, ricordiamo che il coniugio complesso, definito da C —> C ;

a -\- bi \-^ a -\- hi := a — bi^

per ogni a, 6 G M, e un automorfismo di C (Esempio 1.2.9 (2)). Inoltre, se z := a + foi, risulta 1. z = z se e soltanto se z = a G M; 2. z-\-z = 2aeR 3. zz = a'^ + b'^ e R. Quindi z e radice del polinomio a coefficienti reali (X - z){X - z) = X^ - (z + z)X + zz = X^ - 2aX + (a^ + b^). Se / ( X ) := Y.^i^' ^ C[X], indichiamo con / ( X ) il polinomio di C[X] ottenuto da / ( X ) coniugando i coefficienti, ovvero / ( X ) := ^ Z i X \ Chiaramente / ( X ) = 7(X) se e soltanto se / ( X ) G M[X]. Proposizione 2.4.4 ^e / ( X ) G M[X] e a G C \ M e m a rac^ice G?Z / ( X ) , allora anche il numero complesso coniugato a e una radice di / ( X ) . Inoltre le radici a ea hanno la stessa molteplicitd. Dimostrazione. Poiche il coniugio e un automorfismo di C, se / ( X ) G M[X], risulta Quindi / ( a ) = 0 se e soltanto se / ( a ) = 0. Allora, per il Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8), abbiamo che / ( a ) = 0 se e soltanto se / ( X ) = (X — a ) ( X — 'a)g{X). Cancellando (X — a)(X — a), otteniamo per ricorsione che ce e a hanno la stessa molteplicita. II seguente corollario e immediato. Corollario 2.4.5 Sia / ( X ) G M[X]. Allora: (a) Se deg / ( X ) e dispari, allora / ( X ) /la almeno una radice reale ed il numero delle sue radici reali e dispari.

2.4 Polinomi a coefficienti complessi (b) Se deg f{X) e pari, il numero delle radici reali di f{X) mente nullo).

59

e pari (eventual-

La seguente regola puo essere utile per limitare il numero delle possibili radici reali di un polinomio f{X) G M[X]. Essa fu enunciata da R. Decartes nel 1637 e dimostrata da F. Gauss nel 1828 [32]. Diciamo che f{X) ha una variazione (di segno) se due suoi termini consecutivi non nulli hanno segno opposto; diciamo invece che f{X) ha una permanenza (di segno) se due suoi termini consecutivi non nulli hanno segno uguale. Ad esempio, se f{X) := X^ — X^ + X^ + X — 1, la successione dei segni dei termini non nulli di f{X) e H \- -\—, dunque f{X) ha tre variazioni e una permanenza di segno. Proposizione 2.4.6 (Regola dei Segni, R. Descartes, 1637) Sia f{X) G R[X]. Allora: (a) // numero delle radici reali positive di f{X) delle sue variazioni. (b) // numero delle radici reali negative di f{X) delle variazioni del polinomio f{—X).

e at piu uguale al numero e al piu uguale al numero

La dimostrazione della proposizione precedente si basa sulle proprieta analitiche delle funzioni polinomiali reali e percio la omettiamo. Notiamo comunque che la sua validita puo essere verificata osservando che, moltiplicando f{X) per un termine X — a, con a reale positivo, si ottiene un polinomio che ha almeno una variazione di segno in piu rispetto a f{X). Esempi 2.4.7 II polinomio/(X) := X^ + lOX^-hX—4 ha una sola variazione di segno, percio ha al piu una radice reale positiva. D'altra parte, anche il polinomio f{—X) = X^ — lOX^ —X — 4 ha una sola variazione di segno, percio f{X) ha al piu una radice reale negativa. Ne segue che f{X) ha almeno sei radici complesse non reali, coniugate a coppie. Osserviamo poi che f{X) ha effettivamente due radici reali. Infatti /(O) = —4 < 0 e / ( I ) = 8 > 0. Dunque f{X) ha una radice reale (positiva) e, per il Corollario 2.4.5, ha anche un'altra radice reale (necessariamente negativa). Possiamo infine determinare i polinomi irriducibili di R[X]. Proposizione 2.4.8 Ogni polinomio non costante f{X) G R[X] e prodotto di polinomi di grado al piu uguale a 2. In particolare, f{X) e irriducibile su R se e soltanto se degf{X) = 1, oppure degf{X) = 2 e f{X) non ha radici reali. Dimostrazione. Siano a i , . . . , a^ le radici complesse di / ( X ) , cosi che f{X) = c{X - a i ) . . . (X - an), c e R (Proposizione 2.4.2). Se ai := a e R, allora X — a e R[X] e un fattore di primo grado di f{X). Se a ^ R, allora anche a e una radice di f{X) e {X - a){X -a) = X'^ - {a-\- a)X -\-aa e R[X] e un

60

2 Anelli di polinomi

fattore di secondo grado di f{X). Quindi f{X) si puo scrivere come prodotto di polinomi di grado al piii uguale a 2. Infine ricordiamo che un polinomio di secondo grado e riducibile su M se e soltanto se ha radici in R (Corollario 2.3.11). 2.4.2 Radici complesse dell'unita Le radici complesse del polinomio f{X) := X^ — z G C[X], per n > 1, si chiamano le radici complesse n-sime di z. Poiche, per n > 2, il polinomio derivato f'{X) — nX^~^ ha come unica radice lo zero, se z ^ 0, i polinomi f{X) e f'{X) non hanno radici in comune; quindi le radici n-sime di z sono tutte distinte (Proposizione 2.3.20). Per determinarle, si possono usare le Formule di De Moivre per la moltiplicazione dei numeri complessi in forma trigonometrica. Se zi := pi(cos(^i)+ isin(^i));

Z2 :=/02(cos(^2) + isin(^2))

con pi,p2 numeri reali positivi, allora usando le proprieta delle funzioni trigonometriche risulta Z1Z2 = Pip2{cos{9i +^2) +isin(^i +6^2)). Sia dunque z := p{cos{6) + isin(^)), p > 0. Se ( := cr(cos((^) + isin((y9)) e una radice n-sima di 2;, deve risultare: cr"'(cos(n(^) -\-ism{n(fi)) = p{cos{9) H-isin(^)), da cui cr^ = p e n(^ = ^ + 2A:7r, /c G Z, ovvero 9 + 2k7r n Notiamo ora che, sek^Zek

= nq-\-r con 0 < r < n, risulta e + 2k7r

e + 2r7r

+ 2^7r n . ^ ^. 6> + 2fc7r l9 + 2r7r e dunque le funzioni trigonometriche di e sono le stesse. n n Ne segue che le radici complesse n-sime di z si ottengono tutte per k = 0 , l , . . . , n — 1 e sono precisamente i numeri complessi n

a : = V p ( c o s f - ^ ^ ] + i s m f - ^ j

2.4 Polinomi a coefficienti complessi

61

Esempi 2.4.9 Le radici quadrate di 3i = 3 (cos f — j + isin ( — j j sono: V^ \/6. Co := \/3 (^cos (^-j + isin (^-j j = -^^-{- ^^i; 2 2 Ci : = V 3 (cos ( ^ ) + i s i n

( ^ ) ) = - ^ - - ^ i . 2

2~

Invece le radici terze di 1 + i = y/2 (cos f — j + i sin f — j sono: j

Ci:=^Ls(^)+isin(: 177r\ . . /177r\ C2 := \/2 Tcos (^ — ] + 1isin sin I — 1

12 y

I 12 ;

Per z := I = cos(27r) + isin(27r), le formule precedent! forniscono le radici complesse n-sime dell'unitd, che sono i numeri: /2fc7r\ . . /2fc7r\ a:=cos(^—j+ism(^—j, per A: = 1 , . . . , n. Poiche, per le formule di De Moivre, risulta (^ = Ck^ posto t, := Ci := cos

— + ism \n J

— \n

possiamo scrivere le radici complesse n-sime dell'unit a come

Quindi tali radici formano un gruppo moltiplicativo ciclico di ordine n. Notiamo che, se (" G C ha modulo uguale a 1, indicando con ( il coniugato di (", si ha CC = 1, da cui (~^ = (. Quindi le radici ^^ e ^"^"^ sono numeri complessi coniugati. I generatori del gruppo ciclico delle radici complesse n-sime deH'unita sono le radici ^^ = (k con MCD(fc,n) = 1 [53, Teorema 1.35]. Questi numeri complessi si chiamano le radici n-sime primitive dell'unit a e sono le radici nsime che non sono anche radici m-sime per qualche m < n. Tale terminologia fu introdotta da Eulero mentre I'esistenza di radici primitive, ovvero il fatto che il gruppo delle radici n-sime e ciclico, fu dimostrata da Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, del 1801. II numero delle radici primitive n-sime dell'unit a e dato allora dal valore della funzione di Eulero (p : N —> N che ad ogni intero positivo n associa il

62

2 Anelli di polinomi

numero ip{n) degli interi positivi minori di n e primi con n (Esempi 1.2.1 e 1.3.9 (2)). Notiamo che, per n > 3, le radici complesse n-sime deU'unita si rappresentano nel piano di Gauss come i vertici di un poligono regolare di n lati che ha un vertice in 1. Inoltre, se m divide n, le radici m-sime si rappresentano come i vertici di un poHgono regolare di m lati che ha ancora un vertice in 1 ed e inscritto nel primo. Osserviamo infine che, per le formule di De Moivre, tutte le radici n-sime di un numero complesso z si possono scrivere come il prodotto di una qualsiasi radice n-sima ( di z per tutte le radici n-sime deU'unita, e quindi esse sono esattamente i numeri complessi

a, ce, •••, c^-^ cr-c, dove ^ e una radice primitiva n-sima deU'unita. Per n > 3, questi numeri complessi si rappresentano nel piano di Gauss come i vertici di un poligono regolare di n lati con centro nell'origine e un vertice in (". Esempi 2.4.10 ( l ) S e p > 2 e u n numero primo, le radici complesse p-esime primitive deU'unita sono tutte \e p — 1 radici diverse da uno. Esse sono le radici del polinomio vp _ 1

$p := -A7 — —r1 = X"'' + ^""^ + • • • + ^ + 1, che viene chiamato il p-esimo polinomio cidotomico. I polinomi ciclotomici verranno studiati piii a fondo nel Paragrafo 4.4. (2) Le radici complesse terze deU'unita sono i numeri complessi t, :— cos I — I + ism ^ = cos I —- 1 + 1 sm

1

[jh 47r\

.\/3

1 .V^ "2"'!"'

^^ = cos(27r)+isin(27r)- 1. Invece le radici quarte sono ^:=cos(|)+isin(|)=i;

i^ = - 1 ;

i^

1^ = 1.

(3) Le radici complesse n-sime di — 1 = cos(7r) + isin(7r) sono i numeri: (k '= cos cos per A: = 0 , . . .,n.

n -^

n

J —

+ 1 sm

\

+ 1 sm ' ^

n ^

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica

63

Notiamo che, essendo {X'^^ - 1) = {^^ + 1)(-^^ - 1), se ^ e una radice primitiva 2n-sima deH'unita, ad esempio ^ := cos f — 1 + isin ( — 1, le radici n-sime di 1 sono le potenze pari di ^, mentre le radici n-sime di — 1 sono le potenze dispari di ^. (4) La forma trigonometrica di un numero reale r positivo e r = r • 1 = r(cos(27r) + isin(27r)), mentre ogni numero reale r negativo si scrive in forma trigonometrica come r = |r|(—1) = |r|(cos(7r) -fisin(7r)). Le radici complesse n-sime di r si ottengono allora moltiplicando per y/\r\ le radici complesse n-sime di 1 o di — 1, a seconda che r sia positivo o negativo.

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica Se A e un dominio con campo delle frazioni K, la differenza nel fattorizzare un polinomio f{X) G A[X] su A oppure su K consiste nel fatto che in A[X] ci possono essere polinomi costanti irriducibili, contrariamente a quanto avviene in K[X] dove tutte le costanti non nulle sono invertibili. Tuttavia, se A e un dominio a fattorizzazione unica, questa difficolta puo essere aggirata usando le proprieta del massimo comune divisore. Faremo infatti vedere che, se ^ e un dominio a fattorizzazione unica, un polinomio a coefRcienti in A che si fattorizza su K puo essere fattorizzato anche su A e illustreremo dei criteri di irriducibilita. I metodi usati saranno particolarmente utili per lo studio della fattorizzazione dei polinomi in piu indeterminate a coefficienti interi o razionali. 2.5.1 II lemma di Gauss II risultato principale di questo paragrafo mostra che, se A e un dominio a fattorizzazione unica, un anello di polinomi a coefficienti in A e ancora un dominio a fattorizzazione unica. Questa e una proprieta molto importante ed implica ad esempio che tutti gli anelli di polinomi a coefficienti interi oppure in un campo sono domini a fattorizzazione unica. II metodo che useremo per dimostrarlo e dovuto a Gauss: in una indeterminata, esso consiste nel fattorizzare un polinomio a coefficienti in A sul campo delle frazioni K di A e da questa fattorizzazione ricavare poi una fattorizzazione in ^[X]. Ricordiamo che due elementi non nulli x, ^ di un dominio a fattorizzazione unica hanno sempre un massimo comune divisore d, determinato a meno di elementi invertibili (Teorema L4.8). Mantenendo al solito questa ambiguita di definizione, scriveremo (x^y) = d.

64

2 Anelli di polinomi

Definizione 2.5.1 Se A e un dominio a fattorizzazione unica e f{X) G A[X]; un qualsiasi massimo comune divisore dei coefficienti di f{X) si chiama il contenuto di f{X) e si denota con c ( / ) . ^e c(/) = 1, si dice che f{X) e un polinomio primitivo. Se A e un dominio con campo delle frazioni K e f{X) e K[X] e un polinomio non nullo, riducendo i coefHcienti di f{X) a un denominatore comune G?, si puo sempre scrivere /(X) = i / i ( X ) ;

con h{X)

e A[X].

Se poi A e un dominio a fattorizzazione unica, si ha anche f{X) = —-—g{X);

con g{X) G A[X] un polinomio primitivo.

Quindi, se A e un dominio a fattorizzazione unica, ogni polinomio di K[X] e associato su K ad un polinomio primitivo di A[X]. Questa semplice osservazione fa intuire che i polinomi primitivi di A[X] si comportano come i polinomi a coefficienti in K. II seguente lemma, che segue immediatamente dalle proprieta delle operazioni in A[X] e dal Principio di Identita dei Polinomi, ci sara utile anche nel seguito. Lemma 2.5.2 Ogni omomorfismo di anelli commutativi unitari Lp : A —> A' si pud estendere ad un omorfismo (/?* : A[X] —> ^'[X] ponendo ip%Co + C i X + • • • + CnX"") = ip{co) -h ^{ci)X

+ • • • + V?(Cn)X^.

Inoltre (p e iniettivo (suriettivo) se e soltanto se (f* e iniettivo

(suriettivo).

Se / e un ideale di A^ di particolare interesse e Tomomorfismo suriettivo di anelli n* : A[X] - ^

j[X]

che estende la proiezione canonica 7T : A —> — ;

a^

a := a + 1

ed e quindi definito da Co -f ciX + . • • + CnX"" ^ J{X) := c5 + cTX + . . . + c^X"". Ricordiamo che, se A e un dominio e p e nn elemento primo di A, I'anello quoziente A/{p) e un dominio (Proposizione 1.3.5). In questo caso anche gli anelli di polinomi a coefficienti in A/{p) sono domini e I'omomorfismo

7r*:A[X]->A[x]; si chiama la riduzione modulo p.

f{X)^J{X)

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica

65

Proposizione 2.5.3 (Lemma di Gauss) SiaA un dominio a fattorizzazione unica e sia f{X) G A[X] un polinomio non nullo. Se f{X) = g{X)h{X), allora c(/) e c{g)c{h) sono dementi associati di A. In particolare, il prodotto di due polinomi primitivi di A[X] e un polinomio primitivo. Dimostrazione. Siap e Ann fattore irriducibile di c ( / ) . Poiche p e un elemento primo di A (Teorema 1.4.8), Tanello di polinomi {A/{p))[X] e un dominio. Riducendo f{X) = g{X)h{X.) modnXo p, si ottiene 0 = / ( X ) = g{X)h{X). Quindi deve risultare ^{X) = 0 oppure h{X) — 0. Questo significa che p divide tutti i coefficienti di g{X)^ cioe c(^), oppure tutti i coefficienti di h{X)^ cioe c(/i). Viceversa, per come e definita la moltiplicazione tra polinomi, ogni elemento primo di A che divide c(^) oppure c(/i) divide anche c ( / ) . Quindi, per I'unicita della fattorizzazione in A^ c(/) e c{g)c{h) sono elementi associati. CoroUario 2.5.4 Sia A un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K e sia f{X) G A[X] un polinomio di grado positivo. Se f{X) = g{X)h{X), con g{X), h{X) G i^[-^]; allora esiste una costante \ E A tale che \g{X), \~^h{X) G ^[-^]. In particolare, se f{X) e riducibile su K, f{X) e riducibile anche su A. Dimostrazione. Supponiamo che f{X) — g{X)h{X\ zong{X\ h{X) G ^[-^]Moltiplicando per un denominatore comune d dei coefficienti di g{X) e h{X), otteniamo df{X) = gi{X)hi{X), con gi{X), hi{X) G A[X]. Per il Lemma di Gauss, si ha dc{f) = c{gi)c{hi); quindi, per la proprieta di fattorizzazione unica in A^ risulta d = ab con a che divide c{gi) eb che divide c(/ii). Ne segue che i polinomi g2{X) := a~^gi{X) e h2{X) := b'~^hi{X) hanno coefficienti in A e f{X) = g2{X)h2{X). Infine, g{X) e g2{X) sono associati su K e, posto g2iX) := Xg{X), A G K, si ottiene /i2 = X~^h{X). Se poi f{X) e riducibile su K, si ha f{X) — g{X)h{X), con g{X) G K[X] di grado positivo strettamente minore di quello di f{X), Allora f{X) = Xg{X)X-^h{X) con Xg{X), X-^h{X) G A[X] e 0 < deg^(X) = degXg{X) < deg/(X). Quindi Xg{X) e un divisore proprio di f{X) in A[X] e f{X) e riducibile anche sn A. CoroUario 2.5.5 Sia A un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K e sia f{X) G A[X] un polinomio di grado positivo. Allora f{X) e irriducibile su A se e soltanto se f{X) e primitivo e irriducibile su K. Dimostrazione. Se f[X) e irriducibile in A[X]^ i suoi unici divisori costanti sono gli elementi invertibili di A] quindi f{X) e un polinomio primitivo. Inoltre f{X) e irriducibile su K per il CoroUario 2.5.4. Viceversa, sia f{X) G A[X] primitivo e irriducibile su K. Allora f{X) non ha in K[X] divisori propri di grado positivo e quindi i suoi eventuali divisori propri in A[X] sono tutti costanti. Ma, essendo f{X) primitivo, i suoi divisori in A sono soltanto le costanti invertibili. Quindi f{X) e irriducibile in A[X].

66

2 Anelli di polinomi

CoroUario 2.5.6 Sia A un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K. I polinomi irriducihili di A[X] sono: (a) Gli dementi irriducihili di A; (b) / polinomi primitivi di grado positivo di A[X] che sono irriducihili in

K[X]. Dimostrazione. Per la formula del grado, un polinomio di A[X] costante e non nullo non puo avere fattori di grado positivo. Quindi un polinomio costante p ^ A e irriducibile in A[X] se e soltanto se e un elemento irriducibile di A. Inoltre, per il CoroUario 2.5.5, un polinomio di grado positivo di A[X] e irriducibile su yl se e soltanto se e primitivo e irriducibile in i^[-^]. Teorema 2.5.7 Se A e un dominio a fattorizzazione unica anche A[X] e un dominio a fattorizzazione unica. Precisamente, ogni polinomio non nullo e non invertihile f{X) G A[X] ha una fattorizzazione del tipo f{X)^Prp,...Psqi{X)q2(X)...qt{X), dove, se c(/) 7^ 1^ i pi sono elementi irriducihili di A e, se d e g / ( X ) >l,i qj{X) sono polinomi primitivi irriducihili di A[X], univocamente determinati a meno delVordine e di elementi invertihili di A. Dimostrazione. Possiamoscrivere f{X) = c{f)fi(X), conc(/) ^ Ae fi{X) G A[X] primitivo. Se c(/) non e invertibile, esso ha in A una fattorizzazione c(/) = P1P2 '' 'Ps in elementi irriducibili univocamente determinati, a meno dell'or dine e di elementi invert ibili di A. Inoltre, se fi{X) ha grado positivo e K e il campo delle frazioni di -A, possiamo fattorizzare fi{X) in polinomi irriducibili su X, univocamente determinati a meno dell'ordine e di costanti non nulle di K (Teorema 2.2.12). Per il CoroUario 2.5.4, moltiplicando ogni fattore per una opportuna costante, otteniamo una fattorizzazione fi{X) = qi{X)q2{X).. .qt{X) in polinomi di A[X]^ irriducibili su K e necessariamente primitivi per il Lemma di Gauss. Poiche i fattori p^ e qj{X) sono elementi irriducibih di A[X] (CoroUario 2.5.6), concludiamo che A[X] e un dominio a fattorizzazione unica. CoroUario 2.5.8 Sia A un dominio e sia X := {Xi,..., Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Se A e un dominio a fattorizzazione unica, anche A[X.] e un dominio a fattorizzazione unica. In particolare, Z[X] e un dominio a fattorizzazione unica e, se K e un campo, K\X\ e un dominio a fattorizzazione unica. Dimostrazione. Segue dal Teorema 2.5.7 per induzione sul numero delle indeterminate. Inoltre, poiche Z e K[X] sono a fattorizzazione unica (Teorema 2.2.12), anche Z[X] e K[X\ lo sono.

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica

67

Esempi 2.5.9 (1) Se A e un dominio ma non e un campo, I'anello dei polinomi A[X] non e mai ad ideali principali; ad esempio, I'anello dei polinomi Z[X] non e a ideali principali, anche se lo e Z. Infatti, se a G A e non nullo e non invertibile, I'ideale (a, X) — {ac + Xf{X) ]c e A^ f{X) ^ ^[-^]} ^^^ ^ principale. Per vedere questo, supponiamo die (a,X) = (g{X)). Allora il polinomio g{X), dividendo la costante a, deve essere un polinomio costante per la formula del grado. Inoltre, poiche g{X) divide X e X e monico, deve essere g{X) := u invertibile in A. Ma allora (a, X) = {u) — A, mentre 1 ^ (a,X). In modo simile si vede che, se K e un campo e n > 2, I'anello K[Xi,..., X^] non e a ideali principali. Ad esempio, poiche le indeterminate sono elementi irriducibili, I'ideale (Xi,X2) non e principale. (2) II Lemma di Gauss (Proposizione 2.5.3) vale piu generalmente per gli anelli di polinomi a coefficienti in un dominio con il massimo comune divisore (Esercizio 2.44). Da questo fatto segue che se A e un dominio con il massimo comune divisore, anche gli anelli di polinomi ^ [ X i , . . . ,Xn] in un numero finito di indeterminate indipendenti su A sono domini con il massimo comune divisore. 2.5.2 Criteri di irriducibilita Abbiamo visto che, se A e un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K e / ( X ) G K[X] e un polinomio di grado positivo, possiamo scrivere / ( X ) = c/i(X), con c e K* e / i ( X ) G A[X] primitivo. Poiche / ( X ) e irriducibile su K se e soltanto se lo e / i ( X ) , per stabilire se / ( X ) e irriducibile su iT, per il Lemma di Gauss, basta allora stabilire se / i (X) e irriducibile su A (Corollario 2.5.4). Nel seguito di questo paragrafo daremo alcuni criteri utili a questo scopo. Notiamo pero che un polinomio puo essere irriducibile anche senza soddisfare le ipotesi di alcun criterio di irriducibilita. Teorema 2.5.10 (Criterio di Irriducibilita di F. G. Eisenstein, 1850) Sia A un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K e sia / ( X ) := ao + a i X + ' • • + anX"^ G ^[X] un polinomio primitivo di grado n > 1. Se esiste un elemento primo p ^ A tale che: 1. p divide a o , . . . , G^n-i/ 2. p non divide an', 3. p^ non divide ao; allora / ( X ) e irriducibile su A e su K. Dimostrazione. Sia p ^ A come nelle ipotesi e supponiamo che / ( X ) = g{X)h{X) cong{X) : - 6 o + 6iX + -• • + 6,X^ e/i(X) := co + ciX-h-• . + CtX* polinomi a coefRcienti in A. Poiche a^ = bgCt e p non divide an^ allora p non divide ne bs ne Q . Inoltre, poiche ao = ^oCo, P divide ao e p^ non divide ao, per la proprieta di fattorizzazione unica, p divide soltanto uno tra gli

68

2 Anelli di polinomi

elementi ho e CQ. Supponiamo che p divida 60 e non divida CQ. Sia s il piu piccolo numero intero positivo tale che p non divida 6^, 1 < s < n. Poiche as = boCs + biCs-i H h bgCQ e p divide bo,... ^ bg-i ma non divide ne bs ne Co, allorap non divide a^. Dalle ipotesi, segue che s = n; ovvero f{X) e g{X) hanno lo stesso grado e h{X) :— c e una costante. Poiche abbiamo supposto che f{X) sia primitivo, si ha che c e invertibile in A. Ne segue che f{X) e irriducibile in A[X] e quindi anche in K[X] per il Corollario 2.5.5. Esempi 2.5.11 (1) Se A e un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K e q G Aemi elemento primo, il polinomio X'^ -\-qe irriducibile su K per ogni n > 1. Ad esempio, il polinomio X'^ ± p G Z[X] e irriducibile su Q per ogni numero primo p. (2) Se F e un campo, il polinomio X^ =b F 6 F[X,Y] = {F[Y])[X] e irriducibile su F{Y), e quindi anche su F. Infatti F[Y] e un dominio a fattorizzazione unica e I'indeterminata y e un elemento primo di F[Y] (Esempio 2.3.9 (3)). (3) Per fornire un'applicazione del suo criterio, Eisenstein ha dimostrato nel seguente modo I'irriducibilita su Q del p-esimo polinomio ciclotomico vp _ 1

MX) ••= ^r^-r = xp + xp-i + --- + X + 1,

Ji — 1 con p>2 primo (Esempio 2.4.10 (1)). Con il cambio di variabile X = T + 1, si ottiene il polinomio

r ( r ) : = ^ ^ + ^^''"^ (T + l ) - l TP-' + r]TP-'

ir

(T + l ) f - l T + ---+ " r "VP-2

^

p

Poiche p divide tutti i coefficienti binomiali (^) := k\(p-k)\^ P^^ A: = l , . . . , p — 1 , ma p'^ non divide il termine noto ( ^^) = p, il polinomio ^p{T) e irriducibile e quindi anche ^p{X) e irriducibile (Proposizione 2.3.26). (4) Con il cambio di variabile X = 1/T (Esempio 2.3.28 (1)) otteniamo la seguente versions reciproca del Criterio di Irriducibilita di Eisenstein: Sia A un dominio a fattorizzazione unica con campo delle frazioni K e sia f{X) := ao + a i X H \- anX^ G A[X] un polinomio primitivo non costante. Se esiste un elemento primo p ^ A tale che: 1. p divide a i , . . .,an; 2. p non divide ao; 3. p^ non divide a^; allora f{X)e

irriducibile su A e su K.

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica

69

Nel prossimo criterio di irriducibilita si usa la riduzione modulo un elemento primo p, ovvero I'omomorfismo 7r*:4X]^A[X];

/(X) ^ / ( X )

che estende la proiezione canonica TT : A —> ^/{p)- Diremo che un polinomio f{X) e A[X] e irriducibile modulo p se f{X) e irriducibile su A/{p). Teorema 2.5.12 (Criterio di Irriducibilita modulo p) Sia A un dominio a fattorizzazione unica e sia f{X) := ao + a i X + h dnX'^ G A[X] un polinomio primitivo di grado n > 1. Se esiste un elemento primo p G A tale che: 1. p non divide an', 2. f{X) e irriducibile modulo p; allora f{X)

e irriducibile su A e su K.

Dimostrazione. Poiche f{X) e primitivo, se f{X) e riducibile su A^ esistono g{X) = hsX^ -\ h bo, K^) = ^tX^ H \-co e A[X] di grado positivo s e t tali che f{X) = g{X)h{X). Poiche p non divide an = b^Q, allora p non divide ne bg ne Q . Riducendo modulo p, otteniamo f{X) = ^{X)h{X), con deg^(X) = deg^(X) = 5 > 1 e degh{X) = degh{X) =t>l. Quindi J{X) e riducibile modulo p. Infine, se f{X) e irriducibile in A[X]^ lo e anche in K[X] per il Corollario 2.5.5. II Criterio di Irriducibilita modulo p e particolarmente utile quando A = Z. In questo caso infatti Z/pZ =: ¥p e un un campo finito con p elementi. Esempi 2.5.13 (1) Riducendo modulo 3 il polinomio f{X) := 5X^ - 562X + 1400 G Z[X] si ottiene il polinomio 7 ( X ) = 2X^ + X + 2 G F 3 [ X ] .

Poiche 7(0) = 7(1) =: 7(2) = 2, allora J{X) non ha radici in F3. Ne segue che / ( X ) , essendo di terzo grado, e irriducibile su F3 e quindi f{X) e irriducibile suQ. (2) II polinomio

f{X) := X^ -5X^-6X-le

Z[X]

e riducibile modulo 2. Infatti su F2 risulta

7(x) = x^ + x^ +1 = (x^ + X + i)(x^ -h X +1).

70

2 Anelli di polinomi

Pero f{X) e irriducibile su Q, ad esempio perche lo e modulo 3. Per vedere questo, consideriamo la riduzione di f{X) modulo 3:

J{x) = x^+x^ + ie¥s[x]. Se f{X) fosse riducibile su F3, esso sarebbe diviso da un polinomio irriducibile di primo o di secondo grado. II primo caso si esclude osservando che f{X) non ha radici in F3. Per escludere il secondo caso, scriviamo 7(X) = {X^ + aX'^ + 6X + c){X^ +

dX-^e)

e notiamo che il sistema \

+ d= 1 e-{-ad + b = 0 ae-\-bd-\- c = 0 be-\-cd = 0 ec = 1

ottenuto uguagliando i coefRcienti dello stesso grado non ha soluzioni in F3. Si puo anche osservare che ci sono 3^ = 27 polinomi di secondo grado su F3 e tra questi i soli polinomi irriducibili sono X^ -h 1;

X^ + X -f 1;

X^ + 2X + 2

(Paragrafo 4.3); ma nessuno di questi polinomi divide / ( X ) . 2.5.3 Fattorizzazione su Q Come abbiamo gia osservato, ogni polinomio / ( X ) a coefficienti razionali e associato su Q ad un polinomio / i ( X ) a coefficienti interi e primitivo. Quindi, per il Lemma di Gauss, per fattorizzare / ( X ) in polinomi irriducibili su Q basta fattorizzare / i ( X ) in polinomi irriducibili su Z (Corollario 2.5.4). Supponiamo dunque che / ( X ) := c^X"^ H h CiX + CQ sia un polinomio a coefficienti interi e primitivo. Un metodo diretto per fattorizzare / ( X ) su Z, che si puo usare per polinomi di grado basso, e il seguente. 1. Verificare se / ( X ) soddisfa qualche criterio di irriducibilita, eventualmente effettuando un cambio di variabile (Paragrafo 2.3.6). In caso negativo, 2. / ( X ) ha un fattore di primo grado in Z[X] se e soltanto se / ( X ) ha radici razionali (non necessariamente intere). Per verificare se tali radici esistono, conviene prima stabilire se / ( X ) ha radici multiple, calcolando il massimo comune divisore tra / ( X ) e il suo polinomio derivato / ' ( X ) . Se d{X) := MCD(/(X), f (X)) ^ 1, allora il polinomio f{X)/d{X) ha le stesse radici di / ( X ) , tutte con molteplicita uguale

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica

71

a uno (Proposizione 2.4.3). Ricordiamo poi che se a/h G Q e una radice di / ( X ) , allora a e un divisore di CQ e & e un divisore di c^ (Esempio 2.3.9 (2)). 3. Per stabilire se f{X) ha un fattore di grado s in Z[X], con 2 < 5 < n, si puo scrivere formalmente / ( X ) := {asX' + . . . + a i X + a^){htX' + •.. + b^X + 6o), con 5 + 1 = n, e cercare le soluzioni in Z del sistema

ottenuto uguagliando i coefficienti dei termini dello stesso grado. Esempi 2.5.14 (1) Consideriamo il polinomio f{X) := \x'''

+ \x''

- 3X^ + ^

e Q[X],

3 che possiamo scrivere come / ( X ) = — / i ( X ) , con / i ( X ) := 5X^02 _^ ^3^71 _ ^Q^3 _^ 3 ^ ^^j^]^ primitivo. Poiche / i ( X ) e irriducibile su Z per il Criterio di Eisestein, con p = 5, allora / ( X ) e irriducibile su Q. (2) Consideriamo il polinomio

f{X) := X' - Ix' - ^x' + ^X'-^X'+X

+ Ie Q[X].

Per fattorizzare / ( X ) su Q, bast a fattorizzare su Z il polinomio primitivo ^(X) := 2/(X) = 2X^ - X^ - 3x^ + X^ - 3X2 + 2X + 2 G ^ j ^ j ^ Le possibili radici razionali di ^'(X) sono ± 1 , ±2, =b- ed una verifica diretta mostra che 1 e — sono radici. Inoltre risulta 2 ^(X) = 2(X - 1)(X + 1){X^ - X2 - 2) = (X - 1)(2X + 1)(X4 - X^ - 2). A questo punto, con la trasformazione di variabile Y — X^, otteniamo X^ - X^ - 2 = r ^ _ y _ 2 := ( y + l ) ( y - 2) = (X^ + 1)(X2 - 2). Poiche i polinomi X^ + 1 e X^ — 2 non hanno radici razionali, essi sono irriducibili su Q e quindi una fattorizzazione di / ( X ) in polinomi irriducibili e

72

2 Anelli di polinomi fix)

= \g{X)

= i ( X - 1)(2X + 1){X^ + 1){X' - 2).

(3) Consideriamo il polinomio f{X) := X^ + 2X^ - SX^ - 6X - 1 G Z[X]. Poiche le possibili radici razionali di f{X) sono soltanto 1 e — 1, f{X) non ha radici in Q e quindi non ha fattori di primo grado. Per vedere se f{X) ha fattori di secondo grado (necessariamente irriducibili), poniamo f{X) = ( X 2 + a X - l ) ( X 2 + 6 X + l ) = X ^ + (a + &)X^+a&X2 + ( a - 6 ) X - l e risolviamo il sistema in a e 6 ottenuto uguagUando i coefficienti dei termini dello stesso grado \ + b= 2
- 1){X'^ + 4X + 1).

II metodo di Kronecker II seguente metodo per fattorizzare pohnomi a coefficienti interi fa uso delle formule di interpolazione ed e dovuto a L. Kronecker, ma puo essere molto laborioso (vedi anche [58, Section 25] o [45, Chapter 11]). Siano / ( X ) , g{X) due poHnomi a coefficienti interi e supponiamo che f{X) — g{X)h{X) in Z[X]. Se g{X) ha grado s, consideriamo k > s -^ I interi ao,. • .,<2fe, Valutando in ai otteniamo /(a^) = g{ai)h{ai)] percio g{ai) deve dividere /(a^) in Z, per i — 0 , . . . , A:. Ora, /(a^) ha un numero finito di divisori in Z e, per ogni A:-pla di interi (6o, • • •, ^fc), con bi che divide f{ai), le formule di interpolazione forniscono un unico polinomio k{X) G Q[X] tale che k{ai) = bi (Paragrafo 2.3.5); percio g{X) e tra i polinomi a coefficienti interi che e possibile ottenere in questo modo. Tali polinomi sono un numero finito e per stabilire quali tra essi dividono f{X) si puo usare I'algoritmo della divisione in Q[X]; in particolare, i divisori di f{X) vanno cercati tra i polinomi il cui coefficiente direttore divide il coefficiente direttore di f{X). In conclusione, tutti i divisori di f{X) in Z[X] si possono ottenere effettuando un numero finito di verifiche. E anche utile ricordare che ci sono soltanto due polinomi associati a un divisore g{X) di f{X) in Z[X], precisamente g{X) e —g{X); percio ci si puo limitare a considerare i polinomi il cui coefficiente direttore e positivo.

2.5 Polinomi su un dominio a fattorizzazione unica

73

Esempi 2.5.15 Sia f{X) := X^ + X^ + 1. Se f{X) e riducibile, esso ha un fattore al piu di secondo grado. Se poniamo ao = — 1, ai = 0 , a2 = 1, risulta /(ao) = 3 , / ( a i ) = 1, /(a2) = 3. Quindi, se g{X) G Z[X] e un polinomio di grado al piu uguale a due che divide / ( X ) , puo risultare soltanto g{ao) = ± 1 , ± 3 ; Inoltre

g{ai) = ± 1 ;

g{a2) = ± 1 , ± 3 .

g{X) = Ao + Ai(X - ao) + X2{X - ao){X - ai) = Ao + Ai(X + l) + A2(X + l ) X = (Ao + Al) + (Al + A2)X + A2X^

dove, per la Formula di Newton, Ao = gM

;

Al = g{ai) - g{ao);

A2 = — ^ - ^

— - g{ai)

(Proposizione 2.3.24). Osserviamo ora che, poiche f{X) e monico, il coefficiente direttore di g{X) puo essere soltanto uguale a ± 1 . Ma, poiche quando A2 = 0 si ha che Ai = ^(ai) — ^(ao) non puo assumere valore ± 1 , allora g{X) deve essere di secondo grado con coefEciente direttore A2 = ± 1 . Dunque, i soli valori da prendere in considerazione per la terna {g{ao) ^g{cii) ,^(^2)) sono: ±(1,1,-1); ±(3,-1,-3);

±(1,-1,-1); ±(1,1,3);

±(3,1,-3); ±(3,1,1);

che forniscono, per la terna (Ao, Ai, A2), rispettivamente i valori ±(1,0,-1);

±(1,-2,1);

±(3,-4,1);

±(1,0,1);

±(3,-2,-1); ±(3,-2,1);

a cui corrispondono i polinomi di Z[X] con coefficiente direttore positivo: - 1± X ± X ^

-1 - X ± X ^

-1-3X±X2;

1±X±X2;

- 1 ± 3X ± X ^ 1- X ±X^

Si verifica subito che risulta: / ( X ) = (1 ± X ± X ' ) ( l - X ± X^). II metodo di fattorizzazione appena illustrato si puo anche applicare ai polinomi a coefRcienti in un dominio A a fattorizzazione unica e con un numero finito di elementi invertibili. Infatti in queste ipotesi ogni elemento di A ha un numero finito di divisori (Esempio 1.4.9 (2)) e quindi gli eventuali fattori propri di un polinomio / ( X ) G A[X] possono essere determinati come sopra con un numero finito di passi. Quest a osservazione ci permette di fattorizzare per ricorsione su n > 1 anche polinomi in n indeterminate a coefficienti interi, nel seguente modo.

74

2 Anelli di polinomi Siano X i , . . . , Xn indeterminate indipendenti su Z e poniamo ^0 := ^ ;

Ai := Ai^i[Xi] := Z[Xi,.. .,X,]

per i = 1 , . . . , n. Ogni dominio A^ e a fattorizzazione unica per il Lemma di Gauss (Corollario 2.5.8). Dato / ( X ) G An := Z [ X i , . . . , X^] := Z[X], scriviamo

dove 5fi := gi{Xi,.. .,Xn-i) G ^ „ - i := Z[Xi,.. . , X „ _ i ] , per 0 < i < m. Se d := d ( X i , . . . , X „ _ i ) e A^—i e un massimo comune divisore dei polinomi Qi^ otteniamo / ( X ) = d/i(X), dove / i ( X ) G An-i[-^n] e un polinomio primitivo su An-i e quindi non ha in Z[X] fattori di grado zero in XnInoltre, poiche gli elementi invertibili di An-i sono soltanto 1 e — 1 (Proposizione 2.1.7), gli eventuali fattori irriducibili di / i ( X ) di grado positivo in Xn possono essere determinati con il metodo di Kronecker come polinomi su An-i' A questo punto, si ripete il procedimento per fattorizzare d := d{Xi,..., Xn-i) G Aji-i := An-2[-^n-i] come un polinomio su An-2' Dopo un numero finito di passi, / ( X ) risulta completamente fattorizzato su Z (e su Q). L'algoritmo di Berlekamp Uno dei metodi piu usati per fattorizzare un polinomio a coefficienti interi in polinomi irrriducibili consiste nel fattorizzare il polinomio modulo un opportuno primo p e poi da questa fattorizzazione risalire a una fattorizzazione su Z. Poiche il numero dei polinomi a coefficienti in ¥p di grado fissato n e finito (uguale a p^+^), la fattorizzazione di un polinomio f{X) G Z[X] modulo p si puo ottenere per tentativi con un numero finito di passi. Tuttavia questo modo di procedere e del tutto inefficiente. Un algoritmo di fattorizzazione molto piu efficace ed implementabile al calcolatore si basa sulF algoritmo euclideo della divisione e sul Teorema Cinese di Resti ed e dovuto a R. Berlekamp {Factoring polynomials over finite fields^ 1967). Una descrizione di questo algoritmo si puo trovare ad esempio in [20, Section 2.5.1] o [45, Chapter 12]. Una volta fattorizzato il polinomio f{X) in polinomi irriducibili su Fp, usando il cosidetto Lemma di Hensel, e possibile ottenere da questa una fattorizzazione di f{X) modulo p ^ , N >2^ ed infine, per N abbastanza grande, ricavare la fattorizzazione di f{X) in polinomi irriducibili su Z. Per i dettagli si puo consultare [20, Section 2.5.2] o [45, Chapter 13].

2.6 II teorema della base di Hilbert Se K e un campo, I'anello dei polinomi K[X] e un dominio a ideali principali (Teorema 2.2.4). Questo non e vero in piii indeterminate, ad esempio

2.6 II teorema della base di Hilbert

75

I'ideale (Xi,X2) C K[Xi,X2] non e principale (Esempio 2.5.9 (1)); tuttavia il Teorema della Base di Hilbert asserisce che ogni ideale di un anello di polinomi K[Xi,..., Xn] e finitamente generate. Questo teorema e di grande importanza, specialmente per le applicazioni geometriche. Gli anelli commutativi unitari in cui ogni ideale e finitamente generato prendono il nome da Emmy Noether, per i suoi fondamentali contributi alia Teoria degli Ideali (Idealtheorie in Ringbereichen, 1921). Definizione 2.6.1 Sia A un anello commutativo unitario. Un A-modulo M si dice un modulo noetheriano se ogni sotto A-modulo di M e finitamente generato. Inoltre A si dice un anello noetheriano se e noetheriano come Amodulo. Notando che i sotto A-moduli di un anello commutativo unitario A sono precisamente gli ideali di A, possiamo anche definire un anello noetheriano come un anello commutativo unitario i cui ideali sono finitamente generati. Nel seguito useremo alcune nozioni elementari di algebra lineare, per le quali si puo consultare [43] oppure [50]. Proposizione 2.6.2 Sia A un anello commutativo unitario e M un Amodulo. Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) M (rispettivamente A) e noetheriano; (ii) (Principio del massimo) Ogni insieme non vuoto di sotto A-moduli di M (rispettivamente di ideali di A) ha un elemento massimale rispetto aWinclusione; (iii) (Condizione della catena ascendente) Ogni catena ascendente di sotto Amoduli di M (rispettivamente di ideali di A) NoCNiC...CNkC... e stazionaria, doe esiste un (minimo) intero h>0 k>h.

tale che Nh — Nk per

Dimostrazione. (i) =^ (iii) Sia {Nk}k>o una catena di sotto A-moduli di M e sia ^ = Ufc>o ^k IsL loro unione. Poiche N — aiA ^ h at A e finitamente generato, esiste un (minimo) intero h > 0 tale che a^ G Nh per i — 1,.. .,t. Allora Nh ^^ Nk = N per ogni k > h. (iii) => (ii) Sia S un insieme non vuoto di sotto A-moduli di M e supponiamo che S non abbia elementi massimali rispetto all'inclusione. Allora dato A^o ^ S, esiste Ni ^ S tale che NQ C Ni. Poiche Ni non e massimale in 5, esiste N2 ^ S tale che NQ C Ni C N2. Cosi procedendo, si ottiene una catena ascendente di sotto A-moduli di M ATo C ATi C . . . C ATfc C . . . che non e stazionaria.

76

2 Anelli di polinomi

(ii) ^ (i) Supponiamo che A^ C M sia un sotto 74-modulo che non e finitamente generate e sia S I'insienie dei sotto ^-moduli di M contenuti in A^ che sono finitamente generati. Poiche il modulo nullo appartiene ad 5, 5 e non vuoto e quindi per ipotesi ha un elemento massimale L. Se L C. N, dato X e N\L,i\ sotto 74-modulo V :— L + xA di M e ancora finitamente generato e contenuto in N. Ma L C L', contro la massimalita di L. Teorema 2.6.3 (Teorema della Base, D . Hilbert, 1888) SeAeun anello noetheriano e Xi^... ,Xn, n > 1, sono indeterminate indipendenti su A, Vanello di polinomi A[Xi^..., X^] e un anello noetheriano. In particolare, se K e un campo, Vanello di polinomi K[Xi,..., Xn] e noetheriano. Dimostrazione. Per induzione sul numero delle indeterminate, basta dimostrare che se A e noetheriano, lo e anche A[X]. Useremo le condizioni equivalenti date nella Proposizione 2.6.2. Per ogni ideale non nullo / di A[X] e per ogni n > 0, consideriamo il sottoinsieme Cn{I) di A formato dai coefficienti direttori di tutti i polinomi di grado n appartenenti ad / e dallo zero. Si verifica facilmente che Cn{I) e un ideale di ^ e che, se /i Q h, si ha Cn(/i) ^ Cnih)- Inoltre

Co(/)cCi(/)c...cC,-(/)c... Infatti, se f{X)

A[X]

G /, anche Xf{X)

G / . Allora, data una catena di ideali di

/o c /i c ... c 4 c ...

per ogni fe, j > 0, si hanno le catene di ideali di A Coih) C Ci(/fe) C .. . C Cjih)

C Cj+i{h)

C .. .

Cj{Io) C Cjih) C...C Cjih) C Cjih+i) C . . . Poiche A e noetheriano, I'insieme di ideali S := {Cj{Ik)}j,k>o ha un elemento massimale Cp{Iq). Quindi in particolare Cp{Ik) = Cp{Iq) per ogni k > q. D'altra parte, le catene di ideali

{Co{Ik)}k>o] {Ci{Ik)}k>o]

•••;

{Cp-i{Ik)}k>o

stazionano. Quindi esiste un intero ^' > 0 tale che Cj{Ik) = Cj{Iq') per jf = 1 , . . . ,p — 1 e /u > g'. In definitiva, se m := max(g, q')^ si ha Cj{Ik) = Cj{Im)

per ogni

j

>0,k>m.

Per finire, mostriamo che questo implica che Ik = Im per k > m e quindi che la catena di ideali {Ij}j>o di A[X] staziona. Supponiamo che Im £ h e sia f{X) := anX^ + • • • + ao, «n 7^ 0, un polinomio di grado minimo in h \ Im- Poiche an G C n ( 4 ) = Cn{Im): esistc un pohnomio g{X) G Im di grado n e coefficiente direttore a^. Ma allora il polinomio f{X) — g{X) ha grado strettamente minore di n e f{X)—g{X) G Ik\Im^ contro la minimalita di n.

2.6 II teorema della base di Hilbert

77

Una conseguenza importante del Teorema della Base e die ogni algebra finitamente generata su un anello noetheriano e ancora un anello noetheriano. Proposizione 2.6.4 Siano M i , . . . , Mn A-moduli noetheriani. Allora la somma diretta Mi 0 • • • 0 Mn e un A-modulo noetheriano. In particolare, se A e un anello noetheriano, A^ e un A-modulo noetheriano. Dimostrazione. Per induzione su n, basta dimostrare il caso n = 2. Consideriamo gli omomorfismi ^-linear! L:

Ml —^ Ml 0 M2 ;

TT : M l 0 M 2 — > M2]

mi ^ (mi, 0) {nil,1712)

^m2.

Data una catena di sotto A-moduli {Nk} di Mi 0 M2, si ha che {L~^{Nk)} e {7T{Nk)} sono catene di sotto 74-moduli di Mi e M2 rispettivamente. Quindi, per s > 0 abbastanza grande e ogni t > s, risulta L~^{NS) = L~^{Nt) e 7r{Ns) = 7r(A^t)- Ne segue che Ns = Nt. Sia infatti x := (xi,X2) G Nt. Allora esiste y :— (2/1,^2) ^ Ng tale che X2 — 7r(x) = ^{y) = 2/2- Percio x — y — {xi - yi,0) e NtH Im(^) e z."^(x - y) G i~'^{Nt) = L~\NS). Ne segue che X — y e Ng e anche x e Ng. Proposizione 2.6.5 Sia M un A-modulo noetheriano e sia N un sotto Amodulo di M. Allora il modulo quoziente M/N e noetheriano. Inoltre, se A e un anello noetheriano e I C A e un ideale, Vanello quoziente Ajl e noetheriano. Dimostrazione. Ogni sotto A-modulo di M/N e del tipo L/7V, dove L e un sotto A-modulo di M contenente N. Allora si verifica facilmente che, se L := aiA H h anA, risulta L/N = {ai -f N)A H h (a^ + N)A. Se poi J/1 e un ideale di A / / , dove J := ( a i , . . . , an) e un ideale di A, risulta anche J/1 — (ai + / , . . . , o^n + /)• Corollario 2.6.6 Se A e un anello noetheriano, ogni A-modulo finitamente generato e noetheriano ed ogni A-algebra finitamente generata e un anello noetheriano. Dimostrazione. Se M := a i A H A'' —^ M ;

h otnA, I'applicazione

( c i , . . . , Cn) ^ aici -\

h anCn

e un omomorfismo A-lineare suriettivo. Allora M e A-isomorfo ad un quoziente di A^ ed in quanto tale e un A-modulo noetheriano (Proposizioni 2.6.4 e 2.6.5). Inoltre ogni A-algebra finitamente generata e isomorfa al quoziente di un anello di polinomi in un numero finito di indeterminate su A (Proposizione 2.3.3). Possiamo allora concludere per il Teorema della Base (Teorema 2.6.3) e la Proposizione 2.6.5.

78

2 Anelli di polinomi

Infine mostriamo che i domini noetheriani hanno la proprieta di fattorizzazione in elementi irriducibili. Proposizione 2.6.7 Se A e un dominio noetheriano, ogni elemento non nullo e non invertibile di A si pud fattorizzare in elementi irriducibili. Dimostrazione. Segue dalla Proposizione 1.4.10, perche un anello noetheriano verifica in particolare la condizione della catena ascendente sugli ideali principali (Proposizione 2.6.2). Esempi 2.6.8 Un dominio noetheriano non e necessariamente a fattorizzazione unica. Ad esempio, 1'anello A := Z[iv6] e noetheriano, perche e una Z-algebra finitamente generata, ma non e a fattorizzazione unica. Infatti risulta 10 = 2 - 5 = : ( 2 + i \ / 6 ) ( 2 - i \ / 6 ) con X G {2, 5, 2 ± IA/G} irriducibile ma non primo. L'irriducibilita di x in A puo essere verificata notando che se x = yz e una fattorizzazione propria di x, la norma complessa di y e z deve essere uguale a 2 oppure a 5; ma in A non esistono numeri complessi di tale norma. Inoltre gli elementi invertibili di A sono soltanto 1 e — 1, quindi ad esempio 2 non divide 2 ± i\/6 e percio non e un elemento primo.

2.7 Polinomi simmetrici Se A e un anello commutativo unitario e X := { X i , . . . , Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A, il gruppo Sn delle permutazioni su n elementi agisce in mo do naturale su -A[X] nel seguente modo. Dato un polinomio / ( X ) G ^[X] e una permutazione cr G Sn definiamo / " ^ ( X i , . . .,Xn)

: = / ( X ^ ( i ) , . . .,Xcr(n))-

II polinomio f^{X) e quindi ottenuto da / ( X ) permutando le indeterminate secondo a (Paragrafo 12.1). Proposizione 2.7.1 Sia A un anello commutativo unitario e sia X := {Xi,..., Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora, per ogni permutazione a G Sn, Vapplicazione ^ , : ^[X] - ^ A[X] / ( X i , . . .,X„) ^ r ( X ) := /(X<,(i),.. .,X,(„)) e un automorfismo di A[X.].

2.7 Polinomi simmetrici

79

Dimostrazione. Per ogni permutazione cr G S^, I'applicazione if a- e un omomorfismo per le proprieta delle operazioni tra polinomi. Inoltre (fcj e biiettiva, con inversa I'applicazione (y^^--1 definita da / ( X i . . .,Xn) ^-^ f^

(X) := /(X^-i(i), . . .,X^-i(^)).

Definizione 2.7.2 Sia A un anello commutativo unitario e sia X := {Xi, . . . , Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Un polinomio / ( X ) £ ^[X] si chiama un polinomio simmetrico se / ( X ) = f^{X.), per ogni cr G Sn; ovvero se / ( X ) rimane invariato per una qualsiasi permutazione delle indeterminate. Esempi 2.7.3 I polinomi costanti sono banalmente polinomi simmetrici. Ogni polinomio in una indeterminata X e simmetrico; infatti Tunica permutazione sull'insieme {X} e I'identita. Per n = 2, Tunica permutazione di versa dalTidentita e la trasposizione (7 := (12). Allora il polinomio in due indeterminate / ( X i , X 2 ) := Xi + X2 — X1X2 e simmetrico perche f{Xi^X2) = / ^ ( X i , X 2 ) , mentre il polinomio g{Xi,X2) := Xi + X1X2 non lo e, perche ^^(Xi,X2) = X2 + X1X2 7^ Proposizione 2.7.4 Se A e un anello commutativo unitario e X := {Xi^ . . . ; Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A, i polinomi simmetrici di A\X\ costituiscono un sottoanello di A\X\. Dimostrazione. Bast a osservare che, essendo I'applicazione (fo- un automorfismo, per ogni a G S^, somme e prodotti di polinomi fissati da ipa- sono ancora polinomi fissati da (fo- • Di particolare interesse sono i seguenti polinomi simmetrici in X i , . . . , X^, detti polinomi simmetrici elementari (o funzioni simmetriche elementari) su A:

si := 5i,n(X) := 22

^*'

2=1,...,n

S2 : = «52,n(X) : =

Sr '— s^^n(X) :—

^

Xi^Xi^'->

y ^

Xi^Xi^ .. .Xi^

l
I polinomi simmetrici elementari in X i , . . . , X ^ - i , si ottengono da 5 i , . . . , Sn-i ponendo Xn — 0. Infatti valgono le seguenti formule ricorsive:

80

2 Anelli di polinomi

^ 2 , n ^^ ^ 2 , n —1

^ r , n — <^r,n —1 i ^ n ^ r — l , n —15

^ n —l,n — ^ n —l,n—1 i -^71,^72 — 2,71 — 1 <5n,n ^

-^n^n—1,71-1-

Esempi 2.7.5 Se n = 1, runico polinomio simmetrico elementare e il polinomio si := X, Se n = 2, i polinomi simmetrici elementari in Xi,X2 sono: si := Xi + X2

e

S2 := -^i-X2.

Se n = 3, i polinomi simmetrici elementari in Xi, X2, X3 sono: 5i := Xi + X2 + X3,

52 := X1X2 + X1X3 + X2X3,

S3 := X1X2X3.

L'importanza dei polinomi simmetrici elementari risiede nel fatto che, quando ^ e un dominio, essi generano tutti i polinomi simmetrici ed inoltre I'anello dei polinomi simmetrici su A risulta isomorfo all'anello dei polinomi A[X.]. Notiamo pero che, se n > 2, I'anello dei polinomi simmetrici e propriamente contenuto in -A[X], perche in questo caso esistono polinomi non simmetrici. Teorema 2.7.6 Sia A un dominio e sid X *— . {Xi,..., indeterminate indipendenti su A. Allora Vapplicazione ^ : ^[X] —> A[X] ;

/ ( X i , . ..,Xn)^

XTT,]-

f{su...,

un insieme di

5,)

e un omomorfismo iniettivo, per ogni n > 1. Dimostrazione. L'applicazione ^ e un omomorfismo di anelli perche associa ad ogni polinomio di A[X.] il suo valore calcolato in ( 5 1 , . . . , Sn) (Paragrafo 2.3.3). Per far vedere che '0 e iniettivo, procediamo per induzione sul numero n delle indeterminate e usiamo le formule ricorsive. Se n = 1, I'unico polinomio simmetrico su yl e il polinomio si := Xi e non c'e niente da dimostrare. Supponiamo che il teorema sia vero in n — 1 indeterminate e che esista un polinomio non nullo in n indeterminate / ( X ) G ^[X] tale che / ( ^ i , . . . , s^) = 0. Scegliamo / ( X ) di grado minimo k e scriviamolo come un polinomio in X^: fOQ

— fo{Xi,

. . .,Xn-l)+/l(Xi, . . .,Xn-l)XnH

h/m(-^l, • • • ,

Xn-l)X^.

Allora il polinomio / o ( X i , . . . , X n - i ) e non nullo; altrimenti / ( X ) sarebbe divisibile per X^ e 5 i , . . . , 5^ annuUerebbero un polinomio di grado minore di k. Poiche, calcolando in 5 i , . . . , 5n,

2.7 Polinomi simmetrici / o ( s i , . . . , Sn-l)

+ / l ( 5 l , . . . , Sn-l)Sn

81

+ ' ' ' + /m(si, ••. , S n - l ) C = ^

e Xn divide Sn, per X^ = 0 si ottiene / ( 5 i , . . . , S n ) == / o ( s i , - • ',Sn-l)

= 0.

Da cui, indicando con 5^ := si^n-i^ • • • 5 ^n-i •— <^n-i,n-i i polinomi simmetrici elementari in X i , . . . , Xn~i e usando le formule ricorsive Sr = 5^ + Xn5^_i, si ha

Ancora per X^ = 0, si ottiene allora fo{s[,..., va.

5^_i), contro I'ipotesi indutti-

Per il teorema precedente, se / ( X ) G ^[X] e un polinomio non nullo, / ( s i , . , . , Sn) ^ 0 e quindi le funzioni simmetriche elementari 5 i , . . . , s^ si comportano come indeterminate indipendenti su A. Elementi con questa proprieta si dicono algebricamente indipendenti su A. II concetto di indipendenza algebrica verra approfondito nel successivo Paragrafo 6.1. Teorema 2.7.7 (Teorema Fondamentale sui Polinomi Simmetrici) Sia A un dominio e siaX. := { X i , . . . , Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora ogni polinomio simmetrico / ( X ) G A[X] si pud esprimere in modo unico come un polinomio a coefficienti in A calcolato nei polinomi simmetrici elementari s i , . . . , 5^. Dimostrazione. Si procede per doppia induzione sul numero n delle indeterminate e sul grado k del polinomio, facendo uso delle formule ricorsive. Se n = 1, I'unico polinomio simmetrico su A e il polinomio si := Xi e non c'e niente da dimostrare. Supponiamo che il teorema sia vero per tutti i polinomi in n — 1 indeterminate. Per dimostrare che esso e vero in n indeterminate, procediamo per induzione sul grado k di / ( X ) . Se il grado di / ( X ) e zero, il teorema e vero banalmente. Supponiamolo dunque vero per i polinomi di grado inferiore a. k > 1. Sia / ( X ) un polinomio simmetrico di grado k, che possiamo scrivere come / ( X ) : = / ( X i , . . . , X n ) : = fo{Xi,

. . .^Xn-l)

+ /l(Xi, . .

.^Xn-l)Xn

Allora anche il polinomio fo{Xi,..., Xn-i) — f{Xi,..., Xn-i, 0) e simmetrico. Per I'ipotesi induttiva su n, se s^ := s^,n-i, '^ = 1,.. . , n — 1, sono i polinomi simmetrici elementari nelle n — 1 indeterminate X i , . . . , X ^ - i , si ha

Da cui, sostituendo 5^ = 5^ — Xn5^_i, otteniamo fo{Xi,...,Xn-l)

= <^o(5i,...,5^_i) =

(fo{si,...,Sn-l)-\-1p{Xi,.,.,Xn)Xn

82

2 Anelli di polinomi

e dunque

Poiche f{Xi,.

. .,Xn)

- (y^o(si, . . . , 5 n - l ) = g{Xi,

..

,,Xn)Xn

e simmetrico ed e diviso da X^, esso e diviso da tutte le indeterminate X i , . . . , Xn e dunque e diviso da. Sn = Xi... Xn. In conclusione otteniamo f{Xi,.,.,Xn)

= ^o{si,.

..,5n-l) +/l(Xi,. ..,X^)Sn,

dove / i ( X i , . . . , X^) e simmetrico di grado s < k. Poiche, per I'ipotesi induttiva su fc, il teorema e vero per h{Xi,..., X^), allora esso e vero anche per / ( X ) . L'unicita deriva dal fatto che, per il Teorema 2.7.6, se (p{si^... ,Sn) = '0(51,..., 5n) il polinomio differenza {cp — ip)(X.) e il polinomio nullo. CoroUario 2.7.8 Sia A un dominio e sid X I— { X i , . . •, Xji^ UTi ifisisTTic di indeterminate indipendenti su A. Allora, Vanello dei polinomi simmetrici nelle indeterminate "K su A e Vanello A [ s i , . . . , s^] generato dai polinomi simmetrici elementari ed e isomorfo alVanello di polinomi A[Xi.. .X^]. Dimostrazione. Ogni polinomio simmetrico di A[Xi...Xn] e contenuto in A[si^...^Sn] per il Teorema 2.7.7. Viceversa, poiche i polinomi simmetrici formano un anello, ogni elemento di ^ [ ^ i , . . . , 5^] e un polinomio simmetrico. Infine ^ [ ^ i . . . s^] e isomorfo a A[Xi,..., Xn] per il Teorema 2.7.6. Esempi 2.7.9 (1) II procedimento illustrato nella dimostrazione del Teorema 2.7.7 permette di esprimere effettivamente un polinomio simmetrico in funzione dei polinomi simmetrici elementari. Consideriamo ad esempio il polinomio a coefficienti razionali / ( X i , X2, X3) := X]^ X2 + X^ X3 + X2 Xi + X2 X3 + X3 Xi + X3 X2. Ponendo X3 = 0, otteniamo il polinomio

/o(Xi,X2) - /(Xi,X2,o) = xlX2-^xlx^ = XiX2(Xi + X2) - s;4, dove s[ = Xi + X2 e ^2 = X1X2. Passando di nuovo a tre indeterminate, consideriamo il polinomio /(Xi,X2,X3) — S1S2, dove Si = Xi H- X2 + X3 e 52 = X1X2 + X1X3 + X2X3. Otteniamo: /(Xi,X2,X3) - 5152 = -3X1X2X3 = -353. Percio /(Xi,X2,X3) = 5i52 - 3 5 3 .

2.7 Polinomi simmetrici

83

Per fare ancora un esempio, consideriamo := X^X2 + X-^X^ + X2X^.

g{Xi,X2,X3)

Ponendo X3 = 0, otteniamo il polinomio

Da cui, passando di nuovo a tre indeterminate e sottraendo g{XuX2,

Xs) -sl = XfXl

-Sss{XlX2 =

+ XfXl

+ X^Xs + XlXi

+ XlXl

- (X1X2 + X1X3 + X2Xsf

+ X^Xs + X^Xi + XiX2) - 6sl 4

-3ssf{XuX2,Xs)-6sl

dove / ( X i , X2, X3) := XfX2 + ^ 2 X 3 + X | X i + X | X 3 + X | X i + X|X2 e il polinomio considerato precedentemente. Poiche abbiamo visto che f{Xi,X2,Xs)

= S1S2 - 3 5 3 ,

si ottiene: ^(Xi,X2,X3) - s | = -353(si52 -353) -6sl = -3515253 + 353. Infine g{Xi,X2,X3)

= -3515253 + 353 + 53.

(2) Per ogni A: > 1, i polinomi in n indeterminate su A

sono simmetrici. Essi vengono chiamati polinomi di Newton. Le relazioni tra i polinomi di Newton e i polinomi simmetrici elementari su F sono date dalle cosidette formule di Newton:

252 = -P2+P1S1; 353 =P3 -P2S1 -\-piS2;

nSn = { - i r

^{Pn -Pn-lSl

-\-Pn-2S2

±Pi5n-l).

e, per k > n, Pk - Pk-lSl + Pk-2S2

+ {-iTPk-nSn

= 0.

Queste relazioni ci permettono di ricavare i polinomi di Newton in funzione dei polinomi simmetrici elementari e viceversa. Ad esempio, perfc= 2, si ottiene P2(X) := Xf + Xl + --- + Xl=si2s2.

84

2 Anelli di polinomi (3) II polinomio in n > 2 indeterminate

n

D{X):=

{Xi-XjfeAlX]

l
e un polinomio simmetrico in X i , . . . , Xn- Per convincersene, basta osservare che permutando le indeterminate, al piii cambia il segno di qualche fattore {Xi — Xj). Questo polinomio viene chiamato il polinomio o funzione discriminante. II determinante di Vandermonde in n > 2 indeterminate su A e il polinomio F(X) G A[Xi,... ,Xn] ottenuto calcolando il determinante della mat rice: / I 1 ... 1 \ Xi X2 ' ' ' Xn M:={Xi)

i<,<,

0<J
Y2

Al

Y2

A2

...

m — l vn — l

V2

A^

•^rv

Non e difficile mostrare che risulta V(K) — ni<2<j
D(X):=

n

{X^-Xjr

= ViXf.

l
Questa osservazione ci permette di calcolare il polinomio discriminante in funzione dei polinomi di Newton e quindi dei polinomi simmetrici elementari. Infatti si ha

D{X) = V{Xf

= | M p = |M||M*| = \MM^

n pi Pi V2

Pn-l Pn

Vn-l Pn

P2n-2

Ad esempio per n = 2 si ottiene: D{XuX2)

=

2 pi = 2p2-pl P1P2

= SJ - 4 5 2 .

In generale pero I'espressione del polinomio simmetrico D{X.) in funzione dei polinomi simmetrici elementari e piuttosto complicata. Gia per n = 3, si ottiene D(Xi,X2,X3) = sfsi - 4s^ - Astss - 275^ + ISS1S2S3. 2.7.1 Funzioni simmetriche Se A e un dominio con campo delle frazioni K e X := { X i , . . . , Xn} e un insieme di indeterminate indipendenti su A, per ogni permutazione a G S^,

2.7 Polinomi simmetrici

85

rautomorfismo (^a- di ^[X] si estende ad un automorfismo del campo delle funzioni razionali K{X.) ponendo ^ , : K{X) -^

K{X) ;

(Teorema 1.5.1 (d)). II risultato seguente e immediato. Proposizione 2.7.10 Sia K un campo e sia X := { X i , . . . , Xn} un insieme di indeterminate indipendenti su K. Allora Vapplicazione

Sn-^Aut(K(X));

a^i^^

e un omomorfismo iniettivo di gruppi. Quindi Vinsieme E :— {ipa-; cr G S.^} e un sottogruppo di Aut(i^(X)) isomorfo a S^. Una funzione razionale A(X) G K(X.) si dice una funzione simmetrica se A(X) = A^(X), per ogni cr G S^. Si vede facilmente che le funzioni simmetriche costituiscono un sottocampo di K{X). Mostreremo ora che questo e precisamente il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi simmetrici. Proposizione 2.7.11 Sia A un dominio con campo dei quozienti K e sia X := { X i , . . . , X n } un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora una funzione razionale ^iX) G K(X) e una funzione simmetrica se e soltanto se esistono due polinomi simmetrici / ( X ) e ^(X) G ^[X] tali che ^{X) = /(X)/5(X). Dimostrazione. E evidente dalla definizione che, se / ( X ) e ^(X) G A\X\ sono polinomi simmetrici, anche la funzione razionale f{X)/g{X) lo e. Viceversa, sia ^(X) := h{X)/k{X) una funzione razionale simmetrica, /i(X), k{X) G ^[X]. II polinomio giX) := HCTES ^ ^ ( X ) e simmetrico ed e diviso da k{X). Allora anche il polinomio / ( X ) := Lp{X)g{X) = h{X){g{X)/k{X)) e simmetrico e (f{X) — f(X)/g{X). Corollario 2.7.12 Sia K un campo e sia X i— {-^i? • • • ? ^ n } "^^ insieme di indeterminate indipendenti su K. Allora il campo delle funzioni simmetriche su K e il campo dei quozienti delVanello dei polinomi simmetrici K[si^.. .^Sn] ed e isomorfo al campo delle funzioni razionali. Dimostrazione. Segue dalla Proposizione 2.7.11, perche i polinomi simmetrici elementari su K generano tutti i polinomi simmetrici (Teorema 2.7.7) e I'anello dei polinomi simmetrici K[si^ • • •, s^] e isomorfo all'anello di polinomi K[Xi, ...,Xn] (Corollario 2.7.8). Esempi 2.7.13 Se f{X)/g{X) G K{X) e una funzione simmetrica con MCD(/(X),^(X)) = 1, per il Corollario 2.7.12, / ( X ) e ^(X) sono polinomi simmetrici. Se pero MCD(/(X),^(X)) 7^ 1, non e detto che / ( X ) e ^(X) siano polinomi simmetrici. Ad esempio, in due indeterminate, i polinomi / ( X ) = XiSi = Xi +X1X2 e g{X) := X1S2 = Xf X2 non sono simmetrici, ma la funzione f{X)/g{X) = 51/52 lo e.

86

2 Anelli di polinomi

2.7.2 II polinomio generale Sia A un dominio e siano X i , . . . , X ^ , T indeterminate indipendenti su A. II polinomio G(X, T) := (T - Xi){T - X 2 ) . . . (T - X^) e A[X, T] si chiama il polinomio generale di grado n su A. Sviluppando i prodotti e mettendo in evidenza le potenze di T, si ottiene G(X, T) := g{T) := T^ - siT'^'^ + S2T^-^ - • • • + (-l)"5n, dove 5 i , . . . , Sn sono i polinomi simmetrici elementari in X i , . . . , X^. Dunque il coefficiente di T^ in g{T) e, per A: = l , . . . , n — 1,

i-ir-'^sn-k. In particolare, ^(T) e un polinomio nell'indeterminata T a coefficienti in A[si^..., 5n] ed ha radici X i , . . . , X^ G ^[X]. Dal momento che i polinomi simmetrici elementari sono algebricamente indipendenti su A (Teorema 2.7.6), il polinomio generale su A puo essere considerato come un polinomio monico in una indeterminata T i cui coefficienti sono a loro volt a indeterminate su A. Cosi ogni particolare polinomio monico di grado n a coefficienti in A si ottiene assegnando valori specifici ai coefficienti del polinomio generale di grado n. Sia ora / ( T ) := T" + an-iT^-^

-f • • • + a i T + ao G A[Ti

Come vedremo nel successivo Capitolo 4, esiste sempre un campo K contenente A in cui / ( X ) abbia tutte le sue radici; nel caso numerico, per il Teorema Fondamentale dell'Algebra, basta prendere X := C (Paragrafo 2.4). Allora in K[T] risulta /(r) = ( T - a i ) ( T - a 2 ) . . . ( r - a O , dove a i , . . . , a^ non sono necessariamente distinti, e percio il polinomio / ( T ) si ottiene dal polinomio generale di grado n su A sostituendo a i , . . . ,an a X i , . . . , Xn- Ne segue che i coefficienti di /(T) sono, con il segno opportuno, i valori dei polinomi simmetrici elementari in X i , . . . , X^ calcolati nelle radici a i , . . . , a n (indipendentemente dall'ordine scelto per esse). Precisamente, valgono le relazioni ak = {-IY~^Sn-k{oti,...,

an)

per fc = 1,.. . , n — 1. Se f(T) := a^T^ + • • • + ao non e monico, esso e associato sul campo delle frazioni F di A dl polinomio monico a~^f{T). Poiche i polinomi / ( T ) e a~^f{T) hanno le stesse radici, allora a'^ak = {-l)''~^Sn-k{c^i,...,

an).

2.7 Polinomi simmetrici

87

Considerando eventualmente / ( T ) come un polinomio a coefHcienti in F e sostituendolo con a~^f{T), non sara restrittivo nel seguito supporre che / ( T ) sia un polinomio monico. II prossimo risultato mostra che, se f{T) E A[T] e monico, il valore di un polinomio simmetrico calcolato nelle radici di / ( T ) e un elemento di A. Per quanto precede, se f{T) non e monico, otteniamo che tale valore e comunque un elemento del campo delle frazioni F di A. Proposizione 2.7.14 Sia A un dominio e sia f{T) := T^ + an-iT'^~^ + ' •' -\- ao e A[T] un polinomio di grado positivo con radici a i , . . . , a^ (in un campo K contenente A). Se 'K = { X i , . . . , X n } e un insieme di indeterminate indipendenti su A e s{X) G A\X\ e un polinomio simmetrico, allora 5 ( a i , . . . , a^) = ^(^n-i^ • • • ? ^o) P^^ qualche polinomio h{X.) G ^[X]. In particolare s ( a i , . . . , an) G A. Dimostrazione. Scriviamo ^(X) come un polinomio nelle funzioni simmetriche elementari 5 i , . . . , 5^ su ^ (Corollario 2.7.8), ovvero 5 ( X ) = (p{si,...,Sn)

e

A[si,...,Sn]-

Poiche Sfc(ai,.. .,Q;n) = {—l)^an-k^ per k = l , . . . , n , calcolando 5(X) in a i , . . . , Q^n si ottiene una espressione polinomiale in a ^ - i , . . . , ao a coefHcienti in A. Quindi s{ai,.. .,an) = h{an-i, • • •,ao) G A. 2.7.3 II discriminante di un polinomio II polinomio discriminante in n > 2 indeterminate D{Xu...,Xn):=

n

{X^-XjfeA[Xl,...,Xn]

(Esempio 2.7.9 (3)) e molto utile per lo studio delle radici dei polinomi di grado n. Definizione 2.7.15 Sia A un dominio. Se f{T) := T"" + an-iT""'^ + • • • + ao e A[T], n > 2, ha radici a i , . . . , a n (in un campo K contenente A), il discriminante di / ( T ) e il valore del polinomio discriminante -D(Xi,..., Xn) calcolato nelle radici di f{T)

D{f) :=D{a,,...,

an) :^

H

(«i - « J ) ' -

l
Evidentemente il discriminante di f{T) e nullo se e soltanto se f(T) ha radici multiple e quindi esso discrimina i polinomi con radici semplici da quelli con radici multiple; da qui la terminologia. Nel caso numerico, un polinomio irriducibile non puo avere radici multiple (Proposizione 2.4.3 (c)); quindi abbiamo subito il seguente risultato.

88

2 Anelli di polinomi

Proposizione 2.7.16 Sia F un campo numerico e sia f[T) G F\T] un polinomio di grado n>2. Se f{T) e irriducibile su F, il discriminante di f(T) e non nullo. Proposizione 2.7.17 Sia A un dominio e sia f{T) := T^ + an-iT'^~^ + h ao G A[T], n > 2. Allora D{f) = / i ( a n - i , . . •, ^o) per qualche polinomio h{Xi,..., Xn) G ^ [ ^ 1 , •.., Xn] ed in particolare D{f) G A. Dimostrazione. Segue dalla Proposizione 2.7.14, perche il polinomio discriminante D ( X i , . . . , Xn) e un polinomio simmetrico. Per semplificare il calcolo del discriminante, si puo effettuare un opportuno cambio di variabile. In caratteristica zero, particolarmente utile e la forma ridotta di un polinomio, introdotta nell'Esempio 2.3.27. Ricordiamo che la forma ridotta del polinomio f{T) e F[T] e il polinomio f{X) che si ottiene da f{T) con la trasformazione di Viete T = X—an-i/n. Poiche a e una radice di f{T) se e soltanto se /? := a + a ^ - i / n e una radice di f{X), f(T) e la sua forma ridotta f{X) hanno lo stesso discriminante. Inoltre, poiche in f[X) il coefRciente del termine di grado n - 1 e zero, I'espressione di D{f) — D{f) come un polinomio nei coefRcienti di / risulta notevolmente semplificata. Esempi 2.7.18 (1) Sia / ( T ) :=T'^ + bT + ce Q[T]. Se a i , a 2 sono le radici di / ( T ) , allora risulta b — —S\{0i\,0L2)

— —(<^l + 0^2)7

C = 52(0^1,^2) = Oi\OL2^

D{f) := D{au a2) = (0^1 - a2)(Q^2 - ^i) = sj - 4^2 = fe^ - 4c. (2) Sia f{T) := T^ -^ aT'^ ^ bT + c e Q[T]. Se a i , 0^2, as sono le radici di / ( T ) , allora risulta: a = - s i ( a i , a2, as) = - ( a i + a2 + as), b = 52(ai, a2, as) = a i a 2 + a i a s + a2as, c = - 5 s ( a i , a2, as) = - a i a 2 a s . e, usando I'espressione vista nell'Esempio 2.7.9 (3), D{XuX2,Xs)

= sjsl - Asl - 45?5s - 27^1 + ISS1S2S3 = a^^ - 4b^ - Aa^c - 27c^ + ISabc.

Ponendo T = X — a/3 si ottiene poi la forma ridotta di / ( T ) :

fiX):=X'+pX+q, dove a^

ab

2a

2.7 Polinomi simmetrici

89

Le radici di f{X) sono /3^ = Q;^ + a/3, per i = 1, 2,3 ed inoltre risulta: 5l(/?l,/?2,/33) = 0,

52(/?l,/32,/33) = P ,

53(/?l,/?2,/33) = - ^ ,

da cui si ottiene D{f) = i^(/) := D{pu 02,03) = - V (3) Sia / ( T ) := T'^^aT'^+ce di / ( T ) sono: a:=yr

+ sVi^

27q\

Q[T] un polinomiobiquadratico. Le radici

-a,

f3:=yr

— sVt,

-/?

dove r := —a/2, 5 := 1/2, t := o? — 4c. Allora il discriminante di / ( T ) e i^(/) := D(a, - a , / 3 , -/3) = {2a)\a

+ (3)\-a

- 0f{a

= IQa^p^a

- f3f{-a

+ /?)^(2/?)2

- f])\a + 0)^ = 16c(a' - Z?')^

= 16c{2sVi)^ = IGct^ = 16(a^c - 8a^c^ + 16c^). Mostriamo ora che il discriminante del polinomio f{T) puo essere calcolato tramite i valori che il polinomio derivato / ' ( T ) assume nelle radici o^i,..., an di / ( T ) . Proposizione 2.7.19 Sia A un dominio e sia f{T) G A[T] un polinomio monico di grado n>2 con radici a i , . . . , a^ (in un campo K contenente A). Allora risulta

n / ("^)-

D{f)=(-1)^^

l
Dimostrazione. Poiche f{T) = {T — ai).. /'(T) = ^

.{T — an), allora si ha

(T - a i ) . . . (T - a,_i)(T - a ^ + i ) . . . (T - a„);

l
da cui f{ai)

= (ai -ai)...

{ai - ai-i){ai

- a ^ + i ) . . . (a^ - an),

per ogni i = 1 , . . . , n. Infine

£>(/):-£»(ai,...,a„):=

JJ

{^i - a,f

l
i^j

l
90

2 Anelli di polinomi

Esempi 2.7.20 Sia / ( T ) := TP - 1 e Q[T], dove p ^ 2 e nn numero primo e sia ^ una radice primitiva p-esima deH'unita. Poiche le radici di f{T) sono ^,^2 . ,^p = 1 (Paragrafo 2.4.2) e f{T) = pT^'^, usando la Proposizione 2.7.19, risulta

l
dove N > 1. Osserviamo ora die, poiche D{f) G Q, anche ^ ^ G Q. Allora deve essere ^^ = 1 e D(/) = ( - i ) ^ p ^ . 2.7.4 II risultante di due polinomi Siano X = { X o , . . . , X n } e Y := {YQ^ .. .^Ym}^ con n > 1, insiemi di indeterminate indipendenti su un dominio A e consideriamo i polinomi F{T) := F ( X , T ) := Xo{T - X,){T - X2).. .{T - X^) ^ a n T ^ + a n - i T ^ - ^ + ' - ' + ao G{T) := G(Y, T) := Yo{T - Y,){T - 1^2)... (T - Y^)

dove, posto So = to := 1 e indicando con s i , . . . , ^ ^ e t i , . . . , t ^ i polinomi simmetrici elementari nelle indeterminate X i , . . . , Xn e Y i , . . . , Ym rispettivamente, risulta ai := {-!)''-'XoSn-i,

z = 0,..., n ;

6^ := (-l)^"^Yo^n-i , j - 0 , . . . , m

(Paragrafo 2.7.2). Per I'indipendenza algebrica delle funzioni simmetriche elementari (Teorema 2.7.6), i coefRcienti an,. • •, ^o e rispettivamente 6 ^ , . . . , 60 possono considerarsi come indeterminate algebricamente indipendenti su A. Se m = 0, poniamo 7^(X, Y) := 7^(F, G) := 7^(G, F) := FQ", altrimenti, per n^m > 1, poniamo

l<2
Deflnizione 2.7.21 Ilpolinomio 7l(K, Y) := 1Z{F, G) si chiama il polinomio risultante di F{T) eG{T). Poiche, per n,m>

1,

{Yj - Xi) = -{Xi -Yj),

i = 1 , . . . , n , j = 1 , . . . , m,

2.7 Polinomi simmetrici

91

si verifica subito che 7^(F,G) = ( - 1 ^ ^ 7 ^ ( G , F ) . Notiamo poi che

n G(xo=v n (^^-^^•:

l
l
e un polinomio omogeneo di grado n nei coefficienti bj := (—1)^ ^Y^tn-j di G{T) (Esercizio 2.5) ed analogamente

n F{Y,)=x^ n (^^•-^')

l<j
l
e un polinomio omogeneo di grado m nei coefficienti ai := {—1)'^~'^X^Sn-i di F{T). Ne segue che il pohnomio risultante

niF,G)=x^ n G(x,)=(-ir^iT n ^(^^) l
l<j<m

e omogeneo di grado n nei coefficienti 6j di G{T) e omogeneo di grado m nei coefficienti a^ di F{T). Mostreremo ora che, quando A e un dominio a fattorizzazione unica, TZ{F^ G) e dato dal determinante della cosi detta matrice di J. Sylvester di F{T) e G{T). Deflnizione 2.7.22 Se A e un dominio e f{T) := anT^ + a , _ i T - i + .. . + ao ;

9{T) := 6 ^ T - + 6 ^ _ i T - i + • • . + 6o

sono due polinomi non nulli a coefficienti in A, di grado n > 0 e m rispettivamente, la matrice di J. Sylvester di f{T) e g{T) e la matrice quadrata di dimensione m -\-n: (On an-i 0 an On-i

S{Lg):=

ao

0 ao

0

0 0 an an-i 0 0 0 On On-i bm bm-l . . . ^0 0 0 bm bm-l . . . ?>0 0 0 \0

0 0

0 0

0 0 \ 0 ao 0 ao 0 0 0

6^ bm-1 . . . bo 0 0 bm bm-1 . . . ^0 /

92

2 Anelli di polinomi

Se g{T) = b e un polinomio costante, per ogni polinomio f{T) di grado positive n, la matrice di Sylvester di f{T) e g{T) e la matrice bin, dove In e la matrice identita di dimensione n. Osserviamo che, come il risultante Ii{F, G), anche il determinante |<S(F, G)| della matrice di Sylvester e un polinomio omogeneo di grado n nei coefficient! bj di G{T) e omogeneo di grado m nei coefficient! a^ di F(T). Proposizione 2.7.23 Sia A un dominio a fattorizzazione unica, in particolare un campo, e siano f{T), g(T) G A[r] due polinomi non nulli di grado positivo. Supponiamo che K sia un campo contenente A in cui f{T) e g{T) abbiano tutte le loro radici. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) f(T) e g(T) hanno qualche radice in comune in K; (ii) f{T) e g{T) hanno un divisore comune non costante in A\T]; (iii) InK[X\,UCl}{f{T),g{T))^l; (iv) Esistono due polinomi non nulli h{T), k{T) G A\T] tali che degh{T) < deggiT), deg(/c(r)) < deg/(T) e f{T)h{T) = g{T)k{T). Dimostrazione. Ricordiamo che A[T] e un dominio a fattorizzazione unica (Corollario 2.5.8). (i) =^ (ii) Sia d{T) G A[T] un massimo comune divisore di f{T) e g{T) (Teorema 1.4.8). Se / ( T ) e g{T) hanno una radice comune a e K, d{T) e diviso da (T — a) in K[T] (Teorema 2.3.8); percio d{T) ha grado positivo. (ii) =^ (iii) e evidente. (iii) =^ (i) Poiche MCD(/(T),^(r)) divide sia / ( T ) che g{T) in ^ [ r ] , esso ha tutte le sue radici in K e queste sono le radici comuni di /(T) e g{T). (ii) =^ (iv) Sia d{T) G A[T] un divisore comune non costante di f{T) e g{T). Allora in A[T] risulta / ( T ) = d{T)k{T) e g{T) = d{T)h{T) con degA:(T) < d e g / ( r ) e deg/i(T) < deg^(r). Inoltre f{T)h(T) = g{T)k{T). (iv) => (ii) Supponiamo che f{T)h{T) = g{T)k{T) con h{T), k{T) G A[T] e deg k{T) < deg / ( T ) . Allora non tutti i fattori irriducibili non costanti di / ( T ) possono dividere k{T) con la stessa molteplicita. Quindi almeno un fattore irriducibile non costante di f{T) divide g{T). Siano ora F{T) := anT"" + • • • + ag e G(T) := fo^T^ + • • • + 6o i polinomi a coefficient! indeterminat! su A definit! all'inizio del paragrafo. Se A e un dominio a fattorizzazione unica, per Tindipendenza algebrica su A degli elementi ai e bj, anche gli anelli B := A[{ai,6j}] e 74[X,Y] sono domini a fattorizzazione unica (Corollario 2.5.8). Ovviamente F{T)^ G{T) G B\T\ ed anche |<S(F, G)| Q B Q 74[X, Y]. Inoltre, se iC e il campo delle frazioni di A, entrambi i polinomi F{T) e G{T) hanno tutte le loro radici X i , . . . , Xn e Y i , . . . , Ym nei campo delle funzioni razionali i^(X, Y). Proposizione 2.7.24 Con le notazioni precedenti, sia A un dominio a fattorizzazione unica, in particolare un campo, e siano F{T), G{T) G B[T], con F{T) non costante. Allora niF,G)

= \S{F,G)\.

2.7 Polinomi simmetrici

93

Dimostrazione. Sia n > 0 il grado di F{T) emil grado di G{T). Se G{T) := b e un polinomio costante, la matrice di Sylvester S{F, b) e la matrice diagonale bin di dimensione n. Percio la tesi segue dalle definizioni. Sia allora m > 1. Per la Proposizione 2.7.23, 71{F^G) = 0 se e soltanto se esistono due polinomi non nulli h{T) :— Cm-iT'^"^ + • • • + CQ e k{T) := dn-iT'^~^ -\ h do G B[T], di grado al piu uguale a m - l e n - 1 rispettivamente, tali che f{T)h{T) = g{T)k{T). Uguagliando i coefficienti dei due polinomi f{T)h{T) e g{T)k{T)^ otteniamo il sistema lineare omogeneo nelle n -\- m indeterminate Q , dj su B: do Co = bodo aico + aoci = bido + bodi a2CQ + aiCi + aoC2 = 620^0 + ^i^i + bod2 CinCm-2 + Ctn-lCm-1

— bmdn-2

+ ^m-l^n-l

Se questo sistema ha soluzioni non nulle in B, il determinante della matrice dei coefficienti e uguale a zero. Notiamo ora che, sostituendo —dj con dj, la matrice dei coefficienti e la trasposta della matrice di Sylvester. Quindi se 7^(F, G) = 0 anche |5(F, G)| = 0. Poiche ponendo Xi = Yj, per i = l , . . . , n e j = l , . . . , m , si ottiene TZ{F, G) = 0, considerando |<S(F, G)\ come un polinomio di A[X, Y], si ha che anche |5(F, G)| = 0 ogni volta che Xi = Yj. Quindi {Xi - Yj) divide \S{F, G)\ per i = 1 , . . . , n e j = 1 , . . . , m. Dal momento poi che i polinomi {Xi — Yj) sono elementi primi distinti di 74[X,Y] (Esempio 2.3.9 (3)) e ^ [ X , Y ] e un dominio a fattorizzazione unica, 7?.(F, G) divide |<S(F, G)|. Ricordando che 71{F,G) e |5(F, G)| sono entrambi polinomi omogenei di grado n in &05 • • • ? ^m e di grado m in a o , . . . , a^, otteniamo che |<S(F, G)| e il prodotto di 7^(F, G) per una costante. D'altra parte, il termine che contiene la piu alta potenza di 60 e in entrambi i polinomi a^^Q. Quindi 71{F, G) = \SiF,G)\. Sia ora A un dominio e siano / ( T ) , g{T) G A[T], due polinomi non nulli con coefficienti direttori a^ e ^^rn, '^ > 0, e radici a i , . . . , a^ e / 3 i , . . . , Pm rispettivamente (in un campo K contenente A). Poiche il risultante e un polinomio simmetrico sia nelle indeterminate X i , . . . , Xn che nelle indeterminate F i , . . . , Yjn, calcolando TZ{X, Y) in (a^, a i , . . . , a^, &m, /?i, • • •, Pm) si ottiene un elemento di A (Proposizione 2.7.14). Definizione 2.7.25 Con le notazioni precedenti, relemento di A

{

6Q 5e m = 0 CCni
si chiama il risultante di f{T) e g{T).

sem>l

94

2 Anelli di polinomi

Segue subito dalla definizione che 7^(/, ^) = 0 se e soltanto se / ( T ) e g{T) hanno qualche radice in comune (in K). Proposizione 2.7.26 Se A e un dominio a fattorizzazione unica, in particolare un campo, e f{T), g{T) G A\T] sono due polinomi non nulli, con deg/(T) > 0, risulta Dimostrazione. Segue subito dalla Proposizione 2.7.24. Dimostriamo per finire che il discriminante di un polinomio monico e, a meno del segno, il risultante del polinomio stesso e del suo polinomio derivato. Proposizione 2.7.27 Sia A un dominio a fattorizzazione unica, in particolare un campo, e sia f{T) G A[T] un polinomio monico di grado n > 2. Allora D{f) = ( - l ) ^ ^ ' ^ 7 ^ ( / , / ' ) = ( - l ) ^ ^ ' ^ | 5 ( / , / ' ) | . Dimostrazione. Per la definizione di risultante e la Proposizione 2.7.19 si ha

l
Inoltre, per la Proposizione 2.7.26, risulta 7^(/, / ' ) = |*5(/, / ' ) | . Questa proposizione ci fornisce dei metodi utili per calcolare il discriminante di un polinomio monico a coefficienti in un campo, come mostrano i successivi esempi. Esempi 2.7.28 (1) S i a / ( T ) := r ^ + p T ^ ^ G Q[T]. Poiche f (T) = S r ^ + p , risulta flOpqO\ I OlOpq S{fJ'):= 30p00 030p0 \0030p/ DunqueD(/) = (-l)^7^(/, f ) = - | 5 ( / , f )| = - ( V + 2 7 g 2 ) (Esempio 2.7.18 (2)). ( 2 ) S e A : = F e u n campo, non e difficile verificare che, se / ( T ) = g{T)q(T) + r ( r ) , con r{T) ^ 0 e d e g r ( r ) = d, si ha

n{gj) = r^-'n{g,r), dove hjn e il coefficiente direttore di g{T) (Esercizio 2.72). Sia allora f{T) G Q[T] un polinomio monico irriducibile. Poiche / ( T ) non ha radici complesse multiple, risulta MCD(/(T),/'(T)) = 1 (Proposizione 2.4.3) e nell'algoritmo delle divisioni successive

2.8 Polinomi in infinite indeterminate / ( T ) = gi(T)/'(T) + ri(T), f'{T)

- q2{T)niT)

+ r2(T),

95

degri(T) < d e g / ' ( r ) degr2(r) < degri(T)

dopo un numero finito di passi, si ottiene un resto cost ante non nullo. Percio

i-i)'''^D{f)=Tzif,

/') = (-lr<"-l)7^(/^ /)

= ( - l ) " ( " - i V - ' ' 7 l ( / ' , ri) = ... Se ad esempio / ( T ) := T^ + 6T + c, si ha / ' ( T ) = 2T + 6 e

Posto r := c— (&^/4), come nell'Esempio 2.7.18 (1), si ottiene Dif) = -7^(/, / ) = - 7 e ( / , / ) = -227^(/^ r) = - 4 r = 6 ^ - 4 0 (3) Consideriamo il polinomio / ( T ) = T^ + a r + ?) G Q[r]. Allora f{T) 5T^ + a e Talgoritmo delle divisioni successive fornisce

=

An

f{T) = / ' ( r ) g i ( r ) + ri(r); n{T) = YT + b f{T)=n{T)q2{T)+r2;

^^ =

^4+^

Come illustrato precedentemente, otteniamo

Dif) = -nif, /') = nif, f) = 5'nif', n) = 5'nin, /')

2.8 Polinomi in infinite indeterminate Sia A un anello commutativo unitario e sia X := {Xi}i^i un qualsiasi insieme di indeterminate su A (possibilmente infinito). Se ogni sottoinsieme finito {Xi-^,..., Xi^} di X e un insieme di indeterminate indipendenti su A, cioe se Y^^ki-.-kn^i^ '' -^ztr ^ ^ quando i coefHcienti Ck^.,,kr, sono non tutti nulli (Paragrafo 2.1.1), diciamo che X e un insieme di indeterminate indipendenti su ^4 e poniamo A[X] := U {A[Xi,,...,

XiJ; X^^ eX,j

:={f{Xi„...,XiJ;Xi^eX,j^l,...,n}.

= 1,..

.,n}

96

2 Anelli di polinomi

Si vede subito che A[X] e un anello commutativo unitario. Infatti, due qualsiasi polinomi f{Xi^,..., X^^), g{Xj^,..., Xj^) G ^[X] appartengono all'anello di polinomi su A nelle indeterminate {Xi^,..., Xi^} U { X j ^ , . . . , Xj^} C X. A[X] si chiama Vanello dei polinomi nelle indeterminate X su A. Segue dalla definizione che, quando si consider a un numero finito di polinomi in infinite indeterminate, ci si puo comunque ridurre ad operare con un numero finito di indeterminate. Pertanto molti risultati che abbiamo dimostrato per I'anello di polinomi A [ X i , . . . , Xn] si estendono senza difficolta ad ^[X]. Ad esempio: 1. ^[X] e un anello commutativo unitario, con la stessa unit a di A (Paragrafo 2.1,1). 2. Se ^ e un dominio con campo delle frazioni K, anche ^[X] e un dominio e il campo delle frazioni di ^[X] e I'unione dei campi delle frazioni dei domimA[Xi^,...,XiJ, {X^,,... ,Xi^} C X, cioe

K(X):=U{i^(X,,,...,X,J;X,^. GX,i = l,...,n}

(Paragrafo 2.1.2). 3. Gli elementi invertibili di ^[X] sono tutti e soli gli elementi invertibili di A. In particolare, se K e un campo, gli elementi invertibili di K[X] sono tutte e sole le costanti non nulle (Paragrafo 2.1.3). 4. Un polinomio f{Xi^, • • • ? Xi^) e irriducibile in A[K] se e soltanto se lo e in A[Xi^,..., Xi^]. Infatti, se / ( X ^ ^ , . . . , Xi^) = ^(X)/i(X), per la formula del grado, g(X.) e /i(X) hanno grado zero in tutte le indeterminate differenti da Xi^,..., Xi^ e quindi ^(X), h{X.) G A[Xi^,..., Xi^] (Paragrafo 2.1.3). 5. Se ^4 e un dominio a fattorizzazione unica, anche A[K] lo e, perche lo sono tutti gli anelli ^[X^^,..., X^^] con {X^^,..., X^^} C X (Paragrafo 2.5). Tuttavia, anche se A e noetheriano, ^[X] non e un dominio noetheriano, perche I'ideale (X) generato da tutte le indeterminate non e finitamente generato. Anche la Proposizione 2.7.1 si puo estendere al caso di infinite indeterminate nel seguente mo do. Proposizione 2.8.1 Sia A un anello commutativo unitario e sia X := {Xi]i^i un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora, per ogni applicazione biunivoca rj : I —> I, Vapplicazione ipr^ : A[X] —> ^[X] / ( X ) := / ( X , , , . . . , X , J ^ r ( X ) := / ( X , ( , , ) , . . .,X,(,^)) e un automorfismo di A[X.], il cui inverso e Vautomorfismo

(fjj-i.

2.9 Esercizi

97

Inoltre, se A e un dominio con campo dei quozienti K, (fj^ si estende ad un automorfismo del campo delle frazioni i^(X) di A{X.) ponendo ^ , : K{X) -^

K{X) ;

2.9 Esercizi 2.1 (Ordine lessicografico inverso). L^ordine lessicografico inverso su N ^ , indicate con
hm)

^

ki = hi per i =

(/Ci, . . . , Kiji) < r e v l e x V'^l' * ' ' ' " ' m j

l,...,m;

^

ks < hs per il piu grande intero 5 tale che kg ^ hg^ Most rare che: (1) L'ordine lessicografico
Dedurne che I'ordinamento lessicografico inverso non e I'ordinamento opposto deH'ordinamento lessicografico. 2.2. Ordinare secondo Fordine lessicografico e 1'ordine lessicografico inverso tutti i monomi di Q [ X i , . . . , Xn] del tipo Xf. 2.3. Ordinare secondo 1'ordine lessicografico e 1'ordine lessicografico inverso i seguenti monomi di Q [ X i , . . . , X5]: 1

7

V2 V . -A]L^2,

Q v751 . oyL2 1

-yb vA y^ ^2 v . -^i^2^3^4^5,

' v vG v . —--^1^2^5,

v2 y 3 v5 ^2^3^5-

2.4. Determinare il grado totale e i multigradi rispetto agli ordinamenti lessicografico e lessicografico inverso dei seguenti polinomi di Q [ X i , . . . , XQ]: (a) f{X) = lx^X2XlX^

+ 5X1X2X4 - ^ X i 4 X 2 X | X | X 5 ;

6

60

(b) g{X) = XlXlXJXe

+ ~XtX2Xl

+ X^^ - SXfXs.

2.5 (Polinomi omogenei). Sia A un dominio. Mostrare che un polinomio / ( X i , . . . , Xn) G ^[X] e omogeneo di grado d se e soltanto se

f{TX,,...,TXn)

=

T''f{Xu...,Xn)

dove T e una indeterminata su ^[X]. Soluzione: Se ogni monomio di / ( X ) ha grado d, la condizione e evidentemente soddisfatta. Viceversa, possiamo scrivere / ( X ) = / i ( X ) + • • • +

98

2 Anelli di polinomi

/m(X), dove ogni //c(X) e omogeneo di grado dk- Allora, posto T X : = { T X i , . . . , TXn}, per ipotesi risulta / ( T X ) = T'^fiX) = T'^hiX) + ••• +

T^fmiX)

e d'altra parte / ( T X ) = / i ( T X ) + • • • + / „ ( T X ) = T^^hiX)

+ ••• + T ' ^ - / „ ( X ) .

Ne segue che T^ = T^'^ per ogni /c = 1 , . . . , m e quindi m = 1 e ci = (ii. 2.6. Mostrare che il polinomio 2X^ -\- 2X + 3 e invertibile in Zsf^]? determinando esplicitamente il suo inverso. 2.7. Sia A un anello commutativo unitario e sia f{X) := ^ a ^ X ^ G A[X]. Mostrare che, se ao e invertibile in A e a^ e nilpotente per ogni i > 1, allora f{X) e invertibile in A[X]. Suggerimento: Sia g{X) = Y.hX' G A[X]. Allora f{X)g{X) soltanto se aobo = 1 e J2i+j=k ^^^j ~ ^ P^^ A: > 1.

= 1 se e

2.8. Sia f{X) uno dei seguenti polinomi: 15X;

15X + 3 ;

GX^ - 5X + 1;

GX^ - TX^ - X + 2.

Determinare esplicitamente tutti i divisori di / ( X ) in Z[X] e Q[X] e ripartirli in classi di polinomi associati in Z[X] e Q[X]. 2.9. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false in Z[X] e Q[X]: (a) 5X divide 3X2; (b) X - 3 divide X^ - 3X2 + X - 3. (c) 3(X - 3) divide X^ - 3X2 4- X - 3^ 2.10. Determinare il quoziente e il resto della divisione di / ( X ) per ^'(X) nei seguenti casi: (a) / ( X ) = 5X6 ^ 2X^ - 3X2 - 2 ; g(^x) = - X ^ + 2X2 + 5X - 7 -^^ ^x](b) / ( X ) = 3X^ - 2X^ - 3X^ - 2X + 1; ^(X) = ^X^ - 2 X 2 + 1 in Q[X]; (c) / ( X ) = 2X4 _^ 3j^3 _ 3;^2 _ 2X + 1 ;^(X) = 4X3 + X2 - X + 1 in F5[X]. 2.11. Determinare il massimo comune divisore e una identita di Bezout per le seguenti coppie di polinomi: (a) f{X) := 2X^ - 5X^ - 4 ^ ^ - 3X - 2; g{X) := 2X^ - 7 X 2 - 4 in Q[X]; (b) f{X) := 3X* + X^ + 3X2 + 4X + 1; g(^x] := 4X^ + 2X2 + 4X + 2 ^^ F5[X]. 2.12. Siano / ( X ) := 1 - X " , g{X) := 1 - X " € Q[X], d := MCD(n,m). Mostrare che MCD(/, 3) = 1 - X^.

2.9 Esercizi

99

2.13 (Scritturain b a s e p ( X ) ) . Siaif uncampoe siano/(X), p(X) G -?^[X], p{X) 7^ 0. Most rare che esistono un intero n > 0 e polinomi / o ( X ) , . . . , /n(X) tali che fi{X) = 0 oppure deg fi{X) < degp(X), i = 0 , . . . , n e

/(X) = Up{xr + • • • + A W P W + fo{x). Soluzione: Sia / ( X ) 7^ 0. Se d e g / ( X ) < degj9(X), allora n = 0 e /o(X) = / ( X ) . Supponiamo allora che d e g / ( X ) > degp{X). In questo caso esiste un massimo intero n> 1 tale che deg f{X) > degp{X)'^ = ndegj9(X). Dividendo f{X) per p(X)^, otteniamo f{X) = p(X)'"/n(X)H-r(X), con r{X) = 0 oppure degr(X) < degp(X)^. Allora d e g / ( X ) < degp(X)^/n(X), da cui per la massimahta di n otteniamo deg/n(X) < degp{X). A questo punto possiamo ripetere il procedimento per r{X). Dopo un numero finito di passi otteniamo un resto il cui grado e minore di p{X) ed il procedimento ha termine. 2.14. Sia K un campo e sia f{X) := a^X^ + a n - i X ^ - ^ + • • • + ao G K[X], an 7^ 0. Mostrare che, se a ^ K^ allora / ( X ) = an{X — a)'^ -h c„_i(X — ^^n-i _^ ^ f2i{X — a) -\- f{a), per opportuni Q G K , i = l , . . . , n — 1. 2.15 (Somma di frazioni parziali). Sia K un campo e sia f{X)/g[X) G K{X) una funzione razionale tale che d e g / ( X ) < deg^(X) e MCD(/(X), ^(X)) = 1. Mostrare che: (1) Se ^(X) := pi{XY^ .. .pniXy^^ e la fattorizzazione di g{X) in polinomi irriducibili distinti, esistono polinomi / i ( X ) , . . . , / ^ ( X ) tali che fi{X) = 0 oppure deg/i(X) < degpi{Xy% 0 < i < n, e nX) _ MX) _^...^ g{X) pi(X)«i

/n(X) Pn{X)-^'

(2) Se g{X) = p{XY, allora esistono polinomi hi{X),... hi{X) = 0 oppure deghi{X) < degp{X), 0
g{x)

h2(X)_

p{x) ^p{xf^"'^

,hn{X) tali che

hn{X)

pixy

Soluzione: (1) Per induzione su n > 1, basta dimostrare il caso in cui g{X) = p{X)q{X) conMCD(p(X),5(X)) = 1. '&\aa{X)p{X)+h{X)q{X) =1 una identita di Bezout, cosi che f{X) -= f{X)a{X)p{X) + f{X)b{X)q{X). Dividendo f{X)b{X) per p{X), otteniamo f{X)b{X) = h{X)p{X) + r{X) con degr(X) < degp(X) o r{X) = 0, da cui, ponendo k{X) := a{X)f{X) + h{X)q{X), ricaviamo f{X) = k{X)p{X) +r{X)q{X). Allora risulta f{X) _ r{X) k{X) g{X) p{X) ^ q{X) • Dal momento che p{X) non divide / ( X ) , vediamo che r(X) 7^ 0 e quindi degr(X) < degp(X). Per finire, basta verificare che degk{X) < deg^(X).

100

2 Anelli di polinomi

Poiche degr{X)q{X) < degp{X)q{X) e deg/(X) < degp{X)q{X), dalla relazione k{X)p{X) = f{X) - r{X)q{X) otteniamo degk{X)p{X) < degp{X)q{X), da cui degA:(X) < degq{X). (2) Poiche deg/(X) < degp(X)^, per I'Esercizio 2.13, possiamo scrivere f{X) = hi{X)p{Xy-^ + h2{X)p{Xy-^ + • • • + he{X), con hi{X) = 0 oppure deghi{X) < degp{X), 0 < i < e, da cui otteniamo I'espressione voluta. 2.16. Mostrare che, se if e un campo, esistono infiniti polinomi irriducibili a coefficienti in K. 2.17. Stabilire se i seguenti polinomi sono irriducibili su tt ^^1 6X4 _ 5^3 _ 33j5^2 _ 5 x _^ 5 . x ^ - X2 + 1; X^ + X + 1. 2.18. Fattorizzare i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi irriducibili su Q, E, C: 15X2 - 30;

3X4 - SX^ + 72 - 15X - 6 ;

X^ + 4;

X^ + 2.

2.19. Determinare tutti i polinomi di secondo e terzo grado su F2 e stabilire quali tra essi sono irriducibili. 2.20. Determinare tutti i polinomi di secondo grado irriducibili su F3. 2.21. Stabilire se i seguenti polinomi sono irriducibili in F5[X]: 3X2 + 2X + 2 ; x ^ + 3X2 + 3X + 2 ; j^4 _^ 2X3 ^ 2x2 + 2X + 1. 2.22. Sia p(X) := X2 + tX + 1 G F5[X]. Stabilire per quali valori di t G F5 I'anello quoziente Q[X]/(p(X)) e un campo. 2.23. Sia p{X) := X^ + 3X + ^ G Q[X]. Stabilire per quali valori di t G Q I'elemento a := X + (p(X)) e invertibile nell'anello quoziente Q[X]/(p(X)). 2.24. Determinare le eventuali radici razionali dei seguenti polinomi: 3X4 _ 3^3 _^ 5x2 - 3X - 2 ; ^x^ _^ 3j^3 ^ 3j^2 + 3X - 2. 2.25. Sia / ( X ) := 7X^ + GX^ + X^ + 4X4 _^ 3j^3 + 2x2 + X + 1. Calcolare /(2) usando la Regola di RufRni. 2.26. Sia / ( X ) un polinomio monico a coefHcienti interi. Mostrare che ogni radice razionale di / ( X ) e un intero. 2.27. Usando le formule di interpolazione, costruire il polinomio su Q di grado al piu uguale a 2 che assume valori 60 •— 0? ^1 •= I5 ^2 •= —2 rispettivamente in ao := 1, ai := 2, a2 :— 3. 2.28. Sia / ( X ) G Z[X] tale che / ( I ) 7^ 0 e / ( - I ) ^ 0 e sia a una sua radice intera. Mostrare che /(1)/(1 - a), / ( - 1 ) / ( 1 + a) G Z.

2.9 Esercizi

101

2.29. Sia f{X) e Z[X] tale che / ( I ) ^ 0, / ( - I ) 7^ 0 e sia a := a/b una sua radice razionale con MCD(a, b) = 1. Mostrare che (a — b) divide / ( I ) e ( a + 6) divide / ( - I ) . Suggerimento: Sviluppare f{X) in potenze di {X — 1) e (X + 1 ) , calcolare in a/b e moltiplicare per b^. 2.30. Stabilire se i seguenti polinomi hanno radici multiple: 3X^-

3X3 _ x 2 + 2X - 1 X^ - 3X2 + 2 G QJJ^J.

J^3 _^ J^ ^ 3 ^

^^^x].

2.31. Costruire due polinomi differenti di K[X] che assumano stessi valori su K nel caso in cui K := F3, F5. 2.32. Costruire un poHnomio di F2[X] tale che /(O) = a, / ( I ) = b, per ogni coppia (a, 6) di elementi di F2. Dedurre che ogni funzione da F2 a F2 e polinomiale. 2.33. Costruire un polinomio di FsiX] tale che /(O) = 2, / ( I ) = 1, /(2) = 0. 2.34. Sia p un numero primo. Mostrare che ogni funzione da Fp a Fp e polinomiale. Suggerimento: Se a i , . . . ,ap sono gli elementi di Fp, allora, per ogni i — 1 , . . . ,p e c G Fp, il polinomio MX)

:= c(X - a i ) . . . (X - a,_i)(X - a , + i ) . . . (X - ap)

e tale che fi{aj) — 0 per i i^ j : inoltre il valore fi{ai) puo essere controllato dalla scelta di c. 2.35 (Polinomi reciproci). Sia / ( X ) := anX^ + a n - i X — 1 + an_2X—^ + . . . + a i X + ao un polinomio a coefficienti in un campo, a^, ao 7^ 0. Mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti: (i) Per ogni radice a di / ( X ) , a~^ h una radice con la stessa molteplicita di a; (ii) an-k = flfc, per ogni k = 0, . . . , n , oppure an-k = -dk, per ogni /t = 0 , . . . , n .

Se queste condizioni sono verificate, si dice che il polinomio / ( X ) e un polinomio reciproco, di prima specie se a^-fc = a^ e di seconda specie se (^n — k ^^

^/c"

Suggerimento: Notare che, se vale (i), i polinomi / ( X ) e X ^ / ( l / X ) hanno le stesse radici e sono quindi associati su Q (Esempio 2.3.28). 2.36. Mostrare che: (1) Un polinomio reciproco di seconda specie si annulla in 1; (2) Un polinomio reciproco di prima specie di grado dispari si annulla in-1.

102

2 Anelli di polinomi

2.37. Mostrare che, se F e un campo, un polinomio f{X) E F[X] e irriducibile su F se e soltanto se la sua forma ridotta e irriducibile su F Suggerimento: Usare la Proposizione 2.3.26. 2.38. Mostrare che ogni polinomio di grado n > 1 a valori interi su Z (Esempio 2.3.6 (2)) si puo scrivere in modo unico nella forma ao + a i X + a2 (^) H h a ^ ( ^ ) , con a^ G Z, i = 0 , . . . , n, 1 dove (^) = iiX{X - 1 ) . . . (X - A: + 1) per fc > 1. Soluzione: Sia f{X) := J2ci^' ^ Q W ^^le che f{z) e Z per ogni z eZ e scriviamo formalmente f{X) := ao + aiX + \- an{^). Posto (^) := 1, per determinare gli a^ si puo procedere per induzione su n > 0. Per n = 0, si ha ao = CQ = /(O) G Z. Supponiamo per ipotesi induttiva di aver determinato a o , . . . , a/c E Z per 1 < A: < n. Allora il polinomio gk{X) := / ( X ) - (ao + a i X + .. • + ak{l))

= a^+i(4^) + • • • + a , ( ^ )

ha coefEcienti razionali ed e a valori interi. Ne segue che ak+i = gk{k^l) E Z. Per Tunicita, notiamo che i polinomi ( ^ ) , 0 < f c < n sono lineramente indipendenti su Z. 2.39. Dimostrare le Formule di De Moivre per la moltiplicazione dei numeri complessi in forma trigonometrica. Se ^1 •= Pi(cos(^i) + i s i n ( ^ i ) ) ;

Z2 = P2(cos(6>2) +isin(6>2))

con pi,p2 numeri reali positivi, allora Z1Z2 = Pip2{cos{6i +62) +isin(^i +^2))Suggerimento: Usare le formule trigonometriche per I'addizione di angoli. 2.40. Determinare esplicitamente, nella forma a-h6i, le radici complesse n-sime deH'unita per n = 3,4,6,8,9. 2.41. Determinare esplicitamente le radici complesse seconde, terze e quarte dei seguenti numeri complessi: 5 ; 5i; — 7i; 1 + i; 1 — i. 2.42. Mostrare che, se un polinomio a coefRcienti reali ha i primi k termini non nulli positivi e tutti i successivi negativi, allora esso ha esattamente una radice reale (positiva). Suggerimento: Usare la Regoladei Segni di Descartes (Proposizione 2.4.6). 2.43. Determinare il numero delle radici reali dei seguenti polinomi: X^ + X2 + X + 1;

X^-3X^-X

+ 1;

X^ + ISX^ + 7X - 11.

2.44 (Lemma di Gauss esteso). Mostrare che, se ^ e un dominio con il massimo comune divisore, il prodotto di due polinomi primitivi di A[X] e un polinomio primitivo.

2.9 Esercizi

103

Suggerimento: Siano / ( X ) , g{X) G A[X] due polinomi primitivi di grado positive. Se d e g / ( X ) = deg^(X) = 1, poniamo f{X) := aX + 6, 5'(X) := cX + d, cosi che c(/^) = {ac, ad + 6c, bd). Se t := {c{fg), 6), allora t divide ad (perche divide b e ad-\-bc) e divide ac. Quindi t divide {ac, ad) = a{c, d) = ae, poiche (a, 6) = 1, t = 1. D'altra parte, c{fg) divide bd e allora, per il Lemma di Euclide, divide d. Quindi c{fg) divide be (perche divide d e ad -\- be) e, ancora per il Lemma di Euclide, c{fg) divide anche c. Ne segue che e{fg) divide (c, d) = I e necessariamente e{fg) = 1. Poi si puo procedere per induzione su d e g / ( X ) + degg{X). 2.45. Mostrare che un polinomio f{X) lo e la sua forma ridotta.

E K[X] e irriducibile se e soltanto se

2.46. Costruire due polinomi f{X) G Z[X] di grado 2 e di grado 3 che sono riducibili su Z senza avere radici intere. 2.47. Provare che, se a G Z e privo di fattori quadratici, il polinomio X'^ — a e irriducibile in Z[X] per ogni n> 1. 2.48. Usando il Criterio di Irriducibilita di Eisenstein, mostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili in Q[X]: X^ + 6X2 - 9X + 3; ^QX^ + ISX^ - 20X2 - 35X - 2. 2.49. Mostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili in Q[X], benche non si possa applicare il Criterio di Irriducibilita di Eisenstein: 4 X 2 + 4 X - 1 ; X^+X^ + L 2.50. Sia / ( X ) := X^ + 6X3 ^ 12X2 ^ 12X + 7. Determinare un numero intero a in modo tale che si possa applicare il Criterio di Eisenstein al polinomio / ( X — a). 2.51. Mostrare, usando il Criterio di Irriducibilita modulo p, che i seguenti polinomi sono irriducibili in Q[X]: 49X2 + 35X + 11; 124X3 _ ngx'^ _^ 35;^ ^ 54 . x^ -9. 2.52. Fattorizzare i seguenti polinomi in polinomi irriducibili su Z:

21X; 5X2 + 10; 15X2-2X-8; 2X4 - X3 - X2 - 2X - 1; j^4 _ 20X2 + 4 . 2.53. Verificare che il polinomio / ( X , Y) := Y^ - 8X2^3 + 5XF2 _ 10X2^ - 2X e irriducibile in Q[X, Y]. 2.54. Verificare che il polinomio / ( X , y ) := X"^ + Y'^ + 1 e irriducibile in C[X,Y].

104

2 Anelli di polinomi

2.55. Fattorizzare il polinomio g{X^ Y) :— X^ — Y^ nel prodotto di polinomi irriducibiliinQ[X,y]. 2.56. Mostrare che, se F e un campo, i polinomi del tipo Xn _^ y/cij^m + . . . + y/c^x^. ^y e F[X, Y] con n > n i > - - - > n 5 > 0 e f c ^ > l , sono irriducibili su F{Y)^ e quindi anche suF. 2.57. Usando il metodo di Kronecker, mostrare che i polinomi X^ + X + 1;

X^ + 3X + 1

sono irriducibili su Q. 2.58. Usando il metodo di Kronecker, fattorizzare in polinomi irriducibili su Q i polinomi X^ + X^ + X2 + X + 2 ; 3X^ + 5X2 - ^ 2.59. Usando il metodo di Kronecker, fattorizzare in polinomi irriducibili su Q il polinomio

x^ + y3 + z^ - x'^iY + z) - y2(x + z) - ^^(x + r) + 2xrz. 2.60. Stabilire se i seguenti polinomi in X, y , Z sono simmetrici e, in caso affermativo, esprimerli in funzione dei polinomi simmetrici elementari:

x^y + Y'^z + z^x; (X + y)(x + Z){Y + z); X^Y + Y^Z + Z^X - XY^ - YZ^ - ZX^ ;

X^Y^ + Y^Z^ + Z^X^.

2.61 (Determinante di Vandermonde). Calcolare il determinante di Vandermonde in n > 2 indeterminate (Esempio 2.7.9 (4)) e verificare che risulta y ( X i , . . .,Xn) = ni 2 delle indeterminate. Per n = 2, risulta y ( X i , X2) = (X2 — Xi). Inoltre, per n > 3, con operazioni element ari sulle righe e sulle colonne, si ottiene V{Xr, ...,Xn)

= {X2- Xi)(X3 - X i ) . . . (X„ - Xi)V{X2,...,

X„).

2.62. Calcolare i lati di un rettangolo la cui area e di 204 m^ e il cui perimetro e di 80 m. 2.63. Sia / ( X ) = X^ - X + 1 G Q[X] e siano p, a, r le sue radici, con p G M. Mostrare che cr + r = —peaT — —l/p. 2.64. Sia / ( X ) un polinomio di grado n > 2 a coefficienti interi. Mostrare che D{f) = 0 mod 4 oppure D{f) = 1 mod 4. Soluzione: Si considerino i polinomi in n indeterminate

S{^) ••= Ui<,iXi - X,);

Ji(X) := O K J I ^ ^ + ^i)-

2.9 Esercizi

105

Allora Si{X.) e D{X.) = 6{X.)'^ sono polinomi simmetrici e 5,(K)^ - D{X) = S,{Xf

- 5{Xf

= n [ ( ^ i - Xjf

+ 4Xaj] - YliXi - Xj) = 45(X).

i<j

Kj

dove 5(X) e un polinomio simmetrico a coefficienti interi. Calcolando nelle radici a i , . . .,0;^ di / ( X ) , si ottiene che D{f), S{f) := 5I(Q;I, . . . , a^), 5 ( a i , . . . , an) sono numeri interi. Inoltre S{f)^^ essendo un quadrato in Z, e congruo a 0 oppure ad 1 modulo 4. Ne segue che anche D{f) e congruo a 0 oppure ad 1 modulo 4. 2.65. Dimostrare che un polinomio e la sua forma ridotta hanno lo stesso discriminant e. 2.66. Sia f{X) G F[X] un polinomio di terzo grado. Mostrare che se f{X) — {X - a)g{X), aeF, allora D{f) = cD{g), con ceF. 2.67. Sia f{X) uno dei seguenti polinomi su Q: X 2 + X + 1; X ^ - X ^ + l ; X 3 - 2 X + 1;

X ^ + X + l.

Calcolare il discriminante D{f) usando la matrice di Sylvester di f{X) e

fix). 2.68. Calcolare il discriminante dei seguenti polinomi di terzo grado su Q: X^ - 2 ;

X^ + 27X - 4 ;

X3 + X2 - 2X - 1;

X^ - 21X + 17;

X^ + X2 - 2X + 1.

2.69. Calcolare il discriminante di X^ + 6X + c G Q[X]. 2.70. Sia F un campo e sia / ( X ) := X^ + a G F[X], n>2. Mostrare che D{f) = ( - l ) ' ' ^ ^ n - a - - i Suggerimento: Procedere come nell'Esempio 2.7.28, tenendo conto che il prodotto delle radici di / ( X ) e uguale a (—l)^a. 2.71. Sia / ( X ) := X ^ - ^ + • • • + 1 G Q[X]. Mostrare che V n(n — l)

c\

D{f) = ( - l ) - V ^ n " - 2 . Soluzione: Siano a i , . . . , o^n-i le radici di /(X). Allora / w - ni
n-'Dif).

106

2 Anelli di polinomi

2.72. Sia F un campo e siano f{X), g{X) G F[X] due polinomi non costanti di grado uguale a n e m rispettivamente. Se f{X) = g{X)q{X) + r{X)^ con r{X) 7^ 0 e degr(X) = d, mostrare che 71(5,/)=6;r'^71(5, r), dove bm e il coefficiente direttore di g{X). Soluzione Siano a i , . . . , a^ le radici di / ( X ) e / ? i , . . . , /3^ quelle di 5'(X). Basta osservare che, poiche f{f3j) = g{f3j)q{Pj) + r(/3j) = r(/3j) per ogni j , si ha

2.73. Sia f{X) := X^ + pX + q e Q[X]. Calcolare il discriminante D{f) con Talgoritmo euclideo della divisione, come descritto nell'Esempio 2.7.28 (3) 2.74. Siano f{X) := X^ - a, g{X) := X ^ - 6 G Z[X], n > m e d := MCD(n, m). Mostrare che il resto della divisione di f{X) per g{X) e r{X) = 6X^~"^ — a. Usando Palgoritmo euclideo della divisione, come descritto nell'Esempio 2.7.28 (3), usare questo fatto per verificare, che

']l{f,g) =

{-ir{a'^-b^r.

2.75. Sia F un campo e siano / ( X ) , ^(X) h{X) G F[X] polinomi monici non costanti. Verificare che D{fg) = D{f)D{g)n{f,

gf ;

n{f, gh) = n{f, g)Tl{f, h).

Parte II

TEORIA DEI CAMPI

3

Ampliamenti di campi

In questo capitolo inizieremo lo studio degli ampliamenti di campi e dei loro isomorfismi. In particolare introdurremo i concetti di ampliamento algebrico e grado di un ampliamento.

3.1 Isomorfismi di campi Un omomorfismo di campi non e altro che un omomorfismo di anelli tra due campi. Ogni omomorfismo di campi non nullo e unitario (Proposizione 1.2.3) ed inoltre, poiche un campo non ha ideali non banali, e anche iniettivo (Corollario 1.2.7). Questo fatto giustifica la seguente definizione. Definizione 3.1.1 Un omomorfismo di campi non nullo (f : F —> K si chiama un isomorfismo di F in K o anche una immersione di F in K. Ogni omomorfismo di campi suriettivo e un isomorfismo. Proposizione 3.1.2 Siano F e K due campi e sia (p : F —> K un isomorfismo di F in K. Se ¥ e il sottocampo fondamentale di F, allora ^{¥) e il sottocampo fondamentale di K. In particolare F e K hanno stessa caratteristica. Dimostrazione. Se K e il sottocampo fondamentale di K, si ha K C ip(¥) C ip{F). Allora (p-^{K) C (p-^{ip{¥)) - F. Per la minimalita di F, si ha I'uguaglianza e durique IK = 99(F). Proposizione 3.1.3 Sia K un campo e sia ^ : K —> K un automorfismo di K. Allora la restrizione di (p al sottocampo fondamentale F di K e Videntita, doe risulta (p{x) = x, per ogni x G F. Dimostrazione. Se 1 e Tunita moltiplicativa di K, deve risultare (p{l) = 1 (Proposizione 1.2.3) e dunque (f{al) = ^(^(1) = a l , per ogni a G Z. Basta allora ricordare che il sottocampo fondamentale di iT e il campo dei quozienti del sottoanello { a l ; a G Z} (Proposizione 1.6.2). Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

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3 Ampliamenti di campi

Esempi 3.1.4 (1) Se F = Q, oppure F = Fp, I'unico automorfismo di F e I'identita. (2)L'unico automorfismo del campo reale R e Tidentita. Per vedere questo, mostriamo intanto che ogni automorfismo (/? di M mantiene necessariamente I'ordinamento naturale. Siano r^s ^ M. tali che r > 5, ovvero r — s > 0. Allora r — s = x^ per qualche x G R e Lp{r) — (p{s) = (p{r — 5) = ^{x^) — ^{xf'

> 0,

da cui (p{r) > ^(s). Per la Proposizione 3.1.3,1'automorfismo ^ e I'identita su Q. Sia ora r un numero reale irrazionale e siano (an)n>i e {bn)n>i due successioni di numeri razionali che approssimano r per difetto e per eccesso rispettivamente. Poiche an < r < bn, si ottiene ip{an) = an < (p{r) < bn = ^{bn), per ogni n > 1, e allora, per n tendente all'infinito, risulta ip{r) = r. (3) L'applicazione di coniugio C —> C ;

z := a + M H^ z := a — 6i,

per ogni a, 6 G R, e un automorfismo di C (Esempio 1.2.9 (2)). Dunque Aut(C) 7^ {id}. Vedremo successivamente che C ha infiniti automorfismi (Paragrafo 6.5). Se F e K sono due campi, tutte le applicazioni di dominio F e codominio K costituiscono uno spazio vettoriale su K con le operazioni puntuali definite da: (^1 + ^2){x) = (pi{x) + ^2{x); {k(f){x) = k{(p{x)) per ogni x e F, k E K. La seguente proposizione, dovuta a R. Dedekind (1894), e di fondamentale importanza ed asserisce che n immersioni distinte di F in K sono linearmente indipendenti su K, per ogni n > 1. Proposizione 3.1.5 (Lemma di Dedekind, 1894) Siano F, K campi e siano (pi, . . . , (pn isomorfismi distinti di F in K, n > 1. Allora, comunque scelti c i , . . . , Cn G K non tutti nulli, Uapplicazione ci^i + • • • + Cn^fn ^ non nulla, doe esiste a G F tale che ci(^i(a) + h Cn^Pni^) 7^ ^• Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano c i , . . . , c^ E K non tutti nulli per i quali risulti cicpi -\- - • - + Cn^Pn = 0 e sia 5 > 1 il minimo numero possibile di coefficienti non nulli che e possibile scegliere tra Ci,...,Cn. Dunque, a meno dell'ordine, possiamo supporre che c i , . . . , c^ siano tutti diversi da zero e che ip := ciipi -^ - - - -^ Cg^Ps = 0. Inoltre possiamo supporre che, se 1 < r < s e c^,..., c^ sono tutti diversi da zero, esiste y G F tale che c[pi{y)-{ \-c^^(pr{y) 7^ 0. Mostriamo che questo porta a una contraddizione.

3.2 Ampliamenti di campi

111

Se s = 1, essendo (pi non nullo, non c'e niente da dimostrare; sia percio s > 2. Poiche (fi 7^ v^s, esiste z e F tale che (pi{z) ^ ^s{^)- Allora (pi{z)0 - 0 = (/Pi(z)V^(y) - xlj{zy) = (pi{z)[ci(pi{y) + C2^2{y) + • • • + Cs(ps{y)][Ci(pi{z)ipi{y)

+ C2(p2{z)(p2{y)

= C2{(pi{z) - (f2{z))(p2{y) +

+ '"

+

Cs(fs{z)^s{y)]

h Cs{(pi{z) - (ps{z))(ps{y) = 0.

Poiche ^i{z) — ^s{z) 7^ 0, quest'ultima espressione e del tipo c'^ipi{y) + h c^^(fr{y) con r < 5 — 1 e c']^,.. .,c^ tutti non nulli, in contraddizione con la minimalita di s, Esempi 3.1.6 Se G e un gruppo moltiplicativo e iC e un campo, un omomorfismo di gruppi G —> K* si chiama un carattere di G. La stessa dimostrazione del Lemma di Dedekind mostra che n > 1 caratteri di G sono sempre linearmente indipendenti su K (Teorema deWIndipendenza dei Caratteri).

3.2 Ampliamenti di campi Gli ampliamenti di campi vengono definiti a meno di isomorfismi. Definizione 3.2.1 Un campo K si dice un ampliamento del campo F se esiste un^immersione di F in K. In questo caso, identificando F con la sua immagine isomorfa in K, scriveremo per semplicitd di notazione F C K. Un campo L tale che FC.LC.Kdi dice un campo intermedio delVampliamento F CK. Esempi 3.2.2 (1) Ogni campo K h mi ampliamento del suo sottocampo fondamentale. Precisamente K ha caratteristica zero se e soltanto se i^ e un ampliamento di Q e K ha caratteristica finita uguale a p se e soltanto se i^ e un ampliamento di Fp (Corollario 1.6.4). In particolare, ogni campo numerico e un ampliamento di Q. (2) Se X = {Xi} ^^j e un insieme di indeterminate indipendenti su un campo F , il campo delle funzioni razionali F(X) e un ampliamento di F. Se K e un campo e 5 e un sottoinsieme non vuoto di K, I'intersezione di tutti i sottocampi di K contenenti 5 e un campo, che evidentemente e il piu piccolo sottocampo di K contenente S. Definizione 3.2.3 Se F C K e un ampliamento di campi e S C K e un sottoinsieme, il piu piccolo sottocampo di K contenente F U S si chiama Tampliamento di F in K generato da 5 e si indica con F{S). Se S = { a i , . . . , a n } e un sottoinsieme finito di K, si pone F{S) := F{ai,.. .^an)- Diremo che K e un ampliamento finitamente generato di F

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3 Ampliamenti di campi

se esistono Q;i,...,Q;n € K, tali che K = F ( a i , . . . , a^); in questo caso a i , . . . , a^i si chiamano i generator! di if su F . Se K = F{a), diremo che K e rampliamento semplice di F generato da a. Esempi 3.2.4 (1) Se K e un campo e 5 = {1} C K, il sottocampo generato da 5 e il sottocampo fondamentale F (Paragrafo 1.6). Inoltre, per ogni sottoinsieme S di K^ il piii piccolo sottocampo di K contenente 5, contenendo 1, e il campo ¥{S). (2) Dato un ampliamento di campi F C K e due sottoinsiemi S eT di K, risulta F{S) C F{T) se e soltanto se 5 C F{T). In particolare F{S) = F se e soltanto se S C F. (3) Le funzioni simmetriche elementari in n > 1 indeterminate su un campo F generano il campo di tutte le funzioni simmetriche su F (Paragrafo 2.7.12). Un ampliamento finitamente generato e facilmente descrivibile. Se F C K e un ampliamento di campi e X = { X i , . . . , X-^}, n > 1, e un insieme di indeterminate indipendenti su K, dati ai^.. .,an ^ K e posto a := ( a i , . . . , a^), indichiamo al solito con / ( a ) il valore del polinomio / ( X ) G F[X] calcolato in a (ovvero 1'elemento di K che si ottiene sostituendo ordinatamente gli elementi a i , . . . , an alle indeterminate X i , . . . , X^) e ricordiamo che I'applicazione t;„ : F[X] —> if, /(X)^/(a) e un omomorfismo di anelli, la cui immagine e F[cx] := F [ a i , . . . , « , ] : = {/(a); / ( X ) G F[X]} • • - a ^ ; cu,...kr. eF;ki>

= {Y.Ck,...kr.a\'

o}

(Paragrafo 2.3.1). Proposizione 3.2.5 Sia F C K un ampliamento di campi e siano a i , . . . , a^ G K. Allora, posto a := ( a i , . . . , an), F{a,, ...,an)

= {f{a)g{oc)-';

/ ( X ) , ^(X) e F[X], 5(a) ^ O} .

Inoltre, per ogni S C K, F{S) =[J{F{ai„..

.,aij;a,^

e S, j ^1,..

.,n}.

Dimostrazione. L'anello F[a] := {/(o^); / ( X ) G F[X]} e il minimo sottoanello di K contenente sia F che { a i , . . . , o^n} (Proposizione 2.3.1). Allora il minimo sottocampo di K contenente sia F che I'insieme { a i , . . . , a n } e il campo delle frazioni di F[(x\ in K, cioe F{a) := { / ( a ) 5 ( a ) - i ; / ( X ) , ^(X) G F [ X ] , ^(a) ^ 0} .

3.2 Ampliamenti di campi

113

Sia poi S C K. Poiche F{ai^,.. .^ai^) C F(S'), al variare di ai. G 5, per la minimalita di F{S) basta mostrare che Tunione L dei campi F ( a i ^ , . . . , a^^) e un campo. Questo segue dal fatto che, dati x^y G L, y ^ 0, se X e F{ai^,...,aiJ, y e F{aj^,.., ,ajj), allora x - y, xy~^ G F{ai^,..., a^^, a^-,,..., aj^) C L. Ogni ampliamento finitamente generate si puo costruire per ricorsione come una successione finita di ampliamenti semplici. Infatti, se a i , . . . , a^ G ii^, posto Fo\=F e Fi := Fi-i{ai) per i = l , . . . , n , risulta FCFi=

F{ai) C...CFi

= F ( a i , . . . , a,) C . . . C F , = F ( a i , . . . , a,)-

Osserviamo che, per le proprieta delle operazioni di K, tale costruzione non dipende dalla scelta dell'ordine degh Q;^ Daremo in seguito condizioni su a i , . . . , a ^ sufficienti ad assicurare che I'ampliamento F ( a i , . . . , a n ) sia semplice, ovvero che esista un elemento a e K (detto elemento primitivo) tale che F ( a i , . . .,an) = F{a) (Teorema 5.3.13). Esempi 3.2.6 (1) Sia F un campo numerico e sia a G C \ F e tale che a^ ^ F. Allora I'ampliamento semplice di F in C generato da a e F{a) = {a4-6a; a,6G F } . Infatti, ogni campo numerico contenente F e a contiene necessariamente tutti i numeri del tipo a -\- ba, a^b e F . Basta allora osservare che I'insieme di tali numeri e un campo, perche e un gruppo additivo, e chiuso rispetto alia moltiplicazione ed inoltre, se a, 6 ^ 0, I'inverso di a + 6a e -^— . a^ — 6^a^ (2) C e un ampliamento semplice di R. Infatti risulta C : = {a + M; a, 6 G R} = R(i). (3) L'ampliamento Q(v^, V^), si puo costruire tramite la successione di ampliamenti semplici Q C F := Q(V2) C F(V3) = Q(x/2, Vs). Per quanto visto nel precedente Esempio (1), risulta

F:=:Q(\/2) = ia-{-bV2; a,6GQJ. Poiche \/3 ^ Q ( A / 2 ) (altrimenti si avrebbe \/3 = a + by/2 e, quadrando, \/2 sarebbe razionale), allora Q ( A / 2 ) C Q ( V ^ , V ^ ) e risulta

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3 Ampliamenti di campi Q(V2, V3) = F{V3) = [a' + b'Vs ;a',b'

eF^

= {co + ci\/2 + C2V3 + C3V2V3; Q G Q } . Alio stesso risultato si giunge costruendo prima F ' := QiVs) = {a + 6^3 ; a, 6 G Q } e successivamente Q(V2, V3) = F\V2)

= {a' + h'V2; a\ b' G F ' }

= {co + c i y 3 + C2\/2 + C3\/3\/2; Q G Q } . Q ( A / 2 , A/S)

e un ampliamento semplice di Q. Infatti 0 ( ^ 2 , \/3) = Q(a);

a := %/2 + x/S.

Per vedere cio, osserviamo che chiaramente Q(a) C Q(\/2, \/3). Viceversa, si ha: 2 = (a - ^/if =a^ - 2^/Za + 3, da cui VS = (a^ + l)(2a)-^ G Q(a)

e

^ 2 = a - Vs G Q(a).

Segue che Q(\/2, \/3) C Q(a). (4) Se F e un campo e f{X) := CQ+CIXH hc^X^ G F[X\, il piu piccolo sottocampo di F contenente i coefficienti di f{X) e il campo F(co, c i , . . . , c^), dove F e il sottocampo fondamentale di F. Questo campo si chiama il campo di definizione (o di razionalitd) di f{X). Ad esempio, il campo di definizione del polinomio X^ — VSX^ -h (\/2 + 1) eQ(V2,\/3). (5) II campo K := F(X, y ) delle funzioni razionali in due indeterminate indipendenti su F e finitamente generato, ma non e semplice. Altrimenti, se K := F{a), dalle relazioni a = (p{X,Y) e X = '^(CK), eliminando i denominatori si otterrebbe una relazione di dipendenza algebrica su F tra le indeterminate X eY.

3.3 Elementi algebrici e trascendenti SeFCKea^Kj 1'ampliamento semplice di F in K generato da a e il campo F{a) = {fia)g{ar'; f{X), giX) G F[X], gia) / O} (Proposizione 3.2.5). Per costruire questo ampliamento, e allora necessario stabilire se a e o meno radice di qualche polinomio non nullo a coefficienti inF.

3.3 Element! algebrici e trascendent!

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Definizione 3.3.1 Sia F C K un ampliamento di campi. Un elemento a G K di dice algebrico su F se e radice di qualche polinomio non nullo f{X) G F[X]. Altrimenti a si dice trascendente su F. Se F C iiT, un elemento a ^ K algebrico su F e evidentemente algebrico anche su ogni campo intermedio L. Esempi 3.3.2 (1) Ogni elemento a G F e banalmente algebrico su F , essendo radice del polinomio X — a a coefficienti in F. (2) Ogni indeterminata X su un campo F e trascendente su F per il Principio di Uguaglianza dei Polinomi (Proposizione 2.1.1). (3) S e F C L C K, un elemento di K algebrico su L non e necesariamente algebrico su F. Infatti se r G K e un elemento trascendente su F , anche r^ e trascendente su F , per ogni n > 1; altrimenti risulterebbe / ( r ^ ) = g{T) = 0 per cert! polinomi non null! / ( X ) , g{X) G F[X]. Considerando gli ampliamenti F C F{T'^) C F{T) si ha tuttavia che r e algebrico sul campo intermedio F{T^), essendo radice del polinomio X^ — r^ ^ F(r^)[X]. (4) II concetto di elemento algebrico ha in Algebra Commutativa un analogo di fondamentale importanza, quello di elemento intero [56, Chapter 13]. Dati due anelli commutativi unitari A C B^ un elemento a ^ B si dice intero su A se e radice di un polinomio monico / ( X ) := X - + On-iX^-'

+ • •. + ao G A[X],

n> 1. In questo caso, la relazione f{a) = 0 si dice una relazione di dipendenza integrate per a s\i A. Nel caso in cui Ae B siano campi, vediamo che un elemento di 5 e intero su A se e soltanto se e algebrico. Ma, se A non e un campo, un elemento di B che e radice di un polinomio non nullo / ( X ) G ^[X] non e necessariamente intero su A, perche non e sempre possibile scegliere / ( X ) monico. Basta pensare che ogni numero razionale a/b e radice del polinomio bX — a G Z[X], ma non puo essere radice di un polinomio monico a coefficient! inter! se 6 7^ ± 1 (Esempio 2.3.9 (2)). 3.3.1 Numeri trascendenti Un numero complesso algebrico su Q si chiama semplicemente un numero algebrico. Un numero che non e algebrico si chiama un numero trascendente. I numeri real! trascendenti sono necessariamente irrazionali. Esempi 3.3.3 (1) Se d e un numero intero positivo, Vd e un numero reale algebrico, per ogni n > 2, perche e radice del polinomio X^ -de Q[X]. Si fa risalire alia scuola pitagorica la scoperta che il lato e la diagonale di

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3 Ampliamenti di campi

un quadrato non sono commensurabili, cioe che \/2 e un numero irrazionale. Pill generalmente, usando la proprieta che ogni numero intero e prodotto di numeri primi univocamente determinati, si puo facilmente verificare che \fd e un numero intero oppure e un numero irrazionale, per ogni n > 2 (Esercizio 3.9). (2) L'unit a immaginaria i e un numero algebrico, essendo radice del polinomio X^ + 1. Come vedremo successivamente, i numeri algebrici formano un sottocampo di C (Proposizione 3.6.1) ed hanno molte buone proprieta. Lo studio dei numeri trascendenti e invece molto piu difficile ed ha molteplici aspetti che non sembra possano ricondursi ad una teoria generale. L'esistenza dei numeri trascendenti e stata dimostrata da J. Liouville nel 1844, come conseguenza del suo celebre Teorema di Approssimazione. Una dimostrazione indiretta dell'esistenza dei numeri trascendenti e stata poi data da G. F. Cantor, nel 1874. Essa si basa sul fatto che I'insieme dei numeri algebrici ha la cardinalita del numerabile, mentre il campo M dei numeri reali ha cardinalita strettamente maggiore; i numeri trascendenti sono allora infinitamente piu numerosi dei numeri algebrici. La dimostrazione di Cantor verra illustrata nel Paragrafo 13.2; una discussione sulla sua costruttivita si trova in [47]. Teorema 3.3.4 (J. Liouville, 1844) ^e a G M e radice di un polinomio irriducihile di grado n > 2, esiste un numero positivo c, dipendente soltanto da a, tale che Vineguaglianza a

P Q

>

e verificata per tutte le coppie di numeri razionali (p^q), q y^ 0. Una dimostrazione del Teorema di Liouville si puo trovare ad esempio in [52, Paragrafo 1]. Usando in negativo questo teorema, e possibile costruire molti numeri reali trascendenti, oggi chiamati numeri di Liouville [52, Paragrafo 4]. II numero di Liouville piu noto e il numero ^

k>l

10^^ " To "^ 102 ^ 103! ^ *" ^ 10^'

^"'

Altri numeri trascendenti possono essere costruiti usando teoremi di approssimazione sempre piu precisi. In questo contesto, il seguente teorema, chiamato per motivi storici il Teorema di Thue-Siegel-Roth^ e considerato di fondamentale importanza ed e stato dimostrato da K. F. Roth nel 1955 [52, Paragrafo 5]. Teorema 3.3.5 (K. Roth, 1955) Sia a ^^ 0. Allora Vineguaglianza

un numero algebrico e sia e >

3.3 Elementi algebrici e trascendenti a

P

<

Q

117

1 q2+e

e verificata soltanto per un numero finito di numeri razionali p/q, q> 0. Tuttavia, in generale dimostrare la trascendenza, o anche soltanto I'irrazionalita, di un particolare numero reale e molto difficile. Uno dei molti problemi importanti ancora aperti e infatti quello di stabilire se certe costanti che intervengono in Teoria dei Numeri, come ad esempio la costante di Euler 7 : = lim (1 + - + - + ••• + - - l o g n ) = 0,5777216..., n^-oo

2

3

Tl

siano o no razionali. La trascendenza del numero di Nepero

k>i

base del logaritmo naturale, fu congetturata da L. Euler nel 1784 e dimostrata da C. Hermite {Comptes rendus^ 1873) come conseguenza del seguente teorema. Teorema 3.3.6 (C. Hermite, 1873) Se a i , . . . , a - ^ sono numeri razionali distinti, n> 1, i numeri e"^,..., e"'^ sono linearmente indipendenti su Q. II Teorema di Hermite e stato generalizzato da F. Lindemann nel 1882. Teorema 3.3.7 (F. Lindemann, 1882) Scelti comunque n numeri algebrici distinti ai e n numeri algebrici non nulli Ai, I < i < n, risulta Aie""' + A2e«^ + •.. + ^ ^ e " - 7^ 0. Una dimostrazione del Teorema di Lindemann si puo trovare in [52, Section 10] oppure in [35, Problem 26]. Corollario 3.3.8 // numero e" e trascendente per ogni numero algebrico a ^ 0. In particolare, sex e un numero reale algebrico diverso daO el, allora ln(x) e trascendente. Dimostrazione. Per il Teorema 3.3.7, se a ^ 0 e algebrico, e^ non puo essere radice di alcun polinomio a coefficienti razionali. Quindi e" e un numero trascendente. Poiche x = e^^^^\ vediamo anche che, se ln(x) 7^ 0 e algebrico, allora x e trascendente. La trascendenza del numero TT, che indica il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro di un qualsiasi cerchio, fu congetturata da A. M. Legendre nel 1806 e dimostrata da Lindemann come conseguenza del

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3 Ampliamenti di campi

Teorema 3.3.7. Come vedremo nel Paragrafo 11.4, essa implica Timpossibilita della quadratura del cerchio, ovvero I'impossibilita di costruire con riga e compasso un quadrato che abbia area uguale a quella di un cerchio assegnato. Ricordiamo che ogni numero reale x soddisfa la formula di Eulero e'"" = cos(rc) + isin(x)

(L. Euler, 1746).

CoroUario 3.3.9 n e un numero trascendente. Dimostrazione. Per la formula di Eulero, si ha e^^ = — 1. Poiche i e algebrico ed i numeri algebrici formano un campo, per il Teorema 3.3.7, TT non puo essere algebrico. Per una dimostrazione piu dettagliata della trascendenza di e e di TT si puo consultare [51, Appendix]. Nel suo discorso di apertura del secondo Congresso Internazionale della Matematica, tenutosi a Parigi nel 1900, D. Hilbert indico quelle che riteneva le linee di sviluppo della matematica del XX secolo attraverso un elenco di problemi ancora aperti, oggi noti come i 23 problemi di Hilbert II settimo di questi problemi chiedeva di stabilire se i numeri del tipo a^, con ae (3 algebrici, come ad esempio 2^^, fossero trascendenti. Questo problema fu risolto nel 1934 da A. Gelfond e T. Schneider indipendentemente [52, Paragrafo 9]. Teorema 3.3.10 (A. Gelfond-T. Schneider, 1934) Se a e un numero algebrico diverso da 0 e 1 e P e un numero irrazionale algebrico, allora a^ e trascendente. CoroUario 3.3.11 (A. Gelfond, 1929) e^ e un numero trascendente. Dimostrazione. Per la formula di Euler, risulta e^ = i~^\ dove sia i che —2i sono algebrici. Quindi possiamo applicare il Teorema 3.3.10. CoroUario 3.3.12 (C. Siegel, 1930) 2 ^ e un numero trascendente. Non e ancora noto se a^ sia trascendente quando lo sono sia a che /?. Ad esempio non e noto se TT® sia trascendente. Non e neanche noto se e + TT ed CTT siano trascendenti. II Teorema di Gelfond-Schneider e stato poi significativamente migliorato da A. Baker {Linear forms in the logarithms of algebraic numbers, I, II, III^ 1966 - 1967). Per i suoi lavori in Teoria dei Numeri, Baker ha ricevuto nel 1970 la Medaglia Fields. Questo premio e dedicato alia memoria del matematico J. C. Fields, che lo ha istituito nel 1936. Esso viene assegnato a matematici di eta inferiore ai 40 anni, in occasione dei Congressi Internazionali di Matematica, che si svolgono ogni quattro anni.

3.3 Elementi algebrici e trascendent!

119

3.3.2 II polinomio minimo di un elemento algebrico Dato un ampliamento di campi F C K^ per stabilire se un elemento a ^ K e algebrico oppure trascendente su F si puo studiare romomorfismo definito dal valore in a

v^:F[X]—>K;

f{X)^f{a),

Infatti il nucleo di Va e precisamente I'ideale di F[X] costituito dai polinomi che si annullano in a. Quindi a e algebrico su F se e soltanto se I^ •— KevVa e un ideale non nullo di -F[X]. In questo caso, poiche F[X] e un anello a ideali principali, risulta anche I^ — (m(X)), dove m{X) e I'unico polinomio monico di grado minimo in lo, (Teorema 2.2.4). Definizione 3.3.13 Se F C K e un ampliamento di campi e a ^ K e algebrico su F, il polinomio di F[X\ monico e di grado minimo annullato da a si chiama il polinomio minimo di a su F . L'elemento a si dice algebrico di grado n se il suo polinomio minimo ha grado n. Proposizione 3.3.14 Siano F C K un ampliamento di campi, a £ K e p{X) G F[X] un polinomio non nullo tale che p{a) = 0. Allora p{X) e il polinomio minimo di a su F se e soltanto se p{X) e monico ed e irriducihile su F. Dimostrazione. Sia m{X) il polinomio minimo di a su F . Se m{X) = g{X)h{X)^ allora m{a) = g{a)h{a) = 0, da cui g{a) — 0 oppure h{a) = 0. Nel primo caso, g{X) e un multiplo di m{X) e quindi m{X) e g{X) sono associati. Nel secondo caso, analogamente m{X) e h{X) sono associati. Dunque m{X) e irriducibile. Viceversa, sia p{X) G F[X] un polinomio non nullo annullato da a. Se p{X) e irriducibile, essendo diviso da m{X), esso e associato a m{X). Quindi se p{X) e anche monico risulta p{X) = m{X). Per la proposizione precedente, se F C i^ e f{X) G F[X] e un qualsiasi polinomio non nullo annullato da un elemento a E K^il polinomio minimo di a su F e il fattore monico irriducibile di f{X) annullato da a. In particolare, ogni polinomio monico irriducibile a coefficienti numerici e il polinomio minimo di ogni sua radice complessa. Inoltre, s e F C L C i ^ e a G K e algebrico su F , il grado di a su F e maggiore uguale al suo grado su L. Infatti il polinomio minimo di a su F puo essere riducibile in L[X] e in questo caso e diviso propriamente in L[X] dal polinomio minimo di a su L. Esempi 3.3.15 (1) Se F C i^, un elemento a G K e algebrico di grado 1 su F se e soltanto se a G F (Proposizione 2.3.10). (2) S e F C i r e Q ; G i ^ \ F annulla un polinomio di secondo grado su F , allora a ha grado 2 su F . Ad esempio, ogni numero complesso non reale ha grado 2 su R. Infatti a : = a + &iGC, e radice del polinomio a coefficienti reali

120

3 Ampliamenti di campi f{X) := X^ - (a + a)X ^ aa = X^ - 2aX + (a^ -f b^)

(Paragrafo 2.4.1). (3) Se p e un numero primo e n > 2, a := ^ ha grado n su Q, infatti a e radice del polinomio X^ — p, che e irriducibile su Q per il Criterio di Eisenstein (Esempio 2.5.11 (1)). (4) Se p e un numero primo e ^ 7^ 1 e una radice complessa p-esima delPunita, allora ^ ha grado p — 1 su Q. Infatti ^ e radice del p-esimo polinomio ciclotomico ^p{X) := XP~^ -h X^~^ H h 1, che e irriducibile su Q per il Criterio di Eisenstein (Esempio 2.5.11 (3)). (5) II numero a :— \/2 H- \/3 ha grado 2 su Q(\/2) e grado 4 su Q. Infatti a ^ Q{V2) perche ^ 3 ^ Q(\/2) (Esempio 3.2.6 (5)). Inoltre risulta 3 = (a - V2f

^o? - 2V2a + 2,

per cui a e radice del polinomio X^ — 2\/2X — 1 a coefficienti in Q(\/2). Infine si ha 2\/2a = a^ -1 da cui Sa^ = a"^ - 2a^ + 1. Ne segue che a e anche radice del polinomio a coefficienti razionali m{X) := X^ - lOX^ + 1, che e irriducibile su Q (perche non ha radici razionali e non ha fattori di secondo grado a coefficienti razionali). Notiamo che in Q(\/2)[X] risulta X^ - lOX^ + 1 = (X^ - 2\/2X - 1)(X^ + 2\/2X - 1).

3.4 Ampliamenti semplici Siamo or a in grado di caratterizzare gli ampliamenti semplici di un campo. Ricordiamo che, se F C iiT e un ampliamento di campi e a e K^ I'ampliamento semplice di F in i^ generato da a e il campo F{a) - {f{a)g{a)-';

f{X),

g{X) G F[X], g{a) ^ O}

(Proposizione 3.2.5). Teorema 3.4.1 (L. Kronecker, 1882) Sia F C. K un ampliamento di campi e sia a ^ K. Allora: (a) Se a e trascendente su F, Vapplicazione FiX)-^F{a);

&^

^

f{a)g{ar'

e un isomorfismo di campi. Quindi F{a) e isomorfo al campo F{X) delle funzioni razionali in una indeterminata X su F.

3.4 Ampliamenti semplici

121

(b) Se a e algebrico su F con polinomio minimo m{X), risulta F{a) = F[a\ e Vapplicazione

^f^^

{m{X))

>Fia);

f{X) +

{m{X))^fia)

e un isomorfismo di campi. Dimostrazione. Sia Va : F[X] —> K, f{^) ^ /C^)? romomorfismo definito dal valore in a, la cui immagine e F[a]. (a) Se a e trascendente su F , allora KeiVa = (0). Ne segue che Va e iniettivo e percio si estende ad un isomorfismo tra F{X) e F{a) (Teorema 1.5.1 (d)). (b) Se a e algebrico su F , allora KevVa = (m(X)), dove m{X) G F[X] e il polinomio minimo di a su F . Dunque, per il Teorema Fondamentale di Omomorfismo, ImVa = F[a] e canonicamente isomorfo all'anello quoziente F[X]/{m{X)). Poiche m{X) e irriducibile su F (Proposizione 3.3.14), tale quoziente e un campo (Proposizione 2.2.9 (c)). Dunque anche F[a] e un campo e necessariamente coincide con F ( a ) . Corollario 3.4.2 Sia F C K un ampliamento di campi. Allora un elemento a e K e algebrico su F se e soltanto se F[a] — F{a). In questo caso F{a) = {co + cia + • • • + c ^ - i a ^ " ^ ; Q G F } , dove n e il grado di a su F. Dimostrazione. Per quanto visto nel Teorema 3.4.1, se a e algebrico su F , F[a\ = F{a). Altrimenti, se a e trascendente su F , F[a\ e canonicamente isomorfo all'anello dei polinomi F[X] e non e un campo. Inoltre, se il polinomio minimo m{X) di a su F ha grado n, gli elementi non nulli dell'anello quoziente F[X]/{m{X)) possono essere rappresentati dai polinomi di grado minore di n (Proposizione 2.2.9 (a)). Quindi, per 1'isomorfismo canonico f{X) + {m{X)) \-> f{a), risulta F{a) = {r{a); r{X) G F[X] , degr(X) < n} U {0} = {co + cia H

+ Cn-ia"""^ ] Ci e F] .

Esempi 3.4.3 (1) Quando a e algebrico di grado n su F , con polinomio minimo m(X), I'inverso di un elemento non nullo ^ G F ( a ) puo essere determinato con I'algoritmo della divisione euclidea come nell'Esempio 2.2.10. Sia infatti /? := CQ -f cia + h Cn-ia'^~^ G F{a) e si consideri il corrispondente polinomio r{X) = co + ciX-\ \-Cn-iX'^~^ G F[X]. Poiche m{X) e irriducibile di grado n, allora r{X) e m{X) sono coprimi e I'algoritmo della divisione euclidea ci permette di determinare due polinomi g{X) e h{X) tali che g{X)r{X) + h{X)m{X) = 1 (Teorema 2.2.6). Calcolando in a, si ottiene che g{a)r{a) — g{a)l3 — 1. Dunque g{a) e I'inverso di 13 in F{a).

122

3 Ampliamenti di campi

(2) Determiniamo 1'inverse razionalizzato del numero Notiamo che /? G Q(Q^), dove a := \/2 + y/Z. Poiche il polinomio minimo di a su Q e X^ - lOX^ + 1 (Esempio 3.3.15 (5)), si ha Q(ce) = {co + cia + csa^ + c-^a^ ; c^ G Q} . II polinomio corrispondente a/3 = a + l e X + l e risulta X^ - lOX^ + 1 = (X + 1)(X^ - X^ - 9X - 9) - 8. Calcolando in a, si ottiene che I'inverso di /? in Q(a) e | ( a ^ — a^ — 9a — 9). CoroUario 3.4.4 Sia F C K un ampliamento di campi e siano a, P G K due elementi algebrici di grado n su F che hanno lo stesso polinomio minimo. Allora Vapplicazione F{a) —> F{(3) definita da Co + cia +

h Cn-ia"""^ h^ CQ + ci/? H

+ Cn-i(3'''~^

e un isomorfismo di campi. Dimostrazione. Per il Teorema 3.4.1, se m{X) e il polinomio minimo di a e f3 e r{X) := CQ + ciX -\ h Cn-iX^~^, si hanno due isomorfismi:

definiti da: r{a) ^ r{X) + (m(X)} ^ r(/?). La loro composizione e 1'isomorfismo cercato. Esempi 3.4.5 ( l ) S e ^ 7 ^ 1 e una radice complessa terza deH'unita, ad esempio ^ := ~^+^v^^^ allora ^^2 e v^^ hanno lo stesso polinomio minimo X^ — 2 su Q (Paragrafo 2.4.2). Quindi I'applicazione

Q(^)^Q(^0;

r{^)^r{^0,

per ogni polinomio r{X) G Q[X] (di grado al piu uguale a due), e un isomorfismo di campi. Osserviamo che Q( v^) e un campo numerico reale, ma Q( v^^) non e reale. (2) Perche due ampliamenti semplici F{a) e F{P) siano isomorfi, addirittura uguali, non e necessario che a e /3 abbiano lo stesso polinomio minimo. Ad esempio Q(v^) = Q{a^/2 + 6), per ogni a, 6 G Q, a 7^ 0.

3.5 Ampliamenti finiti

123

3.5 Ampliamenti finiti Se F e un campo eip : F —> Aeun omomorfismo di anelli non nullo, A e uno spazio vettoriale su F con la moltiplicazione scalare definita da xa = (p{x)a^ per ogni x G F ea ^ A (Paragrafo 2.3.1). Dunque, se F C K enn ampliamento di campi, K e uno spazio vettoriale su F. Definizione 3.5.1 Se F C K e un ampliamento di campi, la dimensione di K come spazio vettoriale su F si chiama il grado di K su F e si indica con [K : F]. Si dice che K e un ampliamento finito di F (o che K e finito su F) se K ha grado finito su F. Esempi 3.5.2 (1) Se F C K, allora F = K se e soltanto se [K :F] = 1. (2) C e un ampliamento finito di grado due di R. Infatti una base di C su Me {l,i}. (3) II campo F{X) delle funzioni razionali nell'indeterminata X sul campo F non e un ampliamento finito di F. Infatti gli elementi 1, X, X^, . . . , X^ sono linearmente indipendenti su F , per ogni n > 1, per il Principio di Uguaglianza dei Polinomi (Proposizione 2.1.2). Gli ampliamenti finiti semplici di un campo sono precisamente quelli generati da un elemento algebrico, come mostra il seguente risultato. Proposizione 3.5.3 Siano F C K un ampliamento di campi e a E K. Le seguenti proprietd sono equivalenti: (i) (ii) (iii) (iv)

F C F ( a ) e un ampliamento finito; a e algebrico su F; F[a] = F{a); F[a] e uno spazio vettoriale di dimensione finita su F.

Inoltre, se queste proprietd sono soddisfatte, n := [F(a) : F] e uguale al grado di a su F e una base di F ( a ) su F e { l , a , c e ^ , . . . ^a^^^^, Dimostrazione. (i) =^ (iv) Se F ( a ) ha grado finito su F e [F{a) : F]= n^ gli n + 1 elementi 1, a, a ^ , . . . , a^ di i^ sono linearmente dipendenti su F . Quindi F[a] e uno spazio vettoriale di dimensione finita su F . (iv) =4> (ii) Se F\a] e uno spazio vettoriale di dimensione finita n > 1 su F , gli n + 1 elementi 1, a, a^,..., a"^ di F[a] sono linearmente dipendenti su F . Dunque a annulla un polinomio di grado n su F e quindi e algebrico su F . (ii) ^ (i) Se a e algebrico di grado n su F , gli elementi 1, a, a ^ , . . . , a^~^ di K sono linearmente indipendenti su F , altrimenti a annullerebbe un polinomio di F[X] di grado minore di n. Poiche essi generano F{a) su F (Corollario 3.4.2), allora costituiscono una base di F{a) su F . In particolare [F(a) : F] = n. (ii) <^ (iii) Per il Corollario 3.4.2.

124

3 Ampliamenti di campi

Corollario 3.5.4 Sia F C K un ampliamento di campi. Un elemento a ^ K e trascendente su F se e soltanto se F{a) ha grado infinito su F. Vediamo ora che il grado di un ampliamento finito ha buone proprieta moltiplicative. Proposizione 3.5.5 Se F C L C K sono ampliamenti di campi, allora K e finito su F se e soltanto se K e finito su L e L e finito su F. In questo caso risulta [K:F] = [K:L][L:F]. Inoltre, se { a i , . . . , as} e una base di K su L e {/?i,..., f3t} e una base di L su F, allora { a i / ? i , . . . , ag^t} ^ una base di K su F. Dimostrazione. Bast a verificare che, se {a\] \ ^ A} e una base di K su L e {/?o- ] (J ^ E} e una base di L su F , allora una base di if su F e {axl3cj] XeA.aeE]. Per vedere questo, osserviamo intanto che {axf3(j ; A G ^ , cr G i7} e un insieme di generatori per if su F . Infatti, se a G if", allora a = Yll^i^j^j^ per opportuni 6j £ L, e bj — Yl^i^ijPi^ P^^ opportuni QJ G F. Dunque ^ = Y.ij^ijPi(^j- Inoltre, se Y^h^k^hkl^hOt-k = J2ki^h^hkPh)(^k = 0, con Chk ^ F , h = 1 , . . . , 5, k = 1 , . . . , t, I'indipendenza degli ak su L implica che J2h ^hkPh = 0 per ogni fc, e allora I'indipendenza dei Ph su F implica che Chk = 0 per ogni h, k. Dunque gli elementi axf3a^ A G il, cr G Z" sono tutti linearmente indipendenti su F . Corollario 3.5.6 Siano F C L C K ampliamenti finiti di campi: (a) Se [K :F] = [L: F ] , allora L = K. (b) Se [K:F] = [K: L], allora L = F. Dimostrazione. Per la Proposizione 3.5.5, se [K : F] = [L : F], allora [K : L] = 1; da cui if = L. Analogamente, se [if : F] = [if : L], allora [L : F] = 1; da cui L — F. E s e m p i 3.5.7 II Corollario 3.5.6 non e vero senza I'ipotesi che [K : F] sia finito. Infatti, sia r un elemento trascendente su un campo F e consideriamo la catena di campi F C F{r'^) C F{T)^ dove n > 2. Poiche anche r^ e trascendente su F (Esempio 3.3.2 (4)), allora [F{r) : F] = [F{r'') : F] e infinito. Notiamo ora che, per I'isomorfismo canonico F[T'^] —> F[X] dato dal Teorema di Kronecker (Teorema 3.4.1), r^ e un elemento primo di F[T^] (Esempio 2.3.9 (3)). Quindi il polinomio X^'-T'' e F{T'')[X] e irriducibile su F{T^) per il criterio di Eisenstein (Esempio 2.5.11 (2)). Ne segue che [F{T) : FIT"")] = n > 2 e in particolare F{T'') ^ F{r). Corollario 3.5.8 Se F C K e un ampliamento finito, ogni elemento a ^ K e algebrico su F ed il suo grado su F divide [if : F ] . Se inoltre F C L C F{a), il grado di a su L divide il grado di a su F.

3.5 Ampliamenti finiti

125

Dimostrazione. Si ha i^ C F{a) C K e [F{a) : F] divide [K : F] per la Proposizione 3.5.5. Inoltre [F{a) : F] e il grado di a su F per il Corollario 3.4.2 (notare che [F{a) : F] = 1 se e soltanto se a G F ) . Se poi F C L C F ( a ) , allora risulta L{a) = F ( a ) e [L{a) : L] = [F{a) : L] divide [F{a) : F], ancora per la Proposizione 3.5.5. Corollario 3.5.9 Se F C K e un ampliamento di campi e [K : F] = p e un numero primo, allora K = F{a) per ogni a G K \F. Inoltre una base di K su F e { l , a , a ^ , . . .,a^~-^}. Dimostrazione. [F{a) : F] e finito e divide [K : F] =^ p per la Proposizione 3.5.5. Se inoltre aeK\F, allora [F{a) : F] 7^ 1 e quindi [F{a) : F] = p. La conclusione segue allora dal Corollario 3.5.6. 3.5.1 Ampliamenti quadratici Un ampliamento di campi F C K tale che [K : F] = 2 si chiama un ampliamento quadratico. In questo caso, per ogni a G K\F^ risulta [F(a) : F] = 2 e dunque K = F{a). Inoltre a e radice di un polinomio irriducibile m{X) = X^ + bX + c a coefRcienti in F e una base di K su F e {1, a } . Sia ora F un campo di caratteristica diversa da 2 e sia F{a) un ampliamento quadratico, con a^ + 6a + c = 0, 6, c E F . Posto A := 6^ — 4c, si ha a^ -\-ba = —c b^ + 4a^ + 46a = 6 ^ - 4 0 (2a + 6)^ = zi Quindi in F ( a ) esiste un elemento 7 tale che 7^ == Z\ G F , infatti 7 := lb(2a + b). Inoltre a = 2~^(7 — 6). Con abuso di notazione, in analogia con il caso numerico, possiamo porre 7 := ± V ^ e ritrovare in questo modo le usuali formule risolutive delle equazioni di secondo grado

-b±^fA " = — 2 — • Poiche a G F(7), allora 7 ^ F e F{a) = F{'y). Viceversa, se 7 ^ F e 7^ := c G F , allora il polinomio X^ — c e irriducibile su F e F(7) e un ampliamento quadratico di F . In conclusione, tutti e soli gli ampliamenti quadratici di un campo F di caratteristica diversa da 2 sono quelli del tipo F(7), dove 7 ^ F e 7^ G F . In caratteristica 2 invece questo non e vero (Esempio 4.1.2 (1)). 3.5.2 Ampliamenti biquadratici Se F e un campo e F{a), F(/3) sono ampHamenti quadratici distinti di F , rampliamento F{a^j3) si chiama un ampliamento biquadratico di F .

126

3 Ampliamenti di campi

Notiamo che F{a) e F{P) sono distinti se e soltanto se /3 ^ F(a) (equivalentemente a ^ F{I3)). Se questo avviene, a ha grado 2 su F{(3) (e simmetricamente (3 ha grado 2 su i^(a)); percio [F(a, /3) : F] = 4 e una base di F ( a , /?) su F e {l,a,/3, a/?} (Proposizione 3.5.5). Mostriamo che F(a,/3) = ^ ( 7 ) , con 7 := aH-/?. Notiamo che 7 G F ( a , / 3 ) \ F , altrimenti si avrebbe (3 G F ( a ) . Allora, se ^(7) 7^ F(a,/?), 7 deve avere grado 2 su F . Siano p{X) := X" + a i X + ao ;

g(X) := X^ + h^X + 60

rispettivamente i pohnomi minimi di a e /3 su F e supponiamo che vfi{X) \— X'^ + d i X + do ^ ^ [ ^ ] sia un pohnomio annullato da 7. Usando le relazioni 772(7) = P(<^) "= ^(/?) = 0? deve allora risultare (rfo -ao-

bo) + {di - a i ) a + (di - bi)P + 2a/3 = 0.

Ma questo e impossibile perche l,a,/3, a/? sono linearmente indipendenti su F . Percio risulta F ( a , /?) = F(7) e quindi una base per F ( a , /?) su F e anche {1,7,7^ 7 ' } . Supponiamo ora che F abbia caratteristica diversa da 2. Allora, senza perdere di generalita, per quanto visto precedentemente, possiamo supporre che a := a^ e 6 := /?^ appartengano ad F . In questo caso, il polinomio minimo m{X) di 7 := a + /? su F e un polinomio monico biquadratico, cioe del tipo X^ + a s X ^ + a o ; infatti, per doppia quadratura, risulta m{X) = X^ - 2(a + b)X'^ + (a -

bf.

Viceversa, se il polinomio minimo di 7 su F e un polinomio biquadratico, non e detto che F(7) sia un ampliamento biquadratico. Ad esempio, il polinomio minimo di 7 :== \/2 su Q e X^ — 2 (Esempio 3.3.15 (3)), che e un polinomio biquadratico (per ^2 = 0, ao = —2). Ma Q(v^) non e un ampliamento biquadratico, perche v ^ non si puo esprimere nella forma / ( V a , Vo). Questo apparira piu chiaro nel successivo Paragrafo 7.3.3. 3.5.3 Ampliamenti del tipo Q ( ^ ^ , y/b) Siano a, b G Q tali che i polinomi X^ — a, X^ —b siano irriducibili su Q e siano a e P due numeri complessi tali che a^ = a, /3^ = 6. Mostriamo che Q(a, /?) ha grado 6 su Q e che Q(a, f3) = Q(a + /3). Poiche [Q(a,/?) : Q] = [Q(a,/3) : Q(a)][Q(a) : Q] - [Q(a,/3) :. Q(/?)] [Q(^) : Q], allora [Q(a, /?) : Q] e diviso da 3 = [Q(a) : Q] e da 2 = [Q(/^) : Q] e percio e diviso anche da 6. D'altra parte ad esempio [Q(a,/3) : Q(/?)] e al piu uguale

3.5 Ampliamenti finiti

127

a 3, perche a ha grado 3 su Q. Percio [Q(a, /?) : Q] = 6. Inoltre una base di Q(a,/3)suQe {l, a, a^, /^, a/?, a^/3} . Poiche Q(a + /?) C Q(a, /3), per concludere che Q(a, /3) = Q(a + /^), basta mostrare che

[Q(a,/3):Q]=6=[Q(a + /3):Q]. Poiche a + ^ G Q(a,/J), il suo grado su Q puo essere 2, 3 oppure 6. Supponiamo che a -h /? abbia grado 2, cioe x{a H- /?)^ + y(a + ^) + z = 0 , con x, y, z G Q, allora (a:6 + z) + ya + 2//3 + xa^ + 2xa/? = 0, da cui, poiche 1, a, /3, a^, a/3 sono hnearmente indipendenti su Q, X = y = z = 0. Dunque a + /? non ha grado 2 su Q. Nello stesso modo si vede che esso non puo avere grado 3 su Q. Ne segue che a + /? ha grado 6 su Q e percio Q(a,/3) = Q(a + /3). Notiamo che a + /? deve avere grado 2 su Q(a) e grado 3 su Q(/3). Per calcolare il pohnomio minimo di a + /3 su Q(a), Q(/3) e su Q, si puo procedere nel seguente modo. Sia 7 := a + /?. Allora 7 — /3 = a, da cui, elevando al cubo, 7^ - 3/57^ + 367 -bf3 = a. Ne segue che il polinomio minimo di 7 su Q(/?) e g{X) := X^ - 3(3X'^ + 36X - {bp + a). Analogamente, si ha 7 — a = /?, da cui, elevando al quadrato, 7^ — 2^7 + a^ = 6. Allora il polinomio minimo di 7 su Q(a) e /i(X) : = X 2 - 2 a X + ( a 2 - & ) . Infine, elevando al quadrato, dalla relazione 7^ + 3&7 - a = (37^ + b)0 si ottiene 7^ - 367^ - 2a7^ + 36^7^ - 6abj + (a^ - b^) = 0. Percio il polinomio minimo di 7 su Q e

128

3 Ampliamenti di campi

f{X) =X^ - 3bX^ - 2aX^ + 3b^X^ - 6abX + (a^ - b^). Dunque una base di Q(a, /?) = Q(7) su Q e anche {1, 7, 72, 7 ' , 7 ' , 7 ' } • Notiamo infine che f{X) = g{X){X^ + 3pX^ + 3bX + (6/3 - a)) = h{X){X'^ + 2aX^ + {3a^ - 2b)X^ - {2ba - 2a)X + {ba^ + aa + b^)). 3.5.4 II composto di due campi Ricordiamo che se F C K e un ampliamento di campi e L e un campo tale che F C L C K, si dice che L e un campo intermedio deirampHamento. Definizione 3.5.10 Se L e M sono due campi intermedi deirampHamento F C K, Vampliamento di F in K generato da LU M si chiama il composto di L e M in K e si indica con LM. II composto di L e M in JST e per definizione il piii piccolo sottocampo di K contenente sia L che M e quindi LM := (L U M) = L{M) = M{L). Esempi 3.5.11 Se L = F{S) e M — F{T), allora, come si verifica facilmente, il composto di L e M e F ( 5 U T ) . In particolare, se L = F ( a i , . . . , a^) e M = F(/?!,.. .^Prn) sono duc ampliamenti finitamente generati di F , il composto di L e M e I'ampliamento finitamente generato LM = F ( a i , . . . , an, A , . . . , Pm)Proposizione 3.5.12 Sia F C K un ampliamento di campi e siano L, M due campi intermedi. Se L e finito su F, allora LM = {xiyi +

h xtVu Xi G L, yi G M, i = 1 , . . . , t} .

Inoltre LM e finito su M e [LM : M]<[L:

F].

Dimostrazione. Si verifica facilmente che I'insieme C := {xi^i +

h XtVu Xi G F, ^i E M, i = 1 , . . . , t}

e un sottoanello di K contenente sia L che M. Sia { a i , . . . , an} una base di L su F e sia 7 = Xiyi -h • • • + Xtyt E C un elemento non nullo, con Xi ^ L e yi G M , i = l , . . . , ^ . Poiche ogni elemento Xi e combinazione lineare di a i , . , . , a^ su F , allora 7 e combinazione lineare di Qfi,..., an su M. Dunque { a i , . . . , an] e un insieme di generatori di C come spazio vettoriale su M e la dimensione di C su M e al piu uguale a n. Ne segue che M[^] ha dimensione finita su M. Percio 7 e algebrico su M e M[7] = M(7) e un campo (Corollario 3.4.2). Allora 7""^ G M[^] C C e quindi C e un campo. Poiche L, M C C C LM, per la minimalita del campo LM risulta LM = C. Infine, per la prima parte della dimostrazione, [LM : M] < [L : F].

3.5 Ampliamenti finiti

129

Proposizione 3.5.13 Sia F C K un ampliamento di campi e siano L, M due campi intermedi finiti su F. Allora il composto LM e finito su F e risulta [LM:F]

<

[L:F][M:F].

Se inoltre [L : F] e [M : F] sono due interi coprimi, allora vale Vuguaglianza. Dimostrazione. L'ampliamento M C LM e finito e [LM : M] <[L\F] la Proposizione 3.5.12. Allora, usando la Proposizione 3.5.5, [LM : F] = [LM : M][M :F]<[L:

per

F][M : F].

Se inoltre [L : F] — ne [M : F] = m sono due interi coprimi, allora nm divide [LM : F], perche lo dividono sia m die n. Dunque vale I'uguaglianza. Esempi 3.5.14 (1) Sia F C K e siano L e M due campi intermedi di grado finito su F. Se { a i , . . . , a^} e una base di L su F e {/3i,..., pm} e una base di M su F , allora {ai(3j ; i = 1 , . . . , n, j = 1 , . . . , m} e un insieme di generatori di LM su F . Infatti, ogni elemento di LM e del tipo xiyi -\- - - - ^ xtVt ^ Xi e L, i/i e M sono combinazioni lineari su F di a i , . . . , a^ e / ? i , . . . , /?m rispettivamente. Da questo segue ancora che [LM : F] < mn. (2) Sia K un ampliamento di F e siano a^f3 ^ K algebrici su F di gradi men rispettivamente. Se L = F{a) e M = F{f3)^ si ha LM = F{a, /3)

e

[F(a, P) : F] < mn.

Se inoltre MCD(m, n) = 1, risulta F{a) n F(/3) = F

e

[F(a, /3) : F] = [F{a) : F] [F(/3) : F] - mn.

D'altra parte, I'ipotesi MCD(m, n) = 1 non e necessaria. Se ad esempio F{a) e F(/3) sono due ampliamenti quadratic! distinti, allora il loro composto F{a^ /3) e un ampliamento biquadratico. (3) Sia F C K un ampliamento di campi e sia X una indeterminata su K. Allora il campo delle funzioni razionali K{X) e il composto di K e F ( X ) . Se inoltre K e finito su F , [K{X) : F(X)] = [K : F]. Infatti [K{X) : F{X)] < [K : F] per la Proposizione 3.5.12 e viceversa [K : F] < [K{X) : F(X)], perche elementi a i , . . . , a^ G K indipendenti su F sono anche indipendenti su F ( X ) . Per vedere questo, notiamo che data una relazione di dipendenza lineare di a i , . . . , a^ su F ( X ) , moltiplicando per un denominatore comune dei coefficienti, otteniamo una relazione g{X) := aifi{X) + h anfn{X) — 0, con fj{X) := aoj+aijX H [-an^jX'^' G F[X], j = 1 , . . . , n. Allora g{X) = ^ •ttoj-aj+ Ylj ciijOLjX + • • • = 0 e, per il Principio di Identita dei Polinomi, ^ • aijaj — 0 per ogni i = 0 , . . . , degp(X). Da cui, per I'indipendenza lineare degli a2 su F , otteniamo a^j = 0 e fj{X) = 0 per ogni j .

130

3 Ampliamenti di campi

3.6 Ampliamenti algebrici finitamente generati Ricordiamo che, dato un ampliamento di campi F C K,un elemento a G K si dice algebrico su F se e radice di qualche polinomio non nullo f{X) G F[X]. Proposizione 3.6.1 Sia F C. K un ampliamento di campi. L'insieme degli elementi di K algebrici su F e un sottocampo di K. Dimostrazione. Siano a, /? G K algebrici su F. Allora 1'ampliamento F ( a , [3) di F e finito su F per la Proposizione 3.5.12. Poiche a - / 3 G F{a^ /?) e a/3~^ G F{a,P)^ per /? 7^ 0, questi elementi sono algebrici su F per il Corollario 3.5.8. Quindi I'insieme degli elementi di K algebrici su F e un sottocampo di K. Definizione 3.6.2 Si dice che un ampliamento di campi F C K e nn ampliamento algebrico, oppure che K e algebrico su F, se ogni elemento a ^ K e algebrico su F. Ogni ampliamento finito e algebrico su F per il Corollario 3.5.8. II seguente teorema caratterizza gli ampliamenti finiti come gli ampliamenti algebrici finitamente generati; nel caso degli ampliamenti semplici ritroviamo la Proposizione 3.5.3. Teorema 3.6.3 Sia F C K un ampliamento di campi. Le seguenti proprietd sono equivalenti: (i) K e finito su F; (ii) K e algebrico e finitamente generato su F; (iii) K = F ( a i , . . . , an), dove ai e algebrico su F per i = 1 , . . . n. Dimostrazione. (i) =^ (ii) Ogni ampliamento finito e algebrico per il Corollario 3.5.8. Sia poi {/3i,..., /?n} una base di K su F. Allora K C F{Pi,..., Pn) e, poiche vale anche I'inclusione opposta, si ha I'uguaglianza. (ii) ^ (iii) e evidente. (iii) =^ (i) segue dalla Proposizione 3.5.13 per induzione su n > 1, perche K e il composto dei campi F(a^), che sono finiti su F per i = 1 , . . . , n. Corollario 3.6.4 Se F C K e un ampliamento di campi finito, allora K — F [ a i , . . . , an\, per opportuni elementi ai,... ^an ^ K. Inparticolare, K e una F-algebra finitamente generata. Dimostrazione. Per il Teorema 3.6.3, se il grado [K : F] e finito, si ha K = F ( a i , . . .,0^71)5 dove ai ^ K e algebrico su F per i — 1,.. .n. Poiche per il Corollario 3.4.2 risulta F{ai) = F[ai\ ed inoltre a^+i e algebrico su F ( a i , . . . , Q^i), per 0 < z < n, si puo allora concludere per induzione su n. E vero anche il viceversa del corollario precedente. Infatti, se F C iT e un ampliamento di campi e K e una F-algebra finitamente generata, K ha grado finito su F . Questa e una delle tante versioni del Teorema degli Zeri di Hilbert^ nella sua cosi detta forma debole, e verra dimostrata nel successivo Paragrafo 6.3.

3.7 Esercizi

131

Esempi 3.6.5 ( l ) C e u n ampliamento algebrico di M, perche [C : M] = 2 . (Esempio 3.5.2 (1)). Invece R non e un ampliamento algebrico di Q, perche R contiene numeri trascendenti (Paragrafo 3.3.1). (2) Ogni campo con un numero finito di elementi e un ampliamento algebrico di Fp, per un opportuno primo p. Infatti un campo con un numero finito di elementi ha necessariamente caratteristica prima p ed ha grado finito su Fp. I campi con un numero finito di elementi verranno studiati nel successivo Paragrafo 4.3. 3.6.1 U n ampliamento algebrico che non e finito Per la Proposizione 3.6.1, tutti i numeri complessi algebrici formano un sottocampo di C. L'intersezione di questo campo con R e il campo dei numeri reali algebrici. Proposizione 3.6.6 II campo dei numeri reali algebrici e un ampliamento algebrico e non finito di Q. Dimostrazione. Sia 7^ := \/2, n > 2. Poiche per il Criterio di Eisenstein il polinomio X'^ — 2 e irriducibile su Q (Esempio 2.5.11 (1)), risulta [Q(7n) • Q] — n. Se il campo dei numeri reali algebrici avesse grado finito su Q, tale grado sarebbe diviso da n, per ogni n > 2 (Corollario 3.5.8). Ma questo e impossibile. Notiamo che anche il campo dei numeri complessi algebrici, contenendo il campo dei numeri reali algebrici, non puo essere finito su Q.

3.7 Esercizi 3.1. Sia m{X) G Q[X] un polinomio irriducibile su Q e sia a una radice complessa di m{X). Determinare I'inverso di /3 in Q(a) in ognuno dei seguenti casi:

m{X) = X^ - 5, /3: = a + l; m{X) = 4X^ + 5X + 10, 13.= a^ +a + l m{X) = X^ + 3X2 + 9X + 6, /? ^a\

3.2. Determinare I'inverso razionalizzato di 4 + 2\/2 -h v ^ in Q( v ^ ) . 3.3. Mostrare che Q(\/2, ^3) = Q(^/2, y^) = Q(x/3, V^). 3.4. Stabilire se Q(i + v^) = Q(i\/2).

132

3 Ampliamenti di cainpi

3.5. Sia F un campo contenuto in R. Mostrare che rinsieme di matrici Ma,b{F) -^ {^a,6 := (^^

^];a,beF

e un campo ed e un ampliamento di grado 2 di F . Soluzione: Si ha e

Ma,b - Mc,d = Ma-c,b-d

Ma,bMc,d

= Mc,dMa,b

=

Mac-bdM^bc-

Dunque Ma,b{F) e un sottoanello commutativo unitario dell'anello di tutte le matrici 2 x 2 su F , con unita la matrice Mi,o- Inoltre, se Ma^b ¥" 0? si ha che Ma,bMa,-b = (<^^ + b'^)Mi^o con a^ + 6^ 7^ 0, percio

M-l =

^^Ma,-beMaAn

Infine una base di Ma,b{F) su F e costituita da Mi^o e Mo,i. 3.6. Sia K un ampHamento quadratico di Q. Mostrare che K = Q{Vd)^ dove d eZ e \d\ =^ pi.. .Pn^ dove 2?i,... ,Pn sono numeri primi distinti. 3.7. Siano a e b due interi privi di fattori quadratici. Mostrare che Q(\/a) = Q{Vb) se e soltanto se ^ G Q. 3.8. Mostrare che, se F e un qualsiasi campo numerico edeun numero intero, allora F{y/d) = F[a + h\fd) = F{cVd), per ogni a, b, c e F*. 3.9. Siano c?, n > 2. Mostrare che, se \/d ^ Z, allora non esiste alcun numero razionale a G Q tale che a^ = d. Soluzione: Sia a G Q tale che a'^ = d. Se a ^ Z, possiamo scrivere ce := f con MCD(a, b) = 1. Poiche a^ = db^, ne segue che ogni numero primo p che divide d divide anche a. Quindi a'^ = d^c — dh^. Dividendo per d, otteneniamo ^n-i^ _ ^n Poiche n — 1 > 1, ogni divisore primo p d\ d divide anche b. Ma allora MCD(a, 6) ^ 1; questa e una contraddizione. 3.10. Mostrare che i seguenti numeri sono algebrici e determinare il loro polinomio minimo su Q e su Q(\/2): ^ ;

l + 3\/2;

i^;

^(1+i);

A/2 + V ^ ;

^ 3 + 3A/2.

3.11. Determinare il polinomio minimo di v ^ + i su Q. 3.12. Sia F C K un ampliamento di campi e sia a G iC* algebrico di grado n > 1 su F . Mostrare che la moltiplicazione per a (fa * F{a) —> F{a); x ^ ax e un'applicazione biunivoca F-lineare e che il polinomio minimo di a su F e il polinomio caratteristico di (faSuggerimento: Osservare che a annulla il polinomio caratteristico di (pa e che tale polinomio e monico di grado n.

3.7 Esercizi

133

3.13. Sia a G C algebrico su Q con polinomio minimo m{X) := QQ + aiX + \-X^. Most rare che a e un autovalore, di autovettore v : = ( l , a , . . . , a ^ ~ ^ ) , della matrice 0 \ / 0 1 0 .. .. 0 0 0 1 ^:-

:

:

0 0 \-ao -ai

: 0 -a2

1 ••

-an-- 1 /

3.14. Sia F un campo e a = X^/{X + 1) G F{X). Mostrare che a e trascendente su F e X e algebrico su F ( a ) . Determinare inoltre il polinomio minimo di X su F{a). 3.15. Mostrare che e^ e trascendente su Q. 3.16. Mostrare che logio(2) e un numero irrazionale. Usando il Teorema di Gelfond-Schneider (Teorema 3.3.10) mostrare poi che esso e trascendente. 3.17. Sia F C K un ampliamento di campi e sia a G K. Mostrare che a e algebrico su F se e soltanto se a'^ e algebrico su F , per ogni n > 2. 3.18. Sia F C K un ampliamento di campi e sia, a e K. Mostrare che, se a e trascendente su F , allora (p{a) e trascendente su F , per ogni funzione razionale non costante (p{X) G F ( X ) . 3.19. Sia A un dominio con campo delle frazioni F e sia, F C K un ampliamento di campi. Mostrare che se a e K e algebrico su F , esiste c ^ A* tale che ca sia intero su A. 3.20. Sia A un dominio con il massimo comune divisore e sia K il suo campo delle frazioni. Mostrare che ogni a e K che e intero su A appartiene ad A. 3.21. Siano m^n>2

due interi coprimi. Mostrare che

Q(\/2, V 3 ) = Q(A/2 V3). 3.22. Mostrare che, per ogni m, n > 2, Q ( ^ , V2) = Q(^/2), per un opportuno r > 2. 3.23. Costruire esplicitamente i campi: Q( V3, V5);

Q(iV2);

Q(i, ^/2);

Q(^3,1 + ^ 3 ) ;

Q(V3, V5, x/7);

Q(^,V2).

3.24. Costruire esplicitamente i campi: Q(7r, 1 + V2);

QITT^, TT) ;

Q(7r, A/2, ^ 5 ) .

3.25. Determinare il grado su Q dei seguenti campi numerici: Q(^,3V5);

Q(7r, ^ ^ ) ;

Q ( ^ + i).

134

3 Ampliamenti di campi

3.26. Mostrare che se a G C ha grado primo su Q, allora Q(Q;) = Q(/(a)), per ogni polinomio f{X) G Q[X] tale che f{a) ^ Q. 3.27. Siano p i , . . • ,Pn numeri primi distinti e sia K := Q ( ^ ^ , . . . , y/p^)Mostrare che [K : Q] = 2^. 3.28. Siano p i , . . . ,Pn numeri primi distinti. Mostrare che tutti i numeri del tipo y/Pi-^ .. .Pifc, 1 < k < n sono linearmente indipendenti su Q. 3.29. Sia K := Q(a, /?) = Q(a + /?) un amphamento biquadratico di Q. Posto 7 := a + /3, determinare le formule del cambiamento di base tra le basi B := {1, a, A a/?}

e

S ^ = {l, 7, 7^,

T'}

di K su Q. 3.30. Sia a una radice del polinomio X^ + 1. Mostrare che a ha grado 4 su Q ma ha grado 2 su M. 3.31. Determinare, per ogni n > 2, due numeri complessi algebrici a e (3 di grado n su Q tali che i campi Q{a) e Q(/?) siano isomorfi ma non uguali. 3.32. Mostrare che C = R(a + 6i) per ogni numero complesso a + W con b ^ 0. Questo e un modo di dimostrare che tutti i polinomi di R[X] irriducibili su R hanno grado al piu uguale a 2. 3.33. Sia F C K un ampliamento di campi e sia a G K algebrico di grado dispari su F. Mostrare che F{a) = F(a^). 3.34. Sia F C K un ampliamento di campi e sia [K : F] = p^^ dove p e un numero primo e k > 1. Mostrare che ogni polinomio irriducibile f{X) G F[X] tale che 2 < deg f{X) < p non ha radici in K. 3.35. Sia F C K nn ampliamento di campi e siano a, /? G iC algebrici su F di gradi men rispettivamente. Mostrare che se MCD (m,n) = 1, allora F{a,f3) = F{a^f3). 3.36. Sia F C K un ampliamento di campi e siano a^ (3 ^ K algebrici su F con polinomi minimi p{X) e q{X) rispettivamente. Mostrare che, se i gradi di p{X) e q{X) sono coprimi, allora q{X) e irriducibile su F{Q) e p{X) e irriducibile su F{p). 3.37. Siano F un campo e a e F. Mostrare che, se MCD(m, n) = 1, allora il polinomio X ^ ^ — a e irriducibile su F se e soltanto se i polinomi X'^ — a e X'^ — a sono irriducibili su F.

4

Campi di spezzamento

II Teorema Fondamentale dell'Algebra ci assicura che ogni polinomio non costante a coefRcienti in un campo numerico F ha tutte le sue radici nel campo C dei numeri complessi. Quindi, se le radici complesse distinte del polinomo f{X) e F[X] sono a i , . . . , a^, in C[X] risulta f{X)=c{X-a,r^...{X-asr% dove rui e la molteplicitd della radice ai e mi -\\- rris = deg f{X) (Teorema 2.4.2). II campo F ( a i , . . . , a s ) e allora il piu piccolo campo numerico contenente F su cui f{X) si spezza in fattori lineari. In quest o capitolo ci proponiamo di most rare che, qualunque sia il campo F , dato un polinomio f{X) G F[X] e possibile costruire un ampliamento minimale di F in cui f{X) abbia tutte le sue radici e quindi si spezzi in fattori lineari: chiameremo un tale campo un campo di spezzamento di f{X). Mostreremo inoltre che tutti i campi di spezzamento di f{X) sono isomorfi.

4.1 Costruzione di un campo di spezzamento Un metodo per costruire radici di polinomi ci viene indicato dal fatto che, se F e un campo numerico, p{X) G F[X] e un polinomio irriducibile su F e o; e una radice complessa di p{X), allora I'ampliamento semplice F{a) e isomorfo al campo K := F[X]/{p{X)) (Teorema 3.4.1). T e o r e m a 4.1.1 Sia F un campo e siap{X) G F[X] un polinomio irriducibile su F di grado n > 1. Allora il campo K := F[X]/{p{X)) e un ampliamento semplice di F di grado n e p{X) ha una radice in K. Precisamente, se a :— X + {p{X)) e la classe di X in K, risulta p{a) = 0 e K = F{a) = {co + cia + •. • + Cn-ice^'^ Ci G F } .

Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

136

4 Campi di spezzamento

Dimostrazione. L'anello quoziente K := F[X]/{p{X)) e un campo perche p{X) e irriducibile su F (Proposizione 2.2.9 (c)). Se f{X) G F[X], indichiamo con f{X) la classe di f{X) in K, ovvero poniamo / ( X ) : = / ( X ) + (p(X)). La restrizione ad F della proiezione canonica

n := F[X] ^

K;

f{X)^f{X)

e un'immersione di F in iC; dunque K h nn ampliamento di F. Se poi / ( X ) := Co + ciX + . •. + c ^ X ^ G F[X], si ha f{X) = c o + c i X + --. + c ^ X . Ponendo a := X e identificando F con la sua immagine 7r(F) in K, ovvero identificando c con c, possiamo scrivere / ( X ) = CO + cia + . . . + c ^ a - = / ( a ) . In particolare otteniamo che 0 = p[X) — p(a) e dunque che a := X G K e una radice di p(X). Inoltre p(X), essendo irriducibile, e il polinomio minimo di a su F . Percio a ha grado n su F e I'insieme {l, a, . . . , a"^~^} e una base di X su F (Proposizione 3.5.3). Infine si ha K = {r(X) ; r(X) G F[X], degr(X) < n } U {O} = {co + cia + • • • + Cn-ice''"^ \ Ci^F}^

F{a).

Per il teorema precedente, se p{X) G F[X] e un polinomio irriducibile su F , il campo K := F[X]/(p(X)) puo essere visto come I'ampliamento semplice di F generato da un simbolo a che verifica la relazione p{a) = 0. Per questo motivo il campo K = F{a) si chiama anche un ampliamento semplice simbolico di F . Notiamo che, se degp(X) = 1, allora [K : F] = 1 e dunque K = F. Esempi 4.1.2 (1) II polinomio p(X) := X^ + X + 1 G F2[X] e irriducibile, perche non ha radici in F2. Poiche i soli polinomi di F2 [X] di grado minore di 2 sono: 0, 1, X, 1 + X, se a : = X , possiamo scrivere F [Xl {p{X)) Osserviamo che nessun elemento di iiT \ F2 ha il quadrato in F2 (Paragrafo 3.5.1). (2) Sia p{X) := X^+ 2X'^ + 4X+ 2 e FgiX]. Poiche p{X) non ha radici in F5, esso e irriducibile. Allora

4.1 Costruzione di un campo di spezzamento

K:=

kp{x))

137

= {co + cia + C2a^ ; Q G F5 , _p(a) = O}

e un campo, che ha 5^ = 125 elementi. (3) Se p{X) G F[X] e un polinomio irriducibile, I'inverso di un elemento di K := F[X\/{p{X)) si puo calcolare tramite TAlgoritmo Euclideo della divisione, come visto nell'Esempio 2.2.10. Siaadesempiop(X) := X3+2X2+4X+2 G ¥r,[X]eK:= ¥r,[X]l{p{X)) := F5(a) il campo costruito nell'esempio precedente. Per calcolare I'inverso in K dell'elemento /? := l + Sce + o;^, consideriamo il polinomio X^ + 3X + 1 G FsfX] corrispondente a (3. Poiche in F5 [X] risulta 1 = -Xv{X)

+ (1 + 3X + X2)(l + 4X + X^),

calcolando in a si ottiene che I'inverso di /3 in K e 1 + 4a + Q;"^. Reiterando la costruzione illustrata precedentemente, possiamo ora costruire un ampliamento K di F contenente tutte le radici di un assegnato polinomio/(X) G F[X]. Definizione 4.1.3 Sia F un campo e sia f{X) G F[X] un polinomio di grado n > 1. Un ampliamento K di F si dice un campo di spezzamento di f{X) su F se esistono a i , . . . , a^ G i^ (non necessariamente tutti distinti) tali che K = F ( a i , ...,an) e f{X) = c{X - ai){X - a s ) . . . (X - a , ) in K[X]. Teorema 4.1.4 Per ogni campo F ed ogni polinomio / ( X ) G F[X] di grado n > 1, esiste un campo di spezzamento di / ( X ) su F. Inoltre un tale campo K efinito su F e [K : F]
Dunque in Fi[X] si ha / ( X ) = ( X - a i ) c / ( X ) , dove deg^(X) = n - 1 . Se ^(X) ha tutte le sue radici in Fi, allora Fi e il campo di spezzamento di / ( X ) . Altrimenti, sia pi{X) G Fi[X] un fattore irriducibile di g{X) di grado almeno uguale a 2. Allora pi(X) ha una radice as nel campo z._._

^ i W - F i ( a 2 ) = F(ai,a2) {Pi{X))

e dunque in F2[X] si ha / ( X ) = {X - ai){X - a2)gi{X), dove deggi{X) = n-2. Poiche, per la formula del grado, f{X) ha al piii n radici in un qualsiasi ampliamento di F (Proposizione 2.3.13), al piii dopo n passi, si otterra un campo K := F{ai,..., «„) su cui f{X) = c{X — ai){X — 02)... (X — a„).

138

4 Campi di spezzamento

Per determinare il grado di K su F , si consideri la catena di campi (non necessariamente tutti distinti) Fo:=FC

Fi := F{ai) C . . . C F, := F,_i(aO C . . . C F , := F , _ i K ) = K.

II grado di cei su F e al piu uguale a n, perche il polinomio minimo p{X) di ai su F divide f{X). Poiche su Fi := F ( a i ) si ha / ( X ) = {X - ai)g{X) con degp(X) = n — 1 e il polinomio minimo pi{X) di 02 su Fi divide ^'(X), il grado di a2 su Fi e al piii uguale a n — 1. Cosi proseguendo, si ottiene che il grado di ai su F^_i e al piu n — i - f l , 1 < i < n^ e dunque 1<[K:F]

= [K: F,_i][Fn_i : F , _ 2 ] . . . [F2 : Fi][Fi : F] <2'3'"{n-l)-n

= n\

Notiamo che, se f{X) e F[X] e irriducibile di grado n, allora ogni sua radice ha grado n su F . Dunque, in questo caso, n divide [K : F], in particolare n < [K : F]. Inoltre vale I'uguaglianza se tutte le radici di f{X) appartengono aF(a). Nel caso numerico, un campo di spezzamento di f{X) G F[X] e il campo generato su F dalle radici complesse di f{X). Questo campo e unicamente determinato in C e ad esso si fa riferimento quando si parla del campo di spezzamento di f{X) su F . In generale, come mostreremo nel prossimo paragrafo, due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi. Esempi 4.1.5 (1) II polinomio f{X) := X^ — 2 v ^ X + 3 ha radici complesse \/2 + i e V5 — i. Quindi il campo di spezzamento di f{X) sul suo campo di definizione Q ( A / 2 ) e Q(\/2, i), mentre il suo campo di spezzamento su R e R(i) = C. (2) Se F e un campo e f{X) := X^ + 6X + c G F[X] e un pohnomio irriducibile, un campo di spezzamento di f{X) su F ha grado 2. Infatti, se a e una radice di / ( X ) , I'altra sua radice e /3 := —b — a. Dunque /3 G F{a). Viceversa, se F C if ha grado 2, K = F ( a ) per ogni aeK\FeKe un campo di spezzamento del polinomio minimo di a. (3) Se / ( X ) G F[X] e un polinomio irriducibile di grado 3, un suo campo di spezzamento su F puo avere grado 3 oppure 6. (a) Sia / ( X ) := X^ — 3X + 1 G Q[X]. Questo e un polinomio irriducibile su Q, non avendo radici razionali. Se a e una radice (reale) di / ( X ) , una verifica diretta mostra che le altre due radici di / ( X ) sono /3 := a^ - 2 e 7 := - a ^ - a + 2 (una giustificazione verra data nel Paragrafo 7.3.3 (4)). Poiche /?, 7 G Q(a), il campo di spezzamento di / ( X ) in C e Q{a) ed esso ha grado 3 = deg / ( X ) su Q. (b) Se / ( X ) := X^ - 2 G Q[X], il campo di spezzamento di / ( X ) in C ha grado 3! = 6. Infatti, se ^ e una radice primitiva terza dell'unita, ad esempio ^ := ~^\ , le radici di / ( X ) sono a := ^^2, a^, a^^ (Paragrafo 2.4.2). Ne segue che il campo di spezzamento di / ( X ) in C e

4.1 Costruzione di un campo di spezzamento

139

Poiche a ha grado 3 su Q e ^ ha grado 2, si ha [K:Q] = [K: Q(ix/3)] [Q(i\/3) : Q] = 3.2 = 6 (Paragrafo 3.5.3). (4) Se F e un campo numerico e a G C e tale che a := a"^ G F , n > 1, le radici complesse del polinomio f{X) := X'^ — a sono a i := a , ^2 := a^, as := a^^ , . . . , an := a^

^,

dove ^ e una radice complessa n-sima primitiva dell'unit a (Paragrafo 2.4.2). Quindi il campo di spezzamento di f{X) in C e F ( a i , . . . , a^) = F ( a , ^). (5) II ponnomiop(X) := X^ -\-X -{-1 e ¥2[X] e irriducibile su F2 (perche non ha radici in F2) e ha una radice a nel campo K :— ¥2[X]/{p{X)). Inoltre su K risulta p{X) = [X — a)g{X) dove g{X) := X^+aX

+ (a^ + 1) = (X + a^){X + (a + a^)).

Dunque K = F2(a) = {0, 1, a, 1 + a, a^, 1 + a^, a + a^, 1 + a + a^ ; a^ = a-\-1} e un campo di spezzamento di f{X) su F2. (6) Determiniamo un campo di spezzamento del polinomio f{X)

: = X ^ + X 4 + 1GF2[X].

La fattorizzazione di f{X) in polinomi monici irriducibili su F2 e f{X) = (X^ + X + 1)(X^ + X + 1). II polinomio p{X) := X^ + X + 1 ha una radice a nel campo Li := F2[X]/(p(X)), e in Li[X] risulta p(X) = (X + a){X + (1 + a)). Inoltre Li = F2(a) = {0, 1, a, a + 1; a^ = a + 1} . Poiche Li ha grado 2 su F2 e g(X) := X^ + X + 1 e di terzo grado, esso e irriducibile su Li. Altrimenti Li conterrebbe una radice di ^(X), che ha grado 3 su F2. Costruiamo allora il campo L2 •= Li[X]/{q{X)). II polinomio q{X) ha una radice /? in L2 e, come nell'esempio precedente, in L2[X] risulta

q{X)^{X + /3){X^+l3X + {l + (3^)) = {X + f3){X + l3^){X + {l3 + 0^)). Quindi L := L2 e un campo di spezzamento di / ( X ) su F2. Notiamo che il grado di 1/ su F2 e 6. Inoltre

140

4 Campi di spezzamento L = F2(a,/?) = {a + 6/3 + c/?2; a, b,ce¥2{a)eP^

=/5+l}

ha 4^ = 64 = 2^ elementi. Alternativamente, si puo porre i^i := ^

^

- F2(7) - {a + 67 + C7' ; a, ^ c G F2 e 7^ = 7 + 1}

K := i^2 := ^ i ^ = F2(7,(5) = {r + ^5; r, 5 G F2(7) e 6^ + 6 = 1} . {p{X)) Si verifica facilmente che I'applicazione

e un isomorfismo di campi. (7) Determiniamo un campo di spezzamento di f{X) := X'^^2X^

+ 2X + 2e FafX].

La fattorizzazione di f{X) in polinomi monici irriducibili su F3 e / ( X ) = (X2 + 2X + 2)(X' + 1). II polinomio p{X) := X^ + 1 ha una radice a in Li := ¥s[X]/{p{X)) Li[X] risulta p{X) = (X + a ) ( X + 2a). Inoltre

e in

Li = F3(a) = {0, 1, 2, a, a + 1, a + 2, 2a, 2a + 1, 2a + 2 ; a^ = 2} . Per vedere se q{X) := X^ + 2X + 2 ha radici in Li, poiche siamo in caratteristica 3 ^ 2 , possiamo apphcare la usuale formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado (Paragrafo 3.5.1). Otteniamo che le radici di q{X) in un suo campo di spezzamento sono 2 + 7 e 2 -f 27, dove 7^ = 2. Poiche a e Li e tale che a^ = 2, allora a 4 - 2 e 2 a + 2 G L i sono radici di ^(X). In conclusione, in Li[X] si ha / ( X ) = (X + a)(X + 2a)(X + (2a + 1))(X + (a + 1)). Ne segue che L := Li e un campo di spezzamento di / ( X ) . Si puo anche procedere considerando prima il polinomio ^(X). Se poniamo Ki := F3[X]/(g(X)), q{X) ha una radice P in Ki e in Ki[X] risulta q{X) = (X + 2/3)(X + (/3 + 2 ) ) . Inoltre i ^ i - F 3 ( / 3 ) = {0, 1, 2,/3,/? + l,/? + 2, 2/?, 2/5+1, 2/? + 2; f3^ = p-^ l} . Le radici di p{X) in un suo campo di spezzamento sono a e 2a con a^ = 2. Poiche un elemento a con questa proprieta sta in Ki ed e precisamente /?^ = /? + 1, anche K := Ki e un campo di spezzamento di / ( X ) su F3. Infatti in K risulta

4.2 Estensione di isomorfismi fix)

141

= (X + 2f3){X + (/3 + 2))(X + if3 + 1)){X + (2/3 + 2)).

Non e difficile verificare che Fapplicazione

per ogni r{X) G ¥s[X] (di grado al piu uguale a uno) e un isomorfismo di campi. (8) Se 5 i , . . . , 5n sono i polinomi simmetrici elementari sul campo F nelle indeterminate X i , . . . , X^, il polinomio generale di grado n su F g{T) := T" - s i T " " ! + saT"-^ - • • - + ( - l ) " s „ e F ( s i , . . . , s„)[T] ha radici X i , . . . ,Xn (Paragrafo 2.7.2). Quindi un campo di spezzamento di g{T) sul suo campo di definizione F ( s i , . . . , Sn) e il campo delle funzioni razionali J P ( X I , . . . , X^).

4.2 Estensione di isomorfismi Dati due ampliamenti di anelli A C B, A' C B' e un omomorfismo (f : A —> A\ si dice che un omomorfismo ip : B —> B' estende (p (o che (p si pud estendere a -0) se '0(x) = if{x) per ogni x E ^ , ovvero se la restrizione di -0 ad A coincide con (p. Vogliamo studiare sotto quali condizioni e possibile estendere un omomorfismo non nullo di campi ad un ampliamento semplice. Ricordiamo che ogni omomorfismo di anelli ip : A —> A! si puo estendere ad un omorfismo (/?* : A\X\ —> A!\X\ ponendo / ( X ) : = c o + ciX + . . . + CnX"H^/*(X):=(/p(co) + ^(ci)X + . . . + (^(c,)X" (Lemma 2.5.2). Lemma 4.2.1 Sia (p : F —> F' un^immersione di campi e sia ^* , F[X]

- ^

F'[X]

•

f{X)

:= ^ c . X ^

^

nX)

:=

^ ^ ( Q ) X \

Allora: (a) (/?* e un omomorfismo iniettivo di anelli ed e un isomorfismo se e soltanto se (p e suriettivo; (b) Se / ( X ) G F[X] e un polinomio non nullo, / ( X ) e /*(X) hanno lo stesso grado; (c) Se (p e un isomorfismo, / ( X ) e irriducibile su F se e soltanto se /*(X) e irriducibile su F'; (d) (/p* si estende ad una immersione

142

4 Campi di spezzamento

Dimostrazione. (a) segue direttamente dal Lemma 2.5.2, perche yp e iniettivo. (b) Sia f{X) ^ 0. Se c e il coefRciente direttore di / ( X ) , essendo (p iniettivo, si ha (p{c) 7^ 0 e percio (p{c) e il coefficiente direttore di /*(X). (c) Sia f{X) un polinomio non costante. Per i punti (a) e (b), f{X) e prodotto di due fattori di grado positivo se e soltanto se anche /* {X) lo e. (d) segue dal Teorema 1.5.1 (d). Proposizione 4.2.2 Siano F C. K e F' ^ K' ampliamenti di campi. Sia ^ : F —> F' un'immersione e

^* : F[X] ^ F'[X]; f{X) := Y. ""^^^ ^ /* (^) := E ^(^^)^'' Allora: {a) Se a e K e trascendente su F, Lp si pud estendere ad unHmmersione F{a) —> K' se e soltanto se esiste un elemento j3 ^ K' trascendente su F'. In questo caso le estensioni di 9? sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi ^ ^ K' trascendenti su F' e sono definite da #

: F{a) -^

K';

f{a)g{a)-'

^

f*{f3)g*{f3)-\

per ogni funzione razionale f{X)/g{X) G F{X). {h) Se a e K e algebrico di grado n su F, con polinomio minimo m{X), (p si pud estendere ad unHmmersione F{a) —> K' se e soltanto se il polinomio rrf{X) G F'[X] ha una radice in K'. In questo caso le estensioni di ip sono tante quante sono le radici distinte /3i,..., /?s di m* (X) in K' e sono tutti e sole le immersioni definite da TPi : F{a)-^

K'•

/(a) ^ r(/3)

per ogni polinomio f{X) G F[X] (di grado al piu uguale a n— 1). Inoltre s < n e s = n quando il campo di spezzamento di m*(X) e contenuto in K' e m* (X) ha tutte radici distinte. Dimostrazione. Sia f{X) := CQ + ciX -f- • • • + CnX'^ E F[X]. Se esiste un omomorfismo ^jj : F[Q) —> K' che estende (/;, deve risultare ^ ( / ( a ) ) = ^(co) + ¥'(ci)V(a) + • • • + ^ ( c „ ) V W " = /* (V-l^)). Poiche 9?* e iniettiva (Lemma 4.2.1 (a)), allora f{X) / 0 se e soltanto se /*(X) / 0 e percio a e algebrico su F se e soltanto se V^(a) e algebrico su F'. (a) Se Q; G i r e trascendente su F ed esiste (3 ^ K' trascendente su F ' , per il Teorema di Kronecker (Teorema 3.4.1) ed il Lemma 4.2.1 (d), I'applicazione composta i,g :=F{a) -^

F{X} - + F'{X} -^ F'{I3) C K';

4.2 Estensione di isomorfismi

143

e un (ben definito) omomorfismo che estende <^. (b) Se a e algebrico di grado n su F , con polinomio minimo m{X) e ip : F{a) —> K' e un omomorfismo che estende (/:?, allora deve risultare V^(0) = V^(m(a)) = m%i;{a)) = 0. Dunque il^{a) deve essere una radice di m*(X). Viceversa, sia (3 una radice di m*(X) e consideriamo I'omomorfismo composto ^ : F[X] -^

F^[X] - > F\f3) C K';

f{X) ^ /*(X) ^

r{(3).

Allora (m(X)) C Ker('??) e, poiche i campi F{a) e F[X]/{m{X)) sono canonicamente isomorfi (Teorema 3.4.1), '^ induce un omomorfismo di campi

i,: F{a)-^

K'•

f{a)^r{(i),

per ogni polinomio f{X) G F[X] (di grado al piu n — 1). E evidente che ip estende (p e i^{a) = /?. Inoltre, essendo ^ univocamente determinato da /3, si hanno tante estensioni di p quante sono le radici distinte di m*{X) in K'. Per finire, basta ricordare che degm*(X) = degm(X) per il Lemma 4.2.1 (a). Prenderemo adesso in esame gli omomorfismi di campi che estendono I'identita su un sottocampo comune. Definizione 4.2.3 Se F C K e F C. K' sono ampliamenti di campi, un isomorfismo di K in K' che estende Videntita su F si chiama un F-isomorfismo, oppure una F-immersione^ di K in K'. Se inoltre K = K' esso si chiama un F-automorfismo di K. Esempi 4.2.4 (1) Poiche ogni automorfismo di campi estende I'identita sul sottocampo fondamentale (Proposizione 3.1.3), se F e il sottocampo fondamentale di K^ gli automorfismi di K coincidono con gli F-automorfismi. (2) Ogni F-isomorfismo e un'applicazione F-lineare. II viceversa non e vero; infatti tutti gli ampliamenti finiti di F di grado fissato n > 2 sono tra loro isomorfi come spazi vettoriali su F , ma non sono tutti campi isomorfi. Proposizione 4.2.5 Sia F C K un ampliamenti di campi. Allora gli Fautomorfismi di K costituiscono un sottogruppo del gruppo Aut{K) di tutti gli automorfismi di K. Dimostrazione. Siano (f^ip ^ A\it{K) tali che (p{x) = ip{x) = x, per ogni X e F. Allora ((^^~-^)(x) = (p{xlj~^{x)) = (p{x) = x, per ogni x G F . II seguente risultato segue immediatamente dalla Proposizione 4.2.2 quando F = F ' e (^ e I'identita su F .

144

4 Campi di spezzamento

Proposizione 4.2.6 Sia F C K un ampliamento di campi e sia a G K algebrico di grado n su F con polinomio minimo m{X). Allora gli F-isomorfismi xp di F{a) in K sono in corrispondenza biunivoca con le radici distinte di m(X) in K. Precisamente, se a = a i , . . . , ^ ^ , n > s > 1, sono le radici distinte di m{X) in K, allora gli F-isomorfismi distinti di F{a) in K sono tutti e soli gli F-isomorfismi

per f{X) G F[X] (di grado al piu uguale a n—1) el C, il polinomiop*(X) := (/?*(p(X)) G F'[X] e irriducibile di grado n su F' := (^(F) (Lemma 4.2.1 (c)) e percio ha n radici distinte /3i, •.., /?n ^ C (Proposizione 2.4.3). Quindi (f si puo estendere a n immersioni il^i di F ( a i ) in C, definite rispettivamente da Co + ciai -h • • • + C n - i < " ^ H-> (p(co) + (^(ci)A + • • • + (/?(cn_i)/?f " \ per i = 1,.. . , n Se poi q{X) e il polinomio minimo di a2 su F ( a i ) , allora C contiene tutte le radici del polinomio qi{X) := '0*(g(X)), per ognuna delle immersioni ijji di F{ai) in C che estendono Lp. Poiche qi{X) e ancora irriducibile su F'{/3i), tali radici sono tutte distinte ed il loro numero e uguale a deg qi{X) — deg q{X) = [F(ai,a2) : F{ai)]. Percio ogni tpi si puo estendere a [F(ai,a2) : F{ai)] immersioni di F ( a i , a2) in C Iterando questo procedimento, otteniamo che ogni immersione ip : F —> F' si puo estendere 3. [K \ F] immersioni distinte di X in C. In particolare, per F = F^ e (f = idp^ il numero degli F-isomorfismi distinti di if in C e precisamente [K : F]. Infine, se K e il campo di spezzamento di un polinomio f{X) G F[X], ogni F-isomorfismo di iiT in C e un F-automorfismo di K. Infatti, se o^i,..., an sono le radici complesse di / ( X ) , il polinomio minimo di ai su Fi-i := F ( a i , . . . ,ai_i) divide f{X) in C[X]; quindi ha tutte le sue radici nel campo K. Riassumiamo quanto abbiamo appena visto nella seguente proposizione.

4.2 Estensione di isomorfismi

145

Proposizione 4.2.7 Sia F C K un ampliamento finito di campi numerici. Allora: (a) Ogni isomorfismo diF inC si pud estendere a[K : F] isomorfismi distinti di K in C In particolare il numero degli F-isomorfismi di K in C e [K:F]. (b) Se K e il campo di spezzamento in C di un polinomio f{X) G i^[-^]; ogni F-isomorfismo di K in C e un F-automorfismo di K. Esempi 4.2.8 (1) Sia F C M e p{X) := X^ + foX + c G F[X] irriducibile su F . Se Q^ e una radice di p(X), I'altra radice di p{X) e /? := —(h-\-a) e (3 G F{a). Quindi F{a) ha due F-isomorfismi in C, precisamente i;i:=id:f{a)^f{a)',

^2 ' f {ex) ^ f {(3),

per ogni polinomio f{X) G F[X] (di grado al piu uguale a 1), e questi sono tutti e soli gli F-automorfismi di F ( a ) . In particolare, poiche C = M(i) ed il polinomio minimo d i i s u M e X ^ + l, gli unici R-automorfismi di C sono I'identita ed il coniugio (Esempio 1.2.9 (2)). (2) II polinomio p{X) := X^ - 3X + 1 G Q[X] e irriducibile su Q, non avendo radici razionali. Se a e una radice di p(X), le altre due radici di p{X) sono 13 := (a^ - 2) e 7 := {-a{a + 1) + 2) (Esempio 4.1.5 (3, a)). Dunque gli isomorfismi di Q(a) in C sono tre e sono definiti da: V'l := id : / ( a ) ^ / ( a ) ;

V2 : / ( « ) ^ /(/?);

V'3 : f{a) ^

f{j),

per ogni polinomio f{X) G Q[X] (di grado al piu uguale a 2). Poiche f3,j e Q(ce), questi sono tutti e soli gli automorfismi di Q(a). (3) II polinomio minimo di a := v ^ su Q e p{X) := X^ — 2 e le sue radici complesse sono a^a^ e a^^, dove ^ := ~^\ e una radice primitiva terza dell'unita (Esempio 4.1.5 (3, b)). Dunque gli isomorfismi di Q(a) in C sono ancora tre e sono definiti da: ^i := id : / ( a ) ^ f{a);

^2 • f{a) ^ / ( a ^ ;

^3 : f{a) ^ /(a^^),

per ogni polinomio f{X) G Q[X] (di grado al piu uguale a 2). Poiche a^ e a^^ non appartengono a Q(a), soltanto I'identita e un automorfismo di Q(a). (4) Siano a := ^ e [3 :— \ / 3 . Per determinare gli isomorfismi di K :— Q(a,/?) in C, consideriamo la catena di ampliamenti semplici QCQ(a)CQ(a,/3). II polinomio minimo di /3 su Q(a) e q{X) := X^ — 3, che ha radici /? e —/?. Allora ognuno degli isomorfismi -01 := Z(i,'02,^3 di Q(<^) in C costruiti

146

4 Campi di spezzamento

precedentemente nell'Esempio (3) si estende a due isomorfismi di Q(a, /3) in C In tutto si ottengono 6 isomorfismi, precisamente: ^11 :— id ^21

i i " - -^C; K - -^C;

K --^C; K --^C; ^12 ^ 2 2 K --^C; V'32 K --^C; V'31

h{a,j3) n- h{a,(i) h{a,(3) H>/i(a^,/3) h{a,/3)^h{af,p) h{a,l3)^h{a,-l3) h{a, 13) ^ h{a^, -p) h{a,f3)^h{ae,-t3)

/3^/?) /3^/3)

{a 1-^ a, {a H^ a^,

13^13) (3^-P) ( a 1-^ a , ( a H^ a(^, f3^-p) ( a H-> a.^^, (3 ^-(3) ( a \-^ a^^,

per ogni elemento h{a, /3) = Co + cia + C2a^ + c0 + C4a;S + c^a^(3 G Q(a, /3). Notiamo che i soli automorfismi di K := Q(a, /?) sono -^n = id e '0i2. Questi sono anche i Q(Q;)-isomorfismi di K in C. (5) Sia F C M e sia ilT := F ( a , /?) un ampliamento biquadratico di F , con Q/^ = a,/J^ = 6 G F (Paragrafo 3.5.2). Gli F-isomorfismi di iiT in C possono essere costruiti considerando la catena di ampliamenti semplici FCF(a)CF(a,/3). Gli F-isomorfismi di F{a) in C sono 2, precisamente: (/?i : = i d : F ( a ) — ^ C :

X -V ya ^^ X -[-ya

{a^-^ a)

^2:F(a)-^C:

X -}- ya \-^ X — ya

{a \-^ —a)

Questi sono anche F-automorfismi di F{a). Gli F-isomorfismi di K in C che estendono I'identita su F{a) (ovvero gli F(a)-isomorfismi) sono: (pii:=id:K—^C; ifu'.K-^C;

h{a,l3) ^ h{a,(3)

{a ^ a,

f3 ^ 0)

h{a,f3)^h{a,-(3)

{a y^ a,

(3

^-(3)

gli F-isomorfismi di K in C che estendono (p2 sono: ^2i:i^—>C;

h{a,P)^h{-a,P)

(a h ^ - a ,

f3 y^ P)

(P22'K—^C;

h{a,f3)^h{-a,-f3)

(a ^ ^ - a ,

/3 H>-/3)

per ogni elemento /i(a, /3) = Co + cia + C2p + c^a + C4a/3 G F(Q;, /?). Questi sono tutti automorfismi di K. (6) Se a G C ha grado alto su F , per determinare gli F-isomorfismi di F{a) in C, conviene talvolta considerare un campo intermedio L dell'ampliamento

4.2 Estensione di isomorfismi

147

F C F ( Q ; ) , costruire prima gli F-isomorfismi di L in C ed estendere poi a F{a) = L{a) ognuno di questi F-isomorfismi. Ad esempio, sia a := \ / V 2 + \ / 3 . Allora \ / 2 + A/3 = a^ G Q(a) e possiamo considerare il sottocampo L := Q ( ^ + Vs) = Q(\/2, 73) di Q(a). Gli isomorfismi di L in C sono quattro e si possono costruire come nell'esempio precedente per a = 2, 6 = 3. Poiche a ha grado 3 su L, con polinomio minimo m{X) = X^ - {^2 -\- ^/3), ognuna di queste quattro immersioni si estende a 3 isomorfismi di Q(a) in C. Consideriamo ad esempio I'immersione (fi2:L

—^C;

V2i^V2,

V3y-^ - \ / 3 .

Le radici del polinomio (pl2{i^{X)) = X^ - {^/2 — y/3) sono

dove ^ := ~^2^ ^ ^^^ radice primitiva terza dell'unita. Dunque gli isomorfismi di L{a) = Q(a) in C che estendono (pi2 sono: '01 1p2 i^3

(a)

^ C

In modo analogo si possono costruire tutti gli isomorfismi di Q(a) in C, che sono 12. Ne segue che a ha grado 12 su Q e le radici del suo polinomio minimo sono le immagini di a tramite questi isomorfismi. 4.2.2 Isomorfismi tra campi di spezzamento Possiamo ora dimostrare che due campi di spezzamento di un fissato polinomio a coeflicienti in un campo F sono F-isomorfi. Continuiamo ad indicare con (^* : F[X] —> F'[X] I'omomorfismo di anelli che estende I'omomorfismo di campi (p : F —> F\ definito da f{X) :=co + ciX + . . . 4 - C n X " ^ / * ( X ) := (^(CQ) + 9^(ci)X + • • • + v;(c,)X-. Teorema 4.2.9 Siano F un campo, f{X) G F[X] e K un campo di spezzamento di f{X) su F. Se if e un isomorfismo di F in F' e il campo K' e un ampliamento di F' contenente un campo di spezzamento del polinomio f*{X) := (f*{f{X)) su F', allora esiste un isomorfismo xj; di K in K' che estende ^. Inoltre il numero di tali estensioni e al piu [K : F] ed e esattamente [K : F] se f*{X) non ha radici multiple in K'. Dimostrazione. Procediamo per induzione sul grado [K : F]. Se [i^ : F] = 1, allora F = i^ e un campo di spezzamento di f{X). Inoltre, se f{X) = c{X — ai){X — a2)... (X — a^) su F , allora su F' si ha

148

4 Campi di spezzamento

/*(X) = (p{c){X — (p{ai)){X — (p{a2)).. .{X - <^{oLn)) e percio F' contiene un campo di spezzamento di /*(X). Ne segue che if : F —> F' e esso stesso un isomorfismo d\ K — F \n K'. Supponiamo che [K : F] > 1. Allora f{X) ha una radice a e K \ F e i\ poHnomio minimo m{X) di a su F e un fattore irriducibile di f{X) di grado m > 1. Dunque m*(X) e un fattore (irriducibile) di f*{X) e per ipotesi ha una radice in K\ Per la Proposizione 4.2.2, ci sono allora s < m — [F{a) : F] omomorfismi ipi : F{a) —> K', i = 1 , . . . , 5, che estendono (p ed inoltre s = m se m*(X) non ha radici multiple in K^. Osserviamo ora che K e anche un campo di spezzamento di f{X) su F{a) e analogamente K^ contiene anche un campo di spezzamento di /*(X) su Im^i = iJi{F{a)) = F'{^i{a)), Poiche si ha [K:F] = [K: F{a)][F{a) : F] = [K: F(a)]m, allora in particolare [K : F{a)\ < [K \ F]. Per I'ipotesi induttiva, per ogni i — l , . . . , s , ci sono vi < \K \ F{OL)\ isomorfismi di K in K' che estendono I'immersione -0^ : F{OL) —> F'{xlji{a)) e inoltre u = [K : F{a)] se V^*(/(X)) = ^"^{fiX)) =: /*(X) non ha radici multiple in K\ Poiche la restrizione a F{a) di un isomorfismo di K in K' che estende (p deve coincidere con una delle immersioni -0^, le estensioni K —> K' di Lp sono al piu [K : F{a)\[F{a) \ F] — [K \ F]e sono esattamente [K : F] se /*(X) non ha radici multiple in K', CoroUario 4.2.10 Due campi di spezzamento K e K' di f{X) su F sono isomorfi. Inoltre il numero degli F-isomorfismi tra K e K' e al piu [K : F] ed e esattamente uguale a [K : F] se f{X) non ha radici multiple in K (e K'). In particolare K ha al piu [K : F] F-automorfismi. Se inoltre f{X) non ha radici multiple in K, allora gli F-automorfismi di K sono esattamente [K:F\. Dimostrazione. Bast a applicare il teorema precedente al caso in cui (p sia I'identita su F. Una dimostrazione diretta del Corollario 4.2.10, che illustra meglio il procedimento induttivo e fornisce un metodo per determinare tutti gli automorfismi di un campo di spezzamento, e la seguente. Dimostrazione diretta del Corollario 4.2.10. Sia ai una radice di f{X) iiiK e sia mi{X) il suo polinomio minimo su F . Poiche mi(X) divide f{X) in F[X] e f{X) si spezza linearmente su K'^ mi{X) ha tutte le sue radici in K\ Allora, se /3i,..., /3s sono le radici distinte di mi(X) in K'^ gli F-isomorfismi di F{ai) in K^ sono esattamente quelli definiti da (pi : F{ai) —y F{(3i) C K';

(pi{ai) = A,

per z = 1 , . . . , 5

(Proposizione 4.2.2). Notiamo che s < degmi(X) = [F{ai) : F] e vale I'uguaglianza se tutte le radici di mi{X) in K' sono distinte.

4.2 Estensione di isomorfismi Osserviamo ora che possiamo scrivere f{X) gi{X) e F{ai)[X] C K[X] e gi{ai) 7^ 0. Dunque

149 con

= {X — ai)^gi{X),

f{X) = ^*(/(X)) = {X- ^,(ai))V*(^i W ) = {X- A)V*(^i W ) su F(A). Se deg^i(X) = 0, ovvero gi{X) G F{ai), allora K = F ( a i ) . Inoltre, in questo caso, (p'^{gi{X)) G F{Pi) e dunque / ( X ) si spezza linearmente su F{f3i). Percio risulta K^ = F{Pi) e (fi : K —> K' e un isomorfismo di campi. Se invece deg^i(X) > 0, allora gi{X) ha una radice a2, distinta da a i , in K. In questo caso, sia m2 {X) il polinomio minimo di a2 su F ( a i ) e sia gi {X) — m2(X)/ii(X), con hi{X) e F{ai). Allora v^*(^i(X)) = (^*(m2(X))(/p*(/zi(X)) e (p'^{i7i2{X)) divide f{X) su K\ Ne segue che il polinomio (p'^{m2{X)) si spezza linearmente su K^ e, per ogni radice Pj di (/?*(m2(X)) (necessariamente distinta da Pi), I'isomorfismo (pi : F{ai) —> F{Pi) si puo estendere ad un F-isomorfismo Lpij : F{ai,a2) —> F{Pi,Pj) C K' ponendo (pij{ai) = A e ^ij{o^2) = /3j- II numero delle possibili estensioni di (fi e uguale al numero delle radici distinte di (/p*(m2(X)) in K', dunque al piu uguale a deg(p*{m2{X)) = degm2(X) = [F(ai,a2) : F{ai)]. Ne segue che il numero degli F-isomorfismi di F{ai, 0:2) in K^ ^ al piu uguale a degm2(X)degmi(X) - [F(cei,a2) : F(ai)][F(ai) : F] = [Fiai.a^)

: F]

e I'uguaglianza e raggiunta se f{X) non ha radici multiple in K\ A questo punto, su F ( a i , a 2 ) , risulta f{X) = [X — Q!I)^(X - a2)^g2{X) con ^2(ai) 7^0e^2(a2) ^ 0 . Inoltre (/.^/(X) = (X-/?i)^(X-/32)V*,(^2(X)). Se^2(-^) G F ( a i , a 2 ) , allora ^^(P2(X)) G F(/3i, ^2). Dunque K = F ( a i , a 2 ) , K' — F(/3i,/32) e (/?ij : i^ —> K' e un isomorfismo. Altrimenti si ripete il procedimento. Dopo un numero finito di passi si ottiene che K — F ( a i , . . . , a^) e K' — F ( / ? i , . . . , /?^), dove a i , . . . , ari sono le radici distinte di j{X) nel campo K e /?!,.. .,/3n sono le radici distinte di f{X) nel campo i^^ Inoltre K e K' sono isomorfi, il numero degli F-isomorfismi tra K e K' h dl piu uguale a [K : F] = [iC' : F] e I'uguaglianza e raggiunta se le radici di f{X) in K' (e K) sono tutte distinte. Se i<^ e un campo di spezzamento del polinomio f{X) su F , gli F automorfismi di K possono essere determinati seguendo il procedimento indicato in questa ultima dimostrazione per K = K'. Esempi 4.2.11 Sia f{X) := {X^ + X + 1){X^ + X + 1) G F2[X] e sia K un suo campo di spezzamento. Abbiamo visto nell'Esempio 4.1.5 (6) che i pohnomi p{X) := X^ + X + 1 e ^(X) := X^ + X -h 1 sono irriducibih su F2 ed hanno tutte radici distinte in K, Precisamente, se a e una radice di p{X) e /? e una radice di q{X) in K, le radici di p{X) sono a e a + l = a ^ e l e radici di q{X) sono /?, ^5^ e /^ + /?^ = P^- Allora K ha grado 6 su F2 e percio ha 6

150

4 Campi di spezzamento

automorfismi, che possono essere costruiti nel seguente modo. Consideriamo la catena di ampliamenti semplici: F2 CF2(a) C¥2{a,f5) = K. Poiche p{X) e il polinomio minimo di a su F2, gli isomorfismi di F2(Q;) in K che estendono I'identita su F2 sono: Lpi

:=id:¥2{a)—^K; (p2 : F2(a) —> K;

a i-> a^.

Poiche poi q{X) e il polinomio minimo di (3 su F2(a), i tre automorfismi di K che estendono I'identita su F2(a) sono: (fii :— id K ---^K

h{a,f3) ^ h{a,f3)

{a \-^ a,

(3^(3)

{a^a,

(3^(3^)

'P12

K -^K

h{a,P)^h{a,0^)

'P13

K -^K

h{a, (3) h-> h{a, (3^) {a^a,

(3^

P^)

e i tre automorfismi di K che estendono 992 sono: (p2i:K—^K;

/i(a,/?) h^/^(a^/?)

(a h-> a ^

(3 ^ [3)

^22 :K—>K;

/i(a,/?) H^/^(a^/?')

(a ^ a ^

/? ^ / ? ' )

ip23:K~->K;

h{a, f3) ^ h{a^, (3^) (a ^ a ^

/3 ^ / 3 ^ )

per ogni elemento /i(a, f3) G K (di grado al piii uguale a 5). Gli automorfismi di K verranno calcolati in altro modo nell'Esempio 4.3.19 (2).

4.3 Campi finiti Un campo finito e un campo con un numero finito di elementi. Un tale campo ha necessariamente caratteristica prima p e grado finito sul suo sottocampo fondamentale Fp; il valore di questi due interi ci fornisce il numero dei suoi elementi. Proposizione 4.3.1 Se K e un campo finito allora il suo ordine e p^, dove p e la caratteristica di K e n := [K :¥p]. Dimostrazione. Se [K : Fp] = n, allora K e isomorfo a F^ come spazio vettoriale su ¥p e dunque ha p'^ elementi. L'esistenza di campi finiti di ogni ordine ammissibile e stata dimostrata da E. Galois {Sur la theorie des nombres, 1830). Successivamente E. H. Moore dimostro, nel 1893, che due campi finiti dello stesso ordine sono isomorfi.

4.3 Campi finiti

151

Lemma 4.3.2 Se K e un campo di caratteristica prima p, allora

{x + yf

=xP" +y^"

per ogni x^y E K, h> 1. Dimostrazione. Sia h = 1. Se p > k > 0^ p divide tutti i coefficienti binomiali (^^ := p\/kl{p — k)l, perche non divide k\{p — k)\. Dunque tali coefficienti sono nulli in caratteristica p e I'uguaglianza e verificata. Si precede poi per induzione su h. Teorema 4.3.3 (E. Galois - E. H. Moore) Per ogni primo p e ognin > 1 esiste un campo finito con p'^ elementi. Tale campo e un campo di spezzamento del polinomio su Fp ed e costituito esattamente dalle radici di fpn (X). Inoltre tutti i campi con p^ elementi sono tra loro isomorfi. Dimostrazione. Poniamo q := p^ e sia, K nn campo di spezzamento di fq{X) := X^ — X. Osserviamo intanto che le radici di fq{X) in K sono tutte distinte; infatti fq{X) e la sua derivata formale fq{X) = qX^~^ — 1 = —1 non hanno radici comuni (Proposizione 2.3.20). Inoltre le q radici di fq{X) formano un sottocampo di K per il Lemma 4.3.2. Infatti, se a, /3 sono radici di fq{X), risulta (a - /?)^ = a^ - /3^ = a - /? ed inoltre (a/?-^)^ = a^(/3^)-i = a/?-^ per /? 7^ 0. Ne segue che K e costituito esattamente dalle radici di fq{X) e percio ha q elementi. Sia ora K un campo di ordine q. Allora il gruppo moltiplicativo K* ha q — 1 elementi e dunque, per ogni a G K*, risulta a^~^ = 1. Ne segue che ogni elemento di K e radice del polinomio fq{X) e in particolare i^ e un campo di spezzamento di fq{X). Infine, tutti i campi di ordine q sono tra loro isomorfi per il Corollario 4.2.10. Nel seguito indicheremo come d'uso con Fpn un campo con p'^ elementi. Tale notazione non e ambigua essendo tale campo univocamente determinato a meno di isomorfismi. II campo ¥pn si chiama anche il campo di Galois di ordine p^. Una prima proprieta importante dei campi finiti e quella di avere gruppo moltiplicativo ciclico. Per dimostrarlo, abbiamo bisogno di un risultato sui gruppi abeliani finiti. Ricordiamo che, se G e un gruppo abeliano finito, il minimo comune multiplo degli ordini degli elementi di G si chiama Vesponente di G e si indica con e{G). Lemma 4.3.4 Ogni gruppo abeliano finito G ha un elemento di ordine e{G). Dimostrazione. Sia e{G) = Pi^ - - -p^^ la fattorizzazione di e(G) in numeri primi distinti. Per come e definito e(G), p^' divide I'ordine di qualche elemento di G per ogni i = 1 , . . . , 5.

152

4 Campi di spezzamento

Sia gi G G di ordine p^^di. Allora hi '-= g^^ ha ordine p^^ e il prodotto g '-= hi •'' hs ha ordine e{G). Infatti e chiaro che ^^(^) = 1. D'altra parte, mostriamo che se ^^ = 1, allora e(G) divide n. Se g"" = e, allora h^ = h^""--• /i^^. Posto rm := e{G)/p\^ = p\^ • • • p^% si ha /i^^ = • • • = /i^i = 1; da cui h^"^ = 1. Poiche hi ha ordine p-^'^^ allora Pi^ divide nmi e quindi divide n. Ripetendo questo ragionamento, si ottiene che p - ' divide n per ogni i = 1 , . . . , 5 e dunque e(G) divide n. Proposizione 4.3.5 Se K e un campo, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo i^* e ciclico. In particolare, se K e un campo finito, K* e un gruppo ciclico, Dimostrazione. Sia G un sottogruppo di K* di ordine m > 1 ed esponente e{G). Poiche I'ordine di ogni elemento di G divide m, allora e{G) divide m e in particolare e{G) < m. D'altra parte, ogni elemento di G e una radice in K del polinomio X^^^^ — 1. Poiche questo polinomio ha al piii e(G) radici in K (Proposizione 2.3.13), allora m < e{G). Ne segue che G ha esattamente e{G) elementi ed inoltre, per il lemma precedente, ha anche un elemento di ordine e(G). Quindi G e ciclico. Ricordiamo che, se G e un gruppo moltiplicativo ciclico di ordine n e g e un suo generatore, ovvero G := (g) = {g^g^, • • .,g^~^^g^ — e}, i generatori di G sono tutti e soli gli elementi g^ con MCD(n, fc) = 1. II numero di questi generatori e dato dal valore in n della funzione Lp : N —> N di Eulero, che ad ogni intero positivo n associa il numero Lp{n) degli interi positivi minori di n e primi con n [53, Teorema 1.35]. Esempi 4.3.6 (1) Le radici complesse n-sime deH'unita formano un sottogruppo moltiplicativo finito di C*. Dunque tale sottogruppo e ciclico (Paragrafo 2.4.2). (2) II gruppo moltiplicativo del campo Fp^, dove p e un numero primo, e un gruppo ciclico con p^ — \ elementi. In particolare F* e ciclico con p — \ elementi. Ad esempio, il gruppo Fg e ciclico di ordine 4 ed ha (/?(4) = 2 generatori, precisamente la classe di 2 o la classe di 3. II gruppo F^^ ha ^{1^) — (/?(2)(/?(5) = 4 generatori, precisamente le classi di 2, 6, 7, 8. Proposizione 4.3.7 II campo ¥pn e un ampliamento semplice di¥p (di grado n). Precisamente, se a e un generatore del gruppo moltiplicativo ciclico F*^; allora F^n = Fp(a). Dimostrazione. Se a e un generatore di F*n, si ha che F^n C Fp(a). Poiche chiaramente vale anche I'inclusione opposta, si ha I'uguaglianza. Corollario 4.3.8 Per ogni primo p e ogni n > 1 esiste un polinomio q{X) G ¥p[X] di grado n irriducibile su ¥p ed il campo ¥pn e isomorfo al campo ¥p[X]/{q{X)).

4.3 Campi finiti

153

Dimostrazione. Se ¥pn = Fp(ce), il polinomio minimo di a su Fp e irriducibile su ¥p e ha grado n. Se inoltre q{X) e un polinomio di grado n irriducibile su Fp, il campo F \X] K := -f—^ = {co + cia -h • • • + Cn-ia^"^; c^ G Fp , 2?(a) = O} ha p^ elementi. Per il Teorema 4.3.3, K e dunque isomorfo a F^n. La Proposizione 4.3.7 mostra che ogni generatore del gruppo ciclico F*^ e anche un generatore del campo F^n come ampliamento semplice di Fp. Osserviamo pero che se Fpn = Fp(a), non e detto che a generi il gruppo F*ri, come sara mostrato dagli esempi successivi. Esempi 4.3.9 (1) II campo Fs e stato costruito nell'Esempio 4.1.5 (5) come un campo di spezzamento del polinomio p(X) := X^ + X + 1 G F2[X], che e irriducibile su F2. Abbiamo visto che, se a e una radice di p{X)^ le altre radici di p{X) sono a^ e a-\- a^ = a^. Questi elementi hanno tutti grado 3 su F2 e percio generano Fg su F2. Ma poiche il gruppo ciclico Fg ha 7 elementi, esso ha 6 generatori e quindi ha altri tre elementi di grado 3 su F2, precisamente a^ = a + l ,

a^ = a ^ + a + l ,

a^ = a^ + 1.

Questi devono essere le radici di un altro polinomio monico di grado 3 irriducibile su F2 e un semplice calcolo mostra che tale polinomio e q{X) := X^ + X^ + 1. Per finire osserviamo che p{X) e q[X) sono gli unici polinomi di grado 3 irriducibili su F2, perche le loro radici esauriscono Fg \ F2. Se /3 e una qualsiasi radice di q{X) in Fg risulta anche Fg = F2(/?) e le radici di p{X) e q{X) si possono esprimere in funzione di /3. Ad esempio, se /3 := a^ = a + 1, le radici di p{X) sono: a = /? + 1 = / ? ^

a2 ^ /32 + 1 = /33 ^ a^ = (3 ^ 0^ = (3^

mentre le radici di q{X) sono

a^ = l3,

a^ = a^ + a + l = /?^,

a^ = a^ + l = 0^.

(2) II campo F9 e stato costruito nell'Esempio 4.1.5 (7) come un campo di spezzamento del pohnomio f{X) := (X^ + 1){X'^ + 2X + 2) G F3[X]. Abbiamo visto che p{X) := X^ + 1 e g(X) := X^ + 2X + 2 sono irriducibih su F3. Dunque, se a e una radice di p{X) e /? e una radice di g(X), risulta F 9 = F 3 ( a ) = F3(/3). Le radici di p(X) in F9 sono a e 2a — a^. Osserviamo che a ha ordine moltiplicativo uguale a 4, infatti risulta a^=2,

a^ = 2a,

a^ = 1.

154

4 Campi di spezzamento

Dunque a non genera il gruppo Fg, che ha ordine 8, mentre genera il campo Fg su F3. Una radice di q{X) e /3 = a + 2. Poiche /?2^a,

P^=--2a + 2,

/J^ = 2 7^ 1,

allora P ha ordine moltiphcativo uguale a 8 e genera Fg come gruppo cicUco. GU altri generatori del gruppo Fg sono ,d^=2a + 2,

/?^ = 2Q; + 1 ,

/?^=a+l.

Tra questi, I'altra radice di q{X) e /3^; mentre /?^ e /3^ sono radici del polinomio s{X) := X^ + X + 2. Poiche le radici di p{X)^ Q{X)^ ^{^) esauriscono tutti gli elementi di Fg \ F3, non ci sono altri polinomi di grado 2 irriducibili su F3. (3) II campo F64 e stato costruito nell'Esempio 4.1.5 (6) come un campo di spezzamento su F2 del polinomio f{X) = (X^ + X + 1)(X^ + X + 1). Se a e una radice di X^ + X + 1 e /3 e una radice di X^ + X + 1 , si ha F64 = F2(a, /3). Esiste tuttavia un elemento 6 G F64 di grado 6 su F2 tale che F64 = ^2(0)Procedendo come nel Paragrafo 3.5.3, non e difficile vedere che 0 := a + /3 e un tale elemento. 4.3.1 Polinomi irriducibili su ¥p Diamo ora un metodo per determinare tutti i polinomi di grado fissato d > 1 irriducibili su Fp. Lemma 4.3.10 Sia F un campo. II polinomio X^ — 1 divide il polinomio X'^ — 1 in F[X] se e soltanto se d divide n. Dimostrazione. Se n = gd + r, 0 < r < c?, in F[X] risulta:

(x^ -1) = (x^ - i)(x^-^ + x^-2^ + • • • + x^-^^-i)^ + x^) + (x^ -1). Percio X^ — 1 divide X^ — 1 se e soltanto se X^ — 1 = 0, se e soltanto se r = n — qd = 0, se e soltanto se n = qd. CoroUario 4.3.11 Se d e un divisore positivo di n, il polinomio fpd{X) := X^ — X divide il polinomio fpn{X) := X^"" — X in Fp[X]. Dimostrazione. Per il Lemma 4.3.10, se 0! e un divisore positivo di n, il polinomio X^ — 1 divide il polinomio X^ — 1. Calcolando in p, si ottiene che p^ — 1 divide p^ — 1. Ma allora anche X^ ~^ — 1 divide X^"""^ - 1 ed inline XP' - X divide XP^ - X.

4.3 Campi finiti

155

Proposizione 4.3.12 Tutti e soli i polinomi irriducibili su Fp di grado uguale a un divisore di n sono i fattori irriducibili del polinomio

In particolare, ¥pn e un campo di spezzamento di ogni polinomio di grado n irriducibile su ¥p. Dimostrazione. Sia p{X) un polinomio irriducibile su Fp di grado d. Se p{X) divide fpn{X), esso ha una radice a in Fpn. Percio risulta n = [Fpn : Fp] = [Fpn : Fp(a)][Fp(a) : Fp] = [Fpn : ¥p{a)]d. Ne segue che d divide n. Viceversa, supponiamo che d sia un divisore positivo di n. Poiche il campo K := Fp[X]/{p{X)) ha j?^ elementi, questi elementi sono esattamente le radici del polinomio X^ — X (Teorema 4.3.3). Poiche d'altra parte p{X) ha una radice in K, per il Teorema di Rufhni (Teorema 2.3.8), i polinomi p{X) e XP — X hanno un fattore comune non cost ante in Fp[X] (Corollario 2.2.8). Ma poiche p{X) e irriducibile su Fp, allora p{X) divide X^ — X in Fp[X] e percio divide anche fpn[X) := X^ — X (Corollario 4.3.11). In particolare p{X) si spezza in fattori lineari su Fpn. Infine, se p{X) ha grado n, il campo K ha p^ elementi ed e contenuto in Fpn. Dunque K = Fpn. Corollario 4.3.13 Indicando con Irr(p, m) Vinsieme dei polinomi monici di grado m irriducibili su ¥p, risulta

xp"-x=

n {/W; f{x)€ivvip,d)}. d>0,d\n

Esempi 4.3.14 (1) Sianop = 2, n = 2. La fattorizzazione di f4{X) in fattori irriducibili su F2 e: U{X) :=X^-X

= X{X + 1)(X2 + X + 1).

Allora X'^ + X + 1 e I'unico polinomio irriducibile di grado 2 su F2 e F4 e un suo campo di spezzamento. (2) Siano p = 3, n = 2. La fattorizzazione di f9{X) in fattori irriducibili su F3 e: fg{X) '=X^ -X

= X{X + 1)(X + 2){X^ + 1){X^ + X + 2){X^ + 2X + 2).

Dunque gli unici polinomi monici di grado 2 irriducibili su F3 sono X^ + 1;

X^ + X + 2 ;

X^ + 2X + 2

156

4 Campi di spezzamento

e Fg e un campo di spezzamento di ognuno di essi (Esempio 4.3.9 (2)). (3) Siano p = 2, n = 3. La fattorizzazione di fsi^) su F2 e fsiX)

in fattori irriducibili

= X{X - 1){X^ + X + 1)(X^ + X^ + 1).

:=X^-X

Allora esistono esattamente 2 polinomi di grado 3 irriducibili su F2, precisamente X^ + X -h 1; X^ + X^ + 1 e Fg e un campo di spezzamento di ognuno di essi (Esempio 4.3.9 (1)). (4) II numero |Irr(p, n)| dei polinomi monici di grado n irriducibili su F^ si puo calcolare usando la funzione di MobiuSj introdotta da A. Mobius nel 1831. Quest a e la funzione aritmetica fi : N —> N definita nel segente modo: fi{n)

1, (—1)^,

se n = 1; se n e prodotto di k numeri primi distinti;

0

altrimenti, cioe se n ha fattori quadratic!.

Se / , ^ : N —> N sono due funzioni aritmetiche tali die d>0,d\'n

allora sussiste la formula di inversione di Mobius

E /G)^('^)-

9{n)^ Y: fidhQ= d>0,din

d>0,d\n

Poiche, per il Corollario 4.3.13 e la formula del grado, si ha p"=

^

d\iiiip,d)\,

d>0,d\n

per / : N —> N definita da / ( n ) = p"^ e g : N —> N definita da g{n) n |Irr(j9, n)|, la formula di inversione fornisce

,|Irr(p,n)|= ^

P'^'{^)'

d>0,d\n

da cui

|Irr(p,n)| = ^ E ^'^ G ) = ^^ E P*/^(^)d>0,d\n

d>0,d\n

Ad esempio, il numero dei polinomi di grado 6 irriducibili su F2 e: ^

E

2§M(^) = ^ ( 2 V ( 1 ) + 2 ' M 2 ) + 2 V ( 3 ) + 2M6))

d>0,d|6

= 1(2^ _ 23 - 2^ + 2) = J(66 - 12) = 9.

4.3 Campi finiti

157

Proposizione 4.3.15 Tutti e soli i sottocampi del campo ¥pn sono i campi Fpd dove d e un divisore positivo di n. Dimostrazione. Tenendo conto che [K : ¥p] = d se e soltanto se K = ¥pd, se L e un sottocampo di ¥pn di grado d su F^, allora L = ¥pd con d che divide n. Viceversa, se d divide n, allora il polinomio fpd (X) divide il polinomio fpn (X) (Corollario 4.3.11). Dunque esso ha tutte le sue radici in Fpn. L'insieme di queste radici forma un sottocampo di Fpn di ordine p^ (Teorema 4.3.3). Esempi 4.3.16 Se a e un generatore del gruppo ciclico moltiplicativo F*n di Fpn, risulta Fpn = Fp(a) (Proposizione 4.3.7). Poiche, se d divide n, F*^ e un sottogruppo di F*n di ordine p^ — 1, esso e ciclico generato da a^, con k := ^dZi • Percio si ha Fpd = Fp(a^). 4.3.2 Gli automorfismi di un campo finite Determiniamo ora il gruppo degli automorfismi del campo finito Fpn. Per quanto visto finora, si ha Fpn = Fp(a), dove il polinomio minimo di a su Fp e un divisore irriducibile di grado n del polinomio X^ — X. Poiche questo polinomio ha n radici distinte in Fpn, il Corollario 4.2.10 ci permette di aff'ermare che Fpn ha esattamente n = [Fpn : Fp] automorfismi. Notiamo che, se K e un campo di caratteristica positiva p, I'applicazione ^:K

—^K;

x ^ x^

e un omomorfismo di campi non nullo. Infatti per il Lemma 4.3.2, si ha

per ogni x^ y e K. Questo omomorfismo si chiama Vomomorfismo di Frobenius. Nel caso in cui K := Fpn sia un campo finito, 1'omomorfismo di Frobenius e un automorfismo. Infatti $ e sempre iniettivo, ma poiche Fpn e finito, in questo caso esso e anche suriettivo. Teorema 4.3.17 II gruppo Aut(Fpn) e ciclico di ordine n, generato dalVautomorfismo di Frobenius. Dimostrazione. Poiche Aut(Fpn) ha ordine n (Corollario 4.2.10), basta far vedere che 1'automorfismo $ di Frobenius ha ordine n. Sia a un generatore del gruppo ciclico F*n. Poiche Fpn = Fp(Q;), allora $^ = id se e soltanto se ^^{a) = (... ((ce^)^).. .y = a^ = a. Ma, poiche a ha ordine p"^ — 1, il minimo intero k per cui questo avviene e k = n. Corollario 4.3.18 Se p{X) G ¥p[X] e un polinomio irriducibile di grado n e Q; G F^ e una radice di f{X), le radici di p{X) sono a, a ^ , . . . , aP"^ .

158

4 Campi di spezzamento

Dimostrazione. Segue dal Teorema 4.3.17, considerando che Fp(a) = F^n (Proposizione 4.3.12) ed inoltre che ogni automorfismo di F^n necessariamente porta a in un'altra radice di p{X) (Proposizione 4.2.6). Esempi 4.3.19 (1) Poiche Fg = F2(a), dove a e una radice del polinomio irriducibile p{X) := X^ + X + 1 G FsfX] (Esempio 4.3.9 (1)), il campo Fg ha esattamente 3 automorfismi. Essi formano un gruppo cichco generato dairautomorfismo $ di Frobenius e sono definiti rispettivamente da: $ : r{Q) ^ r[a^);

^^ : r(a) ^ r{a^);

id : r{a) —> r ( a ) ,

per ogni poHnomio r{X) G F2[X] (di grado al piii uguale a due). (2) II campo F64 ha 6 automorfismi, che sono stati calcolati nell'Esempio 4.2.11. Notando che 64 = 2^, e facile verificare che essi coincidono con gli automorfismi $^:F64—^F64;

xv^x^\

A: = 0 , . . . , 5 .

(3) Abbiamo visto nell'Esempio 4.3.9 (2) che Fg = F3(a) = F3(/3), dove a e una radice del polinomio irriducibile p{X) :— X^ + 1 G ¥'s[X] e /3 e una radice del polinomio irriducibile q{X) := X^ + 2X + 2. Allora II campo Fg ha 2 automorfismi. Essi sono I'identita e 1'automorfismo di Frobenius $ : Fg —> Fg ;

a \-^ a^ (equivalentemente /? H^ /3^).

Ricordando che a^ = 2Q; e che f3 — a-\-2^ vediamo infatti che f3^ = 2a-\-2 = a^ + 2. (4) Poiche F^d C F^n, per ogni divisore positivo d di n (Proposizione 4.3.15), gli automorfismi di ¥pn si possono costruire estendendo gli automorfismi di ¥pd. Sia ad esempio F4 = F2(a) dove a e una radice del polinomiop(X) := X^ + X + 1 e sia Fie = ^^{P) = F2(/3) dove f3 e una radice di ^(X) := X^ + X + 1. Notiamo che ^(X) si spezza su F4 = ¥2{a) nel prodotto di due polinomi di secondo grado. Infatti risulta q{X) = (X^ + X + a)(X^ + X + (a + 1)). Le radici di X^ + X + a in F2(/3) sono /? e /3^ = /3 + 1, mentre le radici di X^ + X + (a + 1) sono /3^=/? + a e / 3 ^ = / ? ^ 4 - l = / 3 + a - | - l . Notiamo anche che a = /3^ -h /3 E F2(/3). Allora Aut(F4) = {id.ip} dove ^ e I'automorfismo definito da a H-> a^. L'identita su F4 si estende agli automorfismi di Fig Lpii\=id

: (3^ (3]

(fu • P ^ /?^

Poiche poi ip*(X^ + X + a) = X^ + X + (a +1), -0 si estende agli automorfismi diFie

4.4 Ampliamenti ciclotomici

159

4.4 Ampliamenti ciclotomici Sia F un campo e si consideri il polinomio X'^ — 1 G i^[-^], dove n > 1. Se F ha caratteristica prima p e n = p^m con h > 1, risulta X^ — 1 = {X'^ — 1)P (Lemma 4.3.2); percio le radici del polinomio X^ — 1 in un suo campo di spezzamento su F sono tutte multiple, con molteplicita uguale a una potenza di p. Per studiare le radici di questo polinomio, ci possiamo allora limitare a considerare il caso in cui la caratteristica del campo F non divida n. In questa ipotesi, le radici del polinomio X^ — 1 (in un suo campo di spezzamento su F) si dicono le radici n-sime delVunita su F. Se F := Q, tali radici sono, in forma trigonometrica, i numeri complessi Q := cos (

1 + 1 sm I

I, fc = 0, . . . , n - l

(Paragrafo 2.4.2). Come abbiamo visto, per n > 3, questi numeri complessi si rappresentano sul piano di Gauss come i vertici di un poligono regolare di n lati con un vertice in 1 e percio tagliano la circonferenza centrata nell'origine e di raggio unitario in n archi uguali. Per questo motivo, il campo di spezzamento di X'^^ — 1 su F si chiama Vn-simo ampliamento cidotomico di F (il termine cidotomico deriva dal greco e significa che taglia il cerchio). Proposizione 4.4.1 Se la caratteristica di F non divide n (in particolare F ha caratteristica zero), le radici del polinomio X^ — 1 in un suo campo di spezzamento su F sono tutte distinte e formano un gruppo ciclico moltiplicativo. Dimostrazione. Se n = 1, il teorema e banalmente vero. Sia percio n > 2. La derivata formale del polinomio X^ — 1 e nX^~^. Poiche la caratteristica di F non divide n, tale polinomio derivato non e nullo e percio I'unica sua radice e lo zero. Ne segue che il polinomio X'^ — 1 ha tutte radici distinte (Proposizione 2.3.20). Queste radici formano un sottogruppo (finito) di K*, perche se a'^ = (3'^ = 1, anche (a/?~^)^ = 1. Allora tale gruppo e ciclico per la Proposizione 4.3.5. Sempre nell'ipotesi che la caratteristica di F non divida n, i generatori del gruppo ciclico delle radici n-sime dell'unit a su F si chiamano le radici n-sime primitive. II loro numero e (p{n)j dove (p : N —> N denota la funzione di Eulero. Infatti, se ^ e una radice n-sima primitiva, tutte le altre radici primitive sono le radici ^^ con MCD(n, fc) = 1 [53, Teorema 1.35]. Proposizione 4.4.2 Se la caratteristica di F non divide n (in particolare F ha caratteristica zero), un campo di spezzamento del polinomio X'^ — IsuFe Vampliamento semplice F{^), dove ^ e una radice n-sima primitiva deWunita. Dimostrazione. Poiche una radice n-sima primitiva ^ genera tutto il gruppo delle radici n-sime (Proposizione 4.4.1), F(^) contiene K. Poiche chiaramente vale anche I'inclusione opposta, si ha I'uguaglianza.

160

4 Campi di spezzamento

Esempi 4.4.3 (1) Per n = 1, runica radice (primitiva) deirunita e ^ = 1. Mentre, per n = 2, se la caratteristica di F e diversa da 2, I'unica radice primitiva e ^ == — 1. Quindi per n = 1, 2 si ha F(^) = F. (2) Se ^ e una radice primitiva n-sima deH'unita, anche i~^ = i^~^ lo e; infatti MCD(n, n — 1) = 1. Inoltre, se n 7^ 3, risulta ^ ^ ^~^. Ne segue che la funzione di Eulero assume sempre valori pari per n > 3. (3) Le radici complesse terze dell'unita sono . -L,

. . - l + iA/3 4-=43:= ^ ,

.2 4

-1-1^3 ^

(Esempio 2.4.10 (2)). Quindi il terzo ampliamento ciclotomico di Q e Q(^3) = Q(i^). Le radici complesse ottave dell'unita sono le radici del polinomio X^ — 1 = {X^ — 1)(X^ + 1). Le radici primitive ottave sono quindi le (f{S) = 4 radici del polinomio X^ + 1, ovvero le radici quarte di — 1

^=e8:=f(l+i), C^-f(l-i), f - - f ( l + i ) , f = f(-l+i) (Esempio 2.4.10 (3)). Allora I'ottavo ampliamento ciclotomico di Q e ^^^(^s;

Q(y2,i).

(4) Se p e un numero primo, il gruppo delle radici {p — l)-sime deH'unita su Fp e F*. Piu generalmente, per n > 1, il gruppo delle radici {p'^ — 1)sime dell'unita su F^ e il gruppo F*^ e le radici n-sime primitive su F^ sono i generatori di F^n; il loro polinomio minimo e un fattore di grado n del polinomio X^"" — X (Paragrafo 4.3). (5) Cerchiamo le radici seste dell'unita su F5. Poiche la fattorizzazione del polinomio X^ — 1 in polinomi irriducibili su F5 e X^ - 1 = (X^ - 1)(X^ + 1) = (X - 1)(X + 1)(X^ - X + 1)(X2 + X + 1), un campo di spezzamento di X^ - 1 su F5 e iC = F25 (Paragrafo 4.3). Applicando le formule risolutive per le equazioni di secondo grado, otteniamo che le radici del polinomio X^ — X + 1 in K sono 3 + 3Q; e 3 + 2a, mentre le radici del polinomio X^ + X + 1 sono 2 + 3a e 2 + 2a, dove a G K e tale che a^ = 2. II numero delle radici seste primitive e (p{6) = 2. Poiche si ha (3 + 3a)2 = 2 + 3a,

(3 + 3a)^ = 4 ^ 1 ,

allora ^ = 3 + 3a e una radice primitiva. L'unica altra radice sesta primitiva e ^^ = 3 + 2a. Se la caratteristica di F non divide n, il polinomio monico che ha per radici tutte e sole le radici primitive n-sime dell'unita su F si chiama Vn-simo polinomio ciclotomico su F e si indica con ^ n ( ^ ) - Dunque risulta

4.4 Ampliamenti ciclotomici

161

MCD(n,fc)=l

in particolare ^i{X) = X - 1, ^2{X) = X -\-1. Se n = p e un numero primo (e la caratteristica di F e diversa da p), tutte le radici p-esime diverse da 1 hanno ordine p e percio sono tutte primitive. Ne segue che XP -1 ^p{X)

= ^ ^ - p = XP-^ + XP-^

~x

(Esempio 2.4.10 (1)) e

XP-l=^,{X)^p{X). In generale, poiche per ogni n > 1 il gruppo delle radici n-sime dell'unit a e ciclico (Proposizione 4.4.1), per ogni divisore positive d di n esistono radici nsime di ordine d [53, Teorema 1.33] ed esse sono tutte e sole le radici primitive d-sime. Allora si ha che

x--i= n ix-e)= n ^'^w0
d>0,d\n

Per definizione ^n{X) e un polinomio di grado (p{n) a coefficienti in F{^). Mostriamo ora che tali coefficienti appartengono al sottocampo fondamentale diF. Proposizione 4.4.4 Supponiamo che la caratteristica di F non divida n e sia F il sottocampo fondamentale di F. Allora, per ogni n> I, ^n{X) G F[X]. Se inoltre F = Q, ^n{X) eZ[X]. Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Se n = 1, allora ^i{X) X - 1 e ¥[X], Supponiamo poi che ^m{X) ^ F[X] per m < n. Allora h{X) :=

fl

=

^d{X) e ¥[X]

n>d>0,d\n

e X'^ — 1 = h{X)^n{X). Quindi ^n{X) appartiene al campo delle funzioni razionali ¥{X) e, poiche e un polinomio, ^n{X) G ¥[X]. Sia poi F := Q. Allora ^n{X) G Q[X] e X^ - 1 = h{X)^ri{X) G Z[X]. Poiche ^i{X) = X — 1 G ^[X], supponendo per induzione che anche h{X) G Z[X], per il Lemma di Gauss otteniamo che ^n{X) G Z[X] (Corollario 2.5.4). Esempi 4.4.5 (1) Sia ^n{X) := X ^ W + a^(n)-i^^^''^~^ + • • • + ao- Poiche C e una radice di ^n{X) se e soltanto se anche (~^ lo e (Esempio 4.4.3 (2)), ^n{X) e un polinomio reciproco ed ha grado pari per n > 3. Ne segue che ao = 1 = a^(^) e percio at = a^(^n)-k, per ogni k = l,...,(/?(n) (Esempio 2.3.28 e Esercizio 2.35).

162

4 Campi di spezzamento

(2) Se p, q sono numeri primi distinti, i coefficienti non nulli del polinomio ^pq{X) su Q possono assumere soltanto i valori 1 e -1 (A. Migotti, Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung, 1883). II piu piccolo intero positivo n per il quale ^n{X) ha qualche coefficiente non nullo con modulo di verso da 1 e 105. Infatti in ^105(X) si ha ay = —2 = a4i. Tuttavia J. Suzuki {On coefficients of cyclotomic polynomials^ 1987) ha dimostrato che ogni numero intero e un coefficiente di qualche polinomio ciclotomico. La formula d>0,d\ri

permette di determinare ^n(X) per ricorsione. Infatti risulta ^n{X) = =

— - .

Ad esempio #i(X)=X-l;

"^"^^^ " ^ i ( X ) ^ 2 ( X ) s (x\ -= X*^ -1 '^ ' ~ $i{X)$2{X)$3{X) ^ (X) ^

^^ ~ ^

( X - 1 ) ( X + 1) - ^ ^ =

+''

X^ -1 = x^ - X -\-^• ( X 2 - 1 ) ( X 2 + X + 1) ^ ' ^^ -'^

^

Y4

J_ 1.

e cosi via. Esempi 4.4.6 (1) Sia p un numero primo di verso dalla caratteristica di F e sia r > 1. Allora risulta:

Infatti, per ogni /i > 0 si ha:

x^'-i= n ^c<w= n ^p^(^) d>0,d|p^

0<j
e allora tutte le radici p'^-sime non primitive dell'unita sono le radici del polinomio X^ - 1.

4.4 Ampliamenti ciclotomici

163

(2) Se p, q sono numeri primi distinti diversi dalla caratteristica di F , dall'uguaglianza

otteniamo la formula di Mobius-Dedekind: {XP'>-l){X-l)

_$,{X'i)

X9(P-1) + X«(P-2) + . . . + X9 + 1 XP-1 + XP-2 + . . . + X + 1 Ad esempio:

^ 2 i ( ^ ) = X^'^ - X^^ + X^ - X^ + X^ - X^ + X^ - X + 1. (3) Un'altra rappresentazione del polinomio ciclotomico, si ottiene usando la funzione /i di Mobius (Esempio 4.3.14 (6)). Infatti un'applicazione non banale della formula di inversione fornisce I'uguaglianza

^,(X)=JJ(X^-l)^(t) [20, Paragrafo 3.3.2]. 4.4.1 Irriducibilita del polinomio ciclotomico Una prima dimostrazione delPirriducibilita del p-esimo polinomio ciclcotomico su Q, con p primo, e stata data da F. Gauss {Disquisitiones Arithmeticae^ 1801). Quest a dimostrazione e stata successivamente semplificata da L. Kronecker, nel 1845, ed una dimostrazione diversa e stata poi data da F. G. Eisenstein nel 1850 (Esempio 2.5.11 (3)). Infine, la prova dell'irriducibilita di ^n(X) su Q, per ogni intero n > 1, e stata ottenuta da R. Dedekind nel 1857. Notiamo che, poiche <^n(X) e monico ed ha coefficienti interi (Proposizione 4.4.4), per il Lemma di Gauss, dimostrare la sua irriducibilita su Q equivale a dimostrare la sua irriducibilita su Z. Teoremia 4.4.7 Per ogni n> 1, il polinomio ^n(X) e irriducibile su Q. Dimostrazione. Supponiamo che ^n(X) = f{X)g{X)^ dove / ( X ) e ^(X) sono polinomi a coefficienti interi (Lemma di Gauss) e ^(X) e di grado positivo irriducibile su Z. Vogliamo mostrare che ^n(X) = ib^(X). Per questo basta verificare che ogni radice n-sima primitivadell'unita e uno zero di ^(X). Poiche ^(X) ha grado positivo e divide ^ ^ ( X ) , esso e annullato da una radice n-sima primitiva ^. Facciamo vedere che, se MCD(n, /c) = 1, allora ^^ e ancora una radice di g{X).

164

4 Campi di spezzamento

Cominciamo mostrando che, se p e un primo che non divide n, allora ^^ e ancora una radice di g{X). Per questo, poiche ^n{(,^) = f{^^)9{^^)^ basta mostrare che / ( p ) ^ 0. Sia per assurdo /(^^) = 0 . Allora ^ e radice del polinomio f{X^) e i polinomi g{X) e /{X^) hanno una radice in comune. Ne segue che MCD(^(X),/(X^)) ha grado positive e allora e uguale a g{X)^ perche g{X) e irriducibile. Ne segue che g{X) divide f{X^) in Q[X] e quindi anche in Z[X] (Corollario 2.5.4). Sia /(X^) = g{X)h{X), coB_h{X) a coefficienti interi. Riducendo moduloj?, in ¥p[X] risulta /(X^) = (/(X))^ = g{X)h{X) (Lemma 4.3.2) e percio / ( X ) e ^(X) hanno un fattore comune in Fp[X]. Poiche X^ - 1 = ^ri{X)q{X) = f{X)g{X)q{X), il polinomio X^ - T = /(X)^(X)g(X) G Fp[X] ha un fattore multiplo e dunque esso ha una radice multipla nel suo campo di spezzamento. Questo non e possibile per la Proposizione 2.3.20, perche il polinomio derivato nX^~^ e non nullo e non ha radici in comune con X^ — 1. Ne segue che /(^^) 7^ 0 e percio g{^^) = 0. Sia ora A: > 1 tale che MCD(n, fc) = 1. Se fc = p i . . .ps e la fattorizzazione di k in numeri primi (non necessariamente tutti distinti), Allora p^ non divide n per ogni i = 1 , . . . , s. Percio, ripetendo Pargomento sopra esposto, si ottiene che ^^ e una radice di ^(X). Corollario 4.4.8 Se ^ e una radice complessa n-sima primitiva delVunita, il polinomio minimo di £, su Q e ^n{X). In particolare Q(^) ha grado (p(n) su Dimostrazione. II polinomio minimo di ^ su Q e ^n{X) perche ^n{X) ha coefScienti razionali ed e irriducibile su Q (Teorema 4.4.7). Allora [Q(0 ' Q]=deg^n{X) = ^{n). Corollario 4.4.9 I fattori monici irriducibili del polinomio X^ — IsuQ^ sono i d-simi polinomi ciclotomici ^d{X), al variare di d tra i divisori positivi di n. Esempi 4.4.10 I polinomi ciclotomici possono essere riducibili in caratteristica positiva. Ad esempio il polinomio ^4(X) := (X^ + 1) G F5[X] e riducibile su F5, perche risulta (X^ + 1) = (X + 2)(X + 3). La dimostrazione di Kronecker Un altro modo per dimostrare I'irriducibilita di ^n{X) su Q e quello di ridursi prima al caso in cui n := p^ sia potenza di un numero primo ed usare poi il teorema di fattorizzazione unica per i numeri interi. Proposizione 4.4.11 (L. Kronecker) Se n :— p^, con p primo e r > 1, il polinomio <^^(X) e irriducibile su Q. Dimostrazione. Sia n := p^. Supponiamo che ^n{X) = ^(X)/i(X), con ^(X), h{X) G Z[X] monici di grado positivo. Dalla formula dimostrata nelI'Esempio 4.4.6 (1), otteniamo che ^n(l) = g{^)h{l) = p. Dunque uno dei

4.4 Ampliamenti ciclotomici

165

due fattori, ad esempio g{l), vale ± 1 . Le radici di g{X)^ annullando anche ^n{X) sono radici n-sime delPunita diverse da 1; percio, se ^ e una qualsiasi radice primitiva, si ha g{^)g{£,'^) - • -gi^^'^) = 0. Ne segue che il polinomio f{X) := g{X)g{X'^).. .g{X'^~^) si annulla in ogni radice primitiva ^ e percio, avendo coefficienti interi, e diviso in Z[X] dal polinomio ^ ^ ( X ) , ovvero f{X) = ^n{X)k{X), con k{X) e Z[X]. Poiche inoltre f{X) e ^n{X) sono entrambi monici, anche k{X) e monico. Calcolando ancora in 1, otteniamo / ( I ) = ^(1)^"^ = dzl = ^^(l)fc(l) = pk{l). Poiche fc(l) G Z, questa e una contraddizione e percio ^n{X) e irriducibile. Teorema 4.4.12 Per ogni n > 1, il polinomio ^n{X)

e irriducibile su Q.

Dimostrazione. Poiche ^pr[X) e irriducibile su Q (Proposizione 4.4.11) e ogni intero n > 2 e prodotto di potenze di numeri primi distinti, basta mostrare che, se n = rs > 1 con MCD(r, 5) = 1 e ^r{X) e ^s{X) sono irriducibili su Q, allora anche ^n{X) e irriducibile su Q. Sia f{X) G Q[X] un polinomio monico che divide ^n{X) su Q. Ogni radice a di / ( X ) , essendo una radice n-sima deH'unita, e prodotto di una radice r-sima e e una radice 5-sima ix) (Esercizio 4.42). Poiche, se a = euj^ si ha a^ — e'^ijf = u;'^, le potenze r-sime delle radici a di j{X) sono radici 5sime deH'unita. Consideriamo il polinomio g{X) := Ylf(a)=o(^ ~ ^^)' Poiche i coefficienti di g{X) sono funzioni simmetriche delle sue radici a^ e percio anche delle radici a di f{X), essi sono razionali (Proposizione 2.7.14). Quindi g{X) G Q[X]. Inoltre g{X) divide ^s{X) in Q[X] e percio, essendo per ipotesi ^s{X) irriducibile, deve essere g{X) = ^s(X). Ne segue che le potenze a'^ = ixT ^ al variare di a tra le radici di f[X\ sono tutte e sole le radici 5-sime deH'unita. Ma, poiche MCD(r, s) = 1, la corrispondenza a; 1-^ (j^ e biunivoca e quindi le radici uj che compaiono nell'espressione a — euj variano tra tutte le radici s-sime dell'unita. In modo simmetrico si vede che le potenze a^ = e^ sono tutte e sole le radici r-sime deH'unita e quindi le e variano tra tutte le radici r-sime dell'unita. In conclusione, tutte le radici n-sime dell'unita sono radici di / ( X ) e quindi / ( X ) = ^n{X). 4.4.2 Irriducibilita del polinomio X"^ — a Sia F un campo e consideriamo il polinomio j{X) := X'^ — a E F[X]^ a ^ 0. Nel caso numerico, le radici del polinomio f{X) sono le radici complesse nsime di a, cioe i numeri complessi a, ce^, . . . , a^"~^, dove a^ = a e ^ e una radice primitiva n-sima dell'unita (Paragrafo 2.4.2). Quindi il campo di spezzamento di f{X) in C e K := Q(a,^) ed in particolare K contiene Vnsimo ampliamento ciclotomico di Q{^). Questo fatto vale piu generalmente quando la caratteristica di F non divide n. Proposizione 4.4.13 Sia f{X) := X"" - a e F[X], a ^ 0. Se la caratteristica di F non divide n (in particolare F ha caratteristica zero), le radici del polinomio f{X) in un suo campo di spezzamento su F sono tutte distinte

166

4 Campi di spezzamento

e sono a, a^^ ..., a^^"^, dove a e una qualsiasi radice di f{X) e ^ e una radice primitiva n-sima delVunitd su F. Quindi un campo di spezzamento di f{X)suF eF{^,a). Dimostrazione. Le radici di f{X) sono tutte distinte; infatti f{X) non ha radici in comune con la sua derivata / ' ( X ) = nX'^~^ ^ 0 (Proposizione 2.3.20). Siano a i , . . . , a^ le radici di / ( X ) e sia K \— F ( a i , . . . , a^) il campo di spezzamento di f{X) su F . Per ogni i, j = 1 , . . . , n, risulta (^i)^ = ^ = 1 e dunque ^ e una radice n-sima deH'unita su F. Allora, fissata una radice a di / ( X ) , gli elementi ^^, . . . , ^^ di K, essendo tutti distinti, sono tutte le radici n-sime dell'unita. Osserviamo ora che, a meno di rinumerare le radici a i , . . . , OLn di j{X\ possiamo supporre che ^ := ^ sia una radice n-sima primitiva e che ^ = C' Allora risulta a^ = a ^ = a^^ e le radici di f{X) sono a, a^, . . . , aC"-^. Ne segue che K = F(^, a). Mostriamo ora che, se p > 2 e un numero primo, la riducibilita di f{X) := X'P — a sn F equivale all'esistenza di radici in F. Per la dimostrazione, dobbiamo distinguere i due casi in cui F abbia caratteristica zero oppure caratteristica finita uguale a p. Proposizione 4.4.14 Sia F un campo e sia f{X) := X^ — a G i^[X]^ dove ay^0ep>2eun numero primo. Allora f{X) e riducibile su F se e soltanto se f{X) ha una radice in F, doe a e una potenza p-esima in F. Dimostrazione. Sia a una radice di f{X) := X^ — a in un suo campo di spezzamento K^ ovvero a^ = a. Se F non ha caratteristica p, tutte le radici di f{X) sono a, a^, . . . , a^'^~^, dove ^ e una radice primitiva p-esima deH'unita (Proposizione 4.4.13). Supponiamo che f{X) sia riducibile su F e consideriamo un suo divisore monico h{X) di grado k, con 1 < k < p. Le radici di h{X) sono alcune delle radici di f{X) sopra elencate, a^^^,..., a^^'^. Se 6 G F e il termine noto di /i(X), allora

con N >0. Siano 5, t G Z tah che sk-{-tp=l a f ^ = a'^-^'P^'^ = {a^^^Ya'P

= MCD(fc,p). Allora risulta = {±bya' G F.

Percio F contiene una radice a^^ di f{X). Se F ha caratteristica p, in K risulta f{X) := X^ — a = X^ — a^ = {X — ay (Lemma 4.3.2). Se f{X) e riducibile su F , un fattore proprio di f{X) deve essere del tipo h{X) := {X — a)^, con r < p. Siano u, v E Z tali che ur + vp = l = MCD(r,p). Allora a = a^^+^P = (a^^a^. Poiche a^ e il termine noto di h{X)^ si ha che a^ G F e dunque anche a G F.

4.4 Ampliamenti ciclotomici

167

Corollario 4.4,15 Sia F un campo la cut caratteristica e diversa da p e sia f{X) := X'P — a G -F[-^]; a 7^ 0. ^e ^ e una radice primitivap-esima delVunitd su F, allora: (a) Se f{X) (b) Se f{X)

e riducibile su F, il campo di spezzamento di f{X) su F e F(^). e irriducibile su F, f{X) e irriducibile anche su F{^).

Dimostrazione. Un campo di spezzamento di f{X) sn F e K := F(^, a), dove a e una qualsiasi radice di f{X) (Proposizione 4.4.13). (a) Se f{X) e riducibile su F , f{X) ha una radice a in F (Proposizione 4.4.13) e quindi il campo di spezzamento di f{X) su F e F(^, a) = F(^). (b) Se f{X) e irriducibile su F , p divide il grado di K. Ma se f{X) e riducibile su F(^), esso ha una radice a in F(^) (Proposizione 4.4.14). Quindi iC = F(^) ha grado su F al piu uguale a deg^p(X) = p — I. La Proposizione 4.4.14 si puo estendere al caso in cui n := p^ sia potenza di un numero primo dispari nel modo seguente. Proposizione 4.4.16 Sia F un campo e sia f{X) := X^ — a G F[X]^ dove G^ 7^ 0; p > 3 e un numero primo e h> 1, Se a non e una potenza p-esima in F, allora f{X) e irriducibile su F . Dimostrazione. Basta mostrare che, se a non e una potenza p-esima in F , una radice a di f{X) (in un campo di spezzamento K di f{X)) ha grado p^ su F . Procediamo per induzione su h > 1. Per h = 1 I'asserto e vero per la Proposizione 4.4.14. Sia dunque h > 2. Posto /? := a^ , a e radice del pohnomio XP"""' - f3 e F{f3)[X] e P e radice del pohnomio X^ - a e F[X] (perche (3^ = oP = a). Consideriamo la catena di ampliamenti F C F(/?) C F ( a ) e supponiamo che il teorema sia vero per ogni k < h. Per la Proposiziore 4.4.14, il pohnomio X^ — a e irriducibile su F e quindi [F(/3) : F] = p. Se inoltre /3 non e una potenza p-esima in F(/3), per I'ipotesi induttiva il pohnomio X^ — (3 h irriducibile su F{I3). Quindi [F{a) : F{I3)] = p^~^ e in conclusione [F(a) : F] — p^. Escludiamo allora che (3 sia una potenza p-esima in F{f3). Se P = 7^ per qualche 7 G F(/?), per doppia inclusione, F(/3) = F(7) e 7 ha grado p su F . Supponiamo prima che F abbia caratteristica diversa da p. Allora il pohnomio X^ " a ha p radici distinte /?, /?(^, . . . , f3^P~^ ^ dove ^ 7^ 1 e una radice p-esima deH'unita, nel suo campo di spezzamento F(/3, ^) (Proposizione 4.4.13). Ne segue che ci sono p F-isomorfismi distinti

^i : F(/3) = F(7) ^

F(/?, 0 ; /? ^ 0C,

z = 1 , . . . ,p, ed inoltre i p elementi (pi{j) sono esattamente le radici del pohnomio minimo di 7 su F (Proposizione 4.2.6). Quindi c := (—1)^ Yii ^i{l) ^ i^ termine noto del pohnomio minimo di 7 su F (Paragrafo 2.7.2). In conclusione,

168

4 Campi di spezzamento

e a = (—c)^ e ancora una potenza p-esima in F , contro le ipotesi. Se F ha caratteristica p, allora X^—a = (X—/?)^. Quindi /3 e Tunica radice, con molteplicita p, del polinomio X^ — a, Ne segue che I'identita e I'unico Fisomorfismo F{(3) = ^(7) —> K e che 7 e Tunica radice, con moltepUcita p, del suo polinomio minimo su F . Allora il termine noto di questo polinomio e 7^ =: c G F e di nuovo a = 7^ e una potenza p-esima in F , contro le ipotesi. Teorema 4.4.17 Sia F un campo e sia f{X) := X"^ - a e F[X], a y^ 0. Se 4 non divide n e a non e una potenza p-esima in F, per ogni divisore primo p di n, allora f{X) e irriducihile su F. Dimostrazione. Sia a una radice di f{X) in un suo campo di spezzamento K, basta mostrare che, nelle ipotesi date, a ha grado n su F . Procediamo per induzione su n > 1. Ovviamente il teorema e vero per n = 1. Sen>2ep divide n, possiamo scrivere n = p^m^ dove h>lep non divide m. Posto P := a^ , a e radice del polinomio X^ —/? G F(/?)[X] e /? e radice del polinomio X^ — a G F[X] (perche fi^ = a'^ = a). Consideriamo la catena di ampliamenti F C F{/3) C F{a) e supponiamo che il teorema sia vero per ogni k < n. Allora X ^ — a e irriducihile su F , perche a non e una potenza j?-esima in F , per ogni divisore primo p di m. Dunque [F(/3) : F] = m. Se (3 non e una potenza p-esima in F(/3), quando p > 3 il polinomio X^ — (3 h irriducihile su F(/?) per la Proposizione 4.4.16. Quando p = 2, allora 5 = 1 e X^ — /3 e irriducihile su F{(5) per la Proposizione 4.4.14. Quindi [F{a) : F(/?)] = p^ e in conclusione [F{a) \ F] — n. Procedendo come nella dimostrazione della Proposizione 4.4.14, mostriamo allora che /3 7^ 7^, per ogni 7 G F{/3), Se y^ = 7^ con 7 G F{f3), per doppia inclusione, F(/3) = F(7) e in particolare 7 ha grado m su F . Poiche p non divide m, il polinomio irriducihile X'^ — a ha m radici distinte e ci sono m F-isomorfismi distinti dove ^ e una radice primitiva m-esima delTunita e i — 1 , . . . ,m. Allora gli m elementi 9:^2(7) sono esattamente le radici del polinomio minimo di 7 su F (Proposizione 4.2.6) e c := (—1)^ Hi 9^^(7) ^ ^^ termine noto di questo polinomio. Poiche

-a={-irX[^0) 2

= (-1)-J]^,(^J') = (_l)™ J]y,,(^)P, 2

2

se m e dispari, a — (—c)^ e una potenza p-esima in F . Se invece m e pari, poiche 4 non divide n, allora p 7^ 2 e dispari e ancora a = {—cf h una potenza p-esima in F , contro le ipotesi. Esempi 4.4.18 Nella Proposizione 4.4.16, Tipotesi p > 3 e necessaria. Ad esempio il polinomio j{X) \— X^ + 4 G Q[X] e tale che a := —4 non e un quadrato in Q; ma f{X) = {X^ + 2X + 2){X^ - 2X + 2) e riducibile su Q. Si puo dimostrare tuttavia che, se 4 divide n, il Teorema 4.4.17 e ancora vero aggiungendo Tipotesi che a •=^ —4OL^^ per ogni OL^F [51, Theorem 16].

4.4 Ampliamenti ciclotomici

169

4.4.3 Gli automorfismi di un ampliamento ciclotomico Sia n > 2 e sia F un campo la cui caratteristica non divide n, in particolare un campo di caratteristica zero. Se ^ e una radice primitiva n-sima deH'unita su F con polinomio minimo m{X), le radici di m{X) sono ancora radici primitive deH'unita (perche m{X) divide I'n-simo polinomio ciclotomico ^^(X)). Poiche tali radici sono tutte distinte (Proposizione 4.4.1), il numero degli F-automorfismi di F(^) e uguale al grado di m{X) (Corollario 4.2.10). Precisamente, gli F-automorfismi di F{^) sono tutti e soli gli automorfismi

^, :F(O^F(0; ^^e', dove MCD(n, k) = 1 e m(^^) = 0. Mostriamo ora che il gruppo degli F-automorfismi di F(^) e isomorfo ad un sottogruppo del gruppo delle unita di Z^. Proposizione 4.4.19 Sia n > 2 e sia F un campo la cui caratteristica non divide n (in particolare un campo di caratteristica zero). Se ^ e una radice primitiva n-sima deWunita su F, il gruppo degli F-automorfismi di F(^) e isomorfo ad un sottogruppo del gruppo moltiplicativo U{Jjn) delle unita di Jjn ed e isomorfo a U{Zn) se e soltanto se ^n{X) e irriducibile su F . Dimostrazione. Sia G il gruppo degli F-automorfismi di F(^). Poiche un intero k ha un inverse aritmetico modulo n se e soltanto se MCD(n, k) = 1, allora rest a definita I'applicazione (p : G —> U{Zn);

^pk^k

che associa all'F-automorfismo ^pk di F(^), definito come sopra, la classe di k modulo n. Quest a applicazione e un omomorfismo di gruppi. Infatti, se 'iph'ipk = V^m, allora

^^^ = (^^)^ = V^^V^,(^) = ^ ^ ( ^ ) ^ ^ Da cui (p{iljk)0,d\n

\d>0,d\m

J

= ^ „ ( X ) ( X - - l)/i(X), per un opportuno h{X) G Z[X]. Da cui k''-l

=

^n{k){k'^-l)h{k).

Riducendo modulo p, poiche p divide ^n{k) e k ha. ordine m, si ottiene che k e radice dei due polinomi ^n{X) e X^ — 1 a coefScienti in Zp e dunque k e una radice multipla di X^ — 1. Ne segue che k e radice anche del polinomio derivato nX^~^ (Proposizione 2.3.20) e percio nk'^~^ = 0 mod p. Ma poiche p non divide ne n ne fc, questo e impossibile. Teorema 4.4.23 (L. Dirichlet, 1837) Per ogni n > 2, ci sono infiniti numeri primi congrui ad 1 modulo n.

4.4 Ampliamenti ciclotomici

171

Dimostrazione. Sia n > 2 un intero fissato. Cominciamo mostrando che esiste almeno un numero primo congruo ad 1 modulo n. Per ogni /c > 0, ^ni'^k) e un numero intero. Poiche esistono soltanto un numero finito di valori interi k tali che ^ri{nk) — 0, ± 1 (precisamente le radici intere dei polinomi ^^C^-^), <^n(nX) ± 1 ) , allora per qualche h G Z risulta |^n(^^)| > 1- Sia p un primo che divide ^ni'^h). Poiche ^n{X) divide il polinomio X'^ — 1, allora p divide (nh)^ — 1 e percio p non divide n. Per il Lemma 4.4.22, allora p=l mod n. Supponiamo ora che p i , . . . , Ps siano primi congrui ad 1 modulo n e poniamo m := npi.. .ps- Per il ragionamento precedente, per qualche /i G Z risulta |(^^(m/i)| > 1 e, se p e un primo che divide ^rni'f^h), p non divide m e p = 1 mod m. Allora p e diverso da p i , . . . , ps e, poiche n divide m, p = 1 mod n. Ne segue che i primi congrui a 1 modulo n sono infiniti. 4.4.5 U n teorema di Wedderburn Un anello unitario in cui ogni elemento non nullo e invertibile si chiama anche un corpo. Un esempio di corpo non commutativo e 1'algebra dei quaternioni reali di Hamilton (Esercizio 1.9). Tuttavia un celebre teorema di Wedderburn asserisce che ogni corpo finito e commutativo e quindi e un campo {A theorem of finite algebras, 1905). La dimostrazione seguente di questo teorema e dovuta a E. Witt e fa uso del polinomio ciclotomico (Uber die Kommutativitdt endlicher Schiefl^orper, 1931). Teorema 4.4.24 (J. Wedderburn, 1905) Sia A un anello unitario con un numero finito di elementi. Se ogni elemento non nullo di A e invertibile, allora A e commutativo e quindi e un campo. Dimostrazione. Sia Z il centro di A, cioe I'insieme degli elementi di A che commutano con tutti gli altri elementi. Allora Z e un campo finito ed in quanto tale ha ^ := p* elementi, dove p e la sua caratteristica e s \=[Z : Fp] e il suo grado su Fp (Teorema 4.3.3). II nostro scopo e mostrare che A — Z. Poiche A e uno spazio vettoriale su Z = F^, esso ha q^ elementi, dove t > 1 e la sua dimensione su Z. Per ogni elemento x G A, consideriamo il centralizzante d\ x in. A, Cx '-= {y G A] xy — yx}. ?i\ vede facilmente che Cx e un sottoanello di A e che Z 'Z Cx ^ A. Quindi di nuovo Cx ^ uno spazio vettoriale su Z e, se d{x) e la sua dimensione su Z, Cx ha q^^^^ elementi. Notiamo che d{x) divide t e che d{x) = t se e soltanto se Cx = A, cioe x G Z. Sia ora G := A* il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli di A. Allora il centro di G e Z* := F* ed il centralizzante in G di un elemento non nullo X G A e (7*. L'Equazione delle Classi per G (Paragrafo 12.1.1) fornisce allora la relazione tra numeri interi

,*-i = |G| = |zi + s M . ( , _ i ) + 5 ^ ^ , xeA ' ^' xeA dove yl C G e un sistema completo di rappresentanti delle classi di coniugio di G \ Z* = A \ Z.

172

4 Campi di spezzamento

Con I'aiuto del polinomio ciclotomico, facciamo vedere che quest a relazione puo essere verificata soltanto se d{x) = t = 1, cioe se A = Z. Notiamo che, se d e un divisore positive di t e 1 < d
x*-i= n ^k{x)=$t{x){x''-i) n ^k{x). k>0,k\t

t>k>0,k\t,k\d

Per d := d{x), calcolando in q, otteniamo che ^t(^) divide sia q^ — 1 che {q^ — l)/(g^^^^ — 1) per ogni x G A; da, cui, guardando all'Equazione delle Classi, abbiamo che ^t(^) divide g — 1. Poiche d'altra parte X — 1 divide ^t(X), abbiamo anche che q — 1 divide ^t{Q)- Ne segue che |^t(g)| = Q — ^- Ma se ^ ^ 1 e una radice primitiva t-esima deH'unita, s i h a | g —^| > q—\^\ = q — 1, percio

n i9-^'i>9-i.

mx)\=

l
In conclusione, deve essere t = 1.

4.5 Esercizi 4.1.

Sia F un campo e sia f{X) G F[X] un poUnomio non costante. Sia inoltre

f{X)^p,{X)''^...Ps{X)''', fci > 1, la fattorizzazione di f{X) in polinomi distinti irriducibili su F. Mostrare che i polinomi f{X) e g{X) := pi{X)^^ ...ps(X)^^ hanno lo stesso campo di spezzamento su F , comunque scelti hi,... ,hs > 1. 4.2. Mostrare che il campo di spezzamento in C del polinomio X^ + 2X^ + 9 e Q(i^). 4.3. Mostrare che i polinomi X^ — 9 e X^ — 2X^ — 3 hanno lo stesso campo di spezzamento in C. 4.4. Determinare il campo di spezzamento in C dei seguenti polinomi sul loro campo di definizione: X^-1; X^ + l ; X^ - 3X3 + 3X2 - 9 ;

X^-2; X^ - 2 ^ ^ + 49 ; X^ - 1; ^ 3 _ ^^^5 ^ i^^x^ + (6x/5 + 47)X - 47;

2X3 - (2^3 + 1)X2 + (V3 + 1)X - v^. 4.5.

Costruire il campo di spezzamento in C dei polinomi X2 - 5 , X^ + 2 . Costruire inoltre il loro composto e determinarne il grado su Q.

4.6. Sia / ( X ) un polinomio monico a coefficienti numerici e siano a i , . . . , as le sue radici complesse. Mostrare che il campo Q(Q;I, . . . ,as) contiene i coefficienti di / ( X ) e dunque e il campo di spezzamento di / ( X ) sul suo campo di definizione.

4.5 Esercizi

173

4.7. Sia f{X) G Q[X] e sia L il suo campo di spezzamento in C. Mostrare che, se i^T e un altro campo numerico, il campo di spezzamento di f{X) su K e il composto di L e K. 4.8. Sia F un campo numerico e siano / ( X ) , g{X) e F[X]. Indicando con L e M i campi di spezzamento su F di f{X) e g{X) rispettivamente, mostrare che il composto LM e il campo di spezzamento su F del polinomio f{X)g{X). 4.9. Sia K il campo di spezzamento in C del polinomio f{X) Determinare [K : Q] quando f{X) e uno dei seguenti polinomi: X^ - 5X2 + 6 ; X^ - X^ - 3X + 3 ;

G Q[X].

x ^ - 6X2 + 1;

X^ - 2X3 + X2 - X - 2.

4.10. Sia (f : F —> F' un isomorfismo di campi. Siano X i , . . . , X ^ indeterminate algebricamente indipendenti su F e F i , . . . , F^i indeterminate indipendenti su F'. Mostrare che Lp si puo estendere a un isomorfismo -0 : F ( X i , . . . , X ^ ) —> F'{Yi,., .,Yn) ponendo '0(c) = Lp{c) per ogni c G F e 0(X^) •= Yi per ogni = 1 , . . . , n. 4.11. Mostrare che, se F C K e F C K' sono ampliamenti di campi, un Fisomorfismo di K in K' e una applicazione F-lineare. Dare inoltre un esempio di una applicazione F-lineare tra due ampliamenti di un campo F che non e un omomorfismo di campi. 4.12. Determinare tutti gli isomorfismi in C dei seguenti campi e stabilire quali tra essi sono automorfismi:

Q(V3); Q(V2,i); Q(v^);

Q(y3,^).

4.13. Determinare tutti gli isomorfismi in C del campo Q ( v V ^ + VS). 4.14. Determinare tutti gli automorfismi del campo di spezzamento in C dei polinomi: X2 + X + 1;

X^ - 5 ;

X^ + X^ + 2X + 2.

4.15. Determinare esplicitamente tutti gli automorfismi del campo di spezzamento su F3 di uno dei seguenti polinomi: X^ + 2X3 + 2X + 2 ;

x ^ + X^ + 2X + 1.

Determinare inoltre la struttura del gruppo Aut(i^). 4.16. Siano K e K' campi di spezzamento rispettivamente dei polinomi X2 + X + 1; X^ + 4X + 1 G F5[X]. Mostrare che K e K' sono isomorfi e determinare tutti i possibili isomorfismi tra di essi. Suggerimento: Procedere come nella dimostrazione del CoroUario 4.2.10.

174

4 Campi di spezzamento

4.17. Sia F un campo di caratteristica di versa da 2. Supponiamo che m{X) := X^ + 6X + C sia irriducibile su F e sia d := 6^ — 4c. Mostrare che gli anelli quoziente F[X]/{m{X)) e F[X]/{X'^ — d) sono isomorfi, definendo esplicitamente un isomorfismo tra di essi. 4.18. Sia m{X) := X^ + 3X -\-3 e ¥^[X] e sia a una radice di m{X) in un suo campo di spezzamento. Determinare I'inverso di a^ e 1 + a in F5(a). 4.19. Determinare i generatori dei gruppi ciclici F^ e ¥1^. 4.20. Mostrare che Q* non e un gruppo ciclico. 4.21. Sia f{X) G ¥p[X] e sia K un suo campo di spezzamento su ¥p. Mostrare che K ha p^ elementi, dove m e il minimo comune multiplo dei gradi dei fattori irriducibih di f{X). 4.22. Determinare un campo di spezzamento di f{X) su ¥p e il suo grado su ¥p nei seguenti casi: / ( X ) : = X ^ + 2 X + l , p : = 3 , 5 ; / ( X ) := X^ + 5 , p := 2, 3, 7. 4.23. Fattorizzare il polinomio X^^ — X G F2[X] in polinomi irriducibili su F2. 4.24. Descrivere il campo Fsi e determinare i suoi sottocampi. Stabilire se esistono polinomi di grado 2, 3, 4 irriducibili su F3 che hanno radici in Fgi e, in caso affermativo, determinarne almeno uno. 4.25. Sia p = 3 mod 4. Mostrare che I'insieme delle matrici

e un campo isomorfo a ¥p2. Suggerimento: Ricordare che, se p = 3 mod 4, p non e somma di due quadrati (P. Fermat); quindi ogni matrice non nulla di Ma,b e invertibile. Verificare inoltre che la matrice Mo,i genera Ma^b su F^ ed ha grado 2. 4.26. Stabilire se esistono polinomi di grado 2, 3, 4 irriducibili su F2 che si fattorizzano su Fie- In caso affermativo, determinarne almeno uno. 4.27. Determinare due differenti polinomi p(X), ^(X) G ¥^[X] di grado 2 irriducibili su F5. Se a e una radice di p(X), costruire il campo F25 = ¥^{a) e verificare che ^(X) ha tutte le sue radici in F25; inoltre, se /3 e una radice di ^(X), esprimere a in funzione f3. Determinare infine i generatori di F25 in funzione di a e /3.

4.5 Esercizi

175

4.28. Determinare tutti i polinomi irriducibili di grado 4 su F2. Soluzione: II polinomio fiQ{X) \— X^^ —X e diviso in F2[X] dal polinomio /4(X) .^X"^ -X per il Corollario 4.3.11. Quindi si ha /i6(X) := X^^ - X = X ( X + 1)(X2 + X + l)g{X). Inoltre i fat tori irriducibili di ^(X) devono avere grado uguale a 4 e percio sono in numero di 3. Si vede facilmente che i polinomi X^ +X^ + 1 e X^-f X + 1 sono irriducibili su F2, perche non hanno radici e non sono divisi da X ^ + X + 1 in F2 [X]. A conti fatti risulta /i6(X) = X ( X + 1 ) ( X ' + X + 1 ) ( X ^ + X ' + 1 ) ( X ^ + X + 1 ) ( X ^ + X ' + X ' + X + 1 ) . Quindi i polinomi irriducibili di grado 4 su F2 sono X^ + X^ + 1;

X^ + X + 1;

X^ + X^ + X2 + X + 1.

4.29. Determinare il numero dei polinomi di grado 6 su F2 senza usare la formula di inversione di Mobius (Esempio 4.3.14 (4)). Soluzione: II polinomio /64(X); = X^^ — X e diviso in F2[X] dai polinomi /4(X) := X^ - X e /8(X) := X^ - X (Corollario 4.3.11). Quindi si ha /64(X) = X ( X + 1)(X2 + X + 1)(X^ + X + 1)(X3 + X2 + l)^(X), dove g{X) ha grado 54. Poiche ogni fattore irriducibile di ^(X) deve avere grado 6, ci sono esattamente 9 polinomi di grado 6 irriducibili su F2. 4.30. Determinare il numero dei polinomi di grado 2 irriducibili su Fp. 4.31. Siano pep' due numeri primi. Most rare che il polinomio X^ — X si spezza linearmente su F^/ se e soltanto se p — 1 divide p' — 1. 4.32. Mostrare che, se iC e un campo infinito di caratteristica prima p, I'omomorfismo di Frobenius non e necessariamente un automorfismo di K. Suggerimento: Considerare il campo K := Fp(X). 4.33. Mostrare che, per ogni n > 1, n=

y .

^{d)

e dunque

d>0,d\n

(p{n) =

V^

ii{d) — ^

d>0,d\n

dove /i e la funzione di Mobius. Suggerimento: Usare il Corollario 4.4.9 e la formula di inversione di Mobius (Esempio 4.3.14 (4)) 4.34. Calcolare ^n{X) per 1 < n < 20. 4.35. Scomporre ^n{X) in polinomi irriducibili su M.

176

4 Campi di spezzamento

4.36. Sia K un campo di caratteristica p. Mostrare che, se p non divide n, Vnsimo polinomio ciclotomico su K si ottiene daH'n-simo polinomio ciclotomico ^n{X) SU Q riducendo i coefRcienti modulo p. Suggerimento: Ricordare che la riduzione modulo p induce un omomorfismo Z[X] —y K[^] e procedere per induzione su n. 4.37. Mostrare che, se (p{n) — 2, allora il polinomio X^ — 1 si spezza completamente sul suo campo di definizione F oppure il suo campo di spezzamento ha grado 2 su F . 4.38. Siano Ci^-'-^Cn le radici complesse n-sime deH'unita e sia A: > 1. Mostrare che: .fc ,

, .fc _ J o . In,

se n non divide k se n divide k

^

^/c _ / . ^k{n-l)

4.39. Sia (" una radice primitiva n-sima deH'unita sul campo F e sm d un divisore positivo di n. Mostrare che ^^ e una radice primitiva d-sima dell'unita se e soltanto se MCD(n, k) — ^. 4.40. Determinare una base su Q dell'n-simo ampliamento ciclotomico per 3 < n < 10. 4.41. Si dimostri che, se n = 2^ , con /i > 2 , le Lp{n) radici complesse primitive deH'unita non costituiscono una base dell'n-esimo ampliamento ciclotomico di 4.42. Sia n > 2 tale che n = rs e MCD(r, s) = 1. Mostrare che ogni radice complessa (primitiva) n-sima e prodotto di una radice (primitiva) r-sima e una radice (primitiva) s-sima. Soluzione: Per ogni m > 2, poniamo ^^n •= cos (|^) + sin ( | ^ ) . Sia n = rs e sia ar -h 65 = 1 una identita di Bezout. Allora risulta ^ = ^ + ^ e percio, usando le formule di De Moivre, ^n — {isT i^r) - Quindi ogni radice n-sima ^, essendo una potenza di ^^5 e prodotto di una radice r-sima ^ := (^^ e una radice s-sima u; := ^^. Se poi ( e primitiva, anche s e uj lo sono, altrimenti risulterebbe C^ = 1 per qualche m 1. Mostrare che, se r, s sono due interi positivi e m := mcm(r, 5), allora Q(^m) = Q(^r, ^s) = Q(^r^s)- In particolare, se MCD(r,5) = 1, allora Q(e..) = Q(Cr,6) = QCCr^)4.44. Sia ^n '-— cos(—) + isin(—), n > 1. Mostrare che, per ogni numero primo ^ > 3, risulta Q(^p) = Q(«C2p)« Esprimere inoltre ^p in funzione di ^2p4.45. Sia ^ una radice primitiva settima dell'unit a e sia a uno dei seguenti numeri ^ + C^ ^ ' + ^ ^ e + e + £!'Calcolare il polinomio minimo di ct su Q ed il polinomio minimo di ^ su Q(a).

4.5 Esercizi

177

4.46. Usando il Criterio di Irriducibilita di Eisenstein, dimostrare che, se p e un numero primo, allora^pr(X) e irriducibile su Q, per ogni r > 1. Suggerimento: Considerare il polinomio ^pr{X -}- 1) e generalizzare il procedimento illustrate neU'Esempio 2.5.11 (3). 4.47. Dimostrare direttamente che, se p, q sono numeri primi distinti, allora ^pq{X) e irriducibile su Q. Suggerimento: Usare la formula di Mobius-Dedekind (Esempio 4.4.6 (2)) e I'Esercizio 3.36. 4.48. Mostrare che, se n := p^q^, con p, q numeri primi distinti, allora ^pr{X^') ^pr{X^'-')

_

(X--1)(X^-1) (X?-1)(X?-1)'

Usando questa formula, procedere poi come nell'esercizio precedente per mostrare direttamente che in questo caso ^n{X) e irriducibile su Q. 4.49. Dimostrare che, ^rn{X^) ^Pm

-

\

^rr^jXP)

^\x)

se p divide m; ^^ P ^^^ divide m.

4.50. Sia Q C F un ampliamento finito. Mostrare che F contiene un numero finito di radici complesse dell'unita. 4.51. Determinare quali radici deH'unita contengono gli ampliamenti

Q(i); Q(x/2); Q ( v ^ ) ;

Q(V2,i); Q(V=3); Q(V=5).

4.52. Sia ( una radice primitiva quint a dell'unita su F3. Determinare il polinomio minimo di C su F3. 4.53. Sia ( una radice primitiva ottava dell'unita su F5. Determinare il polinomio minimo di ( su F5. Inoltre, se n e il grado di ( su F5, esprimere esplicitamente (^ come un polinomio in (^ di grado al piu uguale a n — 1, per 8 > A: > 0.

5

Ampliamenti algebrici

Ricordiamo che un ampliamento di campi F C K si chiama un ampliamento algebrico se ogni elemento a G K e algebrico su F. In questo capitolo approfondiremo lo studio degli ampliamenti algebrici; in particolare introdurremo i concetti di chiusura algebrica, normalitd e separabilitd.

5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi Cominciamo estendendo alcune proprieta gia dimostrate per gli ampliamenti finiti nel Paragrafo 3.5. Proposizione 5.1.1 Un ampliamento di campi F C F{S) e algebrico se e soltanto se ogni elemento a e S e algebrico su F. Dimostrazione. Poiche F{S) = [j{F{ai^,..., a^^); a^^. G 5 , j = 1,.. •, n}, (Proposizione 3.2.5), basta ricordare che un ampliamento finitamente generato F ( a i , . . . , a n ) e algebrico se e soltanto se a^ e algebrico su F per ogni i = 1 , . . . , n (Proposizione 3.6.3). Proposizione 5.1.2 Siano F C L C K ampliamenti di campi. Allora K e algebrico su F se e soltanto se K e algebrico su L e L e algebrico su F. Dimostrazione. Se K e algebrico su F esso e chiaramente algebrico su L. Inoltre, ogni elemento di L, essendo mK,e algebrico su F. Percio L e algebrico suF. Viceversa, se K e algebrico su L, ogni suo elemento a e radice di un polinomio f{X) := CQ + ciX H h CnX'^, a coefficienti in L. Consideriamo il campo F' := F(co, c i , . . . , Cn). Si ha che f{X) G F'[X] e F C F' C F'{a) C K. Poiche L e algebrico su F , ogni elemento ci e algebrico su F ; dunque F' e un ampliamento finito di F (Teorema 3.6.3). D'altra parte, a e algebrico su F ' , percio F'{Q) e un ampliamento finito di F'. Ne segue che F'{a) e un ampliamento finito di F e allora a h algebrico su F . Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

180

5 Ampliamenti algebrici

Proposizione 5.1.3 Sia F C K un ampliamento di campi. Siano L, M due campi intermedi e sia LM := {LU M) il loro composto in K. Allora: (a) Se L e algebrico su F, LM e algebrico su M. (b) Se L e M sono algebrici su F, LM e algebrico su F Dimostrazione. (a) Poiche F C M, se L e algebrico su F ogni elemento di L e algebrico anche su M. Ne segue che LM :~ M{L) e algebrico su M (Proposizione 5.1.1). (b) Per il punto (a), LM e algebrico su M e allora, per transitivita, anche su F (Proposizione 5.1.2). Dato un ampliamento di campi F C K, I'insieme degli elementi di K algebrici su F e un sottocampo di K (Proposizione 3.6.1). Esso e evidentemente il pill grande ampliamento algebrico di F contenuto in K e verra indicato in seguito con FKDefinizione 5.1.4 Se F C K e un ampliamento di campi, il campo FK degli elementi di K algebrici su F si chiama la chiusura algebrica di F in K. F si dice algebricamente chiuso in K se ogni elemento di K algebrico su F appartiene ad F, ovvero se F = FKProposizione 5.1.5 Se F C K e un ampliamento di campi, la chiusura algebrica di F in K e un campo algebricamente chiuso in K. Dimostrazione. Sia L :— FK la chiusura algebrica di F in K e sia a G K algebrico su L. Poiche L e algebrico su F , ne segue che a e algebrico su F (Proposizione 5.1.2) e dunque a e L. Definizione 5.1.6 Un campo algebricamente chiuso in ogni suo ampliamento si chiama un campo algebricamente chiuso. Un campo algebricamente chiuso ed algebrico su un campo F si chiama una chiusura algebrica di F . Proposizione 5.1.7 Le seguenti condizioni sono equivalenti per un campo K: (i) (ii) (iii) (iv)

K e algebricamente chiuso; Ogni polinomio non costante f{X) G K[X] ha almeno una radice in K; Ogni polinomio non costante f{X) G K[X] ha tutte le sue radici in K; Ogni polinomio non costante f{X) G K[X] si fattorizza in polinomi di primo grado in K[X]; (v) / soli polinomi di K[X] irriducibili su K sono i polinomi di primo grado. Dimostrazione. (i) =^ (iii) Ogni radice di f{X) e un elemento algebrico su K. Dunque essa appartiene a K. (ii) ^ (iii) Se Q; e una radice di f{X) in K, allora per il Teorema di RufEni si ha f{X) = (X - a)g{X) con g{X) G K[X] (Teorema 2.3.8). Dunque si puo concludere per induzione sul grado di f{X) che f{X) ha tutte le sue radici in K. II viceversa e ovvio.

5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi

181

(iii) =^ (iv) segue dal Teorema di Ruffini (Teorema 2.3.8) e (iv) => (v) e evident e. (v) =4> (i) Sia K C K' nn ampliamento algebrico e sia, a e K'. II polinomio minimo di a su K, essendo irriducibile su K, deve avere grado uguale a 1. Quindi a ^ K. Proposizione 5.1.8 Sia F C K un ampliamento di campi. Se K e algebricamente chiuso, la chiusura algebrica FK di F in K e una chiusura algebrica diF. Dimostrazione. Sia L := FK e sia f{X) := CQ + ciX + h CnX^ G L[X] C K[X]. Poiche K e algebricamente chiuso, ogni radice a di f{X) appartiene a K (Proposizione 5.1.7); mostriamo che essa appartiene a L. II campo L' := F(co, c i , . . . , Cn) e algebrico su F , perche L' C L. Inoltre a e algebrico su L', perche f{X) G i^'[^]. Considerando gli ampliamenti F C V C L'{a)^ ne segue che a e algebrico su F (Proposizione 5.1.2). Percio a e L.ln conclusione, L e un campo algebricamente chiuso e quindi e una chiusura algebrica di F. Esempi 5.1.9 (1) I numeri reali algebrici ed i numeri complessi algebrici costituiscono la chiusura algebrica di Q in R e in C rispettivamente (Paragrafo 3.6.1). II campo Q^ dei numeri reali algebrici e algebricamente chiuso in R, ma non e algebricamente chiuso, perche non lo e in C. Ad esempio T unit a immaginaria i e un numero algebrico su Qj^, perche lo e su R, ma non appartiene ad Q^. Quindi Q^ non e una chiusura algebrica di Q. (2) II Teorema Fondamentale deWAlgebra (Teorema 2.4.2) si puo enunciare dicendo che il campo C dei numeri complessi e algebricamente chiuso. Allora C, essendo algebrico su R, e una chiusura algebrica di R. Inoltre, il campo Q^ dei numeri complessi algebrici, essendo la chiusura algebrica di Q in C, e una chiusura algebrica di Q, ed anche di ogni ampliamento algebrico di Q. In particolare ^(^ e una chiusura algebrica di Q^. L'esistenza di una chiusura algebrica di un campo e garantita dal Lemma di Zorn (Teorema 13.0.2). Teorema 5.1.10 (E. Steinitz, 1910) Ogni campo F possiede una chiusura algebrica. Dimostrazione. L'insieme degli ampliamenti algebrici di F e non vuoto, perche contiene F , ed e parzialmente ordinato per inclusione. Inoltre ogni catena di questo insieme ammette un maggiorante, dato dall'unione dei campi della catena stessa. Dunque, per il Lemma di Zorn, esiste almeno un ampliamento algebrico massimale di F e questo e evidentemente una chiusura algebrica diF. Se JFC e una chiusura algebrica di F , per definizione K e algebrico su F e contiene un campo di spezzamento di ogni polinomio di F[X]. II risultato successive mostra che e vero anche il viceversa.

182

5 Ampliamenti algebrici

Proposizione 5.1.11 Sia F C K un ampliamento algebrico di campi. Se ogni polinomio (irriducibile) di F[X] si fattorizza in polinomi di primo grado in K[X], allora K e una chiusura algebrica di F. Dimostrazione. Sia K^ un ampliamento algebrico di K e sia. a e K'. Allora a e algebrico su F (Proposizione 5.1.2) e, per ipotesi, il polinomio minimo di a su F si spezza linearmente in i^[X]. Ne segue ctie a ^ K e K^ = K. Dunque K e algebricamente chiuso. Esempi 5.1.12 (1) Benche i polinomi irriducibili su un campo F siano infiniti, nel caso in cui F sia firiito o numerabile, usando la Proposizione 5.1.11 si puo costruire una chiusura algebrica di F senza usare il Lemma di Zorn. Infatti, se F e finito o numerabile, come conseguenza del primo procedimento diagonale di Cantor (Teorema 13.1.3) I'insieme dei polinomi F[X] e numerabile (Corollario 13.1.8). Allora possiamo scrivere F[X] — {fi(X);i > 1}. Posto KQ := F , sia Ki un campo di spezzamento del polinomio fi{X) sul campo K i - i , per ogni i > 1. In questo modo si ottiene per ricorsione una successione di campi (non necessariamente distinti) Ko:=FCKiC...CKi^^CKiC... L'unione di questi campi e un campo K algebrico su F ed inoltre ogni polinomio di F[X] ha tutte le sue radici in K. Percio K e una chiusura algebrica diF. In particolare, per i risultati dimostrati nel Paragrafo 4.3, usando questo procedimento otteniamo che una chiusura algebrica di Fp e Un>i^p'' (Esercizio 5.9). (2) Se la cardinalita di F e maggiore del numerabile, per determinare una chiusura algebrica di F , si puo procedere in modo simile a quello dell'esempio precedente, facendo uso del Teorema di Zermelo, che e logicamente equivalente al Lemma di Zorn ed asserisce che ogni insieme e bene ordinabile (Teorema 13.0.2), e del Principio di Induzione Transfinita (Teorema 13.0.3). Infatti, per il Teorema di Zermelo, possiamo scrivere F[X] = {fx{X); A G yl}, dove yl e un insieme bene ordinato con primo elemento AQ. Per induzione su yl, definiamo KXQ :== F e, supposto noto K^, per ogni z^ < A, definiamo Kx come un campo di spezzamento di fx{X) sul campo [j^^^Kj^. In questo modo, si ottiene ancora che K := [j^^^ Kx e una chiusura algebrica diF. (3) La seguente costruzione di una chiusura algebrica e dovuta ad E. Artin. Sia F un campo e sia X := {px{X)] X e A} I'insieme di tutti i poUnomi irriducibili di F[X]. Sia X := {Xx; A G yl} un insieme di indeterminate indipendenti su F e consideriamo I'anello di polinomi F[X]. Per ogni A € ^ , sia p{Xx) G F[X] il polinomio ottenuto da px{X) sostituendo I'indeterminata X con Xx e sia / := {{p{Xx)}xeA) I'ideale di F[X] generato da tutti i polinomi p{Xx)' Allora / e un ideale proprio di F[X]. Infatti se 1 G / , esisterebbero in

5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi

183

F[K] polinomi p{Xx,) e /,(X), z = 1,.. . , n tali die 1 = E i P ( ^ A j / i ( X ) . II che e impossibile perche questa relazione e una relazione di dipendenza algebrica tra tutte le indeterminate che compaiono in essa (che sono in numero finito). Sia M un ideale massimale di F[X.] contenente / , esistente per il Lemma di Zorn (Teorema 1.3.2). Allora I'anello quoziente K := F[X.]/M e un campo contenente F. Poiche p{Xx) e I C M, per ogni A G ^, si ha un F-isomorfismo F[X]

^ F[X]

(pxiX))

^ ^^ ^

I

F[X]

M

definite da f{X) + (px{X)) ^ f{Xx) + 1^

fiXx)

+M

ed ogni pohnomio irriducibile px{X) G F[X] ha una radice ax in K, precisamente la classe ax := Xx + M. Posto KQ := F e Ki := K^ possiamo allora costruire per ricorsione su n > 0 un campo Kn in cui tutti i polinomi irriducibili su Kn-i hanno almeno una radice. Posto L := IJn>o ^ ^ ' ^^ ^^^^ facilmente che L e un campo algebricamente chiuso. Infatti ogni polinomio non nullo di L[X] appartiene a qualche anello Kyy^[X]; percio ha alnieno una radice in Km+i e quindi anche in L. Ne segue che la chiusura algebrica di F in L e una chiusura algebrica di F (Corollario 5.1.8). 5.1.1 Isomorfismi tra chiusure algebriche II nostro prossimo obiettivo e quello di dimostrare che due chiusure algebriche di uno stesso campo F sono F-isomorfe. Teorema 5.1.13 (E. Steinitz, 1910) Siano ampUamenti di campi. Allora:

FCLCKieLCK2

(a) Se Ki e algebrico su L e K2 e algebricamente chiuso, ogni F-isomorfismo di L in K2 si pud estendere a un F-isomorfismo di Ki in K2. (b) Se Ki e K2 sono due chiusure algebriche di L, ogni F-isomorfismo di L in K2 si pud estendere a un F-isomorfismo suriettivo tra Ki e K2. Dimostrazione. (a) Sia ip un F-isomorfismo di L in K2. Consideriamo I'insieme di tutte le coppie (AT, a) dove L C N C Ki e a : N —> K2 estende (f. Questo insieme e non vuoto, contenendo la coppia (L^cp)^ ed e parzialmente ordinato secondo la relazione (Ni.ai)

< {N2,a2)

^

Ni C N2 e a2 estende a i .

Inoltre ogni catena {{Nx, ^>^)}xeA ^i^^^^^^te un maggiorante, dato dalla coppia (A^, cr), dove

184

5 Ampliamenti algebrici A^ := [j Nx C Ki e a : N —> K2 e tale che a{x) = ax{x) se x e Nx.

Dunque per il Lemma di Zorn, esiste una coppia massimale (M, fi). Mostriamo che M = Ki. Sia a e Ki e sia m{X) il suo polinomio minimo su M. Consideriamo il polinomio /i*(m(X)) G i^2[^], i cui coefRcienti sono le immagini secondo /x dei coefficienti di m{X) (Lemma 2.5.2). Poiche K2 e algebricamente chiuso, /i*(m(X)) ha una radice in K2 e allora /x si puo estendere a una F-immersione u : M{a) —> K2 (Proposizione 4.2.2). Ne segue che (M, /i) < (M(a), v) e, per la massimalita della coppia (M, /i), deve risultare a G M, ovvero M = ilTi e 11 = v. (b) Siano poi Ki e K2 due chiusure algebriche di L. Per il punto (a), ogni F-immersione if : L —> K2 si puo estendere ad una F-immersione massimale /x : Ki —> K2. Facciamo vedere che ji e suriettivo. Sia (3 e K2, con polinomio minimo q{X) su (p{L). II polinomio p(X) = {(fi~^y{q{X)) E L[X] e irriducibile su L, perche lo e g(X) su (p{L)^ e (y9*(p(X)) = q{X) (Lemma 4.2.1). Allora, se a ^ Ki e una radice di p{X)^ (p si puo estendere ad una F-immersione '0 : L{a) —> K2 in cui '0(a) = j3 (Proposizione 4.2.2). Ma essendo (L(a),'0) < (Ki,/i), deve risultare //(ce) = '0(a) = (5. Corollario 5.1.14 Siano F C L C M ampliamenti algebrici e sia K una chiusura algebrica di F . Allora ogni F-isomorfismo di L in K (in particolare ogni immersione di F in K) si pud estendere a un F-ismorfismo di M in K. Dimostrazione. Segue dal Teorema 5.1.13 (a) per Ki = M e K2 — K. Corollario 5.1.15 Sia F C L un ampliamento di campi e sia K una chiusura algebrica di F. Allora ogni F-isomorfismo di L in K si pud estendere a un F -automorfismo di K. Dimostrazione. Segue dal Teorema 5.1.13 (b) per Ki = K = K2. Corollario 5.1.16 Due chiusure algebriche di uno stesso campo F sono Fisomorfe. Dimostrazione. Se Ki e K2 sono due chiusure algebriche del campo F , per il Teorema 5.1.13 (b), ogni immersione di F in K2 si estende a un F-isomorfismo tra Ki e K2. Nel seguito denoteremo con F una fissata chiusura algebrica di F e, fissata una immersione di F in F, supporremo che ogni ampliamento algebrico di F sia contenuto in F tramite Vestensione di questa immersione. Per quanto abbiamo appena visto, questa ipotesi non e restrittiva. Notiamo che F e algebricamente chiuso se e soltanto se F = F . Inoltre, se F C L C F e L e l a chiusura algebrica di L in F , si ha L = F . Infine, il campo di spezzamento di un polinomio f{X) G F[X] e univocamente determinato in F . Osserviamo anche che, se A e un dominio con campo delle frazioni F (Paragrafo 1.5), ogni polinomio f{X) G A[X] si spezza linearmente su F .

5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi

185

Se F C K e un ampliamento finite, gli F-isomorfismi di K in F sono in numero finite e possono essere costruiti per ricorsione sui generatori, come nel caso numerico (Paragrafo 4.2.1). II seguente risultato segue subito dalla Proposizione 4.2.6. Proposizione 5.1.17 Se a G F ed ha polinomio minimo m{X) su F, tutti e soli gli F-isomorfismi di F(a) in F sono quelli definiti da ^0:F{a)^F-

f{a) ^

f{f3),

dove f{X) G F[X] e /3 e una radice di m{X). Quindi il numero degli Fisomorfismi di F{a) in F e uguale al numero delle radici distinte di m{X). Proposizione 5.1.18 Se F C K :— F{ai,.. .,an) e un ampliamento di campi finito, gli F-isomorfismi di K in F sono in numero finito. Precisamente essi sono al piu [K : F] e sono esattamente [K : F] se i polinomi minimi di a i , . . . , an su F hanno tutte radici distinte. Dimostrazione. Consideriamo la catena di ampliamenti: Fo:=FC

Fi := F ( a i ) C . . . C F, := F,_i(a,) C . . . C F^ := F ^ - i K ) = K.

Se ai ha grado n su Fi_i, allora [K:F] = [Fi : F][F2 : F i ] . . .[F^-i : Fn-2][K : F^-i] = n .. . r , . Gli F-isomorfismi di Fi := F ( a i ) in F sono al piu ri e sono esattamente ri se il polinomio minimo di a i su F ha tutte radici distinte (Proposizione 5.1.17). Ognuno di questi F-isomorfismi si estende al piu a r2 F-isomorfismi di F2 := Fi{a2) in F (Proposizione 4.2.2). Inoltre, se il polinomio minimo di a2 su F ha tutte radici distinte, anche il polinomio minimo di a2 su Fi ha tutte radici distinte (perche divide il precedente). In questo caso le estensioni a F2 di un F-isomorfismo di Fi in F sono esattamente r2. Cosi proseguendo, si ottengono al piu [K : F] = r i . . . r^ F-isomorfismi di K in F ed esattamente [K : F] se i polinomi minimi di a i , . . . , am su F hanno tutte radici distinte. Terminiamo questo paragrafo mostrando che F e F hanno la stessa cardinalita. Proposizione 5.1.19 Se F e un campo infinito, ogni ampliamento algehrico di F ha la stessa cardinalita di F . Dimostrazione. Se iiT e un campo infinito, allora K e K^ hanno la stessa cardinahta, per ogni n > 1 (Teorema 13.3.1). Quindi il campo di spezzamento di un qualsiasi polinomio di i^[X], avendo grado finito su K, ha la stessa cardinalita di K. Mantenendo le notazioni del precedente Esempio 5.1.12 (2), se F[X] = {fx{X);X G vl}, dove yl e un insieme bene ordinato con primo elemento AQ, una chiusura algebrica di F e F := UAF/I ^ ^ ' dove Kx^ := F e

186

5 Ampliamenti algebrici

Kx e un campo di spezzamento di fx{X) sul campo [j^^^Kj^. Poiche |i^[X]| = \A\ (Corollario 13.3.6), per induzione trasnsfinita, otteniamo che | F | = \Kx\ = 1^1 per ogni Xe Ae quindi die | F | - max{|yl|, |F|} (Proposizione 13.3.4). Infine, se L e un ampliamento algebrico di F , anche L ha la cardinalita di F , perche F C L C F.

|F| = allora = |F| stessa

Esempi 5.1.20 (1) Poiche Q e numerabile (Corollario 13.1.7), il campo Q := Q(C dei numeri complessi algebrici e numerabile (Corollario 13.1.9). Invece C, essendo algebrico su M, ha la cardinalita del continuo (Corollario 13.3.3). (2) Se F e un campo finito di caratteristica prima;?, una chiusura algebrica di F e il campo F = ¥p := Un>i ^P"" (Esempio 5.1.12 (1)) ed F e numerabile per il primo procedimento diagonale di Cantor (Teorema 13.1.3).

5.2 Ampliamenti normali Come gia osservato, indicando con F una fissata una chiusura algebrica del campo F , possiamo supporre che ogni ampliamento algebrico di F sia contenuto in F tramite I'estensione di una fissata immersione di F in F . Definizione 5.2.1 Due campi L, M
5.2 Ampliamenti normali

187

Teorema 5.2.4 Sia F C K un ampliamento algebrico. Le seguenti proprieta sono equivalenti: (i) L'ampliamento F C K e normale; (ii) Ogni polinom^io irriducibile f{X) G F[X] die ha una radice in K si spezza linearmente su K; (iii) (f{K) C K, per ogni F-isomorfismo (p : K —> F; (iv) Ogni F-isomorfismo (p di K in F e un automorfismo di K; (v) L'unico campo coniugato a K e lo stesso K. Dimostrazione. (i) <^ (ii) perche due elementi di F sono coniugati su F se e soltanto se hanno lo stesso polinomio minimo (Proposizione 5.1.17). (i) ^ (iii) Per ogni a E K e ogni F-isomorfismo (p di K in F , si ha ip{a) G K. Quindi ip{K) C K. _ _ (iii) =^ (iv) Sia (p : K —> F un F-isomorfismo di K in F e supponiamo che (p{K) C K. Sia a G K con polinomio minimo m{X) su F e sia L C if il sottocampo generato su F dalle radici di m{X) che appartengono a K (notiamo che a G L). Allora (p{L) C L; infatti, per ogni radice /3 G if di m(X), si ha che (p{/3) G y:>{K) C K e (p{l3) e ancora una radice di m{X) (Esempio 5.2.2 (1)). Quindi ip{P) G L. Inoltre L e finito su F e [L : F] = [ip{L) : F], perche (p e F-lineare ed iniettiva. Allora (p{L) — L e a e L =^ V^(^) ^ ^ ( ^ ) Ne segue che (p{K) = K. (iv) <^ (v) =^ (i) per definizione. Corollario 5.2.5 Sia F C F{S) un ampliamento algebrico. Allora F{S) e normale su F se e soltanto se ip{S) C F{S), per ogni F-isomorfismo ip di F{S) in F. Dimostrazione. Ogni elemento di F{S) e del tipo rj{ai,..., an) con ry(Xi, . . . , Xn) G F{Xi^.,., Xn) e a^ G 5, i = 1 , . . . , n (Proposizione 3.2.5). Se (^ e un F-isomorfismo di F{S) in F , risulta (p{rj{ai^..., a^)) = '^(^(^^i), • • •, 9^(<^n))Quindi (/9(F(S)) = F{(p{S)) C F(S') se e soltanto se ip{S) C F{S) e possiamo concludere applicando il Teorema 5.2.4. Possiamo ora dimostrare che gli ampliamenti normali e finiti di F sono precisamente i campi di spezzamento del polinomi a coefficienti in F . Teorema 5.2.6 Sia F C K un ampliamento algebrico. Le seguenti proprieta sono equivalenti: (i) L 'ampliamento F C K e normale e finito; (ii) K = F ( a i , . . . , an) e K contiene i coniugati di ai per z = 1 , . . . , n; (iii) K e un campo di spezzamento su F di un polinomio f{X) G i^[^]Dimostrazione. (i) ^ (ii) Se K e un ampliamento finito di F , allora risulta K = F ( a i , . . . , an) per opportuni a i , . . . , a^ ^ ^ (Teorema 3.6.3). Se inoltre K e normale su F , per definizione esso contiene tutti gli elementi coniugati ad ai, per i = 1,.. . , n .

188

5 Ampliamenti algebrici

(ii) ^ (iii) Sia mi{X) il polinomio minimo di ai su F , per i = 1,.. . , n . Poiche per ipotesi m^(X) ha tutte le sue radici in K, il polinomio f{X) := mi(X).. .mn(-^) G F[X] si spezza linearmente su K. D'altra parte, essendo K generato su F da alcune radici di / ( X ) , allora K eil campo di spezzamento di f{X) su F . _ (iii) => (i) Sia K C F il campo di spezzamento su F del polinomio f{X) G F[X]. Allora K = F ( a i , . . . , a^) con /(ce^) = 0, i = 1 , . . . , n. E chiaro die iiT e un ampliamento finito di F. Se poi (p e un F-isomorfismo di ilT in F , risulta (p{f{ai)) = f{ip{ai)) — 0. Dunque ^{(Xi) G K, per ogni i, e (^(iC) = F ( ( ^ ( a i ) , . . , , (^(an)) ^ i^. Ne segue che iC e normale su F . CoroUario 5.2.7 \Jn ampliamento algebrico F C K e normale se e soltanto se esiste una famiglia di polinomi {fx{X)}x^A Q F[X], con rispettivi campi di spezzamento K\ su F, tale che K = IJAG/I ^^' Dimostrazione. Se I'ampliamento F C K e normale, per ogni a G K, K contiene un campo di spezzamento del polinomio minimo di a su F (Teorema 5.2.4); quindi e unione di questi campi di spezzamento. Viceversa, supponiamo che K = I J ^ ^ ^ K A ? dove Kx C F e un campo di spezzamento del polinomio fx{X) G F[X]. Poiche Kx e normale su F per ogni A G yl (Teorema 5.2.6), per ogni F-isomorfismo (/; di K in F si ha (p{Kx) ^ KxQuindi ^[K) C K e K e normale su F (Teorema 5.2.4). Esempi 5.2.8 (1) Se F e un campo finito, ogni ampliamento algebrico F C K e normale. Sia infatti F di caratteristica prima p. Per ogni a G K, il campo F ( a ) e finito. Quindi esiste 0 G F{a) tale che F{a) = ¥p{9) = F{e). Allora F ( a ) e un campo di spezzamento del polinomio minimo di 6 su Fp (Paragrafo 4.3) e dunque e anche un campo di spezzamento del polinomio minimo di 9 suF. (2) Ogni ampliamento quadratico o biquadratico e normale. Infatti ogni ampliamento quadratico e un campo di spezzamento di un polinomio di secondo grado (Esempio 4.1.5 (2)). Inoltre un ampliamento biquadratico e il composto di due ampliamenti quadratici. (3) Ogni ampliamento ciclotomico e normale, essendo un campo di spezzamento di qualche polinomio X^ — 1, n > 2 (Paragrafo 4.4). (4) Un campo di caratteristica zero puo avere ampliamenti algebrici che non sono normali. Ad esempio, se a G C e tale che ce^ = p e un numero primo, n > 2, i coniugati di a su Q sono a, a ^ , . . . , a^^~^, dove ^ G C e una radice primitiva n-esima deU'unita. Infatti il polinomio X^ — p h irriducibile su Q (Esempio 2.5.11 (1)) ed ha radici a^* per 0 < i < n (Paragrafo 2.4.2). Percio i campi coniugati di Q(a) su Q sono i campi Q(Q:^^), per i = 1 , . . . ,n. Ne segue che Q(a) ha n isomorfismi distinti in C, mentre I'unico automorfismo di Q(a) e I'identita. Quindi Q(a) non e normale. Invece il campo K :— Q(a, £) e normale su Q, essendo il campo di spezzamento di X"^ - p su Q (Esempio 4.1.5 (4)).

5.2 Ampliamenti normali

189

Questo esempio mostra anche che un campo intermedio di un ampliamento normale non e necessariamente normale. (5) Ogni chiusura algebrica F del campo F e normale su F. Infatti ogni polinomio irriducibile f{X) G F[X] si spezza linearmente su F. Proposizione 5.2.9 Sia F C K un ampliamento algebrico normale. Allora rampliamento L C K e normale per ogni campo intermedio L. Dimostrazione. Sia a E K con polinomio minimo m{X) su F. Poiche m{X) ha tutte le sue radici in if e il polinomio minimo di a su L divide m(X), anche questo polinomio ha tutte le sue radici in K. Possiamo allora applicare il Teorema 5.2.4. 5.2.1 Chiusura normale Mostriamo ora che, dato un ampliamento algebrico F C K, esiste un campo, univocamente determinato in F , che e minimale rispetto alle proprieta di contenere K ed essere normale su F. Proposizione 5.2.10 Sia F C K un ampliamento algebrico. Allora esiste un campo N tale che K C N C F e (a) L'ampliamento F C N e normale; (b) SeKCMCFeMeun ampliamento normale di F, allora N C M. Inoltre il campo N e unicamente determinato in F ed e generato su F dai campi coniugati di K. Dimostrazione. Sia N il sottocampo di F generato dai campi coniugati a K su F e sia L := ^{K) C N uno di questi campi coniugati, dove (^ h voa Fisomorfismo di K in F. Se ip h un F-isomorfismo di N in F , allora '0(1/) = i}){ip{K)) = il)ip{K) e un campo coniugato a K su F , perche ij^ip : K —> F e un F-isomorfismo di K in F . Percio '0(F) e contenuto in N. Ne segue che ogni F-isomorfismo 0 di A/' in F porta tutti i coniugati di if in AT. Allora "^{N) C N (Corollario 5.2.5) e percio N e normale su F . Sia poi M C F un ampliamento normale di F contenente if. Se a G K, M deve contenere tutti i coniugati di o; su F . Ne segue che M deve contenere tutti i coniugati del campo K e dunque deve contenere N. Per finire, osserviamo che il campo N e unicamente determinato in F per la proprieta (b). Definizione 5.2.11 Con le notazioni della proposizione precedente, il campo N si chiama la chiusura normale di K su F (in F). Si vede subito che K e normale su F se e soltanto se esso coincide con la sua chiusura normale in F .

190

5 Ampliamenti algebrici

Esempi 5.2.12 (1) Se K := F{S) e algebrico su F , i coniugati di K su F sono i campi (f{K) = F{(p{S))^ al variare di ^ tra gli F-isomorfismi di K in F. Allora la chiusura normale di if su F e il campo generate su F da tutti i coniugati degli elementi di S. (2) Sia F C F{a) un ampliamento algebrico semplice e sia m{X) il polinomio minimo di a su F . Se (/?i,..., (pm sono gli F-isomorfismi distinti di F(a) in F , gli elementi (pi{a), . . . , (/9^(a) sono esattamente le radici distinte di m{X) (Proposizione 5.1.17). Quindi la chiusura normale di F{a) su F N := MF{a))...

^m{F{a)) - F{^,{a),...,

(^^(a)),

e il campo di spezzamento in F del polinomio m{X). Ad esempio, se a := ^ G C, con p e un numero primo e n > 2, il polinomio minimo di a su Q e m{X) := X^ — p e la chiusura normale di Q{a) in C e il campo di spezzamento di m(X), ovvero il campo Q(a, ^), dove ^ G C e una radice primitiva n-esima dell'unit a (Esempio 5.2.8 (4)). (3) Se K := F ( a i , . . . , a n ) e finito su F e ^i,...,9^m sono gli F isomorfismi distinti di if in F , la chiusura normale di K su F e il composto in F dei campi (pi{K),..., (pm{K) ed e generato su F da tutti i coniugati (^i(a^),.. .,(/Prn(<^i) di a^ in F , per i = l , . . . n . Se m^(X) e il polinomio minimo di a^ su F , A^ e il campo di spezzamento in F del polinomio f{X) :— 777,1 (X) • • • ^ n ( X ) . In particolare I'ampliamento F C N e finito. Proposizione 5.2.13 Sia F C K un ampliamento normale e sia L un campo intermedio. Allora: (a) Ogni F-isomorfismo di L in F si estende a un F-automorfismo di K. Quindi i campi coniugati a L su F sono tutti e soli i campi (p{L) al variare di if tra gli F -automorfismi di K; (b) La chiusura normale di L su F e contenuta in K. Dimostrazione. (a) Se F C iiT e un ampliamento algebrico, ogni F-isomorfismo di 1/ in F e la restrizione di un F-isomorfismo di if in F (Corollario 5.1.14). Ma se I'ampliamento e normale, ogni F-isomorfismo di if in F e un F-automorfismo di if^ (Teorema 5.2.4). (b) La chiusura normale di L su F e generata dai campi coniugati a L (Proposizione 5.2.10); quindi e contenuta in if per il punto (a). Corollario 5.2.14 Sia F C K un ampliamento normale. Se L e un campo intermedio, le seguenti proprietd sono equivalenti: (i) L ^ampliamento F C L e normale; (ii) (p{L) C L, per ogni F-automorfismo ip di if; (iii) (p{L) = L, per ogni F-automorfismo if di K. Dimostrazione. (i) ^ (iii) L e normale su F se e soltanto se f{L) — L per ogni F-isomorfismo cp di L in F (Teorema 5.2.4). Quindi possiamo concludere per il punto (a) della Proposizione 5.2.13.

5.3 Ampliamenti separabili

191

(ii) <=^ (iii) Poiche gli F-automorfismi di K formano un gruppo, (p{L) C L per ogni F-automorfismo (p se e soltanto se (p~^{L) C L per ogni (p. Proposizione 5.2.15 Sia F C K un ampliamento di campi. Siano L, M due campi intermedi e sia LM := (L U M) il loro composto in K. (a) Se L e normale su F, allora LM e normale su M. (b) Se L e M sono normali su F, allora LM e LD M sono normali su F. Dimostrazione. (a) Se L e algebrico su F , LM e algebrico su M per la Proposizione 5.1.3 (a). Sia (p un M-isomorfismo di LM in F. Allora (p e anche un F-isomorfismo e quindi, se L e normale su F , (p{L) C L C LM. Segue dal Corollario 5.2.5 che LM = M{L) e normale su M. (b) Se L e M sono algebrici su F , LM e algebrico su F per la Proposizione 5.1.3 (b). Se inoltre L e M sono normali su F , per ogni F-isomorfismo ip di LM in F , si ha ^{L) CLe (p{M) C M. Poiche Le M generano LM su F , ne segue che (p{LM) C LM e quindi LM e normale su F (Teorema 5.2.4). Inoltre, per ogni F-automorfismo di LM, si ha (p{L n M) C (p{L) H (p{M) C LOM. Quindi LnM e normale su F (Corollario 5.2.14).

5.3 Ampliamenti separabili Abbiamo gia osservato che le radici di un polinomio irriducibile su un campo numerico sono tutte semplici (Proposizione 2.4.3). Vedremo in questo paragrafo che lo stesso succede su ogni campo di caratteristica zero; tuttavia in caratteristica positiva puo accadere che un polinomio irriducibile abbia radici multiple. Definizione 5.3.1 Siano F un campo e F una sua fissata chiusura algebrica. Un polinomio f{X) E F[X] si dice separabile su F se le sue radici in F sono tutte distinte ed un elemento a e F si dice separabile su F se il suo polinomio minimo su F e separabile. I polinomi di primo grado sono tutti separabili. Ricordiamo poi che a G F e una radice multipla del polinomio f{X) G F[X] se e soltanto se a e radice anche del polinomio derivato f {X) (Proposizione 2.3.20). II risuitato seguente e stato gia dimostrato nel caso numerico (Proposizione 2.4.3). Proposizione 5.3.2 Sia F un campo e sia f{X) G F[X]. Allora, indicando con f{X) la derivata formale di f{X) e posto d{X) := MCD(/(X), f{X)): (a) f{X) ha una radice multipla in F se e soltanto se d{X) ^ 1. In questo caso, le radici multiple di f{X) sono esattamente le radici del polinomio d{X); (b) Se f{X) e irriducibile su F, allora f{X) ha una radice multipla in F se e soltanto se f'{X) = 0.

192

5 Ampliamenti algebrici

Dimostrazione. (a) si dimostra come nel caso numerico, tenendo conto che f{X) si spezza linearmente su F. (b) Se f{X) e irriducibile su F , allora ^/(X) := MCD(/(X), f {X)) ^ 1 se e soltanto se / ( X ) divide f'{X). Questo non e possibile se f'{X) ^ 0, perche in questo caso f'{X) ha grado minore di f{X). La conclusione segue dal punto (a). Proposizione 5.3.3 Sia F un campo e sia q{X) G F[X] un polinomio irriducibile su F. Allora: (a) Se F ha caratteristica zero, q{X) e separabile su F; (b) Se F ha caratteristica prima uguale a p, q{X) non e separabile su F se e soltanto se q{X) = g{X^) := CQ + ciX^ + • • • + CrX^"^, per un opportuno r > 1. Dimostrazione. Per la Proposizione 5.3.2 (b), q{X) e separabile su F se e soltanto se q\X) ^ 0. (a) Poiche q{X) e non costante, se F ha caratteristica zero, risulta q'{X) ^ 0. Percio q{X) e separabile. (b) Supponiamo che F abbia caratteristica positiva p e sia q{X) := ao + ak^X^^ -\ h ak^X^"^ con a^, 7^ 0 per i = 1 , . . . , n. Allora q\X) = 0 se e soltanto se p divide tutti i coefficienti /c^afc. di q\X). Poiche p non divide a/.., cio equivale a dire che p divide ki, per i = 1 , . . . , n. Ma, se ki = psi, allora: q{X) := ao + a^.X^^^ + • • • + ak^X^'- = co + c^X^ + • • • + CrX^' =: g{XP), con r = SnCorollario 5.3.4 Sia F un campo di caratteristica prima uguale ape sia q{X) e F[X] un polinomio di grado n > 1 irriducibile su F. Se p non divide n, allora q{X) e separabile su F. Esempi 5.3.5 (1) II viceversa del Corollario 5.3.4 non e vero. Infatti ad esempio, per ogni numero primo p > 2, il polinomio f{X) = X^ + X -1- 1 e separabile su ¥p (perche f\X) = 1 7^ 0). (2) Sia r una indeterminata su Fp e sia F := Fp(r). Allora il polinomio p{X) := X^ + T G F[X] e irriducibile e non separabile su F . Per la Proposizione 5.3.3, basta mostrare che p{X) e irriducibile su F . Ma questo segue dal Criterio di Eisenstein (Esempio 2.5.11 (2)); perche Fp[r] e un dominio a fattorizzazione unica (Teorema 2.2.12) con campo dei quozienti F e r e un elemento primo di Fp[r] (Esempio 2.3.9 (3)). Corollario 5.3.6 Sia F un campo di caratteristica prima p. Se m{X) e un polinomio irriducibile, si ha

m{X)= [J

{X-ay,

l
dove ai := a , . . . , am ^ F sono le radici distinte di m(X) e h>0.

5.3 Ampliamenti separabili

193

Dimostrazione. Se m{X) e separabile basta prendere h = 0. Se m{X) non e separabile, per quanto visto nella Proposizione 5.3.3, m{X) = qiX^ ) per qualche h > 1. Scegliendo h massimale e ponendo Y := X^ , otteniamo che non e possibile scrivere q{Y) := q{X'^ ) come un polinomio in F^; dunque, ancora per la Proposizione 5.3.3, il polinomio q{Y) e (irriducibile e) separabile suF. _ Osserviamo ora che, poiche siamo in caratteristica p, per ogni /3 G F , esiste un unico elemento a G F tale che /? = a^ , precisamente la radice del polinomio X^'' - /3 = (X - af"^ (Lemma 4.3.2). Percio, se / ? i , . . . , /?^ G F h

sono le radici (necessariamente distinte) di qiY) e Pi = a^ , i = 1 , . . . , m, le radici distinte di m{X) sono esattamente ai := a , . . . , am e risulta m{X)=q{Y)^

n

(^-/50=

n

(^"''-«f)=

l
l
n

(X-ay.

l
CoroUario 5.3.7 Se F ha caratteristica prima uguale ape m{X) G F[X] e irriducibile e non separabile su F, le radici di m{X) sono tutte multiple ed hanno la stessa molteplicitd, uguale ad una potenza positiva dip. 5.3.1 Campi perfetti Un campo F con la proprieta che ogni a G F sia separabile su F si comporta essenzialmente come un campo numerico. Definizione 5.3.8 Un ampliamento algebrico F C K si dice separabile se ogni elemento di K e separabile su F e il campo F si dice perfetto se ogni suo ampliamento algebrico e separabile. La seguente proposizione discende immediatamente dalle definizioni. Proposizione 5.3.9 Le seguenti proprieta sono equivalenti per un campo F: (i) (ii) (iii) (iii)

F e perfetto; Ogni polinomio irriducibile di F[X] e separabile su F; Ogni a e F e separabile su F; F e un ampliamento separabile di F. Ricordiamo che se F e un campo di caratteristica positiva p, Tapplicazione

^:F-^F]

a^a^

e un omomorfismo non nullo di campi, detto omomorfismo di Frobenius (Paragrafo 4.3). Proposizione 5.3.10 Sia F un campo. Allora: (a) Se F ha caratteristica zero, F e perfetto.

194

5 Ampliamenti algebrici

(b) Se F ha caratteristica prima uguale a p, le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) F e perfetto; (ii) Per ogni a ^ F, il polinomio X^ — a ha una radice in F; (iii) Ogni elemento a e F e una potenza p-esima; (iv) L 'omomorfismo di Frobenius $ : F —> F e suriettivo; (v) L^omomorfismo di Frobenius ^ : F —> F e un automorfismo di F. Dimostrazione. (a) Se F ha caratteristica zero, ogni polinomio irriducibile p{X) G F[X] e separabile (Proposizione 5.3.3 (a)). Dunque F e perfetto. (b) Supponiamo che F abbia caratteristica prima uguale a p. (i) => (ii) Se per qualche a G F il polinomio X^ — a non ha radici in F , esso e irriducibile su F per la Proposizione 4.4.13 e dunque e anche non separabile su F per la Proposizione 5.3.3 (b). Ne segue che F non e perfetto. (ii) <^ (iii) <^ (iv) sono evidenti e (iv) 44> (v) perche un omomorfismo di campi e sempre iniettivo. (iii) ^ (i) Supponiamo che ogni elemento di F sia una potenza p-esima e sia p{X) G F[X] irriducibile su F. Se p{X) non e separabile su F , allora p{X) = Co + ciX^ H h CrX^'^^ per un opportuno r > 0 (Proposizione 5.3.3 (b)). Posto Ci := a^, allora risulta p{X) = ag + a^XP + • • • + < X ^ ^ = (ao + a i X + •.. + a , X ^ ) ^ Questa e una contraddizione perche p{X) e irriducibile su F. Dunque p{X) e separabile e percio F e perfetto. CoroUario 5.3.11 Ogni campo finito e perfetto. Dimostrazione. Un campo finito F ha caratteristica positiva p e I'omomorfismo di Frobenius $ : F —> F e un automorfismo (Paragrafo 4.3.2). Possiamo allora applicare la Proposizione 5.3.10. Esempi 5.3.12 Per ogni primo p, il campo ¥p e perfetto. Ma, se r e una indeterminata su Fp, il campo ¥p{r) non e perfetto. Infatti il polinomio X^ — r e irriducibile e non separabile su ¥p{r) (Esempio 5.3.5 (2)). 5.3.2 II teorema dell'elemento primitivo Se K e un ampliamento finito di F e risulta K = F{a)j per qualche a G K, I'elemento a si chiama un elemento primitivo di K su F. Per questo motivo il teorema seguente, che ha grande utilita teorica, va sotto il nome di Teorema delVElemento Primitivo. Teorema 5.3.13 (Teorema dell'Elemento Primitivo) Sia K := F{ai, ..., an) un ampliamento finito di F. Se almeno n — 1 elementi tra gli a i , . . . , Qfn sono separabili, allora K e un ampliamento semplice di F.

5.3 Ampliamenti separabili

195

Dimostrazione. Se F e un campo finito, anche K, avendo grado finito su F , lo e. Allora K e un ampliamento semplice del suo sottocampo fondamentale ¥p (Proposizione 4.3.7) e quindi anche di F. Supponiamo che F sia infinito e procediamo per induzione su n. Se n = 1 il risultato e evidente. Se n > 2, possiamo supporre che an sia separabile. Poiche almeno n — 2 elementi tra a i , . . . , a ^ - i soiio separabih, se il teorema e vero per /c = n — 1, allora esiste f3 e K tale che F ( a i , . . . , a ^ - i ) = F{f3). Posto 7 := an, dobbiarQo allora dimostrare che Tampliamento F{f3,j) di F e semplice. Siano p{X) e q{X) i polinomi minimi su F di /? e 7 rispettivamente e siano /? := / ? i , . . . , /3r>, 7 := 7 1 , . . . , 7s le radici distinte di p{X) e q{X) in F . Poiche gli elementi QJ := {(3 — 0i)/{'^j — 7) G F , con i — l , . . . , r e j — 2 , . . . , s , sono finiti e F e infinito, esiste c ^ F tale che c ^ Cij^ equivalentemente tale che /? + C7 / /J^ + 07^, per ogni i e ogni j ^ 1. Posto 9 := fS + cy, mostriamo che F(/?, 7) = F{0). Consideriamo il pohnomio h{X) := p{0 - cX) G F{e)[X] C F[X]. Allora risulta h{j) = p{/3) = 0 e h{'yj) — p{/3-^c{'j~ jj)) 7^ 0 per j = 2 , . . . , 5, perche /3 + c(7 — jj) y^ Pi per ogni i = 1 , . . . , r e le uniche radici di p{X) sono (5 := / ? i , . . . , ^^. Poiche 7 := an e separabile su F , allora 7 non e una radice multipla di q{X) e dunque in F[X] risulta MCD(/i(X),g(X)) = (X - 7). Questo e anche il massimo comune divisore di h{X) e q{X) in F(0)[X] (Proposizione 2.2.8 (c)) e percio 7 G F(^). Ne segue che anche P = 9 — cy e F{0) e allora Corollario 5.3.14 (a) Ogni ampliamento di campi finito e separabile e semplice. (b) Ogni ampliamento finito di un campo perfetto e semplice; (c) Ogni ampliamento finito di un campo di caratteristica zero, in particolare di un campo numerico, e semplice. Dimostrazione. (a) segue subito dal Teorema 5.3.13. (b) segue da (a) e (c) segue da (b) perche ogni campo di caratteristica zero e perfetto (Proposizione 5.3.10(a)). Esempi 5.3.15 (1) Dalla dimostrazione del Teorema 5.3.13 segue che, se K := F ( a i , . . .,an) e un ampliamento finito e separabile di F , allora a := X i a i 4 - - - - + Xnan G K e un elemento primitivo di K su F , eccetto che per un numero finito di n-ple ( x i , . . . , Xn) di elementi di F . (2) Se la caratteristica di F non divide n, ogni radice n-sima primitiva deH'unita sul campo F e un elemento primitivo dell'n-simo ampliamento ciclotomico di F (Paragrafo 4.4). (3) Se F e un campo di caratteristica di versa da 2, ogni polinomio irriducibile su F di grado uguale a 2 o 4 e separabile (Corollario 5.3.4). In particolare, ogni ampliamento biquadratico iiT := F ( a , /3) di F e separabile e un elemento primitivo per KsViFh9 = a-^p (Paragrafo 3.5.2).

196

5 Ampliamenti algebrici

(4) Un elemento primitivo per Q(\/3, v^) su Q e l9 : - ^ 3 + ^ 3.5.3).

(Paragrafo

II seguente teorema da una condizione piii generale per I'esistenza di un elemento primitivo. Teorema 5.3.16 Sia K un ampliamento finito di F. Allora K e un ampliamento semplice di F se e soltanto se Vampliamento F C K ha un numero finito di campi intermedi. Dimostrazione. Se F e un campo finito, anche K lo e. Dunque K e un ampliamento semplice di F (Teorema 4.3.7) ed inoltre ci sono evidentemente un numero finito di campi intermedi tra F e K. Supponiamo dunque che F sia infinito. Sia K = F ( a i , . . . ,an), n > 1 (Teorema 3.6.3). Supponiamo che I'ampliamento F C K abbia un numero finito di campi intermedi e mostriamo che if e un ampliamento semplice di F. Poiche anche F ampliamento F C F ( a i , . . . , an-i) ha un numero finito di campi intermedi, per induzione su n, basta considerare il caso in cui K = F{a,P). Poiche i campi del tipo F{a -{- c/3), al variare di c G F , sono in numero finito, esistono ci, C2 G F tali che F{a + ci/?) = F{a + C2/?) =: L. Mostriamo che F(a,/3) = L. Chiaramente L C F{a^l3). D'altra parte, poiche a + ci/3, a + C2/3 G L, allora/? = ^^+"^g:^^+"^^^ G L e anche a = (a + ci/3) - c i / 3 G L. Perci6F(a,/3) C L. Viceversa, mostriamo che ogni ampliamento algebrico semplice K :— F{a) ha un numero finito di campi intermedi. Sia m{X) il polinomio minimo di a su F. Se L e un campo intermedio, il polinomio minimo PL{X) di a SU L divide m{X) in L[X], e dunque anche in if [X]. Osserviamo ora che i divisori monici di m{X) in K[X] sono in numero finito; infatti K e contenuto in un campo di spezzamento di m{X) e su tale campo m{X) si fattorizza in un numero finito di polinomi di primo grado. Definiamo tra I'insieme dei campi intermedi dell'ampliamento F C K e I'insieme dei polinomi di K[X] che dividono m{X) I'applicazione che associa al campo L il polinomio P L ( - ^ ) - Per concludere, basta far vedere che questa applicazione e iniettiva. Sia L' il sottocampo di L generato su F dai coefiicienti di PL{X). Si ha F C V QLCK. Poiche PL{X) G L'[X] C L[X] e PL{X) e irriducibile su L, allora PL{X.) e anche irriducibile su L'. DunquePL{^) — PL'{X) e anche il polinomio minimo di a su V. Ne segue che K = F{a) = V{a) = L{a) ha lo stesso grado sia su L che su L' e percio L = V (Corollario 3.5.6). In conclusione, il campo intermedio L e univocamente determinato dai coefiicienti di PL{X) e percio I'applicazione che associa ad L il polinomio PL{X) e iniettiva. Corollario 5.3.17 Ogni ampliamento finito e separahile ha un numero finito di campi intermedi. Dimostrazione. Segue dai Teorema 5.3.16, perche un ampliamento finito e separabile e semplice (Corollario 5.3.14).

5.3 Ampliamenti separabili

197

Esempi 5.3.18 (1) Un ampliamento F C K con un numero finito di campi intermedi e necessariamente algebrico. Infatti, se r e K e trascendente su F , [F{T) : F{T'^)] = n, per ogni n > 1 (Esempio 3.5.7) e allora i campi intermedi F{r^) deirampliamento F C K sono tutti distinti. (2) II seguente e un esempio di ampliamento finito che non e semplice. Siano r e a; due indeterminate indipendenti su ¥p. Allora due qualsiasi potenze positive r^ e uj^ sono ancora indeterminate su ¥p (Esempio 3.5.7) e sono indipendenti su F^; infatti se f{r^^uj^) — g{r^(j) = 0, con / ( X , F ) , g{X^ Y) G Fp[X, y ] , i coefRcienti del polinomio g{X^ F ) , e quindi anche quelli di / ( X , y ) , devono essere tutti nulli. Poniamo F := Fp(T^, oj^) e K :—¥p{T^ixj) e mostriamo che 1'ampliamento F C K e finito ma non e semplice, perche ha un numero infinito di campi intermedi. Consideriamo gli ampliamenti F := ¥p{TP,u;P) C F ( r ) = Fp(r,a;^) C K := Fp(r,a;) =

F{T,UJ).

Poiche I'anello Fp[r^,a;^] e a fattorizzazione unica (Corollario 2.5.8) e r^ e un elemento primo di Fp[r^,a;^] (Esempio 2.3.9 (3)), il polinomio X^ — r^ e irriducibile su F per il Criterio di Eisenstein (Teorema 2.5.10). Quindi r e algebrico di grado p su F . Analogamente, poiche o;^ e un elemento primo di Fp(r)[6(;^], allora il polinomio X'^ — uj^ e irriducibile su F{T) e quindi u e algebrico di grado p su F{r). Ne segue che K := F{T^UJ) e finito di grado p'^ su F. Notiamo che sia r che UJ non sono separabili su F . Poiche T e(jj sono indipendenti su Fp, per ogni c E F , il campo F ( r + ca;) e propriamente compreso tra F e K. Inoltre, se c ^ c' G F , risulta F{T -\- cw) ^ F{r -\- c'uj), Poiche F e infinito, ci sono allora infiniti campi intermedi tra F eK. 5.3.3 II g r a d o di separabilita Vogliamo ora approfondire lo studio degli ampliamenti finiti separabili dal punto di vista degli F-isomorfismi. Definizione 5.3.19 Se K e un ampliamento finito di F, il numero degli Fisomorfismi distinti di K in F si chiama il grado di separabilita di K su F e si indica con [K : FJ^. Se a e F, il grado di separabilita di F{a) su F si chiama anche il grado di separabilita di a. Notiamo che, se a G F con polinomio minimo m(X), il grado di separabilita di a su F e uguale al numero delle radici distinte di m{X) (Proposizione 5.1.17). Proposizione 5.3.20 Sia F un campo e sia a E F con polinomio m{X) su F . Allora: (a) Se a e separabile su F, [F{a) : F]s — [F{a) : F ] .

minimo

198

5 Ampliamenti algebrici

(b) Se a non e separabile su F, F ha caratteristica prima p e [F{a) : F] = p^[F{a) :F]s, h>l. Dimostrazione, II numero [F{a) : F]s degli F-isomorfismi distinti di F{a) in F e uguale al numero delle radici distinte di m{X) (Proposizione 5.1.17). Se m{X) e separabile, tale numero e uguale a [F{a) : F ] . Se m{X) non e separabile, allora F ha caratteristica prima p e

m{X)= n

{X-aif,

l
dove a i := a , . . . , a^^ sono le radici distinte di m{X) e h > 1 (Corollario 5.3.6). Ne segue che [F{a) : F]s = m e [F{a) : F] = degm(X) =p^m = p^[F{a) : F ] , . Gli ampliamenti finiti separabili hanno massimo grado di separabilita per la Proposizione 5.1.18. Mostriamo ora che e vero anche il viceversa. Teorema 5.3.21 Sia F C K un ampUamento finito. Allora le seguenti proprietd sono equivalenti: (i) (ii) (iii) (iv) (v)

L^ampUamento F C. K e separabile; K — F{a) e a e separabile su F; K := F ( a i , . . . , an) e ai e separabile su F per i = 1 , . . . , n; Gli F-isomorfismi distinti di K in F sono esattamente [K : F ] ; [K:F]s = [K:F].

Dimostrazione. (i) =4> (ii) per il Teorema dell'Elemento Primitivo (Corollario 5.3.14). (ii) =^ (iii) e ovvia e (iii) => (iv) segue dalla Proposizione 5.1.18. (iv) ^ (i) Sia a ^ K non separabile su F e consideriamo gli ampliamenti F C F{a) C K. Per la Proposizione 5.1.17, gli F-isomorfismi di F ( a ) in F sono in numero strettamente minore di [F(a) : F] ed inoltre, gli F-isomorfismi di K in F che estendono un fissato F-isomorfismo di F[a) in F sono al piu [K : F{a)] (Proposizione 5.1.18). Ne segue che gli F-isomorfismi di K in F sono in numero strettamente minore di [K : F] = [K : F{a)][F{a) : F ] . (iv) <^ (v) segue dalla definizione. Corollario 5.3.22 Se S C F e un insieme di elementi separabili su F, il campo F{S) e un ampUamento separabile di F. Dimostrazione. Segue dal Teorema 5.3.21 ricordando che F{S) = (Proposizione 3.2.5).

[j{F{a,„...,a,J;ai^eS}

5.3 Ampliamenti separabili

199

Facciamo ora vedere che i gradi di separabilita si compongono. Lemma 5.3.23 Sia F C L un ampliamento algebrico e sia a G F. Allora ogni F-isomorfismo di L in F si estende a [L(a) : L\s F-isomorfismi distinti di L{a) in F. Dimostrazione, Sia (p un F-isomorfismo di L in F. Se m{X) e il polinomio minimo di a su L, il numero degli F-isomorfismi distinti di L{a) in F che estendono (p e uguale al numero delle radici distinte del polinomio (p*{in{X)) (Proposizione 4.2.2). D'altra parte (p si puo estendere ad un F-automorfismo ip di F (Corollario 5.1.15). Allora, se m{X) — Y[{X ~ ai) e la. fattorizzazione di m{X) su F , si ha (^*(m(X)) = ^*(m(X)) - n ( X - ^(a^)) su F . Ne segue che m{X) e (p*{m{X)) hanno lo stesso numero di radici distinte in F . Tale numero e per definizione uguale al grado di separabilita [L{a) : F]^. Proposizione 5.3.24 Siano F C L C K ampliamenti finiti di campi. Allora [K : F]s = [K : Ll[L : F]s. Dimostrazione. Poiche L e K sono ampliamenti algebrici finitamente generati, possiamo supporre che L = F(Q;I, . . . , am) e K = F ( a i , . . . , an) con n> m> 1 (Teorema 3.6.3). Consideriamo la catena di ampliamenti: Fo := F C Fi :=: F ( a i ) C . . . C F, := F,_i(a,) C . . . C F , _ i K ) =: K, dove L = Fm- Applicando il Lemma 5.3.23, per induzione su i > 1 si ottiene

[K : F], = H

[F,_i(a,) : F,_i], = [K : LUL : F],.

l<2
Proposizione 5.3.25 Siano F C L C K ampliamenti algebrici di campi. Allora Vampliamento F C. K e separabile se e soltanto se gli ampliamenti F C L e L C K sono separabili. Dimostrazione. Supponiamo che I'ampliamento F C K sia separabile. Sia a e K con polinomio minimo m{X) su F e p{X) su L. Poiche m{X) non ha radici multiple in F e p{X) divide m{X) in L[X] C F[X], allora anche p{X) non ha radici multiple in F . Ne segue che a e separabile su L. Infine e chiaro che se K e separabile su F , anche F lo e. Viceversa, supponiamo che gli ampliamenti F C L e L C K siano separabili. Sia a e K con polinomio minimo p{X) := CQ + ciX -f h CnX'^ su L e si consideri il campo L' = F(co,.. •, c^). Poiche L e separabile su F e L' C L, anche V e separabile su F . Inoltre, poiche p{X) E L'[X] e a h separabile su F, allora a e separabile anche su L\ Considerando gli ampliamenti finiti F C V C L'{a)^ per il Teorema 5.3.21 e la Proposizione 5.3.24, si ha [L'{a) : F] = [L'{a) : L'][L' : F] = [L'{a) : L'],[L' : F], = [L'{a) : F],. Dunque I'ampliamento F C L\a) e separabile ed in particolare a e separabile anche su F .

200

5 Ampliamenti algebrici

CoroUario 5.3.26 Sia F C K un ampliamento separabile finito e sia L un campo intermedio. Allora gli F-isomorfismi distinti di L in F sono [L : F] e ogni tale isomorfismo si estende a [K : L] F-isomorfismi distinti di K in F. Dimostrazione. Poiche gli ampliamenti FCK^FCLeLCK sono finiti e separabili (Proposizione 5.3.25), il numero degli F-isomorfismi distinti di L in F sono [L : F] ed inoltre, per la Proposizione 5.3.24, ogni tale isomorfismo si estende di [K : F]/[L : F] = [K : L] F-isomorfismi distinti di L in F . 5.3.4 Ampliamenti puramente inseparabili Abbiamo visto che gli ampliamenti finiti separabili sono gli ampliamenti il cui grado di separabilita e il massimo possibile ed e quindi uguale al grado (Teorema 5.3.21). Studieremo ora gli ampliamenti finiti il cui grado di separabilita e il minimo possibile ed e quindi uguale ad 1. Definizione 5.3.27 Un elemento a ^ F si dice puramente inseparabile su F se [F{a) : F]s = I e un ampliamento algebrico F C K si dice puramente inseparabile se ogni elemento di K e puramente inseparabile su F . Vediamo allora che gli unici elementi di F che sono alio stesso tempo separabili e puramente inseparabili su F sono gli elementi di F . Ricordiamo poi che, se esiste un elemento a e F che non e separabile, F ha caratteristica finita (Proposizione 5.3.3). Proposizione 5.3.28 Sia F un campo di caratteristica prima uguale sia a ^ F. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

ape

(i) a e puramente inseparabile su F (cioe [F{a) : F]s = 1); (ii) II polinomio minimo di a su F e del tipo m{X) := X^ — a^ = (X —a)^ , per un opportuno h > 0; (iii) a'P G F, per un opportuno h>0. Inoltre, sotto queste condizioni, [F{a) : F] = p^, per un opportuno h >0. Dimostrazione. (i) <^ (ii) segue dal CoroUario 5.3.6. (ii) =^ (iii) e evidente. (iii) =4> (i) Se a^ € F , /i > 0, il polinomio minimo di o; su F divide X^ — a^ = {X — ay , quindi ha una sola radice. Questa caratterizzazione si puo estendere agli ampliamenti finiti nel seguente modo. Teorema 5.3.29 Sia F C K un ampliamento finito di campi di caratteristica prima uguale a p. Allora: (a) [K : F] = p^[K : F]s, per un opportuno h > 0; (b) Le seguenti condizioni sono equivalenti:

5.3 Ampliamenti separabili

201

(i) K e puramente inseparabile su F (doe [F{a) : F]s — 1 per ogni a e K); (ii) K — F ( a i , . . . , a ^ ) e ai e puramente inseparabile su F, i = 1... ,n; (iii) [K : F]s = 1; Inoltre, sotto queste condizioni, [K : F]— p^, per un opportuno

h>0.

Dimostrazione. Poiche K e finito su F , K e finitamente generate. Sia K = F ( a i , . . . , an) e consideriamo la catena di ampliamenti: Fo := FCFi

:= F{ai) C . , . C F, := F,_i(a,) C . . . C F ^ - i K ) =: K.

Allora, per la Proposizione 5.3.24, si ha

J ] [F,_i(a,):F,_i],.

[K:F]s^

l
(a) Per la Proposizione 5.3.20 (b), per ogni i = 1 , . . . , n, si ha [Fi^i{ai) : F,_i] = / ^ [F^-i(a,) : F,_i]„

/i, > 0.

Dunque

[K : F] = J ] [F,_i(a,) : F,_i] = / l<2
H [^-i(^^) • ^ - i ] ^ = ^""[^ ' ^ 1 l<2
per un opportuno h >0. (b), (iii) => (i) Sia a G i^. Poiche [F{a) : F]^ divide [K : F]s (Proposizione 5.3.20), se [K : F]^ = 1 risulta [F(a) : F]^ = 1 per ogni ae K\F. (i) =^ (ii) e chiaro. (ii) => (iii) Se [F(ai) : F]s = 1 per ogni i < n, allora [K:F]s=

H

[Fi-iia,)

: Fi_i]s < H

l
[F{ai) : F]s = 1

l
e necessariamente [K : F]s = I. L'ultima affermazione segue dal punto (a). CoroUario 5.3.30 Se S C F e un insieme di elementi puramente inseparabili su F, il campo F{S) e un ampliamento puramente inseparabile di F. Dimostrazione. Se F ha caratteristica zero, ogni elemento di 5 e anche separabile e dunque F(S') = F . Se F ha caratteristica prima possiamo applicare il Teorema 5.3.29 (b), ricordando che

(Proposizione 3.2.5).

202

5 Ampliamenti algebrici

Esempi 5.3.31 Se r e una indeterminata sul campo Fp, rampliamento Fp(r^) C FP(T) e puramente inseparabile: infatti il polinomio minimo di r su FpirP) eXP-rP=^{X - T)P. Definizione 5.3.32 Se F C K e un ampliamento finito, il numero intero positivo [K : F]i := [K : F]/[K : F]s si chiama il grado di inseparabilita di K suF. Possiamo allora riformulare il Teorema 5.3.29 usando il grado di inseparabilita. Corollario 5.3.33 Sia F C. K un ampliamento finito di campi. Allora: (a) K e separahile su F se e soltanto se[K : F]i = l. (b) Se F ^ K e K non e separahile su F, allora F ha caratteristica prima p e [K : F]i = p^, per un opportuno h > 1. Inoltre K e puramente inseparabile su F se e soltanto se [K : F] =^ [K : F]i. Poiche i gradi e i gradi di separabilita si compongono (Proposizione 5.3.25), segue dalla definizione che anche i gradi di inseparabilita si compongono. Proposizione 5.3.34 Se F C L C K sono ampliamenti di campi finiti, allora [K:F]i^[K:LUL:F],, 5.3.5 Chiusura separahile Mostriamo ora che ogni ampliamento algebrico di F si puo spezzare in un ampliamento separabile e un ampliamento puramente inseparabile. Teorema 5.3.35 Se F C K e un ampliamento algebrico, denotiamo con Kg Vinsieme degli elementi di K separabili su F e con Ki Vinsieme degli dementi di K puramente inseparabili su F. Allora: (a) Kg e Ki sono campi e Kg HKi = F; (b) L^ampliamento F C Kg e separabile e Vampliamento F C Ki e puramente inseparabile; (c) L 'ampliamento Kg C K e puramente inseparabile; (d) L'ampliamento Ki C K e separabile se e soltanto se K — KiKg. Dimostrazione. (a) Se a, /? G K sono separabili su F , allora F(a,/3) e un ampliamento separabile di F (Teorema 5.3.21). Poiche a — f3 G F(a,/3) e af3~^ G F{a,f3) per /3 7^ 0, allora a — f3 e al3~^ sono separabili su F. Analogamente, usando il Teorema 5.3.29 (b), si ottiene che Ki e un campo. Inoltre KgO Ki = F per come sono definiti i campi Ki e Kg. (b) Segue immediatamente dalle definizioni. (c) Se Kg / K, allora F ha caratteristica positiva p (Corollario 5.3.33). Sia a e K\Kg e sidi m{X) il suo polinomio minimo su Kg. Allora esiste h > 1

5.3 Ampliamenti separabili

203

tale che m(X) = g(X^ ) (Proposizione 5.3.3) e, scegliendo h massimale, il polinomio q{Y) G i^s[^] e separabile su Kg. L'elemento (3 :— aP E K e una radice di q{Y); quindi e separabile su Kg. Allora, poiche Ks e separabile su F , per la Proposizione 5.3.25 /3 e anche separabile su F. Ne segue che f] := a'P £ Xg e dunque a e puramente inseparabile su Kg (Proposizione 5.3.28). (d) Sia Ki C K \in ampliamento separabile. Supponiamo prima che K abbia grado finito su F e poniamo L := KiKg. Poiche K e separabile su Ki, allora K e separabile anche su L; quindi [K : L]g = [K : L]. D'altra parte, poiche Tampliamento Kg C K e puramente inseparabile per il punto (c), allora [K : L]g < [K : Kg]g = 1 (Teorema 5.3.29). Ne segue che [K : L] = 1 e quindi K = L. In generale, certamente KiKg C K. Per I'inclusione opposta, come appena visto, per ogni a e K risultera F{a) = F{a)iF{a)g C K^Kg. Viceversa, supponiamo che K = K^Kg. Poiche gli elementi di Kg sono separabili su F e quindi anche su K^, iiT = Ki{Kg) e separabile su Ki (Corollario 5.3.30). Definizione 5.3.36 Se F C K e un ampliamento algebrico, il campo Kg degli elementi di K separabili su F si chiama la chiusura separabile di F in K. Corollario 5.3.37 Sia F C K un ampliamento di campi finito e sia Kg la chiusura separabile di F in K. Allora [K:F]i = [K:Kg];

[K : F]g = [Kg : F].

Dimostrazione. Poiche 1'ampliamento F C Kg e separabile, si ha [Kg : F]i = 1. Inoltre, poiche I'ampliamento Kg C K e puramente inseparabile (Teorema 5.3.35), si ha [K : Kg]i = [K : Kg] (Corollario 5.3.33). Allora, poiche i gradi di inseparabilita si compongono (Proposizione 5.3.34), [K : F]i = [K : Kg]i[Kg : F ] , = [K : Kg]^ = [K : Kg] ed inoltre [K : F]g = [K : Kg]g[Kg : F ] , = [Kg : F ] , = [Kg : F ] . Esempi 5.3.38 (1) Sia F un campo di caratteristica p. Se a e un elemento algebrico non separabile su F , con polinomio minimo m(X), esiste h>l tale che m(X) = g(X^ ) (Proposizione 5.3.3). Scegliendo h massimale, il polinomio q{Y) G F[Y]e separabile ed e il polinomio minimo di a^ su F . Quindi F{aP ) e separabile su F . Inoltre a e puramente inseparabile su F{aP ) (Proposizione 5.3.28). Ne segue che la chiusura separabile di F{a) e F{a)g = F(a^ ). (2) Come vedremo nel successivo Paragrafo 7.2.2, dato un ampliamento finito F C K, puo accadere che K^Kg C K, ovvero che I'ampliamento Ki C K non sia separabile. Tuttavia mostreremo che, quando K e normale su F , K = KiKg e separabile su Ki.

204

5 Ampliamenti algebrici

5.3.6 Norma e traccia Sia F C K un ampliamento finito e siano (/^i,..., (pm gli F-isomorfismi distinti di K in F, m = [K : F]s. Per ogni a ^ K, definiamo N ^ ( a ) := (¥.i(a).. .¥>™(a))t^^^l* ;

IVf (a) := [K : F],(vi(a)+- • • + ^ „ ( a ) ) .

Deflnizione 5.3.39 Con le notazioni precedenti, Velemento N ^ ( a ) si chiama la norma di a su F (in K) e Tr^ (a) si chiama la traccia di a su F (in K). E evidente che la norma e la traccia su F dipendono dall'ampliamento K. Proposizione 5.3.40 Siano F C L C K ampliamenti finiti e sia a e L. Allora N f (a) = N^(a)[^^^l; Trf (a) = [K:L] Tr^(a). Dimostrazione. Ogni F-isomorfismo ij; : K —> F estende un F-isomorfismo (f : L —> F ed il numero degli F-isomorfismi ip che estendono (pes := [K : L]s (Proposizione 5.3.24). Allora, tenendo conto che i gradi di inseparabilita si compongono (Proposizione 5.3.34),

Analogamente si procede per la traccia. Esempi 5.3.41 (1) Se I'ampliamento F C K e finito e separabile, il numero degli F-isomorfismi di K in F e m = [K : F] e [K : F]i = 1. Allora N f (a) = ipi{a). ..ipm{a);

Trf (a) = ipi{a) + • • • + ipm{a).

(2) Se a G F C K, allora N f (a) = a^^'-^^ e Trf (a) - [K : F]a. Mostriamo ora che la norma e la traccia assumono valori in F . Proposizione 5.3.42 Sia F C K un ampliamento finito e sia a G K con polinomio minimo m{X) := anX^ -\-an-iX^~^ H hag su F. Allora risulta N f (a) = ((-irao)I^^^(")l;

T r ^ ( a ) = -[K : F(a)]a„_i.

Dimostrazione. Se (^i,.. .,(^m sono gli F-isomorfismi distinti di F ( a ) in F , le radici distinte di m{X) sono a i := v^i(a),.. .^am := ^m(ci^) (Proposizione 5.1.17). Poichem(X) = rii
Tr^^"^(a) - - a „ _ i .

Considerando gli ampliamenti F C F ( a ) C K, il risultato voluto segue allora dalla Proposizione 5.3.40.

5.3 Ampliamenti separabili

205

Proposizione 5.3.43 Sia F C K un ampliamento finito. Allora: (a) N :== N f : /r* ^

F*;

a^

N(a)

e un omomorfismo di gruppi moltiplicativi, cioe N{aj3) = N(a) N(/3) per ogni a,f3 E K*. Tr := Trf : if —> F ;

a^

Tr(a)

e un^applicazione F-lineare, cioe Tr(xa -f y/?) = X Tr(a) + ?/Tr(/3) per ogni x^y E F, a^P G K. (c) SeF CLC K, allora Nf = N ^ N f ;

Trf - Tr^ Trf .

Dimostrazione. (a), (b) La norma e la traccia assumono valori in F per la Proposizione 5.3.42. Inoltre segue subito dalle definizioni che la norma e moltiplicativa e la traccia e lineare su F , perche ogni F-isomorfismo di K in F ha queste proprieta. (c) Siano (pi := idL, • - ',(fm gli F-isomorfismi distinti di L in F , con m := [L : F]s. Ogni (pi si estende a n := [K : L]s F-isomorfismi (^^i,..., (fin di i^ in F (Proposizione 5.3.24) e tra questi gli L-isomorfismi sono (/?ii,..., (finAllora, fissato un indice z, (p^^ifij e I'identita su L, per ogni indice j . A meno di riordinare gli indici j , estendendo di nuovo (p^ cpij = idL '•= ^i a K, possiamo scrivere (pij = (pi(pij^ per ogni i = 1 , . . . , m, j = 1 , . . . , n. Percio

N^(Nf(a))= n (^«( n ^ijic^r-'^-r-^^' 2=1,...,m

j=l,...,n

2 ==1,.... m

i^= 1 , . . . ,n

n

= n

V'.(a))'^^^'^-Nf(a)

2 ==1,.... ,m

i^= 1 , . . . ,n

per ogni a G K. Analogamente si ottiene che Tr^ = Tr^ Tr^ . Esempi 5.3.44 (1) Poiche elementi coniugati su F hanno lo stesso polinomio minimo, dalla Proposizione 5.3.42 segue che elementi coniugati su F hanno la stessa norma e la stessa traccia su F . (2) Sia F C M e

206

5 Ampliamenti algebrici K := F{a) = {x-\- ya; x,y e F, a^ e F}

un ampliamento quadratico di F (Paragrafo 3.5.1). Poiche gli F-isomorfismi di K in C sono quelli definiti da a H^ ± a (Esempio 4.2.8 (1)), posto a := a^, risulta N^(a: + yoi) = (x + y(y){x — ya) = x^ - ay^ ; TT^{X

+ ya) = {x -\- ya) -\- {x — ya) == 2x.

In particolare, se K := Q(iv^), con d > 1, NQ e la norma complessa. (3) Sia ^ G C una radice primitiva p-esima deH'unita e K := Q(^). Allora gli isomorfismi di i^ in C sono quelli definiti d a ^ ^ ( ^ ^ , 1 < k < p — I (Paragrafo 4.4.3) e si ha

per ogni /c = l , . . . , p - l . Inoltre, se a := Ylo P^^ linearita TrQ (a) = (p - l)ao - (ai + • • • + ap_i). II calcolo della norma di a e in generale molto piu complicato. (4) Dato un ampliamento finito F C K, per ogni a ^ K Tapplicazione (fa : F{a) —> F{a); x ^ ax e un'applicazione F-lineare ed il polinomio minimo di a su F coincide con il polinomio caratteristico di (fa (Esercizio 3.12). Allora, se ^ := (a^j) e la matrice di ipa rispetto ad una qualsiasi base di F{a) su F , risulta Trf (a) = a n + •. • + ann ,

N f (a) = \A\.

(5) SeFCK eaeK^ il valore in a di un polinomio f{X) G F[X] e un elemento di K (Paragrafo 2.3.1). Quindi, se if e finito su F , rest a definita la norma N ^ ( / ( a ) ) ed inoltre, se a i := a , . . . , am sono i coniugati distinti di a su F , risulta Nf(/(a)) = (/(ai)---/(«m))'^^^''. II seguenti risultati hanno molte utili conseguenze in Teoria dei Numeri. Proposizione 5.3.45 Se F C K e un ampliamento finito, Vapplicazione traccia Tr^ : K —> F e non nulla se e soltanto se K e separabile su F. In particolare, se K e separabile su F, la traccia e un^applicazione suriettiva. Dimostrazione. Supponiamo che Tampliamento F C K sia separabile di grado n e siano (pi^.. .,(pn gli F-isomorfismi di K in F . Poiche per il Lemma di Dedekind (pi^.. .^(pn sono linearmente indipendenti su F , si ha Tr(a) := (pi{a) -f h ^n{(^) 7^ 0 per qualche a ^ 0 (Proposizione 3.1.5). Viceversa, se F C K non e separabile, F ha caratteristica prima p e [K : F]i = p^^ per un opportuno h> 1 (Corollario 5.3.33). Quindi la traccia di ogni elemento e uguale a zero. Poiche poi la traccia e F-lineare, quando non e 1'applicazione nulla, essa e suriettiva.

5.4 Ampliamenti di Galois

207

Corollario 5.3.46 Se F C K e un ampUamento separabile finito, Vapplicazione KxK -^F; (a, /?) H^ Trf (a/3) e un'applicazione F-bilineare simmetrica non degenere. Dimostrazione. Che Papplicazione sia F-bilineare simmetrica segue dalla definizione di traccia. Inoltre per la Proposizione 5.3.45 tale applicazione e non degenere. Infatti, se a G i^*, si ha aK = K e quindi Tr^ (a/3) ^ 0 per qualche Proposizione 5.3.47 Se K e un campo finito di caratteristica p, la norma N := N ^ : K"" —> F* e un omomorfismo suriettivo. Dimostrazione. II gruppo moltiplicativo F* e ciclico, di ordine p — 1 (Proposizione 4.3.5). Inoltre sappiamo che, se a e un generatore di F*, risulta K := ¥p{a) (Proposizione 4.3.7). Mostriamo che N(a) G F* ha ordine p—1. Poiche K e normale su F^ (Esempio 5.2.8 (1)), gli isomorfismi di K in JP sono tutti automorfismi di i^ e costituiscono un gruppo ciclico di ordine n := [K : Fp], generato dall'automorfismo di Frobenius $ : K —> K; x \-^ x^ (Teorema 4.3.17). Allora N(a) = aa^ ...a'P~^ = a^+^+"+^'' . Poiche K* e ciclico di ordine p^ — 1 generato da a (Proposizione 4.3.5) ep^ — 1 = (p —l)(l+pH \-p^~^), vediamo che N(a) ha ordine p — 1.

5.4 Ampliamenti di Galois Segue dalle definizioni che un ampliamento algebrico F C K e normale e separabile se e soltanto se ogni polinomio irriducibile su F che ha una radice in K si spezza in fattori lineari distinti su K. Definizione 5.4.1 Un ampliamento algebrico F C K normale e separabile su F si chiama un ampliamento di Galois. Se F e perfetto, in particolare se F ha caratteristica zero oppure e un campo finito, ogni suo ampliamento algebrico e separabile (Paragrafo 5.3.1). In questo caso gli ampliamenti di Galois di F coincidono con gli ampliamenti normali. Proposizione 5.4.2 Sia F C K un ampliamento algebrico. Allora: (a) Se un (b) Se un

K e separabile, la chiusura normale di K su F e separabile e quindi e ampliamento di Galois di F; K e normale, la chiusura separabile di F in K e normale e quindi e ampliamento di Galois di F.

208

5 Ampliamenti algebrici

Dimostrazione. (a) La chiusura normale di K su F e generata da tutti i coniugati su F degli element! di K (Proposizione 5.2.10). Ma poiche elementi coniugati hanno lo stesso polinomio minimo e ogni a G K e separabile su F , anche tutti i coniugati di a sono separabili. Quindi la chiusura normale di K su F , essendo generata da elementi separabili, e separabile (Corollario 5.3.22). (b) Sia Kg la chiusura separabile di F in i^ ed TV la sua chiusura normale in F. Allora N e contenuta in K (perche K e normale su F) ed e separabile su F per il punto (a). Ne segue che N C Ks e quindi N ~ Kg. Se F C K eun ampliamento di Galois, un ampliamento intermedio F C L e separabile (Proposizione 5.3.25) ma puo non essere normale (Esempio 5.2.8 (4)) e dunque puo non essere di Galois. Viceversa I'ampliamento L C K e sempre di Galois. Proposizione 5.4.3 Sia F C K un ampliamento di Galois e sia L un suo campo intermedio. Allora Vampliamento L C K e di Galois. Dimostrazione. Basta ricordare che I'ampliamento L C K e normale (Proposizione 5.2.9) e separabile (Proposizione 5.3.25). Proposizione 5.4.4 Sia F C K un ampliamento di Galois e sia L un campo intermedio. Allora la chiusura normale di L su F e contenuta in K ed e il minimo ampliamento di Galois di F in K contenente L. Dimostrazione. Sia N la chiusura normale di L su F . Poiche L e separabile su F (Proposizione 5.3.25), anche N e separabile su F (Proposizione 5.4.2 (a)). Percio N e un ampliamento di Galois di F . Per la Proposizione 5.2.13 (b), L C N C K. Inoltre, ogni ampliamento di Galois di F (in K) contenente L, per normalita, contiene N. Definizione 5.4.5 Se F C K e un ampliamento di Galois e L e un suo campo intermedio, la chiusura normale di L su F si chiama anche la chiusura di Galois di L in K. Esempi 5.4.6 (1) Dato un campo F , ogni chiusura algebrica F e normale su F . Allora la chiusura separabile di F in F e un ampliamento di Galois (Proposizione 5.4.2 (b)). Questo mostra che esiste un ampliamento Fg di F caratterizzato dalla proprieta che ogni polinomio separabile di F[X] si spezza linearmente su F^. Tale campo si chiama una chiusura algebrica separabile di F . Se F e un campo perfetto, ogni sua chiusura algebrica F e separabile. In questo caso, F = F^ e un ampliamento di Galois di F che non e finito. ( 2 ) S e F C i ^ e u n ampliamento di Galois finito e F e un campo intermedio, I'ampliamento F C L, essendo finito e separabile, e semplice (Corollario 5.3.14). Se L = F{a), la chiusura di Galois di L in K e il campo di spezzamento del polinomio minimo di ce su F (Esempio 5.2.12). II prossimo risultato raccoglie alcune proprieta che caratterizzano gli ampliamenti di Galois finiti.

5.4 Ampliamenti di Galois

209

Teorema 5.4.7 Sia F C K un ampliamento di campi finito. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) L'ampliamento F C K e di Galois (doe e normale e separabile); (ii) K = F{a) e un ampliamento semplice e il polinomio minimo di a su F ha [K : F] radici distinte in K; (iii) K e un campo di spezzamento su F di un polinomio separabile f{X) e

F[X]; (iv) K e un campo di spezzamento su F di un polinomio p{X) irriducibile e separabile su F.

G F[X]

Dimostrazione. (i) ^ (ii) Poiche K e un ampliamento finito e separabile di F , per il Teorema dell'Elemento Primitivo, K e un ampliamento semplice (Corollario 5.3.14). Se K = F{a) e m{X) e il polinomio minimo di a su F , per la separabilita, m{X) ha n := degm(X) = [K : F] radici distinte (Teorema 5.3.21) e, per la normalita, tali radici sono tutte in K. (ii) =^ (iv) II polinomio minimo m{X) di a su F e irriducibile e separabile su F. Poiche K contiene tutte le radici di m{X) ed inoltre [K : F] = deg m(X), allora i^ e un campo di spezzamento di m{X) su F. (iv) ^ (iii) e evidente. (iii) =4> (i) Sia K — F ( a i , . . . , an) un campo di spezzamento di f{X) su F , dove a i , . . . , an sono le radici distinte di f{X). Poiche a i , . . . , a^ sono elementi separabili su F , allora K e separabile su F (Teorema 5.3.21). Inoltre K, essendo un campo di spezzamento, e normale su F (Teorema 5.2.6). Definizione 5.4.8 Se F C K e un ampliamento di Galois finito e K = F{a), il polinomio minimo di a su F si chiama una risolvente di Galois di K su F . Esempi 5.4.9 (1) Se F C i^ e un ampliamento di Galois finito di grado n, a e K e (fi^... ^(fn sono gli F-automorfismi di K, risulta K = F{a) se e soltanto se i coniugati ^i{a)^..., V^n(<^) di a su F sono tutti distinti. In questo caso, una risolvente di Galois di K su F e (X-^i(a))...(X-^„(a)). II Teorema della Base Normale asserisce che esiste sempre un elemento a ^ K tale che (pi{a),.. .,(pn{cx) siano linearmente indipendenti su F , cioe costituiscano una base di K come spazio vettoriale su F [51, Section VIII, 12]. Ad esempio, se ^ e una radice primitiva p-esima dell'unita, una base normale di Q ( 0 su Q e {^, ^^ . . . , ^P-^}. Tuttavia, se n > 1 non e primo, le (p{n) radici primitive n-sime dell'unit a non costituiscono necessariamente una base (normale) dell'n-simo ampliamento ciclotomico di Q, basta osservare che i e —i sono lineramente dipendenti su Q (Esercizio 4.41). (2) Ogni campo finito e perfetto (Corollario 5.3.11) e ogni ampliamento algebrico di un campo finito e normale (Esempio 5.2.8 (1)). Quindi ogni ampliamento algebrico di un campo finito e di Galois.

210

5 Ampliamenti algebrici

Sia poi F := ¥pn e F C K un ampliamento finito di grado m > 1. Allora K ha grado d := mn su Fp e i^ = ¥p{9), dove ^ e un qualsiasi elemento di grado d su F^ (Corollario 4.3.8). Ne segue che K = F(6) e il polinomio minimo di ^ su F e una risolvente di Galois di K su F . In particolare, tutti i polinomi irriducibili di grado n su Fp sono risolventi di Galois di F^n su Fp. (3) Se F e un campo di caratteristica di versa da 2, ogni ampliamento F C K quadratico o biquadratico e separabile (Esempio 5.3.15 (2)) e normale (Esempio 5.2.8 (2)); quindi e un ampliamento di Galois. Inoltre risulta K := F(a,/3), con a := a'^ e b := 0^ in F ed anche K = F(6>) con ^ := a + /?. Quindi una risolvente di Galois di K su F e ad esempio il polinomio minimo di <9 := a + /3, cioe m(X) := X^ - 2(a + h)X'^ + (a - hf (Paragrafo 3.5.2). (4) Sia K := Q ( ^ , ^) = Q(\/2, i\/3), dove ^ e una radice primitiva terza deH'unita. Poiche if e il campo di spezzamento del polinomio (irriducibile) f{X) := X^ - 2 su Q (Esempio 4.1.5 (3, b)), if e un ampliamento di Galois di Q. Come visto nel Paragrafo 3.5.3, un elemento primitivo per K su Q e e := ^ ^ iV^. Quindi una risolvente di Galois di if su Q e ad esempio il polinomio minimo di 6 su Q: X^ + gX"^ - 4X^ H- 27X^ + 36X + 31. Poiche anche 7 :— \\/Z^/2 ha grado sei su Q, anche 7 e un elemento primitivo di K su Q. Un'altra risolvente di Galois di if e allora il polinomio minimo di 7 su Q: X^ + 108. (5) Se la caratteristica di F non divide n (in particolare F ha caratteristica zero), I'n-simo polinomio ciclotomico #^(X) su F e separabile (Proposizione 4.4.1). Quindi I'n-simo ampliamento ciclotomico F(^) e un ampliamento di Galois (Paragrafo 4.4). (6) Se 5 i , . . . , 5^, sono i polinomi simmetrici elementari sul campo F nelle indeterminate X i , . . . , X^, il polinomio generale di grado n su F g{T) := T" - s^T^'^ + S2T^-^ - • • • + {-iTsn

e F{si,...,

Sn)[T]

e separabile, perche le sue radici X i , . . . , X^ sono tutte distinte. Allora il campo delle funzioni razionali F ( X i , . . . , X^) e un ampliamento di Galois del campo K := F ( 5 i , . . .,5^), essendo il campo di spezzamento di g{T) su K (Esempio 4.1.5 (8)).

5.5 Esercizi 5.1. Sia F C if un ampliamento algebrico di campi e sia A un anello tale che F C A C if. Most rare che A e un campo. Suggerimento: Notare che, per ogni a G ^ , risulta F[a\ — F[a).

5.5 Esercizi

211

5.2. Mostrare che 1 + l l \ / 2 - 17>/3 e un numero algebrico. 5.3. Mostrare che le radici del polinomio X^^ - ^X^^^/lX'^ sono numeri algebrici (su Q).

- ' ^ G M\X]

5.4. Siano a, & G M. Mostrare che, se a + 6 e a6 sono numeri algebrici, allora anche a e 6 lo sono. 5.5. Mostrare che a-\-h\h \m. numero complesso algebrico se e soltanto se a e h sono numeri reali algebrici. Dedurne che, se x e algebrico, allora sin(x) e cos (a:) sono trascendenti Suggerimento: Ricordare la formula di Euler e^^ — cos(x) -h isin(x) ed usare il Teorema di Lindemann (Teorema 3.3.7). 5.6. Sia F un campo numerico. Mostrare che una chiusura algebrica di F e costituita esattamente dai numeri complessi algebrici su F. 5.7. Mostrare che un campo finito non puo essere algebricamente chiuso. 5.8. Mostrare che esistono campi infiniti algebrici su F^. 5.9. Sia K I'unione dei campi F^n, n > 1. Mostrare che K e un campo ed e una chiusura algebrica di ¥p. 5.10. Mostrare che il campo F{X) delle funzioni razionali in una indeterminata X sul campo F non e algebricamente chiuso. 5.11. Sia F C K \xii ampliamento di campi di grado n e sia a G K. Mostrare che, se esistono n jP-isomorfismi (pi^.. .^cp^ di K nella chiusura algebrica F di F tali che (pi{a) ^ (Pj{(^) per i ^ j , allora K = F{a). 5.12. Mostrare che, se F C K e un ampliamento di campi, si puo immergere F in K. Mostrare inoltre con un esempio che puo essere F ^ K, 5.13. Mostrare che ogni chiusura algebrica F e normale su F. 5.14. Dare un esempio di ampliamento normale non finito. 5.15. Mostrare che ogni F-isomorfismo di F in F e suriettivo e dunque e un automorfismo. Suggerimento: Osservare che 1'ampliamento F C F e normale. 5.16. Mostrare che la relazione di coniugio su F e una relazione di equivalenza sull'insieme dei campi intermedi dell'ampliamento F C F . 5.17. Determinare i coniugati su Q di 6> := v ^ ; 1 + 9; 0 + 9'^. 5.18. Sia ^ una radice primitiva undicesima dell'unita. Determinare i coniugati su Q di a : = ^ + ^~^

212

5 Ampliamenti algebrici

5.19. Determinare i campi coniugati a Q( A/2), n > 2, e la chiusura normale di Q( A/2) in C. 5.20. Sia a = \/3 + v^. Determinare i campi coniugati a Q(a) e la chiusura normale di Q(a) in C. 5.21. Costruire la chiusura normale in C dei seguenti campi:

5.22. Siano p i , . . . ,Pn numeri primi distinti e sia K := Q ( y ^ , . •., y ^ ) . Mostrare che K e normale su Q. 5.23. Verificare che il campo dei numeri complessi algebrici e la chiusura normale in C del campo dei numeri reali algebrici. 5.24. Mostrare che, se F C K e un ampliamento di campi finito, allora K e contenuto nel campo di spezzamento su F di un opportuno polinomio f{X) C F[X]. 5.25. Determinare un elemento primitivo per i seguenti ampliamenti di Q:

q{V2,^); Q(V2,^); Q ( ^ , ^ ) ; Q(V2, V3, V5); Q(V^, V?, ^). 5.26. Siano a := s/2, ^ e C una radice primitiva terza dell'unit a e K := Q(a,^). Mostrare che a — a^ e un elemento primitivo per K su Q mentre a + a<^ non lo e. 5.27. Stabilire quali tra i seguenti polinomi sono separabili su Q, C, F2, F3: X ^ - f l ; X 2 - 2 X - f l ; GX^ + X - 1; X^ + X^ + X^ + X2 + 1; X^ + X^ + 1. 5.28. Costruire un ampliamento algebrico semplice e non separabile del campo Fp(r), dove r e una indeterminata su Fp Suggerimento: Usare il polinomio X^ — r considerato nell'Esempio 5.3.5. 5.29. Mostrare che ogni ampliamento algebrico di un campo perfetto e perfetto. 5.30. Mostrare che un campo algebricamente chiuso e perfetto. 5.31. Dare un esempio di ampliamento normale non separabile. 5.32. Sia F un campo e siano a, /3 G F\{0}. Mostrare che se a e separabile e /? e puramente inseparabile su F , allora F{a,/3) = F ( a + /?) = F{afi). 5.33. Mostrare che un ampliamento di grado primo p e separabile oppure puramente inseparabile.

5.5 Esercizi

213

5.34. Dato un ampliamento di campi F C K^ verificare direttamente che, se a^ (3 e K sono puramente inseparabili su F, allora a — P e puramente inseparabile su F. Suggerimento: Usare il Lemma 4.3.2. 5.35. Siano a := A/2 + ^ 3 e L := Q(V2) <^ K \= Q(a). Calcolare la norma e la traccia di a su Q e su L in K . 5.36. Siano a := v ^ e L := ^[a^) traccia su L in if di a e a^ + a.

C if := Q(a). Calcolare la norma e la

5.37. Sia F C if un ampliamento finito e separabile e sia T : if —> F la traccia. Per ogni a G if, definiamo T«:if—>F]

x^T{ax).

Most rare che I'applicazione a \-^ T^ e un'immersione di K nel suo spazio duale. Suggerimento: Usare il Corollario 5.3.46. 5.38. Sia p > 2 un numero primo e sia ^ G C una radice primitiva p-esima dell'unita. Calcolare la norma di a := 1 — ^ su Q in Q(^). 5.39. Sia n > 2 e sia (i un divisore positivo di n. Studiare la norma su F^d in 5.40. Stabilire quali tra i seguenti campi sono ampliamenti di Galois di Q: Q ( v ^ ) ; Q ( y 2 , i ) ; Q(v^, v ^ ) ; QiVS); Q(x/3, ^ ) ; Q(ix/3, ^ ) ; Q(A/2 + i, ^ ) . 5.41. Sia F un campo di caratteristica zero. Mostrare che ogni ampliamento finito di F e contenuto in un ampliamento di Galois. 5.42. Sia ^ G C una radice primitiva settima dell'unita. Mostrare che gli ampliamenti sono di Galois e determinare una loro risolvente di Galois. 5.43. Determinare tutte le risolventi di Galois degli ampliamenti ¥p C ¥pn e di tutti i loro ampliamenti intermedi Fp C L, L C F^n per p = 2, n = 6;

p = 3, n = 4;

p = 5, n = 2.

6^

Ampliamenti trascendenti

Abbiamo visto che, dato un ampliamento di campi F C K,u.n elemento a ^ K e trascendente su F se e soltanto se Tampliamento semplice F{a) e isomorfo al campo delle funzioni razionali in una indeterminata su F (Paragrafo 3.4). In questo capitolo studieremo piu generalmente gli ampliamenti di campi che sono isomorfi a campi di funzioni razionali; tali ampliamenti vengono chiamati ampliamenti puramente trascendenti.

6.1 Dipendenza algebrica II concetto di indipendenza algebrica su un campo F estende quello di indipendenza lineare ed ha origine dal fatto che un polinomio di F[X.] e nullo se e soltanto se lo sono tutti i suoi coefficienti (Paragrafo 2.1.2). Definizione 6.1.1 Se F C K e un ampliamento di campi, gli elementi ai^.. .,an ^ K, si dicono algebricamenteindipendenti su F se / ( a i , . . . , a^) ^ 0; per ogni polinomio non nullo f{Xi,..., Xn) a coefficienti inF. In caso contrario, a i , . . . , a n si dicono algebricamente dipendenti su F e Vuguaglianza /(o^i,.. .,an) = 0 con / ( X ) G i^[X] non nullo, si dice una relazione (di dipendenza) algebrica su F tra a i , . . . , a^Un sottoinsieme S di K si dice algebricamente indipendente su F se ogni suo sottoinsieme finito e costituito da elementi algebricamente indipendenti su F. Se no, S si dice algebricamente dipendente su F. Esempi 6.1.2 (1) Ogni elemento algebrico su F e algebricamente dipendente su JP. In particolare ogni sottoinsieme di F e algebricamente dipendente su F. ( 2 ) S e a i , . . . , a n G K sono algebricamente indipendenti su F , in particolare essi non annullano alcun polinomio di primo grado CiXi-\ \-CnXn G F[X] a coefficienti non tutti nulli. Percio a i , . . . , a^ sono anche linearmente indipendenti su F . Tuttavia elementi linearmente indipendenti possono essere algebricamente dipendenti. Ad esempio sono linearmente indipendenti su Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

216

6 Ampliamenti trascendenti

Q (Esempio 3.2.6 (3)), ma se / ( X i , X2) := 3Xf - 2X|, allora f{^/2, VS) = 0. Dunque A/2 e ^/S sono algebricamente dipendenti su Q. (3) Se a i , . . . , a^ G K sono algebricamente dipendenti su F e /3i,..., /3^ G K sono algebricamente dipendenti su F ( a i , . . . , a^), allora a i , . . . , o:^, /3i, . . . , /3^ sono algebricamente dipendenti su F, Infatti, data una relazione di dipendenza algebrica / ( / 3 i , . . . , /3^) = 0, dove f{Xi,..., Xm) e un polinomio non nullo a coefEcienti in F ( a i , . . . , a^), moltiplicando per un denominatore comune dei coefRcienti, si ottiene una relazione di dipendenza algebrica tra a i , . . .,an,/3i,...,/?m su F. (4) E chiaro dalla definizione ctie se a i , . . . , an ^ K sono algebricamente indipendenti su F, lo sono anche m < n elementi comunque scelti tra questi; in particolare, ogni a^ e trascendente su F. Tuttavia, se a i , . . .,ari sono trascendenti su F , essi possono essere algebricamente dipendenti. Ad esempio se a e trascendente su F , anche a^ lo e (Esempio 3.3.2 (4)); ma se f{Xi^X2) := Xf — X2 risulta / ( a , a ^ ) = 0. Dunque a e a'^ sono algebricamente dipendenti su F. (5) II Teorema di Lindemann (Teorema 3.3.7) ci assicura che se 771,..., 77^ sono numeri algebrici linearmente indipendenti su Q, le potenze e^^,..., e^^ del numero di Nepero e sono algebricamente indipendenti su Q. Infatti, per I'indipendenza lineare di ryi,..., 77^, i numeri algebrici air/i H l-akTjk, di G Q per i — 1 , . . . , fc, sono tutti distinti al variare delle 7i-ple ( a i , , . . , a/c) G Q^. Allora una relazione di dipendenza algebrica X]ci^...i^(e^^)^^ .. .(e^'^)^^ = 0 su Q tra i numeri e^* sarebbe una relazione di dipendenza lineare tra i numeri gOir^iH hafcT^fc^ '^^ contraddizione con il Teorema di Lindemann. Lo studio della dipendenza algebrica di numeri trascendenti e molto difficile. Ad esempio non e ancora noto se i due numeri trascendenti TT ed e siano algebricamente indipendenti su Q [52, Chapter III]. Lemma 6.1.3 Se F C K e un ampliamento di campi e S C K^ un elemento a ^ K \ S e algebrico su F{S) se e soltanto se Vinsieme S U {a} e algebricamente dipendente su F. Dimostrazione. Un elemento a G K \ S e algebrico su F{S) se e soltanto se esistono a i , . . . , a n G 5, n > 0, tali che ^ ^ ^ ( a i , . . . , an)Q^* = 0 per qualche polinomio non nullo ^ ^ ^ ( a i , . . .,Q;n)-^n+i ^ (•^(*5'))[-^]- Moltiplicando per un denominatore comune dei coefficienti, questo equivale a dire che / ( a i , . . . , an^ a) = 0 per qualche polinomio non nullo f{Xi,..., X^, X^+i) G F [ X i , . . . , Xn, Xn+i], cioe che a i , . . . , an, a sono algebricamente dipendenti suF. Proposizione 6.1.4 Sia F C. K un ampliamento di campi e sia S C K. Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) S e algebricamente indipendente su F; (ii) Se yi := {Xa}aeS ^ un insieme di indeterminate I ^applicazione

indipendenti su F,

6.1 Dipendenza algebrica ^:F[X]-^F[S];

217

/ ( X „ , , . . . . X ^ J H ^ / ( a i , . . .,a„)

e un isomorfismo; (iii) Ogni a e S e trascendente su F{S \ {a}). Dimostrazione. (i) =^ (ii) Per definizione, a i , . . . , a^i G 5 sono algebricamente indipendenti su F se e soltanto se romomorfismo definito dal valore in a :=

e iniettivo. Poiche F[X] = [Jai^s ^[^ai^ • • •,^an]^ ^^ segue die, se 5 e algebricamente indipendente su F , -0 e un omomorfismo iniettivo e quindi, essendo suriettivo, e anche un isomorfismo. (ii) =^ (iii) Sia a G 5 algebrico su F{S \ {a}) con polinomio minimo dO^) '= ^9i{(^i:-"i(^n)y'' G F{ai,...,an)[Y] di grado m > 1, cosi die gm{(^i^'' '^(^n) 7^ 0- Moltiplicando per un denominatore comune, possiamo supporre die ^ ^ ( a i , . . . , a^) G F[5] per ogni i = 0 , . . . , m. Allora il polinomio gm{Xi,..., Xn) G F[X.] e non nullo e percio anclie il polinomio / ( X i , . . .,Xn,Xn4-i) := 2_^^i(Xi,.. .,Xn)X'^^i

G F[X]

e non nullo. Poiche / ( a i , . . . , a^, ex) = g{ot) = 0, ne segue die ip non e iniettiva. (iii) =4> (i) segue dal Lemma 6.1.3. CoroUario 6.1.5 Siano F C K un ampliamento di campi, S un sottoinsieme diK e X : = { X ^ } Q^^s '^^ insieme di indeterminate indipendenti su F. Allora S e algebricamente indipendente su F se e soltanto se esiste un F-isomorfismo ^ : F{X) —> F{S) tale che '0(Xc) = a, per ogni a e S. Dimostrazione. Per la Proposizione 6.1.4, se S e algebricamente indipendente su F , I'applicazione ^ : F [ X ] - ^ F[5];

/ ( X « , , . . . , X „ J H ^ / ( a i , . . .,a„)

e un isomorfismo. Allora I'estensione di '0 ai campi delle frazioni ^ : F ( X ) - ^ F{S) ;

/(Xc,,,...,Xc^) g{Xa^,...,XaJ

/(ai,,..,an) g{ai,...,an)

e un F-isomorfismo (Teorema 1.5.1 (c)). Viceversa, se ip : F ( X ) —> F(S') e un F-isomorfismo tale die ip{Xa) = ct, per ogni a G 5, allora per ogni polinomio non nullo / ( X ) :— /(XQ,^ , . . . , X^^) G F[X], deve risultare 7/^(/(X)) = / ( ^ i , . . . , a^) 7^ 0. Percio S e algebricamente indipendente su F . Definizione 6.1.6 52 dice che Vampliamento F C K e puramente trascendente^ oppure che K e puramente trascendente su F^ 5e X = F(S') per qualche sottoinsieme S di K algebricamente indipendente su F.

218

6 Ampliamenti trascendenti

Esempi 6.1.7 {!) Se K := F{S) e un ampliamento puramente trascendente di F , per il Corollario 6.1.5, ogni elemento x ^ K si scrive in modo unico come x := / ( c e i , . . . , an)/g{oti,. •., dn) ^ K con a^ G S, i — 1 , . . . , n e MCD(/(X),ff(X)) = l. (2) Se K :== F{S) e un ampliamento puramente trascendente di F , ogni (3 e K \F e trascendente su F. Infatti, sia /? = / ( a i , . . . , an)/g{cti^..., an) con a^ G 5. Se esistessero degli elementi non tutti nulli CQ , c i , . . . , c^ G F tali che Co + Cif3 H h Cn^'^ — 0, moltiplicando per un denominatore comune, si otterrebbe una relazione di dipendenza algebrica su F tra a i , . . . , a^ (3) Un ampliamento semplice F{a) di F e puramente trascendente su F se e soltanto se a e trascendente su F. In questo caso, ogni [3 e F{a)\ F e trascendente su F.

6.2 Basi di trascendenza Come il concetto di indipendenza lineare porta alia definizione di grado di un ampliamento, il concetto di indipendenza algebrica porta a definire il grado di trascendenza. Definizione 6.2.1 Dato un ampliamento di campi F C K ed un sottoinsieme T di K, diciamo che T e una base di trascendenza di iC su F se T e algebricamente indipendente su F ed inoltre K e algebrico su F{T). Se K non e algebrico su F , I'esistenza di una base di trascendenza di K su F e garantita dal Lemma di Zorn (Teorema 13.0.2). Teorema 6.2.2 ^e F C K :— F{S) e un ampliamento di campi, si possono presentare due sole possibilitd: (a) K e algebrico su F; (b) S contiene elementi algebricamente indipendenti su F. In questo caso, ogni sottoinsieme di S formato da elementi algebricamente indipendenti e contenuto in una base di trascendenza di K su F. Dimostrazione. Se I'ampliamento F C K non e algebrico, S contiene elementi trascendenti su F per la Proposizione 5.1.1; dunque S ha sottoinsiemi algebricamenti indipendenti su F . Sia TQ C S un tale sottoinsieme e sia T I'insieme di tutti i sottoinsiemi di S che contengono To e sono algebricamente indipendenti su F . Ovviamente T e non vuoto ed inoltre T e parzialmente ordinato per inclusione. Infine ogni catena di T ammette un maggiorante, dato daH'unione degli insiemi della catena. Infatti, se {Tx} C T e una catena, ogni sottoinsieme finito { a i , . . . , an} delPunione U^^ F\ e contenuto in Tx per un opportuno indice A; percio gli elementi a i , . . . , a n sono algebricamente indipendenti su F . Dunque, per il Lemma di Zorn, esiste un sottoinsieme T di 5 massimale in T. Poiche, per la massimalita di T, ogni elemento di S\T e algebrico su F{T)

6.2 Basi di trascendenza

219

(Lemma 6.1.3), allora K := F{S) e algebrico su F{T) (Proposizione 5.1.1) e T e una base di trascendenza di K su F. Esempi 6.2.3 (1) Nel caso degli ampliamenti finitamente generati, per dimostrare Tesistenza di una base di trascendenza non e necessario usare il Lemma di Zorn. Supponiamo infatti che K := F ( a i , . . . , a^) non sia algebrico su F. Allora almeno uno degli ai e trascendente su F. A meno deH'ordine possiamo supporre che tale elemento sia ai, Se K non e algebrico su F ( a i ) , possiamo alio stesso modo supporre che a2 sia trascendente su F{ai). Iterando questo procedimento, otteniamo che, per un opportuno r < n, gli elementi a i , . . . , a^ sono algebricamente indipendenti su F (Lemma 6.1.3) e K e algebrico su F(ai,...,a^). (2) II teorema sull'esistenza delle basi di trascendenza (Teorema 6.2.2) ha un import ante analogo in Algebra Commutativa, dato dal Teorema di Normalizzazione di Noether [56, Theorem 14.14]. Questo teorema asserisce che, se JP e un campo ed A := F[ai,..., a^], n > 1, e una F-algebra finitamente generata (Paragrafo 2.3.1), esistono m elementi z/i,..., Um G ^ , 0 < m < n, algebricamente indipendenti su F tali che A sia intera su J5 := F [ i i i , . . . , Um] (per m = 0, B := F). (3) Ogni insieme S algebricamente indipendente su F e una base di trascendenza del campo F{S) su F. In particolare, ogni insieme X := {Xi}^^j di indeterminate indipendenti su F e una base di trascendenza del campo delle funzioni razionali F ( X ) su F. (4) I polinomi simmetrici elementari 5 i , . . . , 5^ su F formano una base di trascendenza del campo delle funzioni razionali F ( X i , . . . ,Xn) su F . Infatti essi sono algebricamente indipendenti su F (Teorema 2.7.6) e F ( X i , . . . , Xn) e algebrico su F{si,..., s„), essendo un campo di spezzamento del polinomio generale di grado n su F (Esempio 4.1.5 (8)). Mostriamo ora che due basi di trascendenza hanno la stessa cardinalita. II seguente teorema ha un ben noto analogo per Pindipendenza lineare. Teorema 6.2.4 (E. Steinitz, 1910) Sia F C K un ampliamento di campi e supponiamo che K abbia una base di trascendenza finita {/?i,..., Pn} su F. Se a i , . . . , am G K sono algebricamente indipendenti su F, allora m < n e si pud completare Vinsieme { a i , . . . , a ^ } ad una base di trascendenza di K su F aggiungendo al piu n — m elementi di {/3i,.. .^Pn}- In particolare, il numero degli elementi di una base di trascendenza di K su F e il massimo numero di elementi di K algebricamente indipendenti su F. Dimostrazione. Se {/3i,..., (3^} e una base di trascendenza di K su F , allora aih algebrico su L := F ( / 3 i , . . . , /?^). Quindi esiste un polinomio a coeflBcienti in L non tutti nulli f{X) := CQ + CiX + • • • + CgX^ tale che f{ai) = 0. Moltiplicando per un denominatore comune c?(/?i,..., /3n) di CQ, . . . , Cg, si ottiene una relazione algebrica ^ ( a i , / ? i , . . . , pn) = 0 a coefficienti in F . Dunque

220

6 Ampliamenti trascendenti

Pi e algebrico su L' := F(ai,/?2, • • -^Pn)- Consideriamo la catena di campi L' C V{/3i) — L{ai) C K. Poiche L'{(3i) e algebrico sn L' e K h algebrico su L{ai) (perche lo e su L), allora K e algebrico su V := F ( a i , / 3 2 , . . . , Pn) (Proposizione 5.1.2). Se m < n, cosi proseguendo si ottiene che K e algebrico su F ( a i , . . . , a^n, /?m+i5 • • •, /?n) ^ quiudi una base di trascendenza di K su F e contenuta in { a i , . . . , a ^ , /3m+i, • • •, /3n}- D'altra parte, non puo essere m> n, altrimenti a^+i sarebbe algebrico su F{ai,..., an)^ in contraddizione col fatto che a i , . . . , a ^ sono algebricamente indipendenti su F (Proposizione 6.1.4). Teorema 6.2.5 Sia F C. K un ampliamento di campi e siano S eT due basi di trascendenza di K su F. Allora S eT hanno la stessa cardinalitd. Dimostrazione. Supponiamo che K non sia algebrico su F . Se K ha una base di trascendenza finita su F , due basi di trascendenza hanno lo stesso numero di elementi per il Teorema 6.2.4. Supponiamo ora che K non abbia una base di trascendenza finita e siano 5, T due sue basi di trascendenza su F. Poiche K e algebrico su F{T) = \J{F{ti,...,tn)] t i , . . . , t n G T } , allora S C F{T) e ogni elemento di S appartiene ad un ampliamento finitamente generato F ( t i , . . . , t^). In questo modo possiamo far corrispondere ad ogni 5 G 5 un sottoinsieme finito {^1,..., in} ^ T. Poiche I'insieme delle parti finite di T ha la stessa cardinalita di T (Corollario 13.3.5), ne segue che l^l < |T|. Simmetricamente otteniamo che \T\ < \S\ e dunque S eT hanno la stessa cardinalita. II teorema precedente ci permette di definire il grado di trascendenza di una estensione di campi F C K nel seguente modo. Definizione 6.2.6 Se F C K e un ampliamento di campi, il grado di trascendenza di K su F e la cardinalitd di una (qualsiasi) base di trascendenza di K su F. In particolare, se K e algebrico su F, il suo grado di trascendenza e uguale a zero e, se K ha una base di trascendenza finita su F, il suo grado di trascendenza e uguale al massimo numero di elementi di K algebricamente indipendenti su F. Proposizione 6.2.7 Siano F C L C K ampliamenti di campi. Se K e algebrico su L, una base di trascendenza di L su F e anche una base di trascendenza di K su F. In particolare L e K hanno lo stesso grado di trascendenza su F. Dimostrazione. Supponiamo che L non sia algebrico su F e sia T una sua base di trascendenza su F . Allora T e algebricamente indipendente su F e L e algebrico su F{T). Poiche, per transitivita, anche K e algebrico su F{T) (Proposizione 5.1.2), ne segue che T e una base di trascendenza anche di K suF. Se F C K indichiamo con trdeg^(ir) il grado di trascendenza di K su F .

6.3 II teorema degli zeri di Hilbert

221

E s e m p i 6.2.8 (1) Se trdeg^(iir) = n > 0, n + 1 elementi distinti di K sono algebricamente dipendenti su F. (2) Se K := F{a) e un ampliamento semplice trascendente di F e /? G F{a) \ F , allora f3 e trascendente su F (Esempio 6.1.7 (2)). Poiche il grado di trascendenza di iiT su F e uguale a uno, {(3} e una base di trascendenza di K su F. Notiamo pero che puo essere F(/3) C F ( a ) , ad esempio se f3 = a^, n>2 (Esempio 3.5.7). (3) Consideriamo gli ampliamenti Q £ Q W C Q(7r, V^FT2) = Q(V^rT2) CK:=

Q(V7M^, A/2).

Poiche y/2 e algebrico su Q, si ha che K e algebrico sia su Q(7r) che su Q(V'7r + 2). D'altra parte, sia n che y/n + 2 sono numeri trascendenti (Esempio 3.3.2 (4)), percio sia {TT} che {VTT + 2} sono basi di trascendenza di K su Q. (4) II grado di trascendenza del campo delle funzioni razionah F{X.) su F e |X| (Esempio 6.2.3 (2)). Inoltre il Corollario 6.1.5 implica che, se F C K e un ampliamento puramente trascendente, trdeg^(K) = |yl| se e soltanto se K e F-isomorfo al campo delle funzioni razionali su F nelle indeterminate indipendenti X := {Xx}^^j^. (5) II grado di trascendenza di R e di C su Q e uguale alia cardinalita del continuo. Infatti, sia S una base di trascendenza di R su Q. Poiche R e algebrico su Q{S), allora R e Q{S) hanno la stessa cardinalita (Proposizione 5.1.19). Ma poiche Q e numerabile, allora |R| = \Q{S)\ = max{|Q|, l^l} = \S\ (Corollario 13.3.6). Infine C ha lo stesso grado di trascendenza di R perche e algebrico su R (Proposizione 6.2.7). (6) Usando la Proposizione 6.2.7, si puo dare un'altra dimostrazione del fatto che i polinomi simmetrici elementari s i , . . . , 5^ sono algebricamente indipendenti su F (Teorema 2.7.6). Infatti F ( X i , . . . ,X-^) e algebrico su F ( 5 i , . . .,5n), essendo un campo di spezzamento del polinomio generale di grado n su F (Esempio 4.1.5 (8)). Dunque F ( X i , . . . , Xn) e F ( s i , . . . , 5n) hanno una base di trascendenza comune su F , che puo essere scelta tra s i , . . . , s^ (Esempio 6.2.3 (1)). Poiche F ( X i , . . . , Xn) ha grado di trascendenza uguale a n, ne segue che s i , . . . , s^ formano una base di trascendenza di F ( X i , . . . , Xn) su F ; in particolare sono algebricamente indipendenti su F .

6.3 II teorema degli zeri di Hilbert Ogni ampliamento finito di un campo F e del tipo K := F [ a i , . . . , a^], ovvero e una F-algebra finitamente generata (Corollario 3.6.4). Usando le proprieta degli ampliamenti trascendenti, possiamo ora dimostrare che vale anche il viceversa di questa affermazione.

222

6 Ampliamenti trascendenti

Proposizione 6.3.1 Sia F C K un ampliamento di campi. Se K e una F-algebra finitamente generata, K e un ampliamento finito di F. Dimostrazione. Sia K := F [ a i , . . . , a^]. Allora K — F ( a i , . . . , an) e un ampliamento finito di F se e soltanto se e algebrico su F (Teorema 3.6.3). Mostriamo che il grado di trascendenza di K su F e zero. Se { a i , . . . , a^} e una base di trascendenza d\KsViF^l<s 1} (Esercizio 1.23).

6.3 II teorema degli zeri di Hilbert

223

Teorema 6.3.2 (Teorema degli Zeri, D . Hilbert, 1893) Sia F = F un campo algebricamente chiuso e sia X = {--^i,.. .,-^n} w^^ insieme di indeterminate indipendenti su F. Allora: (a) (Forma debole) Un ideate M C F\X\ e massimale se e soltanto se M = {Xi - a i , . . . , Xn - an), per qualche a := ( a i , . . . , a^) G F^. (b) Per ogni ideale I y^ F[X\, V{I) + 0. (c) (Forma forte) Per ogni ideale I 7^ F[X\, X{V{I)) = rad(/). Dimostrazione. (a) L'ideale M := (Xi — a i , . . . , X^—a^) ^ ^[X] ^ massimale, per ogni ot := ( a i , . . . , an) G F'^. Infatti I'applicazione F[X.] —> i^[X] definita da f{Xi) \-^ f{Xi — ai) e un automorfismo di F[X.] (Proposizione 2.3.26) e l'ideale (X) e massimale, perche F[X]/(X) e un campo isomorfo ad F. Viceversa, sia M C F[K] un ideale massimale. Allora I'anello quoziente K := F[X.]/M e un campo e I'applicazione (p : F —> K; a ^ a -{- M e un'immersione di F in K. Poiche K e una F-algebra finitamente generata (Esempio 2.3.4 (4)), per la Proposizione 6.3.1,1'ampliamento F C K e algebrico e, poiche F e algebricamente chiuso, risulta F = K, ovvero (p e suriettivo. Allora, per ogni z = 1 , . . . , n, si ha X^ = a^ mod M per qualche ai G F. Ne segue che N := {Xi — cei,..., Xn — an) ^ M e quindi, per la massimalita di AT, si ha I'uguaglianza. (b) Sia / 7^ F[X] e M un ideale massimale contenente / . Per il punto (a), M = {Xi - Q i , . . . , X^ — an) con a := ( a i , . . . , a^) e F'^ e quindi ogni polinomio / ( X ) G / si scrive nella forma / ( X ) = X^^^i ^/i(X)(X^ — ai). Ne segue che f{a.) = 0 per ogni / ( X ) G / e quindi a G V(/). (c) Sia / ( X ) G rad(/), cosi che /"^(X) G / , per qualche m > 1. Se a G V(/), allora / ^ ( a ) - /(a)"^ = 0, da cui / ( a ) = 0 e rad(/) C X(V(/)). Viceversa vogliamo far vedere che, se / ( X ) 7^ 0 e tale che / ( a ) = 0 per ogni a G V(/), allora / ( X ) G rad(/). Sia Y una nuova indeterminata su F[X.] e, fissato / ( X ) G X(V(/)), consideriamo il poUnomio p(X, y ) := / ( X ) F - 1 G F [ X , r ] . Posto J := ( / , ^ ( X , y ) ) C F [ X , y ] , se ( a i , . . . , a n , / ? ) G V(J), deve essere ( a i , . . . , an) G V(/) e / ( c e i , . . . , Q^n)/^ = I7 il che e impossibile perche / ( a i , . . . , a n ) = 0. Quindi V(J) == 0, da cui J = F[K,Y] per il punto (b). Scriviamo 1 = u{X, Y) + ^(X, Y)g{X, Y), con u(K, Y) := JZ fi{'X)hi{X, Y) e fi(X.) G /, e consideriamo I'applicazione V' : F[X, Y] -^

F{X);

/i(X, Y) ^ h{X, 1//(X)).

Allora ^{giX, Y)) = V'(/(X)y - 1) = / ( X ) / / ( X ) - 1 = 0 e

1 = ^(1) = ^p{u{X, Y)) = xPiY^ MX)hi{X, Y)) = J ] fi{X)hi{X, 1//(X)). Moltiphcando per una opportuna potenza /"^(X), otteniamo allora una relazione

r(x,y) = 5]/i(x)/iax) da cui r{X)

e / e / ( X ) e rad(/).

224

6 Ampliamenti trascendenti

Esempi 6.3.3 Nel Teorema degli Zeri I'ipotesi che F sia algebricamente chiuso e necessaria. Infatti, se ad esempio f{X) = X^ + 1 G M[X] el— (/(X)), vediamo che / e un ideale massimale (per rirriducibilita di f{X) su R) e

V(/) = 0.

6.4 II t e o r e m a di Liiroth Dimostriamo in questo paragrafo che, se X e una indeterminata sul campo F e F C L C F ( X ) , anche il campo intermedio L e un amphamento trascendente sempHce di F. Questo risultato e dovuto a J. Liiroth {Beweis eines Satzes iiher razionale Curven, 1876) ed e di particolare importanza nello studio delle curve algebriche [48, Chapter IV]. L e m m a 6.4.1 Sia X una indeterminata sul campo F. SeO :— ^ k 4 G F{X)\ F, con MCD(^(X),/i(X)) = 1, allora X e algebrico su F{9) di grado d := max{deg^(X), deg/i(X)}. Dimostrazione. Sia Z una indeterminata su F{X). II pohnomio m{Z) : = g{Z) - eh{Z) e {F[e])[Z] e annullato da X ed ha grado d := max{deg^(Z), deg/i(Z)} in Z. Mostriamo che m{Z) e irriducibile su F{9). Poiche 6 e trascendente su F , esso si comport a come una indeterminata su F. Poiche inoltre m{Z) G (F[^])[Z] ed e primitivo su F[9] (cioe i suoi coefficienti non hanno fattori comuni in F[^]), per il Lemma di Gauss, m{Z) e irriducibile su F{9) se soltanto se lo e su F[6]. Sia f{9, Z) e {F[9])[Z] un divisore di m{Z) di grado positivo in Z. Allora m{9, Z) = f{9, Z)q{9, Z) con q{9, Z) G {F[9])[Z] = F[Z, 9]. Leggiamo questa uguaglianza in (F[Z])[^]. Poiche m{9^Z) e di primo grado in ^ e i suoi coefficienti sono coprimi in F[Z], esso e irriducibile in (F[Z])[^]. Dunque uno dei suoi fattori e una costante invertibile di F[Z] e percio appartiene a F. Poiche f{9, Z) ha grado positivo in Z, allora q{9, Z) = q G F. Ne segue che m{9^Z) e f{9,Z) sono associati in (F[^])[Z] e percio m{Z) e irriducibile su F[9]. Teoremia 6.4.2 (J. Liiroth, 1876) Sia X una indeterminata sul campo F. Se L e un campo tale che F C L C F{X), esiste un elemento (trascendente) 9eF{X) tale che L = F{9). Dimostrazione. Se /? G L \ F , F{X) e algebrico su F{f3) per il Lemma 6.4.1 e, poiche F{l3) C L, allora F{X) e algebrico su L. Sia Sia Z una indeterminata su L e sia m{Z) := CQ + ciZ + • • • + Z"^ G L[Z] il polinomio minimo di X su L. Se Ci 7^ 0, si ha Q = gi{X)/hi{X)^ con gi{X)^ hi{X) G F[X] non nulli e MCD{gi{X)^hi{X)) = 1. Inoltre, poiche X e trascendente su F , almeno uno dei coefficienti di m{Z) non appartiene a F. Sia un tale coefficiente 9 := g{X)/h{X). Vogliamo mostrare che L — F{9). Moltiplicando m{Z) per il minimo comune denominatore dei coefficienti, si ottiene un polinomio f{X,Z) G (F[X])[Z] che e primitivo su F[X] (cioe i

6.5 Gli automorfismi del campo complesso

225

cui coefficienti non hanno fattori comuni in -F[X]). Consideriamo il polinomio p{Z) := g{Z) - Oh{Z) G F{0)[Z] C F{X)[Z]. Questo e un polinomio su F{e) annullato da X (Dimostrazione del Lemma 6.4.1); dunque esso e diviso da m{Z) in F{0)[Z] e percio anche in F{X)[Z]. Allora il polinomio k{X,Z) := h{X)g{Z) - g{X)hlz) e diviso da f{X,Z) in F{X)[Z]. Poiche f{X,Z) e primitivo su F[X]^ per il Lemma di Gauss si ha k{X^Z) — / ( X , Z)g(X, Z), doveg(X,Z) G F [ X , Z ] . II polinomio A;(X, Z) e simmetrico in X, Z\ quindi ha stesso grado d sia rispetto a X che a Z. Tale grado e il grado di p(Z) e percio d = max{deg^(X),deg/i(X)}. Ora 6? e al piii uguale al grado di / ( X , Z) in X, perche h[X) divide f{X,Z) e g{X) divide un suo termine in F[X, Z]. Ma poiche / ( X , Z ) divide k{X,Z), i gradi di k{X,Z) e / ( X , Z) rispetto a X devono risultare uguali. Ma allora g(X, Z) = q{Z) G F[Z]. Inoltre q{Z) e addirittura una costante di F , infatti, essendo MCD(^(X),/i(X)) = 1, k{X,Z) e primitivo su F[Z]. Ne segue che /c(X, Z) e f{X^Z) hanno entrambi stesso grado m — n, sia rispetto a X che a Z. Per la proprieta moltiplicativa del grado, si ha [F(X) : L][L : F(6>)] = [F(X) : F{e)\. Ma [F(X) : L] = n = m = [F(X) : F(6>)], dunque L - F(6>). Esempi 6.4.3 II Teorema di Liiroth non si puo estendere al caso di 2 o piu indeterminate. In due indeterminate, I'analogo del Teorema di Liiroth e il Teorema di G. Castelnuovo^ che assicura che nelle ipotesi in cui F = F sia algebricamente chiuso, F C L C F ( X i , X2) e F ( X i , X2) sia finito e separabile su L (in particolare F abbia caratteristica zero), allora I'ampliamento F C L e puramente trascendente {Sulla razionalitd delle involuzioni piane^ 1894). O. Zariski ha dimostrato che questo risultato e falso se non si assume la separabilita di F ( X i , X2) su L {On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 0/ an algebraic surface, 1958). L'impossibilita di estendere il Teorema di Liiroth a tre o piu indeterminate e stata poi dimostrata da V. Iskovskih - Y. Manin {Three-dimensional quartics and counterexamples to the Liiroth problem, 1971) e C. Clemens - P. Griffiths {The intermediate Jacobian of the cubic threefold, 1972) [48, Example 2.5.5, Remark 6.2.1].

6.5 Gli automorfismi del c a m p o complesso Poiche I'identita e I'unico automorfismo del campo reale R (Esempio 3.1.4 (2)), gli unici R-automorfismi del campo complesso C sono I'identita il coniugio (Esempio 4.2.8 (1)). Tuttavia, come mostreremo tra poco, I'Assioma della Scelta implica che il gruppo di tutti gli automorfismi di C e infinito ed ha precisamente la cardinalita dell'insieme delle parti di R [30], [11, pag. 251]. Lemma 6.5.1 Sia S un insieme che ha la cardinalita del continuo c. Allora Vinsieme di tutte le corrispondenze biunivoche di S in se stesso ha la cardinalita 2^ delVinsieme delle parti di R.

226

6 Ampliamenti trascendenti

Dimostrazione. Basta far vedere che Pinsieme delle corrispondenze biunivoche di M in R ha cardinalita 2*^. Cominciamo con I'osservare che ogni corrispondenza di R in R e determinata in modo univoco dal suo grafo, ovvero da un sottoinsieme di R x R. Poiche I'insieme R x R ha la cardinahta del continuo (Teorema 13.3.2), I'insieme di tutti i grafi, ovvero di tutte le corrispondenze di R in R, sono 2"^. Ne segue che le corrispondenze biunivoche di R in R sono al pill 2^ Mostriamo ora che tali corrispondenze sono almeno 2"^. Poiche I'intervallo aperto / := (0,1) ha la cardinalita del continuo c (Proposizione 13.2.1), I'insieme dei suoi sottoinsiemi ha cardinalita 2^ Per ogni sottoinsieme A delI'intervallo I := (0,1) consideriamo il sottoinsieme BA := ^ U (—OO, 0] di R ed il suo complement are CA •= R \ ^ A - Entrambi questi insiemi, non essendo numerabili, hanno cardinalita c; dunque esistono una corrispondenza biunivoca tra BA e la semiretta (—oc, 0] ed una corrispondenza biunivoca tra CA e la semiretta aperta (0, —oo). Incollando queste due corrispondenze biunivoche, si ottiene per ogni A una corrispondenza biunivoca di R in R. In questo modo si ottengono allora 2^ corrispondenze biunivoche di R in R. Proposizione 6.5.2 Se T e una base di trascendenza di C su Q, ogni applicazione biunivoca di T in se si estende a un automorfismo di C. Dimostrazione. Poiche Q(T) e un campo di funzioni razionali (CoroUario 6.1.5), ogni applicazione biunivoca di T in se si estende ad un automorfismo di Q(T) (Proposizione 2.8.1). Poiche poi C e algebrico su Q(T) ed e algebricamente chiuso, C e una chiusura algebrica di Q(T). Allora ogni automorfismo di Q(T) si estende ad un automorfismo di C (CoroUario 5.1.15). Proposizione 6.5.3 // gruppo degli automorfismi di C ha cardinalita 2"^. Dimostrazione. Sia T una base di trascendenza di C su Q. Poiche T ha la cardinalita del continuo (Esempio 6.2.8 (5)) ed ogni corrispondenza biunivoca di T in se induce un automorfismo di C (Proposizione 6.5.2), I'insieme degli automorfismi di C ha cardinalita almeno uguale a 2*^ per il Lemma 6.5.1. D'altra parte, poiche anche C ha la cardinalita del continuo (CoroUario 13.3.3), tali automorfismi, essendo corrispondenze biunivoche, sono al piu 2^^ per lo stesso lemma.

6.6 Esercizi 6.1. Costruire un ampliamento del campo complesso C che non e puramente t r ascendent e. 6.2. Sia X una indeterminata sul campo F e sia a G F{X). Mostrare che F{a) = F{X) se e soltanto se a = (a + bX)/{c + dX)^ con a, b, c, d ^ F e ad— bc^ 0.

6.6 Esercizi

227

Soluzione: Sia a := f{X)/g{X) G F ( X ) . Poiche F{a) = F{X) se e soltanto se [F{X) : F{a)] = 1, per il Lemma 6.4.1, F{a) = F{X) se e soltanto se a ha grado 1, cioe e della forma voluta. 6.3. Determinare una base di trascendenza di C(X, X + ^ ) su C, dove X e una indeterminata su C 6.4. Determinare due basi di trascendenza distinte di K := Q(7r, \/3) su Q, 6.5. Mostrare che i polinomi di Newton (Esempio 2.7.9 (2)) formano una base di trascendenza del campo delle funzioni razionali F{Xi,..., Xn) su F. 6.6. Mostrare che, se F e un campo di caratteristica zero, ogni ampHamento finitamente generato di F e un ampliamento algebrico sempHce di F oppure di un ampHamento puramente trascendente di F . 6.7. Mostrare che un ampHamento di campi F C K che ha grado di trascendenza almeno uguale a 2 non puo essere sempHce. 6.8. Siano F C L C K ampHamenti di campi. Mostrare che, se trdeg^(i^) e finito, aHora trdeg^(K) = trdeg2^(i^) + trdeg^(L). Suggerimento: Mostrare che, se { a i , . . . , ^ ^ } e una base di trascendenza di L su F e {/?i,... ,/3m} e una base di trascendenza di K su L, aHora { a i , . . . , an, / ? ! , . . . , (3m} e una base di trascendenza di K su F . 6.9. Mostrare che due ampHamenti puramente trascendenti di F sono F isomorfi se e soltanto se hanno lo stesso grado di trascendenza su F . 6.10. Sia F{S) un ampliamento puramente trascendente di F . Mostrare che ogni automorfismo 99 di F si puo estendere a un automorfismo ip di F{S) ponendo '0(a) = (p(a) per ogni a e F e 7/^(5) = s per ogni s e S, 6.11. Mostrare che gli unici automorfismi continui di C sono I'identita e il coniugio. Suggerimento: Notare che, poiche Q e denso in R, ogni automorfismo continuo di C deve essere I'identita su R. 6.12. Mostrare che esistono 2"^ isomorfismi di R in C. Soluzione: Se T e una base di trascendenza di R su Q, ogni corrispondenza biunivoca di T in se induce un automorfismo di Q ( r ) (Proposizione 2.8.1) e, poiche gli ampHamenti Q(T) C R C C sono algebrici e C e algebricamente chiuso, questo automorfismo si estende ad un isomorfismo di R in C per il Teorema 5.1.13 (a). Per finire ricordiamo che T ha la cardinalita del continuo (Esempio 6.2.8 (5)) e quindi le corrispondenze biunivoche di T in se sono 2*^ (Lemma 6.5.1). 6.13. Mostrare che C ha infiniti automorfismi che scambiano i e — i. Suggerimento: Usare I'esercizio precedente e la Proposizione 4.2.6.

228

6 Ampliamenti trascendenti

6.14. Sia Lp un automorfismo di C. Mostrare che la restrizione di ip ad ogni ampliamento ciclotomico di Q e un automorfismo. Tuttavia non e vero che, se a G C ha modulo uguale a 1, allora ^{a) ha necessariamente modulo uguale al. Suggerimento: Ricordare che esistono numeri trascendenti di modulo uguale a 1, ad esempio e^ (Corollario 3.3.8), ed usare il Teorema 6.2.2 (2) e la Proposizione 6.5.2. 6.15. Mostrare che ogni automorfismo di C e I'identita su uno dei seguenti campi: Q(i), Q(^/2), Q ( i ^ ) . Suggerimento: Notare che, per I'esercizio precedente, ogni automorfismo di C induce per restrizione un automorfismo dell'ottavo ampliamento ciclotomico Q(V2,i) ed usare I'Esempio 4.2.8 (5). 6.16. Siano F e K due campi algebricamente chiusi che hanno la stessa caratteristica e la stessa cardinalita non numerabile. Mostrare che F e K sono isomorfi. Suggerimento: Procedendo come nell'Esempio 6.2.8 (5), mostrare che F e K hanno lo stesso grado di trascendenza sul loro sottocampo fondamentale F. Allora, se S e T sono due rispettive basi di trascendenza, F(5) e F(T) sono campi puramente trascendenti isomorfi ed ogni loro isomorfismo si estende ad un isomorfismo tra F e K per il Teorema 5.1.13.

Parte III

LA CORRISPONDENZA DI GALOIS

7

La corrispondenza di Galois

In questo capitolo esporremo la parte centrale della Teoria di Galois, mettendo in evidenza come, dato un ampliamento di campi F C K^le proprieta del gruppo degli F-automorfismi di K siano strettamente connesse con le proprieta deir ampliamento stesso. Per le applicazioni, saremo particolarmente interessati a studiare il caso in cui K sia un ampliamento di Galois finito di F , ovvero sia il campo di spezzamento di un polinomio separabile su F. Tuttavia molti risultati si possono dimostrare senza ulteriori difBcolta in ipotesi piu generali e questo ci permettera di esaminare brevemente anche il caso non finito.

7.1 II g r u p p o di Galois di un ampliamento Se F C K e nii ampliamento di campi, gli F-automorfismi di K formano un sottogruppo del gruppo Aut(i^) di tutti gli automorfismi (Proposizione 4.2.5). Definizione 7.1.1 Se F C K e un ampliamento di campi, il gruppo degli F-automorfismi di K si chiama il gruppo di Galois di i^ su F , o anche il gruppo di Galois dell'ampliamento^ e sard nel seguito indicato con Gdlp^K). Si vede subito che se F C L C K, allora GalL{K) C GalpiK)^ infatti un L-automorfismo di K e anche un F-automorfismo. Esempi 7.1.2 (1) E chiaro che G31K{K) — {id}, Inoltre, se F e il sottocampo fondamentale di K, allora GalF(i^) = Aut(iC) (Proposizione 3.1.3). (2) L'identita e I'unico automorfismo del campo reale R (Esempio 3.1.4 (2)). Dunque GalQ(R) = Aut(M) = {id). II gruppo di Galois del campo complesso C su R ha due elementi, precisamente l'identita e il coniugio (Esempio 4.2.8 (1)). Invece C ha infiniti automorfismi (Paragrafo 6.5); quindi GalQ(C) = Aut(C) e infinito.

Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

232

7 La corrispondenza di Galois

(3) II gruppo di Galois del campo delle funzioni razionali F{X) in una indeterminata X su F e il gruppo delle trasformazioni lineari fratte (Esempio 2.3.28 (2)). Infatti, per la Proposizione 4.2.2 (a), tutti gli F-automorfismi di F{X) sono quelli definiti da ^^ : F{X)-^F{X);

(^(X) ^ ^(/3),

con (i eF{X) trascendente su F e tale die F ( X ) = F(/3). Ricordiamo che ogni f3 G F{X) \ F e trascendente (Esempio 6.1.7 (3)). D'altra parte, se f3 := f{X)/g{X) G F{X) con MCD(/(X), c/(X)) = 1, allora [F(X) : F(/?)] = m := max{deg/(X), deg^(X)}, (Lemma 6.4.1). Quindi I'applicazione xjjfs e suriettiva se e soltanto se m = 1, ovvero /3 := {aX + b)/{cX + d), con a^b^c^deFead-bcj^O. Se F C K e un ampliamento algebrico, il suo gruppo di Galois e formato dagli F-isomorfismi di K in F che sono anche automorfismi di K. Quindi, se F C K e un ampliamento finito, Gali^(K) e un gruppo finito di ordine al piu uguale al grado di separabilita [K : F]s (Paragrafo 5.3.3). II seguente risultato mostra che gli ampliamenti finiti il cui gruppo di Galois ha ordine massimo sono precisamente quelli normali e separabili, cioe gli ampliamenti di Galois finiti (Paragrafo 5.4). Proposizione 7.1.3 Un ampliamento finito e di Galois se e soltanto se |GalF(K)| = [ i ^ : F ] . Dimostrazione. Basta ricordare che un ampliamento finito F C K e separabile se e soltanto se gli F-isomorfismi di K in F sono esattamente [K : F] (Teorema 5.3.21). Inoltre K e normale su F se e soltanto se ogni tale F-isomorfismo e un F-automorfismo (Proposizione 5.2.4). Come nel caso numerico, per determinare il gruppo di Galois di un ampliamento finito F C K possiamo costruire, per ricorsione sui generatori di X, tutti gli F-isomorfismi di K in F e poi stabilire quali tra questi sono F-isomorfismi (Paragrafo 5.1.1). Esempi 7.1.4 (1) Un ampliamento quadratico F C F{a) e di Galois se e soltanto se a ha due coniugati distinti a e a' su F . In questo caso gli F-automorfismi di F{a) sono due, definiti da: id : F{a) —> F(a), a \-^ a;

(p : F{a) —> F{a), a ^-)• a\

Quindi il gruppo di Galois di un ampliamento di Galois quadratico e isomorfo aZ2. (2) Sia F C F ( a , /3) un ampliamento biquadratico di Galois. Se i coniugati di a su F sono a e a' ed i coniugati di /? su F sono /? e /?', considerando la catena di ampliamenti semplici FCF,:=

F{a) C Fi(/3) - F{a, (3) =: K,

7.1 II gruppo di Galois di un ampliamento

233

si ottiene che gli F-automorfismi di K sono: id:a^a, r : a^

a\

/3 ^ P ] /? ^ /3;

a : a y-)^ a, ar : a \-^ a\

/? ^ / ? ' (3^0'

Si verifica subito che ogni F-automorfismo diverse dall'identita ha ordine 2. Dunque GalF(i^) = {i
^2 : f{a) ^ / « ) ;

^3 : f{a) ^

/(a^'),

per ogni polinomio f(X) G F[X] (di grado al piu uguale a 2). Poiche il polinomio minimo di /? su F{a) e X'^ — b, ognuno degli isomorfismi '01 := id, '02, V^3 di F{a) in F precedentemente costruiti si estende a due F isomorfismi di K := F{a^p) in F . In tutto si ottengono 6 F-isomorfismi, cosi definiti: '011 = id : a \-^ a, '021 : a H^ a^,

/3 1—)• /3

'012 : a H^ a,

(3 ^ P

7/^22 '• a\-^ a^,

^32:0^^0^^^,

P \-^ —/? P \-^ -P

P^-P

La struttura del gruppo di Galois di K su F dipende da F , a e p. Sia ad esempio F := Q. Se a := \/2, P := v ^ i soli automorfismi di K := Q(a,/3) sono '0ii := id e '0i2 e quindi GalQ(K) = Z2 (Esempio 4.2.8 (4)). Se invece a := ^/2 e p := i y 3 , allora K e il campo di spezzamento del polinomio f{X) := X^ - 2 (Esempio 4.1.5 (3, b)). Quindi K e un amphamento di Galois e ogni suo isomorfismo in C e un automorfismo. Ne segue che GalQ(i^) = {^|;ij ; 1 < i < 3,1 < j < 2} ha ordine 6. Notiamo che p := '02i ha ordine 3 e 6 := '0i2 ha ordine 2. Dunque risulta G3lq{K) = (p, 5). Poiche,

234

7 La corrispondenza di Galois

come si verifica facilmente, GalQ(i^) non e commutativo, esso e isomorfo al gruppo S3 delle permutazioni su 3 elementi. (5) Se K := F^n e un campo finito, con p primo e n > 1 (Paragrafo 4.3), K Q mi ampliamento di Galois di Fp (Esempio 5.4.9 (2)) ed il suo gruppo di Galois e ciclico di ordine n, generato dall'automorfismo di Frobenius

(Paragrafo 4.3.2). (6) Sia n > 2 e sia F un campo la cui caratteristica non divide n. Se ^ e una radice primitiva n-sima deH'unita su F , I'ampliamento ciclotomico F C F(^) e di Galois (Esempio 5.4.9 (5)) e GalF(F(^)) e isomorfo ad un sottogruppo del gruppo moltiplicativoZY(Z^) delle unita di Z^- Inoltre Gali?(F(^)) e isomorfo a U{Zn) se e soltanto se il polinomio ciclotomico ^n{^) e irriducibile su F , ad esempio quando F := Q (Paragrafo 4.4.3).

7.2 Campi fissi Se K e un campo e 5 e un sottoinsieme del gruppo Aut(i^) degli automorfismi di K^ indichiamo con 'insieme degli elementi x G K tali che (f{x) = x^ per ogni if G S. Proposizione 7.2.1 Se K e un campo e S e un sottoinsieme di Au.t{K), Vinsieme K^ e un sottocampo di K. Dimostrazione. Siano x^ y e K tali che (p{x) — x e (p{y) = y^ per ogni (p E S. Allora ip{x -y) = (p{x) - (p{y) = x-y e, per y ^ 0, ^{xy~^) = (p{x)(p{y)-^ = xy~^^ per ogni (p e S. Definizione 7.2.2 Con le notazioni precedenti, il campo K^ si chiama il campo fisso di 5 in K. Notiamo che, se G := (S) e il sottogruppo di Au.t{K) generato da 5, allora K^ = K^ (Esercizio 7.1). In particolare, se G := {(p) e ciclico, allora K^ = K"^ = {x G K ;ip{x) — x}. Non e quindi limit ativo supporre che S = G sia un gruppo. Inoltre si vede subito che se H C G risulta K^ C K^. Esempi 7.2.3 (1) Per ogni campo K^ il campo fisso del sottogruppo banale {id} di Aut(K) e K. (2) Ogni automorfismo del campo K fissa gli elementi del sottocampo fondamentale F (Proposizione 3.1.3), ma il campo fisso di A\it{K) puo contenere propriamente F. Se ad esempio K := Q ( v ^ ) , allora Aut(i^) = {id} (Esempio 4.2.8 (3)) e il sottocampo fondamentale Q di K e propriamente contenuto nel campo fisso di Aut(K), che e K.

7.2 Campi fissi

235

(3) II campo delle funzioni simmetriche su F nelle indeterminate X := { X i , . . . , Xn} e il campo fisso del gruppo di automorfismi U := {(pa ; cr G S^} di F ( X ) , dove ^ , : F ( X ) -^

F(X);

A(Xi, ...,Xn)^

A(X,(i),.. .,X,(n))

(Paragrafo 2.7.1). (4) Se F C K e \in ampliamento finito e (p e nn F-automorfismo di K, un metodo generale (ma spesso laborioso) per determinare gli elementi di K fissati da (/:? e il seguente. Se {/?i,..., Pn} e una base di K su F , per ogni a G K si ha una unica scrittura a :— ai^i H h Cinl3n^ con ai e F per i = 1 , . . . , n. Allora, se (/?(a) = ai(p{/3i) + • • • + an(,^(/?n) = ^lA + • • • + bnPn, risulta a = (p{a) se e soltanto se ai = bi, per ogni i = 1 , . . . , n. Ad esempio, sia ^ una radice complessa primitiva settima delPunita e sia K := Q(^) il settimo ampliamento ciclotomico di Q. Calcoliamo il campo fisso deH'automorfismo (f := (p2 definito da (p{(,) H^ ^^ (Esempio 4.4.21). Una base di K su Q e {1, ^, ^^, ^^, C^, ^^} e vale la relazione

MO = 1 + ^ + ^' + e' + C' + C' + e' = 0. Se allora (/?(a) = (ao - as) + (a4 - as)^ + (ai - aa)^^ + (as - as)^^ + (a2 - as)^^ - as^^. Da cui, a = (p{a) se e soltanto se as = as = 0 e ai = a2 = a4, ovvero K^ = {a + b{^ + e+^*);

a,beQ}.

Proposizione 7.2.4 5m K un campo e sia a e K. Se G e un sottogruppo di Aut(K); consideriamo Vinsieme G{a) := {^{a); (f G G}. Allora: (a) G{a) e un insieme finito se e soltanto se a e algebrico su K^. (b) Se G{a) = { a i , . . . , a^}; allora a e separabile di grado n su polinomio minimo m{X) := {X — ai) - - • {X — an)-

con

Dimostrazione. SiaG(Q;) = {ai :— ^ i ( a ) , . . . ,an •= ^n{oL)}^ dove(/;i,..., (^n ^ G sono automorfismi distinti di i^T. Se '^ G G, indichiamo al solito con -0* : K[X] —> i^[^] I'isomorfismo indotto da -0 (Lemma 4.2.1) e consideriamo il polinomio m{X) := [X — a i ) • • • (X — a^) G i^[X]. Poiche i){ai) = {il;(fi){a) G G{a) per ogni i = l , . . . , n ed inoltre -0 e iniettivo, allora '0(G(a)) = { 0 ( ^ 1 ) , . . . , ^(0;^)} = G(a) e V;*(m(X)) = (X - 0 ( a i ) ) . . . (X - 7/;(a,)) = m(X).

236

7 La corrispondenza di Galois

Ne segue che i coefficienti di m{X) sono fissati da G e dunque appartengono a L := K^. Poiche idx G G^ a e G{a) e quindi m{a) = 0. AUora a e algebrico su L e il polinomio minimo di a su L divide m{X). Ma poiche a ha almeno n coniugati distinti su L, tale polinomio ha grado almeno uguale ad n e percio coincide con m{X). Infine m{X) e chiaramente separabile. Viceversa, se a e algebrico su L := K^ con polinomio minimo m(X), tutti gli elementi ^{a) al variare di (p e G sono radici di m(X), perche (p fissa i coefficienti di m{X). Quindi I'insieme G{a) e finito. Proposizione 7.2.5 Sia K un campo e sia G C Aut(i^). Se K e algebrico su K^, Vampliamento K^ C K e di Galois. Dimostrazione. Segue dal fatto che, se a ^ K e algebrico su K^ ^ il polinomio minimo di a su K^ e separabile e si spezza in fattori linear! su K (Proposizione 7.2.4). Per i nostri scopi ha particolare interesse lo studio del campo fisso del gruppo di Galois di un ampliamento F C. K o di xin suo sottogruppo. Osserviamo che F e sempre contenuto nel campo fisso di GalF(i^), perche ogni i^-automorfismo di K fissa gli elementi di F , ma tale inclusione puo essere propria, come mostra I'Esempio 7.2.3 (2). Proposizione 7.2.6 Un ampliamento algebrico F C K e di Galois se e soltanto seK^^^^^^^ =F. Dimostrazione. Sia G := GS1F{K). Se K^ = F , 1'ampliamento F C K e di Galois per la Proposizione 7.2.5. Viceversa e sempre vero che F C K^. Supponiamo che I'ampliamento F C if sia di Galois e facciamo vedere che, se a e K\F, allora a ^ K^. Poiche a e separabile, allora [F{a) : F]s = [F{a) : F] > 1; quindi esiste un F-isomorfismo if di F{a) in F tale che (p{a) / a. Ma poiche K e normale su F , (/; si estende ad un F-automorfismo di K (Corollario 5.1.14); percio a ^ K^. Esempi 7.2.7 Poiche il gruppo di Galois di un ampliamento F C K e sempre definito (come il gruppo degli F-automorfismi di if), la proposizione precedente ci permette di estendere la definizione di ampliamento di Galois anche al caso non algebrico, dicendo che I'ampliamento F C if e di Galois precisamente quando ifGaii.(i^) ^ p Secondo questa definizione, se F e infinito, il campo delle funzioni razionali F{X) e un ampliamento di Galois di F . Siano infatti a ^ F* e Ta I'automorfismo di F{X) definito da x i-^ x + a (Esempio 7.1.2 (3)). Se

TMiX)/g{X))

= fix + a)/g{X + a) =

f{X)/g{X),

il polinomio f{X)g{X^a)—g{X)f{X^a) si annulla per ogni /3 G F e quindi e il polinomio nullo (Proposizione 2.3.16). Ne segue che f{X)/g{X) e una funzione costante e pertanto il campo fisso del gruppo di Galois e F .

7.2 Campi fissi

237

7.2.1 II lemma di Artin La Proposizione 7.2.5 puo essere sostanzialmente migliorata nel caso in cui G sia un gruppo finito di automorfismi. Proposizione 7.2.8 SeK eun campo eG eun sottogruppo finito di Au.t{K), Vampliamento K^ C K e di Galois e G — GalxG(K). In particolare [K : K^] = \G\. Dimostrazione. Se G e un sottogruppo finito di Aut(iir), I'insieme G{a) e finito per ogni a ^ K. Quindi ogni a ^ K h algebrico su L := K^^ di grado al pill uguale a |G| (Proposizione 7.2.4) e rampliamento L C K h di Galois (Proposizione 7.2.5). Sia a ^ K d\ grado massimo su L. Se /3 G K \ i>(a), per la separabilita si ha L(a,/?) = L{^) (Teorema 5.3.13). Allora L{a) C L(^) e [1/(7) : L] > [L{a) : L]; il che e impossibile per la massimalita del grado [L{a) : L]. Ne segue che K = L{a) ha grado finito su L, al piu uguale a \G\. D'altra parte, [K : L] = \ GalL(ii^)| (Proposizione 7.1.3) e G C GalL(ii:). Allora \G\ < \ GalL(K)l = [K : L] < \G\ e pertanto G = G31L{K). La dimostrazione della proposizione precedente fa uso del Teorema delI'Elemento Primitivo. Una dimostrazione diretta del fatto che quando G C Aut(i^) e finito risulta [K : K^] = |G| e stata data da Emil Artin in [1, Theorems 13, 14], con metodi elementari di algebra lineare e con I'aiuto del Lemma di Dedekind (Proposizione 3.1.5). Una volta appurato che [K : K^] = |G|, poiche G C G31KG{K) e lGal;^G(i^)| < [K : K^] = |G|, si ottiene che G = GalKG{K) e quindi che I'ampliamento K^ C K e di Galois (Proposizione 7.1.3). La dimostrazione di Artin, proprio perche evita I'uso del Teorema dell'Elemento Primitivo, ha aperto la strada alia possibilita di estendere la teoria classica di Galois in ambiti piii generali. Riportiamo per completezza questa dimostrazione. Proposizione 7.2.9 (Lemma di Artin, 1942) Se K e un campo eG e un gruppo finito di automorfismi di K, risulta [K : K^] = |G|. Dimostrazione. Sia \G\ = n e poniamo L := K^. Facciamo intanto vedere che [K : L] < |G|, cioe che se m > n, allora m elementi c i , . . . , Cm di K sono sempre linearmente dipendenti su L. Sia G = {(fi := id, (^2, • • •, V^n} e consideriamo il sistema lineare omogeneo di n equazioni in m indeterminate su K: +

...

+

CmXm

=

0

^2{ci)Xi

+

...

+

(p2{Cm)Xm

=

0

(Pn{ci)Xi

+

...

+

ipn{Cm)Xm

=

0

CiXi

238

7 La corrispondenza di Galois

Se m > n, questo sistema ha soluzioni non nulle ( x i , . . . , ^ ^ ) G K^. Mostriamo che almeno una di queste soluzioni appartiene a L ^ . La dipendenza lineare di c i , . . . , c^ su L seguira allora dalla prima equazione, perche si avra CiXi H h CmXm = 0 COU Xi, . . . , X^ G L. A meno di riordinare le indeterminate, possiamo supporre che una soluzione del sistema sia (1, ^ 2 , . . . , Xm) e che in essa compaiano il minor numero possibile di componenti non nulle. Supponiamo che una di queste componenti, diciamo X2, non appartenga a L. Allora esiste un elemento di G, diciamo (^92, tale che (^2(^2) 7^ ^2- Poiche, per ogni (fi G G, si ha + (^i{c2)X2

^i{ci)

H

h ^i{Cm)Xm

= 0,

allora ^ 2 ( 0 ) == (p2{(Pi{ci) = {(P2^i){ci)

+ (Pi{c2)x2

H

+

+ {(P2^i){c2)(p2{x2)

^i{Cm)Xm) H

+ {^2(Pi){Cm)^2{Xm)

= 0.

Ma poiche G e un gruppo, per i = 1 , . . . , n gli element! (p2^i descrivono ancora tutto G. Per cui si ha ^i{ci)

+ (Pi{c2)(p2{x2)

+

h ^i{Cm)^2{Xm)

= 0,

per ogni (pi e G. Ne segue che (1, (p2{x2)^ • • •, ^2{xm)) e un'altra soluzione del sistema, cosi come lo e la differenza (1, X2, . . . , Xm) - (1, ^2(2:2), . . . , y:^2{Xm)) = (0, X2 - (P2{X2), • • • , X^ - (^2(^m)). Quest'ultima e una soluzione non nulla, perche X2 — ^2(^:2) 7^ 0, ma in essa compaiono meno elementi non nulli che in (1, 0:2,..., Xm)- Dunque si ha una contraddizione e percio la soluzione (1, ^ 2 , . . . , Xm) appartiene a L"^. Resta da vedere che non puo essere [K : L] < \G\ = n. Sia [K : L] = s e sia { 6 1 , . . . , 6s} una base di K su L. Consideriamo il sistema lineare omogeneo su K di 5 equazioni in n indeterminate: ipi{bi)Xi

+

...

+

(fn{bl)Xn

-

0

(pi{b2)Xi

+

...

+

ipn{b2)Xn

=

0

ipi{bs)Xi

+

...

+

Mbs)Xn

=

0

Se 5 < n, questo sistema ha una soluzione non nulla ( c i , . . . , Cn) G K^. Sia ora a G K. Possiamo scrivere a — Xibi -\ \-Xsbs, con Xi G L. Allora, poiche (Pj{xi) — Xi per ogni 1 < i < 5, 1 < j < 5, risulta: (pi(a)ci H

\l
^ 1<2<S

h(^n(a)cn =

/

x4(/:'i(&0ci -^

\1
^ ^n{bi)cn] = 0

/

7.2 Campi fissi

239

In conclusione, esistono c i , . . . , c^ G K non tutti nulli tali che (pi{di)ci-\ h (pn{si)cn = 0 per ogni a E K. Questo e in contraddizione con il Lemma di Dedekind (Lemma 3.1.5) e percio s = n. Esempi 7.2.10 (1) Sia K := C(X), dove X e una indeterminata su C. Sia T : K ^ K ;

f{X)^f{-X)

e sia G := (r). Poiche r ha ordine 2, allora [K : K^] = |G| = 2. Inoltre, siccome r{X'^) = X^, allora C{X^) C K^ e percio C{X^) = K^. (2) Sia X : C —> C ;

z := a -\- bi \-^ ^ := a — bi

il coniugio complesso. Si vede subito che C^ = {z G C; z = z} = M. Quindi, se K C C e un campo numerico e la restrizione di % a K e un automorfismo di K, si ha che K^ = K fl M e il piii grande sottocampo reale di K. Facciamo ad esempio il caso in cui ^ sia una radice complessa primitiva n-sima deH'unita e K :— Q(^) sia I'n-simo ampliamento ciclotomico di Q. La restrizione di x a K e un automorfismo di K; infatti x ( 0 = ^ — ^~^ ^ K. Poiche X h^ ordine 2, if ha grado 2 su K^ = K Pi R (Proposizione 7.2.8). Mostriamo che K fl M = Q(^ + ^~^). Poiche x fissa a := ^ + ^ ~ \ si ha Q{a) C K nR. Basta allora verificare che [K : Q{a)] = 2. Questo segue dal fatto che ^ e radice del polinomio (X - ^){X - r ' ) = X^-aX

+ le

Q{a)[X],

(3) Usando il Lemma di Artin, possiamo dare un'altra dimostrazione del fatto che i polinomi simmetrici elementari s i , . . . , 5^ su F generano il campo di tutte le funzioni simmetriche (Paragrafo 2.7.1). Infatti, posto K := i^(X) := F ( X i , . . . , Xn), il campo delle funzioni simmetriche su F e il campo fisso del gruppo di automorfismi E := {(pcr'^cr e S^} d i i ^ , dove
A ( X i , . . . , X „ ) ^ A(X,(i),...,X,(„)).

Considerando la catena di ampliamenti F ( 5 i , . . . , 5^) C K^ C K^ si ha che [K : K^] = \E\ = n\. Ma poiche K e il campo di spezzamento del polinomio generale di grado n su F{si,.. .,Sn) (Esempio 4.1.5 (8)) risulta anche [K : F ( 5 i , . . . , Sn)] < n\. Allora F{si,..., 5n) = K^. 7.2.2 Chiusura inseparabile Dato un ampliamento di campi F C K^ nel Paragrafo 5.3.5 abbiamo definito la chiusura separabile di F in iiT come il campo Kg degli elementi di K che sono separabili su F. Questa definizione e giustificata dal fatto che K e puramente inseparabile su Kg. Abbiamo poi visto che anche I'insieme Ki formato dagli elementi di K che sono puramente inseparabili su F e un campo. Mostriamo or a che, se F C iiT e un ampliamento normale, K e separabile su Ki.

240

7 La corrispondenza di Galois

Proposizione 7.2.11 Se F
(b) K^KiKs

eKsnK^

(c) GalKiiK) = G31F{K)

= F. e la restrizione

p : G31F{K)

—> GdlriKs);

(p^ (f\Ks

e un isomorfismo. Dimostrazione. (a) L'ampliamento F C Kg e separabile per definizione ed e normale per la Proposizione 5.4.2 (b); quindi e di Galois. Inoltre l'ampliamento Ki C K e di Galois per la Proposizione 7.2.11. (b) segue dal Teorema 5.3.35, perche l'ampliamento Ki C K e separabile per il punto (a).

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

241

(c) Poiche F C Ki^ allora Gal^. (K) C Gali?(i^). L'inclusione opposta segue dal fatto che ogni elemento di G3\F{K) e I'identita su Ki — K^ (Proposizione 7.2.11). Poniamo L := Kg. L'ampliamento F C L e normale, ovvero di Galois (Proposizione 5.4.2 (b)); quindi la restrizione a L di ogni F-automorfismo di K e un automorfismo di L (Proposizione 5.2.14). Viceversa, per la normalita di K, ogni F-automorfismo di L si puo estendere ad un F-automorfismo di K (Corollario 5.1.14). Percio p e un omomorfismo suriettivo di gruppi. Sia poi (p G Ker p, cosi che (p e I'identita su L. Poiche Tampliamento L C K e puramente inseparabile (Teorema 5.3.35), ogni a G K ha grado di separabilita uguale ad 1 su L e questo significa che esiste un unico L-isomorfismo di L{a) in F , necessariamente I'identita. Ne segue che (p{a) — a, per ogni a G K, ovvero che (p e I'identita su K e p e un isomorfismo. Esempi 7.2.15 Siano r ed a; due indeterminate indipendenti su F2 e sia F :=F2(r2,u;2). Consideriamo il polinomiom(X) := X ^ + T ^ X ^ + U ; ^ e F[X], che non e separabile su F (Proposizione 5.3.3). Se a e una radice di m(X), a^ e una radice del polinomiop(X) := X^ +T^X+a;^, che e separabile e irriducibile su F (per I'indipendenza algebrica di r ed a;). Poiche I'altra radice di p{X) e a"^ -\-T'^J le radici di m(X) sono a e a-\-T. Quindi il campo di spezzamento di m{X) e F{a^r). Notiamo che F{T^UJ) = F2(r,a;) e puramente inseparabile di grado 4 su F e che a e radice del polinomio X^ + rX + cc;, che e separabile e irriducibile su F{T^ U;) (sempre per I'indipendenza algebrica di r ed a;). Infine, poiche a'^ i- ra -^ 00 = 0, risulta K = F{a,r) = F(a^,r,cc;) = F{a^uj). In definitiva K ha grado 8 su F ; inoltre Ki = F{r,u;) e K = Ki{a'^) e separabile su Ki. D'altra parte, a^ e separabile anche su F ; quindi Kg = F{a'^) eK = KiKs. Osserviamo pero che, posto L = F ( a ) , risulta Lg = Kg = F{a'^) e L = Ls{r) e puramente inseparabile su Lg. Ma Li = F e percio L non e separabile su Li. Del resto, in accordo con il Teorema 5.3.35, LiLs = Ls Q L.

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois Indicando con C il reticolo dei campi intermedi dell'ampliamento F C. K e con Q il reticolo dei sottogruppi di Qalp {K), consideriamo le due applicazioni seguenti, che sono evidentemente ben definite: ^ : C ^ ^ ;

^ : g ^ C ;

L^G^IL{K);

H^K^.

Definizione 7.3.1 Se F C K e un ampliamento di campi, Vapplicazione ^iC^^G; si chiama la corrispondenza di Galois.

L^G31L{K)

242

7 La corrispondenza di Galois

In vista delle applicazioni, siamo particolarmente interessati a studiare questa corrispondenza nel caso in cui F C i^ sia un ampliamento di Galois finito. Faremo vedere die, per gli ampliamenti di Galois finiti, la corrispondenza di Galois e biiettiva e conserva la normalita. Proposizione 7.3.2 Sia F C K un ampliamento di campi e siano ^ e^ le applicazioni sopra definite. Allora: (a)^ e^ scambiano le inclusioni. (b) H C ^^{H) = GalKH{K) eLC ^^{L) = i^Gaiz.(K)^ ^^^ ^^^- sottogruppo H di Gali?(iir) e ogni campo intermedio L. (c) Se K e un ampliamento di Galois di F, ^ e iniettiva e^ e una sua inversa sinistra. Dimostrazione. (a) e una semplice verifica. (b) Se H C Aut(iir), ogni elemento di K^ e fissato da H; dunque H C GalKH{K). Analogamente L C i^GaU(x)^ per ogni campo intermedio L. (c) Se F C K e un ampliamento di Galois, anche Pampliamento L C K e di Galois (Proposizione 5.4.3). Allora, se H := ^{L) = GalL{K), per la Proposizione 7.2.6, risulta ^^{L) = K^ = L . Esempi 7.3.3 (1) L'ipotesi che I'ampliamento F C K sia separabile e ne~ cessaria ad assicurare I'iniettivita dell'applicazione ^ . Infatti, se ad esempio K e normale ma non e separabile su F , si ha F 7^ iiT^ e GalKi(^) = Gali7^(A^) (Proposizione 7.2.14 (c)). (2) Se I'ampliamento F C K e finito e separabile e A/" e la chiusura normale di K su F , I'ampliamento F C N e finito e di Galois (Proposizione 5.4.2 (a)). Allora il gruppo Galir(A/') e finito e, per I'iniettivita della corrispondenza (^, I'ampliamento F C K ha un numero finito di campi intermedi. In questo modo, dal Teorema 5.3.16 segue che K e un ampliamento semplice di F (Teorema dell'Elemento Primitivo). Ricordiamo che due campi intermedi L e M di un ampliamento normale F C K sono coniugati su F se e soltanto se esiste (p G GalpiK) tale che M — ^{L) (Proposizione 5.2.13). Questa terminologia riscontra il fatto che i gruppi di Galois di K su L e M rispettivamente sono sottogruppi di Gali? (K) coniugati tramite (p. Proposizione 7.3.4 Sia F C K un ampliamento normale e sia L un campo intermedio. Se (p ^ GalF{K), allora Gal^^L){K) =

^GMK)^~''

Quindi, se Vampliamento F C L e normale, GaliiK) normale di Gali?(i^).

e un sottogruppo

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

243

Dimostrazione. Posto H := (pG3lL{K)(p~^, si ha (p{L) C K^. Infatti, per ogni ijj G GalL(i^) e x G L, si ha (pxl^cp"^{(p{x)) = (p{xp{x)) — (p{x). Dunque H :=ipG3lL{K)ip-^

C

G31KH{K)

Gal^(L)(i^).

C

Viceversa, se 77 G Gal(^(L)(A"), si ha rj{if{a)) = (p{a) per ogni a G L, da cui (p~^rj(p{a) = a per ogni a e L e (p~^r](p G GalL(i^), ovvero r] ^ H. Quindi Gal^(L)(K)C^. In particolare, se L e normale su F , (/;(L) = L per ogni (/? G GalF(^) (Corollario 5.2.14) e dunque GalL(-i^) = (pG3lL{K)ip~^^ per ogni (p G GalF(i^). Proposizione 7.3.5 Sia F C K un ampliamento di Galois e sia L un campo intermedio. Allora: (a) Se X{L^K) restrizione

e Vinsieme degli F-isomorfismi p:Ga\F{K)-^imK);

di L in K, ^ ^

Vapplicazione

^\L

e suriettiva ed induce una corrispondenza biunivoca p: (pGalL{K) h^ (P\L tra le classi laterali sinistre di GalL(i^) in GalF(i^) e X(L, K). (b) L^ampliamento F C L e di Galois se e soltanto se GalL(i^) e un sottogruppo normale di Gali?(K). In questo caso Vapplicazione p : GalF(i^) —> GalF(L);

^p t-> (/P|L

e hen definita ed e un omomorfismo di gruppi. Inoltre GalF(I/) e isomorfo al gruppo quoziente Gali?(K)/GalL(i^). Dimostrazione. (a) Per la normalita di K, risulta X{L,K) = {(f\L;(p G Gali?(if)} (Proposizione 5.2.13); dunque p e suriettiva. Osserviamo ora che, se (/p,'0 G Gali?(ir), allora (P\L = "^II se e soltanto se (p{x) = '0(a:), cioe il;~^cp{x) = X, per ogni x G L. Questo equivale a dire che xp~'^(f e Gali,(i^) e percio (PG31L{K) — %[) GalL(i^). Ne segue che 1'applicazione p : (pGalL{K) H> (P\L ^ biiettiva. (b) Se rampliamento F C L e normale, ogni F-isomorfismo di L in K e un automorfismo di L e percio X(I/, K) — G?^F{V) e un gruppo. In questo caso si verifica subito che 1'applicazione p e un omomorfismo di gruppi. Poiche Ker p = {(/? G G?^F{K)\^\L — id\L\ — GalL(i^), allora GalL(if) e un sottogruppo normale di Gal^l^^) e 1'applicazione

e un isomorfismo di gruppi.

244

7 La corrispondenza di Galois

Viceversa, se G31L{K) Proposizione 7.3.4 si ha

e un sottogruppo normale di GalF(i^), allora dalla

Gal^(^)(K) =

= GalL(i^),

^G^IL{K)^-^

per ogni ip G Gali?(K). Poiche la corrispondenza di Galois e iniettiva (Proposizione 7.3.2 (c)), si ottiene che (p{L) = L per ogni (p G GalF{K) e dunque Tampliamento F C L e normale (Corollario 5.2.14). Esempi 7.3.6 Se F C K e un ampliamento di Galois e L e un campo intermedio, come visto nella Proposizione 7.3.5 (a), se (/?, ^^ G Gali?(K), risulta ^\L ~ ^\L ^^ ^ soltanto se -0 G (PG31L{K). Quindi i campi coniugati distinti di L sono i campi (p{L) al variare di (p in un un sistema di rappresentanti delle classi laterali sinistre di GalL(i^) in GalpiK). Teorema 7.3.7 (Teorema Fondamentale della Teoria di Galois) Sia F C K un ampliamento di Galois finito. Allora: (a) L'applicazione e una corrispondenza reticolare biunivoca che scambia le inclusioni, la cui inversa e Vapplicazione

(b) Per ogni cam^po intermedio L, Vampliamento F C L e di Galois se e soltanto se G31L{K) e un sottogruppo normale di Gal^iK). In questo caso Gali?(L) e isomorfo al gruppo quoziente G31F{K)/ G31L{K). (c) Se L e M sono due campi intermedi e LM :— (LUM) e il loro composto, G^\LM{K)

= GalL(K)nGalM(i^);

GalLnM(i^) - (GalL(K)UGalM(i^))

e, se H e N sono due sottogruppi di Gali?(K); allora {K" U K"") = K"^"" •

K"nK''

= i^<^^^>.

(d) Se L e M sono due campi intermedi e L C M, allora [GalL(K):GalM(i^)] = [ M : L ] . Se viceversa H, N sono due sottogruppi di Gali?(i^) e H C N, allora [N:H] = [K^

:K^].

In particolare, Vindice di H in Gali?(i^) e uguale al grado di K^ su F.

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

245

Dimostrazione. (a) Le due applicazioni ^ e ^ scambiano le inclusioni e sono una I'inversa dell'altra per le Proposizioni 7.2.8 e 7.3.2. Diamo tuttavia per maggior chiarezza una dimostrazione diretta nel caso degli ampliamenti finiti. Siano L un campo intermedio e H \— GalL(i^). Allora L C K^ e d'altra parte H C G^\J^H{K). Poiche gli ampliamenti L C K e K^ C K sono di Galois, allora [K : L] = \H\ e [K : K^] = | Gal^/f (i^)| (Proposizione 7.1.3). In conclusione [K : L] = \H\ < I GalKH{K)\ = [K : K^] < [K : L] e percio L = K^ = ^^{L). Viceversa, sia H un sottogruppo di Gdlpi^K) e sia L = K^. Poiche H C ^^{H) = GalL(i^), basta far vedere che \H\ > \ GalL(i^)| - [K : L]. Poiche I'ampliamento L C K e di Galois, allora K = L{a) per qualche a ^ K (Teorema 5.4.7). Sia H := {(/^i,.. .^(pn}- Mostriamo che il grado di a su L e al piu uguale a n. Consideriamo gli elementi (pi{a)^.. .,{pn{a) G iiT ed il polinomio f{X) := {X — (fi{a))... (X — (pn{(^)) ^ ^[-^]- Poiche H contiene I'identita, allora / ( a ) = 0. Osserviamo ora che i coefficienti di f{X) sono fissati da if, ovvero appartengono a L. Infatti, per ogni (/^ G if, si ha (pH — {(/?(y9i,..., ^Pr^ = H e dunque risulta ^*(/(X)) ={X-

w i ( a ) ) •••{X-

Wn(a)) =

fix).

Ne segue che il polinomio minimo di a su L divide f{X) e dunque ha grado al piu uguale ad n. (b) e la Proposizione 7.3.5 (b). (c) Poiche ^ scambia le inclusioni, se L e M sono due campi intermedi, al campo composto LM = (LUM) (estremo superiore di L e M in C) corrisponde I'intersezione dei gruppi di Galois di ff su L e M rispettivamente (estremo inferiore di GalL(i^) e GalM(i^) in G), ovvero GalLM(i^) = GalL(i^)nGalM(i^). Per dualita, GalLnM(i^) = (GalL(i^) U GalM(i^)) e le altre due uguaglianze seguono dal fat to che ^ e I'inversa di ^ . (d) Poiche gli ampliamenti L C K e M C K sono ampliamenti di Galois (Proposizione 5.4.3), applicando la Proposizione 7.1.3, si ha:

Inoltre, per il punto (a), H =

G31KH{K)

e

N

= Gal;^iv(i^). Da cui:

[N:H] = [Gal;^iv(i^) : Gal^H(i^)] = [K^ : K^]. In particolare: [GalF(i^) : H] = [GalF(i^) : G^IKH{K)]

= [K^ : F].

Corollario 7.3.8 Se F C K e un ampliamento di Galois finito e GalL(i^) e aheliano, Vampliamento F C L e di Galois per ogni campo intermedio L.

246

7 La corrispondenza di Galois

Dimostrazione. Segue dalla Teorema 7.3.7 (b), perche ogni sottogruppo di un gruppo abeliano e normale. Esempi 7.3.9 Se F C K e un ampliamento di Galois e L e un campo intermedio, la chiusura normale di L in K^ ovvero il campo

N:=Y[{^iL);^eGalF{K)}, e il piu piccolo sottocampo di K contenente L normale su F (Paragrafo 5.2.1). Allora, per il fatto che la corrispondenza di Galois e reticolare e per la Proposizione 7.3.4, il piu grande sottogruppo di GalL{K) normale in Gali?(K) e GaW(i^) = p|{Gal^(^)(i^); ip G Gal^ W }

Osserviamo anche che, per la separabilita, L e un ampliamento semplice di F (Corollario 5.3.14). Allora, se L = F ( a ) , il campo N eil campo di spezzamento del polinomio minimo di a su F (Esempio 5.2.12 (2)). 7.3.1 II caso non finito La corrispondenza di Galois puo non essere suriettiva per gli ampliamenti di Galois di grado infinito. Questo dipende dal fatto che in generale sottogruppi diversi di G31F{K) possono avere lo stesso campo fisso, come mostra I'esempio seguente. Esempi 7.3.10 Se K e una chiusura algebrica del campo Fp, ad esempio K := [Jn>i^p^ (Esempio 5.1.12 (1)), I'ampliamento ¥p C K e nn ampliamento di Galois di grado infinito (Esempio 5.4.6 (1)). Sia

I'automorfismo di Frobenius. Allora $ ( a ) := a^ — a se e soltanto se a e radice del polinomio X'^ — X^ ovvero a G Fp. Quindi il campo fisso del gruppo H := ($) e K ^ = Fp. Tuttavia Gal^H(A') = G^h^{K) + H. Infatti sia L := Um>i ^p2^. Poiche ogni elemento di L ha grado su ¥p uguale ad una potenza di 2, L 7^ ii^ e, per Tiniettivita della corrispondenza di Galois (Proposizione 7.3.2), esiste un L-automorfismo xp di K diverso dall'identita. Naturalmente -0 G GalFp(i^). Supponiamo che 'ip = ^^ e H^ dove a meno di scambiare ^ con ^~^ possiamo assumere che 5 > 1. II campo fisso di $* e formato dagli elementi f3 e K tali che $^(/3) = pP = p, cioe dalle radici del polinomio X^ — X. Quindi K'^ = ¥ps (Paragrafo 4.3). Allora, poiche I'ampliamento L C K e di Galois, applicando la Proposizione 7.2.6 otteniamo L — K^^^^i^) c K^ = ¥ps] il che e impossibile. Ne segue che Galp^ K ^ H.

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

247

Per studiare la corrispondenza di Galois nel caso degli ampliamenti non finiti, si puo definire su GalF{K) una opportuna topologia, detta topologia di Krull Secondo questa topologia, GdlpiK) e un gruppo topologico (la composizione e I'applicazione che associa ad ogni elemento il suo inverso sono funzioni continue) che e compatto e totalmente sconnesso. Inoltre Gali?(i^) e il limite proiettivo, rispetto alle restrizioni, dei gruppi finiti Gali?(I/Q,), dove {La} e la famiglia dei campi intermedi tali che rampliamento F C L^ sia di Galois e finito; questo significa che G81F{K) e un gruppo profinito. I sottogruppi di Gali?(K) che sono gruppi di Galois di K su qualche campo intermedio sono allora caratterizzati dalla proprieta di essere chiusi rispetto alia topologia di Krull. Piu generalmente, se H C Qalp^K), si ha che Gal^ff (-fC) e la chiusura di H in questa topologia [44, Paragrafo 4.2]. Per caratterizzare i sottogruppi chiusi di Gali?(K) evitando di usare le proprieta dei Gruppi Topologici, si puo procedere nel modo seguente. Questo metodo mi e stato comunicato da Carmelo Finocchiaro. Sia F C K un ampliamento algebrico. Per ogni n > 1, se a := ( a i , . . . , a^), /3 := (/?i,..., /3n) e K^, poniamo Bn{oL, /3) := {if G GalF(i^); (p{ai) = /3^, i = 1 , . . . , n}. Proposizione 7.3.11 Se F C K e un ampliamento algebrico, la famiglia di sottoinsiemi B := {B,(a,/3); ex, f3 e K"", n > 1}U {0} pud essere assunta come base di aperti per una topologia su

GalpiK).

Dimostrazione. Ovviamente G3\.F{K) e I'unione dei sottoinsiemi appartenenti a B. Inoltre, siano m, n > 1 e siano Bn{ct,l3), Bm{r],6) G S, con a := (a^), (5 := (A) G K^ e 77 := (%), 0 := {Oj) G K ^ . Allora Bn{cx,^) n Bmiv.O) = Bn+m{{aurjj).{Pi.Oj)) Definizione 7.3.12 La topologia su GalpiK) si chiama la topologia di Krull.

e B,

definita dalla base di aperti B

Proposizione 7.3.13 Sia F C K un ampliamento algebrico. Allora, rispetto alia topologia di Krull : (a) Se L e un campo intermedio, GsliiK) e chiuso in Gali?(i^). (b) Se H C GalF(i^); Gal^^jf (K) e la chiusura di H. Dimostrazione. (a) Sia G := Gali?(K) e sia H la chiusura di H := GalL(i^). Per ogni a ^ L e if G H, per costruzione Bi{a,(p{a)) := {ip G G; ^(o;) — (p{o-)} e un intorno aperto di (f; quindi Bi{a,ip{a)) contiene un elemento xl^ e H. Allora ^ ( a ) = a = ^{a) e pertanto ^p e H. Ne segue che H e chiuso. (b) Sia L:=K^ e sia H la chiusura di H. Poiche H C GalL(ii:) e^alL(i^) e chiuso per il punto (a), allora H C GdlL{K). Se (p e GalL{K) \ if, esiste

248

7 La corrispondenza di Galois

un intorno aperto U di cp tale che U H H = 0. Non e restrittivo assumere che U sia un elemento della base 6, cioe che U = 5n(a,(^(a)), dove a := ( a i , . . . , a n ) G iC^. Sia S C K I'insieme di tutti gli elementi coniugati a a i , . . . , an- Allora il campo L{S) e normale su L per la Proposizione 5.2.5 ed e anche separabile perche e generate da elementi separabili (Corollario 5.3.22). Dunque Tampliamento L C E := L{S) e di Galois ed ha grado finito. Ne segue che I'applicazione restrizione p : GalL(i^) -^

GalL(^);

9 ^ 0\E

e un ben definito omomorfismo di gruppi. In particolare (^|^ G GalL(£^) e, per ogni ip e H, il)\^ e G31L{E). Ma poiche f/ n iJ = 0 e a i , . . . , a^ G E', si ha ^\E 7^ V^b^ quindi I'insieme H' := p{H) = {V^i^;; V^ G i / } e un sottogruppo proprio di GalL(£^). Per la corrispondenza di Galois nel caso finito, risulta quindi L = E^^^^^^^ C E^' (Teorema 7.3.7 (a)). Tuttavia, se /? G E^' si ha ip{P) = /3 per ogni ijj e H^ mentre se (3 ^ L = K^ esiste ip e H tale che ip{P) ^ /3. Quest a contraddizione mostra che non puo essere U 0 H = 9 e quindi deve essere H = GalL(i^). La Proposizione 7.2.8 si puo allora enunciare dicendo che ogni sottogruppo finito di GalpiK) e chiuso nella topologia di Krull. Teorema 7.3.14 Se F C K e un ampliamento di Galois, Vapplicazione ^ : C ^ g ;

L^G31L{K)

e una corrispondenza reticolare biunivoca che scambia le inclusioni tra Vinsieme C dei campi intermedi e i sottogruppi di Gali?(jFC) che sono chiusi nella topologia di Krull. Inoltre, se H C Gal^C^) e un sottogruppo finito, H = GsilKH{K) e chiuso e [K : K^] = \H\. Dimostrazione. La corrispondenza di Galois e sempre iniettiva per gli ampliamenti di Galois (Proposizione 7.3.2 (c)). Inoltre, per ogni sottogruppo H di Gali^(i^), si ha iJ = GdilxH{K) se e soltanto se H e chiuso nella topologia di Krull (Proposizione 7.3.13). L'affermazione sui sottogruppi finiti di Gal/?(if) segue dalla (Proposizione 7.2.8). Naturalmente tutte le proprieta della corrispondenza di Galois che sono state dimostrate senza usare I'ipotesi di finitezza dell'ampliamento sussistono in generale. Ad esempio valgono le seguenti condizioni. Proposizione 7.3.15 Sia F C K un ampliamento di Galois. Allora: (a) Per ogni campo intermedio L, Vampliamento F C L e di Galois se e soltanto se GalL(i^) e un sottogruppo normale di GalF{K). In questo caso Gali?(L) e isomorfo al gruppo quoziente Gali?(K)/GalL(i^). (b) Se L e M sono due campi intermedi e LM := (LUM) e il loro composto, G^ILM{K)

= G^\L{K)nGalM{K);

GalLnM(i^) = (GalL(K)UGalM(i^)).

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

249

Dimostrazione. (a) e la Proposizione 7.3.5 (b). (b) segue dal fatto che la corrispondenza di Galois e reticolare e si dimostra come nel caso finito (Teorema 7.3.7 (c)). 7.3.2 U n teorema di estensione Vogliamo ora studiare il gruppo di Galois del composto di due campi. II primo risultato e una diretta conseguenza della Proposizione 7.3.15, oppure del Teorema 7.3.7 nel caso finito. Proposizione 7.3.16 Sia F C K un ampliamento di Galois. Siano L, M due campi intermedi e LM := (L U M) il loro composto. Allora: (a) Se L e normale su F, GaUnM(i^) = GalL(i^) GalM(i^) := {ipi); (f,^ e G^\F{K),

ip\^ = idL, t/^i^ = idu}]

(b) Se L e M sono normali su F, Vampliamento F C LM e di Galois e GdlLf^M{LM) e prodotto diretto interno dei suoi due sottogruppi GalL(LM) e

G31M{LM).

Dimostrazione. (a) Se L e normale su F , L e normale anche sul suo sottocampo intermedio LCiM. Allora GalL(i^) e un sottogruppo normale di Gal^nMl^) (Proposizione 7.3.15 (a)) e quindi Pinsieme dei prodotti GalL(i^) GalM(^) e un sottogruppo di GalLnM(^) (Esercizio 12.1). Poiche GalLnM(^) e generato da GalL(i^) e GalM(^) (Proposizione 7.3.15 (b)), ne segue che GalLnM(i^) = GalL(i^) GalM(i^). (b) L'ampliamento F C LM e normale per la Proposizione 5.2.15 (b) ed e anche separabile perche e generato da elementi separabili (Corollario 5.3.22). Quindi e di Galois. Per la Proposizione 7.3.15 (a), GalLiLM) e GalMiLM) sono sottogruppi normali di GalLnM(^^)- Inoltre, per la Proposizione 7.3.15 (b), GalL(LM) n GalM(i^M) = G31LM{LM) = {id}. Infine G^hnMiLM) = GalL(I/M) GalM(^M) per il punto (a). Teorema 7.3.17 Sia F C K un ampliamento di campi, siano L e M due campi intermedi e LM := (L U M) il loro composto. Allora: (a) ^e Vampliamento F C L e di Galois finito, anche gli ampliamenti M C LM e Lf] M C L sono di Galois finiti e I ^ applicazione restrizione p:

G81M{LM)

—> G a l F ( i ) ;

(p^ (f\^

e un omomorfismo iniettivo di gruppi, la cui immagine e GslinMiL); (b) Se gli ampliamenti F C L e F C M sono di Galois finiti, Vampliamento F C LM e di Galois e Vapplicazione e : Gal^(LM) - ^

G^\F{L)

X G^\F{M)

,

^ ^

e un omomorfismo iniettivo di gruppi. Se inoltre Lr\M isomorfismo.

{^\^.^\M)

=

F,9eun

250

7 La corrispondenza di Galois

Dimostrazione. (a) II campo LM :— M{L) e normale su M per la Proposizione 5.2.15 (a) ed e separabile su M per il Corollario 5.3.22, perche L e separabile su F e quindi anche su M (Proposizione 5.3.25). Quindi Tampliamento M C LM e di Galois ed e finito per la Proposizione 3.5.12. Inoltre L e un ampliamento di Galois (finito) di L D M perche F C L n M C L (Proposizione 5.4.3). Se (/:? e un M-automorfismo di LM^ esso e anche un F-automorfismo. Quindi poiche rampliamento F C L e di Galois, (p{L) C L e ^\^ G Gdi\F{L). Chiaramente p e un omomorfismo di gruppi. Inoltre, poiche ogni ip G G a l M ( ^ ^ ) e I'identita sn M, se (p\^ = id^, si ha che if e I'identita su tutto LM. Quindi Kerp = {id} e p e iniettivo. Sia H := Imp. Per far vedere che H = GalLnM{L)^ per la corrispondenza di Galois basta mostrare che Ln M e il campo fisso di iJ in L (Teorema 7.3.7 (a)). Se (p G G a l M ( ^ ^ ) , ^\L ^ssa gli elementi di L fi M, quindi L fl M C L^. Viceversa, se a G L e tale che (p{a) = a per ogni (p G GalM(-^^)5 allora a appartiene al campo fisso di GalM(-^M), che e uguale a M. Quindi a e LnM.Ne segue che LnM C L^. (b) L'ampliamento F C LM e di Galois per la Proposizione 7.3.16 (b). Si verifica facilmente che ^ e un ben definito omomorfismo di gruppi. Inoltre 9 e iniettivo perche, se 9{ip) = {P^\L^^\M) = {^dL^idM)-, allora (f — idLM^ essendo LM generato su F da L e M. Infine, supponiamo che L D M = F. Allora, per ogni coppia (7,(5) G GalF(L) x Gali?(M), per il punto (a), 7 si estende ad un M-automorfismo (p di LM, cioe ad un F-automorfismo di LM che e I'identita su M, e simmetricamente S si estende ad un L-automorfismo V^ di LM, cioe ad un F-automorfismo di LM che e I'identita su L. Allora (7,zdM) = 0{^),{idL,S) = 0{i^) G Im^ e (7, J) = 0{ip)e{^) = e{^^) G Im^. In conclusione 0 e suriettivo. Corollario 7.3.18 Sia F C K un ampliamento di Galois finito e siano L, M due campi intermedi. Se L e normale su F, allora [LM : M] = [L : L n M] e [LM :LnM] = [LM : L][LM : M] ^ [L : LD M][M : L H M]. Dimostrazione. Poiche per gli ampliamenti di Galois finiti I'ordine del gruppo di Galois e uguale al grado dell'ampliamento (Proposizione 7.1.3), per il Teorema 7.3.17 (a), risulta [LM : M] = [L : LnM]. Allora, dalle uguaghanze [LM : L n M] = [LM : M][M : L D M] = [LM : L][L : L D M] otteniamo anche che [M : LnM]

= [LM : L].

Nel linguaggio classico una irrazionalita e un numero irrazionale algebrico. II seguente corollario mostra che aggiungendo una irrazionalita ad un ampliamento di Galois finito Q C K il gruppo di Galois non cresce. Corollario 7.3.19 (Irrazionalita accessorie) Sia F C K un ampliamento di Galois finito e sia a ^ F. Allora Vampliamento F{a) C K{a) e di Galois e Gali?(Q,)(X(a)) e isomorfo ad un sottogruppo di GalF(i^).

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

251

Dimostrazione. Segue dal Teorema 7.3.17 (a), per L := K e M = F{a). Esempi 7.3.20 (1) H Teorema 7.3.17 resta valido anche per gli ampliamenti di grado infinito. Nella sua dimostrazione abbiamo usato I'ipotesi della finitezza soltanto per provare che I'immagine della restrizione p e GalLnM(^)Nel caso non finito, si puo usare il Teorema 7.3.14, notando che I'applicazione di restrizione e continua nella topologia di Krull e quindi la sua immagine e chiusa, perche G31M{LM) e compatto. Da questo risultato piii generale, per L := Kg e M := Ki, si puo riottenere la Proposizione 7.2.14. (2) Siano L e M due ampliamenti di Galois di F (in K). Allora I'ampliamento F C LM e di Galois e Gal^nM (LM) e prodotto diretto interno dei suoi sottogruppi GalM{LM) e GalL{LM) (Proposizione 7.3,16 (b)). D'altra parte, usando il Teorema 7.3.17 (a) (che, come abbiamo appena osservato, resta valido anche per gli ampliamenti non finiti), vediamo che questi due sottogruppi sono rispettivamente isomorfi a GalLnM(^) e GalLnM(^)- Questo e un altro modo di dimostrare che, per F = LflM, I'applicazione 9 definita nel Teorema 7.3.17 (b) e un isomorfismo (anche nel caso non finito). (3) Per mostrare che il composto di due ampliamenti di Galois finiti e di Galois si puo anche ricordare che un ampliamento finito e di Galois se e soltanto se e un campo di spezzamento di un polinomio separabile (Teorema 5.4.7) ed osservare che se L e M sono campi di spezzamento su F dei polinomi f{X) e g{X), allora LM e un campo di spezzamento su F del polinomio prodotto f{X)g{X). (4) Abbiamo dimostrato nella Proposizione 3.5.12 che, dati due campi intermedi L e M di un ampliamento F C K, se L e finito su F, risulta [LM : M] < [L : F]. Dal Corollario 7.3.18 segue che, nel caso in cui Tampliamento F C L sis. di Galois finito, [LM : M] divide [L : F]. Questo non e vero se I'ampliamento non e di Galois. Siano ad esempio a :— y/2 e /? := a^, dove ^ e una radice primitiva terza deH'unita. Per F := Q, L := Q{a) e M := Q(/3), si ha che LM = Q(a, /?) = Q(/3, ^ ha grado 2 su M, mentre [L : F] = 3. 7.3.3 Alcuni esempi Illustriamo la corrispondenza di Galois per gli ampliamenti finiti con il calcolo esplicito di alcuni esempi. 1. Ampliamenti di Galois di grado quattro Se F C K e un ampliamento di Galois di grado 4, il suo gruppo di Galois, avendo ordine 4, puo essere un gruppo di di Klein oppure un gruppo ciclico. Se Galp^K) := (o", r) = {id, cr, r, err} e un gruppo di Klein, i suoi sottogruppi non banali sono: {a) = {id, a} ;

(r) = {id, r} ;

(err) = {id, ar},

252

7 La corrispondenza di Galois

tutti normali di indice 2. Allora rampliamento F C K ha, esattamente 3 campi intermedi propri, tutti (normali) di grado 2 su F . Essi sono K"" = F{a);

K'' = F(/3);

K^^ = F{ap),

dove a, p e K\F sono due qualsiasi elementi tali che a{a) = a, T(/3) = /?. Se invece Gali?(K) := {(f) = {id, 99, (^^, (/P"^} e un gruppo ciclico, il suo unico sottogruppo non banale e H := {(p'^)> Dunque rampliamento F C i^ ha un unico campo intermedio proprio, (normale) di grado 2 su F . Precisamente il campo K^ := ^ ( 7 ) , dove 7 G .K \ F e un qualsiasi elemento tale che V^^(7) = 7Proposizione 7.3.21 Sia F C K un ampliamento di Galois finito. Allora GalF(i^) e un gruppo di Klein se e soltanto se K e un ampliamento biquadratico. Dimostrazione. Se F C K e \in ampliamento di Galois biquadratico, il suo gruppo di Galois e un gruppo di Klein (Esempio 7.1.4 (2)). Viceversa, sia Gali?(K) = {id^a^r^ar} un gruppo di Klein. Poiche a e r hanno ordine 2, allora i campi fissi L := K^ e M :— K^ di cr e r rispettivamente sono due ampliamenti quadratici distinti di F . D'altra parte, poiche K e un ampliamento di Galois, esso ha grado 4 su F e quindi e il composto di L e M. Ne segue che i^ e un ampliamento biquadratico di F . Mostriamo ora che, in caratteristica diversa da 2, ogni ampliamento di grado 4 e un campo di spezzamento di un polinomio biquadratico irriducibile. Viceversa, vedremo nel Paragrafo 8.1.12 (3) che un campo di spezzamento di un polinomio biquadratico irriducibile puo avere grado 4 oppure 8. Proposizione 7.3.22 Sia F un campo di caratteristica diversa da 2 e sia F C K un ampliamento di Galois di grado 4- Allora K e un campo di spezzamento su F di un polinomio biquadratico irriducibile X^ + bX'^ + c. Dimostrazione. II gruppo di Galois di K su F , avendo ordine 4, ha almeno un sottogruppo H di indice 2, il cui campo fisso L e un ampliamento quadratico di F . Poiche la caratteristica di F e diversa da 2, risulta L = F(7), con 7 ^ F e 7^ =: f G F (Paragrafo 3.5.1). Poiche poi [K : L] = 2, nello stesso modo si ha K = F(a), con a ^ F e a'^ G L. Con il solito abuso di notazione, ponendo 7 := V^, possiamo allora scrivere a^ = r + s\/t con r, 5 G F e a — V r + s\/t. Per doppia quadratura, otteniamo che a annulla il polinomio / ( X ) := X^ - 2rX2 + c G F[X], con c := r'^ - sH, che e irriducibile su F (perche a ha grado 4 su F ) e si spezza linearmente in K (perche K e normale suF).

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

253

Esempi 7.3.23 (1) Per ogni primo p > 2, rampliamento Q(i) C Q ( ^ , i) e un ampliamento di Galois di grado 4, perche e il campo di spezzamento su Q(i) del polinomio irriducibile f{X) := X^ —p. Infatti, se a := ^ , le radici di f{X) sono a, —a, ai, —ai (Esempio 4.1.5 (4)). Poiche rautomorfismo (p di Q ( ^ , i) definito da a i-^ ai, i i-> i ha grado 4, il gruppo di Galois di Q ( ^ , i) su Q(i) e ciclico, di ordine 4. (2) Nella Proposizione 7.3.22, I'ipotesi sulla caratteristica e necessaria. Infatti in caratteristica 2 ogni polinomio biquadratico non e separabile (Proposizione 5.3.3) e allora le risolventi degli ampliamenti di Galois di grado 4 non possono essere polinomi biquadratic^ Ad esempio I'ampliamento F2 C Fie e un ampliamento di Galois con gruppo di Galois ciclico di grado 4 (Teorema 4.3.17) le cui risolventi di Galois sono X^ -h X^ + 1, X^ + X + 1, X^ + X^ + X^ + X + 1 (Esercizio 4.28). 2. La corrispondenza di Galois per Pampliamento

Q{-\/p/iy/S)

Siano p > 2 un numero primo, a := ^ e ^ una radice primitiva terza delI'unita. Allora K := Q(a,i\/3) = Q(ce,0 ^ ^^ ampliamento di Galois di Q, essendo il campo di spezzamento in C del polinomio X^ — p (Esempio 4.1.5 (4)). Inoltre GalQ(K) = (p, S) = {id, p, p ^ 6, pS, p^d}, dove e G := GalQ(i^) e isomorfo ad S3 (Esempio 7.1.4 (4)). Allora G ha un sottogruppo normale (P) =

{id,p,p^}

di indice 2 e ha 3 sottogruppi {5) = {id,5},

{pS) = {id,pS},

{p^S)^{id,p%

di indice 3 che non sono normali. Per determinare i loro campi fissi, osserviamo ad esempio che

ma poiche deve essere [K^^ : Q] = 2, allora K^ = Q{^). L'ampliamento Q(^) e normale; infatti e il terzo ampliamento ciclotomico. Inoltre si ha

ma poiche tutti questi campi hanno grado 3 su Q, le inclusioni sono tutte uguaghanze. I campi Q(a), Q(aO? Q(<^^^) i^^n sono normali su Q e sono tutti tra loro coniugati; dunque la loro comune chiusura di Galois e Q(a, a^, a^^) = Q(a,^) =: K (Esempio 5.2.12 (2)).

254

7 La corrispondenza di Galois

3. La corrispondenza di Galois per I'amplianiento Q ( ^ ^ , i) Sianop > 2 un numero primo, a := ^ e K := Q ( ^ , i). Allora rampliamento Q C K e di Galois, perche K e il campo di spezzamento in C del polinomio X^ —p (Esempio 4.1.5 (4)). Notiamo che K e il composto dei suoi sottocampi L := Q(i), normale di grado 2 su Q e M := Q(Q:) di grado 4 su Q. Poiche L n M = F , si ha che G := GalF(i^) e il prodotto semidiretto dei suoi sottogruppi N := G31L{K), normale in G, e iJ := GalM(^) (Proposizione 7.3.16). Come visto neU'Esempio 7.3.23 (1), A^^ e ciclico di ordine 4, generato dall' automorfismo a : K —> K ; a i-^ a i , i i-> i. Invece H ha ordine 2 ed e generato dall'automorfismo T : K —> K ]

a I—)- a , i 1-^ —i.

Ne segue che G = NH = {a, T) = {id, a, cr^, a^, r, ar, cr^r, a^r} e isomorfo al gruppo diedrale D4 delle isometric del quadrato. I sottogruppi normal! di G sono i sottogruppi di indice 2 (e ordine 4) Ni := N := (a);

N2 := {id, r, a^, cr^r} ;

Ns := {id, ar, a^, a^r}.

ed il centro Z := (a^) di G, che ha indice 4 (e ordine 2). Allora K ha tre sottocampi normal! Li := K^^ d! grado 2 su Q, i = 1, 2, 3, ed un solo sottocampo normale L := K^ di grado 4 su Q. Poiche poi Z C Ni, deve essere L^ C L. Osservando che gl! element! !, a^ = y ^ , a^i G K, hanno grado 2 su Q, si vede che Li = Q(i); L2 = Q ( a ' ) ; L3 = Q(a'i) e d! conseguenza L := K ^ = Q(a^,!) e un ampliamento biquadratico di Q. Osserviamo anche che G/Z = {Z,GZ,TZ,GTZ^ e quindi Q2^F{V) = {id,G\^,T\^,GT\^},

I sottogruppi di G che non sono normal! sono quell! d! ordine 2 divers! dal centro, precisamente ( r ) , (aV) C iV2 ;

{or), (a^r) C iVg.

A quest! corrispondono i camp! intermedi d! grado 4 su Q che non sono normal!. S! puo verificare che K^ = Q ( a ) , K""'^ = Q(m);

K""^ = Q(a + m ) , if^'^ = Q(a - a!)

ed inoltre che L2 = Q ( a ' ) C q{a), Q(m);

L3 = Q{aH) C Q(a + a!), q{a - m).

7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois

255

4. La corrispondenza di Galois per il p-esimo ampliamento ciclotomico Sia ^ G C una radice primitiva n-sima deirunita, n > 3, e sia X := Q(^) Vnsimo ampliamento ciclotomico di Q. II gruppo di Galois di K su Q e isomorfo al gruppo commutativo U{Z>n) delle unit a di Z^ e precisamente e costituito dai ^{n) automorfismi

dove 1 < fc < n e MCD(n, fc) = 1 (Paragrafo 4.4.3). Poiche U{Zn) e abeliano, per ogni divisore d di (p{n)^ G ha un sottogruppo (normale) Hd di indice d (Proposizione 12.2.4). Quindi K ha un sottocampo (normale) di grado d su Q, precisamente il campo fisso di Hd- Inoltre GalQ(K^^) e isomorfo a G/Hd (Corollario 7.3.8). In particolare, poiche (p{n) e pari (Esempio 4.4.3 (2)), Q(^) ha sottocampi di grado 2 e sottocampi di grado (/?(n)/2 su Q. Tra questi ultimi si trova il campo fisso del coniugio complesso, ovvero il campo K n R = Q(^ + r ^ ) (Esempio 7.2.10 (2)). Notiamo che i coniugati di a := ^ + ^~^ = 2 cos ( ^ ) sono tutti reah e quindi appartengono a Q(a). Infatti

Ma)=e+r'=

2cos(^^y

per ogni automorfismo ipk di K. L'espressione di il^k{o() come funzione razionale di a deriva dalle relazioni « ' = K V r ' ) + 2;

a4 = r + r ' ) + 4 a 2 - 2 ;

a^ = {eH-')+ia;

...

Da queste si puo calcolare anche il polinomio minimo di a, notando che ^ annulla il polinomio (X^ - 1)/(X - 1) = 1 + X + • • • -h X^-2 + X ^ - 1 e quindi

i+^+e' + ---+r~'+r"' = i + (e+r') + (^'+r') + ... = 1 + a + (a^ - 2) + (a^ - 3a) + • • • = 0. Ad esempio, per n = 9, si ottiene che il polinomio minimo d i a : = ^ + ^~^e m(X) := X^ - 3X + 1 che ha radici a,

/3:=Q;^-2,

7 :=-a^

(Esempio 4.1.5 (3, a) ed Esercizio 7.19).

- a + 2

256

7 La corrispondenza di Galois

Sia ora n := p > 2 un numero primo. Poiche G :— GalQ(K) = U{Zp) e ciclico di ordine p — 1, esso ha un unico sottogruppo Hd (ciclico) di indice d, per ogni divisore d di p — 1. Quindi il campo fisso di Hd e Tumco sottocampo di grado d su Q ed e normale. Inoltre G31Q{K^'^) = G/Hd e ciclico di ordine d. Esplicitiamo il caso p = 7. In questo caso, G := GalQ{K) = ^(Zy) e ciclico di ordine 6. Poiche ^(Zy) e generato da 3, G e generato dairautomorfismo xp := xps di K definito da ^ M- ^^. L'unico elemento di ordine 2 di G e '0^ = '06, definito da ^ ^^ ^^ = ^~^. Quindi ip^ e il coniugio complesso e il campo fisso del sottogruppo Hs := {id^ -^^j e il campo reale K D R = Q(^ + <^~'*^)5 che ha grado 3 su Q. II polinomio minimo di a := ^ + <^~^ e m{X) :=X^ + X^

-2X-1,

le cui radici sono tutte reali ed esprimibili razionalmente in funzione di a. Esse sono infatti a

/27r

a : = ^ + ^^ = 2cosl — ^{a) =^^^^^^a^-3a

= 2cos

f^)

L'unico sottogruppo di indice 2 di G e quello generato da -0^ = -02 definito da ^ K^ ^^, il cui campo fisso e I'unico sottocampo L di K di grado 2 su Q. Per determinarlo osserviamo che, se f3 e K \Q e tale che '0^(/3) = /3, allora L = Q(/3). Poiche sotto I'azione di -0^ si ha

possiamo ad esempio scegliere /? = ^ + ^^ + ^'^ (Esempio 7.2.3 (4)). Dal momento che il polinomio minimo di /3 su Q e m{X) : = X 2 + X + 2. Poiche poi il discriminante di m{X) e uguale a —7, risulta

L = Q(/3) = q{iV7) (vedi anche il successivo Esempio 8.1.7 (3)).

7.4 Esercizi

257

5. La corrispondenza di Galois per rampliamento ¥p C Fp-n, Siano p > 2 un numero primo, n > 1 e q := p'^. L'ampliamento F^ C F^ e di Galois (Esempio 5.4.9 (1)) e il gruppo di Galois di F^ su F^ e ciclico di ordine n generato dairautomorfismo di Frobenius ^ , definito da x i-^ x^ (Teorema 4.3.17). Allora G := GalFp(Fg) ha uno e un solo sottogruppo (ciclico) di indice d per ogni divisore positivo d di n, precisamente il sottogruppo Hd := (^^). A tale sottogruppo corrisponde I'unico sottocampo di ¥q di grado c^ su F^, cioe ¥pd (Proposizione 4.3.15) e if^ e il gruppo di Galois di ¥q su ¥pd. Questo mostra che un ampliamento di grado m di un campo finito ha sempre gruppo di Galois ciclico, di ordine m.

7.4 Esercizi 7.1. Siano K un campo, S un sottoinsieme di Aut(i^) e (5) il sottogruppo di Aut(iir) generato da S. Mostrare che K^ = K^^K 7.2. Sia K := C(X), dove X e una indeterminata su C. Siano a I'automorfismo di K definito da f{X) \-^ f{^X) e r Tautoniorfisnio di K definito da f{X) \-^ f{X~^). Determinare i campi fissi di a, r e err. 7.3. Sia K := C(X), dove X e una indeterminata su C Siano a I'automorfismo di K definito da f{X) i-> / ( I — X~^) e r I'automorfismo di K definito da f{X) i-> / ( I — X). Determinare il gruppo di automorfismi G := {cr^r) di K e mostrare che K^ = C(/(X)), dove f{X) := (X^ - X + 1)^/X^{X - 1)^. 7.4. Sia a G C e supponiamo che K := Q(a) sia un ampliamento normale. Mostrare che la restrizione a K del coniugio complesso e un automorfismo di K e verificare che il suo campo fisso e Q(aa, a -\-a). 7.5. Siano K := Q(\/3, v ^ ) , L := Q{V^) e M := Q ( ^ ) . Determinare GalL{K), G31M{K) ed i loro campi fissi. 7.6. Sia F C K un ampliamento di Galois di grado n e sia (/9 G GalpiK). Mostrare che se (p ha ordine m = -, con p primo, ogni a e K \ F tale che (f{a) = ce e un elemento primitivo del campo fisso del gruppo H =< ip >. 7.7. Sia r una indeterminata sul campo F2 e sia F := F2(r^). Mostrare che il polinomio m{X) := X^ + r^X^ -h r^ e non separabile e irriducibile su F. Determinare inoltre un campo di spezzamento K di m(X) e verificare che Suggerimento: Notare che, se a e una radice di m(X), F{a) =

F{a'^,r).

7.8. Siano p i , . . . ,Pn numeri primi distinti e sia K := Q{-s/pi^..., y/p^)- Mostrare che l'ampliamento Q C iC e di Galois e determinare il suo gruppo di Galois. Esplicitare inoltre la corrispondenza di Galois per n = 1, 2,3.

258

7 La corrispondenza di Galois

7.9. Sia K il campo di spezzamento in C del polinomio f{X) G Q[-^]. Calcolare il gruppo di Galois di iT su Q ed esplicitare la corrispondenza di Galois quando f{X) e uno dei seguenti polinomi: X2+3;

(X2 + 3 ) ( X 2 - 2 ) ;

X^ - 5;

X^ + 2;

X^ + 1;

X^^-1.

7.10. Sia a una radice del polinomio f{X) := X^ - 8X2 _^ 3g ^ q^x]. Mostrare che il campo di spezzamento di / ( X ) in C e Q(a) e che il gruppo degli automorfismi di Q(Q;) e un gruppo di Klein. 7.11. Mostrare che un campo finito non puo avere ampliamenti biquadratici 7.12. Costruire un ampliamento biquadratico di un campo di caratteristica prima p. Soluzione: Sia F := Fp(r), dove r e una indeterminata su F^. L'ampliamento Fp C Fp2 e un ampliamento di Galois di grado 2 su Fp. Dunque, se Fp2 = ¥p{a)^ I'ampliamento F{a) e un ampliamento di Galois di grado 2 di F. Consideriamo il polinomio separabile q{X) := X'^ -i-rX-^-r G i^[X]. Poiche il dominio Fp[r] e a fattorizzazione unica e r e un elemento primo di Fp[r] (Esempio 2,3.9 (3)), q{X) e irriducibile su F per il Criterio di Eisenstein (Teorema 2.5.10). Allora, se /3 e una radice di ^(X), F{f3) e un ampliamento di Galois di grado 2 di F distinto da F{a) e il campo F ( a , /?) e un ampliamento di Galois biquadratico di F . 7.13. Sia r una indeterminata sul campo F2. Costruire un ampliamento biquadratico del campo delle funzioni razionali F := F2(r) e determinare una sua risolvente di Galois. Soluzione: Come visto nell'esercizio precedente, se a e P sono rispettivamente radici dei polinomi p{X) := X^ + X -h 1 e ^(X) := X^ + r X + r, che sono separabili e irriducibili su F , il campo K := F{a^p) e un ampliamento di Galois biquadratico di F. Un elemento primitivo per K su F e 9 := a -\- f3 (Paragrafo 3.5.2). Poiche le radici di p{X) sono a e a ^ ^ a + l e l e radici di q{X) sono /3 e /? + r, i coniugati di ^ su F sono a + /?; a + /3 + l ; a + f] + r; a + /? + r + l. Ne segue che il polinomio minimo di 0 su F e X^ + (r^ + r + 1)X2 + (r^ + r ) X + (r^ + 1). 7.14. Esplicitare la corrispondenza di Galois per gli ampliamenti di Galois QCQ(^,iv^); QcQ(^,i). 7.15. Determinare il gruppo di Galois dell'n-simo ampliamento ciclotomico Q ^ Q ( 0 . per 2 < n < 15. 7.16. Esplicitare la corrispondenza di Galois per I'n-simo ampliamento ciclotomico di Q per n = 5, 6, 8, 9,10. Per ogni campo intermedio, determinare inoltre una risolvente di Galois.

7.4 Esercizi

259

7.17. Mostrare che il 15-simo ampliamento ciclotomico di Q ha esattamente due sottocampi reali e determinare un elemento primitivo per essi. 7.18. Sia ^ G C una radice primitiva settima deirunita. Determinare il polinomio minimo su Q delPelemento a := ^^ + ^^ + ^^ ed il polinomio minimo di ^ su Q(a). 7.19. Sia ^ G C una radice primitiva nona dell'unita. Mostrare che il polinomio minimo di a := ^ + ^~^ su Q e m{X) := X^ — 3X + 1 ed esprimere le sue radici in funzione di a. Soluzione: Usando le relazioni viste nel Paragrafo 7.3.3 (4), si ottiene che a annulla il polinomio X^ + X^ - 3X2 - 2X + 1 = (^Y^ ~ 3X + 1)(X + 1). Quindi il polinomio minimo di a := ^ + ^~^ su Q e m(X) := X^ — 3X + 1. Poiche poi G := GalQ(Q(^)) e isomorfo a ^(Zg), che e ciclico generato da 2, G e ciclico generato dall'automorfismo ^ definito da ^ H^ ^2. Allora i coniugati di a su Q sono a,

^ ( a ) = a^ - 2 ,

^^(a) = a^ - 4a2 + 2 = - a ^ -a + 2.

7.20. Sia ^ G C una radice primitiva nona deH'unita. Determinare il polinomio minimo su Q di a := ^ + ^~^ + 1. 7.21. Sia ^ G C una radice primitiva nona deH'unita e sia iiT := Q(^) il nono ampliamento ciclotomico di Q. Determinare i campi fissi degli automorfismi

7.22. Sia ^ G C una radice primitiva undicesima deH'unita. Determinare il polinomio minimo su Q di a := ^ + ^"^. 7.23. Determinare tutti i sottocampi dell'ampliamento ciclotomico Q(^22)5 dove ^22 e una radice primitiva 22-sima dell'unita. Per ogni sottocampo, determinare poi un elemento primitivo ed il suo polinomio minimo su Q . 7.24. Determinare tutti gli ampliamenti quadratici contenuti nel 31-esimo ampliamento ciclotomico di Q. 7.25. Esplicitare la corrispondenza di Galois per 1'ampliamento F2 C F64. Per ogni campo intermedio determinare inoltre una risolvente di Galois. 7.26. Sia / ( X ) := X^ + 2X3 + 2X + 2 G ^^^x] e sia K un suo campo di spezzamento su F3. Determinare il gruppo di Galois di K su F3 ed esplicitare la corrispondenza di Galois.

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Nella sua memoria sulla risolubilita delle equazioni polinomiali {Memoire sur les conditions de re solubilite des equations par radicaux, 1830), Galois defini il gruppo di un polinomio a coefficienti razionali con radici complesse a i , . . . , a^, come il sottogruppo di S^ costituito da tutte quelle permutazioni a con la proprieta che, per ogni funzione razionale / i ( X i , . . . , X^) G Q(-X'i,..., X^), In questo capitolo mostreremo che quando K e il campo di spezzamento di un polinomio separabile f{X) G i^[^], fissato un ordinamento delle radici di / ( X ) , ogni F-automorfismo di i^ e univocamente determinato da una permutazione di queste radici. Quindi la nostra definizione di gruppo di Galois, nel caso degli ampliamenti di Galois finiti, coincide con quella data in origine da Galois. Studieremo poi, dal punto di vista teorico, il problema di calcolare i gruppi di Galois.

8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni Se K e il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in un campo F , I'ampliamento F C iT e di Galois (Teorema 5.4.7) ed il suo gruppo di Galois puo essere identificato con un gruppo di permutazioni sulle radici del polinomio nel mo do seguente. Se (^ e un F-automorfismo di K e a e una radice del polinomio f{X) G F[X], Lp{a) e ancora una radice di f{X) (Proposizione 4.2.6). Inoltre, poiche Lp e iniettivo, Lp induce una permutazione sulle radici di f{X). Se a i , . . . , a^ sono le radici di f{X) e (p e QalF{K) e tale che (f{ai) = a^, indichiamo con a"^ G Sn la permutazione definita da cr^(i) = j , per i, j = 1 , . . . , n. Ricordiamo che due permutazioni di S^ sono coniugate se e soltanto se hanno la stessa struttura ciclica [53, Paragrafo 2.3]. In particolare, se r G S^ e 1 < fc < n, risulta r ( a i . . .afc)r~^ = (a^(i) .. .a^(fc)).

Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

262

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Teorema 8.1.1 Sia F un campo e sia f{X) G F[X] un polinomio separabile con campo di spezzamento K su F. Fissato un ordinamento delle radici a i , . . . , Q^n di f{X), con le notazioni precedentemente introdotte, Vapplicazione

e un omomorfismo iniettivo di gruppi; dunque Gal^C^) e isomorfo al sottogruppo G := {a^^ ; (^ G GalF(i^)} di S^. Inoltre, se a^-^i),..., ar(n), con r G S^; e un altro ordinamento delle radici di f{X), Vimmagine di GelF{K) secondo Vapplicazione ijj e il sottogruppo di Sn coniugato a G tramite r, ovvero il sottogruppo TGT~^. Dimostrazione. Si verifica facilmente che I'applicazione '0 e un omomorfismo di gruppi. Inoltre essa e iniettiva. Infatti, K e generato su F dalle radici di f{X) e allora, se (/? G Gali?(K) e tale die ^{OL) — a per ogni radice a di f[X\ si ha che ^ e I'identita su K. Dunque Gali?(K) e isomorfo al sottogruppo G := {cr^ ; (/p G Q^\F{K))

di

S^.

Se poi r G Sn e (^ G Q?)\.F[K) e tale che ^{OLI) — cxj^ allora deve risultare (p{ar{i)) — O^T{J)' Dunque, posto a := cr"^, si ha a{i) = j e (p{a^(^i)) = a^aii) = a^^^-i(^(^)), per i = 1 , . . . , n. Percio, rispetto all'ordinamento ^ ^ ( i ) , . . . , ar(n) delle radici di / ( X ) , a cp resta associata la permutazione rcr'^r"^. Ne segue che I'immagine di G31F{K) in S^ e TGT~^. Definizione 8.1.2 Se f{X) G F[X] e un polinomio separabile con campo di spezzamento K su F, scriveremo GalF(/(X)) := Gali?(X). Fissato un ordinamento delle radici di f{X), il sottogruppo G di S^ isomorfo a GalF(/(-^)) tramite la corrispondenza (p y-^ a"^ sopra definita si chiama il gruppo di Galois del polinomio f{X). II gruppo di Galois di un polinomio e dunque definito a meno di coniugio. Questa ambiguita si puo evitare fissando una volta per tutte un ordinamento delle radici. Due polinomi con lo stesso campo di spezzamento hanno gruppi di Galois isomorfi, ma come vedremo non necessariamente coniugati. Proposizione 8.1.3 Sia F un campo e sia f{X) G F[X] un polinomio con campo di spezzamento K. Se a e (3 sono radici di f{X), esiste un Fautomorfismo di K tale che ^{a) = f3 se e soltanto se a e (3 sono radici di uno stesso fattore monico irriducibile di f{X) in F[X]. Dimostrazione. Se ce e una radice di / ( X ) , il polinomio minimo di a su F e un fattore monico irriducibile di f{X). Poiche a e (f{a) sono elementi coniugati, il polinomio minimo di a e (p{a) deve essere lo stesso, per ogni ip G G31F{K). Viceversa, se a e /3 sono radici di uno stesso fattore monico di f{X) irriducibile su F , allora esiste un F-isomorfismo cp di F{a) in F la cui immagine e F(/3) (Proposizione 5.1.17). Tale F-isomorfismo si puo estendere a un F-automorfismo di K per la Proposizione 5.2.13.

8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni

263

L'iniettivita dell'omomorfismo tp : Gali?(/(X)) —> S^; V^ i-^ cr'^ si esprime dicendo che GalF(/(X)) agisce fedelmente sull'insieme delle radici distinte di f{X). Inoltre per la Proposizione 8.1.3, I'orbita di una radice a di f{X) sotto I'azione di Gali?(/(X)) e costituita esattamente dalle radici del polinomio minimo di a su F . Quindi Gali?(/(X)) ha una sola orbita, cioe agisce transitivamente^ se e soltanto se f{X) e irriducibile su F (Paragrafo 12.1). CoroUario 8.1.4 Sia f{X) G F[X] un polinomio separabile di grado n e sia G C Sn il suo gruppo di Galois. AUora f{X) e irriducibile su F se e soltanto seG e un sottogruppo transitivo di S^. In particolare, se G = Sn, allora f{X) e irriducibile. CoroUario 8.1.5 // gruppo di Galois di un ampliamento di Galois di grado n e isomorfo a un sottogruppo transitivo di SnDimostrazione. Basta ricordare che un ampliamento di Galois di grado n e un campo di spezzamento di un polinomio separabile e irriducibile di grado n (Teorema 5.4.7). In virtu del Teorema 8.1.1, come sara piu conveniente, potremo considerare gli elementi del gruppo di Galois di un polinomio separabile f{X) G F[X] sia come automorfismi di un fissato campo di spezzamento K di / ( X ) , sia come permutazioni delle radici a i , . . . , a^ di f{X). Sia dunque G C S^ il gruppo di Galois di f{X). Per stabilire se G e contenuto nel gruppo alterno A^j, delle permutazioni pari, e utile lo studio del discriminante di f{X)

D{f):= n

(^i-^if

(Paragrafo 2.7.3). Ricordiamo che D{f) e F , ed infatti (p{D{f)) = D{f), per ogni (f G Galir(K) (Proposizione 8.1.3). Consideriamo I'elemento di K

S:=S{f):=

n

(«-".)•

l<2<j
Poiche S^ = D{f) G F , si ha [F(6) : F] < 2 e, per la corrispondenza di Galois, il gruppo di Galois di f{X) su F{6) ha indice in G al piu uguale a 2. Del resto, se cr G S^, si vede subito che

l
Quindi il gruppo di Galois di f{X) su F{S) e iJ := G H A^ e F{S) =

K^.

Proposizione 8.1.6 Con le notazioni precedenti, G C A^ se e soltanto se S e F. Altrimenti F{S) = K^ ha grado 2 su F.

264

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Dimostrazione. Come gia osservato, F{S) = K^. Consideriamo la catena di ampliamenti F C F{5) = K^ CK. Allora, per la corrispondenza di Galois (Teorema 7.3.7), si ha SeF

^

K^ = F = F{d) = K^

<:^ G = H

^

G C A^.

Esempi 8.1.7 (1) Se f{X) e un polinomio di terzo grado separabile e irriducibile su F , G C S3 e necessariamente H := G fl A3 = A3. Ne segue che G = A3 se (5 G F e G = S3 se (5 ^ F . (2) Sia F un campo di caratteristica di versa da 2 e sia f{X) := X^ + aX^ -\- c G F[X] un polinomio biquadratico irriducibile. Posto t := a^ — 4c, il discriminante di / ( T ) e D{f) = 16ct'^ (Esempio 2.7.18 (3)). Allora S = ^t^c e il campo fisso di iJ := G H A4 e F{S) — F{y/c). Ne segue che G C A4 se e soltanto se y/c ^ F. Se questo avviene, poiche G e transitivo, risulta necessariamente G = V4. Calcoleremo il gruppo di Galois di un polinomio biquadratico nel successivo Paragrafo 8.1.1 (3). (3) Sia p > 2 un numero primo e sia f{X) := X^ - 1 e Q[X]. Allora

D{f):=

i-iy-^jf

(Esempio 2.7.20), da cui, scrivendo p = 2 ^ ^ -h 1, otteniamo p-i

Ne segue che \Q{6) = Q{y/p) - Q(iv^)

se p = 1 mod 4 se p = 3 mod 4

In particolare, per la corrispondenza di Galois, Q(S) e I'unico ampliamento quadratico di Q contenuto nel p-esimo ampliamento ciclotomico (Paragrafo 7.3.3 (4)). 8.1.1 Alcuni esempi Determiniamo esplicitamente i gruppi di Galois di alcuni polinomi, visti come gruppi di permutazioni. Ricordiamo che S^ e generato da tutte le trasposizioni e che il gruppo alterno A^ delle permutazioni pari di S^ e generato da tutti i 3-cicli [53, Paragrafo 2.8]. Anche per il seguito, ai fini del calcolo dei gruppi di Galois e utile notare che e possibile scegliere altri insiemi di "buoni generatori" di Sn-

8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni

265

Proposizione 8.1.8 Sia G un sottogruppo di Sn, n > 3. Allora: (a) Se G contiene tutte le trasposizioni del tipo (ik) G — Sn,' (b) Se G contiene il ciclo (12.. .n) e la trasposizione (c) Se n = p e un numero primo e G contiene un qualsiasi trasposizione, G = Sp; (d) Se G e transitivo e contiene un qualsiasi (n — trasposizione, G = S^.

con k fissato e i ^ k, (12)^ G = S^; qualsiasi p-ciclo e una 1)-ciclo e una qualsiasi

Dimostrazione. Per semplicita, sottenderemo che le cifre che compaiono nel calcolo delle permutazioni siano considerate modulo n. (a) Basta notare che, per ogni trasposizione (a6), con a^b ^ k, si ha (ah) = {ka){kb){ka). (b) Notiamo che, posto 7 := (12.. .n), per ogni trasposizione (a6), si ha 7(a6)7~^ = (a + 1, 6 + 1). Allora, se (12) G G, per induzione su i, anche tutte le trasposizioni del tipo (i,i + l ) , i = l , . . . , n — 1, appartengono a G. Sempre per induzione su i, otteniamo percio che (li) G G per ogni i 7^ 1. Infatti, se (Ij) G G, allora (1, j + 1) = (lj)(j, j + l)(lj) G G. Quindi G = S^ per ilpunto (a). (c) A meno di coniugio, possiamo supporre che 7 := (12...p) G G. Sia (a,a + k) e G, con 1 < k < p. Allora 7^(a, a + k)^~^ = (a + fc,a + 2A:) e, per induzione su j , 7^ (a + jfc, a + (j + l)/u)7~^ = {a -\- {j + 1)A:, a + (j + 2)k). Poiche p e primo e k < p, gli interi a,a + /;;,a + 2A:,... ,a + (p — l)/u non sono congrui modulo p. Quindi, G contiene tutte le trasposizioni ( l i i ) , ( i i i 2 ) , . . . , ( i p - 2 « p - i ) , ( v - i , l ) con { i i , . . . , Zp_i} = {2, . . . , p } . Notiamo ora che (zp_i, l)(ip_2ip-i)... (iii2)(ln) = (l)(zif2 . . . i p - i ) G G. Posto a := (^1^2 • • •'^p-i), otteniamo che a^{lii)a~^ — (lij) per j = l , . . . , p — 1. Quindi G contiene tutte le trasposizioni (Ifc) per fc / 1 e possiamo concludere per il punto (a). (d) Sia G un sottogruppo transitivo di S^- A meno di coniugio, possiamo supporre che 7 := (12.. .n — 1) G G. Supponiamo che (ah) G G, con 1 < a < b < n. Per la transitivita, G contiene una permutazione a tale che a{a) = n. Allora, se a{b) = /c, si ha (7(a6)cr~-^ = (kn) G G. Al variare di j = 1,.. .,n, le trasposizioni j ^ {kn)j~^ G G sono tutte le trasposizioni del tipo (in) con i = 1 , . . . , n — 1. Quindi G = S^ per il punto (a). 1. II gruppo di Galois del polinomio generale Sia X := { X i , . . . ,X^} un insieme di indeterminate indipendenti sul campo F . Se s i , . . . , 5n G F[X.] sono i polinomi simmetrici elementari, il polinomio generale di grado n su F e il polinomio separabile g{T) := r ^ - siT^-^ + ssT^"^

+ (-1)^5^.

II campo di definizione di g{T) e il campo delle funzioni simmetriche F{si^..., Sn), mentre un suo campo di spezzamento e il campo delle funzioni razionali F(X) (Esempio 4.1.5 (8)).

266

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Proposizione 8.1.9 II gruppo di Galois di F{X.) su F ( 5 i , . . . , s ^ ) e E : = {(Pa]cr € Sn}; dove ^, : F{X) —> F ( X ) ;

A(Xi,... , X , ) ^ A(X,(i),.. . , X , ( , ) ) .

Quindi il gruppo di Galois del polinomio generale di grado n su F e SnDimostrazione. U e un sottogruppo di Aut(F(X)) isomorfo a S^ (Proposizione 2.7.10) il cui campo fisso e il campo delle funzioni simmetriche, cioe il campo F ( 5 i , . . . , 5 n ) (Corollario 2.7.12). Allora, per la corrispondenza di Galois, il gruppo di Galois di F ( X ) su F ( s i , . . . , Sn) e proprio E (Teorema 7.3.7). Corollario 8.1.10 // polinomio generale di grado n su F e irriducibile su F(5i,...,5n).

Dimostrazione. Segue dalla proposizione precedente e dal Corollario 8.1.4, perche Sn e transitivo. Esempi 8.1.11 Per motivi di cardinalita, il grado di trascendenza di R su Q e infinito, uguale alia cardinalita del continuo (Esempio 6.2.8 (5)). Allora per ogni n > 1, esistono n numeri reali t i , . . . , t^, algebricamente indipendenti su Q ed i campi F ( t i , . . . , tn) e F ( s i , . . . , Sn) sono isomorfi (Teorema 2.7.6 e Corollario 6.1.5). Ne segue che il polinomio/(X) : = X n + t i X ^ - ^ + t 2 X ^ " ^ + - - - 4 - t n e R[X] e un polinomio che si comporta come il polinomio generale; in particolare il gruppo di Galois di f{X) sul suo campo di definizione Q ( t i , . . . , t^) e

2. II gruppo di Galois del polinomio X^ — p Sia p un numero primo e sia f{X) := X^ — p G Q[X]. Le radici di f{X) j i : = a : = ^ ,

72:=Q^^,

sono

73 : = o;^^,

dove ^ e una radice primitiva terza dell'unit a. Allora il campo di spezzamento di f{X) e K = Q ( a , 0 = Q ( ^ , i V 3 ) (Esempio 4.1.5 (3, b)). Abbiamo visto nel Paragrafo 7.3.3 (2) che Ga}Q{K) = {p,d) =

{id,p,p^,5,p6,p^5],

dove Quindi GalQ(/(X)) = GalQ(iir) e un gruppo isomorfo a S3. Nell'ordinamento scelto, p induce sulle radici di f{X) la permutazione (717273) mentre 5 induce la permutazione (7273)- Quindi un isomorfismo esplicito di GalQ(/(X)) = GalQ(X) con S3 resta definito da V^ : GalQ(/(X)) ^

Sn ;

p^cjP

^ (123), 5 ^ a^ ^ (23).

8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni

267

3. II gruppo di Galois di un polinomio biquadratico Sia f{X) := X^ + aX^ + c G Q[X] un polinomio biquadratico irriducibile. Le radici di f{X) sono: 'ji :=a:=

yr-\-sVi,

72 : = / ? : = y r - sVt,

73 : = - a ,

74 : = - / 3

dove r := —a/2, s := 1/2, t := a^ — 4c. Poiche f{X) e irriducibile su Q, [Q(a) : Q] = 4 e quindi \/t ^ Q (altrimenti a avrebbe grado 2 su Q). Allora il campo di spezzamento di f{X) e K := Q(Q;,/?). Poiche

P' e Q{a') = Q{Vt) C Q(a), /? ha grado al piu uguale a 2 su Q(ce). Quindi [K : Q] = 4 (se e soltanto se P G Q(a)) oppure [K : Q] = 8. Proposizione 8.1.12 Indicando con G C S4 il gruppo di Galois di f{X) Q, con le notazioni precedenti si hanno precisamente i seguenti casi:

su

(a) G = V4 := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} se (e soltanto se) ^c e Q; (b) G e ciclico se (e soltanto se) \ftc G Q; (c) G e un gruppo diedrale di grado 4 se (e soltanto se) y/c ^ Q e y/tc ^ Q. Dimostrazione. Gli isomorfismi di Q(a) in K sono: ipi := id : a ^ a\

(p2 : a \-^ P; (p^ : a \-^ —/?.

(ps : a\-^ —a;

Notiamo che c = a^/3^ e dunque A/C = ap; da cui ^/c ^

•

-

\ftC a^/t

Allora, quando v ^ G Q oppure Vtc G Q, si ha /? G Q(a), K = Q(a) e GalQ(/(X)) = {(fi = id, (p2, (P3, ^4}' (a) Poiche il discriminante di f(X) e D{f) = 16ct^, come visto nell'Esempio 8.1.7 (2), ^/c G Q se e soltanto se G C A4. In questo caso deve necessariamente risultare G = V4. Posto (/? := (/?2, si ha \ a J if {-a) = -P;

(f{-P)

(f{a)

p

=-a.

Quindi ip2 induce sulle radici di f{X) la permutazione (7172) (7374)-

268

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Analogamente si ottiene 9^3 (/3) = —/3; quindi 993 induce sulle radici di f{X) la permutazione (7173)(7274)- Infine (p4{/3) = —a; quindi (p^ induce sulle radici di f{X) la permutazione (7174) (72 73)- In conclusione G = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} =: V4. (b) Se y/tc G Q necessariamente \/c ^ Q, perche \/t ^ Q. Ne segue che G ha ordine 4 ed inoltre, per il punto (a) non e di Klein; quindi G e ciclico. Verifichiamo infatti che (p := (p2 ha ordine 4. Poiche (fia"^) = /3^, allora (fi{Vi) = — V^ e di conseguenza

^(a) =/3; ^V) = ,.(/?) = ^ ( ^ ) ^^{a) = ^i-a)

= -/?;

=-^^^ (/p^(a) = (^(-/?) = a.

Percio (/? ha ordine 4 (inoltre (/?^ = 993 e (/:?^ = (^4) e (/^ induce sulle radici di f{X) la permutazione (71727374)- In conclusione G = ((1234)) C S4. Viceversa, supponiamo che G sia ciclico di ordine 4. Allora, per la corrispondenza di Galois, K = Q(a) ha un unico sottocampo L di grado 2 su Q (Paragrafo 7.3.3 (1)) e necessariamente L = Q{^/i). Dunque ^/c G Q(v^) e, per opportuni x, 2/ G Q, si ha c = (x + yVif

= x^ + y'^t + 2xyVi.

Quindi xy = 0. Se y =^ 0, allora c = x^ e ^/c e Q. Poiche, per il punto (a), ^/c ^ Q, deve essere x = 0 e c = y^t. Dunque ct = (yt)^ e y/ct = yt ^ Q. (c) Se y/c ^Q e \[tc ^ Q, per i punti (a) e (b), G C S4 deve avere ordine 8 e quindi deve essere un gruppo diedrale di grado 4. Per esplicitare il gruppo G, notiamo che gli automorfismi di K, costruiti per estensioni successive, ad esempio considerando la catena Q C Q(a2) = Q(Vt) C Q(a) C iC := Q(a, /?), sono:

id : a 1-^ a, a^ : a h-> - a ,

P ^ P' /3 \-^ -f3:

T : a \-^ —a, P^ P (7T \ a^ —/?, /3 t-^ —a cr^T : a h-> a,

/? H-> —/?

Poiche (J induce sulle radici di / ( X ) la permutazione (71727374) e r induce la permutazione (7173), si ha G=((1234),(13))CS4.

8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni

269

Esempi 8.1.13 (1) II polinomio f{X) := X'^-lOX^ + l G Q[X] e irriducibile su Q ed ha radici a : - \ / 2 + V3,

-a,

p := V2 - Vs,

-f3

(Esempio 3.3.15 (5)). Poiche c = 1 e un quadrato in Q, allora il gruppo di Galois d i / ( X ) e V4. (2) II polinomio f{X) := X^ + 30^^ + 45 E Q[X] e irriducibile su Q (per il criterio di Eisenstein con p = 5) ed ha radici: a : = V - 1 5 + 6\/5,

-a,

/? := y - 1 5 - 6\/5,

-/?.

Poiche t := 5 e c := 45 non sono quadrati in Q, mentre tc := be — 225 = 1 5 ^ lo e, GalF(/(X)) e ciclico di grado 4, generato dairautomorfismo (p : a\-^ p. (3) Sia p un numero primo e sia f{X) := X"^ - p e Q[X], Allora f{X) e irriducibile su Q (per il criterio di Eisenstein) e il campo di spezzamento di f{X) e K = Q ( ^ , i). Poiche K ha grado 8 su Q, il suo gruppo di Galois e diedrale di grado 4 (Paragrafo 7.3.3 (3)). Notiamo che c = —p e tc = (4p)(—p) = —4p^ non sono quadrati in Q. (4) Se f{X) e Q[X] si spezza nel prodotto di due polinomi distinti irriducibili di secondo grado, il suo campo di spezzamento e un ampliamento biquadratico e quindi GalQ(/(X)) e un gruppo di Klein (Esempio 7.1.4 (2)), ma il corrispondente gruppo G C S4 non e transitivo. Infatti, sia f{X) = g{X)h{X). Se 71, 72 sono le radici di g{X) e 73, 74 sono le radici di h{X), allora GalQ(/(X)) = {id, a, r, err}, dove a induce sulle radici la permutazione (7172) e r induce la permutazione (7374). Quindi GalQ(/(X)) e isomorfo al sottogruppo G := {(1), (12), (34), (12)(34)} di S4, che non e transitivo (e non e isomorfo a V4 per coniugio). Proposizione 8.1.14 (Formula del doppio radicale) Siano r, 5,t G Q e sia a := v r + s^/t, con \/t ^ Q. Allora a = x^/a + yVb, per opportuni X, y, a, 6, G Q; se e soltanto se c := r^ — s^t := rj^ e un quadrato in Q. Inoltre in questo caso risulta

a = ± W ^ ± dove i segni sono opportunamente

determinati.

Dimostrazione. Poiche \/t ^ Q, ce ha grado 4 su Q e, per doppia quadratura, il polinomio minimo di a su Q e f{X) := X^ — 2rX^+c. Dunque a = x^fa^yyh se e soltanto se Q(ce) = Q ( v ^ , Vo) e un ampliamento biquadratico di Q, ovvero il gruppo di Galois di j{X) su Q e un gruppo di Klein (Proposizione 7.3.21). Posto c:=rf, per la Proposizione 8.1.12, questo accade se e soltanto se 77 G Q.

270

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Per concludere, osserviamo che, se /3 := y r — s\/t, si ha ^2^2 ^ (^ ^ sVi){r - sVi) = T]^, da cui (a ± Pf = a^ + /?^ d= 27/ = (r + syft) + (r - s^Tt) ±2rj = 2(r ± rj) a-i-p = ±^/2{r + r]),

a - P = ±y/2{r - r]):

sommando, si trova I'espressione per a. Esempi 8.1.15 Sia a := v 5 ± V ^ G M. Poiche, con le notazioni precedenti, 7/2 = 25 - 21 = 4, allora r] = ±2eQea= ^ ^ . 4. II gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico Se ^ e una radice complessa 7i-sima primitiva deH'unita, il gruppo di Galois su Q dell'Ti-simo ampliamento ciclotomico Q(^) e isomorfo al gruppo delle unita di Z^. Precisamente Q(^) ha (p{n) automorfismi, che sono tutti e soli gli automorfismi ipk definiti da: ^k : Q ( 0 —^ Q ( 0 ;

^ ^ C^

con 1 < A: < 71 e MCD(n, k) = 1

(Paragrafo 4.4.3). Poiche Q(^) e il campo di spezzamento su Q del polinomio (riducibile) fn{X) := X^ — 1, che ha ?i-radici distinte, allora Aut(Q(^)) = GalQ(/n(X)) e isomorfo a un sottogruppo di Sn- Un isomorfismo esplicito si puo determinare ordinando le radici di fn{X) come a^ := ^% i = 1 , . . . , 7i, e osservando che, per ogni h = 1 , . . . ,7i, risulta i^k{^^) = C^^ = ^^5 dove 1 < s
8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni

271

Ricordiamo che fs{X) := X^ - 1 = ^i{X)^2{X)^4{X)^s{X), dove - ^ i ( X ) :== X - 1 ha radice ^^ = 1, - ^ 2 ^ ) := X + 1 ha radice ^^ = - 1 , - ^ 4 ( ^ ) := X^ + 1 ha radici (^'^ =^ i e ^^ = - i , ed infine - MX) := X^ + 1 ha_radici ^, ^^ C^ ^^. PoicheZY(Z8) = {1, 3, 5, 7}, allora Aut(Q(^)) = {id, (ps, (p^, ifj}, Ordinando le radici di fs{X) come i = l,...,8,

ai:=C;

si ha romomorfismo iniettivo Aut(Q(^)) —> Ss definito da id ^ (1) V^3^^3:=(13)(26)(57)(l)(4)(8) V^5^^5:=(15)(37)(l)(2)(4)(6)(8) V^7^^7:=(17)(26)(35)(l)(4)(8). In definitiva, il gruppo di Galois del polinomio fsiX) e il sottogruppo G := {(l),cr3,cr5,o-7} di Sg, che non e transitivo. Considerando poi Aut(Q(^)) come il gruppo di Galois di ^8(-^) e ordinando le radici di ^8(-^) come Q^i:=^,

^2:=^^,

a 3 : = ^ ^

c^4 : = C^,

si ottiene anche che Aut(Q(^)) si puo identificare al sottogruppo V4 := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} di S4, che e transitivo. (2) Se MCD(r, 5) = 1, si ha (p{rs) = (p{r)(p{s) e, indicando con ^n ^ C una qualsiasi radice primitiva n-sima dell'unita, risulta Q(^rs) = Q{^r,£,s) (Esercizio 4.43). Inoltre Q(^r) H Q(<^s) = Q; infatti, per la moltiplicativita del grado ed il Corollario 7.3.18, V>{r) - m^rs)

: Q(6)] = [Q(^r) : Q(^.) 0 Q(6)] < [Q(^,) : Q] = ^ ( r ) .

Allora, per il Teorema 7.3.17 (b), GalQ(^^s(X)) e isomorfo per restrizione al prodotto diretto GalQ(^r-(^)) x GalQ(^s(X)). (Questo si puo vedere anche direttamente tenendo conto che GalQ(Q(^n)) e isomorfo al gruppo U{Zn) delle unita di Z^ ed usando il Teorema Cinese dei Resti (Esempio 1.3.9 (2)).) Ad esempio, per r = 3 e 5 = 5, ^i^{X) ha grado 8 e GalQ(^i5(X)) si identifica ad un sottogruppo di Ss isomorfo al prodotto diretto GalQ(^3(X)) x GalQ(^5(^)). Esplicitamente, se 6 e una radice primitiva terza e ^ e una radice primitiva quinta, le radici di ^15 sono (Ji : = (J : — e ^ ; . , .

. ,8

^2^3 .

UJ2 := UJ = e t, ; ,, .

, ,11

^2t .

4

A4

a;7 : = u;^^ = e^^ ;

UJ4 : = cc;'^ = e^^ ; ^ 8 : = a;i4 ^ ^2^4^

272

8 II gruppo di Galois di un polinomio

GalQ(^3(X)) ha ordine 2 ed e isomorfo per restrizione al sottogruppo di GalQ(^i5(X)) generate da (/^ : e h^ e ^

^ ^ ^

Invece GalQ(^5(X)) e ciclico di ordine 4 generate da

Ne segue che GalQ(^i5(X)) = {) = {^'i^

; i = 1,2, j = 1,2,3,4}.

NeH'ordinamento scelto per le radici di ^15 (X), si ha allora un omomorfismo iniettivo di gruppi GalQ(^i5(X)) - ^ Sg (^^^r :=(16)(24)(38)(57) ^H^a:=(1437)(2856). e quindi GalQ(^i5(X)) si identifica al gruppo di permutazioni G := (r, cr) C Ss, prodotto diretto interno dei sottogruppi (r) e (a). 5. II gruppo di Galois di un polinomio riducibile II gruppo di Galois di un polinomio e in relazione con i gruppi di Galois dei suoi fattori irriducibili. Proposizione 8.1.17 Siano f{X), g{X) G F[X] due polinomi separabili, con campi di spezzamento L ed M rispettivamente. Allora GalF{f{X)g{X)) e isomorfo ad un sottogruppo del prodotto diretto Gali?(/(X)) x Galjp{g{X)). Se inoltre LnM = F,i gruppi GalF(/(X)^(X)) e GalF(/(X)) x GalF(^(X)) sono isomorfi. Dimostrazione. Basta notare che il campo composto LM e un campo di spezzamento su F del polinomio separabile f{X)g{X). Inoltre I'applicazione 6 : GalF(LM) -^

G^\F{L)

X Gal^lM);

i^ ^ ( ^ | L , ^\ M)

e un omomorfismo iniettivo di gruppi ed e un isomorfismo se L D M = F (Teorema 7.3.17 (b)). CoroUario 8.1.18 Siano p i ( X ) , . . . ,Ps(X) G F[X] polinomi distinti separabili ed irriducibili su F. Se f{X) := pi{X)^^ .. .ps{X)^', ki > 1 per I
8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni

273

Dimostrazione. Basta osservare che i polinomi f{X) e Pi{X).. .ps{X) hanno 10 stesso campo di spezzamento e procedere per induzione su 5, usando la Proposizione 8.1.17. Esempi 8.1.19 (1) Sia f{X) := {X^ - 2)^^{X) = {X^ - 2){X^ + X^ + X^ + X + 1) G Q[X]. 11 campo di spezzamento di f{X) su Q e i^ := Q ( v ^ , e,^), dove e e una radice primitiva terza dell'unit a e ^ e una radice primitiva quinta. Notiamo che K — LM^ dove L := Q( v ^ , e) e il campo di spezzamento di p{X) := X^—2 e M := Q(^) e il campo di spezzamento di ^5(X) := X^ + X^ + X^ + X + 1. Ordiniamo le sette radici di / ( X ) in modo tale che ai := V 2 ,

a2 := aie ,

as := aie

siano le radici di p{X) e a4 := ^ ,

as := ^^ ,

^e := f ,

(^7 := ^^

siano quelle di ^^{X), II gruppo di Galois del polinomio p{X) e isomorfo a S3 e, come visto nel Paragrafo 8.1.1 (2), si puo identificare al sottogruppo di S7 generato da (123) e (12). II gruppo di Galois del polinomio ^5(X) e isomorfo al gruppo U{IJ^) delle unita di Z5 (Paragrafo 4.4.3). Poiche U{IJ^) e ciclico di ordine 4 generato da 2, allora GalQ(^5(X)) e ciclico di ordine 4 generato dall'automorfismo 7/^2 • ^ "-^ ^^ e si puo identificare al sottogruppo di S7 generato da (4576). Poiche L n M = Q, perche Q(e)nQ(^) = Q (Esempio 8.1.16 (2)), il gruppo di Galois di K su Q e isomorfo a S3 x Z4 e si puo identificare al sottogruppo G := ((123), (12), (4576)) di S7. (2) Siano / ( X ) , ^(X) G F[X] due polinomi separabili con campo di spezzamento Le M rispettivamente e sia AT := LnM. Se / ( X ) e ^'(X) hanno radici comuni in F , queste sono precisamente le radici di d{X) := MCD(/(X), ^(X)); inoltre N contiene un campo di spezzamento di d{X) ed in particolare F ^ N. Viceversa, puo accadere che F ^ N anche se / ( X ) e g{X) non hanno radici in comune. In ogni caso, la restrizione e : GaW(I^M) -^

GaW(I^) x Galiv(M);

i^ K->

{ip\^,^\^)

e un isomorfismo (Teorema 7.3.17 (b)) e quindi i gruppi GalAr(/(X)^(X)) e Galiv(/(X)) X Galiv(5'(X)) sono isomorfi. Sia ad esempio / ( X ) := X« - 9 = (X^ - 3 ) ( X ^ + 3 ) G Q[X]. Posto a := y/Z e ^ := (1 + i)v^/2 (radice primitiva ottava deH'unita), - le radici di p{X) := X^ — 3 sono a, —a, ai, —ai; - le radici di q{X) := X^ + 3 sono /? := a^, - / 3 , /3i, -/3i. Quindi p{X) e ^(X) non hanno radici in comune. II campo di spezzamento di p{X) e L := Q(a,i) e il campo di spezzamento di q{X) e M := Q(/?, i) =

274

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Q(Q!^, i). Ne segue che il campo di spezzamento di f{X) e LM = Q(a, y/2, i). Inoltre N := L 0 M = Q ( a ^ i ) = Q(\/3,i) (perche a^ = - i ( a O ^ = -i/J^G M). Notiamo che L = N{a), M = iV(a\/2) e LM = Ar(a, \/2) e un ampliamento biquadratico di N. Quindi G31N{LM) e un gruppo di Klein ed e isomorfo per restrizione a Galiv(L) x Galiv(M). Tuttavia G3lq{f{X)) non e isomorfo al prodotto diretto G31Q{P{X)) X GalQ(^(X)). Infatti | GalQ(/(X))| = [LM : Q] = 16, mentre | GalQ(p(X))| = |GalQ(g(X))| = 8, per cui \G^\q{p{X)) x GalQ(g(X))| = 64. II gruppo di Galois di f{X) su Q verra calcolato nel successivo Esempio 9.1.6 (2).

6. Gruppi di Galois di polinomi su campi finiti Ogni polinomio irriducibile su un campo finito e separabile (Corollario 5.3.11). Sia f{X) un polinomio irriducibile di grado d sul campo finito F := ¥pn e sia K := F ^ , m := dn^ il suo campo di spezzamento. Allora GalFp(i^) e ciclico di ordine m, generato dall'automorfismo di Frobenius $ : K —> K, x i-> x^ e GalF(/(X)) = GalFn(Fpm) C Gd.h^{K) e ciclico di ordine d = [K : F], generato da $^ (Paragrafo 7.3.3 (5)). Quindi, se a G K e una radice di / ( X ) , tutte le radici di f{X) sono a i := a ,

n

a2 := o^^ ,

2n

a^ \— a!^ ,

... ,

(d-l)n

oid '-— o;^

e, secondo questo ordinamento, G^\F{P{X)) si identifica al sottogruppo di Sd generato dal d-ciclo (12 . . . d). Sia poi f{X) = qi{XY^ . ..qs{Xf% con qi{X) irriducibile su F := F^n di grado di, i = 1 , . . . , s. Allora il campo di spezzamento di f{X) e F^rid, dove d := mcm((ii,..., dg) (Esercizio 4.21), e ancora una volta Gali?(/(X)) e ciclico di grado d. Inoltre Gali?(/(-^)) si identifica ad un sottogruppo del prodotto diretto di gruppi ciclici GalF(^i(X)) x • • • x Gali?(gs(X)). Esempi 8.1.20 (1) Sia / ( X ) := {X^ + 1){X^ + 2X + 1) G ¥^[X]. Poiche p{X) := X^ + 1 e q{X) := X^ + 2X + 1 sono irriducibili su F3, data una radice a di p{X) e una radice /3 di q{X)^ il campo di spezzamento di f{X) e K :^ ¥s{a,/3). Poiche poi F^ia) nWsiP) = F3, si ha che GalF3(/(X)) si identifica ad un sottogruppo cilico di S5 isomorfo a Galpg (p(X)) xGalFg {q{X)). Ordinando le radici di f{X) come Q;I : = a ,

0:2 : = Q^ = —CK ,

a s : = /3 ,

0^4:=/?,

0^5 : = /? ,

il gruppo di Galois di p{X) si identifica al sottogruppo di S5 (ciclico) di ordine 2 generato da (12), mentre il gruppo di Galois di q{X) si identifica al sottogruppo di S5 (ciclico) di ordine 3 generato da (345). Quindi GalF3(/(X)) si identifica al gruppo ciclico G :— ((12)(345)) C S5. (2) S i a / ( X ) = (X2+XH-1)(X^+X+1) G F2[X]. II campo di spezzamento di p{X) := X^ + X + 1 e L := F22 ed il campo di spezzamento di q{X) :=

8.2 Calcolo del gruppo di Galois di un polinomio

275

X^ -{-X + 1 e K := F24. Poiche L C K^ allora K eil campo di spezzamento di f{X) e GalF,(/(X)) = G^hM^)) £ GalF,(p(X)) x G^hM^)) (Esempio 4.3.19 (4)).

8.2 Calcolo del g r u p p o di Galois di u n polinomio Usando le proprieta delle funzioni simmetriche, daremo in questo paragrafo un procedimento teorico, anche se di difficile applicazione pratica, per calcolare il gruppo di Galois di un polinomio. Metodi di calcolo effettivi, che impiegano I'uso al calcolatore di programmi di calcolo simbolico quali Maple o Mathematical sono illustrati ad esempio in [26]. Sia f{X) G F[X] un polinomio separabile e irriducibile di grado n con radici cei,..., a^ e campo di spezzamento K := F ( a i , . . . , an)- Sia poi Y := { y i , . . . , Yn} un insieme di indeterminate indipendenti su K. Allora K{Y) = F ( Y ) ( a i , . . .,an) e il campo di spezzamento di f{X) su F{Y) ed inoltre F ( Y ) n K = F. Ne segue che I'applicazione di restrizione Galf (Y)(if (Y)) -^ G^lFiK);

ip ^

^\,

e un isomorfismo (Teorema 7.3.17 (a)). Notiamo che possiamo fare agire S^ su K{Y) in due modi: permutando le radici a i , . . . , a^, oppure permutando le indeterminate Y i , . . . , F^. Per distinguere queste due azioni, per ogni cr G S^ e ^ := 6{ai^..., a^, ^1, • • • ? ^ ) ^ i^(Y), indicheremo con Ga{0) la funzione ottenuta da 6 permutando a i , . . . , ce^ e con (TY{0) la funzione ottenuta da 6 permutando Y i , . . . , F^: (^(x{0) = ^ ( a o - ( l ) , . . . , a o - ( n ) , ^ l , . . . , l ^ n ) , (JY(0)

= 6>(ai,..., a^, Y^(i), •. •, ^^(n))-

Ricordiamo che, fissato un ordinamento delle radici a i , . . . , a n di / ( X ) , ogni if e GalF(^), e univocamente determinato dalla permutazione a := a"^ G Sn tale che (p{ai) = cecr(2) (Teorema 8.1.1). In questo modo, sia Gali?(i^) che Gali?(Y)(^(Y)) sono isomorfi alio stesso sottogruppo G di S^ tramite la composizione di isomorfismi Gal,.(Y)(i^(Y)) - ^ G31F{K)

^ S n ;

^ ^ ^\^ ^

a^.

Per ogni (p G GalF(Y)(-^(Y)) e 9 e K{Y), si ha allora ip{0) = % ( a i ) , . . . , ( ^ K ) , F i , . . . , Yn) = a^{e). D'altra parte, per ogni a E Sn, I'applicazione if, : K{Y) -^ KiY);

6 ^ ay(^) : = ^ ( a i , . . .,a„,y<,(i),.. .,y,(„))

276

8 II gruppo di Galois di un polinomio

e un automorfismo di campi (Paragrafo 2.7.1). Inoltre, data un'indeterminata T su i^(Y), (fa- induce un'automorfismo (/?* dell'anello dei polinomi in T su i^(Y), definito da ^ : : K{Y)[T] -^

^e,{Y)r ^

K{Y)[T];

e p(Y,T) e irriducibile su K{Y) (Lemma 4.2.1).

^ay{e,)r

se e soltanto se anche (/9*(p(Y,T)) lo e

Consideriamo or a 1'element o e:=aiYi

+ "- +

anYneK{Y).

Per ogni cr G S^, risulta aa{0)

= Q;^(l)yi H

h Q^^(n)^n

= aiy^-i(i) H

h a n F ^ - i ( n ) ^ (cr"^)y(6>).

Inoltre, per il Principio di Identita dei Polinomi, (7^(0) = ra{0) se e soltanto se a = r. Infine, se a 99 G GalF{Y){K{Y)) corrisponde la permutazione 7 := a'^ tale che 7(i) = j , allora

per ogni cr G S^ (Teorema 8.1.1). Proposizione 8.2.1 Fissato un ordinamento delle radici a i , . . . , a^ di f{X), sia G il sottogruppo di S^ isomorfo a Gali?(Y)(^(Y)) tramite la corrispondenza cp \-^ a"^. Allora, per ogni a G S^; la funzione

e un elemento primitivo di i^(Y) su F{Y) con polinomio minimo

p.(Y,T):= J](T-(a,7a)W). 7GG

Dimostrazione. Se all'automorfismo ip G Gali?(Y)(^(Y)) corrisponde la permutazione 7 := a'^ tale che 7(2) = j , allora ip{a(j{i)) — (^a{j) — <^cr7(z) (Teorema 8.1.1). Quindi i coniugati di a^iO) su F{Y) sono tutti gli elementi (f{aa{0))

= ( / ? ( a ^ ( i ) F i + - • • + a^(n)>^n) = Q=a7(l)^l + - • • + <^^7(n)^n = (cra7a)(6^)

al variare di 7 G G. Poiche aj ^ G^' per 7 7^ 7', tali elementi sono tutti distinti e percio il grado in T di GO,{S) su F ( Y ) uguaglia I'ordine di G, Ne segue che [if(Y) : F(Y)] = |G| ^ [ F ( Y ) K ( ^ ) ) : F(Y)], da cui K{X) ^ F(Y)(a„(e)). Allora (Ja(^) e un elemento primitivo di i^(Y) su F ( Y ) con polinomio minimo Per (Y,T).

8.2 Calcolo del gruppo di Galois di un polinomio

277

Consideriamo poi il polinomio

h{Y,T):=

l[{T-ay{e))GK{Y){T]. creSn

Sostituendo a con cr~^, si ha anche

h{Y,T)^

HiT-a^ie)).

E allora evidente che il polinomio /i(Y, T) rest a invariato sia per ogni permutazione delle indeterminate l i , . . . , F^ che per ogni permutazione di a i , . . . , an- In particolare i suoi coefficienti, visti come elementi di K{Y) = F ( Y ) ( a i , . . . , Qn), sono polinomi simmetrici nelle radici a i , . . . , a^ di f{X) e in quanto tali appartengono al campo di definizione F{Y) di f{X) (Proposizione 2.7.14). Ne segue che /i(Y, T) e un polinomio monico di grado n! in T a coefficienti in F(Y). Ci proponiamo di dimostrare che il gruppo di Galois di f{X) e dato dal gruppo delle permutazioni delle indeterminate F i , . . . , y^ che fissano i fattori irriducibiU di h{Y,T). Lemma 8.2.2 Sia p{Y^T) G F{Y)[T]. Le permutazioni cr G S^ tali che (/?*((]9(Y,T)) =p(Y^T) formano un sottogruppo di S^. Dimostrazione. Questo segue subito dal fatto che gli automorfismi di un anello che fissano un elemento formano un sottogruppo del gruppo di tutti gli automorfismi e dal fatto che I'applicazione S^ —> Aut(i^(Y)[T]) tale che cr f-^ (/9* e un omomorfismo iniettivo di gruppi. Teorema 8.2.3 Fissato un ordinamento delle radici a i , . . .^an di f{X), sia G il sottogruppo di Sn isomorfo a G3lp(Y){KC^)) tramite la corrispondenza (f^a"^. Se /i(Y, T) = pi(Y, r)p2(Y, T ) . . .p,(Y, T) e la fattorizzazione di h{Y, T) in polinomi monici irriducibiU su F{Y), allora J e G se e soltanto se (/:* (p^(Y, T)) = Pi(Y, T), per ogni i = 1 , . . . , fc. Dimostrazione. Cominciamo osservando che, per ogni cr G S^, (JcxiO) e radice di /i(Y,T) e quindi e radice di qualche fattore irriducibile pi(Y,T). Allora i fattori irriducibili di /i(Y, T) sono esattamente i polinomi distinti tra i p , ( Y , T ) := Yl^^ciT - (Tala{0)) (Proposizione 8.2.1). Per ogni ry G S^, si ha (/p;(/i(Y,r)) = h{Y,T). Allora, se (3 := Gc,{e) e una radice di /i(Y,T), anche r/y(/3) e una radice di /i(Y,T), per che ^""^{T — /?) = T - r}Y{p). Ne segue che (/?* trasforma il polinomio minimo di (3 nel polinomio minimo di r7y(/3) e quindi (/?*(pcr(Y,r)) = po-(Y,T) se e soltanto se r]Y{cFa{0)) e ancora una radice di Pcr(Y,T), cioe r/y(crc^(^)) = (crc7a)(^) per qualche 7 G G. Ma si ha ^y(crQ,(^)) = 7yy((jy i(^)) = ((7«,y-i)(^) ed'altra parte {oaf]a^){0) = {
278

8 II gruppo di Galois di un polinomio

8.2.1 Riduzione modulo p II metodo per calcolare i gruppi di Galois che abbiamo illustrate nel paragrafo precedente in pratica non si puo utilizzare facilmente. Tuttavia la seguente applicazione fornisce utili indicazioni sul gruppo di Galois di un polinomio a coefficienti interi. Ricordiamo che se p e un numero primo, la proiezione canonica ^

^

^

TT : Z — y Fp = -—;

a ^

a

induce un omomorfismo suriettivo di anelli TT* : Z[X] -^

Fp[Xl;

f{X)

:= J^a^X^ ^ ~f{X) :=

Y,aiX\

Si dice che f{X) e la riduzione di f{X) modulo p e che due polinomi sono congrui modulo p se hanno la stessa riduzione (Paragrafo 2.5). Teorema 8.2.4 Sia f{X) G Z[X] un polinomio irriducibile su Q. Sia p un numero primo che non divide il discriminante D{f) e sia f{X) la riduzione di f{X) modulo p. Allora il gruppo di Galois di f{X) su ¥p e isomorfo ad un sottogruppo del gruppo di Galois di f{X) su Q. Dimostrazione. Sia f{X) G Z[X] e sia K := Q ( a i , . . . , a^) il campo di spezzamento di f{X) in C. Riducendo f{X) modulo p, poiche p non divide D[f)^ il polinomio f{X) G ¥p[X] ha ancora n radici distinte /?i,.. .,/^n in un suo campo di spezzamento K := Fp(/?i,..., Pn) (Paragrafo 2.7.3). Sia Y := { F i , . . .^Y^} un insieme di indeterminate indipendenti su K e consideriamo gli elementi ^ := a i F i + • • • + anYn G K{Y);

9:^piYi

+ -'- +

t^nYneK{Y)

ed i corrispondenti polinomi

/i(Y,T):=

]l{T-aY{e))eK{Y)[T] creSn

h{Y,T) := I I (T - arm

GKiY)[T].

creSn

Come osservato nel paragrafo precedente, i coefficienti di /i(Y,T) in T, visti come elementi di Q ( Y ) ( a i , . . . , c^n) sono polinomi simmetrici nelle radici ai di f{X) G Z[X], quindi appartengono a Z[Y]. Inoltre i coefiicienti di /i(Y, T) sono ottenuti formalmente nello stesso modo come polinomi simmetrici nelle radici pi di J{X). Quindi /i(Y,T) G Z [ Y , r ] e h{Y,T) G Zp[Y,T] e la riduzione di /i(Y, T) modulo p. Se poi

8.2 Calcolo del gruppo di Galois di un polinomio

279

h{Y,T)=p,{Y,T)p2{Y,T)...pkiY,T) e la fattorizzazione di h{Y,T) in polinomi monici irriducibili su Q(Y), per il Lemma di Gauss, i fattori ^^(Y, T) appartengono a Z[Y, T] e sono irriducibili su Z[Y] (Paragrafo 2.5). Riducendo modulo p, otteniamo HY, T) = pr(Y, r)pi(Y, T ) . . .|5^(Y, T), dove pero i polinomi pi"(Y, T) non sono necessariamente irriducibili su Fp[Y]. Fissato un ordinamento delle radici a i , . . . , a^ di / ( X ) , possiamo supporre che 9 sia una radice di p i ( Y , T ) e possiamo ordinare corrispondentemente le radici Pi di f{X) in modo tale che 6 sia una radice di pr(Y, T). Notiamo che il polinomio minimo m(Y, T) di 6^ su Fp(Y) e un fattore monico irriducibile di /i(Y, T) che dividepi(Y^ T). Quindi, ancora per il Lemma di Gauss, m(Y, T) ha coefRcienti in Fp [Y]. Secondo questi ordinamenti delle radici, sia G il sottogruppo di Sn isomorfo a GalQ(Y)(-^(Y)) tramite la corrispondenza (p M- cr'^ e sia G il sottogruppo di Sn isomorfo a GalFp(Y)(^(Y)). Applicando il Teorema 8.2.3, se 7 G G, anche 7y (^) e una radice di m(Y, T) e quindi di pr(Y, T). Ma allora ^Y{0) e ancora una radice di pi(Y, T) e quindi 7 G G. In conclusione, G e un sottogruppo di G. Ricordiamo che una permutazione di S^ ha struttura ciclica ( n i , . . .,n/e) se e prodotto di k cicli disgiunti di lunghezza n^, con rii < n2 < - - - < rik e ni-\ \-nk = n [53, Paragrafo 2.3.1]. Ricordiamo anche che ogni polinomio su ¥p ha gruppo di Galois ciclico (Esempio 7.L4 (5)). CoroUario 8.2.5 Sia f{X) G Z[X] un polinomio irriducibile su Q. Sia p un numero primo che non divide il discriminante D{f) e sia f{X) la riduzione di f{X) modulo p. Se il gruppo di Galois di f{X) su ¥p e generato da una permutazione con struttura ciclica ( n i , . . .^Uk), allora il gruppo di Galois di f{X) su Q contiene una permutazione dello stesso tipo. Esempi 8.2.6 (1) Sia f{X) := X^ - X - 1 e sia G C S5 il suo gruppo di Galois. Poiche f{X) e irriducibile modulo 3, G contiene un 5-ciclo. Riducendo modulo 2, otteniamo / ( X ) = (X^ + X + 1){X^ + X^ + 1) G F 2 [ X ] , dove i fattori p{X) := X^ + X + 1 e q{X) := X^ + X^ + 1 sono irriducibili su F2. Poiche G := GalF2(/(X)) e isomorfo a Z2 x Z3 (Proposizione 8.1.17), G contiene una permutazione del tipo a := {ab){cde) e, poiche a^ = (ah), allora G contiene una trasposizione. Quindi G, contenendo un 5-ciclo e una trasposizione, e uguale a S5 (Proposizione 8.1.8 (c)). (2) II Teorema 8.2.4, essendo basato sul Lemma di Gauss, resta valido sostituendo a Z un qualsiasi dominio a fattorizzazione unica A, a Q il campo dei quozienti di A, al numero primo p un qualsiasi elemento irriducibile di A che non divide il discriminante di / ( X ) e a Fp il campo residuo A/{p).

280

8 II gruppo di Galois di un polinomio

8.3 II problema inverse Usando la corrispondenza di Galois (Teorema 7.3.7) ed il fatto che il gruppo di Galois del polinomio generale e il gruppo totale S^ (Paragrafo 8.1.1 (1)), si dimostra facilmente che ogni gruppo finito e il gruppo di Galois di qualche polinomio separabile a coefEcienti in un campo opportuno. II problema di stabilire quali gruppi finiti siano gruppi di Galois di qualche polinomio su un fissato campo L e molto piu difficile e va sotto il nome di problema inverso della teoria di Galois. Per L := Q questo e un problema classico, forse gia noto a Galois, che resta ancora non risolto nella sua generalita [17], [14]. Proposizione 8.3.1 Dato un gruppo finito G, esistono un campo L ed un polinomio p{X) G L[X], separabile e irriducibile su L, tali che G — GalL(p(X)). Dimostrazione. Per un noto teorema di A. Cayley [53, Teorema 1.22], ogni gruppo finito di ordine n e isomorfo a un sottogruppo di S^. Sia F un campo arbitrario. Poiche il gruppo di Galois del campo K := F ( X i , , . . , X ^ ) sul campo delle funzioni simmetriche F ( 5 i , . . . , 5 ^ ) e isomorfo a S^ (Paragrafo 8.1.1 (1)), se G e un sottogruppo di S^, per la corrispondenza di Galois, G e il gruppo di Galois di K sul campo fisso L := K^ di G (Teorema 7.3.7). Poiche I'ampliamento L C K e di Galois (Proposizione 5.4.3), G e anche il gruppo di Galois di un polinomio separabile e irriducibile a coefficienti in L (Teorema 5.4.7). 8.3.1 Polinomi su Q con gruppo di Galois totale Dimostriamo in questo paragrafo che, per ogni n > 2, esistono polinomi su Q con gruppo di Galois isomorfo a S^. La prima dimostrazione e dovuta a D. Hilbert, la seconda usa la riduzione modulo un primo p (Paragrafo 8.2.1). II Teorema di Hilbert L'esistenza di polinomi su Q con gruppo di Galois totale e stata provata da Hilbert come conseguenza del suo celebre Teorema di Irriducibilitd (Uber die Irreducibilitdt ganzer razionaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten^ 1892), usando il fatto che il polinomio generale di grado n su Q ha gruppo di Galois totale. II Teorema di Hilbert si e rivelato uno strumento molto utile anche per realizzare certi gruppi finiti semplici come gruppi di Galois; per una sua dimostrazione si rimanda a [11, Section 4.1]. Teorema 8.3.2 (Teorema di Irriducibilita di Hilbert, 1892) Sia / ( Y i , . . . , Fn, T) un polinomio nelle n + 1 indeterminate indipendenti Yi, ..., Yn, T irriducibile su Q. Allora esistono infiniti insiemi di numeri razionali {/?!,..., j3n} tali che il polinomio / ( / 3 i , . . . , (3n^ T) sia irriducibile in Q[T].

8.3 II problema inverso

281

Come gia ricordato, indicando con Sk il A:-simo polinomio simmetrico elementare nelle indeterminate X i , . . . , X^ su Q, k — 1 , . . . , n, I'ampliamento Q ( 5 i , . . . , Sn) ^ Q(-^i, • • •, Xn) e di Galois ed ha gruppo di Galois isomorfo a Lemma 8.3.3 Esistono n numeri interi a i , . . . , a^ tali che il polinomio a := aiXi-j-- • '-\-anXn siaun elemento primitivo di K := Q ( X i , . . . , X^) sul campo delle funzioni simmetriche F := Q ( 5 i , . . . , Sn). Inoltre il polinomio minimo di a su F ha coefficienti nelVanello dei polinomi simmetrici Q[si,..., 5n]Dimostrazione. La dimostrazione del Teorema dell'Elemento Primitivo ci assicura che a := / i X i H h fnXn e un elemento primitivo di K su F tranne che per un numero finito di n-ple ( / i , . . . , fn) G Q ( 5 i , . . . , Sn) (Esempio 5.3.15 (1)). Quindi possiamo scegliere opportuni fi := ai G Z con questa proprieta. Poiche Gali?(^) = {^o-;cr G S^} e isomorfo a Sn (Paragrafo 8.1.1 (1)), I'elemento a := aiXi + • • •-\-anXn ha n! coniugati distinti ^o-(<^) = <^i^o-(i) + h a^Xfji^j^^ su F , ottenuti permutando in qualsiasi modo le indeterminate X i , . . . , Xn. Quindi il polinomio minimo di a su F e m{T) := n

(^ - ^ - ( " ) ) = ^ " ' + M « ! - i r " ' - ' + • • • + MO

con fii G Q [ X i , . . . , Xn]' Poiche (f'^{m{T)) = m{T), i coefficienti /j,i sono fissati da (fa- per ogni a G Sn- Quindi essi sono polinomi simmetrici e appartengono a Q [ s i , . . . , 5n] (Paragrafo 2.7). Lemmia 8.3.4 Sia a := aiXi -\ h anXn, con ai G Z, tin elemento primitivo di K := Q ( X i , . . .,Xn) su F := Q(5i,.. .,5n) e sia m ( s i , . . .,5n,T) G Q [ s i , . . . , Sn, T] z/ 5iio polinomio minimo. Allora il polinomio in n + 1 indeterminate m ( Y i , . . . , Fn, T) e irriducibile su Q. Dimostrazione. Sia m ( y i , . . . ,yn,T) = f{Y,T)h{Y,T) in Q [ y i , . . . ,yn,T]. Allora tale fattorizzazione resta valida sostituendo 5^ a 1^. Ma, poiche m ( 5 i , . . . , S n , T ) = r " ' + ... e irriducibile su F , almeno uno dei polinomi / ( Y , T ) e /i(Y,T), diciamo / ( Y , T), deve avere grado zero in T. Allora / ( Y , T) = ^(Y) G Q [ y i , . . . , Fn] divide il coefficiente direttore di m{si ^.,. ^Sn^T)^ che e uguale a uno, e quindi deve essere un elemento di Q. Teorema 8.3.5 Per ogni n > 3, esistono polinomi di grado n irriducibili su Q con gruppo di Galois uguale a SnDimostrazione. Sia a := aiXi + h anXn G Z [ X i , . . . , Xn] un elemento di grado n! su F := Q ( 5 i , . . . , Sn), esistente per il Lemma 8.3.3, con polinomio minimo m ( s i , . . . , Sn, ^ ) - Allora il polinomio m{Yi,..., 1^, T) e irriducibile su Q (Lemma 8.3.4) e, per il Teorema di Irriducibilita di Hilbert (Teorema 8.3.2),

282

8 II gruppo di Galois di un polinomio

esistono /^i,.. •, /^n G Q tali che il polinomio m{T) := m(/3i,.. .,f3n,T) e Q[T] sia irriducibile (di grado n!) su Q. Mostriamo che il gruppo di Galois del polinomio 5'(T) := g{f3i ^.. .^fin^T) = j^n _ ^^2^n-i + . . . + (-1)^/?^ G Q[r], ottenuto dal polinomio generale sostituendo pi a. Si e uguale a S^. Di conseguenza ^{T) sara anche irriducibile su Q (Corollario 8.1.4). Siano 7 1 , . . . , 7n ^ C le radici di ^(T) e consideriamo Tomomorfismo di anelli Q[Xi,...,X,,r]—^Q[7i,...,7,,T]; Allora

X, —> 7,, T ^ T.

Si : = 5 i ( X i , . . . , X n ) ^ 5i(7i,...,7n) = Pi; m(5i,...,5,,T)^m(r):=m(A,...,/3n,r).

Poiche a := aiXi H

han-^n e una radice di m ( 5 i , . . . , s^, T), deve risultare

0 = m{aiXi H

h a^Xn) ^ m(ai7i H

h anjn) = 0

e quindi r] := ai7i H h ari7n e una radice di fh(T). Ne segue che 77 ha grado n! su Q. D'altra parte, r] appartiene al campo di spezzamento Q ( 7 i , . . . , 7n) di g{T) su Q. Quindi Q ( 7 i , . . . , jn) ha pure grado n! su Q e percio il suo gruppo di Galois e isomorfo a S^. Esempi 8.3.6 L'uso del Teorema di Irriducibilita di Hilbert nella dimostrazione del Teorema 8.3.5 e reso possibile dal fatto che il campo Q ( 5 i , . . . , Sn) e isomorfo ad un campo di funzioni razionali, a causa delPindipendenza algebrica su Q dei polinomi simmetrici elementari s i , . . .,Sn (Paragrafo 2.7). Questa osservazione fa intuire che tale dimostrazione puo essere generalizzata per provare che, se G e il gruppo di Galois di un ampliamento normale e finito di un campo di funzioni razionali Q ( t i , . . . , t^), allora G e anche il gruppo di Galois di di un polinomio a coefficienti in Q. Per questo motivo, Emmy Noether pose il problema di stabilire quando, dato un sottogruppo transitivo G di Sn, il campo fisso di G in Q ( X i , . . . , Xn) fosse ancora un campo di funzioni razionali {Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe^ 1916). Questo problema e stato risolto sia in positivo che in negativo per varie classi di gruppi e la letteratura su questo argomento e molto ricca [14]. Costruzione di polinomi su Q con gruppo di Galois totale Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza di polinomi a coefficienti interi con gruppo di Galois totale si basa sulla riduzione modulo un primo p (Paragrafo 8.2.1) e sul fatto che, per ogni p ed ogni n > 2, esistono polinomi di grado n irriducibili su ¥p (Corollario 4.3.8). Siano pi,P2,P3 numeri primi distinti e siano fi{X)^ f2{X)^ fs{X) G Q.[X] polinomi di grado n tali che:

8.3 II problema inverse

283

1. / i (X) sia irriducibile modulo pi; 2. f2{X) si fattorizzi modulo p2 in un polinomio di primo grado e un polinomio irriducibile di grado n — 1; 3. fsiX) si fattorizzi modulops in un polinomio irriducibile di secondo grado e uno o due polinomi irriducibili di grado dispari (secondo la parita di n). Consideriamo il polinomio f{X) :=p2P3fl{X)^p,psf2{X)

+piP2/3(X)

(che e congruo a fi{X) modulopi, e congruo a f2{X) modulo^2 ed e congruo a /3(-^) modulo ps) e sia G C Sn il suo gruppo di Galois. Allora f{X) e irriducibile su Q, perche lo e modulo pi; quindi G e transitivo. Inoltre, per la fattorizzazione modulo p2^ G contiene un (n — l)-ciclo ed inline, per la fattorizzazione modulo p3, G contiene una permutazione a := (a6)7, dove 7 e un ciclo di lunghezza dispari oppure e prodotto di due cicli di lunghezza dispari (Corollario 8.2.5). Poiche 7 ha comunque ordine d dispari, a^ = [ab) appartiene a G. Quindi G, contenendo un [n — l)-ciclo ed una trasposizione ed essendo transitivo e isomorfo a S^ (Proposizione 8.1.8 (d)). Se p e un numero primo, S^ e generato da un p-ciclo e da una trasposizione. In questo caso, un argomento simile al precedente mostra che il polinomio f{X) = p2,fi{X) + p i / 3 ( X ) ha gruppo di Galois isomorfo a S^. Esempi 8.3.7 (1) Per n = 6, considerando i primi 2, 3, 5, possiamo scegliere ad esempio / i ( X ) := X^ + X + 1 (irriducibile modulo 2); /2(X) := (X + 1)(X^ + 2X + 1) (i cui fattori sono irriducibih modulo 3); /3(X) := (X + 1)(X2 + X + 1)(X3 + X + 1) (i cui fattori sono irriducibih modulo 5). Allora il polinomio / ( X ) := 15/i (X) + IO/2 (X) + 6/3 (X) ha gruppo di Galois isomorfo a Se(2) Per n = 5, considerando i primi 2 e 3, possiamo scegliere / i ( X ) := X^ + X^ + 1 (irriducibile modulo 2); /2(X) := (X^ + 1)(X2 + 2X + 1) (i cui fattori sono irriducibih modulo 3). Allora il polinomio / ( X ) := 3/i(X) -h 2/2(X) ha gruppo di Galois isomorfo a S5. Polinomi su Q con due radici complesse non reali Una classe di polinomi a coefEcienti razionali il cui gruppo di Galois e isomorfo a Sp, con p primo, e descritta dal seguente risultato. Proposizione 8.3.8 Sia / ( X ) G Q[X] un polinomio irriducibile su Q di grado primo p > 3. Se / ( X ) ha soltanto due radici complesse non reali, allora GalQ(/(X)) e isomorfo a Sp.

284

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Dimostrazione. Sia K C C i\ campo di spezzamento di f{X). AUora G31Q{K) e isomorfo a un sottogruppo G di S^ di ordine [K : Q]. Se a e K e una radice di / ( X ) , Q(a) C K e p= [Q{a) : Q] divide [i^ : Q] = |G|. Dunque, per il Teorema di Cauchy (Paragrafo 12.2), G contiene un elemento di ordine p e questo e necessariamente un p-ciclo (Esempio 12.2.10 (3)). D'altra parte, il coniugio complesso induce per restrizione un automorfismo di K che fissa le radici reali e scambia le due radici complesse non reali. Percio G contiene anche una trasposizione. Ma allora G coincide con Sp (Proposizione 8.1.8 (c)). Esempi 8.3.9 (1) Sia / ( X ) G Q[X] un polinomio di terzo grado irriducibile su Q. Se f{X) ha una sola radice reale, allora Galq{f{X)) e isomorfo a S3. II viceversa di quest a affermazione non e vero, come vedremo nel successivo Paragrafo 9.3. (2) II gruppo di Galois su Q del polinomio f{X) = X^ +5X^—5 e isomorfo a S5. Infatti f{X) e irriducibile su Q per il Criterio di Eisenstein {p = 5) ed inoltre ha soltanto due radici complesse non reali. Per vedere questo, si puo studiare la funzione polinomiale reale definita da f{X). Poiche la funzione derivata f{X) = 5X3(X + 4) si annulla in 0 e - 4 , e /(O) = - 5 , / ( - 4 ) = 251, allora il grafico di f{X) attraversa tre volte I'asse reale delle ascisse e dunque f{X) ha esattamente tre radici reali. (3) Sia p un numero primo. II polinomio f{X) := X^ H-pX^ — pX — p e irriducibile su Q per il Criterio di Eisenstein ed ha gruppo di Galois isomorfo a S5. Per vedere questo, osserviamo che /(-l)=p-l>0,

/(0) = - p < 0 ,

f{p)=p'+p^-p^-p>0.

Quindi / ( X ) ha almeno 3 radici reali. D'altra parte, per la regola dei segni di Decartes (Proposizione 2.4.6), / ( X ) ha al piu una radice reale positiva ed ha al piu due radici reali negative. Dunque / ( X ) ha esattamente 2 radici complesse non reali. Per ogni intero n > 3 si possono costruire polinomi a coefficienti interi irriducibili di grado n che abbiano esattamente n —2 radici reali. Una costruzione e la seguente [21, Lemma 15.12]. Sia c > 0 e siano ai, a 2 , . . . , a/c, fc > 2, numeri interi pari tah che ai < a2 < • • • < afc ,

2^ ^* ~ ^' 2= 1

II polinomio a coefficienti interi / ( X ) := (X2 + c)(X - a i ) . . . (X - afc) + 2 ha grado A; + 2 ed e irriducibile per il Criterio di Eisenstein, con p = 2.

8.3 II problema inverse

285

Consideriamo il polinomio g{X) := fix)

- 2 = (X2 + c)(X - a i ) . . . (X - a ^ ,

le cui radici reali sono esattamente ai, a2, •.., a^. Poiche a^ < a^ + 1 < a^+i e g{ai + 1) < —2 (essendo fc > 2), allora i valori minimi di g{X) sono tutti minori di —2. Ne segue che il polinomio f{X) = g{X) + 2 ha ancora k radici reali. Siano a i , a 2 , . . . , oik+2 le radici di f{X). Allora f{X) := (X^ + c)(X - a i ) . . . (X - afc) + 2 = (X - a i ) . . . (X - ^,+2) e, uguagliando i coefRcienti, fc+2 i=l

l
l
Se tutte le radici ai fossero reali, si avrebbe

(

k+2

\ ^

5]a, 1=1

/c+2

fc+2

- ^ a , 2 = - ^ a f <0. /

i=l

i=l

Percio, scegliendo c in modo tale che l<*
^
possiamo fare in modo che / ( X ) abbia qualche radice non reale e dunque esattamente 2 radici non reali. 8.3.2 Polinomi su Q con gruppo di Galois abeliano Per i gruppi abeliani finiti, il problema inverse e stato risolto positivamente da L. Kronecker. Un profondo risultato dimostrato da I. Shafarevich asserisce poi che piu generalmente tutti i gruppi finiti risolubili sono gruppi di Galois di polinomi a coefficienti razionali (Construction of fields of algebraic numbers with given solvable Galois group, 1954). Definizione 8.3.10 Un ampliamento di Galois finito F C K si dice un ampliamento abeliano^ rispettivamente ciclico, se il suo gruppo di Galois e commutativo, rispettivamente ciclico. Kronecker ha dimostrato che ogni ampliamento abeliano di Q e contenuto in un ampliamento ciclotomico. La dimostrazione di questo teorema non e affrontabile in questo contesto, ma il caso particolare degli ampliamenti quadratici e una diretta conseguenza del calcolo del discriminante del polinomio X^ — 1 svolto nell'Esempio 2.7.20. Indichiamo con ^^ una radice primitiva n-sima deH'unita.

286

8 II gruppo di Galois di un polinomio

Proposizione 8.3.11 Ogni ampliamento quadratico di Q e contenuto in un ampliamento cidotomico. Precisamente, se \d\>2e un intero privo di fattori quadratici, allora Q{Vd) C Q(^8|d|)Dimostrazione. Consideriamo prima il caso in cui d = p sia un numero primo. Se p = 2, allora Q(A/2) C Q(^8) = Q(\/2,i) (Esempio 4.4.3 (3)). Sep ^2, allora per quanto visto nell'Esempio 2.7.20, il discriminante del polinomio XP - l e

A:=D{f):=

fj

(€ " ^^)'= (-l)"^^"'

l
Quindi, scrivendo p = 2 ^ ^ + 1, otteniamo

l
da cui ^Q(^) = Q(v^) ^q{6) = Q(iVp)

sep = l mod 4 se p = 3 mod 4

Ne segue che, per ogni p > 2, risulta

Per concludere, ricordiamo che ogni ampliamento quadratico di Q e del tipo K := Q(va), dove d G Z e \d\ = pi .. .pn e prodotto di numeri primi distinti (Esercizio 3.6). Inoltre, se MCD(r, 5) = 1, risulta Q(^m,^n) = Q(^mn) (Esercizio 4.43). Allora, se \d\ = p i . . .p^, in ogni caso si ha Q(v^) c Q(C8, C p i , . . . , ^ p j = Qfeidi). Dimostriamo ora che, per ogni gruppo abeliano finito H, esiste un ampliamento di Q contenuto in un ampliamento cidotomico il cui gruppo di Galois e isomorfo ad H. Ogni risolvente di Galois di questo ampliamento sara dunque un polinomio irriducibile su Q con gruppo di Galois isomorfo ad H. Ci sara utile il teorema di Dirichlet che asserisce che per ogni n > 2 esistono infiniti numeri primi congrui ad 1 modulo n (Teorema 4.4.23). Proposizione 8.3.12 Sia n > 2 e sia p un numero primo tale che p = 1 mod n. Allora il p-esimo ampliamento cidotomico di Q contiene un ampliamento ciclico di grado n. Quindi, per ogni n > 2 esiste un polinomio irriducibile su Q il cui gruppo di Galois e ciclico di ordine n. Dimostrazione. Sia p = nA: + 1 e sia G il gruppo di Galois del p-esimo ampliamento cidotomico K di Q. Poiche G = U{Zp) e ciclico di ordine p — 1 = nfc, esso ha un (unico) sottogruppo normale H di indice n. Per la corrispondenza di Galois, il campo fisso di H e I'unico ampliamento normale di Q di grado

8.3 II problema inverse

287

n contenuto in K ed il suo gruppo di Galois e isomorfo al gruppo quoziente G/H, che e ciclico di ordine n (Paragrafo 7.3.3 (4)). Allora, se a e un elemento primitivo di tale ampliamento, il polinomio minimo di a su Q e irriducibile di grado n ed ha gruppo di Galois isomorfo ad H, Esempi 8.3.13 (1) Sia p > 3 un numero primo e sia ^ 7^ 1 una radice complessa p-esima deH'unita. Poiche p — 1 e pari, il p-esimo ampliamento ciclotomico K := Q(^) contiene un unico ampliamento (ciclico) di grado {p — l)/2. Questo e il campo fisso del coniugio complesso, ovvero il campo X fl R. Ogni risolvente di Galois di questo campo e un polinomio irriducibile su Q di grado (p — l ) / 2 che ha tutte radici reali e gruppo di Galois ciclico (Paragrafo 7.3.3 (4)). (2) Siap = 13 e sia ^ una radice complessa primitiva 13-sima dell'unita. II campo K :=Q{^) e un ampliamento ciclico di Q di grado 12, il cui gruppo di Galois su Q e isomorfo al gruppo delle unita di Z13. Poiche U{Zrs) e generato da 2, allora G :— GalQ(ir) e generato dall'automorfismo i/^ := '02 di K definito da ^ H- ^^ (Paragrafo 4.4.3). Poiche p = 1 mod 3, allora K contiene un (unico) ampliamento ciclico di grado 3 su Q. Questo e il campo fisso del sottogruppo H di indice 3 (e ordine 4) in G, che e quello generato dall'automorfismo -0^ = ijj^ definito da ^ 1-^ ^^. Per determinare il campo fisso X ^ , osserviamo che, poiche sotto I'azione di 08 si ha ^ ^ ^8 ^ ^12 ^ ^5 ^ e, allora

a:=^ + ^^+^i2^f = (^ + r ' ) + (^'+r')^i^''.

Poiche d'altra parte K^ ha grado 3 su Q, deve risultare K^ = Q(a). Notiamo che, essendo a fissato dal coniugio complesso x = 0^^, allora K^ C X fi R. II polinomio minimo m{X) di a su Q puo essere costruito tramite le sue radici, che sono i coniugati di a su Q. Poiche il gruppo di Galois di Q(ce) su Q e G/H = {iJ, t/^if, ip^H}, tah coniugati sono

a, v(a)-(e'+r') + (f+r'), V''(a) = r+r') + r+r'). Da cui otteniamo m{X) = {X-

a){X - 0(a))(X - i;^{a)) = X^ + X^ - 4X + 1.

Questo polinomio ha gruppo di Galois ciclico di ordine 3 e ha tutte radici reali. D'altra parte, poiche p = 1 mod 4, allora K contiene anche un (unico) ampliamento ciclico di grado 4 su Q. Questo e il campo fisso L del sottogruppo di indice 4 (e ordine 3) in G, che e quello generato dall'automorfismo ijj^ — i/^s definito da ^ i-^ ^^. Procedendo come prima, si vede subito che un elemento fissato da ^3 e /? := ^ + ^"^ + ^^ e che /3 ha 4 coniugati distinti. Dunque /? ha grado 4 su Q e L = Q(/3). II polinomio minimo di /? su Q ha gruppo di Galois

288

8 II gruppo di Galois di un polinomio

ciclico di ordine 4, ma le sue radici non sono tutte reali. Infatti, K n M ha grado 6 su Q e quindi non contiene L. Usando il teorema di rappresentazione dei gruppi abeliani finiti, possiamo a questo punto determinare un polinomio con fissato gruppo di Galois abeliano. Teorema 8.3.14 Per ogni gruppo abeliano finito H, esiste un ampliamento cidotomico di Q contenente un campo intermedio L il cui gruppo di Galois suQ e isomorfo ad H. Dimostrazione. Se \H\ = 1, allora L = Q. Supponiamo che \H\ = m > 1. Allora, per il teorema di rappresentazione dei gruppi abeliani finiti, esistono degli interi n i , . . . , n / c > 2 tali che m = rii.. .rik e H = Z^^ x • • • x Z^^ (Paragrafo 12.4). Per il Teorema 4.4.23, esistono anche dei numeri primi distinti p i , . . . ,p/c tali che pi = 1 mod n^, i = 1 , . . . , fc. Posto n = pi.. .pk^ per il Teorema Cinese dei Resti risulta Zn^Zp,x---xZp,

e

U{Zn) = U{ZpJ X . . . X U{Zp,)

(Esempio 1.3.9 (2)). Poiche il gruppo U{Zp.) e ciclico di ordine pi — 1 e Ui divide p^ — 1, allora U{Zp.) ha un (unico) sottogruppo Ai di indice Ui ed inoltre Z^ = U{Zp.)/Ai. Se A C U{Zn) e il sottogruppo corrispondente al sottogruppo Ai X.' -xAk tramiterisomorfismoW(Z^,) = U{Zp^)x- • -xUiZp^)^ allora A ha indice m e si ha n

= £>ni X . . . X £>nk — — " J

X . . •X

—

_

—

.

Sia K := Q(^) I'n-simo ampliamento cidotomico di Q. Poiche il gruppo di Galois di K su Q e isomorfo a U{Zn), esso ha un sottogruppo (normale) isomorfo ad A. Se L C K e il campo fisso di questo gruppo, allora L e normale su Q e G31L{K)

^ A. Percio

GalQ(K) ^ W(Z.) ^

Corollario 8.3.15 (L. Kronecker - H. Weber) Per ogni gruppo abeliano H di ordine n > 2, esiste un polinomio di grado n irriducibile su Q il cui gruppo di Galois e isomorfo ad H. Dimostrazione, Per il Teorema 8.3.14, esiste un ampliamento normale di Q di ordine n il cui gruppo di Galois e isomorfo ad H. Se ae un elemento primitivo di tale ampliamento, il polinomio minimo di a su Q e irriducibile di grado n ed ha gruppo di Galois isomorfo ad H.

8.3 II problema inverse

289

Esempi 8.3.16 Per la dimostrazione del Teorema 8.3.14, se iJ e un qualsiasi gruppo commutativo finito, esiste un opportune intero n prodotto di primi distinti tale che I'n-simo ampliamento ciclotomico contiene un campo il cui gruppo di Galois e isomorfo ad H. Ma questa condizione su n non e necessaria. Ad esempio, se H e un gruppo di Klein, alloraZY(Z8) = H e dunque I'ottavo ampliamento ciclotomico Q(^8) = Q{V^i i) ha gruppo di Galois isomorfo ad H. Determiniamo ora, usando il procedimento illustrato nel Teorema 8.3.14, un intero n prodotto di due primi distinti tale che I'n-simo ampliamento ciclotomico contenga un ampliamento il cui gruppo di Galois e di Klein. Tale ampliamento deve essere necessariamente biquadratico (Paragrafo 7.3.3 (1)). Sia ^ = Z2 X Z2 un gruppo di Klein. Due primi distinti congrui ad 1 modulo 2 sono p = 3 e q = 5; percio possiamo scegliere n — pq = 15. Indichiamo con [a]n la classe resto di a modulo n. Poiche U{Z^) e generato da [2)5, il suo (unico) sottogruppo di indice 2 e quello generato da [4)5. Allora Z2 = UiZs) = W(Z5)/([4]5) e risulta

'

'-~(m

iM-

([i]3,[4]5)

-iM'

Se ^ e una radice complessa primitiva quindicesima dell'unita, nell'isomorfismo tra U{Zi^) e il gruppo di Galois di Q(^) alia classe [4] 15 corrisponde I'automorfismo -04 definito da ^ ^ ^^. Dunque un ampliamento con gruppo di Galois isomorfo a,d H e contenuto in Q(^) e il campo fisso L del gruppo ciclico generato da '04. Notando che '04(^^) = ^, si deduce che a := ^ + ^^ G L e dunque Q(a) C L. Per determinare il grado di a su Q, osserviamo che possiamo scegliere ^ = ecc;, dove e e una radice primitiva terza dell'unit a e u; e una radice primitiva quint a (Esempio 8.1.19 (1)). Dunque risulta: a : = e + ^^ = e(u; + ^ ^ ) , da cui a2 = £ 2 ( ^ + ^ 4 ) 2 ^ g2(^2 ^ ^ 3 ^ 3) = e^{-CO - UJ^ + 1)

= -e^iu + LJ^) +e^ = - e ( ^ + ^^) + e^ = -ea + e^ Ne segue che il polinomio minimo di a su Q(e) e m(X) := X^ + eX-

e^

percio a ha grado 2 su Q(e) e dunque ha grado 4 su Q. In definitiva K — Q{a). Inoltre risulta Q(a) — Q(e, ^), dove 6 e \a radice del discriminante di m{X), ovvero S = Ve^ + 46^ = eVE. Infine K = Q{a) = Q(e, ,5) = Q(e, eVs) = Q(e, V5) = Q(iV3, Vs) = Q(iV3 + V5). Si verifica subito che il polinomio minimo di i-s/3 + v ^ su Q e p{X) := X'^ - 4X2 _^ g4^

290

8 II gruppo di Galois di un polinomio

8.3.3 U n polinomio su Q con gruppo di Galois isomorfo al gruppo delle unita dei quaternioni Usando la corrispondenza di Galois, costruiamo ora un polinomio il cui gruppo di Galois e isomorfo al gruppo moltiplicativo delle unita dei quaternioni. Seguiremo il procedimento illustrato da R. A. Dean in [5]. Ricordiamo che il gruppo moltiplicativo delle unita dei quaternioni e il gruppo (non commutativo) di ordine 8 M:={l,i,j,k,-l,-i,-j,-k} in cui I'operazione e definita dalla seguente tabella moltiplicativa: Ix = X = xl; ij = k = - j i ;

(—1)^ = —X = x(—1),

jk = i = - k j ;

k i = j = -ik;

per ogni x G H; f =^^ =k^ = -1,

Questo gruppo si indica con il simbolo H in onore di W. R. Hamilton, al quale e dovuta la costruzione del corpo dei quaternioni reali (1843) (Esercizio 1.9). I sottogruppi non banali di M sono: Z = (-!) = {1,-1}; = (i) = { l , i , - l , - i } = ( - i ) ; N2 = (j) = { l , j , - l , - j } = ( - j ) ;

= (k)-{l,k,-l,-k}=(-k) Tutti questi sottogruppi sono normali in HI ed inoltre il sottogruppo Z e il centro di M. Se i^ e un ampliamento normale di Q il cui gruppo di Galois e isomorfo ad M, K deve avere tre sottocampi Li := K^^, i = 1,2,3, di grado 2 su Q tali che GdlLi{K) — Ni sia ciclico di ordine 4. Inoltre K deve avere un sottocampo F := K^ di grado 4 su Q e grado 2 su ogni Li. Poiche Z e normale in H, allora F deve essere un ampliamento normale di Q ed il suo gruppo di Galois su Q deve essere isomorfo al gruppo quoziente M/Z ~ {Z/iZ^^Z^kZ}, che e un gruppo di Klein. Afhnche siano soddisfatte queste ultime condizioni, F deve essere un ampliamento biquadratico di Q (Paragrafo 7.3.3 (1)). Possiamo ad esempio porre: Li := Q(v^),

L2 := q{Vs),

F := Q(^/2, v^) = Li{/dl),

L3 : - Q(\/6)

di := 3, d2-^ ds ^ 2.

A questo punto, K deve essere un ampliamento quadratico di F ed un ampliamento normale di grado 4 di Li con gruppo di Galois ciclico, i = 1,2,3. Per la prima condizione, deve risultare K = F{a) con a^ e F := Li{y/di), ovvero

8.3 II problema inverse a'^ = ai-\- hi\fdi,

291

con a^, hi e Li.

Per la seconda condizione a = \Jai + hi\fdi deve avere grado 4 su L^, con polinomio minimo mi{X) := X^ - laiX" + {a\ - dihl). Allora, afRnche K = Li{oL) sia un ampliamento normale di Li con gruppo di Galois ciclico, e sufRciente che Q := d^(af — dib^) sia un quadrato in Li (Proposizione 8.1.12). Poniamo a^ = {2 + V2)(2 + V^)(3 + ^6) = 18 + 12^2 + 10^3 + 7\/6 e notiamo che a'^ e F := Q(\/2, \/3) = Li(i/3~). Infatti a^ = ai-\- 6i V3 = (18 + 12^2) + (10 + 7 ^ 2 ) ^ 3

(Li =

a^ = a2 + 62V^ = (18+ 10V3) + ( 1 2 + 7 ^ 3 ) ^ 2

(L2 = Q(V3),^2 = 2);

a^ = as + 63 V2 = (18 + 7\/6) + (12 + 5\/6)\/2

(L3 = Q ( \ / 6 ) , d 3 - 2 ) .

Q{V2),di=3);

Inoltre Q := c?i(af — (i^6f) e un quadrato in L^, i -- 1, 2,3. Infatti ci = 3[(18 + 12\/2)2 - 3(10 + 7^2)2] = [3(2 + V2)]2; C2 - 2[(18 + 10^3)2 - 2(12 + 7^3)^] = [2(3 + 2\/3)]2; C3 = 2[(18 + 7V6f

- 2(12 + 5^6)^] = [2(3 + \/6)]^

Ne segue che il campo K := F{a) — Q(\/2, \/3, a) = Q(a) soddisfa tutte le condizioni richieste e dunque, se e normale su Q, il suo gruppo di Galois su Q e isomorfo ad M. Per mostrare che K e normale su Q, basta verificare che esso contiene tutti i coniugati di ce. A tal fine, ricordiamo che ogni isomorfismo di K in C si puo ottenere come estensione di un automorfismo di Q(\/2) (Paragrafo 4.2.1). I coniugati di a = \^^^^hW^

= v^(18 + I2V2) + (10 +

7\/2)A/3,

rispetto agli isomorfismi di K in C che fissano A/2 sono a,

-a,

(3 := y ai - 61 A/3,

-(3.

Poiche K e normale su Li = Q(\/2), allora ±/? ^ K.l coniugati di a rispetto agli isomorfismi di i^ in C che portano A/2 in — \/2 sono 7 := y a i + f o i v ^ , dove

-7,

T] := y ai - biVS,

-rj

292

8 II gruppo di Galois di un polinomio oT := 18 - 12\/2,

67 := 10 - 772.

Notiamo ora che j e K. Infatti 7^ = (2 - v^)(2 + V^)(3 - \/6);

a ' 7 ' = 6(2 -f Vs)^

da cui Ma allora, poiche 7, —7,7^, —77 sono anche i coniugati di 7 rispetto agli isomorfismi di iC in C che fissano Li = Q ( A / 2 ) e poiche K e normale su Li, si ha che anche ±rj G K. In conclusione, tutti i coniugati di a su Q stanno in K; percio K e normale su Q. Per finire, il polinomio minimo di a su Li := Q(\/2) e p{X) := (X - a){X + a ) ( X - /3)(X + /3) = X^ - 2aiX2 + (a? - 36?), mentre il polinomio minimo di 7 su Li e ^(X) := {X ~ 7)(X + 7)(X - rj){X + 77) = X^ - 201^2 +

(OT'

- 36^%

Dunque il polinomio minimo di a su Q e f{X) = p{X)'^{X) =X^-

12X^ + 180X^ - 144X2 _^ 3^^

Poiche if e il campo di spezzamento di / ( X ) su Q, il gruppo di Galois di / ( X ) e isomorfo a M.

8.4 Esercizi 8.1. Mostrare che, se n > 3 non e primo, allora S^ non e generato da un qualsiasi ri-ciclo e una qualsiasi trasposizione. Soluzione: (1234) e (13) generano un sottogruppo proprio di S4, isomorfo al gruppo diedrale D4. 8.2. Mostrare che ogni polinomio a coefficienti razionali ha lo stesso gruppo di Galois su Q di un polinomio a coefficienti interi. 8.3. Mostrare che ogni polinomio a coefficienti razionali ha lo stesso gruppo di Galois su Q di un polinomio monico irriducibile. 8.4. Sia / ( X ) e F[X] un polinomio separabile di grado TT, > 1 irriducibile su F. Mostrare che GalF(/(X)) e isomorfo a 07^ se e soltanto se il campo di spezzamento di / ( X ) su F ha ordine n\. 8.5. Mostrare che il gruppo di Galois su Q del polinomio X^ — 3X + 1 e isomorfo ad A3.

8.4 Esercizi

293

8.6. Mostrare che, se c > 0, il gruppo di Galois del polinomio X^ + cX + 1 G Q[X] e isomorfo a S3 ed esplicitare un tale isomorfismo. 8.7. Determinare il gruppo di Galois su Q del polinomio X^ — 3 ed un sottogruppo di S4 ad esso isomorfo. 8.8. Mostrare che il gruppo di Galois su Q del polinomio f{X) :— X^+X"^ — 1 e un gruppo diedrale di grado 4. Determinare inoltre tutti i sottocampi normali del campo di spezzamento di f{X). Suggerimento: Notare che

Q(A/5,

i) e contenuto nell campo di spezzamento

di f{X). 8.9. Sia f{X) := X^ ^aX"^ -\-c G Q[X] un polinomio biquadratico irriducibile con campo di spezzamento K e gruppo di Galois G diedrale (di grado 4). Mostrare che il campo fisso del centro di G e Q(Va^ — 4c, y/c). Soluzione: Le radici di f{X) sono:

l-a + ^/i

I-a- ^/t

^

dove ^ := a^ — 4c. Con le notazioni della Proposizione 8.1.12, il centro di G e Z := {cr'^), dove cr : a 1-^ /3, /3 ^ —a. Poiche Z e normale in G, I'ampliamento Q C K^ e normale ed il suo gruppo di Galois e il gruppo di Klein G/Z. Dunque K^ e un ampliamento biquadratico di Q e si verifica facilmente che K^ = Q{a'^,a^) = Q(\/t, ^/c). 8.10. Sia a := ^/r^^~s^/t, con r, 5,t G Q. Mostrare che, se (r^ + s'^t) = ^^, con /? G Q, allora ^

\/

2

^ \/

2

e somma di due radicali quadratici. Mostrare poi con un esempio che, perche a sia esprimibile come somma di due radicali quadratici, non e necessario che r^ -\- s'^t sia un quadrato in Q. 8.11. Siano a := yr + s\[t e /3 := x^Ja + y\/h di grado quattro su Q . Mostrare che se a = /? allora r^ — 5^t e un quadrato in Q confrontando i due polinomi minimi di a e /3. 8.12. Determinare i possibili gruppi di Galois su F di un polinomio di quarto grado riducibile su F. 8.13. Sia F un campo di caratteristica di versa da 2 e sia F C /C un ampliamento di Galois finito. Mostrare che Gali?(K) e ciclico di ordine 4 se e soltanto se i^ = F ( a ) , dove a \— yr + sv^, r,s,t ^ F e t, c := r"^ — s^t non sono quadrati in F. Soluzione: Se Gali?X e ciclico di ordine 4, F C X e un ampliamento di Galois di grado 4. Allora K = F{a) con a = y r + s^/t e K h \\ campo di

294

8 II gruppo di Galois di un polinomio

spezzamento su F del polinomio biquadratico irriducibile X^—2rX'^-\-{r^—s'^t) (Proposizione 7.3.22); inoltre c non e un quadrato in F (Proposizione 8.1.12). Viceversa, se K = F{a) e come nelle ipotesi, per normalita i^ e il campo di spezzamento del polinomio minimo di a su F , che divide il polinomio f{X) := X^ — 2rX'^ + (r^ - s'^t). Se f{X) non e irriducibile, esso si spezza su F in due fattori di secondo grado, i cui termini noti sono prodotti di due radici di f{X) e dividono c :— r'^ — s^t. Allora in questo caso t o c := r'^ — s^t sono quadrati in F. Poiche non e cosi, f{X) e irriducibile su F e Gali? K e ciclico di ordine 4 (Proposizione 8.1.12). 8.14. Sia p > 3 un numero primo. Mostrare che il gruppo di Galois del pesimo polinomio ciclotomico su Q e isomorfo a un sottogruppo proprio di Sp e determinare esplicitamente un tale sottogruppo. 8.15. Determinare il gruppo di Galois su Q dell'n-simo polinomio ciclotomico per n = 6, 8,12,15. Verificare inoltre in questi casi che, se d divide n, allora le radici del d-esimo polinomio ciclotomico sono tutti e soli gli elementi V^(<^^), dove ^ e una radice primitiva n-sima dell'unit a e -0 varia tra gli automorfismi

di m)-

8.16. Determinare il gruppo di Galois su Q dei seguenti polinomi: X^ + X^ + 2X2 + X + 1; x ^ + X^ + X^ + 1; X^ - 3X^ + 2. 8.17. Determinare il gruppo di Galois su Q dei polinomi X^ + 9 ; X^ + 4; X^ + 2 ; X^ - 5 ; (X^ + 4)(X^ + 2); (X^ + 4)(X^ - 5). 8.18. Determinare un polinomio a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois su Q sia isomorfo a uno dei gruppi seguenti: Z12;

Z4XZ2;

Z2XZ2XZ2;

S3XZ2.

8.19. Costruire polinomi su Q irriducibili di grado 3, 4, 5 con esattamente due radici complesse non reali. 8.20. Costruire polinomi su Q irriducibili di grado n con gruppo di Galois isomorfo a S^, per n = 3,4, 5, 6. 8.21. Mostrare che il gruppo di Galois su Q dei polinomi X^ - 6X + 3;

X^ + 2X2 - 2X - 2

e isomorfo a S5. 8.22. Determinare un intero n > 2 tale che Q(v c?) sia contenuto nell'n-simo ampliamento ciclotomico di Q, per d = 3,6,ll,12,15. 8.23. Determinare tutti gli ampliamenti quadratici contenuti nel 31-esimo ampliamento ciclotomico di Q.

8.4 Esercizi

295

8.24. Sia p un numero primo e sia ^ una radice primitiva j}-esima deirunita. Mostrare che, se a G Q(^) e un elemento di grado 2 su Q, con polinomio minimo / ( X ) , allorap divide il discriminante di f{X). 8.25. Costruire un polinomio irriducibile su Q il cui gruppo di Galois sia ciclico di ordine n, per n — 5, 6, 8. 8.26. Determinare il polinomio minimo su Q di cos(27r/2);

cos(27r/9);

cos(27r/ll).

Suggerimento: Ricordare che 2cos(27r/n) = ^-f ^~^, dove (, := cos(27r/n) + isin(27r/n). 8.27. Determinare il polinomio minimo su Q di sin(27r/2);

sin(27r/9);

sin(27r/ll).

Suggerimento: Notare che ^ — ^'^ = 2isin(27r/n), dove ^ := cos(27r/n) + isin(27r/n). 8.28. Sia ^ una radice complessa primitiva nona dell'unita. Determinare il polinomio minimo d i a : = ^ + ^ ~ ^ — 2 s u Q e verificare che il suo gruppo di Galois e ciclico di ordine 3. 8.29. Sia ^ una radice primitiva settima deH'unita. Determinare un numero a G C tale che Q{a) = Q(^) n R. Calcolare inoltre il polinomio minimo di a e tutte le sue radici.

Parte IV

APPLICAZIONI

9 Risolubilita per radicali delle equazioni polinomiali

Le ben note formule risolutive per le equazioni di secondo grado a coefficienti numerici esprimono le radici del polinomio generale di secondo grado come funzione radicale dei suoi coefficienti. Analoghe formule esistono per le equazioni di terzo e quarto grado. P. Ruffini (1799) ed indipendentemente N. H. Abel (1824) hanno dimostrato che non e possibile trovare formule radicali che permettano di risolvere Tequazione generale di quinto grado. I risultati di Ruffini-Abel lasciavano pero aperta la possibilita che, dando specifici valori numerici ai coefficienti del polinomio generale di quinto grado su Q, si ottenesse ogni volta un'equazione risolubile per radicali. Questa possibilita e stata esclusa definitivamente da Galois nella sua fondamentale memoria Memoire sur les conditions de re soluhilite des equations par radicaux, del 1830. In questo capitolo dimostreremo i risultati di Galois ed illustreremo alcune tecniche algebriche per risolvere certe classi di equazioni risolubili, incluse le equazioni di terzo e quarto grado e le equazioni cicliche.

9.1 Ampliamenti radicali II concetto di ampliamento radicale e fondamentale per lo studio della risolubilita delle equazioni polinomiali. Definizione 9.1.1 Diremo che un ampliamento di campi F C K e un ampliamento radicale puro di indice n se K = F{'y) ed esiste un intero n > 1 tale che 7^ G F . Diremo poi che un ampliamento di campi F C K e radicale se si pud costruire tramite una successione finita di ampliamenti radicali puri F:=FoCFi:=Fo{ji)C... C Fi := Fi^iiji) di successivi indici Ui > 1, i = 1,..

C...CFm:=

F^-i(7m) - K,

.,m.

Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

300

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

Osserviamo che ogni ampliamento radicale e finito e che, se F C ^(7) e un ampliamento radicale puro di indice n, il polinomio minimo di 7 su F divide il polinomio X^ — 7^ G F[X], Inoltre si puo sempre raffinare una catena di ampliamenti radicali puri, inserendo eventualmente altri campi, in modo da ottenere che tutti gli indici siano numeri primi. Infatti, consideriamo rampliamento radicale puro F C ^(7) con 7^ G F . Se n = pm, dove p e un numero primo, posto a := 7^, risulta 7^ = OL^ G F e possiamo decomporre I'ampliamento F C F(7) nei due ampliamenti F C F[a) C F(7), con a ^ G F e 7^ G F{a). Se m non e primo, si continua nello stesso modo e questo procedimento ha termine dopo un numero finito di passi. Gli ampliamenti radicali non sono sempre normali, tuttavia la loro chiusura normale resta radicale. Proposizione 9.1.2 Se F C K e un ampliamento radicale, la chiusura normale di K su F e un ampliamento radicale di F. Dimostrazione. Sia K — F ( 7 i , . . . , 7 m ) un ampliamento radicale tale che, posto Fo := F e Fi := F ( 7 i , . . .,7^), 7^' G F^-i per qualche n^ > 1. Allora, se (p e un F-isomorfismo di K nella chiusura algebrica F di F , (p{K) — F((y:?(7i),..., ^{"^m)) e ancora un ampliamento radicale di F . Infatti ^lliT' = ^ ( T D ^ ^{Fi-i) = F{^{li)...., ^(7z-i)), i = 1 , . . . , m. Poiche la chiusura normale di i^ su F e generata su F da tutti gli elementi '^{'^i) al variare degli F-isomorfismi (/? di K in F (Esempio 5.2.12 (3)), concludiamo che tale chiusura normale e un ampliamento radicale di F . Esempi 9.1.3 (1) In caratteristica di versa da 2, gli ampliamenti quadratic! e biquadratic! sono ampliamenti di Galois radicali (Paragrafi 3.5.1 e 3.5.2). II campo Q ( v ^ ) e un ampliamento radicale di Q che non e normale; la sua chiusura normale e Q ( v ^ , i\/3) ed e ancora un ampliamento radicale di Q (Esempio 5.2.12 (2)). (2) Se 71 = 1 ^ , 72 = x/3 + 7i, 73 = 1 J / I - 7 1 + 7 2 , I'amphamento Q C Q(7i,72,73) e radicale. (3) Ogni ampliamento ciclotomico di Q e un ampliamento radicale puro di Galois, infatti e del tipo Q(^) con ^^ = 1 per qualche n > 1 (Paragrafo 4.4). Notiamo tuttavia che, se n — p\^ .. . p ^ , e la fattorizzazione di n in numeri primi distinti, allora I'ampliamento Q C Q(^) si puo raffinare in ampliamenti radicali puri di indici p^, i = 1 , . . . , m. Infatti, sia ^5 := cos ( ^ ) + isin ( ^ ) , per ogni 5 > 2. Posto n^ := p^' e ai :— ^m si ha Q(^n) = Q(<^i5 • • • 5 o^m) (Esercizio 4.43) e quindi si ottiene una catena di ampliamenti radicali puri Fo := Q C Fi := Q{ai) C F2 := Fi(a2) - Q(ai, a2) C . . . C Fm := Q{au .., ,am) = Qi^n) di successivi indici n^, per ogni 1 = 1 , . . . , m. Inoltre, dato F C C, se p e un numero primo e ^ := ^^e, I'ampliamento F C F(^) si puo realizzare attraverso gli ampliamenti radicali puri di indice p

9.1 Ampliamenti radical! F C Fie^"')

C F{e^'^)

C . . . C F{e^)

C F{e)

301

C F(0.

(4) Se F e un campo finito di caratteristica prima p, ogni ampliamento finito F C K e un ampliamento radicale puro. Infatti, se [K : Fp] = n risulta i^ = F{a) = Fp(a), per un opportune a £ K tale che a^ ~^ = 1 G F (Paragrafo 4.3). (5) In caratteristica prima p, ogni ampliamento puramente inseparabile F C i^ e un ampliamento radicale. Infatti K = F ( a i , . , . , a^) con a^ ' G F , /i^ > 1 (Teorema 5,3.29). La seguente proposizione mostra in particolare che gli ampliamenti radical! puri di un campo numerico contenente le opportune radici dell'unita sono caratterizzati dall'avere gruppo di Galois ciclico. Lo studio di questi ampliamenti e stato iniziato da E. Kummer, nell'ambito delle sue important! ricerche suirultimo Teorema di Fermat. Proposizione 9.1.4 (E. Kummer, 1840) Sia n > 2, sia F un campo la cui caratteristica non divide n (in particolare di caratteristica zero) contenente le radici n-sime delVunitd e sia F C. K un ampliamento di Galois finito. Allora: (a) Se GdlpiK) e ciclico di ordine d e d divide n, F C K e un ampliamento radicale puro di indice d. (b) Se F C K e un ampliamento radicale puro di indice n, GalpiK) e ciclico ed il suo ordine divide n. Dimostrazione. Poiche I'ampliamento F C K e di Galois, si ha | GalF(i^)| = [K : F] (Proposizione 7.1.3). (a) Supponiamo che Gali?(K) sia ciclico di ordine d, con d che divide n, e sia ip un suo generatore. Per il Lemma di Dedekind (Lemma 3.1.5), gli F automorfismi (/?, (j^^,..., (p^~^^ip^ = id sono linearmente indipendenti su K. Allora, se (" G F e una qualsiasi radice primitiva d-sima dell'unita, esiste X e K\{0}, tale che

^(x) = X + c^(x) + CV'(^) + • • • + C^"V^''(^) ^ 0. Mostriamo che, posto '0(x) := a, allora a^ e F e K — F{a). Poiche ip{() = (, risulta:

Dal momento che

302

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

a^ e fissato da Gali?(K) e percio a^ e F. Inoltre, poiche i coniugati a, (p{a)^ . . . , (p^~^{a) di a sono tutti distinti, a ha grado d su F. Ne segue che [F{a) : F] = d=[K : F]e, poiche aeK, risulta F{a) = K. (b) Sia i^ := F{a) con a'^ G F e sia [K : F] = d. Posto a'^ = a, il pohnomio minimo m{X) di a su F ha grado d e divide X^—a. Dunque le sue d radici sono della forma a, o^^^S •.., a^^'^"^ dove ^ e una radice primitiva n-sima deH'unita (Proposizione 4.4.13). Poiche ^ G F , per ogni (p G GalpiK)^ si ha (p{^) = ^. D'altra parte (p{a) deve essere ancora una radice di m(X); percio (p{a) = Q/^*(v^)^ per qualche i{(p) — 0, . . . , < i — 1 . Quindi (/? agisce sull'insieme delle radici di m{X) come la moltiplicazione per ^*(^). Indicando con Cn il gruppo ciclico delle radici n-sime deH'unita, possiamo allora definire I'applicazione:

Gali.(K)-^a;

^^i -''M

Si vede subito che quest a applicazione e un omomorfismo iniettivo di gruppi. Percio Gali?(i^) e isomorfo a un sottogruppo di Cn e come tale e ciclico di ordine d, Inoltre d e un divisore di n. Esempi 9.1.5 (1) Se F e un campo la cui caratteristica non divide n (in particolare di caratteristica zero) contenente le radici n-sime dell'unit a, un ampliamento di F si chiama un ampliamento di Kummer se e generato su F da radici n-sime di element! di F. Un tale ampliamento e di Galois, essendo un composto di campi di spezzamento su F di polinomi separabili del tipo X^ — a, ed il suo gruppo di Galois e abeliano di esponente n. (Ricordiamo che un gruppo G ha esponente finito se esiste un intero positivo m tale che g'^ = e, per ogni g G G: in questo caso V esponente diG ei\ minimo intero n con questa proprieta.) Viceversa, la Teoria di Kummer moltiplicativa stabilisce che gli ampliamenti di Galois di F il cui gruppo di Galois e abeliano con esponente finito che divide n sono ampliamenti di Kummer e sono in corrispondenza biunivoca con i sottogruppi del gruppo quoziente _p*/i^*^^ dove al solito F* := F\{0}eF*^:-{a^;aGF*}. Precisamente, sempre nelle ipotesi che F contenga le radici n-sime dell'unita, se G e un sottogruppo di F* contenente F*^, indichiamo con rampliamento di Kummer generato dalle radici n-sime degli element! di G. Allora la corrispondenza G ^ F{G^''') e una corrispondenza biunivoca tra I'insieme dei sottogruppi di F* contenenti F*^ e gli ampliamenti di Galois di F con gruppo di Galois abeliano di esponente finito uguale ad un divisore di n, la cui inversa e I'applicazione i^h^i^^nF*. Se inoltre F C F(G^/^) e un ampHamento finito, si ha [F{G^^'') : F] = [G : F*^]. Maggiori dettagli si possono trovare in [51, Paragrafo VIII, 6] o [44, Paragrafo 4.9].

9.1 Ampliamenti radical!

303

(2) Nella Proposizione 9.1.4, I'ipotesi sulla caratteristica e necessaria per garantire I'esistenza delle radici primitive deirunita (Paragrafo 4.4). In caratteristica p, gli ampliamenti di Galois ciclici di grado p sono caratterizzati dal Teorema di Artin-Schreier (1927): essi sono tutti e soli gli ampliamenti del tipo F C F{a) dove a e radice di un polinomio irriducibile della forma X'^ — X + a, con a e F. Per una dimostrazione si puo vedere [51, Theorem 11]. Sia ora F un campo la cui caratteristica non divida n (in particolare di caratteristica zero) e consideriamo il campo K := F(^, a), dove ^ e una radice primitiva n-sima dell'unit a e a := a'^ G F . Poiche K e un campo di spezzamento del polinomio separabile f{X) := X'^ — a G F[X] (Proposizione 4.4.13), I'ampliamento F C K e di Galois. Notiamo che K e un ampliamento radicale di F ed e il composto dei due ampliamenti radicali puri F(^) e F{a). Poiche I'ampliamento F C F(^) e di Galois (essendo un ampliamento ciclotomico di F ) , Gali7(^)(K) e un sottogruppo normale di Gali?(K) e, posto L := F(^) fl F ( a ) , GMK)

= {GsilF(i)iK) U Ga\Fia){K)) = GalpioiK)

Gal^(„)(/f)

e prodotto semidiretto di Gali?(^)(K) e Gali?(Q;)(K") (Proposizione 7.3.16 (a)). Questa osservazione ci permette di calcolare Gali?(i^) quando L := F(^) fi F{a) = F . Osserviamo che i gruppi Gali?(^)(K) e Gali?(Q,) (i^) sono entrambi abeliani; infatti Galir(^) (X) e ciclico per la Proposizione 9.1.4 e Gal^(Q,)(i^) e un sottogruppo del gruppo delle unita di Z^, perche K e I'n-simo ampliamento ciclotomico di F{a) (Paragrafo 4.4.3). Esempi 9.1.6 (1) Con le notazioni precedenti, non e detto che risulti F(^) fl F{a) = F . Ad esempio, se f{X) := X^ + 4 G Q[X], ^ == i ed una radice di f{X) e a := 1 + i. Dunque Q ( 0 = Q(i) = Q{a). (2) Sia f{X) := X^ - 9 G Q[X]. Se ^ G C e una radice primitiva ottava deirunita, ad esempio ^ := (1 + i)\/2/2, e a := \/9 — v^, il campo di spezzamento di / ( X ) su Q e i^ := Q{a, ^ = Q(ce, v^, i) (Esempio 8.1.19 (2)). Notiamo che Q ( 0 n Q ( a ) = Q ; quindi GalQ(K) = GalQ(^)(K) GalQ(^)(K). Per determinare GalQ(^)(i^), osserviamo che il polinomio minimo di a su Q ( 0 e il polinomio p{X) := X^ - 3; infatti [K : Q(0] = [Q(c^) : Q] = 4 (CoroUario 7.3.18). Le radici di p(X) sono a,

ai = a^ ,

—a = a^ ,

—ai = at, .

Dunque, secondo quanto visto nella Proposizione 9.1.4, GalQ(^)(i^) e isomorfo al sottogruppo di Cs := (^) generato da (^^ = i. Precisamente esso e ciclico di ordine 4 ed e generato dall'automorfismo (p : K —> K ] ^ i-> ^ , a K^ ai.

304

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

Per calcolare GalQ(cK) (K), notiamo che polinomio minimo di ^ su Q{a) e I'ottavopolinomiociclotomico^8(^) := X^^l, perche [K : Q{a)] = [Q{^) : Q] = 4 (Corollario 7.3.18). Allora i coniugati di ^ su Q(a) sono le radici primitive ottave dell'unita, ovvero ed i Q(a)-automorfismi di K sono

per i = 1, 3, 5, 7. Percio Galq(^a){K) ^ isomorfo al gruppo delle unita di Zs ed e un gruppo di Klein. In conclusione GalQ(K) = GalQ(^)(K) GalQ(,)(K) = {(^>,; j - 1,2, 3,4, i = 1,3, 5, 7}. Notiamo che GalQ(Q,)(K) non e normale in GalQ(K), perche Tampliamento Q Q Q{<^) non e di Galois. Dunque Ga\q{K) non e prodotto diretto dei suoi sottogruppi GalQ(^)(K) e GalQ(c,)(K). (3) Consideriamo il polinomio f{X) := X^ — a G Q[X], dove p > 2 e un numero primo e a := ^ ^ Q. Allora f{X) e irriducibile su Q (Proposizione 4.4.14) ed il suo gruppo di Galois e isomorfo a un sottogruppo transitivo di Op.

II campo di spezzamento di f{X) su Q e K := Q(a,^), ^ e una radice primitiva p-esima dell'unita. Osserviamo che a ha grado p su Q perche f{X) per ipotesi e irriducibile, mentre ^ ha grado p — 1, perche il suo polinomio minimo su Q e il p-esimo polinomio ciclotomico ^p(X). Poiche MCD(p,p — 1) = 1, allora Q(C) n Q(a) = Q e [K : Q] = p{p - 1) (Esempio 3.5.14 (2)). Ne segue che a ha grado p anche su Q{^)^ con polinomio minimo / ( X ) , e ^ ha grado p — 1 anche su Q(a), con polinomio minimo ^p{X). Per la Proposizione 9.1.4, GalQ(^)(i^) e ciclico di ordine p ed e generato dall' aut omorfismo (f : K —> K;

^\-^ ^, a^

a^.

Inoltre GalQ(Q,) (iiT) e ciclico di ordine p — 1, generato dall'automorfismo

dove fc e un fissato generatore di U{Zp) (Esempio 4.4.21). In conclusione, GalQ(K) = GalQ(^)(K)GalQ(,)(K) =

{^,^)

= {(p'xl;^;i= l , . . . , p , j = l , . . . , p - 1} ha ordine p{p — 1). Notiamo che GalQ(^)(iC) = {(p) e normale in GalQ(K), mentre GalQ(Q,)(iir) = {i/j) non lo e.

9.2 Risolubilita per radical! Numerando le radici di f{X) a i := a^ ,

... ,

305

come a^-i := a^^"^ ,

a^ := a,

I'automorfismo (p di K si puo identificare alp-ciclo 7 := (12 .. .p) di S^: infatti risulta (f{ai) = ^{c^^^) = <^C^^^ P^^ ^ — I5 • • • ^P- Inoltre rautomorfismo -0 si puo identificare al {p — l)-ciclo rj di Sp definito da r}{i) = ki mod p per i,ri{i) = 1 , . . . ,p— 1. Infatti risulta '0(ai) = '^(Q^^*) = ceC^% per i = 1,.. .,p. Percio G81Q{K) e isomorfo al sottogruppo Mp di Sp generato dai cicli 7 ed 77. Tale sottogruppo di Sp si chiama il gruppo metacidico di grado p (vedi il successivo Paragrafo 9.5). Per p := 3, risulta M3 = S3. Per p := 5, M5 e il sottogruppo di S5 generato da 7 := (12345) ed 77 := (1243).

9.2 Risolubilita per radicali Nel linguaggio classico, un polinomio a coefficienti numerici si dice risolubile per radicali se le sue radici si possono esprimere come funzioni radicali dei coefficienti. Nella terminologia della Teoria dei Campi, questo significa dire che le radici del polinomio appartengono ad un ampliamento radicale del suo campo di definizione. Possiamo allora dare la seguente definizione. Definizione 9.2.1 In caratteristica zero, un polinomio f{X) G F[X] si dice risolubile per radicali se il suo campo di spezzamento in F e contenuto in un ampliamento radicale di F. Tuttavia in molte considerazioni utili per lo studio della risolubilita I'ipotesi di caratteristica zero non e strettamente necessaria. Sia F C K := F ( 7 i , . . . , 7^^) un ampliamento radicale realizzabile tramite la catena di ampliamenti radicali puri F:=i^oCFi:=:Fo(7i)C... C Fi := F,_i(7,) C . . . C F ^ := Fm-i{lm)

= K

di successivi indici n^ > 1, i = 1 , . . . , m. Supponiamo che: (1) L'ampliamento F C K sia di Galois; (2) La caratteristica di F non divida [K : F\ (in particolare F abbia caratteristica zero) e F contenga le radici n^-esime dell'unita per tutti gli indici n^, i = 1,.. .,m. Allora ogni ampliamento F^ C K e di Galois (Proposizione 5.4.3). Inoltre, poiche Fi contiene tutte le radici n^-esime dell'unita, Fi := Fi-i{'yi) e il campo di spezzamento del polinomio X^^ - a^, con a^ := 7]^' G Fi_i (Proposizione 4.4.13). Ne segue che l'ampliamento Fi-i C Fi e di Galois e dunque Hi := GalF^{K) e un sottogruppo normale di Hi-i \— GalFi_^(K) (Proposizione 7.3.5). Inoltre, GalFi_i(-Fi) = Hi-i/Hi e ciclico (di ordine uguale ad un divisore positivo di Ui) per la Proposizione 9.1.4.

306

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

In conclusione, sotto le ipotesi (1) e (2), applicando la corrispondenza di Galois alia catena di campi: F:^FoCFi:=FoMC... C Fi := F,_i(70 Q"-QFm:^

i^m-i(7m) = K,

si ottiene una catena finita di sottogruppi:

dove, per i — 1,.. .,m, (a) Hi e normale in Hi-i\ (b) II gruppo quoziente Hi-i/Hi

e ciclico.

Una catena finita di sottogruppi di un gruppo G G-Ho^HiD...D

Hm-i 2 Hm = (e)

die verifica le proprieta (a) e (b) si chiama una serie normale cidica di G e un gruppo che ammette una serie normale ciclica si chiama un gruppo risolubile (Paragrafo 12.3). Questa terminologia e giustificata dal fatto che, come ha dimostrato Galois, in caratteristica zero un polinomio e risolubile per radicali se e soltanto se il suo gruppo di Galois e un gruppo risolubile. Quanto abbiamo appena visto costituisce un primo passo per la dimostrazione di questo import ante risultato: infatti puo essere riformulato nel mo do seguente. Proposizione 9.2.2 Sia F C K un ampliamento di Galois radicale, realizzabile tramite la catena di ampliamenti radicali puri

C Fi := F,_i(70 e .. • ^ i^m := Fm-i{jm)

= K

di successivi indici Ui > 1, i = 1 , . . . , m. ^e la caratteristica di F non divide n := [K : F] (in particolare F ha caratteristica zero) ed F contiene tutte le radici ni-sime deWunitd, il gruppo di Galois di K su F e un gruppo risolubile. Per proseguire nello studio della risolubilita, mostriamo ora che le ipotesi della Proposizione 9.2.2 non sono restrittive. Sia come prima F C K :— F ( 7 i , . . . , 7 ^ ) un ampliamento radicale, realizzato tramite la catena di ampliamenti radicali puri: i^:=i^oCFi:=Fo(7i)C... C Fi := Fi-i(7z) C . . . C F ^ := Fm-i{lm)

= K

di successivi indici n i > l , i = l , . . . , m . Se ^ e una radice primitiva n-sima dell'unit a, per qualche n > 1 che non e diviso dalla caratteristica di F , allora I'ampliamento F C K{^) =

9.2 Risolubilita per radical!

307

F(^, 7 i , . . . , 7^) e ancora un ampliamento radicale di F; infatti ^^ = 1 G F . Inoltre K si puo ottenere con la catena di ampliamenti radical! pur! FCLo:=F(OCLi:-Lo(7i)C... C Li := I/^-i(7i) C . . . C L ^ := ^^-1(7,^) = K{^). In questo modo, per ogn! i — 0 , . . . , m, Li contiene tutte le radic! n-sime deH'unita Proposizione 9.2.3 Sia n > 2 e sia F un campo la cui caratteristica non divide n (in particolare un campo di caratteristica zero). Se F C K e un ampliamento radicale, N e la chiusura normale di K in F e ^ e una radice nsima deWunita, Vampliamento F C N{£) e un ampliamento radicale normale. Dimostrazione. Se A^ e la chiusura normale di K su F , F ampliamento F C N e radicale per la Proposizione 9.1.2. Inoltre I'ampliamento F C iV(^), come visto sopra, resta radicale ed e normale perche, se AT" e un campo di spezzamento su F del polinomio / ( X ) , N{^) e un campo di spezzamento su F del polinomio f{X){X" - 1). Possiamo ora caratterizzare la risolubilita per radicali attraverso i gruppi di Galois. Useremo la corrispondenza di Galois insieme alle seguenti proprieta dei gruppi risolubili, che dimostreremo nel Capitolo 12 (Proposizione 12.3.4). Proposizione 9.2.4 Sia G un gruppo finito. Allora: (a) Se G e risoluhile, ogni sottogruppo di G e risolubile. Sia inoltre N un sottogruppo normale di G. Allora: (b) Se G e risolubile, il gruppo quoziente G/N e risolubile; (c) Se N e G/N sono risolubili, G e risolubile. Teorema 9.2.5 (E. Galois, 1830) Se F e un campo di caratteristica zero, un polinomio f{X) G F[X] e risolubile per radicali se e soltanto se il suo gruppo di Galois su F e un gruppo risolubile. Dimostrazione. Sia f{X) G F[X] con campo di spezzamento L e sia n := [L : F] = I Gali7(L)|. Supponiamo che Gali?(L) sia un gruppo risolubile. Vogliamo mostrare che, se ^ e una radice primitiva n-sima dell'unit a, I'ampliamento F C L(^) e radicale. Poiche L(^) e un campo di spezzamento di f{X) su F{^), I'ampliamento F ( 0 ^ -^(0 ^ ^i Galois ed inoltre I'applicazione di restrizione Gali.(^)(L(0) -^

GalF(L);

if ^ if\^

e un omomorfismo iniettivo (Corollario 7.3.19). Ne segue che G := Gali?(^) {L{^)), essendo isomorfo a un sottogruppo di Gali?(L), e risolubile (Proposizione 9.2.4 (a)). Dunque esiste una catena di sottogruppi

308

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

dove Hi e normale in Hi-i ed il gruppo quoziente Hi-i/Hi e ciclico, per i — l , . . . , m . Per la corrispondenza di Galois, si ha allora una catena di sottocampi: Fo := F{0 C Fi C . . . C F,_i C F, C . . . C F ^ = L ( 0 . Poiche Hi = Gali?.(L(^)) e un sottogruppo normale di Hi-i = Gali?._-L(L(^)), Pampliamento Fi^i C Fj e di Galois e Gali?._i(F^) = Hi-i/Hi e ciclico. Osserviamo ora che, per ogni i = 1,.. .,m, [Fi : F^_i] := rii e un divisore di [L : F] = n ed inoltre F^_i contiene le radici n^-esime deH'unita (perche contiene tutte le radici n-sime). Dunque, per la Proposizione 9.1.4 (a), F^ e un ampliamento radicale puro di indice n^, ovvero Fi := F^_i(7^), con 7]^' G F^_i. Ne segue che 1'ampliamento F C L{^) = F(^, 7 1 , . . . , 7^) e un ampliamento radicale. Viceversa, supponiamo che L sia contenuto in un ampliamento radicale K di F e mostriamo che Galir(F) e un gruppo risolubile. Sia K := F ( 7 i , . . . , 7^) e poniamo FQ := F e Fi := F ( 7 i , . . . ,7i) per i = 2 , . . .m. Sia poi Ui > I tale che 7^' G Fi_i e sia ^ una radice primitiva n-sima deH'unita, con n := m c m ( n i , . . . , nm). Se A^ e la chiusura normale di K su F , gli ampliamenti F C Ar(^) e F(^) C N{^) sono ampliamenti di Galois radicali (Proposizione 9.2.3). Poiche F(^) contiene tutte le radici n^-esime dell'unita per i — l , . . . , m , il gruppo di Galois di N{^) su F(^) e risolubile (Proposizione 9.2.2). Inoltre, poiche I'ampliamento F C F(^) e di Galois, allora Gali?(^)(iV(^)) e un sottogruppo normale di GalF(iV(^)) e il gruppo quoziente GalF(iV(^))/Gali7(^)(iV(^)) = GalF(F(^)) e pure risolubile, essendo un sottogruppo del gruppo delle unit a di Z^ e percio abeliano. Ne segue che Gali?(iV(^)) e risolubile (Proposizione 9.2.4 (c)). Infine, poiche I'ampliamento F C L e di Galois, allora Gal/,(A/'(^)) e un sottogruppo normale di GalF(A^(0) e risulta GalF(L) = GalF(A^(0)/ GalL(A^(0)- Poiche G^\F{N{^)) e risolubile, anche Gali?(L) lo e (Proposizione 9.2.4 (b)). Per estendere il teorema precedente in caratteristica prima p, bisogna tenere conto del Teorema di Artin-Schreier ed ammettere gli ampliamenti ciclici del tipo F C F ( a ) con a^ + a G F (Esempio 9.1.5 (2)). Procedendo come nella dimostrazione del Teorema 9.2.5, si ottiene allora il seguente risultato; per i dettagli della dimostrazione rimandiamo a [51, Paragrafo VIII, 7j. T e o r e m a 9.2.6 Sia f{X) G F[X] un polinomio separabile. Allora il gruppo di Galois di f{X) su F e un gruppo risolubile se e soltanto se il campo di spezzamento di f{X) su F e contenuto in un campo K realizzabile tramite una catena di ampliamenti Ko:=FCKiC...CKm-K, dove, per i = 1 , . . . , m^ Ki e ottenuto da Ki-i

in uno dei seguenti modi:

9.2 Risolubilita per radical!

309

1. Aggiungendo una opportuna radice delVunitd; 2. Aggiungendo una radice di un polinomio del tipo X^ — a, a ^ ^ i - i ; per qualche n che non e diviso dalla caratteristica di F; 3. Aggiungendo una radice di un polinomio del tipo X^ — X — a, a G Ki-i, se F ha caratteristica p. I gruppi risolubili includono i gruppi abeliani, i gruppi diedrali e i p-gruppi finiti, cioe i gruppi di ordine p'^ con p primo e n > 1. Un teorema classico di W. Burnside asserisce poi che tutti i gruppi di ordine p^g"^, dove p e q sono due numeri primi distinti e n, m > 1, e risolubile ed un famoso teorema di W. Feit e J. G. Thompson (1963) mostra che ogni gruppo di ordine dispari e risolubile. Inoltre i gruppi di ordine strettamente minore di 60 sono tutti risolubili (Paragrafo 12.3). Poiche il gruppo di Galois di un polinomio (irriducibile) e isomorfo a un gruppo (transitivo) di permutazioni (Paragrafo 8.1), e anche importante conoscere quali sono i gruppi (transitivi) di permutazioni che sono risolubili. In questo senso il risultato piu significativo stabilisce che i gruppi simmetrici S3 e S4 (e tutti i loro sottogruppi) sono risolubili, mentre S^ non e risolubile per n > 5. Una dimostrazione verra data nel Paragrafo 12.3 (Teorema 12.3.3). Teorema 9.2.7 I gruppi S3 ed S4 sono risolubili, mentre Sn non e risolubile per n > 5. Corollario 9.2.8 In caratteristica zero, ogni polinomio di grado 2, 3 o 4 ^ risolubile per radicali. Dimostrazione. II gruppo di Galois di un polinomio di grado n e isomorfo a un sottogruppo di S^ (Teorema 8.1.1), ma per n = 2,3,4 un tale gruppo e risolubile per il Teorema 9.2.7 e la Proposizione 9.2.4 (a). Quindi possiamo applicare il Teorema 9.2.5. Corollario 9.2.9 (N. H. Abel, 1829) In caratteristica zero, ogni polinomio con gruppo di Galois commutativo e risolubile per radicali. Dimostrazione. Segue dal Teorema 9.2.5, perche ogni gruppo commutativo e risolubile. In seguito al risultato precedente, i gruppi commutativi vennero chiamati da L. Kronecker gruppi abeliani. Teorema 9.2.10 (P. Ruffini - N. H. Abel) In caratteristica zero, il polinomio generale di grado n > 5 non e risolubile per radicali. Dimostrazione. II polinomio generale di grado n ha gruppo di Galois isomorfo a Sn (Paragrafo 8.1.1 (1)); ma S^ non e un gruppo risolubile per n > 5 (Teorema 9.2.7).

310

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

Esempi 9.2.11 (1) Per ogni n > 2, esistono polinomi irriducibili a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois e isomorfo a S^ (Paragrafo 8.3.1). Dunque, per ogni n > 5, esistono polinomi di grado n irriducibili su Q che non sono risolubili per radicali. (2) Polinomi di quinto grado a coefficienti razionali che non sono risolubili per radicali sono ad esempio X^ + bX^ — 5 e X^ — X — 1; infatti tali polinomi hanno gruppo di Galois isomorfo a S5 (Esempi 8.3.9 (2) e 8.2.6 (1)). (3) Poiche gli ampliamenti ciclotomici sono radicali, tutte le radici complesse n-sime dell'unit a possono essere espresse mediante radicali. Tuttavia in generale determinare esplicitamente queste espressioni non e semplice. Come osservato nell'Esempio 9.1.3 (3), e sufRciente considerare il caso in cui n = p sia un numero primo. De Moivre osservo che in questo caso il cambiamento di variabile Y = X ^ j^ permette di trasformare il p-esimo polinomio ciclotomico ^p{X) in un polinomio f{Y) di grado {p— l ) / 2 . Poiche X^ — XY + 1 = 0, una volta note le radici di f{Y)^ le radici p-esime primitive si ottengono risolvendo le equazioni di secondo grado X^ — aX + 1 = 0, al variare di a tra le radici di f{Y). Notiamo che, fissata una radice primitiva ^, le radici di f{Y) sono esattamente i numeri reali ^^ -f ^P-^' = 2cos(2A:7r/p), per A: = 1 , . . . , (p - l ) / 2 (Paragrafo 7.3.3 (4)). Usiamo ora il metodo di De Moivre per calcolare le radici quinte. Metodi di calcolo differenti verranno poi illustrati nell'Esempio 9.4.2 (2) e nel Paragrafo 9.6.3. II quinto polinomio ciclotomico e ^^{X) := X^ + X^ + X^ + X + 1. Per risolvere I'equazione ^^{X) = 0, dividiamo per X^ e poniamo Y := X -\- YOtteniamo in questo modo I'equazione y^ + F — 1 = 0, le cui radici sono a := 2 cos(27r/5) = Z i ± X ^ ;

/3 := 2 cos(47r/5) =

^ ^ — .

Le radici primitive quinte dell'unit a sono allora le radici delle due equazioni X^ - a X + 1 = 0 ,

X^ - ^ X + 1 = 0;

ovvero: ,

^= K-^

-

2

a + Vce2 - 4

2

'

^

-1 + v^

V 1 0 + 2A/5

= - T - +^ 2

'

4

^

^

2

Per p = 7, con la traformazione Y = X + -^5 da #7(X) si ottiene il polinomio di terzo grado / ( F ) := y^ + r ^ - 2 y - 1 (Paragrafo 7.3.3 (4)). Espressioni radicali per le radici settime dell'unita possono allora essere determinate risolvendo prima I'equazione j{Y) — 0 e successivamente tre equazioni di secondo grado.

9.3 Equazioni di terzo grado

311

Per p = 11, si ottiene I'equazione di quinto grado f{Y) := Y^ ^Y""-

4F^ - SF^ + 3 ^ + 1,

che fu risolta per la prima volt a da Vandermonde, nel 1770. II metodo di De Moivre fu poi generalizzato da Gauss, che illustro nel suo libro Disquisitiones Arithmeticae^ del 1801, un procedimento di risoluzione valido per ogni primo p [7, Paragrafi 20-26], [27, Paragrafo 10, C]. In particolare, Gauss calcolo esplicitamente le radici 17-sime deH'unita, dimostrando in questo modo che il poligono regolare con 17 lati e costruibile con riga e compasso (Paragrafo 11.5).

9.3 Equazioni di terzo grado In questo paragrafo assumeremo tacitamente che il campio F abbia caratteristica uguale a zero ed esamineremo in particolare il caso in cui F sia un campo numerico. Ricordiamo che, se il polinomio

f{X) := X^-^aX^^bX-^ce

F[X]

ha radici p, cr, r, il discriminante di f{X) e

D{f):^{p-a)\p-rna-rr = a^6^ - Ab^ - Aa^c - 21c^ + 18a6c (Esempio 2.7.18 (2)). Poiche poi un polinomio ha lo stesso campo di spezzamento e lo stesso discriminante della sua forma ridotta (Esempio 2.3.27 (1)), non e restrittivo ai fini della risolubilita considerare un polinomio di terzo grado del tipo

f{X):=X^+pX

+ qeF[X],

il cui discriminante e D{f) = — (4p^ + 27g^). Proposizione 9.3.1 In caratteristica zero, sia f{X) G F[X] un polinomio irriducibile di terzo grado. Allora il campo di spezzamento di f{X) su F e F{p^ S), dove p e una qualsiasi radice di f{X) e S^ = D{f). Dimostrazione. Siano p, cr, r le radici di f{X) e sia K := F(p, cr, r ) il campo di spezzamento di f{X). Allora S = ±{p — a){p — r){a — r) G K. Percio L := F(p, 6) C K. Viceversa, poiche p G L, in L[X] risulta f{X) = {X - p)g{X) con g{X) = (X - a)(X - r ) = X2 - (a + T)X -^ (JT e L[X]. Calcolando in p, otteniamo che g[p) = {p — a){p — r) G L. Dunque {a — r) = ±S/g{p) G L, D'altra parte, anche (cr + r ) G L; percio a = {a — r){a -\-T)/2 G L e di conseguenza anche r e L. Dunque K C F(p, S).

312

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

Corollario 9.3.2 Sia F un campo reale e sia f{X) G F[X] un polinomio irriducibile di terzo grado con gruppo di Galois G C S3. Allora: (a) Se D{f) < 0, f{X) ha una sola radice reale. In questo caso, G = S3. (b) Se D{f) > 0, f{X) ha tre radici reali (necessariamente distinte). In questo caso, se 6 := ^/D{f) e F, G = A3, se invece S ^ F, G = S^. Dimostrazione. Poiche f{X) e irriducibile su F , il suo discriminante e non nullo (Paragrafo 2.7.3). Siano p, a, r le radici di / ( X ) , p eR.Se D{f) > 0, allora 6 := ^/D{f) E M. Percio K := F{p,a,r) = F{p,6) C R e dunque le radici di f{X) sono reali. Se viceversa p, c^ r sono reali, allora d = =b(p — a){p - r)(cr - r) G M e D{f) = S^ > 0. Inoltre, G C S3 e 3 divide Fordine di G. Allora, per la Proposizione 8.1.6, G = A3 se e soltanto se 5 G F , altrimenti G = S3 (e questo secondo caso si verifica in particolare se D{f) < 0). E s e m p i 9.3.3 (1) S i a / ( X ) = X^-X + 1 e Q[X]. Allora/(X) e irriducibile, non avendo radici razionali, e D{f) = —23. Dunque il campo di spezzamento di f{X) su Q e Q(yO, \ / - 2 3 ) , dove p e Funica radice reale di f{X). Inoltre il gruppo di Galois di f{X) su Q e S3. (2) Sia f{X) = X ^ - 3 X + 1 G Q[X]. Allora f{X) e irriducibile, non avendo radici razionali, e D{f) = 8 1 . Dunque f{X) ha 3 radici reali (distinte). Inoltre, poiche y/Sl = 9 G Q, il campo di spezzamento di f{X) e Q(p), dove p e una qualsiasi radice, e il gruppo di Galois di f{X) su Q e A3 (Esempio 4.2.8 (2)). (3) non ha Inoltre radice,

Sia f{X) = X^ -4X + 2 e Q[X]. Allora f{X) e irriducibile, perche radici razionali, e D{f) = 148; dunque f{X) ha 3 radici reali (distinte). il campo di spezzamento di f{X) e Q(p, A/148), dove p e una qualsiasi e il gruppo di Galois di f{X) su Q e S3, perche \/l48 e irrazionale,.

9.3.1 Le formule di T a r t a g l i a - C a r d a n o Le formule risolutive di Tart aglia-Car dano si basano sulFidentita algebrica {u + vf =u^ +v^ -^ 3uv{u + v), che rispecchia la possibilita di scomporre geometricamente un cubo in due cubi pill piccoli e tre parallelepipedi uguali. Consideriamo Fequazione

f{X):^X'+pX

+ q = 0.

Ponendo X = u -h v si ottiene {u + vf -{-p{u-hv)-\-q=

{3uv + p)(zx + ^) + 2x^ + t;^ + g = 0.

Osserviamo allora che certamente UQ +Vo e una radice di f{X) se

9.3 Equazioni di terzo grado 3uoVo + p = 0

e

ul-hvl+q

313

= 0.

Per determinare UQ e VQ con queste proprieta, dobbiamo risolvere il sistema uv = - - ; o

u^ +V'' = -q,

da cui u^v^ = - ^ ; u^ -\-v^ = -q. 27 Queste ultime relazioni d dicono che u^ e v^ debbono essere radici dell'equazione di secondo grado

r{Z) •.= Z' +

qZ-^=0,

detta equazione risovente dell'equazione cubica. Dunque, con il solito abuso di notazione, possiamo porre 3

Q ,

Q'^

, P^

3

Q

h^

, P^

" = - 2 + V T + 27' " = - 2 - V T + 2 7 Notiamo che la quantita sotto radice e proporzionale al discriminante D{f) = — (4p^ + 27g^) secondo un coefficiente intero negativo. Se ^ e una radice primitiva terza dell'unita su F e i^o, '^o ^ F sono tali che 3

Q ,

Q'^

, P^

3

Q

h^

, P^

"« = - 2 + V T + 27' "«==-2-VT + ^ ' allora u puo assumere i valori UQ^ ^WQ, ^^UQ e v puo assumere i valori VQ^ ^VQ^ ^'^VQ. Infine, tenendo conto che deve risultare uv = —^, otteniamo che le radici del polinomio f{X) sono

Vedremo nel Paragrafo 9.6.2 come queste formule si possano riottenere applicando i risultati dimostrati nei Paragrafi 9.1 e 9.2. 9.3.2 II "casus irriducibilis" Particolarmente interessante e il caso in cui il campo di definizione del polinomio f{X) := X^ -\-pX + q sia un campo numerico reale. In questo caso f{X) ha tutte radici reali oppure una radice reale e due radici complesse coniugate e, come visto nel Corollario 9.3.2, il numero delle radici reali dipende dal segno del discriminante. Mostriamo ora come si puo arrivare direttamente alio stesso risultato usando le formule di Tartaglia-Cardano Ricordiamo che D{f) e nullo se e soltanto se f{X) ha radici multiple; inoltre si verifica subito che f{X) ha una sola radice p di molteplicita 3, ovvero

314

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

risulta f{X) = {X — p)^, se e soltanto se p = 0, cioe p — q = 0. Supponiamo percio che p e q non siano entrambi nulli e poniamo per comodita q :— —2a e p := 3b. Allora I'equazione di terzo grado diventa f{X) := X^ + 3bX - 2a = 0, la cui risolvente e r{Z) : - Z^ - 2aZ - 6^ = 0. II discriminante di r{Z) e D{r) = 4(a2 + b^) = -D{f)/27 e le radici di r{Z) sono a := a + ^/a^ + b^ ; /? := a - \/a2 + b^ Se D ( / ) = ^ ( r ) = 0, allora risulta a = /? = a G M \ {0} e le radici di f{X) sono P In particolare esse sono tutte reali (e due sono coincidenti). Se D{f) < 0, allora D{r) > 0 e percio a e ^ sono numeri reali. In questo caso f{X) ha una radice reale e due radici non reali (complesse coniugate). Infatti tali radici sono:

a:=^^ + e ' ^ = - ^ [ ( ^ + ^ ) + i V 3 ( ^ - ^ ) ] , r:=^^^ +^ ^ = - ^ [ ( ^ + ^ ) - i x / 3 ( ^ - ^ ) ] . Se D{f) > 0, allora f{X) ha tre radici reali distinte. Infatti, in questo caso D{r) < 0 e percio a e /3 non sono numeri reali; dunque non sono reali neanche le loro radici cubiche. Se ag = a e /JQ = /?, senza perdere generalita, possiamo supporre che p := ao + /?o sia una radice reale di f{X). Poiche ao e /3o hanno somma e prodotto reali (ao/?o = ""f)? allora essi sono numeri complessi coniugati, come radici dell'equazione di secondo grado a coefficienti reali Y'^ — pY — f = 0. Poiche anche ^ e ^^ sono numeri complessi coniugati, lo sono pure i numeri complessi ^ao, C^/?o e rispettivamente ^^ao, ^/3o- Ne segue che le radici di f{X) p:=ao

+ Po;

cr := <^ao+<^^/?o ;

'T := ^^QQ+^/?o

sono tutte reali. In quest'ultimo caso tuttavia, come mostreremo tra poco, le formule di Tartaglia-Cardano forniscono un'espressione delle radici di f{X) in cui compaiono necessariamente numeri complessi non reali. Per questo motivo, il caso in cui D{f) > 0 venne denominato casus irriducibilis.

9.3 Equazioni di terzo grado

315

Esempi 9.3.4 (1) Usando le formule di Tartaglia-Cardano, Bombelli risolve nel su libro Algebra (1572) I'equazione X^ = 15X -f- 4 trovando la soluzione ^ 2 + V^T21+ ^ 2 - x/^=12T. Egli tuttavia osserva che I'equazione data non e "impossibile", avendo come soluzione il numero 4. Notiamo che quest a equazione ha tre radici reali, precisamente 4, — 2 + ma viene presa in considerazione soltanto la radice razionale: infatti i radicali venivano all'atto pratico approssimati con frazioni e nello stesso libro di Bombelli viene illustrato un metodo per approssimare i radicali quadratici con frazioni continue. Tentando di dare significato all'espressione radicale trovata, Bombelli, usando ingegnosamente i metodi algebrici conosciuti a quel tempo, trova che '2 + \ / - 1 2 1 =: 2 + V ^ ;

V 2 - \ / - 1 2 1 = 2-

^/^

da cui finalmente ricava 2 + 7^=121 + V 2 - yf^Ul

- (2 + V^)

- (2 + y=T) = 4

[42, pag. 60]. La quantita ^ / ^ permetteva dunque di arrivare alia corretta soluzione delPequazione, ma non era necessario attribuirle un significato proprio, perche essa non compariva piu nel risultato finale. Fu necessario aspettare piu di un secolo perche i numeri complessi fossero pienamente accettati dalla comunita matematica. (2) Sia f{X) := (X - 1){X - 2){X + 3) = X^ - 7X + 6. Le formule di Tartaglia-Cardano forniscono la soluzione

che deve evidentemente essere uguale a 1, 2, oppure -3. Teorema 9.3.5 (Casus Irriducibilis) Sia f{X) := X^ -\-pX -{- q e un polinomio irriducibile su F := Q{p^q) tale che D{f) > 0 e sia L un ampliamento radicale di F contenente il campo di spezzamento di f{X). Allora L e un campo numerico che non e reale. Dimostrazione. Siano p, cr, r le radici (tutte reali) di f{X) e sia L un ampliamento radicale di F contenente K := F{p^a,T). Per quanto visto nel Paragrafo 9.1 possiamo supporre che ci sia una catena di campi distinti

316

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali :=Fo(7i)

F:=FoCFi

^'"

C F, := F,_i(7,) C...C

Fm-

Fm-i{lm)

= A

dove ai := 7f' £ Fi-i per un opportune numero primo p^ > 1, i = l , . . . , m . Per la Proposizione 4.4.14, se il polinomio X^^ — a^ e riducibile su F^-i, esso ha una radice a^ ^ ji in Fi-i. Poiche a^ = 7i^f^% dove ^ e una radice primitiva Pi-esima deH'unita, ne segue che Fi := F^_i(7^) contiene ^'^\ Dal momento poi che ^[^' non e reale se p^ > 3 e ^J^' 7^ 1, possiamo ridurci al caso in cui XP^ —ai sia irriducibile su F^-i per ogni i = 1 , . . . , m e dunque [Fi : Fi-i] = Pi^ Poiche poi S £ K C L e [F{S) : F] < 2, possiamo anche supporre che S G Fi. Dal momento che f{X) e irriducibile su F ma riducibile su L, esiste un indice j > 1 tale che f{X) e irriducibile su Fj-i ma riducibile su Fj. Poiche inoltre f{X) e di terzo grado, cio significa che f{X) ha una radice p in Fj \ Fj-i. Allora si ha che Fj-i C Fj-i{p) C Fj ed inoltre [Fj-i{p) : Fj_i] = 3 divide [Fj : F j - i ] . Poiche d'altra parte [Fj : Fj-i] = Pj e per ipotesi un numero primo, ne segue che pj = 3 e Fj — Fj-i{p). Ricordando che abbiamo supposto S e Fi C Fj, possiamo concludere che Fj = Fj-i{p) = Fj-i{S,p) e il campo di spezzamento di f{X) su Fj-i e dunque e normale su F j - i Di conseguenza Fj e anche il campo di spezzamento su F j - i del polinomio X^ — aj e come tale contiene le radici primitive terze deH'unita, che non sono reali. Esempi 9.3.6 Un teorema analogo al precedente vale anche per i polinomi di ogni grado primo p>3. Infatti se f{X) G Q[X] e un polinomio irriducibile che ha tutte radici reali ed una sua radice appartiene ad un ampliamento radicale reale di Q, allora f{X) ha grado uguale ad una potenza di 2 (I. Isaacs, Solutions of polynomials by real radicals, 1985). 9.3.3 Formule trigonometriche Nel casus irriducibilis le radici del polinomio f{X) :— X^ -\-pX -\- q ^ M[X] possono essere espresse in forma reale usando formule risolutive di tipo trigonometrico. Le Formule di F. Viete (1540-1603) pubblicate postume nel 1615, sono basate sulle formule trigonometriche per la triplicazione dell'angolo: cos (3A) = 4 cos^ (A) - 3 cos (A) (Esercizio 9.21). Se r e un arbitrario numero reale positivo, moltiplicando per 2r^ e ponendo A := 2rcos(A) ;

B := 2rcos(3A),

tali formule diventano: A^ - 3r^A - r^B = 0,

9.4 Equazioni di quarto grado

317

da cui A e radice deU'equazione di terzo grado X^ — 3r^X — r^B = 0, dove

1^1 <2r.

Notiamo ora che, se il polinomio f{X) := X^ -i-pX + q (con g 7^ 0, per evitare casi banali) ha discriminante positivo, allora p deve essere negativo. Infatti, se D{f) = -4p^ - 27(?^ > 0, allora deve essere -p^ > '^q^ > 0. Esiste pertanto un numero positivo r tale che p = — 3r^. A questo punto, se 1^1 < 2r^, possiamo anche porre q = —r^B — —2r^cos(3A). In questo modo, come visto sopra, una radice di f{X) h A:= 2r cos (A). Le relazioni

ci permettono di determinare I'angolo 3A e dunque le radici di f{X), che sono:

;

P-=A-^\l-^cos{X) -Ap

/

27r

Esempi 9.3.7 Se f{X) := X^ - dX + 1, otteniamo cos(3A) = - i da cui 3A = ^ + 2kTT oppure 3A = ^ + 2fc7r. Le radici di f{X) sono percio:


r:=2 cosily

e + e,

dove ^ e una radice primitiva nona deH'unita (Paragrafo 7.3.3 (4)).

9.4 Equazioni di quarto grado Anche in questo paragrafo assumeremo tacitamente che il campio F abbia caratteristica uguale a zero e ci limiteremo a considerare polinomi di quarto grado in forma ridotta

f{X) :=X^^aX'^ + bX + c.

318

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

9.4.1 Le formule di Ferrari Fu Ludovico Ferrari, un discepolo di Cardano, a dimostrare per primo che I'equazione generale di quarto grado puo essere risolta per mezzo di radici quadrate e cubiche; le sue formule risolutive furono pubblicate per la prima volt a da Cardano nelVArs Magna^ 1545. L'idea di Ferrari fu quella di usare la formula del quadrato del trinomio, che egli dimostrava geometricamente, {u + v + zf = {u-\- vf + 2uz + 2vz + z'^. Consideriamo I'equazione di quarto grado in forma ridotta a coefficienti nel campo F f{X) := X^^aX'^ + bX-^c = 0, che possiamo scrivere come

Introducendo una indeterminata ausiliaria t su F e usando I'uguaglianza

{X^ + 1+ tf = (X^ + ^ ) ' + 2tX2 + ai + t\ otteniamo (^X^ + ^ + f ) ' ^ 2tX2 _ ^X + [ ^ + at + t ^ - c V Dando un opportuno valore a t, si puo ora fare in modo che il secondo membro di questa uguaglianza sia anche esso un quadrato. Per determinare tale valore, basta imporre che sia nullo il discriminante del polinomio a2

gt[X) := 2tX^ - 6X + ( — + 2at + r - c ovvero che sia -.2

h^ - 4(2t) ( — + 2at + 1 ^ - c I = - (8t^ - %af + {2a^ - Sc)t - b^) = 0. L'equazione cubica ausiliaria s{Y) := Sy^ -f 8ay2 -f- (2a^ - 8c)y - 6 ^ - 0 puo essere risolta ponendola in forma ridotta ed usando le formule di TartagliaCardano. Se to e una sua soluzione, il polinomio gtoiX) ha Tunica radice doppia | | - e percio

9.4 Equazioni di quarto grado

319

L'equazione f{X) = 0 allora diventa equivalente all'equazione

(x^ + | + ,„)^=2.o(x-A)', ovvero alle due equazioni quadratiche

Risolvendole, otteniamo in questo modo le quattro radici di

f{X).

Esempi 9.4.1 Per illustrare il metodo di Ferrari, Cardano risolve nelVArs Magna l'equazione X^ + 6X2 + 36 = 60X [42, pag. 57]. Aggiungendo 6X'^ a entrambi i membri, egli ottiene prima (X^ -h 6)2 = 6X2 ^ gQ^^ Poi, usando I'identita (X2 + 6 + tf = (X2 -f 6)2 + 2tX2 + 12t H- ^2, ottiene (X2+6+t)2 =. (6X2+60X) + (2tX2 +12^+^2) ^ (2t+6)X2+60X+(12t+t2). A questo punto, per ridurre il secondo membro ad un quadrato, egli impone (2t + 6)(12t + t2) = 302, equivalentemente

t^ -h 15^2 _^ 35^ ^ 450.

Quest'ultima equazione si puo risolvere usando le formule di TartagliaCardano. 9.4.2 Le formule di Descartes Illustriamo ora un altro modo per risolvere l'equazione di quarto grado, dovuto a R. Descartes. Consideriamo l'equazione di quarto grado in forma ridotta / ( X ) := X^ + aX2 + 6X + c = 0

320

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

ed imponiamo che essa sia il prodotto di due equazioni di secondo grado. Poiche il coefficiente di X^ e nullo, otteniamo f{X) = (X^ + fcX + 1){X'^ -kX

+ m),

dove k, I, m sono indeterminate. Uguagliando i coefficienti, si ha a — l-^m — k^]

b = k{m — l);

c — Im.

Dalle prime due equazioni, ricaviamo 2m = A;^ + a + - ; k

2/ = fc^ + a - k

e, sostituendo nella terza, k^ -f 2ak^ + (a^ - 4c)k'^ - b^ = 0. Da cui, ponendo Z — k^ r{Z) := Z^ + 2aZ'^ + (a^ - Ac)Z - 6^ = 0. II polinomio r{Z) si dice la risolvente cubica di f{X). Osserviamo che, per Z = 2y, r{Z) = r{2Y) = s{Y) e I'equazione ausiliaria di Ferrari. Le soluzioni di r{Z) forniscono i possibili valori di k^. Una volta noti questi valori e possibile determinare anche / e m. Le radici di f{X) a questo punto si ottengono risolvendo le due equazioni di secondo grado X^ + A;X + / = 0 ;

X^ - A:X + m = 0.

Notiamo che i tre valori possibili di k^ sono determinati dai possibili modi di scomporre il polinomio di quarto grado f{X) nel prodotto di due polinomi di secondo grado. Infatti, siano a i , a2, 0:3, 0^4 le radici di / ( X ) , allora due di esse saranno radici del polinomio X^ + kX + ^ e le altre due saranno radici del polinomio X^ —fcX+ m. Supponiamo ad esempio che sia X^ + fcX + / = (X - a i ) ( X - a s ) ;

X^-kX

+ m = {X-

In questo caso, si ha - ( a i + 0^2) = k;

- ( a s + a4) =

-k,

da cui - ( a i + a2)(a3 + a4) = k'^. Dunque una radice della risolvente cubica r{Z) e u := - ( a i + a2)(a3 + a4) = (ai + a2)^.

as){X - a^).

9.4 Equazioni di quarto grado

321

Osserviamo che lo stesso valore si ottiene supponendo che X^ + kX + l = {X-

a3){X - c^4);

X^-kX

+ m^{X-

ai){X - 0^2)-

In modo analogo si vede che le altre due radici di r{Z) sono V := - ( a i + a3){a2 + ce4) = (c^i + 0^3)^, w := - ( a i + a4){a2 + 0^3) = {0^1 + 0^4)^Dunque r(Z)=:(Z-^)(Z-^)(Z-it;). Dalle relazioni ' U = ( a i + a2)^;

t' = (ai + a3)^;

it; = (ai + a4)^ ;

a i H-Q:2 + a3 + a4 = 0,

indicando con ^/u^ y ^ , y ^ elementi di F i cui quadrati siano rispettivamente ti, f, w, troviamo (cei + a2) = \Ai

= -{as + 0^4),

(ai + as) = V^

= - ( ^ 2 + 0^4),

(ai -{-a4) = Vw

= - ( ^ 2 H- as),

e finalmente a i = - (x/u + V^ - (a2 + as)) = - (y/u + V^ + V^) , <^2 = - ( ^ ^ - \Ai; - (ai + as)) = - {^/u - y/v - y/w) , as = - {Vv - V^ - (ai + a4)) = - {-y/u -\-y/v - y/w) , a4 = - ( v ^ - v ^ - (ai + as)) = - {-y/u - V^ + y/w) . Esempi 9.4.2 (1) Sia f{X) := X^ - 2X^ + 8X - 3. La risolvente cubica di

/We

r{Z) := Z^ - 4Z2 + 16Z - 64 = (Z - 4)(Z^ + 16);

da cui si ottiene ad esempio Z = fc^ = 4 e fc = ±2. Ne segue che / + m = 2;

±2{m-l)

= S;

percio fc = 2, / = —1, m = 3

oppure fc = —2 , / = 3 , m = —1.

Infine / ( X ) = (X^ + 2X - 1)(X2 - 2X + 3).

322

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

(2) Le radici quinte delPunita sono state determinate neU'Esempio 9.2.11 (3) con il metodo di De Moivre. Risolviamo ora il quinto polinomio ciclotomico ^5(X) := X^ + X^ + X^ + X + 1 con il metodo di Descartes. Con la trasformazione di Viete X = T—j (Esempio 2.3.27 (1)), otteniamo la forma ridotta di ^^{X): f(T)-T^ •'^ '

+ -T' + ^T + —. 8 8 256

Allora la risolvente cubica di f{T) e

ovvero, ponendo Y := 4Z, r{Y) := Y^ + SF^ - 4 5 ^ - 25 = (F - 5){Y^ + WY + 5). Le radici di r{Y) sono 5 e —5 ib 2\/5. Quindi le radici di r{Z) sono u := -;

-5 + 2V5 ^ ;

V :— V :=

w :—

-5-2\/5

e le radici di f{T) sono - (±\/u di V^ di v ^ ) • Finalmente, le radici di ^^{X) sono

- {±^/u ± ^/v ± y/w) - - . Ad esempio I , r-

r-

^\

-Wu + Vv + Vw)--

1

=

-1 + ^5

. \ / 5 - 2 V 5 + v'5 + 2 v ^

+1

- 1 + V^

.\/l0T275

,

= —4—+^

4

=^-

Ricordando die il gruppo di Galois di ^^{X) e U{Z^)^ che e ciclico (Esempio 7.1.4 (6)), le altre radici si possono anche calcolare come potenze di (^5. 9.4.3 II gruppo di Galois di un polinomio di quarto grado Per calcolare i possibili gruppi di Galois del polinomio f{X) := X^ + aX^^bX

+ ce

F[X],

9.4 Equazioni di quarto grado

323

determiniamo prima un suo campo di spezzamento. Osserviamo intanto che il campo di definizione della risolvente cubica r{Z) := Z^ + 2aZ^ + (a^ - 4c)Z - h" di f{X) e contenuto in F ed inoltre che f{X) e r{Z) hanno lo stesso discriminante. Siano infatti a i , a2, c^s, 0^4 le radici di f{X) e u^ v^ w le radici di r{X). Usando le relazioni a = (ai+a2)^ ;

v = {ai-]-a^)'^;

it; = ( a i + a 4 ) ^ ;

ai+0^2+<^3H-<^4 = 0

viste nel paragrafo precedente, si verifica facilmente che (u-v)

= - ( a i - a4)(a2 - 0^3),

{u-w)

=^ -{ai - a3)(a2 - 0^4),

[v -w)

= - ( a i - a2){a3 - a^)^

Se L := F{u, v^ w) e il campo di spezzamento di r{X) e K := F ( a i , 02, as, 0^4) e il campo di spezzamento di f{X), chiaramente L C K. Inoltre, per le formule di Descartes, abbiamo che K — L (xAt, A/^,

V^)

= L [\/u, y/v) .

Infatti il prodotto uvw delle radici di r(Z) uguaglia I'opposto del termine noto. Dunque uvw — b'^ e y/w = -7=-^ ^ L ( y ^ , y/v). D'altra parte, y/u = a i + a2, y/v = ai-\- as e K. Proposizione 9.4.3 Sia f{X) := X^-\-aX'^+bX+c e F[X] e sia r{Z) la sua risolvente cubica. Allora il campo di spezzamento di f{X) su F e F{6,p,a), dove (5^ = D{r) = D{f), p e una qualsiasi radice di r{Z) e a e una opportuna radice di f{X). Dimostrazione. Per la Proposizione 9.3.1, il campo di spezzamento di r{Z) su F e L := F{S,p)^ dove (5^ = D{r) = D{f) e p e una qualsiasi radice di r{Z). Inoltre, con le notazioni precedenti, K = L (\/S? y/v). Supponendo che L y^ K, allora [K : L] e uguale a 2 oppure a 4. Se f{X) e irriducibile su L, per ogni radice a di / ( X ) , risulta [L{a) : L] = A = [K : L] e necessariamente K = L{a). Altrimenti, f{X) ha in L[X] almeno un fattore irriducibile di secondo grado e quindi, come abbiamo visto precedentemente, in L[X] risulta f{X) = (X^ + fcX + 1){X'^ -kX^m), dove k^ e una radice di r{Z). A meno di riordinare le radici di / ( X ) , possiamo supporre che k'^ = u e quindi che ^/u = ±k e L. Ne segue che K — L{y/u, s/v) = L{y/v) ha grado 2 su L. Ma, tenendo conto che y/v = a i + as, vediamo che K C L ( a i , a s ) . Quindi K = L(ai) oppure K = ^/(as). Mantenendo le stesse notazioni, consideriamo ora la catena di ampliamenti F C F{d)

CLCK,

324

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

dove K eil campo di spezzamento di f{X), L eil campo di spezzamento della sua risolvente cubica r{Z) e 6'^ = D{r) = D{f). Identificando GdlpiK) = Gali?(/(X)) con un sottogruppo G di S4, il gruppo di Galois di f{X) su F{S) e A4 fl G (Proposizione 8.1.6). Per determinare il gruppo di Galois di f{X) su L, notiamo che, se K ^ L, K = L{y/u^ y/v) e un ampliamento quadratico o biquadratico di L; dunque in ogni caso, essendo GaU(/(X))CGal^(,)(/(X))CA4, risulta GalL(/(X)) = V4 fl G. La catena di sottogruppi data dalla corrispondenza di Galois e allora GD A 4 n G D V 4 n G 2 ( i ) . Notiamo che, poiche L e un ampliamento normale di F , allora GalL(/(X)) = V4 n G e un sottogruppo normale di G ed inoltre Gali?(L) = Gali?(r(Z)) e isomorfo al gruppo quoziente Gal,.(/(X))

G^hifiX))

G

Y^r\G'

Se r{Z) e irriducibile su F , questo gruppo puo essere isomorfo a Z3 (precisamente quando 5 ^ F) oppure a S3 (quando 5 ^ F) (Esempio 8.1.7 (1)). Se invece r{Z) e riducibile su F , allora L — F oppure [L : F] = 2; in quest'ultimo caso Gali?(L) e isomorfo a Z2. A questo punto non e difficile determinare quale puo essere il gruppo di Galois di un polinomio di quarto grado irriducibile su F. Teorema 9.4.4 Supponiamo che f{X) := X^ + aX^ -\-bX -\- c e F[X] sia irriducibile e denotiamo con G C S4 z/ suo gruppo di Galois su F. Se la risolvente cubica r{Z) e irriducibile su F, si hanno due casi: (a) Se GalF(r(Z)) = S3, allora G = S4; (b) Se GalF(r(Z)) = Z3, allora G - A4. ^e la risolvente cubica r{Z) e riducibile su F, si hanno tre casi: (c) Se GalF(r(Z)) = (e), allora G = V4; (d) Se GalF(r(Z)) = Z2 e IV4 n G| = 2, allora G = Z4; (e) Se GalF(r(Z)) = Z2 e |V4 n G| = 4, allora G = D4. Dimostrazione. Poiche f{X) e irriducibile su F , allora 4 divide I'ordine di G. (a) Se Gali?(r(Z)) = ^ ^ ^ = S3, necessariamente G = S4. Infatti nessun sottogruppo proprio di S4 ha un quoziente isomorfo a S3. (b) Se G3].F{T^{Z)) = v^iG ~ ^ 3 ' Po^^^^ 4 divide |G|, deve essere IV4 n G\ = 4. Ne segue che \G\ = 12 e percio G = A4. (c) Se GalF(r(Z)) = (1), allora F = L e G = V 4 n G . Poiche 4 divide |G|, risulta G = V4.

9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radicali

325

(d) Se GalF(r(^)) = ^ ^ = ^2 e IV4 n G| = 2, allora |Gi = 4 e (poiche G ^ V4) allora G = Z4. (e) Se GalF(r(Z)) = . ^ ^ = Z2 e |V4 H G| = 4, allora |G| = 8. Ma tutti i sottogruppi di ordine 8 di S4 sono isomorfi al gruppo diedrale D4 di grado 4. II risultato precedente e giustificato dal fatto che i soli sottogruppi propri transitivi di S4 sono A4, V4 e quelli isomorfi a D4 e Z4. Tutti questi casi si possono efTettivamente verificare, come mostrano gli esempi successivi. Esempi 9.4.5 (1) Se f{X) := X^ - 4X + 2, la risolvente cubica r{Z) = Z^ - SZ - W e irriducibile su Q e D{f) = D{r) = -4864 < 0. Dunque GalQ(r(Z)) = S3 e percio GalQ(/(X)) = S4. (2) Se f{X) := X^ + 8X + 12, la risolvente cubica r(Z) = Z^ - 48Z 64 e irriducibile su Q e D{f) = D(r) = 2^^3^ e un quadrato in Q. Percio GalQ(r(Z)) = Z3 e GalQ(/(X)) = A4. (3) Se f{X) := X^ + aX'^ + c G F[X] e un polinomio biquadratico irriducibile, la sua risolvente cubica e r{Z) = Z^ + 2aZ'^ + (a^ - 4c)Z = Z{Z^ + 2aZ + (a^ - 4c)) che e riducibile. Allora, in accordo con quanto visto nella Proposizione 8.1.12, G puo essere isomorfo a V4, Z4 oppure D4. Si ha G = V4 se e soltanto se G C A4 se e soltanto se D{f) — D{r) = 16(a^ — 4c)^c e un quadrato in F (Proposizione 8.1.6). Quindi G = V4, se e soltanto se ^/c G F. Poiche 16c e il discriminante del polinomio r{Z)/Z = Z^ + 2aZ + (a^ — 4c), vediamo che y/c G F se e soltanto se r{Z) si spezza linearmente su F. Se c non e un quadrato in F , allora il campo di spezzamento di r(Z) su F e L := F{S) — F{y/c) ed ha grado 2 su F. In questo caso, G = Z4 se e soltanto se il campo di spezzamento di f{X) ha grado 2 su L; altrimenti G = D4.

9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radicali Ricordiamo che un gruppo G agisce transitivamente su un insieme X, o che G e un gruppo transitivo su X, se gli elementi di X costituiscono un'unica orbita (Paragrafo 12.1). Abbiamo dimostrato nel Paragrafo 8.1 che il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile puo essere identificato con un gruppo di permutazioni transitivo. Vedremo in questo paragrafo come, in caratteristica zero, la risolubilita per radicali di un polinomio irriducibile di grado primo p puo essere stabilita attraverso lo studio dei sottogruppi transitivi di S^. Ogni gruppo G agisce per coniugio sull'insieme dei suoi sottogruppi. Se H e un sottogruppo di G, lo stabilizzatore di H rispetto a quest a azione si chiama il normalizzante di H in G. Esso e il sottogruppo N{H) := {g G G; gHg-'

= H]

326

9 Risolubilita per radicali delle equazioni polinomiali

ed e il piu grande sottogruppo di G in cui H e normale. E facile verificare che due elementi di G determinano lo stesso coniugato di if se e soltanto se essi appartengono alio stesso laterale sinistro di N{H) (Paragrafo 12.1.1). Vogliamo or a determinare il normalizzante in Sp di un sottogruppo di ordine p. Poiche p" non divide |Sp| = p\ per n > 2, ogni tale sottogruppo e un sottogruppo di Sylow, o un p-Sylow^ di G ed e ciclico generato da un p-ciclo.(Esempio 12.2.10 (3)). Proposizione 9.5.1 Sia p > 2 un numero primo e sia k un generatore del gruppo ciclico tl(ljp) delle unita di Zip, 2 < k < p — 1. Poniamo 7 := (aia2 .. .ap) e sia rj G Sp il {p — l)-ciclo definito da r]{ai) — aj con j = ik mod p, per ogni 1 < i, j < p. Allora il normalizzante di F := (7) in Sp e il sottogruppo N{r) = {j,ri)={Yri'; In particolare, N{r)

l<s
l
ha ordine p{p — 1).

Dimostrazione. Una permutazione 6 e Sp appartiene a N := N{r) se e soltanto se 6j9~^ appartiene a i^, cioe 6^6~^ = {0{ai).. .9{ap)) = 7-^ per un opportuno j , 1 < j < p. Ma, poiche il p-ciclo 7-^ := ( c i . . . Cp) = (c2 . . . CpCi) — '' • — {cpCp-i.. .ci) si puo scrivere in p modi diversi, ci sono esattamente p permutazioni 6 tali che 9j6~^ = j ^ . Quindi N ha ordine p{p — 1). Si vede facilmente che ri^r]~^ — 7^'; quindi M := (7, ry) Q N. Inoltre, poiche r := (7) e normale in M e (7} D (r/) = {id}, risulta che M = {j){r]) e il prodotto semidiretto dei due sottogruppi (7) e {rj) (Esercizio 12.1). In particolare M ha, p{p — 1) elementi e quindi M — N. Secondo la terminologia classica, il normalizzante in Sp del p-Sylow generato dal ciclo 7 := (12 .. .p) si chiama il gruppo metaciclico di grado p e verra nel seguito denotato con Mp (Esempio 9.1.6 (3)). Come visto nella precedente Proposizione 9.5.1, se k e un generatore del gruppo U{Zp), Mp e generato dai cicli 7 ed 77 := {Ikk^ . . . k^~^), dove gli indici sono considerati modulo p. Precisamente risulta Mp = {7^7/*; l<s
l
Notiamo che Y{i) = i + s

mod p;

77* (i) = ik^

mod p,

per ogni indice z = 1 , . . . ,p. Quindi ^^rf{i) = ^\ik^)

=ik'^-\-s

mod p

per ogni i — 1,.. . , p . In conclusione, possiamo rappresentare ogni elemento a G Mp con una congruenza lineare a{i) = ai-\-b

modp;

a = l , . . . , p —1, 6 = 1 , . . . , p .

9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radical!

327

Esempi 9.5.2 Per p = 5, un generatore del gruppo U{Zs) delle unit a di Z5 e 2. Quindi M5 e generato da 7 := (12345) ed 77 := (1243), ma anche da 7 e e := (2354). Infatti 9^6-^ = 7^. Poiche tutti i p-Sylow di Sp sono coniugati, anche tutti i loro normalizzanti sono coniugati. Precisamente, se P e un p-Sylow 6^1:= aFa'^, con a G S^, si ha N{A) = aN{r)a~^ (Paragrafo 12.1.1). Quindi un sottogruppo di Sp e il normalizzante di un p-Sylow se e soltanto se e coniugato al gruppo metaciclico Mp. Proposizione 9.5.3 Sia Mp il gruppo metaciclico di grado p. Allora: (a) Ogni elemento di Mp diverso dalVidentita fissa al piu un indice i G {i,...,p}. (b) Ogni sottogruppo transitivo di Sp i cui dementi diversi dalVidentita fissano al piu un indice e coniugato ad un sottogruppo di Mp. Dimostrazione. (a) Per quanto visto in precedenza, possiamo rappresentare ogni permutazione a del gruppo metaciclico Mp con una congruenza lineare a{i) = ai + b modp;

a = l , . . . , p — 1 , b = 1,.. .,p.

Se a{i) = i e a{j) = j con 1 < i < j < p, allora a{i) — i^ai

-\-b mod p;

cr(j) = j = aj -\-b mod p.

da cui a{j — i) = j — i mod p e, poiche I < j — i < p, allora a = 1 e b = 0 mod p. Ne segue che a e I'identita. (b) Sia G un sottogruppo transitivo di Sp. Poiche gli ordini delle orbite dividono I'ordine del gruppo (Proposizione 12.1.4), p divide I'ordine di G e quindi G contiene un p-ciclo 7 (Corollario 12.2.7). Facciamo vedere che se gli elementi di G diversi dall'identita fissano al piu un indice, il sottogruppo r := (7) e normale in G. Ne seguira che G e contenuto nel normalizzante di r e quindi e coniugato ad un sottogruppo del gruppo metaciclico Mp. Se \G\ = pm, lo stabilizzatore in G di ogni i G {1, 2 , . . .,p} ha ordine m (Proposizione 12.1.4). Poiche per ipotesi due diversi stabilizzatori si intersecano soltanto nell'identita, in G ci sono p{m — 1) -h 1 = pm — (p — l) elementi che fissano qualche i. Ne segue che G ha p— 1 elementi che non fissano alcun i e questi sono necessariamente i p-cicli di F. Poiche per ogni ^ in G I'elemento 0j9~^ e un p-ciclo di G, tale elemento non fissa alcun i. Quindi 0j9~^ ^ F e F e normale in G. Lemma 9.6.4 Se p > 2 e un numero primo, ogni sottogruppo normale di un gruppo transitivo su p elementi e transitivo. Dimostrazione. Sia G transitivo su un insieme X con p elementi e sia H un sottogruppo normale di G. Fissato a e X, sia H{a) := {ai := a, a 2 , . . . , an} I'orbita di a sotto I'azione di H. Poiche G e transitivo, per ogni 6 G X, esiste

328

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

g E G tale che g{a) = b. Ma poiche gHg^^ ~ H, I'orbita di b sotto I'azione di He H{b) = {ghg-\b)

•,h€H}

= {g{h{a)) •,heH}

= {g{ai), 5(02),..., ff(a„)}.

Quindi tutte le orbite di X sotto I'azione di H hanno lo stesso numero di elementi e, poiche le orbite formano una partizione di X, tale numero n divide p. Allora n = p e dunque gli elementi di X costituiscono un'unica orbita. Ne segue che H e transitivo. Teorema 9.5.5 In caratteristica zero, sia f{X) E F[X] un polinomio irriducibile di grado primo p e sia G C Sp il suo gruppo di Galois. Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) f{X) e risolubile per radicali; (ii) G e contenuto nel normalizzante di un p-Sylow di S^; (iii) G e coniugato ad un sottogruppo transitivo del gruppo metaciclico Mp di grado p. Dimostrazione. (i) ^ (ii) Supponiamo che f{X) sia risolubile per radicali, ovvero che G sia un gruppo risolubile (Teorema 9.2.5). Allora possiamo trovare una catena di sottogruppi di G: G:=Ho^HiD...D

Hm-i ^ Hm = (e),

dove Hi e normale in Hi-i e il gruppo quoziente Hi-i/Hi e ciclico di ordine primo, per i = 1 , . . . , TTT-. Percio F := Hm-i e ciclico di ordine primo. D'altra parte, poiche G e transitivo su p-elementi, applicando il Lemma 9.5.4 otteniamo per induzione su i che anche tutti i suoi sottogruppi Hi sono transitivi su p-elementi. Ne segue che F ha ordine p e quindi e un p-Sylow. Mostriamo or a che F e normale in G. Sia N il normalizzante di F in Sp. Poiche F e normale in Hm-2^ allora Hm-2 e contenuto in N e, poiche N hsi p{p — 1) elementi (Proposizione 9.5.1), per i teoremi di Sylow F e I'unico sottogruppo di ordine p di N (Paragrafo 12.2). Dunque F e anche I'unico sottogruppo di ordine p di Hm-2- Sia x G Hm-s- Allora, essendo Hm-2 normale in Hm-3i risulta xFx~^ C xHm-2X~^ = Hm-2 e dunque xFx~^ = F. Percio F e normale anche in Hm-s- Cos! proseguendo, otteniamo che F e normale in G. Ne segue che G e contenuto nel normalizzante di F. (ii) => (i) Supponiamo che G sia contenuto nel normalizzante N di un p-Sylow F. Poiche N/F e ciclico (Proposizione 9.5.1) allora N e nn gruppo risolubile e quindi anche tutti i suoi sottogruppi lo sono (Proposizione 9.2.4). In particolare G e risolubile e dunque f{X) e risolubile per radicali. (ii) <^ (iii) perche i normalizzanti dei p-Sylow di Sp sono isomorfi per coniugio al gruppo metaciclico di grado p. Come conseguenza del teorema precedente otteniamo il seguente criterio di risolubilita, dimostrato da Galois nelle sue memorie. Come riconosciuto dallo stesso Galois, questo criterio e pero di difficile applicazione pratica [9].

9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radical!

329

Teorema 9.5.6 (E. Galois, 1830) In caratteristica zero, un polinomio irriducibile di grado primo p e risolubile per radicali se e soltanto se il suo campo di spezzamento e generato da due radici qualsiasi. Dimostrazione. Sia f{X) G F[X] un polinomio irriducibile di grado primo p con radici a i , . . . , a^ G F e sia G C Sp il gruppo di Galois di f{X). Poniamo L := F ( a i , a j ) , 1 < i < j < p. Allora, per la corrispondenza di Galois, L e il campo di spezzamento di f{X) se e soltanto se GalL(i^) = {id}^ ovvero se e soltanto se ogni elemento di G che fissa due radici di f{X) e I'identita. Poiche G e transit!vo su p element!, cio equivale a dire che G e contenuto isomorficamente nel gruppo metaciclico di grado p (Proposizione 9.5.3 (b)), ovvero che f{X) e risolubile per radicali (Teorema 9.5.5). CoroUario 9.5.7 (L. Kronecker, 1856) Sia f{X) G Q[X] un polinomio irriducibile di grado primo p. Se f{X) e risolubile per radicali, allora f{X) ha una sola radice reale oppure tutte le sue radici sono reali. Esempi 9.5.8 (1) Un polinomio a coefficient! razionali irriducibile con gruppo di Galois ciclico di ordine primo p ha tutte radici reali. Infatti certamente f{X) ha una radice reale a. Inoltre, se iC e il campo di spezzamento di / ( X ) , si ha [K : Q] = |G| = p = [Q(a) : Q]. Quindi K = Q(a) C M. (2) Per il Corollario 9.5.7, se p > 5 e f{X) G Q[X] ha esattamente due radici complesse non reali, allora f{X) non e risolubile per radicali. D'altra parte abbiamo visto che il gruppo di Galois di un tale polinomio e Sp (Proposizione 8.3.8) e che Sp non e un gruppo risolubile (Proposizione 9.2.7). 9.5.1 Equazioni di quinto grado Continuiamo a supporre che i camp! considerati abbiano caratteristica zero. Sia f{X) G F[X] un polinomio irriducibile di quinto grado e sia G C S5 il suo gruppo di Galois. Poiche G e transitivo, esso e isomorfo a uno dei gruppi Z5 (gruppo ciclico di ordine 5), D5 (gruppo diedrale di grado 5), M := M5 (gruppo metaciclico di grado 5), A5 (gruppo alterno di grado 5), S5. Per il Teorema 9.5.5, il polinomio f{X) e risolubile per radicali se e soltanto se, ordinando opportunamente le radici, G e un sottogruppo transitivo di M. Posto 7 := (12345) ed 77 := (2354), si ha M = (7,7/) (Esempio 9.5.2) ed i sottogruppi transitivi di M sono F — (7) (isomorfo a Z5), A := (7,7/^) = M n A5 (isomorfo a D5) ed M stesso. Ricordiamo poi che G C A5 se e soltanto se il discriminante di f{X) e un quadrato in F (Proposizione 8.1.6). In questo caso G puo essere uguale a T o Z\ (se e risolubile) oppure ad A5 (se non e risolubile). Un modo per stabilire se f{X) e risolubile per radicali e quello di costruire una sua risolvente sestica nel seguente modo. Se K := F(cei,...,a5) e un campo di spezzamento di / ( X ) , possiamo al solito far agire S5 su K permutando le radici, ovvero ponendo, per ogni

330

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

0 = ^ ( a i , . . . , 0^5) G K^ a{6) = ^ ( a ^ ( i ) , . . . , acr(5))- Supponiamo che il gruppo metaciclico M sia lo stabilizzatore di un certo elemento 9 ^ K. Poiche le class! lateral! slmstre d! M !n S5 sono M,

(123)M,

(132)M,

(12)M,

(13)M,

(23)M,

I'orblta d! ^ ha 6 element! (Propos!z!one 12.1.4), preclsamente ^1:=^,

^2 := (123)(e),

^3 := (132)(e),

e, := (12)(^),

05 := (13)W,

^6 := (23)(e).

Cons!der!amo !1 poHnomio

r{x) := {X - ei){x - e2){x - es){x - e^){x - e^){x - e^), Polche per costruzlone, per ogn! a G S5, r!sulta

r{X) =

{X-a{0i)){X~a{e2)){X-a{e:i)){X-a{ei)){X-c{e5)){X-a{e(,)),

! coefficient! d! r{X) sono polinom! simmetrici nelle radici di f[X). Quindi appartengono a F e possono essere calcolati in funzione de! coefficient! (Proposizione 2.7.14). II polinomio di sesto grado r{X) si chiama una risolvente sestica di f{X). T e o r e m a 9.5.9 In caratteristica zero, sia f{X) G F[X] un polinomio irriducihile di quinto grado e sia r{X) una sua risolvente sestica. Allora f{X) e risolubile per radicali se e soltanto se r{X) ha una radice in F. Dimostrazione. Sia G C S5 il gruppo di Galois di f{X). Per il Teorema 9.5.5, f{X) e risolubile per radicali se e soltanto se, a meno di riordinare le radici, G C M. Con le notazioni precedent!, il campo fisso di M r\G e F{0). Quindi G C M se e soltanto se M fi G = G se e soltanto se, per la corrispondenza di Galois, F{e) = F , ovvero OeF. Con metodi classic!, tramite trasformazion! di Tschirnhaus che implicano la risoluzione di equazioni al piu d! terzo grado (Esempio 2.3.27 (1)), un polinomio di quinto grado puo essere sempre ridotto nella cosi detta forma di Bring-J errand f{X) = X^ + aX + 6. In questo caso, il discriminante di f{X) e

D{f) = 4 V + 5^b\ (Esempio 2.7.28 (3)). Inoltre, notando che M e lo stabilizzatore dell'elemento diK Q

Q

o

o

o

6 := aia2a5 + aiasa4 + Q;2cei<^3 + a2a4a5 + a^aia^ + ala2a4 + cilaia2 -\- a^a^a^ + a^axa^ + ^5^20^35

9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radical!

331

si ottiene che una risolvente sestica di f{X) e r{X) = X^ H- 8aX^ + 40a^X^ + IdOa^X^ + AOOa'^X^ H- (512a^ - 31256^)X + (256a^ - 9375a6^) (D. S. Dummit, Solving solvable quintics^ 1991). Le radici di un'equazione di quinto grado nella forma di Bring-Jerrand che sia risolubile per radicali si possono calcolare in vari modi. Ad esempio, come in [23], con una variazione del metodo di Tartaglia-Cardano per le equazioni di terzo grado che abbiamo illustrato nel Paragrafo 9.3. Altri metodi per risolvere le equazioni di quinto grado sono descritti in [16]. Esempi 9.5.10 (1) Un polinomio di quinto grado irriducibile su Q con gruppo di Galois isomorfo a Z5 e il polinomio minimo su Q di a := ^n + ^^^^ = 2 cos (ff), ovvero X^ + X^ - 4X^ - 3X^ + 3X + 1 . Questo pohnomio ha tutte radici reaU (Paragrafo 7.3.3 (4) ed Esempio 9.2.11 (3)). (2) Mostriamo che f{X) = X^ — 5X + 12 e un polinomio di quinto grado irriducibile su Q con gruppo di Galois isomorfo a D5 [6, Example 2]. Poiche f{X — 2) soddisfa il criterio di Eisenstein per p = 5, f{X) e irriducibile. Una risolvente sestica di f{X) e r{X) = X ^ - 4 0 X ^ + 1000X^ + 20000X^+250000X^-66400000X+976000000 che ha radice ^ = 40. Quindi f{X) e risolubile per radicali. Poiche D{f) = -4^5^ + 5^12^ = 5^2^^ ^ ^^ quadrato in Q, il gruppo di Galois G di f{X) e contenuto nel gruppo alterno A5. Dunque G e isomorfo a uno dei gruppi Z5 oppure D5. Notiamo che, per la regola dei segni di Descartes, f{X) ha al piu due radici reali positive ed al piu una radice reale negativa (Proposizione 2.4.6. D'altra parte, esso non puo avere tre radici reali, perche altrimenti non sarebbe risolubile per radicali (Corollario 9.5.7). Dunque / ( X ) , avendo grado dispari ha una sola radice reale. Ne segue in particolare che G non puo essere isomorfo a Z5 (Esempio 9.5.8 (1)) e quindi G e isomorfo a D5. (3) Un polinomio di quinto grado irriducibile su Q con gruppo di Galois isomorfo a M e X^ — 2 (Esempio 9.1.6 (3)). Questo polinomio ha una sola radice reale. Un altro pohnomio e / ( X ) := X^ + 15X + 12 [6, Example 1]. In questo caso, r(X) = X^ + 120X^ + 9000X^ + 540000X^ + 20250000X2 + 324000000X ha radice 9 = 0; quindi / ( X ) e risolubile. Inoltre D{f) = 2^^3^5^ non e un quadrato in Q e quindi G ^ A5. Questo bast a a concludere che G = M. (4) Mostriamo che / ( X ) := X^ + 20X +16 e un polinomio di quinto grado irriducibile su Q con gruppo di Galois isomorfo ad A5.

332

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

Poiche f{X — l) soddisfa il criterio di Eisenstein per p = 5, f{X) e irriducibile su Q. II discriminante D{f) = -4^20^ + 5^6^ = 2^^5^ e un quadrato in Q; dunque il gruppo di Galois G di f{X) e contenuto nel gruppo alterno A5. Poiche f{X) e riducibile su F7 e la sua decomposizione in fattori irriducibili su F7 e f{X) = (X + 2)(X + 3){X^ + 2X2 + 5 x + 5), G contiene un 3-ciclo (Corollario 8.2.5) e ne segue che G = A5. Notiamo che, per la regola dei segni di Descartes, f{X) ha al piu una radice reale (negativa). Dunque esso ha esattamente una radice reale, ma non e risolubile per radicali. (5) Un polinomio di quinto grado irriducibile su Q con gruppo di Galois isomorfo a S5 e X^ + 5X^ — 5. Tale polinomio ha esattamente 3 radici reali (Esempio 8.3.9 (2)).

9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radicali I risultati dimostrati nei Paragrafi 9.1 e 9.2 ci permettono di dare un procedimento teorico per risolvere, in caratteristica zero, un'equazione f{X) — 0 risolubile per radicali quando sia noto il gruppo di Galois del polinomio f{X). Facciamo vedere che ci si puo ridurre al caso in cui: 1. II campo di definizione di f{X) contiene le radici deH'unita opportune; 2. f{X) e irriducibile con gruppo di Galois ciclico. Per fare questo, basta seguire la dimostrazione del Teorema 9.2.5. Sia f{X) e F[X] un polinomio risolubile per radicali con campo di spezzamento K e sia G := Gali?(K). Poiche G e risolubile, possiamo trovare una catena di sottogruppi di G: G:=HoDHiD..,D

Hm-i ^ Hm = (e),

dove, per i = l , . . . , m . Hi e normale in iJ^_i e il gruppo quoziente Hi^i/Hi e ciclico. Da quest a catena di sottogruppi otteniamo, per la corrispondenza di Galois, la catena di sottocampi di K: F:=FoCFiC...C

Fm-i CFm = K,

dove, per ogni i = 1 , . . . ,m, F^ e il campo fisso di Hi. Inoltre, Fi-i C Fi e un ampliamento di Galois, perche Hi — Galir(i^z) e normale in Hi-i = Gali?(i^2-i), ed inoltre Gali?._^(Fi) = Hi^i/Hi e ciclico. Sia d := \G\ = [K : F] e sia ^ una radice c?-sima primitiva deH'unita. Aggiungendo ^ ad F , otteniamo la catena di campi: F ( 0 := Fo C Fi - F i ( 0 C . . . C Lm-i : - Fm-i{0

^ ^m := Fm(0 = ^ ( 0 ,

9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radicali

333

in cui, per ogni i — 1,.. .,m, rampliamento Z/^_i C Li e ancora di Galois, e G3lLi__i{Li) e un sottogruppo di GdilFi_i{Fi) = Hi-i/Hi. Ne segue che GdlLi-.i{Li) e ancora ciclico. Sia ora a una radice di f{X). Poiche F(^) := LQ e normale su F , se a G I/O risulta K = LQ. Altrimenti, sia k il minimo intero positivo tale che a G Lk \ Lk-i' Allora per normalita, Lk contiene il campo di spezzamento del polinomio minimo di a su Lk-i- Tale polinomio e un fattore p{X) di f{X) irriducibile su L/e_i e il gruppo di Galois di p{X) su Lk-i^ essendo un quoziente del gruppo ciclico GalLfc_i(-I/c), e ancora ciclico. Ne segue che, per determinare a, si puo supporre che F contenga tutte le radici d-sime dell'unit a e che f{X) sia irriducibile su F con gruppo di Galois ciclico. In questo caso, risulta anche d := \G\ = d e g / ( X ) , come mostra il risultato seguente. Proposizione 9.6.1 Sia f{X) G F[X] un polinomio di grado n separabile e irriducibile su F. ^e Gali?(/(X)) e commutativo, allora GdlpifiX)) ha ordine n. Dimostrazione. Siano a := a i , . . . , a^ le radici di f{X) e sia K il suo campo di spezzamento. Allora per ogni i = 1 , . . . , n esiste un F-automorfismo (pi di K tale che (pi{a) = ai. D'altra parte, ogni F-automorfismo (/9 di K ha la proprieta che ^{OL) — aj per qualche j e dunque (pj'^(p{a) = a. Mostriamo che, se Gali?(/(X)) e commutativo e '0 G Gali?(/(X)) fissa a, allora esso fissa tutte le radici di f{X) e dunque e I'identita su K. Ne seguira che (fj^(f = id e percio Lp — ifj. Per questo, bast a osservare che, se '0(a) = a, per ogni i — 1 , . . . , n, risulta ^{ai) = (fiipip^r^ {ai) = (/?^'0(a) = (pi{a) = a^. Esempi 9.6.2 Sia, in caratteristica zero, f{X) G F[X] con campo di spezzamento K. Supponiamo che f{X) sia irriducibile di grado n su F(^), dove ^ e una radice primitiva n-sima deH'unita, e supponiamo che G := Gali?(^)(/(X)) sia abeliano e quindi risolubile. Poiche \G\ = [K{^) : F{^)] — n (Proposizione 9.6.1), seguendo il procedimento precedentemente illustrato, se n — p^^ . . . p'^^, dove i pi sono numeri primi distinti e rrii > 1, per risolvere I'equazione f{X) — 0, basta risolvere al piii rui equazioni di grado primo Pi con gruppo di Galois ciclico, per i = 1 , . . . , 5. 9.6.1 Equazioni cicliche Continuiamo a supporre che F sia un campo di caratteristica zero e sia f{X) G F[X] un polinomio irriducibile di grado n, con campo di spezzamento K e gruppo di Galois G ciclico. Se (/:? e un generatore di G, risulta G = {(f, (/?^,..., (p'^~^} e, data una radice a di f{X), le radici di f{X) sono:

334

9 Risolubilita per radicali delle equazioni polinomiali ai:=a,

a2 := (p{a),

...,

a3:=(f'^{a),

an'•= (Pn-i{(^)-

Inoltre, per z, j = 1 , . . . , n, si ha:

dove 1
JPC '= id^Cip+cV^ + • • • + r ~ V~^ e una applicazione F-lineare non nulla di K in se stesso. Calcolando V^^ nelle radici ai := a, a 2 5 . . . , o^n di / ( X ) , otteniamo: ^C{a) = id{a) + C^(a) + CV'(c^) + • • • + C""" V " ~ ' ( ^ ) = ai + Ca2 + C^as + • • • +

C'^an]

M^2) - ^2 + Cc^s + C'^4 + • • • + C'^an + C~'cxi = C" Vc(^); Mas) = as + C«4 + C'«5 + • • • + C'^ai

+ C~'a2 =

C'^M^)'^

Notiamo che, per i = 1 , . . . , n, risulta il^i{ai) == a i + ^2 + a3 H

h a^ = - t t n - i ^ i^-

Invece, se (" 7^ 1, gh elementi tp(^{ai) non appartengono a F e sono tutti non nulli. Infatti K e generato su F dalle radici a i := a , a 2 , . . . , a^ di / ( X ) e allora, poiche t/^^ e non nulla, almeno uno dei valori ipd^j) ~ C^~^~^'^^d^) e non nullo. Ne segue che '0^(a) e non nullo e percio i^d^i) ^ ^^^ nullo per ogni i = 1,.. . , n . Osserviamo ora che I'elemento 9{() := i{j(^{a)^ — ipd'^iY ^ ^ ^ fissato da (f. Infatti

Dunque 0{Q G F e gU elementi '^^(ai) G K, i = 1 , . . . , n, sono esattamente le sue radici n-sime. Una volta determinati questi elementi '^(^(ai), al variare di C tra le radici n-sime dell'unita 1, ^ , . . . , <^^~^, le radici a i := a, 0^2,..., an di f{X) si ottengono dalla formula radicale ai=

-^il^d^i)^ ^

C

9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radical!

335

per z = 1 , . . . , n. Infatti, per ogni fc > 1, si ha ^

( ^ = 1 + ^fc + ^2/c _^ . . . _^ ^(n-l)fc ^ Q

C (perche ^^ annulla il polinomio 1+X -\- X^ H 2 = 1 , . . . ,n, risulta:

C

h X^~^) e dunque, per ogni

C

c

c

c

9.6.2 Risolventi di Lagrange Con le notazioni sopra introdotte, illustriamo ora il metodo usato da Lagrange (1770), per determinare I'elemento 0{() di F, e quindi le sue radici n-sime ip(^{ai) G K. Poiche gli elementi ip(^{ai) permettono di ricavare la radice a^ di / ( X ) , essi si chiamano le risolventi di Lagrange di f{X) rispetto ad a^. Sia ^{X) := ai + a s X + ^ 3 ^ ^ ^ . . . ^ a , X ^ - \ cosi che ^(C) = V^cC^)' ^ scriviamo formalmente e{X) := V^(X)^ = / o ( a i , . . . , an) + / i ( a i , . . . , a n ) X + . . . ••. + / n . ( a i , . . . , a n ) X - . Facendo agire Sn su { a i , . . . , a ^ } , per ogni permutazione a E S^, consideriamo il polinomio (Pa{0{X)) := fo{a^{i),..

.,a^(n)) + /i(<^a(i), • • •, Q^a(n))^ + • • • (1)5 • • • 5 ^ c r ( n )

Se ^i(X) := 0{X)^... ^Os{X) sono i polinomi distinti di K[X] che abbiamo ottenuto al variare di cr G Sn, il polinomio: g{x, Y) := ( y - ^ i ( x ) ) ( y - 0 2 ( ^ ) ) . . . (1- - ^.(X)) e K[X, Y] rimane invariato permutando in un qualsiasi modo a i , . . . , an- Dunque i suoi coefficient! in K sono funzioni simmetriche delle radici a i , . . . , a n di f{X) e in quanto tali possono essere determinati esplicitamente in funzione dei coefficient! di f{X) (Proposizione 2.7.14); in particolare, g{X,Y) G F [ X , F ] . In questo modo otteniamo: g{X, Y) = bo{X) + br{X)Y + ••• +

b,{X)Y\

con bi{X) G F[X] per i — 1,.. .,n. Per X = C, il polinomio:

336

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali 9(C,Y) = 60(C) + biiOY + ••• + bsiOY^ e

F{0[Y],

di cui conosciamo i coefficienti, ha radice 9{() G F{^); dunque 9{() puo essere determinato ad esempio fattorizzando g{(, Y) in polinomi irriducibili su F{^). A questo punto conviene ricordare che, nel caso numerico, se F e il campo di definizione di / ( X ) , F{^) e un ampliamento finitamente generate di Q e ci sono molte procedure costruttive che permettono di determinare i fattori irriducibiU di un poHnomio a coefficienti in un tale ampliamento. Un metodo classico fa uso delle formule di interpolazione di Lagrange ed e una variazione del metodo di Kronecker illustrato nel Paragrafo 2.5.2. II metodo di Lagrange per le equazioni di terzo grado Sempre in caratteristica zero, sia f{X) :— X^ -{-pX -\-q E F[X] un polinomio irriducibile di terzo grado. Se ^ e tale che S'^ = D{f)^ f{X) e ancora irriducibile su F{8)^ perche ogni radice di f{X) ha grado 3 su F e F((5), avendo al piu grado 2 su F non puo contenere elementi di ordine 3. Percio il gruppo di Galois di f{X) su F{5) e A3, ovvero e ciclico di ordine 3 (Esempio 8.1.7 (1)). Determiniamo con il metodo di Lagrange le radici di f{X) considerate come un polinomio a coefficienti in F{5) [27, Paragrafo 8, A]. Queste radici saranno esprimibili come somme di radicali cubici di elementi di F(^, (5), dove ^ e una radice primitiva terza dell'unita. Poiche poi 5 ha al piu grado 2 su F , le radici di / ( X ) , come visto nel Paragrafo 9.3, saranno ottenibili con una espressione in cui compaiono radicali quadratic! e cubici. Se a, (3^ 7 sono le radici di / ( X ) , le risolventi di Lagrange di f[X) rispetto ad a sono: ^ i ( a ) = a + /? + 7 = 0;

i)^{a) = a + ^/? + ^^7 := pr, ^^2(a)

= Q;4-^2/? + ^ 7 : = P 2 .

Le risolventi rispetto a (3 sono: V^i(/3)=a + /3 + 7 = 0;

Infine, quelle rispetto a 7 sono: V'i(7) = a + /? + 7 = 0; V'«(7)=7 + Ca + ^^/3 = Cpi; ^^2(7) = 7 + ^2^ + ^/3 = ^ ^ 2 -

Se K e il campo di spezzamento di f{X), risulta K{^) := F(^,pi) = •f (^)P2) con p\, p\ e F{^). Inoltre, una volta note p\ e P2 Q si ottiene

9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radical! /3= 3(^^1+^/32);

a^^{pi+P2),

337

7 = 3(^Pi+e'p2)-

Per determinare pi e p2, calcoliamo intanto pf e /o^- Otteniamo PI

= 3Af + 35C + C,

PI = 3B^2

+ 3AC + C;

dove

B := a-y^ + a^P + f3'^r, Posto a := (123), r := (12), secondo I'azione di S3 su{a,/3,7}, risulta

^r{A) = B; MB)=A;

^r{C) = C.

Percio Questo e in accordo con il fatto che p^ G F{^) e gli elementi di F{^) sono fissati da a. Infatti f{X) e ancora irriducibile su F(^), essendo [F{^) : F] = 2, e allora Gali?(^)(/(X)) = GalF(/(-^)) e isomorfo al sottogruppo A3 di S3 generate da a. Inoltre risulta anche

MPD = ^MPD = ^MPD =

^Be+3Ae+c=PI

Consideriamo il polinomio

fl(e, Y) = {Y- PI){Y - PD = ¥'- {pi + PI)Y + {p,p2f. A conti fatti, vediamo che P1^PI

= -3{A

+ 5) + 2C;

{pip2f = - 3 ( A + B)C H- 9(A + 5)2 - 27A5 + C^. Poiche A-\- B, AB, C sono polinomi simmetrici nelle radici a, /?, 7 di / ( X ) , essi si possono determinare come polinomi su F nei coefficienti p e g di f{X). In particolare g{^,Y) G F{^)[Y]. Usando il calcolo svolto nell'Esempio 2.7.9 (1) e le Formule di Newton (Esempio 2.7.9 (2)), indicando con Si la i-sima funzione simmetrica elementare delle radici o:,/?, 7 di f{X), otteniamo A + B = a'^-f + a(3'^^ p-f^ + a^'^ + a^/? + (i'^^i = S1S2 - 3 5 3 ;

AB = a/?7(a^ + /?^ + 7') + ^cx'p^j^ + (a^/?^ + a^7^ + /S^^) = 9^3 + 5^53 - 651^253 + sl;

C = a^ + /3^ + 7^ + 6apj = 953+5f ~3SiS2-

338

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali Da queste uguaglianze, ricordando che: 5i = a + /? + 7 = 0;

52 = a/3 + ^ 7 + /?7 = p;

S3 = a/37 = ~^

otteniamo 3{A + B) = -C = 9^;

AB = 9g^ + / .

Infine P? + P2 = - 3 ( ^ + 5 ) + 2C = -27g; (piP2)3 = -3(A + B)C -f 9(A + Bf

- 27AB + C^ = -27p^

e dunque gi^, Y) = Y^~ (PI + PI)Y + {p,p2f = Y^ + 27qY - 27p^. Risolvendo, troviamo

da cui riotteniamo le formule di Tartaglia-Cardano per a, /3 e 7. Ad esempio:

a = J(.i + P.) = f | + V^ + g + (/-f-VT + f?9.6.3 Calcolo delle radici p-esime dell'unita Usando il metodo di Lagrange, formule radical! per le radici complesse pesime deH'unita, per p > 2 primo, possono essere determinate per induzione su p. Infatti il p-esimo polinomio ciclotomico ^p{X) := XP~^ + X^~^ -h • • • + X H- 1 ha gruppo di Galois ciclico di ordine p — 1, isomorfo al gruppo U{Zp) delle unita di Zp (Esempio 4.4.21). Quindi le radici p-esime deirunita possono essere determinate secondo il metodo di Lagrange se si conoscono le radici {p — l)-sime, ovvero le radici prime g-esime per ogni primo q < p. A titolo di esempio, determiniamo le radici quinte deH'unita [27, Paragrafo 10, D], gia calcolate in altro modo negli Esempi 9.2.11 (3) e 9.4.2 (2), Sia ^ := cos ( ^ ) + isin ( ^ ) . Poiche U{Z^) e generato da 2, il gruppo di Galois di Q(^) e generato dall'automorfismo (/? : C ^ C^- Quindi possiamo numerare le radici di ^^{X) come

a:=^,

^2:=m=e,

6:=<^'(0=^',

U--=vHO=e-

Poiche un generatore per il gruppo delle radici quarte e i, le risoventi di Lagrange rispetto a ^ sono:

9.7 Esercizi

339

V-i(C) = Ci - i6 - & + i^4 = ^ - iC' - t + if Notiamo che ^ - i ( 0 = i^ + e') - (C' + e) = 2cos ( 1 ^ ) - 2cos ( y ) > 0 e che, svolgendo i calcoli, ^ ^ - 1 ( 0 ' = 5;

^ i ( 0 ' = - ( i + 2i)V-i(^);

t^-i(0' = - ( i - 2 i ) V - i ( 0 -

Da cui ^--1(0 = ^ 5 ;

Vi(C)' = - ( l + 2i)%/5;

t A _ i ( 0 ' = - ( 1 - 2i)V5.

Poiche

basta allora calcolare ipi{£,) + ^_i(^). A questo scopo, notiamo che ^i(C)V-i(e)' = - 5 ( 1 + 2i)(l - 2i) = - 2 5 . da cui V'i(C)V'-i(0 = ~ 5 . Allora (V'i(0 + V'-i(^))' = - ( 1 + 2i)tA_i(0 - (1 - 2i)V;_i(^) - 10 - - 2 ^ 5 - 10. Finalmente '0i(^) + '0-i(O = i v 10 + 2\/5 e otteniamo

^ = J ( - l + \/5 + iVlO + 2V5j. Elevando a potenza, ricaviamo le altre radici quinte.

9.7 Esercizi 9.1 (Teorema 90 di Hilbert, 1897). Sia F C K un amphamento di Galois cicHco con gruppo di Galois G := (99). Mostrare che un elemento a G if ha norma uguale ad 1 se e soltanto se esiste f3 ^ K tale che a = f3/(f{P). Soluzione: Poiche la norma e moltiplicativa ed elementi coniugati hanno la stessa norma (Paragrafo 5.3.6), se a = /?/(/?(/?), risulta N{a) = N{P)/N{^{f3)) ^ 1.

340

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

Viceversa, supponiamo che G abbia ordine n e sia N{a) = 1. Poniamo Xi = a(p{a)(p'^{a)...(^*""^(a), per i = l , . . . , n — 1. Per il lemma di Dedekind (Proposizione 3.1.5), I'applicazione lineare ip :=id^ Xiip + A2(^^ H e non nulla; quindi esiste 7 G K tale che

h Xn-i^"^'^

f3 := ^(7) = 7 + Ai^(7) + A2(^'(7) + • • • + An-i(/^"-H7) ^ 0. Consideriamo ^(/3) = ^(7) + ^(Ai)(/^'(7) + • • • + ^(An-2)^"-H7) + ^(An-i)7. Poiche a(^(Ai) = A^+i per i = l , . . . , n — 2 e a(^(A,_i) = a ^ ( a ) . . . ^^-^c^) = N{a) = 1, si ha aip{(3) = Ai(/:?(7) + A2(/?2(7) + • • • + Xn-i^''~\7) ed infine a = l3/(p{l3).

+7 = A

9.2. Determinare esplicitamente tutti gli automorfismi del campo di spezzamento in C di uno dei seguenti polinomi: X^ - 1; X^ + 3 ; X^ - 2. 9.3. Sia M C S5 il gruppo metaciclico di grado 5, cioe il sottogruppo generate dai cicli 7 := (12345) ed rj := (2354). Determinare tutti gli element! di M ed il reticolo dei suoi sottogruppi. 9.4. Verificare che il gruppo di Galois su Q del polinomio X^ — 2 e isomorfo al gruppo metaciclico di grado 5. 9.5. Sia N la chiusura normale in C di Q ( \ ^ ) . Mostrare che GalQ(A^) ha un sottogruppo normale ciclico di ordine 5 e determinare il suo campo fisso. 9.6. Determinare esplicitamente il gruppo di Galois su Q del polinomio f{X) := X^ — 3 G Q[X] ed un sottogruppo di S7 ad esso isomorfo. 9.7. Sia n > 2 e f{X) := X"" - 2. Mostrare che, se MCD(n, (p{n)) = 1, allora il gruppo di Galois di f{X) su Q ha ordine n(p{n). 9.8. Calcolare il gruppo di Galois su Q del polinomio X^^ — 2, dove p, q sono numeri primi dispari distinti. 9.9. Siano p un numero primo, F un campo numerico contenente tutte le radici p-esime dell'unita e f{X) :— X^ — a ^ ^ W - Mostrare che, se f{X) e riducibile su F , allora F e il campo di spezzamento di f{X). 9.10. Sia p un numero primo e sia F un campo numerico contenente tutte le radici p-esime dell'unita. Mostrare che, se K := F{a) e tale che a^ G F , allora ii^ e un ampliamento di Galois di F e, se i^ 7^ F , il suo gruppo di Galois e ciclico di ordine p.

9.7 Esercizi

341

9.11. Mostrare che un polinomio su Q reciproco di grado n < 8 e risolubile per radical!. Suggerimento Effettuare la sostituzione Y = X ± Y9.12. Sia f{X) :^ X^ ^pX + q e Q[X] e siano p, a, r le radici di Usando le formule di Tartaglia-Cardano, mostrare direttamente che

f{X).

D{f) := {p - afip - rfia - rf = - ( V + 27^2). Suggerimento: Usare il fatto che, se ^ e una radice primitiva terza dell'unita, allora ^(1 - ^2)(i _ ^)2 = 3 1 ^ . 9.13. Mostrare che se f{X) G Q[X] ha tutte radici reali, allora il suo discriminante e non negativo. 9.14. Mostrare direttamente che, se f{X) e un polinomio di terzo grado su Q con una sola radice reale, allora D{f) < 0. 9.15. Calcolare le radici razionali dei seguenti polinomi su Q usando le formule di Tartaglia-Cardano: X^ + 9X - 10; X^ + 6X - 20; X^ + 6X - 7. 9.16. Calcolare il discriminante dei seguenti polinomi di terzo grado e stabilire qual e il loro gruppo di Galois su Q: X^ - 2 ; X^ + 27X - 4 ; X^ - 21X + 17;

X^ + X2 - 2X - 1;

X^ + X^ - 2X + 1.

9.17. Sia / ( X ) := X^ + aX + 2 G Q[X]. Mostrare che / ( X ) ha 3 radici reah se e soltanto se a < — 3. 9.18. Siap un numero primo e sia / ( X ) := X^ — 2pX + p . Mostrare che / ( X ) e irriducibile su Q ed ha tre radici reali. Calcolare inoltre le sue radici usando le formule di Tartaglia-Cardano. 9.19. Sia / ( X ) un polinomio di terzo grado irriducibile su Q tale che D{f) < 0 e sia p una sua qualsiasi radice. Mostrare che Q{p) non ha automorfismi diversi dall'identita. 9.20. Esprimere cos ( ^ ) in forma radicale. Suggerimento: Notare che 2 cos (y-) e una radice del polinomio X"^ + X ^ — 2 X - 1 (Esempio 8.3.13 (1)). 9.21. Dimostrare le formule trigonometriche per la triplicazione dell'angolo cos(3a) = 4COS^(Q;) — 3cos(a). Suggerimento: Usare le formule di De Moivre per la potenza di un numero complesso espresso in forma trigonometrica. 9.22. Usando le formule di L. Ferrari, risolvere I'equazione di quarto grado X^ + 2X2 - 2X - 1 = Q^

342

9 Risolubilita per radical! delle equazioni polinomiali

9.23. Verificare che un polinomio di quarto grado in forma ridotta e la sua risolvente cubica hanno lo stesso discriminante. 9.24. Risolvere Fequazione f{X) := X ^ - 3 = 0 usando il metodo di Descartes. Verificare che il campo di spezzamento di f{X) su Q e ottenuto aggiungendo una radice di f{X) al campo di spezzamento della risolvente. 9.25. Determinare tutti i sottogruppi di S4. Stabilire poi quali tra essi sono sottogruppi normali e in caso affermativo determinare i corrispondenti gruppi quozienti di S4. 9.26. Sia f{X) un polinomio di quarto grado. Mostrare direttamente che una permutazione a G S4 fissa le radici u^ v, w della risolvente cubica r{Z) di f{X) se e soltanto se a G V4. 9.27. Sia f{X) G R[X] un polinomio di quarto grado. Mostrare che: (a) se D{f) > 0, allora le radici di f{X) sono tutte reali o tutte non reali; (b) se D{f) < 0, allora le radici di f{X) sono due reali e due non reali. 9.28. Sia f{X) G R[X] un polinomio di quarto grado e sia r{Z) la sua risolvente cubica. Mostrare che f{X) ha esattamente due radici non reali se e soltanto se r(Z) ha la stessa proprieta. 9.29. Sia f{X) G Q[X] un polinomio irriducibile di quarto grado. Stabilire quale puo essere il gruppo di Galois di f{X) su Q quando il discriminante D{f) di f{X) e un quadrato in Q. Soluzione: Sia G C A4 il gruppo di Galois du f{X). Per la Proposizione 8.1.6, D{f) e un quadrato in Q <^ G C A4. Poiche f{X) e irriducibile, I'ordine di G e diviso da 4. Allora, se D{f) e un quadrato in Q, i possibili gruppi di Galois di f{X) su Q sono i sottogruppi di A4 il cui ordine e diviso da 4, cioe A4 e V4. (G = A4 se la risolvente cubica di f{X) e irriducibile e G = V4 se e riducibile). 9.30. Sia f{X) G Q[X] un polinomio irriducibile di quarto grado. Stabilire quali possono essere i gruppi di Galois di f{X) quando il discriminante di f{X) non e un quadrato in Q. Suggerimento: Usare il Teorema 9.4.4 e Tesercizio precedente. 9.31. Sia f{X) un polinomio di quarto grado a coefBcienti reali che sia irriducibile sul suo campo di definizione F . Stabilire quale puo essere il gruppo di Galois di f{X) su F quando D{f) < 0. 9.32. Sia f{X) G R[X] un polinomio irriducibile di quarto grado che abbia esattamente due radici reali. Mostrare che il gruppo di Galois di f{X) sul suo campo di definizione F e S4 oppure D4. Suggerimento: Stabilire quante sono le radici reali della risolvente cubica

HZ).

9.7 Esercizi

343

9.33. Determinare i gruppi di Galois su Q dei seguenti polinomi di quarto grado: X^ + 4X2 + 2 ; x ^ + 2X2 + 4 ; X"^ + 4X2 - 5 ; x ^ + X + 1; X^ + X^ + 4. 9.34. Mostrare che il polinomio di quinto grado X^ — 5X + | non e risolubile per radicali. 9.35. Mostrare che il polinomio / ( X ) := X^ - 4X + 2 e irriducibile su Q ed ha tre radici reali. Dedurne che il gruppo di Galois di / ( X ) su Q e S5. 9.36. Stabilire se i seguenti polinomi di quinto grado sono risolubili per radicali: 2X^ - X^ + 2X2 - X - 2 ;

2X^ - SX^ + 5 ;

X^ + 2X^ - 3X2 _ Q

9.37. Sia / ( X ) un polinomio di grado dispari irriducibile su Q. Mostrare che, se / ( X ) ha gruppo di Galois abeliano, allora / ( X ) ha tutte radici reali. Suggerimento: Usare la Proposizione 9.6.1. 9.38. Risolvere I'equazione ciclica X^ — 3X + 1 con il metodo di Lagrange. 9.39. Determinare le radici settime dell'unit a con il metodo di Lagrange.

10

II teorema fondamentale delPalgebra

II Teorema Fondamentale delVAlgebra afferma che il campo C dei numeri complessi e algebricamente chiuso. Gia nel 1629 A. Girard aveva affermato cio che con linguaggio attuale si puo esprimere dicendo che ogni pohnomio di grado n > 1 a coefficienti reali ha sempre n radici in qualche amphamento di M {L ^invention en algebre). Successivamente L. Euler, dando per scontato che taU radici esistessero, aveva sostenuto che esse sono sempre numeri complessi {Recherches sur les racines imaginaires des equations^ 1749). La dimostrazione di Euler era corretta per n < 6, ma lacunosa in generale: alcuni punti di questa dimostrazione furono poi corretti da J. L. Lagrange, che uso a questo scopo i suoi risultati sui gruppi delle permutazioni delle radici di un polinomio {Sur la forme des racines imaginaires des equations, 1772). Un'altra dimostrazione, basata sulle proprieta del discriminante, fu successivamente data da P. S. de Laplace (1795). II primo ad osservare che era necessario dimostrare V esistenza delle radici di un polinomio reale nel campo complesso fu C. F. Gauss. Egli diede quattro dimostrazioni di questo fat to, la prima delle quali fu inclusa nella sua Tesi di Dottorato {Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posso), ottenuta nel 1797 e pubblicata nel 1799. In seguito sono state date moltissime altre dimostrazioni del Teorema Fondamentale dell'Algebra, con I'impiego delle tecniche piu diverse: la piu elementare e forse quella di R. Argand {Reflexions sur la nouvelle theorie d^analyse, 1814), poi perfezionata da A. L. Cauchy {Sur les racines imaginaires des equations, 1820), che fa uso del cosi detto Teorema del Minimo. Nell'ultima dimostrazione, del 1849, Gauss consider© poi piii generalmente polinomi a coefficienti complessi. Una versione della dimostrazione originale di Gauss e riportata, insieme ad altre dimostrazioni piii recenti, in [36]. Maggiori approfondimenti sulla storia del Teorema Fondamentale dell'Algebra si possono trovare anche in [49, Chapters]. La dimostrazione che illustreremo in questo paragrafo e di tipo algebrico ed e basata sulla corrispondenza di Galois; ma, come in tutte le altre dimoGabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

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10 II teorema fondamentale dell'algebra

strazioni, in essa non si puo fare a meno di alcune proprieta analitiche dei numeri reali. Precisamente, si fa uso dei seguenti fatti 1. I numeri reali costituiscono un campo ordinate, 2. Ogni numero reale positive ha una radice quadrata, 3. Un polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha sempre una radice reale. Nel Paragrafo 2.4.1 abbiamo dimostrato che un polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha sempre una radice reale come conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Algebra (Corollario 2.4.5); ma questo risultato si puo dimostrare indipendentemente, usando le proprieta analitiche delle funzioni polinomiali su M. Lemma 10.0.1 Ogni ampliamento finito del campo reale R ha grado 2^, per un opportuno h>0. Dimostrazione. Sia K un ampliamento finito di M, di grado n > 1, e sia a G K \ M. II polinomio minimo di a su R, essendo irriducibile, deve avere grado pari, perche altrimenti avrebbe una radice in R. Dunque il grado di a su R e pari e, poiche tale grado divide n, anche n e pari. Sia TV la chiusura normale di K, e sia [A^ : R] = 2^m, con m dispari. Notiamo che fc > 1, perche n divide [N : R]. Poiche | GalR(Ar)| =: [A^ : R] = 2^m, per il Primo Teorema di Sylow Gal]R(A/') ha un sottogruppo di ordine 2^ (Teorema 12.2.5) e allora, per la corrispondenza di Galois (Teorema 7.3.7), N ha un sottocampo L di grado m su R. Poiche L e algebrico su R, per quanto osservato prima, questo e impossibile se m > 1. Percio TTI = 1 e [A^ : R] = 2^. Ne segue che anche [K : R], dividendo [A" : R] e uguale a una potenza di 2. Lemma 10.0.2 Ogni numero complesso ha una radice quadrata in C, ovvero il campo complesso C non ha ampliamenti di grado 2. Dimostrazione. Sia z := a + bi e C e \z\ := \/a^+b^

il suo modulo. Poiche

\z\±a > 0, si ha ^\z\ ±a G R. Allora, posto a := y - ^ y ^ + eiy ^^y^, dove e G { l , - l } e tale che 6 = e|&|, si verifica subito che risulta a^ = z. Teoremia 10.0.3 (Teorema Fondamentale dell'Algebra) // campo C dei numeri complessi e algebricamente chiuso. Dimostrazione. Sia K un ampliamento finito proprio di C e sia A" la sua chiusura normale. Poiche C ha grado 2 su R, A" e finito su R e dunque per il Lemma 10.0.1, si ha [A^: R] = 2^, con h>2 (vedi anche il successivo Esercizio 11.7). Di conseguenza | Gale (AT)! = [AT: C] = 2^, con /c > 1. Allora Gale (AT), essendo un 2-gruppo, ha un sottogruppo di ordine 2^~^ (Proposizione 12.2.3), al quale corrisponde un sottocampo L di A^ di grado 2 su C. Questo contraddice il Lemma 10.0.2, dunque C non ha ampliamenti algebrici propri.

11

Costruzioni con riga e compasso

II problema di costruire figure geometriche plane con il solo uso della riga (non marcata) e del compasso trae la sua origine dal tentativo di risolvere i tre famosi problem! classici deH'antichita: la trisezione delVangolo^ la duplicazione del cubo e la quadratura del cerchio. Sembra che I'uso esclusivo di riga e compasso sia dovuto al fatto che la retta e il cerchio fossero considerati dai matematici greci le figure geometriche piu attinenti al mondo platonico delle idee. I tre problemi classici di costruzione nacquero nel V secolo A. C. nelI'ambito della scuola sofistica ateniese e furono molto fecondi per lo sviluppo della matematica ellenistica, che fiori ad Alessandria nel IV secolo A. C. Essi furono definitivamente risolti, in negativo, soltanto nel secolo XIX. Segnaliamo che il matematico danese G. Mohr {Euclides danicus, 1672) e indipendentemente I'italianoL. Mascheroni {La geometria del compasso, 1797) hanno mostrato che ogni figura costruibile con riga e compasso e costruibile con I'uso del solo compasso: una dimostrazione di questo fatto si puo trovare in [35, Problem 33] oppure [12]. Invece le circonferenze non sono costruibili con la sola riga. Tuttavia, risolvendo una congettura di J.-V. Poncelet, J. Steiner ha dimostrato che tutte le figure plane costruibili con riga e compasso si possono costruire con la sola riga una volta che sia assegnata una circonferenza ausillarla di centro fissato {Die geometrischen Konstruktionen ausgefuhrt mittels der geraden Linie und Eines festen Kreises, 1833) [35, Problem 34].

11.1 Punti costruibili Intuitivamente un punto del piano e costruibile con riga e compasso se si puo ottenere come intersezione di rette o/e circonferenze.Formalizziamo questo concetto. Se P e Q sono due punti del piano ordinarlo, diremo che la retta passante per P e Q, indicata con T^pg, e la circonferenza di centro P e passante per Q, indicata con CPQ, sono determinate dai due punti P e Q.

Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

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11 Costruzioni con riga e compasso

I punti del piano costruibili (con riga e compasso) possono essere definiti con un procedimento ricorsivo nel seguente modo. Poiche per tracciare una retta o una conferenza abbiamo comunque bisogno di due punti, assumiamo che due punti fissati O ed U siano costruibili. Inoltre, posto ^o := {O, f/}, diciamo che un punto P del piano e costruibile se esiste una successione finita di punti distinti P i , . . . , P ^ := P tali che, per ogni i = l , . . . , n . Pi sia ottenibile come intersezione di due rette, o di due circonferenze, oppure di una retta e una circonferenza determinate da due punti dell'insieme 5,_i:={0,[/,Pi,...,P,_i}. Se P e Q sono due punti costruibili, diremo anche che il segmento PQ di estremi P e Q, la retta TZPQ e la circonferenza CPQ sono costruibili. Un punto costruibile e allora intersezione di rette o/e circonferenze costruibili. 11.1.1 Alcune costruzioni geometriche Nelle costruzioni geometriche con riga e compasso, si assume che i punti di partenza siano costruibili. 1. II punto medio di un segmento Dati due punti P e Q, il punto medio M del segmento PQ e un punto costruibile e la retta per M perpendicolare alia retta TZPQ e costruibile. Infatti, siano H e K i due punti che sono ottenuti intersecando le circonferenze CpQ e CQP. Allora la retta IZHK interseca la retta IZPQ in M ed e perpendicolare a questa.

Figura 11.1. M e il punto medio del segmento PQ

11.1 Punti costruibili

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2. Costruzione di un riferimento cartesiano Dati due punti O ed U del piano ordinario, possiamo costruire nel seguente modo un riferimento cartesiano ortogonale in cui O sia I'origine e U sia il punto unitario dell'asse delle ascisse. Sia TZou la retta delle ascisse. Intersecando questa retta con la circonferenza Cou^ otteniamo un punto P ^ U. Allora O e il punto medio del segmento PU e la retta delle ordinate, che e la retta per O perpendicolare alia retta IZoUi fe costruibile come visto nell'esempio precedente. Fissato questo riferimento, intersecando rette e circonferenze costruibili con I'asse delle ascisse o con quello delle ordinate, si ottengono ancora punti costruibili. In particolare, il punto P = (x, 0) e costruibile se e soltanto se lo e il punto Q = (0, x): infatti ad esempio Q e I'intersezione della circonferenza COP con I'asse delle ordinate.

Figura 11.2. Costruzione di un riferimento cartesiano

3. Punti simmetrici Dati una retta 7?. e un punto P , il punto P ' simmetrico a P rispetto ad 7^ e costruibile. Infatti, sia Q un punto appartenente a 7?. e sia 5 uno dei due punti intersezione della circonferenza CQP con la retta TZ. Allora le circonferenze CQP e Csp sono costruibili e si intersecano in P e P ' .

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11 Costruzioni con riga e compasso

Figura 11.3. II punto P' e simmetrico a P rispetto alia retta IZ 4. R e t t e perpendicolari Dati una retta 7?. e un punto P , la retta per P perpendicolare a,TZe costruibile. Infatti, se P non appartiene alia retta 7^, tale perpendicolare e la retta passante per P e per il suo simmetrico P ' rispetto ad 7^, che e un punto costruibile come visto nell'esempio precedente. Se invece P appartiene alia retta 7^, sia Q un punto costruibile di 7?. e sia S il punto diverso da P ottenuto come intersezione della retta TZ con la circonferenza CPQ . Allora P e il punto medio del segmento QS e la perpendicolare cercata e costruibile, come visto nella Costruzione (1). 5. R e t t e parallele Dati una retta 7^ e un punto P , la retta per P parallela a 7^ e costruibile. Infatti, se P non appartiene a 7^, tale parallela e la perpendicolare per P alia perpendicolare per P a, 1Z; quindi e costruibile per la costruzione precedente. 6. Costruzione del quadrato Dati due punti P, Q, per costruire il quadrato di lato PQ , si costruisce prima la retta per Q perpendicolare alia retta TZPQ . Su questa si considera il punto S intersezione con la circonferenza CQP, che sara un terzo vertice del quadrato. Infine il quarto vertice T sara I'intersezione delle due circonferenze CPQ e CSQ7. La sezione aurea di un segmento Dato un segmento orientato P Q , la sua sezione aurea e il segmento PA, dove A e il punto interno a PQ, definito dalla proporzione geometrica

11.1 Punti costruibili

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Alia sezione aurea il matematico del rinascimento Luca Pacioli ha dedicato il trattato De divina proportione (1509). La lunghezza della sezione aurea del segmento unitario e data dalla soluzione positiva dell'equazione X^ + X - 1, che e uguale ad V5- 1 a := - ^ - - — = 0,61803398,.. II rapporto tra le lunghezze del segmenti PQ e PA e allora il numero 1 V5 + 1 r := - = a + 1 = -^— = 1, 61803398 . . . a 2 che si chiama il numero aureo (Esercizio 11.3). La seguente costruzione della sezione aurea si trova negli Elementi di Euclide. Dati i due punti P e Q, sia M il punto medio del segmento PQ e sia IZ la retta per il punto Q perpendicolare alia retta IZPQ. Sia poi S il punto intersezione della retta TZ con la circonferenza SQM e sia X il punto intersezione della retta IZps con la circonferenza CSQ- Se A e il punto intersezione della retta T^pg con la circonferenza Cpx, il segmento PA e la sezione aurea di p g . Viceversa, dato un segmento PA, si puo costruire il segmento P Q di cui PA e la sezione aurea con il seguente procedimento, dovuto a Leon Battista Alberti. Si parte da un quadrato di lato PA con vertici ordinati P, A, 5, T (Costruzione (6)). Se M e il punto medio del segmento PA, sia Q il punto

Figura 11.4. PA e la sezione aurea di PQ

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11 Costruzioni con riga e compasso

intersezione della circonferenza CMS con la retta IZPA- Allora PQ e la sezione aurea del segmento PQ. Un rettangolo il cui lato minore e uguale alia sezione aurea del lato maggiore si chiama un rettangolo aureo. Un rettangolo aureo si puo costruire con i metodi precedents

11.2 Caratterizzazione algebrica dei punti costruibili D'ora in poi assumeremo che nel piano ordinario sia definito un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui I'origine, il punto C/ = (1,0) e gli assi coordinati siano costruibili: come visto nel Paragrafo 11.1.1 (2), questa ipotesi non e restrittiva . Proposizione 11.2.1 // punto P = {x^y) e costruibile se e soltanto se lo sono i punti Px = {x^ 0) e Py = {y^ 0). Dimostrazione. II punto O = (0,0) e costruibile per ipotesi. Inoltre, come osservato nel Paragrafo 11.1.1 (2), il punto Qy = (0,^) e costruibile se e soltanto se lo e il punto Py = (?/, 0). Possiamo allora supporre che x e y siano entrambi non nulli, cioe che il punto P non sia su uno degli assi coordinati, e mostrare che P e costruibile se e soltanto se lo sono i punti Px ^ (x^O) e Qy = {0,y), Per questo basta osservare che rette per punti costruibili perpendicolari agli assi sono costruibili, come visto nel Paragrafo 11.1.1 (4). Sia ora C I'insieme delle coordinate di tutti i punti costruibili, ovvero € := {x G M tali che P = (a:,0) e costruibile} (Proposizione 11.2.1). Proposizione 11.2.2 L'insieme ^ e un campo numerico reale. Inoltre, se X e ^ e x >0, allora y/x G ^. Dimostrazione. Siano x^y ^ ^ (ovvero siano P = (x^O) e Q = (y^O) punti costruibili). Per mostrare che ^ e un campo, facciamo vedere che x — y ^ € (ovvero che il punto R = {x - y^O) e costruibile) e che, se i/ ^ 0, xy~^ G (£ (ovvero che il punto S = (xy~^,0) e costruibile). II punto H = (—y,0) e costruibile, essendo 1'intersezione dell'asse delle ascisse con la circonferenza CoQ' Dunque il punto medio del segmento PH e costruibile: esso e il punto M = ( ^ ^ , 0 ) . Ne segue che il punto i? = (x — y, 0) e costruibile, perche intersezione della circonferenza CMO con I'asse delle ascisse. Per quanto appena dimostrato, possiamo supporre che x ey siano positivi. Sia 7^ la retta passante per i punti Q = {y,0) e V = (0,1). Come visto nel Paragrafo 11.1.1 (5), la retta 71^ passante per P = (x,0) e parallela a. IZ e costruibile; dunque il punto Z = (0, z) ottenuto come intersezione di IZ' con I'asse delle ordinate e costruibile. Ma, per la similitudine dei triangoli di vertici y, O, Q e Z, O, P , risulta z = xy~^.

11.2 Caratterizzazione algebrica dei punti costruibili

353

Figura 11.5. Costruzione deH'inverso: OV \0Z = 0Q \ OP Sia ora x > 0 e x G (£, cioe sia P = (a:, 0) costruibile. Poiche il punto W = (—1,0) e costruibile, il punto medio N del segmento WP e costruibile. Sia T = (0,t) il punto intersezione della circonferenza CNP con il semiasse positivo delle ordinate. II segmento OT e I'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo di vertici W,T,P] dunque la sua lunghezza e il medio proporzionale tra le lunghezze dei segmenti WO e OP, Ne segue che t^ = x e, poiche T e costruibile, allora t = ^/x G ^.

Figura 11.6. Costruzione della radice quadrata: WO : OT :=^ OT : OP

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11 Costruzioni con riga e compasso

Corollario 11.2.3 Tutti i punti con coordinate razionali sono punti costruibili. Inoltre, sia F un sottocampo di d e sia K un campo tale che F C K CR. Allora: (a) Se [K :F]< 2, si ha K C C (b) Se K e un ampliamento normale di F e [K : F] = 2^, per un opportuno h>0, siha K C(t. Dimostrazione. Per la Proposizione 11.2.2, C e un campo numerico (reale), percio Q C C Ne segue che tutti i punti a coordinate razionali sono punti costruibili. (a) Sia F C C^ e sia K un campo numerico reale tale che [K : F] < 2. Se [K:F] = 1, allora i^ = F C (t. Se invece [K:F] = 2, risulta K = F{a), con a^ G F (Paragrafo 3.5.1). Ma, poiche K e un campo reale e a^ > 0, allora a e € (Proposizione 11.2.2). (b) Supponiamo ora che K sia un ampliamento normale, ovvero di Galois, di F e che [K : F] = 2^. Mostriamo, per induzione su /i, che K C d. Se h = 0, allora K = F C (t. Supponiamo /i > 1. Se G e il gruppo di Galois di iC su F , si ha |G| = 2^. Allora G ha un sottogruppo di indice 2 (Proposizione 12.2.3) e ad esso corrisponde, nella corrispondenza di Galois, un sottocampo L di grado 2 su F (Teorema 7.3.7). Tale campo L e contenuto in € per il punto (a). Poiche K e nn ampliamento normale anche di L e [K : L] = 2^~^, per I'ipotesi induttiva concludiamo che K C (t, Siamo ora in grado di caratterizzare i punti costruibili in termini di ampliamenti di campi. Teorema 11.2.4 // punto P = (x^y) e costruihile se e soltanto se esiste una catena finita di campi numerici reali

tali che x^y e K e [Ki : Ki-i] < 2 per i = 1 , . . . , n. Dimostrazione. Supponiamo che P sia costruibile. Allora esiste una successione finita di punti P i , . . . , P^ •= P tali che, per ogni i = 1 , . . . , n, P^ e ottenibile come intersezione di due rette, due circonferenze, oppure di una retta e una circonferenza definite da due punti dell'insieme Si-i := {O, C/, P i , . . . , P/,-i}. Se Pi = (xi.yi), poniamo KQ = Q e Ki :=^ Ki-i{xi,yi), per i = 1,.. .,n. Osserviamo ora che le equazioni di rette e circonferenze definite da due punti di Si-i hanno coefficienti in Ki^i. Inoltre, se Pi e intersezione di due rette definite da punti di 5i_i, la coppia delle sue coordinate e soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due indeterminate a coefficienti in Ki-i; dunque le coordinate di Pi appartengono ancora a, Ki-i e risulta [Ki : Ki-i] = 1. Se invece Pi e intersezione di una retta e una circonferenza oppure di due circonferenze definite da punti di 5^-1, la coppia delle sue coordinate e soluzione di un sistema composto da una equazione lineare e da una equazione di secondo

11.2 Caratterizzazione algebrica dei punti costruibili

355

grado in due indeterminate a coefficienti in Ki-i. Dunque, in questo caso, una delle due coordinate si ottiene risolvendo una equazione di secondo grado a coefficienti in i^^-i e I'altra come funzione lineare di questa. Ne segue che [Ki : Ki^i] < 2. Viceversa, supponiamo che esista una catena di campi

tali che x^y G K e [Ki : Ki-i] < 2 per i = l , . . . , n . Per mostrare che P e costruibile, basta far vedere che K C (t. Procediamo per induzione su n, usando il Corollario 11.2.3. Per n = 0, certamente Q C £. Inoltre, per i = 1 , . . . , n, se Ki-i C (t^ poiche [Ki : Ki-i] < 2 allora Ki C (t. Poiche ogni amphamento di grado 2 di un campo numerico F e del tipo F{\/~d) con d ^ F (Paragrafo 3.5.1), il teorema precedente asserisce che il punto P = {x^y) e costruibile se e soltanto se e possibile determinare una catena di campi reali Q=:KoCKiC...CKn

=K

tali che x^y G K e Ki = Ki-i{'\fdi)^ con di G i^i-i per i = 1 , . . . ,n. Questo significa che P e costruibile se e soltanto se le sue coordinate si possono esprimere in termini di radicali quadratici successivi. Inoltre, poiche, come visto nella dimostrazione del Teorema 11.2.4, tutti i punti le cui coordinate appartengono a K^ = Ki-i{y/di) si possono costruire intersecando rette o/e circonferenze definite da punti le cui coordinate appartengono di Ki-i, allora P sara geometricamente costruibile attraverso una successione di punti Pi = (xi^yi)^ con Xi^yi G Ki^ per i = 1,..., n. Corollario 11.2.5 (a) (P. Wantzel, 1837) Se il punto P = {x,y) e costruibile, allora [Q{x,y) :Q]=2^, h> 0. (b) Se Q{x,y) e un ampliamento normale di Q e [Q{x,y) : Q] = 2^, h > 0, allora il punto P = {x,y) e costruibile. Dimostrazione. (a) Per il Teorema 11.2.4, se P = (x^y) e costruibile, esiste una catena finita di campi Q=:KoCKiC...CKn

=K

tah che x,y e K e [Ki : Ki-i] < 2 per i = 1,...,n. Poiche Q C Q(x, y) C K e il grado di iT su Q e uguale a una potenza di 2, anche il grado di Q(x, y) su Q deve essere uguale a una potenza di 2. (b) Se Q(x, y) e un ampliamento normale di Q e [Q(x, ?/) : Q] = 2^, per un opportuno /i > 0, allora Q{x^y) C (t per il Corollario 11.2.3 e percio il punto P = (x,2/) e costruibile.

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11 Costruzioni con riga e compasso

Esempi 11.2.6 Quando [Q{x,y) : Q] e uguale a una potenza di 2, la condizione die Q C Q(x,i/) sia un ampliamento normale e sufBciente ma non necessaria per la costruibilita del punto P = (x,y). Ad esempio il punto P = ( v ^ , 0) e costruibile, perche \/3 G (t (Proposizione 11.2.2), ma I'ampliamento Q ( ^ ) non e normale; infatti la sua chiusura normale e Q ( v ^ , i) (Esempio 5.2.12 (2)). D'altra parte, se Q(x, y) non e un ampliamento normale di Q, non e detto che il punto P = {x^y) sia costruibile, come vedremo nei successivi Esempi 11.3.4.

11.3 N u m e r i complessi costruibili Nel seguito sara utile lavorare nel piano di Gauss anziche nel piano reale ordinario, identificando il punto P = (x^y) con il numero complesso x -\- yi. Diremo che il numero complesso x-\-yie costruibile se lo e il punto P = (x, ^), ovvero se x^y e €. I risultati dimostrati finora per i punti costruibili possono essere riformulati in termini di numeri costruibili. Indichiamo con C I'insieme dei numeri complessi costruibili. Poiche i numeri reali costruibili sono esattamente gli elementi del campo C, e chiaro che Proposizione 11.3.1 Sia € Vinsieme dei numeri complessi costruibili, Allora: (a) € e un campo. (b) Se a ^^, anche a e € (dove a indica il complesso coniugato di a). (b) Se F e un sottocampo di (t e K CC e tale che [K : F] = 2, risulta K C (t. Dimostrazione, (a) Siano a := x-\-yi, /3 := u-{-vi. Per definizione a , /^ G (^ se e soltanto se x^y^u^v e ^. Usando il fatto che ^ e un campo reale (Proposizione 11.2.2), si verifica facilmente che, se a , ^3 G C, allora a —/3 G ^ e che, se /3 7^ 0, anche a/3~^ G €. (b) segue da (a). (c) Sia F un sottocampo di ^. Se [K : F] = 2^ allora K = ^ ( 7 ) , con 7^ G F . Se 7 e reale, poiche 7^ G F fi M C C, allora 7 G C per la Proposizione 11.2.2. Supponiamo percio che sia 7 := x -\- yi^ con y j^ 0. Poiche 7^ = (x^—y^)-f (2xy)i G C, allora a := x'^—y'^^b := 2xy G €. Ne segue, ancoraper la Proposizione 11.2.2, che y^ = -a+Va^+b^ ^ ^ ^ percio anche y,x = ^by~^ G €. Dunque 7 G (t e finalmente K = F{'j) C C. Teorema 11.3.2 II numero complesso a e costruibile se e soltanto se esiste una catena finita di campi numerici

tali che a e K e [Ki : Ki_i] < 2 per i = 1 , . . . , n.

11.3 Numeri complessi costruibili

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Dimostrazione. Se a := x ^ yi e costruibile, il punto P = {x,y) e costruibile. Quindi esiste una catena finita di campi

tali che x, ^ G Km e [Ki : Ki-i] < 2 per z = 1 , . . . , m (Teorema 11.2.4). Posto K := Km{i), allora [K : Km] = 2 e a e K. Viceversa, sia q=:KoCKiC.,.CKn = K una catena di campi tali che a e K e [Ki : Ki-i] < 2 per i = 1 , . . . , n. Usando la Proposizione 11.3.1 (c), per induzione su n otteniamo che K C (t e dunque che a e costruibile. Corollario 11.3.3 Sia a G C. Allora: (a) Se a e costruibile, [Q(a) : Q] = 2^^^ per un opportuno h>0. (b) ^e Q{a) e un ampliamento normale di Q e [Q{a) : Q] = 2^, per un opportuno h>0, a e costruibile. Dimostrazione. (a) Per il Teorema 11.3.2, se a e costruibile, esiste un campo K contenente a che ha grado su Q uguale a una potenza di 2. Allora anche a deve avere grado su Q uguale a una potenza di 2. (b) Sia K := Q{a) un ampliamento normale, ovvero di Galois, di Q e sia [i^ : Q] = 2^, per un opportuno h>0. Se G e il gruppo di Galois di K su Q, si ha \G\ = 2^. Allora G ha una catena di sottogruppi Go := G 3 Gi 3 • • O G^ = {id) ciascuno di indice 2 nel precedente (Proposizione 12.2.3). A questa corrisponde, nella corrispondenza di Galois, una catena di sottocampi di K Ko:=QCKiC...CKh:=K

= Q(a)

ciascuno di grado 2 sul precedente. Dal Teorema 11.3.2, segue che a e costruibile. Esempi 11.3.4 (1) Per ogni h > 2 esiste un numero complesso a di grado 2^ su Q che non e costruibile. Sia f{X) G Q[X] un polinomio di grado n := 2^ con gruppo di Galois isomorfo a S^ (Paragrafo 8.3.1) e sia K C C il suo campo di spezzamento. Allora [iC : Q] = |Sn| = n!, ed inoltre, per il Teorema dell'Elemento Primitivo (Teorema 5.3.13), esiste un elemento j e K di grado n! su Q. Se tutte le radici di f{X) fossero costruibili, lo sarebbero tutti gli elementi di K, perche tutti questi elementi sono esprimibili razionalmente in funzione delle radici di f{X); in particolare 7 sarebbe costruibile. Allora, per il Corollario 11.3.3, n! dovrebbe essere una potenza di 2; ma 3 divide n!, perche n > 4. Ne segue che

358

11 Costruzioni con riga e compasso

almeno una radice OL di / ( X ) , che e un numero complesso di grado n := 2^ su Q, non e costruibile. (2) Sia j{X) G Q[X] un polinomio irriducibile di quarto grado il cui gruppo di Galois G su Q sia il gruppo alterno A4, oppure il gruppo simmetrico S4 (Esempi 9.4.5 (1) e (2)). Se a e una radice di j[X\ allora a non e costruibile, pur avendo grado su Q uguale a 4. Infatti se a \— x ^ y\ fosse costruibile, esisterebbe una catena finita di campi numerici Q =: i^o C Ki C . . . C if, = K tali che a G ii^ e \Ki : Ki-i] < 2 per i = 1,.. . , n (Teorema 11.3.2). Poiche il campo di spezzamento L di f{X) in C e la chiusura normale di Q(a) su Q (Esempio 5.2.12 (2)), L sarebbe contenuto nella chiusura normale N di K. Ma questo non e possibile. Infatti N ha grado su Q uguale a una potenza di 2 (Esercizio 11.7), mentre 3 divide \G\ = [L : Q] e quindi dividerebbe [AT: Q] = 2^.

11.4 Costruzioni impossibili I risultati dimostrati nel paragrafo precedente ci permettono di affermare che i tre problemi classici dell'antichita non sono risolubili usando soltanto la riga e il compasso. Tuttavia e noto che essi si possono risolvere con I'aiuto di certe curve appositamente definite. Ad esempio i problemi della trisezione dell'angolo e della duplicazione del cubo si possono risolvere usando, anziche la sola circonferenza, anche altre sezioni coniche. Le sezioni coniche sono le curve ottenibili intersecando un cono a due falde con un piano. La scoperta di queste curve, che e forse la pill importante tra quelle della scuola platonica, e attribuita da Eratostene a Menecmo, allievo di Eudosso (IV secolo A. C.) e maestro di Alessandro Magno. Lo studio delle sezioni coniche fu in seguito sistematizzato da Apollonio di Perga (c. 262-190 A. C.) al quale sono anche dovuti i termini ellisse, iperbole e parabola. Si puo dimostrare che un numero e costruibile con I'uso della riga e delle coniche se e soltanto se esso appartiene ad un ampliamento radicale di Q ottenibile con una successione di ampliamenti radicali puri di indici al piii uguali a 3 [29]. 1. Trisezione dell'angolo Assumendo che I'angolo assegnato abbia per lati la semiretta positiva delle ascisse e la retta TZQP^ dove il punto P = (cos(3a),sin(3a)) si suppone costruibile, il problema della trisezione consiste nel costruire il punto T = (cos(Q;),sin(a)), ovvero il numero cos(a) (perche COS^(Q;) + sin^(Q;) = 1). Questo non e sempre possibile. Infatti, usando la formula trigonometrica cos(3a) = 4cos^(a) — 3cos(a)

11.4 Costruzioni impossibili

359

(Esercizio 9.21) e posto r :— cos (3a) G E, si vede che cos (a) e radice del polinomio 4X^ - 3X - r. Se questo polinomio e irriducibile su Q(r), cos (a) ha grado 3 su Q(r) e quindi, per il Corollario 11.2.5, non e costruibile con riga e compasso (benche sia costruibile con le coniche). Sia ad esempio 3a := | . Allora cos(3a) = ^ e cos(a) e radice del polinomio 8X^ - 6X - 1 che e irriducibile su Q, non avendo radici razionali. Quindi cos (a) := cos ( | ) ha grado 3 su Q e non e un numero costruibile. Notiamo che invece I'angolo di ampiezza uguale a ^ e costruibile, perche loecos(f) = |. Per risolvere il problema della trisezione dell'angolo, Ippia di Elide, nato nel 460 A. C , defini meccanicamente una curva che viene oggi chiamata trisettrice, Altre soluzioni furono date tra gli altri da Archimede (III secolo A. C ) , con Puso della riga marcata e del compasso [35, Problem 36], e da Nicomede (II sec. A. C ) , con I'uso di una curva appositamente costruita chiamata concoide. 2. Duplicazione del cubo Questo problema consiste nel costruire un cubo il cui volume sia uguale al doppio di quello di un cubo assegnato. Esso e una naturale estensione del problema della duplicazione del quadrato, che e facilmente risolubile usando il teorema di Pitagora. Infatti un quadrato che abbia area uguale al doppio di quella di un quadrato assegnato ha per lato la diagonale di quest'ultimo. La leggenda, riferita da Eratostene (III secolo A. C ) , narra che il problema della duplicazione del cubo fu posto dall'oracolo di Apollo di Delo, al quale gli abitanti della citta si erano rivolti per far cessare una terribile pestilenza. L'oracolo rispose che il dio avrebbe esaudito la richiesta se gli fosse stato eretto un altare di misura doppia di quello esistente, che aveva forma cubica. Supponendo che il lato del cubo assegnato abbia lunghezza uguale ad 1, per risolvere il problema della duplicazione bisogna costruire il numero \/2. Ma poiche tale numero ha grado 3 su Q, esso non e costruibile per Corollario 11.3.3. II problema della duplicazione del cubo puo essere pero risolto con I'impiego delle sezioni coniche. Ulteriori soluzioni si possono trovare usando altre curve, ad esempio la cissoide di Diocle (II secolo A.C.). 3. Quadratura del cerchio Questo problema consiste nel costruire un quadrato che abbia area uguale a quella di un cerchio assegnato. Esso e la naturale estensione del problema

360

11 Costruzioni con riga e compasso

piu semplice in quella classe di problemi pitagorici noti come applicazione delle aree: costruire un poligono avente area uguale a quella di un poligono assegnato e che sia simile ad un altro poligono dato. Mentre quadrare un poligono, cioe costruire un quadrato di area uguale a quella di un qualsiasi poligono assegnato, e sempre possibile, non si puo quadrare il cerchio. Infatti supponendo che il cerchio assegnato abbia raggio di lunghezza uguale ad 1, ovvero che abbia area uguale a TT, per risolvere il problema, bisogna costruire il numero y/n. Ma, poiche n e trascendente su Q, anche y ^ lo e e dunque non e un numero costruibile per il Corollario 11.3.3. II problema della quadratura del cerchio fu risolto da Dinostrato, fratello di Menecmo e come lui allievo di Eudosso, usando la trisettrice di Ippia. Per questo motivo, tale curva viene anche chiamata quadratrice. Anche Archimede (217-212 A.C), come gli altri grandi matematici dell'antichita, si interesso ai tre problemi classici di costruzione. Egli riusci a trisecare I'angolo ed a quadrare il cerchio con I'aiuto della sua famosa spirale. Quest a curva si puo definire meccanicamente come la traiettoria di un punto che si muove uniformemente lungo una semiretta che ruota, pure uniformemente, attorno alia sua origine. Sempre nell'ambito dei suoi studi sulla quadratura del cerchio, Archimede determino una notevole approssimazione di TT, quella che oggi si esprime attraverso la disuguaglianza 3—- < 7 r < 3 — 71 70 [35, Problem 38]. Segnaliamo infine che lo studio del problema della quadratura del cerchio porto Ippocrate di Chio (V secolo A. C.) a considerare I'interessante problema di calcolare le aree delle lunule^ cioe di quelle sezioni plane delimitate da due archi di cerchio aventi stessi estremi. II problema della quadratura del cerchio e equivalente al problema della rettificazione della circonferenza, che consiste nel costruire un segmento che abbia lunghezza uguale a quella di una circonferenza assegnata. Neanche il problema della rettificazione della circonferenza si puo dunque risolvere con riga e compasso.

11.5 Costruibilita dei poligoni regolari Fin dall'antichita era noto come costruire con riga e compasso, un poligono regolare con 3, 5 e 15 lati. Inoltre, come conseguenza della possibilita di bisecare I'angolo, era noto che, se si poteva costruire un poligono regolare con m lati, si potevano anche costruire i poligoni regolari con 2^m lati, per fc > 1. II problema della costruibilita dei poligoni regolari torno attuale quando F. Gauss costrui nel 1796 un poligono regolare con 17 lati. Successivamente, nelI'ultima parte del suo libro Disquisitiones arithmeticae (1801), egli affermo correttamente che e possibile costruire un poligono regolare con un numero

11.5 Costruibilita dei poligoni regolari

361

dispari n di lati se e soltanto se n e prodotto di numeri primi di Fermat distinti (vedi il successive Teorema 11.5.5). Tuttavia Gauss dimostro soltanto la sufficienza di questa condizione, come conseguenza dello studio della p-esima equazione ciclotomica X^ — 1 = 0, p > 3 primo. Indichiamo con Vn il poligono regolare di n > 3 lati con centro nell'origine e con un vertice nel punto U = (1,0) ed indichiamo con Pn,ki /c = 0 , . . . , n — 1, i suoi vertici, numerati in senso antiorario in modo tale che Pn^o = U e Pn^k = (cos ( ^ ) , sin ( ^ ) ) , per fc = l , . . . , n - l . Costruire il poligono Vn equivale allora a costruire tutti i punti Pn,k: che nel piano di Gauss corrispondono alle radici n-sime deH'unita. Ma poiche le radici n-sime deH'unita formano un gruppo ciclico, generato da una radice primitiva, il poligono Vn e costruibile se e soltanto se lo e la radice primitiva n-sima ^n •= cos ( ^ ) + isin ( ^ ) . Proposizione 11.5.1 // poligono regolare con n > 3 lati e costruibile se e soltanto se (p{n) e uguale a una potenza di 2. Dimostrazione. Per la discussione precedente, il poligono regolare Vn c costruibile se e soltanto se lo e il numero ^n? '^ > 3. Ma poiche I'n-simo ampliamento ciclotomico Q(^n) c un ampliamento normale di Q di grado ^(n), ^n c costruibile se e soltanto se ^{n) e uguale a una potenza di 2 (Corollario 11.3.3). Nel caso in cui n sia potenza di un numero primo, otteniamo subito il seguente risultato. Teorema 11.5.2 Siap > 3 un numero primo e m> 1. Un poligono regolare con p^ lati e costruibile se e soltanto se m = 1 e p = 2'^ -\- 1, con k>0. Dimostrazione. Per la Proposizione 11.5.1, un poligono regolare con p^ lati e costruibile se e soltanto se (p{p'^) = p'^~^{p — 1) = 2^ per un opportune /i > 1, ovvero se e soltanto se??2= l e p = 2^ + l. Basta ora osservare che, se h e diviso da un primo dispari q, il numero 2^ + 1 non e primo. Infatti, se h = gm, allora 2^ + 1 = (2^)^ + 1 e diviso da 2 ^ + 1. Quindi necessariamente h deve essere una potenza di 2. I numeri del tipo Fk '•= 2'^ + 1 , con /c > 0, si chiamano numeri di Fermat. II teorema precedente afFerma in particolare che, se p > 3 e un numero primo, il poligono regolare di p lati e costruibile con riga e compasso se e soltanto se p e un primo di Fermat. P. Fermat congetturo nel 1634 che tutti i numeri interi della forma Fk fossero primi. Tuttavia, mentre si verifica facilmente che i numeri Fo:=3,

Fi:=5,

F2 := 17,

F3 := 257,

F4 = 65.537

sono effettivamente primi, L. Euler stabih nel 1732 che F5 := 4.294.976.297 = 641 • 6.700.417

362

11 Costruzioni con riga e compasso

non lo e, mostrando cosi la falsita della congettura di Fermat. A tutt'oggi i soli primi di Fermat conosciuti sono quelli sopra elencati: non e neanche noto se i primi di Fermat siano in numero finito o infinito. Esempi 11.5.3 (1) Secondo quanto visto nel Teorema 11.2.4, per costruire il numero complesso a-\-bie necessario esprimere aeb tramite radicali quadratici successivi. Per costruire geometricamente il poligono regolare di n lati bisogna quindi determinare una tale espressione per le coordinate di ^^ e da questa ricavare una costruzione geometrica. Notiamo che a questo scopo e sufRciente considerare soltanto una coordinata, ad esempio cos ( ^ ) , essendo cos(x)^ + sin(x)^ = 1. (2) Per costruire geometricamente ^3 = ~"| + 2 ^' bast a tracciare nel piano di Gauss la perpendicolare all'asse reale per il punto — ^ ed intersecarla con la circonferenza unitaria. (3) Abbiamo visto che ^5 = i i i ± x ^ + i Vl2+2^^ (Esempio 9.2.11 (3)). Ora osserviamo che 2 cos ( ^ ) = ~^~2 ^ ^^ lunghezza della sezione aurea del segmento unitario (Paragrafo 11.1.1 (7)). Quindi, nel piano di Gauss, se OA e la sezione aurea del segmento unitario Of/ e M e il suo punto medio, ^5 e I'intersezione della retta per M perpendicolare all'asse reale con la circonferenza unitaria.

Figura 11.7. Costruzione del pentagono regolare: OA e la sezione aurea di OU

11.5 Costruibilita dei poligoni regolari

363

Per costruire un pentagono regolare di lato assegnato, si puo anche osservare die il lato di questo pentagono e uguale alia sezione aurea della diagonale (Esercizio 11.5). (4) Una costruzione del poligono regolare di 17 lati e stata data da Gauss nel 1796, all'eta di 18 anni. Egli ha dimostrato che 16cos(^j = - 1 + A/17+V34-2A/17

+ Y 68 + 12\/l7 - 16V 34 + 2VT7 - 2(1 - %/T7)y 34 - 2VT7. II poligono regolare di 257 lati e stato costruito da F. J. Richelot sul Crelle's Journal nel 1832. Un'altra costruzione e stata trovata con I'aiuto del calcolatore da C. Gottlieb nel 1999 [10]. Nessuna costruzione del poligono regolare di 65.537 lati e ancora nota. (5) Poiche i numeri 7, 11, 13 non sono primi di Fermat, allora i poligoni regolari di 7, 11, 13 lati non sono costruibili con riga e compasso. Per studiare il caso generale, abbiamo bisogno delle seguenti osservazioni. Lemma 11.5.4 Per n > 3, indichiamo con Vn '^l poligono regolare di n lati con centro neWorigine e con un vertice nel punto U = (1,0). (a) (b) (c) (d)

Se Vn ^ costruibile e m divide n, allora Vm ^ costruibile. Se Vm 6 Vn sono costruibili e MCD(m, n) = 1, allora Vmn ^ costruibile. Se Vn e costruibile, allora V2n ^ costruibile. V2k e costruibile per k >2.

Dimostrazione. Poniamo, per ogni n > 3, P^ •= Pn,i = (cos ( ^ ) , sin ( ^ ) ) . (a) Basta osservare che, se n = mk, allora ^ni = ^n- Quindi il punto Pm e un vertice del poligono Vn • (b) Se (p{n) e (p{m) sono uguali ad una potenza di 2 e MCD(m, n) = 1, si ha che (p{mn) = (p{m)(p{n) e ancora uguale ad una potenza di 2. Allora possiamo applicare la Proposizione 11.5.1. (c) Se Vn e costruibile, lo e anche il punto medio M del segmento UPn (Paragrafo 11.1.1 (1)). Poiche il punto P2n si ottiene intersecando la circonferenza Cou con la retta IZQM^ anche P2n c costruibile. (d) Si dimostra per induzione su fc, usando il punto (c) e tenendo conto del fatto che un quadrato e costruibile, perche P4 = (0,1) (Paragrafo 11.1.1 (6)). Teorema 11.5.5 (F. Gauss, 1801) Un poligono regolare con n lati e costruibile se e soltanto se n — 2^ oppure n = 2^pi.. .pm, dove k > 0 e Pi 5 • • • 5 Pm sono primi di Fermat.

364

11 Costruzioni con riga e compasso

Dimostrazione. Se n = 2^ oppure n = 2^pi .. .pm con p i , . . . ,Pm primi di Fermat, il poligono regolare con n lati e costruibile per il Teorema 11.5.2 ed i punti (b) e (d) del Lemma 11.5.4. Viceversa, supponiamo che il poligono regolare con n lati sia costruibile. Usando il Lemma 11.5.4 (a) e (d), bast a osservare che se n e dispari e n = Qi^ •' -Q^ ^ 1^ fattorizzazione di n in numeri primi, si deve avere ki = 1 per i = 1 , . . . , m ed i primi g'l,..., ^m devono essere primi di Fermat per il Teorema 11.5.2. Esempi 11.5.6 In relazione al Lemma 11.5.4 (b), sia MCD(m, n) = 1 e sia am + bn = 1 una identita di Bezout. Allora risulta -?- = a- -\-b—. Questo da un modo per costruire il punto Pmn a partire dai punti Pm e PnAd esempio, poiche MCD(3,5) = 1 e il triangolo e il pentagono regolare sono costruibili con riga e compasso, allora anche il poligono regolare di 15 lati e costruibile. Inoltre, essendo 2 - 3 — 5 = 1, allora j ^ = 2 | — | .

11.6 Esercizi 11.1. Costruire con riga e compasso un triangolo regolare ed un esagono regolare di lato assegnato. 11.2. Mostrare che e sempre possibile bisecare un angolo con riga e compasso. 11.3. Mostrare che il numero aureo r soddisfa le relazioni r ^ = r + l e r = 11.4. Con metodi di geometria plana elementare, mostrare che le costruzioni illustrate nell' Paragrafo 11.1.1 (7) producono effettivamente la sezione aurea di un segmento. 11.5. Mostrare che in un triangolo isoscele, se gli angoli alia base misurano 72 gradi, la base e uguale alia sezione aurea del lato ed invece, se gli angoli alia base misurano 36 gradi, il lato e uguale alia sezione aurea della base. Dedurne che tale triangoli sono costruibili con riga e compasso ed illustrare un metodo di costruzione. 11.6. Mostrare che le radici di un polinomio biquadratico a coefEcienti in Q sono numeri costruibili. 11.7. In caratteristica di versa da 2, sia F := FQ C Fi := Fo(7i) C . . . C F^ := Fm-i{jm) = K, una catena di ampliamenti radicali puri di indice 2. Mostrare che la chiusura normale di K su F ha grado uguale a una potenza di2. Soluzione: Poiche iV e il composto dei campi coniugati di K (Proposizione 5.2.10), se (pi := i(i, (/92,..., (pm sono gli isomorfismi di if in F , risulta N =

11.6 Esercizi (pi{K),,,(pm{K). Posto Lo := F, Ls := '^i{K).. otteniamo una catena di campi

365

.(ps{K), per s = 1 , . . . ,m,

Lo := F C Li = K C L2 C ... C Lm = N. Mostriamo che [Ls : Lg-i] e uguale a una potenza di 2, per 5 = 1 , . . . , m. Poiche ogni ampliamento di grado 2 di F e radicale, si ha JFC = F ( 7 i , . . . , 7^), con 7I e Fi-i per ogni i = l , . . . , n . Ne segue che Lg = I/s_i9:?s(K) = Ls-i{(ps{7i)^"'^^s{7n)), dove (/?s(70^ = ^silf) ^ ^s{Fi-i) per ogni i = 1 , . . . , n. Poiche v:?s(^) = F C Lg-i e ^s(i^2-i) = F{(ps{-fi),...,

(/:?s(72-i)) ^ Ls-i(v^s(7i), • • •. ^s(7i-i))

per i = 2 , . . . , n, otteniamo una catena di amphamenti di grado al piia uguale a2 Ls~l

^ Ls-l{(Ps{jl))

Q . . . ^ L3-l((^s(7l)) • • • , ^s(7n)) = ^s-

In conclusione, [Lg : Ls_i] e uguale a una potenza di 2 per 5 = 1 , . . . , m e anche [iV : F] e uguale a una potenza di 2. 11.8. Mostrare che le radici complesse del polinomio 4X^ — 4X + 3 hanno grado 4 su Q ma non sono numeri costruibili. Suggerimento: Procedere come nell'Esempio 11.3.4 (2). 11.9. Mostrare che il numero complesso a := x-^yi e costruibile se e soltanto se lo sono i numeri reali a + a e aa. 11.10. Sia a e C. Mostare che, se Q(a + a^aa) e un ampliamento normale di Q di grado uguale a una potenza di 2, allora il numero a e costruibile. Mostrare inoltre con un esempio che, se Q{a) e un ampliamento normale di Q di grado uguale a una potenza di 2, Q{a + a, aa) puo non essere normale su Q, dunque a puo essere costruibile senza che Q(a + a, aa) sia normale. Suggerimento: Considerare un elemento a tale che Q{a) = Q( v ^ , i). L'ampliamento Q(a) e normale, essendo il campo di spezzamento del polinomio X^ — 3, e Q{a + a, a a ) e il campo fisso del coniugio (Esercizio 7.4). Allora risulta Q(a + a, aa) = Q(\/3)). 11.11. Dimostrare che per n dispari il numero \/2 non e costruibile. 11.12. Stabilire se I'angolo di ampiezza ^ e costruibile con riga e compasso. 11.13. Stabilire se gli angoli di ampiezza uguale a 10 e 24 gradi sono costruibili con riga e compasso. 11.14. Determinare per quali valori di n < 30 il poligono regolare di n lati e costruibile con riga e compasso. 11.15. Dimostrare che il poligono regolare di n lati e costruibile se e soltanto se cos ( ^ ) e un numero costruibile.

366

11 Costruzioni con riga e compasso

11.16. Dimostrare che il poligono regolare di n lati e costruibile se e soltanto se cos ( ^ ) ha grado su Q uguale a una potenza di 2 Suggerimento: Mostrare che Q (cos ( ^ ) ) e un amphamento normale di Q ed usare poi I'esercizio precedente e il Corollario 11.2.5. 11.17. Dimostrare anahticamente che il lato del pentagono regolare e I'ipotenusa di un triangolo rettangolo in cui i cateti sono uno la sezione aurea dell'altro ed usare questo fatto per iscrivere con riga e compasso il pentagono regolare in una circonferenza.

Parte V

APPENDICI

12 Complementi di teoria dei gruppi

In questo capitolo ricorderemo brevemente alcuni risultati di Teoria dei Gruppi che abbiamo usato nel testo; in particolare richiameremo il concetto di azione di un gruppo su un insieme e dimostreremo alcune proprieta dei gruppi risolubili Per le nozioni di base e per approfondimenti si puo consultare [53] oppure [55].

12.1 Azioni di gruppi Se G e un gruppo moltiplicativo con elemento neutro e e X e un insieme, nn^azione di G su X e un'applicazione a: G X X —> X ;

{g, x) \-^ g{x)

tale che e{x) = x e gh{x) = g{h{x)), per ogni x e X e g, h e G. Se G agisce su X, anche ogni sottogruppo if di G agisce su X per restrizione. II gruppo T{X) delle applicazioni biunivoche di X in se (o trasformazioni di X) agisce in modo naturale su X, tramite I'azione

T{X)xX^X;

{f,x)^f{x),

per ogni / G T{X), x G X. In particolare il gruppo delle permutazioni S^ agisce naturalmente su un insieme con n elementi e, se A e una struttura algebrica, ogni gruppo di automorfismi di A agisce in modo naturale su A. II prossimo risultato mostra che se G agisce su X, G individua un sottogruppo di T(X). Proposizione 12.1.1 Sia G un gruppo che agisce suWinsieme X. Allora: (a) Per ogni g ^ G, la corrispondenza (fg : X —> X ;

X i-> g{x)

e biunivoca. Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

370

12 Complementi di teoria dei gruppi

(b) L^applicazione i^:G-^T{X);

g ^ ^g

e un omomorfismo di gruppi. Dimostrazione. (a) basta osservare che ^g-^ e I'applicazione inversa di ipg. (b) Segue dal fatto che (Pgh{x) = gh{x) = g{h{x)) = (pg(ph{x), per ogni g, heG e X e X. Se G agisce su X, per ogni elemento x e X, I'insieme S{x) := {g ^ G; g{x) = x} si chiama lo stabilizzatore di x. Si vede facilmente che S{x) e un sottogruppo di G. Se poi F e un sottoinsieme di X, poniamo S{Y) := ClyeY '^(y) ^ diciamo che S{Y) e lo stabilizzatore di Y. II nucleo deiromomorfismo -0 definito nella Proposizione 12.1.1 (b) e dato dagli elementi g G G tali che g{x) = x, per ogni x G X; quindi e lo stabilizzatore di X. Questo sottogruppo di G si chiama il nucleo delVazione. Si dice che I'azione di G su X e fedele, o che G agisce fedelmente su G, se il suo nucleo e banale, cioe se G e isomorfo ad un sottogruppo di T(X). Allora il gruppo quoziente G/S{X) agisce fedelmente su X con I'azione definita da

^

Six)

>X;

igSiX),x)^g{x).

Dato X G X, I'azione di G su X definisce anche I'insieme G{x) := {g{x); g E G}. Questo sottoinsieme di X si chiama Vorbita di x. Si dice che I'azione di G e transitiva, o che G agisce transitivamente o ancora che G e transitivo su X, se G(x) = X per ogni x G X, cioe se esiste un'unica orbita. In altre parole, G e transitivo su X se comunque scelti x. ?/ G X, esiste g ^ G tale che g{x) = y. Proposizione 12.1.2 Se G e un gruppo che agisce sulVinsieme X, la famiglia delle orbite degli elementi di X costituisce una partizione di X. Dimostrazione, Poiche e(x) = Xj x e G{x). Quindi le orbite ricoprono X. Se poi X G G{y) n G{z), allora h{y) = x = g{z) per qualche h^ g e G. Da cui y - h-^g{z) e G{z) e z = g-^h{y) e G(y). Percio G{y) = G{z). Esempi 12.1.3 (1) Se cr G S^, il sottogruppo G := (a) di S^ agisce in modo naturale su X := { 1 , . . . , n} e I'orbita di a: G X e G{x) = {cr(x),..., a^(x) = x}, dove m e I'ordine di a. Quindi le orbite degU elementi di X corrispondono ai cicli disgiunti di a. (2) Ogni gruppo G agisce transitivamente su se stesso per moltiplicazione sinistra G X G —> G; {g, x) i-> gx. Allora, per il Teorema 12.1.1 (b), G e isomorfo ad un sottogruppo di T{G). Questa proprieta e stata dimostrata da A. Caylay, nel 1854.

12.1 Azioni di gruppi

371

(3) Se F e un campo, il gruppo S^ agisce sull'anello dei polinomi in n > 2 indeterminate F[X] := F [ X i , . . . , X ^ ] (e sul campo delle funzioni razionali F(X)) ponendo S„ X F[X] - ^ F[X];

( a , / ( X ) ) ^ r ( X ) := / ( X , ( i ) , . . .,X,(„)).

In questo caso, I'applicazione

/(X)^r(X)

Va:F[X]^F[X], e un automorfismo e I'applicazione ^ : Sn—^

Ant{F[X]);

a ^

^^

e iniettiva (Proposizioni 2.7.1 e 2.7.10). Quindi Sn agisce fedelmente (ma non transitivamente) su F[K]. (4) Se f{X) G F[X] e un polinomio separabile, il gruppo di Galois di f{X) su F agisce fedelmente sull'insieme delle radici di f{X). Inoltre tale azione e transitiva se e soltanto se f{X) e irriducibile su F (Paragrafo 8.1). Proposizione 12.1.4 Sia G un gruppo che agisce sulVinsieme X. Allora, per ogni X e X, Vapplicazione definita da gS{x) ^ g{x) e un^applicazione biiettiva tra Vinsieme delle classi laterali sinistre dello stabilizzatore S{x) e Vorhita G{x) di x. In particolare, se G e finito, si ha \G{x)\ = [G : S{x)] e \G\ =

\G{x)\\S{x)\.

Dimostrazione. Basta osservare che g{x) = h{x) se e soltanto se g~^h{x) = x^ cioe g~^h e S{x). II seguente corollario e immediato. Corollario 12.1.5 Se G agisce su X eY C. X, g{y) = h{y) per ogni y EY se e soltanto se gS{Y) = hS{Y). 12.1.1 II coniugio e I'equazione delle classi Ogni gruppo G agisce su se stesso per coniugio ponendo GxG—>G;

{g,x)^

g{x) := gxg~\

L'elemento gxg~^ si chiama il coniugato di x rispetto a g. L'orbita di x G G sotto questa azione si chiama la classe di coniugio di a: e verra indicata con cl{x). Dunque le classi di coniugio formano una partizione di G (Proposizione

372

12 Complementi di teoria del gruppi

12.1.2). Lo stabilizzatore di x in G si chiama il centralizzante di x e si indica con C{x): C{x) :={g eG;

gxg~^ = x] = {g ^ G\ gx = xg).

Si verifica facilmente che I'applicazione 7^ : G —> G;

x H^ 9xg~^

e un automorfismo di G: esso si chiama V automorfismo interno definito da g. Quindi, per la Proposizione 12.1.1, si ha un'omomorfismo di gruppi ^l):G —> Aut(G);

g^lg

il cui nucleo e I'intersezione di tutti i centralizzanti. II nucleo di T/^ si indica con Z{G) e si chiama il centro di G: Z{G) := {g e G] gx = xg, per ogni x G G}. L'immagine di ^, ovvero il sottogruppo di Aut(G) formato da tutti gli automorfismi interni di G, si denota con Int(G). Allora Int(G) e canonicamente isomorfo al gruppo quoziente G/Z{G) ed agisce fedelmente su G ponendo Int(G) X G — > G ;

{-fg,x) ^ jg{x) = gxg~^.

Notiamo che G e abeliano se e soltanto se G = Z{G). Inoltre cl{x) = {x}

^

G = C{x)

^

xe

Z{G).

Allora, se G e un gruppo finito e yl e un sistema completo di rappresentanti delle classi di coniugio, si ha

J2

\d{x)\ = \Z{G)\.

xeAnz{G) Da cui,

|G| = J]|d(x)| = |Z(G)|+ xeA

Yl

M(^)l

xeA\z(G)

ed usando la Proposizione 12.1.4

\G\ = \Z{G)\+

Yl

IG--Cix)].

xeA\Z(G)

Quest'ultima espressione viene chiamata VEquazione delle Classi di G. Esempi 12.1.6 (1) Se cr := ( a i , . . . , am) G S^ e un m-ciclo, risulta T(JT~^ = ( r ( a i ) , . . . ,r{am))' Quindi due permutazioni sono coniugate se e soltanto se hanno la stessa struttura ciclica [53, Paragrafo 2.3.1].

12.1 Azioni di gruppi

373

(2) Verifichiamo I'equazione delle classi per il gruppo A5. Notiamo die i 5-cicli di S5 si ripartiscono in due classi di coniugio in A5. Infatti essi sono tutti coniugati in S5 ed il loro numero e 5!/5 = 24. Quindi il centralizzante in S5 di un 5-cido cr, avendo ordine 5, e C{a) = (a). Poiche C{a) C A5 ed ha indice 12 in A5, i coniugati di a in A5 sono 12. I 3-cicli di S5 sono 5!/3 = 20 e sono tutti coniugati in S5. Quindi il centralizzante in S5 di un 3-ciclo 7 e un sottogruppo C{j) di ordine 6, necessariamente isomorfo a S3. Ne segue die il centralizzante di 7 in A5 e (7(7) H A5 = (7). Poiche (7) ha indice 20 in A5, i 3-cicli sono tutti coniugati in A5. In modo analogo si vede che gli elementi di A5 del tipo {ab){cd), che sono 15, sono tutti coniugati in A5. Infine I'identita e autoconiugata. In definitiva, I'equazione delle classi per A5 dice che 60 = IA5I = 12 + 12 + 2 0 + 1 5 + 1. Ricordiamo che il gruppo alterno A5 e isomorfo al gruppo delle isometrie dell'icosaedro (o gruppo icosaedrale). L'icosaedro ha 20 facce triangolari, 30 spigoli e 12 vertici: ai 24 5-cicli di A5 corrispondono le rotazioni dell'icosaedro il cui asse passa per un vertice, ai 20 3-cicli le rotazioni il cui asse passa per il centro di una faccia ed infine agli elementi di tipo {ab){cd) le rotazioni il cui asse passa per il punto medio di uno spigolo. Inoltre, per dualita, A5 e anche isomorfo al gruppo delle isometrie del dodecaedro. Un gruppo G agisce per coniugio anche sull'insieme dei suoi sottogruppi, ponendo g{H) := fgiH) = gHg-' := {ghg-'; h e H}, per ogni sottogruppo H C G.Lo stabilizzatore di H si chiama il normalizzante di H in G, esso e il sottogruppo

N{H):={geG;gHg-'=H}, Un sottogruppo H di G si dice normale in G se gHg~^ = iJ, per ogni g ^ G, cioe se N{H) = G. In generale N{H) e il piii grande sottogruppo di G in cui H e normale (Esercizio 12.8). Dalla Proposizione 12.1.4 otteniamo che il numero dei sottogruppi di G coniugati ad i7 e uguale all'indice del normalizzante in G. Per finire mostriamo che, data una qualsiasi azione di G su X, gli stabilizzatori di due elementi che appartengono alia stessa orbit a sono coniugati. Proposizione 12.1.7 Sia G un gruppo che agisce suWinsieme X. Allora, per ogni geGexGX,siha S{gx) ^

gS{x)g-\

Dimostrazione. Sia h G S(x). Allora ghg~^{g{x)) — g{x)\ quindi gS[x)g~^ C S{gx). Viceversa, se s{g{x)) = sg{x) = g{x)^ si ha g~^sg G S{x) e quindi segS{x)g-''.

374

12 Complementi di teoria del gruppi

Esempi 12.1.8 (1) Se N{H) e il normalizzante di H di G, per ogni g ^ G^ risulta N{gHg-~^) = gN{H)g-\ (2) Se L C K e uii ampliamento di campi, il gruppo di Galois di K su L e lo stabilizzatore di L sotto I'azione naturale di Aut(i^). Allora, dati (/?, tp G Aut(if), dal Corollario 12.1.5 otteniamo che (p^^ = x(;\^ se e soltanto se (PG31L{K) — XPG31L{K) (Proposizione 7.3.5). Inoltre, per la Proposizione 12.1.7, Gal^(L)(K) =^(pG3lL{K)ip-^ (Proposizione 7.3.4). 12.1.2 p-gruppi finiti Se p > 2 e un numero primo, un gruppo di ordine uguale ad una potenza di p si chiama un p-gruppo finito. Usando I'Equazione delle Classi, possiamo ottenere utili informazioni su questi gruppi. Proposizione 12.1.9 Un p-gruppo finito ha centro non banale. Dimostrazione. Sia G un p-gruppo finito. Se G e abeliano, allora G = Z{G). Se no, esistono rappresentanti delle classi di coniugio che non appartengono a Z{G). Per tali elementi g^ I'indice del centralizzante [G : C[g)] e diverso da 1 e quindi e diviso da p. Consideriamo I'equazione delle classi di G:

|G| = |Z(G)|+

Y.

[G:C{g)l

geA\Z{G)

dove al solito yl e un sistema completo di rappresentanti per le classi di coniugio di G. Poiche p divide |G| e divide anche tutti gli addendi [G : C{g)] in cui g eA\Z{G), allorap divide \Z{G% cioe Z{G) ^ (e). Corollario 12.1.10 Un p-gruppo di ordine p^ e abeliano. Dimostrazione. Per la Proposizione 12.1.9, Z{G) ^ (e). Se Z{G) ^ G, allora |Z(G)| = p. D'altra parte, dato g ^ G\ Z{G), si ha G 2 G{g) e dunque anche |C'(5')| = p. Questo e impossibile perche C{g) 3 Z{G).

12.2 I teoremi di Sylow II Teorema di Lagrange per i gruppi finiti asserisce che 1'ordine di ogni sottogruppo divide I'ordine del gruppo. Ma, se d e un divisore positivo dell'ordine, il gruppo non ha necessariamente sottogruppi di ordine d. Esempi 12.2.1 II gruppo alterno A4 ha ordine 12 ma non ha sottogruppi di ordine 6. Infatti, si osservi che A4 contiene tutti i 3-cicli di S4, che sono 8. Dunque un eventuale suo sottogruppo H di ordine 6 non puo contenere tutti i 3-cicli. D'altra parte iJ, avendo indice 2, e normale in A4. Allora si puo scrivere A4/H = {H,aH}^ dove a e un 3-ciclo che non sta in H. Poiche la classe aH ha ordine 2, si ha che (aH)'^ = a^H = H. Dunque a^ = a~^ G H. Poiche H e un gruppo e a ^ H^ questo e impossibile.

12.2 I teoremi di Sylow

375

Nel seguito di questo paragrafo daremo alcune condizioni di sufEcienza affinche un gruppo finito abbia un sottogruppo di un certo ordine ammissibile. In particolare mostreremo che ogni gruppo finito ha un p-sottogruppo massimale per ogni divisore primo p del suo ordine. Questo risultato, che e fondamentale nella Teoria dei Gruppi finiti, e stato dimostrato da L. Sylow nel 1872. Nel 1845, A. L. Cauchy aveva precedentemente dimostrato che, se p divide I'ordine di G, allora G ha almeno un elemento, e quindi un sottogruppo, di ordine p. Teorema 12.2.2 (Teorema di Cauchy per i gruppi abeliani) SiaG un gruppo abeliano finito di ordine n > 2. Se p e un primo che divide n, allora G ha un elemento, e quindi un sottogruppo, di ordine p. Dimostrazione. Procediamo per induzione sull'ordine di G. Se |G| = 2, la proposizione e trivialmente vera. Sia ora \G\ = n > 2. Se G ha un elemento g di ordine pfc, allora g^ ha ordine p. Supponiamo percio che nessun elemento di G abbia ordine divisibile per p e, per ipotesi induttiva, che la proposizione sia vera per ogni gruppo abeliano di ordine strettamente minore di n. Fissiamo ^ G G, ^ 7^ e, e consideriamo il sottogruppo H := (g). II gruppo quoziente G/H e abeliano e ha ordine strettamente minore di n. Inoltre, p divide tale ordine. Infatti, sia m I'ordine di g. Allora p divide \G\ = \G/H\\H\ = \G/H\m e p non divide m. Dunque, per I'ipotesi induttiva, G/H ha un elemento xH di ordine p. Poiche {xHY — x^H = if, allora x^ G H e percio x^ = g^ per qualche r < m. Ora g^ ha ordine m/d, dove d = MCD(m, r). Allora x^/^ ^ e; altrimenti si avrebbe (xiJ)^/^ = x'^^^H = eH = H e p dividerebbe m/d, mentre p non divide m. Poiche {x'^/^f = (x^)^/^ = (^O"^^"^ = e, allora x^/^ e un elemento di G di ordine p. Usando il teorema precedente, possiamo subito dimostrare che i p-gruppi finiti e i gruppi abeliani finiti hanno un sottogruppo di ogni ordine ammissibile. Proposizione 12.2.3 Un p-gruppo G di ordine p'^, n>l, ha un sottogruppo Gk di ordine p^ per A; = 0 , . . . , n. Inoltre Gk e normale in G^+i per 0 < k < n. Dimostrazione. Procediamo per induzione snk.Se k = 1, allora il sottogruppo cercato e H := (e). Sia allora A: > 1 e supponiamo che I'asserzione sia vera per i gruppi di ordine p^~^. Per la Proposizione 12.1.9, il centro Z{G) e non banale; dunque Z{G) 7^ (e) ha ordine p^ con 1 < 5 < fc — 1. Poiche il centro e abeliano, per il Teorema 12.2.2, esso ha un sottogruppo N di ordine p e questo e un sottogruppo normale di G (perche gn = ng per ogni g^GeneNC Z{G)). Consideriamo il gruppo quoziente G/N. Questo gruppo ha ordine p^~^, percio ha un sottogruppo normale di ordine p^~^ per I'ipotesi induttiva. Tale sottogruppo e della forma H/N ^ dove iJ e un sottogruppo normale di G ed inoltre \H\ = \H/N\\N\ = p^~'^p = p^~^. Dunque H e il sottogruppo cercato.

376

12 Complementi di teoria dei gruppi

Proposizione 12,2A Sia G un gruppo abeliano finito di ordine n>2. e un divisore positivo di n, allora G ha un sottogruppo di ordine m.

Se m

Dimostrazione. Procediamo per induzione suH'ordine di G. Se |G| = 2, il teorema e trivialmente vero. Sia dunque |G| > 2 e supponiamo che il teorema sia vero per ogni gruppo abeliano di ordine strettamente minore di \G\. Consideriamo un divisore primo p di m. Allora p divide |G| e, per il Teorema 12.2.2, G ha un sottogruppo H di ordine p. II gruppo quoziente G/H e abeliano e ha ordine strettamente minore di |G|. Inoltre m/p divide tale ordine. Percio, per I'ipotesi induttiva, G/H ha un sottogruppo di ordine m/p. Questo sottogruppo e della forma K/H, dove K e un sottogruppo di G e, poiche \K\ — \K/H\\H\ = {m/p)p = m, K e il sottogruppo cercato. Affrontiamo ora il Primo Teorema di Sylow. Teorema 12.2.5 (Primo Teoreraia di Sylow, 1872) Sia G un gruppo finito di ordine p^s, dove m > 1 e p e un primo che non divide s. Allora G ha un sottogruppo di ordine p^. Dimostrazione. Procediamo per induzione suH'ordine di G. Poiche, per ipotesi, p divide I'ordine di G, il minimo ordine possibile per G e p. In questo caso il teorema e trivialmente vero. Sia dunque \G\ = n — p^s come nelle ipotesi e supponiamo che il teorema sia vero per ogni gruppo il cui ordine e diviso da p ed e strettamente minore di n. Consideriamo I'equazione delle classi di G:

|G| = |Z(G)|+

Y.

[G:C{g%

geA\Z{G)

dove al solito A indica un sistema completo di rappresentanti per le classi di coniugio di G. Se p non divide uno degli addendi [G : G(^)], con g ^ ^(G), allora p'^ divide \C{g)\ ed e la massima potenza di p con questa proprieta (perchep^s = \G\ = [G : G(^)]|G(^)|). Poiche^ ^ Z(G), alloraG(^) haordine strettamente minore di n e dunque, per I'ipotesi induttiva, ha un sottogruppo di ordine p^. Questo sottogruppo e chiaramente anche un sottogruppo di G. Se p divide tutti i fattori [G : G(^)], con g ^ Z(G), allorap divide |^(G)|. Poiche Z{G) e abeliano, per il Teorema 12.2.2, esso ha un sottogruppo N di ordine ped N e normale in G. Consideriamo il gruppo quoziente G/N. Questo gruppo ha ordine p'^''^s e p non divide s. Per I'ipotesi induttiva, allora G/N ha un sottogruppo di ordine p'^~^. Tale sottogruppo e della forma H/N, dove H e nn sottogruppo di G ed inoltre |7^| = \H/N\\N\ = p^~^p — p^. Dunque H e il sottogruppo cercato. Corollario 12.2.6 Sia G un gruppo finito. Se p e primo e p^ divide Vordine di G, 1 < k, G ha un sottogruppo di ordine p^. Dimostrazione. Segue dal Primo Teorema di Sylow (Teorema 12.2.5) e la Proposizione 12.2.3.

12.3 Gruppi risolubili

377

CoroUario 12.2.7 (L. Cauchy, 1845) Sia G un gruppo finito. Se p e un primo che divide Vordine di G, allora G ha un sottogruppo, ovvero un elemento, di ordine p. Se |G| = p'^s, dove p e un primo che non divide s e m> 1, un sottogruppo di G di ordine p ^ , esistente per il Teorema 12.2A, si chiama un p-sottogruppo di Sylow, o semplicemente un p-Sylow di G. Sylow dimostro importanti proprieta di questi sottogruppi, utili ad esempio per studiare la classificazione e la struttura dei gruppi finiti. Per completezza enunciamo quelli che vanno sotto il nome di Secondo e Terzo Teorema di Sylow; per la dimostrazione si puo vedere [53, Teorema 3.28]. Teorema 12.2.8 (Secondo Teorema di Sylow) Sia G un gruppo finito. Allora (a) Ogni p-sottogruppo di G e contenuto in un p-sottogruppo di Sylow; (b) Tutti i p-sottogruppi di Sylow di G sono coniugati. Teorema 12.2.9 (Terzo Teorema di Sylow) Sia G un gruppo finito di ordine p^s, dove m > 1 e p e un primo che non divide s. Allora il numero dei p-sottogruppi di Sylow di G divide s ed e congruo a 1 modulo p. Esempi 12.2.10 (1) Poiche tutti i p-Sylow di un gruppo G sono coniugati, il loro numero uguaglia I'indice del normalizzante di uno qualsisi di essi (Proposizione 12.1.4). (2) II gruppo S4 ha ordine 24 = 2^3. Esso ha percio 4 3-Sylow, ciclici di ordine 3, e 3 2-Sylow, diedrali di ordine 8. II normalizzante del 3-Sylow {{abc)) ha ordine 6, quindi e il sottogruppo ((a6c), (a&)), isomorfo ad S3. II normalizzante di un 2-Sylow H ha ordine 8 e quindi coincide con H. (3) I p-Sylow di Sp sono tutti e soli i sottogruppi di ordine p. Poiche il normalizzante di un p-Sylow di Sp ha ordine p{p — 1) (Proposizione 9.5.1), il numero dei p-Sylow di Sp e {p — 2)1. Notiamo che questi p-Sylow sono ciclici e tutti tra loro coniugati (Secondo Teorema di Sylow). Poiche un p-ciclo genera un p-Sylow, ogni elemento di ordine p di Sp e un p-ciclo. (4) Un gruppo abeliano ha un unico p-Sylow, per ogni divisore primo p del suo ordine. Infatti tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano sono normali e quindi autoconiugati.

12.3 Gruppi risolubili Una catena finita di sottogruppi di un gruppo G

378

12 Complementi di teoria del gruppi

si chiama una serie normale di G se Ni e un sottogruppo normale di A^^-i, per i = 1 , . . . , m. L'intero m si chiama la lunghezza della serie e i gruppi quozienti Ni-i/Ni si chiamano i fattori della serie. Una serie normale aheliana (rispettivamente ciclica) di G e una serie normale i cui fattori Ni-i/Ni sono tutti abeliani (rispettivamente ciclici). Un gruppo G si dice risoluhile se e non banale ed ha una serie normale abeliana. Una classe importante di gruppi risolubili e data dai p-gruppi finiti. CoroUario 12.3.1 Un p-gruppo finito e risoluhile. Dimostrazione. Per la Proposizione 12.2.3, un gruppo G di ordine p'^^ n> 1, ha una catena di sottogruppi G = Gn2Gn-i2"'^GiDGo

= {e),

dove Gk ha ordine p^ ed e normale in G/c-f i per A: = 0, • • • , n — 1. Poiche i gruppi quozienti Gk-^i/Gk hanno ordine p, essi sono ciclici. Ne segue che G e risoluhile. Esempi 12.3.2 (1) Dalla definizione segue subito che ogni gruppo abeliano non banale e risoluhile. Infatti una sua serie normale abeliana e ad esempio GD(e). (2) Tutti i gruppi diedrali sono risolubili. Ricordiamo che, per n > 3, il gruppo diedrale di grado n, che indichiamo con D^, e il gruppo delle isometric del poligono regolare di n lati. T>ri ha ordine 2n ed e generato dalla rotazione p di angolo 27r/n attorno al centro del poligono e da una riflessione rispetto ad un asse. II sottogruppo N := (p) ha indice 2 in D^ e dunque e normale. II quoziente T>ri/N, avendo due elementi, e abeliano. Inoltre N e abeliano. in conclusione, una serie normale abeliana per D^ e

Bn^N={p)

D{id).

(3) I gruppi di permutazioni S3 e S4 sono risolubili. Una serie normale abeliana per S3 e: S3 2 A3 2 ((1)); infatti S3/A3 = Z2 e A3 e cichco di ordine 3. Una serie normale abeliana per S4 e:

dove V4 := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Infatti S4/A4 ^ Z2 e A4/V4 ^ Z3 sono abeliani. (4) W. Burnside ha dimostrato che tutti i gruppi di ordine p^q^^ dove p e q sono due primi distinti e n, m > 1, sono risolubih (1904) ed ha congetturato

12.3 Gruppi risolubili

379

che tutti i gruppi finiti di ordine dispari fossero risolubili. Quest a congettura di Burnside e stata poi risolta in positive da W. Feit - J. G. Thompson {Solvability of groups of odd order, 1963). (5) Si puo dimostrare che i gruppi di ordine strettamente minore di 60 sono tutti risolubili. Dimostriamo ora, come in [1, Paragrafo III, B], la non risolubilita di S^ e An per n > 5. Teorema 12.3.3 / gruppi S^ ed A^ non sono risolubili per n > 5. Dimostrazione. Sia n > 5. Supponiamo che G := S^ oppure G := A^ e consideriamo una qualsiasi catena di sottogruppi di G: G := HQ D Hi ^ ... ^ Hjn-i 2 Hm 2 . . . dove, per ogni i > 1, Hi e normale in Hi^i e il gruppo quoziente Hi-i/Hi e ciclico. Mostriamo, per induzione su z, che ogni Hi contiene tutti i 3-cicli di Sn e percio la catena non puo essere finita. Se i = 0 I'asserzione e banalmente vera. Supponiamo che iJ^-i contenga tutti i 3-cicli e consideriamo x := {abc), y := (cde) G i^i-i, dove {a, 6, c, d, e} = {1,2,3,4,5}. Sia n : i^i-i —> Hi-i/Hi la proiezione canonica. Poiche il gruppo Hi-i/Hi e commutativo, si ha Trix-'^ y-^xy) Allora x~^y~^xy {1,2,3,4,5}.

= 7r{x)~'^7r{y)~^7r{x)7T{y) = (1).

= {cba){edc){abc){cde) = (cbe) e Hi per ogni c, 6, e G

La proposizione seguente fornisce utili criteri per stabilire se un gruppo e risolubile. Proposizione 12.3.4 Sia G un gruppo finito. (a) Se G e risolubile, ogni sottogruppo di G e risolubile. Inoltre, sia N un sottogruppo normale proprio di G. (b) Se G e risolubile, il gruppo quoziente G/N e risolubile; (c) Se N e G/N sono risolubili, G e risolubile. Dimostrazione. (a) Sia G risolubile e G = NQ D Ni D • -- D Nr-i 2 ^ r = (e) una serie normale abeliana di G. Sia H un sottogruppo di G. Consideriamo la catena di sottogruppi: H^NinHD-'-D

Nr-i nHDNrnH=

(e).

Poniamo Hi := NiH H, i = 1 , . . . ,r. Allora Hi e normale in Hi-i, perche Ni normale in A^^-i. Mostriamo ora che i quozienti Hi-i/Hi sono abeliani. Osserviamo che Hi = NiH {Ni-i f) H) = Ni f] Hi-i e dunque

380

12 Complementi di teoria dei gruppi

iJ,_i//f, = i/,-i/(7V. n Hi^i) ^ {Hi_iNi)/N,

C 7V,_i/iV,.

Poiche Ni-i/Ni e abeliano, allora anche Hi-i/Hi lo e. In conclusione H ha una serie normale abeliana di lunghezza al piu uguale a r. (b) Sia G risolubile e G = No D Ni D --- D Nr-i ^ Nr = (e) una serie normale abeliana di G. Sia N un sottogruppo normale di G, TT : G —> G/N la proiezione canonica, e consideriamo la catena 7r(G) = G/N D n{Ni) 2 • • • 2 7r(A^^_i) D 7r(iV^) -

{N}

(dove 7T{Ni) = {NNi)/N). Poiche Ni e normale in A^i_i, 7r(A^^) e normale in 7r(A^i_i), i = l , . . . , r . Per mostrare che i quozienti 7r{Ni_i)/7r{Ni) sono abeliani, consideriamo I'applicazione / : iV,_i/Ar, —> 7r(iV,_i)/7r(Ar,);

xiV, -^ 7r{x)7r{Ni).

Si verifica subito che / e un omomorfismo suriettivo di gruppi. Dunque 7T{Ni-i)/7T{Ni) e un quoziente del gruppo abeliano Ni-i/Ni e, in quanto tale, e anche esso abeliano. Ne segue che G/N hsi una serie normale abeliana di lunghezza al piii uguale a r. (c) Sia A^ un sottogruppo normale di G. Se A^" e G/N sono risolubili, esistono due serie normali abeliane N = Ho^Hi^--'D

Hr-i ^Hr

= (e)

e G/N 2 Ki/N

2 • • • 2 Ks-i/N

2 Ks/N = (N).

Consideriamo la catena G 2 Ki 2 • • • 2 Ks-i 2Ks

= N = Ho^HiD"'D

Hr-i ^Hr

= (e).

Poiche Ki/N e normale in Ki-i/N^ allora Ki e normale in K^-i, per i — I,--- ,5. Inoltre i quozienti Ki-i/Ki = {Ki-i/N)/Ki/N sono abeliani per i = 1, • • • , s. Dunque G e risolubile. Corollario 12.3.5 II prodotto diretto di un numero finito di gruppi risolubili e risolubile. Dimostrazione. SeG = HxK,He normale in G e G/H = K. Quindi se H e K sono risolubili, anche G lo e per la Proposizione 12.3.4 (c). Poi si puo concludere per induzione sul numero dei fattori. 12.3.1 Gruppi semplici Lo studio dei gruppi risolubili e strettamente collegato con lo studio dei gruppi semplici. Un gruppo si dice semplice se e non banale e non ha sottogruppi normali propri. Segue subito dalle definizioni che un gruppo semplice che non e abeliano non puo essere risolubile.

12.3 Gmppi risolubili

381

Proposizione 12.3.6 Le seguenti condizioni sono equivalenti per un gruppo finito G: (i) G e abeliano e semplice; (ii) G e ciclico di ordine primo. Dimostrazione. (i) =^ (ii) Poiche ogni sottogruppo di un gruppo abeliano e normale, un gruppo abeliano semplice G e privo di sottogruppi propri. Allora G deve essere generato da ogni suo element o di verso dall'element o neutro e percio e ciclico. Se poi il suo ordine non fosse primo, esso avrebbe sottogruppi propri e allora non sarebbe semplice. (ii) =^ (i) segue dal Teorema di Lagrange. Esempi 12.3.7 (1) Ogni gruppo non abeliano di ordine strettamente minore di 60 non e semplice (infatti si puo mostrare che esso e risolubile). (2) II gruppo alterno A5 e semplice (Eserciziol2.13) ed inoltre e I'unico gruppo semplice di ordine 60, a meno di isomorfismi [53, Esempio 3.40 (3)]. Dalla semplicita di A5 segue, per per la Proposizione 12.3.4 (a), la non risolubilita di S5 e piii in generale di S^ per n > 5. (3) Tra i gruppi infiniti, un esempio di gruppo semplice e il gruppo quoziente 6'L2(M)/Z, dove 5^2 (M) e il gruppo speciale lineare di grado 2 (cioe il gruppo delle matrici 2 x 2 invertibili con determinante uguale a 1) e Z e il suo centro (che e costituito dalla matrice unitaria I2 e dalla sua opposta —12) [55, Chapters]. Una serie normale di un gruppo G i cui fattori sono tutti gruppi semplici si dice una serie di composizione di G. Una tale serie (se esiste) ha lunghezza massimale tra tutte le serie normali di G ed e essenzialmente unica per i Teoremi di C. Jordan (1868) e O. Holder (1889), nel senso che due serie di composizione di G hanno stessa lunghezza e i corrispondenti fattori sono gruppi isomorfi [53, Teorema 2.62]. Poiche, come vedremo subito, ogni gruppo finito non banale ha sempre una serie di composizione, i gruppi semplici possono considerarsi come le componenti essenziali dei gruppi finiti. La classificazione dei gruppi semplici finiti e stata completata soltanto all'inizio di questo secolo, dopo aver impegnato i matematici per piu di cento anni. Proposizione 12.3.8 Sia G un gruppo finito non banale. Allora (a) G ha una serie di composizione; (b) Se G e risolubile, ogni sua serie normale abeliana si pud raffinare a una serie di composizione. Dimostrazione. (a) Se G e semplice, una sua serie di composizione e G 3 (e). Procediamo per induzione sull'ordine di G. Se |G| = 2, G e semplice. Supponiamo \G\ > 3. Se G non e semplice, esso ha un sottogruppo normale proprio A/', che possiamo scegliere di ordine massimale. Per I'ipotesi induttiva, N ha una serie di composizione

382

12 Complementi di teoria dei gruppi NDNi

2 - - - 2 A ^ m = (e).

Inoltre G/N e semplice per la massimalita di N. Quindi GDND'"DNm

= {e)

e una serie di composizione per G. (b) Sia G := iVo 2 ^ 1 2 • • • 2 Nm-i 2Nm = (e> una serie normale abeliana di G. Poiche Ni-i/Ni e abeliano, per i = 0 , . . . , m, ogni sottogruppo proprio H' di Ni^i/Ni e abeliano e normale. Ponendo H' := H/Ni, con H un sottogruppo di G contenente Ni, si ottiene die AT^-i 2 H ^ Ni, H e normale in A^^-i e A^f e normale in H. Inoltre i quozienti Ni^i/H ^ {Ni_i/Ni)/H' e H/Ni =: W sono abeliani. Poiche G e finito, dopo un numero finito di passi si ottiene una catena G = i^o 2 ^ 1 2 • • • 2 Hr-i 2Hr = (e) di sottogruppi tali che Hi sia normale in Hi-i e i gruppi quoziente non abbiano sottogruppi propri, cioe siano semplici.

Hi-i/Hi

Proposizione 12.3.9 Un gruppo finito e risoluhile se e soltanto se ha una serie normale ciclica i cui fattori hanno tutti ordine prim.o. Dimostrazione. Se il gruppo G e risolubile ogni sua serie normale abeliana si puo raffinare a una serie di composizione (Proposizione 12.3.8). I fattori di quest a serie, essendo semplici e abeliani sono ciclici di ordine primo (Proposizione 12.3.6). II viceversa e ovvio.

12.4 Gruppi abeliani finiti Vogliamo mostrare in questo paragrafo che ogni gruppo abeliano finito e prodotto diretto di p-gruppi ciclici, il cui ordine e univocamente determinato. Proposizione 12.4.1 Ogni p-gruppo abeliano finito e un prodotto diretto di sottogruppi ciclici. Dimostrazione. Sia G un p-gruppo abeliano finito e sia ^ G G un elemento di ordine massimo n := p^. Se G non e ciclico, G ^ C '.— {g). Sia H C G un sottogruppo del massimo ordine possibile tale che GHH — {e}. Poiche G e abeliano, HC e un sottogruppo di G isomorfo al prodotto diretto H x G. Mostriamo che G = HG. Poiche H e nn p-gruppo di ordine inferiore a quello di G, potremo poi concludere per induzione sull'ordine. Supponiamo che HG 7^ G e sia x G G \ HG. Poiche 1'ordine di x e uguale ad una potenza di p al piu uguale ad n := p ^ , si ha x^ = e G HG. Allora esiste s < m tale che x^^ G HG e y := x'^^ ^ HG. Poiche y^ G HG, possiamo

12.4 Gruppi abeliani finiti

383

scrivere y^ = hg^ ^ con h e H et eZ. Notando che y'^ — (hg^Y'l^ = e, vediamo che Q^^I'P e COH = {e}. Da cui otteniamo che p divide t (perche g ha ordine n :— p^) e, scrivendo t = p/c, che y^ = hg'^^. Allora {yg^~^)^ = h e H ma, dal momento che y ^ HC, z := yg^~^ ^ H. Ne segue che H C (i7, z) e, per la massimahta di H^ C H {H^ z) ^ {e}. Sia g^ G {H^ z), ^^ ^ e, e scriviamo ^a ^ ^^h ^ uy^gb{n-k)^ con u e H e a, b e Z. Ora y^ = u-^g""^^^ e HC e yP e HC. Inoltre p non divide 6, altrimenti z^ = {yg'^'^Y'' = h"" e H, da cui g^ ^ H e g^ — e. In conclusione, scrivendo 1 — ha -{- p^^ otteniamo y = y^^yPf^ e HC, in contraddizione con la scelta y ^ HC. La decomposizione di un p-gruppo finito nel prodotto diretto di sottogruppi ciclici non e unica, ad esempio un gruppo di Klein e prodotto diretto di due qualsiasi suoi sottogruppi propri. Mostriamo che tuttavia gli ordini delle componenti sono univocamente determinati. Proposizione 12.4.2 Sia G un p-gruppo abeliano finito. Se G e prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine p " ^ , . . .,p^^, con ai > a2 > • - - > ak > I, la succesione di interi ( a i , . . . , a/c) e univocamente determinata. Dimostrazione. Supponiamo che G abbia ordine p'^ e procediamo per induzione sull'ordine di G. Poiche G e abeliano, I'insieme G^ := {gP; g G G} e un sottogruppo proprio di G ed inoltre, se i7 e un sottogruppo ciclico di G di ordine p^, HP e un sottogruppo cilico di H di ordine p^~^. Supponiamo che G si possa scrivere in due modi diversi come prodotto di p-gruppi ciclici e siano (ai,...,afc),

{bi,...,bh)

le relative successioni di interi, con ai > • • • > a/e > 1, 6i > • • • > 6/^ > 1 e ai H \-ak = n = bi-\ h ^/c- Allora anche GP si puo scrivere in due modi diversi come prodotto di p gruppi ciclici le cui successioni di interi relative sono (ai - 1 , . . . , a^ - 1), (6i - 1 , . . . , 6s - 1) dove r
\- ar -\- {k — r)p = n = ai +

\- ar -\- {h — r)p

da cui /i = fc e a^ = bi per 1 < i < h. Un p-gruppo G di ordine p^ che e isomorfo al prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine p ^ ^ , . . . ,p"'^ con ai > • • • > a/., si dice di tipo (p^^,.. .,p^^) e le potenze p^^,.. .,p^^ si chiamano i divisori elementari di G. Una succesione di interi ( a i , . . . , Ok) tale che ai > • • • > a^ e ai H ha/c = n si chiama una partizione di n. CoroUario 12.4.3 // numero delle classi di isomorfismo deip-gruppi abeliani finiti di ordine p^ e uguale al numero delle partizioni di n.

384

12 Complementi di teoria dei gruppi

Esempi 12 A A Ogni p-gruppo di ordine p'^ e abeliano (Corollario 12.1.10), quindi e ciclico oppure e isomorfo a Zp x Zp. Un gruppo abeliano di ordine 2^ = 8 e isomorfo ad uno dei gruppi Zg, Z2 X Z 4 , Z2 X Z 2 X Z 2 .

Ogni gruppo abeliano finito ha un unico p-sottogruppo di Sylow, per ogni divisore p del suo ordine (Esempio 12.2.10 (4)). Questo sottogruppo e un pgruppo abeliano, che e costituito da tutti gli elementi di G di ordine uguale ad una potenza di p e che si chiama la. p-esima componente del gruppo. Mostriamo che un gruppo abeliano finito e prodotto diretto delle sue p-esime componenti. Lemma 12.4.5 Sia G un gruppo abeliano di ordine n = ab, con MCD(a, b) = 1. Allora G e prodotto diretto di due sottogruppi di ordine a e b rispettivamente. Inoltre G e ciclico se e soltanto se questi due sottogruppi sono ciclici. Dimostrazione. Siano H e K due sottogruppi di G di ordine a e b rispettivamente, esistenti per la Proposizione 12.2 A. Se MCD(a, &) = 1, si ha che H n K = {e} e quindi che il sottogruppo HK di G ha ordine ab — n. Percio G = HK e prodotto diretto di H e K. Se H e K sono ciclici, generati da, x e y rispettivamente, il prodotto xy ha ordine ab (perche xy — yx) e genera G = HK. Viceversa, se G e ciclico, anche tutti i suoi sottogruppi lo sono. Proposizione 12.4.6 Ogni gruppo abeliano finito e il prodotto diretto delle sue p-esime componenti. Dimostrazione. Sia n — p\^ .. .p^ I'ordine di G, dove p i , . . • ,Pm sono numeri primi distinti. Indichiamo con Pi la p^-esima componente di G, i = 1 , . . . , m. Poiche Pi ha ordine pl^ e MCD(n/p^\p^^) = 1, per il Lemma 12.4.5, G e prodotto diretto di Pi ed un sottogruppo Hi di ordine rii := n/p\^. Dal momento che P2 ^ Hi e anche la p2-esima componente di Hi e MCD{ni/p2^ ,P2^) = 1, proseguendo in questo modo si ottiene che G e prodotto diretto dei suoi sottogruppi Pi. Corollario 12.4.7 Ogni gruppo abeliano il cui ordine e un prodotto di numeri primi distinti e ciclico. Dimostrazione. Le p-esime componenti di G hanno ordine primo e percio sono gruppi ciclici. Allora G, come prodotto diretto di gruppi ciclici di ordini coprimi e ciclico (Lemma 12.4.5 e Proposizione 12.4.6). Possiamo finalmente enunciare il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti. Teorema 12.4.8 (Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti) Sia G un gruppo abeliano di ordine n = p^ .. .p^, dove p i , . •. ,Pm sono numeri primi distinti. Allora G e prodotto diretto di pi-sottogruppi ciclici, di ordine univocamente determinato.

12.4 Gruppi abeliani finiti

385

Dimostrazione. G e prodotto diretto delle sue p-esime componenti, che sono Pi-gruppi abeliani univocamente determinati (Proposizione 12.4.6). A loro volta, le p^-esime componenti di G sono prodotto diretto di p^-gruppi ciclici, i cui ordini sono i loro divisori elementari e quindi sono univocamente determinati (Proposizioni 12.4.1 e 12.4.2). 12.4.1 II gruppo delle unita di Z^i Per n > 2, indichiamo con U{Zn) I'insieme degli elementi invertibili dell'anello Zn delle classi resto modulo n. Questo insieme e un gruppo moltiplicativo di ordine (p{n)^ dove cp : N —> N e la funzione di Eulero (Esempio 1.2.1). Per il Teorema Cinese dei Resti, se n = p^^ ---P^ ^ 1^ fattorizzazione di n in numeri primi distinti, Z^ e isomorfo al prodotto diretto di anelli Zp^i X • • • X Z p ^ e quindi W(Z^) e isomorfo al prodotto diretto di gruppi moltiplicativi W(Zpei) x • • • xZY(Zp^) (Esempio 1.3.9 (2)). Quindi per determinare la struttura di U{Zn) bast a considerare il caso in cui n sia potenza di un numero primo p. Teorema 12.4.9 (a) U{Zpm) e un gruppo ciclico di ordine p^~^ [p — 1)^ per ogni primo p ^ 2 e m>l. (b) U{2i2m) = (—1, 5) = Z2 X Ij2m-2, per ogni m>3, (c) ZY(Z4) = { T , 3 } ^ Z 2 . Dimostrazione. (a) Sia p j^ 2 e G := U{Zpm). Se m = 1, G := U{Zp) = F* e ciclico di ordine p — 1 (Proposizione 4.3.5). Se m > 2, G ha ordine ip(p^) = p ^ - i {p - 1). Poiche M C D ( p ^ - \ p - 1) = 1, G e prodotto diretto di un sottogruppo P di ordine p'^~^ (la sua p-esima componente) e di un sottogruppo H di ordine p — 1. Bastera allora mostrare che P e H sono gruppi ciclici (Lemma 12.4.5). Notiamo che H e costituito esattamente dagli elementi di G il cui ordine divide p — 1, perche G = PH e P Ci H = {e}. Se a G Z e tale che a = 1 modp"^, allora a = 1 mod p. Percio, se la classe di a modulo p genera il gruppo U{Zp), anche la classe di a modulo p ^ ha ordine p — 1 in G e quindi genera H. Mostriamo ora che la classe di b := 1 + p modulo p^ ha ordine p"^~^ e quindi genera P. Per questo, bastera verificare che b^"^ ^ 1 modp'^. Infatti, per induzione su n > 0, applicando la formula del binomio si vede che 6^^=(l+p)P^ = l + p - + i

modp"+^

(b) II gruppo W(Z2m) ha ordine v^(2"^) = 2^~^, quindi e un 2-gruppo. Per induzione su m > 3, applicando la formula del binomio, si ha 52

=(1+4)2

= 1 + 2^-^

mod 2 ^ .

Poiche 5^""^ = ^ - 1 + 1 ^ 1 mod 2 ^ , allora 5 ha ordine 2^ per m - 2 < s < m — 1. Inoltre —1 ha ordine 2. Mostriamo che (—1) Pi (5) — 1. Supponiamo

386

12 Complementi di teoria dei gruppi

che 5^ G ( ^ > n (5), ovvero 5^ = - 1 mod 2^. Poiche m > 3, allora 5* = - 1 mod 4, ma questo e impossibile perche 5 = 1 mod 4. Allora (—1,5) = Z2 x Ij2m-2 e un sottogruppo di U{IJ2^) di ordine uguale almeno a 2^~^ e quindi coincide con tutto U{Z2m). (c) e immediato.

12.5 Esercizi 12.1. Sia G un gruppo e siano H, K sottogruppi di G. Mostrare che: (a) Se G e finito e MCD(|i7|, \K\) = 1, H n K = {e}; (b) HK := {hk; h G H^k ^ K} e un sottogruppo di G se e soltanto se HK = KH; (c) Se H e normale in G, allora HK = {H U K) e un sottogruppo di G; (d) Se H e K sono normali in G, allora HK e un sottogruppo normale di G; (e) Se H e K sono normali in G e i J f l i ^ = {e}, allora hk = kh^ comunque scelti h e H e k e K. 12.2. Mostrare direttamente che il centro di un gruppo G e un sottogruppo normale di G. 12.3. Determinare il centro del gruppo GL2{F) delle matrici quadrate 2 x 2 a coefficienti nel campo F. 12.4. Sia Z il centro del gruppo G. Mostrare che, se il gruppo quoziente G/Z e ciclico, allora G e abeliano. 12.5. Determinare i centralizzanti degli elementi di S4. 12.6. Dopo avere identificato il gruppo diedrale D4 delle isometric del quadrato con un sottogruppo di S4, determinare due elementi di D4 che sono coniugati in S4 ma non in D4. 12.7. Sia G un gruppo e sia G(x) il centrahzzante dell'elemento x e G, Mostrare che (a) C{x) = C{(p{x)), per ogni ip e Aut(G): (b) C{x) e normale in G se e soltanto se C{x) = C{gxg~^), per ogni g ^G. 12.8. Siano G un gruppo, H un sottogruppo di G e sia N :— N{H) :— {g G G]gHg~^ — H} il normalizzante di H in G. Mostrare direttamente che: (a) N e un sottogruppo di G; (b) if e un sottogruppo normale di iV; (c) Se iC e un sottogruppo di G e iiT e normale in K, allora K C K; (d) H e normale in G se e soltanto se AT = G.

12.5 Esercizi

387

12.9. Mostrare che: (a) Se H := {(1), (12), (34), (12)(34)} C S4, allora il normalizzante di H in S4 e il sottogruppo di ordine 8 generate da (34), (1324). (b) Se H := V4 := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} C S4, allora il normalizzante di if in S4 e S4 stesso. (c) Se if := ((123)) C A4 C S4, allora il normalizzante di i7 in A4 e iiT stesso, mentre il normalizzante di iJ in S4 e il sottogruppo N := ((123), (12)). 12.10. Mostrare che, se 7 e un n-ciclo di Sn, il normalizzante del sottogruppo (7) ha nip{n) elementi. 12.11. Determinare tutti i sottogruppi transitivi di S4 e S5. 12.12. Mostrare che i 3-cicli di S4 si ripartiscono in due classi di coniugio in A4, mentre, se n > 5, i 3-cicli di Sn formano un'unica classe di coniugio in A

12.13. (a) Mostrare che un sottogruppo normale di un gruppo G e unione di classi di coniugio di G. (b) Determinare le classi di coniugio di A5. (c) Usando (a), mostrare che A5 e semplice, cioe non ha sottogruppi normali propri. Suggerimento: Per (b), usare I'Esempio 12.1.6 (2). 12.14. Verificare I'equazione delle classi per il gruppo D4 delle isometric del quadrato. 12.15. Verificare Pequazione delle classi per il gruppo M:={l,i,j,k,-l,-i,-j,-k} delle unitd dei quaternioni (Esercizio 1.9). 12.16. Mostrare che un gruppo di ordine 6 e ciclico oppure isomorfo a S3 12.17. Sia G un gruppo finito di ordine qp'^, dove p e q sono due primi tali che q < p e n > 1. Mostrare che G ha un unico p-sottogruppo di Sylow e dedurne che esso e normale in G. Suggerimento: Usare il Terzo Teorema di Sylow. 12.18. Mostrare che ogni gruppo di ordine qp^, con p e q due primi distinti tali che ql,e risolubile. Suggerimento: Usare il precedente Esercizio 12.17, la risolubilita dei pgruppi finiti (Proposizione 12.3.1) e la Proposizione 12.3.4 (3). 12.19. Mostrare che ogni gruppo di ordine pg, dove p e q sono due primi tali che q < p e q non divide p — 1, e un gruppo ciclico. 12.20. Determinare tutte le serie normali abeliane di S3, M, D4. Stabilire inoltre quale tra esse e la serie di composizione.

388

12 Complementi di teoria dei gruppi

12.21. Determinare la serie di composizione del gruppo diedrale D5 delle isometrie del pentagono regolare. 12.22. Sia G un gruppo, comunque scelti a^b e G, poniamo [a, 6] := a~^b~^ab. L'elemento [a, b] si chiama il commutatore di a e 6 ed il sottogruppo G' di G generate da tutti i commutatori, si chiama il sottogruppo derivato di G. Most rare che: (a) G' = {e} se e soltanto se G e abeliano; (b) G' e un sottogruppo caratteristico (e quindi normale) di G; (c) G/G^ e abeliano; (d) Se N e un sottogruppo normale di G e G/N e abeliano, allora G' C AT; (e) Se if e un sottogruppo di G tale che G' C iJ, allora H e normale. 12.23. Sia G un gruppo. Poniamo G(o) := G e, per ogni fc > 1, indichiamo con G(fc) il derivato di G(^k-i)' La catena di sottogruppi di G G(o) := G 2 G(i) := G' 3 • • • 2 G(^k) 2 • • • si chiama la serie derivata di G. (a) Usando Pesercizio precedente, mostrare che G e risolubile se e soltanto se la sua serie derivata ha lunghezza finita. (b) Determinare la serie derivata dei gruppi D4 ;

D5 ;

S3;

S4;

H.

12.24. Sia Z := Z{G) il centro del gruppo G e sia {a^ : i G / } un sistema completo di rappresentanti delle classi laterali di Z in G. Mostrare che il derivato G' e generato dai commutatori {[ai,aj] : i, j G / } . 12.25. Sia H un sottogruppo di G di indice 2. Mostrare che G e risolubile se e soltanto se lo e iJ. 12.26. Sia G un gruppo finito i cui elementi abbiano tutti ordine 2. Mostrare che G e abeliano ed e isomorfo ad un prodotto diretto di copie di Z2. 12.27. Esprimere

U{IJ72)

come prodotto diretto di suoi sottogruppi ciclici.

13^ La cardinalita di un insieme

La teoria della cardinalita di Cantor e alia base della moderna teoria degli insiemi. Tuttavia i metodi usati da Cantor suscitarono molti dubbi nei matematici suoi contemporanei e furono fortemente contest at i, perche giudicati totalmente non costruttivi. Uno dei piu accaniti avversari di Cantor fu il suo maestro L. Kronecker, il quale riteneva che gli unici processi validi in matematica fossero quelli che si concludevano dopo un numero finito di passi e per questo negava I'esistenza degli insiemi infiniti. Se X e un insieme finito, il numero dei suoi elementi si indica con |X|. In questo caso evidentemente |X| = | y | se e soltanto se 1'insieme Y ha tanti elementi quanti ne ha X, cioe quando X e Y possono essere messi in corrispondenza biunivoca. Per estendere questo concetto al caso infinito, si dice che due insiemi X eY sono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca tra X e Y] in questo caso scriveremo ancora \X\ = \Y\. II fatto che, come si verifica facilmente, la relazione di equipotenza tra insiemi si comporta come una relazione di equivalenza ci permette di definire il concetto di cardinalita di un insieme. Precisamente, diremo che \X\ e la cardinalita di un qualsiasi insieme equipotente a X. I numeri naturali sono le cardinalita degli insiemi finiti. Nel caso finito, un insieme non puo mai avere lo stesso numero di elementi di un suo sottoinsieme proprio. Nel caso infinito tuttavia, come gia osservato da G. Galilei, puo accadere che un insieme ed un suo sottoinsieme proprio abbiano la stessa cardinalita. Basta ad esempio notare che la corrispondenza Z —> 2Z C Z ;

x^2x

e biunivoca. In realta la proprieta paradossale di essere equipotenti ad un sottoinsieme proprio caratterizza gli insiemi infiniti (R. Dedekind, 1888). Se X e equipotente ad un sottoinsieme di F , scriveremo |X| < \Y\. Scriveremo inoltre |X| < | y | per indicare che |X| < | F | e |X| 7^ |y|. La scelta di usare il simbolo di ordinamento non e casuale, infatti le cardinalita possono essere totalmente ordinate. Gabelli S: Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

390

13 La cardinalita di un insieme

Teorema 13.0.1 Comunque scelti X, Y e Z, valgono le seguenti proprietd: (a) (b) (c) (d)

(Proprieta riflessiva) |X| < \X\; (Proprieta antisimmetrica) Se \X\ < \Y\ e \Y\ < \X\, allora \X\ = \Y\; (Proprieta transitiva) Se \X\ < \Y\ e \Y\ < \Z\, allora \X\ < \Z\; (Tricotomia) Si verifica uno e soltanto uno dei seguenti casi: \X\ < \Y\, \X\ = \Y\, oppure \Y\ < \X\.

Una dimostrazione del teorema precedente si puo trovare ad esempio in [57] o [46]. Le proprieta riflessiva e transitiva sono di facile verifica. La validita della proprieta antisimmetrica e stata congetturata da G. Cantor, ma e stata dimostrata nel 1897 da E. Schroder e F. Bernstein indipendentemente. La proprieta di tricotomia, che asserisce che la relazione \X\ < \Y\ tra cardinalita e un ordinamento totale, e stata considerata vera da Cantor, ma e stata dimostrata per la prima volta da E. Zermelo, nel 1904, come conseguenza delVAssioma della Scelta. Essa e in realta una delle formulazioni equivalenti di tale assioma. Teorema 13.0.2 Le seguenti affermazioni sono equivalenti: (a) (Assioma della Scelta) Sia {SAJAGA una famiglia non vuota di insiemi non vuoti. Allora esiste una famiglia di elementi {XX\X^A ^CLI^ che x\ G S\, per ogni \ ^ A; (b) (Teorema di Zermelo) Ogni insieme non vuoto A pud essere bene ordinato (cioe e possibile definire su A un ordinamento, necessariamente totale, secondo il quale ogni sottoinsieme non vuoto di A ha un minimo); (c) (Lemma di Zorn) Se A e un insieme ordinato non vuoto in cui ogni catena (cioe ogni sottoinsieme non vuoto di A totalmente ordinato) ha un maggiorante, allora A ha (almeno) un elemento massimale; (d) (Lemma di Kuratowsky) Se A e un insieme ordinato non vuoto, ogni catena di A e contenuta in una catena massimale; (e) (Tricotomia) La relazione \X\ < \Y\ tra cardinalita e un ordinamento totale. Alcune linee di dimostrazione di questo teorema e le indicazioni bibliografiche relative si possono trovare in [57] o [46]. L'Assioma della Scelta, sul quale sono basati molti risultati fondamentali della matematica moderna, non e sostenuto da alcun procedimento costruttivo; ad esempio non e ancora noto alcun buon ordinamento del campo reale. Benche fosse stato gia largamente usato, questo assioma fu introdotto formalmente da E. Zermelo nel 1904. Nel 1939, K. Godel ha dimostrato che esso e consistente (cioe non e in contraddizione) con gli assiomi della Teoria degli Insiemi assunti correntemente (se essi sono consistenti) e, nel 1962, il suo allievo P. Cohn ha dimostrato che esso e indipendente dagli altri assiomi (se essi sono consistenti). Quindi 1'Assioma della Scelta non puo essere dimostrato o confutato sulla base degli altri assiomi della Teoria degli Insiemi e puo essere accettato o meno.

13.1 La cardinalita del numerabile

391

In associazione al Teorema di Zermelo viene spesso usato il Principio di Induzione Transfinita, che estende a tutti gli insiemi bene ordinati il Principio di Induzione valido per I'insieme dei numeri naturali. Teorema 13.0.3 (Principio di Induzione Transfinita) Sia X un insieme non vuoto bene ordinato con primo elemento XQ e sia S un suo sottoinsieme. Supponiamo che: 1. XQ e S; 2. Se X ^ S per ogni x
13.1 La cardinalita del numerabile La cardinalita dell'insieme N dei numeri naturali si chiama la cardinalita del numerabile e si dice che X e un insieme numerabile se \X\ = |N|. Questo significa che tutti gli elementi di X possono essere ordinati in una successione, ovvero X = {XQ.XI, .. .,Xn, - • • } .

I due risultati successivi mostrano che la cardinalita del numerabile e la pill piccola cardinalita infinita. Proposizione 13.1.1 Ogni sottoinsieme non vuoto di un insieme numerabile e finito 0 numerabile. Dimostrazione. Sia X = {XQ, X i , . . . , X^, • • •} un insieme numerabile e sia y C X un sottoinsieme non vuoto. Per il principio del Buon Ordinamento, esiste un minimo indice io tale che Xi^ GY. Posto Yi :=Y\ {x^g}, se Fi 7^ 0, esiste analogamente un minimo indice ii tale che x^^ G Yi- Cosi proseguendo, per ricorsione, si ottiene che Y e finito oppure che Y = {X^Q, x^^,..., x^^,...} e numerabile. Proposizione 13.1.2 Ogni insieme infinito ha un sottoinsieme

numerabile.

Dimostrazione. Sia X un insieme infinito e XQ un suo elemento (qui si usa I'Assioma della Scelta). Allora I'insieme Xi := X \ {XQ} e non vuoto. Scelto xi G Xi, I'insieme X2 := X \ {xo,xi} e ancora non vuoto. Poiche X e infinito, per ricorsione possiamo costruire una successione XQ, x i , . . . , x^, •. • di elementi di X. L'unione di due insiemi finiti X e F e un insieme finito per il Principio di Inclusione-Esclusione:

|xuF| = |x| + |y|-|xny|. Quindi, per induzione, l'unione di n insiemi finiti e un insieme finito, per ogni n > 2. Un risultato analogo vale per gli insiemi numerabili.

392

13 La cardinalita di un insieme

T e o r e m a 13.1.3 ( P r i m o p r o c e d i m e n t o diagonale di C a n t o r ) L'unione di una famiglia numerabile di insiemi numerabili e un insieme numerabile. Dimostrazione. Sia {X^}^>o una famiglia numerabile di insiemi numerabili e sia X := Uz>o^*- Posto Xi := {xio.xn,,. 5 Xin, ^ m ? •• • • •}, gli elementi di X possono essere disposti in una tabella infinita: a:oO ^01 2^02 ^03 3^04 • • Xon • • . Xio X i i Xi2 a;i3 Xi4 . , Xln ' • • X2 X20 2:21 3^22 3^23 X24: • • X2n " • -^3 ^30 3:31 3^32 X33 X34 . . ^Sn ' ' • Xo Xi

Xi

Xio Xii Xi2 Xis Xi4 . .

Xin

..•

e quindi possono essere contati in diagonale: X = {xoo, xio, xoi, X20, ^11, ^02, ^30,2:21,...}. Precisamente, per ogni fissato i > 0, sia A = {xi-k,k ;k = 0,...,i}

= {xio,Xi-i^i,Xi-2,2,

• • •,^0,J

la i-sima diagonale. Notiamo che |D^| = i + 1. Poiche ogni elemento Xij G X appartiene ad una e una sola diagonale, precisamente quella di indice k = i-\-j^ allora a Xij possiamo far corrispondere il numero intero dj

|JDO| + | A | + | A | + - • • + | A + i - i | + (j + l) = 1 + 2 + 3 + - • •+(i+i) + (j + l).

In questo modo resta definita una corrispondenza biunivoca X

-LN,'

Xij I—)• dij.

CoroUario 13.1.4 L'unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti 0 numerabili e un insieme numerabile. Dimostrazione. Per il Teorema 13.1.3, la cardinalita deirunione di una famiglia numerabile di insiemi finiti o numerabili e al piii numerabile. Inoltre, avendo cardinalita infinita, per la Proposizione 13.1.2 e almeno numerabile. CoroUario 13.1.5 Se X e un insieme finito 0 numerabile e Y e infinito, allora \X\JY\=^\Y\. Dimostrazione. Poiche X' := X \ {X HY) e un sottoinsieme di X, per la Proposizione 13.1.1, X ' e ancora finito o numerabile e siha, X UY = X^ UY. Sostituendo X con X', possiamo quindi supporre che X Pi F = 0. Sia Z un sottoinsieme numerabile di Y (Proposizione 13.1.2). Allora XUZ e numerabile (Teorema 13.1.3) e quindi esiste una corrispondenza biunivoca

13.1 La cardinalita del numerabile

393

/ : X U Z —> Z. Notando che X U F = ( X U Z ) U ( r \ Z ) e {X\^Z)^{Y\Z) X n F = 0, la biiezione / si puo allora estendere ad una biiezione

=

^

\tseteY\Z

Corollario 13.1.6 Sia Y un insieme infinito e sia X un suo sottoinsieme finito 0 numerabile. SeY\X e infinito, allora \Y\ = | y \ X|. Dimostrazione. Segue dal Corollario 13.1.5, osservando che Y =

{Y\X)[JX.

Corollario 13.1.7 Se X e un insieme finito o numerabile eY e numerabile, il prodotto diretto X xY e numerabile. In particolare, gli insiemi numerici Z e Q sono numerabili. Dimostrazione. Per ogni x G X, Tinsieme {x} x Y h equipotente a F , attraverso la corrispondenza biunivoca {x}xY—>Y]

{x,y)^y.

Allora X X y = Ua^exii^} x ^ } ^ una unione finita o numerabile di insiemi numerabili e pertanto e numerabile per il Teorema 13.1.3. Osserviamo ora che la corrispondenza

Z-.{l,-l}xN,

,^|(-l'N)-^<0 \{l,\z\)sez>0

e biiettiva. Poiche per quanto appena visto I'insieme {1,—l}xNe numerabile, anche Z e numerabile. Infine, rappresentando un numero razionale con una frazione | con MCD(a, b) 1, I'applicazione Q —> Z X Z , ^ ^ (a,b) b e iniettiva. Quindi, procedendo come sopra, otteniamo che Q e numerabile (Proposizione 13.1.1). Per induzione, dal corollario precedente segue che, per ogni n > 1, il prodotto diretto di n copie di un insieme numerabile e ancora numerabile. Corollario 13.1.8 Se A e un dominio numerabile, Vanello A[X] dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in A e numerabile. In particolare gli anelli Z[X] e Q[X] sono numerabili. Dimostrazione. Per ogni rf > 0, indichiamo con Pd I'insieme dei polinomi di grado d. Per il principio di identita dei polinomi, la corrispondenza che associa ad ogni polinomio di grado d la (d + l)-pla dei suoi coefficienti e una corrispondenza biunivoca tra Pd e il prodotto diretto di d + 1 copie di A. Quindi, poiche A e numerabile, anche Pd e numerabile (Corollario 13.1.7). Per finire, notiamo che A[X] = (Ud>o ^^) ^ i^}- Q^i^idi ^[X] e numerabile per il Teorema 13.1.3. L'ultima affermazione segue dal Corollario 13.1.7.

394

13 La cardinalita di un insieme

Per induzione su n > 1, dal Corollario 13.1.8 si ottiene che, se A e numerabile, anche I'anello dei polinomi in n indeterminate su yl e numerabile. Corollario 13.1.9 (G. Cantor, 1874) L'insieme A di tutti i numeri algebrici e numerabile. Dimostrazione. Ogni numero algebrico e radice di un polinomio non nullo a coefHcienti razionali ed ogni polinomio f{X) di grado n > 1 ha al piu n radici distinte. Indicando con Rf I'insieme delle radici di / ( X ) , risulta allora

A^[j{Rf;fiX)GQ[X],fiX)j^O}. Poiche Q[X] e numerabile (Corollario 13.1.8), A e numerabile per il Teorema 13.1.3.

13.2 La cardinalita del continuo In questo paragrafo mostreremo che il campo reale R non e numerabile, cioe che |N| < |R|. Poiche, come abbiamo appena visto, I'insieme dei numeri algebrici ha la cardinalita del numerabile, ne seguira che i numeri trascendenti non solo esistono, ma sono infinitamente piu numerosi dei numeri algebrici. Questa dimostrazione dell'esistenza dei numeri trascendenti e stata data da G. Cantor nel 1974; una discussione sulla sua costruttivita si trova in [47]. Cominciamo osservando che ogni intervallo reale e equipotente ad R. Dati a, 6 G R, a < &, poniamo con la notazione usuale: [a,b] = {x G R; a < X < 6} {intervallo chiuso di estremi a e b); ia,b] = {x eR;a

< X
[a,b) = {x G R; a < X < 6} {intervallo aperto a destra); {a,b) = {x eR;a

< X < b} {intervallo aperto).

Proposizione 13.2.1 (B. Bolzano, 1917) Ogni intervallo reale e equipotente ad R. In particolare, Vintervallo (0,1] e equipotente ad R. Dimostrazione. Tutti gli intervalli (aperti o chiusi) di estremi fissati aeb sono tra loro equipotenti per il Corollario 13.1.6. Inoltre, I'applicazione (0,1) —> (tt, 6);

X H^ a + (& - a)x

e biunivoca. Quindi, per transitivita, tutti gli intervalli reali sono tra loro equipotenti. Infine, I'intervallo aperto (—1,1) e equipotente ad R attraverso I'applicazione biunivoca (1,-1)—^R; con inversa y ^

^/yl-Ty^.

x^x/y/l

13.2 La cardinalita del continuo

395

Geometricamente, una corrispondenza biunivoca tra un qualsiasi segmento aperto di estremi A e B e la. retta reale si puo ottenere considerando la semicirconferenza di diametro uguale alia lunghezza del segmento AB e tangente alia retta nel punto medio del segmento. La proiezione ortogonale della semicirconferenza sulla retta fornisce una corrispondenza biunivoca tra la semicirconferenza ed il segmento chiuso AB^ mentre la proiezione stereografica della semicirconferenza sulla retta fornisce una corrispondenza biunivoca tra la semicirconferenza privata degli estremi e la retta stessa. La cardinalita di M si chiama la cardinalita del continuo.

Figura 13.1. Proiezione stereografica: i punti D' e D" si corrispondono

Teorema 13.2.2 (Secondo procedimento diagonale di Cantor, 1891) La cardinalita del continuo e strettamente maggiore della cardinalita del numerabile. Dimostrazione. Poiche la cardinalita del numerabile e la minima cardinalita infinita, basta dimostrare che M non e numerabile, ovvero che I'intervallo (0,1] non e numerabile (Proposizione 13.2.1). Sia X I'insieme delle successioni a valori nell'insieme { 0 , 1 , . . . , 9} che non sono quasi ovunque nulle. Dal momento che ogni numero reale ha una ed una sola rappresentazione decimale non finita, possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra I'intervallo (0,1] ed X, associando ad ogni numero reale dell'intervallo la successione non quasi ovunque nulla delle sue cifre decimali. Supponiamo per assurdo che X sia numerabile, e quindi che X = {xi,a;2,...,a;n,...}, dove Xi :— (x^j)j>o per ogni i > 0, e consideriamo la successione y-={yi)

definita da

Vi = I ^ ' \ ^ \^1 se Xiiytl

per ogni i > 0. Quest a successione y non e quasi ovunque nulla (addirittura Vi ^ 0 per ogni i > 0), ma e differente da ogni successione Xi e X nell'elemento di posto i. Quindi si ottiene una contraddizione e X non e numerabile.

396

13 La cardinalita di un insieme Notiamo che, ordinando le successioni di X come XQ : = (xoo,X01, ^ 0 2 , ^ 0 3 , - • •) Xl : = ( x i o , X i i , X i 2 , X i 3 , . . . ) X2 '= (3:20,^21,^22,3:23, • • • ) X3 •= (3:30,3:31,3:32,3:33, •• •)

Xi '.— yXiQ.) 3:^1, 3:^2, 3:^3, . . . 5 Xii^ ' ' ' )

la successione y si ottiene cambiando il valore degli elementi sulla diagonale. Corollario 13.2.3 (G. Cantor, 1874) L'insieme del numeri reali trascendenti ha la cardinalita del continuo. Dimostrazione. Poiche Tinsieme A di tutti i numeri algebrici e numerabile (Corollario 13.1.9) e il campo reale M ha cardinalita strettamente maggiore (Teorema 13.2.2), scrivendo R = (R \ ^ ) U (M H A), vediamo che I'insieme R \ ^ dei numeri reali trascendenti e infinito ed ha la stessa cardinalita di R per il Corollario 13.1.5. Ricordiamo che la corrispondenza che associa ad ogni sottoinsieme A di un insieme X la sua funzione caratteristica X.:X^2:={0,1};

^-

f 1 se X G ^ j ^ se . ^

e una corrispondenza biunivoca tra I'insieme V{X) delle parti di X e I'insieme 2 ^ delle funzioni su X a valori in 2 := {0,1}. In particolare I'insieme 2^ delle successioni a valori in 2 e equipotente all'insieme P(N) delle parti di N. Proposizione 13.2.4 LHnsieme V(N) delle parti di N ha la cardinalita del continuo. Dimostrazione. Tenuto conto che |'P(N)| = |2^|, mostriamo che I'insieme 2^ delle successioni a valori in 2 := {0,1} ha la cardinalita del continuo. Scriviamo 2^ = X UY, dove X e il sottoinsieme delle successioni che non sono quasi ovunque nulle e F e il sottoinsieme delle successioni quasi ovunque nulle. Poiche ogni numero reale ha una ed una sola rappresentazione non finita in una qualsiasi base, associando ad ogni numero reale dell'intervallo (0,1] la successione non quasi ovunque nulla delle sue cifre in base 2, otteniamo che X e equipotente all'intervallo (0,1]. Quindi X ha la cardinalita del continuo (Proposizione 13.2.1). Basta allora mostrare che I'insieme Y ha la cardinalita del numerabile (Corollario 13.1.5). Sia Yn I'insieme delle successioni (a^)^>o a valori in 2 tali che a^ = 0 per i > n. Allora la corrispondenza

13.2 La cardinalita del continuo

397

ai,.. .,an-i) e biunivoca. Quindi Yn ha 2'^ elementi e Y = Un>o ^^ ^ numerabile per il Corollario 13.1.4. II fatto che [N] < |7^(N)| (Teorema 13.2.2) e conseguenza di un teorema piu generale. Teorema 13.2.5 (G. Cantor, 1890) La cardinalita deWinsieme delle parti di un insieme X e strettamente maggiore di quella di X. Dimostrazione. L'applicazione iniettiva

X -^ V{X),

x^{x}

ci permette di affermare che |X| < \V{X)\, D'altra parte, nessuna apphcazione (f : X —> T^{X) puo essere suriettiva e quindi |X| < |P(X)|. Infatti, sia (/? : X —> T^{^) una qualsiasi apphcazione, cosi che (p{x) G V{X) e il sottoinsieme di X corrispondente all'elemento x G X. Consideriamo Tinsieme Z := {x e X ;x ^ ^(^)}- Se Z = (p{z)^ allora per definizione z e Z ^ z ^ (p{z) ^ z ^ Z. Questa contraddizione mostra che Z ^ 1'apphcazione (p non e suriettiva.

^{z), per ogni z G X. Quindi

Abbiamo visto nel Paragrafo 6.5 che il gruppo degli automorfismi di C ha la cardinalita delle parti di M, quindi ha cardinalita strettamente maggiore della cardinalita del continuo. D'altra parte, per il teorema precedente e possibile costruire una catena di insiemi N C P(N) C V{V{N)) C V{V{V{n)))

C ...

di cardinalita strettamente crescente. Una famosa congettura, formulata da Cantor nel 1878, afferma che non esistono insiemi la cui cardinalita e strettamente compresa tra la cardinalita di N (cardinalita del numerabile) e quella di V(M) (cardinalita del continuo). Questa congettura va sotto il nome di Ipotesi del Continuo. L^Ipotesi Generalizzata del Continuo afferma poi che, dato un quasiasi insieme X, non esiste alcun insieme Y di cardinalita strettamente compresa tra la cardinalita di X e quella dell'insieme delle parti V{X). Quindi, secondo questa congettura, le uniche cardinalita transfinite possibili sarebbero |N| < \V{N)\ = \R\ < \V{V{N))\ = \V{R)\ < \V{V{V{N)))\ < . . . . II primo dei 23 problemi di Hilbert chiedeva di dimostrare I'lpotesi del Continuo. K. Godel ha dimostrato nel 1938 che I'lpotesi del Continuo e consistente con la teoria assiomatica degli insiemi (se tale teoria e consistente), compreso I'Assioma della Scelta. Mentre P. Cohen ha dimostrato nel 1963 che essa e indipendente. Quindi I'lpotesi del Continuo, come I'Assioma della Scelta, non puo essere dimostrata o confutata usando gli altri assiomi della teoria degli insiemi. In realta era opinione di Godel che tale congettura fosse indecidibile.

398

13 La cardinalita di un insieme

13.3 Operazioni tra cardinalita Le cardinalita si possono sommare e moltiplicare. Precisamente, denotando con A^ B Vunione disgiunta dei due insiemi A e B e con A^ I'insieme delle funzioni / : B —> A, si puo (ben) definire

1^1 + \B\ := \A^B\',

\A\ • \B\ := \AxB\;

\A\\B\

Con le notazioni sopra introdotte, poiche I'insieme V{A) delle parti di A e equipotente aH'insienie 2^ delle funzioni su ^ a valori neH'insieme 2 := {0,1}, si usa denotare la cardinalita di V{A) con Queste operazioni tra cardinalita coincidono nel caso delle cardinalita finite con le usuali operazioni tra numeri naturali ed hanno praticamente tutte le proprieta delle operazioni tra numeri. Tuttavia, nel caso infinito esse non producono insiemi di cardinalita superiore. Teorema 13.3.1 Siano A, B due insiemi infiniti. Allora \A\ + \B\ = max{|A|, \B\} ;

\Ax B\= max{|A|, \B\}.

In particolare \A^\ = \A\, per ogni n > 1. Questo teorema si basa sull'Assioma della Scelta ed una sua dimostrazione di si puo trovare in [57, Paragrafi 1.8 e 2.9]. Nel caso numerabile, ne derivano i Corollari 13.1.5 e 13.1.7. Diamo di seguito la dimostrazione di Cantor del fatto che i punti di un quadrato sono tanti quanti quelli di un suo lato; poiche ogni intervallo reale e equipotente ad M (Proposizione 13.2.1), questo significa che |M^| = |M|. Comunicando questo suo risultato a R. Dedekind, Cantor scrisse Je le vois, mais je ne le crois pas! (Lo vedo, ma non ci credo!). Teorema 13.3.2 (G. Cantor, 1877) Esiste una corrispondenza biunivoca tra Vinsieme dei punti di un quadrato e Vinsieme dei punti di un suo lato. Quindi \W\ = \R\. Dimostrazione. Poiche tutti gli intervalli hanno la cardinalita del continuo (Proposizione 13.2.1), fissato nel piano ordinario un riferimento cartesiano, bast a considerare il quadrato costruito sul segmento Of/, dove O = (0,0) e I'origine eU = (0,1). Allora i punti del quadrato sono in corrispondenza biunivoca con le coppie di numeri reali (x, ^), con x, y G [0,1]. Sempre per la Proposizione 13.2.1, possiamo anche supporre che x,y ^ 0. Poiche ogni numero reale X si rappresenta in modo unico come un numero decimale non finito, usando questa rappresentazione, se x = 0,xiX2X3,.. e y = 0,yiy2y3- - • G (0,1], alia coppia {x,y) possiamo far corrispondere il ben definito numero reale z := 0, XiyiX2y2X3y3 • • • G (0,1]. In questo modo si ottiene una corrispondenza biunivoca (0,l]x(0,l]-^(0,l]. Ne segue che |E^| — \R\ e, per induzione su n > 2, anche che |M"| — |E|.

13.3 Operazioni tra cardinalita

399

CoroUario 13.3.3 // campo C dei numeri complessi ha la cardinalita del continuo. Dimostrazione. Bast a not are che C e uno spazio vettoriale di dimensione 2 su R ed e quindi equipotente a R^. II Teorema 13.3.1 ha alcune conseguenze molto utili per le applicazioni alia Teoria dei Campi. II prossimo risultato generalizza il primo procedimento diagonale di Cantor (Teorema 13.1.3). Proposizione 13.3.4 Sia A un insieme infinito. Se {AX}X^A di insiemi tali che \Ax\ = \A\, allora

e una famiglia

l U AA|=max{|^U^|}. xeA In particolare, se A e finito o numerahile, allora \ UAG/I ^ ^ I ~ l-^l* Dimostrazione. Posto B :— I J ^ ^ ^ A A , per I'Assioma della Scelta, esistono applicazioni iniettive yl —> B e A —> B. Quindi |A|, |yl| < \B\. Inversamente,

|B| < I l+J ^AI = E I^AI = E 1^1 = l^ll^l = 1^ X ^1 = ma^il^l, |^|} XeA

XeA

XeA

(Teorema 13.3.1). Nonostante Cantor abbia dimostrato che la cardinalita dell'insieme delle parti di un insieme A e sempre strettamente superiore a quella di A (Teorema 13.2.5), possiamo ora mostrare che I'insieme delle parti finite di un insieme infinito A e equipotente ad A. CoroUario 13.3.5 Sia A un insieme infinito e sia 'Pfin(^) Vinsieme dei sottoinsiemi finiti di A. Allora \V^n{A)\ = \A\ Dimostrazione. Ogni sottoinsieme di A con m > 1 elementi si puo considerare come una m-pla (non ordinata) di elementi di A e quindi I'insieme 'Pm(^) dei sottoinsiemi di A con m elementi si puo considerare come un sottoinsieme di A"^. Allora \A\ < \Vm{A)\ < |yl^| e, poiche \A\ = |A^| (CoroUario 13.3.4), Vm{A) ha la cardinalita di A per ogni m > 1. Applicando la Proposizione 13.3.4, ne segue che Vfin{A) = |Jm>i ^m(^) ha ancora la cardinalita di A. CoroUario 13.3.6 Sia A un dominio con infiniti elementi e campo delle frazioni F e siaX.:= {XA}AGA un insieme di indeterminate indipendenti su A. Allora

|^[X]| = |F[X]| = | n X ) i ^ max(m, H ) .

400

13 La cardinalita di un insieme

Dimostrazione. Mostriamo prima che |^[X]| = max(|A|, l^ll). Per |yl| = 1, procedendo come nel caso numerabile (Corollario 13.1.8), si ha che I'insieme Pd C. A[X] dei poUnomi su A di fissato grado d > 0 e equipotente ad A^~^^ e quindi ad A (Teorema 13.3.1). Poiche A[X] = Ud>o^^ ^ i ^ } ' applicando la Proposizione 13.3.4 si ottiene che |^[-^]| = | ^ | e, per induzione su n > 1, anche che |A[Xi,.. .,Xn]\ = \A\. Supponiamo ora che A sia un insieme infinito. Allora I'insieme V^n{A) delle parti finite di ^ e equipotente a A (Corollario 13.3.5). D'altra parte A[K] = {/(XA,,. . . , X A J ;X,^ G X} =

[J

A[XA„ .. . , X A J

(Paragrafo 2.8) e, poiche come visto sopra | A [ X A I , .. . , X A „ ] | = |A|, applicando la Proposizione 13.3.4, si conclude che |^[X]| = max{|Pfin(^)|, | ^ | } = max{|.l|,|A|}. Notiamo poi che ogni dominio A e equipotente al suo campo delle frazioni F. Infatti la scelta, per ogni elemento di a/6 G F , di un rappresentante (a, 6) G Ax A* (Paragrafo 1.5) identifica F ad un sottoinsieme di A x ^ = ^^. Quindi, essendo | ^ | = \A^\ (Teorema 13.3.1), si ha \A\ = | F | = {A^]. Ne segue che |^[X]|^|F[X]H|F(X)|.

Riferimenti bibliografici

La letteratura sulla Teoria di Galois e molto vasta. Segnalo soltanto alcuni testi ed articoli che mi sono stati utili per la stesura di questo libro.

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Indice analitico

A-algebra, 44 finitamente generata, 44, 77 Algoritmo della divisione euclidea, 36 delle divisioni successive, 39 di Berlekamp, 74 Ampliamento di campi, 111 abeliano, 285 algebrico, 130, 179 finitamente generate, 130 non finito, 131 biquadratico, 125 ciclico, 285, 286, 301 ciclotomico, 159 del t i p o Q ( ^ , v ^ ) , 126 di Galois, 207 di grado quattro, 251 finito, 208 di Kummer, 302 finitamente generato, 112 algebrico, 130 finito, 123 normale, 186 finito, 187 puramente inseparabile, 200 puramente t rascendent e, 217 quadratic©, 125 radicale, 299 puro, 299 semplice, 112, 120, 195 algebrico, 121 finito, 123 simbolico, 136

trascendente, 121, 224 separabile, 193 finito, 195 Anello, 3 degli interi di Gauss, 6 delle classi resto modulo n, 8 di funzioni polinomiali, 50 integro, 4 noetheriano, 75 quoziente, 8 di anelli di polinomi, 40 Assioma della scelta, 390 Automorfismi del campo complesso, 225 del campo reale, 110 di campi, 109 di campi ciclotomici, 169 di campi finiti, 157 interni di gruppi, 372 Automorfismo di Frobenius, 157 Azione, 369 del gruppo di Galois, 263, 371 di Sn, 275, 370 fedele, 370 naturale, 369 nucleo di, 370 per coniugio, 325, 371 transitiva, 370 Base di trascendenza, 218 normale, 209

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Indice analitico

Cambio di varlabile, 54 Campo/i, 4 algebricamente chiuso, 180 caratteristica di, 24 composto di, 128, 249 coniugati, 186 delle frazioni, 21 delle funzioni razionali, 34 di Galois, 151 di spezzamento, 137 automorfismi di, 148 di polinomi del tipo X ^ — a, 304 di polinomi di quarto grado, 323 di polinomi di quinto grado, 329 di polinomi di terzo grado, 311 isomorfismi tra, 148 finito, 150 fisso, 234 del coniugio complesso, 239 del gruppo alterno, 264 del gruppo di Galois, 236, 239 del gruppo simmetrico, 235 immersione di, 109 inter medio. 111 numerico, 6 perfetto, 193 reale, 6 Caratteristica di un anello unitario, 23 di un campo, 24 finita, 23 prima, 24 Cardinalita, 389 degli automorfismi di C, 226 del continuo, 394, 395 del numerabile, 391 deH'insieme delle parti, 397 dell'insieme delle parti finite, 399 della chiusura algebrica, 185 di anelli di polinomi, 399 di una base di trascendenza, 220 operazioni tra, 398 Casus irriducibilis, 313, 315 Centralizzante, 372 Centro di un ]>gruppo, 374 di un gruppo, 372 Chiusura algebrica, 180

cardinalita della, 185 costruzione di una, 182 di Fp, 182 di Q, 181 di Galois, 208 inseparabile, 240 neila topologia di Krull, 247 nor male, 189 separabile, 203 Coefficiente direttore, 33 Commutatore, 388 Condizione della catena ascendente, 75 sugli ideali principali, 18 Congruenza modulo n, 8 modulo un ideale, 8 Coniugio in un gruppo, 371 complesso, 11, 58, 239 di gruppi di Galois, 242, 374 di sottocampi, 186 in As, 373 in Sn, 372 Contenuto di un polinomio, 63 Corpo, 4, 171 dei quaternioni, 7, 25, 171, 290 Corrispondenza di Galois, 241 caso rion finito, 248 per I'ampliamento Fp C F^n, 257 per ampliamenti di grado quattro, 251 per il p-esimo ampliamento ciclotomico, 255 per I'ampliamento Q ( ^ , i\/3), 253 per I'ampliamento Q ( ^ , i), 254 Teorema fondamentale, 244 Costruzione con riga e compasso, 347 dei poligoni regolari, 360 del pentagono regolare, 362 di una chiusura algebrica, 182 impossibile, 358 Criterio di irriducibilita, 67 di Eisenstein, 67 versione reciproca, 68 modulo p, 69 Deri vat a formale, 50 Determinante di Vandermonde, 84, 104

Indice analitico Dipendenza algebrica, 215 integrale, 115 Discriminante, 87, 263 del polinomio X^ - 1, 90 di un polinomio biquadratico, 89 di un polinomio di quinto grado, 95, 330 di un polinomio di terzo grado, 88, 311 Divisione euclidea, 36 Divisore, 15 Dominio, 4 a fattorizzazione unica, 17 a ideali principali, 19 integro, 4 Duplicazione del cubo, 359 Elemento algebrico, 115 associato, 15 intero, 115 invertibile, 4, 15 irriducibile, 15 primitivo, 113, 194 primo, 15 puramente inseparabile, 200 t r ascendent e, 115 zero-divisore, 4 Equazione ciclica, 333 delle classi, 372, 374 di grado primo, 325 di quarto grado, 317 di quinto grado, 329 di terzo grado, 311 risolubile per radicali, 305, 332 Esponente di un gruppo, 151, 302 Estensione di F-isomorfismi, 184 di isomorfismi di campi, 142 di omomorfismi, 23, 64, 141 F-automorfismo, 143 F-immersione, 143 F-isomorfismo, 143 in C, 145 nella chiusura algebrica, 184

Fattorizzazione di polinomi, 41 su C, 56 su Q, 70 su R, 59 su Z, 66 in elementi irriducibili, 78 Forma di Bring-Jerrand, 330 ridotta di un polinomio, 55 di terzo grado, 89, 311 trigonometrica, 60 Formula del doppio radicale, 269 del grado, 34 di Eulero, 118 di interpolazione di Lagrange, 52 di Newton, 53 di inversione di Mobius, 156 di Mobius-Dedekind, 163 Formule di De Moivre, 60, 102 di Descartes, 319 di Ferrari, 318 di interpolazione, 51 di Tartaglia-Cardano, 312 trigonometriche di Viete, 316 Funzione caratteristica, 396 di Eulero, 8, 14, 62, 152 di Mobius, 156, 163 polinomiale, 46 razionale, 34 simmetrica, 85 element are, 79 Generatori di Sn, 265 di algebre, 44 di un ampliamento, 112 di un gruppo ciclico, 152 di un ideale, 5 Grado del composto, 129, 250 di inseparabilita, 202, 240 di separabilita, 197 di trascendenza, 220 di un ampliamento, 123 di un polinomio, 33

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Indice analitico

Gruppo abeliano finito, 382 delle trasformazioni linear! fratte, 232 delle unita del quaternioni, 290 di Zn, 8, 385 di un anello unitario, 4 diedrale, 378 esponente di un, 151, 302 icosaedrale, 373 metaciclico, 305, 326 profinito, 247 risolubile, 306, 378, 388 semplice, 380 topologico, 247 Gruppo di Galois abeliano, 285 campo fisso del, 236, 239 del polinomio generale, 265 di un ampliamento, 231 di un polinomio, 262 biquadratico, 267 calcolo del, 275 ciclotomico, 270 del tipo X^ - p, 266 del tipo X^ - a, 304 di quarto grado, 322 di terzo grado, 311 riducibile, 272 su Fp, 274 totale, 280, 286 Ideale/i, 5 diZ, 6 deir anello quoziente, 9 di un campo, 5 finitamente generato, 5, 75 massimale, 11 primo, 11 prodotto, 5 radicale, 27, 222 somma, 5 Immersione di campi, 109 Indeterminata, 30 Indipendenza algebrica, 32, 215 di numeri trascendenti, 216 dei caratteri. 111 Induzione transfinita, 182, 391

Insiemi equipotenti, 389 Ipotesi del continuo, 397 Irrazionalita accessorie, 250 Irriducibilita di polinomi, 35, 42 ciclotomici, 68, 163 criterio di Eisenstein, 67 criterio modulo p, 69 del tipo X ^ - a, 165 su un campo, 48 su un dominio a fattorizzazione unica, 65, 67 Isomorfismi di campi, 109 Legge di cancellazione, 4 Lemma di Artin, 237 di Dedekind, 110 di Euclide, 16 di Gauss, 64 esteso, 67, 102 di Hensel, 74 di Zorn, 11, 390 Massimo comune divisore, 16 di polinomi, 39, 43 Matrice di Sylvester, 91 Minimo comune multiplo, 28 Molteplicita di una radice, 50 Moltiplicazione scalare, 44 Monomio, 31 direttore, 33 Multigrado, 33 Multiindice, 32 Norma, 204 Normalizzante, 373 di un p-Sylow di Sp, 326 Numeri algebrici, 115, 394 costruibili, 356 di Fermat, 361 di grado 2^ non costruibili, 357 trascendenti, 115, 396 Numero di Nepero, 117 Omomorfismo di anelli, 9

Indice analitico di Frobenius, 157, 193 nucleo di un, 9 proiezione canonica, 9 unitario, 9 Orbita, 370 Or dine lessicografico, 32 inverse, 97 p-gruppi, 374, 375 risolubilita dei, 378 p-Sylow, 377 Polinomio/i a valori interi, 44 anello di, 30 associati, 35 ciclotomico, 62, 161 irriducibilita del, 68, 163 coefficiente direttore di, 33 coefficienti di, 30 con due radici non reali, 283 con gruppo di Galois abeliano, 285 delle unit a dei quaternioni, 289 totale, 282 contenuto di, 63 derivata formale di, 50 discriminante, 84 discriminante di, 87 generale, 86 in infinite indeterminate, 95 in piu indeterminate, 31 interpolazione di, 51 invertibile, 35 irriducibile, 35 su C, 58 su Fp, 154 su Q, 70 su M, 58, 59 su Z, 70 su un campo, 48 su un dominio a fattorizzazione unica, 65 massimo comune divisore di, 39 minimo, 119 monico, 35 omogeneo, 33, 97 primitivo, 63 principio di uguaglianza, 31, 33 reciproco, 56, 101

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riducibile, 35 risolubile per radicali, 305 risultante di, 90 separabile, 191, 192 simmetrico, 79 element are, 79 su un campo, 36 numerico, 56 su un dominio a fattorizzazione unica, 63, 66 valore di, 43, 112 Primo procedimento diagonale di Cantor, 391 Primo teorema di Sylow, 376 Problema inverso, 280 Punti costruibili, 347 Quadratura del cerchio, 359 Radici dell'unita, 60, 159 p-esime, 311, 338 primitive, 61, 159 quinte, 310, 322, 338 di polinomi, 46 su R, 58 su Z, 47 di un'equazione di terzo grado, 314 multiple, 50, 57, 191 Regola dei segni, 59 di Descartes, 59 di Ruffini, 47 Riduzione modulo p, 64, 278 Risolubilita dei p-gruppi, 378 di Sn, 309, 379 di gruppi, 378 per radicali, 305 del polinomio generale, 309 delle equazioni di quarto grado, 317 delle equazioni di terzo grado, 312, 336 di equazioni di grado primo, 325, 330 Teorema di Galois, 307 Risolvente di Galois, 209 di Lagrange, 335

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Indice analitico

di un'equazione di quarto grado, 318, 320 di un'equazione di quinto grado, 331 di un'equazione di terzo grado, 313 Risultante di due polinomi, 94 Secondo procedimento diagonale di Cantor, 395 Secondo teorema di Sylow, 377 Serie derivata, 388 di composizione, 381 nor male, 378 abeliana, 378 ciclica, 306, 378 Sezione aurea, 350 Sezioni coniche, 358 Somma di frazioni parziali, 99 Sottoanello, 5 Sottocampo diFpn, 157 fondamentale, 23 Sottogruppi coniugati, 373 derivati, 388 di Sylow, 377 normali, 373 transitivi di Sp, 325 Stabilizzatore, 370, 373 Teorema 90 di Hilbert, 339 cinese dei resti, 13 degli zeri di Hilbert, 130, 222 del doppio quoziente, 27 del resto, 47 dell'elemento primitivo, 194 dell'indipendenza dei caratteri, 111 della base di Hilbert, 76 della base nor male, 209 di Abel, 309 di Artin-Schreier, 303, 308 di Castelnuovo, 225 di Cauchy, 377 per i gruppi abeliani, 375 di Caylay, 370 di Dirichlet, 170, 286 di estensione, 249 di fattorizzazione unica per i polinomi, 42, 66

di Feit-Thompson, 379 di Galois sui campi finiti, 150 sulla risolubilita per radicali, 307 di Galois-Moore, 151 di Gelfond-Schneider, 118 di irriducibilita di Hilbert, 280 di Jordan-Holder, 381 di Kronecker, 120 di Kronecker-Weber, 288 di Kummer, 301 di Liiroth, 224 di Lagrange, 374 di Lindemann, 117, 216 di Liouville, 116 di normalizzazione di Noether, 219 di Ruffini, 47 di Ruffini-Abel, 309 di Siegel, 118 di struttura dei gruppi abeliani finiti, 384 di Sylow, 374, 376 di Thue-Siegel-Roth, 116 di Wedderburn, 7, 171 di Zariski, 225 di Zermelo, 182 fondamentale deirAlgebra, 57, 181, 345 dell'Aritmetica, 18 della Teoria di Galois, 244 di omomorfismo, 10 sui polinomi simmetrici, 81 Teoria della divisibilita, 15 di Kummer, 302 Terzo teorema di Sylow, 377 Topologia di Krull, 247 Traccia, 204 Trasformazione di Tschirnhaus, 55, 330 di Viete, 55 lineare fratta, 56, 232 Tricotomia, 390 Trisezione dell'angolo, 358 Valore di un polinomio, 43, 112 Variabile, 46 cambio di, 54

Collana Unitext - La Matematica per il 3+2 a cura di R Brezzi (Editor-in-Chief) P. Biscari C. Ciliberto A. Quarteroni G. Rinaldi W.J. Runggaldier

Volumi pubblicati. A partire dal 2004, i volumi della serie sono contrassegnati da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferiscono a edizioni non piu in commercio A. Bernasconi, B. Codenotti Introduzione alia complessita computazionale 1998,X+260 pp. ISBN 88-470-0020-3 A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessita computazionale 1999,X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2 E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002,XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0 S. Bosch Algebra 2003, VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4 S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003,X+248 pp, ISBN 88-470-0212-5 S. Margarita, E. Salinelli MultiMath - Matematica Multimediale per TUniversita 2004,XX+270 pp, ISBN 88-470-0228-1

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matem.atica numerica (2a Ed.) 2000, XIV+448 pp, ISBN 88^470-0077-7 2002,2004 ristampa riveduta e corretta (la edizione 1998, ISBN 88^470-^0010-6) 13. A. Qiiarteroni, R Saleri liitroduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed,) 2004, X+262 pp, ISBN 88-^4704)256^7 (la edizione 2002, ISBN 88"4704}149^8) 14. S. Salsa Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 2004, XII+426 pp, ISBN 88-470-0259-1 15. G. Riccardi Calcolo difFerenziale ed integrale 2004, XII+314 pp, ISBN 88-470-0285-0 16. M. Impedovo Matematica generate con 11 calcolatore 2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3 17. L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2005, VIII-h396 pp, ISBN 88-470-0257-5 18. S. Salsa, G. Verzini Equazioni a derivate parziali - Complementi ed esercizi 2005, VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-5 2007, ristampa con modifiche 19. C, Canuto, A. Tabacco Aiialisi Matematica I (2a Ed,) 2005, XII+448 pp, ISBN 88^470^0337^7 (la edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88^470-0220-6) 20. E Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilita e Statistica 2006, XII-h236 pp, ISBN 88-470-0330-X

21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII+178 pp, ISBN 88-470-0331-8 22. A, Qiiarteroiii, E Saleri Introduzioiie al Calcolo Sdentifi.co (3a Ed.) 2006, .X+306 pp, ISBN 88-4704)480^2 23. S. Leonesi, C. Toffalori Un invito aH'Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X 24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1 25. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 (la edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0) (2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6) 26. M. Abate, E Tovena Curve e superfici 2006, XIV+394 pp, ISBN 88-470-0535-3 27. L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVI+402 pp, ISBN 88-470-0539-6 28. L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2 29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+184 pp, ISBN 978-88-470-0610-2 30. A. Machi Gruppi -Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 2007, XII+349 pp, ISBN 978-88-470-0622-5

31. Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe Matematica si parte! A cura di A. Quarteroni 2007, XII+196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1 32. M. Manetti Topologia 2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7 33. A. Pascucci Calcolo stocastico per la finanza 2008, XVI+518 pp. ISBN 979-38-470-0600-3 34. A. Quarteroni, R. Sacco, R Saleri Matematica numerica, 3a ed. 2008, XVI-h510 pp. ISBN 979-38-470-0782-6 35. P. Cannarsa, T. D'Aprile Introduzione alia teoria della misura e alFanalisi funzionale 2008, XII+268 pp. ISBN 979-38-470-0701-7 36. A. Quarteroni, F. Saleri Calcolo scientifico, 4a Ed. 2008, XIV+358 pp. ISBN 978-88-470-0837-3 37. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I, 3a Ed. 2008, XIV+452 pp, ISBN 978-88-470-0871-7 38. S. Gabelli Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois 2008, XVI+410 pp, ISBN 978-88-470-0618-8