A. Signorini (Ed.)
Teorie non linearizzate in elasticità, idrodinamica, aerodinamica Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Venezia, Italy, September 20-28, 1955
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10901-0 e-ISBN: 978-3-642-10902-7 DOI:10.1007/978-3-642-10902-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
4° Ciclo - Fondazione Giorgio Cini – Isola San Giorgio (Venezia) 20-28 sett. 1955
TEORIE NON LINEARIZZATE IN ELASTICITA’, IDRODINAMICA, AERODINAMICA
A. Signorini:
Trasformazioni termoelastiche finite di solidi incomprimibili ............................................................... 1
B. Finzi:
Teorie dinamiche dell’ala ............................................ 83
F. H. Van den Dungen:
Les ondes dans les fluides incompressibles............... 169
A. S I G NOR I N I
TRASFOBl1AZIONI TERMOBLASTICHE FINITZ DI
SOLIDI
INCOMPRIMIBILI
ROI.1A - Istituto Matematico dell. 'Universita., 1956
1
- 1 TRASFOillLIiZIOKI TBRMOELASTICTIF FINITE DI SOLIDI
INCOI,IPRWIBILI
Queste leziolll hannG come direttiva Ulla sintesi di quanto 6i treva sistematicamente svilu:ppato in una mia I.Iemoria sul-
le trasformazioni termoelastiche finite di solidi incom:primibili, in corso di stampa negli Annali di Matematica pura e appli ... cata
• Verranno anche esposti;
t. XXXIX ( 1955) pp. 147-201
come necessaria premessa, alcuni dei risultati di due precedenti Memorie degli stessi Annali.
Invece, per motivo di brevita,
non potro dare neppure un cenno delle ulteriori ricerche sviluR pate dal prof. T. liianacorda in tre recentissimi suoi lavori: Su1....122.i.~~~~1-_usote,~~ella
secondo grado
piu
.i?~soliC'~~nc'Omprimi bili
gen~rale
Elastici ta eli
Ann" di Iila"t., t. XLI.
pp. 1-10 Sulla to!,_oio_,'}. ..§l__ 9:.i,_.~L':l,_s:;:i,]Al!.ctro circolare tropo nella t,eori.a incomprimibili
oDlogen~Q~.!2.
~.(')Jl:~2-eformazio!!J..-!1-J1-i -t~_
solicli elastici
Boll. della U.l.1.I., 1955, pp. 177-89
Bulla piu. generaJ-_t3__!e2A.a, ..1;L,n~a.:r:...iEz,8:t,~_ih.e1:1_e.i;,r.a.sfC?£.mazj,Q.Rivista di I;atematica dell 'Universita di Parma, v.5, :pp. 233-53 i
Per s011idi .incom:primibili sembra assai utile l'introduzi£
ne LV' n.7,
di certe due variabili indipendenti al :posta dei
tre allUllgamenti unitari principali. Fra l'altro essa :porta a delimitare in modo espressivo l'area di definizione del potenzial.e isotermo [v. fig. a pag.
].
N"eH.a seconda I1emoria clegli Ann.alj i.nsistetti sul fatt.:J che la ipotesi carat"teristica della Elasticita di secondo grado aveva super[cto cosi feli C 3IO.Cl'l"G 0 tant! severi controlli di cara! tare quali tatiYo da far;ni r: onS8.re che per9..£§l1.£h§. solido naturale potesse andar bono anche
qua.nti~c."i var:>nt;e.
3
Questa mia pre-
.... "'" stinZione viene ora avvalorata dal per
aol.1.di.-.~i
·te.orema~_n..J.-..dcl. cap~
VI:
l' ipotesi caratteristica della Ela-
sticita.di secondo gradoiDmor..ealpot.enziale isotormo una fo!. rna c.he ... ove 8i annulli uno dei tre parametri in essa disponibili - Coincide con la f'Orrna prolJosta e discussa da II. l1oone.x fin dal 1940, Anzi l'annullarsi di tale parametro risulta pure necessario se incondizionatamente si accettano i risultati di esperienze assai recenti.
4
A. Signorini.
Capitolo I.'
SPOSTAMENTI TRIDIMENSIONALI REGOLARI GENEliALITA!
Siano
e.e
C
due cdnfigurazioni. di un sistema continuo
tridimcnsionale S, scelte a piacere nell'insieme di tutw quel le cha per esso vogliono i.ntendersi possi bili; in modo che 10 spostamcnto da C _ [configurazione di partenzaJ gurazione di arrivo]
in C [confi-
posea identifiearsi eon un qualunque sPQ.
stamento globalc di S. La C.. verI's. anche ch:iamata eonfigurazione di riferimento. Indiehero sempre con p. p .. una qualunque coppia di punti corrispondenti in G e Ct ' con ~. i1 vettore P~P, cioe 10 spostamento del punta p. nello spostamento globale di S da C. in
C,
~f =C~~C. Fisso a piacere una terna cartesiana trirettangola
G~:: 0.£, ~'l.. ~3
e rispetto a
1: convengo,
una volta per tutte, di indicare con
,jv ~~ 1e coordinate del gcnerieo ordinate di P, con
~1
p.,
con
x1 ' x2 ,·
x 3 ,le co-
( r = 1, 2, 3) eee. : anche adoprando. senz'altro avviso
~I{, = xI' - ¥I'
le componenti di
1,
i coefficienti di un'omografia vettoriale, li intendero riferiti alla
(t .
Potro pensare biunivoca e incondizionatamente regolare 1a corrispondenza fra
P~
e Pi in particolare sempre
i1 determinante funzionale (1)
1)
,
J(~t)X~IXj) ~(;~-~l·;-~~·~----.I
5
positiv~
- 4 -
A. Signorini.
Riuaciranne comode Ie notazioni. abbreviative XI(.Q::
~I(.._ d Y4
-u- JVv'tJ . It..~ - ~JI)-'
Non eeclu.de [salvo contrario avviso] re soggetto a
qw~ehe vineo~o
interno, del tipo
\Cy~
j)
che S posse esse-
J
= ,ju 3) jt. Fin d10ra lonvengo pure di chiamare omogeneo ogni spostamento pel quale : e x siano funzioni lineari delle y: potra magari trattarsi d: uno spostamento rigido. 2. OORRISPOliD.sNZ"
DEGLI h'LEMENTI LIN:JSARI.
=
Siano: dP_ (dY1' dY2' dy 3 ) il generieo elemento lineare orientato USCI nte da P* e dP 3 ( dx 1 , dx2 , dX 3 ) i1 suo cor-
Ov" ed a.. i versori di dP
rispondente in C
-
~
e dP.
Sempre in : 'igua~do al generico P ¥ indichero can la semplice notazione
~
1 t omografia vettoriale
dP
eLf.
per la
qua~e
~I
evidentemente
proprio
~a
:::~x~~!\
e
ct che specifica la legge di corrisponden-
za fra dP e e dP, mediante l'uguaglianza (2)
dP
Ta1volta chiamero dP 1timmagine di dP~su C [e dP. ltim-
-J .
magine di dP su C Indicando con S~
i1 ooefficiente di di1ataziono lineare
in P ~ nella direzione di Q;'A la (2) puc anche sostituirsi can
6
[CiOe -;onendo
\ dP \
::(It ~Q..)l d Px \]
- 5 -
A. Signorini
che implica
~c il coefficients di dilatazione cubica
Indicando con
L ~
in P,lI aioe -ponendo de '" mente formace
(1+~e
C-c o -Ef pure evidonte che la
solo quando 3.
jf
D~FOR1liAZIONE
e
)
de.
101--1 3
J
la (1)1
evidonte-
•
riaulta indipendente da
~
p.
omogenoo.
PURA E ROTAZIONE
LoCnJ~t SPOSTil.I'I[~NTI
OYlOGENEL
Por uno spostamento infinitesimo notoriamente conviene la sistematica decomposizione dell' omograf1a ot.. nella somma d1 una dilatazione con un'omografia assiale; decomposizione che indipendentemente
dall'eut~ta·dello
spostamento - si specifica in
(5)
non appena si ponga
Per uno spostamento finito conviene invece decomporre La fA nel prodotto di due omografie, con le modali t~ che ora ~recisero.
Chiaroo dilatazione ''pUI'.l!!;
()
iJi
latH'7ione [ propria]
ler la quale tutti e tre i coeffi·cienti princ:i'O"l}i Riano posi;ivi, cioe un'omografia vettoriale che ammetta tro ~te
~~~i~
mutuamente ortogonali. Tale ad es. risulta
,e1 solo fatto che 1a
t:o :::: K c:< . ':x ex non e degenere.
Sia allora CX& 1e dilatazione pura univocamente caratte-
7
- 6 -
A. Signorini
rizzata aall'uguaglianza 2-
<Xs ==
0..
in conseguenza dell'essere
11 d.
7 0 coincide col prodotto di .. ('I) un conveniente rotore (j.. if ,
per
(6 )
anzi
e questo
l'unico modo di decomporre 0( nel prodotto di
una dilatazione pura per un rotore. Ebbene, proprio la (6)
e la
formola di decomposizione ehe
S e ()( I? rispettivamente do il nome di deformazione pure. in P K e
meglio conviene per i suecessivi sviluppi. Ad
(l(.
rota-
zione in P~ , ovvero rotazione locale [ v. n.6}. L'intervento di (6) riduce (3) e (4) a (7) }
Se
Ct-~
C 5i riduce a uno 5postamento rigido, 5i annulla-
no tutti i coefficienti di dilatazione lineare: cio che, per effetto di (7)1' esattamente implica ••
0
•
C...
------:1) Et superfluo ricordare che un'omografia vettoriale prende il
nome speciale di "rotore" se la corrispondente affini til: degenera in uno spostamento rigido con un punta fisso.
8
- 7 -
A. Signorini
Anzi questa condi zione
e pure. suffi oiente
vi l.e lunghezze, aioe
[nel.l1inSieme deg1.i spostamenti
perche C,,--+ C conser-
regOlar~
e proprio earatteristiea degli spostamenti rigidi. Stante l'unicita della decomposizione in prodotto (6), per
eX S ' quanto
ogni spostamento omogcneo tanto
Ci. q
non posso-
no dipendere da Pi' ma si PUQ anehe dimostrare che la sola condizione
basta per garantire che 10 spostamento
e
omogeneo: naturalmente
easa e un po meno restrittiva della (8). 4. CORRISP_Q}!p'E~ZA DEGI,! _~;r....Elv~.t!iN.~I,. .'p'I. J3..t[P.t;RJi1:'JIE ORI~NTATI.
Siano:
d,.
male
ad,
It
~~.
il versore della nor-
Grientata in modo arbi t~rioJ
dell.a normale a
~
i1 generieo elemento di superficie per P"
dd il corrispondente elemento per P;
do' ,
'r\.
il. versore
orientate in verso eoncorde al vet tore
dc5 ,
CX,1} lit [ehe in genere non sara ortogonal.e a
ma neppure po-
tra mai essergli paral1eloJ • Indiehiamo con C (r,6, = 1,2,3) il. eomplemento algebrieo rs .. di XH nel determinante funzionale J.) e co n R(j,. l. a 2E:!.Q.= grana complementare di d. ,
La
Rct,
RC1. ~ ~ ert-~~:;: 13o!.· Kct' non differisce da 0.. per 0. b
Gpostamento ri.gidoJ
•
Comunque 1a
Rei.
=: I
da. 1a legge di corri-
spondenza tra gli ~J:!.!:i....Jli.. <~_1l.p.~_r.ficie .orie.ntat:i.n.· J r;1(
#
':!! Jet
mediante 1 'E:@:18f'.1~al1J:.l!
~ 46' :::: Rd. (0}~dG'Il)'
9)
Gn ~:r::o~: ,:'g::::-!"!e::;:~:";
0 ~.~) d~ •] +
9
)
A. Signorini la (9) puc sostituirsi con
(~ +$.)"
ehe implies (10 )
Per un momento siano: ~
lie'
e
11.
una parte que.1unque di
C.. e 180 parte eorrispondente di C; ~ Q. 5. i contorni eompleti di C e C. ; '!1- t '11\11 i versori delle 10ro norma1i interne. Per effetto di (9), l'i.dcntita.
S~ d6' ~ 0 (f
non dLfferisee da
che a sua volta pub sostituirai
1Rti.(,!!-ll)dct
= 0) _
or. I [
ll
i!I.
sempre col concorso del lemma di GreenJ
.~~ R,(j_(g) dCit' :: O.
~
/,
.:k
(ill
12,. [inSiem.e e.1 fatto ehe le funzioni
L'arbitrarieta. di
integrande sono continue e indipendenti de.1 ne ]
c~po
di integrazio-
da. a110ra 1uogo al1a idem·~ita vettoriale
i. '"? Rct(~;) = 0 )
(11 )
1 I. 'oy~ equive.1ente a11e tre identita. scalari ~
~. de1~; ::: 0 1
t.
IJj,,-
~. SPOSfAliE1:lTI EQUIVAI,El(T!.
Aocanto a C~
e C, conaia ere una. terza. ccinfigurazione C'
.i S, a prior;i. soggetta alla sola condizione obe 10 spostamento -
\
C I sia rego1are e aoeenno con d. 0
ivengono
0. ~
) d.. '?
I
,().. ~
oio ohe
quando C' prende i1 posto di C.
10
- 9 Dir~
oono
A. Signorini
ehe i due spostamenti
!S~valenti
ogni qualvo1ta sia rigido 10 spostamento
C '-'-C t •
ai pub dimostrare oha oio 8i verifies quando e solo quando
.. .
(12)
Rimana 0061 stabilito che la Ol ~
del1a
no
con06ce~za
in tutto C,
~-
individua C. --+ C [epostamento regOlare)
di uno epostamento rigido. 61 pub anzi aggiungere che la
in tutto
e..
indi vidua
0\ t
o(s (1...
purche la si conosca
meno di un rotore costan-
te: per due spostamcnti equivalenti., in ogni punto di. C~
t
le
deformazioni puro coinoidono e le rotazioni locali 6i rioavano l'una dal1'altra mediante il semplice prodQtto per un rotore costante.
6. FORMA DIFFERENZIALE CARATTERlSTICA, Riaesumiamo dai n.i precedent! 1e uguaglianze (13) Questo gruppo di formula mette in avidenza che attorno a p .. le di1atazioni lineari, superficiali a cubic a Bono tutte in-
(d.. 6\ • Inveoe nelle leggi complete di corrisponalom~~"ti lineari. e tra elementi di. superficie' orientati per p. e P, Ci09 in dividuate da
danza tra gli
dp ::
gl.i.
0.,( d& dp.. ) .. '
) ~ dG' -
interviene anche ( o.~)p Questa osservazione gia giustifioa 1e denominazion1 di "deformaz1one pura" e "rotazione locale" rispettivamente attribuite
11
- 10 -
A. Signorini
ad d & ) olli al n. 3: fin d lora s1 pub dire che ~a defotma~ zione dell'elcmento!tridimcnsionale \ di S ciroostante a p. e compl.etamoute caratt-~rizzata da
-
(0. 0
al0 premesso, rappresentiamo conP'.II i coefficienti della dilatazione pura il. chc implica
.
• (I b",>\I{,A-: 1.~,3; ~h:: b~'t) 1;:5:. K d.. • Q.. j
( 14)
e anche 1 'identita
;
\dP\2
LIf" ~I.l dy-c. dr~
•
1
Essendo c"-~ -= ar J i b,(,~ indivlduano Ol S [e viceversaJ : onde si pub anche dire che la deformazione de~l'ele mento di S circostante a P e comp1etamente carattcrizzata dai ~
valori in p)\ delle sei funzioni scalari b", ~ Non e questo 11 solo motivo per cui ne11a trattaz1on& sca~are
dell'attuale argomento si da alla forma ~
L
,Il.~
b dy ~?
"
diffc~1ale
dv
I.,)
nome di forma caratteristica dello spostamento C _ - ; C. 8i tratta proprio della forma differenziale che esprime il quadrato dell' clemento l.ineare di a mediant e 1e y [ds 2 eU01ideo} : e
i~
per questo che i
b
II.~
,
quando siano noti in tutto C. , indivi..
duano 10 spostamento globale C•.~ C, a meno di uno spostamento rigido. 7. 0110GBA.PU Dr DEFORlVIAZ!Ol'IE.
Accanto alla d.. 6 e alla 1(;) , dovro sistematicamente adopedefinita rare l' omografia t. omogra:fJ_~ .di deformazione dall'uguaglianza (15)
12
- 11 -
Risul.tanao
I +.2~
A. Signorini
1
= ciS )
la (8) eaattamente equivale a
t:::: 0
(16 )
.......
C.
in modo ebe - in pieno aecordo con 1a qualifies di "omografia
d1 deformazione \I per 1a e. - anehe 1a (16) e necessaria a BuflI) ficianta porche C¥r C si riduca a uno spoatamento rigido. La
t
risulta sempro una clilatazione, can Ie stasse dire2
zioni unite di C),b e
db' me. in ganera non
e una
dilataziona
pure. Per i suoi coefficienti rispetto alIa ~ , dalle (14) ban facilmcnto 131 ricavano le aspressioni
Nolte volte, saranno utili anche Ie notazioni a un solo indice
(17)
t
{.. I(
=
f.1( 'V
~ t t+l)'I. i't -:::: ~ €
~.i(.+3
~ i'2.J I(tl
~~I.~)~)
cha corrispondono a porre
il £. (17) "
€
;:t
t,
T
~S'
T
t.
t",
T
T
-t ~
~~
Ek
--
l'
~?
E' ormai classica 1a dentro_inazione eli carattaristicha di deformazione proprio per Ie sei funzioni scala]'i
E~ (q=1 ,2, ••• 6).
un
~j
Analogamenta la (12) pub sosti tuirsi con
13
c ::.
••••
C••
- 12 -
A. Signor1ni
Le caratteristiche di deformazione bastano a individuare
invece nella successiva deduzione d1 nove
~f'
01. 0 ; da d.. i valori delle
Vv" ~ intorvengono anche fuori delle sei combinazioni t.~ .
La (13)1 evidentomente equivale a (18)
oloe a (18)
f
8. DIREZrQ;TT, PHIl!.C.tPjl.L:-. INV.ARI~1l'1'.I Dr D8ji'~)RI'1AZ~_Q.I~ftL<
,
Una direzione s1 dice dirczione principale di doformazio-
(d. 6')""
ne per p .. quando essa e direzione uni ta per na di direzioni mutuamonte ortogonali si dice di deformazione per F)O quando essa
e terna
; una tcr-
~erna principa~e
E' evidento clle una torna principale di deformazione na principale dell! omografia eX:::.
O\,~
..e.ter-
(QI.. ~)f>
uni ta per
<:)..15' ma sussiste pure la
proprieta inversa, porche i coefficienti principeli di
cts
aono tutti positivi. (3) In altri termini una terna di elementi mutuamente ortogonali uscenti de
F~
e
trasformata dallo spostamonto
C~
~
G
in una terna di elementi lineari anch'essi mutuamente ortogonali :
solo quando
e ternal
Il'uguaglianza direzione
0(
principalo di deformazione por F». Inoltre
D -:: l
~incipnle
1-
~ £.
•
impliea In coincidenza di ogni
di doformazione con un8 direziono unita
dell'omografia di deformazione, ecc.
(3) Una di1.atazione S" ammetto terne pri."'.ro; "'~J; "lO'l unite solo quoildo si .annulI a Ie 20rn.rnn iF "'""" nr. "ffici enti principeli: cio segue subito dal fatto che ogni terna principalo di ~
e uni ta
por I{
b.b -=- ~:I.
e vicovorsa.
14
- 113-
A. Signorini
I tre coefficienti principali
delle dillltazione f, hanno i1 nome di caratteristiche principa11 deformazione [inp~J· l' equazione cubicQ· . '
aa.
~
Basi coincidono con le radici del-
(19 ) dove sana samplicomente indicati can 1 1 , 1 2 , 13 t ! tre invarianti principal! di doformazione, cioe itre invarianti principali della &
?,
I
It -
,
L-t E
it. ;;:;
t~ tIL )
\
(20)
If,:'
I della
3
E,Ezt j
+ tt"lE~€~
t
..f.(,.;:::;
E1£~+E~EI ... eIEt,
' -t+" ~"tf+S~ E.Et.EJ' t.
Chiamando A (r=1,2,3) i coeffieienti prinoipali 1+2E r . r 1+2~ e
J1 (21 )
}
t ~t
E~t3 +t~'£1 "ft,~\.-
J
-
3+~!1
"3 t t., II +~ It
t
cl3
~ +~ll + l-tll + g I"
-::.
i BUO! invarianti principali, 1a (19) pub sostituirsi con
(22) 8i chia.ma imrariante di dofo:rITlR.zione ognt invariante dell'omografia €.
0
Essendo questa una dilatazione, 11 pili genoralo invariante IIi deformazione
e dato
da una funzione arbi traria dei tro invarian-
t! principali !1' 1 2 , 1 3 ,
15
- 14 -
A. Signorini
Acccmnando con I ~~ ~-----.---------
J)lt.) :: ~ ~
(23)
1'ospr~sBione di,
t
1-
~ It + k I2 -t-~ 13
modiante 10 sei earatteristiche di deforma-
i
ZiOM
efr. (1)1 e (21)3 \ , si,pub anche dire che i1 piu genera... .J 1e invariante di doformaziono e dato da una funziono arbitraria di
J, 1:}1
.t..
't(I;.).
Sempro in eorrispondenza al generieo
1
P~
si chiamano a1lunga-
monti principg,a ,i.",e.o,o,ffieionti eli dilatazione lineare inoronti alla Load una
~I)
6'LJ:J 3 terno. principalo di d oformazione.
Dalla (18) ovviamonte risulta (24)
i binomi 1 + D. 't:
do.nno i coefficionti prineipali di d. & •
I valori doi tro invarianti prineipa1i di deformo.ziona restano sempre soggetti
~ ancho
in assenza di ogni vincolo
interno~
0.110 limitazioni necessaria e sufficienti parche la (19) abbia tutto
°
tro 1e radici reali,e
> - i:
condizione oquivulente a quolln
cho 1a (22) abbia tuttc c trc 10 radici reali c positive.
9.
§POs~lt4H~~:i:!i'[:g;5_GO~,
In questo nO. prondoro in speciale esamo 10 spostamonto C '- 0
: s:Qostamento inverso. Per esso :pub ripotcrsi tutto eib
* ho dette per 0 II -.). 0, se'mplicemonto sisti tuendo cho finoro con - oU./G (r
=
1,2,3)
0
M,'C
adoprando come vario.bili indipcndonti Ie
x al posta dolle y. In corrispondunzo. 0.1 generico olemento di S pongo
e ancho distinguo con un soprassogno l'omografia di deformBzione,
16
- 15 -
A. Signorini
Ie caratteristiche di deformazione ecce dello spostxJento inverso: cioe l'omografia di dcformazione, le carattcristiche di deformazione, ecce inerenti a Ow r1spotto a 0, invcce cha a C rispotto a C.
~
Con questa convenzio-
no, insicme a
(25) risulta
(25)' coc. Specialmantc oocorre, per futuri sviluppi, rilcvare che [POl gcn:,rico spostamonto finito biunivoca f..
Lnon con
mediante
f.
-1
10.
~ e in
corrispondenzo.
, ron invGc1-' con 10. trasformata (4) di
ctCj>
Invoro dnlla (25), pur cffetto dell'uguo.glianza
a =01.-t
J
scmplicGmcnte s1 ottionG (26)
In corrispondenzo. a un'omografia qualunquc {;' ~ ~'{.~ ~ 0 ad un rotore chiamo trasformata di ~ mc~ 6l 1 omografia r~ til (~~I. • I COGfj'iciGnti di fl·'(R,. rispetto alia torna trl.rottangola 'tri.= 011£," ~~ ~~3 ordinatamonte coincidono con i gr : in particolare iJtro invarianti principali di r~ ordina~amonte coincidono
-:
at
17
- 16 qui Di/ad oa. riaulta che i1 rotore
A. Signorini d ~ stabilisce una corrisRonden-
za biunivoca tra 1e direzioni principali di deformazione dello. apostam.en.12.
e
C~-+
C e quelI.e delle epostamento inverso C ....
Per uno apostam.cnto infini teaimo 1a
f"
0".
si confondo con
e quindi 1a (26) 5i riduc e a
Per un qua1unque apostamcmto rego1are 190 (26) implica cha i tre invarianti principali di £ aono in corrispondonza biunivoce. ( 5) con i tre invarianti principali di E~ • D' al tra parte [ofr. nota (4)J ei he.
t1t~,::I~£
pure stabili to che, quantunquo E ('
(a'" 1, 2,3): onde reata generalmente differisca da t. ,
i tre invarianti principali di ~. sono in corri5pondonza biunivo-
cs con i tro invarianti principali di 1:,
1
(5) Per ogni omografia.. propri~ den.za biunivoca con gli I r · ~n uguag1 l.anze
1
t~
-I
::
l
o
o
0
18
•
sono in corrispongli I~ ( (s '" 1, 2, 3) secondo 10
- 17 -
A. Signorini
II. EQUAZIONI GENERALI DELLA llECCANICA DEI SISTEIIlI CONTINUI E PRHIO
PRINCIPIO
DELLA
TERHODINAMICA
1. GENERA:LITA!. EQUAZIONE'Dr CONTINUITA'.
Passo ormai aprendcre in csame il generieo moto di S, indicando semplieemonte con
C la eonfigurazione del sistema conti-
nuo all'18tante qualunque t - configurazione attuale - e lascian-
do C.
a denotare una cOhfigurazione di riferimento scclta s pia-
cere nel1 1 insiome di tutte quelle che vogliono intendersi possibl1i per S.
Magari potra riuscire comodo - ma non sara mai necessario l'identificare C. con la configurazione in1ziale di S. Riguardo a
~t
==
e~ ~
e
manterro tutte le notazioni introdotte nol cap. preo. per ogni singalo spostamento regolare e come d1abitudine indichero con
:r.' accelerazi one,
all'istsl1.te t, dell; elemento
~10e
m di S individuato da p.
~
tr1dimonsionale:
dell1elemento circostante a11'i-
stante t a p ] • Per quanto riguarda la scolta dello variab1li indipendenti, i1 piu spease convcrra le variab11i
0
addirii;tura 81 imporra. - i l ricor8o 81-
lagra~iqne
invece che allo variabili euleriane XI)
Rappresentando
~ensita
l(~IXl}t, con k 11 valoro
di S all'istante t1 e con
19
it! P della donsi t80 a.ttuale
~~
il Valoro in p.
della
- 18 -
A. Signorlni
densita di S nella configurazione di rlferimento, qmle eSJlr&Saim e lagrangiana locale del principio di cons ervazi one. delia massa s1 avra sempre la eguazion6 di. continui ta
::.
~Sr
(1)
~
It
Z. (.
Appresso sono indicati con
Nil
pleto di C ~ e quello di C, con
r.
il contorno com.t.. ~
i
versori dello
rispettive normali interne. 2. LEMMI.
Pensiamo a un sistema di equazioni del tipo
~ 0 - I~
(2)
-1
__
'"JF ..:2. :::: 0 ..... )
y"
col solo prosupposto che pendano
D
rogolarmente da p.
t
0
elf
I
.
'*"
4- - (~ ;: 0
l'omografia
~
... " . ~'" ,
=l~l(.~~
di-
e ~ sia funzione regolare del punto
ganerieo di 111 • Come eben noto, il sistema (2) puo riassumorei nella ro18zione
(3)
f .I.e. ~,,1,,~~" .. S1" DM. -+ ) 1- ~ c\,L. '"'o!
C•
1':.
CJI
'"" 4*
purehe la si intends valida per ogni scol. ta del. vettore
1(PIC) •
In seguito 8VromO ripetutamente a cha fare anchocon
sist~
mi del tipo
(4)
col prosupposto cheancho 10 scalare
b
.Q(P.) 1 ~(f.) .(. ~(r~~)) [rispetto a b( Pi) due
Pi' Notiamo fin d'ora che, a parita di
un tale sistema non pub ammettere
20
dipenda regolarmente da
J
- 19 -
A. Signorini
Q 6~
diverse soluzioni 1 e porche no ammotta una
J
~
dovran-
no sottostare a opportune restrizioni. Un sistema. del tipo (4) pua farsi riontrare nel tipO; (2)
r con
semplicemente_ sbstitue~do in questo riassumersi
LcIr.
(2)
J
'(
+b
, onde puo
nella relazionc
)
fc. 4" ~" ~h_ Jl
+
~?
Je,
+Jh~ .r, ,,-fba;,,! d(. r
ft
"
J. (.
alm.ano sa anche questa s 1 intcnde valida per ogni seel ta di ~ (p "').
z: I
1. (p~)
evidente cha per ogni
solenoidala la (5 )$i ri-
duce a (3), rna sussiste pure la proprieta inversa: il verifiearsi
~ (3) per ogni
~ (p.)'~Q!~~2:!:dale basta ad assieurare llesi-
stanza di uno scalar;
3.
EQUAZ.I0NI
m
b (P:)-~~~~~~a
soddisfatto l'intero si-
CAUGH):. OlroGRAFIA EULERIANA DI TENSIONE. LAVO'RO
NOMINALE DELLE FORZE INT:IME.
Sia
f dL
z: .
la forza supcrficiale esterna agento attualIllen-
to sul gen:rico clemento di
generieo Ill, rappresentiamo con
Insi erne,_ in eorrispondenza al
f. k de -= t R
II'
d(It'
la forza
di massa attuale, con X (r, s = 1, 2, 3) le ordinarie caratters ristiche di tensione. Precisamente intando data alle equazioni
laseiando sottintese 1e relazioni di simmetria
Xrs =Xsr
(r,s = 1,2 t 3)
21
-
Chiamo omografia
20 -
A. Signorini
euler~ana
di tensione Is. dilatazione
Col suo intervcnto le (6) passona riassumersi in
~ -5-
~~
! P~i := ~p~"'" 6X"
~ t
(6) , .... - ... '
e, in tutto 0, per il gencrico "'Il
d6
!'" ~~
10 sforzo
la banda di
-~
elemcn~(l
~
.....
'\-
di suporficio orientato
esercitantCfi sulla faccia rivo1.ta dnl
resta rappresentato ds.
Convorra spesso adoprare per le
X una notasione a un solo
indic c ponendo
(r,D,
X :=X rs q con q
~
r
per s
=
r
c
q
=9 -
r - s
per
1,2, 3) s
*
r.
I1 sistema (6)' puo ridursi al t~.:)O (2) semplicemente
80-
stituendo C a C*, 1e x all0 y, eec.: on(1.o la (3) pormc"vte di ria§. sumorlo nella relazionc
(7)
5~( ~,,X,. ~~' C
1
fi '{r -~)J( • ~ ~>£
+
(
.
1.
JZ=O )
purehe la 8i intenda valida per ogni So:lelta del vettore Interprotiamo 1 'insiGlile dei vettori applicati (p,
t
(p).
1 (p)
)
come uno spostamcnto infini tesiJ:lo ri) S di S a I'artire dalla eonfigurazione attual'a
C. Nella (7) gli ul timi due integrali daranno
i1 eorrispondonte lavoro nominale (6) dell'insieme delle forze di
(6)
v.
A. Signorini, Ivleceaniea razionale con clementi di Statio§.. grafiea, vol.II 2d,ed., Roma, Perrcdla , 1954 I'p. 53-55,
113-14
0
387··88.
22
- 21 -
A. Signorini
massa, dello forzo d'inorzia e delle forze in superficie. 11 primo intograle dtvra quindi dare, sempre perdS, il lavoro nomina1e
1L
(i) dello forze intime. Rosta
COS1.
sonz 'altro aequisi ta
l'ugu~
glianza
(8)
4.
.;.QUAZIO_NI DI. :KI:E(C]I.H.9}f£L.:E.Q.T~-A..ZJ.9_}'};... P;LB.9JJ:S_SIt,!I~SQ.
In eorrispondonza a1 punta gonerieo Q
t* clz)(
(9 ) cioe se s'indica c~n 10 relativo
aL •.
di
L•
p~ngo
r ~ 8~\J t ~!
Lin QJI'
Le (6)
w.
:::fd!
i1 ~oof£ieiento di di1atazione superficia-
per~t]
a11a giaci tura del piano' tangento
(6)' sono oquazioni di tipo euleriano, non logra!!
0
giano: colgravo inconvenientc di far figurare quali variabili in dipendcnti, aecanto alla t, non Ie y rna le x, che vanno invGce annoverato fra le incognito in quasi tutti i problcmi di deformazio ni finite relativi n fcnomeni non permanonti.
Fin dnl ~
S
ocolo soorso Ki};cjlh-.9JJ, Boussinesq ed :::;.
cffettuarono la riduzionc delle cquazioni
gonera~i
0
F. Cesdi Cauchy
al tipo lagrangiano, nolle vario forme che ora ritrovcro: rinunziando G.nche qui agli originari pro co dimcnti. di d oduzione, sia reI' mati vi di rapidi ta, sia per poter moglio coordinaro i risul tnti. Nella (7) ponsiamo il vet tore arbi trario di p~ invace di P
[ChO
e
i
oome funzione
in corrispondonza biunivoca con p~J
Potrerno cosl sostituire la (7) can
23
- 22 -
A.
Signorini
Chiamero omografia di Kirchhoff l'omografie
1\ KIi
X =II Kl'
(11 )
1\
K~
che in genera non sara una dilataziono. Il eonfronto dolla (10) can la (2") porta subi to alla e011clusiono eha
le~uazioni
di Cauchy oquivalgono alle equazioni di
Resta insiome stabilito cha la (8) non difforisae da (13)
""ClL(~} =
Sdc.i Ck
I
~e
K
'i.t
~~~ .. dj t
Stante le idonti ta (I, 11), 10 equazi oni di Cauchy equivalgono anaha [efr. (11)1 alle cguazioni di J!.oussinesg:
~* (f -~) = i~ ~- Rd:'~ \ oy~
24
, , ,_. C;l ) t ,
..,23-
A. Signorini
5. 9JlQGWU LAGRANGIANA Dr '.lLNS.:lO@,..E.~W..Z.:lOU~Q.o.q1?~&..
4>" d.6',.
Sia
-M-- _
[efr. I, n.2
j
l ' immagine dello sforzo
cP-M til'.: ~ e
cioe
poniamo
= ct ( ~ ~ d-6) . No risulta
L' omografia (15 )
e dunque
tale che applicate. a !~ ...
sforzo relativo a
d.G'.
J..G'.
da l'immagine su C. della
Di qui uno doi motivi per cui converra
chia.ma.re ~1k la omografia lagrnngiana. di tensiona,
Ina
va pur subi
to notato che la (15) equivale sia a (15)
I
sia a
~ d~*Ko(.
(15) " La
1:>,0-
~.
[come
~]
risul ta s empre una dilatazi ana: per i suoi
coefficienti rispetto a y
rs .=i
oppure [ efr. n.3J y
clO:n q == r por
S
rs
=r
~
adoprero 1a notazione (r,s: = 1,2,3),
Y
sr
una nota2i. one a un solo indica, ponendo y
(r,s, == 1,2,3)
q
e q == 9 -r-s por s =1= r.
La (15)' permetto subito di ridurre le oquazioni di hoff alle equazioni dei Cossorat,
25
~
- 24 -
A. Signorini
( 16)
ma in piu da luogo a una notovolissima
espre~sione
dol lavoro
nominale delle forze intime mediante 10 soi nuove ausiliarie Y1' Y2' ••• Y6.
Precisamento, in modo del tutto izlanale s1 PUQ constatare che la (13) viene a equivalero a
~) (17)
")
L -:::
fd,(. C.
,.. 2.. ~ Y f., ) Q
I
"0
I
II
so naturalmente ai aocennano can··h. >aft)' . 'dtr; le variazioni delle sei oarattoristiche di deformaziono inorenti allo aposta-
~j
mento infinitesimo
6, ULTERIOlU P.ROPRIETA. 'DELL'Orv.rOGRAFIA LAGRANGI.A!iA Dr
.Richiamando llabituale decomposizione di
~
i'ENS~ON:C •.
in prodotto,
e ponendo
corto risulta una dilatazione e 1e. (15)" puc ridursi a (18)
La
~ si presents ooai como la trasformata (7)
diante i l rotore
~ .It.
b
a
~
,
di
~. me-
onde si puc dire cho le due dilatazioni
differiscono solo per I' orientamento dei loro assi
principali. Piu precisamente, per effctto di (18): a) i1 rotoro
~~
stabilisce una corrispondcnza biunivoca tra
1e direzioni unite di ~
e quollo <M.~;
(7) Ofr. nota (4)
26
- 25 -
A. Signorini
b) 1e tensioni principali B1 , B2 , B3 in P
[coefficienti prinordinatamente coincidono oon i coeffioient! prin cipali di ~J , oioe con 10 radioi dell'equaziona seoolare (8) cipali di S ('19)
Sa
C~ ~
duce a ~.; ece.
~
C doge nora in uno spostamonto rigido,
a un
£
omototia vettorialo solo quando 10
8i ri-
e
~;
Sia ora ~ll una direzione principale di doformazione per p.
e d la sua immagine (9) su 0,
che necessariamonto dara
(?fr. I, no9] una direzione prinoipale di,deformazione dello spostamento inverso. D~1e prccedenti oaservazioni bon faoilmente si puc ricavare che d
e
direzione principale di tonsione
- oioe dircziono uni ta di ~ per P - solo quando dt. ne unita anche di ~'"
e dirozio-
(per P'J( ).
7. PRBLO ERINCl.I'IO ,DELLA TER110DINAI\1Ji6ile... Sia .At" i1 eorpo naturale che si vuole rappresentare col sistema continuo S. Ammetto la possibilita di definire 10 stato fisioo di ciascun elemento di ~.mediante un certo numero [magari sovrabbondante] di paramotri di carattere puramonte locale, cho potranno benissimo non ricntrare tutti fra quolli finora incontrati. Non a1 puc ad oa. osc1udero cha per 10 meno oonvenga fare osp1icitamento intorveniro, per i1 gonerico olemento di S, una corta tomperatura, T.
(8) E' sott1nteaa 1a tradizion"llo'convenzione s=r c Srs == 0 per 8:#= r.
brs
=1
per
(9) Naturalmonte vOglio dire "la direzione dell' clemento 1ineare corrispondente in-C a un elemento lineare uscente ds P* con 1a direzione dlt; ".
27
-26 -
A. Signorini
Neppuro 2seludo qualehc mutua dipendenza tra i parametri X finche non· si riesea a sceglier1i opportunamente del prossimo C8p, ]
i1 n.1
• Prendo poi di mira un determinate, rna
qualunque e1emento m.di S [eireestante a P in can dCw
[v.
i1 suo volume in
C~
Lo stato attuale di m
c] aecennando
, eee.
e definito
dai va10ri attuali dei
paramatri X in P. Variando i X cambia 10 stato di m - cioe m sUbisco una trasformazione
e 1e trasformazioni e10mentari di
m a partire da1 suo stato attua1e vengono a essore in corrispondenza biunivoca con tutte le ~p1e di incrementi infinitesimi. dX 1 , dX2 , •••• dXn
che possene attribuirsi allo X subordinatamente all'evontua10 mutua dipendenza dolle X modesime. Per uniformare 10 schema del continuo al primo principio della Termedinamicat non basta ceordinare a ogni trasformazione elementare di m una carta variazione di forza viva, un corto lavoro elementare delle forze estoma rispetto a moun certo
L
lavoro olementare dC • 1(i)de11e forze intima: ~
deve enche pens are all' assorbimonto
gcneralme~e
in sonso algobrico
J
si di
una corta quanti ta di caloro kJC' de ... q da parte di m. Con questo, 1imitatamente alla categoria di fenomenidi cui intendo occuparmi, il primo principio della Tormodinamica equivale a postulare l'esistenza di una funzione w (X
I p~)
J
[ cioe
di una funzione di X1 ' X2 , •• ,Xn e magari di Y1' Y2 ~ Y3 tala che per ogni m e per ogni sua trasformazione elementare risulti(10)
(10) Conservo per l'equivalente meccanico del calore la notaziono classica E, quantunque Ie stesse segno venga adoperato per indicare 1e caratteristiche principali di d 8formazione.
28
- 27 -
• .~) Et" f(, \ -= k ct.\#' + {,. ,
(20)
La (21)
A. 31gnoX'ini
(17~
impone l'uguaglianza tJ(~) _
v
;, ~
V
J
~, I~ a.,f,~. La w ha i1 nome di energia interns specifies [ perche ri-
-
1.
feri ta all 'uni ta di mas sa 3i trQtta di una funzione oarattetistic.a. (11)d~1la. costituzione di S , vogllo ~re, .d:i. Ul\A funzione 1a cui forma effettiva deve intendersi suggerita, se non imposts, dalla natura diC~. Per ciascun m resta arbitraria in w una costante additiva.
(11 )
S1 pub far rientrare fra lEI "funzioni caratteristiche"
anche 1a k· (Y 1 t YZ' Y3 ) se pure 1a 81 penss'varia.bi1e con p ••
o
o
0
29
- 28 -
A. Signorini
III. SIST::r;i.iI INCor.rPRILUBILI A TRASFOBl.1A.ZIONI REVERSIBILI
1. §..I.S:~}Jq~ :!L.f};'l!.•.?~t~.IQ!L..~.YERgB~_gL
Daro la denominazione abbreviativa di sistema a trasformazioni reversibili a ogni sistema continuo per i1 quale, in aggiunta a (20), s1 poatuli l'esiatenza di una funzione caratte-
S,
ristica s
(X I P. ) ta.le
che riesca
q
(1)
T per ciascun elemento m del sistemae.per ogni sua trasformazione elementare; a'intende, pur di rappresentaxe con T > 0 il valore della temperatura di m in una scala opportuna, la ~ assoluta. Anche nella s - entropia specifica - per o&ni m rimane arbitra.ria·una costante additiva. I sistemi Sf cost definiti hanno un'importanza di primo ordine,perche forniscono 10 schema piu spontaneo, se pure un
po' semplic.ista,
di vastissime categorie di f enomeni sensibil-
mente reversi bili: questa affermazl.. one e implici ta nel secondo principio della Termodinamica. In certo modo i sistemi a trasformazioni reversibili fanno riscontro, nell'ambito de! fenomeni termomeccanici, ai sistemi privi di attrito della Meccanica analities. Hel seguito viene sempre indicate. con .:; la fUnzione earatteristica
J(X/ P*)=W-E11 .
(2)
La forma eft et ti va della funzione caratteristicaJ deve
':J-
[aome quell a di ogni al tra intendersi definita della specie
del corpo naturale schematizzato in ~ per ciascun m rimane arbi traria in l' aggiunta di una funzions lineare IT della sola T.
:f
30
- 29 -
T. La
:f
A. Signorini
corrisponde a1 potenziale termodinamico di
~
e
coei sempre la chiamero. Da (II, 20),· (1) e (IIs21) risulta
(3) per ogni m e
peJ~
ogni sua trasformazione elem.entare.
Basta questa per accorgersi che stemai1 valore di
~1
pe~
ogni elemento del si-
puo dipendere solo dai valori 100al1 del-
le caratteristiche di d eformazione
0
deJ.la temperatura assoluta;
s'intende quando - insiemo alIa oonfigurazione di riferimento 8i sia
oomu.~que
scelta la 1.
aJ.la funzione caratteristica
Se S
~
bili T, £1' £1.
In altri termini almeno riguardo
J. i
'X" possono corto ridursi aIle
e coarctu da 0bn1 vincolo intel'no f Ie sette variaJ
• - - -
_ )
C{.
s1 !!lossono pensaro come indipenden-
ti e la (3) s1 eso.urisce nelle sotto uguaglianzo
'OT 2. SISTEMI INCOMl'BIIVlIBILI A TRA3,!!'ORMAUONI REVFRSIBI1L
Accenniano can TlIC la tomperatura nella C '¥
'
stat
lasciando T a indicare la temperatura attuale.
Sia per
G!f
un qualunquc sistema a trasformazioni rovcrsibili soggetto a1 vinoolo di i}!:,C.9!;:E.t~.J!I::i,_bili ~l...9_ ...~e}11.p._~.r.:~t1J.ra__c.9..§..tante, vincolo che [cfr. (I, 23) ]
oi potra sempro inte-1dere esprGSSO da un' equa-
210ne del tipo
31
- 30 -
A. Signorini
oon
f( T~ ) T. ; ~) '" j. Per ciascun clemento di Gf
per og".ili sua trasformazione
0
,
element are seguita a valero la (3),
~"d,J = - ~~ y~ J,L, - E ~lt ~JT: il valoro di
if , per
ciascun elemento di G~ , continua a essere
ind~viduato [a meno, s'intende, di una funzione lineare arbitra-
ria lTd ella sola TJ dalle E~ e T, che pcro, stante la (5), perdono il caratterc di argomenti indipendonti. Un tale leGame, por quan-i;o direttarnente riguarda i1 potenziale termodinamico, du luogo soltanto nel modo di
scegliorne·l~espressione
me diverse di uno stosso potenziale
a un'indeterminazione
effettiva. Invece a due fortermodinamic~
corrisponderebbero anche valori diversi per le
,enera1mente
)'<¥2>t, ) )~T
I
8i tratta, para di indeterminazioni che naturalmente fini-
scono per riusciro inessenziali sotto ogni aspetto, onde nel se-
·t 0 gul.
'· d eraz~one . (12) • P er e1·· non verranno prese ~n cons~ ~mnar1 e
basta intendere - come intendera - di far capo's empre a una stes-
1( t Ir j P*)
ss. ben determinata espressione
del potenzia1e termodinamico, tra tutto quelle consentite dalla (5), ecc.
dE,
La (5) impone ai
e dT che figurano nella (3) 1a rela-
Q~(~ d.,e~ _ '1f fi T
zione
-oT
Of.,
-r:
e solo 9ssa. La (4) vanno quindi SOGtituite con
~~= (6 )
'll'de
~
~ 11 :: "oT,
,
+ lit o~ I ro f
~
- E •~
I,) _
it
of ) -tI._
r '"Or
(12) So ne avra un riflesso solo nella (29) del cap. V.
32
- 31 -
senza alcuna atto a
sp(>~ificazione
caratteri~~are
eingoli elementi di
da
A. Signorini
ilello scalare p (p,t), che perc riesce
so~o
le reazioni vincolari subite dai
G~.
3. CONSEGUENZE. DELLE (6) POl;liamo
(7) sempre intendendo q=r per s=r e q=:. -r-s per
s:ft r.
Insieme indi-
chiamo con ~ la dilatazione di coeff.icient.i.l(rs' Stante l'uguaglianza
1e priiue sei (8)
Profittando anche delle identita
:1rd.(1-+1ey l_ I~~
1. ~ Rd. ~.'.
~0
o~~ si conclude oho per i sistemi attualmente in esame 1e equazioni ,
I
dei
(9 )
La (8)
cfr. (II, 15)11
ha come immediate consegucnza
(10 )
33
- 32 -
A. Signorini
Le (6)4 .danno pure luogo a una notevolissima espressione del lavoro delle forze intime per una qualunque trasformazione elementare del generieo elemento di Gf ; perehe per 101'0 effetto, ponendo
ls
(1I,21) si riduee a
i') "- - ~. qT'1 + I" ;+ dT )
e in partieolare a ( 11)
per ogni trasformazione isoterma (dT=o, Per ogni G ~ tiva di
:J ( ~ I
Csempre
~\t)
=1).
intendendo assegnata la forma effet-
T; l? *) e di k" (p ,t)
la
tp rests
10 ealmente in-
dividuata da t e T, onde 10 stesso puo ripetersi per la dilatazione
(12)
II, n. 6] che le tre diffe renze
Ne risul ta [efr.
Br -
P
(1'
= 1,2,3)
restano sempre localmente individuate solo dalle oaratteristiche di d eformazione e dalla temperatura, in base all' equazione seeolare [efr.
(II,19)J
(13) mentre i1 rotore
d.~
stabiliseD
u,Tl<~
corrispondenza biunivoea
tra Ie direzioni unite di ~' e quelle eomuni a ~
4.
~T.A.T):.
~
~-f-'
P.I....~Q.~I~JARJ.O._ SPONTANEO A ..~E¥AJ.URA UNIFORl'lE-.L.1l.!~_~.
34
- 33 -
.Nl\1',UAL.I .l!I.'I1N, _~_ Indicando con
A. Signorini
IN C~. un determinato valore della temperatura,
,.SISTID4:I_O.IrI.Q.~IDt~:r ~
scelto a piacere dentro un corto intervallo, poniamo
"l-r)= [ If
Jt:o,r==..
't"
\ If;!) \ .
Dire che C !ld~ una confimrazione di e9.uili brio spontaneo· ella temperatura , 't' [uniforme] ( 14 )
5J, e. t c.
(p l't) I)
t'(. :::
lly
11t~
I H
.
quando sia
0
~
per ogni seelta del vattore solenoidale Ponendo
) Y't (0
(:t')
I"... con q = r per s = r e la (14) puo sostitllirsi con
Jt (p~).
sempro per ogni scelta del vettora solenoidale
Uno dei Lammi del n.2 del cap.II ronde la (14) equivalente ella condizione ehe esieta uno scalare ptt) (P.) [neccssariamente unico e parita di cpt't')]per i l 'luala rieul ti
.2. 'Of)!. ~ ( 15)
2:..1:> I
,
~.- ~ 4>~ t 6~~
4.
, l't") ,~
If[i
cioe oeista uno scalere p (16 )
lr) ==
~
(IC")
l:::) 1:'
r
\1l')
N
"" -, el
'I(
-.,
-2.,..)
'.
(Pl() ta.1.e che, intendendi>
\'"l1:'~ 1tr.) -=-,/'\ )( 'i~td 35
\1'
i
-;
[efr. (10)J
... 34
~
A. Signorini
risulti
o------X~,';. \,c')
( 17)
() ~ ~
V:ii.cne insornma stabilito di chiamare 0. " configurazione di equilibrio spontaneo alla temperatura 't' " quando in corrispondenza a
0.,
per T ~'t' , lc forzo intime atti vc [complctamonte defini"tie
pcr T:; 't" dalla configuraziona del 5ist ema ] siemc di tuttc le forze intima lattive e
siano tali ,che 1 'iE-
v~ncolari~
possa
eg~
val ere a zero pOI' ogni parte di 04. Apprasso una configurazione di eqnili brio sponstanco alla tomporatura '1"
verra indica.ta con
Cl' •
I.e (15) implidano (
("
[cfr. (II, 5)]
\:" )
J etc" ~1 ~~
(18)
C*.
per ogni scelta di Indicando con 11.lt), T
1,:t)
~,!.
"'1:...
v. t·te)
t
I"
{q;:'
{ (P.).
* {
."
t- tr) } If- '\l-c)
° ....' ';n
(-r).
aWp
~ ~(w
~
X \T)
't~ i valori medi di d a 11 a (18) b en fac~ ' l mente (13) s1 rii t
cava
_
l,;)
X~':>:::0
(19 )
°
(r,s
= 1,2,3)
Dire cho ds. uno stato naturale di Go alla temperatura T . ~) ~. , se If e un'omotetia vettCll."iale per ciascun P" : e un
[1
] .
caso particolare del precodente, perche l'ipotesi
If){J) :::= to\.T.) =(:d 1\ - '2, - If,
1
rende ovidentemento soddisfatta 1a
(14)".
1
(13) Basta specializzare le singole component1 di ~ (P~) in funzioni lineari arbi trarie delle y [spostamento omogcnoo
36
- 35 -
A. Signorini
In questa caso particolare 1e (15) si riducono a stabilire l'identita del parametro di It')
Xrs
==
~l'J.)
con pC"> , insieme a
(r, s ::: 1, 2, 3)
0
Insomma vieno convcnuto di chiamare C. "stato naturale alla temperatura 1:' " quando in eorrispondcnza a tale eomigurazione per T :
~
,1e forze intime attive siano tali ehe posse.
iden"Gicamente anm41arsi (efr. (16) 110 stress totale. Subordinatamcnte all'ipotesi che si tratti di uno stato naturale di e
sia una
C~
, perche
basta che sia k.::: cost.
G~
:! non dipenda esplici tamonte da l' Invero allera ciascun
c~
: Gf
'f~. t) non "potra
omogeneo in C.... piu differire dal
suo valor medio in C. ,onde
!fl'T:)dovra essero [cfr. (19)} - \~) l'C) un'olD.otetia vottoriale, costante 0 di parametro ~
tv
f" .
5. ~RASFQRJ·J:!LZJ:.c~~_+-.~S.
Ormai sistematicamento intendcrb che, do po aver fissato in un modo qualunque il valore C~
di~
, si sia potuta assumere per
una C 1:' • Nei nne seguenti verra imposta a
restrizione di carattere
pen~anente,
C~
anche qualche altra
comunque fin d'ora e oppor-
tunc tener presente la convenuta idontita di
.1({.I
r.)
cificando la notazione Ti Definisco il potenzial~._isotermo
C~
con una Ct' spe-
1't" (r: \T) p~) . .
in W~ ponendo
1
\(Il£\ f. ) " ~. t1~~ \'1') p.) - J.. (0\'<; p.)
limitatamentc al1e sestuple di valori delle [efr. (5) - (5)
IJ
riesee
(20)
37
E,
per Ie quali
-36 -
A. Signorini
definizione cha senz!a.ltro implica
J
tft~) _ 1'0 W~ ~ -L ~ f~O
I') f, 1t -:
e cosi traduce la (14)" in una restriziono di carattero globale per i valori delle [ )
WI\',
0 •
In una trasformazione isoterma, con T
=~
, cha
1
8i inizi
da Cll' pOI' ogni, singo10 elomento. di G~ [efr. (11) i1 lavoro dello forze intima resta esprosso, in funziona doi soli valori finali delle
t~
, da - dC*o
W~
mantre Ie (7) possono specifi-
carsi in (21 )
Prendo ora in asame una trasformazione isotarma di si inizi da C~ e dipanda de un paramatro to accennarla con C It' Indichero con
'i (P ..
C').., a intendere )
;l )
A
"A, =
i valori delle
G~
cho
Potro semplicemenpor C"- ~ C*,o eorrispondenti a
t, 0
(;., , ece. Posto (22)
Vt,lt) :::
r\Xi~ ( C*,
f.
(~ ) , ) Ir. ') dC
Jr )
il lavoro delle forze intime inerante a C" -+ CA. nullo quando
C~
differisce OR C) solo
rp~
[certamonto
uno spostamento rigi-
dO] reste espresso da (22)1
Riguardo a una quelunque,
~. (P", '). ), delle funzioni sca-
1ari, vettoriali o~ omografiche inoronti a (23)
ell
~
CA. intondero
1(O)~.)"" t~., ~ t)(~ ~~~: ~~ I~l,~ I
38
-37-
A. Signorini
t ~1) non dif:feriscono da cio che
Con queste notazioni Ie
~
danno i socondi membri delle (14) / per
l'l.) E
(24)
~
l
con
~I( l2.]
(25)
1lt
i'
d? mantra
-
risul ta
( q = 1;2, ••• 6)
::::
\'l) A,v 'll{.
a (26 )
La (20), in quanto non diffcrisce da 3
I
(27)
I
"I.
~n + I t
Id ~
=
1\ \I..'l~~ + 1,]Il . v"L(J ::::
1, equivale a
0,
Derivandola 1,2, ••• n volte rispetto aAc poi ponendo
A = 0,
si constata che il vincolo di incomprimibilita si ri-
flette in precise restrizioni por
~(1), ~(2), ..• ~(n).
Riguar-
do a s(1) ad s(2) esse sono
(28) c anchc per n >2 8i trova una restrizione del tipo
(29 )
div
sen) p~
con N funzione nota delle n non delle J\A.I (n) • rs
N n
tv (1) rs
39
'
Vv (2). rs '
...
.u... (n-1) rs
t
ma
- 38 -
Approsso intondo
M.(1:) ~_ 1- )'l W"
- Lh.)t
JI.
A. Signorini
1
(j,l:: 1 1 2, ... 6),
j
1 t f. :.0 e indica conW't' (Z.l' Z2, ••• Z6; p.ll
t
quadratica
~
Mt~)
Til£
1t
)
It) (1.
1f P,*]
~J ~ (. + fv
~
2
+
J( \
(Z
VII(
..
I P,.)
1,'L ~
~ 11+ 3
Hiesce pure comodo - in corrispondenza a ogni \
/0 ~
indicare con
'l> ~ J[
Q't'[ d l l dP~;
Y
1a forma
1 J
(P*) -
la forma quadratica-nel1.e nove
defin! ta, col concorso delle (14)', dal porro
Q't' [
cAt. ] J ) P It ::: W" ( ..t,. t ~ J IJr" (,
Invoro, accanto a
vt
O,::
0
- -'
0
• ~ b)
(1)
V~
P.)')( -1\Z 3 t () ~l ~_ Xh11:)0~ 'V ~- •
= 0,
(Ill..,
I ~~ JK modiante opportune
5 l- ~r. i 2] "' dc,,, .
trasfO'rmazioni si trova
l'l)
<1
V-r = 2 Q1" ~
(30)
(,)
C
..
Si noti ahe in q:e sta ospressione di V ~~) la funzione intogranda non
~}~~19~ ~(2); tlJ
nolle sole
p.]
W't
(
.AA:
'1101
corrisponde a una forma quadratica La coofficienti goneralrnonte J.:~PJIl0(mtj da
che si riduce a
l'l lA 1\
(I) j
~~)
I.t u I U 33
tutte 10 vol te che C't'
e sta to naturale di G ~ •
Basta cha ogni \,(., III sia linearo nelle y [Cioe s (1) corri'L ~ -I't:') sp~nds a uno spostamento omogenco pcrche - indicandG can M i valori medi degli
(31)
V. ~z.) _ (
1
ul'C') in
C .... _ la 00) possa ridursi a rs"
)1 Mt~)
" - 'l' it
t, +t \~ h\\ }T~t \.t H ,) )-
(l) (,)
jt!J
_IJ:Yc ~ / Vj\~·~ (f (I)
rs
\"- \
/
40
- 39 -
A. Signorini In particolarer basta che ••
•
••
•
[
II) _
~(I)
J)
l\)
c, : : 0 J
corrisponda a uno spostamen-
-_
_
(\I)
to rl.gl.do l.nf1n1 te S1mo . t (" - £ l. _ •• ~ ~ _ perche si annulli anche v~) ~ senza bisogno di alcuns restrizio-
ci· ~ . invcrsa~ cioe
ne circa la forma effettiva di Invace la proprieta 6i annulli solo se
-?(I)
la condizione che
[necessariamcnte solenoidale
1
v~2)
corri-
sponae a uno spostamento rigido infinitesimo, ma ha una validita aLtrettanto generale. Ammcttendola si escludo ad es. che possa non dipendore in alcun modo dalle f perche in tale eventualita [come
V~ ~).,) ::: 0 ,
o
o
0
41
e
~
Jr
cf
[liQUidi perfetti]
ben naturale
J
riesce
- 40 J.. Signorini
lVO
SOLIDI INOOMPRIll.[IBILI PERFETTAilENTE ELASTIc:[: 1. PRDPRIE:t'~' P'RJ]~q.j[PALJ:_ DE LSQlJIDJ,. )QrcQl.IP@frI)~:g.LPEB!.ET.T.AM.:2:l~=
.!l:E ];lJ.A~J.9_.;r.!l.. Per un solido perfcttamente elastico incomprilili bile a te!)l peratura costanto, Ge , in corrispondenza a ciascun valore della temperatura dontro un corto intervallo ( 1::"1) 't'". ): 10
)
esistono delle 0t';
e
2°) tra di esse co ne
~
qualcuna,C,t"
a partire dalla quale i1 lavoro delle forze intime riesce negativo per ogni trasformazione isoterma finita
0
infinitesima,
che differisca de. un semplice spostamento rigido
[ma si unifo£.
mi al vincolo di incomprimibilita ] • Non
e detto
che 0"1:' debba dare uno stato naturale di Ge , e invece implicito che a partire de
In quanto ora ho convenuto
una elL' se ne ottiene un' al tra, solo mediante uno sp ostamento rigido, Appr~sso,
insieme ella specializzaziono di Gf in un Ge , e. mn una C~. Quindi, ri-
sempre rimarra sottintesa quella di
prendendo tutte le notazioni del n. precedento, certo avremo [ subordinatamente al vincolo di incomprimi bili ta
1
(1 )
ogni qualvol ta C ~.-
C~
do, e in pin proprio Vt (2)
.., 0
J 1c [~ Q,:
M;
ogni qualvolta
non si ri,cS2'lf"'"
(9l
1l'
-1(1)
d..~
)
. ,
"1.0:
p"J1 dC
lt
J
[sia solenoidale, rna] non corrisponda ad
uno spostamento rigido infinitesimo. Ad es, [cfr. (IIId1) oi dovra intendere
42
- 41 ilo
Signorini
almeno per ogni sestupla di valori.non tutti nul11 delle Z cho ver1fichi l'uguaglianza Z1+ Z2T_z3
= o.
2. UN rEOF-EMil. Dr UNIClTA' NEI,LA STATICA ISOTERMA: 1'REMESSE.
In questo cap. mi occupero solo di queationi di Statica
T
ieoterma:
cost. = 't: •
Anzi s1 trattera solo della ricerca di configurazioni di equilibrio forzato corrispondenti a profissati valori attuali delle forze di massa e di tutte le forze superficiali esterne. Riuaciranno comode le notazioni abbreviative
tH
J~~~)dA~. -tf~V~~)dr~:: R[~)~], C.
riguard~'lJa tutto tutto
1:.-
Cr,) ~ A~.)d(. + ~ KG.) A ~((J.~)di:. ,.1'\ U;A)!o'] J
°'It e
una generica coppia
~!, ~
di vet tori assegnati in
ad un terzo vottore 2 che sia ass egna to almeno au
I: ,. .
Gia nel n, precedente, ho s·tabi ti ta di Oil in una
c~.
specializzazione
Convengo anche, una volta per tutta, di assu-
mere per 0 [origine della solita terna di
un punto di
~a
°
riferimcnto~~ O~IS.f.~JJ
YI •
Per detorminare, insieme a p, l'incogniia configurazione di equilibrio forzato
° - problema
equivalento ella determina-
zione di p e di 1',.1' = ~ in funzione di
p.- abbiamo
gia [efr.
1e (5)-(5)i, (9) e (21) del cap. III] 10 equazioni indefinite
0)
I 3do
-- 4
con
e 18 condizione al contorno
43
_
- 42 ;,., Signorini
(3) " Naturalmente questa sistema implica Ie due equazioni cardinali della Statica riferite a C:
La prima impone un vincol0 ossGnziale ai Ii di
!
e di
! '" ,
pt:'
ofissati valori attua-
la secpnda corrisponde a una propriota globale
degE incogni ti OF ::: O1')f + !1 (1' lII:). Appresso intendero sempre cho sia equilibrata anche la riportata allo stato di riferimento, difinita, na-
sollec~tazione
j ...
tural~unte, come l'insieme e (Q , f
d
dei vettori elementari (1' ,k l'
F)
~-
). In al tri termini intendero sompro cho, accanto
a (4)1' si abbia pure (5)
M [ 01'*; kll
!, E'll ]
oio che per i1 teoroma di
o~
D a
S i 1 v a C~
attorno ad 0, finera del
orient~onti
di C. compatibili con la
di spocializzare l'orientamcnto di tutto indeterminato: gli
a1 ¢u avra richiesto
(5) sono s empre almeno quattro. Oi troveremo a prondero in sn(lc5.RJ'1
assi di. eguili brio di. ta per 0 e con
~
cJ • ~
Aeeonniamo con
M,.
°
!H'P 2',ione
\>x :
gli
una retta orienta-
il suo versoro. Defini ta l' omografia
do, por un qualunque vet tore costante
V ponon-
x,
r1- ex L 1\ Of>11 ,• v~'(<<-F I!to""J-
1e.u... e asse di equilibrio quando risulta ~
COYJs:i
v~:::.O; porche ogni
sia un asse di equilibrio - cioe perche la solleoitazione ri-
portata allo stato di riferimcmto sia asta.i!:.§ - oocorre e basta che sia V = o.
44
A.. Signorini
3. ENmiCrATO DEli ~EOREWJA Dr mnrJIT1J. I> Certo, assegno.ti! (F",) e !If''(Q...Lil.si&"teJlla (3)-(3) '-(3)" non puc da solo individuare s (F,,) e P (F:,.J, perche 0 e esattamente restano ~nvariate in ciaacun punto di C_ quando a un qua-
'P'
lunque
!
(F"t) si aggiunga un vettora costante, corrispondente a
un'arbitraria traslazione di C 0 C•• Per eliminare una tale inaasenziale indeterminaziona basta assumore s
(6 )
(0):;
0,
cib che rimarra sottinteso in tutto il resto di questo
J.
[e pure in segui to Anche dopo questa convonziono non
e detto
c~pitolo
che i1 sistema
in esams univocamente determini la configurazione di equilibrio
mentra e subi to chese cio ai verifiea resta pure univoen-
~6 (FH ) e
forzato [ inaicme ad visto [Cfr. (I, 11) ]
ot~ (p.)
mente determinato p (P*). Fero non puc accadere che si presenti un I indet erminazi one analoga a quella della teoria classica -
c10e che si abbiano due configurazioni di equilibrio forzato [ con 1e stosse forze attualiJ differenti l'una da111o.ltra per una semp1ice rotazione o1emantari di
6t.
d I insicme - a mono che tutte 1e forze
j. ammatt.~l1o
1[;
st~_s_'?§o
direziona [dostine ta a
eesere qual1a di
iit] .
In ogni al tro caso si trova cha un I in-
determinazione di
!
dave riflettersi anche in una qualche
(P~)
indeterminazione della deformazione pura. Feceio ora intervenire un comune parametro moltiplicativo
.&'
per tutte 1e.!' (Flit') e
!-
(Q.), cio che
eq~Vale
a sostitui-
re i l sistema (3)-(3) 1_(3)11 con 10 equazioni indefinite
45
- 44 A. Signorin.i e la condizione al contorno
(8) La specializzazione di C.. in una 01:' a 1a ulteriori convenzioni (5) c (6) permettono di stabilire senzs alcuna 1ncertezza 11 aeguonte: TEOREMA DI UNICITA'.
!.
(P*, ~ ), p (P.. ,
h
(9)
So aaiata una aoluzione
:') J:,{., ~r;:·
~ /I'v
co
fJ) del tipo (w)
L;- ~-I~ (p~)} ~.
e8$a J2eceasariamente
e unica
l~)
.)
~ III ~:>')
""/p* ,.t =~ +[4111" (P1f)) \. I
qualora
'.If-
f)O
non ammetta alcun
aaae d1 equilibrio. La stessa unicita persista ne1 caao 0PPOeto almeno quando si aggiung'1 oJ. dati 1a componente di· .
1.J ; It""fV\\ -!-Po .. -
~ "t,v) ::; 1. [~tp \
t
secondo ogn! asse di e quilibrio.
00
~
tfv
~)
0
Per dimostrarlo, convicne in primo luogo ri1evare che la (4)2 non subisce alcuna modifica per l'intervento del parametro indeterminato e in corrispondenza a (9) a1 aCinde, tenuto ~ conto di (5), nelle 00 ugUllglianze
.;r
mentra 1a (6) (11)
!
ai traduco in
(n) (0) =
e 1a cond1zione di (12)
r ~ ] =- 0
M r...., L¥ \ '- -
- l: ) 1\.!: I!
(10)
(n= 1,2, •••• )
0
[Cfr.
incomprim'ibi1jf~
d.i"
p.. 1>
(I) ::: 0
)
~V
(!Ir,?8)-]
1illt.)= f',.- .
N L~)
(IV\-:: ~)3 46
(.1)
~ ,Mo,,,, ,fA." ~ 1'"
.,'
) .
1
L~
4Ai"
I))
- 45 J,..
Signorini
Lo (10) e (11) vanno ordinatamente associate agli
~
•
sistemi lineari - sistemiausiliari - cui le (7) - (8) danno luogo se leai derivano 1,2, •.•• n volte rispetto a oi tamente e implici tamente e poi si pone .{)" = o.
J
~
[esPli-
4. PRIMO SIST&i. AUSIIilARE'),( ESTENSIOHE Dr. TEOREMI CLASSICI AIiIiA_
1EQRIA LINE.li.RIZZATA
D:::Ii!i"E.~.£W".l9ITA'
Dr SOLIDI
n:.N,9sm~~~!4.
Deriviamo le (7)-(8) una sola volta riapetto a ~
e poi
poniamo ;] '" o. Si ottengono cosi, in aggiunta a (12)1' 1e
con
Le (13) possono dunque considerarsi come un sistema del tipo (II,2), con
o=
t F d. R lk- ... ) __ ~
r• 1 ,
r::; -~t.)-.2 p ~ -rot r \1-) (I)
(')"l1:)
anzi, in conseguenza delle (14), per i coefficienti { ( 15)
vengono a sussistere tutt~ let~guaglJianze
001'1 d.~ L- (.1" PlY'
47
;
p~
g
) rs
L
D~
r~
della
(I)
- 46 A. Signorini Le condi z.ioni im.po.st~ daL:primo .6;i.stema ausiliare al vettore solenoidale s(1) possono dunque risssumersi in quella [cfr. cap. II, ;;-.21 che per ogni
fd(
(16)
cIf
*-"
i".)t", \'~'.
oy
~
r ~ll)
~ (P~
solenoid.ale sia
-
)Q~;Plkl=J(~)(~ . . fol(.+(~)(f*~l'" bUl l') _.. )- I " c.
,,~
~
1'-~)I.
In sostanza, Ie (2) e (16) differiscono dalle relazioni che loro corrispondono nella teoria classics dell'Elasticita solo perche a1 posta di una forma quadratica in sei variabili (potenziale elastico) figura una forma quadratica in nove variabili, la Q't' :
~ (1) e ~
devono ors intendersi solenoidali, ma que-
sto non toglie che se si riprendono Ie dimostrazioni ormai abituali dol teorema di
CIa p e y ron, del teorema della mini-
ma energia potenzialej del teorema di Bet t i, ecc. automaticamente, quasi direi, si e portati a riconoscere che le conclusioni non subiscono modifica nel passaggio alla teo ria che puc avere
per base zata ~
~
l'in~ieme
delle (12)1' (2) e (13)-(14):
ip.£o.mpri!Ili bili. In particolare, si riconosce subito che per
teq~ia
lineariz-
dell'Elastos!.~.!t~_£L~91_.:Ldi
!
(P~
::=; 0,
.
(Q*): 0 il sistema (12)1-(13)-(14), subordinatamente alIa
prima delle (11), rende necessaria l'identita di s(1) con (I)
~DAOPll<' Basta allora osservare che in corrispondenza a una tale espressione di s(1) la prima delle (10) si riduce a (i)
\>!£o
=0.,
per compiere i l primo Po.ssc nella dilllost'razione del nostro teorema di unicita: il primo sistema ausiliare risulta atto alla completa determinazione di s (1) (P*) subordinatamente a (10)1' a (11) 1 e - tualora sia I ~ = 0 - alIa conoscenza della componente di W I) secondo Ci:scuno degli assi di equili brio di ~>IL' -0
.'"
48
- 47 A. Signorini
5. SOLIDI OMOGENEI IN
C'IS.
La Qondizione di omogeneita in OJ [cfr. cap.III n.4, in [efr. anche (14)'} a
fine] permette di ridurre Ie (13)
(17)
R.f ::::;
(\)
.
~'1.Qilf'«~"'" . ~;V:)
{'"
It)..
~ ~!! .. ,,'.
0;::-
·t-
lL
con
cib che equiva1e a dire che i coefficient! X(1) della - quando si adoperi per essi 1a solita
b, -.: 0
dice e 8i intende
0
\
£~;:
no~zione
~
(1)
a un solo in-
secondo che q superi
o non superi 3 - restano espressi da
X(I)
(18)
,
_
-
OWtl::.L
~ ~\I) _ ~ I
"0 ttl)
1
I't,')
(q:::
\1~1' (,J. ••
\) (1:)
Al tempo ste 8S0, insieme a p~ e agli M , s i riducono a rs cost anti tutti i coefficienti della forma quadratica UV~ e proprio ad essa rimane impasto [dalla (2)'J
di essere posi-
tive per ogni sestuple di valori non nulli dei suoi argomanti
=
che verifichi l'ugueglianza ~j 1'" ~2. + 5~ O. Ammettero (14) che addirittura si tratti di .una forma definita positiva e indicherb can mjt coefficienti della forma quadrati!"'')
= mti
,,'t.t;'
(j,l
= 1,2, ••• 6)
reciproca di
2 W",
i '
cie che permette di sostituire la (18) can 1e sei uguag1ianze sealari ( 19
(14) Una tale ammissione e certo legittima per Ge omogenei e isotropi [v. 18 (30) del prossimo cap.} •
49
- 48 -
A. Signorini 0081
luogo all'equazione ?,
lll)
h)
'"
o ==-4- j ~,t'M if, ( ~t ~ - X't
'
donde 61 puo ricavare p(1) oome funzione 1.ineare omogenee. degli 1 ) • Precisamente, posta
xi
R =
t.
IJl
¥I in::: L-
~ t-r ( ~ ) ~ ~ I
)
0 J 0I
0) ,. 0
8i he.
Ad ea. ogni qualvolta ~(P~) e ! (Q*) siano tali che Ie (17) restino completamente aoddi6fatte dall 'assumere per i singoli X(1) iI
certe funzioni lineari Ll di Y1' Y2' Y3 [magari delle costantiJ Ie concluaioni del n. precedente senz'altro assicurano la necessita di tutte,le uguaglianze (20)
pel semplice motivQ che le espressioni da queste fornite per 1e
\I,
aingole tj - lineari in Y1' Y2 , Y3 - certo si uniformano alle condizioni di congruenza di deS a i n t ~ V e nan t. 6. TEORIA LINEAf!.IZZAJA: ___'£.~_ZI0NE..
S~PLIC~
DI UN CILINDRO OMO-
~.
Suppongo che: a) Ge si presenti in C~ come un cilindro retto omogeneo, can Ie generatrici parallele a 03; b) si possa aasumere
costante non nulla, insieme a E(P.)
=
O.
Oi 8i trova proprio nel caso contemplato in fine al n. prec., con L3
==
-t 3 eLl soper l:f 3. Quindi [cfr. (20)]
50
- 49 A. Signorini
c.e;to eu.esiet.onc> tut:te 1e ugu.aglianze (21)
Posto (22)
facendo intervenire 1a dilatazione
~ .-
m1
~
....H!5-.
.l!!L
m2
~
...!!!.5-
-1I!L
m)
2
2
2
2
2
2
3
le (21) possono risssumersi in
v) t" =
f.
~) '\ ,r::: - ift1 ~I(.
3"
1M
10'
Dal.la prima [tenuto conto anche di (11) 1 ] subito si ha t in tu1 to C w l l ) . (I)
e
.'
-
= ~ fI
i ~) :; ~~) A0 Pit + r~ t ~ p*) ) oio che anche per:atte di specificare 1a (10)1 [cfr. b)
in
dI"l,!!~\op"d.t~P.)}AS,N>=O
(23)
)
.
Z.
E' ben facile riconoscere cha questa equazione per
vale a
se 81 chiama
1
~~ ~ -M
=.
0
uo -0
equi-
t3 S( ~ ~) J\ ~ ~
11 componente di
51
(.)
<.e
normale alle generstri-
- 50 -
A. Signorini ci
del cilindro. Attualmente la solleeitazione riportata allo
stato di riferimento ammette come asse di equilibrio ogni retta parallels 8.23' onde e ben naturale [efr. n. prec.IJ che 18 (23) non riesca 8 determinare anohe 11 componente di 'E~) parallelo a .23" 7. POSSIBILITA' eRE NON ESISTA ALCUNA SOLUZIONE DEI SISTEMI AUSILIARI SUCCESSIVI AL PRIMO.
Dopo quanto
e state
stabilito nel n.4 riguardo al primo
sistema ausiliare, per completare ls dimostrazione del teorema di unicita enunciato nel n.3 6i pua sdottare un procedimento ricorrente. Veramente, a partire ds n
= 2,
!(n) non
e piu
necessa-
riamtlnte solenoide.le, ma cia non de. 1uogo a intralci; la forma delle (12)
e tale
che [stabilita., subordinatamente alle prime
n-1 delle (10) e (11) I 1 ''lUlicita. della sol\lzione dei primi n-1 sistemi aUSi1iari:l ai ritrova ls condizione di solenoidalita per Is differenza di due soluzioni del sistema ausiliare n. mo • Approfondendo 1'esame dei sistemi ausiliari si riconosce che la struttura di eiascuno di essi
e tale
de implicare certe
condizioni di integrabilita, che risultano senz'altro soddisfat-
= 1 in conseguenza della convenzione (5), mentre > 1 aggiungono proprio ls (n-1 )ms delle (10).
te per n ogni n
per
(24)
In genere si tratta di una circostanza favorevole: come gia
e affiorato
nei n. pree., se 1a solleeitazione riportata allo
st~
to di riferimento non ammettc aleun asse. di eguilibrio, per eia&-l}
seun n )' 1 1a (24) non fa che individuare ~ 0 ' col favorevole riBultato di eliminare ogni indeterminazione in ~(n-1)(p~). I
Ma anche per solidi incomprimi bili, ci Bono casi di "incompatib11ita." in cui, fin del 2 0 sistema ausi1iare, le eondizioni di integrabl11ta non possono essare soddisfatte, 'a sviluppi del t1po (9) perdono ogni significato, indipendentemente de ogni que-
52
- 51 A. Signorini stione di convergenza. Per dare di questa fatto un esempio semplice cd espressi-
vo, intendo che: a) Ge si presenti in
C~
come una piastra ret-
tangolare omoe;rmea [parallelGPiPedO retto rettangolo ricentro 0 c spigoli diretti come '~, ~2' 23;
1
di ba-
b) la piastra
aia soggetta a una doppia sollecitazione a flessione, e precisamente [dOPO una conveniente numerazione degli assi coordinati] si abbia (15)
11f * :::: a.-y t N,--
f: #
bYJN t~
I
flk~:: 0
... '
z..
j.
)
can a e b costanti non nulla, insieme a ,!(P.) ;;0. Anche qui ci si trova nel case contemplato in fine al
n.5, ma con L 3 ;::: L 4 == L5
= L6
~ 0 •
Per il mio scopo bastera profittare delle (20) solo in quanto [come
e facile
controllare
J
con Ie notazioni (22) esse
vengono a imporrs, in tutto C.." 1 'uguaglianza (25)
ld
e3
=
,y: =-
()~I)
(15) Si tratta di una
J)V
-
~J'J. *'t -
I
'0
astatica
53
-
71 WI~
[v=
0].
- 52 A. Signorini perche: 1°} la linearita delle singole
()
che i d erivati parziali secondi di s 1 tutti costanti; in C
20
)
la
7:
e
:fI] .
(,)
~-e
(1)
l
. implica rs ~ rispetto alle y sono S. j
~
terr:a centrale di Ge [omogenoo
La prima componente M1 dol vettore a primo membro della
(26), stante la (25). e data da
MI -=
.M\ 1 \!'l; bf
y~" J,c 1It
C'"
e quindi 6i annulla solo per m1 = (16) Insomma, basta cha sia
o. -
m1:t
0
perche le condizioni
d'integrabilita del secondo sistema ausiliare non possano BSsere sOddisfatte.
Lv.
(16) Per un G
omogeneo e isotropo la (32) del cap. seg. ! viene a iliancare ogni possi bili ta eli eccezione, perche no·: cessariamente risulta ffi1 < o.
o
a
0
54
... 53 A. Signorini
V. SOLIDI OMOGENEI E ISOTROPI 1. Ge OMOGENEI E ISOTROPI. Anche per un G converra dire che e OMOGENEO E ISOTROPO e ogni qualvolta alle proprieta principali dei G si voglia age giungere quella - e unicamente quella - che il sistema risulti omogeneo
(~ I
\
"".)
1 L~
G
"isotropo" in
eomunque s I intenda seel to 'C' in
C1;"
•
La condizione di omogenei ta in CJI 3
che:
C-t
da sola implies
a) neppure W't' dipende esplici tamente da p.;
~~): [oW,,/;) ~J ~
: ()
b) ciascuna (-t')
, l§ P e delle t ciascuno degli Ml't') he uno stesso valore in tutto ClII; e) Clil db.
uno stato
natura~:
[efr. cap. III, n.4
alIa temperatura t'
,
onde valgono tutte le uguaglianze (1)
d) alIa propriota globl!.1,.£ (IV, 1) si puo sostituire una proprieta locale, quella ehe, almena q'lboTninatamente a.l vincolo
(2) sia
(2)
W't' (iltz. . " ~(.) ~ () )
I
col segno
= solo
per
EI
:::
t~
.:::, ., -
~
-
.....
c:
-
co 6 -
0 ,.
e) analogamente la (IV, 2) equivale alla condizione ehe per (3)
55
- 54 A. Signorini sia sempre
col segno
= solo
= ••• =
per z1 = z2
zfi
= O.
oensarePer trarre da1la (IV, 1) 1a necessita della (2) '-(2) basta /omogeneo 10 spostamento C1(-+-O).: Per quanto poi r:Lguarda
e),
stante 1a semplificazione cu:ji da luogo nella Q't' l'essere C. stato naturale, non
Cle
che da riehiamare le (IV, 2)'.
Passando al1a proprieta di "isotropia", naturalmente
la
intendo espressa della condizione chc tanto W,,;' quanto il potenzialc tern.odinamico
~,,; (
t \
T)
dipenda dalle f..
• solo
.J ~ per il tramite deg1i invarianti principali dideformazione Lefr. oap. I,
n.B ] •
Il vincolo di ineomprimibilita a temperatura
uniformc,
~ (q ~ {( T permette di pens are solo a
I
II
't ,
p.)
t.
1,2
J 0,
ci <> che ri esce esat-
tamentc equivalente, solo a
restando c091 imposta a
~~
un'espressione del tipo.
S1 puo dimostrare che, quando si vari ~ al tro valore
1:" I
in un qua1unque
l- -) l't, "("2.)'
della t:mperatura dentrol. \) Lz.
zione di una
1a de f orma-
eli:' in unaC't! "'pve corrisponder~~_@a semplicc similitudine. Se ~d es., per ciascun 1::" in J si indicano co,:: kt' ed 11:" la densi ta c 1a 1unghezza della. mas sima corda
di una C't"
so da 1-':1/
il rapparto di similitudine tra C" e 1t"
e insieme all'uguag1ianza
56
C-r/
reste csprus-
- 55 A. Signorini
(6 )
k
~"13't"
8i ha la precis8zione d1 (4)
2. CONSEGUENZE DELLA (5).
(8)
con (17)
(8)' ()
(8)"
'0
III :::. 1~ -
DE. If.,
tit
.
In definitiva 10 (8) p08aono riassumorsi in (8) II,
<.P .... I -
~k
} 'l£ 'It
l '0 ~.
+ '()f
'0 ~\
~ +~JI-~~)J('
Una prima co.nseguenza di questa uguaglianza
e che
- per
ogni elemento m. del sistema e in corricpondenza a una qualunguc
f
sua. tras~ormazion: - ~a ~ilatazione deveammettere come direurutGo t1J.tt~ le.dJ..J;'eZ10.m.. d' h z~onll pr~nc~pa.LJ. d1 dOl0rmaZl.. one: don e oV1dontemente segue c c 10 stesso deve verificarsi per Ie due d1latazioUi
. ,
I..J
Lf -= JJ (17)
8
0
ll\biO-lj .
c~r. 1e(I, 21) c (I, 20). Anche qui 81 intende per q ~ 3 e ~~ == 0 per q .,. 3.
57
SQ
I
==
- 56 A. Signorini Basta a110ra pens are seritta la (III, 13) eon referenza
alIa
[0
ad
una]
terna prineipale di d eformazione di m [e fa-
re intervenire 10 earatteristic4e principali di deformazione Er ] per riconoBcere che tale equazione secolare di terzo grado attualmente si spezza nel1e tre equazioni di primo grado (9)
SI(,-t
:=
-!k't/
t+~E~ ~lf-+ ')~ [(h~E't.~·J+(I+tE'l1"~)l
l ~"i
t
,
OJ)
~:: \1~1))
j
In pill. [efr. ancora III, n.3 e I, n.9] rimane stabilito che ~
deve ammettere come direzione unita [ direzione princi-
pale di tensions] ogni direzione principa1e di deformazione de110 spostamento inverso (18). Appresso
e aecennata
coh
F(E»
la funzione di T, ~ e delle tre E - pensate come indipendenti/ -in cui s.i converte la F
(c'>~
) ;}~ 1 T) t" )
mediante 1e
sostituzioni.
e invece con 1a funzione di T, 't" e dei tre allungamenti principa1i
b.
- pensati anchiessi come indipendenti - in cui si eonverte 1a stessa F mediante Ie sostituzioni (11 )
(18) QUGsta proprieta potrcbbe ancha assumersi come definiziono
della "isotropia" in C >It.
58
A. Signorini
0
81 trova Bubito che 1e (9) equivalgono a ( 12)
61(, -
\+~EJ( ')F~Ie)
t ;:
~-
~ f1'
Facendo intervenire 1
{w _ I "
_
\."-
oE-\ al. posto delle E e profittando
e
del fatto che
Si = Q+6,X \+ i:>..Xh
( 13)
'1
)""I?
I!.
0
le (12) si traformano in formule analoghe a quelle di
A 1 -
man s i:
D A~
0t-4ttl)Q+b'<+0
I secondi membri delle (14) devono ancora dare i coefficienti principali di
restano quindi aoquisite anche le semplici espressioni
'dF
I (A) 'Iit,, _ _
(15 )
' ) /;; If.,
per i coefficienti principali
~
3. PROPRIETA' INVARIANT IVA DI
cf Vrt:
della dilatazi one
d.!) ~ •
#
S1 deve anche ammettere che la struttura della F
(~~) ~\, J
T, 't' ) abbia carattere invariCl.:ltivo l'ispetto all a scelta di"t" : fisicamente non potrebbe avere alcun
S<'TISO
~
11",
"",1
~d
Bsi privi-
Ie gio per qualche valcre di 't:' in ( 't"' l' 't' 2). Per precisare Ie conseguenze di questa rie.ntiva Ili
't: ':1= ~
:J:,
,
II
"~ieta
inva-
converra. in corrispondenza a una qualunquc
accennare per
deformazione inerente a C'ffi
momento con E.' l' omografia di
1Ln ~
C,
'( I
con eli
primo e l'invariante secondo di 1 + 2 £1 •
59
to
Ii;'
Vt
l' invariante
- 58 -
A. Signorini Equivalendo C-( .....,. '0"" a una similitudine di rapporto ben facilmente si riconosce che
O'"~
I'(
'v't' e)~
Dt~ ~~
_
I~:; ~,1\
-1.-1:" e> ~
-.
La proprieta invariantiva di sOddisfatta se esiste una funzione
:t"
11:lt"
\:
'/
riesce eunque seuz'altro
Z't' (g1' g2)
di tre soli argomenti ( 16)
~
, g1 e g2 - che dia luogo a
:f~ (, \T) = ~T Z{~~ ~.) ~ ~1} ~ (T) ,
con
Z t (3,3) :::0 a q(T) funzione della sola temperatura attuale T.
Ebbene, in una Memoria del prof. Tolotti gia figura quanto basta per esser certi cha la propriata invariantiva di
~~
proprio impone, al potenziale termodinamico di un Ge omogeneo a isotropo, un1espressione del tipo ora indicato. La (16) evidentemente implica (17)
cio ehe rivela i l significato della Z 'r (g,; g2) e al tempo ste.§.. so [cfr. (2)' - (2) 11e imtone 1a restriziona che per ogni possibile eoppia di va10ri di 0)1 e (17)*
~\
G.
Z~li>tl~L) ,?-O
i l pr08simo n.
8] sia
)
col segno == solo per j1 = ~ 2 = 3. 3i PUQ aggiungere che alIa q(T) resta imposts l'espressione /t" ~'t' .•)
-- JTtL't'
sa si indieano con
l't')
ef'
0
J:r) d:r I
Cp
.7'
'to
11 cal ore specifieo a pressione eostan-
60
• I. A. IJigno;rin1
te in C~ trarie.
[preSSione nulla
1
e can T., 't"o due costanti arbi-
4. INTERVENro DELLa SPOSTAMENTO INVERSO.
Anche qui [cfr. It n.9] indichiamo con di deformazionedello spostamento inverso C
~
I
l'omografia
C.'
~egata
biu-
nivocamente a
dall'uguaglianza 1 + 2
€.It = ( 1 + 2 ~ ) -1 •
Siano (18) i due pr1.mi invariant! principali della 1 + 2 i
:
attualmente
[a parits. di 't' e T JeSSi risuJ.tano in corrispondenza biunivoca can
cl 1
e
13
cl 2 ,
perche Ie (7), in quanto equivale a
(.1+21)=
specifica in (19 )
oia che danno per
~ '" 1
-t
2! le ugl1aglianze generali della.
nota
(20)
61
- 60 -
A. Signol'ini e 1a (16) in
Appl'esso intenderD
nonche
e (22)' stante la (8) I"
queste notazioni gia implicano
.(23) E' ormai tempo di rilevare che [essendo k-r =
't ~T1
Ie (9) equivalgono a
6,-j'
=
-,,(~\ +~,E~)\~T1~+ Q!' [(I.'E\.s~(\ .. tE, •.)'[J .' L ) ).>" v1
('t=1)t,}).
Con Ie notazioni (21), queste uguaglianze mente 8i PUD oontrollare ]
B.-t
[~ome facil-
possono ~idursi. a
~ -(l •• E,S{J, ~! +J.[\'l~.r+(\+2E,.J'J .~~ )) 62
- 61 A. Signorini
Q
iufine. ponendo
C'e in pili il fatto, gia rilevato al n.2, che la
1. •
mette come direzioneuni ta ogni dire zione uni ta della
e difficile
.
r
Han
riconoscere che· questa circostanza aggiuntiva L.ma
solo essa:l permette di concludere che, accanto alle (24), deve
~- f = %-1 (l+tf)- ~: 1tlS~+H)'*+H)~;- :it)
sussistere l'uguaglianza omografica
(25)
t
-(
in modo che
~'
1a
"t'
d:i.:.ff~:r'enza
di due qualunque
caratteristiche di ten.§ione [coeffiCienti
i cui coefficie~ti possono pero dipendere da
ordinarie
Ci~1-e
d~ ~
eita un'es.l£,?£.sJone di ..§..econ~do ne11e ge comungue compl essa,
1
resta acqui-
(r...D (r0 == 1,2,3) ~I e .::\ con leg-
.:f.incJ~.e_}l.oI.l:._s.L~.l?El.c:.ia.±.tz..¥li)'.£
ZT.
5. TRASFORMAZIONI ISOTERME. Per T
~ ~
la (25) si riduce a
~-f = '11,(14 ~[)- W.~j+2£Y'-0+l~~ + ~~ \
(26 )
."
con
Ii
=
p
-
W1 ~1'
J
la (8) II, viene a e quivalere a1la sei
63
- 62 A. Signorini
e 18 (15) s1 traducono in
tt·)
"0 W",
1>1(
(28)
~::
I}l)
3)
'dA", non appena si accenni con
(tl) W'?;:'
la funzione dei tre
e convertita
6.'(,
-
pensati come 1ndipendenti - in cui
la W-r: ~1'~) dalle sostituzioni (11).
(8»)
Essendo Ccfr.
rl ~JI
=
_ .
.
l.l"}:J 1
~ ~j::
~
t
0 I)~/" =
~
\ '))
t t j t, -= 0 '" ") j ;: 0 nel formare gli M~'I:) 1a prima parte del secondo membro di (27) jt.
da un risultato nullo se J
0
1 supers 3 e sempre uno stesso ri-
sultato, c, per j ed 1 non superiori a 3.
Invece 1a seconds
part!, - (1 + b'j )W2 E. j ,da. - (1 + ~j ) c~~) [cfr. ancors (22) per 1 = j e zero per 1 j. Per 1a forma quadratica di
J
coefficienti de11a
IV!~~}
F
-
indipendent~mente
Jf,
I
J
eorrispondente :per la
(29)
W-r
spec~:ficazione
- resta dunque garatita un'espressione del t1po
Z~
+ M~1:)Z·~t -= e(z-+z
~jt
da ogni
W't'
(z)
+'i\'JJ_2(!57;)(~
't_ 1v3)
~fr.
(~):::: ~ (~I ~~ -t~\\ t
~'~
64
I
1./'
If
\.Lr't"''t. f- !~"
(23) e (22)'
J
a
.
Ii ~~ +!..~ i
E'f: 3 ~
I '( it
w'-)
tV'i+3
t I{,
~t
)
h~
.
)
- 63 A. Signorini Ne segue [ senza bisogno di entrare in mari to al s egno di cJ che la condizione (3)' - (3) per ogni G omogeneo e e esattamente equivale a
(29) ,
E
'If
..."
anzi i1 vinco10 z1 + z2 + z3
iso"~ropo
0;
=0
permette anche di ridurre i1
secondo m(;mbro della (29) all a forma quadratica defini ta positiva
(>~t ~it..~ +- J ~ '( Z/f~\ -1'3) .
E
(30)
l';
-;'f:
W,,:::
Con 1e notazioni dei n/ 5 e 6 del cap. p;r-ecedente, in corrispondenza a (30) 1e (IV, 18) si semplificano in
e insieme si ha 3
mrr
m r+3, r+3 =
2E-r
3 E-r
mj1
(r=1,2,3; j ~F1),
0
oio ohe ad es. fornisce (32)
m1
=
m11 m13
m33
m'1
m11 + m22 + m33
3
- _1_ Z o. 2E-(
6. PROBLEMI SEliIPLICI.
Riprendo ora 11 sistema (IV, 3) - (IV, 3') - (IV, 3") della statica isoterma nella triplice ipotesi che: omogeneo e isotropo;
a) G sia e b) possano trascurarsi le forze di massa;
c) esista una dilatazione (20) costante
~
per la quale risul-
(20) Ben facilmente si puo constatare che 1e condizioni 81 uniformano al1a (IV, 5).
65
p)-c)
.. 54 -
A. Signorini
au tutto "L. Convengo pure di indicare con -t 1 , -t 2 , -t 3 i coefficienti principali di e di specializzare l' orientamento della ~
t
[finora del. tutto indeterminato] con la condizione che ciascuno dei c dia una direzione unita di Y -s Q y c
I)-r
=
-t
•
0
( r
r-r
= 1,2,3
)
Chiamero problema semplice la ricerca, in corrispondenza a un' assegnata
t '
di tutti gli spostamenti omogenei che pos-
sano dare una soluzione del sistema (IV, 3) - (IV, 3 ' ) - (IV, 3") - (IV, 6).
In ogni problema semplice la (IV, 3)2 ai limita a imporre che sia costante anche p: coal la effettiva riaoluzione del problema viene senz'altro a consistere nel ricavare i valori di dieci costanti - i nove coefficienti di
~
e la p - dalle ugua-
glianze
-I
Accanto alle (28) si ha che i coefficienti principali di
01.,
che per di zione
sono dati da (1 + .D. r )-' (r = 1,2,3). Questo vuol dire ~~
=1
le (34) possono sostituirsi con la duplice con-
che: 1 0 ) la ~ sia teme uni ta della deformazione pura;
20 ) i valori di
6 1 , 6. 2 ,
A:;,e Ii diane una soluzione del sistoma
(35)
J
66
- 65 -
A. Signorini In fine al prossimo n. accerteremo che - almeno quando i /trl siano tutti tre abbastanza piccoli - 1e sole proprieta principaLi dei Ge omogenei e isotropi bastano a garantire l'uni-
voca rieolubilita delle (35) rispetto a 111' .A 2 , l:J 3 e p: onde. esiste una soluzione principale delle ·(34), oostitnita della deformazione pura ~o che ha come terna unita ltattuale ~ e per allungamenti principaJ..i quelli che fornisoono 1e (35), insieme a un certo v,alore, Po' di p. Si puo in piu dimostrare quanto segue: 10 ) in relazione al fatto che gli orientamenti di C~compatibili con la convenzione (21) (IV, 5) certo sono almeno quattro, esistono sempre soluzioni delle (34) perlcauali
e ± 'T{
1 t ampiezza
di d. ~ ; 20 ) invece esistono soluzioni delle (34) per le quaLi l'ampiezza di ~, non e mul tipla di 1f solo se e nulla la somma. di due dei
Gt
ts. Ad es. se e t1 + t2 = 0 e si indica con 'f la rotazione di e.. avente per asse O~3 e ampiezza ~ , le (34) restano soddisfatte, qualunque sia ~ , da
d., : : ott!'
cAr, =-
~ ~'%0 tR.~t ) t:t
a •
7. TRASFORMAZIONE DELLE (35) Serviamoci della (35)1 per esprimere i tre 11 r mediante due variabili lndipendenti, che precisamente saranno
1 =
1 +
=
ll3
r
L
= ~~2. +- t. 'A.-'
Se si pone
B
(21) cfr. la nota precedente.
67
- 66 -
A. Signorini
/j, I' restano espressi mediante :Iv e a dalle uguag1ianze
i tre
~~
(36 )
~ .1
=
L + l-:- I) ~
~ _~.
~ ~ ".2)
A. - I
t:, '} :::. }
E' subito vista chc ad esse corrispondono per 1e espressioni
_I
~
(!
~I
,(.
i>"
)"'(;.)
+0-' ')" 1-"_ + 3 r;-I) + ~ - ~\ (~ 7v It-\-- 3
~t:; ~tj+?v'J. +~\ -= ~ -=
t
J
t
l'
'}..'I..
Converra pure ri1evare che per C
•
~
~ =
1
[1.\3=oJ
C necessariamente equiva1e a uno scorrimento semplice, (22)
proprio quel10 che
e
definito dalle uguaglianze
(38) Le (36) permottono di ridurre 1e (35)2 a un sistema di due equazioni in '" e s, completato da un I espressione esplici ta
l
di p mediante
l-).-,
(39)
A.
t\: ~l.
es: precisamente, al sistema
XI\W +W,,) T"A~'JtW1 - '3'" j
/;J(WI+l"~J,,) _
.tj-r!. i
::::
0)
01+r~)~:::: 0 iL
comp1etato dall'uguaglianza
31' = w.~, .. ~ W.:I~ - ((to +t~ ~ ...~,-rJ%- + l~}.
(40)
Put.
~:~} ~ -::. 0 e t1 :: t2 :: t3 :: 0 10 jacobiA,no nei prim membri delle (39) ri-
(22) L1asserto ad es. risulta dal fatto che i va10ri dei coeffici.e~rincipali di eX £ inerenti alle (38) sana (
~ s,'"+4
t
s ) /2 e 1.
68
- 67 -
A. Sign.orini
Iv e
spet;;o a
s evidentemente ha i1 val ore
3( c.,.(:t') -t
tr))
0
(1
2
= 3)A1;
o
"7 0 •
8. CAS! PARTICOLARI.
= 0:
a) t1 ~ t2
trazione semplice.
e
La (39)2 impone, come
ben naturale,
di s,
l'~nnullarsi
e per determinare ;~" rests 1 ' Gquazione
~(\ _);-1
(41)
.
j(/,/., ,W. 1~1
.,. "'#~ ) '" t,
~i
con la speeificazione di
~4
(42)
2.
::
Parallelamonte la (40)
3""
(43)
=:
I
Qui
2')'1111 d e;l ~
[
.i. t
d~
immediato
da
~.t
)
[efr. (37)
::
in
~t,+ ~ Iv •
luogo a
.~.1 +~") W~ j ~ -1 t;;;. btoW-r f'+)~~.{i! ~)} ~ 11 ~ OCl.l .>. It D
c0t
I:z,
rieul ta
-1 .::::. E~ )I~~~l.-I::: rJv~t3 1
e il
Iv~1
L
jA~1
(-t:)
-bf
J
l-A tL~ J~-f"-r'· '>v-I
complete controlle di queste uguaglianze se si
nota cho 10 (42) implicano
(45)
J
mi limi tero a rilevare che [con ovvio significato del
simbolo did'). ]
(44)
. Jt
~
-I
Iv + ~ 1
1
)~ ..,L
[{~~ 'J .= 0, A. ::: I
69
- 68-
spetto a s, si trova subito
fL~~] ::::.0
(47)
)
'[~1 : ~'(. )
1:0 4-:.0 dopodiche con un'ulteriore derive.zione dalla (46) agevolmente
alA,]
8i tra[e (48) -::;
d-b 1
o
S
4:0
%
c~'t')
£1:'
)
l- ~t t J_- 0 C:\~!
h~O
B e r v a z ion e. - Basta c}e si possa assumere [v. n.2
del proBsilllo cap. ] (46) 1 venga a ilIlporre
c) t1
= -t 2 = t,
'oW"rI /0 ~\.
:::.. 0
A:=. 1 ala (461)2 si. riduca t ::: 2 ~ ·()'W~ . ") ":>i
t3Bcelto in mOdO cha'risulti
m.ento semplica. La (39) forniscono
)
Clon (50)
70
~
perche In a
= 1:
scorri-
- 69 A. Signorini
(51)
1a (40) aggiunga
(52)
P '"
- ts
t3 -=z. s
+
si trova
o
o
0
71
- 70 A. Signarini
VI. DEDUZIONE DEL POTENZIALE
ISOTERMO.DALL'ESPERI~NZA,
ELASTICITA' Dr SECONDO GRADg.
1. AREA DI DEFINIZIONE DEL POTENZIALE ISOTERMO. Anche questa capitola direttamente riguarda solo i Ge omogenei e isotropi. Cominciamo col determinare i1 campo bidimensiona1e in cui,
a
subordinatame~te
nito W-rj in funzione di
~i
.(.
(V, 2), basta intendere defi-
cl!,
~
37)] determiniamo 1 'area piana
: preclsamente
[cfr. (V,
ricoperta da1 punta I di
cart:sianetortog~Fali _ t fl-I)'/'A.,-rt\ x,:.~ +A,+.t1-3_1+~ -~ ::..1-)
coordinate
Y =~'~. + f'+ "),, -; = ~~4~.... ~-'}h~ +!L
(1 )
quando sidia a?. Per
oa
00
J.::
e ad
A
S
ogni valore da 0 a 00 •
1 [6corrimento semPlice] al variare di s
i l punta I, partendo da V
$ (0,0) [stato naturale]
bs b. I t'~
It
v 72
d~
- 71 A. Signorini descrive una aemiretta b, la bi5ettrice del primo qu.adrante. Per s = 0, come luogo di I 5i ha invece 1a linea equazioni parametriche(23)
J;
di
)
J;
au
converra. indicare con I')..::'
(X?\"
~
spondente a un determinato valore
Y'f-,) i1 punto corri-
!~
del parametro, Iflon
= V I [trazione semplicel e con lJV l'arco , ~.~ ] 1 eomplementare VIo I!ressione semplic.e •
l'arco I, I
b •
Evidentemente I 1-, e simmetrico a I~ rispetto a Lungo l'intera risulta pure
d~\' :; d. x~
(2) onde
~-I
e
(Iv
in I~ f si rispetto a
t
~l:J')..
I
1:'
~)( ~::
~
-~-(?v-1-_1-) ,
i1 coeffioiente apgolare della tangente
l
b,
ha una cuspide in V, eec.
.t t: :e", e
'C'~
~
a 0:>/,1\,.
sono conves-
b,. le. semiretta uscente da I", col coefficiente ivII [hi:: b] • • Propr10 b). ds. i l luogo delle
Sie. ora angolare
posizioni. assunte da I quando, 8i fa variare s da 0 a 00. La
J:, , col La
concorso di p·arte della retta al1'infinito.
2
't''k l
di
~enendo fermo ~ [cfr. (1 >] It e dunque I' area limi tat a de.
e inviluppata
perche [per ogni
dalle
A,*
b", '
anzi
..t.
a.
fa sempre parte
1 ] 1a Semire\ta I",
~ta aVere proprio i1 coefficiente ango1are
b).
bi
11",_1 i
~
La corrispondenza tra I e 1e coppie di valori di
e
biunivoca. Ad ogni punta A di
It
)L
che non appartenga a
(23) 8i tratta. di un ramo di quartica.
73
I~t
ri-
,comune a e s non
b cor-
- 72 ... A. Signorini rispondono due e due sole (24) coppie di valori di.
l
e s, in rc-
lazione al fatto che per un tale A passa una sola tangentea
Jot. e una sola tangente a .11"". Se poi A si riduce ad appartenere a b [.ma non a coincidere con V }le tangenti pcr A ad J: vengono a essere tre, cbe si vengono ad avere tre coppie di
valori di
A.
to semPliceJ
[delle quali una corrispondente a uno scorrimen•
2. SULLA DEDUZIONE DEL POTENZIALE Assegnato
't' ,
W't'
(~\ , ~\)
Jf
DALL'ESPERIENZA.
siyresenta come una funzione
(it
che va defini ta in tutta I' area ficientemente estesa di
ISOTEru~O
~
almeno in una regione suf-
a part ire da V
1a (V, 17') .. Esperienze di trazione semplice
J subordinatamente al-·
[0
pressione semPliceJ'
da sole non possono caratterizzare nwnericamente W't' a1 tro che lungo
.s: t' [0 £ f' J
mediante ""llUgUaglianza
'1/ ~ - \t('iv)
A, ,
{V,' 35)2' se, in corrispondenza
6i accenna con t 3 (
',l )
a
i l val ore di t 3 forni to
de un diagramma - primo diagremma - che opportunamente riasswna i risUltati di un gran nwnero di tali esperienze. Analogamente [cfr. ancora (V, 35) 2] esperienze di scorrimento semplice da sole non possono caratterizzare W altro che
r
lungo b, mediante l'uguaglianza
dove ormai
W ~
e ovvio
=
0
t(s) ds
il significato di tea}.
Le piu recenti esperienze per Ie determinazione di Wt sono
(24) Ad es. Ie coppie d:i valori di
_no
'}."Oe
A,
t.. . ~, IA-A.-l£I.
74
s corrispondenti a I?..
- 73 A. Signorini quelle di R.S. R i v I i n (25) e D.W. S a un d e r s. Per vari tipi di gomma, con esperienze sistematiche di vario tipo opportunamente ideate, essi sono giunti glla conclusions che si pub intendere
e piu precisamente si puo attribuire a
W~un'espressione
del ti-
po
con
~'t' )
"> ()
~~
(4)
I
funzione mai decrescente dell'unico
it'
/1
1''t'
(5)
0
~
almeno da un certo punto in poi. Quando vorra attribuire a W'/1 tutto questa 1ns1eme di proprieta, brevemente dira di "at tenermi ai risul tati sperimentali di Rivlin". Nii sembra opportuno rilevare che, non appena 8i presuppo-
ne per
W~un'espressione
nazione di
W~in ~
del tipo (3)', per la completa determi-
vengono a bastare esperienze di trazione sem-
plice, purche tanto numerose e accurate da individuare sufficientemente 11 primo diagramma, insieme ai valori di W't" lungo
J:!;.
Invero allora: 1 0 ) Ie due uguaglianze
rL
-
Gfr. (V t 22') e (V, 23)]
('j;")
,
t~») Jd?v [
1" Ct
)
1::1
>-.-::1
(25) R.S. R i v 1 i n e D.W. S a u n d e r s, Experiments on th~ deformation of rubber, "Phil. Trans.", vol. 243 A (1951) pp. 251-88.
75
- 74 A. Signorini determinano 20
)
c2("L}~
nonehe c 1 ('C')
in ciaseun punto A di
i l punta in cui
xt?~
!t
e
cost]
(6)
JI:.
f
=:
1'~(O);
~on?v
intendendo per I""
71J
tagliato ,dulla parallela per A all'asse
non puo essere a1tro che
W't: (A)
W'I;' (I
~) - c/ '1;')
I
AI? \
Viceversa questa osservazione puo dare 10 spunto a qua1ehe netto contro110 dell'ipotesi (3)', quando 8i abbiano a disposizione anche i risul tati ill esperienze di pressione semplice, o scorrimento semplice, ecc. Fin dal 1940 M. Moo n e y (26) propose per \ITt' l' espressione cui d,a luogo la (3)
1
per
l'l'/I -==- 0
,
cioe
~ W" = ~n.0l - 3)+e,htJ(~\ - ~)
(7)
Tale proposta principa1mente si baso suI fatto che, in ottimo accordo can preeedenti risul tati sperimentali, la (7) riduce la (V, 49)2 a
....L-
=:
cost.
s
e ('t') + e (-r) 1
2'
Pero la stessa (V, 49)"rende evidente ehe 10 stesso si verifiea se a1 secondo membro della (7) si aggiunge una qualunque funzione di
~~
-
J.e
j
eec.
In varie Lbmorie, comparse r_elle Philosophical Transactions della Royal Society dal 1949 in poi, R i v 1 i n
ha adoperato
anche l'espressione cui si riduce la (7) per c 1 ('t')
=:
0,
(26) M. :Mo 0 n e y, A Theory of LA-r,ge Elastic Deformation, 'iJ. Appl. Phys.", XI (1940), pp. 582-92.
76
- 75 A. Signorini
(8)
- 3 ),
proposta
da L. R. G. Treloar
(27) ed altri a conclusione di una
teoria cineties dell'elasticita
di corpi simi1i alla gomma.
II primo diagramma, almeno per 1a
gomma e quando venga con~rariamente a
1 ,
esteso snehe a valori assaigrandi d1
quanto si verifies per tanti altri materiali presenta un punta d'infless1one (28), dopa 11 quale e
df~ t3 >" D ,
(9)
d A,1.
8e ei si attiene ai risul tati di R i v I i n, si puo ricavare dalla (9) che la
1'1III' (GJ,t.n
-3) deve essere positiva, al-
meno per valori abba stanza grandi di
3. IPOTESL,QARATTERISTI..9!
~~ •
"KLASTlcrTA' Dr SECONDO GRADO".
DEL~A
Anche tutto il resto di questo capitolo riguarda solo Ge omogenei e'isotropi, in modo che, come immediata conseguenza delle (V, 26), in ogni trasformazione isoterma dovranno inten-
::::1 ~al:d~t ': t:e{ ~gl(:~ E.) _ ~"¥~ l+! f ~"XI+ ~ f y,J ~ a>, -o!\1 } It
(:~1,213)
se si continuano a indicare con Er le caratteristiche principali di deformazio>le dello spost?mflnto inverso C -+e,>!:" StSJ;Lte liidentita (11)
3. ~ 3-.1-!t(E1+~~+
fJ
(27) L.R.G. T r e l o a r, The Elasticity of a network of long
chain molecules, "Trans. Faraday: Soc. ", 39 (1943)7 pp.36-41 e 241-46. (28) V. loco cit. (25)~ p. 254 e loco cit. (26), page 587.
77
- 76 A. Signorini
e l'analoga per
~t
' i secondi membri della
~10)
possono consi-
darersi come ben determinate funzioni delle Er non appena si assegni la forma effettiva di i~ (~~)~.2.). Mi propongo di vagliare un'ipotesi di carattere sempliciata Buggerita dalle con:iusioni del N.4 del cap •. precedente: precisamente l'ipotesi che la w~ sia tale da identificare la differenza tra i second,i membri di duegualunque dene (10~ [difcon ~ funzione di secon-
ferenza fra due tensioni princiPali] do grado -
magari di primo graq,.Q. - delle Er • Questa ipotesi - ipotesi caratteristica della Elasticita 0
d1 aedondo grado per solidi incomprimibili - esattamente equivale ad assumere
se, in aggiunta alle notazioni (V, 22), si pone
b:)
I! 3
=
(1-=-r 'VI'!:) _ _ -_ (a!< W<) 6~i
-:-;;-r
)~t
:>1::'C)1:3
.
~,-::j~:3
E' evidente che una tale espressione di Wt restri ttiva di quella di Moo n e y
J s1
~un poco meno
uniforma all' 1potesi,
ma 8i puo rapidamente accertare anche la nccessita della (12). c
L'ipotesi caratteristica equivale a imporre che siano fun-.
Eioni di secondo _grado delle Er i prodotti
(E't+I-EI(,))q~~. . l oj, -(1+~£It tt)1!r-1 '0 J )
Devono quindi eeSAT'A f"unzioni ili
prjwc'
e i
78
.
G?llt l
3).
t grado Ie diffsrenze
- 77 -
A. Signorini cio che richiede
2. lW _ :: c~h) 13)) e
i~ie~
riduce la condizione relativa alle Dr a quella ehe la
'0"11",/ '4 ~I sia funzione di primo gr~do delle Er e non dipenda da ~.s . In defini ti va [efr. (11)j ci si trova in presenza alla restrizione
") oW-r:
:=
-
-
-
o"€"" l> ~~
{W",- _ -t
'l~1
-
tr)
Q~
)
l'unica che ancora mancava per accertare l'equiva1enza de11'ipotesi caratteristica a11a (12). 4. POTENZIALE ISO;rElmO E POT:E:~~IALE TERIIIODINAl..nCO NELL 'ELASTICITAt DI SECONDO GRADO.
Stante 1a (12), l'ipotesi caratteristica de11'elasticita di
8
econdo grado risul ta compati bile con la (5) solo per ~
W~ ::= e~) _ 0 '0:.1; -
'0
( 13)
cioe solo nella teo ria di Moo n e y. Invero, conle notazioni del n.7, per to seli1plice
37>J
J la
"A,
=1
(12) impone al potenzia18 :LSOt8~'J.:.O
[ scorrimen0fr. (V,
l'uguaglianza 2W
if
- s2 (c ('1:')+c (1;')+5 2 C ('It» 1 2 3'
onde non pub risultare
WT
')0
per og:'i s senza che sussistano
0
ambedue le limitazioni c/-()+
c/1-)?O~ c/'t')::,.o.
Anehe per motivo di brevita, il resto di questa capitola riguarda il solo cas a (13), la teoria di Moo n e y: accanto a
(13)
t
2W'!:'=c 1
('r')
ii
(cl1- 3 )+c 2
(~)
rimane fissata la specificazione delle (10) in
79
i1:
(Q)2- 3 ),
- 78 A. Signorini
La (V, 3:) - (V, 3) gia impone [eire (v, 29')1 che sia c 1 ('t')+ c 2 ('I::) .,. O. L'adozione della (13)' porta la (V, 21) ( It' ) - (V, 2) ad aggiuhgere solo la restrizione che ne c 1 ne C (11) possa essere negativo 2
c/~) >,;- 0 ,
(15)
c/1:'} ~
O.
Infatti Ie (V, 37) trasformano le (13)'
~W :=.cl1')L~2.+(~.;.0Y~"'~)1 +c~){tl+ (~-\)~(~j.'H)l ~ l 'Iv) ~-.~ j)
onde
e evidente
I
2
che Ie (15) bastano e rend ere soddisfatta la
(V, 2') - (V, 2); e per convincersi anche della loro necessita, non e' e"~he da pensare di far convergere
'A.
a 00
0
a zero, per
s = o.
o s s·· ~ r v a
7-,<.i
0
n e.
La (13)
r
[efr. (V, 20) e (V, 20 r ~
t le~r)n~ ~'-v+ c~)(~i ~< ~~- f~i~.
individua il potenziale termodinamieo in
~~
(16)
-
T
E
T
o
5. PROBLEMI SEIiil.:LICI. Riprendo Ie questioni
acce~n~te
nel n.B del cap. precedun-
te uniformandomi alIa (13)': per semplieita scrivero
a 1 pos t
a)
0
d...; c ('() ' c ('t') ' ) " . 't' 1 2
•
t1:: t2 = 0: trazione se.~p1.:i,£E!. La (13)' riduce Ie (V, 41) a
80
- 79 -
A. Signorini
e
-l~,
(19)
~ (), 2-
3
La (18) assioura che, assegnato t 3 , la (17) riaulta aoddisfatta da un unico valore di ~3' positiv~ 0 negativo aedondo che t3 corrisponda a una trazione
0
a una pressione, e sempre
crescente con t3"
o
8
a e r v a z ion e.
Se si riprendono le (V, 41) - (V, 42)
Iinunziando alla (13)' ma attenendosi
ai risultati sperimentali
di R i v 1 i n, si riconoace subino che, assegnato t 3 , la teoria di IiI
0 0
I/j 3\
n e y fornisce per
sempre uh valore in difetto.
Se poi al!' vuole, ,senza una precisa conoscenza della ,,{,'t(
'5' 1-
3 ) procurarai un limHe superiore dt
sostituir.e 01 con un limite inferiore di
"{'It
I/j.
3\
2
'\ 4,
basta
b) t1 = -t 2 = t, ~3 = o. La (13)t riduce le (V, 46) a
Lteliminazione di s fornisce f(A,)
(20)
con
-0 1
2
'\ c 2 ",
- 2c 1 c 2
oio che per ogni possi bile
2"\ 2
'A
,..,
- 01
3 "\ 3 "-
-0 1
02 tv
implica [cfr. ancora (15)1
81
- 80 A. Signorini fl (
A. ) <
A3
0: al variare di
monotonamente da
OQ
da - 1 a 0 la f{ ~ ) passe
a zero, onde la (20), assegnato t, reste 1:1 3 , negativo.
soddisfatta (29) dB un unico valore di c) t1 = t2 = t.
t.,. ~to
in modo ahe rieu.l.t.t
A.}
==
0:
scorri-
eento aemplice. La (13)' riduce 1e (V, 49) a
t cioe a
(29) Trascur0-f'eventualita c 1 == 0 psg. 71
J·
o
"
0
82
~fr.
l'os&ervazione a
B RUN 0
FIN Z I
========~======~=;===
TEORIE DINAIHCHE DELL' ALA
ROMA - Istituto Matematico dellIUniversita., 1955
83
-
B.Finzi
1 -
TEORIE DINAlUCHE DELL' ALA 1. Introduzione.
Non
e
facile rendersi conto del biEzarro comportamento dei
fluidi poco viscosi, quali l'aria e llacqua, deducendolo logicamente e matematicamente, come tica, da poche
e nello
spirito della fisica matema-
proposizioni generali tratte dall'esperienza. Cia
perche le schematizzazioni piu semplici suggerite dal senso comune, in virtu del quale piccole cause non possono produrre che piccoli effetti, e facent·i capo a campi cinetici ovunque regolari, portano a risultati paradossali sconcertanti, quali i1 paradosso di d'Alembert. Per evitare
~ali
risultati pzradossali l'aerodinamica moder-
na ricorre a,.fJchemat:tzzazioni fisiche raffinate e Ie sviluppa matematicamente in modo adeguato, conformemente si al buon senso, me non sempre al senso comune.
e
Il pro blama fondament ale dell' aerodinamica moderna di spiegare il funzionamento di un'ala. Non
e un
quello
problema facile,
perche sono (purtroppo) false 10 idee semplicisticho oha vengono osposto in molti libri alomentari di fisica. Ecco, aasi di.oono, come e perche l' aereoplano vola.. L' elica trascina l'qcreo in sene all'aria. Questa investe le ali, che possono schomatizzarsi con un piano intlinato dell'angolo dirozione del vento. La forza F cha l'aria esercita su talc piano
e normale
alpiano stesso. Scomponiamola in due fo,!: ze: una
R normale
al vento, l'altra
rotta come il vento; la prima da la
li dip~~tenza
sulla
~ I
E-P -
8L~_~~
cho, equilibrando
i1 peso, impedisce all'aereoplano di cadercj la seconda
e 1a
rGsi-
stanza che, sommata alla resistonz§ dolle a1tre parti dell'aereo, viano equilibrata dall.a
trl}zione dell 'o"Lica.
85
B.Finzi
- 3 -
re la tcoria di
G1~ert
o la tcoria di Ackeret
rolativa all'qla in condizioni iposonicho ~clativa
all'ala in condizioni iparsoniche.
CAl'. I
ALCUNI RICHIAIIII SULLA CINEIIIA_'PICA DEI FLUIDI 1.- Atto di mota di un fluido.
It'atto di mota di un fluido nei vari istanti puo essere individuato, ponendosi dal punto di vista euleriano, assegnando, in ogni istante t e in ogni posizione P, la velocita
~
dell'im-
precisata particella cha transita per P all'istanta t, assagnando cioe i1 vettore
~
in funzione di P e di t:
(1)
Se nella J;1.} manca la dipendonza esplici ta dal. tempo, i l moto si <.
dice stazionario, variabile in caso contrario. L'atto di mota di un flmido in un istamte
e dato
dal campo
cinetico ddfinito dalla (1), quando in ossa si fissi t e 8i faccia variare P. Considoriamo un
infinitesimo di un generico punta P di coordinate cartesiane ortogonali x 1 x 2x 3 ; sia P' un gencrica punta di tale intorno e diciamo x 1+dx 1 , x 2+dX2 ,x 3+dx 3 10 suo coordinate. Sia
~
int~rn~
la volocita di P
cartosiano di talo volocita; sia 10
au~omponenti.
(2)
Questa moatra cha
~'
0
v. (i=1,2,3) le compononti J.
la volocita di P' e v! (i=1 J.
,;~,3)
In condizioni di regolarita, si puo scrivere:
'\I:~ ="If:(,
...
K R dx (.)
)'lft
n~11'intor.no
considerato l'atto di moto e omo-
grafico. (.)In questa formula e in altro successive l'indice scoperto i 0 l'indice saturato k assumono i valori 1,2,3; e so·ttinteso i1 sogno di sommatoria rispetto all'indico saturato.
86
B.Finzi
- 4 -
'd'f,' SCplllpoato 11 tenaore i}(~ nella sua parte simmatriea e Ile;l-
la sua parte emiaimmetrica; dalla (2) scritta nella forma
'If! :::- 'U'Z
~
+
I
(o~
I () -A.'
_('0) VIs, )dx +L(O. "'~ X ~/
k
t \.~
+
x.!(
o'lf~\\ dXi( CX ~)
61 trae che, ncll'1ntorno infinitcsimo del gonorico punta P,
l'at~
to d1 moto risulta composto di un atto di moto rotatraslatorio cha non comporta deformazionc alcuna a di un atto di moto torio. La vclocita angolare (3)
W
esscndo
defo~Jlzionc
~1=
d118~a
e:
atto di moto
!:::'l;
~1
.i
'0
Ole'
oll~
~
''IIi
'\1'"
''If)
~f
-.- 1~ xo~ '\I'-
e Is volocita ?i
de~imo
'ax\
corrispondento a1 secondo atto di
moto (4)
In particolaro, In valocita di dilatazione j 'T
(5)
'14~ _
Ol(~
Dunque: N01
g~..i
e:
c~bica
d'-'" IV 'V
-
-
co movimcnto d_i un Lluido,
-.
0
gni al amen to,
(un cubetto ad osompio) trasla, ruota can vclocita angolsre data dalls (3), si dGforma oq,,!]. velocita di doformazionc data dalls (4)
0
in partico1aro varia i1 suo_.yolumo con vcIocita data dal-
10. (5).
2.- Campo cinotico. Nol campo cinctieo che da, in un j.stantc, l' atto di mota di un fluido inturcJssano le 1tnee dijluss'o, o.lle quo.l.i il vottoro voloei ta
e tangcntu,
Ie linee cioQ por cui
87
ye
parallaHl
0.
B.F1nzi
So i1 moto
d~.
e
stazionario, quests linea co1ncidono con 10 trac!
terlc delle particolle fluida, e cioeoon 1e linea di corrente. In un campo 01not100 Bono importanti duo nozioni. La prj"ma
e In
noz1ono di oircolaziona
t
r
lungo uno. lJ.n9a orientatn
r 11t xdP ,
(6) La secondo.
e
~ quellu di flUSBO
di nssegncto varsoro normnl0
~
che at-travcrsa una superficie :
~
cp::: S~l('!} d,.
(7)
e legata
In condizioni di reg01nrita, In circolazionc retoro attrnvcreo il teoromq di Stokes,
e legato
i1 !lusso
divcrgonzn attravorso i1 teorcmn della divorgcnzn: so 115 Buperficie avante per contorno la linea ohiusa
~, e que110 di circolazione lungo in una vite deatra.
r
(8)
se
~
e una
che esce da
e;
=
t
e una
e i1 verao di
sono co1legati come
1. '1 dr ::: I ttor~ X
t ,
al
alla
X
rt~ d~ ;
l 6 ~ regione spaziale di contorno G e T
6 , e:
e
il flusso
(9 )
3.- Campo irrotazionale. Un campo partic01armente semp1ice
e i1
campo irrptazionale.
Nel corrispondente atto di mota ogni elemento fluido trasla, 8i deforma, ma non ruota, perche (10 )
ItOt
I'~
:::
0 .
Esiste allOra un potenziale oinetioo
88
'f
t
funzione dei punti
B.Finzi
- 6 -
~
dello
~pazio,
di cui
~ ~ gradien~e:
(11)
=
grad
Oio vuol dire che la componente di ~ia
la derivate di
'f
to
LQ seala;r:e
~
seconao tal.e
-
secondo ogni direzione egtia-
\
ol<~
e guindi
3) .
~irezione,
( ~ :: \) ,t)
') 'fl,
1\1._
f ·
individua completamente i l campo irrota-
zionaleconsiderato. Basta segnare Ie superficie eqUipotenzial.i, in cui
~
ne aritmetioa di
aesume val.ori in progressi2, r~ione
e
abbastanza pico2,
la, per avera unlimmagine del campo: sempre normal.e al.le "lamella" delimi tat e dalle supe!: f1cie equipotcnzial.1, inte.6odove 1e lamelle 61 assottigliano, debole dove 8i ingrossallo. In un campo irrotaziona1e, 1a circolazione lungo una linea aperta eguaglia la differcnza di potenzialecinetico agli cetremi. Lungo una linea chiusa enulla, se il potenziale
e funzione
uni-
forme. Dal tcorema di Stokes (8) IlIi deduce che, in un campo irrotazionale, la ciroolazione lungo una linea chiusa
,;
e nulla
tutte le volte che si puo tr!;l.cciare un diafremma G di contorno
.~ , tutto contenuto nel fiuido in motoregolare. La circolazione'
e poi
1a steese lungo due 1ince il cui insieme puo assumarsi
como contorno di un diafra.mma tuttocontcnuto nol fluido inmoto rogolare. 4.- Campo solenoidale. Important.o
e il
campo cinotico aolonoida10, porche esso da
in ogni istanto 11 atto di moto di mibile, came l'acgua,
0
tm
flu:ii.do praticamonto incompri-
cha non esplica le. sua comprimi.bilita, como
l'aria a voloc.ita non tro.ppo grandi. In un campo solcnoidale
89
e
E.Finzi
- 7 -
nulla la velocita di dilatazione cubica, cioe
div'1
0
:=
Esiste allora un potenziale vettore
~ e
Poiche
'P , di cui y
definito a meno di un gradiente,
am
e rotore:
pub disporre di
questo in modo che risulti
di v f
(14)
In un campo solenoidale
::: 0
e nullo
. il flusso che esce dal con-
torno di ogni regione fluida in moto regolare. Per avere un'immagine del campo solenoida1e
dividerlo
in tanti tubi di flusso. de1imitati lateralmente da linee di fluBso, e ogni sezione dei quali sata de un medesimo
e
attraver-
fiUBSO
E. ab-
bastanza piccolo: 18 direzione dei tubi
e
quell a del campo, intenso dove
i tubi si restringono, debole dove s1 allargano.
In un campo 6olenoidale·11 , noto i1 vettore ~
=i rot :l! che
rappresenta la velocita ango18re di ogni elemento fluido, 61 pub calcolare y. Dalla (13) si ha infatt1:
Ma, grazie alIa (14), se
Ll
el'operatore d1 Laplace,
e quindi (15)
-2w -
90
.
B.Finzi
- 8 -
II potenziale vettore sOddisfa dun que ad un'equazione di
Poisson
(come 11 potenzia1e gravitazionale
entr~
la materia)
e quindi, se R(Pl} indica 1a distanza fra due ppnti P e Q di ~cj
r R(
si ha:
~ .~-~(~~- d~ -4- o-(p) ,
(16 )
dove
.J'C
~(p)
P Q)
-
indica un vettore armonico, ao1uzione cioe
dell'~
quazione di Laplace ~ ~. =0. Prendendo il rotoxe d'ambo 1 membri della (16), si ha finalmentc:
5. - Campo armonico. Un campo si dice armonico se esso e irr4t.azionale e aolenoidale, ee cioe ( 18)
XDt '!t = 0
)
diy',!,::o.
In corrispondenza ad un campo einetico armonico, ogni clemento fluido trasla, ma non ruota, si deforma, ma non varia il suo volume. Esiste, conformomonte a11a (11), un potenziale cinetico
'f '
ma, grazie al1a seconda delle (18), esso ! una funzi.ona armonica, soluzi.one cioe del1'equazione di Laplace
6f
(19 )
:::0.
Bsiate pure, conformemente alla (13), un potenziale vettore
~
ma anch'esso armonico: (20 )
11
vettor~
y, del resto, soddisfa esso stesso all'equazione di
91
,
B.Finzi
- 9 -
Laplace
d.ial1te
Un campo aomonico a~aette la duplice raDnresentaa~~ me:J.ame11e e ID0diar.-.t~ tubi di fluse~, 1.0 una normal! ag1i
altri. Tutte Ie pro prieta delle funzioni armoniche si traducono in altrettante proprieta dei campi armenici. In particolare, dato i1 carattere e11ittico
de11lequa~i9ne
di Laplace, cio che
avviene in un punto del oampo influenza ad
e in#luenzato
ds
cio che avviene in ogni altro punto, si puo determinare un campo ar.monico, regolare in una regione, valendosi di dati al no, attraverso la riso1uzione di un BrQblema di Dirichlet
contor~
0
di un
problema di Neumann. 6.- Campi cinetici piani.
Molte volte si si riduce a considerare c8.ll1pi cinetici piani, nei quali esiste un piano d1rettore xy: la velocita y. risuJ.ta ovunque parallela a questo piano e indipendente dalla tersa coordinata cartesiana normale a1 piano steeso. In un campo cinetico irrotaziona1.e pmano i1 potenziale cidipende soltanto dE(Lle due coordinate x e y, e le sunetico perficie equipotenziali sono rappresentate 13111 piano direttore da linee equipotcnzia1i. In un can.po cinetico solenoidale piano i1 potenziale vettore
e normalo
componcnte
al piano direttorc cd
'f
e indiv1d.usto
(x,y), detta funz10ne di
flU8S0, 0
Stokes. Lungo ogni linea di flusso 1a funziorte
'fI
da una sola funzione di 51 mantiene
costanto, e due linea di flusso tracciate 6111 piano direttore detorminano un nastro di flusso, attraverso il quale il flusso eguale al1.'incremento che subiscc la funzione
92
0/
e
passando du una
- 10 -
linea di contorno all'altra.
B.Finzi
I nastri-di !lUBSO adempiono nel
caso piano all'ufficio de! tub! di £lasso no1 caso
epazial~_
7. Campo armonico piano. Si
cons~deri
un campo oinetico armonico piano, e diciamo
z=x+iy i1 numero compleaso che costituisce l'affissa di un generi-
f
co punta del piaoo direttore. Il potenziale cinetico e 1a funzione di !luBeo Bono :f'unzioni armonicho coniugate delle va-
tp
riabi1i real! x e Y. perohe
-o\jl - , Q,X
(22)
Il numero compleS8() f:::
f"i 0/ e perCiO
funz.ione del.1e vlU'iabile
compleasa z, (23)
e se si rappr.senta 18 velocita y col numero complesso (24)
le prime (22) am riasaumono semplicemente nell'unica equazione: (25 )
Il numero complesBo
W
e1 dice ve10cita complessa e il nwae-
ro comp1esso f potenziale complesep. Entrambi sono funzioni
delltu~
nica variabile comp1essa z, e derivando i1 ptenziale complesso s1 ottiene la velocita
comp~essa.
In corrispondenza ad ogni funzione f(%) di variabile
comple~
sa s1 ha un campo armonico piano che ha per potenziale cinetico ls parte reale d1 f e per funzione di flusso te de11'immaginario.
93
'I'
i1 coefficien-
-
B. Finzi
11 -
Disegnando alcune lineee di f1usso, d'equazione ~ ~cost., e
'f
a1.cune linee equipotenzial.i, d', equazione
",coat..., si rappresen-
ta in modo espressivo i1 campo (.). 8i consideri ad es. 1a funzione
(26 ) essende
j
una costante reale. Se ref)
sono 1e coordinate polari di un generico p1Ll1to del piano direttore, da11a (26) 6i trae:
(26' ) Le linee di flusso sono dunque cinconferenze con centro ne11'origine 0 e le linee equipotcnziali raggi del fascio di centro O. T,a velocita complessa
e:
(27) Essa diventa infinita nell'origine, dove vi
e una
singolarita po-
lare. La circolazione lungo una qua1sivoglia linea chiusa abbraccia l'origine(una volta so1:'a) vale:
r
fIde =J e 21f ~~~~:~~:(:,~v~::o :::::~e d:~! -<~/I (28)
metica d'egual ragione
E. abbaliJtanza
«x~/
pi c co 1a, il campo ris ul t a di vi so in tanti quadratini.
94
.>;: ~ j.
f,
che
B.Finzi
- 12 -
Dunque, esternamente all'origine, tutte le particelle fluids non ruotano, perche il mota e irrotazionale, ma circolano egualmento attorno ad 0, con circolazione
r= l
j .
Il semplice esempio considerato corrisponde ad un piano puntiforme,
posta in 0 ed avcnte intensita
c0
~ice
Passiamo, tornando a considerazioni gonerali, dalla variabile complessa z=x+iy alla variabile complessa ponando:
t -
(29)
~ = ~ +i
1
z(t)
Con tale trasformazione conforme si passa dal campo cinetico armonico nel piano della variabile complessa z, e di potonziale complesso f(Z), al campo cinctico armonico nel piano della variabile complessa
! ' c di
potenziale complesso f(z(t». Alle
linee di flusso, di equazione
f (x,y)=oost.,
relative al campo
del primo piano, corrispondono 10 linee di flusso, di equazione
1" (x( 5' 1 ),
y(
~
,
1))=cost.,
relative al campo del secondo
piano. Oon tali trasformazioni conformi si possono ottenere in modo assai semplice quanti 8i vogliono campi armonici piani, delimi tati da linee di fluss0i- partendo de uno qual.unque di cssL In tutti questi campi s1 consorvano 1 flussi e 10 c1rcolazioni attraverso e lungo lineo corrispondenti. Per ceempio, (0)
e il
f(z) ::
e(z +.~l)
potenziale complesso della £QE-
ronto traslatoria di velocita asintQ tica c, dirctta come l'asse x, chc investe un profilo circolaro con tro nel1'origino e raggio a. La trasformazionc conformc ottonuta
95
B.Finzi
- 13 -
ponendo
con h e k costruiti
roa~i,
permette di ottonere la corr<m.te trasla-
toria di vo1.ocitii asintotica ~, dirotta como l'asse ~ , che investe un prot110 ellittico che ha per assi gIl assi
ed
~
~
e 1.unghezza dei somiassi ah+k e ah-k • Per avere un'idea del~~ corre~ti tras~atorie ora considerate a mo' d'esampio, riferiamoci a quella dhe investe un profilo circolare.
I~
suo potonziale
rivandolo 8i ottiene la
comp~osso
ve~ocita
WI
e dato
dalla (30), e de-
complessa
d0-~)'
Separando nella (30) 18 parte reale
'f
da quella immaginaria
6i ottengono faci1mente 1.e ~inee di fiusso d I equazione Fra queste vi e il filone
~
=0,
cho
pro~ene
Ifl
"0/
=cost.
dall'infinito a
monto, segue l'asse x e batte sul profilo nel punto di prora A ove la velocita s'annulla. Qui i~ filone si spezza in due parti: una segue la semicirconferenza d'ordinata
p08it~,
l'altra la semicirconferenza di
ordinate negative. Le due Jarti si riuniscono nel punta di B, ove la velocita si
annul~a
una seconda
vo~ta,
prosegue lungo l'asse x verso l'infinito a
e il
val~e.
~
fi~one
Le altre linee
di flusso ripetono attenuandolo ossia appiBttendolo, l'andamento qua~itativo
deL filone, finche lontano dal
profi~o
Ie l.inee di
flusso si riducono a rette parallele all.'asse x, secondo mento di una corrente traslatoria uniforme.
96
l'an~a
E. ]'inzi
.. 14 -
CAl'. II RICHIAlviI
1.-
SULLA
DINAl'HCA
Dji;I
FLUIDI.
deL continui deformabil~. ;;;c n!htlh che le equazioni indefinite della dinam:i-ca di uh
2guazi~indefinite
~~la~~ica
co'ntinuo def'ormabile si ottengono serivendo: 1 0
)
che la massa di
ogni sua porzione infinitesima per l'accelerazione del generieo
e
corpuscolo che ne fa parte che su di essa agiscono;
eguale al risultante delle forze
20) che
e nullo
il momento
de~e
for-
ze precedent,i rispetto ad un generieo punto della plUrzione considerata; 3°) ehe la massa di ogni porzione
e invariabile,
se
formata sempre dai medesimi corpus coli. Se ,;'
e la
densi ta, v k le componenti cartesiane della ve-
loe i ta y. in un generi co punto del cam.po di moto, Fk le componenti cartesiane della forza esterna K per unita di volume, P ik i1 tensore degli sforzi interni ehe si destano nel continuo, la prima condizione si traduce cosi:
~ di'V(I:t
(1)
_._. F. --- '0 Po:... ...c
-
K)Xi
~.K --
l).
, l~'~, q
la seconda condizione afferma ehe il tensore degli
sfor~i
e
sim-
metrieo: (2 )
la terza condizione si esprime eosi:
cl9__ dJ
+~JW~ ~O.
Nella (1) e nella (3) compaiono le derivate sostanziali rispetto al tempo t, rispettivamento delle componenti della velocita y e della densi ta mente, se il moto
~
• Ora queste quanti ta dipendono da t diretta-
e variabile,
e vi dipendono per 11 trBmite del-
le coordinate della pmsizione P occupata dal corpuseolo che
97
B.Finzi
- 15 -
viene
3i ha quindi per l'accelerazione:
consider~to.
o anche, con £acilm
trasfo~azioni:
3i ha pure, analogamentc alla (4): (6)
La (3), che traduce il principio di conservazione della massa,. puo dunque scriversi ancha coai:
Sottlntendendo, come
e
consuetudine, la simmetria del ten-
sore degli 8fo1'zi, espressa dalla (2), restano 3 equazioni indefi nite scalari sintetizzate nella (1) e una equazione indefinita scalare (3).
In totale 4 equazioni indefinite scalari in 10 ino£
gnite: la densita
, le 3 componenti v k della velocita, le .6
)~
componenti distinte del tensore doppio simmetrieo degli sforzi Pike La equazioni indefinite (anohe se ad esse si aggiungono le
condizioni :iiniziali
(t
quelle al eontorno) non bastano per oa100-
lare i l movimento: ad esse bisogna aggiungere altre relazioni, tratte dall'esperienza, che precisano 1a natura fisiea, del continuo deformabile in oggetto e 1e condizioni
te~odinamiche
in
cui 8i trova. 2.- Eguazioni indefinite della dinamiea dei fluirli. Nel caso di
un'
fluido, spezziamo i1 tensore degli sforziin
una parte isotropa pa ik , nella quale p rappresenta :}a pressione e a ik il tens ore fondamenta1e (in coordinate cartesiane ortogonali aik=O se ilk, a ik=1 se i=k) e in un tensore doppio simme-
98
B.Finzi
- 16 -
trico a
invarisn:t;~
line&rQ nullo .. 11
~s.iddet1;o.
deviatp£! degli
sforzi, qik:
In condizioni statiche 'ik=O e 10 stesso avviene se il fluido si muove di moto rigido, rna non cosl in generale. L'esperienza mostra che il deviatore degli sforzi
e
sempre funzione
lineare omogenea della veloci ta di deformazione
l':K '
e precisa-
mente si hal
(8) dove
f"
sono coefficienti dipendenti dalla na~ura viscosa
l
e
del fluido, e
?C
=div
~
e la
velocita di dilatazione cubica.
Iv= -ifi-)
Dalla seconda delle (7) si deduce che deve risulta.re
cos1cohe la natura visco sa del fluido viene a dipendere dall'unico coefficiente di viscosita il fluido
e omogeneo.
jV' che e una costante positiva se
Ponendo la. (7) (con la specificazione (8»
nella (1), questa
diviene per un fluido omogeneo: (9 )
dove
SK
sono Ie componenti di un vettore, Ie quali dipendono
linearmente ed omogeneamente dalle derivate Beconde delle componenti della
ve~ocita.
La (9) e la (3) danno 4 equazioni indefinite·scalari alle derivate parziali del secondo ordine nella 5 incognite costituite dalle
~
componenti vIc della veloci ta, dalla densita.
~
e dalla
pressione p. AIle precedenti quattro equazioni indefinite se ne aggiunge una quinta dipendente dalla natura fisica del fluido e dalle condizioni termodinamiche in cui 8i trova. E' questa l'equazione
99
complementare._ Ordinariama~t. viena ne fini ta obe 1ega a p:
fJ
~!! . .t& ~
tale
~ equazi~
~(fl~) ~o.
(10 ) Coa~,
quido,
ae 11. Uuido 0
e un
e inoomprimibile,
come puo ritenersi un li-
gas che non eaplica la sua comprimibilita, la (10)
afferma aemplicementa cha (10' )
~
se i1 fluido
e un
::.
.,
M~t.
gsa perfetto in condizioniisaterme, dalla leg-
ge di Boyle ai deduce cha:
.
~t.
(10 11 )
se il ;O.uido e un gas perfet.to in condizioni adiabC\ticlle, ai ha: (10'" )
.!... ::: j( ~r
:=
"
(.,o~t
1
dove 1 'esponente ~ e una costante maggiore di 1: per 1 'aria (~1
,4. AIle 5 equazioni indefinite, valide in ogni punta del campo
di moto, bisogna aggiungere 10 condizioni inizia1i (nei moti variabili) a Ie condizioni al contorno: fra queata ultime l'ospcrienza impone l' sdoaione complets aIle pareti (ri gide) di oontorno. Tutto quanto si PUQ dire Bulla dinamica dai fluidi e insito nelle equazioni che ne rcggono 11 moto, ma tirarlo fuori non
e facile, perche, se la
(10)
a finita, la
(3) e un"'equazione nel-
10 derivate parziali di primo ordine, soltanto quasi
linear~,
e
la (10) riassume tre equazioni lineari nelle derivate parziali seconde delle componenti della velocita, ma la dipendenza nolle derivate parzia1i prime delle funsioni incognite soltanto quasi line are.
100
a,
per Is (4),
B.Finzi
- 18 -
3-. Correnti a grandi numeri di Reynolds. Per l'aria, che e i1 fluido cha o'intarGSsa, .i1. CGefficiante di
viscoa~ta
rv vale,
in condizioni normal!, 1,79.10-6 Kg m- 2 sec.
E' spontaneo fare addi:i1i ttura
r--
==0 e quindi ri tenere, an-
che in condizioni dinamiche (come sempre
e lecito
in condizioni
statiche), isotropo il tensore dogli sparzi, normale 10 sforzo cho s1 esercita su ogni clemento superficiale, caratterizzati entrambi dall' unico scalare p 'i- 0 chc rapprosenta la pressiono, e sopprimere di consoguenza I'ultimo termino nella (9). Per procieare perc
~uando
cio
e lecito,
conviene porro le equazioni in-
definite sotto forma adimcnsional&, in modo da aver a che faro soltanto con puri numori. In forma adimensionale le equazioni indefinite sono ancora quelle trovate, soltanto che in esse compaiono, invece delle varie quantita fisiche, rapporti fra quantita della stessa specie, e in particolare, in luogo del coefficiente di viscosita ".. , campareil reciproco del
nume~
di Reynolds
( 11)
dove
t e l a lunghezza a cui vengono riferite tutto le altre
lunghezze e v 0 e
qo
sono la velocita e la densita di riferimen-
tdJ. Se il numero di Reynolds
e grande,
ma si mantiene finito
i1 fattore che ne accompagna i1 reciproco nel1eequazioni indefinite e cioe que1lo che sosti tuisce
5K '
all or a
e leci to
trascl!,
rare l'ultimo addendo nelle (9), cadendo nella schema dei fluidi perfetti, i1 cui moto
e
retto da equazioni differenziali tutte
del primo ordine soltanto. Questa schematizzazione
e 1ecita la dove non si hanno bru-
sche variazioni nelle derivate prime delle velocita, e quindi esternamente aIle singolarita, quali ad es. i vortici puntiformi piani, considerati nel CAP.I, e abbastanza lontano dalle pa-
101
B.Finzi
- 19 -
ret! (rigide), parche nell'immediata prossimi ta di queste la velocita del fluido subisce una brusca variazione. Non troppo vicino ad una parete (rigida) i1 f1uido pub infatti riguardarai come perfetto e ad esso pub imporsi
solt~to
Ie condizione al contorno in virtu della quale i1 fluido 1ambisfe la partto; sulla parete invece, grazie alIa condizione di
co~
pleta adesione, la velocita del fluido deve coincidere con quella della parete: ne segue una brusca variazione di velocita in uno atraterel10,fluido contiguo alIa parete, e qui un fluido, anche
II !S5lO 11 0
pochissimo~ome
perfatto~
l'aria, non pub essera riguardato come
ma dave easere ritenuto viscoso, senza cha sia lecito
trascurare l'ultimo addendo nella (9). Lo straterello precedante costituisce 10 strate limite di Prandtl. GraEie al suo esiguo spessore, Ie equazioni (9) possono ivi semplificarsi, IDa reatano tuttavia equazioni differenziali del secondo ordine. Vedremo quale influenza essenziale eserciti questo straterello nella moderna aereadinamica. Da essa non si puo prescindere. L'estrema sua schematizzazione, talvo1ta 8ufficiente, consiste nel farne uno straterella di spessore infinitesimo che riveste la parete:in esse
~gni
elemento fluido
ruota con velocita angolare proporzionale al salto di velocita che provoca e inversamente proporzionale al10 spessore dello atraterello.
4.- Dinamica del fluidi perfetti. Le equazioni indefinite della dinamica dei fluidi perfetti si ottengono da quelle (9)(3)(10) dei fluidi viscosi facendo in esse
(12 )
r
=0. Esse si possono ra.ccogliere nel seguente quadro:
~
adt
..rl(,
fl( - ~t, OJ(~
(K::
102
I, ~ , 3)
B.Finzi
- 20 -
e rappresentano effettivamente le equazioni di movimento di una corrente a grandi nwneri di Reynolds ee-ternam.enta allaregioni di aingolarita e fuori dello strato limite. Il sistema formato dalle cinque equazioni acalari (12)
e
differenziale del primo ordine, quasi lineare, nelle cinque funzioni incognite v 1v 2v 3 x'x2x 3 e del tempo t.
e p delle coordinate spaziali
Alle equazioni indefinite (12) bisogna
aggiungere~
nei mo-
ti variabili, le condizioni iniziali e, in ogni caso, 1e condizioni al contorno.
Fra queste ul time si pub imporre al fluid a ,
in prossimita d1 pareti, di lambire le pareti atesse, ma non genericwnente, quells di aderirvi. ~.-
Teorema di Bernoulli.
Dalla prima delle (12), dividendone ambo i memhri per~ mol~iplicando per v k e sommando, ai deduce il teorema dell'Cnergia :
c.l ( ~. fIr ~J
.
rl/t. 1
-'
-
F
-
-.~ -
)(1Ij
-
~ ~f
___
~ 4Xl<
K "J'".
II primo membra rappresenta la derivata rispetto al tempo dell'energia cinetica per unita di massa. In condizioni stazionari~
divicne
~'w1(t"
J'.r .
Il primo termine al secondo membro rappresenta 1a potenza delle forze esterna per unit a di massa. Da osso si preseinde nel caso dell'aria. A1 pili nel caso del peso vale
d"-OJ_(- .~~) X ~~ dove z
e la
quot.a ascendento e g 1 t accelerazione di gravita. II
secondo termine a secondo membra della (13) vale
103
B.Finzi
- 21 -
dove
H " f ~:-
(14)
e l'entalpie
che da il contenuto termico per unita di massa,
entaJ.pia cha si caI~ola medi ante l' int egra1e indefini to ('4),
?
una volta esprosso
in funzione di p risolvGndo lo' equaz:i.onG
colllplementare. Nel caso stazionario dalla (13) si trae dunque:
3'WAl
tt1\]'\ 3% H1 't +
X == 0, Questa afferma che lungo una linea di flusso, nel moto staz1onario diun fluido perfetto, e costante il trinomio che in esea compare:
~ 'U' \ ~z + H :: VO~
(15 )
La (15) esprime il celebre teorema di Bernoulli. In particolare, per un gas che non esp11C8 la sua comprimibilita, trascurando l'addendo gz.o ricordando la (10'), sL he:
i ,,/+ t =cot',
(15' )
Per un gas perfetto in condizioni adiabatiche, ricordando le (10 '" 81 he. 1nvece: .
(15" )
: '\J t.
~
+
.
~-\
.:£J1:) r (-I\K)
_ e.ot.
In entrambi i casi, se il mote e stazionar10, lungo una line:? di £lus8o In prcssione e maggiore dove manore e 1n velocita, minora dove quest'ult1ma
e maggiore.
Poiche 10 pressione p non PUQ mai essere negative, dalle (15')
0
(15") 8i deduce cho In velocita v dGl fluido non PUQ mni
supornre, mantenendosi stazionaria, una vG10cita limite V facilmonte calcolabile in base alle relazioni precedenti.
104
B.Finzi
- 22 -
8i
ri~evi
che ncl caso partioolnrc, ma notevole, di un
moto stazionurio e irrotazionalo, in virtu del1a (5). laprima delle (12) 81 puo scrivere oosi:
~)t~2.+6:(,+H1
l
::0
Intogrando questa rolazione si deduce oha i1 trinomio
1 2
~
+gz+H
3 costante ovunqUC, e non so1tante lunge una linea di flusso.
6.- Fronti d'onda e volocita del suono. E' importante ricerc8rc, in un fluido perfetto, ifronti dlonda, attravereo i quaLi 10 derivate prime delle funzioni incognite ohe compaiono ne1 sistema (12) possono presentare delle diS<Jontinui. tao Detta (16 )
l'equazione di un fronte dronda in un generioo istante t, la velocitA d'avanzamento di tale fronte d'onda
e notoriamente
A
(17)
Esprimiamo, mediante l'equazione complementare, p in funzione di
~
v 1v 2v 3
• Semplici considerazioni cinematiohe impongono alle
~
e consideriamo 1e rimanenti 4 funzioni incogni te
diacontinuita delle derivate di queste quattro funzioni attraverso i fronti d'onda di soddisfare al1e seguenti relazioni:
d'l/'I( _ ).. J 'C'
;;r-- kU
(18 )
_ """t. ') l' )To
} D0'\J~ oX.
\'K'1_1:'.
~x·
) D~~..,::: A,
dove D e simbolo lI[i discontinui ta e 'A. 1 tro moltiplicatori a priori nrbitrari.
105
\, 2
-")"t',
{\Co}:: ~~/~) '\
li::~'.3)
"1)(11 \: A 3 "'4 sono
quat-
B.Finzi
- 23 -
Scriviamn le 4 equazioni differenziali del quadro (12) da una banda e dall'altra di un fronte d'onda. Per differenzs otter-
ramo le aeguenti equazioni algebriche, ll.bOO- ....bbidire i
~inQari
omO/ircnee, a cui
moltipl-icutori:
(19 )
Dalle (19), che esprimono 1e condizioni dinamiche relative alle discontlnuita, si deduce che le
discontinuit~
delle deri-
vate dellevelocita sono longitudinali. Affinche perc 1e varie d1scont1nuita considerate esistano veramente, biaogna che il determinante dd sistema (19) sia nullo, e cio comporta 0 fronti d'onda fissi rispetto al fluido, a fronti d'onda d'equazione (16), tale che sia (20)
i; = !~ ~r I~~I· Ora, se vn e la componente di y secondo la normale
~
al
fronte d1cnda, si ha:
d"t' --dt Segue di qui, dalla (20) e dalla (17) che la ve10cita di propagazione delle diecontinuita, rispetta al fluido in mota, (21)
e
co
A-
'"~ ~ ±V1~
La (21) da la velocita di
~ropagazione
·
e:
del suono nel fluido
allorche c1 si panga nelle cancliziani genera1i considerate. Essa risulta genericamente variabilo da posta a P08to e da
istant~d
istante. In condizioni adiahatiche dalla (10"') scende aha
106
B,Finzi
- 24 -
e -= ~ ~r--r ~~
(21' )
~.L
Poiche la (10) e tale che se il mota
e variabile,
d~
•
> 0,
la (20) mostra che,
i fronti d'onda da essa individuati sono
sempro reali, cioe sono sempro roali Ie varieta caratteristicho del sistema differenziale (12), cioe questo he carattere iperbo.lico. Nel caso stazionario cib
nmn avviene invece sempre, per-
che in tal caso risulta dalla (17) A=ID, e quindi da11a (21) segue:
(22)
( ? -- ' - v.'1'It -' -
e questa relazione come ora vedremo, non sempre puo essere soddisfatta. Diciamo
~
, ,.
i1 comp1emento
,
de11 1 angol0 che la velocita y in un punto,generico P forma col varsoro normale 'I\,
a un fronte d 1 onda, varsore spicca-
to da110 stosBO punto P. La (22) diviene
(22 () e questa relazione puo essere soddisfatta soltanto Quando ;~ 1. Poniamo (23 )
EI questo il numero di Mach, rapporto fra 1a vo10cita del fluido
in un punto e in un istantc
0
180 velo'cita del suono ne1lo stosso
ppnto e nol10 stesso istante. In condizioni ipersonicho M) 1; in condizioni ipoBoniche M, 1; in condizioni 80niche III = 1. La (221) si puo scrivaro C08l: (24 )
--. M .~
107
.. I ...
L' angolo d. 8 detto percH) angola di Mach: se ovunque M > 1, so ci08 vigono ovunque condizioni ipersoniche, questo angolo 8 ovunque reale, ovunque reali sono i fronti d'onda e il sistema diff0rcmziale contenuto in (12) ha carattere ovunque iperbolico anche
e ovunque
in condizioni stazionariej se invece
gono ovunque oondizioni iposoniche, l' angolo
M<1, se cioe vi-
c(
non 8 mei reale,
i fronti d ronda non sono reali e il sistema differenziale contonuto in (12) ha carattere ellittico in condizioni stazionarie,
o~
sia cio che avviene in un punta influenza ed 8 influenzato da cio che avviene in ogni altro punta del campo di moto; se poi
»1
vi sana r0gioni ove !vI
e al tre ove M < 1, il si st ema d:i.ffero!!
ziale (12) ha, in condizioni, stazionarie, carattere-misto: esist.Q, no regioni ipersoniche e regioni ipasonichc, separate de. suporfi ci soniche ove M = 1, e qui d =
e normale
al fronto d'onda.
7. - Tooremi di Thomson
0
f(
cioe Ie. veIoci.ta del fluido
,
'2"
di Lagrange.
Consideriamo un fluido perfetto
0
proscindiamo dalle forze
di masse.. La prima equazione indefinita (12), introducendo l'onta! pia H, puo scr1versi vettorialIDDnte cosi: (25)
Esse afferme. cho l'entalpia
e opposta
al potenziru.e
zione. Consideriamo nel fluido una linea chiusa
l
d0llraccele:£l~
sempre formata
dalle stosse particelle fluide e calcoliamo in ggni istante t la circolezione derivata di (26)
r
f'
r =f ~
lungo tale linea: rispetto al tempo:
dr - Jdl~"
Ma, per la (25),
Jy
cit
t
d!!_xdP dt
l(
dP
• Calcoliamo la
t
+f 1,,-Xcl"V. t
--
.xdP= - dH, montrc
108
~
x
dy=d(~
v 2 ). .3sscndo
13.Finzi
- 26 -
Hot v 2 funzi-oni uniformi. entt'8.lllbi gl.i intogral:! "hid
no a seoondo mombro della (26) sono nulli,
0
C
quindi
(27)
£ , sempre
La circo1aziono lunge ogni linea chiusa
formata dalle
stosse particelle fl.uido, 8 dunque costanto, se 11 fluido 8 perfotto
0
"il moto lungo
..e e
rego1aro; 8 questa 11 teorema di
Thomson.Dal toorema di Thomson si puo dedurro, come corollario, i1 teorcma di Lagrange , So inizialmentc il fluido 8 in quiete, lungo tutto 10 linco chiuse tracciats nel campo di moto 8 costituiseono queste linoo
formeranno~
r
=0. Le particellG chG
a capo del generico tempo
t, delle lineo chiuse cho nolla 101.'0 collottivita riompiranno il campo di moto,e, per il toorema di Thomson, continuara
r=O lungo ognuna di
re
ad esse-
questo lineo.
Considcriamo quel1e fna quosta linGo chedelimitano diaframmi tutti contenuti nel fluido, dove il mota e rC3g01aro, Par 11 teorema di Stokos, sara sempre nullo il
f~usso
d1
rot y attraverso ogni diaframma che ha per contorno tali linee. Dunquo, dove il moto e ragolaro, e sempre rot y
e
1rrotazional.e:
e
=0,
Ci08 11 mota
questo il teorema di Lagrange, il quale sottol1.
nea l'importanza predominanto dei fluidi perfotti di quellapart1. colaro categoria di movimonti che
e
cos"tituita dai moti irrotazio
nalL 8. - Vortici. Dato un campo cinotico (li vl,loci ta y, considoriamo i1 campo del vcttoro rot y cho rapprosenta il doppio lare di ogni el:emonto fluido. :Csso (28)
109
e
dell~
voloc1ta ango-
solonoidalo, porbhe
13.F1nzi
- 27 -
Considoriaroo un tal» di !lusso in qUGsto caro'Po Stllonoidalo: il suo flusso ~ eguaglia, pur il toorema di Stokes, la c~CO~a ziono
r
della volocita lungo ogni
linea chiusa
I ,
tracciata sulla sua
suporficio, cho abbraccia una sola volta il tubo. QUGste tubo si dicc tubo !i!.Q.
e
J= r
vortico~
113. sua intansita.
Un tubo vorticoso, esternamente a1 quale i1 moto tazionale si dice vortice. L'intensita
J
e
di un vortice
irro-
e l'i,!!
tensita. del tubo vorticoso che 10 cOlltituisce, ed eguaglia la circolazione lungo ogni linea chiusa sola volta, anche 8e questa linea non
e che l(abbraccia una e tracciata
proprio sulla
Buperficie del tubo Vorticoso. Ecco come vi
e un
tubo
e
entr~
fatto un vortice: i l quale 1e parti
celle fluide traslano, motano e ai deformano; esternamente ad esso Ie particelle fluide trasfu§no, si deformano, ma non Duotano, e perc circolano tutte egualmente attorno al tuba con 1a medesima circolazione eguale all'intensita del vortice. Il tubo vorticoso che costituisce un vortice pub ridursi ad un filetto vorticoso, rappresentato geometricamfo
3
oo
da una
linea. Affinche la sua intonsita ~ sia finita, biscgna che sia finito il flusso di rot y.
attraverso la sezione infinitesima del
filetto, e questo esige che siano infiniti rot y. e la velocita angolare degli elementi fluidi che costituiscoho il filetto vorticoso.
Un fi1etto vorticoso rappresenta percib una tipica
singo1arita in un campo cinetico irrotazionale. Ad es. una retta normale a1 piano direttore, passante por i1 vortice puntiforme considerato nel CAP.I, costituisce un filetto vortico!so rettilineo in un campo cinetico armonico.
110
B.Finzi
- 28 -
I tubi vortico si e i fTletti ch" debbono chiudersi su
se
()O
ot.it"liSO<:lno
stessi a ma di anello,
0
~
v.-.r·bi..cj
giungere fino
ai limiti del campo, magari fino all'infinito. In un fluido' perfetto i vortici godono di notevoli propriota. che discendono dai teoremi di Thomson e di Lagrange: partendo della qUiete, essi non possono fermarsi la. dove il mota ma possono para formarsi
~a
dove il moto non
regolare,
~
e regolare,
su-
0
biace variazioni cosi bruscho da costringere a ritenere viscoso il fluido, come avviene nello steto limite aderente a pareti. Tipicamenta i vortici cho si formano costituiscono essi stessi delle singolarita. rapprosentate da filetti vorticosi. Ltintensita. complessiva dei vortici cha si formano nelle regioni di s1ngolarita chi us a
L
e nulla,
perche se si considera una linea
,sempre formata delle s tesse particelle, le quale
racchiude tutte le regioni di singolarita dove s1 formano vertici, lungo essa
e
inizialmente nulla la circolazionc
sempre nulla dwe esaere
r
r , e quindi
in ogni altro istante, e percia nuJ:-
la deve risultare l'intensita. complessiva dei vortici che
L
rac-
chiude. Se dunque, in un fl.uido perfetto-, si fonne un vortice di intensita.
J
in una regiono di singolarita., debbono contemporanea-
mente formersi altri vortici d'intonsita complessiva -
J
,pure
in regioni di singolarita.. Sui vortici sussistono i seguenti classici tooremi di Helmholtz: in un fluido perfetto in moto rogolare osternamente a1 vortici t questi non possono distruggersi; i tubi vorticosi e i vortici che ne sono dolimituti sonG sempre formati dalle stesse particello.
9.- Correnti euleriane. Consideriamo una corrente stazionaria costituita da un fluide perfetto che non esplica 1a sua co mprimi bi lit a. , la quale, investe un ostacoJlo fisso> dolh,i tate de. unCI superfioie 6"' •
111
- 29 -
Sia £ 1a velocita 89intotica della <)(>l:'r~te, e secondo .£ orient.iamo l'asse x. ~er
il teorema di Lagrange, i1
campo cinetico pub dove e rego1are, e quindi esiste un potenziale cinetico
di
cui y e gradiente, (29 )
e i1 potenziale cineiico e funzione armonica, soddisfacente all'equazione di Laplace
ts iPt
(0)
Sulla superficie
:: 0
6 dell'ostaco10 deve essere nulla 12
componente norma1.e della velocita, e quindi tfflyo, ::
~. d.-')'I.
=0
A11'infinito y deve ridursi a,£, e quindi, so r indica la coordinata raggio, deve risultare:
t~
(32)
d'wct; ( f - ~.
X) :: 0
.
Sa nel campo di moto non ci sono fi1etti vorticosi ne altre singolarita., se sul contorno
G
dell'ostaco10 e nulla l'intcn-
sita complessiva dei vortici che vi si debbono pensare distribuiti, quale estrema schematizzazione dello strato limite, e nulla 1a circo1azione lungo ogni linea quindi ~-
'f
e una
L-
funzione uniforme
che abbraccia tali vortici e 0
pure uniforme
ex Ie cui derivate s'annullano all'infinito.
112
e la
funziono
B.Finzi
- 30 -
Una corrente eoeiffatta si dice eul eri ana. E' ad es.
eu1eri~
na la corrente di potenziale cinetico
che investe una siera che ha centro nell'origine e raggio a. E' pure euleriana la corrente piana che investe un profilo circ£ lare, e che abbiamo considerato a mo' d'esempio nel Cap.I; e 10
e pure
18 corrente che da
quest~si
ottiene con una trasformazio-
ne oonforme. In una gBnerica corrente euleriana. quando r
f- ex, ooai:
grande, si PUQ sviluppare la funzione
e abbasta.nza
B +.(, ... " -A + ~ J(,
(34)
n:.,~
dove il coefficiente A
e
coetante •
'f
. D'altra parte, nel caso spaziale, pOiohe e una funzione armonica, regolare nel campm eaterno a ~ ad interno ad una siers
n
con centro nel1'origine e raggio r abbaatanza grande,
nullo l'integrale esteso al eontorno della sua derivata normale:
r.df . dd
J~ d.-n.
+
r .i1.dil::O
I n Ii It
a, ricorda.ndo 1a (31) e la (34),
-hrrA- r~Bdf\ Jn~~dn 41f.. Jp
o.
I(
Ma i1 primo integrale sono per r (36 )
---t> 00,
e nullo;
il terzo e i successivi 10
e quindi
A
o. ,loer;co
Ne segue che, nel caso spaziale, il potenz.iai~~ di una corrente euleriana differisoe del potenziale ex di una corrente uniforme per termini che s'annuJ.lano almeno oome;2 per r~ro.
113
e
. 1,1111. ....
.. )1 •
Le sue derivate, che danno Ie componenti della velocita, differiaoono de.lle componenti della velocita della corrente uniforme a menD di termilili. che s! annu1lano almeno come
;3'
Lei conilliaerazioni precedenti non sussistono nel caso pia-
G
no, perche qui bisogna soetituire alle superficie
dell'osta-
colo il profilo che la rappresenta nel piano direttore e alIa afere.
1'2.
una circonferenza can centro nell' origine
Ie ancora 10 laz:ione:
(34), rna
svilup~o
J~ 'e
n
le. qualo per r
drt.
-i>
co
la conclusione (36),
dD Sl
0
i~
0
raggio r, V.!!
luogo della (35) sussiste la
21<~ -j'~B d~ '{.
n
.. ".,
't
o
riduce ad un! ide:iJ.:ti tao Vieno mono
r~
~ cos~
quindi, nel caso di una corrente ouleriana
piana, il potonziale cinetico
i'
che s' annullano almeno como
per r ...;;.. 00, e 10 sue deri va to, che
r: 1
differisce de.
cx
per termini
danno le componenti della velocita, differiscono dalle componen-
ti della velocita della corrente uniforme e. mono di termini che s'annullano almeno come
r:1 2 •
Le condizioni asintotiche relative alle correnti euleriano, spaziali 0 pie.nlil. proccddLtemente stabilite si dicono condizioni asintoticho
eulo~t§Q9~
10. - Correnti trasl0.circolatoric.
Oltre aIle corronti ouleriano intcrossano l'aereOdinamica le correnti annonicha cha soddisfano, como Ie correnti ouleriano, ~lo
oquazioni indefinite (29) (30), alIa condiziono al contorno
(31) e alIa condiziono asintotica (32), ma che non sono euleriane
porche non sussjsite almono una dolle due seguenti condizioni: assenza di filetti vorticosi
0
di al tro singolari ta. nel campo di
moto, intonsita complossiva nulla doi vortici distribuiti sul contorno dell'ostacolo.
114
B.l!'inzi
- 32 -
Le correnti stazionaric armoniche in presenza aella soia di Helmholtz, ove il fluido in moto vorticoso
e mediamonte
in
quiete, lasciano cadore la prima condizione, porche s1 hanno delle discontinuita. sullc suporficie cho separano la smia dal resto della corrente. Questa prima condizione
e
pure lasciata oadere
d~le
corren-
ti aDnoniche non stazionarie, piane, nelle quali a valle del prQ filo investito dalla corrente si estende la scia di Karman, formata da una duplice schiera alternata di vortici opposti. Piu semplici di queste correnti non euler1ane sono le correnti stazionarie, pure non euleriane, nelle quali
e
lasciata
cadere soltanto la seconda condizione. In esse non lazione
r
e nulla
la circo-
lungo ogni linea che
abbraccia una sola volta tutti i vortici 81 contorno dell'ostacolo,
ma essa
e
eguale all' int ansi ta
Il potenziale cinetico
f
non
complessi va
J
di tali vortici.
e conseguentemente
funz10ne unifor-
me. Una corrente cosiffatta si dice traslocircolatoria. Per sssa vengono meno 1e condizioni asintotiche pr$prie delle correnti euleriane, e ai PUQ giustificare fis1camente questo
f~tto
pen-
sando che all'infinito s1 siano rifugiati i vortici aventi intensita. complessiva complessiva ~
0 , generatis1 insieme
a quello di intensita.
rimasti sul contorno de11'ostacolo.
Un esempio cospicuo di corrente traslocircolatoria si ottiene considerando la corrcnte stazionaria armonica piana, che ha come potenziale complesso f(3) la somma del potenz1ale complesso (30) I, proprio di una corrente euleriana traslatoria cha investe
un profilo circolare avente centro nell'origine e raggio
115
~,
e del
B.Finzi
- 33 -
ll(>t~al.e~sso
(26) I, proprio di una corrente ataziona-
ria annonica, piana, che circol.a con cireol&.z:l,.ene ad ogni profilo (37)
circolar~
r . . d attorn<>
con centro nell'origine:
i (z) = e ( z + 4) .. fu ~ '£ •
Questa corrente lambisce 11 profilo circolare con centro nell'origine e raggio.!, e, se
j
';>
l.r-rt£V€,
non presents ne un
punto A di propa, ne un punto B di poppa ove la velocita s'annulla; se invece
~1 < knllle
presenta due punti oosiffatti, i qua-
li vengono a coincidere quando
£J
116
=
L,1t' a-e.
•• •
•
CAP. III AZIONI
FLUIDODINAIHCFE
SU
SOLIDI
1.- Risultante e momento delle azioni fluidodinamiche.
Le azioni che un fluido esercita su di un solido attraverso una parete 6
, costlb.tui to da una parte
ficie che delimita il
so~ido,
0
da tutta
l~
sup or-
sono caratterizzate da due vottori:
i l risultante e il momento delle forze cho il fluido esercita sul
solido attraverso Se
G
fl.) e la
forza per unita di superficie, 10
\4"
i l fluido esorci ta lb.n un punto P au di un elemento
d"
cho
sf~rzo,
di ver-
sore normale !! volto verso l'esterno dol f1.lrIIido, talo risultante
0
tale momenta, rispetto al polo 0, sono:
In condizioni statiche ne statica Po ~
si riduce al prodotto della prossiQ
il vorsoro normalo
p~r
ed il momento
t('-....)
Mdelle
~
, e quindi i1 risul tanto
azioni dinamicho che il fluido osercita
sul Bolido si osprimono cOBi: (1 ) (2 )
R -
J(t(~) -!a 'fr)d6
~1
S0-
::
0)"
(t(~)- ~~ '!:) ck .
d Nel caso di un fluido perfotto, se p
dizioni di moto, (1 ' )
R :
fr'Yv) = f~
e la
pressione in con··
e quindi le (1) e (2) diventano:
;r(t-r'c0"" J.. ) (~~
. ~\...
t! = f(r-O)A~-t~'!>cl" ...
Nel caso di un fluido viscoso, bisogna porre nelle (1) (2)
~'IV)'"
t '!!
+ ~tr.)' dove, se qik
117
e i1
0
doviatoro degli sforzi,
'it ........
• lUI •
~{~)
e
-
il vottore di eompononti qik'Vv
f<
8i cO~1.si :l::;ri. 1.n ~artico1,)re, un solido. deJLimi tato dalla
6uperfici 13 10cit8o
f5 il qualo si mu.ovc 'li moto tro.slatorio, con vcQ in sono ad un f'luido. La compononto del risultantG li
dGIIG azioni:lim.micho secondo compononto di
e una
~
e
!i normaie a Q si dicc forza _dGv:;iatriQ.£. La porta£-
forza dcviatrico. I l
l"-omcm~o
M si
dice
~_mcn12_1~yJato-
!£. Consi.dcriarno un solido in moto traslatorlo n:ttilineo lmiforme, con voloci t3. COSGante Q, in SGno ad un fluido. indofinitaunente GstGSO, in quliloto·all'infinito.
So imprimiamo a tutto
i l sistema solido-fluido un moto traslatorio rettilineo unifor-
me con voloei t3. .9.. '" -
2.,
i1 solido rimanc formo e i1 fluido 10
investo con u.'1::l co:":;"onto di velooi ta asintotica .£. Per il prinGipio g91ileiano dj rolativita, il risultcmtc.; 00. il momento dollo azioni dina111.lche cha lEI corronte esc.;rci ta sul-·· l'06tacol0 Gono \:uc.;lli
ste~si
cho il solido incc-ntra
mov(~ndosi
o.i mota traslatori.o rc.;ttilinuo u.'1i.formo con voloei t8. Q in aono al fluido in quiete all I infinj to. Lo ga11nrio
PI
vento 8i fondanc
appunto su quosi.;o principio,
2. - Toororo/\" d.o.ll.a a).l.antj,ts. di.....11lS>:t..o.Por calcolnro il risultanto si 0sercitano su -Gutto i1 contorno
Ill:
r.
del1.o ozioni dinamicho oho di una :rogione ~luidat:)
ci si PUQ sor.,rire dol tooroma dol10 quantita di mote. Sia
l
~
1:1 densita G :y: In volocita del fluidc in
'"t:
sia
la forza Gst~r'na por 11..'1i ta di volume (tipicalllente :i1 paso spo-
ci~ico, dal guale jn aer,/od:in~mica ord.inaTiam~r,:to si proscinde).
8i ha:
(3)
~ Jq~d~ 't'
-,
-ft(w)dL L
118
r
+
J£ d-r ~
- 36 -
se·n,
e i1 Ora~
B.Finzi
versoro norma1c vol to osternamento a 'C'
in cond.izjoni statiche, la (3) diviene:
Jt ~ d L +Sf
() =
o
!
Facondo la
•
dT
1:'
e ricordando In (1), si hal
diff~~onza
(1,5 ~!!
·R-!
- d,t;
J 0. 't'
''\:'
La (4)
e
applicabilc alla por-
zione di corrente cho investo un ostacolo fisao e chc e estorna alIa superficie.
ct
dull.' ostacolo od in-
terna ad una su)orficiu di control
10
SL , ad.es.
una sfera di rag-
gio abbailtanza grand0. Nel caso in osamo la dorivata sostanziale rispotto al tem-
e,ip':_£9l'!:d!:.zJC!:P.-J~J?,ggola~l.ta,
po della c,uanti ta di mota
somma
di tre addondi: i1 primo e la derivata parziale rispetto al tempo della quantita di mota, i1 di moto uscento da usconto dn
n. . O:l;a,
5
,
J.~<;~X'~ .1'1
An
uscente dnll' clcrnonto
ta
,perche
d
n .\'.
~?)(~dn e -go ~ 1? )( ~ dJl
11 flusso di massa 11 flusso di quanti'"
di mota cnu usee, dal IDodosimo elernento. Dunquo:
(5)
G e
..2. f~~'dt
; 11 ct~ suporficie di fIusso; il tcrzo va-
i1 primo addendo vale
secondo e nullo, porche le
e il flnsso d1 quantita
s~condo
11 terzo e i1 flnsso di quantita di mote
it fq ~ d-r::' --r-
*
S~~ d..
J~ ~!)(!: dSl .
+
"t.n.
3. - Azioni dinamich8 cscrcito.:te da correnti armon,ie.he Nel Co.so di
.29I.E.£nt~
arm(miC~le
rna di Bernoulli nella forma (6 )
119
.stazion2.r~.
stnzion'lriG, vo.le i1 tcorc-
- 37 -
dove gz
e l'eriergia.potenziale
B.ll'inz1
delle iorze unitarie di massa
(dalla qua1e in ael'Odinamica ordinariamente si prescinde),
q e
costante e la costante che compare al. secondo membrp non dipende dalla
line~
di flusso che si considera.
D'altra parte, in condizioni statiehe, delle (6) si trae qX (J
+ k~ :::
(.o~t. , ?
e sottraendo questa dalla (6) 8i deduce:
(7) la (1') diviene percio:
R
(8)
-
i Jll-l"?; , de- •
Questa formula, che da. il risultante dell.e azioni dinami·· che au di una generics superficie 6 , divieneparticolarmente espressiva nel caso piano, in cui
,
e
sostituits da una linea
A, di flusso. Diciamo R1 e R2 le componenti secondb gli assi cartesiani
xy, aegnati nel piano direttore, della forza li per unita di altezza che si oserci ta sulla linea di f1uBso A (1e dimensioni di li sono quel10 di una forza divisa per una lunghezza). Se
!
e l'uni-
ta immaginaria, della (8), si trae :
dove sono 1e due del versoro generieo punto P e volto esternamente a1 fluido. ~---.~
X
120
B.Finzi
- 38 -
II verso degli assi cartesi.ani e i1 vers.!) di percorrenza di )" ne1 ca1col0 dell'integrale Bono quelli indicati in figure: in partieolare, porcor:cendo),,, , si laseie il fluido a destra. questa
c~venzioni
8i ha dunquc: (!l.
-~ J~~) (
(9 )
Con
.
d)( - ~ dY)
A, Introducendo la variabile complessa z=:x:+iy, la veloeita complessa w=V 1-iv 2 e osservando che lungo una linea di flusso cl~. _ ~ , si tresforma ~a (9) nella seguente fonnula d~ 'It'
-
Blahus:
,,;
1.
:;: -t J~i"d?;
(10 )
.
ALa (10) dh i1 risultentc delle azioni dinamichc dhe una corrente armonica stazionaria esercita su di una linea di flusso, mediante i l calcolo, lungo tale linea, di un integrale, rispetto alla variabile complessE' z, della funzione
'Ill
di tale veria-
bile. 4.- Paradoss() d..:L.<1'Aleptbert.
Consideriamo una corrente stazionaria, formata da un generico fluido perfetto (che esp1ica 1e quale investe
~~
0
no 1a sua comprimibilita),
ostacolo delimitato da una superficie
11 moto sia irrotazionale
0
~
no, ma ovunque regolare nel suo cam-
po, e la veloci-La tenda, al:l t infini to, al valore asintotico ,£, differendovi a menD di termini ahe s'annullano (come per le corl' "1 1 per r _ 00 • rent '~ e uer~aae/ a .meno come ;3 Applichiamoil teol'ema del) a quanti ta di moto alIa porzione di corrcmte che occupa i1 campo 't' , estr-ello alIa sUJ'er1i cie che delimita l'ostaC'olo e interno ad una sfera.Q.. finito e raggio r abbastanza gEande. 3i hal (11 )
R
t
r(p-ro)~ dD.
,fl.
121
~
con centro al
.. 39 -
Nella (11)
e il
~
B.Finzl
risultanto dolle azioni dinamiche che la cor-
rente osercita 6ull'ostacolo. p la pressione; Po la pressiono in condizioni statiche,
.~
l' esterno di .1!' ,
11'1 densi tao
~
il versore normale a!l
, volto verso
Valendosi della (5), valida in condizioni di regolarita, e ricordando che la corrente
e
stazionaria, dalla (11) 8i ricava:
rl --!,,,) !!~
11..
Be allora supponiamo infinito il raggio r di
n
(12 )
F? ::-
J~ ~ ,y xn dn
-
n
f
Jl.
e osservia-
mo che, vigendo per ipotesi condizioni asintotiohe euleriane, la velocita
~
differisco dalla costante £ a mono di termini che
s'annullano, per I.' -..,. 00, almonD come ~3' e cosi pure P-Po e f differiecono delle costanti (P";Po) 00 e I" a meno di termini )()O che s'annullano nol modo precodente (.), dalle (12) si deduce:
R
I
- (~) £ . £ X ~ Hl :n.
OQ
Ma, por ragioni di simmetria
R-
(13)
f
'll
n.
-(t. -f~ ~:fl.~ ~.n .
~.o_
::; 0
oq-
, e quind!
0
La (13) estende ad una generica corrente stazionaria, formata da un fluido perfetto, in moto regolaro e sotto condizioni asintotiche ouloriane, i1 celebre che questo autere solidi di
stabil~
rivo~uzione,
~adosso
di d,,'Alembert,
per correnti armoniche che investono
e che
~u
via via esto8o da POisson, Groen,
Plana, Kirchhoff, Cisotti. (')Dal teoroma di Bernoulli si deduce che, quando vigono condizioni asintotiche euleriane per la veloci ta e quindi anche per
~
:1.~
queste condizioni vigono anche pOl.' l'entalpia, e quindi ancho par p-p& 0
~
•
122
B.Finzi
- 40 -
Data l'importanza del paradosso di d'Alembert, accenniamo un1attra &ua di~strazioh& zionarie piane. In questo c~so,se /,
va~ida
e la
an
per 1e correnti euleriane ata-
linea chiusa che costituisce i1
profilo de11'ostacolo investi to dalla corrente, l.a formula di Blasius (10) da; (14)
R,
+, R,
t~
~ f"~~z ¥*~
=-
dove w=w(z) e 1a ve10cita complessa. Ma, se ,Jl e una circonf.erenrza con centro :Q,ell 'ongine e raggio r abbastan'
-,
za grande, in condizioni di regolari-
ta
~
__
~~+ -~_ -
-
~.<~·I ?~
,'--- \''/.:'
--~~,;:
..J.---
~'.n.
notoriamen-te:
(15 )
e quindi
:?
w?'dz
(16 )
Jl.
Ora, per Ie correnti euleri.ane piane, w differisce da c a meno di t ennini che s' annal1ano almeno come 12 per r _ 00 , e quindi 2 . 2 r anche:w diffel!ri.sce da c a meno di tennini che s'annullano nel10 stesso modo. membro della (16)
Ne segue che l'integrale che compare a secondo
e nullo,
ossia
conformemente al paradosso di d'Alembert.
5.- Estensione del paradosso di La dimostrazione del
d'Ale~bert
par~dosso
ai fluidi viscoei.
di d'Alembert, ottenuta
sfruttando il teorema della quantita di mote attraverso le (11) e
(12), puc estendersi ai fluidi viscosi. Basta infatti in questo
123
B.Finzi
- 41 ...,
caso aggiun[ere
s.1.
vettore
(p-po)'~
che vi compare i l vettore
rappresenta 10 sfor~QVi8coso che si eaercita su di un elemento euperficiale. di versore normale .~ • Se manteniamo ferme 1e ipotesi di regolar~ta e le condizioni asintotiche euler1ane, in 1uogo della (23) a1 perviene alla 1~)che
rel.azionel
R
(13' ~
- ( q(".) J ..0
In..
•
Ma se all'infinito v differisce dalla oostante c a meno di termini che s'annullan: almeno coma gli sforz1-viecosi, cha dipendono linearmente dal1e derivate di y slannullano sufl almeno com~ 1 4 , e quindi come l'integrale che compare nella (13')
;3,
e nullo.
r
He segue, come per i fluidi perfetti:
(18 )
6.- Rimozione del paradosso di d'Alembert. La precedente esteneione del psradosso di d'A1embert moetra che la viscosita,considerata sol tanto in modo diretto, attraver80 le equazioni indefinite, non basta a rimuo~ere i1 parado8so stesso. Per rimuoverlo bisogna rinunciare 0 alla regolar1ta, 0 alle cOndizioni Bsintotiche euleriane, 0 a entrambe le condiz1oni che intervengono in modo esaenziale nella dimostrazione del para-
sia q~do a1 presc1nde che quando a1 considers la viscosita del fluido.
~sso,
La viscos1ta puc indirettamenee rimuovere i1 paradosso provocando delle singolarita B alterando le condizioni asintot1che mUeriane. Cl0 avviene nello strato limite aderente alle pareti: qui infatti ai fermabo vertici e questi, quando s1 allontanano indefinitamente con intenaita complessiva non nulla, creano condizioni asintotiche non euleriane, quando reatano al finito nel
124
B.Finzi
- 42 -
fluido
r~guardato
come perfetto.
Per mostrare matematicamente come una singolarita ilossa rimuovere il paradosso di d'Alembert, riprendiamo la dimostrazione del parado sso st esso, quando in un punta d' affissa Z v , posto nel campo di moto, vi sia un vortice puntiforme d'intensite,
'" e quindi posse scriversi (cfr.la (27) I): Q,)' W( Z) dove .\A,( Z. )
e una
J
Ll(Z} +
2rr ~Tz---;:)
funzione rego-.
lare nel campo di moto, anchc per In questo caso isoliamo il vortice, e cioe i1 punto di ri ta, con un cerchietto
(,I
sin~ola
di rag-
gio infinitesimo e osserviamo che,
in luogo della (15), si ba: (15')
f
wLdz
+~li/d.Z.
-+
~\X'tdz
':- ()
'A. ~n w In 1uogo della (16) si avre. dunque:
R:t, -\- i.
(16')
~1
-=
-ltW\h .\- t\~ ..I'\.
\/'h .
.(,)
Se valgono per la funzione w(z) condizioni asintotiche euleriane,
e nullo
il primo integrale ahe compare a secondo membro
della (16'); me nnn
il
l'\~cond.6
ahe riaul ta eguale a 2 W ( Z,,)
Ne sggue: (19 )
a cade quindi il patados8o di dtAlembertl
125
~
•
... 4,) -
CAP. IV TEORIA Dr JOUKOWSKI PER.L'ALA D'APERTURA INFINITA 1. - Teorema di Kutta-Joukows)d.
Le poche nozioni d'aereodlnamica svolte nei capitoli precedenti ci permGttono di esporre la prima teoria alare: quella di Joukowski per 1'a1a d'apertura infinita, quando l'!i,:l'ia non esplica la sua comprimibilita. Questa teoria si
di un teor0-
fond~su
ma mol to semplice: il teor-oma tIi Ku..tta-JoukOwski. Consideriamo la corrente stazionaria traslocircolatoria,
r , ehe
di veloci ta asintotica. c e circolazione piano direttore un IH·ofi.lo circolare e raggio
B.
Il potenziale complec:so
e
e.
investe nel
con centro nell' origine
dato dalla (37)II e deri-
vanda si ottien8 la ve10cita complessa
Questa corrente piana comporta tanti vortici distribuiti suI profilo ciroolaro, per un l intensita complessiva
eguale
r . }~S3a non e una corrente euleriana, per
alIa" circolazione
J
j
~O, perche all'infinito w differisee de c a meno di yermini 1 .
che B'annullano Boltanto come ;, per CQlcoliamo i1
riBv~tante
l'
~~
(l) •
E delle azioni dinamiche (per
unit8i di lal'ghezzO\ jn senso norrna1e a1 piano di-re-ttore) ehe la
corrente eseroita sul profilo c::"roolare. Grazie alIa formul.u di Blasius (10) III, se
)'
e 1a
densi ta
costante d0l flu1do, 8i hal (2 )
~~~) cdz. ... ' - 7"" ~~
t
R2. +t R1 =- - TrW ~ L. 1d'l. +
c~. 'Tf l
f 0 ~
ch\ t..
'{ .
Tutti gli integraL ehe compaiono nell'ultimo membra della (2)
126
B.Finzi
- 44 -
Bono nulli, meno l'ultimo che vale 2
~
i. Ne segue:
Poiche al secondo membro della (3) compare un numero reale, avremo:
,
R,-- 0
La prima delle (4) afferma che
e nulla
la componento di
li secoll
do l'asse x orientato come la volocita asintotica della corrente. E' dun que nulla la rosi'Ltenza. La seconda delle (4) dice che non
e nulla
la forza deviatrice. Se nel piano direttore l'asso x
e ori.2zartale e
I' asse
y verticale
ascondente t ad essa corrispon-
de una effettiva portanza so 1a circolazione ha verso opposto a que1lo della rotazione cho porta l'asso x a concidere con 1'asso
y. 11 teorema precedente si estende ad ogni corronte stazionaria traslocircolatlhria rego1aro che investe un profilo
A.
Detta w(z) la velocita comp1essa, della formula (10) III di Blasius 6i trae:
- i ~ w2(~) ct'tl it
Ma, in cond:i..zioni di regolari ta, se
e una
circonf01:'011Z3 ('on
l'origino
0
raggio r
c~ntro
abbt~hmzE'
12.
nel~'ral1dEl.
e quindi risulta:
127
- 45 -
R,
+
i
~,
~
Sulla cinconferenza
n
B.Finzi
i.;(.)
dz .
od eBternamente ad eSBa, la funzio-
ne W(z) puo svilupparsiin serie di Laurent cosl:
w(z)
(6 )
t- • • • "-
Ma, per ipotosi
t
Wdz.
-= ~1TlOV
n
e quindi
(7) Ne sogue:
w1..::: / +
~ £..
~.
_~~) ~
1. + c b _ -r .•• 'ITi. 'Iv~. "''Ttt:t:t Intogrando lungo si trova che gli integrali di tutti i ter~ini sono nulli, menD 11 secondo cho vale 2 c. Dalla (5) si deduce allora che (8)
n ,
J
(9)
La (9)
e identica
alIa (3) ed asprimo per
golare) il teorema di
UJl
ganerico profilo (re-
Kutta-JoukowsY~.
2. - Giustificazione intuitiva del t.eorema di Kutta-:JoukowskL Per
~endersi
conto intuitivamentc del toorema di Kutta-
Joukowski, cha eta a fondamento della teoria dell' ala d' apertur'J infinita, si supponga, per semplicita, cho il profilo investito dalla corrente traslocircolatoria si riduce ad un semplice punta, ave sana concentrati
in un
unico vorticc d'intensita
vortici che ammantano il profilo.
128
oJ
tutti i
B.Finzi
- 46 -
Attorno a questa vortice puntiforme si stabilisce una
corre~
te circolatoria di circolazione
r=J
..
Sovrapponiamo a questa
corrente circolatoria una corrente traslatoria uniforme, di velocits. costante £ .. Riferendosi alla figura, s1 riconosce che superiormente la velocits. della corrente circolatoria e Is velocita della corrente traslatoria si sommano, inferiormente si sottraggono. siva
e
Superiormente la velocita comples-
dunque maggiore che inferiormente.
Bernoulli, dove maggiore
e la
Grazie al teorema di
e la pressione: quale e piu piccola
velocita., minore
ha percio uno squilibrio di pressione, la
si
in alto che in basso, e conseguentemente sf esercita una portanz~
sul vortice considerato, che appunto per questo vien detto
vorti.:.£~~o_rj;_a£:!~.
App:icando la formula dm Blasius ad un cerchietto che racchiude il vortice puntiforme, quando, come avviene nello schema considerato
w=
C
+
si.ritrova, non soltanto qualitativamente, ma anche quantitativamente il risultato espresso dalla (9).
3. - Corrente trasloci.rcolatoria generata da un' ala. Un' ala rl.esce a mutare la corrente traslato.1.'i ache l' investe in una corrente stazionaria traslocircolatoria che ds. luogo ad una portanz8. secondo il teorema di Kutta-Joukowski. II processo attraverso il quale cio avvj.ene costituisce il segreto dell'ala. Un'ala, d'e.pertura tanto grande de potersi ritenere infini-
129
- 47 -
ta,
e rapprcsentata
B.Finzi
..
nol piano
verticale di movimento da un pr2
A ,
fila allungato
i1 qual.c
te Po a1.1'estremit:a posteriorc, rappresentmte i1 "lembo d 'usci ta", mentra
e arrotondata
l'cstremita anteriore, rappreeentante i1
"lembo d'entrata":
S +i '\
, Nel, piano di moto diciamo ~ =
la variabile comp1o.!!
sa, c sis w( ~ ) 'la velocita complessa di una corrente trasla:toria che investe l'81a, con velocita asintotica
r
rappresen-
e
nel piano
tata del numcro complesso w • Questa corrente
00
e ottenuta
dalla corrente traslatoria euleriana che i~este il cerchio ~
di
raggio unitario, nel piano della variabile complessa z=x+iy, con la trasformazione conforme (10 )
z
=
~
z (
)
la quale muta, il piano forato secondo i1 cerchio
A
forat@ secondo i1 profilo alare
,mentre per z ~ooe
risul ta:
{(\),~ e(2(~)
(11 )
(,)
(12 )
w~
,
e quindi, se c
e 1a
dt
o\~ va]
-
~(~)) ,Htl~_
--a7.d~
e0- ~)) tr)
oel tR. asintotica della corrente che in-
vesta ,,f " (13 )
WIX
~W\ wl~) ::
z ~oo
e
~ ~
Z..,tiO d~
.
'.Fra 1e linea di flusso della corrente cha invaste
130
A vi
B.Finzi
- 48 -
e il
filone, il quale, provenendo dall'infinito a monte, batte
sul profilo
i\
nel punta di prora A, dove la vel.oci ta s 'annulla.
Qui si spezza in due parti: una segue il dorso dell'ala fino
al
punt.o di poppa B, dove la velocita s'annulla una seconds volta, llaltra segue il ventre dell'ala fino al aaliente Po, poi monta sul dorso raggiungendo il punta B di poppa. Riunitesi in B le due parti, il filone'prosegue verso ~'infinito a valle. Questo filone della corrente che investe il profilo alare .~ corrisponde al filone della corrente traslatoria euleriana cheinveste il profilo circolare l Nel punta angoloso Po la rappresentazione confome (10) non
e regolare
e
~
diviene infinita.
Infinita div:ene allo-
ra, in base alla (12), anche la velocita complesaa w( Po su'~
t .
~
), se
non corrisponde alla poppa z=1 del profilo circolare
Nel punta Po si forma allora un vortice puntifor.me, d'in-
tensita finita che diremo _
jQ •
Cio
e
del reato ben naturale,
se si OBserva che in Po la velocita cambia bruacamente direzione. , Ricordiamo ora che in un fluido perfetto l'intenaita complessiva dei vortici che 8i form.ano sul contorDO, mota non Po~i
ta -
e
0
la dove il
regolare, deve essere sempre nulla. Ne segue cha in
forma un vortice d'intensi-
J
o '
nei punti d:l.
A
deb bono
formarsi tanti vortici distribuiti can continuita, in modo ehe l' intensi t.8. compless:D.va di questi vortici sia Il vortice d'intensita
-3c , posta
in Po' non
e, trascinato dalla corrente, si stecca dal profilo.
e stabile La corren-
te si modifica allora profondamente e diviene non stazionaria. In un generico istante t, vi sana in seno ad essa
i
vortici mo-
bili che antecedentemente 6i sana staccati da Po, per un'intensita complessiva - ~(t), e vi sono i vortici rimasti suI profilo, per un'intensita complessiva
J (t).
131
B.Finzi
- 49 -
11 punto' di prora A
e
il punta di poppa B hanno, in ogni istante,
Una posizione su ~ differente da quella che avevano inizialmente, e B si avvicina a Po' 6i raggiunge pero, dopo un tempo abbastanza grande, una condizione di regime.
condizione la corrente diviene
I~ale
stazionaria: da Po non si staccano piu vortici, perche il punto B nel quale 11 fi10ne si stacca dal profilo
e venuto
a coincido-
re col saliente Po' cosi che in questo punta non si ha piu velocita infinita; i vortici precedentemente staccatisi dal profilo 8i sono ormai allontanati indefinitamente. Restano pero sul profi10 'A,
tanti vortici, distI'lilbuiti con continuita., per un'intensi-
j
ta complessiva data dal lim gime
e traslocircolatori~,"c~n
r
==
(t), e quindi la corrente a re-
circolazione
~ dHt) . t~c.,
In questa corrente tras1ocircolatoria la poppa B dove cadere nel punta Po
i1 lembo d'uscita de1l'ala, e
rappresent~te
questa condizione di rego1arizzazione determina univocamente
r.
Infatti, la corrente traslocircolatoria di regime, che investe 11 profilo alare
A. ,
e quell a
alla qua1e si perviene con la trasformazione conforme (10),
par~
tendo da1la corrente trasldcireolatoria che invest~ i1 cerohio
J. ~
f.
Poiche~er quest1ultima s1 ha (ri~ ~ cordando 1a f,) ) A /"';1.. .--.,..__ I' ) t> (14)
~(z):: <;(11.. \ z. 2
r
"1"--:-] 1'!T I"
risulta: (15 )
132
-
,K
"/ .
_____ 0
fo_ _ _ _ __
,
-~
I
B.Finzi
- 50 -
Detta
~II
fi ssa del punta w( t
q
l'affissa di Po su
~
sia }!jIl~ tit, ::: 00
d(
(16 )
~Q
)
• Dalla
-
%,'- .
8
dove
t,,ij"
, deve risul tare
( 14) si trae dung ue :
Ma nei punti della circonferonza Zo
l'af-
si mant8nga finita, malgrado che
..L)+ ~1{,L :("
e~\.~
(~o)
detta zo=z
che vi cOITi.sponde au ~
)=0, affinche w(
~-,.l, ..
A,
t
0
di raggio unitario
e I' anoms.lia
di
e
Q/ Ne segue
(17 )
In conclu,sione, un' ala trasformu una corrente.: trusl<:ttoria cha l'investe in una corrente traslocircolatorla, aventc la medesima velocl ta aslntotica
.
t
~
e avente circolazione
r
da-
ta dal1a (17), nella qual C oi puo porre al posta di c (ignoto) i1 suo valoro dato dalla (13) in fum"iono della veJ_oci ta asin-
totica complossa w
co
cha
e nota.
Si ha cosl:
(18 )
14.- Portunza
d~ll~
nli dfanerturu_infinita.
La corrente traslocircolatoria.
gene:rat~
mente descritto da un'ala di lrpertura infinita,
nel. rrodo precedent,£!
e
armonica
golare, porche nel lembo d'uscitu la velocita e nulla fini tao
1'e-
almena
L' ala s1:bisce pertan'co delle azioni dinamiche, por uni-
ta d' apertura a:J.are, il cui ri.8 ul t2Ulte litta-Joukowski, e guindi, se l' angolo
0
0
do.
con l' asse
~
l~
Ee
dnto dal teorema di
voloci,ta asintoticD.
eli ri ferimfmto,
(19 )
133
¥
forma
B.Finzi
- 51 -
La (19) si puc scrivere in forma complessa cosi:
R~ + i R :=
(20)
f
Poich~
....
~
rr (~(.( - ~ ~ Ii) : : - ~ r
W.;(l
!i e hormal e a t
, l' ala d' apertura im ini ta
non incontra resistenza alcuna. La portanza, per unita d'apertura alare, he come modulo il modulo di !i, e cioe, grazie alla (20) e -alla (18):
R
(21)
Questo modulo ·8 pertanto proporzionale alIa densita f1uido, al quadrato del modulo '(
~
del
della veloci ta. asintotica
della corrente, mentre il coefficiente di proporzionalita
h~1 ~I.... edl· 2..., \~I'
dipende dalla forma e dalle dimensioni del ""~ IIIZ profilo alare, nonche dal suo Bssetto rispetto alla direzione asintotica della corrente che l'investe. Queste conclusioni, sane in soddisfacente accordo con l' esperienza quando 'If non supera poco piil. della meta della velocita del Bmono, perche allora l'aria non esplica la Bua comprimibi1ita, e quando l'apertura alare e molto grande di fronte aIle dimensioni-~del profilo. 1 oj>
5.- Sce1vELdei profili alari. Per app1icare 1e formu1.s 'Precedenti ad un 8ss€'gnato profilo alare bisogna det erminare 1a fnnz. i one z*z(
1 ) che trssfo,£
ma il piano della variabilc ccmplessa z, forato secondo il cerohio
t
con centro nell'originc e raggio unitario, nel pia-
no della variabile compless8 profilo alare in generale,
1 ,
e molto
t ' forato
e in modo ohe per z ~ difficilc.
134
secondo l'assegnato 00
sia ~-+
CXl.
Cio,
E.lBinzi
- 52 -
Preferibi1e
e assegnaro
invcce 1a funzione z=z( ~
), in modo che
11 profilo ~ che risulta corrjspondere a1 cerchio
t
abbia Ie
caratterittichc di un profilo alare. Joukowski propose cosi di passars dalla varia bile z alIa variabile
~ con la seguonte trasformazione
(22)
dove
X e la costante oomplessa i(CH-a,,)
X:;::o..~,
mentra
-~)
rJ.. e l' angolo ohe la velo oita. asintotion ~ , e 90 , a, q sono costanti reali. Al
" forma con ;;-arohio e, cor-
l'asse risponde cosi un profilo di Joukowski. dipandante dai trc parametrl precedenti,
0
meglio dal :bre: a,q, Q(~ == ci - Go
Esso presenta una cuspide
,0.
-
saliente nel'punto Po corrispondon te al punta Q por oui z= e
Nel caso in esama risulta: (23)
~..IIl1-\ ' aX.
Z-I> ai,: '
=
!I
(:l.
,
X_
za per unita d'apertura alzro, d! viena:
(25)
90
0
ponendo
er :;:
dove L donota la corda alare, si PUQ
135
~
~--L
e quindi la (21), oha ds. la porta.!!
c questa, avondo posto d. o == cL -
t
~crivora
oosl:
- 53 -
B.Finzi
(26)
9
Cp e i l poofficiente di ._t?Prtill)gh 0 = ex - /11(, e detta illi~.k denza assoluta ad c(~ e l'jncidenza di portanza nulla. Relativamente al rfolpporto te da
c(Q
~ L-
e dsl ra:pporto
si puc dimostrsre che esso, dipendc!!
T
,e
semprc cpmpreso fra 1/4 e
1/2: ne!. casi piu comuni esso supera anzi di poco il va].of'e 1/4. Svariaticsimi al tri profiii alari sono oggi adottati. I pii':t comun:' costituiscono delle generalizzazioni dei profili di Joukowski: taU sono, per cltEre i piu noti, i Frofil! di KarmanTrefftz, dipenderrt;i da quattro parametri, che in luogo della troppo esi1e cu.spide salinnte, prosentano un meno esi1e saliente angoloso, e i .J2E9.fJ..;U_di Uise.?," dipendenti da un nuroero qUalsivoglia di
par~metri,
CAP. V TEO Rr A Dr PJ'AliJDTJJ
t2/L!!' ALA
D' APERTURA
INFnm'A. 1.-
i.ntuitiva del fnnzionamento di un'ala d'apertu-
~azj.one
ra finita.. Consideriemo un'ala d'apertura finita, se pur abbastanza grande. Essa
e
rappresentata da un solido cilindrico d'apertura
2 t e l a sua surerficiG latetale ha per direttrice il contorno di un profilo alare, arrotondato in corrispondenza al lembo di entrata, angolo8o s8.11ente in corrispondenza al lembo 1i usc:ta. ni ortogonali xyz, col piauc)) xy n01
piano di
mez~,"8yja
dell! ala. I! asse x
orientato come 18. velocitii. tica £ della
co~rente
l'a1a e l'asse
?;
:~SiJlto
che lnveste
parallclo al1e gen!
ratrici della supurf.l ci e ci '}.lnQ:riea latcrale.
136
B.Finzi
- 54 +
Per ronderci conto in mdo intui tivo del funzionamen.to di un'ala d'apertura finita. rappr0sentiamo semplicemente l'a1a mediante un sagmen to fini to AB; e
rnppr~sentiamo
i vortici, ge-
dGJ,l suo lembo d'uscita in fase d'awmo e che sonG rimasti
ne~ati
aderenti all'ala stossa, mediante un unico vortice portante, lungo i1 qualo 1a circolazione
tf ,t
rvaria con z~ perCLe essa e mas sima nella mezzoria
0
--- &---- ---y------~ ~
ed
0
e nulla negli estremi A e B. Facendo :ilnvBstire il
J'
I
-------:---4-)(
:'?I--------------
pre~
cedeililt vortice portante da una corrento traslatoria uniforme ; : di velocita £ dirotta come l'as~e
A
I
-··----------G--------
Z
x, si vede in primo luo-
go, riferondosi alla figura, eha superiormonte all' ala la veloeita c viene aumentata, in ogni punto, dalla veloeita provocata df.'\l vortice portante; inferiormente invece viene diroinuita. Per il teorema di Bernoulli, la prossione e allora minore suI dorso delPala che non suI
ventre~
luogo ad 1L.VJ.a portanza ;[2'
e questo squilibrio di pressione da
diretta dal basso all' al to J nel senso
cioe dell ' asse y. Fin qui tutto e analogo a quel cha avviane per 1'ala dlaperturu infj.nita.
IlIa eeco il nuovo: non essendo
r
costante (come nel caso dol vortico rettilineo illimitato cha rappresenta un'ala d'aperture 'iufinitaJ ria
0
/'I:fi!l
maseima nella mazza-
e nulla agJi estremi A e B. la velocita sul dorso dell'ala,
cho 8i ottiono sOlllIIlando a c 1a veloei ta indotta dal vort.ice portanto, e nassillla in mozzor.ia
0
minima agli ostremi; sul ven-
tre invece la velocita, che si ottiono sottnaendo ds c la velocita indotta dal vOl'tico portante, agli ostromi-,
e minima
in mezzaria a massima
Sul dorso si avra quindi, par il toorema di
Bernoulli, una prossiono maggiore agli estremi che non in mDZZOria a quind.i l' aria corre trasV"or3almcmte all.' ala, nol sonso doll!assc
z~
dagli ustremi verso :La mezzcria.
137
Sul ventre 8i avre.
B.Finzi
- 55 -
pure una corrente traaversale, diretta come l'asse z, la quale corre pero dalla mezzeria verso gli estremi.
Queste due cor-
renti tra&versali opposte, incontrandosi a valle dell'ala, danno luogo a vortici, rappresentabili con filetti vorticosi, diretti come l'asse x, i quali costituiscono la eeia yorticosa di Prandtl, che l'esperienza mostrs formal's! effettivamente a valle del lembo d'uacita dell'ala. Questi vortici di scia inducon~ in ogni punta del1'ala una velocita, che nella parte anteriore ha verso opposto alIa velocita indotta dal vortice portante, mentre nella parte posteriore ha verso concorde.
Allora anteriormente all' ala si ha minor
velocita che posteriormente, e, per il teorema di Bernoulli, 18 pressione anteriore sara maggiore della posteriore. Questo squilibrio dli pressione da luogo ad .una resistenza
l!1 che si eser-
cita sull'ala d'apertura finitai rcsistenza ia quale vien meno irivec e per 1 'ala d I apertura infini ta, perc be) in questa easo 10 schema ado"Hato non comporta aleuna seia a valle dell' ala , ne vi sono
vo~tiei
di seia che agiscano rtel modo preeedentemente
deacritto. 2.- Seia di Prandtl e corrente in sua presenza.
G la superficie lateralecilindriea e t
Dieiamo
adottando
l'estrema schematizzazione dello strato limite, diciamo·~
la
densita superficia1e dei vortici che vi sono distribuiti; diciamo
1.
la soia vortioosa di Prandtl. e dlciBltto
ta euperficiale dei vortici ehe vi sono ~
f:.
~iatribuiti.
1a densiLa velocita
della corrente che investe l'sla pub riguardarsi, in un ge-
nerico punto P, come somma di tre addendi: il primo
e 1a
costan-
te £ che rappresenta la velocita asintotica della corrente, il secondo
e la
velocita indotta dai vortici distribuiti in uno
stratere110 di spessore s1 ta spaziale
.t
IE
L&
E infini tesimo attorno e. ft , con d.ened esso vale (per la (17) I, nella
138
B.Finzi
- 56 -
~ r~A~'-QL d~
, i1 terzo e la veloquale si faccia eX =0) 1\1\ J R'( PQ) cita indotta da1 vortici di soia, che Val.e analogamente
~~ r~~l~)Q) dL • Dunque: (1) 1: '\I'"() _ () ... I 1 (Q) /{r-Q) - p - - k~]6 RYrQ)
r
JG + .L kn
(Q.{Q)fI(p-Q) dL. j(l( r<X)
1
La (1) presuppone la conoscenza dei due vettori
~ a
A
nei pun-
a di ~
ti Q di ((
Nella teo ria di Prandtl s1 fonnulano due ipotesi, sensi bil-
e abbastanza
mente vere quando l'apertura alare 10
)1\. e parallela
a ,£, Ci09 all' asse x, ad 3 indipendente da x,
i1 che comporta cha 1a scia 20 )
~
grande:
L
sia piana;
9 paralleJ.a alle generatrici della superficie laterale
deI1'aLa, e Ci09 all'asse z.
A = AI<
Nelle ipot esi precedenti,
gate semp1icemente alIa funzione -
r
=r( z)
e
1\
="
~
80no
le-
cbe de. la ciroolazione
lungo ogni profilo alare s. Per il teorema di Stokes, risulta in primo luogo:
(2)
t" Ad~ ::;; r(t) . ~
In secondo 1uogo, si consideri 11 nastro aegnato in figura e avvol to sul1a euperficie later:hle del tronco ottenuto fagliando I' ala con due piani normali all'asse z, a
distanz.Bin:finit~
sima dz fra loro. La circolazione lungo il contorno del nastro vale
r ( z.
vortici che attraversa i1 naetro
)-
e
r
d z );
11 £luseo dei
quello che Geee dal tratto
infiniteeimo di lembo d'uscita e vele
139
(z ...
j\dz. He segue:
B.Finzi
- 57 -
3. - Azioni dinami.che sull tala. Dieiamo t.luido
~
il
risul~ante.delle
eserei~a sull'ala~
azioni dinamiche ehe il
Detto lit 12 risultante delle azioni di-
namiche ehe il nuido in movimento regolare esercita sullo strato vorticoso
6
aderente a
V6
la quantita di m.ota allo Strato
, applicando i1 teorema del-
V6 '
ai ha (con l'ormai oon-
aueto significato dei simboli): (4)
-
~
~
t
=J )d~
I
Vlt
cif
clr.
Ma, se il fluido non esplica la sua comprimibilita, e il movimento
e
stazionario e irrotazionals,dal teorema di Bernoulli
ai trae:
-R' ;:;. - 0-'~ :J((Itt)! ~ ds ,
(5)
dove
~
e 11
G
versore normale a
6
, volto verso l'ala. D(altra
parte (per la (5) II)
i
a quindi
S~ i1 = ~S~ A" d. • -t ,!","(v-)'~T'
(6)
VG (5 . Vet Traaformiamo l'ultimo integrale che compare nalla (
integrale esteso al cO:J.torno di fiele
f6
che separa
mente vicina a
G
V6
G ) in
un
VG.. • costi tuito dalla auper-
dal.l' ala e dalla superficie infinitaool
ehe separa
V6
dal fluido in mote regplare.
Poiche lungo la prima auperficie e y =0, riaulta:
(7) Dalla
140
B.F1nzi
- 58 ..
R = - ~ f~ A'! d~ .
(8 )
10
Ricordi~o
ora cha y e, conformemante aLla (1), somma di
tre eddendi. Pure oo.mma d.i tre a.dilendi .risul.tera anche
R
=- ~j+R"'R -, -2> - 3
&8SendO
!:
)
f
Bt =- ~ g" ~ d~
(10 )
Ef
Rt
(11 )
-
~ ([~ tJf-Q)".~ ~r R\r{;l)
dl:1 ~~ )
~ -=..i. ({.~ 1\ ({r- Q) ". 1 dG) dtit • 3 kl' -Is 36 R~P~) S
( 12)
Nelle ipotasi semplificatrici. esposte nbl n. precedente,
\ e diretto come l'asse z ~2 e diretto come l'asse Y,
A
a
R1
come l'asse x~ se ne deduce che
l'asse x e ~3=0. Nelle due ipotesi precedenti risulta dunque pnu sempliceme~te : COllie
( 13)
e
~
rappresenta 1a portanza e R1 la resistenza.
4. - Portanza dell' al a fini t:a. La portanzs dell'ala finitu e data in generale della (10). Quando e diretta com.e l'asse Z 11:\ S\lB. componente secondo llsj, se y e 1a seguente:
1
f
it
(14) a, in virtu della (2), (15)
-<;~ d~f). f.t,~ . -t
~
t
-~e Ir(~)dL' -t
141
B. Finzi
- 59 -
La (15) ds. 1n portanzo., qualora si conosca la sola funzio-
r(
ne
dell' aLa.
.:f
ahe ds. 10. circolo.zione attorno ad ogni direttrice
!ti)
Esea genorc.1iz zo. la ro1o.ziono cho osprime i1 teorem2.
di Kutta-Joukowski, perche 10. portanza per unitS. dio.pertura alaro
assume 11 val ore -
~. a·
r
te, come appunto avvieno per l!ala
=0,
e data
e una
quando cioe non vi
si riduee ad una costan-
d~apertura
5.- Resistenza dell'ala finite. La res~tnnza dcll'ala finita quando ~
r
quando;
infinita.
da11a (11) ed
e nulla
seia vortieosa di Prandtl,
come avviene per 1'810. d'apertura infinita. Introducendo 10. velocita.
~\(p) = ..L (~(Q),,(P~dL
(16)
hn)~
indotta net punti P dell'slo. la scia
L .,
d~i
R~(PQ)
vortici situati nei punti Q del-
10. (11) si scrivo cosi:
-~ I~
A
'!! Qci .
./
IS
Jf I
.A
PrandtJ., e: ~:: i, ~ = 'f. ~ e ~ e una striaeia piana, lungo 10. quale
Il :: A ( ~ ).
potesi
tu
a~giungiamone
/---
lie
Nelle due ipotesi semplicicatrici di
A queste dne i-
l.ma terza, in vir-
della quale 1'0.10. si
1----------
en un
ridu~e
,semp1ice vortice portante, dj sposto 1ungol'asse z, attorno a1 qualEl la lazione
e data
dalla f'unzione
r ( z.
d'i~'h:ibuzione
),
per-t '(
J.e:1.1A, circo-
~<
t . In queste
ipotesi calcoliamo la veloclta. ind.otta y' e 10. re:ilistenzo.
y' risulta diretta come 1" asse y,e 1£1 secondo questo asse, calco1o.ta
~n
ce portante, o.vente per ascissa
un
ge~erico
~ , vale:
142
S'l:ia
li1 ,
componente
~,
punta P del vorti-
B.Finzi
.. 60 -
It J\ (~)
It :: - t.~ .l T-X" d~ \
1/
'If
)
L'integrale dha compare nella (18) deL~'estrema
e
improprio, per colpe
schematizzazione adottata: per ml suo significato
fis1co, asso va' calcolato seffiJ,lliceme::.lte attraverf'o i1 suo valor ~-£ t principale lim { t
5 i'tH } .
€ .... o
-.t.
La velocits. indotta v' puo esprimersi. mediante la sola funzione
r (z )
a11'ala.
che ds. la distri buzione di c~rcolazione attOrllO
Basta infatti ricordare la (3) per ottenere: ~ 'V' ,( '{)
(19 )
\7
= __ ~ . (.9i~~ d'1, .
J-t
h1T
d~
z-::r
Intagrando per parti e osservando che agli estremi del vortice portante e
r =0,
si trova anche:
t
~(.
\
1\r'(S) :: - ~Ill tTL~~~r dz
(19' )
.
Nello schema adottato, d;lla (17) si trae che la componente di
li1 secondo llasse x, e cioe le resistenza, vale (grazie alIa
(2): (20 )
t ) il suo va-
Non Cle che da porre nella (20) al posta di VI< lore dato dalla (19) .funzione
r (z ):
0
della (19!). per esprimere R1 mediahte l.a
R\ --
(21)
6. - Distri buziona della circelal',; ()Ylp 8 1 impone alIa
nostra~ten~ione
(,/')1"1
0 iai!'remma m.alltialli ttico.
una partieolared1stribu-
zione della circolazione attorno all'ala, quell gramma \lIla semielliss\;!, per la quale. ee re assunto de
e 11
r
r
massimo vale-
in mezzeria, ri-
143
-{
o
he ba per dia-
.. 61 -
sulta: (22)
(' = r.~I-(t)·
Questa distribuzione porta infatti a riaultati in ottimo aeeordo con l'eaperienza e gode di proprieta partlco1armente semplici ed espreasive. 8i ha intanto, ponendo la (22) nella (19) e calcolando il valor principale dell'integrale che vi compare: (23)
r
I
g
'V' : : - _...-
HI-
Dunquel in corriapondenza ad una distribuzione di circol§zione con diagramma aemiel1ittieo~ 1a velocita indotta dai vq£~ gi di seia
e costante.
E' proprio in virtu della proprieta precedente cha la di~ribuzione di circolazione con diagramma semiellittieo rende minimo l'integrale-(20) che ds. la resistenza, a parita di valore aasunto dal1'integrale (15) ehe da la portanza. 'Questo tcoroma, che pub dimostrarsi rigorosamente, afferma !unque che la distr! buzione du6ireolazione a diagramma semiellittieo rende minima la resistenza, a parita di portanza. Ponendo la (22) nella (15), si caleolala corrispondentc portanza. Poiche l'integrale eha c«»mparc nella (15) ds. semplicemente la quadratura '1\ lr~dCldiagramma semiellittico, risulta: ~
(24)
1\,. - 0
_
~e
ntr
_-,:- , g
Per calco1are la reaistenza, basta servirsi della (20), ricordando 1a (23) e ri.cordaddo cho la quadratura del diagramma ,e~e11ittieo vale ~ tr~. 8i ottiene cos~: (25)
t
144
B.Finzi
- 62 -
7.- Influenza doll'allungamento alaro. Lo precedent! formule cho danno 1a reaiate.nza R1 e le. portanza. R2 ai poasono scriv(Jro c061:
R -
(26)
dove
I
l'
I -
5 e la
(27)
e
'(,
CIi.~ . 5 c,.
superficie alar"
n ro~ l1 e." S
:=
sono, rispettivamente, i1
\Rt \
)
0
~p
)
::
c~effbciento
-= 1.l @r ~ 5c!" ,' 1\ n ro \ --.--_ ,_....
eS
di resistenza indotta dai
vortici di scie. e i l , cooffici.ente di portanza. I due coefficientt C e C sono legati dal1n relaziono che r
si desUmo daile (27) Gliminando (28)
dove
r.J
_
C''(.
-
ro
p
e
1,1-
;"'\
~; ~ t
'
1
S
(29)
rapprosenta l'allungamonto alare, #rando, Cr e piccolo, a pari ta di Cp ' e tendo anzi a ZGro per ~ ~ 00, conformemento Quahdo l'allungamonto alarG
al fatto che esso
e
e molto
quasi nullo per le ali a grandissimo al1unga-
menta. Hi dice
~olare
delliala (secondo Lilienthal
diagramma dolla f'unziono che
da
il
funzione del coofficiento di resistenzn, So il coefficionte di resistenza
e
somplicemonte
quollo corriapondentG alla resistonza provocuta dai vortici di sCia,la polaro
a,
una parabola che he.
pGr le. (28), ~ertico
nol-
l'origine e per aase l'nsso Cr '
145
0
Elffel) il
('oeff'lcie-nte (Ii portanza in
B.Finz1
- 63 -
:191 fat to. il coefficiente di rosistenza e somma del eooft:i..c.i.Gnto di ~nsis~e.Il£t1; COI'risJ,>O..-Yldon1i;;o alJ..a resistenza. provocs:t r"I dni vortici di seia 0 del eoofficiente d;i. rosistonzu Co che 6i avrebbo anehe in sssenza di seia, qualora si tenesse conto
dol1~
viscositA dol fluido in uno stratero11o adorente all'als; nonche di altre circoatanze traseurato nel procodonte schomn semplicistico: (30)
CAl'. VI
6EBNO SULL'INFLUENZA DELLA COIIiPRIMIBILITA' NELLE CORRENTI STAZIONARIE 1.- Flusso monodimensionalo stuzionurio.
Finora abbiumo trascurato riguardando la sua densita
~
]n
comprimibil1ta dell'uria.
come costante.
Quando pera
la velocita del fluido sia poco inferiore alla velocita del euono,
0 81&
maggiore di tale veloc1ta, l'aria espliea 1a sua com-
primibilita e non e leeito prGscindorno. In condizioni stuz1onarie, l'influenza della comprimibilita a1 manifesta. in modo sconcertnntc, porche, come
sappia.m.o~
in
condizioni iposoniche; 10 equn.!7.ibni i,YJdofinito di. movimento tlssu'" mono co.ratte:i'e ellittico, 10 variota caratt.eristiche non sono rcali c cio chc avviono in un punta influenza cd e influunzato da cio cha uvvieno in ogni altro nol campo di mota, mcntra in eondizioni ipersonichc le varicta cnrutteristieha sono reali eio chc avvionc -in un punta influenza ad e influanzato da cio che uvvicne in alcuno rcgioni dol ehe avvi enc in a1. tree
146
cc~po
di m9to, a non du cia
0
B.Finzi
- 64- -
Per mostrare la pro fonda rlifferenza che intercede fra regime ipoBonico e regime ipersonico in condizioni stazionarie, consideriamo i1 semplice £luseo
entr~
un tubo, disposto lunga
llasse x, le. cui sezione s=s(x) sia variabile con x, ma sia cosl poco variabile da poter ritenera monadimensionale i1 flusso. Questa flusso sara allora indivi-
IJJll- \"' I.-\Jll
fi ·\I.l.JU-·j
0
duato dalla sola funzione v=v(x)
~.-
_--:x.:...-..
r-.
~,
I
I
-'
"" >
_~
/lllTTTrrrrJ
che da, in funzione di x, la componente secondo l' asse x del-
')(
rtrnrrrf(Om
la velocita del £luido, Riguardando il fluido come perfetto, rea comprimibile
e po-
nendosi in condizioni adiabatiche, il quadro (12) II formato dalle equazioni indefinite di movimento si riduce alIa relazione (15") II che traduce il teorema di Bernoulli
o
l-i("
(1)
\'-1
'=~')
f ) 'L-
alla relazione (2 )
che traduce' la conservazione
il ()lle,
massa e all' equazione comple-
mentare
~Y
(3)
= K =
Assegnata la funzione s=s(x), rea formato dal1e
gni te v.P,
~
tl'E' equa~'ioni
-
wst, e faClle
risolvere 11 siste-
(.1) (2) (3) nelle tre inco-
, determinandole ,in funzione di x. Ecco il risul-
tato a cui si perviene ; Introduciamo i1 nUlnero di Mach 1f, rapporto fra v e la velocita del suono c:
M
147
- 65 --
B.Finzi
Ecco che cosa auccede allorehe 1.1
<1 ~
allorche cioe vi go no
condizioni iposoniche: quando il tubo s'allarga, 1a ve10cita del fluido diminuisce e 1a pressione e la densita. aumentano; quan-
do il tubo si restringe, la velocita dol f1uido aurnenta e la pressione e 18, densi.ta diminuiscono. Eeso invece che cosa succede allorcne M'> 1, al10rche cioe vigono condizioni ipersonicha: quando i1 tubo pressione
s~allarga,
1a velocita del f1uido aumenta e la
la cIonsita diminuiscono t quando il tubo ai restringe,
G
la velol.1ita del fluido diminuisce e 1a pressione e 1a denaita aumentano. Mentre il comportamento in condizioni iposoniche
k
hen
intuitivo, conforme alIa osservazioni pili comuni, analogo a quel10 dei flu:i.di quando easi non csplicano Jl.a 10ro comprimibili ta,
e
i1 comportrunento in condizioni ipersoniche
e
che non
2. - Moto
sconcertante, per-
per nulla consono al1'intuiziona.
jJ~2:!<~~1:2..Il,~1!l.
stazionari.o.
La equazioni .indefinite (12) II di un fiuido perfetto, se
il moto
e stazionario,
vigono condizioni adaabatiche e si presci,!!
de dalle forze esteme per unita di. volume, si scrivono cosi: /
(5)
'";) 'IrK
i
,') r
--~~'
)
bXi'V-
1
1.')~ '\}l(*~ -::.0
l
k
)
:1}~)3
c; ')x 'ex\( "~ -;uJt~K.. k
Osserv\~l1lo
aha
men t are e
. -'" qUlnul
~ e
£nnzio:ne di p attraverso l' equazione comple-
' ~ '";1 ~ () P • = -d. ~ ----. jjX
diante le prime (5))P , ')Xl<
dID Lx r
""1" d a. 11 ora, met: l.ml.nane
che viene a comparire ne11'equazio-
ne di cl!lll1scrvazione della massa, questa diventa J~ 0'''", - _ _ nJ" i rv- \(.0'\1' ..y- _ _I<. -=-. 0 •
'/)X',,?>X K f 2
d I>
MaiIJer la (21) II) ~ e quindi la
=y -
=
precede~~e eqUa~iOne
c , se c
e la
veloci ta del Buono,
si pub scrivere cosi:
148
B.Finzi
- 66 -
f ;, /(
C 'Iff<
(6)
-) X-I l~'
i.'\j' lj -- 0 . - er 1)"
\<
La (6) auasiate in un generieo mota stazionario di un gas. Supponiamo ora, piu partieolarmente, che i1 mote sia irrotazionale, e quindilj. se
'f e i1
potenziale cinetico,
(7) In quata ipotesi Ie prime (5) 8i esauriscono nel teorema di Bernoulli (:I!5") I I che da esse discende, .per il quale risulta: . (-I
2,
'r! ~-
(8 )
V'·
mote e
V
e la
-;;-
dove la costante
_
Vt L(i:)~ Cit. X-I K =t J
+ J.;
stesse. in tutti i punti del campo di
rappresenta la velocita limite che non puc mai es-
sere superata finche vigono Ie condizioni nelle quali ci siamo posti. Introducendo la velocita del suono c, la (8) puc scriver-
Vi '1
si COSl.: 2,
-'r -II'
(8 1 )
....
Q. @
~-I
-,
'-
(',oAt,
La (8 1 ) m@stra chet nei moti irrotazionali atazionari, c 2 dipen2 222 de linearmente da v ; ossia da v 1 + v 2 ~ v3 • Grazie alla (7), l'eqU8z1one i.adefinita a cui ubbidisce 1a funzione
~
che
iL
ind~vidua
{o->I< _
i!
campo cinetico
'\Jt~~
h'O)( K
e
\
j
::.
e la
aeguente:
0 ,
In questa equazione bisogna porre naturalmente al posto delle componenti v k della v810ci ta Ie derivate parziali ~:K del potenziale cinetieo, e 113 posto di c 2 la sua 9spressione, lineare in (
~-~;
)2 + (
~~'l:
)2 + (
C~;)
)2 desunta dE}l,la (8'). L1e-
quazione (9) risulta coai quasi lineare, alle derivate parziali
149
B.Finzi
- 67 -
di secondo ordine. ESBa 8i riduce poi allteQUazione veramente 1ineare di Laplace, che regge i cwnpi cinetici armonici, quando 11 moto non
troppo rapido, quando ci06 6 lecito trascurare i l v quadrato del numero di Mach M = ~
c.
3.- Piccole perturbazioni in correnti uniformi. Consideriemo un caeo abbastanza. 'G6lIIl>lice, ma molto espressi~o: quel1G·in.C~una DOr~te uniiorme, di Velocita costante i ~etta coma l'asse x, subiace una piccola perturbazione origlnata nel punta 0 Posto (10 )
)
riguardiamo la pertmrbazione y~ dovuta ad un moto stazionario irrotazionale e supponiamo v' piccola di ironte a v. In questa ipotesi anche il campo cinetioo totale e stazionario e 1rrotazionale, e il potenziale cinetico 'f ubbid1sce alla seguente equaz1one, desunta dalla (9) quando s1 trascurino i quadrat!
=.
(11 )
0 )
dove M e 1a costante che rappresenta 11 numero d1 Mach dell'originaria corrente un1iomne, e quindi I I numero di Mach asintotico della corrente perturbata. Grazie alla (8') rif1ll1 ta: t:i l, ;u- 2. .~ 2, 9.(12 )
,-, = -
e~
- --,--V'- ..\f ~
'( -
I
attraverso alla. (11) la corrente risulta (coma 8i dice) zata".
"11neari~
Se M<1, aiamo in condizioni 1posoniche, la (11) he cara! tere e111tt1co, Ie superfic1e caratteristiche non sono reali e 1a perturbazione, 10calizzata in 0, asercita ovunque la sua influenza. Anzi, basta un semplice cambiamento di coordinate, per
150
III
... ...
, ,
I ••
ri durre 10. (11) all' equazio~e di Laplace, che regge i campi armonici. Se invece
N
71, siamo incondizioni ipersoniche, 10. (11)
ha carattere iperbo1ico ed
e
anzi un'eque.zione di d'Alembert (del-
le cnde), Le sue superficie carat.te.ri.stiche sana rea1L.e ....sono precisamente coni, ..ro:tondi~a.venti asse para.11elo all' asse x e seroiaper:turadata dail' angolo
d.
il cui :;lenD
e
eguale a1 recipro-
o del numaro di Mach asintotico:
M Quest'angolo
e appunto
di Mach, reale se
l'angolo
o
M ?;-1.
x
8i consideri il cono caratteristico che ha vertice in 0, d'onde ha origine la piccola perturbazione della corrente unifonne:
e
questo il cono di !.Iach. La per-
turbazione posta in 0 puo illllfluenzare sol tanto la regione spaziaIe interna al co no di Mach, mai la regione esterna, dove la corrente rimane uniforme.·
Se da·O amana un suono, esternamonte
al cono di Each esso non giunge, e qui regna i1 silenzio.
Se infine
M = 1, siamo in cono.izioni soniche, e i1 cono o.i
Mach si riduce ad un piano, perche d, =
1; . Se
proprio 8i vuo1e,
oi puo ravvisare in questo piano una barriera per i1 suono. 4. - Hot,) irrotazionale stazionario piano. Nel caso o.i mota irrotazionale piano, ledue componenti cartesiane
'lix
e rUy · della veloci ta. si ot tengono deri vando i l po-
tenziale c1netico
'f
,funzione soltanto delle due coordinate
car-I:;esiane x e Yi rispetto alle coordinate stesse, e l' equazione (9) diviene:
151
B.Finzi
- 69 -
c'JJ'f ~
~X2. ) ~ -
(14 )
'\1)(
c
) ,
2
fl.'
l .... ";l' J -;)tf
-4;-·
!L
Per la (8 I
"
£
@~
1\-'"1,_ Jl - ~ :!i~Y ~ = L
,
1
~
0,
dl( or
C
che compare in esse. vale:
(.15)
e nella (15) e nella (14)
POlI'to di v
, a1
si porra '"ll~
.y
y
La funzione y=y(x) che rappresenta cartesianamente Ie linea caratteristiche dell'equazione differenziale di secondo ordine
(14) soddisfa alIa seguente equqzione differenzia1e prdinaria di
.;.tl
prilJlo ordine: 'L
(16 )
d ...L.
'\Jl(
{ J_
-".:i:
d~
<.<.
Per ogni punto
(
+<{-
'j:::
L 7 j
O.
del campo di moto passano perfio due linee
~
caratteristiche, aventi i seguenti coefficienti angolari: (17)
rl
dove M (18 )
'1~
_ =!!~~VM-I ~ 2.
e il
~
-
- V-x
t
"-~
.)
I\TJ(
-
(!.
'l~ VM -I
~'t_ I'J": t
-)
lC
numaro di liIach, e dalla 2. 'r_ "\l ~ rv-1._
M
~-
:=
l!
-::.
t r-I V-1I"
-'
'1.
La dove vigono condizioni iposoniche,
e M <1
a quindi le
(17) mostrano che le linee caratteristiche ~on sono rea1~.
La dove vigono condizioni ipersoniche eM?' 1 e quindi 1e (17) mostrano che le linee cardttedttiche sono realL
caso l'angolo tore velocita
In questo
r/... che ogni linea carE.tte:,istica form.a col vet-
e
egua1e a11'angolo di
(19 )
152
Mach~
e cioe
B.Finzi
- 70 -
conformemente del resto a quanto abbiamo.· constatato in generale nel n.6 del Cap. II. Le linee caratteristiche, grazie amma proprieta precedente sono dette linee di Mach.
Se quindi
10 che i1 vettore
e
e l'ango-
velocit~
forma
x
con l'asse x, risults:
La dove infine vigono condizioni soniche, e cioe M = 1, Ie due linee caratteristiche che escono ds ogni punta coincidano, ed esemplio retto l'angolo di Mach, i1 vettore velocita
e ad
esse
ortogonale.
E' interessante calco1are la variazione della velocita lungo Ie 1inee caratteristiche (quando esse sono reali). Lungo la linea caratteristica CI , di coefficiente angolare /.{.. , s1 he:
dv-X +fI''1 a''l-=O.
(21)
Lungo invece Ie linea caratteristica re
Ji'l.'
@l '
di coefficiente angola-
8i ha:
(22 )
Da queste relazioni e dall.e (17), (15) e (18) 81. ottiene, lungo ogni linea csratteristi CR ~ una rel.azione ira v fra v e
(;
,0
verso l'angolo
anche ira
e
9
ed M.
e v , 0 snche x y Se E!l.lora 8i cenesce, attra-
,la direzione della velocita lungo una linea
caratteristica, si PUQ calcolare snche lungo ls linea stessa il modulo v della velocita, e quindi anche Ie sue componenti cartesiane v x e v y' nonche il numero di Mach M, la veloci ta del suono c, e , attraverso il teorema di Bernoulli (8), la pressione p e
153
B.Finzi
- 71 -
conseguentemente la dens ita
f
In particolare, se lungo una linea caratteristica e costante uno degli elementi
e , v,v x ,vy ,M,c,p, 0/
,
sono costanti anche
tutti gli altri e 1a linea 0aratteristica coBBiderata e(per Ie (17) ) una
re~Gta.
5.- Trasformazione odografa; Si pC10 rendere liuoare l' equazione all.a derivate parzia1i del secondo ordine (14) con 1a classica trasformazione di
Legendre, che fa passare dal piano direttore del movimento al piank odografo; nel qua1e 1e coordinate cartesiane ortogonali di un punto sono Ie componenti v nat e polari. sono
vee;
II campo odografo
e
x
e v
y
della ve10cita e Ie coordl
que110
racchiuso entro il cerchio cha ha centro ne11'origine e raggio e~~le
alIa velocita limite V. Segnamo anche la
circonforen~
za con contro nell'origine a raggio v=vV1 ~ per cui riuul:ta, in ba~:lalla (18), :.:r1. Entro questa cerchio vigono conel i. zi.oni i:ool'Joniche, montre nella corona circolare eaterna vigono condizioni iperso·niche. Sulla circonferenza di confine vigono condizioni soniche a lungo di essa il modulo della velocita
e cosDante.
E'agevoleintegrare con i classici metodi delle equazioni lineari l.'equazione differenziale trasformata; sia nel campo iposonico, sia nol campo iporsonico. In quost'ultLmo Ie linee caratteristiche sono epicie] oid.i (. ) .
c.) Se si considera 1a generica ep~cjcloide di una famiglia di caratteristiche, la tange~te in un Su.o punta generico 1\ e, per 1e (21)t normale alla tangeg te in Palla carat·ceris tic a de1l'altra famiglia cha nel piano
l:~l:t~
154
B.Finzi
- 72 +
Molto mene agevole differenziale
qua~do
e l'integrazione
essa hR carattere
di ta1e equazione
mist~,
perche esistono
regioni del campo in cui l'equazione viene considerata dove vigono condizioni iposoniche ed altre in cui vigono condizioni ipersoniche. In condizioni miste 10 studio del problema aerodinamico
e complesso
matematicamente, ma 10
e aneor
di piu fisicamente t
perche al confine fra regioni ipersoniehe e regioni iposoniche si
fo~no
delle onde d'urto. Queste si formano sempre ove si
accumulano le perturbazioni che provengono da una banda di esse e che non possono proseguire
dall'altr~
banda.
Le onde d'urto
co sti tuis cono delll3 discontinui ta, non soltanto nei valori
del J.e
derivate della velocita, della pressione, della densita, ecc., come PUQ avvenire attraverso alle varieta caratteristiche rapprcseg tanti fronti d'onda, ma adirittura disoontinuita nei ve1ocita, della pressione, della densita, ece.
~alori
dell.a
Ad es. il cono di
Mach costituisfe un'onda diurto, perche au di esso s'accumulano le perturbazioni provenienti dal1'inmerno, che non possono proseguiro verso l'esterno.
6.- Onde som~is.~ Pub avvenire che la trasformazione odografa sia degenere, perche
e nullo
10 jaconiano corrispondente. E' questa il caso in
cui una linea caratteristica eem.plicemente ad un punto.
r
nel plbano I)(lografo si riduce
Allora essendo ivi v
x e v y costanti,
Ii sulta, per 10 (17), c05tante i1 cocfficiente angolare
corri5pondente
car~tteristica
C1 nel piano direttore. C1 5i riduce ad una rctta
0
lun-
(cont. nota page 71) direttore de>l movimcnto passa per il punta P corrispondonto a
1\
155
r, della
B.Flnzi
- 73 -
go di essa sono costnnti
€I ,11,c,p, q
v, v
I
come 10 sono
x e v y • A tutto 10 linee care!
2 2",
teriatl.che C2 a C dolla seconda famiglia eho ne1 piano
direttorc intersecano la retta
°1 ,
corrisponde no1 piano odografo un'unica linea
~
per il punto
I~
I vari punti
r:' ~
II
•••
~
passanto
della linea
12-
godono della stossa proprieta. di ~ : ad ognuno di essi corrispdl}! de ncl piano direttore una caratteristica rettllinea, e lunge
101' •••
ognuna di questa caratt0ristiche rettilinee C1 C si manten, t· f\ M 10 ( . ) gona cos t an 1.. v x ' vy'v, Q .,,",C,P, " La regionc di piano dirottore ricoporta da una famiglia dm caratterillttleho rettilineo ,M,c,p,
~
° °,0;' ... ,
lunge le quali xx,vy ' v,e . 1 sana costanti, si dice una regione di onee semplici.
E' inteross:'l.nte osservare ehe in ogni regiono di una corrente ipersoniea adianente ad un' altrs uniforme v,
e ,M,e,p,
ove v x' v y'
~ tlono costanti (e quindi ogni ~ si riducc ad un
punto)si hanno onde semplici e vi
e una
famiglia di caratteri-
stiche rettilinec, lungo 10 quali si mantengono costBnti gii clementi preeedenti, che variano l'altra della famigliq oonsi-
derata. Queste eircostanze s1 verifieano ne1 ca.so in cui una corrente iporsonica uniformo Inmbisee un protilo come qucllo indicato in figura., A iIlontc doll (; dne carattcristiche passanti par 1a (.) l'Gr quanta e stato detto no1)_a nota a pie di pagina del prccGdcnte n. 5~ 10 ta.ngonti a noi suoi punti sono normali allo rotte 6 1 I
r,.
.q,C;',....
156
G ' r' , rtf ,... I
B.Finzi
- 74 -
cuspide saliante A e a valle delle duo
9ArQ~~t1cne
pessant!
per la euspide sali,onte B, la corrente resta unifonne e sono quindi rettilinoo 10
caF~ttQrist!chc
di entrambe Ie famiglie,
relative a queste rogioni; nella regiona intermedia a1 hanno invece onde somp1~ci, in cui sono rottilinee soltanto Ie caratteristiche di una famiglia. Si not.i eho lu...'1go una gonerica di quost;c carattaristiehc rcttilinec non varia, in partioolarc, ne il modulo v della veloei ta,
ne 18 sua dirazione data dall' angolo
e , ehc: ovunq~e
coincide con qucllo che il profilo forma con l'asse x nel punto in cui Is caratteristica rettilinea 10 incontra. ' Per tale ragione vengono meno Ie condizioni asintotiche euleriane e Ie linee di flusso non subiscono aloun appiattamento al10ntan~ndosi
dal
p~ofilo,
appiattamento ehe invece sempre si
verifics quando i1 fluido non eaplica la sua comprimibilita 0 eomunque in condizioni iposoniche: eeco una profonda differenza fra comportam,.'nto
ipersonicoe comportamento iposonico.
CAP. VII
'.- Teoria di Glanert. Consideriamo un'ala d'apertura infinita, tanto sottile e eosi poco inclinata suI filo del vento da poter
riguardar~a
cor-
rente che l'investe come una corrente uniforme, di velocita costwmte
y diretta
come l'asse x, poco perturbata dall'ala stessa.
Supponiamo che il campo cinetico rappresentante 1a pertur-
Y
bazione atazionaria sia irrotazionale, oltre eha piano. Supponiamo altresi che 11 numero di Mach
Mdell'originaria
cor-
rente uniforme sia minore di 1.
157
B.Finzi
- 75 -
La corrente totale che ne risultera sara allora stazionaria, piana, irrotazionale, lposonica, ~ ne costitui~a 1a ve10eita asintoiliea e :M 11 nWJl0ro di Mach asintotico.
<,
I1 potenzialc cinetico ~~bbidira all'equazione indefinita (11) VI, 1~ quale, :a:al caso piano, 8i sen.vera. semp1icementc oosi:
o.
(1 )
Easendo M(' 1, 1a (1) avra carattere al1ittico e 1e sue linee caratteristiche non saranno reali. Poniamo: (2)
con ~ cost ante disponi bile. La (1), quando si eseguisce la trasformaziono (2) si llluta nella seguente: ')1
q,
at. cp
_-- + q X2. "0 y2.
0.
La (3), qualunque sia J.a costante ~ , ~ un' equazione di Laplace nelle due veri abili X e Y, cio~ la funzione (X, Y) ~ una funzione armonica. Questa funzione costituisce dunque i1 potenzia1.e cinetico di una corrente smonica, relativa ad un fluido incomprilllibile 0 che non espl'ica la sua comprimibi1ita di deneita costante. Si viane cosl a stabi1ire attraverso al1a (2), una relazionc di affinita fra una corrente armonica a densita. costante) e una 1inearizzata, nella quale il fluido esp1ica 1a sua comprimibilita.. Affinch~ Ie due correnti ~.mme+,tano 1e. medesima ve1ocita.
t
asintotica i e 1ambiscano i1 m~Besimo profilo alare s, debbono essere verificate due condizioni: 1 0 ) come 1a ve10cita ~ della corrente nella qua1e l'aria osplica 1a sua comprimibi1it~ e som ma della ve10cita asintotica y e di una ve1ooit~ ~' piccola d1
-
158
B.Finzi
- 76 -
y,
ironto a d~
y0
cosl.nclla corronte armonica la velocita
di una velocita Y'piccola di ironte
y;
e somma
2 0 ) deve risulta-
re su s:
cioe
'\1")(
~
due correnti debbono os sere egualmcnte inclinate.
Ifrazio liIlIa prima condiz.ione, la (4) pub acriversi. ces 1:
()1>
~If
~
V +
"'by
, ""x
e, a menD di terminm piccoli di ironte a quelli oho si mettono in evidenza,
-;) If' «) ) 0,
rioordando 10 (2),
Ne segue:
Dunque, per ottenere i1 potonzialc cinctico
~ I
di una
corrente iposonica nella qualc i1 fluido esp1ica 1a sua comprimibilita, e chc investe un
¥1_M 2 il
re per
~rofilo
alare sottile, basta divide-
potcnziale cinetico
4P
della corrente armonica
(a densi ta costanto), la qual" he. la medesima veloci ta. asintlhtiOB
ye
1ambisco 10 steese profilo alare.
Por
~~2-biSOgna
dunque dividcrc anchc i1 valoro della circo1aziono che 1'818 e capece
d~
gencrare attorno a
se,
glia l'incromonto di potcnzialo
porche tale ciroolazione eguaIlUlGO
ogni linea chiusa cho ab-
braccia una sol volta i1 profile Blare. Osserviamo ora che la densita
159
9
nella corrente ove il
B.Finzi
- 77 -
Cluido eaplica la sua comprimi bl.i ta pub riguardarsi somma della denai ta.
¥
co stante che si ha nell to.riginaria corrente uniforme, I
, dovuta al1a , piccola di fronte a ~ ~ perturbazione provocata dall'ala. Per calcolare i l risultante e della densita
g
delle azioni dinamiche
~he
8i esercitano sull'ala lPer unita
d'apertura alare) potremo dunque, a meno di termini piccoli di fronte a quelli che metteremoin evidenza, riguardare
come
~
costante eguale a
q'.
Kutta-Joukowski: g
e diretto come l'asse y, rappresenta cioe
Ma in questo caso vige i1 teorema di una
portanza, e la componente R potra esprimersicosi, a meno di y
termini piccoli di fronte a quelli che si mettQlllo in evidenza:
r
(6)
dove
r
'
-~'\rV4-t1i
rappresenta 1a circolazione (positiva. se in senso antiora-
rip) attorno 81 profilo alare della corrente armonica. Dunque: in condizioni iposontche la portenza dell' ala sottile poco incidente
e quella
ch~~_~~.P_1?'LL.2!1.e.t~}?i_sJ~.ri bus.
~-M~
riguardando i l fluido come incomprimibile, divisa per
<
Essendo M 1, la~.:t~.::;.ll ..r:isP-l.:t.~_.~.l'1..§!.l tats. Questo semplice risultato di Glanert e conforme all'esperienza per
Mnon
soltanto minora di 1, ma. minore di 0,6 ~ 0,7,
cioe (in condizioni normali) per';;: ~ 200 +250
m sec
-1
2.- Teoria di A2§eret. Consideriamo un'ala sottile, a'apertura infinita, col lembo d'entrata tagliente oriontl.ato nel filo del vento stazionario
/ C,,4
ipersonico, cosi da poter trascurare
.I (\ .
l'onda d'urto provocana da tale lembo. La corrente ipersonica che inveete l'a1a non e allora i.nflu.o!!:
.----:)0
,n!
~II.·
A~~~Mll \
160
,
\
\
,,: t:1
Ii
.
)(
- 78 -
B.Finzi
zata dall'ala a monte delle due linea caratteristiehe ehc eseono, nel piano direttore, della. cuspide sa'l-ienta Ache rappref:lcmta 11 lembo d'nntrata, e quindi essa e in tale regione una corrente unli'orJllo. I~uesta regione le due i'amig~ie di caratteristiehe sono formate da ratte, e aono quindi rette anche entrambe le caratter.isticbe ohe ascone de t. Nella regione a valle della preeodenta la oorrente e stazionaria, piana, irrotazionale, costituita da onde semp11oi. Le oaratteristiche appartenent ad una famiglia sonG ratte, lunge le quali non varia ne 11 modulo, ne la direziona dolla velocmta y, e non variano neppurc 11 numero di Mach M, la veloe~ta del suo no c, ls press10ne p, la donsita ~ , e perc questi clementi variano pas sando da una retta della famiglia ad un'altra della
stosss famiglia. Se le rattc caratteristlcbo di tale i'amiglia ehc cscono dal contorno del proi'ilo alare ammontano un inviluppo! supponiame ohe questo sia tanto lontano dal proi'ilo da poter prescindor~all'onds d'urto che Bi forma in sua proesimita, cosi da poter limitare 10 schoma del fonomeno aerodinamieo a qucl10 pre-, cedentemente indicato, ahe cost1tuisce 10 schema della teorj~ di Ackeret. In queste cond~zioni i1 comportamento dell'ala e profonda-. mente diverse dal comportamento proviato da Joukowski nol caso in cui l' aria non esplica l.a sua cmn!,l"i mi bili ta, cd e proi'ondamente diverso da qucllo prcvisto da Glanert nel easo in cui l'aria esplic~ la sua eomprimibilita} ma in condizioni iposonichef oaso quosto qualitativamante molto simile al preccdonto. In oondizioni iporsonicho, a differenza di quol che avviene in condizioni iposonlche, i1 vo~tice chc in fase d1arvio s~ forma nol punto angoloso saliante B, rappresentante il lembo d;usci-
161
B.7inzi
- 79 -
ta, non puc far si cha lungo il profilo alare tanti vortici per un'intensita complessiva porcha il profilo
e
A
oppost~
01 formino 0.110. propria,
astorno 13.1113. raglona angolaro (tratteggiata in
figura) dolimitata dallo due cano.ttoristicho usconti dn B. ove 6i sonte l'aziono di quol cho succede in B. Ancho a regimo,
quando la poppa dalla corronte a in B
0
in B non st formano piu
vortiei, 10. oorronto non divi.ono trasloeircolatoria, ma rosta traslatoria,
(piu
0
0
non pi puc invoearo il tca,rQIlln di Kutta-Joukowski
mono corretto)
p~r
giustificaro la portanzo. dcll'ala.
Avviono pore un fatto di riliovo: poicha lungo ogni rettn carattoristicc
varia i1 vottoro velocita, non sussistono car-
:Q.O>Il
tamonto condizioni asintotlche eulerimlG,
0
eatio eonsoguontomon-
te i1 pnradosso di d'Akmmbert, II risultante
E delle
Qzioni dinamiche ehe 8i osercitano
sull'alo. (per unita d'apertura alaro) non risulta pertanto nullo. Esso da luogo ad una portanza a, n differonzo. di quo.ni:;o avvi.£ ne in condizioni iposoniche por 10 ali d I apertura luogo nnche ad
llilD.
rosistonzq, detta
Onlcoliamo questa portanzo.
0
~~~sten~~
infinih~ ~
ds.
d'onda.
questa rosistenza.
Nella rogiono dove 10. corrente a costituitn dn oredo somplici conosoiruno lungo ogni caro.tteristicn rettilinoa 1 1" • I' c.ngolo costnntc G chc In velocita formn con l' [lSSO x, perche questo angolo e ogualo D. quollo che In tnngonte al profilo nlnro
°°
formn con l' asse x tra. Oonsi.-:''''ri '
1a
dove 1a C':<wa I:;teristtca l'ettilinea 10 Jimeon-
tU'lCl
C'l;ITattIGristica 02 (generi camente non retti-
linea) pass8.nte per A: lungo iii essa'l' equazione difi'erenziale (21) del CAP.• VI (qu8..'1.do in esse si tonga oonto delle (17) (15}aC8)
dello stesso capitolo) lega
e
al valore del numero di I\~ach 1:1,
costant8 1ungo ogni rotta car3.tteris'tica
°1 ,01"
.. ) ma
variabile
lungo -C 2 ' Integrando quest'equazione differenzia1e si esprime in forma finita M in funzione di
8
e deol. valore £.Ii as.sunto da M in A
162
B.Finzi
- 80 -
ove
e
=0.
e la
Questa funzione (7)
't
f\:::
Cl.i..e,~,()I~ ~L -
Essa
OM
C I t ' ! .... ·t
I
t
seguente:
t'
~.o~) -~.
\'1---¥.... 1 {
, . ~'I
\1 - ..-..a,.~&l~ ¥ ~- \
e tabellata
/ . '.l
+
, . ,_\~ ~1Le~ it! -'
_..1.:__ .. t) Lt,,-· 1-' M1\ ( 1"1\ T I))
( + 1 - ..---... '(~
1 .. -t
I
\
_.-1
con grande (e forse esagerata) precisions.
e
Nota allora
in ogni punto P del profilo alare).. , sara
no to anche 1 'angolo
G --;-
9!.o, -=
I Me·MM,-
t1
che forma con l'asse x la retta caratteristica che vi passa. La pressione p in ogni punto di questa retta, e quindi anche in P, si calcolera ricavandola in funzione di M mediante il
teorema di Bernoulli (8) VI e mediante ls (18) VI. Risulta infatti: (8 )
~1
1.
=
2 ~ -I
e
!!
-V..---t - "" '\;
t
-
l(~r .~
t
--~l
r-I
']
dove Po e una costante che denota la rrr~~~~£L~~i v=O. Se allors diciamo P1 ls pressione per M=M 1 .. esprimere in termini fini ti
t- ~I
(8')
it -,..~
__. _ : :
fa
e qu.esta funzione
e tabellata
ave =0· si pub
ris~,
e
in funzione sol tanto di
_or: F(e))
G
in modo assai preciso(·).
(.) La funzione precedents si ottiene dalla relazione (7), cha de.
e in funzione
di Vl, ponendo in essa, a1 posta di M, i1
suo valore ricavato dalla (8) e ponendo di M1 , i1 su.o valore ricavato della
163
ana1ogamente~
81 posta
B.Finzi
- 81 -
pre c eel p..nte· ha l' and am ent 0 qual;i,.tativo segnato in figura e 1 per profili Bottil!, poco si scosta da quello dato da dm rette passanti per l' ori.gine
.-/
e aventi coefficienti angolari opposti.
A,
Noto il contorno
del profilo aJ.are, di equazioni para-
metriche (9 ) sara noto, in funzlone dell' areo s, l' an go 10 (8 i
)
si potra ricavare p in
funz~one
e ,
e quindi dalla
di s:
(10 )
La portanza R2 e 18 resistenza d'onda R1 , per unita d'apertura aJ.are, 5i esprimerfu~no allora cos~: (11)
Note le funzioni (9) e (10), 61 pas 5'eno sens: a,~ tro cRlcolare i due integrali cha compaiono nelle (11). Si rilevi ehe 1.a p!"':s"'l!)n'} p dipende soltanto, in virtu della (8'), dall' inel tnao;.ione dell' 81 emento di cita, e non di.penda da tutta la forma di
Iv
A.
su cui si eser-
e da cia che avviene
usi punti del campo di mote diversi da quello in cui viene calcolata. Il
risulta~te
g dello azioni dinamiche
azioni dinamiehe loeali dell'elemen-co di
fA.
Questo fatto
C~lO
e quindi
somma di
dipond one solt anto dall' orientamcnto
su cui si esercitano.
e molto
significativ~
164
e assai pill. semplice di
B,Fibzi
- 132 -
quolchc avviclle quando 1; aria non esplica 1a sua cOElprimi bilita,
0
pili geLoralmente in condizioni iposoniche. In 'condizioni ipersoniche portanza e l'esis-tonza, relative
ad ogni elomcnto di
A ,
sonG collegate fra loro proprio come
nella schema somplicistico del qualc abbia.mo detto all'inizio di questa lczl.oni e a1 qualo si riforiscono molti libri e1ementarliL di fislca.
Quosto schor,m, dol tutto inadoguato all'
firtora QOnsue:t;l;;, potra dunquo accottarsi consue-Ca divorra 1¥aerona:J.tioB
am
aeI~mautica
avveniro, quando
iporsonica!
Comunquc t molto profonda e la differonza cho corro fra i1 comportamonto di untala in condizioni ipersoniche
0
i1 comporta-
monto in condizioni iposonicho. ], -
Qo_nJ~()___ sung_._op-d.9.A:'u..!:t:~:U2. _~i
_dj,.13.tacchi di vona
La teoria di. G1ancrt e Is. teori.a di Ackerct servono ad inquadrA.ro il. probloma dol funzionamonto delle ali sottili, d t ap0rtura :iL'1.finita, quando 1'aria esplica 18. sua comprimibilita. La tee.iia di Glanert presupponc oho ovunque siano verifieatG eondi.zioni iposoniehej la teoria di Ackeret presuppone ovunque condiz.ioni ipersoniehe. A tal fine quest 'ultima e eostretta a eonsiderare sol tanto ali con lemoo d'entrata, che non arresto. 1a corrente in prora, provo cando consClg1.Hmtemente :JA~ls vi0inanze di questa i l formnrsi di
~~a
regione iposoniea.
Si vo g:U ono evi tare tali regioni iposoniche nel campo
ipe~
sonieo, e cooi pure si. vogliono evitare regioni ipersoniche nel campo iposcnico., come quelle che 6i formano suI dorso di un 1 ala (dove oa,s.3iore co non
e
10. veloei ta) quando il nUlllC:"~O di Mach o.sintoti-
e abbastanza
minore di 1, per una duplice ragione: per
evi ts.re Ie lftifflcol ta. LIa tema·~iche insi te nella consiclerazione di equazioni d.i£ferenzio.li di. tipo misto; per non dovor considorare Ie ondo d lurto. Queste come abbiamo giEt aeeennato alIa fine del n.5
VI~
8i for.m.ano s0mpre in p::::'ossim1ta del confine fro. regioni
iposoni.ch8
0
rog.ionl ipersoniche, perehe Ie porturbazioni prove-
165
B.l'inzi
- 83 -
nienti dall.e prime regioni, e ehe non p0880no proseguire n011e seconde, si accumulano
f0DJkH1(10
curie d 'urto, dove si hanno
discontinuita nelle veloeita, nelle pressioni, nelle
densita~
neiL numeri di Mach, e dovc viono meno anehe l'adiabaticita.. Per evi tare la considerazione di tali onde d 'urto pi prcscinda anche, in regime ipersoel.Leo 1 cl.agli inviluppi di linoG eara! teristiche, in proasimita dei quali si formano onde d'urto. Le onde d'urto costituiseono il piu impononte fGnomeno che si verifica appena s 'affacci.ano condizioni ipersoniehl3. Esse sono state studiate in passato da sono Ie ricerche
fi.·~l:CO
questo argomenrto che
e
RiGma~n 0
da Hugoniot
matc!mntieho recenti
13
0
moltopliei
reeentissimo su
assonzialo per l'aeronautiea iporsoniea
0
per la toenice doi motori alternativi a seoppio, doi turboroattori, delle turbine a gas, doi razzi, eee.
Diro soltanto ehe tali onde d'urto sono doterminato dalla eonservazionc attraverso ad osso dol flusso, dal toorema dolla quantita di moto, dalla eonsorvaziono doll'onorgia;
·0
aggiungoro
chc Ie ondo d'urto costitUiseono dei lunghi di discontinuita ehe comportano do11e singolarita. no11a rapprosontaziono matematiea dol fenomono: esse provocano quindl una notevole altoraziono della portanza
0
un forte aumonto dolla resistenza, dovuta alla
cosiddetta rosistonza d'onda d'urto (da non confondersi con la semplice resistenza d'onda, ehe si verifi.ca sempro in eondizioni ipersoniche).
Si pensi oho i 4/5 della resistenza totalo incon-
trata da un proiotto a volooits. iporsoniea d'urto. Un altro fonomonn
e resistenza
d/onda
che a1tena profonda.mentE! gli schemi fin
qui stud1ati, si verifica quando questi comportano voloeita mag\
giori della velocita. limito V ehe non pug ossoro suporata, i.n condizioni di stazionarieta, quando il moto
e irrotazionalo,
La
corrento in questo condizioni divicn.e varia bile , magari turbolon-
ta, e puo ritrovaro una stazionariota sol tanto in sehemi divorsi
166
E.Finzi
- 84 -
da qualli prosupposti, che comportano i l
dist[J.c_c?_A().1].l1~
fluida dal profilo alare. COl'l'ispondc'nLeIn.cntc si
l18.l1r.O
b:'zz3.rro vari3zioni nolle
azioni dinamiche ehe si Gsorcitano sulle ali
0
sullo varie su-
parficie di governo (timoni, alet"l;oni, piani di profondita, ecc.) Il pauroso fonor1cno' doli; _i:~lV,)r3iono C'ci eOil'aniU. 8 dovuto essohzialmontc a dis'cacch"i dolla vena fluida. Conclusion~.
Ecco 13 conclusionc cho 8i puc trerr'3 dall0 poche naziani
che aano riaacito a dare in quostc lozioni sullo toorie dinamiche dell' ala.
Hcntre nol eampo tutto ipoBonieo c nel cs\mpo -cutto ipersonico, in assonza d'onde d'urto e di distaechi di vena, la modcrna aerodinamica sa inquadrar0
0
seguiro col ealcol0 1a corronte
chc invest 0 un' ala d' aporturn i11fi11i ta, in eondi zi ,mi tranaoniche, in prcsenza d'onde d'uxto e di distacehi di blQma
e aneora
vona~
11 pro-
spalancato alla ricerea iisico In.atomatiea, e pre-
zioso sarcbboro anche ricorche riguardanti easi particoluri, se
pur assai scmplici. Relativamomc all 'ala d' apertura finita, qualcoaa
e stato
latto per estendere la teoria di Prqndtl in condizioni iposoni-
che e in condizioni tuttel:personiche
seprattutto attraverso 10
studio delle ali rettc.ngo1 ~ri a delta e a freecia, ma molto ri-
mane ancora
d~
fare.
Del resto, la stessa tooria Qi Prandtl, d'apertura
ta,
finita~
ri~~ardante
l'a18
quando llaria non esplica 1a sua comprimiblll-
attende d'essere perfezionata dal punta di vista fiBieo mate-
matiCO, allargando 10 schema eho riduee l'ala ad un sempliee vortioe portante e la scia ehe 8i estende a valle del lembo d'uscita ad un nastro piano.
167
B.Finzi
- 85 -
Termino dando alcuni sommari cenni bibliografic.i sugli argomenti svolti. Per un or.ientamento di massima sulle questioni trattate po.§. so consigl:i.~T'e all libro italiane; ~a "I..ezioni di Aerodinami()a" di P~~to~eaif ripubblieate a Pisa nel 1951. Per un orientamento aneor piu sommario si potranno vedere Ie mie uLezioni di Eerodinamica": sono ,mode,te dispense scolastiche edite a Milano nel 1953.
Sull'influenza della cemprimibilita dell'aria, s1 potra eercare un orientamento nella bella memoria di Karman "Supersonic aerodynamics principles and applications", tradotte in i taliano e pubblicate nell t "Aerotecnica" dell' agesto 1949.
Fra i trattati
sull1argomento consiglio: 1a traduzione franceae edita a Parigi nel 1951 del bol volume di Sauer "Gasdynamik"; il titolo di tale traduzione
e:
"Ecoulements des Fluides cchmpressi bles".
Consiglio
pure 11 vomume di Courant e Friedrichs "Supersonic Flow and Schol;; Waves (New York 1948) e quello di un Butore ital.iano trasferitosi in America: l'erri "3lements of Aerodynamics of sl\tPersonic flows (New York 1949). Ottimo
e pure
11 volume di lUles "Supersonic
AerodynamiCS", pubblicato a New York nel 1950. Qualcho memoria su quostioni piu pprticolarl attinenti alla teoria dell'ala
e
indicate nolla ricee bibliografia che accompa-
gna la memoria di mrman echo
e stata
integrata nella sua tradu-
ziop.e italiana in "Aerotocnica" (ottobrc 1949).
168
F.R. V A N
L~90NS
DEN =~;==
DUN GB N ===========
I
SUR LES OIIDES DE GRAVITE DES :B'LUIDES INC01YCPRESSiIBLES.
(Redigees par A.BULEUX)
UEa.u qui so po..sse,qui
COUl't,03.U
oublieuse ••• '
R.M.RILKE
ROMA-Isti tuto lGntm,l::1.tico dell' Universi ta, 19 55-ROMA
169
Van don Dungan
- 1 -
E A U X
PRO F 0 N DES
1. - Historiquo.
Lo 3 janvier 1814 au moment OU les Allies franchissant le Rhin al1aient entamer le. campagne de France, la classe des Sciences de l'Institut de France proposait comme sujet du grand prix de mathematique a decerner en janvier 1816 la question 6uivante: "La theorie de 10. propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur infinie". Pendant les cent jours,
a
la seance du 28 avril 1815,
Poisson depose un memoire destine
a n'etre Iu qU'apres 10.
cl~
ture du concours. Au lendemain de celle-ci, 1e 2 octobrG 1815, Poisson lit son memoire; il y ajoute un complement le 18 decembre. Au coumde cette seance du 2 octobre la commission pour l'exrunen des memoirt!ls est formee; elle se compose de: Legendre, Poisson, Laplace, Biat et Poinsot. Le 26 dmcembre 1815 le memoire "l'losse quot Ionii veniant at litora fluetus" regoit Ie prix de 3.000 frs. A.Cauchy, jeune ingenieur de 26 ans.
a
Son auteur est
Un autre memoire soumis
ce concours a ute remie a son auteur dont le nom n'a pas ete
divulgue. Les archives de l ' Academie des Sciences de Paris ne permettent pas de savoir qui avait propose la question posee en 1814. Un passage du memoire de
Cauchy montre que certains resultata
furent echanges avant 1& remise de son memoire:
.~e
mouvement des
ondes n'est pas 1l11t:forme ainsi que 1;r Lagrange l'a suppose dans sa Mecanique Analytique mais uniformement accelere. Avant d'obtenil' les integrales generales des equations du mouvement jlavais ete deja conduit par des considerations
171
particulie~es
a soupgonner
Van den Dungen
- 2 -
ces resu1tata et
j' en
je n'osaia m'arreter
avais. fait la remarque
a
a
Mr. Laplace, Mais
cotte idee lorsque Mr. Poisson m'y
confirma ••• " Le memoire de Poisson membre de 1 'Acad~mie fut publie imme-' diatement, alors que Ie memoire de
Cauch~~ constituera le premier
Tome deS Memoires des Savants etrangers (a l'Academie) publie seulement en 1827.
II se termine par 20 notes dont 7 ont ete re-
digees au cours des 10 annees qui on-t precede
]a
publication~
Cauohy Ie di t dans sa prefac0. De Ut result.ent des differences de notation: en 1815 l'integrale definie est noteel
alors que la notation de Fourier b est adoptee
a
f tdx Ow
partir de la 16e note.
Un grand nombre de travaux ant ete coneaeres ondes de
~
l'etude des
aauchy-Poisson. Voici ceux que nous avons utilises:
Travaux franoais: BOUSSINESQ
a) Application des potentiels •••
b) Cours d'Analyse infinitesimale.
ROUSIER
These; Paris 1906
VERGNE
These; Paris 1909
RISSER
These; Paris 1925
TravauX i taliens: CISOTTI 1)
: Atti R.Ac.Lincei 27
1918-19
Cauchy n'est entre Q l'Academie que Ie 27 mars 1816 par decision du roi Louis XVIII reIormant 1 I Academie. II y est ainsi entre sans avoir ate alu.
172
Van den Dungen
- 3 -
eISOTTI
Atti R.Ac.Lincei 29
LEVI-CIVITA
Atti.
TO NOLO
Atti R. Instit. V:aneto 53 19B Rend. Circ. I.1ath. Palermo 1915
POLATINE
1920
R. Ac. J.Jincei
1907
39 et 40.
Travaux anglais: STOKES
Pap8rs
KELVIN
Papors
GREEN
Camb.Transllc. 7
1839
AIRY
Tides anel ',:raves
1845
BURNSIDE
Proc.Juondol'- Hath. Soc. 1888
RAYLEIGH
Phil.I,lag. (6) 18
PIDDUCK
Proe. Roy.Soc. A.83 1910
20
1909 86 1912
LAMB
: Hyd."C'odynamics
Travaux
americain~:
STOKER et al.
Com;n. Appl, llath.
MUNK
Trans.Am. Geophys. Union 28 1947
1948
Divers: : journal of meteorology V2 n 0 4 1945 Uuoki et Nakano: (Japon) Ocean.Mag. 4 1952
ROSSBY
L I interet du probleme a
e·te
5 1953 ravi ve pendant la derniere guerre mon-
diale: ChO£9 de houies sur les jotees de ponts artificiels. Les ondes de gravi'Ge sont souvent citeS1dans l'enseignement secondaire conune l1lateri81isation d'oudes qui se propagent dans un milieu continu: image des ,Jons dans l'eau. Cette image est elle bonne?
Ncus varrone que dans Ie cas
des eaux pro foncies l' iinage est loin d' ~tre bonne. Ce n' est que dans l' appro xi maoG:Lon dGE Ga.WK sUPGrficie11es que I' on trouve une analogie acceptable.
173
Van den Dungan
- 4 -
2.- Equations gen.erales.
Les equations du mouvement continu du fluide Bont
Le. fluide est suppose parfait et pesant. S'il est incompressible on a:
div
v=
puisque la masse specifique)l est constante.
0
Conditions initiales. (t:o). On se donne les positions initales et les vitesses initiales. ou mieux ( Cauchy) las positions initiales du fluide au repos auquel on applique des percussions: d'ou les equations du mouvement diseontin1":
,"-iJ. v=- ~'Uld P
(2)
ave 0 et d
P = lim vil v=O £...
fpJt
01. ' II
Les vitesses initiales etant nulles, apres la percussion,
CO~;)1ne
on a
rot.6
v=
ell. ve~tu
est la vi tesse
des equations (2)
0
il Y a un potentiel des vitesses
Ll V :: ~tCld avec
If.:-J
'fo
L'equation de continuite donne: div ~
v = Life
n
On a done ~ussi p=o II suIfit de se donner P
a
(b.
=0
Exemple: (Robin)
ca uvres
1e TJsplacien)
Is surface limitrophe d'un volume V
pour connaltre p,)n chaque point de V.
1)
est
scientifiques. Paris
174
-. 5 -
Van den Dungen
L'effet d 1 illle percussion constante d'un fluide qui s'etend
a l'infini.
appliqu~a
(probleme
a
la surface
2 dimensions)
fig. 1 (2) (potentiel de double
pIX-
rr
couche)
Equipotentielles de vitesses: circonferences
(~
{if.;:
elles passent par
0(;:
L" 4 fe C
c"'"
segment capable de
0( •
fig.2.
Lignes de courant: ~ = • trajectoires orthoganales (circonferences) vitesses des points sur
1
'axe x: on a (dimostration ci-dessous)
On voit
qu'il existe des discontinuites en
L1
et
L.
(vites-
se infinie! Mais 0e probleme considere Ie fluide comme incomprea.-
a1 ble, ce q'J.' i1 n' est pas en reali teo ) 8i le point A se ciePlece en A1 (infiniment voisin), fig. 4
a dO( citX :: - f}A-t -+.1!k -:
l' angle Cl'o.tt de zero
X+l:l.
't, o.l1ll~
::C-CI
x~ _C\2
-d~" AA1
La vitesse en A est:
( Jef) =' L ill 1ft 7T~
Conditions aux limitesJ
f«
t
x -~
La ou le fluide baiglle des surfaces solidee no us poserons
2}
n
te angle solide en A sous lequel on voit Is surface P- C
(ici fuseau de section droi te
0(
175
Van den Dungen
- 6 -
A la surface libre du fluide nous ecrirons P
= Pa
la pression atmospherique pest supposee constante. La surface a libre a pour equation a tout instant: p (X'Y'lt)
=
Pa
On a done sur cette surfade:
Ces conditions sous leur forme la plus generale sont tree difficiles a satisfaire. TheOreme de
Cauchy.
Le fluide primi ti'[CElcnt au rapos que 1 'on ebrtmle par des percussions a un mouvement sans tourbillons. Zn effet
a l'instant
initial il
ya
un potentiel de vites-
sese Si l'cspace est simplement connexe i1 nly a donc paude tourbillons. Le theo rElIne de JJsgrange on ls theorie d 'Helmhol tz append des lors que les to'J.rbillons sont toujoura nuls.
3. - Linearisation des equations. Les equations du mouveLlcnt s'ecrivent
Comme on a
v = grad 'f J '.
z-
.%Ff 1- ~>tOji Cf': -V +-
f
La fonction f(t) est SUpPJSe egHle?t ble d(~
Lf
•
Non.s suppo S Gron::
soH negligeable
On a
dos
If
a:38 ez
lora
176
yo
}?
f (t) par un choix convena-
petit pour que grad 2lf
Van den Dungen
- '7 -
a.
done
1a surfac e 1i bre (P=P a) si l ' elevation au dessus du pl.an
ini tiaJ. eat ~
M+~!g~o en suivant un point
a
la surface libre dans son mouvement
ou qui se linearise en
J\.dmettons enfin
ro;
ce1a revient
pour
~=o.
Nous
§ 12.
a.
a
la. s·, trfaee Ii bre soi t peu diff erente du
pla~
dire que la condition (2) doit ~tre verifiee
Ceci ne serait plus exact si 1a profondeur totale etait ~.
comparable a leles
(].t:..e
supposon~c;
lla~e
que la surface 1ibre a des generatrices para1-
oy, Pour Je probleme
a
3 dimensions sJen riferer au
Les ondes ~G Poisson-Cauchy sont
ae~ors
la solution de
l\lfi~o
telle que
p03ir: ~ l:f 'i) t2.
== 0
i)~
et sur 1a surface S qui limite 1e fluide aux conditions initiales sur
tfo
~o
satisfaisant
pour t=o
est Ie potentiel dft aux pGrcussions ini tiales et ~ 1a denive1-
1ation ini t1 ale c:e la su-cface, Les equati;)nl3 eta:di devenues llneaires on peut decomposer la probleme en deux prob1elllGS particls
et
177
Van den Dungen
- 8 -
Le premier donne les ondes par impulsion et le second les ondes par emersion. Remargues: a) En fait on dvvrait se donner les conditions initiales en tout point du volume V, mais comme ~
et
~
sont des fonctions
harmoniques il suffit de se donner leurs valeurs sur
~=o,
etant
entendu que sur S leur derivee normale est nulle pour que les va1eurs soient determinee dans tout V. On verra que lIon ne doit pas faire Ie caleul prealable de ces valeurs et
q~e
la solution
r=0'
s'ecrit explicitement en fonetion des seu1es donnees sur b) Les donnees initiales pourront ~tre fixees sur differentes parties de la surface limitrophe S. Clest
Ce
qui se produit dans
le cas d'une explosion sous-marine.
4.- Caractere des equations
diff~r~ntielles.
I I importe de se demahder
a
quel type d'equation aux deri-
vees partiel1es on a affaire. La methode 1a plus naturel1e consiste
a
chercher les surfaces caracteristiques c.a.d.les surfaces
porteuses des donnees initiales qui ne permettent pas de construire une solution uni~oque. Nous suppod&hs quiil y a deux variables spstisles x et z. Soit la surface 8 0 d'equatlon t
=F
(x;~)
sur laque11e on se donne u
f(x, z) et
h'"
g (x,z)
Peut-on calculer toutes les derivees s1fcessives de u sachant que
178
Van den Dungen
- 9 -
de cette fagon on pourra calculer
"U" par un
d~veloppement
taylarien. Sur la surface
So
toute fonction ne depend que de 2 varia-
bles independantes soit x et,. operateurs
~-
.D"
: JrlX
t
On a donc sur cette surface les
~.xF.Jr
Appliquons ces oporations a la :f'onction compte de
(~) i l
"U" en tenant
vient:
+- lEq, -;IF {)X If On connai t donc ~ et .~. en tout point de So. Appliquons maintenant ces operations a ~ et
M _IJu
.P~
i-i.- ' 9
(2)
(6 )
179
-2i
Van den Dungen
- 10 -
On tire de (1) et (5):
j:v: =£'x(ffl- N[~ -fft5;~1 de (4) et (6)
diU, -JL(dLiL arUli _lEZLL 1
ozt- D'J;.()7.,!
d'l.lj)~,
d'Z
ot~J
dlou en vertu de (2) (A)
'')2
on connait done
~¥: en tout point de So si lion nla pas
.
0
t4
(B)
Il Y aura indetermination si le second membre de (A) est egalement nul. Or la saule surface reelle satisfaisant (B) est: t
= F =
c~
et dans ce cas l'operateur
fa:
se reduit
a. /x.la condition de
compatibillite exprime que la second membra de A eet nul.Elle se reduit
a.
Soit ltequation (b)
e11e-m~e.
Les surfaces caracteristiques etant 1e plan t=c te l'equation est du type parabolique. Le caract ere parabolique peut b1i autrement par les deux theoremes suivants: Theoreme de
Pois~
La rBlai;ion
180
~tre
eta-
-
etablie pour Z
<
0;
Z=(l
Van den Dungen
11 -
comme condition aux limi teG est vraie pour tout
autrement di t c·,tte relation est une equation indefinie. En Gffet si nous posons
il est immediat que
e est
une fonction harmonique
1),8;0
telle que sur S
d8- o ;r:n(3 =,()
et sur z=o 'La fonction
e cst
done identiquement nulle. eela resulte imme-
diatement de l'identite
JJi M8dv ·fle Md 5 -JJ[~trul.'8dV a
e soi t
de classe
C1
En derivant (E) par rapport
a
condition que
Corollaire. z on obtlent
ou bien equivalent
a
J.o~+ J~::: 0 (j i3:x;i tit Suivant unc remarque analogue de Hadamard 1 ) les equations (E) et
a
( Gr )
ne sont pas equivalentes puisque cette derniere est inde-
pendate du signe de
-
Remargue.
/Y,.
L' equ.a-Gion (E) a oem sens physique simple. La pressioJ;l
1) C.R. Acad.Sciences FarLs,
7 mars 1910
181
Van den Dungen
- 12 -
en un point du fluide vaut: (Cfr.p.g)
Suivons Ie point dans bun mouvement, la derivee de la pression est:
en vertu des hypotheses de linearisation. La ,ression en un point entraine par le mouvement du fluide est done cte • Theoreme de Levi-Civita., Designons. un point du plan x, z par 1a coordonnee complexe
Introduisons le potentiel COlilplexe
ou y
~ = 'f+- L. Y est la fonction courant conju{,~uee au potentiel
Le systeme:
D. \f::
(1)
S~t+ fu-1 = 0
est equivalent
tf
C
a 1 'unique
equation
(L)
dciJ ti Jp·-{di-- /'
En effet soit
e
t'a.
oomp1ese
U
la valeur du premier membre. Clest une fonction
analytique finie et continue dont 1a partie reelle est
est identiquement nulle d3ns tout Ie domaine etudie. II s'en suit que
e
est nul. D'autrepart, 1a partie reelle de
nique et (1') est satisfait.
182
¢
est harmo-
Van den Dungen
- 13 -
Corollaire: On a aussi
equation adjointe Remargue:
a
(1).
L'equation (L) est bien du type parabolique
a~1A.
-k
dX'k -
{}U
dT
rencontre en theor:i.e de 1a chaleur, mais les rSles de la variable spatiale et de 1a variable temporelle sont echanges. Tonalo a integre (L) en utilisant la llcethode de Volterra
5. Integration pa:r. J.es transiormees integrales. So it pour q '> 0
tf::
fO<>t -,I:: tf(x.~,t) d' t
"
1a transformee de Laplace du potentiel
f .
L I equati.on indefi nie
(1<)
o
donne imlnediatemGn1j o
La condition
a la G"
q
surface libre z=o:
dtp+~:;:;o dt"
di
}#+ ji 9;tdt =
donne
qt
(J
Ou en integrant 1)a:,:, parties:
Les donnees
a
la surface, z=o sont
183
0
Van den Dungan
- 14 -
les fonctions g et h sont connues en vertu des condltions initialese On a des lars pour z=o (1)
En oatre sur la surface S on a (2)
a
Nous sommes donc ramenes
resoudre un. probleme IIstatique" de
potentiel avec les conditions mixtes (1) et (2) au contour. Pour determiner
if
nous devons fixer 1a forme du domaine limite par
S et z=o. a) Cout"be. rectangul.aire (fig. 5) Les conditions aux limites sont: sur
t
aur x= ± ~ =0; pour z=-h transformee de Fourier
on a
z~o
~=o.
1a condition (1)
Effectuons la
- f+-l('01'tX ~(:t:,J1.)J.x
~: On
a lIrI.. vert'll
de (K)
-t
y +-[f~/01~:L ~~d:r::: 0 ~-
.2=
on en integrant par parties
le deuxieme terme est nul en vertu des conditions aux limi tea. Pour x=:!:
e
Ie troisiemc terme est nu.]. si
1~n 'tt
=0
184
Van den Dungen
- 15 -
k entier (posi tif), A chaque v:.:tleur de fir", correepamd une transformee que no us note.rons
If,,'
L I equation
i~ = (~rr t~k a pour integrale generale
dont les constantes Ak eli Bk sont aux limites. Pour
2=0
a
determiner par les condi tiop..s
la transformee de (1) donne
avec
alors que pour
Cette derniere condi tiol1 permet d I ecrire tf~
SOllS
la forme
et en vertu de (3) on a (>
_
Y /( -
en po s ant
CJ: =
grK-ttHk W/r.2. t 91c"R Kt~ c
.!Sp t~ (Kf.~)
La solution ainsi deteriilinee depend des valeurs initiales f
et h par Ie s constantes F k e1; Hk qui peuvent
Pi<
B'
.~ f(~¥x [(ex) +f e-x)]d.x o
HK ;; l~(}j?x[-MX)~g(-x~Jx
185
ecri.re
Van den Dungen
- 16 -
c. a. d. des parties paires de f e-i; h. Ella est done incomplete. La transfo !'mee
donne
on doit avoir cette fois
k' entier (positif)
.,£i
l'on pose
r; :: tt~.i.,n l.fU1fy f(Xl dx = l!
: ; It
-1 ten
£~'+11r
co
HI(" =1,r e~i:l'1
:: f
_
On obtient avec
l 1Ut
e[f(x)- f(-7-)jdx
Z,~-I-11T
e~
(x)dx ;:
~ Tr 1 [{ (x) - ~ (- x) ] J;c
II
lfK~ I' _ 'r /c"' -
>:
c/<;, of.. !~~{
'I Fy" - i!:f£ 41;.,. Cf~
-! (kt- ~) 1
"" (!.k~H 1r
C;J;- : ~-rt1rr -l-U
11
en posant
t
if+1'fT
termes qui dependent des parties impaires de f et h. L'inversion
==
de la fonction l~ est immediate. On a:
et de m1!me
186
Van den Dungan-
- 17 -
(§
11{"
4 (X'A.) ::; -t
;Enfin pour pepass er de
f LP' k
01(
~
a l:J.
-~
-1('11 '7.,1<'+.1 11 ~ 't-
solution
tI' '
11 suffi t de se
rappl!ler que
en particu1ier
Ou obtient des lors
b) COUJ"be infinement lOH,gue. Faisons tendre "
.e " vers
l'in:fini dans 180 solution prece-
dente. Les i.rans:t'ormees de Fourier deviennent
Elles peuvent
~tr9
truiteeR directement.
ce cas coromc reS'.llta:lt du nassage
a la
On peut aussi considerer
:limite du cas precedent.
Les valeurs de r dans le C"S a) sont deseretes et egalement espacees
jAs qc:e!1t.,.
r-
('d:= kit
;}). 1 t.;J lorsque k croit pliisque
k+1. On voit qu' a La liNli t G on 0 bti (mt une suite continue de
valeurs de r enore 0 ot l' 00
•
O:r;t poser!:> cette fois:
187
Van den Dungen
- 18 -
On arriverait direetement transformee eomplexe de
a
eette formul.e en utilisant 1a
Fourier~
g> ~ ri"~(x.~)d,X Un ealeul semblable est effe-etue dani3 la seeonde partie au
§ 20'
e) COJ.,!rbe infipiment longue et profonCie,. Il suffi t de faire tendre h vers l'infini dans Ie cas b), La transformee
q:: ..De
avee]J =
0/
ppend la forme
n.
_~r-· 3 H
3~- '1'1:. et l'on a done
188
Van den Dungen
- 19 -
Rappelons que si l'on fait H par emersion tanuis que F :
0
=
0
on a 1a solution des ondes
correspond aux ondes par impulsion.
Ces solution ne sont pas independantes comme 1e prouve 1e theoreme suivant: Theoreme de Boussinesg. Si dans l' expression du potentiel
'f1
des ondes par emer-
sion, on remplace " - gh" par "f" et que l'on prend 1a derivee
~t1.. la fonction
tf1
ainsi obtenue est 1e potential
corr~ondant
aux ondes par impulsion prmduites par f. Ce theoreme qui se verifie immediatemont sur 1es solutions precedentes peut
~tre
demontre directement grace aux transformees
de Lpplace. En effet la transformee
emersion satisfait sur z=o
a
du potentie1 des ondes par
du potential des ondes par impultandis que la transformee W 1,. aion satisfai t sur z = 0 a
Si lion pose
et que lion remplace
les deux conditions sont identiques. Mais
1e"St dt :; - (It)t=o" 9Cf.
COIDJlle
«)
qt
-
f)
et que (
lf1
on voi t que
)/""Q est nul dans 10 probleme des ondes par emersion
lf1
n'est 'autre que
189
fl::L . Jt
Van den Dungen
- 20 -
itf
Si dans la fonction IV potentiel des ondes par impulsion It
on remplace "f" par -gh et que 110n calcule Cf~
ainsi o'lltenue
•
t
dt la fonction
IG potentiel des ondes par emersion. On a
cs·~
en effet
a.
et
condition que
reste borne quand t tend ver 11 ex:· •
§ 6.
Cas simples d:ondes par emersion (Cauchyt. Imaginons que la fonction h est nulle pour
a
{~"
J
,+t
t
-R
rx)
#0
et que lIon
d:x '" ff
si Avant l'uni te hex) est donc ce ,~ue les physiciens appellent J.a "fonctions" de Dirac. Schwartz) que
Clest 1.me distribution ,(au sens de
Qauchy a considere plus d'1m sieole avant Dirac!
Tous les F sont nu.ls; il en est de meme des Hk , et tous les Hk sont egaux a 1 'unite. On a pour ]a cuve*rectangulaire
Pour 1a cuve infinement longue (jI::: _ j
tlJ: (~~\1 t U. 1/tJ _~_~.L~t}~) rr ~ '{(it~'t?. L$.. 'l-K
kD-1 'l X-
d~
Pour la cu.ve infiniment longue et profonde
Lf :: - 11 rtIV-11{n\[ff\If t e'l\Oi ud rr I '0
'f
(
N.d.loR.
* One erreur de frappe est recurrente dans ce texte. Le mot "cuve" est
a
remplacer, par "courbe", partout.
190
Van den Dungen
- 21 -
Nous allons examiner en detail cette so'lution. A la surface libre:
(1)
:;; -fl5J.l"'1~11. Y9:tC(J1 t" d. 't (LV) 1 z~o rr v~ . . 11
l'elevation de In surface, libre cst <1onc(1)
(2) On doit
a Lamb
une transformation de liintegrale (1) qui permet
de 1* evaluer en fonctiol1 de tr:,uiscendartes connues tout en evi tant la non convergence pour 103. limite superieure. Si l'on remplace 1e produi t des dblX lignes trigonometriques
SOUSe
le signe integral
par'la demi somme: de deux sinus ets:j,1.'on effectue le changement de variable "r"---+
"b "" on obtient
avec
Des lors par
W =
V9!Ix.t
l,
derivation~
les integrales dt; second J!embre .'30nt a 1 constante pres
~es
deux
integrales de Frdmel. en a
1) Dans Ie cas
ou
la profondeur h est finie on remplace de 1a
formule (2) 1e "grit qui est sous 1e radical- par "gr th (rh)."
191
Van den Dungen
- 22 -
On a donc asymptociqueme.:lt
Poisson et
Cau0hy qui ont oDt-enu Iss premiere cetts formule en
ont deja evalue l'erreur. Les zeros de
~a. se :rrcduisent pour les abscisfJ8s
Xx'" { l-(x ~ t
:2.
les maxima st minima ont pour abscisses
et pour
amplitud~s
!
(Q
~5 =fI /{s1P
les nombres k z ' ks oj; Ks SOllt lOl1Xl/!s par Cauchy dans Is tableau suiva.'1.t: k
k
s
Ie
s
k
s
z
0,325
+ 1,379
0,205
0,120
- 8,'380
0,910
0,069
+19,800
0,580
0,048
-.35,000
0,420
0,037
-')2,000
0,340
0,030
-72,000
0,34-0
tend asymptotiquemenr vers
.1-
avec n entier.
011
')11 Les sommetsQt les peras
eEl
deplac€nt.avec
une acceleration
constante. Il s· en S1Jll t quQ la longl,sur des "ondes" comprises entre deux zeros sucessifs c;c·Jit aunsi fwec une accelera.tion constante.
192
Van den Dungen
- 23 -
La fig.6 montre comr>1ent los trois premiers sommets se defoE mont et se deplacont en fonction du.temps. Il est clair qu'a partir de
1~
solution traitce dans ee cas
on peut par integration obtenir l'ef'fet d'une elevation initiale quelconquG. Hous nous bQrnerorw ci alires au cas d lune elevation ini tiale rectangulaire. Eais nous allons au paravant <'xaminer la cinematique de l'onde
;0'
Si x est constant~a. repre:'1.d 1a m~me valeur si
tt
.it! + ur "x = _2:. /)1; i
d'ou approximativement .pour t1=t+Ta
To. Tandis que 81 test const,mt ~ a., reprend la meme i.
valeur s1
2.,
1.1 ::: tt+ 2,11: /fT., .kX d I ou approximat1 vement -pour x1 = x+,4 a.. 1.17" )C"1 AQ,:::~
La vitesse de phase se deduit de
Cette vitesse de phase der>end de la longueur d'onde. Il y a done dispersion et i1 existe une vitesse de groupe v
193
g
differente
Van dan Dungan
- 24 -
La formule ClassiQue 1 ) '1 d, Vi V~ -= -A
eL/
vp
donne
v
g
=
1 v 2 p
-
Nous reviendrons, au ~ 10 sur la signification de cette vitesse de groupe. Remarques. 1) 8i dans (2) page 2-:1 on developpe
a la formule suivante utilisable pour
~!2
c.o;\fgTt
en serie on
assez petit
. 2) On peut d'natre part justifier la formule asymptotique
(3) page 21 en utilisant la lllethode su?geree par Stokes 1) et deve~oppee par Kelvin 2 ). L'integrale:
1= r ou
~
J,::;
f(xJe
'fi)()
d~
f(x) V/irie peu penda..'1t que
If (x)
augmente de 'l-1T, a une
pres nulla 8i Xi et x 2 sont suffisamment diff~ 5i pour une valeur xl la fonction est stationaire, l'integrale
valeur
a peu
a une valeur qui peut se calclller nisement d'une fag on
approch~e.
On a: (1 )
n-soIt-iine
onde: sine w·~-rx). La, vi tesse de phase est v
La vittsse de groupe est v g= ~ = ~~e • Comme . dr . d::l t ' . on a 7 7 d ou. la formule de plus hallt. 1) Stokes: Paper II p.341 note 2) Kelvin: Papers IV p.303
194
=~ r
A = 4f p
Van den Dungen
- 25 -
ou
M
=
CfIl(X I
)
Si l'on remplace a10rs x 1 ct x 2 par ± ciablc on trouve
r(~') e p ~ rl ) I -= \liT W;l1 'X
(9 ( X
'J ±
11' f/
O¢
sans erreur
appr~
1.
J
dont les parties reelles ou imaginaires donnent les formules cherchees. Comme Lamb l'a fait remarquer ceci n'est valab1e que si dans 1e developpement (1) 1e terme suivant est negligeable, c.B,d. 6i Ie produit
If I'(~'). [ Lf"(X') ]
est negligeable.
~
- "1
Cette methode dite "de 1a phase statlonnaire,
a ete utilisee au debut des integrales complexes sous le nomde methode du col. Supposons la fonction h constante de
-8
a +a et nulle
BB
dehors de ce segment. La solution est fournie par la syperposition de solutions du cas A. 3i la distribution en A est appliquee non pas en l'origine mais en l'abscisse x 1 la solution du cas A s'obtiant en remplagant x par x-x 1 ;
~i
l'on pose a10rs A=hdx 1 et que l'on integra
x 1 entre -a et +a on obtient la solution cherchee. Par exemple pour la cuvo infinement longue il vient:
on en dedui t pour la. cuve infiniment longue et profonde
surface:
1
~ =~ ~01 V"iff t
·j~n 't c, Go; 'L.~.
ft la
rL't
'r.
"
Si "a" tend vers zero de fag on que bien les formulas de la page
21.
195
lim 2ha
A on retrouve
- 26 -
On n'a pas encore pu exprimer;
Van den Dungen
en fonction de transcen-
dants dont on poss8de 1es table.s. Maia on a a8ymptotiquement:
~ est peti t si I' on s e place ass ez loin de 1 'origine
Comme
Ie premier sinus S'annulo bien meins sauvant que Ie crochet qui n'est ~utre que la cosinlJso!de
V'-L
Ji
n:)
at - .un (.JLJ-,,:t. h
1 'on pose:
. i.eo..
-'Un"" x f= 1-·e-;-f,X
X-
en utilisant la foncUoD ~ (page 21) 11 vient: .., a.
~
==
~a. F
Lorsqu'on so plo."'3 loin de l'originc, 1e rapport.§. est petit
x
et la fonction f a pour periode
T = """' ·'R-:Xa ou
1: est
10 periode de ~Q, 'T"_~ 10 ~t
De meme la longu81l:C d'ond" de f cst
ou
J
(l,
est la longu.eur d I onde de ~ a
) _ gtr xt Aa.- ~tL Le produi t ~..f
fje
presente sous la forme d 'une courbe sinusofdale
dont 1 'amp1i tude est IllOdulee.
On t'ouvera dans 1e premier travail
de Unoki et Nahma des diagramliles qui mont rent qu ' il en resul:te
196
Van den Dungen
- 27 -
pour
S7
~
une coux'be se~lb.LalJle
a.
celle des battements.
(Cfr.le
pour une coul'be an£\.1..0l:,ue fig. 7). La forEic de 113. surface du fluide correspond donc
andes qui sont causees lons se deplacnnt
6:1
p~r
a.
des
des sillons tres rapproches. Ces sil-
chac1.goant ill' amplitude.
Ils glissent dans
leur enveloppe qUl se de91ace egalement mais avec une vitesse constante, preciseJl'ent la vitosse do groupe. El1e correspond
a
la vitesse de phase des 8il10ns voisins des noeuds ou des ventres de l'enveloppe. On doit a
Cauc,hy la table suivante qui donne
les abscisses des sommetd et des aoeuds de l ' enve1.oppe des sillons
su~vant
la forme dc la denivolJ.ation initiale.
.
\(Xt
KSl
/<'1,
0, 1~q
O/B~
O,.t&~
O).,U
(0)
(1,M'5)
(0)
(1, J.,j,')
OJ i06
0,136
0,369
(O,3hli)
(OJ
(1.113)
j~;,;
I
to)
-
1<;.
-,-_._ .. 1--
! I
i
0,1 1,1
OJ f653
O119~
0,350
(0)
~) 1~'1)
(0)
(0,95:3)
---7"
0,303
I
.!
i
!011 de
de -)orr"'md
.,i
0,1'16
I -LLes no;,lbre s ':mtrc' parentheses
Elf'!
raIJPortent
rcspondante i1 l' cnveloppe. On a pose Xs
= ks t \{f0:-
x." ~ 1\'1. tVF
197
a l' amplitude
K cor-
- 28 -
Van den Dungen
~ 7. Cas simple s' d' andes par impulsion. A. J.,maginon} que la fone. tion f efr!; nuJ.J.e pour xlo et que
l'on a
On a par application du theorame de Boussinesq bas) dans le cas de la
(p.1~
a la
~ =?rr IVJ.j tl .. ~
surface 1i bre
-1Ml Vt~ U\ 'I,~ t (#j't;xd.x
o
I.e. transformation de Lamb
au
infiniment longue
CUV3
d' ou poUr 1a deru.vellati on
a
Il'
est pas directement applicable
ces integra1es. Dais 1e theoreme de Boussinesil applique
a
a la
formule simple (3 p.t2) dOlme
I.a croissance de ~ vers l' origine est plus rapide que ce1le de ~Q,. (p. L
~
9
mais l' allure generale est la m0me. Les eeros de
se produisent pour
X~ de
m~me
="f'" k'J ~t.~
les maxima at minima ant pow.' abscisses:
Le tableau suivElnt donne) lcs plus grandee val-eurs de ks et
198
Van den Dungen
- 29 -
kS sinsi que KS qui pcrl.let de calculer l'amplitude du sommet
~s = KsB ~t'l. k
.~--
s
i
KS
0,598
I!
?
0,157 0,084
126
I ! I
0,041
I
0,033
I
4,230
· ..• 0,070 • .•• 0,049
·... °,037
7.700
I
\ (~es
valeurs de
K~
z
• ••• 0,204 · ... e, 124
,
740 2. 160
,
0,056
k
ne sont pas calculees avec grande pre-
cision; 113 premiere valeur est tres faib1e). B. Dans 1e cas est conduit
a
au
l'imrulsllon est constante de -a a +a
~ par
representor asymptotiquement
l'a11ure de 1a surfaco est la
o~
que pour des ondcs par emer-
m~me
sion, maia Is decroisss,Y,lcc est rroins rapid e. Voici un exemple numerique: :Pour us rendre compt e c' e 1", i'orme des ondes, choisissons la fonction
en neg1igeant 1a 1ente variation de l'amp1itude en fonction de x. Nous choisissons 1es valeurs suivantes: g L'onde enve10ppe son 2 e so~uet x 11
=
9,81 m.Sec
sim(
x,
<J t~ ~~
-2
~
a
= 0,2
m
t
= 30
sec.
:Jr) a son premier BerO pour
11 , f; 2
9,65
; ni,
ill
199
Van den Dungen
- 30 -
Cette onde est modulee en amplitude par sin(
a
dont les zeros correspondent
t:it'l.:= nQ
Pour
k
54
k :::
84
.~.f;:Xtt _
n-) IT
et (k entler)
(1+4k)
on a
x
11,82 ••• m
x
8,32 •• , m
Il Y a done presque exactement 25 a1ternances entre x 1 et x 2 • Le sommet x
11
correspond
a
peu pres a k=72,5. Les vitesses de pha-
ses des sillons sont: pour
k
0,792 m sec
vp
59
:=
72
0,66 'T
73
0,640
84
o 556
La valeur de W=
Vir
-1
i
~ rt(1+4k)
pour cos andes est
30. Cette valeur elev(3e justifie l'cmploi des formulas asymptotiques pour evaluer &: ~ Le sommet de l'onde enve10ppe se deplace avec 1a vitesse
de 0,322 m. sec
It:x::
'V
-1
Le premier zero
S8
1e seconll zero
"
deplace avec 1a vitesse de 0,394 m. sec
-1
0,277 " " Ces vitesscs sont pratiquement 1a moitie des vitcsses de phase comme l'exige la valeur theoriquo do 1a vitcsse de groupe.
"
"
"
"
"
(Cfr. ~ 9). La fig. 7 indiquc la position des ondes enveloppcs . at de J.eurs sil10ns a trois instants successifs 29, s 5 30 s et 30,s5.
On voit que 1'onde Bnveloppe s'al10nge lentement, 1e
noeud (l.e droite ;'vangant plus vi t que 1e noeud de gauche. Pendant ce temps les si110ns glissent sil10n A apparaissant
a
a l' iliterieur
de 1 I enve10ppe I.e
gauche en tme seconde tandis que 1e s11-
lon M dispara.i.t cIe l'onde representee: i1 est clair qu'a l'instant 29,s5 1e si110n
A
existe f" gauche du. noeud N2 et qu'a l'instant
200
Van den Dungen
- 31 -
11
30~5 1e sil1on~xiste
a droite
du noeud N 1 ,
T1H30reme de Rossby, Etab1issons d'abord une relation due
a Lamb.
Les ondes se
presentent comme ayant une longueur d'onde variable dans 1e temps et l'espace:
T
Sur 1a distance "a" i1 y a ondes a i ' instant "t"; le nombre de les ondes varia en fonction du temps: leur ~croissement par unite de temps est:
d~o.IA} ot
Soient x 1 et X 2 1es abscisses diatantea de a (X 2;X1 +a). Le nombI'e d' andes qui fraucmssent x 1 entre ~ at t+ est
e
v
1l
etant 1& vitesse de phase. Le nombre total d'ondes uortios du segment "a" en x~ et . .
entr~ea
en
:X:1 det
a t+ e
est done 61 "a" est assez petit
(1
d xC¥.~ 1. Q, On a done en paasant
a.
1a limite,
fJ
et e. tendant vers zero:
"'v: r
1yl ~+lL.t-:o
dt Comme v p
= v p (~
ax
) i l vient enfin:
C'est la formule de Lamb, Rossby a I'8marque qu'el1e peut s'interpreter comme suit: si l'observatour se diiplace avec la vitesse de groupe:
w :: 11: v~ p
-.A d. Vp cL 1
201
Van den Dungen
- 32 -
1a longueur d'ono.e qu'il observe est constanta puisqu'on a
eLf' + 1;;,ll' =- 0 (~d.cL..tt) o-!rl""v. =at -;J ax Corollaira: II s'onsuit que les sillons ant tous la mame longueur d'onde quand i1s passent par le sommet dlune onde enveloppe. Il en serait de
m~me
au noeud si 1e phenomena etait visible!
Ceci est possible parae quIa l'instant t les sillons ont une longueur d'onde dlautant plus petite qulils sont plus pres de la source et que chaque silloll a une longueur d'onde qui croit en fonction du temps.
38.
Autres cas d'ondes de
Cauchy - Poisson.
Nous avons resolu le problema dans le cas parall81e a la surface libre. (equat. du fond:
au
le fond est
%=-h). Lorsque
1e fond est forme par une courbe quelconque l'integration est bien plus compliquee et en general impossible
m~me
sous forme
de series. Tout ce qulil est possible de faire c'est d'appliquer la transformation de Laplace et done d'ohtenir 1e systeme suivant
a la
surface
z=o:
sur la surface S:
dLR=
dn
0
Si l' on peut determiner par inversion ealculer
Lf
en fonction du parametre q, on pourra
~
En partant de cette remarque I,J: mesurer
q
elle
Huleux s' est pt'oposee de
par une methode analogiqua. Elle a choiai llemp10i
202
- 33 -
d'une cure electrolytique.
den Dungen
Va~
Nous ne pouvons songer ici
a
exposer
1e detail de son etude qui n'est d'ai11eurs pas encore terminee. Nous noue contenterons d'en exposer les principes. La cuve ayant une surface horizontale semblab1e
a 18
section verticale du fluide dans 1e plan xz, 11 convient d'examiner d'abord 1a similitude des ondes
etudiees~
La similitude des ondes de Cauchy-Poisson: Comparons les ondes dans deux domaines geometriquement semblables rempli d'un
m~me
fluids dtemersion soumis
a 1a
le rapport de
geometrique.
m~me
pesanteur. Soit Comme g
~
g
1=
'1:
T
le rapport
C I est la 10i de .Fronde. Les equations etant
e
s~militude
~. doit ~tre tel que t
lin~aires
1e potentiel est proportionnel
au maximum de llintumescence initiale; no us pouvons nous fixer cel1e-ci arbitrairement. Nous ferans aimplement
A l'equation Li~~o correspond Sur S et Pour
z
~
~.!f ~
5 a a 0
=0
Ll~
=0.
correspond
_
~ ~/.
correspond pour
sans qu' i l n' y ai de relation entre
Ii
=0
z =0
~
e1l;
~
•
Maia pour t",o
on a pour
z
et pour
o
z~o
j-( :-~~
203
Van den Dungan
- 34 -
On a done Calculons
le}S
tra'lsformel':2 de Laplace
corre8rond :
I l fimi; que;
(1)
par
eXt~mple_
(2) de soC'tc quo
co qui e8t neces3aire p11lsque qt est un llombre sans dimensions. La c~,{-'L_.£.l~_c_tr:SlJJt l.sL1!cc_,
~ t en realise an champ
J)ans un fl'.
pj"an de potcmtiel V a. a. d. dependant seulement de
deux v:uisbles 9patialc$ X et
z.
Jew courant dans l' electrolyte
est:
2.U
tra'rers io 18. surfac·" S norm8.le
vation du c,)u:can~ cxi 6 .) que
::IU
dLVt:::;
204
0
chC\mp E=grad 'V. La conser·
-
on, s1 la masse fluide
3~
-
VuH den Dungen
uniformo
u:::;~;
DV-=O Le fluide est
li~it~
sur 8 par des parois non eonduotrioea tellel
que: (Ofr. fig.S pour oe qui suit) OU
sauf suivant 1 'axe pptentiel de V1
x ==
a v au
:,mr 1equel on realise une chute de
0
mo;ren (l'nne
r~sistance
R que traverse Ie
courant i, S etBllt l' air8 des l_ames metal1iques au potentiel V. On a done , (3)
v0
etant
1121
potel1tiol de :ceference on V1
re,~lise
V1 de fag on que
hex)
""h"V o !
l' equE.tion (3) est l'm:l:cJ"oglJ_8 de I' 8quation
(4) si 1'0:':1 pose:
a
cpndition
q~e
l'on ait
Cf~" }li} SR,
La mesure du potentiol er. un point ',uelconque
done
do caleuler
If
ex, z)
permet
en oe point.
La CUl"e n' ayant p:"s les dimeLGions du lac dane: lel1uel les andes se IJropagent, 18 surface S est construi te il res'll te de (4) que 18 val Bur de pour le lao.
On a dono:
205
9' ~
cl8.11S
a
l
l.' echelle
121 cuve vaut
.;
qi
-36 -
..,t
"1
= ~Sfd R
Van den Dungen
e
t 0.
e
(3)
que
(5) Par consequent J_a mesure de V en un point de la cuve llermet de connaitre ~ en i'onction de q~. 1.1e11e Huleux obtient de cette l'agon pour 1.Ule fcrme de cuve d,Herminee des courbes dont l' allure est la
sU:_·.fant(~:
(Cfr. fig.9). La valeur de V pour La fonction
tf -
2-
pour q ==
.6 q::
q1",
°
appclle quelques cOinmentaires:
doi t sutisl'aire aux equations:
0
dt.£ :: ~
sur S,
0
sur z=o
01't
I1 s'agit d'un llrobleme de Neumann qui n'admet de s01ution que si
-~ 1~(x)dX'
ou dans 1e cas etudiee
-i 0
fie
AB etant 1e segment de l i axe des x baigne par 1e f1ulde. I I est clair que la plus p8rt
satisi'ont pas
Cf-
~
~Jes
donnees ini tiales ne
cette condition. I I n'y a done pas. de fonctions
correspondant
a
ce probleme.
I I est facile de voir que 1a fonction
quand
N
o
q"1
\~ tend vers I' co
tend vers zero, suivant 12, 10i
etant une constante facile
~l
determiner au moyen de (4):
206
- 37 -
!I~ ~-
Van den. :Juxlgen
!Ll ~(x)dx fie fiB
II resulte alors de (5) que
eet ind6pendant ,les eool'uonnees
(x, Z:).
Le point K est done Ie meE18 peur );outes les courbes. La forme des courbes (fig.S) slexplique aisement. Nous avons vu que pour une section reetangulaire Ie potentiel des vi tessero a pour transformee une Gerie de la forme: IIg
+ ~ IV (X L.. 1
k
I
X. ) __ 1..-._. bL,J.. fwt r, K
On a done pour Ie potentiel elec'cri,'llG dans la cuve
c!d5):
Dans le cas d tune section c;ualconque le terme No a 'I1lien la
m~me
valeur comme nous venons de Ie montrer, mais les facteurs
Nk (k) 0) sont inconnus ainsi c:ue les constants wk pulsation des
dif'fe:t'ents particls des mouvements ;:ropres. Le problema est done de d6Juira des courbes de nelle Huleux la suite des facteurs N;:.: et celIe des nor;'.bres wk. O'J notera que l' asymlltote horil-:ontale a pour equation
Le detail de cette analys" sera Imblie ul terieureml":vlt dans 1a these de doctorat de Melle Hulaux.
207
- 38 -
Van den Dungen
(.
S 9. Ondes 8lemen-Gairos.
a 1a
RetournOlls
formula (2)
1'.21.
Blle represente l'ele-
vation de 1a si.l.r:i:'ace comme une somma do Fourier d' indices ayant un spectre contil1l1.;
ch~\que
onde a pour expression
~,
un faoteur
pres
C' est une onde stationnairc de l,ulsc1tion
et de longueur [1' onde
J -=
11] "l,..
On peut evide.llllr.ent decomposer cutte onde stationnaire en une onde progressive et une onde retrograde
dont 1a vitease de phase est
on en fonction de 1a 1uni,ueur d' allele,
La vitesse de groupe d'une telle onde est vp ,
'T .
cLd vP 't
= Vp -
).
.~
vr; -
... "..
_
l
t"
....
r::1:
lip
Dans' 1e cas d 'une profoncleur fi-'l.ie on a (1 )
208
Van cten Dungen
- 39 -
On a done cette foia
d I ou
Vp
'"
'~
==
\/fL!hr hr
et 1a vi tease de groupe
ou
(2 }
On voit que v g qui vaut tend vera v
g
quand
1!p
h
est in!ini oroi t et
ai h tend vera 2 zero. b.a.d. que 6i 1a profondeur
est tree faible, on a asymptotiquement v g =v :p
=\/;h
Dans ce sas on voit qu'il n'y a plus de dispersion, Notts
re"ltrQa""
verGl1S ce result at dans la deuxieme partie. Le
potent~el
correspondant
a
une onde progressive
I;;'J == ~ cos( 6Jt - rx) _-0
est
lISVee on en deduit que le point du fluide de 900rdonneea x 1 z 1 a pour . composants de vitesse, si on pose K== ~ W ,
209
Van den Dungen
- 40 -
Pour obtenir la trajeetoire d'un point il faut
integre~
ees rela-
tions. Comme nous supposons les deplacements petits us allons en premiere approximation laisser x 1 etz 1 constants dans Ie second membre de fagon II vient alors
x-x 1=-K
a n'effeetuer
-1CJ( Wt-rx)
que dos quadratures.
eh r{z~+h~ ch rh
LV
sh r(zj+h} eh :eh
z-z =-K cos (wt-rx) 1 (,J
X1 et Z1 etant 1a position moyemle. En eliminant t i l vient:
avec
(X-X1)2 + ~
rJg;1+ h ) weh rh
a=Keh
(Z-Z1)
2
b"
et
shr(z1+h) ell rh
b=~
W
La trajecto].rc est done une ellisse si b n'est pas nul, ce qui se produi t
;:m
fO>'1(l, pour Z1=-h. Le rapport des axes est
B = th r (Z1 + h) a i1 varic de zero - valeur au fond
a une valeur maximum th rh -
valeur en surface. Lesr'3.nd axe dlC l'el1is8e est horizontal, i1 vaut
K/'J
a
la fmrfaec et deeroi t en fonetion do la profondeur
pour atteindrc K/ W ehrh au fon<'l.. Lorsquo la profondeur est
00
,
Ie rapport b/a vaut
contam~
menD l'unite ot toutes 10s trajectoires sont des circonferoncos dont Ie rayon decroit on fonction do la profondeur comme ch
rz~
Notons onfin quo lorsquc 10 point passe au sommot de 1'01Iisso, z stant maxi mu.'1I, cos (wt-rx) vaut -1; il s'on suit quo la vitcsso dx/dt cst positive, e.a.d. que 1e point passe au sommot clans
}(l
SOllS
('cc
prupaf::ation dc l' ondo.
Consorvation__d_2.1 'energic. L'enorgic cinetiClu() dans IJ Yc,lumo paral1elipipedique est:
210
Van don Dungen
- 41 -
E.! '\.{ x r'r ft. (LNWi. t~ d~
'fl
j~
:c.
"
fff!(. 1,, |
±
t
\f
l'encrgic potenti.elle: rl""
V=-- Vo +
BJJ.g)! l..i-'~d)C
" -x, t S On peut oncore 8criro T do la fagon suivantc: T
~ ~~ Irs ~ ~ d s - '~'ff£tf f} Lf d, V
10 dornier temme :"st nul puisque lI{ m~me
est harmonique. On a de
pour la derivee par rapport au temp de T:
Ie dernier terme ust nul. D<:loompOSC;'l8 S en los surfaces S1 et S2 perpendiculaires x, S3 et S4 perpendiculairos
a y et
8 5 S6 horizontales. (Ofr.
fig,10).llour les r:lOuvements paralleles au plan xz i1 rester
On a d'autre part,
x' ~ tis £1:"", Bfiq r ~ If iH . !) Jt 1\
.:t-c
Comme dans Ie pla"l xy, sur S6 on a:
il vient (Cfr A p.S)
211
a
Van de21 Dungen
- 42 -
!Lq:~ =-li. ~l Pl5:. d, S i/,-o r p 11;c d S tI
C
JS~
S,
C'est la loi de conservation de l'energie; Ie second membre represents les pressions transmisses
a
travers les surfaces 8 1 €It 52 par l-effet de 1a pression sur le fluide en mouvement. 8i l'on suppose x,=xo+dX
on~:
Cette equation a 1a forme d tune 8Cluation de conservation d 'un fluide se mouvant parallelement
a
l'axe des x et de masse speci-
fique (densite d'energie)
et de quantite de mouvement (flux d'energic)
1a vitessc ~as
v~
est la vitesse de transfert de l'energic. Dans Ie
de l'onde progressivG
V
ou lJ = gr th rh on obtiont la valour suivante:
dont la moyenne par periode
T = 2TI W·,
212
est
Van dun Dungen
- 43 -
La partie de
/U·
due
dont la moyenne Gat
a l' energio
potentielle eta.i t
Jiy'k ; on voi t
qui i1 y a equiparti tion des
va1eurs moyennes des energies cinetiques at potenticl10s. D'autre part on a:
Ou
nous avons introduit la vitesso de groupo v
moyenne par periode est
(Cfr.p.3'). La
g
La vitosse do groupo est done le. vitesse de transfert de l'energie moyc:m."ylO, mais co n I (3st pas le, moyenne do la vi toase
eomme on 10 di t narfois erronement. On a on affet puisque v p" v g
V"""::: V; P
[1 - Lrr V.Vf"-~::",t1.}tf}V' Ve~ C!~1i~ lJt-ll2-·
'V,.
]
j-
on en deduit Ie tableau suivant: vg
0,5 v P 0,6
v ::: 1,232 -j;
V
g
=
0,616
1,176
0,706
0,7
1,123
0,786
O,~
1,080
0,864
0,9
1,037
0,934
1,000
1,000
1,
°
V
P
On no :peut done avoir v-*= v que si lion a on m8me temps g !(JJ..y, superficielles. c. a. d. dans le cr.,""s des
213
V
p
::.v
g
Van don Dungan
- 44 -
§ 10.
Variants int_ugraux. Lorsqu' or, produi t des ondes par emersion, il est evid.ent
en vertu de la conservation de la masse du fluide incompressible que Ie volume de l'intumescence initiale
doit se conserver c.a.d. quIa tout instant
10= f~~(XIt)dx. II
ya
quelque
inter~t
a
rechercher si d'autres integrales se
conservent au varient en fonction du temps suivant des 101s connues
a
priori, et cela non seulelllent pour les cndes par emersion
mais aussi pour les ondes par impulsion. dans En nous plaQa~le cas d'un milieu de profondeur h mais infiniment long (
retournons
-00 <X< +-00
a la
transformee
de Fourier. -.
d'ou
"'+01)
~
:: 1""
~
: laJe·qt tf (x,
Wj'tX
" to ~H :0'
wi., q
i
ou
UJ
~
Vcr tt::;~
F ==
et
H ==
~(:X;J z)dx 7., t)
dt
c~ 't(~ ... K) c~
'tlv
f~;(,o~,x(Lx
r'"
(.m'!::):
i.(x)cLx:
"-0>
Mais on a:
214
On sai t que
Van den Dungen
- 45 -
d'ou
par inversion:
(1)
En 6e souvenant que:
on a
et
a la
surface:
Si 1 'on fait
It= W =0,
i1 vient:.
Nous retrouvons ainsi 1a conservation du volume. En deve10ppant cos rx en serie sous l'integrale, Ie coefficient de rUt'est:
~:~; J~:~~. g(X;,o,t)cl.x -00
i1 est proportionnel au moment d 'ord:r'e
dont 1e coefficient de r: est:
215
i'/'I. Ou on a :
Van den Dungen
- 46 -
on a done:
et ainsi de suitt) si f(x) est nul. Si nous avions utilise la transforme
Lorsque rex) est nul, on trouve ainsi
at sinsi de suite· 8i l'intumescence initiale est paire, tous les mbments d'ordre impair sont nuls, c.a.d. que liintumescenee reste paire. (on symetriqre par rapport
a
x=o).
Dans 1.e cas des ondes par impulsion on a obtenu par un calcul semb1able;
L'1 ~ ,..+co
(XIO,
t)dx:: 0
r""x' ~(:tJO, t)d..x =0 .""
.. 41<1
r:~1%(Xlo}t)d:x:"i::. - 'l~tL~ FCr;)d..:x:
CCtl):3 ~ (X,OJ nd-x ~ -
6; I:: F
'00
216
(JC)d.x
Van den Dungen
- 47 -
et ainsi ae suite. On peut aussi calculer ces moments de proche en proche par recurrence. 80111nengons par appliquen Fourier:
a If(
+<>0 [
(A)
F (z,t) = . _"" eos rx
~ (x,z,t)
la transformee de
ax
~ etant fonetion harmonique, on trouve que
(B)
1I - f::: 0 ();tt
dtOll
F = A(t) ehrz + B(t} sh rz
~-
1,t
liIais pour z
=-
11.:
(c)
H:; f"""(.Q1'!·'X ~.I.f d.x ~O u1- _~ ~
donc
F= ~ (t) chr (z+h)
Or pour z=o on doit avo1r CD)
ou et done: ou
~ =
avee
Y:, c,o;wt +-1';1 '1~/Ytwt
W =
Vgr
th rh
Les constants (f.1 et
~t
tiales: pour z=o on a,
sont
a
a
determiner par les condi tic>ns ini-
l'instant t=o
d'oll
at
217
Val. den l)ungen
- 48 -
On a done: pi (0 ,0) :=
'f. { ch
dr(OjO)
r t
,n :;
et
'f"
rh
wJ'1. '!. h
On retrouve ainsi (1) de 1a
page~5
•
Si on developpe 10 cos. en serie dans (A) an peut ecrire:
ou
F(z,t) := (_1)n : r2n 2n! V2n est 10 moment d'ordre 2n (t'"
1T2n
=0
j
x~11lfc:Lx
-Of)
qui satisfait, en vertu de (B) p. "J1\f
_V_Ii!!
(E)
()z..l
Il resulte de (
~
4t ~
+ •"',.,~'" t" 'TL.-t)\/ V~r(-1
-;
0
) que l' on doi t avoir pour
(F)
et pour
Z :=
(G)
0
avec les valeurs initiales pour t:=o. (H)
Calculons d'abord 1T • Suivant E on doit avoir: o If 0 (z , t) := rf-< (t)
218
Van den Dungen
- 49 -
ou Cr'"
n'est autre que V (0,0) et ~: o On a done:
J.TQd f(~)
V(zt) '"
dx - gt
-rp
On en deduit par derivation
J~OO ~(r/&)/t)d,x: ~~
1. . ~.(::c)
(15:tr. (H)).
I""" ."'"
h(x) dx
t~~
les autres moments pairs se ealcUlant de proche en proche partir du premier. En purtant de 1a trasnformee:
l:illtH
a
If(x,'l;,t)dX
on obtient les moments impairs. Dans Ie cas d lune cuve rectangulaire (p.1
4l
les valeurs
de r forment une suite discontinue. I I n'est pau possible d1ohtenir les moments d'ordre n par identification des foeffieients du developpement en serie. Les variants que l'on peut former dans ce cas ont pour expression
et
[ft
Vk := J w1£;-Xq'eX ,z,t)c:L.x.
I. t em 't.~·+1rrf lffx:,'l,t)cLx . a Itt f5
Vk ,:
d'ou l'on deduit
-f +t
(k et k
J
entier)
la surface les expressions:
'01j(·~X (x,t-)cLx ·f w .::: itl(.()j ~K:+.J 1T:; ~. (x,t)d,x. k t ~ 5 . ·f . Wk =
Ces variants sont aussi des fonctions connues du temps: ce sont ici des fonctionB sinusoidales de pulsation 4)" et CJ~. On peut etablir ces proprietes en suivant l'une ou 1 'autre des deux methodos qui ont ete
ex~osees
pour 1a cuve infimiment longue.
219
Van uaIl Dungen
- 50 -
On peut aussi les verifier
a
P'l,'
partir de la formule
On a
par exemple:
j --e
. h(x)
a.x
·f
On peut aU8si ecrire au lieu de (20)
et pour la surface libre
Les variants integraux dans ce cas ne son't autres que les "paramGtres normaux" de 180 theorie des vibrations.
<s
11. ~ffet de la c,~lla:rite.
Nous avons suppose jusqu I iei que la pression du, fluide
a
la surface Ii bra est la 1jression atJf!ospherique. Il n I est plus de
m~me
s I il rGgne
a l ' il1.tersurface
En un poj.nt de la surface
1me tension suporficielle.
libJ~·:)
con8iderons u:
clement
rectangulaire curviligm: clont les aX3S de symetrie Dent les lignes de courbure jJrinci.pales do la 8arfacG en ce point. 81 Test la tension superficielle au point consiclere, l'equilibre des forces projetees sur la 110rmale oxiC''! quo
220
(fig;1:)
Van don Dungen
- 51 -
p./lab ",p,.Hx.b+hbT-Ra..
1
~
+ho..'Tf~,t
a et b etant p3tits les cos des angles que lC6 fotC-')duos
a
le tension font avec la normala n, on-I; pour valour a/R 1 ut b/R 1 • On a done:
On verifie
QUO
cotte formule est generale c.a.d. ind8pendante
do la forme de l'eloment de surface Qonsidere. La condition
a
la
surface libra pout des lors s'ecrire quand on suppose cotto surface cylindrique de generatrioes paralleles
a
a
po..
Parce que l' on peut 18. valeur de
nouveau supposer
n
l'axe des y
n,
nul en modifiant
Lf •
Par derivation par rapport au temp il vient
La transformatioll de Laplace donne:
dans le cas des ondes par emersion. La transformee de Fourier donne alors:
avec
221
Van den Dungen
- 52 -
On voit que l'on est aussi conduit ceux de plus haut,
a
a des
condition d 'ajouter
calcu1s semblables
2
a
g Ie terme T p- r k ,
a
-1
Une onde elementaire est de la formG: sin (wt- rx) c11 r (z + h) avec
La vi tesse rie phase est done:
v
I
p
=
;: kL. 7.
~'T-.--tp--=-{J -L + -; '1, \..~ 'ttl. ' l : . '.1.,
1'our lC')8 petits longuot,u's d' ondo, comme
le terme en T l'omporte; pour les grandes longueurs d'ondes c'est Ie terme g/r qui est preponderant, La vitesse de groupe:
Dans le cas ou la profondeur 11 est infiniet
La vi tesse de phase est
X
pOUl' r nul ou..
¢>
•
Elle passe par
un minimum pour
La vitesse de groupe est,
=.1.
v
2
g
elle varie de
v
J -to 3}_'~
p ~ -t ;.: 1i
12 v p a J.2 v P quand "r" croit de zero a I'
vant exactement v
p
quand r
= r IJ ,
222
00
,elle
Van den DUl1gen
- 53 -
Nous avons represente sur 1a fig. 12 vp=
V·y;: Vf~ + \'"'
ainsi que (Cfr. fig. 13) Y..g
vp
1+3{~}i 1+-1('t~)i
Quand Ia profondeur est finie, la vitesse de phase varie de Vgh
a l'
a l' c.o •
GO quand r varie de zero
minimum pour "r" nul si h<
V~
Elle a sa valeur
La vitessE(de grouJPlB dans ce cas varie de v a l h.>
vtfi
;-
~
. 2
v • I1ais 8i P
la vitosse de phase passe par un m~n~mum pour une va-
leur positive de r m, la racine ) o de l'equatian
Dans co cas la vitesse de groupe decroit
a vp
ser par un minimum ot revenir
a
partir de v
p
pour pas-
pendant que.r croit de zero
f
a rm' Puis la vitesse de groupe augmonto jusq!a vp pendant que r crait a l'infini. ~n prenant comme paranche le nombre d= 2rh et en posant
hi~iA=j3 T' -1L _ S
-O(
·~f\1!t.
~ G( t,
~
j3
La courbe des valeurs de ci-contre (Cfr. fig.14). valeurs de
<.x
on a
,t
~
en fonction de
Pour
f3
=12 on a
Vfj
est reproduite
0{ =-0.
croissent asymptotiquement vers
VIB
Puis les I
Pour etudier les variations de la vitesse de groupe prenons j?; =14 et faisons varier
«
de zero
a la
valeur 2. La vites-
se de groupe varie de v p a v p en paul1ant par un minimum qui vaut a peu pres 0,967 v p pour ~ =1 ,G. On voit que la variation
223
Van den Dungen
- 54 -
de vest faible et lente. g
se de groupe est 0,662 v I
8
j3
Soit maintenant la valeur
=100. 1e minimum de la vites-
et est atteint pour
p
ex
=4. Lorsque
tend vers l'infini, Ie minimum est atteint pour 0<
et vaut 1/2 v pour
p
> 10, a moins d'un millieme de v /\fib en fonction de (;{ p
pres. La fig. 15 donne la
s;4,
valeur
pour
f3
a 0,98.
f3
=10 et
voit le minimum de cette derniere atteint pour egale
infini
mais pratiquement cette valeur est deja atteinte
ex
=14; on
==0,92 et
Nous n'avons pas trace la courbe f3 =12 comprise
entre les deux autres; elle presentzune tangente horizontale pour
0(
=0.
Dans le cas de l'eau surmonte d'air on
i1
T = 75 dne-m-'
= 00
des lors pour h
- ),1 om.
1m = V()~gZ
-1
ce qui donne COlline longueur d'onde
la vitesse de phase correspondante ainei que 1a vitesse de groupe est v
v
Pm
-1
23 c.m-H..c
g
Quand la profondeur est finie 13 valour critique
a la
profondeur
It :;
ViU : MIIJ-
On deduit des valeurs correspondent
a
v
g
.(
'
fo'~ction
qu'en fait les cas pratiques
ou r <: rill ot que par consequent v
p
Les ondes de gravite sont -lues phase croi t en
=12 correspond
Ohic/In
nv~eriquGs
.:l ,,1 1111
t3
ElUX
ondes dont la vitGsse de
de la longueur d' onde; elle sont caracte-
224
- 55 -
Van den Dungen
risees par une dispersion "normale" au sens de l'optique • Les ondes de capillari te qui correspondent
a ). < Am. sont
"ano rmals"
du point de lZue de la dispersion. Kelvin leur a reserve le nom de rides. ("ripples"en anglais).
312.
9ndes cyliIldriques. Nous avnns etudie jusqu'ici des ondes qui ne dependent que
d'une variable
x. Noas allons maintenant tenir compte
horizonta~
des deux dimensions du plan horizontale. Le potentiel des viteeses
~
est fonction de x,y,z,t et doit satisfaire
a
Les conditions aux limites sont les wemes que precedemment. La transformee de Laplace
~ = JXiqtlf cU
doit satisfaire
a
o l'equation
aux conditions aux limites:
-
di..f -D ..,..--
sur S
dn
sur z=o Nous trai terons le cas des ondel3 par emersion (f=o) en supposant que la denivellation iui tial.e est symetrique autour de 1 t origine, ce qui nous conduit 0<
a
utiliseI' les coordonnees cylindriques
~
,
et z. Si le fluidf' setend
de z, no us sommes conduits que des variables
~
a l'inf:fni dans toute direction aut~ur a dire qU8 1e phenomEme ne depend
et z (effe-t de symetrie). Ofr. fig. 16.
225
- 56 -
Van den Dungen
On a des lors
Effectuons la transforml!e de Hankel (r» 0)
~ =. J~ (~;7.)p TJ't ~)dp o Nous obtenons eE tenant compte des proprietes de la fonction de Bessel
J(~1
T
1~f) ~ J_('t ~)d,~ ~- tt ~
(}
et des lors
If \loi t satisfaire d.t~ ='L9.{O
a.
£i ~,,1
Lorsque Ie fluide s'etend on a
If
la constante ;;:. 1.t.
=
r;..
a
l'infini dans 1e sens des z negatifs
exp (rz)
detennine pour z=o parce que de (1) on voit
•
que
~ + 91 ~ =. -1 H flY~ (~) ~ J: (', OJ. ~ g :
avec
H =
(2)
o
-_ -lL ~ - ~1"9~
d'ou
L'inversion de
tf'"
resul te de ce que
q ~ r~~lM)rL' (l
CelIe de
~
est la mer10 que c811e uffectuee plus haut P.--i).
Pour ne pas comp1iquer l' ecri ture
226
::10US
allons nous limiter
Van de" ::Jungen
- 57 -
au cas ou h(! 00 •
) est par:tou:t nul, sauf
a l'origine
ou i l est
de fagon que 10 volume de l'intumescence initiale soit
;;:.A et
A; :. ~~o f"~.(~a11 ~d.,~
(A)
Dans ce cas (1) se r0duit
•
H ;;:.
p
a :lL
211
On obtient ainsi:
Lf=-~ fF1<mV<J" ttxptn)t T.(~fl,h
(B)
o
Dans le cas ou 1a profondeur est finie, i1 faut remplacer .eh:r:.(z+h) exp(zr) par ch rh Lorsque 1 'intumescence initiale depend de l' angle
C(
on doi t COlmnencer par faire la transformee: (n
entier)
ce qui conduit
a 1a
transfornee
q::; JOO~ ~ 1S~ ~)r1f
o qui introduit 1a fonction de Bessel d'ordre n. Nous nous bornerons
a
examiner 1e cas de la formule (B).
Cahchy a resolu ce probleme sans introduire de coordonees driques. Nous double
pOlr~ons
transform,~e
retrouver ses resultats en effectuant une
de Fourier en posL>.nt:
~'= D?(1'H\~)~dxd~ L' equation
f.j, ~
=0
cylin~
donne iei:
227
Van den Dungen
- 58 -
d'ou pour 1a profondeur infinie:
1a constante ~
se ~duit de la relation pour z=o
dans 10 cas des ondes par emersion (formule (A)) elle V3ut:
On a par inversion
et enfin
Au lieu d 'utiliser les vElriables
8
1 et
8
2 variant de
0
a oc
ef-
fectuons le changement de variables r costJ
s1
(0 <w(
il vient:
If ~ -
9t. i~p I~~) 1;'{f't d. J'up,
If:
(X'1
()
(j
228
+1'1<"""j<1w
Van den Dungen
- '.)9 -
Pour simplifier choisissol1s l'axe de y =
0
x =
yx
f
1a deuJdeme integra1e s'ecrit
x de
fa~on
\ !'2~'.
que
Y
'I-
(Hansen)
de sort e q'-:'
On retrouve bien la formule (B)
p.51.
Cauchy et Pcisson ont donne des formli1es asymptol\liques:
Dans 1e cas de l' impulsj.o~l conc entree
a
l' origine:
I1 s'agit de nOUV33.'1 d 'o::1dcs:1 ui se propagent avec une acceleration COlldtante. On not'?ra que la decroissance des amplitudes est plus rapide que dans 1e cas
229
a deux dimensions. Cauchy,
Van den DUIlgen
- 60 -
a aussi examine le probleme d10ndes produi'es par l'emersion d'une surface finie. par des sml1ons. se meuvent
L0S
a vi tesse
I I se produit
a
nouveau des ondes moduleet3
sommets et les lioeuds des ondes enveloppes cOl1fJtante (vi tease de groupe) alors que les
sillons ont un mouvement accelere. Le tableau suivant donne les rayons est amplitudes corrospodantes pour les premieres ondes. (Cfr.pag& 67). Cauchy a aussi examine brievement Ie cas ou l'onde d'emersioll
a 1 'instant
initial, a la forme d'un parallelipipede de section
carree. On trouve alors que la su:cface presente des lignos nodales de formG, prGsque carrue tID'Urnees de 45° comme Bidolle l'avait observe!
t-------~--
0, f671t
230
----------
Van den IJungen
- 61 -
Les valeurs entre parentheses sont celles de K.
Application dlun theoreme de Tait et Thomson. Lorsque le phenom8ne presente la symetrie cylindrique, Ie calcul du potential en un point quelconque est souvent facili-
te
par ce theoreme. (Natural Phi~olophy
tf
determiner 1a fonction harmonique sur 11 axe de symetrie
L
~ 546) qui permet de
connaissant sa valeur
. En effet si l' on a -h. Po (R=z'
'1 =0) :
Ofr. fig. 17
on a an point P (R,
to,,,-'-"Q _",';' );" R
-+
(o..,P+ k., \'0-:3'" A9.j'-' '"
'-
1 ):
<0-'"
en introduisant les p01ynomes de LeGendre Po=1, P 1= c.
I{Po =_l_t' J' ~ ~ ill\.vq";t t ~,Xp ('1 7. h J t tfr vp 1 I'l
en en developpant 1e sin. en Berie:
on a done:
231
,etc.
-
Le
m~me
ealeul peut
~tre
fait pour
on obtient les valeurs de
IQ
Van den Dungen
62
Lf
JIt·~ dl:
. ;:;
et do
; si on fait
a 10.
surface libre.
13. Reali te des .andes de _.Cauchy-Poisson •
..J
Bidone le premier a montre dans d'ingenieuses
exper~e:a.ees
1a realite des ondes par emersion 1 ) en 1819. I:Illis on a eependant pendant lonetemps
~e
leur existence dans la nature, ou la
houle, produite par les vents correspond aux qui
00
~ndes
de Gerstner
nt tlll'unbillonnaires. Ce n' est que reC8L'lLlent que lIon a pu montrer que les
"tsunami" produits l)ar l' 6r.uptiqn de vuleans sous-marins de l'Ocean Pacifique sont dec Ondes de
Cauehy-P~isson.
Unoki et Nakano ont procede [., l'analyse des ondes produites 1es 16, 24 et 26 septembro 1952 Jar l·explosion d'Wl volean sousmarin
a IIyojinsho.
Ils los ont enregistrees
a l'i18
de Haehiyo,
distante d' environ 130 }cm du lieu dE: l' explosion, au moyen de manographes nouvellement inst::11eos. L'avant dernier(') eruption eut pour effet la perte eOLlplete du navire hydrographe Kaiyo-Maru
n05. L'analyse des ondes obs8rvees montre que las "tsunami" sont tres
prob~b1ement
des ondes de Cauehy-Eoisson, provoquees
soit par emersion (Ie 16) soit par impulsion (Ie 24) et enfin par les deux (Ie 26). L'elevation initialc est cstimee
a
environ 10 m de haut
et 1 km de rayon. Ltimpulsion initialn eorrospon.dant au 10
7
~see.
-1.. -2 so~t 10 Kgp. soc. em •
em
1) IJemoiros de l'AeademiG de Pa:cis (1820).
232
m~me
rayon est de
VaL den Dungcm
- 63 -
L1energio totalc: des "tsunami" emis ost do l'ordre de 10 19 ergs. Des "tsunami" obsorves ont bion l' allure de battements. Leur longuenT d'onde propre, comme colle dos ondes enveloppes croi t bien en fonction de la distance. Hunk (1947) ot Rossby avaient deja remarque (1945) que los "tsunami" observes sur la cote llmericaine baignee par ltO cean Pacifique, et produits par dos eruptions sous-marines au voisigage des fles Aleonticnnes 8.vaient bien l'allure d'ondos des Cauchy-Poisson. En par:ticulicr , leur longueur d'ondo croissait bion avec la distanco comme le vent la
n. ost
pout-~tro
tlH~orie.
superflu de noter que si 1 'on no savait
pas quo les ondes de Cauchy-Poisson poumssent de cetto propriete, on aurait pu cherchor 11explication dans un phenomen3 do Doppler; l'on sorait tente de dire que les "tsunami"d'origino la plus lointaine, pro-wienncnt de sources qui s'ecartent de 11observatour avec le mouvement propre 11.0 plus rapido. C'est l'explivation qu'on a donnee pour 10 rayonnement p:covenant des nebuleuses, le theoreme electromagnetique du vide, conduisant ados ondes sans dispersion. Obsorvatio:n.:: ::::J;l.
Gail profondo oxistent d'autres ondos que oul1es do
Cauchy-Poisson: houlcs etc ••. (ondes tourbillonnair0s produites par le vent). Nous
rlCl
pouvons songer
ici.
233
a.
IGS
de;
Gerstner
traitor
Van den Dungon
- 64 -
PARTIE E A U X
5 14.
nO
SUP E R F I C I ELL E S
Historiquo. Laplace on 1776 a 10 premier 6tudiee la propagation des
andes dans un canal rootiligne de section rectangulairo. Il supposait la surface libre deformeo on 1 surface cylindrique de diroctrice sinusoidale dans le plan longitudinal du canal. Les equationa de Laplace sont basies sur la linearisation des vitesses. En 1785, Lagrange traite Ie meme probleme en supposant la profondeur du canal tres petite; il montre que dans ce cas
a celle du son dans proportionnelle a la racine carree
la propagation des ondes est semblable l'air avec une celerite
de
la profondeur. Le fait que le mouvement produit pidement en profondeur, l'a conduit
a
a la
surface
decroi~
ra-
admettre qus cette repre-
sentation du mouvement est valable quelle que soit la profondeur. Ctest en vue de corriger cette assertion que l'Academie de Paris a pose la question
d~nt
on parle au
de~ut
de la prmmiere
partie de ces legons. Le probleme des eaux superficielles a fait l'object d'un grand nombre d'etudes; il ne peut ici: on les trouve
e~posees
~tre
,
question de les resumer
dans les grands traites d'hydrauli-
que; leurs equations de depart s' ec:civent facilement quand on raisonne suivant les methodes approchees de l'hydraulique. Pendant la derniere guerre mondiale, un renouveau d'inter~t
s'est manifeste pour ces questio''E: il s'agissait par
exemple de remedier aux innondations des eaux du Rh:Ln, suite h la destruction projectee du barrage de Krembs au Nord de Bille.
234
Van den Dungen
- 65 -
Qo~r~e_ ]iEl~ogr§p~i~ -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
Laplace: Recherches sur plusieurs joints du systeme du monde (note finale) (Eemoires Acad. Sc. de Paris 1776-79) Lagrange: I,lecanique anaJ.ytique (1785; 2e partie cha? Boussinesq: Mem. des savants etrangers Ac.
So.
XI).
Paris 1877
B. de Saint Venant: C.R.Ac. ae. de ?aris (73 p.147: 1871) Massau: Annales Ingenieurs.
Gand 1oB9.
Preiswerk: These. Zurich 1938. La houUle blanche. Lai 1946.
Re:
Riabouchinsky: C.R. Ac.Sc.Paris 198 Stokes:
Oomm. Appl. l.'lath.
Scott Russel:
I p.i
British Ass. Report
p.998
(1932 )
(1945) 1844.
Dans un appendice du memoire de J. J. Stokes "Tre formation of Breakers and Bores"
CODlll.
Appl.I:Jath. I 1948, K.O.J:I'riedichs
a obtenu une mise en equation du mouvement des eaux superficielles en utilisant des developpements en serie combines avec l'emploi de variables sans diroellsio1l3 qui j§achent quelque peu 1a signification des calculs. La parametre utilise est:
0'"=
h
R
ou R est Ie rayon de bourbure mam.mtu!l de la surface libre
a
l'instant initial, bien que dans la suite de 1'expose i1 ne soi t pas fait explici tement usage de cette definition de R. Nous avons prefere effectuer Ic) developpement en fonction d 'un parametre numerique " €
"utilise pour rendre
la fai ble epaisseur de la couche
li'~uide.
235
sensj~bIe
Un tel che.ngeroent
Van den DUYlgen
- 66 -
de variable nlest pas nouveau; on 1 'utilise depuis longtemps pour resoudre les problemes de couche limite
ou
precisement avec l'introduction de variables
s~
on le combine dimensions,
bien que ce ne soit pas indispensable. La
m~me
methode nous permet de deduire les equations du
ressunt des equations du mouvement continuo
§ 15 •
.!sLuations generales... Llepaisseur de la couche gluide est relativement petite,
des lors la cote z, mesuree ligne d'eau
Z=
a
partir du Thalweg jusqu'a Is
h(x,t) reste petite. Effectuons le changeDent de
variable (1 )
ou
z:=
£' Z
E est un nOJ:lbre tres petit par exemple 10- 2 ou 10- 3 • De
cetta fagon les valeurs numeriques de x et
a
une distance horizontale
6X=100
z
sont comparables:
m ou 1km correspond une de-
nivellation de la surface libre de 1 m et 1 'on aura 6'i: = 100 ou 1000 m. Po sons puisque h est la valeur maximum de z (a)
h (x, t)
f Xi (x,t)
La vi tesse v z nulle pour z=o vaut
~t
la surface libro
(b)
Nous s)oserons pour toute valeur de "' de 0 vz ~ v + c.~ v + c. 1 z I. 2z La pression a la surface libre vaut Po,
~uant
a la
ah us poserons des lors:
composante horizontale de 1a vitesse, elle comporte,
si le fluide est en mouvement une J;artie finie vox Gt:
236
- 67 -
v
= Vo x•
(x,z,t)
x
+ ~v Ii'
Van den Dungen
+.
1x
Les equations stecrivent dana les variables x, z,t: (2)
(3)
(4)
.J.
E
!tJ[x _d 11;; - 0
a%
<J.n
()t
f
d~-
iLlb v:;, 1-.1 d1f,<, i;- = -. J.. i2P
dX·
F:-
'at
)"-81.
7..
Introduisons les developpements en serie de
t .
Les plus fai-
bles puissances donne (2)
(5)
On voi t qU8
'%:.
wt;
v 1 x ne sont fonctions (lue de x et t. Des lars
;::) tr. r
iZ(
v1z=-~x,(..
la constante etunt nullo puisque viz est nul pour P1 = -
et comme il faut que
g ./). ~
z+
F (x,t)
soi t nul j)our Z
237
=h
Z
0
Enfin:
- 68-
p.
== g
ft _(li
-
z)
et par consequent en se limitant aux termes en c~
p == g.fi
(h - z)
on rGtrouve la J.oi hyd1'ostatique des prossions. 8i lion pose:
los deux
deduitos do (4) dOID10nt:
equ~tions
(A)
ou
nous avons ajoute cu premier membre 10 terme
d • du ft~
second ordre en [t • Dc cette fagon (A) n'est autre que l'equation de
l'h~dr6ulique
obtenue par projection sur
l ' axe OX du t:H~oremo de la. quanti te de mouvement, suppose quo u est la vitesse d'uno tranche parallele
l~rsqu I
a
z. I I
resulte de (b), p./,-t, quIa la surface libre on doit avoir:
Or pour z
11 on a fir )
\'""2:
dI
ou
I.
~: + aw~ ~}
=_ 0al~ ~ X = 0
Cette equo.tior: peut s'ec1'ire (B)
en ajoutant au ;Jremier membre le torme du second aJdre
238
on
Van den Dungen
- 69 -
Llequation (B) eet Itequation de continuite de l'hydraulique. Remarque. 1. Lorsqu' on se t:couve dans le cas du mouvement permanent
a
les equations (A) et (B) se resuisent
Si lIon introduit la notion de debit en volume
on obtient pour determiner h:
et h doit done etre constant. En hydrauli.'lue cette equation comporte deux termee eomplementaires, le preuier tenant compte de l'eventuelle inelinaison du Halweg sur 1 'horizontal,,; nouo l's,uriol1s obtenu egalement s1 nous avions sCPJPOSe que l' axe OX
"l'
etai t pas horizontale Le
second terme eorr)Spond)l 11 e!'fet de la viseosi te qui shppose au mouvement le long deo parois du canal baignees par le fluide. On sait que 1lOh
~tilise d~ns
ce but un tarme dont la forme pre-
miere et la plus simple est due
a,
ChE"zy: bu2 •
Notre mise3n i:!quation YLegligc
mani~estement
l'effet de la
couche limite eorrespondante qui produit ce terme. 2. peu plus
Nous alrl:::ions pu obtenir les.squations (A) ct (B) un rapidament en su:c;POS8..1'lt qlW Ie devoloppemcmt de vest
Vx u comportant les
·~ermos
=u en
+
Ei v 2x
£" at
239
['
x
+
Van den Dungen
- 70 -
La multiplication qui a en pour effet d'introduire des termes en £1 ne serai t pas alors apparue explici tement alors que les termes uh ou u 2 ~Emtiennent en fait un terme en
Et . n'y a aucun inconvenient a introduire de tela termes a condi-
II
tion de les rotl'ancher dans llecriture des expressions on que no us utilisorons dans 10
H.
£..'1.
suivant.
~
Poincare 1 ) a 1e premior montre coci dans un calcul
des perturbations. On peut proceder de cotte fagon
a
propos
du developpement de 10. fonction Hamiltonienne: H ... Ho + C H1 + que lIon pout remplacor par
H
'*'
Ho +
E.
(H 1+
e· H2
+
0
•••
E H~) + Et(H2-H~) + ••••
comme on le fait dans 10. methode do Lindstedt.
§ 16.
Troisieme approximation. Los nouvol1es equations que l·on deduit des equations (2)
a
(5) sont
.•v,,. _"c.'.!o. ou nous avons omis ~)v::
OX
d'"' ·'1"lse eJ8. U,;l
'AI
1) H. Poincare: llethodos nouvolles T.
240
Van don Dungen
- 71 -
A 1a surf'aco on doit avoir
.iLK
(v Z2)h
,') o:X;
V 2x
ax;
(v z2) h = - '!iI/x h
comme
O=~.
il vient
;;i;X'
mais comme nous avons deja utilise co torrno on (B) il "lZonviont de le remplacer ici pal' zero. L'integration de l'equation (B) donne: P
= A· 2.
p - '1'_""9- N
~it
'"
N= 12 (!lJ£".-.)L - 5~1!·>; - Ux~~ dX ,xJt ' (JX1.
avec
La pression totalG cst done P d~nt
= Pa
+ g
J-i-
(h-z)
+2'1 P
N (h
2
2 - z )
10 demier "Germe Gst une correction a la loi hydJ'QstatiqUG. Dans 10 cae du mouvement permanent, on a h u
Q
=
Q
(E)
etant 10
D'ou
Si l'inclinaison de la ligne d'oau sur l'horizontalG ost faiblo (j.
no d~ si
~
est negligoab;LOj i1 on ost do m1!me do
g.
et N
se reduit approximativGmoni; a (K)
N
l'effot total de la correction de pression est alors
f I~N(ht-7.')
a
la courbure de Boussinesq, que von
Uises a utilisee dans sa tXH30rie lincaire des
241
Van den Dungon
- 72 -
remous (1 ) • 8i l'on ne neglige pas In pente
on a en fonction de la courbure N '"
JJf.J....
t
~
_.1 t
d.J;. de la ligne d' eau, dx
~
(dJ.1i)t(1_.1) d,x e.-
~ !
l'approximation de N (formula (K»
est bien de l'ordre du carre
de dh/dx.
ox. est
La composante de la vitosse suivant v
x
= u-
~\2,
.
l
LJ!~..z_ OX'" t
+ f(x t) ,!
a.
8i u ost
(E) i l faut que
d'ou dans Ie cas du mouvement permanent, on a done
Cetto formule no nous permet pas d'expliquer pourquoi ce montre quo vest maxillllilln libre.
x
a.
l'experie~
peu de distance de la surface
I,Iais il 1lonvient de se demander 81. les termes du troisieme ordre ne sont pas du
m~me
ordre de grandeur que ceux qui
proviennent de la viscosite du fluida, en particulier de ceux qui existent dans la couche limite ot
d~nt
nous avons neglige
I' effet de fa90n systemati Clue.
(1) von I.Iises: Hydraulik (Teubner 1913) Boussi'nesq: IYiemoire sur les
8,'lUX
242
courantes.
Van den Dunean
- 73 -
" 17. Caractere des equations differentie11es. J
Donnons nous dans le plan x,t une courbe C x = F (t)
en chaque point de 1aquelle nous connaissons 1a valeur de va et de u.
Le long de C on a l'operateur
F' etant la derivee de Ji' par rapport
a
t au point consideree
de C. Par calculer en chaque point de C les quatre derivees
on dispose des quatre equations
F'dU +-~+ .••.•
2x
- Ql1.
dt
..
+ Lz
Le calcul des quatre derivoes
Dx
dO + df ()J. d;
118
:::
f)
pout etre fait si
F'
o
u
h
u ou
F,2 _ 2 u F' + ( u 2 - gh)
=0
qui admet deux r3.cines reelles clist1nctes
'd.xdt -
F'
243
Van den DunGen
- 74 -
Ce sont les equations differentielles des deux familles de courbes caracteriijtiques. Le systeme differential est donc du type hyperbolique. Il est remarquable que les
ap~roximation.du
a un
superficielles conduisent
probleme des eaux
type different de celui des
eaux proiondes (I ~ 4). Les conditions de compatibili"te exigeant que 10 determinant de 16 elements de la matrice
.iU!.
F' 0
FI
h
u
u
g
.Dx. l2J.. Ox
1
soient nu1s. Ellas se reduisent
~D 4,. Dx
:t \
a
/1.·121
J I DX
Les signes ± correspondent
a ceux
de la caraoteristique (1).
Supposons que l'axe des x soH clirige de l'amont vers l'aval dans le sens de u. Si u < \jgh In caracteristique d'equations:
d.k _
, r:r
clt- u + Vgh s'etend de l'amont vars l'aval quand lc temp croit (u positif comme t) alors que l'8lltra Carac"t;eristiquo
~=u-
Vrr;h
remonto de l'aval vcrs l'amont. On dit que 10 coura.1J.t est oolni d 'une riviere. Si u )
V-e;ii,
les deux caracteristiques s' etendent de l' amcnt
vers l'aval; on dit que Ie regDne est torrentiel. Ceprobleme est classique. Nous n1allons pas nons etendre
a
en discuter tous les details. Nou;:;, noua bornerons
gner certains points.
244
a
en so.uli-
Van den Dungen
- 75 -
§
18. Ressant et barre. Imaginons que dans la partie etudiee du courant, pres d'une vanne dIamant, co soient les caracteristiques d'amont qui fournissent la solution.
Si la hauteur
"hI! en x=o croit en
fonction du temps, les caracteristiques sont inclinees de monis en monis sur l'axe des x. 11 se paat alors qulelles admettent une enveloppe E
a
partir de (0 . (efr. fig. 18).
Les caracteristiques dans le plan (x,t) sont les projectiens sur ce plan
de~
caracteristiques tracees sur les surfaces
u(x,t) et h(x,t) quand les premieres caracteriijtiques admettent un enveloppe, cela veut dire que ces surfaces se relevent
perpe~
diculairement au plan x,t. 11 se produit donc un relevement brusque de la surface du fluide et une modification instantanee de la vitesse
II s'ensuit que ijur une distance infinement pe-
tite il Y a una variation sensible de h et u. L'analyse qui nous a conduit aux equations du mouvament des eaux superficielles n'est certe plus applicable dans ee domaine de variation rapide. Pour etudier les phenomeaes dans la couche superficielle nous avons dilate l'axe vertical en nassant de z
a
~
.
11 nous
faut cette fois dilater z et x pour etudier Ie nouveau phenomene; la distance suivant laquelle le niveau change etant du o~dre
m~me
que le relevement de ce niveau.
Le changement de variables: z= & z nous a conduit aux 2 equations: (1)
(2 )
J u, ;. U ~u, f. Q 'd£"= 0
'Jf
'd:c
Idx
Effectuons maintenant le changement de variables: (fig.19) x = ). x 2
ou
~ est un autre parametre tres petit qui a pour effet de
245
- 76 -
dilater la discdntinuite qui so produit en la section dlabscisse
g
~ Noua supposerons fixe dana le temps. Corome noua 1e vorrons a la page suivante. on pout toujoura se p~&eerdans CO cas introduisant la vitesso rolative lJ. Llequation (1) donne en premiere approxiihation
~~u
= 0
la saeonde, apres multiplication par h lu du,oL-q'U:::o hoi' 6 11 di .
rl- (Ru.tr ¥t) =
ou
0
A travers la diseontinuite 2 grandeurs se conservent done h u = ~
h u c:. +
leur interpretation est
C~ 01 ~ :If'::: C~G, (J
i~neiiat0,
comme i1 reasort du raisonno-
mont elassique en Hydraulique, que voiei (Cfr. fig. 20). Si u 1 et h1 se raJY90rtent au fluide iromediateLlont avant la discontinui t e, u 2 at h2 ilJ.mediatoment apres; la conservation dli volume du fluide incomprossible oXigo que:
Lorsque la discontihui te oat fixe, Or nous pouvons. toujours fairo cotte
hy~~theaes
en utilisant des axes en tras1ation animes de
la celerite c f do la disc@ntinuite
~
a1
I
instant eonsidere.
Soi t tv::: u.,-C· et x 1,1,'1:: U'l- C: los vitesses relatives du fluido par rapport a la diseontinuite. On a des lors en general
/'9.
(3) ( M := 'Wt Llaccroisaemont de la quantite de mouvement (relative) projetee
aur 11 axe x
246
- 77 -
Van den Dungen
d'oll en tenant compte de la loi hydrautatique des
p~essions
~,1J{Z- ~ ~'L::. 1.1:1 ~!
(4)
On deduit lilmmediatement de (1) et (3) (4):
d'Oll
"'~
_
I.A..,
et
(5)
La discontinuite est fixe si ('
On dit alors qu'il s'agit
=0.
d 'un ~ssant qui n I est possible que si h1 et h2 dependent d'e u 1 ou u 2 suivant (1) ou (2). Si c'est different de zero i1 celerite n'est sgale
a
e
= \I~
s~it
d'une barre dont la
que si la discontinuite est
evanouissante. La discussion des formules (1)
a
(3) est assez longue. On
se reportera par exemple & Stoker (:t:.40 et 41). I1Iassau a fait
a
propos de ces formulas les remarques suivantes
a) II ne faut pas s I etonner llueLes deux vi tesses u 1 et u 2 soient liees par (3), c.a.d. qulon ne peut se donner arb! trairement u 2 ,u 1 ,h2 ,h1
a l'instant
initial. En effet la non ob-
servance de (3) a pour effet de mettre en difaut l'equatlon de continuite, c.a.d. qulapres l'instant initial, on avant celui-ci les points du fluide en contact de )3rt et d'autre de la surface de
d~scontinuite
seraient separ8s. Cette cavitation n'est pas
traitee dans la presentc theorie.
247
Van den DunGen
- 78 -
b) Un seul des mignes de (1)
a
+ ou - uonvient dans 1es formules
(3). On peut rn:ontrel' que non seulement pour 1e
'1,,,lit rectangulaire etudie ici, mais aussi pour 1es litsvue sont
pas tres evases 1a ce1erite relative de 1a discontinui te, c '-u1 C I _U 2
est toujours dans 10 sens de 1a partie 18 plus haute vers
la plus basse. Remarquons enfin que Massau a montre que les iIilieterminations qui apparaissent dans la theorie du ressant, on utilisant les equations du mouvoment permanent sont levees quand on etudie la stabilite des phenomenes ou leur instabilite aU moyen des equations du mouvement varia. ~
1e.
Analogie aerodynamique •. Soit u une longueur constante. Po sons
rf ~ Yo p. -
t3K
f - "
~
~ L
a les dimensions d'une masse specifique, Pi
d'une pression.
Les equations (A) et (B) peuverr.; s I ec:cire
Ce sont 1es equations du mouvement compressible de pression Comme en eliminant
avec
K -~ - ~.
Pf
a une
dimension d'un fluide
et de mause specifique
~on a:
~ =K~:
le fluide subit une formation adiabatique d'exposant:
248
- 79 -
S1 Ie f1.uide analogique obeit
a
Van den Dungen
la 10i de Boyle-Mariotte
on voit qu'il faut que
Cette analogia a permifO
a Preiswerk
lemen·t des f1uides incol;;jJrClssible
a
d 'appliquer· fit l'eoou-
surface libre les methodes
de Prandtl et Busomann en aerodynamique. 11ais comme i1 l'a w.ontre 1'analogie ne se pouEsuit pan de :ta;;on parfaite quand un russant se produit en ce sens que les relations qui regissent Ie choc des fluides incomprGssibles sont differentes des r01ations d'Hp.goniot. La raison en ost qu'un choc s' accompagne d 'une perte d t eneJ'~:ie mecanique qui produi t de la chaleur. En aerodynamique cette chaleur modifie 1'etat du gaz. En hydrodynamiquc cette cD81eur n'Gst pas reeuperable puisgu'on suppose 10 fluide inoomprossiblo, i l n'y a pas
a
l'e.u,y!
d'adiabatiquas d'Hugoniot ou lieu d'adiabatiques do Laplace dans 10 cas du Choc(1). Ainsi l'analogie nlest pQ.s parfaite, mais cOPGndant on peut taus poser en hydrodynamiqao 18. theoric de 1a polair8 de choc, comme Preiswerk l' a montre. Nous renvoyons 1e 1eoteur 1:. son memoire pour 10 cLe.taU de 1'etude, Ce n'ost que (bns 18 cas d'um;; discontilluite infinement petite que l' adiabc.tique dYEamique tend vcrs 11 adiabatique
~~~~~!g~£~----------
1) L'erlCrgio totalo (cil~eatiquc et ])o-Genticl1e) avant 1e rossant vaut pour une 1nrgeur B du canal de section rectangulaire
r
B [K,u;+ 1~~UI)
apres 1e ressant, la mam3 expression ()nh 2 at u 2 , Ou en deduit faci10ment 1a perte d'enurgie en fonction des variables choisies pour calcu1er 1e ressant.
249
... 80 -
§ 20.
Lin'arisation dos 'quations. Bien qulil soit possiblo de resoudre approximativoment les
'quations A et B pour la methode des caracteristiques comme Massau l'a montre Ie premier, on se borne sauvent ales resoudre apree les avoir rendues lineaires. Nous supposons que u et h restont voisins de valeurs oonstantes
Uo
et ho et nous poserons 1il
u
h
h
les variables V et
,
+ V
0
+
0
etaut suppos6ee petites
11
.( -=
)
Les equations lineaires sont alors:
adt
+~ dV t LL l"L:;: a
°di
hOji
~~%t=o
dans Ie cas d'illl lit rectangulaife, non resistant at horizontal. Les caracteristiques sont cette fois des droites d'equation
tX = U o
\
r---
:: V g ho
Effectuons les transform'es de Laplace (y , 0)
~ ~ J(~i~t1ldt
!e o
V=
'f»-9t
))rit
Le systeme (1) devien , en posant les conditions initiales
V
(x,O )
f (x)
1( ------- -(Jf ) Nous utili sons
(x,O)
hex)
et non
de maniere
confusion avec le cas des eaux profondes.
250
a
eviter toute
Van den
- 81 -
h
eO.
g
cid.:x v + u dd7i; -I-l 9-n == ~, :l
~+(rii=f dox
On voudra bien no pas confondre la fonction h, de
"1
ho +
~ungen
~aleur
initiale
avec la hauteJll' qui a ete prealable.m.ent remplacee par ~
, autrement dit nous placerons desormais l'origine de
l'axe des hauteurs au niveau h • o Dans 1e cas ou x varie de -
00
a -I-
00
,
effectuons les
transformees de Fourier
)j =
(+ .... e,LZJ;
j
V (Lx
-Il>
il vient:
avec F =
rCOei.'tl: ((:lC.)dx -..,
On a des lors
Pour ne pas compliquor 1'ecriture, nuus allons nous borner
a
etudier l'inversion dans 10 cas ou u o =0. Ce probleme nous fournit d I ailleurs une solution c;ui doit etre comparee
a
celle obtenue
poux 1a curve infiniment lcngue dans la premiere partie. Notons
251
Van den Dungen
- 82 -
d'abord que dans ce cas 1e systeme
devient: avec
02
=
vrh~g. C'est l'equation des cordes vibrantes. On a
immediatement
Dans le cas
ou
f(x)=O et ou. h(x);io i1 s'agit d'ondes superficiel-
les par emersion. 3i hex) est nul partout sauf en x=o avec lim J-I-th(X) dx £ .... 0
(1)
-t
=
A la solution devient:
1 -=. ~ i~01 'eX (.oH V;-ho t cL z
V:: ....
Ou compare avec ls solution des eaux profondes (Cfr.p.20) (2)
~
=
~ JCOGOHX-W1V'&~U'Itt d_! fI
252
Van den Dunger.
- 83 - .
Si h se reduit
et
a
h
0
(nombre petit) on peut remplacer
th (r h) par r h :..rI'on retombe bien sur la valeur de 'Il.. o
Nous retrouvons ainsi pour la solution la propriete etablie pour les equations differentielles: Ie cas dee eaux-superficielles est bien la Wimite du cas des eaux profondes. Si la theorie des eaux superficielles a fait l'object d'uB grand nombre d'etudes, c'est que la resolution d'equationsdu ~...,.
type hyperbolique est bienlsimple que celIe d'equations du type parabolique.
Sans doute physiquement, il semble qu'il y a une
difference essentielle. les ondes elementaires correspondant
a (2)-
que nous 3vons etudiees au ~ 9, se meuvent ~vec disper-
sion alors qu'll n'en est pas de
V
m~me
de celles correspondant
V
a
cos r ( :c t ~ lo t ), de ceHri te ~ ~Q ; si l' intumescence initiale n'existe qu'a l'origine il faudra une duree (1); SoH
t = x/c pour que la surface initiale so it atteinte par l'onde a distance x de l'origine, alors que dans Ie cas des aaux des, l'effet de
l'intumescence~tiale
se fait immediatement
sentir jusqu'a l'infini, mais cet effet ne peut parce que la valeur de
~
profo~
~tre
mesure
reste relativement longtemps insensi-
ble. La solution ainsi obtenue se presente saus la forme d'une integrale de Fourier. ete limite (- 1
a
On congoit
que si Ie domainG en x avait
+1) la solution aurai t
ea.. la forme d tune serie
trigol1ometrique parce que Ie parametre fir" aurait
e.ti,.
un spectre
discrct. Cette solution qui est obtenue par la superposition d'ondes elementaires ost uno solution
a
la Bornoulli. On sait quo
1 t equation des oeJrdes vi brantes admct una au"tre forme de solu-· tion, colle de d'Alembert qui met mieux en evidence lee lois de la propagation des andes dans 18 cas des equations du type hyperbolique.
253
Van den Dungen
- 84 -
L' equation:
0.1..]
- c'L
cHt -
~.'1
cJX'"
aarnet 1a solution
~ ~ D,(x-ct) +.f2,,(X+Ct) a conditions que lee fonctions "arbi traires 1I.fl., et
0). admettent
des derivees secondes. A l'instant t=o on a
et d'autre part
d~t -d'ou
dV -- _ Tto D f'
n. dX
-
(j
-cD'j (X)+-Cn~(X) ~-
t,f
(l'accent represente 1a derivee par rapport
a
a. xl.
On arrive ainei
la solution
a
Ne peut-on arriver
cette solution
~ar
1es gransiormeea 1nte-
grales? Les transformees de h
o
J~ap1uce
satisfont
a
4.Y+a-n == ~ d..:x: If l
g41+ qi)7:::f d..~
Resolvons ce systeme sans app1iqner 1a trasnformation de Fourier. La solution des equations sans second membre est:
254
Van den Dungen
- 85 -
La solution generale des equations avec second membre est des llors
V=f ~p(qf)~v+ jiXP(9f)
(t, + f )dxJ+ t exp (-9f)·
o
de
m~me ~ =..
Il faut que cette !3oJ_ution reste finie pour xtendanr vers + 00 le crochet dEiLa premiere ligne cloit des lors tendre vers
zero d'ou
a +J"'ex p(- q ~ J( o
de
m~me
t. ·~ Jd,x:cO
le crochet de la soconde ligEe doit tendre vers zero si
"x" tend vers
- 00
DCG lors
•
v=t [expq ¥ (.1fJ -- ~))d,~
Ti I~pq ¥(-~ - ~))J~ -~
Transformons la premiere integrale en posant
~-x=ct et la deuxieme en posant
x -; il vient
:=
ct
V:: -1.s r"{qt ( ~ (x~ct) - Hx-d)]dt 1. ~o
L tI
+{ r»(lt [f{x-td) tf (x-cn]cH C)
255
Van den Dungen
- 86 -
comme
y
:::
t"9t VOlIt
1)0 [.
llinvGrsion es
G •
,.
liIlIlledlate et donne bien
Remargues: 1) I1 est evident que les SOmI,:os infinies COlJllllG (1) p. ~ 2.
no sont pas conv(;rgentes. On ne PGut obtenir diroctement 1a valeur numerique de solutions Fourier semblables
a
ecri·~es
sous la forme d' integrales de
(1) alors que los solutions (3)
p.~~
donnent
immediatement la valeur desiree. 2) Les equations des discontinuites se semplifiGnt lorsqulon suppose les equations lineaires, c.a,d, avant et apres 10 choc.
V et
"1
petits
On trouve aisemertt les relations suivan-
tes:
Comme V at 'Y(.,
sont infiniment petits c=-
est nul. o LG signe du radical doit
Vgl10
cOlIlIJle nous
llavions anonce, si u sau (p.n
~tre
choisi par la regle de Mas-
).
~ 21. Variants inte~raux.
La conservation du volume du fluide incompressible a pour consequence que,
a tout
instant
dans le cas au le damaine x s'etend de - co
a+
QO
A cote de cot:invariant integral, il existe uno ini'inite d'autres integrales qui varient en fonction du temps suivant des lois connues
a
priori.
256
- 87 -
Van
dGn Dung<m
Effectuons les transformees de Fourier
V:: r<>;).e ~px\J dx
ie
J-5C
f()o .
tP~ j
VJ::.
-(X>
aX
Les equations (p.8a) donnelht dans 1e cas ou u =e o
0:)
les termes tout integres sont nuls par hypothese. On en deduit immediatement que
at
v"
'~.I~'P'ld.x~"p,t.+
l],""f
drU>1pct
On obtient les divers variants en developpant en serie de puissances de p les differentes fonctions et en egalant les coefficients des
OU
On a
257
Van den Dungen
- 88 -
On a done
(1 )
(2 )
C:' 'l,b:~ r:'VH(t)~f~r
m~me:
i~~Y dx (4)
=
f:yd~ ==
I]d,x
l:r dx
etc. ..
On peut ainsi calculor de poche en poche. II. rosuJ.te de (m) que
droll
258
- 89 -
Van den Dungen
La relation (1) traduit comme i).ous Itavons deja dit la conservation du volume. Les autres relations peuvent aussi recevoir une interpretation; ainsi (2) qui correspond au moment statique par rapport
a l'origine
des
1L
de masse res·te immobile, ce qui pouvait
indique que le centre ~tre
prevu par raison
de symetrie. La relation (3) mOlltre que 1e lTloment d'inertie de l'intumescence par rapport
a
l'origine est une forme quadrati que du
temps, La relation (4) exvrime 1a conservation de la quantite de mouvement suivant 1'axc x. Les autrcs relations qui font intervenir des variants d'ordre superieur correspondent a des moments gue l'on nta pas contume do considerer. 11 n'en est pas moins vrai que la suite complete des va-
riants permet de cal euler V et W et par inversion V et
a
Leur connaissancc rcviont done
"'l
colle de la solution du proble-
mo. On pouvait s'en souter puisque dans le cas d'un domaine
fini (-1
~
x ,
+J.) los variants integraux no sont pas lea mo-
ments mais les parametrco normaux du probleme (Ofr. p.56) Nous forons enfin rcmarquer que l'on peut verifier immediatement los loic de variation en fonction du temps. Demontrons par exernpJ,e qnc W1
=0
r-+""I(. cLx .
-'"
a l' instant initial il y a 0 a b 0 • A l'instant t les
est constante dam un probleme ou surelevation . ~l
uuiquereent de
tinuites seront er:. b )
vr 1 , On a
Cl
b o et a
. a.
<
rb d J d~ -= ) .~d~ t-.~1] - ~'l'l d C ' at tit -b dt to,
259
discoa
ao' Le variant W1 vaut done
d x
c,
a une
Van den Dungen
- go +
~s
en vertu de l'equation
Q:1
0 'dV;:; oX 0
r)t + 11-Q
l'integrale du second membre est egale rb
-R J ~ eLx: 0
% -
t
Vb 1-
t
a
Ja-
n
Le variant W1 est bien constant parce que
deduit des equations p.8 6 On verifie ainsi, et l'on generaliserait
s~
peine, que
les discontinui tes ne nociii'ient pas les proprietes des variants. Observation:
II n' est
Pi;'S
question dans cet expose d I epuiser Ie
probleme des eaux superficielles. Stokes a l'lontre comment per. on peut chercher
approximations successives
a ameliorr.;r la solution obtenue par linearisa-
tion. U.Reynolds a observe la
c~lebre
ire auquel de nombreux lll()lllCJ)ires ont 1a question.
260
phenomene de l'onde solita-
ete
consacres sans epuiser
Van den Dungen
- 91 -
TAB~E
DES
MATIERES
==============~=====
I. EAUX PROFONDE8.
pages
1. HIstorique
2. Equations generales
" "
3. Linearisation d8S equations 4. Caractere des e(luations differcntielles
4 6
8
" " "
13
7. Cas siliqles d 'olldes par impulsion
1/
28
8. Autres cas d' OYJ.':le;] do Cauchy-Poisson
"
9. Ondes Gl8llcntai.c'Gs 10. Variants integraux
" "
32 38 44
11. Zffet de
"
50
12. Ondes cylindriqucs
It
55
13. Reali te des ond"s de Cauchy-Poisson
"
62
"
64
"
66
" " " " " "
70
5. Integrat.ion par los t:c::msformecs integrales 6. Cas simples d'oi.ldes par emersion
capill~rite
20
II.EAUX SUPERFJ;SLIELLES 14. Historique 15. EquatioIlfo generale s 16. Troisieme approximation.
v
17. Caract l31-) des eCjuations diff erentielles 18. Ressant at barre, 19. Analogic aerodY;:LJ,;'Lique 20. Linearisution dl,'s equations 21. Variants integraux
261
73 75
78 80 86.
I
l
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i
1
I
Il
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