Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z0rich
48 G. de Rham. S. Maumary M. A. Kervaire Universit~ de Lausanne
Torsion et Type Simple d'Homotopie Expos6s faits au S6minaire de Topologie de I'Universit6 de Lausanne
1967
Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg-New York
All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. 9 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967. Library of Congress Catalog Card Number 67-31231. Printed in Germany. Title No.7368.
INTRODUCTION
Ces Notes r e p r o d u i s e n t de T o p o l o g i e
de l ' U n i v e r s i t @
dee expos@s fairs au S ~ m i n a i r e
de Lausanne,
saul un en 1960.
Lee deux p r e m i e r e s
nombre restreint
d'exemplaires,
sons ioi sane changement, r@pondre ~ de n o m b r e u s e s utiles comma
introduction
plain d~veloppement.
of the Am. Math.
1963-64
multioopi6es
@pule@as,
saul quelques
l'ann@e
nous
~ un
lee reprodui-
c o r r e c t i o n s mineures,
Nous eep@rons
qu'elles
pour
seront
~ une belle th~orie qui est encore en
Pour lee treveux plus r~cents,
le lecteur ~ l'excellent Bulletin
@ditions,
@tent
demandes.
durent
article Soo.
de J. M i l n o r
vol 72
(1966),
nous r e n v o y o n s
: n W h i t e h e a d Torsion p 358-426.
G. de Rham
IP J
TABLE DES
Og
Introduction
I.
DE RHAM G.-
MATIERES
Propri~t~s
des sommes
et des s~ries II.
DE RHAM G.-
Torsion
de Gauss
de Dirichlet
d'un complexe
~ autoi3
morphismes III.
MAUMARY
S.-
Type simpie
d'homotopie
(th~orie 37
aIg~brique) IV.
MAUMARY
S.-
Type simpie
d'homotopie
g~om~trique)
55 65
Vm
MAUMARY
S.-
Th~or~me
de Mazur
VI.
OE RHAM G.-
Th~or@me
de dualit~
sion et appiications VII.
(th~orie
KERVAIRE Michei
A.-
Le th~or@me
pour ia toraux noeuds de Barden
OE RHAM G.-
Type d'homotopie et des espaces
83
Mazur - StaIiing VIII.
74
des rotations
ienticulaires
9B
-I-
I.
PROPRIETES DES
SOMMES
DE
GAUSS
THEOREME
DE
Expos~ de
Le pour
but
comprendre
le t h ~ o r ~ m e
de
la
des
les
caract~res
th~or@me
En de
1.
appelie
1)
X[a)
= X(b)
2)
X(eb)
= X(a)
3)
X(a)
=
II
m
0
. L'~l~ment que
X
(a) 0
DE
DIRICHLET
de
de
ia
un
probl~me
et
diff~omorphie les
premiers th~or~me
de
d'une de
nombres,
topoIogie des
rota-
simpies
n'ont du
n~cessaire
des
pius
d~monstratlon
le
est
th~orie
Dirichlet
hombres par
qui
pas
~t~
c~l~bre progression
Franz.
m]
caract~re propri~t~s
(mod
X(b)
r
de
fonction
> 1,
un
(mod m)
X(a)
classes ce
ab~lien,
= 1.
est
ie
a
si
m)
r~sidueIles
groupe
(a,m)
~ 0
(mod
groupe
arithm~tlque
:
a ~ b
caract@res
des
toute
pour tous e n t i e r s
(a,m)
sl
m)
suivantes
sl
unit~
= 1
aux
ce
propri~t~s
s~ries
a reproduit
~ ia m u l t i p l i c a t i o n R(m)
dens
des
se t e r m i n e
si
existe
multlpiicatlf
tei
des
th~or@me
Ienticulaires
reietif
[mod
rassembler
d'un
des
SERIES
FRANZ
de
intervient
et
on
L'expos~
jouissant
rapport
m)
DirichIet
On
est
d~monstrations
passent
Caract~res
X(n)
qui
especes
(mod
arithm~tique.
expos~
DES
G. de Rham
d~monstration
des
Seules
rappei~es.
cat
Franz,
(classification tions).
de
ET
et (a,m)
, qui
b = 1
forment
Isomorphe (mod
m)
caract@re
au
per groupe
premi@res princlpaI
X~
On
a
Ies
relations
suivantes
(m) si X=Xo
(1.1)
7 n[mod
x(n) m)
(On
trouvera
der
elgebreischen
sition
le
suivente
PBOPOBITION complet an
de
~
iS(m) si X(n]
O
sl
0
per
example,
Zahlen).
De
ces
relations
: Bi
~(m)
n-1 (mod m)
=
X#Xo
d~monstration
dens on
E. va
sl
n~l
HecKe
(mod
m)
: Theorie
d~duire
la
propo-
:
(1.2)
pour
0
les
nombres
, a s s o c i ~ s ~ un s y s t ~ m e n ~ m parcouru par n , satisfont ~
(mad m) p r e m i e r s
restes
x[n)=
IS
=
tout
caract~re
a
x[mod
, ces
m)
nombres
sont
nuls.
n
Solt et
nI
0
en
tel
que
de
[a,m]
9>0 = 1
cela, =
1
~ e
X(x) donc un
(mod =
I 9
syst~mes
=
ano
=
=
[mod
9]
I
~vident
et
1
a = @
a-1 et
, donc = 9o
= ym x
X(a)
et de
[mod
On
de
Blots
= ano
caract@re tout
~(m)
x(mod
entier
m)
e
le
plus
petit
satisgaisant
.
que
9
= 9o
. Soit
9o).
(mod
=
. Per Le
a
quelconque
.
pour
~ I
9/m
partlcull@re
~ x(nnl] X
du
I
+ zg,
1
m).
= 0
X(a)
e
veleur
~ an n
que
(9,m)
Si
complet
, d'oO
[mod
tel
m;
PROPOSITION
x(n)
posons
divissur
I
une
conducteur
est
satisgaisant x
no
appelle
et
II
(a,m]
~ en n
(1.1)
On entier
e99et no n I m
= ~ x C n 1) X
vertu
Pour
en
< m.
On
Montrons a
peut
d'o8 9)
en
un
entier
posant
x
d'un
entiers
= a-ym
entraSne ne
divise
m
satisgaisant
des
9o
conducteur
9
trouver
. Cele
suite
que
peut
y
= 1+z9
X(X)
= X(a)
@tre
ing@rieur
carect@re
(mod
m)
m 9
= m
, on
dit
(1.$)
: Si
9
de r e s t e s
(mod
m]
oomplets
que
est
is
un d i v i s e u r
premiers
de r e s t e s
career@re
(mod
9]
~ mest
est
de m
propre.
, tout
la r ~ u n i o n
premiers
~ 9 .
de
syst~me ~(m) ~[9]
et
z
, et ~ 9, est
-3-
Montrons premiers f (mod
~
m
contient
entler
premier
m
ne
~ un
y
x
= 1 + zm
= e-yf
et
satisfait
de
f).
il
proposition
fait par
que le
faur
y a
(1.3) est
sous-groupe
nombres
sont
PROPOSITION
suffit
il
m)
clesses,
(x,m)
= 1
d6pend on
s
X(Y)
et
pas
du
y s xx'
choix
des 1
car (mod
si
que
~
(mod
m)
f
f)
est
~
, et
m)
premiers
congru
m
l'entier
, est
o
premier
~ m
z
se
(mod
(mod f ) .
dlvise
de
I~.
au
que
Un s y s t ~ m e
(Ceie
quotient
r~slduelies
pour
a l o r s en c l a s s e s , ~(m) ~(f) nombres.
contlent
et
x[mod
(mod
est
Ii@
de
R(m)
m)
dont
au
ies
de c o n d u c t e u r
m)
, tel que
f)
X = Xo •
f
est
9 Xo
m)
pour
x'
1
,
f).
, car
avec
a'
isomorphe
x'(mod
f),
x
b ~ a e ' ( m o d m)
m
classes
(mod
(mod de
et
imm~diatement
X'(a),
x s a
(a,f) posant
sl
= I, •
(x,m)
s l(mod
en
f)~
choisissent
: X(X) :
[y,m) donc
: I •
x
Cette et
valeur
x s y
: I
tel
(mod
et
= X(X) Remarquons
1,
et
cenoniquement
d~flnit
= a-1
o
f
cheoune
le c a r a c t ~ r e p r i n c i p a l
On
,
premiers
associ~ un c a r a c t @ r e propre ~tant
~
(mod
(mod
le p r o d u i t d e s f e c t e u r s o On p e u t a l o r s t r o u v e r d e s
yf+zm
: A tout c a r a c t @ r e
(1.4)
testes
restes
f).
et
~
de
m
f.
~
de
premier
Solt
premier
r~suite
congrus
e
~
= I
form~
complet
complet
pas
(b,m)
(mod @(f)
R(f)
m.
divisent
x z a(mod
:
syst~me
entier ~
, ~tant
o
restes
II
tout
setisfaisant
(a,m)
(mod f )
complet
z
~
Si b ~ a
qui
tout
syst@me
f)
entiers
LB
un
que
de
(mod
que
, c'est-~-dire
premiers
et
d'abord
et il 2)
il n'y
n'y
apas
apas
~tant
le
de
que de
le
caraot@re
caract@re
caract~re
caraot@re
principal
dont
propre
principal.
le
(mod
a un
conducteur 2),
le
seul
oonducteur est
~gal
caract~re
~gal ~ 2,
que ne f),
-4-
Proprl~t~s
2.
On
des
sommes
de
Gauss
somme
de
Gauss
Cx,~)
=
appalls G
[
un
caract~re
PROPOSITION une
racine
pour
tout
(2.1)
(mod
: Si
primitive entier
X est
m-i~me
k et
: Supposons
d'oO
= x(k)
qua
k~ p a r c o u r t ~).
racine
Remarquons primitive Sir
et
un
x(K)
~ 1 . Alors
G (X,~)
qua
de
l'unlt~.
~
racine
l'unit~,
m-i~me
(mod m)
propre
on a G
(X,r k)
et
= ~(k)
G
(X,r
= V~m
(k,m)
x(ks
= 1.
~k~
complet
nous
pes
de
Alors
= ~(k)
X(s
= X(ks
~(k)
G(X,~)
restes
pss
dO
(mod
m)
supposer
en m ~ m e que
temps
r solt
une
l'unlt~.
une
racine
k tel
= r
de
n'avons
diviseur
un a n t l e r Ck
de
syst@me
un v r a i
trouver
la # o r m e
m]
m-i~me
peut
une
un c a r a c t @ r e
~
n'est
{d = I p o u r
etr
d'abord
r (car
de
m)
IG(X,r
O~monstretion G ( X , ~ k)
m)
expression
XCg)
s off X est
touts
d de m
qua
la
primitive
(k,m)
relation
m-i@me
, comma = 1,
de
X est
l'unit~,
propre,
k ~ 1 (mod
ci-dessus
d]
montre
on et
qua
= 0 . Supposons
meintenant
cine
primitive
m-i~me
x(K)
= 0 , la p r e m l @ r e Pour
~tablir
I
de
(k,m)>l.
l'unit~,
partle la
de
seconds
Alors
donc (2.1)
Ck n ' e s t
G ( X , r k) est
partie,
pes
= 0 ,
et
une
ra-
comma
~tablie. remarquons
I G ( x , ~ n) I 2 = ~ ( m ) I G ( x , ~ ) I
que
2
n (mod m) car
en
vertu
la
somme
non
de
la r e l a t i o n
nuls
sont
tous
qu'on
vlent
~gaux
et
d'~tabllr,
il y e n
a @(m)
les .
termes
de
-5-
Ensuite
on e :
I
I
Ic;cx,~;":31 ~ =
n(mod m]
I
n(mod m]
I
=
XC s
n[mod m)
=m
Note ~t~
: Cette
=fm
PROPOSITION
est
communlqu~e
(2.2)
(mod ~]
per
Naresimhen
G (X,r k]
r6sulte
f-i~me
(mod m] de o o n d u o t e u r
de Z'unit~,
= @(mY G ( X ' , r ~(~)
~'(k)
en e ~ # e t
G (X,; k]
et
le
proposition
G (X',~ k]
,
m
(2.2]
m'e
M. C h e n d r e s s k h a r e n ,
on
a~
X' ~tant
le
G (X,;)
k]
p o u r tout e n t i e r
~C~)
I1
et
assooid ~ X ,
G (X,r k]
et p a r suite
= m $(m]
doe & M. R a g h a v a n
: Si X eet un o a r a o t ~ r e
et ~ one raoine p r i m i t i v e oaraotere propre
x(k]
;
dfimonstratton
obligemmsnt
X[&]
I (mod m)
s IG ( X , r
r-nC~-k]
tn(s
xCg.} ";Ck}
s
donc
"XCk]
s
immfidietement
= ~(m)
r~sulte
~tant r e m p l a c ~
G (X',
alors per
de
[1.3)
que
;k)
de ~ 9
(2.1)
appliqu~e
k
et
-6-
3.
S~ries
de
On si
le
~(s)
en
signant s~rle
d~inl par
par
~ la
converge,
dlverge
pour
o>~
on
l'angle
IS-Sol~H
, et
. Le
hombre
En
utillsent
(o-o o)
d~duit sa
des
qua
somme
~ est
la
de
quel
qua
soit
absclsses
des
est
d'Abel,
qua
s = s o = Oo+it o ells
plan
s~rie
~(s)
appel~
transformation
pour du
In~rleure
en
la
converge s ns
borne
o<~
utlllsant
= ~ na
uni~orm~mentld~
s = o+It
pIan
d~montre,
s~rie
convers
Oirichlet
Ia
variable
converge
H>O
de
. En
points ~our
holomorphe
absclsse
complexe
oO
o>~
dens
convergence
d~la
,
le
deml-
de
le
s~rle.
tre
qus
pour
sl
a>O
les
. Per
PBOPOSITION
:
principal,
L
encore
sommes suite
Si
S
= ~ a K I
n
, car
Sn
est
de m , et est
donc
= ~
peut
@tre
qu'un
il
deml-plan quel
qua
o>0. solt
(I -e--) ~(s) as
de
salt
ce
1
une
(mod
fonction
convergence
m)
different
et est
p~riodique
se
de
somme,
de
p61e
sevoir
qu'on
-an ns
un
qua
~teblit a>O
avec
le
la
analytlquement
l'entler
=
s~rle
d~mon-
conver~e
du c a r a c t ~ r e
holomorphe
pour
ns
que
slnguiier,
suEfit
le
on
de
n
, de p ~ r i o -
born~e.
prolong~e
point
suite,
i'on
d'Abel,
born~es,
converge
X(n)
alors
L'absclsse
1 , male
sont
un c a r a c t ~ r e
n=l
o>0
transformation
:
X est
(s,X)
Is
~onction
dens
simple ~(s)
tout
eu
se
s~rie
de
ie
point
laisse
rapldement
en
!
~ I
est
~gele
ns Riemann
plan, s = I
oO
~(s) ella
. Pour
prolonger remerquant
n'e
la
dens
le
qua,
.
an
=
sl I 1 1 - e
n ~ 0
[mod
si
=
n
0
a] [mod
e]
.
-7-
Les
sommes
et
sa
S
somme
commun
sont
n est
born~es,
holomorphe
& routes
les
de
dens
~onctlons
sorte
qua
cette
le d e m i - p l e n
entl@res
o>0. a
1
a
~tant
s = 1 , ~(s)
est
point
1.
a = 2 on
E(s)
En
avec
prenent
r~sidu
(s)
= -~
an
I
v~ri~ie
et si a n >0
.~
le d e m l - p l a n
qua
a
S
1 est
p61e
a>O
sau~
simple
pas
de
f(s)
relative
au
taylor
de
convergarait
en
un
point
~(k)[s = k
tousles
Sl<~
point
singulier
point .
) o
k=O
de
de
s
Cette
~
:
o
termes
sont
n=l
on
peut
(s - s l ) k l o g kn o
= ~
k
n=l
,
f(s) de
la l'axe
a
; n
n=l
n
so
k=o
'
n
k'
changer
e n n
~
l'ordre
des
(s - S l ) l O g o
n
somma-
e
So
n
n=l
Sl<~
s~rie . Oonc
sarait ~ est
convergente, un
point
ca
qui
singulier.
n
est
r~el
n
a
=
s~rie
(So-S1)kl~ So
a k=O
>0
= ~+6 (6>0) o s ~ r i e est
~
(st_ s )k =
de
et
f(Sl ) =
Cette
au
est un p o i n t s i n g u l i e r de ~(s)
o~
~ n'~tait
tions,
= 1 - e
z~ro
-(s-1)log
n
: Si
comma
saul
Si ~ est l ' a b s c i s s e de c o n v e r g e n c e
:
O~monstration
i~(sl)
dens
Le
converge
1 .
(3.1)
PROPOSITION
holomorphe
s~rie
S1
impossible
puisque
-8-
PROPOBITION
(3.2)
: ~i X est un c a r a c t ~ r e
c a r a o t ~ r e principal,
Pour
on a
L(1,•
on
utillsera
p
ECs)
percourt
tousles 1
= ~ C1 P
[mod
=
-1
L[S,Xo)
(1
n
= ~ p
S
eu
le d e m l - p l e n
de
est
_Yo
En
is
particuller
ceract@re
principal
Xo[P) __]-ls p
sorta
=
qua
P(s)
donc
la d e m l - p l e n
s = 1
des
du
et
L[S,Xo)
caract@re
dens
de m o n t r e r o>0
pas
fonctlons
= E L(s,X) X
holomorphe
loE
Q(s)
=
le ~ o n c t l o n
" '
p,k
kp
d'autre
LCs,x)
prlncipei, , 6tendu
le d e m l - p i a n que
P(s)
comma
point
~[s],
singulier
, oO
X est
s'annulalt
& tousles o>0
. Pour
n'est
d'Euler
L(s,x)
entraSne,
=
~
p,k
pour
a,
un
log
P(s)
ks X xCp k:~ = ~CmJ X
dens
pes
pour
au
point
holomorphe
o>1
, l'expression
~
p k =_ICmod m)
carect@re
~teblir
x(pK) ks kp
= OCs)
un
cerect~res
.
L'identit6
d'oO
1 -1 [1- --]s p
R p~m
.
l'une
distinct
le p r o d u l t
su~Ire
point o >0
Si
serelt
premiers.
P
simple
m)
nombres
[1
S
(mod
d'Euler
P
, at si
- 1)
Plm pole
l'identlt~
P
m]
;(s)
s)
d i s t i n c t du
(1- X(p))-I
= P
oO
m)
~ 0
le d 6 m o n s t r e t l o n ,
LCs,x)
Cmod
ks kp
s = 1 (mod m),
(3.2), dens
il
tout
-9-
On
a
le
coefficient
alnai
0 pas
si
un
n
congru
d~veloppement
n'est ~
1
pas
(mod
Pour
~gal
est
an
s
une
de
O(s)
en
~
~(m) k
si
n = p
d'un
nombre
puissance
s~rie
de
pas
m,
on
r~el,
a
e
I
(mod
premier
oO
m) ou
et n'est
m).
les
termes
de
cette
s~rle
ne c o n s e r v a n t que ceux pour Iesquels k = $(m) k p ~ 1 (mod m) ~ t a n t a I o r s v ~ r i ~ i ~ e pour tout vise
k
Dirichlet,
Ia
sont
, is p
~ 0
. En
condition
premier
qul
ne
dl-
minoration
O(s)
>
1 s~(m)
~.
P P Cette
s~rie
divergeant
pour
s =
9
l'abscisse
de
convergence
~(m)
de
O[s)
est
1
> -
Le r~dult que
on(s) que
La
0
des
, et
il
s~rle
de
de
o>0
sulte
Note
:
m
en
sera
=
de
=
t-il
&
1
O(s)
qul
n'est
ach@ve
Landau
la
Olrlchlet
+
> 0
suite
m@me
P(s)
, qui
Par
de
+
de
& termes
Oirlchlet
~ 0
, qui
converge
les
puissances
toutes
qui
~ termes
convergent
en
m~me
se lors-
temps
pour
02(s)
+
2:
~tant a.
"
+
maJor~e
O'apr@s
donc
..
pas
on(s) n!
par
(3.1),m
holomorphe
d~monstratlon.
+
"'"
O(s) est
, ella un
point
a sin-
dans
tout
le
deml-
(Remarque
: il
en
r~-
I).
d~monstration
donn~e
s~ries
de
convergence
Chendrasekharan
a ~t~
deux
Oirichlet
Olrichlet
, ce
La
de
s~ries
P(s)
qua
de
convergent.
e O(s)
absclsse
gullet
M.
sont
=
plan
s~rie
premi@res
P(s)
m~me
produit
& une
les
$(m)
par st
qui M.
ci-dessus me
Siegel
Hecke.
signale dens
m'a
~t~
qu'une
ses
communiqu~e
d~monstration
cours.
L'id~e
par analogue
remonte
semble-
-10-
4.
Th~or@me
de
Nous de
DirlchIet
Oirichlet
allons
Ca,m)
=
premiers
congrus ~
Si
: a
d'Euler
il existe
1j (mod
L'expression
quels
le
c~l~bre
th~or@me
:
THEOREME
dentit~
passant,
~tablir,_en
de
peut
une infinit~
de nombres
m].
log
LCB,X)
s'~crire,
en
d~duite
s~parant
ci-dessus
les
termes
de
l'i-
pour
les-
k = 1 Co
LC ,x]= Z •
log
p La
derni@re
~. C
p
st
1 + 2p2S
s~rie
reste
1
3p
principal, Par
born~e
Pour simple
log
en
L ( s , X o)
~
que
= I
[mod
=
I • k=2 kp
valeur
absolue
<
(l-p
-s
+ 0
aussi
I 1
)
p p
. Si
aussi
ks
< {(2s)
2s
X n'est
borne, born~
principal,
par
pas
pulsque
pour
caract@re
L[1,X]
s §
L [ s , X o]
Is
1 + 0
eyent
un
# 0
.
.
pole
a
1
~. X (pb] X
reste
log ~ s-1
la
p2S
s +1
-reste
on
alors ab
2
caract~re
s = 1
Consid~rons tel
X(p] s P
le
en
I p
1
pour
L[s,x]
I P
S
< I
p
log
suite,
major,s
+ "'')
3s
donc
est
p
et
s~rie m],
par
Z p=a[mod on
Z P
suite
m]
a d'apr@s
Xo[P) s P
__1 s p
.
Si
=
1
~. ~ ~log s Plm P
b
[I.1],
~ ~ [m]
si
p - a [mod m)
L
si
p ~ a
0
[mod
m)
eat
un
1 s-I
entier
-11-
Par s u i t e 7. 1 s p-a(mod m) p u
Cm} 7.
m
P
Pour
s §
1 + O,
n'est
pas
born~e,
P
seule de
la
La
is
s~rie
m]
1
au
y,
Cp) s
X
P
P
caract~re
principal
1
r
p
relative
y, •
que
~
---s
Z p~a(mod m)
s~rie
X
sorts
1
p~a(mod
1
7. xCpb) -
est
log
s-1
donc
divergente,
ce
qui
~tabllt
P
th~or~me.
5.
Le
th~or~me
9HEOREME
:
de
Boient
et ne d ~ p e n d a n t dit~ne
Franz
@(m)
entiers
que du r e s t e
suivantes
de
d~finis
an j
pour
(n,m)
satisfaisant
n
{mod
m)j
pour
tout
~ ~ 1
= 1
auz con-
:
1)
I an = n
~/
a
=
0
a
n
-n
a
3)
l'indioe (mod
m)
n
II (1-I; n)
n = I
paroourant
premiers
toujours
~ m 9 Alors
D'apr~s
(1.2),
6tablir
Z n
le
principal,
cela
r6sulte
de
peut
donc
cela X(-1)
r~sulte "
1
.
8)
. On
= 0
tousles
m o n t r e r qua caract~re
an x ( n )
pour
un s y s t ~ m e a
ce
pour t o u t de
tel que
complet
{m
=
I
de t e s t e s
sont nuls.
n
th6or~me,
il
suffit
c a r a c t @ r e X(mod m).
1)
supposer
, st X non
si
X(-1)
principal
de
Pour
= -I et
-12-
On
d~duit
elors
3)
de
:
~kn
r
log
1
Comma est
nZ a n log(1
e
placer
O,
{ per
{
J
st
n
l
n
parcourant
comme
k=1
a
l J,n
Mais
~ ~(nJ)
si
conducteur
-- ~k
G(X,
(*)
valeur
peut
aussl
rem-
-0
"
per
n
~(J)
= ~(nJ)
xCn)
et
somment,
un syst~me complet de t e s t e s
(mod m)
de
X(n) ~ ( n J )
{knJ
=
~kJ
~
~(j)
X est
on a,
) = X'(k)
le
f
et
= 0
= G(~
si
pour t o u t
G (X,~]
caract~re
propre
[ anX(n] n
.
~k)
~ est
et
une
entier
k
d'apr~s
racine
(2.2)
primitive
:
9 (mod
f)
essoci~
~
X
. Par
suite
devlent
Comme de
~tent
n
~knJ
f - i ~ m e de l ' u n l t ~ ,
X'(K)
se
m , 11 v l e n t
1
[*]
k
k=l
et
a
multlpllant
En
premiers &
l'on
~kJn
|
le
k
, cette derni~re somme set r~elle -n d@termlnatlon prlnclpale de log I. On
la
j
Zen k=-I
= a
n
donc
_~n)
G(~,~)
(3.21,
R~f~renoe (Journal
~ 0
en
vertu
il
en
r~sulte
:
W.
Franz.
for
die
relne
G (~,~1 de
.
(2.2)
~ e X(n) n n
Ueber und
die
L et
= 0
Torsion
angewendte
(1,X') L(1,X') .
= 0 ~ 0
. en
vertu
cqfd.
einer
Mathemetlk,
Ueberdeckung. vol.
173
(1935)).
-13-
TORSION
II.
O'UN
COMPLEXE
Expos~
1.
La
groupe
notion
de
Soit
A
d'unit~s
muItiplicatif A-moduie
G.
AUTOMORPHISMES
Rham
de
(A,G)-syst@me
un
de des
libra
de
A
anneeu
A,
un
c'est-a-dire
~i~ments
de
ayant
rang
616ment
un
~
partir
d'autres
bases
et
sous-groupe
inversibles
fini,
unit~
de
A.
d'une
du
Si
C
base
G
un
groupe est
e 1.
un
e 2 .....
e m
de
C
on
peut
obtenir
(a)
permuter
(b) (c)
e 1.
e 2,
....
rempiacer
i'un
des
ei
par
rempIacer
ei
par
ei
+ Xej
Nous de
toutes
nombre bases
Ies
finl de
C
appellerons bases
quelconque se
Nous
G-~amiIle
d~termin~e
de
~C' C Les
restrictions
mes
de
nuis.
phismes,
F'
H' C
C'
et
F' C B''
de
de
= F"
C"
H'
~C"
= C'n
a -1
et /H"
H"C
H"
et C"
dans :
~C'
et
F"
= C"~
F"C
C"
. Les
Se
acycIique.
dit
C"
~
ces
Ies
X
bases de
suivantes
~ G et
de
C
I'une
deux
deux
= 0
sont C'
bases
aussi dont
images
a -1
0
moduies de
de leurs
r~duisent
Ies
deux d'une
homomorphis-
produits ces
(ou
sont
homomor-
noyaux.
quotients Betti
un
distingu~es,
des
ies
par
disjointes.
chacun
~2
i
toutes
, munis
que
se
de
de
tel
~
d'eIIes
l'ensemble C"
les
6
j
l'ensembie
L'ensembie
moduies
moduIes
y
E A
eppelIera
C" C'
de
syst~me.
t~me
9
et
appeI~s
du
et
qu'on
C'
et 0
de
d~duire
C'
, 05
oO
G-famiiles
~C"C
sont
d'homoiogie) est
en
C'
operations
.
operations.
~ini,
,
et
=
se
bases,
B ~
~ ye i
(A,G)-syst~me
B de
C"
dans
Soient
ainsi
rang
endomorphisme
C'
ces
appellerons
llbres
un
peuvent
les
em
G-famille
de
dlvise
A-moduIes
avec
qul
par
B'
On
a
= F'/H'
modules
& z~ro,
Ie
sys-
:
-14-
Soient A-moduIes S2
consists
C 2'' , et
C~
qui
qui
S 1 et
, C~' en
C"
S2
= C~'~
bases
permutabies
avec
bases
est
le
est
syst~me
des
Betti
de
directes
de
rang
b
de
est
s'il
, relies =
b
Darts
exists
Bb
appellera
un
telles
tei
Un
trivial
Deux s'il et
exists S2 @
T2
des
0
de
C~'
sur
distingu~es, ia m ~ m e
G-famille
lettre
en
et
oO
S 1 et rang
bases
a est
des
I'extension
. Les aux
S2
dlstingu~es
et
juxtaposant
S2
1,
@ C~ de
isomorphes
syst6mes
Ba
tout
queIconque
iI
exists
, b s'
b r"
et
est
ou
i)a j
modules
sommes
. si
C'
a
de
et
C"
C'
sont et
:
0
de
C'
de
C "
@b
isomorphe
syst~mes
bases
(1
et
systems
de
des
b
=
triviaux
=
a
~
la
triviaux
isomorphes.
S 1 et T1
S2 et
.
de
distingu~es et
_< i ~ r
; 1 ~ J _< s)
acyclique.
(A,G)-syst~mes
soient
sur
= C~
~ S 1 et
de
trivial
fini
....
~)a'.z = b~
syst~me
=
syst@me,
a s . . b~', . . .
qua
bases
syst~me
nombre
b a I" . . . . .
des
C'
S 2,
de
trivial
SI
qua
et
d'un
dlt
de
(A,G)-syst~mes
obtenue
canoniquement
systems
et
une
a relatifs
Un
directs 1.
sont
deux
modules
S 1 et
correspondants
On
rang
de
par
des
diff~rents).
des
base
moduies
1,
Ba
modules
la
et
bases
d~signera
des
par
C~ en
syst~mes
des
C"
somme
S2
sur
de s_-quels
endomorphismes
S1 e
(on
form~
chacun
des
C~
distingu~es B
form,s
isomorphisme
S1 @ S2
d~termin~e
distingu~es
de
& des
directe
C~' , d a n s
naturelle de
relatif
somme
(A,G)-syst~mes,
C2' , C~' . Un
des
La
distingu~es
deux
isomorphismes
l'endomorphisme
S 1 et
et
changent
sont
S2
seront T2
dits
tels
~quivalents,
qua
S1 ~
T1
.
-15-
Ii de
deux
A
= Z
I
et
systemes
-1
r~ciproque
ia
Betti
pas
de
m~me
fournira
une
ici
Les
(b)
peuvent et
(c)
se
ies
bases
C'/F'
est
purement
directe t~me et
C'
~tant
un
sont
= F'
@
d'un
de
I'une
(cO y =
t
In{Ini, E'
et
de
on
de
On
a une
m~me
tel
sere
induit
un
E'
sur
. Solt
modu-
n'en
est
plus
ioin
D~mon-
utiie.
est trivial.
systeme
sont
On
que
sait par
ies
des toutes
op@rations
et
X s l),
de
salt
auss$
que,
comme
en
somme
= F" 9
a
F"
qui
d~composltion
C"
il
sont
les
d'~quivaience.
d'elles
1
oO
unit~s
dont
Mals
Betti
cas
d~finirons
In{Inls.
distlngu~es.
acyclique,
isomorphisme
C"
d~duire
nous
de
ie
seuIes
acyclique
purement
ci-dessus
routes
que
Z-syet#me
addlti{s
Oans
~qulvalents.
sulvante,
et
modules
syst~mes
necessalre
proposition
C'
les
Ies
: deux
torsion
condition
: Tout
dont
vraie sont
que
isomorphes.
rationneIs
La
modules
ab~liens
bases
(a),
la
prec@de
sont
est
g~n~ral.
(1.1)
PROPOSITION
qui
isomorphes
nouvelle
encore
groupes
entiers
sont en
ce
~quivalents
des
de
Ies
de
anneau
ies
trons
r~sulte
E"
, et
isomorphisme
de
a~ . . . . .
a'
sorte
le E"
que
syssur
une
F'
base
de
r
E'
,
a~', ...,
(1
~ i ~ r
a"s et
une
base
1 ~ J
~
de
E"
s).
,
b i'' = aa~
et
Alors
a~ . . . . .
a',
b[ J
= aa '~ J
b~ . . . . .
b'
une
de
r
est
une
base
d'o0
Ia
2.
Complexe
de
C'
groupe
de
G
une
telle
morphismes y
de
K,
Nous
'
a
" s ,
bl' '
....
r b'
base
S
C",
~ automorphlsmes
K
un
abstrait.
dans
par
a
" .... I
proposition.
Soit un
et
le
s
action qul
; nous
de
G
locslement
sur
automorphlsmes
dlrons G.
de
K
par
cet
syst~me
cellulaire
action
repr~sente
transform~e
appellerons
Une
des
l'automorphisme sa
complexe
alors Siy
assocl~
K de
que
E G,
K nous
~ y.
automorphlsme
9ondamental
de
Si
est K. est
un
9ini
sere
cellules
est
une
d~sign~e de
donn~e
complexe
d~signerons a
G
homomorphisme
Supposons un
et
K
& auto-
encore cellule par tout
ya.
-16-
ensemble
de
cellules
transform~e, sembIe
et
(1) m@me, (2) de
d'une
Si iI
par
un
&
Y #
K
Dans
Is
supposer
1,
opera
ne
K
cas
oO is
fixe sur
K.
qui
sont
Kf
un
, G opera
Supposons
un
de
K
celiuIe
soit de
cat
hypotheses
cellule
la en-
suivantes
a
en
elIe-
.
form~
d'un
nombre
sorts
qua
obtlent
de
fini
sous-complexe
fini.
qua
G
I'ensemble
K,
re-
un
des
automor-
Invarlant par
par
G
et
G.
con-
.
cellule
de
par
K
ies
st
K'
sur
ferm~
invariant
au
lequel
de
ma-
complexe
invariant L'
de
automorphis-
s'~tendent
complexe
ferm~
l'identit~,
invariant
automorphismes
sous-compiexe
de
moins
de
- L
une
est
dit
au
condition
K
ainsi,
per
K K
on
transform~es
nouveau
au
K,
ferm~
sur
ses
de
pas
fixes
aubdivise
ces
un
, et
de
est
ferm~
toutes
derni~re
r G distinct
sous-complexe
qu'on
carte
ceiiuIes
n'en
librement
correspondante
G
fini,
laiss~es
tenant
correspond
de
ceIlule
S'ii
sous-complexe
groupe
est
aucune
un
m~me
lee
a
Y
est
ie
encore
points
automorphisme
L
On
d'une
une
de
Si
subdivis~.
c G,
r G change
nombre
forms
, en
y
cellule
fondamental
G
1
y EG
touts
.
y #
mes
y ies
phisme
hi@re
qua
ferons
systems
~ue
iaisse
de
Nous
tous
un
tout
librement
celIuIes
tel
automorphisme
fixe
de
Si
K
automorphlsme
exists
celiuies
vient
un
seule.
Iaisse II
de
opera L
K'
de
K
.
Nous appsllerons operation ~l~mentalre le passage de l'un
des
complexes
(K',
L')
et
(K,
automorphismes,
L)
~
st
K'
~quivaients,
par
un
hombre
ia
m~me
flnl
~
i'autre.
repr~ssntant
rement
mani@rs
K
si
1'un
Nous
dlrons
le m ~ m e peut
d'op~ratlons
l'~quivalsnce
l'autrs,
~tre
ou
de
qua
groups rendu
deux G
, sont
; et de
deux
des
palres
complexes
Isomorphe
~l~mentalres comblnetolre
l'une
l'on
&
combinatoi~
i'autre d~flnlt
palres.
de
:
-17-
Un guIier
d'un
cas
important
complexe
~ini
du
rev~tement.
Oans
ia
subdivision
d'une
Notons nir
en
dimension en
une
2,
G
l'anneau
des
antlers
Ala
paire
(K~L)
on
la m a n i @ r e
che~nes
de
en
dens
D
cellules
prise
avec
des
mani~re sont
ies
K-L
et
une
= ~ ci,yY(ci,y Y
toute
chaSne
d'une
du
choix
des
celiules.
qui
ici
les
des
cha~nes
module
unique.
avec
les
~ournit
de
du
les
de
K;
de
valeurs
m~me
(mod
de
vue
q
de
singuli~re est
impaires
corps
de einsi
d'un r G
d
ni
le
du
L)
a
A-module
dit K
peut Kq
la
somme
de
q).
(mod
ce
directs
de
repr~sen-
A-module
qui
des
orientations et
ces
d~pend
bases
a est
(On
Kq
ne
ses
En~in
sait
de
(ya i)
l'op~-
consid~re
que
interpr~t~
Kq-1),
a I ..... a r
~I~ments
ainsi
chaSne.
~tre
d'une
si
ci
Cn
: on
~tant
C'
paire.
"na~"
impaire,
des
de
r de
les
fondamentaI
~tre
choix
d'une
toutes
car
sont
~ i,y
e I .....
d~fini
~orme
syst~me
peut
exam-
complexes).
, chacune
fini,
chaSne
A
~ coefficients
K-L
)
soit
par
des
en
ensemble
rang
et
S(K,L),
de
dimension
de
le
dimension
distingu~es
bord
C'
la
fondamental
dimension
l'homologie
s'obte-
d~compose
prendra
consiste de
de
y
base
de
point
&
celluies
K - L,
(on
, ou
Cat
impaire
chaSnes
le
les
lin~aires
impaire
bases
D
O
libre
La
de
d~init
peut
se
sur
impaire
r D,
dimension
syst~me
On
cha~nes
q-squelette routes
du
et
etc,
C'
dens
repr~sente
G-~amiIie
pas
ration
de
mani~re
une
distingu~es
ai
3,
d~termin~e.
dimension
~i
puis
(A,G)-syst~me
dimension
de
st
d~finit
de
ceiluies
~ l~i~r
cerrespond
ar~tes,
combinaisons
A-module
A,
r~-
automorphismes
compIexe
Z
A-module
les
orientation
de
t~e,
. Le
un
~i
des
d'un
commutatif
is
naturelle
si
rev~tement
~l~mentaire
librement
rationnels
essocie
toutes
groupe
un
.
ses
opera
~ coefficients
c'est-@-dire
est
~l~mentaires.
anneeu
suivente K-L
~
dimension
G
un
K
Is
subdivision
de
que
ple
de
G
de
route
sur
o0
l'cp~ration
ceilule
d'op~rations
de
st
cas,
celIes
Supposons i'alg@bre
K
celui
successivement
puis
suite
ce
qua
subdivisant
est
le m o d u l e comma
le
d~signant modules
pour
le
-18-
La
consid@ration
int~ressante
~ cause
du
du
syst@me
th@or~me
S(K,L)
suivent
ainsi
:
Si lee paires
rement ~quivalente8,
n~
(K,L)
et
[K,L)
le8 syst~mes
est
: ~u
(2.1)
THEOHEME
d~fini
S[K,L)
sont combinatoi-
S(K,L)
et
sont ~qui-
valents.
la d6monstration, ll
Pour nu
suffit
de
consid~rer
lecas
o,',
~u
(K,L)
se
d~dult
de
(K,L)
subdlvlser
une
cellule
trensform~es
per
lee
syst@mes
S(K,L)
prouver.
Nous
mension
q,
mental
e 1,
effet de
de
aIors
premiere
a 2 ....
de
remplacer
dimensions
operation
K
en
par
, qui
y
sont
c G
temps . Si
Identlques qua
la
cellule
eq
= aI
un
de
K-L
consistent
toutee
see
eq
~ L
, les
il
n'y
e rlen
aq
d'un
, de
syst~me
deux
di-
fonde-
subdivision
e pour
nouveiies
cellules
de
a 2,
qua
cellule
B
avec
et
La
ensemble
formers
@l~mentelre,
m~me
supposer
cellules
eq
< q
de
S(K,L)
pouvons ie
aq
une
automorphlsmes
et
est
par
e 3 ....
un
syst~me
nv
fondemental sulvantes
de
dimensions =
D
chaSne
de
a 3 ....
combinaison sny
, et
B
est
est (~
Le se
~gaIe comme
q-cheSne
~gale
de
~ un
cha~ne
ferm~e
de (mod
coefficients
bord
dens
d~duit
de
lin~eire
rempIa~ant
b q,
c'est-~-dlre
Toute
) qui de
touts
B,
3) e 2,
K-L
orient~es
Kq-1),
2) dens
chains
B,
, et
(mod
cellules
La
de
Be q
ferm~e
de
qul
Jouit
des
propri~t~e
: 1)
Bb q
cellules
aI
son
B
bq
B
(~ ie
de
bord
Ie
des m~me
ceilules bord
coefficients bord de
ne
~
que
aq
dens
contlent
q
D
pas
) de
le
bord
(~
(mod
coefficients K q-l)
d'une
0). i'une dens dens
:
b q.
dimension
K q-1 ) e s t
de
somme
, a
multiple
~ coefficients par
la
eq
dont
dens
~
~
quelconque K
des
(repr~sent~ A
de
a I,
ceIiules per
a 2 ....
une )
-19-
Les de
B,
qul
ie
d'une
prendre
ai
sion
D =
Z.
K
et
dens
q + I
et
si
son
soit
taI
de
et
l'on
une
en
appIiquant par
b q,
S(K,L) D'autre
vertu
des Ie de
en
vertu
On
pourra
iin~aires
C"
du
engendr~
avec
ei
obtient
les
syst~me el"
suite
~i
en
cha~nes Ii S1
~1"
alors
en
un
en
1.
2),
~
~2 . . . . .
qui
b 1, C'
et b
q
moduIes S1
C"
de
par
b q,
engen-
isomorphe bq
par
b 3 ....
donc
a 1.
engen-
trivial,
b 3 ....
chaSnes -~ei
bases a 2,
et
de
En~in, ~i
par
distingu~es a 3,...
du
de
et
la
somme
syst@me ia
des
dimensions
= ~i
est
ach@ve
en
par
rempiacer
S(K,L)
S(K,L) ce
b 2 .....
b 2,
b q,
que
et
b 2,
que
des
que
~ I'op~rateur
pourra
cellules
supposons
rempIa~ant
entiers,
r~suIte
dimen-
~ondamen-
Les
acyclique,
on
de
cellu-
syst~me
syst~me
et
d~finitive ou
et
remplacer
rempiacer
c),
On
d'une
est
moduIes
no
' teIIes
isomorphe e2'
aura
un
1)
syst@me
et
B
relativement
I'op~ration
f2 . . . . .
par
par
de
a 3 ....
au
~ coefficients
et
I'on
un
ai
peut
obtenu
forment
sl
des
on
propri~t~s
Kq-1),
= ae
I~1" e2"
des
que
On
d~inie
~tant
bord
encore
91"
triviaI
d~monstretion
(2.1) .
Torsion
d'un
Le conditions l'alg@bre La
~orment
a 3 ....
bords
a
.
a2,
distlngu~es,
qui
~ronti~re.
les
I
distingu~es
a 2,
appliquant
et
3.
bases
qui
, et
prenant
se
cellules
K q-l)
S),
cellules
dimensions.
c)
(mod
a
les
(mod
moduIo
di~rent
les
que
compIexe
concerne
I'op~ration
en
un
contlent
en
bases
impaires,
C'
de
K-L des
ces
(1.1).
et
directe
ne
Z-modules
combinaisons paires
K
, i'isomorphlsme
part,
donnant
qul
q
expriment
dimensions
ce
bord
~
de
d~dult
. Dens
q
b I , b 2 ....
cellule
celluIes
S(K,L)
drent
En
propri~t~s
, ~orment
~
dens
bI
dr~s
aq
bouIe
Soient
en
premieres
remplacent
I'homoIogie peut
deux
torsion
d'autres
(A,G)-syst@me
th~or@me
(2.1)
d'~quivalence du
groupe
introduite conditions
G.
de
conduit deux
naturellement
(A,G)-syst~me~
L'isomorphle
par
Reidemelster
n~cessaires.
des et
modules Franz
~ rechercher lorsque de
A
Betti
venous
des
est en
est
~ournlr
une.
-20-
Appelons sion E
m,
tout
~l~ment
m
= O,
on
(si
un
sous-espace
teire F
en
et
est d
volume,
que
E
pas
e,
d
Aussl
Supposons que
le
de
S
F"
= H"
alors
= ac'
I'imege
et
en
Ie
noyeu
Solent respectlvement. felt
correspondre
le
repport
C'
= H'
dre
de
dens
~
h"
, c'/h' prendre
C'VH"
le
rapport
de
prendre
de
ces
h'
des
c'/h'
nombre
~
et
h"
sont
des
a(c'/h')
a(c"/h")
correspond un
= c'Vh"
de
elors A,
Convenons
que
un
F
est
compI~menf'
dens
Comme un
F'
voIume
queiconques
cholx et
Les
de
des
F'
d = e/f
corpe
n'eyent
.
commutatif
modules
C'
et et
F'
= H'
= ac"
F' e
F"
~tent
~
dens
C',
C",
sur
H"
a(c'/h') corps
nombres De
A.
de
f 0 de le
induit dens
Dens A
m@me,
volume
dens
Si
de
et C''
le
lois
et
per
H",
Ie
ces
1'on
H',
H"
a
dont oO
convlen-
c"/h"
est
un
voIume
a(c"/h")
dens
H'
dont
A
, et
cas
oO
I'on C"
convient
= H"
. Le
encore quotient
rapports
d~pend
duits
le
volumes
0 du
un
nombre
r~sulte
que
proportionneI
melntenent
ext~rieurs
nous
plus
des
eppeilerons imm~dietement
de
a(c'/h')
:
h'
0
deux
C'/H'
= c'lh'
E.
dimen-
a.
volume
un
dens
que
est
des
de
un
a(c"/h")
ne
h"
et
correspond
sous-especes,
h',
f
= fd
A
# 0).
f'
vectoriels,
est
est
e
de
sous-espece
trolsi~me,
l'endomorphisme
c',
m-i@me
f'
ecycllque.
L'isomorphisme ~
, ~
que
est
ext~rieure
volumes
= f ^
~crirons
especes
de
c',
euquel ~
Ie
E
un
imm~diatement
S
sont
e
vectorlel
sceleire
F'
E/F
meintenant
des
et
un
, ~ des
~
nous
(A,G)-syst~me sont
F'
d~terminent
d'influence.
c'est
volume
v~rifie
espace
puissance
E,
isomorphe
. On f,
que de
un
un
ie
= F @
correspond
E/F
volumes
de
conviendra
canoniquement dens
0
vectoriel
sorte
F'
#
dens
des
volumes
~
c"
prendre
~I~ments volumes de
ia
=
h"
de
et
D
c~
(c~
et
c"
invers~ment
pour
Ies
bases
distin~u~s d~finition
' )
distingu~es
des
un
nombre
proportlonnel
voiumes
dens
C~
C'
c'
et
~ c'
.
c"
les
pro-
de
C'
et
C"
et
C"
G-femiiIes
que
II ie
o
-21 -
rapport
de
de
A
c"
sont
en
de
est
Ia
et
•
qua
c G)
tient
du
groupe
de
ou,
ce
de
(A,G)-syst6me
S
un
homomorphisme
de
un
deslgnera une
base
de
ia
un
C
e
les
xi
e(x i)
L'imege
images
des
bases
d'une
{amille
de
bases
de
D.
modules E'
et
E'
et
domorphisme
de
par
e des
{amiiIes et
E"
par
e
~orment et
O,
pes
{acteur terminant
est
~ un du
de
per
des
volumes
des e'
un
{orme
A
par
sous-
pas
rang
On
Ie
qua
e(x)
une
E E
base
de
encore
e
par
qu'on
pour
etles
m@me 8 ( G ) G
dens
des
vectoriels en
a
Les
determlnent
dens
E'
at
E"
appellere
un
en-
images
des
sorte
le
A-
C"
C"
, de
C
les
especes
C'
Iibre
E ,
e de
les
a de
assocle
aura E
~ une
dans
lui
e
reIetivement
de
par
corps, Solt
C,
composantes
qu'on
un
A-moduIe
et
8(G)-
que
image
E'
de
S
aS.
de
bases et
per
quo-
C'
A(eS)
cholx
il
groupe
D.
m~me
designate
se
pros
, et
C'est Ia
homomorphismes
S
et
{acteur
et
acyciique.
tout
l'image
acycIique, torsion
c'
du
n'est
appartiennent
(D,e(G))-syst~me
acycIlque,
ies
, qu'on
A
de
l'endomorphisme
designers
eS
depend
E"
oO
est
(A,G)-syst@me
dlstlnguees
un
qu'on
determin~
du
de
correspondante
e {ournit
de
element
= 1,2 ....
etant
•
S.
pres
commutati~
C
nombre
designerons
systeme
~ 0
a pour
de
un
~ G)
de
base
8(G)
distlnguees
bases
Sl n'est
E' ~
D
G-{amille
trens{orme
bases de
C"
corps
{orme
nous
necessairement
i
base
En p e r t i c u l i e r , C'
et
~ la
E ,
(Y
r c
~ A
d'une
un
nombres
sur
: six
ia
{acteur
homom~orphisme E
de
~ un mama,
est
distlngues
que
lecas
A
per
pros
• Y
pas
un
voiumes
du
des
{orme
module
torsion
au
n'etant
reletivement
corps
la
dens
meme
D(c'Vc')
maintenant
composantes E O
de
revlent
vectorlel
encore
. Les
d~termlne
naturelle
espace
d'un
{acteur
muitlpiiceti{
le
dens
r G
~ un
A, qul
hombres
mani6re
y
eppellerons
Considerons
d'une
oO
vaieur
corps
groupe
des
• y,
le
nous
0 du
(y
dlstlngues
determines
meme
nombre#
volumes
forme
donc
de
A(S)
deux
e"
cela
le
peut est
{orme
un
meme
nombre
e(•
distinguees qui
arriver
o0 de
E'
intervlennent
~ y
sl
0 du
corps
E G et dens
S
Ce E"
de-
O(c"/c').
-22-
Convenons
de
tingu~'es •
dans
de
prendre
pour
C'
C"
8(•
ne
Nous des O,
~ ( e S) tei
et
d~pendra
8S
soit
d~termin~
~
un
gecteur
ne
pas
de
Pour ie
cas
oO
A
et
c"
en
m~me
acyclique ~c" et
= 0 en
a(S) la
on
torsion
des
des
l'un
d~duit
sont
est
la
torslon,
et de
le
de
B de
bases
8
dis-
L'~l~ment
gorme
e(•
S
A
unnombre
rang
~c"
: tc'
~ A
= 1
. Dans
et
second
et
6gal
au
cas,
sont C",
1,
#
, o6
H' de
produit
suggit S
des
, ~c' le
il de
bases
: 0
premier , on
l'ensemble
dans
un
0 du
corps
y
~ G
et
corps D,
•
vient
S1 de
de
consid~rer
acyciique.
distingu~es et
le
, ou
bien
cas,
H"
syst6me ~c'
= 0
Si
lea
c'
et
~tant
: tc"
, H'
,
= C'
I est
de
at
imm~diatement -I = t En p e r t i c u l i e r ,
&(S)
ran~
H"
donc
obtient
acycliques, et
eat
distingu~s,
: c'
trivial
S2 C',
h'
il
syst@me
bien
syst@me
S1
de
correspondants
d'eux
B de
8.
est
la
volumes
moduIes
moduies
par
(A,G)-syst@ma
de
des
le
d'un
du
~(8 S)
temps
h"
Si Chacun
C"
. Dens
de
homomorphismes
pr6s
corps
0 # t
prenant = t
un
a ou
, avec
alors
acyclique.
calcul
est
C'
images
ind~pendamment
torsion
aux
les
e.
le
moduIes sont
plus
appellerons
qua
bases
choisies
correspondant
d~pend
ces
de
volumes
~ale
S S
~
: SI ~ est
S 2, dans
et
Is
S2 somme
tout
ces
1.
l'est
aussi.
directe
volume
derniers.
dens On
en
imm~dletement
PROPOSITION
($.1)
:
Za torsion drune somme directe de deux syst~mes
est ~gale au produit de leurs torsions.
La t o r s i o n il
en
d'un
syst@mm t r i v i a l
~tant
par
suits
~gala
~ I,
r~sulte
PROPOSITION
(3.2) :
Deux syst~mes ~quivalents ont la m~me torsion.
-23-
Oans
le
S = S1 @ S2
si 0S2
l'est
t~e
~
SI
route
C ' / C 1'
est
un
de
de
C'
C"/C~' syst@me
Si syst~me
de
S2
un
est
syst@me
n'admet
pl~mentaire
pas
e
acycllque, mes
dlrectes
du
, C~' ~ C " ~ relati~
(resp.
on
distingu~es, base
9
C"/C~ ~
de
par
SI
S 2 , il S/S I
et
est
est
clair
compl~mentalre
toujours
un
et
former
images,
base C"
distln-
et
appellere
S1
~
S2
est
Nous
dens
le
per un
S
qui
indult
C'/C~
que
sous-syst~me
des
~l~ments
d~slgnera
SI
manl@re
que
sont
l'on
de
d__e
ainsl
d'une
C' ~
l'on
B
compl~-
enest
une
que
sl,
~tre
des
~ de
isomorphe
C~' , est
S
s'ils
que
que
valables.
convenant
sorte
(A,G)-syst@me,
~
C'/C~
pour
corps,
, l'op~rateur
d~init en
sur
C~
trivial,
et
S'il
dlstlngu~e
C'
est
C~' ) p e u t
l'endomorphlsme
:
Si
SI
est
est
S1
dans
S .
ef~et
C',
de
en
sont
de
C'
un
encore
C~
lequel
de
S/S I
les
sont
darts
de
et si
Soient
Ce
(3,2)
S2
pas
S / S I.
sousdirons
. Un
que
sous-
compl~mentaire.
:
($,$)
un corps
S1
que
si
C").
une
C'/C~
S
et
Creep.
distinguee
de
,
n'est
C'
bases
part,
A
A-modules
C~
de
nouveau
et
on
de
canonlque
sous-syst~me
PROPOSITION
et
de
S = S1 @ S
Toute~ois,
est
C~ ~
B de
quotient
et
llbre,
D'autre
un
(3.1)
S , si
~orment
base
~orment
0S2
de
distinguee
endomorphisme
0S1 ~
la r e s t r i c t i o n
femille
une
l'anneau
S I , form~
distinguee
l'homomorphisme
gu~e
suite,
de
C'/C~
o~
0S =
A-module
une
compl@tent
un
Par
base base
~l~ments
a
~tent
une
naturelle
g@n@ral
syst@me
en
par
on
soqs-sy.st~me
relatl~ plus,
,
aussi.
Un appel~
cas
des
espaces
espaces
un s o u s - s y s t # m e
acycliquej
C",
C~,
vectoriels
il e x i s t e
C~' ,
vectorlels; C'/C~
de
le
les
C"/C~'
9 b'
c"/c4':
sont
b"
A com-
~ormant
S/S 1
la ~ o r m e
c'/c 4 :
, si
un s y s t # m e
modules
syst~me
et
S
S
~tant des
eom-
-24-
H' ~
H"
~tant
relatif C"
~
S/S
ayant
~ la
canoniques
image
de
C'
d~composltlons C'
les
p'
C ' / C I'
c o m p l ~ m e n t a i r e de
Cas
cO
A
et
est
et
C " IC I"
le
d'ordre
flnl
piexes
D.
On
salt
qu'elors
~
0
siy de
d~slgne
un
l'unlt~,
en
lee
C'
et
homomorphlsmes
C ' V C I" 9 On a c l o t s
et
h
qu'on
g~n~reteur
C~
= p"~
et
forment
d'un
ces
G
, ce
per
de
les
Bp'
sont
un
cenonlquement
sous-syst~me
S2
S .
l'alg@bre
clique
isomorphes
P"
@
C" = C~' ~ P " ~ @P'
dens
Consid~rons
l'op~rateur
@ous-espaces
at
C ' IC~
de
:
ap"
S1
des
P'
,
~
l'imege
P"
et
sur
C"
= C~ @ P' (D B p "
isomorphes ~
et
isomorphes
et
C 2' =
noyau
P'
sulvantes
modules
4.
le
. Solent
1
pour
lois
cO
, sur A
groupe
A
est
ie
corps
est
v~rlfle
Ie
et
{
c
)J
G
l'elg~bre de
somme
d'ordre
d'un
tous
Ies
dlrecte
d'eilleurs
G
de
cycllque
groups nombres
de
h
facilement.
, ~'
des
raclnes
fini
cycom-
corps En
effet,
h-i~mes
posant h-1
e
= ;
7. J=o
on
obtient
1 = Ze Ii
un
8
relations
e2
,
existe
pond
les
h
el;
el; e ,
,
homomorphismes
, qul
satisfait
de
=
0
A
si
sur
~ #
D,
~'
e
sont
appel~s
les
y
~ cheque
e
=
~ en
& pour
Les
,
Idempotents
de
A
tout
.
~ r A
~e
corres-
-25-
Tout C : ~ e
C
pllcaticn z~ro,
A-module
, l'op~ratlon par
mels
~
sl
C
est
un
D.
L'homomorphlsme
sur
0
pour
faut
et
il
pour
qua
pour
~ ~ ,1
~'
#
sufflt y2
et
i'on
et
B"
que
e
d~duit
(S)
En t e n a n t
de
5.
e~
(4.1) y
s
nent
Kf
Nous
ratlonnels, est
l'alg@bre torsion
{
somme C
peuvent IIs
C
l'identlt~
11 f a u t
et
SI
iI
la m u l t i r~duire
tousie
e
# 1 .
dlrecte
~ se
ont
sur
indulse pour
de
Identiques
h
m~me
rang
e~ ' C
et sur est
suffit
L
S
sorte
C
, ii
pair,
qua e C = 0
G (K,L) 8
entre~nent
le
le
corps
un
sur
La
, et de
nous A
clots
(A,G)-syst~me
de
de
= B" on
en
a
Bettl
Bettl
,
B'
des
(S)
syst~mes
(e~S) d~duit
:
est a c y c l i q u e
8 S
sur
les m o d u l e s
pour
de B e t t i
~ ~ • 1 ).
~ automorphlsmes
& automorphismes, ferm~
G
op~re
tousles
torsion
D
~crlrons un
ce
solt
corps.
sur
l'anneau
: S(K,L)
syst@me
Les
de
sere
= Ae(K,L) propositions
l'a K
,
d~-
conte-
K-L des
complexes.
S
A(eS)
qu'on
Invarlant
nombres
de
tel
llbrement
(A,G)-syst@me
dens :
modules
commutatlf
de
associ~ D.
modules
~ ~ 1 (resp
groupe
anneeu
d'un
l'endomorphisme
lridentit~
sous-complexe
qua
comme
des
est a c y c l i q u e j
complexe un
evec
ci-dessus,
complexes
un
C"
e~B"(S)
pour
K
et
eux
,
Si
eux
C'
composantes
est a c y c l i q u e
alors de
les
induit
solt
homomorphisme (3.2)
0
(resp y2)
prendrons
(K,L)
e
C
compatible
remarques
:
n ~ 2 et en
est
sont
des
Soit au
y
A-moduIes
(e~S)
Application
flnl
eux
S
= B'
~ . Si S ,
dens
iibre,
l'Identit~,
qua
compte
PROPOSITION
de
C :
le
especes
proJette qua
en
.
e B' (S)
tout
e~
d~composltlon
en
ces
A-module
. Pour
Appllqu~e , cette
d~compose
r~duisant
de
~
Indulse
se
y se
. Certalns
sur
S
C
. antlers
A
la
palre
A
~tant
appel~e pour
tout
(2.1)
et
-26 -
(5.1)
PROPOSITION
: Si les paires
toirement dquivalentesj
(K,L)
(K,Z)
et
sont combina-
elles ont la m~me torsion
AB(K,L) = Ae(K,[) Soit nant
L,
iI
sous-complexe
. Alors
et
acyciique, est
un
KDM~L
S = S{K,L)
qui
M
S(K,M) existe
isomorphe
S I : S(M,L)
= S/S 1
un
&
i n v a r i a n t de
ferm~
est
. D'apr~s
syst@me
S(K,M)
un
[3.3),
compl~mentaire
et
en
:
Si
tenant
K
conte-
sous-syst~me
de
si
8S(K,M)
est
de
8Sl
compte
s,
dens
de
(3.1),
e on
8 peut
enoncer
(5.2)
PROPOSITION ~exes
(Milnor)
fermds invariants de
S(K,M) et S(M,L) e e que et l'on a
opposes
s'il
sur avec On
les @
modules
et
modules
s_&i
S
I'un
un
C'
et de
A(eS)
ainsi
~
ces
A[e~]
et des
opposes,
syst~mes
est
fair K
op~rer
et
g
avec G
en
dim
b i ~ dim
les
celluies
les
bi+ 1
e
K~M~L~Kf
S(K,L)
S
imm~diat
es
et
alors
le
produit
a
x b)
celluies
de
Q
et
Qi
le
bl ..... bi
soit "
gl
se
S
~'
des
sont et
~"
de
permutables
bases
distingu~es.
simpIement
que sont
aussi
l'est
torsions
et = ya
x b
, ordonnees
au
1
m
, sur
~tant
des
. Soient de
sommet
on
cellules
de
b
i que
Q bl
~ autoiequel
mani~re de
si
et
complexe g
sous-compiexe r~duit
aussi
du
finl b
opposes,
vaut
K x 0
celIulaire
que,
et
permutant
l'autre
leurs
y(a
en
en
e~
de
convenant
S
modules
dlstingu~es @
si
est aussi acycli-
respectivement,
est
complexe
jet
.
des
prodult
un
sont des sous-com-
syst~mes
S
acyclique,
respectivement,
(i = 1,2 ..... )
de
oppos~ Il
sont
K
C' bases
C"
le
deux
C"
syst~me
et
= I
que
isomorphismes
Consid~rons morphismes
dire
des
changeant
obtient
ses
existe
K j tels que
= Ae(K,M) Ae(M,L)
de
L
et
sont aoycliquess
Ae(K,L)
Convenons
M
form~ "
Oi
par - Qi-1
-27-
se
r~dult
~ la
cellule
(K-L)
x bi =
(K-L)
~tant le
les
bi
x
prodults
par
S i = S(K
x Oi
. Les
cellules
de
(0 i - 01_1 ) = K x O i bi
des
cellules
de
Isomorphe
mension eSi
de
ou bi
l'est
O'autre
part,
,
oppos~ est
aussl
au
palre
et
K x Oi_ 1 L ) L syst~me ou
, il
en
r~sulte
qua
A ( e S i)
x b i)
S(K,L)
Impalre.
Si
= AC(BS)
l'appllcatlon
= S
donc
avec
r~p~t~e
de
~"
et
~'
L x O) =
~tant
impaires.
d'Euler
cellules
~"
- ~'
et
l'on
(5.2)
fini
sn
& deux
Introduisant imaginaires
rotation = z'
=
(6.1)
lab
ristlques
r
z3
~j
sont de
qul
(z! ..... I
la
:
{j
des
de
= X
a einsi
(-1)
dim
bi
di-
.
entra~ne
des
z' ) n+l
le
se
ram~nent
(J
zj
nombres
de
module
A cheque
(Milnor)
:
rotation
d'ordre
convenables,
dens
point
paires
caract~ristlque
~ une
coordonn~es
change
la
dimensions
9
associ~s
conJugu~es,
rotation.
ecyclique,
O de
est
L x O) = A X e (K,L)
~ automorphismes
de
BS
est
la
= (ACES))
de
Complexes
d'une r(z)
O,
AB(K x O,
En deux
A(BS i )
nombre
de
que
~ ,,_C& p
~ i=1
dlff~rence
- Polncar~
(5.3)
6.
La
le
, selon
s =
CI
AB(K X O,
oO
K-L
L x b i)
syst@me
est
et
(K x 0 i ~
~n+l z = ~
~
9 ies
(z I .....
la
forme
= 1 ....
1 appalls
racine
sn
r~elles
z
n+l
ou
~quations )
en
:
n*l)
raclnes
caract~rlstlque
ceract~r~elle
-28-
(donc
~gale
&
•
correspond
cerect~ristiques imaginaires
& une
d~composition de
de
coordonn~es,
ies
droites
de
n~es
z.j
r~elles
quons
les
deux
0
de
par
r
r~partissent
coordonn~es
rayon
, selon
somme
& deux
rotation sont
deux
points
sont
que
= 1
ou
=
~j
coordonn~es
invariants
correspondent
conJugu~es
zj
eta
~.
et
S"
le
simple
les
per de
de
tie
h
P(r)
cet sl
marquis sommet sur
les
par
un
en
~ l'ordre polygone
de
seulement
deux
2-pians
que
P(r)
cyclique
~ixes
si
sommets
automorphisme
G
d per
ies
de
est
Les
points
sont
des
que
h
nous
permutes
au
plus
et
r~guller ou
divi-
marquis sont $n , inva; une
deux au
rotation
y
un
de
pIus
r
encore
per-
points
poIygones
d~slgnerons
per
groupe
slmplexe
invariantes des
r~elles
evec
le
simpiexes
des
La
non plan
h
un
chacun
de
imaginaires
par
m~me
centre
2-plan
dens
~ automorphlsme
enKendr~
de
ou
alnsi
a un
Sur
, mar-
ce
est
inscrit
invariants.
un c o m p l e x e
d'ordre
P(r)
sur
de
ra-
= •
polygone
~j).
cons~cuti~s
~ixes
trans~orm~s
c6t~s
les
r.
coordon-
coordonn~es
des
par
aux
in
cheque
nombre
coordonn~es
P(r),
sphere
d'un
de
l'unlt~.
caract~ristiques
ses
~aces
et
alors
~j
intersection
contient
coordonn~es de
a deux
appartlendra
eile
de
. Dens
sommets
de
points
droites
de
les le
-1
tous
convexe
ensembIe
Soit lalss~s
, dont
toutes
les
et
h;
ra-
correspond
droites
~ini
la
deux
invariants
laiss~s
racines
oercle
forment
r , dont
et
ou
0
d'un
sur
sorte
grouDe
qul
(~gal
par
de
r,
centre
sommets
riant
des
~. , m e r q u o n s sur le J p o i n t DO a r g zj = 0
engendr~
seur
zj
de
racines
de
coordonn~es
correspondent
avec
les
coupies
h-i~mes
1 ; ces
et
et
carect~ristiques
d'intersection
~j
de
d'ordre
racines
recines
en
orthogonaux,
r
des
r~elle,
directe
Invariantes,
aux
points
syst~me
en
deux
la
et
Ce
~n+l
caraot~ristiques
et
se
conjugu~es.
Supposons cines
coordonn~e
imaginaires
cines
2-plans
une
un
marquis se
tradult
per
y
,
repr~sentant
ie
.
un v r a i d l v i s e u r de h (l~d
points pour
z
tout
I
j
tel
que
~jd ~ 1 . Ils
9orment
un ~ u s - e s p a c e
de
IR n+l
somme
directe
-29-
de
certalnes
donn~es <
n.
qui
de
~n+l
Sdlt
tion
droltes
de
plexes
9 qui
r(d )
la
P(r)
avec
pas
autre
n'est de
P(r)
correspondant
P~(r)
~ixes
au
~n+l
aux
ce
chose
de
un
qul
Les
racines
de
r Ps
m~me
un
P(ro)
sont
est
un
pas
d'ordre
d'ordre h),
P(r
distlncts,
sur
r~union
vrals
dlviseurs
s
P(r
)
yd.
par
la
racines
qul
) = P(r) et
G
P~(r)
et
distinct
de
les
sont o primitives
~tsnt
et
un
r
Mals
en
les
arriver
g~n~ral
librement
qui
P(r
oes
)
est
est
- P
Iul< h ,
r
n'est
que
r
solt
complexes f
(r)
alnsi
@
les
(A,G)-syst~mes
,
de
G 0
e(y)
(6.~)
z si
PfCr))
,
sur de =
r
A ~
le
corps
dans On
O
ala
conserve
des
S(P(r), nombres
lrorientation
0
complexes
, caract~ris~ proposition
PCr ))
par
suivante
et si
O
la
racine :
e(y)
#
syst~mes
oSCPCr), 8ont
acycliquea~
pourvu
que
clair
de
trois
P(r)
II
d'ordre
malgr~
sur
0
l'unit~
PROPOSITION
~.
est o caract~ristiques
bien
l'unit~.
caract~rlstlques
de
si
associ~es
J
de
racines
de
S(PCr ) , P ~ ( r ) )
l'alg~bre
de
alors
,
homomorphlsme
h-i@me
h-i&mes
P ( r o)
P(r)
sous-espace z
de
peut
sous-
lalss~s
au
h-i~mes
P(r)
le
O
Consld~rons
A
r
invarlant
0
S(P(r),P~(r))
de
les
sim-
l'identlt~.
coordonn~es
r
P(r)
P ( r ( d ))
est
simplexes
raclnes
op@re
h
dimension
tousles
des
tousles
primitives
invarient des
de
restriction
toutes
de
d
de
oontient
coor-
L'intersec-
sous-complexe
La
racines
(ce
un
par
aucune h
o
est
de
sous-espaoe.
~ixes
sous-complexe
, si
~ ce
de
sous-sph~re
il
r
pas
sous-complexe
primitive
que
ne
= P~(r)
seront
sont
une
2-pians
et
caract~ristiques
qul
que
ne
certains
P ( r ( d ))
o annulant
en
r
automorphlsme
par
de
sulvant de
que
P(r),
moins
sn
et
sous-espace
iaiss~s
d~Ini
~j
coupe
restriction
D~slgnons de
coordonn~es
~ tousles
compIexe par
de
e(y)
8SCPCro ) " P ~ C r ) ) ,
il en est de m ~ m e i •
si
r
eSCPCr)" renverse
PCro ))
l'orientation,
I
-30-
Consid~rons D'apr~s tit~
(4.1),
sur
moduIes (ou
les de
ne
de
Pf(r)
param@tre
sur
see
groupes
conserve y
et
9 ou
de
de
Betti
du
sont
pes
autre
de
sn
sur
(6.3)
induit le
Si
r
cas,
P~(r))
y2)
induit
centre
sur
modules
Sfn Si
r de
suite
Ces de
~tant
continu par
la
m~mes
d~monstration
induit
sur
est
pro-
rotations l'Identit~ 2 r la
groupes.
l'identit~
Betti
conserve
I'orientation,
ces
l'iden-
, Pf(r)).
Ies
O.
renverse
induit
La
(rasp
) ,
groupe
i'identit~
second
r~sulte
de
= 1 ait
Nous
qua
on
Pf(r))
peut
qua
les
A8 (P(ro,)
(5.2),
identiques,
(6.3)
i~
pourvu
Ae(P(r),
Ae(K,K)
que
du
syst@mes.
qua
Sfn
9 $~ ) , et
($n
d'homoIogie.
de
Ii
qua
faite
ces
Per
Ies
suite
moduIes
la m ~ m e
pour
syst@mes.
vertu
soient
chose (mod
de
S(P(r)
peire
d~termin~es,
en
syst~me
la
Ae(P(r), PCro ))'
Et
sn
quey
~ un
S(P(r),
II
sont
montrer
premier
appartient
dane
de
le
r
r2
y2
Betti
autres
de
exempie de
d'homologie)
l'orientation, un
suffit
modules
Betti
groupes
Jection
il
par
e(y)
:~
Ae(P(r) , P f ( r ) )
# 1
#
ou
= Ae(PCr), P(ro)) qua
qua
deux
l'un
et
Ae(K,L)
toujours
un
allons
PfCr)) ,
•
selon
leces.
a
arriver ou
torsions
Ae(P(ro),
complexes
soit
vide.
= As(K)
parmi
Aussi
si
L
ceux
nous
est
Pf(r))
envisages
conviendrons
vide 9
en
sorte
sans.
calculer
Ae(P(r) 9
P(r
))
, et
nous
suppo-
0
serons tiques S'il
h > 2. de
n'y
r en
et
d~signons
~j de
dens ~n+l
Solent qui
sont
epas,
m
touJours
(6.1). d~fini
Soit par
~1 9 ~1"'" . '~m' racines et
P(r)
par
zj
le
la
les
primitives
= 0
rK
~m
racines
h-i~mes
de
caract~risl'unit~.
= P(r
) . Supposons m 9 O, o coordonn~e compiexe associ~e
restriction
zk+ 1 = zK+ 2 =
...
de = Zm
r = 0
au
sous-espace de
sorte
qua
les
-31 -
pour
k=O
P ( r k _ I) l'on
on est
retrouve un
d~J~
o invariant
sous-complexe
&eCP(r),
P(r k)
est
espace
invariant
complexe
un
c6t~
du
~
lule
b
form~
par
de
consid~r~e P(rk),
et
et
r =r m (5.2)
de
de
g(rk),
Les O(r K) ~k ~k exp
par
de
la
e
-1
avec
le
-1
coefficient
~a
que
IC(_~ ~K =
~k
_
r
b
vertu
est
borde
et par s u i t e
~k
qua
b
~igure dens
ou r e n v e r s e
e
de
d'un
une
cel-
cellulelre ceiIules
P(r K) (5.1)
a
est on
une
e
fondementai
(d~termin~
lois
de m e n i ~ r e yPkb
Ies
syst@me
chang~e
ala
sous-
g(rk_l))
un
r
sous-
coordonn~es
complexe
de
et
P(r K)
la r o t a t i o n .
de
le
ceIiule
de
par
un e n t l e r
b
conserve
et
forment
l'effet
. Alors
le
le
~ z k = O.
P ( r k _ I)
dens
= Ae(g(rk),
~K
cellule
et
~(r k)
qu'en
une
de
d~flnlt
par
b
Sous
le c o e f f i c i e n t
seion
et
2~ zk = T qui
arg
zk
P(rk),
le 2 - p I a n
P ( r k _ 1)
sorte
. Solt
(21~/h)
d'orienter
-1
de
e
et
dans
dens
satlsfelsant
P(r K)
"Joint"
, Soit
celiules
evec
+I ou
0 = arg
P(rk_l))
= exp
ie
marqu~
Ae(P(rk),
(2i~lh)
d@finie
est
contenu Dens
points dens
transform~es
- P ( r k _ 1)
n-2(m-k)
d~flnlt
simpiexes les
P(rk_l))
n+l-2(m-k).
nk-1
toutes
Ae(P(rk),
tousles
qui
De m~me,
(6.5)
venons
zk < ~
de d i m e n s i o n
subdivision
qua
dimension contient
tousles
m E k=1
=
dimension
invarlant
zk
et
pour
de
nk=n-2(m-k) poiygone
associ~
b
de
0 <arg
dimension
P(ro))
complexe
P ( r k _ 1)
L'in~geIit~
par
r
d6duit
(6.4)
et
la r o t a t i o n
,
zk
en
la
a
et
mod est
figure
eussi
~k
tei
multipli~
cellule y
h)
y kb ,
a
Con-
dens
De
dens ~Y ~k a
~a evec le c o e f f i c i e n t l'orlentatlon.
1)b
si
r
conserve
l'orientation
1 )b
sl
r
renverse
l'orlentetion
On
a donc
-32-
O'autra
part,
ab = 0 mod P ( r k _ 1)
Dens eu
calcul
sont
de
de
lecas
la
rang
DO
torsion
1,
on
r
evac
i'axposent
lecas pair
DO
r
perca
h-i@me
de
supposent
+1
obtlent
qua
at
6(y)
AeCP(r),
DO r =
(-1) n
et
l'orlentatlon, distincte
un
cholsl
~t~
salon
h,
l'on
= E
=
(~
qua
n
0
eat
obtient
= - ~
PCr
-~
.
m = ~ k=l
))
=-E
Oe
ou
une
+
syst@mas
~E
eat
pair
eat
m~me
at
(~ k -
E
ou
pair,
temps
et
C"
Impelr.
Dens
Wk
im-
qua
la m ~ m e
(6.5)
est
~ une
racine
expression
r~suIte
an
eiors
1)c
salon
racine
C'
reportent
_1)•
exectement (6.4)
DO
Be
9
h en
en
qua
h-i@me
r
renverse
quelconque
de
ou
conserve
l'unlt~
1.
facteur
qua
pr@s
~k
remplec~a
at
(E-gk_
le
; sl
-~k
1)
veleur
forme
l'una ~k
par
catta
de
arbltreirement
conJugu~es
les
e(y)
P(rk_l))
&
e(y)
Reppelons qu'&
l'orlentetlon,
l'orlantatlon,
~ ~tant
de
pour
sl
-1
premier
l'unlt~
(6.6)
ou
renverse
que
conserve
(n ~ 3)
Ae(O(rk),
.
" at
Ek nous
de
la t o r s i o n
n'est
•
. Effectlvament,
des
daux
evlons
reclnes
pris
d~termln~e
nous
avons
caract~rlstlquas
l'autre,
~k
auralt
comma
= -~;-l'=k(z;gk
- 1)
on
eurelt
bien
l a m~ma r ~ s u l t e t
Nous sulvant
sommas
& un t e l
melntenant
an
fectaur
masure
pr@s.
d'~tabllr
le t h ~ o r @ m e
:
T B E O R E M E : (6.7)
: Si
valents,
r'
r
et
P(r)
ont
et
P(r')
sont c o m b i n a t o i r e m e n t
les m~mes racines
caract~ristiques.
~qui-
-33-
Si les
palres
en vertu
P(r)
(P(r),
de
et
P(r')
~(r))
(5.1),
elias
caract@blstlques
vaisnt
~gales
&
~gal
tement
la c o n c l u s i o n .
1
eat
Raisonnant pour
les
vlseur et
rotations
de
h,
P(r'),
~tant
0
de
ont
m~me ou
~ dim
Par
d'ordre
et
r'
r)
ont
-1
P~(r)
< h
d.
r
Cela
ies m @ m e s
et ~tant
d@~Inle raclnes
Si
aussl,
h = 2
les
+ 1,
entraSne
ce qul
supposons h > 2.
P(r(d )) cellules
r'
sont
de
st
les
le
~qulvalents
, le nombre
@qulvalsnts,
(rotation
O
torsion.
sous-complexes
suite,
P~(r'))
r~currence,
d'ordre
comblnatolrement
~iques
(P(r'),
form, s de t o u t e s
ristlques.
r
lea
comblnatolrement
et
1
par
sont
ont ont
vrai
& partlr
d
est
et
P(r'(d ))
lalss~es
r'
caract~-
caract~rls-
dlviseur
par
r
diP(r) d y ,
par
raclnes
comma
caract~rlstlques,
~tabli
de
raclnes
vral
sont
un vral
~Ixes
lea m ~ m e s
de
qul
Imm~dia-
Si
tout
raclnes
is t h ~ o r ~ m e
les m ~ m e s
pour
ceiiss
et
de
h,
& partlr
O
suite
P(r
) st 0
P(r o')
sont
Isomorphss
st
Ies
palres
(P(ro),
Pf(r))
et
(P(r'), 0
P~(r'))
ont
la m~me
O'autre
Ao(P(r),
et
une
part,
P~(r))
expression
9acteurs
~tant
torsion. en vertu
(6.3)
et
AeCP(ro), P~Crl).
=
analogue
~gaux
de
avec
an vertu
r'
de
au
(6.6),
m g k=l
lleu
de
l'hypothOse
de
Pk (E
r.
on a
-1)
Les
premiers
r~currence,
on sn
d~duit m
PK CE
-1)
=
d m ~ k=l
C•
k=1 pour
toute
racine
oerr~s
des m o d u l e s
(6.8)
m N k=l
(;
Pk
-1)
h-i@me (pour
[E
-Pk
de
P'k CE
-1)
l'unlt~ E # •
~limlnsr
-1)
=
et
le ~ a c t e u r
m Y k=l
(E
P'k
en ~ g a l a n t
ind~termln~
-1)(E
-P'k
-1)
les (•
d
)
-34-
Solt
my
congrus et
le ~
a
-- m
theses
du
tion),
lls h)
d'or. qul
(mod
m' le n o m b r e v Les a n t l e r s a
PK"
-~K
(K
= 1 .....
analogue
relatif
, d~finis
par
m)
qui
aux
~K'
v
sont K
parcourant
V
complet
d'entiers
th~or~me sont
et
de
tous
qua
pros
r
racines
premiers
Franz nuls.
~ l'ordre
r~sulte sont
entiers
h),
- m' V
syst~me
(mod
des
v
V
un
nombre
et
(voir Les
primitives
ce
h,
les
ont
satis~ont
s~mlnaire
entiers
avec r'
~
PK'
-PK
antlers
les
d'ordre
pour
une
hypo-
d~monstra-
coincident
~K
" -~'K
m~mes
racines
h,
qui
ce
aux
donc
"
caract~rlstlques
ach~ve
la
d~mons-
tratlon. Dans primitives
une
est
un
appel~e drent
Is m ~ m e
par
raclnes
oQ
toutes
vides,
1
et
le
il
sont
facteur
est
inutile
par
et
don't
l'espace
combinatoire
universals puissance
r
de
et
lents,
et
sugfit
qu'une
il
L(r')
puissance
rk
r
l'orientation,
n
est
le
quotient
une
P(r'),
r' de
P[r)/G
topologique G,
est
= 1 , r
sont
entre
laquelle
que
r'
aura
pour
qua
les
combinatoirement
air r,
les
identiques.
~quivalents,
~qulvalence dans
une v a r l e t 6 k r engen-
et
L(r K)
m~mes
k 6tant
= L(r)
sous-Jacent,
combinatoirement
solent
que
de
et
r, de s o r t e k r Ainsi,
que
L(r)
L(r)
sont
et
et
(K,h)
induit
P(r) k
caract~rlstiques
rotations
suite
L(r')
Milnor
racines
P(r)
Si
et
de
sur
lentlculaire.
lentlculaires
t~ristiques
~
r conserve
des
L(r)
gaut
,
groupe
oaract~ristiques
il
caraot~ristiques sont
~gal
les
h > 2
le
groupe
~quivalence
~ une
P(ro)
complexes
librement
espace
rev~tements
et
racines
d~inition
cellulaire,
sn
Si
pond
cas
op~re
de un
par
d'ordre
complexe
quotient
leur
le
primitives G
les
Pf(r)
lenticulaires,
Darts
impair,
est
toutes
r~currence.
Espaces
sont
o0
h,
Pf(r))
~alre
7.
cas
d'ordre
AB(P(ro), de
le
leurs
r'
corres-
les
m~mes
espaces ~qulva-
raclnes premier
caracavec
-35-
I'ordre L(r')
h
de
sont
r
la
plexes
de
r'
. Oans
ce
cas 9
0
un
complexe
oaraot~ristique
cellulaire
d'Euler-Poinoar~
~ automorphismes
P(r)
x 0
et
ils
ont
la
de
on
que
iss
puissances
membres
de
sltifs,
ils
cines
d~duit
(6.8) sont
comma
~gauc
universels
ci-dessus
rement qu'une
et
puissance
sphere
impaire,
on
ne
r' r
k
de
x
de
r
rien
en
trivialement
sur
0m
et
i'on
d~duit
= -(-1) m
En
r~duit
P(r)
x 0m
~
fixe,
et
de
0
de
x Dm
plexe
N(r)
point
n'ayant
N(r)
se
point
is
un
point
pas
de
volsinage
, et
de
L(r) M(r)
x 0
deux
sont
po-
m~mes
ra-
sont
les
en
d~duit
On
~
Q
sont
un
une
re-
combinatoi-
une
est
vari@t~
On
de
ou
dimension
ouvert.
op~rer
Ies
de
auto-
bord
(5.3)
x Sm-l)
x S m-1
M(r)
disque
sphere
probi~me
9 P(r)
O)
,
groups
singulier
x 0m
est
des
membres les
compte
avec
~
=A e E(P(r))
un
des
point
0
, on
automorphismes
a
aveo
d~dult 0
par
combina-
tenant
@
faisant
et
P(r]
complexe
l'on
M(r)
, en
(5.2)
r@duisant un
ie
. C'est
Ae(MCr)
au
et
com-
caract~ristiques
pour Pour
et
x 0m
x
les
: L(r')
prenant
conclure
Si
sont
ont
x
racines
paire.
0
X
P ( r p)
L(r')
L(r)
P(r)
avec
quotient
connexe,
En
r'
L(r')
et
et
dimension
peut
et
m~mes
Ae(P(r)
Le
simplement
x Q
deux
et
et
~
Consid~rons
x S m-1
laissant
L(r)
d'e•
ces
r
x 0
x O
ales
s'appIique
S 2n
morphismes
complexes
~
torsion.
comma
P(r)
L(r)
m~ms
suite
L(r)
si
~qulvalents,
et
par
Or de
qua
Cela
P(r)
~gales,
caraot~ristiques.
v~tements
une
sont
X
P(r')
~quivalents, en
flnl est
toirement (5.3),
1as
isomorphes.
Soit dont
et
un
= A eC ( P ( r ) )
d'automorphlsmes 0
, image
hom~omorphe en
~
r~duisant
rev~tement
de
un le
est
de
0
N(r)
com-
, saul
espace bord
un
cartesian.
L(r)
ramifi~
x S m-1 en
O.
-36-
Solent m~me
mani@re
N(r)
et
entier
M(r')
tel
sont que
combinatolrement L(r)
=
Or, type
mlnalre,
si
les p a l r e s
L(r)
et
expos~
5)
de d i m e n s i o n
3 non
d'homotople,
par
qui
associ~s
41xe
de
@quivalents, O)
et
de
M(~).
la
SI
il e x l s t e
(M(r'),
entra~ne
m > 4.
= exp(2i~/7)
d'a441rmer
Comme
comme
exempIe
ies ~,~
expos~
hom~omorphes
~ trois
sans
de M I I n o r
de
0')
un
sont
cl-dessus
,
~
8),
, on
~tre
dimensions Mazur
N(r) des
~
d~dults -1
et
voit
que
~,
~
sont
ientlculalres
ayant
ie m @ m e
rotations 2
N(r)
comblnatolrement
,
ont
ce S~-
N(r')
espaces
des
st
(volr
et
~qulvaients
espaces -I
B.
qua
il e x l s t e
comblnatoirement
(volr
ie c o n t r e - e x e m p I e
sont
un t h ~ o r @ m e
permet
caract~ristiques
~tre
ce
complexes
le point
(M(rK),
L(r')
d'homotople,
sl
vent
, O'
combinatoirement
~qulvaIent~s,
hom~omorphes
ctnes
r'
les
.
L(r')
Is m ~ m e
N(r')
~ la r o t a t i o n
N(r') k
et
~
-1
et
,
~
type
de ra-
-2
N(F')
avec peu-
~qulvaients.
C'est
~ la H a u p t v e r m u t u n ~ .
REFERENCES 1.
W . F R A N Z : U e b e r die T o r s i o n (Journal 40r die r . u . a n g e w .
2.
J. M I L N O R : Two c o m p l e x e s w h i c h ere h o m e o m o r p h l c but c o m b i n e t o r i a i I y d i s t i n c t . (ann. o4 Math. 7 4 ( 1 9 6 1 ) p. 5 7 5 - 5 9 0 )
3.
J. M I L N O R : A d u a l i t y t h e o r e m 4or R e l d e m e l s t e r (Ann. o4 Math. 7 6 ( 1 9 6 2 ) p. 1 3 7 - 1 4 7 )
4.
K. R E I D E M E I S T E R : H o m o t o p l e r l n g e und (Hamburger Abhandlungen 11(1935))
5.
G.DE
M. 6.
G.DE
elner Math.
UeberdecKung. 1 7 3 ( 1 9 3 5 ) p. 2 4 5 - 2 5 3 )
Linsenr~ume.
RHAM : Sur ies n o u v e a u x I n v a r l a n t s Reidemelster. ( R e c u e l i math. M o s c o u RHAM
: Sur
(Commentarii
Ies c o m p I e x e s avec Math. Helv. 1 2 ( 1 9 3 9 ) ,
torsion.
topologlques 4 3 ( 1 9 3 6 ) , p.
de 737-742)
automorphlsmes. p. 1 9 1 - 2 1 1 )
7.
G.DE RHAM : C o m p l e x e s & a u t o m o r p h i s m e s et h o m ~ o m o r p h l e di44~rentlabie (Ann. Inst. F o u r i e r I I ( 1 9 5 0 ) p. 51-67)
8.
G.OE RHAM : R e l d e m e l s t e r ' s t o r s i o n I n v a r l a n t and r o t a t i o n s o4 S n, (in " D 1 4 4 e r e n t i a i A n a I y s l s " , p u b l i s h e d 4or the Tata I n s t i t u t e o4 4 u n d a m e n t a l r e s e a r c h , B o m b a y - O x 4 o r d U n i v e r s i t y Press 1964, p. 27-36)
9.
J.H.C. W H I T E H E A D : S l m p i e 7 2 ( 1 9 5 0 ) p. 1-57)
homotopy
types.(Am. Journ.o4
Math.
-37-
III.
TYPE
SIMPLE
D'HOMOTOPIE
Expos~
1.
Le
melles a une
groupe
de
Whitehead
A = 77G
d'~l~ments
de
injection
x
3nm [x)
syst@me
qua
est
de
iim
les
dens
de
combinaisons dens
dens
lin~eires
~.
Pour
GL(m,A)
0
n
donn~e
(x 0)
=
v~rifier
groupes
GL(n,A).
matrices
; on
Dens
for-
< m
on
par
1
que
(GL(n,A),
d~signe
la
x E GL(n,A)
suite ,
(n
par nous
E N)
J
GL{A)
) est un nm se l i m i t e
identifierons &
leur
image
toucanonl-
GL(A). Consid~rons
par
les
matrices
est
une
matrice
d'Indice
qui
Pour que
de
le la
:
dont
vaut
SL(A)
sous-groupe
forme
carrie
(s
PROPOSITION ]
quant
G
1 E GL(m-n,A), facile
inductlf
inductive Jours
,
des
groupe
coefficients
~ "
E GL(n,A)
II
l'anneau
d'un
de GL(n,A)
x
o0
W(G)
G
Jnm
algQbrique)
S. Maumary
de
Solt
(ThQorie
1
tousles
de
, i # j
,
X r A
oO
(Eij)
sont
nuls
saul
celui
termes
est le groupe
engendr~
= 1 - XEij
=
des c o m m u t a t e u r s
i,
dlstincts
J,
k,
on
a,
en
remar-
.
( I + X E i j ) (1,~Ejk) ( 1 - X E i j ) (1-~EjK) .(1-XEij-pEjk+X~Eik)
GL(A)
.
trois Indlces -I
(1+XEij)
I+XEij
SL(A)
l+XgEik
= (I+XEij+~EjK+X~EiK). 9
-38-
ce
qul
montre
que
:
SL(A) Pour lation qua xy
noterons
m yx
quels
~
l'incluslon
solent par
; on
contraire,
~,8
slmplement
qua
SL(A)
, GL(A)
~il~xiste
transformations
nent
~L(A)
v~rlfler
d'~qulvalence
nous
des
C
r
x m y x
, y
blocs 9
SL(A)
. Nous
dans
dont
tels
que
allons
GL(A).
les
a successivement,
introdulsons
pour
1,
x,
qua
effet, blocs y
re-
= ~y8 ~ ,
montrer
En
matrices
x
la
falsons appartlen-
dans
GL(n,A),
; I ~ I Xll I Xll I oXl: xl0; I Xlx i x~ ; I -x
0
En avec
y
dire
que
xy
-x
appllquant
c SL(A)
et
SL(A)
: myx8
, m,
2n
premieres
eat
/
par
I 0
d'abord
ce
SL(A)
st
r~sultat volt
8(yx) -1
qu'il
nous
maintenant
le
0
, ..+g.. ".,I
1
cas
x,
: ~(yx)
-1
de
y r GL(A), et
transformer
qua
xy CG
comme
g
r
G
les
~ yx de
forms
oO
y
, c'est-&-
8(yx) -I
sous-groupe Ia
y = x
, d'oO
montrer
de
oO
~ x-lyx
pour
a suffit
pour
matrices
y
E SL(A)
coionnes
etles
au
qua
Enfln,
J x y x - l y -1 (yx)
9
remarquera llgnes
on
Invarlant.
8 r SL(A)
Consld~rons engendr~
1
x E GL(A) 9
SL(A) est i n v a r l a n t -I -I xyx y r SL(A) . On
0
GL(A)
-39-
s G de
contient ia
base
les
matrices
canonique
mutateurs,
donc
D@finition
I
:
de
G
•
contient
le
distincts
groups
des
com-
commutatif.
= GL(A)/r
est le g r o u p e
G
l'on n o t e -
canonique
GL(A)
:
vecteurs
. C'est un g r o u p s a b $ l i e n que
~
l'homomorphisme
Remarques 1)
est
G
L'homomorphisme T
T(x)
et
deux
On dit qua le g r o u p e W ( G )
ra additivement.
dit que
permutent
A
GL(A)/r
de W h i t e h e a d du groupe
s'appelle
qui (N)
W(G)
de torsion etj pour tout
est la torsion de la m a t r i c e
x
s
j on
GL(A)
x .
:
La
torsion
ne
d~pend
d'une
que
metrics
des
triangulaire
torsions
de
par
et
x
y.
blocs
En
e~et
<: ;I=(10;I(: :I (10 2)
Si
G
= ~
ou
alors
W(G)
Si
est
G
si
G
= 0 un
est
oO
y
Math.
2.
par est
groups
Soc.
A-modules
Etant peut
consid~rer
l'aide
d'une
example le 46,
avec
1,
d'ordre
2,
3,
4,
ou
.
inversibIesud'ordre c'est
cyclique
ab~lien ingini
leces
g~n~rsteur
~ini
dans
A
lorsque de
G
et
= ZG G
.
s'ii ,
= E/5
(c~.
exists W(G) ~
Higman
pour
des
~I~ments
esti~ini u
: Proc.
;
= l+x+y o9
-1
London
1940).
G-~emille
de
donn~e
une
base
toutes
les
bases
matrioe
P
de
bases
~inie qui
torsion
~inies.
(e i)
d'un
s'obtiennent nulle
A-module ~ pertir
(rsmarquons
que
C de
, on (e i)
P
est
-40-
n~cessalrement
O~finition
~ ~
~(P)
P
dens
C 9
evec
G-gamille
donn~
C'
ce
ses
A-moduIes
des
bases
repr~sente
qul
d~ginlt
" qu'II
bases.
s'aglt
donn~es sa
dens
torsion
la
Nous
C
:
engendr~e
(P(el))
obte-
des matrices
telles
de
avec une
somme
cett8
G-~amilIe
dlrecte
: C
> C'
la
matrlce
~g]
C
et
respectlvement.
ne
d~pend
pas
de
de
bases,
d~termln~e
A-moduies
dens
" somme
G-~amiIle.
g
C'
G-gamille
sous-entendrons
Isomorphlsme
correspondre
male
de
des bases
lWensemble
deux
de
A tout gait
de bases
ainsl
= 0
Juxtaposition
dlrecte
~,~)
A
la famille
parcourt
r GL(n,A)
Etant la
G-famille
(el)i=1 ..... n
lorsque
que
l'homomorphlsme
On appelle
par une base nue
vu
carrie,
relative
des
bases
de
aux
A-modules,
G-gamilles ~g]
n'est
repr~sentant
on
de
pas
ies
ba-
unique, G-gamiiles
donn~es.
D~finition que
3 z Pour des modules
~(CfJ)
g : C
(resp.
~ C'
~(~]t)
et on la note
~ droite
) est T(g)
est un isomorphisme
simplej
(I1 est ~vident
lrisomorphisme
simple
3.
que
est encore
la torsion . Bi
ce que
~(~)
~ gauche)
on dit
de Irisomorphiame = 0 , on dit que
lion note
~
r~ciproque
d~un isomorphiame
: C
= C'
(~)
.
simple).
A-syst~mes.
Un G-~amille qua
sa
de
A-syst@me bases,
graduation
est
munle Bolt
une
d'une
positive,
suite
de
: ...
)0 ~
Cn
A-modules
et
Ci
Ci
= 0 pour
i
assez
d1 ~
......
~ C
1
avec
d , [ d 2 = O]
di~rentlelIe
dn C
(resp.
) CO
~0
telle grand.
-41
Un
isomorphisme
d'isomorphismes dl
fl
-~ f i-1
fi
On d i t
taire dn
si
tous
:
C n
p C
t@me
est
trivial
T(f
qu'un
see
i
de
"Cl~'
(i
s'il
)
= 0
;
A-syst@me
modules est
n-1
simple
: C.-z
et
d.i
sont
un
-
A-syst~mes
est
telle
que
~ O)
on
note
est
un
nuls
est
somme
:
C :
systeme
saul
isomorphisme
f
deux
dlrecte
C'
,
(r.)
de
,
~l~men-
Cn_ 1
On d i t
finie
famille
trivial
Cn
simple
une
qu'un
syst@mes
st
si
A-sys-
trlviaux
@l@mentalres.
D~finition valents
4
:
On dit que deux
et l % n
A-syst~mes
s'il existe deux syst~mes
(E)
triviaux
C @ T : C' @ T'
4.
d'un
Un
C
est
:
A-syst@me
A-systeme
...
>0.
exaote
ou,
oe
qui
(C) Bent tous nuls. n il e x l s t e un o _ ~ r a t e u r nd Ii
encore
,
tels que
T'
(~)
.
met
un
est
+ d6
au
Comme
eeyolique
les
: 1 de
m~me,
si
modules
la
les C
n
i
suite
~0
o
groupes (i
d'homologie
z 0)
: C
~C
sent
tel
que
:
ndn
fibres,
C remplaoer
d~formation
= ndnd
si
d 1 ~C I ._._---~ C
deformation
+ dn
de
dit
. . . . . .
revient
avantageux
op~rateur 6d
C
de
d'~quivalence).
aoyolique.
d n > C - - ~ n
H
est
T
sans peine qu'il s'agit d'une relation
Torsion
sont ~qui-
C'
note C ~ C'
(On v~rifie
et
C
+ dndn
n
par
6
: -- nd
+ dn
-- I C
qui
-42-
mels q u l
Joult
de 16 p r o p r l 6 t ~
6 2 = ndnndn = n2dn -
n2dndn = n2dn -
Le m o r p h l s m e C
car
B2 =
[d
+
6) 2 = d 6
Consid~rons
= 1@ 20
Cpelr
B = d + 6
les
+ 6d
eat
e10rs
= 1c
modules
n2dn = 0
suivants
:
Ctm p
de
3
&
C
la t o r s i o n
de
un a u t o m o r p h l s m e de
.
C2t
Ls r e s t r i c t i o n
,
@ i~0 est
pair
un
C2i+1 tsomorphtsme
:
@ I. Cp, e t r
0..
~ Ctm p
Montrons psnd
que
du
que
syst@me
~ 0
C
et
non
de
l'homomorphlsms
l'op~rateur
de
B
ne d~-
d~formation
m
cholsl. et
Solt
n
un a u t r s
~ = d + 6
et
C
o p ~ r 6 t e u r de d ~ f o r m a t l o n
considQrons le
C
pair
T{I
+
oommutatlf
~6)
=
d
.
.
imp
L
m
Ii e s t
d~flnlt
dlegremme
1 + 66
C
qul
1+66
Cim p
pair
car
dT6
+
T
=
d
+
T
+6
~d6
=
u
= d, + 6 + 6 -
1 +~6 tion
est &
Cpatr
un
tsomorphlsme est
~rlangulelre
simple par
car
6 + ~6d la
blocs
=
metrics :
(1
+ ~6)~ de
sa
restrt-
-43-
C
C2
o
CO
/
\
1
0
C2
~6
1
C4
0
"~6
1/
1
/ et
la m a t r i c e
de
se
restriction
C
/
C1
&
Cim p
C
1
est
3
1
0
C3
~6
1
C5
o
~
f
Le d i e g r e m m e
cm q u i
\ montre
permet
de
D~finition 5 : l~on note
1
~(c)
que
poser
le d ~ i n i t i o n
suivente
:
On appelle torsion dtun complexe acyolique la torsion ~ : Cpeir
~(~)
C
et
de ~ Cim p
o~ ~ se d~finit par un op~rateur de d~formation quelconqueJ oarr~ nul.
de
-44-
Remarques
:
Pour tout
i
Z
0
la suite
,
exacte
de m o d u l e s
(sans
G-famille
de bases) dn ~dCi+l ~
0
est
sclnd~e.
phlsme
~
c"
sous-modules
= dCim p
Cim p
-- d C p a i r 9
dans
et c ' .
A-
devlennent et
On a s l o t s
Cpalr/dClmp i n v e r s e de
Cim p
st 0 '
sclnd~s
slots ceres
sntant
la suite
est
o0
K
des
un corps
scalalres,
d
est
et
6
> dCim p . D ' cO
commutales mo-
st les bases
des v o l u m e s
o0
per B
indult
est
vectorlels
y dormant
E@] = ( d o ~ 6 )
dis-
dlstlngu~s
l'isomorphlsme l'isomorphlsme
d~t[a]
=
D(c'/c").
que
T(C' @ C") que
dC pair
2, p. 20].
II est clair
Remsrquons
st l ' i s o m o r -
6Cim p
espaces
Cimp/dCpslr
expos~
et i m p a i r
Par e x t e n s i o n
des
~dCpair
(cf. de Rham,
est
@
A ~ K
~ @).
Cpalr
pair
~0
en
un h o m o m o r p h l s m e
cl-dessus
tingu~es
>6Ci_ 1
Cpair
(par e x a m p l e
dules
lee
se d ~ c o m p o s e n t
Consld~rons tif
Ainsi,
nd ~C i
le
= T(C')
suits ,I.
C'
qua
,
exacts i'
C'<
P'
) 0
> C "
de m o d u l e s ,
pour
.
de syst@mes
p'
,~ C
suits
scindde
homomorphlsmes
+ T(C")
st sl
lee s y s t @ m e s C
C"
C"
est a c y c l i q u e
(il suffit tels
qua
de r s m p l a -
-45
i'p'
+ l93 ''' = 1
q = p'
C p'di'~p"
-
dJ
18
dens
9 n ~tent
si
G-femllle C'
et
C' de
et
C"
sent
dens
C
:
T
T'
et
C
= ~(C')
l'on
En e f f e t
si
T(C)
ve
deux
T(C)
6 2
remener
modules
partlr
de
+ i"nd
,
= qd
eoyolique, set
la
C
somme
)
l'est
eussi
dlrecte
de
et
callas
C
+ ~(C")
C
et
C'
sent ao~oliquesj
= x(C')
,
il
exists
des
syst~mes
trivieux
que
tels
a slots
se
d'q
o~
C s C'(Z)
T
eu
= C' |
= r
R~ciproquement, on
1C
e C'(Z)
C @ et
J = di"6
C",
il faut et il suffit que
Preuve
cO
un o p ~ r e t e u r de d ~ f o r m e t i o n dens
+ Jp" -
bases
: Pour que
1
C,
i'q
~(C)
THEOREME
i C (~
q
CI(
= Jd" Donc
sl
per
-
ces
non
nuls.
, ~
l'alde
T'CZ)
. pour
cO
C
Pour de
montrer
que
et
ne
cele,
C' on
C
comportent
d~flnlt
l'op~rateur
de
~ C'(Z)
un
si
z(C)
chacun
systems
d~formation
que
C8 8
= ~(C'),
tel
& qua
0
=
CO
:
...
~0
d
~C
> ...
>C 3 ~
n
(~tent
entendu
oonvenebles
eux
que
lee
modules
d
~C 2 |
8
homomorphtsmes figurant
eux
not~s
d+ 6 CO ~ 6ed
lndlquent
extr~mit~s
de
P C1
les cheque
pO~-pO
restrictions fl~che).
-46 -
LEMME
:
(i)
C ~ est de longueur strictement plus petite que ([a longueur est le hombre de modules non nuls)
O
(ii)
9 (C ~ ) = ~CC]
(iii)
C
D~monstretlon
5
:
C2
C4
0
0
8
,
trivial.
:... :
C|
= ~
dens {iii),
+ ~
C8
d, ce
qui
>C
. . . . . . . . n.
)
(ii) 9
C0
C2
C4 . . .
0
0
6
~tant
T(C ~)
,coi .o d
= T(C)
d6)I
2,, 0 ~
d
CI@ :0
d+O
,~ 1
,io ) c0
~0
>0
-1
0 I
T I
]0 -~--~ 0
P
C
: ... ~ 0
~Cn~...
~C3---~02@C
0
)0
> 01
)0
d+5 Ii
est
commutetif
; v~rifions
lab
commutativit~s
non
qua
la d i i ~ f ~ r e n t i e l l e
.(x)
c 6"
remarquons
is d i a g r a m m e
__~C --.->C @ C
n3
8
donne
consid~rons
,O in ~0
montrer
C5
d
C
Pour
9
~
montrer
C(~)
est
CO
la d ~ f o r m a t i o n Pour
~
(i)
B = d + 6 et
6
~videntes
:
-47-
C
C2
CI
9
CO
,C= I
~
CO
(d * 8~el
9
C2
0
CO 1
solent
c2
r
~(d+l)(c2+c
C2
O)
dc2+6c 0 =
co
c
= ~(dc2+c
O)
CO
on
;
=
a successlvement
(1-d)(dc2-SCo+C car
( d + 6 ) ( c 2 + c O)
encore
Voyons
,
0
d6 I
O) = 1
co
= dc2+6Co-d6Co*C
Co
0 =
9
:
d+O
f
?i ~
4
4
CI
solent (0+1)
C
0+1
Co
~ ( C l + C O)
.
~C 0
co r CO
on
;
a successivement
=
(0+1)(1-d)(ci+6c0+c
=
(O+l)(Cl-dCl-d6Co+Co+6C
=
(0+1)(Cl-dC1+6c
~tant
deux
de
forme
...
>C n
: ....
)Cnp
:
w
i~ C
lemme
tous
-1
C
cI r C1
Le
c
9
le d
~ C
d |
~
~tebll,
n-1
C!
n-1
O)
on
O)
=
peut
=
O)
I
=
dc I =
supposer
(-1)(d+O)(Cl+C
que
~ 0 . . . . . . .
~0
> 0
yO
......
C
et
O)
C'
avec
sont
z(d)
= T(d').
-48-
On a d o n c
:
C
: ...0.,
CaT
:
..
,o
:
C'@T'I
qul
5.
,C
montre
> C
existe
qua
une
g
qu'on
note
n-1
~qulvalence
deux
On d i t
homotoplque
: C
>C'
fg
= 1C,
et
A tout
M[f)
= g
qu'une
s'il gf
§
>0
__~,..
> 0 ....
-)-0
~ 0
homotoplque.
A-syst@mes
application
f
pO
@ 0 ' n-1 --~ 0 ._-, . . . .
C dlt
et
,
on
de
syst@mes
f - g = d'h ce
; 0__#,..
C s C'(E).
donn~s f,
=1 m
n
+C',
d'une
syst~me]
~]
, , ,13__~Cni C'n
n
Torsion
s'il
del
~C'
I.
0
Etant (de
-I
~ fli rl
C'
ce
~C
l/
Cl:)
~C
C'
qua h
et
f
deux
et
: C
g
applications
sont
~C'
telle
En @f
m
. application
exlste = 1C
une et
morphisme
f
:
C
~C'
application
l'on :
f
note
C
J,C'
f
g
est
: C'
: C ~ C'
on
peut
une
~qutvalance
>C
telle
soient
a f ( c i _ 1 + c~)
ci_ 1 r
Ci_ 1
=
@ (-dci_
1
=
-fdc
+ d'fc
I-1
9
+ f c i-I
I-1
Ci
e
C
le
- d + f
i
+ d'c~
= 0
qua
.
associer
B'f = d'
P
Ci_ 1 @ C i
effet,
qua
+ hd
suivant
M(f] i
homotopes
,
) =
on
a
syst@me
-49
On dit ou
is
cone
suite
0 est
st
Si
f
exacte
) M(f)
est
en
une
tent
) C
que
suite
~qulvalence
~Hi[M(f))
que
H(M(f)) Ainsi
H(f)
6
D~finition pique
f
(mod
C)
)0 de
A-modules.
homotoplque
Si
C ~ C'
, la
suite
= 0
pulsque
M(f)
un
est
: On a p p e l l e
:
9 (f)
f
C ~ C'
et
= ~(C')
-
l'~quivalence :
H(C)
H(C')
st
systems
torsion
Y HiLI(C')
> .... isomorphes
sont
acyclique:
d'une
~(f)
~(M(f))
dquivalence
de son c y l i n d r e
homoto-
(mod
C).
: f
St
H(f)
;Hi_I[C)
f : C ~ C' , la t o r s i o n
Remarques
2)
l'application
d'homologie
montre
1)
de
A-syst@mes
sclnd~e
Hi(C')
par
de ~C'
exacte
is c y l i n d r e
f
de
La
est
M(f)
que
-
C
=
C'(E)
En
effst,
sans
un
isomorphlsme
.
si
C,
~(C)
C'
sont
~(f)
hypoth@ses
do
MCf)
:
M(1 C)
: ...
....
a
un
lsomorphisme
simple
= 0
l'isomorphisme
sur
C ----~ C 17
est
f
sur
MCf)
~0 ~
on
.
homotoplque alors
acycliques,
M(I C)
:
.@C '
,-d
,17-7
i
17
f,
1 $
-1
est
n-2 @ C'n-1 ~ " " ' ~ C O - ~ v
1el
~0
~Cn~Cn_IeC
n -de(d
> Cn - 2 @Cn_I --~. " --)'Co +1 )
-50-
O'autre M
sulvant
o
M
l+d
part,
:,
,.
'r~ :
Icn ---~0 ~ C
~(1 C)
r
9 Cn
1!
= 0
est
s'~crit T(~)
. Consid'~rons
le d i a g r a m m e
~ M(~)im p
qu'il
9 (~) ~(f)
~
est :
est
commutatif
+ T(1C)
= T(~)
""
~0
~
et
=
C
~
"
de
pair
~
--~ CO ;,0
A-modules
suivant:
C'
imp
-1
: Cpair @Cim p
il f o u r n i t
la
relation:
- Z T(~21+1)
encore
= E
(-1)
i+1
simple,
: C = C'.
m(~ i ) 9 (~i ) = 0
pour
tout
i
et,
par
consequent,
0
ne d 6 p e n d
homotopique tels
l"f
~M(1)im p
i Si
syst@me
~C
Cn - 2eC n
~Un_ I ~ C n
= Cim p eCpair
~vident
au
l
t
Z T(921)
qui
~ C
x~ 1
1"~ 1
M(1)pair
isomorphe
1Cn_1 +0 C
: C imp @ C' p a i r
M(~)pair
3)
simplement
trivial)
o
~O --+C n
Ainsi,
II
(M
est
1
M(1 C)
b
M(1 C)
qua
g
qua , car
de
la c l e s s e
sl d e s
g - h = d'k
+ k)
est
un
morphlsmes
g,
de h
l'~quivalence
: C
~C'
sont
+ kd k
alors ~Q
d'homotopie
: C
Isomorphlsme
) C' simple
de
M(g)
sur
M(h)
.
-51 -
4)
Si
~
: C ~ C'
piques,
on
,
g
: C'
i C"
e~et,
le m o d u l e
c i!'
deux
@quivalences
homoto-
a ~(g~)
En
sont
e
ci
O
1
:
= M(~) c~
Q~
+ ~(~)
~(g)
@
MCg)
~
,
muni
de
la
di~rentielle
ci-1
d" '-
Ci-1 set
un
A-syst@me
et
)-M(~)
0 qul
i-I ~L ~ on
a
- - )
la
Ci-2
suite
D
exacts
> M(g)
>0
donne
9 (O) D'autre
pert,
~(~)
=
le m o d u l e
+ z(g)
O'
.
: M(gg)@
M(-1C,)
muni
de
la
dig-
g~rentielle
"
est
un
A-systems
0 ce
qul
g
et
~1
a
la
d'
suite
D'
exacts
p M(-1C,)
>0
donne
et
c o m m a Iel
~-~elest
on
a
: ~(D')
T(O)
? :
est simple me simple
l'on
~M(gf)--+
T(O')
O~finition
d'
= ~(g~) un
Isomorphisme
d'oO
notre
h
assertion
On dit qu~une ~quivalence
stil exists des syst~mes tels que
le diagramme
simple
de
BUr
D ,
9
.
homotopique
triviaux
0
T,T'
~ : c ~ c' et un isomorphis-
-52-
T
C
C eT
soit
simple,
~ z
Preuve
:
i
une
est
La
~quivalence
et il suffit
condition
est
~qulvalence
que
~C
T'
homotopique
~(~)
n~cesselre.
homotopique
r
0
~C'e
commutatif.
Pour q u ' u n e
il faut
> C'
h
homotopiquement
THEOREME
-
= 0
f : C ~ C'
.
Remerquons
; en
soit
effet,
tout
la
d'abord
qua
suite
S
.~ - ~ C ~ T
m
~ T
~0
P est
sclnd~e
d~formatlon
et n
comma : T
C@T
T
est
bT
,
Ir
= sp
ecycllque,
1T
= d"n
+ rid"
suite
qua
p' sl
I'on
9 On
s(d"rl
+ nd")p
=
=
sd'~Ip
+ snd"p
=
+
[snp]
un
op~rateur
peut
alors
T(1)
est
>M(1C = 0
d
applique
les
)
~M(i)
~T
~ 0
une
r~sultats
~qulvalence cl-dessus
homotopique &
le
suite
simple exacte
S'
volt
~crlre
.
~gelement
O'
on
de
exacte 0
montre
admet
=
= d[snp)
La
il
qus
p'
0 = T(1T,)
)T'p~,C'
est
un
@ T'~
inverse
= T(p's')
~C'
homotoplque
= T(p')
+ T(B')
~ O
de
s'
= T(p')
et
:
-53-
Comma
?
est
homotope
~
p'hl
T(f)
La c o n d i t i o n is ce
plus
sur
k
inf~rleure g
: E
est
Indlce
n
qu'il
exlste
des
~
et
application
k
une
= C @T
= 0
suffisante.
grand
tel
)E'=
et
comme
C
syst@mes
~
0
est
un
isomorphlsme
(Cette
hypoth@se
O~signons et
simple
consid~rons
par le
en
trivialement
B
Im
=
d
diagramme
0
et
f
par
T'
a
de
DE
H dont
~. EK/'B k
groupe
los
&
)C'
: E' k - 1
.
k:O).
pour
le
r~curren-
dimension
, p'
Inf~rieurs
par
syst~me
= p'gl
: C
vraie
suivant,
) Nk
T,
i
degr~s
est
, on
d'un
. Montrons
avec oO
qul
dimension
trivlaux
C' @ T'
= 0
.
Appelons
qua
T{h)
d'homologle
lignes
). B k _ 1.
sont
de
exactes
> 0
i
m
On
en
d~dult
qua
g
est
un
Isomorphisme.
0
,, B k
~- E k
o
,.
,
r
Le
dlagramme
EK/B k
exact
~0
,L
montre
alors
g' telles on
a
= E~
qua dono
qu'il
des
applications
~ Ek
l-gg' ~g'
existe
~0
= d's' = g
~',
s,
(g'
se
~'(1-gg')
oonstruit =
~,-~g'
,E .l
,
en
relevant :
o
g
~'
;
:
-54-
ce qul
montre
que
1 -gg'
d
E' k+l
On
P : EK.~.-,tB ~
i
;
enfln
S
1-gg'
rel@ve
'
.
, B~
pose d
del
.
d
> EK_ 1 ---.-.---k , , . g
g
2
. . .
oO
gk
est
un
stationnaire
C
Ek -
d' isomorphisme
Lorsque
E k r E~
-g
d'el
T'
k ) {dim C. dim C ' }
i
saul
Isomorphlsme
C
@
avec Ia p I u s
car
0
0-
De Isomorphlsme
" " J
,
on a b o u t i t
& la
situation
suivante :
trlvlaux;
dlmenslon
-I
simple.
T
g
plus,
9
> C'
=E T,
d'
f = p'gl, grande,
et
,H
>E
".~j[n
/B nl n
~ Hn'
~ En' I B 'n ~
= T(g)
g
Isomorphisme
c'est-&-dlre
le d l a g r a m m e
simple.
~ C'
=E'
dens
:(f)
p'
T'
n.
commutetlf
Alors
& Iignes
§
= • T(g n)
simple
en t o u t e
gn
est
un
exactes
>0 i~-1 B~n -1
= 0
B
~0
.
Alnsl,
g
n
est
= B' = 0 n
un
-55
TYPE
IV.
SIMPLE
D'HOMOTOPIE
Expos~
1.
CW-complexes
(Pour An
introduction
Un s~per~
to
r~unlon
~tant
tenue
dens
r~currence
Homotopy
pour
une
le
sous-complexe
de
la m a n i ~ r e U
Chap.
41nl
application
un
pourra
consulter
VII,
K
"cellules"
est
en
: HILTON
Cambridge
1961).
un
topologlque
espace
telles
:
qua
continue
(K m=
hom~omorphlsme
K n-1
lecteur
localement
~ ( K n , K n-l) un
Maumary
Theory,
de
g~om~trique)
cellulalre
d~tails
disJolnte
( o n , a o n)
415n
de
(Th~orie
S.
de
homologle
CW-complexe
e n = 4 ( D n) 4:
et
plus
-
r~unlon
sur
en
4ini.
des
et
cellules
cheque
Autrement
e i pour
cellule
dlt
K
i ~ m)
~tant
s'obtlent
con-
par
sulvante Dn
canon.
Kn-1
On
Kn-1
t.J4
=
~
e
n
disJointe 4
est
une
dire
application
cellule K n-1
application
de
4
dimension
L~ 4 O n
Pour Toute
Si
n
> K n-1 de
> Kn-1
des
4
= 4'
exlste
une
bord
LJ O n
g
4
~L
homotople
on 4
peut
pour
~ K n-1 K
et
: K ~ L
(c'est-@-dlre
: K.
pour
, elles 4t
On
sont telle
g ( K n)
le
la
~
connaissant K n-1
nouveau
nouvelle
complexe cellule
) .
admet C
Ln
une
approximation
) .
cellulalrement
homotopes
que
n+1
4t
une
a
on
continue qua
Ainsi
attacher
de
L) 4 L.
e n.
i~ormer
ceract@ristique
CW-complexes
application
cellulalre 2)
ao n
(l'applicatlon On
1)
:
caract~ristique
(K n ) C L
) .
(il
est
-56-
3]
Tout
rev~tement
4)
Si une
K
application
~I(K) ment
de
~I(L)
f : K
de
K),
complexe
a
est
, ~n-1) le bord
induit
que
singuli~re
sur
~
2.
Passage
, ce qul
systOme
K
induit
est
l'homologle de
d'un
fibre
(on c o n s i d ~ r e
C(K]
des
groupss
~ coefficients
(s
entiers)
,~n-2)
associ~e
~
du s y s t ~ m e
(~n
~n-1)
eat
, j
HI(K)
1K),
pour
cellule
au-dessus
est
9 ~n-1)
~gale
~ l'ho-
sont
libres
localement
~ini
~ un
de bases.
~n-1)
et i n d u i s a n t
C(K)
H (~n n
CW-complexe
un r a v ~ t e m e n t
= Hn(Kn,
rev~te-
homotopique.
le syst~me
singuli~re
(K
par e x c i s i o n .
avec ~ a m i l l e
Cn(K)
>H(~)
une ~ q u i v a l e n c e
K .Les g r o u p e s
~C(K)
tons
H(K)
J >Hn_l exacte
un i s o m o r p h i s m e
canonique.
se voit
~tant
~n
~
relative
de la suite
par l'inJection
mologie
>L
a >Hn_ 1(s
On sait
CW-compiexe.
K, on a s s o c i e
H (~n 9 ~n-1) (homoiogie n muni de is d i ~ r e n t i e l I e Hn(~n
un
et un i s o m o r p h i s m e
universel
A tout
est
simplement
C'est comme
lequel
un
~I(K~
le g r o u p e
une base
de c h a q u e
connexe
K, nous
-module operant
naturelle
cellule
de
pose-
~ gauche
~ gauche
est ~ o r m ~ e
e n ~ K . Toutes
sur d'une
les bases
n a t u r e i l e s e n g e n d r e n t une m~me ~ l ( K ) - ~ a m i i i e . II est c l a i r qua Cn dn )Cn_ 1 c o m m u t e avec ~I(K) de sorte qua C(K) est un ~I[K)~
-syst~me
~ gauche.
Une a p p l i c a t i o n application application
cellulaire C(~)
de
cellulaire ~ : K C(K)
)~ dans
: K
~L
se r e l ~ v e
(non unique) C(L)
associ~e
en une
qui induit
une
~ l'homomorphlsme
-57-
4,
: HI(K)
la 4 o r m e
)HI(L) ~
,
a r HI(L)
l'automo~phisme Si homotopes
F~
et
donc
: K
ft
(qu'on
de
4t
~gal
FI
Induisent
~C(41)
= C(4 o)
cation C(4)
' 41
par
rel~vement
partlculier,
4
continue, d~41nle
]
THEOREME
~quivalence induise
Preuve
4
rel~vement
de
Aiors
-~ 1 [
~;
~ '
--
Ainsi
si
oO
~ une
1E . C(4)
car
~?'~ =
4
est
Si 4,
,
alors
et
alnsl une
4
:
,
oa ~ t a n t
applications
cellulaires solt
Ft
F 1 = a41
un
,
(associ~es
&
4o,)
. C(4)
= C(~)
approximation pr@s,et
pour
touts
cellulalre
isomorphisme
continue
4
:
applide
simple
K
4, pr~s.
soit une
)L
4 : K = L , il faut et il suffit qurelle homotopique
~
C(4)
: C(K}
un r e l ~ v e m e n t
homotoplque
I
>?~'
de
g)
= ?~'
44'~
~ C(L).
de tel
4, qua
et
~'
un
4'f
: 1~
.
sl
K ~ L,
C(4)
est
(volt
peut
zC~)
de
la
Indult
idsnti4ier C(4)
torsion
= zCCC~))
de
C(4)
=
~qulvalence,
Hilton,
homotopique
comme d ~ 4 i n i t i o n
une
l'homomorphlsme
on
= 1E C(4')
C(L)
~quIvalence
:
4,
de
par
homotopes
application
= 1[
que
l'~quivalence
o~
est
si
R~clproquement,
donc
homotople
en
cellulalre),
pose une
rel~vement
t = 0 , donc
= 4o,
l'on
(inverse
C(4')
isomorphlsme,
pour
: K -: L , soit f'
deux
supposer
~ est
homotopique
Si
sont
oa 41.
une ~quivalence
:
~L
4,
Indult
applications
Pour qurune
:
HI(L)
4~
eutre
change
de
~
,
~ . Touts
qul
peut
des
En
est
ce
int~rleur
fo
par
d~4inl
deviant
r NCHICK))
4
Homotopy
HI(K)
4
per
1
C(K)
4,
est
: H(K)
theory,
avec lin~aire.
~H([) p.
HI(L)
un
113).
par
On p o s e
-58-
Soit (suppos~e
M(f)
, Is
cellulaire),
cyllndre
de
c'est-~-dlre
l'appllcatlon
l'~qulvalence
Is
quotient
r
(K x I ) u
L------+KuLu(K
homotoplque
de
(KxI)~
L
f, per
x ~)
donn~e p a r r
= x,r
= f(x),r
= (x,t),@(y) x
C'est f
un
CW-complexe
)L
: K
fl@che
~tant
l'InJection ~I(K)
sclnde
une
r@trectlon.
(resp.
K
~quivalences
est
obtenue
en
(O,13
&
Cn_ 1 ( L )
Dono
que
T(f)
D~finition ple si
C(M)
e n)
et
: Une ~ q u i v a l e n c e
dWhomotopie
On note a l o r s
K
K
et
.
.
sur
L
et
deuxi~me
pour
r
~ 1,
isomorphlsme
)L
une
naturelle
base
naturelle bord
de
dans
le
C(M)
@
et de
= C(M)
L
et est
de
C(M)
de
C(L)
donn~
par
d Cn_ 1 [K)
de
mod C(K)
: K ~ L(Z)
obtlent
C (K)
@" ' ~
oylindre
, on
C(K)
1
si et s e u l e m e n t
~ L(E)
e I
K ,- ) M
homotopique f
t
; la
un
[K)
est
et on note
=0
(M,K)
-
(C(M,K)
,
>L
Cn - 2 (K)
mod C(K)
~(f) ~ 0
d~formation
indult
is
Cn
On dit que simple
base
~)
= T(C(M,K))
per
, ainsi
C(f)
e L
.
une
@
d
On v o l t
~
Juxtaposant
C (L)
y
~qulvalences
) M
identifi~
M
~I(M)
lea
K
r
dens
,
M(f)
Doric
L)
) sur
relevant
r~tracte InJ.
K
(resp.
~I(L)
des
(e n x
se
se
de
En
qul
r K
= y
C(f) )
mod C ( K ) .
.
f : K ~ L
est dite
.
appartiennent
au m~me
si il e x i s t e
f
: K
type
~ L(Z)
sim-
-59-
THEOREME
2 :
binatoire.
Le type simple d'homotopie
(En d'autres
tion identique Preuve
:
de
(M(i),
K K)
termes,
3,
expos~
2)
O~formatlons
Si tel
qua
une
O
dont
est
op~ratlons traction melles
une
une
K n = K'.
la
une
fl~che
expansion
On a
THEOREME
$
classe
formelles
F
homotopiques
.
donc
= 0
application
de
Ki-----~Ki+ 1
indique
la
K i , une
K
Ki
fondamentel
de
mod
O.
Une
form~
O,
K
suite
son et
la
relation
de
est finle
inverse
de
deux appel~ de
une
telles con-
contractions
et
for-
avec
formelle IF]
forme
des K
F
K0 = K ,
=
(K i)
on
appIicatlons > K 1.
l'InJectlon r~traction
: II
si
K
7K'
>K r = K'
> ...
si
con-
1+1 est Ki+ 1
est
une
une
.
K'
Pour que
est l~ensemble
d'~qulvalence
(Klli=o,..,n
[FIEF-l]
. LWensemble
simples.
(~ a u t o m o r p h l s m e s )
9ormelle.
d'homotople
de
K
premiere
deformatlon
de
de
formelle,
formelle
teile
Soient
K ~ K'(Z)
K)
= 0
K) O T
d'expanslons
K 5 K'(O)
m~me type d'homotopie. que
suite
= IF 2 F I ]
:
la
expanslon
d~formatlon
formelle
[F4EF ~
(M(1K),
= T(1 K)
syst~me
~l~mentaire
Une
formelle
contraction
un borde
appel~e
une la
T(i)
est l'applioa-
K' , on a T/i]
de
= C(M(1K),
sous-complexe
d~formatlon
alors
contenant
un
seconde
notera
Pour
K)
admette
formelle. une
subdivision
entraine
formelle
On
sld~re
0
sara
sara
exlste
qul
est
la
expanslon
~K'
oom-
formelles
K mod
cellules
oO
ce
i : K
dans une subdivision
C(M(1), (cf.
si
est un invariant
des
= [I]
deuz CW-oomplexes K ~ K'(D)
EF]
, il faut
pour routes
des classes
connezes,
du
et il suffit
les d~formations
d~homotopie
dr~quivalenoes
-80-
Preuve
: La
une
expansion
dre
de
J
n~cesslt~ formelle,
l'Identit~
: Ki
est
~Ki+l
T(f)
= 0
. Si
donc
est
simple.
sion
ou
le
pius est
g
un
une
mod
une
d~formatlon O
en
vertu
K
du
est
formeiie)
solt C(P,K) 0 ... U
C(Q,K)
est
O
donc le
d
Iemme
Donc
P
P
2,
0
est
une
rei
K.
~
L
: en de
L(D)
K
dens , on
. Enfln
Par
i
Avent falsons
quelques
s L(~)
n+l es
K
n+2 eI
L)
vlent
P
part,
telle k_) de
r
CF] de
(F
T(f)
et
rel
f
ces
entraSne
de
P
si
deux
. D'eutre
cylin-
; l'InJectlon
f
expan=
0
.
le
cyllndre
il
exlsta
qua
...
volr
n+2 et
U
qu'elors
yC(Q~K) ~ C(P,K) 5 0 ( Z )
.
kO
~...
simple.
En
perticulier
formelle
ailleurs si
.~_-~0
P
K
= K
se o
U
F1
s = t de
contrecte en
oO
K
st
rel
K
touJours
en
est
(en+l
= e
n
x
o I
,
Po
cyl.
de
. Per r~currence sur les cellules o obtlent une contraction F2 : P ~L : K
>L i
> P
r r IF2]
d'eborder remerques.
se
sclnde
une
la
o
)
princi.Donc
an
r
pour t o u t
@IK
~L r
d~monstretlon
.
,@ ~ [ F2 F I J des
lemmas
par . for-
,
P
@
~-CF1],
: K
. On
effet,
K Comma
@
d@formation
n+l
= Po U e n U e
de
K
r EF]
n+l
isomorphisme
contracte
pales
~ C
un
Bur
f
les
le
est
forme
ast
principele P
se
d n+2
s K(D)
mellement lule
~ C
le
dens
~ O(Z)
1 ~-dessous
de
un
qua
C(g) ~ C(P) t e l C(K) Or
est
homotoplque
donc
lemme
Ki
inverse
volt
U
F mod
>Ki+ 1
Donc
On
n+l eI
de
: Ki
slmple.
formelle
= K U
F
~qulveIence g
e
sl
~l~menteira
[F-I~,
On
car
syst@me
R~ciproquement @
cylindre
c
contraction
de
~vldente,
indlqu~s,
cel-
-61
Supposons
qu'on
sit
-
deux
complexes
partir d'un compiexe K en a t t a c h a n t n e 0 , e~ par deux applications 4o , homotopes
par
ft
disjointes,
le
K u
e~
e~ ~
9 Alors
compIexe
une
)Kuen
se
contracte
suffit
de
sur
O~
former
attachant
&
n+l-cellule
kj n el
o
un
K
une
complexe
Q*
on
suppose
qua
traction rei
K
c'est
un
d'une
n-ceiluie,
F
O*
&
ces
des
~
De
la
comma
m@me
si
cellules &
sous-complexe
rencontre
ni
eno ni
situation
suivante
K*
tei
dans
Q*
K*
qu'il pour
une
0*
F'
, on
se
K*
e~
consid@re
formelle
Nous une
que
expansion
peut K*.
obtenir II de
O*
est
q
~ 0
de ).
Ia
F'
est
form@
a prolong@
formelle n que e
: par
permis
un
q-cellules
r@de
qu'on
ne
une
rencontre
alors
d'aJouter
l'expansion.
complexe
t o u t e d@formation 4 o r m e l l e
y a autant
par
un
d@fini
K
prolonger
est
K
est 0
dirons
dens
formeiie
FF'(0*)
tel
F
dens
d@formation
K
~
=
remener
. Aiors
-K* est
~
contraction
K
F
tout
en
que
peut @tre prolong@e en une d@formation f c r m e l l e (c'est-~-dire
: on
01
n
9 c'est-~-dire
K*,
' il
rencontrent
ne
qui
e
ajout~es
O*
se
et
contenant
4ormeiIe
derni@res
" e~
(x)
o
O~
e
Be; C 0
g:I~ual~Iul~o--~
entre
Plus g~n@ralement, s i le
e on
. Si
sous-complexe
admet
complexe
d@formation aucune
01
sont
attachant
, y E ai n
en
obtient
en
x e in
. Be?m C K* peut ~K Donc, par une
on
obtenu
, e~
4t[Y)
K
K*
si
sont
g(y,t)
celluie
~
qui
n eo
= f
interm@dieire
K*
K*
sous-compiexe
0*
=
ceIiuIes
g(x,O)
n
O*
>K
1'application
complexe
un
Car
en+l
e~ U
par
K.
les
41(x)
cels
et
rel
form@s
g(x,1)
et
Appliquons un
en o u
01
respectivement $n-1 41 :
0 o s 01(D) K U
O o,
contenant
K*
>K
Q*
dens
~Q 0
tel tel
- K
K K
que
-62-
1
ZEMME
Si
:
v@rifient Q
~ P(D)
~I[P,K) rel
pour
n
th@se
assez
:
vide).
L)
e
n+l
de
n+2 eI
U
S
( > dim
(P-K)
U
+ 3
un c o m p l e x e
~ p-1
,
...
L} e
n+2 r
)
r@currence
dimension
: 3DP
#. 1
#i
le 8 o u s - c o m p l e x e
: P
- K
(pour
p
ne
= O,
contlent l'hypo-
Soit
applications
donc
...
Hypoth@se
de
#1"
les
U
grand
celluie est
et
tel que
K
D@monstratlon aucune
connexe
V l ~ I , il e x i s t e
= 0
n+l K L) e I
Q =
P
le c o m p l e x e
~--Pe i
i
ceract@rlstlques
) pp-1
aln p
:
d@#init,
si
p
des
un
1,...,s
p-cellules
= KP-1
> 0
=
de
P-K
(P,K)
Ce
. On
a
C K
~l@ment
de
~
dernier
P ~tant
nul,
II
existe :
g
telle sud
de
a D P +1
O-cellule
de
un
dans
chemin
). P
P*
(i
varie
de
exlste
#ormelle qua et
P* le
, in p
p1
= #i ( ]Dp+ , 3] p) _ Le
r@sultat @tre
_p+l
U
, et
hombre
qua
dans
p
= 0
O-celluie
sur
) K
q
une
= h@misph@re
K*
tout
pour
p+l Ei
proicngement
pour
&
h@mlsph@res
U
un
O
aussl
reii@e
=
~p+l
= K U
lee
9 Kp )
nord
et
, car toute de
K
par
l'expanslon
~p+2
et
sont
vaut
. Formons
= PUg i
K*
) (pp+l
]
aiors
- K
m@me
application
- K peut
1 ~ s
sous-complexe II
[ 1;1 p + I
~il ]Dp_
qua
une
- K
p+2
P U 6i
cp
est P*
une
, c'est-~-dire P
- Ken
expansion
>0 mI
contlent
a~P+2
K
de
autant 0
dimension
en
ia
de
)
.
simple
de
contraction q-cellule
dimension ~ p
Le
+ 3
5 p,
K.
-63-
Cela
ech~ve
l'induction
Dens
ces
C(Q,K) est
ecyclique.
cellules est
eu
et
2 :
Q,
K
Preuve
~ C
Cn+l[Cn+2)
d-n+2 ei
LEMME
: 0
signs
Si
vide
per
le
un
~[H~-module
de
hombre
que
fini
torsion
(xij)
J = indice
colonne
rel
K
(xij)
torsion
nulle,
peut
d'op~rations
~tre
ligne
(colonne)
per
* 1
II.
Multiplier
une
ligne
(colonne)
par
x E HI(O)
Changer la m a t r i c e
IV.
Remplecer
Chacune formation
des
une
llgne
operations
formelie
u
de
en Ii
(u o) 0
par
ci-dessus 0 rei
K
1
ii
peut :
systems per
n ~ 1
ou + lj
r~duite
du t y p e
une
III.
lee
,
.
Multiplier
).
du
ligne
de
base
donn~e
Ii
droite
de
i = indice
est
Q ~ K(D)
libre,
. La
!e m e t r i c s
C(O,K)
signifie
~0
~ Cn+l
H = HI(K)
ceils
alors
: L'hypoth@se
metrics
est
syst@me
connezes,
d n+2
-n+1 ej
j)':x i j
le
le s y s t ~ m e
eiYn+2)
pr@s
=
.
p
conditions,
ei'n~l (resp.
dcnc
sur
suivent
~ gauche
l'op~ration ,
& le
per
(~
inverse.
i ~ j
se r ~ a l i s e r
:
une
d~-
-64-
I.
0
inchang~,
tion If.
0
III.
O
inchang~, mels -1 ~n+l (x ei ) . subit
[~in+l)
ei
remplace
on
el +2
avec
[~+1)
une
expansion [contraction) qui n§ n+l cellules ek et eI telles
dek +2
-- el +1
Soit
n+2 0i = 0 - ei
une
-n+2
on p r e n d
l'orlente-
oppos@e
deux
IV.
meis
rood K
cellule
~
n+2
xel +2
par
eJoute
(supprime)
qua
. pour
par
un
une
certain
i
application
Attachons dens
la
~
classe
0i d'ho-
motopie
aei +2 + ae~ +2 e ~n+l O'une
part
ar
n+2 0 = Oi~)e i O'eutre
n+2
n+2 = as i
(KL) e l +1 U ... LJ esn+l
dens
H n + l ( O i)
n+2 = OiL)r
part,
on
-- O'(O)
rel
e le d i a g r e m m e
d'oh
n+l KL) e I U
> Cn+l(O',K)
II
IL
g n + 2 [ O ' , T)
~
T = K ~ e n+l I u
oO
verticaux
sont
ceux
de
Cn+I(Q''K)
~gn+l(KUe~
rev~tement
donc
simplement
) compos~s
tion
des
> g n + l ( T , K)
et
oO
les
isomorphismes
s
~
(le
gn+l (T)
... u en+l
Cn+2(Q',K)
O'
n+l ... U e s
commutati~
d
Cn+2(O',K)
) "
Hurewicz
g n+2 [ O ' , K v e
n1 * l
+1 ~
U . . . u en+ls ) "''uen+Is " K )
KUe~+Iu
...Ue
connexe
puisque
avec
les
:
n+l @
n+2
Isomorphlsmes
~tant ~ 3,
induit
par
et
indult
Indults
K par
O'
, par
la p r o j e c -
Ainsl, on
identi~ie
les
cellule
rev~tements. n+2 e dens
Cn+ 2
et
Rn+2
celluie
e n+l
Cn+ I
et
gn+l.OOnc
de m @ m e c a l l a s d ' u n e n de n +2 = ~. n + 2 + d e J+2
dens
" et
images
d'une
i
-85-
V.
THEOREME
Expos~
1.
Fibres
vectoriels
Un (E,
B,
p)
k-fibr~
form~
de
S.
de
DE
MAZUR
Maumary
diff~rentiables.
vectoriel deux
diff~rentiable
vari~t~s
application surJective -1 c B , p (x) est un e s p a c e
p
x
vectorlel
un
phe
U x ~k
~
espaces
voisinage 9 le
base
forment V
torial
, la
Un
pour
et
l'exemple
des
un
&
x
x x~K
n-fibr~
fibre
tangent
de
: E
diff~omorphisme
vectoriels
Citons V n qui
U
en x
~B
et
que
pour
dimension -1 p (U) est un
B
k
, tout
et
qu'il
diff~omor-
isomorphisme
des
.
vecteurs
point
de
induisant
pl(x)
E
telIe
iequeI
vectorial
cheque
l'obJet
diff~rentiabies
d'une
existe
est
tangents
& une
dlff~rentiable x
6 V
~tant
vari~t~
~(V)
l'espace
de vec-
.
morphisme
(E,
B,
p)
f
~(E',B',p')
de
fibr~
vectoriel diff~rentiable est u n e a p p l i c a t i o n diff~rentiable f -I E rE' q u i i n d u i t Bur c h e q u e f i b r e p (x) de E une application une
lin~aire
dens
application
une
fibre
diff~rentleble
~q(y) ~
: B
f
E
d'une
vari~t@
Par V
une
en
telle
d~duit que
~.B'
exemple,
dans
~B'
On
1
B
commutatif.
E'
,.E'
~ soit
de
une
vari~t@
application V'
induit
diff~rentiable une
application
f
-66-
des
~ibr~s
tangents
telle
que
T
fT TCV)
~CV')
1
+
V
solt
commutatlf.
Etant vari~t~
B
tlabie et
[
~LV'
donn~e
dens
la
base
(E',B',p'),
une
une
on
application
de
appllcetlon B'
d'un
peut
di~rentable
k-~Ibr~
construlre
~ibr~
~
: E
E
vectorlel
un
~E'
~
di~ren-
K-~Ibr~
teile
d'une
~*E'=(E,B,p)
qua
;E' p'
B
soit (b,
commutatl~. e')
tels
natureIIes.
E
est
que
Les
On v ~ r i ~ l e q u e ~ t a n t d o n n ~ une
la
~(b)
~Ibres
pattie
= p'(e') de
E
~*E' Jouit appiicatlon (E 1 ,
B,
de , p
sont de de
~
sent
isomorphes
ie p r o p r l ~ t ~ ~ibr~s
pl ) -
des
les
couples
projections
~ ceiIes
de
universelle
E'
~ commutatl~,
il
Induisant
caract~rise
f
exlste
(E 1, unique
-,> E '
B
B,
une
& un
8 de
1~
B*
application
pl )
l'identlt~ f'E'
~,
la
> (E, base
de
~ibr~
B,
p)
telle
Isomorphisme
que
pros
: g*E' e : ~8
: on
.
sulvante
~{E',B',p')
a
E~
Cela
et
~orm~e
que
telle
solt
B x E'
9
l'eppelle
:
-67-
fibr~
induit
tiables me
de
de
E'
m~me
par
produit
si
la
s'il
d'un
exacte E"
dans
et
E de
de l'est
Un
sur
oomme
B
x B
~B
morphisme
du
injectif
fibr~
dit
On
ceux
inJectif
peut
(surjectif)
som-
fibr~
sont
est
fibre.
: la le
morphismes
chaque
diff6ren-
additive
d~finie
Les
B.
Ia
~ E'
, E'
~tant
et
peut
fibre
et
surjective)
TCV)
v(f)
(E,B,p)
la
d6finir
et
de
plus,
vectoriel : E nulle
f
chaque
E
une
induit
que
de
de
une
le
noyau
p
d'un que
f
: V
appelle
de
~(E)
>V'
voisinage
de
(resp. (rasp.
appel6 par
vectorial
fibr~
4). T(E)
;p*T(B)
diff~rentiable p*E
existe
qu'un
voisinage
de
& un
V'
tel
la
ouvert
que si
.
la d'un
fCV)
V'
vari6t6
d'un
fibr~
plongement
est
nulle par
diff6ren-
donn6e
~ ~ = f
section de
de f
et
V
voisinage
isomorphe
de
de
base
tel
est
est
annul~
plongement
. Un
f
localement
inJective
= p*~(B)@
tubulaire
E
ouvert
un
E
mal
d~pende
immersion
l'application
~ibr@
un
voir
une
coker
fibr~
sur
de
voit
ne
l'unit6).
le
~V'
suffit
se
qui
tubulaires.
diff~rentiable
de
orthogonaux
application
dont
alors
m6trique
>V'
(resp.
sorte
fibre),
: cela
: V
~f*~(V')
p*E
Soit On
f
ainsi
Voisinages
tiable.
soit
~0
compl~mentaires
partition
projection
est
sur
dans
~ l'immersion
C'est par
une
example, Alors
~ E"
diff~rentiablement
par
submersion).
induit
E"
introduire
raccorde
normal
~ E exacte
Par
~
est
(c'est-&-dire
(on
l'on
2.
cat~gorie
,p')
vectoriels
suite
E ~E~
que
une
morphisme
0 est
fibres
p x p')
l'identit~
(ker)
. Les
diagonale
B x B,
surJectif)
coker
(E',B
l'appllcation
induisent
ie
f
forment
et
(E x E'.
[rasp.
par
base
(E,B,p)
induit
qui
de
un
,
~ = section ferm~
du
fibr~
: il nor-
isomorphisme
-68-
qui
9.
prolonEe
De plus,
si
l'on m u n i t
deux
tels
voisinaEes
E
EI~/~ d'une un
m~trique
ne d ~ p e n d a n t
isomorphisme
A-dire
a
@ est
que
On peut m~s
de
f
ne d ~ p e n d a n t en b o u l e s
isotope
~V' que
de
: E(r)
~V'
#
pri~t~
d'unlcit~
de
la fibre,
pros
on m u n i t
des
pr~c~dente
respectant
des E
sont
isotopes
le m ~ t r i q u e ,
voisinages
d'une
ce qui
vecteurs
est
ils
c'est-
@1~ .
~
la fibre,
form~
V'
consid~rer
:
E(r)
Alors
que
de f l b ~
aussi
: V
~
permet de
E
m~trique
de
le fibr~
longueur
~erm~
de
devient
ce ces
fer-
riemannienne
de d ~ f i n i r
un v o i s l n a g e dens
tubulaires
f
~ r
. Le pro-
: si
V !
ECr) sont
dsux
: E
voisinaEes ~E 1
El(r)
tubulaires
de f i b r ~
respectant
0 < r I < r , # l ~ I E l ( r 1)
soit
compecte,
forte.
3.
Homotopie
gentielle trivieux 4.
l'isotopie
E~T~
de
si
r
il e x i s t e
la m ~ t r i q u e
isotope
&
un i s o m o r p h i s m e
tel
@ I E ( r 1)
que
pour
Si
V
est
homotopique
~T~T(V)
eT'
r : V oO
~V'
T, T'
est
sont
des
dite
ten-
flbrQs
V .
sur
d'isomorphisme.
que
dimension
E' 9 T '
f,
tangentielle.
~quivalence
Pour ri@t~
est
Une
Crit@re
de
oO
deux
k-fibres
n,
k
T,
T'
> n sont
vsctoriels soient trivieux.
E,
E'
isomorphes,
sur il
une
suffit
veque
-69-
5,
Limites
inductives.
D~f~nition -
V,
dans
Appelons
plongement
int~rieur
W
vari~t~s
diff~rentiables
W
tel que
~(V)CW
ticulier, :
:
l~image
par
et
~
~ bord
~(~)
ouvert
~W
V
un plongement
-
ouvert
d~un ouvert
~ :
dans
de
V
W . (En par-
est un ouvert,
et
dim
Vi
st
V
=
dim W ,) Consld~rons
plongemen~
une
int~rlsurs
ouverts
~1
V1
qul
Soit est
donne
une
Vi
suite
V
est
une
'
de
~3
de
U~V
vari~t~
de
~ ....
sous-vari~t~
de
vari@t@s
topologlque sl
vari~t~s
i c N
>V 3
crolssente
= ~ Vi l'espece i o u v e r t sl st s e u l e m e n t i
fi
~ une
V
tout
infinie
~2
~V 2
Identi~Ions ce
suite
dens
i
est
de m @ m e
Vi+ I
V ICV lequel
ouvert
dimension
per
2 CV S C un
ensemble
dens que
~.i ....
V i pour
les
Vi
:
@
soit
x c V
voisinage eu
9 et U
J
de
x
le
plus
petit
hom~omorphe
&
~j x
dens
( V i , f i) i E H
form~
On par
ne
Vj
x E Vj
est
: un
hom@omorphe
les
sucoessifs
d~but.
Enfin,
dif~omorphe
~i ~
Soient int~rleurs
ouverts.
V
veri~t~s pas
ou si
~ ~j+~CUI?
eppelle
change
diff~omorphlsmes est
dens
que
fj§ > fjCU)
V
9 Elle
gements au
~n
tel
voisinage U
de
Indlce
si
on
on
si
Vi on
limite
inductive
et
plongements
un
syst@mes J
tels
,
g
~V i
les
compose
supprime
a deux
: Vi
le
un
nombre
nombre
que
fi~i
,
de
syst@me ~i
~Ini
~inl
(Vi,~ i)
du
de
plon-
veri~t~s
(V~,~)
=~i+I
"
~i
et "
V
V' f
: V Les
)W limites
: W
induotives
~V
deux
plongements
des
-70-
f
V
g
~ W
V
g.-F
~gelss.
6.
Theorems
THEOREME
de
:
avec
Soient
est d i f f ~ o m o r p h e
est
o'
:
contraction
de
E
sur ~
:
o~
ce
= o'~
Cele
nous
Solt
mt
m~
: E[r)
b o
(car
E(r)
ces
ml(E(r)) On
r
deuz
k-fibres
compaotes
: E
E
sans
eat une ~ q u i -
>E 1
des v a r i ~ t ~ s
a par
o,
o'
compact
)
r
> 0
int~rieurs
le
et
E I , alors
o0
E
voisineges
une
de
Thom).
On
E(r) peut
= o ' I E ( r 1)
~(r)
> E(r),
. Or
om I
> 0
sont
donc
pour
,m t
(rasp.
pIcngements
, o~
de
radlele
om I = o'm I
)E(r)
qua
: E(r)
tubulaires
t
: E(r)
o
nulle
contraction
de
di~o-
.
. Pour
chemln
montrer
un
isotopes.
de
o l E ( r 1)
r~alise
homotopes
section
(th~or~me
E
donc
= E ( r 1)
un
.
de
ellons
pour
deux
)E(r)
(o')
Dcnc
> ...
( E 1 , M I , P I)
. Si
Nous
est
o'~
au
Int~rleur.
isotope
~
donne
ram~ne
,
diff~rentiables
sont f o r t e m e n t
&
qui
= Identlt~,
ment
E(r)
Si
isotope
p)
dl~rentleble
~l(r)
> E(r)
~ortement
M,
k Z n+2
Deux plongements
D~monstration
-f.g
) ...
E1 .
Une
: E(r),
(E,
tangentielle
~
dl~omorphe
LEMME
n, et
~omotopique
morphisme
) ...
g.'f
> V
,~ W
M, M 1 v a r i ~ t ~ s
b o r d de d i m e n s i o n valence
~ .f
9f . g
"f
, V
Mezur.
(MAZUR)
vectoriels,
g
~W
V
%4 sont
+"
V
~
supposer dens
0 < rI < r
telle est
est
un
o ' m 1)
et
m
qua plongeest
int~rleurs.
isotopes
E(r).
fortement
-71 -
En Alors
Igs
perticulier,
iimites
supposons
a
a
E(r)
a'
car
successivement
a >E(r)
a l1
>E(r)
/~ ~0
E(r)
Prenons
slots
radials
digg~omorphe
le de
a
E(r) est
a
on
~:1
contraction
ouverts.
o t
E(r)
I1
la
soient
~ ECr)
a > E(r)
E(r)
a'
a
~ E(r)
~ ECr)
di~omorphes
O'
et
o'
ECr)
E(r)
a
inductives
E(r)
sont
que
&
la
E(r)
E(r)
limits
E(~)
sur o
~ E(r)
C
E(r)
plongement
8:1
~E(r)
a 2 E(r) 9 La o
ECr)
etc.
par
d~fini
limite
inductive
> ...
inductive C
> E(2r)
> E(4r)
C
>...
0
qui un
est
E
ou
plOngement
E(r)
En
int~rieur
conclusion,
ouvert
si
a
homotope
~
: E(r)
rE(r)
I'identit~,
Ie
est
limite
inductive E(r) est
di~f~omorphe
Le une
vari~t~ Pour
th~or@me
E(r) (ou
sere
La
e > 0
, il
plongement
~.
Alors
E
est
un
nition
du
~ibr~
> E(r)
E(r)
est bord
exists
Si
e
voisinage normal,
a
~...
).
d~montr~
E(r)< g de
construction
: M---,E 1 sans
a
ainsi
homotopique
compacts
tout
>
E(r)
ouverts. @~
un
~
~quivalence
int~rieurs
a
quand
nous
aurons
~El(r)
par
des
~
se
~aire
peut
une
application
di~rentiable
de
dim
une
donc
est
n
une
dans
e-approximation
assez
petit,
tubulaire
de
~
, on
a
v(~)
~
~
vari~t~
r
est
: en
de
plongements comma
f * T ( E 1)
suit:
d'une de
dim r
homotope
e~fet,
r~alis~
par
= T(M)@
~ 2n par
&
~.
d~iv(~)
-72-
et
par
ailleurs,
~ * T ( E 1)
= E*r
1)
; r ~tant
une
@quivalence
tangentielle, @ * T ( E 1) oQ
To
T'
sont
des
~ibr~s
~ * T ( E I) o~
T,
T'
E*T(E)
sont
= ~(M)
exists
un
@
E
ce @
91br~
(par
exempIe
pace
euclidien)
dimension
Donc
d'oO
E ~v(9)
sur
fibr@s
triviaux
9
T
~
T(M)
E @ T'
M
tel
normal
au
@
qua
T(M)@
plongement
@triviaI des
~
~Ibres
de
v[s
r~sulte
de
i~
que
~
trivial
de
M
dans
et
E
est
E(r)
est
r = rI
car
E l ( r 1)
d'oO
en~In
ouvert
~
: E(r)
~El(r)
pIongement ~1 ).
tel
int~rieur (~1
section
,
~1(rl)
0 , car
@
soit
(E(r))C
rl>
= ~1
F
en
nombre
de
Mais
.
prolonge
certain
El(r) ~
r > 0
se
. Pour
g~
M.
un
es-
> n
.
>E I
topique
sur
E e trivial.
: E
qua
E*
~inalement
~
un
Appliquons
9 T'
ouvert
tient
E.
donne
sur
F = ~ibr~
e T'
~*T(E) comma
v(~)
commune
Ii
T ~
qui
F
v(9) La
@
~[E) triviaux
consid@r~s
TOM) Ii
@ T ~
~
qua
~
un = ~
ouvert nulla
compact.
g de
E1
g~
-~ ~
=~ g~ =
"FgE1 -'=' E1 ~
identit~
-Fg ~ ' i d e n t i t @
On
plongement pour
peut
plongement . De
: El(r)
Oonc
un
" ~1
un
supposer
int~rleur
m~ma,
on
> E(r) inverse
obtel homo-
-73-
A P P
E N D
I C E
Ap~llcation
: Equivalence
Etant de
vari~t~s
ment
donn~e
stable
une
s'il
on
exlste
dlt
homotopique
qua
M1
et
r M2
: M1
)M 2
sont
stable-
undlgg~omorphisme M 2 x ]Rk
: M 1 x ]~k tel
vari~t~s.
~qulvalence
difg6rentiabIes,
~quivalentes
de
que
M1 x IR K proj.
r
~.M 2 x ]Rk
Pl
proj,
P2
r M1
solt
homotopiquement Pour
M1
et
qua
M2
~
N~cessit~
qua
une
M2
commutati~. deux
soient
soit
~
vari~t~s
stabIement
compactes
sans
~qulvalentes,
6qulvalence
homotopique
iI
bord faut
de et
tangentieIIe
1 K)
=
e 1 k} (M 2
x IR K } =
=
Suffisance
:
th~or@me
M2 sont
de
~ se
M 1 x ~k de
M 2 x pk
Si
dimension
n,
homotopiquement
T ( v 1)
en
. Pour
une
~qulvalence
k i n+2
, on
tengen-
appiique
Mazur :
sont
@ 1 K)
trivlalement
application
plong6es
ouverts
prolongs ~ x id.
k)
x
= p~CTCM 1)
Autre
sufflt
:
1
ie
il
n
:
9
tlelle
dim
dans
deux
~n+k
9 K ~ n+2
dlgg~omorphes,
= p * ~ ( M 1)
vari~tQs
car
~) p * v I
ils
compactes ~qulvalsntes leurs sont
= p*(LM1
sans
bord,
par
voisinages
r
~( :E~n * k )
et
:MI----?M 2
tubulaires
parallQllsables
@ v 1)
MI
:
-74-
V[.
THEOREME
BE
DUALITE
POUR
LA
Expos~
1.
Bref
reppeI
Etant cellulelre L
de
K,
paire
K,
K,
des
un
agissant ~tant
L,
tout
correspondre
un
Deux s'il et
existe S2 @
d~formation et
BS(KL
(Volt
module de
de
et
il
de
S1
et
une du
Ies
C"
matrices
m@me groups
ciasse de
un
nous
C",
Maumary S
est un
dans
S2
un
de un
qui
T1
Whitehead
~ la
et
K',
Ker
L'
la
dit
eo~cllque,
les syst~mes
BS(K,L)
torsion). si
Ker
d'homotopie
de
: C
on
TI
e J.
d~termine
et
S1 ~
en l'autre par une
~ , qui
Whitehead
qua
sont c o m b i n a t o i r e m e n t
Kern
de
~quivaIents
teIs
. Alors
cat
fait
le
sur
C"
lui
eppei~s
T2
(pour tout
isomorphisme
A
.
~t~
a aiors
et
repr~sentent
~(S)
invariant
associ~
anneau
L)
ont
op~rateur
= Bn+n B = I
est
avons
compIexe
B)
(au sens de Whitehead)~
S.
d'un
sous-complexe
9S(K,
On
K, L
a+ql et
~(G)
triviaux
existe
(~+q)2
~
d'automorphlsmes
= (C',
isomorphes.
suppl~menteire
B+n
G
9(G))-syst~me
syst~me
einsi,
n2 = 0
L)
sont ~quivalents
L')
Le
torsion.
ou si lrune peut ~tre chang~e
l'expos~
enest
e
formelle
NOEUDS
G)-syst@me
: Si les paires
~quivalentesj
AUX
Rham
la
finl,
systemes
soient
APPLICATIONS
de
complexe
syst@mes
des
T2
THEOREME
(A,
de
et
un
homomorphisme
ET
iibrement,
S(K, et
G.
groupe
(Z(G),
le
de
d~finltlons
donn~
K/G
TORSION
C"
= Im
sur
B = Im
n
, tel
n
est
n
La C'
B
s'il
que un
sous-
restriction
,
,C isomorphlsme ; cette
i'appeiIera
ciasse
appartiennent est
la W - t o r s i o n
un de
~i~ment S
-75-
Elle
n'est
THEOREME
d~finie
que
pour
S
ecycllque.
e
le
La condition n~cessaire et suffisante pour que deux
:
syst~mes acycliques soient ~quivalents, m~me
On
crest qu'ils aient la
W-torsion.
OOROLLAIRE
Zes classes d'~quivalence de syst~mes acycliques
:
forment, par rapport ~ la somme directe au groupe de Whitehead. triviauxj
@j
un groupe isomorphe
Za classe nulle est form~e des syst~mes
deux classes sont oppos~es
(leur somme est nulle) si
les syst~mes de l'une se d~duisent des syst~mes de ltautre en permutant
SI d~termlnant facteurs
est
appel~
D'une
.
Ia
A
le
est
on
T(S) ; iIs 8 , 8 ( y ) 9 o0 y
forme
(torsion
d~slgn~e
pr~clse,
commutetlf,
de
RF-torslon
meni~re
par ~
RF-torsion
est
un
~I~ment
les
de
A
per
unlt~s
est
matrices
de
et
C"
l'anneau des
des
syst~me,
et
C'
A(sS)
cause du
le
de
de
ne
des
le
par
d~termlnant
AB(K,L)
quotient
sous-groupe
. Ce
que
Reidemelster-Frenz)
fecteur
groupe
consld~rer
dlff~rent
E G
ou
ce
peut
sl
du
S
= S(K,L).
ind~termin~,
Ie
du
toutes
groupe
unlt~s
de
la
de
forme
•
DualitY.
2.
Nous tel
que,
pour
tout
phisme
de
~(G)
phisme
de
A
l'on
c
C
r
pour
y
et
f
, y
A
, nous
que
8(y)
A-module
consld~re ~ C*
&
comme ,
dens
c G
dens tel
Tout que
consid~rons
est
d~flnl
homomorphlsme
de
C1
dens
de
C~
d~flnl
. Et
llbre
A-module ~ A
per
l'antleutomorphisme si
supposons -1 8(y ) .
=
un
If
dens
= y
gauche
I c A,
C~
Z(G)
C2
C
a
~ gauche
, son
duel
f>
=
est
donn~
d~slgnent
per
e
la
=
un
un en
<e,
C*
= Hom(C,A)
convenant
valeur
I
est
h'f>
homomor-
entlautomor-
duel
h*
un
que
de
fen
. Si
h
sl c
est
l'homomorphlsme .
,
un
-78-
Nous
eppellerons
(C'*,C'*, et " C"*
a*)
,
sont
son
I]*
du
, ~tent les
Soi't S
dual
,,-- -.
que
les
duales
des
bases
l'op~rateur
duel.
Le dual
de
dlstlngu~es
dlstlngu~es
d'homotopie
d'un
et ce d e r n i e r
= c,,
est
+n*IC'*
l'inverse a*
Par
suite,
%(S*) T(S)
si
sont .
S*
syst@me
C'*
C'
et C"
ecyclique
,c,
lee
Et c e l a
sur
une
avec
touJours
cellules
~o~ro do~
meintenent
syst~me
c2 q = l~ i ~ i
phlsme
l'on
notere clots
che~nes
c~ = ~
not~ On
sur
qua
V
son
, c;>
S , les m a t r i c e s
conJugu~es
a(eS)-I
=
~
K
o;
set
dual
un c o m p l e x e
l'on qul
le p r o d u i t
a;
~
alnsl
les
scalelre.
bord
bV,
sont
lee sce-
on ~o~ont
a un i s o m o r p h l s m e de
r~gulier
Is p r o d u l t
d~termlne
permet
de
un
homomor-
du
identifier,
A-moet
Le dual
a*
de
r~clproque
K*
de
a
6 (cobord).
seit
qu'il
comblnetolrsment
existe
~qulvelent & n-q r e s p o n d e n t eux c e l l u l e s e qul c o r r e s p o n d e n t aux celllules
Un
complexe
K , form~
de
cellules
~176
0
bq
K
qul corq-1 de K et en plus de c e l l u l e s 8 i e~-q dens bK. En posent J~
et
~1
evec
G . Si
c;-~
c;
celles
de
.
d~flnlssons
ot
chaSne et
de
n dimensions,
fondemental,
J Z ~i ~i
des
s~st~me
d'eutomorphlsmes
9 Cheque
c~
dule
est
A(eS*)
orlentable
cho,no~
du
trenspos~es
entreSne
le g r o u p s
d'un
= C"*
le dual
inverses
vari~t~
: C'*
de
+~*Ic""
est
Supposon~
on
de
de
alors a*
c~
bases
le s y s t ~ m e
l'isomorphlsme
+nlc,, est
S = (C',C",B)
entendu
bases n
syst~me
sl
o~q~
e ao~ =~,~6 + ( - 1 ) q
~ 1
bK
-77-
Les
cellules
satisfait is
6
~ ~
dimension
iq-1
S(K*,bK*)
que
n
est
pair
et
K,
pos~es
conjugu~es
sent
bK*
conserve
pair ou
est
ou
ou
, le
bord
change
la
impair,
oppos~
au
~quivalent
duai
matrices
matrices
pair
&
combinatoirement
les
des
est
dens
(mod
bK*)
parit~
de
il
r~sulte
de
l&
de
S(K),
seion
impair.
acyclique,
n
est
isomorphe
ou
bK
est
qua
n
S(K*,bK*)
aS(K)
salon
Comma ~
que
est
Mais K*,bK*
contenues
=~6
salon
que
~tant
ou
S(K,bK)
~quivaIentes.
T(eS(K,bK))
de
T(eS[K))
impair,
et
puisque
sent
ou
dans
ie
de
cas
Oonc ies
trans-
ieurs
o0
si
inverses,
A est
commutati{ ~ ( _ 1 )
Ae(K,
bK)
= As(K)
Ae(K)
=&e
(K,
n+l
Comma
il
[2.1)
vient
~gaiit~.
qui
~e[bK)
a
lieu
(Reidemeister[2
S.
au
Oans g~n~rateur
nSmes de
en
t
PolynSme
la
suite
d~si6n~ et
=
mx+l).
{orment
un
On
a
acyclique, acyciique q a ~ = t - 11
Le
et el
pr@s
,
t
+ e(y)
est
,
cyclique
aiors
entiers.
,
y
e G
~(G)
droite (x de
~
dens
et
=0)
d'un
nous
d~signerons
9a ~ = O
. Le
syst@me
a ~ ~ Im
~
l'op~rateur d'homotopie 1 na = 0 Le m a t r i c e de
{erons corps
l'ar@te
oellules
des
poiy-
usage
des
translation
qua
et
le
avec
rationneis.
la
et
infini
i'anneau Nous
~ coe{ficients
a~ =
~,
a ~ r Ker~
admet
groupe
de
{ondamental
e~
le
~(G)
e
la
sur
(t-l) car
de
sommet
r~gulier
Ba I =
sera t.
d'abord
syst@me
morphismes
G
& coe{{icients
rationneiIes
(x
ind~termin~
inJecti{
Prenons t
Ae[K)(-1)n
d'Alexander.
par
t -1
l'homomorphisme
{onctions
{acteur
Ae(K)
3 , M i l n o r b ] )"
Application.
un
= Ae(K)
bK)
a 1 = ( 0 < x < 1)
complexe encore S OR}
Mais n ~+qlC"
& autopar
n'est
pas
aS[ ~)
est
d~{ini se
alosi r~duit
~.
:
-78-
eu
seul
pr@s
1
el~ment
1
t-1
D'epr~s
[2.1]
n = 1,
on
dolt
rifle,
Ia
conJugaison
~(t)
evoir
= ~[~)
Bans quement ~tent
sur ia
sorts
Ae(~)
~
A8(~)
= t-1
(eu
facteur
est
= Ae(~)
vide,
(•
(b P ] = 1 et e ce q u i e s t b l e n ve1 t en ~ 9 de s o r t e
k)
simplement
A
.
, on
x S1
LEMME (MILNOR)
b IR
changeant
leces
L
, comma
d'un
Si
morphismes et si
x L
~
AS ( R
x
L)
,
=
a
K
As( ~
x S 1)
t
operant
(t-l) - X ( L )
d'Euier-Polncere.
, on
:
prodult
obtient
cerect~rlstique
cyiindre
qua
*t k ) .
indetermine
que
de
En
, X(L)
pertlculler
ala
pour
Is
= 1
a un groupe cyclique infini
K/G
Identl-
G
d'auto-
m~me homologie que le cercle,
eS(K)
est acyclique. Prenons de
cellules
de
d ' incidence,
-
KIG
sont
II
lJ
On
e eussl & un
Pc
vcisinege ~
de est
ses
tous
~ pq
K
est
sommet (dens
Prenons
maintenant
et
K
son
du
groups
As(K)
.
K/G
un
noeud,
rev~tement
transformations car
ce
les
et
per
connexe, 9 et
noeud E
cycllque,
~ ( S 3 - T)
suite
du
Bettl
= rang
pq
=
0
0
ta
non
S3
, et
soit
T
csiIulaire au
groupe
~tent
ie
lemme,
d'un
cercle.
homo-
).
.
G
l'homologle
est
S(K)
noeud,
a
q>l.
~-~a
= 0
associ~
de
0
dens
compiexe
O'apr@s
)
de
pour
o-chains
Pl
rev@tement.
q relations
r'
comma
de
e
Bettl de
toute
dens un
de
o~
entrains
....
ii
nombres
e S ( K ) , st
(i=1
1 lee
ejq-1
nombres
Les
a~
d'Euler-Poincar~
de
ll~ij q
- r'q - r'q+l
p~
0
metrics
nuls.
formula
acyr31que 9
torsion
a~~
~ J=l
qua
a~
fondamentel q {t) ~iJ
=
is
= Cq
d'un
tubuleire
~ ' ( S 3 - T)
p
car
muItlple
@e de
sont
O,
syst@me
montrer
9 donc
d'oO le
rang
par
=
un
soit
de
r q - r q+l
(t-1)e~ Enfln,
le
donn~s
effet
et
sufflt
_< rq
logue
S3
K rq
Ii
Pq = ~q
en
Ie
un sur
deriv~ groups 8S(K)
Cherchons
sa
-79-
Par "colIaps6" 1
ie
oO
a
a
en
peut
contractions
un
de
un
2 a.z
iuies On
sur
nombre
K
des
compIexe
sommets.
syst6me [i
~1
ensuite
trouver
des
1-chaines
module
aA
:
j
r~sulte
fondamental
= ~2
une
et
par
base
(j
=
1
"
se n)
cij
(t) Aj
se
~tre r~duire
ram6ne au c a s o a , de 2 - c e i =I...,n+1=~I).
d'Euler-Poincar~. Aj
r~duit
....
peut
sommet 1 ai (i
formula
distinguee
(auquel
0
d'un
peut
i'on
l'on
d'ar~tes
ia
= K/G
et
qua
form~
= ~2 ) + 1
K
2 dimensions,
Iien
= 1 ..... n
effet
~
formelles,
(J
C')
et
aA
= I ..... n+l)
teiie =
n+l
On du
qua
(t-i)
a~
"
On a alors Iss relations @a2 'z
n+1 ~
=
J=l et
comme
~2
=
II E i j ( t ) I I trice
est
0
se
remplagant
de
un
t
a-dire
qua A(O)
A[1)
pros
de
exemple
son
terme
= entier
d'homotopie
matrice
de
@+q
•
K
. Comma
ia
forme
a~
par
de
pius
fini
#
C"
~c-i
I C"
. Carte
ma-
d~terminant du
noeud.
d~finissant
dont
tous
Ies
est
sans
torsion
A(t)
n'est
Ie
En bord
diviseurs {au
@l~sans
d~termin@
(qu'on peut modifier en 2 • t k a I ), on p e u t ie n o r m a i i s e r
A(1)
. il l'on
soit = I
de
suffit
de
peut
poser
d~finir
0
alors
II ij(t3 II t
degr~
0
, c'est -
.
2 na i =
An+l
est
matrice
• tk
1 :
son
matrice
et
et
la
d'Aiexander
degr~
0
que n x n
st
bas
Ae(K)
o
La
, matrice
=
sur
na
la
puisque
calculer q
carrie
polynOme
obtient
1
sorte
d'Alexander
= K
~
, de
matrice
le
, on
K/G
Donc
Pour teur
est
~gaux
par
une
: 0
matrice
1
de
facteur
sorte
Ia
par
sont
rempiagant
~
= A(t)
Poincar@).
qu'~
en
r~duit
2-oeiluies
mentaires
Ei(n+l)(t)
appsl~e
d~t II~ij(t)II
des
,
i
l'op~ra-
-80
a (K) 8
d'oO
per
divis~
A(t) t-1
=
9
rev~tement
d'apr~s se
ce
r~duit
torsion
encore
cycllque
qu'on alors
de
a vu, ~
polynSme
A(1)
bK
Ae(K)
coefficients en de
A(t)
~tant
ale
slgne
= I , on
de
treSne
qua
Is
polynSme k = 1 un
4.
de
Un
de
un
+
et
de
Milnor
th~or@me
Etant
C1 x I
m
tore, La
est
sont
~
x S1
donc
car
c'est
As(bK)
relation
et
mlneurs
entlers pair
= 1
(2.1)
Comma : les
~gaux. le
Ii
coefficient
pair. th~or@me
clesse
d'ordre
m@mes
et
conJugu~e de
qui
de
dualit~
se
de
et
cette
r~dult
proprl~t~s
en-
transpos@e
Whitehead,
n-k+1
normeIls~, des
des
le
se
degr~.
sym~trique
est
g~n~rale,
son
est
sereit
~ le m @ m e
encore
et
&
sl
metrlce, A(t)
Ak+l(t)
ont
~t~
~tablles et
une
examples.
La
par ~tude
Seifert
[5].
d~teIIl~e
d~monstratlon
Volt
de
ces
cl-dessus
Fox-Milnor.
donn~s
surface
et
=
entra~ne
A(t)
d~monstretion
de
existe
1)
d'Alexender
[lJ.
dens
(0,
et
A(t)
II alj(t)ll
ncmbreux
rentiebles
I =
pol~nSme
Ak(t)
Butte de
bK
cyIlndre.
t m-k
plus
des
a
d'un
normalls~,
proprl~t~s
avec
une
au
= * t m A(--lt)
suppos~
, Jcuit
une
poiynGmes est
pgcd
divlseur
pour
mani~re
Ak(t)
Ces [3]
est
= As(K)
appertlennent
est
pour est
et
la m a t r l c e
II cji(~)ll_ Ak(t)
~gale
. On
surface
r ~ s u l t e q u a le d e s r ~ m de m t~ est i m p a i r , slnon A(1) O'une
ce
tk
As(bK) la
A(t) Le
est
t-1 Cherchons
un
La
-
S3
deux
, disons
noeuds qu'iIs
diff~rentiable
, hom~cmcrphe
~ une
. Le
de
th~or@me
C O et
C1
scnt S
ccuronne
, courbes
diff~-
FM-~quivelents,
plong~e
dens
I x S1
Fox-MiInor[~peut
S3 x
bord~e
elors
s'il I per
d'~noncer
oO CoXO einsi~
-81
THEOREME
Le produit
:
deux noeuds
-
de8 polyndmes d'Alezander de
A(t)B[t)
FM-~quivalents est ~gal au produit de deux poly-
ndmes (~ coefficients entiers) sym~triques l'un de l'autre. A(t)B(t)
Solt de
la
S3
x
T
couronne I
- ~
lulelre edmettent
S
e
sur
compIexe
bK
=
Ko ~
KIU
S3
x
i
~ ~(S 3
cycllque on
a,
A(t)
L
S
G
une ,
r@unlon
que
un
x
Co
x
d'un
cercie,
et
x(S)
dlsjointe
Ae(bL)
des
=
B(t)
S
=
0
de
. On deux
= 1
a
solt
(associ~
x
et
il
un
~
~'(S 3
= Ae(bK,
AB(bK,
KoU K1)
le
rev~tement
O)
,
et
. D'epr~s
ce
polynSmes
Ae(KI) eussl
A
complexes
et
L
e
cyclique =
S
x 9
qu'on
e
AB(L, bL)
KoU KI )
.
= AB(L,
bL)
~
, ~r S1
= 1
d@finitive
AeCbK)
= AeCK o) Ae(K 1 ) =
A(t)B{t)
(t-l)
2
no
de
CO
3, et
C 1,
= 1 b x ~
As(L) =
= 1
Ae(KoU KI )
AB(K ~ u K1 ) = AB(K o) Ae(K 1 ) en
au
=
isomorphes
)
C'est
vu
(L,
1
- ~)
rev~tement
, Ae(L)
bL)
ceI-
un
B(t) = t-1
comme
a
I
I
de
d'Alexander
et
on
x
bord
dimensions,
x
compIexe
de
4
vient
Ae(bK)
vari~t~
K
Ae(bL) Eneulte
Le
I
~
lee
"
CI
S3
rev~tement.
S1
~tant
et
dens
de
1,
x
A(t) = t-1 =
O
tubuleire
transformatlons
est
(i
bD 2
x
cycllque
Ki
i)
volslnage
par
vari~t~
oO
Ae(Ko) parce
D2
rev~tement
sur
de
x
bord~e
groupe
un
-
S
I'homoIogie
son
Ie
=
= P ( t ) t m P(~) t
L
est
, d'oO
la
-62-
Mais
d'apr@s
sant
(2.1)
(-1) n = 1
, cela
eat
puisque
As(K)
n = 4
est
une
conciuslon
~onctlon
r~suite
composition
AB(K)
) d'oO,
:
en
posant
1
l&
en
~ coef~ic•
tenant
compte
poIynSmes
ratlonnels
en
: A duallty
theorem
des
(l'expo-
. AB(K)
+ tk(t-1) 2 Q(t)Q(~)
rationnelle
de
~
= Q(t)
A(t)B(t)
Q(t)
~gal
ratlonnels.
de
i'unlclt~
facteurs
de
Ia
La d~-
irr~ductlbles.
REFERENCES
I.
J.
MILNOR
Ann. 2.
K.
REIDEMEISTER
o~
R.
CROWELL,
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SEIFERT
and
Company,
~Or
(1957), des Ann.
o~
46
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Theory
1963) o~
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2-spheres
BuIi.
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.
yon
Math. to
torsion
136-147
Schnltt
: Singularities
equivaience
Math.
p.
: Introduction
MILNOR
: Ueber
und
Monatshefte
FOX
Reldemeister
76(1962).
: Durchschnltt
Ketten, 3.
Math.
~or
yon
(1934),
Knoten. p.571-572.
o~
Am.
in
4-space
Math.
Soc.!
-83-
VII.
LE
THEOREME
DE
BARDEN
ExposQ de
Soient de
m@me
dimension :
D~finition orient~ej
M'
M,
deux
Un h - c o b o r d i s m e
1)
bW = M'
2)
W
varl~t~s
j telle
n+l
se r ~ t r a c t e
connexes
et
M'
disme
M
et
M'
C3]
e d~montr~
sont
. C'est
dlff~omorphes
[par
O'eutre part
L(7,2)
dimension
x S4
3 de
connexes
un
s'il
une r e l a t i o n
sl
M,
existe
(p,q)
M'
sont
dim M = dim M'
des
> 5
diff~omorphisme
d~signe l a
. On
des com-
un h - c o b o r -
d'~quivalence.
de
vari~t~s
Blots
degr~
M
et
+1].
un example de v a r i ~ t ~ s
pes d i f f ~ o m o r p h e s . Ce s o n t
L(p,q)
type
sur chacune
M i l n o r donne dens [ 1 ]
ne s o n t oO
est une v a r i ~ t ~
de son bord.
qua
h-cobordentes simplement~et si
et
fsrm~es
que
h-cobordantes
lE~-.exes
h-cobordentes qui
M'
et
par d ~ f o r m a t i o n
M
sont
orient@as
M
entre
On dira que
M'
(1]
+ C-M]
posantes
Smale
M. K s r v a l r e
- STALLINGS
n
de d i m e n s i o n
entre
MAZUR
veri~t~
L(7,1)
x S4
lenticuleire
de
a
[L[p, q]] ~
ZI p~
Soit le
rev~tement
W
un
universal
de
M
s'identifie
est
un
isomorphisme).
(1)
Cet 40
expos~ (1965)
eu
a ~t~ , p.
31
h-cobordisme de
W.
rev~tement
publi~ 42.
Le
entre
M
et
sous-espace universal
~galement
dens
M'
de
de
M.
~
et
soit
au-dessus
[H 1 M
Comment.
Math.
~H 1 W
Helv.
-84-
On (W,M)
d~slgnere
rei6vement
par
d'une
est
acyclique
(~ = 01
M
et
~1
T(W,M).
C'est
D'apr6s
des
guletlon
t
THEOREME alors
W
, on
du
cl-trlangulation de
c'est
peut
groupe
connus
un
lui
de
(W,M).
essocier
ne
compiexe
~ [~]-module
Whitehead
T(W,M)
Le
une
libra
torsion
WhC~)
d~pend
pas
de
de
~
la
trlan-
de
.
.
lee n o t a t i o n s oi-dessus,
est d i f f ~ o m o r p h e
De plus si
comma
W)
~i~ment
Avec
:
et
M~I
th~or@mes
une
C1-trianguletion
C . ( W t ; M t)
un
C~ t, ~ t )
M
et
x
~
M x I
supposons
que d i m ~
si et s e u l e m e n t si T C W , M )
sont donn~s a r b i t r a i r e m e n t ,
~ Wh(~)
6
= O.
il eziste
o
un h - c o b o r d i s m e
Sma le
a
d~monstratlon
II
est
Mt
@vident
qua on
maintensnt
W
:
qua
dim
W = M x I +
Crs)
d~signe
O s x O n-s+1)
En W
sl
M'
tel que x ( W , M ) = T
essentiellement
W
est
a slots
en
les
L E M M E 2 : Si W = M x l .
Cr
r
+
un
W
Pour tout e n t i e r
d ~ o o m p o s i t i o n en anses de
de
utilise
En e f f e t ,
Supposons
LEMME 1
o~
et une vari~t~
les
m~thodes
de
M x I , on
diff~omorphe
W = M x I
Wt c o l l a p s e
et
"
M'
(*)
M
E3].
Solt et
entre
La
TCW,M) = 0 .
sur
W
h-cobordisme
= n+l
. On
tel que
r
W ...
2 6
remplagant
W
par
M
a
2 ~ r
+
..[r
+
Cr
il existe une
5 n-2
s
+
on des
est de la forme
peut anses
(')
"'"
+ (r
(i.e. d i f f ~ o m o r p h e
a t t a o h ~ e par le p l o n g e m e n t
termes,
entre
de la forme
une anse d'indioe
d'eutres
quelconque
rs
de
~liminer de
deux
S s-1
toutes
x D n-s+1
les
indices
et si x ( W , M )
= 0
enses
cons~cutifs.
on a
0
-85-
On n~e
d~
les
anses
(W,M)
montrer
lemme
ne
m@me
~
M x
d~composition
Xq
la
Y
= bX
r~union
moins
- M ~
q
pour
on
~limine que
la
I +
une
X
x
(
q
@1)
ordonn~e
en
de
M x
(0)
. Autrement on
~ I).
I
x D n-q+1
Elimination
des
(n+l)-disque des
ie
ii
n'y
On
(@iq)
on
anses
ordon-
attach~es
event
(s,t)
Pour
les
anses
d'indices
q+2
. En
obtient
d~-
appliquant
la
~ormule
(*).
des
a plus
On
de
M.
est
de
(0)
d~signera . On
composante ~ q+l
.
par
pose du
bord
(Tout
au
~ 0 q x Dn-q+l
dens
images
,,,
~ q
di~omorphe
Dq x les
On
d'indices
e s t la q anses d'indice
les
+
de
I a'n s e (0)
x
(@iq ) sn-q
" Oe et
0
.
~acile.
M
I
x
ne
Une
. Comme M
x
change
d'une
unlt~
d'indice
1.
d'indice
0
d'indice
1
I
ense W
le
Apr@s
est
au
pas
d'indice connexe,
(~
nombre
un des
hombre
est
l'une
(n+1)-disque. W
un
0
Si
1) X
+
+
...
M x
I
(@1
. Comme
+
l'on
digg~omorphisme anses fini
d'indice
d'op~rations
.
(@~ 11
est
connexe,
X
1
est
un au
consid~re
XI = x I
(@q)
Y
est
on
diminu~
anses
+
W mod
anses
1 Joint
anses,
anses
de
dit,
d'indice
d'anses
des
des
,,
respectivement
d'indice
a ainsi
anses
(@iq)
operation
deux
nombre
X = M
duale,
d~signent
anses
anses
Elimination
o0
d'indice
en
sont
d'indices
o )+ (@~1
+
i ' image
disjoint
ces
et
L'ense
dens
Cette
et
couple
anses
attache
~
pros).
s ~ t
successivement
des
''"
d~signera par O~ -q n-q~l m@me S et Ok
supprime
tout
+
IaqueIie
pour
moins
d~composition
d'indice
d~composition
On
(0)
enses
une
Soit
:
q
existe
t
rajoutant
Notations.
q de
les
1,
m~thode
W
qu'il
, i.e.
d'indice
ie
q < ren la
rappelle
somme
connexe
0
-86-
le
long
du
bord
de
X
evec
~1 cO
X l )
(x I .....
S 1 .....
S 2
~1(XI)
donn~es
soit
des
~ICM)
Le g r o u p s
=
Comma
wi
on eat
il
exlste
a
ne
les
~1
($t
On Y2
" est
On
que
le
:
S
g~n~rateurs.
conjugeison
1
Solent
dens
on-1
x
une
Xal
;R 1 . . . . .
un
>
presentation
Rt ,
S1 .....
isomorphisme dens
les
H I ( X 2)
symboles
at
bX 1
de
HIM.
S ~2
)
du g r o u p s
.
de
, i = I ..... ~I el,...e
. s
H 1(x 1)
des
~ j2
(S 1 x
Dn-1
x
Comme
HIX 1 ~
HIY 1 ,
2)
(n
coupe en
n-1 SI,
que
r
(r
(2)
saul
...
j
elles
et
2
notation et
i'
entre
= 1 "" ..,a
(cf
sl
ct-dassus)
qua
~ i
" consld~r~ comma pIongement -1 XlW i devlent trivial dens
dens
.
d'Indlce cl-dessus
+
,
point,
,I +
dlsjolntes
S ln - 1
= ~
car
1 X = X +
un
) ~
l'anse
condition
sont
(S 1 x O n - l )
+ 1 > 6)
2 (@~)
> Y1
supposer
r
(0))
& z~ro
D n-1
x
peut
des
observe
Solt salt
de
On e d o n c
le p r ~ s e n t e t l o n
indult
S1
images
homotope
~1(X2 ) ~HI(Y
r Rt )
x I .....
:
trensverselement r
& ~I
classes
c o n t e n e n t que -1 XlW i dens
-I xiw i
qua
libre
x i = w.1 (el ..... as)
dlsJolntes (2)
x 1)
.
piongement
repr#sentent que
des
RI,...,
~X 2
@i
(1)
R 9 (x I . . . . .
le g r o u p e
;
es,
l'~l~ment un
= ~1
clots
X
S 1 x Dn
pIongements as
(a I .....
un mot
Consld~rons
Ies
edmet
l'inclusion
Poincar~, cO
per (e 1 , . . . .
=
(Xl)
d~signe
plains
tores
repr~sentants
~1(X2)
~1(X2)
el
( ~I)
2
attach~e
Implique
per
:
2 +
(~1)
+
...
+ (Q I)
$i
" On
'
-87-
En
vertu
de
la
condition
X 1 + C~21) § . . . et
lee
anses
X2
Or, i
~i
Is1
+
C~ 1)
(0)
est
d'un
est
trlvlalement
on
peut
&
Y2
~(x)
dens
un
Y2
dim
" Comma
en
de
Y2
qua
lee
r~sulte
= n
dens
~i
: S 1 -----,SO
~
. Ii
)
canonique
chanKement
supposer
X2
C~2 2 )
,
+
evec
donc
vari~t~
Oonc
plongement
. Apr~s
attachQes
+ ...
la
C~ ) + ...
) -- X +
. y)
peut
~ormer
commutent.
~ z~ro
de
(x,
n~cessalre,
C~
isotope
point =
(~2)i
...
homotope
'(x,y) ~i
par
+
, on
+ C$2 ) + ( # 12)
et
est x
slnaKe
(~2)I
C1)
anses qua
le
"
sl
2
(~i)
l'on
rol-
~il d o n n ~
en
n-1
~ 5
peut
cele sont etta-
char 2
X2 + (0~1 des
anses
d'indlce
3
...
...
($~1)
+
(~)
, dlsons
X2 = X2 + C ~ ) + On
+
. I = 1 .....
+ (~)+ 1
(~)+
ml
...
. telles
qua
C~1 )
e alors
X2 = X . i.e. per dice
lee des 1
anses anses
est
...
d'indlce
+ (,2)+
I de
d'Indlce
3
W
(an
(,~)+ ont
nombre
QtQ
...
+ (,~1)
~limln~es
~gal
aux
st
anciennes
remplacQes anses
d'in-
) .
Elimination (r
(,~)+
des
anses
l'entier
d'Indlce
arbitraire
q
du
avec
lemme
2
_< q
< r
<_ n - 2
) +
...
1)
Soit
W
une avec
-- M x
d~compositlon 2
I +
en
< q < r < n-2
(
) +
anses
...
du
Cdim
+
(* a
+
h-cobordlsme W
= n+l
.> 6)
donn~ .
entre
M et
M~
-88-
On les
anses
posante
rappelle
d'Indice
connexe
du
d'Indlce
> - q+l
v~tement
unlversel
au-dessus H
q
(X
q
,X)
est
Solt rel~vement
II xie
bord
de
X
3 :
un
si
qua wk
~tant
P
q prend
au
disjoints
q+l P On
Solt lee
bord et
x r
~
etc... notera
lemme
comme
que
Puieque
(W,M)
~q
, le re-
pour
point
des
~
per
la
et
g(sq)rhS
dans
coupe
Sjn -q
de
~ ~
~
< n - 2)
pour
Yq
transk ~
J
repr~sentent .
On
peut
alors
~llmlner
Y
un
n-dlsque
les
: base
anees
de
d'Indlce
q q
. On
notera
plong~ ce d~-
Indlce
de
k (1 S k 5 8) on c h o i s l t un c h e m l n l'image ~kq+l (S q x D n - q ) les c h e m l n s wk
contenus un
dens
point dee
Y
base
Int
de
~
U k
#q+l k
au-dessus
(S q x D n-q) de
P,
et
.
solent
cellu~es
le p o i n t
l'op~rateur est
d~termin~e~
isotope
g(S q)
d~montr~.
suit
est
>Yq
tel
x E ~(q
(c~ n o t a t i o n s d
dens
~ pr~s.
: Sq
point,
ce
rel~vements
d~termln~s
D~
unlvoquement
q
aqk§
de
un p l o n g e m e n t difg~rentlable. Un q represents une c l a s s e de la ~ o r m e
>u
avec
Y ) disjoint q P . Pour chaque
de
q rel~vement
les r e l @ v e m e n t s
Supposons
On
M x I avec
-(M x (0)) est la c o m q ~ l a q u e l l e sont a t t a c h ~ e s lee a n s e e
~l~ment
en un aeul
d'Indlce
de
= bX
q
q (x i r ~ E ~ ] )
: Sq
c Hq(Xq,X)
(dans
~Y
Le p l o n g e m e n t
si et s e u l e m e n t
Y
la r ~ u n l o n
X
dans
g
un
: Sq
par
veraalement
anses
a~
s Hq (Xq,X
un p l o n g e m e n t
•
et
d~slgne
qui e ' I d e n t i ~ l e a v e c ie s o u s - e e p a c e de q X . On I d e n t i ~ l e a~ a v e c sa c I a s s e d e n s q I q a l o r s un Z~module l l b r e e n g e n d r ~ p a r les a i .
~
multiplication
LEMME
s q,
de
~
de
X
q que
. Solt
de
qul
que
oq ~1 ~mes des anses d'Indlce -k , les r e i ~ v e m e n t s des w d'orlglne
~
q+l_k a pour N
cl-deesue. bord
acycIique,
d d
: H
bord ,~+~{S q x CO))) ~
(~q+ ~ ) ~ H (~ ,~). q+l 1' q q q eat s u r J e c t i ~ . Pour tout index
-69-
j
(1 _< J _< ~)
, il
existe
7. k X j k (observer
que
d
est
: Sq
passant
par
Index
Oe dis
g isotope peut
qua
I r EI,6]
&
encore
se d o n n e
si
~
(sq
de
1'on
>Yq
dens
Y
-~
~kq+l
choisi
~ volont~.
f
en
"tirant"
f(S q)
repr~sentant
x
d~former
w
Jusqu'&
Ensuite D; +1
ce
on
(~1
arrive
passer
f(S q)
x S In-q-1
(cf
SmaIe
g
tout
x c H
= ~
pour
d'abord
le
est
bien et
le
long
0; +1
par
op~ratlon
signe
g
d'un
~ ~ +l(sq
de
le
obtenir long
puis
cette
o~
1
suffit
voislnage
Apr@s
[a q+l)
-
par-dessus
[3]).
~)
arbitrairement
+ xd
q < n-2),
au
(par
plongement
Ii
car
i 'on
qua
felt
Yq ~
rei~vement
(S q x D n-q)
qua
~tre
.
x D n-q)
son
un
Z[~-modules)
plongement
se d o n n e
tel
q+l
de un
k
, il e x i s t e
: sq ~
= aj
II -~Jr q+l
q
P , la c l a s s e
d6terminQe. un
~Y
que
q
d(a q+l)
on
r 7Z[H]tels
Xjk
un h o m o m o r p h i s m e
Si m e i n t e n a n t f
doric des
de
lacet
du
chemln
x Dn-q).
Isotople on
sur
obtlent
pIongement
g isotope
u
~
•
: sq f
sur
Y
9 d ( a ;~ +I)
de ~ a i r e
passer
f
+ ou
-
on
donc
modifier
dCa +1)
dens
par-dessus
cette ~
formula. par
O q+l 1 Par
n'impcrte
qul
d~termlnent
iteration quei
de
~i~ment
les
ce p r o c ~ d ~ , de
la f o r m e
avec
Solent canoniques
(S q x O n-q )
[mais @ v i d e m m e n t pas sur Y ) tel qua q+l q Ii est f a c i l e de v o i r q u ' i l y a d e u x f a g o n s
(S q)
signes peut
- ~k ~k 9 q+l
~Yq
alors
(triviaux)
@I
: S q x D n-q
disjoints X
q
+
et
(~1q+1)+
contenus ...
des
~Yq
dens
+ (~q+l)
plongements P
. On
forme
un
-90-
Comma
i
ces
anses
= 1 ..... e X
On f o r m e images
tell~
= X
q
X des
q + ($
trlvlales,
+1)
et
@1
existe
+ Z(@;+2) a q+l ~k
isotope 0 -~ Xlk
sont ~ s J o l n t e s ) . ~ un d
+ r-($q~ 1)
d'apr&s en
IIen
le
lemme
3 , on
point
saul
$ ,i
(S q x on-q ) ~ Sjn-q
lee
le
dont
le r e l ~ -
supposer
= 0
~
que
pour
(S q x
(0))
coupe
et
J ~ i
.
(@k
=
)
et
C$ i* )
commutent
X + Z(@~ § )
suit
= X + z(&q+l)'k
Autrement par
dit, des
on
Ii
est
la c l a s s e l s o n
q+2)
= Xq+ 1 + T [ $ [ )
+Z(OI
+ ~(~iq+2)
+ Z($; +2)
e ~limin~
anses
Reste
pas
Y q+l
9 d'apr~s le remarque
q
= ai
(transversalement),
q+l
anses
Xq+ 1 = Xq§ 1 + E(~; +1)
placer
sur
* Z($~)
*
s'en
les
qua
Xq+ 1 + ~ ( ~ i ) Ii
peut
un
r~sulte
comma
$I9
car
.
+ ~.( *) ~i
q+l
X = X+ Z ( r et
Or
plongement
(_q+l)
= X
q+l
S n-q i
q+2) ($~
On a d o n c X
et,
($;+2)
anses
9 C'est possible
m k
pr~c~dente.
des
q+l . q+2 + ($~ ) + [$1 ) +'''+
+ ...
des
est
represents
il
qua
+ ~(@;+1)
q+l @i
plongement vsment
sont
les
d'indice
& d~montrer ~vident
anses q+2
le
d'indice
pour
les
ram-
.
lemme
3 .
qu'unelsotople
relQvement.
q
O'autre
de part,
f sl
dens f(S q)
Y
q
ne coupe
change S; -q
-91
en
un
soul
pour
point
(transversalement)
k # j , ii
sst
clair
R~ciproquement, : •
q.
. On
-
pout
n-q si f ( S q) f~ S k
et
qus
~
: +xa q J
soit
f
: Sq
supposer
que
avec ~Y
routes
un
q
les
x e plongement
intersections
avec de
f(S q)
l
avec
los
S
n-disque non
plong~
vides
"point
tel
aussi
Pour
disjoint lacet
l
nues
dens
clalr
que
On
q que
suppose
f(A)
Soient
f ( U ~z)
pairs
P
Dq x
~
P # B
d'indices
int
de
) C
U
. On
:
Soit (i,v)
Y
(i.e. un q ) repr6sentant
A
chemin un
Qv. de
bU ~
r
soit
A vi
certain
qu'il
exists
des
teIs
que
Sq (r
i
)
f { A v] i
que
chemin
~l~ment
P.
points
l'anse
et
pour
les
Bur
Alors
d'origine
P
rencontre
sur
tel
un
ui ~
Ov i
un
contractibles
f(S q)
supposer
bord
A iv
et J o i ~ n a n t
que
centre
S
construire
prendra
slots
peut
de
de
intersections
x D n - q + l ) . On
E P
(disjoints)
f(Q
facile
~galement
U v. x
est
a des
(sq-1
form,s
des
w.
r
) ~ S n-q i
que
touts
los
Ii
qul
f(O
f(U i
st
Y qq
que
tels
q-disques
Y
transversales. dens
tous
de
A ~ Sq Sq
P
avec
base"
Soit de
sont
e P
.
Sq
f(u~)
est
un
d'extremit~ contev xi E ~ II est
q = r,ir,v c~
e~ : I
o~ il
en
(f(U~),
S? -q) z
:*
I
x.~ a i
. Comme
T
: •
q i
par
hypoth@se,
r~sulte V
r
v (Hq{Xq,X)
est
i / j,
on
pout
telles
que
disons
j
group,s Ii
est
pour
un
x~ tel
grouper = xp i que
i : j
peut
est
(dont
homotope
Is g r o u p e
tout
i
s'en
suit
qu8
pour
tout
points 0i en p a i r e s (O i , 0 l k p e = . Pour i = j , il e x i s t s un i -si
x.
:
x
de
,
voir
st
@ z~ro
que
dane
Qj
touts par
u ~i
Poinoar6
los
tellss
~limin~e
[u~) -I
de
Ii
pour
los
st
~tre
e f f e t 9 le c h e m i n qui
libre).
J (Q~j 9 B~)
facile
x
=•
~[~module
en p a i r e s slors
xi
i
se Yq
est
evec
que
v >
k p xj = xj
paire
st E ).
en ~ i t
peuvent
et
(@~'z Q~)
la m ~ t h o d e proJette
1
dens
f
sur
~tre
k ej = ~j
.
, m~me
de W h i t n e y .
par
v Oj
En (w~ )-I
Y q -U k s~-q
.w i ,
-92-
Ii
soustend
donc
ferm~
en
lui
darts
Y
-L~
q de
Joint disque
(fO chang~ tient
S
un
)
aux la
de
(*) (le au
(apr@s chemin
dont
, ne
qu'on
de
P
en le
l'int~rieur
+ 2 < n
bien
f
. On
connu
dO
pr~sente
ait long
peut
d~forme
de
@tre
f ( S q)
~ Whitney. plus
fait
la
Le
paime
un
vrai
S ni - q
) plong~
suppos~
dis-
le]ong nouveau
de
lacet
de
ce
plon-
points
points
d'intersection avec S Rien n'est l' on o b paires (Oi,, Oi~') , . Par r~currence
autres
du
lemme du
lemme
1 est
lemme
3.
ainsi
2:
compl@temsnt
Soit
W
un
d~montr~.
h-oobordisme
entre
M
st
forme
W = M x I nombre nombre
T(W,M) se
~
conclusion
la
q
procdd~
D@monstration M'
car
de
Le
un
, et
isotope
, fO
2-disque
adjoignant
f ~ S q)
par
gement,
un
+ (@~) + I
d'anses des
= 0
d~truisent
i
i
+ (r
d'Indice
anses
. On
i
va
r
d'indice montrer
r
r+1
+ (@1
esten r+l
que
Ies
) + ...
effet
dans
ce
anses
+ (@~+11
n~cessairement
cas).
~gal
Supposons
d'indice
r
et
r+l
mutueliement.
On
sait
que
l'on
peut
calculer
la
torsion
~ partir
du
complexe d
...z oO
0 ( comma
Hr
(Xr,X) <
Hr+ 1 (Xr+l,X r )
~
O<-----_...
on
l'a vu, les d e u x g r o u p e s non n u l s s o n t d e s Z~modules r r r+l r+l f i b r e s sur a I ..... a st a ,...,a rsspectlvement, rel~vee 1 ments des cellules Or Dr st O~ +I p i l l ,D r+l respectivement 1"'''' On a a l o r s d ( a [ +1) = Zj xij e~ et la m a t r i c e x =
9
(xij) reprO-
sente
~(W,M)
par
d~finltion.
L'hypoth~se former
x
~l~ment
de
en
une
T(W,M)
matrlce
avec
slgne
= 0
& une par
signifie
llgne
une
et
sulte
que l ' o n
une flnle
colonne
peut
trans-
form~e
d'op~ratlons
d'un du
type
:
-93-
addition
(1)
autre
~ une
ligne x
x ~ ( 0
0 11
(3)
I'Inverse
de
transformations
pas
ia
ciasse Or
sent
une
(Pmge
une
lemme
palre
d~truit
qus
T
O
une
(xlj)
d'une
d@compositicn de
vu
que
r+l
par
Une On
W
a
vu
en
d~montrer M,
matrlce
peut une
~
anse
(2)
est
d'Indlces du
alors
conclut derni@re
~1
M
type
W
et
changent
Inverslble
et
en
pas-
Indlce. : on
r+l
qul
(~)
attache
i = I ..... ~ r
Solt
r
X
x
=
r
M ~
~ termes
Sr
~[~]-module attache :
Sr
x
r
Sr
x
.
S n-r
long
par
on-r+1
qua
(d~monstration
du
~ une
du TO
anse
qui
theorems,
E Wh(H)
d'ordre
On
~
des
~M
x
x
S n-r
de
M x
~
conSolt
repr~sentant
(1)
,~
anses
appilcatlons (1)
triviales
a
Sr
~=t:
...
~ournlt
engendr~
alors
l'anse
un
par (~+1)-
~
bX r
homomorphisme
r a~ ..... a s
~
Sr
x
par
un
(Injectif)
dens
~r
plongement
repr~sentant
se
I
Sn-r
X sn-r
libra
Dn-r
, le
, d'Indlce
L'incluslon
~r+1 J
M x I
= M x I + Z($1) i
r
bX avec
sr-1
:
~
se
signigie
= M x I
solt
mSme
~vidente
(3)
assertion
: ~
ne
obtenue de
r
isotope
qua
la
qui
~tre
pr~c~demment
est
carrie
anses
correspondent
.
(1)
op~ratlon
( ~ r8+ 1 ) On
en
dessus
trivleies
= a r8
op~ratlons
9 On
On
ces
correspondent
vari~t~
une
~ gauche
qu'@
d~J~
d'enses
(~)
Pour
x =
avons
l'anse
avec
sld~rons
Ia
mutuelIement.
d(aB+1) 3)
de
d'indlce
r
a
montrer
L'op~ratlon
d~trulsent l'on
de
di~omorphismes
nous
anse
89).
aJoute
de
(•
(2).
s'agit
des
d'un
;
(2)
Ii
ligne
l'~l~ment
( b X )r
du
-94-
r
Zj
xij
aj
v@rigie
r
Hr(bXr )
sans
' C'est
dig~icuit@ W
9 st
On
h-cobordlsme
possible
~
condition
qua
. On
r < 89
que = M
x
entre
I +
M
Z(@[)+
etune
r
(@j+l)
vari@t@
M'
st
que
T(W,M)=~ 0
APPLICATIONS
Soit W
W
avec
dim
(1)
W
-
M'
(2)
M
x
(0.1)
C3)
M
x
S1
~ 6
- M u
M'
= M'
:
On
W'
un
x
Ii x
Pour soit
[0,
X
= M'
= M
h-cobordisms
quelconque
entre
M
et
M'
Alors
= M
O~monstration W
un
1) x
(0,1)
S1
(Cette
est
clair
(0,1)
, et
d~montrer
que
on
(1),
h-ccbordisme
derni@re
remarque
(1)
@
obtient soit
entre
(2)
T
M'
(2)
Is et
eat
, car
en
due
(1)
permutant
torsion M"
avec
M')
= 0
de
~
G.
de
entraSne M
(W,M),
T(W',M')
et et = -T
a TCWu
W',
M)
=
xCW,
= M
x
I
M)
+ TCw',
Donc
Par
W
UW'
M
x
st
M
=
M"
9
suite [0,~)
U
=
x Ei, i§
i=o oo
:
U
(w u w ' ) i
i=o OD
les
bout
copies
(WUW')
i
, i
de
~ bout.
U
Or
(wuw')
i
= wo ~
i=o et
= 0,1 ....
comme
T(W'~JW,
U
!
wiuwi+l
I--o M')
=
0
on
a
Qgalement
c~
.'
x [o,=)
=
U i=o
wi§ I
9
W~W'
sont
Rham)
coll@es
M'.
-95-
On
en
tire
M x EO,1) d'o0 W
-
(1) M'
en
observant
dlsme
la
x
entre
N
est
M un
et
x [0,1)
deuxi@me
(3)
M'
et
h-cobordisme
)
membre
eat
diff~omorphe
on
si
observe N
que
eat
une
entre
M
N
= ECN)
9 i,
x
sl
W
est
vari~t~ et
M'
un
h-cobor-
ferm~e, x
N
alors
De
plus,
i,
th~cr~me
N,
: Wh(nlM)
Dens
trouvera
Product
and
(1965),
p.
M x
N)
>Wh(~I(MXN))
zCW, M)
eat
,
canonique
et
E(N)
et
E(N)
eat
la
d'Euler. lecas
N = S1
, on
dQmonstration un
expos~
Sum
de
dens
Theorems
la
a
formula
l'article
for
de
Whitehead
= 0
(3)
rQsulte
du
ci-dessus
est
facile.
On
K.W.
Kwun
Torsion,
et
R.H.
Ann.
of
Szczarba,
Math.82
183-190.
COURANT 251
INSTITUTE
Mercer
OF
Street,
MATHEMATICAL
New-York,
N.Y.
3.
MILNOR
:
Two
complexes
which
binatorlelly Ann. J.
MILNOR
:
of
homeomorphic
but
distinct.
Math.
Manifolds
are
74
with
(1981)
finite
p.
575-590.
fundamental
groups.
(A p a r a ~ t r e ) 3.
S.
SMALE
:
On
the
Amer.
Structure J.
of
Math.
of 84
manifolds. (1982),
p.
387-399.
SCIENCES
10012
8IBLIOGRAPHIE
2.
a
principal. La
I.
on
formula
ceract~rlstlque
en
le
qua
d~montrer
TCW x
oO
(M'
.
Pour
W
= Wu
com-
-96-
VIII.
TYPE O'HOMOTOPIE DES ROTATIONS ET DES ESPACES LENTICULAIRES
Expos~
de
G.
de
Rham
(1960)
Rotations.
1.
Soit qui
Bngendre
ques
de
un
R
d~slgnera
par
R 2n
n)
une
rotation
groupe
sont
(k = 1 ..... donn~es
R
des mK
sans
~ sont
des
contenant
S 2n-1
R ( z k)
Nous
poserons
81ne
de
fixes.
, O0
antlers
. les
fini
primitives
z I ..... z n
m (1)
points
racines -mk et ~
complexes
d'ordre
h
Les
h-i~mes 2iw/h ~
h
convenablement de
Nous invariants pr@s
et
zk
chang~ en
en
R.
R
S 2n-1
on
et
ne
de
sorte
En
changeant
-m K
Toutefois, conjugu~e
d~termln~e,
qua
de
ieur
si
k >m
tels
que
rk = 0
bles
sont
des
d'un
et
produit
On
de
dens
coorl'espace
~ un
is
un
= J/h
si
k > m : a et
a alnsi
et 2m-2 J h
et J/h
de
points 2m-1
aj
S
sont ~
des
de
l'ordre mk
(J
est
change
pair
d~termin~ $2n-1
I'o-
munie
d'unB
z I ..... z des (mod
tels
m
k h).
qUB
l ' e n s e m b l e des p o i n t s (j+l)/h
Ces
ensem-
est en e f f e t le " J o i n t " de 2m-1 aj Ie J o i n t de m-1 c e r c l e s celZules
les
coordonn~es
S 2n-1
nombre
l'ori-
1
effet,
qui
&
coordonn~es
bien
S @m
=
h),
I'une
d'un
entier
des
,
de
sphere
qua
2 r k
z k ,an
syst@me
signe
.
centr~e
(mcd
transformation la
n)
n Z k=l
que
z Ken
prend
i'ensemble
r
point,
une
sera
et
CBIIules
d'un
segment.
changer
2m-2 a. J
mk
(k=l .... n)
changement
l'on
li~e
mk
d~termin~s
Ie est
Si
~ 0
entiers
pr~s.
Solt
cercies
r k
signe
permettra
rk = 0
les
a
sont
orientation on
1,
que
S 2n-1
les
qu'on
s'~crivent
. Supposant
ne
de
l'unit~,
I'alde
(K = I . . . . .
Iis
l'imaainaire
rientaticn
rayon
dirons
de
au
de
. A
S 2n-1,
caract~risti-
choisies
2n et
sph@re
k
= E
z k = rk e 2 i v @ k
R
de et
premiers
la
recines
~ = e
~quatlons
de
= 0 .....
h-l}
de
m-1 et cheque
'
n
,
-97-
dimension
(m = 1 ..... n)
~drale
S 2n-1
de
Solt se
r~dulse
avec Ies
au
~
points
h,
des
de
de R'
et
ses
:
Ses
mais
de
rotation
non
pas
m@tre
une application r~el
t
nous
pIus
forme
appellerons
un
sont
encore pre-
groups
des
(1)
sans
racines
toute a p p l i c a t i o n
qui satisfait f
seront dites
(R,R')-homotopes
d~pendant
et se r~duisant
de
la
R 'h
n~cessairement
(R,R')
R = R'
(R,R')
qua
primitives.
en elle-m~me
(R,R')
poly-
telle
n~cessairement
application
f
existe
sont
aussi
caract~ristlques
(2)
Deux applications
qua
n~cessairement
S 2n-1
subdivision
S 2n-1,
sont
m~ ne
n'engendre racines
de
~quetlons
qui
une
R
entiers
On appellera
f
d~flnlssent
par
autre
des
R'
l'unit~
D~finition continue
mk
car
fixes
h-i~mes
une
l'Identlt~.
lieu
~
invarlante R'
invariants
miers
, qul
contin~ment
~ l'une pour
t = 0
s'il
d'un para-
et ~ l'autre
pour t = I
THEOREME
1
: Deux
applications
elles ont le m~me degr~, eziste une a p p l i c a t i o n que
(R,R')-homotopes
et dans ce cas seulement. (R,R')
rnn
m I m2...
Soit (k = 1 . . . . . f ( r k)
= rk
f . R ( r k)
n).
PK
= Pl
de degr~
si
Pour qu'il
d , il faut et il suffit
m~
n'est
en
chacun 0
~ m 1' m'2 " .. m'n
entier
tel
et
... nulle
qua de
f
congrues
Pn
m'n
est
desqueIs
l'image le
R'.f[@k)
et
(mod I ) .
, car
un
f de
m
1
k en
dont de
f
h) (mod
h)
elle-m@me
~ (2)
,
telle
f
aucune Idol
n'est
qua
car
= Pkm~@k * m~/h
Le degr~ de
point
par
jacobien
PK S2n-1
(mod
satisfait
f(@k ) = PK m~ ~k
= Pkm~@k + mkPkm~/h
rk
d
un
d
L'application
deux v a l s u r s ~ n t
de
sont
lron ait
(3)
do
(R,R')
est
et
ces
~gal
des
coordonn~es
points
exactement,
pas
nui
eta
le
slgne
-98-
En
en
modi41ant
S 2 n - 1 9 on
de
elle-m~me
cation
ne
sett de
dulsent cation ainsl pour
qul
peut
n'importe pius
a
par
R
et
satisfalt
~
(2)
P
entier il
d
de
ses et
touJours
(R,R')
sont
(R,R')-homotopes
qu'elles exlste
solent une
dont
congrus
4~
et
A
que
avec
l'Intervalle
(4)
F ( z 9o)
I
= 4 ~ (z)
Solt
F
si
=
elles
.
Ks
1).
F(z
le
cellules de d i m e n s i o n $2n-1 x I form,e des
de
la
cellules
et
d
x
+h
e
de
deux
deux
. On
la
su49it I
O
d~mons-
applications
de
.Pour qu'il
S 2n-1
que
-- R ' ( F ( z ) ) (ensembie
poly~drale x
d
eppIicetlons
. telle
. a~
a
degr~
(R,R')
t) .
d~-
degr~.
dimensions
I
o
achever
x
subdivision a~
mani~re
de
appli-
il
S 2n-I
s
4
une
de
F ( .R ( z )
&
appli-
cbtlent
le m Q m e
$2n-1
= 4 1 ( z. )
squelette J s)
ont
4aut
. dana
Cette
se
applications il
de
qul
Pour
que
P
S2 n - 1
(R,R')
9 et
point
points
eat
degr~s
prodult
(0.1)
on
(3).
h)
deux
du
des
degr~
les
(R,R')-homotopes,
appiicatlon
+e o mcdlflant
chacun
le
(mod
41
d
application
prouver
sont
soit en
de
setls4elt
(R,R')
Solent
mals
d'un
appiication
puissances 9
d'une
qui
suf~ira
(2) 9
volsinage
une
degr~,
volslnage
l'exlstence
au
obtenir
quel
Ie
prouv~ tout
seulement
dens
de
tratlon,
qu'cn
satlsfera
correspondents
4
et
des
de
e~
x
1
J
(J
= 09
..... h-1
d~termlnent Ks
. Si
F
l'on
ells
sere
par
R
; q sur
peut
K~
Supposons
~tendre
d~termln~e
permute
= 0.1 ..... 2 n - 1 ) .
par
d'une
sa
Les
qu'on
d~Inltlon
(4)
sur
mani@re
conditions sit
~
K s+l
d~finir
l'Int~rieur
9 car
transitive
pu
{4)
~s
ie
F
de
grcupe
a
sur s
x
I
9
e n g e nod r ~
h csllules
a~ J
(J
= 0,1 ..... h - l ) .
sorte par
qu'on Fj
pourra
sa
Cele
est
touJcurs
restriction
au
touJours
possible
d~flnlr
F
bord
de
sur
a~n - l -
si K 2n-1
x I
J
~tendre suite F~
Ia ~
soit
d~inition
K 2n nuI
= 9
de
S2 n - 1 Or,
x
comma
F
~ l'int~rieur
I , il ia
4aut
somme
et
des
il
de
des
o que
de
. D~slgnons
. Pour 2n-1 a
su44it
bords
s < 2n-I,
qu'on x le
I
puisse
9 et
degr~
celluIes
par de
a~n - l -
x
I
J
(J
= 09
..... h-l),
orlentQes
comme
S 2n-1
x I
, est
~gale
au
cycle
-99-
S 2n-1 -
x
~
1
S 2n-1
(S 2n-1
) =
x 0
(d 1
-
d
0
de
, dont
l'image
)S 2n-1
,
o~
F
par d 1
est
et
d
Mais
fo
et
, la
en
vertu
de
ie m ~ m e
degr~
d
dI
et
do
le
degr~
fo
et
le
de
fl
des
derRiere
qua
soRt
d
somme
F~
~tent
o
soRt
des
condition
, de
touJours F
degr~s
Fj
(4)
sorte
est
~gale
, les
Fj
(mod
h)
, et
nul,
peut
d~flnir
sl
~
dI
. Ainsi =
d
sur
F
d l - d o.
onttoutes
d I - d o = hd
que
CoRgrus OR
(S 2 n - I ) 1 s o R t lee d e g r ~ s
o
0
fl
f
,
O
K2n
et
(R,R')-homotopes. COFD
2.
Type
fixes une
et
d'homotople
des
L'espaoe
quotient
cyclique
verIQt~
space).
L
Nous
appel~e
coordonn~es
z 1, .... z
crlvent
ia f o r m e
A-dlre
une
H2n_I(L) ~I(L). mine,
base
, et Ainsl,
en
m~me
et
F(g)
(mod
h)
Indult est
une
cation dens
L'
(1)
le
donn~e
temps
A
des
qua
L,
qua
les
g'
de
L
, oO
F
. Cette
une
le
de
= g,e
. Le
orientetion
de
L,
c'est-
du
groupe
de
R
de
A
c
d~ter-
et
g de
R'
solent
qu'ils
et
g
c
et
g
en
F(c)
F
et
a
un
antler
~I(L) un
dens
applications
d~-
= d c'
~I(L')
rel@vement
f
qul
route
eppllcatlon
~I(L).
. Une
. Invers~ment,
d'une
. Deux
de
H2n_I(L)
..... m n'
entiers
fondamentaI
lentlculalre
d
de s'~-
de
degr~
lens-
R
m
pose@de
est
de
c
de
R
syst~me
m l , . . ., m n
change
relAvement
F(g)
rotetlon
points
~quations
analogues
degr~
sans
(Linsenraum,
L
g
l'espece
L' le
groupe
A coefficients
base
bases
appiicatlon
(R,R 'e)
qua
lee
l'homomorphlsme
(R,R ~)
telle
une
bases
eppIicatlon est
de
inverlants
est
caract~rlse
une
d'homologle
les
dens d
duquel
L'
les
par
Inveriants
h , solt
et
le
lentlculalre
d~termine
groupe
par
l'ordre
~eide
correspond
= ~,e
par
A
n
est
R
F
qul
h
A
c'
application
espace
du
premiers
terminent,
un
S 2n-1 engendrQ
c
Supposons aussl
h
que
lenticuleires.
de
d'ordre
dlrons
sous
espaces
F F
appll-
de
L
et
F1
0
de
L
topes
dens si
L'
leurs
9 telles rel~vements
qua soRt
Fo(E)
= Fl(g)
= g.e
(R,R'a)-homotopes,
, SORt donc,
homoen
vertu
-100-
du
th~or@me
qua
si
de
m K
au
lieu
1,
R' ,
est R 'a
de
g
R'
R
et
R'
F
faut
par
ies
L
~
m@me
par
th6or6me
degr~.
gormuies ces
1
m~mes
et
m K
de
(K
et
. Deux applications
F~
si elles
degr~
dans
de
L
ont
le m~me
ce cas dans
et il suffit
gormuies
avec
a
aiors
suivant
le
par
:
orien-
et soient
.
correspondant de
[
et s a t i s f o n t
d
m~
les r o t a t i o n s
1 . 2 . . . . . n)
FI
lieu
lenticulaires
Pour quril
de degr~
engin au
nl(L')
et
seulement.
L'
=
clair
avec
d~termin~s
m~
~I(L)
est
m K'
les e s p a c e s
dimensions
2n-1
Ii (I)
entrains
L'
et
les bases
(g) j e t
tion
le
drinvariants
homotopes F1
ont
d~finie
Le
h
g'
et
est
Boient
t,s d'ordre et
elles
d~finie
mK
2 :
THEOREME
R
si
telle
dans
L'
sont
~
(g)
=
F~
existe que
une a p p l i c a -
F(g)
=
g ,a
I
,
il
ou
-
I
h)
.
On
que n
[5)
dmlm 2
...
Supposons at
un
a
alors
2
entra~ne
G
: L'
F(g) et
certain d
:
g
,a
m89 . . .
m n' ~
et
:
g
G(g')
et
h
3 ~
:
drinvariants motopiej
=
g
sont
mK
il faut
m'1
soit
:
b
mI
deux
m2
LaB aIors g'
m'n
tel ' ..
[mod
avec
qua mn
a (mod
applications d
b
...
v~rigi~e
soit
bn
m'z
=
1
ou
-
elles
degr~
+
sont
d
:
+
s
I
(mod
h)
,
st
F
: L
I
, telles
applications de
,
+
b
h]
le ~L'
par
et
et
qua
compos~es 1
th~or~me
GeF:L
~L
satisgont
suite
homotopes
:
Pour que
2n-I
a
degr~
FoG(g')
Ainsi
et
de
mame
: L ' ~ L '
THEOHEME
sant
a,
, de
(5)
l'existence
l'$dentit~.
dre
qua
antler
,L
FoG
G~F{g)
m I'
mn
les espaces
dimensions et
m~
(K
d~finis =
et il suffit
~ la c o n g r u e n c e
(5)
lenticulaires par
1 . . . . . n)
quril
avec
et
les r o t a t i o n s aient
existe
d = + 1
L
R
le mSme
un e n t i e r ou - 1
L~ et
type a
dror R' dWho -
satisfai-
-101-
Disons m~me f
type
: V
qua
deux
d'homotopie ~V'
et
et
g,f
solent
tar
au t h ~ o r ~ m e
g
vari~t~s
orient~ : V'
3
, s'il
,V
homotopes
~ l'identlt~.
Pour qua les espaoes
un entier
a
...
m' n
Lss
r~sultats
Volr
(mod
orlent~,
satisfaisant
deux
et
V'
ont
applications
+ 1 , teii~que Nous
sulvant
le
pouvons
fag
alors
aJou-
:
lentioulaires
L
et
L'
aient
exposes
il faut et il suffit quWil existe
~ la oongruenoe
ci-dessus
sont
Abbildungsklassen
ang. RUEFF
Linsenr~ume
Math.,
Beltr~ge
und
185
dus
m l m 2 . . . m n ~ anm~m2 . t
& M.
Rueff
zur
p. Sur
Fixpunktklassen (Journal
(1943),
p.
Untarsuchung
Mannigfaltigkeiten
RHAM
le
,|
h).
sionaler
G.OE
V
et
W.
Franz.
:
W. F R A N Z
M.
existe
de d e ~ r ~
le c o m p i ~ m e n t
m~me t~pe dthomotopie
orient~es
for
die
dreidlmenrelne
und
65-77) der A b b i l d u n g e n
(Composltio
Math.
6,
von (1938),
161-202) les
conditions
(Colloque (1947),
d'hom~omorphie
de T o p o l o g i e p.
87-95)
.
alg~briqua,
...
(etc)
CNRS,
Paris
