Gerd Fischer
Lehrbuch der Algebra
Aus dem Programm Vieweg Mathematik
Lineare Algebra von Gerd Fischer
0bungsbuch zur Linearen Algebra von Hannes Stoppel u n d Birgit Griese
Lineare Algebra von Albrecht Beutelspacher
Algebra for Einsteiger von ]6rg Bewersdorff
Algebra von Gisbert W f i s t h o k
Zahlen for Einsteiger von Ifirg Kramer
Elementare und algebraische Zahlentheorie von Stefan Mfiller-Stach u n d ]ens Piontkowski
~__ vieweg
Gerd Fischer
Lehrbuch der Algebra Mit l e b e n d i g e n Beispielen, a u s f i i h r l i c h e n Erl~iuterungen u n d z a h l r e i c h e n Bildern Unter Mitarbeit yon Florian Ouiring und Reinhard Sacher
v,eweg
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet fiber
abrufbar.
Prof. Dr. Gerd Fischer
TU Miinchen Zentrum Mathematik, M 10 BoltzmannstraBe 3 85748 Garching [email protected]
1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten 9 Friedt: Vieweg & Sohn Verlag ] G'VWFachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Susanne Jahnel Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de
~i l.~'m-Z" \ \
Das Werk einschlieNich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschfitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzul~ssig und strafloar. Das gilt insbesondere ffir Vervielf~ltigungen, {Jbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Satz: Brigitte Singhof, D{isseldorf Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf s~urefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978 3 8348 0226 2
Crau, teurer Fr'eund, ist alle Theorie, und 9riin des Lebens goldner Baum. MEPHISTOPHELES
zum SCHiJLER
Vorwort Der vorliegende Text ist ein einffihrendes, Lese- und Lernbuch" ffir Studierende, die sich nach dem Studium der Linearen Algebra erstmals mit grundlegenden Problemen, Methoden und Ergebnissen der ,~Sheren" Algebra vertraut machen m5chten. Der Titel steht beim Vieweg-Verlag in einer alten Tradition: ab 1896 erschien das dreib~hidige Werk ,,Lehrbuch der Algebra" yon H. WEBER, 1924 folgten zwei B~nde mit dem gleichen Titel yon R. FRICKE, aber mit einer ganz anderen Intention. In den beiden klassischen Werken wurde versucht, m5glichst umfassend den damaligen Stand der Algebra zu vermitteln. Die Daz'stellung der Algebra hat sich seit WEBER und FRICKE stark ver~hldert. Durch das Progra~nm yon HILBERT ist das axiomatische Gerfist ausgepr~gt worden; die grundlegenden Vorlesungen in diesem Stil yon EMIL AftTIN und EMMY NOETHER waren die Quellen ffir die 1931 erstmals verSffentlichte ,Moderne Algebra" von VAN DER TVVAERDEN, sie haben alle seither erschienenen Bficher fiber Algebra gepr~gt. Durch die Axiomatik wird die Darstellung idarer, Beweise werden einfacher und durchsichtiger. Abet ffir Studierende besteht die Gefahr, die zahllosen hinter dem klaz'en Gerfist verborgenen konkreten Situationen nicht genfigend kennen zu lernen. Dazu sei erinnert an die Arbeiten yon C.F. GAUSS: Hier gab es keinen der abstrakten Begriffe wie Gruppe, Ring oder KSrper; es wurden vide raffinierte Uberlegungen und Bereehnungen durehgeffihrt, deren Ergebnisse sp~ter elega~ite Formulierungen im abstrakten Rahmen gefunden haben. hi diesem Buch kann und soll die Zeit nicht zurfickgedreht werden. Abet es wird versucht, durch sehr vide konkrete Beispiele die Bodenhaftung der Studierenden zu erhalten. In dieser Absicht beschreiben wir ausffihrlich die Symmetrien der Platonisehen K#rper als Illustration der Beziehungen zwischen Gruppen und Geometrie, quadratische Zahlringe zur Erl~uterung der subtilen Teilbaxkeitseigenschaften in Pdngen und yon GAUSS gefundene Formeln zur Darstellung yon Einheitswurzeln aus der Sicht der K6rpererweiterungen. In einer einffihrenden Vorlesung verbleibt kaum Zeit zur Behandlung all dieser Themen; die Studierenden erhalten die M6glichkeit, solche zur Vertiefung des Verst~ndnisses wichtige Erg~nzungen hier nachzulesen. Auf~erdem enth~it dieser Text ffir ein Buch fiber Algebra ungew&hnlich vide Bilder. Dazu sei erinnert, dass die Algebra ein hervorragendes
VI Werkzeug ffir die Geometrie ist, und dass vor der Entwicklung einer guten Synibolik ffir die ,Buchstabenrechnung" viele algebraische Beweise geometrisch geffihrt wurden. Die zahlreichen Vergnderungen der letzten Jahre in den Studienggngen haben sich mittlerweile etwas stabilisiert; dieses Buch versucht, darauf Rficksicht zu nehmen. Der gesmnte Inhalt ist ffir eine zweisemestrige einffihrende Vorlesung ausgelegt, die nut Kenntnisse aus der Linearen Algebra voraussetzt und ab dem dritten Studiensemester besucht werden kmm. In vielen Studieng~hxgen ist nut eine einsemestrige Einffihrung in die Algebra vorgesehen. Daher sind einige Paragraphen und Abschnitte mit einem Sterw* versehen: man kann sie beim ersten Durchgang weglassen, und eventuell im zweiten Semester na~hholen. Insbesondere ist dadurch ein Minimalkmion ffir den B a c h e l o r vorgeschlagen. Ganz besonders Studierende ffir das L e h r a m t k/Snnen dutch geeignete Auswahl aus dem Inhalt eine solide und nicht zu abstrakte Grundlage ffir die spgtere TStigkeit erhalten und das Buch dann als Nachschlagewerk nutzen. In dieser Einffihrung soll nut die relativ ,~lassische" Algebra behandelt werden, HShepunkte sind die Ergebnisse fiber die LSsbarkeit yon Polynomgleiclmngen; dieset Teil der Algebra kam im 19. Jahrlmndert - abgesehen yon der Darstellung zu einem Abschluss. Einen sehr guten Eindruck yon dem langen Weg dorthin seit den Wurzeln in der Antike vermittelt der historische Text yon VAN DER WAERDEN [vdW2]. Die anschliel~ende Entwicklung der Algebra im 20. Jahrhundert war rasant, vor allem in Richtung der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie; zwischen beiden wurden innige ZusammenhSnge entdeckt, ein HShepunkt war die L6sung des Problems yon FERMAT im Jahr 1993. All das muss tbrtgeschrittenen Vorlesungen und weiterffihrenden Bfichern vorenthalten bleiben; einen knappen historischen Abriss fiber das vergangene Jatirtmndert findet maa bei [Mi]. Wie fiberall in der Mathematik setzt das Studium der neueren Entwicklungen eine solide Kenntnis der klassischen Methoden voraus. Die Glieder~ang des Inhalts folgt der fiblichen Systematik ,Gruppen, Ringe, KSrper", daxturch wird das logische Gerfist deutlich und die Darstellung vereinfacht. Zur Erh/5tmng der Motivation beim Lernen kaan man getrost davon abweichen: Maa kann gaaz hinten mifangen mit den geometrischen Konst,rul;tionen und die zunehmend komplexeren algebraischen Hilfsmittel nach Bedaz'f nachlesen. Wenn man mit dem Paragraphen fiber die LSsnngen yon Polynomgleichnngen anf'i~ngt, wird man feststellen, dass die wesentlichen zuvor entwickelten Techniken fiber Gruppen, Ringe und KSrper benStigt werden. In den zahlreichen Beispielen sind nicht immer alle Einzelheiten ausgeffihrt; da verbleiben viele kleinere und gT6~ere Ubungsaufgaben. An der Da~'stellung der gTundlegenden Ergebnisse der Algebra ist yon vielen Autoren gefeilt worden. Es gibt zahllose Tricks, deren Urheber kaum noch festzustellen sind; man kann sie schon als ,~Folklore" bezeichnen. Im I, iteraturverzeiehnis sind Bficher aufgeffihrt, aus denen ich gelernt habe, aul~erdem zahlreiche Texte ffir weiterffihrende Lektfire. Aus den Werken yon C.F. GAuss sind einige Stellen im Faksimile abgedruckt, in der Hoffnung, die Neugier des Lesers auf diese einmaligen
VII Texte zu wecken. Mein Dank gilt den Studierenden der TU-Miinchen fiir vMe kritische Bemerkungen und vor ailem Reinhard Sachet, dem Coautor unseres gemeinsamen Buches ,~Einffihrung in die Algebrd ' IF-S]; aus diesem alten Text ist vieles iibernommen worden. Sowie Floriaa Quiring, der vier Semester lang Ubungen zur Vorlesung betreut und viele wertvolle Details beigesteuert hat. Brigitte Singhof hat mit grot~er Pr~zision und persSnlichem Einsatz die druckfertige TEX-Vorlage erstellt, Ulrike Schmickler-IIirzebruch hat das Projekt vom Verlag begleitet und vorangetrieben. Trotz sorgf~ltiger Suche nach Dreckfuhlern und mathematischen Irrtfimern werden wohl einige verblieben sein. Daher m6chte ich alle Leser bitten~ mir Fundstellen mitzuteilen, am einfachsten an [email protected] Wir haben unter
http :/ /www-ml O.ma.tum.de / twiki /bin /view /Lehrstuhl / GerdFischer eine Seite mit Kommentaz'en und Verbesserungen eingerichtet. Miinchen~ im November 2007
Gerd Fischer
Inhaltsverzeichnis
Gruppen w1
w2
w3
I.I 1.2 1.3
Gruppen und Untergruppfn .............. h m e r e Verkn/ipfungen u n d Halbgluppcn . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition ei~er G~ul~pe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Abschw~ichung
1.5
Translationen
1.6
Definition
Halbglul0pen,
der Gruppenaxiome und
..............
Kiirzungsregeln
ei~er Untergruppe
..............
.................
1.7 E r z e u g u n g yon U n t e r g r u p p e n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 U n t e r g r u p p e n yon Z, K o n g r u e n z e n u n d Restklassen . . . . 1.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homomcrphismcn und Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1
Definition
2.2
Beispiele
eilles Homomorphismus
..............
2.3
Nebcnklassen
2.4
Ordnung
und
2.5
Beispiele
.............................
2.6
Definition
............................. .......................... Index
......................
eilles NormaJteilers
.................
2.7 Homomorphismen und Ncrmalteiler . . . . . . . . . . . . . 2.8 Faktorgruppen ......................... 2.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isomorphies~tze u n d P m d u k t e yon G r u p p e n . . . . . . . . . . . . . 3.1 Isomorphies~tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 J~uJ~cres direktes P r o d u k t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Inheres direktes P r o d u k t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4
AuJ~cres
3.5
hmeres
semidirektes
3.6
Beispiele*
3.7
Zyklische G 1 u p p ~ n
3.8
Teilbarkeit
3.9
Produkte
3.10
Untergruppcn
zyklischer
3.11
Die Eulersche
g-Funktion
3.12
Primrestklasse~
semidhektes
Produkt*
. ...............
Produkt*
. ...............
. ........................... ganzer zyklischer
....................... Zahlen
...................
Giupp
gruppen
.................
Gru[pen
..............
................... ....................
1 1 1 2 4 4 5
6 7 8 11 20 20 21 26 27 29 32 33 34 35 38 38 40 41 44 45 48 ~4 55 58 59 (0 (2
INHALTSVERZEICHNIS
3.13 3.14 w4
Der euk]idische Algorithmus .................. BeispJele .............................
w6
w?
{4 {5
Operationen yon Grulcpen auf Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Definition dller Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 70
4.2 Beispiele und Satz von CAYLEY 4.3 Bahnenraum und Standgruppe ................ 4.4 Die KlassengMchung ...................... 4.5 Zyklenzerlegmlg einer Permutation .............. 4.6 Beispiele ............................. Symmetriegruppen* . ......................... 5.1 Regelm/il~ige r~-Ecke und die Diedelgruppe .......... 5.2 End]iche Untergrupp
71 72 73 75 27 82 82 84 86 88 91 ~5 97 97
.
w
]X
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Strukturs/itze* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Summen 2yklischer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Zgtllm]g xon zyklischen Summmiden . . . . . . . . . . . . . 6.3 Primgrzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Zerlegung yon endlichen abelschen p-Gruppcn ........ 6.5 Elementarteil< r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Torsionsuntergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Freie abelsehe Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 End]ich erzeugte abeJsehe Cruppen . . . . . . . . . . . . . . 6.10 BeispMe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 S a t z y o n CA~:cHY u n d p - G r u p p e n . . . . . . . . . . . . . . 6.12 D i e S g t z e v o n SYLOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 BeispMe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache und aufl0sbare Gruppen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 7.2 Kommutatorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BeispMe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 7.4 AuflOsbal e GruFpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 AuflSsbarkeit yon p-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6
II Ringe w1
.
~9 ~9 lC0 1(.2 1(4 1(.8 110 111 112 117 118 119 121 1~4 123
133 135 136 137 140 140
141 Grundbegriilb .............................. I.I Definition eilms Rings ..................... 1.2 Einheiten, KSrp~r, Unterringe ................. 1.3 Ilinghomomorphismen ..................... 1.4 BeispJele .............................
141 141 143 Id5 Id5
X
INHALTSVERZEICHNIS
~2
~3
1.5
Polynomringe
1.6
Grad
..........................
1.7
D i v i s i o n mit Rest
1.8
Nullstellen und
Werte in C
eines Polynoms
151
......................
155
........................ yon Polynomen
156
............
159
1.9
Einheitswurzeln
I.I0
Polynome
1.11
Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines K6rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
1.12
Einbettung
167
1.13
Quotientenk6rper
1.14
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ideale und
......................
in mehreren
Ver~nderlichen*
einer Halbgruppe
160
. ..........
in eine Gruppe
162
........
168
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170 172
Restklassenringe
172
2.1
Definition yon Idealen
2.2
Ideale und
.....................
2.3
Restklassenringe
2.4
Isomorphiesitze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
2.5
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
2.6
Hauptidealringe
180
2.7
Euklidische Ringe
2.8
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
2.9
Der Hilbertsche Basissatz* . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
2.10
Operationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
2.11
Der Chinesische Restesatz*
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
2.12
Beispiele*
2.13
Primideale und maximale Ideale
2.14
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15
E x i s t e n z m a x i m a l e r I d e a l e u n d d a s L e m m a y o n ZORN*
Einheiten
173
......................
174
........................
und noethersehe Ringe
...........
181
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mit Idealen*
189
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
. . . . . . . . . . . . . . .
194 .
.
197 200
Teilbarkeit in Integrititsringen
200
3.1
Teiler u n d
3.2
Irreduzible E l e m e n t e
3.3 3.4
Teilerketten
...........................
203
Primzahlen
...........................
205
3.5
Faktorielle R i n g e
3.6
Gemeinsa~ne Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . .
209
3.7
Polynomringe
211
3.8
Irreduzibilititskriterien
3.9 3.10
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
Ringe holomorpher
. . . . . . . . . . . . . . .
219
3.11
Quadratische
Zahlk6rper*
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
3.12
Quadratische
Zahlringe* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
3.13
Einheiten in quadratischen
3.14
Euklidische quadratische ZahMnge*
3.15
Faktorzerlegung in quadratischen
3.16
I d e a l e als i d e a l e Z a h l e n * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
assoziierte E l e m e n t e und
................
Primelemente
...........
208
........................
fiber faktoriellen Ringen ............ f/Jr P o l y n o m e
Funktionen*
............
Zahlringen*
. ..........
. ............
Zahlringen*
201
. .......
215
226 229 233 238
INHALTSVERZEICHNIS
III KSrpererweiterungen w1
w
w3
w4
w5
Grundbegritt'e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Charakteristik und PrimkSrper . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grad einer KSrpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Adjunkticn yon Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Algebraische und transzendente Elemente .......... 1.5 Das Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Algebraische K~rpererweitermlgcn .............. 1.8 Algebraisch abgeschlossene KSrper .............. Konst~ukticn yon KSrpcrerweitcrungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Synlbolische Adjunktion yon Nullstellen ........... 2.2 Fortsetzung yon K~rperisomorphism~n ............ 2.3 ZeffgllungskSrper ei~es Polynoms ............... 2.4 Beispiele ............................. 2.5 Der algebraische Abschluss* . ................. Einfache und mehrfache Nullstellen .................. 3.1 Vielfachheit yon Nullstellen und formale Ableitung ..... 3.2 Separabilitgt .......................... 3.3 Der Frobenius-Homomorphismus ............... 3.4 EndJiche Kffrper ........................ 3.5 Beispiele ............................. 3.6 Algebraischer Abschluss d~es endlichen KSrpers ...... 3.7 Der Satz vom primitiven Element ............... 3.8 Beispiele ............................. 3.9 Resultanten* . ......................... 3.10 Diskriminanten* . ....................... 3.11 Beispiele* . ........................... Galois-Erweiterungen .......................... 4.1 Symmetrische Polynome .................... 4.2 Relative Automorphismen und FixkSrper .......... 4.3 Gruppencrdnung und K6rpergrad .............. 4.4 Galois-Erweiterungen ..................... 4.5 Der Hauptsatz der Galois-Theorie .............. 4.6 Beispiele ............................. 4.7 Der Funda~nentalsatz der Algebra* . ............. 4.8 Diskriminante und Galois-GruFpe* . ............. 4.9 Galois-Theorie endlicher KSrper* . .............. Lgsung yon PolynomgMchungen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Quadratische GMchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kubische GMchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 BeispMe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 GMchungen vi(rten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . BeispJele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Kreisteilung in Charakteristik N u l l . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Kreisteilung hi Charakteristik p > 0 ............. 5.7
XI
241 241 241
242 244 245 246 249 252 2~4 258 258 259 261 266 270 275 275 278 279 280 283 287 288 289 290 296 298 303 303 307 309 311 313 315 318 323 324 327 327 328 331 333 338 342 346
XII
INHALTSVERZEICHNIS
~6
Anhang
5.8 Reine P o l y n o m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Zyklische E r w e i t e r u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 LSsbarkeit yon P o l y n o m g l e i c h u n g e n . . . . . . . . . . . . . 5.11 Die allgemeine P o l y n o m g l e i c h u n g . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 G l e i c h u n g e n fiini~en Grades u n d das Ikosaeder . . . . . . . 5.13 Daxstellung yon E i n h e i t s w u r z e l n . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Das U m k e h r p r o b l e m der Galois-Theorie . . . . . . . . . . . Geometrische K o n s t r u k t i o n e n 6.1 K o n s t r u k t i o n e n m i t Zirkel u n d Lineal . . . . . . . . . . . . 6.2 Der KSrper der k o n s t r u i e r b a r e n P u n k t e . . . . . . . . . . . S t r u k t u r des KSrpers der k o n s t r u i e r b a r e n P u n k t e . . . . . . 6.3 6.4 UnlSsbarkeit klassischer K o n s t r u k t i o n s a u f g a b e n . . . . . . . K o n s t r u k t i o n yon regelm~gigen n-Ecken* . . . . . . . . . . 6.5 A n d e r e Regeln ffir K o n s t r u k t i o n s v e r f a h r e n . . . . . . . . . . 6.6
Platonische KSrper
349 351 354 357 359 362 365 369 372 373 374 376 380 382 386
387
Literaturverzeichnis
393
Index
396
Symbolverzeichnis
403
Kapitel I Gruppen In diesem Kapitel besch/iftigen wir uns mit der einfachsten algebraischen Struktur, der Gruppe, deren Ursprung im Studium von Symmetrien verschiedenster Art liegt. Es ist bemerkenswert, dass der Name Gruppe erstmals bei GALOIS in einer relativ komplexen Situation aut%rat: Ms Gruppe von Permutationen der Nullstellen eines Polynoms. Erst spgter betrachtete CAYLEY abstrakte endliche Gruppen, die erste allgemeine axiomatische Definition gab W~,BER [We]. Mehr zur Geschichte des Gruppenbegriffs findet man in [Wu].
w1 Halbgruppen, Gruppen und Untergruppen 1.1 Eine
Innere Verknfipfungen
und Halbgruppen
innere Verknilpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung *:MxM--+M,
Die Verknfipfung 9 heigt
assoziativ, wenn
(a,b),c und
kommutativ,
(a,b)~--~a*b.
a,(b,c)
fiiralle
a,b, c E M ,
wenn
a *b
b*a
ffiralle
a, b E M .
Auf einer endlichen Menge M { a l , . . . , a , } kann man eine Verkniipfung 9 durch eine Verknilpfungstafel beschreiben: al
an
.
.
.
aj
.
aj
a I * a 1
a I *
a i * a 1
a i * aj
a n
a n
* a I
*
aj
an
""
al
* an
9 .
a i
*
9 .
a n
*
a n
a n
2
I GRUPPEN
Ob * kommutativ ist, kann man sofort an der Symmetrie der Tafbl erkennen; fiir die Assoziativitgt muss man im Prinzip n 3 Gleiclmngen priifenI Definition
Eine nicht leere Menge
Verkniipfung 9 heii~t H a l b g r u p p e . HalbgTuppe.
H zusammen
mit einer assoziativen inneren
Genauer sagt man aueh: das Paar (H, ,) ist
In einer Halbgruppe H nennt man ein Element e E H linksneutral, rechtsneutral, neutral,
Bemerkung
wenn
e 9a a 9e e , a
a a
a , e
a
fiir alle fiir alle ffiralle
a E H, a E H, aEH
E i n neutrales E l e m e n t ist eindeuti9 b e s t i m m t .
Sind e, e' neutral, so fblgt
Beweis
1.2
wenn wenn
Beispiele
Beispiel 1 Die Menge N {0, 1, 2 , . . . } der natiirlichen Zahlen ist sowohl mit der Addition Ms aueh mit der Multiplikation eine kommutgtive Halbgruppe. Das GMche gilt fiir die Teilmengen N~:
{nEN'n_>m}
und
raN:
{m.n'nEN},
wobei m E N beliebig gew/ihlt werden kann. Fiir m _> 2 gibt es in beiden Mengen kein neugrales Element bezfiglieh der Multiplikation, in N~, gibt es nut flit m 0 ein neutrales Element beziiglich der Addition. Dagegen ist die Verkniipfung *:NxN-~N, mit 0 ~ :
(m,n)~-~m,n:
m ~,
1 weder assoziativ noch kommutativ.
Beispiel 2 Abbildungen
Ist M eine nicht leere Menge, so ist die Menge Abb(M, M) aller f:M--+M
mit der Hintereinanderschaltung als Verknfipfung eine Halbgruppe, mit der identischen Abbildung idM als neutralem Element. Hat M mehr als ein Element, so ist diese Verkniipfung nicht kommut~tiv. Beispiel 3 In der Menge M(n x n; R) der n-reihigen quadratischen M~trizen mit reellen Eintrigen ka~in man aus Addition und Multiplil~tion die neuen Ver!aiiipfungen (A,B) ~ A . B : AB + BA und (A,B)
~
A . B
:
AB-
BA
1.2 BEISPIELE
3
erkl~'en. Fiir ~ > 2 sind sie nicht assoziativ. Beispiel 4 Sei I [0, 1] c R das Einheitsintervall, X C R 2 wegzusammenh~ngend u n d p E X ein fester Punkt. Mit ~(X;p):
: fstetig,
{f:I--+X
f(0)
f(1)
p}
werde der S c h l e i S e n r a u m (d.h. die Menge der gesehlossenen Wege um p) bezeiehnet. Fiir f , g E ~ ( X ; p ) sei
(f*.q)(t) :
f(2t)
fiir
0
.9(2t-1)
fiir
gl < t <
1
erklgrt. Anschaulich durchlguft man beim Weg f 9g zun/ichst f u n d dann g, aber beide mit doppelter Geschwindigkeit. Diese Verkniipfung ist nicht assoziativ: In ( f 9 g) 9 h 1/iuft man bei f u n d g d e r m a l so sctmell, bei h zweimal so schnell; in f * (g * h) ist es anders. Vom algebraisehen Standpunkt sind die Voraussetzungen ,~tetig" und ,~zusammenhfiagend" irrelevant, aber in der Topologie ist der Sehleifenraum der erste Sehritt zur ,,Fundmnentalgruppe". Dazu erklSxt man eine J~quivalenz yon Sehleifen dutch ,,tIomotopie", d.h. stetige Deformierbarkeit. Die F u n d a m e n t a l g r ~ p p e ~ (X; p) ist dann der Quotient yon ~ ( X ; p) nach dieser J~quivalenz (vgl. etwa [Os]). Historisch hat dieses BeispM vM zur Entwicklung der Gruppentheorie beigetragen. Beispiel 5
Die Menge H:
0
0
" a, b E R
cM(2x2;R)
ist mit der Multiplikation yon Matrizen eine nieht kommutative Halbgruppe. Geometrisch gesehen ist H die Menge der linearen Abbildungen yon R 2 nach R. Offensichtlich ist 0
0
fiir jedes x E R e i n linksneutrales Element yon H. Dagegen gibt es in H kein rechtsneutrales Element: Aus 0 fiir alle a, b E R folgt ax
0
a und ay
0
0 b, also x
0
0
1 und y
b - fiir alle a, b E R. a
Der Untersehied von rechts und links in diesem Beispiel wird geometrisch dureh Betrachtung der entspreehenden linearen Abbildungen R 2 ~ R klar. Die Beispiele 3 und 5 sind erste Hinweise darauf, welehe Tiieken in den Reehenregeln fiir Matrizen steeken.
4
I GRUPPEN
1.3
Definition einer G r u p p e
In einer H a l b g r u p p e ka~m d e l e s fehlen: Es muss weder ein neutrales Element noch ,Inverse" geben. Dies wird nun zuss gefordert.
Definition
Eine Menge C z u s a m m e n mit einer Verkniipfung
9 : C x C--+ C , ( a , b ) ~-+ a , b , heit~t Gr~appe, wenn folgendes gilt: G1
9 ist a s s o z i a t i v , d.h. (a 9 b) 9 c
G2
a)
Es gibt ein eindeutig bestimmtes c E C mit c 9 a alle a E C (6 heit~t n e u t r a l e s E l e m e n t yon C).
b)
Zu jedem a E C gibt es ein eindeutig bestimnites a 1 E C mit a 1,a a,a 1 c (a lheitgt I n v e r s e s von a).
C heit~t k o m m u t a t i v
a 9 (b 9 c) fiir alle a, b, c E C. a 9c
a ffir
(oder abelseh), wenn a,b
b,a
ffiralle
a, b E C .
In den meisten FSllen schreibt m a n die Verknfipfung als M u l t i p l i k a t i o n , also a 9b a . b, oder noch einfacher ab. Die additive Schreibweise a 9b a + b ist n u t im abelschen Fall iiblich. Das neutrale Element c bei einer A d d i t i o n wird mit 0 ( N u l l ) bezeichnet, invers zu a ist das N e g a t i v e - a . Bei einer Multiplikation setzt m a n oi~ c 1. Will m a n deutlich machen, welche Verknfipfung 9 zug~'unde gelegt wird, so ka~ln m a n eine G r u p p e als P a a r (C, ,) schreiben.
Das A s s o z i a t i v g e s e t z G 1 ist als Axiom nur ffir drei Faktoren gefordert. Durch wiederholte A n w e n d u n g kann m a n zeigen, dass bei beliebig vielen Faktoren a l , . . . , a~ das Ergebnis u n a b h s yon allen mSglichen K l a m m e r u n g e n ist, und einfach al . . . . . a ~ schreiben. M a n beachte, dass das Inverse eines P r o d u k t e s a . b gleich b 1. a 1 ist, denn 1)
1.4
1
1
6.
Abschw~ichung der G r u p p e n a x i o m e
hi der Axiomatik herrscht Purismus: Man versucht so wenig wie mSglich in den Axiomen zu fordern und alles andere daraus abzuleiten. In diesem Sinne kann m a n das Axiom G 2 abschws zu G 2 ' Es gibt ein c E C mit fblgenden Eigenschaften: a) c 9 a
a ffir alle a E C
(c heigt l i n k s n e u t r a l ) .
1.5 TRANSLATIONEN UND K17RZUNGSREGELN b) Zu jedem a E C gibt es ein b E C mit b , a
6
5
(b heit~t l i n k s i n v e r s ) .
Man beachtG dass wegen der nicht vor~usgesetzten Eindeutigkeit yon 6 die Bedingmigen a) und b) an ein gemeinsa~nes 6 gekoppelt werden miissen. Lemma
A u s den A x i o m e n G1 und G 2 ' folgt
G2 .
Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten.
1. Ein linksinverses E l e m e n t ist auch rechtsinvers: Sei b linksinvers zu a. Wit w~ihlen ein zu b linksinverses 6, dann ist ba 6b 6. Es folgt
2. Ein linksneutrales E l e m e n t e ist auch rechtsneutral und damit eindeutig bestimmt: Zu a E G ws
wir ein linksinverses
b, dann
ist ba
6 und
nach
I. auch
ab
6.
Es folgt Die Eindeutigkeit
yon
6 folgt wie in I I.I aus 6 ~
66 ~
6.
3. Ein linksinverses (und damit nach 1. auch rechtsinverses) b von a ist eindeutig bestimmt: Seien b, V linksinvers zu a, also ba
Va
ab
aV
6. Es folgt []
1.5
Translationen und Kfirzungsregeln
hi einer Menge H mit innerer Verknfipfung 9 erh~lt Abbildungen
ffir jedes feste a E H
man
l~ : H --+ H ,
x ~-+ a . x ,
( I, i n k s t r a n s l a t i o n )
r ~ : H --+ H ,
x ~-+ x 9 a ,
( Rechtstranslation).
hi einer Verl~liipfungstafel kann bzw. Spalten ablesen.
man
und
die Bilder yon H unter 1~ bzw. r~ als Zeilen
a) I'n einer Gruppe G sind alle Translationen l~ und r~ bijektiv.
Bemerkung
b) Sind in einer Halbgruppe H die Translationen l~ und r~ fiir alle a E H surjektiv~ so ist H eine Gruppe. Beweis l~(x)
a) Fiir b E G gilt br
ax
br
x
a lb
mid
r~(y)
br
ya
br
y
ba 1.
I GRUPPEN
6
b) Sei b E H fest gewNllt und a E H beliebig. Da lv und rv surjektiv sind, gibt es a' und e E H mit
lv(d)
W' und V
Daraus folgt Also ist c linksneutrales Element. Da r~ surjektiv ist, gibt es ein c E H m i t c r'~ (c) ca. Nach I 1.4 folgt, dass G eine Gruppe ist. []
Die gerade nachgewiesenen Eigensehaften der Translationen kmm man aueh so ausdriieken: In einer Gruppe G gelten die Kiirzungsregeln
ax
Welter sind die Gleichungen ax x Korollar aEC
ay ~
x
b und ya
a lb
und
und
xa
ya ~
x
y.
b stets eindeutig 16sbar dureh y
ba 1.
In einer endlichen abelschen Gruppe C mit n E l e m e n t e n gilt fiir jedes a n
Beweis
y
Ist C
C.
{ a l , . . . , a~}, so ist aucti C n
i
n
1
i
{ a a l , . . . , aa~}, also
n
1
i
1
In 12.4 werden wir zeigen, dass diese Aussage auch in nicht kommutativen Gruppen
lt.
1.6
Definition einer U n t e r g r u p p e
Bevor wir eine Serie yon Beispielen beschreiben, noch ein grundlegender Begriff.
D e f i n i t i o n Sei C eine Gruppe und H C C eine Teilmenge. H heigt U n t e r y r - u p p e yon C (in Zeichen H < C), wenn gilt: U 1 Mit a, b E H ist a . b E H ( H ist ,,abgeschlossen " unter 9). U 2 H zusmnmen mit der yon C ,u
Verkniipfmig
H • H - - * H , (a,b) ~-~ a . b ,
ist wieder eine Gruppe.
1.TERZEUGUNG VON U N T E R G R U P P E N
7
Ganz analog l ~ m man auch andere Unterstrukturen (etwa bei I/ingen, KSrpern, Vektorr/iumen,...) erkl/iren. Zur Kontrolle der Bedingungen in der Praxis hilft ein einf~ches Kriterium. Lemma Eine Teilmenge H einer Grnppe G i s t genan dann eine Untergrnppe, wenn H ~ 0 und wenn gilt: a, b E H ~ a b Beweis
1EH.
Es ist klar, dass die angegebene Bedingung notwendig ist. Sie ist auch
hinreichend: Das Assoziativgesetz gilt in G, also auch in H. Da H ~ 0, gibt es ein a E H, Mso ist aa 1 e E H. Zu b E H ist eb 1 E H, Mso enth/ilt H auch die Inversen. Schlieglich ist H abgeschlossen unter der Multiplikation, denn mit a, b E H ist ab a(b 1) 1 E H . []
In jeder Gruppe G gibt es die t v i v i a l e n U n t e r g v u p p e n {e} und G.
1.7
Erzeugung yon U n t e r g r u p p e n
Wit geben ein Verfahren an, mit dem eine beliebige Teilmenge zu der kleinsten mSglichen Untergruppe ausgebaut werden l ~ m .
Bemerkung Ist G eine Gruppe, I eine beliebige Indexmenge und sind Hi < G fiir alle i E I, so ist iCI
Denn: Sind a, b E Hi fiir alle i, so ist ab 1 E Hi, also ab 1 E ~ Hi. iCI
Ist G eine Gruppe und M C G eine beliebige Teilmenge, so wird die yon M e r z e u g t e Untergrntppe yon G erklgrt als Durchschnitt Mler M umfassenden Untergruppen, in Zeichen
Erz(H) :
A
H
McH
Nach der obigen Bemerkung ist E r z ( M ) < G. Eine explizitere Beschreibung gibt der Hilfssatz
Fiir eine Teilrnenge H C G ist
das ist in Worten die Menge aller endlichen Produkte yon Elementen aus M und ihr'en Inversen. Dabei ist Erz (0) {e}.
8
I GRUPPEN
Beweis Ist M C H < C, so ist die Menge der endlichen P r o d u k t e in H enthalten; das folgt dutch wiederholte Anwendung des Lemmas aus I 1.6. Also ist {...} c Erz(M).
Sind umgekehrt 51
a
a 1
5~
.....aft
llnd
b
b~ 1
9.
..
b~2 z ,
9
so ist a.b
1
aEZ1 " . . . "
a f. t. . .
bffg.~
". . . " bz6l ~ { . . . } .
Also ist Erz(M) C {...} < G. Ist G abelsch und M
[]
{ a l , . . . , aft} endlich, so vereinfacht sich Gleichung (,) zu 1 .....aft
wobei a ~ :
~
9
hi E Z},
c, oder additiv geschrieben E r z (AJ)
{]~1al @ . . .
@ ~nan
: ~i E
7~,} ,
das ist die Menge der Linearkombinationen yon Elementen aus M mit Koeffizienten aus Z. Man nennt eine Gruppe G e n d l i e h e r z e u g t , wenn es eine endliehe Teilmenge M C G gibt, so dass G Erz (M) .
1.8
U n t e r g r u p p e n y o n G, K o n g r u e n z e n u n d R e s t k l a s s e n
Eine der wichtigsten G r u p p e n ist die additive Gruppe Z der g a n z e n Z a h l e n (oder genauer: der g a n z r a t i o n a l e n Z a h l e n ) mit dem neutralen Element 0 und dem Inversen (oder Negativen) - m yon m. Fiir jedes m E N sei raG:
{m.k
: kEG}CG
die Menge der Vielfachen yon m. Offensichtlich ist m Z eine Untergruppe. Wir zeigen eine grundlegende Eigensctiaft yon Z: Satz fiber Untergruppen H m Z.
von G
Ist H < G, so gibt es ein m E N, der'art dass
Beweis Ist H {0}, so nehme m a n m 0. Andernfalls wfihle man das kleinste positive m E H. Da H Untergruppe ist, folgt m Z C H .
U m H C m Z zu beweisen, teilt m a n jedes n E H mit Rest durch m: Ist k die grSgte gmize Zalil _< ~7,ftso ist Tt
--
k+--
r
mit
rEIN,
0<--
r
< 1, a l s o 0 < r
<m.
(*)
1.8 UNTERGRUPPEN VON Z, KONGRUENZEN UND RESTKLASSEN
9
Wegen n, rn E H tblgt r n - krn E H und d a r n minimal gew51flt war, muss r 0 sein. Also ist n krn E rng. [] Das gerade durchgefiihrte Verfahren der Division mit Rest wird spgter in allgemeinerem Ratmlen wieder auRauchen (II 2.7). Die Gleichung (,) kann m a n leicht vom Nenner befreien, dann ist n k ist der
krn+r"
mit
0
ganzzahlige Anteil, ~ der nicht negative Rest.
Wir wollen noch eine andere Konstruktion in diesem einfachen Spezialfall ,~zu Fug" duchfiihren. Ist rn E N gegeben, so ka~m man die Gleichheit yon Zahlen k, 1 E Z verallgemeinern zu einer Kongruenz modulo rn k - 1 (mod m) : ~ k - 1 E r n Z . Diese Notation geht auf GAUSS zuriick, fiir rn 0 bedeutet sie Gleichheit, allgemein bedeutet sie, dass bei Division yon k und 1 durch rn der gMche Rest b M b t . Offensichtlich wird dadurch eine J~quivalenzrelation auf g erklSxt, die J~quivalenzklassen (oder Restklassen) sind yon der Form
{k+m.n :nEZ}
k+mZ:
und k + rnZ 1 + rnZ e=~ k - 1 E rnZ. Die Gruppe Z wird durch die Kongruenz zerlegt in die J~quivalenzklassen, sie sind Elemente der Menge
z/.~z :
{0 + . ~ z ,
1 + .~z,...,
(.~ - 1) + . ~ z } .
Wohlgemerkt: Ein Element von Z / r n Z ist eine Teilmenge von Z. Ist klox', welches rn der Kongruenz zugrunde liegt, so kann m a n auch :
k+rnZ
und
Z/rnZ
{0,1,...,m-i}
schreiben. Wir wollen nun zeigen, wie m a n Addition und Multiplil~tion von Z nach Z / r n Z iibertragen kann. Das ist ein Spezialfall allgemeinerer Konstruktionen, die in I 2.8 und II 2.3 beschrieben werden. Wir beginnen mit der Addition und versuchen die ngchstliegende Definition
(k + .~Z) + (1 + .~Z) :
(k + l) + .~Z.
Zun/ichst ist zu zeigen, dass dadurch in Z / r n Z eine Addition wohldefiniert ist, d.h. die Definition ist unabh/ingig yon der Wahl der Reprfisentanten k und 1 der Restklassen. In Kongruenzen ausgedriickt ist dazu die R e c h e n r e g e l k - k' (rood .~)
und
1 - l' (rood .~) ~
k + 1 - k' + l' (rood . ~ ) .
(+)
10
I GRUPPEN
zu zeigen. Das ist jedoch offensichtlich, denn (k + l) - (k' + l')
(k - k') + t1 - l') ~ , ~ Z .
Nun gilt der S a t z fiber die A d d i t i o n v o n R e s t k l a s s e n Fiir jedes m E ~, ist ~,/m~, mit der oben erkliirten Addition sine abelsche Gruppe. Der Beweis ist ganz einfach. Die Assoziativitiit und die Kommutativitiit iibertragen sich yon G n a c h G/raG. Nullelement ist 0 + mG mG und das Negative ist gegeben durch -(k+mG)
-k+mG.
[]
Die Multiplikation in Z / m Z bereitet Probleme, denn Z ist rnit der Multiplikation nur sine Halbgruppe. Zungchst k6nnen wir analog zur Addition durch (k + .~Z). (1 + .~Z):
k. 1 + , ~ ,
sine Multiplikation in Z / m Z definieren. Die Unabh~lgigkeit yon den Repr~isentanten folgt aus der R e c h e n r e g e l k - k' (rood .~)
~nd
1 - l' (rood .~) ~
kl - k'l' (rood
.~),
()
fiir Kongruenzen, sie gilt wegen kl - k'l'
(k - k')l' + k(1 - l') ~ , ~ Z .
Da sich die Assoziativitgt und die Kommutativit~t yon Z ttbertragen, ist Z / m Z mit dieser Multiplikation eine kommutative Halbgruppe, 1 + m Z ist neutrales Element. Ein Inverses Element k + mZ yon 0 + mZ muss die Bedingung (0 + . ~ . ) ( k
+ .~.)
1 + .~.,
erfiillen, das ist nut fiir m 1, also G/G voraus und betrachten die Teilmenge
also
0. k
0 - 1 (mod.~)
{0}, mSglich. Wit setzen nun m _> 2
Sis ist unter der Multiplil~tion genau dann abgeschlossen, wenn ffir alle k, 1 E {1, 2 , . . . , m - 1} stets k . 1 ~ raG; das ist genau daml der Fall, wenn m sine Primzahl ist. Damit sind die Vorbereitungen getroffen fiir den
Ist p E N eine Primzahl, so ist (G/pG)* ,tit der oben erkliirten M'altiplikation sine abelsche Gruppe.
S a t z fiber die M u l t i p l l k a t i o n v o n R e s t k l a s s e n
Beweis Da die Multiplikation in Z assoziativ und kommutativ ist, wird (Z/pZ)* zu einer kommutativen Halbgruppe. Nach Bemerkung b) in I 1.5 genfigt es zu
1.9 BEISPIELE
11
zeigen, dass alle Linkstrmislationen smjektiv sind; da (Z/pZ)* endlieh ist, folgt das aus der Injektivitgt. Seien also k, z, y E Z \ pZ, und sei
(k + pZ)(y + pZ) , d.h. k(x - y) E p Z .
(k + pZ)(m + pZ)
D a p nach Voraussetzung kein Teller yon k ist, muss p Teller yon x - y sein, also ist die Translation injektiv (die Eigenschai~en yon Primzahlen werden ausffihrlich
in II 3.4 behandelt).
[]
Addition und Multiplikation in Z/pZ sind dureh ein Distributivgesetz verknfipft, daller ist Z/pZ ein K6rper; Einzelheiten dazu folgen in Beispiel 1 aus II 2.5.
1.9
Beispiele
Mit den wenigen bisher zur Verffigung stehenden Hili~mitteln wollen wir nmi neben den in I 1.2 angegebenen Standardbeispielen noch einige weitere G r u p p e n konstruieren. Augerdem wird sich zeigen, dass mit einfachsten Mitteln der Gruppentheorie interessante Resultate fiber ganze Zahlen begrfindet werden kSnnen. B e i s p i e l I Ffir eine endliche Menge G mit n Elementen kann m a n versuchen, durch Ausprobieren eine Gruppentafel zu erhalten. Dabei ist zu bedenken, dass es ein neutrales Element e gibt und dass gem/itg I 1.5 in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element yon G vorkommen muss. Ffir n
1 gibt es nur die triviale Gr-uppe G
Ffir n
2 gibt es nur die eine mSgliche Verknfipfungstafel r
a
r
r
a
a
a
r
Die Verknfipfung ist kommutativ, die 23 Ffir n
{e}.
8 Assoziativgleichungen sind erffillt.
3 gibt es ebenfalls nur eine mSgliche Verknfipfungstafel: e
a
b
r
r
a
b
a
a
b
r
b
b
e
a
Die Verknfipfung ist kommutativ, bei der Prfifung der 33 27 Assoziativgleichungen wird der Ruf nach theoretischen Hilfsmitteln lauter. Offensichtlich ist
C Ffir rt
{~,~2 b,J
~}.
4 gibt es mehrere Mgglichkeiten, zwei davon sind:
12
I GRUPPEN e
a
b
c
C
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
e
a
C
C
C
a
b
9
e
a
b
C
C
a
b
C
a
a
C
C
b
b
b
c
e
a
C
C
b
a
c
,,Kleinsche Vierergr-uppe"
, , Z y k l i s c h e Gr"appe"
Es wird sich zeigen, dass es ,,bis auf Isomorphie" keine anderen Gruppen mit vier Elementen gibt. Wieder werden die Verkniipfungen kommutativ, die Tafeln sind wesentlich verschieden: Bei der zyklischen Gruppe ist
{<s
C
b,J
~, 4
6},
bei der Kleinschen Vierergruppe ist das Quadrat jedes Elementes gleieh e. Wie man die Assoziativgesetze ohne Arbeit beweisen kann, zeigen wir spSter (Beispiel 1 in I 3.6). Die Tafel ffir die zyklisehe Gruppe wiirde aueh anders ,,aufgehen", n/imlich mit a 9a c. Die beiden Ergebnisse sind jedoeh ,asomorph". Dieser Begriff wird in I 2.1 eingeffihrt. B e i s p i e l 2 Eine S y m m e t r i e im allgemeinsten Sinn wird beschrieben dutch eine bijektive Abbildung einer beliebigen Menge M. Dementsprechend nennt man g(M) :
{f'M--~M
9 fbijektiv}
zusmnmen mit der Hintereinmiderschaltung o yon Abbildungen die s y m m e t r i s c h e G r u p p e yon M. Das Assoziativgesetz ( f o g) o h f o (g o h) ist fiir Abbildungen trivial, neutrales Element ist die identische Abbildung idM, mid das Inverse f 1 ist die Umkehrabbildung. Ffir die endliche Menge M { 1 , . . . , n} ist g , : 8({1, . . . , n}) die aus der linearen Algebra bekannte P e ~ m u t a t i o n s g ~ u p p e mit n! Elementen. Ist ~ E g . so kann man explizit
schreiben. Wie bei Abbildungen/iblicti, gilt ,r
vor links", also etwa
(1 3) (1 3) (1 3) 3
1
2
2
1
3
1
3
2
'
2
1
3
3
1
2
3
2
1
"
1.9 BEISPIELE
13
Daran sieht man auch, dass g~ ffir n _> 3 nicht abelsch ist. B e i s p l e l 3 Hat die Menge M eine spezielle Struktur, so kSnnen die mit dieser Struktur vertr/iglichen bijektiven Abbildungen eine Untergruppe yon g(M) ergeben. Ist etwa M
V Vektorraum fiber einem KSrper K, so ist GL(V) :
{ f " V --* V 9 f Isomorphismus} < g(V)
die allgemeine lineare Gruppe yon V . Im Fall V GL(n;K) :
K ~ ist
G L ( K ~)
gleich der Gr~uppe der invertierbaren n x n - M a t r i z e n mit Eintr~gen aus K. Weiter ist O(n):
9 tA.A
{AEGL(n;R)
E~}
die n-dimensionale orthogonale Gr~uppe. Die einfachen Nachweise, dass es sich um Untergruppen haadelt, sind dem Leser zur l~bung empfohlen. B e i s p i e l 4 In GL(2; C) betrachten wir die Matrizen E :
( ) 1
0
0
1
'
I:
(, 0) 0
-i
'
(01)
or:
-1
0
'
K:
(0,) i
0
.
Die Ergebnisse der Mukiplikation sind: E
I
Y
K
E
E
I
Y
K
I
I
-E
K
-Y
Y
Y
-K
-E
I
K
K
Y
-I
-E
Die yon diesen vier Matrizen in GL(2; C) erzeugte Gruppe ist die
Quater~nionen
-
gr~uppe
Q :
Erz(E, I, J, K)
{E, - E , I, - I , J, - J , K, - K } < GL(2; C ) ,
sie hat 8 Elemente. Die vollst/indige Multiplil~tionstat'el ist leieht aus obiger TaM zu erhalten. Man bea~hte den Kniff: Wfirde man Q mit der Multiplikationstafel erklgren, mfisste man im Prinzip 8a 512 GMchungen ffir das Assoziativgesetz nachprfifen. Ffir eine Untergruppe yon GL(2; C) geht das gratis.
14
I GRUPPEN
Bei der Klassifikation aller Gruppen rnit 8 Elernenten in 1 6.13 benStigen wir noeh eine etwas andere Charakterisierung der Quaternionengruppe. Dazu bemerken wir zun/ichst, dass Q
Erz(3, K ) , denn
I
dK
und
E
-
or 2
K
2 .
Hat man irgendeine Gruppe G rnit a, b, derart dass G
Erz(a,b)
rnit
a4
e,
b2
a 2 und
ba
a lb,
(*)
so ist dadurch die Multiplikation in G eindeutig festgelegt. Dass es t a t s ~ h l i c h eine Gruppe G rnit diesen Eigenschai~en gibt, sieht man durch einen Vergleich rnit der Quaternionengruppe. Durch
wird ein ,Isornorphisrnus" (vgl. I 2.1) erklgrt,fiirden •(I)
ab und
V(-E)
a2
b2
gilt. Also ist die Quaternionengruppe dutch die Eigenschaft (,) bis auf Isornorphie eindeutig bestirnmt. B e i s p i e l 5 Ist G eine Gruppe und M eine Menge, so wird die Menge Abb(M,G):
{f:M--~G}
der Abbildungen yon M nach G rnit der Verkniipfrnig
(f ..q)(x) : f(x)..q(x) eine Gruppe. Neutrales Element ist die Abbildung fc rnit fc(x) und Inverses ist f 1 rnit f I(X): (f(x)) i.
c f/Jr alle x E M
Belsplel 6 In den schon aus der linearen Algebra bekaanten KSrpern @ C ]R C C gibt es zahlreiehe interessante Untergruppen. Bezfiglieh der Addition ist Z Untergruppe yon @. In C hat man die additive Untergruppe Z+Zi:
{m+ni
: m, n E Z } < C
der ganzen Gauflsehen Zahlen, die man sich als vorstellen kmm. Beziiglich der Multiplikation sind Q• Gruppen rnit Untergruppen
q;: c: c,,~:
{~q.~>0}
I~1
Q \ {0} c R •
•
R;:
P u n k t g i t t e r in der Ebene R \ {0} c C •
{~R~>0}
1}< c •
9 k 9 z} < c
rnit
r
27ri ~xp(~-).
C \ {0}
•
15
1.9 B E I S P I E L E
Die Elemente r 6 C,,~ heit~en n-re Einheitswurzeln, ~,~ ist eine primitive Einheitswurzel; die Gruppe C,~ bildet die Ecken eines regulgren n-Ecks. F i i r n 5 erhglt man das beriihmte P e n t a g r a m m :
/
Beispiel
7 Die Gruppe (7/, +) ist erzeugt yon dem einen Element 1, die Gruppe ( Q , + ) dagegen ist nicht endlich erzeugt. Das ist einfach zu sehen: Sind q l , . . . , q ~ 6 Q und ai qi ~-i mit ai, bi67/, b i / ~ 0 ,
so betrachten wir alle in b l , . . . , b~ enthaltenen Primfaktoren p l , . . . , p~. Ist p eine davon verschiedene weitere Primzahl, so gilt 1 p -
Erz
Wir haben dabei benutzt, dass es unendlich viele Primzahlen II 3.4 ngher ausgeffihrt.
gibt; das wird in
Beispiel 8 Teilbarkeit dureh kleine Primzahlen 0b eine natiirliehe Zahl rt durch eine Primzahl p teilbar ist, kann man fiir einige ideine p einfach an der Dezimaldarstellung N
n
~r~10 k
~ mit
r~ 6 { 0 , . . . , 9 }
0
erkennen. Offensichtlich ist n genau dann durch 2 oder 5 teilbar, wenn dies fiir die letzte Stelle so zutrifft. Der Grund dafiir ist, dass 2 und 5 Teller yon 10 und damit auch yon 10 ~ sind; also gilt n--r0(mod2)
und
n-r0(mod5).
Wie aus der Schule mehr oder weniger bekaxmt ist, kaxm man die Teilbarkeit durch 3 und 11 a~l den Quersummen N
k
erkennen. Um
Bemerkung
N
0
k
0
das zu begq'finden, zeigen wir zungchst die
Fiir jedes n 6 H gilt:
16
I GRUPPEN
a) n = Q(n) (rood 9), also 91 ~ <~ 91 q(~O, b) n = Q ' ( n ) ( r o o d 11)~ also 11 I ~* ~ 11 I Q'(~O.
Ffir k > 1 gilt
Beweis
k
lO
l=0
denn die ersten k Summanden sind dureh 9 teilbar, der letzte ist 1, und analog k
1011_1,
z l=0
Nach den Rechenregeln (+) und (.) ffir Kongruenzen aus I 1.8 folgt n
N { ~ r'~ 10 ~ =
~=0
( ~ r t ) ( m o d 9)
(Z(-1)~.~)(r.od U)
Q(n)(rnod 9),
q'(~O(r-od U).
Da n = Q(n)(rnod 9) und 3 [ 9, folgt n = Q(n)(rnod 3). Folgerung 3In r
3[Q(n).
Bei grSgeren n k m m Q(n) recht grog werden, da hilft eine Iteration Q(Q(n)) u.s.w. Die alternierende Quersumme Q'(n) bleibt d~gegen im Allgemeinen recht klein. F fir die Primzahl p 7 gibt es im Dezimalsystem kein einfaches Teilbm'keitskriterium. Hier kann man theoretisch die g-adische Entwicklung mit g 6 verwenden. Mehr dazu findet man etwa bei [R-U, 5.1.3]. Beisplel 9 Mit Hilfe elementarer Gruppentheorie erh~lt man ein klassisches Resultat fiber ganze Zahlen: Klelner Satz p, so gilt
von
FERMAT
Ist p eine Primzahl und x E Z kein Vielfaches von
xp 1 _ 1 (modp) .
Beweis Die Gruppe ( Z / p Z ) * aus I 1.8 hat p - 1 Elemente, also ist nach dem Korolla~" aus I 1.5 (x+pZ) p i l+pZ []
GAUSS [G~3, w 50] sehreibt zu diesem yon F E R M A T gefundenen und yon E U L E R bewiesenen Ergebnis: ~)ieser S~tz, weldier sowoh] wegen seiner Eleganz als wegen seines hervorragenden Nutzens h6chst bemerkenswert ist ...'.
1.9 B E I S P I E L E
17
Mit den elementaren Techniken der Gruppentheorie ist der SachverhaJt ganz o f fensichtlich geworden. Man kmm diesen Satz zum Beispiel dazu verwenden, um Potenzreste modulo Primzahlen zu berechnen. So ist etwa 512 -- 1 (rnod 13), also 586
(512) 7 952 -- 52 (rnod 13) -- 12 (rnod 13) .
5712+2
Dabei wird die Rechenregel ffir die Multiplikation yon Kongruenzen Weitere Anwendungen Beispiel
I0
finder man etwa bei [B-R-K]und
verwendet.
[M-P].
ISBN-Prfifziffern
Um 1970 wurde weltweit yon den Verlagen eine 10-stellige ,International Standard Book Number' (ISBN-IO) eingefiihrt, at) 2007 wird sie abgelSst dutch die 13stellige ISBN-I 3. Mathematisch interessant dabei ist die ,,Codierung" durch eine ,~Prfifziffer". Zum Beispiel hat das Buch [F-S] die ISBN
3 -
519 - 02053 - X.
Die allgemeine Form ist al
--
a2a3a4
--
a5a6aTa8a9
--
alo ,
wobei al bis a9 durch L~indergruppe-Verlag-Titel bestimmt sind, alo ist die P r i i f ziffer. I m Prinzip kSnnen alle a i d e r Ziffernmenge Z:
{ 0 , 1 , . . . , 9 , X}
mitX
10
entnommen sein, in der Praxis werden fiir al his a9 nur die Ziffern 0 his 9 verwendet. Die P r i l f z i f f e r alo E Z ist festgelegt durch die P r i l f b e d i n g u n g 10
Z(11 k
- k)~
- 0 (rood 11)
(,)
1
Sie ist offensichtlich gquvalent zu i0
Zk~
= o (rood 11).
(,')
1
In obigem Beispiel ist 9
~:
10
Z(11 - k)~ k
1
177 = 1(rood 11) un4 Z ( 1 1 k
k)~
lS7 = 0(rood 11).
1
Daran erkennt m a n sofort, wie die Priifziffer alo berechnet werden kann: Es muss alo - - s (rnod 11) sein, da~lurch ist alo E Z eindeutig bestimmt. Das Anfiigen der Priifziffer hat zwei Konsequenzen:
18
I GRUPPEN
-
-
Ist genau eine Ziffer ai E Z falsch eingegeben, so ist die Prfifbedingung (,) verletzt. Ist genau eine Ziffer ai unlesbar, so kann sie aus den restlichen Ziffern rekonstruiert werden.
Beides tblgt aus dem Lemma Seien n E { 1 , . . . , 10} und a~ E Z fiir alle k r n voryegeben. Dazu gibt es genau ein a . E Z , so dass 10
Z ( 1 1 - k ) ~ = 0 (rood 1 1 )
(,)
k=l
Beweis
Wir setzen
10
s:
Z(ll-k)~. /c 1
Dann ist die Priifbedingung (.)/iquivalent zu
+ (11 - ~ ) ~
- 0 (rood 11),
d.h. ~
- ~ (rood 11)
U m eine eindeutige LSsung a . E Z zu bestimmen, benutzt man die multiplil~tive Gruppe ( Z / l l Z)* aus 1 1.8 (hier wird benutzt, dass 11 eine Primzalfl ist). Modulo 11 hat m a n die folgenden Inversen: n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
n 1
1
6
4
3
9
2
8
7
5
X
Also ist a . durch a,-s.n
l(modll)
eindeutig festgelegt. Ist in obigem Beispiel n s
2 gew5hlt, so ist
142, 2a2 = 142 (rnod 11) = 10 (rnod 11) und
a2 = 1 0 . 6 ( r n o d l l ) = 5 ( r n o d l l ) ,
also a2
5. []
Sind zwei Ziffern falsch eingegeben, so kann die Pr/ifbedingung (,) trotzdem erf/illt sein. Aber alle D r e h e r , d.h. Vertauschungen yon aufeinanderfolgenden Ziffern werden erkannt: Wir verwenden die Pr/ifbedingung (,/); sind a, b E Z und gilt
ks + (k + 1)b = (kb + (k + 1)~) (rood 11), so fblgt b = a (rnod 11), also b
a.
19
1.9 B E I S P I E L E
Die neue I S B N - 1 3 enthfilt n u r die Ziffern aus
z'
{o, 1,...,9}.
Sie b e g i n n t m i t d e m ,,Pr/~fix" a l a 2 a 3 978, der anzeigt, dass es sich u m ein Buch h a n d e l t . Die Ziffern a 4 , . . . , al2 identifizieren das Buch, al3 ist die Priifziffer. Die Gewiehte fiir die P r i i f b e d i n g u n g sind ganz anders: Sie l a u t e t 13
E'q~a~
-- 0 (rood i0),
wobei
(**)
k=l
gk :
i 3
fiir k fiir k
ungerade, gerade.
Das vorliegende Buch h a t die ISBN 978 - 3 - 8348 - 0226 - 2 ,
die Priifsumme ist 70. Der Leser mSge sich zur l~bung vergewissern, dass auch dieser Code wie der ISBN-10 einen einzigen Fehler erkennen und eine fehlende Ziffer ergSnzen kann. Dazu muss man nur benutzen, dass i und 3 zu i0 teileffremd sind. Bei der Entdeckung
yon Drehern ist dieser Code jedoch schlechter. Es gilt ffir
a, b E Z /
+3b=(aa+b)(mod10) Von den (%0)
~* a=b(mod5).
45 mSglichen Drehern bleiben daher die fiinf zu (0,5), (1,6), (2,7), (3, 8)
und
geh6renden dutch die Priifl)edingung (**) unerkannt.
(4, 9)
20
I GRUPPEN
w2 Homomorphismen 2.1
und Normalteiler
Definition eines Homomorphismus
Zur weiteren Untersuchung der Struktur yon Gruppen benStigt man den Begriff einer mit der Struktur vertr~glichen Abbildung.
Definition
Sind (G~,) und (G'~,') Gruppen, so heist eine Abbildung : G --+ G' H o m o m o r p h i s m u s (oder G ~ u p p e n - H o m o m o r p h i s m u s ) , wenn
fiir alle a, b 9 G. Ein Homomorphismus heist M o n o m o r p h i s m u s , wenn er injektiv ist, E p i m o r p h i s m u s , wenn er smjektiv ist und I s o m o r p h i s m u s , wenn er bijektiv ist. G und G' hei~en i s o m o r p h (in Zeidien G ~ G'), wenn es einen Isomorphismus p : G --+ G' gibt. Im Fall G' G nennt man einen Homomorphismus audi E n d o m o r p h i s m u s und einen Isomorphismus auch A u t o m o r p h i s m u s . Die Teilmenge I m p : p(G) C G' heit~t B i l d yon p, und, bezeidmet 6' 9 G' das neutr~le Element, so heist
Ker :
6'}
der Ker~t yon F. Bevor wir die vielen Namen mit Beispielen beleben, einige ganz einfache Eigenschaften yon Homomorphismen.
Bemerkung
1) Sei ~ : G --+ G' ein Homomorphismns nnd seien c E G sowie
c' E G' die nentralen Elemente. Dann gilt: ~) ~(~)
~'.
b) Fiir allea E G gilt p(a)
1
p(a 1).
c) Ist H < G Untergrnppe, so ist p ( H ) < G' Untergrnppe. d) Ist H ' < G' U'nte~yruppe, so ist p I ( H ' ) < G Unte~yruppe. e) ~ i s t injektiv genau dann, wenn Ker F
{c}.
f ) Ist ~ Isomorphismus~ so ist auch ~ 1 : G' --+ G Isomorphismus. 2) Sind ~ : G --~ G' und r : G' --~ G" Homomorphismen, so ist ~r o F : G --+ G "
Homomorphismns. Beweis Wie iiblidi lassen wir die in der Definition benutzten Symbole ffir die Verkniipfungen weg.
2.2 BEISPIELE
b) c !
~9(c)
c) Ist a'
cr
~(a), b'
al(b') 1
cr
1)
21
1).
cr
~(b) E ~(H) mit a, b E H, so ist 1
1) 9 ~9(/~), dD~ ab 1 9 H.
cr
d) a, b E ~ I(H,) bedeutet ~(a), ~(b) E H< Dann ist
~(aD 1)
,,~ "
~(a)~(D) 1 E H l, also aD 1 E ~ l ( H ' ) .
Seien a, b E G mit ~(a)
~(ab 1)
~(a)~(b) 1
~(b). Dann folgt
e', also ab 1 E K e r ~
{e}, also a
b.
f) Es ist zu zeigen, dass ~ 1 ein Homomorphismus ist: Zu a', b' E G' gibt es a
~ l(a'), b
~9 l(albl)
~ l(b'). Also ist
~ l(~(a)~(D))
~ l(~(aD))
aD
~ 1(a/)~ I(D/).
2) Fiir a, b E G gilt
[]
K o r o l l a r Die Menge Aut (G) aller Automorphismen yon G mit der Hintereinanderschaltung als Verkniipfung ist eine Gruppe.
2.2
Beispiele
Auch in den folgenden Beispielen fiir Homomorphismen iiberlassen wir die Priifung der Einzelheiten dem Leser zur ()bung. Beispiel 1 I 1.9.
Wir suchen nach Automorphismen der Gruppen aus Beispiel 1 in
Fiir G {e, a} gibt es nur den Automorphismus ~ mit ~(e) das ist ida.
e und ~(a)
Ffir G {e, a, b} gibt es neben ida auch einen Automorphismus ~ mit ~(a) und ~(b) a.
a, b
In der zyklischen Gruppe G {e, a, b, c} gibt es neben ida einen Automorphismus mit ~(a) c , ~(c) a und ~(b) b, aber keinen Automorphismus mit
22
I GRUPPEN
In der Kleinschen Vierergruppe ergeben alle 6 Permutationen yon a, b,c einen Automorphismus. Die zyklische Gruppe mit 4 Elementen und die Kleinsche Vierergruppe sind nicht isomorph. Weiter hat m a n Isomorphismen
z/2z -~ {+i, -i} c Q •
G
mit
0 ~ +i, i ~ -i,
{e, a, b} ---+Z / 3 Z , e~-+0, a~-+ 1, b~-+ 2 ,
und fiir die zyklische Gruppe mit 4 Elementen
G Beispiel 2
{ e , a , b , c } - - - + Z / 4 Z , e~-+0, a~-+ 1, b~-+ 2 , c~-+ 3. Fiir jedes rn E Z ist die Abbildung p ~ : Z --+ Z , k~-+rnk,
ein Endomorphismus yon (Z, +). p ~ ist injektiv, p ~ (Z)
mE.
Die Abbildung p:Z--+E/mE, ist ein Epimorphismus, Ker p Beispiel 3
k~k+rnZ,
mE.
Fiir die Abbildung 9Z --+ C • , k ~-+ 4~ , mit 4-~
gilt p ( z )
c,~ (Beispiel 6 aus I 1.9) und Ker p
exp (Tin_)2rvi rnZ. Die Abbildung
ist w o h l d e f i n i e r t (d.h. unabh/ingig yon der Auswahl des Reprgsentanten k deftniert) und ein Isomorphismus. Beispiel 4
Die Abbildung exp : R - - ~ R x , z ~-+ e x
ist ein Monomorphismus yon (]K +) nach (R x , .) mit Bild ]R~. Die Abbildung
e x p : C - - ~ C x , z~--~e z,
ist ein Epimorphismus yon (C, +) nach (C • , .) mit Ker(exp)
{2~rin : n E
Z}.
23
2.2 BEISPIELE
Die Abbildung Z ~ Ker(exp) , n ~ 27tin, ist ein Isomorphismus. Beispiel 5
Die Determinante det:GL(n;R)~R
•
A~detA,
ist ein Epimorphismus, ihr Kern ist {A E GL(n;R) : d e t A
1}.
Eingeschr/inkt auf die orthogonale Gruppe erhglt man einen Homomorphismus d e t : O(~0 -~ { + 1 , - 1 } mit Kern SO(n), das ist die spezielle orthogonale Gruppe. Beispiel 6 Sehon in der Theorie der Determinanten ben6tigt man das ,3ignum" einer Permutation, das ist ein Homomorphismus sign : g, --* {+1, - 1 } , a ~-~ signa , an den wir erinnern wollen. Elementar
Fehlstiinde in der Folge
erld/h't man
das Signum
mit Hilfe der
Ein Fehlstand liegt vor, wenn
i < j, aber a(i) > a(j). Ist k die Gesamtzahl der Fehlst/~nde, erstreckt fiber alle Paare i, j mit i < j, so ist offensichtlich 0 < k < (~), wobei das Maximum k (~) ffir
a
( 1 n
2 n-1
'''n-ln ... 2
) 1
aut~ritt. Nun kaan man das Signum erklSxen durch signa: Man nennt a gerade, wenn signa
(-1) ~.
+1 und ungerade, wenn signa
-1.
Die Abbildung sign ist ein Homomorphismus, d.h. sign (T o a) sign ~- 9sign a ffir alle a, ~- E g,. Um das zu beweisen, kann man eine sch6ne, aber etwas tfickische Formel verwenden: signa
H a ( J ! 3- -- ai ( / ) i<j
(*)
24
I GRUPPEN
Die Faktoren im Nenner sind alle positiv, und im Z/ihler negativ bei jedem Fehlstand, sonst positiv. Zum Beispiel hat die Permutation 1 2
cr 2 Fehlst/inde, also sign cr 3-2 2-1
1-2 3-1
2 3
3) 1
'
+1. Das Produkt ist gleich
1-3 3-2
1-2 2-1
1-3 3-1
3-2 3-2
-
(-1). (-1).1
-
1.
In der Praxis geniig~ es, zur Bestimmung des Signums das Vorzeichen yon i<j anzusehen. Sehr niitzlich ist die Formel (.) beim Nachweis, dass sign ein Homomorphismus ist: Fiir Permutationen a, ~- E g~ ist sign (T o a)
j-i
i<j
~(5)
i<j
~(~)
l]
j_-;
i<j
sign ~- 9sign or, denn das erste Produkt ist bis auf die durch cr permutierte Reiheniblge der Faktoren gleich
j - i
sign~, da
~(i) - ~(j)
[]
~(j) - ~(i)
i<j
Da das Signum ein Homomorphismus ist, ist der Kern Ker(sign)
{a E g~ 9 signa
+1}
:A~ < g~
eine Untergruppe; man nennt A~ die alter~ierende Gr-uppe. Eine Permutation ~- E g~ fiir n i,j E { 1 , . . . , n } gibt mit i / ~ j und
~(i) Bemerkung
j,~(j)
>
i,~(k)
2 heigt
Transposition,
es
kfarkr
Fiir jede Transposition T E S~ gilt sign ~-
Beweis Die Transposition To mit T0(1) Fehlstaad, also ist sign To - 1 .
wenn
2 und T0(2)
-1. 1 hat genau einen
2.2 BEISPIELE Ftir ein beliebiges 7 n e h m e
man
25
ein cr E g~ mit
i D a n n ist r
j.
~ o ro ocr i u n d signr
sign~ 9
9 (sign~)
1
signro
-1
.
Wie m a n leicht sieht, ist A~ ffir n _> 4 nicht abelsch. Ist cr so ist offensichtlich -43
2
{or, cr2, cr3
3
1
Eg3,
id}, also ist durch
A3 ~ 77,/377,, ~
~ k + 377,,
ein Isomorphismus erklSxt. Beispiel 7
Ist
H
< G
Untergruppe, so ist die I n k l u s i o n c'H-+G,
a~-~a,
ein H o m o m o r p h i s m u s . Ist a E G ein beliebiges Element einer Gruppe, so ist die K o n j u g a t i o n t;a " G ---+ G , x ~-+ a x a
1,
ein A u t o m o r p h i s m u s mit n~ 1 n~ ~. Sie heigt i n n e r e r G abelsch, so ist n~ i d c f/Jr alle a.
Automorphismus.
Ist
Ist G g ( X ) , so kann m a n sich die Konjugation - wie in der linearen Algebra bei A u t o m o r p h i s m e n eines Vektorraumes - als ,,Koordinatentransformation" vorstellen: Fiir f, g E g ( X ) hat m a n ein D i a g r a m m X
X
f>
9f9
X
1>
X .
Die urspriingliche A b b i l d u n g f wird nach der durch g bewirkten Transformation dutch 9 f 9 i besehrieben. Die T r a n s l a t i o n e n
26
I GRUPPEN
sind wegen l~(e) r~(e) a nur fiir a l~ r~ idc. Die Abbildung
e Homomorphismen, es ist
G---~ g ( G ) , a ~ - * l ~ , ist wegen (15 o l~)(x) Dagegen ist
15(l~(x))
bax
lb,(x) ein Gruppenhomomorphismus.
ra " C---+ g ( C ) , a~-* ra , wegen (r5 o r~)(x) rb(r~(x)) xab wenn C abelsch ist (ab (rb o r'~)(e)
r~b(x) genau dann ein Homomorphismus, r'b~ (e) ba).
Die modifizierte Rechtstranslation C---~ g ( C ) , a~-* r a'
r a' " G ~ G
mit
ist stets ein Homomorphismus und ~
, x~xa
1,
l~ o r'~.
Dass hier links vor rechts bevorzugt scheint, liegt nur an der Konvention, in welcher Reihentblge Abbildungen angewandt werden! Die I n v e r s i o n
G--~G,
ist wegen
(ab) 1
a~-*a
a lb l r
l,
(a lb l) 1
ba
genau daan ein Homomorphismus, wenn G abelsch ist.
2.3
Nebenklassen
Das Gegenstfick yon Untergruppen einer Gruppe G sind ,~Paktorgruppen", ihre Elemente sind spezMle Teilmengen yon G. Diese werden zun~chst betrachtet. Definition
Gegeben sei eine Untergruppe H C G und a E G. D a a n heigt
aH : Ha :
{ax : x E H } {xa : x E H }
die l i n k e N e b e n k l a s s e die r e e h t e N e b e n k l a s s e
Offensichtlich ist a H
l~(H I und H a
Ist H
bH
Lemma
G, so ist a H
Ha
yon a beziiglich H , yon a beziiglich H .
r ~ ( H I.
Hb fiir alle a, b E G. Allgemein gilt:
Fiir H < G und a, b E G sind folgende Aussagen iiquivalent: i) a H
bH,
ii) b E a H ,
iii) a l b E H .
Ebenso sind folgende Aussagen iiquivalent: i~)Ha
Hb,
ii ~ ) b E H a ,
iii ~)ab 1 E H .
Man beachte die ,~Eselsbrficke': In der dritten Bedingung steht das Inverse je nach Nebenklasse links oder rechts! Beweis
i) ~
ii):
b
be E bH
all.
2.40RDNUNG UND INDEX ii) ~
iii): b
ax ffir ein x E H ~ a lb
i): x E a H ~ x
iii) ~
x
ay
x
by
x E H.
ay f i i r e i n y E H ~
bb lay
x E bH ~ x
27
b(a lb) l y e
bH.
by ffir ein y E H
a(a l b ) y E a l l .
Analoge Rechnungen ergeben die J~quivalenzen fiir die rechten Nebenklassen.
[]
Die Aussage des obigen Lemmas kann man auch so lesen: Dutch die linken und rechten Nebenklassen beztiglich H < G sind zwei Aquivalenzrelationen auf G erkl~h%: a - b(modH) vea lb 9 und 1 a -
b ( m o d H ) 4=>ab 1 9
r
Man sagt daffir a kongr~uent b m o d u l o erkl~h%e Kongruenz in 77,.
H . Das verallgemeinert die in I 1.8
Ftir die Gruppe G hat m a n also zwei Zerlegungen, n~mlich in linke und rechte Nebenklassen, modulo H. Die Mengen dieser Nebenklassen bezeichnet m a n mit
C/H: Bemerkung
H\C:
Es gibt eine kanonische bijektive Abbildung G/H--+ H\G,aH
Beweis
~ Ha
1.
Die Abbildung ist wohldefiniert und injektiv, denn aH
bH r
lb
a l(b 1) 1 E H r
Ha 1
H b 1.
Die Surjektivit~t ist trivial.
2.4
Ordnung u n d Index
Die Anzahl der Elemente einer Gruppe G (oder allgemeiner auch einer Menge) bezeichnet man fiblicherweise mit O r d n u n g , in Zeichen ord (G) . Hat G unendlich vide Elemente, so setzt m a n ord (G) ord (G) E N .
cx~, andernfalls ist
28
I GRUPPEN
Ist H < G, so nemit magi die Anzahl der NebenMassen, d.h. der Elemente in G / H oder H \ G , den I n d e x yon H in G, in Zeichen
ind (G: t/) : ord ( G / t / ) . Diese Notation ist motiviert dutch den S a t z v o n LAGItANGE
I~t t~ Unteryruppe der endlichen Gruppe G, so gilt
ord (G)
ord ( t / ) . ind ( G : t / ) .
Daraus folgt unmittelbar: Eine Gr, tppe G yon Primzahlordnung besitzt n u t die tr'ivialen UnterKorollar gruppen {e} und G. Beweis
Fiir jedes a E G ist die Abbildung t/--+ a t / , x ~-+ ax
bijektiv, also enthalten alle Nebenklassen ord (t/) Elemente. G i s t disjunkte Vereinigung yon ind (G : t / ) Nebenklassen, daraus folgt die Behauptung. [] Ffir ein Element a E G definiert man die O r d n u n g Ms Anzahl der Elemente in der von a erzeugten Untergruppe, also ord(a): Offensichtlich ist
ordErz(a) ENU{oc}.
ord(~) min{k~N\{0}:~
~},
falls ord (a) < oc. Eine enge Beziehung zu den Untergruppen yon G (I 1.8) ergibt sich aus dem Homomorphismus ~:Z--~G,
k ~--~a ~ ,
denn fiir das eindeutig bestimmte m E 77, mit Ker ~ a~
e e=~ k E Ker ~ e=~ k
m Z gilt m
ord a. Es gilt
m x fiir ein x E 77,,
daraus folgt sofort das Lemma
I~t a E G ein E l e m e n t endlicher Ord'nung und k E Z, so gilt
a~ Insbesondere gilt a ~
c
e e=> ord a teilt k .
e fiir jedes a aus einer endlichen Gruppe G.
[]
Der Satz yon LAGRANGE gibt eine notwendige Bedingung f[ir die Ordnung einer Untergruppe und die Ordnung eines Elementes: Sie miissen Teiler der Gruppenordnung sein. In den folgenden Paragraphen werden einige Ergebnisse zur Frage nacti der Umkehrung dieser Aussage erhalten; hier eine k M n e Vorschau:
29
2.5 BEISPIELE
In einer zyklischen Gruppe gibt es zu jedem Teller der Ordnung genau eine Untergruppe und mindestens ein Element dieser Ordnung (I 3.10). In der Gruppe 7[4 der Ordnung 12 gibt es keine Untergruppe der Ordnung 6 und damit auch kein Element der Ordnung 6 (Beispiel 4 in I 4.6).
Zu jedem Primteiler der Gruppenordnung gibt es ein Element dieser Ordnung (Satz yon C A U C H Y in I 6.11). Hat man in einer Gruppe G Elemente al, . . . , a~ yon endlicher Ordnung, so kann man im allgemeinen keine brauchbare Vorhersage fiber die Ordnung des Produkts machen (BeispMe 5 aus I 2.5 und 3 aus I 4.6). In einem Spezialfall kann man wenigstens eine Teilbarkeitsaussage machen.
Sind die Elemente a l , . . . , a~ E G vertauschbar, (d,h. aiaj Bemerkung fiir alle i, j 1 , . . . , n ) und ist ki : ord(ai) K ce, so folgt ord(al .....a~)
teilt
ajai
kgV(kl,...,k~) .
Beweis Es gilt nach Voraussetzung (al.....an)
Ffir jedes Vielfache k yon k~ ist a~k
(~1..... ~)~
6.
k
ak'...
k
"a n 9
c, also ffir jedes gemeinsame Vielfache k auch
[]
In speziellen Situationen kann man bessere Aussagen fiber die Ordnung eines Produktes machen: 9 in direkten Produkten (Lemma in I 3.9) 9 ffir al 9 ffir n
...
a~ (Lemma in I 3.10)
2 (Beispiel 5 in I 3.14)
9 ffir elementfremde Zyklen (Reehenregeln aus I 4.5)
2.5
Beispiele
Wir geben Beispiele ffir Zerlegungen einer Gruppe in Nebenklassen und Ordnungen yon Elementen. Beispiel I Ist G abelsch, so stimmen linke und rechte Nebenklassen fiberein. Das ist ffir G G und H mG der Fall; wie in I 1.8 ausgeffihrt, ist
z/,~z
{0,...,,~-1}
mit
~:
k+,~z.
30
I GRUPPEN
Beispiel 2
Ist C
H:
GL(n;R) und
GL+(n;R):
{A 9
: detA>0}
so hat man ftir jede Matrix A E G mit det A < 0 eine Zerlegung GL(n;R)
HUAH
HUHA.
Das folgt ganz einfach aus AH
HA
{B E GL(n;R) : det B < 0} ,falls det A < 0.
Es gibt also genau zwei Nebenklassen, linke und rechte stimmen tiberein (obwohl die Gruppe nicht abelsch ist, also im allgemeinen A B # HA in A H HA.) Ganz analog ist die Situation bei H : g,., fiir jedes er 9 g,., und sign er Beispiel 3
A,., U erA,-,
: G. Hier ist
A,., U A,.,er
-1.
In der nicht-abelschen Gruppe ga sei 1 2 2 1
r: 1 2 2 3
Fiir er
A,., < &,
3) 1
3) 3
und
H:
{id, r } < g a .
ist
erH
{er, err}
und
aT
1 3
2 2
Her
{ ,rer} und
rer
(123) 1 3
3 ) abet 1 ' 2
/ err .
Welter gilt er 1H r Her 1 und ga
Beispiel 4 Aus a 2
HUerHUer 1H
HUHerUHer 1.
Hat in einer Gruppe C jedes Element die Ordnung 2, so ist C abelsch:
e tblgt a 1
a fiir alle a E C. Also ist (ab)(ab)
e, d.h. ab
b la 1
ba.
Ein Beispiel dafiir ist die Kleinsche Vierergruppe (Beispiel 1 in I 1.9). Beispiel 5 Die Menge M(n x n; Z) der quadratischen n-reihigen Matrizen mit Eintrggen aus g i s t beztiglich der Multiplikation eine Halbgruppe, die Determinantenabbildung det : M(n x n; Z) ~ g , A ~ det A ,
2.5 BEISPIELE ist multiplikativ, d.h. det (A. B)
31
(det A) 9 (det B).
Sind A, B E M ( n • n; Z) mit A . B E , , so ist det (AB) det (A) 9det (B) 1, also det A det B -4-1. Umgekehrt gibt es nach der CRAMERschen Regel zu jedem A E M(n x n; Z) eine komplementgre Matrix A # E M(n x n; Z) mit A. A #
A # 9A
(det A) 9E.,~
(vgl. etwa [Fis, a.a.2]). Also hat jedes A E M ( n x n; 7/.) mit det A d s E M ( n x n; 7/.), und SL(n;Z):
{AEM(n•
+1 ein Inverses
1}
ist eine Gruppe. In SL(2; Z) gibt es Elemente endlicher und unendlicher Ordnung. Als Beispiele geben wir A2 : A4 :
( (
--1 0 0 1
0 -1 -1 0
)
)
'
(01) (01)
A3 :
-1
A6 :
'
-1
-1
Wie man leicht nachrechnet, ist ord Ai
Ao~ :
,
1
(11) 0 1
"
i und
A4 9 A3
A~
.
Das Produkt yon zwei Elementen endlicher Ordnung haben!
kann also unendliehe Ordnung
Die Ordnungen 1 und 2 werden durch E2 und -E2 realisiert. Wir zeigen nun, dass i, 2, 3, 4, 6 die einzigen mSglichen endliehen Ordnungen sind. Angenommen c
d
und
E2 .
Wit betrachten A als Endomorphismus des C 2, als solcher hat er einen Eigenwert ), E C. Dazu gibt es einen Eigenvektor 0/~ z E C 2, also A.z
),.z ~
A~.z
)J.z
~
)J
1 da A ~
E2.
Daraus iblgt, dass jeder Eigenwert eine n-te Einheitswurzel ist. Aut~erdem ist ), Nullstelle des charakteristischen Polynoms PA(x)
x 2 - (~ + d ) x + d~t A .
Sind >,1, >,2 E C die beiden Nullstellen, so ist >,2
>,1
und
>,1+>,2
a+dEE.
Aus I?,I I?,I 1, A2 ~1 und A1 + A2 E E folgt, dass es fiir A1 + A2 nur die mSglichen Werte - 2 , - 1 , 0, l, 2 gibt. I m Bild sieht das so aus:
32
I GRUPPEN
1
!: (i
Es gibt also nur die %lgenden MSglichkeiten
fll
f12
PA(X)
1
1
X 2 -2X+
r
r
X2- X + 1
6
i
-i
X2
+ 1
4
r
~
x2+x+l
a
-1
-1
X 2 + 2X + 1
2
ordA 1
1
Diese werden durch die oben angegeben Matrizen realisiert.
2.6
Definition
eines Normalteilers
Ist ~ : G --, G' ein H o m o m o r p h i s m u s u n d H :
~(axa s)
~(a)~(x)~(a)
s
Ker ~, so gilt fiir x E H u n d a E G
e',
also
axa s E H ,
d.h. der Kern ist stabil unter alien Konjugationen. W i r untersuchen nun a11gelnein U n t e r g r u p p e n Init dieser besonderen Eigenscha1L
Definition
Eine U n t e r g r u p p e H < G), wenn fiir a11e a E G
H
aH
<
G heiflt N o r ~ n a l t e i l e r
Ha
d.h. die linken und die rechten Nebenklassen s t i m m e n iiberein. Diese Bedingung lmam m a n noch etwas va~'iieren.
(in Zeichen
33
2.7 H O M O M O R P H I S M E N U N D N O R M A L T E I L E R
Fiir eine Unteryruppe H < G i s t es gleichwertig, fiir jedes a 9 G Bemerkung folgendes zu fordern: i) a H
Ha,
ii) a H a
1c H ,
ill) a l i a
1
H .
Normakeiler sind also die unter allen Konjugationen yon G stabilen Untergruppen. Beweis i) ~ :ca ay 9
ii): Ist :c 9 a l i a 1, so ist :c H a , also :c 9 H.
aya 1 mit y 9 H . Also ist
ii) ~ iii): Eigenschaft ii) bedeutet, dass H u n t e r allen Konjugationen invariant ist. Aus n~(H) C H und n~ I ( H ) C H folgt, dass n~(n~ I ( H ) ) C H . Da aber ]~a 0 ]~a 1 idH, folgt dass n~ I H surjektiv ist. iii) ~ i): Ist :c 9 H a , so ist :c also :c 9 a l l .
ya mit y 9 H . Also ist :ca 1
y 9H
alia
Die umgekehrte Inklusion a H C H a zeigt man analog.
1,
[]
Jede Gruppe G hat die t r i v i a l e n N o r m a l t e i l e r {e} und G. In I 7.1 werden Gruppen mit keinen anderen Normalteilern ,,einfach" genaant. Nach I 2.4 tritt~ das zu fiir G r u p p e n yon Primzalilordnung.
2.7
Homomorphismen
und Normalteiler
In jeder Gruppe G gibt es die trivialen Normalteiler {c} und G; ist G abelsch, so ist jede Untergruppe Normalteiler. Weitere Beispiele erhglt m a n aus dem
Lemma
Sei ~ : G --+ G' ein H o m o m o r p h i s m u s yon Gruppen.
a) Ist H ' <1 G' Normalteiler, so ist ~ 1 ( H ' ) <1 G Normalteiler. Insbesonder'e ist Ker ~ <1G Normalteiler. b) Ist ~ surjektiv und N <1 G Normalteiler, so ist p( N ) <1 G' Norrnalteiler.
Beweis a) Nach der Bemerkung aus 1 2.1 ist p l ( N ' ) < G. Sei x E p l ( N ' ) , also x' p(x) E N ' und a E G. Dann
(io(a:ca 1)
(io(a):c/(io(a)
1 E N/
b) Wieder nach I 2.1 ist ~ ( N ) < G'. Ist x' a' p(a) E G' mit a E G, so ist
a].soa:ca
1 E (io I ( N / ) .
~(x) E ~ ( N ) mit x E N und
[]
Auf die Voraussetzung surjektiv in b) kaan natiirlich nicht verzichtet werden: Betrachte G < G', nicht Normalteiler, und die Inklusion ~ : G ~ G'.
34
I GRUPPEN
2.8
Faktorgruppen
Nun kommen wir zu einer grundlegenden Konstruktion der Gruppentheorie. Ist H < G, so versucht m a n die Menge G / H der linken Nebenklassen so zu einer Gruppe zu machen, dass die ka~mnische Abbildung
p:G--~G/H,
a~-+aH
zu einem Gruppenhomomorphismus wird. Da dann H Ker p wird, muss dazu notwendig H ein Normalteiler sein. Diese Bedingung ist auch hinreichend:
Sei G eine Gruppe und N < G ein Normalteiler. Dann gibt es genau eine Verkniipfung 9 auf G / N mit folgenden Eigenschaften:
Satz
a) G / N zusammen mit 9 ist eine Gruppe. b) Die kanonische surjektive Abbildung
ist ein Homomorphismus. Das neutrale Element yon G / N ist N E G / N , das Inverse von aN ist a 1N und Kerp
N < G.
Man nmmt G / N die Faktorgr-uppe yon G nach N. Zur Vereinfachung wird die Verkniipfung in G / N meist genau so bezeichnet wie in G, etwa
(aN)(bN) Beweis Da p(a /
(ab)N
oder
(a + N) + (b + N)
(a+b)+N.
aN, ist notwendig fiir einen Itomomorphismus
(a )N
p(a )
p(a) 9
(aN) 9
Die einzige MSglichkeit 9 zu definieren, ist also
( a N ) , (bN) : (ab)N. Die Verkniipfung muss wohldefiniert, d.h. unabhgngig yon der Walfl der Reprgsentanten a, b E G sein. Seien also a' und b' gegeben mit
aN
a'N, d.h.a la'EN
Da N Normalteiler ist, ist Nb' b'y. Ffir x a la' gilt dann
bN
und
b'N, d.h.b l b ' E N .
b'N, also gibt es zu x E N ein y E N mit
xb'
(ab) l(a'b') Also ist (ab)N
b la la'b'
b lxb'
(a'b')N, wie zu zeigen war.
b lb'y E N .
2.9 BEISPIELE
35
F fir eine abelsehe Gruppe G geht das natfirlieh einfacher:
(v is 1)(dr')
(v
is') 9 x. e N neutrales Element yon G/N,
Ist e das neutrMe Element yon G, so ist N denn D a (aN) 9 (a iN)
2.9
(aa 1)N
N, ist (aN) 1
a iN.
[]
Beispiele
Wir geben eine Serie yon Beispielen ffir Normakeiler und FaktorgTuppen. Beispiel 1 Ist V ein Vektorraum fiber einem beliebigen KSrper K und W < V ein Untervektorraum, so ist W < V Normalteiler als Untergruppe der additiven abelsehen Gruppe. Nebenklassen sind die attlnen Rgume v + W und die Addition in V / W ist erklgrt durch
: In der linearen Algebra zeigt man, dass auf diese Weise ein Quotientenvektorraum V / W entsteht (vgl.etwa [Fil, 2.2.7]). Beispiel 2 gruppe
In der abelschen Gruppe g i s t m E < g ffir alle m E N, die Faktor-
Z,,~ : Z / r a g ist die in I 1.8 beschriebene zykli, ehe Geuppe. Man ka~m Z,,~ ffir m > 0 auch etwas anders beschreiben. Dazu verwendet man die primitive m-re Einheitswurzel (,,~:
2rri exP(7~-) EC
und den Homomorphismus
von der additiven Gruppe Z in die multiplikative Gruppe C. Offensichtlich ist Kerg~r~
mE
und
Img,~
C,,~:
{r162162
1} < C .
Einen Isomorphismus
erk'art man aus g ~ sofort mit Hilfe des in I a.1 bewiesenen Ersten Isomorphiesatzes. Z,,~ kann daher als Untergruppe der Kreislinie C angesehen werden, was den Nmnen ,#yklisch" erklgrt.
36
I GRUPPEN
Beispiel 3 In der symmetrischen Gruppe 8 . hat man A . < 8 . als Kern des Signum-Homomorphismus. Ffir n _> 2 sei T die Transposition, die 1 und 2 vertauscht; es ist sign T --1. Ist ~ 6 S. mit sign ~ --1, so ist T o ~ 6 A . , also T 2 0 O-
O- u n d
S.
A.
U
TA.
A.
U
A.T .
Daher gibt es einen Isomorphismus ---+ z / 2 z .
Die zu Z / 2 Z isomorphe Untergruppe H : malteiler (Beispiel 3 aus I 2.5). Beispiel 4
{id~T} < S. ist fiir n > 3 kein Nor-
Ist K ein beliebiger K6rper, so ist die spezielle lineare SL(n;K):
{A6GL(n;K)"
detA
Gruppe
1}
als Kern eines Homomorphisnms ein Normalteiler. In Beispiel 4 aus I 3.6 werden wit zeigen, dass es einen Isomorphismus GL(n; K)/SL(n; K) ---+K*
K ".. {0}
gibt. In GL(n; JR) hat man den Normalteiler GL+(n;]R) : denn det ( B A B Masse
1)
{A 6 GL(n; JR) 9 det A > 0} < GL(n;]R),
det A. Er hat den Index 2; es gibt noeh eine weitere NebenGL ( n ; R ) :
{A 9
detA<0}~
und ffir jedes S 9 G L (n; JR) ist G L S 2 9 GL+(n; JR). Die Faktorgruppe
(n; JR)
S 9 G L + (n; JR) und
GL(n; ]R)/GL+ (n; e)
hat die Ordnung 2, ist also isomorph zu Z/2Z. Es gibt auch wichtige zu Z/2Z isomorphe Untergruppen yon GL(n; R), insbesondere solche yon der Form H
{E,,S}
mit
S6GL
(n;]R)
und
S2
E,,.
F/it ungerades n kSnnen wir S - E , w/ihlen. Wegen A ( - E , ) A 1 -E,~ f/it alle A 9 GL(n; JR) ist H,~ : { E , , - E , } < GL(n; JR) Normalteiler und es gibt einen Homomorphisnms
0)
GL+(n;]R) --+ GL(n;]R)/H,~, A ~ { A , - A } . Ffir gerades n w~llen wir
S:
"" 0
1
-1
6GL
(n;]R).
2.9 BEISPIELE
37
In diesem Fall ist A%~ : {E,~ S} < GL(n; R) kein Normalteiler. Es geniigt, das im Fall n 2 zu zeigen: Etwa fiir
A
(0-1) 1 0
ist
ASA
1
-S~H,~
Da die gerade verwendeten Matrizen S und A orthogonal sind, gilt analog
O ( n ) / H ~ ~ SO(n)
fiir ungerades n .
Dagegen ist / ~ < O(n) fiirgerades n kein Normalteiler. Davauf werden wir in Beispid 3 aus I 3.6 zurfickkommen. Beispiel 5
Jede Untergruppe H < G mit ind (G: H)
2
ist Normalteiler. Man hat ngmlich fiir jedes a E G \ H disjunkte Vereinigungen G
also ist a H
G "-. H
HOaH
HOHa,
Ha.
Beispiel 6 Die Quaternionengruppe Q
{-+-E,-+-L -+-Y,+ K } < GL (2; C)
der Ordnung 8 aus Beispiel 4 in I 1.9 ist nicht abelsch. Wir zeigen Jede Unteryruppe H < Q ist Normalteiler.
Nach dem Satz yon LAGRANGE aus I 2.4 kommen fiir H die Ordnungen 1, 2, 4 und 8 in Frage. Die FSlle 1 und 8 sind trivial; ist ord H 4, so folgt die Aussage aus dem vorhergehenden Beispiel 5. Offensichtlich gilt die Aussage auch fiir H {E, - E } . Es gentigt also zu zeigen, dass es keine m~dere Unterg~'uppe der Ordnung 2 gibt. Das ist ganz einfach: Ist A E H und A ~ •
so ist A 2
- E E H, also ord H > 2.
38
I GRUPPEN
w 3 Isomorphies/itze u n d P r o d u k t e von G r u p p e n Es ist ein zentrales Problem der Gruppentheorie, eine gute Ubersicht fiber alle mSglichen Gruppen zu erhalten. Genauer gesag~c versucht man eine K l a s s i f i k a t i o n , d.h. die Aufstellung einer Liste mit allen Klassen isomorpher Gruppen. In dieser Allgemeinheit ist das Problem aus prinzipiellen Grfinden unlSsbar; aber selbst ffir den Fall endlicher Gruppen gibt es bis heute keine abschliegende Antwort. Ein positives Ergebnis sei angekfindigt: Die endlich erzeugten abelschen Gruppen kann man klassifizieren (I 6.9). Ein erster Schritt in diese Richtung ist die Konstruktion yon Isomorphismen und Produkten von Gruppen. Mit Hilfe yon Produkten kann man einerseits aus gegebenen Gruppen neue und im Mlgemeinen komplexere Gruppen konstruieren; mMererseits kann man versuehen, gegebene Gruppen in einfaehere Faktoren zu zerlegen. In diesem Paragraphen werden einige hierffir grundlegende Techniken beschrieben und durch Beispiele belebt.
3.1
Isomorphiesfitze
Verschiedene klassische Isomorphies/itze helfen beim Umgang mit Faktorgruppen. Sie sind einfache Folgerungen aus dem
Faktorisierungssatz
Sei ~ 9G --~ G' ein Gruppenhomomorphismus, N <1G mit N C Ker ~ und p 9G --~ G / N der kanonische Epimorl)hismus. Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorl)hismus ~ " G I N --~ G' derart, dass das Diagramm
G /)
> G'
, ....."
..-"
G/N kommutiert, d.h. ~ Es ist 7 ( G / N )
~ o p.
p(G) und K e r ~
(Kerp)/N.
Man kann die Aussage so verstehen: Bei ~ muss mindestens so viel ,,wegdividiert" werden wie bei p, wenn man yon G / N auf ~(G) kommen will. Beweis muss
Die Eindeutigkeit yon ~ folgt aus der Bedingung ~
~ o p, demnach
7( x)
sein. Die Abbildung ~ ist dureh 7 ( a N ) aN bN folgt a lb E N, also
:
una
g(a) auch wohldefiniert: Aus
3.1 ISOMORPHIESATZE
39
Die so definierte Abbildung ~ ist ein Homomorphismus:
7((aX)(bX)) Die Gleichung N
7((ab)X)
wenn
~(aX)7(bX
).
~(G/N)
~(G) folgt sofort aus der Definition yon W- Weiter ist es gilt fiir alle a E G
aNEKer~e=>~(a) denn
~(ab) ~(a)~(b)
e' e=>aEKer~e=>aNE(Ker~)/N,
E (Ker~)/N
aN
gibt es ein b E Ker~
mit
aN
a lbENCKer~unda~Ker~.
bN, also ist []
Setzt man im Faktorisierungssatz N folgt:
Ker p, so ist ~ ein Monomorphismus. Also
Erster Isomorphiesatz Ist ~ 9 G --+ G ' ein Gruppenhomomorphismus, so ist die Abbildung ~ " G / K e r p --+ p(G) c G' aKer p ~ p(a) ein Isornor'phismus. Ist ~ surjektiv, so folgt G' ~ G / K e r p. Den sogenannten ,szweiten Isomorphiesatz" verschieben wir auf I 3.5. Dritter Isomorphiesatz gilt:
Sind H q G und N q G Normalteiler mit N C H, so
a) N <1H <1G und H / N <1G / N . b) Die Abbildung ~ : (G/X)/(H/X)
~ G/H,
(~X)(H/X)
~ ~H ,
ist ein Isomorphismus. Diese Aussage zeigt, dass man bei Faktorgruppen 51mlich wie bei Briichen ,,kfirzen" kann. Beweis
Wir betrachten das kommutative Diagramm G
,o
~ > G/H ....
....-
....-O-
G/N
wobei p undcr die kanonischen Epimorphismen sind, und g nach dem Faktorisierungssatz erkl~rt ist, also g ( a N ) all. Wegen Ker g Ker cr/N H / N ist H / N q G / N und die Behauptung folgt aus dem ersten Isomorphiesatz, m~gewandt auf ~. [] V o r s l c h t ! Es ist klax, dass aus H <1G, N <1G und N C H auch N q H tblgt. Ist jedoch N<1H<1G, so muss N kein Normalteiler yon G sein! (Beispiel 7 in 1 3.6).
40
I GRUPPEN
3.2
Augeres direktes Produkt
Die in 12.8 eingefiihrten Faktorgruppen kann man, wie schon die Bezeichnung G / N andeutet, als eine Art yon ,~Division" ansehen. Nun beschreiben wir Gegenstiicke dazu, n~mlich verschiedene Arten yon ,~Viultiplikationen'. Wit beginnen mit dem einfachsten Fall. Sind C1, G2 Gruppen, so definieren wir auf der Menge * durch (al, a2) * (bl,52) :
G1 • G2 eine Verknfipfung
( a l b l , a2b2) 9
Diese ,&omponentenweise" Verknfipfung hat iblgende Eigenschaften: Satz fiber das ~iugere direkte Produkt
Sind G1, G 2 Gruppen, so gilt fiir
G1 x G2 mit der oben erkliirten Verkniipfung ,: a) G1 x G2 ist eine Gruppe. b) Fiir i
1, 2 sind die Pwjektionen ~-i : G1 X G2 ---~ Gi
,
(al, a2) r--~ ai
,
Homomorphismen. c) Ist H e i n e beliebige Gruppe mit Homomorphismus pi : H --+ Gi fiir i i, 2, so gibt es genau einen Homomorphismus ~ : H --+ G1 x G2, so dass das Diagramm
G1 H........
~2
kommutiert, d.h. Fi
G1 x G2
G2
~i o ~.
d) Sind G1, G2 abelsch~ so ist G1 x G2 abelsch.
Die ,universelle" Eigenschai% GI • G2 in den Komponenten
c) bedeutet,
dass man einen Homomorphismus unabhSngig voneinander erld~ren kann.
Man nennt G1 • G2 mit der komponentenweisen P r o d u k t yon G1 und G2.
nach
Verkniipfung (~iufleres) direktes
3.3 INNERES DIREKTES PRODUKT
41
Beweis a) Das Assoziativgesetz in G1 X G2 iSt klaz, da es in G1 und G2 gilt. Sind ei E Gi die neutralen Elemente und a i 1 E Gi die Inversen, so ist (el, e2) E G1 x G2 neutrales Element und (al,a2)
1
( a l 1,a21) .
b) F/it die Projektionen 7h gilt
7~i(albl,
~ i ( ( a l , a2) * (bl, b2))
aibi
a262)
7~i(a1, b1)7~i(a2,
c) F/ir ein c E H gibt es wegen der Forderung ~i ~2(C)
und diese Abbildung
:
(~21(C),~22(C))
b2) .
7ri o ~ nur die MSglichkeit ,
ist offensichtlich ein Homomorphismus.
Aussage
d) ist Mar. []
Wie man sich leicht/iberlegt, kann diese Konstruktion analog auf eine beliebige Familie yon Gruppen Gi, i E I , / i b e r t r a g e n werden. Das Ergebnis ist eine Gruppe
iCI
Die beiden Faktoren Gi kann man im direkten Produkt G1 X G2 wiederfinden:
Fiir Gruppen G1, G2 mit neutralen Elementen el, e2 gilt:
Bemerkung
Ci :
C 1 X {C2} <1 C 1 X C 2
,
G; :
{C1} X C 2 <1 C 1 X C 2
und es gibt kanonische Isomorphismen
Der einfa~he Beweis wird dem Leser fiberlassen.
3.3
Inneres direktes P r o d u k t
Wie wit gerade gesehen haben, sind in einem direkten Produkt G1 x G2 die zu G1 und G2 isomorphen Untergruppen G~
auch Normakeiler, stellbar als a
'
'
a 1 9a 2
G1
x {e2}
und
und jedes Element mit
' E G'i
a i
G~ a
n~mlich
{C1} X G 9 C G1 X G 9
(al, a2) E Gi x G2 ist eindeutig dm'1
ai
(ai,e2)
und
1
a2
(el,a2).
Wichtig f/it die Strukturtheorie ist die umgekehrte Frage: Warm ist eine Gruppe G isomorph zum Produkt yon zwei Normalteilern N1, N2 ~ G ?
42
I GRUPPEN
Sind U n t e r g r u p p e n / I 1 , / I 2 < G gegeben, so kann man das Produkt
HIH2
{ a l a 2 E G : a l E H1 , a2 E / / 2 } C G
erklgren. Das ist abet im allgemeinen keine Untergruppe.
Seien H1, H2 < G~ dann gilt
Lemma
a) Ist ala2
a2al fiir alle ai E Hi~ so ist H1H2
H2H1
Erz (H1 U//2) < G .
Insbesonder'e ist HI H2 Unteryruppe, wenn G abelsch ist. {e}~ so ist ala2
b) Sind N1, N2< G mit N1 AN2 ist dann N1N2 < G. Beweis
a2al fiir ai E ]Vii insbesondere
a) H1H2 < G, denn ala2(blb2) 1
ala2b21b11
(alb11)(a2b21) E HIH2 .
Wegen der Vertauschbarkeit ist H1H2 H2H1. Offensichtlich ist H1H2 C Erz (H1 U//2); da H1H2 < G gilt auch die umgekehrte Inklusion.
(ala2)(a2al)
{ a1(a2alla~1)EX1 } 1
(ala2all)a21 E N2
E N1 F'I N2
{e} 9
Als Antwort auf die oben gestellte Frage erhSlt man den
In der Gruppe G seien Normalteiler Satz fiber das innere direkte Produkt N1, N2 < G mit N1 A N2 {c} und N1N2 G gegeben. Dann ist die Abbildung 5~ : N1 X N2 ---~ G ,
( a l , a2) i ~ a l a 2 ,
ein Isomorphismus. Insbesondere ist jedes a E G in eindeutiger Weise als a mit ai E Ni darstellbar.
ala2
In diesem Fall nennt man G ( i n n e r e s ) direktes P r o d u k t yon N1 und N2 und schreibt G N1xN2. Ist G abelsch und die Verkniipfung als Addition geschrieben, so schreibt man
und nennt dies ( i n n e r e ) direkte S u m m e .
3.3 I N N E R E S D I R E K T E S P R O D U K T
Beweis Offensichtlich ist p ein Epimorphismus. Ist ~ ( a l , a2 al 1 und al,a2ENlnN2 {6}. Wegen
al
a2
43
a2)
ala2
e, SO f o l g t
e ist p injektiv.
[]
F i b spgtere Anwendungen notieren wit noch eine Verallgemeinerung der direkten Produkte auf endlich viele Faktoren. Sind in einer Gruppe G Normalteiler N 1 , . . . , N~ gegeben, so kann man einerseits das gugere direkte Produkt N1 X ... X Nk
{(al,...,a/{)
"al E Nl,...,a/{
E N/{}
betrachten, andrerseits die Menge N1 " . . . ' N k
E G" al E N 1 , . .
{al "...'ak
,ak E N k } C G
der Produkte in G. Dazwischen gibt es einen kanonischen Homomorphismus " N1
X ...
X Nk
--~ G,
(al,...,ak)
r-~ al'...'ak
9
Man nennt G i n n e r e s direktes P r o d u k t yon N 1 , . . . , Nk und schreibt dafiir abkiirzend
G
NlX...xN~,
wenn ~ ein Isomorphismus ist. Dann ist jedes a E O eindeutig darstellbar als a
al.....a~
und fib ai E Ni, aj E Nj gilt aiaj
mit
aiENi
ajai in G.
Ob das der Fall ist, hSngt ganz yon der GrSge und der gegenseitigen Lage der Normalteiler N 1 , . . . N~ ab. Durch eine Mchte Modifikation der oben ausgefiihrten Argumente ira Fall k 2 erhSlt man folgendes Ergebnis: S a t z fiber d a s i n n e r e d i r e k t e P r o d u k t y o n e n d l i c h v i e l e n F a k t o r e n
Eine Gruppe G i s t genau dann inner'es dir'el~tes Pr'odukt von Normalteilern N1, .., N~ <1G, wenn Folgendes gilt: 1) G
N1 . . . . . N~, d.h. die kanonische Abbildung ~ ist surjel~tiv.
2) Fiirjedes i E { 1 , . . . , k} gilt N i F-I N1 " . . . " N i
1 " N"i+l " ' ' ' "
Xk
{6} . []
Man beachte, dass Bedingung 2) nicht abgeschw/icht werden kmm zu N i n N 5 {6} fiir i r j. Das weig man schon aus der linearen Algebra, wo direkte Summen yon Untervektorrgumen behandelt werden.
44 3.4
I GRUPPEN
Augeres
semidirektes
Produkt*
In Symmetriegruppen ist die Vertauschbarkeit eine Ausnahme, nur wenige Untergruppen sind NommReiler. Daher benStigen wit eine Verallgemeinerung der direkten Produkte. Diese scheint zungchst durchsichtiger f[ir gugere Produkte. Zu den Gruppen G1, G2 sei zuss
ein Homomorphismus
r : G2 -~ A u t (G1) , a2 ~
(I)a2 ,
d.h. ~)~262 ~)~2 o ~%2, ffir a2, b2 E G2, gegeben. Eine Verknfipfung GI x G2 wird nun definiert durch (al, a2) *r (bl,b2) :
(al
"r
in der Menge
9
Ist ~)~ idG1 fiir alle a2 E G2, so hat man die Verkniipfung des direkten Produkts aus I 3.2. Abkiirzend schreibt man G1 Xff, G2
fiir die Menge G1 X G2 mit der Verkniipfung ,r (oder kiirzer ,), man nennt sie (~ufleres) s e m i d i r e k t e s P r o d u k t . S a t z fiber d a s ~iugere s e m i d i r e k t e P r o d u k t Fiir beliebige Gruppen G1, G2 und jeden Homomorphismus ~) : G2 --+ Aut (G1) ist G1 •162G2 eine Gruppe. Neutrales Element ist (Cl, c2)~ das Inverse ist gegeben dutch (al~a2)
Beweis
Da ~)~2
1
i(~) a2ii[al 1 ),a21)
Das Assoziativgesetz Iblg~ mit etwas Rechnung aus
idol, ist (cl, c2) neutral und
[]
Vorsicht! Wenn G1 und G2 abelsch sind, muss G1 xr G2 nicht abelsch sein (vgl. die Beispiele in I 3.6). Ist speziell ~)~2 idol fiir alle a2 E G2, so ist das semidirekte Produkt direkt. Im allgemeinen gilt abet im Vergieich zu I 3.2 nur die schw~here Bemerkung Fiir Cruppen G1, G2 mit neutralen Elementen ~) : G2 --+ Aut (G1) gilt: G~ :
G1 xr {c2}~ G1 x r G2
ist Normalteiler ,
c1, c2 und
3.5 INNERES SEMIDIREKTES PRODUKT*
45
die Pwjektion G1 x~ G2 ~ G2 ~ (al~a2) ~ a2
ist ein Homomorphismus mit Kern G'1 und (G1 x~ G2)/G~ ~ G2
Dagegen ist G~ :
{C1} Xq) G2 < G1 Xq) G2 Unteryruppe
im Allgemeinen aber kein Normalteiler. Beweis Aus der Definition der Multiplik~tion im semidirekten Produkt folgt sofort, dass G~ Untergruppe und die Projektion auf den zweiten Faktor ein Homomorphismus ist. G] ist Kern dieser Projektion, Mso NormMteiler. Da die Projektion smjektiv ist, ergibt sich der Isomorphismus aus dem Ersten Isomorphiesatz (I 3.1). [] Bevor wit das innere semidirekte Produkt besehreiben, wollen wir noeh nadiredinen, wie G G1 x ~ G2 aus G] < G und G~ < G erhalten werden kmm. Setzen wir a~ (Clv a2) und b~ (blv C2) v so ergibt eine kleine Rechnung a2 Also kann die Wirkung yon ~)~ auf bl durdi die mit HiKe yon ~) konstruierte Verkniipfung in G1 x ~ G2 als Konjugation yon b~ durch a~ besdirieben werden. Das ist die Br[icke zum n~chsten Abschnitt.
3.5
Inneres semidirektes Produkt*
Nun wird versucht, eine Gruppe G Ms semidirektes Produkt yon zwei Untergruppen G1 und G2 darzustellen. Fiir a2 E G2 bietet sich als Automorphismus ~)~2 yon G1 die Konjugation an: 1 : Dazu muss sichergestellt sein, (lass G1 unter der Konjugation invadant ist. D e f i n i t i o n Ist H < G Untergruppe, so heiJ~t Norc (H) :
{a E G : alia 1
H}
der Nor~nalisator yon H in G. Offensichtlich ist H < Norc (H) < G und der NormMisator ist die grSt~te Untergruppe, in der H Normalteiler ist. H < G ist gquivalent zu Norc (H) G. Bemerkung a) Gl 9G2
Scien Gl~ G2 < G und G2 < N o r c (G1). Dann gilt: {ala2 : al E Gl~a2 E G2} < G
46
I GRUPPEN
b) G1 " G2
G2 " G1
{C}t SO ist jedes a E G 1 G 2 eindeutig als a
C) Ist G 1 A G 2 darstellbar.
ala2 mit ai E Gi
Vorsicht! Aussage b) ist eine schwadm Kommutativitgt, es folgt jedoch im allgea2al fiir ai E Ci. Nut wenn Ci ~ C und C1 A C2 {c}, trifft meinen nicht ala2 das zu (Lemma b) aus I 3.3). Beweis a) Zmlgchst rechnen wit nach, (lass G1G2 unter der Multiplil~tion abgeschlossen ist. Sind ala2~ bib2 E C1C2, so ist wegen a2Gla21 G1
(ala2)(blb2)
ala2bl(a21a2)b2
al(a2bla21)a2b2 E GIG 2 9
Augerdem ist
(~1~2) 1
~21~11
b) GIG2 C G2GI~ denn ala2 G2G1 C GIG2, denn a2al c) Ist a
ala 2
a2(a21ala2) E G2G1 und (a2ala21)a2 E GIG2.
blb2, so ist b~lal
also al
( ~ 1 ~ 1 ~ 2 ) ~ 1 ~ GiG2
bl und a2
b2a~ 1
b2.
Falls C2 < Nora (C1) und C fassend der
C1C2, so ist C1 ~ C. Also ergibt sich zusammen-
S a t z fiber d a s i n n e r e s e m i d i r e k t e P r o d u k t In einer Cruppe C seien Unteryruppen C1, C2 < C gegeben mit folgenden Eigenschaften:
a) C1 <1C ist Normalteiler, b) C1C2
C und C1 A C2
{c}.
Dann ist die Abbildung G1 X
ein Isomorphismus, wenn ~
f~ir a2 E G2 die Konjuga~ion in G1 bezeichne~, d.h. (])a2 (al)
a2ala 2
1
Augerdem hat man einen Isomorphismus G2~G/G1,
a2~a2G1.
3.5 INNERES SEMIDIREKTES PRODUKT*
47
Unter den Voraussetzungen des obigen Satzes nennt man G ( i n n e r e s ) s e m i d i rektes P r o d u k t yon G1 und G2, man schreibt dafiir auch G
G1 ~ G2 .
Sind G1, G2 ~ G, so ist das semidirekte Produkt direkt, dann schreibt man wie in (I 3.3) G Gi x G2 . Wir halten noch einmal die verschiedenen Regeln fiir die Multiplikation fest: hi einem inneren direkten Produkt G
GiG2 gilt ffir ai, bi E Gi
in einem inneren semidirekten Produkt gilt
Wenn die beiden Bedingungen GiG2 G und G1 A G2 erffillt sind, gibt es keinen Isomorphismus
{c} in obigem Satz nicht
G2 -4 G/GI mehr. In dieser komp]izierten Situation gilL ein sogenaxinter
Zweiter Isomorphiesatz Sei G eine Gruppe mit Untergruppen N, H < G und sei H C Noro N ( was sicher erfiillt ist~ falls N ~ G). Dann gilt:
a) x < x H b) N n H ~
H
c) Dur'ch ~ ( a ( N A H)) :
a N fiir a E H wird ein Isomor'phismus : H / N A H -+ N H / N
erkl&t. Die Situation wird hoffendich klarer dutch das Diagramm H
<
v NnH
NH <
v <
Beweis a) Fiir a E N und b E H ist
b) u n d c ) . Wir betrachten das Diagramm
N
G
48
I GRUPPEN
NH
>
H
:vH/:v wobei p der kanonische gpimorphismus ist, und p' : Kerp'
KerpAH
pIH. Wegen
NAH
ist N A H < H . Nach dem grsten Isomorphiesatz aus I 3.1 genfigt es zu zeigen, dass p' surjektiv ist. Das ist klar, denn fiir ein Element x E N H / N gibt es a E N und b E H mit
x
(ab)X
X(ab)
(Xa)b
Xb
bX
p'(b). []
3.6
Beispiele*
Wit geben einige Beispiele zu den in diesem Paragraphen beschriebenen Konstruktionen.
Beispiel 1 und Z2
Ist G {e, a, b, c} die Kleinsche Vierergruppe aus Beispiel 1 in I 1.9 77,/277, {0, 1} die zyklische Gruppe der Ordnung 2, so ist die Abbildung
ein Isomorphismus.
Beispiel 2
In der symmetrischen Gruppe g. hat man den Normalteiler A. < g. und fiir n _~ 2 die Unterg~'uppe H {id, r} wobei r die Transposition bezeichnet, die Iund 2 vertauscht. Offensichtlich ist
H~Z2
und
A, AH
{id}.
Wie in Beispiel 3 aus I 2.9 ausgefiihrt wird, ist 8. Entsprechend I 3.5 ist 8. Isomorphismus
A. UA..r,
also8.
A..H.
A . ~ H semidirektes Produkt und es gibt einen A n X r Z2 ~
gn
wobei @~(~r) T~T. Dieses semidirekte Produkt ist f~r kein n _> 3 direkt, da H < &~ kein Norlnalteiler ist.
Beispiel 3
Besonders wichtig ffir das Studium geometrischer Symmetrien sind
die Gruppen GL+(n; R)
{A E G L ( n ; R ) " det A > 0} < G L ( n ; R ) ,
3.6 BEISPIELE* SO(n):
{AeO(n): detA
49
+I}
Die positive Determinante der Matrix bedeutet, dass der entsprechende Isomorphismus des JR" orientierbar ist. Um eine Produktzerlegung der g~'ogen Gruppe zu erhalten, wfihlen wir wie in Beispiel 4 aus I 2.9 eine zu Z2 isomorphe Untergruppe H,~ < O(n). Dabei ist
{{
/1
H,~
fiir ungerades n,
{E., S.}
wobei &
E.,-E.}
:
)
fiir gerades n,
9
0
""
0
E O(rd
1
9
-1
Nun ist H,~ < O(n) und H,~ < OL(n; ]g) fails n ungerade ist; fiir gerades n ist H,~ kein Normalteiler (siehe Beispiel 4 aus I 2.9). Dagegen gilt fiir a l l e n SO(n) A H,~ O(n)
GL+(n;R) A H,~
SO(n). H,~, GL(n;R)
E,~ und
GL+(n;R). H,~.
Entsprechend I 3.3 bis I 3.5 erhalten wir folgendes Ergebnis: F/ir ungerades n ist O(n)
SO(n) • H,~, GL(n;R)
GL+(n;R) • H,~
inneres direktes Produkt und es gibt Isomorphismen SO(n) • Z2 --+ O(n), G L + ( n ; R )
• Z2 --+ G L ( n ; R ) .
Dagegen ist fiir gerades n SO(n) >~ H,~, G L ( n ; R )
O(n)
GL+(n;R)
>~ H,,
inneres semidirektes (und nicht direktes) Produkt, es gibt Isomorphismen SO(n) • Beispiel 4
Z2 --+ O(n) , GL+(n;R) •
Z2 --+ GL(n;R) .
In Beispiel 4 aus I 2.9 hatten wir den Homomorphismus det : GL(n; K) --+ K
mit Ker (det)
SL(n; K) betrachtet. Ist A E K*
B~ :
1 0) .
0
l
K \ {0} und
E GL(n;K)
,
$0
I GRUPPEN
so ist det Ba A, also ist das Bild det (GL(r~; K)) Isomorphiesatz in I 3.1 ist die Abbildung
K•
Nach dent Ersten
GL(r~; K)/SL(r~; tr ~ K • , A . SL(r~; K) ~-+ det A, ein Isomorphismus. Welter ist das Bild H < GL(rt; K) des Monomorphismus K • --+ GL(r~; K ) , A ~ B a , eine zu K • isomorphe Untergruppe, aber fiir r~ _> 2 kein Normalteiler, da etwa 0
o)( 1
0
-1
1
0
o
Offensichtlich ist SL(r~; K) n H
{E} und es gilt
SL(rt;K).H denn fiir d E GL(rt; K) und A
GL(rt;K),
(det A) 1 ist
A.BaESL(r~;K),also A
(A.Ba)B~* ESL(r~;K).H.
Aus diesen {Jberlegungen tblg~, dass
OL(r~; K)
SL(r~;K) >~ H
inneres semidirektes Produkt ist,und dass es einen Isomorphismus SL(r~; K) x~ K • --+ GL(r~; K) ~ b t , mit ~ a ( A ) : B a A B ~ 1 fiir A E SL(r~; K). Bei dieser Konjugation wird in A die erste Zeile mit >, und die erste Spalte mit >, 1 multipliziert.
Beispiel 5 Wir konstruieren aus einer abelschen Gruppe G und der Gruppe Z2 Z/2Z als semidirektes Produkt eine ,~iedergruppe". Wir schreiben Z2
{ + 1 , - 1 } und erklgren den Homomorphismus
~)'Z2--+Aut(G)
durch
~)~(a) a ~ f i i r a E G u n d e E Z 2 .
Maxl beachte dabei, dass die Inversion in G ein Homomorphismus ist, da G als abelseh vorausgesetzt wax'. In D(G) : G x ~ Z2 hat man daxnit die Multiplikation (<~). (b, 6)
(~. b~,~. 6),
(*)
diese Gruppe heigt yon G erzeugte D i e d e r g e u p p e . Neutrales Element ist (e, 1) und
51
3.6 B E I S P I E L E *
Die zu G isomorphe Untergruppe G x {1} hat den Index 2 und ist Normalteiler in D(G). Insbesondere ist ord D(G) 2(ord G) . Ist G
Z,~ die zyklische Gruppe der Ordnung n, so wird
D,, : D(Z,,) gesetzt. Die Gruppe D,, hat zwei Erzeugende a (a, 1) und e ( c , - 1 ) mit orda n und orde 2. Aus der Regel (*) fib die Multiplikation folgt welter s
a
1s
und
gleichwertig d a m i t
a~
~a
1.
Damit kann man D,~ explizit sehreiben als D~
{e, a , . . . ,
a n
1 s as
1s
a n
(**)
und mit HiKe der Regel (**) kann man in D~ multiplizieren. Offensichtlich ist ord D~ 2n, fiir n k 3 ist D~ nicht abelsch. Welter ist D2~Z2 xZ2, D3~$3,
D6~S3xZ2.
Der erste Isomorphismus ist Mar, da ~)~ in Z2 die Identitgt ist. Der zweite folgt &US G
TGT
1
falls G E As und T E 83 eine Transposition ist (vgl. Beispiel 2). Der Beweis des dritten Isornorphisrnus wird dem Leser zur 0bung ernpfohlen (vgl. Beispie] 4 in I 6.12). In I 5.1 werden die Diedergruppen D,~ wieder auftauchen als Symmetriegruppen yon regelmggigen n-Eeken. Beispiel 6 Wit konstruieren eine nicht abelsche Gruppe G der Ordnung 12 als semidirektes Produkt der zyklischen Gruppen Z3 und Z4, also C
Z3 x,~ Z4 .
Dazu schreiben wit Z3
{Gx, x 2}
und
Z4
{Gy, y2,y3}.
Die Gruppe Z3 hat nur einen nicht trivialen Automorphismus, diesen benutzen wir fib die Definition yon
~)~'Z3--*Z3, ~)~(z)
z2
z 1, also ~)~z(z ~)
Damit erhglt man in der Menge Z3 x Z4 die Multiplikation (x~ yl) , (x~' yl') :
(x~§
1)/k' gr, l §
J.
z( 1)z~.
52
I GRUPPEN
Betrachten wit nun in der Gruppe G :
(x,6)
Eine einfache Rechnung
und
~:
ergibt a ~ ord a
3
bab 1
Z3 x ~ Z4 die Elemente
(6,y), soist c (x ~, c) und b z und
ord b
a 2 und
(c, yZ), also
4,
aba 1
Erz(~,~).
sowie
a2b.
Daran erkennt man unmittelbar: G i s t nicht abelsch, Z3 x {c} <1G ist Normalteiler, {c} x Z4 < G i s t kein Normalteiler. Da ~)~
id, kann man ganz einfach nachrechnen, dass ordc
6 fiir
c:
(x2 y2).
G enth~ilt also eine zyklische Untergruppe der Ordnung 6 und es gilt G Dabei gelten die Relationen die direkt nachgerechnet
Erz (b, c).
werden kOmlen.
Maa beachte, dass die Ordnungen Produkt verschieden sein kOnnen:
yon Elementen
In Z3 xZ4 in Z3x~Z4
ist
ord(x,y)
ist
ord(x,y)
im direkten und semidirektem 12, 4.
Weiterhin ist einfach zu sehen, dass G isomorph ist zu der yon 0
r
und
B:
erzeugten Untergruppe G' < GL(2; C), wobei C3 G'
i
0
e x p ( 2~i T ). Welter ist
ErzA~ErzB
inneres semidirektes Produkt. Beispiel 7 Sei G eine Gruppe mit Teilmengen H ' C H C G. Sind H ' < H und H < G Untergruppen, so ist auch H ' < G eine Untergruppe, denn die Abgeschlossenheit gegeniiber der Verkniipfung ist eine innere Eigenschaft. Normalteiler zu sein, hSmgt davon ab, in welcher gr6geren Gruppe man die UntergTuppe betrachtet. A u s H' ~ H u n d H ~ G f o l g t n i c h t H' ~ G ! Ein einfaches Beispiel erhSlt man in der Diedergruppe G D4 D(Z4). Betrachtet man sie als Gruppe der Symmetrien eines Quadrates mit den Ecken 1, 2, 3, 4, so kann sie Ms Untergruppe D4 < $4 aagesehen werden
3.6 BEISPIELE*
53
2
4
(Genaueres dazu in I 5.1). hi/94 liegt die Kleinsche Vierergruppe H:
{e, (1,3), (2, 4), (1,3). (2, 4)} < D4 und
H':
< H < D4.
Als Untergruppe vom Index 2 sind H ' < H und H < D 4 Normalteiler. In D4 ist der Zyklus (1, 2, 3, 4) als erzeugendes Element yon Z4 und als Drehung des Quadrates enthalten, es ist (1,2,3,4).(1,3).(4,3,2,1) (2,4); dalier ist H' < D4 kein Normalteiler! Beispiel 8 Den Unterschied zwischen direktem und semidirektem Produkt kmln man an einem einfachen Beispiel auch geometrisch illustrieren. Wit betrachten die Gruppen G1 G2 (JR, +) und die Teilmengen H1 :
]RX { 0 } C ] R X ] R ,
hn direkten Produkt ]R
x ~9
H2 :
{0}x]RC]Rx]R.
mit
(Xl,X2) + ( Y l , Y2) :
( X l + Y l , X 2 +Y2)
shid die H,~ < ~9 x ~9 Normalteiler, die Nebenklassen shid achsenpaz'allele Geraden.
Fth" jedes a E E* ist dutch x ~-+ ax ein Automorphismus yon (JR, +) gegeben, wit kOnnen also ~):]R--+Aut(]R) durch ~)~(y) : c ~.y und
(Xl,X2)* (yl, Y2) : (Xl +r erklgren. Bezfiglich dieses semidirekten Produktes (Xl,X2)*H1
{(X1+r
: Yl E
E}
+y2) ]R x ~ ]R ist H1 < ]R x ~ JR, denn
{(x1+Y1,372) : Yl E
Dagegen ist //2 < ~9 x ~ ~9 kein Normalteiler, denn
Zum Schluss nodi ein Bild der verschiedenen NebenMassen:
E}
H1*(X1,372) .
54
I GRUPPEN
B,
1 1
xfHi .......... ~ ....... Hi
. . . . . . . . . . . . . .
1
i
1
i
1
]
ix+H a~,a
3.7
Zyklische
Gruppen
In I 1.7 hatten wit die yon einer Teilmenge M erzeugte Untergruppe erklgrt. Besonders einfach ist der Fall, dass M nur aus einem Element a E C besteht. D a a n ist offensichtlich Erz(a)
{a ~ : k E Z} < C .
Definition Eine Gruppe C heiJ~t z y k l i s c h , wenn es ein a E C gibt, so dass C
{a ~ : k 6 Z } ,
Gleichbedeutend damit ist, dass der Homomorphismus p:Z--~C,
k~-*a ~,
suIjektiv ist.
Bemerkung
1) E i n e zyklische Gruppe ist abelsch.
2) E i n e Gruppe yon Primzahlordnung ist zyklisch und yon j e d e m E l e m e n t a ~ c erzeugt. Beweis
1) a~a 1
a ~+l
d a ~.
p_>2undH: Erz(a) fiira~c. DannistordH_>2undTeiler 2) S e i o r d C yon p (I 2.4, Satz yon LAGRANGE), also ord H p und H G. [] Nun kann m a n alle zyldischen G r u p p e n bis auf Isomorphie angeben: Klassifikation zyklischer Gruppen
Sei C eine zyklische Cruppe und a E C ein erzeugendes E l e m e n t . D a n n gibt es ein m E N der'art, dass
"~:Z/mg-~C, ein I s o m o r p h i s m u s ist. D e r Fall m dann ist C ~ Z . Beweis
k+mE~a
~,
0 tritt genau dann ein, w e n n ord C
Wir betrachten den Epimorphismus F . Z --~ C , k ~-, a ~ .
c%
3.8 T E I L B A R K E I T
GANZER
ZAHLEN
55
Nach Beispiel 6 aus I 1.9 ist Ker ~ m E fiir ein m E N, nach dem Ersten Isomorphiesatz aus I 3.1 ist "~ ein Isomorphismus. [] Hat eine Gruppe G r {e} n u t die trivialen Unteryruppen {e} und G, so gibt es eine Primzahl p und einen Isomorphismus
Korollar
G -+ Z / p Z .
Beweis
Fiir jedes a /~ e in G i s t G
Erz (a), also ist G zyklisch. Es muss
ord G endlich sein, denn Z hat nicht triviale Untergruppen; also ist G ~ Z / m Z mit m > 2. Ist m keine Primzahl, so ist m k 91 mit 1 < k, 1 < m. Daher sind Erz (a ~) und Erz ( d ) nieht triviale Untergruppen. [] Die additive Gruppe Z,,, Z / m Z kann als ,~Prototyp" einer endliehen zyklischen Gruppe angesehen werden. Bei dem oben verwendeten Isomorphismus "~ wird die additive Struktur von Z,,, mit der multiplikativen Struktur in G gekoppelt. Dabei ist
.,(1 Die Bildung yon Potenzen in G wird also besehrieben dureh die Multiplikation in Z, das wird systematisch in Kapitel II im Rahmen der Ringtheorie behandelt. Zur Untersuchung der Struktur yon zyklischen G r u p p e n ben5tigt m a n nur einige elementare Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen. A m schnellsten sieht man das mit Hilfe der Primfaktorzerlegung, die in Kapitel II bewiesen wird. I m folgenden Absehnitt zeigen wit, dass vieles auch ohne Primfaktoren geht.
3.8
Teilbarkeit ganzer Zahlen
Sind m, n E Z, so sagt m a n , m t e i l t n , in Zeichen m I n :r
es gibt x E E m i t n
x 9m .
Anders ausgedriickt bedeutet das, n i s t V i e l f a c h e s v o n m. Offenbar gilt m ln r
nZ < m Z
und falls m, n > 0 tblgt m < n. Die einzigen Teiler yon 1 sind +1 und - 1 . m heigt g e m e i n s a m e r
T e i l e r y o n h i , . . . , n~ E Z, wenn es x l , . . . , x~ E Z gibt
mit 7%1 u n d n heigt gemeinsames E Z gibt mit
XI~
9 9 9 ~
g~r
Vielfaches yon ~
371~i~
.
. . ~ ~
Xr~7~
ml, ..., m , E Z, w e n n es Xl, ..., x, 2Cr77~ r
.
56
I GRUPPEN
Um zu zeigen, dass es einen grSflten g e m e i n s a m e n Teiler ggT ( I t 1 , . . . , f t r ) und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV ( r r h , . . . , rrb) gibt, benutzen wir die in I 1.8 dutch Teilung mit Rest bewiesene Tatsazhe, class jede Untergruppe yon Z yon einem Element erzeugt wird. Zur Bestimmung eines gTSgten gemeinsaxnen Teilers yon r t l , . . . , rt r betrachten wir den Summen-Homomorphismus G : Z X ...
X Z ~
Z,
(371,...
, 3 7 r ) I ~ 3717%1 + . . .
+37r7% r
.
Nach Definition ist Im cr Erz ( r t l , . . . , r t r ) < 7/,; nach I 1.8 gibt es ein d E G mit Im a dE. D a ni E I m a, ist d gemeinsamer Teiler yon n l, ... n~, und d a d E I m gibt es x 1, . . . , x~ E 77, mit d
Xln I
+
+
...
Xrn
r
.
Ist m irgend ein gemeinsamer Teiler yon rtl, . . . , rtr, SO teilt er wegen der obigen Darstellung als Summe auch d. Da d his auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt ist, ist ein d > 0 auch dem Betrag nach der grSgte gemeinsame Teller. Insgesamt haben wit gezeigt, dass es xl, . . . , x~ E 77, gibt, mit d
z z T (nl,... , n r )
3717%1 +
...
+
fern
r
.
Dieses Ergebnis wird manchmal Relation yon B];ZOUT genannt. Dabei ist zu bedenken, dass die Koeffizienten x l , . . . , x~ keineswegs eindeutig bestimmt sind. Man nennt n l , . . . , n~ teilerfremd, wenn ggT ( n l , . . . , n~) das gquivalent zur Existenz yon xl,..., x~ E Z mit 1
Xlft 1
+
. ..
+Xrft r
1. Offensidltlich ist
.
Diese Regel ist besonders nfitzlich. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches yon m l , . . . , m~ erhglt man mit Hilfe des ,,diagonalen" Homomorphismus (~ : Z 4
Ztl~l
X ...
X Z ......
~ I~
( X + f r ? d Z , . . . , X + fr?~rZ ) .
Offenbar ist Ker6
{m E Z : m E miZ, ...,m E re
m i Z A ... A m < Z ,
d.h. Ker 6 besteht aus allen gemeinsamen Vielfachen yon ml,..., m~. Nach I 1.8 gibt es ein bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmtes k E Z mit Ker 6 kZ. Also ist kgV (ml,...,m~) k als erzeugendes Element ffir k > 0 auch ein dem Betrag nach kleinstes gemeinsames Vielfaches.
3.8 TEILBARKEIT GANZER ZAHLEN
57
Als erzeugende Elemente der Untergruppen yon 7, sind ggT und kgV nur bis auf das Vorzeichen (d.h. bis auf Einheiten in 7,) bestimmt. Man kann sie eindeutig machen, indem man immer den nicht negativen Wert wShlt. Sind m, n, r E 7, m i t ggT (m, n)
Bemerkung
Beweis
a) Wir wShlen x, y E 7, mit 1
1~ so silt:
x m + yn. Also ist
Wegen rn I r n folgt rn I r. b) Da n] r ist r
x n mit x E 7,. Aus m] r folgt nach a), dass m] x; also folgt ran] r. []
Als Folgerung erhalten wir eine Aussage fiber die simultane LSsbarkeit yon Kongruenzen, der Tradition folgend bezeichnet als Chinesiseher Restesatz
Sind m, n E 7, teilerffemd, so gibt es zu beliebig vorgegebenen a, b E 7, stets ein x E 7, m i t
-a(mod.~)
und
x-b(mod~).
FAn x ~ E 7, ist genau dann eine weitere LSsung der beiden Kongruenzen; wenn
z = z ' (rnod ran). Beweis
Wit betraehten den ,,diagonaleif' HolnOlnorphislnus 6 : 7, ~ Z,~ x Z,~ , z ~ ( x + mT,,z + nT`).
Die LSsbarkeit der beiden Kongruenzen ffir beliebige a, b E 7, bedeutet, dass sutjektiv ist. Um das zu zeigen, wShlen wir nach der Relation von BgZOUT k, 1 E 7, mit 1 k m + ln. Ist x:
aln+bkm,
sofolgt x - a
a(ln-1)+bkm
mk(b-a)
EmT,
und analog x - b E nT,. Dass x und x ~ LSsungen sind, ist gleichbedeutend mit x - x' E Ker 6
roT,AnT,.
Es bleibt also roT, n nT, (ran)7, zu beweisen. Die Inklusion (ran)7, C roT, n nT, ist klar. Die umgekehrte Inklusion folgt aus Tell b) der obigen Bemerkung. [] Korollar
Fiir m, n E N \ {0} gilt
58
I GRUPPEN
Beweis W i t setzen d : g g T (rn, n) und k : wit nach I 3.1 einen M o n o m o r p h i s m u s
kgV (rn, n). D a Ker 5
k g , erhalten
5 : Z / k Z ~ Z,~ x Z,~ . Ist d
1, so ist nach dent Chinesischen Restesatz k
Ist u m g e k e h r t k
rn 9n.
rn 9n vorausgesetzt, so ist 5 wegen rn.n
ordZ~
o r d ( Z , ~ x X,~)
ein Isomorphismus. D a h e r gibt es ein z E g m i t a(.)
1
mit rn, n E Z; daraus folgt 1
also.
1 -.
rrn + sn und g g T (rn, n)
1.
[]
Den Fall von m e h r als zwei simultmmn Kongruenzen behandeln wir in allgemeinerent R a h m e n in II 2.11.
3.9
Produkte zyklischer Gruppen
Mit den in 1 3.8 bereitgestellten Hilfsmitteln zur Teilbarkeit ganzer Zalflen kSnnen wit nun einfach kl/iren, wann ein P r o d u k t yon zwei zyklischen G r u p p e n wieder zyklisch ist. Zun/ichst zeigen wir, dass der Fall eines unendlichen zyklischen Faktors trivial ist. Allgemeiner gilt die
Bemerkung
Ist C ~ {c} eine beliebige Gruppe, so ist C x g nicht zyklisch.
Beweis A n g e n o m m e n (a, n) E C x Z ist erzeugendes Element. Dram muss a c E C u n d n ~ 0 E Z sein. D a (a, 0) E C x Z, muss es ein k E Z geben m i t (a,O)
(a,n) ~
(a ~ , k n ) , a l s o
k
0 und a
a~
e,
im W i d e r s p r u c h zu a / ~ e.
[]
Fiir P r o d u k t e endlicher zyklischer G r u p p e n b e n u t z e n wir das Lemma Seien C und H beliebige Gruppen, a E C und b E H. Dann gilt fiir (a, b) E C x I t ord (a, b) kgV (ord a, ord b).
Beweis
Sind e E C u n d e' E H die neutralen Elemente, so gilt nach d e m L e m m a
aus I 2.4
(a,b) ~
(a~,b ~)
(e,e')e:>a ~
e und b~
e ' < = > ( o r d a ) l k und ( o r d b ) l k ,
d.h. k muss gemeinsmnes Vielfaches yon ord a u n d ord b sein, die O r d n u n g ist das kleinste. [] Zentrales Ergebnis dieses Abschnitts ist der
Seien C ~md H endliche Satz fiber Produkte endlicher zyklischer Gruppen zyMische Gruppen mit rn : ord C und n : ord H. D a n n gilt:
59
3.10 U N T E R G R U P P E N Z Y K L I S C H E R G R U P P E N
1) G x H ist zyklisch eee m und n teilerfr'emd. 2) Iat G x H zyklisch und (a, b) E G x H , so gilt:
G • H
Erz (< b) ~* G
Erz(~)
~d
H
Er~ (b).
Beweis 1) Ist G x H zyklisch, so gibt es a E G u n d b E H m i t G x H also ord (a, b) ord (G x H ) ran. Nach dem obigen L e m m a ist
mn also g g T (m, n)
ord(a,b)
kgV(m,n),
1 nach d e m Korollav aus I 3.8.
Ist g g T (m, n) 1, so wghle m a n a E G und b E H mit G Erz (b). D a n n ist
ord (< b) also G x H
Erz (a, b),
kgV(.~,,~)
g r z (a) und H
.~,~,
Erz (a, b) zyklisch.
2) ,,<= " wurde schon miter 1) bewiesen.
, , v " Ist x E G, so gibt es ein k E g mit (x, e')
(a, b) ~, also x
a ~.
[]
3.10 Untergruppen zyklischer Gruppen Zur weiteren Untersuchung der S t r u k t u r zyldischer G r u p p e n wollen wit alle Unterg r u p p e n b e s t i m m e n . In der unendlichen zyklischen G r u p p e Z ist jede U n t e r g r u p p e yon der Form m Z m i t m E Z (vgl. I 1.8). Es geniigt also, die endlichen zyklischen G r u p p e n Z,,~ Z / m Z zu betrachten. Entscheidend ist das folgende Ist G eine Gruppe und a E G yon der endlichen Ordnung m : Lemma so gilt fiir jedes n E Z
ord ( ~ ) Beweis D a a ~ E Erz (a) ist r : m rd zu zeigen. Dad
ord a,
ggT (m, n)
ord (a ~) _< m. Setzen wir d :
g g T (m, n), so ist
x m + y n m i t x, y E 77,, ist
~d
~(~+~>
( ~ T ~. ( ~ ) ~
nach d e m L e m m a aus I 2.4. Welter ist m rim' ran'; d a m i t folgt analog
~, also -~1 ~.d
din' u n d n
dn' m i t m ' , n' E N, also
60
I GRUPPEN
Korollar
I s t C er'zeugt von a und ord a
C
rn, so gilt fiir alle rt E Z
Erz (a') ~=~ggT (rn, n)
1.
I s t insbesondere rn eine Primzahl~ so wird C yon j e d e m E l e m e n t b E C m i t b ~ e erzengt. []
Nach dem Satz yon LAGP~ANGE (I 2.4) teilt die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe. Umgekehrt gibt es im allgemeinen zu einem Teller der Gruppenordnung keine entsprechende Untergruppe (Beispiel 1 in I 6.13). Fiir zyklische Gruppen ist die Situation besonders einfach. ZunSchst eine Bemerkung Beweis
Jede U'nter'gruppe e i n e r zyklischen Gruppe ist zyMisch.
Ist H < C
Erz (a), so betrachten wir den Epimorphismus ~F " Z ---~ C , k ~-+ a ~ .
Es gibt ein n E N mit p I(H)
p(nZ). Also ist H
nZ < 77, und H
Erz(a'). []
Nun folgt das zentrale Ergebnis Satz
I s t G eine endliche zyklische Grnppe der Ordnnng rrb so gibt es zn j e d e m Teller k >_ 1 yon rn genan eine Untergrnppe H < G der Ordnnng k.
G e n a u e r gilt: I~t G
Erz (a) und rn
B e w e i s Wit definieren H : nach obigem Lemma
Erz (a'). D a r n ordH
Erz (a').
k n , so ist H
k n , folgt ggT (rn, n)
ord(a')
n, also ist
k
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wit H / < C mit ord H / k. Nach obiger Bemerkung ist H ' zyklisch, also H ' Erz (a l) fiir ein 1 E N. Ist d : ggT (rn, 1), so ist nach obigem Lemma ordH'
ord(d)
7Y~
d
]~ft
d '
also ordH' Da ord H '
3.11
Die
k
ke=~d
rt~rt II~H'
ord H vorausgesetzt war, muss H '
Eulersche
H sein.
~-Funktion
Besonders in der Kreisteilungstheorie benStigt man eine yon EULER untersuchte Funktion, die eng mit der Struktur zyklischer Gruppen zusammenhs Die p-Funktion ~ : 1~ \ {0} --~ N
3.11 DIE EULERSCHE p-FUNKTION ist erklgrt dutch p(n) : d.h. ggT (m, n) 1.
61
Anzahl der m E N mit 0 < m < n und m, n teilerfremd,
Man beachte dabei, dass fiir Mle n E N
ggT (0, denn0Z+nZ
mid ggT(1,
nZundZ+nZ
1,
Z. Also ist ggT (0,1)
lundp(1)
1.
Der Zusammenhang mit zyklischen Gruppen ergibt sich nach dem Korolloz aus I 3.10:
~(n) ist gleich der Anzahl der er'zeugenden Elernente von Z,~ . Daraus folgt die grundlegende Produktregel
p ( m . n)
p(m) 9p ( n ) , falls ggT (re, n)
1.
Beweis Nach dem Satz aus 1 3.9 gibt es einen Isomorphismus
beide Gruppen haben also gleich viele Erzeugende. In Z ..... ist die Anzahl gleich p ( m n ) , in Z,, x Z,, gleich p(m) 9 p(n), da das direkte Produkt yon Paaren yon Erzeugenden erzeugt wird. [] Mit Hilfe dieser Produktregel kann man nun Mcht eine Formel fiir die Berechnung yon p(n) aus der Primfaktorzerlegung yon n (vgl. II 3.4) herMten. Berechnungsformeln
a) Fiir eine Primzahl p gilt
p-1. b) Ist p eine Primzahl und k E N \ {0}, so ist ~(pk) c) I~t n
Pl
pk l(p__ 1) .
kl 99999 P~k~- r n i t p a a r ' w e i s e (t9(?%)
-'/{1 1
1J1
"..."
ver'schiedenen
Pr'imzahlen,
]9~" 1(~ 1 -- 1) . . . . . (Pr
Beweis a) Ist 0 _< m < p, so gilt ggT (re,p)
1 r
m
__
so ist
1).
1, 2 , . . . ,p - 1.
b) Die einzigen Teller yon p~ sind 0,1 und pl f/Jr 1 < 1 < k. Also kami auch ggT (rn, p ~) nur diese Werte amiehmen. Es tblgt ggT(m,p~)/~le:~m
O,p, 2p,...,(p~
l_l).p,p~
1.p
p~.
F/Jr die teilerfremden Zahlen m verbleiben a/so die P1/itze in den p~ 1 Lficken yon jeweils p - 1 Zahlen.
c) folgt aus b) nach der obigen Produktregel.
[]
62
I GRUPPEN
F/ir eine sp/itere Anwendung in der K6rpertheorie beweisen wit noch die E u l e r s c h e Identit~it
Fiir n E N \ {0} gilt
db
wobei d alle positiven Teller yon n durcMiiuft. Beweis
Fiir 1 < d < n betr~chten wit die Menge Md(Z,~):
{aEZ.,~:orda
d}cZ,~.
Offensichtlich ist Md(Z.,~) r 0 genau dann, wenn d I n und man hat eine disjunkte Zerlegung
z,,
U
(,)
dD-~
Nach dem Satz aus I 3.10 gibt es zu jedem Teiler d yon n genau eine zyklische Untergruppe H C Z,~ mit ord H d, ihre Erzeugenden sind genau die Elemente von Md(Z,~). Also enthglt Md(Z,~) genau ~(d) Elemente, falls d I n. Somit tblgt die Eulersehe Identit/~t aus (.). Ist etwa rt
6, so ist
d
1
2
3
6
p(d)
1
1
2
2
3.12 Primrestklassengruppen Die Eulersche ~-Funktion ist auch wichtig yon einem etwas anderen Standpunkt. Wie wir schon in I 1.8 bemerkt hatten, hat man in der beziiglich der Addition zyklischen Gruppe Z,~ Z / r n Z mit rn _> 1 durch
(k +
(1 +
k. 1+
auch eine Multiplikation erld/irt; dadurch wird (Z~, .) zu einer kommutativen Halbgruppe mit neutralem Element 1 + rnZ. Sie ist keine Gruppe, da das Nullelement 0 + rnZ beziiglich der Addition kein Inverses beziiglich der Multiplikation besitzt. Z,~ enths jedoch eine multiplikative Gruppe: Lemma
Fiir rn > 1 ist Zs
{k+mZEZ~'k~mZ
und ggT(k,m)
I}cZ.~
mit der M,~ltiplikation als Verkniipfung eine abelsche Gruppe der Ordnung ~(rn).
3.12 PRIMRESTKLASSENGRUPPEN
63
Man nennt Z ~ die P r i m r e s t k l a s s e n g r u p p e modulo m. Beweis
Zungchst ist zu zeigen, dass Z ~ mukiplikativ abgeschlossen ist. Ist ggT (k, .~)
1 und ggT (1, .~)
1,
so gibt es wegen der Relation yon Bt~ZOUT x, x', y, y' 6 77. mit xk + x'm
1 und yl + y'm
Daher ist ggT (kl, m) gung (k+mZ)(x+mZ)
1, also (xy)kl + (xky' + x'yl + x ' y ' m ) m
1.
1. Ffir ein Inverses yon k + m Z 6 Z ~ hat man die Bedinl+mZ,
d.h. e s g i b t e i n y677, mit x k + y m
Wieder nach BI~ZOUT folgt die Existenz des Inversen.
1. []
Die Gruppe Z~ kann man auch etwas anders beschreiben. Nach dem Korolla~" aus 1 3.10 besteht Z~x~ aus allen erzeugenden Elementen der additiven Gruppe Z.~. Die Automorphismen ~ 6 Z . ~ ~ Z,~ entsprechen den erzeugenden Elementen als Bilder yon 1 + mZ. Daraus ergibt sich der Satz
Fiir m >_ 1 ist die Abbildung Aut (Z.~) --~ Z ~ , ~6 ~-~ ~6(1 + rnZ),
ein Iaomorphismus von abelschen Gruppen. Beweis Die Bijektivit~t ist schon gezeigt. Die Abbildung ist auch ein Homomorphismus, denn ist ~Pl(l+mZ)
KoroUar
k+mZ
und
~P2(l+mZ)
l+mZ,
sofolgt
Fiir teilerffemde m, n >_ 1 hat man Isomorphismen Aut (Z,,~} - Aut (Z,~} • Aut (Z,~} - Z ~ • Z,~ ~ Z~L~ .
I,nsbesondere ist o r d A u t (Z ..... )
~(m) 9~(n).
[]
Aus der in I 1.5 ffir jede endliche abelsche Gruppe G bewiesenen Aussage aord G
r
fiir alle a 6 G, angewandt auf Z~, folgt sofort Ms Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes der
I GRUPPEN
64 S a t z v o n FERMAT-EULER
Fiir m ~ N mitm
> 2 und k ~ ~mit
ggT (k, m)
1
gilt
[]
k ~(~) -- 1 (rnod m) . Ist etwa m
16 und k
7, so ist p(m) 78
5 764 801
8 und 360 300 916 + 1.
3.13 Der euklidische A l g o r i t h m u s Zur Berechnung des grSfften gemeinsamen Tellers d yon zwei Zahlen m, n E N \ {0} und yon x, y E Z mit d x m + y n gibt es den e u k l i d i s c h e n Algorithmus, der ohne die Primfaktorzerlegung yon m und n auskommt (vgl. [Eu, 7. Buch w in der Ubersetzung steht gemeinsames ,,MaJg"). Wir verwenden die Rechenregel ggT (m, n)
ggT (m, n + kin)
fiir alle k E Z .
Dazu hat man nach der Definition des ggT zu zeigen, dass mZ+nZ
mZ+(n+km)Z.
Die Inklusion ,,D" folgt aus n + km n
E m E + hE, die Inklusion ,,C" aus
(n+km)-km.
[]
Zur Beschreibung des Algorithmus nehmen wir 0 < m < n an, und wir setzen no : n, nl : m. Nun wird wiederholt mit Rest dividiert (vgl. I 1.8): ~0
ql~tl + ~t2~
0 ~ ~2 ~ ~i~
~tl
q2~t2 + ~t3~
0 ~ ~3 ~ ~2~
nk
2
7tk 1
qk 17tk 1 ~ 7tk~
0 ~ ~k ~ ~k
qkTtk ~ 7tk+l~
0
~k~l
i~
~ ~k~
ggT (n~ 2, n~ 1) ggT (n~ 1, n~)
Da die Folge der Reste ni E N streng monoton k _> 1 mit nk+l 0.
ggT (n~ 1, n~) ggT (n~, 0)
abnimmt, gibt es in der Tat ein
Die Regeln fiir den ggT in der letzten Spalte folgen aus n i + l ni 1 - qini, also ist n~ ggT (n~, 0) ggT (no, nl) ggT (m, n) . Zur Berechnung einer Darstellung ggT(m,n)
xm+yn
mit x, y E Z
3.14 B E I S P I E L E
setzt
65
rekursiv ein:
man
rt/{
rt/{ 2 -
qk
lrt/{ 1
q~ lrt~ a + ( l + q ~
2q~
1)rt~
2
ftk
1
ftk
3 -- qk
2ftk
2
~tk
2
~tk
4 -- qk
3ftk
3
(...)7%1 + (...)7%2
ft2
ft0 -- qlftl
y 9 no + a: 9 nl
Die Koeffizienten m u n d y sind also aus ql, . . . , q~ 1 berechenbai". U m ein Beispiel mit vorhersehbai"em Ergebnis zu erhalten, benutzen wir die Primzahlen 17, 257 und 65537; und wir setzen no
17.65537
1114129, nl
17.257
4396
Die Rechnung kann m a n nacti folgendem Schema durchfiihren: r~o
"r~l
ql
+~
1114129 - 1 114095
-qlnl
nl
"rt2
q2
+~
4369 - 4 352 34: 17
-q2n2
n2 :n3
q3
Also ist n3
17
"4369
"34
128
2
+0
255
+...
+...
ggT (1 114 129, 4 369).
Schlieglich erhglt man 17 3.14
-128n0 + (1 + 128 9255)nl
-128n0 + 32 641nl .
Beispiele
1 Ob ein P r o d u k t Z,~ x Z,~ yon zyklischen G r u p p e n wieder zyklisch ist, hSx~gt davon ab, ob die diagonale Abbildung
Beisplel
Z~ZxZ,z~(z,z) eine surjektive Abbildung 6 : g ~ Z,~ x Z,~ induziert (vgl. I 3.8). Das kann m a n geometrisch beschreiben, indem m a n die Bildpunkte der Diagonalen in g x g mit Rest durch rn und n teilt. Wir betrachten zwei besonders einfache Fglle:
m =n =2,
m~,
n=3.
66
I GRUPPEN
hn ersten Fall rn n 2 treten nur die 2 Paare yon Resten (0, 0) und (i, i) auf, im zweiten Fall rn 2, n 3 alle 6 Paare yon Resten (a, b) mita 0, i uncl b 0, i, 2. Im Allgemeinen ist nach I 3.8 der Index yon 5(?7,) < Z,~ x Z,~ gleieh ggT (m, n).
Beispiel 2 Sind C1, C2 beliebige Gruppen mit Untergruppen H1 < C1, //2 < C2, so gibt es im direkten Produkt C1 x C2 die ,,trivialen" Untergruppen H1 x H2 <
G1 X G 2 .
Ob es weitere Untergruppen gibt, hgugt gaa~z yon C1 und C2 ab. Wir betrachten den Spezialfall der zyklischen Gruppen C1 Z,~ und C2 Z2. Fine Untergruppe H < Z,~ x Z2 ist offensichtlich genau daam yon der trivialen Form H H1 x Z2, wenn (0, 1) E H. Ffir ein n E Z,~ betrachten wir H : Erz(n, i) < Z,~ x Z2 .
(*)
Ist orcl n ungeracle, so ist orcl H orcl (n, i) 2 9 orcl n uncl (0, l) E H, also H trivial. Ist rn ungeracle, so tritt nur clieser Fall auf. Ist orcl n geracle, so ist orcl H rn 6 uncl n 3, so ist orcl n H
orcl n uncl (0, i) ~ H, also H nicht trivial. Ist etwa 2 uncl {(3, i), (6, 0)
(r 0)}.
Wir zeigen nun, class jecle nieht triviale Untergruppe H < Z,~ x Z~ yon cler Form (.) mit geraclem orcl nist. Dazu betrachten wir die Projektion
H/
{n E Z ~ 9 (n,c) E H ffir ein c E Z2} < Z ....
Nach I 3.10 ist H ' zyklisch, es gibt also ein d E N mit 0 _< d _< rn - 1 mit H' Erz (d). Nach Definition gilt d I n ffir jedes (n, e) E H. Ist H nicht trivial, so gibt es ein (n, i) E H mit n r 0. Angenommen, (d, 0) E H: Dram gibt es ein k E N mit (n, 1) + k(d, 0) (0, 1) E H. Also ist (d, 1) E H, und ord d muss, wie oben gezeigt, gerade sein. Das beweist H Erz (d, 1). Iusgesmnt ist dmnit gezeigt, dass es so vide nicht triviale Untergruppen yon Z,~ x Z2 wie gerade Teller yon rn gibt. F fir ungerades rn sind also alle Untergruppen trivial. Zum Beispiel hat rn in Z12 x Z2
12 die 6 Teller 1,2,3,4,6,12, davon 4 gerade. Dalmr gibt es 6 92 + 4
16 Untergruppen,
davon 12 trivial. Allgemeiner ka~m man versuchen, alle Untergruppen yon Z,~ x Z,~ zu bestimmen. Sind rn und n teilerfremd, so ist das Ergebnis nach den Sgtzen aus I a.9 und 10 Mar: Zu jedem Teller yon rn. n gibt es genau eine Untergruppe. Dagegen hat etwa Z6 x Z6 insgesamt 30 verschiedene Untergruppen, davon 16 trivial. Die Einzelheiten seien dem Leser fiberlassen; als Anleitung kann das folgende Bild dienen (die Zahl fiber der Spalte gibt die Ordnung aal).
3.14 BEISPIELE
1
2
3
4
6
g
12
_NN
67
18
36
L
L
L
L
L
F.Q.pinxit
B e i s p i e l 3 Bei einer viert/fgigen Tag~ng mit 9 Teilnehmern gibt es zum Abendessen drei Tische mit je drei P1/ftzen. Es soll eine Folge yon Sitzordnungen gefunden werden, bei der jeder Teilnehmer mit jedem anderen Teilnehmer an genau einem Abend am gleichen Tisch sitzt. Der Tagungsleiter will immer am gleichen Tisch sitzen. Die Zahlen sind so gewghlt, (lass tblgende Methode eine LSsung ergibt. Wit betrachten die Gruppe
c:
Z3xZ3
{(tJ):i,J~{0,1,2}}.
Jedes yon (0, 0) verschiedene Element a E G hat die Ordnung 3, erzeugt also eine Untergruppe H : Erz(a) < G mit o r d H 3.
68
I GRUPPEN
Zwei versehiedene Untergruppen der Ordnung 3 yon C haben nut (0, 0) gemeinsam, also gibt es genau 9-1 4 3-1 verschiedene Untergruppen der Ordnung 3. Sie sehen zusammen mit ihren Nebenklassen so aus:
•
:•
•
o
: .
o
o
o
.
.
.
.
.....
.
.
.
x : o iiiiiiiiiii!i::
x .
o'
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x'
}i::iiiiiiiiiiiii~iiiiiiiiiiiiiii~iiiiiiiiiiiii~] iiiiiiiiiiiiii~o •
.
.
.
o .
.
'~iiiiiiiiiiii~' x '
.
,iiiiiiiiiiii~,• .
~• o
'?iiiiiiiiiiii' x ' o '
iiiiiiiiiiiiii x
liiiiiiiiiiiiiii~ o
Zu zwei verschiedenen Elementen a, b E C gibt es genau eine Untergruppe H < C, ngmlich H: Erz(b-a) mit a + H b+H, d.h. a und b liegen in derselben Nebenklasse. Damit kann man die Sitzordnungen festlegen. Jedem Teilnehmer wird ein Gruppenelement zugeordnet, dem Tagungsleiter das neutrale Element (0, 0), und zu jedem Tag geh6rt eine Untergruppe. Die Untergruppe sitzt am Tiseh des Tagungsleiters, die zugeh6rigen Nebenklassen aa den beiden aaderen Tisehen. Ffir grSgere und lgngere Tagungen kann man andere Zahlenkombinationen finden: Ist p eine Primzalfl, so kann man ffir p2 Teilnehmer, p + 1 Tage und p Tisehe mit jeweils p P1/itzen eine entsprechende Sitzordnung konstruieren. Das sei dem Leser zur l~bung empfohlen. Man benutze dabei
/-1
(p + l ) (p - 1 )
.
Beispiel 4 Mit den nun zur Verffigung stehenden Hilfsmitteln fiber zyklische Gruppen k ~ m man ganz einfaeh alle Gruppen der Ordnung _< 5 klassifizieren. Ist ord C eine der Primzalflen p
2, 3, 5, so ist C zykliseh, also C ~ Zp (I 3.7).
Es b M b t der Fall ord C 4. Ist C yon einem Element erzeugt, so ist C zyklisch, also C ~ Z4. Andernfalls ist C Erz (a, b) {e, a, b, c ab} die zu Z2 x Z2 isomorphe Kleinsehe Vierergruppe. Von der Ordnung 6 gibt es die Gruppen Z6 und 83. 83 ist also die kleinste nicht abelsche Gruppe. Von der Ordnung 7 gibt es nur die zyklisehe Gruppe ZT.
69
3.14 BEISPIELE
Von der Ordnung 8 gibt es die Gruppen Zs, Z4xZ2,
Z2xZ2xZ2,
D4 und Q ,
wobei Q die Quaternionengruppe aus Beispiel 4 in I 1.9 bezeichnet. Mit etwas mehr theoretischem Werkzeug kmm man zeigen, dass es bis auf Isomorphie keine weiteren Gruppen der Ordnung 6 und 8 gibt. (Beispiele 1 und 3 in I 6.13). Beispiel 5 Sind in einer beliebigen Gruppe G zwei Elemente a, b vertauschbar (d.h. ab ba), so gilt: ord (ab)
ord a . ord b e* ord a und ord b teilerfremd .
Zum Beweis betrachte man die zyklischen Untergruppen GI: Wirsetzenm:
orda
Erz(a)
und
ordGl, n:
ordb
G2:
Erz(b)
ordG2undr:
Haben m u n d n einen gemeinsamen Teiler d > 1, so ist m rn', n' E N und es folgt .~dra'n'
m
n'
.
r
also
ord(ab). din' und n
dn' mit
r < ~
Ist ggT (m, n) 1, so behaupten wir, dass G1G2 < G zyklisch yon der Ordnung m n und yon ab erzeugt ist. Da
G1AG2cGi
fiir i
1,2, gilt ord(G1AG2)lordGi,
also ist G1 A G2 {e}. Daher ist das Produkt G1G2 direkt (I 3.3) und die Behauptung folgt aus dem Satz in I 3.9.
70
I GRUPPEN
w40perationen 4.1
von Gruppen
auf Mengen
Definition einer Operation
Die symmetrische Gruppe S(M) aller bijektiven Abbildungen einer Menge M auf sich ,operiert" ~uf M. Es kSnnen aber ~uch Elemente einer ancleren Gruppe G solche Abbildungen yon M ergeben. D e f i n i t i o n Eine Operation einer Gruppe G ~uf einer nicht leeren Menge M i s t eine Abbilclung
~:Gx ~ ~ mit r~.b(x)
r~(rb(x)) und re(x)
(~)~(~)~
x f{ir alle a, b E G und x E M.
Anstelle yon r~ (x) schreibt man lneist a(x), clann lautet die obige Vertr/iglichkeitsregel
(~)(.)
~(~(.))
uncl
e(.)
x.
Den Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe zeigt die Bemerkung
Sei G eine Gruppr und M einr nicht leere Menge.
a) Ist T eine Operation von G auf M, so ist fiir jedes a E G die Abbildung
bijektiv und die Abbildung
ist ein Gruppenhomomorphismus. b) Umgekehrt ist fiir jeden Gr,tppenhomomorphismus
die Abbildung eine Operation. Die einzige kleine Schwierigkeit im Beweis besteht darin zu zeigen, dass die Abbilclung T~ auf M bijektiv ist. Dazu benutzt man, class % 1 eine Umkehrabbildung ist, in Zeichen
(~) 1
Dazu ist nachzuprfifen, dass T~ o T~ 1
fiir alle a E G und alle x E M.
~
iclM
1
T~ 10 T~. Das folgt aber soibrt aus
[]
4.2 BEISPIELE UND S A T Z VON CAYLEY
Es ist klan', dass die Bedingung Tc und G beliebig, so ist durch T~(x) yon G auf M erklgrt. Eine Operation yon G auf M
71
idM nicht iibeI41fissig ist. Ist etwa M {0, i} 0 ffir alle a E G und x E M keine Operation
kann man also auch als Homomorphismus
erkls D a n n ist T(G) < S ( M ) , aber ~- muss nicht injektiv sein. Man nennt die Operation e f f e k t i v , wenn ~- injektiv ist. Nach dem Ersten Isomorphiesatz (I 3.1) kann m a n jedes ~- effektiv niachen durch U b e r g a n g zu ~- : G / K e r T --~ S ( M ) . Schlie~lich nennt mm~ eine Operation yon G auf M t r a n s i t i v , ein a E G gibt mit und e i n f a c h
4.2
transitiv,
wenn es zu x, y E M
wenn a E G zu x, y E M eindeutig b e s t i m m t ist.
B e i s p i e l e u n d S a t z y o n CAYLEY
Interessante geometrische Beispiele ffir G r u p p e n o p e r a t i o n e n werden wir in w5 be-
schreiben. Zun~ichst einige elementare Situationen:
Beispiel I Ist K ein KDrper, so ist durch jede invertierbare Matrix A E GL(n; K) eine bijektive Abbildung erkl~bt. In dieser Weise operiert GL (n;/() auf/(~; die Operation ist nicht transitiv, da der Nullpunkt stets lest bleibt.
Beispiel
2
Eine G r u p p e G operiert in verschiedener Weise auf sich selbst G x G --~ G ,
(a, x) ~-* a 9x , Linkst,ranslation ,
G x G ---+ G , (a, x) ~
axa
1 , Konjugation,
mid falls G abelsch ist (Beispiel 7 aus I 2.2) G x G ~
G,
(a, x) ~ x 9 a , R e c h t s t r u n s l a t i o n .
Die Translationen sind effektiv und einfach transitiv, die Konjugation G ~ {r nicht transitiv. Da abstrakte Gruppen erst spSter als Permutationsgruppen ist folgendes Ergebnis aus historischer Sicht erw~hnenswert.
ist ffir
untersucht wurden,
S a t z y o n CAYLEY Jede G r u p p e ist i s o m o r p h zu e i n e r Untergruppe e i n e r s y m m e t r i s c h e n Gruppe.
"/2
Beweis
I GRUPPEN
G w51flen; dram ist die Abbildung
M a n ka~m M
r : G --* g(G) , a ~-~ l~ ,
injektiv, also G ~ r ( G ) < 8(G).
[]
Dieses Ergebnis kann man auch so sehen: Die kompliziertest mSglichen Situationen der Gruppentheorie kSnnen innerhalb der symmetrischen Gruppen auftreten.
4.3
B a h n e n r a u m und S t a n d g r u p p e
Ist die Operation einer Gruppe auf einer Menge transitiv, so kann jeder Punkt in jeden ox~deren trox~sportiert werden. Im Allgemeinen geht das nicht. Operiert G auf M und ist x E M, so heiflt C(x):
{a(x) ~ M : a ~ G } c
die B a h n yon x. Aus der Definition einer Operation folgt, dass G(x) durch x ~ y: G
G ( y ) ffir y E G(x), und dass
yE G(x)
eine J~quivalenzrelation auf M erklSzt wird. Die Menge M /
~
G
heifit B a h n e n -
T~2?tm.
Ist N C M, so heiflt
staG(x):
x}cc
die Standgruppe (oder I s o t r o p i e g r u p p e , oder S t a b i l i s a t o r ) yon N beziiglich der Operation yon G auf M. Es ist StaG(N) < G, denn fiir a, b E StaG(N) ist
1)(x)
l(x))
x.
Da eine Menge unter der Operation einer Gruppe in disjunkte Bahnen zerlegt wird, hat man eine gute MSglichkeit zur Abz~hlung der Elemente. Bahn-Lemma
Beweis
Operiert G a u f M und ist x E M , so gilt
ord G
(ord G ( x ) ) . (ord StaG(x)), d.h.
ord G ( x )
ind (G" StaG(x))
Wir setzen H :
Stac(x) und zeigen, dass es eine bijektive Abbildung
4.4 DIE KLASSENGLEICHUNG
73
gibt. Dram fblgt die Behauptung aus deln Satz yon LAGRANGE (I 2.4). Ffir a,b E G i s t a(.)
b(.) ~:} (a l b ) ( . )
. ~:} a lb E H ~ a H
bH,
also ist # wohldefiniert und injektiv. Offensichdich ist # auch surjektiv.
[]
Unter einem V e r t r e t e r s y s t e m der Balmen versteht man eine Teilmenge V C M, die aus jeder Balm genau ein Element enth~ilt. Durch Addition der im Balm-Lemma berechneten Ordnungen der Balmen erhSlt man unmittelbar die B a h n e n g l e i c h u n g Operiert die Gruppe G auf der endlichen Menge M und ist V C M ein Vertretersystem der Balmen, so gilt ordM
E
ordG(x)
E
xCV
4.4
ind (G 9 S t a c ( x ) ) .
xCV
Die Klassengleichung
Die elementare Balmengleichung hat wichtige Konsequenzen, wenn man spezielle 0perationen einer Gruppe G betrachtet. Fiir a E G hat man die Konjugation t% " G ---+G~ x ~ a x a
sie heit~t auch ein i n n e r e r Operation
1
yon G. Daraus ergibt sich die
Automorphismus
yon G a u f sich selbst. Die Stm~dgruppe eines Elements x E G, Zenc(x) :
Stac(x)
wird auch Z e n t r a l i s a t o r Z(G) :
heigt Z e n t ~ u m auf G.
{a E G " a x a
1
x,
d.h. a x
xa}
yon x in G genannt. Die Menge {a E G " a x
x a ffiralle x E G }
yon G, seine Elemente operieren bei der Konjugation trivial
Ohne jede Miihe beweist man die Bemerkung
I s t G eine Gruppe und x E G, so gilt:
a) Z ( G ) < Zenc(x) < G sind Unteryruppen. b) Z ( G ) ist abelsch und Z ( G ) < G i s t Normalteiler. c) G / Z ( G )
ist isomorph z u r Gruppe der inneren A u t o m o r p h i s m e n yon G.
[]
74
I GRUPPEN
Nun betrachten wie in C die Bahnen C(x) bei der Konjugation. C(x) {x} ist gleiehbedeutend mit x E Z(C), die Elemente des Zentrulns sind also die einelementigen Balinen. Ist :c ~ Z(C), so ist Zenc(x) r C, also ist ordC(x)
i n d ( C 9 Zenc(x)) > 1
und ein Teller yon ord C. Aus der allgemeinen Balmgleichung ergibt sich unmittelbar die
Ist C eine endliche Gruppe, und sind x l , . . . , :ca Vertr'eter der mehrelementigen Bahnen bei der Konjugation, so gilt
Klassengleichung
a
ordC
ordZ(C)+~ind(C"
Zenc(xi)) .
i=1
Diese Gleichung ist ein entscheidendes Werkzeug beim Beweis yon Sgtzen fiber die Struktur endlieher Gruppen in w 6. Hier nur ein kleiner Vorgesehmaek: Korollar
Ist p eine Primzahl und C eine Gruppe mit ord C
p2, so ist C
abelsch. Wir benutzen den folgenden Hilfssatz
Ist C / Z ( C ) zyklisch, so ist C abelsch, also Z(C)
C.
Z(C) und wghlen ein erzeugendes Element Beweis des Hilfssatzes Wir setzen Z x Z yon G/Z, wobei x E C. Zu a, b E C gibt es dann k, 1 E Z und z, w E Z 1nit aZ
:caZ, bZ
:clZ
und
a
:caz, b
:clw.
Daraus folgt ab
xazxlw
xa+lzw
xa+lwz
xlwxaz
ba .
Beweis des Korollars Ffir ord Z(C) komlnen die Werte 1, p und p2 in Frage; es genfigt, die F/ille 1 und p auszusehliegen. In den Terlnen der Klassengleiehung teilt p die Indizes und ord C, also ist p Teller yon ord Z(C). Dalier verbMben nur die FNle p und p2. Aus ordZ(C)
p
folgt
ordC/Z(C)
p,
also ist C / Z ( C ) zyklisch und C abelsch; das ist ein Widerspruch zur Annahme
z ( c ) r c.
[]
4.5 ZYKLENZERLEGUNG EINER PERMUTATION
4.5
Zyklenzerlegung
75
einer Permutation
Wit wenden nun die in I 4.3 erhaltene Zerlegung einer Menge in Ballnen auf eine Permutation ~ E S~ an. Damit wird die ,,Struktur" yon ~ klarer erkennbar und man kann dmul einfacher mit Permutationen rechnen. Zun/ichst erklSzen wir besonders einfache Permutationen. Ist M eine beliebige nicht leere Menge, so heigt ein { E 8(M) ein Z y k l u s der L~nge m (oder m - Z y k l u s ) , wenn es paarweise verschiedene x l , . . . , x ~ E X gibt, so dass {(xi) {(z)
fiir
xi+i
z
i
1,...,m-i,
fiir alle
Man schreibt dafiir { :
{(x~r~)
xl und
z E X \ {zl,...,z~r~}.
( x l , . . . , x ~ ) . Man beachte, dass
(-1,*~,...,*~)
(*~,*~,...,*~,-1)
(~1,~,...,~)
1
...
(~,~
Ein 1-Zyklus ist die Identit/it; ein 2-Zyklus r vertauseht Xl und x2.
( * ~ , - 1 , . . . , * ~ 1), 1,...,~1) .
(xl, xs) ist eine Transposition, er
Bemerkung
a) Sind { ( x l , . . . , x ~ ) und q ( y l , . . . , y~) elementfremde Z y k l e n (d.h. { z l , . . . , z ~ } n { y l , . . . , > ~ } 0), so ist
{orj
rjo{,
die Zyklen sind also vertauschbar. b) Jeder m-Zyklus ist Produkt yon m - 1 Transpositionen.
c) sign(~:l,...,~:.~)
(-1p
d) ord ( z l , . . . , Zm)
m
1
(vgl. I 2.4).
Beweis a) ist Mar, da die beiden Zyklen unabhgngig voneinmider wirken. b) f o l g t a u s ( x l , . . . , x , ~ ) ( x l , x , ~ ) o ( x l , x,~ 1) o . . . o ( x l , x s ) . c) folgt aus b) und sign (xl, acO) - 1 . (Bemerkung in Beispiel 6 aus I 2.2) d) Ist { ( x l , . . . , x ~ ) , so gilt offenbar {~ id, also o r d { _< m. Andererseits ist fiir k < m %
2;'k+ 1 7 / 22 1 .
Die Bedeutung der Zyklen wird klarer durch den S a t z f i b e r die Z y k l e n z e r l e g u n g e l n e r P e r m u t a t i o n F i i r n >_ 2 ist jedes cr E g~ Prvdukt elernentfi'ernder ZyMen und die Faktor'en sind his auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Beweis
Wir betra~hten die Gruppe G:
Erzcr
{or< 9 r" E Z} < S~
76
I GRUPPEN
und ihre Operation auf M gung
{ 1 , . . . , n}. Nach 1 4.3 hat man eine disjunkte Zerle-
AJ
(~(il) U . . . U (~(im)
in m _< n Balmen, wobei ij E G(ij) flit" j 1 , . . . , m ein beliebiger Repr/isentmlt ist. Ist G(i) eine dieser endlichen Balmen, so gibt es dazu r, k E N \ {0} mit
~'(i)
~'+~(i), also i
~(i).
Ist k minimal gewghlt, so folgt
G(i)
{i,o-(i),...,0 -k 1 ( i ) } , ord(~(i)
~.
Zu dieser Balm geh6rt der k-Zyldus
(i,o_(i),...,o_k
1(i)) .
hlsgesamt erhglt man elementfremde Zyklen ~1, . . . , ~rn der LSxlgen hi + ... + Gr~ n und es ist nach Konstruktion
(:r
kl, 9 .., km
mit
{IO...O{~T~ .
Hat man umgekehrt eine solche Darstellung, so muss sie zu den Bahnen passen; dazaus tblgt die Eindeutigkeit. [] Korollar
Ist n >_ 3, so gilt:
a) Jede Permutation cr E G~ ist Prvdukt von Tr'anspositionen. b) Jede Permutation cr E A , ist P w d u k t yon 3-Zyklen. Beweis a) Nach dem Satz ist cr Produkt von Zyklen, nach der Bemerkung ist jeder Zyklus Produkt yon Transpositionen. b) Wegen signG +1 und s i g h t --1 fLir jede Transposition T, ist ~ Produkt einer geraden Zalfl yon Transpositionen. Also genLigt es jedes Produkt yon zwei Transpositionen als Produkt yon 3-Zyklen darzustellen. Hierbei muss man unterscheiden, ob die beiden Transpositionen elementfremd sind oder nicht: Sind i, j, k, 1 paarweise verschieden, so folgt
(k, 1) o (i,j)
(i, 1, k) o (i,j,k),
(i, k) o (i, j)
(i, j, k)
Besonders nLitzlich fLir den Umgang mit Permutationen sind die folgenden R e c h e n r e g e l n Ist kl, . . . , k ~ so gilt
a) sig]~]-O-
G
(__1)~1 1 . . . . .
~1 0 . . . 0 ~
(__l)k.~ 1
E 8 , mit elementfremden Zyklen der Liingen
4.6 BEISPIELE
77
b) o r d a k g V ( k l , . . . , k ~ , ) Beweis Regel a) gilt, da das Signum multiplikativ ist. Zum Beweis yon b) setzen wit k : orda. Da die & vertauschbar sind, iblgt klkgV ( h i , . . . , k~,) aus der Bemerkung in I 2.4. Aus a~ id iblgt in diesem Fall auch ~,~ id fiir alle i, da die Faktoren elementffemde Zylden sin& Das ergibt kilk und kgV (hi, ..., k~,)l k. [] Vorsicht! (~ber die Ordnung eines Produktes yon nicht elementfremden Zyklen kaan man keine brauchbare Vorhersage machen (Beispiel 3 in 1 4.6).
4.6
Beispiele
Wir geben einige Beispiele fiir das Rechnen mit Zyklen.
Beispiel 1
Sei (7
D a m ist ~
fl 9
2
3
4
4
8
10
5
6
7
1 2
7
8 3
9 5
10 ~ E g l o . 6 /
(1, 9, 5)(2, 4, 10, 6)(3, 8)(7), also sign ~r ord ~
(+i)(-i)(-i)(+i) kgV (3, 4, 2, 1)
und
+i
12.
Beispiel 2
Die Potenz eines Zyklus muss kein Zyklus sein, zerf~llt aber in ein Produkt yon Zyklen gleicher L~nge. Es ist etwa fiir ~ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
~2 ~3 ~4 ~5
(1,3,5)(2,4,6) (1,4)(2,5)(3,6) (1,5,3)(2,6,4) (1,6,5,4,3,2)
~6
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
id.
Allgemein zerf~llt fiireinen m-Zyklus ~ die Potenz ~ in ein Produkt yon ggT (m, n) elementfremden Zyklen gleicher LSnge m/ggT (m, n). Der Beweis davon mit Hilfe des Lemmas aus I 3.10 sei dem Leser fiberlassen.
Beispiel 3
Wir illustrieren m6gliche Ordnungen des Produkts yon zwei nicht vertauschbaren Permutationen.
Bei Transpositionen ist
(2, 3)(1, 2)
(1, 3, 2),
7S
I GRUPPEN
also hat das Produkt die Ordnung 3. Nun betrachten wir Transpositionen und 3-Zyklen. IstT
(1,2) u n d (
(2, 3, 4) ESn, s o i s t T ( ordT
Ist T1
(1, 5), T2
2, o r d (
(3, 2) , (
ord(T1T2)
3, ord(T()
4. (1, 2, 3, 4, 5), also
(1, 3, 4) E g5, SO ist TIT2( 2, o r d (
Ist T1 (1, 5) , T2 (3, 2) , (1 (1,2,3,4,5,6,7), alSO
3, ord((T1T2).()
(1, 3, 4) , (2
2, ord ((1(2)
ord (TIT2)
(1, 2, 3, 4), also ist
5 .
(5, 6, 7) E S7, SO iSt T1T2(l(2
3, ord ((TIT2)((1(2))
7.
Beispiel 4 Mit Hilfe der Zyklenzerlegung yon Permutationen erh/flt man wichtige Informationen fiber die Struktur der Gruppen g~. Wir ffihren das ffir 83 und g4 &IIS.
Elemente yon g3
Anzalfl
Ordnung
Signum
id
1
1
+
(1, 2), (1, 3), (2, 3)
3
2
-
(1,2,3), (3,2,1)
2
3
+
Summe
6
Elemente yon 84
Anzalfl
Ordnung
Signum
id
1
1
+
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3),(2,4), (3,4)
6
2
-
8
3
+
6
4
-
(1,2).(3,4), (1,3).(2,4), (2,3).(1,4)
3
2
+
Summe
24
(1,2,3), (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4) (3,2,1), (4,2,1), (4,3,1), (4,3,2) (1,2,3,4), (1,3,2,4), (1,4,2,3) (1,2,4,3), (1,3,4,2), (1,4,3,2)
4.6 BEISPIELE
Y9
Folgende Inibrmationen seien notiert: O r d n u n g e n y o n E l e m e n t e n In 83 gibt es Elemente der Ordnung 1~2 und 3, aber kein Element der Ordnung 6. hi 84 gibt es Elemente der Ordnung 1~2~ 3 und 4, aber keine der weiteren Teiler 6~ 8~ 12 und 24 yon 24. Ordnungen yon Untergruppen gen 2 und 3.
In 83 gibt es edite Untergruppen der Ordnun-
In 84 gibt es neben den yon Elementen erzeugten zyklischen Untergruppen der Ordnungen 2~ 3 und 4 auch Untergruppen der
Ordnung 6, etwa 83, Ordnung 8, etwa Dn erzeugt yon (1~ 2~ 3~ 4) und (2~ 3), Ordnung 12, n~mlich An. hi A4 gibt es keine zu 83 isomorphe Untergruppe: Beide enthalten 3 Elemente der Ordnung 2. Aber in J[4 bilden sie zusa~nmen mR id eine Untergruppe, isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Dagegen erzeugen die drei Transpositionen yon 83 die ganze Gruppe 83. Da nicht einmal 84 ein Element der Ordnung 6 enthglt, kann J[4 keine zyklische Untergruppe der Ordnung 6 enthalten. In Beispiel 1 aus I 6.13 werden wir sehen, dass jede Gruppe der Ordnung 6 entweder zyklisch oder isomorph zu 83 ist. Daraus folgt daan:
A4 cnthSlt kcinc Untcrgruppc tier Ordnung 6~ obwohl 6 ein Teller yon 12 ist. Also gibt es keine Umkehrung des Satzes yon LAGRANGE. W i r k u n g d e r K o n j u g a t i o n Die in I 4.4 untersuditen Bahnen bei der Konjugation nennt man auch Konjugationsklassen. Zwei Permutationen (T, (T' E S~, liegen in der gMchen Konjugationsklasse, wenn es ein ~- E G, gibt mit (T!
TO(TOT
1 .
Es ist einf~ch zu sehem dass dies gleichbedeutend damit ist, dass (T und (T' die
gleiche Zyklenstruktur besitzen, denn eine Konjugation bedeutet nicht mehr als eine Umverteilmig der Nummern. Da der allgemeine Fall nur mit einigem ibrmalen Aufwand beschrieben werden kanm geben wit ein typisches Beispiel in $5. Ist (T
(1~ 2~ 3) 9(4~ 5) und ~-
(1~ 4), so folgt
Das ist die gMche ,Zyklenstruktur', ns das Produkt yon einem 2-Zyklus mit einem 3-Zyklus. Umgekehrt erhSlt man zu (T und (T' ein % indem man (T und (T' fibereinanderschreibt:
80
I
~r: ~r':
(1,2,3)(4,5) (2,3,4)(1,5)
D a n n ist r 9~ 9r ist.
1
GRUPPEN
( 1 , 2
und r:
2 3
3 4
4 1
5 ]
5 /
(1,2,3,4)
~'. D a r a n sieht m a n auch, dass r nicht eindeutig b e s t i m m t
Die Klassengleictmngen in g3 u n d 84 kann m a n d a m i t aus den obigen Tabellen ablesen, wobei das Z e n t r u m nur aus dem neutralen Element besteht. 83:
6 24
g4 :
Beispiel 5 phismus
1+3+2, 1+6+8+6+3.
Zu j e d e m beliebigen K6rper K gibt es einen kaaonischen M o n o m o r -
"6:&~
> GL(n;K),
der wie folgt erklgrt ist. Bezeichnen el, 9 9 e~ E K ~ die kanonisehen Basisvektoren, so gibt es zu jedem cr E g~ eine eindeutig bestimmte Pervnutationsmatrix A~ mit A~.ei
A~ entsteht aus E~, indem
man
e~(i)
und
~6(~):
A~.
mit ~ die Spalten permutiert.
Da ~4 injektiv ist, kann g~ als Untergruppe yon GL (n; K) angesehen werden. Andrerseits ist nach dem Satz yon CAYLEY &US I 4.2 jede Gruppe G Untergruppe yon g(G). Daanit ist jede endliche Gruppe G der Ordnung n auch Untergruppe yon GL (n; K). Das zeigt, dass alle m6glichen Verkniipfungen in endlichen Gruppen durch die Multiplikation yon Matrizen beschrieben werden k6nnen. Allerdings geht das im Allgemeinen mit einem n, das wesentlich kleiner als die Gruppenordnung ist (vgl. etwa die Quaternionengruppe der Ordnung 8 als Untergruppe yon GL (2; C) in Beispiel 4 aus I 1.9). Die Eintrs in A~ sind nur 0 und i. Daher imam man sich auf den kleinsten K6rper K IF2 {0, i} beschrguken. Dass die Abbildmig ~4 hie surjektiv sein kann, Iblgt aus dem Hilfssatz
Ist Ir ein endlicher KSrper und n > 2~ so gilt o r d G L (n; K ) > o r d G L (n;]?2) > n!
Beweis Die erste U n g M c h u n g ist Mar; sie gilt aueh fiir n 1. Zum Nachweis der zweiten muss m a n die invertierbaren Matrizen mit Eintrggen {0, 1} abzghlen. In ]?~ gibt es T ~ Vektoren. In der ersten Spalte ist nur der Nullvektor ausgeschlossen; fiir 1 < k < n sind in der Spalte k alle L i n e a & o m b i n a t i o n e n der Spalten 1 , . . . , k - 1 ausgeschlossen. Also hat m a n T ~ - 2 ~ 1 MSglichkeiten u n d
ordGL (n;F2)
12[(T~ _ 2~ i). k
1
4.6
81
BEISPIELE
Nach der Formel f/ir die geometrische Reihe ist 2n __ 2k 1
n k 2k 1 E 2r ~ 2k l(rt -- k + 1) > rt -- k + 1,
2k 1(2n k+l __ 1)
r=0
dazaus folgt die zweite heftige Ungleichung. Schon flit n Matrizen.
2 gibt es 6 invertierbare []
Beispiel 6 Wir bestimmen das Zentrum ffir die Gruppen S,, A , und GL (n; K). Zungchst ist Z(g,) { g2 flit n 2, 81 {c} und 82 ist abelsch. Also bleibt der Fall n > 3 zu behandeln. Dazu zeigen wir, dass es zu jedem u E 8, mit u ~ e ein 7 E 8, gibt, so dass O-T 7g 7(7.
(i,j),soist
Esgibti, jE{1,...,n}mita(i)r162162
Welter ist
Z(A,)
J" A , {~}
fiir fiir
n_<3, ~_>4.
Fib n _< 3 ist die Aussage Mar, da A , abelsch ist. Sei also n _> 4 und ~ G A4 mit ~ id. Wir kSnnen annehmen, dass ~(1) 2. D a n _> 4, gibt es ein i mit i ~ 2
und i ~ ~(2). Daher gilt
((1, z, i)
r
o
o
(1, z, i))(1).
Etwas schwieriger ist der Beweis yon Z(GL(n;K))
{AE," A E K •
f/it jeden KSrper K. Die Inklusion ,,D " ist Mar; zum Beweis yon , C " zeigen wir zuers% dass eine Matrix A (aij) aus dem Zentrum keinen Eintrag au]~erhalb der Diagonalen besitz% d.h. ffir i ~ j muss aij 0 sein. Dazu verwenden wir die aus der linem'en Algebra beka~mte Elementarmatrix Bji mit Einsen in der Diagonalen und an der Stelle (j, i), sonst Nullen. D a m ist fiir aij # 0 Bji.A#A.Bji,
denn a i i # a i i + a i j ,
das sind die Eintrgge an d e r / - t e n Stelle der Diagonalen der Produktmatrizen. Angenommen A ist eine Diagonalmatrix mit a i i # ajj fiir i # j. Ist Ptj die zur Transposition (i, j) gehSrende Permutationsmatrix, so ist P~5 A # A. P~5, well die Eintrgge in den Zeilen i und j der Produktmatrizen verschieden sind.
82
I GRUPPEN
w5 Symmetriegruppen* Mit den nun zur Verfiigung stehenden Techniken der Gruppentheorie kSnnen wir die Struktur der Symmetriegruppen einiger geometrischer Figuren aufkls Wir beginnen mit den regelms n-Ecken in der Ebene, dann folgen die Platonischen KSrper. Viele weitere Untersuchungen dazu finder man etwa bei [N-S-T] und [Kn].
5.1
Regelm~igige
n-Ecke
und
die Diedergruppe
Zur Beschreibung regelmiifliger n-Ecke P,~ C R 2 benutzen wir Kir n E N \ {0} die primitive komplexe n-te Einheitswurzel ~,~ : Ihre Potenzen C~
exp--
27ri Tb
EC
R2
1, G~, C~,..., C;: 1 bilden die n Ecken yon P , .
Unter einer Symmetrie yon P,~ versteht man eine Isometrie des R 2, die P,~ auf sich abbildet. Fiir n _> 2 muss sie den Ursprung lest lassen, wird also dutch eine orthogonale Matrix beschrieben. Um Fallunterscheidungen zu vermeiden, setzen wir das auch fiir n 1 beim armen ,~Eineck" voraus. Bei der Symmetrie ist noah zu beachten, ob die Orientierung erhalten wird. Nach diesen Vorbemerkungen erkl~h'en wit fiir n _> 1 die Symmetriegruppen Sym (P,~) :
{A E 0(2) 9 A(P,~)
P,~} < 0(2) und
Sym+(p,~) : {A ~ Sym(P,~)" d~t A
+1} < SO(2).
Zur Besehreibung der Struktur dieser Gruppen bezeiehnen wir zur Abkfirzung mit Z. Z / n Z die zyklische Gruppe der Ordnung n und mit
5.1 REGELMASSIGE N-ECKE UND DIE DIEDERGRUPPE
83
die in Beispiel 5 aus I 3.6 erkl/irte Diedergruppe der Ordnung 2n, wobei Z,~ ~ Z,~ x { 1 } < D ,
.
Satz Fiir ein r'egelrn&'fliges n - E c k P,~ C R 2 m i t n >_ 1 gibt es Isomor'phismen
Sym (P,,)
~,
Dr,
Sym+(P,~)
~>
Z~ .
u
u
Man beachte, dass Z,~ abelsch, aber D , fiir n _> 3 nicht abelsch ist. Beweis Wir behandeln zungchst den orientierbaren Fall und wir zeigen, dass alle orientierungserhaltenden Symmetrien Drehungen um ein ganzzallliges Vielfaches des Winkels 27r/n sind. Dazu erinnern wir, dass es zu jeder Matrix A E SO (2) einen Winkel p E [0, 27r[ gibt mit
sin ~ Ist nun A eine Symlnetrie, also A(P,~) 27rik
cos
P,~, so muss die Eeke 1 auf eine Eeke 9
k27r
abgebildet werden, also ist A A~. Da Ar o A~ A~+~r erh/ilt man einen Homomorphismus c~ 9 Sym+(P,~) ~ Z,~ , d ~ k + n g . Umgekehrt gehSrt zu jedem Winkel p k 2~ mit 0 < k < n - 1 genau eine Symmetrie A~, also ist a ein Isomorphismus. n
- -
- -
Fiir den allgemeinen Fall erinnern wir zun/ichst daran, dass SO (2) abelsch, aber 0(2) nicht abelsch ist. Die Matrix S :
(10) 0
-1
mit
det S
-1
beschreibt die Spiegelung an der z-Achse, komplex gesehen die Konjugation z ~ 3. Da r ist S(P,~) P,~,also S E S y m ( P , ~ ) ' . . $ y m + ( P , ~ ) . Der Norlnalteiler Syln+ (P,~)< Syln (P,~) (als Kern der Deterlninante) hat demnaeh den Index 2, also hat maai eine disjunkte Vereinigung Sym (P,~) Bezeichnet H :
Sym+ (P,~) u Sym+ (P,~) 9S .
{E, S} < Sym (P,~) die zu Z2 isomorphe Untergruppe, so folgt
Sym (P,~) Sym§
H.
84
I GRUPPEN
Da Sym+(P,~) A H {E}, ist Sym (P,~) Produkt der beiden Untergruppen. Um zu priifen, ob H ein Normalteiler ist, und um den geometrischen Hintergrund aufzuhellen, benutzen wir die Beziehung A~.S
S . A ~ 1 fiiralle ~ E R .
(*)
Offensichtlich sind die beiden Matrizen links und rechts gMch
sin ~
- cos
und diese Abbildung beschreibt eine Spiegelung an der Geraden mit dem Winkel
Aus (*) folgt sofort 27r mit ~ ~
A~SA~ 1 A2~S.Also ist H genau dann Normalteiler, wenn A2~
E gilt, d.h. n
1 oder 2 .
Daller ist ffir n > 3 Sym (P,~)
Sym+(P,~) ~ H
semidirektes Produkt. Die Isomorphie zur Diedergruppe erkennt man aa den typischen Relationen A~n
E, S 2
Ffir n 1 ist Z1 {E} und D1 abelsche Kleinsche Vierergruppe.
5.2
E
und
A~S
SA~ 1.
{E, S} ~ Z2, fiir n
2 ist D2 ~ Z2 x Z2 die []
Endliche U n t e r g r u p p e n yon 0(2)
Wie wit gerade gesehen haben, gibt es die endlichen Untergruppen Z,~ < SO(2)
und
D~ < O(2)
5.2 ENDLICHE UNTERGRUPPEN VON 0(2)
85
als Symmetriegruppen eines regulgren ~-Ecks. Wir wollen nun zeigen, dass dies in SO(2) alle und in 0(2) ,~m Wesentlichen" alle endlichen Untergruppen sin& Dies ist ein weiterer Hinweis auf die engen Beziehungen zwischen Gruppentheorie und Geometrie. Was bedeutet ,, im Wesentlichen"? Das regulgre ~-Eck P,, war so gewfihlt, dass (1, 0) ein Eckpunkt war, durch die spezielle Spiegelung S an der m-Achse bleibt er lest. Verwendet m a n ein um den Winkel ~ gedrehtes f~-Eck P~, As(P,,), so ist Sym (/v,)
A ~ . Sym (P~,) 9A ; 1 ,
also eine konjugierte Untergruppe. Da Sym+ (P,,) abelsch ist, hat die Konjugation im orientierbaren Fall keine Wirkung. Nach diesen Vorbemerkungen der
Satz fiber die endliehen U n t e r g r u p p e n yon 0(2) r~, so ist G Sym+ (P,,). I'r~sbesorder'e ist G a) Ist G < SO (2) e~dlich, ord G zyMisch ~a~td er'ze~agt volt einer" Dr'eh~ang. b) Ist G < 0(2) e~tdlich, G (Z SO (2), so ist G konjugiert zu ei~ter Gruppe Sym (P,,), d.h. es gibt ein A E SO(2) derart, dass G
A . Sym(P,,) 9A 1 .
Insbesondere ist G isomorph zur Diedergruppe Dr, und ord G
2ft.
Beweis a) Jedes A E SO (2) ist yon der Form
sin a
cos a
mit c~ E [0, 27r[. Ist G r {E}, so gibt es ein As E G mit c~ > 0; wit setzen :
rnin{c~ 90 < c~ < 27r, As E G} .
Da G endlieh ist, folgt 0 < ~ < 27r. Wir zeigen, dass es ein r~ E N mit r~ _> 2 und r ~ 27r gibt. Dazu nehmen wir das minimale r~ E N mit (r~ + 1)~ > 27r; insbesondere ist r ~ _< 27r. Angenommen es w/ire Dann ist ~ : yon ~.
(r~ + 1)~ - 27r < ~ und A r
G im Widerspruch zur Minimalit/it
Es folgt, dass die zu Z~, isomorphe Gruppe G'
Erz(A~)
{A~ 9
0,...,r~-
1}
in G enthalten ist. Angenommen G' / G: Dann gibt es ein Ar ~ ~ {/c~ 9 0 , . . . , r~ - 1}. Daher gibt es ein/c mit kW<~@< ( k + I ) w ,
also 0 < ~ @ - k W < W .
r
G mit
86
I GRUPPEN
Aus Ar ~ E C ergibt sich ein Widersprueh, und C /
C ist bewiesen.
b) Ist C ~ SO (2), so setzen wir C+: Ist n :
CnSO(2)
{AEC:deSA
1}<1C.
Sym+(P,~) nazh Tell a) und o r d C
ordC+, so ist C+
2n.
Ist/3 E C \ C+, so ist
/3
(c~ sin~b) sin ~6 - cos ~6
alsoB 2 Eund H : semidirektes Produkt
~, so ist B
5.3
C+ >~H
hat m a n e i n
C+UC+.B.
A~SA~ 1 und somit C+B
also insgesamt C
~bE[0,27r[ '
{E,/3} < C. D a C + < C v o m i n d e x 2 i s t , C
Ist ~
fiirein
C+(A~SA~ 1)
A~(C+S)A~ 1 ,
A~ 9Sym (P,~) 9A~ 1.
[]
Symmetrien des Tetraeders
Die f/inf Platonischen KSrper werden im Anhaxlg beschrieben. Grundlegend fiir die Bestimmung ihrer Symmetriegruppen ist das Ergebnis der linearen Algebra, dass jede Matrix A E SO (3) einen Eigenwert +1 hat, d.h. eine Drehung um eine Achse im R 3 beschreibt IFil, 5.5.4]. Aufferdem sei daran erinnert, dass 0 ( 3 ) - s o ( 3 ) x z2
ein direktes Produkt ist (Beispiel 3 aus I 3.6). Bei der Untersuehung der Symmetriegruppen beginnen wir mit dem Tetraeder T. Es wird so in den R 3 gelegt, dass die Eeken pl, 9.., p4 auf der Einheitskugel liegen. Dann ist S y m ( T ) : { A E O ( 3 ) :A(T) T} und
Sym+ (T) : Sym (T) n SO (a) ; man nennt diese Gruppen Tetraedergr-uppen. Die Ordnung von Sym+ (T) kann mini leicht mlgeben: Mini zeichnet sich ein Dreieck auf und iiberlegt, wie viele MSglichkeiten es gibt, das Tetraeder darauf zu stellen: T besteht aus 4 Dreiecken, jedes kann man auf 3 Arten darauf stellen. Also ist ord Sym+ (T)
4 93
12
5.3 SYMMETRIEN DES TETRAEDERS
87
plausibel. Formaler geht diese Rechnung mit dem Bahn-Lemma aus I 4.3. Ist G : Sym+ (T) und p E T eine Ecke, so gilt ordG
(ord G(p)) 9ord Stac(p)
4.3
12,
da G auf den Ecken transitiv operiert. Durch die Operation yon G auf den 4 Ecken wird eine Permutationsdarstellung X: S y m ( T ) ~ 84 erklgrt. Damit lgsst sich das Ergebnis so formulieren. S a t z Fiir das Tetraeder T ist X ein Isomorphismus und man hat ein Diagramm
Sym(T)
~
S4
Sym+(T)
~
A4.
v
v
Beweis Da nur E E 0(2) alle Ecken yon T fest 15sst, ist )< injektiv. Um nadlzuweisen, dass )< surjektiv ist, geniigt es jede Transposition ~- E g4 der Ecken durch ein B E Sym (T) daz'zustellen. Ist etwa ~- (1, 2), so rut es die Spiegelung B an der Ebene dureh p3,p4 und den Ursprung.
Nach dem Korollar aus I 4.5 wird J 4 erzeugt von allen Dreierzyklen. Ist etwa cr (1,2,3) E An, so nehlne man fiir A E Sym+(T) die Drehung mit der Aehse durch p4 und den Ursprung um den Winkel 25~. Alle anderen Dreierzyklen erh/~lt man durch anMoge Drehungen.
P
3
~
P3 Pl
Spiegelung
P~
Drehtmg
Aus der oben benutzten Ebenenspiegelung B erhglt man eine zu Z2 isomorphe Untergruppe H: {E,B} < Sym(T),
85
I GRUPPEN
die kein Normalteiler ist, und man sieht gmlz einfach, dass Sym (T)
Sym+ (T) ~ H
ein nicht direktes semidirektes Produkt ist. Der geometrische Grund daf/ir ist, dass die durch - E 3 beschriebene Punktspiegelung keine Symmetrie des Tetraeders ist. Bei den vier mlderen Platonischen K6rpern ist das der Fall; das sieht man ganz deutlich an den im Anhmlg beschriebenen Konstruktionen. Eine explizite Beschreibung der 24 Symmetrien des Tetraeders kann man der Liste der Elemente yon 84 in Beispiel 4 aus I 4.6 entnehmen.
5.4
Symmetrien
yon Wfirfel und Oktaeder
Oktaeder und Wiirfel sind dual, haben also die gleichen Symmetriegruppen. Wir betrachten den WiirM W mit den 8 Ecken
pl
(1,1,1),p~
-pl,p2
.3
(-1,-1,1), .;
(-1,1,1),p~
-.3,.4
-p2,
( 1 , - 1 , 1 ) , .I
-.4.
Er hat die Symmetriegruppen Sym(W): Sym+(W) :
{AEO(3):A(W)
W}) und
Sym(W) A S O ( 3 ) ,
man nennt sie die Wilrfelgr~ppen. Die orientierbaren Symmetrien operieren wieder transitiv auf den 8 Ecken und der Stabilisator einer Ecke hat die Ordnung 3, also ist ord Sym+(W)
8.3
24.
Durch die geometrische Uberlegung, wie viele MSglichkeiten es gibt, den Wiirfel auf ein Quadrat zu stellen, erhNt man 6 94 24. Im Gegensatz zum Tetraeder sind die Paare yon Ecken des Wiirfels nicht mehr gMchberechtigt: Nicht alle Paare sind durch eine gemeinsame Kante verbunden. Daller ist es nicht Ertblg versprechend, die Symmetriegruppe mit der Gruppe gs der Permutationen zu vergleichen. Der Kniff ist nun, die vier Diagonalen
pip~
i
1,...,4,
zu betrachten. Bei jeder Symmetrie werden die Diagonalen permutiert, das ergibt eine Permutationsdarstellung X: Sym (W) --~ 34 . Das Ergebnis ist der
89
5.4 S Y M M E T R I E N V O N W 1 ) R F E L U N D O K T A E D E R
Satz Fiir den Wib'fel W ist die Darstellung X surjel;tiv, Kerx nnd X indnziert Isomorphismen
Man
Syrn(W) u
~
g4 xZ2 u
Sym+ (W)
~
84.
beachte, dass das Produkt
Beweis
{E3, -E3} G Z2
84 x Z2 direkt und nicht nur semidirekt ist!
Es genfigt zu zeigen, dass die Einschrgnkung
yon X
X+ : Sym+ (W) --+ g4 surjektiv ist. Da ord 84 24 ordSym+(IV), ist dann X+ ein Isomorphismus. Wie wir in Beispiel 3 aus I 3.6 gesehen haben, ist
O(3) da 3
SO(3) 0 SO(3). (-E3) - SO(3) x Z2,
ungerade ist. Daher ist Syrn (W)
Sym+(W) U Sym+(W) 9(-E3) -- Sym+(W) x Z2 9
Die Matrix - E a beschreibt die Spiegelung am Ursprung, bei der alle Diagonalen fest bleiben; also ist - E a E Ker X {Ea, -Ea}. Fiir die SurjektivitSt yon X+ geben wir einen geometrischen Beweis. Jedes A E Sym+(W) ist eine Drehung, je nach der Lage der Drehachse zum Wiirfel unterscheiden wit drei Typen: Typ a:
Die Achse geht durch die Mittelpunkte gegen(iberliegender Quadrate.
Typ b:
Die Achse geht durch die Mittelpunkte gegenfiberliegender K~nten.
Typ c:
Die Achse geht durch gegeniiberliegende Ecken, d.h. sie enthSlt eine Diagonale.
2
1,
1
:
2'
2
i,
1
:
2'
,,1' Typa
Typ b
Typr
90
I GRUPPEN
Sind die Achsen so wie im Bild gelegt, ergeben Drehungen folgende Permutationen der Diagonalen: Typ
Drehwinkel
Permutation
T
(1,2,3,4) (1, 3)(2, 4) (1,4,3,2)
7l-
(1, 2)
2~T 3
(2,4,3)
+
4vr 3
(2,3,4)
+
2 71-
a
Signum
3w
m
m
+
Wenn wir alle MSglichkeiten fiir die Lagen der Achsen zusammennehmen, erhalten wir die folgende Bilanz der dargestellten Permutationen: Anzahl der Drehungen
insgesmnt
3
9
b
1
6
C
2
8
8
1
1
24
12
Typ
Anzahl der Achsen
Identit/t Summe
in 84 \ .44
12
Man kann sich auch auf Drehungen vom Typ b beschrSxlken: Alle (24) 6 Transpositionen werden dargestellt, damit ganz g4. Die obige Tabelle gibt aber zus/ftzliche Informationen, z.B. fiber die Anzahl yon Elementen verschiedener Ordnung in Sym+(W): Typ c
Ordnung
1
1
2
3
9 8
3 4
Insgesamt
6
8 6
Summe
24
5.5 SYMMETRIEN VON IKOSAEDER UND DODEKAEDER
91
Das entspricht der Bilanz bei der Gruppe 84 in Beispiel 4 aus I 4.6. Dass die Tetraedergruppe Untergruppe der Wiirfelgruppe ist, hat den geometrische Hintergrund, dass man aus den acht Ecken des Wiirfels vier passende ausw/fhlen und daraus ein Tetraeder bauen kann.
5.5
Symmetrien yon Ikosaeder und Dodekaeder
Im dritten und letzten Streich bestimmen wir nun die gemeinsamen Symmetriegruppen vom Dodekaeder D und Ikosaeder, also Sym(D) Sym+ (D)
{AEO(3):A(D)
D} und
Sym (D) A SO (3) .
i)blicherweise werden diese beiden Gruppen Ikosaedergruppen genannt. Die Ordnung kann man wie in den beiden vorhergehenden Fs berechnen, es ist ord Sym+ (D)
12 95
20 93
60.
Eine Permutationsdarsteilung dieser Gruppen ergibt sich aus der geometrischen Beobachtung, dass es im Ikosaeder ffinf Oktaeder und im Dodekaeder ffinf Wfirfel gibt, die bei jeder Symmetrie des umgebenden Platonischen KSrpers permutiert werden. Ixn Bild ist jeweils nur einer davon eingezeichnet:
92
I GRUPPEN
Wir haben dem Dodekaeder den Vorzug gegeben,weil sich dieser Fall leichter zeichnen lgsst. In jedem Fiinfeck des Dodekaeders liegt genau eine Kante yon jedem der fiinf Wiirfel. Die N u m m e r n geh6ren zum entsprechenden Wiirfel.
@
Wir betrachten nun die Darstellung X : Sym (D) --+ g5 , die dutch die Permutation der W i i r M entsteht.
Fiir das Dodekaeder D ist I m x induziert X Isomorl)hismen
Satz
Sym(D) U Sym+ (D)
A5 und K e r x
{Ea,-Ea}. Welter
~ AsxZ2 U ~ -45 .
Beweis Entscheidend ist die durch - E 3 beschriebene Punktspiegelung am Ursprung. Ist H : {E3, - E 3 } < Sym (D), so hat m a n ein direktes P r o d u k t Sym (D)
Sym+(D) x H
S y m + ( D ) U S y m + ( D ) 9( - E 3 ) .
5.5 SYMMETRIEN VON IKOSAEDER UND DODEKAEDER Da die Punktspiegelung - E 3 alle 5 Wiirfel invariant 1/isst, ist H C Ker X. Da ord 85 bleibt nur noch x ( S y m + ( D ) )
120
und
ord.45
60,
A5 zu zeigen.
Wir unterscheiden wieder drei Typen yon Drehungen Typ a:
Die Achse geht durch die Mittelpunkte gegeniiberliegender Fiinfecke.
Typ b:
Die Aehse geht dutch die Mittelpunkte gegeniiberliegender Kanten.
Typ c:
Die Aehse geht dutch gegeniiberliegende Eeken. Typ a
@
Drehung um
Permutation
72 o
(1,2,3,4,5)
144 ~
(1,3,5,2,4)
216 ~
(1,4,2,5,3)
288 ~
(1,5,4,3,2)
Typ b
" / , /~ \ / F?,,. \ -../ %.i \ / ~ ~.~,. \ /\A
\ /
"4
Drehung um 180 ~
Permutation (1, 5). (3, 4)
93
94
I GRUPPEN Typ c
Drehung um
Permutation
120 ~ 240 ~
(2,5,4) (4,5,2)
Dass die angegebenen Permutationen auftreten, liegt an der speziellen Wahl der Achsen; bei festem T y p i s t aber die Zyklenstruktur unabhgngig yon der gewghlten Aehse. Da A5 yon den Dreierzyklen erzeugt wird, konzentrieren wit uns zungchst auf T y p e . Da ein Dodekaeder 20 Ecken hat, gibt es 10 versehiedene Achsen dureh gegenfiberliegende Ecken. Zu jeder Aehse gehSren zwei Dreierzyklen, die zwei Wiirfel fest lassen. In obigem Beispiel sind das die Wiirfel 1 und 3, die beide auf der Drehaehse liegenden Ecken des Dodekaeders als gemeinsame Ecken haben. In der Skizze zu Typ c sind 10 Ecken des Dodekaeders enthalten, jede enth/ilt nur einen Punkt einer Drehachse. Wie man sofort sieht, gehSren zu verschiedenen Ecken verschiedene Paare yon WiirMn. Daher sind alle 20 Dreierzyklen yon A5 im Bild yon X enthalten und naeh dem Korollar aus 1 4.5 tblgt ~(Sym+ (D))
r
9
Indem man sich analog die Typen a und b genauer ansieht, erh/ilt man die folgende Bilanz:
schlieglich
5.6 DIE KLASSENGLEICHUNG DER IKOSAEDERGRUPPE Typ
Anzahl der Achsen
Anzahl der Drehungen
Ordnung
Insgesamt
&
6
24
b
15
15
C
10
20
Identits
1 Summe
5.6
95
60
Die Klassengleichung der Ikosaedergruppe
Mit Hilfe der Bilanz der Ordnungen der Elemente aus A5 kann man nun die Klassengleichung k
60 ord(As) ordZ(As)+ ordAs( d i=l
(vgl. 1 4.4) explizit berechnen. Dabei operiert A5 auf sich selbst durch Konjugation; die Elemente ~ri sind Vertreter der mehrelementigen Bahnen. Der erste Summand ist klar, denn nach Beispiel 6 aus I 4.6 ist ord Z ( A s )
1.
Fiir die Ordnungen der Bahnen hat man zwei wichtige Vorinibrmationen: 1) In jeder Bahn liegen Elemente der gleichen Ordnung. 2) Die Ordnung jeder Bahn teilt 60
oral A5 (Bahn-Lemma aus I 4.3).
VergMcht man das mit der Bilanz der Ordnungen aus I 5.5 60
1+15+20+24,
so sieht man, dass die Menge der 24 Elemente der Ordnung 5 in mindestens zwei Bahnen der Ordnung 12 zerfallen muss; demnach ist k _> 4. Die drei Klassen yon Elementen der Ordnungen 2, 3 und 5 aus A5 entsprechen den drei Typen b, c, und a yon Symmetrien des Ikosaeders. Da sie jeweils die gMche Zyldenstruktur besitzen, sind sie unter der Wirkung yon 85 konjugiert (vgl. Beispiel 4 aus I 4.6). Es bleibt zu priifen, ob und wie sich die Bahnen verkleinern, wenn man nut noch mit Elementen aus A5 konjugiert. Wit benutzen den allgemeineren Hilfssatz
Gegeben sei die Operation einer endlichen Gruppe C auf einer Menge M und N ~ C. Dann gibt es zu jedem x E M einen Teller d yon ind (C 9 N)~ x l , . . . , xd E M und eine disjunkte Zerlegung
96
I GRUPPEN
in gleich gwfle Bahnen von N. Insbesonder'e muss d auch Teller yon ord G(x) sein. Genauer gilt ind (G : N) d. ind (StaG(x) : S t a x ( x ) ) .
In unserem Fall ist ind (Ss : As) ord O- 1 2, SO muss
2, also muss d
1 oder 2 sein. Ist ~i E As mit
J~S(G1), also ordAs(al)
gS(G1)
sein, da 15 ungerade ist. Ist ~r3 E As mit ordG3
15
5, so muss
ss(~a) xs(~a)uxs(~4) disjunkte Vereinigung mit G4 E As sein, da 24 kein Teller yon 60 ist. Ist schlieglich G2 (1, 2, 3) E A5 mit ord G2 3, so sieht man leicht, dass
Staxs(l, 2, 3) Aus dem Bahn-Lemma
{id, (i, 2, 3), (i, 3, 2)}.
folgt ord As (~r2)
~
20.
Insgesamt lautet also die K l a s s e n g l e i c h u n g der Ikosaederg~uppe As [60
Beweis des Hilfssatzes
1+15+20+12+12.]
Da N < G hat man eine disjunkte Zerlegung
G(X) wobei
X1
X und xi
N(Xl) U... U N(Xd) ,
.qi(x) mit .qi E G. Da N < G Normalteiler ist, folgt
N(g(.)) g(N(.)), ~asooraN(.d ordN(.). Daraus folgt oral G(x) und N, erhglt man
d. oral N(x). Aus dem Bahn-Lemma, angewandt auf G
ordG
o r d G ( x ) 9o r d S t a c ( x ) und
ord N
ord N(x) 9ord StaN(x) .
Durch Einsetzen ergibt sich schlieglich d. ord StaG(x) ord StaN (z) Daraus folgen die Behauptungen.
ordG ord N []
5.7 ENDLICHE UNTERGRUPPEN VON SO (3)
5.7
97
E n d l i c h e U n t e r g r u p p e n v o n SO (3)
Auf der Suche nach endlichen Untergruppen yon SO (3) sammeln wir zun/ichst die Beispiele aus den vorliegenden Abschnitten. 1) Ein regul~h'es n-Eck P,~ C R 2 kann auch als Teil von R 3 a~lgesehen werden. Also ist Z~ ~ Sym+(P,~) < SO (3) . 2) Die Spiegelung S E O (2) an der z-Achse im ]R2 kann im R 3 als Drehung S / E SO (3) um die z-Achse angesehen werden und wird dadurch orientierbar. Also ist D~ ~ Sym (P,~) < SO (3) . 3) Die Tetraedergruppe A4 ~ S y m + ( T ) < SO (3) . 4) Die WiirMgruppe g4 ~ S y m + ( W ) < SO (3) . 5) Die Ikosaedergruppe .45 ~ Sym+ (D) < SO (3) . Durch eine beliebige orthogonale Transformation im R 3 erhglt m a n aus jeder dieser G r u p p e n eine konjugierte und damit isomorphe Untergruppe. Dass die Suche damit beendet werden kann, zeigt das - Theorem Yede endliche Unteryruppe yon SO (3) ist konjugiert zu einer Untergruppe aus der obigen Liste.
Klassifikations
Der Beweis ist ziemlich umfaagreich, wir verweisen etwa auf [N-S-T, Ch. 15] oder [ARM, 5.9].
5.8
S y m m e t r i e n y o n Fugb~illen
,i)er Ball ist fund" wird oft gesag% trifft abet nut ann/fhernd zu. Die meisten B/ille sind aus mehreren verschiedenartigen Flecken zusammengesetzt, im Lauf der Zeit hat sich die Form ver/indert. Wir geben drei markante Beispiele ................... ...........
iiii iii!iiiii!i!iiiiiiiii!iii!i!i!iii f .............................. ,iiiiiiiiiiiiiiii
1 ,,Wunder yon Bern"
2 Telestar
3 Temngeist
98
I GRUPPEN
Der mit ,,Wunder von Bern" bezeichnete Ball ist der Klassiker; er wurde zur WM 1974 abgel6st vom ,,Telestar", zur WM 2006 folgte der ,,Teamgeist". Uber die unterschiedlichen Eigenschaften der Bglle wird viel spekuliert; wir wollen uns hier darauf beschr/inken, die Symmetrien zu bestimmen. Alle drei Arten yon Bgllen sind abgeleitet von Platonischen K6rpern: 1 und 3 vom WiirM und 2 vom Ikosaeder. Beim ,,Wunder yon Bern" werden die Quadrate des Wiirfels ersetzt durch drei 1/ingliche Flecken, dadurch wird die Symmetric des Quadrates reduziert yon 4 auf 2 Drehungen. Beim ,,Teamgeist" sitzt an der Stelle jedes Quadrates ein Fleck, dessen Form einer Schuhsohle/ihnlich ist; in den Positionen der 8 Ecken des WiirMs sitzen Flecken v o n d e r Form eines Propellers mit 3 Fliigeln. Beide B/ille haben also die Symmetrie eines modifizierten Wiirfels W', bei dem jedes der 6 Quadrate nur noch 2 orientierbare Symmetrien hat; also ist ord Sym+ (W')
6.2
12 .
Die Symmetrien yon W' sind genau die Symmetrien des Wiirfels W, die das in I 5.4 m0x'kierte Tetraeder im Wiirfel invariaat lassen. Also ist Sym+ (W') ~ Sym+ (T) ~ .44 9 Der ,,Telestar" hat deutlich mehr Symmetrien. Er entsteht durch Aufblasen eines gestutzten Ikosaeders I ' mit 20 Sechsecken und 12 Fiinfecken (siehe Anhang). Dabei bleibt die Symmetric des Ikosaeders I erhalten, also ist Sym+ (I')
Sym+ (I) ~ Sym+ (D) ~ .45 .
Dass o r d S y m + ( I ' ) 60 kaan man auch ganz element0x" sehen: Stellt man den Ball auf eine fiinfeckige Unterlage, so kann man dafiir 12 Fiinfecke aussuchen, bei jedem gibt es 5 M6glichkeiten, also ist ord Sym+ (I')
12 95
60.
Bei den 20 Sechsecken muss man bedenken, dass es wegen der Anordnung yon Fiint'ecken fiir jedes nur 3 M6glichkeiten gibt, also ist ord Sym+ (I')
20 93
60.
Ffir die 60 Ecken yon I' gibt es dagegen jeweils nur eine M6glichkeit. F a z i t Vom ,~Wunder yon Bern" zum Telestar wurde die Symmetric yon 12 ~uf 60 erh6ht, zum Teamgeist wieder auf 12 reduziert. Aber die Eigensch~ften des Balles sind nicht allein durch die Symmetrien bestimmt, sondern auch durch das Material und die Verarbeitung. Mehr zu diesem T h e m a finder man bei [Ho].
w6. STRUKTURSXTZE*
99
w 6 Strukturs/itze* Wie schon erw/ihnt, ist es ein hoffnungsloses Unterfax~gen, alle Klassen isomorpher Gruppen axxgeben zu wollen. In diesem Pazagraphen behaxxdeln wir einige wichtige Teilergebnisse. Die einfaehste Invaria~xte einer Isomorphieklasse ist die Ordnung: Zwei isomorphe Gruppen enthalten ,,gMch viele" Elemente; sind sie endlich, so ist das eine natfirliche Zahl n. Die ngchstliegende Frage ist also:
Wie viele nicht-isomorphe Gruppen des Ordnung n gibt es? Eine erste Antwort findet sich schon in I 3.7: Ist die Ordnung einer endlichen Gruppe eine Primzahl, so ist sie zyklisch. Ffir endliche abelsche Gruppen kann die obige Frage ffir beliebiges n beantwortet werden, allgemeiner l~sst sich ffir endlich-erzeugte abelsche Gruppen die Struktur als Produkt yon zyklischen Gruppen angeben. Damit beschMtigen sich die Abschnitte 6.1 his 6.10. Ffir nicht-abelsche endliche Gruppen gibt es nur Teilresultate, die wichtigsten Werkzeuge dabei sind die S~tze yon SYLOW aus 6.12. Es gibt ffir die Resultate fiber abelsche Gruppen elegantere Beweise als die hier dargestellten (etwa im Rahmen der Theorie yon Moduln fiber Hauptidealringen mR Hilfe yon Elementaz'teilern [Bo, 2.9]). Wit bevorzugen einen etwas direkteren ha~dwerklichen Weg. Dabei benutzen wit den klassischen Satz fiber die Primfaktorzerlegung natfirlicher Zahlen, der in II 3.4 im Rahmen der Ringtheorie beha~ldelt wird.
6.1 Summen zyklischer Gruppen Wir geben zun/ichst Beispiele ffir endliche abelsche Gruppen an; daxlaeh werden wir zeigen, dass es keine ax~deren gibt. Ist G eine abelsehe Gruppe, so sehreiben wir die Verknfipfung additiv, also ffir a, b E G und n E 7/. a +b, a-b,
na E G
und ffir abelsche Gruppen G1, ... G~ schreiben wir das in 1 3.2 eingeffihrte direkte Produkt als direkte Summe G1 @ ... @ G~ . Aus typographischen Grfinden wird in diesem Paragraphen die Notation
ffir die sonst 1nit Z.,~ bezeichnete zyklische Gruppe der Ordnung n verwendet. W/~hlt man nun n l , . . . , Gruppe
rtt r
N
\
{0}~ SO erh/~lt man daraus die endliche abelsche
100
I GRUPPEN
G:
Z(nl)@...@Z(nt)
mit
n:
ordG
nl.....nt.
(*)
Es wird sich zeigen, dass jede endliche abelsche Gruppe eine solche Darstellung (,) besitzt. Das ist jedoeh noeh nieht befriedigend, denn die Zahlen t u n d h i , . . . , nt sind dureh G keineswegs eindeutig festgelegt. Grund dafiir ist die Isomorphie Z(m) @ Z(n) ~ Z ( m . n)
falls
ggT (re, n)
1
@
aus I 3.9. Damit kaan man Darstellungen der Form (,) in zweierlei Weisen umformen: zusammenfassen oder aufspalten. Die Aufspaltung geht so: Aus der Primfaktorzerlegung n
Pl
]~1
" 999
"Pr
]~"
fol~D~
Z(T~)
Z(/~I~1 ) @ . . . @
Z(~)~),
(vgl. dazu den Chinesischen Restesatz in II 2.11) und die Summe rechts kasin nicht welter zerlegt werden. Die entsprechende Aufspaltung yon (,) ist etwas miihsam aufzusehreiben. Ist p eine Primzahl und
nl
p~1(p) n l, , . . . , n t
p~1(p) n t,
mit
p { n l *, . . . , p { n t ,
*
so verwenden wir diese Teiler yon h i , . . . , nt zur Definition der Untergruppe Gp :
G (1) @.. + G
wobei G~~) < Z(ni) fiir i Untergruppe ist. Ist
k(p):
(**)
1,.. , t die dutch G~~) ~ Z(p l*(p)) eindeutig bestimmte
+ . . + l t(p) ,
SO
gilt
ordGp
p~(P)
Sind nun pl, . . . , p~ die Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen h i , . . . , n~ vorkommen, so ist offensichtlich G~Gpl@...@Gp,~
und
ordG
Pl]~(/)1) " . . . ' v~']~(/)'z) ~,
n 9
(* * *)
Bedenkt man, dass jeder Summand in (, 9 ,) nach (**) aufgespalten ist, so ist klax, dass damit die Aufspaltung yon G nicht welter ibrtgesetzt werden kann; die Regel @ ist ausgeschSpi% Was wit hier zur [Ybung mit der Summe (,) yon zyklischen Gruppen ausgeredmet haben, ist der LeitfMen ffir die Darstellung einer beliebigen endlichen abelschen Gruppe G.
6.2
Z~ihlung yon zyklischen S u m m a n d e n
Ein Exponent l~p) in der Summendarstellung (**) yon Gp aus 1 6.1 ist genau dann positiv, wenn die Primzahl p Teller yon ni ist. Daher ist die Anzahl der nicht
6.2 ZAHLUNG VON ZYKLISCHEN SUMMANDEN
101
trivialen Sulnmaalden in (**) gleich der Anzahl der dutch p teilbaren hi, also iln Allgemeinen kleiner als t. Wir benStigen &Is teclmische Vorbereitung fiir den Beweis des Struktursatzes in 1 6.4 eine zuverlgssige Methode zur Zs yon zyklischen Summanden. Dabei ist zu bedenken, dass es in abelschen Gruppen -im Gegensatz zu Vektorrs - unverkiirzbare Erzeugendensysteme verschiedener Ls geben kann. Das einfachste Beispiel ist 77,mit den Erzeugendensystemen {i} und {2, 3} der L~ngen 1 und 2. Mit einem sch6nen Kniff kann m a n nun in abelschen Gruppen gewisse Zghlungen auf das solide F u n d a n e n t yon Vektorr~ulnen stellen. Grundlage ist iblgendes
Ist G eine abelsche Gr~tppe ~tnd p eine Primzahl~ so ist die Faktorgr~tppe G/p G ein Vektorra~tm iiber dem KSrper Fp G/p G.
Lemma
Beweis Ist H : G/p G, so gilt pH p(a+pG)
0, denn
pa+pG
O+pG.
Also geniigt es, die Behauptung fiir eine abelsche Gruppe H mit pH beweisen. Was wir brauchen, ist eine Multiplikation
0 zu
F ; x H - - - ~ H , (k, a) ~-+ k 9 a, mit Skalaren, und was wir haben ist eine Multiplikation G x H--+ H , Ist A denn
m + p 77,,so definieren wir A.a :
m+pZ
n+pZ
(rn, a) ~-+ rn 9a . m.a. Diese Multiplikation ist wohldefiniert,
4=~ n - - m E p Z
~ n.a--m.a
da p 9a 0. Mit Hilfe der Rechenregeln fiir Kongruenzen die Vektorraumaxiome nach.
(n--m).a priift man
0, ohne Miihe []
Man beachte, dass die Multiplikations-Abbildung 77,• H --+ H kein Gruppenhomomorphismus ist. In der hier nicht benutzten Sprache der Moduln ist eine abelsche Oruppe ein Z-Modul und
G/p G ~ G |
Fv
ein Tensorprodukt. Wir wollen den Vektorrauln G/p G in einigen einfachen F/illen bestilnmen. a) Ist g
77, und p beliebig, so ist G/p G
b) Ist G
Z(p ~) mit k _~ 1, so ist pG Z(n) und die Primzahl p Teiler yon n, so ist
c) Ist G
,
zcvzcz,
Fp. Z(p~ 1) und G/pG
aJso c / p c
nach dem Dritten Isomorphiesatz aus I 3.1.
Z(p)
F;.
G
102
I GRUPPEN
d) Ist C endlich und abelsch, sowie p eine Primzalfl mit p { ord C, so ist C / p C Ist n/imlich rn
o r d G , so ist ggT(rn,p) 1
zrn+yp,
ffir alle a E C, da rna
also
a
O.
l, also gibt es z , y E g mit :crna+ypa
pyaEpG
0.
Satz IstC Z ( r t l ) @ . . . @ Z ( r t t ) m i t r t l , . . . , r t t E N \ { 0 } u n d p eine Primzahl, so ist dirn~p C / p C gleich der Anzahl der rti, die von p geteilt werden. Beweis
Die Behauptung tblgt aus den oben bewiesenen Fgllen c) und d), da
pG
pZ()%1)+ . . . +pZ(~tt) ui/d
c/pc
6.3
+...
+
.
Primiirzerlegung
Als erste Vorbereitung zur Klassifikation dient der S a t z v o n CAUCHY Ist C eine endliche abelsche Gruppe und p eine Primzahl, die ord C teilt, so gibt es ein a E C mit ord a p. In I 6.11 werden wir zeigen, dass die Voraussetzung abelsch nicht nStig ist. Dass es nieht zu jedem Teller der Gruppenordnung ein Element dieser Ordnung geben kmm, sieht man schon am Beispiel der zyklisehen Gruppen. Etwa die Kleinsehe Vierergruppe C Z(2) ~ Z(2) hat die Ordnung 4, aber nur Elemente der Ordnung 1 und 2. Beweis des Satzes yon CAUCHY Wir ffihren Induktion fiber n : ord G > 2 und wghlen dazu ein Element 0 r a E G. Im Fall p ] o r d a ist ord a p . rn und ord (rn a) p. Andernfalls ist p { ord a und wir betrachten C:
C/Erz(a)
mit
n
ordC
ordC.orda.
Aus p n und p { ord a folgt p I o r d G. Da ord G < n, gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein b+Erz(a) E(7
mit
bEG
mit
ordb
p.
Da die Abbildung Erz(b) --+ Erz(b) surjektiv ist, folgt ord b
ord Erz(b)
ffir ein m r N \ {0}, also gilt ord(mb)
p.
(ord b) 9rn []
6.3 PRIMs
103
Diese Vorfiberlegung zeig% dass die folgende Definition sinnvoll ist: Ist G eine endliche ~belsche Gruppe und p eine Primzahl, so nennt m a n Gp:
{aEG:orda
p~(~)
mit
k(a) E N }
eine P r i m i i r k o m p o n e n t e yon G.
Bemerkung a) Gp < G i s t U'nteryruppe. b) ord Gp p~ fiir ein k E N. Beweis a) Ist a E Gp, so ist - a E Gp wegen o r d ( - a ) man n~ch I 2.4, dass o r d ( a + b)
teilt
ord a. Fiir a, b E Gp weig
kgV(ord(a),ord(b))
D~ das kgV Potenz yon p ist, folgt a + b E Gp. b) Ist q Primfaktor yon ord Gp, so gibt es n~ch dem Satz yon CAUCHY ein a E Gp mit o r d a q; ~lso ist q p. [] Der erste Schritt zur Klassifil~tion endlicher abelscher Gruppen ist der
Satz fiber die Prim~irzerlegung einer endlichen abelschen Gruppe Ist G eine endliche abelschr Gruppe und ordG
Plkl " . . . ' P ~kv
mit paarweise verschiedenen Primzahlen p l , . . . ,p<, so ist G
G p l @ . . . @ Gp,, .
Insbesondere ist ord Gp~
p~ fiir i
@
1,..., r.
@~undG~: GI+...+Gi Beweis W i r s e t z e n G i : Nachweis yon 9 ist entsprechend I 3.3 zu zeigen, dass 1) G
l+Gi+l+...+G~-Zum
Gl+...+G~und
2) G~ n G~
{0} fiir i
Ad 1) Wir setzen f/Jr i
1,...,r. 1,..., r n
wobei
n:
ordG.
D a a n sind offensichtlich n l , . . . , n~ teilerfremd, nach B~ZOUT gibt es dMler xi E G mit i
104
I
GRUPPEN
und es bleibt xinia E Ci zu zeigen. Das iblgt aber aus
denn nach I 1.5 ist na
O.
Ad 2) Ist a E Ci A C~, so gilt aECi~p~a a
p ~ aj j#i
Setzen wit m :
0fiireinlENund Trtj
pj aj
0 mit mj E N. 0. Nun ist ggT(pi,1
E p~5, so ist m . a
T~ )
1, also gibt es
x~ y E 7/, mit 1
daiierist
xp~+ym;
a
xp~a+yma
Nach obiger Bemerkung wissen wir schon, dass ord Ci nach 9 hi Pl
also li
6.4
hi fiir i
k,.
"
9 ""
" P r
ll Pl
ordG
"
""
"
0+0
O.
pli~ mit li E N. Daher ist 1,. " P r
1, . . . , r.
[]
Zerlegung von endlichen abelschen p-Gruppen
Nachdem wir eine endliche abelsche Gruppe in ihre Prim~rkomponenten zerlegt haben, werden diese im zweiten Schritt in zyklische Gruppen zerlegt. Dabei spielt es keine Rolle mehr, dass die Prim~'gruppen Untergruppen einer gegebenen Gruppe waren. Es ist vielmehr zweckmggig, einen sparer weiter benutzten Namen einzufiihren. Ist p eine Primzahl, so nennt man eine Gruppe C eine p - G ~ t p p e , wenn ffir jedes aEC o r d a p~(~) mit k(a) E N gilt. Offenbar ist jede Primgrkomponente einer Gruppe eine p-Gruppe. Beispiele fiir endliche abelsche p-Gruppen sind direkte Summen C
Z(p 11)~9...~gZ(p l~)
mit
s, l l , . . . , l ~ E N \ { 0 } .
Ffir a E C ist dann o r d a p~(~) mit k(a) <_ rnax{ll,... ,l~}. Erstaunlicherweise gibt es keine anderen Beispiele: Sei p eine Primzahl und C eine endliche abelsche p-Gruppe. Zerlegungssatz Dann gibt es ein k E N, so dass o r d C pa, eine P a r t i t i o n k
11 + 12 + ... + l~
mit
1 < 11 < 12 < ... < ls < k
6.4 Z E R L E G U N G VON E N D L I C H E N A B E L S C H E N P - G R U P P E N
105
und cinch Isomorphismus
Dabei ist die Partition yon k durch G eindeutig bestimm< es ist s
dim G ( G /p G).
Beweis Dass ord G eine P o t e n z von p ist, folgt wieder aus dent Satz yon CAUCHY. Zum Beweis der Eindeutigkeit der Zerlegung 9 sei m : m a x { k ( a ) : a E G}; dram 0. W i t betrachten nun genauer in G die wiederholte Multiplikation mit ist p ~ G p u n d ihre W i r k u n g auf einen direkten S u m m a n d e n Z(p l) in G:
p~ G [3 Z(pl) __+ Z(pl 1)
~
...
~
pl 1G [3 ____+ Z(p)
____+ ...
pig
~
...
~
p~ G
0
--+ Z(p ~
0
0
D a r a n sieht man, dass sich ein S u m m a n d Z(p l) i n / G ,verabschiedet" hat. Bezeichnen wir mit si die Anzahl der direkten S u m m a n d e n in piG, so ist nach Definition yon G so
s,
und
si
dirnG(piG//+lG)
ffir
i
0,...,m-1
nach dem Satz in I 6.2. D a r a u s folg% dass ffir jedes 1 mit 1 < 1 < m die Anzahl der S u m m a n d e n Z(p l) in G gleich sl 1 - sl ist; das ist genau die A b n a h m e der Zahl der S u m m a n d e n beim U b e r g a n g yon pl 1G nach piG. D a die Zahlen si allein durch G und p b e s t i m m t sind, folgt die Eindeutigkeit der Zerlegung O. Die Existenz einer Zerlegung 9 beweisen wit durch I n d u k t i o n fiber m, wobei 0. Der Fall m 0 ist trivial. Zum besseren VerstSndnis ffihren wir auch den besonders einfachen Fall m 1 aus: Ist p G 0, so ist G ein endlich-dimensionaler Fp-Vektorraum, also
p~G
G
mitdim GG
• . .. • G
:s. IndiesemFallistll
z(p)
...
e
. .. e z(p)
l~
lundk
s.
A n g e n o m m e n , die Existenz sei ffir m - 1 bewiesen. D a
0
*(pc),
gibt es da)ter eine Zerlegung
wobei ci,... , c~ E p G erzeugende Elmente der zyklischen Summanden sin& Insbesondere ist ord ci pl~ mit li k i. Nun w~hlen wir beliebige Urbilder b~ E G
mit
pb~
c~,
es gilt
ordb~
pl~+1
und
Erz(b~) ~ Z(p I~+I) .
106
i GRUPPEN
Diese zyklischen G r u p p e n ergeben eine direkte Summe
c':
Erz(<) ~ . . . ~ Erz(V~) ~ z(p~~+~) ~ . . . ~ z(p:1
mit G' < G, da die entsprechende Summe yon p G' nun noch zu zeigen, dass es ein r E N gibt, so dass
G
+1
),
(,)
p G direkt ist. Es genfigt
,z(p) + . . . + z ( p ) + c ,
(**)
v
r
real
d.h. m a n muss zu G' noch Elemente der Ordnung p dazunehmen, um ganz G zu erhalten. Dazu betrachten wir den Kern
tt :
{a E G " pa
0}
der Multiplikation lnit p. Da p H 0, ist H nach dem L e m m a in I 6.2 ein Vektorraum fiber F v. U m eine Basis yon H zu erhalten, bemerken wir zungchst
pllbl,...,pl~b~ E H ,
denn
ordbi
pl~+l.
Diese s Vektoren sind linear unabhgngig: Angenommen
firipl•bi 0
mit
r l,...,r~ EZ;
i=1
da ri pl~ bi E Erz (bi), folgt aus (.), dass ri pl~ bi 0. Also muss p Teiler yon ri sein; das ergibt die lineare Unabhgngigkeit fiber F v. Dureh Erg/ialzung erh/ilt lnml nun eine Basis
(pllbl,...,pl~b~,al,...,a~) ffir jedes j
yon
H,
1 , . . . , r ist Erz(aj) ~ Z(p). Wir definieren H' :
Erz(al) 0 . . . 9 Erz(a~) ~ Z(p) 0 . . . 9 Z(p) < H . 9
r
r
Inal
Sowohl die Analogie als auch die Unterschiede zu Homomorphismen yon Vektorr~ulnen kmm m a n sich durch tblgendes schematisches Bild ldarmachen
6.4 ZERLEGUNG VON ENDLICHEN ABELSCHEN P-GRUPPEN
107
H G G'
lp
ci
pG
0
M a n beachte, dass im Gegensatz zu V e k t o r r i u m e n H A G ' / ~ {0} sein kann! Es bleibt zu zeigen, dass G G
H ~+G ~ :Ist aEG,
H ~ 9 GL
sogibtesxl,...,x~
ET/,mit
Kombiniert m a n diese Differenz linear aus der Basis yon H , e r h N t m a n a mit b' E II' u n d a' E G'.
H'AG'
b'+ a'
0 :IstaEH'AG',sogibtesxl,...,x~,yl,...,y~EZmit a
~xjaj
~yibi.
D a a E H, ist welter
0 D a ord ci
,~
Z,~,~
pl,, ist yi
Z,~,
also , ~
0 r~r~
1,...,s.
y~ pl,, also fblgt 0
~y:pl~
bi - ~ x j
aj.
D a dies eine Linearkombination der Basisvektoren yon H ist, folgt insbesondere
xl
...
Xr
0,
also
a
0. []
108
I GRUPPEN
Zusaamlenfassend kSnnen wir die bisher bewiesenen Ergebnisse so ibrmulieren: S t r u k t u r s a t z ffir e n d l i c h e a b e l s c h e G r u p p e n
Zu einer endlichen abelschen Gruppe G 9ibt es (nicht notwendi9 verschiedene) Primzahlen ql, . . . , q~ Exponenten 11, . . . , l~ E N \ {0} und einen Isomorphismus ~ Z(q] 1 ) ~ ... ~ Z(q~S)
9
Dabei sind die zyklischen S u m m a n d e n his auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. []
Sicherheitshalber schreiben wir das Ergebnis noah einmal ganz explizit a u f - trotz der vielen Indizes: Ist ord G P kll " . . . "P~k~. mit paarweise verschiedenen Primfaktoren zu jedem i E {i,..., r} eine Partition hi
l~i)+
9
.
+l (i) mit Si
l~i)
__
9
p~, so gibt es
_
S i
und einen Isomorphismus G ~ Z(p~Z)) (~ .
l(11) l~") (~ Z ( p I ) O . .. O Z ( p r ) 0
l (") .. O Z(p~" ) .
Setzt man noch zusgtzlich pl < p2 < ... < p, voraus, so ist diese Darstellung eindeutig. Auf diese Weise kasm man im Prinzip alle endlichen abelschen Gruppen gegebener Ordnung bis auf Isomorphie angeben (siehe I 6.6). Das ist in der Tat, ein ~bschliegendes Ergebnis.
6.5
Elementarteiler
Die im gerade formulierten Struktursatz angegebene Zerlegung in zyklische Gruppen kaan natfirlich auch raiders dargestellt werden, da die Summe yon zyklischen Gruppen teilerfremder Ordnung wieder zyklisch ist. Eine Vazia~lte ist der S t r u k t u r s a t z in E l e m e n t a r t e i l e r f o r m Ist G eine endliche abelsche GruppG so gibt es dl, d 2 , . . . , d t E N \ {0} m i t dl I d 2 , . . . , dt 1 I dt und einen Isomorphismus
Die Zahlen t u n d d l , . . , dt sind dutch G eindeutig bestimmt.
Man nennt die Z0)llen dl, . . . , dt E l e m e n t a r t e i l e r
yon G.
Beweis Man kann die Elementarteiler dj aus den Partitionen der Primzahlexponenten ki berechnen. Das ist ganz einfach - bis auf die vielen Indizes. Daher zun~chst ein Beispiel: Ist
c
z(2)
z(2
z(2
z(3)
z(3
z(5),
6.5 ELEMENTARTEILER
109
so definiert man beginnend mit den hSchsten Potenzen (/,3 :
24 933 95
2160, d2 :
3 922
Nach Konstruktion gilt dl I d2 I d3. Die Zahl t 2 I di und nach I 6.2 folgt dim ~2 G/2 G
12, dl :
2.
3 ist durch G bestimmt, denn
3
t .
Die Gruppe G hat also auch die Das'stellung G ~ Z(2) @ Z(12) @ Z(2160) . Im allgemeinen Fall verwendet man die Partitionen
hi der Primfaktorpotenzen setzt
]r
l~i) +
9
.
.
+ 1(i) 84
]r &US dem vorhergehenden t :
Abschnitt 6.4. Man
r n a x { s l , . . . ,sr} ,
das ist die maximale LSnge einer Partition und dann
dt
:
PI
1
Dabei setzt m a n / / ) dx
[ d2
. . . . . PT ~ v
d~
1 :
Pl
I
1 . . . . . pT ~
v
99 9 9
0 f/Jr j < 1. Aus der Definition folgt sofort [ ...
[ dt
1 [ dt
lind
G
~
Z(dx)
@...
@ Z(dt)
.
Man kaan sich leicht iiberlegen, dass die Elementax'teiler @ durch die Partitionen der hi und damit durch G eindeutig bestimmt sind. [] Die Zahlen t und dt haben noch eine besondere Bedeutung. Ist p ein Primteiler von dl, so teilt er alle @ und damit ist t
dim G G/p G
nach 1 6.2. Zur hlterpretation von dt erklficen wir fiir eine beliebige endliche abelsche Gruppe G den Exponenten exp(G):
max{ord(a):aEG}EN\{O}.
Aus dem obigen Struktursatz folgt sofort das Korollar ten:
a) exp(G)
f i i r eine endliche abelsche Gruppe G hat exp(G) folgende Eigenschafdt und exp(G) teilt ord (G).
II0
I GRUPPEN
b) Fiir jedes a E G i s t ord (a) T e i l e r von exp(G) u n d aeXp(G)
[]
r .
Wie schon zu Beginn dieses Paragraphen bemerkt, kmln man auch umgekehrt vorgehen, und den Struktursatz aus 16.4 mit HiKe der Methode der Elementarteiler beweisen. Der Leser m6ge sich zur Ubung/]berlegen, wie man die Partitionen der ki aus den dj berechnen kann. Grundlage ist die Gleichung j~l ~1
6.6
" ...
"
j~"
ord G
dl 9 ... 9dt 9
Beispiele
Beispiel 1
Abelsche Gruppen d e r O r d n u n g 2 ~
Nach dem Zerlegungssatz aus I 6.4 entsprechen die Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung 2 ~ den Partitionen yon k. Fib k
1 gibt es nur die Gruppe Z2.
Fiir k 2 hat m a n die Partitionen k Gruppen sind Z4 und Z2 x Z2. k
k
3, ord G
1 + 1, die entspredienden
8
Partition
3
2+1
Gruppe
Zs
Z4xZ2
4, ord G
2 und k
1+1+1 Z2xZ2xZ2
16
Partition
4
3+1
2+2
Gruppe
Z16
ZsxZ2
Z4xZ4
2+1+1 Z4xZ2xZ2
1+1+1+1 Z2xZ2xZ2xZ2
F/ir die Berechnung der Anzahl n(k) der Partitionen von k gibt es keine allgemeine Formel. Man muss vielmehr die Partitionen systematisch auflisten und abzfihlen; das kann man einen Computer erledigen lassen. Hier die Werte fib k _< 16:
5
32
7
11
2048
56
6
64
11
12
4096
77
7
128
15
13
8192
101
8
256
22
14
16384
135
9
512
30
15
32768
176
10
1024
42
16
65536
231
6.7 T O R S I O N S U N T E R G R U P P E N
Fib k
111
5 geben wir die Liste in umgekehrt lexikografischer Ordnung an: 5 4+1 3+2 3+1+1 2+2+1 2+1+1+1 1+1+1+1+1
Beispiel 2
Abelsche Gruppen der Ordnung 432
Da 432 16 927 24 933, gilt fiir jede abelsche Gruppe G mit ord G dem Struktursatz in I 6.4 G
G2 @ G3
mit
ord G2
24
und
ord G3
432 nach
33 .
F i b G2 gibt es die in Beispiel 1 aufgelisteten 5 MSglichkeiten, fiir G3 gibt es die 3 MSglichkeiten Z27, Z~ ~ Z3 und Z3 ~ Z3 ~ Z3 . Also gibt es insgesmnt 5 93 nung 432.
15 Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ord-
6.7 Torsionsuntergruppen hi den ersten Abschnitten dieses Paragraphen haben wir uns auf endliche abelsche Gruppen beschrgnkt. Die einfachsten Beispiele fiir unendliche abelsche Gruppen sind die zyklische Gruppe Z und direkte Summen yon mehreren Exemplaren yon Z, etwa F ZO...OZ. 9
r
r ~lal
Wir erinnern daran, dass eine Gruppe G endlich erzeugt heigt, wenn es al,..., a~ E G gibt mit G Erz(al,. ,a~) . Ist G abelsch, so bedeutet das G
{321al @ ...@2Chart
2Cl,..,2Cn
E 7/,} .
Wir wollen nun zeigen, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G direkte Summe einer endlichen Gruppe T(G) und einer ,,freien" Gruppe F vom ,,Rang r" wie oben erkl~rt ist. Wir beginnen mit dem endlichen Anteil T(G).
Bemerkung
Ist G eine abelsche Gruppe, so ist
T(G): {~G:ord~
i CRUPPEN
112
eine Unteryr~ppe. Man nennt T ( C ) die Torsionsuntergr~uppe von C. Beweis
Fiir a, b E G i s t ord ( - a ) ord(a+b)
ord a und nach der Bemerkung aus I 2.4 gilt teilt
(orda).(ordb) ;
also ist T ( C ) < C.
[]
V o r s i c h t ' In I 6.9 zeigen wir, dass T ( C ) endlich ist, wenn C endlich erzeugt ist. Das ist nicht selbstverstSx~dlich, well nicht ohne weiteres klar ist, dass T ( C ) ebenfalls endlich erzeugt ist. Auigerdem ist zu beachten, dass die Menge {a E C : o r d a
oc}
keine Untergruppe yon C ist, denn ord 0 1 < oc. Daher sind die Anteile endlicher und unendlicher Ordnung in verschiedener Weise zu behandeln. Folgender Begriff ist hierfiir n/itzlich: Eine abelsche Gruppe C heigt t o r s i o n s f r e i , wenn T ( C ) Lemma Beweis
O.
Fiir jede abelsche Cruppe C ist die Faktoryruppe C / T ( C ) torsionsfr'ei. Angenommen fiir a E C und m E Z gilt 0
,~(a+T(C))
,~a+T(C).
Dann ist ma E T(G) und somit a E T(G).
[]
Die Torsionsgruppe T(G) und die torsionsfreie Gruppe G / T ( C ) sind nun die Grundlage fiir die gesuchte Zerlegung yon G.
6.8
Freie abelsche G r u p p e n
Beispiele fiir torsionsfreie abelsche Gruppen sind direkte Summen yon Exemplaren yon Z. Sie gehSren zu der wichtigen Klasse yon ,,freien" Gruppen. Wir beginnen mit einer sehr allgemeinen Konstruktion. S a t z Sei B eine beliebige Menge. Dann gibt es dazu eine abelsche Gruppe F~b(B) zusammen mit eine injektiven Abbildung ~ : B --+ F~b(B) mit folgender universellen Eigenschaft: Ist C eine abelsche Gruppe und f : B --+ C eine Abbildung, so gibt es dazu genau einen Gruppenhomomorphismus ~ / : F~b(B) --+ C, so dass das Diagramm
I (Pf
Y C
6.8 F R E I E A B E L S C H E
113
GRUPPEN
kommutiert.
Man nennt F~b(B) die yon der Menge B e r z e u g t e f r e i e abelsche G r u p p e , B heigt B a s i s yon F~b(B). Die Analogie zu Vektorrgumen ist offensichtlich: Dort kann man einem Homomorphismus auf einer Basis die Werte in einem anderen Vektorraum beliebig vorschreiben. Beweis
Ist B endlich, etwa B
{ 1 , . . . , n}, so erklgrt man
als direktes Produkt, oder in der additiven Schreibweise Z ~ ~ Z9O
...OZ
/
n "~tal
als direkte Summe. I m allgemeinen Fall definiert man F~b(B):
{~):B~Z:~)(a)
0
ffirfastalle aEB}.
F a s t aUe bedeutet wie iiblich, bis auf endlich ~), ~)' E F~b(B), so ist die Summe ~) + ~)' erkl~h't durch +
:
+
vide
Ausnahmen.
Sind
s.
Damit wird F~b(B) offbnsichtlich zu einer abelschen Gruppe. Nun erkl~'t m a n r'B--+F~b(B),
a~-+q2~, durch
1 0
q)~(b):
fiir fiir
b a b~a;
diese Abbildung ist injektiv. Zu jedem q) E F~v(B) gibt es somit eindeutig bestimmte n E N, al, . . . , a~ E B und X l , . . . , x~ E Z \ {0}, so dass (I)
Xl(I)al
@ 9 .. @ XTtl~a~
.
Dabei erhNt man fiir n 0 die Nullabbildung. Ist nun f : B --+ G vorgegeben, so gilt ftir jeden Homomorphismus p : F~v(B) --+ G mit p o r f W ( x l ~ l + . . . + x~,~,~)
xl f ( a l ) + . . . + x~, f(a~,) .
(*)
Also gibt es hSchstens einen solchen Homomorphismus g; da G abelsch ist, wird durch (.) ein Honlomorphismus ~ f ~ erklfict. [] Ist G erzeugt von einer Teilmenge B C G und bezeichnet f : B --+ G die Inklusion, so ist der Homomorphismus ~ f : F~v(B) --+ G, ZlOty1 + ... + x~,o~, ~ Xlal + ... + x~,a~, ,
114
i GRUPPEN
smjektiv. Daher ist jede abelsche Gruppe Faktorgq'uppe einer freien abelschen Gruppe. Abet diese Darstellung ist keineswegs eindeutig, denn es gibt im Allgemeinen vide verschiedene erzeugende Teilmengen B c G. In jedem Fall ist G erzeugt yon B G. Man nennt G f r e i abelsch, wenn es sine Teilmenge B C G gibt, so dass der Homomorphismus p~ bijektiv ist. Das bedeutet direkter ausgedrfickt, dass es zu jedem a E G eindeutig bestimmte n E N, al, . . . , a~ E B und xl, . . . , x~ E 7/, \ {0} gibt, so dass a
~:1al
@ . .. @
Dabei wird die Null in G wieder mit n
CCna
n
.
0 durch die leers Summe dargestellt.
Diese Eindeutigkeit hat eine wichtige Konsequenz: Sind a l , . . . , a~ E B gegeben, und besteht eine R e l a t i o n der Form xlal+...+x~a~
so iblgt xl
...
x~
0
mit
n>l
und
xir
0, d.h. die Relation ist trivial.
Umgekehrt ausgedrfickt: Besteht zwischen a l , . . . , a~ E G sine nicht-triviale Relation, so kSnnen die al, . . . , a~ nicht aus einer Basis genommen sein. So ist eine endliche abelsche Gruppe nicht frei, denn ffir jedes a E G gibt es sin x E 7/, \ {0} mit :ca 0; das ist das einfachste Beispiel einer nicht-trivialen Relation. Die Bezietmngen zwischen freien abelschen Gruppen und Vektorrgumen sind o f fensichtlich. In der linearen Algebra lernt man, dass je zwei endliche Basen gleiche Lgnge haben. Analog gilt das Ranglemma
Ist G sine f'reis abslschs Gruppe mit Basen
B so ist m
B'
n.
Die L/iage n einer Basis einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe G nennt man den R a n g yon G, in Zeichen rang G. Bsweis Aus einem Isomorphismus Z ~r~ --~ Z ~ yon abelschen G r u p p e n erhglt durch Reduktion modulo einer beliebigen Primzahl p einen Isomorphismus
man
] •P T-r- 4t ] ~Pn yon Fp-Vektorr/~umen. Daher ist m
n.
[]
Ffir den Beweis des Struktursatzes benStigen wir noch einige grundlegende Aussagen fiber freie abelsche Gruppen. Wir beginnen mit dem
115
6.8 F R E I E A B E L S C H E G R U P P E N
Spaltungslemma und
Sei G eine abelsche Gruppe, F eine fi'eie abelsche Gruppe p:G--~ F
ein Epimor'phismus. Dann gibt es eine fr'eie abelsche Gruppe F' < G, so dass G
KerpOF'
und
PlF':F'--~F
istIsomorphismus.
Beweis Ist B eine Basis yon F, so wfihlt m a n z u j e d e m b E B ein a E G m i t p(a) b. Ist B' C G die Menge der so erhaltenen a E G, so definieren wir F':
Erz(B') < G
und es ist zun/chst zu zeigen, dass F' frei abelsch ist. Das ist klax', denn sind al, . . . , a~ E B' gegeben, und ist ~:ciai i
0, so folgt ~ x i ~ ( a i )
~:cibi
0
1
und xl ... x~ 0, da B eine Basis ist. Mit dem gleichen Argument folgt, dass p I F' injektiv ist. Also ist KerpnF' Es bleibt zu zeigen, dass G
Z
{0}.
Ker p + F'. Ist a E G, so folgt
also
Z
Ker
das ergibt die gesuchte Dax'stellung yon a.
[]
Als n/ehstes zeigen wir die Freiheit yon Untergruppen H < G frei abelsch und es ist
Ist G eine freie abelsche Gruppe, so ist auch jedes rang H _< rang G .
V o r s l c h t ! Es sei nachdriicklich bemerkt, dass es keine analoge Aussage im nichtabelschen Fall gibt. Beweis Wir beschrgnken uns auf den Fall, dass rang G < oc, im allgemeinen Fall ben6tigt maa das Zorn'sche Lemma. Sei also G
F~b(al,...,a~) ~ Zal @ ... @ Z a ~
.
Wir fiihren Indukdon fiber ~t. Fib ~t 1 ist die Aussage klm', da jede Unterg~'uppe yon Z zyldisch ist. Film beliebiges ~t betraditen wit die Projektion von H p : H--~ Zal
116
I GRUPPEN
auf den ersten Summanden
yon G, offensichtlich ist I(erp < Za2 • ... 9 Za~ ,
also folgt aus der Induktionsvoraussetzung,
F: frei nach Induktionsbeginn
n
dass Ker p frei abelsch ist. Weiter ist
p(H) CZal
l; nach dem Spaltungslemma
H
folgt
Ker p 9 F '
mit frei abelschen F', also ist H frei abelsch. Die Ungleichung fiir die R~nge iblgt aus
rangF'
rangF_< 1
und
rang(Kerp)_
K o r o l l a r Ist G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so ist jede Untergruppe H < G endlich erzeugt. Beweis
Ist G
Erz ( a l , . . . , a~), so hat man einen kmlonischen Epimorphismus 9 F~b(al,...,a~)
~
C.
Nach dem gerade bewiesenen Satz ist p 1(H) frei abelsch und erzeugt yon b l , . . . , b~ m i t m _< n. Daher wird H erzeugt yon ~(bl), . . . , ~(b~r~). [] Schlieglich benStigen wir ein Ergebnis zur Freiheit torsionsfreier Gruppen Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit T(G) O. Dann ist G frei abelsch. Vorsicht! in I 6.10).
Die Voraussetzung ,,endlich erzeugt" ist nicht entbehrlich (Beispiel 1
Beweis Sei G Erz ( a l , . . . , a ~ ) und r < n derart, dass a l , . . . , a~ eine nicht verlfiagerbare Familie mit der Eigenschal% x l a l + ... + Xrar
0
mit
xi E Z ~
xl
...
x~
0
(*)
ist. Daz'aus erhSlt man eine freie abelsche Untergruppe H:
Erz(al,...,a~)
Wegen Eigenschaft (.) gibt es zu jedem i E {r + 1 , . . . , n} Koetlizienten x~i) (i) ,...,x~ ,xiEZmitxi~0, sodass 2c~i)al @ . . .
Ist m : X , + l . . . . . x , ~ , abelsch. Die Abbildung
@ 2@i)ar @ 2cia i
O,
alS0 2ciai E H .
s o f o l g t m G < H. N a c h d e m obigen S a t z i s t m G f l ' e i G -4 G ,
a ~--~ m a ,
ist ein Homomorphismus und injektiv, da T(G) und somit ebenfalls frei abelsch.
0. Also ist G isomorph zu m G []
6.9 ENDLICH ERZEUGTE ABELSCHE G R U P P E N
6.9
117
Endlich erzeugte abelsche G r u p p e n
Nach all den Vorbereitungen dieses Paragraphen f/illt das Endergebnis wie eine reife Pflaume vom Baum: S t r u k t u r s a t z Ist G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so ist die Torsionsunteryruppe T(G) < G endlich und es 9ibt eine freie abelsche Gruppe F < G yon endlichem Rang, so dass
G
T(G)+F und F
G/T(G).
Die beiden Summanden kann man noch welter aufspalten in zyklische Gruppen, dann ist r ~mal
Dabei sind p l , . . . ,p~ nicht notwendig verschiedene Primzahlen und r rangE. Die Primzahlen pi, die Exponenten li und die Zahl r sind dutch G eindeutig bestimmt.
Man beachte dabei, dass der ,,endliche AnteiF' T(G) eindeutig bestimmt ist, der ,Sreie Anteil" F jedoch nictit (Beispiel 2 in I 6.10). Dieser Satz hat zahlreiche Anwendungen, etwa in der Topologie bei der Beschreibung yon Homologiegruppen (vgl. etwa [Os]). Ohne die Voraussetzungen ,,endlich erzeugt" und ,#belsch" gibt es keine vergleichbaren Ergebnisse mehr (Beispiel 3 in
I 6.10).
Beweis Als Untergruppe einer endlich erzeugten Gruppe ist T(G) nach dem Korollar aus I 6.8 endlich erzeugt, also
T(G) Ist ki :
ord ai fiir i
Da die Summe
Erz (al,...,a~).
1, . . . , r, so gibt es einen Epimorphismus
der endlichen zyldischen Gruppen endlich ist, ist auch
T(G)
endlich.
Nach dem Lemma aus I 6.7 ist G/T(G) torsionsfrei; da G endlich erzeugt ist, ist auch G/T(G) endlich erzeugt. Nach I 6.8 ist also G/T(G) frei und nach dem Spaltungslemma gibt es eine freie Untergruppe F < G, so dass
G
T(G)+F
.rid F
G/T(G).
118
I GRUPPEN
6.10 Beispiele B e i s p i e l 1 (Q, + ) ist eine nicht frei abelsche torsionsfreie Gruppe. Die Torsionsfreiheit ist offensichtlich: Ist q E Q \ {0} und rn E Z, so tblgt rn aus rnq 0.
0
Q kann nicht yon einem Element q erzeugt werden: Ist a
q
~
mit
a, b E g , b r
und
b/~-i
1 so ist g47 ~ Erz (q), denn aus
1 b+ 1
a rn~
b b+ 1
tblgt
E Z.
T~a
Andrerseits besteht zwischen je zwei Elementen ql, q2 E Q \ {0} eine nicht-triviale ~ mit a~, b~ E Z \ {0} folgt Relation: Aus qi ~-
(a2bl)ql + (-alb2)q2
ala2 - ala2
0 .
Es sei darmi erinnert, dass Q nieht endlieh erzeugt ist (Beispiel 7 in I 1.9). B e i s p i e l 2 Wir betrachten die abelsche Gruppe G genden
(<0) Offensichtlich ist T(G)
0 und (0,1)
Z2 q) {0}. Weiter enthglt G die freien Untergruppen
FI:
Erz(0,1)
nach Definition yon G i s t G (0,1)
mit
Z2 q) Z mit den zwei Erzeu-
und F2:
Erz(
T(G) q) F1. Da
(a, 0 ) + ( a , 1)
istauch
G
T(G) q)F2,
es gibt also zwei versehiedene freie direkte Summaaiden zu T(G). B e i s p i e l 3 Wir betrachten die Abbildung : R --~ C , t ~-~ exp(2rrit) . Sie ist ein Homomorphismus v o n d e r additiven Gruppe R in die multiplikative Gruppe C • , es gilt Imp
{zEC:lzl
1}
:S
and
Kerp
Z,
also ist die Kreislinie S < C • isomorph zu R / Z . Fiir die Torsionsgruppen behaupten wit Q/Z T(Q/Z) T(R/Z) .
6.11 SATZ VON CAUCHY UND P-GRUPPEN
119
Ist nS~llieh t 9 ]R, so gilt t+Z 9
e=~ nt
m9
ffirein
n9
und das bedeutet t ~n 9 Q. Alle irrationalen t 9 R haben unendliche Ordnung, ffir jedes n 9 N \ {0} gibt es ein Element der Ordnung n in Q / Z , etwa 2n + Z. Als Ergebnis halten wir fest: Q / Z ist eine nicht endlich erzeugte Torsionsgruppe, die Ordnungen der Elemente sind nicht beschriinkt.
6.11 S a t z y o n CAUCHY u n d p - G r u p p e n Ffir nicht-abelsche endliche G r u p p e n gibt es in Spezialf'~llen Strukturaussagen, die aus den berfihmten 1872 bewiesenen Ss des norwegischen Mathematikers SYLOW tblgen. Sie sind Weiterentwicklungen aus dem klassischen S a t z y o n CAUCHY Ist G eine endliche Gruppe u n d p eine Primzahl, die ord G teilt~ so gibt es ein a 9 G mit o r d a p. Ist G abelsch, so hatten wir diesen Satz schon in I 6.3 bewiesen, den allgemeinen Fall kann m a n aus den S/itzen y o n SYLOW folgern. Wir beschreiben trotzdem einen einfachen direkten Beweis Wir ffihren Induktion fiber n ord G und benutzen den Spezialfall ffir abelsche Gruppen. Nach der Klassengleichung aus I 4.4 gibt es Vertreter a l , . . . , a~r~ 9 G \ Z ( G ) , so dass ?Tt
ordG
ordZ(G)+Zind(G'Zenc(ai)).
(,)
/=1
Andrerseits gilt ffir jedes einzelne ai ord G
ord Zena(ai) 9ind (G 9 Zena(ai)) ,
(**)
wobei ord Zenc(ai) < ord G, denn ai ~ Z ( G ) . Aus p ]ord G folgt, dass p einen der Faktoren rechts in (**) teilt. Gibt es ein i, so dass p I ordZenc(ai) , so fblg~ die Behauptung aus der Induktionsasmahme. Also bleibt der Fall p{ordZenc(ai)
ffir alle i
und somit
p lind(G" Zenc(ai))
i,...,m zu betrachten. Dasm Iblg~ aber aus (,) p lord Z ( G )
120
I GRUPPEN
und die Behauptung tblgt aus dem sehon bewiesenen Fall ffir abelsche Gruppen, denn Z ( C ) ist abelsch. [] Wir erinnern an die Definition einer p - G r i p p e C ffir eine Primzalfl p: Das bedeutet, dass es ffir jedes a ein k(a) E N gibt, so dass orda
p~(~) .
Mit Hilfe des Satzes von CAUCHY lgsst sich diese Bedingung vereinfachen: Korollar Eine endliche Gr'uppe C ist genau dann sine p-Gr'uppe, wenn es sin k E N gibt, so dass ordC
p~ .
Beweis Nach dem Satz von LAGRANGE (I 2.4) ist jede Gruppe der Ordnung p~ eine p-Gruppe. Die Umkehrung folgt aus dem Satz yon CAUCHY. []
F fir eine Anwendung in der KSrpertheorie benStigen wir das folgende Lemma I~t C eine p-Gr'uppe mit ord C Unteryruppe H < C mit ord H pl.
p~, so gibt es fiir" 1
O, 1 , . . . , k eine
Beweis Um eine Induktion fiber k zum Laufen zu bringen, benStigen wir ein a E G mit ord a p derart, dass Erz (a) <1G Normalteiler ist.
Dazu benutzen wit wie im Beweis des Satzes von CAUCHY die Klassengleiehung Tft
ordC
ordZ(C)+~ind(C'Zenc(ai)). i=1
Da ord C
p~, sind alle Indizes durch p teilbar, also folgt plord Z ( C ) .
Naeh dem Satz yon CAUCHY gibt es ein a E Z ( C ) mit ord a des Zentrums folgt, dass Erz (a) < C.
p; aus der Definition
Ffir k 0 und 1 ist die Aussage trivial, ffir 1 1 folgt sie aus dem Satz von CAUCHY. F fir den Induktionssehluss betraehten wir die kanonisehe Abbildung p" G--~ G / E r z ( a ) Da naeh LACaANCE ordH pl 1. Ist H:
(I
2.4) ord(7
p l(~)
:G .
p~ 1, gibt es eine Untergruppe H < (7 mR sofolgt
ordH
p.ordH
pl.
6.12 DIE SATZEVON SYLOW
121
Ffir eine abelsche Gruppe C hatten wit in I 6.3 die Primfixkomponente Gp:
{aEG'orda
p~(~) ffirein k ( a ) } < G
eingeffihrt. Ist G nicht abelsch, so ist das im Allgemeinen keine Untergruppe mehr. Etwa ffir G 83 und p 2 sind die Elemente der Ordnung 2 die Transpositionen, sie bilden keine Untergruppe. Aber jede einzelne Transposition erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 2. Es ist also angebracht, im allgemeinen Fall ffir eine Primzahl p mehrere p-Gruppen in einer gegebenen Gruppe zu betra~hten: Definition Sei G eine endliehe Gruppe und p eine Primzahl. Ist ordG
n
pl.m
mit
p~m,
so nennt man eine Untergruppe H < G eine p - U n t e r g r u p p e , wenn ord H
p~ mit k _< 1 und
p - S y l o w g r ~ p p e , wenn ord H
pl.
Die p-Sylowgruppen sind also die p-Untergruppen maximaler Ordnung. Vorsieht! Man beaehte, dass p-Untergruppen nieht abelseh sein mfissen. Etwa die Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist eine 2-Gruppe. Immerhin werden wit in I 7.5 beweisen, dass jede endliche p-Gruppe auflSsbar ist. 6 . 1 2 D i e S~itze y o n S Y L O W Wir geben nun Beweise der Sgtze yon SYLOW, die Aussagen fiber die Existenz, die gegenseitigen Beziehungen und die Zahl yon Sylowgruppen machen. An dem klassisehen Beweis von SYLOWaus dem Jahr 1872 [Sy] ist lange gefeilt worden. Im Gegensatz zu dem Struktursatz ffir abelsche Gruppen benutzen die heute fiblichen Beweise einige Tricks, die darauf beruhen, geeignete Mengen gesehickt abzuz51fien. Slltze y o n SYLOW
Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl, so dass
ordG
pl.m
mit l>_l und p ~ m .
Dann gilt 1) Es gibt mindestens eine p-Sylowgruppe S < G. 2) a) Ist H < G eine p-Gruppe, so gibt es eine p-Sylowgruppe S mit H<S
aSa 1
mit
aEG
eine p-Sylowgruppe, und jede andere p-Sylowgruppe S' < G ist yon dieser Form.
122
I GRUPPEN
3) Bezeichnet
s
die Anzahl der p-Sylowgruppen, so gilt s [m
und
s-l(rnodp).
Wenn mehrere Primfaktoren p von ord C eine Rolle spielen, schreibt m a n @ und s; start S und s. Beweis yon Aussage 1) gine p-Sylowgruppe S < C hat p~ Elemente. Ist n so gibt es in C insgesmnt
: {77--;5
- :
ord C,
]
Teilmengen mit pl glementen, gin Kniff ist nun der Hilfssatz
p ist kein Teiler yon
vz .
Wir betrachten dazu einen der Faktoren n-r pl _ r '
wobei 0 < r < p l - 1 .
und schreiben r p~. s mit p { s. Dann ist k _< 1 - 1 die hachste in n - r enthaltene Potenz yon p und p~ I (pZ _ r). Das bedeutet, dass jede Potenz yon p im Zghler aueh im Nenner enthalten ist, und beweist den Hilfssatz. Nun bezeichnen wit mit 3v[ die Menge der Teilmengen M C C mit pZ Elementen. Darauf hat man eine Operation CxN~N,
(a,M)~aM,
von C dutch die Linkstranslation in C. Sind M1, . . . , M~. E 3v[ Vertreter der Balmen C ( M ) , so folgt aus der BahnengMchung in I 4.3
(,,) ?%
1
ord ~V[
•
ord G ( M , ) .
i=1
n Da p { (v~), gibt es mindestens ein M E N mit p { (ord G ( M ) ) , wit definieren
S :
Stac(M) < G.
Zur Berechnung yon ord S benutzen wit einerseits, dass S als Standgruppe yon M E 3v[ auf der Menge M dutch Linkstranslation operiert. Fiir ein z E M C G i s t die Balm gleich Sx C M, es ist ordSx
ordS.
Da M in endlieh vide disjunkte Balmen zerf/illt, tblgt ordS
teilt
ordM,
also
ordS
p~
1nit
k_
123
6,12 DIE SATZE VON S Y L O W
Andrerseits erhglt man aus der Operation yon G auf ~V[ ordG da p { ord G(M), folgt ord S
plm
ordG(M).ordS;
pl und S ist eine p-SylowgTuppe.
Beweis yon Aussage 2) Zungchst ist Mar, dass jede konjugierte Untergruppe S' aSa 1 wieder Sylowgruppe ist, denn ord S' o r d S . Wir benutzen das folgende Sei S < G eine p-Sylowgruppe und H < G eine Unteryruppe mit Lemma P Iord H. Dann gibt es eine zu S konjugierte p-Sylowgruppe S' aSa l, so dass H A S' < H eine p-Sylowgruppe in H i s t .
Zum Beweis des Lemmas betrachten wit die Menge M :
C/S
der linken Nebenklassen, nach I 2.3 gilt p { ord M. Auf M operiert G dutch G X M--+ M~
(b~aS) ~-+ baS .
Diese Operation ist offensichtlich traasitiv, fiir die Standgruppe gilt StaG(S)
S,
StaG(aS)
aSa 1
:S'
fiir alle a E G. L/isst man nur die Untergruppe H operieren, so erh/ilt man die Stmidgruppe St&H(aS)
H A
S'
.
Wir betractiten die Bahnen bei der Operation yon H ~uf M. Da p { ord M, gibt es mindestens eine Balm H ( a S ) C M mit p ~ ord H ( a S ) . Da ord H ( a S )
ind ( H : Stall(aS))
ind ( H : H A S ' ) ,
ist H A S' < H fiir das so gewghlte a E G eine p-Sylowgruppe. Damit ist das Lemma bewiesen. Zu Aussage 2a) Sei S' so gew/itflt, dass H A S' < H eine p-Sylowgruppe ist. Well H e i n e p-Gruppe ist, iblgt
HAS'
H, also H < S ' .
Zu Aussage 2b) Dass Konjugation p-Sylowgruppen erh/ilt, hatten wir schon oben bemerkt. Sind S und 6' zwei p-Sylowgruppen in G, so kSnnen wir im Lemma H : 6' setzen und erhalten wie im Beweis yon 2a) ein S' aSa l, so dass 6' < S'. Aus ord6' ordS' Iblgt 6' S' .
124
I GRUPPEN
Beweis von Aussage 3) Wir bezeichnen mit M:
{S1,...,S~}
die Menge der p-Sylowgruppen yon C. Nach Aussage 2) ergibt die Konjugation in C eine Operation C x M--+ M, (a,S) ~-+ aSa 1. Sie ist nach 2) transitiv, also gilt ffir jedes S E M s
ind (C" S t a c ( S ) ) .
Die Standgruppe bei der Konjugation yon Untergruppen ist der Normalisator (vgl. I 3.5), also gilt fiir alle S E M S< Stac(S)
Norc(S) < C
und
m
i n d ( C " S)
s. o r d ( N o r c ( S ) / S ) ,
daraus folgt s I m. Zum Beweis yon s - l(rnodp) lassen wit start G nur ein S E M , etwa S1, auf M operieren: S 1 x M - - - + M , (a,S) F-+aSa 1. Die Nummerierung sei so gew~hlt, dass SI~ ..., ~r' mit r _< s ein Vertretersystem der Bahnen unter der Operation yon Si ist. Dann ist T
S ordM
T
~ordSl(Si)
~ind(Sl"Stasl(Si)).
/=1
/=1
Da ord S1 pl, haben die Indizes nur die Teiler 1 und p~ mit 1 < k < 1. Es genfigt also zu zeigen, dass ordSl(S,~) 1 r i 1. Sl(S1)
{S1} ist Mar. Ist ord SI(S,~) Stas1 (Si)
1, so folgt
S 1 , also
S1 <
NorG(S,~)
.
D a S,~ < Nor a (Si), sind S1 und Si zwei p-Sylowgruppen in Nor a (Si), naeh Aussage
2) folgt
S1
bS,~b 1 mit
b E NorG(S,~) .
Da Si Normalteiler im Normalisator ist, iblgt
S1
Si
und i
1.
[]
6.13 B e i s p i e l e Beispiel 1
Gruppen der Ordnung 2p
Ist p > 3 Primzahl, so ist eine Gruppe G der Ordnung 2p isomorph zur zyklischen Grippe Z(2p) oder zur Diederyruppe Dp.
6.13 BEISPIELE
125
Nach dem Satz yon CAUCHY gibt es Elemente a, b E G mit ord a Es ist zu zeigen, dass a oder bah
p und ord b
2.
a 1.
Ini ersten Fall ist G abelsch, also nach I 6.3 zyklisch, im zweiten Fall isomorph zu Dp (siehe I 3.6, Beispiel 5). Die Untergruppe Erz (a) < G i s t yore Index 2, also Normalteiler. Dalier gibt es ein k E N mit bab
Da o r d a
also
a~ ,
a
b2ab 2
b(bab)b
a~ .
p folgt k 2 = 1 (modp), also ist nach den Rechenregeln fiir Kong~'uen-
zen
k=-4-1(rnodp)
undsomit
bab
a• l .
[]
Als Folgerung erhglt man: Die Gruppe .44 der" O r d n u n g 12 enthiilt keine Unteryruppe G < .44 m i t ord G
6.
G ~ ZG ist unmSglich, da .44 kein Element der Ordnung 6 enth/ilt. G ~ D3 ~ 83 ist ebenfalls unmSglich (vgl. Beispiel 4 aus 14.6)..44 und 83 enthalten genau drei Elemente der Ordnung 2, aber in .44 erzeugen sie eine zur Kleinschen Vierergruppe isomorphe Untergruppe, in 83 erzeugen sie gaaz 83. []
Beispiel 2
Gruppen der Ordnung pq
Wir betrachten zwei Primzalllen p, q mit p < q und eine Gruppe G mit ord G 1. F a l l
pq.
G ist zyklisch~ w e n n p { (q - 1).
B e w e i s Wir bezeictmen mit sp und sq die Anzalilen der p- bzw. q-Sylowgruppen in C. Es geniigt sp
sq
1
zu zeigen: Dann sind die einzigen Sylowgruppen @, Sq ~ G Normalteiler und @ o Sq {e}, also ist nacti I 3.3 und I 3.9
GxG-ZpxZq~Zpq
a
Nach Sylow gilt sv Iq
und
sv
l+kp,
sq I P
und
sq
l+lq.
Aus sp q wiirde q - 1 kp folgen, das widerspricht der Voraussetzung. Da p < q, ist auch p - 1 lq und damit sq p unmSglich. Also folgt sp sq 1. [] Im Fall p I (q - 1) ist die Situation komplizierter. Da p < q, folgt wie oben sq also ist a
Sq~Sp-Gx~ G
1,
126
I GRUPPEN
Ist C abelsch, so ist das semidirekte Produkt direkt und C ~ Zpq. Andernfalls muss man die mSglichen nicht trivialen Operationen yon Zp auf Zq, d.h. die nicht trivialen Homomorphismen 9 :
Aut ( z 6
bestimmen. Dabei ist Z~ die in I 3.12 beschriebene Primrestklassengruppe der Ordnung q - 1. Zur Vereinfachung des Beweises benutzen wit schon hier die erst in II 1.10 bewiesene Aussage, dass Zqx zyklisch ist. Dalier gibg es zum Teller p von q - 1 genau eine Untergruppe der Ordnung p yon Aug (Zq), also bis auf Isomorphie nur eine nicht triviale Operation q). Also gilt: 2. F a l l Falls Operation ist.
p l ( q - 1 ) ist C ~ Zpq oder Zq x ~ Zp, wobei ~) die oben beschriebene []
Damit ist der Fall 2p aus Beispiel 1 noch einmal in allgemeinerem Ratmien behasldelt.
Beispiel 3
Gruppen der Ordnung 8
Die Gruppen Zs , Z4 x Z2 , Z2 x Z2 x Z2
und
D4 (Diedergruppe) , Q (Quaternionengruppe) haben die Ordnung 8. Nach dem Struktursatz fiir endliche abelsche Gruppen aus 1 6.4 gibt es nur die in der ersten Zeile angegebenen abelschen G r u p p e n der Ordnung 8 (wie immer bis auf Isomorphie). Es geniigt also Folgendes zu zeigen: Lemma
Ist C n i c h t abelsch und ord C G~D4
8, so ist
oder
G~Q.
Beweis Die m6glichen Ordnungen eines Elementes a E C sind 1, 2, 4, 8. Die 8 k~ln nicht aut%reten, denn dann wSxe G zyklisch. Hgtten alle Elemente a ~ e die Ordnung 2, w/ire G nach Beispiel 4 aus I 2.5 abelsch; also gibt es ein a E G mit orda 4. D a n n i s t N :
{e, a, a 2, a 3} <1 G ,
a4
und
e
a
1
Ist b E G \ N, so folgt C
{e, a, a 2, a 3 } U {b, ba, ba 2, ba 3 } ,
und wir betrachten folgende m6glichen F/~lle:
bab 1
c
ord a
a
G abelsch ord a ord a 2
a2
a3
i 2
a3
6.13 B E I S P I E L E
127
Also verbleibt nur die MSglichkeit bab 1
d.h. ba
a l,
a lb.
Da G I N ~ Z2 ist b2 E N, also gibt es die MSglichkeiten C
b2
a
a2
as
a 1
~
ordb
8
~
ord b
8
Zusammenfassend b M b e n zwei MSglichkeiten: a4
1 , ba
a l b,
{b 2 b2
a2
~
e
G~Q
~
G ~ D4
Dabei haben wir die Beschreibungen durch Erzeugende und Relationen yon Q aus Beispiel 4 in I 1.8 und yon D~ aus Beispiel 5 in I 3.6 benutzt. [] Beispiel
I s t ord G
4
Gruppen
der
Ordnung
12
12, so ist G i s o m o r p h zu e i n e r der f o l g e n d e n 5 G r u p p e n :
Z 4 x Z s , Z 2 x Z 2 x Z s , . 4 4 , D6, Z s x c Z 4 . Die beiden ersten sind abelsch, die letzte ist in Beispiel 6 aus I 3.6 beschrieben. B e w e i s Da 12 22 93, gibt es 2- und 3-Sylowgruppen S und T, fib" ihre Anzahlen
gilt
s2=l(mod2)
und
s2 13,
also
s2
1 oder 3
ss=l(mod3)
und
ss 14,
also
ss
1 oder 4
In jedem der m6glichen F511e hat m a n Isomorphismen S~Z4
oder
S~Z2
xZ2
und
T~Zs.
s 2 = s a = 1 : In diesem Fall sind S und T Normalteiler, also ist G abelsch und isomorph zu Z4 x Z3 oder Z2 x Z2 x Z3. s2 = 3 und s 3 = 4 : Dieser Fall kann nicht auftreten. Vier verschiedene zu Z3 isomorphe Untergruppen enthalten zusammen 1 + 4 92 9 Elemente. Da bleibt nut noch Platz ffir eine Untergruppe der Ordnung 4, also ist s2 3 unm6glich. s2 = 1 und s 3 = 4 : Wir zeigen, dass in diesem Fall G isomorph Dazu betrachten wir die Menge
zu
der 3-Sylowgruppen T~ < G. Nach dem Satz yon Sylow ist die Operation
G x M ~ M , (a,T~)~aT~a 1
~z[4
ist.
128
I GRUPPEN
trmlsitiv, also ist ord G ( T ) ordG
4 fiir jedes T E M. Aus
o r d G ( T ) 9o r d S t a c ( T )
folgt
Da T C S t a c ( T ) und o r d T 3, folgt S t a c ( T ) auf M i s t ein Homomorphismus
ordStac(T)
3.
T. Durch die Operation von G
~ : G ---+g4 gegeben (Bemerkung aus I 4.1). Da S t a c ( T )
T fiir alle T E M i s t
4
Ker
A Ti {6},
i 1
also ist ~ injektiv. Wie wit schon oben gesehen hatten, gibt es in G insgesamt 8 Elemente der Ordnung 3, ihre Bilder in g4 sind 3-Zyklen. Da A4 naeh dem Koroll0x" aus I 4.5 von den 3-Zyklen erzeugt wird, ist ~(G) r s2 = 3 , sa = 1 : Fib die Sylowgruppen S, T < G gilt S~Z4
oder
S~Z2
xZ2
und
Za
{6, y, y2}
T
die Bedingungen aus dem Satz in 1 3.5 sind erfiillt, also ist G
T~S.
Das ffihren wir noch einmal explizit aus. S operiert auf T durch Konjugation, das ergibt einen Homomorphismus q)" S--~ A u t ( T ) ~ Z2, a~-~ q)~
mit
q)~(y)
1
aya
{ ~2 oder y 1.
Nun sind zwei F/ille zu unterseheiden: 1. S {6, x, x 2, x a } ~ Z4: Wegen s2 die Inversion sein. Da
2. S wir
G
Erz(z,y), z4
G
T)~ S ~
ya
3 ist G nicht abelsch, also muss q)~
eund:cy:c
y 1, ist
Z3 x o Z4.
{e, :c, z, :cz} ~ Z2 x Z2 : Da 9 nicht trivial ist, und Aut (T) ~ Z2, k6nnen
9 (e)
~(z)
idf
und
~(z)
O~(:cz)
.
oxmehmen. Nun ist es einfach zu sehen, dass G isomorph ist zur Diederg~'uppe D6, an die wir kurz erinnern (Beispiel 5 aus I 3.6). Es ist D6
{6, a , . . . , a s ,b, a b , . . . , a S b }
Erz(a,b) mit a 6
b2
e und ba
a lb.
6.13 BEISPIELE
129
2- und 3-Sylowgruppen in D6 sind {e, a 3, b, aab} < D6
S' :
und
{e, c~2, C~4} <1D6 9
T'
S' operiert auf T ' dutch Konjugation, e und a 3 trivial, b3 und aab als Inversion. Daher sieht man durch die ,~dentifikationen" y
a 2, z
a 3, z
b, dass D 6 ~ T > ~ S ~ Z 3
xr
xZ2).
Da 9 auf einem Faktor yon Z2 trivial operiert, ist a ~ Z3 x ~ (Z2 x Z2) ~ (Z3 x Z2) x ~ Z2 ~ ZG x ~ Z2
Beispiel 5
Gruppen der Ordnung _< 15
Unter Benutzung der bisher behandelten Spezialffille k6nnen wir nun alle Isomorphieklassen yon Gruppen bis zur Ordnung 15 auflisten: Ordnung
Anzahl
Abelsch
Nicht abelsch
2
1
Z2
I 3.7
3
1
Z3
I3.7
4
2
Z4, Z2 x Z2
I 4.4, I 6.4
5
1
Z5
I3.7
6
2
Z6
7
1
Z7
8
5
Z8, Z4 x Z2,
83 ~ D3
Begrtindung
I 6.13, Beispiel 1 I 3.7
D4, Q
1 6.13, Beispiel 3
Z2 x Z2 x Z2
9
2
Zg, Z3 x Z3
10
2
Z10
11
1
Zll
12
5
Z4 x Z3,
I 4.4, I 6.4 D5
I 6.13, Beispiel 1 I 3.7
A4, D6, Z3 x r Z4
I 6.13, Beispiel 4
Z2 x Z2 x Z3
13
1
Z13
14
2
Z14
15
1
Z15
I 3.7 D7
I 6.13, Beispiel 1 I 6.13, Beispiel 2
130
z GRUPPEN
Von der Ordnung 16 gibt es neben den 5 in Beispiel 1 aus I 6.6 aufgeEihrten abelschen G r u p p e n noch 9 weitere Isomorphieklassen nicht abelscher Gruppen. Das zu begriinden wiirde den Rahmen dieses Kapitels sprengen. Eine allgemeine Formel fiir die Anzahl der Isomorphieklassen in Abh/ingigkeit yon der Ordnung ist bisher nicht beka~mt.
Beispiel 6
D o n Giovanni Gruppen
Madamina, il catalogo ~ questo Delle belie che am6 il padron mio; Un catalogo egli ~ che ho fatt'io; Osservate, leggete con me. In Italia s e i e e n t o e q u a r a n t a ; In Almagna d u e e e n t o e t r e n t u n a ; C e n t o in Franeia, in Turehia n o v a n t u n a ; Ma in Ispagna son gig mille e t r e . (Beginn der Arie des Leporello aus ,,Don Giovanni" yon W.A. Mozart, Libretto yon Lorenzo da Ponte.) Zur l~bung wollen wir versuchen, die mSglichen Strukturen yon G r u p p e n der Ordnungen 640, 231,100, 91 und 1003 zu bestimmen. 640 = 2 r 95 Italien ist der komplizierteste Fall, es gibt insgesamt 21 541 Isomorphieklassen. Einfach wird es, wenn wit abelsch voraussetzen: Naeh Beispiel 1 aus I 6.6 gibt es 15 T y p e n der Ordnung 2 r 128, die direkten Produkte mit Z5 ergeben die 15 T y p e n der Ordnung 640. 231 = 3 97 9 11 hi Deutschland gilt Eir die Gruppe G und die Anzahlen sp der p-Sylowgruppen yon G: s3 = 1 (rood 3) und s3 I 7 . 1 1 , also s3
1 oder 7,
sr = 1 (rood 7) und sr I 3 911, also sr
1 und,
811 ~ 1 (rnod 11) und 811 I 3 97, also 811 Im Fall s3 ist
sr
Sll G
1.
1 sind die p-Sylowgruppen $3, St, $11 Normalteiler, also S 3 X S 7 X $11 ~ Z 3 x Z 7 x Z l l
hn Fall s3 7, 87 811 Sylowgruppen, so folgt ( S 7 X $11 ) <1G
1 sind Sr und
lind
G
$11
~ 2231 .
Normalteiler. Ist $3 eine der 3-
( S 7 x $11 ) M S 3 ~ ZTT X ~ Z 3 .
Es bleiben die nicht-trivialen Homomorphismen (vgl. I 3.12) q) 9 Z3 --+ Aut (Zrr) ~ Aut (Zr) x Aut (Zll) ~ Z~< x Z~
6.13 BEISPIELE
131
zu bestimmen (vgl. Fall 2 aus Beispiel 2). Da ord Z~<
6
und
ord Z~]
10,
ergibt das Bild yon Z3 eine eindeutige Untergruppe yon Aut (ZT) ~ Z~<. Ein Element der Ordnung 3 in Z~< ist 2 + 7Z, also kann m a n explizit Z7
{e,a,...,a6},
Z3
{e,b,b 2}
und
~v(a)
a2
sehreiben. Sehliet~lich erhglt m a a G ~ Z l l X ( Z 7 Xdb 23) 9
Eine explizite Besehreibung von Z~< findet m a a in Beispiel 1 aus I I 2.5. 100 = 22 9 52
In Frankreieh gibt es zungchst vier abelsehe Gruppen:
Z4 x Z2s ~ Zloo, Z4 x Z.s x Z.s ~ Z.s x Z2o, Z2 x Z2 x Z2s ~ Z2 x Z.s0, Z2 x Z2 x Z~ x Zs ~ Z10 x & 0 9 Ftir die Anzalflen sp der p-Sylowgruppen ergeben sieh die notwendigen Bedingungen s2 = 1 (rnod 2) und s2 I 25, also s2
1 oder 5 oder 25,
s5 = 1 (rnod 5) und s5 I 4, also s5
1.
Damit hat m a a einen Normalteiler $5 < G und ftir jede 2-Sylowgruppe $2 < G i s t O
S5 ~ S 2 .
Nun gibt es die Mgglichkeiten $5 ~ Z25 oder $5 ~ Z5 x Z5 und $2 ~ Z4 oder $2 ~ Z2 x Z2. Wenn m a n alle MSglichkeiten durchspMt, erhglt m a n folgende Anzahlen yon Isomorphieklassen zu den vorgegebenen Faktoren: Z2 x Z 2 225
3
2
Z.5 x Z.5
7
4
Dabei wird benutzt, dass Aut (Z25) ~ Z~5
Z20
und
Aut (Z5 x Zs) ~ GL (2; Fs) .
Ein erzeugendes Element yon Z ~ ist etwa 2 + 25Z. Das sind 16 Klassen, die oben angegebenen 4 abelschen sind darin enthalten. 91 = 7 9 13 (Beispiel 2).
In der Ttirkei ist G zyklisch, denn 7 ist kein Teiler yon 12
132
I GRUPPEN
1003 ---- 17 9 59
Beispiel 7
Auch in Spmfien ist C zyklisch: 17 { 58.
G r u p p e n der Ordnung p"
Ist die Ordnung Potenz einer Primzahl, so gibt es besonders viele Klassen nichtisomorpher Gruppen. Nach I 6.4 gibt es schon zu jeder Partition des Exponenten n eine Isomorphieklasse abelscher Gruppen, ffir die Zahl der Isomorphieklassen nicht-abelscher Gruppen gibt es bisher keine genaue Formel. Ffir kleine p und n hat man die Anzahlen der Isomorphieklassen berechnet, hier ein Ausschnitt aus [B-E-O'B]:
p\n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
1
2
5
14
51
267
2328
56092
10494213
3
1
2
5
15
67
504
9310
5
1
2
5
15
77
684
34297
7
1
2
5
15
83
860
113147
11
1
2
5
15
87
1 192
750 735
w7. EINFACHE UND AUFLOSBARE GRUPPEN*
133
w 7 Einfache und auflSsbare Gruppen* In diesem letzten Paragraphen zur Gruppentheorie werden noch einige Hilfsmittel bereitgestellt, die bei der Frage der L5sbarkeit yon Polynomgleichungen in w yon Kapitel III entscheidend sind. Sie sind auch grundlegende Werkzeuge bei der weitergehenden Untersuehung der Struktur yon Gruppen.
7.1
Einfache Gruppen
hi I 3.7 hatten wir als Korollar gezeigt, dass eine Gruppe mit nur den trivialen Untergruppen zyklisch yon Primzalllordnung ist. Interessanter ist der folgende Begriff: Eine Gruppe G heigt einfach, wenn {e} und G die einzigen Normalteiler yon G sind. Beispiele sind die abelschen Gruppen Zp. Es ist nicht trivial, dass es nicht abelsche einfache Gruppen gibt. An der Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen wurde laxige gearbeitet (vgl. [Mi]), wit geben hier nut die ,,einfachste" Klasse an. Satz
Die alternierende Gruppe A~ ist fiirn ~ 4 einfach.
Beweis Fiir n 1, 2, 3 ist die Aussage klar, denn A1 A2 {id} und A3 ~ Z3. In A4 gibt es den zur KMnschen Vierergruppe isomorphen Normalteiler N
{id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(3,2)}.
Fiir n 5 haben wir die Ikosaedergruppe A5 der Ordnung 60. Dafiir hatten wit in I 5.6 die Klassengleichung 60
1+15+20+12+12
bewiesen. Die Summanden rechts sind die Ordnungen der Konjugationsklassen. Ist N
1 + Summe der Ordnungen yon Konjugationsklassen
und ord N teilt 60. Das ist offensiehtlieh nur fiir ord N N {id} und N As mSglieh.
1 und ord N
60, also
F i i r n > 6 geniigt es zu zeigen, dass ein Normalteiler N <1A~ alle Dreierzyklen enthSlt. Dafiir verweisen wir etwa auf [vdWl, w oder [Ro, 3.15]. [] Es ist eine beliebte abet knifiqige {)bungsaufgabe folgende Eigenschaften der Ikosaedergruppe zu zeigen:
Bemerkung a) Fiir jede nicht-abelsche einfache Gruppe G gilt ord (G) > 60. b) Jede einfache Gruppe G mit ord (G) 60 ist isomorph zu As. Zum Beweis yon Tell a) bleibt es nicht erspart, in allen nicht abelschen Gruppen G mit ord G < 59 einen echten Normalteiler zu suchen. Entsprechend der Prilnfaktorzerlegung yon ord G erhgk man fiinf verschiedene Typen A, B, C, D, E:
134
I GRUPPEN 20
22 95
D
40
23 95
E
21
3.7
B
41
41
A
2
2
A
22
2.11
B
42
2.3.7
E
3
3
A
23
23
A
43
43
A
4
22
A
24
23 93
E
44
22 911
D
5
5
A
25
52
A
45
32 95
E
6
2.3
/3
26
2.13
B
46
2 9 23
/3
7
7
A
27
33
A
47
47
A
8
23
A
28
22 97
D
48
24 93
E
9
32
A
29
29
A
49
72
A
10
2.5
/3
30
2.3.5
E
50
2 952
C
11
11
A
31
31
A
51
3.17
B
12
22 93
E
32
25
A
52
22 9 13
D
13
13
A
33
3.11
B
53
53
A
14
2.7
B
34
2 9 17
B
54
2 933
C
15
3.5
B
35
5.7
B
55
5.11
B
16
24
A
36
22 9 32
E
56
23 97
E
17
17
A
37
37
A
57
3.19
B
18
2 932
C
38
2.19
B
58
2 9 29
B
19
19
A
39
3.13
B
59
59
A
T y p A ord G p~ m i t e i n e r P r i m z a h l p und n E N. Ist G nicht abelsch, so ist das Z e n t r u m Z ( G ) < G ein nicht-trivialer Normalteiler, {e} erg/ibe einen Widerspruch zur Klassengleichung (I 4.4). denn Z ( G ) T y p B ord G p 9 q, m i t P r i m z a h l e n p, q, p < q. hi diesem Fall ist sq 1 (Beispiel 2 aus I 6.13), also ist die Sylowgruppe Sq < G ein nicht-trivialer Normalteiler. 2 9p~ m i t einer P r i m z a h l p ~ 2 nnd n E N. Typ Cord G Aus den Sylow-Sgtzen folgt sp 1, also ist Sp < G ein nicht-trivialer Normalteiler. p 2 . q, m i t P r i m z a h l e n p, q, p2 < q. T y p D ord G Aus den Sylow-Sgtzen folgt sq 1, also ist Sq < G ein nicht-trivialer Normalteiler.
T y p E ord G E {12, 24, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 56} Diese restlichen Fglle miissen individuell mit Hilfe der Sylow-Sgtze erledigt werden. Das sei dem Leser zur U b u n g empfohlen. Eine Anleitung z u m Beweis yon Aussage b) findet m a n etwa in [N-S-T, Exercise 8.13].
7.2 KOMMUTATORGRUPPEN
7.2
135
Kommutatorgruppen
Auf der Suche nach Normalteilern mit abelscher Faktorgruppe sind die Kommutatorgruppen als kleinste Norm~lteiler mit dieser Eigenschaft hilfreich. Zun/ichst die grundlegenden Begriffe: Ist G eine Gruppe, so heigt zu a, b E G das Element
aba l b l E G
[a,b]: der K o m m u t a t o r
yon a und b. Offensichtlich ist
ab
ba e=~ [a, b]
e.
Die yon der Menge {[a, b] E G : a, b E G} aller Kommutatoren erzeugte Untergruppe
Kom (G) < G (auch die Bezeichnungen G' und [G, G] sind iiblich) heigt K o m m u t a t o r g r u p p e yon G. Man beachte, dass
[~, ~] ~
[~, ~],
aber
[~, ~]. [~, d]c Kom (G)
muss kein Kommutator sein (Beispiel 1 in 1 7.3). Daher ist nach dem Hilfssatz aus
I 1.7
0ffensichtlich ist G genau dann abelsch, wenn Kom (G) {e}. Die Gr5ge yon Kom (G) kaan Ms ein Mag dafiir migesehen werden, wie ,,unabelsch" eine Gruppe ist.
Lemma Fiir jede Gruppe G hat die Kommutatorgruppe Kom ( G) < G folgende Eigenschaften: a) Kom ( G) < G i s t Normalteiler b) G / K o m (G) ist abelsch c) Ist N < G, so gilt: G / N abelsch e=~ Kom (G) < N. Beweis a) Die Konjugation mit einem x E G i s t ein Endomorphismus n~ yon G. Also gilt fiir a, b E G
c) ,,<=" Fiir a, b E G gilt in G / N
(~x)(vx)
(~v)x (~v[v 1~ 1])x
(w)x
(vx)(~x).
, , 3 " Ist p : G -~ G / N der kanonische Epimorphismus, so muss [a, b] E Ker p sein, denn p([a, b]) b(a), p(b)] N,
N
weil G / N abelsch ist. b) folgt aus c).
[]
136
I GRUPPEN
7.3 Beispiele Zur Vorbereitung der Anwendungen in der Galois-Theorie betrachten wir die Kommutatoren in der symmetrischen Gruppe.
Beispiel 1 Die Suehe nach einem Produkt yon Kommutatoren, das kein Kommutator ist, eribrdert unerwartete Geduld. In [Ca, p. 39] finder man ein explizites Beispiel G
al
(1,3)(2,4), a2
(5,7)(6,8), a3
a5
(1,3)(5,7)(9,11),
a7
(5, 6)(7, 8)(13, 14)(15, 16), as
a6
(9,11)(10,12),
an
(13,15)(14,16)
(1,2)(3,4)(13,15) (9, i0)(ii, 12).
Dann ist G : Erz (al, ..., as). Wie man leicht nachrechnet, ist
[as,as]
a3 und
[a6,aT]
a4
Mutige Leser mSgen versuchen zu zeigen, dass Kom (G)
Erz ( a l , . . . , a 4 )
und
a3 9an E Kom (G)
das einzige Element yon Kom (G) ist, das kein Kommutator ist.
Beispiel 2 Kom (G~)
{id} A~
fiir fiir
n 1, n _> 2 .
Der Fall n 1 ist trivial, sei also n _> 2. Da ord (G~/A~) also folgt Kom (G~) < A~ aus dem Lemma.
2, ist
G~/A~ abelsch;
Da A2 {id} < Kom (g2), ist auch der Fall n 2 klar. F i i r n _> 3 benutzen wir fiir den Nachweis yon A~ < Kom (G~), dass jedes Element yon A~ nach dem Korollar aus 1 4.5 ein Produkt yon 3-Zyklen ist. Fiir paarweise verschiedene i, j, k E { 1 , . . . , n} gilt aber
(i, j, k)
(i, k). (j, k). (i, k). (j, k)
[]
Beispiel 3 Kom
(A~)
{id} K4 A~
fiir n < 3 , fiir n 4 , fiir n>5.
Dabei bezeichnet K4 {id, (i, 2). (3, 4) , (i, 3). (2, 4) , (i, 4). (2, 3)} < -44 eine Kleinsche VierergTuppe.
7.4 AUFLOSBARE GRUPPEN
137
Ftir n < 3 ist A~ abelsch. I m Fall n 4 sieht mazl an der Zyldenstruktur der Elemente yon iK4,, dass iK4 <1A4. Wegen ord (A4/iK4) 3 ist A4/iK4 abelsch, also Kom (A4) < iK4. Andrerseits ist ffir paarweise verschiedene i, j, k, 1 E {1, 2, 3, 4}
(i,j).(k, 1)
( i , j , k ) . ( i , j , 1).(k,j,i).(1,j,i);
daraus folgt iK4 < Kom (A4). Ffir n _> 5 genfigt es nach dem Korollar aus 1 4.5 zu zeigen, dass jeder Dreierzyklus ein Kommutator yon Dreierzyklen ist. Das folgt abet fiir paa'weise verschiedene i,j,k, 1, m E { 1 , . . . , n } aus
(i,j,k)
[]
(i,j,1). (i,k,,~). (1,j,i). (,~,k,i).
Natiirlich kann man die Behauptung fiir n > 5 auch daz'aus folgern, dass A~ einfach ist.
7.4
AuflSsbare Gruppen
Die Bedingung der AuflSsbarkeit einer Gruppe hSngt eng zusammen mit KSrpererweiterungen. Es gibt zwei etwas unterschiedliche MSglichkeiten, diesen Begriff zu definieren; wit beschreiben beide. Zun~ichst ka~m man die Bildung der Kommutatorgruppe iterieren: Man definiert fiir eine Gruppe G induktiv die hSheren Kommutatorgruppen Kom~
G, Koml(G):
Kom(G) und Kom~+l(G)
Kom(Kom~(G)).
Auf diese Weise erhSlt man eine absteigende Kette C ~ Kom 1(C) ~ Kom 2(C) ~ . . . yon Normalteilern, nach dem Lemma aus I 7.2 ist
Kom~+l(G)/Kom~(G)
abelsch fiir
k _> 0.
Es hgngt yon G a b , wie welt die Folge Kom~(G) in G absteigt. Nach Beispiel 3 aus I 7.3 ist Kom~(g~) A~ ftir n k 5 u n d a l l e k k 1. Besonders ausgezeichnet ist der Fall, dass Kom~(G) fiihrt zu folgendem Beg-rift.
{c} ffir irgend ein k. Das
Ein (k + 1)-tupel yon Untergruppen (No, N 1 , . . . , N~) einer Gruppe G hei]~t Normalreihe in G, wenn
G
NoE>N1E>...E>N~ {e}.
Die Faktorgruppen Ni/Ni+l heigen Faktoren der Normalreihe.
138
I GRUPPEN
Entscheidend ist das folgende Lemma
Fiir eine Grippe G sind folgende Bedingungen iiquivalent:
i) Es gibt ein k E N mit Kom ~ (G)
{e}.
ii) Es gibt in G eine Normalr'eihe mit abelschen Faktor'en. Man nennt eine Gruppe G aufl6sbar, wenn sie eine der (und damit beide) Bedingungen des Lemmas erffillt.
Beweis des Lemmas i) ~ ii) ist klar. Zum Nachweis yon ii) ~ i) genfigt es wegen N~ {e} zu zeigen, dass Komi(G) < Ni
ffir
i
0,...,k.
(*)
Ffir i 0 ist das klar. Angenommen (,) sei sehon ffir i bewiesen. Da Ni/Ni+l abelsch ist, folgt Kom (Ni) < Ni+l und somit Komi+l(G)
K o m ( K o m i ( G ) ) < Kom(Ni) < Ni+l .
In einer endliehen aufl6sb0x'en Gruppe kann man eine Normalreihe optimal verfeineril:
Satz Ist G endlich und auflSsbar, so gibt es eine Normalr'eihe, der'en Faktor'en zyklisch von Pr'imzahlordnung sin&
Beweis Eine gegebene Normalreihe ( N o , . . . , N~) yon G kaan man verfeinern durch wiederholte Anwendung folgender Hilfsaussage Ist N <1G ein echter Normalteiler der'art, dass G / N abelsch und endlich ist, so gibt es einen weiteren Normalteiler H mit
N <1H <1G, so dass ord ( H / N } eine Primzahl ist
Beweis der Hilfsaussage Da ord ( G / N ) > 1, gibt es ein a E G / N mit a / ~ ~. Die Gruppe Erz (a) < G I N ist zyklisch; zu einem Primteiler p yon ord a gibt es nach 1 3.10 eine Untergruppe H' < Erz (a) < G I N mit ord H' p. Nun betrachten wit das Diagramm G > H > N
In
1
mit dem kanonischen Epimorphismus p und H : rungssatz in I 3.1 ist H / N ~ H'.
1 p I(H'). Nach dem Faktorisie[]
Ffir eine sp/~tere Anwendung in der GMois-Theorie benStigen wir noch eine Aussage fiber die AuflSsbarkeit yon Untergruppen und Faktorgruppen. Dazu benutzen wir die
7.4 AUFL()SBARE GRUPPEN
139
Bemerkung Ist ~ : G --~ G' ein Gruppenhomomorphismus, so gilt fiir alle k 9 N
c Kom (C') Beweis Entscheidend ist die Gleichung
(,) fiir alle a, b 9 G. Da p(G) < G', gen[igt es die erste Gleichung zu beweisen. F[ir k 0 ist sie trivial, fiir k 1 folgt sie aus (*). Der allgemeine Fall ergibt sich dutch Induktion, denn p(Kom~+l (G))
p(Kom (Kom~ (G))
Kom (p(Kom~ (G))
Kom (Kom~ (p(G))
Kom ~+l(p(G)) .
Korollar
a) Jede Untergruppe einer auflSsbaren Gruppe ist auflSsbar.
b) Ist N < G Normalteiler~ so gilt: G
Beweis
auftSsbar tee N und G / N auflSsbar.
a) Ist H < G und ~ : H --~ G die Inldusion, so folgt aus der Bemerkung
Korea(H) Also ist mit Koln~(G)
,(Korea(H)) < Korea(G) .
{el auch Kom~(H)
{el.
b) ,,~" N ist nach Teil a) auflSsbaz'. Bezeichnet p : G --+ G / N den kmlonischen Homomorphismus, so iblgt aus der Bemerkung
I{om(C/N) p(Kom (C)) Daher ist auch G / N auflSsbar. {~}, wobei , ~ " Wir wghlen ein k r N mit Kom~(N) {el und Kom~(G/N) N r G / N das neutrMe Element bezeichnet. Wieder nach der Bemerkung folgt p(Kom~(G))
Kom~(G/N)
Damit erhglt man Kom2~(G)
{~} , also Kom~(G) < N .
Kom~(Kom~(G)) < Kom~(N)
{el.
[]
140
7.5
I GRUPPEN
AuflSsbarkeit von p-Gruppen
In 1 4.4 hatten wir gesehen, dass jede Gruppe der Ordnung p2 abelsch ist. Ffir eine Anwendung in der KSrpertheorie notieren wir den Iblgenden allgemeineren Satz
I~t p eine Primzahl und n E N, so ist jede Gruppe der" Ordnung S ~ auflSsbar.
0 ist trivial. Falls n > 1, beBeweis durch Induktion fiber n. Der Fall n trachten wir das Zentrum Z(G) ~ G, es ist ord Z(G) p~r~ m i t m < n. Nach der Klassengleichung aus I 4.4 ist der Fall m 0 ausgeschlossen, also ist ord ( G / Z ( G ) )
p~ ~r~ < p~ .
Nach Induktionsannalllne ist G / Z ( G ) aufl6sbar, Z(G) ist abelsch; also tblgt die Behauptung nach dem Korollar aus I 7.4. [] Wir vermerken noch ein spektakuls
Ergebnis aus dem Jahr 1963 IF-T]:
T h e o r e m y o n F E I T u n d THOMPSON Ordnung ist auflSsbar.
Jede endliche Gruppe von ungerader
Der Originalbeweis ist 255 Seiten lang.
7.6 Beispiele Beispiel 1 Die G r u p p e n Ffir n
A~ und g~ sind ffir n _< 4 auflSsbar.
1, 2 ist 82 abelseh. Ffir n
3 ist ga > Aa > {id}
eine Normalreihe mit abelsehen Faktoren. F fir n
4 hat m a n
g4 > -44 > K4 > Z2 > {id} ,
(*)
wobei K4 die Kleinsche Vierergruppe aus Beispiel 3 in I 7.3 ist. Da g4/A4 ~ Z 2
und
A4/~Js 4 ~ Z 3 ,
ist (,) eine Normalreihe mit Faktoren yon Primzalllordnung.
Beispiel 2 Die Gruppen A~ und 8~ sind ffir n _> 5 nieht aufl6sbar, da naeh Beispiel 3 aus I 7.3 Kom (A~) A~ . Die Kommutatorreihe Kom ~ (8~) wird also bei der einfaehen Gruppe A~ stationSz. Dies ist der Sehlfissel daffir, dass Polynomgleiehungen vom Grad _> 5 im Allgemeinen nieht dutch Radikale 16sbaz" sind. Das wird in I I I 5.11 entseheidend sein.
Kapitel II Ringe Eine zentrale Aufgabe der Algebra ist es, Aussagen fiber die Nullstellen von Polynomen zu machen. F fir den Umgaag mit Polynomen ist es nfitzlich, die abstrakten Hintergrfinde der Addition und Multiplikation zu formalisieren und die Analogien zu den entsprechenden Operationen mit ganzen Zahlen zu nutzen. Das ist der Ursprung der Theorie der Ringe. Als Hilfsmittel in der KSrpertheorie sind vor allem die Kriterien ffir die Irreduzibilit/t aus w wichtig. Weitergehende Ergebnisse der Idealtheorie sind Grundlage ffir die algebraisehe Geometrie.
w1 Grundbegriffe 1.1
Definition eines Rings
Im Gegensatz zu Gruppen gibt es in einem Ring R zwei Verknfipfungen: Eine Addition, mit der R zu einer abelschen Gruppe wird, und eine Multiplikation mit der R nur Halbgruppe sein muss. Die beiden Verknfipfungen sind durch Distributivgesetze gekoppelt. Ausffihrlich aufgeschrieben hat man iblgende
Definition Ein Ring ist eine Menge / / z u s a m m e n mit zwei inneren Verknfipfmigen + m i d . , die iblgende Bedingmigen erffillen: RI
/~ z u s a m m e n
mit + ist eine abelsche Gruppe.
R2
Die Multiplil~tion 9 ist assoziativ.
R 3 Es gelten die mistributivgesetze, d.h. ffir alle a, b, c E /~ ist
a.(b+c)
a.b+a.c
und
(b+c).a
b.a+c.a.
Das neutrale Element 0 E /~ der Addition heii~t Nullelement yon/~.
142
II RINGE
Wenn deutlich gernacht werden soil, urn welche Verknfipfungen es sich handelt, kann m a n einen Ring als Tripel (R, +, .) schreiben. Urn Klarnrnern zu sparen, gilt die iibliche Regel ,,Punkt vor Striclf', zudern l~sst m a n den Malpunkt rneist weg. Offensichtlich ist die Bedingung fiir die Multiplikation weit schw~cher als fiir die Addition. Fiir zus/tzliche Eigenschaften der Multiplikation gibt es Narnen: Ein Ring heigt k o m m u t a t i v , a.b b.afiirallea,bER.
wenn die Multiplikation kornrnutativ ist, d.h.
Ein Element, 1 E R heigt E i n s e l e m e n t , wenn 1 9a a. 1 a ffir alle a E R. Dass beide Bedingungen nStig sind, sieht m a n am Beispiel 5 aus I 1.2 Wir notieren zwei elernentare Regeln fiber den Zusarnrnenhang yon Addition und Multiplikation: Bemerkung
~) so
os
1 In r
o, (-s)~
Ring R gilt:
s(-~)
-(s~), (-s)(-~)
b) Hat R e i n E i n s e l e m e n t 1~ so gilt 1 N u l l r i n g ist.
s~.
0 genau dann, w e n n R
{0} der
Be~eis s) so s ( o + o ) so+so, os (o+o) s os+os, s~+(-s)~ (s-s)~ o, s~+s(-~) s(~-~) o, s~-(-s)(-~) s~+s(-~) 0. b) Ist R {0}, so hat offensichtlich 0 die Eigenschaft eines Einselernents. Ist urngekehrt 1 0, so folgt a la 0a 0 ffir jedes a E R. [] Ein a E R heigt r e c h t e r bzw. l i n k e r N u l l t e i l e r , wenn es ein b E R rnit b/~ 0 gibt, so dass b.a 0 bzw. a . b 0. Nach der obigen Bemerkung ist 0 sowohl rechter als auch linker Nullteiler. R heigt n u l l t e i l e r f r e i , wenn es keine rechten oder linken Nullteiler auger 0 gibt. Offensichtlich gilt: Bemerkung
2 Fiir einen Ring R sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) R ist nullteilerfrei. ii) R \ {0} ist multiplikativ abgeschlossen. iii) Es gelten die Kiirzungsregeln a 9x falls a, b, x E R und x ~ O.
b 9x ~ a
b und x 9a
x 9b ~ a
b~
Schlieglich nennt m a n einen Ring I n t e g r i t f i t s r i n g , wenn er folgende Bedingungen erfiillt:
1.2 EINHEITEN, KORPER, UNTERRINGE 1)
11 hat ein Einselement 1/~ 0.
2)
11 ist kommutativ.
3)
11 ist nullteilerfrei.
143
1.2 Einheiten, KSrper, Unterringe hn Gegensatz zur Addition haben Ringelemente im Allgemeinen kein Inverses beziiglich der Multiplil~tion. Das fiihrt zu einer neuen Definition Ist 11 ein Ring mit 1, so heilgt ein a E 11 E i n h e i t , wenn es ein 5 E 11 gibt mit a5 5a 1. Ist 11 nicht kommutativ, so sind in der Tat beide Bedingungen n5tig (Beispiel 5 in U 1.4). Bemerkung
In einem Ring 11 mit 1 ist die Menge 11• :
{a E tt : a ist Einheit } C11
bez@lich der Multiplikation eine Gruppe. 11• heiflt Einheitengr-uppe yon 11. Beweis 11• ist multiplikativ abgeschlossen, denn sind a, b E 11• so gibt es 5, b E 11 mit Augerdem ist 1 E 11• und zu a E 11• ist 5 ein Inverses.
[]
Ist 1 r 0, so gilt 11• C 11\{0}. Besonders wichtig ist der Extremfall 11• 11\ {0}, d.h. jedes a r 0 hat als Element der Gruppe 11• nach I 1.3 ein eindeutiges Inverses a 1 E 11• Das fiihrt zur Definition Ein K 6 r p e r ist eine Menge K zusmnmen mit zwei inneren Verhfiipfungen + m i d . , die iblgende Bedingmigen erfiillen: K 1 K zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 und Inversem - a yon a. K 2 K \ {0} zusammen mit der Multiplikation ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 und Inversem a 1 yon a. K 3 Fiir a, b, c E K gilt das Distributivgesetz
a.(b+c)
a.b+a.c.
Sind diese Bedingungen mit Ausnahme der K o m m u t a t i v i t g t der Multiplikation in K 2 erfiillt, so spricht man yon einem Schiefk6r'per (in diesem Fall muss m a n das Distributivgesetz K 3 auch in der anderen Reihentblge fordern).
144
II R I N G E
In II 1.13 werden wir zeigen, dass man jeden Integrit/tsring R zu einem KSrper Q (R), dem QuotientenkSrper, erweitern kann. Ist R endlich, so ist die Erweiterung gar nicht nStig: Lemma
Ein endlicher I,ntegritiitsring ist ein K6rper.
Beweis Ist a E R mit a/L 0 gegeben, so betrachten wir die Abbildung ]Za : [ { - - 4 [ {
~ 3:~--~a3:.
hi einem Integrititsring ist #~ injektiv, ist R endlich auch surjektiv. Also gibt es ein b E • mit ab 1. [] Nun zum n ~ h s t e n grundlegenden Begriff: Definition Ist R e i n Ring und S C R eine Teilmenge, so heii~t S Unter~ing yon R, wenn gilt: 1) F i i r a , b E S i s t a u c h a + b E S u n d a . b E S . 2) S mit den yon R geerbten Verkniipfungen + und 9 ist wieder ein Ring. Diese Definition folgt dem allgemeinen Schema fiir eine Unterstruktur. Fiir die Praxis verwendet man wieder e i n d e r speziellen Situation angepasstes handliches Kriterium: Bemerkung gilt:
a) s
Eine Teilmenge S C R ist genau dann Unterring, wenn folgendes
0.
b) a, b E S ~ a - b E S
und
a.bES.
Der Beweis folgt sofort aus dem entsprechenden Kriterium fiir Untergruppen in I 1.6. Ist schliet~lich K ein KSrper, so heilgt L C K ein U n t e r k S r p e r , wenn L ein KSrper und ein Unterring ist. K heitR dann Oberk6rper yon L, man nennt K > L auch KbYperer~weiter~ung . Damit besch/iftigen wir uns ausfiihrlich in Kapitel III. Wie bei Gruppen sieht man, dass der Durchschnitt beliebig vieler Unterringe S eines Ringes R wieder ein Unterring ist. Also kann man fiir eine Teilmenge M C R den yon M erzeugten Unterring Erz (M) :
r]
S
MCScR
erklSzen. Ist S c / ~ Unterring und a E /~, so ist die Notation
s[< :
(s
u
iiblich. Man sagt dafiir, a wird zu S adjungiert.
1.3 RINGHOMOMORPHISMEN
1.3
145
Ringhomomorphismen
Die mit Addition und Multiplil~tion vertr/~glichen Abbildungen zwischen Ringen nennt man wieder ,,tIomomorphismen". Definition
Sind (/~,+, .) und (/~',+', .') Ringe, so heiJgt eine Abbildung wenn fiir alle a, b E/~
: 1~ ~ 1~' R i n g h o m o m o r p h i s m u s ,
+
+'
.'
Die BegTiffe M o n o m o r p h i s m u s , Epimorphismus, Isomorphismus, Endomorphismus und A u t o m o r p h i s m u s erkl&'t man wie bei Gruppen (I 2.1). Ist ~ :/~ ~ / ~ ' ein Ringhomomorphismus, so heifft
d e r K e r n yon ~ und Im ~ ~(/~) C R' das B i l d yon ~. Man be~chte, dass bei der Definition des Kerns nur das neutrale Element der Addition vorkommt. Ohne jede Miihe zeigt man die folgenden Aussagen: B e m e r k u n g a) I s t ~ : R --+ R ' ein R i n g h o m o m o r l ) h i s m u s , so sind Ker ~ C R und Im ~ C R' U'nterringe. b) Sind ~ : R --+ R ' und ~ : R ' --+ R " Ringhomomorphismen~ so ist ~ o ~ : R --+ R " Ringhomomorl)hismus. c) I s t ~ : 1~ ~ 1~' R i n g i s o m o r p h i s m u s (d.h. bijektiver H o m o m o r p h i s m u s ) , so ist 1 : I~' ~ I~ R i n g i s o m o r p h i s m u s . d) I s t S C t~ U'nterr'ing, so ist die I,nklusion r : S --+ R R i n g h o m o m o r p h i s m u s . e) FAn R i n g h o m o m o r p h i s m u s
Ker p
~
: R
--~ R '
ist genau dann injektiv~ w e n n
{0}.
]') I~t ~ : R --~ R ' R i n g h o m o m o r l ) h i s m u s und R KSrper; so ist ~ injektiv oder p(a) 0 fiir alle a E R . []
Zum B e w e i s yon f ) ein kleiner Hinweis: Gibt es ein a E R \ {0} so folgt ~(1) 0 und daraus ~(b) 0 fiir alle b E R.
1.4
R • mit p(a)
0, []
Beispiele
Das fiir die spgteren Untersuctmngen wichtigste Beispiel ist der Polynomring, dafiir ist Absehnitt II 1.5 reserviert. Wir geben zungehst einige andere Beispiele. B e i s p i e l 1 Die ganzen Zahlen Z mit Addition und Multiplikation bilden einen E~tegritgtsring. Ein tbrmaler Beweis dieser Eigenschat~en gr[indet sieh auf die PEANO-Axiome. Die dazu nStigen ,,Peano-Spielereien" findet man etwa bei [ARM, 10.2] oder [Eb, Kap. 11. Beispiel 2
Z ist ein Unterring des KSrpers 9 m, n E Z ,
riCO
146
II RINGE
der rationalen Zahlen. In II 1.13 werden wir in Analogie zu 7, c Q ffir jeden Integrit~tsring R einen QuotientenkSrper Q(R) konstruieren. Mit Hilt~mitteln der Analysis (etwa Cauchy-Folgen oder Dedekindschen Schnitten) erh~lt man den KSrper ]R der reellen Zahlen als OberkSrper yon Q. Wir werden in Kapitel III sehen, dass es noch viele KSrper K mit Q c K c ]R gibt, man nennt sie Z w i s c h e n k 6 r p e r . Die wichtigste KSrpererweiterung yon R sind die komplexen Zahlen C D R. Ihre geometrische Beschreibung als Z a h l e n e b e n e •2 mit der ,jateralen" Einheit i x/-~f geht auf GAuss zurfick [Ga4, w31], (vgl. auch [vdW2]). R 2 hat fiber R die Basis (1, 0) und (0, 1), wir setzen 1 : (1, 0) als ,xeelle Einheit" und i : (0, 1) als ,~magin~'e Einheit'. Dann ist als Vektorraum C
R2
{a+bi'a,
bER}
bezfiglich der Addition eine abelsche Gruppe. Die Multiplikation ist dadurch lestgelegt, dass i 2 - 1 sein soll, also (a+bi)(c+di) Damit ist 1
:
(ac-bd)+(ad+bc)i.
1 + 0 i Einselement, das Inverse erh/ilt man aus der Reehnung 1
a+bi
a -
bi
(a+bl)(a-bl)
a
b
a2 + b 2
a2 + b 2
Wir fiberlassen dem Leser die restliehen kMnen Naehweise ffir die Axiome im KSrper C der komplexen Zahlen. Wie wir in Kapitel III sehen werden, gibt es zwischen ]R und C keinen echten ZwischenkSrper. Dagegen gibt es zwischen 7, und C vide interessante Zwischenringe, etwa den Ring 7, + 7`i : { m + n i " m, n E 7`} C C der g a n z e n G a u f l s c h e n Z a h l e n (mehr dazu in II 3.12). Zu z a + b i E Cheifft 2 : a - b i E C d i e k o m p l e x k o n j u g i e r t e Z a h l u n d N ( z ) : z 92 a 2 + b2 E R die N o r m yon z. Es gelten die Rechenregeln
Aus der Norm erhSlt man den A b s o l u t b e t r a g
Man kann die Multiplikation auch schSn mit Polarkoordinaten in R 2 beschreiben, das finder man z.B. in [Fil, 1.3.4]. Natfirlich ka~m man R 2 auch dutch die Multiplikation (a,b).(c,d):
(a.c,b.d)
1.4 BEISPIELE
147
z u einem kommutativen Ring mit Einselement (1, 1) machen. Allerdings wimmelt es dann yon Nullteilern, etwa
(1,o). (o,1)
(o,o).
Beispiel 3 Es ist naheliegend eine zur KSrpererweiterung ]R c ]R2 C analoge Konstruktion ]R c ]R~' mit n > 3 zu versuchen. In I I I 1.8 werden wir mit Hilfe des ,~Fundamentalsatzes der Algebra" zeigen, dass dies unmSglich ist. Dass es ffir ungerades n nicht geht, kaxui man schon daraus folgern, dass ein reelles Polynom ungeraden Grades eine reelle Nullstelle hat. Es gilt (vgl. [Eb, Kap. 6]): I~t ]R C ]R~'
K eine Kb'rpererweiterung mit ungeradem n, so ist n
1.
Beweis R ~ K bedeutet, dass K ein R-Vektorraum der Dimension n i s t . Ftir jedes a E K ist die Abbildung
F:]R~--~]R ~, v~-+v.a, ein Vektorraum-Endomorphismus, denn
Da n ungerade ist, hat das chazakteristische Polynom yon F eine reelle Nullstelle A, es gibt also einen Eigenvektor 0 r v E ]R~'. Aus a v Av folgt (a - A. 1) v 0. Da K nullteilerfrei ist, muss a A 91 E R sein. [] In Beispiel 6 zeigen wit, wie R 4 zum SehiefkSrper der Quaternionen gemacht wet'den kaan. Ftir grSgeres n hat es nut noch Sinn im R ~' naeh sogenannten D i v i s i o n s a l g e b r e n zu suchen. Man ka~m zeigen, dass daffir n e i n e Potenz yon 2 sein muss, noch genauer: Es geht hSchstens fiir n 1, 2, 4 oder 8. I m R s hat m a n die Struktur der O k t a v e n yon CAYLEY, sie ist nicht mehr assoziativ. All das findet man sehr schSn ausgefiihrt in [Eb, Kap. 7 und Kap. 10]. Beispiel 4
Ist M eine nicht leere Menge u n d / ~ ein Ring, so kann m a n in Abb(M,/~):
{/:M~/~}
dureh ( f + g ) ( z ) : f ( z ) + . q ( z ) und ( f . g ) ( z ) : f ( z ) ..q(z) fiir alle z E /~ eine Addition und eine Multiplikation erklSzen; wie man leicht sieht, wird Abb (M,/~) dadurch zu einem Ring. Ist M
{ 1 , . . . , n } , so ist Abb(M,/~)
/~x...x/~
:/~'
ein direktes Produkt; m a n nennt /~' den P r o d u k t r i n g . Ist M c ]R~ often u n d / ~ e(M,R) :
JR, so ist { f E Abb ( M , R ) : f stetig} C Abb ( M , R )
148
II RINGE
ein Unterring. Ein f E ~ (M, NI) ist genau dann Einheit, wenn f ( z ) r 0 ffir alle zEM. Ist M C C often und zusammenhgngend (in der bmplexen Funktionentheorie sagt man daffir g e b i e t ) , so ist O(M) :
{f E Abb (M, C) 9f
holomorph} C Abb (M, C)
ein Unterring, well Summen und Produkte holomorpher Funktionen wieder holomorph sind. Wie bei den stetigen Funktionen ist f E 0(M) genau dann Einheit, wenn f in M keine Nullstelle hat. Im Gegensatz zu r R) ist 0(M) ein Integritgtsring, denn ist 0 r f E 0(M), so hat f hSchstens isolierte Nullstellen (wie man in der Funktionentheorie 1nit Hiltb des Identitgtssatzes beweist). Beispiel 5 Sei G eine abelsche Gruppe, die Verknfipfung wird Ms Addition gesehrieben. Mit End (G) :
{ ~ 9G ~ G 9~
Homomorphismus}
bezeichnen wir die Menge der Endomorphismen yon G. Eine Addition in End (G) ist erkl&'t dureh
(~
+
~)(~)
:
~(~)
~(~),
+
als Multiplikation dient die Hintereinanderschaltung ~o~@. Bezfiglich der Addition ist End (G) eine abelsehe Gruppe, die Hintereinandersehaltung ist assoziativ und
(~ o (~,i + ~,2))(~)
~(~,~(~) + ~,2(~))
(~ o ~,~)(~) + (~ o ~,~)(~)
(~ o ,,~ +
9
~ o ",2)(~)
Analog zeigt man das a~idere Distributivgesetz, also ist End (G) ein Ring; er heifft Endomorphismenring yon G. Einselement ist die identische Abbildung, Einheiten sind die Automorphismen. Ist V e i n Vektorraum fiber einem KSrper K, so hat man analog den E n d o m o r R[X] p h i s m e n r i n g End (V). Als Beispiel betrachten wir den R-Vektorraum V der Polynome mit reellen Koeffizienten (vgl. II 1.5). Er hat die abz/ihlbare Basis (1, X, X2, . . . , X~,...). Wir geben zwei wichtige Endomorphismen an: Die Differentiation ergibt: D']R[X]--~]R[X], a ~ X ~ + . . . + a l X + ao ~ n a ~ X ~ 1 + . . . + al ,
durch Integration erhglt man
I'R[X]-~R[X]
b~X ~ + . . . + b l x + b 0 ~ '
b~r~ X ~r~+l + . . . + bl x 2 + boX
m+ 1
2-
Der Endomorphismus D ist nicht injektiv (den Kern bilden die konstanten Polynome) und I i s t nicht surjektiv (die konstanten Polynome liegen nicht im Bild). Offensichtlich ist DoI idR[x],
1.4 BEISPIELE
149
also ist D Linksinverses von I und I Rechtsinverses von D, abet D und I sind keine Einheiten im Ring End (R[X])! In einem beliebigen KSrper K kann man Probleme mit den ganzzahligen Faktoren bekommen (vgl. III 1.1). Ein atlaloges Beispiel erhglt m a n allgemein, indem man D und I auf der Basis (1, X , . . . , X ~ , . . . ) yon K[X] dureh D(X~):
X ~ 1, D ( 1 ) :
0
und
I(X~):
X ~+1
erklgrt. In einem endlich-dimensionalen Vektorraum geht das nicht: I~t dim/< V < oc und sind F, G E End (V) gegeben mit F o G I~omorphismen, al~o Einheiten irn Endomorl)hismenring.
idv, so sind F, G
Das weig man aus der linearen Algebra, denn aus F o G idv folgt durch Betrachtung der Dimensionen, dass F surjektiv und G injektiv ist (vgl. etwa [Fil, 2.2.4]).
Beispiel 6 Im vorhergehenden Beispiel hatten wir den Endomorphismenring einer abelsehen Gruppe betraehtet, ein Spezialfall sind VektorrS~ume V fiber einem KSrper K. Ist dim/< V n < oc, so wird naeh WalJ einer Basis jeder Endomorphismus durch eine n x n-Matrix besehrieben, das ergibt naeh den Regeln der linearen Algebra [Fil, 2.6.4] einen Ringisomorphismus EndK(V)
->M(nxn;K).
Der M a t r i z e n r i n g M ( n x n; K) hat als Einselement die Einheitsmatrix K,~, ffir n > 2 ist er nicht kommutativ und hat Nullteiler. Man kennt die Einheiten: x
K)) •
GL
K)
{A 9
x
K): det A r 0 }
Der Matrizenring ist sehr nfitzlich, weil man viele Ringe als Unterringe realisieren ka~m, das nennt man Matvixdarstellung (in Analogie zur Permutationsdarstellung yon Gruppen in 1 4.2). Wir wollen den Nutzen einer solchen Darstellung am Beispiel der Konstruktion der Quaternionen H yon HAMILTON vorffihren. Es ist nal~eliegend, die Konstruktion folgendermagen zu beginnen: Die Addition in H R 4 ist die Addition im Vektorraum. Zur Definition der Multiplikation betrachten wir z u n ~ h s t die kanonische Basis
Darauf wird die Multiplikation erkl/h% wie in der QuaternionengTuppe aus I 1.9) durch die Tafel e
i
j
k
C
e
i
j
k
i
i
-e
k
-j
J
j
-k
-e
i
k
k
j
-i
-e
(Beispiel 4
150
II RINGE
Das Produkt beliebiger Elemente aus H erhglt maai daraus, indem mini nach dem Distributivgesetz ausmultipliziert: ( ~ + bi + d + & ) . (~'~ + b'i + d j + d'k)
(,)
(aa' - bb' - c c ' - dd') e + (ab' + ba' + cd' - dc')i +(ac'
- bd' + c a ' +
d b ' ) j + (ad' + be' - c b ' + d a ' ) k .
Aber nun beginnt der J~rger mit dem Nachweis der Axiome. Schon um das Inverse zu finden, muss mini ein Gleichungssystem Rir die vier Unbelmanten a', b', c', d' 16sen. Der Leser m6ge das zur fJbung in Angriff nehmen. Wit kommen zuriick auf den Trick yon CAYLEY, der schon in Beispiel 4 aus 1 1.9 bei der Definition der Quaternionengruppe verwendet wurde, ngmlich die Benutzung des Rings M(2 x 2; C). Dazu betrachten wir die Abbildung ~>M(2x2;C),
CxC
(z,w)~-+ ( -wz w. z)
ist ein injektiver Homomorphismus yon C-Vektorr/iulnen, also ist ~':
~ ( c x c ) c M(2 x 2 ; c )
ein 2-dilnensionaler komplexer Untervektorrauln. C x C ist ein 4-dilnensionaler reeller Vektorraum, wir verwenden den R-Isomorphismus 1R4 ~ C x C ,
( a , b , c , d ) ~-+ ( a + b i , c + d i )
und seine Komposition mit 1R4 --+ M(2 x 2;C) , (a,b, c, d) ~-+ ( -ca+bi+ di
aC+dibi )
Das ergibt einen R-Vektorraum-Isomorphismus ~6 : R4 --+ H', als Bild der kanonischen Basis in R 4 erhglt man die R-Basis E
J
(10)
@(~1)
~(~3)
0
]
'
-1
0
'
(i 0) 0
t(
~(~4)
--i
i
0
yon H'. Damit ist gewonnen: Unsere ins Auge gefasste Multiplikation in R 4 wird realisiert durch die Multiplikation yon Matrizen. H' C M(2 x 2; C) ist ein Unterring, denn _@
2
_@l
~l
_(2@i + @z l)
221 _ @wl
151
1.5 P O L Y N O M R I N G E
In C x C ergibt das via p 1 die Multiplikation (z, w). (z', w')
(S
- ww', zw' + w z ' ) ,
in R 4 entsprieht das via ~4 1 der Formel (,) yon oben. hisbesondere ist die Multiplikation in H' assoziativ und auch das Distributivgesetz ist erfiillt, da diese Regeln fiir Matrizen in der Linearen Algebra bewiesen wurden. Welter ist fiir (z, w) E C x C det
zz+ww
-zv
> 0
und fiir (z, w)/~ (0, 0) ist z z + w w > 0, also (
z -zv
w) ~
1
1 z~ + wzv
2
-w )
zv
z
E
H'
.
Damit ist gezeigt, dass H' ein SchiefkSrper ist. Da ~ : R 4 ~ H' ein R-Vektorraum-Isomorphismus ist, iibertrSgZ sich die Struktur des SchiefkSrpers H' auf H ]R4, derart dass die Regel (.) gilt. Damit wird ~4 zu einem Ringisomorphismus. Man nemit H den S c h i e f k S r p e r d e r Q u a t e r n i o n e n . Die Quaternionengruppe Q ist eine Untergruppe der Ordnung 8 yon H • .
1.5
Polynomringe
Voai naiven Standpunkt ist ein P o l y n o m ein formaler Ausdruck f(X)
ar~Xrt @ art 1Xrt
1 @ . . . @ a l X + ao 9
Damit man wie gewohnt damit rechnen kmm, sollen die K o e f f i z i e n t e n n o , . . . , art Eleniente eines Ringes R sein; damit die M o n o m e X ~ Polynome sind, soll der Ring eine 1 besitzen. Wie wit spgter sehen werden, ist es niitzlich, wean R kommutativ ist. Von der U n b e s t i m m t e n X erwartet man, ihrem Namen entsprechend, dass mini daffir einsetzen kmm, was mini will - oder zunfindest alles was sinnvoll ist. Das ist yon eineni formalen Standpunkt keine befriedigende ErklSxung. Um es besser zu machen, nutzt man die Beobachtung, dass ein Polynom eindeutig festgelegt ist durch eine Verteilung einer endlichen Zahl yon Ringelementen auf vorgegebene ,~Positionen", n/imlich als Faktoren der Monome X ~ X 1 , . . . , X ~ , . . . . Damit sind wir staz%klar.
152
II R I N G E
Sei R e i n kommutativer Ring mit 1. Dram ist R[X] erld~rt als Menge aller Folgen (a0, a l , . . . , a ~ , . . . )
mit a~ E R
und a~
0 fiirfastalle
hEN.
Eine Addition in R[X] ist komponentenweise erklfit%, also (a0, a l , . . . , a ~ , . . . ) + ( b 0 , b l , . . . , G , . . . ) :
(a0+b0, a l + b l , . . . , a ~ + G , . . . ) .
Die komponentenweise Multiplil~tion ist nicht angemessen; dem iiblichen Rechnen mit Polynomen entspricht das C a u c h y - P r o d u k t (oder die F a l t u n g ) (a0, a l , . . . , a ~ , . . . ) 9(b0, b l , . . . , b ~ , . . . )
(c0, c l , . . . , c ~ , . . . )
mit
k
ck :
~ alDk 1 0
19
Der Name ,~Faltung" riihrt daller, dass bei einer Faltung der Zalflengeraden im Punkt 7 die Indizes 1 und k - 1 zusammentreffen. Mit Hilfe der Ringmxiome in R weist man ohne jede Miihe nach, dass R[X] mit der oben erklSzten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring mit Einselement 1 (1,0,...,0, .) ist. Durch den Monomorphismus R - ~ R [ X ] , a ~ ( a , 0, . . , 0 , . . . ) kann man R als Unterring yon R[X] auffassen. Nun kommt die Katze aus dem Sack: Wir erkl/iren
x:
(o, 1 , o , . . . , o , . . . ) 9 R[X].
Nach Definition der Multiplikation in R[X] folgt X~
(0,...,0,1,0,...)
fiir k E N ,
wobei die 1 an der (k + 1)-ten Stelle steht. Damit sind wir am Ausgangspunkt angelangt: Ist f
(a0, a l , . . . , a ~ , 0 , . . . ) ER[X] mit a~
0 fiir k > n ,
so folgt aus den Rechenregeln in R[X] f
ao + a l X + ... + a ~ X ~ .
Die F/ihigkeit der Unbestimmten X, alle mSgliehen Werte anzunehmen, kaan man so tbrmulieren:
Universelle Eigenschaft des Polynomrings Ist R tin kommutativcr Ring mit 1, so hat der P o l y n o m r i n g R[X] folgende Eigenschaft: Gegeben ein Ring S (kommutativ mit 1), ein Ringhomomorphismus ~ : R --~ S und x, ein x E S, so gibt es genau einen Homomorphismus if) : R[X] --~ S mit ~)(X)
1.5 P O L Y N O M R I N G E
153
so dass das Diagramm
R[x]. u R
. S
kommutiert, d.h. 9 eine Fortsetz'ang von ~ ist. Beweis Da ~) ein Homomorphismus sein soll, muss
|
k
(,/
k
sein. Also gibt es hSchstens ein solches ~). Verwendet m a n die GMchung (,) als Definition yon ~), so zeigen elementare Rechnungem dass ~) ein Homomorphismus ist. Man beactite, dass beim Nachweis yon r ~)(f) .~)(g) die K o m m u t a t i v i t s yon S benStigt wird. A m einfachsten sieht m a n das schon f[ir f
aX,
g
b, f . g
abX und
9 (f.g) []
Ist etwa R R, S C, p die hiklusion und x und X 2 + 1 E Ker ~).
i, so ist ~) : R[X] --* C surjektiv
Urspriinglich ist ein Polynom eine Funktion, dieser Zusammenhm~g l~sst sich schSn mit der universellen Eigenschaft beschreiben. Ist R e i n Ring (kommutativ mit 1), so ist auch die Menge Abb (R, R) der Abbildungen yon R in sich ein Ring (Beispiel 4 ~us II 1.4). Spezielle Elemente sind die konst~nten Abbildungen p~ : R ~ R mit p~(x)
a ffir alle x E R
und die identische Abbildung idR : R ~ R mit idR(x)
x fiir alle x E R .
Offensiditlidi ist die Abbildung ~ : R ~ Abb(R,R) , a ~ ein IIomomorphismus. Nach der universellen Eigensctmft yon R[X] gibt es genau einen Homomorphismus o~: R[X] ~ A b b ( R , R )
mit q)(a)
p~ und ~ ( X )
idR.
154
II R I N G E
Schreiben wir f
f
q)(f), so ist
a~X ~ + . . . + a l X + a o
und f(x)
a~x ~ + . . . + a l x + a o
fiir x E / ~ .
Aus dem abstrakten Polynom f entsteht also die reale P o l y n o m f u n k t i o n f. Wir fassen das Ergebnis zusa~nmen:
Ist R ein kommutativer Ring mit 1, so ist
S a t z f i b e r die P o l y n o m f u n k t i o n
die Abbildung R[X] --+ Abb (R, R ) , f ~-+ f , ein Homomorphismus. V o r s i e h t ! Die Unterscheidung yon f u n d f i s t wichtig, well die Abbildung f ~-+ f im Allgemeinen nicht injektiv ist. Als Beispiel nehme man den Ring R {0, 1} und f X 2 + X . Eine positive Antwort wird in der Bemerkung aus II 1.8 gegeben. Abbildungen eines Rings in sich kaan man hintereinandersehalten, bei Polynomfunktionen bedeutet das, dass man sie jneinaxxder einsetzt", d.h. man betrachtet die Funktion f(g(x)). Genauer bedeutet das Folgendes: Ist g E R[X] ein festes Polynom, so gibt es nach der universellen Eigensehaft des Polynomrings genau einen Homomorphismus ag : R[X] ~ R[X] mit ag(a)
a fiir a E R und ag(X)
Maa nemit crg den E i n s e t z u n g s h o m o m o r p h i s m u s morphismus) und schreibt f(g) : ag(f). Elsbesondere gilt f ( X )
f, d.h. wenn man g
g.
(oder Substitutionshomo-
X einsetzt, fiadert sich nichts.
Bei der Definition yon Polynomen wax vorausgesetzt worden, dass nur endlich viele der Koeffizienten a~ E R yon Null verschieden sind. L/isst man diese Bedingung fallen, so erh/ilt man formale unendliche Summen OO
f : ~
a~X~ ,
h=0
das ist eine f o r m a l e Potenzreihe. Maa kaxm solche Reihen addieren und multiplizieren wie Polynome, und erh/ilt damit eine neue Erweiterung OO
k=O
des Polynomrings zum Ring der f o r m a l e n Potenzreihen. En Gegensatz zu Polynomen ergibt eine formale Potenzreihe im Allgemeinen keine Abbildung yon R nach R; etwa ffir R ]R oder C kann man Konvergenzbereiche yon Potenzreihen studieren.
1.6 G R A D E I N E S P O L Y N O M S
1.6
155
Grad eines P o l y n o m s
Besondere Bedeutung in einem Polynom f a ~ X ~ + ... + ao rnit a~ ~ 0 hat der L e i t t e r r n a ~ X ~ und der L e i t k o e J f i z i e n t a~. Diese hSchste auftretende Potenz n yon X heist G r a d yon f . In Zeichen: Ist
f
a~X ~ + . . . + a l X + a o
rnit a ~ / ~ 0 ,
soist
degf:
n.
Demnach hat ein konstantes Polynom a0 ~ 0 den Grad 0. Das Nullpolynom soll noch kleineren Grad haben, wir setzen deg 0 : - c e . Gradformel
Ist 1~ kommutativ mit 1~ so gilt fiir alle f, g E/~[X] d e g ( f 9.q/ -< deg f + deg.q.
Ist der Leitkoeffizient yon f oder g Nichtnullteiler, so hat man Gleichheit. Beweis Ist f
0oderg
0, s o i s t f . g deg(f.q)
denn fiir a l l e n E N ist n - ce f
~a~X
0, also
-oe
deg f + deg g
- c e - ce
~ mit a ~ r
- c e . Gilt f / ~ 0 und g / ~ 0, also
und g
k=0
b~X ~ mit b ~ r k=0
so ist deg f m u n d deg g n. Der hSchstmSgliche Koeffizient yon f 9g ist c~+~ a~b~, also deg(fg) _< m + n. Ist a ~ oder b~ kein Nullteiler, so ist c ~ + ~ / ~ O. [] Man beachte, dass sich fiir die Summe nur die triviale Vorhersage
dea(f + g) _<m~x{dea L d~a g} machen 15sst (es kann g
- f sein!).
Besonders angenehm sind Polynome, bei denen der Leitkoeffizient a~ eine Einheit ist. Durch Multiplikation mit a~ 1 erh~ilt m a n
Ein solches Polynom mit dem Leitkoeffizienten 1 heii~t n o r m i e r t . Nullteiler und Einheiten im Polynomring R[X] sind dutch R bestimrnt: Bemerkung
I m Polynomring /~[X] gilt:
a) R[X] nullteileTfrei b) R nullteileTfmi
~
~=~
R nullteile~fmi.
(R[X]) •
R• .
Beweis a) , ~ " ist klas', da R c R[X]; , , ~ ' ' folgt aus der Gradformel.
156
II RINGE
b) ,,D" ist klar. Zum Naehweis yon ,,C" s e i f E (R[X]) • . Doxin gibt es ein g E R[X] mit f .g 1, also folgt aus der Gradformel deg f + deg g
deg(fg)
0 und deg f
Somit sind f, g E R konstante Polynome, aus f g
deg g
0.
1 folgt f, g E R • .
[]
Wir kommen noch einmal zur[iek auf den Einsetzungshomomorphismus. Fiir Polynomfunktionen ist f ( g ) die Hintereinandersehaltung. Daz'aus kann man jedes f zuriiekerhalten, wenn g eine Umkehrung h besitzt: Ist g(h) idR, so ist die Komposition RAR~R2R gMch f: Wir zeigen nun, dass dies im Allgemeinen genau dann geht, wenn g linear ist. Lemma
Ist R Integritiitsr'ing und g E R[X], so ist der Einsetzungshomomorphis-
IT~U8
% :/~[X] --~/~[X], f ~-~ f(.q), genau dann ein Isomorphismus, wenn g Beweis Ist g
aX + bmit a E R • .
a X + b m i t a E R • , so definieren wir
h :
a l(X-b)
und offensichtlich ist %(Orb(X)) X Crh(%(X)). Na~ti der universellen Eigensehaft des Polynomrings ist ah Invers zu ag. Ist % sutjektiv, so gibt es ein f E /~[X] mit X gilt deg(f(g)) (deg f ) . (degg), also im Fall X (deg f ) . (deg.q) Dallerist f
c X + d, g f(g)
1.7
f ( 9 ) . D a / ~ Lxtegrit/tsring ist, f(g)
1 und deg f
deg g
1.
a X + b mit a, c E /~ \ {O} und caX+cb+cd
1.X,
also c, a E R • .
Division mit Rest
So wie ganze Zalllen kaan man auch Polynome mit Rest dividieren. Wir behandeln zun~chst den einfachsten Fall, dass die Koetfizienten aus einem KSrper stammen. S a t z f i b e r die D i v i s i o n m i t R e s t Sei K ein KSrper und seien f, g E K[X] gegeben~ wobei g ~ O. Dann gibt es eindeutig bestimmte q, r E K[X]~ derart dass f
qg+r
und
degr<degg.
(*)
1.7 DIVISION M I T R E S T
Im QuotientenkSrper K ( X ) hung (,) auch als
157
yon K [ X ] (Beispiel 2 in II 1.14) kann m a n die Bezie.q
q + -
.q
schreiben. Das P o l y n o m q ist der Anteil des Q u o t i e n t e n , als R e s t . Beweis
der ,~aufgeht", r verbleibt
W i r zeigen zun/~chst die Eindeutigkeit. Ist ~.q + ~ s o f o l ~
q.q + r"
r" - ~
( ~ - q).q .
N u n ist einerseits deg (r - ~) < deg .q, wenn deg r , deg ~ < deg g. Andererseits folgt aus dem G r a d s a t z
deg (,. Daskmmnurdanngehen,
-
~)
deg (0
wenn0-q
-
v)
+
d~g v.
0ist, also0
qund~
r.
U m die Existenz yon q u n d r zu zeigen, sei f
a,X"
+...
+ ao und g
Ist n < rn, so kann m a n q
+ bo mit n
b~X ~ +...
0 und r
deg f, rn
deg g _> 0 .
f setzen,
f
0 "g+f
ist eine L6sung. Ffir n k m konstruieren wir schrittweise q l , . . . , q~ E K [ X ] mit k _< n - rn + 1, so dass q ql + .. 9+ q~ eine L6sung wird. I m ersten Schritt setzen wir fo : ql:
a"~ X "
brn
f
~ .
W i r erhalten fl :
f0-ql.q
mit
degfl <degf0.
Ist deg fl < deg .q, so ist q ql und r fl eine LSsung. Andernfalls fahren wir mit fl fort wie oben mit f0 und erhalten aus q2 f2 :
fl-q2.q
mit
deg f2 < d e g f l .
Das Verfahren wird so linage ibrtgesetzt, bis f~ :
f~ 1 - q ~ . q
erreicht wird. Das ist spgtestens bei k
f
mit
degf~ <degg
n - rn + 1 der Fall. Insgesamt erhglt m a n
(ql+...+w)v+A,
158
II RINGE
man hat also eine L6sung q
ql + ... + q~, r"
f~.
[]
Als Beispiel ftir eine konkrete Rechnung setzen wir f ( x ~,
-X"
-1
+X"
).(X-l)
X " - 1 und g
X - 1:
x ~' ~ + x ~' 2 + . . . + x + 1
1
X n 1
-1
~176 X-1 -X+I 0 Alsoist q
X"
l+...+X+lundr.
0.
Sind Polynome f, g E R[X] gegeben und ist R kein KSrper, sondern nur ein Ring, so muss die Division mit Rest modifiziert werden. Betrachtet man den Beweis ftir K6rper, so sieht man, dass nur dutch den Leitkoeffizienten b b, yon g dividiert werden muss. Ist b E R • so geht alles analog. Im allgemeinen Fall wird in der Iteration start f,~ das Polynom bf~ bearbeitet. Das Ergebnis sieht so aus:
Dann ist mit f0
fl f2
bfo - q l g , bfl - q2g,
fa
bfa 1 - q a g
deg fl < deg f0 , deg f2 < deg fl ,
,
deg fa < d e g g .
f
bf b2f
f l + q19 bfl + bql.q
b~f
fa+(qa+bqa
f2 + (q2 + bql).q
l+...+ba
lql)g
:r+qg
Ixtsgesamt erhfilt man eine
Variante d e r D i v i s i o n m i t R e s t
Sei R ein Integritiitsring, seien f , g E R[X] m i t g r O, b E R sei der Leitkoeffizient yon g. D a n n gibt es q, r E R[X] und k E N, so dass b~ f
qg + r
und
degr<degg.
[]
Ahnlich wie bei KSrpern kann man sagen, dass q und r bis auf eine Potenz yon b eindeutig bestimmt sind.
1.8 NULLSTELLEN UND WERTE VON POLYNOMEN
1.8
Nullstellen
159
und Werte von Polynomen
Die Division mit Rest ergibt wichtige Konsequenzen fiir die Nullstellen yon Polynomen. Dabei bezeichnet f(a) ffir f E /~[X] und a E /~ den Wert ~ ( f ) .
Korollar Ist I~ ein Integritiitsring~ f E R[X] mit deg f > 1 und gilt f(a) fiir ein a E I~, so gibt es genau ein q E /~[X] mit f
(X-a).q
und
degq
0
degf-1.
Insbesondere hat ein Polynom vom Grad n >_ 1 hSchstens n Nullstellen in R. Beweis Wir dividieren f mit Rest durch g f Aus f(a)
0 folgt r(a)
q(X-a)+r 0, also r
X - a, das ergibt
mit
degr<
0.
Sind al, . . . , a ~ E R paarweise verschieden mit f(ai) f
1.
(X-al).....(X-a~r~).h
und
0, so folgt
0_<degh
degf-m.
Also muss m < n sein. El II 1.5 hatten wir den IIolnOlnorphismus
[]
9 "/~[X] ~ Abb(/~,/~), f ~ f , betrachtet, der jedem abstrakten Polynom f die Polynomfunktion f zuordnet, und wir hatten gesehen, dass q) nicht injektiv sein muss. Bemerkung
1
Ist R ein Integritiitsring mit unendlich vielen Elementen, so ist 9 " R[X] -~ Abb(R, R)
injektiv. Beweis f 0 bedeutet, dass f unendlich vide Nullstellen hat. Nach dem obigen Korollar muss dann f 0 das Nullpolynom sein. [] Sind in einem Ring R paarweise verschiedene Elemente a l , . . . , a~ gegeben, so ist
f:
(X-al).....(X-a~)
ein Polynom vom Grad n mit Nullstellen in a l , . . . , a~. 0 h e r einem KSrper kann man sogar die Werte eines Polynoms vorschreiben. I n t e r p o l a t i o n s f o r m e l y o n IaAGRANGE In einem K5rper K seien paarweise verschiedene a l , . . . , a~ E K und beliebige b l , . . . , b~ vorgegeben. Dazu gibt es genau
ein f E K[X] mit f(ai)
bi flit
i
1,...,n
und
degf
160
II RINGE
Beweis
Zungchst sieht man, dass ffir jedes i das Polynom (x - ~1).....
(x - ~
( x - ~ + 1 ) . . . . . ( x - ~.) 9 K[x]
1)
(~ - ~§
(~ - ~)
die Eigenschaften fiir
1
g~(~5)
i 3 , iCj ,
o fiir
und
deggi
n-1
hat. Daher ist durch f :
big I
+ ... + b . g .
eine LSsung der h i t e r p o l a t i o n s a u f g a b e gefunden. M a n nennt f ein I n t e r p o l a t i onspolynom
.
Die Eindeutigkeit ist klar: Aus
f(ai)
iblgt
f(ai)
D a deg ( f - f ) _< deg gi
1.9
(f-f)(ai)
n - 1, tblgt f
Einheitswurzeln
0
ffir
i
1,...,n.
f aus obigem Korollar.
[]
in C
Die Nullstellen des Polynolns X " - 1 sind die G r u n d l a g e flit Fragen der ,~Kreisteilung", mit denen wit uns in Kapitel I I I ngher beschgi%igen. Zun/~chst nennt m a n ~ E C eine n - t e E i n h e i t s w u r z e l , wenn ~"
1 , d.h. ~ ist Nullstelle yon X " - 1 .
Welter sei
c.:
{~ec:~ ~
1}cC
die Menge aller koniplexen n-ten Einheitswurzeln. Man kann C,~ explizk angeben niit Hilfe einer primitiven n4en Einhekswurzel
r Lemma
27rJ ~xp ( 7 - )
Fiir jedes n E N \ {0} /st C,~
{1,4,~,...,r
x--1
l} und
(x-1).(x-r
.(x-r
Weiter induziert der Homomorphismus ~,
9g
---> C.,~ , r ~ r
exp ( ~, 27~- )r i r
*).
1.9 EINHEITSWURZELN IN C
161
einen Isomorphismus
r'+nZ~r
7,,, : Z / n Z ~ C , , , ,
yon get add,itiven zykl,ischen Grippe Z / n Z a~f die m~dtiplikative Grippe C,~. Beweis
Fiir jedes r. E 77, ist ~,~i E C,,, denn
(
<~'
(<')~
1~ 1.
Ebenfalls nach den Rechenregeln ftir Potenzen ist p , ein Homomorphismus. Das erzeugende Element r yon C,, hat die Ordnung n, daraus fblgt Ker %o,
nZ
nach dem Ersten Isomorphies~tz ~us I 3.1 ist ~ , ein Isomorphismus. Insbesondere folgt, dass X " - 1 die n Nullstellen l, 4~,,..., C,~{ 1 hat; aus II 1.8 erhglt man die angegebene Zerlegung yon X " - 1 in Linearfaktoren. [] In II 1.7 haben wir gesehen, dass X'-I Da r
(X-1).q
1 fiir n > 1, folgt q(r
mit
q
X" I+...+X+I.
0, d.h. ffir r
1+C+C2+...+C
r ~ ~
gilt 0.
Das bedeutet, dass 0 der ,,Schwerpunkt" yon C.,, ist.
C2
c
Aus dem Lemma ergibt sich sehr einfach die
Bemerkung Fiir rn, n E N \ {0} sei d : ggT (rn, n). Dann gilt c , , n c,,
Beweis ,,C" Ist ~ E C,, n C.,,, so ist ~r, mit d z r n + y n . Alsoist
,D" Ist~ E Cd, s o i s t ~ d
cd.
~,
1. Nach Bs
1. D a d ] m u n d d]n, folgt~ ~'
~"
gibt es z, y E 77,
1, also ~ E C,,AC,,. []
162
II R I N G E
1.10 Polynome
in mehreren
Ver~inderlichen*
Betraditet m a n start einer einzigen Unbestimmten X eine endliche Anzahl X 1 , . . . , X , , so kann m a n damit ein P o l y n o m als formalen Ausdruck
f
E !
a ~ l . . . ~ , X ~ l . . . . 9XT~"~
(kl ..... k,i )CN *~
betrachten. Der Strich an der Summe soil bedeuten, dass nur endlich viele der Koejfizienten a~l ~,, mit dem Multiindex kl ... k, yon Null verschieden sind. Ls man diese EinschrS~lkung fallen, so spricht mazi yon einer for~nalen P otenzreihe. Zwei Fragen stellen sich unmittelba~': - Das praktische Problem, wie m a n mit solchen Polynomen rectmet.
- Eine theoretische Erkl~'ung des Begriffs yon mehreren ,unabhS~lgigen" Unbestimmten. Da Polynome yon mehreren Vers in diesem einf/ihrenden Buch nut gelegentlich auftauchen, begnfigen wir uns dami% die Antworten zu skizzieren. Zur ersten Frage ist zunSchst zu bemerken, dass die Reihenfolge, in der die M o n o m e a/~l.../~,iX1 ~1 . . . . . XT~*l ZU summieren sind, im Gegensatz zum Fall n 1 nicht eindeutig festgelegt ist. Daher ist es yon Vorteil zu festem k E 1N all die Monome mit kl + ... + k , k zusaznmenzufassen zum homogenen A n t e i l
f~ :
E
aklk'iX~l
" '''"
X~?i '
ki§247
vom Grad k, dram ist
N
f
E k
fk 0
wobei N maximal mit fN ~ 0 gew~hlt ist. Die Menge aller Polynome in Xl~...~ X,~ mit Koeffizientenaus einem kommutativen Ring R mit 1 bezeichnet mazl mit R
... x 4 .
Da~'aus wird ein Ring, indem mall die forInsJenAusdriicke nach den offensichtlichen Regehl addiert und multipliziert.Das kazm mall mit etwas Theorie untermauern. Zun~ichst betrachten wir die p r i m i t i v e n M o n o m e
sie sind durch ihre Exponenten (hi, . . . , k , ) E N" eindeutig bestimmt. Also wird die Menge :~ der primitiven Monome zu einer kommutativen Halbgruppe, wenn eine Multiplikation in :~ dutch die Addition in N" beschrieben wird: (X~ 1
9
.
.
. 9
X~'l).
(X~ 1
.
.
.
.
.
X/in) :
Ix 1 u
"
.
.
.
~(k~+l~
" - - f L
.
163
1.10 POLYNOME IN M E H R E R E N V E P ~ N D E R L I C H E N *
Das ergibt genau genommen einen Isomorphismus NTI" ----6 32, ( ] ~ 1 , ' ' ' ,
]~Tt) 1--6 X ~ l
. . . . 9 X ~ "~ ,
von I-Ialbgruppen. Links wird addiert, rechts multipliziert. Neutrales Element in 32 ist e :
X ~ ..... X ~
Nun erklgren wit den Polynomring als sogenannten R[X1,...,X,~]: Ist x
R[32]:
{f:32~R,
wobei
X ~ I . . . . .X~ ~, so setzt man a~l...~ :
Polynome.
Halbgruppenring
f(x)
f(x).
yon 32, d.h.
0 fiirfastMle x E 3 2 } .
Die Elemente yon R[32] heigen
In R[32] kann man addieren und multiplizieren: (f+g)(x):
f(x)+g(x),
(f.g)(x) :
E
y,zC~
f(Y)'g(z) ;
das sind Verallgemeinerungen der Formeln aus II 1.5, w o n erklSren wir fiir jedes a E R das konstante Polynom c~ durch
c~(x)
a 0
fiir x sonst.
1 war. Schlieglich
e,
Es ist nun Routinearbeit nachzupriifen, dass R[32] zusammen mit der oben erklSrten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring mit Einselement cl ist, und dass die Abbildung /? ~/?[32] , a ~ c~ , ein Monomorphismus yon Ringen ist. Ma~l kaan also
R c R[32] R [ x ~ , . . . , x , d als Unterring des Polynomrings in n Unbestimmten auffassen. Schlietglich hat jedes f E R [ X 1 , . . . , X,] eine eindeutige Darstellung f
E ! a/~l.../~, X l ~ l . . . . (k 1..... k,, )~N,,
9 XT~'l
i~lit
a/~l.../~, :
f(X~l....
9 XT~ "~)
als endliche Summe yon Mortornert, wobei die Additionen und Multiplikationen nach den Regeln in R[32] ausgeffihrt werden. Damit ist der zu Beginn angegebene ,~brmale Ausdruck" theoretisch abgesichert. Da f nach Definition eine endliche Summe yon Monomen
ist, gibt es im Fall f r 0 mindestens eines davon, bei dem a~l...~ r 0 und die S111Tlme
d:
kl+...+k,
164
II RINGE
der Exponenten maximal ist. Dieses d heiJ~t (totaler) Grad yon f , in Zeichen deg f : Masi setzt wieder deg 0 :
max{hi + . . . + k~ : a~l...~ /~ 0} . -c~.
Anschaulich ausgedriickt entsteht ein Element des Hedbgruppenrings ,9 IX1, . . . , X.,~], indem masi endlich viele Ringelemente in N ~ verteiR. Fiir n 2 kasm masi das einfazh grafisch beschreiben, wir geben ein Beispiel mit /~ Z und setzen X X1, Y X2: y~
3
-1
-1
4
2
3 1 L
0
1
2
3
4
X
Die Monome yon f kann man in verschiedener Reihenfolge summieren: In lexikografischer A n o r d n u n g ist
f
2 - Y + 4 X Y + 3 X Y 2 + X 2 + 2X2Y 3 - X 3 y 2 + X 3 y 4 + 3 X 4 y .
Nach homogenen Anteilen zerlegt ist
f
2 + ( - Y ) + ( 4 X Y + X 2) + (3XY 2) + (2X2Y 3 - X 3 y 2 + 3 X 4 y ) + ( X 3 y 4) .
Schlie~lich kasin masi nach Potenzen yon Y sortieren: f
(2 + X 2) + ( - 1 + 4X + 3X 4) Y + (3X - X 3) y 2 + (2X 2) y 3 + (X 3) y 4 .
Also ist f auch ein Polynom in Y mR Koeffizienten im Ring Z[X]. Daran erkennt man, dass sich allgemeiner Polynomringe in mehreren Unbestimmten auch rekursiv definieren 1assert dutch
Das ist vor allem fiir Induktionsbeweise nfitzlich.
1.10 P O L Y N O M E
IN MEHREREN
VEP~NDERLICHEN*
165
F fir spgtere Anwendungen benStigen wir elementare Eigenschai%en ,~lomogener" Polynome. Dabei nennt man f E R[XI,..., X~ ] homogen yore Grad k, in Zeiehen deg f k, wenn
f
Z
a~l~,~X~l"""X~'~"
kl +...+k~=k
Das bedeutet, dass f gleich seinem homogenen Anteil vom Grad k ist. Eine nfitzliche Charakterisierung erhfilt m a n durch Multiplikation aller Variablen mit einem Faktor. Um Probleme mit den Elementen des Rings R zu vermeiden, nehmen wir als Faktor eine weitere Unbestimmte T dazu. L e m m a Ein Polynom f E R[ X 1 , . . . , X~ ] ist genau dann homogen vom Grad k, wenn in I~[X1,..., X~ ][T] gilt:
f ( T X 1 , . . . , TX~)
Beweis Ist f
T ~ f ( X 1 , . . . , X~) .
f0 + .. + fN die Zerlegung in homogene Anteile, so ist N
N
/=0
/=0
f ( T X 1 , . .., T X ~ Daraus folgt die Behauptung durch KoemzientenvergMch. Schlieglich notieren wir noch eine Aussage fiber Produkte homogener Polynome Gegeben seien ein Integritiitsring R und f , g, h E R[ X ] mit f g . h. Dann gilt
f homogen
r
g und h homogen.
Beweis ,,~" ist offensichtlich, die Grade addieren sich. Zum Nachweis yon , , 3 " zerlegen wir g und h in die nieht versehwindenden homogenen Anteile: g
g~+..+g~,
und
h
hl~+...+h
L
mit kl < ... < k~ und ll < . . < 1,. Angenommen g i s t nicht homogen, dasm ist r > 2 und f
g~lhll+...+g~-hL
Also ist f nicht homogen.
mit
kl+ll
[]
166
II RINGE
1.11 Endliche Untergruppen eines Kgrpers
der multiplikativen
Gruppe
Mit den nun zur Verffigung stehenden Hilfsmitteln kSnnen wir ein fiberraschendes Ergebnis beweisen, das entscheidend sein wird bei der Untersuehung der Struktur endlieher KSrper in III 3.4. S a t z Jede endliche Unteryruppe G der multiplikativen Gruppe If • eines Kb'rpers If ist zyklisch.
Beweis Verwendet man die Struktursgtze fiber endliche abelsche Gruppen, so geht es ganz schnelh Ist n:
exp(G),
s o i s t a"
1 ffiralle a E G
nach dem Korollar aus I 6.5. Also ist jedes a E G Nullstelle des Polynoms X'-I
unddaher
ord(G)_
da X " - 1 hSchstens n Nullstellen hat (II 1.8). Da es aber nach Definition des Exponenten ein a E G mit ord (a) n gibt, folgt G Erz (a). [] Viel elementarer abet etwas 15x~gerist der Beweis mit Hilfe der Eulerschen Identitgt aus I 3.11. Ist n : ord G, so vergleichen wit G mit Z,~. Wit haben ffir 1 < d < n
Md(G) r
:
{a E G : o r d a
:
ordMd(G)
d}
Md(Z,~)
:
{a E Z,~ : o r d a
g(d)
:
ordMd (Z,~)
din
d}
din
Es genfigt, ~6(d) _< p(d) ffir a l l e d zu beweisen, denn daraus folgt ~6(d) insbesondere ~6(n) p(n) _> 1, denn Z,~ ist zyklisch.
p(d),
Sei also d so gewfihlt, dass ~6(d) _> 1 und a E Md(G). Dann ist H:
Erz(a) < G
und
H ~ Zd,
also o r d M d ( H )
g(d) .
Also genfigt es, Md(G) C Md(H) und dazu Md(G) C H zu zeigen. Jedes Element yon H ist Nullstelle yon X d - 1, also ist x d - 1
(x
- 1)(x
Ffir jedes b E Md(G) gilt bd
-
(x
-
1, also iblgt b E H.
1) i n I f IX]
DD
Die einfachsten Beispiele sind die zyklischen Gruppen C,,~ < C • (Beispiel 6 in
I 1.9).
1.12 EINBETTUNG EINER HALBGRUPPE IN EINE GRUPPE
167
1.12 E i n b e t t u n g einer H a l b g r u p p e in eine G r u p p e Die ganzen Zahlen G erh/~lt m a n aus den natfirlichen Zahlen N~ indem man ~Negative" dazu nimmt~ die rationalen Zahlen Q aus G~ indem man Brfiche bildet. Man muss sich nicht allzu sehr den Kopf zerbrechen~ was eine negative Zahl an sich ist, es geniigt zu wissen~ wie man damit rechnet. Der formale Hintergrund einer solchen E r ~ e i t e ~ n g e i n e s Z a h l b e r e i c h s ist die Ergs einer Halbgruppe H zu einer Gruppe G. Das geht nicht ohne Voraussetzungen an H. S a t z fiber die Einbettung von Halbgruppen folgende Bedingungen eTfiillt: 1) H ist kommutativ.
Sei ( H~ .) eine Halbgruppe, die
2) In H gilt die Kiirzungsregel a 9x b. x ~ a b~ falls a, b, x E H. Dann gibt es eine abelsche Gruppe (G, ,)~ so dass H C G und a 9 b a, b E H.
a 9b fiir
Man nennt H C G eine E i n b e t t u n g yon H in G.
Beweis Schulden entstehen dann~ wenn man ffir einen Betrag b einkauft, abet nur einen kleineren Betrag a auf dem Konto hat. Der gleiche Schuldenstand kann auch durch eine andere Kombination a'~ b' entstehen, n ~ l l i c h dann, wenn a - b a'-b', oder, ohne Minuszeichen ausgedrfickt, a + b' b + a'. Dem entsprechend definieren wir in H x H die Relation (~ b) - (~'~ b') :~, ~. b'
b.d.
Urn zu zeigen, dass es sich urn eine J~quivalenzrelation handelt~ benStigt man die angegebenen Voraussetzungen: (a~ b) - (a~b), denn ab ha.
( ~ b) ~ (~'~ b') ~ ~'b b~' ~b' b'~ ~ (~'~ b') ~ ( ~ b). ( ~ b) ~ (~'~ b') ~ (~"~ b") ~ ~b' b~' und ~'b" b'~" ~ ~b'~'b" ~b"(~'b') b~"(~'b') ~ ~b" b~" ~ ( ~ b) ~ (~"~ b').
b~'b'~"
Die J~quivalenzklasse yon (a~ b) bezeichnen wir mit [a~ b ], die Menge aller J~quivalenzklassen mit G. hi G wird eine Verhfiipfung erkl~'t durch
[a,b],[c,d]: Diese ist wohldefiniert~ denn aus [a~b]
ab'
ba' und cd'
dc'~ also acb'd'
[a.c,b.d]. [a'~b'] und [c~d]
[c'~d'] folgt
bda'c'~ d.h. [ac~bd]
[a'c'~b'd']~
da H kommutativ ist. Aui~erdem ist 9 assoziativ und kommutativ, da in H diese Regeln gelten. Ein neutrales Element e E G ist e [a,b],[b,a]
[a, a] fiir beliebiges a E H. Da
[ab, ba]
~, ist [a,b] 1
[b,a].
168
II R I N G E
Also ist (G, ,) eine abelsche Gruppe. Um H ais Teilmenge von G wiederzufinden, betrachten wir die Abbildung H---~G, a~--~[a.a,a]. Sie ist injektiv, denn aus [ aa, a ]
[bb, b ] tblgt aab
abb und a
b
nach der Kfirzungsregel in H. Welter ist
also kaxm man a E H mit [ aa, a ] E G identifizieren und es folgt a 9b a, b E H.
a 9 b ffir []
hn Fall einer multiplikativen oder additiven Verknfipfung kann man auch a
n(l
Ms formaien Quotienten oder tbrmaie Differenz schreiben. Als Beispiel im additiven Fall erh/ilt man die Einbettung N C Z. Den multiplikativen Fall werden wir im ngchsten Abschnitt bei Ringen welter vertblgen.
1.13 QuotientenkSrper Ein Integritgtsring R ist bezfiglich der Addition eine abelschen Gruppe un(l bezfiglich (ler Multiplikation ist R \ {0} eine kommutative Haibgruppe mit Kfirzungsregel. Also k~ln man R \ {0} nach dem Satz fiber die Einbettung yon Haibgruppen zu einer multiplikativen Gruppe erweitern. Wir zeigen nun, dass R auf diese Weise zu einem KSrper Q(R) wir(l. Es sei dacaa erinnert, (lass jeder nMlt triviaie Homomorphismus yon einem KSrper in einen Ring injektiv ist (Bemerkung f ) in U i.3). Satz fiber den QuotientenkSrper Ist I~ ein Integr'itiitsr'ing, so gibt es einen Kb'r'per Q(R) und einen Monomor'phismus ~ : R --~ Q(R) mit folgender universellen Eigenschaft: Ist Ir irgend ein Kb'rper zusammen mit einem Monomorphismus p : R --~ Ir so gibt es genau einen Monomorphismus ~) : Q(R) --~ K~ so dass das Diagramm
R komm~ttiert. K~trz gesagt: Bis a~f Isomorphie ist der Q u o t i e n t e n k 6 r p e r Q(R) der kleinste KSr'per; in den I~ als Unter'r'ing eingebettet werden kann.
1.13 QUOTIENTENKORPER
169
B e w e i s Wir iibernehmen die Konstruktion des vorhergehenden Abschnitts mit einer kleinen Modifikation: / / \ {0} ist mit der Multiplikation eine kommutative Halbgruppe mit Kiirzungsregel, aber in Q(R) muss auch die Null enthalten sein. Wie in II 1.12. gezeigt wurde, ist in (R \ {0}) x (R \ {0}) durch (a, b) ~ (a I, b') e=~ ab'
ba'
eine Aquivalenzrelation erklSrt. Sie kann durch die gleiche Regel erweitert werden auf R x (R \ {0}). Dram ist (o, b) ~ ( W , b ' ) ~
~'
o.
Die J~quivalenzklasse von (a, b) bezeichnen wit nun mit ~, das ist ein ,J'ormaler Quotient" mit Nenner b ~ 0. Naeh Definition gilt a
a /
b
b'
e=~ ab ~
bd .
Wie in II 1.12 zeigt man, dass die Multiplikation der ibrmalen Quotienten durch a
c
b'd
a.c
b.d
wohldefiniert ist. Die Addition wird (in Erinnerung an das Elend mit den Briichen) erklgrt durch a
c
~+ d
ad + cb
b~
Um zu zeigen, dass sie wohldefiniert ist, muss man etwas rechnen: Aus ab I und cd' dc' iblgt bd(a'd' + b'c')
bda'd' + bdb'c'
adb'd' + bcb'd'
ba ~
(ad + bc)b'd' .
Nun ist (Q(R), +) eine abelsche Gruppe: Die Rechnung fiir das Assoziativgesetz iiberlassen wir dem Leser, kommutativ ist Mar. Nullelement ist
0
0
T
und
~
-~
- ( )
Welter ist Q(/~) \ {0} eine abelsche Gruppe mit Einselement 1
T
und
(b)
b -a
1
Das Distributivgesetz folgt mit den Regeln der Bruchrechnung, damit ist der KSrper Q(/~) konstruiert. Die Abbildung ~ : / ? ~ C2(/?), a ~ -
a
1' ist nach der Definition yon Addition und Multiplikation in Q(/~) ein Homomorphislnus, und injektiv, da aus T Tb folgt, dass a b.
170
II RINGE
Ist nun p : /~ --* K ein beliebiger Monomorphismus, so zeigen wir zunichst, dass es hSchstens ein q) 9 Q(R) ~ K mit p q) o c gibt: Ffir jedes ~ E Q(R) muss
sein. Umgekehrt
ist q) durch 9
wohldefiniert, denn ist ab'
:
ba', so folgt also
Als nicht trivialer Homomorphismus von K6rpern ist (I) injektiv.
[]
1.14 Beispiele Wir beschreiben einige Beispiele ffir QuotientenkSrper. Beispiel 1 zcQ
Das Standardbeispiel ist Q(z)
{m n'm'nEZ'n/~0
}
~ mit m
m' ~/
r
~7~ /
~TJ
.
Wegen der Minimalit~t yon Q(Z) ist Q auch der ldeinste KSrper, der die additive Halbgruppe N enthglt. Beispiel 2
Ist K ein KSrper, so ist K(X):
Q(K[X])
K[X]
ein Integrits
{ gf ' f , gEK[X],gr
Man nennt
}
den K6rper der rationalen Funktionen. Ist die Abbildung f ~-* f auf die Polynomfunktionen injektiv, so bedeutet g ~ 0, dass die Funktion .q nicht identisch verschwindet; g k ~ m dennoch Nullstellen haben. Ist g(p) 0 ffir p E K, so nimmt die ,~Punktion" f/.q in p keinen Weft in K an! Ffir K
0 und R kann man mehr sagen: Es ist f f u n d .q g. Ist 9(P) f(~) bei AnnNmrung yon z an p gegen +ce. Ist f(p) g(p) O,
f(p) r O, so geht
so kann man fiber den Wert yon Lg bei Anngherung an p zun/ichst keine Aussage machen. Wir werden spgter sehen, wie man in diesem Fall einen gemeinsamen f* und f , mit g* in p keine Faktor von f und g wegkfirzen kann, so dass ~ g. gemeinsame Nullstelle mehr hat. Beispiel 3 Ist D C C ein Gebiet, so ist der Ring 0 ( D ) der in G holomorphen Funktionen ein Integritgtsring (Beispiel 4 in II 1.4). Man nennt ~V[(D) :
Q(O(D))
f { ~ 9 f,.g E O(D),g ~ O}
1.14 BEISPIELE
171
den K6rper der meromorphen Funktionen. Im Gegensatz zu Polynomen kann der Nenner g # 0 unendlidl vide Nullstellen besitzen, diese liegen allerdings isoliert. Beispiel 4 Der Ring Z[ i ] Z + Zi C C der Gautgschen Zahlen ist ein Integrit/Rsdng. Er ist Bild yon Z[X] unter der Abbildung 9 : Z[X] ~ C , ~(m)
m ffir m E Z, ~(X)
i.
Wir behaupten q(Z[i])
Q[i]:
{a+bi: a,b~ Q}.
,,C": Es gilt Z[i] C Q[i] und Q[i] ist ein KSrper, dem~ 1 a + bi
,,D": Ist a
~ und b
1 a2 + b2 (a - bi) E Q [ i ] .
~--~ mit m, m', n E Z, so folgt a + bl
m + rrfi
~ q(Z[i]) .
Man nennt Q[i] einen imagin/h'-quadraUschen ZahlkSrper. Mehr dadiber in II 3.11.
172
II R I N G E
w 2 Ideale und Restklassenringe In der Gruppentheorie haben wir gesehen, dass der Kern eines Homomorphismus ein Norlnalteiler ist, nach dem eine Faktorgruppe gebildet werden kann. Ein Analogon in der Ringtheorie sind ,!deale". Der Name entstand in der Zahlentheorie, wo man gew6hnliehe Zahlen dureh j d e a l e Zahleif' ersetzt hat, um die Teilbarkeitseigenschaften zu verbessern (vgl. II 3.16).
2.1
Definition
yon Idealen
Ist ~ :/~ --+/~' ein Ringhomomorphismus, so ist Ker ~ C / ~ ein Unterring, d.h. a, b E K e r ~
~
a-b,
a.bEKer~.
Der Kern hat abet noch die weitere Eigenschaft aEKerp, denn p ( x . a) fiir die
xER
p(x) 9p(a)
~
x.aEKerp
p(x) 90
und a . x E K e r p
0, analog p ( a . x)
0. Das ist Grundlage
Definition Ist R e i n Ring, so heist eine Teilmenge a c R e i n I d e a l , wenn Folgendes gilt: I 1 a c R ist bezfiglich der Addition eine Untergruppe. I2
IstaEaundxER,
sofolgtx.aEaunda.xEa.
Insbesondere ist jedes Ideal ein Unterring, aber nicht umgekehrt. Ist R kommutativ, so kann man die Bedingungen I 1 und 1 2 offensichtlich zusammenfassen zu I 0 E a und ffir jedes n E N, al, ..., a~ E a und ist xlal +... + x~a~ E a.
xl,...,x~
E /{
Ein Ideal ist also abgeschlossen unter der Bildung yon Linearkombinationen Koeffizienten aus/{. In jedem Ring gibt es die trivialen IdeMe {0} und/{. kommutativ und a E /{, so nennt man
(a):
Ra:
mit Ist/{
{xa:x~R}
das yon a erzeugte Hauptideal. Es ist tats/ichlich ein Ideal, denn fiir xa, y a E R a ist x a -- y a (x -- y ) a E t~a und fiir y E /~ ist y ( x a ) (yx)a. Zun/ichst zeigen wit, wie sich Ideale unter Homomorphismen verhalten. Genaueres dazu in II 2.4. Bemerkung
Ist p : R --+ R' ein Ringhomomorphismus, so gilt:
a) Ist a' C R' ein Ideal, so ist p l(a') C R e i n Ideal. b) Ist a C R ehi Ideal und p surjektiv, so ist p(a) C R' ehi Ideal.
2.2 IDEALE UND EINHEITEN
Beweis a) N a c h I 2 . 1 i s t so folgt aus ~(a) E a' p(xa)
173
p l(a') C R U n t e r g r u p p e . Ist a E p l(a') u n d x E
p ( x ) p ( a ) E a' und p(ax)
R,
p(a)p(x) E a',
also :ca E ~ l(a') und ax E ~ l(a'). b) Wieder nach I 2.1 ist p(a) Untergruppe. Ist b E p(a) und y E R', so gibt es aE aundxERmit b
p(a), y
p(x),
also yb
p(xa) E p(a) und by E p(a) []
2.2
Ideale und Einheiten
Das Verhs Satz
yon Idealen zu Einheiten ist sehr sensibel:
a) Ist R ein Ring mit l und a c R ein Ideal mit a A R • ~ 0, so ist a
R.
b) FAn KSrper I f hat n u t die trivialen Ideale {0} und If. c) Ist R e i n kommutativer Ring mit nicht trivialer Multiplikation (d.h. es ist nicht ab 0 fiir alle a, b E R)~ und hat R n u t die trivialen Ideale {0} und R, so ist R ein Kb'rper. Beweis a) Ist a E a A R • und damit a R. b) folgt sofort aus K •
R • mit ab
ba
1, a l s o i s t 1 E a
K \ {0}.
c) Wir zeigen zungchst, dass R e i n Einselement 1 r 0 enthfilt. Es gibt nach Voraussetzung a, b E R mit ab r O. Wir betrachten das Hauptideal Rb. Da OCabERb, folgtRb R. W e g e n b E R , m u s s e s e i n l E R g e b e n m i t lb b. Ist y E R beliebig, so gibt es ein x E R mit :cb y. Also ist ly
lxb
xlb
xb
y.
Also ist 1 ein Einselement, aus b ~ 0 folgt 1 ~ O. Es bleibt zu zeigen, dass R \ {0} R • . Ist c E R \ {0}, so ist Rc eseinxERmitxc lundesfolgt cER •
R, also gibt []
Ist die Multiplikation in R trivial, so sind die Ideale gleich den Untergruppen; eine Gruppe mit nur trivialen Untergruppen ist nach 1 3.7 isomorph zu einer zyklischen Gruppe von Primzatllordnung.
Die Menge R • C R der Einheiten ist der Durchschnitt aller R \ a, Korollar wobei a alle echten Ideale yon R durchliiuft. []
174
2.3
II RINGE Restklassenringe
Da die additive Gruppe eines Ringes R abelsch ist, ist jedes Ideal a C R als Untergruppe auch Normalteiler. Dalmr kmm man entsprechend I 2.8 die Faktorgruppe R/a: mit der Addition ( , + a) + (y + a)
{z+a:zER} (x + y) + a bilden, sie ist wieder abelsch. Mit
p:R--* R/a, x~x+a, wird der km~onische Gruppenhomomorphismus mit Ker p nun naheliegend, in R / a dutch (* + a) . (v + a) :
a bezeichnet. Es ist
(,)
(*.v)+a
eine Multiplikation zu erklgren; dass dies gut geht, zeigt der S a t z Sei R ein Ring~ a c R e i n Ideal und p : R --~ R / a der kanonische Gruppenepimorphismus. Dann gibt es genau eine Multiplikation 9 in R/a, so dass R / a zu einem Ring und p zu einem Ringepimorphismus wird. Es ist Ker p a. Ist R kommutativ, so auch R/a; hat R ein Einselement l, so ist 1 + a ein FAnselement yon R/a. Maai nennt R / a den R e s t k l a s s e n r i n g yon R modulo a (oder yon R nach a). Beweis
Soil p ein Ringhomomorphismus werden, so muss
(, + a) . (y + a)
p(,).p(y)
p(,.y)
(,.y)+a
sein, also gibt es ffir die Definition der Multiplikation nur die oben angegebene MSglichkeit (,). Es bleibt zu zeigen, dass sie wohldefiniert ist. Sei also x+a Da'aus folgt
x ' + a und y + a 9v -
y'+a,
*'v'
d.h. , - S E a
und y - - y ' E a .
(* - * ' ) v ' + * ( v - v') ~ a .
Das Assoziativgesetz und die Distributivgesetze tibertragen sich yon R auf R/a, also wird R / a auf diese Weise zu einem Ring. [] Nach diesem Satz kann man Ideale auch charakterisieren als Teilmengen, die als Kern eines Ringhomomorphismus auRreten. Die Rechenregeln im Restklassenring R / a kann man auch durch Kongr-uenzen modulo a in R ausdriicken (vgl. I 1.8): Fiir x, x' E R erklgrt man x=x'(rnoda)
:r
x+a
x'+a r
x - - x ' E a.
A u s , = x'(rnod a) und y = y'(rnod a) folgt dram x+y=x'+y'(rnoda)
und x . y = x ' . y ' ( r n o d a ) .
2.4 ISOMORPHIESATZE 2.4
175
Isomorphies~itze
Die in 1 3.1 bewiesenen Aussagen fiber G r u p p e n h o m o m o r p h i s m e n fibertragen sich mfihelos auf Pdnghomomorphismen, denn die kanonischen Abbildungen sind auch mit der Multiplikation vertr~glich. Wir notieren nur die wichtigsten Ergebnisse. Sei ~ : I~ --~ I~~ ein R i n g h o m o m o r p h i s m u s , a c I~ ein Faktorisierungssatz Ideal m i t a c Kerp und p : I~ --~ I~/a der kanonische Epimorphismus. D a n n gibt es genau einen R i n g h o m o m o r p h i s m u s ~ : I~/a --* I~'~ so dass das D i a g r u m m
P
/
/
R/a p ( R ) und Ker V
kommutiert. Es ist V ( R / a )
Erster Isomorphiesatz
(Ker p ) / a .
Ist ~ : R --~ R ~ ein Ringhomomorphismus, so ist die
Abbildung ein Isomorphismus. Ist ~ surjektiv, so folgt I~' ~ /~/Ker ~.
[]
Das Analogon zum sogenannten ,J)ritten Isomorphiesatz" der Gruppentheorie beschreiben wit etwas ausffihrlicher. Korrespondenzsatz : R --~ R ~ mit a :
ffir Ideale Ker~. Es sei
Gegeben sei
ein Ringepimorphismus
I die Menge aller Ideale b C R m i t a C b, F die Menge aller Ideale b ~ c R t D a n n sind die Abbildungen F : I--~ I '
und
G : F-~ I
bijektiv und zueinander invers. Welter ist fiir jedes b E I die Abbildung
r
(R/a)/(b/a) -~ R/b, (x + a) + b/a ~ x + b,
ein Ringisomorphismus. Beweis
Dass r ein Isomorphismus ist, zeigt man wie bei Gruppen in 1 3.1.
Zum Beweis der ersten Behauptung ist zu zeigen, dass FoG
idv,
d.h.
p(p l(b'))
b'
ffiralle
b'EI'
GoF
ida,
d.h.
p ~(p(b))
b
ffiralle
bEI.
und
176
II R I N G E
Die Inklusionen ~(~ l(b')) C b' und ~ l(~(b)) D b gelten gaaz allgemein fiir Abbildungen. Da ~ surjektiv ist, gilt aufferdem ~(~ l(b')) b'. Es bleibt zu zeigen, dass ~ l(~(b)) c b. Sei also x E R und x E ~ l(~(b)). Dann ist ~(x) E ~ ( b ) , Da~'aus folgt ~ ( x x (x-y)+yEb.
y)
also ~(x)
0, also x -
~(y) f i b e i n y E b.
y E Ker~
a C b. D a y
E b, iblgt []
V o r s i c h t ! Ist a C B C tt, aber B kein Ideal, so kann B C ~ l(~(B)) sein. In der folgenden sdmmatischen Skizze ist ~ die senkrechte Projektion:
R~
e(B) 0
2.5
Beispiele
B e i s p i e l 1 Die Restklassenringe yon Z haben wir schon weitgehend im Rahmen der Gruppentheorie behmldelt, ohne den Beg~'iff des Ringes explizit zu verwenden. Von dem neuen Standpunkt sei noch einmal daraa erinnert. Nach I 1.8 hat jede Unterg~'uppe yon Z die Form m E m i t m E N; diese Unterg~'uppen sind auch Ideale, also ist jedes Ideal yon der Form m E und es gibt nur die Restklassenringe Z.~ Z / m E fiir m E N . Sie sind kommutativ und mit den Argumenten aus I 1.8 folgt Z.~ nullteilerfrei
r
m
Primzahl,
falls m > 2
(*)
2.5 BEISPIELE
177
Ffir die Einheiten gilt Z,~
{h + ,~Z 6 Z,~ : ggT (h, " 0
1} C Z ....
denn zu k + rr~Z gibt es genau dann ein 1 + rr~Z mit (k + mE)(1 + mE)
1 + mE,
wenn 1
kl + :cm mit einem x 6 7,.
Die Gruppe Z,X~ist die Primrestklassengruppe der Ordnung p(m) aus I 3.12. Insbesondere tblgt, dass der Restklassenring ~p : Z/pZ
fiir jede Primzahl p ein K/Srper ist; in Kapitel III wird er ,~Primk6rper der Charakteristik p" genasmt. Aus II 1.11 tblgt, dass die Einheitengruppe I?~ Zpx der Ordnung p - 1 zykliseh ist. Es ist aber nieht gas~z offensiehtlich, welehe Restklassen die Gruppe erzeugen. Das kann man herausfinden, indem man die Ordnungen alller Elemente berechnet. Etwa fiir p 7 erhSlt man: ord (n + 7Z) 1
3 6
3 6
2 Also kaan man 3 + 7Z oder 5 + 7Z als Erzeuger yon Z~ wfihlen. B e i s p i e l 2 Wir betrachten den Homomorphismus ~ 9JR[X] --~ C , f ~-+ f(1) . ZunSchst zeigen wir, dass Ker ~ das yon X 2 + 1 erzeugte Hauptideal (X 2 + 1) in R[X] ist. Da i 2 + 1 0, folgt (X 2 + 1) C K e r ~ . Ist umgekehrt 0 # f 6 Kerw, so folgt zunSehst deg f _> 2. Es ist klar, dass deg f 0 unm6glieh ist, also genfigt es, den Fall deg f 1 auszuschliegen: Ist
f
a+bX,
was wegen i 2 durch X 2 + 1:
s o f o l g t a u s f(i)
a+bi
0,
dass i
-~ 6]R,
- 1 nicht sein kann. Ist nun deg f _> 2, so teilen wir f mit Rest f
(X 2 + l ) . g + h
mit
degh<2.
178
II RINGE
Aus f(i)
0 tblgt h(i)
0, also wie oben h
KerpC(X 2+1), gezeigt und nach dem
0. Damit ist
alsoinsgesamt K e r p
Ersten Isomorphiesatz
(X 2 + 1 )
aus II 2.4 erhs
man
einen Isomor-
phismus ]R[X]/(X 2 + 1) ~ C , f + (X 2 + 1) ~-~ h(i) wenn wie oben f
a + bi,
(X 2 + 1)g + h.
Was hat man dutch den Isomorphismus ~b gewonnen? Reehts steht die Gaugsehe Zahlenebene C R + Ri nfit der in Beispiel 2 aus II 1.4 erklfirten Multiplil~tion mit HiKe der imagingren Zahl i. Links steht ein Restklassenring nfit der in II 2.3 kanonisch erklgrten Multiplikation, also ein Spezi&lfall einer viel allgemeineren Situation. Die durch ~b gestiftete Beziehung wollen wir explizit aufschreiben. ZunSchst gehen die Polynome vom Grad 0 in R[X] auf R c C, denn fiir a, b E R g41t a+(X2+l) b+(X2+l) e=~ b - a E ( X 2 + l ) e=~ b a. Die imaginSre Einheit i E C ist das Bild des Polynoms X: "~b(X)2
"~b(X2)
X 2 + (X 2 + 1)
- 1 + (X 2 + 1) , denn X 2 - ( - 1 ) r (X 2 + 1) .
Also ist jede komplexe Zahl z a + bi E C Bild des Polynoms h a + bX E R[X] mit deg h _< 1. Nun sieht man auch sofort, dass die Multiplikation in der Gaugschen Zahlenebene durch ~b aus der Multiplikation yon Restklassen iibertragen wird: (a + bX)(c + dX)
ac + (ad + bc)X + bdX 2 ( a c - bd) + (ad + bc)X + bd(X 2 + 1).
Das entspricht modulo (X 2 + 1) dem Produkt (a+bi)(c+di)
(ac-bd)+(ad+bc)i
in der Gaugschen Zahlenebene. Noch ein anderer Blick auf diese Konstruktion: Das Polynom X 2 + 1 E R[X] hat keine reelle Nullstelle, denn ffir x E R ist x 2 + 1 _> 1 > 0. Im Restklassenring R [ X ] / ( X 2 + 1) hat X 2 + 1 die Nullstelle x
X+(X 2+1),
denn x 2 + 1
X 2+l+(x
2+1)
0+(X 2+1),
in C ist das gerade i. Nun ist C nicht nur ein Ring, sondern sogar ein KSrper; um das im Restklassenring zu begriinden, b M b t die Frage, wieso jedes Element r 0 in R [ X ] / ( X 2 + 1) eine Einheit ist. In II 3.2 werden wir sehen, dass die ,J_rreduzibilitSt" des Polynoms X 2 + 1 dafiir entseheidend ist. B e i s p i e l 3 Im GauSschen Ring /~:
Z+Zi
{m+ni'm,
nEZ}cC
2.5 BEISPIELE
179
(Beispiel 2 aus II 1.4) betrachten wir das Hauptideal a:
/~. (1 + 2i) .
Als Untergruppe y o n / ~ ist a erzeugt durch 1 + 2i und i(1 + 2i)
- 2 + i.
/
oo~oo ti ! ooo o~ooo ooo . . . .
|
. |
-2§
9 . . | . . . . .
. . . .
| 0 . . . . .
|
. . . |
9 |
|
9
. . |
. . |
|
.
.
"
"
|
.
. "
5
.
.
"
I
.
. . . . .
"
| |
"
"
"
Um die Struktur des Restklassenrings I~/a aufzuklgren, bemerken dass modulo a folgende Kongruenzen gelten: i+2i-0
~
-i-2i
~
i-2
~
-i-4
~
wir zungchst,
5-0.
Dabei wird fiir die zweite Implikation mR -i multipliziert, fiir die dritte quadriert. Dutch Beschr/inkung der kauonischen Abbildung p :/~ --~/~/a auf den Unterring Z
{m+rfiEZ+Zi:r~
0}
erhgR man einen Homomorphismus p' : Z --~ R/a. Da 5 - 0( rood a) ist 5 E Kerp'. Ist k E Ker
p'
a A Z, so gibt es rn, r~ E Z mit
Also ist/c E 5 Z und es folgt Ker p'
5 Z.
Es ist einfach zu sehen, dass p' surjektiv ist: i=2
~ rr~+r~i= m + 2 r ~ E Z ,
also hat jede Aquivalenzklasse einen Repr/isentax~ten in g. Aus dem Isomorphiesatz folgt schlieglich das Endergebnis
R/a- z/sz.
180
2.6
II RINGE
Hauptidealringe und
noethersche
Ringe
U m eine beliebige Teilmenge eines Ringes zu einem Ideal auszubauen, benutzt man die
Ist R e i n
Bemerkung ai C R, so ist
Ring und (ai)ici eine beliebige Familie von Idealen
~
a , ~ C R
iCI
ein Ideal. Beweis
Sind a, b E ~ ai und ist x E R, so sind a, b E o4 fiir alle i E I, somit tblgt iCI
a-b,
xa , ax E ai fiiralle i t t n d a - b ,
xa,
axe
~]ai 9 icI []
Ist A C R Teilmenge eines Ringes, so wird das yon A e r z e u g t e Ideal (A) c R erklgrt als der Durchschnitt aller A umfassenden Ideale a c R, in Zeichen (A):
r~
a.
ACaCR
Ist R kommutativ,
(A)
so ist
{Xla I + . . . + z,~a,~ : n E N , a{ r A , z{ r R } ,
das ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen yon Elementen Koeffizienten in R. Ist A {al,..., a~} endlich, so schreibt man
(A) und im Fall A
+
:
aus A mit
e R}
{a} ist
das yon a erzeugte Hauptideal. D e f i n i t i o n Ein Ring R heigt H a u p t i d e a l r i n g , wenn er ein Integritgtsring ist, und wenn jedes Ideal a c R Hauptideal ist. Ein Ring R heigt n o e t h e r s c h , wenn jedes Ideal a c R endlich erzeugt ist, d.h. wenn es a l , . . . , art E R gibt, so dass a ( a l , . . . , art). Iusbesondere f~r die Teilbm'keitstheorie sind alternative Chaxakterisierungen yon noetherschen Ringen wichtig. Satz*
Fiir einen Ring R sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) R ist noethersch.
2.7 EUKLIDISCHE RINGE
181
ii) Yede aufsteigende Kette yon Idealen ao
al
c
c
...
c
ak
c
...
]~
c
wird s t a t i o n i i r , d.h. es gibt ein n E N, so dass a~,
a~,+~ fiir alle k E N.
iii) Yede nicht leere Menge I v o n Idealen a c R besitzt ein maximales Element, d.h. es gibt ein b E I, so dass b ~ a fiir kein a E I gilt.
Beweis
i) ~ ii): D a die gegebene Kette aufsteigend ist, ist die Vereinigung a:
UakCR kCN
wieder ein Ideal. Da R noethersch ist, gibt es a l , . . . , a~, E R, so dass
a Z u j e d e m ai gibt es ein ni E N, sodass ai E a~,~.Ist n : m a x { n l , . . . , n ~ , } , folgt ai E a~, fiir alle i, also a a~,~ u n d a~,+~ a~,.
so
ii) ~ iii): Ggbe es eine nichtleere Menge I yon Idealen ohne mmdmales Element, so k6nnte mm~ d a m i t eine unendliche echt aufsteigende Kette
aoCalC~ . . . ~ ca
c
...
cR
yon Idealen in /~ aufbauen.
iii) ~ i): Sei a c Rein beliebiges Ideal und I:
{bCR'b
endlicherzeugtesIdealund
Da {0} E I, ist I # 0; sei c (al,..., a~,) C a maximal dann gibt es ein a E a \ c und
bca}. in I. Angenommen
c c a,
c C (al,...,a~r,,a) C a, im Widersprueh zur Mmximalitgt von c.
2.7
[]
Euklidische Ringe
Die wichtigsten Beispiele fiir Hauptidealringe sind der Ring Z der ganzen Zalllen und der Polynomring/([X] iiber einem Kbrper K. Das kann man in beiden Fgllen durdl eine Division mit Rest beweisen. Daller ist ein allgemeiner BegTiff nfitzlich. Definition dung
Ein Integritgtsring R heigt euklidischer
Ring, wenn es eine Abbil-
182
II RINGE
mR folgender EigenschaR gibt: Zu a, b E R \ {0} gibt es q, r E R, so dass a
qb+ r" und ~(r') < ~(b) falls r" r 0.
(*)
Im QuotientenkSrper @(R) lautet die Gleichung (,) q+~
und
~
< 1 falls r ' r
q steht ffir ,,Quotient", r ffir ,,Rest". Die beiden Sta~ldardbeispiele ffir euklidisehe Ringe sind 7/, mR ~(n) : I~1 (I 1.8) und der Polynomring K [X] fiber einem Kgrper K mit ~(f) : deg f (vgl. II 1.7). Man bea~hte einen wesentlichen Unterschied zwischen Betrag und Grad: [rn. n [
[rn 1. In 1, deg (f..q)
deg f + deg .q.
Ln Ring K[X] sind q und r eindeutig bestimmt (vgl. II 1.7), in 7/, ist das nieht ohne weReres der Fall, etwa 7
2.3+1
3.3-2.
Man kann q und r" in Z abet eindeutig mgchen, indem man r" _> 0 verlangt. Kompliziertere Beispiele ffir euklidische Ringe finden sich in II 3.14. Satz
Ein euklidischer Ring ist Hauptidealring,
Beweis In I 1.8 wurde gezeigt, dass jede Untergruppe von 7/, v o n d e r Form rnZ ist. Es genfigt, die dort verwendeten Argumente auf einem abstrakteren Niveau zu wiederholen.
Sei R euklidiseh und a C R e i n Ideal. a {0} ist Hauptideal, wir k6nnen also a r {0} mmehmen. Wir betraehten die Menge M:
{hEN"
esgibtein aEa\{0}
mit n
~(a)}.
Da a r {0}, ist M r O, also enthilt M ein kleinstes Element k a E a \ {0}. Wit behaupten a (a).
~(a) ffir ein
Angenommen es g/ibe ein b E a \ (a). Dann teilen wir b mR Rest dutch a: b
qa+r" mit ~(r')<~(a)
Da b @ (a), ist r r 0 und aus r Minimalit/R yon k.
k falls r ' / ~ 0 .
b - qa tblgt r E a; das ist ein Widersprueh zur
[]
K o r o l l a r Der Ring Z der ganzen Zahlen und der Polynomring K[X] iiber einem KSr'per K sind Hauptidealringe. []
2.8 B E I S P I E L E
2.8
183
Beispiele
Beispiel 1
Die Ringe Z[X] und K[X, Y] (flit einen KSrper K ) sind keine Hauptidealringe.
hi Z[X] betrachten wit das yon zwei Elementen erzeugte Ideal
(2, x)
z[x].
Angenommen, es gibt ein
f
ao+alX+...+a~X
~ EZ[X]
mit
(2, X)
(f) C Z [ X ] .
Da doam 2 E (f) und X E (f), muss es .9, h E Z[X] geben mit
2
g.f
X
h.f.
b0 und
aobo
2,
mit
aoal
und
Aus der ersten Gleichung folgt f
a0 , g
nimmt man die zweite GMchung dazu, so folgt X
h
h. a0, also
alX
1.
Da a0, al E Z ist a0 +1, also f +1 und (f) Z[X] im Widerspruch zur Annahme. Ganz analog behandelt man den Fall K[X, Y]. Angenommen (X,Y) so folgt aus X
(f)
f
mit
g f und Y
aoo+aloX+aolY+...
h f, dass f
a00 E K • und (f)
, K[X, Y].
Beispiel 2 Viele ffir die Algebra interessasite Ringe treten in der Analysis auf, besonders wichtig sind Potenzreihenringe. Wie in II 1.5 bezeichnen wir fiir einen Ring/7 mit OO
R[[x]]
{f k=0
den Ring der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in /7. Im Gegensatz zu Polynomen haben Potenzreihen keinen h6chsten Koeffizienten und damit keinen Grad; ein Ersatz ist der niedrigste Koeffizient und die Ordnung: OO
Ist f :
~ a~X ~ r
k=0
ordf: und ord 0 :
min{/c'a~/~0}
oc. I s t / 7 Integrit/Rsring, so gilt offensichtlich ord ( f . g)
ord f + ord g.
184
II R I N G E
Erstes Ziel unserer [;berlegungen ist der Satz
Ist K ein KSrper, so ist K[ [X]] ein Hanptidealring.
Zun/ichst bestimmen wir die Einheiten. Lemma 1 Beweis ord (1) ,,~"
f E (K[[X]]) • <=~ o r d f
0.
,,3" Ist ord f > 0, so ist ord ( f . g) _> ord f > 0, also kann f wegen 0 keine Einheit sein. Ist f
~ a ~ X ~, so kSnnen wir a0 g:
1-fEK[[X]]
h:
l+g+g2+...
1 annehmen. Dann erklgren wir mit o r d g > 0
und
K[[x]],
denn bei dieser unendlichen Summation ist jeder Koemzient yon h eine endliche Summe. Na~h der Formel fiir die geometrische Reihe ist ( 1 - .q) ( l + .q + .q2 + . . . )
1,
also f . h
1.
Der Satz ist bewiesen mit folgendem L e m m a Lemma 2
Die Menge der Nicht-Einheiten m:
{fEK[[X]]:ordf
ist ein Ideal. Es gilt m ein n E N, so dass
( X ) nnd fiir jedes weitere Ideal 0 r a C K[ [X] ] gibt es
a
Beweis
>O}cK[[X]]}
m"
(X").
Wir betrachten den Homomorphismus OO
p" K [ [ X ] ] --* I f ,
f
~a~X
~ ~ ao.
k 0
Er ist smjektiv und Ker p
m, also ist m ein Ideal und es ist K [ [X] ]/m ~ K .
Ist a C K[ [X]] ein beliebiges Ideal, so sei n: Ist n
rain{kEN:
o% so ist a f
esgibtein fEa
mit o r d f
k}.
0. Andernfalls sei a ~ X ~ + a ~ + l X ~+1 + ... E a mit a ~ / ~ 0 .
D ann ist f E m ~, also f g 9X ~ mit g E K [ [ X ] ] . D a ord g Einheit; also ist auch m ~ C a.
0 sein muss, ist g []
2.9 D E R H I L B E R T S C H E
BASISSATZ*
185
Beispiel 3 Nach dem Satz aus II 2.6 ist ein Ring nicht noethersch, wenn es eine nicht stationgre aufsteigende Kette yon Idealen gibt. Dafiir kann man Mcht Beispiele finden. hn Ring C(R) der stetigen Funktionen f : R ~ R hat man fiir jedes n E N \ {0} das Ideal
a.:
{fEe(]R)fl[0,7s
1
0},
es gilt al C a2 C ... C a, *C . . . . Also ist e(R) nicht noethersch. Beispiel 4 Wie wir in Beispiel 2 gesehen haben, ist der Ring C[ [X]] der formalen Potenzreihen mit komplexen Koeffizienten ein Hauptidealring. In der komplexen Funktionentheorie beweist man, dass der Ring 0(C):
{f:C--~C:f
holomorph}
gleieh dem Unterring yon C[ [X]] der Potenzreihen mit unendliehem Konvergenzradius ist. Im Ring (9(C) betrachten wir fiir n > 0 die Funktion OO
k
n
k "
Sie hat in C die Nullstellen 0, • n, • (n• 1),... und f l (z) sin ~z ist die klassische Produktentwicklung des Sinus [F-L, VII, w3]. Offensichtlieh ist
eine nicht stations
Idealkette. Als Ergebnis halten wit lest:
Der U'aterring O(C) des Hauptideah'ings C[ [X]] ist nicht noethersch.
2.9
Der Hilbertsche Basissatz*
Die Ringe 7, und K[X] ffir einen K6rper K sind nach II 2.7 als euklidische Ringe auch Hauptidealringe, die Ringe 7,[X] und K[X, Y] nach Beispiel 1 aus II 2.8 dagegen nicht mehr. Wie HILBERT im Jahr 1888 zeigte, sind diese Ringe jedoch noethersch, d.h. alle Ideale sind endlich erzeugt. Allgemeiner gilt der
Basissatz y o n HILBERT Ist I~ ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement~ so ist auch der Polynomring R[X] noethersch. Im Jahr 1888 war EMMY NOETHER 6 Jahre alt! Der Basissatz wurde erst viel sp/iter so ibrmuliert, der folgende sehr kurze Beweis stmnnit aus dem Jahr 1976 (vgl. [S]). Angenommen,/7[X] wgre nieht noethersch: Dann ggbe es ein nicht endlich erzeugtes Ideal 0r
186
II R I N G E
Wir konstruieren daraus eine nicht stationN'e Idealkette En ersten Sehritt w/~hlen wir ein Polynom f l 9 a mit minimalem Grad nl _> 0, al 9 sei der Leitkoetfizient yon fl, also fl
a l X ~1 + . . . .
Da a nieht endlieh erzeugt ist, folgt a \ (fl) r 0, wir wNflen in dieser Menge ein Polynom f2 mit minimalem Grad n2 und Leitkoefigzienten a2. Allgemein erhalten wir f~+l 9 a \
( f l , . . . , f~) , f~+l
a~+lX ~+1 +...
mit minimalem n~+l: Aus der Konstruktion folgt sofort r~l < r~2 < . . . < r~k < . . .
und
(al)
C
(al, a2)
C
...
C
(al,..,
ak)
C ...
C R
und es bleibt zu zeigen~ dass die Idealkette in jedem Schritt echt aufsteigt. Angenommen, es w~re
(al,...,a~) Dann g~be es/)1,..., b~ 9 Das Polynom
(al,...a~,a~+l) mit a~+l g :
~
fttr ein
/~ 9 N.
/hal + ... + b~a~. Nun kommt der Kniff: b~X ~+~ ~j~
1
hat den Grad n~+~, den Leitkoeffizienten a~+~ und liegt im Ideal ( f ~ , . . . , f~). Das ergibt den Widersprueh deg(f~+l-g)
und
f~+l-gE
a\(fl,...,f~).
[]
( K [ X 1 , . . . , X.,~ 1])[X.,~], also folgt das
Norollar Ist K ein KSrper, so sind die Polynomringe K [ X 1 , . . . , X.,~] f//r alle n E N noethersch. [] In K[X] wird jedes Ideal yon einem Element erzeugt, in K [ X 1 , . . . , X~] yon endlich vielen Elementen. Es ist eine nalmliegende Frage, die minimale Anzalfl yon Erzeugenden abzusch/kzen. Aber MACAULAY hat zu jeder Schranke k > 1 ein Ideal a~ c C[X~, X2, }(3] mlgegeben, das nicht dutch k Polynome erzeugt werden kmm (vgl. [M], [Abl). Fiir konkrete Rechnungen mit einem Ideal ist eine sogenannte G r 6 b n e r b a s i s hilfreich (vgl. dazu etwa [C-L-O'SI). Der Hilbertsche Basissatz ist das Portal zur algebraischen Geometrie, in der die Nullstellenmengen in K ~ yon Polynomen aus K [ X 1 , . . . , X.,~] studiert werden. Im beinahe trivialen Fall n 1 und K C wird das in Beispiel 2 aus II 2.12 durchgespielt. F i i r n 2 studiert man ebene algebraische Kurven, eine Einfiihrung hierzu findet man in [Fi3]. HShere Dimensionen werden zum Beispiel bei [Hu] behm~delt.
MIT IDEALEN*
2.10 OPERATIONEN
187
2.10 O p e r a t i o n e n mit Idealen* Aus zwei Idealen a, b eines Ringes/~ kann m a n auf verschiedene Arten ein neues Ideal konstruieren. Neben dem Durchschnitt a A b hat m a n noah die S u m m e
a+b:
{a+bEt?:aEa, bEb}
(aub)
und das P r o d u k t n
/
1
Beispiele dazu findet man in II 2.12. Offensichtlich gelten die folgenden Reehenregeln
Fiir Ideale a, b, c eines Ringes/~ gilt:
1) a b c a n b .
2) a.(b+c)
s)(a.5).c
a . b + a . c , (b+c).a a
b.a+c.a.
(5.0.
Allgemein nennt m a n Ideale a, 5 C R c o p r i m , wenn a + 5
R.
Bemerkung Sind die Ideale a, 5 c I~ coprim, und ist I~ kommutativ mit 1, so ist a5 a N 5. Beweis
SeixEaNbund x
1 1.x
a+bmit
aEaundbE
(a+b)x
5. D a n n i s t
ax+bxEa.b.
Analog zur Gruppentheorie (I 3.5) gilt ein sogenannter Zweiter Isomorphiesatz
S,ind a, b Ideale eines kommutativen Ringes, so gilt:
1) aN b c a und a c a + b sind Ideale. 2) Durch
: a/an b ~ (a+b)/b,
~+(an
b) ~ ~ + b,
ist ein Ringisomor'phismus gegeben. Dies kann m a n wieder durch ein Diagramm illustrieren a
c
anb
C
u
a+b u b.
Zum Beweis geniigt es zu bemerken, dass der Isomorphismus ~ von G r u p p e n offensiehtlieh die Multiplikation respektiert und damit aueh Isomorphismus von Ringen ist.
188
II RINGE
2.11 D e r C h i n e s i s c h e R e s t e s a t z * In 1 3.8 h a b e n w i t d a s P r o b l e m yon zwei s i m u l t a n e n K o n g r u e n z e n in Z b e t r a c h t e t . A l l g e m e i n e r k a n n m a n folgende F r a g e stellen: M a n teilt eine Zalfl x E Z nache i n a n d e r d u r c h T~I, . . . , T~/~ E 7],, d a b e i b M b e n die R e s t e r l , 9 . . , r k . K a n n m a n x aus r l , . . . , r~ r e k o n s t r u i e r e n ? I m Fall k 2 w a r g e s a g t worden, dass d a s bis a u f Vielfache yon m l 9 rn2 mSglich ist, wenn m l u n d rn2 t e i l e r f r e m d sin& h n Fall k > 2 genfigt es nicht v o r a u s z u s e t z e n , dass m l , . . . , rn~ t e i l e r f r e m d sind; m a n muss v i e l m e h r verlangen, dass rni u n d rn o t e i l e r f r e m d sind, falls i ~ j . Das Wesentliche sieht m a n schon fiir k 3: Seien m l , rn2, m s p a a r w e i s e t e i l e r f r e m d u n d r l , r2, ra E 77, beliebig. G e s u c h t sind alle x E 77, m i t x = ri (rnod m i ) ffir i
1, 2, 3 .
M a n definiert n l : rn2rn3, n2 : rnlrn3 u n d n3 : rnlrn2 u n d i i b e r l e g t sich, dass rni u n d ni flit i 1, 2, 3 t e i l e r f f e m d sind. D a l m r g i b t es yi, y~ E g m i t
1 Ist x :
y~rni + yini 9
3
~ riyini, so sieht m a n sofort, (lass x eine LSsung ist: Ffir i
i
1
x
--
r I
r l ( Y l r t l -- 1) + r2Y2rt2 + r3Y3n3
--rly~rnl + r2Y2rnlrn3 + r3Y3rnlrn2 E a n a l o g fib- i
1 gilt
r~tl
Z ,
2, 3.
N a c h dieser V o r b e m e r k u n g b e h a n d e l n w i t den a l l g e m e i n e n Fall:
In einem Ring R (kommutativ mit 1) seien paarweise Restesatz coprime Ideale a l , . . . , a~ gegeben (d.h. ai + aj R fiir ~ j ) . Dann ist der Homomorphismus
Chinesischer
: ]:~ ~
]:~ / fl l X . . .
Xb--+ ( X + f l l , . .
surjektiv und K e r 6 Irtsbesondere gilt 5(x)
fl I " . . . "
X+flk),
fl k .
5(x') ~ [~/(flX
X ]:~ / fl k ,
"..."
Beweis W i r b e t r a c h t e n ffir i
x - x / E ax . . . . ak u n d Ilk) ~
[~/flX
X ...
1 , . . . , k die I d e a l e
b~:
f"]a d C R .
X
]:~/flk
189
2.12 BEISPIELE*
Zungchst zeigen wir ai + bi R. D a z u wNflen wir bei festem i fiir alle j /~ i / ! Elemente aj E a~ und aj E aj mit 1 aj + aj. Daraus folgt
j#i
i#j
j#i
also ist 1 E ai + bi und 1 ai + bi mit ai E ai u n d bi E hi. Daxnit k6nnen wit zeigen, dass 5 surjektiv ist: Sind r l , . . . , r~ E R beliebig, so ist k
i=1
dennbi-lEaiundbiE
bCaj
fiiri/~j.
Offbnsichtlich ist Ker5
alA...Aa~,
also a l . . . a ~
CKerS.
W i r zeigen durch I n d u k t i o n nach k, dass al A...ACtk
al
"...
Ctk .
Der Fall k 1 ist trivial, sei also b : al A . . . A a~ 1 al .. 999a~ 1. Wie wir oben gezeigt haben, sind b und a~ coprim, also folgt nach der B e m e r k u n g aus II 2.10
alN...Nak
Wieder daheim im Ring R
bNak
b.ak
al.
ak.
Z erhalten wir das
Korollar Sind paarweise teilerfi'cmde Zahlen ~ 7 ~ 1 , . . , ~7~k E Z und beliebige r'l, . . . , r'a E Z gegeben, so gibt es stets eine LSsung x E Z der s i m u l t a n e n Kongr~a CnZCIt
x = r i ( r n o d mi) fiir i
1,..., k ,
und ein x' E Z ist e b e @ l l s eine LSsung genau dann, w e n n
x = x ' ( r n o d m l . . . . . rn~) .
2.12 Beispiele* Beispiel 1 W i r wollen die Operationen S u m m e und P r o d u k t yon Idealen etwas erl/iutern und den Unterschied yon P r o d u k t und Durchschnitt aufkl/iren. a) Sind die Ideale a, b c R endlich erzeugt, etwa a
(al,...,a~r~),
b
(bl,...,b~),
soist a+b
(al,...,a~r~,bl,...,b~).
190
II RINGE
hlsbesondere ist flit Hauptideale a (a) und b (b) die Summe a + b (a, b). In einem Hauptidealring ist die Situation noch einfacher. Ist /~ 77,, so haben wir in I 3.8 gesehen, dass (m) + (n)
(d) mit d
ggT(m,n).
Wie wir in II 3.3 sehen werden, geht das analog in beliebigen HauptideaMngen. b) Zun/ichst bemerken wir, dass im Allgemeinen
a. b ~ { a . b ' a E a, bE b}. Die Menge auf der rechten Seite ist im Allgemeinen kein Ideal. Ist etwa I~ K [ X , Y ] , a (X) und b ( Y ) , s o i s t X2Y+XY
2 Ea.b,
aber X 2 Y + X Y
Ist R Hauptidealring und a
(a), b a. b
2r
mit f E a
und g E b.
(b), so ist (~.b).
c) Im Allgemeinen ist a.bCaAb.
Das sieht m a n einfachsten im Fall a b, denn dram ist a. b Ist etwa a (m) C Z, so ist (.~) C ( ' 0 far 1"4 -> 2. Im Fall/~
a 2 und a A b
a.
Z ist nach I 3.8
(m) n (n) ( - 0 . (~)
(k) mit k
kgV(m,n),
(-0 n (~) ~, ggT (,~,~)
also
1 ~, (-0 + (~)
7,.
Belspiel 2 Ist K ein K/Srper, so kann man auch im Polynomring K[X] die Operationen mit Idealen axmlog beschreiben wie oben im Ring 77,, denn K[X] hat die gMch guten Teilbarkeitseigenschaften wie Z (vgl. dazu II 3.3). Augerdem gibt es eine schSne geometrische Illustration der Operationen mit Idealen. Wit beschr/inken uns hier auf den einfa~hsten Fall K C und benutzen die in II 2.7 bewiesene Tatsache, dass K[X] ein Hauptidealring ist. Wit stellen eine Beziehung her zwischen folgenden beiden Mengen: J : Menge der Ideale a c C[X], Jr{ :
Menge der endlichen Teilmengen A C C, vereinigt mit A
O und A
Einerseits hat man die Abbildung J --~ JV[ , a ~-~ N(a) :
{x E C : f ( x )
N(a) heigt N u l l s t e l l e n m e n g e yon a; ist a N(a)
N(f) :
{z 9
0 fiiralle f E a } .
(f), so ist 0}.
C.
2.12 BEISPIELE*
191
In der umgekehrten Richtung hat man die Abbildung
:~ ~ J , A ~ I(A) :
{f 9
0}.
I(A) heit~t das Ideal yon A. Es w/ire zu optimistisch zu hoffen, diese beiden Abbildungen w/iren bijektiv und zueinander invers. Ein schSner VergMch sind zwei Sprachen und ein WSrterbuch: Ubersetzt man ein Wort yon einer Sprache in die andere und dann wieder zuriick, so kaml etwas anderes abet immerhin Ahnliches herauskommen. Dieser Eff'ekt wird umso deutlicher, je reichhaltiger die eine Sprache ist. In unserem Fall wird sich zeigen, dass die algebraische Sprache der Ideale subtiler ist als die plumpere Sprache der Teilmengen. Erst einmal schreiben wir eine gaaze Liste yon ~;bersetzungsregeln auf. Dabei sind jeweils a, b E J und A, B E ?v[.
1) ctc b ~ x(c0 > x ( b ) , 2) :v(ct + b) x(c0 n x ( b ) , 3) :v(ct n b) x(c0 u :v(b) 4) N(I(A)) A, 5) :v(ct. b) :v(ct n b ) ,
A c B ~ I(A) ~ I ( B ) , 1(An B) I(A) + I ( B ) , I(A u B) I(A) n I ( B ) , I(x(cO) ~ a, a.~, a n b ~ N ( a ) nN(b)
O.
Da der KSrper C zugrunde gelegt wurde, kasm man all diese Regeln nach folgendem Schema gaaz einfach beweisen: Ist {0}/~ a E J, so gibt es genau ein normiertes f E C[X] mit a f
(f). Aus
(X - xl) 9 ... 9 (X - x~)
folgt N(a) { z l , . . . , z~}; dabei k6nnen auch mehrfache Nullstellen vorkommen. Ist f 1, so folgt N(a) 0; fiir a {0} ist N(a) C. Ist A { z l , . . . , z ~ } mit paarweise verschiedenen zi, so hat f : (X - xi) . . . . . (X - x~) nur einfache Nullstellen. Ist g]A 0, so ist f ein Teiler yon g, also folgt I(A) (f). Ist a (f) und b (g), so ist a. b ( f . g). Erzeugende Polynome yon a + b und a A b sind etwas subtiler. Wit definieren h* :
(x - y~)~ .....
( x - y~r~)~-~ ,
wobei { y l , . . . , y~} N ( f ) A N(g) und die Exponenten hi die minimalen in f u n d g aut%retenden Ordnungen sind. Analog ist h, :
(x -
~)'~ . . . . . ( x - ~ ) ' , ,
wobei { z l , . . . , z~} N ( f ) U N(g) und die Exponenten lj die maximalen in f u n d g auftretenden Ordnungen sind. In Terminologie yon Teilbarkeit ist (vgl. II 3.6) h*
ggT(f,g)
und
h.
kgV(f,g) .
192
II RINGE
Nun ist einfach zu sehen, dass (h,) c a+b
(f..q) canb
a.b
(h*).
Damit kann man die l~bersetzungsregeln ganz explizit nachpr/ifen. Bemerkenswert ist die Regel a c l(N(a)), bei der im Allgemeinen keine Gleichheit gilt. Ist a (f) mit f (X -- X l ) ]~1 " . . . " ( X -- X?Tt) ]~"~ mit paax'weise verschiedenen xi, so ist N(a) { x l , . . . ,x~rt} und I(N(a)) mit f, : (X-xl).....(X-xm).
(f.)
Zur zweiten Beziehung in 5) bemerken wit
a.b
anb ~ f . g
h,~N(f)
0,
nN(g)
denn nur in diesem Fall kumuliert h. alle Nullstellen yon f u n d g. Am drastischsten sieht man den Unterschied zwischen Idealen und Mengen im Fall A {0}: F/it jedes n E N \ {0} ist N ( X ~) {0}. Was im Ring C[X] nur nach Spielerei aussieht, ist in Polynomringen yon mehreren VerSnderlichen Startpunkt der algebraischen Geometrie. B e i s p i e l 3 Eine Schulklasse mit 26 Sch/ilern ist auf Klassenausflug; da muss mehrmals am Tag nachgezs werden, ob noah alle da sind. Zur Vereinfadmng ka~m man die Sch/iler in Reihen der Zalfl m aufstellen und nut nachsehen, welcher Rest r bleibt. Bei ml
2, m2
3 und m3
5 m/issen Reste rl
0, r2
2 und r3
1 bleiben.
Stimmt die Probe mit 2 und 3, so ist die Zalfl nut modulo 6 gesichert; es kSnnten 6,12,... Sch/iler fehlen. Bei 3 und 5 kSnnten nut 15 fehlen, bei 2, 3 und 5 ist man modulo 30 also ganz sicher! Allgemeiner kann man aus den verbleibenden Resten rl, r2 und r3 die Gesamtzalfl modulo 30 mlm2rn3 bestimmen. Dazu berechnet man zungchst ~tl
~7~2~7~3
1 5 ~ ~t2
~7~1~7~3
1 0 ~ ~t3
~7~1~7~2
6.
Da ggT (rrN, hi) 1 ist 1 y~rrN+ yini. Die Faktoren y~, yi kann man allgemein mit HiKe des Euklidischen Algorithmus bestimmen (I 3.13), in diesem Fall sieht man die LSsungen sofort: 1 also ist zl
z2
-7.2+1.15 z3 3:
-3.3+1.10
-1.5+1.6,
i und r l f ~ 1 + r27% 2 + r37% 3
1 5 r l + 10r2 + 6r3
ist eine LSsung. Ist etwa rl i, r2 i, r3 0, so ist x 25. Das ist modulo die einzige realistische LSsung, also fehlt genau ein Sch/iler.
30
2.13 PRIMIDEALE UND MAXIMALE IDEALE
193
B e i s p i e l 4 Im ,,Handbuch der Arithmetik" des chinesischen Rechenmeisters Sun Tsu (etwa 400 n.Chr.) finder sich folgende Aufgabe: Wir haben eine Anzahl yon Dingen, wissen aber nicht genau wie vide. Wenn wir sie zu dreien ziihlen, bleiben zwei iibrig. Wenn wit sie zu fiinfen ziihlen~ bleiben drei iibrig. Wenn wit sie zu sieben ziihlen, bleiben zwei iibrig. Wie vide Dinge sind es?
2.13 Primideale
und maximale
Ideale
Beim l~bergang yon einem Ring R zu einem Restklassenring R / a bleiben einige Eigenschal'ten wie Kommutativitit erhalten, aadere wie Nullteiler oder Einheiten kSnnen sieh deutlieh verfiadern. Das kann man dureh Bedingungen an das Ideal a C R kontrollieren. D e f i n i t i o n 1 Ist R e i n Ring, so heilgt ein Ideal p c R P r i m i d e a l , wenn
a) p e r b) a, b E R und a . b E p =~ a E p o d e r b E p . Bedingung a) ist eine niitzliche Konvention; Bedingung b) bedeutet, dass R \ p multiplikativ abgeschlossen ist. Das Nullideal {0} ist genau dann ein Primideal, wenn R nullteilerfrei ist. Allgemeiner hat man Lemma 1
Ist der Ring R kommutativ mit 1 ~ 0 und p c R e i n Ideal, so gilt: p Primideal
Beweis
r
R / p Integritiitsring.
, , ~ " Ist a E R und a + p E R/p Nullteiler, so gibt es ein b E R \ p mit
(a + p) . (b + p) Da b ~ p, tblgt a E p, also a + p
p,
ab+p
also a b e p .
0+p.
, , ~ " Ist a . b E p, so tblgt (a + p)(b + p)
0 + p, also a E p oder b E p.
[]
Eine zun/ichst gaaz aaders aussehende Bedingung ist die folgende: D e f i n i t i o n 2 Ist R e i n Ring, so heilgt ein Ideal m c R m a x i m a l , wenn
a) mCR b) Es gibt kein Ideal a c R m i t m C a C R. V o r s i c h t ! Man beachte, (lass Bedingung b) nicht bedeutet, dass jedes echte Ideal yon R in m enthalten sein muss. Die Beziehung zu Primidealen wird sotbrt klarer dutch
194 Lemma 2
II RINGE Ist der Ring R kommutativ mit 1 ~ 0 und m c R e i n Ideal, so gilt: m maximal *:~ R i m KSrper.
Beweis m ist genau dann maximal, wenn ffir ein Ideal a c R m i t m C a C R folgt, dass a m oder a R. Nach dem Korrespondenzsatz in I I 2.4 ist das gleiehbedeutend damit, dass es in R / m nut die trivialen Ideale gibt; naeh dem Satz in II 2.2 ist das gleichwertig damit, dass R / m ein KSrper ist, denn aus 1 / 0 folgt, dass die Multiplikation in R nieht trivial ist. [] Korollar
Ist R kommutativ mit 1 ~ O, so ist jedes maximale Ideal Primideal. []
In II 3.2 werden wir sehen, dass in einem Hauptidealring auch die Umkehrung gilt.
2.14 Beispiele B e i s p i e l 1 I m Ring Z ist jedes Ideal yon der Form m Z und mGCnG
,:~ m
n k mit k E G
,:~ n teilt m .
Ffir m / 0 ist der Ring Z,, G/raG endlich; naeh dem L e m m a aus II 1.2 ist Z,, genau dann K6rper, wenn er Integrit/Rsring ist. Also gilt m E maximal e=~ m E Primideal e=~ I rn I Primzalfl. Ist p ein Primteiler yon m, so ist m Z enthalten im maximalen Ideal pZ. Ein Ideal aus 77, ist also stets in einem maximalen Ideal enthalten, im Allgemeinen in mehreren versehiedenen. B e i s p i e l 2 Wir betrachten den Polynomring K[X] fiber einem KSrper K , der nach II 2.7 ein Hauptidealring ist. Ffir jedes a r K ist die A u s w e r ' t u n g ~ : If[X] ~ I f , f ~ f ( a ) , ein Ringhomomorphismus. Nach dem Korollax" aus II 1.8 und dem Ersten Isomorphiesatz in II 2.4 folgt, dass
Ker
(X-
K[X]c K[X]
ein maximales Ideal ist. Ob es weitere maximale IdeMe gibt, h~ngt ganz vom KSrper ab. Ffir K betrachten wir den g o m o m o r p h i s m u s W: JR[X] --+ C , f ~ f(i) .
R
2.14 BEISPIELE
Da es kein f E R[X] mit deg f 1 und f(i) Division mit Rest durch X 2 + 1, dass
Ker
195
0 gibt, sieht man wieder dutch
(x + O R[x] c R[x],
(vgl. Beispiel 2 in II 2.5). Auch dieser Kern ist ein maximales Ideal. En Fall K C ist die Situation besonders fibersiehtlieh, denn nach dem Fundamentalsatz der Algebra (III 1.8 ) zerf'allt jedes Polynom f E C[X] mit deg f _> 1 in Linearfaktoren. Wir geben verschiedene Punkte a l , . . . , a~ E C vor und betrachten die Auswertungsabbildung C[X]
~>Cx...xC,
f~-~(/(al),...,f(a~)).
Sie ist ein Homomorphismus, und surjektiv nach der Interpolationsformel II 1.8. Durch wiederholte Division stellt man fest, dass Ker F das yon
f: erzeugte Hauptideal in C[X] ist. Nach dem Ersten Isomorphiesatz hat man Isomorphismus c[x]/(f)
einen
c x ... x c.
Der Produktring C x ... x C hat ffir ft _> 2 Nullteiler, ffir ft 1 ist er ein K6rper. Also gilt (f) maximal <=~ (f) Primideal <=~ f~ i. Man sei
ka~m die Auswertung 9 K[X]
eines Polynoms
--~ K x K , f
an einer Stelle auch steigern. F fir a
a0 @ (~1 x @ . . .
~
0
((~0, (~1) 9
Dann ist K e r ~ (X2); da K x K Nullteiler hat, ist (X 2) weder prim noch maximal (was man auch ganz direkt nachprfifen kann). Ist sehlieglieh f
(X - al) <1 . . . . . (X - a~) <'~
mit paazweise versehiedenen ai, so ist das Ideal (f) in den mm'dmalen Idealen (X - al), . . . , (X - a,~) und keinem anderen maximalen Ideal enthalten. Beispiel 3 Um nicht maximale Primideale sehen zu kSnnen, gehen wir in den Polynomring K[X,Y] yon zwei Ver~nderlichen X,Y fiber einem K6rper K (vgl. II I.I0). 111 K[X, Y] betrachten wir die drei Ideale
( X , Y ) D (Y) D ( X . Y ) . Zur Beschreibung der Restklassenringe benutzen wir zun~chst den Homomorphismus
~0 "K[X,Y]
--+ K,
f ~-~ f(0,0)
a00 9
196
II RINGE
Er ist smjektiv mit Ker ~o KSrper. Nun sei
(X, Y), also ist dieses Ideal maximal; denn K ist
~1 : K [ X , Y ] ~ K[X] , f ~ f ( X , O )
aoo + a l o X + . . . + a~oX ~ .
Aueh ~1 ist smjektiv mit Ker~l (Y); also ist (Y) ein Primideal, da K [ X ] nullteilerfrei ist, abet nieht maximal, denn (Y) ~ ( X , Y ) ~ K [ X , Y ] .
Schliefflich betrachten wit den Homomorphismus ~2 : K[X, Y] --* K[X] x K[Y] , f ~ ( f ( X , 0), f(O, Y ) ) .
Er ist nicht ganz surjektiv, aber fast: Imp2
{(g(X), h(Y)) 9 K[X] x K[Y] : g(0)
h(0)}.
Dieses Bild Im ~2 hat Nullteiler, zum Beispiel ist (X, 0). (0, Y)
(0, 0) .
Da K[X, Y ] / ( X . I/) ~ Imp2, ist (X. !/) kein Primideal. Zu den drei betrachteten Idealen geh6ren Nullstellenmengen in K 2, die man im Fall K R ganz einfach zeichnen kann:
(X,Y)
(Y)
(X .Y)
Zum maximalen Ideal (X, Y) gehSrt die Nullstellenmenge
{ ( x , y ) 9 2:x
y
o},
das ist der Ursprung. Er ist eine minimale nicht leere Teilmenge yon R 2. Zum Primideal (Y) gehSrt
o},
das ist eine GerMe. Zum nieht-primen Ideal (X 9Y) gehSrt
o}, das ist ein Aehsenl~'euz. Es ist in zwei GerMen zerlegbax'. Dass das geometrische Bild die algebrMschen Eigenschaften nur unvollstgndig besehreibt, sieht man sehon im eindimensionalen Fall a~ Beispiel 2 aus II 2.12.
2.15 EXISTENZ MAXIMALER IDEALE UND DAS LEMMA VON Z O R N *
197
2.15 E x i s t e n z m a x i m a l e r Ideale u n d das L e m m a v o n ZORN* In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass jedes edite Ideal in mindestens einem maximalen Ideal enthalten ist. Der Beweis wird sehr abstrakt und nidit konstruktiv sein, daher vorweg einige einfache Spezialfglle. 1. Im Ring Z ist jedes Ideal yon der Form mE, die maximalen Ideale sind pZ mit einer Primzalil p. Also ist m Z C pZ C Z fiir alle Teller p yon m, falls I m 1r 1. 2. Ist K ein KSrper, so ist jedes Ideal im Polynomring K[X] yon der Form (f) mit f E K[X]. Im Fall K C sind die maximalen Ideale yon C[X] yon der Form (X - a) mit a E C (Beispiel 2 aus II 2.14). Fiir die echten Ideale (f) ~ C[X] ist deg f _> 1, fiir jede Nullstelle a yon f gilt
(f) C (X-a) cC[X]. Fiir einen beliebigen KSrper K kann man die in II 3.5 bewiesene Aussage verwenden, dass jedes f E K[X] einen irreduziblen Faktor g besitzt. Daan ist (g) maximal und (f) C (g) C K [ X ] . 3. Als Verallgemeinerung von 2. betrachten wir fib einen KSrper K den Polynomring K[X1,..., X~ ] und fiir eine beliebige Teilmenge 0 r A C K ~ das Ideal
I(A):
{fEK[Xl,...,X~]'flA
0}cK[Xl,...,X~].
F i b jeden Punkt a E K ~ ist I(a) maximal, denn dieses Ideal ist Kern des smjekriven Auswertungs-Homomorphismus I i ~ [ X l , . . . , X n ] ---+ I ~ ,
f
~-~
f(a)
.
I(A) c I(a) fiir jedes a E A. dem Hilbertschen Nullstellensatz
Also gilt
Aus folgt, dass es fib einen algebraisch abgeschlossenen K6rper K (etwa K C, vgl. III 1.8) zu jedem maximalen Ideal m C K[X1,... ,X~] genau einen Punkt a E K ~ gibt, so dass m
Dieses Ergebnis geh6rt zu den Grundlagen
IH , I 1])
der algebraischen Geometrie (vgl. etwa
4. Im Ring/<[ [X]] der formalen Potenzreihen ist m : (X) das einzige maximale Ideal, jedes andere echte Ideal ist yon der Form m ~ mit n _> 1 und
(Beispiel 2 in II 2.8).
198
II RINGE
5. Ist Rein Menge
noetherscher
Ring (vgl. II 2.6) und a C R ein Ideal, so besitzt die
I
{bCR'b
Idealund acb}
ein maximales Element m. Das ist ein maximales Ideal und aCmCR. 6. Im Nullring R
{0} gibt es kein echtes Ideal, also auch kein maximales Ideal.
Nun kommen wit zu dent angekfindigten allgemeinen Ergebnis: Theorem Sei R e i n kommutativer Ring mit Einselement 1 r 0 und a ~ R ein Ideal. Dann gibt es dazu mindestens ein maximales Ideal m c R mit aCmCR.
Es ist klar, dass man zum Beweis die Menge aller echten Ideale betrachten muss, die a enthalten. Dabei benStigt man einige grundlegende Begriffe der Mengenlehre. Sei M eine beliebige Menge mit einer Relation _< (d.h. genau genommen einer Teilmenge/~ c M x M). Die Relation _< heiigt Halbordnung auf M, falls fiir alle a, b, c E M folgendes gilt: HI
a
H2
a
~
a
H3
a<_bundb<_c
~
a<_c.
b.
Eine Halbordnung heiflt O r d n u n g , falls H4
a < b oder b < a ffir alle a,b E M.
Zwei typische Beispiele: Auf M Z mit der iiblichen _< Relation ist eine Ordnung gegeben. Ist X eine beliebige Menge und M : ~ ( X ) die Potenzmenge, so ist dutch A
~
a<_b
oder
b<_a.
Ein Element s E M heigt obere S c h r a n k e der Kette K c M, wenn a<s
ffiralle
aEK.
2.15 E X I S T E N Z M A X I M A L E R I D E A L E U N D DAS L E M M A V O N Z O R N *
199
Ein Element rn E M heigt m a x i m a l , wenn fiir jedes a E M gilt: rn
=:> r n
a.
Schliet~lich heit~t eine Menge mit einer Halbordnung i n d u k t i v g e o r d n e t , wenn jede Kette eine obere Schranke besitzt. Mit Hilfe all dieser Begriffe kmm man nun ein Ergebnis der Mengenlehre formulieren, das Equivalent ist zum A u s w a h l a x i o m , d.h. der Aussage, dass das Produkt jeder nichtleeren Familie yon nichtleeren Mengen nicht leer ist. L e m m a y o n ZORN maximales Element.
Jede induktiv geordnete Menge besitzt mindestens ein
Damit wird der Beweis des Theorems ganz einfach: Wir betrachten die Menge M:
{bCR'b
Idealund acb}
mit der Halbordnung C. Ist K C M eine Kette, so behaupten wit, dass c:
UbcR [JcK
eine obere Schranke yon K ist. Dazu geniigt es, c E M zu zeigen. c ist Ideal: Da K r 0, ist c r 0. Fiir b, b' E c gibt es b, b' E K mit b E b und b' E b'. Wir kSnnen b c b' annehmen, also ist b' - b E b~ C c. Fiir z E R ist zb E b C c. a C c / ~ R: a C c i s t klar, d a a c also ggbe es ein b E K mit 1 E b.
b fiiralle b E K . W / i r e c
R, sow/ire 1 E c,
Damit ist gezeigt, dass die IIalbordnung c auf M induktiv ist, nach dem Lemma yon ZORN folgt die Existenz eines maximalen Elementes m E M, das ist offenbar ein maximales Ideal mit acmCR.
[]
Aus dem Korollar in II 2.2 folgt sofbrt das Korollar In jedem kommutativen Ring R mit Fins ist die Menge R \ R • der" Nichteinheiten die Vereinigung aller maximalen Ideale. []
200
II RINGE
w 3 Teilbarkeit in Integrit/itsringen In 1 3.8 hatten wir schon einige elementare Teilbarkeitsbeziehungen ffir ganze ZMilen behmidek. In der Theorie der KSrpererweiterungen ben6tigt man auch grgebnisse fiber die Teilbaz-keit yon Polynolnen. Allgemeiner betrachten wir in dieseln Paz'agraphen zungchst beliebige Integ~'itgtsringe. Die Idealtheorie bleibt dabei aafangs im Hintergrund.
3.1
Teller u n d assoziierte E l e m e n t e
Sei nun/~ stets ein Integrit/itsring (d.h. mit 1, kommutativ und nullteilerfrei). Sind a~ b E /~, so heit~t a T e l l e r yon b (in Zeichen a I b), wenn es ein c E /~ gibt mit b c . a . GMchbedeutend ist~ dass b V i e l f a c h e s yon a ist. In der Sprache der Hauptideale y o n / ~ gilt
~1 b r
(b) c (~).
Ffir die Teilbarkeit notieren wir einige offensichtliche
Rechenregeln
a) F i i r j e d e s a E t~ gilfa]O, 1]a, a]a u n d O ] a c = > a
O.
b) a] b u n d b] c ~ a] c.
~) ~1 b ~nd
~1 d ~ ~1 bd.
d) a I b l , . . . , al b~ ~ a I (xlbl + . . . + x~b~) fiir alle x l , . . . ,
x~ E 1~.
e) al l c=~ a E l~ • f) a Ib ~
(ax)l b fiir jedes x E 1~• .
hn Ring G hat man nut die Einheiten -4-1, entsprechend sind die Teller yon + m E G gleichwertig. In beliebigen Integrititsringen wird das etwas komplizierter. Zwei Elemente a, b E R heii~en a s s o z i i e r t ,
in Zeichen
a ~ b : c=> a] b und b] a .
Bemerkung
Es gilt a - br
es gibt ein x E I~ •
mit b
x .a .
Kurz ausgedrfickt:Assoziiert bedeutet, bis auf eine Einheit gleich. ,~" , , ~ " Aus b Beweis
Ist x . y 1, soist a y.b. ca und a db folgt a db
d, c E 1~• .
(dc)a, also wegen der Kfirzungsregel []
In der Sprache der Hauptideale ist ofl'ensichtlich
-br
(b)
3.2 IRREDUZIBLE ELEMENTE UND PRIMELEMENTE
3.2
201
Irreduzible Elemente und Primelemente
Eiile Zahl p E N mit p > 2 ist Primzalll, wenn 1 uild p die eiilzigeil positiven Teiler siild. In A i i i o g i e zur Physik k ~ u i niall die Primzahleil als A t o m e im Bereich der ganzen Zahlen sehen. Allgemeiner h a t m a n die 1 Ein Element q E /~ heigt irreduzibel, weim gilt:
Definition a)
q/~0undq~R
x.
b)
Ist q
a, b E R ,
a.bmit
sofolgt aER • oderbER
•
q heitgt reduzibel, weim es ificht irreduzibel ist. D e n m a c h si~ld neben der Null und Einheiten Elemente reduzibel, wenn sie sich als P r o d u k t yon Nichteinheiten darstellen lassen. Es gibt wesemlich kompliziertere Integrititsriilge Ms deil Riilg Z, daher beil6tigt m a n fiir ein sorgfgltiges S t u d i u m der Teilbarkeit noch einen etwas einschrgnkenderen Begriff. D e f i n i t i o n 2 Eiil Element p E R heist P r i m e l e m e n t gilt: a)
p/~0undp~R•
b)
Aus p[ ( a . b) fiir a~ b E R iblgt p[ a oder p[ b.
(oder eiilfach p r i m ) , wenn
Ein Primelement ist irreduzibel.
Bemerkung
Beweis Ist p ab, so iblgt p[ (ab), also p[ a oder p[ b. Es geniigt dell Fall p[ a zu behandeln. D a n n ist a
cp~ also p
ab
(cp)b
(cb)p~ somit ist b E R • . []
I~ vielei~, aber ~ficht alle~ Fiille~ gilt die Umkehru~g, das ist eine wesentliche T[icke der Teilba~'keitslehre. Ein klassisches Gegei~beispiel ist der a m E~de yogi II 3.15 beschriebene , K u m m e r r i n ~ ~ (9 5. Der Unterschied zwischen beideil Begrifl'eil wird auch deutlich durch die (~bersetzung in die Idealtheorie:
Sei R ein I,ntegritiitsring und p E R mit p ~ 0 und p ~ R • . Dann gilt:
Lemma
1)
p irreduzibel r
2)
p Primelement r
Beweis
1)
(p) c R maximales Hauptideal. (p) c R Primideal.
(p) c R m a x i m a l e s H a u p t i d e a l bedeutet, dass es kein a E R gibt rnit
. ~ " Ist (p) c (a) ~/~, so gibt es ei~l c E /~ m i t p also (p)
ca. D a a ~ R • , ist c E R • ,
, ~ " Ist p ab, so ist (p) C (a), also (p) (a) oder (a) a E R • im Fall (p) (a) ist a cp f[ir ein c E R, also
p
ab
(cp)b
(cb)p~ Mso 1
R. I m Fall (a)
cb und b E R • .
R ist
II RINGE
202
2) , , ~ " Wegen p ~ R • folgt (p) C R. Ist ab E (p), so folgt Pl ab, also Pl a oder Pl b, d.h. a E (p) oder b E (p). ,,r
Pl ab bedeutet ab E (p), also a E (p) oder b E (p), d.h. Pl a oder Pl b.
[]
In einem Hauptidealring stimmen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element, sowie Primideal und maximales Ideal iiberein.
Korollar 1
Beweis Dass Primelemente irreduzibel sin(t, wurde oben bemerkt; nach dem Korollar aus II 2.13 sind maximale Ideale auch Primideale. Nach dem obigen Lemma erzeugt ein irreduzibles Element p ein maximales Ideal, das ist auch Primideal, also ist p Primelement. Welter wird ein Primideal yon einem Primelement p erzeugt, das ist irreduzibel, also ist (p) maximal. []
M R Hilfe dieses Korollars sielltm a n sofoI%, (lass die Ringe Z[X] und einen KSrper K keine HaupUdealringe sin(l: (X) c Z [ X ]
und
K[X, Y] ffir
(Y) c K [ X , Y ]
sind nicht maximale Primideale. Etwa die Ideale (2, X) c Z [ X ]
und
(X,Y) cK[X,Y]
shid keine Hauptideale, was schon in Beispiel 1 aus II 2.8 gezeigt wurde. Ftir die Konstruktion yon KSrpererweiterungen in Kapitel III benutzt man die Hauptidealringe K[X] und die Restklassenringe K[X]/(f); dass sie ffir irreduzible Polynome f K6rper sind, folgt aus Korollar 2
I~t t~ Hauptideah'ing und a E t~ irreduzibel, so ist t~/(a) ein K6rper.
Da diese Folgerung so wichtig ist, geben wir als Extrakt aus den vorhergehenden Uberlegungen noch einen gaslz direkten Beweis Fiir b + ( a ) E I~/(a) mit b + ( a ) /~ 0 + ( a ) , d.h. b ~ a, m u s s e i n x E /~ gefunden werden, so dass (x+(a))(b+(a))
l+(a),
d.h. x b - l E ( a ) .
Da R Hauptidealring ist, gibt es ein c E R mit
(a) C(a,b)
(c) CR,
also a
d.c ffirein dER.
Da (a) /~ (c), ist d ~ R • , also muss c E R • sein. Somit ist (a, b) x, y E /~, so dass 1 y a + x b , d.h. x b - l E (a).
/~ und es gibt
3.3 T E I L E R K E T T E N
3.3
203
Teilerketten
Das wichtigste Ziel der Teilbaxkeitslehre ist es, beliebige Elemente eines Ringes mSglichst eindeutig als Produkt yon irreduziblen Elementen darzustellen. So wie man in der Physik ein Molekiil in Atome zerlegt. Die n/ichstliegende Methode dabei ist, ein Element schrittweise in kleinere Teile zu zerlegen, und zu hoffen, dass der Vorgmlg nach endlich vielen Schritten zum Ziel ffihrt. D e f i n i t i o n Eine T e i l e r k e t t e in einem Integrit/~tsring R ist eine Folge (a,),~N yon Elementen a , E R, so dass stets a , + l l a , . Man sagt, dass in R der T e i l e r k e t t e n s a t z gilt, wenn jede Teilerkette ( a , ) s t a t i o n g r wird, d.h. es gibt no E N, so dass a , + l ~ a , fiir alle n 2 no. Ein Ring, in dem der Teilerkettensatz nicht gilt, wird in Beispiel 3 aus II 2.8 beschrieben. U m festzustellen, ob eine Teilerkette station/~r wird, hilft eine ,,Kontrollfunktion", deren Wert bei echten Teilern abnimmt. Bei ganzen Zahlen ist das der Betrag, bei Polynomen der Grad. Damit erh51t m a n das
1) Der Teilerkettensatz gilt irn Ring Z.
Lemma
2) Gilt der Teilerkettensatz in R, so gilt er auch im Polynomring R[X]. Beweis
1) Ist ( a . ) eine Teilerkette in Z, so ist a.
b.a.+l,
also la~l > la.+ll und la~l
la.+l r
-4-1.
2) Ist (f,~) eine Teilerkette in R[X], so ist
fn
gnfn+l , also deg fi~ _> deg
~n+l
Nach dem Gradsatz aus I I 1.6 gibt es ein nl, so dass deg f,~+l n _> rh. F i b n _> rh sei a . E R der Leitkoetfizient von f,~, also
fn
an X d + . . .
,
fn+l
deg f,~
: d fiir
an+l X d + . . . .
(an)n>nl in R. Nadl Voraussetzung gibt es ein no > nl mit a . + l ~ a . ffir n > no, also ist insgesamt fi~+l ~ )%~ fiir n _> no. []
Da fi~+ll fi~ folgt a . + l I a . , wir erhalten also eine Teilerkette
Mit Hilfb yon Teilerketten hat schon EUKLm gezeigt, dass jede ganze Zahl einen irreduziblen Teller besitzt [Eu, VII w 31]. Allgemeiner ergibt diese Methode den
Gilt im Integritiitsring R der Teilerkettensatz~ s o g i b t es zu jedem a E R Satz m i t a ~ 0 und a ~ R • irr'eduzible Elernente q l , . . . , q~ E R, so dass a
q1"...'q~..
204
II RINGE
Man beachte, dass unter diesen Voraussetzungen keine Aussage fiber die Eindeutigkeit der Darstellung gemacht werden kannI Beweis Sei M C R die Menge der a E R mit a r 0 und a ~ R • , die sich nicht in der angegebenen Weise darstellen lassen. Wir zeigen, M 0. Angenommen, M r 0. Dann gibt es ein b E M, das in M keine echten Teiler hat, d.h. gilt a I b ffir ein a E M, so ist a ~ b. Andernfalls k6nnte m a n in M eine nicht station~re Teilerkette finden. Nun kaan b Ms Element yon M nicht irreduzibel sein; d a b r 0 und b ~ R • , muss es eine Darstellung b
al 9as
nfit ai E R \ R • geben. Nach Definition yon M und b gilt ai ~ M. Also haben die ai und somit auch beine Darstellung als P r o d u k t yon irreduziblen Elementen; das ist ein Widerspruch. [] Aus dem obigen L e m m a folgt insbesondere, dass in einem Polynomring fiber einem KSrper der Teilerkettensatz gilt. Das ergibt sich auch aus dem allgemeineren Satz Beweis Kette
In einem Hauptidealring gilt der Teilerkettensatz. Ist (a~)~cN eine Teilerkette in R, so erh~ilt m a n daraus eine aufsteigende c
c...
c
c...
c R
yon Hauptidealen. Offensichtlich ist OO
n
0
wieder ein Ideal und es gibt ein a E R mit a (a). Da a die Vereinigung ist, gibt es ein no mit a E (a~ o ). Daraus folgt (a~) (a~ o ) und a~ ~ a~ o ffir n > no. [] Etwas allgemeiner kann r e a l mit der gleichen Methode sehen, dass auch in einem noetherschen Ring der Teilerkettensatz gilt. Wir fassen noch einmal zusammen:
Teilbarkeit in Hauptidealringen
Ist R ein Hauptideal'ring, so gilt:
1) Jedes E l e m e n t a E R m i t a ~ 0 und a f~ R • ist endliches Produkt yon irreduziblen Elementen. 2) dedes irreduzible E l e m e n t von R ist auch P'rimelement. In II 3.5 werden wir einen Ring mit diesen Eigenschaften ,~'aktorielF' nennen.
[]
3.4 PRIMZAHLEN
3.4
205
Primzahlen
Der Ring Z der gaazen Zahlen war immer wieder aufgeffihrt worden Ms Beispiel, etwa ffir einen euklidischen Ring und einen Hauptidealring; da~'aus tblgen gute Eigenschaften ffir die Teilbarkeit ganzer Zahlen. In diesem Abschnitt wollen wir hierffir direktere elementare Beweise geben. Eine Zahl p E N heit~t P r i m z a h l , wenn sie als Teller nut 1 und p hat; aut~erdem hat man sich geeinigK p _> 2 vorauszusetzen. In der Terminologie yon II 3.2 bedeutet das, dass p in Z irreduzibel ist; dam~ ist natfirlich auch - p irreduzibel. Wie wit im vorhergehenden Abschnitt unter Verwendung des Absolutbetrages gesehen haben, gilt in Z der Teilerkettensatz. Daraus ergibt sich als Korollar 1
Jede natiirliche Zahl n > 2 ist Produkt yon Primzahlen.
Wie schon bemerkt, k a m noch keine Aussage fiber die Eindeutigkeit gemacht werden. Ein wichtiger Schritt dorthin ist der Beweis, dass Primzahlen die Eigenschaft yon Primelementen haben. Wit geben einen elementaren Beweis dieses Ergebnisses~ das man schon bei EITKLID findet [Eu~ VII w 30]. T e i l b a r k e i t s s a t z v o n EUKLID
I s t p E N eine P'rimzahl und gilt p] ( m 9 n) fiir
rn~ n E N, so folgt Pl m oder Pl n. A n d e r s ausgedr,iickt: I m R i n g 7, ist jedes irreduzible E l e m e n t auch P r i m e l e m e n t . B e w e i s Erster Schritt. Wit zeigen, dass es genfigt, den Fall 1 < rn, n < p zu betrachten.
Angenolnmen, es gibt eine PrilnZalfl p und dazu rn, n, so dass p { m und p { n. Dann gibt es auch eine kleinste Primzahl mit dieser Eigenschaft, sie wird wieder mit p bezeichnet. Wir teilen m u n d n mit Rest durch p (I 1.8): m
Daher ist
rnr~
Angenolnmen, m '
kp+m'~
n
/vp+n'
(O
kLp 2 + (kr~' + b n ' ) p + m'r~', also pl (m'r~') 1 oder n'
1. D a a n folgt P l n oder Pl m.
Zweiter Schritt. Zur oben gewShlten kleinsten Primzahl p wShlen wir das kleinste Produkt m n E N mit pi rnn , 1 < m, n < p .
Insbesondere tblgt p { m u n d p { n. Welter gibt es ein k E N Init
.~
kp.
(*)
Es gilt 1 < k < p, denn p ist irreduzibel und rn, n < p. Nach dem Satz aus I I 3.3 gibt es eine Primzahl q, die k teilt, also ist k k'q und q' _< k < p. Aus (.) folgt qI ran, wegen q < p folgt qI m oder qI n. Es genfigt den Fall qI m zu betrachten, daam ist
206
II R I N G E
m
m'q, k
k'q, m'qn
mn
kp
k'qp,
also m ' n
k'p.
(**)
Wegen q > 1 folgt m ' < m, also m ' n < ran. Aus (**) folgt Pl re'n, also Pl m ' oder Pl n. P l n war ausgeschlossen, also verbleibt nut die MSglichkeit Pl m'. Wegen m m'q tblgt Pl m, das ist ein Widerspruch. [] Die wesentlichen Eigenschaften yon Z, die wir benutzt haben, sind die Teilung mit Rest und der Teilerkettensatz. Wir fassen das Ergebnis noch einmal zusammen. Korollar 2 i)
Fiir" eine Zahl q E g sind folgende Bedingungen iiquivalent:
q E g i s t irreduzibel.
ii) q E Z ist Primelement. iii)
IqI E N
ist Primzahl.
[]
Aus dem obigen Korollar 1 (das auf dem schon yon EUKLID beschriebenen Verfahr e n d e r Teilerketten beruht) und dem Teilbarkeitssatz ergibt sich nun ganz einfach ein zentrales Ergebnis, das bei EUKLID noch nicht zu finden ist. Haupsatz der elementaren Zahlentheorie Zu jeder natiirlichen Zahl n > 2 gibt es paarweise verschiedene Primzahlen pl, ... ,p< und kl, . . . , k< E N \ {0}, so dass kl
n
]91
"'"'Pr
k~,
9
Die Zahlen r, sowie P l , . . . ,P~ und k l , . . . , G sind dutch n eindeutig bestimmt. Beweis
Na~h Korollar I ist nur noch die Eindeutigkeit zu beweisen. Sei also ).~,
mit Primzahlen die Methode:
/,~1~1..... ~))," q~l...., q~
ql,..., %. Wir gehen nun schrittweise vor, der erste Sehritt zeigt
pll (q l ... &)
pll
i
pl
Damit kann man pl qi aus dem Produkt kiirzen und mit dem verbleibenden Produkt analog fortfahren, bis auf einer Seite das leere Produkt 1 verbleibt. Dann ist aueh die andere Seite abgebaut. [] Eines der beriihmtesten Ergebnisse yon EUKLID ,,Es gibt mehr Primzahlen ausgedrfiekt:
fin(let man in Buch IX, w 20:
Ms jede vorgelegte Anzahl yon Primzahlen".
Unendlichkeitssatz yon EUKUD
Anders
Es gibt unendlich vide Primzahlen.
Beweis Seien Primzahlen pl, ... ,p~ ,,vorgelegt"; es ist zu zeigen, dass es mindestens eine weitere Primzahl p gibt. Man betrachte nun q:
Pl"...'P~+I
3.4 PRIMZAHLEN
207
und einen Primfaktor p von q. Angenommen p
pi fiir ein i E {1, . . . , n}. Dann
gilt
Plq und P I ( P l " . . . ' P - ) ~ P I ( q - P l " . . . ' P - )
d.h. p l l ,
das ist unmSglich.
[]
Diesen wundersehSnen klassischen Beweis sollte ein Mathematiker im T r a u m wiederholen kSnnen (-Innen nicht ausgeschlossen)! Man beachte, dass nieht behauptet wird, pl " . . . " p , + 1 sei eine Primzahl. Sind p l , . . . , p , die ersten n Primzahlen, so erh/ilt m a n zungchst die Primzahlen 2+1 3 2.3+1 7 2.3.5.7+1 2.3.5.7.11+1
211 2311
D a a n abet ist 2.3.5.7.11.13+1
30031
59.509,
wobei 59 und 509 Primzahlen sind. Will m m l fiir eine Zahl n E N entscheiden, ob sie Primzahl ist, so muss m a n zeigen, dass sie keinen kleineren Teiler m hat; dabei geniigt es, n dutch alle Zahlen m _< x/~ zu teilen. Um flit eine Zahl n a l l e Primzahlen p _< n zu bestimmen, ist das klassische etwa 250 v. Chr. gefundene Sieb des ERATOSTHENES hSchst effizient. Man schreibt alle Zahlen yon 2 his n auf und streicht bei 2 beginnend alle Vielfachen weg. Ist m a n beim grSgten m _< x/~ angekommen, sind die nicht gestrichenen Zahlen Primzahlen. Fiir n 100 muss m a n nut die Vielfachen yon 2, 3, 5 und 7 streichen. Zur Abkiirzung haben wit die geraden Zahlen bis auf 2 (,,the oddest of all primes") schon weggelassen; start zu streichen, haben wit unterstrichen, die verbleibenden 25 Primzahlen sind fett gedruckt: 2
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
208
3.5
II RINGE
Faktorielle Ringe
Wie wir in II 3.3 gesehen haben, gelten in Hauptidealringen besonders gute Regeln fiir Teilbarkeit und Faktorisierung. Beispiele fib Ringe mit u n a a g e n e h m e n Teilbarkeitseigenschaften geben wir spSter: Der , K u m m e r r i n g " (9 5 aus II 3.15 u n d der Ring (9(C) der holomorphen Funktionen aus II 3.10. ZunSchst befassen wit uns mit den guten Eigenschaften. S e i 19 ein I,ntegvitiitsring. D a n n ist es gleichwertig z u Faktorisierungssatz f o r d e r n , dass f i i r j e d e s E l e m e n t a E 19 m i t a ~ 0 u n d a ~ 19x Folgendes gilt: F E s gibt P r i m e l e m e n t e p l, . . . , P ~ E 19 m i t a
P l 9 . . . "P~.
F ' E s gibt irreduzible E l e m e n t e ql, 99 9 q~ E 19 m i t a ql ". 9 ." q., u n d eine solche Z e r l e g u n g ist his a u f R e i h e n f o l g e u n d E i n h e i t e n eindeutig.
Ein Integrits gungen erfiillt.
R heifft f a k t o r i e l l ,
wenn er diese beiden ~kluivalenten Bedin-
Der Faktorisierungssatz ist eine unmittelbare Konsequenz aus den folgenden Lem-
mata: Lemma
1 ,lede Z e r l e g u n g a u n d E i n h e i t e n eindeutig.
Lemma
2
Pl". . .'P~ in P r i m e l e m e n t e pi ist bis a u f R e i h e n f o l g e
Gilt F ' , so ist j e d e s irreduzible E l e m e n t auch P v i m e l e m e n t .
Beweis yon Lemma 1
Sei a
!
Pl "...'Pr
Pl ""''Ps
!
mit Primelementen p~ und p} E R. Aus pl[p~" . . . " p ' folgt pl[p} ffir ein j; da die Reihenfolge der Faktoren irrelevant ist, kSnnen wit j 1 annehmen. Es folgt also pl ~ p] und p2 99 .. "p~ ~ p~ 9 .. 99 p~. Durch Fortsetzung des Verfahrens folgt bei passender N u m m e r i e r u n g pi ~ p~ und r s. [] B e w e i s y o n L e m m a 2 Sei q E R irreduzibel u n d q]ab; d a n n gibt es ein c E R mit qc ab. Weiter gibt es nach F ' irreduzible Zerlegungen
q~.....q.,,6
q~...
I
also ist f!
f!
q " ql " . . . " qt
ql "
Aus der Eindeutigkeit iblgt q ~ qi ffir ein
II
9 q, u n d c
ql'...'qt
! 9
.
"qr "ql
II ,
!
"''"
"qs
9
oder q ~ q~ ffir ein j , also gilt q]a oder []
Auf die naheliegende Frage, welche Ringe faktoriell sind, kann man aus den bisher bewiesenen Aussagen eine erste Antwort geben.
3.6 G E M E I N S A M E T E I L E R U N D V I E L F A C H E
Satz
209
Jeder HauptideaMng ist faktor'iell.
Beweis Ist R Hauptidealring, so ist er nach Definition auch Integritgtsring. Nach II 3.3 gilt der Teilerkettensatz, also ist jedes Element yon R in irreduzible Elemente zerlegbaz. Nach Korollar 1 aus II 3.2 ist jedes irreduzible Element in einem Hauptidealring auch Primelement. [] Die wichtigsten Beispiele ffir faktorielle Ringe sind die ganzen Zahlen Z und der Polynomring K[X] fiber einem K6rper K. Die Ringe Z[X] und K[X, Y] sind keine Hauptidealringe. In II 3.7 werden wir sehen, dass sie faktoriell sin&
3.6
Gemeinsame
Teiler u n d V i e l f a c h e
In I 3.8 hatten wir den grSgten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache ganzer Zalflen als erzeugende Elemente yon Untergruppen yon Z erklfizt. Eine ganz analoge Konstruktion kmm man in Hauptidealringen durehffihren. Im allgemeineren Fall yon faktoriellen Ringen lassen sich gemeinsame Teller und Vielfache an den Zerlegungen in Primfaktoren erkennen. Die Zerlegung in Primfaktoren ist nur bis auf Einheiten eindeutig. Im Ring Z ist das ganz harmlos, da Z • {+1, - 1 } ; aber im Allgemeinen k6nnen faktorielle Ringe viele Einheiten besitzen. Dalier ist es hilfreich, die Menge aller Primelemente eines faktoriellen Rings R in Klassen assoziierter (d.h. bis auf Einheiten gleicher) Primelemente aufzuteilen und aus jeder Klasse einen Vertreter p E R auszuwfihlen. Die Menge P C R all dieser ausgewghlten Primelemente nennt man ein VertreZ w/ihlt man fiblicherweise die (naeh Definition positiven) t e r s y s t e m . In R Primzahlen aus, in K[X] die normierten irreduziblen Polynome. Ist a E R \ {0} und p E P , so ist der Exponent ~v(a) E N von p beziiglieh a erklgrt durch a p"(~).b mit p { b . Die bis auf Einheiten eindeutige Zerlegung in Primfaktoren kann man dann in der Form
a
e(a) [IP'P(~)
mit
e(a) E/~•
pCP
schreiben, wobei natfirlich nur endlich viele Faktoren p',(~) r 1 (d.h. ~p(a) > 0) sin& Sind a, b E R, so gilt offensichtlich ffir alle p E P
b)
+ .,.(b), also
b I a e=~ %(b) _< ~p(a) ffir alle p E P und a E R • e=~ ~p(a)
0ffirallepEP.
210
II R I N G E
Seien nun ein faktorieller Ring R u n d a l , . . . , Ein d E R heigt g r g f l t e r g e m e i n s a m e r gilt:
art E
R
\
{0} gegeben.
T e i l e r yon al, . . . , art, wenn Folgendes
1) d ist gemeinsamer Teller yon a l , . . . , art, d.h. d I a l , . . . , d I art. 2) Ist b E R gemeinsamer Teller yon a l , . . . , art, so folgt b I d. Ein c E R heigt k l e i n s t e s g e m e i n s a m e s gendes gilt:
V i e l f a c h e s yon a l , . . . , art, wenn Fol-
1) c ist gemeinsames Vielfa~hes yon a l , . . . , art, d.h. al I c, . . . , art I c. 2) Ist b E R gemeinsames Vielfaches yon a l , . . . , art, so tblgt c I b. D a sich die Teilbarkeit in R in die GrSge der E x p o n e n t e n in N iibersetzen lgsst, erhglt m a n sofort den
Gegeben sei ein faktorieller Ring R mit einem Vertretersystem P c R der Satz P'rimdemente, Sind al, . . . , art E R \ {0} gegeben, so ist ggT (al, . . . , an) :
H
~min (pp(al) ...... p(a,~))
pCP
ein grSflter gemeinsamer Teller und k g V ( a l ~ . . . ~art):
2). . . . (Pp(al) ...... p(a~))
H pCP
ein kleinstes gemeinsames V'idfaches von a l , . . . , in R eindeutig bestimmt.
art.
Beide sind his auf Einheiten []
Als VerMlgemeinerung einer bekannten Eigenschaft rationaler ZMflen erhglt m a n (]as
Ist R e i n faktorieller Ring und Q(R) sein QuotientenkSr'per; so gestatKorollar tet jedes (~ E Q(R) eine Darstellung a mit teilerfremden a, b E R .
Beweis Ist ~ ~(t o mit a0, b0 E R u n d b0 ~ 0, so kann m a n den Bruch mit g g T (a0, b0) kiirzen; d a d u r c h werden Zghler und Nenner teilerfremd. [] Ist der Ring R nicht nur faktoriell, sondern sogar Hauptidealring, so kann m a n wie in 1 3.8 ffir R Z eine R e l a t i o n y o n BgZOUT beweisen: Zu a l , . . . , art E R \ {0} gibt es xl, . . . , xrt E R, so dass ggT (al, 9 9
art)
Xlal +...
+ Xnan
9
Ist R euklidisch, so kann m a n einen grSgten gemeinsamen Teller u n d die Koemzienten der Relation yon BgZOUT wie in Beispiel 1 aus I 3.13 fiir R Z d u t c h den E u k l i d i s c h e n A l g o r i t h m u s bestimmen.
211
3.7 P O L Y N O M R I N G E 1 ) B E R F A K T O R I E L L E N R I N G E N
3.7 Polynomringe fiber faktoriellen Ringen Wie wit in II 3.5 gesehen haben, ist der Ring Z und jeder Polynomring K[X] fiber einem KSrper faktoriell. Dass auch der Ring Z[X] und der Polynomring K [ X 1 , . . . , X,~] faktoriell ist, folgt aus einem S a t z v o n GAUSS f i b e r f a k t o r i e l l e R i n g e auch der Polynomring R[X] faktoriell.
Ist der Ring R faktomell, so ist
Ist K Q(R) der QuotientenkSrper, so wissen wir nach dem Satz aus II 3.5 bereits, dass der Polynomring K[X] als Hauptidealring faktoriell ist. Urn zu zeigen, dass die gleichen Teilbarkeitseigenschaften im Unterring R[X] C K[X] gelten, muss man feststellen, wie sich die Eigenschaft der Irreduzibilitgt bei den l~berggngen zwischen den beiden Ringen verhglt. Das Problem dabei ist, dass in R[X] neben der Teilbarkeit yon Polynomen auch die Teilbarkeit der Koetlizienten aus R (etwa ganze Zahlen oder selbst Polynome) eine Rolle spielt. Um diese beiden Probleme etwas zu trennen, ist ein neuer Begriff hilfreich. Ist R faktoriell, so heigt ein Polynom f E R[X] \ {0} p r i m i t i v , wenn seine Koetfizienten teilerfremd sind. Offensichtlich ist jedes irreduzible Polynom f E R[X] primitiv, abet nicht umgekehrt: etwa f X 2. ZunSchst beweisen wir ein so genanntes L e m m a v o n GAUSS Ist R ein faktor'ieller Ring, und sind f, g E R[X] pmrnitiv, so ist auch f . g E R[X] primitiv. Beweis des Lernmas f
Sei
ao + a l X + ... + a ~ X ~ , g und
f
9g
bo + b l X + ... + b~X ~
co @ c I X @ . . . @ Cm+n X m + n
9
Angenommen f 9g w/ire nicht primitiv; dann ggbe es ein Primelement ]) E R, das c o , . . . , c~r~+,~teilt. Da f und g primitiv sind, gibt es ein i und ein j mit 0 < i < m und 0 _< j _< n, so dass ]) I a 0 , . . . , ] ) l a g
1,]9
{ a{
ulld
])lbo,...,])lb5
1,]9
{ bj
.
Nun ist c~+j
E a~b, ;~+v i+j
a~bj + E ' "
p teilt alle Summanden aus ~ ' , damit auch ~ ' und p I c{+], also p I a{b]. Da p Primelement ist, folgt p I ai oder p I bj im Widerspruch zur Voraussetzung. [] Ist R faktoriell, K Q(R) und f E K[X], so konstruieren wir eine Zerlegung f c~. f l mit c~ E K und einem primitiven f l E R[X]. Sei also f
~X
~ @ ... @
O~lX@
0~0 E K [ X ]
.
212
II R I N G E
Nach II 3.6 gibt es fiir i ai Wir setzen b :
0, . . . , n e i n e Darstellung
ai
~-i mit
ai, b i E / 7
und
ggT(ai, bi)
1.
kgV (bo, . . . , b,). Dram ist
v./
ba,
,
bao
und der I n h a l t yon f ist erkl/irt durch inh(f):
bao ba, b 1 g g T ( ~ - o , . . . , b, )" EK.
Dann ist f
inh(f) 9f l mit einem primitiven fl E R[X].
Ist etwa f
5 ~X + ~ E Q[X], so ist b
f
12 und
(3X + 14) also inh(f)
]~ und fl
3X + 14.
Wir notieren einige elementare EigenschaRen des h~halts. I-Iilfssatz
Sei I f
Q(I~) und f E K[X].
a) Der Inhalt inh(f) E K und das primitive f l E R[X] sind durch die Eigenschaft f i n h ( f ) f l his auf Einheiten in I~ eindeutig bestimmt. b) f E R [ X ]
e=~ inh(f) E R
c) I~t f normiert, so ist inh(f)
~1 mit b E I~ \ {0}.
Beweis a) Ist c~fl fig1 mit primitiven fl, gl E R[X] und c~, fl E K, so ist zu zeigen, dass c~ fl und fl gl his auf Einheiten in R. Nach Multiplil~tion mit einem Hauptnenner yon c~ und fl kSnnen wit c~, fl E R annehmen. Fiir i 0,..., n deg fl deg gl seien ai bzw. bi die Koeffizienten yon f l bzw. gl. Dann gilt c~ai 3hi.
Da f l und gl primitiv sind, ist c~
ggT (c~a0,...,c~a,) ~ ggT (flb0,...,fib,)
fl,
also c~ ~ fl und fl ~ gl. a , X " + ... + ao mit a~ E R, so ist inh(f) ggT ( a 0 , . . . , a , ) E R. Die b) Ist f umgekehrte I/ichtung fblgt aus fl E R[X] und f inh(f) 9fl.
c) Wir benutzen die oben zur Definition des Inhalts verwendeten Bezeichnungen, d.h. b kgV ( b o , . . . , b , ) E / 7 \ {0},
3.7 POLYNOMRINGE 1)BER FAKTORIELLEN RINGEN
und wir zeigen, dass bf primitiv ist; dann ist i n h ( f )
213
b 1 E K.
Da f normiert ist, folgt bf bX ~ + .... Die einzig mSglichen Teller der Koetfizienten yon bf sind dalier die Primfaktoren p yon b. Sei also k : ~p(b) _> 1. Naeh Definition des kgV gibt es mindestens ein i mit ~p(b)
~p(bi)
k,
also b
p~b' und bi
p~b~ mit p { b ' , p{b~.
1 und p I bi. Der i-te Koetfizient yon bf ist
Welter gilt p ~ ai, da ggT(ai, bi)
bai bi
_ _
p~b' ai p~b~ _
b' bi
_
7 7 a i
er hat p nicht als Teiler. Also ist bf primitiv.
[]
Aus dem Lemma yon GAUSS ergibt sich das Korollar
Fiir f, g E K[X] ist his auf Einheiten in R inh(f..q)
Beweis Wegen f
i n h ( f ) f l und .q f ..q
i n h ( f ) , inh(.q) .
inh(.q).ql ist
i n h ( f ) , inh(.q) 9f l ".ql 9
Da f l 9gl wieder primitivist, folgt die Behauptung aus Teil a) des obigen tIilfssatzes.
[]
Nun stehen alle Hilfsmittel bereit, u m die Teilbarkeit in R[X] und K[X] zu vergMchen. Dabei gibt es triviale Probleme: Ist etwa R Q, so ist f
2X irreduzibel in Q[X], aber reduzibel in Z[X] . f
2 irreduzibel in Z[X], aber reduzibel in Q[X] .
Derartige Fglle werden im folgenden ausgeschlossen. Zungchst gilt die elementare Bemerkung
Ist f E R[X] C I f [ X ] primitiv, so gilt: f irr'eduzibel in If[X] ~
Beweis g E K[X] •
Angenommen f K • , also deg g
f irr'eduzibel in R [ X ] .
g . h mit g,h E R[X]. Dann ist o.B.d.A. 0. Da f primitivist, folgt g E R • . []
Fiir die umgekehrte Riehtung gilt der grundlegende I r r e d u z i b i l i t f i t s - S a t z Sei R ein faktor'ieller" Ring, K kSrper und f E R[X] mit deg f _> 1. Dann gilt:
f irr'eduzibel in R[X] ~
Q(R) sein Quotienten-
f irr'eduzibel in K[X].
II RINGE
214
Beweis Angenommen f ist reduzibel in K[X]. Wegen deg f g, h E K[X] mit deg g, deg h _> 1 und f
g. h
inh(g) 9inh(h) 9.ql 9 hi
Damit ist inh(g) 9inh(h)
>
1 gibt es
inh(f) 9.ql 9hi .
i n h ( f ) E R, also ist f reduzibel in R[X].
[]
Wir notieren noch zwei weitere spgter benStigte Aussagen fiber die Teilbarkeit in R[X] und K[X]. Zusatz 1
S e i f E R[X] primitiv nnd g E R[X] \ {0}. Dann gilt: f l.9 in K[X] ~
f l.9 in R [ X ] .
Beweis Sei g h. f mit h E K[X]. Dann ist nach dem Korollar zum Lemma yon GAUSS wegen i n h ( f ) E R • inh(h) ~ inh(g) E R ,
also h E R[X]
nach Teil b) des obigen Hili~satzes.
[]
Bei GAUSS [Ga3, w42] findet man im Fall R wichtigen Z u s a t z 2 Sei f E R[X] normiert und f Iol t g, h R[x].
Z den ffir die Kreisteilungstheorie g . h mit g, h E If[X]. Iat g normiert,
Beweis Da f und g normiert sind, ist auch h normiert. Wir benutzen Teil b) und c) des obigen Hilfssatzes. Es gilt 1
inh(/)
inh(g), inh(h)
1
1
-. c d
mit
c, d E R \ {0}
Also folgt c, d E R • und inh(g), inh(h) E R, also g, h E R[X].
[]
Nach all diesen Vorbereitungen ist der Beweis des Satzes yon GAUSS fiber faktorielle Ringe ganz einfach. Ln ersten Sehritt zeigen wit, dass jedes Polynoln f E R[X] mit f /~ 0 und f ~ R[X] • R • endliches Produkt yon irreduziblen Elementen ist. Dabei ffihren wir Induktion fiber n deg f . Ist n 0, so ist die Aussage klar, denn R ist faktoriell. Sei nun n _> 1 und die Aussage richtig ffir alle Polynome vom Grad _< n - 1. Wir zerlegen f inh(f) . f mit einem primitiven f . Da R faktoriell ist, ist i n h ( f ) entweder Einheit oder endliches Produkt irreduzibler Elemente aus R. Ist f irreduzibel in R[X], so ist man fertig; midernfalls ist f g. h mit g, h ~ R • Da f primitiv ist, folgt degg_
und
degh_
3.8 IRREDUZIBILITATSKRITERIEN FOR POLYNOME
215
Nach I n d u k t i o n s a n n a l m m gibt es Zerlegungen von g und von h, also auch yon f . h n zweiten Schritt zeigen wir die Eindeutigkeit. Seien also CI~ . . . , C
k
pl,...,p,
und
dl~ ..
und ql,..
,all aus R[X] v o m G r a d 0, ,% aus R[X] v o m G r a d _> 1
irreduzible Elemente, so dass C1 .....
Ck . p l
"...
p~
dl 9 . . . . dl 9 ql 9 . . . " q~ 9
Als irreduzible P o l y n o m e sind die pi und die qj primitiv, also sind nach d e m L e m m a yon G A u s s auch pl 9 ... "p~ u n d ql 9 . . . " q~ primitiv. Folglich gilt
cl.....c~dl.....dl D a R faktoriell ist, folgt k Also ist Pl"...'P~
in R .
1 u n d nach angepasster Reihenfolge ci ~ di in R.
~ q l " . . . "% in R[X] und d a m i t in Q ( R ) [ X ] .
Nach d e m Irreduzibilits sind die pi und qj auch irreduzibel im faktoriellen Ring Q ( R ) [ X ] , also folgt r s u n d pi ~ qi in K [ X ] , d.h. pi I qi u n d qi I pi. Nazh [] Zusatz 1 folgt schliet~lich pi ~ qi in R[X].
3.8
Irreduzibilit~itskriterien ffir P o l y n o m e
Ein Restklassenring K [ X ] / ( f ) ist genau d a n n ein KSrper, wenn f irreduzibel ist. Dal~er ist es sehr wichtig, entscheiden zu kSnnen, ob ein gegebenes P o l y n o m f diese Eigenschai~ hat. Ist speziell K @ und f E Z[X], so geniigt es nach d e m Irreduzibilit/itssatz aus II 3.7 zu zeigen, dass f in Z[X] irreduzibel ist. Wie m a n dies an Teilern der Koeffizienten direkt ablesen kann, zeigt das beriihmte EISENSTEIN-Kriterlum f
Sei R ein faktorieller Ring und ao
+
alX
ein primitives Polynom vom Grad n so dass
pl~o,...,pls~
+ ... + >
a~X ~ E
R[X]
1. Wcnn es ein P r i m d e m e n t p E R gibt,
1, p{s~
und p2{so,
so ist f irreduzibel in R[X] und in Q ( R ) [ X ] . Beweis g
Dan>l,
ist f # 0 u n d f ~ R [ X ]
bo+blX+...+baX
~ und h
• co+...+clX
g.hmitg, l, ba#O
hER[X]und und c l # 0 .
Aus p I a0, p2 { a0 und so boco folgt o.B.d.A, p I b0 u n d p { co. Aus p { a~ u n d a~ bacl iblgt insbesondere p { ha. Also gibt es ein i mit 0 < i < k, so dass
p lbo,...,plb~ ~,p{b~.
216
II RINGE
Nun ist ai
bic0 + bi lcl + ... + b0ci, wobei cd
+ b0ci) , P { bi , P { C0 M g t p { a~, also i
P I (hi 1C1 + ' ' "
Daher muss k
0 gesetzt wird fiir j > 1. Da
n und 1
n.
0, also h E/~ sein. Da f primitivist, folgt h E/~•
Nach dem Irreduzibilitgtssatz in II 3.7 folgt aus der Irreduzibilitgt yon f in/~[X] die Irreduzibilitgt in Q(/~)[X]. [] Um das Kriterium yon EISENSTEIN miwenden zu k6nnen, muss man ein passendes Primelement finden. Wenn das nicht gelingt, kann man versuchen, nach einem geeigneten Primelement zu reduzieren. Reduktions-Kriterium
Eel R e i n faktorieller Ring, a ~ X ~ + ... + a l X + a0 E R[X]
f :
ein primitives Polynom yore Grad n >_ 1 und p C R e i n a~ ~ p. Ist
Primideal der'art, dass
der kanonische Homomorphismus, so gilt irreduzibel in
~[X] ~
f
irreduzibel in
R[X]
und in
Q(R)[X].
Zun/ichst ein Hinweis zu den gemachten Voraussetzungen: /~ muss faktoriell sein, daanit primitive Polynome erklgrt sind. Da ein nicht primitives f in/~[X] reduzibel ist, muss man f als primitiv voraussetzen. Und schlieglich muss/~ ein Integrit/Rsring, also p Primideal sein. g / p g ein endlieher Kgrper und in Der wiehtigste Fall ist R Z, dann ist g Z[X] gibt es zu jedem Grad nur endlieh vide Polynome, also aueh nut endlieh vide Kandidaten Eir Faktoren yon 7. Beispiele folgen in II 3.9. Beweis
Ist das gegebene primitive f reduzibel in R[X], so gibt es eine Zerlegung f
g'h
mit
g, h E R [ X ]
und
d e g g , d e g h _ > 1.
Da g ein Homomorphismus ist, erh/ilt man durch Reduktion aller KoetIizienten modulo p die Zerlegung
7
in X[x].
(*)
Sind b, c die Lekkoeffizienten yon g, h, so ist a~ D~'aus folg~ d e g ~ reduzibel in/~[X].
b.c
und
0/~7~
b.7:,
d e g g _> 1 und d e g h
also
b,7:/~O.
d e g h _> 1, nach (,) ist also 7
Die Irreduzibilit/it yon f in Q(R)[X] folgt aus II 3.7.
[]
3.9 BEISPIELE
3.9
217
Beispiele
Wir geben einige F~lle a31, bei denen es gelingt, die Irreduzibilit~t eines vorgelegten Polynoms zu zeigen.
Beispiel 1 f
X" - p E 77,[X] und p prim.
Hier kann man sofort das gISENSTt~IN-Kriterium anwenden, also ist f in 77,[X] und auch in Q[X] irreduzibel. Daraus folgt insbesondere, dass flit n > 2 jede Wurzel r E C irrational ist. Analog kann m a n die Irreduzibilit/~t yon X " - p l " . . . "p~ mit paa~'weise verschiedenen Primzalfien p l , . . . , p~ beweisen.
Beispiel 2 f
2X 4 § 10X 3 § 25X § 30 E 77,[X]
ist nach EISENSTEIN mit p
Beispiel 3 f
5 irreduzibel.
X" + Y" - 1 E 77,[X, Y]
Als Polynom in Y ist f
(77,[X])[Y]mit n > 1.
Y" + ( X " - 1), also a ,
1 und
(x-o.(x Da X - 1 E Z[X] Primelement ist und (X - 1) 2 { a0, ist f nach EISENSTEIN irreduzibel. Die Nullstellenmenge yon f in C 2 nennt m a n Yer'matkur've (vgl. etwa [Fi31).
Beispiel4
f
X v S+X v 2+...+X+lEZ[X]mitpprim.
Dies ist ein spezielles ,,Kreisteilungspolynom" (vgl. I I I 5.6), es gilt Xp - 1
(X - 1). f .
(*)
In diesem Fall kann man nach der Substitution X ~-~ X § 1 das gISENSTEINKriterium anwenden. Am besten rechnet man nicht f ( X § 1) direkt aus, sondern man substituiert in (.): (X+l) p-1
X.f(X+l),
also
D a p l (f) fitr i 1,...,p - 1 und (p~l) p, ist g r 77,[X] irreduzibel, nach dem L e m m a aus II 1.6 ist daanit auch f irreduzibel.
Beispiel 5 Ist f E Z[X] und 2 { a , , so kaam m a n die Koefiqzienten modulo 2 reduzieren. U m festzustellen, ob f E F2[X] irreduzibel ist, kann m a n vielerlei Kniffe benutzen. Die sicherste Methode ist, sich die endlich vielen Polynome yon festem Grad aufzuschreiben und analog zur Siebmethode des ERATOSTHENES all die zu streichen, die Ms Produkte yon Polynomen kleineren Grades entstehen. Fiir
218
II RINGE
n < 4 wollen wit das ausffihren. Die i r r e d u z i b l e n P o l y n o m e sind fett gedruckt: n
1
X X+I
n
2
2 2
x 2+ 1
+x
( x + 1) 2
x ( x + l)
X2+X+I n
3
2 3
x X 3 +X
(x+l)(x X ( X 2 + 1)
X 3+ X 2
X 2 ( X + 1)
xa+x+l X 3 ~- X 2 ~- 1 X 3+ X 2+ X X 3 +X 2 +X n
4
X ( X 2 + X + 1) + 1
( X + 1) 3
W i r n o t i e r e n n u r noch das Ergebnis. xa+x+I
X 4 + X a+ 1 x a ~- x 3 ~- X 2 ~- X ~- 1 G e s t r i c h e n sind alle P o l y n o m e mR m i n d e s t e n s einer Nullstelle u n d ( X 2 + X + 1) 2
X4+ X2+ 1 .
Mit HiKe dieser Liste k m m m a n n u n sofort P o l y n o m e vom G r a d _< 4 m~geben, die in Z[X] u n d d a m i t in Q[X] irreduzibel sin& 3 X 2 - 5 X + 17 9X 3 + 2X 2 - 7X + 5 X 3 + 3 X 2 - 4 X + 11 7X 4 + 6X 3 - X + 9 X 4 + 3X 3 - 2X + 1 3 X 4 + 5 X 3 + 7 X 2 + 9 X + 11 Beispiel6
f
X 4+6X 3+7X 2-5X-2
ergibt bei R e d u k t i o n m o d u l o 2 das reduzible P o l y n o m X 4 +X 2 +X
E I72[X],
3.10 RINGE HOLOMORPHERFUNKTIONEN* aber bei Reduktion modulo 3 mit F3 7
219
{0~ 1~-1} ist
X4+X 2+X+IEF3[X]
Da 7(0) 1, 7(1) 1 und 7(-1) -1, hat 7 keine Nullstelle und damit keinen Linearfaktor. Die einzigen irreduziblen normierten Polynome yore Grad 2 in F3 [X] sind (wie man sich leicht iiberlegt) X 2 + l ~ X2 + X - 1
und X2 - X - 1 .
Indem man Produkte dieser Polynome bildet, oder durch diese Polynome teilt, oder Werte in Fa ausrechnet, sieht man, dass f kein Produkt yon diesen quadratischen Polynolnen ist, also ist f u n d somit auch f irreduzibel. Beispiel 7 Eine niitzliche kleine Anwendung der Methode aus II 3.8 ist die folgende Aussage: Hat ein norrniertes f E Z[X] eine N,allatelle x E Q, so folgt x E Z. Insbesondere 3 eine Nullstelle hat jedea in Q[X] r'eduzible norrnierte f E Z[ X ] mit deg f a~EZ. Denn: Ist f(x)
0 fiir x E Q, so gibt es ein h E Q[X] mit
f
(x-.).
h.
Nach dem Zusatz 2 aus II 3.7 liegen (X - x) und h in Z[X], also folgt x E Z. Ist insbesondere deg f 3 und f reduzibel in Q[ X], so hat f eine Nullstelle in Q und die muss ganz sein. Der Leser mache sich Mar, dass die Voraussetzung ,~ormiert" an f entscheidend ist.
3.10 Ringe holomorpher Funktionen* In den letzten Abschnitten dieses Paragraphen behandeln wit noch einige wichtige Beispiele yon Ringen mit Teilbarkeitseigenschaften, die sich yon faktoriellen Ringen unterscheiden. Wir beginnen mit einem Ring, der in der Analysis aui%ritt. Wie wir in Beispiel 1 aus II 2.8 gesehen haben, ist der Ring C[ [X]] der ibrmalen Potenzreihen mit komplexen Koeitqzienten ein Hauptidealring, damit ist er nach II 3.5 auch faktodell. Der Ring O(C) der auf C holomorphen Funktionen ist ein Unterring yon C[ [X] ]; wit zeigen, dass 0(C) nicht faktoriell ist. Dabei benutzen wit einige bekannte Tatsachen aus der komplexen Funktionentheorie. Einheiten in O(C) sind die Funktionen f ohne Nullstelle, denn dann ist ~ holomorph. f E O(C) ist genau dann irreduzibel, wenn f genau eine Nullstelle a E C der Ordnung 1 hat. Denn hat f eine mehrfache Nullstelle in a oder eine weitere Nullstelle
220
II R I N G E
in b E C, drain ist z - a oder z - b ein echter Teiler von f . Umgekehrt muss jeder echte Teiler mindestens eine Nullstelle besitzen. Ein irreduzibles Element f i s t auch prim: Ist f ein Teiler yon g . h, und hat f genau eine einfache Nullstelle a E C, so muss g(a) 0 oder h(a) 0 sein. Also ist f Teller yon g oder von h.
In (9(C) gilt der Teilerkettensatz nicht. Die Funktion oo
Z2r~ § l
sin
+ 1)! Yt=0
hat unendlich viele Nullstellen, genauer einfache Nullstellen in 7rn fiir n E Z. Also kann sie nicht endliches P r o d u k t yon irreduziblen Elementen sein.
Ist DR~ : {z C : Izl < R} eine offene Kreisseheibe vom Radius R > 0 und 0(DR.) der Ring der auf DR~ holomorphen Funktionen, so ist O(C) C O(DR.) C C [ [ X ] ] .
Mit Hilfe des Weierstrai~schen Produktsatzes [F-L, Kap. VIII] erhiiltman eine in DR~ ho]omorphe Funktion mit abziili]barunend]ich vielen einfachen Nu]iste]len. Wie oben fo]gt daraus, dass 0(DR.) nicht faktoriel]ist. Betrachtet man dagegen den Ring
c(x):
U o(DR.) c c[[x]] R,>O
aller Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius, so kann m a n wie in Seispiel 2 aus II 2.8 mit einer zusgtzlichen Konvergenziiberlegung zeigen, dass C ( X } Hauptidealring und damit faktoriell ist. Mehr dazu findet man etwa in [Fi3, Chap. 6]. Die Primfaktorzerlegung in C[ [X]] ist ganz einfaeh. Jedes Primelement ist assoziiert zu X. Ist f E C[ [X] ] und ord f n, so ist f
g" X~
mit einer Einheit g. Das ist die gesuehte Zerlegung!
3.11 Quadratische Zahlkgrper* Die KSrpererweiterung Q C C hat sehr vide ZwischenkSrper, wir betrachten hier eine ganz spezielle Klasse. Zur Vorbereitung eine einfache Sei d E N, d >_ 2, q u a d r a t f r e i (d.h. es gibt keinen Teller a 2 yon Bemerkung d m i t a E N und a >_ 2). D a n n ist , ~ t irrational. ~n mit teilerfremden rn, n E N \ {0}; dann ist Beweis Angenommen , / d rn 2 d . n 2. In den Primfaktorzerlegungen yon rn 2 und n 2 (II 3.4) treten nur
3.11 QUADRATISCHE ZAHLKORPER*
221
gerade Potenzen auf, die Primfaktoren yon d sind nur einfach; das passt nicht zu rn 2 d. n 2. [] Wir nennen eine Zalil d E Z \ {0} zul~ssig, wenn je nach dem Vorzeichen folgende Bedingmigen erffillt sind: Ist d > 0, so muss d _> 2 und quadratfrei sein, ist d < 0, so muss
Idl
ffir d _< - 2 quadratfrei sein.
Folgende Werte yon d sind also zul/issig: - 1 , -t-2, -t-3, -t-5, -t-6, -t-7, -4-10, i l l , -t-13,... C ist ein Q-Vektorraum, ffir jedes zulfissige d sind 1 und , ~ fiber Q linear unabh/i~lgig, bilden also eine Basis des Q-Vektorraums
Q ( , ~ ) c C ist sogar ein UnterkSrper, denn (a+bx~t)(a' + b R S t ) 1 a + b~t
(aa' + b b ' d ) + ( a b ' + b a ' ) x ~ t E Q + Q x S t
a-bxFt (a + bx/d)(a - b ~ t )
und
a _ b "~/E Q+Q'~/ a 2 - b2d a 2 - b2d
falls a + b , ~ r 0, d.h. (a, b) r (0, 0). Mast nennt Q(xfd) einen q u a d r a t i s c h e n Z a h l k 6 r ~ e r ; er heigt r e e l l - q u a d r a t i s c h , wenn d > 0 und i m a g i n i i r - q u a d r a t i s c h , wenn d < 0. hn Fall d > 0 ist Q(x/d) c R, im Fall d < 0 ist xfd
iN
rein imaginSr.
Die geometrische Beschreibung im Fall d < 0 ist klar: Q(xfd) c C ist ein Teil der komplexen Zalllenebene. Jedes a E Q(x/d) hat eine eindeutige Darstellung a a
re a ist der R e a l t e i l und b ~
a+ibx/~,[, im a ist der Imaginiir~eil yon a.
hn Fall d > 0 ist eine asialoge geometrisehe Besehreibung zun/iehst ungewohnt, aber nfitzlich. Mast stellt jede Zalil a a + bx/d als Punkt (a, bx/d) E ]R2 dar und nennt ra c~ : a den Rationalteil, ir c~ : bx/d den Irrationalteil yon c~. HSchst bemerkenswert dabei ist, dass die in ]R gegebenen Abst~nde der Zahlen aus @(x/d) C ]R durch die Darstellung in der Ebene vSllig ver~ndert werden. Von Vorteil ist dagegen die gemeinsame geometrische Besehreibung des KSrperautomorphismus
II R I N G E
222
der im Fall d < 0 die komplexe Konjugation ist. Auch im Fall d > 0 nennen wit diese Abbildung K o n j u g a t i o n . Offensichtlich ist c~+c~
2rac~
und
c~-c~
2irc~
c~+c~
2rec~
und
c~-c~
2i(imc~)
Welter hat man fiir c~ N(a):
for d > 0 , fiir d < 0 .
a + b , ~ eine N o r ~ a.c~
(a+bx/d).(a-bx/d)
a2-db 2 EQ
und eine S p u r
s(~): Bemerkung
a) s(~ + ~)
b) ?r c) ~(~)
~+~
(~+b~)+(~-b~)
2~Q.
Fiir N o r m "and S p u r gilt fiir alle a, fl E Q(x/d):
s(~) + s(~). N(~).N(~). o.~
o.
Beweis a) und b) sind klar. Zum Beweis yon c) unterscheiden wir zwei Fglle.
Fiir d_< - 1 ist N(c~)
a 2 + Idlb 2 _> 0, also N(c~)
0r
a
b
0. a 2
Sei d _> 2 und a 2 - db 2 0. Ist b 0, so folgt a 0. Andernfalls wgre d ;7 mit a, b E Q. Indem m a n ZShler und Nenner von a und b in Primfaktoren zerleg~ und a 2 bedenkt, dass d quadratfrei ist, sieht man, dass d ;7 nicht mSglich ist. [] V o r s i e h t ! I m Fall d > 0 nimmt die Norm positive und negative Werte mr, sie ist eine indefinite quadratische Form. Man kann sich den Verlauf der ,,Normfunktion" (z, y) ~ (z 2 - y 2 ) geometrisch veranschaulichen:
i ' ~ N(cc) > 1
,0
I
~N(e)
=i
N(~) >
d <0
>i
N(~) < - 1 d>0
, k~] = 0
Dabei ist zu bedenken, dass im Fall d > 0 die beiden Geraden mit N(c~) 0 den KSrper Q ( , ~ ) nut im P u n k t c~ 0 treffen. Die Punkte c~ mit N(c~) +1 bzw. N(c~) - 1 liegen jeweils auf den zwei Asten einer Hyperbel.
3.12 QUADRATISCHE ZAHLRINGE* 3.12
Quadratische
223
Zahlringe*
So wie m a n im KSrper Q der rationalen Zahlen den Unterring Z C Q ganzer Zahlen hat, erklgrt man nun im quadratischen ZahlkSrper Q ( , ~ ) einen Unterring yon Zahlen, die ganz genannt werden. Der ngchstliegende Kandidat ist der Unterring
Man kann ihn abet noch etwas vergrSgern. Ist c~ E Q(Qd), so sind c~ und c~ Nullstellen des ,,Minimalpolynoms" (III 1.5)
A: Ist c~
(x-~)(x-~)
a + bQd, so ist ~
x 2-(~+~)x+~ 9
a 2 - db 2
N(c~) die Norm yon c~.
ist die Spur yon c~. Offensichtlich ist fiir c~ 9 Z + Z , ~ N(a) 9
und S(a) 9
also f ~ 9
Definition Ein a a + b , ~ 9 Q ( , ~ ) heigt g a n z , wenn Norm und Spur ganzrational sind, in Zeichen N(a) 9
hei]gt q u a d r a t i s c h e r
und S ( a ) 9
Zahlring
d.h. f ~ 9
(oder G a n z h e i t s r i n g
in Q(Qd)).
Diese Verg~'Sgerung yon Z + Z , ~ zu 0d entspricht einem g a n z e n A b s c h l u s s i m QuotientenkSrper Q ( , ~ ) , d.h. man nimmt alle Elemente yon Q ( , ~ ) dazu, die Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzen Koetlizienten sind. Die Bezeichnung Ganzheitsring ist gerechtfertigt dutch den Satz I s t d 9 Z zuliissig, so gilt a) (g d C Q ( ~ ) b) (gd (gd
ist Unter'ring, insbesonder'e Integritiitsring.
Z+ZQd
{m+nQd:m,n 9
{
9 m , n 9 Z, m -- n gerude } f~gr d = 1 (rood4).
2
c) I s t d = l ( m o d 4 ) under:
d) OdnQ
f//r d = 2 , 3 ( m o d 4 ) .
51 ( 1 + Q d ) , so ist Od
Z + Zc~.
z.
Entsprechend Aussage d) nennt man ein c~ E Od g a n z in Q ( , ~ ) ganzrational.
und ein c~ E Z
224
II RINGE
Beweis
Zum Nachweis yon a) ist zu zeigen, dass
c~,3 E (gd ~ c ~ - 3 , c~.3 E (gd. Ist S(c~), S(/3), N(c~), N(/3) E Z, so folgt S(c~ - / 3 ) , N(c~. /3) E Z, da die Spur additiv und die Norm multiplikativ ist. Beim Nachweis yon S (c~. ~), N(c~ - ~) E Z verursacht der Faktor 2 aus S(c~) 2a eine Teilbarkeitsbedingung an die Zahl d. Da sie bei b) wieder auftritt, beginnen wir mit diesem Tell. Zum Nachweis yon b) zeigen wir zun/ichst, dass alle rechts yon den GMchheitszeichen stehenden Zahlen ganz sind. Fiir a l l e d gilt offensichtlich Z + Z , ~ C (gd. Fiir d = 1 (rood4) gibt es zus/itzliche ganze Zahlen, denn fiir beliebiges (auch ungerades) m E Z folgt m + n E 2 Z aus m n E 2Z, also rn 2 - n 2 Ist ~ Um
und
(m+n)(m-n)E4Z
~i(m + nx/d), so folgt N(~)
88
rn 2 - d n 2 E 4 Z .
2 - dn 2) E Z und S(~)
m E Z.
zu zeigen, dass es keine aslderen gaslzen Zahlen gibt, nehlnen wir an a + bx/d
OZ
E (gd, wobei a, b E Q .
~1 ( m 2 - d b 2) E Z, also m 2 - db 2 E 4 Z , Dann ist S(a) a E Z und N ( a ) insbesondere db 2 E Z. Daraus folgt b E Z; denn h/itte b2 einen echten Nenner, so wiirden alle Primfaktoren mit gerader Potenz auRreten, diese ka~m d nicht herausheben. Somit ergibt sich
c~
a + b~/d - 2
mit a, b E Z
und
a2-db
2 E4Z.
Fiir d = k (rood4) gilt a2-db
2 E4Ze=~a 2-kb
2 E4Z.
Durch einfache Rechnungen sieht man, dass diese Bedingung gleichwertig ist mit a-bE2Z Der Fall k
fiir k
1
und
0 kann nicht auftreten, da 4
a, b E 2 Z
fiir k
2, 3.
2 2 kein Teiler yon d sein darf.
Zum Beweis yon c) illustrieren wir zun/ichst den einfachsten Fall d -3. Der Ring (9 3 C C besteht aus den ,,Gitterpunkten" Z + Z 9 ix/3 und den zusS~tzlichen Mittelpunkten der Rechtecke in diesem Gitter:
3.12 QUADRATISCHE
X
X
X
X
0 •
X
225
ZAHLRINGE*
1 •
X
Es ist zu zeigen, dass m~nE77, m - n
2 Die Bedingung k + l~ m
gerade}.
89(m + nx/d) ergibt
2k+l
und
n
l~ d.h. 1
n
und
k
1 (.~ _
E
~)~
daxaus iblgt die behauptete Gleichheit. Nun ist a) einfach zu zeigen. Dass Od unter der Addition abgeschlossen ist, sieht man sofort aus b). Ftir die Multiplikation folgt die Abgeschlossenheit aus (m + nx~/)(m' + n'x~/)
(ram' + nn'd) + (ran' + nm')x~/
und
~2
~1,( ~d ++x /1d )
fiir
ffir
d -- 2~ 3 (rood4)
d=l(mod4).
Auch d) folgt sofort aus b): Fiir d = 2, 3 (rood4) ist a
m+n~/E
Q <=>n
0~=>a
mEG
und ffir d - 1 (rood4) ist c~
2
EQ~n
0~=~c~
-2
undmgerade.
II R I N G E
226
3.13 Einheiten in quadratischen Zahlringen* Der wesentliche Unterschied zwischen dem imaginSx-quadratischen Fall d < 0 und dem reell-quadratischen Fall d > 0 besteht darin, dass die Norm N im ersten Fall eine positiv definite, im zweiten Fall eine indefinite quadratische Form ist. Daher haben die beiden F/ille deutliche Unterschiede, der reell-quadratische wird sich als wesentlich komplizierter erweisen. Zun/ichst einmal bezeichnen wit fiir ein beliebiges zul/issiges d mit (9~ :
{c~E(gd" e s g i b t e i n /3E(gd mit c~/3
1}
die Menge der Einheiten; nach II 1.2 ist (9~ mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe. Bemerkung
Fiir alle zuliissigen d gilt
o~ ~ (9•
Beweis
,,3"
~
N(oO ~ Z •
{1,-1}
Entscheidend ist die Multiplikativitgt der Norm (Bemerkung aus II 3.11). Aus c~/3 1 folgt N(c~/3) N(c~)N(/3) 1, also N(c~) +1.
,,~ "
-4-1
N(c~)
c~c~, also c~fl
1 mit fl
-t-c~.
[]
Die angegebene Bedingung an die Norm kmm man nun iibersetzen in d i o p h a n t i s c h e G l e i c h u n g e n , d.h. Gleiehungen, fiir die ganzzahlige LSsungen gesucht sind. Lemma
Fiir d = 2, 3 (rood4) u n d m , n E Z gilt m + n , ~ t E (9d• r
m 2 -- dn2
-t-1 ,
(*)
-t-4.
(**)
fiir d -- 1 (rood4) u n d m , n E Z gilt
m + r~/d
E (9x d e=~ m2 - dn 2
Der Tradition folgend nennt man die Bedingungen (,) und (**) P e l l s c h e
Glei-
chungen.
Fiir d = 2, 3 (rood4) tblgt die Behauptung sofort aus obiger Bemerkung. Fiir d - 1 (rood4) folgt ebenso ,,~". Ist umgekehrt d - 1 (rood4), so gilt Beweis
m2-tin 2
-t-4~m 2-n 2 E4Z~m--nE
2Z.
Also ergibt jede LSsung der Pellschen Gleichung auch ein Element aus 0~.
[]
Die Suche na~:h Einheiten in Od kann somit Ms geometrische Aufgabe angesehen werden. Fiir d < 0 besteht O~ aus den Zalflen c~ E Od, die auf dem Kreis N(c~) 1 in C gelegen sind. Ist c~
m+n,~
fiir d = 2 , 3 ( m o d 4 )
oder
c~
m+n,~ 2
fiir d = l ( m o d 4 ) ,
3.13 EINHEITEN IN QUADRATISCHEN ZAHLRINGEN*
227
so miissen die Koeffizienten m, r~ gasizzalilige P u n k t e p a a r e (m, r~) auf der dutch die Pellsche Gleichung beschriebenen Ellipse im R 2 sein. Fiir d > 0 sind Kreis und Ellipsen dutch jeweils zwei Hyperbeln zu ersetzen. Wit bleiben zungchst beim Fall d < 0.
RxR
d 84 1
m2+n 2= 1
d='2
m 2 2=i
m2+3~ 4
C
228
II R I N G E
in2~ 5n2= 1
Durch elementace Rechnungen mihand der obigen Bilder erhgR nian den S a t z Ist d
<
O, so gilt
{+l,-1}~Z2 d
{q'.~ {4~'..
fiir d
-2
oder
d <_ - 5 ,
far Nr
d d
o, 1,2,3}~z4 o, 1 , . . . , 5 } ~ z 6
-1, -3.
Insbesondere sind alle Einheitengruppen (9 d• endlich und zyklisch.
[]
F[ir d > 0 sind die Einheitengruppen O~ weit schwieriger zu bestimmen, wir geben nur einige Hinweise. Einzelheiten findet man z.B. in [Ha, w16.4] oder [Wii, 11.3]. Ist ~ N(~)
•
a + bx/d E Q(x/d) Ms Punkt (x, y) wenn ~ auf einer der Hyperbeln x2_y2
+1
oder
(a, bx/d) E R 2 dargestellt, so ist
x2_y2
-1
liegt. O~ besteht also aus all den Punkten yon Od, die auf diesen Hyperbeln liegen. F[ir d 2 findet man neben • sofort vier Einheiten:
E O~ die Einheit ~ :
1 + x/2. Dacaus erh~ilt man
229
3.14 EUKLIDISCHE QUADRATISCHE ZAHLRINGE*
"-..
/?4
~
, /
(
Fiir jedes k E Z ist ~ E O~, denn N(~ ~) (N(~)) ~. Jedes Element c~ E Q ( , ~ ) hat neben seiner Norm N(c~) E Q als Element yon R aueh einen multiplikativen Absolutbetrag I~1 ~ R u n d
Id
1+,~>1,
also e ~ r
ffir k, I E Z
und k r
Daher erzeugt e eine unendliehe zyklisehe Untergruppe von 69~<. Fiir d 5 ist d = 1 (rood4), bier erhglt mar: wie oben aus e Einheiten und eine unendliehe zyklisehe Untergruppe von O~<.
3.14 Euklidische
quadratische
:(1 : + ,~5) vier
Zahlringe*
Der Ring 0d ist euklidisch, wenn es eine Abbildung ,5. Od \ {0} ~ N mit der in II 2.7 axigegebenen EigensctiaI% gibt. Ein naheliegender Kaxididat dafiir ist 6 I N I, das ergibt sogar eine Fortsetzung 6" Q(x/d) ~ Q ,
a + bx/d ~
la 2 - db21.
Die Bedingung fiir 6 bedeutet dann, d a s s e s zu c~,/3 E (gd mit /3 r q, r E (gd gibt, so dass
0 Zahlen
6@
Anders ausgedriiekt, muss es zu dem im KSrper Q ( , ~ ) gebildeten Quotienten ein q E 69d geben, das beziiglieh 6 den ,,Abstand" hgehstens 1 hat. Das kann man wieder in ein geometrisches Problem iibersetzen, das - wie zu erwarten -fiir d < 0 welt einfacher zu 15sen ist als fiir d > 0. Wir beginnen mit d < 0, in diesem Fall ist N _> 0 das Quadrat des Betrages in C. Fiir d = 2, 3 (rood4) ist 0d Z+Z,~,
230
II RINGE
das sind Gitterpunkte in C. Die Punkte aus Q(,fd) mit maximalem Abstand zum ngchstgelegenen Gitterpunkt sind die Mittelpunkte der dutch das Gitter gebildeten Rechtecke.
X
0
X
9
Gitterpunkt
x
Punkt mit
X
1
maximalem Abstmxd
X
Also ist der mmximale Wert yon ~(~) gleich N(
)
1
(1 + Idl),
und Od ist mit diesem ~ euklidisch genau dann, wenn l+]d]<4,
d.h. ]d]_<2.
Wir geben ein Beispiel fiir die Division mit Rest im Fall d 3+i,
/3
-2i,
c~ /3
1 2 (-1+3i)
o c~ ~ x o
i
0
9 OZ
"1
-1. Sei "
3.14 EUKLIDISCHE QUADRATISCHE ZAHLRINGE* Fiir die Wahl yon q E 69
i
gibt es die vier M6glichkeiten i, 2i, -l+2i,
Wghlen wir q
-l+i.
i, so ist 3+i
mit ~(fl)
231
4 > 2
i.(-2i)+(l+i) ~(r') oder ~(~)
und
3+i
l+i i+--2i
-2i
~1 < 1.
Im Fall d = 1 (rood4) ist (gd
7/, + 7/,~ mit
ad
2
die ,~Einzugsbereiche" der Gitterpunkte sind Sechsecke, einen mmximalen Abstand hat der eingezeichnete Punkt ~.
-l+c~
ad
1
Etwa mit HiKe des H6hensatzes erh/ilt man
Daher ist (gd mit ~ genau dram euklidisch, wenn p: Man rechnet nach:
1 ~+~/~<4.
II RINGE
232
d
-3
-7
-11
-15
.. 9
p
2.309...
3.024...
3.618...
4.131...
...
hlsgesaxnt h a b e n wir Folgendes gezeigt Satz 1 Fiir d < 0 ist der R i n g O d z u s a m m e n m i t der N o r m N genau dann euklidisch, w e n n d
-1,
-2,
-3,
-7,
-11.
Der Fall d > 0 ist wesentlich komplizierter. Ist a E Q(x/d), so liegen alle P u n k t e fl E Q ( , ~ ) mit IX(fl - ~)1 < 1 im Fall d < 0 in einer Kreisscheibe u m a, im Fall d > 0 in dem unbeschrfiakten Bereich zwischen vier Hyperbel/isten. Ob (gd euklidisch ist, entscheidet sich im Fall d < 0 dadurch, ob die Kreisscheiben vom Radius 1 u m alle P u n k t e yon (gd die E b e n e iiberdecken, das wax" leicht zu iiberpriifen. Ob die Hyperbelbereiche die E b e n e iiberdecken, ist sehr viel miihsamer zu entscheiden. U m wenigstens eine einfach zu iiberpriifende hinreichende Bedingung zu erhalten, verkleinern wir den Hyperbelbereich zu einem Einheitsquadrat: D a Ix 2 - y2] < 1 fiir Ix] < 1 u n d ]y] < 1, ist IN(a)] < 1
fiir
a
a+b~t
mita
2< 1
.//"
und
db 2 < 1 .
s/
//
/ij/
/i
/~ /
z/
\
/
X
'\,
\
Od ist sicher euldidisch, wenn die offenen Einheitsquadrate um die Punkte yon Od die Ebene iiberdecken. Ffir d - 2, 3 (rood4) ist das genau dann der Fail, wenn ,/d<2,
also
d<4.
Ffir d - 1 (rnod4) pflastern wir die Ebene mit Rechtecken um die Punkte yon Od:
3.15 F A K T O R Z E R L E G U N G IN QUADRATISCHEN ZAIILRINGEN*
233
CU
~- . . . . . . . . . . . . .
7--
o
Ein Punkt mit l~'itischem Abstand ist etwa ~ Bedingung zu
88
Also wird die hinreichende
! 4 ~ < 1 , d.h. d<16. 4
Dann ist bewiesen: Satz 2
INI
Fiir d > 0 ist der Ring (gd z u s a m m e n mit ~
d
euklidisch fiir die Werte []
2 , 3, 5, 13.
Mit einiger Mfihe erhfilt man weitere positive Werte yon d, wie 6, 7, 11, 17 und endlieh vide weitere (vgl. etwa [Ha, w 16.6]).
3.15 Faktorzerlegung
in q u a d r a t i s c h e n
Zahlringen*
In II 3.5 haben wit gesehen, dass es in euklidischen Ringen eine Primfnktorzerlegung gibt. D~her ist es naheliegend, n~ch Kriterien fiir Primelemente in den euklidischen Ringen (9d zU suchen, und zu priifen, ob eine Primz~hl p E N in (9d ein Primelement bleibt. Dass dies nicht der Fall sein muss, sieht man am einfachsten mit p 2:
2
(1+i)(1-i)
in (9 1, 2
,~.,~
in (92.
Andererseits liefern die nicht euklidischen Ringe (gd, in erster Linie der Ring (9 5, Beispiele fiir pathologische Teilbarkeitseigenschaften. Grundlegend ist das iblgende technische
234
II RINGE
Lemma
Sei d so gewiihlt, dass in Od jedes ir~eduzible E l e m e n t auch P r i m e l e m e n t ist (das ist sicher der Fall, w e n n O ~ euklidisch oder faktoriell ist). D a n n gilt: 1) Ist 7~ ~ O~ P r i m e l e m e n t , so gibt es eine eindeutig bestimmte Primzahl p ~ N , t i t 7~]p und ]N(Tr)] p oder p ~. 2) Ist 7~ ~ O ~ derart, dass ]N(7~)]
p Primzahl ist~ so ist 7~ Pr,imelement in 0 ~.
3) Ist 7~ ~ Od derart, dass ]N(7~)] m e n t in 0~, so ist 7~ ~ p.
p2 Primzahlquadrat isL und ist 7~ Primele-
4) Fiir eine Primzahl p ~ N gilt: p nicht Pr,imelement in O~ 4=~ es gibt ein c~ ~ O~ m i t ]N(c~)] Ist dies der Fall~ so ist c~ P r i m e l e m e n t und p
p.
]c~c~].
Beweis 1) 7~7~ N(7~) E Z bedeutet 7~]N(7~), also 7~]p fiir mindestens einen Primfaktor p yon N(7~). Angenommen 7~]p/ fiir eine Primzahl p / r p. Nach 1 4.8 gibt es k, 1 E 77, mit k p + l p ~ 1, also 7~]1 und 7~EOff,
das kann flir ein Primelement nicht sein. Also ist p eindeutig bestimmt. Aus 7~]p folgt p ~7~ mit ~ ~ Od, daher ist p~
2) Ist
N(p)
N((~). N(Tr) ~ N(Tr)lp 2 ~ IN(~)I
~r E Od kein Primelement,
7r
c~.fl
mit
p oder p~ .
so ist es reduzibel, also
a, f l E O d \ O ~
~N(Tr)
N(a).N(fl).
Da N(~), N(fl) ~ Z • , ist N(7~) reduzibel, also IN(7~)I keine Primzahl. 3) IN(7~)I 17~7~1 p2, also 7~lp2. Da 7~ Primelement ist, folgt 7~lp, also
Daher ist N((~) 4),,~" Istp
, ~ " +p
N(a)
-4-1 und (~ E (9~. ~.flmit~,flE(gd\(9
aa
d, • so fol~
N(a), also ist p in Od reduzibel.
Dieses Lemma gibt nun ein Rezept zur L6sung der oben gestellten Aufgabe, alle Primelemente in Od zu finden, insbesondere fiir eine Primzahl p E 1N zu entscheiden, ob sie in Od Primelement bleibt. Um die Primelemente yon 0d zu finden, sortiert man zun~chst diejenigen c~ E 0d Ms Kandidaten aus, deren Norm IN(c~)l gleich einer Primzahl p oder p2 ist.
3.15 FAKTORZERLEGUNG IN QUADRATISCHEN ZAHLRINGEN*
235
Fiir IN(c~)l p h a t m a n nach der hinreichenden Bedingung 2) ein P r i m e l e m e n t c~ gefunden; im Fall IN(c~)l p2 muss m a n zungchst die notwendige Bedingung 2) priifen, ob g ~ p und d a n n kontrollieren, was m i t der Primzalfl p E N in (gd passiert. Dafiir gibt es zwei MSglichkeiten: 1) p bleibt in (gd Primelement. 2) p wird in (gd reduzibel. In diesem Fall gibt es ein P r i m e l e m e n t w E (gd, SO (lass p ~ ww. N u n gibt es wieder zwei MSglichkeiten: a) w , ~ w u n d p ~ w w . b) 7r ~ 7r u n d p ~ 7r2. Welcher Fall eintritt, hgngt natiirlicll yon p u n d d at). In der algebraischen Zahlentheorie hat m a n ein schSnes K r i t e r i u m an p und d, u m das zu entscheiden (vgl. etwa [ t h , g i6.61). Das K r i t e r i u m ~) fiihrt zu einer diophantischen Gleichung. Wie m a n d a m i t umgehen kann, zeigen wir in den folgenden Beispielen. Als Beispiele b e t r a e h t e n wit die Fglle d - 1 , - 3 , +2. Es werden nut die ,,Treffer" p oder p2. c~ E (gd aufgefiihrt, fiir die IX(~)l (9
Z+Zi
1
{c~
m+ni:m,
N(~)
N(~) 1
1
1
2
2
1
3
0
3
2
2
5
(gx 1
{+l,+i}.
.~2 + ~2
c~. c~
Primelemente
(1 + i ) ( 1 - i )
(1 + i ) ~ (1 - i)
(1 + 2i)(1 - 2i)
(1 + 2i) ~ (1 - 2i)
(2 + i)(2 - i)
(2 + i) ~ (1 - 2 i ) , (2 - i) ~ (1 + 2i)
5
9 13
3.3
3
(3 + 2i)(3 - 2i)
Dies sind alle Treffer Primzalilen 3, 7, ii < fiir gr&Igere Werte yon Eine perfekte Antwort
(3 + 2i) r (3 - 2i)
mit 0 _~ m, n _~ 3. Die Primzahlen 2, 5, 13 zerfallen, die 13 treten nicht auf. Die Werte N(c~) 3, 7, ii k0nnen auch m, n nicht mehr aui%reten, also bleiben 3, 7, 11 prim in (9 igibt der
Satz yon FERMAT und EULER p
nEZ},
rn 2 + n 2
mit
Fiir eine Primzahl p ~ 2 gilt re, nET/,
~
p--l(rnod4).
236
II RINGE
Beweise findet m a n e t w a bei [Wfi, 11.4].
O 3
m + r~-~
{a
1
N(a)
T~
Tt
0
2
2
2
4
0
4
2
N(c~) 3
c~ 9c~
Primelemente
(i~)(-i~)
4
7
~ (rn 2 + an 2)
(i~)
~ (-i~)
2.2
(2 + i ~ ) ( 2
2
- i~)
(2 + i ~ )
Das sind alle Treffer mit 0 _< m, n _< 4. Die Primzahlen nicht auf, denn die Gleichung m 2+ 3n2
~ (2 - i ~ ) 3 und 7 zerfalien; 5 tritt
20
hat keine gmlzzahlige L6sung. Dazu geniigt es offensichtlich die M6glichkeiten 0 _< m _< 4 und 0 < n < 2 zu prfifen. Also bleibt 5 in (9 3 Primelement.
(9~ z + z ~
{~
.~+,~},N(~)
N(c~)
0
1
2
0
2
1
1
2
-2
Primelemente
(~).(-~) 4
-7
c~. c~
. ~ - 2 ~ ~.
~
(-~)
2.2
(i+2~/2)(i-2~/2)
i+2~/2,
i-2~/2
Wie m a n sieht, zerfallen die Primzahlen 2 und g in (92. Die Primzahlen 3 und 5 sind bei den eingesetzten ideinen Werten yon mund n nicht aufgetreten, daraus folgt keinesfalls, dass sie Primelemente in (92 bleiben. Wir betrachten den Fail p
3. Die Bedingung m 2-2n
2
3
ffir
rn, nE77,
3.15 FAKTORZERLEGUNG IN QUADRATISCHEN ZAIILRINGEN*
237
bedeutet, dass m a n in der unendlichen Folge 2n 2 + 3 nach Q u a d r a t e n suchen muss. U m dies auf ein endliches P r o b l e m zu reduzieren, kann m a n versuchen, geeignete K o n g r u e n z b e d i n g u n g e n zu finden. In unserem Fall fiihrt eine 0 b e r l e g u n g m o d u l o 3 z u m Ziel: Wegen - 2 = 1 (rood3) gilt rn 2 - 2 n 2
3 =~ rn 2 + n 2 = O ( r n o d 3 ) .
Die zweite Kongruenz muss m a n nur fiir 0 < rn, n < 2 priifen; als einzige L6sung ergibt sich rn - n - 0 (rood3). Das ergibt den Widerspruch 3
rn 2 - 2n 2 - 0 (rood9) .
Somit bleibt 3 ein Primelement in (92Eine allgemeine ohne Tricks anwendbare Methode, die LSsbarkeit einer diophantischen Gleichung der Form rn 2 -
d,n 2
k
mit d > 0 auf ein endliehes P r o b l e m zuriiekzufiihren, findet m a n bei [Ha, w 16.6]. Dabei wird die unendliche Einheitengruppe (9dx verwendet. Die bisher b e t r a c h t e t e n Ringe (9 1, (9 3 und (92 sind euklidisch. Ist das nicht vorausgesetzt, so liefert immerhin die Gleichung N(c~) c~ 9 c~ einige interessante Zerlegungen yon ganzen Zahlen in (gd. W i r wghlen d - 5 und den ,,Kummerring"
(9 5
{~
z + z ~
.~+i~dg..~,~z}, N(~)
(9~5 {+1,-1}.
rn 2+5*~ 2
5
(i~)(-i~)
0
1
1
1
6
(~ + i ~ ) ( ~ - i ~ )
2
1
9
(2 + i ~ ) ( 2 - i ~ )
3
0
9
3.3
Was sofort auffgllt, sind die verschiedenen Zerlegungen
6
2.3
(l+idg)(1-1~),9
3.3
(2+idg)(2-1dg).
(,)
Zungchst zeigen wit, dass die Zahlen
2, 3, 1 +ida, 2 +i~/g in (9 5 irreduzibel sind. Sie h a b e n die N o r m e n 4, 6, 9 mit den P r i m f a k t o r e n 2 u n d 3. Wie m a n sofort sieht, k6nnen 2 u n d 3 aber nicht als N o r m e n in (9 5 auftreten. Also hat m a n in (,) wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Faktoren.
238
II RINGE
Die Primzahlen 2, 3 E 1N sind in (9 5 nicht mehr prim: 216
~
21(1+i~).(1-i~
).
Angenommen 2] (1 + i ~ ) . Dann w~re 1+i~
2.~,
also 6
4.N(~)
das ist wegen N(~) E Z unmSglieh. Analog ffihrt man 3] (2 + i ~ ) spruch.
zum Wider-
Aus dem Satz fiber euklidische Ringe in II 2.7 folgt, dass (9 5 mit keinem 3 euklidisch sein kann. In diesem Absehnitt wea" das nur ffir 3 N gezeigt worden.
3.16 I d e a l e als i d e a l e Z a h l e n * Die Ringe (gd sind nur ffir wenige d faktoriell, noch seltener euklidisch. Genauere Aussagen dazu findet man etwa bei [ARM, 11.7]. Das einfachste Beispiel ffir einen nicht faktoriellen quadratischen Zahlring ist
o 5
z+z~
mit
6
2.3
(1+~).(1-~)
als Beispiel ffir verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente. An diesem Beispiel kann man die bahnbrechende Idee yon KUMMER erkls wie sich die Teilbarkeitstheorie retten 1/isst, wenn man yon Zahlen zu Idealen als gdealen Zahlen" fibergeht. Zur Vereinfachung der Bezeichnungen setzen wit in diesem ganzen Abschnitt ~:
x/L5
und
R:
(9 5
Z+~ZcC.
ZunSchst einmal betrachten wir in R die Hauptideale
(2)
2R,(a)
aR ~nd (1+~)
(I+~)R.
Als abelsche Gruppen haben sie jeweils zwei Erzeugende, es ist (2)
2Z+2~Z,
(3)
3Z+3~Z,
(1+~)
(l+~)Z+(-5+~)Z.
Wie in den Bildern zu sehen ist, sind diese Ideale die Ecken yon Rechtecken, die durch Multiplikation des Gitters Z + ~ Z mit dem erzeugenden Element des Ideals entstehen. Welter betrachten wit in R die Untergruppen p:
2Z+(I+~)Z
und
q:
3Z+(I+~)Z.
Offensichtlich hat man die haadlicheren Darstellungen
p
{ k + l ~ : k , l E Z und k = l ( m o d 2 ) }
q
{ k + l ~ : k , l E Z und k - l ( m o d 3 ) } .
und
3.16
|
1
4
9
1
7
4
1
4
9
IDEALE
19 7 | 41 14 49 91
7
4
ALS
1
4
9
IDEALE
1
7
4
.
239
ZAHLEN*
.
.
.
9 1 7 4 1 4 9 1 4 9
| 1 4 9
9 1 4 9 1 4 9 1 7 4 91 14 79 41 14 4 9 9 1 4 9 1 4 9
|
1
4
9
1
7
4
1
4
9 . . .1. . . . 7 | 4
19 4|
9 9
9 1 4 9 1 4 9 1 4 9 1 94 19 7 4 1 4 9 1 4 9 1 4 9 1 4 9 9 ". ." "'.
|
~
.g.....
9 1 4 9 1 4 9 1 4 9 1 4 9
1
~6
9 1 4 9 1 4 9 1 4 9 9 1 1 4 4 9 9 1 1 4 7 9 41 4 9 1 7 4 1 4 9
|
1
4
9
1
7
4
1
4
9
1
97
14
71
4
19
4
9
1
7
4
1
4
9
1
7
49
1 4 9 1 4 9 1 4 9 1 79 14 71 44 1 9 4 9 1 4 9
9 1 4 9 1 4 9 1 7 4 91 14 79 41 14 4 9 9 1 4 9 1 4 9
|
1
4
9
1
7
4
1
4
9
1
(2) |
|
97
p
14
71
4
19
4
|
1
7
4
1
4
9
1
7
49
1 4 9 1 7 4 1 4 99 11 74 49 11 44 99 1 4 9 1 4 9 1 4 9
.~
(1+~)
1
4
9
1
7
4
1
4
9
1
9
1
7
4
1
4
9
1
79 4 |
9
1
7
4
1
4
9
1
7
4| 11 44 99 11 77 44 1
4
9
1
7
4
1
4
9|
1
4
9
1
7
4
1
4
9
1
71
4
19
9
1
7
4
1
4
9
1
79 4 9
9
1
7
4
1
4
9
1
7 ~ 4 | 11 44 9
1
7 44 1
4
9
97
97
14
14
71
4
19
4
4
01~
|
9
1
7
4
1
4
1
9 9
4
9
1
4
9
9
9
9
9
1
|
7
|
1
4
9
1
7
4| 11 44 99 11 77 44 1
4
9
1
7
4
1
4
99
1
4
9
1
7
4
1
4
9
1
9
1
7
4
1
4
9
1
79 4 |
9
1
7
4
1
4
9
1
7
4| 11 44 99 11 77 44 1
4
9
1
7
4
1
4
9|
1
4
9
1
7
4
1
4
9
1
1
7
4
1
4
9
1
79 4 9
14
71
71
4
4
(2,1+~)
19
19
4
4
9
1
4
9
1
|
4
|
9
9
9
|
9
9
9
9
|
9
1
4
9
|
9
9
9
9
1
|
7
|
q
4
1
4 9 9 | 1 94
~|
9
9
1
,0 1
4
14
4
|
~6
7
p
|
9
1
97
9
|
|
9
97
9
p q
9
9
4
9
99
1
|
|
|
9
9
9
~ |
1
9
7
~6 9
|
9
4
1
4 9 9 | 1 94
9
|
9
7
9
(3,1+~)
99
|
|
9
4
1
4
9
1
4
9
240
II RINGE
Daran koxm man sofort sehen, dass p und q Ideale in R sind (hier ist ~2 entscheidend!): (l+~)(m+r~) (m
(m-5r~)+(m+r~)~Epnq,
5r~) - (m + r~)
-
-5
denn
-6r~ ist durch 2 und 3 teilbar.
An den Bildern sieht man, dass p und q keine Hauptideale sein k6nnen, denn die Gitter bestehen nicht aus Rechtecken. Nun zu den Teilbaz'keitseigenschaften der betrachteten Ideale. Da 2.3
6
(I+~)(1-~)E(I+~)R,
abet 2 , 3 ~ ( 1 + ~ ) R ,
ist (1 + ~) R kein Primideal. Bezeichnet ~; : Z ~ R / p die Beschrfi~lkung der ka~lonischen Abbildung : R ~ R/p, so sieht man sofort, dass d surjektiv ist und Ker~o'
pAZ
2Z,
also R / p ~ Z / 2 Z .
Dal~er ist p C R Primideal. Analog sieht man, dass q c R Primideal ist, denn
R/q - z/az.
Nun ben6tigen wit noch die konjugierten Ideale
(1+~):
(1-~),~:
(2,1-~)
und g
(a,l-~);
wie oben sieht man, dass ~ und g Primideale sind. Nun betrachten wit die Produkte yon Idealen, die nach II 2.10 yon den Produkten der Erzeugenden erzeug~ werden, also
p.~
(2,1+~).(2,1-~)
( 4 ,2 +2 ~,2 -2 ~,6 )
q.g
(3, 1 + ~). ( 3 , 1 - ~ )
(9,3 + 3 ~ , 3 - 3~,6)
p.q
(2, 1 + ~). (3, 1 + ~ )
(6,2+ 2 ~ , 3 + 3 ~ , - 4 + 2 ~ )
.
Wie man ganz Mcht nachpriift, ist p.~
(2), q . g
(3) und p.q
(1+~).
Daraus erh/ilt man das denkwiirdige Ergebnis yon KRONECKER: (6)
p.~. q.~
(2). (3)
p.q.p.q
(1+~).(1-~)
(***) .
Aus der Sicht der Ideale, d.h. der idealen Zahlen, sind die beiden verschiedenartigen Zerlegungen der Zalfl 6 in zwei Faktoren also nur Zwischenschritte auf dem Weg zur Zerlegung des Ideals (6) in ein Produkt yon vier Primidealen. Man kann leicht sehen, dass diese Zerlegung in Primideale bis auf Reihenfolge eindeutig ist. Die eben durchgefiihrte elementare Uberlegung ist der Startpunkt zu spannenden Untersuchungen der algebraischen Zatflentheorie. Wet dariiber mehr wissen will, ka~m mR AbschnRt 10 yon KapRel 11 aus [ARM] beginnen, und etwa bei [M-P] und [Ne] einen 17berblick zu weiteren Entwicklungen finden.
Kapitel III KSrpererweiterungen w1
Grundbegriffe
1.1
Charakteristik und PrimkSrper
Fiir jeden Ring R mit Einselement 1 hat man einen Homomorphismus ~F : 7/, ---~R ~ n~-+n.l~ wobein.1 : 1+...+1 (n-real) fiir n E N u n d (-n).l : n.(-1).NachI1.8 gibt es genau ein m E N mit Ker p raG. Dieses m heist Charakteristik yon R, in Zeichen char(R). Offensichtlich ist
char(R)
min{k 9 N \ {0}: k. 1
o}~
falls c h a ' ( R ) > 0. Ist K ein KSrper, so ist char(K) alls
0
dass k 91
0 oder 1.1
Ffir die oben erkls
.~.1
0 oder eine Primzalfl, denn mit k~ 1 9 1N %lgt
(kl).l
(k.1)(1.1)~
0.
Abbildung ~ : 7, --+ K bedeutet das Folgendes:
Ist c h a r ( K ) = 0 , so ist ~ injektiv, mazl kazm also 7, mit ~(G) C K identifizieren; daznit ist auch der Quotientenk6rper Q Q(G) c K. 0ff'ensichtlich ist das der ldeinste UnterkSrper yon K und Q heit~t PvimkSrper yon K. Ist c h a r ( K ) = p > 0 , so hat man einen Isomorphismus
In diesem Fall ist ]F; C K als kleinster Unterk6rper der Primk3rper yon K. Ffir sp~itere Verwendung notieren wit noch die
Bemerkung Der einzige Autommphismus eines PrimkSrpers ist die Identitiit.
242
III KORPERERWEITERUNGEN
Beweis Ist K gleieh Q oder ]Fp und ~ ein Automorphismus yon K , so gilt ( ~m~_. ) r n .11
rn.__ 1
falls n 9 1/~ 0
.
also ~(a)
a ffir alle a E K.
[]
Wie sieh zeigen wird, bestehen in der KSrpertheorie zwisehen Charakteristik 0 und p grundlegende Untersehiede. Offensiehtlich ist jeder KSrper der Chaz'akteristik Null unendlich. Dass es in Charakteristik p auch echte OberkSrper yon Fp (sogar unendliche) gibt, ist klan etwa den KSrper Fp(X) der rationalen Funktionen. Andere Beispiele geben wir in III 3.4.
1.2
Grad einer KSrpererweiterung
Ist k c
K ein UnterkSrper, so spricht man aus der Sicht yon k yon einer
KSrpereraoeiterung, wir schreiben daffir meist KDk.
Ein Zwischenk6r"per L hat die Eigenschaften
kcLcK, d.h. k C K und L C K sind UnterkSrper. Ein Standaz'dbeispiel daffir ist
QcRcC. Ziel dieses ganzen Kapitels ist es, solche K6rpererweiterungen mit Zwischenk6rpern zu konstruieren und ihre Eigenschaften zu studieren. Zungchst einmal ist ein Mag ffir die ,,GrSge" einer KSrpererweiterung K D k nStig. Dazu benutzen wir die Tatsache, dass K als Vektorraum fiber k angesehen werden ka~ln, wobei die Multiplil~tion mit Skalaren kxK-~
K
die gew6hnliehe Multiplikation in K ist, in der ersten Komponente auf k. Dann ist der K6rpergrad yon K D k [K:k]:
eingeschrgnkt
dim~(K)
erkl~bt als die Vektorraum-Dimension. Die einfachsten Beispiele sind
[R:q]
[C:R]
2.
Man benutzt dabei, dass 19 fiberabzShlbar ist. Eine entscheidende Eigenschaft ffir den K6rpergrad ist die
243
1.2 GRAD EINER K O R P E R E R W E I T E R U N G
Gradformel
Ist k C L C If ein ZwischenkSrper; so gilt [ I f . k]
[ I f ' L ] . [L" k] .
Beweis Ist einer der beiden Faktoren rechts gleich oc, so ist auch [If 9 k] also ist die Formel in diesem Fall richtig. Andernfalls sei [L : k] (zl,...,z~)
m < oc und [If : L]
yon L fiber k
und
n < oc. Wir wNllen Basen ( y l , . . . , y ~ ) yon I f fiber L ;
dann genfigt es zu zeigen, dass die Familie
(xi'yj)i
1........
j
1 ......
der Produkte xiyj E If eine Basis yon I f fiber k ist. Zun/ichst hat jedes y E I f eine eindeutige Darstellung
y
blyl+...+b,~y,~
mit
bl,...,b,~EL
und jedes bj E L eine eindeutige Darstellung bj
aljXl
~ .. 9~
mit
arnjXm
aij E k .
Daraus folgt, dass I f fiber k yon (xiyj) erzeugt wird, denn
Y
~
aijxiYJ
9
i,j
Die Familie (xiyy) ist auch linear unabhfingig, denn aus
~ aijxiyj i,j ~
aij x i
0
0
folgt
zj
i
ffir jedes j und damit
aij
0
i
ffir alle i, j. Als unmittelbare Folgerung aus der Gradformel erhglt man das Korollar
Ist k C L C If ein ZwischenkSrper und [If : hi < oc, so gilt
a) Aus [If: L]
[If: k] folgt k
L.
b) Ist [If : k] eine Primzahl; so folgt k
L oder L
If.
I_nsbesondere gibt es keinen echten ZwischenkSrper yon C D JR.
oc,
244 1.3
III KORPERERWEITERUNGEN
Adjunktion von Elementen
Ist K D k eine KSrpererweiterung, so kann man einen kleinsten ZwischenkSrper finden, der eine gegebene Teilmenge A C K enthglt, ngmlich k(A) :
~
L,
wobei L C K UnterkSrper ist.
kUAcLcK
Man nennt k(A) den yon A fiber k erzeugten Unterki~rper yon K. Analog kann nlan
k[A] :
~
R,
wobei R C K
Unterring ist,
kuACRCK
als den yon A fiber k erzeugten Unterringvon If erklgren. Man sag~c auch, dass k(A) bzw. k[A] (lurch A d j u n k t i o n yon A an k entstehen. Dabei ist entscheidend, dass die Menge A in einem gegebenen OberkSrper I f enthalten ist. Falls A { a l , . . . , a~) endlich ist, schreibt man
]g[al,... ,an]
lind
]g(al,... ,an)
,
im Fall A {a} hat man k[ a ] und k(a). Der Zusammenhang mit dem Polynomring k[X] mid dem K6rper k(X) der rationalen Fmiktionen (Beispiel 2 in II 1.14) ist ziemlich offensichtlich: Bemerkung
Iat If > k eine K&'pererweiterung, so gilt
a) Fiirjedes a E If ist k[a] { / ( a ) E I f : f E k [ X ] } . b) Fiir jede Teilmenge A C If ist k( A ) Q(k[A]) der Quotientenkb'rper. Beweis
a) S :
{f(a)
E
If
: f
E
k[X]} ist das Bild des Einsetzungs-
Homomorphismus cr~ : k [ X ] --* I f , f ~-~ f ( a ) , also ist S C I f Unterring. Offensichtlich ist S in jedem Unterring /~ c I f mit a E /~ enthalten.
b) Jeder K0rper ist ein Ring und der QuotientenkSrper ist nach II 1.13 minimal, also ist k c k[A] c q(k[A]) c KA) c I f . Nach Definition yon k(A) folgt die Behauptung.
[]
Besonders ,,einfactf' sind KSrpererweiterungen, die von einem einzigen Element erzeugt werden. Deln entspreehend nennt lnmi eine KOrpererweiterung I f D /c einfach, wenn es ein a E I f gibt mit If h~ diesem Fall heigt a E I f ein primitives Element. h~ III 3.4 und III 3.7 werden wir die erstaunliehen Ergebnisse beweisen, dass es sehr oft primitive Elemente gibt (vgl. dazu auch Beispiel 4 in III 1.6).
1.4 ALGEBRAISCHE UND TRANSZENDENTE ELEMENTE
1.4
245
Algebraische und t r a n s z e n d e n t e E l e m e n t e
Wir kornrnen nun zu einer wichtigen Unterscheidung yon Elernenten aus einer K6rpererweiterung K D k. Ein Elernent a E K heitgt a l g e b r a i s c h iiber k, wenn es ein Polynorn f E k [ X ] \ {0} gibt, so dass f ( a ) O. Dagegen heist a E K t r a n s z e n d e n t iiber k, wenn es nicht algebraisch fiber k ist, d.h. wenn es nicht Nullstelle eines Polynorns vorn Grad _> 0 rnit Koeffizienten in k ist. Als Nullstelle yon X - a E k [ X ] ist dernnach jedes a E k algebraisch fiber k. Lteressantere Beispiele folgen in I I I 1.6. Der Prototyp eines transzendenten Elements ist die Unbestimrnte X irn KSrper der rationalen Funktionen K k(X) D k [ibex" einern beliebigen K6rper. In der Tat ist X r k ( X ) tra~xszendent [ibex" k: Ffir jedes Polynorn f E k [ X ] \ {0} ist f ( X ) f , denn wenn man X ffir X einsetzt, fi~ldert sich f nicht. Also ist f ( X ) 7L O. Das ist eine reine Forrnalit/it. Ein viel kornplizierteres Beispiel erh~lt m a n rnit
Nach klassischen S~tzen, yon H~,RMIT~, [Her] ffir c und LINDEMANN [Li] ffir 7r, sind c und ~r transzendent fiber Q. Mit der Brille der Algebra, yon Q aus gesehen, sind also c und ~r ,,gleichwertig~' rnit einer Unbestimrnten X. Diese gewShnungsbedfirftige Tatsache wird anschliet~end nfiher ausgeffihrt. Einen etwas abstrakteren Blick auf den Unterschied zwischen algebraischen und transzendenten Elernenten erhfilt rnan dutch Betrachtung des E i n s e t z u n g s -
Homomo~i~hismus
cr~ : k [ X ] --~ K ,
f ~-* f ( a ) ,
Offensichtlich gilt a transzendent iiber k a algebraisch iiber k
e=~ K e r ~ e=~ K e r ~
{0} ~ {0} .
e=~ ~
injektiv,
ZunSchst zurn formal einfacheren Fall eines transzendenten Elernentes. Dass es gleichwertig zu einer Unbestirnnrnten ist, folgt aus der
Bemerkung
Ist a E K D k transzendent iiber k, so gilt:
a) Der Homomo~l~hismus ~
k[x]
ergibt Isomo~l~hismen
k(X)
b) [k(.) 9 k] c) a 2 E K ist transzendent iiber k und k(a 2) C k(a).
246
III KORPERERWEITERUNGEN
hisbesondere tblgt aus c), dass es eine echt absteigende unendliche Kette 2)
n)
... 2 k
von ZwischenkSrpern gibt, falls a traxiszendent fiber k ist.
Beweis a) folgt sotbrt aus k[a]
cr~(k[X]) und der Injektivitgt yon cry.
b) folgt aus a), da 1, X, X 2 , . . . , X ' , . . . in k[ X ] linear unabh/ngig fiber k sind. c) WSxe a 2 algebraisch fiber k, so g/be es ein Polynom f E k[X] \ {0} mit f(a 2) 0. Daxin wSze a aber Nullstelle yon g : f ( X 2) r 0 (vgl. II 1.6). W / r e a E k(a2), so g / b e es nach Teil b) der Bemerkung aus III 1.3 Polynome f,g E k[X ] ".. {0} mit f ( a 2) 9 a Dann w/re a Nullstelle yon h : X.9(X 2) - f ( X 2 ) . Da f ( X 2) geraden und X.9(X 2) ungeraden Grad hat, ist h ~ 0; also w/re a algebraisch fiber k. [] Wit vermerken noch eine besondere EigenschM% des KSrpers rationaler Funktionen, die Aussage c) der obigen Bemerkung verallgemeinert. Satz
Ist k ein KSrper und x E k(X) \ k, so ist x transzendent iiber k.
Beweis In der Darstellung x ~ mit g, h E k[ X ] \ {0} kSnnen wir annehmen, dass ggT (g, h) 1 (Korollar aus II 3.6). Angenommen x w/re algebraisch fiber k. Dann g/be es ein f
ao+alX+...+a,X'Ek[X] g
f(x) Der Fall deg g
mit n _ > 2 ; a 0 / ~ 0 und a , /~0, sodass
a0 + al ~ + . . . + a ,
deg h
0.
(,)
0 ist ausgeschlossen, sei also deg g _> 1. Aus (,) folgt
.q(a,.q" l + . . . + a l h ,
l)
-aoh'.
Also wgre g Teller yon - a 0 h" und damit yon h. Analog behandelt man den Fall deg h _> 1. []
1.5
Das M i n i m a l p o l y n o m
Ist a E K D k und [k(a) : k] < oc, so muss a nach der Bemerkung aus III 1.4 algebraisch fiber k sein. Dieser Fall ist subtiler als der trmiszendente Fall; insbesondere braucht man ein effizientes Hilfsmittel, um den KSrpergrad zu berechnen. Der Polynomring k[ X ] ist na~ti II 2.7 ein Hauptidealring. Falls a algebraisch fiber k ist, ist daller Ker~ { f E k [ X ] : f(a) 0} C k[X]
1.5 DAS MINIMALPOLYNOM
247
von einem eindeutig bestimmten normierten Polynom f~ E k [ X ] mit deg f~ _> 1 erzeugt, in Zeichen (f~) Kera~ . Man nmmt f~ E k[ X ] alas M i n i m a l p o l y n o m
y o n a iiber k.
Weitere charakteristische Eigenschaften des Minimalpolynoms - insbesondere die hTeduzibilit/it - ergeben sich aus der
Sei K D k eine KSrpererweiterung, a E K und f E Ker a~ normiert. Dann sind folgende Aussagen iiquivalent:
Bemerkung
i) f
f~, d.h. f ist das Minimalpolynom yon a.
ii) Fiir alle g E Ker cr~ \ {0} gilt deg f _< deg g. iii) f i s t irr'eduzibel in k[ X ].
Beweis
i) ~ ii)
Zu g gibt es ein h E k[X] \ {0} mit g
h . f~. Also ist
deg g _> deg f~.
ii) ~ i i i )
Ausf
.q.hmit.q, hEk[X]folgt
0
f(a)
.q(a). h ( a ) ,
also g E Ker ~ oder h E Ker ~ . Wegen ii) folgt h E k • oder g E k •
iii) ~ 0 Zu f gibt es ein h E k[ X ] \ {O} mit f 1.
h . f~, nach iii) ist h E k•
f~ und f normiert sind, folgt h
Da []
Nun kommen wir zu den entscheidenden Eigenschaften des Minimalpolynoms.
Eel K D k eine K&'pererweiterung, a E K algebr'aisch iiber" k und f~ E k[ X ] das Minimalpolynom von a iiber k. Dann gilt:
Satz
a) k[a]
k(a) ~ k[X]/(f~).
b)
deg
c) I a t n : deg f ~ , s o i s t ( 1 , a, a 2 , . . . , a ~
Beweis
s) eineBasisdesk-Vel~torraumsk(a).
a) Fiir den Einsetzungs-Homomorphismus a~ gilt Imcr~
k[a]
und
Kercr~
(f~), also k[a] ~ k [ X ] / ( f ~ )
nach deln Isomorphiesatz in II 2.4. Nach der obigen Belnerkung ist das Minimalpolynoln f~ irreduzibel; nach II a.2 ist daher k[a] ein KSrper, also k[a] k(a).
b) und c) Wir zeigen zun/ichst, dass
III KORPERERWEITERUNGEN
248
k[a]
Zu b E k[a] gibt es ein g E k [ X ] mit b Dann ist .q Da f~(a)
(,)
{h(a) E K " h E k [ X ] , deg h < deg f ~ } .
qf~ + h
mit
0, folgt .q(a)
g(a). Wir teilen g mit Rest durch f~.
deg h < deg f~
und
.q(a)
q(a)f~(a) + h(a) .
h(a).
Aus (*) folgt, dass 1, a , . . . , a ~ 1 den k-Vektorraum k[a] erzeugen. Wgren 1, a, . . . , a ~ 1 linear abhgngig, so ggbe es Ao,..., A~ 1 E k, nicht alle gleich Null, so dass Ao+Ala+...+A~ la ~ 1 0 . Dannwgx'e f : A o + A 1 X + . . . + A ~ 1X ~ 1 ~ 0 u n d Minimalit/it des Grades rt yon f~ nicht mgglich ist.
f(a)
0, w a s w e g e n d e r []
Die eben bewiesene Tatsache, dass der Ring k[a] gMch seinem QuotientenkSrper ist, folgt aus der Irreduzibilit/it des Minimalpolynoms. Es ist sicher hilfreich, das noch etwas direkter zu beleuchten. Entscheidend ist, ffir jedes
0r
~o+A~+...+~
1~~ 1 E k [ ~ ]
ein hiverses b 1 E k[ a] zu finden. Da dirn~ k[ a] Ao + Alb + ... + A~b~
rt, gibt es eine Relation 0
mit Ao,..., A~ E k, nicht alle gleich Null. Also ist b algebraisch fiber k, fb :
co + c l X + . . . + X ~
mit rn > 1 sei das Minimalpolynom yon b. Wegen der Minimalit/it yon rnist co ~ 0. Aus fv(b) 0 folgt 1
1
b
co
(cl+c2b+...+b,~
1) E k [ a ] .
Diese Forlnel ffir die B e r e c h n u n g des I n v e r s e n setzt voraus, dass maa das Minilnalpolynom kennt. Eine einfaehere Methode benutzt den euklidisehen Algorithmus und die Relation yon BgZOUT (vgl. I 3.8 und I 3.13). Gegeben sei b
g(a) E k[a] mit deg g < deg f~. Gesucht ist ein h E k [ X ] mit
h(,~).g(,~)
1,
Da f~ irreduzibel ist, folgt ggT (g, f~) mit
1 denn f~(a)
h . . g + 7~. A ,
also 1
atso
b 1
h(,~).
1. Nach BI~ZOUT findet m a n h, t~ E k[ X ]
h(~)..g(~) + ~ ( ~ ) . A ( ~ )
0 (vgl. Beispiel 3 in III 1.6).
h(~)..g(~),
1.6 BEISPIELE
1.6
249
Beispiele
B e i s p i e l 1 Das wichtigste Beispiel ffir eine einfache KSrpererweiterung ist
R(i) D R .
C
Da i s
- 1 , ist X s + 1 das Minimalpolynom von i fiber R, also ist [C 9R]
dirnR C
2 .
Das ist die Grundlage ffir die Darstellung komplexer Zahlen durch die Zahlenebene R 2 yon GAUSS [Ga4, w 30 - 32], denn nach dem Satz aus III 1.5 ist
C
{a+bi'a, bER}.
In Beispiel 1 aus III 2.4 werden wit sehen, wie diese Erweiterung in allgemeinerem Rahmen besehrieben werden kann. B e i s p i e l 2 Wit Mjungieren eine QuMratwurzel an Q, d.h. wir wShlen ein a E C, so dass b : a s E Q und das Polynom
XS-bEQ[X] Dann ist f~ :
irreduzibelist, d.h.
a~Q.
X s - b das Minimalpolynom yon a fiber Q, deg [Q(a) 9 Q]
2 und
Die Addition in Q(a) gesehieht im Vektorraum, ffir die MuRiplil~tion hat man
(~+/3~)(~,+/3,~) ~,+(~/3,+/3~,)~+/3/3,~s (~'+/3/3'v)+(~/3'+/3~')~ Zur Berechnung des Inversen muss man die Wurzel a entfernen: 1 +/3~
c~ - / 3 a
(~ + / 3 ~ ) ( ~ _/3~)
c~ - / 3 a
~s _/3s~
x/b aus dem Nenner
c~
~s
-/3
_/3s~ + ~s _/3s~
~ '
B e i s p i e l 3 Wir betrachten die primitive dritte Einheitswurzel C:
(27ri) exp,~EC
und die Erweiterung
Q(C) D Q.
Das Minimalpolynom yon C fiber Q ist (vgl. Beispiel 4 aus II 3.9) f
X2+X+I
(X-~)(X-~2)EQ[X],
also ist [Q(C) : Q] 2 und Q(C) {c~ + / 3 C : c~,/3 E Q}. Die Addition in Q(C) erfolgt im Vektorraum. Zur Multiplikation berechnet man
(~ +/3.r
+/3'.r
~' + (~/3' +/3~').r +/3/3'0 (~, _/3/3') + (~/3' +/3~' _/3/3') .r
250 denn C2
III KORPERERWEITERUNGEN - 1 - C. Ein kleines Problem ist die Bereehnung des Inversen. Aus
C2+C+1
1
0 tblgt
C
-1-C.
Allgemein kann m a n Inverse (lurch geeignete Erweiterung des Bruches berechnen. Ffir b ~ 0 ist 1
x + yff
+~C wobei
x + yff
(~+ZC)(x+yC) - ~
x
- -/32 ,
y
x + yff
U+C+~
/3 1 und
7
~-1
'
~(Z - ~) /32
Die Buehstaben x und y weisen darauf hin, dass man die Werte dutch LSsen eines Gleiehungssystems erhalten kmm. So ist zum Beispiel 1 1-C
-2 - C (1-C)(-2-C)
-2 - C U+C-2
1 (2 + C) 3
Man kann diese Berechnung auch nach dem allgemeinen Rezept mit Hilfe der Koeffizienten der Relation yon BgZOUT ausffihren. Dazu verwendet m a n den euklidischen Algorithmus mit f0
Da f4 und
X 2+ X + 1
und
fo
qlfl + f2
X2 + X + 1
fl
q2f2 + f3
-X + 1
0, folgt 1 [3
fl
-X + 1 .
( - X - 2 ) ( - X + 1) + 3 - 5 12 93 + 1
ggT (f0, f l ) , WaS wegen der IrreduzibilitSt yon f0 klar ist, [1 - q2([o - ql/1)
[1 - q2[2
- q 2 [ o + (1 + qlq2)[1
Das Inverse yon 1 - C ist nach I I I 1.5 bestimmt durch 1 + qlq2 alsoist ( l - C )
1
(x2 + 2 x + 3 / -
+ 2/rood
+ x + 1/,
89
B e i s p l e l 4 Wir betrachten die K6rperkette
@ c @(45) c @(45, 45) c R Zunichst zeigen wir, dass
[@(45):@]
2 und
[@(45,45):@(45)]
2.
Offensichtlich ist f X 2 - 2 E Q [ X ] Minimalpolynom yon 4 5 fiber Q, wegen deg f 2 gilt die erste Gleichung. Weiter ist
g:
x ~-3~[x]
cQ(45)[x]
1.6 BEISPIELE
251
nicht nur in Q [ X ], sondem auch in Q(~/2)[X] irreduzibel. Andemfalls g~be es ein
y
a+b~/2EQ(~/2)
mit
a, b E Q
und
.9@)
0.
Eine einfache Rechnung zeigt, dass dann b # 0 wegen ~/3 ~ Q sein muss und somit ~/2 E Q folgen wfirde. Aus der Gradformel in III 1.2 ergibt sieh [@(x/2, ~,/3) : @]
4.
Wir behaupten nun, dass x/2 + x/3 ein primitives Element dieser Erweiterung ist, d.h.
Q(~, ~)
Q(~+
,/5)
Die Inklusion ,D" ist trivial, es genfigt , C " zu zeigen. Eine einfache Rechnung ergibt (~+~)3
2~+9(~+~), ,/2
also
89((,/2 + x/'3)3 - 9(,/2 + x/'3)) r Q(,/2 + x/'3) und
(~ + ,/5) - ~
9 q(~
+ ~)
Um das Minimalpolynom yon z : x/2 + x/3 zu bestimmen, muss man im Prinzip nach einer linearen Relation zwischen den Vektoren 1, 3:, 3:2 , 3:3
suehen. In diesem Fall geht das einfacher, denn x2
Somit ist h : fiber Q.
5+2x/6,
(X 2 - 5) 2 - 24
also (x 2-5) 2
24
X 4 - 10X 2 + 1 das Minimalpolynom yon x/2+ x/3
Beispiel 5 Ist p eine Primzalfl, so ist nach Beispiel 4 aus II 3.9 das Kreisteilungspolynom f: X p I+Xp 2+...+X+I 9 irreduzibel und es gilt X p - 1
(X - 1) 9f . Die primitive p-te Einheitswurzel 27ri
r
~xp (5;-) 9 c
ist Nullstelle yon f , also ist f das Minimalpolynom von @/ibex" Q und
[Q(r
: Q]
p - 1.
Die Elemente der zu Zp isomorphen zyklischen Gruppe
c~
{1,r162162 ~ 1 } < c
252
III KORPERERWEITERUNGEN
(vgl.II 1.9) sind Nullstellen yon X p - 1, also ist x~ - 1
(x - 1). (x - r
(x -
r ~).
D~r~us folgt, dass f auch Minimalpolynom fiber Q yon C~,..., C~ 1 ist. Ist p keine Primzalfl, dann sind die Minimalpolynome der p-ten Einheitswurzeln sehwieriger zu bereehnen. Damit besehgftigt sieh die Kreisteilungstheorie in III 5.6. B e i s p i e l 6 Wir betraehten die K6rpererweiterung
q c q(~/5) o R . Ist b : ,Y2 1.2599... 6 R, so ist f : yon b tiber Q, also [Q(b):Q]
3
und
f
(X-b).g
X 3 - 2 6 Q [ X ] das Minimalpolynom mit
g
X 2+bX+b 2 6Q(b)[X].
g i s t irreduzibel in Q(b)[X ], denn es hat die nicht reellen komplexen Nullstellen bG und bC~ 6 C.
~ b~3
\-.\
ob
b.G~
Um f in Linearfaktoren zu zerspalten, muss man noch eine K6rpererweiterung vornehmen:
q c q(~) c q(~, ~43) Da deg .9
q(~, 43) 9
2, fblgt naeh der Gradfbrmel [Q(b, C3) : Q]
6.
1.7 Algebraische KSrpererweiterungen In einer KSrpererweiterung/( D k h~ben wir bisher nur einzelne Elemente a 6 / ( und den ZwischenkSrper k C k(a) C K untersucht. Nun betra~hten wir die ges~mte Erweiterung K D k; sie heifft algebraisch, wenn jedes a 6 K Mgebraisch fiber k ist, andernfalls transzendent.
1.7 ALGEBRAISCHE KORPERERWEITERUNGEN
253
Man beachte, dass es bei einer trm~szendenten Erweiterung auch Elemente in K \ k geben kann, die fiber k algebraisch sind. Schon in der Bemerkung aus III 1.4 haben wir gesehen, dass eine transzendente Erweiterung unendlich sein muss, da~'aus iblgt sofort die Bemerkung
Yede endliche KSrpererweiterung ist algebraisch.
[]
Diese einfache Bemerkung hat wichtige Konsequenzen, daher noch eine Erl~uterung. Ist [K : k] n, so mfissen die n + 1 Vektoren 1 , x , . . . , S ~ fiber k linear abh~h~gig sein, also gibt es eine nicht triviale Relation 0 mit a 0 , . . . , a ,
ao+alx+...+a,x"
E k und f :
ao+alX+...+a,X'~O.
Dadurch hat man die Existenz eines f E k [ X ] mit f # 0 und f ( x ) 0 gezeigt, ohne das Polynom mlgeben zu mfissen (vgl. dazu Beispiel 2 in III 3.11). Eine erste Anwendung ist das Lemma Ist I f D k eine Kb'rpererweiterung und sind al, . . . , a, E I f algebraisch iiber k~ so ist ]~(al,...,an) D k eine endliche und damit algebraische Erweiterung. Beweis Wir ffihren Induktion fiber n. Ffir n Satz aus III 1.5.
1 folgt die Behauptung nach dem
Das Element a , E K ist algebraisch fiber k, also auch algebraisch fiber k ( a l , . . . , a , 1)- Da nach der Gradformel aus III 1.2
[k(~1,...,~) : k] folgt die Behauptung
[k(~1,...,~ i)(~): k(~1,...,~ aus dem
Fall n
i)]. [k(~1,...,~ i): k],
1 und der Induktionsannahme.
Wie wir in III 1.8 sehen werden, muss eine algebraische KSpererweiterung endlich sein. Trotzdem folgt mit Hilfe der Gradformel das
Korollar
[] nicht
Ist k C L C K ein Zwischenkb'rper, so gilt: If D k
algebraisch
~=~
I f D L und L D k
algebraisch.
Beweis ,,~" ist offensichtlich. Zum Nachweis yon ,,~" ist zu beachten, dass die Erweiterungen K D Lund L D k unendlich sein kSnnen. Ein Element a E K ist aber fiber eine ,,endliche Leiter" k C L' C L'(a) yon k aus erreichbar: Da a algebraisch fiber L i s t , gibt es b0, . . . , b, 1 E L mit a'+b,
la" l + . . . + b l a + b o
O.
Da L D k algebraisch ist, sind bo, ... b, 1 E L algebraisch fiber k. Ffir
L':
k(bo,...,b~
1) c L gilt [L': k] <
254
III KORPERERWEITERUNGEN
nach dem Lemma. Welter ist a E L'(a) algebraisch fiber L', also
: L'] <
: k]
: L']. [L': k] <
Nach obiger Bemerkung ist a algebraisch fiber k.
[]
Nun beweisen wir ein grundlegendes Ergebnis fiber die Gesamtheit der Mgebraisehen Elemente in einer gegebenen K6rpererweiterung. Satz
Sei K D k eifte Kb'rpererweiter~ng ~nd L :
{a E K : a algebr'aisch iiber k} .
Dann gilt: a) k C L C K ist ein Zwischenkfr'per. b) Die Evweiterung L D k ist algebr'aisch. c) Ist a E K algebraisch iiber L~ so folgt a E L. Beweis a) U m zu zeigen, dass L C K ein UnterkSrper ist, kSnnte m a n versuchen, zu a, b E L Polynome aus k [ X ] zu finden, die a - b und ab 1 als Nullstellen haben. Vie1 einfacher ist es, die schon im Beweis des obigen Lemmas benutzte Tatsache zu verwenden, dass eine endliche Erweiterung algebraisch ist. Wir betrachten also zu a, b E L die Erweiterung k(a, b) D k ; nach dem L e m m a ist sie Mgebraisch, also sind a - b und ab 1 E L.
b) ist klar naeh Definition von L. c) Nach dem L e m m a ist L(a) D L algebraisch, nach dem Korollar und b) ist L(a) D k algebraisch, also ist a algebraisch fiber k und a E L. []
1.8 Algebraisch abgeschlossene Kfrper Auf der Suche nach Nullstellen yon Polynomen kann m a n yon einem K f r p e r K nicht mehr erwarten, als dass jedes Polynom f E K [ X ] mit deg f _> 1 in K mindestens eine Nullstelle hat. Ein solcher K f r p e r K heigt algebraisch abgeschlossen. Jede Nullstelle x E K yon f E K[ X ] ergibt einen Linearfaktor X - x II 1.8), d.h. f (X-x).g mit . q E K [ X ] .
yon f (vgl.
Ist deg g > l, so kann man auch eine Nullstelle yon g finden, schlieglich erh51t man eine Zerlegung
f
a.(X-zl).....(X-z~)
mit a E K •
und n
degf,
f~lls K algebraisch abgeschlossen ist. Offensichtlich kann m a n die algebraische Abgeschlossenheit eines K f r p e r s K auch durch jede der folgenden Eigenschaigen charakterisieren:
1.8 ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE KORPER
255
- dedes irreduzible Polynom f E K[ X ] ist linear. - Ist K I D K eine algebraische Erweiternng, so folgt K ~
K.
Zun~chst eine einfache Bemerkung Beweis
Ist K
Ein algebraisch abgeschlossener KSrper ist unendlich.
{a0, al, . . . , a,}, so hat
f: keine Nullstelle in K.
[]
Das wichtigste Ergebnis in diesem Zusammenhang ist der Fundamentalsatz der Algebra braisch abgeschlossen.
Der K&l~er C der komplexen Zahlen ist alge-
Da der K6rper C Ms Erweiterung yon R konstruiert wird, und R mit Hilfsmitteln der Analysis definiert wird (etwa CAwcgY-Folgen), kaan es keinen rein algebraischen Beweis dieses Satzes geben. Besonders schnell geht es mit elementaren Hilfsmitteln aus der Theorie der holomorphen Funktionen: Sei also f:
X'+a.
1X" I + . . . + a l X + a o E C [ X ]
mit
n>l.
Angenommen f(z) ~ 0 ffir alle z E C; dann ist die Funktion f i in ganz C holomorph. Wir verwenden eine wichtige Eigenschaft des Leitterms X':
Hilfssatz
Es gibt ein R E R mit R > O, so dass 1
3
Izl~' _< If(z)l _< ~lzl ~' /~r
Izl
_> R .
Ist R so gew~hlt, so folgt
I I_<
in f E { z E C l z l > R } .
1 beschr/iakt Wegen der Stetigkeit von 71 ist 171 Menge {z E C :lzl < R}. also ist insgesmnt ~
holomorphund
II
besehr/inktin
in
der
kompakten
C.
Nach dem Satz yon LIOUVILLE aus der komplexen Funktionentheorie ist dann f 1 konstant, im Widerspruch zur Annahme deg f _> 1. Beweis des Hilfssatzes
Fiir z / 0 ist
Y( l
+
1+
""
+so) ~
"
256
III KORPERERWEITERUNGEN
Alsogenfigtes,~:
la~ l l + . . . + l a 0 l u n d R :
max{1,2~}zusetzen.
[]
In seiner Dissertation aus dem Jalir 1799 [Gal,2] bewies GAUSS ohne Benutzung komplexer Zalllen ein Ergebnis fiber Polynome mit rationalen Koetfizienten, das leicht verallgemeinert so lautet: F u n d a m e n t a l s a t z der A l g e b r a in reeller F o r m Jedes P o l y n o m f E R[X] m i t n : deg f _> 1 gestattet eine bis auf die Reihenfolge eindeut,ige Darstellung f
m+2r
(X-xl).....(X-x~)..ql......q~,
n,
wobei x l , . . . , x~r~ E R die r'eellen Nullstellen yon f , und gl, . . . , .9, E R[X] irreduzible quadr'atische P o l y n o m e sin&
Zum Beweis nehmen wit an, dass f normiert ist, dann gilt nach dem obigen Fund&mentalsatz f
(X-xl).....(X-xm).(X-zl).....(X-z2~)
in C [ X ] ,
wobei z l , . . . , z2~ E C die nicht reellen Nullstellen yon f sind. Da f E R[X ], gilt (vgl. III 2.2) f(z) 0 ffir z E C :=> f(~) f(z) 0 O. Daller kann man die Nummerierung der zi so w/~hlen, dass z~+i
~i
ffir
i
1,...,r.
Jedes solches Paar zi, ~ + i ergibt einen quadratischen Faktor
ohne reelle Nullstelle, also sind die gi in R[X] irreduzibel.
[]
Andere Beweise des Fund&mentals&tzes geben wit in III 4.7. Eine KSrpererweiterung k D k heigt a l g e b r a i s c h e r A b s c h l u s s , wenn folgendes gilt 1) Die Erweiterung k D k ist algebr~isch. 2) k ist algebraisch ~bgeschlossen. Aus 2) iblgt sofort, dass k D k eine maximale algebraische Erweiterung ist. In III 2.5 werden wir die sehr allgemeine Aussage beweisen, dass es zu jedem KSrper einen his auf Isomorphie eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss gibt. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra erhalten wir sofort das Korollar
Ist k C C ein U'nterkSrper, so ist k:
{a E C : a algebraisch iiber k}
ein algebraischer Abschluss yon k.
1.8 ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE KORPER
257
Beweis Nach dem Satz in III 1.7 ist k D k eine algebraische Erweiterung. Jedes nicht konstante f E k[ X ] hat in C mindestens eine Nullstelle a. Da a algebraisch fiber k und somit fiber k ist, folgt a E k. [] hmbesondere ist m
Q
{a E C 9a algebraisch fiber Q} D Q
ein algebraischer Abschluss. Da es in Q[ X ] irreduzible Polynome beliebigen Grades gibt (etwa X ~ - 2 nach Beispiel 1 aus II 3.9), folgt [Q 9 Q] oe.
Nun kSnnen wir auch die in Beispiel 3 aus II 1.4 aufgeworfene Frage beantworten, warum die K6rpererweiterung ]R C C ]R2 nicht auf h6herdimensionale Vektorr/iume R ~ mit n > 2 ibrtgesetzt werden kann. Angenommen, es ggbe eine KSrpererweiterung R2 C C K R~ . Dann ist K ein C-Vektorraum und [K 9C] < oc, also K D C algebraisch. Aus dem Fundamentalsatz folgt K C, also n 2.
258
w2
III KORPERERWEITERUNGEN
Konstruktion
von KSrpererweiterungen
hn vorhergehenden Parag~'aphen haben wir uns mit den Eigenschaften yon vorgegebenen KSrpererweiterungen besch~iiZigt. Interessante Beispiele daffir liefern die ZwischenkSrper Q C L C C im Fall der Charakteristik Null. Von den endlichen KSrpern der Charakteristik p haben wir bisher nur die PrimkSrper Fp beschrieben; hier gibt es - wie in allen endlichen KSrpern (vgl. Bemerkung in III 1.8) - Polynome ohne Nullstellen in Fp. In diesem Paragraphen wollen wir ganz allgemein algebraische KSrpererweiterungen konstruieren, mit dem Ziel, mSglichst vielen Polynomen zu Nullstellen zu verhelfen.
2.1
Symbolische Adjunktion yon Nullstellen
Hat man einen beliebigen KSrper k und ein Polynom f E k IX] ohne Nullstelle in k, so kann man mit einem klassischen Trick einen ErweiterungskSrper K ~ k angeben, in dem f mindestens eine Nullstelle hat: K wird als Restklassenring des Polynomrings k[X] erkl~'t. Genauer gilt: Satz fiber die symbolische Adjunktion yon NullsteUen und f E k[ X ] ein irreduzibles Polynom. Dann gilt:
a) Der Restklassenring K :
Sei k ein KSrper
k[ X ]/(f) ist ein K&per.
b) Die kanonische Abbildung k--+ K
k[X]/(f),
a ~-* a + ( f ) ,
ist injektiv, man kann also K ~ k als KSrpererweiterung ansehen. c) Das Polynom f E k[ X ] C K [ X ] hat in K die Nullstelle x : X + (f), das ist die Restklasse der Unbestimmten X . d) Ist f normiert~ so ist es das Minimalpolynom yon x. Beweis a) iblgt sofort aus den in II 3.2 bewiesenen Aussagen: k IX] ist Hauptidealring und das Ideal (f) c k IX] ist maximal, denn f i s t irreduzibel. In Korollar 2 aus II 3.2 wird das noch einmal ganz direkt bewiesen. Wie man im Restklassenring die Inversen berechnen kann, wird am Ende yon III 1.5 ausgefiihrt. b) Ist a + (f)
b + (f), so iblgt b - a E (f). Da deg f > 1, iblgt b
a.
c) Dieser Teil erscheint auf den ersten Blick wie Hokuspokus (daher der Name ,~symbolische" Adjunktion): Nach den Rechenregeln im Restklassenring gilt f(x)
f ( X + (f))
f ( X ) + (f)
d) iblgt aus der Bemerkung in III 1.5.
f + (f)
0 + (f) . []
Wenn man nur eine Nullstelle yon f finden will, ist die Voraussetzung der Irreduzibilit~t fiberfliissig:
2.2 FORTSETZUNG VON KORPERISOMORPHISMEN
259
K o r o l l a r Ist k ein KSr'per und f E k[ X ] ein Polynom mit deg f _> 1, so gibt es eine Kb'rpererweiternng K D k und ein z E K mit f ( z ) O. Beweis Man nehme einen irreduziblen Faktor g yon f u n d K : k [ X ] / ( g ) . In K hat g eine Nullstelle z, also auch f . Anders ausgedriickt gibt es ein maximales Ideal m, etwa m (g), mit (f) C m C k [ X ]
und
x:
X+mEk[X]/m
ist Nullstelle yon f , denn f(x)
f ( X + m)
f(X) +m
f +m
0 + m,
dafEm.
2.2
[]
Fortsetzung
yon KSrperisomorphismen
Ein durch symbolische Adjunktion einer Nullstelle entstandener ErweiterungskSrper ist immer nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Um dieses Verfahren mit einem bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Ergebnis iterieren zu kSnnen, muss man sich iiberlegen, wie KOrperisomorphismen ibrtgesetzt werden kOm~en. Diese Ergebnisse werden in w auch Grundlage der Galoistheorie sein. Im Folgenden benutzen wit immer wieder die aus der universellen Eigenschaft des Polynornrings (II 1.5) folgende Tatsache, dass es zu jedem KSrperisomorphismus : k --~ k genau einen Ringisomorphismus O~:k[X]--~/~[X]
mit
~)[k
p
und
~)(X)
X
gibt. Ganz explizit ist ffir a0, . . . , a~, E k
9 (~0+~lx+
...+~,x
~)
~(~0) + ~ ( ~ l ) x +
...+~(~)x
~ ~/~[x]
Unter Benutzung dieser Fortsetzung auf die Polynomringe beweisen wit nun den S a t z fiber die Fortsetzung yon KSrperisomorphismen Gegeben seien ein Kb'rperisomorphismus ~ : k --~ [% KSrpemrweiterungen K D k, K D k und x E K Ist f E k[ X ] das Minimalpolynom yon x iiber k und 2 E I~ eine Nullstelle von f: O~(f) E k[ X ], so gibt es genau einen K&'perisomorphismus
Man kann ~ explizit beschreiben durch
Ct~o + ~ hn Fall k
+... + ~S
/~ und ~
~)
~t~o) + ~ t ~ ) ~ + . . . + ~ t ~ ) ~ ~ ~ ~I~).
id~ erhfilt man unmittelboa" das
260
III KORPERERWEITERUNGEN
Korollar Ist I f D k eine KSrl)er'er~veiterung und sind x, y E I f zwei beliebige Nullstellen eines irreduziblen Polynoms f E k[ X ]~ so gibt es genau einen Isomorphismus
Beweis des Satzes
Im Grunde geniigt es, sich folgendes Diagramm anzusehen:
u k[X]/(f)
u
k(x)
k[x] ---@-~ ]c[~]
IEk[X]
U
]c(~)
]c[X]/(f)
. k[X] ~ f U D
Dabei sind cr und ~ die Einsetzungshomomorphismen, erklgrt durch or(g): g(x) und ~(h) : h(2); da f u n d f Minimalpolynome yon x und 2 sind, iblgt Ker cr (f) und Ker ~ (]). Ist r : ~ o q), so ist ~#(f)
~(1)
1(2)
0,
also folgt Ker cr C Ker ~ und na~h dem Faktorisierungssatz aus II 2.4 gibt es genau einen Homomorphismus ~ mit ~ ~ o or. Also ist
a(x) Da k[x] ein KSrper ist, muss @ Ms nicht trivialer suIjektiver Homomorphismus auch injektiv sein (Bemerkung f in II 1.3). []
Umgekehrt ist es leicht zu sehen, dass jede Fortsetzung eines KSrperisomorphismus die Nullstellen zusammengehSriger Polynome respektiert. Bemerkung Gcgeben scion KSrpcr'erweiterungen I f D k und I< D k, tin Isomorphismus • : k --~ k und eine Fortsetzung ~ : I f --~ I< von p. Ist dann f E k[ X ] ein beliebiges Polynom und f : ~)(f) E k [ X ], so giltfiirjedes x E I f mit f ( x ) 0 Ist insbesondere I f D k eine Kb'rpererweiterung, ~ 9 I f --~ I f
Automorphismus mit
~lk
und f E k [ X ] , so permutiert ~ die Nullstellen von f in K .
id~ ,
2.3 Z E R F A L L U N G S K O R P E R
EINES P O L Y N O M S
261
Beweis Es gilt f(~(x)) ~(f(x)), da ~4 eine Fortsetzung yon p ist. Sieherheitshalber schreiben wir das ausffihrlich auf: f
ao+alX+...+a~X
~ ~ f
F ( a o ) + F ( a l ) X + . . . + F ( a ~ , ) X ~, also
+
+... +
@(a0) @ @(a122) @... @ r
xn)
@(f(x)).
Ein wohlbekanntes Beispiel ist die komplexe Konjugation: Ist f E R [ X ] , so ist ffir z E C
f(~) Also folgt f(~)
2.3
ao + a l ~ + . . . + an ~n
0 aus f(z)
O, da 0
ao + a l ~ + . . .
+ a,n ~n
f(z)
.
O.
Zerf'dllungskSrper eines Polynoms
Nach den Vorbereitungen in den vorhergehenden Abschnitten kommen wir nun zu dem zentralen Ergebnis, dass man einem Polynom durch eine geeignete KSrpererweiterung zu so vielen Nullstellen verhelfen kaolin wie sein Grad vorgibt. D e f i n i t i o n Ist k ein K6rper und f E k[X] ein Polynom mit n : deg f _> 1, so heist eine K6rpererweiterung K D k ein Zerfiillungsk6rper yon f fiber k, wenn Folgendes gilt: 1) f zerffillt fiber K in Lineaz'faktorem d.h. es gibt a, x l , . . . , x~, E K, so dass f
2) K ist minimal bezfiglich Eigenschaft 1), d.h. es gibt keinen ZwischenkSrper k C / < C K, so dass f fiber K zerffillt. Anders ausgedrfickt: 2') Zerfgllt f fiber K , so ist K
k(zl,...,z~).
Man beachte, dass nicht yon ,,dem" sondern nur yon ,,einem" Zerf'gllungskSrper die Rede ist. Ganz einfaeh erh/ilt man einen Zerfgllungsk6rper, wenn ein algebraiseher Absehluss D k verffigbar ist. Drain zerffillt ein f E k[X] ".. {0} fiber k,
f und offensiehtlieh ist K :
a(X-xl).....(X-x~)Ek[X], k(xl, ..., :c~) C k ein Zerfgllungsk0rper von f fiber k.
Hat man keinen algebraischen Abschluss zur Hand, so kann man einen ZerfgllungskSrper schrittweise durch ,,symbolische" Adjunktion yon Nullstellen aufbauen. Satz fiber ZerfillungskSrper n : deg f 2 1. Dann gilt:
Sei k ein KSrper und f
E k[X ] mit
262
III KORPERERWEITERUNGEN
a) Es gibt einen Zeffiill'angskSr'per K D k yon f iiber k, dabei ist [ K : k] <_ n! .
b) Sind K D k und L D k zwei Zeffiillungsl~Srl)er von f iiber k, so gibt es einen Isomor'phismus ~ : K--~ L mit ~ l k ida, der die Nnllstellen yon f in K anf die Nnllstellen yon f in L abbildet. Genaner gilt: Ist g E k[ X ] ein irrednz,ibler Faktor yon f , nnd sind x E K sowie y E L Nnllstellen yon g, so kann m a n ~ so wiihlen, dass ~4(x) y. Kurz gesagt: Es gibt stets einen ZerfNlungskSrper u n d e r ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Beweis a) W i r k6mlen annehmen, dass f normiert ist. Es wird ein K S r p e r t u r m nach folgendem Schema gebaut: K
II J~(3:'l,...,3:'rt
1)
~rt 1
~rt 2[X]/(grt
1)
f
(x-~:l)...
9(x - ~).
f
( X - 2:'1)... 9( X - 3;i',n 1)
L,
u u k(Xl)
kl
ko[ x ] / ( 9 1 )
f
( X - 2:'1). f2 ,
f2 U k0
U k
f
.q2 9 h2,
gl 9 hi
Die Bauanleitung ist ziemlich klar. Zungchst wghlen wir einen normierten irreduziblen Faktor .gl E k[X] yon f. Nach dem Satz fiber die symbolische Adjunktion aus III 2.1 hat .gl im KSrper kl : k[X]/(gl)
eine Nullstelle xl : X+
(gl) ,
und xl ist auch Nullstelle yon f. Also gilt f (X - xl) 9 f2 in k1[X] deg f2 n- i. Da deg .gl _< deg f n, gilt [kl : k] _< n.
mit
hn n~chsten Schritt wghlt man einen irreduziblen Faktor .q2 yon f2 und erhglt im KSrper k2 : kl[X]/(.q2) eine Nullstelle z2 : X + ( . q 2 ) yon gl , also gilt f
(X - z l ) ( X - x2) 9f3 mit deg f3
n - 2 u n d [k2 : kl] _< n - 1.
Ist m a n bei k~ 1 angekommen, so ist
f
( X - X l ) . . . . . ( x - x ~ 1).f,~k~ l[X]
2.3 Z E R F A L L U N G S K O R P E R m i t deg f,~ 1, aJso fn K : k~ 1 setzen. D a hi mal.
(X-
EINES POLYNOMS
Xn) Init
xn
k(Xl,..., xi), ist K
E
263
kn 1 u n d
wit
k6nnen
k(Xl,..., x~) und d a m i t mini-
Nach d e m G r a d s a t z in I I I 1.2 ist [/~ : /g]
[/~ : /gn 2 ] ' . . . "
[/g2 : /gl]" [/gl : /g] ~ 2 " . . . "
(7%-- 1)'7%
7%!
Es gibt hier zwei Extremfglle: Sind X l , . . . ,x,~ E k, so sind alle gew/ihlten irreduziblen F a k t o r e n .qi linear und [ki+l : ki] 1. Es gibt aber auch Beispiele mit deg .qi n - i, also [ki+l : ki] n - i und [K : k] n! (siehe etwa Beispiel 6 aus
m 1.6).
b) Z u m Beweis der Eindeutigkeit bis auf Isomorphie vergleichen wit den in konstruierten ZerfgllungskSrper K m i t einem beliebigen ZerfgllungskSrper L.
a)
Sei
f
(X-,1).....(X-,n)
e I ~ [ X ] rind
Die schrittweise Konstruktion gramm illustriert werden:
/~(2~i,... ' 2~n)
des Isomorphismus
/~
%b
1)
]gn 1
~:)~ 1>
u
e L[X ] .
~6 kann durch folgendes Dia-
L II
II
]g(Zl,...,Zn
(X-yl).....(X-yn)
f
~(Yl,...,Yn)
kn
1
k(yl,...,yn i)
u
: u
]g(Xl, 372)
]gl(X2)
u
]g2
~2>
~2
u
/g(371)
/gl
~i
~91)
0 Der A u f b a u yon unten nach oben vorgegebenen irreduziblen Faktor wghlen wir gl : .q, Xl : x u n d yon K 6 r p e r i s o m o r p h i s m e n aus I I I lsomorphismus
(/~1 : 1g(371) ~ ]g(Yl)
~l(y2)
u
~(yl, y2)
~(yl)
0 verls wie folgt. Ist f g . h E k[X] mit dem g u n d x E K , y E L mit .q(x) g(y) 0, so yl : y. Nach d e m Satz iiber die Fortsetzung 2.2, m~gewaa~dt auf g ida, gibt es genau einen
mit
(/~1(371)
Yl
und
(/~1 I k
id~ .
Zur Vorbereitung des n~chsten Schrittes verwenden wir die Fortsetzung
~)1 : ] g l [ X ]
~ ~I[X]
, hi-> ]~, von (/~1 9
In kl [ X ] ist f (X -- X 1 ) " f2. W i r ws einen irreduziblen Faktor .q2 E kl yon f2- Dram hat m a n korrespondierende Zerlegungen
f
(X-xl)..q2
.h2 E ]gl[X ] u n d
S
(X-y1)
".~12"]~2 E ~ I [ X ] 9
[X ]
III KORPERERWEITERUNGEN
264
D a g2 irreduzibel und ~i ein Isomorphismus ist,ist auch .q2 irreduzibel.N u n ka~m m a n wieder beliebige Nullstellen z ' E K yon g2 und y' E L yon .q2 ausw/ihlen. Mit *2 : , ' und y2 : y' erh/ilt m a n eine Fortsetzung
(/92" kl(*2)---+ ~l(Y2) von (/91 mit ~2(z2)
Y2.
Ist m a n schlieglich bei g,~ 1 m~gekommen, so ist
f
n 1).f,~EI~ n l[X]
(X-,1).....(X-,
f D a deg f,~
deg ],~
und
1IX]. 1, ist j%~
(X - x~) und ],~
Damit ist der Bau vollendet, man kann "~ : g~
(X - y~).
i setzen.
[]
Die im Beweis yon Tell b) benutzte Konstruktion des Isomorphismus "~ zeigt nicht nur die Eindeutigkeit des ZerfgllungskSrpers. Sie ka~in auch im Fall 13 K angewandt werden und die mSglichen Auswalilen in den einzelnen Schritten kSnnen einen {~berblick fiber die verschiedenen Automorphismen ~ yon/( geben, die auf /; die Identitgt sind. Bei jedem solchen g werden die Nullstellen yon f nach der Bemerkung aus III 2.2 permutiert. Damit sind wir am Startpunkt der Galois-Theorie mlgelmlgt, ngmlich der Frage, welche Permutationen der Nullstellen yon f in /( zu Automorphismen yon/( fortgesetzt werden k0nnen. Bevor diese Frage in w allgemein behmldelt werden imaln, ist eine teclmische Vorbereitung n0tig. Die Nullstellen zl,..., z~ yon f in/( miissen nicht alle verschieden sein, das heil~t im Allgemeinen k0nnen nur weniger als n Nullstellen permutiert werden. In w wird dalier zungchst die Vielfachheit yon Nullstellen untersucht. Im folgenden Abschnitt 2.4 nehmen wir uns einige Polynome vor, die im ZerfgllungskSrper/( so viele versclfiedene Nullstellen haben, wie der Grad mlgibt, und bestimlnen die Gruppe der Automorphismen yon /( mit Hilfe der Methode des Beweises yon Tell 5) des obigen Satzes. Das ist ein kr/iftiger ,,amuse gueule" auf die Galois-Theorie. Der ZerfgllungskSrper eines Polynoms Theorie wichtige Eigenschaften: -
-
hat zwei weitere vor allem fiir die Galois-
Eine Stabi/itgit unter Monomorphismen. Eine
Zerfgillungseigenseha~t
auch fiir andere Polynome.
Genauer hat m a n sogar die iblgende yon Zerf'dllungskSrpern Flit" eine endliche K&'per'erweiterung K D k sind folgende Bedingungen iiquivalent:
Charakterisierung
i) K ist Zerfiillungsk&'per eines Polynoms f E k[ X ]. ii) Ist K ' D K eine KSrpererweiterung und ~ : K -~ K ' ein Monomorphismus mit ~ [ k ida, so folgt ~ ( K ) C If.
2.3 Z E R F A L L U N G S K O R P E R EINES POLYNOMS
iii)
965
Ist g E k [ X ] irreduzibel u n d hat g eine Nullstelle y E K , so zerfiillt g in K [ X ] in Linearfaktoren.
F fir die ausgezeichnete Eigenschai% iii) der Erweiterung K D k ist das wenig passende Adjektiv n o r m a l fiblich. Beweis
i) ~
i0
Sind x l ~ . . . ~ x ~ die Nullstellen yon f in K~ so ist
K Da f(~(xi))
~(f(xi))
k(xl~...~x~).
0 (Bemerkung aus I I I 2.2), ist ~(xi) E K , also
~(K) c K. ii) ~ iii) Die Erweiterung K D k ist endlich~ also gibt es fiber k algebraisehe Elemente zi, ... z~ E K , so dass K
k(y~ Zl~...
~ Zrn ) .
Ist g normier% so ist es Minimalpolynom yon y; mit h l ~ . . . ~ h ~ E k [ X ] bezeichnen wit die Minimalpolynome yon zl~... ~z~. Nun betrachten wit f :
g. hi . . . . . h~ und seinen Zerf';illungskSrper K ' 9 k ;
offensichdidl ist k c K C K ' ein Zwischenk6rper. Ist y' E K ~ irgendeine Nullstelle yon g, so genfigt es~ y' E K zu zeigen. Dazu wenden wit Tell b) des Satzes fiber ZerfKllungskSrper auf K ~ an, wit erhalten einen Isomorphismus :K'--+K'
mit
elk
id~
und
r
y'.
Ist ~ :
r I K , so fblgt nach ii)~ dass ~ ( K ) C K~ also y'
iii) ~
i) D a K D k endlich ist, gibt es fiber k algebraische xl~...~ x~ E K mit
/~
];(~:l~...~:~)
r
~(y) E K .
9
Sind fl~ . . . ~f,~ E k I X ] die Minimalpolynome yon xl~ . . . ~x~, so zerfallen sie wegen iii) in K [ X ] , also ist K D k Zerf~lllungskSrper yon
f: fl.....fi~Ek[X]. []
III K()RPERERWEITERUNGEN
266
2.4
Beispiele
B e i s p i e l 1 Das Polynom f X 2 + 1 E Q [ X ] ist irreduzibel, dean fiir jedes x E Q ist x 2 > 0. Den schon bekaaaten ZerfgllungskSrper
q(i)
{,~+biEC:,~,bEQ}cC
wollea wir dutch symbolische Adjunktion aoch eiamal auf etwas abstraktere Weise neu konstruieren. Wir wissen nach III 2.1, dass 3.:
:K
eiae Nullstelle yon f i s t . Das kmm man aoch einmal direkt aachredmea: 32
X 2+(X 2+1)
-I+(X
2+1),
dean X 2 - ( - 1 )
E(X 2+1).
Ob man nun 3. mit i oder mit - i ideatifizieren soll, ist nicht Mar; in der Tat sind beide MSgliehkeiten gMehberechtigt. Dean ist 3.1 3. und 3.s : - 3 . 6 K , so ist auch 3.s Nullstelle yon f , well
(_3.)2 (-x) 2+(x 2+1) Offeasichtlich i s t / ( morphismus
x 2+(x 2+1)
-l+(x 2+1) 9
@(3.1) Q(3.2) und nach III 2.2 gibt es geaau einea Auto-
@:K--*K
mit
@IQ
id<~ uad
@(3.1)
3.2.
Dabei ist zu bedenken, dass Q als PrimkSrper nach III 1.1 aur die Ideatit/~t als Automorphismus zul/~sst. Daher gibt es auch zwei verschiedene Isomorphismen gl, gs : K ~ Q(i)
9~l@
bestimmt durch
i, (/92(3.1)
i d q , (/91(3'1)
--i.
In Q(i) betrachtet, ist ~@beschriebea durch die komplexe Koajugation a + bi ~ a -
bi.
Diese sehon von CAUCHY benutzte Besehreibung der komplexen Zahlen als Restklassen yon Polynomen modulo X 2 + 1 hat gegeniiber der Beschreibung yon GAUSS als P u a k t e der Zahlenebene den Vorteil, die Verallgemeiaerung durch symbolische Adjunktioa bei beliebigea irreduziblea Polynomea vorbereitet zu habea. B e i s p i e l 2 Das Polynom f X 2 - 2 E Q [ X ] ist irreduzibel, dean x/2 E R+ isg irrational. Man hat wieder den konkretea Zerf'allungskSrper Q ( , ~ ) c R und eiaen abstrakten ZerfgllungskSrper
I~ : Q [ X ] / ( X 2 - 2 )
Hilt,
371 :
X @ ( X2 - 2 )
ui/d
372 :
--3.1
2.4 BEISPIELE
267
als Nullstellen yon f. Analog zu Beispiel 1 gibt es einen Automorphismus
"6:K--+K
mit
"61Q
idQ
und
"6(xl)
x2 ;
in Q(x/2) c ] E betrachtet, erhglt man daraus den Automorphismus
mit
idQ und
Man beachte, dass dieses g in ]E betrachtet v611ig unstetig ist: Beliebig nahe bei x/2 liegende rationale Zahlen bleiben fest, aber x/2 > 0 geht nach - x / 2 < 0. Beispiel 3 Ein Zerf'allungsk6rper yon f:
X4-5X2+6
(X2-2)(X2-3)EQ[X]
ist
L:
Q(x/2, x/3) c R .
Dabei sind x/2, x/3 E ]E die reellen positiven Wurzeln; L ist als Unterk6rper yon ]E ein ,~onkreter" Zerfgllungsk6rper. Mit der Konstruktion aus III 2.a kasm maal ohne Benutzung yon ]E einen ,abstrakten" Zerffillungsk6rper K yon f fiber Q konstruieren. Wir starten mR dem irreduziblen Faktor .91
lVl Q[X]/(X 2-2)
und
X 2 - 2 yon f , dasm ist
-1:
X + ( X 2 - 2 ) E/{1
eine Nullstelle yon .91 und damit yon f. Es ist f
(X - a:l)(X + a:l)(X 2 - 3), denn (-a:l) 2
Also kann man g2 :
(X + a:l) und a:2 ~2
I m ngchsten Schritt ist f3
Q(Xl,X2)
a:~
2.
-a:l wShlem d.h. Q(Xl)
X 2 - 3 E kl[X].
~1 9
Wie w i r in Beispiel 4 aus I I I 1.6
gesehen haben, ist f3 wegen x/2 ~ Q und x/3 ~ Q in/gl [ X ] irreduzibel. Mit .93 erhglt man lea Ic2[X]/(ga), und a:a: X+(ga) Elca
f3
ist Nullstelle yon ga und damit yon f. Schliefflich ist
f
(X-,y:l)(X-,y:2)(X-,y:3)(X+,y:3)
, ~180 224
-22 3 l i n d K :
ist ein ZerfgllungskSrper yon f fiber Q. Nun zu den m6glichen Isomorphismen yon K und L. F fir
gibt es entsprechend der Konstruktion aus I I I 2.3 zwei MSglichkeiten:
Q(221,223)
268
III KORPERERWEITERUNGEN
Analog hat man fiir die Fortsetzungen
3:k3
kl(x )
Q(,/5, 45)
unabhfi~gig yon der Auswahl fiir pl wieder zwei MSglichkeiten ~(x~)
4 5 und ~ ( x 4 )
-45
oder ~3(x~)
- 4 5 und ~ ( x 4 )
45.
h~sgesamt gibt es also vier MSglichkeiten, einen Isomorphismus r
L
aufzubauen. Dementsprechend gibt es vier Automorphismen yon K (und analog yon L) mit iblgenden Bildern, wobei die erste SpaIte die identische Abbildung yon K bedeutet: Xl
X2
Xl
X2
X2
Xl
X2
Xl
X3
X3
X4
X4
X4
X4
X3
X3
Andere Automorphismen yon K gibt es nicht, da jeder Automorphismus die Nullstellen permutieren muss und "~(xl)
x3
wegen
.~(xl) 2
2r 3
x~
unmSglich ist. Die Gruppe der Automorphismen yon K ist Mso isomorph zu Z2 x Z2, der Kleinschen Vierergruppe. Beispiel 4 Wir betrachten f : X a - 2 E Q[X] und seinen ZerfgllungskSrper K:
Q(b, bC) c C
mit
b
~fJER
und
.27ri. exp(~-) EC
C
(Beispiel 6 aus III 1.6). Um die Automorphismen von K zu bestimmen, verwenden wir wieder die Methode aus III 2.3. Um die Symmetrien besser deutlich zu machen, setzen wir xl
b, x2
bC, x3
bC2 , also f
(X - X l ) ( X - x 2 ) ( X - x 3 ) E K [ X ] .
Wir zeigen Folgendes: Zu jeder Permutation ~ E ga gibt es genau einen Automorphismus r : I f --, I f mit r
x~(~) f42r i
1,2,3.
2.4 BEISPIELE
269
Da jeder Automorphismus yon K die Nullstellen yon f permutieren muss, folgt daraus Aut (K) ~ $3.
Beweis Im ersten Schritt nutzen wir aus, dass xl mid x~(1) Nullstellen des irreduziblen Polynoms f sind. Daher gibt es einen Isomorphismus ~1 : Q(3;'1)
~
Q(3;'o-(1))
9
Nun hat man ffir f die Zerlegmigen f f
(X-xl).f2
mit
(X-x~(1)).f2
mit
f2 f2
X2+xlX+x~EQ(xl)[X] und X2+x~(1)X+x~(1)EQ(x~(1))[X].
Da Q@I) c R und f2 die nicht reellen Nullstellen x2, x3 E C hat, ist f2 und somit auch f2 irreduzibel, f2 hat in K die Nullstellen x2, x3, die Nullstellen yon f2 sind z~(2), z~(3). Im zweiten Schritt mit g2 f2 konstruiert man eine Fortsetzmlg
9~2 : Q(xl, x2) --+ Q(x~(1),x~(2)) yon ~i. Da /( Automorphismus.
Q(xl, x2) iblgt ~2(x3)
mit
9~2(x2)
x~(3) und "~
Von den sechs m0glichen Automorphismen
x~(2) ~2 ist der gesuchte
:
wollen wir zwei nfiher ansehen.
Ist ~6(xl) xl(6(x2) x3 und ~6(x3) x2, so ist ~6 die Einschr/hikung der komplexen Konjugation, also stetig nach C fortsetzbar. Ist dagegen @(221)
X2, ~(x2)
Dieser Automorphismus
x3 und ~(x3)
Xl, so folgt
hat keine stetige Fortsetzung nach C.
[]
Beispiel 5 Sei p eine Primzahl, f:
Xp I+Xp
2+...+X+IEQ[X]
und
2rri. exp(~-)EC.
4:
Nach Beispiel 5 aus III 1.6 ist f Minimalpolynom yon 4 fiber Q. Da f
(X-4).(X-42)....
. ( X - 4 p 1) E Q ( 4 ) [ X ] ,
ist Q(4) ZerfgllungskSrper yon f fiber Q, es gilt [Q(4) : Q]
deg f
p- 1
In diesem Fall ist also der Turmbau aus III 2.3 zur Konstruktion des Zerf'allungskOrpers schon naeh dem ersten Sehritt vollendet. Dutch diesen einen Sehritt sind auch die Automorphismen yon Q(4) festgelegt: Zu jeder Potenz r E {1,... ,p - 1} gibt es genau einen Automorphismus :
mit
4
,
270
III KORPERERWEITERUNGEN
und jeder Automorphismus yon Q(r muss die Nullstellen yon f permutieren. Also ist ordAut (Q(r p - 1. Genauer gilt: Ist p eine Primzahl und ff der Ordnung p - 1.
exp (2~i ] so ist die Gruppe Aut (@(if)) zyklisch yon
Zum Beweis betrachten wir den Gruppenhomomorphismus p" (Z~+) --+ (C•
mit
p(r)
2~ir exp ( ~ - )
.
Es ist Im~
{1~r162
l}
:CpcC
und
Kerp
pS.
Also ergibt ~ einen Isomorphismus yon zyklischen Gruppen
C.
7:zp
Da p eine Primzahl ist, ist Zp Fp ein KSrper mit der Einheitengruppe F~ Fp \ {0} und nach II 1.11 ist F~ zyklisch yon der Ordnung p - 1. Es geniigt also zu bemerkem dass durch x
ein Gruppenisomorphismus gegeben ist. Diese Abbildung ist wie oben erkl~'t bijektiv, sie ist auch ein Homomorphismus, da (r
9
[]
Man beachte dabei, dass die Teilmenge Cp C C ein KSrper, abet kein UnterkSrper yon C ist!
2.5
Der algebraische Abschluss*
Nach III 1.8 hat jeder UnterkSrper k C C einen algebraischen Abschluss c C. Fiir einen endlichen KSrper konstruieren wir in III 3.6 einen (unendlichen) algebraischen Abschluss. Fiir manche theoretische Uberlegungen ist es nfitzlich, oder zumindest bequem, die Existenz eines algebraischen Abschlusses fiir jeden beliebigen KSrper, etwa einen FunktionenkSrper k(X), benutzen zu kSnnen. Das Problem beim Beweis ist die Allgemeinheit der Situation, er muss flit alle nut denkbaren K5rper giiltig sein; die Menge aller KSrpererweiterungen ist uniibersctmubar, isomorphe Erweiterungen mfissen identifiziert werden. Der erste Existenzbeweis ffir einen algebraischen Abschluss stammt yon STEINITZ [St, w er benutzt eine ,transfinite" Induktion, d.h. den Bau eines KSrperturms yon unermesslicher HShe. Wit reproduzieren hier einen formal sehr viel einfacheren Beweis von E. ARTIN. T h e o r e m Jeder Kgrper k besitzt einen his auf Isomorphie eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss k D k.
2.5 DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS*
271
Der Trick yon ARTIN besteht darin, jedem nicht konstanten Polynom f 6 k [ X ] eine eigene Unbestimmte X f zuzuordnen. Dazu muss zun/ichst der in II 1.10 eingefiihrte Polynomring in endlich vielen Unbestimmten verallgemeinert werden. Wit starten mit einem Ring R (kommutativ mit 1), einer beliebigen Indexmenge I und verallgemeinern die in II 1.10 im Spezialfall I { 1 , . . . , n} beschriebene Konstruktion. Zungchst erklgren wir die Menge 32 :
{ x 9I --+ N 9 x ( i )
0 fiir fast alle i 6 I}
der p r i m i t i v e n M o n o m e . Mit der Addition yon Abbildungen wird 32 zu einer abelschen Halbgruppe. Wie iiblich stellt man ein Monom multiplikativ dar Ms II
x;:
..
9"" x i~ , wenn rj
x(ij)
iCI
die endlich vielen yon Null verschiedenen Werte yon x sind. Um die primitiven Monome mit Koemzienten aus / / z u versehen, bildet man den Halbgruppenring //[32] :
{ f "32 --~//" f ( x )
0 fiir fast alle x 9 32}.
Dann heitk a~ 1...... 9 f ( x ) Koeffizient des primitiven Monoms x der Term f ( x ) 9x heifft M o n o m .
X~
. . . . 9X i , ~'~,
Zu jedem f 9 //[32] gibt es daher eine endliche Teilmenge { i l , . . . , i ~ } c I u n d eine Dax'stellung S
Z
(r~,...,r,~)6H'~
......
wobei nur endlieh viele der Koeffizienten a~ ...... 9
.
,
Null versehieden sind.
Fiir ein weiteres Polynom g 9 //[32] hat man eine Teilmenge { j l , . . . , j ~ , } C I, fiir f + g und f 9g benStigt man die wieder endliche Teilmenge { i l , . . . , i~} U c 1.
Suggestiver ist die Notation //[I]: fiir den P o l y n o m r i n g
//[32]
i n I i i b e r JR.
Selbstverst/i~xdlich gehSren zu zwei Polynomen f, g im Allgemeinen verschiedene endliche Teilmengen I1 und I2 yon I. Zur Darstellung yon f + g und f 9g benutzt man I~ u I2. Fiir jedes i 9 I ist das primitive Monom Xi X~ i n / / [ 1 ] enthalten, also kann man I c //[1] als Teilmenge betrachten. Wie im Fall einer Vergnderlichen hat man eine universelle Eigenschat%:
272
III KORPERERWEITERUNGEN
Gegeben seien ein l;ommutativer Ring S mit 1, ein Homomorl)hisrnus ~ : R --~ S und fiir jedes i E I ein Element si E S. Dann gibt es genau einen Homomorphismus O~ : R[I] --+ S mit O~ [ R
~ und O~(Xi)
si fiir alle i E I .
Nach diesen Vorbereitungen sind wir startbereit zum Beweis des Theorems. hn e r s t e n S c h r l t t zeigen wir, dass es einen algebraischen Erweitemngsk6rper K D k gibt, in dem jedes Polynom f E k[X] eine Nullstelle besitzt. Nun kann man jedem nicht konstanten Polynom zun/ichst seine individuelle Unbestimmte und daan durch symbolische Adjunktion seine Nullstelle zu verschatt'en. FormM verwendet man die Indexmenge
I : { f E k[X] : deg f > 1}
der nieht konstanten Polynome
und im Polynomring k[I] betrachtet man die Polynome f ( X / ) . Man be~chte, dass jedes solche f ( X / ) nur yon der einen Unbestimmten X / abh/ingt. Das yon allen erzeugte Ideal ist
c k[I].
a:
Ist a /~ k [ I ] , was wir anschliet~end zeigen werden, so gibt es nach II 2.15 ein maximales Ideal m C k[I] mit aCmCR[I] Dam A k
und
K:
k[I]/m
isteinK6rper.
{0}, ka~m man k C K als Unterk6rper mlsehen. Ist nun f E I, so ist
f(X/)Em,
also f ( X / + m )
Also hat f in K die Nullstelle z / : III 2.1.
f(X/)+m
O+m.
X / + m , wie bei der symbolischen Adjunktion in
Da K yon den fiber k algebraischen Elementen x / erzeugt wird, kmm man mit Hilfe des Lemmas aus III 1.7 sehen, dass K D k algebraisch ist. Angenommen, es w~re a
k[I]. Dann g~be es eine Darstellung
?Tt
1
~.gj.fj(X/5 j
)
mit .ql,...,.q~tEk[I]
und
fl,...,f~EI.
1
Nach III 2.1 gibt es einen ErweiterungskSrper L D k in dem jedes fj eine Nullstelle xj hat. Wit betrachten den IIomomorphismus
,blk q~'k[I]--~L
mit
q)(X/5 ) 9 (X/)
id~ , xj fiir j 0
ffir
1,...,rn,
f~{fl,...,f,,}.
2.5 D E R A L G E B R A I S C H E ABSCHLUSS*
273
Dann wSze aber in L ?Tt
1
j 1
(gs)fs(xs)
0
Da wit die mit Hilfe des Lemmas yon ZORN bewiesene Existenz eines maximalen Ideals benutzt haben, ist hinter diesem ersten und entscheidenden Schritt eine ,,transfinite" Induktion verborgen. hn z w e i t e n S c h r i t t muss eine Erweiterung k D K konstruiert werden, derart dass nicht nur jedes f E k [ X ], sondern sogar jedes f E k [ X ] eine Nullstelle hat. Dazu geniigt eine abz/ihlbare K5rperkette
kCKiCK2C...Ck:
OK,~. i
1
Dabei ist K1 K und als Ergebnis des ersten Schrittes und /r D /s naeh der Methode des ersten Schrittes so konstruiert, dass jedes f E K,i[X] in K,i+l eine Nullstelle hat. Offensichtlich ist k ein KSrper; die Erweiterung k D k ist algebraisch, da K,i D k fiir jedes i algebraisch ist. Ist nun f E k [ X ] , so gibt es ein i derart, dass die endlich vielen Koetfizienten in K,i liegen, also ist sogar f E K,i[X]. Da f in K,i+l c k eine Nullstelle hat, folgt dass k D K ein algebraischer Abschluss ist. Zum Beweis der Eindeutigkeit yon k bis auf Isomorphie benutzen wir folgenden
I~t k D k ein algebraischer Abschluss und K D k eine algebraische Erweiterung, so gibt es einen Monomorphismus
Einbettungssatz
9K - - * k
mit
~lk
ida.
Man kann also j ede algebraische Erweiterung als Tell des algebraischen Abschlusses ax~sehen. Ist K D k ein weiterer algebraischer Abschluss, so gibt es nach dem ginbettungssatz einen Monomorphismus ~ 9K ~ k. Wir betrachten den ZwischenkSrper
Als isomorphes Bild yon K ist p ( K ) algebraisch abgeschlossen, die Erweiterung D p ( K ) ist algebraisch; also muss p ( K ) k sein. Damit ist das Theorem bewiesen. [] Zum Beweis des Einbettungssatzes kSnnte man versuchen, wie in III 2.3 yon k ausgehend, schrittweise den gesuchten Monomorphismus p aufzubauen. Da aber die Zahl der Schritte nicht abzusehen ist, geht es wieder eleganter mit dem Lemma yon ZORN. Es wird sich zeigen, dass damit eine einzige Fortsetzung ausreicht.
III KORPERERWEITERUNGEN
274
Wir verwenden die Menge yon Paaren k C L C K M :
(L, ~) 9 ~ . L --* k
ist Zwisehenk6rper und
]
ist Monomorphismus mit ~ I k
id~
In M i s t eine Halbordnung gegeben durch
(L,~)<_(L',~') e=~LcL'
~'IL
und
~.
U m zu zeigen, dass M induktiv geordnet ist, betrachten wir eine Kette C C M und wir definieren
L* :
U
LcK.
(L,~p)CC
Die Vorschrift (L, ~) E C soll bedeuten, dass es zu L ein ~ gibt, derart, dass (L, ~) E C. Zun/iehst ist zu zeigen, dass L* C K ein Unterk6rper ist. Sind z, y E L*, so gibt es ( L , ~ ) und ( L ' , ~ ' ) E C, so dass z E L u n d y E L'. Wegen der Ketteneigensehaft k6nnen wit aunehmen, dass LcL
',
also z, y E L ~ und z - y , -
z Y
EL ~CL*.
Ist z E L*, so gibt es ein (L, ~) E C mit z E L. Aus der Kettenbedingung folgr wieder, dass die Abbildung
~* : L * ~ k , :c~(:c), unabh/ingig yon der Auswahl yon (L, ~) E C erklSrt, und ein Monomorphismus m i t ~ * ]k id~ist. A l s o i s t (L*, ~*) E M
obere Sehrmike yon C .
Nach dem L e m m a yon ZORN gibt es in M ein maximales Element ( K ' , ~). Es b M b t zu zeigen, dass K ' K. Angenommen K ' C K; dann betraehten wir folgendes Diagramm: U
U
u
u
u
u
k
=~
k
Dabei ist x E K ~ \ K . Da K D K ~ algebraisch ist, hat x ein Minimalpolynom f E K'[X ]. Nun wenden wit den Fortsetzungssatz aus I I I 2.2 an.
Ist / E /r das aus f durch ~ entstandene Polynom, so hat / eine Nullstelle y in k und es gibt eine Fortsetzung "~ yon "~ mit "~(x) y. Das ist aber ein Widerspruch zur Maximalit/it yon ( K ' , ~).
[]
w3. EINFACHE UND MEHRFACHE NULLSTELLEN
275
w3 Einfache und mehrfache Nullstellen Wie wir in w gesehen haben, permutieren KSrperautomorphismen die Nullstellen von Polynomen (Bemerkung in I I I 2.2). Nahe liegend ist die Frage, welche Permutationen sich zu einem Automorphismus fortsetzen lassen. Dabei entsteht ein teehnisehes Problem dutch ,r Nullstellen. In diesem Pazagraphen geben wir Hilfsmittel an, wie m a n damit umgehen kann. HShepunkt sind die klassischen Ergebnisse fiber Resultanten und Diskrimanten. Als Anwendungen beweisen wit einen Struktursatz fiber endliehe K6rper, sowie den Satz vom primitiven Element.
3.1
Vielfachheit
yon Nullstellen
und formale Ableitung
S e i f E k[X] und K D k ein Zerf/illungsk6rper. Ist n
deg f , so ist
f Die Nullstellen x 1, . . . , x , mfissen keineswegs verschieden sein, es ka~m ,~mhrfache" Nullstellen geben. Allgemein erkl/irt m a n ffir ein beliebiges x E K #(f;x):
max{r 9
~ teilt f i n
K[X]}
die Vielfachheit yon x bezfiglich f . In K [ X ] gilt dann f
(X-x)
"(f;~) .g
mit
.q(x) ~ O.
In der Terminologie yon II 3.6 ist # ( f ; x) der Exponent yon (X - x) in f . Oftensichtlich gilt f(x) 0 ~=~ # ( f ; x ) _> 1. Man nennt x E K
einfache Nullstelle yon f e=~ #(f; x)
1 und
mehrfache Nullstelle yon f e=~ # ( f ; x) > 2 . Aus der AnMysis weig man, dass mehrfache Nullstellen durch die A b M t u n g charakterisiert werden kSnnen. Diese Methode versucht m a n in der Algebra formal zu imitieren. Ffir ein Polynom f a , X ' + . . . + a ~ X ~ + . . . + a l X + a o E k[X] ist die for'male Ableitung erkl/~rt durch
f' : n . a , X "
l +...+r.a~X~
l +...+al
Ek[X].
Die Tficke dabei ist die folgende: Der Exponent r yon X < ist eine natfirliche Zahl; dagegen ist der Koeffizient r 9a< yon ra<X ~ 1 ein Element yon k, und falls die Chm'akteristik p yon k ein Teller yon r ist, wird ra< 0 in k.
276
III KORPERERWEITERUNGEN
Zun/ichst einfache Regeln fiir den Umgang mit der Ableitung
Fiir die formale Ableitung h[ X ] --+ h[ X ], f ~-+ f'~ gilt
Rechenregel
(af + b.9)'
af' + b.9'
und
( f ".9)'
f " . q + f ".9'
fiir alle f ~.9 E h [X ] und a~ b E h. Der Beweis der ersten Regel ist Mar; sie besagt, dass die Ableitung ein Endomorphismus des Vektorraums h[X] ist. Daher genfigt es, die zweite Regel ffir Paare X~% X ~ yon Basisvektoren zu beweisen: 1
.
+
.
Man kann die Ableitung r-real wiederholen, daf/ir schreibt man wie in der Analysis f(~). Wie dort gilt:
Ist char (h)
Bemerkung
#(f;x)
Denn ist f
0, so folgt max{r "f(x)
...
f(r 1)(37 )
0} .
(X - x)Pg mit g(x) ~ 0, so ist
f(~) # ( # - l ) . . . . . ( # - r + l ) ( X - x ) "
~..q+(X-x).h~
mit h~ E k[ X ].
[]
Zum Gliick gilt eine Abschw';ichung davon bei beliebiger Charakteristik: Lemma
Dann gilt:
S e i k einbeliebigerKSrper, f E k[X] u n d f ( x ) #(f;x)
Beweis
1 r
Da f(x)
f'(x)r
0
und
#(f;x)_> 2 r
0, ist # ( f ; x ) > 1 und f
OfiireinxE f'(x)
(X-x).g
KDk.
O. mit g E K [ X ] .
Differentiation ergibt
f'
.q+ ( X - x ) . q ' ,
also f'(x)
.q(x).
0, folgen die beiden Behauptungen. Man beachte, dass Da #(f; x) 2 2 r g(x) bei der Differentiation yon f nur der Exponent 1 yon X nach unten kommt, der ist ungef';ihrlich! [] In den bisherigen elementas'en Uberlegungen musste man den Zerf/illungskSrper kennen, um festzustellen, ob es mehrfache Nullstellen gibt. Mit Hilfe des obigen Lemmas kann man die Existenz einer mehrfachen Nullstelle schon in hi X] priifen: Satz Sei k ein KSrper und f E k[ X ] mit deg f > 1. Dann sind folgende Aussagen iiquivalent:
3.1 VIELFACHHEIT VON NULLSTELLEN UND FORMALE ABLEITUNG
277
i) f hat in einem ErweiterungskSrper K D k mindestens eine mehrfache Nulg stelle. ii) f u n d f ' haben in k[ X ] einen gemeinsamen Teiler g mit deg g > 1. Ob f und f ' in k[X] einen echten gemeinsamen Teller haben, kann man mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des grSgten gemeinsamen Tellers entscheiden. Eine Alternative dazu ist die Berechnung der Diskriminante (III 3.10).
Beweis des Satzes i) ~ ii) Ist x E K lnehrfaehe Nullstelle yon f , so ist f(:c) if(z) 0. Also ist das Minilnalpolynom f , E k[X] yon z gelneinsmner Teller yon f u n d f'. ii) ~ i) g hat in einem Erweiterungsk6rper K D k eine Nullstelle x E K. Daher ist f(x) if(x) O, also x mehrfache Nullstelle yon f . [] Fiir zwei Polynome f, g E k[ X] kann man den norlnierten gr6gten gelneinsamen Teiler d g g T ( f , g ) E k[X] mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus berechnen (vgl.I 3.13). Mit Hilfe eines
Zerfgllungsk6rpers K D k yon f 9g kmm man d aueh etwas aaders beschreiben. Zun/ichst setzen wir voraus, dass f u n d g normiert sind. In K [ X ] zerfallen f und g in Linearfaktoren. Wir betrachten die paarweise verschiedenen gemeinsamen Nullstellen x l , . . . , x~ yon f und g und definieren
#i : m i n { # ( f ; x i ) , # ( g ; x i ) } >_1, ~l:
(X-xl)lq....
.(X-xm)
~'~ E I f [ X ] .
In K [ X ] ist dann f d. f u n d g d..0, f u n d .0 haben keine gemeinsaanen Nullstellen lnehr. Solnit ist d ein norlnierter gr6gter gelneinsmner Teller yon f u n d g in K [ X ]. Wir behaupten nun
d
d, insbesondere d E k [ X ] .
Diese auf den ersten Blick/iberraschende Gleichheit folgt aus der allgemeinen R e g e l Gegeben seien Polynome f, g E k[ X ] und eine K&'per'erweiterun9 k D k. Es seien d ggW(f,g) in k[X] und it ggW(f,g) in /c[X]
normierte grb'flte gemeinsame Teiler. Dann gilt d ~t~ insbesondere ~t E k[ X ]. Beweis D a d auch in /c[X] gemeinsamer Teller yon f u n d g i s t , tblgt d I el. Andererseits gibt es nach der Relation yon B~ZOUT (II 3.6) Polynome p, q E k [ X ], so dass d p f + qg. Diese Relation hat man auch in k[X], dort gilt ct I f u n d ct I g, also ct I d. D a d und ct normiert sind, folgt d el. [] Diese Regel wird in Beispiel 1 aus III 3.5 angewandt.
278
III KORPERERWEITERUNGEN
3.2
Separabilit~it
Mit den im vorhergehenden Abschnitt bereitgestellten Hilfsmitteln kSnnen wir nun die kritische Frage
,,Kann ein irreduzibles Polynom in einem ErweiterungskSrper mehrfache Nullstellen haben ?" nfiher beleuchten. Die Antwort wird sein:
,,Ja, abet selten!" Zur Vereinfachung der Formulierungen nennt man ein Polynom f E k [ X ] separabel, wenn jeder irreduzible Faktor g E k[X] yon f in seinem Zerf'~llungskSrper nur einfache Nullstellen hat. (Diese Terminologie ist nicht ganz einheitlich. Matichmal wird verlatigt, dass das ganze Polynom f nur einfache Nullstellen hat.) Eine erste Antwort auf die oben formulierte Frage ist das Lemma
Ist k ein KSrper und f E k [ X ] irreduzibel, so gilt: f
separabel
e=~
f' ~ 0 .
Die Voraussetzung ,,irreduzibel" ist wichtig, wie etwa die Beispiele f und f g 9h mit g, h irreduzibel, g' 0 und h' ~ 0 zeigen.
Beweis
X p E Fp [ X ]
Wir benutzen die Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts III 3.1.
, , ~ " Ist f ' sepat'abel.
0, so ist auch if(x)
0 fiir jede Nullstelle yon f , also ist f nicht
, , ~ " Wgre f ' ~ 0 und f nicht separabel, so g/ibe es einen gemeinsatnen Teiler g yon f u n d f ' mit deg g _> 1. Da f irreduzibel ist und deg f ' < deg f , ist das nicht mSglich. [] Korollar
Ist chat" (k)
0, so ist jedes nicht konstante f E k[ X ] separ'abeL
Beweis Sei g ein irreduzibler Faktor yon f . Da deg g _> l, ist deg g' (deg .q) - 1 _> 0, also .q'/~ 0. [] hn Fall Chat'akteristik Null ist also der Begdff der Sepat'abilit/it iibet~iiissig. Anders in Chat'akteristik p: Ist etwa chat" (k) p und
f : X p-aEk[X],
soist f'
pX p i
O.
Wir werden sehen, dass es Beispiele fiir a E k gibt, so dass f irreduzibel ist. Datm ist f nach dem obigen Lemma nicht sepat-abel.
279
3.3 D E R F R O B E N I U S - H O M O M O R P H I S M U S
3.3
Der F r o b e n i u s - H o m o m o r p h i s m u s
In diesem Abschnitt beschii%igen wir uns mit der Frage der Sepa~'abilitit in Charakteristik p > 0. Dazu eine erste
Bemerkung Ist k ein Kb'rper mit char (k) f'
Beweis f'
p > 0~ so gilt fiir jedes f E k[ X l:
0 ~=~ e s g i b t e i n g E k [ X ]
mit f
.q(X p).
ao + a l X + ... + a~X ~. Dann ist
Seif
0 ~=~ p l i falls ai ~ 0 ~=~ f
ao + apX p + a2pX 2p + . .. + arr~pXrap. []
Ein irreduzibles insepaz'ables Polynom muss also yon der Form f ( X ) g ( X p) sein. Bleibt die Frage, ob es derartige Polynome gibt, die irreduzibel sind. Dazu betrachten wir die binomische Formel in Charakteristik p > 0:
(x + y)P
~
(I~)xP iyp
xp + yp , denn p [ (I~) f/it i
1,...,p-1.
i=O
Diese Rechenregel (x + y); ,Traum aller Anf~hlger".
x p + y; nennt man
Von einem abstrakteren Standpunkt Lemma
yon
FROBENIUS
auch ,freshmens dream", den
hat man das
In einem KSrper k der Charakteristik p > 0 ist die
Abbildung ]~ --+ ]~ ~ x
~-+ x P
~
ein Monomorphismus. Man nemlt ihn den F r o b e n i u s - H o m o m o r p h i s m u s
yon k.
Beweis Neben (x + y); x p + y; in Charakteristik p > 0, gilt (xy) p xPy p in jedem Karper. Der Homomorphismus ist nicht trivial, da 1p 1, also ist er injektiv (Bemerkung f) in II 1.3). [] Ist k r endlicher KS~l)er der Charakteristik p > O, so ist der Frobenius-Homomorphismus r Isomo~phismus. Insbesondere hat jedes Element yon k genau eine p-re Wurzel in k.
Korollar
Im Primk5rper F; ist der Frobenius-Homomorphismus die Identitiit. Beweis Die erste Aussage ist klar, da in einer endlichen Menge eine injektive Abbildung auch surjektiv ist. Die zweite Aussage folgt aus der Bemerkung in III 1.1. Sie ergibt sich auch daraus, dass die multiplikative Gruppe F~ nach II 1.11 zyklisch ist. Daher folgt fiir jedes x E F~, dass xp 1 1; also x p x for alle x E Fp. []
280
III KORPERERWEITERUNGEN
hisgesaait erhalten wit den Satz
Iatk ein endlicher KSrper, so ist jedes Polynom aus k IX] separabel.
Beweis Es ist zu zeigen, dass jedes irreduzible f E k[X] in seinem Zerf~illungskSrper K D k nut einfache Nullstellen hat. Ggbe es eine mehrfache Nullstelle, so wgre f ' 0 n~ch dem L e m m a in I I I 3.2, nach der obigen Bemerkung also f(X)
.g(X p)
ao + a l X p + a2X 2p + . . . + a ~ X ~p .
Nach dem obigen L e m m a gibt es zu jedem ai ein bi mit ai f
+
+... +
+
bP Z ' also ist
+... +
im Widerspruch zur Irreduzibilitgt yon f .
[]
Ffir Liebhaber schSner Worte noch ein weiterer Begdff: Ein KSrper k heit~t rollk o m m e n , wenn jedes Polynom aus k[ X ] separabel ist, d.h. wenn jedes irreduzible Polynom aus k[X] in seinem Zerfs K D k nut einf~che Nullstellen hat. Damit kann m a n die Ergebnisse der letzten beiden Abschnitte so zusammenfassen: Satz fiber vollkommene KSrper
Endliche KSrper und KSrper der Charakte-
ristik Null sind vollkommen. U m ein Beispiel ffir ein nicht separables Polynom zu finden, benStigt m a n also einen unendlichen KSrper der Cha~'akteristik p. Wir w~hlen
Nach EIS]~NSTEIN ist f irreduzibel in (Fp[X])/[Y], denn X ist irreduzibel in F p [ X ] . Also ist f nach II 3.7 irreduzibel in k[Y]. I m Zerfs K D k yon f gibt es ein y mit yP X , also ist f
YP - X
YP - yP
(Y - y)P
d.h. y ist eine p-fache Nullstelle yon f .
3.4
Endliche KSrper
Nach den etwas mfihsamen Vorfiberlegungen zu mehrfachen Nullstellen ist nun die Bahn frei zum Beweis interessanter Ergebnisse. Wie wir in I I I 1.1 gesehen haben, enth~ilt jeder endliche KSrper k den PrimkSrper Fp mit p char (k), nach I I I 1.2 ist er ein Vektorraum fiber Fp: Also hat k genau p~ Elemente, wenn n [k : Fp]. Aber es ist bisher gar nicht klar, ob es zu jedem p und n einen solchen KSrper mit p~ Elementen gibt. Eine optimale Antwort auf diese Fragen gibt der ffir e n d l i c h e K S r p e r Sei p eine Primzahl, Fp Z/pZ der PrimkSrper der Charakteristik p, n E N \ {0} und q : /~. Dann gilt:
Struktursatz
a.4 ENDLICHE KORPER
281
a) Ein Zer'fiillungskSr'per Fq D F v yon X q - X E Fv[X ] hat q Elemente, er ist gleich der Menge der Nnllstellen yon X q - X in Fq. b) I~t L D Fp eine KSr'per'erweiterung m i t q Elernenten, so ist L ~ Fq. n, so ist Fq ~ F p [ X ] / ( f ) . Jede c) Ist f E Fp[X] irreduzibel mit deg f Nullstelle x von f in Fq ist primitives E l e m e n t der E,rweiterung Fq D Fp, Fp(x). d.h. Fq d) Sind m, n E N \ {0}, so ist Fv,~ C Fv,~ Unter'kSrper genau dann, w e n n m Teiler yon n ist.
Man kann also fiir gegebenes p und n yon d e m KSrper F>,~ sprechen. Beweis yon a)
Wit betrachten die Teilmenge K:
{xEFq:,q
*}CFq
und zeigen im ersten Schritt, dass K c F v ein Unterk6rper ist. Sind x, y E K, so ist nach den allgemeinen Rechenregeln fiir Potenzen
(*v) q
*qv
*v
und
(.
*
.
*,
also x 9 y, x 1 E K. Fiir die Summe brauchen wir die Regel yon FROBENIUS ( m 3.3): (,+y)v ,v+yv ,+y. Im zweiten Schritt zeigen wit, dass K genau q Elemente enthglt; dann folgt K Fv und die Behauptung. Der KSrper K besteht aus den Nullstellen des Polynoms X v - X in Fv, er enth/iR also h6chstens q Elemente. Da
(xq-x)'
-1,
sind nach dem Lemma aus III 3.1 alle Nullstellen einfach, also enthglt K genau q Elemente. Es sei noch eimnal ausdriicklich darauf hingewiesen: Bei unendlichen K6rpern ist es unm6glich, dass alle Elemente Nullstellen eines einzigen Polynoms f # 0 sind
deg f also ist ord Fv[X ] / ( f )
/~
q und die erste Behauptung folgt aus b).
282
III K(3RPERERWEITERUNGEN
Ftir jede Nullstelle x yon f in Fq gilt d e g [ F v [ X ] / ( f ) 9 Fv]
F v(.)
n, daher ist
Fq.
B e w e i s yon d) Wit setzen zur Abkiirzung q :
IstF vcF~unds:
[Fq'Fv] , s o f o l g t o
p ~ und O : P ' .
q~,alsop"
(p~)~
p~undrnin.
Ftir die umgekehrte Richtung benutzen wir den Hilfssatz
d u s rn Irk folgt (XV * - 1) teilt ( X q
* - 1) in Z [ X ] .
Daraus folgt, dass X v - X ein Teller yon X q - X in Z [ X ] und damit auch in Fp[X ] ist. I)aher gilt ffir die Zerfiillungsk6rper F v C Fq. Der B e w e i s des Hilfssatzes benutzt einige Kniffe aus der Teilbarkeitstheorie. Zungchst teilen wir mit Rest in Z [ X ]:
xv*_l
h.(xq*-l)+~,
mit
h,~.~p[X],deg~.
(*)
Nun benutzen wit in C fiir jedes d E N die primitive d-te Einheitswurzel Cd
(2rri) exp,~-,
und
Cd
.
9. ,r d *} c c
{1, r
.
Cd ist nach II 1.9 isomorph zur zyklischen Gruppe Zd und gleieh der Menge der komplexen Nullstellen yon X d - 1 E Z[ X ]; nach I 3.10 gilt C d < C 3 <=> d ] c t in 77,.
Nun zuriiek zu q u n d ~ . Aus n p"
0-1
q~-i
rn 9s folgt p~
(p~)~
q~ ~ daher ist
(q_l)(q~ 1+...+q+1)~ also (q-1) l ( 0 - 1 ) i n z .
Also folgt f/it die zyklisehen Gruppen Cq 1 < C~ 1. Damit sind alle Nullstellen yon Xq 1 _ 1 in C aueh Nullstellen yon X ~ 1 _ 1 in C und es folgt
xv 1 _ 1
i~(x~ 1 _ 1 )
mit
7~c[x].
In der Das'stellung (.) sind h , r E Z [ X ] C C [ X ] . Wegen der Eindeutigkeit der Teilung mit Rest in C[ X ] folgt
7~ h ~ z [ x ]
und
~.
0. []
Noch eine Bemerkung zu Aussage c). Es ist fiberraschend, dass Fq dutch jedes in Fv[X ] irreduzible Polynom f vom Grad n erhalten werden kann. Das zeigt andrerseits, dass es nicht sehr vide derartige Polynome geben kann. Korollar
I s t f E Fp[X] irreduzibel m i t deg f
n _> 2 und q :
Teller yon g:
X q 2+Xq
3+...+X+IEFp[X].
p ' , so ist f
3.5 BEISPIELE
Beweis
283
Sei K D Fp der ZerfKllungsk6rper yon f fiber Fp und f
in K [ X ] .
a(X-xl).....(X-x,)
Ffir jedes i i s t []Fp(xi) : ]Fp] n, also ]F(xi) ~ ]Fq nach Tell b) des Struktursatzes; aus Teil a) folgt x~ xi. Also sind alle xi auch Nullstellen yon
x.(x-o.g,
x~-x
und somit Nullstellen yon .q, denn f i s t irreduzibel. Da nach III 3.3 alle Nullstellen yon f einfach sind, ist f ein Teller yon g. []
3.5
Beispiele
Beispiel 1 Wit verwenden die Regel aus III 3.1 zur Bestimmung des grSflten gemeinsamen Teilers h E Q[X] yon f:
X ~'-1
wobeim, n E N \ { 0 } . I s t
d:
und
g
:
x~-i
aus
Q[X],
ggT(m, n) E N, so behaupten wir, dass X d- 1
h:
ein gr6t~ter gemeinsmner Teiler in C[ X] und damit in Q[ X] ist. Nach II 1.9 sind ffir jedes r E N \ {0} die Nullstellen yon X ~ - 1 die EinheRswurzeln 27ri Also ist C,~ A C,~ die Menge der gemeinsamen Nullstellen yon f u n d g, und die Behauptung folgt aus der in II 1.9 bewiesenen Beziehung
c,~nc.,~
cd.
Beispiel 2 Nach II 1.11 ist die mukiplikative Gruppe K • eines endlichen K6rpers zyklisch. Es ist aber gaz nicht Mar, welche Elemente sie erzeugen. Wit wollen das ffir einige Primzahlen p an den KSrpern Fp untersuchen. F~<
{1}, dieser Fall ist trivial.
F~
{1, 2} und 2 . 2
F{
{1~ 2~ 3~ 4}. Die Elemente haben folgende Ordnmigen:
4
1, 2 erzeug% F~.
1
2
3
4
1
4
4
2
Also sind 2 und 3 erzeugende Elemente yon ]F~<.
III KORPERERWEITERUNGEN
284
F~<
{i, 2, 3, 4, 5, 6}. W i t berechnen wieder die Ordnungen: 1
2
3
4
5
6
1
3
6
3
6
2
Also sind 3 und 5 erzeugende E l e m e n t e yon F~. Besonders einfach ist der Fall, wenn ord/<• eine Primzalfi ist; dann Gruppe yon jedem Element/~ 1 erzeugt. Die nk~chstliegenden Kandidaten
KSrper Fq mit q Bemerkung Beweis
2%
I s t 2 ~ - 1 Pr,imzahl~ so m u s s n eine P r i m z a h l sein.
Ist n
r 9s eine nicht triviale Zerlegung, so folgt (2 ~ - i)
Da
wird die sind die
(2 ~ _ i)(2~(~
i) +...
+ 2 ~ + i).
1 < 2 ~ - 1 < 2 ~ - i, ist auch diese Zerlegung nicht trivial.
Die angegebene Bedingung nicht prim sein, etwa
ist nicht hinreichend, ffir eine Primzahl 211 - 1
2047
3 , 23 - 1
7 , 25 - 1
B e i s p i e l 3 Der KSrper F4
x~-x
31
,
2p - 1
23.89.
Primzalfien der Form 2 p - 1 heiJ~en M E R S E N N E S C h e 22 - 1
p muss
2 7 --
1
Primzahlen.
127, 213 -- 1
Beispiele sind 8191 , . . . .
F2~ ist der Zerf~llungsk6rper yon
x.(x-1).(x~+x+l)~[x].
Wie wir schon in Beispiel 5 aus II 3.9 gesehen b a t t e n , ist f : einzige irreduzible quadratische P o l y n o m in F 2 [ X ] . Also ist
~4 ~2[x]/(f) wobei x eine Nullstelle yon f ist, also x 2
X 2 + X + 1 das
~2(x), 1 + x. Welter ist
f~< {1,~,~2}~z3 Da~nit ist die Multiplikation in F4 festgelegt. Ffir die Addition ist es geschickter, F4
F2 + F2 9x
als 2-dimensionalen V e k t o r r a u m zu beschreiben. Der U b e r g a n g geschieht durch eine Tabelle:
3.5
285
BEISPIELE
additiv
muRipli!~tiv 0
0+0
(0, O)
1
1+0
(1,o)
x
O+x
(o,1)
x2
l+x
(1,1)
Will man im Vektorraum multiplizieren, rechnet man wie folgt:
x.x2
(o, i) . (1,1) Umgekehrt
1
(i,o).
ist etwa x+x2
Beispiel 4 Der KSrper F8 xS-x
~3
(0,0 + (i, 0
(i,0)
F2~ ist der ZerfgllungskSrper von
X.(X-1).(X6+XS+...+X+I)
f:
i.
(X3+X+I)
und
X.(X-1).f..qEF2[X]
g:
mit
(X3+X2+l).
f u n d g sind die einzigen in F2[X] irreduziblen Polynome yore Grad 3. Man beachte, dass X6 +XS +...+X + I nach Beispiel 4 aus II 3.9 in Z[ X] irreduzibel ist. In F2[X] ist es, wie m a n sieht, reduzibel. Nun hat man zwei MSglichkeiten zur Beschreibung yon Fs: F8
F2[X]/(f)
0 1
1
X
X
3:2
x3
3:2
l+x
3:4
x5 x6
Man
F2(x)
0, d.h. x 3
f(x)
x ~ 3:2
l+x+x 1+
2 x2
F8
1+ x
F2[X]/(.q)
0, y3
g(y)
(o,o,o) (1,o,o) (o, i, o) (o,o,1) (i, i, o) (o,i,1) (1,1,1) (1,o,1)
y6
0 1
1
Y y2
Y y2
y3
1+
y2
y4
l + y + y2
y5
l+y y + y2
beachte, dass ]F4 kein UnterkSrper yon F8 ist, denn ordF~ <
3
und
ordF~ <
7.
F2(y)
1 + y2
(o,o,o) (i,o,o) (o, i, o) (o,o,0 (i,o,0 (1,1,1) (i, i, o) (o,1,1)
III K ( ) R P E R E R W E I T E R U N G E N
286
Aufferdem ist X 2 + X + 1 kein Teiler yon f oder g. B e i s p i e l 5 Der KSrper 1F16 X ~6 - X
f
]F2~ ist der Zerfgllungsk6rper yon
X(X
- 1)(X 2 + X
X4+X3+X2+X+I
X4+X3+l
, g
W i r wghlen die Beschreibung F16
o 1
+ 1)f.g.
F 2 [ X ]/(h)
x x2
x3 1 +x
x6
x 2 +x
l+x
x8
1
x 9
3
(o, o,o, 1)
+ x2 ~
(0,
1,1,o)
(0,
o,1,1)
(1, 1,o, 1)
+x 3
x
x 1~
(1, o , l , o ) 373
(0, 1,o, 1) (1, 1,1,o)
1 + x + x2 x 3
(0, 1,1,1)
x 12
1 + x + x2 + x3
(1, 1,1,1)
x 13
1
(1, o,1,1)
x 14
1
x II
1 + x.
(1, 1,o,o)
. + .2
xr
F2(x) mit x 4
.
(o, o , l , o ) x3
.5
X4+X+I
(o, 1,o,o)
x2 x4
, h
mit
(o,o,o,o) (1, 0,0,0)
1
x
h
x ~
+
x 2 ~
x 2
+
x 3
+ x3
(1, o,o, 1)
Wie m a n sieht, ist F4 ~ {0, 1 , . , . 4 } C Fs6
und
Za ~ F4< C FI~ ~ 215 .
B e i s p i e l 6 {~ber dem K6rper Fa {0, 1, 2} {0, 1, - 1 } gibt es nach Beispiel 6 aus II 3.9 die irreduziblen quadratischen P o l y n o m e f:
X2+l,
g:
X2+X-1
und
h:
X2-X-1.
Es ist in F a [ X ]
x 9-x
x.(x-1).(x+l).(x xT+x6+...+X+l
7+x 6+...+X+1)
und
f.g.h.
Eine Nullstelle x yon f erzeugt eine U n t e r g r u p p e der O r d n u n g 4 yon IF~, eine Nullstelle y yon g erzeugt ganz IF~:
3.6 ALGEBRAISCHER ABSCHLUSS EINES ENDLICHEN K O R P E R S
(0, O)
0
3.6
287
1
1
Y y2
Y 1- y
y3
-1 - y
y4
-1
y5
_y
y6
-1 +y
y7
l+y
(1,o) (o,1) (1, -1) (-1, -1) (-1,o) (o, -1) (-1,1) (1,1)
Algebraischer Abschluss eines endlichen KSrpers
Bei der Konstruktion eines allgemeinen algebraischen Abschlusses eines KSrpers k muss mati uniibersehbat" viele algebraische Erweiterungen vornehmen. Bei endlichen KSrpern ist das viel einfacher. Satz
Sei k ein endlicher Kb'r'per mit p : chat" (k) und
N=I
Dann ist ; D k ein algebraischer Abschluss. Beweis Nach Tell d) des Struktursatzes hat m a n eine aufsteigende Kette Fp c Fp2 c Fp6 c ... c FpN~ C Fp(N+I)~ C ... C k . Da es fiir a, b E k ein N gibt, so dass a, b E FpN~, ist k ein KSrper. Ist
f
ao+...+a~X~Ek[X]
mit
n_>l,
so gibt es dazu ebenfalls ein N mit a 0 , . . . , a~ E FpN~, also f E FpN~[X]. Der Zerf/~llungskSrper K yon f i s t ebenfalls endlich, sei r : [K 9FpN~]. Nach Tell b) und wieder Teil d) des Struktursatzes ist K~Fp,-.N~,
also KCFp(,-N)~ C k . []
288
3.7
III KORPERERWEITERUNGEN
Der Satz vom primitiven Element
hi I I I 1.3 hatten wir ein Element a E K D k primitiv gena~lnt, wenn K k(a). Diese Bezeichnung s t a m m t yon STEINITZ [St]~ er gab auch einen Beweis ffir die Existenz primitiver Elemente unter gewissen Voraussetzungen. Wit behmldeln hier den besonders einfachen Spezialfall char (k) 0. Ffir endliche KSrper wurde die Existenz yon primitiven Elementen schon im Struktursatz aus I I I 3.4 gezeigt. Element Sei k ein KSrl)er mit char(k) 0 und K D k eine endliche (und damit algebr'aische) Erweiterung. Dann gibt es in K ein primitives Element.
Satz vom primitiven
Beweis Nach I I I 1.7 gibt es fiber k algebraische Elemente a l , . . , a~ E K , so dass 1~
~(al,...,an)
.
2 und schreiben K
Wir behandeln zungchst den Fall n ein Element c E K mit K k(c).
Wir betrachten die Minimalpolynome f u n d Zerfgllungsk6rper K / D k von f 9g i s t
g E k [ X ] yon a und b. Uber einem
f
( X - a ) ( X - a 2 ) ' . . . " ( X - a~) E K I [ X ]
g
(X - V)(X -
V~) . . . . .
k(a, b). Gesucht ist
(X -
und
V~) ~ K / I X ] .
U m ein geeigmetes c zu finden, machen wir den Ansatz ca:
a+Ab
mit
AEk • .
Damit erhglten wir die KSrperkette
kcLa:
k(ca) ck(~,V)
KcK/.
Wir wollen zeigen, dass La K ffir fast alle ), E k • wegen der ella" (k) 0 unendlich ist. Es genfigt, b E La zu zeigen, dann ist auch a dazu ist die Definition des Polynoms ha(X):
f(ca-AX)
Das ffihrt zum Ziel, da k
ca - Ab E La. Der klassische Trick ELa[X].
f(a) 0. U m zu verha hat mit g die gemeinso3ne Nullstelle b, denn ha(b) hindern, dass ha und g eine weitere gemeinsame Nullstelle haben, muss wegen ha(hi) f(ca - Abj) die Bedingung ca-Abj#ai,
ai
-- a
d.h. A # b - b j
E
[s
ffir i
2 , . . . , r " und j
2,...,s
(,)
erffillt sein. Man beachte, dass b - bj ~ O, denn g besitzt als irreduzibles Polynom nach I I I 3.2 nur einfache Nullstellen (hier haben wir wieder char (k) 0 verwendet).
3.8 BEISPIELE
289
Unter der Voraussetzung (.) betrachten wir nun den grSgten gemeinsamen Teller yon g und ha, und zwar zun~chst in K ' [ X ]. Da b Ms Nullstelle eines irreduziblen Polynoms einfach ist, folgt
ggT (g, ha)
(X-V) ~ K'[X]
Nach der Regel aus I I I 3.1 folgt (X - b) E La[X], also b E La. Damit ist der Fall n
2 erledigt, der allgemeine Fall folgt durch Induktion.
[]
Wie der Beweis zeigt, gibt es ein primitives Element c E k ( a l , . . . , a~) yon der Form
Zusatz
c
al+A2a2+...+A~a~
mit
[]
A2,...,A~Ek.
Von den zahlreiehen Konsequenzen notieren wir ein ffir die Galois-Theorie wichtiges
Sei char (h) 0 und K D h ZeTfiillungskb'rper eines beliebigen Polynoms f E k [ X ]. Dann ist K D k aueh ZeTfiillungskSrper eines irr'eduziblen Polynoms g E k[ X ].
Korollar
Beweis Da die Erweiterung K D k endlich ist, gibt es ein primitives Element a E K , d.h. K k(a). Nach der ZerfKllungseigenschaR aus I I I 2.3 ist K auch Zerfgllungsk6rper des Minimalpolynoms g E k [ X ] yon a fiber k. [] hi der klassischen Form yon STEINITZ Element so ausgedrfickt:
[St,
w
wird der Satz yore primitiven
Fiir eine KSrper'erweiterung If D k sind folgende Bedingungen gleichwe~r i) If D k ist einfach und algebraisch. ii) In If D k gibt es nur endlich vide verschiedene ZwischenkSrper.
Satz*
3.8 Beispiele Beispiel 1 Ffir die
KSrpererweiterung
q ( ~ , 45) D q hatten wir schon in Beispiel 4 aus I I I 1.6 das primitive Element c dem Minimalpolynom X 4 - 10X 2 + 1 bestimmt. Andere primitive Elemente erh/ilt m a n durch
~a
\/5+a45
mit a r
-~-~ 45+45
Also kaan A E Q• beliebig gewNllt werden.
-
~__
~q.
x/2 + 4 5 mit
290
III K O R P E R E R W E I T E R U N G E N
B e i s p i e l 2 Wir bestimmen die primitiven Elemente ffir die Erweiterung K:
Q(a,C) D Q
mita
,~E]R
und
,2~i.
C
exp(T
) EC.
(Beispiel 4 in I I I 2.4). Die Minimalpolynome yon b und 4 sind
En Ansatz ca
( X - a ) ( X - a C ) ( X - a r 2) und
f
X 3 - 2
.g
x 2+X+1
(x-r162
a + Ar ergeben sich ffir A die Ausnalmien
r162
r und
r162
~.(1+r
Beide sind nicht reell, also liefert jedes A E Q• ein primitives Element ca. Ffir A
1 erhalten wit das primitive Element, c:
a+r
U m das Minimalpolynom yon c zu bestimmen, benutzen wir 2
aa
(c-r
a
und
r162
O.
Daraus folgt
r
~c~ 0
mit
a
c3 - 3 c - 3
a 2 + a ~ + ~2
und
/3
3c 2 + c , a l s o
c 6 + 3c 5 + 6c 4 + 3c 3 + 9 c + 9 .
Dalier ist f : X 6 + 3 X 5 + 6 X 4 + 3 X 3 + 9X + 9 E Q [ X ] das Minilnalpolynom fiber Q des primitiven Elements a + ~. Ein primitives Element yon etwas anderer Form ist a - aC
3.9
mit dem Minimalpolynom
X 6 + 108 .
Resultanten*
Sind Polynome f, g E k[ X ] gegeben, so stellt sich oft die Frage nach einem echten gemeinsamen Teiler in k [ X ]. Wie wir am Ende von I I I 3.1 gezeigt haben, ist dies gleiehwertig zur Existenz mindestens einer gemeinsamen Nullstelle im Zerf/illungsk6rper yon f . g. hi k [ X ] kann m a n die Frage mit dem Euklidisehen Algorithmus entscheiden, indem m a n den grSgten gemeinsamen Teller d g g T ( f , g) E k [ X ] berechnet. Es gibt aber noch ein anderes klassisches Verfaliren, dies direkt an den Koefi3zienten yon f u n d g durch Berechnung einer geeigneten Determinante abzulesen.
3.9
RESULTANTEN*
291
Gegeben seien ein Ring R (kommutativ mit 1) und in R[ X ] Polynome f
a~X ~ + ... + alX
und
+ ao
g
b~X ~ + ... + blX
+ bo .
Wir definieren im Fall m > 1 und n > 1 die R e s u l t a n t e yon f u n d n
rn+l
arr~
99 9
det
1
a0
"..
res(f,.q) :
g durch
".. arn
b. . . . .
9 99
ao
b0
"..
".. 7%
999
bo
In dieser (m + n) x (m + n)-Matrix stehen an den nicht markierten Stellen Nullen. Der Weft der Determinante ist ein Element yon R. Die entseheidende Eigenschat% der Resultante ist: Satz Ist R ein faktor'ieller" Ring, so sind fiir" nicht konstante Polynome f, g E R [ X ] folgende Aussagen 5quivalent:
i) res (f, .g)
0.
ii) Es gibt ~ , ~ E R[ X ] mit 0 <_ deg p < deg f , 0 _< deg ~ < deg g nnd ~ f + F.q
0.
iii) f und g haben in R [ X ] einen nicht trivialen gemeinsamen Teller, d.h.
(ggT (f, g)) _> 1.
Beweis
i) r
ii) Wir verwenden den QuotientenkSrper K
Q(R) und den
Vektorraum
V
{hEK[X]:degh<_m+n-1}
mit der Basis B (X~+~ 1, . . . , X 2, X, 1). Die Zeilen der Resultantenmatrix sind die Koetlizienten yon
X ~ lf,...,Xf,
f,X~
1.q,...,X.q,.q
(*)
in der Darstellung durch B. Daller ist res (f, g) 0 gleiehwertig mit der linearen Abh/i~lgigkeit der m + n Vektoren (,), d.h. der Existenz yon ),~ 1, . . . , ),0, # ~ 1, 9.., #0 E K , nieht alle gleieh Null, mit
A~ 1X ~ l f + . . . + A i X f
+ A o f + # m 1X m l g + . . . + # l X g + # o g
O.
292
III KORPERERWEITERUNGEN
Das bedeutet aber
~f + @ ~:
o mit
A~ iX ~ i+...+Ao
und
93: #~
iX ~ I + . . . + # o E K [ X ] .
Indem man mit einem Hauptnenner der Koeffizienten yon ~ und ff multipliziert, erh~it man
~{)f+~9
0 mit ~6,~e R [ X ] , 0 _ < d e g ' { ) _ < n - 1 ,
0_<deg~_<m-1.
Es sei bemerkt, dass in diesem Tell des Satzes /~ nur Integrit/itsring sein muss.
iii) ~ ii) ist einfach. Ist f ,~f
d~ und 9
d~6 mit d E R[ X ] und deg d _> 1, so ist
%o9 , d e g ~ < d e g g ,
deg %o<deg f .
ii) ~ iii) Dies ist die entscheidende Aussage; hierf/ir benStigt man die Voraussetzung, dass/~ faktoriell ist. Dann ist nach dem Satz yon GAUSS aus II 3.7 auch /~[X] faktoriell, wir kSnnen also beide Seiten der GMchung "6f - ~ g in Primfaktoren zerlegen: @1 " . . . "
@k " f l
"..."
L
~91 " . . .
"~91 " 9 1 " . . .
"gs
9
Bis auf Einheiten miissen alle Faktoren f l , . . . , f , auch auf der rechten Seite erscheinen. Da deg ~ < deg f , gibt es mindestens ein Paar i,j mit f~ ~ .qj; das ist ein nieht trivialer gemeinsamer Teller. [] Der Vorteil der Resultante gegeniiber dem Euklidischen Algorithmus besteht zungchst dax'in, dass man den grSlgten gemeinsamen Teiler yon f und .q nicht ausreclmen muss, wenn mazi nur wissen wi11, ob er trivial ist oder nicht. Viel wiehtiger ist es, dass dies dureh die Resultante &Is ein Polynom in den Koeffizienten yon f und .q entschieden werden kann. Ist etwa/~ C, so sind fund .q durch ( a ~ , , . . . , a 0 , b~,,...,b0) E C ~'+l
x
C ~'+l
C ~'+~'+2
bestimmt, und die Paare (f, g) yon nicht teilerfremden Polynomen werden in C m+~+2 durch die Nullstellen des Resultanten-Polynoms beschrieben. Insbesondere ist eine Polynom-leunktion stetig; also folgt, dass teilerfremde Polynome bei geniigend kleinen Ver/~nderungen der Koeffizienten teilerfremd bleiben. Um das Geheimnis der Resultante zu liiften, muss man /~ D K Q(R) yon f "g gehen. Dort ist
f
a(X-xl).....(X-x~,)
und
g
b(X-yl).....(X-y~,)
mit a, b ~ 0 und x l , . . . , x~, yl, 9.., y~ E /~. Des Rs Theorem
Im ZerfiillungskSrper Ir von f "9 9ilt res (f,g)
a~b~r~ H
in den Zerf'~llungskSrper
(xi - yy).
Lasung ist das
3.9
293
RESULTANTEN*
Man sieht an dieser Gleichung mit blogem Auge, dass die Resultante genau daan verschwindet, wenn f u n d g i n / ~ eine gemeinsame Nullstelle haben. Wie wir am Ende yon III 3.1 erlgutelt haben, ist das Produkt d der gemeinsamen normierten Linearfaktoren yon f und g aus /~[X] schon in K [ X ] enthalten und dolt ist d ggT(f, g). Man kaan die entscheidende Gleichung auch etwas aaders schreiben:
res(f, 9)
Korollar
an9(3:1) " . . . " .g(3:m)
( - - 1 ) m r % m f ( y l ) ' . . . " f(Yr,).
[]
Insbesondere folgen die res (g, f)
Rechenregeln
(-1)~'~res (f, g)
res (flf2,9)
res (fl, 9)" res (f2, 9) 9
[]
Zum Beweis des Theorems ersetzt man zungchst die Nullstellen durch Unbestimmte, Uln VOln K/Srper K unabhgngig zu werden. Auf dieser Ebene hat man das entscheidende Lemma Eel R : Polynome f?:
G:
Z[X1,...,X,~,Y1,...,Y,~] mit rn, n >_ 1 und in R [ X ] seien
(X-X1)'.. "(X-Xm) (X-3ffl)'...(X-~t)
Xm+A1X m Xn @]~1x n
1+...+Am,
1@...@]~ n
gegeben. Dann hat man in R die Gleichung
(n C)
H
- Ys).
l<4<~z
Um daraus das Theorem zu Iblgern, genfigt es, den Substitutions-Homomorphismus :R mit
~(1)
Z[X1,...,X,~,Y1,...,Y,~] ~ 1, a(Xi)
zi
und
a(Yo)
YJ,
anzuwenden, denn beim zugeh6rigen Holnolnorphismus R[ X ] --+ K[ X ] geht F auf f u n d G auf g. Zum Beweis des Lemmas kann man die grundlegenden Ergebnisse fiber symmetrische Polynome (vgl. III 4.1) verwenden. Es geht abet auch ganz elementar mit geeigneten Blicken auf die Determinm~te, mit der die Resultante erklSxt ist. Zun~chst bemerken wir, dass die Koeffizienten A~ bzw. Bj E R homogene Polynome in X1, . . . , X,~ bzw. Y1,..., ~ sind, mit (vgl. II 1.10) deg Ai Entscheidend ist nun der
i
und
deg By
j.
294
III K(~RPERERWEITERUNGEN
Hilfssatz
Das Polynom
",~
res(F,C)
det
1
B1
~176 1
A1
...
B~
".~
...
A~
~176 1
B1
...
B~
J r
i s t h o m o g e n y o r e G r a d m 9n i n d e n U ' n b e s t i m m t e n X 1 , . . . , X , ~ , Y1, . . . , Y ~ .
Daraus folgt leicht die Aussage des Lemmas. Offensichtlich ist das Produkt i,j
yon m 9n lineaz'en Faktoren ebenfalls homogen yore Grad m 9n. Nun k o m m t der Kniff: Jeder Faktor (X,~- Y j ) ist ein Teller yon H : res (F, G) E R. U m das auch formal pr~zise zu begrfinden, betrazhten wir ffir i 1 , . . . , m den Ring S/: ~[Xl~...~Xi l~Xi+l ...,X,~,Y1,...,Y~] 9
Dann ist /~ S,~[X~] und jedes Yj E S,~ ist eine Nullstelle yon H E S,~[X,~]: H(Yj) 0, denn setzt man Yi ffir X i ein, so haben F u n d G eine gemeinsame Nullstelle und die Resultante verschwindet. Nach dem Korollar aus II 1.8, angewandt in S,~[ X,~ ], ist H
(Xi-Yj).H
mit
HES,~[Xi],
also ist (Xi - Yj) Teiler yon H. Man beaehte, dass in diesem Argument X,~ und Yj formal unterschiedlich behandelt werden: X,~ ist die Unbestimmte, Yj die Nullstelle. hlsgesamt fblgt, dass P ein Teiler yon H res(F,g)
r.P
res (F, G) ist, also ist mit
rER.
Nun sind res (F, G) und P beide homogen yore Grad m .n, also ist r E Z nach dem Satz fiber P r o d u k t e homogener Polynome aus II 1.9. Da res (F, G) und P beide den Term B~ ~ ( - 1 F ~ ( Y 1 . . . . . E~)~ enthaken, ist r
1.
Es bleibt der Hilfssatz zu beweisen. Dazu muss man kontrollieren, wie sieh die Resultante ver~ndert, wenn man die X,z und die Yj dureh TX,z und TYj ersetzt, wobei T eine weitere Unbestimmte ist. Dazu setzen wir FT:
(X-TX1).....(XTX~)
GT:
(X-TY1).....(X-TY~)
X~
+ATX~
X~+BTx~
1 +..+AT I+...+BT.
und
3.9 RESULTANTEN*
295
D a die Ai u n d B j h o m o g e n sind, tblg~
AT
TiAi
und
/3T
TJ/3j.
Die Eintr/ige der R e s u k a n t e n - D e t e r m i n m t t e werden also m i t folgenden P o t e n z e n von T multipliziert: 0
1
...
fr~
"..
0
1
"..
0 ...
1 n
...
"..
rr~
"..
0
1
...
n
h l d e m m a n die Zeilen zus/itzlich m i t d e n vorne a n g e g e b e n e n P o t e n z e n yon T multipliziert, erh/ilt m a n bei d e n Eintr/igen insgesamt als F a k t o r e n folgende P o t e n z e n yon T: T
2
m+
...
1
".
".
rT~
T
2
n
l+n
...
n+l
".
".
rr~
T~
...
1 + rr~
...
7%@ fr?~
Wie man nicht nur in diesem speziell skizzierten Fall mit rr~ n, sondern auch allgemein sieht, wird dabei insgesamt die r'-te Spalte mit T ~ multipliziert. Setzt man
p:
(i+...+~)+(i+...+,~)
und
q:
i+...+(,~+~),
so folgt T p 9r e s
da q -p
(F T, G T)
T q 9res (F, G) , also
res
(F T, GT)
T ..... res (F, G) ,
rr~ 9 r~. Daznit ist auch der Hilfssatz bewiesen.
Man beachte, dass man ansehen kann. Ist f
die Resultante
aoX ~+...+a~
auch Ms ein Polynom und
g
[] in den KoeIfizienten
boX"+...+b,,
so k a n n m a n a 0 , . . . , a ~ u n d b0, . . . , b, als U n b e s t i m m t e b e t r a c h t e n . D a n n ist die R e s u l t a n t e res (f, g) ein homogenes P o l y n o m in a0, . . . , b , vom G r a d rr~ + n, wie m a n sotbrt a n der D e t e r m i n a n t e ablesen kann. D a i m obigen Beweis d u t c h die P o l y n o m e X~ - Y j dividiert werden muss, ist es a a g e m e s s e n die Nullstellen zu U n b e s t i m m t e n zu m a c h e n .
296
III
K(~RPERERWEITERUNGEN
3.10 D i s k r i m i n a n t e n * In III 3.1 hatten wir ffir ein Polynom f E k [ X ] zum Nachweis mehrfacher Nullstellea in seinem Zerf~lungskSrper K ~ k die fbrmale Ableitung benutzt und gezeigt, dass daffir die Existenz sines gemeinsamen Tellers g yon f und f ' mit deg g _> 1 notwendig und hinreichend ist. Das kann abet die zustgndige Resultante res (f, f ' ) entscheiden: dis(f) : res(f,f') Ck nennt man die D i s k r i m i n a n t e man sofort das
yon f . Aus dem Satz fiber die Resultants erh~lt
Sei k sin KSrper~ f E k[ X ] und g ~ k der Zerfiillungsk5rper yon f .
KoroUar
Dann gilt f hat mindsstsns sine mshTfachs Nullstslls in K *:~ dis (f)
0 in k.
[]
Man kann sich also die Berechnung des grSt~ten gemeinsamen Tellers yon f u n d f ' erspa~'en, wem~ man nur wissen will, ob er den Grad 0 hat oder nicht. Dazu reicht die Berechnung einer Determinalte, n ~ f l i c h res (f~ f'), die durch die Koeffizienten yon f bestimmt ist. Im Fall dis (f) 0 erhSlt man jedoch keinen Hinweis auf die Werte mehrfacher Nullstellen. Ebenso wie das Geheimnis der Resultants kann ma~ das der Diskriminante im Zerfillungsk6rper lfii%en:
Istf
Lemma
(X-xl).....(X-x~,)EK[X]mitn>_l, f'(xl)....,
dis (f)
f'(x~,)
[ I ( x i - xj)
i#j
sogilt
(-1)(~) [ I ( x i - xj) 2 . i<j
Beweis Die erste Gleichung folgt sofort aus dem Korollar in III 3.9. Zur zweiten Gleichung differenzieren wir nach der Produktregel aus III 3.1: n
f'
~(x
- xl).....
( x - x5 1). ( x - ~5+1) 9
(x - ~,),
also
j=l
f'(xi)
(xi -- X l ) ' . . . "
(xi -- xi
1)(xi
-- Xi+l)
9 (xi -- Xn)
9
Multipliziert man diese n Produkte mit jeweils n - 1 Faktoren, so erhSlt man das in der zweiten Gleichung angegebene Produkt mit n ( n - l) Faktoren. Dabei ist ffir
i<j (~5 - ~ ) ( ~
Durch (~)
- ~5)
-(~
- ~5) 2
~(~2 1) Vorzeichenwechsel erh~lt man die dritte Gleichung.
In manchen FSllen ist es yon Vorteil, das Vorzeichen anders zu wShlen und A(f) :
I I ( x i - xj) 2 i<j
Ms D i s k r i m i n a n t e zu betrachten.
(-1)(~)dis(f)
Init
n:
deg f
[]
3.10 DISKRIMINANTEN*
297
Zur Bestimmung der Diskriminante muss m a n eine n ( n - 1)-reihige Determinante ausrechnen. Das ist umso einfacher, je mehr Koeffizienten des gegebenen Polynoms verschwinden. Zu diesem (und nicht nut diesem) Zweck ist es nfitzlich, eine lineare Transformation anzuwenden (benannt nach Walther G r a f yon TSCHIRNHAUS, der schon um 1700 versuchte, auch Mle anderen Koeffizienten aut~er a~, und a0 wegzutransformieren). Lemma
Sei k ein KSrper mit char (k) f:
X~+a~
Setzt man Y : X + Ta ~~ g(y) :
f(y
1
0 und
1X ~ l + . . . + a o E k [ X
].
so ist a~ l) n
Y~+b~
2Y ~ 2+...+blY+bo.
Insbesondere ist g genau dann irreduzibel, wenn f irreduzibel ist. Die Substitution X
Y - ~'~n 1 hei]~t T S C H I R N H A U S - T r a n s f o r m a t i o n .
hn ZerfgllungskSrper yon f und damit auch g hat m a n die Nullstellen X l , . . . , x ~ , yon f u n d y l , . . . , y ~ yon g mit a~ 1 - ( X l + . . . + x~) und b~ 1 - ( Y l + . . . + Y ~ , ) 0 (vgl. I I I 4.1). Dutch die TSCHmNHACS-Transformation Y X + ~'~n 1 wird also der Mittelwert an -
1
-
1
(Xl+...+x,~)
der Nullstellen yon f in den Nullpunkt verschoben. Will man durch weitere Transformationen noch andere Koeffizienten verschwinden lassen, so muss man dazu Gleichungen yon h6herem Grad 16sen (vgl. etwa [We 1, Band I].
Beweis
Es geniigt die einfache Rechnung
.g(Y/ y~,
na~, 1y~, l + . . + a ~
Y~+b~
1Y ~ l + . . .
Nach dem L e m m a aus II 1.6 ist die Abbildung k[X] ~ k[Y], f ~ f(Y-
a~),
ein Isomorphismus. Also bleibt die Irreduzibilit/it unberiihrt.
2Y ~ 2+ ....
III KORPERERWEITERUNGEN
298
3.11 Beispiele* Beispiel 1 Ftir f
X - a und g
b , X " + . . . + b l X + bo kann m a n die Gleichung
res (X - ,~, g)
g(,~)
aus dent Korollar in I I I 3.9 ganz einfach durch Entwicklung der D e t e r m i n a n t e nach
der letzten Zeile nachrechnen: 1
-a m
1
res (X - a, g)
a
".. b. . . . .
1
--a
bl
bo
(-1)-+~b.(-~)- + (-1)-+~b. b,a" + b, la" l + .. . + bo
1(-~)" 1 + . . . + (_17.+~bo g(a) .
Beispiel 2 In I I I 1.7 h a b e n wir gezeigt, dass f/Jr zwei Elemente a, b E K D k, die fiber k algebraisch sind, auch a + b E K algebraisch fiber K ist, ohne ein Polynom h E k[X] mit h(a + b) 0 angegeben zu haben. Wir behaupten nun Folgendes: Sind f, g E k [ X ] mit f ( a ) g( b ) O, und ist mit einer weiteren Unbestimmten Y h: res(f(Y),g(X-Y)) Ek[X],
so h o t h(~ + b)
o.
M a n beachte dabei, dass die Resultante im P o l y n o m r i n g R [ Y ] mit R gebildet wird.
k[X]
W i r kSnnen im Zerf'~llungskSrper K ' yon f 9g rechnen. Sind f u n d g normiert, so ist f (X-al).....(X-a~) und g (X-bl).....(X-b,) mit a
a l , . . . , a~, b
b l , . . . , b, E K ' . N u n ist n
g(X - Y)
[I(x
n
- Y - bj)
j 1
res(f(Y),g(X-Y)) Setzt m a n X
(-1)" I](Y j 1
( - 1 ) ..... 1 ] ( a i - ( X - b y ) )
i,j
a + b, so folgt h(a + b)
O.
- (X - b j ) ) , also
1](X-(ai+by)). i,j
3.11
Ist etwa k
Q, a
x/2, b g(X-
h
BEISPIELE*
x/3, f Y)
299
X 2 - 2 und g
X 2 - 3, so wird und
y2 _ 2XY + (X 2-3),
1
0
-2
0
0
1
0
-2
1
-2X
X 2- 3
0
0
1
-2X
ist das Minimalpolynom von , ~ + ~
X 4 - lOX 2 + 1
X 2- 3
(vgl. Beispiel 4 in III 1.6).
B e i s p i e l 3 Fiir das allgemeine quadratische Polynom f 6 R[ X ] mit f
und
X 2+pX+q
dis (f)
f'
2X+p
P p
res (f, f ' )
q 0
ist
4q - p2,
2 p also A ( f )
( _ l ) l d i s (f)
p2 _ 4q. Nach der guten alten ,,(p, q)-Formel"
321'2
- p 4- ~
2
- 4q
hat f zwei verschiedene reelle Nullstellen eine doppelte reelle Nullstelle keine reelle Nullstelle Mit der TSCHIftNHAUS-Transformation Y f(X)
f ( Y - p~)
y2 - ~
<=~ A ( f ) > 0 , ~ A(f) 0, ** A ( f ) < 0 .
X + ~ erhglt man
q, also Yl,2
1
4-~
2 --4q
Betrachtet man die Koemzienten (p, q) als Punkte der Ebene ]R2, so liegen die Nullstellen von f in der Flgche
F
{(p,q,y)~R3.y2
p2
-5-+q
0}
daziiber. F i s t offensich@ch ein hyperbolisches Paraboloid.
300
III KORPERERWEITERUNGEN
F
I l
m
=0
B e i s p i e l 4 Aus dem allgemeinen kubischen Polynom f .q
und
X 3+aX 2+bX+c
mit
Y3+pX+q
X
p
b-~
und
g'
3X 2 + P 9
Y-~ q
wird
~a3-~ab+c,
Die Berechnung der Diskriminaxite ergibt
dis (g)
1
0
p
q
0
1
0
p
q
0
0
1
0
p
q
0
1
0
p
q
3
0
p
0
0
0
0
-2p
-3q
o
0
3
0
p
0
0
0
o
-2p
-3q
0
0
3
0
P
0
0
3
0
p
4p 3 + 2 7 q 2, also A(g)
- ( 4 p 3 + 2 7 q 2).
In III 5.2 werden wir die Formeln yon CARDANO zur Berechnung der Nullstellen m~geben. Dm~ach hat g drei verschiedene reelle Nullstellen eine einzige reelle Nullstelle eine einf~che und eine doppelte reelle Nullstelle eine dreifache Nullstelle
.~ A(g) > o, ** A(g) < o .~ A(g) <=~p q
o ~d 0.
(p, q) r (o, o)
301
3.11 BEISPIELE*
Die entsprechende Flgche F
{(p,q,y) E R 3 : y 3 + p y + q
O}
hat die Gestalt einer Tuchfalte und wird auch CAYLEYsche Kubik genmint. Die durch die Diskriminante beschriebene Kurve {(p,q) E ]R2 : @3 + 27q2
0}
hei]gt NeILsche Parabel.
I
I I I
L3i
Iol
Da die TscHIRNHAUS-Transformation
ist A ( f )
~
~
v
nur eine Translation der Nullstellen bewirkt,
A(.q), also
A(g) -(47 a2b2
+ 27q -
4a3c
-
4b3 + 18abc - 27c 2
A(f) .
Setzt man allgemeiner
f A(f)
aoX 3 + a l X 2 + a 2 X + a 3 ,
sowird
a 7 a~ - 4 a 7 a3 - 4 ao a~ + 18 ao a l a2 a3 - 27 a~ a ~ .
Daran sieht man, dass A ( f ) ein homogenes Polynom vom Grad 4 in den Koemzienten und vom Grad 6 in den Nullstellen von f i s t .
302
III KORPERERWEITERUNGEN
B e i s p i e l 5 Fiir hShere Grade eines Polynoms f wird die Bestimmung der Diskriminante im Allgemeinen miihsam, schon fiir deg f 4 hat m a n eine 7-reihige Determinante auszurechnen. Noch recht einfach geht es ffir das spezielle f
1
dis(f)
und A ( f )
mit
X4+qX+rEk[X]
4
(-1)6dis (f)
0
0
q
r
1
0
0
q
r
1
0
0
q
0
0
q
4
0
0
q
4
0
0
q
4
0
0
4X 3
f'
+
q .
r
256r 2 _ 27q 3
q
dis (f).
hlsbesondere sieht man, dass A ( X 4 - 1) 256 2 s. Daher sind fiir char (k) /~ 2 alle 4-ten Einheitswurzeln verschieden, ffir char (k) 2 ist X 4-1 In ]F3[X] ist A ( X a - 1) verschiedenen Nullstellen
X 4+1
( X + I ) 4.
1, in IF9 h~t X a - 1 nach Beispiel 6 aus I I I 3.5 die vier
1, - 1 ,
x, -x
wobei x 2 + 1
0.
w4. GALOIS-ERWEITERUNGEN
303
w4 Galois-Erweiterungen Die Galois-Theorie ist entstanden aus der }'rage nach der LSsbarkeit yon Polynomgleichungen durch ,,Radikale", d.h. Formeln ffir die Nullstellen mit geschachtelten Wurzeln. Das grundraubende Ergebnis yon ABEL war, dass es solehe allgemeinen Formeln ffir Polynome yore Grad _> 5 nicht geben kann; das wird in w erlgutert. Grundlage daffir ist die Galois-Theorie. Die Methode yon fen eines Polynoms lassen. Das haben Wir beginnen mit
4.1
GALOIS besteht darin, diejenigen Permutationen der Nullstelzu untersuchen, die sich zu K6rperautomorphismen fortsetzen wit anhand yon einigen Beispielen schon in III 2.4 ausgeffihrt. einer Vorbereitung fiber Polynomringe.
Symmetrische Polynome
Hat m a n einen KSrper k und ein Polynom
f das in
X~+a~ 1X ~ l + . . . + a l X + a o E k [ X ]
k[X] in Linearfaktoren zerfgllt, so ist f
(X-371).....
(X-3:rt)
Illi~b
371,...,37rt E ]{ .
Die Koeffizienten a0, ..., a,~ 1 kmm man ga~iz einfadi aus den Nullstellen ausredi-
nen: a0
(-1)~xl .....x~
al
(-1) ~ l(z2.z3
art 1
....z~+zl.z3.....z~+...+zl.....z~
1)
--(371 @ . . . @Xrt) 9
Diese sdion vor 1600 gefundenen Formehi bezeidmet man hi der klassisdien Literatur als W u r z e l s a t z y o n VIETA. An dem umgekehrten Problem, Formehi ffir die Nullstellen aus den Koeffizienten zu finden, hat man sich die ZS]lne ausgebissen (vgl. dazu III w 5).
Offensichtlich sind die Koeifizienten nicht yon der Reiheniblge der Nullstellen abh~h~gig, d.h. sie bleiben bei einer Permutation der Nullstellen u n v e r ~ d e r t . Daher nennt man die Polynomfunktionen im Wurzelsatz ,aymmetrisch". Anstelle der Polynomfunktionen behandeln wir lieber Polynome, den KSrper kSnnen wir durch einen kommutativen Ring R mit 1 ersetzen. Ffir r"
0, . . . , n betrachten wir die St :
~ l
elementarsymmetrischen Polynome
Xil"...
"Xi,, E •[X1,
...,Xrt ] 9
III KORPERERWEITERUNGEN
304
Nach Definition ist s~ eine Summe yon (~) primitiven Monomen, man setzt so : 1. Offensichtlich ist s~ homogen yore Grad r (II 1.10) und der Wurzelsatz yon VIETA ergibt sich, indem man die Nullstellen einsetzt: ~
( - 1 ) ~ %~ ~ ( x l , . . . , x ~ )
for
i
0,...,~.
Allgemein nennt man ein Polynom d E R [ X 1 , . . . , X.,~] symmetvisch, wenn es fOr jede Permutation ~ E 8 , bei der Substitution X~(i) for X,~ unveriindert bleibt, also
f(X~;~),..., X~;~0 )
f(X~,..., X.,~).
Dass die elementarsymmetrischen Polynome symmetrisch sind, sieht man im Polynomring R[ X 1 , . . . , X.,~, X ], denn (x - xo.....
(x - x~)
soX ~ - ~lx ~ ~ +...
+ ( - 1 ) ~ %~ ~ x + ( - 1 ) ~ % ~ .
Von einem etwas abstrakteren Standpunkt aus betrachtet man for jede Permutation ~r r g , d e n Endomorphismus ~. : R[Xl,...
, x , , ] -~ R [ X l , . . . , x , , ] ,
x, ~ x,(~),
Daan ist f E R[X1, . . . , X , ] genau dann symmetrisch, wenn f~
d ~ d" 9
f . Daz'aus folgt
sofort, dass ~[Xl,...,X.n]sym :
{f E ~[Xl,...,X.n]
: f~r
f} C ~[Xl,...,Xn]
ein Unterring ist. W~hlt man weitere Unbestimmte $ 1 , . . . , S,,, so hat man einen Homomorphismus (I) : ~ [ $ 1 , . . . , ~ n ]
--+ ~ [ X l , . . . , X n ]
, ~i b--+ si(Xi,...,Xn)
und Im r C R[X1, . . . , X.,~]sym, denn die Polynome s l , . . , s , sind symmetrisch.
Das zentrale Ergebnis ist der Hauptsatz Abbildung
fiber symmetrisehe
Polynome*
Ist i~ ein Ring mit i, so ist die
ein I~omorphismus von Ringen. Anders ausgedriickt: Zu jedem symmetrischen f E R [ X 1 , . . . , X.~] gibt es genau ein.qE R[S1,...,S,~] mit f ~(.q), d.h. f .q(sl,...,s,). Oder noch direkter: Jedes symmetrische Polynom ist in eindeutiger Weise Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen. Der klassische Beweis yon GAUSS verwendet eine ,jexikographische Ordnung" yon Monomen, das ist sehr nfitzlich for explizite Berechnungen, (siehe [C-L-O'S, 7.1]). Etwas einfacher geht es, wenn man kontrolliert, wie die Grade der Polynome unter dem Homomorphismus ~) ver~ldert werden. FOr ein Polynom f yon n Ver~lderlichen hatten wir in II 1.10 einen totalen Grad deg f erl~rt. Offensichtlich ist deg S,~
1 in R [ S 1 , . . . , S ~ ] , aber
4.1 S Y M M E T R I S C H E P O L Y N O M E
deg r
deg (si)
305
7 in R[X1,..., X.,~] .
Um diese Sprfinge im Grad zu berficksichtigen, kann man ffir jedes .g
......
einen gewichteten Grad w g t (.g) :
m a x { 1 .7" 1 + 27"2 + . . .
+ r~7"r~ : brl ...... 7L 0}
einffihren. F fir jedes primitive Monom ist dann
Ze . n
i 1
Aus deg ~)(&)
i
w ~ (&) fol~ sofort
deg~(g)
wgt(g)
mralle
gER[S1,...,&].
In der Wahl der Gewichte ist man natfirlich frei, sie kSnnen der jeweiligen Situation angepasst auch anders gewghlt werden.
Beweis des Hauptsatzes hn ersten Schritt zeigen wir, dass ~) sm'jektiv ist. Das gegebene symmetrische Polynom f hat einen totalen Grad d (vgl. II 1.10). Um ein g mit f ~)(g)und w ~ (g) deg f zu finden, ffihren wit eine doppelte Induktion fiber (n, d) durch nach folgendem Schema: (i, d) und
(n, O) , ffir alle n, d (Induktionsanfang)
( n - 1 , d) sowie ( n , d - 1 ) ~
und
(n,d) (Induktionsschluss).
d
V" " "
1
n
Der Induktionsbeginn (i, d) und (n, O) ist klaz'. Ffir den Induktionsschluss stellen wir jedes h E R[XI, ..., X~ ] in der Form
h
ho+hlX~+...+hNX N
mit
ho,...,hNER[X1,...,X~
1]
306
III
dax. Daam
K(3RPERERWEITERUNGEN
ist offensichtlich h0
h(X1,...,X,
1,0).
Insbesondere erhalten wir ffir n _> 2 aus s 1, ..., s, ffir i tarsymmetrischen Polynome
s
1,0) ER[X1,..
si(Xl,...,X,
,X,
1]
i,... n - i die elelnenund
s,,0
0.
Offensichtlich gilt ffir die totalen Grade
deg(fo) _< d e g ( f )
d, wobei fo
f(X1,...,X,
1,0) .
Also gibt es nach der Induktionsannahme (n - 1, d) eine Dm'stellung fo
72(s1,o,...,s,
1,o) mit
72ER[S1,...,&
1]
und
w~(72)_
Als Differenz yon symmetrischen Polynomen ist h :
f -72(81,...,s
1) E ~ [ X 1 , . . . , X n ]
n
wieder symlnetrisch. Da wgt(72)_
deg72@1,...,s, 1)_
also d e g ( h ) _ < d .
0, so erh~ilt man ho
fo
-- 7 2 ( 8 1 , 0 , " "" , S n
1,0)
0 .
Also ist h durch X , teilbar, wegen der Symmetrie auch durch X 1 , . . . , X , , insgesaint durch X1 9 ... 9X , s,. Daher gibt es ein h E R[X1, . . . , X , ] mit f
72(s1,...,s,
1)+s,]~.
(*)
Da deg (it) _< deg (h) - 1 _< d - i, gibt es nach der Induktionsannahme eine Darstellung ]~
Setzt man Sl~
.
.
.
.O(S1, . . . , S n )
IIliib
das in (,) ein, so erhSlt man
(n, d - i)
.g E ~ [ S 1 , 999, 3'r, ] 9
eine Darstellung
Yon f als Polynom
in
~ S n .
Zum Beweis der Injektivit~t yon ~) nehmen wir ein .qE]~[S1,...,S,]
mit
.q(sl,...,s,)
O,
d : deg (.q) sei der totale Grad yon g. Wir ffihren wieder eine Doppelinduktion fiber (n, d) mit trivialem Induktionsbeginn. Es gilt nach Induktionsvoraussetzung -
1, d)
.g(81,...,87,)
0 :=> .g(81,0,... ,87, 1,0,0)
0 :=> .g(Sl,...,~n
1,0)
0
.
4.2 RELATIVE AUTOMORPHISMEN UND FIXKORPER
307
Also ist S,~ Teller yon g, d.h. es gilt
S.,~..O(S1,...,S.,~)
.q(S1,...,S,~) wobei deg (.3) 0
deg (g) - 1
in
/~[S1,...,S,~],
d - 1. Aus (**) folgt durch Anwendung yon in ~ [ X l , . . . , X n ]
X 1 "...'Xn'.(](Sl,...,Sn)
g(Sl,...,Sn)
(**)
.
Da X1 . . . . . X,~ ~ O, ist .O(sl, 99 9 s,) 0 und n~cti Induktionsannahme (n, d - 1) folgt .9 0. Setzt m a n das in (**) ein, so erhgk m a n .q 0 wie gewiinscht. [] B e i s p i e l Das Polynom X~X2 E Z[X1, X2, X3] ist nicht symmetrisch, kmm aber ergSxizt werden zum symmetrischen Polynom
f
X3X2 + X 1 X 3 + X 3 X 3 + X 1 X 3 + X 3 X 3 + X 2 X 3 E Z [ X 1 , X 2 , X 3 ] .
Daan ist mit sl,o
fo
X~X2+XlX~
X1 + X2 und s2,0
XlX2((Xl+X2)2-2XlX2)
Dazaus berechnet man mit sl h
f - 7j(sl, s2) f
4.2
X1X2 s2,o(S~,o-2S2,o )
X1 + X2 + X3 und s2
X1X2 + X1X3 + X2X3
- X l X 2 X 3 (Xl + X2 + )(3) ?j(sl, s2) + h
?j(sl,os2,o).
- s a s l , also
s~s2 - 2s~ - sis3.
Relative A u t o m o r p h i s m e n und FixkSrper
Die Galois-Theorie beschgftigt sich mit dem Wechselspiel zwischen KSrpererweiterungen und Automorphismengruppen. Dazu mfissen zun/ichst die grundlegenden Begriffe und Bezeichnungen eingefiihrt werden. Fiir jeden KSrper K bildet die Menge Aut (K) :
{p : K --+ K : p
Automorphismus }
zusammen mit der Hintereinanderschaltung als Verkniipfung eine Gruppe, sie heiflt Automorphismengr~uppe yon K. Ist K D k eine KSrperweiterung, so ist Aut(K;k) :
{pEAut(K)
:plk
id~}
offensichtlich eine Untergruppe, sie heigt Gr~uppe der relativen A u t o m o r p h i s m e n v o n K D k.
Ist K D k Zerfgllungsk6rper yon f E k [ X ] , so nennt man Gal(f;k) :
Aut(K;k)
308
III KORPERERWEITERUNGEN
die Galoisgruppe y o n f iiber k. Wit fassen einige wichtige allgemeine Eigenschai%en dieser Gruppe zusammen. Lemma Sei k ein KSrper, f E k IX] mit n : kSrper von f , G:
Gal(f;k)
und
Aut(K;k)
N
d e g f > 1, K D k Zerfiillungs-
{ x l , . . . , x ~ } c K mit r <_n
die Menge der paarweise versehiedenen Nullstellen yon f . Dann gilt: a) Fiir alle ~ E G i s t p ( N )
N , und der dadurch induzierte Homomorphismus
ist injektiv. Man kann also G als Untergruppe yon g~ ansehen; insbesondere folgt teilt
ordG
r! .
b) Ist f irr'eduzibel, so ist die Operation yon G auf N tr'ansitiv; insbesondere folgt r
teilt
ordG,
und n teilt ord G~ falls f separabel ist. c) Ist K k(x) eine einfaehe Erweiterung und f das Minimalpolynom yon x, so ist die Operation yon G a u f N einfach transitiv. Insbesondere gilt ord G
und ord G
r ,
n, falls f separabel ist.
Beweis a) Da f ( ~ ( x ) ) ~(f(x)) ~(0) und somit g ( N ) N, da g bijektiv ist. Da K ]N idN, daher ist X ein Monolnorphislnus.
0 ftir x 9 N, fol~ ~(N) C N k ( x s , . . , x~), iblgt g idK aus
b) Zu xi, x o 9 N gibt es nach dem Satz tiber die Fortsetzung yon KSrperisomorphismen (genauer dem Korollar aus III 2.2) genau einen Isomorphismus
mit ~(~ ] k id~ und ~(~(xi) x o. Er 1/isst sich nach III 2.2 (iln Allgelneinen auf mehrere Weisen) zu einem g 9 G fortsetzen; in jedeln Fall ist g(x~) x o. Nach dem Bahn-Lelnma aus 1 4.3 gilt ordG
( o r d G ( x ) ) . (ordStar
Da G transitiv operiert, ist ord G(x) so gilt r n.
ftir jedes
r, also ist r Teller yon ord G. Ist f separabel,
c) Im Beweis yon b) wird in diesem Spezialfall g
~
und
x 9 N.
ordStar
1.
4.3 GRUPPENORDNUNG UND KORPERGRAD
309
Daraus folgen die Behauptungen.
[]
Die gerade bewiesenen Aussagen fiber die Ordnung der Galois-Gruppe werden Ms erster Schritt bei der Bestimmung der Struktur spezieller GMois-Gruppen hilfreich sein. Ist eine Untergruppe G < Aut (K) gegeben, so nennt man Fix(K;G):
{xEK:~(x)
x
ffiralle
~EG}CK
den F i x k S r p e r y o n G i n K . Diese Teilmenge ist offensiehtlieh ein UnterkSrper von K und G < Aut (K; Fix (K; G)) . Das ist der Beginn des Spiels mit Untergruppen und ZwischenkSrpern.
4.3
Gruppenordnung und K5rpergrad
In diesem Abschnitt beweisen wit grundlegende Z u s a m m e n h ~ g e zwischen Ordnungen yon Automorphismengruppen und KSrpergraden. Lemma Sei K ein beliebiger KSrper, G < Aut (K) eine endliche Untergruppe, k F i x ( K ; G ) , sowie x E K und
mit paarweise verschiedenen xi, also r < ord G, die Bahn yon x unter G. Dann ist x algebraisch iiber k, f: und f i s t
(X-xl).....(X-x~)Ek[X],
das Minimalpolynom yon x iiber k, Insbesondere gilt [k(x) : k]
Beweis
Ist f ai
X ~+a~
teilt
ordG.
iX ~ l+...+alX+a0mitaiEK,
( - 1 ) ~ is~ i ( x l , . . . , x ~ ) , also ~(ai)
so gilt nach lii 4.1
ai ffir Mle ~ E G ,
daher ist f E k IX] und somit ist x algebraisch fiber k. Ist f~ E hi X ] das Minimalpolynom yon x fiber k, so ist Z~(p(x))
p(f(x))
0
ffir alle
p E G,
also ist f ein Teller yon Z~; da Z~ irreduzibel ist, folgt f Z~. Man bea~hte dabei, dass f nach seiner Definition nut einfache Nullstellen hat. Nach dem BMm-Lemma aus I 4.3 ist r
ordG(x)
[k(x) : k]
Teller yon
ordG.
310
III KORPERERWEITERUNGEN []
Mit Hilfe dieses Lemmas kann man das Minimalpolynom berechnen, wenn man die Balm einer Nullstelle kennt (Beispiel 3 in III 4.6). Entseheidendes Hilfsmittel fiir die Galois-Theorie ist folgender Endlichkeits-Satz grippe; dann ist
Sei K ein Kb'r'per" und C < Aut (K) eine endliche Unter-
[K : Fix (K; C)]
ord C .
Beweis Wir setzen zur Vereinfa~hung char (K) 0 voraus, damit wir die Existenz yon primitiven Elementen benutzen kSnnen. Der allgemeine Fall wird sehr elegant in [ARE; II H, Satz 14] bewiesen. Ist n : ord C und k Fix (K; C), so zeigen wir zun/ichst [K : hi < n. Nach dem Lemma ist K D k algebraisch, also geniigt es zu zeigen, dass [L : k] < n
ffir jede endliche Erweiterung
L
k(zl,...,x~)
C K.
Nach dem Satz yore primitiven Element aus III 3.7 gibt es ein y E L mit L also ist na~h dem Lemma [k(y) : k] < n.
k(y);
Da [K : hi < oc gezeigt ist, kaan man wieder den Satz vom primitiven Element oxiwenden und ein x E K mit K k(x) finden. Nun gilt ffir den Stabilisator S t a c (x)
idK ,
denn, wenn ~ das primitive Element lest 1/isst, b M b t ganz K lest. Nach dem Bahn-Lemma aus I 4.3 folgt ordG(:c)
ordG
n, also [k(z) : k]
n
nach dem obigen Lemma. Korollar
[]
Fiir jede endliche KSrpererweiternng K D k gilt: ordAut(K;k)
teilt
[K:k].
Beweis Sei C : Aut (K; k) C Aut (K). Um die Problematik ganz deutlich zu machen, benutzen wir wieder ein primitives Element x E K, also K k(x), und sein Minimalpolynom Z~ E k [ X ]. Fiir jedes ~ E C muss p(x) eine Nullstelle yon Z~ sein. Daher ist die Ordnung yon C beschrgnkt (lurch die Anzalfl der Nullstellen yon f in K , also ord G _< deg f,~ [K : k] . insbesondere ist C endlich.
4.4 GALOIS-ERWEITERUNGEN
311
Um z u zeigen, dass ord G sogar Teller yon [K : k] ist, benutzen wit den Fixk6rper L : Fix (K; G) D k. Nach der Gradformel aus III 1.2 und dem obigen Endlichkeitssatz ist
[K:k]
[K : L] . [L : k]
und
[K:L]
ordC,
das ergibt die Behauptung.
4.4
Galois-Erweiterungen
Wie wir im Korollar aus III 4.3 gesehen haben, ist die Ordnung yon Aut (K; k) stets ein Teiler yon [K : k], falls K D k endlich ist. Nahe liegend ist die Frage, warm diese beiden Zahlen gleich sind. Eine Antwort darauf gibt das Theorem
zur Charakterisierung von Galols-Erweiterungen
endliche Kb'rpererweiterung Ir D k mit char (k) gleichwertig:
i) ordAut (K; k)
Fiir eine
0 sind folgende Bedingungen
[K : k].
ii) K ist ZerfiilhmgskSrper eines Polgnoms f E k[ X ]. iii) Es gibt eine endliche Unteryruppe G < Aut (K), so dass k
Maa nennt K D k eine G a l o i s - E r w e i t e r u n g gleichwertigen obigen Bedingungen erfiillt ist.
Fix (K; G).
(oder galoissch), wenn eine der
V o r s i c h t ! Die Eigenschaft yon KSrpererweiterungen, galoissch zu sein, ist nicht traxxsitiv: Ist K D L D k und sind L D k sowie K D L galoissch, so muss K D k nicht galoissch sein (Beispiel 1 in III 4.6). Welche der Bedingungen man vorzieht, ist eine Frage des Geschmacks: Bedingung ii) kommt ,,yon unten", d.h. yon k aus. Bei Bedingung iii) wird die Situation mehr ,,yon oben", d.h. yon K aus betrachtet. Bedingung i) vergleicht eine Gruppenordnung mit einem K6rpergrad. Dieser Zusaanmenhaxlg ist der Kern der Galois-Theorie, daller steht Bedingung i) an erster Stelle. Lisst man die Bedingung chax~(k) 0 fallen, so gilt ein axmloger Satz, weml maa in Bedingung ii) zus/itzlich voraussetzt, dass f separabel ist. Da der Beweis im allgemeinen Fall aber deutlich komplizierter ist, hoffen wir, dass der Verlust aa Allgemeinheit durch den Gewinn an Durchsichtigkeit ausgeglichen wird. Im Fall char (k) p > 0, behandeln wit den Fall endlicher KSrper in III 4.9, da kann man die Galoisgruppen explizit angeben. Aus dem Korollar zum Satz vom primitiven Element in III 3.7 iblgt, dass man die Bedingung ii) in obigem Theorem ersetzen kann durch
ii') Ir ist ZerfiillungskSrper eines irred'aziblen Polynoms f E k[ X ].
312
III KORPERERWEITERUNGEN
Der Beweis des Theorems erfolgt nach dem Schema
i)
J
ii)
iii)
i) ~ iii) Setzt m a n G : Aut (K; k), so ist k C Fix (K; G). Nach d e m Endlichkeitssatz aus III 4.3 ist [ i f : Fix (if; G)] ord G , und da naeh Voraussetzung ord G
[if : k], tblgt k
Fix (if; G).
iii) ~ ii) Wir w/ihlen ein primitives Element x E If, also I f betrachten die Balm
mit n _< ord G. Da nach Voraussetzung k aus III 4.a anwenden:
k(:c), und
Fix (if; G), k6nnen wir das Lemma
A: ist Minimalpolynom yon x und I f
k ( x l , . . . , x~) ist Zerf'~llungskSrper yon f~.
i/) ~ /) I f D k sei ZerfgllungskSrper eines Polynoms aus k [ X ] . Wir wghlen ein primitives Element x E If; ist f E k [ X ] mit n : deg f Minimalpolynom yon x, so ist
[if:k]
Nach dem Korollar aus III 4.3 ist o r d A u t ( i f ; k ) _< [ i f : k ] . Da char (k)
0, ist f separabel; f hat also n versehiedene Nullstellen 371~...~37n E I f .
Nach dem Fortsetzungssatz aus III 2.2 gibt es zu jedem x~ ein E Aut ( i f ; k )
mit
Daraus folgt o r d A u t ( i f ; k) _> n.
~/9(Zl)
*/
.
[]
Wir notieren noeh zwei direkte Folgerungen K o r o l l a r a) Ist L D k eine endliche Kgrpererweiterung, so gibt es eine Erweiterung I f D L D k~ so dass I f D k galoissch ist. b) Ist k C L C I f ein ZwischenkSrper und I f D k galoissch, so ist auch I f D L galoissch.
4.5 DER HAUPTSATZ DER GALOIS-THEORIE
313
Beweis a) Sei L k(:cl,...,:c~), fi E k [ X ] sei das Minimalpolynom yon xi. Der ZerfgllungskSrper K yon fl " . . . " fi~ fiber k hat die verlangte EigenschMt. b) K ist Zerfgllungsk6rper yon f E k [ X ] C L [ X ] fiber k, also aueh fiber L.
[]
Vorsieht! Dagegen muss L D k nicht galoissch sein. Ein einfa~hes Beispiel ist
(Beispiel 2 aus III 4.6).
4.5
Der Hauptsatz
der Galois-Theorie
Nachdem wir Galois-Erweiterungen auf verschiedene Arten charakterisiert haben, ist es nicht mehr schwierig, das zentrale Ergebnis zu beweisen. Es geht datum, in einer Galois-Erweiterung K D k die ZwischenkSrper K D L D k in Beziehung zu setzen zu den Untergruppen yon Aut (K; k). Diese ist optimal, ns eineindeutig. Hauptsatz ord Aut (K; k)
Sei char(k) 0 und K D k eine Galois-Erweiterung, d.h. [K : k] < ~ . Wit bezeichnen mit
L die Menge der ZwischenkSrper von K D k und mit die Menge der Unteryruppen von Aut (K; k). Dann gilt: 1) Die Abbildungen L~,
L~Aut(K;L)
und 9 ~ L ,
G~Fix(K;G)
sind bijektiv und zueinander invers. 2) Fiir jeden ZwischenkSrper L E L silt a) K D L i s t Galois-Erweiterung, insbesondere gilt [K : L]
o r d A u t ( K ; L ) und [L : k]
ind (Aut (K; k) : Aut (K;L)) .
b) L D k ist genau dann eine Galois-Erweiterung~ wenn Aut (K; L)
Aut (K; k) -~ Aut (L; k), ~ ~ ~ I L, und einen Isomorphismus
Aut (L; k) ~ Aut (K; k)/Aut (K; L).
III KORPERERWEITERUNGEN
314
Dieses Ergebnis kann man auf verschiedene Arten interpretieren. Wenn die KSrpererweiterung K D k in mehreren Schritten fiber ZwischenkSrper entsteht, kann man versuchen, daraus die Galoisgruppe Aut (K; k) zu berechnen. Ist andrerseits die Galoisgruppe und ihre Struktur bekmmt, so kaan man aus den m6gliehen Untergruppen alle ZwisehenkSrper als FixkSrper bestimmen. Diese Riehtung ist fiberraschender, weil Gruppen einfachere Struktur haben als KSrper. Mehr dazu in w dieses Kapitels. Die Voraussetzung char (k) 0 muss hier gemacht werden, weil das Theorem aus III 4.4 nur in diesem Fall bewiesen wurde. Der Hauptsatz der Galois-Theorie bleibt aber im allgemeinen Fall gfiltig.
Beweis des Hanptsatzes 1) Zu zeigen ist a)
Fix (K; Aut (K; L))
L
ffiralle
LEL
b)
Aut (K; Fix (K; G))
G
ffiralle
G E ~.
und
a) Wir setzen G : Aut (K; L). Dann ist nach Definition k c L c Fix(K;G) c K
Um zu zeigen, dass L Fix (K; G), vergleichen wit die K6rpergrade mit der Gruppenordnung. Nach dem Korollar aus III 4.4 ist K D L galoisseh, also [K:L] nach dem Endlichkeitssatz
ord G ,
in III 4.3 ist
[K : Fix (K; G)] also ist L
ord G ,
Fix (K; G).
b) Wir setzen L : Fix (K; G): Dann ist nach Definition G < Aut (K;L) . Wir vergleichen die Gruppenordnungen mit dem KOrpergTad. Da K D L galoissch ist, folgt ord Aut (K; L) [K : L] , nach dem Endlichkeitssatz
ist
ord G also folgt G
[K : L] ,
Aut (K; L).
2) a) wurde schon im Korollar aus III 4.4 gezeigt. F fir b) benutzen wir den
4.6 B E I S P I E L E
Hilfssatz
315
Ist k C L C K ZwischenkSrl)er, so gilt fiir jedes ~ E Aut (K; k) Aut (K; ~(L))
~ . Aut ( K ; L ) . ~ 1
Das ist ganz einfach zu sehen: r149
~r
~(z)
r
fiiralle
z9
1.r149
r r 9 ~ . Aut (K; L) 9
1
Ist nun L D k galoissch, so ist es nach III 4.4 ein ZerfSllungskSrper, fiir diesen gilt wegen der Stabilit/Rsaussage in III 2.3, dass ~(L) C L. Da [L : k] [~(L) : k] < oc, folgt ~(L) L, also nach dem Hilhsatz Aut (K; L)
~. Aut (K; L) 9~ ~
fiir alle
~ 9 Aut (K; k).
Ist umgekehrt Aut (K; L) ~ Aut (K; k), so folgt nach dem Hilfssatz Aut (K; p(L))
Aut (K; L)
fiir alle
~ 9 Aut (K; k).
Nach Tell a) des Hauptsatzes folgt p(L) L. Aus dieser Art der Stabilitgt yon L folgern wir nun, dass L D k galoissch ist. Da L stabil ist, hat man einen Homomorphismus x : Aut (K; k) ~ Aut (L; k), ~ ~ ~ I L . Offensichtlich ist K e r x
Aut (K; L), dalmr hat man einen Isomorphismus
Aut (K; k)/Aut (K; L) --* I m x C Aut (L; k) . Also folgt unter Verwendung yon 2) a) ordAut(L;k)_>ordImx
ind(Aut(K;k):Aut(K;L))
[L:k].
Da ord Aut (L; k) _< [L : k] nach III 4.3, folgt ordAut(L;k)
4.6
[L:k]
und
Aut(L;k)~Aut(K;k)/Aut(K;L).
Beispiele
Beispiel 1 Die EigenschaR von K6rpererweRerungen endlich oder algebraisch zu sein, ist transitiv (III 1.2 und III 1.7); fiir galoissch ist das nicht der Fall. Als Beispiel geben wir die Erweiterungen Q(~/5) n Q ( ~ )
n Q,
316
III K O R P E R E R W E I T E R U N G E N
wobei , ~ E R+ gewghlt ist. Dann sind Q(x/2) D Q als ZerfgllungskSrper yon X 2 - 2 6 Q [ X ] und Q ( , ~ ) D Q(x/2) als ZerfgllungskSrper von X 2 - x/2 E Q(x/2)[X] galoissch. Dagegen ist Q ( , ~ ) D Q nicht galoisseh, denn X 4 - 2 E Q [ X ] ist irreduzibel und hat in Q ( , ~ ) die reellen Nullstellen + , ~ ; aber die komplexen Nullstellen + i . , ~ yon X 4 - 2 sind nicht in Q ( , ~ ) enthalten. Das widerspricht der in III 2.3 bewiesenen Zerf'allungseigenschaft yon Zerf'allungskSrpern. B e i s p i e l 2 In den Beispielen aus III 2.4 hatten wir sehon einige Galois-Gruppen bestimmt, bevor dieser Begriff tbrmell eingefiihrt worden war. Daz-ax~ sei zun/ichst erinnert: Gal (X 2 + 1; Q) ~ Z2 , erzeugt yon ~ mit p(i)
-i.
Gal (X 2 - 2; Q) ~ Z2 , erzeugt yon ~ mit g ( , ~ ) r
( ( x ~ - 2 ) ( x ~ - a); Q) ~ & •
erzeugt yon ~ und r mit p(x/2)
-,~.
&, - x / 2 und r
-x/3.
Gaxiz analog erhglt man Gal ((X 2 - 2)(X 2 + 1); Q) ~ Z2 x Z2 , erzeugt yon ~ und ~6 mit ~ ( , ~ )
-,~
und ~6(i)
-i.
C a l ( x a - 2; Q) - sa
Dieses letzte Beispiel wollen wir noch etwas genauer beleuchten. Dazu gehSrt das Diagramm yon KSrpern Q(b, r
Q(0 Q 2~i E C. Ein nach oben gerichteter Strich markiert mit b : ~f2 E R+ und r : exp T immer eine KSrpererweiterung.
Als Zerffillungsk6rper ist Q(b, C) D Q galoissch,
c:
caJ(x3-2;
Aut(<~(v,r
Dagegen ist Q(b) D Q nicht galoissch: Fiir jedes g E Aut (Q(b); Q) muss g(b) eine Nullstelle yon X 3 - 2 sein (vgl. III 2.2). Da gb und g2b nicht reell sind, ist g(b) b, also Aut(Q(b);Q) {id}, abet" [ Q ( b ) : Q ] 3.
4.6 B E I S P I E L E
317
Dagegen ist Q(b, 4) D Q(b) galoisseh vom Grad 2 und tt:
e r z e u g t v o n p mit p(b)
Aut(Q(b,g);Q(b))~Z2
b und P(r
r 2.
Diese Untergruppe yon G ist aber kein Normalteiler. Gesehiekter ist der Auil)au yon Q(b, 4) auf der reehten Seite: erst 4, dann b. Q(r
D Q ist Zerfgllungsk6rper von X 2 + X + 1, [Q(r Aut(Q(r
: Q]
2 und
~ z2 erzeugt yon ~ mit ~(r
r
X a - 2 ist auch in Q ( g ) [ X ] irreduzibel, also ist [Q(r b) : Q(r N:
Aut(Q(g,b);Q(r
~Za
erzeugt yon ~6 mit ~6(4)
3 und
r und ~6(b)
Die ganze Galois-Gruppe G wird erzeugt yon ~ und ~6, wobei ~6 o ~ Dem entspricht das semidirekte Produkt gaNG
N >~H ~
r
~ o ~6 1.
Za >~Z2 .
B e i s p i e l 3 Wir bereehnen das Minimalpolynom h von , ~ + i fiber Q naeh der Methode des Lemmas aus III 4.3. Dazu sei G : Gal ((X 2 - 2)(X 2 + 1); Q) (vgl. Beispiel 1) G ( , / 2 + i) h
Aut (Q(x/ff, i); Q). Datm ist die Balm
{,/2 + i, ,/2 - i, - , / 2 + i, - , / 2 - i } ,
also
(X-x/2-1)(X-x/2+i)(X+x/2-i)(X+x/2+i) ( ( X - x/2) 2 + 1 ) . ( ( X + x/2) 2 + 1)
X 4 - 2X 2 + 9.
Eine andere Methode liefert Beispiel 2 aus III 3.11:x/2 ist Nullstelle yon f i ist Nullstelle yon g X 2 + 1, also ist , ~ + i Nullstelle von h
res(Y 2-2,(X-Y)2+1)
1 -2X 1
Da deg h
4, h ( , ~ + i )
X2+ 1 -2X
X 2- 2 ,
res(Y 2 - 2 , Y 2 - 2 X Y + ( X 2 + 1 ) )
-
O X 2+
0 und Q ( , ~ + i )
X 4 - 2X 2 + 9
Q ( , ~ , i), ist h das Minimalpolynom.
B e i s p i e l 4 Ffir das Standardbeispiel f X a - 2 wollen wir die Aussage des IIauptsatzes der Galoistheorie explizit ausffihren. Dazu bezeichnen wir die Nullstellen yon f m i t zl: b, z 2 : r und z a : r
318
III KORPERERWEITERUNGEN
wobei b :
, ~ E R+ und r
g3
27ri exp T " Daan ist ein Isomorphismus
>Aut(Q(xl, x2,x3);Q),
durch cr(xi)
x~(i)
gegeben. Die Korrespondenz zwischen Untergruppen und Zwischenk6rpern kann man an folgendem Diagramm ablesen:
{id}
{id, (1, 2)} {id, (1, 3)} {
/ g3 ~
~(~,~,~)
~(r
/
Da es keine mideren Unterg~'uppen von 83 gibt, sind das in dem unteren Diag~'a~nm alle mSglichen ZwischenkSrper (was nicht gaxiz trivial ist).
4.7
Der Fundamentalsatz der Algebra*
Dass der K6rper C der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist, hatten wit in III 1.8 mit Hili~mittehi der komplexen Funktionentheorie bewiesen. Es gibt unz/ihlige andere Beweise dieses Satzes, allein GAuss hat beginnend mit seiner Dissertation aus dem Jahr 1799 his 1849 insgesamt vier verschiedene Beweise gegeben (vgl. [vdW2, Ch.5]). Wit reproduzieren hier die ersten beiden Abschnitte aus der Dissertation in der etwas pathetischen deutschen Ubersetzung.
4.7 DER FUNDAMENTALSATZ D E R ALGEBRA*
319
2.
lteu0r ~0wr ~ ~m~, dass jefle Mfobmissho ~at~oa~le g ~ e ~ o a eiuer Voe;m0*rli~a ia r~ello Faeto~n/ha onle~ odor ~weit~m
tt~t~ zeflegtwonleakaaa
1.
I~1~ b9
algebrrJsehr ( ] l ~ u ~ g ~ a ~ a~f 6ie For~
~i~eb~aehtWet4~, W0t~i m oiar ~ e i~aitir t~t. Wenn wit dio Bnlro ~Mt~ dt~e~ ~ 4 e l e h ~ mtt ~ b e ~ h a ~ ~d ei~n~er veraehie4~o Wetth~ you a~ g ~
g e i ~ t ~ w~rde
9 ~ei|bar ages. Wt~a ~mgekcMt 41e Y a a ~ a X du~ch ~t~ Product meh~ee~r l ~ r ~ r ~ h ~ e ~ x - - a, x - - ~ x - - y ~ 9 ~ht$11m~i~. claim wi~ed d ~ Itl~tolm~ 2( ~ 0 g ~ f ~ g ~ iadam mma~ eiaer je4en G ~ o o~ ~, 7 , . . , ~ i e h ~ot~t. We~u eedUet~X ~em P~O~.~ au~ m ~Atl~~ ~ Fa~tot~tt gl~ieh ls~ ( m ~ a a|~e n ~ ~ m N ~ h sv~v Nas(ler ~,ea~ehiMen o ~ milg~n ~Ige ~er~ellum eil~de~ gl~ieh ~)~), daan kava X ala m W v ~ bahen, ~ u l ~ h ~ber ~ f f l es klar~ 4a~ ~ee G h i ~ g miea l / ~ d ~ w enlge~ W~r~l~ babes ~a~aa, w~t~g l ~ k X la m l ~ F~l~ ~rl~ar i~; d~n w~a a~e d ~ r F e ~ r e ~ eie~e~er gte~r ~ ~ann ia~ di~ A~*tM do~ v~lulese~ Art~1~, rl~ ~lelehanff ZU hetNe~]tffell~ ~lothw~m~]g ger~ager sis m. Dannoeh hahon ea d~e Mathcmatlker av# form*dea 0rtt~den vorge~g~m za ~ffen, flas6 ~aoh in diesem Falle die Gleiehu~g m Wtir~el~ babe, ua{l dass Rat eialge der~ihen einunder gle~cI~werde~ diodeAlle~Iracksweisediuq~en sicsleh /~helml I gesiatiem
DaS b h h e 4 " B e s p r o d t o ~ wir~ in d e s Le]lrbfle, h e r n d e r Algohr~ at, f aum'eJohe~de A r t b e w ~ o ~ : ~ vots~s~t such l~irge~d ge~ea dis ma~emati~ehs 8treage. Doehseh~i~t es~ sis ob di~ ~ y t l k e r e t w ~ s a flber~i|~ " ~ d o h i o voraw~gr gt~ndlid~ea Beweis decjeuigen L o h r s a t z a t f f ~ a o m m e n hii~to~ a u f weleh~m d e ~ fazt die gesammt~ Lohtr yon d~n Gteielmngen aufhaut, dass altmlieh oiaejede seioheFRs ~ t i o n wie X s~ets i a m l i s e a r a VaCtolron z e r l o l g ~ werden kgane~ o d e r was hlermit vNlig ~bereinsflmmt. d a s s j e ~ s t ~ l o i o h u a g r o t e s t i r a d e s wi~kli~h fa Wurzeln bvsitze. D~t men bsreits boi dmt G h [ c h u n g e n zweit~n Grat~s sohr hitufig a u f sol~ho F~tlIe ~ e s a ~ e l e h e ~tie~m 8at~e widorsI~rsehon, so waren die A l g o b r ~ e r ~e~w~ngcm~ v:m je~m~t'~lls dl~aem Tkeorvm ulliero~dn(m Ks k o n hen, einr g e ~ s ~ i m ~ n ~ t r e (l~dlsse g~ e~h~uea, d~rcn Q~adrat - - 1 is~ darm erkautRca ~i~, d ~ s , w e a n GNiss~n y o n dot Fevra a %" 5 u e b ~ a m wie r ~ l l a z u g ~ l ~ n ~ e r d e n , tier L~hrsatz nieht sll~ia fflr Gleichuagen zweit~n {~ras w a h r gel, sondma~ aueh flit eubisei~e u u d b i q ~ q d r a ~ h e , Eslioss g e h j s d o c h h i e ~ a u s a,af keine Weise f o ~ e r a , dass du~ck dio gul~stmg yon Gr~ssen d e r F ~ r m a + 5 l / - 1 j e d o r (ttelchueg ~ n f l e n o~er hOterea G r a dog g,~l~tlg~werdell k~lal~e, otle,r, wio m a n aioh m eist~ns ausdraekt, [ohglei~i~ ]eh ~liossu b~d~aklidae~ A u s d m e k aloht guthei~sen kana) ~aa~ d l e W u r ~ e l a j ~ d e r S l e l e h ~ a g a a f d i ~ F o r m g ~ b r ~ h ~ ~ e r d e n k 0 n n ~ . Dieaer 8~i~z a~ter~ckeide~ sigh down Wo~oa der g a e h e ~ae& i~ afohi~ yon dem ia tier Uebe~vhrlft a~g~g~beaea: o~ hild~t das Ziel ~ r vorliegende:a Abhan~.iaag. einen neaen, s~rengen Bowels daaseiben zu g~gm~. Uebrifens wu~dea ~ei~je~er gei~ iu w d ~ e r ~ o Aualyfiker m'kaaa~en e~ ggb~ tme~dlieh via]e Glelohu~gen, die ilbsrhsmpl n n r W ~ s r ~ n bc,~i{gen~ wean (~rS~l~ d e r Form a - - b l / ~ ~u~ g e l a ~ e ~ worsen, der~r~i$ er/tnehie O r B ~ a ~ oine ganz bosundere O r ~ a ~ e n ~ , we|ehe m a c zttm Unter~ehied vrm d~n r e e l l e n Griissea [ m a g i ~ r e ~emaca. betraeh~et ~nd in (ti~ ge~amtate Analysis emgefl~l~rt, g i t weleh~m Reeh/r d ~ g ge~che]lr ~ei - - Meloen Bowels we~fle ich ohao will ieh h~er nieh~ e r ~ r n . jede B e ~ u ~ u ~ g imagined'or G ~ s ~ e a d m ' e h ~ h r e n : ob~ehon s u c h ic~ ~ r die~elbe Freihei~ ge~tatie~ ~(iinnt~, de22ea ~ieh c u e ~ re~ Ar~aly6ker bedie~t hahe~.
In den folgenden Abschnitten der Einleitung zerleg~ GAUSS erst einmal die Arbeiten zum Fundamentalsatz yon D~ALEMBERT~EULER~ FONCENEX u n d LAGRANGE. Die Einleitung schliegt mit dem Absatz: Nechdem wir ~ ordentlich und genau d e s b]sher Ve~SffentlleMe erwogen habe~, hoffe ]r das~ c/hi neaer auf vNllg anderen G~zea ~ruhe~derBeweis unseres fib~aus vdch~igea S~tze~ den K u n d i ~ a eFwilmcht s e n werde. Ich schrei~e zur Dar~e~ gang desseIbe~L
h~ III 1.8 hatten wir den wohl kiirzesten Beweis mit Hilfe des Satzes von LIOUVILLE m~gegeben. Es gibt auch Beweise mit topologischen Argumenten, die zeigen, dass jedes komplexe Polynom eine surjektive Abbildung yon C auf sich ergibt. Jedes Urbild des Ursprungs ist eine Nullstelle. Als Kontrast reproduzieren wir noch zwei Beweise, die mit einem Minimum an Analysis auskommen. Fundamentalsatz f(z) O.
Ist f E C[X] mit deg f > 1, so gibt es ein z E C mit
Dabei benutzen wit t'olgende Hilfsaussagen: 1.
Es gen@t zu zeigen, dass es fiirjedes f E R [ X ]
einzEC
2.
I~t f E R[ X ] mit ungerudem Grad, so gibt es ein :c E R mit f (:c)
3.
IstfEC[X]mitdegf
2, s o g i b t e s e i n z E C m i t f ( z )
gibtmit f(z)
O.
O.
O.
320
III K ( ) R P E R E R W E I T E R U N G E N
Zungchst beweisen wir die Hilfsaussagen. 1. Sei g E C[ X ] mit deg g > 1. Um eine Nullstelle yon g in C zu finden, betrachten wir das Polynom ?j E C [ X ], bei dem alle Koetfizienten komplex konjugiert sind. Fiir f g . ? j gilt f g.g g.g f , also f E ] R [ X ] . Ist z E C mit f ( z )
O, so tblgt g(z) 9~j(z)
v(~)
0 folgt
0
O, also g(z)
0
v(~)
0 oder ~(z)
0. Aus
g(~).
Also ist z oder g Nullstelle yon g. 2. Das folgt aus dem Zwischenwertsatz der rellen Analysis; denn ist f normiert, so folgt
lira f(x)
+~
und
lira f(x)
-~.
3. Wit benutzen die Charakterisierung der Anordnung in R dutch a>0
r
esgibtein
xER
mit
a
Daraus folgt, (lass es fiir jedes z E C ein w E C gibt mit z Ist z a + ib mit a, b E R, so ist w Gleichungen z2_y2
a
und
x 2. w2:
x + iy mit x, y E R gesucht. Das ergibt die
2.my
b,
also
z 4-am 2
52
O.
4
Wir betrachten die LSsungen x2
a
1
2
y2
a
1
b2
)
bei denen die Wurzeln positiv gewghlt, also die rechten Seiten nicht negativ sind. Daher gibt es auch LSsungen x, y E R, wobei die Vorzeichen yon x und y passend zur Bedingung 2xy b gewghlt sein mfissen. Ein allgemeines f
X 2 + c~X + / 3 E C [ X ] hat eine Nullstelle z
2 +
-4fl,
wobei eine komplexe Wurzel aus c~2 - 4/3 wie oben beschrieben berechnet werden ka~m. [] Allgemeiner ka~m man n-te Wurzeln aus einer komplexen Zahl z E C mit Hilfe der Darstellung z Izl. exp(ig) Izl(sin ~ + icos W) berechnen. Man verwendet ~ 7 ] E R+ und setzt
4.7 DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA*
321
Dann ist w ~ z. Weitere Wurzeln finder m a n durch Multiplikation von w mit Potenzen der primitiven n-ten Einheitswurzel 27ri
(7-) F[irn 2 muss nach der weiter oben beschriebenen Methode nur Quadratwurzeln aus reellen Zahlen gezogen werden. Bei der Rechnung in Polarkoordinaten benStigt man Werte yon trigonometrischen Funktionen. Er'ater Beweis des F'tmdarnenmlsa~zes (nach E. ART~N) Wir benutzen den Hauptsatz der Galois-Theorie und den ersten Tell der Sgtze yon SYLOW. Sei also f E R[ X ] mit deg f _> 1. Wir werden folgendes K6rpergebgude auf'stellen: K 0
0
C O
C
L' O
R
C
L
Zun/ichst sei K D ]R Zerf'~llungskSrper yon (X 2 + 1) 9f ; zu zeigen ist K
C.
Offensichtlich ist C C K , und K D ]R ist galoissch. Fiir G: Da [C 9]R]
Aut(K;]R)
ist
ordG
[K']R]
2, ist ord G gerade. Nun kSnnen wir nach I 6.12 eine 2-Sylowgruppe S
finden. Ist L :
mit
ordS
T
und
r'>l
Fix (K; S), so folgt [L 9R]
i n d ( G 9 S)
ist ungerade.
Nach dem Satz yore primitiven Element aus I I I 3.7 gibt es ein z E L mit L JR(z). Das Minimalpolynom g E JR[ X ] yon z hat ungeraden Grad, also nach Hilfsaussage 1 eine Nullstelle in JR. Also muss deg g 1 und z E ]R sein; es folgt L
JR, G
S
und
ordG
T
mit
r'>l.
Nun ist auch K D C galoissch, es sei H:
Aut(K;C)
mit
ordH
T
1.
Zu zeigen b M b t r 1. Angenommen r _> 2; dann gibt es nach dem L e m m a aus I 6.11 eine Untergruppe H'
mit
Fix (K; H 0 , so folgt [U 9 C]
ordH '
T
2.
2 im Widerspruch zu Hilfsaussage 3.
[]
322
III K O R P E R E R W E I T E R U N G E N
Zweiter Beweis des Fandamentalsatzes
(er wird LAGRANGE zugeschrieben)
Wit benutzen nur etwas Galois-Theorie. Ist f E R [ X ] normiert mR n : deg f , so sei n 2 ~ 9rn mR ungeradem rn. Wir ffihren Ix~duktion fiber r', der Fall r" 0 fblgt aus Hilf~aussage 2. Sei also r" > 0 und K D C D R der Zerf'~llungskSrper yon (X 2 + 1) 9f E R [ X ] . Dann ist K D R galoissch und
f Der Kniff besteht darin, einen quadratischen Faktor g E C[ X ] yon f auf'zuspfiren. Dazu setzt m a n ffir beliebiges % E R Y~5(%) :
x~ + x 5 +%x~x5 e K
u~d
.g~:
[I
(X-
y~5(%)).
l
Zun~chst ist .q~ E K [ X ] . Die Koeffizienten yon .q~ sind invariaat unter allen Permutationen der Nullstellen x l , . . . , x~, also enthalten in Fix (K; Aut ( K ; R ) )
R.
Somit ist gx E R [ X ] ffir alle A E R. Den Gewinn erkennt man an der Rechnung
+ 1)
+ 1).
Ffir r > 1 ist n + 1 ungerade, also rn(n + 1) ungerade. Also hat nach Induktionsam~alm~e g~ ffir jedes % E R eine komplexe Nullstelle. Da die Nullstellen yon g~ in K vorgegeben sind, bedeutet das Folgendes: Zu %ElK g i b t e s i, j E { 1 , . . . , n }
mit yij E C .
Da es unendlich vide % E R, aber nur endlich vide Paare (i,j) gibt, kann m a n %, # E R und ein P a a r (i, j) finden, so dass Ar
und
yis(A),yis(#)EC.
Daraus folgt zun/ichst :c~:cj E C, somit x~ + zj E C. Das quadratische Polynom
hat nach Hilfsaussage 3 komplexe Nullstellen, also ist xi, zj E C und f(:ci)
f(zj)
O.
[]
Wir vermerken noch eine direkte Folgerung aus den Hilfsaussagen I und 3:
Der Fundarnentalsatz der Algebra in der" komplexen Form folgt aus dem entsprechenden Satz in der reellen Form aus III 1.8.
Korollar
4.8 DISKRIMINANTE UND GALOIS-GRUPPE*
4.8
Diskriminante
323
und Galois-Gruppe*
Sei k ein KSrper, f E k[ X ] mit deg f n _> 1 und K D k ZerfgllungskSrper yon f . Will m a n die Galois-Gruppe Gal (f; k) Aut (K; k) bestimmen, so weig m a n nach III 4.2 zungchst, dass Gal(f;k) < g,,
und n teilt ordGal (f; k)
falls f irreduzibel und separabel ist. Eine weitere wichtige Information erhglt man mit Hilfe der Diskriminante A(f)
62 E k
mit
6:
I~
(xi-xj)
EK,
l
wobei x l , . . . , x , E K die (nicht notwendig verschiedenen) Nullstellen yon f sind (vgl. III 3.10). Ist a E Gal (f; k) ein Automorphismus von K, so bewirkt er eine Permutation der Nullstellen von f . Es folgt aus der Definition des Signums in Beispiel 6 aus I 2.2, dass
(*) Da~'aus erhKlt mml
Satz
Sei char ( k )
den
0 und f E k[ X ] irreduzibel~ n : deg f _> 1, G:
Gal(f;k)
und I f D k der Zerfiillungskb'rper von f. Dann gilt:
a)
Aut (K; k(8)) < b) G < A . e=~ 6 E k . Beweis Zungchst folgt aus char (k) 0, dass 8 r 0 (vgl. III 3.2). a) Ist ~ E Aut (K; k(8)), so folgt ~(8) 8, also sign~ +1 und ~ E A , . b) Ist 6 6 k
Fix (K; G) (vgl. III 4.5), so gibt es ein ~ E G mit
r 8, also Ist 6 E k
-8
Fix (K; G), so ist or(6)
mid somit
6 ffir alle ~ E G, also G < A , .
[]
Diese wichtige Information fiber die Lage der Galois-Gruppe in 8 , kann man durch Rechnung erhalten: Man prfift, ob A ( f ) E k in k ein Quadrat ist. Ffir k R genfigt daffir, dass A ( f ) > 0; in R[ X ] gibt es aber keine irreduziblen Polynome yore Grad >3.
Beispiel f : X 3 - 3X + 1 ist in Q [ X ] irreduzibel (Reduktion rood 2) und A(f)
- ( 4 . ( - 3 ) 3 + 27)
81
92 .
Also ist Gal (f; @) ~ A3. Will man das an den Nullstellen yon f u n d ihren Permutationen ablesen, so muss man etwas rechnen. Wir benutzen 2~i exp9 und die aaderen 9-ten Einheitswurzeln (vgl. II 1.9): (:
III KORPERERWEITERUNGEN
324
~3
~2
Aus den erzeugenden Elementen der zyklischen Gruppe C9 bilden wit die reellen Summen zl :
C + C s ~ 1 . 5 3 2 , z2 :
C2 + C 7 ~ 0 . 3 4 7 und z3 :
C4 + C 5 ~ - 1 . 8 7 9 .
Eine elementare Rechnung ergibt (X
-
ccl)(X
-
cc2)(X
-
3:3)
X 3 - 3X + 1
f.
Dabei wird die Beziehung
C+C2 + 0 + C 5+C ~+C s
-(1+C 3+C 6)
0
benutzt. Eine weitere elementare Rechnung ergibt z2
z~-2
und
z3
-z~-zl+2.
Also ist z l ein primitives Element des Zerf/illungsk6rpers K dem Lemma aus III 4.2 folgt ord Gal (f; Q)
deg f
3,
Q(zl) yon f . Nach
also Gal (f; Q) ~ A3 ~ Z a .
Das Polynom X a - 3X + 1 wird in III 6.4 bei der Frage na~h der Konstruierbarkeit des regelmfigigen Neunecks und der Dreiteilung des Winkels von 120 + wieder aut~auchen.
4.9
Galois-Theorie endlicher KSrper*
Die Ergebnisse der Galois-Theorie hatten wir in III 4.3 bis 4.5 unter der Vor~ussetzung Charakteristik Null bewiesen, weil dieser Spezialfall wesentlich einf~cher d0x'zustellen ist. Ist die Charakteristik positiv, so kam~ man wenigstens im Fall endlicher KSrper die gesamte Galois-Theorie mit Hilfe des Frobenius-Automorphismus ~
: K
~
K
, :c ~
:c p
mit
p
char(K)
4.9 GALOIS-THEORIE ENDLICHER KORPER*
325
beha~ldeln. Wir betrachten die KSrpererweiterung Fp,~ D Fp ,
wobei die Elemente yon Fp,~ die Nullstellen yon X/~ - X (vgl. III 3.4).
E Fp[X] sind
Ist ~ der Frobenius-Automorphismus yon Fp,,, so gilt: a) ~ E Aut (Fp,, ;Fp) und ord ~ n. b) Aut (Fp,, ;Fp) Erz (p). Tnsbesondere ist Fp,~ D Fp eine Galois-Erweiterung und Aut (Fp,~ ; Fp) ist zyklisch. Satz
Beweis
a) Da Fp PrimkSrper ist, gilt p [ Fp
id G (III 1.1). Ftir jedes x E Fp,~
gilt ~(z) Da x/~
z p , ~2(z)
(zv) p
z p2
und
~(z)
z/
fiir
r" E
N.
x fiir alle x E Fp,~, folgt ord ~ _< n.
x Nach II 1.10 ist Fp,~ zyklisch yon der Ordnung p" - 1; es gibt also ein
y E F p ,X,
mit
ordy
~)Tt
-1
.
Daher sind die Potenzen yP" ftir 0 < r < n - 1 alle verschieden. Denn angenommen
yF daan wSxe y /
/
ypS
ffir
O <_ r < s <_n - 1 ;
1, a b e r p ~ _ S < _ p ~ _ l < p , _ l .
Alsofolgtordp>_n.
b) Nach III 3.4 ist Fp~ Fp(y) D Fp eine einfache Erweiterung; dabei ist y x ein erzeugendes Element von Fp~. Aus Teil c) des Lemmas in III 4.2 und der Vollkommenheit endlicher KSrper (III 3.3) folgt ord (Aut
9G ) )
Somit ergibt sich die Behauptung aus Teil a).
[]
Nach I 3.10 kennt man die Untergruppen von Z,~, sie sind yon der Form Zm < Zn , wenn n
rn.s
und nach III 3.4 sind alle ZwischenkSrper yon Fv,~ D F v bekannt, das sind F>CFp,~CF>,~,
wenn n
m.s.
326
III KORPERERWEITERUNGEN
Zusmnmen mit dem obigen Satz ergibt sich der
Hauptsatz der G a l o i s - T h e o r i e ffir e n d l i c h e K S r p e r
Sei p eine P'rimzahl und n E N \ {0}. Es gibt eine eineindeutige Beziehung zwischen i)
D e n Teilern m yon n; es ist n
ii)
D e n Untergruppen G yon Z,~; es ist ord G
iii)
m 9 s.
D e n ZwischenkSrpern Fp c L C Fp,~; es ist L
m. Fp,~.
Ist ~ E Aut (Fp,~ ;Fp) der Frobenius-Automorphismus~ so gilt
w
LOSUNG VON POLYNOMGLEICHUNGEN*
327
w5 LSsung von Polynomgleichungen* Dieser Paragraph ist der H6hepunkt der klassischen Algebra, die Ergebnisse haben eine Gesehichte yon mehreren Jahrtausenden. Quadratisehe Gleiehungen konnte man schon sehr lange 15sen: mit geometrischen Methoden, die auf 1700 v.Chr. datiert werden und beschrieben in den um 800 n.Chr, entstandenen Biichern yon al-KHWARIZMI, der beim Kaiifen yon Bagdad arbeitete. Eine intensive Besch/iftigung mit Gleiehungen vom Grad 3 und 4 begann zur Zeit der Renaissance in Italien. H6hepunkt war die 1545 erschienene ,,Ars magna" von CARDANO [Ca]. Alle L6sungsversuehe fiir allgemeine Gleiehungen vom Grad 5 sehlugen fehl; um nachweisen zu kSnnen, dass es nicht gehen kann, benStigt man fortgeschrittene Techniken der Algebra. Das gelang na~h Vorarbeiten yon RUFFINI erst 1826 dem norwegischen Mathematiker NIELS HENRIK ABEL. Eine genauere Antwort auf die Frage, waan eine Gleiehung hSheren Grades ,,dureh Radikale 15sbar" ist, gab 1832 der franz6sisehe Mathematiker I~VARISTE GALOIS. Mehr zu dieser spaanenden Gesehichte finder man etwa bei [Be] oder [vdW2]. In der Praxis haben Formeln fiir die Berechnung der Nullstellen aus Koeffizienten mit fest vorgegebenen Werten keine Bedeutung mehr; hier gibt es sehr sctmelle numerisehe Verfahren. Abet in der Theorie k6nnen sie hilfreieh sein: Etwa daan, wenn die Koeffizienten variabel sind, und die AbhSx~gigkeit der LSsung davon untersueht wird. Abet in erster Linie haben die Anstrengungen zur L6sung der klassisehen Probleme die Entwicklung aigebraischer Methoden befliigelt und neue, ganz andersartige Anwendungen gefunden.
5.1
Quadratische Gleichungen
Das ist aitbekannt und wird nur der Vollst/indigkeit haiber wiederholt. Gegeben sei f aX2+bX+cEk[X], mit a / 0 , wobei es geniigt, chat" (k) ~ 2 vorauszusetzen. Um die Nullstellen yon f zu finden, macht man q u a d r a t i s c h e E r g i i n z u n g : X~ + V_X + ( ~ ) ~
xl,2
- ~~ + ( ~ )
also
- ~ 7b -4- )2~x / ~ - 4ac.
Dabei ist A(f)
b2 - 4ac
a2
(zl - z2) 2
die Diskriminante yon f (vgl. Beispiel 3 in III 3.11). Ist A ( f ) ein Quadrat in k, so liegen die Nullstellen xl, x2 in k.
III KORPERERWEITERUNGEN
328
5.2
Kubische Gleichungen
Wir wollen hier die klassischen LSsungsformeln beschreiben und anschlie~end ihre Beziehmig zu den Gaiois-Gruppen untersuchen. Sei also k ein KSrper mit char k 0 (genau genommen genfigt auch char k/~ 2, 3) und f X 3+pX+qEk[X] nach Anwendung der Tschirnh~us-Transformation (III 3.10). Fiir die Diskrimin~nte gilt nacti Beispiel 4 aus III 3.11 A(f)
- ( 4 v 3 + 27q 2) ,
sie wird (lurch die Tschirnhaus-Transforlnation nicht vergndert. Weiter ist A ( f ) /~ 0, falls f irreduzibel ist. Falls f reduzibel ist, gibt es bereits eine Nullstelle in k. Fiir das Problem der Berechnung yon Nullstellen wird dieser Fall nicht ausgeschlossen. Der Trick, der wohl auf S. DAL FERRO und N. TARTAGLIA darin, fiir die gesuehte LSsung x den Ansatz X
zuriickgeht, besteht
U~V
mit ebenfails mibekamiten u, v zu lnachen. Dadurch erscheint das Problem zungchst schwieriger zu werden, da zwei GrS~en u und v mit f ( u + v) 0 gesucht sind. Abet die binomische Formel (u+v) 3
(~ + f(x)
u 3 + 3u2v + 3uv 2 + v 3
~)3 _ 3~(~
+ ~) - (~3 + ~3)
f ( u + v)
O, wenn - 3 u v
ergibt o,
also
p und - ( u a + v a)
q.
Nun hilft es, wenn man zungchst nach LSsungen fiir u a und v a sucht, denn (r_
3).(r_v3)
r ~-(u ~+v~)r+u~v~
r ~+qr-(~)3
Aus dem ursprfinglichen kubischen Polynom f hat sich also ein quadratisches Polynoln .q: r + q r e k[r] ergeben. Dieses ,Milfspolynom" wird auch Nach Beispiel 3 aus III 3.11 ist
ixIg) Man beachte, dass der Faktor - ~ l~bergang yon f zu g heftig vers ais
+
q u a d r a t i s c h e R e s o l v e n t e genannt.
1
-~A(f).
die Eigenschaft ein Quadrat in k zu sein beim Aber LSsungen yon g kann man berechnen
5.2 KUBISCHE GLEICHUNGEN Lbsungen Eir u und v erhglt man, indem man Wahl die Nebenbedingung beachtet:
u Fiir k
~,v
~,
329
dritte Wurzeln
sodass
3uv
zieht und bei deren
-p
~9 ergibt sich dutch das Vorzeichen yon A ( f ) eine Fallunterscheidung.
A ( f ) < 0 : Dann ist A(g) > 0, w : ~ E ~9+ und da jede reelle Zahl genau eine reelle dritte Wurzel hat, gibt es LSsungen Ul:
+w) ER,
Vl:
-w) ER.
Weitere LSsungen fiir u und v erhSlt man durch Multiplikation mit einer dritten Einheitswurzel, d.h. mit Potenzen yon
r
e x p(2M) ,7-,
r
Wegen der Nebenbedingung r nur die LSsungen 371
Ul + Vl
9r
2
+ r Vl
wobei Xl E R, x2, x3 E C \ R mit ~-
A(f)
2
r Ul + r
, X3
x3 und Xl + x2 + x3
Explizit aufgeschrieben lautet die Formel 371
- p E ]R gibt es insgesant
r
r
, X2
~1 ( - 1 + ix/3)
CARDANO
yon
5+
--
,
0. fiir die reelle L6sung:
__
---- 0 : Als L6sungen der quadratisehen Resolvente g erhglt man
Yl
Y2
q 2 '9 sei
u
~
ER
Da~m ergeben sich als Nullstellen yon f 37 1
U+ u
2u
und
x2
~u + ~2u
~2u + ~u
x3 9
Ist q ~ 0, so ist Xl ~ x2 und Xl ist einfache, x2 doppelte Nullstelle yon f . Fiir q 0 ist auch p 0, also xl x2 x3 0 eine dreifache Nullstelle. A ( f ) > 0 : Dann ist A(g) < 0 und g hat keine reelle Nullstelle. Daher nennt man dies in der ldassischen Literatur den c a s u s i r r e d u c i b i l i s . Sind al, a2 E C aI a 2 die Wurzeln berechnen kmm, so sind
mit
Yl
i
yon A(.q) E JR, die man
G(--q+61)
und
Y2
i
nach Hilfsaussage 3 aus III 4.7
~(-q+62)
mit ~
Y2
330
III K O R P E R E R W E I T E R U N C E N
die nicht reellen komplexen Nullstellen yon g. Nun 8tbigt mail auf das Problem, aus komplexen Zahlen dritte Wurzeln ziehen zu mfissen. Das geht nicht mehr wie in III 4.7 bei Quadratwurzeln komplexer Zahlen mit Hilfe yon Quadratwurzeln reeller Zahlen. Am einfachsten benutzt man Polarkoordinaten:
y
lyl.exp(i~)
w
~
y
,~3
lyl.(cos~+isin~)
9exp(!~)
(r
~.
und
(cos ~ + i s i n ~ ) ,
soist
(r
In den klassischen Verfahren hat man daffir Tabellen ffir die trigonometrischen Funktionen verwendet. Durch geeignete Auswahl der mSglichen Werte erhglt man ui,vi E C mit u i3
Yl, vi3
Y2, ~
P 3
vi und uivi
Das ergibt schliet~lich die drei reellen LSsungen xi
ui + vi E ]R der Gleichung f ( x )
0
Zun/~ahst fassen wir das grgebnis fiber die Lage der Nullstellen noah einmal zusammen (vgl. Beispiel 4 aus III 3.11). Satz
Self:
X 3 + a X 2 + b X + c E ]R[ X ] und
A(f)
a2b 2 - 4a3c - 4b3 + 18abc - 27c 2
die Diskriminante. D a n n gilt: Iat A ( f ) > O, so hat f drei verschiedene reelle Nullstellen. Iat A ( f )
O, so hat f drei reelle Nullatellen, mindestens eine davon mehrfach.
Ist A ( f ) < 0~ so hat f Nullstellen.
eine reelle und zwei verschiedene komplex-konjugierte []
Es mag auf den ersten Blick verwunderlich erscheinen, dass man im Fall A ( f ) > 0 zur Berechnung der drei reellen Nullstellen xi yon f m i t komplexen Zahlen rechnen muss. Der Grund daffir ist die Umkehr des Vorzeichens in A(f)
- 2 7 A (.q) .
Zur Betrachtung der LSsungen aus der Sicht der Galois-Theorie ist es interessanter f E @[X] vorauszusetzen; dann liegen die Nullstellen xl, x2, x3 yon f im Zerf'~llungskSrper K ~ @ yon f. Hier ist nur der Fall interessant, in dem f irreduzibel ist. Dazm ist
[K'Q]
6
a
oder
und
Gal (f; Q)
{ g3
~a
oder
Naah III 4.8 ist Gal (f; Q) ~ A3 genau dann, wenn A ( f ) E Q in Q ein Quadrat ist, d.h. wenn 5 ( f ) : (Xl - x2). (Xl - x3). (x2 - x3) E q .
5.3 BEISPIELE
331
Bei der oben durchgefiihrten Berechnung der Nullstellen xi haben wir die dritten Einheitswurzeln benStigt, das sind die Nullstellen yon X 3 - 1, und die brauchen keine Nullstellen yon f zu sein. Will man die Formeln yon CARDANO aus der Sicht der Galois-Theorie beleuchten, so ist es angemessen den Zerfs K ' yon f 9 (X 2 + X + 1) zu betrachten. Dann hat man folgendes Diagramm: K(()
K' u
D
L u
q(xl,x2,~3)
K
D q.
Q(3(f), ()
Ftir die KSrpergrade gilt nach dem Gradsatz aus III 1.2
[ K " K ] teilt 2, [ L Q ]
teilt 4 und [ K " L ]
3.
Zur Berechnung der xi benutzt man
Da C 6 L, ist auch ix/3 6 L, Mso ~(.q)
- ~ x / 3 . d(f) 6 L
und
L
q(6(.g), r
Um die Nullstellen xi mit Hilfe yon 6(g) und C zu erhalten, benStigt man noch Z3, folgt aus III 5.9, die Erweiterung K ' D L yore Grad 3. Da Aut (K'; L) dass K ' yon einer dritten Wurzel eines Elements aus L erzeugt wird. Das ist der theoretische Hintergrund der konkreten Formel yon CARDANO.
5.3
Beispiele
Beispiel
1 Das Polynom
f
X 3 - 8X - 3
332
III KORPERERWEITERUNGEN
hat schon CARDANO als Beispiel behandelt. Wie man schnell sieht, ist 3 eine Nullstelle und
f
(x-3)(x ~+3X+1).
Wit wollen abet, CARDANO folgend, die Nullstellen n~ch seiner Methode berechhen. Zun/ichst ist A ( f ) 1 805 > 0, also hat f drei reelle Nullstellen. Die quadratische Resolvente ist Y2-3Y+(~-)3
.q(Y)
Yl,2
3+i. ~
Das Besondere mlgeben l~in:
mit A(.q)
1805 27 < 0 und den Nullstellen
19 / ~ T V ~ "
aa diesem
u:
Beispiel ist, dass m a n dritte komplexe
~1 3 - i .
, v:
3+i.
' u.v
Wurzeln
-3 .
Etwa mit HiKe der binomischen Formel kontrolliert man, dass u 3 Also ist x
u+v
leicht
yl und v 3
y2.
3
als Nullstelle yon f neu berechnet. Die beiden aaderen Nullstellen sind 8 9
4-x/5).
B e i s p i e l 2 Wir wollen die Nullstellen yon f
X 3+X 2-2X-1
mit
A(f)
49>0
nach der Methode von CARDANO bestimmen; das Ergebnis ist entscheidend bei der Berechnung der 7-ten Einheitswurzeln (Beispiel 2 in I I I 5.14). Zun~chst ergibt die Tschirnhaus-Transformation /
23
72 _ 7 - 3 ~
mit
3[
X+~,
3
f
1
7 -3'
also p
i
/
q
7 27
5.4 GLEICHUNGEN VIERTEN GRADES Als quadratische Resolvente erhs
333
man
.g r ~ - ~ Y + ( 7 ) 3
u,,d A(g)
~27, also
Aus diesen komplexen Zalilen muss m a n dritte Wurzeln ziehen, jeweils eine LSsung ist ~ 0.790 -4- i 90.392, also 7 p 9 3 Da~'aus e r h ~ t man schlie~lich die grS~te Nullstelle yon f , n ~ J i c h 21
ul + vl ~ 1.580, ul .vl
0.777...
1 21 - g ~ 1.247.
3:1
Mit Hilfe yon r erhglt m a n die beiden anderen Nullstellen yon f . B e i s p l e l 3 U m auch ein gmiz einfaches Beispiel mit negativer Diskriminmite auszuffihren, w~llen wir f
X3-1
mit
A(f)
-27.
Die quadratische Resolvente ergibt
g Dalier ist u
y2_y
~
Y(Y-1),
0, ffir v vl
1
r
x l , v2
also Yl
0 , Y2
1.
e r h ~ t man die drei Werte r
x2 und v3
r2
x3,
das sind in der Tat die Nullstellen yon f .
5.4
Gleichungen vierten Grades
Gegeben ist ein Polynom
f
X4+a3X3+a2X2+alX+aoEk[X]~
wobei k ein KSrper der Ch~rakteristik Null sei. Gesucht sind Hilfsmittel zur Berectmung der Nullstellen und Aussagen fiber die Struktur der Galois-Gruppe. Ist f reduzibel, so unterscheiden wir zwei F~ille:
1. f
(X-a).gmitaEkundgEk[X].Dannistdegg
3, das ffihrt zurfick
zu kubischen Polynomen. 2. f g. h mit g, h E k[ X l, deg g deg h 2. Falls die Zerf~lungskSrper yon g mid h gleich sind, ffihrt das zurfick zu einem quadratischen Polynom. Andernfalls ist der Zerfs yon f gleich K
k(x,y)
mit
.q(x)
h(y)
O, g(y) ~ 0 mid
It(x)/~ 0 ,
334
III KORPERERWEITERUNGEN
also [ K : k] genannt.
4. Eine derartige Erweiterung K D k wird oft biquadratisch
Wenn man die Zerlegung f
g 9h kennt, kann man nach III 5.1 die Nullstellen
xl,x2 yon g
und
yl,y2 yon h
und
~9(yl)
berechnen. Ist ~ E Gal (f; k), so ist
~9(371)
371 oder x2
Yl oder y2.
Dax'aus folgt wie in Beispiel 3 aus III 2.4 die
Ist K D k eine biquadratische Erweiterung, so ist Aut (K; k) eine Kleinsche Vierergruppe. []
Bemerkung
Nun setzen wir voraus, dass f irreduzibel ist; nach einer Tschirnhaus-Transforlnation ist dann
f
X4+pX2+qX+rEk[X].
Wegen char (k) 0 ist A ( f ) r 0, aber wir haben noch keine explizite Formel fiir A ( f ) , falls p r 0 (vgl. Beispiel g in III 3.11). Zur Berechnung der Nullstellen yon f hilft nun ein Trick, der auf L. F>,RRAaI, einem Schiller yon CARDANO, zuriickgeht. Aus
X4
-pX2-qX
-r
folgt dutch ginfiihrung einer neuen Unbestimmten Y und quadratische grg/inzung
X 4+X2Y+ 88
-pX 2-qX-r+X2Y+ 88
1 2 (X 2 + ~Y)
(Y - p ) X 2 - qX + (88
Die rechte SeRe ist gleich ( x / Y - p X - q
+ ~y2 9
also
_ r)
(*)
f.)2 wenn
--
,
-
und dax'aus folgt durch Quadrieren
ya _ py2 _ 4 r Y + (4rp - q2)
0.
Diese Bedingung ist nach den formal nicht gmiz begriindeten Operationen mit Wurzeln ein kubisches Polynom. Man nennt g:
ya_py2_4rY+(4rp_q2)
Ek[y]
eine kubische Resolvente yon f . Entscheidend dabei ist, dass der Grad yon 4 auf 3 reduziert wurde.
5.4 G L E I C H U N G E N
VIERTEN
GRADES
335
Der weitere Lbsungsweg ist ziemlich klar. Ist y eine Nullstelle yon g, die man etwa mit der Formel yon CARDANO berechnet hat, so folgen aus (,) die GMchungen x
X 2• y-x/:~ X•
y2_r+~y
0.
Jede hat zwei LSsungen, das ergibt insgesamt vier L6sungen
x3,4 der GMchung f(3:)
89Y x / v d ~ P • 1 8 9 0.
Man kann die kubische Resolvente auch etwas anders w~hlen, dann werden die Formeln einfacher. Die bier getroffene Wahl ist giinstig zur Beleuchtung des theoretischen Hintergrundes. Im Zerf~llungskSrper K yon f hat man die Nullstellen 3:1,3:2,3:3, 3:4 mit 3:1+3:2+3:3+3:4
0;
da f irreduzibel ist, sind sie alle verschieden. Nun betrachtet man in K die Elemente Yl :
3:13:2 ~ 3:33:4 , Y2 :
3:13:3 ~ 3:23:4 , Y3 :
3:13:4 ~ 3:23:3
und das Polynom .q(Y) :
(Y-YO'(Y-Y2)'(Y-Y3)
6 t<[Y] .
Die Gruppe 34 der Permutationen yon {3:1,3:2, 3:3, 3:4} operiert auch auf {yl, y2, y3}. Da 84 yon den Trmlspositionen erzeugt wird, gen/igt es, das daf/ir zu pr/ifen. Nun ist Oal (f; k) < g4 , also hat .~ Koeffizienten in Fix (K; Gal (f; k)) ist der Satz 1
k und .~ 6
k[Y ]. Mehr als erfreulich
.q ist gleich der k u b i s c h e n R e s o l v e n t e yon .9 v o n f , d.h. (Y - Yl) 9 ( Y - Y2) 9 ( Y - Y3)
y 3 _ p y 2 _ 4 r Y + (4rp - q2) .
B e w e i s Dazu ist nur eine elementgre, gber leider etwas miihsame Rechnung nStig, die man am besten einem Computer-Algebrg-System iiberl/isst. Man berechnet die Koeffizienten yon .~ und yon g gls Polynome in den xi und vergleicht die Ergebnisse. Besonders einfach geht das flit den Koetfizienten yon y2:
l~i<j~4
III KORPERERWEITERUNGEN
336
Die n/ichste 0aigenehme [;berraschung komnit von den Diskriminanten. Sei
~(/): Satz 2
H
l<~<j<4
(y~-ys).
5(.q),
insbesondere A ( f )
A(g).
Hier ist die Rechnung zum Glfick ganz kurz:
Korollar
Ist f
A(f)
Beweis
H
l<~<j<3
fst g die kubische Resolvente yon f , so gilt 5(f)
Beweis
(x~-xs) und ~(g):
(~
-
~) (~
(~
- ~ )
(~
- ~4)
- ~4)
y~ - y~,
(~
- ~4)
y~ - y~,
(~
- ~)
y~ - y~ 9
X 4 + p X 2 + q X + r, so gilt
161949r - @3 . q2 _ 128192 . r2 + 14@. q2 . r - 27@ + 256r 3 .
Man benutzt die Formel ffir A(g) aus Beispiel 4 in I I I 3.11 und setzt die
Koeffizienten
aus Satz 1 ein. Auch
das 15sst man
besser reclmen.
[]
Die kubische Resolvente ist nicht nur wichtig ffir die Berechnung der Nullstellen, sie liefert auch wichtige Informationen fiber die Galoisgruppe G :
Gal(f;k)
Aut ( K ; k ) < g4 9
Da f irreduzibel ist, operiert G haiti dem L e m m a aus I I I 4.2 transitiv auf {xl, x2, x3, x4}; also folgt 4 teilt ord G. Daher kommen ffir G folgende G r u p p e n in Frage: $4
D'
K4
D"
D~"
z;
z;'
z;"
Jede nach oben gerichtete Verbindung zeigt dabei an, dass die weiter unten liegende Gruppe eine Untergruppe ist. Zun/ichst beschreiben wir die Gruppen genauer.
5.4 GLEICHUNGEN VIERTEN GRADES
337
,44 < 84 ist die alternierende Gruppe, K4 {id, (1, 2). (3, 4), (1, 3) 9(2, 4), (1, 4) 9(2, 3)} ist eine Kleinsche Vierergruppe, Erz (1, 3, 4, 2) sind konju-
Z~ Erz (1, 2, 3, 4), Z~' Erz (1, 3, 2, 4), Z~" gierte zyklisehe Gruppen und
D~ Erz(Z;U(1,3)), D~' (Z~'U(1,2)), D~" Erz(Z~"u(1,4))sindkonjugierte Diedergruppen, das sind die drei 2-Sylowgruppen yon g4 (vgl. I 6.12). Es sei daran erinnert, dass man A4 bzw. die Diedergruppen D4 als Symmetriegruppen eines Tetraeders bzw. eines Quadrates ansehen kann.
3C1
4
2
1
4
A4
D~
Die anderen zu/{4 isomorphen Untergruppen, etwa {id, (1, 2), (3, 4), (1, 2). (3, 4)}, operieren nicht transitiv. Wie man Mcht nachprfift, ist K4
D~ N D~' N D'4" .
Wir wollen nun untersuehen, welehe Informationen fiber die Galoisgruppe G in der kubischen Resolvente g zu finden sind. Dazu betrachten wir die Operation yon g4 auf der Menge {yl, ys, ys} der Nullstellen yon g. Naeh dem Balm-Lemma aus 1 4.3 ist ffir i 1, 2, 3 ordg4 (ord g4(yi)). (ord Stas~(yi)) . Da die Operation troalsitiv ist, tblgt aus ord g4 ord Stas~(yi) Ffir yl
24 und ord g4(yi)
3, dass
8.
:cl:cs + :cs:c4 ist offensiehtlieh D~' < Stash(y1), also
Stash(y1)
D~'.
Das kubisehe Polynom g i s t genau dram reduzibel, wenn eine Nullstelle, etwa yl, in k liegt. Welter gilt: Yl 6 k
Fix(K;G)
4=> G < Stas4(yl) 9
338
III KORPERERWEITERUNGEN
Also folgt: g reduzibel e=> C ~ D4 oder Z4 oder K4. In I I I 4.8 wurde gezeigt: 5(f) E k <=> C < A~. Diese beiden Ergebnisse ka~m man in einer Tabelle zusmnmenfassen:
Sei k ein KSrper mit char(k) 0, f E k [ X ] irreduzibel mit deg f und Nullstellen xs, x2, xa, x4 im ZerfgillungskSrper. Weiter sei
Satz 3
5(f):
I]
(xi - my)
und
4
g E k[Y]
l
die kubische Resolvente yon f . Dann gilt fiir C :
Gal (f; k ):
5(f) ~ k g irreduzibel g reduzibel
C
5(f) E k
84
C ~ D4 oder Z4
G
A4
C
K4
Ist g reduzibel und 5(f) ~ k, so kSnnen beide Fglle aui%reten.
5.5
Beispiele
Wir bestimmen die Galois-Gruppen einiger Polynome vierten Grades. Die reellen Graphen sind nut deswegen abgebildet, um jede Illusion zu zerst5ren, m a n kSnnte daran genauere Informationen fiber die Struktur der Galois-Gruppen ablesen.
Beispiel 1
f:
X4+X+IEQ[X]
-2
-I
I
2
ist irreduzibel, wie m a n dutch Reduktion modulo 2 sieht (Beispiel 5 in II 3.9). Die kubische Resolvente yon f i s t g
y a _ 4Y - 1.
5.5 BEISPIELE
339
Auch g ist irreduzibel, wie man durch Reduktion modulo 3 leicht nachweist. Schlie]glich ist A(f) A(.q) - ( 4 . ( - 4 ) 3 + 27) 229. Das ist kein Quadrat in Q, also folgt aus dem KrRerium in I I I 5.4 G a l ( X 4 + X + 1; Q) ~ 84 . Beispiel 2 f : X 4 + 8X + 12 E Q [ X ] ist irreduzibel, wie niaxi niR etwas Mtihe unter Benutzung yon Zusatz 2 aus II 3.7 zeigen kann.
18 IG ia
12
X
Die kubische Resolvente ist g
y 3 _ 4 8 Y - 64.
Wie m a n durch Reduktion modulo 5 sehen kann, ist g irreduzibel. Ffir die Diskrimina~lte erhgR m a n A(f)
A(g)
- ( 4 . ( - 4 8 ) 3 + 27.642)
331 776
Nach dem Kriteriuln in I I I 5.4 folgt G a l ( X 4 + 8X + 12; Q) ~ A 4 .
5762 .
340
III KORPERERWEITERUNGEN
Beisplel 3
f:
X 4 -2
ist irreduzibel nacti EISEVSTt~IN. Die kubische Resolvente ist g:
y3 + 8y
y ( y 2 + 8) .
Ftir die Diskrimina~ite gilt
A(g)
A(f)
-(4.8
3)
-2048,
das ist kein Quadrat. Also ist Gal (f; Q) isomorph
x 4-2 ist K :
zu D 4
oder Z4. Da
(x 2 - ~ ) . ( x 2 + ~ ) ,
Q(,~/2, i) der Zerfgllungkarper yon f / i b e r Q, also ist ord (Oal (f); Q)
[K : Q]
8
und es folgt
G a l ( X 4 - 2; Q) ~ D4.
Beispiel 4
f:
X 4 + x a + x 2 + X + I E Q[ X ]
~~!/ i84 2
d
I
2
5.5 BEISPIELE
341
ist irreduzibel nach Beispiel 4 aus III 3.9, die Nullstellen sind primitive 5-te Einheitswurzeln. Der ZerfSllungskOrper yon f i s t K
Q(Cs) mit
[K'Q]
deg f
4.
Also ist Gal (f; Q) isomorph zu Z4 oder K4. Mit Hilfe der Dish'iminante kOnnte man entscheiden, welcher Fall vorliegt, aber das geht einfacher: Man betrachte E Aut (Q(ffs);Q) Da ~2(C5 )
C~ ~ C5, muss ord~
mit
~(~5)
~ 9
4 sein; also iblgt
Gal(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1; Q) ~ Z4 . Ein allgemeineres Ergebnis fiber Kreisteilungspolynome wird in III 5.6 bewiesen.
Beispiel5
f:
X 4-2X2+9EQ[X]
2~
i
u
j
j
ist nach Beispiel 3 aus III 4.6 Minimalpolynom fiber Q yon ~ + i , Die kubische Resolvente yon fist g:
r' + 2r'
- 36r
- 72
also reduzibel. F fir die Diskriminante A(f)
also irreduzibeL
(r - 6)(r + 2)(r + 6),
erhKlt man
A(g)
147456
3842 .
Also folgt aus dem Kriterium in III 5.4 Gal(X 4 - 2 X 2 + 9 ; Q ) ~ K 4 ~ Z 2
xZ2.
Das kann man natfirlich auch direkter sehen. Der Zerf~llungsk6rper yon f i s t K
Q(x/2, i)
mit
[K" Q]
4,
und K ist auch Zerffillungsk6rper yon
/
(x 2-2).(x 2+l)~Q[x]
Daher ist K D Q eine biquadratische Erweiterung, und die Behauptung fol~ aus der Bemerkung in III 5.4.
342
5.6
III KORPERERWEITERUNGEN
Kreisteilung in Charakteristik Null
Schon bei verschiedenen Gelegenheiten hatten wir in C die n-ten Einheitswurzeln benutzt. Sie sind das Bild des Homomorphismus 9G - - ~ C , r ~ - + ~ ,
wobei G~:
exp(z~-)'2cri'.
Das ergibt einen Isomorphismus
7:Z/nZ-
c,
}cc •
Man beachte dabei, dass die Gruppe Z,~ Z / n Z additiv, C,~ dagegen multiplikativ ist. Die Gruppe C.,~ ist die Menge der komplexen Nullstellen des Polynoms (II 1.9)
x"-l 9 die Elemente yon C,~ heigen n-re Einheitswurzeln fiber Q. Da C,~ yon G~ erzeugt wird, ist Q(G~) D Q Zerf~llungsk6rper yon X ~ - 1 fiber Q. Ein wichtiges Problem ist die Berechnung des KSrpergrades [Q(G~) : Q], d.h. die Bestimmung des Minimalpolynoms ~ 9 Q[X] yon G, ZunSzhst ist nur klar, dass ~ ein Teller yon X ~ - 1 sein muss. In I 3.10 batten wir gesehen, dass Z,~
Erz (m + nZ) vr ggT (m, n)
1.
Die erzeugenden Elemente yon Z,~ sind also die Elemente der Primrestklassengruppe Z,~x (vgl. I 3.12), es gilt ord Z,~x p(n). Dem entspreehend ist
c2 : {(2: ggT
1} c
die Menge der erzeugenden Elemente yon C.,, man nennt sie primitive Einheitswurzeln. Z,~x ist eine multiplikative Gruppe, dem entsprechend ist auch C,~x eine Gruppe mit der Veknfipfung C *<
(CY
C ~ 9
Die Multiplikation in Z,~x wird (lurch die Exponentialfunktion in die Potenz gehoben. F fir die Anzahl der Elemente gilt ord C.,~ x
~(n) .
Wir notieren noeh einige elementare Eigenschaften yon Einheitswurzeln, die sofort aus den entsprechenden Regeln ffir zyklisehe Gruppen (insbesondere 1 3.10 und 11) folgen.
Bemerkung
b) dln
~
Cj
a) C.~ < C,~ e:~ {~ 9
m[n. d}.
5.6 KREISTEILUNG IN CHARAKTERISTIK NULL
c) C.,~
U C~ und diese Vereinigung ist disjunkt,
343
[]
din
Seien nun C,~ { ~ 1 , . . . , ~ ( ~ ) } , wobei die primitiven Einheitswurzeln ~,t in einer beliebigen Reihenfolge aufgeschrieben sind. D a n n nennt m a n 9~ :
(x
- ~1).....
(x
- ~(~))
das n-te K r e i s t e i l u n g s p o l y n o m fiber Q. Zun~chst weiff m a n nur ~)~ 6 C[ X ] . Es gilt aber das Lemma
Beweis
Fiir a l l e n 6 1N \ {0} ist ~)~ 6 Z [ X ] und normiert. Aus der obigen B e m e r k u n g folgt soibrt X~-I
I~)d
~)~ 9 I ~ ~)d 9
din
dbz d
Also kmm m a n (I)~ rekursiv berechnen, indem m a n X ~ - 1 durch alle schon vorher bereehneten ~)d mit d[n und d < n herausdividiert. D a X ~ - 1 und ~)1 X - 1 in Z [ X ] liegen und normiert sind, kann m a n die Divisionen nach II 1.7 (Variante
der Division mit Rest) in Z[X] ausffihren, also ist auch ~ Ffir n < 12 erhglt man: n
~n
1
X-1
2
X+I
3
X2+X+I
4
X2+l
5
X4+X3+X2+X+I
6
X 2 -X+I
7
X6+Xs+X4+X3+X2+X+I
8
X4+l
9
X6+ X3+ 1
10
X 4- X 3 + X 2 - X + l
ll
X 1~ + X 9 + . . . + X + 1
12
X4- X2+ 1
6 Z[ X] normiert.
[]
III KORPERERWEITERUNGEN
344
Bis hierher k6nnte m a n vermuten, dass nur die Koeffizienten 0, 1 und -1 aui%reten. Es ist aber (vgl [Bo, 4.5]) (I)105
X 48 + . . . - -
2X 7 - . . . + 1 .
Zentrales Ergebnis dieses Absdmitts ist das I r r e d u z i b i l i t ~ i t s - T h e o r e m Die Kreisteil'angspolynome ~)~ E Z[ X ] sindfiir alle n irreduzibel. I,nsbesonderr ist q& Minimalpolynom aller primitiven n-ten Einheitswurzeln und :
Beweis Dieses Ergebnis wurde fiir Primzatllen erstmals yon GAUSS [Ga3, w 341] bewiesen. Wit reproduzieren flit den allgemeinen Fall einen Beweis, der auf DEDEKIND [De] zuriickgeht. Sei also n _> 1 und X ~-1
(X-1).E,~
mit
E,~ :
X~ l + X ~
2+...+X+1.
Ist n p eine Primzahl, so ist p(p) p - 1; also sind die Elemente yon Cpx die Nullstellen yon Fp und es iblgt ~)p Fp. Nach dem Kriterium yon EISENSTEIN (Beispiel 4 in II 3.9) ist ~)p irreduzibel. Ftir allgemeines n ist der Beweis schwieriger. Zunichst ist klar dass
Es genfigt daller, Folgendes zu zeigen: Ist ~ E C,,~ f E Q [ X ] das Minimalpolynom yon ~ ~md p eine Primzahl mit p { n, so ist f auch das Minimalpolynom yon ~P, d.h. f(~P) O. Dann haben ns f u n d ~)~ alle Elemente yon C,x als Nullstellen. Da f Minimalpolynom ist, muss es ~)~ teilen; aus deg f _> p(n) folgt ~)~ f . Also ist ~)~ irreduzibel mid das Minimalpolynom aller primitiven n-ten Einheitswurzehi. Es bleibt f(~P) 0 zu beweisen. Als Minimalpolynom yon ~ ist f e i n Teiler yon X ~ - 1, es gibt also ein g E Q [ X ] mit X ~ -1
f.g.
Da X ~ - 1 E Z[ X ] und f E Q[ X ] normiert ist, folgt aus dem in II 3.7 bewiesenen Zusatz 2 die entscheidende Aussage, dass f, g E Z [ X ] ,
und g i s t n o r m i e r t .
Angenommen, f(~P) # 0; drain muss g(~P) .qp E Z [ X ]
mit
0 sein. also ist ~ Nullstelle yon
.qp(X)
.q(XP).
Als Minimalpolynom yon ~ ist f Teller yon gp, es gilt also .qp
f.h
mit
hEZ[X]
5.6 K R E I S T E I L U N G IN C H A R A K T E R I S T I K
NULL
345
nach dem oben zitierten Zusatz. Da die auRretenden Polynome gmlze Koeifizienten haben, kann man modulo p reduzieren: Z[X] --, ]Fp[X ] , ~p
f . h,
wobei der Querstrich anzeigt, dass die Koeffizienten modulo p reduziert sind. Da f, g und h normiert sind, sind f , g und h nicht Null. Nun benutzen wir den Frobenius-Homomorphismus, der in ]Fp die Identit~t ist. Nach III 3.3 ist
~jp(X)
~ ( X p)
~j(X) p, also f . h
~P.
Das kann nicht sein: Ist 37 9 Fv[X ] ein irreduzibler Faktor yon 7 (das bei der Reduktion nicht irreduzibel bleiben muss), so ist 37 auch ein Teller yon ~v und damit yon ~. Aus x~_l f.~ folgt dann, dass 372 ein Teller yon X " - T ist. Aber wegen (X n --
1)1
~,X n
1
und
p {n
kann X " - g nach dem Lemma aus III a.1 in seinem ZerfgllungskSrper keine mehrfache Nullstelle haben. Damit ist ein Widerspruch zur Annalmm f({v) ~ 0 erreicht. [] Wir erhalten sofort eine wichtige Folgerung ftir die Galoisgruppe des Kreisteilungspolynoms ~), und die Primrestklassengruppe Z~. Korollar I~t char (k) Monomorphismus
0 und n 9 N \
x Im Spezialfall k
Aut (k(r
{0}, so gibt es einen kanonischen
k) -~ z #
Q hat man einen Iaomorphismus Gal (r
-~ z~
Beweis Ftir jedes p 9 Aut (k(G); k) ist
~(C.,~) <
mit i < ~ . < ~ - i
und ggT(~',~) i.
Die so gestiftete Abbildung
ist ein Homomorphismus, denn ist •(4,,) Ist ~(4,~)
r
so folgt ~
r
, so folgt g(r
(r
r
.
id~(~,,), also X injektiv.
~), ist tiber Q irreduzibel und 4,~, r sind Nullstellen yon ~),, fails ggT (r, n) 1. Also gibt es nach III 2.2 ein g 9 Aut (Q(r Q) mit g(r < . Daraus folgt, dass X surjektiv ist. []
III KORPERERWEITERUNGEN
346
5.7
K r e i s t e i l u n g in C h a r a k t e r i s t i k p > 0
hn vorhergehenden Abschnitt haben wit zur Vereinfachung die Einheitswurzeln nut in Chaxakteristik Null behax~delt. Bei positiver Chax'akteristik geht einiges mialog, aber es gibt deutliche Unterschiede. Wir starten mit einer Primzalil p, dem
PrimkSrper
K D ]Ep Zerf'~llungskSrper yon
]Ep und einem n E N \ {0}. Ist
X ~ - 1 E ]Ep[X] ,
so heigt jede Nullstelle x E K yon X ~ - 1 eine n-te E i n h e i t s w u r z e l fiber Fp. Mit C , c K bezeichnen wir die Menge der r~-ten Einheitswurzeln; als multiplikative Untergruppe C.. < K ist C.. zyklisch. Im Gegensatz zur Charakteristik Null kann aber ord C . < n sein: Bemerkung
Ist n
/m
mit p { m, so gilt C,
Beweis
C,~
und
ordC,
m .
Da mln, ist C,~ < C , . Umgekehrt folgt aus
0 alsoauchC,
s ~-1
(s~) p ' - I
(s ~_1)/,
dassS ~-1
0,
< C .... I m F a l l p { m i s t (X ~ - 1)'
rnX~
1 /~ 0 ,
also hat X ~ - 1 in K nach I I I 3.1 insgesamt m verschiedene Nullstellen. Ist etwa n
/,
so ist x
[]
1 die einzige n-te Einheitswurzel fiber IFv.
Ganz analog zu I I I 5.6 erhglt man das K o r o l l a r 1 Sei p { n, K D Fp der ZerfiillungskSrl)er von X ~' - 1 und C,, c K die Menge der Nullstellen yon X ~ - 1. Dann gilt a) Die Gruppe C , ist zyklisch der Ordnung n. b) Es gibt einen kanonischen Monomorl)hismus yon Gr~ppen x : A u t ( K ; ] E p ) - - + Z , ~x wenn ~(r
mit
X(~)
r+nZ,
r fiir ein erzeugendes Element r E C , .
[]
Die obige Bemerkung zeigt, dass die Voraussetzung p { n angemessen ist. Dann hat C , als zyklische Gruppe erzeugende Elemente ~ l , . . . , ~ ( ~ ) , und mini kann, wie in Chazakteristik Null, das n-te K r e i s t e i l u n g s p o l y n o m (])(rp) :
( X - ~1) " . . . " ( X - ~ ( n ) )
5.7 KREISTEILUNG IN CHARAKTERISTIK P > 0
347
erklgren. Zungchst ist nur q)(~) E K[ X] klar; wie man leicht sieht, ist aber
], und r
entsteht aus r
E Z[ X] durch Reduktion der Koeffizienten modulo p.
Ixn Gegensatz zu r E Z[ X] kaan aber r reduzibel sein; das hSxig~ yon p und n a b , und darfiber hinaus vom Grundk6rper Fq mit q / . Genauer gilt: Satz
Sei p { n, q
/
~nd rn:
ord(q+nZ)
in
Z,~x ,
wobei Z~X~ die multiplikative Primrestklassengruppe rood rt bezeichnet. Dann gilt: ~)(~) zeffiillt in Fq [X ] in ~(~) paarweise nicht assoziierte irreduzible Faktor'en vom ~t Grad rn. Der Aufspaltung yon q)(~) entsprechend zerf/fllt also die Menge der p(n) primitiven n-ten Einheitswurzeln in ~(~) Teilmengen mit jeweils rn Elementen. Im Extremfall ~t q -- 1 (rnod n) ist rn 1. Beweis Die irreduziblen Faktoren yon q)(~) sind die Minimalpolynome der paarweise verschiedenen primitiven n-ten Einheitswurzeln ~ l , . . . , ~(~) fiber F;. Also genfigt es zu zeigen, dass ffir jedes dieser rn':
[Fq(~) 9Fq]
ord(q+nZ)
: rn.
Das ist offensichtlich ein Fall ffir die Galois-Theorie. Nach III 3.4 ist Fq(~) ~ Fq,~,, nach III 4.9 ist Fq.~, D Fq
galoissch und
Aut (Fq.~, ;Fq)
Erz (~4) ;
dabei ist ~4 ~ , wobei ~ den Frobenius-Homomorphismus mit p(z) zeichnet, also
z ; be-
Mit dem Monomorphismus X" Aut (Fq.~,;Fq) --+ Z~x
wird
X(~4)
q + nZ.
Nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie und der Definition yon ord ~ ist
rn'
ord Erz (~)
ord (~)
rn. []
Korollar 2 q)(~) ist genau dann irr'eduzibel in F ; [ X ] , wenn Z,x~ zyklisch und p + n Z tin erzcugendes Element von Z,x~ ist. Ob Z,~x zyklisch ist, h/ingt yon n a b . Etwa in [R-S-V, w abschliegende Ergebnis:
findet man das folgende
348 Satz
III KORPERERWEITERUNGEN
Die Primmstklassengruppe Z,~ ist genau dann zyMisch, wenn n die Wcrte 1, 2, 4,p ~, 2p ~
mit einer unger'aden Primzahl p und einer belibigen Potenz r >_ 1 hat. B e i s p l e l 1 Die 7-ten Einheitswurzehi fiber F2 kGnnen wir aus der Das'stellung yon Fs (Beispiel 4 in III 3.5) ablesen. Z u n ~ h s t ist ord(2+7Z)
3
in
Z~<~Z6.
Dem entsprechend hat man in IF2[X] die Zerlegung X 6 +X 5 +X 4 +X a +X 2 +X + 1
(X 3 + X + 1)(X 3 + X 2 + 1) .
Ist r E Fs eine Nullstelle yon X a + X + 1, so hat man unter dem FrobeniusAutomorphismus ~ yon Fs mit ~(x) x 2 die Bahnen {4,42,44}
und
{4 a,46,45}
oO
in
Fs.
o 1
Mit Hilfe der Regeln ffir Addition und Multiplikation in F8 berechnet man
(x-r162162
4)
x 3+X+1
( X - 4 3 ) ( x - 4 6 ) ( x - r 5)
und
x 3 + x 2 + 1.
Das sind die Minimalpolynome der zwei Klassen yon primitiven 7-ten Einheitswurzehi fiber F2. Man beachte, dass F2(4) F2(43), denn (43)5 4. Beisplel 2 Wir bestimnien die 5-ten Einheitswurzeln fiber IF3. Dazu betrachten wir das Kreisteilungspolynom ~3)
X 4+X 3+X 2+X+IEFa[X].
Wie man leicht nachprfii~, ist ord(3+57L)
4
in
Z~<~X4.
5.8 REINE POLYNOME
349
Dgrgus folgt, dass ~3) in F3[ X] irreduzibel ist, und
Wenn wit F3 zu F9 erweitern, dann zerfSJlt ~3) in Fg[X] in zwei irreduzible quadratische Faktoren, denn ord(9•
2 in
Z~ .
Um die Faktoren explizit mlgeben zu kSnnen, betrachten wir den ZerfSJlungsk6rper K D F3 yon ~3). Da [K:F3]
4, ist
K~F3~
F81
nach III 3.4. Ist ( 9 K eine primitive 5-re Einheitswurzel, so ist
C~
{1,r162 r r
clFs~ .
Welter gilt in F81 [X ] ~3/
(x - r
- r
- r
- r
(X 2 - ( r 1 6 2
2-(r162
Sei nun ~b 9 Aut (F81; F3) mit ~b(r ~b(4+44 )
(4+44) 9
r
44+4
: fl"f2.
Dram ist
und
~b(r2 + 4 3 )
(42+43) 9
also liegen die Koeffizienten yon fl und f2 wegen ord (~b) Fix (F81 ;Erz (~r
43+42,
2 in
F9
und es folgt fl, f2 9 Fg[X]. Der KSrper F9 ist in Beispiel 6 aus III 3.5 aufgelistet, die Koeffizienten a 4+44 und b r 2+43 aus F9 kann man his auf die Reihenfolge (d.h. his auf einen K6rperautomorphismus) ausrechnen. Da (a-l) 2
(b-l) 2
Nun ist die - 1 aus F3 gleich y4 x/~f
5.8
•
•
-1,
ist a,b
•
(-1, 0) 9 Fg, somit und
a
(-1,1)
y3 b
(0, 1)
y.
Reine Polynome
Unter den PolynomgMctmngen f(x) x" a durch Wurzelziehen, also
0 kann man diejenigen der ,r
x
Form"
350
III KORPERERWEITERUNGEN
1/Ssen. Der Ausdruek ~/~ ist jedoch mehrdeutig; ffir a E C • gibt es n versehiedene Wurzeln, ihre Quotienten sind n-te Einheitswurzeln. U m formal prgziser zu sein, nennt m a n f: X~ - a E k [ X ] a ffir ein n E N \ {0}, so ein r e i n e s P o l y n o m fiber k. Ist b E K D k u n d b~ heigt b ein R a d i k a l (oder eine W u r z e l ) yon a. Auch aus der Sicht der GaloisTheorie sind die reinen P o l y n o m e sehr fibersichtlich. W i r beschrgnken uns wieder auf Charakteristik Null. Die A r g u m e n t e bleiben gfiltig, wenn p char (k) kein Teiler yon n i s t . Was wir in Beispiel 4 aus I I I 2.4 ffir das P o l y n o m X 3 - 2 fiberlegt hatten, ist ein charakteristischer Spezialfall des tblgenden allgemeinen Ergebnisses: Satz fiber reine Polynome
K D k L :
Sei char (k)
ZerfiillnngskSrper yon
k(r
D k
0, a E k•
n > 1,
X ~ - a,
ZerfiillnngskSrper yon
nnd
X ~- 1,
wobei r eine primitive n-re Einheitswurzel bezeichnet. D a n n gilt: a) K D L D k ist ZwischenkSrl)er. b) Ist b E K m i t b~
a, so folgt K
x
L(b), insbesonder'e
(X-b).(X-r
lb)
K[X].
c) Es gibt einen kanonischen Monomorphism~ts X : A u t (K; L) --+ Z,~ ;
er ist Isomorphismns~ falls X ~ - a in L[ X ] irrednzibel ist. d) Ist k
Q nnd X ~ - a irrednzibel in Q(r [ X ]~ so hat m a n einen Isomorphismns Gal (X ~ - a; Q) ~ Z,~ ~ e Z,~ ,
wobei die Operation (9 yon Z,X~ anf Z,~ fiir das semidirekte Prodnkt dnrch den Isomorphismns A u t (Z,~) ~ Z 2 gegeben ist (vgl. 1 3.12). Marx beaehte, dass die Erweiterungen K D k, L D k u n d K D L galoisseh sind; dagegen ist k(b) D k im Allgemeinen nicht galoissch. Deswegen ist es geschickter, zun~chst r u n d erst dana~h b zu adjungieren! Aussage d) zeigt, dass aus abelschen Galoisgruppen yon L D k u n d K D L eine nieht abelsche Galoisgruppe yon K D k werden kann.
Beweis a) D a (X ~ - a)' n X ~ 1 und a r 0, h a t X ~ - a naeh dem L e m m a aus I I I 3.1 die paarweise verschiedenen Nullstellen bl, . . . , b~ E K • . D a h e r sind aueh 1
bl b2 ...,--b~ bl ' bl ' bl
mit
(b,i)~ bl
_a a
1
paarweise versehieden; also enth/ilt K alle Nullstellen yon X ~ - 1.
5.9 ZYKLISCHE ERWEITERUNGEN
b)
a) annehmen,
Ist klar, wenn wir in
b2
c)
4~
35[[
dass
b~+l
D a n n ist r
b~+l .
Zu jedem ~ E Aut (K; L) gibt es genau ein r" E { 0 , . . . , n -- 1}, so dass F(b)
r
; m a n definiert X(F) :
r'+
.Z
E
Z.,, .
Diese Abbildung X ist ein Homomorphismus, denn aus "6(b)
4%
folgt
(~ o,6)(b)
4~. (~b
(~+~b.
Ist ~(b) (~ b, so ist ~ idK, also ist X injektiv. Nach III 2.2 folgt, dass X surjektiv ist, fails X ~ - a E L[ X ] irreduzibel ist.
d) Sind ~ , "6 E A u t ( K ; Q ) , so gibt es nach dem Korollar aus III 5.6 rn, l, r', s E {0, . . . , n -- 1} mit ggT (rn, n) ggT (1, n) 1, so dass ~(0
d ~, ~(0
(~, ~(v)
d r , ~(v)
(~v.
Daraus folgt
s('~(~))
s('~(0) s((~) (d') ~ d '~ und s((~)'s(~) d ' ~ d ~ d +~'~~.
s((~)
Die Operation yon X~x auf Z.~ ist gegeben (lurch (~m(s) Multiplikation in Z,~ ~ e X,x beschrieben durch
(~.,.~) ** (s, l)
r n . s, also wird die
(~. + .ks, .~. l).
Vergleieht man das mit (,), so erhglt man solbrt den gesuchten Isomorphismus.
5.9
(,)
[]
Zyklische Erweiterungen
Mit Hilf'e der Galois-Theorie kann m a n aus Eigenschaf%en yon G r u p p e n Aussagen fiber KSrpererweiterungen erhMten. In diesem Abschnitt behandeln wir ein wichtiges Werkzeug ffir diese Methode. Eine KSrpererweiterung K D k heit~t 1)
K D k ist galoissch
2)
Aut (K; k) ist zyklisch
Falls genfigend vide Einheitswurzeln KSrpererweiterung.
zyklisch,
wenn gilt
verffigbar sind, folgt eine Eigenschaft der
352
III KORPERERWEITERUNGEN
Sei k ein Khrper m i t char (k) 0 und K D k eine Khrpererweiterung~ n : [K 9 k]. Ist K D k zyklisch und enthiilt k eine primitive n-re Einheitswurzel, so gibt es ein
Satz fiber zyklische Erweiterungen
bEN
mit
by' E k
und
K
k(b) .
K ist also Zerfiillungskhrper des reinen P o l y n o m s X ~' - b y' E k [ X ].
Dieses Ergebnis kann man aus dern berfihrnten ,Satz 90" yon HILBERT ableiten (vgl. etwa [La, VIII, w Wit verrneiden hier die Einffihrung der dazu nhtigen Begriffe und gehen einen direkteren Weg. Das wesentliche technische Hilfsrnittel ist das Folgende. Ist K ein Khrper und M eine Menge, so wird die Menge Abb(M,K):
{f'M-~K}
zu einern K-Vektorraurn, indern man die Werte der Abbildungen addiert und rnit Skalaren rnultipliziert. Abb (M, K) hat unendliche Dimension, falls M unendlich ist. Jeder Autornorphisrnus p E Aut (K) hat eine B e s c h r ~ k u n g ~[K • 9 K• -~ K • , das ist insbesondere ein Hornornorphisrnus der rnultiplil~tiven Gruppen. Wir bezeichnen die Beschr~h~kung wieder rnit ~ und betrachten Aut (K) c Abb ( K • , K ) als Teilmenge.
Entscheidend
ist das
L e m m a y o n ARTIN Sind ~ 1 , . . . , ~ , E Aut (K) paarweise verschieden, so sind Pl,..., P~, in Abb (K • K) linear unabhiingig. Beweis
dutch Induktion fiber n (vgl. [ARE, II F]). Ist A~
0
mit
AEK,
sofolgt 0
A~(1)
A.
Sei also n _> 2 und seien A1,..., A~, E K , so dass
a~(~)
+ a~(~)
+... + a~,~,(~)
o
ffir alle z E N • . Da die FI,... F~, verschieden sind, k6nnen ein
aEK •
gibtrnit
(*) wir annehrnen,
dass es
~l(a)/~,(a).
Nun kann man einerseits in (.) az ffir z einsetzen, asidererseits rnit ~ , ( a ) rnultiplizieren. Des ergibt
xl~l(a)~l(~) + . . . + x~, 1~, ~(a)~, ~(~) + x ~ , ~ , ( a ) ~ , ( ~ ) a~,(a)~(~)
+ . . . + a~, l ~ , ( a ) ~ ,
~(~) + a~,~,(a)~,(~)
0 ~nd 0.
5.9 ZYKLISCHE ERWEITERUNGEN
353
Durch Subtraktion erh/ilt m a n ~1(~1(~)
~(~))~1(*) +... + ~ ~(~ ~(~) - ~ ( ~ ) ) ~ ~(*)
-
0
fiir alle z E g • Nach Induktionsannahrne folgt insbesondere
~(~1(~)-~(~))
o,
also ~
o.
Trggt m a n das in (,) ein, so folgt wieder aus der Induktionsmmalirne A2
...
A~
0 . []
Ein Blick auf den Beweis zeigt, dass man Halbgruppe und
ilm genauso fiihren kann, wenn
Heine
~i : H--~ K • fiir i 1 , . . . , n IIomomorphismen yon IIalbgruppen sind, d.h. ~ ( a . b) ~ ( a ) . ~(b) fiir a, b E H. Solehe Abbildungen von H nach K • nennt man Uharaktere.
Beweis des Satzes iiber" zyklische Er'weiterungen Aut (K; k)
Nach Voraussetzung ist
{idK, p, p 2 , . . . , p~ 1}.
Ist ( E k eine primitive n-te Einheitswurzel, so betrachte man die Linearkornbination ~0: 1 . i d / < + r 1 6 2 1 6 2 1~ 1EAbb(K x,K). Nach dem L e m m a yon ARTIN ist ~6 r 0, also gibt es ein z E K • , so dass
b: ~(~) ~ + r 1 6 2
~
~(~)r
in
K.
Diese Funktion von z nennt m a n eine I, agrangesche R e s o l v e n t e . Nun ist p(b)
p(z)+r162
Daraus folgt p(b ~)
l,, p(b) ~
r ~b ~
also r
b
b~ und p<(b ~)
b~ E Fix (K; Aut (K; k)) Urn noeh K von b. Da
und
p(b)
r lb.
b~ fiir alle r E N. Also ist k.
k(b) zu zeigen, betraehten wit das Minirnalpolynorn f E k [ X ] 0
f(g~(b))
f(~ ~b)
fiir
r"
0,...n-i,
hat f rnindestens n versehiedene Nullstellen, also ist [k(b) : k]
deg f _> n ,
Schlietglich ist wegen (C~b)~ - b~
X ' ~ - b '~
0 fiir r
sornit k(b)
g.
0,..., n - 1
(X-b)(X-~b).....(X-~'~
lb)
f.
354
III KORPERERWEITERUNGEN
5.10 LSsbarkeit yon Polynomgleichungen Das Ziel der klassischen Verfahren zur L6sung yon Polynomgleichungen war gewesen, die Nullstellen durch die Operationen in KSrpern und Wurzelziehen zu berechnen. Als Ergebnis suchte man nach Formeln mit gesch~chtelten Wurzelausdfiicken, wie sie fiir Polynome vom Grad < 4 auch gefunden wurden. Von einem etwas abstrakteren Standpunkt fiihrt das zu tblgenden Begriffen. Eine KSrpererweiterung K D k heigt Radikaler~weiter"ang, wenn es eine Kette K
L~ D . . . D L ~
DL~ 1 D . . . D L o
yon ZwischenkSrpern gibt, so dass es fiir jedes i n~ E N gibt, so dass Li
Li l(bi)
und
k
1, . . . , r e i n bi E Li und ein
b ~ E Li 1.
L~ entsteht also aus L~ 1 durch Adjunktion der Nullstelle b~ eines reinen Polynoms X "* - ai E L i 1 [ X ], oder durch ,,Ziehen einer n
KDLDk. Mat~ beachte, dass nach dieser Definition das Polynom X " - 1, also auch die Kreisteilungspolynome, durch Radikale 15sbar sind. Damit ist nicht bewiesen, dass sich die n-ten Einheitswurzeln durch ,,geschachtelte Wurzeln" berechnen lassen. Auf diese Frage kommen wir in III 5.13 zuriiek. Mit IIilfe der Galois-Theorie kann man diese Frage auf eine leichter zu entscheidende Aufgabe der Gruppentheorie zuriickfiihren: Theorem Ist k ein KSrl)er" mit chat" (k) folgende Bedingungen gleichwertig:
0, so sind fiir ein Polynom f E k[ X ]
i) f i s t dutch Radikale lSsbar. ii) Die Galoisgruppe Gal (f; k) ist auflSsbar. Ein technisches Problem beim Beweis entsteht dadurch, dass bei der Definition einer Radikalerweiterung nichts dat'iiber vorausgesetzt wird, dass die ErweRerunten in der K6rperkette galoissch sein sollen. Das ist dem Problem at~gemessen. In der Praxis hat sich schon bei der LSsung yon Polynomgleichungen kleinen Grades gezeigt, dass passende Einheitswurzeln unentbehrlich sin& Um die Galois-Theorie atlwenden zu kgnnen, ben6tigt man Galois-ErweRerungen. Daller benutzen wir zwei Hilt~aussagen, die atlschliegend gezeigt werden.
Lemma I
Zu jeder gegebenen Radikalerweiterung K
L~ D . . . D L ~
D...DLo
k
5.10 LOSBARKEIT VON POLYNOMGLEICHUNGEN
355
existiert eine modifizierte Radikalerweiterung K'
L~ D
. . .
D LjI D . . L Io .
Igl
Dk
mit folgenden Eigenschaften: a) If' D K und If' D k ist eine galoissche Radikalerweiterung. b) L} D L} 1 ist fiir j
1,..., s zyklisch, insbesondere galoissch.
c) k' k(r wobei r fiir geeignetes N E N eine primitive N-te Einheitswurzel ist. Insbesondere ist k' D k 9aloissch und Aut (k% k) abelsch.
Lemma 2 Sei L2 D L1 eine Galois-Erweiterung und r eine primitive n-te Einheitawur'zel. Dann ist auch die Erweiterung L2(r D L1(r
und Aut (L2(r
L1(r
galoissch,
< Aut (L2; L1).
Beweis des Theorems i) ~ ii) Gegeben ist eine KSrperkette K D L D k, wobei K D k eine Radikalerweiterung und L D k Zerf'allungskSrper yon f i s t . Zu der nach Lemma I existierenden KSrpererweiterung K' D k gehSrt nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie aus III 4.5 eine NormMreihe {idK,} < Aut (K'; L~ 1) < . . . < Aut (K'; L}) < . . . < Aug (K'; k') < Aug (K'; k) . Aus deln Isolnorphislnus Aut (K';L} 1)/Aut (K';L}) ~ Aut (L};L} 1) folgt, dass diese Faktorgruppe zyldisch ist; die Faktorgruppe
Aut (K'; k)/Aut (K'; k') - Aut (k'; k) ist abelsch. Also ist Aut (K'; k) auflSsbaz'. Da L D k als Zerfgllungsk6rper galoissch
ist, folgt
Aut (L; k) - Aut (K'; k)/Aut (K'; L).
Nach I 7.4 ist auch Gal (f; k)
Aut (L; k) auflSsbax.
i/) ~ / ) Ist L D k ZerfgllungskSrper yon f E k [ X ], so gibt es nach Voraussetzung eine Normalreihe {idL}
N, < N, 1 < . . . < Ni < Ni 1 < . . . < No
Aut (L; k)
Gad (f; k) .
(*)
derart, dass die Faktorgruppen Ni 1/Ni zyklisch sind (vgl. I 7.4). Zu (*) gehSrt nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie (III 4.5) eine K6rperkette
L
L~DL~ 1D...DLiDLi
1D...DLo
k,
356
III KORPERERWEITERUNGEN
wobei Li :
Fix (L; Ni), deraz't dass Li D Li 1 galoissch ist und Aut (Li; Li 1) ~ Ni 1/Ni .
Ni 1/Ni ist zyklisch, o r d ( N i 1/Ni) teilt n : o r d G a l (f; k). Um den Satz fiber zyklische Erweiterungen aus I I I 5.9 anwenden zu kSnnen, adjungieren wir zu k eine primitive n-te Einheitswurzel C- Naeh Lelnma 2 ist Li(C) D Li 1(~) galoissch und Aut (Li(C); Li 1(~)) < Aut (Li; Li 1) , also ist die Erweiterung Li (C) D Li 1(C) zykliseh. Nach I I I 5.9 gibt es ein bi E L i (C) und einen Teller ni yon n, so dass b~~ E L i 1(() und Li Li l(bi). Insgesamt erh/~lt m a n ein D i a g r a m m L(C)
u L
n
L~ 1 ( 0
n
...
n
L~(C)
n
...
n
L0(C)
k(C) n k
Da C" E k, ist k(C) D k und somit auch L(C) D k eine Radikalerweiterung; damit ist i) bewiesen. [] Wir haben gerade benutzt, dass die Eigenschaft Radikalerweiterung zu sein, t r a a sitiv ist. Ffir die Eigenschaft galoissch ist das nach Beispiel 1 aus I I I 4.6 nicht der Fall. Das hat m a n zu bedenken beim
Beweis yore Lemma 1 Z u n ~ h s t betrachten wir die bi E L i und die Exponenten ni E N mit b~~* E L i
1; wir setzen N
nl'...'n~
und
C:
.2rri. exp(~-).
Dann ist k / k(C) D k der ZerfgllungskSrper yon X N - 1 E k[X]. Aussage c) folgt daher aus I I I 5.6. Die Existenz der Radikalerweiterung K / D k zeigen wir nun dutch Induktion fiber r. Ffir r 0 ist K / k / D k eine galoissehe Radikalerweiterung. Angenolnmen, wit sind schon bei L~ 1 angekolnmen. Zur Vereinfaehung der Bezeiehnungen setzen wir L L~ 1, und wir betrachten das Diagramm K/ U K
D D
L/ U L
D D
k/ U k.
Dabei ist die Radikalerweiterung L I D k I mit Eigenschaft b) bereits konstruiert, L I D k ist galoisseh. /(i als Erweiterung yon K und L Iist noch zu konstruieren. L I D k ist Zerf~lungsk6rper eines Polynoms f E k[X] und K wobei ~ ~. Der Trick ist nun die Definition yon
g:
H ( X ' - p ( b ' ) ) EL'[X], wobei C :
~CC
L(b)
Aut(L';k).
mit b" E L,
5.11 DIE ALLGEMEINE POLYNOMGLEICHUNG
357
Die Koeffizienten yon g sind invariaat unter der Operation yon G, also sind sie in Fix (U; G) k enthalten, d.h..q E k [ X ] . Nun kSnnen wir K' D k als Zerf/llungskSrper yon f . g E k [ X ] erk~ren. K' enth~ilt nicht nur die n-ten Wurzehi yon a b~ E L', sondern auch die yon den Bildern p(a) ffir alle p E G. Offensichtlich ist L' C /<'; da g(b) 0, iblgt auch /< C /<'. Wegen der speziellen Form yon g i s t K ~ D U , und somit auch K ' D k ~ eine Radikalerweiterung. Ist K' D ... D Lj D Lj
1D...
D L~
einer der neu konstruierten Zwischenschritte, so ist Lj/
Lj, l(bj)
mit
bj E L i/
und
57rt E L i/
l,
wobei m Teller yon n und damit yon N ist. Da dann L} 1 die m-ten Einheitswurzeln enth~ilt, folgt aus III 5.8, dass L} D L} 1 eine zyklische Erweiterung ist. [] B e w e i s yon L e m m a 2 L2 D L1 ist nach III 4.4 Zerf'~llungskSrper eines Polynoms f E L I [ X ], die Erweiterungen Li(r D Li sind ffir i 1, 2 Zerf~illungskSrper yon X ~ - 1 E L ~ [ X ]. Also ist
L2(4) D L1 Zerf~llungskSrper yon f . (X ~ - 1) E L I [ X ]
daller ist diese Erweiterung galoissch, somit auch L2 (r D Li (r Offensichtlich ist Aut (L2(ff); Li(ff)) < Aut (L2(ff); Li). Die Erweiterungen L2(4) DL2 sind galoissch; nach III 4.5 gilt also p(L2)
EAut(L2(C);LI(C))
~
DL1 L2 ffir p E Aut (L2(C); L1). Also folgt
~EAut(L2;LI).
[]
5.11 Die allgemeine Polynomgleichung Von einer Formel zur Berechnung der Nullstellen eines Polynoms aus den Koeffizienten erwartet man, dass sie ffir beliebige Koeffizienten gfiltig ist. Formalisiert bedeutet das, dass man die Koeffizienten als Unbestimmte betrachtet. Genauer gesag% geht man yore Polynomring k[ S 1 , . . . , S,~] fiber zum QuotientenkSrper k(S1, . . . , S,~) und man nennt
f:
x~-s1x
~ ~+...+(-1T~&~Ks~,...,&)[x]
das Polynom ~-ten Grades mit a l l g e m e i n e n K o e J ~ z i e n t e n fiber dem Grundk0rper k. Der Sinn der alternierenden Vorzeichen und die Wahl der Buchstaben
358
III KORPERERWEITERUNGEN
S~ ffir die Unbestimmten wird gleich Mar werden. Uber einem Zerfiillungsk6rper K D k(S1,...,S,~) ist
f
(X-xl).....(X-x,)
mit
xl,...,x, EK
k(xl,...,x,).
Dabei wird benutzt, dass die Koeffizienten yon f die elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen sind (vgl. III 4.1). Dieses allgemeine Polynom hat eine maximale Galoisgruppe: Satz Ist f E k(S1, ...,S.,~)[X] das Polynom n-ten Grades mit allgemeinen Koeffizienten, so hat man einen Isomorphismus Ca] (f; ] ~ ( S 1 , . . . , S,n) ) ~ S n
Beweis Als Hilfsmittel benutzen wir das Polynom g:
mit allgemeinen Nullstellen. Die Gruppe 8, operiert auf k [ X 1 , . . . , X , ] durch Permutation der Unbestimmten Xi, damit auch auf k ( X 1 , . . . , X , ) . Aus dem Hauptsatz fiber symmetrische Polynome aus III 4.1 folgt Fix(k(X1,...,X,);8,)
k(Sl,...,s,)
.
Nach III 4.4 folgt, dass k ( X 1 , . . . , X , ) D k ( s l , . . . , s , ) galoissch ist, und Gal (g; k ( S l , . . . , s,)) ~ 8,. Um dax'aus die Galoisgruppe yon f zu erhalten, betrachten wir das Diagrmnm yon K6rpererweiterungen:
k(Xl,...,
u
u
J~(S1,..., Xn) A k(Sl,...,&)[X] ~ / Dabei sind die Homomorphismen
~(S,~)
---+~ ~
J~(Sl,.. ., 8n) A .g ~ kr . . . , s~)[X]
~ und q~ dureh Einsetzen erld/irt, also
si
und
~(Xi)
xi.
Zu zeigen ist, dass ~ und q~ Isomorphismen sind, und dass q~ i eine Fortsetzung von ~ ist. Offensichtlich ist ~ smjektiv. Dass ~ injektiv ist, wissen wir schon aus dem Hauptsatz in III 4.1; es Iblgt jedoch noch eimnal neu, denn die BeschrSxlkung yon q~ auf k(sl,..., s,) kehrt ~ urn. Da ~ die Koeffizienten yon f auf die Koeffizienten yon g abbildet, ist 9 eine Fortsetzung yon ~ i auf die Zerf'~llungskgrper yon g und fund somit Isomorphismus; also ist
Gal (f; k ( S l , . . . , S , ) ) ~ Gal (.g; k ( s l , . . . , s,)) ~ S, .
[]
Da die symmetrische Gruppe G, ffir n > 5 na~h 1 7.6 nicht auflSsbar ist, folgt na~h III 5.10 das
5.12 GLEICHUNGEN F U N F T E N GRADES UND DAS IKOSAEDER
359
K o r o l l a r Die Gleichung n-ten Grades mit allgemeinen Koej~zienten ist fiir n >_ 5 nicht durch Radikale 15sbar. Dieses Ergebnis geht zuriick auf Arbeiten yon RUFFINI (1799), ABEL (1824) und schlie~lich GALOIS (1831, ver6ffentlicht 1846, siehe [G]).
5.12 Gleichungen ffinften Grades und das Ikosaeder Obwohl die ,allgemeine" Gleichung yore Grad 5 nicht durch Radikale 15sbar ist, k6nnte man zun~chst noch hoffen, dass die Polynome in verschiedene Klassen zerfallen, fiir die sich jeweils ein spezielles LSsungsverfahren dutch Radikale finden liet~e. Dass auch dieser Ausweg verbaut ist, zeigen spezielle Polynome yore Grad 5 fEZ[X]
mit
Gal(f;Q)~Ss.
S a t z Sei f E Q [ X ] irr'eduzibel mit deg f 5. Hat f in seinem ZeffiillungskSr'per genau dr'ei r'eelle Nullstellen, so ist Gal (f; Q) ~ 85. Beispiel Das Polynom
g: x(x~-2)(x~+2) hat die drei reellen Nullstellen 0, -r Die Nullstellen yon g'
5X 4 - 4 sind + ~
x~-4x~z[x]
und die zwei komplexen Nullstellen -r
m +0.946, g(+0,946) m T3.026.
Also hat auch f:
g+2
XS-4X+2EZ[X]
genau drei Nullstellen; augerdem ist f nach Eisenstein irreduzibel.
/ .q(x)
x 5 - 4x
f(x)
x 5 - 4x + 2
360
III
KORPERERWEITERUNGEN
Beweis des Satzes Da f irreduzibel ist, folgt nach Tell b) des Lemmas aus III 4.2, dass ordGal (f; Q) durch 5 teilbar ist. Fiir den ZerfgllungskSrper K D Q yon f gilt K
Q(ecl, ec2,eca,:c4,:cs) mit
:cl,:c2,:ca 9
x4,xs 9
und da f 9 Q[ X ] ist 74 ms. Also ist K invariasit unter der komplexen Konjugation T, die xl, x2, xa fest lfisst. In 85 ist r eine Transposition. Daanit folgt der Satz aus dem Lemma
Sei p eine Primzahl und G < gp eine Untergruppe mit folgenden Eigen-
schaften:
1) p teilt ord G. 2) G enthiilt eine Transposition. Dann ist G
gp.
Beweis Nach dem Satz yon CAUCHY aus I 6.11 gibt es ein a 9 G mit o r d a Nach dem Balm-Lemma aus I 4.3 muss
p.
sein, also ist cr ein p-Zyklus und man kann die Nummerierung so wghlen, dass cr ( 1 , . . . ,p). Welter kSnnen wir asmehmen, dass 7 (1, i) mit i 9 { 2 , . . . ,p}. Da p Primzahl ist, kSnnen wit cr durch cH 1 ersetzen und wegen cH 1(1) i geniigt es den Fall a ( 1 , . . . ,p) und 7 (1, 2) zu betrachten. Damit kann sich die Transposition ausbreiten: (2,3)
(1,...,p). (1,2). (1,...p) 1 9 G,
(3,4)
( 1 , . . . , p ) . (2,3). (1,...p)
(1,3)
(1, 2). (2, 3). (1, 2) 9 G
(1,4)
(1, 3) 9 (3, 4) 9 (1, 3) 9 G , u.s.w, und sehlie~lieh
(t J)
(1, i) . (1, j) . (1, i) 9
1 9 G, u.s.w.
Kir i , j 9
Damit enthglt G alle Trasispositionen und G I 4.5.
mit i / ~ j . 8p tblgt nach dem Korollas" aus []
Das Ergebnis, wonach Polynomgleichungen vom Grad fiinf und hSher nicht durch Radikale 15sbar sind, ist zun//chst negativ. Es entsteht aber daaach die Frage naeh asideren Hilfsmitteln zur LSsung. Damit haben sieh im 19. Jalirhundert vide Mathematiker beschSftigt, besonders FELIX KLEIN. ZunSchst einmal ist nach III 4.8 Mar, dass man fiir ein f E k [ X ] nach Adjunktion yon 5(f) zu k annehmen kann, dass Gal (f; k) < A~ . Fiir n 5 hat man die Ikosaedergruppe As. Mit Hilfe einer Operation yon A5 auf der Riemaamsehen Zahlenkugel P C u {oc} konstruiert KLEIN eine Ikosaedergleichung
5.12 GLEICHUNGEN FUNFTEN GRADES UND DAS IKOSAEDER
g~
361
((y2O + 1) - 228(Y 15 - y S ) + 494ylO)3
+ 1728aYS(Y l~ + l l Y 5 - 1) 5 E k [ Y ] . Das ist ein P o l y n o m yore G r a d 60 ord A5 mit einem P a r a m e t e r a E k. E r beweist damn, dass nach eventuellen quadratischen Erweiterungen die Nullstellen yon f mit Gal (f; k) ~ A5 durch A d j u n k t i o n yon Nullstellen y yon g~ fiir geeignetes a E k erhalten werden kSnnen. Das P o l y n o m g~ ist eine Art yon R e s o l v e n t e , allerdings yore G r a d 60, aber yon einer sehr speziellen Form u n d mit nur einem yon f abhih~gigen P a r a m e t e r a. U n d schliet~lich kann m a n die Nullstellen y yon g~ durch h y p e r g e o m e t v i s c h e R e i h e n erhalten, das sind Potenzreihen der Form
1+ ~
oo
~(~+ 1 ) . . . . . ( ~ + ~ - 1) ~(~ + 1 ) . . . . . ( ~ + ~ - 1 ) ~
Yt=l
mit Parametern
a, b, c E C, wobei -c E N.
Diese Untersuchungen yon KLEIN sind zusammengefasst in [K11 ]; eine sehr sch6ne Einffihrung findet man in [Sl]. Um die Neugier der Leser zu steigern, reproduzieren wir eine Abbildung aus [Kii], die das Bild eines Ikosaeders unter der stereographischen Projektion yon der Zahlenkugel auf die komplexe Ebene zeigt.
Eine H~li%e der Dreiecke ist schraffiert, daalit man die Wirkung der orientierungserhaltenden Symmetrien des Ikosaeders aus .45 besser verlblgen kann (siehe 1 5.5).
362
III KORPERERWEITERUNGEN
5.13 Darstellung
yon Einheitswurzeln
Das einfa~hste Beispiel eines reinen Polynoms ist X ~ - 1, sein Zerfs ist Q ( ~ ) D Q. Daher ist nach der in I I I 5.10 gegebenen Definition das Kreisteilungspolynom ~ durch Radikale 15sbar, demi ~;~ 1 E Q. Die Darstellung
sagt aber nichts aus fiber die mgglichen Werte yon 4,~, denn die n-te Wurzel ist eine mehrdeutige Funktion. Um mit 4,~ zu rectmen, kann m a n die Darstellung 27ri.
exp (77)
27r
27r
cos (77) + is n (77)
mit HiKe yon trigonometrischen Funktionen, also yon Potenzreihen verwenden. In der klassischen Literatur gibt es schSrfere Definitionen yon Radikalerweiterungen (vgl. etwa [vdW~, w dutch die das Wurzelziehen eingesehr/inkt wird. Aber sehon bei der L6sung kubiseher Gleiehungen mit HiKe der Formeln yon CARDANO muss man im ,,casus irredueibilis" dritte Wurzeln aus komplexen Zalllen ziehen, was im Allgemeinen nur mit HiKe yon Polarkoordinaten geht. Das Ziehen soldier Wurzeln wird eine irrationale R e s o l v e n t e genannt. Vom praktischen Standpunkt ist das auch nicht aufwgndiger als das Ziehen der Wurzel aus einer reellen Zalfl. Beides erfordert ,#tmlytische" Methoden, d.h. in diesem Pall Grenzwerte. Wir wollen nieht tiefer in diese Fragen des Purismus einsteigen, sondern etwas zu dem speziellen Problem ausffihren, ob und wie m a n ~,~ dutch Wurzelausdrfieke beschreiben kann. Denn diese Frage steht in engem Zusammenhang mit dem Problem der Konstruierbarkeit des regelmggigen n-Ecks und wurde yon GAUSS in Sektion VII seiner ,Disquisitiones Arithmeticae" behandelt. Dass es solche Formeln gibt, weig man ffir spezielle Werte von n aus der elementaren Trigonometrie:
C3 r r Cs Ci2
Etwa ffir n 1 und 2).
5 oder n
cos~+i.sin2~3
cos 7 + i . sin cos ~ + i . s i n cos ~ + i . s i n cos g + i . s i n
7~ ~ ~~ g~
2+il~ ,
i , 1 i_~_~ 2+ , "/2 2 + i@ , ~"/a - +i 89 .
7 ist die Darstellung schwieriger (vgl. I I I 5.14, Beispiele
Wir beschrSxiken uns zun/chst auf den Fall einer Primzalfl p. Ist r E C eine primitive p-te Einheitswurzel, so ist nach I I I 5.6 C :
Aut(Q(r
9 Q)
{pl,p2,...,pp
i}
mit
pi(r
r .
Da G nach II 1.11 zyklisch ist, gibt es mindestens ein 1 E {2,... ,p -- 1}, so dass
C
{id,~r162
2} ffir ~r
p~.
363
5.13 D A R S T E L L U N G V O N E I N H E I T S W U R Z E L N
Ein solches 1 nemit m a n in der klassischen Literatur eine P r i m i t i v z a h l rood p. Da G nach dem L e m m a aus I I I 4.2 auf den primitiven Einheitswurzeln einfach transitiv operiert, kann m a n sie durch ~6 in folgende Reihenfolge bringen:
~0: C,~l:
r
C1,~2: r
Cl~,...,~ 2: r
2(0
Cl ~ .
Durch diese Notation ist die Wirkung yon ~6 einfach in den Indizes auszudriicken: ~(~i)
~'/+1 und
~6<(~,~) ~,~+<, i E { 0 , . . . , p - - 2},
wobei in den Exponenten multiplikativ rood p und in den Indizes additiv rood p - 1 gerechnet wird. Ist nun p - 1
d. m, so ist die zu Zd isomorphe Untergruppe yon G gieieh H
Fiir i
Erz
{id,
(r
Cm
...,
r
1)rn} < G.
{ 0 , . . . , p - 2} ist die Balm Yon {,~ unter H gieich
H(~.i)
{~i,~i+rrt,...,~i+(d
1)m} 9
Fiir die m disjunkten Batmen der L/inge d bilden wir die B a h n s u m m e n
1)rn , J
~]j : ~j +~j+rn +...+~j+(d
0,...,~--
1 .
Man nennt q0, . . . , q,~ 1 auch G a u s s ' s c h e P e r i o d e n . Offensichtlich gilt q0,...,q~ Augerdem folgt aus ~6(qj) Also ist fiir alle j
1E K
Fix(Q(r
.
qj+l, dass p(qj) ~ qj fiir p E G \ H.
Aut (Q(r
H
und sornit
K
Q(qj) .
Damit haben wir Folgendes bewiesen: S a t z f i b e r die G a u s s ~ s c h e n P e r i o d e n Sei p eine Primzahl, C E C eine primirive p-re Einheitswurzel und m ein Teiler von p - 1. Fiir den eindeutig bestimmten ZwischenkS~per @(O n K n @
.,it
[K : @]
.~
fiir jede der Gauss'schen Perioden q 0 , . . . , q~ 1.
gilt
K
@(~Js) []
Man kann sogar zeigen, dass ( q 0 , . . . , q~ 1) eine Basis des Q-Vektorraumes K ist. K o r o U a r Fiir jede Primzahl p ist eine primitive p-re Einheitswurzel (p E C dutch ,geschachtelte Wurzeln" darstellbar. Wit haben darauf verzichtet, eine form~le Definition yon ,,geschachtelten Wurzeln" zu geben. Der Beweis und die Beispiele werden das Ergebnis erkl~h'en.
III KORPERERWEITERUNGEN
364
D a ffir verschiedene Primzalllen p, q nach I 3.9
is% kmin m a n die Einheitswurzeln auch ffir alle f~ mit f~
pl 99999 p ~ , pl, 99 9 p~ paarweise verschieden,
berechnen. Den Fall f~ S wollen wir hier nicht weiter verfolgen, daraus folgt d a m die Darstellbarkeit ffir alle f~ (vgl. dazu etwa [Fr, p. 418]). Eine Ausnalmie ist der Fall p 2: Die Einheitswurzeln
42,- ~ c sind ganz einfach durch geschachtelte quadraWv'urzeln darstellbaz'.
Beweisskizze yiir das Kor'ollar
W i r benutzen die bis auf Reihenfblge eindeudge
Primfaktorzerlegung phi der zyklischen G r u p p e G b e s d m m t e UntergTuppen Hi < G
mit
1
ql 9 . . . " q~ 9
A u t (Q(@); Q) der O r d n u n g p - 1 gibt es e i n d e u d g ordHi
ql'...'q,~
ffir
i
1,...,r'.
Dmnit erhglt m a n eine Normalreihe {id} ~ H1 ~ . . . ~ H,~ l ~ . . . ~ H ,
G.
Daraus konstruieren wir das folgende D i a g r a m m yon KSrpererweiterungen:
U
q(r
U
~
U
1/s
~ ...
~
1~'i
U 1
~
1~'i
~ ...
Dabei ist K,i Fix(q(~/);H,~), also [K,i 1 : K,i] Gauss'schen Perioden ist K,~
~
U
U
/~r'
q
q,i. Nach dem Satz fiber die
Q(r/(~)) , wobei r/(~) die Lange q~ . . . . . q ~
[ q ( 0 : K,~]
hat. D a die qi Teiler von p - 1 sind, ist qi < p- W i t k6nnen also annehmen, der Satz sei schon ffir ql, 9 .., q~ bewiesen, und K,~ :
K,i(r162
ffir
i
1,...,r"
setzen. D a [K,~ 1 : K,~] ein Teller yon q~ ist (Lelnma 2 in I I I 5.10), genfigt es, den Fall [K,~ 1 : K,~] q,, zu betrachten. D a Cq~ E K,~, gibt es nad~ dem allgemeinen Satz fiber zyklische Erweiterungen aus I I I 5.9 ein biEK,~
I
1
mit
I
qi
I
In diesem Fall kann m a n a b e t mit der M e t h o d e von GAUSS explizit ein P o l y n o m fi E K,~[X] angeben, das alle q~+l " . . . "q., Perioden @ ) als Nullstellen hat. Das wollen wir nicht allgemein auNchreiben, sondern nur in charakteristischen Beispielen vorffihren. D a m i t ist nicht nur die Existenz von Wurzeldarstellungen bewiesen, m a n kann sie in vielen Fgllen aueh berechnen. []
5.14 BEISPIELE
365
5.14 Beispiele Beispiel 1 Wir berectinen einen Wurzelausdruck ffir ,2rri.
r
Die Gruppe C
Aut (Q(r
r
exp(7- ).
Q) wird erzeugt yon
~ mit ~(r
r
denn 3 ist eine Primitivzahl mod 5. Wir ordnen die vier primRiven Einheitswurzeln nach dem Schema
{1
{0
r
{2
r
{3
r
r
Die einzige Untergruppe yore Index 2 in G i s t H:
{id,~6 2}
und miter der Operation yon H gibt es die zwei Bahnsumlnen
~Io
{o + {2
r+ r
und
I11
{1 @ {3
r @ r .
8% sind reelle Perioden und Nullstellen des fiber Q irreduziblen Polynoms (X
Daraus
erhglt man
-
f]o)(X
-
I]1 )
X 2
-
1 .
die Darstellungen
~1 (-1 - r
1 (_ 1 + ,~5) und I]1 Sehlieglieh sind r und r 1
r Nullstellen yon
(X - ( ) ( X - ( 1 )
r
@X
X 2 -
I]o x
88(-1 + x/g) + i 989~/89(5 +
Den letzten Schritt kann man qo
2rer
@ 1,
also
x/g) ~ 0.309 + i 0.951.
auch direkter sehen: also
imr
~/i - (rer 2 .
~0
~2
366
III KORPERERWEITERUNGEN
r : Cr benutzt man, dass 3 eine Primitivzalfl
B e i s p i e l 2 Zur Berechnung von rood 7 ist (Beispiel 1 in II 2.5).
~2
G Dalmr wird G :
Aut (Q(C); Q) e r z e u ~ yon
~6 mit
~6(C)
C3.
Dem entsprechend werden die primitiven Einheitswurzeln angeordnet nach iblgendem Schema:
~o
&
&
&
&
&
r
43
42
46
44
45
Da 7 - 1 6 2 93, haben wir zwei MSglichkeiten zur Auswalfl einer echten Zwischengruppe H , wir nehmen H :
Erz (~63)
{id, ~63}.
Dann erhalten wit drei Balmen der L/iage 2 und daraus die reellen Perioden
rio
~o+&
r162
&+&
Ca+r
&+&
r162
Diese sind Nullstellen yon f:
(X - rJo)(X - rj,)(X - rJ2)
X 3 + X 2 - 2X - 1.
Die gr6Jgte der drei reellen Nullstellen yon f , ngmlich z l r/o, hatten wir im Beispiel 2 aus I I I 5.3 schon mit der Methode yon CARDANO ausgerechnet: rio
1.246979...
r
7 rjo+ i
2rer
2 cos ~ ,also
- 88 2 ~ 0.623 + 0.7s2. i
Dieses Ergebnis zeigt zungchst, dass m a n fiir Cr einen Wurzelausdruck angeben k a m . Besonders interessaat d a r a a ist aber, dass m a n neben Quadratwurzeln auch
5.14 BEISPIELE
367
dritte Wurzeln ziehen muss. Daran erk~inte GAUSS, dass man ein regul/ires 7-Eek nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren kann (vgl. III 6.5).
Beispiel 3 Zur Bereehnung von C ~17 als Wurzelausdruek nach der Methode von GAUSS verwenden wit 3 als PrimRivzahl rood 17. Dann erhaRen die primRiven 17-ten ginheitswurzeln die Reihenfolge: {0 {1 {2
{3
{4 {5 {6
~,,/
{7
{8
5<7\ \ \
{9 {10 {11 {12 {13 {14 {15
t /
\ \t / /
/\
_A
{, r
Die Gruppe G
Aut (Q(C); Q) ist erzeugt yon "6 mit @(~)
~3 , also @({,i)
{i+l ,
und in G hat man die Untergruppen Hi:
Erz('6 i)
fiir
i
1,2,4,8,16
und dementsprechend die K6rper K,i:
Fix (Q(C); Hi)
mit
[K,i:Q]
i.
In dem folgenden Diagramm sind rechts neben den entsprechenden K6rpern K,i die darin enthaltenden i Gauss'schen Perioden der LUnge @ eingetragen. Wie man sich leicht iiberzeugt, sind die qi, q~ und q,~/reell. Erst in der letzten Erweiterung dutch ~0 C werden die reellen Zahlen verlassen.
368
III KORPERERWEITERUNGEN
(~(.~)
/i~16
{0, {1,
@(,;1)
Ks
{o + & , ~ E
u
u
.61 ,~' ~J6 ~
{o + {4 + & + & + {10 + {14, /~]3 {3 + { 7 + {11 + {15
~/o
{o + & + {4 + { 6 + {8 +{12 +{14
T]l
{1 + {3 + {5 + { 7 + {9 +{13 +{15
--1
{0 + {1 + 9.. + {15
u
u
u
u
~(,o)
~2
u
u
Q
K1
9
{4
9
9
{15
~
{1+{9,~d &+{lO,~d &+{11 + {12, ~j~/ & + {13, ~j~/ & + {14, ~j~/ {7 + {15
Damit sind wir geriistet ffir die Berechnung yon C17. Im ersten Schritt betrachten wir die Perioden q0 und ql. Sie sind die Nullstellen yon ( X - ~r]o)(X -/~]1) 1
also iSib q0,1
X 2 - (~r]o + ~r]l)X + ~r]O~r]l
X 2+ X - 4 ,
1~.
--~- -l-
hn n~ichsten Schritt w~ihlen wir ~/~ und q~, das sind die Nullstellen Yon (x - ,~)(x
alSO ist
710,21
- 4)
~L -I- 1G~
x 2 - (,~ + 4 ) x
+ 4 und analog
+,~4
x 2 -,oX
7]~,3 ~- -I- 1 1/~12 +
- 1,
4.
hn vorletzten Schritt wghlen wir die Perioden q~/und q~/. Es ist (X-
~r]lOI)(X- ~r]141)
L~l + 1
II also folgt qo,4
X 2
1/(,1~o)2
_
_
. . (~r]lol + ~r]141)X + ~r]o~r]4
X 2
/ - ~r]oX + ~r]l/ ,
4q~.
hn letzten Schritt ist (X - {o)(X
also
{o,~ ,,~ +
- {8)
(X - {)(X
- {
1)
X 2 _ ~r]101x
+ i ,
1 ,/(,6,)2 _ 4.
2~ genfigt es, diesen Wert auszurechnen. Da fl~I 2 cos 7, man das Ergebnis yon GAUSS [Ga3, w 365]: COS 2~ 17
2i/~1// 0 +
~(
__
1+X/~+1/34
Durch Einsetzen erhSlt
2X/~)
81 ~/17 + 3 ~ f 7 -- 1/34 - 2 x/f7 - 2 1/34 + 2 x / ~ ~ 0.932
wobei alle Quadratwurzeln positiv gewShlt sin& Wer es nachrechnen nutze in der letzten grogen Wurzel die Beziehung
(i + ~fff(1; 2w
letir sin 7
- ~ff)
m6chte, be-
16. (17 + ~ff).
erh~it man noch eine weitere Quadratwurzel.
Zu dieser Rechnung
und ihrem Ergebnis sind einige Bemerkungen
azlgebracht.
5.15 DAS UMKEHRPROBLEM DER GALOIS-THEORIE
369
Die vier Sehritte der Reehnung mit der L6sung yon quadratischen Gleichungen sind fast identisch. Das ist ein klassisches Beispiel fiir ein Iterationsverfahren. Alle Koeffizienten und alle Lasungen der quadratisehen Gleichungen sind reell. Die komplexen Zahlen bleiben im Hintergrund: Sie erklgren die Situation und helfen bei der Berechnung der Koeffizienten der quadratischen Gleichungen. Man bedenke dabei, dass es zur Zeit yon GAUSS die abstrakten Begriffe yon KSrper oder Gruppe noch nicht gab. Im Ergebnis kommen nur gesehachtelte Quadratwurzeln vor. Dalier kaxm maw die Bereehnungen aueh geometriseh realisieren. Dies f~hrt zur Konstruktion des regelmggigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal (vgl. III 6.5).
5.15 Das Umkehrproblem der Galois-Theorie Bei der Berechnung yon Beispielen ffir Galoisgruppen hat sich schon gezeigt, dass sehr viele Arten endlicher Gruppen auftreten kSnnen. Wenn man beliebige GrundkSrper zul/isst, ist alles klar:
Bemerkung Zu jeder endlichen Gruppe C gibt es eine Galoiserweiterung L D K , so dass Aut (K;L) ~ C . Beweis
Nach dem Satz y o n CAYLEY aus I 4.2 gibt es ein n, so dass C < g~. Ist k
Q(S~,...,S,~), f
X~-S~X
~ ~+...+(-1F~S,~ ~k[X]
das Polynom mit allgemeinen Koeffizienten und K D k ZerfgllungskSrper von f, so ist na~h III 5.11 Gal (f; k) Aut (K; k) g~. Ist L :
Fix (K; C), so tblgt aus III 4.5 Aut (K; L)
C. []
Weit sehwieriger ist die Frage, welehe endliehen Gruppen als Galoisgruppe eines Polynoms mit Koeffizienten aus einem vorgegebenen KSrper k, etwa k Q, auftreten kSnnen. Anschliegend werden wir zeigen, dass jede endliche abelsche Gruppe als Galoisgruppe eines Polynoms f E Q[X] auftritt. HILBS,aT bewies 1892 das gMche Ergebnis fiir g~ und A~ und formulierte die allgemeine Frage. Aus der langen Liste yon Arbeiten zu diesem Thema ist die positive Antwort yon SHAFAREVIC [Sa] aus dent Jahr 1954 fiir auflSsbax-e Gruppen hervorzuheben. Viele Einzelheiten und historisehe Anmerkungen zu diesem Thema findet maw etwa bei [Ma]. Wir begnfigen uns hier mit dent relativ einfaehen Beweis yon folgendem
370 Satz
III KORPERERWEITERUNGEN Zu jeder endlichen abelschen Cruppe G gibt es eine Galoiserweiterung KDQ
mit
Aut(K;Q)~G,
wobei K UnterkSrper eines KreisteilungskSrpers Q(r
ist.
Das ist eine einfactie Folgerung aus dem gruppentheoretischen Lemma Zu jeder endlichen abelschen Gruppe G gibt es ein n E N und eine Untergruppe H d e r Primrestklassengruppe Z,~, so dass
Beweis des Satzes Q(r
Sei n wie im L e m m a gew~ihlt; nach I I I 5.6 ist die Erweiterung DQ
galoissch mit
Aut (Q(r
~ Z~x .
Nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie aus I I I 4.5 ist
Aut(K;Q)~Z,~/H~G
Fix(Q(r
ffir K
[] Z u m Beweis des L e m m a s kaan m a n ein Ergebnis aus der mialytisehen Zah]entheorie fiber Primzahlen in a r i t h m e t i s c h e n P r o g r e s s i o n e n benutzen: S a t z v o n DIRICHLET
Sei n E N und n > 2. Dann gibt es in der Folge (kn + I)~cN
unendlich vide Primzahlen. Beweis des Satzes yon DIRICHLET Angenommen wir haben in der gegebenen Folge schon Primzahlen p l , . . . ,p< mit r > 0 gefunden. Wir zeigen die Existenz einer weiteren davon verschiedenen Primzahl p. Dazu betrachten wit x : n . p l . . . . . p < > 2 (mit x lungspolynom ~)~ E Z [ X ], den Wert
n ffir r
0), das Kreistei-
~)~(x) E Z \ {0, +1, - 1 } und einen Primteiler p yon ~)~(x) . Es genfigt ffir dieses p zu zeigen, dass p{x
und
hi(p-l),
d.h. p
kn+l
ffirein k .
Da ~)~ Teller yon X ~ - 1 is% folgt p ] ( S ~ - 1), also S ~ - 1 ( m o d p ) . Daher kann p kein Teiler yon x sein. Zum Beweis der zweiten Behauptung betrachten wit die multiplikative Gruppe Z~ der Ordnung p - 1 und m:
ord(x+pZ)
in
Z~.
5.15 DAS UMKEHRPROBLEM DER GALOIS-THEORIE
D a S ~ - 1 ( r n o d p), folgt r a i n ; es g e n i i g t m n zu zeigen. A n g e n o m m e n m i t 1 < m < n. D a n n ist a u c h x ~ - 1 ( r n o d p ) u n d
s
-1
371
n
d. m
(s )d
D a ~)~ n a c h I I I 5.6 ein T e i l e r y o n ( X ~ - 1 ) / ( X ~ - 1) ist, i b l g t ~)~(x)
X n -- J
teilt
x ~ - 1 ' also p t e i l t d .
D a s ist ein W i d e r s p r u c h , d e n n p ist k e i n T e l l e r y o n x u n d d a h e r a u c h k e i n T e i l e r y o n d. []
Beweis des Lemmas Z /91 x ..... /9,, ~ Z /91 x
X
W i t k o n s t r u i e r e n ein D i a g r a m m .
.X
.
.
Zpx~ ~
.
Z/91
.
1~
~Zp
,, l ~ Z q l ~
... ~Zq,~G
y o n I s o m o r p h i s m e n u n d e i n e n E p i m o r p h i s m u s p w i e folgt. Zun/Lchst g i b t es n a c h 1 6.5 P r i m z a h l p o t e n z e n qxv 9 . . v qr~ SO d & s s G ~ Zqx 9 . . . 9 Zq~. Z l l j e d e m i g i b t es n a c h d e m S a t z y o n DIRICHLET u n e n d l i e h v i d e M S g l i e h k e i t e n , e i n e P r i m z a h l p~ so zu w ~ h l e n , d a s s q~ T e l l e r y o n p~ - 1 ist, also e i n e n E p i m o r p h i s m u s Pi " Zp~
1 ---+ Zq~ .
D a b e i k 6 n n e n w i r p x v . . . v Pr 81S paas-weise v e r s c h i e d e n w ~ l e n . Z p~ X ~ Z p .z 1
also k a n n m a n n :
Homomorphismus
und
N a c h I 3.12 ist
Z Pl'...'P~• ~ Z Pl • X ... X Z~, t
p l " . . . "p~ u n d H < Z.,x als K e r n des d u r c h p v e r u r s a ~ h t e n
erld~ren.
[]
Dass in obigem Satz /{ als Unterk6rper eines Kreisteilungsk6rpers konstruiert wurde, ist beg~'iindet durch den klassischen
[We2] Ist K D Q eine Galois-Erweiterung mit abelscher Galoisgruppe, so kann man K zu einem Kveisteilungsk&l~er Q( G~) erweitern.
Satz von KRONECKER und WEBER
E i n e n Beweis f i n d e t m a n e t w a b e i [Ne].
372
III KORPERERWEITERUNGEN
w6 G e o m e t r i s c h e K o n s t r u k t i o n e n Gegenstand dieses letzten Paragraphen sind idassische geometrische Probleme, an denen - wie bei der Frage nach der LSsbarkeit yon Polynomgleichungen - seit der Antike gearbeitet wurde. Besonders bekannt sind die Iblgenden Aufgaben: I. Delisches Problem der Wllrfelverdoppelung Aus der Kante eines gegebenen Wiirfels soll die Kante eines Wiirfels mit doppeltem Volumen konstruiert werden. .r ......
7.~,
lZl --J 1"
2. W i n k e l d r e i t e i l u n g Ein gegebener Winkel ist in drei gMche Teile zu zerlegen.
3. Q u a d r a t u r des Kreises Zu einer gegebenen Kreisscheibe ist ein Qua&at mit gleichem Fl~icheninhalt zu konstruieren.
4. K o n s t r u k t i o n regelm~ifgiger n-Ecke In einen vorgegebenen Kreis soll ein
regelm~iges n-Eck einbeschdeben werden.
6.1 KONSTRUKTIONEN MIT ZIRKEL UND LINEAL
373
hn Folgenden wird pr/izisiert, welche Hili~lnittel bei der Konstruktion zugelassen sind. Dann kSnnen die Probleme in die Algebra iibersetzt und gel6st werden. Fiir die ersten beiden Probleme reichen ganz elementare Techniken der Kgrpertheorie; fiir Problem 4 benStigt man die Kreisteilungstheorie aus w
6.1
K o n s t r u k t i o n e n mit Zirkel und Lineal
Zun~chst miissen die Spielregeln pr~zise festgelegt werden; dafiir gibt es natiirlich viele Alternativen. Nach den klassischen Regehl darf man einen Zirkel und ein Lineal (ohne Markierungen) verwenden.
Ausgangspunkt ist die Zeiehenebene ]R2 mit einer vorgegebenen Teilmenge M c ]R2 yon Konstruktionsdaten. Nun werden drei Arten yon elementaren Konstr~ktionsschritten zur Vergr61~erung yon M erkl/irt. Dabei bezeichnet p V q die mit dem Lineal dutch Anlegen gezeichnete Verbindungsgerade yon zwei verschiedenen Punkten p, q E ]R2. Weiter bezeichnet K(p; p) fiir p E ]R2 und p E JR+ den 1nit deln Zirkel gezeichneten Kreis yon Radius p mit pals Mittelpunkt. Typ man
I Zu pl, qi,p2, q2 E M den Sehnittpunkt
mit pl ~ ql, p2 ~ q2 und (pl V ql) ~ (p2 V q2) nehme
p:
( > v q~) n ( > v q~)
(falls er existiert) zu M dazu.
q2 Typ II Zu P, Pl, ql,P2, q2 E M mit pl ~ ql und p2 ~ q2 zeichne man die Gerade pl v ql und durch Abtragen des Abstandes den Kreis K(p; II p2 - q2 II). Falls sie existieren, nehme man die Schnittpunkte
( > v w ) n K(v; II w - w II) zu M dazu.
q2
374
III KORPERERWEITERUNGEN
T y p I I I Zu P, Pl,P2, q, ql, q2 mit p / 4 q, Pl /4 P2 und q l / 4 q2 zeichne m a n durch Abtragen der Abst/inde die Kreise K(p; II pl - p 2 II) sowie K(q; II q~ - q2 II), und nehme (falls sie existieren), die Schnittpunkte
K ( p ; II pl - p 2
II) n K ( q ; II ql - q2 II)
zu M dazu. ql
q2
~-~--
Somit wird M in jedem elementaren KonstrukUonsschritt um h6chstens zwei Punkte erweitert. Nun erklgren wit fiir eine beliebige Teilmenge M C R 2 die Menge Kon (M) C R 2 als die Menge der aus M mit Zirkel und Lineal konstr~tierbaren Punkte. Dabei liegt ein P u n k t p E R 2 genau dann in Kon (M), wenn es ein n E N und eine Kette M:
MoCM1C...C2V~,~C]R
2
gibt, so dass jedes M~ aus M~ 1 in einem elementox'en Konstruktionsschritt erha1ten werden kann, und p in M,~ liegt.
6.2
Der KSrper der konstruierbaren P u n k t e
D a die meisten der angegebenen geometrischen Probleme unl6sbar sind, muss nlaa ein abstraktes Hindernis gegen eine LSsung finden. D a hilftdie Algebra: Wir identifizierendie Zeichenebene R 2 mit der Gauss'schen Zahlenebene C und betra~hten die Menge Kon (M) sls Teilmenge des K6rpers C. Der Schliisselz u m Erfolg ist der Satz
Sei M C C eine Teilmenge, die 0 ~tnd 1 enthiilt ttnd
M:
{z6C~6M}.
Dann gilt: a) Kon (M) C C ist ein UnterkSrper. b) Q ( M u M) C Kon (M) ist UnterkSr'per und Kon (M) c) Ist b E C und b2 E Kon (M), so gilt auch b E Kon (M).
Kon (M).
6.2 DER K()RPER DER KONSTRUIERBAREN PUNKTE
375
Anders ausgedr[ickt: Die Menge der konstruierbax'en P u n k t e ist abgesehlossen unter den KSrperoperationen, komplexer Konjugation und dem Ziehen yon Quadratwurzeln.
Beweis Zum Nachweis von a) sind zun/iehst geometrisehe Konstruktionen fiir die in einem KSrper erforderlichen algebraischen Operationen anzugeben. S u m m e n u n d Negative Zu a, b E Kon (M) sind aueh a + b und - a in Kon (M). Hierzu genfigen die Punkte a, b und 0 E Kon (M).
b
Wie m a n an der Konstruktion yon a + b sieht, sind aueh Parallelen zu gegebenen Geraden konstruierbar.
Produkte u n d I n v e r s e
Sind a, b E Kon (M), so kann m a n a . b nach dem Strahlensatz konstruieren, indem m a n auch 1 und einen weiteren nicht reellen konstruierbaren P u n k t p E K o n ( M ) , etwa p exp(57ri/3) benutzt.
a.b
Ganz analog kann m a n zu a E Kon (M) \ {0} das Inverse a 1 konstruieren. Zum Nachweis yon Q ( M u M) C Kon (M) bemerken wit zun/ichst, dass wegen 0, 1 E M auch Z C Kon (M). Da Kon (M) C C UnterkSrper ist, folgt Q ( M ) c Kon (M). Es gibt eine einfache geometrische Konstruktion fiir die
K o m p l e x e K o n j u g a t i o n Mit a E Kon (M) ist aueh ?7 E Kon (M). Dax'aus folgt
b).
G
0
376
III K O R P E R E R W E I T E R U N G E N
Zum Nachweis yon c) muss man zu jedem a E Kon (M) die komplexen q u a d r a t wurzeln b, b' konstruieren. Dazu benutzt man die Darstellungen
Also geniigen die folgenden Konstruktionen. F i b z E R+ konstruiert man @7 E R+ nach dem I-I6hensatz mit Hilfe des ThalesKreises:
-x Fiir a E C mit [a[
0
l
1 konstruiert man die Quadratwurzeln b, b': \ a
6.3
b
N
Struktur des KSrpers der konstruierbaren Punkte
Im einfachsten Fall M
{0, 1} hat man einen ZwischenkSrper
q c Kon (0, 1) c <;. Die entscheidende Frage ist die Struktur der KSrpererweiterung Kon (0, l) D Q. Es zeigt sich, dass der Grad zwar unendlich ist, aber sie ist algebraisch yon einer sehr speziellen Art. Genauer hat man den folgenden
Struktursatz
Sei M C C mit O: 1 E M . Dann gilt:
a) Die KSrpererweiterung Kon (M) D Q ( M o M) ist algebraisch.
b) [Kon (0, 1) 9 <~]
~.
c) Ein Punkt z E C liegt genau dann im UnterkSrper Kon (M) C C, wenn es eine Kette Q(M
U M)
Lo C LI C ... c L~ c C
yon ZwischenkSrpern gibt, mit z E L< und [L{ 9 L{ i] < 2 fiir i
i, ...,r.
6.3 S T R U K T U R DES K O R P E R S DER KONSTRUIERBAREN P U N K T E
3"/7
Dass nirgendwo in der Kette ein hSherer Grad als 2 auftreten kann, ist natiirlich durch die Regeln fiir die geometrische Konstruktion bedingt. Das wird pr~zisiert durch das Lemma
Sei L C C ein UnterkSrper m i t L L u n d i E L. S,ind dann z, z ~ E C in e i n e m elementaren S c h r i t t aus L konstruierbar, so gibt es ein w E ]R derart, class w 2 E L und z~ z ~ E L ( w ) . I,nsbesondere ist L(w)
L(w)
und
[L(w) " L] < 2 .
Kfirzer ausgedriickt: Die yon elementax" konstruierbax'en Punkten verursachten KSrpererweiterungen kSnnen durch die Adjunktion yon Quadratwurzeln erreicht werden. Beweis des Lemmas Obwohl wir die konstruierbaren Punkte als komplexe Zahlen ansehen, mfissen die Gleichungen ffirGeraden und Kreise reellim Vektorraum R 2 beschrieben werden. Nach den Voraussetzungen L L u n d i E List mit jedem p E L auch 1
re(p)
~(p+~)~L
und
ira(p)
1
5(p-p)~L.
Das werden wir gleich benutzen. Wir machen nun eine Fallunterscheidung je nach dem Typ des elementaren Konstruktionsschrittes, durch den z und z' aus L entstehen. T y p I: Dann gibt es A~# E JR, so dass
z
pl+),(ql-pl)
p2+p(q2-p2).
Zerlegt man diese Bedingung filr A und # in Real- mid Imagin~h'teil~ so erh~ilt man ein inhomogenes lineares Gleichungssystem fiir A und # mit Koeffizienten in L A ]K Seine LSsung liegt auch in L A JR; damit ist sogar z E L und [L(z) 9 L] 1. T y p II: In diesem Fall ist Z,Z I E
wobei
(/91 V ql) I~1U(p;p) ,
p2 II P2 - G2112~ L n JR. Mit HiZfe der Zerlegungen p
erhalten wit fiir z, z'
a+ib,pl
al+ibl
und
ql
cl+idl
pl + A (ql - pl) die quadratische GMchung
(a I + A(C1 _ a l ) _ a)2 + (b I + A ( d l _ bl ) _ b)2
/:)2 .
Ausmultipliziert ist sie Yon der Form gA2+flA+7
0
mit
c~,fl, T E L A ] R .
(*)
378
III KORPERERWEITERUNGEN
Da pl /~ ql, ist c~/~ 0; also muss f12 _ 4c~7 _> 0 sein, weil es nach Voraussetzung (nicht notwendig verschiedene) Schnittpunkte z, z ~und damit reelle LSsungen ),, ),~ der GMchung (,) gibt. Also ist
w:
~/f12_4~.y6R
die gesuchte Wurzel (vgl. III 5.1). T y p III: Sind z, z ~ die Schnittpunkte zweier Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten und den Gleichungen (x - ~1) 2 + (y - ~1)2
p~
wobei ai, bi, p~ E L A JR, so erhiilt man dutch Subtraktion eine lineare Gleichung (~ - ~2)~ + (~ - ~2)y mit Koeffizienten in L A JR. Sie beschreibt eine reelle Gerade C in ]R2 C, und da L ein K6rper ist, geht sie auch durch zwei verschiedene Punkte p, q E L. Da~nit sind wir in der gleichen Situation wir bei Typ II, da der Durchsdmitt der beiden Kreise gMch dem Durchschnitt yon einem der beiden Kreise mit der Geraden G ist.
[] Diese letzte Uberlegung ist entscheidend daffir, dass bei den Konstruktionen mit Zirkel und Lineal immer nur quadratische Erweiterungen entstehen: Zwei Kreise schneiden sich in hbchstens zwei Punkten. Bei allgemeineren Kegelschnitten (d.h. Kurven vom Grad 2) wie Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln kann man vier Schnittpunkte und damit KSrpererweiterungen bis zum Grad 4 erhalten. Allgemeiner haben Kurven vom Grad m u n d n bis zu m 9n Schnittpunkte (vgl. dazu etwa [Fi3]).
Beweis des Satzes
Zungchst sei bemerkt, dass a) aus c) iblgt, denn ffir jedes z E Kon (M) gibt es nach c) ein L~ mit zEL~
und
[L~'Q(MUM)]
teilt 2 ~.
6.3 STRUKTUR DES KORPERS DER KONSTRUIERBAREN PUNKTE
379
A d b) Aus - 1 kann man durch wiederholte Winkelhalbierung iterierte Quadratwurzeln ziehen. Also ist
w~:
exp(~)
EKon(0,1)
ffiralle
hEN.
Minimalpolynom yon w~ fiber Q ist X 2~ + 1. Daraus folgt die Behauptung. c) Angenommen, es gibt die m~gegebene K6rperkette. Die Schritte mit [L~ 9 L~ 1] 1 sind trivial; im Fall [L~ 9 L~ 1] 2 ist L~ L~ l(Z), wobei z E C Nullstelle eines irreduziblen Polynoms Ad
X2 +pX +qE
Li I [ X ]
ist. Dann kann Li fiber Li 1 auch erzeugt werden yon ~2-4qEC. Da Quadratwurzeln konstruierbar sind, ist auch z konstruierbar. Ist z E Kon (M) gegeben, so konstruieren wir die Kgrperkette durch wiederholte Anwendung des Lemmas. Nach Voraussetzung gibt es eine Kette M
M0 C M 1 C . . . C M , ~ c C
yon Teilmengen, so dass z E M,~ und jedes M,~ aus M~ 1 durch einen elementaren Konstruktionsschritt entsteht, also n~,i
n~,i
1U
{Zi, Z~},
/ wobei zi, z i E C nieht notwendig versehieden sein mfissen. Um die Rekursion zum Laufen zu bringen, setzen wir L0:
Q(MUM)
und
Ll:
L0(1).
Dann ist L0 L0, L1 L1 und [L1 " L0] _< 2. Nun betrachten wir die Punkte zl, z[ E M1. Nach dem Lemma gibt es ein wl E R, so dass / Z l , Z 1 E Ll(Wl) :L2 und [L2 "L1] < 2 . Durch Fortsetzung dieses Verfal~rens erhglt
man
die gesuchte KSrperkette.
[]
Das Ergebnis dieses Abschnitts kann man unter Benutzung der Gradformel aus III 1.2 kurz so zusammenfassen: KoroUar
Sei M C C mit O, 1 E M nnd z E Kon (M). Setzt m a n L :
Q(MUM),
so gilt
[L(z) 9 L]
ist eine P o t e n z yon 2 .
Insbesonder'e ist z algebr'aisch iiber L.
[]
Das ist eine sehr starke notwendige Bedingung ffir die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal. In III 6.5 werden wit zeigen, dass sie mit einer kleinen Modifikation auch hinreichend ist.
380
6.4
III KORPERERWEITERUNGEN
UnlSsbarkeit klassischer Konstruktionsaufgaben
Mit Hilfe des abschliegenden Korollars aus III 6.3 kann mast nun zeigen, dass die ersten drei der zu Beginn dieses P0x'agraphen beschriebenen Aufgaben nicht 15sbar sind. Dazu sind bisher nur gaaz elementare EigenschaRen yon KSrpererweRerungen verwendet worden. Erst bei der Frage nach der Konstruierbarkeit regelm/it~iger n-Ecke im folgenden Abschnitt benStigt man stirkere Hilfsmittel.
1. D a s Delisehe P r o b l e m ist unlSsbar Es genfigt den Fall zu behandeln, dass der gegebene Wfirfel die Kantenl/inge 1 und damit das Volumen 1 hat. Ein Wfirfel mit doppeltem Volumen hat daher die KaxttenlSxtge b : , ~ . Wit kSnnen also M {0, 1} setzen, und es genfigt zu zeigen, dass b ~ Kon (0, 1). Das Minimalpolynom yon b fiber Q ist X 3 - 2, also ist
[Q(v):Q]
3,
und das ist keine Potenz yon 2.
2. D i e Winkeldreiteilung ist i m A l l g e m e i n e n unm6glich Hier ist die Antwort etwas differenzierter, demt offensichtlich kSnnen einige Winkel wie etwa 180 ~ oder 270 ~ dreigeteiR werden. Von einem ,,allgemeinen" Verfahren wfirde man erwarten, dass es unabh/ingig yore Wert des gegebenen Winkels angewandt werden kann, dass man also den Winkel - so wie die Koetfizienten eines allgemeinen Polynoms in III 5.11 - als Unbestimmte ansehen kann. Ist der Winkel c~ E [0, 27r] gegeben, so setzen wir C:
exp(ic~) E C .
Eine Dreiteilung yon c~ ist gMchbedeutend mit der Konstruktion yon z: Wegen ~
exp(i3) EC
C 1 ist Q ( M u M )
aus
M
{0,1,r
Q(C); also kann C dann nieht dreigeteilt werden,
wenn
x 3-4
Q(0[X]
irreduzibel und damit Minimalpolynom yon z ist. Zun~chst betrachten wir C als Unbestimmte, dasm ist Q(C) Quotientenk6rper des Polynomrings Q[C]. Da C in Q[C] Primelement ist, folgt aus dent EISENSTHNKriterium in II 3.8, dass X 3 - C in Q(C)[X] irreduzibel ist. Daher ist
:Q(O]
3,
und z nicht allgemein konstruierbar. Dennoeh k6nnte es sein, dass es je naeh dent Weft yon C untersehiedliehe L6sungsverfaltren gibt. Um das auszusehliegen, muss man einen konkreten Weft von c~ und damit C angeben. Ein Beispiel ist c~
120 ~
27r 3 ' ~
(27ri) exP,T1
1 ,f3 -~ +iT,
also z
das heigt, d e r W i n k e l y o n 40 ~ ist nieht k o n s t r u i e r b a r .
t27ri~ exp[~-) ;
6.4 UNLOSBARKEIT KLASSISCHER KONSTRUKTIONSAUFGABEN
~
Das kann man polynoms ~)9
x
h
sehr schnell sehen, wenn man die Irreduzibilit~t des KreisteilungsX 6 + X 3 + 1 benutzt. Da r z 3, hat man die K6rperkette
Q c Q(r Wie man
5
381
c Q(r ~)
Q(~)
an der Darstellmig yon r erkennt, ist [Q(r
[Q(~) : Q]
6 folgt
[Q(r
: Q]
2. Aus
: Q(r
3,
das ist keine Potenz yon 2. Einen elementa1"en Beweis erhSlt man
cos 3/3
mit Hilfe der trigonometrischen
4 c o s 3 ~ - 3 cos/3.
Formel
(*)
W~re ~ aus ~ konstruierbar, so wSre auch co~
2~(y)
aus
~
co~
2~3
1 2
konstruierbar. Nach (,) ist x Nullstelle yon f:
Substituiert m a n Y
8 X 3 - O X + I E Z[ X ] .
2X, so erh~lt m a n das Polynom .9
y 3 _ 3Y + 1 E Z [ Y ] .
Es bleibt zu zeigen, dass g in Z [ Y ] irreduzibel ist. Dann ist g nach den Sgtzen yon GAUSS aus II 3.8 auch in Q [ Y ] irreduzibel und somit ist f in Q [ X ] irreduzibel; also ist
[Q(x):Q]
3.
Die Irreduzibilit~t yon g in E l Y ] folgt etwa durch Reduktion modulo 2 (Beispiel 5 in II 3.9) oder nach Beispiel 7 in II 3.9, da g offensichtlich keine ganzzahlige Nullstelle hat (siehe Bild).
382
III KORPERERWEITERUNGEN
/
F
3. Die Quadratur des Kreises ist unmSglich Es genfigt, den Fall eines Kreises yore Rsdius 1 zu betrschten, die Kreisscheibe hst dami den Fl/cheninhalt ~. Es ist also ein Qusdrat yon der Seitenl~inge x/~ gesucht. W~ire x/~ sus M {0~ 1} konstruierbar, so such ~. Aber ~ ist fiber Q trsnszendent, wie LINDEMANN [Li] im Jalir 1882 erstmals zeigte. Inzwischen gibt es relstiv elementsre Beweise dieses tiefliegenden Ergebnisses (vgl. etws [Ku, Aufgabe 10 in w Der Leser mSge sich zur Ubung klar mschen, dass das Problem yon ANGELA MERKEL der ~Kubatur der Kugel" aus dem gleichen Grund unlSsbar ist.
6.5
K o n s t r u k t i o n v o n regelm~if~igen n - E c k e n *
Dieses letzte der hier beschriebenen Konstruktionsprobleme erfordert st&rkere Hili~mittel. Es ist offensichtlich gleichwertig mit der Frage der Konstruierba~'keit der primitiven n-ten Einheitswurzel 2~i
exp(ET)
s.s
Ffir n 2~ 3~ 4~ 5~ 6 sind solche Konstruktionen bekaant, ffir n 7 konnte erstmals GAUSS im Alter yon 19 Jaliren begrfinden, dass es keine LSsung gibt. Er faad such die h6chst fiberrsschende L6sbarkeit ffir n 17. Ds in diesem Abschnitt such positive Antworten gegeben werden, mfissen wir zun~chst eine Umkehrung des Korollars aus III 6.3 bereitstellen. Lemma Sei M c C mit 0~1 E M und L : Q ( M U M ) . Welter sei z E C algebraisch iiber L~ f E L[ X ] das Minimalpolynom yon z und K D L der ZerffillungskSrper yon f . Ist dann [K 9L] eine Potenz yon 2, s o folgt z E Kon (M).
6.5 KONSTRUKTION VON REGELMASSIGEN N-ECKEN*
383
Beweis Nach III 4.4 ist die Erweiterung K D L galoisseh, also gilt fib G : Aut ( K ; L ) , dass o r d G [K : L]; daher ist o r d G eine Potenz yon 2 und somit ist G nach I 7.5 auflSsbar. Also gibt es eine Normalreihe
G
No t> N1 t>... t> N,
{idK }
derart, dass ord ( N i / N i 1) 2 Nr i 1 , . . . , r. Nach dem Hauptsatz der GaloisTheorie in III 4.5 gehSrt dazu eine KSrperkette
L mit [Li : Li 1]
L o c L ~ c...cL~
K
2. Nach dem Satz aus III 6.3 folgt z E Kon (M).
[]
Da [Q(r : Q] ~(n), folgt aus dem Korollaz in III 6.3 und dem obigen Lemma alas auf GAESS [Gaa, w 365] zuriickgehende
Theorem
Das regelma'flige n - E c k ist genau dann m i t Zirkel und Lineal konstruierbar~ w e n n die Eulersche Zahl ~ ( n ) eine P o t e n z von 2 ist. []
Da p(5) 4, p(7) 6 und p(17) 16, tblgt sofort, dass ein 7-Eek nicht konstruierbaz, abet ein 5-Eek und ein 17-Eek konstruierbaz ist. Wegen p(9) 6 ist auch das 9-Eek nieht konstruierbar; das hatten wit bei der Dreiteilung des Winkels schon fiir 40 ~ gesehen. Es erseheint bemerkenswert, dass GAUSS in seinen ,,Disquisitiones" die sehwierigere positive Antwort genau ausfiihrt, abet die mit den elementaren - daanals noeh nieht verfiigbazen - Methoden der KSrpertheorie leieht zu beweisenden negativen Antworten nicht ngher begriindet. Am Ende yon w 365 schreibt er (&Shere" Gleichungen bedeutet Grad grSger als 2):
usd wit kSnnen mit aller 8trenge beweise~, dass dies~ h~heren Gleichungen dur~aus mcht v ~ e d e n oder auf Gl~eJauagen yon ltle. d ~ g ~ r ~ Grade z ~ g e ~ werden kS~en; o b w ~ die Grenzen dleses Werkes nieht gestat~en, ~esen Beweis bier mitzut~iien, glaubten wir doch darauf hinweisen zu mfissen, dam/~ nicht einer noch ~dere Teflu~gen a~ser den yon unserer Theo~e g~eferten, z.B. dis Teilungen in 7, 11~ i3, 19~.... Teiie a ~ geome~sehe Gons~ctionen zarfickzuffihren hoffe und seine ~i~ unntttz vergeade.
Es bleibt die zahlentheoretische Frage zu klgren, wann p(n) eine Potenz yon 2 ist. Zun~chst betrachten wir den Fail, dass n p eine Primzahl ist, dann folgt p-
Hilfssatz
i.
I s t p eine P r i m z a h l m i t p > 2 und p - 1 eine P o t e n z von 2, so ist
p
2T~+]
mit h E N .
384
III
KORPERERWEITERUNGEN
Beweis Ist p T r' + 1, so h a b e n wit zu zeigen, dass m yon der Form T ~ ist. Hgtte m einen ungeraden Teiler k _> 3, so w/ire m k 91 mit 1 E N und es w/ire p
2~l+l
(21+1)(2(~
1)1_2(~ 2 ) 1 + . . . + 2 2 1 _ 2
l+l).
D a 1 < 21 + 1 < 2 ~l + 1, wSre p nieht prim. Die Suehe naeh P r i m z a h l e n in der Folge
ist ein klassisches Problem, m a n nennt sie FERMATsche P r i m z a h l e n . F i i r n < 5 hat m a n Tb
0
3
1
5
2
17
3
257
4
65537
5
4 294 967 297
641 96 700 417
Den P r i m f a k t o r 641 von E5 h a t t e schon EULER gefunden. Ffir n _< 4 erhfilt m a n in der Tat Primzalflen, ab n _> 5 sind bisher keine weiteren bekannt. Die Konstruierbaz'keit des regelm/igigen n-Eeks wird nun weitgehend geklSrt dureh den Satz
~(n) ist genau dann eine Potenz yon 2, wenn rt
2m
" Pl
" . . .
" Pr
,
wobei m E N und p l , . . . ,p~ paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. D a bisher nur fiinf Fermatsche P r i m z a h l e n bekannt sind, kann m a n r _< 5 annehmen. Das ergibt 31 mSgliche P r o d u k t e solcher Primzahlen. Beweis
Ist n
p]l . . . . . p ~ " die Primfaktorzerlegung, so ist nazh I 3.11
~(~)
~..11 1
~J1
.....p,
1,- 1
.(p1-1).....(p,-1).
Also ist p ( n ) genau d a n n eine P o t e n z yon 2, wenn fiir alle p j r lj
1
und
(pj-1)
istPotenzvon
2 Folgendes gilt:
2.
D a m i t folgt die B e h a u p t u n g aus dem Hilfssatz.
[]
N a c h d e m die Existenz yon Konstruktionsverfahren fiir die in obigem Satz angegebenen Werte yon n nachgewiesen ist, stellt sich die Frage nach der Ausf~hrung. D a z u betrachtet m a a zungchst die Fermatschen PrimzMflen. p = 3
Die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks ist aus der Schule b e k a m t .
p = 5
Hier hilft der g o l d e n e S c h n i t t (vgl. Beispiel 1 aus I I I 5.14).
6.5 KONSTRUKTION VON REGELMJkSSIGEN N-ECKEN*
0 Ist
x
i so tolgt x
x
355
1
89 (-i + r
Die Einzelheiten iiberlassen wir dem Leser. p ---- 17 Hier kann man die yon GAuss gefundene Formel flit cos (2~/17) aus Beispiel 3 in III 5.14 als Grundlage fiir eine geometrische Konstruktion verwenden. Das wird etwa in [KI2, Tell I, Kapitel 4] ausgefiihrt. p ----257
Hier gab erstmals RICHELOT
[Ri] im Jalire 1832 eine Konstruktion an.
p ----65 537 An dieser Konstruktion arbeitete J. HERMES zehn Jahre lang. Sein 1889 beendetes ,~Diaxium" befindet sich in der mathematischen $atnmlung in GSttingen. Eine kurze Note dazu erschien 1894 (siehe [He]). Aus den fiinf angegebenen Konstruktionsverfahren fiir die Fermatschen Primzahlen k~m man alle anderen ableiten. Sind ~r~ und n teilerfremd und kann man sowohl ~r~-Eck und n-Eck konstruieren, so nutzt man aus, dass es nach der Relation yon B~ZOUT (I 3.8) r, s E Z gibt, so dass i rn + s~r~. Daraus folgt 2~
2~ 2~ T--~S--~
und daher ist auch das ~r~.n-Eck konstruierbar. Die Potenz yon 2 k+/m m a n dutch wiederholte Winkelhalbierung realisieren. Ganz an/Ende seiner ,~Disquisitiones" [Ga3] gibt GAUSS an, fiir die das regelm~gige N-Eck konstruierbar ist:
all die Zal~len N
+ m + +'++t+ ~'++prodt+.,+~m e+~u+fi~u+ ~ + m ~ i ++um+~s primi++, m~/ pt+ due|ram ~ mm,o~+i ~ m o mu+pl~b++ +~ m mint+ m + m ~ + m m ipmm m; + + b++i+i++ +~uirit+++, u+ N :meqa+ m{Ittm s ~mmm i m ~ qm nml e++~ +rmm + ~ + L :impl~m++m~mm e ~ ~um ~em p+mm +ram P+ +
85+~ +~, I+~+ +20+ 128., l+++ l+O+ 170+ 19+, ~+4+ +40+ +++++,~5++ +$?+ ~+~+
_~ 300
386
6.6
III KORPERERWEITERUNGEN
A n d e r e R e g e l n ffir Konstruktionsverfahren
Welche geometrischen Konstruktionsaufgaben 15sbar sind, hs ganz entscheidead yon den vorgegebenen Spielregeln ab; die in III 6.1 beschriebenen Regeln sind die Klassiker. Abet es gibt zahlreiche Varianten, etwa: 1) Mit dem Lineal allein 2) Mit dem Zirkel allein 3) Mit dem Lineal und einem lest vorgegebenen Kreis 4) Mit dem Lineal und einer lest vorgegebenen Parabel 5) Mit Zirkel, Lineal und einer lest vorgegebenen Parabel Es erscheint bemerkenswert, dass mit den Regeln 5) eine Winkeldreiteilung mSglich ist. Das liegt daz'aa, dass ein Kreis mit einer Paz-abel vier Schnittpunkte haben l{&Illl. Noch weit mehr Verfahren findet man in dem Bucli yon BIEBERBACH [Bil.Weiter gibt es vide Nilierungsverfaliren; besonders bekannt geworden ist die sehr genaue Winkeldreiteilung des Schneidermeisters K o P F (siehe [Pe]).
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Chinesischer Restesatz, 57, 188 Delisches Problem, 372 Diedergruppe, 50, 124 Diskriminante, 296, 323 Distributivgesetze, 141 Division mit Rest, 9, 156, 158, 181 Divisionsalgebra, 147 Dodekaeder, 389 Don Giovanni Gruppen, 130 Dreher, 18 Dualitgt, 390
Einbettung yon Halbgruppen, 167 Einbettungssatz, 273 Einheit, 143, 155, 173, 177, 226 Einheitengruppe, 143 Einheitswurzel, 15, 160, 346 primitive, 15, 342 Einselement, 142 Einsetzungshomomorphismus, 154, 156, 245 Eisenstein-Kriterium, 215 Element algebraisches, 245 irreduzibles, 201 linksinverses, 5 linksneutrales, 2, 4 maximales, 199 neutrales, 2, 4 primitives, 244 rechtsneutrales, 2 reduzibles, 201 transzendentes, 245 Elementarmatrix, 81 Elementarteiler, 108 Endomorphismenring, 148
398 Endomorphismus, 20, 145 Epimorphismus, 20, 145 Erg/inzung quadratische, 327 Erweiterung eines Zahlbereichs, 167 Euklidiseher Algorithmus, 64, 210 Eulersche ~-Funktion, 60 Eulersche Identitgt, 62, 166 Exponent einer Gruppe, 109 eines Primfaktors, 209 Faktor, 137 Faktorgruppe, 34 Faktorisierungssatz, 38, 175 Faltung, 152 fast alle, 113 Fehlstand, 23 Fermatkurve, 217 FixkSrper, 309 Formel yon Cardano, 329 Fortsetzung yon Kgrperisomorphismen, 259 Frobenius-Homomorphismus, 279 Fundamentalgruppe, 3 Fundamentalsatz der Algebra, 255 Galois-Erweiterung, 311 Galoisgruppe, 308 Ganzheitsring, 223 Gaugsehe Zahlen ganze, 14 Gaugsche Zahlenebene, 178 Gauss'sche Periode, 363 Gebiet, 148 Gleiehung allgemeine, 357, 358 diophantische, 226 Pellsche, 226 Gr6bnerbasis, 186 Grad, 155, 162 gewichteter, 305 homogen vom, 165 totaler, 164 Gradforlnel fiir Polynome, 155
INDEX fiir K~firper, 243 Gruppe, 4 abelsehe, 4 allgemeine lineare, 13 alternierende, 24 auflSsbare, 138 der invertierbaren Matrizen, 13 der relativen Automorphismen, 307 einfache, 133 endlich erzeugte, 8, 111 endlich erzeugte abelsehe, 117 freie abelsehe, 114 kommutative, 1, 4, 142 orthogonale, 13 p-, 104, 120 spezielle lineare, 36 spezielle orthogonale, 23 symmetrische, 12, 48 torsionsfreie, 112, 118 triviale, II zyklische, 12, 35, 54, 166, 351 Halbgruppe, 2 Halbgruppenring, 163 Halbordnung, 198 Hauptideal, 172, 180 Hauptidealring, 180, 182, 204 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, 206 der Galoistheorie, 313, 326 fiber symmetrisehe Polynome, 304 Hilbertscher Nullstellensatz, 197 Homomorphismus yon Gruppen, 20 von Ringen, 145 Ideal, 172, 191 coprimes, 187 erzeugtes, 180 maxhnales, 193, 197, 199 prhnes, 193 triviales, 172 Ikosaeder, 388 gestutztes, 391 Ikosaedergleichung, 361 Ikosaedergruppe, 91
INDEX
hnaginSxteil, 221 hidex, 28 induktiv geordnet, 199 Inhalt eines Polynoms, 212 Inklusion, 25 Integritgtsring, 142 hiterpolationsformel von Lagrange, 159 hiterpolationspolynom, 160 Inverses, 4 Inversion, 26 h'rationalteil, 221 h'reduzibilit/it s- Satz, 213 ISBN-Priifziffern, 17 Isomorphiesatz Erster, 39, 175 Zweiter, 47, 187 Dritter, 39 Isomorphismus, 20, 145 Isotropiegruppe, 72 Kern, 20 Kette, 198 Klassengleichung, 74 der Ikosaedergruppe, 96 Klassifikation yon Gruppen, 38 yon endlichen Gruppen, 54 Kleinsche Vierergruppe, 12, 22, 48 Koeffizient, 151, 162 KSrper, 143 algebraisch abgeschlossener, 254 der meromorphen Funktionen, 171 der rationalen Funktionen, 170 Platonischer, 387 vollkommener, 280 KSrpererweiterung, 144, 242, 351 algebraische, 252 biquadratische, 334 einfache, 244 galoissche, 311 normale, 265 transzendente, 252 KSrpergrad, 242 Kommutator, 135 Kommutatorgruppe, 135
h6here, 137 Kongruenz, 9, 27, 174 Konjugation, 25, 222 Konjugationsklasse, 79 konstruierbar, 374 Konstruktionssehritte eleuientare, 373 Korrespondezsatz fiir Ideale, 175 Kreisteilungspolynom, 343, 346 Kiirzungsregeln, 6 Kummerring, 208, 237 Lagrangesche Resolvente, 353 Leitkoemzient, 155 Leitterm, 155 Lemma yon Artin, 352 yon Gauss, 211 yon Zorn, 199 Linkstranslation, 5
Matrixdarstellung, 149 Matrizenring, 149 Minimalpolynom, 247 Monom, 151, 162, 163, 271 primitives, 162, 271 Monomorphismus, 20, 145 Multiindex, 162 Multiplikation, 4 n-Eek regelmfigiges, 82, 372 Nebenklasse, 26 Negatives, 4 Neilsche Parabel, 301 Norm, 146, 222 Normalisator, 45 Normalreihe, 137 Normalteiler, 32 trivialer, 33 Nullelement, 4, 141 Nullring, 142 Nullstelle, 159 allgemeine, 357 einfache, 275 mehrfache, 275 Nullstellenmenge, 190
399
400
INDEX
Nullteiler, 142, 155 OberkSrper, 144 Oktaeder, 88, 388 Oktaven, 147 Operation, 70 effektive, 71 einfach transitive, 71 transitive, 71 Ordnung, 27, 28, 183, 198 Partition, 104, 108 Pentagramm, 15 Permutation gerade, 23 ungerade, 23 Permutationsg~'uppe, 12 Permutationsmatrix, 80 Polyeder konvexes, 392 regul/h'es, 387 Polyederformel, 390 Polynom, 151, 162, 163 allgemeines, 357, 358 dureh Radikale 15sbares, 354 elementarsymmetrisches, 303 normiertes, 155 primitives, 211 reines, 350 separables, 278 symmetrisches, 304 Polynomfunktion, 154 Polynomring, 152, 271 Potenzreihe formale, 154, 162, 183 Priifziffer, 17 Prim/irkomponente, 103 Prim/irzerlegung, 103 Primelement, 201 Primitivzahl, 363 Primk6rper, 177, 241 Primrestklassengruppe, 63, 177, 345, 347, 348 Primzahl, 205 Fermatsehe, 384 Mersennesehe, 284
Produkt, 187 /iugeres direktes, 40 /iugeres semidirektes, 44 inneres direktes, 42, 43 inneres semidirektes, 47 Produktring, 147 Progression, arithmetisehe, 370 Punktgitter, 14 Quadratur des Kreises, 372 Quaternionen, 149 Quaternioneng~'uppe, 13, 37, 151 Quersumme, 15 Quotient, 157 Quotientenk&rper, 168 Quotientenvekt orraum, 35 Radikal, 350 Radikalerweiterung, 354 Rang, 114 Rationalteil, 221 Realteil, 221 Rechteck goldenes, 388 Rechtstranslation, 5 Reduktions-Kriterium, 216 Reihe, hypergeometrische, 361 Relation, 114 yon B~zout, 56, 210 Resolvente, 361 irrationale, 362 kubische, 334 Lagrangesche, 353 quadratische, 328 Rest, 9, 157 Restklassen, 9 Restklassenring, 174 Resulta~ite, 291 Ring, 141 der formalen Potenzreihen, 154 der stetigen Funktionen, 185 euklidiseher, 181, 229 faktorieller, 208, 211 noetherscher, 180, 185 nullteilerfreier, 142
INDEX Satz von Cayley, 71 von Cauchy, 102, 119 yon Dirichlet, 370 yon Fermat, kMner, 16 yon Fermat und Euler, 64, 235 von Gauss, 211 von Lagrange, 28, 79 yon Sylow, 121 Schiefk6rper, 143 der Quaternionen, 151 Schleifenraum, 3 Schnitt goldener, 384, 388 Schranke obere, 198 Sieb des Eratosthenes, 207 Signuln, 23 Spaltungslemlna, 115 Sphgre, 387 Spur, 222 Stabilisator, 72 Stabilit/k, 264 Standgruppe, 72 station/ir, 181,203 Struktursatz fiir endliche abelsche Gruppen, 108 fiir endlich erzeug~e abelsche Gruppen, 117 fiir endliche K6rper, 280 Substitutionshomomorphismus, 154 Summe, 187 (innere) direkte, 42 Sylowgruppe, 121 Symmetrie, 12, 82 Symmetriegruppe, 82 Teiler, 55, 200 gemeinsamer, 55 g~'6lgter gemeinsamer, 56, 210, 277 Teilerkette, 203 Teilerkettensatz, 203 Tetraeder, 86, 387 Tetraedergruppe, 86 Torsionsgruppe, 119 Torsionsuntergruppe, 111, 112
Translation, 25 Transposition, 24 Tschirnhaus-Transformation,
401
297
Unbestimmte, 151 Unendlichkeitssatz yon Euklid, 206 Untergruppe, 6 erzeug~e, 7 p-, 121 triviale, 7 UnterkSrper, 144 erzeug~er, 244 Unterring, 144 erzeugter, 244 Verkniipfung assoziagive, I, 4 innere, 1 Verkniipfungstafel, 1 Vertretersystem, 73, 209 Vielfaches, 55, 200 gemeinsames, 55 kleinstes gemeinsames, 56, 210 Vielfachheit, 275 Winkeldreiteilung, 372 wohldefiniert, 9, 22 Wiirfel, 88, 388 Wiirfelgruppe, 88 Wurzel, 350 Wurzelsatz von Vieta, 303 Zahl ganze, 8, 223 ganze Gaugsc/le, 146 ganzrationale, 8, 223 ideale, 238 komplex konjugierte, 146 komplexe, 146 quadratfreie, 220 teilerfremde, 56 Zahlenebene, 146, 249 ZahlkSrper imagin/ir-quadratischer, 171, 221 quadratischer, 221 reell-quadratischer, 221
402 Zahlring quadratischer, 223 Zentralisator, 73 Zentrum, 73, 81 Zerfgllungseigenschaft, 264 Zerfgllungsk6rper, 261 Zwischenk6rper, 146, 242 Zyklenstruktur, 79 Zyklenzerlegung, 75 Zyldus, 75 elementfremder, 75
INDEX
INDEX N natfirliche Zalilen, 2 Z ganze Zahlen, 8 Q rationale Zahlen, 14 ]g reelle Zahlen, 3, 14 C komplexe Zahlen, 14 H Quaternionen, 149 Fq K6rper mit q p~ Elementen, 177, 281 A~ alternierende Gruppe, 24 C.,~ n-te Einheitswurzeln, 14, 160 D~ Diedergruppe, 51
9 ~, ~(~) Kreisteilungspolynome, 343 G; Prim/Lrkomponente yon G, 103 i imagin/ire Einheit, 146 K • K6rper ohne Null, 14 K algebraischer Abschluss yon K, 256 (gd quadratischer Zahlring, 223 P,~ regul/ires n-EeL 82 Q Quaternionengruppe, 13 R • Einheitengruppe von R, 143 g~ symmetrische Gruppe, 48 s; Anzahl der p-Sylowgruppen, 122 @ p-Sylowgruppe, 122 Z,~ zyklisehe Gruppe, 35 X,~ Primrestklassengruppe, 62 r primitive n-re Einheitswurzel, 14, 160
403
GL(n; K) allgemeine lineat'eGruppe, 13 Im~ Bild yon ~, 20, 145 ind (G 9 H) Index yon H in G, 28 inh(f) Inhalt eines Polynoms, 212 K(a) K6rperadjunktion, 244 K(X) Funktionenk6rper, IT0 Ker~ Kern yon ~, 20, 145 kgV ideinstes gemeinsames Vielfaches, 56, 210 Kom (G) Kommutatorgq'uppe, 135 Kon (M) konstruierbat'e Punkte, 374 ~Y[(D) meromorphe Funktionen, 170 M(n x n; K) Matrizenring, 149 #(f; z) Vielfachheit einer Nullstelle, 275 Norc Normalisator, 45 ~p(a) Exponent yon p in a, 209 (9(D) holomorphe Funktionen, 148 O(n) orthogonale Gruppe, 13 ord (M) Anzahl der Elemente, 27 Q(/~) Quotientenk6rper yon/~, 168 /~/a Restklassenring, 174 R[ a] Ringadjunktion, 244 /~[X] Polynomring, 152 res (f, g) Resultante, 291 R[[X]] Potenzreihenring, 154 S(M) symmetrische Gruppe, 12 signer Signum einer Permutation, 23 SO(n) spezielle orthogonale Gruppe, 23 StaG(z) Standgq'uppe, 72 T(G) Torsionsuntergruppe, III Z(G) Zentrum, 73 Zenc(z) Zentralisator, 73
Aut (G), Aut (K) Automorphismengruppen, 21,307 Aut (K; k) relative Automorphismen, 307 r R) stetige Funktionen, 147 (A) erzeugtes Ideal, 180 chat" (R) Chat'akteristik, 241 ( z l , . . . , z ~ ) n-Zyklus, 75 deg (f) Grad eines Polynoms, 155, 164 [a, b] Kommutator, 135 dis (f), A(f) Diskriminante, 296 [K" k] KSrpergrad, 242 Erz (M) erzeugte Untergruppe, ? I teilt, 55, 200 exp(G) Exponent einer Gruppe, 109 { teilt nieht, Fix (K; G) FixkSrper, 309 assoziiert, 200 p(n) Eulersehe Funktion, 61 = kongruent, 9 G/H linke Nebenklassen, 27 < Untergruppe, 6 H\G reehte Nebenklassen, 27 < Normalteiler, 32 G/N Faktorgruppe, 34 x direktes Produkt, 40 G(z) Bahn yon z, 72 9 direkte Summe, 42 Gal (f, k) Galoisgruppe, 307 >~, x~ semidirektes Produkt, 44, 47 ggT grSgter gemeinsatne Teiler, 56, 210
