Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf - Grundlagen und Anwendungen (German Edition)

Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik 2. Auflage

Rüdiger G. Ballas • Günther Pfeifer • Roland Werthschützky

Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik Dynamischer Entwurf − Grundlagen und Anwendungen 2. Auflage

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Dr. Rüdiger G. Ballas KARL MAYER Textilmaschinenfabrik GmbH Kompetenzbereich Piezoaktorik & Antriebstechnik Entwicklungszentrum Bruehlstraße 25 63179 Obertshausen [email protected]

Prof. Dr.-Ing. habil. Roland Werthschützky Technische Universität Darmstadt FB 18 ET/IT Institut für Elektromechanische Konstruktionen Merckstr. 25 64283 Darmstadt [email protected]

Prof. Dr.-Ing. habil. Günther Pfeifer Technische Universität Dresden Fakulät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Halbleiter- und Mikrosystemtechnik Nöthnitzer Str. 64 01187 Dresden [email protected]

ISBN 978-3-540-89317-2

e-ISBN 978-3-540-89320-2

DOI 10.1007/978-3-540-89320-2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000, 2009 Die 1. Auflage ist erschienen unter: Lenk/Pfeifer/Werthschützky: Elektromechanische Systeme Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L. Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Dieses Buch ist unserem Lehrer Prof. Dr.-Ing. habil. Arno Lenk gewidmet

Vorwort

Im Prozess der technischen Informationsverarbeitung nehmen elektromechanische Systeme, bestehend aus miteinander verkoppelten elektrischen und mechanischen Funktionselementen, eine Vorrangstellung ein. Durch sie erfolgt sowohl die Gestaltung der Schnittstelle zwischen dem Menschen und der Informationsverarbeitungseinrichtung als auch die Gestaltung der Schnittstellen mit dem materiellen Prozess bei der messtechnischen Erfassung und aktorischen Beein ussung der Prozessgrößen. Zu den Realisierungen elektromechanischer Systeme in Form von Geräten, Baugruppen oder Bauelementen zählen: • periphere Geräte von Informationsverarbeitungssystemen, wie Drucker, Scanner, Laufwerke und Datenspeicher, • elektroakustische Geräte, wie Lautsprecher, Mikrofone und Ultraschallwandler, • Sensoren für die Medizin-, Fahrzeug- und Prozessmesstechnik, • Aktoren in Form von Kleinantrieben und Präzisionspositioniersystemen. Diese Aufzählung wird zunehmend durch direktgekoppelte Sensor-AktorSysteme mit integrierter Informationsverarbeitung erweitert. Damit erfolgt ein ießender Übergang zu den noch komplexeren elektromechanischen Systemen der Mechatronik. Die Herstellung von elektromechanischen Systemen erfolgt durch weiterentwickelte feinwerktechnische Verfahren als auch durch moderne Technologien der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik. Aber auch die verwendeten Werkstoe, wie Edelstähle, Keramik, Gläser, Silizium und Quarz, unterliegen einer stetigen Weiterentwicklung. In der Phase der industriellen Entwicklung von elektromechanischen Systemen bildet der auf einer Lösungskonzeption beruhende Entwurfsprozess einen

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Vorwort

entscheidenden Abschnitt. Hier erfolgt die Festlegung der geometrischen, elektrischen und technologischen Parameter des Systems auf der Basis eines physikalischen Modells sowie unter Berücksichtigung spezieller Entwurfskriterien und technologischer Randbedingungen. Der geschlossene dynamische Entwurf des Gesamtsystems wird durch die unterschiedlichen Teilsysteme mit elektronischen, mechanischen, akustischen und uidischen Elementen erschwert. Das Hauptanliegen dieses Buches besteht daher in der Vermittlung einer physikalisch anschaulichen Entwurfsmethode für komplexe elektromechanische Systeme. Diese Entwurfsmethode beruht auf der für Ingenieure der Elektro- und Informationstechnik bekannten Netzwerktheorie. Mit Hilfe der Netzwerktheorie wird das elektromechanische Gesamtsystem in Form einer gemeinsamen schaltungstechnischen Darstellung der unterschiedlichen Teilsysteme einschließlich deren Wechselwirkungen beschrieben. Den konzentrierten bzw. verteilten Bauelementen des Netzwerks werden anschaulich physikalische Funktionen zugeordnet. Die Vorteile dieser Entwurfsmethode liegen in der Anwendung der übersichtlichen und anschaulichen Analyseverfahren elektrischer Netzwerke, der Möglichkeit des geschlossenen Entwurfs physikalisch unterschiedlicher Teilsysteme und der Anwendung von vorhandener Schaltungssimulationssoftware. Voraussetzung für die Anwendung der Netzwerktheorie ist die Strukturierung elektromechanischer Systeme in elektrische, mechanische und akustische Elementarnetzwerke und die Einführung passiver Wandler als Vierpole, die die verlustfreien linearen Wechselwirkungen zwischen den Teilsystemen beschreiben. Das Buch ist für Studenten der Informationstechnik, der Mess- und Automatisierungstechnik, der Mechatronik, der Akustik sowie der Mikrosystemund Feinwerktechnik geeignet. Es ermöglicht dem mit der Netzwerktheorie vertrauten Ingenieur der Elektrotechnik einen raschen Einstieg in die Lösung vieler dynamischer Probleme beim Entwurf gekoppelter elektrischer, mechanischer, akustischer und uidischer Systeme. Aber auch für Ingenieure des Maschinenbaus ist dieses Buch zur Einarbeitung in eine leistungsfähige, praxisorientierte Entwurfsmethodik für mechatronische Systeme geeignet. Die erforderlichen Grundkenntnisse zur Netzwerktheorie werden daher einführend in einem Extrakapitel zusammenfassend dargestellt. Das vorliegende Buch stellt in wesentlichen Teilen eine Überarbeitung und Erweiterung unseres 2001 im Springer-Verlag erschienenen gleichnamigen Buches dar. Die Grundzüge des Buches beruhen auf der von Arno Lenk in den 60er bis 90er Jahren erarbeiteten strukturorientierten Theorie elektromechanischer Systeme. In seinen Büchern „Elektromechanische Systeme — Systeme mit konzentrierten Parametern” [1], „Elektromechanische Systeme — Systeme mit verteilten Parametern” [2] und „Elektromechanische Systeme — Systeme mit Hilfsenergie” [3], die in den 70er Jahren im Verlag Technik erschienen, fasste er die Ergebnisse zusammen. Auch an der ersten Au age unseres Buches

Vorwort

IX

war er durch eigene Beiträge und kritische Begleitung maßgeblich beteiligt. Hervorzuheben ist hier Kapitel 2, in dem er die wesentlichen Grundlagen zur Beschreibung elektromechanischer Systeme zusammenfasst. Unserem Lehrer, Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Arno Lenk, sind wir hierfür als auch für seine stete Unterstützung zu großem Dank verp ichtet. Unser Dank geht auch an die Herrn Stephan Sindlinger, Stephan Leschka und Eric Starke, deren aktuelle Forschungsergebnisse in die Abschnitte zu den niten Netzwerkelementen (Leschka, Abschn. 6.3.1 und Sindlinger, Abschn. 6.3.2) und der Kombination von FEM und Netzwerktheorie (Starke, Abschn. 6.4) ein ossen. Schließlich möchten wir dem Springer-Verlag für die Möglichkeit der Veröentlichung und hier besonders Frau Hestermann-Beyerle für die sehr angenehme Zusammenarbeit und die Geduld bei der Manuskriptfertigstellung danken.

Darmstadt und Dresden, November 2008 Rüdiger G. Ballas, Günther Pfeifer, Roland Werthschützky

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =XVII = Teil I Gegenstand des Buchs 1

Einführung = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3 1.1 Gegenstand des Buchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Anwendungsfelder und Beispiele elektromechanischer Systeme 6 1.3 Entwurf elektromechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme . . . . . . . . 11 1.4.1 Historischer Abriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Entwurfsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen = = = = 2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Die Kreisfunktion als Grundbaustein für Zeitfunktionen linearer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mechanische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Mechanische Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Elektromechanische Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Strukturierte Netzwerkdarstellung linearer dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Grundgleichungen linearer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 18 18 22 27 36 39 42 47 47 49 59 61

XII

Inhaltsverzeichnis

Teil II Netzwerkdarstellung konzentrierter und verteilter Systeme 3

Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 65 3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen . . . . . . 66 3.1.1 Vereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.2 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.3 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.1.4 Zusammenschaltungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1.5 Isomorphie zwischen mechanischer und elektrischer Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.1.6 Darstellung des Übertragungsverhaltens von Punktmassensystemen im Frequenzbereich (BODE-Diagramm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.7 Netzwerkdarstellung von Punktmassensystemen . . . . . . 90 3.1.8 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen . . . . . . . . 104 3.2.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.2 Bauelemente und Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2.3 Isomorphie zwischen mechanischen und elektrischen Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2.4 Beispiel für ein rotatorisches Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3 Akustische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3.2 Akustische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.3.3 Netzwerkdarstellung akustischer Systeme . . . . . . . . . . . . . 118 3.3.4 Reale akustische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3.5 Isomorphie zwischen akustischer und elektrischer Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.3.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4

Abstraktes lineares Netzwerk = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 135 4.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.2 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.3 Knoten- und Maschensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks . . . . . . . . . . . . 138

5

Mechanische Wandler = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 143 5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.1 Starrer Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.2 Biegestab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.2 Mechanisch-akustischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2.1 Ideale und reale mechanisch-akustische Kolbenwandler . 152

Inhaltsverzeichnis

XIII

5.2.2 Allgemeiner elastomechanisch-akustischer Plattenwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler . . 161 6

Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 171 6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.1.1 Dehnwellen in einem Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.1.2 Näherungsweise Berechnung der Eingangsimpedanz . . . 178 6.1.3 Näherungsweise Abbildung einer Impedanz bei Resonanz183 6.1.4 Genäherte Vierpoldarstellung bei Resonanz . . . . . . . . . . 184 6.1.5 Biegewellen in einem Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.2 Darstellung akustischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.3.1 Ultraschall-Mikroaktor mit kapazitivem Membranwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.3.2 Flüssigkeitsgefülltes Druckübertragungssystem eines Dierenzdrucksensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-ElementeMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.4.1 Verbindung von Netzwerkmethoden und FiniteElemente-Methoden auf Anwenderebene . . . . . . . . . . . . . . 210 6.4.2 Kombinierte Simulation am Beispiel eines Dipol-Bass-Lautsprechers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.4.3 Kombinierte Simulation am Beispiel eines Mikrofons mit dünnem akustischen Dämpfungsgewebe . . . . . . . . . 222

Teil III Elektromechanische Wandler 7

Elektromechanische Wechselwirkungen = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 235 7.1 Klassikation der elektromechanischen Wechselwirkungen . . . . . 235 7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

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Magnetische Wandler = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 253 8.1 Elektrodynamischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.1.1 Ableitung Wandlervierpolschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.1.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.2 Elektromagnetischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.2.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes . . . . . . . . . . . . . 271 8.2.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

XIV

Inhaltsverzeichnis

8.3 Piezomagnetischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 8.3.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes . . . . . . . . . . . . . 289 8.3.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 9

Elektrische Wandler = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 307 9.1 Elektrostatischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9.1.1 Elektrostatischer Plattenwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9.1.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.1.3 Elektrostatischer Membranwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 9.1.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.1.5 Elektrostatische Festkörperwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.1.6 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen . . . 339 9.2.1 Modellvorstellungen zum piezoelektrischen Eekt . . . . . . 339 9.2.2 Piezoelektrische Zustandsgleichungen und Schaltbild für die eindimensionale Längskopplung . . . . . . . . . . . . . . 343 9.2.3 Allgemeine piezoelektrische Zustandsgleichungen . . . . . . 345 9.2.4 Technisch übliche Kongurationen piezoelektrischer Wandler und zugehörige Ersatzparameter . . . . . . . . . . . . . 348 9.2.5 Piezoelektrische Bimorph-Biegeelemente . . . . . . . . . . . . . 353 9.2.6 Piezoelektrische Werkstoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 9.2.7 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter . . . 365 9.3.1 Übergang von konzentrierten Bauelementen zum Wellenleiter am Beispiel eines Beschleunigungssensors . . 366 9.3.2 Piezoelektrischer Längsschwinger als Wellenleiter . . . . . . 370 9.3.3 Piezoelektrischer Dickenschwinger als Wellenleiter . . . . . 371 9.3.4 Anwenungsbeispiele von piezoelektrischen Längs- und Dickenschwingern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 9.3.5 Piezoelektrisches Biegeelement als Wellenleiter . . . . . . . 382 9.3.6 Anwendungsbeispiele von piezoelektrischen Biegeelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

10 Reziprozität in linearen Netzwerken = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 403 10.1 Reziprozitätsbeziehungen in Netzwerken mit nur einer physikalischen Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 10.2 Reziprozitätsbeziehungen in allgemeinen linearen Vierpolen . . . 405 10.3 Elektromechanische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 10.4 Mechanisch-akustische Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Teil IV Anhang

Inhaltsverzeichnis

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A

Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe = = = = = = = = = = = = = = = 415 A.1 Materialkennwerte von kristallinem Quarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 A.2 Piezoelektrische Konstanten von Sensor-Werkstoen . . . . . . . . . 416 A.3 Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe . . . . . . 417 A.4 Materialkennwerte von Silizium und Passivierungsschichten . . . 418 A.5 Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe . . . . . . 419 A.6 Materialkennwerte ausgewählter Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 A.7 Materialkennwerte von Kunststoen als Konstruktionswerkstoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 A.8 Zusammensetzung und Materialkennwerte ausgewählter Gläser 422 A.9 Materialkennwerte metallischer Lote und Glaslote . . . . . . . . . . . 423 A.10 Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . 424

B

Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 425 B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 B.1.1 Abschätzung des Approximationsfehlers bei numerischen Analysen von Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . 425 B.1.2 Anwendungsbeispiel zur periodischen Wiederholung einmaliger Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 B.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 B.2.2 Ideale Stöße und ihre Systemantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 B.2.3 Die ideale Sprungfunktion und ihre Systemantwort . . . . 436 B.3 Das Faltungs-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Literatur = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 441 Index = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 445

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

Einheit

D A Del Dl Dlm DK Dmech d (w) d d ($) > e ($) dl > el > fl B E (s)

Querschnitts äche, Pol äche Vierpolmatrix elektrisch wirksame Fläche Fläche, Stabsegment äche Vierpolmatrixelemente Kolben äche mechanisch wirksame Fläche Beschleunigung komplexe Beschleunigung (Anregung) Koe!zienten (Fourier-Integraltransformation) Fourierkoe!zienten Vektor der magnetischen Induktion komplexe Übertragungsfunktion (Laplace-Transformation) komplexe Übertragungsfunktion (Fourier-Transformation) komplexe Amplitude der Übertragungsfunktion magnetische Induktion Komponente der magnetischen Induktion maximale magnetische Induktion Sättigungsinduktion Breite Kapazität Referenzkapazität Kapazität (mechanisch festgebremst) Kabelkapazität Kapazitätsmatrixelemente Spektraldichten Koe!zient (Fourier-Integraltransformation)

m2

E ($) E E0 En Emax EV e F F0 Fb FK Fqp f ($) f ($)

m2 m2 m2 m2 m s32 m s32 s s T

T T T T m F F F F F s s

XVIII Symbolverzeichnis Symbol

Bedeutung

Einheit

f fl fWl (T) flm fH lm fK lm fo fL fs fY fW G D G0 Gel Gmech Gq glm gml geg H

Wellengeschwindigkeit komplexer Fourierkoe!zient konjugiert komplexer Fourierkoe!zient elastischer Koe. für T = const= elastischer Koe. für H = 0 elastischer Koe!zient für K = 0 Dehnwellengeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit (Luft) spez. Wärmekapazität für s = const= spez. Wärmekapazität für Y = const= Schallgeschwindigkeit (Wasser) elektrische Verschiebungsdichte Vektor der elektrischen Verschiebungsdichte elektrische Referenzverschiebungsdichte elektrisch erzeugte Verschiebungsdichte mechanisch erzeugte Verschiebungsdichte Komponente el. Verschiebungsdichte piezolektrische Ladungskonstanten piezomagnetische Flusskonstante eektiver Abstand E-Modul elektrische Feldstärke komplexer E-Modul Vektor der elektrischen Feldstärke elektrische Referenzfeldstärke Koerzitivfeldstärke Komponente elektrische Feldstärke maximale elektrische Feldstärke piezoelektrische Kraftkonstanten piezomagnetische Kraftkonstanten Einheitsvektoren Kraft Laplace-Transformierte Fourier-Transformierte komplexe Kraft Kraftamplitude Erregerkraft, Quellkraft Bodenkraft Coulomb-Kraft Vektor der elektrischen Feldkraft Vektor el. Feldkraft am Systempunkt q Vektor der eingeprägten Kraft Kurzschlusskraft Trägheitskraft

m s31 s s N m31 N m32 N m32 m s31 m s31 J kg31 K31 J kg31 K31 m s31 C m32 C m32 C m32 C m32 C m32 C m32 m V31 m A31 m N m32 V m31 N m32 V m31 V m31 V m31 V m31 V m31 N V31 N A31 m31

H E H0 Hc Hp Hmax hqm hmq e{ > e| > e} I (w) I (s) I ($) I>Il Iˆ I0 IB Iel Fel Fel>q Fl IK Ip

N

N N N N N N N N N N

Symbolverzeichnis Symbol

Bedeutung

Einheit

Imag Fmag Fmag>q Imax Imech Fmech>q Iq Iq Fq Iˆq Iu Iu Iˆu IW I{ > I| > I} i i ({) i0 ig iP iS J

magnetische Feldkraft Vektor der magnetischen Feldkraft Vektor mag. Feldkraft am Systempunkt q maximale Kraft mechanische Systemkraft Vektor mech. Kraft am Systempunkt q Federkraft komplexe Federkraft Kraftvektor am Systempunkt q Amplitude der Federkraft Reibungskraft komplexe Reibungskraft Amplitude der Reibungskraft Wandlerkraft Komponenten Kraftvektor Frequenz komplexe Linienlast Resonanzfrequenz, Kennfrequenz Grenzfrequenz Parallelresonanzfrequenz Serienresonanzfrequenz Leitwert Schubmodul Proportionalitätsfaktor Zweigleitwert normierte Stoßantwort (Gewichtsfunktion) Enthalpie magnetische Feldstärke Mitgangsmatrix Komponente der mag. Feldstärke maximale magnetische Feldstärke Höhe translatorische Admittanz komplexe Admittanz Wellenadmittanz Schichtdicke (Schicht l) Mitgangsmatrixelemente rotatorische Admittanz axiales Flächenträgheitsmoment Integral des Dirac-Stoßes Gleichstrom Speisestrom Strom

N N N N N N N N N N N N N N N Hz N m31 Hz Hz Hz Hz S N m32

Jl Jpq j (w) K H Kp Kmax k k ($) kD kl klm kR L

L0 l (w)

XIX

S 1 J A m31 A m31 A m31 m m s31 N31 s kg31 m J31 s31 m4 s A A A

XX

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

Einheit

ˆ~ l l lK lW M j K> M> N 0 Nel > Nel 0 Nmag > Nmag Nl () Nnp n nel nmech npq>l O O0 Ob o o0 oel ol omech P P0 Ml Pl PW Pa > Pa>Sl > Pal Pa>L Pa>M Pa0 pW p p> q p0 >  pers Qa > Qal Qa>iso Qa>K Qa>L Qa>M Qa>P

Stromamplitude komplexer Strom Summationsindex Kurzschlussstrom Wandlerstrom magnetische Polarisation imaginäre Einheit Summationsgrenzen Koe!zienten Koe!zienten Konstante rezipr. Induktivitätskoe!zient bei  = const= Kopplungsfaktor elektrischer Kopplungsfaktor mechanischer Kopplungsfaktor Kopplungsfaktor (Schicht l) Induktivität Referenzinduktivität Induktivität (mechanisch festgebremst) Länge, Hebellänge, Biegerlänge Referenzlänge, Ruhelage elektrisch wirksame Länge Stabsegmentlänge mechanisch wirksame Länge Drehmoment Erregermoment Drehmomentvektor komplexes Drehmoment Wandlermoment akustische Massen akustische Masse bewegter Luft akustische Masse einer Streifenmembran akustische Referenzmasse eektive Masse Masse Systempunkte längenbezogene Masse Ersatzmasse akust. Nachgiebigkeit (adiab. Zustandsänd.) akust. Nachgiebigkeit (isoth. Zustandsänd.) akustische Kurzschlussnachgiebigkeit akustische Leerlaufnachgiebigkeit akustische Nachgiebigkeit (Membran) akustische Nachgiebigkeit (Platte)

A

A A T

1 H31 1 1 1 1 H H H m m m m m Nm Nm Nm Nm Nm kg m34 kg m34 kg m34 kg m34 kg kg kg m31 kg m5 N31 m5 N31 m5 N31 m5 N31 m5 N31 m5 N31

Symbolverzeichnis

XXI

Symbol

Bedeutung

Einheit

Qa0 q q0 q0 qC qers qK

akustische Referenznachgiebigkeit mechanische Nachgiebigkeit längenbezogene Nachgiebigkeit translatorische Nachgiebigkeit Feldnachgiebigkeit Ersatznachgiebigkeit Kurzschlussnachgiebigkeit, Nachgiebigkeit Piezokeramik Nachgiebigkeit (elektrischer Leerlauf) mechanische Nachgiebigkeit längenbezogene rotatorische Nachgiebigkeit rotatorische Nachgiebigkeit rotatorische Kurzschlussnachgiebigkeit statische Nachgiebigkeit Leistung abgestrahlte akustische Leistung elektrische Leistung mechanische Leistung Vektor der Polarisation innere Polarisation remanente Polarisation komplexe Frequenz Druck Druckamplitude Referenzdruck komplexer Druck Wandlerdruck Ladung Referenzladung Resonanzgüte (Güte) elektrisch erzeugte Ladung Referenzpunktladung mechanisch erzeugte Ladung Ladung am Systempunkt q Volumen uss Erregervolumen uss Wandlervolumen uss allgemeine Gaskonstante Radius Widerstand Innenwiderstand magnetischer Widerstand Zweigwiderstand Reibungsimpedanz

m5 N31 m N31 N31 m N31 m N31 m N31 m N31 m N31 m N31 m N31 N31 m32 N31 m31 N31 m31 m N31 W W W W C m32 C m32 C m32 s31 Pa Pa Pa Pa Pa C C 1 C C C C m3 s31 m3 s31 m3 s31 J mol31 K31 m l l H31 l N s m31

qL qmech q0R qR qRK qstat S Sa > San Sel Smech P Si Su s s (w) sˆ s0 sl sW T T0 T Tel Tp0 Tmech Tq t (w) t0 tW U U> u U Ui Umag Upq u

XXII

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

Einheit

ua rl uR V VD Vl Vl Vmax Vu VS v (w) v vH lm vK lm W

längenbezogener Reibungsbeiwert Ortsvektor (Systempunkt l) Drehreibungsimpedanz mechanische Dehnung Flächendehnung kompl. mechanische Dehnung (Schicht l) Komponente der mechanischen Dehnung maximale mechanische Dehnung remanente mechanische Dehnung Sättigungsmagnetostriktion normierte Sprungfunktion elastische Konstante elastische Materialkonstante für H = 0 elastische Materialkonstante für K = 0 mechanische Spannung Periodendauer Grundperiodendauer mechanische Vorspannung Referenztemperatur Komponente der mechanischen Spannung komplexe mechanische Spannung Maxwell’sche Spannung maximale mechanische Spannung Zeit Gleichspannung Speisespannung elektrische Spannung Übersetzungsverhältnis Quellspannung komplexe Leerlaufspannung Wandlerspannung Volumen Referenzvolumen Ankervolumen Geschwindigkeit komplexe Geschwindigkeit Leerlaufgeschwindigkeit Geschwindigkeit (Sender) Wandlergeschwindigkeit innere Energie elektrische Feldenergie kinetische Energie magnetische Feldenergie mechanische Energie

N s m32 m Nms 1 1 1 1 1 1 1 1 m2 N31 m2 N31 m2 N31 N m32 s s N m32 K N m32 N m32 N m32 N m32 s V V V 1 V V V m3 m3 m3 m s31 m s31 m s31 m s31 m s31 J J J J J

W0

Wm W WM Wmax w X X0 x (w) x ¨ x0 xL xW Y Y0 YA y (w) y yL yS yW Z Zel Zkin Zmag Zmech

Symbolverzeichnis XXIII Symbol

Bedeutung

Einheit

z

Windungszahl Energiedichte elektrische Feldenergiedichte magnetische Feldenergiedichte transformatorische Wandlerkonstante ausbreitungsfähige Mode komplexe Eingangsgröße komplexe Zeitfunktionen periodische Näherungsfunktion konjugiert komplexe Zeitfunktion Koordinatenachsen Amplitude der Eingangsgröße arithmetischer Mittelwert Bezugslage Koordinatenachsen gyratorische Wandlerkonstante imaginäre Wandlerkonstante komplexe Ausgangsgröße Amplitude der Ausgangsgröße elektrische Impedanz akustische Impedanz akustische Reibung bewegter Luft akustische Reibung akustische Referenzreibung mechanische Impedanz Bezugswellenimpedanz Wellenimpedanz linearer Temperatur-Ausdehnungskoe!zient Koe!zienten (Fourier-Integraltransformation) abstrakte Bauelemente Temperaturkoe!zient der Resonanzfrequenz Fourierkoe!zienten Wellenzahl Ausbreitungskonstante abstrakte Admittanz Matrixelemente Flächensegment Kapazitätsänderung Änderung d. translatorisch festgebremsten Kapazität Kraftänderung magnetische Feldkraftänderung Stromänderung Längenänderung

1 J m33 J m33 J m33

zel zmag [ [p { ˜ (w) { (w) > { { ˜ (w) { ˜W (w) {> |> } { ˆ { ¯ {0 {1 > {2 > {3 \ \W | |ˆ ] ]a ]a>L ]a>u ]a0 } }0 }W   ($) >  ($) > >  i l >  l    pq > pq D F Fb I> Il Imag l o

1 1 1 1 1 1 1 m

1 1 l N s m35 N s m35 N s m35 N s m35 kg s31 kg s31 kg s31 K31 s K31 1 m31 m31

m2 F F N N A m

XXIV Symbolverzeichnis Symbol

Bedeutung

Einheit

p q qR qRK

Massenelement Federelement rotatorische Nachgiebigkeit (Balkensegment) rotatorische Kurzschlussnachgiebigkeit (Balkensegment) Druckänderung Leistungsänderung Ladungsänderung äquivalent viskose Dämpfung (dierentielles Balkenelement) Widerstandsänderung Zeitdierenz Temperaturänderung Spannungsänderung Volumenänderung Energieänderung elektrische Feldenergieänderung Stabsegmentlänge, Wegänderung Winkeländerung magnetische Flussänderung Kreisfrequenzänderung Fehler der Fourierspektraldichte Dirac-Stoß Permittivität elektrische Feldkonstante Permittivität für V = 0 Permittivität für W = 0 Dielektrizitätszahl Verlustfaktor, Wirkungsgrad Massenträgheitsmoment Temperatur Curie-Temperatur Adiabatenexponent Wärmeleitfähigkeit Wellenlänge abstrakte Flusskoordinate Amplitude der abstrakten Flusskoordinate Dierenzkoordinate Permeabilität Spannungsintegral Zähigkeit Amplitude der abstrakten Dierenzkoordinate magnetische Feldkonstante Permeabilität für K = 0

kg N31 m31 N31 m31 N31 m31

s S T u U w W x Y Z Zel { *  $   (w) % %0 %V pq %Wpq %r   & &Curie   > B > D p ˆ  

 ˆ 0 K lm

Pa W C N s m31 l s K V m3 J J m rad Wb s31 1 s31 F m31 F m31 F m31 1 1 kg m2  C  C 1 W m31 K31 m 1 1 1 H m31 Vs Pa s 1 H m31 H m31

Symbolverzeichnis

XXV

Symbol

Bedeutung

Einheit

Luft q Wqp r   (w)  g  max    ({) ( 0 L W    e 0 * *0 *E ($) *l

dynamische Viskosität von Luft Dierenzkoordinate magnetische Permeabilität bei W = 0 Permeabilitätszahl Querdehnungszahl Auslenkung, Verrückung komplexe Verrückung Grenzausschlag maximale Auslenkung Dichte abstrakte Impedanz Ladungsdichteverlauf Unwuchtamplitude Referenzdichte Dichte (Luft) Dichte (Wasser) Leitwert Stoßzeit magnetischer Fluss magnetischer Fluss im Eisenkreis Gleich ussanteil Phasenwinkel Bezugswinkel Phasenwinkel der Übertragungsfunktion Phasenwinkel einer harmonischen Schwingungskomponente Phasenwinkel Federkraft Phasenwinkel Reibungskraft Phasenwinkel Geschwindigkeit Phasenwinkel Eingangsgröße Phasenwinkel Ausgangsgröße Porosität Winkelgeschwindigkeit komplexe Winkelgeschwindigkeit Erregerwinkelgeschwindigkeit Wandlerwinkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz Bezugsfrequenz Resonanzfrequenz Grenzkreisfrequenz charakteristische Frequenz, Kreisfrequenz einer harmonischen Schwingungskomponente diskrete Kreisfrequenz

Pa s 1 H m31 1 1 m m m m kg m33

*q *u *y *{ *| "

0

W $ $0 $0 $g $l $k

C m33 m kg m33 kg m33 kg m33 S s Wb Wb Wb rad rad rad rad rad rad rad rad rad 1 s31 s31 s31 s31 s31 s31 s31 s31 s31 s31

Teil I

Gegenstand des Buchs

1 Einführung

Das vorliegende Buch wendet sich vorrangig an Ingenieure und Studenten der Elektrotechnik und Informationstechnik, die im Rahmen der Produktentwicklung oder Forschungsarbeiten von Geräten der Mechatronik deren dynamischen Entwurf herleiten wollen. Dabei handelt es sich um technische Aufgabenstellungen, die stark mit elektronischen, mechanischen und akustischen Funktionselementen verknüpft sind. Diese elektromechanischen Systeme enthalten viele Fragestellungen, die mit den in dem vorliegenden Buch dargestellten Verfahren und Methoden eektiv und gut strukturiert gelöst werden können. Dabei werden vorrangig die dem Elektrotechniker geläugen Verfahren der Problembehandlung mit Netzwerkmethoden und die in der Elektrotechnik üblichen Methoden zur Behandlung dynamischer Vorgänge angewendet. Die zwischen den elektrischen und mechanischen Teilen eines Systems wirkenden Wandlerelemente und die durchgängige Abbildung des Systems über die Wandlerelemente hinweg bilden den Schwerpunkt der Darstellung. Besonders das funktionelle Verständnis von Rückwirkungsmechanismen, z. B. aus mechanischen oder akustischen Systemteilen in elektrische Systemteile hinein, wird damit ohne Schwierigkeiten ermöglicht. Gerade diese Überlegungen sind für den Elektrotechnikstudenten im Allgemeinen nicht selbstverständlich. Die strukturierte Darstellung gestattet einerseits eine oft hilfreiche gedankliche Zerlegung des Systems in verknüpfte Einzelbaugruppen und gestattet andererseits eine schnelle Berechenbarkeit des dynamischen Verhaltens. Darüber hinaus zwingt die Modellbildung den Anwender bereits zur Konzentration auf den Kern des Systems. Die dabei erforderlichen Einschränkungen durch Annahmen und Näherungen werden in verfeinerten Modellierungsschritten nur soweit abgebaut, wie es für die Lösung des speziellen Problems notwendig ist. Dadurch bleibt das Modell auf einer problemorientierten optimalen Größe. Es werden lineare oder näherungsweise linearisierbare Beziehungen zwischen physikalischen Größen angenommen. Für Vorgänge, die vorrangig einen stark nichtlinearen Eekt ausnutzen oder voraussetzen, sind die vorgestellten Strukturierungs- und Rechenverfahren weniger geeignet. Sie können aber als Ausgangspunkt für iterative Lösungen verwendet werden.

4

1 Einführung

1.1 Gegenstand des Buchs Der Gegenstand dieses Buches sind Systeme — Geräte, Baugruppen und Bauelemente — der Feinwerk- und Mikrotechnik, die aus miteinander verkoppelten elektrischen, mechanischen und akustischen Funktionselementen bestehen. Die Wechselwirkungen zwischen diesen unterschiedlichen Domänen — elektrische, mechanische und akustische Teilsysteme — erfolgt durch elektrische, magnetische oder mechanische Wandlungsmechanismen. Bemerkenswert bei diesen Wandlungsmechanismen ist die Umkehrbarkeit der Signalverarbeitungsrichtungen, also von der mechanischen auf die elektrische Seite und umgekehrt. In Abbildung 1.1 ist die Grobstruktur der hier betrachteten elektromechanischen Systeme angegeben. Signalverarbeitungsrichtungen mechanische Größen

v, F, W, M, p, q

Elektromechanisches System

elektrische Größen

u, i

Sensoren Aktoren

Grundstruktur elektrische Teilsysteme

u, i

elektrische, magnetische Wandler Wandlerkonstanten X, Y

translatorische und rotatorischeTeilsysteme v, F, W, M

akustische Teilsysteme

p, q

Abbildung 1.1. Signalverarbeitungsrichtungen und Grundstruktur elektromechanischer Systeme

Elektromechanische Systeme als Teilgebiet der Mechatronik beruhen im Entwurf und der Realisierung auf Synergien verschiedener theoretisch und technologisch geprägter Fachdisziplinen. So sind die Entwurfsverfahren durch die Grundlagen der Signal- und Systemtheorie, der Theorie elektrischer und magnetischer Felder, der Akustik und Mechanik sowie der Netzwerktheorie geprägt. Zur Realisierung der Systeme werden Technologien der Feinwerk- und Mikrotechnik, der Mikrosystemtechnik, der Optomechanik und Optoelektronik sowie der Halbleiterelektronik und Schaltungstechnik verwendet. Im Abschnitt 1.2 sind Anwendungsbereiche und aktuelle Produktbeispiele aufgeführt.

1.1 Gegenstand des Buchs

5

Der Schwerpunkt der Analyse und Synthese elektromechanischer Systeme liegt im vorliegenden Buch bei der Bestimmung des Zeitverlaufs der physikalischen Größen (Koordinaten), also beim dynamischen Systementwurf , für unterschiedliche Anregungen. Als Beschreibungsverfahren wird die aus der Elektrotechnik bekannte Netzwerktheorie verwendet. Auswahlgründe hierfür sind die Möglichkeit einer gut strukturierten und anschaulichen Netzwerkbeschreibung unterschiedlicher Teilsysteme, die vorhandenen ausgereiften und komfortablen Lösungs- und Darstellungsverfahren sowie der leichte Zugang für die Elektrotechniker. Die Grundlagen zur Netzwerkbeschreibung und Wechselwirkungen mit elektrischen und magnetischen Feldern sind im Kapitel 2 zusammengefasst. Zunächst wird im Abschnitt 2.1 das Basiswissen zur Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken behandelt. Diese allgemein gehaltene Darstellung wird nachfolgend auf die elektrischen (Abschn. 2.2) und mechanischen Netzwerke (Abschn. 2.3) angewandt. Anschließend erfolgt die Behandlung der mechanischen und elektromechanischen Wechselwirkungen im Abschnitt 2.4. Diese Darstellungen sind bewusst allgemein gehalten, um dem Leser mit bereits vorhandenen Kenntnissen zur Behandlung gekoppelter elektrischer und mechanischer Systeme die Abgrenzung der in diesem Buch verwendeten Methodik gegenüber alternativen Darstellungen aufzuzeigen. Die Strukturierung der Netzwerkbeschreibung von elektromechanischen Systemen erfolgt abschließend im Abschnitt 2.5. Im Kapitel 3 wird die Netzwerkdarstellung mechanisch-translatorischer, mechanisch-rotatorischer und akustischer Teilsysteme eingeführt und an Beispielen demonstriert. Nachfolgend wird im Kapitel 4 auf einem höheren Abstraktionsniveau das allgemeine lineare Netzwerk behandelt. Diese Ausführungen sind auch auf lineare magnetische und thermische Netzwerke übertragbar. Die im Kapitel 5 erörterten mechanischen Wandler kennzeichnen die Kopplungsbeziehungen zwischen translatorischen und rotatorischen mechanischen Teilsystemen sowie zwischen mechanischen und akustischen Systemen. Die bisherige Netzwerkanalyse erfolgte ausschließlich für Systeme mit konzentrierten Parametern. Im Kapitel 6 erfolgt die Erweiterung auf Systeme mit verteilten, also ortsabhängigen, Parametern. Diese Erweiterung ist für höhere Frequenzen der Dehnwellen, bei denen die Wellenlänge in die Größenordnung der Bauelementeabmessungen gelangt, erforderlich. Die Systeme werden als lineare Wellenleiter oder nite Netzwerkelemente beschrieben. Abschließend wird die Erweiterung auf eine kombinierte Simulation von FEM-Berechnungen der Bauelemente und dynamische Analyse durch Netzwerkbeschreibung vorgestellt. Die Beschreibung der elektromechanischen Wandler erfolgt in den Kapiteln 7 bis 9. Ausgehend von den Grundlagen der elektromechanischen Wechselwirkungen im Kapitel 7 werden in den Kapiteln 8 und 9 die Wandlervierpole für die magnetischen und elektrischen Wandler abgeleitet. Die Anwendung dieser verlustfreien, linearen Wandlervierpole auf ausgewählte Realisierungsbeispiele erfolgt anschließend.

6

1 Einführung

Das den linearen passiven Wandlern eigene Reziprozitätsprinzip wird abschließend im Kapitel 10 nochmals eigenständig dargestellt. Schließlich sind im Anhang A die Materialkennwerte der für elektromechanische Systeme besonders wichtigen Werkstoe zusammengestellt. Im Anhang B sind als Ergänzung zum Abschnitt 2.1 weiterführende Grundlagen zur Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken angegeben.

1.2 Anwendungsfelder und Beispiele elektromechanischer Systeme Eine Übersicht wichtiger Anwendungsbereiche elektromechanischer Systeme mit zugeordneten Beispielen zeigt Tabelle 1.1. Tabelle 1.1. Anwendungsbereiche und typische Beispiele elektromechanischer Systeme Anwendungsbereiche Verfahrenstechnik

Beispiele Durchfluss- und Drucksensoren (Prozessmesstechnik), elektromagnetische Stelleinrichtungen

Kfz-Technik

Silizium-Drehratensensoren, Kleinmotoren, piezoelektrische Einspritzventile

Fahrzeugtechnik

aktive Schalldämpfer, hydraulische Koppelsysteme,

(Nutzfahrzeuge, Schienen-

Dünnfilm-Drucksensoren, optische und US-Abstands-

fahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge

sensoren

Maschinenbau

piezoelektrische Pneumatikventile, elektrodynamische Positioniersysteme, Schwingungsdämpfer, elektrodynamische Schwingungserreger

Kommunikationstechnik

Mikrofone, Kopfhörer, Lautsprecher, Laser-Drucker, Festplattenlaufwerke, Tintendrucker, Beamer, Kameraobjektive

Hausgerätetechnik

Füllstandssensoren, Kleinmotoren, Heizungsregler

Medizintechnik

Ultraschallwandler, miniaturisierte Druck- und Kraftsensoren, Mikropumpen, Prothetik

1.2 Anwendungsfelder und Beispiele elektromechanischer Systeme

7

Tabelle 1.1 zeigt, dass die Hauptanwendungen elektromechanischer Systeme in Form von Geräten, Baugruppen und integrierten Bauelementen in der Aktorik, z. B. Kleinmotoren und Positioniersysteme, in der Sensorik, z. B. Einzelsensoren und Sensorsysteme, sowie in direkt gekoppelten Sensor-AktorSystemen mit integrierter Informationsverarbeitung liegen. Mit der Ergänzung der traditionellen Feinwerktechnik durch die Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik erfolgte die Abmessungsreduzierung von elektromechanischen Systemen bei gleichzeitiger Erhöhung des Integrationsgrades. Die mit diesen Technologien verbundenen typischen Strukturabmessungen sind in Tabelle 1.2 angegeben. Tabelle 1.2. Bauteilgröße und Strukturabmessungen wichtiger Fertigungstechnologien für elektromechanische Systeme

Fertigungstechnologie

Feinwerktechnik

Bearbeitungsverfahren

NC-Fräsen u. Drehen, Schnei-

typische Bauteilgröße 2

kleinste Strukturabmessung

einige cm

>50 μm

2

<50 μm

2

<5 μm

den, Spritzgießen, Funkenerosion, Laser-Schweißen Mikrotechnik

Lithographische Strukturie-

>10 mm

rung, Dünnschichttechnik durch Bedampfen und Sputtern, Mikrogalvanik, Mikroschweißen, dreidimensionales isotropes u. anisotropes Ätzen Mikrosystemtechnik

Silizium-Volumen- oder Ober-

<10 mm

flächen-Mikromechanik mit integrierter Mikroelektronik oder integrierter Optik

Gleichzeitig mit der Einführung der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik erfolgte die Anwendung neuer Werkstoe in Sensoren und Aktoren. Hierzu zählen vor allem Silizium, Borosilikatgläser und spezielle Keramiken, wie hochreine Aluminiumoxidkeramik und mechanisch bearbeitbare Low Temperature Cored Ceramic — LTCC. Diese Werkstoe zeichnen sich insbesondere durch ihr extrem geringes viskoelastisches und viskoplastisches Verhalten sowie leichte Integrationsmöglichkeiten von elektrischen und optischen Komponenten aus. Die zugehörigen Realisierungen werden als Micro Electromechanical Systems — MEMS — bezeichnet. Zur Einführung in die Grundlagen

8

1 Einführung

der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik zur Fertigung elektromechanischer Systeme wird auf die Ausführungen in [4—7] verwiesen. Verbunden mit der Einführung dieser neuen Technologien und Werkstoe erfolgte in den letzten Jahren ein starker Produktwandel bei elektromechanischen Systemen in Richtung MEMS-Realisierungen. Aus Tabelle 1.3 ist erkennbar, dass sich dieser Produktwandel neben der Reduzierung der Abmessungen auch durch einen zunehmenden Funktionsumfang auszeichnet. Tabelle 1.3. Produktwandel bei elektromechanischen Systemen durch Einsatz der Mikrotechnik und Mikrosystemtechnik sowie neuartiger Werkstoe

Anwendung

feinwerktechnisches Gerät

Mikrotechnisches Gerät

Drucken

Nadeldruck

Tintendruckkopf (Bubble-Jet-Prinzip)

Magnet-Schreib-Lese-Kopf,

Dünnfilm-Schreib-Lese-Kopf

Festplattenlaufwerk

(GMR-Lese-Sensor), Mikro-

Daten-Speicher

Festplattenlaufwerk (Microdrive) Informations-

Langspielschallplatte,

DVD-Abtastsystem,

wiedergabe

Magnetbandkassette

MP3-Player

Lichtprojektion

Beamer mit Drehspiegelsystem

Beamer mit Mikrospiegelarray

Kfz-Sensorik

Prozess-Sensorik

piezoelektrische Airbag-

hochintegrierter Silizium-

Beschleunigungssensoren,

Drehratensensor, Mikrowellen-

Widerstandstemperatursensoren,

und Ultraschallabstandssensoren,

potentiometrische Füllstands-

energieautarke Silizium-Reifen-

sensoren

drucksensoren

kraftkompensierter Differenz-

BAW-Silizium-Resonanz-

druckmessumformer, potentio-

Differenzdrucksensor, selbstüber-

metrischer Füllstandsmessum-

wachender US-Füllstandssensor

former Schalten elek-

elektromagnetisches Relais

trischer Kreise

elektrostatisches SiliziumMikrorelais, Silizium-MikrorelaisArray

Stelleinrichtung

elektromagnetisches Regel-

Kfz-Einspritzventil mit piezo-

ventil

elektrischem Stapelaktor, elektrostatische Polymeraktoren

In den folgenden Kapiteln 3, 6, 8 und 9 werden zur Erläuterung des Entwurfsverfahrens „Netzwerkbeschreibung” sowohl traditionelle als auch neuartige

1.3 Entwurf elektromechanischer Systeme

9

MEMS-Realisierungen als Beispiele für elektromechanische Systeme verwendet.

1.3 Entwurf elektromechanischer Systeme Zielstellung des Entwurfs ist die Berechnung der Parameter — Entwurfsparameter — der konzipierten Lösung für ein technisches Produkt. Damit nimmt die Entwurfsphase eine zentrale Stellung innerhalb des Produktentwicklungsprozesses mechatronischer, elektromechanischer und mikroelektromechanischer Systeme ein. Sowohl beim „V-Modell” [8] mechatronischer Systeme als auch bei den Entwicklungsmodellen der Mikrosystemtechnik [4, 9] ist die Entwurfsphase besonders ausgeprägt. In Tabelle 1.4 sind nach [10] die Phasen des Produktentwicklungsprozesses eines elektromechanischen Systems als grobes Stufenmodell angegeben. Tabelle 1.4. Einordnung des Entwurfs in den technischen Produktentwicklungsprozess Technische Aufgabenstellung Entwicklungsphase

Ergebnis

Klären der Aufgabenstellung

Anforderungsliste oder Pflichtenheft

Konzipieren

Ermittlung der Teilprobleme Aufstellen von Lösungsprinzipien Auswahl der Teillösungen Grobkonzept des Gesamtsystems

Entwurf

Festlegung der Entwurfsparameter der Komponenten und der Gesamtlösung

Konstruktion

Gestaltung der Gesamtlösung

Musterbau und Test

Präzisierung Grobkonzept, Entwurf und Konstruktion

Dokumentation

Erstellen Zeichnungssatz und Fertigungstechnologien Produktionsfreigabe

10

1 Einführung

Die Phase des Entwurfs schließt sich an die Konzeption der Gesamtlösung an und bildet die Grundlage für die anschließende Erstellung der Konstruktionsunterlagen. Dem Entwurf — quantitative Festlegung der technischen Parameter für die konzipierte Lösung — liegt ein physikalisches Modell der konzipierten Lösung zu Grunde. Die Berechnung der Modellparameter — Entwurfsparameter — kann durch unterschiedliche Beschreibungsverfahren — Simulationsverfahren — erfolgen (Abschn. 1.4). Zielstellungen dieser Simulationen sind entweder die Absicherung fest vorgegebener Kenngrößen des elektromechanischen Systems — Entwurfskenngrößen — oder die Erfüllung spezieller Optimierungskriterien wie minimaler Energieverbrauch, minimales Bauvolumen bzw. Masse oder maximaler Arbeitsfrequenzbereich. Die Bewertung — Verikation — der Simulationsergebnisse mit den Vorgaben der Anforderungsliste schließt die Entwurfsphase in Abbildung 1.2 ab. Weicht das Ergebnis von den Zielwerten gegenüber den vorgegebenen Schranken zu stark ab, erfolgt mit veränderten Parametersätzen eine erneute Simulation. Lässt sich keine Konvergenz erzielen, ist eine Validierung des Modellansatzes erforderlich. Technische Aufgabenstellung Entwurf

Grobkonzept Validierung }

Modellbildung

Simulation

Optimierungskriterien

(analytisches oder/und numerisches Berechnungsverfahren) Bewertung

Präzisierung

(physikalisches Modell)

Verifikation nicht ok

ok Konstruktion, Bau und Test von Mustern ok

nicht ok

Produkt

Abbildung 1.2. Entwurfsablauf bei elektromechanischen Systemen

Die Vervollkommnung des Entwurfsprozesses führt zu einer Verringerung des experimentellen Testaufwandes zur Bewertung von Entwicklungsparametern bei gleichzeitiger Reduzierung des Musterumfanges. Damit verbunden sind kürzere Entwicklungszeiten und geringere Entwicklungskosten. Entscheidend für die anzustrebende Entwurfsvervollkommnung sind der praktische Bezug, die ingenieurmäßige Anwendbarkeit und die Beschreibungstiefe der Simulationsverfahren.

1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme

11

1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme 1.4.1 Historischer Abriss Die theoretischen Grundlagen für die Beschreibung mechanischer und elektrischer dynamischer Systeme waren schon in der Mitte des 19. Jahrhunderts nahezu vollständig ausgearbeitet. Hierzu gehören die Lagrange-HamiltonMethoden zur Berechnung dynamischer Systeme einschließlich der Fluid-, Gas- und Thermodynamik sowie die Faraday-Maxwell’sche Elektrodynamik. Zu ihrer praktischen Anwendung waren jedoch gründliche mathematische und physikalische Kenntnisse unerlässlich. Sie waren in der damaligen handwerklichen und gewerblichen Praxis nur in geringem Umfang vorhanden. Die sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ausbildende Produktionsweise brachte jedoch Denk- und Rechenmethoden hervor, die es einer breiten Schicht von Technikern und Ingenieuren ermöglichte, die Ergebnisse der o.g. Theorien selbständig auf ihr reales technisches Umfeld anzuwenden. Ein wesentlicher Schritt in dieser Richtung war die Ausarbeitung der Theorie elektrischer Netzwerke auf der Grundlage der Arbeiten von Kirchhoff und Helmholtz. Die praktischen Erfahrungen bei der Anwendung dieser Theorie zeigten, dass die relevanten technischen Anforderungen und Verfahren mindestens im ersten Näherungsschritt durch lineare Relationen zwischen den physikalischen Größen beschreibbar waren. Deshalb erfolgte die Entwicklung der elektrischen Netzwerktheorie vorzugsweise mit dieser Linearitätsvoraussetzung. Die damit möglichen Analyse- und Syntheseverfahren sind in dem 1940 erschienenen Grundlagenwerk von Cauer [11] in weit vorausschauender Weise dargestellt. Es erwies sich für mehrere Jahrzehnte als die zentrale Quelle dieses Wissensgebietes. Parallel mit der Ausarbeitung einer an lineare Systeme angepassten Signaltheorie entstand dann eine Systemtheorie von Vorgängen in allgemeinen elektrischen Anordnungen. Sie wurde unter dem Anwendungsaspekt der elektrischen Nachrichtentechnik von Küpfmüller ausgearbeitet und 1952 zuerst unter dieser Bezeichnung zusammenfassend dargestellt [12]. In dem oben betrachteten Zeitraum entwickelte sich die Elektrotechnik zunehmend zu einem interdisziplinären Fachgebiet. Wechselwirkungen mit dem Maschinen- und Feingerätebau, der Mess- und Verfahrenstechnik erzeugten eine gegenseitige Beein ussung der fachspezischen Denk- und Rechenmethoden. Dabei wurde auf zunächst heuristische Weise erkennbar, dass linearen mechanischen Systemgleichungen isomorphe Systemgleichungen korrespondierender linearer elektrischer Netzwerke zugeordnet werden konnten. Auf diese Weise entstanden die sogenannten elektromechanischen Analogien. Ihre Entwicklung kann von den ersten Anfängen in den Büchern von Barkhausen [13], Wagner [14], Hecht [15], Reichardt [16] und Cremer [17] verfolgt werden. Sie ermöglichten einerseits den Elektrotechnikern mechanische Probleme mit den ihnen vertrauten Netzwerkmethoden zu behandeln. Andererseits stellten diese Analogien einen möglichen Zugang für Mechaniker dar,

12

1 Einführung

die Vorgänge in elektrischen Netzwerken zu begreifen. Der letztere Aspekt hat eine lange Vorgeschichte. Schon Faraday und Maxwell [18] hatten versucht, den zunächst im wörtlichen Sinne schwer begreifbaren elektrischen und magnetischen Feldern mechanische Modelle zuzuordnen. Diese Versuche mussten scheitern, weil die elektrodynamischen Vorgänge eben keine Kopie mechanischer Vorgänge sind. Erst viel später wurde erkannt, welche Zugänge zu Vergleichen zwischen elektrodynamischen und mechanischen Systemen bestehen. Ein möglicher Weg ist der Versuch, Lagrange-Funktionen aufzunden, die elektrische Netzwerkgleichungen bzw. die Maxwell-Gleichungen ergeben. Die Lösung dieser Aufgabe ist in dem abschließenden Kapitel des Buches „Theoretische Elektrotechnik” von Simonyi zusammenfassend dargestellt [19]. Es zeigt sich, dass eine solche Lagrange-Funktion existiert, wenn die potentielle Energie der Mechanik durch die elektrische Feldenergie und die kinetische Energie durch die magnetische Feldenergie ersetzt wird. Die Ladungen haben dabei die Bedeutung der Lagekoordinaten, die Ströme die Bedeutung der Impulskoordinaten und die Potentiale die Bedeutung der verallgemeinerten Kräfte. Ein zweiter Weg besteht in einer strukturorientierten Interpretation der Lagrange-Gleichungen erster Art, die hier in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 in ihren Grundzügen skizziert wird. Diese Beschreibungsmethode basiert auf den Arbeiten von Lenk, die er in seinen Lehrbüchern [1—3] in den 70er Jahren ausführlich darstellte. Wesentliche Teile dieser Darstellungen sind in die 1= Au age dieses Buches einge ossen und bilden auch die Basis für die Beschreibung linearer elektromechanischer Systeme in der vorliegenden Ausgabe. Obwohl sie in diesem Buch nicht verwendet wird, muss im Zusammenhang mit der Beschreibung allgemeiner dynamischer Systeme hier noch die Methode der Zustandsdierentialgleichung erwähnt werden. Sie entstand als problemorientierte Beschreibungsweise im Zusammenhang mit der Entwicklung der Regelungstechnik in der Mitte des 19. Jahrhunderts. Sie gestattet über die vorher genannten linearen netzwerktheoretischen Ansätze hinaus zusätzlich die Berücksichtigung nichtlinearer Systemeigenschaften und ist wegen ihrer Herkunft aus den energieorientierten Hamilton-Jacobi’schen Dierentialgleichungen nicht auf mechanische Systeme beschränkt. Die Entwicklung der Rechentechnik der letzten fünfzig Jahre erönete die Möglichkeit zur Anwendung von struktur- und netzwerkorientierten Analyseverfahren, die unter dem Oberbegri „Finite-Element-Methode” zusammengefasst werden. Sie entstanden zuerst aus Analyseaufgaben der Festkörpermechanik. Ein zu analysierender Festkörper wird in Teilvolumina — nite Elemente — mit dreieck- oder rechteckförmigen Begrenzungs ächen unterteilt, die nur an den Eckpunkten — Knoten — miteinander verbunden sind. Die Eckpunkte eines Teilvolumens werden als Systempunkte eines Lagrange-Punktsystems angesehen. Wenn zunächst quasistatische Vorgänge angenommen werden, können die Gleichgewichtskräfte an den Knoten aus den Knotenverrückungen

1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme

13

oder umgekehrt bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist die Kenntnis der Spannungs-Dehnungs-Relationen und die Annahme einer Verrückungsfunktion innerhalb des Teilvolumens, die die Knotenverrückungen interpoliert. Die einzelnen Teilvolumina werden über Kräftebilanzen an den Knotenpunkten und Gleichsetzung der Verrückungen der miteinander verbundenen Knotenpunkte zu einem Gesamtsystem zusammengefügt. Durch diese Koppelbedingungen können dann alle Knotenverrückungen aus den Gleichgewichtskräften an den Knoten oder umgekehrt bestimmt werden. Dieses hier skizzierte Verfahren wurde dann sehr bald auf andere Feldprobleme, wie z. B. akustische, elektrostatische und magnetische Felder sowie deren Kopplung untereinander erweitert. Als Resultat dieser Entwicklung stehen heute Programmsysteme zur Verfügung, die alle technisch relevanten Kontinuumsprobleme numerisch zu behandeln gestatten. In diesem Zusammenhang entsteht die Frage nach den Anwendungsgrenzen und -vorteilen der beiden genannten strukturorientierten Beschreibungen dynamischer Systeme. Hierbei sind die folgenden Aspekte zu erkennen: • Finite Elementmethoden (z. B. ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, COMSOL) sind konkurrenzlos, wenn die Struktur und das Parameterfeld der zu analysierenden oder zu optimierenden Anordnung in hinreichend engen Grenzen bekannt sind. • Für den Fall, dass für eine technische Aufgabe nur geringe apriori-Kenntnisse vorliegen und ein großes Feld von möglichen Strukturen und Wirkprinzipien vorhanden ist, erscheint eine Netzwerkbeschreibung im ersten Schritt angemessen. Übersehbare analytische Lösungen sind damit in der Regel leicht erreichbar und gestatten häug geschlossene Lösungen für Optimierungsaufgaben oder die Au!ndung konstruktiver oder physikalischer Invarianten. Für komplexere Netzwerke sind komfortable numerische Simulationssysteme, z. B. OrCAD CAPTURE, MICRO-CAP, vorteilhaft anwendbar. Den Vorteilen der größeren physikalischen Anschaulichkeit und der geschlossenen analytischen Lösbarkeit steht der Netzwerkbeschreibung der Nachteil der eingeschränkten Modellgenauigkeit gegenüber. Ursache hierfür sind Näherungen bei den verwendeten Bauelementen und deren Netzwerkanordnung. Die Finite-Element-Rechnung kann diese Lücke schließen. Die auf diese Weise mögliche iterative Verbesserung eines Netzwerkmodells führt in der Regel zu einer vertieften Einsicht in die vorhandenen Wirkmechanismen. Sie kann dabei helfen, die beim jeweiligen Anwendungsfall dominanten Systemelemente oder Übertragungswege zu erkennen. 1.4.2 Entwurfsverfahren Im folgenden Abschnitt wird eine Übersicht zu den gegenwärtig verfügbaren Entwurfsverfahren für elektromechanische Systeme angegeben. Dabei wird in

14

1 Einführung

Systeme mit konzentrierten und verteilten (ortsabhängigen) Parametern unterschieden. Damit soll auch auf Alternativen zu den in beiden Gruppen anwendbaren Netzwerkbeschreibungen hingewiesen werden. • Systeme mit konzentrierten Parametern Statische Analyse: Berechnung von elektrodynamischen Wechselwirkungskräften und Ausschlägen auf Basis von Energie- und Kräftebilanzen durch Algebraische Dierentialgleichungen (DAE). Unter konkreten Anfangs- und Randbedingungen erfolgt das Lösen von Dierentialgleichungen. Die Lösungen sind meist nichtlineare Gleichungen, die iterativ gelöst werden müssen [9, 20]. Dynamische Analyse: Netzwerkanalyse auf Basis harmonischer Anregungen und Berechnung der Übertragungsfunktionen (Amplituden- und Phasengang; s. Abschn. 2.1.1). Zur Berücksichtigung von nichtlinearen elektrostatischen und elektromagnetischen Wechselwirkungskräften erfolgt mit der statischen Analyse die Arbeitspunktberechnung und anschließende Kleinsignalbetrachtung um den Arbeitspunkt. Dieses Verfahren steht im Mittelpunkt dieses Buches und wird ausführlich in den Kapiteln 2 bis 10 beschrieben [21]. Methode der Zustandsdierentialgleichungen auf Basis gewöhnlicher Differentialgleichungen, die im Gegensatz zur linearen Netzwerkanalyse auch nichtlineare Systemeigenschaften berücksichtigt. Diese Methode führt ebenfalls zu Systemübertragungsfunktionen, die auch für nicht abklingende Anregungsfunktionen denierbar sind (Laplace-Transformation; s. Abschn. 2.1.4). Dieses Verfahren wird insbesondere in der Automatisierungstechnik zur Beschreibung allgemeiner technischer Systeme verwendet [22]. • Systeme mit verteilten Parametern Zur Beschreibung elektromechanischer Systeme als Kontinua — ortsabhängige Spannungs- Dehnungsbeziehungen, Ausbreitung von Dehnwellen — erfolgt die Erweiterung der Netzwerkmethode mit konzentrierten Bauelementen auf Wellenvorgänge oder die Diskretisierung in Form Finiter Netzwerkelemente. Auch hier müssen die Wechselwirkungskräfte linearisiert werden. Diese beiden erweiterten Netzwerkmethoden werden ausführlich im Kapitel 6 beschrieben und Anwendungsbeispiele in den Kapiteln 6, 8 und 9 behandelt. Numerische Verfahren auf Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM) oder der Boundary-Element-Methode (BEM) auf Basis kommerzieller Programme wie ANSYS, ABAQUS oder NASTRAN. Mit diesen Programmen sind auch nichtlineare Wechselwirkungen zwischen mechanischen, elektrischen, magnetischen, akustischen, uidischen und thermischen Teilsystemen beschreibbar. Wie bereits im Abschnitt 1.3 erwähnt erzielt man hiermit die höchsten Simulationsgenauigkeiten. Nachteilig sind jedoch die geringe physikalische Anschaulichkeit und erschwerte ingenieurmäßige Interpretation

1.4 Simulationsverfahren für elektromechanische Systeme

15

der Ergebnisse sowie der höhere Optimierungsaufwand. Um die Vorteile der Netzwerkverfahren und der numerischen Verfahren zu nutzen, wird zunehmend die Verbindung beider Verfahren als Kombinierte Simulation verwendet. So werden die statischen Bauelementeeigenschaften mit FE-Analysen berechnet und die dynamischen Eigenschaften des Systems durch Netzwerkmodellierung dargestellt. Aber auch der umgekehrte Weg ist erfolgreich. Dabei werden aus Netzwerkstrukturen FEmodellierbare „Ersatzstrukturen” abgeleitet, in das reale FE-Modell eingearbeitet und gemeinsam gelöst. Auf diese Weise wird die Leistungsfähigkeit vorhandener FE-Programme erweitert. Im Abschnitt 6.4 werden Beispiele zur kombinierten Simulation vorgestellt. Eine Übersicht zu Entwurfsverfahren, speziell für Mikrosysteme, ist in [4] ausführlich angegeben.

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Die Netzwerkbeschreibung einer physikalischen Struktur erfordert die Denition von • • • • •

Netzwerkkoordinaten zweipoligen Elementarbauelementen Koppelvierpolen idealen Quellen und Bilanzgleichungen der Koordinaten.

Basis der Netzwerktheorie ist die Signal- und Systemtheorie der Elektrotechnik. Daher werden einleitend die Funktionaltransformationen zwischen stationären sinusförmigen Zeitfunktionen und komplexen Amplituden eines linearen Systems beschrieben. Mit Hilfe der Fourier-Reihen kann die Übertragung von Kreisfunktionen durch lineare Systeme auf allgemeine periodische Funktionen erweitert werden. Für einmalige bandbegrenzte Signale erfolgt der Übergang zur Fourier-Transformation. Diese Beschreibungsmethode wird anschließend auf die bekannten linearen elektrischen Netzwerke angewandt. Der Übergang zur Anwendung dieser Methode auf mechanische und akustische Netzwerke beruht auf der übereinstimmenden Grundstruktur der hier gültigen gewöhnlichen Dierentialgleichungen. Die Herleitung der Grundlagen der Netzwerkbeschreibung für mechanische und akustische Systeme aus den Grundlagen der theoretischen Mechanik ist im Abschnitt 2.3 aufgeführt. Die ausführliche Netzwerkbeschreibung mechanischer und akustischer Systeme erfolgt in Kapitel 3. Zwischen den unterschiedlichen Teilsystemen bestehen Wechselwirkungen, deren Merkmale anschließend erörtert werden. Auch hier ist deren Ableitung aus den elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen im Abschnitt 2.4 dargestellt. Die Klassizierung der elektromechanischen Wechselwirkungen und deren Netzwerkbeschreibung erfolgt ausführlich in den Kapiteln 7 bis 9. Die Netzwerkbeschreibung der betrachteten Teilsysteme und deren Wechselwirkungen untereinander bilden abschließend die Basis für eine strukturierte

18

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Netzwerkbeschreibung komplexer elektromechanischer Systeme, so wie sie ab Kapitel 3 im Buch behandelt wird.

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken 2.1.1 Die Kreisfunktion als Grundbaustein für Zeitfunktionen linearer Netzwerke Die dynamische Beschreibung elektrischer, mechanischer und akustischer Teilsysteme einschließlich ihrer Wechselwirkungen führt in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 zu Systemgleichungen zwischen Flusskoordinaten und Dierenzkoordinaten. Aus diesen Systemgleichungen lassen sich Dierentialgleichungen ableiten, die die Antworten einzelner Systemkoordinaten auf die Anregung anderer Systemkoordinaten mit bekannten Anregungszeitfunktionen zu bestimmen gestatten. Für die Lösung solcher Analyseaufgaben hat sich die Einschränkung der Anregungszeitfunktionen auf Modellzeitfunktionen als sinnvoll erwiesen. Diese Modelle sollten einerseits eine möglichst einfache Lösung der o.g. Aufgabe gestatten, zum anderen sollte es aber auch möglich sein, die in der Realität vorkommenden Zeitfunktionen aus Summen solcher Modellbausteine zu erzeugen. Die Kreisfunktion { (w) = { ˆ cos ($w + *{ )

(2.1)

ist aus den folgenden Gründen als Modellbaustein für die Analyse linearer Netzwerke besonders geeignet: • Allgemeine periodische Funktionen lassen sich mittels einer Fourier-Reihe aus harmonischen Kreisfunktionen aufbauen. • Der Funktionstyp Kreisfunktion ist gegen die in den Systemgleichungen linearer Netzwerke in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 vorkommenden Operationen wie Dierentiation, Addition und Multiplikation mit einer Konstanten invariant. Die gleiche Eigenschaft besitzen auch Linearkombinationen von Kreisfunktionen. Daraus folgt, dass bei einer Erregung eines linearen Netzwerks mit einer Kreisfunktion nach Gl. (2.1) alle übrigen Koordinaten des Netzwerks ebenfalls durch Kreisfunktionen der gleichen Frequenz $ beschrieben werden können. Die Analyseaufgabe reduziert sich bei dieser speziellen Anregung auf die Bestimmung der Amplituden und Phasenwinkel der übrigen Koordinaten. Mit dem Ansatz für die Koordinaten ¢ ¡ und  (w) =  ˆ cos $w + *

ˆ cos ($w + * )  (w) =  

(2.2)

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

m1  v (t )  vˆ cos (wt  jv )

F

Fn n

Fr

l1  Fn (t )  Fˆn cos (wt  jn )

r

l2  Fr (t )  Fˆr cos (wt  jr ) l3  F (t )  Fˆ cos (wt )

v (t )  n

19

d Fn dt

1 Fr (t ) r F (t )  Fn (t ) + Fr (t )

v (t ) 

Abbildung 2.1. Analyse eines Stoßdämpfers mit cos-Ansatz

ergibt sich ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Unbekannten  und  bei Anregung durch 0 und 0 . Abbildung 2.1 zeigt hierfür ein Beispiel. Ausgehend von der Dierentialgleichung des Netzwerks aus Abbildung 2.1 gemäß 1 1 dIq (w) = Iu (w) = (I (w)  Iq (w)) (2.3) q dw u u und damit dIq (w) + Iq (w) (2.4) I (w) = uq dw lässt sich durch Einsetzen von Kreisfunktionen für I (w), Iq (w), Iu (w) Iˆ cos ($w) = uq ($) Iˆq sin ($w + *q ) + Iˆq cos ($w + *q ) / Iˆ cos ($w) = Iˆq ($qu cos *q  sin *q ) sin ($w) +Iˆq ($qu sin *q + cos *q ) cos ($w)

(2.5)

mit d = $qu cos *q  sin *q

und

e = $qu sin *q + cos *q

die Amplitude Iˆq und der Phasenwinkel *q für die gesuchte Kraft Iq (w) mit d = 0 , $qu =  tan *q und e= ermitteln.

q 1 1 + tan2 *q , Iˆq = p Iˆ 1 + tan2 *q

(2.6)

(2.7)

Wegen der komplizierteren Additions- und Dierentiationsregeln für die Kreisfunktionen im Vergleich zu den Exponentialfunktionen imaginärer Argumente ist es üblich und zweckmäßig, anstelle der reellen Zeitfunktion in Gl. (2.1) die komplexe Zeitfunktion { (w) und davon abgeleitet die komplexe Amplitude { zu verwenden. Die reelle Zeitfunktion in Gl. (2.1) lässt sich zu einer komplexen Zeitfunktion der Form

20

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

{ (w) = { ˆ [cos ($w + *{ ) + j sin ($w + *{ )] = { ˆ ej($w+*{ )

(2.8)

umschreiben. Aus (2.8) ergibt sich die komplexe Amplitude { gemäß ˆ ej*{ . {={

(2.9)

Zwischen dem Zeitbereich und dem Bildbereich ergeben sich Relationen, wie sie in Tabelle 2.1 dargestellt sind. Tabelle 2.1. Funktionaltransformation zwischen stationären sinusförmigen Zeitfunktionen und komplexen Amplituden Zeitbereich z (w) = d{ (w) @dw z (w) =

Uw

{ (w) dw

d

z (w) = {1 (w) + {2 (w)

Bildbereich < A A A A A A @ A A A A A A >

 { (w) = < { ej$w

Ui

{={ ˆ ej*

; z = j${ A A A A A ? 1 { z= j$ A A A A A = z = {1 + {2

Hier entstehen jetzt bei der Einführung des Ansatzes nach Gl. (2.9) in die Grundoperationen des Gleichungssystems der linearen Netzwerke in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 die korrespondierenden Gleichungen zwischen den komplexen Amplituden z = j${

(2.10)

1 { j$

(2.11)

z = {1 + {2 .

(2.12)

z=

Auf diese Weise wird eine Funktionaltransformation zwischen den Variablen und Gleichungen des Zeitbereichs und des Bildbereichs deniert, die durch ª © (2.13) { (w) = < { ej$w und

ˆ ej* {={

(2.14)

beschrieben ist. Die Anwendung dieser Funktionaltransformation auf die Systemgleichungen in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 überführt diese Dierentialgleichungssysteme in algebraische Gleichungssysteme zwischen den komplexen Amplituden.

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

21

Abbildung 2.2 zeigt die Vereinfachung der Analyse von Abbildung 2.1 bei Verwendung der komplexen Amplituden. Einzelheiten und Beispiele sowie graphische Interpretationen zu diesem Rechenverfahren sind in Standardlehrbüchern der Elektrotechnik enthalten [23—26].

F

 1 jwnF n  F r   r   1 1   v  Fr  jwnF n  (F  F n ) r r   F  F n  F r   1  F n  1  jwnr F v  jwnF n

Fn

Fr

n

r

Abbildung 2.2. Analyse eines Stoßdämpfers mit komplexen Amplituden

Für den in Abbildung 2.2 dargestellten Stoßdämpfer lässt sich mit den beiden Beziehungen (2.13) und (2.14) der zeitliche Verlauf der Kraft Iq (w) zu à ! Iˆ j$w e Iq (w) = < 1 + j$qu 4 3 ˆ I ej* ej$w D / Iq (w) = < C q 2 1 + ($qu)

mit

Iˆ / Iq (w) = q cos ($w  arctan $qu) 1 + ($qu)2 tan * = $qu

(2.15)

(2.16)

berechnen. Das Beispiel aus Abbildung 2.2 legt die in Abbildung 2.3 dargestellte Verallgemeinerung mit der Einführung der Übertragungsfunktion E ($) zwischen den Ein- und Ausgangsgrößen { und | eines linearen Systems nahe. Es ist bemerkenswert, dass die oben genannten Aussagen auch für Ansätze der Form (2.17) { (w) = { ˆ ew cos ($w + *) und { (w) = { ˆ e(+j$)w+j*

(2.18)

gelten. Unter Verwendung von Gl. (2.18) modizieren sich die Gln. (2.10) bis (2.13) derart, dass anstelle j$ die komplexe Frequenz s =  + j$ eingeführt werden muss. Dieser Sachverhalt hat Bedeutung für Stabilitätsanalysen und

22

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

x t  x$ cos wt  j x

bg

b

x  x$ e jj x

g U| V| W

y$  B w x$

bg

bg j b wg

R| ybtg  y$ cos dwt  j i S| y  y$ e T

B w  B w e jj B

yB w x

Bw B

bg bg

y

jj y

bg

j y  jx  jB Abbildung 2.3. Übertragungsfunktion eines linearen Systems

erlaubt weitreichende Folgerungen über die funktionentheoretischen Eigenschaften von Netzwerksfunktionen der komplexen Frequenz s. Einzelheiten dazu sind in Kapitel 4 „Abstraktes lineares Netzwerk” enthalten. 2.1.2 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen Begründung und Klassikation der Fourier-Entwicklung Das in Abbildung 2.3 dargestellte Modell für die Übertragung von Kreisfunktionen durch lineare Systeme kann mit Hilfe der Fourier-Transformationen auf allgemeine periodische und zeitbegrenzte („einmalige”) Funktionen erweitert werden. Zunächst wird in den Gln. (2.19) bis (2.22) die periodische Funktion { ˜ (w) mit der Periode W durch Fourier-Reihen der Form M X

fl cos ($ l w + *l )

(2.19)

[dl cos ($ l w) + el sin ($ l w)]

(2.20)

{ ˜ (w) = { ¯+

l=1

bzw. { ˜ (w) = { ¯+

M X l=1

mit { ¯=

ZW

{ (w) dw,

dl = fl cos *l ,

el = fl sin *l

(2.21)

0

w $ l = 2 l, W dargestellt.

fl =

q d2l + e2l ,

*l =  arctan

el dl

(2.22)

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

23

Wenn { (w) eine Eingangsfunktion eines linearen Systems ist, dann kann mit den Methoden des Abschnitts 2.1.1, Abbildung 2.3 wegen der vorausgesetzten Linearität des Systems angenommen werden, dass jede harmonische Teilschwingung {l (w) das System einzeln ungestört von den anderen Teilschwingungen durchläuft. Die am Ausgang gemäß Abbildung 2.3 entstehenden Teilantworten |l (w) summieren sich dann zur Ausgangsfunktion | (w). Das daraus entstehende Übertragungsmodell ist in Abbildung 2.4 dargestellt.

R| || || x btg | T | tS || || || |T

c yi

cxi i

bg

xi t cxi , j xi , w i

b g j bw g B wi B

i

b g b g D

c yi  B w i cxi

j xi

j yi  j B w i  j xi i

Systemantwort

bg

yi t c yi , j yi , w i

j yi

U| | i| || ybtg || V| || || | i| W

Tt

Abbildung 2.4. Allgemeines Übertragungsmodell für periodische Zeitfunktionen

Dieses elementare Systemmodell wurde zuerst von Küpfmüller zur Analyse des Übertragungsverhaltens von elektrischen Schaltungen verwendet [12]. Es bildet die Grundlage für die spektralen Analysemethoden der Signal- und Systemtheorie. Der damit verbundene Sachverhalt begründet die zentrale Bedeutung der Fourier-Entwicklungen für dieses Wissensgebiet. Fourier-Reihen Die durch die Gln. (2.19) bis (2.22) gestellte Aufgabe der Au!ndung einer Näherungsfunktion { ˜ (w) bzw. die Au!ndung der Koe!zienten fl , *l bzw. dl , el erfordert die Aufstellung eines geeigneten Kriteriums. Entsprechend den Aufgaben, die mit der Näherungsgleichung gelöst werden sollen, sind zwei Kriterien üblich: • Die Abweichungen zwischen der Ausgangsfunktion { (w) und der Näherungsfunktionen { ˜ (w) sollen im quadratischen Mittel minimal werden. Dieses Kriterium führt zu der approximativen Form der Fourier-Reihen. • Die Näherungsfunktion { ˜ (w) soll an einer vorgegebenen Zahl Q von äquidistanten Abtastwerten wq mit den Funktionswerten der Ausgangsfunktion

24

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

{ (wq ) übereinstimmen. Dieses Kriterium führt zu der interpolativen Form der Fourier-Reihen. Unter einschränkenden Bedingungen für die Funktion { (w) und die Zahl der Abtastwerte stimmen die Näherungsfunktionen { ˜ (w) nach beiden Kriterien überein. Die interpolativen Fourier-Reihen und die daraus ableitbaren Fouriertransformationen sind die Grundlage der Theorie der Abtastsysteme. Sie werden in diesem Buch nicht benutzt und deshalb hier nicht weiter betrachtet. Die approximativen Fourier-Reihen setzen die Kenntnis der stückweise stetigen Ausgangsfunktion { (w) an allen möglichen, d. h. unendlich vielen Stellen der unabhängigen Variablen w voraus. Sie sind deshalb vorzugsweise für die Entwicklung analytisch gegebener Funktionen sinnvoll. Reelle Form der approximativen Fourier-Reihe Als Fehlermaß für die Abweichungen zweier periodischer Funktionen {1 (w) und {2 (w) gleicher Periodendauer W voneinander ist die mittlere quadratische Abweichung besonders zweckmäßig. Wenn {1 (w) und {2 (w) Funktionen sind, die bei gleicher Periodendauer W und dem gleichen Mittelwert { ¯ durch einen Ansatz der Form von Gl. (2.19) bzw. (2.20) exakt abgebildet werden können, gelten als Folge der Orthogonalität der Kreisfunktionen die Parseval-Gleichungen (2.23) und (2.24): 1 W

ZW

{21 (w) dw =

1X 2 d + e2l + { ¯21 2 l=1 l

ZW

{22 (w) dw =

1X 2  +  2l + { ¯22 2 l=1 l

M

0

1 W

(2.23)

M

0

(2.24)

Daraus folgt, dass die mittlere quadratische Abweichung zweier periodischer Funktionen voneinander, für die die o.g. Bedingungen gelten, durch die Beziehung nach Gl. (2.25) 1 W

ZW 0

M

({1 (w)  {2 (w))2 dw =

1X (dl  l )2 + (el   l )2 2 l=1

(2.25)

gegeben ist. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen eine abschnittsweise stetige Funktion { (w) ist und die zweite Funktion durch den Ansatz der Gl. (2.19) bzw. (2.20) gegeben ist, ergibt sich die mittlere quadratische Abweichung % zu

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

25

%2 = (˜ { (w)  { (w))2 !2 ¶ ¶   ZW Ã M X 1 w w + el sin 2l  { (w) dw = dl cos 2l { ¯+ W W W l=1 0

2 ¯  = { (w)  { W 2

2

ZW 0

¶ ¶¸   M · X w w + el sin 2l dw dl cos 2l { (w) W W l=1

M ¢ 1 X¡ 2 dl + e2l . + 2 l=1

(2.26)

Die Bedingung % $ min führt zu den Bestimmungsgleichungen (2.27) und (2.28) für die Koe!zienten dl und el : 2 C% = Cdl W C% 2 = Cel W

ZW 0

ZW 0

¶  w dw + dl $ 0 { (w) cos 2l W

¶  w dw + el $ 0 { (w) sin 2l W

(2.27)

(2.28)

Zusammengefasst ergibt sich mit den Gln. (2.29) bis (2.32) die reelle Form der approximativen Fourier-Reihe: ¶ ¶¸   M · X w w + el sin 2l dl cos 2l { ˜ (w) = { ¯l + W W l=1 ¶  M X w = { ¯+ fl cos 2l + *l W l=1

(2.29)

2 dl = W

ZW

;l = 1 = = = M

(2.30)

0

¶  w dw> { (w) cos 2l W

2 W

ZW

¶  w dw, { (w) sin 2l W

;l = 1 = = = M

(2.31)

el =

0

{ ˜ (w) $ { (w)

für

M$4

(2.32)

Oen bleibt bei den Gln. (2.29) bis (2.31) zunächst die Frage, wie der Fehler % von der Zahl M der Summanden abhängt. Eine genaue Analyse dieses Sachverhaltes führt zu der Aussage, dass % mit wachsendem M gleichmäßig gegen Null konvergiert. Daraus folgt die Aussage der Gl. (2.32), dass beide

26

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Funktionen in der Grenze M $ 4 übereinstimmen. Die detaillierte Analyse der Fehlereigenschaften von { (w) ist nicht einfach. Sie ist ausführlich und in mathematischer Strenge in der Fachliteratur beschrieben [27, 28]. Komplexe Form der approximativen Fourier-Reihe Die Transformationsgleichungen (2.29) bis (2.32) lassen sich durch Einführung der komplexen Zeitfunktionen nach Gl. (2.8) in eine Form bringen, in der entsprechend dem Systemmodell aus Tabelle 2.1 die Benutzung der komplexen Übertragungsfunktion E ($ l ) von Abbildung 2.3 möglich ist: { ˜ (w) = { ¯+

M X

w

fl ej*l ej2l W

(2.33)

l=1

,{ ˜ (w) = < {˜ { (w)} = /{ ˜ (w) = { ¯+ /{ ˜ (w) = { ¯+ mit

M X 1 l=1

2

1 (˜ { (w) + { ˜ (w)) 2 w

fl ej*l ej2l W +

M X 1 l=1

M X 1 j*l j2l w W fl e e |2 {z }

l=M l6=0

(2.34)

2

w

fl ej*l ej2l W

(2.35)

(2.36)

fl

1 1 1 fl = fl cos *l + j fl sin *l = 2 | {z } 2 | {z } W dl

el

ZW

w

{ (w) ej2l W dw

(2.37)

0

¯ ist, so ergibt sich schließlich Wenn man berücksichtigt, dass f (l = 0) = { die komplexe Form der approximierten Fourier-Reihe entsprechend den Gln. (2.38) bis (2.42):

{ ˜ (w) =

M X

w

fl ej2l W

(2.38)

l=M

1 fl = W

ZW

w

{ (w) e j 2l W dw

(2.39)

0

1 fl = (dl  jel ) , 2

{ ¯ = f0

fl = f (l) { ˜ (w) $ { (w)

(2.40) (2.41)

für

M$4

(2.42)

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

27

Wenn eine so beschriebene Zeitfunktion über ein lineares System mit der komplexen Übertragungsfunktion E ($ l ) übertragen wird, ergeben sich entsprechend der Tabelle 2.1 und der Abbildung 2.4 folgende Relationen:

|˜ (w) =

M X

fl{ E ($ l ) ej$l w

(2.43)

l=M

fl{

1 = W

ZW

{ (w) ej$l w dw,

l = M = = = M

(2.44)

0

|˜ (w) $ | (w)

für

M$4

(2.45)

Beim Vergleich der Gln. (2.29) bis (2.32) mit den Gln. (2.43) bis (2.45) ist zu beachten, dass entsprechend Gl. (2.40) |fl | mit fl @2 aus Gl. (2.29) identisch ist. Tabellen für die dl und el von periodischen Modellfunktionen, die für theoretische und experimentelle Probleme nützlich sind, ndet man in Lehr- und Tabellenbüchern der Elektrotechnik sowie der Signal- und Systemtheorie [29—32]. 2.1.3 Fourier-Transformation Anwendungsaspekte bei der spektralen Darstellung einmaliger Vorgänge In der Messtechnik und Systemanalyse ist die Bestimmung von Systemreaktionen auf einmalige zeitbegrenzte Vorgänge von gleicher Bedeutung, wie diejenige von periodischen Vorgängen. Die Reaktion auf einen einmaligen Vorgang beinhaltet die Bedingung, dass sich das betrachtete System bei Beginn des einmaligen Vorgangs in Ruhe bendet. Alle Energiespeicher müssen leer sein (s. Abb. 2.5).

bg

x0 t

bg

x0 t

T0

bg

bg

x 0 t  xp t

für

t

bg

B w

bg

y t

?

0  t  T0

Abbildung 2.5. Übertragung eines einmaligen zeitbegrenzten Vorgangs durch ein linares System

28

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Die Lösung dieser Aufgabe ist grundsätzlich durch die Lösung der aus den Systemgleichungen in den Abschnitten 2.2 bis 2.6 ableitbaren Dierentialgleichungen möglich. Eine geeignete Form dieser Gleichungen sind die Zustandsdierentialgleichungen, deren Anwendung in [33] ausführlich beschrieben ist. Diese Lösungsverfahren unterliegen nicht der Einschränkung auf lineare Systeme, die bei der spektralen Betrachtungsweise gemacht werden musste. Es erhebt sich nun die Frage, ob sich bei der Einschränkung auf die Linearität auch für einmalige Vorgänge im o.g. Sinne eine spektrale Beschreibung nden lässt, die die große Leistungsfähigkeit der in den Abschnitten 2.1.1 und 2.1.2 dargestellten Rechenmethoden, insbesondere die Verwendung komplexer Übertragungsfunktionen zur Systembeschreibung, möglich macht. Die Beantwortung dieser Frage führt auf die Fourier-Integraltransformation. Der Ausgangspunkt für ein solches Konzept ist die Praxis bei der experimentellen Systemanalyse und Messtechnik. Dort wird u.a. zur Unterdrückung von Störungen die Erregung des Systems mit dem einmaligen Vorgang periodisch nach hinreichend langer Zeit wiederholt. Der so entstandene Vorgang ist periodisch und gestattet die Anwendung aller Methoden, die in den Abschnitten 2.1.1 und 2.1.2 zusammengestellt sind. Untersucht werden muss nun die Frage, ob die auf diese Weise konstruierbaren Modelle quasi-einmaliger Vorgänge in der Grenze zu Beschreibungen führen, die den o.g. Forderungen entsprechen. Konstruktion von Funktionenfolgen für den Übergang zur Fourier-Integraltransformation Die periodische Wiederholung eines zeitbegrenzten Vorgangs entsprechend den Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts führt zu dem in Abbildung 2.6 dargestellten Modell.

bg

xt

x0(t) mit Periode LT0 periodisch wiederholt

T0 x~ t

bg

2T0

3T0

LT0

t

aus Fourier-Reihe abgeleitete Näherungsfunktion x%(t )

T0

2T0

3T0

LT0  T

t

Abbildung 2.6. Modell einer Funktionenfolge zur spektralen Darstellung einmaliger Vorgänge

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

29

Die zeitbegrenzte Funktion {0 (w) mit der Länge W0 wird mit der Periode W =LW0 periodisch wiederholt. Die Fourier-Reihe der so entstehenden Funktion { ˜ (w) wird bei endlicher oberer Summationsgrenze K die im Anhang B gezeigten Fehler an den Sprung- und Knickstellen von { (w) enthalten. Es ist aber aus den Überlegungen zu diesen Abbildungen auch bekannt, dass die Abweichungen { (w) zwischen { (w) und { ˜ (w) außerhalb der Umgebung dieser Stellen mit wachsendem K gegen Null gehen. Das betrit auch den Zeitab˜ (w) schnitt zwischen W0 und LW0 . Man kann also damit rechnen, dass sich { mit wachsendem K und L der Funktion {0 (w) aus Abbildung 2.5 annähert. ˜ (w) gemäß Die Bestimmung von dn und en in der spektralen Darstellung von { { ˜ (w) = { ¯+

¶ ¶   w w + el sin 2l dl cos 2l W W l=1

K X

(2.46)

ist mit den Gln. (2.30) und (2.31) möglich. Für die weiteren Betrachtungen ist es zweckmäßig, als analytische Beschreibung von {0 (w) im Bereich 0  w  W0 die spektrale Beschreibung durch eine Fourier-Reihe zu benutzen. Man erhält sie durch periodische Fortsetzung von {0 (w) aus diesem Bereich wie in Abbildung 2.7 dargestellt.

bg

xp t  x 0 t

xp

xp t  xp   ai cos 2  i

bg

xp t

T0

t

bg M

F GH

I JK bg

bg

bg

xt

b g |RS| x bt0g  x T

zt 

p

p

T

t T0

T  LT0

F GH

I JK

t t  bi sin 2  i T0 T0 i 1 1444444 424444444 3 zt

bg

zt

xp

0  t  T0

0  t  T0 T0  t  T t

T0

bg

x t

xp

b g RSx0 T

x t 

T0

0  t  T0

p

T0  t  T T

t

Abbildung 2.7. Berücksichtigung des Gleichanteils der Funktion {s (w) bei der Entwicklung der Funktion { (w) nach Gl. (2.46)

30

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Für die weiteren Überlegungen soll zunächst angenommen werden, dass {s (w) bandbegrenzt ist. Die Funktion {s (w) soll also durch Gl. (2.36) mit endlichem P fehlerfrei darstellbar sein. Wenn der Mittelwert { ¯s von {s (w) nicht Null ist, ergeben sich bei der Entwicklung von { (w) entsprechend Gl. (2.46) Besonderheiten, die in Abbildung 2.7 näher erläutert sind. Bei der Entwicklung periodischer Funktionen, bei denen der Mittelwert { ¯s über eine Periode W0 von Null verschieden ist, ergibt die Bestimmung der dl und el nach den Gln. (2.30) und (2.31) immer die Werte der mittelwertfreien ¯s , unabhängig ob { (w) oder } (w) in die o.g. GleiFunktion } (w) = {s (w)  { chungen eingesetzt wird. Hier muss die Funktion { (w) im ganzen Intervall W in die beiden Bestandteile } (w) und { (w) zerlegt werden und diese müssen getrennt entwickelt werden. Das Ergebnis ist in den Gln. (2.47) und (2.48) dargestellt. Hier entstehen zusätzlich zu den Koe!zienten der Funktion } (w) noch Koe!zienten n und  n : ¶ ½ ¾ ½ ¾ ZW0 w 2 n cos 2n dw = { (w) sin n W W 0

¶ ¶¸!   ZW0 à M · X 2 w w dn cos 2l + en sin 2l = { ¯s + W W0 W0 l=1 0 ¶ ½ ¾ w cos dw (2.47) · 2n sin W ¶ ½ ¾ ZW0 ½ ¾  w 2 n cos 2n dw ={ ¯s sin n W W 0 | {z } 5

n > n

9 ¶ ¶½ ¾  ZW0 P 9 X w w cos 9 2 2n dw + cos 2l d 9 n sin 9 W W0 W l=1 7 0 | {z } Dln >Fln

2 + en W |

ZW0 0

6

¶ : ¶½ ¾  : w w cos : 2n dw: sin 2l sin : W0 W 8 {z } Gln >Eln

(2.48)

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

31

Die Ausführung der in Gl. (2.48) auftretenden Integrale Dln , Eln , Fln und Gln sowie der n und  n zeigen die Gln. (2.49) bis (2.52): }n =

$n 1 $n n $n = = = L 2@W L 2@W0 $0

1 sin (2}n ) 1 1  cos (2}n ) ,  n = 2¯ {s L 2}n L 2}n ½ ¾ }n ¾ ½ sin (2}n ) l Dln = Eln  (}n2  l2 ) ½ ¾ l ¾ ½ [cos (2}n )  1] }n Fln = Gln  (}n2  l2 ) n = 2¯ {s

(2.49) (2.50)

(2.51)

(2.52)

Damit ergeben sich insgesamt die Gln. (2.53) bis (2.55) für die gesuchten Koe!zienten der Gl. (2.46): P

n =

1X (Dln dl  Fln el ) + n L l=1

n =

1X (Gln dl  Eln el ) +  n L l=1

(2.53)

P

{ ¯=

{ ¯s L

(2.54) (2.55)

Eine genauere Analyse der Dln , Eln , Fln und Gln für die Werte n = ULl ergibt die in den Gln. (2.56) und (2.57) dargestellten Werte: ¾ ½ 1, U = 1 (2.56) Dln = Eln = 0, U 6= 1 Fln = Gln = 0

(2.57)

Daraus folgt, dass die n und  n an den Stellen n = lL die in Gl. (2.58) angegebenen Werte annehmen: ½ ¾ ½ ¾ 1 dl n = (2.58) n L el Insgesamt ergibt sich für den Übergang von den dl , el zu den n ,  n die in Abbildung 2.8 dargestellte Situation.

32

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

L ak

bg

a z L

ai L

ai1 L

i

i Li

1 L

i

Li 1

L 1 L

b g

zk 

i 1

b g

L i 1 1 L i 1

k L

k

Abbildung 2.8. Übergang von den dl , el zu den n ,  n am Beispiel eines Abschnitts n =Ll = = =L(l + 1)

Es gilt dabei: M

1X  (}n ) = L l=1 M

 (}n ) =

1X L l=1



}n sin (2}n ) l [cos (2}n )  1] dl + el  (}n2  l2 )  (}n2  l2 )

¶



}n [cos (2}n )  1] l sin (2}n ) dl + el  (}n2  l2 )  (}n2  l2 )

+ n ¶

(2.59)

+  n (2.60)

Zwischen den dl , el entstehen durch die Operation aus Abbildung 2.7 mit der Funktion {s (w) jeweils zusätzliche Spektrallinien, die an den Stellen n = lL bis auf den Faktor L mit den ursprünglich vorhandenen dl , el übereinstimmen. Die interpolierende Hüllkurve zu den n ,  n erhält man, wenn man in den Gln. (2.59) und (2.60) anstelle der diskreten Variablen }n die kontinuierliche Variable } einführt. Es ist bemerkenswert für die weiteren Überlegungen, dass die Hüllkurvenfunktionen  (})L,  (})L nicht von L abhängen. Weiterhin werden wegen der Stetigkeit dieser Funktionen die relativen Unterschiede zwischen benachbarten Spektrallinien mit zunehmendem L kleiner. Außerdem ist es bemerkenswert, dass die n ,  n vollständig durch die dl , el bestimmt sind. Daher stellen die Gln. (2.59) und (2.60) das Analogon im Frequenzbereich zur Abtastrelation im Zeitbereich bei bandbegrenzten Zeitfunktionen dar. Hier kann auch schon die Frage näher betrachtet werden, wie sich die bisher abgeleiteten Relationen ändern, wenn die Funktion {s (w) nicht bandbegrenzt ist. Entsprechend den Betrachtungen im Abschnitt 2.1.2 muss die obere Summationsgrenze M in den Gln. (2.53) und (2.54) gegen 4 gehen. Die n ,  n nehmen hier schon den Charakter eines Grenzwertes an. Es ist im Übrigen auch aus den Gln. (2.59) und (2.60) zu erkennen, dass die n ,  n auch bei bandbegrenztem {s (w) über den Wert n =ML hinaus von Null verschieden

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

33

sind. Die Summation über n in Gl. (2.46) muss deshalb ohnehin im Sinne eines Grenzwertes gegen 4 gehen. Bei Aufgabe der Bedingung der Bandbegrenzung für {s (w) ändert sich deshalb nichts an den Grenzwerteigenschaften von Gl. (2.46). Übergang zur Fourier-Integraltransformation Die Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts legen es mit Rücksicht auf Abbildung 2.8 für große L nahe, die Summe in Gl. (2.46) näherungsweise durch ein Integral auszudrücken. Dies führt in Verbindung mit L À 1 , $ n , $, }n =

$ n 2 2 , , $0 = , $ = L $0 W0 W0

zu folgenden Gleichungen: { (w) = { ¯+

K 1 X [n cos ($ n w) +  n sin ($ n w) $] $

(2.61)

n=1

n ,  ($) , 1 { (w)  { ¯+ 

 n ,  ($) Z$n 0

d ($) =

W  ($) , 2

¶ W W  ($) cos ($w) +  ($) sin ($w) d$ 2 2 e ($) =

W  ($) 2

(2.62)

(2.63)

(2.64)

Die Gln. (2.30) und (2.31) gehen dann in Gl. (2.65) bzw. in die aus den Gln. (2.51) bis (2.55) folgende Gl. (2.67) über: ½ ¾ ½ ¾ ZW0 cos d ($) ($w) dw = { (w) sin e ($)

(2.65)

0

{ ¯={ ¯s

W0 W

(2.66)

½ ¾ ½ ¾ M 1 X 1 d ($) ($@$ 0 ) sin (2$@$ 0 ) = dl e ($) 2 l=1 ($@$ 0 )2  l2  ($@$ 0 ) [cos (2$@$ 0 )  1] ½ ¾ M 1 X 1 l [cos (2$@$ 0 )  1] el + l sin (2$@$ 0 ) 2 l=1 ($@$ 0 )2  l2 ½ ¾ sin (2$@$ 0 ) @ (2$@$ 0 ) (2.67) +¯ {s W0 [1  cos (2$@$ 0 )] @ (2$@$ 0 )

34

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Der Übergang zu den Grenzen L $ 4, K $ 4 und M $ 4 ist dann mit Rücksicht auf die im vorhergehenden Abschnitt denierte Funktionenfolge ohne Probleme möglich, wenn weiterhin die Bedingung der Zeitbegrenzung ¯ geht dann in der Grenze gegen für {s (w) aufrechterhalten wird. Der Wert { Null. Das Ergebnis ist in den Gln. (2.68) und (2.69) zusammengefasst, welche die Fourier-Integraltransformation repräsentieren: 1 { (w) = 

Z4

[d ($) cos ($w) + e ($) sin ($w)] d$

(2.68)

0

½ ¾ d ($) = e ($) Z4

Z4

{ (w)

0

½ ¾ cos ($w) dw sin

|{ (w)| dw $ beschränkt

(2.69)

(2.70)

0

Die strenge mathematische Ableitung dieser Funktionaltransformation ist in ausgewiesenen Fachbüchern zu nden [27, 28]. Im Resultat dieser Beweisführung zeigt sich, dass die Forderung der Zeitbegrenzung für { (w) in Gl. (2.69) nicht erforderlich ist. Allerdings muss { (w) dafür die Bedingung in Gl. (2.70) erfüllen. Die Relationen in den Gln. (2.68) und (2.69) können entsprechend den Gln. (2.33) bis (2.35) auch in komplexer Form geschrieben werden. Es ergibt sich daraus die Fourier-Integraltransformation in komplexer Form: 1 { (w) = 2

Z4

f ($) ej$w d$

(2.71)

4

f ($) =

Z4

{ (w) hj$w dw

(2.72)

1 [d ($)  je ($)] 2

(2.73)

0

f ($) =

f ($) = f ($)

(2.74)

Die Beziehungen (2.68) und (2.69) und (2.71) bis (2.74) sind nicht notwendig auf positive Werte von w begrenzt. Bei Beachtung von Gl. (2.70) kann { (w) Werte im Bereich 4  w  4 annehmen. Die untere Grenze in den Gln.

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

35

(2.69) und (2.72) kann deshalb auch zu 4 angenommen werden, wie das üblicherweise bei der Denition der Fourier-Integraltransformation geschieht. In Lehr- und Taschenbüchern der Signal- und Systemtheorie sind umfangreiche Tabellen von Korrespondenzen zwischen Zeitfunktionen und ihren Fouriertransformierten enthalten [30—32, 34]. Abschließend kann nun auch die eingangs gestellte Frage beantwortet werden, ob sich bei Einschränkung auf Linearität auch für einmalige Vorgänge eine spektrale Beschreibung angeben lässt. Stellt man sich auf den Standpunkt eines der in Abbildung 2.6 denierten Folgeelemente, so ist darauf die Fourier-Integraltransformation gemäß den Gln. (2.68) und (2.69) anwendbar. Der Integrand in Gl. (2.71) hat die Bedeutung der komplexen Zeitfunktion einer dierentiellen Teilschwingung, die sich zu { (w) summieren. Mit f ($) d$ wird die komplexe Amplitude dieser Teilschwingung bezeichnet. Der Integrand in Gl. (2.68) stellt die entsprechenden dierentiellen Teilschwingungen in reeller Form dar. Die Koe!zienten  ($) und  ($) lassen sich mit den Gln. (2.61) und (2.63) auf die diskreten Fourier-Koe!zienten eines Folgeelementes der Gl. (2.46) zurückführen. Wenn f{ ($) d$ der dierentielle Fourierkoe!zient einer Eingangsfunktion eines linearen Systems ist, so erhält man die entsprechenden Koe!zienten der Ausgangsfunktion | (w) zu: f| ($) = E ($) f{ ($)

(2.75)

Die Funktion | (w) ergibt sich dann entsprechend 1 | (w) = 2

Z4

f{ E ($) ej$w d$

(2.76)

Z4

{ (w) ej$w dw.

(2.77)

4

mit f{ ($) =

0

Dieser Sachverhalt ist nochmals in Abbildung 2.9 veranschaulicht.

bg

yt 

bg

xt

bg

B w

bg

y t

1  c w B w e jwtdw 2   x

z



z bg

bg bg

c x w  x t e-jwtdt

bg

b2.57g b2.58g

0

Abbildung 2.9. Übertragung eines einmaligen Vorgangs über ein lineares Systemmit der Übertragungsfunktion E ($)

36

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

2.1.4 Laplace-Transformation Bei der im Abschnitt 2.1.3 beschriebenen Fourier-Transformation gibt es Konvergenzprobleme bei der Transformation von Funktionen, die für w $ 4 nicht hinreichend stark gegen Null gehen. Zur Umgehung dieser Schwierigkeiten kann man unter Verwendung der in den Gln. (2.17) und (2.18) dargestellten Eigenschaften von exponentiell an- und abklingenden Kreisfunktionen eine Umformung der Gln. (2.71) und (2.72) vornehmen, welche die FourierTransformation in die Laplace-Transformation überführt. Wenn man anstelle der Funktion { (w) die Funktion x (w) = { (w) ew

(2.78)

einer Fourier-Transformation nach Gl. (2.72) unterzieht, ergibt sich fx ($) =

Z4

{ (w) e(+j$)w dw.

(2.79)

0

Mit der komplexen Frequenz s =  + j$ folgt: fx ($) =

Z4

(2.80)

{ (w) esw dw = L {{ (w)} = I (s)

(2.81)

0

Bei der Rücktransformation von fx mit Gl. (2.71) ergibt sich für x (w): 1 x (w) = 2

+j4 +4 Z Z 1 j$w fx (s) e d$ = I (s) ej$w ds 2j

4

(2.82)

j4

Die ursprüngliche Funktion { (w) erhält man mit Gl. (2.78): +j4 Z

1 { (w) = 2j

I (s) esw ds = L1 {I (s)}

(2.83)

j4

Das Gleichungspaar (2.84) und (2.85) deniert die Laplace-Transformation: L {{ (w)} = I (s) =

Z4

{ (w) esw dw

(2.84)

0

1

{ (w) = L

1 {I (s)} = 2j

+j4 Z

I (s) esw ds

j4

(2.85)

2.1 Signalbeschreibung und Signalübertragung in linearen Netzwerken

37

Ihr Zusammenhang mit der Fourier-Transformation ist durch die Gln. (2.79) bis (2.83) eindeutig beschrieben. Der Rückweg von dieser verhältnismäßig hohen Abstraktionsstufe über die Fourier-Transformation zu einfachen Modellen und algebraisch und numerisch nachprüfbaren Relationen kann nützlich sein, wenn bei der Anwendung solcher sehr leistungsfähigen Analyseverfahren Zweifel entstehen, ob die damit angestellten Operationen zulässig sind. Gerade die Geschichte der Verwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik enthält Beispiele für solche unzulässigen Operationen und Schlussfolgerungen. Die untere Integrationsgrenze w = 0 in Gl. (2.79) ist hier im Gegensatz zur üblichen Denition der Fourier-Transformation sinnvoll. Mit 4  w  4 müssten sonst wegen des bei negativen w exponentiell anwachsenden Faktors ew in Gl. (2.86) Z4 ¯ ¯ ¯{ (w) ew ¯ dw $ beschränkt (2.86) 0

unnötige Forderungen an { (w) gestellt werden. Darüber hinaus ist die LaplaceTransformation als ein Werkzeug zur Berechnung von Einschaltvorgängen konzipiert, bei denen { (w) = 0 für w  0 ist. In Lehr- und Taschenbüchern sowie in mathematischen Formelsammlungen sind ausführliche Tabellen der Korrespondenzen zwischen I (s) = L {{ (w)} und { (w) für mathematisch und technisch bedeutungsvolle Funktionen enthalten [23, 30—32, 35—37]. Mit den Überlegungen, die im Zusammenhang mit Abbildung 2.9 angestellt wurden, kann auch die Frage beantwortet werden, wie Laplace-Transformierte durch lineare Systeme übertragen werden. Der Schlüssel dazu ist der in den Gln. (2.17) und (2.18) dargestellte Sachverhalt, dass nicht nur Kreisfunktionen, sondern auch Produkte von Kreis- und Exponentialfunktionen ihren Funktionstyp beim Durchgang durch lineare Systeme nicht ändern. Die Gl. (2.79) kann analog zu Gl. (2.72) so interpretiert werden, dass die dierentiellen komplexen Teilschwingungen { (w) = fx (s) esw dw

(2.87)

sich zu { (w) summieren. Wenn hier in diesem Zusammenhang von komplexen Zeitfunktionen und Amplituden gesprochen wird, muss das in Tabelle 2.1 dargestellte Konzept auch auf den Funktionstyp ˆ ew ej($w+*) = { ˆ ej* esw { (w) = {

(2.88)

erweitert werden. Dabei bleibt die Funktionaltransformation von Tabelle 2.1 erhalten, wenn anstelle von j$ die komplexe Frequenz s eingeführt wird. Das hat zur Folge, dass auch beim Übergang von den Netzwerk-Dierentialgleichungen in den Abschnitten 2.2 und 2.3 zu den Gleichungen mit komplexen

38

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Amplituden die modizierte Funktionaltransformation von Tabelle 2.1 vorgenommen werden muss. So ändert sich z. B. die in Abbildung 2.2 angegebene komplexe Übertragungsfunktion I q @I zu: E ($) $ E (s) =

1 Iq 1 = = I 1 + uqs 1 + uq + j$qu

(2.89)

Unter diesen Umständen kann fx (s) $ als dierentielle komplexe Amplitude { der komplexen Zeitfunktion { (w) angesehen werden. Wirkt eine so beschriebene Zeitfunktion auf ein lineares System mit der komplexen Übertragungsfunktion E (s), so erhält man für die dierentielle komplexe Amplitude der Ausgangsgröße | | = fx (s) · E (s) , (2.90) die sich zur Ausgangsgröße | (w) summiert:

1 | (w) = 2j

+j$ Z

fx (s) E (s) esw ds

mit

fx (s) = L {{ (w)}

(2.91)

j$

Die Anwendung der Laplace-Transformation in der Signal- und Systemtheorie hat aus den folgenden Gründen besondere Bedeutung: • Es entfallen die bei der Fourier-Transformation existierenden Beschränkungen bezüglich des Verhaltens von { (w) für w $ 4. • Es ist möglich, die weitreichenden funktionentheoretischen Eigenschaften der Übertragungsfunktionen E ($) bzw. E (s) linearer Systeme zur Systemanalyse zu benutzen. Diese Eigenschaften sind im Anhang B.2 und B.3 zusammengestellt. Sie beruhen auf dem Umstand, dass die Übertragungsfunktionen ortsdiskreter linearer Systeme durch gebrochen-rationale Funktionen von j$ bzw. s dargestellt werden können. Sie sind durch ihre Pole und Nullstellen eindeutig bestimmt. Auf dieser Eigenschaft beruht auch die Rücktransformationsformel von Heaviside, die eine geschlossene Lösung der Gl. (2.88) liefert, wenn die Pole und Nullstellen von E (s) und I (s) bekannt sind. Ausführliche Darstellungen zu Eigenschaften und Anwendungen der Laplace-Tranformation sind in zahlreichen Fach- und Lehrbüchern der Mathematik und Elektrotechnik enthalten [30, 32, 38—40].

2.2 Elektrische Netzwerke

39

2.2 Elektrische Netzwerke In Tabelle 2.2 sind die Netzwerkkoordinaten, Elementarbauelemente, Koppelvierpole, Quellen und Bilanzgleichungen für elektrische Netzwerke angegeben. Die folgenden zusammenfassenden Darlegungen der für den Elektrotechniker bekannten Zusammenhängen dienen zum besseren Verständnis der Methodik bei der Netzwerkbeschreibung nichtelektrischer Teilsysteme. Tabelle 2.2. Bauelemente und Systemgleichungen elektrischer Netzwerke Bauelemente

Q, i

nichtlinear

C

i

u L

i

u R

Netzwerkkoordinaten

linear

Q Q u

bg

Q C u

m m i

bg

m  Li

bg

u  Ri

uu i

i

komplexe Amplituden

dQ du C dt dt

i  jwCu

dm di L dt dt

u  jwLi

u

u  Ri

u  Ri

u

i2

i1 Koppelelement:

idealer Transformator

u2

u1

FG u IJ  FG ü H i K H0 1

1

Spannungsquelle ideale Quellen:

i

IJ FG u IJ K Hi K

i

u0

u

i0

i

um Bilanzgleichungen:

2

2

Stromquelle

i0

u

u0

0 1ü

 um  0

u

im

 im  0

Die Festlegung von Strom und Spannung als Netzwerkkoordinaten entsteht aus der Forderung, dass das Produkt beider Koordinaten eine Leistung darstellt. Diese Eigenschaft ist die Voraussetzung für die Gültigkeit grundlegender Relationen linearer zeitinvarianter Netzwerke. Die zeitinvarianten Bauelemente F und O beschreiben die Fähigkeit elektromagnetischer Felder, elektrische bzw. magnetische Feldenergie zu speichern. Bei nichtlinearen Eigenschaften der Bauelementefunktionen führen diese Bauelementegleichungen zusammen

40

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

mit den Bilanzgleichungen zu Dierentialgleichungen für die Netzwerkskoordinaten x und l. Im linearen Fall lassen sich diese Dierentialgleichungen unter Verwendung der im Abschnitt 2.1 erklärten komplexen Amplituden in algebraische Gleichungen überführen. Das Bauelement U beschreibt die irreversible Umwandlung elektrischer Energie in thermische Energie. Die allgemeinste topologische Form eines Netzwerks aus zweipoligen Bauelementen mit einer vorgesehenen Zahl N von Knoten ist in Abbildung 2.10 dargestellt. in G mn  1 R mn

n

un

m

im

N iN

um

0

i0 

N

 in

n 1

Abbildung 2.10. Allgemeine Topologie eines elektrischen Netzwerks aus zweipoligen Bauelementen

Für das in Abbildung 2.10 dargestellte allgemeine Netzwerk gelten folgende Systemgleichungen: xp =

N X

pq lq

mit

pq = qp

(2.92)

 qp xp

mit

 qp =  pq

(2.93)

q=1

und lq =

N X

q=1

Das Netzwerk enthält maximal ]=

(N  1) N 2

(2.94)

Bauelemente (Zweige). Es ist eine Grundaufgabe der Netzwerktheorie, abzuleiten, wie viele von den insgesamt im Netzwerk vorhandenen Strömen und Spannungen (Koordinaten) jeweils unabhängig voneinander gewählt und wie die restlichen Koordinaten aus dieser Menge der unabhängigen Koordinaten bestimmt werden können. Die zur Lösung dieser Aufgabe erforderlichen Gleichungen sind die Bauelemente- und Bilanzgleichungen aus Tabelle 2.2. Für Netzwerke mit wenigen Bauelementen ist diese Aufgabe durch heuristische Kombination der Bauelementegleichungen mit geeigneten Bilanzgleichungen

2.2 Elektrische Netzwerke

41

lösbar. Zur Au!ndung allgemeiner Netzwerkeigenschaften oder der Analyse größerer Netzwerke mit mehreren Quellen ist jedoch eine systematische Verfahrensweise erforderlich. Sie ist in dem schon genannten Basisbuch der elektrischen Netzwerktheorie von Cauer [11] und der Lehrbuchliteratur der Elektrotechnik, wie z. B. [29] und [41] enthalten. Für lineare elektrische Grundbauelemente führt die Annahme der in Abbildung 2.10 dargestellten Knotenspannungen und Knotenströme als Netzwerksvariable zu einem begri"ich einfachen Zugang zur Lösung der o.g. Aufgaben. Zuerst ist erkennbar, dass die N  1 Knotenspannungen xq einen Satz von unabhängig wählbaren Koordinaten darstellen. Das Gleiche gilt für die N  1 Knotenströme lp . Bei linearen Bauelementegleichungen ist daher die Hypothese von Gl. (2.93) begründet, dass die Knotenströme durch N  1 lineare Gleichungen mit den Knotenspannungen verbunden sind. Die Koe!zienten  qp lassen sich durch ihre Denition  qp =



lq xp

¶

mit

xo =0

o = 1 = = = p  1> p + 1 = = = N  1

(2.95)

in Verbindung mit der Schaltung des Netzwerks als negative Zweigleitwerte Jqp identizieren: (2.96)  qp = Jqp Aus dieser Überlegung folgt auch die Symmetrie der Leitwertmatrix in Gl. (2.93). Diese Reziprozitätsbeziehung ist eine fundamentale Eigenschaft von Netzwerken. Sie ist in Verbindung mit der vorausgesetzten Bauelementelinearität eine Struktureigenschaft des Netzwerks, und nicht, wie zuweilen behauptet wird, die Folge der Existenz einer Zustandsfunktion innerer Energie. Sie folgt vielmehr bei der Einschränkung, dass das Netzwerk nur Kapazitäten oder nur Induktivitäten enthält, aus der Reziprozitätsbedingung von Gl. (2.93). Die Koe!zienten  pp ergeben sich entsprechend ihrer Bedeutung  pp =



lp xp

¶

mit xo =0

o = 1 = = = p  1> p + 1 = = = N  1

(2.97)

als Summe der vom Knoten p ausgehenden Zweigleitwerte:  pp =

N1 X q=1

Jpq

mit

q 6= p

(2.98)

Da die Matrix (pq ) die reziproke Matrix von ( pq ) ist, folgt aus der Symmetrie der einzelnen Matrixelemente  pq auch die Symmetrie der Matrixelemente pq aus Gl. (2.92). Für die pq lassen sich keine so einfachen Zuordnungen zu den Zweigwiderständen Upq nden, wie es im Falle der Leitwertmatrix möglich ist. Mit Hilfe der Bilanzgleichungen lassen sich in beiden Formen der

42

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Gln. (2.92) und (2.93) die unabhängigen Knotenspannungen und Knotenströme gegen Zweigspannungen und Zweigströme austauschen. Eine weitere Modikation der Gl. (2.93) ist dadurch möglich, dass für ausgewählte Knoten die Knotenströme zu Null gesetzt werden. Damit ist die zugehörige Knotenspannung keine unabhängige Variable mehr, und das modizierte Netzwerk besitzt nur noch N  1 Tore. Auf diese Weise können die aus der Struktur des vollständigen Netzwerkes leicht ableitbaren Gln. (2.93) bezüglich der vorhandenen Tore so reduziert werden, dass nur noch die für die jeweilige Anwendung benötigten Tore verbleiben. Bei beiden genannten Modikationen bleiben die Reziprozitätseigenschaften der modizierten Netzwerke erhalten. Abbildung 2.11 zeigt die Reduktion einer Schaltung, die zusätzlich zum Netzwerk aus Abbildung 2.10 noch Quellen für ausgewählte unabhängige Koordinaten enthält. Wenn aus diesem Netzwerk zwei beliebige Knoten herausgeführt werden, kann die gesamte, hinter diesen beiden Knoten liegende Schaltung durch einen der beiden daneben stehenden aktiven Zweipole ersetzt werden. Die Leerlaufspannung xL kann an den Klemmen q> p gemessen werden, wenn der Strom l = 0 gesetzt wird. Der Kurzschlussstrom lK kann an den Klemmen gemessen werden, wenn die Ausgangsspannung x = 0 gesetzt wird. Der Innenwiderstand Ul kann zwischen den Klemmen p> q gemessen werden, wenn sämtliche inneren Spannungsquellen durch einen Kurzschluss ersetzt werden und sämtliche inneren Stromquellen entfernt werden. i Systempunkt Lineares elektrisches Netzwerk aus

i

n

u nm

uL



Systempunkt

u Ri 

i

R, L,C und Quellen

i0 ,u0

Ri

iK

Ri

uL iK

u

m

Abbildung 2.11. Aktive elektrische Zweipole

2.3 Mechanische Netzwerke Die Darlegungen dieses Abschnittes dienen dazu, die Herkunft der in diesem Buch verwendeten Netzwerkbeschreibungen mechanischer Systeme aus der Begriswelt der theoretischen Mechanik aufzuzeigen. Leser, bei denen dieser Aspekt nicht im Vordergrund ihres Interesses steht, können diesen Abschnitt übergehen. Im Kapitel 3 ist eine in sich geschlossene, problemorientierte Beschreibung mechanischer Netzwerke enthalten.

2.3 Mechanische Netzwerke

43

Der Ausgangspunkt für die Konstruktion einer mechanischen Netzwerktheorie ist eine strukturorientierte Interpretation der Lagrange-Gleichungen erster Art. Diese Gleichungen gehen von einer Menge von N + 1 Systempunkten aus. Die Lagekoordinaten von N dieser Systempunkte (p = 1 = = = N) sind durch ihre Position in einem kartesischen Koordinatensystem bestimmt, dessen Ursprung mit dem nullten Systempunkt (Bezugspunkt) zusammenfällt. Im allgemeinen Fall benden sich an den Systempunkten Massen und zwischen den Systempunkten benden sich Feder- und Reibungsbauelemente. Dadurch wird, wie im elektrischen Netzwerk, eine mechanische Netzwerkstruktur deniert, die durch N unabhängige Knoten (Systempunkte) und N(N  1)@2 Bauelementezweige bestimmt ist. Den N Systempunkten können 3N voneinander unabhängige Verrückungskomponenten aufgeprägt werden. Dazu sind 3N Komponenten der äußeren Gleichgewichtskräfte an den Systempunkten erforderlich, die durch die aufgeprägten Verrückungen eindeutig bestimmt sind. Die dazu erforderlichen Systemgleichungen bestehen aus den Kräftebilanzen an den Systempunkten, den Bauelementegleichungen und der Strukturbeschreibung des Netzwerkes durch die Lagekoordinaten der Systempunkte bei fehlenden äußeren Gleichgewichtskräften. Das so beschriebene Netzwerk kann durch die Einfügung von Koppelsystemen modiziert werden. Diese Koppelsysteme bestehen aus K Kopplungsfunktionen zwischen den Lagekoordinaten. Sie reduzieren die ursprünglich 3N unabhängigen Lagekoordinaten auf F Koordinaten. Entsprechendes gilt für die Kraftkoordinaten. Wenn die Verrückungen der Systempunkte untereinander sehr viel kleiner sind als die Abstände der Systempunkte untereinander, können die Systemgleichungen in erster Näherung als linear angenommen werden. Durch den Übergang von den Zeitfunktionen der Komponenten zu komplexen Amplituden entsprechend Abschnitt 2.1 können diese ursprünglichen Dierentialgleichungen in algebraische Gleichungen überführt werden. Von diesen Voraussetzungen ausgehend, lässt sich wie bei den elektrischen Netzwerken, ein lineares Gleichungssystem ableiten, das den 3N unabhängig voneinander wählbaren Verrückungskomponenten der Systempunkte die zugehörigen Gleichgewichtskräfte zuordnet: 3N X  nl  l , n = 1 = = = 3N (2.99) In = l=1

 nl =  ln

(2.100)

Dabei wird von der üblichen Vereinbarung Gebrauch gemacht, dass die Komponenten sämtlicher Kraft- und Verrückungsvektoren unabhängig von ihrer Zuordnung zu Systempunkten von 1 = = = 3N durchnummeriert werden. Die Matrizen dieses Systems sind wieder symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Ihre Koe!zienten lassen sich unter Berücksichtigung der Topologie des räumlichen Netzwerkes auf ähnliche Weise wie beim elektrischen Netzwerk bestimmen.

44

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Die Situation ist hier jedoch deswegen komplizierter, weil in die Relation Matrizenkoe!zienten - Bauelementeparameter zusätzlich noch Winkelinformationen zwischen den Koordinatenachsen und der Orientierung der Bauelementezweige eingehen. Die Gl. (2.99) kann dahingehend modiziert werden, dass die Verrückungskoordinaten  l durch einen neuen Satz von Koordinaten ersetzt werden, die aus Linearkombinationen der  l bestehen:  0l =

3N X

ln  n

(2.101)

n=1

Es handelt sich dabei um die im Lagrange-Formalismus enthaltene Einführung von verallgemeinerten Koordinaten unter der hier getroenen Linearitätsforderung. Die zugehörigen verallgemeinerten Kraftkoordinaten I 0p lassen sich ebenfalls als Linearkombination der ursprünglichen Kraftkoordinaten darstellen: 3N X 0pn I n (2.102) I 0p = p=1

Die dabei entstehende Transformationsmatrix (0pn ) ist eindeutig bestimmt, wenn man fordert, dass die Systemmatrix ( 0nl ) der aus Gl. (2.99) entstehenden transformierten Systemgleichungen I 0 =

3N X

 0  0

(2.103)

p=1

ebenso wie die Ausgangsmatrix ( 0nl ) symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist:  0 =  0

(2.104)

Die Matrix (0pn ) erweist sich dabei als invers zur Matrix (pn ): (0pn ) = (pn )1

(2.105)

Die  0 ergeben sich dann zu:  0 =

XX l

0n 0l  nl

(2.106)

n

Die hier in ihren wesentlichen Ergebnissen zitierte Darstellung allgemeiner linearer mechanischer Netzwerke ermöglicht wegen der getroenen Linearitätseinschränkung eine Zuordnung von orientierten Streckenkomplexen — Graphen — zu den beschreibenden Gleichungssystemen. Diese Eigenschaft ist im Vergleich zur wesentlich allgemeineren Lagrange-Theorie dynamischer Systeme ein besonderer Vorteil bei der Behandlung technisch-konstruktiver Probleme.

2.3 Mechanische Netzwerke

45

Im Verlauf eines über viele Jahrzehnte dauernden Erfahrungszeitraumes hat es sich aber als sinnvoll erwiesen, die hier skizzierte Netzwerkbeschreibung mechanischer Systeme noch weiter zu strukturieren. Die formalen Werkzeuge dazu sind die o.g. Einführung verallgemeinerter Koordinaten und Koppelsysteme sowie eine Reihe weiterer Einschränkungen. Der erste wesentliche Aspekt dabei ist die Denition von elementaren Substrukturen, die in den Abbildungen 2.12 bis 2.14 dargestellt sind. Sie entstehen • durch Einführung eindimensionaler, nur durch eine Bewegungsrichtung bestimmter Netzwerke - translatorische Systeme; • durch Einschränkung auf Systeme, die nur Drehbewegungen um eine Raumachse zulassen, bei gleichzeitiger Einführung der verallgemeinerten Koordinaten Drehmoment und Winkel bzw. Winkelgeschwindigkeit - rotatorische Systeme; • durch Einschränkung auf lineare uidische Systeme mit den verallgemeinerten Koordinaten Volumen uss und Druck - uidmechanische Systeme. Der zweite Aspekt ist die Beschreibung von Wechselwirkungen zwischen diesen Subsystemen. Sie wird im Abschnitt 2.4.1 näher betrachtet. Abbildung 2.12 zeigt ein translatorisches Netzwerk. Die eingezeichneten Führungen sollen die vorausgesetzte eindimensionale Bewegung sicherstellen. Koordinaten F

Kräfte in Verbindungsstangen Ausschlagsdifferenzen über Bauelementen

Abbildung 2.12. Translatorisches Netzwerk

Der Hebel im unteren Bildteil ist ein Koppelelement, das eine lineare Relation zwischen den drei Verrückungen der Kraftangrispunkte herstellt. Die Analyseaufgabe besteht in der Bestimmung der Verrückungen bzw. Verrückungsgeschwindigkeiten der Systempunkte und der Kräfte in den als masselos und starr angenommenen Verbindungsstangen als Funktion der Anregungskraft I . Im Abschnitt 3.1 wird gezeigt, wie für Anordnungen dieser Art Netzwerkskoordinaten deniert werden können, welche Bilanzgleichungen für diese Koordinaten bestehen und durch welche Relationen die Netzwerkkoordinaten an den Bauelementen verbunden sind. Die Ableitung dieser speziellen Systemgleichungen erfolgt vollständig aus den in der Mechanik gültigen Regeln, entsprechend den grundsätzlichen Überlegungen am Anfang dieses Abschnitts. Das Ergebnis ist ein Satz von Gleichungen, der denen des elektrischen Netzwerks aus Tabelle 2.2 isomorph ist.

46

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Das bedeutet: die mechanisch abgeleiteten Systemgleichungen und ihre Zuordnung zu den sie erzeugenden Strukturen unterscheiden sich von denen elektrischer Netzwerke nur durch die Bezeichnungen ihrer Koordinaten und Parameter. Dieser Sachverhalt erlaubt weitreichende Folgerungen: Zunächst können die schaltungstechnischen Strukturumformungen und die zugehörigen Rechenregeln elektrischer Netzwerke auf translatorische mechanische Netzwerke übertragen werden. Beispielsweise gilt die Ableitung aktiver Zweipolparameter eines Klemmenpaares elektrischer Netzwerke von Abbildung 2.11 auch für ein Paar Systempunkte des mechanischen Netzwerks. Weiterhin gelten alle Ergebnisse der elektrischen Netzwerktheorie, wie z. B. die Verfahren der Schaltungssynthese für vorgegebene Übertragungseigenschaften, die funktionstheoretischen Eigenschaften von allgemeinen Zweipolen und Übertragungsfaktoren bis hin zu Netzwerkanalyseprogrammen auch für die betrachtete Systemstruktur „Translatorisches mechanisches Netzwerk”. Abbildung 2.13 zeigt ein rotatorisches Netzwerk. Die sich in der Bildmitte bendlichen Systemelemente stellen ein masseloses Zahnradgetriebe dar, welches den Drehwinkel der unteren Achse mit dem der oberen Achse im Sinne einer Kopplungsbedingung verallgemeinerter Lagekoordinaten verknüpft. Koordinaten Drehmomente in Wellen

M

Winkeldifferenzen über Bauelementen Drehfeder

Trägheitsmoment

Abbildung 2.13. Rotatorisches Netzwerk

Im Abschnitt 3.2 werden die im Vorhergehenden genannten Überlegungen auch für diesen Netzwerkstyp angestellt. Sie ergeben ebenfalls einen Satz von Systemgleichungen, die denen des translatorischen und elektrischen Netzwerkes isomorph sind. Die gleiche Situation liegt schließlich bei dem in Abbildung 2.14 dargestellten uidmechanischen Netzwerk vor. Wegen der vorausgesetzten Linearität sind die hier gültigen Bauelementebeschreibungen nur lineare Näherungen der im Allgemeinen stark nichtlinearen Gleichungen der Fluiddynamik in der Umgebung eines Referenzpunkts. Die in Abbildung 2.14 in der Mitte bendliche Medienmasse bewegt sich nur mit kleinen Verrückungen in der Umgebung der Ruhelage mit ortsunabhängiger Geschwindigkeit. In den beiden Volumina werden durch Zufuhr einer Medienmenge, die jeweils klein ist im Vergleich zu der im Volumen bendlichen Medienmenge, Druckschwankungen erzeugt, die wiederum klein sind im Vergleich zum statischen Druck im Volumen bei fehlendem Medienzu uss. Die

2.4 Wechselwirkungen masselose, inkompressible Flüssigkeit,

47

Koordinaten Volumenströme in Leitungen

p1

Masse Kompression

p2

Druckdifferenzen über Bauelementen

Abbildung 2.14. Fluidmechanisches (akustisches) Netzwerk

Umsetzung dieser Systemeigenschaften zu einer Netzwerkbeschreibung ist in Abschnitt 3.3 enthalten und führt ebenfalls zu Gleichungen und Strukturen, die denen der vorher betrachteten Netzwerktypen isomorph sind. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass es möglich ist, aus der allgemeinen linearen Netzwerkbeschreibung dynamischer mechanischer Systeme drei Substrukturen abzuleiten, die einen großen Teil der diesem Buch zugeordneten Applikationen zu modellieren gestattet. Die Netzwerkbeschreibung dieser Subsysteme führt zu jeweils einem Satz von Gleichungen, die untereinander und zu elektrischen Netzwerken isomorph sind. Die Gleichungen korrespondieren eindeutig zu Netzwerkstrukturen, die der geometrisch-konstruktiven Anordnung des zu modellierenden Systems äquivalent sind.

2.4 Wechselwirkungen 2.4.1 Mechanische Wechselwirkungen Die in den Abschnitten 2.2 und 2.3 betrachteten Netzwerke sind nicht unabhängig voneinander. Zwischen ihnen können Wechselwirkungen bestehen. Zwischen dem translatorischen Netzwerk in Abbildung 2.12 einerseits und dem rotatorischen Netzwerk in Abbildung 2.13 bzw. dem akustischen Netzwerk in Abbildung 2.14 andererseits wird diese Kopplung im einfachsten Fall durch die Annahme beschrieben, dass zwischen der Lagekoordinate { eines translatorischen Systempunkts und den verallgemeinerten Lagekoordinaten des jeweiligen rotatorischen bzw. akustischen Systempunkts * bzw. Y eine lineare Relation besteht: * = Nr {

(2.107)

Y = Na {

(2.108)

mit * = *  *0 ,

Y = Y  Y0 ,

und

{ = {  {0

Diese Kopplung kann der Bedingung unterworfen werden, dass die Koppelelemente keine Energie speichern und auch keine Energie in Wärme umsetzen

48

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

können. Diese Bedingung wird nur von Systemen erfüllt, die aus masselosen, starren Körpern und reibungsfreien Führungen und Gelenken bestehen: I { + P * = 0

(2.109)

I { + sY = 0

(2.110)

Dabei ist vorausgesetzt, dass die verallgemeinerten Kraftkoordinaten an den betrachteten Systempunkten so deniert wurden, dass die beiden Summanden in den Gln. (2.109) und (2.110) die Bedeutung von Energien haben, die in das Koppelsystem ein ießen. Aus den kinematischen Bedingungen der Gln. (2.107) und (2.108) folgen dann mit den Energiebilanzen der Gln. (2.109) und (2.110) die Kopplungsgleichungen (2.111) und (2.112) für die verallgemeinerten Kraftkoordinaten: I = Nr P

(2.111)

I = Na s

(2.112)

Damit ergeben sich insgesamt die beiden in Abbildung 2.15 dargestellten Grundstrukturen für die elementaren Koppelsysteme — Wandler — zwischen translatorischen, rotatorischen und akustischen Systemen. translatorisch-rotatorischer Wandler Bezugsrichtung

mechanisch-akustischer Wandler

j0 "j

Koppelsystem

M

V0 F

"x

"x

x0 x

x0 x

Koppelsystem

"V

p x

Abbildung 2.15. Vierpoldarstellung von mechanischen Wandlern

Die einzelnen mechanischen Wandler in Abbildung 2.15 lassen sich durch folgende funktionalen Zusammenhänge beschreiben: ¶ ¶  ¶  * { 1@Nr 0 (2.113) = P I 0 Nr  ¶  ¶ ¶ 0 Na { Y = (2.114) I 1@Na 0 s

2.4 Wechselwirkungen

49

Üblicherweise werden im Falle der Vierpoldarstellung die Netzwerkkoordinaten so gewählt, dass sie an einem der beiden Tore einen Energie uss aus dem System heraus beschreiben. Wenn diese Vereinbarung auch auf die Koppelelemente aus Abbildung 2.15 angewendet wird, entfällt in den Gln. (2.113) und (2.114) das Minuszeichen in den Koppelmatrizen. Abbildung 2.16 zeigt zwei elementare Realisierungen der formell eingeführten Koppelsysteme, die als Koppelelemente einen starren, masselosen Stab und eine starre, masselose Platte in einem Zylinder enthalten.

j0

F "V

l

"j

"x

M

x0

x

1 l

"V

F

p

"x

x

Kr 

V0

A

x0

x

Ka 

1 A

Abbildung 2.16. Realisierungsbeispiele für translatorisch-rotatorische und mechanisch-akustische Wandler

Im Kapitel 5 sind die Präzisierungen dieser Koppelelemente und ihre Anwendung bei der Darstellung konkreter Strukturen beschrieben. Es ist bemerkenswert, dass die Systemgleichungen in Form der Gln. (2.113) und (2.114) aus Abbildung 2.15 nicht in die Form der allgemeinen Netzwerkgleichungen zu bringen sind. Sie können lediglich im Sinne der am Anfang von Abschnitt 2.3 genannten Koppelsysteme als Systembauelemente angesehen werden, die die Zahl der unabhängigen Lage- und Kraftkoordinaten reduzieren. 2.4.2 Elektromechanische Wechselwirkungen Die Darlegungen dieses Abschnittes dienen dazu, den Zusammenhang der in den Kapiteln 7 bis 9 enthaltenen problemorientierten Beschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen mit der Theorie elektrodynamischer Felder aufzuzeigen. Leser, die dieser Aspekt nicht vordergründig interessiert, sollten im Abschnitt 2.5 weiterlesen. Die Darlegungen in den Kapiteln 7 bis 9 stellen eine in sich geschlossene, vorwiegend energiebasierte Beschreibung dieses Sachverhaltes dar. Den Ausgangspunkt für die Beschreibung der Verkopplung von mechanischen und elektrischen Netzwerkskoordinaten stellt die Berücksichtigung der experimentellen Basiserfahrungen dar, die diese Kopplung begründen. Es handelt

50

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

sich um zwei Gruppen von Relationen. Die erste Gruppe beschreibt die Gleichgewichtskräfte, die in mechanischen Systemen zusätzlich erforderlich sind, wenn mit den Systempunkten Ladungen oder Elemente von Stromschleifen verbunden sind. Diese Kräfte werden durch die Gleichungen von Coulomb und Biot-Savart beschrieben, die zugleich die Ausgangspunkte für die Denition der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen sind [19]. Zur zweiten Gruppe von Relationen gehört die Abhängigkeit der Bauelementeparameter O und F elektrischer Netzwerke von ihrer Geometrie, d. h. von den Lagekoordinaten des mechanischen Systems oder allgemeiner formuliert, die Abhängigkeit der elektrostatischen und magnetischen Feldgrößen als Lösung eines Randwertproblems von der Geometrie dieses Problems. Wegen der Eigenschaft der Coulomb- und Biot-Savart-Gleichungen als logische Quelle für die Feldgleichungen ist es nicht überraschend, dass enge Bindungen zwischen diesen beiden Relationsgruppen bestehen. Weiterhin darf nicht vergessen werden, dass zur Denition der magnetischen Feldenergie und zum Anschluss der magnetischen Feldgrößen an die elektrische Feldstärke bzw. Spannung noch das Induktionsgesetz als dritte unabhängige Erfahrungstatsache berücksichtigt werden muss. Die Äquivalenz von galvanischen Strömen und Verschiebungsströmen bezüglich ihrer Kopplung mit magnetischen Feldgrößen als vierte experimentelle Basiserfahrung wird hier nicht benutzt. Es ist deshalb möglich, die Wechselwirkungen getrennt für Systeme mit elektrischen und magnetischen Feldern zu behandeln. Es wird darüber hinaus noch die Annahme gemacht, dass die hier zu betrachtenden elektromechanischen Systeme nur Federelemente und alternativ Kapazitäten bzw. Induktivitäten oder ggf. elektrische und alternativ magnetische Felder enthalten. Diese Systembegrenzung ist ohne Einschränkung der Allgemeinheit möglich, weil die Abgrenzung von solchen Teilnetzwerken aus den jeweiligen elektrischen und mechanischen Netzwerken aus dem Gesamtnetzwerk möglich ist. Schließlich soll die Beschränkung auf lineare Vorgänge weiterhin gelten. Die wesentliche Nichtlinearität der o.g. Wechselwirkungskräfte und ggf. der Geometrieabhängigkeit der Bauelementeparameter wird durch Reihenentwicklung um einen Bezugspunkt linearisiert. Wechselwirkungen mit elektrischen Feldern Im Weiteren wird zuerst der Fall betrachtet, dass das zu modellierende elektromechanische System nur ein Federnetzwerk und auf elektrischen Feldern beruhende Bauelemente enthält. Dazu wird angenommen, dass das Federnetzwerk an seinen Systempunkten q = 1 = = = N elektrische Punktladungen Tq enthält, die gegenüber dem Bezugspunkt 0 Spannungsdierenzen aufweisen. Zu den mechanisch verursachten Gleichgewichtskräften müssen jetzt noch die Coulomb-Kräfte der durch Ladungen verursachten Kräfte Fel>q addiert werden:

2.4 Wechselwirkungen

Fq = Fel>q + Fmech>q

51

(2.115)

Die elektrischen Netzwerkgleichungen erweitern sich zu N ¡ ¢ X Eqp (r1 > = = = > rq ) Tp . xq = xq Tp >  m =

(2.116)

p=1

Im Folgenden wird für die Zählung der mechanischen Kraft-, Lage-, und Verrückungskomponenten die in Gl. (2.99) getroene Festlegung benutzt, bei der alle mechanischen Koordinaten von 1 bis 3N durchgezählt werden. Die Matrix (Eqp ) ist die reziproke Matrix der Kapazitätsmatrix (Fqp ). Die Reihenentwicklung der Gln. (2.115) und (2.116) nach den Lagekoordinaten und den Ladungen Tp um einen Referenzpunkt Tp0 , {m0 ergibt: Il  Il0 =

3N X

xq  xq0 =

N X

(T)

(T)

flm  m +

N X

p=1

m=1

() Eqp

p=1

lp (Tp  Tp0 ) ,

(Tp  Tp0 ) +

3N X

0qm  m ,

l = 1 = = = 3N (2.117)

q = 1 = = = N (2.118)

m=1

(T)

flm = fml

(2.119)

() () Eqp = Epq

(2.120)

0qm = mq

(2.121)

Die Verrückungen  m sind wie vorher durch {m {m0 deniert. Die Koe!zienten (T)

flm sind die elastischen Koe!zienten, die bei konstant gehaltenen Ladungen bestimmt werden können. Wegen der Abhängigkeit der elektrischen Feldkräfte gemäß Gl. (2.115) von den Lagekoordinaten unterscheiden sie sich von denen, die bei konstant gehaltenen Knotenspannungen gemessen werden können. Entsprechendes gilt für den Unterschied der reziproken Kapazitätskoe!zienten, die bei verschwindender Verrückung  l oder bei konstanten Kräften Il messbar sind. Die Gln. (2.115) und (2.116) können nun mit den Abkürzungen Il  Il0 = Il ,

Tp  Tp0 = Tp ,

xq  xq0 = xq

zur Matrizengleichung von Tabelle 2.3 zusammengefasst werden. Mit Hilfe des Coulomb-Gesetzes und den daraus folgenden elektrostatischen Feldgleichungen lässt sich ableiten, dass die beiden Teilmatrizen (lp ) und (0qm ) der Symmetriebedingung von Gl. (2.119) gehorchen. In Tabelle 2.3 ist ein solches übereinstimmendes Koe!zientenpaar 0tu und ut eingetragen. Wegen der ohnehin symmetrischen Teilmatrizen (flm ) und (Eqp ) ist deshalb die gesamte Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Dabei können die Variablen Il und xq zu einem verallgemeinerten Vektor  und die Variablen

52

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

Tabelle 2.3. Systemmatrix eines elektromechanischen Systems mit Wechselwirkungen durch elektrostatische Felder

F "F I GG JJ GG M JJ GG "F JJ GG JJ GG M JJ GG JJ GG ""Fu JJ GG M JJ GG "u JJ GG "uM JJ H K 1

i

N 1

n

M

F GG GG GG GG GG GG GG GG GG GG H

FH cb g IK Q ij

a rq

ba g im

da i

FH B b g IK x nm

nj

a qr

bQ g  cbQ g

cij

ji

,

b xg

b xg

Bnm  Bmn

,

I JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ K

F x I GG JJ GG M JJ GG x JJ GG JJ GG M JJ GG JJ GG "xQ JJ GG M JJ GG "Q JJ GG "QM JJ H K 1

j

N  3M

N

1

m

M

a qr  a rq

 l und Tp zu einem verallgemeinerten Vektor  zusammengefasst werden. In Abbildung 2.17 sind für ein spezielles zweidimensionales Punktmodell mit drei Systempunkten zwei Experimente dargestellt, die zur Bestimmung eines solchen übereinstimmenden Koe!zientenpaares angestellt werden können. Der Ausgangspunkt sind die Gleichgewichtskräfte Fl0 und Ladungen Tp0 an den Systempunkten. Wird eine Ladung Tp vom Punkt 0 zum Punkt 1 gebracht, ändern sich alle Gleichgewichtskräfte. Die Änderung der vertikalen Komponente von Fl0 als Funktion einer Verrückung  4 ergibt eine Änderung aller Knotenspannungen xq . Die Änderung der Knotenspannung x1 in Abhängigkeit von  4 ergibt den Koe!zienten 14 . Die Identität beider Koe!zienten kann aus dem Punktmodell von Abbildung 2.17 mit den Coulomb- und Feldgleichungen direkt nachgewiesen werden. Der allgemeine Nachweis dieser Symmetrieeigenschaften für technisch reale Anordnungen setzt eine umfassende Analyse der möglichen Koordinatentransformationen sowie der Einführung von Koppel- und Zwangsbedingungen in die Elementarnetzwerke voraus, die der Systembeschreibung in Tabelle 2.3 zugrunde liegen. Damit könnten dann aus diesen Elementarnetzwerken verallgemeinerte Netzwerke mit problemangepassten, verallgemeinerten und in der Zahl verringerten Koordinaten erzeugt werden. Die Verwendung der in den

2.4 Wechselwirkungen

F2 "F4 F1 F10 (F1 , F2 )

Q10 "Q1

1

r1

0

x4

F20 (F3 , F4 )

Q20

Q20 Q10

r2

Q30

3

r3

F3

î 2 (x 3, x4 )

F10

2

u1  "u1

F30 (F5 , F6 )

53

r1

0

r2

Q30 r3

F30

x2 x1 "F4  a 41"Q1 F2 = e1 F3 + e2 F4

a 41  a14

"u1  a14 x 4 î 2 = e1 x3 + e 2 x 4

Abbildung 2.17. Beispiel für elektromechanische Verkopplungen in elektrostatischen Feldern

Gln. (2.101) bis (2.106) erläuterten Transformationen und die Einführung von verallgemeinerten Koppelsystemen der in den Abbildungen 2.15 und 2.16 beschriebenen Art sichern dann die Erhaltung der Symmetriebedingungen in dem verallgemeinerten Netzwerk. Die bei diesem direkten Ableitungsweg zu erwartenden Schwierigkeiten machen es verständlich, dass solche Überlegungen in der Literatur nur ansatzweise zu nden sind. Überdies würde auch diese Vorgehensweise in den Fällen versagen, in denen überhaupt kein Systemmodell vorliegt. Es handelt sich dabei um alle Arten von dielektrischen Werkstoen, deren Verhalten allein durch empirische Materialkonstanten beschrieben ist. Als Folge des geschilderten Sachverhaltes wird in der Literatur üblicherweise ein anderer Zugang zur Beschreibung der hier vorliegenden Wechselwirkung gewählt. Er geht davon aus, dass elektromechanische Systeme, bei denen die Wechselwirkung mit Hilfe elektrostatischer Felder erzeugt wird, N mechanische und M elektrische Systempunkte enthalten. Ihr Zustand wird durch N0 verallgemeinerte Lagekoordinaten und M elektrische Ladungskoordinaten an diesen Systempunkten beschrieben. Wenn das mechanische Teilsystem außer den vorausgesetzten Federelementen noch Koppelelemente enthält, kann sich N0 von 3N unterscheiden. Diese Koordinaten sind in der Umgebung eines Referenzpunktes Tp0 > {l0 durch lineare Relationen der Form von Gl. (2.117) und (2.118) verknüpft. Ohne Kenntnis der möglicherweise diesen Gleichungen zugrunde liegenden strukturellen Systemeigenschaften wird axiomatisch vereinbart, dass die Gesamtmatrix symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist, dass also die Gln. (2.119),

54

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

(2.120) und (2.121) gültig sind. Alle weiteren Schlussfolgerungen gelten dann nur noch für Systeme, die diese axiomatische Voraussetzung erfüllen. Im Übrigen kann für ein vorgegebenes konkretes System die Erfüllung dieser Bedingung immer mit Hilfe der dann bekannten Struktur- und Feldbeschreibungen nachgeprüft werden. Für den Fall, dass diese im Fall von Dielektrika auch für das konkrete System nicht vorhanden sind, bleibt nur die experimentelle Prüfung. Das so denierte System kann deshalb als ein (N0  M)-Tor gemäß Abbildung 2.18 aufgefasst werden. uM

QM

F1

Qn

x1

un

allgemeines elektromechanisches System mit elektrostatischen Feldern

Fi xi

Q1 u1 xN 

FN 

Abbildung 2.18. Elektromechanisches System mit elektrostatischen Feldern als 3Q-Tor

Bei Kenntnis der Systemgleichungen können dem System ggf. rückwärts innere Netzwerks- und Koppelstrukturen zugewiesen werden. Die wichtigste Schlussfolgerung aus dieser Symmetriebedingung ist die Existenz einer Zustandsfunktion innere Energie Z : ¢ ¡ (2.122) Z = Z ({m0 > Tp0 ) + Z  m > Tp

Die Änderung Z der Gesamtenergie Z erfolgt durch Aufprägung von Änderungen der unabhängigen Verrückungs- und Ladungskoordinaten mit den Werten  m und Tp . Wegen der Abhängigkeiten der Il und xq von den jeweils aktuellen  m und Tp ist für die Au!ndung von Z eine Addition von Teilenergien d (Z ) in dierentiellen Schritten d m > d (Tp ) längs eines zunächst bestimmten Weges des Zustandsvektors  m > Tp im Zustandsraum vom Anfangspunkt  m = 0> Tp = 0 zum Endpunkt  m > Tp erforderlich: 0

d (Z ) =

N X

Il d l +

, Z =

xq d (T)

q=1

l=1

l

N Z X 0

M X

l=1 0

T M Z q X Il d l + xq d (T) q=1 0

(2.123)

2.4 Wechselwirkungen

55

Die Ausführung dieser Integration unter Berücksichtigung der Systemgleichungen (2.117) bis (2.121) mit 3N $ N0 ergibt: 0

Z =

N X

Il0  l +

0

xq0 Tq +

q=1

l=1

+

M X

M M X X

0

N N X X

(T)

flm  l  m

l=1 m=1 0

() Eqp Tq Tp

+

p=1 q=1

M N X X

mp  m Tp

(2.124)

m=1 p=1

Dieser Ausdruck ist unabhängig vom Verlauf des Weges der im Zustandsraum vom Ausgangspunkt  l = 0> Tq = 0 zum Endpunkt  l > Tq führt. Dieser grundlegende Sachverhalt liefert die Berechtigung, die Funktion Z ( l > Tq ) aus Gl. (2.122) als Zustandsfunktion der Variablen  l und Tq zu bezeichnen. Er begründet ebenfalls die in der Regel vorhandene Darstellung, bei der anstelle der Symmetrie der Systemmatrix axiomatisch die Existenz einer Zustandsfunktion innere Energie gefordert wird. Es kann noch bemerkt werden, dass im Falle nichtlinearer Systemgleichungen Il = i (Tp > {m )

(2.125)

xq = * (Tp > {m ) ,

(2.126)

die aus den Gln. (2.115) und (2.116) folgen, die Wegunabhängigkeit der durch 0

dZ =

Q X

Il d{l +

P X

xq dTq

(2.127)

q=1

l=1

(1)

(1)

defnierten Energie Z (Tq > {l ) zwischen zwei Systemzuständen Tq > {l und (0) (0) einem Bezugszustand Tq > {l ebenfalls existiert. Der Bezugszustand wird üblicherweise durch T(0) q = 0>

(0)

Il ({m0 ) = Il

,

xq = 0>

Z0 = 0

(2.128)

beschrieben. Außerdem ist in diesem Zusammenhang angebracht, auf die hier benutzte Unterscheidung zwischen den sogenannten virtuellen, linearen und allgemeinen Zustandsänderungen hinzuweisen. Es sind in Gl. (2.127) durch hinreichend kleine d{l und dTq Zustandsänderungen denkbar, bei denen die entsprechend den Gln. (2.125) und (2.126) allgemein von {l > Tp abhängigen Il und xq durch ihre Werte im Referenzpunkt ersetzt werden können. Damit wird dZ eine lineare Funktion der unabhängigen Variablen {l und Tq . Allerdings existieren diese linearen Abhängigkeiten nur für diejenigen Koordinatenpaare, bei

56

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

denen die abhängigen Koordinaten im Referenzpunkt von 0 verschieden sind. Koordinatenpaare, für die diese Bedingungen nicht erfüllt sind, liefern keinen Beitrag zu dZ . Solche Zustandsänderungen werden als virtuelle Zustandsänderungen bezeichnet und hier durch  (==) beschrieben. Wenn die Änderung der Tq und {l so groß sind, dass sie die Bedingung der virtuellen Zustandsänderung verletzen, kann die Energie Z bzw. dZ nur durch Integration der Gl. (2.127) bestimmt werden, wobei auch im nichtlinearen Fall die Wegunabhängigkeit existiert. Im Falle der linearen Systemgleichungen, bei denen die Änderungen der Koordinaten relativ zum Bezugspunkt durch (==) bezeichnet werden, folgt dann aber durch Integration von Gl. (2.127) ein geschlossener Ausdruck für Z entsprechend Gl. (2.124). Wegen der Eigenschaft von Z als Zustandsfunktion bzw. der Eigenschaft von dZ aus Gl.(2.127) als vollständiges Dierential folgt dann ¯ CZ ¯¯ (2.129) Il = C{l ¯{l >Tq ¯ CZ ¯¯ xq = (2.130) CTq ¯{l >Tq und daraus im linearen Fall die Identität aus Gl. (2.121). Die Anwendung dieses Konzeptes wird im Kapitel 9 an einer Vielzahl von technisch realen Anordnungen demonstriert. Insbesondere wird dort der Fall näher betrachtet, dass nur ein elektrisches mit einem mechanischen Koordinatenpaar verkoppelt ist. Aus dieser Betrachtung entsteht dann ein, den mechanischen Koppelelementen aus Abbildung 2.15 und 2.16 entsprechendes, spezielles Koppelelement. Es stellt den möglichen Grundbaustein der elektromechanischen Kopplung in einer strukturierten netzwerkorientierten Darstellung linearer dynamischer Systeme entsprechend Abbildung 2.19 dar. Wechselwirkungen mit magnetischen Feldern Im Fall der Verkopplung mechanischer Federnetzwerke mit magnetischen Feldelementen können die vorhergehenden Überlegungen wiederholt werden. Die Umstände sind jedoch wesentlich komplizierter, weil das Biot-Savart-Gesetz eine schwer übersehbare Verknüpfung der Gleichgewichtskräfte an Elementen von Stromschleifen darstellt. Der Umstand, dass hier ein orientiertes Stromelement, also ein starrer Körper im Gleichgewicht gehalten werden muss, schließt die Zuordnung zu einem mechanischen Systempunkt mit drei Lagekoordinaten aus. Es muss hier vielmehr der einfachste starre Körper, dessen Lage durch fünf Lagekoordinaten bestimmt ist, verwendet werden. Darüber hinaus muss zugelassen werden, dass sich nicht nur der gesamte Stromring als starrer Körper bewegt, sondern entsprechend der mechanischen Kopplung der Stromringelemente kann sich auch seine geometrische Form ändern. Diese schwer übersehbare Vielfalt schließt die Aufstellung selbst so einfacher Modelle, wie das in Abbildung 2.17 gezeigte, aus. Es kann deshalb nur die der

2.4 Wechselwirkungen

57

Gl. (2.115) entsprechende Relation der Addition der an jedem mechanischen Systempunkt erforderlichen Gleichgewichtskraft aus mechanischer und magnetischer Kraft angegeben werden: Fq = Fmagn>q + Fmech>q

(2.131)

Fmagn = i (ln > r1 = = = rN )

(2.132)

Die elektrischen Netzwerkgleichungen mit den Koordinaten Spannungsintegral p und Ströme ln erweitern sich zu: p = p (ln > r1 = = = rN ) =

M X

Opn (r1 = = = rN ) ln

(2.133)

n=1

Für die weiteren Betrachtungen werden wieder sämtliche Komponenten der unabhängigen Lage- und Kraftvektoren jeweils von 1===N0 durchgezählt. In der Umgebung des Referenzpunktes {m0 > Il0 > ln0 > p0 lassen sich die Gln. (2.122) und (2.133) wieder durch Reihenentwicklung linearisieren. Dabei wird wieder die Verrückung  m = {m  {m0 eingeführt. Es soll gelten: 0

Il  Il0 =

N X

p  p0 =

M X

(l)

flm  m +

p=1

m=1

n=1

M X

 lp (lp  lp0 ) ,

l = 1 = = = N0 (2.134)

0

() Opn

(ln  ln0 ) +

N X

 0pm  m ,

p = 1 = = = M (2.135)

m=1

Für den Fall, dass einfach übersehbare Kombinationen aus Federnetzwerken und damit verbundenen Stromschleifen vorliegen, kann die Symmetrie der Gesamtmatrix der Gln. (2.134) und (2.135) direkt aus den Biot-SavartKräften und den magnetischen Feldkräften bzw. den Netzwerkstrukturen der Opn und flm abgeleitet werden. Wenn diese Strukturinformationen nicht vorliegen, bleibt nur die axiomatische Annahme, dass das durch die Gln. (2.134) und (2.135) denierte (N0 > M) Tor wie in Abbildung 2.18 eine Zustandsfunktion innere Energie Z besitzt: ¢ ¡ (2.136) Z ({m > p ) = Z ({m0 > p ) + Z  m > p Um daraus auf die Symmetrie einer Systemmatrix zu schließen sind zwei Wege möglich: Anstelle der inneren Energie Z wird die Zustandsfunktion Enthalpie K =Z 

M X

p=1

p lp

(2.137)

58

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

benutzt. Analog zu dem Verfahren im elektrostatischen Fall kann damit die Symmetrie der Gesamtmatrix der Gleichungen (2.134) und (2.135) nachgewiesen werden. Zur Benutzung der inneren Energie als Zustandsfunktion ist es erforderlich, das Gleichungssystem (2.134) und (2.135) so umzuformen, dass die p und  m als unabhängige Variablen erscheinen: 0

Il =

ln =

N X

flm  m +

m=1

p=1

M X

Nnp p +

()

M X

elp p

(2.138)

0

()

N X

e0pm  m

(2.139)

m=1

n=1 ()

(l)

Die Nnp sind die reziproken Induktivitätskoe!zienten. Die Koe!zienten flm , ()

 lp ,  0pm lassen sich aus den flm , elp , e0pm bestimmen. Mit der Bedeutung von Z analog zu Gl. (2.123) l

N Z X 0

Z =

l=1 0

 Z p M X Il d l + lp dp

(2.140)

p=1 0

und den Gln. (2.138) und (2.139) lässt sich die Integration in Gl. (2.140) ausführen. Mit den Symmetriebedingungen ()

()

flm = fml ()

(2.141)

()

Nnp = Npn

(2.142)

elp = e0pl

(2.143)

erweist sich Z dann als unabhängig vom Integrationsweg: 0

Z =

N X

Il0  l +

l=1

+

M X M X

p=1 n=1

M X

0

lp0 p +

p=1 () Nnp n p

0

N X N X

()

flm  l  m

l=1 m=1 0

+

N X M X

emp  m p

(2.144)

m=1 p=1

Im Umkehrschluss ergeben sich die Systemgleichungen (2.131) bis (2.133) aus: ¯ CZ ¯¯ Il = (2.145) C{l ¯{l0 >p0 ¯ CZ ¯¯ ln = (2.146) Cp ¯{l0 >p0

2.5 Strukturierte Netzwerkdarstellung linearer dynamischer Systeme

59

Die Überlegungen im Zusammenhang mit Abbildung 2.18 gelten auch hier sinngemäß. Die Symmetriebedingungen (2.136) führen in Verbindung mit den erwähnten Relationen zwischen den Koe!zienten der Gln. (2.134), (2.135), (2.138) und (2.139) zu der Aussage, dass auch die Matrix der Gln. (2.134) und (2.135) symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. Es gelten auch dort die Symmetriebedingungen: (l)

(l)

flm = fml

(2.147)

Opn = Onp

()

()

(2.148)

 lp =  0pm

(2.149)

In Kapitel 8 werden ausgehend von den hier beschriebenen Relationen eine Vielzahl von realen technischen Anordnungen mit magnetischen Feldkräften beschrieben.

2.5 Strukturierte Netzwerkdarstellung linearer dynamischer Systeme In den Kapiteln 3 bis 9 werden, ausgehend von den in dieser Einführung zitierten physikalischen Grundlagen, strukturierte Netzwerkbeschreibungen von Teilbereichen entwickelt, deren Zusammenhang in Abbildung 2.19 deutlich wird. Es entstehen drei Elementarnetzwerke, die zueinander isomorph sind und deren topologische Strukturen den geometrisch-konstruktiven Strukturen ihrer technischen Originale entsprechen. Die daraus ableitbaren Folgerungen werden in Kapitel 4 ausführlich diskutiert. Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist, dass in allen Elementarnetzwerken zwei topologisch bestimmte Koordinatenarten deniert werden können. Es handelt sich dabei einerseits um Flusskoordinaten, die an beiden Bauelementeenden übereinstimmen und zum anderen um Dierenzkoordinaten, die zwischen den beiden Bauelementeenden deniert sind. Zwischen diesen Elementarnetzwerken existieren Koppelelemente — Wandlervierpole. Bei ihnen lassen sich zwei bezüglich ihres Übertragungsverhaltens unterschiedliche Gruppen erkennen. Die eine Gruppe verknüpft jeweils zwei Flusskoordinaten und zwei Dierenzkoordinaten miteinander. Die andere Gruppe verknüpft jeweils eine Flusskoordinate des einen Tores mit einer Dierenzkoordinate des anderen Tores. Die eingeführten Wandlervierpole, kurz als Wandler bezeichnet, weisen Reziprozität auf. Auf die Reziprozität in linearen Netzwerken wird ausführlich in Kapitel 10 eingegangen. Die Elemente aus Abbildung 2.19 sind insofern unvollständig, als sie die linearen thermodynamischen Systeme mit den Bauelementen Wärmespeicher

60

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen elektrische Systeme

uN iN

u2

un u  Z i,

i Y u

F

i

bg

i u

i2

C L R ü

in

1 X 0

u1

i1

0

v

bg

0 1 Y

u

X

magnetischer Wandler

F

Y

v

0

elektrischer Wandler

translatorische Systeme

F1 m n r ü

Fn translatorischrotat. Wandler

F1

vn

M 2 ,+ 2

v1

v2

M 1 ,+1

v1

F2 mechanischakust. Wandler

v2

bg

v  h F,

bg

F z v p1

F2

rotatorische Systeme

M1 3 nR rR ü

Mn +n

bg

+  h M,

n

v

p2

akustische Systeme

+1

q1

M2 +2

bg

q2

q1 F

M z+

qn pn

c h

q  Z a p,

p1

Ma Na Za

q2 p2

c h

p  Ya q

Abbildung 2.19. Netzwerkstrukturierung linearer dynamischer Systeme

2.6 Grundgleichungen linearer Netzwerke

61

und Wärmeleiter und die thermomechanischen (Carnot-Prozess) und thermoelektrischen (Peltierelemente) Wandlerelemente entsprechend dem Applikationsspektrum dieses Buches nicht enthalten. Ihre netzwerkorientierte Beschreibung ist mit den Koordinaten Temperaturdierenz und Entropie uss bzw. relative Temperaturdierenz und Wärmemengen uss auf die gleiche Weise möglich, wie die der übrigen Elemente in Abbildung 2.19. Im Übrigen darf nicht übersehen werden, dass mit den in Abbildung 2.19 dargestellten Systemelementen wesentliche Vorgänge aus dem Gültigkeitsbereich des Lagrange-Hamilton-Formalismus nicht behandelt werden können. Zuerst muss hier die Linearitätseinschränkung genannt werden. Bei vielen realen dynamischen Problemen stellt jedoch die lineare Näherungslösung den geeigneten Ausgangspunkt dar, von dem aus auf iterative Weise nichtlineare Lösungen abgeleitet werden können. Eine weitere Einschränkung stellt der Ausschluss solcher Koordinatentransformationen dar, in denen die Zeit explizit enthalten ist. Damit sind solche Eekte wie das Auftreten von Coriolis-Kräften und alle Kreiselphänomene ausgeschlossen. Die in diesem einführenden Kapitel zitierten allgemeinen physikalischen Grundlagen geben jedoch Hinweise, mit welchen Methoden die aufgeführten Einschränkungen behoben werden können.

2.6 Grundgleichungen linearer Netzwerke Die ortsdiskrete Beschreibung elektrischer und mechanischer Systeme einschließlich ihrer Wechselwirkungen untereinander gestattet die in Abbildung 2.19 dargestellte Strukturierung in Elementarnetzwerke und Wechselwirkungselemente. In Kapitel 3 wird gezeigt, wie diese Gleichungen für jedes Elementarnetzwerk aus den Eigenschaften der Bauelemente und den in jeder Elementarstruktur vorhandenen Bilanzgleichungen aufgefunden werden können. Die Grundgleichungen linearer Netzwerke sind in den Gln. (2.150) bis (2.152) in allgemeiner Form dargestellt: l = l

dl , dw

p =  p

dp , dw

q =  q q

X

l = 0

(2.150)

Umlauf

X

m = 0

(2.151)

Knoten

(2.152)

Dabei repräsentiert die Größe  eine Flusskoordinate, die Größe  eine Dierenzkoordinate, die Größen ,  und  repräsentieren Bauelemente. Wechselwirkungen zwischen Elementarnetzwerken verschiedener physikalischer Strukturen können durch Koppelelemente der Gln. (2.153) und (2.154)

62

2 Elektromechanische Netzwerke und Wechselwirkungen

beschrieben werden: ¶ ¶  ¶  [ 0 N O = 0 1@[ O N ¶ ¶  ¶  N O 0 \ = 1@\ 0 O N

(2.153) (2.154)

Koppelelemente dieser Art können auch in Elementarnetzwerken einer physikalischen Struktur enthalten sein. In den Kapiteln 8 und 9 wird gezeigt, wie die Wandlerkoe!zienten [ bzw. \ aus den jeweils vorhandenen Wechselwirkungen bestimmt werden können.

Teil II

Netzwerkdarstellung konzentrierter und verteilter Systeme

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Für den Entwurf und die Konstruktion von elektromechanischen und elektroakustischen Systemen ist es erforderlich, das dynamische Verhalten schon während der Entwurfsphase zu kennen, da bestimmte dynamische Zielparameter neben anderen Forderungen zu erfüllen sind. Aber auch die Kontrolle eines bestehenden Systems erfordert es oft, ein Modell für das dynamische Verhalten aufzustellen. Mit diesem Modell können dann Simulationen ausgeführt werden, deren Ergebnisse für die weiteren Entscheidungen wichtig sind. Um zielgerichtet über eine Aufgabe nachzudenken oder mit Partnern darüber zu diskutieren ist es ebenfalls sinnvoll, ein Modell zur Verfügung zu haben. Hierfür sind besonders Modelle geeignet, die sich auf das Wesentliche des dynamischen Verhaltens konzentrieren. In den folgenden Abschnitten sollen deshalb nur die mechanischen Systeme näher betrachtet werden, die sich durch die Elementarnetzwerke von Abbildung 2.19 im Abschnitt 2.5 abbilden lassen. Gegenüber den allgemeinen mechanischen Systemen ist damit zunächst die Beschränkung auf lineare Relationen zwischen den Koordinaten verbunden. Das System kann durch lineare Dierentialgleichungen beschrieben werden. Als einfachste Modellstufe ist es oft möglich, die Parameter dieses Systems als räumlich konzentriert anzusehen. Die partiellen Raum-Zeit-Dierentialgleichungen, welche das physikalische System umfassend beschreiben können, reduzieren sich dadurch auf ein System gewöhnlicher zeitlicher Dierentialgleichungen. Die Beschränkung auf die o.g. Elementarnetzwerke erlaubt es, die allgemeinen Lösungsmethoden der theoretischen Mechanik auf die Denition mechanischer Grundbauelemente und Koordinaten sowie auf Regeln für ihre Verknüpfung untereinander zu reduzieren. Diese Regeln haben die Bedeutung von Kräftegleichgewichten und kinematischen Verträglichkeitsbedingungen für die Lagekoordinaten. Dadurch können Koordinaten und Bauelemente so deniert werden, dass die Voraussetzungen der linearen Netzwerktheorie erfüllt sind. Als Ergebnis können die besonders in der Elektrotechnik gebräuchlichen eektiven Rechenmethoden der linearen Systemtheorie und die vorhandenen Netzwerksimulationsprogramme ohne weitere Aufwendungen eingesetzt

66

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

werden. Auch das ist ein erklärtes Ziel der Methode. Diese Netzwerk-Methode führt im Allgemeinen wesentlich schneller zum Ziel, als die direkte Berechnung über Dierentialgleichungen. Durch Abstraktion von der realen physikalischen Struktur gelangt man zu einem Schema, das nur die für die Berechnung zwischen den Koordinaten notwendigen Informationen enthält. Wie in den Kapiteln 7, 8 und 9 noch gezeigt wird, lässt sich der elektrische, mechanische und akustische Teil eines so beschriebenen Systems durch Wandler verkoppeln. Auf diese Weise entsteht ein geschlossenes Modell, welches komfortabel die Berechnung der dynamischen Zusammenhänge zwischen einer Quellgröße und einer Beobachtungsgröße oder zwischen zwei Beobachtungsgrößen bei angenommener Existenz einer Quellgröße gestattet. In den folgenden Abschnitten wird die Netzwerkbeschreibung mechanischer und akustischer Systeme dargestellt. Die dort genannten Voraussetzungen schränken die Problemklassen, auf die dieses Hilfsmittel angewendet werden kann, deutlich ein. Alternativ oder ergänzend wird man auf die Rechenmethoden der Finiten Elemente und der Randelementmethoden zurückgreifen, die allerdings einen deutlich höheren Aufwand für dynamische Analysen erfordern. Bei geeigneten Fragestellungen kann eine Mischtechnik hocheektiv dynamische Lösungen für komplette Modelle mit elektrischen und mechanischakustischen Ein- und Ausgängen bereitstellen, die von beiden Methoden einzeln nicht zu erbringen wären (s. Abschn. 6.4).

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen 3.1.1 Vereinbarungen In diesem Abschnitt werden mechanische Systeme betrachtet, die räumlich konzentrierte Massen, Federn und Reibungselemente besitzen. Durch Lager wird sichergestellt, dass sich alle betrachteten Verbindungspunkte nur parallel zu einer Geraden bewegen können (eindimensionale Bewegung). Die Verbindungspunkte werden nachfolgend auch als Systempunkte bezeichnet. Abbildung 3.1 zeigt ein Beispiel für ein derartiges System. Wirken auf Systempunkte eines solchen Systems äußere eingeprägte Kräfte Fl , so werden durch die Lager Zwangskräfte erzeugt, die nach Summation dazu führen, dass nur Kraftkomponenten wirksam werden, die in der möglichen Bewegungsrichtung liegen. Die Vektordarstellung der eingeprägten Kräfte Fl kann deshalb auf die Komponenten der Kraftvektoren in diese Richtung beschränkt werden. Das Problem lässt sich auch dadurch vereinfachen, dass vereinbarungsgemäß nur äußere Kräfte in dieser Richtung einwirken sollen. Alternativ zur Vektordarstellung der Kraft ist es in der Mechanik üblich, die Kraft durch eine skalare Größe I (Koordinate) entlang einer gezeichneten Richtung (dargestellt durch einen Pfeil) auszudrücken. Wenn die Koordinate I positiv ist, dann hat die Kraft die Richtung des gezeichneten Pfeils. Wenn

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

67

Feder gelagerte Führungsstange (masselos, starr)

bg

pt

Masse

Feder

Hebel Kraftquelle

Abbildung 3.1. Mechanisches System mit translatorischen Bewegungen a)

b)

ey ex

y

x

F

F

ez Kraftangriffspunkt

F  e x Fx  e y Fy  e z Fz 123

F

y-Komponente des Vektors

Richtungspfeil (nur max. zweidimensional zeichenbar)

F F

F

skalarer Wert der Kraft (Koordinate Kraft)

F

F

U| V| W



R| S| T

F F F



Abbildung 3.2. Vektor- und Koordinatendarstellung der Kraft a) Darstellung der Kraft durch einen Vektor b) Kennzeichnung der Kraft durch eine Koordinate I entlang einer gezeichneten Richtung

sie negativ ist, wirkt die Kraft in die Gegenrichtung. In beiden Fällen wirkt die Kraft auf den Systempunkt, der am Ende des Pfeils oder vor der Pfeilspitze liegt. Die Vereinbarungen zur Darstellung der Kraft sind in Abbildung 3.2 zusammengestellt. Für ein System nach Abbildung 3.1 kann z. B. die zu lösende Aufgabe darin bestehen, die Zeitfunktionen der Lagekoordinaten der Verbindungspunkte als Funktion der eingeprägten Kräfte zu berechnen. Es könnten auch die Zeit-

68

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

funktionen der Kräfte zwischen den Elementen bei bekannten Zeitfunktionen der Lagekoordinaten gesucht sein. Statt der Lagekoordinaten können die Geschwindigkeiten oder die Beschleunigungen der Systempunkte interessieren. Das in Abbildung 3.1 gezeigte System enthält neben den bereits erwähnten Bauelementen Feder und Masse noch das Bauelement Hebel mit festem Drehpunkt. Wenn die Verschiebungen der Systempunkte am Hebel genügend klein sind und die Eigenmasse des Hebels unberücksichtigt bleibt (idealer Hebel), genügt es, nur translatorische Komponenten der Bewegungen und Kräfte zu berücksichtigen. Der Hebel arbeitet dann als linearer Weg-Übersetzer (s. Abschn. 3.1.3). 3.1.2 Koordinaten Im Rahmen der Mechanik werden die oben genannten Systeme durch Lagekoordinaten ausgewählter Systempunkte in einem Koordinatensystem beschrieben. Außerdem werden die an diesen Systempunkten wirkenden Kräfte betrachtet. Die mechanischen Koordinaten sind also Lagekoordinaten und Kraftvektoren. Wie im Abschnitt 3.1.1 ausgeführt, können sich die Verbindungspunkte im vereinbarten Modell nur in einer Richtung bewegen. An den Verbindungsstellen (Systempunkten) der konzentrierten Elemente können von Quellmechanismen Kräfte oder Bewegungen aufgeprägt werden. Am Beispiel einer Feder zeigt Abbildung 3.3a, wie eine Druckkraft I eine Verkürzung  der Feder hervorruft. Die Kraftpfeile einer Druckkraft zeigen auf das Bauelement bei positivem Wert der Kraft (Koordinatendarstellung, s. auch Abb. 3.2 und Abschn. 3.1.1). Ein positiver Wert für  ist als eine Verkürzung des Abstandes zwischen den Systempunkten des Bauelementes deniert. Unter Berücksichtigung des Zieles der nächsten Abschnitte, globale Modelle auf Netzwerkebene aus elektrischen, mechanischen und akustischen Teilsystemen aufzubauen, ist es sinnvoll, die Anpassung an die elektrischen Systeme bereits bei der Wahl der Koordinaten zu beginnen. Der aufzustellende Satz von Gleichungen soll letztlich denen des elektrischen Netzwerkes aus Tabelle 2.2 isomorph sein. Das bedeutet, dass sich die mechanisch abgeleiteten Systemgleichungen und ihre Zuordnungen zu den sie erzeugenden Strukturen von denen der elektrischen Netzwerke nur durch die Bezeichnungen ihrer Variablen und Parameter unterscheiden sollen. Das Produkt der Koordinaten ergibt bei elektrischen Netzwerken eine Leistung. Die Bewegungskoordinate des mechanischen Netzwerkes sollte deshalb nicht die Lage der Systempunkte auf der Translationsachse, sondern deren zeitliche Ableitung, d. h. ihre Geschwindigkeiten beschreiben. Außerdem betrachtet man bei Netzwerken nicht die Geschwindigkeit der einzelnen Systempunkte, sondern die Dierenz der Geschwindigkeiten über den Endpunkten des jeweiligen Bauelementes. Das ist sinnvoll, weil die auf das Element wir-

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen a) Mechanische Koordinaten

69

b) Netzwerkkoordinaten

x

+

F l

x

F

F l

l  l   x  Bauelementeausschlag (Verkürzung des Bauelements)

F ist Druckkraft auf das Bauelement

; v

dx dt

Vereinbarung: Ausschlags- (Geschwindigkeits)pfeil hat die Richtung der Koordinatenachse, wenn eine Verkürzung vorliegt. Kraftpfeil hat die Richtung der Koordinatenachse, wenn in den Verbindungsstangen ein Druckzustand vorliegt.

F   F

F x

x   x

Verkürzung, Druck

Verlängerung, Zug

Abbildung 3.3. Mechanische Koordinaten und Netzwerkkoordinaten

kende Kraft I ursächlich mit dieser Geschwindigkeitsdierenz y verbunden ist. Es werden deshalb folgende Netzwerkkoordinaten gewählt: • Geschwindigkeitsdierenz y über dem Bauelement • Schnittkraft I in den als starr und masselos gedachten Verbindungsstangen Auch in der Netzwerkdarstellung werden die Richtungen der Koordinaten durch Pfeile abgebildet. Ein Beispiel ist in Abbildung 3.3 b) gezeigt. Zur eindeutigen Vorzeichenbestimmung sind weitere Vereinbarungen notwendig. Dazu wird eine der beiden möglichen Bewegungsrichtungen als positive Bezugsrichtung festgelegt. Diese Bezugsrichtung wird als Bezugspfeil (Abb. 3.3 oben) dargestellt. Darauf beziehen sich folgende Richtungsvereinbarungen: • Ein Geschwindigkeitspfeil, dessen Richtung mit der Richtung des Bezugspfeils übereinstimmt, soll dann bei positivem Zahlenwert für die Geschwindigkeit eine mit der Zeit zunehmende Verkürzung des Bauelementes kennzeichnen. • Ein Kraftpfeil in einer Verbindungsstange, dessen Richtung mit der Bezugsrichtung übereinstimmt, soll bei positivem Zahlenwert für die Kraft einen Druckzustand in der Verbindungsstange darstellen.

70

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Diese Vereinbarungen stimmen strukturell mit den üblichen Darstellungen in elektrischen Netzwerken überein. Im Rahmen der Mechanik ist es üblich, an einen Systempunkt einen Kraftpfeil zu zeichnen (s. Abb. 3.3). Das bedeutet, dass auf den Systempunkt eine äußere Kraft I einwirken soll. Anders ausgedrückt wirkt dann eine krafterzeugende Quelle zwischen dem Koordinatenursprungspunkt auf der Translationsachse und dem Systempunkt. Die Quelle speist ihre Kraft in den Systempunkt ein und stützt sich dabei am Koordinatenursprungspunkt ab. In der Netzwerkdarstellung wird diese Situation durch eine äußere Quelle (aktiver Zweipol) abgebildet. Koordinatenursprungspunkt kann jeder Punkt sein, der starr mit dem Schwerpunkt des betrachteten abgeschlossenen mechanischen Systems verbunden ist oder sich höchstens gleichförmig in diesem System bewegt. So ist es als Denkhilfe zweckmäßig, sich um eine zu betrachtende Anordnung einen umgebenden starren Rahmen zu denken, der fest mit einer extrem großen Masse verbunden ist. Alle Punkte auf diesem Rahmen sind dann als Koordinatenursprungspunkt geeignet. 3.1.3 Bauelemente Bauelemente für mechanische Netzwerke sind Federelemente, Reibungselemente, Masseelemente und Hebelelemente. Der Übergang vom realen Bauelement zum verallgemeinerten idealisierten Bauelement wird zunächst am Beispiel von Federelementen diskutiert. Bauelement Feder In Abbildung 3.4 sind im linken Bildteil drei mögliche Federarten dargestellt. Ein Vierkantstab wird durch die Kraft I , die auf die obere und untere Fläche D einwirkt, zusammengedrückt. Die Einwirkung der Kraft I auf die Fläche D soll so geschehen, dass sie gleichmäßig auf die gesamte Fläche einwirkt, so dass eine ortsunabhängige mechanische Längsspannung im Druckstab entsteht. Die Krafteinleitung erfolgt modellgemäß über eine gedachte masselose, starre Verbindungsstange. Diese Stange mit einem Kraftangrispunkt wird symbolisch dem realen Bauelement auf jeder Seite hinzugefügt. Auf diese Weise entstehen zwei Kraftangrispunkte am Bauelement, die den Charakter von Systempunkten tragen, an denen eine Abstandsänderung zwischen den Punkten bei Kraftwirkung beobachtet werden kann. Im Fall der Stabfeder ergibt sich mit der Stablänge o und dem Elastizitätsmodul H des Stabwerkstoes die Verkürzung  bei Einwirkung einer Längskraft I zu: o I (3.1) = HD Das Verhältnis von @I wird Nachgiebigkeit q genannt. Sie ist der Kehrwert der allgemein üblichen Federkonstante f. Die Zweckmäßigkeit, statt der Federkonstante f als federeigenschaftsbeschreibenden Parameter die Nachgiebigkeit

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen Feder mit Scherschicht

Stabfeder

x

F

F

2

A

Biegefeder

F F

2

A

2 h

l 1

F l n E A

F

F

x2 x x  nF

1

h

1

2

x1

b

l

n

1

71

dx 1 dt

v2 

dx 2 dt

v  v1  v2  n

dF dt

v1 

F n

h G A

n

4 l3 E b h3

v  n

dF dt

Abbildung 3.4. Bauelement Feder — Realisierungsbeispiele und Modell

q zu verwenden, ergibt sich aus der gewünschten Strukturgleichheit mit elektrischen Netzwerken (s. a. Abschn. 2.2). Im zweiten Beispiel in Abbildung 3.4 wird eine Schicht mit der Schichthöhe k an den Flächen D auf Scherung belastet. Die Einwirkung der Kraft I führt zu einer Winkeländerung der Seiten ächen der Scherschicht gegenüber den Flächen D. Auf Grund dieser Winkeländerung kommt es zu einer Verkürzung  zwischen den Systempunkten 1 und 2, die analog zum Beispiel der Stabfeder an den Enden von gedachten starren und masselosen Anschlussstangen deniert sein sollen. Die Nachgiebigkeit q wird durch den Schubmodul J, die Schichthöhe k und die Fläche D bestimmt. Genauso kann auch ein Biegefederelement betrachtet werden. In Abbildung 3.4 (Mitte) ist das eine Ende einer Biegefeder der Breite e und der Biegerhöhe k starr mit einer gelagerten und nur in Translationsrichtung { frei beweglichen starren Stange verbunden. An der Stange soll der Systempunkt 2 liegen. Am anderen Ende des Biegers liegt der Systempunkt 1. Wenn eine Kraft I auf die Systempunkte wirkt, führt das zu einer Änderung ihrer {-Koordinaten. Wie aus den Beispielen zu erkennen ist, müssen die Mittellinien der Verbindungsstangen nicht auf einer Linie liegen. Sie müssen aber parallel zueinander liegen und die Bewegung darf nur in der denierten Translationsrichtung { möglich sein. Damit die gewählten Koordinaten I und y benutzt werden können, ist es noch erforderlich, aus der Änderung der {-Koordinaten die Geschwindigkeit der Systempunkte und nachfolgend die Dierenz der Geschwindigkeiten zu bilden. Die Kraft kann nun mit der Geschwindigkeit über dem Bauelement Feder verknüpft werden.

72

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Bauelement Reibung Reibungsbauelemente werden in einige Konstruktionen bewusst eingebaut, um Resonanzeekte zu bedämpfen. In anderen Konstruktionen sind sie unerwünscht, aber durch das reale Verhalten von Federbauelementen vorhanden. Bewegt man z. B. eine starren Körper langsam in einem ölgefüllten Gefäß, so ist für diese Bewegung eine Kraft erforderlich, die in erster Linie durch die Zähigkeitsreibung im Öl bestimmt wird. Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Bewegung. In Abbildung 3.5 ist im oberen linken Bildteil eine solche Anordnung symbolisch neben anderen möglichen Anordnungen dargestellt. Das Reibungselement liegt zwischen den zwei Systempunkten 1 und 2, die sich entlang der {-Achse bewegen können. Die Geschwindigkeitsdierenz y = y1  y2 der beiden Systempunkte 1 und 2 ist proportional zur Kraft I , die auf die Systempunkte wirkt. Der Proportionalitätsfaktor u = I@y wird Reibungsimpedanz genannt. x

F

F 2

r

F

2

F

1 A

2

x1 v1 

1

F

2

z.B. Fettschicht

dx1 dt

x2 v2 

x

dx 2 dt

F  r (v1  v 2 )

1

x

1

F

F rv

Abbildung 3.5. Bauelement Reibung — Realisierungsbeispiel und Modell

Das Symbol des mechanischen Bauelementes ist im rechten Bildteil von Abbildung 3.5 dargestellt. In der Realität sind solche Bauelemente natürlich auch noch massebehaftet. Die mitbewegte Masse stellt man dann als getrenntes Bauelement dar. Falls das reale Bauelement über innere Federelemente verfügen sollte, so müssen auch diese Elemente getrennt dargestellt werden. Das eigentliche Reibungselement ist dann ein idealisiertes Element, welches nur den Reibungseekt verkörpert. Von den hier dargestellten linearen Modellen werden nur viskose Reibungseekte abgebildet. Im Abschnitt 3.1.5 wird gezeigt, dass zwischen einer mechanischen Netzwerkabbildung und einer elektrischen Schaltung Analogiebeziehungen bestehen. Da es in der Elektrotechnik üblich ist, an das Widerstandsbauelement

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

73

den Parameter „Elektrischer Widerstand” U und nicht den elektrischen Leitwert zu schreiben, wird wegen der Darstellungsanalogie auch der Kehrwert der Reibungsimpedanz 1@u = k (die sogenannte Reibungsadmittanz k) als Parameter verwendet. Bauelement Masse Eine Kraft, die auf einen starren, beweglichen Körper einwirkt, wird den Körper beschleunigen. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Geschwindigkeitsänderung wird als Masse des Körpers bezeichnet. Soll die Masse des Körpers als Bauelement in einem Netzwerk mit den Koordinaten I und y abgebildet werden, so sind dazu zwei Systempunkte erforderlich. Die Geschwindigkeitsdierenz zwischen den Systempunkten soll ausschließlich durch die Eigenschaft der Masse des Körpers und die Einwirkung der Kraft vorzeichenrichtig bestimmt sein. Der erste Systempunkt ist der Schwerpunkt des Körpers, auf den die Kraft I einwirkt. Zur Wahl des zweiten Systempunktes ist zunächst eine Fallunterscheidung notwendig. • Nimmt man eine Druckkraft in {-Richtung auf den Masseschwerpunkt an (mechanische Darstellung: Kraftpfeil zeigt in positiver {-Richtung auf den Masseschwerpunkt), so kann man als zweiten Systempunkt einen auf der Translationsachse liegenden Punkt mit größerem {-Wert wählen, der starr mit dem Ursprung des Inertialsystems verbunden ist (s. Abschn. 3.1.2). Die Geschwindigkeitsdierenz zwischen dem Schwerpunkt und diesem Bezugspunkt ist bei Vorgabe der Beziehung  = o0 o vorzeichenrichtig durch die Trägheitsbeziehung gegeben (Abb. 3.6 links). Durch den Druckzustand l0 l

m

F

2 1

F

m

2

1 x

x  l0  l  0 vm

1

vm

bVerkürzungg

dx  dt

F  m

dvm dt

 Ursprung eines Inertialsystems

Abbildung 3.6. Wahl des Bezugspunktes bei dem Bauelement Masse

74

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

der Kraft auf die Masse ergibt sich eine mit der Zeit zunehmende Verkürzung zwischen den so gewählten Systempunkten. Nach der Netzwerkdenition muss demzufolge der Geschwindigkeitspfeil am Bauelement und der Kraftpfeil in der Verbindungsstange mit der Richtung des Bezugspfeiles des Netzwerkes übereinstimmen (Abb. 3.6 rechts). Der Bezugspunkt wird durch einen Strich am Massesymbol dargestellt und mit einem Anschlusspunkt als Abbildung eines Systempunktes verbunden. • Nimmt man hingegen eine Zugkraft in {-Richtung an (mechanische Darstellung: Kraftpfeil zeigt in positiver {-Richtung vom Masseschwerpunkt weg), so ist ein Bezugspunkt mit kleinerem {-Wert zu wählen, damit bei gleicher Denition für  = o0  o eine vorzeichenrichtige Abbildung gelingt (Abb. 3.7 links). Es ergibt sich dadurch eine mit der Zeit zunehmende Verlängerung zwischen den Systempunkten. Nach der Netzwerkdenition muss demzufolge der Geschwindigkeitspfeil am Bauelement und der Kraftpfeil in der Verbindungsstange gegen die Richtung des Bezugspfeiles zeigen (Abb. 3.7 rechts). l

l0 m

2

F

1

2

m

F

1

1 vm

x  l0  l  0 vm 

bVerlängerungg

dx dt

F  m

dvm dt

 Ursprung eines Inertialsystems

Abbildung 3.7. Wahl des Bezugspunktes bei veränderter Kraftangrisseite

In der Netzwerkebene führen damit beide Überlegungen zur gleichen Darstellung, wenn der Bezugspunkt jeweils auf der dem direkten Masseanschluss gegenüberliegenden Seite ergänzt wird. Damit ergibt sich auch die übliche Bauelementedarstellungsform. Der zweite Anschlusspunkt der mechanischen Masse ist also immer der Ursprungspunkt des Inertialsystems oder der Masseschwerpunkt des abgeschlossenen mechanischen Systems. Damit ergibt sich eine einfache Vorgehensweise bei der Umwandlung einer gezeichneten realen mechanischen Struktur. Ein starrer Masseblock, dessen Systempunkt der Schwerpunkt des Blockes ist, kann durch ein Bauelement mit

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

75

zwei Anschlüssen dadurch abgebildet werden, dass man die Masseeigenschaft des Blockes aus dem Systempunkt herauszieht. Das geschieht, indem man eine Verbindung aus dem Systempunkt zum kreisförmigen Teil eines Massezeichens herausführt und den anderen Anschluss des Massezeichens (Bezugsstrich) mit dem starren Rahmen, der die gesamte Anordnung umgibt verbindet. Auf diese Art werden alle Masseelemente aus der vorliegenden Struktur von Masse-, Feder- und Reibungsbauteilen herausgezogen und einseitig alle mit dem Koordinatenursprung (starrer Rahmen) verbunden (s. auch Abschn. 3.1.7). Zusammenschaltung der mechanischen Bauelemente Die Netzwerkdarstellung einer Struktur aus konzentrierten Elementen ist eingeführt worden, um mit den üblichen Rechenmethoden der Elektrotechnik das dynamische Verhalten linearer miteinander verkoppelter mechanischer, akustischer und elektrischer Systeme untersuchen zu können. In Netzwerkanalyseprogrammen werden die Bauelementesymbole aus dem Fachgebiet der Elektrotechnik verwendet. Es ist deshalb zweckmäßig, die elektrischen Symbole für die mechanischen Bauelemente (und wie später ausgeführt wird auch für die akustischen Bauelemente) zuzulassen. Darüber hinaus ist es in der Elektrotechnik üblich, sinusförmige Quellsignale anzunehmen, um das frequenzabhängige Verhalten zu untersuchen. Dass diese Wahl der Zeitfunktion keine Beschränkung der Allgemeinheit darstellt, wurde in Abschnitt 2.1 gezeigt. Mit diesen Festlegungen ist es nunmehr auch sinnvoll, das Rechenverfahren mit komplexen Amplituden (s. Abschn. 2.1) anzuwenden. Damit sind seitens der Bauelemente die Voraussetzungen gegeben, aus dem realen mechanischen Aufbau über ein erste Abstraktionsstufe (mechanisches Schema), eine mechanische Schaltung abzuleiten, die mit den üblichen Verfahren der linearen Netzwerktheorie analysiert werden kann. Die noch erforderlichen Überlegungen zu den Quellen, den Zusammenschaltungsregeln und einem weiteren Bauelement, dem Hebel, sind in den nachfolgenden Abschnitten dargestellt. Tabelle 3.1 enthält für die drei mechanischen (translatorisch bewegten) Bauelemente Feder, Reibung und Masse je ein Realisierungsbeispiel sowie die Netzwerkelementdarstellung mit der jeweiligen Beziehung zwischen den komplexen Amplituden der Koordinaten am Bauelement. Kraft- und Bewegungsquellen Wie bereits in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben worden ist, werden für die Erregung des Systems Quellen mit sinusförmig veränderlicher Quellamplitude verwendet. Bewegungsquellen, die unabhängig von Belastung und Frequenz einen bestimmten Schwingweg erzwingen, lassen sich z. B. mit einem Kurbeltrieb realisieren (Wegquelle). Auf andere Art können auch

76

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern Tabelle 3.1. Netzwerkdarstellung mechanischer Bauelemente Dimensionierungsoder Messvorschrift

Realisierungsbeispiel Federstab

F

A

Netzwerkelement

n

F

Nachgiebigkeit

v Feder

bzw.

l

E-Modul

n

l E A

n

F

v v  jwn F

F Dämpfer Reibungsadmittanz

F Reibung

x1

h

F

x

v

F db x  x g I GH dt JK h 1

bzw.

2

h

F

F

v

x2

v h F

F Massestück

m

F Masse

v Masse

bzw.

F

A

F

m

m  r l A v

l

v

1

F jwm

Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsquellen realisiert werden. In der schaltungstechnischen Darstellung erfolgt die Abbildung mit einem Quellbauelement, an dem direkt die Quellkoordinaten I 0 oder y 0 eingetragen sind (Tabelle 3.2). Ein positiver Wert für y bedeutet eine Verlängerung des Quellbauelementes (Pfeilrichtung entgegen dem Richtungspfeil). Bei einer Quelle mit frequenz- und lastunabhängiger Geschwindigkeit ist y 0 konstant. Bei Quellen mit einer frequenzunabhängigen Schwingwegamplitude oder einer frequenzun-

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

77

abhängigen Beschleunigungsamplitude müssen Beziehungen für y 0 angegeben werden, die den frequenz- und phasenabhängigen Zusammenhang beschreiben (wie in Tabelle 3.2). Die Kraft I in der Verbindungsstange zum angeschlossenen Netzwerk hängt dann vom Netzwerk ab. Eine Kraftquelle hingegen erzeugt unabhängig von der wirksamen Belastung immer die gleiche Kraftamplitude I 0 . Sie kann mit einem Druckzylinder realisiert werden, der mit einem sinusförmig veränderlichen Druck konstanter Amplitude gespeist wird. Über der Kraftquelle wird sich bei angeschlossenem Netzwerk eine belastungsabhängige Geschwindigkeit y ergeben. Das gilt in beiden Fällen nur innerhalb der Linearitätsgrenzen der Anordnungen. Bei der Bewegungsquelle entstehen sie durch die maximal zulässigen Kräfte im Kurbeltrieb und bei der Kraftquelle durch den maximalen Hub des Kolbens. Tabelle 3.2. Bewegungs- und Kraftquellen

Bewegungsquelle

Darstellungsweise der Mechanik

Schaltungstechnische Darstellung



w

F

x1

v0 = j w x

x2



p t  p$ coswt

bg

F0

F0

F0 x1

x2 x  x 2  x1

0

x

x 0  x 2  x1

Kraftquelle

F

F

v x

Bauelement Hebel Der Hebel als Übertragungselement von Bewegungen verbindet drei Systempunkte miteinander. In Abbildung 3.8 sind an jedem Systempunkt Verrückungen  und Kräfte I deniert. Alle Verrückungen sind in positiver {-Richtung und alle Kräfte als Druckkräfte in den Verbindungsstangen deniert. Für die

78

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

nachfolgende Herleitung sei die Hebellänge vom Punkt 0 zum Punkt 1 zu o1 und die Hebellänge vom Punkt 0 zum Punkt 2 zu o2 deniert. Im rechten Teil des Bildes sind die Verrückungen, die Kräfte- und Momentenbilanzen und die kinematische Bedingung infolge der Drehung des starren Stabes angegeben. x 10 x1

F1

R| | l S || | F T 1

0

x1

x1  x 1  x 10 x 2  x 2  x 20

1

x 0  x 0  x 00

R l2 |S |T

x0 x 00 x 0

2 F2 x 20

0

x2

x2

Kräftebilanz:

F1   F2  F0  0

Momentenbilanz:

F1 l1  F2 l2  0

Kinematik:

x1  x0 x  x0  2 l1 l2

x

Abbildung 3.8. Mechanische Koordinaten am Hebel

Werden aus den dargestellten Beziehungen die Systempunkte 1 und 2 als Hauptanschlüsse und der Systempunkt 0 als Bezugspunkt betrachtet, so kann man mit den Verrückungsdierenzen  10 =  1   0

 20 =  2   0

und nach Übergang zu den sinusförmigen Größen mit den komplexen Geschwindigkeiten y 2 = j$ 20 y1 = j$ 10 eine Darstellung nach Abbildung 3.9 gewinnen. + v1  ü v2

1 F1

v1

2

F1 

1

F2 ü

0

F 0  F 2  F1

F2

v2

Abbildung 3.9. Bauelement Hebel mit Netzwerkkoordinaten

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

79

Darüber hinaus gelangt man mit dieser Abbildung ohne Umwege zu einem in der Praxis wichtigen Sonderfall. Er ist dadurch gekennzeichnet, dass der Punkt 0 fest mit dem Koordinatenursprung verbunden ist. Aus den Beziehungen von Abbildung 3.8 kann man aber auch den anderen Sonderfall (Punkt 2 ist Fixpunkt) ableiten. Um auch in diesem Fall zur gleichen Netzwerkdarstellung zu gelangen, werden die Systempunktbezeichnungen, das Übersetzungsverhältnis und die Zuordnung der Hebellängen neu gewählt. Die beiden Spezialfälle, die sich wegen der Neuinterpretation der Ausgangssituation zur gleichen Netzwerkdarstellung nach Abbildung 3.9 führen lassen, sind in Abbildung 3.10 dargestellt. x1

x1 F1

F1

1

1 l1

2

l1

F2 x2 ü

l2

2 x2

l1 l2

l2

F2 ü

l1 l2

Abbildung 3.10. Zwei Formen des Hebels mit festem Drehpunkt

3.1.4 Zusammenschaltungsregeln Auch in mechanischen Netzwerken gelten die Maschen- und Knotensätze. Davon kann man sich leicht überzeugen, wenn man zwischen drei Systempunkten drei Bauelemente nach Abbildung 3.11 anordnet und die Summe der Geschwindigkeiten yl entlang eines Umlaufes bildet (Umlauf in der Masche). Zunächst kann man feststellen, dass die Summe der Verlängerungen und der Verkürzungen in den zwei Zweigen gleich groß sein muss. Durch das mathematische Verfahren der vollständigen Induktion kann man beweisen, dass die Ableitung einer Summe endlich vieler dierenzierbarer Funktionen der Summe der Ableitungen der Summanden gleicht. Hieraus folgt, dass auch die Geschwindigkeiten in den zwei Zweigen gleich groß sein müssen. Daraus folgt wiederum der Maschensatz zu: X yl = 0 (3.2) Umlauf

Hierin sind die yl die vorzeichenbehafteten l Geschwindigkeiten im Umlauf. Im unteren Teil der Abbildung 3.11 ist der Kraftverteilungsbereich aus der

80

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

x

F

x3 v2

bg bg bg x btg  x btg  x btg x btg  x btg  x btg x1 t  x 2 t  x 1 t

3 n1

x2

2 v1

v3

n2

2

3

2

3

3

1

x1  x 2  x 2  x1  x3  x 2  x3  x1  x3

h

x1 F

Fh

x

v3 

1

bg

dx 3 t dt



b

d x1  x 2 dt

g



dx1 dx 2   v1  v2 dt dt

Fn

 Fh  Fn  F  0 1

1

F Abbildung 3.11. Erläuterung der Gültigkeit des Maschensatzes und Knotensatzes

mechanischen Anordnung des oberen Bildteiles (Systempunkt 1) genauer dargestellt. Der Knoten ist mittels Schnittführung (1) herausgetrennt. Als Ersatz wurden 6 Schnittkräfte angebracht. Da die Kraftvektoren laut Denition alle parallel zur {-Richtung liegen, genügt es, wie zu Beginn des Abschnittes 3.1 dargestellt, vorzeichenbehaftete Beträge zu schreiben. Damit der herausgeschnittene Teil im Gleichgewicht bleibt, müssen sich alle Kraftkomponenten gegenseitig aufheben. Die vorzeichenrichtige Summe aller Kräfte zum Knoten muss damit Null ergeben. Jede der Schnittkräfte kann als komplexe Netzwerkkoordinate I l aufgefasst werden. Somit ergibt sich auch für einen Netzwerkknoten, dass die Summe der zum Knoten hin ießenden Kräfte Null ergeben muss. Hieraus folgt der Knotensatz : X Il = 0 (3.3) Knoten

Bei mechanischen Netzwerken, die aus mehreren Elementen bestehen, entsteht häug die Frage nach der Impedanz oder Admittanz zwischen zwei Punkten, die durch mehrere Elemente verbunden sind. Diese Aufgabe lässt sich schrittweise lösen, wenn man die Regeln zur Berechnung von Impedanzen oder Admittanzen von zwei hintereinander- bzw. parallelgeschalteten Elementen kennt. Abbildung 3.12 zeigt die Regeln für die Zusammenschaltung allgemeiner komplexer Impedanzen } l bzw. Admittanzen kl . Im speziellen Fall der Reihenoder Parallelschaltung von Feder- oder Massebauelementen ergeben sich die

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

81

v v1

F

v2

v1 v2

h1  1 z1 h 2  1 z 2

F

v1

h 1 z

v

v





h1 h2



z2

z

z1

h1 h1  h 2



z2

z1 z 2 z1  z 2

h  h1  h 2

z1  z 2

F 1 h1  1 z1

F

v F2

F

h2  1 z2

z 1 h

v

z h F1  1  2 F2 z 2 h1

z  z1  z 2

F1 z1 h2   F z 1  z 2 h1  h 2

h

h1 h 2 h1  h 2

Abbildung 3.12. Zusammenschaltung zweier komplexer Impedanzen bzw. Admittanzen m1

m2 F

F m

v

F

v

n1

n2 v

m1 m2 m m1  m2

v

n

v n  n1  n2

m1 F

F

n1 F

m

F

F

v

v

n

v n2

m2 m  m1  m2

n

n1 n2 n1  n2

Abbildung 3.13. Zusammenschaltungsregeln für Massenbauelemente und Federbauelemente

Regeln nach Abbildung 3.13. Die Reihenschaltung von Massen kann z. B. auftreten, wenn eine Bewegungsquelle auf beiden Anschlussseiten mit einer Masse belastet ist.

82

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

3.1.5 Isomorphie zwischen mechanischer und elektrischer Schaltung Die bisherigen Darstellungen zum Umgang mit mechanischen Netzwerken zeigen eine große Ähnlichkeit zur Vorgehensweise beim Umgang mit elektrischen Schaltungen. Diese Isomorphie ist gewolltes Ziel des Ansatzes. Durch die Wahl der Koordinaten (Kraftsummation in Knoten, Geschwindigkeitsmasche) ergibt sich eine vollständige Isomorphie zu elektrischen Netzwerken, wenn man die in Tabelle 3.3 gezeigten Zuordnungen von Koordinaten und Bauelementen wählt. Tabelle 3.3. Analogie zwischen elektrischer und mechanischer Schaltung

Zuordnung zwischen Koordinaten bzw. Bauelementen Spannung

u

v

Geschwindigkeit

Strom

i

F

Kraft

Induktivität

L

n

Nachgiebigkeit

Kapazität

C

m

Masse

Widerstand

R

h

Reibungsadmittanz

G

Leitwert Transformator

L

1 r h l ü 1 l2

ü

W1 W2

Reibungsimpedanz Hebel

n

n

m

m

h

h

u  jwLi

v  jwnF

1 u i jwC

v

u  Ri

v  hF

Knoten der Schaltungsstruktur

in  0

F n  0

Knoten des mechan. Schemas

Masche der Schaltungsstruktur

un  0

vn  0

Masche des mechan. Schemas

C

R

1 F jwm

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

83

Durch die Zuordnung des Stromes zur Kraft und der Spannung zur Geschwindigkeit wird dieses isomorphe Verhalten der beiden physikalischen Strukturen erreicht. Es entstehen topologisch gleiche Abbildungen. Die Anwendung der abstrakten linearen Netzwerktheorie (s. auch Kap. 4) stellt letztendlich beide physikalischen Strukturen gleich. Trotzdem hat die Existenz der Isomorphie einen sehr praktischen Vorteil. Ohne erneute Prüfung und ohne Änderungen können Netzwerkanalyse- und Netzwerksyntheseprogramme, die ausschließlich im Fachgebiet der Elektrotechnik beheimatet sind, genauso wie das gesamte Wissen der Signalanalyse und -verarbeitung der Informationstechnik herangezogen werden. Um die Zuordnungen auch quantitativ vorzunehmen, müssen Proportionalitätsgrößen zwischen den Koordinaten deniert werden. Es soll gelten: x = J1 y l=

(3.4)

1 I J2

(3.5)

Darüber hinaus könnte noch zugelassen werden, dass sich die Frequenzen zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Netzwerk um einen konstanten Faktor unterscheiden. Von dieser Möglichkeit wird in der Praxis kein Gebrauch gemacht. Sie wird deshalb im Folgenden nicht benutzt. Für die Bauelemente folgt durch diese Festlegung: F=

p J1 J2

(3.6)

O = J1 J2 q

(3.7)

U = J1 J2 k

(3.8)

Die Proportionalitätsfaktoren J1 und J2 können bezüglich ihres Betrages zunächst frei gewählt werden. Mit Rücksicht auf die Eigenarten von Netzwerkanalyseprogrammen (z. B. PSPICE) sollten jedoch die Ziernfolgen erhalten bleiben. Somit stehen nur noch die Zehnerpotenzen zur Auswahl. Um eine gewisse Anschaulichkeit der elektrischen Schaltung für einen erfahrenen Schaltungspraktiker zu erzielen, haben sich als Zehnerpotenz für J1 und J2 die Faktoren 103 bewährt. Damit ergeben sich: J1 = 103 V s m1

und

J2 = 103 N A1

Werden für J1 und J2 gleiche Zahlenwerte verwendet, so entsteht eine leistungsgleiche Abbildung. Dieser Vorzug wird meist in Anspruch genommen. Die so entstehenden Zuordnungen 1 g zu 1 nF, 1 N zu 1 mA und 1 mm s1 zu 1 V ergeben Verhältnisse, bei denen Erfahrungswerte und Vorstellungsvermögen oft noch nützlich sind.

84

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

3.1.6 Darstellung des Übertragungsverhaltens von Punktmassensystemen im Frequenzbereich (BODE-Diagramm) Im Abschnitt 2.1 erfolgte in den Abbildungen 2.4, 2.5 und 2.9 die Einführung der Übertragungsfunktion E ($) eines zeitinvarianten, linearen elektromechanischen Systems. Die grasche Darstellung der Übertragungsfunktion (Frequenzgang) nach Betrag und Phase E ($) = < {E ($)} + j= {E ($)} = |E ($)| ej*E ($)

(3.9)

erfolgt als Amplitudenfrequenzgang

|E ($)| und

Phasenfrequenzgang

*E ($).

Zur „Stauchung” der Skalen und zum einfachen Umgang der graschen Darstellung von Amplituden- und Phasengang, wie anschließend noch gezeigt wird, führte Bode [42] die doppellogarithmische Form der Darstellung des Amplitudenganges und die halblogarithmische Darstellung des Phasenganges ein. Diese Darstellungsform wird als BODE-Diagramm bezeichnet. Der Amplitudengang wird logarithmiert (lg dekadischer Logarithmus) und mit 20 multipliziert. Als Einheit wird das Dezibel [dB] eingeführt: |E ($)| [dB] = 20 lg |E ($)|

(3.10)

Beim Phasengang wird * linear über der logarithmischen Frequenzachse aufgetragen. Zur Sicherung dimensionsloser Größen beim Logarithmieren ist $ auf eine charakteristische Frequenz $ l und die Amplitude auf den konstanten Bezugswert E0 — Übertragungsfaktor — zu beziehen. Als Beispiel ist in Abbildung 3.14 der Amplitudenfrequenzgang eines Tiefpassgliedes 1= Ordnung dargestellt. Für den Amplitudenfrequenzgang gilt: p |E ($)| [dB] = 20 lg |E ($)| = 20 lg <2 {E} + =2 {E} ¯ ; ¯ ¯ ¯ $ ¿ $1 ¯ ? 0 dB, ¯ 1 ¯ ¯ 3 dB, $ = $1 20 lg ¯ = ¯ ¯1 + j $ ¯ = 20 dB @Dekade, $ À $1 ¯ ¯ $ 1

Für den Phasenfrequenzgang erhält man mit

* ($) = arg {E ($)} = arctan

= {E ($)} , < {E ($)}

<; A @ ? 0 , 1 45 , * ($) = arg $ A > = 90 , =1 + j A $1 ; A ?

den in Abbildung 3.15 dargestellten Verlauf.

$$0 $ = $1 $$4

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

85

B (w ) ëédB ûù

w = w1

0 -2

-1

0

1

2

lg

w w1

-20

-40 Abbildung 3.14. Amplitudenfrequenzgang eines Tiefpassgliedes 1= Ordnung in doppeltlogarithmischer Darstellung

j (w )

[ °] 0 -2

-1

0

1

2

lg

w w1

-45

-90 Abbildung 3.15. Phasenfrequenzgang eines Tiefpassgliedes 1= Ordnung in halblogarithmischer Darstellung

86

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Im allgemeinen Fall lässt sich die Übertragungsfunktion durch eine gebrochenrationale Funktion mit Nullstellen tl und Polstellen vm in der Form E ($) =

(j$  t1 ) (j$  t2 ) = = = (j$  tq ) (j$  v1 ) (j$  v2 ) = = = (j$  vp )

(3.11)

angeben. Durch die Einführung charakteristischer Frequenzen lassen sich Elementarfunktionen bilden und die Übertragungsfunktion lässt sich als Hintereinanderschaltung — Kettenschaltung — von Elementarfunktionen, z. B.  ¶ $ $ 1+j j === $1 $2  ¶ ¶ E ($) = E0 (3.12) $ $ $ 1+j 1+j === j $3 $4 $5 darstellen. Diese Elementarfunktionen haben anschauliche Bedeutung als - Dierenzierglied:

j

$ $0

$0

Bezugsfrequenz

1 $ j 0 $

- Integrierglied:

- Hochpass 1= Ordnung: 1 + j - Tiefpass 1= Ordnung:

$ $0

1 1+j

- Tiefpass mit Resonanz:

$ $0

1 , $ 1 ³ $ ´2 1+j 0  $ T $0

$0 = $0 T= G

Resonanzfrequenz

1 Güte 2G Dämpfung

Der frequenzunabhängige Anteil bildet den Übertragungsfaktor E0 . Die typischen Amplituden- und Phasenfrequenzgänge ausgewählter Elementarglieder sind in Abbildung 3.16 dargestellt. Die Kettenschaltung der Elementarglieder entspricht der Multiplikation ihrer Einzelübertragungsfunktionen E ($) = E 1 ($) · E 2 ($) · · · E l ($) und kann im BODE-Diagramm als Addition der Einzelamplituden- und Phasenfrequenzgänge rasch gebildet werden. Diesen Hauptvorteil der BODE-Darstellung soll am Beispiel des im Abschnitt 9.2.7 berechneten piezoelektrischen Beschleunigungssensors nachfolgend vertieft werden.

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

B (w )

87

Amplitudenfrequenzgänge

éëdB ùû 40

1 jw

1 j

w

20 lg Q

20 0 -2

-1

-20

j

-40

0 w = w¢

2 lg w w¢

1

w w

1 1 j w  w

1 -60

1 j w

-80

j (w )

[°] 90

j

1 w   w0 Q  w0 

w w

2

Phasenfrequenzgänge

w w

1 j

w w

45 0 -2 -45 -90

-1

1 w j

0

2 lg w w¢

1

w

1 -135 -180

1 j w

1 1 j w  w

1 w   w0 Q  w0 

2

Abbildung 3.16. Charakteristische Verläufe der Amplituden- und Phasenfrequenzgänge ausgewählter Elementarfunktionen

88

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern mechanisches Netzwerk

piezoelektr. Wandler

iW

FW A m

a 0  jwv 0

seismische Masse

vW

B1

uW

B2

B3

u

Þ

B (w ) 

R

CK

R

u

u  jwB1 B 2 B 3 a0

a 0  jwv 0

Piezokeramik

a0

elektrisches Netzwerk

nK

Abbildung 3.17. Konstruktionsprinzip und Kettenschaltung eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors

In Abbildung 3.17 ist die Grundkonstruktion eines piezoelektrischen Kompressionsbeschleunigungssensors dargestellt. Sein Übertragungsverhalten kann mit Hilfe einer Kettenschaltung von Einzelgliedern dargestellt werden. Das Übertragungsverhalten des mechanischen Netzwerkes wird durch einen Tiefpass mit Resonanz E1 =

IW = E01 y0

1 1+j

$ 1  $0 T



$ $0

$ 20 =

¶2 ,

1 , pqK

T=

1 , $ 0 qK u

das des piezoelektrischen Wandlers durch die Wandlerkonstante \ E2 =

xW = \ = E02 IW

und das des sich anschließenden elektrischen Auswertenetzwerkes durch einen Tiefpass 1= Ordnung E3 =

x 1 = E03 $ , xW 1+j $1

$1 =

1 , U (FK + Fq )

Fq =

1 qK \2

beschrieben. Damit gilt für die Gesamtübertragungsfunktion E ($) =

x = E01 · E02 · E03 d0

1 1+j

$ 1  $0 T



$ $0

¶2 ·

1

$ $ · j$ . 1 1+j $1

Die Konstruktion des Amplituden- und Phasenfrequenzganges von E ($) ist in der BODE-Diagramm-Darstellung durch Addition der Einzelverläufe leicht möglich und ist in Abbildung 3.18 angegeben.

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

89

B i (w ) Amplitudenfrequenzgang

B0 éëdB ùû 20

j

w = w1

w w1

B (w )

0 -5

-20

-4

-3

-2

-1

w1 = 10- 4 × w0 1 j w

Q = 10 1 1+ j w

ji [°]

1 w   w0 Q  w0 

lg

w w0

2

w1

Phasenfrequenzgang

j

90 45

w w1

jB (w )

0 -5

-4

-3

-2

-1

0

-45

1 1 w  1 j w  w0 Q  w0 

1 lg w w0

1 1+ j w

-90 -135

1

1

w0 = 100 kHz

-40

0 w = w0

2

w1

-180 Abbildung 3.18. Amplituden- und Phasenfrequenzgang — Konstruktion des Beschleunigungssensors aus den Verläufen der Elementarglieder

Auf Grund der aufgeführten Vorteile der BODE-Darstellung wird sie im Verlaufe der weiteren Kapitel konsequent verwendet.

90

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

3.1.7 Netzwerkdarstellung von Punktmassensystemen Bei den Vorüberlegungen ist zu beachten, dass vorerst nur Probleme modelliert werden können, bei denen sich alle Bewegungen in nur einer Achsrichtung vollziehen. Andere Bewegungsrichtungen müssen durch geeignete Lager ausgeschlossen sein. Um ein Netzwerkmodell für eine reale technische Anordnung zu gewinnen, ist es erforderlich, die für die betrachtete Funktion wesentlichen Bauelemente zu ermitteln. Das geschieht durch Abstraktion und Vereinfachung gegenüber der realen technischen Anordnung, z. B. durch Weglassen unwesentlicher Elemente. Es ist sinnvoll, starr verbundene Massen zusammenzufassen und eventuell parallel liegende Federelemente ebenfalls als ein gemeinsames Bauelement darzustellen. Am Beispiel eines einfachen Fundamentes mit Kraftquelle soll dies gezeigt werden. Die Fundamentmasse p liegt auf mehreren Feder- und Reibungselementen, die auf ihren anderen Bauelementeseiten mit dem festen Boden verbunden sind. Durch Führungen wird erreicht, dass sich das Fundament nur senkrecht bewegen kann. Der Schwerpunkt der Masse bildet einen Systempunkt. Da alle Federelemente auf der einen Seite mit diesem Systempunkt und auf der anderen Seite mit dem Koordinatenursprung verbunden sind, also parallel liegen, können alle Federelemente gemäß Abbildung 3.13 zusammengefasst werden. Sie bilden nun eine gemeinsame Feder mit der Nachgiebigkeit q. Die gleichen Überlegungen gelten für die Reibungselemente. Das neue Reibungselement wird durch die Reibungsimpedanz u abgebildet. Es ist gleichwertig üblich, die Reibungsadmittanz k = 1@u als Parameter an das Bauelement Reibung zu schreiben. Auf dem Fundament bendet sich eine Kraftquelle, die sich am Koordinatenursprung abstützen soll. Im linken Teil von Abbildung 3.19 ist die mechanische Darstellung dieses technischen Problems abgebildet. Die Kraftquelle ist hier durch einen Kraftpfeil auf die Masse symbolisiert.

F v,x

m n

r

F

+

m

r

F

n

v

m

1 r

n

v

Abbildung 3.19. Mechanische Darstellung, mechanisches Schema und Netzwerkdarstellung

Der zweite Schritt auf dem Weg zu einem Netzwerkmodell ist eine Abbildungsstufe zwischen der mechanischen Darstellung und dem gewünschten Netzwerkmodell. Dieser Zwischenschritt führt zum „Mechanischen Schema”. Das me-

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

91

chanische Schema ist dadurch gekennzeichnet, dass die räumliche Ordnung der mechanischen Darstellung erhalten bleibt, die Massestücken durch ihre Bauelemente ersetzt, alle Verbindungen durch masselose, starre Stangen erfolgen und Netzwerkkoordinaten verwendet werden. Über den Bauelementen gibt es damit Geschwindigkeitspfeile und in den Stangen Kraftpfeile. Dazu gehört die globale Angabe eines positiven Richtungspfeiles. Stimmt die Richtung eines Kraftpfeiles in einer Verbindungsstange mit dem Richtungspfeil überein, so handelt es sich wie bereits dargestellt um einen Druckzustand in der Stange (s. Abschn. 3.1.2). Abbildung 3.19 zeigt in der mittleren Darstellung das mechanische Schema. Aus den Rechenergebnissen die letztendlich aus dem Netzwerkmodell gewonnen werden, lassen sich im mechanischen Schema durch die richtige räumliche Zuordnung der Systempunkte Bewegungsabläufe der realen Mechanik analysieren. Im dritten Schritt können Systempunkte mit gleicher Bewegung (z. B. alle Bezugspunkte am starren Rahmen) zusammengefasst werden. Außerdem werden meist die Quellen auf der linken Seite dargestellt und die Systempunkte, die mit dem Koordinatenursprung verbunden sind als unterste Linie gezeichnet. Diese Regeln stammen aus der Darstellungspraxis elektrotechnischer Schaltungen. Die auf diese Weise gewonnene mechanische Netzwerkdarstellung ist in Abbildung 3.19 gezeigt. Es hat sich als notwendig erwiesen, in diesen drei Schritten vorzugehen, um die Rechenergebnisse sicher der realen Anordnung zuordnen zu können. Das dynamische Verhalten des Fundamentes bei Anregung mit einer Kraft I kann beschrieben werden, indem der Frequenzgang der Geschwindigkeit y oder des Schwingweges  berechnet wird. Dazu nimmt man vereinbarungsgemäß eine sinusförmige Erregerkraft an. Es ist aber auch möglich, andere Systemantworten, z. B. die Antwort auf stoß- oder sprungförmige Kraftanregungen zu berechnen. Für die Berechnung des Frequenzganges wird zunächst die Impedanz } der Parallelschaltung aus Masse, Feder und Reibung bestimmt: } = j$p + }=

1 +u j$q

¢ 1 ¡ 1  $ 2 pq + j$qu j$q

Mit den Kennwerten Kennfrequenz $ 0 (Resonanzfrequenz) und Resonanzgüte T lässt sich der Frequenzgang des Schwingweges und der Schwinggeschwindigkeit in einer normierten Form angeben: 1 1 , $ 0 qu = $0 = s pq T ! Ã  ¶  ¶2 1 $ $ $ 0 qu }= +j 1 j$q $0 $0

92

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

; j$q A A A $ A A j ? 1 y $0 T$ 0 q = k = = $0 q  ¶2  ¶ I } 1 A $ $ A A 1 +j A 1 = $0 $0 T A j$p

$ ¿ $0 $ = $0

(3.13)

$ À $0

In Abbildung 3.20 sind die Frequenzfunktionen dargestellt. Damit eine logarithmische Darstellung der Amplitudenfrequenzgänge erfolgen kann, war es erforderlich, dimensionslose Größen bereitzustellen und die Beträge zu bilden. Durch geeignete Wahl der Bezugsgrößen gelingt es, zu typisierten Frequenzabhängigkeiten zu kommen. Das Ziel der Anwendung eines Fundamentes ist es oft, die Wechselkraft, die in den Boden eingeleitet wird, gering zu halten. So können Störungen der Umgebung weitgehend vermieden werden. Es ist nunmehr leicht, die durch die Federn und die Reibungselemente hindurchgehende Kraft zu berechnen. Für die Kraft I B in den Boden ergibt sich:  ¶ 1 $ 1+j IB $0 T (3.14) =  ¶2  ¶ I 1 $ $ 1 +j $0 $0 T Für große mechanische Resonanzgüten T und für Frequenzen deutlich oberhalb der Kennfrequenz $ 0 entspricht der Frequenzgang näherungsweise dem Frequenzgang des Schwingweges (s. Abb. 3.20). In der Resonanzfrequenz wirkt dann näherungsweise eine Kraft I B = I T auf den Boden. In diesem Frequenzbereich ist sie deutlich größer als ohne Fundament. Bei höheren Frequenzen ist die Kraft mit Fundament zielgemäß deutlich kleiner als ohne Fundament.

FxI lgG F J GH JK

FG w IJ HwK

n

2

0

lgQ

0

lg

0

FvI lgG F J GGH w n JJK

n

w w0

0

1 wm

lgQ

0

lg

wn

w w0

0

Abbildung 3.20. Frequenzabhängigkeit des Ausschlages und der Geschwindigkeit

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

93

3.1.8 Anwendungsbeispiele Nachdem im vorhergehenden Abschnitt das recht einfache translatorische System „Fundament” besonders unter dem Aspekt der Bearbeitungsmethodik betrachtet wurde, sollen nun Beispiele folgen, bei denen das Ergebnis nicht so ohne weiteres vorhersehbar ist. Bestimmung des Verlustfaktors einer Feder Der Zusammenhang der mechanischen Spannung W und der mechanischen Dehnung V eines Stabes in Längsrichtung bei zugelassener Querkontraktion wird durch den E-Modul beschrieben. Es gilt dabei H = W @V. Bei einer verlustfreien Feder beschreiben die bisher in diesem Buch dargestellten Beziehungen eine Proportionalität zwischen Kraft und Ausschlag. Zwischen den komplexen Amplituden von Kraft und Ausschlag existiert dann keine Phasenverschiebung. Bei fast allen realen Federn ist aber messtechnisch eine Phasenverschiebung zu beobachten. Die Ursache liegt in den inneren Verlusten bei der Verformung des Federwerkstoes. Es ist zweckmäßig, diese Verluste durch einen komplexen Elastizitätsmodul zu beschreiben. Es soll gelten H = H (1 + j) .

(3.15)

Der Realteil des komplexen E-Moduls entspricht dem o.g. E-Modul während der Faktor  die Verluste im Werksto beschreibt. Der Verlustfaktor  ist im Allgemeinen frequenzabhängig. Die Frequenzabhängigkeit des Realteiles des E-Moduls ist meist deutlich geringer als die des Verlustfaktors. Die schaltungstechnische Interpretation des komplexen E-Moduls gelingt z. B. durch eine Parallelschaltung eines Reibungselementes zum eigentlichen Federelement. Wenn der Verlustfaktor  streng proportional zur Frequenz wäre, ergäbe sich dann eine konstante (frequenzunabhängige) Reibungsimpedanz. Das trit meist so nicht zu. In einem engen Frequenzbereich, so z. B. in der Umgebung der Arbeitsfrequenz eines Systems, kann näherungsweise von einer konstanten Reibungsimpedanz ausgegangen werden. Abbildung 3.21 zeigt die schaltungstechnische Abbildung einer verlustbehafteten Feder durch eine Parallelschaltung. Die Bauelemente der Parallelschaltung ergeben sich aus folgender Überlegung: }=

I DW DH (1 + j) 1 1 1 = = + ¶= +u = $q y j$oV j$o j$q j$q 

Für eine konstante Frequenz kann diese Parallelschaltung wegen der im Allgemeinen recht kleinen Verluste auch in eine etwa wirkungsgleiche Reihenschaltung aus Feder und Reibungselement umgerechnet werden.

94

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

A

F x  l S

F

l n

T,S

l E A h r w n

n r

Abbildung 3.21. Darstellung eines verlustbehafteten Federstabes

In der Praxis können bei Entwurfsarbeiten Verluste oft nur dadurch berücksichtigt werden, dass geschätzte Resonatorgüten angesetzt werden. Es ist deshalb sinnvoll, das Verlustbauelement so in der Schaltung anzuordnen, dass diese Schätzwerte leicht in Bauelementeparameter umgerechnet werden können und diese im Arbeitsfrequenzbereich etwa konstant bleiben. Bei einer Verizierung des Modells durch einen Musteraufbau können in einem zweiten Schritt Korrekturen aus den gemessenen Frequenzgängen oder Ausschwingversuchen abgeleitet werden. Vor diesem geschilderten Hintergrund ist eine Messeinrichtung zur Bestimmung von E-Modul und Verlustfaktor einer Werkstoprobe bei einer Zielfrequenz von besonderem Interesse. Auf einer schwingenden Fläche wird die zu untersuchende Materialprobe aufgelegt und auf ihr ein Massestück voll ächig deckend aufgesetzt. Die schwingende Fläche ist vorzugsweise die Montageäche eines Schwingtisches, mit dem eine frequenzvariable Sinusschwingung erzeugt werden kann. Auf der Montage äche des Schwingtisches wird außer der Probe noch ein Beschleunigungsaufnehmer befestigt, der die Beschleunigungsamplitude der Anregung d0 erfasst. Auf der Masse wird mit einem zweiten Beschleunigungsaufnehmer die Amplitude d2 gemessen. Die Messanordnung und die mechanische Schaltung sind in Abbildung 3.22 angegeben. u 2  Ba a 2 m

u1  Ba a 0

m

h 6 4714 8 n

a 2  jw v2

n ,r

F n

r

r

v0 F a 0  jw v0

RS T

h2 m

v2

Schwingtisch

Abbildung 3.22. Messanordnung zur Bestimmung von E-Modul und Verlustfaktor

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

95

In der mechanischen Schaltung sind statt der Beschleunigungen die Geschwindigkeiten eingetragen. Das Verhältnis der Amplitudenbeträge d2 @d0 wird über der Frequenz aufgetragen. Die Übertragungsfunktion hat den Charakter eines Tiefpasses mit Resonanz. Führt man die Resonanzfrequenz 1 $0 = s pq und die mechanische Schwinggüte T=

1 $ 0 qu

ein, so ergibt sich für die zu bestimmenden Größen  ($ 0 ) =

1 T

und

H ($ 0 ) =

op$ 20 . D

Außer den mechanischen Maßen Probenhöhe o und Proben äche D, der Masse p (einschließlich Beschleunigungsaufnehmermasse) sind die Resonanzfrequenz und die mechanische Schwinggüte zu bestimmen. Liegen Werkstoproben mit nicht zu hohen Verlusten vor, lässt sich die Resonanzfrequenz aus der Lage des Maximums des Verhältnisses der Beschleunigungsamplituden bestimmen. Die Schwinggüte T wird aus der Frequenzdierenz $ zwischen s den zwei Punkten, bei denen die Übertragungsfunktion um den Faktor 1@ 2 vom Resonanzmaximalwert abgefallen ist, ermittelt (s. Abb. 3.23). Für den Verlustfaktor gilt dann: $  ($ 0 ) = $0

a2 a0

Q

Q n

2

Messergebnis

1 "w

1 w1  w 0  w0 2Q

Q

w0

w

w2  w0 

1 w 20 m w0 1  "w h w 0

b g

1 w0 2Q

Abbildung 3.23. Messung der Resonanzfrequenz $ 0 und der Schwinggüte T

96

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Für hohe Schwinggüten stimmt diese Methode der Bestimmung der Schwinggüte und der Resonanzfrequenz sehr genau. Aber selbst bei einer Güte T = 3 bleibt der Fehler für die Kennwerte unter 3% und ist für die meisten praktischen Fragestellungen damit genau genug. Schwingungsisolation einer Maschine Eine Maschine mit rotierenden Bauteilen, die nicht vollständig ausgewuchtet sind, stellt eine Kraftquelle für die Stelle dar, an der sie montiert ist. Um Störungen der Umgebung zu vermeiden, sollten die von der Maschine in die Befestigungsstelle eingeleiteten Kräfte so klein wie möglich sein. Zu diesem Zweck wird üblicherweise zwischen der Maschine und der Befestigungsstelle ein federndes Element angebracht. Ws soll nun untersucht werden, welche Verminderung der in die Befestigungsstelle eingeleiteten Kraft man auf diese Weise erzielen kann. Das Modell für die Maschine besteht aus einem Rotor der Masse p1 , der mit einer Unwuchtamplitude ( und der Winkelgeschwindigkeit $ in einem Ständer mit der Masse p2 rotiert. Der Ständer ist einmal unmittelbar auf einer als ruhend angenommen Fläche montiert (s. Abb. 3.24a), und zum anderen ist eine elastische Zwischenschicht mit innerer Dämpfung zwischen Gehäuse und Befestigungs äche angebracht (s. Abb. 3.24b). Gesucht sind nun die Kraft I 1 , die ohne Isolierung in die Befestigungsstelle eingeleitet wird und die Verbesserung I 01 @I 1 , die durch Anbringung der elastischen Zwischenschicht entsteht. Außerdem soll gelten, dass durch die Art der Montage nur vertikale Bewegungen zugelassen sind. w

w

r G

m1

m1

m2

m2

F1 = f (m1 , m2 ,G, w )

F1  f ( w) F1

n

a)

F1

b)

F1

Abbildung 3.24. Schwingungsisolation einer Maschine mit Unwucht

Die Welle führt infolge der vorhandenen Exzentrizität ( eine Bewegung mit einer vertikalen Geschwindigkeitskomponente y = j$( aus. Die innere Admittanz ist kl das Verhältnis von vertikaler Kraft und Geschwindigkeit bei sich nicht drehendem Rotor. Es wird durch die Rotormasse p1 bestimmt.

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

97

Die Kurzschlusskraft erhält man formal aus I 0 = y0 @kl = m$p1 y 0 . Es handelt sich um die Kraft, die an der Welle des sich drehenden Rotors angreifen muss, um dort eine Geschwindigkeit y = 0 zu erzwingen. Die Drehung des Rotors mit vertikal festgebremster Welle kann durch eine sinusförmige Bewegung eines Massepunktes mit der Masse p1 und der Amplitude ( ersetzt werden. Diese Bewegung erzeugt genau die Kraft I 0 = p1 d = p1 j$y 0 . Damit sind die Parameter des aktiven Zweipols „Rotor” bestimmt. Es bleibt nun die Aufgabe, das mechanische Schema für die beiden in Abbildung 3.24 dargestellten Fälle anzugeben und die mechanischen Schaltungen daraus abzuleiten. Das ist in Abbildung 3.25 und Abbildung 3.26 geschehen.

m1 +

zi G

Drehpunkt

F



v0



F

v

v

z i  jwm1

v0  jwG

zi

F0

F v

F 0  jwm1 j wG

Abbildung 3.25. Rotor mit Unwucht als aktiver mechanischer Zweipol

Für den Fall a) der fehlenden elastischen Unterlage ist die gesuchte Kraft I 1 mit der Quellkraft I 0 identisch. Die Masse p1 kann keine Kräfte aufnehmen, weil sie sich nicht bewegt (y = 0). Für den Fall b) ist das nicht so einfach. Hier muss die Aufteilung der Kraft I 0 auf die beiden Impedanzen } 1 und } 2 angesetzt werden. Es gilt:

I 01 = I 0

1 +u j$q 1 + u + m$(p1 + p2 ) | {z } j$q

= I0

p

p ¯ ¯ ¯ 0¯ ¯I1 ¯ ¯I1 ¯ 1 + 2 , ¯¯ ¯¯ = ¯¯ ¯¯ = và u I0 I1  ¶2 !2 u t 1 $ + 2 $0

1 (1 + m) j$q 1 (1 + m) + m$p j$q

98

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Abbildung 3.26. mechanische Schema und abgeleitete Schaltungen der Anordnungen aus Abbildung 3.24

mit

1 $0 = s pq

und

 = u$q =  ($ 0 )

$ . $0

Für die elastische Unterlage soll die Annahme gemacht werden, dass ¯eine fre-¯ quenzunabhängige Reibung u vorliegt. Der Verlauf des Verhältnisses ¯I 01 @I 1 ¯ ist in Abbildung 3.27 in Abhängigkeit von der Frequenz dargestellt. Bei tiefen Frequenzen ist sowohl  2 als auch ($@$ 0 )2 sehr viel kleiner als 1 und I 01 = I 1 = I 0 . Die federnde Unterlage ist ohne Ein uss. Für $ = $ 0 nimmt der Nenner seinen kleinsten Wert an.  ($ 0 ) liegt üblicherweise in der Größenordnung von 101 . Die Wurzel im Zähler kann noch als 1 angesehen werden. Die im Fall der federnden Unterlage auftretende Kraft I 01 ist um den Faktor 1@ ($0 ) größer als bei fester Ankopplung. Es tritt nicht eine Dämpfung, sondern eine Verstärkung des störenden Vorgangs auf. Für $ A $ 0 überwiegt in der Wurzel des Nenners zunächst ¯ der ¯Ein uss des Summanden (1  ($@$ 0 )2 )2  ($@$ 0 )4 . Das Verhältnis ¯I 01 @I 1 ¯ nimmt mit 1@$ 2 ab. Von einer bestimmten Frequenz $ 1 ab ist aber auch  ($) im Zähler nicht mehr zu vernachlässigen. Diese Frequenz ist durch  =¯ 1 bestimmt. p ¯ Oberhalb $ 1 ist dann 1 +  2   und das Verhältnis ¯I 01 @I 1 ¯ nimmt dann nur mit 1@$ ab.

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

F lg 1 F1

F 1 F1

1 h ( w0 )

1  1 h ( w0 )  2 2  w0 w  w0 w h ( w0 )

99

w = w0 w  w0 w0 = w = w0 h ( w0 ) w0 h ( w0 ) = w

0 :

1 w2

:

1 w

w1

0

w0 h ( w0 )

Bereich II

Bereich I

w0

w1 

lg

w

w1 w0

lg

w w0

Abbildung 3.27. Schwingungsdämpfung einer schwingungsisoliert aufgestellten Maschine

Ein Zahlenbeispiel soll die praktisch vorkommenden Größenordnungen demonstrieren. Die Unwucht einer Maschine sei durch eine Rotormasse von p1 = 100 kg und eine Unwuchtamplitude von ( = 0> 1 mm gekennzeichnet. Die Betriebsdrehzahl der Maschine sei q = 3000 min1 = 50 Hz. Die Unterlage sei so beschaen, dass sie mit der Gesamtmasse p1 + p2 der Maschine eine Resonanzfrequenz i0 = 10 Hz ergibt. Ihr Verlustfaktor bei 10 Hz sei  ($) = 0> 1. Die Amplitude der Kraft I 0 = I 1 ergibt sich dann zu ; i = 50 Hz, ? 1000 N Iˆ0 = Iˆ1 = $ 2 (p1 = = 40 N i = 10 Hz. Für i = 50 Hz = 5i0 ist man wegen i1 = 10i0 noch im Bereich I in Abbildung 3.27. Deshalb ergibt sich für die Kraft I 01 bei

i = 50 Hz:

³ $ ´2 0 Iˆ10 = Iˆ1 (50 Hz) = 40 N $

bei

i = 10 Hz:

Iˆ10 = Iˆ1 (10 Hz)

1 = 400 N  ($ 0 )

Gegenüber der festen Montage ergibt sich also bei der Betriebsdrehzahl eine Kraftreduktion um den Faktor 25.

100

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Passiver Schwingungstilger Die Überlegungen zum translatorischen System „Fundament” haben gezeigt, dass die in den Boden eintretende Kraft nur dann gegenüber der Quellkraft verringert ist, wenn die Betriebsfrequenz des Krafterzeugers deutlich oberhalb der Resonanzfrequenz liegt. Im Bereich der Resonanzfrequenz hingegen ist die Kraft in den Boden je nach Resonanzgüte T größer. Will man die Bodenkraft bei Resonanz verringern, ist eine größere Bedämpfung erforderlich. Das erhöht aber die Bodenkraft bei größerer Betriebsfrequenz. Der Kraft uss läuft dann über das Dämpfungselement in den Boden. Durch Anwendung eines zweiten Schwingsystems entstehen weitere Möglichkeiten, die gezielt genutzt werden können. Dieses Zusatzsystem ist unter dem Begri „Schwingungstilger” bekannt. Es haben sich mehrere Anwendungsbereiche herausgestellt, bei denen eine solche Zusatzausrüstung zweckmäßig ist. Für die in den folgenden Absätzen behandelten Fälle ist in Abbildung 3.28 ein reales mechanisches System aus einem einfachen Resonanzfundamt mit einem zusätzlichen Schwingsystem dargestellt. Die Reibungsverluste im Zusatzsystem entstehen sowohl in der Feder als auch im Bereich der Führungsstangen der Masse p2 . Die Führungsstangen sind mit der Masse p1 fest verbunden. Die viskose Reibung u2 soll bei dem Beispiel einstellbar gestaltet sein. Abbildung 3.28 zeigt ebenfalls das mechanische Schema des Systems und die mechanische Schaltung. Zunächst soll der Fall behandelt werden, bei dem eine Erregung des Fundamentes mit konstanter Frequenz $ in der direkten Umgebung der Resonanzfrequenz $ 0 des Fundamentes erfolgt. In diesem Betriebsfall würden ohne Zusatzschwingsystem eine hohe Bodenkraftamplitude im Vergleich zur Kraftanregungsamplitude und eine hohe Schwingwegamplitude auf der Fundamentmasse auftreten. Eine deutliche Absenkung der Resonanzfrequenz $ 0 des einfachen Resonanzfundamentes könnte ein Ausweg sein, soll aber wegen der oft begrenzten zulässigen Durchsenkung der Fundamentmasse infolge der Erdbeschleunigung j j  stat = 2 $0 nicht in Betracht gezogen werden. Statt dessen wird ein zweiter mechanischer Resonator angebracht und zunächst auf die gleiche Resonanzfrequenz $ 0 dimensioniert. Die Masse p2 dieses Systems soll im Rechenbeispiel nur 20% der Fundamentmasse betragen. Diese Ergänzung des Fundamentaufbaus ist in der Praxis einfacher anwendbar, als die oben genannte deutliche Absenkung der Resonanzfrequenz. Um eine nennenswerte Verringerung der Bodenkraft in der Umgebung der Resonanzfrequenz zu erreichen, muss die Resonanzgüte des Zusatzschwingers ausreichend hoch sein (z. B. größer als 20). Für eine bequeme analytische Berechnung ist es zweckmäßig Näherungen und Schaltungsvereinfachungen durchzuführen. So kann z. B. die Parallelschaltung aus der Feder q2 und der Reibung u2 in eine Reihenschaltung überführt werden (s. Abb. 3.29).

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

101

Abbildung 3.28. Fundament mit Schwingungstilger

Für die Bauelemente gilt dann u2 =

u2 ³ $ ´2 0 1 + T2 $

q2 =

q2 ¶2  $0 1+ T2 $

mit

T2 =

u2 . $ 0 q2

Bei hoher Resonanzgüte T2 und nur geringer Abweichung der Frequenz von der Resonanzfrequenz kann näherungsweise geschrieben werden: $  1, $0

q2  q2

und

u2 

u2 (T2 )2

Nun kann das Verhältnis von Bodenkraft I zu Erregerkraft I 0 auf sehr einfache Weise berechnet werden. Die Feder q0 besitzt für die genannte Fragestellung keine Bedeutung. Zunächst werden die Bauelemente zu komplexen Impedanzen zusammengefasst (s. Abb. 3.29).

102

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

n0 F1

n2

F

F0

m1

n1

r2

r1

m2 1 424 3 z 1442443 z1

U| || V| z || |W

2



1 h2

Abbildung 3.29. Einführung der Bodenkraft I und der Impedanzen }, } 1 und } 2

Die Parallelschaltung von q1 , p1 und u1 bildet die komplexe Impedanz } 1 . Die Bauelemente q1 und u1 werden zu } zusammengefasst. Die Reihenschaltung q2 , u2 und p2 ist durch die komplexe Impedanz } 2 ausgedrückt. Die Kraftverhältnisse können nunmehr mit den Impedanzen }, } 1 und } 2 beschrieben werden zu: }1 I } I1 = und = I0 }1 + }2 I1 }1 Es ergibt sich: } } · k2 I = = I0 }1 + }2 1 + } 1 k2

mit

k2 =

1 }2

Das Einsetzen der Bauelemente führt zu  ¶ ¶ 1 1 1 j$q2 + + u1 + I j$q1 j$p2 u2 ¶ ¶  = 1 1 1 I0 j$q2 + 1 + j$p1 + + u1 + j$q1 j$p2 u2 bzw. ¶  p2 (1 + j$q1 u1 ) 1  $ 2 p2 q2 + j$ I u2 ¶ . (3.16)  = p2 I0 2 2 2 $ p2 q1 + (1  $ p1 q1 + j$q1 u1 ) 1  $ p2 q2 + j$ u2 Mit den zweckmäßigen Normierungsgrößen (2 Kennfrequenzen und 2 Resonanzgüten) $ 21 =

1 , p1 q1

$ 22 =

1 , p2 q2

1 = $ 1 q1 u1 , T1

1 $ 2 p2 = T2 u2

3.1 Mechanische Netzwerke für translatorische Bewegungen

103

folgt in normierter Schreibweise:  ¶ ¶ $ 1 $2 $ 1 1+j 1 2 +j I $ T $2 $ T ¶ 2 2 2 ¶ (3.17) 1 1 2 = r I0 $ $2 $ $ 1 $ 1 p2 q1 1 2 +j  + 1 2 +j $ 1 $ 2 p1 q2 $1 $ 1 T1 $2 $ 2 T2 Unter den bereits getroenen Annahmen für Frequenz und Güte vereinfacht sich der Ausdruck zu ¯ ¯ ¯ I ¯ p1 1 ¯ ¯ ¯ I ¯ p2 T2 . 0

Je kleiner die Zusatzmasse gewählt wird, um so größer muss die Güte eingestellt werden, damit eine wirksame Verringerung der Bodenkraft erreicht wird. Zur Betrachtung in einem breiteren Frequenzgebiet wird die mechanische Schaltung ohne die Verwendung von Näherungen berechnet. Abbildung 3.30 zeigt den Frequenzgang der Bodenkraft aus der Schaltung nach Abbildung 3.28. Beträgt die Abweichung der Betriebsfrequenz von der gemeinsamen Resonanzfrequenz mehr als etwa 8% (bei dem angenommenen Masseverhältnis p1 @p2 = 5 und Güten von T1 = T2 = 20) geht der Vorteil der Dämpfungswirkung verloren. Bei Abweichungen von 20% nach oben oder unten treten

Abbildung 3.30. Frequenzabhängigkeit der Bodenkraft

104

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

sogar beidseitig neue Resonanzgebiete auf. Mit kleiner werdendem Verhältnis p1 @p2 wird das Frequenzgebiet B in Abbildung 3.30, in dem die Betriebsfrequenz von der gemeinsamen Resonanzfrequenz abweichen darf, größer. Dafür ist allerdings der Aufwand für den Schwingungstilger höher. Die zu erkennenden neuen Resonanzgebiete stellen beim Hochlaufen der Frequenz auf die Betriebsfrequenz nur dann ein Problem dar, wenn die Veränderung der Frequenz (Drehzahl) eines hoch- oder runterlaufenden Antriebssystems nicht schnell genug erfolgt. Die Verweilzeit im kritischen Resonanzgebiet muss genügend kurz sein, um große Schwingamplituden zu vermeiden. Eine völlig andere Dimensionierung muss das System erhalten, wenn es zur Unterstützung eines schnellen Ausschwingens nach stoßförmigen oder sprungartigen Belastungen angewendet werden soll. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die Beruhigung des Wägetellers einer Waage, auf der immer etwa gleiche Massen abgewogen werden (z. B. bei der Produktionskontrolle von Lebensmitteln). Bei Anwendung des Schwingungstilgers entstehen gegenüber der direkten Dämpfung des einfachen Feder-Masse-Systems deutliche konstruktive Vorteile. Günstig ist eine Güte für den Zusatzresonator von T2 = 2. Bei kleineren oder größeren Güten treten länger Ausschwingvorgänge auf. Bei diesem Anwendungsfall können meist nur Masseverhältnisse von 10 oder größer gewählt werden. Bei dem Masseverhältnis p1 @p2 = 10 und einer Güte des Hauptschwingers von T1 = 20 erreicht man bei einer Güte des Zusatzresonators von T2 = 2 eine äquivalente Güte des Gesamtsystems von 5> 3 und erreicht damit eine deutliche Verkürzung des Ausschwingvorganges. Das gleiche Prinzip wird ebenfalls mit gutem Erfolg angewendet, um in Systemen, die einen elektromechanischen Wandler besitzen, eine Dämpfung des mechanischen Systems mit elektrischen Mitteln zu erreichen. Ein Beispiel ist die Reihenschaltung eines passend gewählten Widerstandes und einer passend gewählten Induktivität im elektrischen Kreis eines piezoelektrisch angetriebenen zusammengesetzten Längsschwingers, der im Puls- oder Kurzpulsbetrieb arbeiten soll.

3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen Im Abschnitt 3.1 wurden für die Systempunkte eines mechanischen Systems nur Bewegungen parallel zu einer Geraden zugelassen. Im nachfolgenden Abschnitt werden nur Rotationen um eine feste Achse erlaubt. Die Lager dieser Achse sind mit dem Umgebungssystem starr verbunden. Das Umgebungssystem (in vorhergehenden Abschnitten mit einem „starren Rahmen” dargestellt) darf sich höchstens gleichförmig translatorisch bewegen. Ein umgebender starrer Rahmen wird deshalb mit den Eigenschaften unendlich großer Masse und unendlich großer Drehmasse  (s. Abschn. 3.2.2) ausgerüstet. Bei dieser Annahme liegt wieder eine physikalische Struktur vor, die zu den bisher behandelten im mathematischen Sinne isomorph ist. Durch eine geeignete Koordi-

3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen

105

natenwahl stimmt auch die Topologie des Systems mit der Modelldarstellung überein. Systeme mit rotatorischen Bewegungen treten in der Praxis häug mit translatorischen Systemen über Wandlerelemente, z. B. Stäben an Achsen, in Wechselwirkung (s. Abschn. 5.1). Aber auch Torsionsschwingungsprobleme z. B. bei Antriebsmaschinen, Getrieben u.ä. können mit den nachfolgend genannten Modellansätzen behandelt werden. Abbildung 3.31 zeigt ein rotatorisches System dieser Art. Übersetzungsräder gelagerte Welle (masselos, starr)

F M Momentenquelle

F Drehfeder

Trägheitsmoment

Abbildung 3.31. Rotatorisches System

An einer idealen Welle (masselos und starr) greifen über zwei Stäbe Kräfte so an, dass in die Welle ein Drehmoment eingespeist wird. Das Drehmoment führt zur Verdrehung einer Drehfeder, die sich an einer Drehmasse abstützt. Außerdem wird über ein Getriebe ein Drehmoment an eine weiteren Drehfeder geleitet. Wie die Welle wird auch das Getriebe als masselos und in sich starr betrachtet. Der rechte Anschluss dieser Feder ist fest gelagert. Der Verdrehwinkel der Drehfeder ist proportional zum Drehmoment. Die Proportionalitätskonstante wird rotatorische Nachgiebigkeit qR genannt. Der Index R wird oft weggelassen, wenn es sich um ein rein rotatorisches System (ohne Wandlerelemente) handelt und daher Verwechslungen mit einer translatorischen Nachgiebigkeit ausgeschlossen sind. 3.2.1 Koordinaten Für die Beschreibung eines einachsigen rotatorischen Systems genügt es, Winkelkoordinaten *l (Zylinderkoordinatensystem) und Drehmomentvektoren Ml oder alternativ die Koordinate Drehmoment P in Verbindung mit einem Richtungspfeil (oft als Pfeil mit Doppelspitze gezeichnet [43]) und der Rechtsschraubenregel zu verwenden. Um aber zu einem System zu kommen, bei dem Isomorphie zu elektrischen Netzwerken bei Beibehaltung der Topologie besteht, ist es notwendig als Koordinatenpaar das Drehmoment P und die Winkelgeschwindigkeitsdierenz

106

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern



j2

j1

2

1

M

M

M

R| || M S || |T

F F M

M

bg

jt

+

dj dt

+ Bezugsrahmen

m   , 3 

Abbildung 3.32. Mechanische Koordinaten am allgemeinen rotatorischen Bauelement

=

d*2 d*1  dw dw

(Winkelgeschwindigkeit über dem Bauelement) zu verwenden. Das Produkt der Koordinaten ergibt wie bei elektrischen und mechanisch-translatorischen Systemen eine Leistung. Abbildung 3.32 zeigt die komplexen Netzwerkkoordinaten Drehmoment P und Winkelgeschwindigkeit am Beispiel eines rotatorischen Bauelementes. Um für eine schaltungstechnische Darstellung zur Eindeutigkeit der Vorzeichen zu gelangen, wird wie bei den translatorischen Systemen ein System-Richtungspfeil eingeführt, der die positive Richtung angibt. Die Winkelgeschwindigkeit ist positiv für den Fall, dass der

-Netzwerkpfeil und der System-Richtungspfeil in die gleiche Richtung zeigen. Ein Moment in Richtung des Momentenpfeils ist an der Seite der gedachten Schnitt äche wirksam, auf die der System-Richtungspfeil weist (Systempunkt 1, positive Bauelemente äche, Drehrichtung nach Rechtsschraubenregel). 3.2.2 Bauelemente und Systemgleichungen Je nach Art der Kopplung von Winkelgeschwindigkeit und Moment kann man im Bereich linearer Vorgänge drei Arten von Bauelementen unterscheiden. Die Bauelemente werden als Drehfeder, Drehreibung und Drehmasse (Trägheitsmoment) bezeichnet. Tabelle 3.4 zeigt anschauliche und schematisierte Darstellungen rotatorischer Bauelemente und ihre Systemgleichungen. Um zu einer schaltungstechnischen Darstellung zu gelangen, müssen die Geschwindigkeitsdierenzen über den Bauelementen eingeführt werden und die Drehmasse

3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen

107

Tabelle 3.4. Rotatorische Bauelemente - anschauliche und schematische Darstellung

Anschauliche Darstellung

Schematische Darstellung

Drehfeder

j2



j1

M

M

M

j1  j 2  nR M

j  j1  j 2  n R M zähes Medium

Drehreibung

j1



j2

M

M

FG dj H dt

1



Drehmasse

M  rR

IJ K

dj 2  rR + dt

Bezugsrahmen

d 2 j1 dt 2

j2  0

2

d j1  j 2 dt

b

g



M

M #

j

1

j1

M

M

j

M

M  rR

j2

j1

M

#

j

M #

d2j dt 2

j wird in einem Inertialsystem gemessen

muss einen zweiten Systempunkt erhalten. In Tabelle 3.5 ist der Übergang zur schaltungstechnischen Darstellung vollzogen. Außer den drei Bauelementearten ist als „Übertrager” das Getriebe (analog zum Hebel) in den zwei möglichen Zahnradanordnungen angegeben. Analog zur Betrachtung translatorischer Systeme werden zwei Quellmechanismen eingeführt. Beim ersten Quellmechanismus wird von der Quelle eine Winkeländerung erzwungen (Winkelquelle). Beim zweiten Quellmechanismus erzeugt die Quelle ein Drehmoment, dessen Größe nicht von der eintretenden Winkeländerung abhängt. Tabelle 3.6 zeigt die mechanische und schaltungstechnische Darstellung dieser beiden Quellarten. Mit Hilfe dieser Quellen las-

108

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern Tabelle 3.5. Schaltungstechnische Darstellung rotatorischer Bauelemente

Schematische Darstellung



M

Schaltungstechnische Darstellung

j2

j1



M

M

j

1

M  rR



M j

M rR +

M  rR +

g

b

g

M  jw j1  j 2 rR

#



M #

d2j 2

dt j wird in einem Inertialsystem gemessen r1

M # +

+

M  jw # +

Lager



M2

M1 r2 Zahnrad b)



+

M #

 j1

rR

2

d j1  j 2 dt

b

+

+  jw nR M

M

j

M nR

+

j1  j 2  nR M

a)

 nR

M

M

j1

Getriebe

j2

M1

FG + IJ  FG ü HM K H0 1

r1

1

0 1 ü

I F+ I JK GH M JK 2

2

M1

R| | üS || T

M2

r2

r2 r1

für a)

r  2 r 1

für b)

j2 j1  ü j 2 M1 

1 M2 ü

+1

+2

M2

3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen

109

sen sich aktive rotatorische Zweipole (Quelle mit Quellimpedanz) darstellen. Im Abschnitt 3.2.4 wird an einem Beispiel gezeigt, dass Maschen- und Knotensätze analog zu translatorischen Systemen aufgestellt werden können. Die Zusammenschaltungsregeln des Abschnittes 3.1.4 lassen sich formal und begri"ich auch auf rotatorische Netzwerke anwenden. Tabelle 3.6. Rotatorische Quellen

Momentenquelle

Winkelquelle

Darstellungsweise der Mechanik

Schaltungstechnische Darstellung

 j

+

+0

dj dt



F

M0

M

F

3.2.3 Isomorphie zwischen mechanischen und elektrischen Schaltungen Durch den Vergleich der Gleichungen, die rotatorische Netzwerke vollständig beschreiben, mit den entsprechenden Gleichungen für die elektrischen Netzwerke erkennt man die im mathematischen Sinne vorhandene Isomorphie der beiden physikalischen Strukturen. Die Gleichheit bezieht sich auch auf die topologische Struktur, wenn man die elektrische Spannung der Winkelgeschwindigkeit und den elektrischen Strom dem Moment zuordnet. In Tabelle 3.7 sind die entsprechenden Zuordnungen zwischen elektrischem und rotatorischem System zusammengefasst. Um die Zuordnungen auch quantitativ vorzunehmen, müssen Proportionalitätsgrößen zwischen den Koordinaten deniert werden. Es soll gelten: x = J3

und

l=

1 P J4

(3.18)

Darüber hinaus könnte noch zugelassen werden, dass sich die Frequenzen zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Netzwerk um einen konstanten

110

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Tabelle 3.7. Isomorphiebeziehungen zwischen elektrischem und rotatorischem Netzwerk

Zuordnung zwischen Koordinaten bzw. Bauelementen Spannung

u

+

Winkelgeschwindigkeit

Strom

i

M

Moment

Induktivität

L

nR

Drehnachgiebigkeit

Kapazität

C

#

Drehmasse (Trägheitsmoment)

Widerstand

R

hR

Drehreibungsadmittanz

Transformator

w1 w2

ü

siehe Bild Getriebe

L

u  jwLi

C

1 u i jwC

R

u  Ri

nR

nR

#

#

hR

hR

+  jwn R M

+

1 M jw#

+  hR M

Knoten der elektr. Schaltungsstruktur

in  0

M n  0

Knoten des mechan. Schemas

Masche der elektr. Schaltungsstruktur

un  0

 +n  0

Masche des mechan. Schemas

a)

i1

+1

i2

r1 M2

M1 u1

w1

w2

u2

r2 b)

u2 

w2 u w1 1

i2 

w1 i w2 1

R| | üS || T

+1

r2 r1

für a)

r  2 r 1

für b)

+2

r1

M1

r2

+2 M2

1 + 2  +1 , ü

M 2  ü M1

3.2 Mechanische Netzwerke für rotatorische Bewegungen

111

Faktor unterscheiden. Von dieser Möglichkeit wird in der Praxis kein Gebrauch gemacht. Sie wird deshalb im Folgenden nicht benutzt. Für die Bauelemente ergibt sich durch diese Festlegung: F=

 , J3 J4

O = J3 J4 qR

und

U = J3 J4 kR

(3.19)

Die Proportionalitätsfaktoren J3 und J4 können bezüglich ihres Betrages zunächst frei gewählt werden. Mit Rücksicht auf die Eigenarten von Netzwerkanalyseprogrammen (z. B. PSPICE) sollten jedoch die Ziernfolgen erhalten bleiben. Somit stehen nur noch die Zehnerpotenzen zur Auswahl. Werden für J3 und J4 gleiche Zahlenwerte verwendet, so entsteht eine leistungsgleiche Abbildung. Dieser Vorzug wird meist in Anspruch genommen. 3.2.4 Beispiel für ein rotatorisches Netzwerk Die Ableitung einer schaltungstechnischen Darstellung aus einer realen rotatorischen Anordnung sollte wieder in zwei Schritten geschehen. Zunächst ist es zweckmäßig, sich bei Beibehaltung der geometrischen Anordnung eine Darstellung aufzuzeichnen, bei der der Verzweigungsweg des Momentes erkenntlich wird. Ein Teil des auf einer Achse zugeführten Antriebsmomentes wird von der Lagerreibung aufgenommen, ein anderer Teil wird zur Beschleunigung von Drehmassen abgezweigt. Bei der schematischen Darstellung sollte das mit einem Momentenknoten ausgedrückt werden. Die Verzweigungsstelle kann man sich als ein auf der Achse sitzendes Getriebe mit einer Übersetzung von eins vorstellen (Abb. 3.33). Die neue Abtriebsachse versorgt dann die Drehreibung oder die Drehmasse. Durch diese Auftrennung der Momentenüsse in mehrere gedachte parallele Achsen, kann man sich die Auftrennung in Netzwerkzweige gut vorstellen. +1

M r1

M1

M2

M r1

=

+1 M1

M2

Abbildung 3.33. Modell einer Momentenverzweigung (Knoten)

In Abbildung 3.34 ist am Beispiel einer Gasturbine ein System mit Momentenquelle, Reibungselementen, elastischem Kupplungselement und Schwingungstilger dargestellt. Am Systemausgang kann ein rotatorischer Verbraucher angeschlossen werden. Im mechanischen Schema sind die bereits genannten Abzweigungen für die Momente in die Reibungsbauelemente und die Drehmassen

112

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

zu sehen. Die elastische Kupplung ist eine Drehfeder, durch die das Drehmoment auf die Abtriebsseite hindurchgeleitet wird. Über der Kupplung kommt es zu einer Dierenz der Winkelgeschwindigkeit. Die elastische Kupplung besitzt aber auch massebehaftete Teile. Sie sind durch die Trägheitsmomente 2 und 3 abgebildet. Der Schwingungstilger besteht aus einem Ring mit dem Trägheitsmoment 4 , der über 4 Biegefedern mit der Hauptachse verbunden ist. Die Biegefedern stellen in ihrer Gesamtheit die Drehfeder qR2 dar. Im mechanischen Schema sind nur rotatorische Bauelemente enthalten, so dass keine Verwechselungsgefahr mit translatorischen Bauelementen besteht. In diesem Fall kann der Index R entfallen. Ein angeschlossener Verbraucher ist hier als ein allgemeines Bauelement mit einem Widerstandssymbol uL angegeben, da der Charakter dieser Last nicht bekannt ist. Reale Anordnung

+1

M1

r1

M2

#1

#3

elastische Kupplung

M0

Verbraucher

MV

4

n R2

+V

Schwingungstilger

n R2

#4

Mechanisches Schema

+

#3

r1 M 0 M1 M 2

+2 M r2

M3

#2

Turbinenläufer

+3

#4

n R1

#4

M5

n1

n2

M3 M4

+1

rL

M

+ r2

#1

#2

Mechanische Schaltung

M1

M2

M3

+1

#1

r1

#2

M

M5

n1

M0

M4

#3

n2

r2

+

rL

#4

Abbildung 3.34. Modell eines rotatorischen Systems in drei Abbildungsstufen

3.3 Akustische Netzwerke

113

Die dritte Stufe der Darstellung ist die mechanische Schaltung. Die Richtungsund Ortsbezüge können aufgelöst werden. Es gelten die Darstellungsregeln für Netzwerke. Die Darstellung als aktiver Quellzweipol mit angeschlossenem allgemeinen Verbraucher ist nun vollständig.

3.3 Akustische Netzwerke Sind mehrere gasgefüllte volumenartige Hohlräume durch Kanäle, Rohre oder einfach nur durch Löcher miteinander verbunden, so kann unter Annahme einiger Einschränkungen diese Struktur als ein akustisches Netzwerk betrachtet werden. Auch ein einziger, mit einem Loch oder kurzem Rohrstück versehener Hohlraum ist ein häug auftretender akustischer Resonator (HelmholtzResonator), der sich als akustisches Netzwerk darstellen lässt. Bauelemente des akustischen Netzwerkes sind die volumenartigen Hohlräume und die kanalartigen Hohlräume. Für die Modellbildung wird vorausgesetzt, dass das System von Hohlräumen in eine Umgebung gleichen Mediums eingebettet ist, in der ein konstanter Druck s0 herrscht, dessen Wert dem mittleren Druck in den Hohlräumen gleicht. Darüber hinaus müssen die linearen Abmessungen dieser Hohlräume viel kleiner sein als die Wellenlänge im kompressiblen Medium, mit dem die Hohlräume gefüllt sind. Letzteres lässt sich durch Wahl einer ausreichend niedrigen oberen Frequenzgrenze immer erfüllen. Ob die technische Fragestellung dann noch sinnvoll beantwortet werden kann, muss im Einzelfall geprüft werden. Reale Anordnungen eignen sich dann für eine Modellierung mit Hilfe eines akustischen Netzwerkes, wenn die Struktur der Anordnung eine Diskretisierung derart erlaubt, dass in den kanalartigen Elementen nahezu keine Kompression, sondern nur Bewegung vorhanden ist und in den volumenartigen Elementen nur eine Kompression, aber nahezu keine Bewegung auftritt. Aus idealen kanalartigen Bauelementen tritt somit die gleiche Medienmenge zeitgleich aus, die in das Element hineinströmt. In volumenartigen Bauelementen ist wegen der fehlenden Bewegung der Druck vom Ort unabhängig. Diese Einschränkungen haben wie eingangs schon erwähnt zur Folge, dass die zu betrachtende obere Frequenzgrenze eines dynamischen Vorganges so niedrig gewählt werden muss, dass die akustische Wellenlänge im kompressiblen Medium groß gegenüber den linearen Abmessungen der Bauelemente ist. In Abschnitt 6.2 wird gezeigt, wie man bei kanalartigen Hohlräumen vorgehen kann, um eine Modellierung für höhere Frequenzen zu ermöglichen. Um die Wirkung der Nichtlinearitäten der allgemeinen Dierentialgleichungen der Gasdynamik vernachlässigen zu können, werden die in der linearen Akustik üblichen Näherungen verwendet. Dazu wird davon ausgegangen, dass sich die Medienelemente mit ausreichend kleiner mittlerer Geschwindigkeit um eine Ruhelage bewegen und dass die Druckänderung ausreichend klein gegenüber dem mittleren Druck bleibt. Bei mechanischen Netzwerken wurden die Systempunkte an den Verbindungs-

114

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

stellen der mechanischen Bauelemente deniert. Die Verbindung erfolgte mit masselosen, starren Stangen. Analog dazu werden hier virtuelle Kanalelemente deniert, die mit einem masselosen, inkompressiblen Medium gefüllt sind. Sie sollen die Aufgabe der Verbindung abgegrenzter akustischer Bauelemente erfüllen. Zwischen den Enden dieser Verbindungselemente gibt es keine Druckdierenz und in diesen Elementen gibt es keine Dichteänderungen. Das eintretende Volumen tritt unverzögert am Ende wieder aus. Durch die gedankliche Einführung dieser idealen Leitungselemente gelingt eine beliebige örtliche Diskretisierung der realen Anordnung. Die Modellbildung mittels akustischer Netzwerke hat sich für Mikrofone, Kopfhörer, Bassre exboxen, Resonanzschalldämpfer, hydraulische Koppelsysteme, Schwingungsdämpfer mit Fluiden, Resonanzsysteme für raumakustische Korrekturen und ähnliche Anordnungen bewährt. 3.3.1 Koordinaten Abbildung 3.35 zeigt einen Ausschnitt aus einem kanalartigen Hohlraum zu zwei Zeitpunkten. Es ist zu erkennen, dass sich die markierten Medienelemente in der Zeitdierenz w ein Stück weiter bewegt haben und so eine Volumenverschiebung Y eingetreten ist. Die Medienelemente können eine unterschiedliche Geschwindigkeit haben. Die in Abbildung 3.35 gezeigte Rechnung verdeutlicht, dass die auf die Zeitdierenz w bezogene Volumenverschiebung Y dem Produkt aus Querschnitts äche D und mittlerer Geschwindigkeit der Medienelemente gleicht. Dieses Produkt wird Volumen uss t genannt und stellt eine Koordinate akustischer Netzwerke dar. Die zweite Koordinate ist die Druckdierenz s über dem kanalartigen Bauelement. Die Systempunkte sind mit a und b bezeichnet. Der Volumen uss t wird analog zur Koordinate Kraft in das Anschlusselement zum Bauelement als Pfeil eingetragen. Das Produkt der Koordinaten stellt wieder eine Leistung dar.

t0

v = e1v1 (x 2 )

z

b g

t0  "t

x1

"V

b g

"V  "t v1 x2 dA

x2 x0 x0  x x2

a

b g b g

x x2  v1 x2 "t

q

q

b

p

A

q

"V 1 A v1 x2 dA "t A 44244 1 3 v q  Av

z

b g

p  pa  p b

markierte Medienelemente

Abbildung 3.35. Koordinaten Volumen uss t und Druckdierenz s im akustischen Netzwerk

3.3 Akustische Netzwerke

115

Bei volumenartigen Bauelementen wird durch den eintretenden Volumen uss die Kompression im Bauelement erreicht. Die Druckänderung wirkt gegenüber dem konstanten Umgebungsdruck. Volumenartige und kanalartige Hohlräume können somit als allgemeines Bauelement gleichartig dargestellt werden. 3.3.2 Akustische Bauelemente Volumenartige Hohlräume zeigen einen federnden Charakter. Das wird verständlich, wenn man mit Hilfe eines Kolbens ein abgeschlossenes Gasvolumen komprimiert. Wird diese Kompression so schnell vollzogen, dass es zu keinem Wärmeaustausch mit der Gefäßwand kommen kann (T = 0), liegt eine adiabatische Zustandsänderung vor. Für sehr kleine Volumenänderungen kann man eine lineare Verknüpfung zwischen Volumenänderung und Druckänderung annehmen. Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases sY = pUW

(3.20)

mit der Gaskonstante U und der absoluten Temperatur W kann unter Annahme einer konstanten Masse p im Volumen Y um einen Entwicklungspunkt (s0 > Y0 > W0 ) wie folgt geschrieben werden: s0 Y + Y0 s = pUW

(3.21)

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt unter Annahme von T = 0 am Entwicklungspunkt T = pfY W + s0 Y = 0,

(3.22)

wobei fY die spezische Wärme des Gases bei konstant gehaltenem Volumen ist. Nach Einsetzen von Gl. (3.22) in Gl. (3.21) folgt 

Y = s

Y  0 ¶. U s0 1 + fY

(3.23)

Mit dem Adiabatenexponenten =1+

fs U = fY fY

(3.24)

(für Luft gilt:  = 1> 4) und der Denition der akustischen Nachgiebigkeit Qa = 

Y s

(3.25)

ergibt sich: Qa =

Y0 s0

(für adiabatische Zustandsänderungen)

(3.26)

116

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern Tabelle 3.8. Volumenartiger Hohlraum, akustische Feder grafische Darstellung

a)

"V

p

 p0

adiabatisch

isotherm

"V  V  V0

"V  V  V0

"p  p  p0

"p  p  p0

"V 1 V0  "p k p0 cp mit k  cV



"V V0  "p p0

b)

p q p 0 0

c)

 "V  V ;

V 1 V0   Na p k p0 wegen

q

Na bzw. N a,iso

q p

p

"p  p

mit

q  jwV :

 jwNa Na 

1 V0

k p0

 "V  V ;

"p  p

V V0   Na,iso p p0 wegen

q p mit

q  jwV :

 jwNa,iso Na,iso 

V0 p0

In Tabelle 3.8b ist der Übergang zu komplexen Amplituden vollzogen und in der Ansicht c der gleichen Tabelle erfolgt die Darstellung als akustische Nachgiebigkeit, verknüpft mit den komplexen Koordinaten des akustischen Netzwerkes und die grasche Darstellung des Bauelementes in Netzwerkform. Kanalartige Bauelemente besitzen zwei Grenzwerte ihres Bauelementeverhaltens. Im ersten Grenzfall wirkt das bewegte Gas wie eine reine Masse. Im zweiten Grenzfall bestimmt die Reibung das Geschehen. Der erste Fall liegt näherungsweise bei sehr hohen Frequenzen in einem nur mit Gas gefüllten Kanal vor. Dem Fall der überwiegenden Reibung kann man sich vorzugsweise bei tiefen Frequenzen durch zusätzliche Füllung des Kanals mit einem porösen Medium nähern. Abbildung 3.36 zeigt Bauelemente mit dominierender akustischer Reibung ]a>u . Abbildung 3.37 zeigt die Verhältnisse bei einer idealen akustischen Masse Pa . Reale akustische Kanalelemente zeigen ein Verhalten, welches beide Eigenschaften besitzt. Eine Abbildung ist durch eine Reihenschaltung beider Bauelemente möglich. Im Abschnitt 3.3.4 werden an Bauelementen mit ein-

3.3 Akustische Netzwerke

117

fachen Geometrien die frequenzabhängigen Eigenschaften realer Bauelemente behandelt. l

p1 q

A

p2

p1

q

q

p2 q

A

q

q

poröses Material a) b)

b Schlitz p

R

Kreis

p  p1  p2  % %

|RS12 m b T|8 m R

2

2

l v A A q

Schlitz Kreis

p  Za,r q

: U| V| W

Za,r %

l A

m K Zähigkeit des Mediums

mLuft  1,8 10 5

kg m s

Abbildung 3.36. Bauelement Akustische Reibung

q1

F1  p1 A

q2

v1

F2  p2 A

q

q

v2 p1

r0 , m  r0 l A

p

p2 A

p  jw Ma q

v1  v2  q1  q2  v A

F  jwm v 

ep

p  p  p  jw 1

2

1

 p A  jwm 2

j

q A

r0 l q  jw Ma q A

Ma  r 0

Abbildung 3.37. Bauelement Akustische Masse

l A

118

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

3.3.3 Netzwerkdarstellung akustischer Systeme Werden die akustischen Bauelemente mit Leitungselementen (gedachte Verbindungsleitungen mit masseloser, inkompressibler Substanz gefüllt) verbunden, so können an den Verbindungsstellen wieder Systempunkte deniert werden. Abbildung 3.38 zeigt eine mögliche Netzwerkstruktur aus drei volumenartigen Hohlräumen (akustische Nachgiebigkeiten) und vier kanalartigen Hohlräumen. Der im Zweig mit t1 liegende Hohlraum soll masseartigen Charakter haben. Die anderen drei kanalartigen Bauelemente sollen reine Reibungsbauelemente sein. Die im linken Bildteil dargestellte Flussquelle erzeugt den Volumen uss t0 = y0 D. masselose und inkompressible Verbindungsleitungen Systempunkte

q2

q2

q1

q1

q4 v0

p1

q4

"p4  p1 p2

q3

p2

"p5  p2  p3

p3

"p2

"p1 p0

p0

"p3 p0

Abbildung 3.38. Volumen- und kanalartige Hohlräume (mit Leitungselementen verbunden)

Aus dieser noch sehr realitätsnah dargestellten Struktur kann das stärker abstrahierte akustische Schema gebildet werden (Abb. 3.39). Diese Darstellung bildet die Grundlage für die akustische Schaltung (Abb. 3.40) der Struktur. Zur Berechnung des Netzwerkes werden wieder die Knoten- und Maschensätze benötigt. Es gilt für die in einen Knoten ießenden Flüsse der Knotensatz: X t = 0 (3.27) 

Der Umlauf über alle Drücke in der Masche erfüllt den Maschensatz: X s = 0 (3.28) 

3.3 Akustische Netzwerke

p6

q2

p4

q4

qN1

N a1

Z a3

Ma

q1 q0

119

q3

Z a1 qN 2 p1

p5 Z a2 qN 3

p2

N a2

N a3

p3

Abbildung 3.39. Akustisches Schema

q0

q2

Z a3

q1

Ma

q4

p4

q3

Z a1

N a1

p1

p5 Z a2

N a2

p2

N a3

p3

Abbildung 3.40. Akustische Schaltung

Die bisher dargestellten Eigenschaften akustischer Netzwerke zeigen wieder eine Isomorphie zu elektrischen Netzwerken. Die im Abschnitt 3.2.2 genannten akustischen Koordinaten führen zu einer Übereinstimmung der Topologie. Im Gegensatz zu den mechanischen Netzwerken ist die Flusskoordinate eine Bewegungskoordinate t. Auch akustische Netzwerke verfügen über einen Transformationsmechanismus. Er besteht aus zwei hintereinandergeschalteten Kolbenwandlern mit unterschiedlicher Fläche und starrer Verbindung zwischen den Kolben. Abbildung 3.41 zeigt den Aufbau. 3.3.4 Reale akustische Bauelemente Die im Abschnitt 3.3.2 behandelten Bauelemente gehen von idealen Grenzfällen aus. Mögliche Energieverluste wurden vernachlässigt. Bei vielen akustischen Strukturen kann tatsächlich mit diesen Annahmen im eingeschränkten Frequenzbereich eine ausreichend genaue Abbildung der Realität erreicht werden. Bei zu großen Abweichungen von den idealen Bauformen eignen sich die Grenzfälle nicht mehr als Grundlage einer Berechnung. Es treten zu große

120

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern masselose, inkompressible Flüssigkeit

p

1

A1

q

q

A2

1

p

F

q

q

1

A p  2 p 1 A1 2

p

2

1

A q  1q 1 A2 2

2

v

F  p A1  p A2 , 1

2

v

q

1

A1



q

2

p

2

2

A2

Abbildung 3.41. Akustischer Transformator

Abweichungen zwischen Modellansatz und Realität auf. Auf Grund der Wärmeleitfähigkeit und der Zähigkeitsreibung des Fluides kommt es zu irreversiblen Energieumsätzen, die dazu führen, dass die Bauelemente kein reines Reaktanzverhalten zeigen. Abbildungen der Bauelemente müssen deshalb mit dissipativen Elementen ergänzt werden. Es kann gezeigt werden, dass die Reihenschaltung aus reaktivem und dissipativem Element eine besonders gute Abbildung der Realität ergibt. Grund dafür ist die Eigenart der akustischen Strukturen, dass für niedriger werdende Frequenzen die in Reihe liegende akustische Reibungsimpedanz gegen einen frequenzunabhängigen Grenzwert ]a>0 läuft [44]. Für einfache geometrische Formen wie Schlitz, Kreiszylinder und Kugel liegen vollständige analytische Lösungen für die realen akustischen Bauelemente als Reihenschaltung von Speicher- und Verlustelementen vor [44]. Die Lösungen enthalten aber Zylinderfunktionen, die die praktische Arbeit bei der Optimierung einer Struktur erschweren. Um den Aufwand für die Abbildung dieser nichtidealisierbaren, aber einfach geformten Strukturen geringer zu halten, werden nachfolgend die Ergebnisse von gut handhabbaren Näherungsabbildungen zusammengestellt. Reale akustische Volumenelemente Tabelle 3.9 zeigt die Beziehungen für die Abbildung realer akustischer Nachgiebigkeiten für die beiden Bauformen spaltförmiges Volumen (kleinste Abmessung der Fläche D ist viel größer als die Spalthöhe g) und kugelförmiges Volumen. Es wurde angenommen, dass die Wände der Volumina, die mit idealem Gas gefüllt sind, einen ausreichend großen Wärmespeicher darstellen, damit die Temperatur der Wände unabhängig von den im Volumen ablaufenden Vorgängen konstant bleibt. Bei tiefen Frequenzen sind die Bauelemente ]a und Qa frequenzunabhängig. Bei hohen Frequenzen bleibt die Nachgiebigkeit Qa dann auf adiabatischem Niveau Qa = Qa>0 konstant, während die Verlustimpedanz ]a weiter sinkt.

3.3 Akustische Netzwerke

121

Tabelle 3.9. Reale akustische Volumenelemente

v0

p

q

Na

Za

q

Za  p Dichte

Wärmeleitfähigkeit

spez. Wärmekapazität

r0

l

cp

1, 3

Luft

kg

W 0, 026 mK

m3

1  Za jw N a

Adiabatenexponent

k = c p / cV

J 1007 kg × K

1,4

Schlitz

Kugel

q

A

q kleinste Abmessung

d

von

p

A  d

V0  Ad

N a0 

V0 k p0

Z a0 

1 1 r 0 c p p0 d 1 12 k l A

wg 

FG H

IJ K

1 l 1 k2  12 r0 c p d 2 k  1 Za0 N a0

tiefe Frequenzen

Za  Za0

dw  0,1 w i :

, Na  k Na0

dw  0,3 w i : a F 1  2a I  F w I GGG ww JJJ K GH w JK H g

3 2

g

g

Na  1 N0

a

w wg

bk  1g 6 k2

Z a0 

1 1 r 0 c p p0 1 1 20 k l R

wg 

FG H

IJ K

1 l 1 k2  15 r0 c p R 2 k  1 Za0 N a0

Za  Za0

bLuftg

dw  0,1 w i : g

, Na  k Na0

dw  0,3 w i : a F 1  2a I  F w I GGG ww JJJ K GH w JK H

hohe Frequenzen

Za Z0

g

3 2

g

g

3

 0,0738

p

V0 k p0

Na  1 N0

a

R

N a0 

tiefe Frequenzen

g

hohe Frequenzen

Za Z0

4 V0   R 3 3

a

a w wg

b g

3 k 1 10 k 2

3

 0,0990

bLuftg

122

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern 1,4

Kreiszylinder

Ma M a0

1,3 Kugel

Na M a , N a0 M a0

Na N a0

1

Ma Schlitz M a0

2 w wg

1,2

Schlitz

Na N a0

1

1

0,099 w wg

6 w wg

11 , 1

0,074 w wg

1 0,01

0,1

1

w wg

10

100

Abbildung 3.42. Frequenzabhängigkeit von akustischer Masse und akustischer Nachgiebigkeit

Grasche Darstellungen der Funktionen sind in den Abbildungen 3.42 und 3.43 enthalten. Die angegebenen Näherungsfunktionen wurden durch intuitive Approximation der theoretischen Lösungen gewonnen [45]. Es treten maximale Abweichungen von wenigen Prozent von der Originalfunktion auf. Bemerkenswert ist, dass der bei sinusförmiger Quellgröße auftretende Phasenwinkel zwischen Volumen uss t und Druck s im Übergangsgebiet zwischen isothermer und adiabatischer Kompression deutlich kleiner als @2 ist. In diesem Bereich treten Verluste auf. Wenn das akustische Volumen Bestandteil eines akustischen Resonators ist und die technische Aufgabe eine möglichst hohe Schwinggüte des Resonators bzw. kleine Verluste fordert, so sollte der genannte Übergangsbereich durch geeignete Dimensionierung umgangen werden. Bei realen Kanalelementen liegen sowohl Masse- wie auch Reibungseekte vor. Auch hier ist eine formale Abbildung durch eine Reihenschaltung eines idealen Masseelementes und einer idealen Strömungsreibung möglich.

3.3 Akustische Netzwerke

123

1 Schlitz

Z a,r

Na

Kugel

0,1

F1  0,148 I F w I GGG ww JJJ K GH w JK H

F1  F w I GGG GH w JK H

0,074

Z a ,r

0,1

3 2

Za0

3 2

g

g

g

0,2 w wg

I JJ JK

0,01 0,01

0,1

1

w wg

10

100

Abbildung 3.43. Frequenzabhängigkeit der Reibungsimpedanz nach Tabelle 3.9 (Volumenelement)

Reale akustische Kanalelemente Für einen schlitzförmigen und einen kreisförmigen Kanalquerschnitt, die mit idealem Gas bekannter Dichte 0 und bekannter Zähigkeit  (ermittelt bei Annahme einer stationären laminaren Strömung) gefüllt sind, zeigt Tabelle 3.10 die Impedanzen der Bauelemente. Auch hier gilt, dass für tiefe Frequenzen die Bauelemente frequenzunabhängig sind. Die in Tabelle 3.10 genannten Frequenzabhängigkeiten bei höheren Frequenzen sind in den Abbildungen 3.42 und 3.44 grasch dargestellt. Die Frequenzabhängigkeiten der Bauelementeparameter sind für eine breitbandige Simulation in Netzwerkanalyseprogrammen störend, da eine spezielle Bauelementenachbildung durch den Nutzer programmiert werden muss. Außerdem ist nicht jedes Netzwerkanalyseprogramm in der Lage, freiprogrammierbare Bauelementemakros zu integrieren. Um trotzdem auf einfache Weise eine breitbandige Simulation zu ermöglichen, kann eine weitere Näherungsstufe, die zu Abbildungsfehlern bei den reaktiven Komponenten aus Tabelle 3.11 unter 10% und bei den dissipativen Komponenten bis zu etwa 50% führt, angewendet werden. Für erste Abschätzungen genügt diese Näherungsstufe oft. Erweist es sich als Ergebnis der Überschlagsrechnung bei bestimmten Frequenzen als wichtig, genauere Ergebnisse zu bekommen, so können für ausgewählte diskrete Frequenzen die Schaltungen nach Tabelle 3.9 und Tabelle 3.10 verwendet werden. Für spezielle Fragestellungen wird auch der Aufwand für die vollständige Lösung getragen werden können. Die Näherungsmethode besteht darin, eine Schaltung aus mehreren idealen

124

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern Tabelle 3.10. Reale akustische Kanalelemente

p2

p1

A

q Dichte

q

Ma

Za

q

Z a  jw M a  Z a p  p 2  p1

r0 , Zähigkeit m Schlitzquerschnitt

Kreisquerschnitt

l b

q l  r0 , A

wg 

Za0

Za0 12 m  M a 0 r0 d 2

tiefe Frequenzen

,

Ma 

6 M a0 5

dw  3 w i : 32I w F 1+ G J 6w G w J GH w JK g

g

g

1 w 6 wg

l M a 0  r0

l , A

Za0 

dw  w i :

Za  Za0

g

,

Ma 

4 M a0 3

dw  3 w i : 1 I w F 1+ G 4w GG ww JJJ H K

hohe Frequenzen

Za  Za0

8m l R2 A

Za0 8m  M a 0 r0 R 2

tiefe Frequenzen

g

hohe Frequenzen

Ma 1+ M a0

A  R 2

wg 

dw  w i :

Za  Za0

Za  Za0

12 m l  2 d A

q

2R

A bd

d M a0

q

q

g

g

g

Ma 1+ M a0

1 w 4 wg

akustischen Bauelementen so zu denieren, dass für tiefe Frequenzen eine richtige Abbildung entsteht. Die Dimensionierung der freien Parameter erfolgt nach Fehlerminimierungskriterien. Diese so denierten Ersatzelemente können dann unter Inkaufnahme der o.g. Fehler in die Netzwerkschaltung der zu untersuchenden Gesamtstruktur zur breitbandigen Analyse eingesetzt werden. Tabelle 3.11 zeigt die Schaltungen mit frequenzunabhängigen Bauelementeparametern.

3.3 Akustische Netzwerke

10 Z a ,r

Z a ,r

F GG GH

w 1 4 wg

Ma

Za0

F GG GH

w 1 6w g

I w J J w JK 1

125

I J w J w JK

32

g

g

316 , Kreiszylinder

Schlitz

1 0,01

0,1

1

w wg

10

100

Abbildung 3.44. Frequenzabhängigkeit der Reibungsimpedanz nach Tabelle 3.10 (Kanalelement) Tabelle 3.11. Schaltungsabbildung realer akustischer Bauelemente Volumenelemente nach Tabelle 3.9

Za0

Na0

FG k IJ H k  1K

Kanalelemente nach Tabelle 3.10

gilt für:

bk  1g N

Ma0 a0

2 Za 0

2

Za 0

bk  1gM

a0

w  10 wg

Na 0 , Za 0 , w g siehe Tabelle 3.9

gilt für:

w  100 wg

Ma 0 , Za 0 , w g siehe Tabelle 3.10

3.3.5 Isomorphie zwischen akustischer und elektrischer Schaltung Zwischen der akustischen und der elektrischen Schaltung können wegen der vorliegenden Isomorphie und der gleichen Topologie wieder Analogiebeziehungen aufgestellt werden. Die mit der Koordinatendenition festgelegten Zuordnungen sind in Tabelle 3.12 zusammengestellt.

126

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Tabelle 3.12. Isomorphie zwischen elektrischem und akustischem Netzwerk

Zuordnung zwischen Koordinaten bzw. Bauelementen Spannung

u

p

Druck

Strom

i

q

Volumenfluss

Induktivität

L

Ma

akustische Masse

Kapazität

C

Na

akustische Nachgiebigkeit

Widerstand

R

Z a,r

akustische Reibung

L C

R

u  jwLi

p  jwM a q

1 u i jwC

1 p q jwN a

u  Ri

p  Z a,r q

Ma

Ma

Na

Na

Z a,r

Z a,r

Knoten der Schaltungsstruktur

in  0

qn  0

Knotenpunkt des akust. Netzwerks

Masche der Schaltungsstruktur

un  0

 pn  0

Masche des akust. Netzwerks

i1

A2

i2

p

A1

1

u1

w1

w2

u2

F

q

p q

1

2 2

v

u2 

w2 u w1 1

p2 

A1 p1 A2

i2 

w1 i w2 1

q2 

A2 q1 A1

Diese Beziehungen gestatten den Einsatz von Netzwerkanalyseprogrammen der Elektrotechnik (z. B. PSPICE) für die dynamische Analyse akustischer und hydraulicher Systeme. Um die Zuordnungen auch quantitativ vorzuneh-

3.3 Akustische Netzwerke

127

men, müssen Proportionalitätsgrößen zwischen den Koordinaten deniert werden. Es soll gelten: 1 t (3.29) J6 Darüber hinaus könnte noch zugelassen werden, dass sich die Frequenzen zwischen dem elektrischen und dem mechanischen Netzwerk um einen konstanten Faktor unterscheiden. Von dieser Möglichkeit wird in der Praxis kein Gebrauch gemacht. Sie wird deshalb im Folgenden nicht benutzt. Für die Bauelemente folgt durch diese Festlegung: x = J5 s

F=

Qa , J5 J6

und

O = J5 J6 Pa

l=

und

U = J5 J6 ]a

(3.30)

Die Proportionalitätsfaktoren J5 und J6 können bezüglich ihres Betrages zunächst frei gewählt werden. Mit Rücksicht auf die Eigenarten von Netzwerkanalyseprogrammen (z. B. PSPICE) sollten jedoch die Ziernfolgen erhalten bleiben. Somit stehen nur noch die Zehnerpotenzen zur Auswahl. Um eine gewisse Anschaulichkeit der elektrischen Schaltung zu erzielen, wird als Zehnerpotenz für J5 und J6 häug der Faktor 1 benutzt. Damit ergeben sich: J5 = 1

Vm2 , N

J6 = 1

m3 As

Werden für J5 und J6 gleiche Zahlenwerte verwendet, so entsteht eine leistungsgleiche Abbildung. Dieser Vorzug wird meist in Anspruch genommen. 3.3.6 Anwendungsbeispiele Kleine Hohlraumsysteme, deren informationsübertragenden Eigenschaften optimiert werden müssen, liegen besonders in der Schallempfängertechnik vor. Aber auch in Schallerzeugungssystemen (Lautsprecherboxen, Kopf- und Ohrhörer, Telefonhörkapseln, Kalibratoren, Piezophone, Hupen) und für Schalldämpfer in Abgasleitungen können akustische Netzwerke zur Modellierung und Optimierung verwendet werden. In diesem Abschnitt werden als Beispiele ein Pistonfon, ein Mikrofon und ein Abgasschalldämpfer mit Hilfe akustischer Netzwerke modelliert. Pistonfon Für die Kalibrierung bzw. Überprüfung von Mikrofonen oder einer ganzen Schalldruckmesskette ist eine einfaches, kleines, leichtes und zuverlässiges Prüfgerät erforderlich. Die einfachste Ausführungsform besteht aus einem Hohlraum, einem Schwingkolben und einer Mikrofonankopplung. In den Hohlraum wird von einem sinusförmig bewegten Kolben der Fläche DK ein Wechselvolumen uss t 0 eingespeist (Abb. 3.45). Das Mikrofon ragt in örtlich denierter Weise in das Volumen hinein. Es ist zur Umgebung abgedichtet. Ein

128

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

durch die Kolbenbewegung erzwungener Volumen uss wird einen Wechseldruck im Volumen erzeugen. Die Maße des Volumens sind dabei so klein, dass an allen Stellen des Volumens der gleiche Druck herrscht. Ist diese Druckamplitude genau bekannt, so kann der Übertragungsfaktor des Mikrofons bei der Betriebsfrequenz des Pistonfons überprüft werden. reale Anordnung

2R = Bohrungsdurchmesser mechan. Anregung des Kolbens

l = Wanddicke

AK

Volumen V0

q2

Mikrofon

q0

x0

akustisches Schema

q2 q0

q 0  jwx 0 AK

p

akustische Schaltung

Za q0

p

q1

q1

q2

q1 p

Na

Za

Na

Abbildung 3.45. Reale Anordnung, akustisches Schema und akustische Schaltung eines Pistonfons

Um zu sichern, dass der mittlere Innendruck im Hohlraum dem Außendruck gleicht, ist es notwendig, eine Verbindung zwischen Innenvolumen und Außenraum herzustellen. Dieser Verbindungskanal soll den Charakter einer Reibungsimpedanz zeigen. Die normale Arbeitsweise des Pistonfons darf durch diesen Kanal nicht beeinträchtigt werden. Dazu muss die Frequenzabhängigkeit des Druckes bei Anregung mit einem amplitudenkonstanten Schwingweg untersucht werden. Für das Verhältnis von Druck zu Volumen uss ergibt sich: s = t0

1 1 j$Qa + ]a

=

1 j$Qa

1 1 1+ j$Qa ]a

(3.31)

Demnach gilt für die wegbezogene Druckamplitude s s DK = j$DK · = 0 t0 Qa

1 1 1 $Qa ]a

=

DK 1 Qa 1  $ g $

(3.32)

3.3 Akustische Netzwerke

129

mit $ g = 1@ (Qa ]a ). Für eine Bewertung ist es ausreichend, die Beträge zu diskutieren. Es folgt somit: ; $ D $ K A · , ¿1 A A A $ g Qa $g A A A A ¯ ¯ A ? 1 D ¯s¯ D $ 1 ¯ ¯ K s · K, =1 r = (3.33) ¯ ¯= ³ ´ 2 Q $ A ¯ 0 ¯ Qa 2 a g $g A A 1+ A A A $ A A $ DK A = , À1 Qa $g

Die Betriebsfrequenz $ des Pistonfons sollte mindestens eine Dekade über der Grenzfrequenz $g liegen. In Richtung höherer Frequenzen begrenzen die Abmessungen des Volumens die Anwendbarkeit. Eine Verringerung ist mindestens in einer Richtung durch den Mikrofondurchmesser begrenzt. Alle Einzelmaße müssen deutlich unter einem Viertel der Wellenlänge in Luft bleiben. Kondensatorplattenmikrofon mit Druckausgleich

Auf einer Stirn äche eines zylindrischen Hohlraumes ist eine dünne Platte der Fläche D federnd aufgehangen (Abb. 3.46). Die Aufhängung soll die mechanische Nachgiebigkeit q besitzen. Die Nachgiebigkeit ist dabei so steif gewählt, dass im vorgegebenen Übertragungsfrequenzbereich keine Resonanzeffekte auftreten. Die Eigenmasse der Platte kann deshalb für die Modellbildung vernachlässigt werden. Hinter der Platte bendet sich in sehr kurzem Abstand {0 eine mit der Ladung T0 aufgeladene Elektrode. Die elektrische Kapazität zwischen den Elektroden beträgt F0 . Die Ladung T0 wird durch technische

Abbildung 3.46. Einfaches Kondensatorplattenmikrofon

130

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Maßnahmen konstant gehalten. Bei Auslenkung der Platte um den Weg  entsteht zwischen der Elektrode und dem Gehäuse eine Spannungsänderung. Bei Anregung mit einem Wechseldruck s ist somit am elektrischen Ausgang des Mikrofons eine Wechselspannung x zu beobachten, die zum Schwingweg  und damit zum Druck über der Platte proportional ist. Der Hohlraum hinter der Platte ist ein Volumenelement. Im Abbildung 3.46 ist auf der rechten Seite eine Önung zu erkennen. Diese Bohrung verbindet das Volumen mit dem äußeren Druck der Umgebung. Die Bohrung stellt ein Kanalelement dar. Das Kanalelement ist mit einem porösen Sto gefüllt und soll den Charakter eines Strömungswiderstandes haben. Die gefüllte Bohrung ist erforderlich, damit langsame Änderungen des umgebenden Druckes (durch atmosphärisch bedingte Schwankungen des Luftdruckes oder Erwärmung des Innenvolumens) keine Grundauslenkung der Platte erzeugen. Bei vorgegebenem Übertragungsfrequenzbereich (untere Frequenzgrenze) kann nach einer Modellierung die erforderliche Dimensionierung des Strömungswiderstandes ]a angegeben werden. Für die Anwendung des Mikrofons sind zwei Grenzfälle denkbar. Im ersten Grenzfall kann das Mikrofon in ein Gehäuse so eingebaut sein, dass der Schalldruck nicht auf den äußeren Anschluss des Strömungswiderstandes einwirken kann (s2 = 0). Im zweiten Grenzfall liegt die Mikrofonkapsel oen im Schallfeld. So kann bei tiefen Frequenzen der Schalldruck auf Platte und Strömungswiderstand einwirken (s1 = s2 ). Für beide Fälle wird nachfolgend die Übertragungsfunktion berechnet. Um die Wirkung der mechanischen Nachgiebigkeit im akustischen Schaltbild darzustellen, ist noch eine zusätzliche Überlegung erforderlich. Die Druckdierenz s1  sY zwischen Platte und Volumen wirkt über die Platten äche D als Kraft auf die Feder mit der Nachgiebigkeit q. Das führt zu einer Verrückung  = qs1 D. Dabei wird eine Volumenverschiebung Y = D realisiert. Der auf Grund der Druckdierenz über der Platte erzeugte Volumenstrom beträgt: t=

¢ d ¡ dY = q (s1  sY ) D2 dw dw

Die Platte bildet somit eine akustische Nachgiebigkeit Qa>P = qD2 . Für den Einbau der Platte in ein akustisches Schaltbild ist zu beachten, dass die Platte vom Volumenstrom t durch ossen wird, der in das innere Volumen durch die Platte einströmt. Über der Platte liegt die Druckdierenz s1  sY . Sie liegt damit mit der äußeren Druckquelle in Reihe. Der Strömungswiderstand liegt mit der Druckquelle s2 in Reihe. Mit diesen Feststellungen ergibt sich die Schaltung nach Abbildung 3.47 links. Trit der zweite o.g. Grenzfall zu (Mikrofonkapsel im freien Schallfeld, also s1 = s2 ), so vereinfacht sich die Schaltung (Abb. 3.47 rechts).

3.3 Akustische Netzwerke

131

Abbildung 3.47. Akustische Schaltungen des Kondensatorplattenmikrofons

Nun kann die Übertragungsfunktion für beide Grenzfälle leicht berechnet werden. Für den Fall des frei angeordneten Mikrofons (s1 = s2 ) gilt:  Qa>P Qa 1 = s1 D (Qa>P + Qa ) 1  j $ 1 $

mit

$1 =

1 (Qa>P + Qa ) ]a

Für den Fall des eingebauten Mikrofons (s2 = 0) folgt: $ 1+j  Qa>P $2 = s1 D 1+j $ $1

mit

$2 =

1 Qa ]a

Abbildung 3.48 zeigt die berechneten Übertragungsfunktionen für die beiden genannten Fälle. In beiden Fällen kommt es oberhalb der Grenzfrequenz $ 1 zu einem frequenzunabhängigen Übertragungsverhalten. Bei dem ersten Fall (Kapsel im Gehäuse) kommt es zu einer Tiefenanhebung unterhalb der Grenzfrequenz $ 1 . Das Beispiel zeigt, welche wesentlichen Änderungen im Gesamtfrequenzgang durch die Einbauumgebung des jeweiligen Systems eintreten können. x p 1 N a,p A

x p

1

1 N a, p N a A N a, p  N a

p 0 2

x p

1

p p 1

w2

w1

2

w

Abbildung 3.48. Frequenzabhängigkeit des Plattenausschlages für zwei Grenzfälle

132

3 Mechanische und akustische Netzwerke mit konzentrierten Parametern

Abgasschalldämpfer Schon ein einfacher Abgasschalldämpfer eines Kraftfahrzeuges mit zwei volumenartigen Hohlräumen kann den Schalldruck im Fernfeld um 90% verringern. Abbildung 3.49 zeigt einen Beispiel-Schalldämpfer. Wegen des einfachen Aufbaues eignet er sich hier zur Demonstration. Zwei voneinander getrennte Hohlräume werden mit je zwei kurzen Rohrstutzen mit dem durchgehenden Hauptrohr verbunden. Um eine realistische Übertragungsfunktion zu erhalten, wurden alle akustischen Massen mit geschätzten Reibungsbauelementen ergänzt.

V  0,16 m 3

 35

q

58

M a1

14 4244 3 M a2

 20

200

Na

400

Abbildung 3.49. Abgasschalldämpfer

Abbildung 3.50 zeigt die akustische Schaltung der angenommenen Gesamtanordnung. Der am Rohrausgang auftretende Schall uss und der Schalldruck im Fernfeld sind bei Annahme einer kugelwellenförmigen Abstrahlung mit der in Abbildung 3.51 genannten Beziehung miteinander verknüpft. Die durch das Schallfeld verursachte Impedanz ]a>r5 wurde hier näherungsweise als frequenzunabhängig und reell angenommen. Die dadurch verursachten Abbildungsfehler liegen im Bereich der übrigen Fehler durch Dämpfungsschätzungen. Die Rechnung ist aber für den Leser leichter nachvollziehbar. Im Netzwerkanalyseprogramm PSPICE lassen sich frequenzabhängige reelle Widerstände programmieren, so dass eine genauere Abbildung mit etwas Aufwand gelingt. Bei dem Fall „ohne Schalldämpfer” wirkt der Schall uss t 1 als Quellgröße einer Kugelwelle. Es fehlen sowohl der Schalldämpfer als auch das Abgasrohr. Der Fall „Rohr als Schalldämpfer“ bewirkt durch die akustische Masse und die Reibung im Rohr bereits eine Dämpfung des Schalldruckpegels im Fernfeld. Durch das Einbringen der Resonatorkammern entstehen je nach Anzahl der Kammern weitere Dämpfungseekte im Fernfeld. Die Berechnung erfolgte mit einem Netzwerkanalyseprogramm durch direkte Eingabe der Schaltung nach Abbildung 3.50 unter Verwendung der Transformationsfaktoren J3 und J4 aus Abschnitt 3.3.5.

3.3 Akustische Netzwerke Motor M ai

133

Schalldämpfer M a2

Z a,ri

2M a2

Z a,r2

Z a,r3

M a2

Z a,r2

q1

M a1 2

M a1 2

Z a,r4

Z a,r4

Na

Na

q2

p

M ai  250 Ns 2 m 5 M a1  250 Ns m 2

5

M a 2  250 Ns 2 m 5

N a  1,25 10 6 m5N 1 Z a,ri  250 Ns m

5

Z a,r5

Z a,r3  500 Ns m 5 Z a,r4  5000 Ns m 5

Z a,r2  250 Ns m 5

Z a,r5  350 Ns m 5

für Kugelwelle: r w

q%2 p%  4p r

Abbildung 3.50. Akustische Schaltung des Abgasschalldämpfers nach Abbildung 3.49

0 ~ p L p  20 lg ~ dB poSD

ohne SD

L p dB

10

SD als Rohr Rohr + 2. Reson.

20

Rohr + 1. Reson.

30

Rohr + 1. u. 2. Reson.

40 1

10

100

f Hz

1000

Abbildung 3.51. Dämpfung des Schalldruckpegels für verschiedene Anordnungen

Abbildung 3.51 zeigt für die genannten Fälle die Änderungen der Schalldruckpegel im Fernfeld an einem vorgegebenen Ort.

4 Abstraktes lineares Netzwerk

Als Ergebnis der Überlegungen in den vorhergehenden Abschnitten haben sich vier physikalische Strukturen ergeben, die sowohl hinsichtlich der Beziehungen zwischen den Koordinaten, die den Zustand des Systems beschreiben, als auch hinsichtlich der Topologie der Schemata, die den Strukturen zugeordnet werden können, isomorph sind. Dieser Umstand legt die Einführung eines abstrakten linearen Netzwerkes nahe, das die Eigenschaften aller bisher behandelten Strukturen enthält. Die Bedeutung eines solchen abstrakten Netzwerkes liegt darin, dass infolge der eindeutigen Relationen zu den elektrischen Netzwerken alle Ergebnisse der elektrischen Netzwerktheorie auf dieses abstrakte Netzwerk übertragen werden können. Damit ist die Gültigkeit dieser Beziehungen nicht nur für die bisher behandelten physikalischen Strukturen gesichert, sondern auch für alle noch auftretenden Strukturen, die sich durch die im Folgenden zusammengefassten Gleichungen beschreiben lassen. Zu diesen hier nicht behandelten Strukturen zählen z. B. die thermischen und magnetischen Netzwerke. In diesen Gleichungen soll anstelle der bisher verwendeten imaginären Frequenz j$ jetzt die komplexe Frequenz s = j$ +  geschrieben werden. Das bedeutet eine analytische Fortsetzung der Frequenzfunktion von der imaginären Achse in die komplexe Ebene oder die Erweiterung der zugelassenen Zeitfunktionen von den bisher betrachteten stationären sinusförmigen Vorgängen auf exponentiell an- und abschwellende Sinusschwingungen (s. Kap. 2).

4.1 Koordinaten Der Zustand des abstrakten Netzwerkes wird nachfolgend durch zwei verschiedene Arten von Koordinaten beschrieben. 1. Dierenzkoordinaten besitzen die Bedeutung der Dierenz zweier skalarer Größen zwischen den Endpunkten eines Elements:

136

4 Abstraktes lineares Netzwerk

=

; x A A A A A ?y

Spannung Geschwindigkeit (Schnelle)

A s A A A A =

Druck Winkelgeschwindigkeit

2. Flussartige Koordinaten durchsetzen ein Element unverändert, sie besitzen den gleichen Wert an den beiden Endpunkten des Elements: ; l Strom A A A A A ?I Kraft = A t Volumen uss A A A A = P Drehmoment Das Produkt eines jeweils zusammengehörigen Koordinatenpaares ergibt eine Leistung, die an realen Netzwerken ohne Quellen nicht negativ sein kann: S =

¢ 1¡   +   4

(4.1)

4.2 Bauelemente Das abstrakte Netzwerk enthält drei verschiedene Arten von Bauelementen (> > ), einen Transformationsmechanismus und zwei Arten von Quellen, die den beiden Koordinatenarten entsprechen. Die drei Bauelemente sind in Tabelle 4.1 dargestellt. Es sind jeweils zwei Energiespeicherelemente und ein Element, in dem ein im thermodynamischen Sinne irreversibler Vorgang abläuft. Dabei ist zu beachten, dass die allgemeinen Koordinaten  und  bzgl. der Bauelemente ,  und  aus Tabelle 4.1 durch die komplexe Frequenz s = j$ +  gemäß  = s

(4.2)

1  s

(4.3)

= und

 =  miteinander verknüpft sind.

(4.4)

4.2 Bauelemente

137

Tabelle 4.1. Koordinaten und Bauelemente des abstrakten Netzwerkes

U| |V || W

m pa l 1 m l pb m g l

R| L |n aS || M Tn R| C |m bS || N T# R| R |1r gS || Z T1r

l

a, b , g m

b3.48g

p  s  jw

Induktivität Nachgiebigkeit

a akustische Masse

R

Drehnachgiebigkeit

Kapazität Masse

a akustische Nachgiebigkeit

a

Trägheitsmoment

Widerstand Reibungsadmittanz akustische Reibung

R Drehreibungsadmittanz

Die beiden Quellmechanismen und der Transformationsmechanismus sind in Abbildung 4.1 zusammengefasst.

+ l 0 m

m - Quelle An den Klemmen ist unabhängig von der Flussgröße l 0 die Differenzgröße m 0 vorhanden.

0

+ l0

l - Quelle Die Quelle liefert unabhängig von der entsprechenden Differenzgröße m die Flussgröße l 0 .

m

l1

m

1

l2

m

2

FG m IJ  FG ü H l K H0 1

1

0 1 ü

I Fm I JK GH l JK 2

2

Abbildung 4.1. Quellen und Kopplungsmechanismen des abstrakten linearen Netzwerks

138

4 Abstraktes lineares Netzwerk

4.3 Knoten- und Maschensätze Die Systeme aus den im Abschnitt 4.2 genannten Elementen können durch Schemata aus Zweigen und Knoten dargestellt werden (Abb. 4.2). Für die jeweils in einer Masche enthaltenen Dierenzkoordinaten q und die an einem Knoten zusammentreenden Flusskoordinaten p gelten dann die Gln. (4.5) und (4.6). Sie werden als Knoten- und Maschensätze bezeichnet: X q = 0 Maschensatz: (4.5) M asche

X

Knotensatz:

p = 0

(4.6)

Knoten

Knoten

Masche



m 0



lm  0

Masche

m

n

n

Knoten

lm

Abbildung 4.2. Maschen- und Knotensätze

4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks Die Gln. (4.1) bis (4.6) beschreiben das abstrakte Netzwerk vollständig. Zur Lösung sämtlicher Aufgaben, die im Zusammenhang mit einem solchen Netzwerk auftreten können, sind keine weiteren Annahmen erforderlich. Insbesondere ist mit diesen Gleichungen die Berechnung des Zustands eines Netzwerks in Abhängigkeit von den wirkenden Quellen möglich. Kann ein Netzwerk über N Koordinatenpaare mit der Umwelt in energetische Wechselwirkung treten, so folgt aus den Grundgleichungen (4.2) bis (4.6), dass die N Flusskoordinaten jeweils durch die N Dierenzkoordinaten eindeutig bestimmt sind und umgekehrt (Abb. 4.3 und Abschn. 2.2). Die Koe!zienten der Gleichungssysteme q =

N X

p=1

qp p

q = 1> 2> = = = > N

(4.7)

4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks

m

N

139

m

l N l1

1

m  n

N

 rnm l m

m 1

b3.50g

l2

a, b , g Transformationselemente

m

2

ln 

g

ln

nm

r

m

nm

N

 g nm mm

m 1

g

mn

r

mn

n  1,2,L, N

U| V| W

n  1,2,L, N

b3.51g Umkehrbarkeit

n

Abbildung 4.3. n-Pol im abstrakten linearen Netzwerk

q =

N X

 qp p

q = 1> 2> = = = > N

(4.8)

p=1

sind verallgemeinerte Impedanzen und Admittanzen. Aus historischen Gründen ist der Sprachgebrauch bei den verschiedenen physikalischen Strukturen jedoch unterschiedlich. Bei elektrischen und akustischen Netzwerken wird der Quotient Dierenzkoordinate  s x , , Flusskoordinate  l t als Impedanz und sein Reziprokwert als Admittanz bezeichnet. Bei mechanischen Netzwerken ist jedoch die umgekehrte Festlegung üblich. Der Quotient I P Flusskoordinate  , , Dierenzkoordinate  y

wird hier als Impedanz und sein Reziprokwert als Admittanz bezeichnet. Bei der Impedanz steht also immer eine „kraftartige” Größe (I> P> s> x) im Zähler. Bei Netzwerkproblemen treten zwischen den Koordinaten drei Arten von typischen Quotienten auf, die sich hinsichtlich ihres funktionentheoretischen Charakters als Funktionen der komplexen Variablen s =  +j$ unterscheiden. Die wesentlichen Eigenschaften dieser Quotienten sollen im Folgenden zusammengestellt werden. Ihre Herleitung aus den Grundgleichungen am Beispiel eines elektrischen Netzwerkes ist in [46] enthalten. Die Elemente der Hauptdiagonalen der Matrizen von Gln. (4.7) und (4.8) werden als Impedanzen bzw. Admittanzen bezeichnet (Abb. 4.3). Sie kennzeichnen die Quotienten von Fluss- und Dierenzkoordinaten an jeweils einem Punktpaar des Systems.

140

4 Abstraktes lineares Netzwerk

Diese Quotienten haben folgende Eigenschaften:

qq  qq

¾

=

½

0 0

¾

n X

] (s) (s  s01 ) (s  s02 ) · · · (s  s0n ) = = =1 00 00 00 o (s  s1 ) (s  s2 ) · · · (s  so ) Q (s) X

dy s ey s

=1

½

¾

qq A0  qq ; < ?o + 1@ o n= = > o1 <

d > ey A 0,

für

< {s} A 0.

(4.9) (4.10)

(4.11) reell

(4.12)

< {s0 > s00 }  0 qq (s ) = qq (s)

(4.13) und

 qq (s ) =  qq (s)

(4.14)

Die Form der Gl. (4.9) folgt aus dem Umstand, dass die Beziehungen für die Bauelemente Gln. (4.2) bis (4.4) in Verbindung mit den Knoten- und Maschensätzen nur gebrochen-rationale Funktionen der Variablen s ergeben können. Die  und e sind reell und A 0, weil dies für die > >  in den Gln. (4.2) bis (4.4) vorausgesetzt wurde (reale Bauelemente). Die Gl. (4.10) enthält die Aussage, dass bei sinusförmigen Vorgängen mit konstanter ( = 0) oder exponentiell anklingender ( A 0) Amplitude von einem realen Bauelement im Mittel höchstens Leistung aufgenommen, aber keine Leistung abgegeben werden kann. Eine gleichwertige Aussage dazu stellt die Gl. (4.13) dar. Die Realteile der Nullstellen vom Zähler- und Nennerpolynom erscheinen in der Form ew als Faktoren in den Zeitfunktionen der möglichen freien Schwingungen in dem Netzwerk. Die Amplituden der freien Schwingungen können höchstens konstant sein (verlustfreies passives System   = 0), aber nicht zunehmen. Bei realen physikalischen Systemen ist immer eine — wenn auch sehr kleine — Dämpfung vorhanden ( ? 0), so dass die freien Schwingungen für w $ 4 verschwinden. Gl. (4.11) folgt aus der Tatsache, dass ein Netzwerk zwischen zwei Punkten bei sehr hohen Frequenzen nur den Charakter eines der drei Grundbauelemente annehmen kann, d. h., die qq oder  qq können für s $ 4 nur konstant,  s oder  1@s sein. Die Eigenschaft der Gl. (4.14) folgt schließlich aus dem leicht nachprüfbaren Umstand, dass diese Beziehung für jedes der drei Grundbauelemente gilt. Die Quotienten von gleichartigen Koordinaten an verschiedenen Stellen des

4.4 Eigenschaften des abstrakten linearen Netzwerks

141

Netzwerkes werden als Übertragungsfaktoren bezeichnet. Es gilt: W =

q < A A A  A @ p

A  A A W = q A > p

=

½

0 0

¾

(s  s01 ) (s  s02 ) · · · (s  s0n ) (s  s001 ) (s  s002 ) · · · (s  s00o )

=

n X

] (s) = =1 o Q (s) X

dy s ey s

=1

p > p Erregung,

q > q Antwort

(4.15)

d > ey = reell

(4.16)

on

(4.17)

< {s00 }  0

(4.18)

Die Gl. (4.16) folgt wie Gl. (4.12) aus dem Umstand, dass > >  reell sind. Dass die d und e hier nicht notwendig positiv sein müssen, ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass bei einem Übertragungsfaktor durchaus eine Gegenphasigkeit von Antwort und Erregung vorkommen kann. Das war bei Impedanzen aus energetischen Gründen nicht möglich. Gl. (4.17) enthält die Aussage, dass sich ein Übertragungsfaktor bei sehr hohen Frequenzen (s $ 4) höchstens einem konstanten Wert nähern, aber nicht mit s beliebig wachsen kann. Im Gegensatz zu Impedanzen und Admittanzen können Übertragungsfaktoren aber für s $ 4 mit jeder beliebigen Potenz von s gegen Null gehen. Beide Behauptungen kann man leicht an speziellen Beispielen verizieren. Gleichung (4.18) hat schließlich die gleiche Ursache wie Gl. (4.13). Die Realteile der s00 erscheinen wieder in dem Faktor ew bei den freien Schwingungen des Netzwerkes, die an den Stellen  beobachtet werden können. Sie müssen deshalb positiv oder höchstens gleich Null sein. Als Kernimpedanzen oder —admittanzen werden die Quotienten von Flussund Dierenzkoordinaten an zwei verschiedenen Stellen des Netzwerkes bezeichnet (Abb. 4.4). Die Eigenschaften dieser Quotienten folgen sofort aus denen der beiden vorhergenannten Gruppen, wenn man beachtet, dass eine Kernadmittanz oder —impedanz immer als Produkt einer Admittanz bzw. Impedanz mit einem Übertragungsfaktor dargestellt werden kann. Zum Beispiel gilt: Ã ! ¶  ¶  q p q = (4.19) qp = p (··· ) p p (··· ) (··· )

¡ ¢ qp = W  pq pp

(4.20)

142

4 Abstraktes lineares Netzwerk

Bemerkenswert ist, dass die qp und  qp bei hohen Frequenzen höchstens proportional s wachsen und mit jeder beliebig hohen Potenz von s gegen Null gehen können. m

n

lm

r

ej

r

nm



Fm I GH l JK l ,l n

m

1

l m Erregung, ln

g

e gj

nm



Fl GH m

n m

2 L l m 1 , l m 1 , L l N

m Antwort n

I JK m ,m 1

m

0

2

Lm

m 1

,

m

m 1

,L m

N

m

m Erregung, m

l n Antwort k

|RS |Tg

r

nm

nm

|UV  RS r UV FH p  p  IK FH p  p  IKLFH p  p  IK   a p |W Tg W FH p  p  IK FH p  p  IKLFH p  p  IK  b p 0

0

1

1

2

k

2

l

n 1 l

n 1

an , bn  reell

k  l 1

n

n

n

n

Re pn   0

{ }

Abbildung 4.4. Impedanzen und Admittanzen im abstrakten linearen Netzwerk

5 Mechanische Wandler

Die im Kapitel 3 noch getrennt voneinander dargestellten mechanisch-translatorischen, mechanisch-rotatorischen und akustischen Netzwerke sind untereinander oft mit Wandlerelementen verknüpft. Das im Abschnitt 3.1.3 behandelte Bauelement Hebel ist ein solches Wandlerelement zwischen zwei mechanischtranslatorischen Netzwerken. Die Verkopplung zwischen translatorischen und rotatorischen Netzwerken geschieht mit dem Bauelementetyp Stab (starrer Stab und Biegestab). Zwischen mechanischen und akustischen Netzwerken geschieht die Verkopplung mit Hilfe des Bauelementetyps Flächenelement (Kolbenwandler und Biegeplatte).

5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler Starre und elastische Stäbe sind häug verwendete Bauelemente, die entweder das Ziel der Kopplung zwischen Netzwerken umsetzen oder in der Konstruktion primär notwendig sind und so eine Modellierung mit beiden Netzwerktypen erfordern. Ein typischer Fall für die letztere Überlegung ist die Anwendung von Biegestäben als Führungsbauelemente für translatorisch bewegte Baugruppen (z. B. Parallelführung mittels Blattfedern). Hier tritt der rotatorische Teil des Netzwerkes nur im Abbildungsbereich der Biegestäbe auf. Auch eine Baugruppe aus zwei idealen starren Stäben kann als reiner Hebel wirken und nach außen hin keine rotatorischen Komponenten verwenden. Zunächst werden die Verhältnisse am starren Stab und nachfolgend am Biegestab dargestellt. 5.1.1 Starrer Stab Wird ein starrer, masseloser Stab einseitig starr mit einer Achse verbunden, wie dies in Abbildung 5.1 gezeigt ist, so sind die rotatorischen Koordinaten an der Achse und die translatorischen Koordinaten am freien Stabende nur mit der Stablänge o verknüpft. Da auch in diesem Fall nur kleine Bewegungen

144

5 Mechanische Wandler

M

F v l+

v

F 

v

+

1 M l

l

F

F

l :1

+

+

v

M

M

Abbildung 5.1. Einseitig drehbar gelagerter Stab als Translations-RotationsWandler

und damit kleine Winkel als vereinbart gelten, entstehen so folgende lineare Beziehungen zwischen den Koordinaten:

=

y o

und

P = Io

(5.1)

Wenn man annimmt, dass die Achse mit einer rotatorischen Impedanz belastet ist, so führt eine aufgeprägte Geschwindigkeit am freien Stabende zu einem Drehmoment, welches sich am freien Stabende als Kraft wiederspiegelt. Am freien Stabende ist somit eine transformierte Impedanz wirksam. Der Transformationsfaktor ist die Stablänge o. Diese Überlegung kann auch vom rotatorischen Systempunkt aus durchgeführt werden. Auch in diesem Fall ist der Transformationsfaktor die Stablänge o. Im allgemeinen Fall sollten jedoch auf beiden Seiten translatorische und rotatorische Koordinaten zugelassen werden. Das lässt sich erreichen, indem auf der freien Seite des Stabes ebenfalls eine Achse angebracht wird und die bisher nur drehbar gelagerte Seite zum translatorisch frei beweglichen Systempunkt wird. Nun können auf beiden Seiten beide Koordinatenpaare vereinbart werden. Die Vierpolabbildung des einseitig drehbar gelagerten Stabes muss nun durch eine Achtpolabbildung ersetzt werden (Abb. 5.2). Das Gleichgewicht der Momente und Kräfte am masselosen Stab und die Bewegungsbedingungen aus der Starrheit des Stabes führen zu folgenden Gleichungen:

1 = 2 = I1 = I2 = I (5.2) y2  y 1 = o P 1  P 2 = oI Abbildung 5.2 zeigt eine Achtpoldarstellung dieser Verkopplungen und damit eine Abbildung des Bauelementes „Idealer Stab” mit einer Schaltung. Der innere Kopplungsvierpol ist wieder ein idealer Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis Stablänge o.

5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler reale Anordnung

a)

b)

Kopplungsachtpol

M1

l

F1

M2

v1

M2

+1

+2

v2 +1 M 1

idealer Stab

F1

+2

F2

145

F2

v1

v2

c) Schaltung

M1

M2

+1

+2

+

1 l

F1 v1

F2 v2

v 2  v1

Abbildung 5.2. Idealer Stab a) reale Anordnung, b) Kopplungsachtpol, c) Schaltungsdarstellung

In Abbildung 5.3 ist dargestellt, wie durch Setzung der Randbedingungen y 1 = 0 (Kurzschluss) und P 2 = 0 (Leerlauf) das in Abbildung 5.1 gezeigte einseitige Stabmodell aus dem idealen Stabmodell der Abbildung 5.2 hervorgeht. M1 +1

M 1 , +1 v2 F2 v1  0

M2  0

M 1 1: l

1 l

F2



+1

F2 v2

v2

Abbildung 5.3. Einseitig drehbarer Stab, entwickelt aus dem idealen Stab

Aber auch die Herleitung der im Abschnitt 3.1.3 dargestellten Beziehungen für den innen gelagerten Hebel gelingt durch Zusammenschaltung von zwei idealen Stäben. Die Vorgehensweise ist in Abbildung 5.4 dargestellt. Die Koppelbedingungen für die beiden idealen Stäbe mit den Längen o1 und o2 ergeben

146

5 Mechanische Wandler F1 v2

v1

l1

F2

l2

F1 v1

v2

v1

v2 

F 1

F 2

+ 1

+2 

M 1

M 2

F2



R| v   |SM   || +   T 1

v2   0

1

M 2

1

+2 

M1  0

M2  0

+1

v1

F1

5

6

1

2 l1

F1 1

1

5

7

8

3

4 l2 F 2

1

8

2 F 1 l1 : l2

6 F2 v2



v2

4 F2

+

v1

v1

+2

+

v2

7

3

F 1 l1 : l2

F2

v1

v2

Abbildung 5.4. Vierpoldarstellung des Hebels, entwickelt aus zwei Stäben

sich aus den Eigenschaften des idealen Lagers, das zwar Kräfte, aber keine Momente aufnehmen kann. Im Abschnitt 5.1.2 wird gezeigt, dass das Modell des Biegestabes aus idealen Stäben und Drehfedern zusammengesetzt werden kann. In diesem Zusammenhang besitzt das Achtpol-Modell des idealen Stabes seine größte Bedeutung.

5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler

147

5.1.2 Biegestab Biegestäbe und kreisförmige Biegeplatten (s. Abschn. 5.2) treten als Bauelemente für Federn, Führungselemente, mechanisch-akustische Wandler und in Verbindung mit piezoelektrischen Wandlern häug auf. Eine Darstellung der Biegetheorie (z. B. in [43]) von Stab und Platte geht jedoch über den Rahmen des Buches hinaus. Es wird deshalb hier nur eine kurze Einführung in die Stabbiegung mit dem speziellen Ziel der Herleitung einer Acht-Pol-Schaltung des endlichen Biegestabes und der dazugehörigen Kettenmatrix gegeben. Verknüpfungsgleichungen am dierentiellen Biegeelement Als Stabbiegung sollen solche Deformationen bezeichnet werden, die durch senkrecht zur Stabachse wirkende parallelgerichtete Momente hervorgerufen werden. Es wird dabei angenommen, dass die Länge des Stabes groß gegen seine Querabmessungen ist. Es sollen nur kleine Biegewinkel zugelassen werden. Des Weiteren wird angenommen, dass im Stab nur eine Längsspannung W1 existiert, die linear von der Koordinate {2 abhängt (Abb. 5.5). Die Stelle {2 , bei der die Längsspannung W1 = 0 beträgt, wird zu {2 = 0 deniert (Lage der neutralen Faser ). Es soll zunächst ein rechteckiger Querschnitt des Biegestabes mit der Breite e und der Biegerhöhe k angenommen werden. Aus diesem Stab wird für die nachfolgende Betrachtung ein kurzes Stabstück der Länge { herausgeschnitten und es werden Schnittkräfte angebracht. Aus der Analyse der Deformation und der Schnittkräfte lässt sich, wie nachfolgend gezeigt wird, ein nites Biegeelement herleiten, welches aus zwei kurzen Stäben und einer dazwischenliegenden rotatorischen Nachgiebigkeit besteht. Abbildung 5.5 zeigt die Verhältnisse am belasteten Biegerelement. Die Dehnung auf der Biegeroberseite V1 (k@2) und die Stauchung auf der Biegerunterseite sind betragsmäßig gleich. Durch die Vereinbarung sehr kleiner Biegewinkel * können die trigonometrischen Funktionen gegen ihre Argumente genähert werden. Für isotrope Werkstoe folgt nach Abbildung 5.6 auch die Abhängigkeit der mechanischen Längsspannung von {2 und aus der Integration über die Schnittkräfte das Gesamtmoment P . Dabei ist L das axiale Flächenträgheitsmoment um die neutrale Faser. Mit dem Elastizitätsmodul H (W1 = HV1 ) und dem Zusammenhang zwischen Moment und Spannung aus Abbildung 5.6 1 P = W1 (k@2) · k@2

k@2 Z

{22 ed{ = W1 (k@2) ·

1 ·L k@2

(5.3)

k@2

folgt P = H · V1 (k@2) ·

L . k@2

(5.4)

148

5 Mechanische Wandler

x2

M

h 2

M

"x

"j 2

"j

M

x1



S1 ( h / 2)

"j 2

M

"x

h 2 

1 S1 ( h / 2) "x 2

S1 ( h / 2)



1 S ( h / 2) "x "j 2 1  h 2 2 S1 ( x2 ) h x2  S1 ( x2 )  S1 ( h / 2) 2 h 2



1 S1 ( h / 2) "x 2

dj 1  S1 ( h / 2) dx1 h 2 S1 ( h / 2) x2

h 2

Abbildung 5.5. Deformation eines kurzen Biegerelementes

x2

x2

h 2

b "F  T1 ( x2 ) "A

"x2

"x2 x1

"A  b"x2

b

aus

S1 ( x2 )  S1 ( h / 2)

x2 h 2

folgt

T1 ( x2 )  T1 ( h / 2)

"M  "F x2  T1 ( x2 ) x2 b"x2  T1 ( h / 2) M  T1 ( h / 2)

1 h 2

für Rechteckbieger:

h 2

z

x22 b dx2

x2 h 2

x2

x b"x2 h 2 2

(4.4)

h 2

I

b h3 12

Abbildung 5.6. Zusammenhang zwischen Moment und mechanischer Spannung

5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler

149

Unter Verwendung von Abbildung 5.5 ergibt sich: V1 (k@2) ·

* 1 = k@2 {

(5.5)

Mit Gl. (5.4) folgt: { P = qR P (5.6) HL Das dierentielle Biegeelement kann also aus einer rotatorischen Nachgiebigkeit qR und zwei Stäben der Länge {@2 nachgebildet werden (Abb. 5.7). Für den Fall, dass der Stab durch Vergrößerung der Breite in Richtung {3 zu einer Platte entartet, kann im Allgemeinen angenommen werden, dass in dieser Richtung keine Deformationen möglich sind (V3 = 0). Für diesen Fall gilt: 1  2 qR = { (5.7) HL * =

"nR  M

M

"x



"x 2

"x E I

ideale Stäbe

"x 2

Abbildung 5.7. Modell des dierentiellen Biegeelementes

Endlicher Biegestab und seine Achtpoldarstellungen Für eine universelle Anwendung des Biegermodells ist es erforderlich, außer den zwei Drehmomenten in Abbildung 5.5 auch noch Kräfte in Richtung {2 wirken lassen zu können. Die entstehende Scherbelastung verursacht dann zusätzliche Verrückungen, die allerdings sehr viel kleiner als die durch die Biegung bedingten Verrückungen sind. Die eintretenden Scherdehnungen sollen im Folgenden vernachlässigt werden. Dadurch ist das in Abbildung 5.5 dargestellte Modell auch für die Einwirkung von Kräften und Momenten an beiden Seiten gültig. Für die Modellbildung des endlich langen Biegestabes muss aus dem Modell für ideale Stäbe (Abschn. 5.1.1) und der o.g. Drehnachgiebigkeit ein komplexes Modell zusammengestellt werden. Abbildung 5.8 zeigt die Schaltungsabbildung des niten Biegeelementes und eine Kettenschaltung aus niten Biegeelementen für den langen Bieger. Mit

150

5 Mechanische Wandler

dieser Abbildung ist es nun auch möglich, Bieger mit ortsveränderlichen Flächenträgheitsmomenten, örtlichen Dichteänderungen oder äußeren Druckbelastungen schaltungstechnisch richtig abzubilden. Für die üblicherweise angewendeten Netzwerkanalyseprogramme stellt die Kettenschaltung vieler Biegerachtpole keine wesentliche Erschwernis dar. M 1 ,+1

b

"F

"x

F 1 , v1

M2

F2

v2 + 2

M 1  M ( x)

M 2  M ( x  "x)

"nR 

+1  +( x)

F 1  F ( x)

1 "x 2

"nR

+ 2  +( x  "x)

1 "x 2

F 2  F ( x  "x)

" F  p b "x

v1  v( x)

M1

"x E I

"nR

v2  v( x  "x)

"nR

+1

"nR

M2 +2

1 "x 2

F1 v1

"x

F2 v2

"x

Abbildung 5.8. Biegeelement und Kettenschaltung

Für quasistatische Vorgänge ohne Druckbelastung können auch lange Bieger mit Hilfe einer modizierten, deutlich kleineren Achtpolschaltung exakt abgebildet werden, solange nur die Verknüpfungen zwischen den Koordinaten an den beiden Biegerenden interessieren (Abb. 5.9). Diese Schaltung wurde mit Hilfe der n-Pol-Theorie gewonnen. Sie enthält eine negative Nachgiebigkeit. Die meisten Netzwerkanalyseprogramme gestatten die Eingabe negativer Werte für die Bauelementeparameter. Bei allen schaltungstechnischen Zusammenfassungen von Bauelementen bis zu einer realen Schnittstelle ergeben sich aber in Verbindung mit anderen Nachgiebigkeiten stets positive Federwerte. Eine Abbildung endlich langer Biegestäbe bezüglich ihrer Koordinaten an den

5.1 Translatorisch-rotatorischer Wandler

151

Stabenden ist mit Netzwerkanalyseprogrammen damit ebenfalls problemlos möglich.

v1 , F 1

M2

M1

v2

n0

n0

2

2l 2

2l

+2

+1

l

M 1 ,+1

nR 

1 E I

+2

n0  nR l 3

F2

F1 v1

M2

1 l

F2

n0 6

v2

Abbildung 5.9. Modizierter Achtpol des endlichen Biegers

Gegenüber der Kettenschaltung ist ein spürbar geringerer Programmieraufwand notwendig. Für analytische Rechnungen wird die Kettenmatrix benötigt. Sie lautet: 43 4 3 4 3 y1 y2 1 o j$q0 @ (2o) j$q0 @6 FE F E F E FE F E F E E 2 F E0 1 j$q0 @o2 j$q0 @ (2o)F E 1 F 3 FE F E F E FE F=E F , q0 = o E (5.8) FE F E F E HL F EP 1 F EP 2 F E0 0 1 o FE F E F E DC D C D C 0 0 0 1 I2 I1 Anwendungsbeispiel: Biegestab als Federelement Die Anwendung der modizierten Achtpolschaltung soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Ein einseitig fest eingespannter Bieger wird am anderen Ende mit einer Kraft belastet. Es wird nach der Auslenkung des kraftbelasteten Systempunktes und nach dem Neigungswinkel des Biegers unter dem Krafteinleitungspunkt gefragt. Abbildung 5.10 zeigt den rechts starr eingespannten Bieger, der auf der linken Seite mit der Kraft I belastet ist. In der Mitte des Bildes ist die mit den Randbedingungen beschaltete modizierte Biegerschaltung dargestellt. Auf der rechten Seite der mittleren Schaltung sind wegen der festen Einspannung die Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit zu Null gesetzt (Kurzschlussbrücken). Auf der linken Schaltungsseite wirkt die Kraftquelle. Als Beobachtungsgrößen sind die Geschwindigkeit y 1 und die Winkelgeschwindigkeit 1 zugängig. Damit sind auch Auslenkung und Neigungswinkel zugängig. Das Ergebnis der Schaltungszusammenfassung und Schaltungsvereinfachung ist auf der rechten Seite der Abbildung 5.10 gezeigt.

152

5 Mechanische Wandler

Insgesamt entsteht die Nachgiebigkeit q=

o3 1 . = I1 3HL

(5.9)

Dieses Ergebnis stimmt mit der Angabe für den Biegestab aus Formelsammlungen überein. Der Neigungswinkel *1 unter Last lässt sich aus der Geschwindigkeit j$q0 @2 3 y1 = y1 (5.10) y R = o 1 = j$q0 @2  j$q0 @6 2 ableiten. Er wird wie folgt berechnet: *1 = 

3 y1 q0 yR o2 = =  I1 =  I j$o 2 j$o 2o 2HL 1

(5.11)

Auch deutlich kompliziertere Fragestellungen können mit dieser Methode schnell, übersichtlich und zuverlässig berechnet werden. n0 F1

x1

M0  0

j

2l

2

+1

n0 

l3 E I

F 1 n0 2 F1 v1

vR



n0 6

v1

vR



n0 6

vR  l +1

Abbildung 5.10. Einseitig eingespannter Bieger mit Kraftquelle

5.2 Mechanisch-akustischer Wandler Die Kopplung von mechanischen und akustischen Bereichen tritt besonders bei elektroakustischen, pneumatischen und hydraulischen Systemen auf. Kräfte und Bewegungen sollen akustische Drücke und Volumen üsse erzeugen und umgekehrt. Im einfachsten Fall geschieht diese Wandlung mit einem starren, masselosen Kolben in einem Rohr. In der Praxis werden meist Membranen und Biegeplatten für diese Aufgabe benutzt, da bei ihnen das Problem der Randabdichtung bereits gelöst ist. 5.2.1 Ideale und reale mechanisch-akustische Kolbenwandler In Abbildung 5.11 ist das Grundelement eines idealen Kolbenwandlers dargestellt. Ein masseloser, starrer Kolben an einer ebenfalls starren, masselosen

5.2 Mechanisch-akustischer Wandler

v F

153

q p

Abbildung 5.11. Idealer Kolbenwandler

Koppelstange ist ohne Spiel und ohne Reibung in einem Rohr axial beweglich eingepasst. Es soll zunächst angenommen werden, dass das Rohr auf der mechanischen Seite oen bleibt, so dass eine Kolbenverschiebung dort nicht zu einem Druck führen kann. Ist die akustische Seite aber mit einer akustischen Impedanz abgeschlossen, so wird eine erzwungene Geschwindigkeit y den Volumen uss t = yD und einen Druck s zur Folge haben, der auf der mechanischen Seite eine Kraft I = sD der Bewegungsquelle entgegensetzt. Die Flusskoordinate Kraft ist also mit der Dierenzkoordinate Druck verkoppelt. Darüber hinaus ist die Dierenzkoordinate Geschwindigkeit mit der Flusskoordinate Volumen uss verbunden. Diese Koppelsysteme werden Gyratoren genannt. In Tabelle 5.1 sind der mechanisch-akustische Kopplungsvierpol und seine gyratorischen Wandlereigenschaften zusammengestellt. Zum besseren Verständnis sind die Eigenschaften elektrischer Gyratoren ebenfalls aufgeführt. Es ist z. B. zu erkennen, dass ein am elektrischen Gyrator angeschalteter Kondensator auf der anderen Gyratorseite wie eine Induktivität wirkt. Aus einer Parallelschaltung von zwei Impedanzen auf einer Gyratorseite erscheint auf der anderen Gyratorseite die Reihenschaltung der einzeln transformierten Impedanzen. Für den mechanisch-akustischen Wandler führt die gyratorische Eigenschaft dazu, dass eine akustische Nachgiebigkeit (der genannten elektrischen Kapazität entsprechend) auf der anderen Gyratorseite als mechanische Nachgiebigkeit (der genannten elektrischen Induktivität entsprechend) wirksam wird. Ebenso werden aus akustischen Massen nach Anwendung des Wandlers mechanische Massen. Bei der Realisierung von Kolbenwandlern ist es schwer, eine ausreichend dichte und reibungsfreie Anordnung des Kolbens im Rohr zu erzielen. Zwischen Kolben und Rohr wird deshalb bei Konstruktionen z.B ein federndes Dichtungselement angebracht, welches den Kolben im Rahmen der Bewegungsgrenzen des Dichtungselementes verschiebbar hält. Außerdem muss im Allgemeinen davon ausgegangen werden, dass auch auf der zweiten Rohrseite eine akustische Impedanz wirken kann. Das führt zu einer Dreitor-Anordnung. Abbildung 5.12 zeigt eine derartige Variante des mechanisch-akustischen Wandlers.

154

5 Mechanische Wandler Tabelle 5.1. Gyratorische Wandler

Mechanisch-akustischer Wandler

q

F

F v

v

n

v

u1

v

bAg

p

Za

v

bAg

p

Na u1

m  Ma A 2 v

bAg

p

M a u1

Na A2

1 1 h2  2 A Z2 A2 Z1

v

v

p

i2

u1  R0 i 2 i1 

u2

1 u R0 2

F 1 1 h 2 A Za

h1 

i1

1 v q A F  Ap

v

h1 

Elektrischer Gyrator

v

2

Z1 Z 2

bAg

p

1 1 h2  2 A Z2 A Z1 p

R2

2 L1  R0 C2 u1

bR g

u2

C2

L2

bR g

u2

L2

R02

u1

u1

0

0

0

2

R0 Rb

Ra R b u1

R02 Ra

Z1 Z 2

bAg

u2

u1

2

v

bR g

C1 

R0 Ra

R 02 R2

u1

R1 

u1

bR g 0

R02 Rb

u2

Ra R b u1

bR g 0

u2

Die Kraft am mechanischen Tor des Wandlers wird sowohl von der Federwirkung des Dichtungselementes bei der erzwungenen Verschiebung des Kolbens, als auch durch die auf die Kolben äche wirkende Druckdierenz zwischen rechter und linker Kolbenseite erzeugt. Der Volumen uss ist an beiden akustischen Toren gleich groß und wird nur von der Kolben äche und ihrer Geschwindigkeit bestimmt.

5.2 Mechanisch-akustischer Wandler

v

inkompressible, masselose Flüssigkeit

q1

F

q2

F

q

p p

n

v p1

p

155

1

q

p p

0

2

p2

p

0

0

0

Abbildung 5.12. Realer Kolbenwandler mit zwei akustischen Toren

Es folgt hieraus: I =

< 1 A  + (s2  s1 )D A A | {z } A q @ sW

A A A A >

t y= D

,

; 1 A A A ?y = Dt

A 1 A A =I  y = DsW j$q

(5.12)

Die Gl. (5.12) ermöglicht nach der ausgeführten Umformung eine schaltungstechnische Interpretation, die in Abbildung 5.13 dargestellt ist. Der Umgebungsdruck s0 wirkt am gemeinsamen Anschluss der beiden akustischen Tore.

F v

q

FW n

1 q A  A pW

v FW

p2

pW

p0  0

q p1 Abbildung 5.13. Schaltung des Kolbenwandlers nach Abbildung 5.12

5.2.2 Allgemeiner elastomechanisch-akustischer Plattenwandler Wird der starre Kolben durch ein elastomechanisches Plattenelement ersetzt, so wird, wie nachfolgend gezeigt, eine Wandlerschaltung ableitbar sein, die ebenfalls durch einen einzigen Wandlerkoe!zienten und zwei Bauelemente beschrieben werden kann. Bei der nachfolgenden Herleitung werden aber zunächst zwei Wandlerkoe!zienten erscheinen, deren Identität aber am Ende gezeigt wird.

156

5 Mechanische Wandler

In einen mechanisch-akustischen Wandler sei ein elastomechanisches Plattenelement eingebaut. Das Plattenelement wird durch die Wirkung von Kraft und Druck verformt. Das verschobene Volumen ergibt sich aus der eingetretenen Durchbiegung (Abb. 5.14). Da die Auslenkung  vom Ort abhängt, muss über die ganze Platten äche integriert werden, um das verschobene Volumen Y zu bestimmen. An der Stelle des Einwirkens der Kraft I soll die Bezugsauslenkung  0 auftreten. y

"p

x0 (r )

y F

F

x0 V

x

r x (r )

x

x z

elastomechanisches Plattenelement

"p

Abbildung 5.14. Allgemeiner mechanisch-akustischer Plattenwandler

Für die nachfolgende Modellbildung und Parameterbestimmung erfolgt eine Einschränkung auf spezielle Geometrien und Randbedingungen. Als Basisformen werden kreis- und streifenförmige Membranen und Platten mit drehbarer und starrer Einspannung ausgewählt (Abb. 5.15). z

z

R y

Kreisplatte

F

F

"p

"p

y

Plattenstreifen

drehbar gelagerte Platte

fest eingespannte Platte

Abbildung 5.15. Ausgewählte Geometrien und Randbedingungen für Plattenwandler

Für diese elastischen Bauelemente lassen sich aus den Lehrbüchern der Elastizitätstheorie die Durchbiegungsfunktionen für Kraftbelastung in der Mitte und die Durchbiegungsfunktionen für Druckbelastung entnehmen (z. B. [43]).

5.2 Mechanisch-akustischer Wandler

Aus den quellbezogenen Ortsfunktionen ¯  ({) ¯¯  I ({) = und I I ¯s=0

können sowohl die Volumina (Abb. 5.16) Z YI =  I ({) dD und

als auch die Volumenübertragungsfaktoren ¯ Y¯ YI = ¯¯ und I I s=0

¯  s ({)  ({) ¯¯ = s s ¯I =0 Ys =

Z

 s ({) dD

¯ Y¯ Ys = ¯¯ s s I =0

157

(5.13)

(5.14)

(5.15)

und die Punktübertragungsfaktoren am Punkt der Krafteinleitung I 0 I

und

 s0 s

(5.16)

bestimmt werden. Nunmehr kann aus den vorliegenden Quotienten der Kraftübertragungsfaktor DI und der Druckübertragungsfaktor Ds DI =

YI I 0

und

Ds =

Ys  s0

(5.17)

gebildet werden.

bg

xF x

F

Vp

xF0 VF

bg

xp x x p0 "p

"p  0 Abbildung 5.16. Verdrängtes Volumen bei Kraft- und Druckbelastung

Wegen der unterschiedlichen Durchbiegungsfunktionen bei verschiedenartiger Belastung (Kraft oder Druck) werden die Zahlenwerte für DI und Ds im Allgemeinen unterschiedlich sein. Um die Modellbildungsüberlegungen zu erleichtern, werden folgende zwei Beziehungen bereitgestellt: YI  I 0 YI  = = DI I 0 I I 0 I I

(5.18)

 s0 Ys  s0 Ys = = Ds s  s0 s s

(5.19)

158

5 Mechanische Wandler

Bei einem mechanisch-akustischen Wandler tritt eine Kraft- und eine Druckbelastung des elastomechanischen Plattenelementes gleichzeitig ein. Unter der Annahme linearer Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung liefern beide Quellen unabhängig voneinander ihren Beitrag zur Plattenverformung. Durch die geforderte Linearität besteht also keine Rückwirkung einer eingetretenen Deformation auf eine weitere Deformation durch die gleiche oder eine andere Ursache. Die ortsabhängige Verrückung ergibt sich wegen der vereinbarten Druckrichtung somit zu  ({) =  I ({)   s ({). Damit ergibt sich für den Ort der Krafteinleitung und für das verdrängte Volumen:  0 =  I 0   s0

und

Y = YI  Ys

und

Y =

(5.20)

Durch Erweiterung folgt: 0 =

 s0 I 0 I s I s

YI Ys I s I s

(5.21)

Die Quotienten in Gl. (5.21) lassen sich physikalisch interpretieren. Das Verhältnis  I 0 @I ist entsprechend der Denition die mechanische Nachgiebigkeit des Kraftangrispunktes bei fehlendem Druck. Diese Nachgiebigkeit wird qK genannt. Das Verhältnis Ys @s ist entsprechend der Denition eine akustische Nachgiebigkeit, wenn keine Kraft wirkt. Diese Nachgiebigkeit wird Qa>L genannt. Somit folgt: qK =

I 0 I

und

Qa>L =

Ys s

(5.22)

Aus Gl. (5.22) und den Gln. (5.18) und (5.19) ergibt sich: YI = DI qK I

und

 s0 Qa>L = s Ds

(5.23)

Die Gl. (5.21) können nun mit den Gln. (5.22) und (5.23) als Systemgleichungen wie folgt dargestellt werden:  0 = qK I 

Qa>L s Ds

Y = DI qK I  Qa>L s

(5.24) (5.25)

Um eine Schaltungsinterpretation zu ermöglichen, muss das lineare Gleichungssystem (5.24) und (5.25) in die Form I> Y = i (> s) gebracht werden. Die Umformung ergibt: I =

Qa>L 1 1  + s qK 0 qK Ds | {z } 1@D0

(5.26)

5.2 Mechanisch-akustischer Wandler

 ¶ DI Y = DI  0  Qa>L 1  s Ds | {z }

159

(5.27)

Qa>K

Die physikalische Bedeutung der Faktoren 1@D0 und Qa>K in den Gln. (5.26) und (5.27) ist aus Abbildung 5.17 erkenntlich. Bei festgehaltenem Krafteinleitungspunkt ( 0 = 0) stellt D0 die für den Druck s eektiv wirksame Fläche dar, um in der starren Verbindungsstange die Kurzschlusskraft IK zu erzeugen. Die akustische Nachgiebigkeit Qa>K stellt das bei  0 = 0 verdrängte druckbezogene Volumen YK dar.

+

FK A

p

FK p A VK  p Na,K

VK Abbildung 5.17. Zur Erklärung der Parameter Qa>K und D0

Wie zu Anfang erwähnt, sind DI und D0 identisch. Das ist eine Folge der Reziprozität mechanischer Punktsysteme. Sie folgt entweder mit der Annahme verlustfreier elastomechanischer Systeme direkt aus den zugehörigen Differentialgleichungen oder anschaulicher mit der Vorstellung, dass ein elastomechanisches Kontinuum durch hinreichend feine Diskretisierung durch ein mechanisches Netzwerk entsprechend Abschnitt 2.3 beschrieben werden kann. Dazu führt man in dieses Netzwerk entsprechend der Gln. (2.103) bis (2.105) für eine bestimmte Menge von Punktkoordinaten ein Paar verallgemeinerte Koordinaten Druck s und Volumenverschiebung Y ein. Die Relation zwischen dem Koordinatenpaar (s> Y ) und dem Koordinatenpaar (I> ) eines einzelnen Systempunktes lässt sich dann in der Form I = 11  + 12 Y

(5.28)

s = 21  + 22 Y

(5.29)

mit der aus Gl. (2.104) folgenden Reziprozitätsbeziehung 21 = 12 darstellen. Durch Umstellung des Gleichungssystems I> Y = i (> Y ) in die Form der Gln. (5.26) und (5.27) folgt dann die Identität D0 = DI .

(5.30)

160

5 Mechanische Wandler

Für den hier angenommenen Fall eines rein elastomechanischen verlustfreien Systems ist die Gl. (5.30) mit der Existenz einer Zustandsfunktion innere Energie verbunden, wie ausführlich im Abschnitt 2.4.2 und im Kapitel 7 erläutert ist. Dieser Sachverhalt erlaubt eine noch einfachere Interpretation der Gl. (5.30). Dazu werden in die Gln. (5.26) und (5.27) komplexe Amplituden eingeführt. So entstehen nach Umordnung und Multiplikation mit bzw. Division durch j$ die folgenden Gleichungen: 1 1 y = 0s j$qK D

(5.31)

t + j$Qa>K s = DI y

(5.32)

I

Diese beiden Gleichungen können sofort durch eine Schaltung interpretiert werden. Die Schaltung ist in Abbildung 5.18 gezeigt. Wenn angenommen wird, dass im Wandler keine inneren Verluste auftreten, muss die in den Wandler ein ießende Leistung der aus ießenden Leistung gleichen. Daraus folgt: yˆIˆ = sˆtˆ

und

D0 = DI

(5.33)

Wie beim Kolbenwandler tritt für den Koppelmechanismus im elastomechanischen Plattenwandler, wie oben begründet, nur eine Größe auf. Diese Größe DI ist bei einer ausgewählten Plattenform und einer bestimmten Randeinspannung ein fester Anteil der tatsächlichen Platten äche D. Es ist damit sinnvoll, diese Wandlerkonstante durch die Platten äche D und einen Faktor * auszudrücken, der immer kleiner als Eins bleibt. Es gilt damit: DI = D*

(5.34)

Die im Schaltbild (Abb. 5.18) gezeigte mechanische Nachgiebigkeit qK trägt den Index K als Symbol für „Kurzschluss“ des akustischen Wandlerausgangs (s = 0). Die akustische Nachgiebigkeit Qa>K , die ihren Index ebenfalls wegen der Randbedingung „Kurzschluss“ (y = 0) trägt, lässt sich auch auf die mechanische Seite transformieren. In dieser Darstellung wird der Wandlervierpol nachfolgend ebenfalls verwendet. Damit ist es gelungen, auch für den elastomechanischen Plattenwandler eine Netzwerkdarstellung anzugeben.

Abbildung 5.18. Plattenwandlerschaltung, abgeleitet aus den Gln. (5.31) und (5.32)

5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler

161

5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler In diesem Abschnitt werden die Wandlerparameter des mechanisch-akustischen Platten- und Membranwandlers für die eingangs genannten ausgewählten Formen und Randbedingungen gemäß Abbildung 5.15 in Tabellen zusammengestellt. Die Tabellen für den Biegestab (Tabelle 5.4), die kreisförmige Biegeplatte (Tabelle 5.7), die kreisförmige Membran (Tabelle 5.8) und die Streifenmembran (Tabelle 5.9), mit den zwei ausgewählten Lagerungen (drehbar oder eingespannt), enthalten die Wandlerparameter qK , Qa>K , Qa>L und * entsprechend den jeweils eingetragenen Schaltungsmodellen. Zur Vervollständigung der Übersicht sind für den Biegestab (Tabellen 5.2 und 5.3) und die Biegeplatte (Tabellen 5.5 und 5.6) für die zwei Lastfälle und die zwei Randbedingungen jeweils die quasistatischen Durchbiegungsfunktionen, das verdrängte Volumen und die Bezugsgrößen angegeben. Bei den Biegestäben (Tabellen 5.2 und 5.3) sind die Ergebnisse so dargestellt, dass sie für den einseitig eingespannten Stab mit freier oder winkelgeführter Krafteinleitung ebenfalls gelten. Bei den beidseitig gelagerten Stäben beträgt die wirksame Kraft deshalb 2I .

162

5 Mechanische Wandler

Tabellen für Biegestäbe

Tabelle 5.2. Kennfunktionen und Kennwerte des Biegestabes bei Kraftbelastung eingespannt

drehbar gelagert *

bg

x x

S0 x 0 S x

x0 S x

x x S0

b gb

*

h

bg

bg b

h V

F

F

F

V

2F

2F

x

l

bg

xx

x

l

l S0

F

l F

bg

S0 x x

F

x0 V 2

*

bg

x x

x0 *

bg

x x

x

V 2

l

b g  1 FG x IJ FG 3  x IJ lK x 2H lK H x b xg 3 F xI 1 F xI 1 G J  G J H K x 2 l 2H lK Sb xg x 1 2

xx

bg

xx x0

2

0

bg

S x S0 x0 S0

V x0 A

S0

l

b g  FG x IJ FG 3  2 x IJ H lK H lK x x b xg F xI F xI  1  3G J  2G J H lK H lK x Sb xg x 1 2 b x  0g S l xx

0

*

2

0

3

*

2

0

0

x0 1  n0 F 3 S0 3 h  x0 2 l2

x0 1  n0 F 12 S0 h 3 2 x0 l

V 5  x0 A 8

V 1  x0 A 2

A  2l b

A  2l b

n0 

x

l

l3 12 l 3  E I E b h3

3

5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler

163

Tabelle 5.3. Kennfunktionen und Kennwerte des Biegestabes bei Druckbelastung eingespannt

drehbar gelagert

S0

b

p

S0

b

h

p

h

bg

xx

bg

x0 V S x

l

p

bg

xx

x

l

l

bg

V 2 xx

bg

S x

x0 V

p

V 2

x

bg

b g  1  6 FG x IJ x 5H lK Sb xg F xI 1 G J H lK S

xx

x0

0

bg

S x S0

x0

S0

V x0 A

2



FG IJ H K

1 x 5 l

4

bg x

l 2 2

b g  FG1  FG x IJ IJ x H H lK K Sb xg F xI 1 3G J H lK S xx 0

2

2

0

0

x0 5  n0 p A 48 A  2l b

x0 1  n0 p A 48 A  2l b

x0 5 l4 1  p 2 h3 E

x0 1 l4 1  p 2 h3 E

S0 6 h  x0 5 l2

S0 h 2 2 x0 l

V 16  x 0 A 25

V 8  x 0 A 15

A  2l b

A  2l b

n0 

l3 12 l 3  E I E b h3

l

xx

l

xx

x

164

5 Mechanische Wandler Tabelle 5.4. Biegestäbe als mechanisch-akustische Wandler eingespannt

drehbar gelagert

2l

2l F

v

b

b

h q

Na,K

p

q

V

1 1 l3 1 n0  24 2 bh 3 E

nK

Na,K 

b g

Na,K 

8 bl 5 1 15 h3 E

b g

Na,L  3,2

v

q

FW

1 v q Aj W

nK

F W  Aj p

A  2l b

FVI G J H pK

bl 5 1 h3 E

5 8 F

l3 12 l 3 n0   E I E b h3

V

3 3 bl 5 1 2 Aj nK  125 40 h3 E

1 2

j

Na,L

p

l3 1 1 n0  2 6 bh 3 E

1 1 bl 5 1 2 Aj nK  15 30 h 3 E

Na,L 

N a,L

F

v

h

W

q p

Na,K

Na,K F

b Ajg

2

b g

2

 Na,K  Aj nK

v

nK

q

FW

F 0

vW

vW

1  q Aj

F W  Aj p

p

5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler

165

Tabellen für Biegeplatten

Tabelle 5.5. Kennfunktionen und Kennwerte von Biegeplatten bei Kraftbelastung

eingespannt

drehbar gelagert

2R

2R

V

bg

xr

F0

v

V

h

v

bg

xr

F0

h q

x0

q

x0

2

2

r

bg

xr x0

1

bg

Sr r

FG r IJ H RK

2

2 ln

S0

bg

SJ r

bg

ln

r

R r

1

R 1 r

ln

S0

FG r IJ H RK

2

R r

b1  ng FGH ln Rr IJK  1 L1  n FG ln R IJ  1OP nM N n H rK Q

Tr r T0

bg

TJ r T0

FG r IJ H RK

FG r IJ 1  n ln R H RK 3  n r n L1  n F R I O G ln J  1 3  n MN n H r K PQ 1 L F RI O 1  ng G ln J  1P b M H rK Q 3 n N b1  ng FGH ln Rr IJK b1  ng LMN1  11  nn ln Rr OPQ R2 3  n F0 16  K 1  n

R2 F0 16 K

x0

V R 2 x 0

1 1 1 n 5 n   2 4 3 n 4 3 n

1 4

b g

S0 

S0

T0 

T0

K

h3 1 12 s11 1  n 2

e

2

j

2h x0 R2

FG IJ H K

3 1 3 R F0  2 2 h 2 h s11 

1 E

2

F0 R 2

Querkontraktionszahl

n

s12 s11

166

5 Mechanische Wandler

Tabelle 5.6. Kennfunktionen und Kennwerte von Biegeplatten bei Druckbelastung

eingespannt

drehbar gelagert

2R

2R

V

p

v

bg

xr

V

h

q

x0

bg

1 n r 1 5 n R

S0

bg

1

S0

bg

Tr r T0

bg

TJ r T0

2

2

2

2

R4 5  n p  K 1 n

R4 p 6 K

x0

V R 2 x 0

1 1 1 n 7 n   2 6 5 n 3 5 n

1 3

b g

S0 

S0

T0 

T0

K

h3 1 12 s11 1  n 2

e

2

2

2

FG r IJ H RK 3 n F r I 1 G J 1  n H RK 3n  1 F r I 1 G J 1  n H RK

SJ r

2

2

2

Sr r

r

LM FG IJ OP LM 5  n  FG r IJ MN H K PQ MN 1  n H R K 3 n L 1 n F r I O 1 3 M G JP 5  n MN 3  n H R K PQ 3 n L 1 n F r I O M1  G J P 5  n MN 3  n H R K PQ 3 n L F r I O M1  G J P 1  n NM H R K QP 3  n L 3n  1 F r I O M1  3  n GH R JK PP 1  n MN Q

F1  FG r IJ I GH H R K JK F rI 1  3G J H RK

x0

x0

r

2 2

bg

bg

xr

p

h q

xr

v

j

2h x0 R2

s11 

2

FG IJ b1  ng p H K

3 R 8 h 1 E

Querkontraktionszahl

n

s12 s11

OP PQ

5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler

167

Tabelle 5.7. Biegeplatten als mechanisch-akustische Wandler eingespannt

drehbar gelagert

2R

2R

bg

xr

F

v

h

h q

p

2

q

V

e

R2 E h3

2

j

2

*)

! 0,55

1  R6 2 Aj nK  1  n2 3 64 E h 3

b g

Na,K

V

e

R6 ! 0,045 E h3

b

R2 E h3

 R6 16 E h3

*)

gb g b g b g b7  ng  43 b5  ng b7  ngb3  ng b1  ng 2

2

R6 ! 0,184 E h3  R6 R6 1  n 2 ! 0,18 3 16 E h E h3

j

1 4

e

*)

j

v

 R6 R6 1  n 7  n ! 1,06 3 16 E h E h3

b gb

1 v q Aj W

nK

2

W

*)

q p

N a,K

Na,K

Na,L  Na,K  Aj nK F

n  0,3

g

q

FW

F W  Aj p

*)

*)

1 1 1 n  ! 0,4 2 4 3 n F

b g

b gb g

4 7 n 3 n 2 Aj nK 2 3 5 n

j

*)

N a,L

r

R 3 n 3 R  1 n 3 n 16 K 1  n 4  E h3

2

! 0,22

p

r

R 3 R  1  n2 16 K 4  E h3

nK

bg

xr

F

v

v

nK

b Ajg

2

q

FW vW

vW

1  q Aj

F W  Aj p

p

*)

168

5 Mechanische Wandler

Tabellen für Membranwandler

Tabelle 5.8. Kreismembranen als mechanisch-akustische Wandler Kreismembran mit Ringkraft

2R 2r F 0

p

b

g

ln R r0

nK

Na,K

q

F ln R r GG b g GH e1  br Rg j 0

2 2

x

V

p

b

g

K

F R 1  b r Rg I GG ln r 1  br Rg  1JJ n b Ajg K H  R F Fr I I G1  G J J 8 T h H H RK K 1 1  b r Rg 2 lnb R r g 2

2

0

K

2

0

0

4

4

0

0

2

2

b g b g

0

0

F v

q

FW

1 v q Aj W

nK

F W  Aj p

b g

V

2 T0 h

I J  1J n b Ajg JK

1 1  r0 R 2 ln R r0

q

ln R r0

 R4 8 T0 h

N a,L

T0

h

2 T0 h

0

j

2R 2r F 0

T0

h x

Kreismembran mit Flächenkraft masselos, starr

W

q p

Na,K

2

Na,L  Na,K  Aj nK

Na,K

A   R2

F v

nK

b Ajg

2

vW

q

FW

vW

1  q Aj

F W  Aj p

p

2

5.3 Eigenschaften ausgewählter mechanisch-akustischer Wandler Tabelle 5.9. Streifenmembran als mechanisch-akustischer Wandler

b F0

x0

h p

nK

l h

F

b q

x

p

T0

Na,K

V

N a,L j

l 4T0 b h

1 nK Aj 3

b g

2



1 l 3b 48 T0 h

" l 3b 12 T0 h 1 2

169

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Die bisherige Netzwerkanalyse erfolgte ausschließlich für Systeme mit konzentrierten Bauelementen. Jetzt erfolgt die Erweiterung auf Systeme mit verteilten, also ortsabhängigen, Parametern. Diese Erweiterung ist für höhere Frequenzen der Dehnwellen, bei denen die Wellenlänge in die Größenordnung der Bauelementeabmessungen gelangt, erforderlich. Diese mechanischen und akustischen Systeme werden in den Abschnitten 6.1 und 6.2 als eindimensionale Wellenleiter beschrieben. Im Abschnitt 6.3 erfolgt die diskretisierte Darstellung in Form von niten Netzwerkelementen. Schließlich wird im Abschnitt 6.4 eine Methode der kombinierten Simulation von FEM-Berechnung und Netzwerkbeschreibung vorgestellt.

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter Bei vielen technischen Anwendungen gibt es mechanische Bauelemente, deren längstes Abmaß bei der interessierenden Frequenzkomponente nicht mehr klein gegenüber der Wellenlänge im Bauteil ist. Für stabförmige Gebilde (auch mit variablem Querschnitt) kann eine Netzwerkdarstellung für das Bauteil angegeben werden. Die zwei Querdimensionen müssen klein gegenüber der Wellenlänge sein. Solche Bauteile werden entsprechend den Begrien der Leitungstheorie als eindimensionale Wellenleiter bezeichnet. Für ausgewählte Frequenzbereiche gelingt es sogar, einen Ersatz des Wellenleiters mit wenigen Bauelementen anzugeben. Damit steigt die Übersichtlichkeit und eine schnelle Abschätzbarkeit für Vorentwürfe wird ermöglicht. Im Folgenden wird ein Stab durch eine Vielzahl kurzer Stabstücke abgebildet (s. Abb. 6.1). Mit diesem Modell lässt sich der Zusammenhang zwischen den Koordinaten an dem einen Stabende in Abhängigkeit der Koordinaten am anderen Stabende ermitteln. In der Schaltungsebene kann das als ein Vierpol aufgefasst werden, der sich durch eine T- oder -Schaltung abbilden lässt. Diese Schaltung enthält frequenzabhängige Bauelemente, die sich nicht mehr

172

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

durch einfache Feder-, Masse- oder Reibungsbauelemente ausdrücken lassen. Allerdings kann mit diesen mathematisch beschriebenen Impedanzen problemlos gerechnet werden. Für Netzwerkanalyseprogramme stellt das kein Problem dar, da sowohl verlustlose als auch verlustbehaftete Leitungen als Standardbauelemente enthalten sind. Für die beiden Grenzfälle niedriger Frequenzen und in der Umgebung von Resonanzen gelingt eine näherungsweise Abbildung mit üblichen Bauelementen. Somit ist für diese Fälle eine schaltungstechnische Vereinfachung möglich, die es gestattet, das technische Problem auf das Wirken weniger Bauelemente als Näherungsabbildung einzuschränken. Das erlaubt die gedankliche Konzentration auf die Kerneekte. Die Berechnungen mit den exakten Lösungen können dann auch besser auf Plausibilität geprüft werden. 6.1.1 Dehnwellen in einem Stab Abbildung 6.1 zeigt einen Stab mit der Länge o, der Querschnitts äche D und dem Elastizitätsmodul H. An beiden Enden des Stabes soll die Kraft I wirken und eine Beobachtung der Systempunkte {1 und {2 möglich sein. Für quasistatische Kräfte kann die Stabmasse unberücksichtigt bleiben. In der Netzwerkebene ergibt sich ein Vierpol mit einem Federbauelement q. An den beiden Stabenden betragen die Geschwindigkeiten y 1 und y 2 , die Kraft sei an beiden Seiten eine Druckkraft. Die Pfeilrichtung in der Netzwerkebene stimmt mit der nach rechts zeigenden Bezugspfeilrichtung überein. Die Verkürzung  der Feder beträgt (y 1  y2 ) @j$. Der Stab kann in viele kleine Stabstücke der Länge ol zerlegt werden. Jedes dieser Stabstücke wird ein Vierpol gleicher Art sein (s. Abb. 6.2). Die Vierpole werden in einer Kettenschaltung miteinander verbunden. Diese Überlegungen erlauben eine ortsabhängige Veränderung des Stabquerschnittes. Jedes Element hat nun eine andere Federnachgiebigkeit.

A

Elastizitätsmodul

F

E v1

l

v2

x2 x

x1 E

A

F v1

li x1

n  l EA

F

F

xi

ni  li EA

F

vi

xn x

Abbildung 6.1. Zerlegung eines Stabes in nite Federelemente

vn

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

E

173

Ai

li x1

xi F

xn

ni  li EA i

F

vi

v1

x

vn

Abbildung 6.2. Stab mit veränderlichem Querschnitt

Kann die Massenträgheit bei höheren Frequenzen nicht mehr vernachlässigt werden und ist der Stab dünn, besteht die Möglichkeit, an jedem Verbindungsknoten zwischen den Teilfedern einen Kraftanteil zur Überwindung der Trägheit der Teilmasse abzuzweigen (s. Abb. 6.3). Die geringe Querabmessung des Stabes wurde vorausgesetzt, damit die Massenkräfte für die Querkontraktion so klein sind, dass sie unberücksichtigt bleiben dürfen. Im Stab existiert dann nur ein Spannungszustand in Längsrichtung aber Dehnungszustände in allen Richtungen. mi  rli A , ni  li AE F2

F1

E, r x1

A

xi

F1

x

xn mi

ni

F1

v1

li

F2

ni

F2

mi

Abbildung 6.3. Stab mit berücksichtigter Massenträgheit

v2

174

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Bei genügend feiner Teilung des Stabes ist es ohne praktische Bedeutung, ob der Knoten vor oder nach dem Federelement zur Masseankopplung verwendet wird. Will man eine symmetrische Darstellung erreichen, so teilt man das erste Federelement in zwei halbe Elemente auf und schließt mit der zweiten Hälfte des Stabfederelementes am Ausgang ab. Geht man zu sehr kurzen Elementen und im Grenzfall unendlich kurzen Elementen der Länge { über, so ergibt sich nach Abbildung 6.4 aus dem Maschensatz: y ({) = j$qI ({) + y ({ + {) dy y ({ + {)  y ({) = j$q0 I ({) , = j$q0 I { d{ mit q0 = 1@DH als längenbezogene Nachgiebigkeit. Am Knoten des oberen Massepunktes folgt mit dem Knotensatz: I ({) = I ({ + {) + j$py ({ + {) dI I ({ + {)  I ({) = j$p0 y ({ + {) , = j$p0 y, { d{ wobei p0 = D die längenbezogene Masse ist. Hierin ist  die Dichte des Werkstoes. "n 

bg

b

g F b x  "x g

v x  "x

vx

bg

F x

A

r,E x

x  "x

"x  n "x EA

bg

F x

bg

vx

F  jw"m v

b g F bx  "x g vb x  "x g

F x

x

"m  rA"x  m "x

Abbildung 6.4. Element des Stabes

Im Folgenden soll eine Ortsunabhängigkeit des Querschnittes D und der Werkstoeigenschaften angenommen werden, damit p0 und q0 als Konstanten betrachtet werden können. Aus den beiden Gleichungen folgen durch Dierenzieren und Einsetzen zwei Dierentialgleichungen für y ({) und I ({): ; 2 < d I dI A A A = j$p0 y A A 2 + $ 2 p0 q0 I = 0 A ? @ d{ d{ , (6.1) A A 2 A A dy y d A A = = j$q0 I > + $ 2 p0 q0 y = 0 d{ d{2

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

175

2

Mit der Abkürzung $ 2 p0 q0 = $H =  2 und  als ortsunabhängiger Wellenzahl, ergibt sich für die Geschwindigkeit die allgemeine Lösung y ({) = F 1 ej{ +F 2 ej{ . Wird diese Lösung in Gl. (6.1) eingesetzt, erhält man eine allgemeine Lösung für die Kraft: ¢ j ¡ F 1 ej{ +F 2 ej{ (6.2) I ({) =  0 j$q q s j p0 Der Ausdruck j$q = 0 q0 = D H wird Wellenimpedanz }W genannt. Die noch zu bestimmenden komplexen Amplituden F 1 und F 2 werden durch die Randbedingungen festgelegt. Für { = 0 folgt: y1 = F 1 + F 2

und

Somit ergeben sich die Konstanten zu:  ¶ 1 I y1  1 und F1 = 2 }W

I 1 = }W (F 2  F 1 )

F2 =

1 2

 ¶ I y1 + 1 }W

Am Stabende ({ = o) gilt y (o) = y2 und I (o) = I 2 . Der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangskoordinaten am Stab kann damit angegeben werden. Es gilt: 1 sin (o) I 1 (6.3) y 2 = cos (o) y 1  j }W und I 2 = j}W sin (o) y 1 + cos (o) I 1

(6.4)

Für die nachfolgenden Netzwerküberlegungen ist es wünschenswert, die Eingangskoordianten als Funktion der Ausgangskoordinaten darzustellen. Durch Koordinatentransformation ergibt sich: 3 4  ¶  ¶ 1 y2 y1 cos (o) j sin (o) C D = (6.5) }W I1 I 2 j} sin (o) cos (o) W

Um das physikalische Verständnis für die eingeführten Größen zu verbessern, sollen zwei gedankliche Experimente ausgeführt werden. Wird der Ausgang des Stabes mit der reellen Impedanz }W belastet, so ist genau diese Impedanz unabhängig von der Stablänge auch am Stabeingang wirksam. Damit hat die Wellenimpedanz eine anschauliche Bedeutung. Erregt man diesen so belasteten Stab mit der Frequenz $ und betrachtet die örtliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit y ({), so erhält man die Länge  einer Periode (örtliche Wiederkehr des gleichen Schwingungszustandes, auch Wellenlänge genannt) entsprechend der Beziehung  = 2. Damit hat die Konstante  = 2@ eine

176

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

dem Kehrwert der Wellenlänge entsprechende Bedeutung. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit f des Wellenbildes auf dem Stab ergibt sich aus der Länge  der örtlichen Periode geteilt durch die Dauer W der zeitlichen Periode. Es folgt somit: s $ H  = i = = (6.6) f= W   Damit ist die Wellengeschwindigkeit f nur vom Werksto des Stabes abhängig. Mit Gl. (6.5) liegen die Vierpollösungen des eindimensionalen Wellenleiters vor. Ergänzend muss noch bemerkt werden, dass auch exponentielle Abhängigkeiten der Bauelemente p0 und q0 von { mit den beschriebenen Methoden zu einem analytischen Ausdruck der Systemgleichungen geführt werden können. Um eine netzwerkfähige Lösung zu erhalten, werden nun die T- und Ersatzschaltungen (s. Abb. 6.5) berechnet. F 1 h1 v1

h1 F 2 h2

h2

F1 v2

v1

h1

F2 h1

v2

Abbildung 6.5. T- und -Ersatzschaltung des endlichen Wellenleiters

In den Schaltungen sind die allgemeinen Admittanzen k eingetragen, da in der Vierpoltheorie üblicherweise die elektrischen Widerstände (und nicht ihre Leitwerte) angeschrieben werden. Durch Variation der Randbedingungen am Vierpol lassen sich die Admittanzen bestimmen. Für die T-Schaltung wählt man als Randbedingung I 2 = 0. Die Admittanzen ergeben sich zu  ¶  ¶ y2 y1 und k1 + k2 = . k2 = I 1 I =0 I 1 I =0 2

2

Für die -Schaltung wählt man zweckmäßigerweise y 2 = 0. Die Admittanzen ergeben sich nun zu  ¶  ¶ I2 1 1 I1 1 = und + = . k2 y1 y =0 k1 k2 y 1 y =0 2

2

Die Tabelle 6.1 zeigt die Bauelemente der Schaltungen und die für Frequenzen o ¿ 1 abgeleiteten Näherungen und deren Schaltung. Damit ist es z. B. sofort möglich, die mechanische Eingangsimpedanz } e eines am anderen Ende oenen Stabes (I 2 = 0) anzugeben (Abb. 6.6).

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

177

Tabelle 6.1. Bauelemente der T- und -Schaltung eindimensionaler Wellenleiter

# - Schaltung

T - Schaltung

h2 

h1  h 2  h1  j

zW 1  h 2 j sin bl

1 1 z W j sin bl

FG H

1 1 1  z W sin bl tan bl

h1  j

zW 1 1   h1 h 2 j tan bl

1 z W j tan bl

FG H

IJ K

1 1 1  zW  h1 j tan bl j sin bl

l 1 tan b zW 2

1 l  z W j tan b 2 h1

Näherung für tiefe Frequenzen

h1 ! j

n 1 w m n  l m 2

h1 ! j w

n 2

h2 !

1 m ! jw 2 h1

1 1 m ! h2 n  j w m n  l

1 jwm

h2 ! j w n

n F1 2 v1

bl  1 1 m 1 w m n  l !j h1 n 2

n 1 1 m  j w m n  l

h2 !

IJ K

n 2 m

F2

n

F1

v2

m  m l

v1

, n  n l

m 2

F2

m 2

v2

l K Stablänge

Sie beträgt }e =

1 = j}W tan (o) . k1 + k2

(6.7)

178

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

v1

E , r, A

F1

m*

=

F1

l

v1

Abbildung 6.6. Stab als Masseabschluss

Die Eingangsimpedanz } e in den Stab ist die einer Masse, wobei der Betrag der Masse mit der Frequenz bis zur Stabresonanzfrequenz ständig zunimmt. Aus Gl. (6.7) folgt $p = }W tan (o) s und durch beidseitige Multiplikation mit o p0 q0 ergibt sich p = p

tan (o) . o

(6.8)

Die Polstelle liegt bei o = @2. Die Stablänge beträgt dabei o = @4. Hieraus ergibt sich eine für die Praxis wichtige Konsequenz. Diese Form des Masseabschlusses wird oft verwendet, um einen Systempunkt, der konstruktionsbedingt nicht mit einem feststehenden Punkt (z. B. Koordinatenursprung) verbunden werden kann, bei einer festen Arbeitsfrequenz durch eine nahezu unendlich große Masse p an einer Bewegung im eingeschwungenen Zustand zu hindern. Die Nebenwirkungen, die während der Einschwingzeit auftreten, müssen dabei gesondert beachtet werden. 6.1.2 Näherungsweise Berechnung der Eingangsimpedanz Bei praktischen Aufgaben interessiert häug die Impedanz } 0 ($) an einem ausgewählten Punkt eines komplizierteren Systems oder Kontinuums. Es wird nachfolgend vorausgesetzt, dass dieses System nur sehr geringe innere Verluste besitzt und keine Wirkleistung nach außen abgeben kann. Oft genügt eine Schätzung der Frequenz der zu erwartenden ersten Pol- oder Nullstelle dieser Impedanz, damit man beurteilen kann, wie weit mit der quasistatischen Lösung gerechnet werden darf. Eine quasistatische Beschreibung des Systems ist oft schneller anzugeben, als die Frequenzfunktion der Impedanz. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie aus einer bekannten quasistatischen Systembeschreibung eine Schätzung für die erste Pol- oder Nullstelle und ein einfaches Modell der gesuchten Impedanz angegeben werden kann. In erster Näherung kann die gesuchte Impedanz des Systems durch eine Parallel- oder Reihenschaltung von einer Masse und einer Feder abgebildet werden. Eine Parallelschaltung ist erforderlich, falls der Systempunkt, an dem die Impedanzfunktion gesucht wird, bei sehr tiefen Frequenzen federnden Charakter aufweist. Hat der Systempunkt bei tiefen Frequenzen den Charakter

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

179

einer Masse, so kann die näherungsweise Abbildung des Systems durch die Reihenschaltung von Feder und Masse erfolgen. Die Werte für Feder und Masse sind die äquivalenten Ersatzparameter pers und qers des Systems (Abb. 6.7). Durch die Annahme vernachlässigbarer Verluste kann man davon ausgehen, dass die gesamte kinetische Energie des Systems in der Ersatzmasse und die gesamte potentielle Energie des Systems in der Ersatzfeder wiederzunden sein müssen. Durch die Beschränkung auf sinusförmige Vorgänge können nun diese Aussagen auf die Leistungen bezogen werden. Das wird nun am Beispiel der Masse für die Parallelschaltung gezeigt. mers v0 F0

v0

verlustfreies Feder-MasseSystem

F0

ners System “federnd” für

v0 F0

w  w 0

v0

verlustfreies Feder-MasseSystem

ners

mers

F0

System “massig” für

w  w 0

Abbildung 6.7. Näherungsweise Abbildung der Eingangsimpedanz

Die kinetische Energie der Ersatzmasse beträgt Zkin = pers

y2 . 2

(6.9)

Mit y = yˆ0 sin ($w) und T (w) = dZkin @dw wird: T (w) =

1 2 yˆ $pers sin (2$w) 2 0

ˆ = 1 yˆ02 $pers = y˜02 $pers T 2 Eine analoge Überlegung für die Feder liefert ˆ pot = T

y˜02 . $qers

(6.10)

180

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

mers

Q$ kin  v~0 2 w mers v~0 2 Q$ pot  w ners

v0 F0

ners

v0

ners

~2 F0 w mers ~  F0 2 w ners

Q$ kin 

mers

Q$ pot

F0

Abbildung 6.8. Bestimmung der Ersatzelemente

ˆ hat die Bedeutung des Spitzenwertes der pendelnden Blindleistung. AbbilT dung 6.8 zeigt auch für die Reihenschaltung die Beziehungen zwischen Ersatzelementen und Blindleistungen. Wenn es gelingt, am realen System die kinetische oder potentielle Blindleistung näherungsweise zu berechnen, können dann die äquivalenten Parameter der Schaltung angegeben werden. Ein besonders einfacher Zugang besteht darin, einen der beiden Ersatzparameter aus dem quasistatischen Verhalten direkt zu bestimmen und den anderen aus der Blindleistung zu berechnen, die das System bei niedrigen Frequenzen (also quasistatisch) aufnimmt. Die Ersatzparameter sind frequenzunabhängig. Die Schaltung bildet für tiefe Frequenzen die Impedanz sehr gut ab. Die berechnete erste Resonanzfrequenz stimmt in brauchbarer Näherung mit der tatsächlichen Resonanzfrequenz überein. Da im vorhergehenden Abschnitt für den homogenen Stab mit konstantem Querschnitt exakte Lösungen für die Eingangsimpedanz berechnet worden sind, soll nachfolgend die Näherungsmethode am System Stab mit starrem Abschluss demonstriert werden. Im Allgemeinen sind Geschwindigkeit und Kraft entlang des Stabes vom Ort abhängig. Der Stab wird wieder in Volumenelemente zerlegt, über die zur Berechnung der Leistung integriert werden muss. Die in einem Stabelement der Breite d{ enthaltene kinetische Leistung beträgt dTkin = y˜2 ({) $Dd{. Die Gesamtleistung im Stab beträgt Tkin =

Zo

0

dTkin

p = $ y˜02 o

Zo

0

y˜2 ({) d{. y˜02

Diese Leistung muss auch in der Ersatzmasse auftreten. Es gilt daher:

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

1 $p˜ y02 o

Zo

0

181

y˜2 ({) d{ = $pers y˜02 y˜02

Für die Ersatzmasse ergibt sich somit die Berechnungsvorschrift

pers

1 =p o

Zo

0

y˜2 ({) d{. y˜02

(6.11)

Für die Berechnung der potentiellen Leistung folgt mit 1 d{ dTpot = I˜ 2 ({) $ HD die Beziehung zur Berechnung der Ersatznachgiebigkeit qers

1 =q o

Zo ˜ 2 I ({) d{. I˜02

(6.12)

0

Nun ist die Anwendung der Überlegungen auf das Beispiel Stab mit starrem Abschluss leicht möglich. Unter Annahme der quasistatischen Abhängigkeiten ³ {´ y ({) = j$ ({) = y0 1  (konstante Dehnung) und o I ({) = I 0

(ortsunabhängige Kraft)

folgt

pers

1 =p o

Zo ³ p { ´2 d{ = 1 o 3

und

qers

0

1 =q o

Zo

d{ = q.

(6.13)

0

Der Stab mit der Randbedingung „starrer Abschluss” und die Ersatzlösung wird in Abbildung 6.9 gezeigt. Die Resonanzfrequenz des Ersatzsystems beträgt: s s s f 3 H 1 f = = 3  1> 73 $ r>ers = r o  o o p q 3 Die tatsächliche Systemresonanz beträgt: $ r = 2

f 1f = 1> 57 4o o

Für eine grobe Schätzung genügt diese Übereinstimmung.

182

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

A,E, r

v0 F0

v0 !

l

1 m 3

F0 n

x

Abbildung 6.9. Berechnungsbeispiel Eingangsimpedanz des starr abgeschlossenen Stabes

Die gleichen Zahlenwerte ergeben sich für den Stab mit „oenem Ende”. Die Zuordnung zu Nachgiebigkeit und Masse ist nur vertauscht. Es folgt für den freien Stab pers = p und qers = q@3. Nimmt man für den Stab mit oenem Ende (Abb. 6.6) die Lösung für tiefe Frequenzen aus Tabelle 6.1 (T-Schaltung), so ergibt sich mit qers = q@2 eine etwas zu tiefe Resonanzfrequenz, deren Abweichung aber ähnlich groß ist. In Abbildung 6.10 ist die am vorderen Stabende wirksame Masse p gemäß Abbildung 6.6 als Funktion der Frequenz für die beiden Fälle „exakte Lösung nach Gl. (6.8)” und „Näherung aus q@2 und p” dargestellt. Aus der Lage der Polstellen kann die Qualität der Näherung abgeschätzt werden. m* Näherung

m

2 f1

 2

f1

bl f

Abbildung 6.10. Frequenzabhängigkeit der am Eingang wirksamen Masse Vergleich von Näherung und exakter Lösung

Ein anderer Weg ist es, bei genauer Kenntnis der dynamischen Verhältnisse die kinetischen oder potentiellen Leistungen zu berechnen und so die Ersatzelemente zu bestimmen. In diesem Fall entsteht eine gute Abbildung in der Umgebung der für die Rechnung verwendeten Frequenz, nicht aber bei tiefen Frequenzen. Der wichtigste Vorteil der Blindleistungsmethode besteht aber darin, dass das Verfahren bei Strukturen, bei denen die quasistatische Verformung aus Tabellenwerken entnommen werden kann (z. B. Biegung von Trägern und Platten), eine Schätzung der ersten Resonanzfrequenz ermöglicht. Bei einem eingespannten und mit einer Kraft am Ende auf Biegung belasteten homogenen Stab gleichen Querschnitts liefert die Methode bei Annahme der quasi-

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

183

statischen Nachgiebigkeit eine Ersatzmasse pers = 0> 235p. Der exakte Wert beträgt pers = 0> 25p. 6.1.3 Näherungsweise Abbildung einer Impedanz bei Resonanz Besonders Filtersysteme (z. B. Signallter, Körperschalllter) und monofrequente Schallstrahler (z. B. Ultraschallwandler) arbeiten nur in der Umgebung einer Betriebsfrequenz. Sie enthalten meist Bauelemente, die sich nicht mehr als konzentrierte Bauelemente abgrenzen lassen. In diesen Fällen steht die Aufgabe, die zunächst als eindimensionale Wellenleiter vorliegenden Bauelemente durch einfache Masse-Feder-Systeme zu ersetzen, die in der Umgebung der Betriebsfrequenz eine gute Abbildung ergeben. Die Näherungsmethoden sind auch für akustische und rotatorische Systeme von Bedeutung und werden hier auch deshalb etwas ausführlicher dargestellt. Der Vorteil der Verwendung der Näherungslösung besteht in der schaltungstechnischen Zusammenfassbarkeit (s. Abschn. 3.1.4). Auf diese Weise gelingt es, die bei der Betriebsfrequenz wirkenden Verhältnisse durch Kernstrukturen abzubilden. Diese Kernstrukturen sind vom Elektrotechniker gut zu interpretieren und die Auswirkungen von Veränderungen schnell zu überblicken. Die exakte Berechnung unter Verwendung der vollständigen Wellenleiterstruktur wird unabhängig davon für die letztendlich ausgewählte Parameterschar mit Netzwerkanalyseprogrammen durchgeführt. Das Funktionsverständnis entsteht aber vorrangig durch die abgeleitete Kernstruktur. Für dieses Ziel wird sie erarbeitet. Das nachfolgend dargestellte Verfahren in Abbildung 6.11 geht davon aus, dass im Gebiet der Arbeitsfrequenz Nullstellen der Admittanz oder der Impedanz vorliegen, deren Umgebung durch Bauelemente nachgebildet werden soll. Bei den eingangs genannten Aufgabenstellungen ist das meistens erfüllt. Für die erste der beiden nachfolgenden Überlegungen wird eine analytisch bekannte Frequenzfunktion einer komplexen Admittanz k ($) vorausgesetzt. Für diese wird eine Reihenschaltung aus Feder und Masse gesucht, die in der Umgebung einer ausgewählten Nullstelle der Funktion k ($) bei $ = $  eine richtige Abbildung ergibt. Hierzu wird die Frequenzfunktion der Admittanz in eine Taylor-Reihe um den Punkt der -ten Nullstelle entwickelt:  ¶ dk ($  $ y ) + = = = k ($) = k ($  ) + d$ $ Unter Nutzung der Nullstelle k ($  ) = 0 und Vernachlässigung der höheren Reihenglieder ergibt sich  ¶ dk k ($) = ($  $ y ) . d$ $ Die Reihenschaltung der Ersatzbauelemente p und q liefert die Admittanz ¶  $ 1 $ 2 ($  $  )  j$  q = j$  q  . k ($) = j$q + j$p $ $ $

184

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Durch Gleichsetzung der beiden Admittanznäherungen folgt für die Ersatzbauelemente  ¶ 1 dk (6.14) q = 2j d$ $ und

p =

bg

hw j

b g bw  w g

1 dh w j dw

1 . $ 2 q

b g dw  w i

bg

1 dz w j dw

z w

n

wn

(6.15)

j

m

wm

bg

bg

hn w

zm w

j

j w

w

hw

bg

z w

j

bg j mm

mn

nn

nm

w ! wn

bg

hw

mit:

nn 

FG IJ H K

1 dh 1 , mn  2 2 j dw w wn nn n

mit:

mm 

w ! wm

bg

z w

FG IJ H K

1 dz 1 , nm  2 2 j dw w w m mm m

Abbildung 6.11. Nachbildung der Admittanz/Impedanz in der Umgebung einer Nullstelle

Die zweite Überlegung geht von Nullstellen der Impedanz bei $ = $  aus. Bei gleichem Rechenweg folgen für eine Parallelschaltung von Feder und Masse analoge Ergebnisse. Eine Zusammenstellung der Lösungsansätze ist in Abbildung 6.11 dargestellt. Oft benötigte Rechenergebnisse für Nullstellen und Pole typischer Admittanzfunktionen sind in Tabelle 6.2 zusammengestellt. 6.1.4 Genäherte Vierpoldarstellung bei Resonanz Außer der Möglichkeit, mechanische und akustische eindimensionale Wellenleiter als T- oder -Schaltung abzubilden, können Modelle für die Vierpoleigenschaften dieser Wellenleiter mit transformatorischen oder gyratorischen

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

185

Tabelle 6.2. Näherungslösungen für die Eingangsadmittanz eindimensionaler Wellenleiter

h

m1

n1

jhz tan bl

m 2

8

hz jtan bl

m 2

jhz tan bl

hz jtan bl

2 

2

8 

2

2 2 

m

m

2

n

n

w1

l l1

f1

 1 2 mn

1 4

1c 4l

m1



1 2

1c 2l

w ! w1

1c 2l 1c 4l

mn 

n 2

mn

1 2

n 2

 1 2 mn

1 4

n1

n1

m1

w ! w1

Kopplungsvierpolen gefunden werden. Lineare umkehrbare Vierpole können grundsätzlich mit einer aus drei möglichen Schaltungsstrukturen abgebildet werden (Abb. 6.12). Zur Bestimmung der neuen Schaltungsabbildung wird genauso wie bei der T- oder -Schaltung (Abb 6.5) vorgegangen.

F1 v1

F2

bAg

b g

" A 1

v2

R| || || || || S| || || || || T

F1

h1

v1

v W1

F1

h1

v1

vW

F1

F W1

v1

h1

v W1  h F 2 F1  

1 v h W2

vW  A 0 v2 F1 

1

FW A0

v1  h F W 2 F W1  

1 v h 2

h2

F2 v2

v W2

FW

F2

h2

F W2

v2

F2

h2

Abbildung 6.12. Abbildungsmöglichkeiten linearer umkehrbarer Vierpole k Transformationsadmittanz, D0 Übersetzungsverhältnis

v2

186

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Ausgehend von der Kettenmatrix des Wellenleiters Gl. (6.5) werden die Parameter einer Schaltung aus Abbildung 6.12 durch die Wellenparameter }W = 1@kW und o ausgedrückt. Für die Auswahl aus den drei möglichen Schaltungen und die Prüfung der Eignung ist eine weitere Überlegung erforderlich. Die Abspaltung eines Transformators bzw. Gyrators hat nur Sinn, wenn deren Übersetzungsverhältnis D0 bzw. deren Transformationsadmittanz k hinreichend wenig von der Frequenz abhängt. Ergibt sich beim Versuch, eine Abbildung durch diese Schaltungen zu erreichen, eine ausreichend geringe Frequenzabhängigkeit für D0 oder k, so kann diese Schaltungsabbildung als geeignet angesehen werden. Somit wäre es dann möglich, für einen eingeschränkten Frequenzbereich näherungsweise von der Frequenzunabhängigkeit auszugehen. Für die Abbildung wären damit alle Vorzüge einer Schaltungsabbildung benutzbar. Diese Vorgehensweise wird nachfolgend in Abbildung 6.13 an einem Beispiel des @2-Wellenleiters demonstriert.

h 1K

Fv I G H F JK v

h1K j  jhz tan bl

1

1

2 2 

0

2

FF I GH F JK v



2

bl ! 

1

h 2L 

2

Fv I GH F JK F

0

  jhz

2

2

1

0

1

1 cos bl

1 tan bl



v1

F GG H

1 cos bl 0

0

I JJ K

F2 v2

F1

l 2

bl



m 2 

jhz tan bl

l!

bl

1 h 2L j

z 2L j

F1

n 2

bl

cos bl A0 

m

n 2

2 2

bl

m 1 : 1

2 n 2 2 m n 2 F2  2

v1

v2

cos bl

hz jtan bl

bl ! 

l!

l 2

Abbildung 6.13. @2-Wellenleiter mit transformatorischem Koppelelement

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

187

Es wird zunächst versuchsweise angenommen, dass ein verlustfreier Wellenleiter in der Umgebung der @2-Resonanz durch einen transformatorischen Vierpol (Abb. 6.12 Mitte) abgebildet werden kann. Die Bildungsvorschrift für die Parameter k1K , D0 und k2L aus Abbildung 6.13 wird auf Gl. (6.5) angewendet und liefert so die im gleichen Bild genannten Ergebnisse. Die analytischen Ausdrücke für die Admittanzen können mit Hilfe der Ergebnisse aus Tabelle 6.2 als Schaltung abgebildet werden. Der Ausdruck D0 = 1@ cos (o) liefert in der Umgebung von o   den Wert 1. Er kann deshalb durch das Bauelement Transformator dargestellt werden. Das Übersetzungsverhältnis ist in einem gewissen Bereich um die Resonanz nur wenig frequenzabhängig. Somit hat es Sinn, den Wellenleiter in diesem Frequenzbereich als einfache Schaltung abzubilden. Durch analoge Überlegungen gelangt man zu Schaltungslösungen für das Frequenzgebiet um o  @2 entsprechend der Wellenleiterlänge @4. Hier führen die beiden anderen Schaltungsvarianten gleichwertig zu nahezu frequenzunabhängigen Transformationsadmittanzen im Bereich der Nutzfrequenz. Die Wahl der anzuwendenden Lösung hängt zweckmäßigerweise von der weiteren Schaltungsumgebung ab (Quellen und Lasten des Wellenleiters). Abbildung 6.14 zeigt die Ergebnisse. Die Leistungsfähigkeit der vorgestellten Methoden wird nun an einem mechanischen Filterelement gezeigt. Die Reihenschaltung dreier Wellenleiter @2 + @4 + @2 nach Abbildung 6.15 ergibt eine Bandlterstruktur, wenn

F 1 hL v1

hL 

hK

hK

I JJ 0J K

F1

F0 GG GH  h1

8 

2

v2

v1

I JJ 0J K

F2

8 m F 1 2 n 2

h

1  jhW tan bl

h  jh W sin bl

jhW 0

W

für

h K v2

v1

bl !

F 0 GG GH j h1 bl !

2

I JJ JK

m F2 v2

 l , l 2 4

8

W

für

8

n 2

m

F 0 GG GH j h1

h

hz h , hj z j tan bl sin bl

F1 v1

F0 GG GH  h1

hL F 2

n 2

jhW 0

I JJ JK

2

n

m 2 F2 v2

 l , l 2 4

Abbildung 6.14. @4-Wellenleiter mit gyratorischem Koppelelement

188

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

v1

r, c 

v2

E r

F1

F2

A1

A1 A2  a A1 l

2l

2l

Abbildung 6.15. Filterstruktur

die Anregung mit einer Kraftquelle I 1 erfolgt und das Ausgangssignal aus der Geschwindigkeit y 2 des unbelasteten dritten Wellenleiterstückes gebildet wird. Die Wellenleiterstücke können nun als Kettenschaltung abgebildet werden. Abbildung 6.16 zeigt die Zusammenschaltung und die Parameterdenitionen. F 1 m1 n1

1:  1

m2 n2 mK nK

nK mK n2 m2

F0 GG j 1 Hh

v1

z

l 2 - Schwinger

m1  n1 

4 

2

rlA1 l

rc 2 A1

I J 0 J K

n2 

4

v2

mK  l

 2 rc 2 A1

n1 m1 F 2

jhz

l 4 - Schwinger m2  rlA1

1:  1

nK 

l 2 - Schwinger 1 rlA2 2 8 l

hz 

 2 rc 2 A2

1 A2 rc

Abbildung 6.16. Schaltung des mechanischen Filters

Die Wellenadmittanz des mittleren Stückes ist mit k} bezeichnet. Durch Zusammenschaltung der jeweils parallelgeschalteten Bauelemente und durch Transformation der rechten Parallelschaltung über den Gyrator nach links gelangt man zu der Struktur nach Abbildung 6.17. Das Flächenverhältnis wurde mit  abgekürzt. Es entstehen die neuen Bauelemente pa , pb , qa und qb . Durch die fehlende Belastung am Filterausgang und die Krafteinspeisung am Eingang können die äußeren Reihenschaltungen unbeachtet bleiben und der Gyrator kann durch einen Kurzschluss ersetzt werden. Ausgangsgröße ist nunmehr die Kraft durch diesen Kurzschlussbügel (Abb. 6.18). Berücksichtigt man nun noch die für eine sinnvolle Funktion notwendigen Verluste durch Reihen- bzw. Parallelschaltung von Reibungsadmittanzen mit

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter F 1 m1

n1

n1 m1 F 2

n b mb

ma

v1

F0 GG j 1 Hh

na

z

I J 0 J K

jhz

FG H

IJ K

FG H

2 4

!

nb 2 1 a  1 na 4 a2 2

IJ K

a

v2

n1  2 a  1 4 2 na

m1 1 1 4  2 ! 2 a ma   a  1 1 2 mb 4 4 a2  2 ! 2 a2 2 ma   a a  1 1 2

FG H

189

IJ K

A2 A1

a  1

2

!

2 1 4 a2 a  1

Abbildung 6.17. Schaltungstechnische Zusammenfassung von Abbildung 6.16

nb

F1

hb 

w 0n b Q

mb F  j

ma

na

1 v hz 2L

ha  Q w 0na 1 Q h

w0 

1 ma na



1 m bn b

Abbildung 6.18. Kernstruktur des mechanischen Filters A

A1 A0

+g

+1

+1

+g

+

Abbildung 6.19. Prinzipieller Filterfrequenzgang

wählbarem Wert für T, so liegt die gewünschte Kernstruktur des Filterbausteins vor. Abbildung 6.19 zeigt den prinzipiellen Filterfrequenzgang bei Annahme gleicher und geeignet gewählter Werte für die Güte T. Ein praktisches Beispiel für ein mikromechanisches Filter enthält Abschnitt 9.1.2.

190

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

6.1.5 Biegewellen in einem Stab Der im Abschnitt 6.1.1 beschriebene Wellenleiter ist dadurch bestimmt, dass eine eindimensionale Welle durch ein Koordinatenpaar beschrieben wird. In diesem Abschnitt wird nun ein endlicher Biegestab (s. Abschn. 5.1.2) betrachtet, an dessen Enden sowohl vertikale Kräfte und Bewegungen als auch Drehmomente und Winkelgeschwindigkeiten wirken (Abb. 6.20 oben). Bei den nachfolgend behandelten Biegewellen ist der Wellenvorgang somit durch zwei Koordinatenpaare bestimmt. Die in dem Stab entstehenden Deformationen sollen durch die Annahmen • keine Scherdeformation sowie • Dehnung V1 ({) und mechanische Spannung W1 ({) proportional zum Abstand von der neutralen Faser bestimmt sein. Für dünne Biegestäbe führen diese vereinfachenden Annahmen nur zu unwesentlichen Abweichungen von der Realität. Für die Behandlung von dynamischen Vorgängen muss die Stabmasse berücksichtigt werden. Daher wird wie im Abschnitt 5.1.2 dargestellt von der Schaltung eines dierentiellen Stabelementes ausgegangen, an dem nun die A, I, G, E

M 1 , +1

+2 M 2

v2 F 2

v1 , F 1

"x x 2  + x    Mx  

"x 2 "x 2

     

x

"x 2

"m

x

"x x 2

x

l

"x   + x  2  

"nR

"x   F x  2   "x   vx  2  

x

"x   Mx  2  

"x   v x  2  

x

"x   Fx  2  

"x 2

Abbildung 6.20. Koordinaten des Biegestabes und Stabelementes

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

191

zugehörige Masse in der Mitte konzentriert angeordnet wird. Die Struktur des dierentiellen Stabelementes der Länge { besteht aus zwei idealen Stäben der Länge {@2, die durch eine Drehfeder qR  { und ein drehmomentenfreies Gelenk miteinander verbunden sind. Zur Berücksichtigung des Massenein usses wird die Masse p = (D{ an diesem Gelenk befestigt. Die zugehörige Schaltung zeigt Abbildung 6.21. "x   Mx  2   "x   + x  2  

"x   Mx  2  

"nR

1

1

"x 2

"x 2

"x   Fx  2   "x   v x  2  

"x   + x  2   "x   Fx  2  

v( x )

"m

"x   v x  2  

Abbildung 6.21. Schaltung eines Stabelementes mit konzentrierter Masse

Auf die gleiche Weise wie in den vorhergehenden Abschnitten lassen sich aus der oben dargestellten Schaltung Maschen- und Knotengleichungen ablesen, die für { $ 0 letztendlich in Dierentialgleichungen übergehen. Aus den Maschen- und Knotengleichungen folgt: P ({  {@2)  P ({ + {@2) = {@2 [I ({  {@2) + I ({ + {@2)]  {I ({) ,

({  {@2)  ({ + {@2) = j$q0R { [P ({  {@2)  I ({  {@2) {@2] , I ({  {@2)  I ({ + {@2) = j$p0 {y ({) = j$p0 { [y ({  {@2)  ({  {@2) {@2] , y ({  {@2)  y ({ + {@2) =  [ ({  {@2) + ({ + {@2)] {@2  { ({) . Dabei sind analog zu den vorhergehenden Abschnitten qR = q0R { und p = p0 {.

192

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Für { $ 0 ergibt sich: dP = I , d{

dy = , d{

d = j$q0R P , d{

dI = j$p0 y, d{

q0R =

1 , HL

p0 = (D.

Aus diesen Gleichungen lässt sich eine Dierentialgleichung für y ({) ableiten d4 y = $ 2 p0 q0R y = 0. d{4 Als Lösung ergibt sich y ({) = D1 exp ({) + D2 exp ({) + D3 exp (j{) + D4 exp (j{) r q r q r q s $ 0 0 . o = o $ p qR = $ p0 oq0R o3 = $ q0 p = $0 Im Folgenden werden die Bezugsgrößen $ 0 , qR , }0 und die Gesamtmasse p eines Stabes der Länge o eingeführt: q0 =

o3 , HL

1 $0 = s , pq0

p = (oD, }0 =

r

1 p = $0p = . q0 $ 0 q0

Die Lösung wird nachfolgend nicht mit den Lösungsbausteinen exp (±{) bzw. exp (±j{), sondern mit Rayleigh-Funktionen geschrieben, die als unabhängige Linearkombinationen der Lösungsbausteine exp (±{) bzw. exp (±j{) ebenfalls ein vollständiges Lösungssystem bilden: V ({) =

1 2

(sinh { + sin {),

F ({) =

v ({) =

1 2

(sinh {  sin {),

f ({) =

1 2 1 2

(cosh { + cos {),

(cosh {  cos {).

Die Funktionen V, F, v, f gehen in der genannten Reihenfolge durch Dierentiation ineinander über. y ({) = 1 V ({) + 2 F ({) + 3 v ({) + 4 f ({)

(6.16)

Die übrigen Koordinaten , P und I gehen ebenfalls durch Dierentiation hervor:

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

({) =

193

 [1 F ({) + 2 v ({) + 3 f ({) + 4 V ({)] (6.17)

P ({) = 

2 [ v ({) + 2 f ({) + 3 V ({) + 4 F ({)] (6.18) m$q0R 1

I ({) = 

3 [ f ({) + 2 V ({) + 3 F ({) + 4 v ({)] (6.19) m$q0R 1

Mit den beiden Randbedingungen (y> I > > P ){=0 = (y1 > I 1 > 1 > P 1 ) und (y> I > > P ){=o = (y2 > I 2 > 2 > P 2 ) lassen sich die Konstanten 1 bis 4 bestimmen und damit die Koordinaten an der Stelle { = 0 durch diejenigen an der Stelle { = o ausdrücken. Die daraus entstehenden Ketten-, Admittanzund Impedanzmatrizen sind in Tabelle 6.3 zusammengefasst. Beim praktischen p Rechnen mit diesen Matrizen sind die folgenden Beziehungen mit  = $@$ 0 von Vorteil: < f () F ()  v2 () = V 2 ()  f () F () = 12 sinh  sin , A A A A A A A 1 V () F ()  v () f () = 2 (sinh  cos  + cosh  sin ), A A A A A @ 1 (6.20) v () F ()  f () V () = 2 (sinh  cos   cosh  sin ), A A A A A A F 2 ()  v () V () = 12 (1 + cosh  cos ) A A A A A A > 1 2 Q = f ()  v () V () = 2 (1  cosh  cos ) Bei tiefen Frequenzen ( ¿ 1) ergeben sich die folgenden Näherungen einschließlich der vierten Potenzen von : < V () =  Q =  4 @12 A A A A A A A 2 5 f () =  @2 V () F ()  v () f () =  @30 A @ (6.21) A v () =  3 @6 f () F ()  v2 () =  6 @180 A A A A A A A > 4 3 F () = 1 +  @24 f () V ()  v () F () =  @3

Zur Veranschaulichung der Bedeutung der Größen  und }0 wird eine Lösung y ({) r q r 1 $ 0 0 y ({) = y0 exp (j{) mit  = $ p qR = o $0

betrachtet, die einer in positiver {Richtung fortschreitenden Welle entspricht.

194

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern Tabelle 6.3. Achtpolmatrizen des Biegekettenleiters

Hinweis: Die Rayleighschen Funktionen sind als Funktionen von  =

s $@$0 anzusehen.

Kettenmatrix 3

4 1 v 3 3 4 E 4 j}0  F E F y2 y1 E F E E F E  F 1 F  E E F E F V 3 F 3 fF F E 2 F E 1 F E 3 v 2 j}0 o j}0 o F E E F E o F FE E F=E F FE E F E F 2 F EP F EP F E o o j} 0 1 2 E F E F E j} of 3 F v F V FC C D E 0 D   E F E F I I1 2 C D  j}0 V 3j}0 of v F o F

o 3 V 

1 f j}0 o

Impedanzmatrix   4 3 3 (VF 3 vf) 3o fF 3 v2 V 3of 3 4 3 4 F y1 E I1 F E 2 2 E F FE F E  o E F FE F E 3o fF 3 v2  3 o (fV 3 vF) of 3 v EP 1 F F E 1 F E   E F j}0 E FE F E F= FE F E E F E   FE F Q 2 EI F FEy F E 3V 3of  (VF 3 vf) 3o fF 3 v E 2F FE 2F E FC D E C D F E D C  o2  o2 P2 2 2 of v 3o fF 3 v 3 (vF 3 fV)   Admittanzmatrix 31 (Fv 3 Vf) 3 4 E y1 E E E F E1   E F E fF 3 v2 E 1 F Eo E F E F= j E E F }0 Q E E Ey F 1 E E 2F v E C D  E E

2 C 1 f o

 1 fF 3 v2 o

1 3 v 

3f

4

F3I 4 F FE 1F FE   1 F FE f (fv 3 FV) V F EP 1 F o2 o o2 F FE F FE F F   E F  1 EI2 F 3 f (Vf 3 Fv) fF 3 v2 F F D o  FC F D P2    1 3 2V fF 3 v2 2 (FV 3 fv) o o o

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

195

Die übrigen Koordinaten verlaufen dann ebenfalls wie die Geschwindigkeit: I ({) = I 0 exp (j{) , ({) = 0 exp (j{) , P ({) = P 0 exp (j{) . Die Quotienten 0 @P 0 bzw. y 0 @I 0 haben dann die Bedeutung von Wellenadmittanzen im rotatorischen und translatorischen Zweig: r q0R 1 y0  1 1 r r , = = =o (k} )T = 0 $ $ I0 $p }0 p0 $0 $0 r r r 1

0 $q0R 1 q0R $ $ (k} )R = = 2 = = . P0  o }0 $ 0 o p0 $ 0 Der Wellenzahl  kann eine Phasengeschwindigkeit fB und eine Wellenlänge B zugeordnet werden. Beide Wellengrößen sind frequenzabhängig: r $ u s = fo u$, fB = fo $0 o r fo u , B = 2 $ s r H L , u= . fo = ( D Dabei ist fo die Wellengeschwindigkeit für Dehnwellen auf Stäben und L das Flächenträgheitsmoment des Stabquerschnittes D.

Die Anwendung der dargestellten Beziehungen soll im Folgenden an zwei einfachen Beispielen erläutert werden: Als erstes Beispiel wird ein einseitig eingespannter Stab betrachtet und es wird nach der translatorischen Impedanz am freien Ende für momentenfreie Anregung gefragt (s. Abb. 6.22). Die Elemente der Impedanzmatrix aus Tabelle 6.3 in der angegebenen Zuordnung zu den Kraft- und Bewegungsvektoren werden als } ln bezeichnet. Somit ergeben sich aus den Randbedingungen P 1 = 2 = 0 die beiden folgenden Gleichungen: I 1 = } 11 y 1 + } 12 1 , P 1 = } 21 y 1 + } 22 1 = 0, } }  } 212 I1 = } = 11 22 . y1 } 22

196

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

m1 =

M1 = 0 F1

m  GlA

v1 l

F1

+2  0 v2 = 0

m 4

v1

E, I

n  n1  0, 971 0   0, 971nstat  3  Abbildung 6.22. Schaltungsabbildung der translatorischen Impedanz eines einseitig eingespannten Biegestabes am freien Ende

Unter Benutzung der Beziehungen (6.20) folgt nach einer kleinen Zwischenrechnungp die Impedanz } als Kombination von Kreis- und Hyperbelfunktionen mit  = $@$ 0 : 1 + cosh  cos  } = j}0  (6.22) sinh  cos   cosh  sin  Für  ¿ 1 folgt mit Hilfe der Beziehungen (6.21) }=

1 q0 m$ 3

in Übereinstimmung mit dem Ergebnis im Abschnitt 5.1.2. Die erste Singuder Admittanz larität ergibt sich als Nullstelle der Impedanz } bzw. Polstelle p k = 1@}. Die Frequenz $ 1 ist durch die Nullstelle  1 = $ 1 @$ 0 des Zählers von Gl. (6.22) gegeben: cosh  1 cos 1 = 1

Die kleinste Lösung dieser Gleichung liefert  1 = 1> 875. Um zu einer Schaltungsabbildung der Impedanz } zu kommen, werden die Ergebnisse der Überlegungen des Abschnittes 6.1.2 benutzt. Wegen der Nullstelle der Impedanz } muss eine Darstellung als Parallelresonanzkreis möglich sein. Die Elemente p1 und q1 ergeben sich nach Abschnitt 6.1.2 aus der Ableitung der Funktion } ($) bei der Nullstelle $ 1 :  ¶  ¶  ¶ 1 }0 1 1 1 d d} d} = = j 1 }0 =j = j p, d$ $1 d 1 d$ $1 21 $ 0 2 $0 2  ¶ 1 d} p p1 = = , 2j d$ $1 4 q1 =

4 $ 21 p

q1 = 0> 971

=

4$ 20 1 4 12 q0 = 4 q0 = 4 , $ 21 $ 20 p 1 1 3

q0 = 0> 971qstat . 3

6.1 Darstellung mechanischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

197

Man kann sich also vorstellen, dass in der Umgebung der Resonanz nahezu die statische Nachgiebigkeit wirkt und dass ein Viertel der gesamten Stabmasse am Ende konzentriert gedacht werden kann. Durch Berechnung der Ersatzparameter bei den weiteren Nullstellen von Gl. (6.22) kann man die gesamte kanonische Schaltung aufbauen. Aus der dargestellten Rechnung ist erkennbar, dass die Ersatzmasse sämtlicher Resonatoren p@4 ist. Die Nachgiebigkeiten berechnen sich aus den zugehörigen Resonanzfrequenzen.

Als zweites Beispiel wird die translatorische Admittanz bestimmt, die an der Einspannstelle eines Biegestabes messbar ist (s. Abb. 6.23). Hier wird zweckmäßiger Weise von der Admittanzmatrix ausgegangen.

v1 , F 1

M 2 , F 2= 0

m  GlA

m 1 = 0, 61m

n1 = 0,13 n 0

F1 +1  0

l

E, I

v1

n0 =

l3 EI

Abbildung 6.23. Schaltungsabbildung der translatorischen Admittanz eines einseitig eingespannten Biegestabes am eingespannten Ende

Mit den angegebenen Randbedingungen ergeben sich die beiden folgenden Gleichungen: y1 = k11 I 1 + k12 P 1 ,

1 = k21 I 1 + k22 P 1 = 0. Daraus folgt die Admittanz k=

y1 k k  k12 k21 = 11 22 . I1 k22

Mit den Elementen der Admittanzmatrix aus Tabelle 6.3 und mit den Beziehungen (6.20) lässt sich k durch die Kreis- und Hyperbelfunktionen ausdrücken: 1 1 + cosh  cos  k= j}0  sinh  cos   cosh  sin 

198

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Für  ¿ 1 ergibt sich mit den Beziehungen (6.21) die Admittanz für sehr tiefe Frequenzen: 1 k= j$p Die erste Singularität entsteht wieder bei der Nullstelle des Zählers. Wegen der Nullstelle der Admittanz muss hier das Verhalten durch einen Reihenresonanzkreis abgebildet werden können. Die Ersatzelemente q1 und p1 erhält man analog zum vorhergehenden Beispiel aus der Ableitung dk@d$:  ¶  ¶  ¶ dk d dk 1 sinh  1 cos 1  cosh  1 sin  1 1 1 = = · . d$ $1 d 1 d$ $1 j}0 1 sinh  1 cos 1 + cosh  1 sin  1 21 $ 0 Den Faktor mit den Kreis- und Hyperbelfunktionen kann man unter Beachtung von cosh 1 cos 1 = 1 vereinfachen: cosh 1 + 1 sinh  1 cos 1  cosh  1 sin  1 = 1> 856, = sinh  1 cos 1 + cosh  1 sin  1 cosh 1  1  ¶ dk 1> 856 1 =j = j 0> 264q0 = j2q1 , d$ $1 221 $ 0 }0 q1 = 0> 132q0 , p1 =

1 $ 21 q1

=

$ 20 1 1 1 1 1 p, = 4 = 4 $ 21 $ 20 q1  1 0> 132 $ 20 q0  1 0> 132

p1 = 0> 613p.

6.2 Darstellung akustischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter Bei akustischen Problemstellungen ist es häug der Fall, dass eine Abbildung mit konzentrierten Elementen nur für einen kleinen Frequenzbereich gelingt, da die Abmessungen der Bauteile nicht ausreichend klein gegenüber der Wellenlänge im Fluid sind. Bei kanalartigen Elementen kann diese Begrenzung in Kanalrichtung durch die Abbildung des Kanals als eindimensionaler Wellenleiter umgangen werden, wenn nur die zwei Querdimensionen ausreichend klein gegenüber der Wellenlänge bleiben. Das ist oft der Fall. Bei volumenartigen Bauelementen, also Bauelementen, die bei tiefen Frequenzen als akustische Nachgiebigkeit wirken, ist eine Abbildung bei eindimensionaler Ausdehnung auch als Wellenleiter möglich. Die dann vorliegende Bauform des am Ende geschlossenen Rohres ist in der Praxis jedoch weniger häug anzutreen. Eine Erweiterung der Netzwerkabbildung in die drei Raumrichtungen ist zwar ohne grundsätzliche Schwierigkeiten möglich, allerdings gehen nahezu alle Vorteile

6.2 Darstellung akustischer Systeme als eindimensionale Wellenleiter

199

der Abbildung durch konzentrierte Elemente mit Netzwerkmethoden verloren, so dass derartige Aufgabenstellungen dann sofort mit den speziellen Lösungsmethoden der Finiten Element- (FEM) bzw. der Randelement-Methode (BEM) bearbeitet werden sollten. Auch eine Mischung der Techniken ist möglich und wird heute meist angewendet. Die Tatsache, dass sich eindimensionale Wellenleiter noch mit erheblichen Zeitvorteilen in Verbindung mit Netzwerkabbildungen analysieren lassen, liegt an dem Umstand, dass in Netzwerkanalyseprogrammen die verlustbehaftete oder die verlustlose Leitung als Standardbauelement integriert ist und so als ein einzelnes Bauelement angesprochen werden kann. Um zu einem eindimensionalen Wellenleiter zu gelangen, wird das Kanalelement in Längsrichtung in nite akustische Elemente zerlegt. Dazu wird ein Volumenabschnitt mit der Scheibenbreite k als dierentielles Volumen und als zwei dierentielle Masseelemente aufgefasst (s. Abb. 6.24). Die so denierten Bauelemente werden auf die Scheibenbreite k bezogen und mit einem hochgestellten Stern gekennzeichnet. Aus diesen Elementen kann nun die gesamte Leitung zusammengesetzt werden, da für jedes Element die Bedingung der Kleinheit der Abmessungen gegen die Wellenlänge erfüllt ist. Oft ist diese aufwendige Abbildung aber nicht erforderlich. Eine Betrachtung der Schnittstellen am Anfang und Ende der Leitung und die Angabe einer verknüpfenden Kettenmatrix führen meist schneller zum Ziel. Auch beim Vorliegen ortsveränderlicher Querschnitts ächen können auf diese Weise Lösungen gefunden werden. Zunächst folgt die Lösung für eine konstante Querschnitts äche D. "M a 2 "M a 2

F hI q Gx  J H 2K

F hI q Gx  J H 2K A

"N a x

"N a 

h 2

Ah kp0

h "M a  r A

x

"M a 2

"M a 2

IJ K

q x

FG H

q x

h 2

FG H

bg

N a*  M a*

h 2

"N a A  kr h

"M a r   h A

IJ K

bg

px x

h 2

px x

FG H

q x

FG H

h 2

p x

FG H

IJ K

q x

"M a 2

"M a 2

IJ K "N

p x

h 2

FG H

h 2

h 2

IJ K

IJ K

a

Abbildung 6.24. Finites Element eines eindimensionalen akustischen Wellenleiters

200

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Wie im Abschnitt 6.1.1 vorgeführt wurde, kann aus dem niten Element die Dierentialgleichung für Druck oder Volumen uss gewonnen werden. Die Lösung der Dierentialgleichung und die Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen führt zur Kettenmatrix des eindimensionalen Wellenleiters nach Abbildung 6.25. dp dx dq dx

U| |V || W

  jwM a* q   jwN a* p

d2 p

 w 2 M a* N a* p  0 dx 2 p x  C1e jbx  C 2 e-jbx

bg

Randbedingungen:

p2

p1 q1

F p I  FG cos1bl jZ sin blIJ F p I GH q JK G j Z sin bl cos bl J GH q JK H K a0

r , k , p0

A

q2

l

b  w M a* N a* 

w c

1

2

1

2

a0

x

, Za0 

M a* N a*

, c

1 M a* N a*



kp0 r

Abbildung 6.25. Dierentialgleichung und Kettenmatrix des eindimensionalen akustischen Wellenleiters

Für ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt nach der Beziehung D ({) = D1 e2p{

(6.23)

kann ebenfalls eine Kettenmatrix für den Vierpol angegeben werden. Es werden die bezogenen Parameter Pa und Qa als Ortsfunktion dargestellt. Es gilt:  2p{ D1 2p{ e e und Qa ({) = Pa ({) = D1 s0 Mit den in Abbildung 6.25 genannten Dierentialgleichungen des akustischen Wellenleiters folgt nach Einsetzen d2 s $ 2 1 dD ds =0 + 2s+ 2 d{ f D ({) d{ d{ mit

(6.24)

1 dD s0 und = 2p.  D ({) d{ Die Lösung dieser Gleichung mit einem Exponentialansatz und die Anwendung der Randbedingungen führt zur Vierpolgleichung, die Anfang und Ende f2 =

6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen

201

dieser querschnittsveränderlichen Leitung miteinander verknüpft. Es ergibt sich: 4 3 f $ p 3 4 3 4 j sin o cos o  sin o s1  D2 f F s2 E F E C D = epo E ¶F C D . (6.25)  D t C D D p $ 1 1 t1 j sin o cos o + sin o 2 f f D2  Mit dieser Lösung können nun auch akustische Anpassglieder (Trichter) in Netzwerklösungen integriert werden, wenn eine analytische Lösung angestrebt wird. Sollen Trichter mit Netzwerkanalyseprogrammen bearbeitet werden, so muss man den Trichter in mehrere Leitungsbauelemente unterschiedlicher Querschnitts ächen zerlegen. Je nach Querschnittsänderung genügen 10 bis 20 Elemente. Um Störungen durch die Diskontinuitäten zu vermeiden, sollten verlustbehaftete Leitungselemente benutzt werden. Die Methoden der näherungsweisen Berechnung der Eingangsimpedanz von Wellenleitern, der vereinfachten Abbildung der Impedanz in der Umgebung einer Resonanzfrequenz und die näherungsweise Vierpoldarstellung bei Resonanz ist analog zu den Abschnitten 6.1.2 bis 6.1.4 möglich. Mit diesen Verfahren lässt sich analog zu Abbildung 6.14 zeigen, dass für monofrequente Anwendungen auch einfache @4-Rohre als Impedanztransformatoren angewendet werden können. Durch die Anwendung dieser Näherungsmethoden lassen sich für interessierende, meist enge Frequenzbereiche Schaltungsabbildungen angeben, die durch ihre Einfachheit einen schnellen Einblick in das Wesentliche der Lösung gestatten. Dieser Einblick ermöglicht es auch, numerische Lösungen besser auf Fehler und Irrtümer zu kontrollieren.

6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen Auch bei der Beschreibung von Wandlersystemen treten Zustände auf, bei denen eine Abhängigkeit der Verkopplungen vom Ort besteht und der Übergang zu summarisch wirkenden Größen (wie z. B. Druck und Schall uss, bzw. Strom und Spannung) nur am Wandlerein- und -ausgang gelingt. In diesen Fällen deniert man, wie bereits in den Abschnitten 6.1 und 6.2 dargestellt, kleine Bereiche, in denen die Vereinfachung der Ortsunabhängigkeit angenommen werden kann. Durch strukturrichtige Zusammenschaltung der niten Netzwerkelemente entsteht dann der vollständige Wandler. Dieses Vorgehen wird an zwei Beispielen demonstriert.

202

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

6.3.1 Ultraschall-Mikroaktor mit kapazitivem Membranwandler Für Anwendungen, die einen gerichteten Ultraschallstrahl in ein gasförmiges Medium benötigen, eignen sich kapazitive Wandler, bei denen über einer Elektrodenform nach Abbildung 6.26 eine metallisierte Kunststomembran gespannt ist. Die Anregung geschieht durch eine Wechselspannung, der eine Gleichspannung überlagert ist. In [47] und [48] wurde diese Struktur erstmals mit Netzwerkmethoden und neuen, bisher nicht genutzten Superpositionslösungen modelliert, berechnet und experimentell veriziert. 500 K 1200 $m

100 K 200 $m 40 K 200 $m

Kapton-Membran (metallisiert)

Elektrode Spannring

Trägerring

Abbildung 6.26. Ultraschallwandler mit Streifenmembranelementen [47]

Die Membran liegt auf den Stegen auf und wird dort elektrostatisch durch die elektrische Vorspannung xiert. Im Bereich zwischen den Stegen kann die Membran frei schwingen. Die anregende Kraftwirkung auf die Membran erfolgt durch das zeitveränderliche elektrische Feld zwischen Membran und Elektrode. Zunächst muss ein Modell einer Streifenmembran erstellt werden, welches für jeden Kraftangrisort eine richtige Auslenkung liefert. Abbildung 6.27 zeigt die Lösung. Um ein geschlossenes Modell für den Einzelstreifen zu erhalten, muss auf der abstrahlenden Fläche des Wandlers die Rückwirkung des Schallfeldes und auf der nach innen gewandten Fläche die Wirkung des Hohlraumes zwischen Membran und Stegelektrode richtig abgebildet werden. Das geschieht durch Belastung des akustischen Wandlerausgangs mit einer komplexen Impedanz ]a. Im Beispiel nach Abbildung 6.26 besteht eine starke Ortsabhängigkeit der Anregungskraft durch das elektrische Feld infolge der Stegstruktur (inhomogenes elektrisches Feld). Außerdem muss die Membranmasse für eine richtige

6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen Systempunkte:

1

2

x

xR

3 F2

x2

"x 1

"x 2

"x 3

"n1

"n2

"n3

F1

d

F2

T  konst.

x

"x N 1 "nN

"x k FT

v3

FT  T bd

mit

"nN 1 FN

v2

"nk 

N b

F3

v1

203

vN

und

k  1K N  1

Abbildung 6.27. Gespannte Streifenmembran mit Netzwerkmodell

dynamische Abbildung berücksichtigt werden. Eine geschlossene Modellbildung gelingt deshalb nur mit niten Netzwerkelementen. Als weitere Schwierigkeit kommt hinzu, dass die Idealisierung einer Membran (keine Biegesteife) technisch kaum realisierbar ist. Die Modellbildung soll deshalb den Plattenfall enthalten (Folie mit Membranspannung und Biegesteigkeit). Die Superposition der Modelle von Membran und Biegeplatte ist wegen der Kraftaddition an den Modellknoten möglich. Auch hier bewährt sich die Wahl der Flussgröße Kraft. In Abbildung 6.28 ist die durch Zusammenschaltung gewonnene Netzwerkabbildung der gespannten Streifenplatte dargestellt. G, E , n,T

d

"x 1

F

1

Systempunkte: "n R,1

2/"x 1 "nT ,1 v1

"x N

2

N

"n R,2 " +2

" +1

F

b

"x 2

" +N

2/"x 2 "nT ,1

"m1

finites Element der gespannten Steifenplatte

"nT ,2 v2

"n R,i

2/"x N "nT ,2

"nT ,N vN

"m2

"x i 2 FT "x i  E I

"nT ,i 

"n R,N

FT  T bd E 

E 1  n2

"nT ,N

"mN

"mi  Gbd"x i

i  1K N

bd 3 I 12

Abbildung 6.28. Dynamisches Modell der gespannten Streifenplatte

204

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Untersuchungen zu den Abbildungsfehlern durch die Diskretisierung zeigen, dass sich bereits mit 11 Teilabschnitten (Systempunkten) gute Ergebnisse erzielen lassen. Eine Berechnung mit Netzwerkanalyseprogrammen bereitet deshalb kaum zeitliche Probleme. Auf jeden Plattenabschnitt muss nun noch der mechanisch-akustische Wandler (\ ) aufgesetzt werden. Die akustischen Wandler vereinen ihren Schall uss bei ortsunabhängigem Druck. Auf den akustischen Ausgang wirkt die komplexe Belastung ] a durch das Schallfeld und die Belastung durch die verlustbehaftete akustische Nachgiebigkeit des Rückvolumens. Nach schaltungstechnischer Zusammenfassung von Bauelementen ergibt sich Abbildung 6.29. Die Berechnung des Schalldruckes im Schallfeld kann dann aus der Gesamtgeometrie des mehrstreigen Wandlers mit den üblichen akustischen Lösungsmöglichkeiten erfolgen [47]. Für den Nutzer des Ultraschallwandlers war es zweckmäßig, einen Ersatzkolbenstrahler zu denieren, der im Fernfeld die gleichen Wirkungen erzeugt.

p q W ,b N 1g

2

q W,1

bY g

FW

"n

FW

2"n vb N 1g

"m F b N 1g

bY g

2

bN  1g 2

2

"m F1

1

q W ,0

bY g

q

q W,1

bY g

q W ,b N 1g

FW

FW

2"n

2"n

v1 "m

v0 "m

F0

bY g

FW

"n

2"n v1

1

vb N 1g

"m F b N 1g

F1

0

2

Za

i

2

2

bN  1g 2

Abbildung 6.29. Modell nach Abbildung 6.28 mit akustischer Belastung

6.3.2 Flüssigkeitsgefülltes Druckübertragungssystem eines Dierenzdrucksensors Im Rahmen von Forschungsarbeiten [49, 50] wurden miniaturisierte Druckund Dierenzdrucksensoren mit piezoresistivem Silizium-Messelement entwickelt (s. Abb. 6.30). Die Druckübertragung erfolgt über eine galvanisch auf einem Edelstahlkörper abgeschiedene Trennmembran und üssigkeitsgefüllte Kapillarleitungen.

6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen

205

Abbildung 6.30. Aufbau der Druck- und Dierenzdrucksensoren und Zuordnung der akustischen Bauelemente

Gegenstand des Entwurfs in [49] war die Dimensionierung des akustischen Tiefpass-Systems bestehend aus metallischer Trennmembran und Ölfüllung. Dabei sollte einerseits ein ausreichender Arbeitsfrequenzbereich, aber andererseits auch die erforderliche Dämpfung von Überlastdruckspitzen, die zu einer Zerstörung des Silizium-Messelementes führen würden, gesichert werden. In Tabelle 6.4 sind die Ausgangsgrößen für den Netzwerkentwurf zusammengefasst. Das Netzwerkmodell der Kapillarsysteme für beide Seiten der Druckzuführung zum Silizium-Dierenzdruckmesselement ist in Abbildung 6.31 dargestellt. Die Zuordnung der Bauelemente zu den Bauteilen und Hohlräumen ist aus Abbildung 6.30 erkennbar. Die Berechnung der akustischen Bauelemente — akustische Nachgiebigkeit Q , akustische Masse P , akustische Reibung ] — erfolgt auf Basis der in Tabelle 6.4 angegebenen Werte. In Abbildung 6.32 ist das akustische Gesamtmodell des üssigkeitsgefüllten Dierenzdrucksensors angegeben. Die Trennmembranen wurden durch die Reihenschaltung von akustischer Nachgiebigkeit Qtm , Masse Ptm und Reibung ]tm als konzentrierte Bauelemente abgebildet. Das Ölfüllunterziehvolumen wird als parallel liegende Nachgiebigkeit Qbett berücksichtigt. Mit diesem Netzwerkmodell lässt sich die Druckübertragungsfunktion E di =

sSi s

mit dem numerischen Schaltungsberechnungsprogramm PSPICE berechnen. In Abbildung 6.33 ist deren Frequenzverlauf im Vergleich mit der Messkurve angegeben. Zwar stimmt der qualitative Verlauf grob überein, quantitativ sind jedoch sehr große Abweichungen bis zu 60 dB erkennbar. Die Ursache dieser

206

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern Tabelle 6.4. Ausgangsgrößen des Dierenzdrucksensors

Bauelement

Parameter

Wert

Messelement

Kantenabmessungen

(3 x 3) mm

Höhe

1,2 mm

2

Silizium auf Borosilikatglas

Sockel

Membranträger

Trennmembran

Füllmedium

3

Silizium-Druckmessplatte

(2,4 x 2,4 x 0,04) mm

Messbereich

100 mbar

Kantenabmessungen

(25 x 12,5) mm

Höhe

1,2 mm

Werkstoff

LTC-Keramik

Durchmesser

12 mm

Höhe

5 mm

2

Durchgangsbohrung

 0,8 mm

Werkstoff

Edelstahl, DIN1.4404

Durchmesser

9 mm

Dicke

0,02 mm

Höhe über Membranbett

0,035 mm

Werkstoff

galvanisch Nickel

Silikonöl

Baysilone M100

kinematische Viskosität

0,093 Pa s

dynamische Viskosität

10 m s

-4

2 -1

Abweichungen ist die Abbildung der Nachgiebigkeit des Ölvolumens zwischen Trennmembran und Membranbett als ein konzentriertes Bauelement und die Vernachlässigung von Reibungseekten in dem spaltförmigen Druckübertragungskanal zwischen dem Außenradius der Membran und der Membranmitte. Daher ist es erforderlich, das System Unterziehvolumen und Trennmembran mit verteilten Parametern zu beschreiben. Als Lösungsansatz werden nite Netzwerkelemente verwendet. Die Segmentierung von Trennmembran und Ölunterziehvolumen ist in Abbildung 6.34 für fünf Glieder dargestellt. Die Trennmembran und das Unterziehvolumen werden in fünf kreisringförmige Streifen unterteilt. Auf Grund der unterschiedlichen Membranstreifennachgiebigkeiten ergeben sich trotz einheitlicher Druckanregung s unterschiedliche Drücke s11 = = = s15 in den Unterziehvolumenstreifen. Die Druckdierenzen zwischen zwei benachbarten Volumenstreifen erzeugen jeweils einen Volumenstrom t 12 = = = t 45 . Die Ausgangsgröße

6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen

207

Abbildung 6.31. Netzwerkmodelle des Kapillarsystems für die s+ - und s3 -Seite des Dierenzdrucksensors

Abbildung 6.32. Gesamtmodell des Fluidsystems mit Trennmembranen und Silizium-Druckmessplatte

Abbildung 6.33. Mit konzentrierten akustischen Bauelementen berechneter und experimentell aufgenommener Übertragungsfunktionsverlauf |E dig | = i ($)

208

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Abbildung 6.34. Segmentierung der Trennmembran und des Unterziehvolumens in fünf gleichbreite Kriesringglieder

dieses niten Netzwerkmodells ist der Druck s15 = s2 im mittleren Segment, der die Eingangsgröße für das anschließende Kapillarsystem bildet. Das Netzwerkmodell mit den niten Netzwerkelementen für die Trennmembran mit Unterziehvolumen ist in Abbildung 6.35 für fünf Glieder dargestellt. Es besteht aus der Parallelschaltung der Membransegmente und der Reihenschaltung der Unterziehvolumenelemente. Die Zusammenführung dieses niten Netzwerkmodells für Trennmembran und Unterziehvolumen mit dem Netzwerkmodell des Kapillarsystems und SiliziumMesselement führt zu einem Gesamtmodell, das die Berechnung der Übertragungsfunktion des Dierenzdrucksensors E di ermöglicht. Das Ergebnis ist in Abbildung 6.36 für 70 Glieder dargestellt. In sehr guter Näherung entspricht es dem experimentell ermittelten Verlauf. Durch Variation des Unterziehvolumens und der Kapillarabmessungen kann jetzt der gewünschte Frequenzverlauf, wie in Abbildung 6.37 angegeben, eingestellt werden.

6.3 Modellbildung mit niten Netzwerkelementen bei Wandlerstrukturen

209

Abbildung 6.35. Netzwerkmodell von Trennmembran und Unterziehvolumen mit fünf niten Netzwerkelementen

Abbildung 6.36. Verlauf der theoretisch und experimentell ermittelten Druckübertragungsfunktion des Dierenzdrucksensors |E dig |

Abbildung 6.37. Ein uss der Variation des Kapillarradius und des Unterziehvolumens des Dierenzdrucksensors auf den Übertragungsfunktionsfrequenzverlauf |E dig |

210

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden Die sich erweiternden rechentechnischen Möglichkeiten haben dazu geführt, dass die Ansprüche an die Simulation für den Entwurf und die entwurfsbegleitende Optimierung elektromechanischer Systeme steigen. Hierbei steht insbesondere die Forderung nach einer e!zienten Vorausberechnung hinsichtlich des notwendigen Näherungsgrads, der Schnelligkeit der Modellerstellung, der Schnelligkeit des Entwurfs- bzw. Optimierungsprozesses und der Handhabbarkeit durch die Entwurfsingenieure im Vordergrund. Für komplexe dynamische Systeme ist dies in vielen Fällen allein mit Netzwerkmethoden nur eingeschränkt möglich. Eine vorteilhafte Möglichkeit der e!zienten Vorausberechnung elektromechanischer System ist die Verbindung von Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden (FE-Methoden) auf Anwenderebene. Bei dieser sogenannten „Kombinierten Simulation”, dieser Begri wird in diesem Buch als Eigenname verwendet, erfolgt die Verbindung durch den Anwender auf den programmeigenen Bedienober ächen üblicher Netzwerkprogramme (OrCAD R , NASTRAN, CAPTURE, MICRO-CAP etc.) und FE-Programme (ANSYS° ABAQUS, COMSOL etc.). Durch die Beschränkung auf die Anwenderebene bei der Verwendung dieser beiden Methoden ist die Kombinierte Simulation im Gegensatz zur Gekoppelten Simulation [51] unabhängig von speziellen Simulationsprogrammen. Sie ist eine lehrbare Methode, bei der sowohl Netzwerk- als auch FE-Modelle problemangepasst angewandt werden, um eine e!ziente Vorausberechnung zu ermöglichen. In diesem Abschnitt wird zunächst die Vorgehensweise bei der Verbindung von Netzwerkmethoden und Finite-Elemente-Methoden auf Anwenderebene vorgestellt und anschließend an zwei Beispielen verdeutlicht. 6.4.1 Verbindung von Netzwerkmethoden und Finite-Elemente-Methoden auf Anwenderebene Bei der Kombinierten Simulation erfolgt eine problemangepasste Verbindung von Netzwerkmethoden und FE-Methoden. Die Simulationsaufgabe wird dazu in Teilaufgaben zerlegt, die mit der jeweils angepassten Methode bearbeitet werden. Dies kann bedeuten, dass die Erstellung eines Netzwerkmodells einer komplizierten Struktur stückweise mit FE-Methoden erfolgt [52]. Ebenso kann ein FE-Modell durch Netzwerkmethoden vereinfacht werden. Dazu werden die im FE-Modell nicht oder nur schwer modellierbaren Teilsysteme durch Ersatzstrukturen auf Basis von Netzwerkmethoden dargestellt [53]. Finite-Elemente-Methoden Die FE-Methode ist ein numerisches Verfahren für die Lösung physikalischer Probleme in räumlich in mindestens einer Dimension ausgedehnten Strukturen

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

211

und Kontinua. Diese räumlich ausgedehnten Strukturen oder Kontinua werden dazu in kleine Teile zerlegt, die als „Finite-Elemente” bezeichnet werden. Deren Verhalten wird durch ein mathematisches Modell des physikalischen Problems beschrieben. Im einfachsten Fall benutzt das mathematische Modell eine lineare Ansatzfunktion. Die Stützstellen der Lösung sind die sogenannten Knoten, die sich je nach Ansatzfunktion an den Ecken und an den Kanten der Finiten-Elemente benden. Weiterführende Betrachtungen zur Theorie und zur Anwendung von FE-Methoden sind z. B. in [54] zu nden. Ursprünglich wurden FE-Methoden nur zur Lösung strukturmechanischer Probleme verwendet. Sie sind jedoch heute für die Lösung vieler anderer physikalischer Probleme und Wechselwirkungen geeignet. Die Lösbarkeit eines speziellen physikalischen Problems oder einer Wechselwirkung zwischen physikalischen Ebenen hängt dabei von der Implementierbarkeit in dem verwendeten FE-Programm ab. Für einige Simulationsaufgaben fehlen deshalb Simulationsmöglichkeiten. In der Praxis sind der Lösung von FE-Modellen weitere Grenzen durch die numerische Stabilität und die Größe des mathematischen Modells gesetzt. Die Vorausberechnung des dynamischen Verhaltens elektromechanischer Systeme ist hierdurch in vielen Fällen nicht geschlossen möglich oder sehr zeitaufwendig. Erstellung von Netzwerkdarstellungen mit Hilfe von FE-Methoden Eine sehr e!ziente Erstellung von Netzwerkabbildungen gelingt in vielen Fällen mit Hilfe von FE-Methoden. Insbesondere für räumlich ausgedehnte Strukturen und komplizierte Geometrien erlaubt dies eine schnellere Modellerstellung und einen besseren Näherungsgrad des Netzwerkmodells. Ist die Netzwerkstruktur einer Anordnung bereits a priori bekannt, genügen einfache FE-Analysen zur Bestimmung der Bauteilparameter des Netzwerks. Es kann jedoch auch die Netzwerkstruktur für eine Anordnung bestimmt werden. Dies gelingt z. B. durch eine harmonische FE-Analyse. Die Vorgehensweise bei der Erstellung von Netzwerkabbildungen mit Hilfe von FE-Methoden entspricht der generellen Vorgehensweise bei der Erstellung von Netzwerkmodellen für lineare oder näherungsweise linearisierbare elektromechanische Systeme (s. Kap. 3 bis 5). Zunächst ist die Simulationsaufgabe auf die zur Beantwortung der jeweiligen Fragestellung notwendige Größe abzurüsten. Anschließend wird das System in Teilsysteme zerlegt und an den Schnittpunkten werden Netzwerkkoordinaten eingeführt. Für räumlich ausgedehnte Kontinua, wie z. B. uidische Systeme, erfolgt die Zerlegung in Teilkontinua mit räumlich gemittelten Netzwerkkoordinaten an den Schnitt ächen (s. Abschn. 3.3). Teilsysteme mit bekannter Netzwerkdarstellung werden in der Netzwerkebene abgebildet. Unbekannte Teile des Systems werden als allgemeine N-Tore angesetzt, die mehrere physikalische Ebenen umfassen können. Für eine zweckmäßige Netzwerkmodellierung sind die Teilsysteme quellenfrei zu wählen, so dass passive lineare oder linearisierbare N-Tore resultieren. Das

212

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Verhalten dieser N-Tore wird durch geeignete Systemgleichungen beschrieben [55]. Die Koe!zienten dieser Systemgleichungen werden durch ein FEModell des Teilsystems bestimmt. Da sich das FE-Modell auf das Teilsystem beschränkt ergeben sich im Allgemeinen kurze Rechenzeiten. Abbildung 6.38 zeigt die Vorgehensweise bei der Erstellung einer Netzwerkabbildung mit Hilfe von FE-Methoden. Für das akustische Teilsystem des dargestellten piezoelektrischen Signalgebers sind sowohl die Netzwerkstruktur als auch die Parameter der Bauelemente bekannt. Für die piezoelektrische Unimorph-Biegeplatte lässt sich ebenfalls eine Netzwerkstruktur nden. Die zweckmäßige Bestimmung der Bauteilparameter der Schaltung der piezoelektrischen Biegeplatte gelingt durch einfache FE-Analysen [56]. piezoelektrischer Signalgeber i p

u

gesucht: Netzwerkabbildung

q

piezoelektrische UnimorphBiegeplatte

Netzwerkstruktur bekannt

akustisches Teilsystem

FEM liefert Parameter

(CB , X , M a ,K , N a ,K ) M a ,K N a ,K q U

i

u

CB

Netzwerkstruktur und -parameter bekannt

(X )

p

U

q

p

M a ,R Z a ,R

U

N a ,R

U

q

p

M a ,S Z a ,S

N a ,V

elektroakustisches Gesamt-Netzwerk

Abbildung 6.38. Netzwerkabbildung mit Hilfe von FE-Methoden am Beispiel eines piezoelektrischen Signalgebers (Die Schaltungsdarstellung des piezoelektrischen Wandlers ist im Abschnitt 9.2 angegeben)

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

213

Für die praktisch wichtigen Fälle des Zweipols und des Zweitors für harmonische Vorgänge im eingeschwungenen Zustand werden nachfolgend wichtige Vorgehensweisen bei der Erstellung des Netzwerks dargestellt. Für einen Zweipol resultiert als Koe!zient der Systemgleichung die frequenzabhängige, komplexe Impedanz oder Admittanz. Diese kann in der Form bereits in Netzwerkanalyseprogrammen z. B. durch Hinterlegung in Tabellenform realisiert werden. Für ein e!zientes Netzwerkmodell, welches auch ein Verständnis der Funktionsweise erlaubt, ist eine vollständige oder näherungsweise Darstellung der Impedanz oder Admittanz durch Elementarbauelemente anzustreben. Sie ist aber nicht grundsätzlich möglich und erfordert oft eine weitere Einschränkung oder Linearisierung des Modells. In vielen Fällen ist a priori Wissen über die Netzwerkstruktur vorhanden, so dass nur die Parameter der Elementarbauelemente aus der FE-Lösung bestimmt werden müssen. In Fällen, in denen die Netzwerkstruktur nicht bekannt ist, kann sie aus den tabellarisch vorliegenden Ergebnissen der FE-Analyse mit den Methoden der Netzwerkanalyse und Netzwerksynthese bestimmt werden. Für einfache Netzwerke ist meist auch eine heuristische Vorgehensweise mit stückweiser Interpretation der frequenzabhängigen Impedanz oder Admittanz durch Elementarbauelemente zielführend. Eine näherungsweise Abbildung der komplexen Impedanz durch Elementarbauteile kann äquivalent zu der im Abschnitt 6.1 beschriebenen Vorgehensweise erfolgen. Für ein Zweitor ergibt sich die Beschreibungsmöglichkeit durch die Impedanz-, Admittanz-, Hybrid- oder Kettenmatrix. Die Wahl der verwendeten Zweitormatrix bestimmt die notwendigen FE-Analysen zur Berechnung der Elemente der Matrix. Für Zweitore in einer physikalischen Ebene kann die Zweitormatrix anschließend als T-Schaltung oder -Schaltung mit komplexen Impedanzen interpretiert werden. Bei Zweitoren mit verschiedenen physikalischen Ebenen resultiert, wie in Abschnitt 6.1.4 dargestellt, eine von drei möglichen Netzwerkstrukturen mit einem idealen Wandler und zwei komplexen Impedanzen. Die Abbildung der komplexen Impedanzen durch Zusammenschaltung von Elementarbauteilen erfolgt analog der Vorgehensweis bei dem Zweipol. An dieser Stelle ist anzumerken, dass bei der Wahl einer unzweckmäßigen Zweitormatrix geringe Abweichungen der FE-Lösung zu ungenauen oder falschen Netzwerkdarstellungen führen. In Abschnitt 6.4.2 wird aus diesem Grund ein zweiter Weg zur näherungsweisen Bestimmung der Netzwerkdarstelllung eines Zweitors angegeben. Erweiterung der Möglichkeiten der FE-Methode mit Hilfe von Netzwerkmethoden Ein zweites Anwendungsgebiet der Kombinierten Simulation ist die Erweiterung der Möglichkeiten von FE-Methoden mit Hilfe von Netzwerkmethoden. Eine geschlossene Simulation des dynamischen Verhaltens elektromechanischer Systeme in einem FE-Modell ist vielfach nicht möglich oder äußerst zeitaufwendig. Dies liegt daran, dass die Modellierung einiger physikalischer

214

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Eekte und Wechselwirkungen nicht in dem verwendeten FE-Programm implementiert ist, oder deren Abbildung einen hohen Modellaufwand z. B. durch ein sehr feines Netz erfordert. In vielen dieser Fälle kann mit Hilfe von Netzwerkmethoden eine eektivere Modellierung des Systems in einem FE-Modell erfolgen. Die Netzwerkmethoden werden hierbei entweder als Zwischenschritt bei der Erstellung des FE-Modells oder als Teil des FE-Modells angewandt. Die Verwendung der Netzwerkmethode als Zwischenschritt bei der Modellerstellung eines FE-Modells wird im Abschnitt 6.4.3 an einem Beispiel verdeutlicht. Es basiert zum einen auf der Anwendung von in Netzwerkmethoden a priori bekanntem Wissen. Zum anderen kann eine Netzwerkdarstellung eines Teilsystems in der Netzwerkebene in eine andere Darstellung überführt werden, wobei das nach außen wirksame Klemmenverhalten des Netzwerks in dem betrachteten Arbeitsbereich wirkungsgleich bleibt. Zunächst wird dazu das Teilsystem in dem FE-Modell separiert, indem Schnittpunkte, -linien oder - ächen zu dem verbleibenden Modell eingeführt werden. An den Schnittpunkten, -linien oder - ächen werden Netzwerkkoordinaten deniert, so dass das Teilsystem durch ein Netzwerk beschrieben werden kann. Hierbei ndet im Allgemeinen schon eine Modellreduktion statt. In der Netzwerkebene wird die Netzwerkdarstellung des Teilsystems mit Hilfe der Netzwerkmethoden umgeformt. Die modizierte Netzwerkdarstellung des Teilsystems wird anschließend in eine „Ersatzstruktur” überführt, welche mit Finiten-Elementen in dem FE-Modell abgebildet wird. Die Umformung der Netzwerkdarstellung erfolgt dabei so, dass die resultierende Ersatzstruktur e!zient mit FE-Methoden modelliert werden kann. Das FE-Modell dieser nach außen wirkungsgleichen Ersatzstruktur kann im Inneren ein Modell für andere physikalische Zusammenhänge sein. Ein Beispiel dafür ist die in Abbildung 6.39 dargestellte Modellierung einer akustischen Reibung durch eine Ersatzstruktur mit einer mechanischen Reibung. Entsprechend der Annahmen bei der Ableitung der Ersatzstruktur wird die reale Struktur nur in einem eingeschränkten Arbeitsbereich näherungsweise abgebildet. Ein zweiter Weg der Erweiterung der Möglichkeiten von FE-Modellen durch Netzwerkmethoden besteht in der Einbindung von Netzwerkdarstellungen in das FE-Modell. Dies geschieht durch Finite-Elemente, die Netzwerk-Elementarbauteile modellieren. Ziel ist dabei, eine Teilstruktur oder ein Teilkontinuum näherungsweise durch eine Netzwerkdarstellung abzubilden, um ein schnell berechenbares FE-Modell der Gesamtanordnung zu erhalten. Die meisten verfügbaren FE-Programme enthalten zweiknotige Finite-Elemente für mechanische und zum Teil auch für elektrische Elementarbauteile. Mit deren Hilfe können in einem FE-Modell Teilstrukturen durch einfache Netzwerke modelliert werden. Analog zu der weiter oben beschriebenen Vorgehensweise ist dazu das Teilsystem zu separieren. Die Berechnung des Netzwerks mit den Elementarbauteilen in FE-Darstellung erfolgt innerhalb des FE-Modells, so dass an den Elementarbauteilen die Freiheitsgrade und Lasten entsprechend der Denition der Finiten-Elemente vorliegen. Bei der Erstellung und Auswertung des Netzwerks ist der Unterschied zwischen diesen Freiheitsgraden und Lasten des

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

215

akustische Reibung Netzwerkdarstellung

p q

akustisch wirkungsgleich

1

Za

q

rA

p q

p

rA = Za × A 2

2

F

v

p=F

A q = Av

Umformung

q

3

Ersatzstruktur für FE-Modell

p

Abbildung 6.39. Ableitung einer wirkungsgleichen Ersatzstruktur mit Hilfe von Netzwerkmethoden

FE-Modells und den Netzwerkkoordinaten des Netzwerkmodells zu beachten. Es ist auch die Kombination der beiden vorgestellten Wege möglich, indem eine umgeformte Netzwerkdarstellung in einem FE-Modell eingebunden wird. So kann z. B. ein elektromechanischer Wandler mit bekannter Netzwerkdarstellung in der Netzwerkebene vollständig in die mechanische Ebene überführt werden. Das mechanische Netzwerk wird anschließend durch Finite-Elemente der Elementarbauteile in das FE-Modell einer mechanischen Struktur integriert. Dadurch wird die vollständige Berechnung des elektromechanischen Systems in einem mechanischen FE-Modell möglich. 6.4.2 Kombinierte Simulation am Beispiel eines Dipol-Bass-Lautsprechers Lautsprecheranordnungen nach dem Dipol-Prinzip besitzen ein Gehäuse, bei welchem sowohl die Vorder- als auch die Rückseite des Schallwandlers oen zum Schallfeld ist. Diese Anordnung führt zu einer Richtwirkung in Form einer Acht. Im Nutzfrequenzbereich treten im Gegensatz zum Bassre exlautsprecher keine Resonanzen im Gehäuse auf. Derartige Dipol-Anordnungen werden auch als Dipol-Basslautsprecher zur Tieftonwiedergabe verwendet. Aufbau und Modellansatz des Dipol-Basslautsprechers Abbildung 6.40 zeigt den Aufbau eines Dipol-Bass-Lautsprechers. Für den Frequenzbereich von 20 Hz bis 200 Hz soll ein Modell erstellt werden, welches

216

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

sowohl eine schnelle Simulation erlaubt als auch ein Verständnis für die Wirkungsweise dieser Anordnung fördert. Für die Wirkungsweise ist die Wechselwirkung des elektrodynamischen Lautsprechers mit den akustischen Teilsystemen „Gehäuse” und „Schallfeld” bestimmend.

Abbildung 6.40. Aufbau eines Dipol-Basslautsprechers (Breite 230 mm, Höhe 380 mm, Tiefe 360 mm)

In Abbildung 6.41 ist der Ansatz für ein Netzwerkmodell dargestellt. Dieser besteht aus der bekannten Netzwerkdarstellung des elektrodynamischen Lautsprechers aus Abschnitt 8.1 auf der linken Seite. Für die Modellierung des akustischen Gebiets wird dieses Gebiet zunächst in die Teilgebiete der quaderförmigen Gehäusekammern und des Schallfelds zerlegt. Dazu werden an den Kammerönungen A1 und A2 räumlich gemittelte Netzwerkkoordinaten s1 und s2 bzw. t 1 und t 2 eingeführt. Die Abmessungen der Kammerönungen von maximal 38 cm sind klein im Vergleich zur Wellenlänge, so dass diese Modellvereinfachung eine gute Näherung darstellt. Da weder für die Kammern noch für das Schallfeld Netzwerkdarstellungen bekannt sind, werden akustische Zweitore im Netzwerkmodell angesetzt. Die Modellierung des Schallfelds als Zweitor (s. a. [16]) wird durch die zwei Önungen des Dipolgehäuses erforderlich. Beide Önungen strahlen in das Schallfeld ab und stehen gleichzeitig über das Schallfeld in Wechselwirkung. Die Elemente der dazugehörigen Zweitormatrix können für die vorliegende Geometrie nicht a priori aus den üblichen akustischen Näherungen gewonnen werden. Die unbekannten Teile des Netzwerkmodells lassen sich mit Hilfe der FEMethode sehr schnell und genau bestimmen. Dafür genügen vergleichsweise einfache FE-Modelle, welche dennoch eine sichere Abbildung funktionsrelevanter Eekte in die Netzwerkebene erlauben.

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden elektrodynamischer Lautsprecher

Gehäuse

q

217

Schallfeld

1

i RW LW

u

Fp

FW

uW = Blv v F i= W Bl

uW

v=

nW rW mW

q

q

vordere Kammer

p

1

A p F p = Ap

Schallfeld

p

hintere Kammer

2

q

2

Abbildung 6.41. Ansatz eines Netzwerkmodells des Dipol-Basslautsprechers

Ableitung der Netzwerkdarstellung des Schallfelds Aufgrund der nicht gleichphasigen Schall üsse durch die beiden Önungen des Dipolgehäuses und der Anordnung sowie der Form der beiden Önungen können übliche Schallfeldabbildungen hier nicht verwendet werden. Mit Hilfe von FE-Methoden gelingt aber die Ableitung eines Netzwerkmodells mit sehr gutem Näherungsgrad. Das Schallfeld eines Lautsprechergehäuses, welches zwei Önungen zum Schallfeld aufweist, lässt sich durch einen akustischen Zweitor darstellen (Abb. 6.42). Für Vorgänge im Bereich der linearen Akustik ist dies ein passiver linearer umkehrbarer Zweitor mit der Impedanzmatrix 4 3 4 3 4 3 t1 s1 ] a>S1 ] a>M D · C D. C D=C s2 ] a>M ] a>S2 t2 Die Elemente ] a>Sl der Hauptdiagonale stellen die Strahlungsimpedanzen der einzelnen Kammerönungen dar. Die Nebendiagonale enthält mit unterschiedlichem Vorzeichen das Element ] a>M , welches als eine wechselseitige Strahlungsimpedanz aufgefasst werden kann. Sie berücksichtigt die Wirkung am Punkt 2 einer Ursache am Punkt 1 und umgekehrt. Für die vorliegende Geometrie sind keine analytischen Lösungen für die Bestimmung der Elemente Schallfeld

q p

2

q

q

1

2

q

1

p

1

p

1

Schallfeld

q

1

2

p

2

p

1

Z a,1

Z a,2

q

2

Z a,3 p2

Abbildung 6.42. Netzwerkabbildung für das das Dipolgehäuse umgebende Schallfeld

218

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

der Impedanzmatrix vorhanden. Analytische Lösungen existieren sowohl für Strahlungsimpedanzen als auch für wechselseitige Strahlungsimpedanzen nur für einfache Anordnungen. Für die Bestimmung der Strahlungsimpedanzen ] a>Sl und der wechselseitigen Strahlungsimpedanz ] a>M wird die das Dipolgehäuse umgebende Luft in einem halbkugelförmigen FE-Modellgebiet modelliert. Auf der Halbkugelober äche benden sich akustische Fernfeldelemente. Abbildung 6.43 zeigt die Symmetrieebene dieses Modells. Fernfeldelemente

q p

2

2

q

p

1

1

Fluidelemente

Abbildung 6.43. FE-Modell zur Bestimmung der Netzwerkdarstellung des Schallfelds (nur Symmetrieebene dargestellt)

Mit dem FE-Modell lassen sich zunächst die Strahlungsimpedanzen der rechteckförmigen Gehäuseönungen ermitteln. Beispielhaft ist die resultierende Strahlungsimpedanz einer Gehäuseönung in Abbildung 6.44 dargestellt. Dafür betrachtet man jeweils nur eine Önung während die jeweils andere Önung verschlossen ist. An der betrachteten Önung wird eine starre, masselose Platte mit mechanischen Elementen modelliert und mit einer bekannten Kraft angeregt. Eine harmonische Analyse liefert die Auslenkung der Platte, woraus zunächst eine mechanische Impedanz und anschließend die akustische Strahlungsimpedanz berechnet werden kann. Die Struktur der Netzwerkdarstellung des Schallfelds ergibt sich aus der im Abschnitt 8.1.2 für den elektrodynamischen Lautsprecher angegebenen analytischen Lösung. Für tiefe Frequenzen folgt für die Strahlungsimpedanz ] a>Sl = ]a>Sl + j$ · Pa>Sl

mit

]a>Sl = i ($)  $ 2

als eine Reihenschaltung einer akustischen Masse Pa>Sl und einer frequenzabhängigen akustischen Reibung ]a>Sl (s. Abb. 6.44 rechts). Aus dem Frequenzgang der mit FE-Methoden berechneten komplexen Strahlungsimpedanz (s. Abb. 6.44 links) lassen sich die Parameter Pa>Sl und ]a>Sl der Strahlungsimpedanz für die rechteckförmigen Gehäuseönungen ableiten.

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

219

4

10

Za / Ns/m

5

FE-Lösung Netzwerkansatz

q M a,Si i

3

10

p 2

Im {Z a }

10

Za,Si

i

Re {Z a }

1

10

10

100 Frequenz / Hz

1000

Abbildung 6.44. Strahlungsimpedanz einer Gehäuseönung (links) und resultierende Netzwerkdarstellung (rechts)

Zur Bestimmung der wechselseitigen Strahlungsimpedanz wird wiederum die Fläche einer Önung mit einer starren Platte versehen und mit einer Geschwindigkeit angeregt. An der verschlossenen Fläche der anderen Önung wird der resultierende mittlere Druck bestimmt. Die wechselseitige Strahlungsimpedanz kann anschließend berechnet werden. Für die Ableitung einer genäherten Netzwerkdarstellung für einen weiten Frequenzbereich wird für die wechselseitige Strahlungsimpedanz eine komplexe akustische Impedanz nach folgendem Ansatz    $ j $ g ] a>M = j 0 · e f0 eff f0 4 · ge gewählt. Der Ansatz beruht auf analytischen Lösungen der wechselseitigen Strahlungsimpedanz zweier Punktstrahler und enthält nur einen geometrieabhängigen Parameter. Dieser Parameter ist der sogenannte eektive Abstand ge . Durch Vergleich des Ansatzes mit der Lösung des FE-Modells, lässt sich der eektive Abstand für die vorliegende Geometrie bestimmen. Um aus dem Zweitor für das Schallfeld ein handhabbares Netzwerkmodell zu erhalten, kann dieser Zweitor in Form einer T-Schaltung (Abb. 6.42 rechts) dargestellt werden. Die Bauelementeparameter der T-Schaltung   j f$ geff

] a>1 = ] a>S1  ] a>M = ]a>S1 + j$ · Pa>S1  j

0 $ ·e f0 4 · ge

] a>2 = ] a>S2  ] a>M = ]a>S2 + j$ · Pa>S2  j

0 $ ·e f0 4 · ge

] a>2 = ] a>M = j

  j f$ geff

0 $ ·e f0 4 · ge

0

  j f$ geff 0

0

resultieren aus der Zweitormatrix. Diese Bauelementeparameter enthalten hierbei komplexe Funktionen, deren Implementation in Netzwerkanalyseprogramme aber problemlos möglich ist. Mit weiteren Einschränkungen hinsichtlich des betrachteten Frequenzbereichs könnten diese Funktionen auch mit Elementarbauelemente dargestellt werden.

220

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Ableitung der Netzwerkdarstellung der Gehäusekammern Die ungewöhnliche Form der beiden quaderförmigen Kammern des Dipolgehäuses erfordert die Verwendung eines FE-Modells zur Ableitung der Netzwerkdarstellung. Wie bereits beschrieben, erfolgt zunächst der Netzwerkansatz als Zweitor. Eine systematische Ableitung der Zweitorparameter ist in der bekannten Weise durch numerische Berechnung des Klemmenverhaltens des Zweitors bei verschiedenen Randbedingungen möglich. Es kann jedoch gezeigt werden, dass je nach Wahl der Randbedingung numerische Fehler das Ergebnis verfälschen und die Ableitung der richtigen Zweitorparameter erschweren. Hier soll eine zweite, heuristische Vorgehensweise vorgestellt werden. Dazu wird eine Gehäusekammer mit der realitätsnahen Randbedingung der Abstrahlung ins Freifeld simuliert. Für dieses in Abbildung 6.45 dargestellte Modell einer Gehäusekammer mit Schallfeld wird die akustische Eingangsimpedanz ] a am Ort des Lautsprechers berechnet. Fernfeldelemente Gehäusekammer

Schallfeld

Abbildung 6.45. FE-Modell zur Bestimmung der Netzwerkdarstellung einer Gehäusekammer (nur Symmetrieebene dargestellt)

Die resultierende Eingangsimpedanz ist in Abbildung 6.46 links dargestellt. Für tiefe Frequenzen wirkt die Kammer nur als akustische Masse. Bei ca. 200 Hz ergibt sich eine Resonanz, über der die Gehäusekammer mit Schallfeld als akustische Nachgiebigkeit wirkt (s. Phasenfrequenzgang in Abb. 6.46 links). Im interessierenden Frequenzbereich lässt sich daraus eine Parallelschaltung einer akustischen Masse und einer akustischen Nachgiebigkeit ableiten. Mit der bekannten Strahlungsimpedanz der rechteckförmigen Kammerönung folgt die in Abbildung 6.46 auf der rechten Seite dargestellte Netzwerkstruktur für die Kammer. Die Parameter der beiden Bauelemente können ebenfalls aus der FE-Lösung bestimmt werden, so dass sich mit dem Netzwerkmodell eine gute Näherung für den interessierenden Frequenzbereich ergibt (s. Abb. 6.46 links).

|Za| / Ns/m5

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

221

6

10

Gehäusekammer

4

10

q

j(Za) / rad

10

100

i

M a,Vi

Schallfeld

M a,Si

1000

p

2

i

0

Za,Si

N a,Vi

FE-Lösung Netzwerkansatz

-2 10

100 Frequenz / Hz

1000

Abbildung 6.46. Akustische Eingangsimpedanz einer Kammer des Dipol-Gehäuses (links) und resultierende Netzwerkstruktur (rechts)

Netzwerkmodell des Dipol-Basslautsprechers Mit Hilfe von FE-Simulationen kann nun ein Netzwerkmodell für den DipolBasslautsprecher aufgestellt werden. Abbildung 6.47 zeigt dieses Netzwerkmodell. Der resultierende Schalldruck in einer bestimmten Entfernung kann analytisch oder durch eine geeignete Netzwerkdarstellung aus den Schall üssen t 1 und t 2 bestimmt werden. Dazu wird jedoch ein weiterer Parameter benötigt, welcher den wirksamen Abstand zwischen den als Schallquellen wirkenden Önungen des Dipolgehäuses kennzeichnet. Dieser sogenannte eektive Quellabstand entspricht nicht dem geometrischen Abstand der beiden Önungen, da Brechungs- und Beugungseekte am Gehäuse mit berücksichtig werden müssen. Wie man zeigen kann, lässt sich dieser eektive Quellabstand in guter Näherung durch den eektiven Abstand aus den wechselseitigen StrahlungsDipolgehäuse

M a,V1 N a,V1

i RW LW

u

uW

uW = Blv

i=

FW Bl

FW

Fp

v

nW rW mW

v=

q

q

A p F p = Ap

Schallfeld

M a,S1 Za,S1 q

1

-Za,M Za,M

N a,V 2

-Za,M q

M a,V 2

2

M a,S2 Za,S2

Abbildung 6.47. Netzwerkmodell des Dipol-Basslautsprechers

222

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

impedanzen approximieren. Für den vorliegenden Fall ist der so ermittelte eektive Quellabstand 1,75 mal so groß wie der geometrische Abstand. Abbildung 6.48 links zeigt den daraus resultierenden Schalldruckpegel in 1 m Abstand vor dem Dipol-Basslautsprecher bei einer Eingangsspannung von x ˜ = 2> 83 V. Auf der rechten Seite ist die elektrische Eingangsimpedanz des Dipol-Basslautsprechers dargestellt Die Übereinstimmungen mit den Messergebnissen sind sowohl hinsichtlich Frequenzverlauf als auch Absolutwert sehr gut. Dabei geht der durch das Modell simulierbare Frequenzbereich von ca. 10 Hz bis 500 Hz und ist damit deutlich breiter als angestrebt.

|ZE| / %

100

Lp / dB

90

j(ZE) / rad

0

70 60 10

50

Messung 2,83 V, 1m Entf. Netzwerkmodell 100 Frequenz / Hz

1000

10

100

1000

100 Frequenz / Hz

1000

2 0 -2 10

Abbildung 6.48. Vergleich der Ergebnisse des Netzwerkmodells (gestrichelt) mit den Messergebnissen (durchgezogen) Op Schalldruckpegel, ] E Eingangsimpedanz

Die Rechenzeiten für das dargestellte Netzwerkmodell des Dipol-Basslautsprechers liegen unter einer Minute. Damit lassen sich verschiedene Varianten e!zient simulieren. Es kann z. B. der Ein uss eines anderen elektrodynamischen Lautsprechers schnell vorausberechnet werden. Für Änderungen am Dipolgehäuse muss abgeschätzt werden, inwieweit die abgeleiteten Netzwerkstrukturen und -parameter noch eine gute Näherung liefern, oder erneute FESimulationen nötig sind. 6.4.3 Kombinierte Simulation am Beispiel eines Mikrofons mit dünnem akustischen Dämpfungsgewebe In diesem Abschnitt soll die Kombinierte Simulation am Beispiel einer Mikrofonkapsel mit dünnem akustischen Dämpfungsgewebe dargestellt werden. Akustische Dämpfungsgewebe in Form von Vliesen und Geweben werden in Mikrofonen zu verschiedenen Zwecken, wie z. B. der Abstimmung des Amplitudenfrequenzgangs, verwendet. Eine weitere Anwendung akustischer Dämpfungsgewebe in Mikrofonen geschieht bei einfachen Mikrofonkapseln mit richtungsabhängiger Empndlichkeit.

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

223

Aufbau der vereinfachten Mikrofonkapsel Die Vorausberechnung der akustischen Eigenschaften einer Mikrofonkapsel mit Richtwirkung wird hier zum besseren Verständnis an einer vereinfachten Mikrofonkapsel diskutiert. Dabei wird von einem Mikrofon mit steifer Membran, wie z. B. einem Elektret-Kondensatormikrofon, ausgegangen. Auf eine detaillierte Abbildung der Membran und des Wandlers wird verzichtet. Das Innere der Mikrofonkapsel wird nur als ein Hohlraum modelliert. Abbildung 6.49 zeigt den Aufbau und die Abmessungen der vereinfachten Mikrofonkapsel. An der Vorderseite der rotationssymmetrischen Mikrofonkapsel bendet sich die Membran, welche vereinfacht als starre Struktur modelliert wird. An der Rückseite bendet sich eine weitere Önung zum Schallfeld, welche durch ein dünnes akustisches Dämpfungsgewebe abgedeckt ist. Das akustische Dämpfungsgewebe soll eine Dicke von 100 m und einen Strömungswiderstand von o = 100 Nsm3 aufweisen. Membran (Kolben)

RM = 5 mm

t = 1mm

Gehäuse

RK = 8 mm Volumen Dämpfungsgewebe

h = 5mm

RA = 3,2 mm

Abbildung 6.49. Aufbau und Abmessungen der modellierten Mikrofonkapsel

Dies stellt eine typische Anordnung für ein Mikrofon mit Richtwirkung dar. Die gewünschte Richtwirkung wird hierbei je nach Geometrie der Mikrofonkapsel durch die Dimensionierung des Volumens und des Dämpfungsgewebes erzielt. Wie sich zeigen lässt, wird die resultierende Richtwirkung der Mikrofonkapsel selbst für niedrige Frequenzen durch Brechung und Beugung des Schalls am Mikrofongehäuse stark beein usst. Eine Modellierung mit Netzwerkmethoden auf Basis der Mikrofongeometrie und vereinfachter akustischer Annahmen zum Schallfeld führt hier zu falschen Ergebnissen. Um hinreichend genaue Ergebnisse zu erhalten, ist die Modellierung der Mikrofonkapsel bzw. des gesamten Mikrofons im Schallfeld mit numerischen Methoden wie z. B. der FE-Methode notwendig. Die Modellierung des akustischen Dämpfungsgewebes ist jedoch zurzeit nicht in allen Standard FE-Programmen möglich. Das R . Durch die nachgilt auch für das hier betrachtete FE-Programm ANSYS° folgend dargestellte Kombinierte Simulation von FE- mit Netzwerkmethoden gelingt es dennoch ein berechenbares FE-Modell zu erstellen.

224

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

Modellierung poröser akustischer Dämpfungselemente Akustische Dämpfungselemente in Form von Geweben und Vliesstoen, wie sie in einer Vielzahl elektroakustischer Wandler eingesetzt werden, gehören zu der Gruppe der oenporigen porösen Absorber. Innerhalb eines porösen Absorbers wird der Schallwelle dissipativ Energie entzogen. Dies geschieht erstens durch Reibungsverluste zwischen den schwingenden Luftteilchen und dem Absorbergefüge. Zweitens wird die Luft innerhalb des Absorbers abwechselnd komprimiert und dilatiert. Im Übergangsbereich dieser beiden Zustandsänderungen kommt es zu thermischen Verlusten. Ein dritter Verlustmechanismus kann durch verlustbehaftete Schwingungen des Absorberskeletts auftreten. Aufgrund der komplizierten Feinstruktur poröser Absorber ist es nicht zweckmäßig eine vollständige Beschreibung des Absorberskeletts zur Berechnung der Schallausbreitung im Absorber anzustreben. Vielmehr existiert eine Anzahl von strukturell einfachen Absorbermodellen (siehe z. B. [57]), welche auf Basis messtechnisch ermittelter Kennwerte des Absorbers eine analytische Beschreibung der Schallausbreitung im Absorber ermöglichen. Trotz der strukturellen Vereinfachung ist mit diesen Modellen eine gute Näherung für reale Absorber zu erhalten. Gemeinsam ist diesen analytischen Beschreibungen, dass sie von der Ausbreitung einer ebenen Welle im Absorber (s. Abb. 6.50) ausgehen, und diese Ausbreitung durch die komplexe Ausbreitungskonstante  mit s ({> w) = sˆ e{ ej$w und den komplexen Wellenwiderstand ]W =

s ({> w)

(6.26)

y ({> w)

beschreiben. Absorber g, ZW

y x

vE

p

E

v (x

)

p (x

) p

A

vA

Abbildung 6.50. Ausbreitung einer ebenen Welle in einem Rohr mit porösem Absorber

Die Angabe eines Wellenwiderstandes ] W für den Absorber ist dabei nur ausreichend, wenn dieser senkrecht zur Schallausbreitungsrichtung räumlich über

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

225

einen Bereich gemittelt wird. Der Bereich muss dabei groß im Vergleich zu den Strukturdimensionen des Absorbers, aber klein gegenüber der Wellenlänge sein. Im Folgenden sollen für alle Beschreibungen die akustischen Größen Schalldruck s und Schall uss t = y · D (D. . . Querschnitts äche) verwendet werden. Damit ergibt sich aus Gleichung (6.26) der akustische Wellenwiderstand ] a>W =

s ({> w) t ({> w)

=

]W . D

Zur Lösung einer Vielzahl akustischer Aufgabenstellungen ist es nicht notwendig, die Schallausbreitung innerhalb des Absorbers vollständig zu beschreiben. Es genügt die Kenntnis über das Verhalten der akustischen Größen an den Grenz ächen des freien Fluids zu dem Absorber. Dazu kann der Absorber als eindimensionaler verlustbehafteter akustischer Wellenleiter mit der komplexen Ausbreitungskonstante  =  + j aufgefasst werden.  ist hier die Dämpfungskonstante und  die Ausbreitungskonstante. In Erweiterung des verlustlosen eindimensionalen akustischen Wellenleiters (s. Abschn. 6.2) folgt die Kettenmatrix des verlusbehafteten Wellenleiters ¡ ¢ ¡ ¢4 3 3 4 3 4 cosh o ] a>W sinh o sE E F sA F C D=E ¡ ¢ ¡ ¢ DC D. C 1 sinh o cosh o tE tA ] a>W Für die Modellierung der vereinfachten Mikrofonkapsel kann sich auf die Betrachtung akustisch dünner Dämpfungsgewebe beschränkt werden. Das heißt, die Dicke o des Absorbers soll viel kleiner als die Wellenlänge A im Absorber sein. Für reale Absorber mit Dicken in der Größenordnung  100 m ist diese Forderung im gesamten Audio-Frequenzbereich (i  20 kHz) erfüllt. Zudem wird davon ausgegangen, dass nicht die gesamte Struktur des Absorbers mitschwingt. Als weitere Forderung soll der Schall uss durch den Absorber hindurch ießen können, so dass Kompressionseekte innerhalb des Absorbers vernachlässigt werden können. Der Schall uss vor dem Absorber t E und der Schall uss hinter dem Absorber t A seien folglich nahezu gleich (t E  t A ). Mit den angeführten Randbedingungen lässt sich das akustische Verhalten des Absorbers in guter Näherung durch die Netzwerkdarstellung in Abbildung 6.51 beschreiben. In dieser Netzwerkdarstellung stellt der erste Term in der akustischen Masse ¶  o  = Pa>L + Pa>A Pa = 0 + 0A " D die Wirkung der im Absorber mitschwingenden Luftmasse Pa>L = 0

 o · " D

226

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern q

p

E

Ma

Za

q

A

p

E

A

Abbildung 6.51. Netzwerkdarstellung dünner durch ossener Absorber

dar. Hierbei ist 0 die Dichte der Luft,  der Strukturfaktor, " die Porosität, o die Dicke des Gewebes und D die Fläche des Gewebes. Für praktische Gewebe kann der Faktor @" meist mit genügender Genauigkeit gleich 1 gesetzt werden. Zusätzlich können durch den zweiten Anteil Pa>A = 0A

o D

Masseanteile von innerhalb des Absorbers mitschwingenden Teilen des Absorberskeletts berücksichtigt werden. Die Größe der Ersatzdichte 0A muss dabei für den Absorber in der jeweiligen Anordnung messtechnisch ermittelt werden. Der akustische Widerstand o ]a =  D repräsentiert die Reibungsverluste im Absorber. Dabei ist  der längenspezische Strömungswiderstand. Ableitung einer akustisch äquivalenten Ersatzstruktur für die Modellierung eines akustischen Dämpfungsgewebes Das dargestellte Netzwerkmodell für dünne akustische Dämpfungselemente ist ein gut bekanntes und auf die Simulationsaufgabe reduziertes Modell. Für eine akustische Modellierung dünner akustischer Absorber in dem FE-Programm R muss dieses Netzwerkmodell in eine FE-Darstellung abgebildet werANSYS° den. Wie bereits beschrieben, ist die Darstellung von akustischen Dämpfungselementen in diesem FE-Programm jedoch nicht möglich. Wie gezeigt wurde, kann ein dünnes akustisches Dämpfungsgewebe in einem Rohr (s. Abb. 6.52 a)) mit ebenen Wellen unter bestimmten Randbedingungen als ein einfaches akustisches Netzwerk (s. Abb. 6.52 b)) dargestellt werden. In der Netzwerkebene lässt sich diese Schaltung beliebig umformen. Es kann somit auch eine Darstellung gewählt werden, die sich mit dem verwendeten FE-Programm realisieren lässt. Eine Möglichkeit ist die Transformation der akustischen Reibung und eines Teils der akustischen Masse in die mechanische Ebene mittels eines mechanisch-akustischen Wandlers (s. Abb. 6.52 c)). Dieses umgeformte Netzwerk wird anschließend in eine mechanisch-akustische Ersatzstruktur überführt, die in dem FE-Programm abgebildet werden kann (s. Abb. 6.52 d)). Die Ersatzstruktur besteht aus einer mechanischen Masse

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

227

und einer mechanischen Reibung, welche sich im FE-Modell mit Standardelementen realisieren lassen. Der mechanisch-akustische Wandler kann als starre Modellstruktur (Kolben) mit Kopplung zu den Fluid-Elementen ausgeführt werden. Die mitschwingende Luft im Absorber Pa>L wird je zur Hälfte durch Fluid-Elemente vor und hinter dem Kolben abgebildet. Dadurch wird eine Laufzeit der Schallwelle durch den Absorber von zumindest der Laufzeit der Schallwelle durch die Luft berücksichtigt.

p q

E

E

p

akustisch äquivalente Ersatzstruktur

A

q

p q

A

p

E

q

E

Luft vor/hinter dem Kolben (Ma,L)

Absorber (A, l, %)

Reibung rA

A

v

A

Kolben (Masse mA)

a)

d)

rA  Za A 2

q

p

E

M a,L M a,A

FW

Za q A p

E

ma  M a,A A 2

v

p

W



FW

A

q q

b) p

E

E

A

 Av q

E

M a,L

p

W

2

M a,L 2

A

p

A

c) Abbildung 6.52. Schrittweise Ableitung einer akustisch äquivalenten Ersatzstruktur für die Modellierung eines dünnen akustischen Dämpfungsgewebes

Unter den angeführten Randbedingungen lässt sich somit ein dünnes akustisches Dämpfungsgewebe für akustische Betrachtungen durch einen starren schwingenden Kolben mit einer mechanischen Reibung abbilden. Für die akustischen Größen außerhalb des Dämpfungsgewebes ist diese Abbildung wirkungsgleich. Abbildung 6.52 d) zeigt somit eine akustisch äquivalente Ersatzstruktur für die Modellierung dünner akustischer Dämpfungselemente. Zu be-

228

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

achten ist, dass diese Wirkungsgleichheit nur für akustische Vorgänge gilt. Sie gilt nicht für mechanische Eigenschaften des Absorbers oder für FluidStrömung. Berechnung der Richtwirkung der vereinfachten Mikrofonkapsel Mit der vorgestellten Ersatzstruktur kann nun die Modellierung der vereinfachten Mikrofonkapsel mit akustischem Dämpfungsgewebe in dem FER erfolgen. Programm ANSYS° Die elektrische Ausgangsspannung des Mikrofons ir in guter Näherung als proportional zu der Schalldruckdierenz zwischen Vorder- und Rückseite der in der Realität meist sehr steifen Membran angenommen. Für die Berechnung der Richtwirkung folgt daraus, dass diese näherungsweise aus der Schalldruckdierenz zwischen Vorder- und Rückseite einer ideal starren Struktur an dem Ort der Membran berechnet werden kann. Zur Vorausberechnung der Richtwirkung des Mikrofons wird das Mikrofon im Feld einer ebenen Welle oder einer Kugelwelle modelliert. Da mit FEMethoden nur ein begrenztes Modellgebiet realisiert werden kann, wird das Feld der einfallenden Welle durch entsprechende Randbedingungen auf dem Rand des Modellgebiets deniert. Das Schallfeld im Inneren ergibt sich in der Folge aus den Zwangsbedingungen am Rand. Das begrenzte Gebiet muss so groß gewählt werden, dass trotz der Störung durch die jeweilige Struktur im Inneren des Modellgebiets, hier der Mikrofonanordnung, auf dem Randgebiet in guter Näherung von einem ungestörten Schallfeld (z. B. der ebenen Welle) ausgegangen werden kann. Eine transiente FE-Analyse ermöglicht die Einhaltung dieser Randbedingung. Für ein zweidimensionales rotationssymmetrisches Modell muss die Rotationssymmetrie ebenso für die Welle gelten, so dass ebene Wellen nur mit einer Ausbreitungsrichtung parallel zur Symmetrieachse möglich sind. Für Kugelwellen gilt analog, dass der Quellort auf der Symmetrieachse liegen muss. Damit ist die Berechnung der Richtwirkung der Mikrofonanordnung für Schalleinfallswinkel von ^ = 0 und ^ = 180 möglich. Das FE-Modell der Mikrofonkapsel mit der akustisch äquivalenten Ersatzstruktur ist in Abbildung 6.53 links dargestellt. Die transiente Berechnung der Richtcharakteristik des Mikrofons für Winkel ungleich ^ = 0 und ^ = 180 erfordert eine dreidimensionale Modellierung. Hierbei kann für die vorliegende Mikrofonanordnung die Spiegelsymmetrie ausgenutzt werden, so dass die Modellierung einer Hälfte des Mikrofons und eines halbkugelförmigen Luftgebiets genügt. Die Vorgehensweise bei der Erstellung des FE-Modells ist analog zu der des zweidimensionalen Modells, weshalb an dieser Stelle auf eine detaillierte Beschreibung verzichtet wird. Aus den Ergebnissen der dreidimensionalen transienten Analyse kann die Richtwirkung durch die Schalldruckdierenz über der Membran der Mikrofonanordnung berechnet werden. Die entstehende Richtcharakteristik ist als Polardiagramm für ^ = [0 ; 45 ; 90 ; 135 ; 180 ; 225 ; 270 ; 315 ] in Ab-

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden Winkel S

Randbedingungen für Wellenfeld im Modellgebiet Mikrofonmodell

229

D / dB

0°

Luft

0 -12 270°

90°

Kolben

180° Reibung rA

Abbildung 6.53. Schematische Darstellung des rotationssymmetrischen FEModells und Polardiagramm der Richtwirkung (Ergebnisse zur besseren Erkennbarkeit durch Linien verbunden)

bildung 6.53 rechts dargestellt. Die Ergebnisse im Polardiagramm zeigen eine nierenförmige Richtcharakteristik dieser Mikrofonanordnung. Mit Hilfe der FE-Analyse wird es jetzt auch möglich die Funktionsweise einer Mikrofonkapsel mit nierenförmiger Richtcharakteristik nachzuvollziehen. Dazu müssen die Schalldruck-Zeit-Funktionen an den in Abbildung 6.54 denierten Positionen vor, hinter und in der Mikrofonkapsel ausgewertet werden. Schalldruck vor der Kapsel

Schalldruck in der Kapsel Schalldruck hinter der Kapsel

Abbildung 6.54. Positionen der Messpunkte für die Schalldruck-Zeit-Funktionen

Betrachtet man die Zeitfunktion der Schalldrücke bei einer senkrecht von oben einfallenden ebenen Welle (^ = 0 ) in Abbildung 6.55 links, so ist zu erkennen, dass zunächst der Schalldruck vor der Kapsel anliegt. Mit Verzögerung durch die Laufzeit um das Kapselgehäuse folgt der Schalldruck hinter der Kapsel. Der Schalldruck in der Kapsel ist durch die Anordnung von Absorber und Volumen in der Kapsel um eine zusätzliche Zeit verzögert. Dadurch ergibt sich eine Schalldruckdierenz mit einer vergleichsweise hohen Amplitude. Abbildung 6.55 rechts zeigt analog die Schalldruck-Zeit-Funktionen für eine

230

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern

senkrecht von unten einfallende ebene Welle (^ = 180 ). Diese trit zuerst an der Rückseite der Membran ein. Die Verzögerungen durch die Laufzeit um die Kapsel bzw. durch die Absorber-Volumen-Anordnung sind annähernd gleich, so dass auch die Schalldruck-Zeit-Funktionen vor und in der Kapsel nahezu gleich sind. In der Darstellung im Diagramm sind aus diesem Grund die beiden Schalldruck-Zeit-Funktionen optisch nicht getrennt erkennbar. Folglich ergibt sich für die Schalldruckdierenz über der Membran nur ein sehr geringer Wert. Ebene Welle von hinten (180°)

Ebene Welle von vorn (0°) Schalldruck:

hinter Kapsel

vor Kapsel

p / Pa

p / Pa

0

0 -1

-1 2

3

4

5 Zeit / ms

6

7

2

p / Pa

-1 3

4

5 Zeit / ms

6

4

5 Zeit / ms

6

7

0,04

0

2

3

Schalldruckdifferenz über Membran

Schalldruckdifferenz über Membran 1

p / Pa

in Kapsel

1

1

7

0

-0,04 2

3

4

5 Zeit / ms

6

7

Abbildung 6.55. Schalldruck-Zeit-Funktionen an der Mikrofonkapsel

Aus den Schalldruck-Zeit-Funktionen lässt sich weiterhin die Laufzeit zwischen der Vorderseite (Membran) und der Rückseite (Dämpfungsgewebe) der Kapsel abschätzen. Diese beträgt ca. 60 s, was einem scheinbaren Abstand von rund 20 mm entspricht. Damit ist der wirksame Abstand fast 3 mal so groß wie die Höhe der Mikrofonkapsel von kK = 7 mm. Obwohl die Abmessungen der Mikrofonanordnung (Durchmesser 18 mm) deutlich kleiner als die Wellenlänge ( = 344 mm) sind, ergeben sich für die Schalldrücke an der Membran und am Absorber erheblich größere Laufzeitunterschiede als die, die durch den geometrischen Abstand zu erwarten wären. Eine einfache analytische Betrachtung auf Basis geometrischer Abstände, wobei Druckstau- und Beugungseffekte vernachlässigt werden, würde hier keine brauchbaren Ergebnisse liefern. Nachteil der dargestellten transienten Analyse sind hohe Rechenzeiten. Für jeden Schalleinfallswinkel, jeden Schallquellenabstand und jede Frequenz sind einzelne Rechnungen durchzuführen. Eine günstige Möglichkeit der Berechnung der Richtcharakteristik eines Mikrofons ist die Anwendung der akustischen Reziprozität (s. Abschn. 10.1) bei einer harmonischen FE-Analyse. In linearen akustischen Systemen ist das Verhältnis eines Schall usses im Punkt 1 zu dem Schalldruck im Punkt 2 gleich

6.4 Kombinierte Simulation mit Netzwerk- und Finite-Elemente-Methoden

231

dem Verhältnis eines Schall usses im Punkt 2 zu dem Schalldruck im Punkt 1. Um den Schalldruck s2 an der Membran des Mikrofons zu berechnen, der von einer entfernten Schallquelle mit dem Schall uss t 1 erzeugt wird, kann auch der Schalldruck s1 an der ursprünglichen Position der Schallquelle bei einem Schall uss t 2 am Ort der Membran berechnet werden. Für Mikrofone bietet das den Vorteil, dass mit einer Berechnung die Richtwirkung für alle Winkel und Entfernungen im Modellgebiet erhalten wird. Im FE-Modell wird dazu am Ort der Membran ein Schall uss durch einen konphas schwingenden Kolben eingeprägt. Dies stellt eine gute Näherung zur Berechnung der Richtwirkung dar, solange der Ein uss der Schwingungsform der Membran auf die Richtwirkung vernachlässigt werden kann. Für die rotationssymmetrische Beispielanordnung genügt die Modellierung als zweidimensionales FE-Modell. Als Ergebnis der harmonischen Analyse resultiert die Verteilung des Schalldruckpegels im Modellgebiet. Aus dieser Lösung lässt sich das in Abbildung 6.56 abgebildete Polardiagramm zur Darstellung der entstehenden Richtcharakteristik ableiten. Es zeigt sich eine sehr gute Übereinstimmung der Ergebnisse der harmonischen und der transienten Lösungen, wodurch die Nutzung der Reziprozität bei der harmonischen Analyse bestätigt wird. D / dB

0° 0 -12

270°

90°

180°

FEM, harmonische Analyse FEM, transiente Analyse

Abbildung 6.56. Polardiagramm der Mikrofonanordnung bei i = 1 kHz in 1 m Abstand

Vergleich von Simulations- und Messergebnissen Zur Validierung des verwendeten Modellansatzes wurde ein FE-Modell einer realen Elektret-Mikrofonkapsel erstellt und mit Messergebnissen verglichen. Die Modellierung erfolgte als zweidimensionales rotationssymmetrisches Modell. Dazu wurden als Ausgangsdaten für das Modell nur die Geometrie sowie der bekannte Strömungswiderstand des Dämpfungsgewebes benutzt. Exemplarisch ist in Abbildung 6.57 ein Polardiagramm mit den Kurven für 1 kHz und 4 kHz dargestellt.

232

6 Mechanische und akustische Netzwerke mit verteilten Parametern D / dB

0°

0 -12

270°

90°

1 kHz

4 kHz 180°

Messung in 1m Abstand FEM, harmonische Analyse

Abbildung 6.57. Richtcharakteristik einer Elektret-Mikrofonkapsel in 1 m Abstand, Vergleich Messung und Kombinierte Simulation

Es zeigt eine sehr gute Übereinstimmung der vorausberechneten mit der gemessenen Richtcharakteristik. Abweichungen sind vor allem bei der Rückwärtsdämpfung (^  180 ) zu erkennen. Diese sind zum maßgeblichen Teil in der verwendeten Messanordnung begründet. Für höhere Frequenzen treten größere Abweichungen auf, die auf die stark vereinfachte Abbildung der Membran zurückzuführen sind. Berechnungen mit einem dreidimensionalen transienten Modell bestätigten eine gute Übereinstimmung zwischen Modell und Messung.

Teil III

Elektromechanische Wandler

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

In den Kapiteln 2 und 3 wurden vier Typen von linearen Netzwerken, die elektrischen, mechanisch translatorischen, mechanisch rotatorischen und akustischen Netzwerke, beschrieben. Ausgehend von den Modikationsmöglichkeiten dieser Netzwerke sind im Kapitel 5 die Koppelelemente zwischen translatorischen und rotatorischen Netzwerken sowie translatorischen und akustischen Netzwerken deniert worden. Oen geblieben ist die Frage nach der Verkopplung der mechanischen oder akustischen mit den elektrischen Teilsystemen. Ausgehend von den physikalischen Grundlagen elektromechanischer Wechselwirkungen im Abschnitt 2.4.2 werden daher im Kapitel 7 die verschiedenen Strukturen der Verkopplung zwischen den elektrischen und mechanischen Teilsystemen näher betrachtet. Das Ziel dieser Überlegungen ist die Au!ndung und schaltungstechnische Interpretation von elementaren Kopplungselementen in Form von verlustfreien Vierpolen, die der Struktur der im Kapitel 5 abgeleiteten mechanischen Wandler entsprechen. Wegen der im Abschnitt 2.4.2 getroenen Einschränkungen, sind die hier betrachteten Koppelsysteme ebenfalls linear und passiv, d. h. die Wandler enthalten keine inneren Energiequellen.

7.1 Klassikation der elektromechanischen Wechselwirkungen Bezüglich der Energieumwandlung lassen sich grundsätzlich zwei Gruppen von Wandlern (Abb. 7.1) unterscheiden. Die elektrische Energie bei Wandlern ohne Hilfsenergie (passive Wandler ) wird ausschließlich dem mechanischen Teilsystem bzw. umgekehrt entnommen. Bei Wandlern mit Hilfsenergie (aktive Wandler ) erfolgt die Steuerung eines elektrischen Stromkreises durch eine mechanische Größe. Die Steuerung des elektrischen Stromkreises beruht hier auf einer durch die mechanische Größe erzwungenen Parameteränderung von passiven Bauelementen, vorzugsweise von resistiven, kapazitiven und in-

236

7 Elektromechanische Wechselwirkungen Wandler ohne Hilfsenergie (passive Wandler)

i

F v

Wandler mit Hilfsenergie (aktive Wandler)

F GG H

Kettenmatrix

X ,Y

I JJ K

i

F Zi

u

v

h

u0

u

Hilfsenergiequelle Wandlungsrichtung Merkmale: reversible Verkopplung zwischen mechanischen und elektrischen oder magnetischen Feldgrößen

mechanische Größen steuern Leistungsfluss zwischen inneren Hilfsenergiequellen und Ausgang

keine innere Hilfsenergiequelle

innere Hilfsenergiequelle

Signalfluss ist in beiden Richtungen möglich

Signalfluss ist nur in einer Richtung, von der mechanischen zur elektrischen Seite, möglich

eingespeiste mechanische Leistung ist gleich abgegebener elektrischer Leistung und umgekehrt

Abbildung 7.1. Elektromechanische Wandler mit und ohne Hilfsenergie [, \ Wandlerkonstanten

duktiven Bauelementen. Der Signal uss ist daher nur in einer Richtung, von der mechanischen zur elektrischen Seite, möglich. Die wichtigsten physikalischen Prinzipien der verlustfreien elektromechanischen Wandler ohne Hilfsenergie sind in Tabelle 7.1 dargestellt. Je nachdem, ob elektrische oder magnetische Größen mit den mechanischen Größen verknüpft sind, lassen sich die Wechselwirkungen in zwei Gruppen, in die elektrischen und magnetischen Wandler, einteilen. Zur Gruppe der elektrischen Wandler zählen der elektrostatische und piezoelektrische Wandler. Der elektromagnetische, elektrodynamische und piezomagnetische Wandler ist der Gruppe der magnetischen Wandler zugeordnet. In Abhängigkeit von der Wandlungsrichtung sind diese Wandler für sensorische oder aktorische Anwendungen nutzbar. Für statische Messungen sind Sensoren ohne Hilfsenergie allerdings ungeeignet, da sie bei zeitlich unveränderter Eingangsgröße keine elektrische Leistung abgeben und daher Energieverluste durch die Auswerteelektronik, z. B. endlicher Eingangswiderstand, nicht ausgleichen können. Für diesen Fall werden Wandler mit Hilfsenergie angewendet. Da bei ihnen der Signal uss nur von der mechanischen zur elektrischen Seite erfolgt, werden sie ausschließlich als Sensoren, vor allem für quasistatische Anwendungen, eingesetzt. Sensoren mit Hilfsenergie nutzen als Messmethode vorzugsweise die Ausschlags- oder die Kompensationsmethode.

7.1 Klassikation der elektromechanischen Wechselwirkungen

237

Tabelle 7.1. Physikalische Wirkprinzipien von elektromechanischen Wandlern ohne Hilfsenergie Linearisierung erfolgt durch Entwicklung um Arbeitspunkt

Elektrische Wandler Elektrostatisches Prinzip

Piezoelektrisches Prinzip

Kraftänderung "F zwischen zwei entgegengesetzt aufgeladenen Elektroden bei Ladungsänderung "Q oder Spannungsänderung "u durch Auslenkung x

Ladungstrennung "Q durch Anlegen einer Kraft "F oder Verformung x durch Anlegen einer Spannung "u

n

Q0

e0 ,C 0 Fel

i

Q0

Q

A

u

l

e,n

x

Q

z. B. Wellmembran

Quarz, Keramik

A u  d F l x  d u  n F dK Ladungskonstante

Q0 1 "F  "Q 

x e0 A n "u 

x

i

F0  "F

l

U 0  "u A

F

Qe

Q0 1 "Q 

x e0 A C0 Magnetische Wandler

Elektromagnetisches Prinzip

Elektrodynamisches Prinzip

Kraftänderung "F zwischen zwei vom Magnetfeld B0 durchfluteten Polflächen A bei Flussänderung ") oder Stromänderung "i durch Auslenkung x

Kraftänderung "F auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld B0 bei Stromänderung "i oder Spannungsänderung "u durch Bewegung mit "v

F0  "F x

Fmag

m r  1

i

i

)

"F  "i 

B0 1

")  x n m0

B0 w

")  x L0 w m0

Flussänderung ") durch Anlegen einer Kraft "F oder Verformung x durch Anlegen eines Stromes "i

A

F

I0  "i

I0  "i

B0 , m 0 L0 ,w

Piezomagnetisches Prinzip

Fmag x

B0 , m 0 F

u

)0  ") x

l w

m

1 x n u  R i  B0 l v F  B0 l i 

A "i  d F l x  w d "i  n F dK piezomagn. Konstante

")  m w

238

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

Bei der Ausschlagsmethode deformiert die mechanische Messgröße einen Verformungskörper (Abb. 7.2). Die Deformation bewirkt eine Parameteränderung eines resistiven, kapazitiven oder induktiven Wandlerelementes, das einen elektrischen Stromkreis steuert. Bei resistiven Wandlerelementen erfolgt diese Parameteränderung nahezu rückwirkungsfrei. Die Wechselwirkungen im elektrostatischen bzw. elektromagnetischen Feld bei kapazitiven bzw. induktiven Wandlerelementen verursachen Rückwirkungen, die jedoch für die Mehrzahl der praktischen Anwendungen vernachlässigt werden können. Als Beispiele für die Ausschlagsmethode sind in Abbildung 7.2 die Signalverarbeitungsstrukturen für piezoresistive und kapazitive Silizium-Drucksensoren angegeben. Bei der Kompensationsmethode wird im Sensor eine Gegenkraft erzeugt. p 1

p Druckeinleitung

p p p mechanischer Wandler

2

x T ,S x

kapazitiv

mechanoelektrischer Wandler

T ,S 4

Si

Ci

piezoresistiv

Ri

Si

FG H

C i  C0 1 &

"C C

IJ K

n-Si

FG H

Ri  R0 1 &

"C C elektrischer Wandler

3

"R R

IJ K

"R R

"C Q  f C f

u

Abbildung 7.2. Signalverarbeitungsstruktur für piezoresistive und kapazitive Silizium-Drucksensoren nach der Ausschlagsmethode 1 Trennmembran, 2 Si-Verformungskörper, 3 dotierter Widerstand, 4 Elektroden

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen

4

FM

239

FK

3 2

5

8 iK

pM

6

R

1

UM

7 Hilfsenergie

Abbildung 7.3. Drucksensor nach der Kompensationsmethode für Relativdruck 1 Messdruck, 2 Metall-Balg, 3 starrer Hebel, 4 Tauchspule, 5 induktiver Wegsensor, 6 Verstärker, 7 Lastwiderstand, 8 Permanentmagnet

Der Vorteil dieses Verfahrens liegt in der sehr geringen Auslenkung des Messelements und damit in sehr kleinen Linearitätsfehlern. In Abbildung 7.3 ist das Prinzip eines Kompensationsdrucksensors mit elektrodynamischer Gegenkrafterzeugung dargestellt. Obwohl elektromechanische Wandler mit Hilfsenergie als Sensoren eine große praktische Bedeutung aufweisen, werden sie im Rahmen dieses Buches nicht weiter behandelt. Der Entwurf solcher Sensoren wird ausführlich in [3, 58—60] beschrieben. Anders liegen die Verhältnisse bei den zu Anfang erwähnten Wandlern ohne Hilfsenergie. Hier werden echte physikalische Verkopplungen zwischen den verschiedenen physikalischen Strukturen ausgenutzt. Sie führen auf reelle Kopplungsvierpole, deren Einordnung in ein allgemeines lineares, dynamisches elektromechanisches System in Abbildung 7.4 dargestellt ist.

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen Auf der Grundlage und mit den Voraussetzungen von Abschnitt 2.4.2 soll in diesem Abschnitt die Wechselwirkung zwischen einem mechanischen Koordinatenpaar I , { (Tor ) und einem elektrischen Koordinatenpaar T, x bzw. l,  an zwei ausgewählten Systempunkten betrachtet und durch ein Schaltbild beschrieben werden. Die Ladungen bzw. Ströme und Lagekoordinaten aller übrigen Systempunkte sollen konstant bleiben.

240

7 Elektromechanische Wechselwirkungen elektrische Systeme

elektromechanische Wandler

F

i 1 X 0

u

0

F

i v

X

magnetischer Wandler

u

0 1 Y

Y v

0

elektrischer Wandler

translatorische Systeme translatorischrotat. Wandler

mechanischakust. Wandler

rotatorische Systeme

akustische Systeme

Abbildung 7.4. Allgemeines lineares dynamisches elektromechanisches System

Elektromechanische Kopplungen Die elektromechanische Verkopplung lässt sich dann entsprechend der Art der wirkenden Krafterzeugung durch eines der in Abbildung 7.5 angegebenen Modelle darstellen. Ihnen liegt die im Abschnitt 2.4.2 ausführlich erläuterte Annahme zugrunde, dass bei der Verkopplung mit Hilfe elektrischer Felder die Gleichgewichtskraft I am mechanischen Systempunkt sich additiv aus der mechanischen Systemkraft Imech = * ({) und der Coulomb-Kraft Iel = (T> {) zusammensetzt. Die Spannung x am elektrischen Systempunkt hängt außer von der Ladung T auch noch von der Lagekoordinate { ab. Daraus folgt der Inhalt des Modellkastens von Abbildung 7.5 unten links. Im Falle der Verkopplung mit Hilfe von magnetischen Feldern addieren sich die mechanische Systemkraft Imech = * ({) und die magnetische Feldkraft Imag = (l> {) zur Gleichgewichtskraft I am mechanischen Systempunkt. Für den Fall, dass ein lokales Modell der Stromschleife l und ihre Verbindung mit den mechanischen Systempunkten vorliegt, kann Imag mit Hilfe des BiotSavart-Gesetzes bestimmt werden. Das Spannungsintegral  am elektrischen Systempunkt hängt außer vom Strom auch noch von der Lagekoordinate { ab. Daraus folgt der Inhalt des Modellkastens von Abbildung 7.5 unten rechts. Für den Fall der in der Umgebung eines Bezugspunktes linearen Systemgleichung ergeben sich für die in Abbildung 7.5 enthaltenen Relationen ihre linearen Näherungen Gln. (7.1) bis (7.4) in der Umgebung von {0 , I0 , x0 , 0 , T0 , l0 mit { = {  {0 , I = I  I0 , T = T  T0 , l = l  l0 , x = x  x0 ,  =   0 .

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen elektrischer Systempunkt

mechanischer Systempunkt

i F

F  Fmech  Fel F

Q

z

elektromechanisches System

x x  "x

b g u  f bQ, xg

F  f1 Q, x

241

u, m  udt

elektrische Felder

magnetische Felder

i

F  Fmech  Fmag

Q

u

b g m  f bi, xg

F  f3 i, x

F

2

i m

4

x x  "x

x x  "x

Abbildung 7.5. Modelle der elektromechanischen Verkopplung

Für die elektrische Wechselwirkung gilt für I = i1 (T> {) und x = i2 (T> {): I = Nel T + x =

1 { q

1 0 T + Nel { Fb

(7.1) (7.2)

Dabei ist q die mechanische Nachgiebigkeit der Einspannung der beweglichen Elektrodenplatte. Die Kapazität zwischen den Elektrodenplatten im mechanisch festgebremsten Fall (y = 0) wird mit Fb bezeichnet. Für die magnetische Wechselwirkung ergibt sich für I = i3 (l> {) und  = i4 (l> {): 1 { (7.3) I = Nmag l + qL 0  = Ob l + Nmag {

(7.4)

Mit qL wird die mechanische Nachgiebigkeit des jeweiligen Wandlerelementes für elektrischen Leerlauf (l = 0) und mit Ob die Wandlerinduktivität im mechanisch festgebremsten Fall (y = 0) bezeichnet. Für den Fall, dass einfache Strukturmodelle der zu betrachtenden Systeme vorliegen, können mit den Coulomb-Kräften bzw. den Biot-Savart-Kräften und den Netzwerkbauelementen mit deren Abhängigkeiten von der Geometrie die in den Gln. (7.1) bis (7.4) enthaltenen Koe!zienten bestimmt wer0 den. Dabei wird man feststellen, dass für die Koe!zienten Nel = Nel und

242

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

0 Nmag = Nmag gilt. Die Begründung für diesen Sachverhalt ist im Abschnitt 2.4.2 erläutert. Es kann in diesem Fall auch zweckmäßig sein, anstelle der Coulomb- und Biot-Savart-Gleichungen in der expliziten Form als Wechselwirkungen zwischen Ladungen bzw. Stromelementen die Gln. (7.5) und (7.6) mit den Feldgrößen zu benutzen:

Fho = T · E

(7.5)

dFmag = l · dl × B

(7.6)

Herleitung der Wandlerkräfte aus Energiebilanzen In den Fällen, in denen z. B. wegen des Auftretens von dielektrischen, piezoelektrischen, magnetischen oder piezomagnetischen Festkörpern ein solches Modell nicht vorliegt, hilft die allgemeine Forderung der Reversibilität aller im System ablaufenden Vorgänge zur Vereinfachung weiter. Formell bedeutet diese Annahme die Forderung nach der Existenz einer Zustandsfunktion „innerer Energie” mit dem vollständigen Dierential dZ : Elektrisches Feld:

dZ = I ({> T) d{ + x ({> T) dT (7.7)

Magnetisches Feld:

dZ = I ({> ) d{ + l ({> ) d

(7.8)

Für die Anwendung dieser axiomatischen Forderung ist es zweckmäßig, im Falle der Verkopplung mit Hilfe magnetischer Feldgrößen, die strukturell und physikalisch begründete Form der Systemgleichungen Gln. (7.3) und (7.4) gegen die äquivalente Form Imag = i5 (> {)

(7.9)

l = i6 (> {)

(7.10)

zu vertauschen. Die gesamte dem System über die beiden Tore zugeführte Energie vom Ausgangszustand {0 > T0 = 0 bis zum Zustand {1 > T1 ergibt sich zu: Elektrisches Feld:

Z =

R{1

{0

T R1 I ({> T ({)) d{ + x (T> { (T)) dT {z } T=0 | {z } | dZmech

dZel

(7.11)

Magnetisches Feld:

Z =

R{1

{0

 R1

I ({>  ({)) d{ + l (> { ()) d {z } =0 | {z } | dZmech

dZmag

(7.12)

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen

243

Die Funktionen T ({) bzw.  ({) beschreiben den Weg auf dem der Zustand {1 > T1 erreicht wird. Reversibilität bzw. Zustandsfunktion Energie bedeutet, dass Zmech und Zel bzw. Zmag vom Weg abhängen, aber ihre Summen Zmech + Zel@mag = Z wegunabhängig sind. Abbildung 7.6 zeigt den dabei erforderlichen Ablauf im Falle des elektrischen Feldes für zwei verschiedene Wege. Qb

Q Q1

g b xg

1

Qb

C

2

g b xg

B

Q 0

A

b g

"W x, Q

bg

"Q x "x Q x

u  "Q

b gB

x0

"Wel

"Wmech

x1

x

x0 x

x  "x

x

Abbildung 7.6. Dierentieller Aufbau der inneren Energie aus mechanisch und elektrisch zugeführten Teilenergien

Die Gesamtenergie wird dem System über seine beiden Tore in dierentiellen (virtuellen) Schritten zugeführt. In der Umgebung des aktuellen Wertes { wird bei vorhandenem T über das mechanische Tor durch die Verrückung { eine Teilenergie Zel = I ({> T) { zugeführt. Damit gelangt man vom Zustandspunkt A nach B. Über das elektrische Tor wird dann durch die Ladung T eine Teilenergie Zel = x (T> {) T eingebracht. Damit gelangt man zum Zustandspunkt C. Die Summe beider Teilenergien ergibt dann die Änderung der inneren Energie Z . Die Reversibilität bzw. die Eigenschaft von Z als Zustandsfunktion drückt sich im dierentiellen Bereich dadurch aus, dass der Übergang vom Punkt A nach C auch über den Punkt B’ vor sich gehen kann und in beiden Fällen die gleiche Änderung Z entsteht. Formell folgen aus den Gln. (7.7) und (7.8) als vollständige Dierentiale die Gln. (7.13) bis (7.16) I ({> T) =

CZ ({> T) C{

(7.13)

x ({> T) =

CZ ({> T) CT

(7.14)

I ({> ) =

CZ ({> ) C{

(7.15)

l ({> ) =

CZ ({> ) , C

(7.16)

244

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

aus denen dann wegen der Gleichheit der gemischten zweiten Ableitung von Z die Gln. (7.17) und (7.18) ¯ ¯ Cx ¯¯ CI ¯¯ = (7.17) CT ¯{>T C{ ¯{>T ¯ ¯ Cl ¯¯ CI ¯¯ = (7.18) C ¯{> C{ ¯{>

folgen. 0 aus den linearisierten Aus Gl. (7.17) folgt auch die Identität der Nel und Nel Systemgleichungen für elektrische Felder. Um diesen Nachweis auch im magnetischen Fall führen zu können ist es zweckmäßig, die Gln. (7.3) und (7.4) nach den Variablen  und { aufzulösen. Es ergibt sich dann: 0 Nmag 1  + { Ob Ob ¶  0 Nmag Nmag Nmag 1 { I =  +  Ob qL Ob

(7.19)

l =

(7.20)

0 . Die Beziehungen aus den Gln. Mit Gl. (7.18) folgt schließlich Nmag = Nmag (7.13) und (7.16) ermöglichen auch die Ableitungen der nichtlinearen Systemgleichungen, wenn entweder die Funktion Z ({> T) bzw. Z ({> ) oder in Sonderfällen die virtuellen Änderungen dZ als Funktionen der virtuellen Verrückungen d{ und/oder dT bzw. d{ und/oder d bekannt sind. In den Kapiteln 8 und 9 sind dafür konkrete Anwendungsfälle enthalten. Abbildung 7.7 zeigt ein Beispiel, das zur Bestimmung der nichtlinearen Feldkraft führt, wenn die folgenden Systemgleichungen mit bekannter Abhängigkeit F ({) vorliegen:

I = Iel (T> {) +

1 ({  {0 ) qL

(7.21)

x = T@F ({)

(7.22)

Dazu wird die innerer Energie Z auf zwei verschiedenen Wegen erzeugt und deren Übereinstimmung benutzt. Beim Weg 1 wird zunächst durch Aufprä(1) gung einer Verrückung {  {0 über das mechanische Tor eine Energie Zmech und dann bei festgehaltenem { über das elektrische Tor eine elektrische Ener(1) gie Zel aufgeprägt. Die insgesamt zugeführte Energie Z ergibt sich dann zu: 1 1 1 1 T2 ({  {0 )2 + (7.23) Z (1) = 2 qL 2 F ({) (2)

Auf dem zweiten Weg wird zuerst eine elektrische Energie Zel an der Stelle { = {0 zugeführt und dann bei festgehaltenem T die mechanische Energie

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen

Q

W

245

W1

Wmech b 2 g

Wel b1g

Wel b 2 g Q1

2

1 Wmech b1g

x1

x0 , Q0

x

Abbildung 7.7. Zustandsänderung eines Systems nach Gl. (7.11) auf zwei unterschiedlichen Wegen 1 und 2 (2)

Zmech aufgeprägt. Dabei ist zu beachten, dass nach dem ersten Teilvorgang eine elektrische Feldkraft Iel = Iel (T> {0 ) vorliegt. Daraus folgt für Z (2) : Z

(2)

1 1 T2 + = 2 F ({0 )

Z{

Iel (T> {0 ) d{ +

{0

1 1 2 ({  {0 ) 2 qL

(7.24)

Wenn jetzt die Annahme gemacht wird, dass {  {0 so klein ist, dass Iel ({> T) = Iel ({0 > T) angesehen werden kann, {  {0 also eine virtuelle Verrückung darstellt, kann das Integral in Gl. (7.11) näherungsweise durch Iel ({0 > T) ({  {0 )

ersetzt werden. Unter der Bedingung Z1 = Z (1) = Z (2) folgt dann für die unbekannte Kraft Iel ({0 > T):  ¶ 1 1 T2  ({  {0 ) Iel ({0 > T) = 2 F ({0 + {) F ({0 )  ¶¯ ¯ 1 T2 d ¯ · ({  {0 )  2 d{ F ({) ¯{={0  ¶¯ ¯ 1 T2 d ¯ , Iel ({0 > T) = (7.25) 2 d{ F ({) ¯{={0

Auf ähnliche Weise ist es bei Kenntnis von Teilenergien aus Kapazitäten oder Feldverteilungen möglich, für konkrete Anordnungen Kreisprozesse zu konstruieren, die die Bestimmung von Wechselwirkungsrelationen gestatten. Diese Verfahren sind ganz analog auch für magnetische Netzwerks- oder Feldprobleme anwendbar. Weitere Beispiele hierfür sind in den Kapiteln 8 und 9 enthalten.

246

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

Ableitung der Wandlervierpolschaltbilder Mit Rücksicht auf die Analysemethoden der Netzwerktheorie ist es zweckmäßig, die Gln. (7.1) bis (7.4) für sinusförmige Zeitabhängigkeiten der dierentiellen Abweichungen um den Entwicklungspunkt darzustellen und dabei komplexe Amplituden entsprechend Kapitel 2 einzuführen: I = Iˆ cos ($w + *I ) $ I = Iˆ ej*I x = x ˆ cos ($w + *x )

(7.26)

$ x=x ˆ ej*x

(7.27)

¢ ¡ ˆ ej*T $ l = j$T ˆ cos $w + *T $ T = T T = T ¢ ¡  =  ˆ cos $w + * $  =  ˆ ej* ¢ ¡  = ˆ cos $w + *

$  = ˆ ej*

(7.28)

$ x = j$

(7.29)

$ y = j$

(7.30)

Mit diesen Vereinbarungen gehen die Gln. (7.1) und (7.2) in die Gln. (7.31) und (7.32) I =

1 1 Nel l  y j$ j$q

(7.31)

x=

1 Nel l y j$F j$

(7.32)

und durch Umformen nach l> I = i (x> y) in die Gln. (7.33) und (7.34) l = j$Fx + Nel Fy

(7.33)



(7.34)

I = Nel Fx 

1 j$

¶ 1 2  Nel F y q

über. In der gleichen Weise werden die Gln. (7.3) und (7.4) mit den Beziehungen aus den Gln. (7.26) bis (7.30) in die Gln. (7.35) und (7.36) 1 y j$q

(7.35)

x = j$Ol + Nmag y

(7.36)

I = Nmag l 

überführt.

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen

247

Aus den Gln. (7.33) bis (7.36) folgen unter Verwendung der Wandlerkonstanten [ und \ mit [=

1 Nmag

und

\ =

1 Nel F

die Gln. (7.37) und (7.38) für den elektrischen Wandler l  j$Fb x = lW = I+

1 y \

1 1 y = IW = x j$qK \

(7.37) (7.38)

und für den magnetischen Wandler x  j$Ob l = xW = I+

1 y [

1 1 y = I W = l. j$qL [

(7.39) (7.40)

Aus diesen Gleichungen können die in Abbildung 7.8 angegebenen Schaltungen abgelesen werden. Es ist bemerkenswert, dass die Übertragungseigenschaften zwischen einem elektrischen und einem mechanischen Koordinatenpaar (Tor) reversibler (verlustfreier) elektromechanischer Systeme durch eine der beiden Schaltungsstrukturen aus Abbildung 7.8 abgebildet werden können. Die linke Schaltung gilt für die Verkopplung mit Hilfe elektrischer Felder. Die rechte Schaltung gilt für Systeme, in denen die Verkopplung mit Hilfe magnetischer Felder realisiert wird. Für den Fall, dass die Systemgleichungen von Abbildung 7.5 nichtlinear sind, gelten die Schaltungen von Abbildung 7.8 für die lineare Näherung der Systemgleichungen in der Umgebung eines vereinbarten Entwicklungspunktes (Kleinsignalverhalten). Wegen der Allgemeinheit der bereits vorher getroenen Annahmen gelten diese Aussagen sowohl für Anordnungen mit bekannter lokaler Struktur, wie konzentrierte Ladungen auf Systempunkte oder Stromschleifen, als auch für Anordnungen, deren mikroskopische lokale Struktur unbekannt ist, wie z. B. dielektrische und magnetische Festkörper mit und ohne innere Wechselwirkungen. Die Kopplungsvierpole ([)> (\ ) in den Schaltungen von Abbildung 7.8 erweisen sich als die beiden im Kapitel 2 (Abb. 2.19) aufgeführten allgemeinen Koppelelemente — elektromechanische Wandler — zwischen mechanischen und elektrischen Netzwerken. Die in den Schaltungen von Abbildung 7.8 vorhandenen Bauelemente O, F, q müssen dann den jeweiligen Netzwerken zugeordnet werden. Unter den o.g. Voraussetzungen, lineare und verlustfreie Verkopplungen, lassen sich nun mit den in Abbildung 7.8 angegebenen Grundschaltungen die in Tabelle 7.1 dargestellten fünf elektromechanischen Wandlungsprinzipien

248

7 Elektromechanische Wechselwirkungen F

i elektromechanischer Wandler

u

v

bX ,Y g magnetischer Wandler

elektrischer Wandler

1 v 5.21a Y 1  u 5.21b Y

b b

i  jwC b u  i W  1 v  FW jwnK

F

g g

1 v X 1  i X

u  jwLb i  u W  F

F I GH JK F i I , jwn  FG v IJ jwC  G J H uKv  0 H F Ku  0 F iI 1 FFI G J G J Y H u K v  0 H vK u  0

1 v  FW jwnL

b5.22ag b5.22 bg

1 1 1   nK n Y 2C b b

i u Cb

K

iW

u Y FW iW 

1 v Y

FW

123 nK n 2 Y C b

FG u IJ , jwn  FG v IJ H i Kv  0 H F Ki  0 FFI 1 F uI G J G J X H vK HiK

jwLb 

L

i0

v0

i Lb

F v

u

uW

FW

F

1 uW  v X i  X FW

v

n  nL

Abbildung 7.8. Ableitung der Vierpolschaltbilder für den elektrischen und magnetischen Wandler Indizes: b mechanisch festgebremstes System, L System im elektrischen Leerlauf, K System im elektrischen Kurzschluss

beschreiben. Die Berechnung der Bauelemente O, F, q und Wandlerkonstanten [, \ aus den Abmessungen und Materialparametern der Wandler wird im Kapitel 8 für die magnetischen Wandler und im Kapitel 9 für die elektrischen Wandler anhand von Beispielen erläutert. Wie bereits im Kapitel 1 erwähnt, besteht ein wesentlicher Vorteil der Beschreibung der elektromechanischen Wechselwirkungen durch Schaltungsnetzwerke in der Möglichkeit der Ableitung einer geschlossenen Lösung für das Gesamtsystem. Diese geschlossene Lösung wird durch die Transformation der mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite oder umgekehrt mit Hilfe der Wandlermatrix ([) oder (\ ) der Kopplungsvierpole ermöglicht. In Tabelle 7.2 sind die Transformationseigenschaften des Kopplungsvierpols der magnetischen Wandler zusammengefasst. Hier hat der Kopplungsvierpol

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen

249

den Charakter eines Transformators. Eine Impedanz auf der einen Seite wird als Impedanz auf der anderen Seite und umgekehrt abgebildet. Zwischen der elektrischen und mechanischen Seite erhält man aus Tabelle 7.2 die Zuordnungen in Tabelle 7.4. Tabelle 7.2. Transformationseigenschaften des magnetischen Kopplungsvierpols X Wandlerkonstante eines Transformators

~~ ~~ Pel  u i Fv  Pmech Z

u 1 v 1  2  2h i X F X

1 ' X u   0



Z

1 X2

jwn  jwL

u L

0  v X



u

h

F

i

i h  jwn

F

i

Z

bX g

v

n

Ln X2

h

1 jwm



X 2 jwm 1  jwC

u C



h  h1  h 2

h



Z

h2

 X2 X2  Z1  Z1

1 1 Z  2 z1  z 2 X z1  X 2 z 2 

1 Y1 Y 2

u

bX g

v

m

C  mX 2

u

Z1 Z2

i u

F

i

i h1

F

i

i

1

Z



Y2

 Y1

u

bX g

h2

F

i u

h1

v

bX g

z1

v z2

In Tabelle 7.3 sind die Transformationseigenschaften des Kopplungsvierpols der elektrischen Wandler zusammengefasst. Eine Impedanz auf der einen Seite wird als Admittanz auf der anderen Seite abgebildet und umgekehrt. Der

250

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

Kopplungsvierpol hat damit den vierpoltheoretischen Charakter eines Gyrators. Aus Tabelle 7.3 kann man die in Tabelle 7.5 dargestellte Zuordnung ableiten. Tabelle 7.3. Transformationseigenschaften des elektrischen Kopplungsvierpols Y Wandlerkonstante eines Gyrators

~~ ~~ Pel  u i Fv  Pmech Z

Z

u F 1 Y2 Y2 i v h

u



Z

FG 0 Y IJ H1 Y 0 K

1 jwm

Y 1  jwn jwC

u C



u

bY g

Z  Y 2 jwm

u L

 jwL



u

bY g



1 h z1  z 2

h1 Y  h 2 Y

2



u

1 Y1 Y 2



Z Y

cz

m

b g

F

u

bY g

h1

v

h2

Y1

1

 z2

 Z1  Z 2

h

u

Z1 Z2

F

i

i 2

v

h  1 jwm

i

i Y2

1 2

n

F

L  m Y 2

h  h1  h 2  Z 

v

h  jwn i

i



h

2

C n Y2

h

v

F

i

i h  jwn

F

i



u

bY g

z1

v z2

Die Bezeichnungen „mechanische Impedanz” bzw. „mechanische Admittanz” sind in der mechanischen Netzwerktheorie fest eingeführte Begrie nach der sogenannten 1. Analogie. Sie entsprechen jedoch nicht der Vereinbarung dieses Buches, nach dem die Impedanz als Quotient der komplexen Dierenzkoordi-

7.2 Netzwerkbeschreibung elektromechanischer Wechselwirkungen

251

Tabelle 7.4. Zuordnung zwischen elektrischen und mechanischen Bauelementen beim Transformator Elektrik

transformatorischer Wandler

Mechanik

Induktivität

L

n

Nachgiebigkeit

Kapazität

C

m

Masse

Widerstand

R

h

Reibungsadmittanz

elektrische Impedanz

Z

h

mechanische Admittanz

Parallelschaltung

Parallelschaltung

Reihenschaltung

Reihenschaltung

Stromquelle

Kraftquelle

Tabelle 7.5. Zuordnung zwischen elektrischen und mechanischen Bauelementen beim Gyrator

Elektrik

gyratorischer Wandler

Mechanik

Induktivität

L

m

Masse

Kapazität

C

n

Nachgiebigkeit

Widerstand

R

r

Reibungsimpedanz

elektrische Impedanz

Z

z

mechanische Impedanz

Parallelschaltung

Reihenschaltung

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Spannungsquelle

Kraftquelle

nate zur komplexen Flusskoordinate festgelegt ist, sondern kennzeichnen den Kehrwert. Da diese Begrie bei mechanischen Netzwerken aber eine weite Verbreitung gefunden haben, werden sie abweichend zur Koordinatenfestlegung von Geschwindigkeit als Dierenzkoordinate und Kraft als Flusskoordinate hier übernommen. Eine wichtige Kenngröße elektromechanischer Wandler wird durch den Grad der Energieumwandlung deniert. Der Kopplungsfaktor n kennzeichnet das Verhältnis von umgewandelter Energie, d. h. am Ausgang nutzbarer Energie, zur gesamten am Eingang zugeführten Energie. In Abbildung 7.9 ist die De-

252

7 Elektromechanische Wechselwirkungen

nition des Kopplungsfaktors für beide Wandlungsrichtungen angegeben. Da von einem reversiblen und damit verlustfreien Wandlungsmechanismus ausgegangen wird, ist der Kopplungsfaktor größer als der Wirkungsgrad  des Wandlers. i

F

elektromechanischer Wandler

RS X , n , L UV TY , n , C W

u

L

b

K

b

v

linear, verlustfrei Wandlungsrichtung

Wel

k2 

Wmech umgewandelte Energie zugeführte Energie

1

Wel  Wmech :

2 kmech 

Wmech Wel



Aktoren

Wmech  Wel :

kel2 

Wel Wmech



Sensoren

reversible Wandlung:

kel  kmech

Abbildung 7.9. Elektromechanischer Kopplungsfaktor n

8 Magnetische Wandler

Die erste große Gruppe der elektromechanischen Wandler bilden die magnetischen Wandler. Zu den magnetischen Wandlern zählen elektromagnetische, elektrodynamische und piezomagnetische Wandler [1, 2]. Beim elektrodynamischen Wandler wirkt im Luftspalt zwischen Schwingspule und xiertem Joch eine dem Spulenstrom proportionale Magnetkraft, die Lorentz-Kraft. Dagegen wirkt beim magnetischen Wandler die nichtlineare Magnetkraft im Luftspalt zwischen Anker und Joch. Hier ist zur Linearisierung eine Arbeitspunkteinstellung durch ein Gleichmagnetfeld oder einen überlagerten Gleichstrom erforderlich. Durch ein Gleichmagnetfeld oder einen Gleichstrom wird auch beim piezomagnetischen Wandler die Arbeitspunkteinstellung vorgenommen und damit näherungsweise lineares Kleinsignalverhalten gewährleistet. Die Verknüpfung zwischen den magnetischen und mechanischen Feldgrößen wird hier durch Zustandsgleichungen beschrieben. Für alle drei magnetischen Wandler werden für praxisnahe Randbedingungen die mechano-elektrischen Vierpolschaltungen abgeleitet. Die Anwendung dieser Wandler-Netzwerke beim Entwurf elektromechanischer Systeme wird anhand von praktischen Beispielen erläutert.

8.1 Elektrodynamischer Wandler 8.1.1 Ableitung Wandlervierpolschaltbild Beim elektrodynamischen Wandler wird als Wandlungsprinzip die Kraftwirkung — Lorentz-Kraft — auf einen stromdurch ossenen Leiter im Magnetfeld ausgenutzt. Das durch einen Dauermagneten erzeugte magnetische Feld ist bei diesem Wandler konstant und wird nicht durch die elektrischen und mechanischen Netzwerkkoordinaten beein usst. Aufgrund der durch das Funktionsprinzip des elektrodynamischen Wandlers bereits bedingten linearen Verknüpfung von mechanischen und elektrischen Koordinaten werden diese Wandler

254

8 Magnetische Wandler

sowohl für aktorische Anwendungen, wie Kleinmotoren, Schwingtische, Lautsprecher, Antriebe für Positioniersysteme und magnetische oder optische Abtastsysteme, als auch für sensorische Anwendungen, wie Mikrofone und Geschwindigkeitssensoren, verwendet. Dem in Abbildung 8.1 dargestellten Grundmodell des elektrodynamischen Wandlers liegt das Konstruktionsprinzip der Tauchspule zugrunde. Eine durch die Feder q aufgehängte zylindrische Spule mit der Masse p und der Drahtlänge o kann sich in Richtung ihrer Achse in einem Luftspalt bewegen. Da der ringförmige Luftspalt durch die Induktion E0 eines Dauermagnetsystems durchsetzt ist, werden bei Strom uss in der Spule Kräfte in axialer Richtung erzeugt. Für die Bewegung der Spule im homogenen Teil des Magnetfeldes gelten die in Abbildung 8.1 angegebenen linearen Beziehungen für die Magnetkraft Imag und die induzierte Spannung x. Ausgehend von der Kräftebilanz auf der mechanischen Wandlerseite und der Maschengleichung auf der elektrischen Wandlerseite lassen sich die linearen Verkopplungsgleichungen in Abbildung 8.2 aufstellen. Bei der Ableitung der Wandlervierpolschaltungen in Abbildung 8.2 wird der magnetische Widerstand des Eisenkreises mit h À 1 und der Streu uss außerhalb des Ringspaltes vernachlässigt. Für die Betrachtung von Wechselgrößen werden die Beziehungen im Zeitbereich auch hier wieder durch die Einführung komplexer Amplituden in den Frequenzbereich transformiert. n

m F

v l

x

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:

v  0:

B0

B0

Fmag

l

Dauermagnet

i Fmag  B0 l i

u

i u

Bewegung des Leiters im Magnetfeld:

F  0: F  Fmag  Fmech

Fmag  B0 l i Fmech 

1 dv xm dt n

l

B0

v u

u  B0 l v

Abbildung 8.1. Modell des elektrodynamischen Wandlers

8.1 Elektrodynamischer Wandler

255

i,x ( 0

mechanische Wandlerseite:

F n

r

n

x,v



B0 i

F

 m

F  B0 l i 

v

Fn Fr Fm v n 1 m r

1 1 dv v  jwmv  r v  r v  F  B0 l i  xm jwn n dt u,x ( 0

elektrische Wandlerseite:

L

F mag

Fmag

m

i

F

r

R

i uv

u

b g b g ddit  u btg di ubtg  R ibtg  L  B l vbtg dt u t  R i t  L

v

0



U| V| W

L

R

u

uv

u  R i  jwL i  B0 l v

Abbildung 8.2. Verkopplungsgleichungen beim elektrodynamischen Wandler

Das Wandlerschaltbild in Abbildung 8.3 erhält man nun durch die Umstellung der beiden Gleichungen aus Abbildung 8.2 nach der Wandlerspannung xW und der Wandlerkraft I W :

I+



x  (U + j$O) l = xW = E0 oy

(8.1)

¶ 1 + j$p + u y = I W = E0 ol j$q

(8.2)

Der verlustfreie Wandler weist eine transformatorische Verkopplung [ = 1@E0 o auf und entspricht dem Grundschaltbild der magnetischen Wandler nach Abbildung 7.8. Es soll nun eine anschauliche Erläuterung der Wandlerbauelemente erfolgen: Im mechanisch festgebremsten Zustand y = 0 wird an den elektrischen Eingangsklemmen die Eingangsimpedanz ] = U + j$Ob gemessen. Für sehr niederfrequente Anwendungen ist der Blindanteil gegenüber dem Wirkanteil zu

256

8 Magnetische Wandler

n ,r m F

v w,l

verlustfreier Wandler

hS h

B0 r

b

Lb

i R

 u

uW

i

v 1 i F nL B0 l W 1 v X i  X FW

u

uW 

FG H

IJ K

w 2 2 r h m0 2 hS 1 3 h b hS  h , l  2r w 1 nL  n , m  mS , r  w0 Q n Lb 

FW

u W  B0 l v

F m 1 v r

U| V| X  B1 l W 0

b

g

L  Lb  mechanisch festgebremst v  0

b g

n  nL  elektrisch im Leerlauf i  0

Abbildung 8.3. Schaltbild des elektrodynamischen Wandlers

vernachlässigen. Zur Verhinderung der Spulenauslenkung ist die Kraft I W = E0 ol =

1 l [

(8.3)

aufzubringen. Im umgekehrten Fall, dem elektrischen Leerlauf l = 0, erhält man durch Aufprägen der Geschwindigkeit y die Wandlerspannung xW = E0 oy =

1 y. [

(8.4)

Die für diesen Fall auf der mechanischen Seite messbare Nachgiebigkeit qL entspricht der Nachgiebigkeit q der Schwingspulenaufhängung. Die Schwingspulenmasse p = YS und die experimentell zu bestimmende Schwingspulenreibung u = 1@$0 Tq wurden im Schaltbild in Abbildung 8.3 bereits berücksichtigt. Für die Transformationsbeziehungen der Bauelemente von der mechanischen auf die elektrische Seite oder umgekehrt gelten die des Transformators ([). Danach gilt für die unterschiedlichen Transformationsrichtungen: mechanisch $ elektrisch Fp = p[ 2 , ]=

Oq =

k 1 = 2 [ }[ 2

q , [2

Uu =

1 u[ 2

8.1 Elektrodynamischer Wandler

257

elektrisch $ mechanisch pF = k=

F , [2

qO = O[ 2 ,

uU =

1 U[ 2

1 = ][ 2 }

Elektrodynamische Wandler werden für aktorische und sensorische Anwendungen, bei denen ein möglichst lineares Übertragungsverhalten im Vordergrund steht, eingesetzt. Die erzielbaren Stellkräfte liegen im Bereich von einigen mN bis 100 N je nach Bauform und zulässigem Speisestrom. Deutlich größere Stellkräfte lassen sich mit dem elektromagnetischen Wandler erzielen (s. Abschn. 8.2). Die Anwendung des elektrodynamischen Wandlers wird im folgenden Abschnitt am Beispiel eines Antriebssystems, eines Lautsprechers, eines aktiven Schwingungsdämpfers und eines Kalibrierschwingtisches erläutert. 8.1.2 Anwendungsbeispiele Elektrodynamisches Antriebssystem In Abbildung 8.4 sind typische Abmessungen und Kennwerte eines elektrodynamischen Antriebssystems, wie es z. B. für Schwingtische verwendet wird, n

m F

Vs m2 m  100 g

v l

B0  1

10

m0

B0

10

n  0,3 10 3

lm

2

Q

i u

Spule

196 Wdg. 0,25 CuL l  20 m, R = 6 %

m0  4  10 7

u

R

1 , f0  30 Hz m n Vs 1  B0 l  20 X m

V s A m

FW

L uW

1 uW  v X i  XFW

n

1  10 w 0 nr

w 20 

Ersatzschaltung:

i

m N

F r m

1 r

v

1 Q w0 n

r2

N s m

Abbildung 8.4. Aufbau und Schaltung eines elektrodynamischen Antriebssystems

258

8 Magnetische Wandler

angegeben. Der Reibungsstandwert u wird dabei aus dem experimentell ermittelten Wert für die Güte T berechnet. Zunächst wird der Eingangswiderstand des unbelasteten Systems, d. h. mechanisch im Leerlauf (I = 0), in Abhängigkeit von der Frequenz i ermittelt. Dabei geht man von der Schaltung in Abbildung 8.4 aus, vernachlässigt wie bereits erwähnt die Induktivität O und transformiert die mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite. Die durch Vernachlässigung von O vereinfachte Schaltung ist in Abbildung 8.5 mit den Ortskurven der Impedanzen angegeben. Die linke Ortskurve zeigt den Verlauf der auf die mechanischen Bauelemente zurückführbaren Impedanz ] m . Die rechte Ortskurve entspricht dem Verlauf der elektrischen Eingangsimpedanz ] = x@l. Bemerkenswert ist der durch die elektromechanischen Wechselwirkungen hervorgerufene relativ große frequenzabhängige Anteil. Dieser unerwünschte Eekt der starken Frequenzabhängigkeit des elektrischen Eingangswiderstands wird andererseits bei den piezoelektrischen Schwingern in Abschnitt 9.3.4 gezielt zum Entwurf elektrischer Resonatoren mit sehr hoher Güte für Filter- und Oszillatoranwendungen genutzt. Wird für Spannungsanregung die elektrische auf die mechanische Seite der Schaltung aus Abbildung 8.5 transformiert, so lässt sich das Übertragungsverhalten des Antriebssystems berechnen.

i

R 6%

n  120 mH X2  m X 2  250 $F

Ln  Ln

u

Cm

Rr

Cm

Rr 

144424443 Rm

1 X r 2

 200 %

Ortskurve des Parallelresonanzkreises:

lq

m r

Im Z

Im Z m f

0 

f2

f

f0

Zm

m r

Re Z m 200 %

0 

Z

f0

lq

Re Z 200 %

6%

f1

"f f1  f0  , 2

f2

f1

"f f2  f0  , 2

"f 

f0  3 Hz Q

Abbildung 8.5. Ortskurven der elektrischen Impedanzen des elektrodynamischen Antriebssystems

8.1 Elektrodynamischer Wandler

259

Ausgehend von der zugehörigen Schaltung aus Abbildung 8.6 folgt j ($@$ 0 ) y = $0q , I 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )2

$ 20 =

1 , pq

T=

1 . $ 0 qu

Setzt man nun für die Wandlerkraft die Beziehung I W = x@U[ ein, so ergeben sich für die Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsübertragungsfunktion die Beziehungen: E =

 q 1 = , x U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )2

Ey =

y $0 q $0q m j ($@$ 0 ) = 5> 6 · 103 ·V = , E 0y = x U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )2 U[ s

Ed =

d $2 q $2 q ($@$ 0 )2 m = 0 , E 0d = 0 = 1> 1 2 · V 2 x U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 ) U[ s

q m = 103 U[ V

E 0 =

Der Verlauf der Übertragungsfunktionen ist als Amplitudenfrequenzgang in Abbildung 8.6 skizziert. Dabei ist für konstante Spannungsanregung unterhalb der Resonanzfrequenz der Spulenausschlag  und oberhalb die Spulenbeschleunigung d konstant. Daher erfolgt bei der genormten IEC-Schwingungsprüfung von Bauelementen und Geräten die mechanische Gleitsinusanregung bis 50 Hz mit konstantem Hub  und darüber mit konstanter Beschleunigung d. Eine weitere wichtige Kenngröße des elektrodynamischen Antriebsystems ist die Wandlerkraft I W . Oberhalb der Resonanzfrequenz i0 des Schwingtisches ist, da auf der mechanischen Seite nur die Masse p wirkt, die Beschleunigung der Wandlerkraft und damit dem eingespeisten Strom gemäß d = j$y = j$

I IW = W j$p p

frequenzunabhängig proportional. Die Maximalkraft erhält man im festgebremsten Zustand (y = 0). Für diesen Fall lässt sich die Kurzschlusskraft I˜W = I˜K mit Sel = ˜~2 U zu

2 E 2 o2 YS I˜W = 0 = E02 , Sel U 

und

I˜W = ˜~E0 o

U=

DD , o

YS = oDD

abschätzen (YS Volumen Schwingspule). Der Ein uss des Streufeldes und des Kupferfüllfaktors wurde dabei vernachlässigt. 2 Dabei ist Sel die aufgenommene elektrische Leistung. Die Kenngröße I˜W @Sel stellt ein Qualitätsmaß für elektrodynamische Antriebssysteme dar.

260

8 Magnetische Wandler Schaltung:

FW 

R X2 FW

1 r

vW  X u

n

v

m

u R X2

1 r

)

n

v

m

Übertragungsverhalten:

20 lg

FG w IJ Hw K

B B0 40

2

j

0

w w0

Q B0

20 a u 0

1

1

0

v u

2

3

lg

w w0

20 x u

40

Abbildung 8.6. Übertragungsverhalten des elektrodynamischen Antriebssystems

Ausgehend von der Übereinstimmung des Flusses im Eisenkreis e und im Ringspalt 0 e = Em Dm = 0 = E0 2uk und der Anwendung des Durch utungsgesetzes Km om =

E0 e 0

folgt Em Km om Dm = und schließlich

E02 2uke, Ym = om Dm , YS = 2uke, E02 YS = 0 Em Km Ym 0

2  I˜W = 0 Em Km Ym . Sel  Im nachfolgenden Beispiel wurde von dem hartmagnetischen Material Neodym mit {Em Km }max = 250 kJ m3 , einem Volumen von Ym = 50 cm3 und der

8.1 Elektrodynamischer Wandler

261

Leitfähigkeit des Spulendrahtes von 1@ = 57 · 106 A V1 m1 ausgegangen. Daraus ergibt sich als Kennwert 2 I˜W = 895 N2 W1 . Sel

Bei einer elektrischen Leistungsaufnahme von Sel = 10 W erhält man bei optimaler Dimensionierung eine Kurzschlusskraft von I˜W = I˜K = 95 N. Dabei ist die Leistungsbegrenzung durch lmax aufgrund der zulässigen Temperaturbelastung und die maximale Flussdichte E0 max in den Flussleitstücken zu berücksichtigen. Gegenüber der Schwingtischanwendung weisen miniaturisierte elektrodynamische Antriebe für Autofokus-Abtastsysteme deutlich niedrigere Wandlerkräfte im mN-Bereich auf. In Abbildung 8.7 ist die Anordnung eines elektrodynamischen Wandlers in einem Autofokus-CD-Abtastsystem als Prinzipskizze dargestellt. CD refl.

hin

zirkul. Polararisation

elektrodynamisches Fokus-System 2-Achsenelement

Fotodetektor

l / 4 Platte 90°

45° lin. Polarisation

90° Polarisationsprisma 0°

Kollimatorlinse Laserdiode

Abbildung 8.7. Anwendung eines elektrodynamischen Antriebssystems zur CDAbtastung für die Autofokus-Einstellung

Elektrodynamischer Lautsprecher In Abbildung 8.8 ist das Konstruktionsprinzip und die Schaltung eines elektrodynamischen Lautsprechers einschließlich typischer Daten angegeben. Die

262

8 Magnetische Wandler

Schaltung besteht aus einem elektrischen, mechanischen und akustischen Teilnetzwerk. Zusätzlich zum elektrodynamischen Wandler erfolgt die Verknüpfung zwischen dem mechanischen und dem akustischen Netzwerk durch den mechanisch-akustischen Wandler mit der Wandler äche D = d2 . Konstruktionsprinzip:

typische Werte:

B0  0,8

Vs m2

l8m R6% mW  30 g

L, l, RW

nW  2,1 10 3 mW u

a  0,1 m

B0

fW 

2a

i nW

QW 

1

w W mW  20 rW

m s kg rL  1,2 3 m

Schaltung:

R 64748 i Ri RW L u W  B0 l v u

uW

i

1 B0 l

Quelle

FW

U| V| |W

v nW

1 v q A 1 mW F  A p rW p

Lautsprecher

Luft

q Ma,L Za,L

Fp

FW

 20 Hz

2  nW mW

cL  343

u0

m N

A   a2

p

Schallfeld

Abbildung 8.8. Konstruktionsprinzip und Schaltbild eines elektrodynamischen Lautsprechers

Auf der akustischen Seite wirkt die frequenzabhängige akustische Reibung ]a>L und die frequenzunabhängige mitschwingende Luftmasse Pa>L [61]: ]a>L

1 L fL = 2 d2



¶2 $ d , fL

Pa>L =

8 L 3 d2

für

$ ? $g =

s fL 2 . d

Zunächst werden die akustischen Bauelemente auf die mechanische Seite transformiert. Anschließend wird auf der elektrischen Seite die Spannungsquelle durch eine Stromquelle ersetzt. Auch hier wird die Spuleninduktivität

8.1 Elektrodynamischer Wandler

263

gegenüber dem ohmschen Widerstand vernachlässigt. Durch die Transformation der elektrischen Bauelemente auf die mechanische Seite erhält man in Abbildung 8.9 das mechanische Schaltbild. Durch die Zusammenfassung der Einzelbauelemente zur Gesamtmasse p und Gesamtreibung u ergibt sich für die Übertragungsfunktion des Lautsprechers Ey =

y 1 j$@$ 0 = E0 = 2 I0 j$p + 1@j$qW + u 1 + j$@$ 0 T  ($@$ 0 )

mit E0 =

r

i0

i0 

qW , p

p = pW + pL ,

u = uW + uel + uL .

FW

iW

u W  B0 l v

u0

uW

R

R

i

1 B0 l

FW

mW

v

nW rW

mL  Ma,L AK2 ,

~2 r rL  Pak  v L

mL

rL  Za,L AK2

F0

mW rW rL 14 4244 3 r rel

nW

mL

1424 3 m

v

rel

b B lg 

2

0

R

F 0  B0 l i 0 

B0 l u0 R

Abbildung 8.9. Transformation der akustischen und elektrischen Bauelemente des Lautsprechers auf die mechanische Seite

Die Einzelbauelemente lassen sich bei Berücksichtigung der Transformationsbeziehungen und der Zahlenwerte aus Abbildung 8.8 berechnen: ¢2 ¡ 8 pL = d2 Pa>L = d3 = 3> 2 g, 3

p = pL + pW = 33> 2 g

$ W pW 1 = 6> 82 N s m1 , uW = = 0> 19 N s m1 U TW  ¶2 ¡ 2 ¢2 $ 1 2 uL ($) = d ]a>L = d L fL d . 2 fL 2

uel = (E0 o)

Damit erhält man für i0 und T mit uO ($ 0 ) = 8 · 103 N s m1 i0 =

1 $0 (pW + pL ) p = 0> 6. = 19> 1 Hz  iW , T = uW + uel + uL 2 qW (pL + pW )

264

8 Magnetische Wandler

Schließlich soll noch die abgestrahlte Schalleistung Sak berechnet werden: Für die abgestrahlte Schallleistung Sak = y˜2 uL erhält man  ¶2 ¯ ¯ ¶2 ¯ y ¯ y˜2 1 $ d = ¯¯ ¯¯ $p · S0 , Sdn = 2 I˜02 d2 O fO 2 fL I0 I˜0

deren Verlauf in Abbildung 8.10 dargestellt ist. Für eine Spannung x ˜0 = 1 V beträgt S0 = 83 mW. Q 2 P0

Pak P0

~ w4

w w0

1

Abbildung 8.10. Abgestrahlte Leistung im Fernfeld des elektrodynamischen Lautsprechers

Ein interessantes Anwendungsbeispiel für elektromechanische Wandler ist der Einsatz von Langhublautsprechern als Antischallquelle bei der aktiven Lärmabwehr. Die Optimierung solcher Schallquellen wird ausführlich in [62] beschrieben. Elektrodynamischer Kalibrierschwingtisch In Abbildung 8.11 erfolgt die Kalibrierung eines Beschleunigungssensors (2) durch Vergleich mit einem Referenzsensor (1). Zur Schwingungsanregung wird wieder ein elektrodynamisches Antriebssystem verwendet. Mit der Annahme, dass die Beschleunigungen d1 und d2 am zu kalibrierenden Sensor und Referenzsensor übereinstimmen, wird aus der Ausgangsspannungsmessung xL1 und xL2 beider Sensoren und bei Kenntnis der Übertragungsfunktion E d1 des Referenzsensors die Übertragungsfunktion des Messsensors ermittelt: xL1 = E d1 d1 , E d2 =

xL2 = E d2 d2 ,

d1 = d2

xL1 E xL2 d1

Mit Hilfe des Schaltbildes aus Abbildung 8.11 wird nun der frequenzabhängige Verlauf der Beschleunigungen an beiden Stabenden mit folgenden Annahmen berechnet:

8.1 Elektrodynamischer Wandler

265

Kalibrierschwingtisch:

2

mg  m1

n1

n2 r, c,l

v2

uL2

i

mg  m2

m1 uL1

u Al-Stab: mS ,nS

A

m2

1

v1 mS  r A l nS 

mg

1 l

E Al A

Schaltung: Stab

m2 n2

v2

FW

A , r, c v1

l

m1 n1

mS ,nS

R

vW 

vW

1 B0 l

uW

F W  B0 l i W

iW

Näherungen: a)

b)

mS

nS mS 2

c) Stab als verlustfreier linearer Wellenleiter

Abbildung 8.11. Aufbau und Schaltbild eines elektrodynamischen Kalibrierschwingtisches mit Aluminiumstab

d1 = d2 : starrer Stab, Näherung a) d1 6= d2 : Stab als Wellenleiter, Näherung b) d1 6= d2 : Stab als Wellenleiter, exakte Lösung c) Außerdem soll aus den berechneten Verläufen die Grenzfrequenz ig , bis zu der die Annahme d1 = d2 mit einem zugelassenen Fehler I gültig ist, abgeleitet werden. Bei der Näherung a) — Stab wird als starr angesehen — wird der Schwingbolzen im Schaltbild aus Abbildung 8.11 als Masse pS abgebildet. Durch Transformation der elektrischen Seite auf die mechanische Seite erhält man die vereinfachte Schaltung in Abbildung 8.12 mit der zusammengefassten Masse p und Nachgiebigkeit q. Aus Abbildung 8.12 folgt für die Stabgeschwindigkeit y=I

1 , j$p + 1@j$q + u

266

8 Magnetische Wandler

aus der die Beschleunigung d = j$y ableitbar ist, schließlich 2

d=

E0 o ($@$ 0 ) l p W 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )2

mit $ 20 =

a ,v

m2

n2

1 , pq

mS n

n1

1 . $ 0 qu

1 r

m1

n1 n2 , n1  n2

F  B0 l i W

m  m1  m2  mS

r K Verluste im Luftspalt und Widerstand R

a a0

a0 

1

0

T=

1

B0 *** l iW m

w w0

Abbildung 8.12. Schaltbild und Beschleunigungsverlauf an den Enden des Schwingbolzens für Näherung a)

Der Verlauf von d = d1 = d2 , bezogen auf die durch das elektrodynamische Antriebssystem erzeugte Erregung d0 d ($@$ 0 )2 = 2, d0 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )

d0 =

E0 o IW = l p p W

ist ebenfalls in Abbildung 8.12 angegeben. Es ist ein typisches Hochpassverhalten mit der Resonanzfrequenz i0 erkennbar. Betrachtet man den Schwingbolzen als Wellenleiter, dann treten Abweichungen der Beschleunigungen d1 und d2 an den Stabenden auf. Bei der Näherung b) wird jetzt die -Schaltung des Wellenleiters für tiefe Frequenzen aus Abbildung 6.5 verwendet. Oberhalb der Resonanzfrequenz i0 kann der Ein uss der Nachgiebigkeiten der Schwingbolzenaufhängung und der Reibung u gegenüber der Massenwirkung vernachlässigt werden. Mit diesen Annahmen erhält man das in Abbildung 8.13 dargestellte Schaltbild.

8.1 Elektrodynamischer Wandler

F W  B0 l i W

nS

v2

m2

mS 2

mS 2

1 424 3 m1

m1

v1

nS 

1 424 3 m2

a a0

a2

1

p "a r "a

F

"a1,2 a0

w1  1,4

2

1

a1

w1

w

w2

1 l E A

100 % E r l 1  2 m2 mS

w2  w1 1  wg

267

m2  mS 2 m1  mS 2

Abbildung 8.13. Schaltbild und Beschleunigungsverlauf an den Enden des Schwingbolzens für Näherung b)

Ausgehend von der Zusammenfassung der Wandlermassen p1 , p2 und der Stabmasse pS p01 = p1 + pS @2,

p02 = p2 + pS @2

lassen sich die Beziehungen für die auf d0 normierten Beschleunigungsverläufe angeben. Die Beschleunigung am Stabende (1) erhält man mit d1 = j$y 1

und

d0 =

IW E0 o = 0 l p01 + p02 p1 + p02 W

aus der aus Abbildung 8.13 ableitbaren Admittanz y1 = IW

1 j$p01 +

1 j$qS + 1@j$p01

=

1 + p02 )

j$ (p01

1  $ 2 qS p02 p0 p0 1  $ 2 qS 0 1 2 0 p1 + p2

zu 2

1  ($@$ 01 ) d1 = , d0 1  ($@$ 02 )2

$ 02 1

1 = , qS p02

$ 02 2

1 = qS p02

 ¶ p02 1+ 0 . p1

In gleicher Weise erhält man die Beziehung für die Beschleunigung am Stabende (2) aus y y j$p01 1 y1 y1 y2 = 2 1 = = IW y1 I W j$qS + 1@j$p01 I W 1  $ 2 qS p01 I W

268

8 Magnetische Wandler

zu

1 d2 = 2 d0 1  ($@$ 02 )

d2 1 = 2. d1 1  ($@$ 01 )

bzw.

Aus den in Abbildung 8.13 angegebenen Beschleunigungsverläufen im Bereich $ A $ 0 sind deutliche Abweichungen zwischen d1 und d2 erkennbar. Die auf die Beschleunigungsanregung d0 bezogenen Abweichungen d1 und d2 gegenüber d1 = d2 werden durch den reduzierten Fehler I gekennzeichnet. Schließlich wird der Schwingbolzen durch die exakte Lösung eines verlustfreien, linearen Wellenleiters durch die Kettenmatrix aus Gl. 6.5 beschrieben. Bei Vernachlässigung der Nachgiebigkeiten der Schwingbolzenaufhängung q1 , q2 und der Reibung u erhält man die Schaltung aus Abbildung 8.14. Der Schwingbolzen wird als Vierpol mit der zugehörigen Wandlermatrix des verlustfreien Wellenleiters abgebildet.

bg

z1 w

F 2  jwmZ v 2 v2

mZ

F1

Wellenleiter

b l , hS ES , rS

v1

FW

FG v IJ  FG 1cos bl H F K GH j h sin bl 1

mZ

1

S

jhS sin bl cos bl

I Fv I JJ GH F JK K 2

2

m1  m2  mZ , b  w cS  w rS E S , hS  nS mS , nS 

1 , A ES

mS  A rS ,

cS  ES rS

Abbildung 8.14. Schaltbild des Kalibrierschwingtisches bei Abbildung des Schwingbolzens als verlustfreier, linearer Wellenleiter

Ausgehend von diesem Schaltbild werden jetzt die exakten Beziehungen für die Frequenz $ 1 der Nullstelle abgeleitet: y1 = 0 cos ( 1 o) y 2 + jkS sin ( 1 o) I 2 y1 = =0 1 I1 j sin ( 1 o) y 2 + cos ( 1 o) I 2 kS

mit

cos ( 1 o) + jkS j$pZ sin ( 1 o) = 0 kS $pZ =

1 1 $o pZ $pZ = pZ = o DS fS DoS fS pS

I 2 = j$pZ y2

8.1 Elektrodynamischer Wandler

269

pZ $1 sin ( 1 o) = 0 mit 1 = pS fS pS  1 o tan ( 1 o) = $ $1 . pZ Die Polstelle des Beschleunigungsverlaufs bei der Frequenz $ 2 kann wie folgt berechnet werden: cos ( 1 o)   1 o

y1 $ 4 y1 = } 1 ($ 2 ) + j$ 2 pZ = 0 I1 1 sin ( 2 o) y2 + cos ( 2 o) I 2 kS j$ 2 pZ + =0 mit I 2 = j$pZ y2 cos ( 2 o) y 2 + jkS sin ( 2 o) I 2 ³ ´ 2j$ 2 pZ kS cos ( 2 o) + j sin ( 2 o) 1  ($2 pZ kS )2 = 0 j

$ 2 pZ kS =

pZ  o pS 2

pZ 2 2 o pS ¶2 + tan ( 2 o) = 0 $ $ 2  pZ 1  2o pS

mit

2 =

$2 . fS

In Tabelle 8.1 sind für das betrachtete Beispiel die Frequenzen i0 , i1 und i2 angegeben. Bemerkenswert ist die geringe Abweichung zwischen den mit der einfachen Näherung b) berechneten Frequenzen i10 , i20 und den exakten Frequenzen i1 und i2 . Abschließend soll noch die Grenzfrequenz ig berechnet werden, bis zu der die beiden Beschleunigungsverläufe d1 und d2 lediglich um einen vorgegebenen Fehler I abweichen. Näherung b): r ¯ ¯ ¯ d2 ¯ 1 $g I ¯ ¯ = = 1 + I $ = 2 0 ¯d ¯ 0 $ 1 + I 1  ($ g @$ 1 ) 1 $=$ g 1 exakte Lösung:

¡ ¢ ¡ ¢ y 1 = cos  g o y2 + mkS $ g pZ sin  g o y2 ,

mit

kS $ g pZ =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y 1 ¯ ¯ d1 ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¯ ¯ = ¯ ¯ = 1  I = cos  g o  pZ  g o sin  g o $ $ g ¯y ¯ ¯d ¯ pS 2 2 g =

$g . fS

pZ  o pS g

270

8 Magnetische Wandler

Tabelle 8.1. Zahlenwerte für die Frequenzen i0 , i1 , i2 und ij des Kalibrierschwingtisches Beispiel:

A  4 cm 2 , l  100 mm, ES  6,9 10

10

n1  n2  10

4

r  2,7 103 kg m 3 Al , cS  5 103 m s 1

b g

2

N mm , m1  m2  mZ  50 g, mS  108 g m N 1 , nS  3,6 10 9 m N 1 Näherung b)

nS

mZ f0  35 Hz

exakte Lösung c)

mZ

v2

mZ v1

mZ bl hS

v2

v1

mS 2 f der f1 Frequenz Nullstelle von a1 der f2 Frequenz Polstelle von a1 , a 2

fg Grenzfrequenz bei F  2 %

f

kHz

kHz

8,11

8,75

11,47

16,55

112 ,

114 ,

8.2 Elektromagnetischer Wandler Aufgrund der deutlich höheren Energiedichte zmag im magnetischen Feld gegenüber der Energiedichte zel im elektrischen Feld zmag = zel =

1 E02 = 0> 4 · 106 W s m3 mit E = 1 V s m2 < @ 0 2 0

1 %0 H02 = 4> 4 W s m3 2

1

mit H0 = 1 kV m

>

zmag  105 zel

werden elektromagnetische Wandler vor allem für aktorische Anwendungen, z. B. als Antriebselemente in elektromechanischen Relais und Stelleinrichtungen, als Zug- und Lastmagnete sowie für Klein- und Schrittmotoren verwendet. Auf die Anwendung in Motoren wird hier nicht eingegangen und daher auf die Ausführung in [63] und [64] verwiesen. Stelleinrichtungen, zunehmend als Aktoren bezeichnet, werden zur Beein ussung technischer Prozesse verwendet. Neben den Sensoren und der Informationsverarbeitungseinheit stellen sie die dritte wesentliche Komponente bei der Steuerung und Regelung technischer Prozesse dar. Eine Übersicht zu den verschiedenen Aktor-Prinzipien ist in [22]

8.2 Elektromagnetischer Wandler

271

angegeben. Die weiteren Ausführungen konzentrieren sich auf die Linearisierung der Wandlerkennlinie, die Ableitung der Wandlervierpolschaltung und Anwendungen in der Mikro- und Feinwerktechnik sowie in der Mechatronik. 8.2.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes Bei der quasistatischen Beschreibung elektromagnetischer Aktoren wird bei Vernachlässigung von Trägheits- und Reibungskraft von der in Abbildung 8.15 dargestellten Kräftebilanz I = Imag  Imech unter Verwendung der in Abbildung 8.16 abgeleiteten nichtlinearen Magnetkraft Imag ausgegangen. a)

le

2

A

)

i

l0

w

u

v

l

F

me  1 uw

Fn

m

Fm

F ZL

Fn

m

i w , l  l0  "l , l0  l )  0, F  0 Rmag

b

E F

r

Fm

d) , m0  4  10 7 V s A 1 m 1 dt

Randbedingungen:

n

Fmag

m0



Fmag

)

)

)

1

)

b)

"l 3 4n

g

me  1 , keine Magnetfeldstreuung

F  Fmag  Fmech

Fmech 

1 d2x dx xm 2 r n dt dt

Abbildung 8.15. Modell des elektromagnetischen Wandlers 1 Spule, 2 weichmagnetischer Kern - Joch, 3 Luftspalt, 4 weichmagnetisches Antriebselement - Anker

Der dynamische Entwurf dagegen basiert auf der Linearisierung der Wandlerkennlinie. Aus der Betrachtung des Kleinsignalverhaltens um den eingestellten Arbeitspunkt lässt sich auch für den elektromagnetischen Wandler eine Schaltung ableiten. Sie entspricht der bereits in Abbildung 7.8 dargestellten Grundschaltung magnetischer Wandler mit transformatorischer Verkopplung. Gegenstand der weiteren Ausführungen ist die anschauliche Ableitung der Vierpolschaltung des elektromagnetischen Wandlers aus dem in Abbildung 8.15 gezeigten Wandlermodell, die Erläuterung der dabei angenommenen Randbedingungen und die experimentelle Bestimmung der Bauelemente.

272

8 Magnetische Wandler Ausgangszustand

Zustand nach virtueller Verrückung

"l

A wmag

wmag Fmag

B,H l0 m0

Fmag

B,H

l )

durchflutete Polflächen

Wmag  wmag A l0 

1 B2 A l0 2 m0

"Wmag  Fmag "l



Fmag 

Fmag

m0

Wmag "Wmag

Wmag  "Wmag 

1 B2 A l0  "l 2 m0

b

FG IJ H K

)2 w i 1 B2 1 A  A m0 l 2 m0 2 m0 A 2

g

2

Fmag ~ i2

1

~

l2

i ) L i B  A w A

l

H  B m0

L  w 2 m0 A l

wmag 

l  l0  "l

dV  A "l

dWmag dV



1 B2 2 m0

Abbildung 8.16. Berechnung der Magnetkraft aus der Energiedichte bei virtueller Verrückung des Ankers

Durch Einspeisung des Stromes l in die Spule mit z Windungen wird der Fluß  im Magnetkreis, der aus dem xierten Joch, dem Luftspalt o0 und dem durch eine Feder q gehaltenen Anker mit der Masse p besteht, erzeugt. Zwischen den beiden Trenn ächenpaaren, die den Luftspalt begrenzen, wirkt die Magnetkraft Imag . Der Magnetkraft entgegengerichtet wirkt die durch die Auslenkung o der Feder und die Trägheitskraft hervorgerufene mechanische Kraft Imech . Der magnetische Widerstand der Eisenteile ist gegenüber dem des Luftspaltes zu vernachlässigen. Die Berechnung der magnetischen Anziehungskraft im quasistatischen Fall erfolgt durch die Anwendung der Energiebilanz bei virtueller Verrückung o des Ankers in Abbildung 8.16. Als Ergebnis ist die Magnetkraft Imag

1 1 l2 O2 = D0 = 2 2 0 z D 2



zl o

¶2

(8.5)

8.2 Elektromagnetischer Wandler

273

quadratisch vom Speisestrom l und umgekehrt quadratisch von der Luftspaltlänge o abhängig. Wird nun die Spule mit Wechselstrom gespeist, so erhält man wegen der quadratischen Kennlinie ein mit doppelter Frequenz verzerrten Kraftverlauf: Imag =

1 ˆ~2 O2 (1  cos (2$w)) 2 0 z2 D

(8.6)

Hier kann jetzt durch die Arbeitspunkteinstellung, hervorgerufen durch einen • zusätzlichen Gleichstromanteil L0 oder der • Erzeugung eines Gleich ussanteils 0 durch einen Dauermagneten und Auslenkung mit ˆ~ sin ($w) um diesen Arbeitspunkt — Kleinsignalverhalten — ein näherungsweiser linearer Zusammenhang gesichert werden. Für die Magnetkraftänderung Imag gilt dann die Beziehung: Imag = Imag  I0 = mit

¢ 1 O2 ¡ 2L0ˆ~ sin ($w) + ˆ~2 sin2 ($w) 2 2 0 z D I0 =

(8.7)

1 O2 L02 2 0 z2 D

und dem Linearitätsfehler Ilin =

ˆ~2 sin2 ($w) ? 102 . 2L0ˆ~ sin ($w)

Elektromagnetische Stelleinrichtungen werden im Großsignalverhalten im Stellbereich 5 bis 30 mm betrieben. Hier erfolgt eine eingeschränkte Linearisierung (Linearitätsfehler im Arbeitsbereich ca. 5 bis 20%) durch die geometrische Formgebung des Jochs und Ankers. Bei der Ableitung des Kleinsignal-Wandlerschaltbildes für den dynamischen Fall wird aufgrund des sehr geringen Linearitätsfehlers bei Arbeitspunkteinstellung des Wandlers der quadratische Anteil der Magnetkraft vernachlässigt. Ausgehend von den zwei Wandlergrundgleichungen des Modells aus Abbildung 8.17 I = Imag  Imech = und l=

1 d2  2 d  p 2 u 20 D q dw dw

z o = O z0 D

(8.8)

(8.9)

erhält man für I und l in der Umgebung des Arbeitspunktes mit o0 als Luftspaltlänge nach der Arbeitspunkteinstellung

274

8 Magnetische Wandler

CI CI (  0 ) + (o  o0 ) C Co

(8.10)

1 20  (o  o0 ) = 0 20 D q

(8.11)

Cl Cl (  0 ) + (o  o0 ) . C Co

(8.12)

I = I  I0 = mit

I0 = I (0 > o0 ) = und l = l  L0 =

le

"l

A A

F  Fmag  Fmech Fmag 

)0  ")

i  I 0  "i

l0*

w u

A  2A 

v

n

Fmag Dauermagnet

)0

i

F  F0  "F

l

L

) )0  ")

me  1

)2 2 m0 A

) w L

w 2 m0 A 2 l0*

x  l0*  l

m0

m im Arbeitspunkt:

d

l0*  l ) )0 , F  F0

i

Abbildung 8.17. Modell des elektromagnetischen Wandlers mit Arbeitspunkteinstellung durch einen Gleichstrom L0 oder einen Dauermagneten 0

Für den quasistatischen Fall wird die Trägheitskraft und die Reibkraft vernachlässigt. Alle partiellen Ableitungen erfolgen an der Stelle 0 und o0 . Damit erhält man folgende Beziehungen für die Ableitungen: ¯ ¯ CI ¯¯ 0 1 CI ¯¯ , = = C ¯0 >o 0 D Co ¯0 >o q 0

¯ z Cl ¯¯ = , ¯ C 0 >o O 0

0

¯ 0 Cl ¯¯ = ¯ Co 0 >o z0 D 0

Da man von einer sinusförmigen Auslenkung um den Arbeitspunkt ausgeht, werden im nächsten Schritt komplexe Amplituden o0  o =  $ , I  I0 = I $ I ,   0 =  $ , l  L0 = l $ l

8.2 Elektromagnetischer Wandler

275

eingeführt und man erhält für die Wandlergleichungen: I = l=

0 1   0 D q

(8.13)

z 0 +  O z0 D

(8.14)

Schließlich ergeben sich mit x = j$z und y = j$ die Wandlergleichungen: I+

< 1 1 0 y = IW = xA A @ j$q j$ z0 D A

z D \  = j$ 0 A A 1 1 0 0 > x = lW = y A l+ j$O j$ z0 D

Der Wandler weist eine gyratorische Verkopplung mit der imaginären Wandlerkonstante \  auf. Da das Ziel in der Sicherung einer reellen, frequenzunabhängigen Wandlerverkopplung besteht, erfolgt die Umstellung der Wandlergleichungen nach x> I = i (l> y): x  j$Ol = xW =

0 z y o0

(8.15)

 ¶ 1 1 0 0 z j$Ol +  y  y I = j$ z0 D o0 j$q  ¶ 1 1 0 z 20  y = IW =  l I+  j$ q 0 Do0 o0

(8.16)

Zwischen den elektrischen und mechanischen Größen besteht jetzt eine transformatorische Verkopplung mit der reellen Wandlerkonstante [=

o0 . 0 z

(8.17)

Wird nun der Maschen- und Knotensatz auf die Gln. (8.15) und (8.16) angewendet, so folgt das in Abbildung 8.18 angegebene Wandlerschaltbild. Welche anschauliche Bedeutung weisen die Wandlerbauelemente auf? Wird der Anker festgehalten, mechanisch festgebremster Fall (y = 0), so kann man an den elektrischen Eingangsklemmen die Impedanz ] = U + j$Ob

mit

Ob = O (o0 ) =

z2 0 D0 o0

messen. Für diesen Fall ist zur Verhinderung der Ankerauslenkung die Kraft I W = (1@[) l aufzubringen. Im umgekehrten Fall ergibt sich bei Aufprägung

276

8 Magnetische Wandler

R

u

Lb

i

Transformator

FW

uW

1 uW  v X i  X FW

nI

F n

v

123 nL

Widerstand der Erregerspule:

R

Induktivität im festgebremsten Zustand:

Lb 

transformatorische Wandlerkonstante:

X

negative Nachgiebigkeit durch Wirkung des Magnetfeldes:

nI   X 2 Lb

Nachgiebigkeit der Feder:

n

resultierende Nachgiebigkeit im elektrischen Leerlauf:

)02 1 1 1 1     nL n nI n m0 A  l0*

w 2 m0 A  l0*

, A 

1 A 2

l0* l0*  )0 w B0 A  w

Abbildung 8.18. Vierpolschaltbild des verlustfreien elektromagnetischen Wandlers für Kleinsignalverhalten

der Geschwindigkeit y die Wandlerspannung xW = (1@[) y. Im elektrischen Leerlauf l = 0 ist auf der mechanischen Seite die Nachgiebigkeit qL messbar. Dabei setzt sich qL aus der Nachgiebigkeit q der Feder und einer durch das magnetische Feld erzeugten negativen Nachgiebigkeit qL zusammen. Die negative Feldnachgiebigkeit qL = [ 2 Ob ergibt sich durch die unterstützende Wirkung des durch die Arbeitspunkteinstellung vorhandenen magnetischen Feldes. Im Fall des elektrischen Kurzschlusses x = 0 wird auf der mechanischen Seite bei der Vernachlässigung von U lediglich die mechanische Nachgiebigkeit q = qK gemessen. Die Ankermasse p = YA und die Reibung u im Luftspalt bzw. Verluste der Feder wurden in Abbildung 8.18 zunächst nicht berücksichtigt. Bei der dynamischen Betrachtung konkreter Anwendungsbeispiele sind diese Bauelemente auf der mechanischen Seite parallel zur Nachgiebigkeit qL einzufügen. Außerdem wurde bei der Ableitung des Wandlermodells wegen h À 0 die Magnetfeldstreuung vernachlässigt. Für die Transformationsbeziehungen zwischen der elektrischen und mechanischen Netzwerkseite gelten die bereits in Tabelle 7.2 angegebenen Beziehungen. Eine nochmalige Zusammenfassung der Beziehungen für die Bauelemente und Transformationen im Vergleich zum elektrodynamischen Wandler enthält Tabelle 8.2.

8.2 Elektromagnetischer Wandler

277

Tabelle 8.2. Schaltbild, Bauelemente- und Transformationsbeziehungen für die verlustfreien magnetischen Wandler

elektromagnetischer Wandler

A

i

) )0

n ,r m F

m,V A

m0 l0*

w,d n,r

u

elektrodynamischer Wandler

hS h

B0

v

r

b

F

me  1

i

B0

u

Schaltbild

verlustfreier Wandler

Lb

i R

FG u IJ  FG X1 H i K GH 0 W

F

FW

Transformator

uW

u

IF v I JJ G J XK HF K 0

n

nI

X

B0 l

nI   X 2 Lb

R

IJ K

n

r VS 1 , w0 Q nL rD l , AD

r

FG H

m0 w 2 r h 2 hS 1 b 3 h

r V A

m

v

123 nL

2

l0*

n parallel nI ,

1 r

1

A

m0 w 2

Lb

m

W

l0* B0 A  w

nL

v w,l

1 w 20  nL m l  2r w

Transformationsbeziehungen mechanisch

Cm  mX 2 , Rr 

1 r X

2

,

elektrisch

elektrisch

Ln  n X 2

mC  C X ,

Z

h X

2



2

1 z X

2

Reihenschaltung Parallelschaltung

rR 

mechanisch

nI  L X 2

1 1 , h  Z X 2, z  2 R X Z X2

Reihenschaltung Parallelschaltung

278

8 Magnetische Wandler

Beim Vergleich der maximal erzielbaren Kräfte Imax beider Wandler werden die unterschiedlichen Anwendungen verständlich. Wird von den technischen Grenzwerten für Flussdichte und elektrische Stromdichte E0 = 2 V s m2 ,

M=

l = 10 A mm2 , DD

typischen geometrischen Abmessungen (D Querschnitts äche des Eisenkreises, g Durchmesser des Spulendrahtes, DG Querschnitts äche des Spulendrahtes) D = u2 = 100 mm2 ,

g = 0> 3 mm,

DD = 0> 07 mm2

und einer Windungszahl z = 300 ausgegangen, so erhält man mit Idyn = E0 ol,

l = MDD = 0> 7 A,

und Imag = E02 D

o = 2uz = 10 m

1 0

die Maximalkräfte Idyn = 15 N,

Imag = 300 N.

Daher werden für Anwendungen mit großen Stellkräften ausschließlich elektromagnetische Wandler verwendet. Dagegen werden elektrodynamische Wandler für aktorische und sensorische Anwendungen, bei denen ein möglichst lineares Übertragungsverhalten im Vordergrund steht, eingesetzt. Die Ankerbewegung kann auch parallel zu den Pol ächen erfolgen. Die Vorteile dieser Anordnung — Reluktanzprinzip — liegen im größeren Hub und bei Vernachlässigung der Magnetfeldstreuung in einer bereits ohne Arbeitspunkteinstellung linearen Kraft-Weg-Kennlinie. Das dynamische Verhalten kann ebenfalls mit dem Schaltbild aus Abbildung 8.18, allerdings mit veränderten Bauelementegleichungen, berechnet werden. 8.2.2 Anwendungsbeispiele Als Anwendungsbeispiele des elektromagnetischen Wandlers wird anschließend der dynamische Entwurf eines elektromechanischen Relais und eines elektromagnetischen Schwingförderers erläutert. Als drittes Beispiel wird der Entwurf eines elektromagnetischen Stellantriebs und die Einordnung dessen Leistungskennwerte zu alternativen Aktorprinzipien behandelt. Elektromechanisches Relais Der Grundaufbau eines elektromechanischen Relais und typische Kennwerte sind in Abbildung 8.19 angegeben. Gegenüber Halbleiterschaltern sind vor allem die galvanische Trennung von Betriebs- und Schaltstromkreis, der geringe

8.2 Elektromagnetischer Wandler

Klappanker

Elektromagnet Joch

Schließer

7

max. Schaltfrequenz: Ansprechzeit: Prelldauer: Isolationswiderstand:

iB

iS

6

e10 K 10j A Schaltspannungsbereich: e10 K 380j V Durchgangswiderstand: b1 K 100g m% Steuerleistung: b70 K 4000g mW

Schaltstrombereich:

Grundaufbau:

279

Spannungsfestigkeit:

20 Hz

b1 K 30g ms b0,5 K 10g ms e10 K 10 j % b0,5 K 25g kV 2

6

Abbildung 8.19. Grundaufbau und typische Kennwerte eines elektromechanischen Relais

Durchgangswiderstand, die hohe Spannungsfestigkeit und der hohe Isolationswiderstand vorteilhaft. Der Relaisantrieb erfolgt durch einen elektromagnetischen Wandler. Wird die Ankermasse p und die Reibung u des Relais vernachlässigt, so weist das Relais als Übertragungsverhalten eine Tiefpasscharakteristik auf. Dieses näherungsweise Übertragungsverhalten wird in Abbildung 8.20 aus dem vereinfachten Relaisschaltbild abgeleitet. In Abbildung 8.21 ist das Ein- und Ausschaltverhalten im Zeitbereich dargestellt. Durch die induzierte Gegenspannung beim Schließen des Relais wird der mit der Zeitkonstante O@U verlaufende Strom uss reduziert und es stellt sich ein neuer Verlauf mit der Zeitkonstante O1 @U ein. Die Weiterentwicklung der Relais verläuft in Richtung miniaturisierter Bauformen, die auch Array-Anordnungen ermöglichen. Die verstärkte Anwendung der Silizium-Mikrotechnik stellt für die nahe Zukunft eine vielversprechende Alternative zu den klassischen feinwerktechnischen Relais-Realisierungen dar. Erste Prototypen mit elektrostatischem Antrieb wurden bereits mit reproduzierbaren Kennwerten erprobt [65]. Die typischen Kennwerte elektromechanischer Relais sind in Tabelle 8.3 denen von Halbleiter-Relais gegenübergestellt. Den prinzipiellen Nachteilen, wie • begrenzte Lebensdauer auf 107 bis 109 Schaltspiele • größerer Ansprechzeit und • Alterserscheinungen bei der Kontaktgabe

280

8 Magnetische Wandler x

n

l0

i

Lb

R

i Ln 

u

F

u

nK X2

m

R, L

L  Lb  Ln

i u i 1  u R

1R 1 2R

1 w 1 j w0

, w0 

R L

w w0

1

Abbildung 8.20. Näherungsweises Übertragungsverhalten des elektromechanischen Relais (Masse p und Reibung u vernachlässigt) Einschalten: u U0

Einschaltzeitpunkt t0 : t

i

T0 

I0 i1

L1 L0 T1  R R

t  t0 :

t2  t0

t1 t2

e b

j

g

Fmag  Fmech  Beginn der Ankerbewegung

t1  t  t2 :

Vergrößerung von L  Zunahme von )  induzierte Gegenspannung  Verringerung von i

t  t2 :

Beendigung der Ankerbewegung x  l0 , L  L1

t  t2 :

Stromanstieg auf I0  U 0 R mit neuer Zeitkonstante T1  L1 R

t

t0

U0 1  e  R L0 t R L0  L x  0

Stromanstieg i 

t  t1 :

t

x l0

x0

t3 t4 t5

Ausschalten: x  l0

: Anzugsgesamtzeit

Ausschaltzeitpunkt t3 :

t1  t0

: Anzugsverzögerungszeit

t  t4 :

t2  t1

: Anzugszeit

Fmech  Fmag  Beginn der Ankerbewegung

t  t5 :

 Ende der Ankerbewegung

Abbildung 8.21. Zeitverläufe vom Betriebsstrom l und Ankerbewegung  beim Ein- und Ausschalten eines Relais

8.2 Elektromagnetischer Wandler

281

stehen jedoch auch wesentliche Vorteile, wie • niedriger Durchgangswiderstand • hoher Sperrwiderstand • hohe Belastbarkeit und • geringe Temperaturabhängigkeit der Kennwerte bei elektromechanischen Relais gegenüber. Diese Vorteile werden den elektromechanischen Relais auch zukünftig vielfältige Anwendungsaufgaben sichern. Tabelle 8.3. Gegenüberstellung ausgewählter Kennwerte von elektromechanischen Relais und Halbleiter-Relais elektromechanisches Halbleiter-Relais Relais

Kennwerte Hz

10 = = = 1000

108

mW

10 = = = 4000

5 · 1034 = = = 300

Ansprechzeit

ms

0> 5 = = = 30

1036 = = = 1

Prelldauer

ms

0> 5 = = = 10

0

Durchgangswiderstand

ml

1 = = = 200

10 = = = 105

Isolationswiderstand zw. d. oenen Kontakten zw. Ein- und Ausgang

Ml Ml

102 = = = 106 102 = = = 106

1032 = = = 102 103 = = = 106

Spannungsfestigkeit zw. d. oenen Kontakten zw. Ein- und Ausgang

kV kV

0> 5 = = = 25 0> 5 = = = 25

1032 = = = 1 5 · 1033 = = = 20

Schaltzahl

107 = = = 109

nicht begrenzt

max. Schaltfrequenz Steuerleistung

Lebensdauer

Elektromagnetischer Schwingförderer In Abbildung 8.22 ist das Konstruktionsprinzip des elektromagnetischen Antriebs eines Schwingförderers angegeben. Die Linearisierung des Wandlers erfolgt durch Arbeitspunkteinstellung mittels eines Permanentmagneten. Für

282

8 Magnetische Wandler

Auslenkungen um diesen Arbeitspunkt kann man zur Berechnung des dynamischen Übertragungsverhaltens näherungsweise die Wandlerschaltung aus Abbildung 8.18 verwenden. Dieses Schaltbild ist für Stromspeisung unter Berücksichtigung der Schwingmasse p und Reibung u ebenfalls in Abbildung 8.22 angegeben.

n  0,3 10 4

F

n

v

10 m

1

m  40 g

m N

A  100 mm 2

10

l0  1 mm me  103 m0

20

10

V s m2 V s m0  1,257 10 6 A m B0  0,2

30 1000 Wdg 0,35  R1  14 %

10 1000 Wdg 50

0,35  R2  14 %

me  1 Schaltbild:

R  R1  R2 i

Q2

FW

Lb uW

1 uW  v X i  X FW

nL

F m

v

1 w0 nK Q 1 w 20  nK m

r r

Abbildung 8.22. Elektromagnetischer Wandler zur Krafterzeugung am Schwingförderer

Zunächst sollen die Vierpolparameter nach der Arbeitspunkteinstellung gemäß  = 0 , o = o0 berechnet werden: 0 = E0 D = 2 · 105 V s,

o0 = o0  q

z0 1 =  = 44 V s m1 , [ o0

Ob =

qL =

qL q = 0> 51 · 104 m N1 q + qL

20 = 0> 904 mm 0 D

z2 0 D = 140 mH, o0

U = 28

8.2 Elektromagnetischer Wandler

283

mit qL = [ 2 Ob = 7> 2 · 105 m N1 = 2> 4q. Als aktorische Kenngrößen werden im zweiten Schritt die Kurzschlusskraft IˆK bei sinusförmiger Anregung mit 1 < IˆK = ˆ~ A A [ @ A A >

0 ˆ = 3

zu

1 1 z ˆ = lOb $ ˆ~max = 0 z 3 Ob

IˆK = 2> 1 N

mit

ˆ~max = 48 mA

berechnet. Die hierfür erforderliche elektrische Leistung ergibt sich zu S = ˜~2max U = 33 mW n o Der Leerlaufausschlag ˆ L

max

L = zu

1 y , j$ L

für

1 x ˜ = s ˆ~max U = 0> 95 V. 2

ergibt sich mit y L = j$qL I W ,

n o ˆ L

IW =

1 l [

qL ˆ~max = 0> 15 mm. [ Für den Stabilitätsgrenzwert  g gilt nach Abbildung 8.23 max

=

 r  g = o0  og = o0 1  3

q 2 [ Ob

¶

= 0> 57 mm.

Für die Ruheauslenkung  0 erhält man  0 = o0  o0 = 0> 096 mm. Damit erfüllt der maximale Leerlaufausschlag die Bedingung { L }max 

¢ 1¡   0 . 3 g

Die Stabilitätsgrenze kennzeichnet den Abstand der Pol ächen, ab der sich der Anstieg der Kraftkennlinie in Abbildung 8.23 umkehrt. Im oberen Teilbild aus Abbildung 8.23 ist der Verlauf der magnetischen und der mechanischen Kraftkennlinie einschließlich der Arbeitspunkteinstellung o = o0 dargestellt. Das untere Teilbild zeigt den Verlauf der wirkenden Gesamtkraft und den Grenzwert og für die Stabilitätsgrenze. Die Stabilitätsgrenze og wird durch Ableitung der Kraftkennlinie im Punkt o = og

284

8 Magnetische Wandler

Fi Fmech

Fmag

1n

1 nI

0 l0*

l0

l Fmag  Fmech

F

d

i

l )0 , F  0  l0*

l0*  l0  n

1 nL

0

)0 m0 A

x  l0*  l

lg l0* l0

l

Abbildung 8.23. Arbeitspunkteinstellung und Stabilitätsgrenze des elektromagnetischen Wandlers

¯  ¶3 1 o0 1 1 CI ¯¯  = = 0 $ = 0, Co ¯og qL q [ 2 Ob og

og = o0

r 3

q [ 2 Ob

berechnet. Schließlich sollen im dritten Schritt die dynamischen Übertragungseigenschaften des Antriebs bestimmt werden. Hierzu transformiert man im Schaltbild aus Abbildung 8.22 die mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite. Das transformierte Schaltbild und der Verlauf der Übertragungsfunktionen y@l und @l sind in Abbildung 8.24 angegeben. Zur Sicherung der maximalen Geschwindigkeit bzw. des maximalen Hubes wird der Schwingförderer in der Nähe seiner Resonanz $  $0 betrieben. Der Strom im Resonanzpunkt ergibt sich mit xW } [ = ˆ~max Uu [ yˆmax = $ 0 ˆ max = {ˆ

zu

$ 0 ˆ max 67 ˆ = mA für max = 0> 15 mm. Uu [ T Für T = 2 beträgt die hierzu erforderliche Leistung ˆ~max =

Sel = ˜~2max (U + Uu ) = 95 mW bei einem Wirkungsgrad  von =

Smech Uu = 0> 83. = Sel Uu + U

8.2 Elektromagnetischer Wandler

i

r

Ln 

R

Lb

28 %

140 mH

nK

uW

Q

f0 

r X2

69 % Q

 112 Hz

v  X Ln w 0 i x i

0

1 2  nL m

1

u v X W i i

L X v i

Ln X

Rr 

21 $F

99 mH

1 1 N s  28 Q w 0 nL Q m

v x , i i

Cm  X 2 m

X2

285

1

j 1 j

w w0

FG IJ H K

w 1 w  w0 Q w0

2

w w0

Abbildung 8.24. Übertragungsverhalten des Schwingförderers

Elektromagnetischer Stellantrieb Eine besonders wichtige Anwendung des elektromagnetischen Wandlers ist sein Einsatz als Antrieb für Stelleinrichtungen zur Beein ussung von hydraulischen oder pneumatischen Fluidströmen. Vorzugsweise wird er als Kurzhubelement in der Bauform eines Topfmagneten verwendet (s. Abb. 8.25). Die Bestromung der Erregerspule erfolgt mit Gleichstrom. Wechselstromspeisungen sind eher die Ausnahme. Zur Sicherung einer zum Erregerstrom näherungsweise proportionalen Stellbewegung muss die Magnetkraft-Kennlinie linearisiert werden. Dies erfolgt durch eine spezielle Formgebung der Anker-Joch-Systeme. Bei sonst gleichen Hauptabmessungen des Gleichstrommagneten in Abbildung 8.26 wird durch konstruktive Veränderungen der magnetische Leitwert des Luftspaltes und damit die Kraftkennlinie verändert. In Tabelle 8.4 werden elektromechanische Wandler hinsichtlich ihrer Eignung als Aktoren an Hand ausgewählter Merkmale verglichen. Dabei stellt der elektromagnetische Wandler für möglichst große Kraft und Stellweg die günstigste Antriebstechnik dar. Die Maximalkraft wird durch die zulässige thermische Verlustleistung und die Sättigung des Magnetmaterials begrenzt. In Abbildung 8.27 ist der typische Aufbau eines elektromagnetischen Aktors als Kurzhubelement und dessen statische Kennlinie mit Kennlinienbeein ussung und Gegenfeder angegeben. Der verfügbare Stellbereich ist größer als ohne Kennlinienbeein ussung.

286

8 Magnetische Wandler Magnetkörper - Joch Luftspalt

Erregerspule

Anker

a)

b)

c)

Abbildung 8.25. Grundbauformen von Elektromagneten für translatorische Ankerbewegungen [22, 66] a) Topfmagnet (Tauchanker); b) U-Magnet (Flachanker); c) E-Magnet (Flachanker)

Fmag

Fmag

Fmag

lL

lL

lL a)

lL

lL

lL

b)

c)

Abbildung 8.26. Qualitativer Verlauf der Kraft-Kennlinien für verschiedene Ankergegenstücke [63]

u x

Fmag

i3

i Feder n

Fmag

Fn

i2 i1

Last mL Spule w

Anker mA (Stößel) Stellbereich

xmax x

Abbildung 8.27. Elektromagnetischer Aktor als Topfmagnet und statische Kennlinie im konstruktiv linearisierten Betriebsfall

8.2 Elektromagnetischer Wandler

287

Tabelle 8.4. Vergleich der elektromechanischen Wandler für Aktoranwendungen Wandlerart

typische

Stellkräfte

Stellwege

Bauform

[N]

[mm]

Besonderheiten

-

nichtlineare Kraftkennlinie

elektromagnetische

Hubmagnet,

Aktoren

Toporm

10 - 300

1 - 30

-

Kraft von Auslenkung abhängig

-

in Grenzen durch Bauform kompensierbar

elektrodynamische Aktoren

-

Tauchspule Schwingspule (Voice

1 - 20

Kraft unabhängig von Auslenkung

5 - 30

-

Coil Aktor)

lineare Kraftkennlinie

Hubbegrenzung durch Streufeld

piezoelektrische Aktoren (Piezo-Keramiken)

Stapelaktor, Biegeaktor

100 - 5000

0,01 - 0,20

Kamm- und Wanderelektrostatische Aktoren

keilanordnungen, gestapelte Polymer-

-

Hystereseverhalten

-

großes Miniaturisierungs-

Alterungserscheinungen

potential 0,02 - 2

aktoren

0,1 - 5

-

Herstellungsmöglichkeit im Batch-Prozess

-

hohe Betriebsspannungen

Das quasistatische Schaltverhalten des elektromagnetischen Aktors ist für die Schaltspannung und den Erregerstrom in Abbildung 8.28 dargestellt. Ähnlich wie beim elektromechanischen Relais erfolgt bedingt durch die Federkraft und die induzierte Gegenspannung eine verzögerte Ankerbewegung. Analog erfolgt das Abschalten trotz Abschaltspannungsspitze verzögert. Das dynamische Verhalten des elektromagnetischen Aktors lässt aus der in Abbildung 8.29 dargestellten Schaltung ermitteln. Für den niederfrequenten Bereich wurde die Spuleninduktivität gegenüber ihrem Widerstand vernachlässigt. Für die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsübertragungsfunktion gilt: Ey =

1 y $ 0 qL 1 j ($@$ 0 ) , T= = , $ 20 = x U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )2 qL p $ 0 qL u

E =

 qL 1 = . x U[ 1 + j ($@$ 0 ) 1@T  ($@$ 0 )2

Die dazugehörigen Amplitudenfrequenzgänge entsprechen den bereits in Abbildung 8.6 angegebenen Verläufen des elektrodynamischen Antriebssystems.

288

8 Magnetische Wandler u,i u

U0 I0

i

Ian

i

Iab t11 t12 t1

t11 Anzugsverzug

US . x,x . xe1 x0

t1 Anzugszeit

t

t2

t22

t12 Hubzeit t21

t2 Abfallzeit . x

t21 Abfallverzug

x

x

t22 Rücklaufzeit

t

US Abschaltspannungsspitze

. x . -xe2

Abbildung 8.28. Gleichstrom-Aktors

R

u

i uW

Quasistatisches Schaltverhalten des elektromagnetischen

FW 1 uW = × v X nI i = X ×FW

FW =

F n

m

1 r

v º

u R ×X 2

nL

m

1 v r

123

nL

Abbildung 8.29. Schaltung des Elektromagneten zur Berechnung des dynamischen Übertragungsverhaltens

8.3 Piezomagnetischer Wandler Die dritte praktisch wichtige Klasse der magnetischen Wandler bilden die piezomagnetischen Wandler. Einige ferromagnetische Stoe (Metalle und Keramiken) weisen eine ausgeprägte quadratische Verknüpfung zwischen den mechanischen und magnetischen Feldgrößen V  K2

für

W =0

E2  W

für

K =0

und auf. Die im Magnetfeld erzeugte Längenänderung wird als Magnetostriktion bezeichnet. Umgekehrt wird durch eine Längenänderung eines magnetostriktiven Stoes eine elektrische Spannung in der ihn umgebenden Spule induziert.

8.3 Piezomagnetischer Wandler

289

Für hohe Feldstärken tritt bei der in Abbildung 8.30 skizzierten Gestaltsänderung eine Sättigung auf, die als Sättigungsmagnetostriktion VS bezeichnet wird. R  "R

A

bg

it

R

bg

ut

S

x

x l

S SS

10 5 K 10 3

l w, L

&"H 3

ferromagnetisches Material

2 1

0

H0

H

Abbildung 8.30. Magnetostriktion bei ferromagnetischen Werkstoen

Die Magnetostriktion beruht vor allem auf einer Richtungsänderung der magnetischen Domänen im ferromagnetischen Sto in Abhängigkeit von der Ausrichtung des äußeren Magnetfeldes — Joule-Eekt (1842). Obwohl dieser Effekt zu einer Gestaltsänderung des Stoes führt, ist er volumeninvariant. Im Folgenden werden die nach Linearisierung gültigen Zustandsgleichungen aufgestellt und aus ihnen die Vierpolschaltung des piezomagnetischen Wandlers abgeleitet. Ausgehend von diesem Schaltbild und den Kennwerten technisch wichtiger Werkstoe werden abschließend Anwendungen in der Mikround Feinwerktechnik erläutert. 8.3.1 Ableitung des Wandlervierpolschaltbildes Werden die in Abbildung 8.30 angegebenen Feldgrößen — hier vereinfacht als ortsunabhängig angenommen — durch die zugehörigen integralen Größen  = E3 D,

=

O l, z

I = W3 D

ersetzt, mit z als Windungszahl und O als Spuleninduktivität, so ergibt sich im mechanisch festgebremsten Zustand die nichtlineare magnetostriktive Kraft  ¶2 1 1 O 1 1 2 2 = N l , Imst = NDE = N 2 2 D 2 D z mit N als Materialkonstante. Für quasistatische aktorische Anwendungen — Großsignalverhalten — dieser Werkstoe stört der nichtlineare magnetostriktive Eekt oftmals nicht. Bei technischen Anwendungen als linearer Wandler (z. B. Sensoren) wird die quadratische Abhängigkeit durch den Gleich uss

290

8 Magnetische Wandler

0 linearisiert. Für den Fall, dass die remanente Magnetisierung zu gering ist, wird der Gleich uss 0 durch eine additive Gleichkomponente L0 zum Signal l (w) oder durch einen zusätzlichen Permanent- oder Elektromagneten erzeugt. Durch die linearisierende Gleichgröße entsteht im Werksto, ähnlich wie bei den piezoelektrischen Keramiken, eine Vorzugsrichtung, die ihm im makroskopischen Sinne die Eigenschaften eines anisotropen Körpers, z. B. eines Kristalls gibt. Analog zum piezoelektrischen Fall kann man eine lineare magnetomechanische Verkopplungsmatrix zwischen den Feldgrößen Eq = Wqp Kp + gqm Wm ,

q> p = 1 = = = 3 

(8.18)

Vl = gpl Kp + vK lm Wm ,

l> m = 1 = = = 6

(8.19)

angeben. Die lineare Verkopplung zwischen den mechanischen und magnetischen Feldgrößen wird als piezomagnetischer Eekt bezeichnet. Dabei sind die Feldgrößen über die magnetischen , elastischen v und piezomagnetischen g Materialkonstanten verknüpft. Je nach Verknüpfung der Variablen E> W = i (K> V) ,

(8.20)

K> V = i (E> W ) ,

(8.21)

K> W = i (E> V)

(8.22)

können noch weitere drei Gleichungssysteme, die jeweils einen Satz elastischer, piezomagnetischer und magnetischer Konstanten aufweisen, aufgestellt werden. Allerdings sind die piezomagnetischen Koe!zienten von technisch wichtigen Werkstoen weit weniger ausgewiesen, als das bei piezoelektrischen Werkstoen der Fall ist. Üblicherweise wird nur die piezomagnetische Konstante g33 sowie bei Annahme der Volumeninvarianz des Eektes in grober Näherung g31   12 g33 und g15  (g33  g31 ) angegeben. Als Sonderfall von Gln. (8.18) und (8.19) wird in Tabelle 8.5 der direkte und der reziproke piezomagnetische Eekt bei Übereinstimmung der Richtung des mechanischen und magnetischen Feldes für unterschiedliche Anregungen aufgeführt.

Als technisch wichtige Werkstoe werden in [64, 67, 68] Eisen-Nickel-Legierungen, Metalloxidverbindungen mit keramischen Eigenschaften und hochmagnetostriktive metallische Spezialwerkstoe angegeben. Die wichtigsten Merkmale dieser Werkstoe sind in den Tabellen 8.6 bis 8.9 zusammengefasst. W Einstein’sche Summationsvereinbarung: über doppelt vorkommende Indizes ist zu summieren

8.3 Piezomagnetischer Wandler

291

Tabelle 8.5. Direkter und reziproker piezomagnetischer Eekt in {3 -Richtung (Längsrichtung)

A

F

i

x

B3 , H3

u

l

T3 , S3

w

3

2 1

d, m, s direkter piezomagnetischer Effekt: Anregung: mechanische Spannung für Antwort:

H3  0

T3

S3 H3  0 d B3  33 S3 , s33

Dehnung für

B3  d33 T3 mit

sensorische Anwendungen

B3  ) A ,

T3  F A

)  d33 F

und

e33 

S3  x l

)  e33

d33 s33

folgt:

A

x l

d, e piezomagnetische Konstanten in x3 -Richtung reziproker piezomagnetischer Effekt: Anregung: magnetisches Feld für Antwort:

T3  0

H3 für S3  0 d T3   33 H3   e33 H3 s33

H3

magnetisches Feld für

S3  d33 H3 mit

H3  w i l ,

x = d33 wi

aktorische Anwendungen

S3  x l

und

T3  F A

F  e33

folgt:

Aw i l

In Abbildung 8.31 sind für den statischen Belastungsfall die charakteristischen Verläufe für die magnetische Polarisation M (M = E  0 K) und die Dehnung V in Abhängigkeit von der äußeren Magnetfeldstärke K für das supermagnetostriktive Material Terfenol-D angegeben. Die typischen Arbeitsbereiche sind grau hervorgehoben.

292

8 Magnetische Wandler

Tabelle 8.6. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe

Eisen - Nickel - Legierungen Merkmale: - Sättigungsmagnetostriktion SS  f (Legierungskonzentration und Wärmebehandlung) - Vorzeichenwechsel von S S 10 6 20

Ni  80 %:   S Ni  80 %:   S

10

0

2000 4000 16000

10

U| V| W

H

A m

20 0

20 30 40

60

80

100

Ni Gew.%

Metalloxidverbindungen mit keramischen Eigenschaften: Ferrite - Magnetit, Ferroxcube Vacoflux 50

48

S 10 6

Zusammensetzung:

Magnetit Alfenol

-Me. O Fe 2 O 3 (Me für zweiwertiges Metall)

32

z. B.: Magnetit ) Ferroferit

a

16

FeO Fe 2 O 3

Permalloy

f

Halbleiter mit positiver Magnetostriktion

Vorteile: Eisen

0

Ferroxcube 7B

- für hohe Frequenzen wegen der daher sehr geringen Wirbelstromverluste geeignet

Nickel

- relativ große Kopplungsfaktoren von 0,2 bis 0,5

16

32 0

- großer spezifischer Widerstand bis 10 12 %cm

0,8

1,6

2,4

B 10 4 T

B  m H

8.3 Piezomagnetischer Wandler

293

Tabelle 8.7. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe

hochmagnetostriktiver Werkstoff: Terfenol-D Tb 1 x Dy x Fe 2

Formel:

- x  0,27.

(Tb: Terbium, Fe: Eisen, nol: Naval Ordnance Laboratory, Clark 1975)

S 10 6

900

S1 600

T2  25,5 N mm 2 S2 , T2

300

S1

H1

17,6 S1

9,8 unbelastet

0 300

9,8 17,6 25,5

600

S2 900 250

150

50

0

50

150

kA H m

Herstellung:

- Lichtbogen-Schmelzverfahren, Schutzgas: regellose Kristallorientierung, geringe Magnetostriktion - Kristallzüchtungsprozess: Terfenol-Stab  nahezu monokristallines Gefüge - oder Sinterprozess, z. B. MAGMEK 91 Sicherung des Phasengleichgewichts

Merkmale:

- sehr große Sättigungsmagnetostriktion von -1,5K 2 . 10 bei Feldstärken von 80 bis 200 kA/m - positive Längs- und negative Quermagnetostriktion - hoher Einsatztemperaturbereich bis 350 °C - Magnetostriktion wird von mechanischer Längs- und Querspannung beeinflusst

Achtung:

- nur für niedrige Zugspannungen verwendbar - Zunahme der Magnetostriktion S mit Zunahme der Druckspannung T2  Druckspannung erforderlich 2 optimal: 7  T / N mm  12 - wegen Korrosionsgefahr Berührung mit Wasser vermeiden

Anwendung:

Aktoren

3

250

294

8 Magnetische Wandler

Tabelle 8.8. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe hochmagnetoelastischer Werkstoff: Metglas 2605 SC Quelle: Allied Signal Corporation, Parsippang (USA) Formel:

Fe 81B13,5Si 3,5C 2 Fe 78 B13Si 9 C 2

b2605 SCg b2605 S - 2g

 (Diagramm)

Ausgangswerkstoff: amorphe Fe-B-Si-Legierung 60

S 10 6

oberflächenkristallisiert 50

getempert im Magnetfeld 40

unbehandelt 30

20

10

kristallisiert

0 10

7,5

5,0

2,5

0

2,5

5,0

7,5

kA H m

Herstellung:

- Sicherung des amorphen Werkstoffzustands durch extrem hohe Abkühlungsgeschwindigkeit von mehr als 10 5 K s

Merkmale:

- sehr kleine Magnetostriktion: SS ! 3 10 5 aber extrem großer magnetoelastischer Effekt - draht- oder bandförmige Halbzeuge

Anwendung:

magnetoelastische Dehnungs-Messstreifen (DMS) für Sensoren

Mit Hilfe der piezomagnetischen Zustandsgleichungen ist nun die Ableitung des Schaltbildes für den piezomagnetischen Wandler möglich. Dabei wird von den Zustandsgleichung mit der piezomagnetischen Konstante h33 ausgegangen, um eine reelle, frequenzunabhängige Wandlerkonstante [ zu gewährleisten:

8.3 Piezomagnetischer Wandler

295

Tabelle 8.9. Eigenschaften technisch wichtiger piezomagnetischer Werkstoe

Werkstoffe

Terfenol-D

MAGMEK 91

Metglas

gesintertes Terfenol-D

2605 SC amorphe FeB-Si-Legierung

Kennwerte 1,5 × 10

Sättigungsmagnetostriktion SS

3

0,62 × 10

3

30 × 10

Ni

bis 50 × 10

6

BS T

1,0

0,71

1,61

0,61

Kopplungsfaktor

k

0,7K 0,75

0, 4

0,9K 0,96

0,3

relative Permeabilität

mr

mTr = 9,3

2,2 K4,1

20.000 unbehandelt bis 300.000 getempert

Sättigungsinduktion

m = m0 × mr = m33 m0 = 4 × 10 7 V × s × A

1

Curie-Temperatur

×m

mSr = 4,5

1

C

Druckfestigkeit

N mm

2

Zugfestigkeit

N mm

2

E-Modul

N mm

2

380

370

350 K700

250

1000

28

120 (Streckgrenze)

1000

305

9,2 × 10 3

6,8 × 10 3

7,32 × 10 3

8,8 × 10 3

b2,5

g

3,5 × 10 4

spez. Widerstand

× mm

6,0 × 10

Wärmeausdehnungskoeffizient

1K

12 × 10

Arbeitsbereich

J 1 T

4

1,7

2,2 × 10

4

5,8

Tp = 2,8 MPa

17,5 × 10

13,5 × 10

0,6

5,9 × 10

6

S 10- 3 m/m

21,5 × 10

4

0,69 × 10 13,3 × 10

6

4

4

6

Tp = 2,8 MPa

1

Tp = 34,5 MPa 50

100

150

H kA/m

Tp = 34,5 MPa -150 -100 -50

-1

4

Arbeitsbereich

0,5

-150 -100 -50

358

380

kg m 3

Dichte

6

50

100

150

H kA/m

Abbildung 8.31. Typische Verläufe der magnetischen Polarisation M und Dehnung V in Abhängigkeit der Feldstärke K für Terfenol-D [64] Wp mechanische Druckvorspannung

296

8 Magnetische Wandler

E3 = V33 K3 + h33 V3 W3 = h33 K3 + fK 33 V3 Die Materialkonstanten V33 und fK 33 werden unter den Bedingungen V = 0 (mechanisch festgebremst) und K = 0 (elektrischer Leerlauf) experimentell ermittelt. Durch Einführen der integralen Größen  = E3 D,  = V3 o,

x = Dz y=

dE3 , dw

d , dw

l=

o K3 , z

I = W3 D

und Übergang in den Frequenzbereich x = j$DzE,

y = j$,

I $ I und l $ l

erhält man folgende Vierpolgleichungen: x = j$DzE = x = j$33 x = j$Ob l +

1 y = x0 + xW [

I = W 3 D = h33 I =

Dz2 Dz l + h33 y o o (8.23)

1 f33 D Dz l y o j$ o

1 1 l y = I W  I 0. [ m$qL

(8.24)

Die Anwendung des Maschen- und Knotensatzes führt zu dem in Abbildung 8.32 dargestellten Schaltbild des piezomagnetischen Wandlers. Der Wandlungsvierpol entspricht wie beim elektromagnetischen und elektrodynamischen Wandler einer transformatorischen Verkopplung. Die zugehörigen Transformationsbeziehungen wurden bereits in Tabelle 7.4 zusammengefasst. Auf der elektrischen Seite ist dem verlustfreien Wandler der Spulenwiderstand U und auf der mechanischen Seite, der die inneren Verluste im piezomagnetischen Werksto kennzeichnende Reibungsstandwert u, hinzugefügt. Dessen Wert wird experimentell aus der endlichen Resonanzüberhöhung mit u = 1@$ 0 qT bestimmt. In Tabelle 8.10 sind für ausgewählte piezomagnetische Werkstoe die mechanischen und piezomagnetischen Konstanten angegeben. Im Zusammenhang mit dem magnetostriktiven oder piezomagnetischen Eekt wird oft auch der magnetoelastische Eekt erwähnt. Mit diesem Begri wird

8.3 Piezomagnetischer Wandler

297

verlustfreier Wandler

Lb

R

i

FW

1 uW  v X i  XFW

u u W

u

X Kopplungsfaktor:

Lb = mS33

A × w2 l

H nL = n = s33

F F

s 1 l l  33 , e33 A w d33 A w

s33 

1

c33 , m33

k33  e33

c33 m33

 d33

v

1 r

nL

1 c33 m  m0 mr

(mechanisch festgebremst, v=0)

l l = H A c33 ×A

(elektrisch im Leerlauf)

Abbildung 8.32. Schaltbild des piezomagnetischen Wandlers Tabelle 8.10. Piezomagnetische und magnetische Konstanten ausgewählter Werkstoe  = u 0 , 0 = 4 · 1037 Vsm31 A31 , Wu : W = 0, fK 33 : K = 0 Größe (E = Erem )

Nickel (100%)

Alfenol Ferroxcube (13% Al, 87% Fe) 7A2

Terfenol-D

g33 @1039 m A31 31> 5

37> 1

32> 5

15

Wr

20

58

30 = = = 45

9> 3

10 fK N m32 33 @10

ca. 20

ca. 14

15> 1

2> 5 = = = 3> 5

n33

0> 14

0> 25 = = = 0> 31

0> 15 = = = 0> 20

0> 65 = = = 0> 75

@103 kg m33

8> 8

6> 5

5> 35

9> 25

&Curie @  C

358

ca. 500

530

380

nicht die Wechselwirkung von magnetischen und mechanischen Feldgrößen, sondern die Abhängigkeit der relativen Permeabilität r in ferromagnetischen Werkstoen von der mechanischen Spannung E = r (W ) 0 K

für

r (W ) 0 K À g · W

298

8 Magnetische Wandler

bezeichnet. Besonders ausgeprägt ist dieser Eekt in ferromagnetischen Metallen, wie CoSiB und der armorphen Fe-B-Si-Legierung Metglas. Stauchkörper und Dehnungsmessstreifen aus magnetoelastischen Werkstoen werden industriell in Kraft- und Drehmomentsensoren verwendet [59]. Für technische Anwendungen ist der Vergleich der Eigenschaften von piezoelektrischen und piezomagnetischen Wandlern interessant. Dabei wird mit Rücksicht auf eine beginnende Depolarisation und mögliche Durchschläge von den realen Grenzwerten H = 1 kV mm1

und

E = 0> 1 T

ausgegangen. Als piezomagnetischer Werksto wird die Keramik Ferroxcube 7A2 und der hochmagnetostriktive Werksto Terfenol-D aus Tabelle 8.10 und als piezoelektrischer Werksto die Keramik C-82 aus Tabelle 9.9 betrachtet. Es ergeben sich folgende Maximalspannungen und Maximaldehnungen Vmax = v33 Wmax ,

Wmax =

g33 (Hmax > Kmax ) , v33

Kmax =

Emax , 33

die in Tabelle 8.11 angegeben sind. Tabelle 8.11. Vergleich der maximalen Spannungs- und Dehnungswerte ausgewählter piezomagnetischer und piezoelektrischer Werkstoe Eekt

piezomagnetisch

piezoelektrisch

Werksto

Ferroxcube 7A2

Terfenol-D

C-82

Wmax @ MPa

1> 5

4> 5

20

Vmax @1033

0> 01

0> 2

0> 3

z@ kJ m33

2===4

14 = = = 25

1

@103 kg m33

5> 35

9> 25

7> 8

&Curie @  C

530

380

160 = = = 300

Die berechneten Werte für Vmax stimmen in der Größenordnung gut mit den in Datenblättern angegebenen Werten für die Sättigungsmagnetostriktion für Ferroxcube 7A2 von 0> 03 · 103 und Terfenol-D von 1> 5 · 104 sowie für die Sättigungselektrostriktion von C-82 mit 2 · 104 überein. Durch die Anwendung des hochmagnetostriktiven Werkstos Terfenol-D können vergleichbare Maximalspannungen und -dehnungen wie bei piezoelektrischen Keramiken erzielt werden. Auch die Kopplungsfaktoren von 0> 65 bis

8.3 Piezomagnetischer Wandler

299

0> 75 sowie die Reaktionszeiten im Mikro- bis Millisekundenbereich sind vergleichbar. Bei der Werkstoauswahl für Leistungswandler — Aktoren und US-Schwinger — sollten folgende Unterscheidungsmerkmale gegenüber piezoelektrischen Werkstoen beachtet werden: • Wesentlich größere Variantenvielfalt bei piezoelektrischen Keramiken. Neben dem Längseekt wird hier auch der Quer- und Schereekt genutzt. • Bei piezoelektrischen Wandlern wird das elektrische Feld durch direkt auf der Keramik angeordneten Elektroden erzeugt. Demgegenüber ist der Platzbedarf der Erregerspule oder des Dauermagneten zur Erzeugung des Magnetfeldes deutlich größer. • Piezoelektrische Wandler benötigen zur Ansteuerung sehr hohe elektrische Spannungen im Bereich von 100 V bis 1 kV. Sie können jedoch ihre statische Auslenkung nahezu ohne Zuführung elektrischer Energie aufrechterhalten. Piezomagnetische Wandler werden mit Stromsteuerung im Bereich von 2 - 20 A betrieben. Zur Aufrechterhaltung der statischen Auslenkung ist eine ständige Vormagnetisierung mit Gleichstrom oder Dauermagnet erforderlich. • Piezoelektrische Schwinger weisen hohe Resonanzfrequenzen im Bereich von 100 kHz bis zu mehreren MHz auf. Wegen der zunehmenden Wirbelstromverluste liegt die Resonanzfrequenz metallischer piezomagnetischer Schwinger mit 10 - 100 kHz deutlich niedriger. • Die Curie-Temperatur von Terfenol-D liegt mit 380  C höher als bei piezoelektrischen Keramiken mit 160 - 300  C. Damit ergibt sich ein höherer Einsatztemperaturbereich für Terfenol-D. Außerdem erfolgt nach Überschreiten der Curie-Temperatur im Gegensatz zur Piezokeramik eine Rückbildung der magnetostriktiven Eigenschaften, wenn der Curie-Punkt wieder unterschritten wird. • Wegen der geringen Zugfestigkeit von Terfenol-D muss für Aktoranwendungen eine mechanische Vorspannung erfolgen. Damit vergrößert sich auch gleichzeitig die Sättigungsmagnetostriktion. Aufgrund der aufgeführten Merkmale, der großen Typenvielfalt und der fertig montierten Ausführungen dominieren gegenwärtig piezoelektrische Wandler als Aktoren und Sensoren. Hochmagnetostriktive und hochmagnetoelastische Werkstoe werden dagegen nur von wenigen Lieferanten zu deutlich höheren Preisen angeboten. 8.3.2 Anwendungsbeispiele Als Anwendungsbeispiele werden der statische Entwurf eines magnetostriktiven Aktors und eines magnetostriktiven Wanderwellenmotors erläutert. Der

300

8 Magnetische Wandler

dynamische Entwurf wird am Beispiel eines Ultraschall-Echolots, das nach dem Sonar-Verfahren (Sound Navigation and Ranging) arbeitet, beschrieben. Hier erfolgt die Kennlinien-Linearisierung durch Arbeitspunkteinstellung mittels Dauermagneten. Damit ist die Schaltung des piezomagnetischen Wandlers aus Abbildung 8.32 gültig. Magnetostriktiver Aktor Der in Abbildung 8.33 dargestellte Aktor wird durch einen Terfenol-Stab, der durch Dauermagnete vormagnetisiert und über Schrauben mechanisch vorgespannt wird, betrieben. Die Flussführung erfolgt über zwei weichmagnetische Polschuhe. F

x Kopfstück Polschuh

statische Kennlinie: F N

H max  50 10 3 A m

800

Imax  2 A

Luftspalt Dauermagnete 600 75

Terfenol-Stab Spule

i Polschuh  60

Gegenlager

400

200

0 0

10

20

30

40

x $m

Vorspannfeder

Abbildung 8.33. Magnetostriktiver Wandler mit statischer Kennlinie Edge Technologies, Ames USA

Zur näherungsweisen Berechnung der mechanischen Größen wird die Zustandsgleichung V3 = v33 W3 + g33 K3 für den mechanisch festgebremsten Fall (V3 = 0 $ Wmax ) und für den mechanischen Leerlauf (W3 = 0 $ Vmax ) verwendet. Mit den Konstanten aus Tabelle 8.10 und Kmax = 5 · 104 A m1 ergibt sich Wmax = 

g33 Kmax = 26 · 106 N m2 v33

Vmax = v33 Wmax = 7> 4 · 104 .

und

8.3 Piezomagnetischer Wandler

301

Aus den Abmessungen des Terfenol-Stabes (B 6> 4 × 50) mm folgt schließlich: Imax = 830 N

und

 max = 40 m

Magnetostriktiver Wanderwellenmotor (Inchworm Motor) Das Funktionsprinzip des magnetostriktiven Wanderwellenmotors ist in Abbildung 8.34 dargestellt. Der diskontinuierliche Linearantrieb nutzt die durch den magnetostriktiven Eekt hervorgerufene Längs- und Querdehnung des Terfenol-Stabes. Der Terfenol-Stab dehnt sich im Magnetfeld und verjüngt sich gleichzeitig wegen des näherungsweisen volumeninvarianten magnetostriktiven Eekts. magnetostriktiver Stab

Spule

Pressrohr

(0)

(4)

x

magnetische Wanderwelle

(1)

I

(5)

aktiver Spulenteil

(2)

(6)

Bewegung

x (3)

(7)

Abbildung 8.34. Funktionsprinzip des magnetostriktiven Wanderwellenmotors „Kiesewetter-Motor ” während eines Iterationstaktes [68]

Ausgehend ¢ dieser Volumeninvarianz lässt sich mit dem Stabvolumen ¡ von Y = 1@4 g2 o die magnetostriktive Querdehnung V1 = o@o aus der Längsdehnung V3 = o@o mit Y + Y =

1  (g + g)2 (o + o) , 4

g o Y 2 + = 2V1 + V3 = 0 für Y g o



g g

¶2

>

go ¿1 go

302

8 Magnetische Wandler

abschätzen. Der Terfenol-Stab bendet sich in einem Pressrohr mit außenliegenden Spulen. Durch die Verjüngung des Terfenol-Stabes im Bereich des Magnetfeldes wird die Presspassung aufgehoben. Gleichzeitig kann sich jetzt der Stab in diesem Bereich, entgegengesetzt zur Wanderungsrichtung des Magnetfeldes, ausdehnen. Dieser Vorgang wiederholt sich bei der Ansteuerung der Spulenpakete, so dass sich im Terfenol-Stab eine Dehnwelle entgegengesetzt zur Ansteuerungrichtung der Spulenpakete ausbreitet. Nach Ansteuerung aller Spulenpakete hat sich der Terfenol-Stab um die Schrittlänge  = g33 K3 o mit o als Länge eines Einzelmagnetfeldes im Stab, bewegt. Anschließend erfolgt erneut die Spulenansteuerung und der Stab bewegt sich schrittförmig entgegengesetzt zur Spulenansteuerungsrichtung. An einem Funktionsmuster mit 6 Spulen und einem Terfenol-Stab mit 20 mm Durchmesser und 100 mm Länge wird bei Raumtemperatur eine Schrittweite von 50 m erreicht. Für eine Schrittfrequenz von 30 Hz ergibt sich eine Lineargeschwindigkeit des Stabes von ca. 1> 5 mm s1 [69]. Problematisch ist die Einhaltung der erforderlichen Ober ächengüte von Pressrohr und Stab von besser als 2 m, um das einwandfreie Wechselspiel von Press- und Spielpassung zu gewährleisten. Außerdem tritt aufgrund der unterschiedlichen Ausdehnungskoe!zienten von Stab und Pressrohr eine thermisch induzierte Durchmesserdierenz auf, die sich mit zunehmender Umgebungstemperatur als Schrittweitenverkleinerung auswirkt. So beträgt für 20  C die Schrittweite  = 50 m, für 80  C jedoch nur noch  = 20 m. Piezomagnetischer Ultraschallsender In Abbildung 8.35 ist das Konstruktionsprinzip eines piezomagnetischen Ultraschallsenders dargestellt. Der Ultraschallsender dient zur Ortung von stationären oder beweglichen Objekten unter der Meeresober äche nach dem akustischen Sonar-Verfahren. Je nach gewünschter Au ösung und Reichweite werden Ultraschallimpulse mit Trägerfrequenzen im Bereich von 20 kHz bis zu einigen 100 kHz ausgesendet. Die Laufzeit der re ektierten Impulse gibt die Entfernung, die Änderung der Trägerfrequenz die Geschwindigkeit des zu ortenden Objektes an. Der Ultraschallsender wird als @2-Schwinger betrieben, d. h. der Schwingungsknoten bendet sich in der Mitte des Elements und die Schwingungsbäuche an den Schwingerenden. Damit bildet die linke Schwingerhälfte aufgrund ihrer durch die Resonanz vergrößerten Massenträgheit den festen Einspannpunkt für die rechte abstrahlende Schwingerhälfte. Der gesamte US-Schwinger besteht aus sechs, im oberen Teilbild von Abbildung 8.35 gestrichelt dargestellten Strukturelementen, die elektrisch in

8.3 Piezomagnetischer Wandler

i

303

Strukturelement

v

Dauermagnet

u 3

F

Wasser

w

Nickelblechpaket

zW v1 F1

Strukturelement:

i R

L

u

uW

m1

FW

1 v X W vW i  X FW

uW 

X

1 l e A w

WellenLeiter

l, A, r, c F2

m2 v2

Abbildung 8.35. Piezomagnetischer Ultraschallsender für Sonargeräte und Schaltung eines Strukturelements

Reihen- und mechanisch in Parallelschaltung betrieben werden. Die Schaltung des Strukturelements ist im unteren Teilbild dargestellt. Es beruht auf dem Schaltbild aus Abbildung 8.32, allerdings mit dem Unterschied, dass der mit Wicklungen umgebene Steg als Wellenleiter betrachtet wird. Da der Fluss in den Endplatten, aber auch wegen g31   12 g33 die piezomagnetische Gestaltsänderung, deutlich kleiner ist als im Steg, werden die Endplatten lediglich als diskrete Massen p01 und p02 berücksichtigt. An der Platte mit der Masse p01 erfolgt die Abstrahlung. Der Wellenwiderstand des Wassers ]a>W = W fW 1@DS wird auf der mechanischen Seite als Reibung }a>W = W fW DS berücksichtigt. Zur Polarisierung des Wandlers dienen die jeweils in die Strukturelemente eingebundenen Dauermagnete. Für die weiteren Betrachtungen werden die von den Spulen umgebenden Schwingerelemente als Wellenleiter betrachtet. Zu deren Beschreibung wird das -Schaltbild aus Abbildung 6.5 verwendet. Die Bauelemente k1 und k2 werden in grober Näherung bei tiefen Frequenzen, also k1 = p@2 und k2 = q betrachtet. Bei Berücksichtigung der Abschlussstücke p01 und p02 erhält man das in Abbildung 8.36 dargestellte Schaltbild.

304

8 Magnetische Wandler

r

267

l  29

v2

A

267 v1

r  8,8 10 3 kg m 3 r W  10 3 kg m 3

F1

43 19

AS

10

20

i

m2

u6

cW  1440 m s 1

r W , cW

w m1

zW

X

v1

i R u

uW

1 v X W vW i  X FW

uW 

n

ns

l A

zW  r W cW AS

m1

F1

L

s l , d A w

Lb  m m2

A w2 l

m1  r 2 A l  m1

v2

m2  r 2 A l  m2

Abbildung 8.36. Näherungsschaltung eines Strukturelements des Ultraschallsenders

Mit den Abmessungen des Strukturelements aus Abbildung 8.36 und den Konstanten für Nickel aus Tabelle 8.10 erhält man folgende Bauelementewerte: < p01 =  · 1 cm · 4> 3 cm · 26> 7 cm = 1> 01 kg A A A A @ p1 = 1> 66 kg 0 p2 =  · 2 cm · 4> 3 cm · 26> 7 cm = 2> 02 kg A A p = 2> 67 kg A A > 2 p =  · 2> 9 cm · 1> 9 cm · 26> 7 cm = 1> 30 kg q=

vo = 2> 8 · 1011 m N1 , D

Ob = 0 r D

z2 = 0> 16 mH o

}W = W fW DS = 1> 65 · 104 N s m1

für

z=6

Die Gesamtinduktivität O ergibt sich durch Parallelschaltung der Induktivität O0 der nicht am Wandlungsvorgang beteiligten Magnetkreisteile zu Ob . Mit O0 =

20 z2 D0 o0

sowie o0 = 6 mm und D = 5> 34 · 103 mm2 folgt für die Gesamtinduktivität O=

Ob O0 = 0> 04 mH, Ob + O0

O0 = 0> 052 mH.

8.3 Piezomagnetischer Wandler

305

Für die Näherungsschaltung aus Abbildung 8.36 beträgt die Resonanzfrequenz $ 00 = r

1 = 1> 88 · 105 s1 , p1 p2 q p1 + p2

i00 = 30 kHz.

Der exakte Wert der Resonanzfrequenz, der sich aus den Vierpolgleichungen des verlustfreien Dehnungswellenleiters aus Tabelle 6.1 ergibt, beträgt i0 = 33 kHz. Bisher wurde angenommen, dass der schwingende Steg als verlustfreie Feder wirkt. Tatsächlich treten innere Verluste im Nickelblechpaket auf. Parallel zur Nachgiebigkeit q muss daher der Reibungsstandwert }p =

1 $ 0 qTL

in die Schaltung eingefügt werden. Mit dem Messwert für Güte in Luft TL = 89 beträgt um = 1> 94 · 103 N s m1 . Für die Gesamtgüte des US-Senders bei Wasserankopplung wird experimentell der Wert T = 17> 5 ermittelt. Für eine Gesamtspannung x ˜ = 716 V und einen Strom ˜~ = 9> 5 A beträgt die abgestrahlte akustische Leistung 5 kW. Damit ergibt sich ein Wirkungsgrad des Ultraschallsenders von =

Sa = 0> 74. Sel

9 Elektrische Wandler

Im Kapitel 7 wurde gezeigt, dass je nachdem ob elektrische oder magnetische Größen mit mechanischen Größen verknüpft sind, die elektromechanischen Wechselwirkungen sich durch zwei Wandlergrundtypen, den elektrischen und den magnetischen Wandler beschreiben lassen. Zu den elektrischen Wandlern zählt der elektrostatische und der piezoelektrische Wandler. Beim elektrostatischen Wandler erfolgt die elektromechanische Verkopplung zwischen beweglichen Elektroden — Platten oder Membranen — eines Kondensators mit isotropem Dielektrikum. Beim piezoelektrischen Wandler erfolgt die Verkopplung im anisotropen Dielektrikum eines Festkörpers. Der piezoelektrische Eekt wird hier auf der Grundlage einer vereinfachten phänomenologischen Modellvorstellung durch lineare Zustandsgleichungen beschrieben. Für tiefe Frequenzen — quasistatischer Fall — kann man leicht von den Feldgrößen im Innern des piezoelektrischen Werkstos zu den integralen Größen und somit zur Schaltung mit konzentrierten Bauelementen übergehen. Durch die Einführung niter Netzwerkelemente erhält man aber auch für die als lineare Wellenleiter betrachteten piezoelektrischen Schwinger Näherungslösungen in Form von Schaltungen. Der praktische Entwurf von elektrischen Wandlern wird an typischen Anwendungsbeispielen erläutert.

9.1 Elektrostatischer Wandler 9.1.1 Elektrostatischer Plattenwandler Der für eine Vielzahl von technischen Anwendungen verwendete elektrostatische Wandler lässt sich auf die in Abbildung 7.8 bereits dargestellte Grundschaltung der elektrischen Wandler zurückführen. Im Folgenden wird auf die Ableitung dieser Schaltung aus einem Wandlermodell, die dabei angenommenen Randbedingungen und die anschauliche Bedeutung der Bauelemente der Schaltung eingegangen.

308

9 Elektrische Wandler

Zwei Platten eines Kondensators mit Luft als Dielektrikum %  %0 stehen sich in dem in Abbildung 9.1 dargestellten Grundmodell im Abstand o gegenüber. Die eine der beiden Platten mit der Masse p ist beweglich und wird für T = 0 durch die Feder q in der Ruhelage mit dem Abstand o0 gehalten. Beim Aufbringen einer Ladung T auf die Kondensatorplatte wirkt die Coulomb-Kraft Iel , die Feder wird um den Ausschlag o ausgelenkt und es stellt sich ein Kräftegleichgewicht für einen Plattenabstand o ein.

Q0

A e0

Fel

i

Fmech

Q0 F

Fel

l

u

n

i

)

Q

e0 A u l

F l

u z. B. Wellmembran

dQ i dt l  l0  "l ,

m

"l "l n

b

l0  l Q  0, F  0

F m Fel

g



F  Fel  Fmech Fmech 

1 d2l

"l  m 2 n dt

Abbildung 9.1. Kräftebilanz an einer beweglichen Kondensatorplatte

Die Berechnung der elektrostatischen Anziehungskraft Iel zwischen den Kondensatorplatten kann mit den zwei bereits in Abschnitt 7.2 diskutierten Methoden, • Lösen der elektrostatischen Feldgleichungen oder • Anwendung der Energiebilanz bei virtueller Verrückung o der beweglichen Platte, erfolgen. Bei Kenntnis des Ladungsdichteverlaufs  ({) an der Plattengrenzäche lassen sich die elektrostatischen Feldgleichungen, wie in Abbildung 9.2 dargestellt, lösen. Das gleiche Ergebnis für die Anziehungskraft Iel erhält man durch Anwendung der Energiebilanz. Aus der Energieänderung der in Abbildung 9.3 aufgeprägten virtuellen Verrückung o der beweglichen Kondensatorplatte wird

9.1 Elektrostatischer Wandler

"Q

"Fel

bg

rx

bg

"A



x

a

r dQ  divD D dV dE e0 dx

rx 

D0

e0

309

bg

E x

1 e0

bg

E x 

x x

a

"Q D0   e0 E 0 "A

0

zbg

r x dx

a

bg

f x

dFel E x rx dV dV  "A dx

bg

bg bg

f x  x

a

0 0 "Fel e e D2 dE  f x dx  E x e0 dx  0 E 2 0  E 2  a  0 E 02  0 dx 2 2 2 e0 "A a a

zbg z

bg

bg

b g

Abbildung 9.2. Berechnung der Coulomb-Kraft aus den elektrostatischen Feldgleichungen bei Kenntnis der Ladungsdichteverteilung  ({)

Q0

A

Fel

F

D,E e0 l0

E

u

Wel  wel A l0 

"Wel  F "l



1 D2 A l0 2 e0

F  Fel 

Fel

F

D,E

D e0

l0

"Wel

l

1 D2 wel  2 e0

wel

"V  A "l

V  A l0

Q A l  l0  "l D

Q0

wel

Wel  "Wel 

"l

1 D2 A l0  "l 2 e0

b

d b gi

u C l0 1 D2 Q2 A  2 e0 2 e0 A 2 e0 A

2



g

u2 e0 A 2l 2

Fel ~ u2

~ u

1 l2 l

Abbildung 9.3. Berechnung der Coulomb-Kraft aus der Energiebilanz bei virtueller Verrückung o der beweglichen Kondensatorplatte

310

9 Elektrische Wandler

die Kraft Iel berechnet, die von der angelegten Spannung x quadratisch und vom Plattenabstand o reziprok quadratisch Iel =

1 x2 %0 D T2 = 2%0 D 2 o2

(9.1)

abhängig ist. Legt man nun an die Kondensatorplatten eine Wechselspannung x (w) = x ˆ sin ($w) , so wird wegen der quadratischen Kennlinie ein mit doppelter Frequenz verzerrter Kraftverlauf Iel (w) =

x ˆ2 F 2 (1  cos (2$w)) 4%0 D

erzeugt. Der nach Abschnitt 2.1 geforderte lineare Zusammenhang bei elektromechanischen Wandlern wird durch Addition einer Gleichspannung X0 zum Ausgangssignal x (w) erreicht. Damit ergibt sich entsprechend Abbildung 9.4 eine Kraft Iel , die näherungsweise aus einem linear von x abhängigem Wechselanteil Iel (w) Iel = I0 + Iel (w) , Iel (w) =

¢ F2 ¡ 2X0 x ˆ sin ($w) + x ˆ2 sin2 ($w) , 2%0 D

I0 =

Fel Q0

A

Fel

bg

F

l0

bg

ut

F0 

2

u C 2e0 A

Q0

e0

it

2

Fel 0

FG dF IJ H du KU du

Q0  U 0 C l0*

e j

b

l0*  l Q  Q0 , F  0

Linearitätsbedingung:



Fel 

du 0

t

U0

bg

FG dF IJ H du KU

dF

l0*

u t  U 0  u$ sin wt

1 F 2 (o0 ) X02 2 %0 D

g

0

bg

ut

t

C2 U 02  2U 0 u$ sin wt  u$ 2 sin 2 wt 2 e0 A

e

2U 0 u$ sin wt  u$ 2 sin 2 wt

Abbildung 9.4. Linearisierung der Kraftkennlinie

j

9.1 Elektrostatischer Wandler

311

überlagert wird. Der quadratische Anteil wird für X0 À x ˆ bei der Ableitung der Wandlerschaltung vernachlässigt. Durch die Arbeitspunkteinstellung mit X0 verringert sich der Plattenabstand von o0 auf o0 . Die ständige Aufladung der Kondensatorplatten in Abbildung 9.5 wird durch die Polarisationsspannungsquelle X0 mit einem sehr hohen Innenwiderstand U erzeugt. Mit U À 1@ ($F) wird gesichert, dass im Arbeitsfrequenzbereich des elektrostatischen Wandlers kein Strom über die Polarisationsspannungsquelle ießt. Bei der Betrachtung des dynamischen Übertragungsverhaltens des Wandlers kann daher dieser Zweig als nicht vorhanden angesehen werden. Fmech Q0

Q0 i

Ce

Re

mit

CV

F

i

R

u

n

l0* l0

u

U0

R 

1 wC

F

Fel v, x

F  Fel  Fmech

x  l0*  l

b

g

l0*  l Q  Q0 , F  0

und

C V  C

folgt:

bg bg

i t  i t ,

bg bg

u t  u t

Abbildung 9.5. Modell des linearisierten, entkoppelten elektrostatischen Wandlers

Zur Potenzialtrennung bei der Anschaltung realer Eingangswiderstände Ue und Kapazitäten Fe der Primärelektronik sowie zur Gewährleistung des Ladezustandes T0 der Platten im Kurzschlussfall dient der Kondensator FV , der wesentlich größer als die Kapazität F zwischen den Wandlerplatten ist. Auf der Grundlage des in Abbildung 9.5 dargestellten realen Wandlermodells kann jetzt die Ableitung der quasistatischen Schaltung erfolgen. Ausgehend von den Wandlergleichungen I = Iho  Iphfk =

1 T2 1 T2  = + (o  o0 ) 2%0 D q 2%0 D q

und x =

T T = o F (o) %0 D

erhält man für I und x in der Umgebung des Arbeitspunktes X0 , T0 , I0 , o0 im quasistatischen Fall (I0 = 0) I = I  I0 =

CI CI (T  T0 ) + (o  o0 ) CT Co

I0 = I (T0 > o0 ) = x = x  X0 =

T20 1  (o0  o0 ) = 0 2%0 D q

Cx Cx (T  T0 ) + (o  o0 ) . CT Co

312

9 Elektrische Wandler

Aufgrund der linearisierten Wandlerkennlinie werden hier nur jeweils die ersten Glieder der Taylor-Reihe betrachtet. Alle Ableitungen erfolgen an der Stelle T0 , o0 . Werden die Ableitungen an den Wandlergrundgleichungen durchgeführt, so ergeben sich folgende Beziehungen: ¯ ¯ CI ¯¯ T0 1 CI ¯¯ , = = ¯ ¯ CT T0 >o %0 D Co T0 >o q 0 0 ¯ ¯ 1 T0 Cx ¯¯ Cx ¯¯ , = =  ¯ ¯ CT T0 >o F (o0 ) Co T0 >o %0 D 0

0

Da, wie im Abschnitt 7.2 bereits erwähnt, sinusförmige Änderungen um den Arbeitspunkt vorausgesetzt sind, werden für die weiteren Betrachtungen jetzt komplexe Amplituden entsprechend Gln. (7.26) - (7.30)  (o  o0 ) =  $ ,

I  I0 $ I ,

T  T0 $ T,

x  X0 $ x

eingeführt. Mit  = (1@j$) · y und T = (1@j$) · l ergibt sich eine transformatorische und frequenzabhängige Verkopplung I =

1 T0 1 l y j$ %0 D j$q

x=

1 1 T0 l y j$F (o0 ) j$ %0 D

zwischen den Netzwerkkoordinaten. Das Auftreten einer imaginären Wandlerkonstante [ = j$ (%0 D@T0 ) lässt sich durch Umformung von I > x = i (l> y) in l> I = i 0 (x> y) vermeiden. Damit ergibt sich: l  j$F (o0 ) x = lW =

T0 y o0

· ¸ 1 T0 T0 1 j$F (o0 ) x +  y  y j$ %0 D o0 j$q · ¸ 1 1 T0 T20   y = IW =  y I+ j$ q o0 %0 D o0

(9.2)

I =

(9.3)

Die Gln. (9.2) und (9.3) enthalten jetzt eine gyratorische Verknüpfung mit reeller Wandlerkonstante \ = o0 @T0 . Durch Anwendung des Knotensatzes folgt aus den Gln. (9.2) und (9.3) das in Abbildung 9.6 dargestellte Schaltbild des elektrostatischen Wandlers. Für die Transformationsbeziehungen zwischen der mechanischen und elektrischen Netzwerkseite bzw. umgekehrt gelten die Relationen aus Tabelle 7.3.

9.1 Elektrostatischer Wandler

iW

i u

F u I  FG 01 GH i JK H Y

Cb

W

C b  C l0* 

e j

e0 A l0*

e0  8,854 10 12

Y

Y 0

F

FW

Gyrator

IF v I JK GH F JK

313

nC v

n

W

123 nK

l0* l0*  Q0 U 0 C b

A s V m

nK 

n nC , n  nC

n  nL

nC  Y 2C b

Abbildung 9.6. Schaltbild des verlustfreien elektrostatischen Wandlers Index N: elektrisch im Kurzschluss, Index O: elektrisch im Leerlauf, Index e: mechanisch festgebremst

Welche anschauliche Bedeutung haben die Bauelemente Fb , \ und qK ? Wird die bewegliche Platte festgehalten (y = 0> o = o0 ), festgebremster Fall, so ist an den elektrischen Klemmen die Kapazität Fb = F (o0 ) =

%0 D o0

messbar. In diesem Fall wirkt für die Gesamtkraft I nur die elektrische Kurzschlusskraft IK . Für die angenommene sinusförmige Aussteuerung um den Arbeitspunkt gilt dann nach Abbildung 9.4 Fb X0 1 ˆ. ˆ= x IˆK =  x o0 \ Umgekehrt lässt sich die Wandlerkonstante auch aus dem Verhältnis einer auf der mechanischen Seite aufgeprägten Geschwindigkeit y zu dem dadurch erzeugten Kurzschlussstrom lK bestimmen. Aus Gl. (9.2) folgt mit x = 0 sofort T0 1 l = lK =  y = y. o0 \ Die Nachgiebigkeit qK ist im Kurzschlussfall x = 0 auf der mechanischen Seite messbar. Neben der mechanischen Nachgiebigkeit q ist die Rückwirkung des elektrostatischen Feldes in Form der Feldnachgiebigkeit qC zu berücksichtigen. Die Wirkung der Feldnachgiebigkeit lässt sich aus den aus Abbildung 9.7 ableitbaren Kräftebilanzen erläutern. Für den festgebremsten Fall  = 0 gilt: I = Iel>0  Imech>0 = 0 Iel>0 =

X02 F 2 1 X 2 %0 D = 0 2 = (o0  o0 ) 2%0 D 3o0 q

314

9 Elektrische Wandler

Fel

n

l

x

Fel

F

Fel,0

l0*

x

l0* l0*

U0

l

x

Abbildung 9.7. Ein uss einer Verrückung  der Kondensatorplatte auf die Coulomb-Kraft Iel

Wird jetzt eine Verrückung  nach Abbildung 9.7 aufgeprägt, so erfolgt die Zunahme von Iel : X02 %0 D Iel = 2 (o0  )2 Für die Gesamtkraft I gilt:

¶ dIel 1   d o q 0  ¶ 1 X 2 Fb 1 1  I = 02    =  + o0 q qC q I = Iel>0  Imech>0 +

mit



mit

Iel>0 = Imech>0

1 1 1 X02 Fb = 2 = . o02 \ Fb qC

Damit besteht die für eine Auslenkung  der beweglichen Elektrode aufzubringende Kraft I für Kurzschluss (x = 0) aus der Teilkraft zur Verformung der Feder abzüglich der Zunahme der durch X0 hervorgerufenen elektrischen Anziehungskraft Iel . Wird die bewegliche Platte in Richtung Gegenelektrode bewegt ( A 0), so ist wegen der mit  zunehmenden elektrostatischen Anziehungskraft Iel eine immer kleinere Kraft I erforderlich, um die Auslenkung  zu erzeugen. Die dierentielle Steigkeit  (I ) @ aus Abbildung 9.7 wird somit zunehmend kleiner und bei einem Grenzausschlag  g schließlich gleich Null. Wenn die zur mechanischen Anregung des Systems bei diesem Experiment verwendete Quelle eine ideale Kraftquelle ist, liegt in diesem Punkt ein labiles Gleichgewicht vor. Ein solcher Fall könnte z. B. durch die in Abbildung 9.8 dargestellte Anordnung realisiert werden, bei der diese Kraft quasistatisch durch eine Gewichtskraft I = pj erzeugt wird. Für  A  g kann dann die mechanische Gegenkraft, bestehend aus Feder- und Massenkraft, die elektrische

9.1 Elektrostatischer Wandler

315

Anziehungskraft nicht mehr kompensieren. Zur Aufrechterhaltung des Kräftegleichgewichts ist eine Massenträgheitskraft erforderlich, die eine zunehmende Beschleunigung der beweglichen Platte auf die feste Gegenelektrode bis zum Auftreen beider Platten bedingt. l0 x

n

Fmech

Fel  Fel,0  "F

Fel,0 F

Fn  n x

Fel

l U0

m F  m g

Abbildung 9.8. Kräftegleichgewicht mit idealer Kraftquelle

In Abbildung 9.9 sind für unterschiedliche Werte q@qC die auf den Plattenruheabstand o0 normierten Grenzausschläge  g @o0 angegeben. Der Grenzausschlag nimmt mit zunehmender Federsteigkeit zu. Eine weitere Ausführung des elektrostatischen Wandlers beruht auf der in Abbildung 9.10 a) dargestellten horizontalen Plattenanordnung mit o0 = nrqvw=. Wenn die Platten die Ladung ±T tragen, ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes eine Kraft Iel erforderlich. Die Bestimmung dieser Kraft kann wie in Abbildung 9.3 angegeben durch eine virtuelle Verrückung der beweglichen Platte nach rechts bei konstanter Ladung erfolgen. Die Energiebilanz Iel · (e) = Zel

mit

Zel = 



T2 2F

¶

ergibt unter Berücksichtigung von Abbildung 9.10b die Gleichgewichtskraft  2¶ T d Zel 1 d T2 %0 d 2F = = = x2 %0 . Iel =  2 e de 2F o0 2 o0 Für die Anordnung aus Abbildung 9.10a wird wieder ein Bezugspunkt deniert, der durch die Bedingung I0 > e0 = e (I = 0> X0 > T0 ) bestimmt ist.

316

9 Elektrische Wandler

l0

b

Fel 

F n

Fel

U 02

e0 A

b

2 l0  x

g

2

Fmech 

,

1 x n

F  Fel  Fmech

U0

F F 1 n n l0 2 nC

g

l0  l u  U 0 , F  0

x

1

FG1  x IJ H lK

2



x l0

1 U 02 C b 2 l02

l0

FG1  x IJ H lK

2



l0 x n l0

0

U 02

Cb

l02

0



1 Y 2C b



1 nC

0,4

F n l0

1 n  nC 4

0,2

0

-0,2

-0,4

-0,6 -0,8

1 n  nC 10

x g

x g

1 n  nC 30

x  x g für

0F 0 0x

0

0,2

x g

-0,6

-0,4

-0,2

0,4

x l0

Abbildung 9.9. Stabilitätsgrenzen  g des elektrostatischen Wandlers

Die Abweichungen I und T von diesem Bezugszustand ergeben sich mit der Kräftebilanz und den Bauelementegleichungen von Abbildung 9.10a zu  ¶ ¶  CI CI X0 %0 d 1 I = (9.4) · x + · e = x +  Cx X0 >e Ce X0 >e o0 q 0 0  ¶ ¶  CT CT dFb T =  (9.5) · x + · e = Fb x + X0 Cx X0 >e Ce X0 >e de 0

für  = e 

e0 .

0

9.1 Elektrostatischer Wandler

317

a)

i CV

a

b

Q i n

R

u

u

U0

F

e0 a b l0

l0

Fmech Fel e 0

b)

bg

Cb 

Fmech 

1 x n

Fel  F  Fmech

Q

Fel  "x

"x  b  b0*

Q

b b0*

Abbildung 9.10. Wandlermodell für horizontale Plattenanordnung mit o0 = nrqvw=

Die Einführung komplexer Amplituden führt zu den Relationen zwischen den Koordinaten x, l, I , y I =

%0 X0 d 1 y, x+ o0 j$q

(9.6)

%0 X0 d y. o0

(9.7)

l = j$Fb x +

Die Gleichungen (9.6) und (9.7) lassen sich wie die Gleichungen (9.2) und (9.3) durch das Schaltbild aus Tabelle 9.1 interpretieren. Die beiden Ausführungen der elektrostatischen Wandler in Tabelle 9.1 weisen für eine reelle Wandlerkonstante \ eine gyratorische Verkopplung auf. Die Wandlerkenngrößen und Transformationsbeziehungen für die zwei Ausführungen des elektrostatischen Wandlers sind ebenfalls in Tabelle 9.1 zusammengefasst. Die Anwendung von elektrostatischen Plattenwandlern in realen elektromechanischen Systemen und deren Dimensionierung soll im Weiteren an ausgewählten Beispielen erläutert werden. 9.1.2 Anwendungsbeispiele Als Anwendungsbeispiele werden der dynamische Entwurf einer elektrostatischen Tastsonde, einer Biegezunge mit elektrostatischer Anregung und Abtastung sowie eines mikromechanischen Filters mit elektrostatischer Anregung und Abtastung behandelt. Kernstück aller drei Anwendungsbeispiele ist die Schaltung des elektrostatischen Plattenwandlers mit senkrechter bzw. paralleler Plattenanordnung aus Tabelle 9.1.

318

9 Elektrische Wandler

Tabelle 9.1. Schaltbild und Bauelemente des elektrostatischen Plattenwandlers bei Berücksichtigung der Plattenmasse und der Verluste

A = konst.

Plattenanordnung mit

Q0 i

CV R

u

Fel

n m Q0 F

l0*

v,x

e0 ,C b

i u

Plattenanordnung mit l0 = konst.

Q0

i CV

n

u

R

x

b m

i

F

u

l0

U0

Fel Q0

U0

a

e0 ,C b

A  a b  b (F  0,U 0 ,Q0 )

b0* Ersatzschaltbild

iW

i u

FG u IJ  FG 01 Hi K HY

Cb

W

F

FW

Gyrator

IF v I 0 J GH F JK K

Y

n

m

nC

W

123 nK

r

1 r

v

1 w0 nK Q

Wandlerkonstante und Bauelemente

Y

l0*

Q0 

l0*

bU

0

Cb

g

b

be A g

Cb

0

nC

Y 2 C b

nK

n parallel nC

g

b

b0* U 0 Cb  l0 e 0 a U 0 l0

n Transformationsbeziehungen

mechanisch

elektrisch

elektrisch

mechanisch

Cn  n Y 2

nC  Y 2 C

Lm  Y 2 m

mL  L Y 2

Rr  Y 2 r

rR  R Y 2

Z Y2 h Y2 z

h Y2 Z ,

Reihenschaltung Parallelschaltung

Parallelschaltung Reihenschaltung

z  Z Y2

g

9.1 Elektrostatischer Wandler

319

Elektrostatische Tastsonde Mit Hilfe eines elektrostatischen Plattenwandlers wird der Ausschlag  an der Spitze einer einseitig eingespannten Stahlbiegefeder gemessen (Abb. 9.11). Die zusätzlich angeschalteten Bauelemente Fa und Ua stellen die Eingangsimpedanz des elektrischen Auswertegerätes dar. v,x A,

F

Stahl-Schwingzunge

i b  5 mm R

l0

l  20 mm

u

Ca

h  0,1 mm

Ra

U0

  5 mm

Ra  100 M%

A  20 mm 2 l0  0,2 mm

Ca  50 pF R  Ra

Messobjekt Tastsonde

F v

U 0  100 V

FW

v  Y iW n

nC

E  1,96 1011 N m 2 12 l 3 n  n0 3 n0  E b h3 n  0,032 m N 1

FW 

iW

1 u Y

i Cb

nC  Y 2 C b  4,6

u

Ca

Ra Cb 

m N

e0 A  0,87 pF l0

Abbildung 9.11. Ausschlagsmessung einer Schwingzunge mit Hilfe einer elektrostatischen Tastsonde

Zunächst soll die Übertragungsfunktion E = x@ der Anordnung bestimmt werden. Dabei geht man von dem in Abbildung 9.12 dargestellten Schaltbild aus. Auf der mechanischen Seite wirkt die Bewegungsquelle y 0 = j$ 0 . Die mechanischen Bauelemente q und qC werden in der vereinfachten Schaltung in Abbildung 9.12 nicht berücksichtigt, da die Kraft, die die Bewegungsquelle aufzubringen hat, zunächst nicht interessiert. Aus Abbildung 9.12 erhält man für die Ausgangsspannung x x=

y0 \

x = 0

1 1 j$ (Fa + Fb ) + Ua

=

1 \

j$ 1 ¶  0 ¶· Fa 1 1+ j$Fb 1 + Fb Ua j$ (Fa + Fb )

Fb j ($@$ 0 ) X0 · · o0 Fa + Fb 1 + j ($@$ 0 )

320

9 Elektrische Wandler

iW v 0  jwx 0

v  Y iW FW 

1 u Y

u

Ra

Ra

)

Ca  C b

Ca  C b i0 

u Bx  x0 Bx0

1 v Y 0

B x0  8,6

w w0

1

u

f0 

mV $m

1 w 0  31,2 Hz 2

Abbildung 9.12. Schaltbild zur Bestimmung der Übertragungsfunktion

mit \ =

o0 X0 Fb

und

$0 =

1 Ua (Fa + Fb )

und damit für die Übertragungsfunktion E  E =

x X0 Fb j ($@$ 0 ) = · · 0 o0 Fa + Fb 1 + j ($@$ 0 )

mit

E0 =

X0 Fb · , o0 Fa + Fb

deren Verlauf in Abbildung 9.12 dargestellt ist. Anschließend soll die zusätzliche mechanische Belastung des Messobjektes „Biegefeder” durch die Tastsonde ermittelt werden. Dieser zusätzlichen Belastung entspricht die mechanische Impedanz }, die man rechts von der Trennlinie in Abbildung 9.13 in die Schaltung hineinmessen kann. Ausgehend von der Schaltung aus Abbildung 9.13 erhält man für Fa À Fb eine zusätzliche mechanische Belastung der Biegefeder durch qC = 143q. Damit ist die Nachgiebigkeit qmech , die man an der Spitze der Biegefeder unter den Bedingungen von Abbildung 9.13 misst, y qqC = = 1> 007q qmech = j$I q + qC wegen qC ? 0 nur geringfügig größer. Durch den Ein uss der Tastelektrode s würde die Frequenz der freien Schwingung der Biegefeder i0  1@ q um ca. 0,5% zu niedrig gemessen. Biegezunge mit elektrostatischer Anregung und Abtastung Eine einseitig eingespannte Aluminium-Biegezunge wird in Abbildung 9.14 am freien Ende durch einen elektrostatischen Wandler angeregt und auf der anderen Seite wird die entstehende Bewegung mit einem zweiten elektrostatischen

9.1 Elektrostatischer Wandler F

iW

FW

F

v  Y iW

v

nC

FW 

Ra

1 u Y

Cb

Ca

u

)v

Y 2 Cb

nC

Y 2 Ca

Y2

)

ners

1 Ra

1 1 , =1 w Ra   1 2 jwY  Ca  Cb   jwRa   Ca Ca 1 1 1 z

 

jwY 2Cb Ca  Cb jwners jwnC Ca  Cb z

1

321

jwY 2Cb

 0  z 1  jwn C



für

Ca  0

für

Ca = Cb , nC  Y 2Cb  4,59

m N

Abbildung 9.13. Bestimmung der mechanischen Eingangsimpedanz der Tastsonde

Wandler abgetastet. Zwischen der Anregungs- und Abtastelektrode existiert die parasitäre Teilkapazität FS = 103 Fb . Für höhere Anregungsfrequenzen wird jetzt die Biegezunge mit dem Schaltbild eines einseitig eingespannten Biegewellenleiters (s. Abschn. 9.3.5, Tabelle 9.13) mit qhuv = 0> 971q0 @3  q, phuv = p@4, k = $ 0 qT0 und T0 = 1@ abgebildet. Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E = x2 @x1 des elektromechanischen Systems werden die mechanischen Elemente auf eine der beiden elektrischen Seiten transformiert (s. Abb. 9.15). Die Kettenschaltung der beiden elektrostatischen Gyratoren ergibt einen Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis 1. Aus der daraus ableitbaren vereinfachten Schaltung in Abbildung 9.15 folgt für die gesuchte Übertragungsfunktion: 1 x j$O + U + 1@ (j$Fq )  2@ (j$Fb ) Ex = 2 = 1 x1 j$Fb + j$FS + j$O + U + 1@ (j$Fq )  2@ (j$Fb ) ; r FS p A A E  , $ = 1@ q A 0 0 A A F + F 4 S b ¶2  A A $ $ 1 A A A r 1 +m $N $ N TN ? Fn E x = E0 $p  $0 1  , Tp = ($ p @$ 0 ) T0  ¶2 A F $ $ 1 A b A 1 +m A A $P $ p Tp A r A A F A A = $ N  $ 0 1 + n , TN = ($ N @$ 0 ) T0 Fb j$FS +

322

9 Elektrische Wandler CS Anregung

Aluminium-Biegezunge Abtastung

l0

i1 

b  5 mm

i2 l  20 mm

R

u1

R

C b l0

U0

h  0,1 mm

u2

U0

r Al  2,7 103 kg m 3 U 0  100 V

R >>

l0  0,3 mm

1 jwC b

E Al  6,9 1010 N m 2 n  n0 3  93 10 3 m N 1

A  20 mm 2

  5 mm

m  6,8 10 6 kg

12 l 3 n0  E b h3

CS  10 3 C b

Verlustfaktor h 

CS elektrostatische Anregung

i1 u1

i w1

u1  Y F w1

elektrostatische Abtastung

Biegezunge

F w1

vw Cb i  1 v w1 w

F w2

nC

m 4

n

Y

1  10 3 Q0

nC

h

i w2 i 2

1 u Y 2 Cb vw  Y i w2

F w2 

u2

nC  Y 2 C b

Abbildung 9.14. Elektrostatische Anregung und Abtastung einer AluminiumBiegezunge und zugehöriges Schaltbild C b 2

i1

u1

Cb R w 20 

Lm 

Cn 

CS

m 2 Y 4

n Y2

F

R

1 w 0 Cn Q0 1 Lm Cn

i1

u1

C b 2

Cb

F 01 Y I F 01 Y I GH 0 JK GH 0 JK Y Y 144444244444 3 FG 1 0IJ H 0 1K

i2

Cb

u2

CS i2 Cn

Lm

R

Cb

u2

Abbildung 9.15. Vereinfachte Schaltung der elektrostatisch angeregten und abgetasteten Biegezunge

9.1 Elektrostatischer Wandler

Bu

B0 Q 0  1

B0Q p

"f ! 1 Hz

2

323

B0  10 3 w p ! w0 w N  0,956 w 0 Q p ! QN ! Q0  103

B0  10 3

f0  403 Hz fN  385 Hz

18 Hz

2 B0 QN

"f ! 1 Hz

B0 QN

10 6

f

385

Hz

403

Abbildung 9.16. Amplitudenfrequenzgang der Übertragungsfunktion Ex der Biegezunge

Unter Berücksichtigung der konkreten Bauelementewerte erhält man schließlich den in Abbildung 9.16 dargestellten Frequenzverlauf von |E x |. Mikromechanisches Filter mit elektrostatischer Anregung und Abtastung In Abbildung 9.17 ist das Konstruktionsprinzip eines in [70] beschriebenen elektromechanischen Filters dargestellt. Das Filter wurde in SiliziumOber ächenmikromechanik (Surface Micromechanic) hergestellt. Die Abmessungen der mechanischen Bauteile sind ebenfalls in Abbildung 9.17 angegeben. Mikromechanische Filter werden aufgrund ihrer hohen Güte und damit kleinen Bandbreite, ihrer geringen Verluste und ihres sehr hohen Rauschabstandes zunehmende Bedeutung, vor allem in der Telekommunikationstechnik, erlangen. Die Anregung und Abtastung des Feder-Masse-Systems erfolgt durch jeweils einen elektrostatischen Wandler. Die beweglichen Elektroden, die Biegeelemente der Nachgiebigkeiten und die Massenelemente können sich frei über dem Siliziumsubstrat bewegen. Sie bestehen aus Polysilizium und weisen eine Dicke k von 2 m auf. Die Verbindungspunkte zum Substrat sind in Abbildung 9.17 geschwärzt. Aus der Prinzipskizze kann das in Abbildung 9.18 dargestellte Schaltbild abgeleitet werden. Aufgrund der sehr kleinen Bauelementeabmessungen im Mikrometerbereich können sie für den hier betrachteten Frequenzbereich in guter Näherung als konzentrierte Bauelemente betrachtet werden. Nach der Transformation der

324

9 Elektrische Wandler Anregung

i1

u1

m1

n1

nk

n2

h

Abtastung

m2

i W2

i W1

i2

R

R

Cb

U0

l1

lk

l2

b2

bk

Cb

u2

U0

h  2 $m , l1  l2  150 $m , b1  b2  2 $m , lk  150 $m , bk  1 $m Abbildung 9.17. Konstruktionsprinzip und Abmessungen eines elektromechanischen Filters in Silizium-Mikromechanik (Draufsicht auf die Mikrostruktur)

CS i1 i w1 u1

i1 u1

Anregung

u1  Y F w1

C b i w1

F w1

1  v1 Y

C b Cn Lm

v1

nC n m

R

h h

v2  Y i w 2

C b Cn Lm

i1 u1

Cb

C b Cn Lm 123 C

bY g C b Cn Lm

R

Ck

123 C

nC  Y 2 C b , h  Q w 0 n  , n   nk Y

2

, w 20 

1 48 647

R

Ck

Cb

Ck 

Abtastung

F w2 i w2 i 2 1 n n F u  C m v2 w2 Y 2 Cb u2

nk

1

bY g

R

i2

Cb

i2

Cb

u2

u2

n nC n , Cn  2 , Lm  m Y 2 n  nC Y

1 Lm C 

Abbildung 9.18. Ableitung der vereinfachten Schaltung des mikromechanischen Filters

mechanischen Bauelemente auf die elektrische Seite, Multiplikation der Wandlermatrizen zu 1 und Vernachlässigung der parasitären Kapazität FS , folgt die ebenfalls in Abbildung 9.18 dargestellte vereinfachte Schaltung.

9.1 Elektrostatischer Wandler ungekapselt

325

gekapselt

0

0

Bu

Bu dB

dB

-16

-4

-24

-6

-32

-8

-40 13

15

17

19

f

kHz

23

-10 23945 theoretisch experimentell

23955

Hz

23965

f

Abbildung 9.19. Theoretischer und experimenteller Verlauf von |E| = x2 @x1 eines ungekapselten und eines unter Vakuum gekapselten mikromechanischen Filters [70]

Die Berechnung der Übertragungsfunktion E x = x2 @x1 wurde mit Hilfe eines Netzwerksimulationsprogramms durchgeführt. In Abbildung 9.19 ist die gemessene und berechnete Übertragungsfunktion des Filters dargestellt. Die Mittenfrequenz liegt bei 18> 7 kHz bei einer Güte von 16, und die 3 dB Bandbreite beträgt 1> 2 kHz. Erfolgt eine Vakuumverkapselung des Filters, dann erhöht sich die Mittenfrequenz auf 24 kHz bei einer Güte von 2200, und die 3 dB Bandbreite verringert sich auf 11 Hz. Durch Variation der mechanischen Bauelemente, d. h. weitere Reduzierung der Biegerlängen und deren Versteifung, sind Bandpasslter bis zu einer Mittenfrequenz von ca. 1 MHz herstellbar. 9.1.3 Elektrostatischer Membranwandler Bisher wurde die bewegliche Elektrode als starre Platte, die durch eine Feder q in ihrer Ruhelage o0 gehalten wird, angesehen. Ersetzt man nun die federnd eingespannte starre Platte durch eine Membran, deren Nachgiebigkeit ausschließlich durch die mechanische Vorspannung W0 und nicht durch deren Biegesteigkeit 1@q bestimmt wird, so geht das Grundmodell des elektrostatischen Wandlers mit variablem Plattenabstand aus Abbildung 9.5 in das in Abbildung 9.20 dargestellte Modell mit einer Kreismembran als bewegliche Elektrode über. Die Membranauslenkung erfolgt durch die akustische Koordinate Dierenzdruck s und durch die auf die Membran äche D bezogene Coulomb-Kraft Iel . Die akustischen Zweipoleigenschaften einer dünnen, gespannten Kreismembran sind nach [2] in Abbildung 9.21 zusammengestellt.

326

9 Elektrische Wandler Membran

Q

Q0

A e0

r

u  0, p  0

R

u U0, p  0 u  U 0  "u , p ( 0

l0

T0

i CV

Q0  "Q

bg bg "xbr g x0 r

x  l0 )

x

xr

l0 u

p1

R

p  p1  p2 "V

Q  "Q

p2

U0

p1

V0

p2 u  U 0  "u

R

z

bg

bg

Q  D r 2 r dr , pges  p  pel , i

dQ , dt

pel 

C0 

bg

D r  e0 E r

0

Fel u 2 e0 u 2 e0 Q2  !  2 l0  x 2l0 A 2 e0 A 2

b

g

e0 A ! Cb u  U0 l0

b

g

Abbildung 9.20. Modell des elektrostatischen Wandlers mit einer Kreismembran

p

V T 0 R

z

bg

xr

bg

0

V 1  R4  p 8 T0 h

M a  1,33 r

r

R

V  2 r dr x r 

Na 

F FrI I GH GH R JK JK 2

bg

x r  x0 1 

h

h  R2

x0 

R2 p 4T0 h

Ma

Na

1  R 2 x0 2

U| |V || W

q

q  jwV

p

Abbildung 9.21. Zweipoleigenschaften einer dünnen mit W0 vorgespannten Kreismembran

9.1 Elektrostatischer Wandler

327

Die Ableitung des Wandlerschaltbildes erfolgt ausgehend von den Grundgleichungen für das ausgelenkte Membranvolumen Y Y = Qa sges = Qa (s + sel ) = Qa s +

T2 Qa 2%0 D2

und die aufgeprägte Ladung T T=

ZU

G (u) 2udu,

G (u) = %0

0

%0 D %0 x T= x+ 2 o0 o0

ZU

x x  %0 o0   o0

 (u) 2udu = Fb x +

0

 ¶  (u) 1+ o0

%0 x Y o02

in gleicher Weise wie beim Plattenwandler. Zunächst erfolgt für kleine Änderungen ds, dT, dx und dY die Entwicklung von Y und T in der Umgebung des Arbeitspunktes X0 , T0 , s = 0,  0 (u)

Y = Qa ds +

T0 Qa dT %0 D2

T = Fb dx +

%0 X0 dY . o02

Anschließend erfolgt auch hier die Einführung von komplexen Amplituden dx $ x,

dT $ 

l , j$

dY $

t , j$

s = s1  s2 $ s

und die Umformung der Grundgleichungen auf die elektrischen und akustischen Netzwerkkoordinaten t = j$Qa s 

T0 Qa l %0 D2

l = j$Fb x 

%0 X0 t. o02

Zur Gewährleistung ¡einer¢reellen Wandlerkonstante \ werden die Gleichungen in die Form l> s = i x> t l + j$Fb x = lW = 

und

%0 X0 1 t t= o02 \D

(9.8)

328

9 Elektrische Wandler

 ¶ 1 T0 %0 X0 j$F t x + t b j$Qa j$%0 D2 o02 ! Ã 1 1 1 1 x  s= t 2 j$ Qa \ D (\ D) Fb  ¶ 1 1 1 1 x t = sW =  s  j$ Qa Qa>C \D s=

(9.9)

überführt. Durch die Anwendung des Knoten- und Maschensatzes erhält man aus den Gln. (9.8) und (9.9) das in Abbildung 9.22 dargestellte Schaltbild des elektrostatischen Wandlers mit vorgespannter Membran.

N a,C

q p

N a,M 

N a,M

 R4 8 T0 h

pW

Y

iW

Transformator

F p I  FG 1 GH q JK GH Y 0 A

IFuI JJ G J Y A K H i K

l0* l0*  Q0 U 0 C b

Cb 

W

0

Cb

i u

W

e0 A l0*

b g

2

N a,C   YA C b

Abbildung 9.22. Schaltbild des elektrostatischen Wandlers mit vorgespannter Kreismembran

Gegenüber dem Plattenwandler weist der elektrostatische Membranwandler eine transformatorische Verkopplung auf. Die Ursache hierfür liegt in der Ansteuerung des Wandlers durch die akustischen Koordinaten s und t im Unterschied zu den mechanischen Koordinaten y und I beim Plattenwandler. Die Transformationsbeziehungen von der elektrischen auf die akustische Seite und umgekehrt entsprechen den in Tabelle 7.2 dargestellten Relationen des transformatorischen Kopplungsvierpols. Wandler mit Kreismembranen werden für elektrostatische Mikrofone und Lautsprecher verwendet. Ein weiterer technisch wichtiger Anwendungsfall ist die Streifenmembran mit der akustischen Nachgiebigkeit Qa>M =

1 o3 e . 12 W0 k

Kommt die Membranbreite e in die Größenordnung der Membrandicke k, so bezeichnet man die Streifenmembran als gespannte Saite. Zur Erfassung von Kräften und Drücken mit hoher Au ösung erlangen Resonanzsensoren mit schwingenden Saiten aus Quarz oder Silizium zunehmende Bedeutung.

9.1 Elektrostatischer Wandler

329

9.1.4 Anwendungsbeispiele Als Anwendungsbeispiele des Membranwandlers werden der dynamische Entwurf von Kondensatormikrofonen erläutert. Der Arbeitsfrequenzbereich dieser in sehr hohen Stückzahlen gefertigten Schalldrucksensoren liegt im ersten Fall im Hörschallbereich und im zweiten Fall im Ultraschallbereich. Kondensatormikrofon für den Hörschallbereich (f < 20 kHz) In Abbildung 9.23 ist das Konstruktionsprinzip eines Kondensatormikrofons mit vorgespannter Kreismembran und kreisringförmigem Druckausgleich angegeben. Zur Vermeidung der elektrischen Vorspannung X0 werden Kondensatormikrofone mit permanent geladenem Dielektrikum — Elektrete — verwendet (Elektretmikrofone). Als Dielektrikum wird hier eine elektrisch aufgeladene Te onfolie (Ladungsdichte ca. 2·104 C m2 ) mit extrem hoher Zeitkonstante des Ladungsab usses (etwa 200 Jahre) eingesetzt. Die Berechnung der Übertragungsfunktion E s = x1 @s erfolgt getrennt für tiefe und hohe Frequenzen. Für tiefe Frequenzen erfolgt Druckausgleich s1 = s2 = s. Außerdem kann die akustische Membranmasse Pa>M und die akustische Masse der bewegten Luft in der Druckausgleichsbohrung Pa>L vernachlässigt werden. Durch die 2 Transformation der Kapazität Fb auf die akustische Seite (\ D) Fb wird die negative Nachgiebigkeit Qa>C kompensiert. Für die daraus folgende vereinfachte Schaltung aus Abbildung 9.24 ergibt sich mit xL =

1 1 X0 1 t= t j$ j$Fb \ D j$ o0 D

und t0 =

s , 1 1 1 + + j$Qa>V j$Qa>M ]a>L

t = j$

Qa>M Qa>V · Qa>M + Qa>V

t=

j$Qa>M 1 j$Qa>M + ]a>L

1 1+

1 j$ (Qa>M + Qa>V ) ]a>L

schließlich für die gesuchte Übertragungsfunktion: Es =

xL j ($@$ 1 ) = E0 s 1 + j ($@$ 1 )

mit E0 =

Qa>M Qa>V X0 Qa>M + Qa>V Do0

$1 =

1 ]a>L (Qa>M + Qa>V )

s

t0

330

9 Elektrische Wandler Konstruktionsprinzip:

T0 l0 h

r0  1,2 kg m 3 ; c0  343 m s 1 m0  18 , 10 5 kg m 1 s 1

p2

CV i

R  10 mm ; l0  50 $m ; h  10 $m T0  5 107 N m 2 ; U 0  200 V

p1 R

Z a,L , M a,L

r M  2,7 103 kg m 3

R

(Druckausgleich)

u

lL  5 mm ; r  1 mm ; b  50 $m

U0 Membran

b

uL

N a,V

N a,M , M a,M

Druckausgleich:

Cb

2r

b

iW

28 Löcher

b

q M a,M N a,M N a,C Y A

g

Z a,L

lL

M a,L

pW

p1

n  28

p2

N a,V

Bauelemente:

M a,M  r M N a,M 

h R

2

 86 kg m 4

 R  7,9 10 12 m5N 1 8 T0 h

Z a,L 

12 m0

4

b

N a,C   Y A

g

2

Cb

M a,L 

N a,V 

b

3

1  1,4 10 9 N s m-3 2 R

1 r0 lL  3,5 102 kg m 4 n AL

 R 2 l0 r0 c02

, 10 13 m5N 1  11

Abbildung 9.23. Prinzipskizze und Schaltbild eines Kondensatormikrofons mit durch W0 vorgespannter Metallmembran

Für hohe Frequenzen wirkt der Druckausgleich nicht. Die Membranimpedanz ist jetzt durch die Massenwirkung zu ergänzen. Das vereinfachte Schaltbild für hohe Frequenzen ist ebenfalls in Abbildung 9.24 dargestellt. Mit 1 Qa>M Qa>V 1 s = j$ t=  ¶2 s 1 1 Qa>M + Qa>V $ j$Pa>M + + 1 j$Qa>M j$Qa>V $0 und xL =

1 X0 t j$ o0 D

9.1 Elektrostatischer Wandler tiefe Frequenzen

hohe Frequenzen

Z a,L

q

q N a,M Z a,L

q

)

p

p

N a,V

N a,M

q N a,M M a,M

N a,V

p

Bp 

B p  B0

b

j w w1

b

mV Pa

1

B p  B0

g

1  j w w1

N a,V

uL p

g

Bp B0  1,38

331

1

FG w IJ Hw K

2

0

ohne Druckausgleich

~

B0

FG w IJ H wK

2

0

mit Druckausgleich

f1  14,6 Hz f0  52 kHz

w1

w0

w

Abbildung 9.24. Vereinfachte Schaltbilder und Verlauf der Übertragungsfunktion eines Kondensatormikrofons für tiefe und hohe Frequenzen im Hörschallbereich

gilt für die Übertragungsfunktion: Es =

xL 1 = E0 2 s 1  ($@$ 1 )

mit E0 =

Qa>M Qa>V X0 Qa>M + Qa>V Do0

$ 20 =

Qa>M + Qa>V Pa>M Qa>M Qa>V

Bei Berücksichtigung der Verluste im rückseitigen Luftvolumen und in den Druckausgleichsbohrungen ergeben sich für praktische Realisierungen Güten im Bereich von 0> 5  T  2. Mikromechanisches Silizium-Mikrofon für den Ultraschallbereich In Abbildung 9.25 ist der Aufbau und das Prinzip eines Kondensatormikrofons, bestehend aus einem Silizium-Membran-Chip und einem SiliziumGegenelektroden-Chip aus [71] dargestellt. Die Herstellung der beiden Chips erfolgt in Volumen-Mikromechanik (Bulk Micromechanic) durch anisotropes

332

9 Elektrische Wandler

Ätzen. Als Verbindungstechnik beider Silizium-Elemente ist die Klebetechnik geeignet. Beide Chips sind zu einem elektrostatischen Wandler mit einer Kantenabmessung von (2 × 2) mm2 und einer Höhe von ca. 0> 5 mm verklebt. Die Membranspannung W0 wird für vorgegebene Membranabmessungen d durch die Polarisationsspannung X0 eingestellt. Die Schaltung dieses Mikrofons und die Werte für die akustischen Bauelemente sind ebenfalls in Abbildung 9.25 angegeben. Hervorzuheben ist die minimale Dicke der Siliziumnitrid-Membran von nur 150 nm und der geringe Luftspaltabstand von (3 bis 5) m. Gegenelektroden-Chip

Membran-Chip

CV

U0 n-dotierte Platte

T0  6,7 108 N m 2 m

d

p-Substrat

uL

d  150 nm h  5 $m

n  0 K 144 U 0  53 V

l b

a  1 mm b  40 $m

3

h

SiO 2

2 mm

V R  5 10

N a,M , M a,M

)

Si 3N4

9

T0 p

a

Si

R

u

N a,V

Z a,L , M a,L

V R , N aR

1 U0 q jw h a 2

uL 

Cb

Schallquelle

b

q Z a,S M a,S M a,M N a,M N a,C Y A

g

Z a,L M a,L

pW

p

N a,V

Z a,S 

r0 a 2 w 2 2 c0

M a,S 

a2 8 r0  3

M a,M  r M

F I GH JK d a2

N a,M 

 a4 1 8 16 T0 d

Z a,L 

N a,R 1 l 12 h 4 n h

32

b

N a,C   Y A

N a,V 

a 2h r0 c02

g

2

Cb

M a,L 

N a,R 

V 1 r0 R2 n a VR

r0 c02

Abbildung 9.25. Aufbau, Prinzipskizze und Schaltung eines Kondensatormikrofons in Silizium-Mikromechanik

Als Schallquelle wird von einer Kolbenmembran ausgegangen, deren Strahlungsimpedanz ] a>S ] a>S = ]a>S + j$Pa>S

9.1 Elektrostatischer Wandler

333

die Wechselwirkung zwischen Membran und Umgebungsmedium beschreibt. Die Siliziumnitrid-Membran wird durch die Membranmasse Pa>M und die Nachgiebigkeit Qa>M abgebildet. Die Nachgiebigkeiten des Luftspalt- und des Rückvolumens werden durch Qa>V und Qa>R berücksichtigt. Der Ein uss des Luftstromes in den q Löchern wird mit ]a>L und Pa>L beschrieben. Die Übertragungsfunktion E s = xL @s der Schaltung wurde mit Hilfe eines Netzwerksimulationsprogramms berechnet. Die normierten Übertragungsfunktionsverläufe sind in Abbildung 9.26 für eine Variation der Membranabmessung d, der Polarisationsspannung X0 und der Löcherzahl q angegeben. Mit abnehmender Membran äche sinkt der Übertragungsfaktor E0 des Mikrofons, der Arbeitsfrequenzbereich wird jedoch erweitert. Zur Sicherung einer konstanten Membranspannung W0 muss bei Verringerung der Membranabmessung d die Polarisationsspannung X0 erhöht werden. Bemerkenswert ist die Zunahme des Arbeitsfrequenzbereiches im rechten Teilbild mit steigender Löcherzahl q, also der Abnahme von ]a>L , ohne dass sich der Übertragungsfaktor E0 spürbar verringert. B p -30 B0 dB

B p -30 1

B0 dB

U 0  53 V , a  1 mm

2

-50 -60

-50

3

-60

4

-70

-70

-80

-80

n0 n7 n  144

-90 -90 10 102 103 104 105 Hz 107 10 102 103 104 105 Hz 107 f f 3 a  0,5 mm,U 0  106 V 1 a  2 mm,U 0  38 V 2

a  1 mm,U 0  53 V

4

a  0,25 mm,U 0  212 V

Abbildung 9.26. Ein uss der Membranabmessung d, der Polarisationsspannung X0 und der Löcherzahl q auf den Frequenzgang der Übertragungsfunktion E s @E0   des Silizium-Mikrofons E0 = 1 V Pa31 [71]

Dieses Beispiel zeigt, dass auch für komplexere elektromechanische Systeme die Netzwerkdarstellung mit konzentrierten Bauelementen zweckmäßig ist. Statt einer analytischen Berechnung des Übertragungsverhaltens ist für umfassendere Netzwerkstrukturen, wie in diesem Beispiel, die Anwendung von Netzwerksimulationsprogrammen vorzuziehen.

334

9 Elektrische Wandler

9.1.5 Elektrostatische Festkörperwandler Für die Wandlermodelle im Abschnitt 9.1.1 und 9.1.3 wird Luft oder Vakuum als Dielektrikum verwendet. In Abbildung 9.27 wird nun ein isotropes Dielektrikum mit %r A 1 zwischen den Elektrodenplatten eingefügt. a)

de 0 dS

b)

l A

FM

TM

e0

e0

U0

FG H

IJ K

D2 1 e  1 2 e0 e

FM 

FG H

A FE

FM

e

TM

de (0 dS FE

IJ K

D2 1 e A 1 2 e0 e

TE 1 E0  U 0 l D  e0 U 0

e

U0

1 D 2 de 2 e dS 1 D 2 de FE  A 2 e dS

TE  

Abbildung 9.27. Wechselwirkungen in isotropen Dielektrika

Bei verhinderter Dehnung des Dielektrikums wird durch das elektrische Feld H die Maxwell´sche Spannung WM im Dielektrikum und somit die Kraft IM an den Grenz ächen erzeugt (s. Abb. 9.27a). Weist das Dielektrikum eine dehnungsabhängige Dielektrizitätskonstante gemäß d%@dV 6= 0 auf, so entsteht zusätzlich die mechanische Spannung WE bzw. die Kraft IE in Abbildung 9.27b. Die Gesamtspannung im Dielektrikum setzt sich daher aus der Maxwell-Spannung und der als Elektrostriktion bezeichneten Spannung WE zusammen  ¶ 2 1 G2 d% 1 % G  . (9.10) 1 W = WM + WE =  2 %0 % 2 % dV Die Nutzung der Wechselwirkungen in isotropen Dielektrika ist gegenwärtig Gegenstand intensiver Forschungsarbeiten. Im folgenden Abschnitt wird als Anwendungsbeispiel ein elektrostatischer Polymeraktor vorgestellt. Völlig anders ist die Situation bei anisotropen, piezoelektrischen Werkstoen, z. B. Piezokristallen und ferroelektrischen Keramiken. Bei diesen Werkstoen ist bereits ohne äußeres Feld H0 eine innere Polarisation Si vorhanden. Die

9.1 Elektrostatischer Wandler

335

mechanische Spannung W im Dielektrikum wird jetzt durch die vom äußeren Feld H0 induzierte Polarisation S0 und die bereits vorhandene Polarisation Si 1 W =  H0 (S0 + Si ) , 2

S0  H0

erzeugt. Wegen der linearen Abhängigkeit der induzierten Polarisation von der Feldstärke H0 erhält man nach Einführung der Konstanten N1 und N2 den in Gl. (9.11) angegebenen Zusammenhang 1 W =  N1 H02 + N2 H0 . 2

(9.11)

Für piezoelektrische Werkstoe ist N2 À N1 H0 . Damit kann Piezoelektrizität auch als linearisierte Elektrostriktion angesehen werden. Auf die Beschreibung, Eigenschaften und Anwendung piezoelektrischer Werkstoe wird im Abschnitt 9.2 eingegangen. 9.1.6 Anwendungsbeispiel Elektrostatischer Polymeraktor Elektroaktive Polymere gehören zu den aktiven Polymeren, die ihre Form durch den Ein uss elektrischer Größen ändern. Ein im Festkörper vorhandenes elektrisches Feld bewirkt diese Formänderung. Die elektroaktiven Polymere kann man in zwei Gruppen, in die • ionischen elektroaktiven Polymere und • elektronischen elektroaktiven Polymere einteilen. Bei der ersten Gruppe bewirkt ein Ionentransport eine Formänderung bereits bei geringen Betriebsspannungen von ca. 1 bis 5 V. Für den Ionentransport wird ein Elektrolyt benötigt, z. B. eine wässrige Lösung. Neben den erforderlichen Elektrolyten ist das sehr langsame Reaktionsverhalten mit Zeitkonstanten im Bereich von 0> 1 bis 1 s nachteilig [72]. Die zweite Gruppe wird einerseits durch die ferroelektrischen Polymere mit piezoelektrischem Eekt, z. B. Polyvinylendi uorid (PVDF), und andererseits durch die dielektrischen Polymere mit elektrostatischer Anregung gebildet. Auf die anisotropen piezoelektrischen Werkstoe wird im folgenden Abschnitt 9.2 eingegangen. Der hier betrachtete Polymeraktor beruht auf einem dielektrischen Polymer mit isotroper Formänderung bei elektrostatischer Anregung. In Abbildung 9.28 ist das Grundprinzip eines einlagigen elektrostatischen Polymeraktors dargestellt. Das elastische, isotrope Dielektrikum (Polymer bzw. Elastomer) bendet sich zwischen zwei beweglichen Elektroden. Durch Zuführen elektrischer Energie erfolgt durch die entstehende Anziehungskraft der Elektroden eine volumeninvariante Formänderung.

336

9 Elektrische Wandler b)

a)

A  "A

A

u0

u0

S2 S1

z

2

3

V0 , EPoly , er

S3

T3

E3

z  "z

1 elastisches Dielektrikum (Polymer)

T1  T2  0

nachgiebige Elektroden

T3  Fel ' A

Abbildung 9.28. Formänderung eines elastischen Dielektrikums durch die elektrostatisch erzeugte mechanische Spannung a) ohne elektrisches Feld (H3 = 0), b) mit elektrischem Feld H3 HPoly E-Modul des Polymers

Obwohl nur die mechanische Spannung W3 generiert wird, treten drei Dehnungen V1 , V2 und V3 auf, d. h. der Elektrodenabstand } wird um } geringer und die Elektroden äche um D größer. Aus der Volumeninvarianz der Formänderung und dem isotropen Materialverhalten des Dielektrikums lassen sich die Dehnungen mit Y = V1 + V2 + V3 = 0, Y0

V1 = V2 =  Poly · V3

1 1 1 V1 = V2 =  V3 =  W3 , 2 2 HPoly

W3 = s

(9.12)

berechnen. Die mechanische Druckspannung W3 ergibt sich aus der Anziehungskraft der Elektroden W3 = Iel @D. Die Anziehungskraft kann man aus der Energiebilanz des elektrostatischen Wandlers Z =x·T+

1 G2 · Y0 2 %

(9.13)

¢ ¡ mit x·T der Energie der elektrischen Speisung und G2 @2% ·Y0 der Feldenergie durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückung (s. Abb. 9.3) Z + Z = x · T + Z = Iel · } = mit

1 G2 (D + D) (}  }) 2 %

1 G2 (D · }  } · D) , 2 %

1 G2 }·D Iel = 2 %



D }  D }

¶

D · } ¿ Y0 ·

1 }

(9.14)

9.1 Elektrostatischer Wandler

337

berechnen. Aus der Volumeninvarianz der Formänderung folgt Y = D · } + } · D = 0 also

} D = . (9.15) } D Setzt man Gl. (9.15) in Gl. (9.14) ein, so folgt für die Anziehungskraft Iel = 

G2 } 1 G2 }·D· · = · D = %0 %r H 2 · D. % } } %

(9.16)

Schließlich folgt für die mechanische Spannung W3 = s =

Iel = %0 %r H 2 D

mit

H=

x . }

(9.17)

Man erhält gegenüber Gl. (9.10) den doppelten Wert für die Maxwell’sche Spannung bei Vernachlässigung der Elektrostriktion. Die Ursache hierfür liegt in der Nichtberücksichtigung der Elektroden ächenänderung bei der Ableitung von Gl. (9.10). Für das hier betrachtete Beispiel eines Polymeraktors wird als Dielektrikum der Silikonkautschuk Elastosil P7670 (Fa. Wacker) verwendet. Nach [72] weist Elastosil ein %u von ca. 3 auf. Damit erhält man für eine Schichtdicke von } = 30 m und eine Elektrodenspannung x = 1 kV nach Gl. (9.17) einen Druck von s = 2> 9 · 104 Nm2 = 29 kPa.

Daraus ergibt sich mit dem H-Modul von Elastosil von ca. 3 · 105 Nm2 eine Dehnung von V3 = 9> 5 · 102 = 9> 5%.

Dieser Wert stimmt gut mit den in Abbildung 9.29 angegebenen experimentellen Ergebnissen überein. Typisch sind für elektrostatische Polymeraktoren die sehr großen Dehnungen bis ca. 20% und der hysteresebehaftete Dehnungsverlauf. Auf Grund dieser großen Flächendehnung VD VD =

D = V1 + V2 = V3 = 9> 5% D

müssen für die Polymeraktoren nachgiebige Elektroden verwendet werden. In [73] werden hierfür Graphitelektroden vorgeschlagen. Der in Abbildung 9.28 angegebene Polymeraktor weist bei der Dehnung von V3 = 7% für die Schichtdicke von 30 m eine Elektrodenabstandsverringerung von } = 2> 1 m auf.

338

9 Elektrische Wandler

S3 13%24 20

15

10

5

0 0

500

1000

1500

2000

u 13V24

Abbildung 9.29. Dehnung V3 des Dielektrikums in Abhängigkeit von der Elektrodenspannung [72] Polymer: Elastosil P7679 (Wacker), Schichtdicke 30 m

Graphitelektrode

Silikon Elektrodendicke:

5 μm Graphit

Dicke Dielektrikum:

30 μm Silikon

er ! 3, EPoly ! 53 105 Nm - 2

u

Schichtzahl:

100

Steuerspannung:

1000 V

Aktorlänge:

3 mm

Maximaler Hub:

ca. 300 μm

Abbildung 9.30. Elektrostatischer Stapel-Polymeraktor [72]

Zur Vergrößerung des Aktorhubes werden in [72, 73] Stapelaktoren präpariert und getestet. Die verwendeten Materialien und Abmessungen sowie der erzielbare Hub sind in Abbildung 9.30 angegeben. Solche Stapelaktoren können zukünftig für taktile Displays, z. B. BrailleDisplays für Blinde, verwendet werden [73]. Eine weitere Bauform ist der Rollenaktor, ein als Voll- oder Hohlzylinder aufgerollter Polymeraktor, der für künstliche Muskeln in Armprothesen Anwendung nden kann. Ein ande-

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

339

res Forschungsgebiet ist die Entwicklung von peristaltischen Miniaturpumpen in der Medizintechnik mit Hilfe von Polymeraktoren [74]. In Tabelle 9.2 sind die Merkmale von dielektrischen Polymeraktoren zusammengestellt. Gegenstand der laufenden Forschungsarbeiten sind die reproduzierbare Herstellung der elastischen Elektroden und die Reduzierung der Steuerspannung. Tabelle 9.2. Merkmale dielektrischer Polymeraktoren [72]

sehr große Dehnungen realisierbar:

bis 20% (ca. Faktor 100 gegenüber Piezokeramik)

hohe elektrostatisch erzeugte Drücke:

bis 7 MPa

geringe Dichte:

ca. 1 g/cm3

sehr hohe Durchbruchfeldstärke:

30 V/m (ca. Faktor 10 gegenüber Luft)

geringe Verschmutzungsgefahr:

Festkörper

Funktionsintegration möglich:

Dielektrikum, Rückstellfeder, Elektroden

Parallelfertigung (Batch Prozess):

möglich

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen 9.2.1 Modellvorstellungen zum piezoelektrischen Eekt Die zweite praktisch bedeutungsvolle Klasse der elektrischen Wandler stellen die piezoelektrischen Wandler dar. Die elektromechanische Verkopplung erfolgt auch hier zwischen den mechanischen und elektrischen Feldgrößen. Der Übergang zu den integralen Größen, die an einem Punkt oder einer Fläche räumlich konzentriert auftreten, ist zunächst nicht so einfach möglich wie bei den elektrostatischen Wandlern. Betrachtet man jedoch zunächst tiefe Frequenzen — quasistatischer Fall — so können die piezoelektrischen Werkstoe als praktisch masselos angesehen werden. Unter dieser Voraussetzung haben die Feldgrößen im Innern des piezoelektrischen Werkstos an jedem Punkt den

340

9 Elektrische Wandler

gleichen Wert. Die Feldgrößen sind integrierbar und man kann zur Beschreibung mit integralen Größen und konzentrierten Bauelementen übergehen. In einem zweiten Schritt werden einfache piezoelektrische Schwinger betrachtet, deren Masse- und Ortsabhängigkeit der Bauelementeparameter nun nicht mehr vernachlässigt werden kann. Das Übertragungsverhalten der Schwinger wird durch die Übernahme der Lösungen für eindimensionale Wellenleiter und Bauelemente mit verteilten Parametern aus den Abschnitten 6.1 und 6.2 bestimmt. Zur Vertiefung wird auf die Spezialliteratur verwiesen [2, 75, 76]. Auf eine ausführliche Betrachtung der Theorie piezoelektrischer Werkstoffe wird im Rahmen dieses Buches verzichtet. Auch hier wird auf vertiefende Darstellungen in der Fachliteratur verwiesen [77—79]. Die Ableitung der Schaltungsstruktur des quasistatischen piezoelektrischen Wandlers beruht im Abschnitt 9.2.2 auf der phänomenologischen Beschreibung des Piezoeekts (griech.: piezein  drücken). Beim gleichzeitigen Wirken von mechanischen und elektrischen Größen treten in isotropen Werkstoen, wenn man wie im Abschnitt 9.1.5 die MaxwellSpannung und die Elektrostriktion vernachlässigt (Gl. 9.10), keine elektromechanischen Verkopplungen auf. Beim Einleiten einer mechanischen Spannung W wird in Abbildung 9.31 lediglich über die elastische Konstante v eine Dehnung V bzw. beim Anlegen einer Feldstärke H über die Dielektrizitätskonstante % eine Verschiebung G hervorgerufen. Einleiten der mechan. Spannung

T

Anlegen der Feldstärke

F T A

s T ,S

v

U| V| x  n F ; |W

dx dt

l ns A

l

Q

E u  E l

i

F

x l F T A

e

x  S l

A S  s T

S

A

Q

l

E

n

C

dQ dt

D  e E u

Q A u E l D

U| V| Q  C u ; |W

Ce

A l

Abbildung 9.31. Wirkung von mechanischen und elektrischen Größen bei isotropen Werkstoen

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

341

Ausgewählte anisotrope Werkstoe, wie Piezokristalle und Ferroelektrika, weisen dagegen eine ausgeprägte Verkopplung der mechanischen und elektrischen Größen auf. Bei Piezokristallen, z. B. Quarz, tritt wegen der molekularen Struktur grundsätzlich eine lineare Verkopplung zwischen den elektrischen und mechanischen Größen auf. Bei Ferroelektrika, z. B. Piezokeramik, wird durch Anlegen eines elektrischen Gleichfeldes (s. Abschn. 9.2.6) eine innere Polarisation des Werkstos hervorgerufen, die nach Abschnitt 9.1.5 den quadratischen Eekt der Elektrostriktion linearisiert (Gl. 9.11). Nach außen ist der piezoelektrische Eekt (Abb. 9.32) durch die Fähigkeit zur Ladungsverschiebung bei mechanischer Erregung durch Kräfte oder Verformungen, oder umgekehrt durch eine Werkstodeformation bei elektrischer Erregung durch Spannung oder Strom, gekennzeichnet. In Abbildung 9.32 ist phänomenologisch die Ladungsverschiebung beim Aufprägen einer Deformation und im zweiten Experiment die Krafterzeugung beim Anlegen einer elektrischen Spannung bei Verhinderung der Deformation für piezoelektrische Werkstoe dargestellt. Dabei beruht der piezoelektrische Eekt auf einer elastischen Deformation von elektrischen Dipolen in einem Kristallgitter.

1. Experiment: Aufprägen einer Deformation für u  0 a)

x

2. Experiment: Anlegen einer Spannung für x  0

u

a)

x0

u0

Dipole

F 0



Leiter

E0

piezoelektr. Material b)

F

b)

Q mech ~ S

Fel ~  E

x

l

S



E

u

E Q

Q

x l

 E

B

 E Q

Q Qmech  e x

Fel  e u

e K piezoelektrische Kraftkonstante Abbildung 9.32. Phänomenologische Modellbeschreibung des piezoelektrischen Effekts

342

9 Elektrische Wandler

In Abhängigkeit von der Wirkungsrichtung in Tabelle 9.3 führt der Piezoeekt zu einer Ladungs- oder Deformationsänderung. Technisch wird die Erzeugung einer Ladung bei mechanischer Anregung für Sensoren zur Messung mechanischer Größen verwendet. Umgekehrt lassen sich Aktoren durch elektrische Anregung zur Deformations- oder Krafterzeugung ableiten. Tabelle 9.3. Grundgleichungen des piezoelektrischen Eekts für sensorische und aktorische Anwendungen sensorische Anwendungen

i

u

l

D,E

x

S

Anregung: Dehnung S, für Antwort:

i

Elektrode

E0

D,E

Antwort:

Q F , T A A

D

Q  e

A

x l

A

u

und

S

l

T

Anregung: mechan. Spannung

D  e S mit

F

T, für E  0

D  d T

x l

folgt:

Q d F

e K piezoelektrische Kraftkonstante

d K piezoelektrische Ladungskonstante

aktorische Anwendungen Anregung: elektrisches Feld E , für S

0

Anregung: elektrisches Feld E , für T

S d E

T  e E mit

F  e

E

u F , T l A

A

u l

und

S

x l

folgt:

x  d u

0

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

343

9.2.2 Piezoelektrische Zustandsgleichungen und Schaltbild für die eindimensionale Längskopplung Die elektromechanischen Verkopplungen in piezoelektrischen Werkstoen kann man durch Zustandsgleichungen beschreiben. Durch zwei einfache Gedankenexperimente werden in Abbildung 9.33 unter Verwendung der piezoelektrischen Konstante h die piezoelektrischen Zustandsgleichungen aufgestellt. Neben dieser Form sind, wie im Abschnitt 9.2.3 dargestellt, noch drei andere Formen der Zustandsgleichungen mit ihren speziellen piezoelektrischen, elastischen und dielektrischen Konstanten ableitbar. Beim ersten Experiment wird die Spannung x angelegt und die Ladung Tel bei verhinderter Deformation  = 0 erzeugt. Anschließend wird für Kurzschluss eine Deformation eingeleitet und die Ladung Tmech ist messbar. Die Gesamtladung ergibt sich aus der Addition der beiden Teilladungen. x,u  Q

1. Experiment:

x0

u0

Qel

x

=

Qel

A u l Del  eS E Qel  eS

A x l  e S

Q mech  e

D mech

b

u0

 eS

Fmech Tmech

g

A A ue x l l

D  eS E  e S

u,x  F x0

F

cE l

u

Q  Qel  Qmech

A Kapazität im festgebremsten Zustand x  0 l

2. Experiment:

nK 

F Q

e

+

A

Cb  eS

Q mech x

eS l

u

F

A E A c ( x ) l  cE S

F

Fel

x

+

x

=

u

A u l Tel   e E Fel  e

u

F  Fmech  Fel  c E

1 l Nachgiebigkeit für elektr. Kurzschluss u  0 cE A

b

g

A A xe u l l

T  cE S  e E

Abbildung 9.33. Gedankenexperimente zur Denition der piezoelektrischen Konstante h und Ableitung der piezoelektrischen Zustandsgleichungen

344

9 Elektrische Wandler

Die erste Zustandsgleichung G = %V H + hV

(9.18)

folgt nach Einsetzen der Feldgrößen in diese Beziehung. Die zweite Zustandsgleichung erhält man mit dem zweiten Gedankenexperiment aus der Überlagerung der mechanisch und elektrisch erzeugten Teilkräfte Imech und Iel : (9.19) W = fH V  hH

Mit Hilfe dieser Zustandsgleichungen ist nun die Ableitung des Schaltbildes in Abbildung 9.34 für den piezoelektrischen Wandler möglich. Die Ausgangsgleichungen werden durch die integrale Schreibweise der Zustandsgleichungen gebildet: T = %V

u

W

A l 1 l cE A 1 l e A eS

Y k2

F nK

v

W

mit piezoelektrischer Kraftkonstante e

nK

FW

FG u IJ  FG 0 Y IJ FG v IJ H i K H1 Y 0 K H F K

Cb

Cb

(9.20)

Gyrator

iW

i

D D x+h  o o

mit piezoelektrischer Ladungskonstante d für

v0

für

u0

(e

T

 d2 cE

)Al

e2

l A sE l d A d2

e cE

eS s E

e  d cE 

sE

d sE

S

alternative Schaltung: Transformator

i u

Fj 1 GG X H0

Cb

X

I 0 JJ jX K

FW

nC

F nK

v

1 , nC  Y 2 C b w C b Y

Abbildung 9.34. Schaltbilder des piezoelektrischen Wandlers und Bauelementeparameter für den Längseekt

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

D D I = h x  fH  o o Auch hier geht man zu der Schreibweise mit komplexen Amplituden T$T=

1 l, j$

x $ x,

I $ I,

$=

345

(9.21)

1 y j$

über und stellt die Gln. (9.20) und (9.21) nach lW und I W um: D D x = lW = h y o o

(9.22)

1 HD D f y = IW = h x j$ o o

(9.23)

l  j$%V I+

Die Gln. (9.22) und (9.23) entsprechen der Struktur des allgemeinen elektrischen Wandlers. Der Zahlenwert der Werkstokennwerte v, f, % ist von den experimentellen Randbedingungen abhängig. Der jeweils zu „Null” erzwungene Randwert wird als hochgestelltes Symbol an den Kennwert geschrieben. Die gyratorische Wandlerkonstante \ lässt sich mit \ =

1 o hD

(9.24)

ablesen. Das Schaltbild und die Beziehungen zur Berechnung der Bauelementeparameter aus den Werkstokennwerten h, f, % und den Wandlerabmessungen o und D sind in Abbildung 9.34 zusammengefasst. Wegen der parallelen Wirkungsrichtung der mechanischen und elektrischen Feldgrößen wird diese Verkopplung als piezoelektrischer Längseekt bezeichnet. Zusätzlich zum Schaltbild mit reeller gyratorischer Verkopplung ist in Abbildung 9.34 das alternative Schaltbild mit imaginärer transformatorischer Verkopplung angegeben. Diese alternative Schaltung wird bei der Ableitung der Schaltung des piezoelektrischen Dickenschwingers als Wellenleiter im Abschnitt 9.3.3 verwendet. In Abhängigkeit von der Energiewandlungsrichtung — Aktor- oder Sensorbetrieb — ergeben sich in Abbildung 9.35 unterschiedliche Vorzeichenfestlegungen im Schaltbild aus Abbildung 9.34. 9.2.3 Allgemeine piezoelektrische Zustandsgleichungen Bisher wurde im Abschnitt 9.2.2 lediglich ein Sonderfall der allgemeinen piezoelektrischen Verkopplungen betrachtet. Sowohl das elektrische, als auch das mechanische Feld waren eindimensional und hatten die gleiche Wirkungsrichtung. Im allgemeinen Fall sind alle Spannungs- und Dehnungskomponenten mit allen Feldstärke- und Verschiebungskomponenten verknüpft.

346

9 Elektrische Wandler

Pel  Pmech

Aktorbetrieb:

iA

F

iA

u

u

i WA

Cb

vA

F nK v A

1 v Y A

i S  i A

Pmech  Pel

Sensorbetrieb:

iS

iS

u vS

i WA 

FW

piezoelekt. Werkstoff

dx x , vA  dt

F

u Y FW

Cb

u F

dx x , vS   dt

vS

i WS

FW

nK

v S  v A u Y FW i WS 

vS  Y i WS

F n K vS

1 v Y S

E FW 

FW

F i WS

1 u Y

iS

Cb

u

Abbildung 9.35. Vorzeichenfestlegung bei unterschiedlichen Übertragungsrichtungen

Nach [2, 75—77] kann man bei Verwendung der piezoelektrischen Kraftkonstante h für die lineare Verknüpfung sämtlicher elektrischer und mechanischer Feldgrößen schreiben: = %V11 H1 + %V12 H2 + %V13 H3 + h11 V1 + h12 V2 · · · = %V21 H1 + %V22 H2 + %V23 H3 + h21 V1 + h22 V2 · · · = %V31 H1 + %V32 H2 + %V33 H3 + h31 V1 + h32 V2 · · · H = h11 H1  h21 H2  h13 H3 + fH 11 V1 + f12 V2 · · · .. .. . .

G1 G2 G3 W1

h16 V6 h26 V6 h36 V6 fH 16 V6 .. .

H H W6 = h16 H1  h26 H2  h36 H3 + fH 61 V1 + f62 V2 · · · f66 V6

Diese Matrizenschreibweise lässt sich bei Einführung von Summationszeichen verkürzen zu: Gq =

3 X

%Vpq Hp +

p=1

Wl =

3 X

p=1

hpl Hp +

6 X

hqm Vm

q = 1 = = = 3, p = 1 = = = 3, m = 1 = = = 6

m=1

6 X m=1

fH lm Vm

l = 1 = = = 6, p = 1 = = = 3, m = 1 = = = 6

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

347

Mit Hilfe der Einstein´schen Summationsvereinbarung — über doppelt vorkommende Indizes ist zu summieren — ergibt sich schließlich die Kurzschreibweise G> W = i (H> V):

Gq = %Vpq Hp + hqm Vm

q = 1 = = = 3, p = 1 = = = 3, m = 1===6 (9.25)

Wl = hpl Hp + fH lm Vm

l = 1 = = = 6, p = 1 = = = 3, m = 1 = = = 6. (9.26)

Die Koe!zienten %Vpq sind die dielektrischen Konstanten unter der Bedingung V = 0, d. h. sie werden experimentell im mechanisch festgebremsten Zustand ermittelt. Die Koe!zienten fH lm sind elastische Konstanten unter der Bedingung H = 0, d. h. für elektrischen Kurzschluss. Für die zweite Form der piezoelektrischen Zustandsgleichungen ergibt sich unter Verwendung der piezoelektrischen Ladungskonstante g in ähnlicher Weise G> V = i (H> W ):

Gq = %Wpq Hp + gqm Wm

q = 1 = = = 3, p = 1 = = = 3, m = 1===6 (9.27)

Vl = gpl Hp + vH lm Wm

l = 1 = = = 6, p = 1 = = = 3, m = 1 = = = 6. (9.28)

Diesmal wurde bei der experimentellen Ermittlung der Dielektrizitätskonstanten %Wpq die mechanische Spannung W und bei den elastischen Konstanten vH lm die Feldstärke H gleich Null gesetzt, d. h. mechanischer Leerlauf und elektrischer Kurzschluss. In [2], [75] und [78] werden noch die dritte und vierte Form der piezoelektrischen Zustandsgleichungen H> V = i (G> W )

und

W> H = i (G> V)

angegeben, die aber im Rahmen dieses Buches nicht benötigt werden. Zwischen den Konstanten der Zustandsgleichungen (9.25) bis (9.28) bestehen folgende Beziehungen: hqm = gqm fH lm , flm = fml ,

gqm = hql vH lm

vlm = vml

H %Wqp  %Vqp = hql hpm vH lm = flm gpl gqm

348

9 Elektrische Wandler

9.2.4 Technisch übliche Kongurationen piezoelektrischer Wandler und zugehörige Ersatzparameter Ausgehend von den allgemeinen Zustandsgleichungen (9.25) bis (9.28) aus Abschnitt 9.2.3 besteht jetzt die Aufgabe, für technisch wichtige Kongurationen durch Einführung elektrischer und mechanischer Randbedingungen die Bauelementeparameter der Schaltung in Abbildung 9.34 aus den Konstantensätzen %, v, f, g, h und den geometrischen Abmessungen zu bestimmen. Die Zusammenstellung der erforderlichen piezoelektrischen, elastischen und dielektrischen Konstanten für technisch wichtige Werkstoe erfolgt im Abschnitt 9.2.6. Die prinzipielle Vorgehensweise soll an zwei Beispielen erläutert werden. Freier Dickenschwinger (Längseekt) In Abbildung 9.36 ist die Anordnung des freien Dickenschwingers und die dazugehörigen Randbedingungen dargestellt.

v

i

F

E1 , E 2  0

l3

D1 , D2  0

u

S3 ,T3

E 3 , D3

l2

l1

3

T1 ,T2 ,T4 K T6  0

2 1

Abbildung 9.36. Freier Dickenschwinger (Längseekt)

Im ersten Schritt erfolgt die Umformung der allgemeinen Zustandsgleichungen G> W = i (H> V) oder G> V = i (H> W ) unter Beachtung der Randbedingungen in zwei Gleichungen zwischen den vier verkoppelten Feldgrößen: G3 = %W33 H3 + g33 W3 ,

V3 = g33 H3 + vH 33 W3

Diese Zustandsgleichungen werden im Folgenden in die Form G> W = i (H> V) mit 1 g33 W3 = H V3  H H3 = fH 33 V3  h33 H3 v33 v33 und  ¶ 1 g33 W V3  H H3 G3 = %33 H3 + g33 vH v33 33  ¶ g2 g33 = %W33 1  W 33H H3 + H V3 = %W33 H3 + h33 V3 %33 v33 v33

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

349

überführt, die den Ausgangspunkt zur Ableitung der Schaltung in Abbildung 9.34 im Abschnitt 9.2.3 bildet. Im zweiten Schritt wird, wie im Abschnitt 9.2.2 bereits vollzogen, zu den integralen Koordinaten y, I , x und l übergegangen. Es folgt das Schaltbild aus Abbildung 9.34. Unter Berücksichtigung der elektrisch und mechanisch wirksamen Abmessungen oel = omech = o3

und

Del = Dmech = o1 o2

ergibt sich nach Einsetzen von %, f, h für die Ersatzparameter schließlich:  ¶ g2 o1 o2 o3 , qK = vH Fb = %W33 1  W 33H 33 o3 o1 o2 %33 v33 \ =

vH 33 o3 , g33 o1 o2

2 n33 =

g233 %W33 vH 33

Im Abschnitt 9.2.7 wird ein freier Dickenschwinger aus PZT-Keramik in einem Beschleunigungssensor verwendet. Freier Längsschwinger (Quereekt): Die Anordnung des freien Längsschwingers ist gemeinsam mit den Randbedingungen in Abbildung 9.37 angegeben. i

E1 , E 2  0

l3 u

D1 , D2  0 F

S1 ,T1

E 3 , D3

l2

v

3

T2 K T6  0

2

l1

1 Abbildung 9.37. Freier Längsschwinger (Quereekt)

Auch hier erfolgt im ersten Schritt die Umformung der allgemeinen Zustandsgleichungen in zwei Gleichungen mit vier verkoppelten Feldgrößen G3 = %W33 H3 + g31 W1 ,

V1 = g31 H3 + vH 11 W1 .

Diese Zustandsgleichungen werden wieder in die Form G> W = i (H> V) mit den Konstanten %, f, h überführt: W1 =

1 g31 V1  H H3 = fH 11 V1  h31 H3 H v11 v11

350

9 Elektrische Wandler

¶ 1 g31 V  H 1 3 vH vH 11 11  ¶ g231 g31 W = %33 1  W H H3 + H V1 = %W33 H3 + h31 V1 . %33 v11 v11

G3 = %W33 H3 + g31



Beim Quereekt sind die elektrisch und mechanisch wirksamen Abmessungen oel = o3 ,

omech = o1

und

Del = o1 o2 ,

Dmech = o2 o3

nicht mehr identisch. Nach Einsetzen der Konstanten %, f, h und der Abmessungen in die Beziehungen aus Abbildung 9.34 erhält man für die Ersatzparameter  ¶ g2 o1 o2 o1 Fb = %W33 1  W 31H , qK = vH 11 o3 o2 o3 %33 v11 \ =

vH 11 1 , g31 o2

2 n31 =

g231 . %W33 vH 11

In den Tabellen 9.4 und 9.5 sind die Randbedingungen und Kennwerte der freien Dicken- und Längsschwinger, des geklemmten Dickenschwingers und des Scherschwingers angegeben. Die Vorgehensweise bei der Parameterermittlung erfolgt analog wie bei den erläuterten Beispielen. Freie Dicken- und Biegeschwinger werden vor allem in Beschleunigungssensoren, seitlich geklemmte Dickenschwinger für Ultraschallsendeelemente, Flächenscherschwinger als Sender in der Sonartechnik sowie Dickenscherschwinger als Filterelemente und pyroeektfreie Beschleunigungssensoren verwendet. Die typischen Arbeitsfrequenzbereiche dieser Schwinger sind in Abbildung 9.38 dargestellt. Flächenscherschwinger

Längsschwinger

Biegeschwinger

103

104

Dickenscherschwinger

105

106

107

Hz

109

f Abbildung 9.38. Typische Arbeitsfrequenzbereiche piezoelektrischer Schwinger

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

351

Tabelle 9.4. Ausgewählte Schwingungsformen piezoelektrischer Schwinger und zugehörige Kenngrößen freier Dickenschwinger

geometrische Anordnung

i

geklemmter Dickenschw.

F

v

i

u

3

l3

Längsschwinger

F

v

u

i 3

l3

1

v

u

l3

1

3 1

l2

l1

l1 l2

2

l1

2

l2

1

T1 ,T2 ,T4 K T6  0

S1 ,S2 ,S4 K S6  0

T2 K T6  0

F  T3 l1 l2

F  T3 l1 l2

F  T1 l2 l3

v  jw S 3 l3

v  jw S 3 l3

v  jw S 1 l1

A

Ael  A mech  l1 l2

E1 , E 2  0 ,

F GH

eT33

E

s33

I JK



2 d33

Vierpolschaltung

kt2

E eT33 s33

i u

Cb  e

iW

Cb Ael lel

E s11

F GH

T E e33 1

u Y FW iW 



j

2 S E 1  e33 e33

e33

e

nK 

E

s11

I JK

2 d31 E eT33 s11

A A 1  e el  e mech Y lmech lel

nK v 1 lmech c A mech

kl2 

j

FW F

1 v Y

eT33

E s11

2 S E e33 e33

c33

e

2 d31

1

E c33

E s33

kd2

d31

eS33

1

c

lel  l3 , lmech  l1

e 33 2 d33

T E e33 1

Ael  l1 l2 , A mech  l2 l3

lel  lmech  l3

E s33

e

i  j w D 3 l1 l2

Ael  A mech  l1 l2

d33

e

k

u  l3 E 3 ,

lel  lmech  l3

l

2

1

mechan. u. elektr. Randbedingungen

1

2

F

k2 

b g  1 1  e b c eg 1  Y C e2 c e 2

2

b

nK

352

9 Elektrische Wandler

Tabelle 9.5. Ausgewählte Schwingungsformen piezoelektrischer Schwinger und zugehörige Kenngrößen

Flächendehnungsschwinger

geometrische Anordnung

l2

l1

v

i

i

v

u

F

i 1

l1

u

2

l2

3

3

v F 2

l3

l3 l2

3

l3

l1

1 3

3

l1  l2  l

2

T3 K T6  0, T1  T2  T 2

T1 K T4 , T6  0

F TT l12 l 3l l3

T1K T4  0

F  T5 l2 l3

v  j w S l, S1  S2  S

F  T5 l2 l3

v  j w S 5 l1

v  j w l1 S 5

E1  E2  0

E2  E3  0

u  l3 E 3 , i  jw D 3 l1l2

u  l1 E1 , i  jw D1l2 l3 u  l2 E 2 , i  jw D 2 l1l3

E1  E3  0

A

Ael  l 2 , Amech  l l3

Ael  Amech  l2 l3

l

lel  l3 , lmech  l

lel  lmech  l3

2 d31

e

E s11

e



E s12

T e33 1  kp2

e

c

k2

j

Ael  l1 l3 , Amech  l2 l3 lel  l2 , lmech  l3

d15

d25

E s55

E s55

T e11 1  ks2

e

j

eT22 1  kF2

e

2

1

E E s11  s12

E s55

1 E s55

2 2 d31

2 d15

2 d25

T E e11

s55

E eT22 s55

T E E s11 e33  s12

e

i Vierpolschaltung

Flächenscherschwinger

F 2

2 1

mechan. u. elektr. Randbedingungen

u

F 2

v

Dickenscherschwinger

u

Cb  e

iW

Cb Ael lel

j

u Y FW iW 

FW F

1 v Y

nK 

nK v 1 lmech c A mech

C e2 k2   n 2 Cb e c 1 k 1 k  Y 1  k2

Cb nK

j

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

353

9.2.5 Piezoelektrische Bimorph-Biegeelemente Verklebt oder verkittet man zwei Piezokeramikelemente mit gleicher Polarisationsrichtung und betreibt sie in elektrischer Parallelschaltung oder bei entgegengesetzter Polarisationsrichtung in Reihenschaltung, so erhält man einen Parallel- oder Serienbimorph. Neben dem Bimorph sind in Abbildung 9.39 der Monomorph und der Trimorph jeweils mit einem Träger dargestellt. Piezoelektrische Biegeelemente werden in Aktoren zur Erzeugung großer Wegamplituden bis zu 2 mm und in hochempndlichen Beschleunigungssensoren verwendet. Bimorph: Anordnung von zwei Längsschwingern

i u

Parallelschaltung

F

P

i

v P

u

P

Unimorph: Anordnung eines Längsschwingers auf Träger

Trimorph: Anordnung von zwei Längsschwingern auf Träger

i

P

F

v

P

u

Serienschaltung

i

P

u P

Metall, Kohlefaser

Metall, Kohlefaser

Abbildung 9.39. Piezoelektrische Biegeschwinger P Polarisationsrichtung

In Abschnitt 5.1 wird das Schaltbild des Biegeelementes abgeleitet. Ergänzt mit dem piezoelektrischen Wandler ergibt sich das in Abbildung 9.40 angegebene Schaltbild des piezoelektrischen Biegeelementes. Der verlustfreie piezoelektrische Wandler verknüpft zunächst die elektrischen mit den mechanisch rotatorischen Koordinaten. Durch die transformatorische Verkopplung zwischen dem rotatorischen und translatorischen mechanischen Netzwerk beim Biegestab im Abschnitt 5.1.2 erhält man schließlich die in Abbildung 9.41 dargestellte Zehnpolschaltung des piezoelektrischen Bimorph-Biegeelementes. Diese Schaltung gilt für tiefe Frequenzen. Im Abschnitt 9.3.5 wird auf dieses Biegeelement als nites Netzwerkelement unter Berücksichtigung von eindimensionalen Biegewellen zurückgegrien.

354

9 Elektrische Wandler b

u

P

E 3 , D3

P

E 3 , D3

S1 ,T1

S1 ,T1



h

l

"i

Biegeelement

2 1

D3  eT33 E 3  d31 T1

x x 1  "x

0

3

E d31 , s11 , eT33

S1 ,T1

x1

E S1  d31 E 3  s11

T1

"A

u

b +b x

g  "x g

M x 1  "x

b g +b x g M x1 1

"x 1

1

R| "C  4 e e1  k j b h"x || "n ! 12 s b"x g S b h "+ | || 1  1 d b h T Y 2 s "x T 33

b

"i "i W u

MW

u Y MW

"C b "i W

3

M

E 11

RK

"n RK

1  "+ Y

2 L

3

31 E 11

Abbildung 9.40. Schaltbild des piezoelektrischen Biegeelementes bei Verknüpfung der elektrischen und mechanisch rotatorischen Koordinaten

i

M 1 ,+1

I

b h3 12

u

b

M2 F2 E d31 , s11 , eT33

h v1 , F 1

+2 v2

x 1 x 1  "x

0 BimorphBiegeelement

x

l

u "i

"C b

bY g b g

M x1

b g F bx g v bx g

"n RK

b

M x 1  "x

g b

+ x 1  "x

+ x1

b

F 2 x 1  "x

1

1

g

2 "x

"m

2 "x

b

v x 1  "x

g

g

Abbildung 9.41. Vollständige quasistatische Zehnpolschaltung eines piezoelektrischen Bimorph-Biegeelements

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

355

Als Sonderfall ist in Abbildung 9.42 die Schaltung des häug verwendeten einseitig eingespannten Bimorphs angegeben. Die Konstanten der Kennwerte entsprechen denen des piezoelektrischen Längsschwingers. u h

i

b

S1 S1 l

E

E3 E3

u v

iW

u Y FW

Cb

iW 

FW

1 v Y

F nK v

2 d 31 1 3 d 31 b h 2   k , L E E Y 4 s11 l eT33 s11

F

x

C b  4 eT33 1  kL2

e

nK 

j bh l

n0 l3 E  4 s11 3 b h3

Abbildung 9.42. Quasistatisches Schaltbild und Kennwerte des einseitig eingespannten piezoelektrischen Bimorphs nO Kopplungsfaktor des Längsschwingers

9.2.6 Piezoelektrische Werkstoe Die technisch wichtigsten piezoelektrischen Werkstoe sind • als Einkristalle: Quarz, Gallium Orthophosphate, Langasit, Lithiumniobat, Lithiumtantalat • als polykristalline Ferroelektrika: piezoelektrische Keramiken (z. B. BaTiO3 , Pb(Zr> Ti)O3 ) • als kristallin-amorpher Kunststo : Polyvinyliden uorid PVDF Die wichtigsten Eigenschaften dieser Werkstoe — außer den ausschließlich für die Telekommunikation wichtigen Kristallen Lithiumniobat und Lithiumtantalat — sind in den Tabellen 9.6 bis 9.8 angegeben. Weiterführende Angaben ndet man in entsprechender Fachliteratur [64, 79].

356

9 Elektrische Wandler

Einkristalle Quarz als piezoelektrischer Kristall gehört zur Symmetriegruppe 32 des trigonalen Systems. Quarz zeichnet sich durch seine sehr große mechanische Güte und der großen zeitlichen Stabilität seiner Koe!zienten aus. Außerdem weist Quarz, wie auch Gallium Orthophosphat und Langasit, keinen pyroelektrischen Eekt auf. Daher wird es für Präzisionssensoren zur dynamischen Beschleunigungs-, Kraft- und Druckmessung verwendet. Weitere wichtige Einsatzgebiete für Quarz sind hochstabile Resonatoren und Filter. Von praktischer Bedeutung sind vor allem die X- und AT-Schnitte im Quarz-Kristall (Tabelle 9.6). Langasit-LGS ist ein synthetischer Kristall (L3 Ga5 SiO14 ) und gehört auch zur Symmetriegruppe 32 des trigonalen Systems. Die industrielle Kristallzüchtung und Bereitstellung von 4 Zoll-Scheiben erfolgt seit den 90er Jahren. Langasit wird als Basismaterial für BAW (Bulk Acoustic Wave)- und SAW (Surface Acoustic Wave)-Resonanzsensoren zur Kraft-, Druck- und Drehmomentmessung verwendet. Gegenüber Quarz weist Langasit einen erweiterten Temperaturbereich von mindestens bis 700  C auf. Polykristalline Ferroelektrika Piezoelektrische Keramiken, z. B. Blei-Zirkonat-Titanat (PZT), sind polykristalline Werkstoe, die durch Sintern keramischer Pulver hergestellt werden (Tabelle 9.7). Diese Werkstoe sind zunächst inhomogen polarisiert, d. h. die Richtungen der permanenten Polarisation sind zufällig verteilt und es ergibt sich kein resultierender linearer piezoelektrischer Eekt. Die Werkstoe verhalten sich elektrostriktiv. Beim Anlegen einer hinreichend großen Feldstärke, z. B. 2 kV mm1 , oberhalb der jeweiligen Curie-Temperatur wird die Polarisation der einzelnen Bereiche überwiegend in eine Richtung gedreht, d. h. der Werksto wird piezoelektrisch. Die Polarisation bleibt nach Abschalten des Feldes, sofern die Temperatur nicht über die Curie-Temperatur erhöht wird, erhalten. In Abbildung 9.43 sind die typischen Abhängigkeiten der inneren Polarisation S von der Feldstärke H und der Dehnung V von der von der Feldstärke H einer polarisierten Keramik einschließlich deren Arbeitsbereiche angegeben Durch Variation des Titan-Zirkon-Verhältnisses lassen sich eine große Zahl von Keramikvarianten erzeugen. Aufgrund des großen Kopplungsfaktors werden Piezokeramiken für Leistungswandler, z. B. Ultraschallsender, aber auch für Sensoren und Filterelemente verwendet. Gegenüber Quarz weisen Piezokeramiken eine geringere Langzeitstabilität und den pyroelektrischen Eekt auf.

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

357

Tabelle 9.6. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe

Quarz (linksdrehend) (z) x 3

Werkstoff: einkristalliner, hexagonaler Werkstoff; chemisch: Kieselsäure (SiO2);

X - Schnitt

tritt in mehreren Kristallmodifikationen auf;

x1

technisch wichtig: a -Quarz ( J < 573 °C)

(x)

a -Quarz: anisotrope Werkstoff-

x2

eigenschaften;

Schnitte von

(y)

(Linksdrehend)

a-Quarz: X - 5° oder 18,5°-Schnitt

X - Schnitt

x3

x3

AT - Schnitt

x3

x3

x3

35,5°

x2

x1 Herstellung:

x2 x2 x1

x1

x2

5° oder 18,5°

x1

x1

x2

Kristallzüchtung im Autoklaven bei 450 °C und 1000 bar

Eigenschaften: weist eine zur mechanischen Spannung proportionale Polarisation auf (keine Polarisation im spannungsfreien Zustand) sehr gute Langzeitstabilität der piezoelektrischen Koeffizienten, da keine Depolarisation möglich sehr gute Linearität, keine Hysterese 5

2

hohe Druckfestigkeit (4 × 10 N / cm ) keine Pyroelektrizität 16

hoher Isolationswiderstand bis ca. 400 °C (10 W × cm) 3

sehr große Güte Q = 5 ×10 bis 10 aber:

6

nur kleiner Kopplungsfaktor (ca. 0,1) Neigung zur Zwillingsbildung oberhalb 400 °C oder bei mechanischer Überlastung Änderung des Übertragungsverhaltens

358

9 Elektrische Wandler

Tabelle 9.7. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe

Piezokeramik Werkstoff: Ferroelektrischer Werkstoff, z. B. Bariumtitanat (BaTiO3) oder Blei-Zirkonat-Titanat (Pb(ZrTi)O3) Herstellung: Sintern (1200 °C), Sägen und Schleifen des polykristallinen Grundkörpers Aufbringen der Metallelektroden Polarisation oberhalb der Curie-Temperatur (200 bis 350) °C mit einer Gleichfeldstärke von ca. 2 kV/mm, Einfrieren der ausgerichteten Dipole beim Abkühlen, Polarisationsrichtung: x3-Richtung Eigenschaften: weist nicht wie Quarz eine spontane Polarisation auf, sondern muss künstlich polarisiert werden hysteresebehaftete Dehnungs-Feldstärke-Kennlinie im polarisierten Zustand hohe mechanische Druckfestigkeit, aber nur geringe Zug- und Scherfestigkeit, mechanische Vorspannung ist daher bei Aktoranwendungen erforderlich deutlich größerer Kopplungsfaktor als Quarz: bis 0,7 12

hoher spezifischer Widerstand: bis 10 W × cm Ausführungen:

- Platten, Scheiben: h = (0,1 … 2) mm - Rohre: Ra = (1 … 10) mm, Ri = (0,5 … 9) mm

- Folien: (20 ... 100) mm (Multilayer-Technologie) aber:

piezoelektrische Koeffizienten sind von der mechanischen Spannung (Nichtlinearität), der mechanischen Vorgeschichte (Hysterese) und der Frequenz (Nachwirkung) abhängig pyroelektrischer Effekt ist zu berücksichtigen geringere Langzeitstabilität als Quarz wegen Neigung zur Depolarisation größere Temperaturabhängigkeit der piezoelektrischen Koeffizienten

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen P 2 C/m 0,3 Pr äußere Hystereseschleife -Ec

-2

-1

-S1

innere Hystereseschleife Ps

S3

-3

-3

10 m/m

10 m/m

1

2

0,5

1

Arbeitsbereich Neukurve

0,1 -0,1

1

2

Sr

E kV/mm

Arbeitsbereich

-Ec

-2 -0,3

-Ps

359

P, E

-1

1

S3

2 E kV/mm

S1

Abbildung 9.43. Arbeitskennlinien (S = i (H) > V = i (H)) polarisierter PZTPiezokeramik für W = 0 [64, 76]

Kristallin-amorpher Kunststo

Tabelle 9.8. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe

PVDF - Folien (Polyvinylidenfluorid) Werkstoff: Ferroelektrischer Werkstoff, kristallin-amorpher Kunststoff

Herstellung: Extrudieren und Gießen mechanisch Verstrecken auf ca. fünffache Länge Polarisation oberhalb der Curie-Temperatur ca. 200 °C mit einer Gleichfeldstärke von ca. 100 kV/mm

Eigenschaften: Herstellung sehr dünner Folien bis 5 mm Dicke aber:

Möglichkeit des hygroskopischen Einlagerns von Wasser, Gefahr der Depolarisation kleiner Kopplungsfaktor, k = 0,1 ... 0,2, als Piezokeramiken

Polyvinyliden uorid (PVDF, Tabelle 9.8), ein kristallin-amorpher Kunststo, besteht aus langen Molekülketten von Kohlensto, Wassersto und

360

9 Elektrische Wandler

Fluor. Die VDF-Monomere bilden durch Polymerisation große kristalline Domänen in amorpher Umgebung. Die kristallinen Domänen liegen zunächst in einer nicht polarisierbaren -Phase vor. Erst durch ein mechanisches Verstrecken auf fünache Länge werden die Molekülketten in eine polarisierbare -Phase überführt. Die Polarisation erfolgt auch hier oberhalb der CurieTemperatur von ca. 200  C bei sehr hohen Feldstärken von etwa 100 kV mm1 . Aufgrund der geringen Folienstärke bei ausgeprägten piezoelektrischen Eigenschaften nden PVDF-Folien in Sensoren, z. B. Miniaturhydrofonen und als Folienbiegeschwinger in HiFi-Kopfhörern Anwendung. Die Materialkonstanten und Kopplungsfaktoren von Quarz als X-Schnitt, von ausgewählten Piezokeramiken für Sensor- und Aktoranwendungen sowie von PVDF-Folien sind in Tabelle 9.9 zusammengefasst. Ergänzt werden die Werkstoe durch das piezoelektrische Halbleitermaterial Zinkoxid (ZnO), das in hexagonal kristalliner Struktur vorliegt. Durch die Halbleitereigenschaften sind Anwendungen in der Silizium-Mikromechanik, z. B. zur Erzeugung und zum Empfang mechanischer Bulk- oder Ober ächen-Wellen in Resonanzsensoren, möglich. Die ZnO-Schichten werden in Stärken von wenigen Mikrometern abgeschieden. Die Piezokeramik PIC155 weist bei einem großen n-Wert eine geringe Temperaturabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante auf. Sie eignet sich daher besonders für US-Sender und Empfänger im Pulsbetrieb, aber auch für Beschleunigungssensoren mit breitem Temperatureinsatzbereich. Die Piezokeramik C82 eignet sich aufgrund des großen n-Wertes vor allem als Aktormaterial. 9.2.7 Anwendungsbeispiele Die Anwendung des Schaltbildes für piezoelektrische Wandler aus Abbildung 9.34 und aus den Tabellen 9.4 und 9.5 soll unter Verwendung der Materialkonstanten aus Tabelle 9.9 am Beispiel eines Beschleunigungssensors und eines Mikrofons erläutert werden. Piezoelektrischer Beschleunigungssensor Der piezoelektrische Beschleunigungssensor weist das Konstruktionsprinzip und das Schaltbild aus Abbildung 9.44 a) auf. Die durch die seismische Masse erzeugte Kraft I0 = pd0 wirkt auf ein piezoelektrisches Dickenelement aus PZT-4-Keramik und bewirkt die über den Eingangswiderstand U der Sensorelektronik messbare Spannung x. Als Nachgiebigkeit wird nur die der Keramik qK berücksichtigt, d. h. Kontaktnachgiebigkeiten zwischen Masse p und Keramik bzw. Gehäuseboden werden vernachlässigt. Zusätzlich werden noch die Kabelkapazität FK und die mechanischen Verluste in Form der Reibungsimpedanz u berücksichtigt. Ausgehend vom Gesamtschaltbild aus Abbildung 9.44 b) wird in Abbildung 9.44 c) die Spannungsquelle durch eine Stromquelle ersetzt. Unter Anwendung der Transformationsbeziehungen des Gyrators

e33 ü ý e31 þ

As m2

2,3 -2,3

(d ) (d ) 11

4,5

(d ) 11

Langasit

ZnO

6,16 ( d11 )

12,3

289

374

360

-5,1

-123

-171

-165

1,7

15,1

15,8

18,3

28,1

-2

-5,2

-5,4

-10,6

-15,4

12

0,181 ( e11 )

0,45

(e ) 11

-0,181 ( e12 )

PZT-4

PZT-5a

PIC 155

PXE52

PXE54

PVDF

540

580

> 450

-27

-260

-270

C 82

108

ü 10 s33 ï ý 2 s11E þ ïm N

12,78 ( s11 )

17,93 ( s11 )

6,9

15,4

18,8

19,7

19,2

20

(s )

11,35 ( s33 )

7,9

12,3

16,4

15,6

16,9

16

E ü 1010 c33 ï 2 Eý c11 þ ïN m

(c ) 10,58 ( c ) 11

10,21 ( c11 )

1,4

6,5

5,3

5,1

5,2

6...9

33

6,66

(c )

-4,3

8,1

6,1

6,4

5,9

T T e 33 e 33 ; e0 e0

4,68 ; -

6,6 ; -

8,2 ; -

1300 ; 635 1730 ; 960 1700 ; -

3400 ; -

3500 ; -

e 11T e 11T ; e0 e0

4,52 ; -

6,1 ; -

8,1 ; -

1475 ; 730 1700 ; 830 1500 ; -

3100 ; -

3000 ; -

E

- 12

9,74 8,68

k33

0,1

k31

0,12

J Curie °C r kg m

-3

33

(k ) (k ) 11

0,14

33

(k ) 11

12

573

~ 700

2655

3570

20

3000 ; -

12 ; 12

0,23

0,7

0,71

0,69

0,72

0,74

> 0,6

0,20

0,05

0,33

0,34

0,35

0,36

0,39

> 0,3

0,15

328

365

345

190

165

220

80

7500

7500

7700

7400

7800

7900

1790

~ 1400 5680

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen

d33 ü10- 12 ý d31 þ m V

Gallium Orthophosphat

Quarz

361

Tabelle 9.9. Materialeigenschaften technisch wichtiger piezoelektrischer Werkstoe PZT Brush Clevite Comp., PIC PI Ceramic, C Fuji Ceramics, PXE Morgan Electroceramics %0 = 8> 854 · 10312 A s V31 m31

Konstanten

362

9 Elektrische Wandler iW

FW

Grundkonstruktion: mechan. Netzwerk

v0

A

piezoelektrischer Wandler

vW

elektr. Netzwerk

uW

u

m Stahl

h  2 mm, R  5 mm, A  78,5 mm 2

R

m  10 g, nK  4 10 10 m N 1

u

R

CK h

PZT-4

a0

nK

C K  100 pF,

a 0  jwv 0

R  100 M%

Ba 

gesucht: Ersatzschaltbild:

u a0

a) b)

m

v F

m nK

i piezoelektrischer Wandler

u

v0

R

v0

CK

v

v0 

c)

r

Lm  Y 2 m

r

F0

F 0  jwm v 0

F 01 GH Y

Y 0

I JK C

R u

C  C b  CK

F 01 GH Y

Y 0

I JK

u

a 0 piezoelektrischer Wandler j w Y  1,7 m A 1 s 1

d)

m nK

iW Cb R

FW

CK

Rr = Y 2 r Cn  1 nK Y2

u0

C

R u

u0  Y m a0

Abbildung 9.44. Konstruktion und Schaltung eines piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit PZT-Dickenelement

lässt sich jetzt das mechanische Teilsystem komplett auf die elektrische Seite in Abbildung 9.44 d) transformieren. Die weiteren Betrachtungen werden näherungsweise getrennt für sehr tiefe Frequenzen (Vernachlässigung von Op und Uu ) sowie für hohe Frequenzen (Vernachlässigung von U) durchgeführt. Die Übertragungsfunktionen für beide Näherungen E d1 und E d2 sind in Abbildung 9.45 angegeben. Die Bauelementewerte, Frequenzwerte und Übertragungsfaktoren erhält man unter Verwendung der Materialkonstanten für PZT-4 aus Tabelle 9.9 und den Beziehungen für den freien Dickenschwinger aus Tabelle 9.4. Der Gesamtfrequenzgang setzt sich schließlich aus dem Hochpass für tiefe Frequenzen und dem Tiefpass mit Resonanz bei hohen Frequenzen zusammen. Der Übertragungsfaktor E0 im Arbeitsfrequenzbereich beträgt E0 = 2> 9 mV@ms2 . Die Resonanzfrequenz

9.2 Piezoelektrische Wandler mit konzentrierten Bauelementen tiefe Frequenzen

u0

363

hohe Frequenzen

Cn

Cb  0,59 nF

C

C  0,69 nF Cn  0,14 nF

u

R

Lm

Rr

Cn

u0

u

C

Lm  28,9 mH B a1 

b

g

j w w1 Cn Y m C  Cn 1  j w w 1

 B0 w1 

b

j w w1

b g

b

g

1  j w w1 1 R C  Cn

b

g w 20 

g

B

1 1 1  j w w0  w w0 Q

b

g

1 1  Cn C Lm Cn

b

b

g

2

g

f0  96,5 kHz

f1  1,9 Hz

20 lg

B a2  B0

B0  2,9

B0

mV m s

Q

20 lgQ

-2

1  Cn C w 0 Rr Cn

40dB Dekade

0 20dB Dekade

b

lg w1 w 0

g

0

b

lg w w 0

g

Abbildung 9.45. Amplitudenfrequenzgang des piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit PZT-Dickenelement

liegt bei i0 = 96> 5 kHz. Dieser Wert wird sich bei realen Sensoren bei Berücksichtigung der hier vernachlässigten Koppelnachgiebigkeiten verringern. Piezoelektrische Dickenelemente werden zur Messung hoher Frequenzen und hoher Beschleunigungsamplituden verwendet. Zur Vergrößerung des Übertragungsfaktors werden üblicherweise zwei Dickenelemente in elektrischer Parallelschaltung eingesetzt. Piezoelektrisches Mikrofon Als zweites Beispiel ist in Abbildung 9.46 die Grundkonstruktion und das Schaltbild eines piezoelektrischen Mikrofons mit Bimorph-Biegeelement dargestellt. Der auf die federnd aufgehängte Platte wirkende Schalldruck wird in eine Kraft umgeformt, die eine Auslenkung des einseitig eingespannten Bimorphs bewirkt. Zusätzlich zur Schaltung des Bimorphs aus Abbildung 9.42 einschließlich der Beziehungen für \ , Fb und qK werden mechanische und akustische Bauelemente hinzugefügt. Als mechanische Bauelemente werden

364

9 Elektrische Wandler q

Grundkonstruktion:

F mechanoakustischer Wandler

akust. Netzwerk

p0

FW piezoelektrischer Wandler

mechan. Netzwerk

v

u

* N a2

N a1

m, A

p0 Z a1 nM

piezoelektrischer Biegestreifen (Bimorph)

n

gesucht:

Bp 

u p0

u Schaltung:

qW

a)

F 1 v  qW v A F  A pW

pW

Z a1 p0

b) für elektrischen Leerlauf: u

qW

Z a1

c)

Z a1 p0

Ma 

N a1 Bp 

m A2

v

iW 

nK

iW R

1 v Cb Y

u CK

1 1 i , iW  v Y j wC b W 1 uL  x Y Cb

 uL

FW r

m

Z a2 

n M nK

nC  Y 2 C b

123 nB 14 4244 3 n n n M B n M  nB

* N a2

N a1

u YFW

uL 

F 1 v  qW v A F  A pW

pW

FW

r m

* N a2

N a1

p0

nM

r A2

N N a*2 Na2  a * 644744 8N a  N a 2

Na  n A 2

* N a2

qW

q x uL 1 1 1 



W p 0 Y C b p 0 j wA Y C b p 0

Abbildung 9.46. Konstruktion und Schaltbilder eines piezoelektrischen Mikrofons mit Bimorph-Messelement

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

365

die Masse p und die Nachgiebigkeit qM der federnd aufgehängten Platte und als akustische Bauelemente die akustische Reibung ]a>1 der Schalldruckzu der luftgefüllten führung und die akustischen Nachgiebigkeiten Qa>1 und Qa>2 Hohlräume vor und hinter der Platte ergänzt. Auf der elektrischen Seite werden die Kabelkapazität FK und der Eingangswiderstand U der Sensorelektronik berücksichtigt. Die mechanisch-akustische Wandlung wird durch den Gyrator mit \ = 1@D beschrieben. Ausgehend von der Schaltung aus Abbildung 9.46 a) wird zunächst unter der angenommenen Randbedingung des elektrischen Leerlaufs die Kapazität Fb auf die mechanische Seite (Abb. 9.46 b)) und anschließend werden alle mechanischen Bauelemente auf die akustische Seite (Abb. 9.46 c)) transformiert. Zur Ermittlung der Übertragungsfunktion E s ist nun aus dieser Schaltung die Funktion t W @s0 zu berechnen. Aus der Netzwerkanalyse von Abbildung 9.46 c) folgt: tW s0

j$Qa>2 = ¶Ã  ¶2 ! $ 1 $ $ Qa>2 1 $ 1 1+j  +j 1+j $ 0 T1 $ 0 T2 $0 $ 0 Qa>1 T1

mit $ 20 =

1 , Pa Qa>1

T1 =

1 $ 0 Qa>1 ]a>1

,

T2 =

1 $ 0 Qa>2 ]a>2

.

Die Übertragungsfunktion E s erhält man nun mit: Es =

tW xL 1 = s0 j$D\ Fb s0

Unter der Annahme 1@T1 ¿ 1 lässt sich diese Beziehung weiter vereinfachen zu x Qa>2 1 mit E0 = . E s = L  E0  ¶2 s0 D\ Fb $ 1 $ 1+j  $ 0 T2 $0 Der Amplitudenfrequenzgang dieser vereinfachten Übertragungsfunktion ist in Abbildung 9.47 angegeben. Für tiefe Frequenzen ist der Ein uss der elektrischen Bauelemente zu berücksichtigen. Wegen des endlichen Innenwiderstandes der Auswerteelektronik erfolgt wie bei allen anderen piezoelektrischen Wandlern für tiefe Frequenzen ein zunehmender Ladungsab uss von den Elektroden, d. h. der Frequenzgang knickt für abnehmende Frequenzen ab.

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter Für höhere Frequenzen können die mechanischen Eigenschaften des Piezoelements nicht mehr allein durch die konzentrierten Bauelemente Nachgiebigkeit

366

9 Elektrische Wandler

20 lg

Bp B0

w 20 

dB

1 M a N a2

1 w1  R C b  CK

b

20 lgQ2

g 40dB Dekade

0 20dB Dekade

b

lg w1 w 0 w  w1

g

0 w  w0

b

lg w w 0

g

Abbildung 9.47. Näherungsweiser Frequenzgang xO @s0 des piezoelektrischen Mikrofons mit Bimorph-Messelement

q und Masse p beschrieben werden. Die sich längs zur Stabachse ausbreitenden Dehnwellen rufen jetzt ortsabhängige Massekräfte hervor. Somit erfolgt der Übergang vom konzentrierten Bauelement Masse p zu einem Kontinuum von Masseelementen p, die jeweils durch Nachgiebigkeitselemente q ergänzt werden. Dabei wird zur Vereinfachung des Modells von sehr kleinen Querabmessungen des Stabes ausgegangen, so dass die durch Querdehnung hervorgerufenen Massekräfte vernachlässigt werden können. Im Abschnitt 6.1.1 wurde ausgehend vom Modell eines Stabes mit niten Stabelementen dessen Vierpoldarstellung als verlustfreier eindimensionaler Wellenleiter abgeleitet. Die Vierpoldarstellung und Kenngrößen des Wellenleiters sind nochmals in Abbildung 9.48 zusammengestellt. Als Kenngrößen des Wellenleiters werden die Wellengeschwindigkeit fD , der auf dem Stab fortlaufenden Dehnwelle, die Wellenadmittanz kD , die sich unverändert durch den Stabvierpol hindurch transformiert und die Wellenzahl  eingeführt. Außerdem werden die längenbezogenen Nachgiebigkeiten q0 und Massen p0 verwendet, die dem Induktivitätsbelag O0 bzw. dem Kapazitätsbelag F 0 einer homogenen elektrischen Leitung entsprechen. Für die Kettenmatrix aus Abbildung 9.48 wird im Abschnitt 6.1.1 eine schaltungstechnische Interpretation in Form der äquivalenten T- oder -Schaltung angeben. Durch Vergleich der Elemente der Schaltung mit der Kettenmatrix erhält man die in Abbildung 9.49 zusammengefassten Beziehungen. Für sehr tiefe Frequenzen gehen die Admittanzen k1 und k2 in die konzentrierten Bauelemente p und q über. 9.3.1 Übergang von konzentrierten Bauelementen zum Wellenleiter am Beispiel eines Beschleunigungssensors Am Beispiel des piezoelektrischen Beschleunigungssensors aus Abbildung 9.44 kann man nun zur Berechnung der Resonanzfrequenz die Näherungslösung und die exakte Lösung des eindimensionalen Wellenleiters anwenden. Beide

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter F1

F2 Stab als Wellenleiter

v1

longitudinal

cD

1

1

Silizium

5400

9000  111  (X-Schnitt) Wellenzahl

Wellengeschwindigkeit

E r

cD  Wellenlänge

2 cD lD   f b

cos bl

2

2

Glas Aluminium Kupfer

5700 5640 6000 (Pyrex)

2200

4350

IFv I JJ GH F JK K

jhD sin bl

D

PZT-5A PVDF Stahl

Quarz

7500  100 

m s

FG v IJ  FG 1cos bl H F K GH j h sin bl

v2

367

6420

5010

Wellenadmittanz

b

w r w cD E

b

w  w m n  cD

n 1  m A

hD 

1 r E

Wellenimpedanz

zD =

1 hD

Abbildung 9.48. Vierpoldarstellung eines Stabes als verlustfreier eindimensionaler Dehnwellenleiter Index D: Dehnwelle

F1

F cos bl GG j 1 sin bl Hh

v1

cos bl

D

F1 v1

h1

h1

b g

jhD tan bl 2

h2

F2

F1 n 2 v1

b g

hD jsin bl

F2

v1

hD jtan bl 2

v2

b g

h1

b l  1

F1 v2

h2 jhD sin bl

v2

h1

n 2 F2 m

v2

F1

jhD tan bl 2

Ersatzschaltung für tiefe Frequenzen:

F2

I JJ K

jhD sin bl

v1

n

m2

F2

n v2

l  nl A E

m  A l r  ml

Abbildung 9.49. T- und -Schaltung des eindimensionalen Wellenleiters o Stablänge, D Stabquerschnitt, H E-Modul des Stabes

368

9 Elektrische Wandler

Lösungen werden dem Ergebnis mit konzentrierten Bauelementen — 0. Näherung — gegenübergestellt. Zur Berechnung der Resonanzfrequenz $ 0 wird in Abbildung 9.50 nur die mechanische Wandlerseite bei Vernachlässigung der Reibungsimpedanz betrachtet. Ausgehend von der Resonanzfrequenz der 0 = Näherung (konzentrierte Bauelemente) ´2 ³ 1 (0) = $ 2N = , p = p $0 pqK erhält man für die 1 = Näherung für o ¿ 1 (T-Schaltung aus Abb. 9.49) ¶  ´2 ³ q 1 (1)  . = $N p =p 1+ $0 q , 2qK 1+ 2qK F2  0

v2

m (Stahl ) n (Stahl )

l  16 mm h  2 mm

F1

v1

A  78,5 mm 2

ESt  2 1011 N m 2 EK  0,65 1011 N m 2 nK  nKe  4 10 10 m N

uL

a 0  jwv 0

l m  10 9 ESt A N m  rST A l  10 g n

nKe(PZT-4)

m*

FW

F1 v1

v0

nKe

rSt  7,8 10 3 kg m 3

F1 1  m* 2 a0 1  w nK m*

FG 0 Y IJ H1 Y 0 K

w02 

F 1 m*

1 nK m*

*

m effektive Masse v 6444444444444444714444444444444448 0. Näherung:

1. Näherung:

m

v1

v1

exakte Lösung:

F2  0

F1

n 2

n 2 m

E F1 n 2 v1 m*  m

v1

m*  m (1  n / 2nK )

Wellenleiter

b l

E cos bl F FG v IJ  G 1 H F K GH j h sin bl 1

m

F2  0

F1

1

v2

IFv I JJ GH F JK K

jhD sin bl cos bl

D

2

2

m*  m tan ( bl )/ bl

Abbildung 9.50. Näherungsstufen zur Berechnung der Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Beschleunigungssensors mit Dickenelement

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

369

Zur Berechnung der exakten Lösung geht man von dem Ansatz $ 20 qK p = 1 aus. Die eektive Masse p folgt aus der Vierpolgleichung des Wellenleiters r I1 1 q0  j$p = =j tan (o) , kD = . y1 kD p0 Diese Gleichung lässt sich mit den Beziehungen aus Abbildung 9.48 r s 1 o $ 1 p0  tan (o) , = , = p0 q0 p = $ 0 fD fD o fD q fD vereinfachen zu p = p

tan (o) . o

Durch Einsetzen der eektiven Masse p in die Ausgangsgleichung erhält man mit  = $ 0 @fD ¶  $0 o tan fD $ 20 qK p = =1 $0 o fD und

schließlich

$0 o tan fD



$0 o fD

¶

=



$0 $N

$0 tan $N

q , qK r

q qK

$0 $0 o= fD $N ¶

=

r

r

q qK

q . qK

In Abbildung 9.51 sind die auf die 0= Näherung normierten Resonanzfrequenzverläufe in Abhängigkeit des Nachgiebigkeitsverhältnisses q@qK von seismischer Masse zur Keramik dargestellt. Gegenüber der Resonanzfrequenz $ N der 0= Näherung, bei der die seismische Masse als konzentriertes Bauelement angenommen wurde, verringert sich die exakte Resonanzfrequenz $ 0 mit zunehmender Nachgiebigkeit q der seismischen Masse. Überraschend ist die relativ gute Übereinstimmung der Näherungslösung der vereinfachten T-Schaltung und der exakten Lösung. Für dieses Beispiel ergeben sich mit q@qK = 2> 5 folgende Resonanzfrequenzen: (0)

= iN = 80 kHz

(1)

= 53 kHz

0= Näherung:

i0

1= Näherung:

i0

exakte Lösung:

i0 = 60 kHz

370

9 Elektrische Wandler

w0 wN

0. Näherung

1 exakte Lösung 0,8

n nK

1. Näherung 0,6 0,01

0,1

1

10

Abbildung 9.51. Verlauf der normierten Resonanzfrequenzen des piezoelektrischen Beschleunigungssensors aus Abbildung 9.50

Gegenüber der Lösung mit konzentrierten Bauelementen hat sich beim Ansatz der seismischen Masse als Dehnwellenleiter eine deutliche Resonanzfrequenzverringerung um 25% ergeben. Im nächsten Schritt wird die Schaltung des verlustfreien eindimensionalen Wellenleiters direkt auf den piezoelektrischen Wandler als Längs- und Dickenschwinger angewendet und im Ergebnis die Schaltung dieser Wandlerelemente abgeleitet. 9.3.2 Piezoelektrischer Längsschwinger als Wellenleiter In Abbildung 9.52 ist der piezoelektrische Längsschwinger, bei dem die elektrischen Feldgrößen senkrecht zur mechanischen Schwingungsrichtung verlaufen, als Zusammenschaltung von piezoelektrischen Wandlerelementen in Form von niten Netzwerkelementen dargestellt. Jedes nite Element weist den üblichen elektrischen Wandlervierpol und den jetzt durch eine -Schaltung aus Abbildung 9.49 abgebildeten mechanischen Teilvierpol auf. Über jedem Wandlerelement liegt die gleiche Spannung x an und wegen der gyratorischen Verknüpfung sind auch alle Wandlerkräfte I W der Teilelemente gleich. Daher sind die Teilelemente elektrisch parallel und mechanisch in Reihe anzuordnen (Abb. 9.53). Ausgehend von dieser Anordnung der Teilelemente und der Gleichheit der Wandlerkräfte wird in Abbildung 9.53 das Schaltbild des piezoelektrischen Längsschwingers abgeleitet. Im Unterschied zum Schaltbild des piezoelektrischen Wandlers mit konzentrierten Bauelementen aus Abbildung 9.34 wird jetzt der mechanische Teilvierpol durch die zu einem eindimensionalen Wellenleiter zusammengeschalteten mechanischen Teilnetzwerke abgebildet. In Abbildung 9.54 wird diese kontinuierliche Netzwerkstruktur durch die TSchaltung aus Abbildung 9.49 ersetzt. Für die Admittanzen k1 und k2 gelten die Beziehungen aus Abbildung 9.54.

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter i

Stab:

i

b

u F1

h F2 A mech

l

lel  h, lmech  l

F1

) x3

Ael

x1

F2

d31 , e 31 , s11 , c11 ,e33

u

v2

v1

x2

i

Wandlerelement

bg F bx g

b g F b x  "x g

F1

v2

v x  "x

vx

v1

u

371

F2

"x

b

v x  "x

finites Netzwerkelement:

bg vb x g F bx g

b

ix

u

b "x  Ael

"i

b

v x  "x

b

g

F x  "x

"x

F x  "x "F W

"i "i W

g

u  Y "F W

"v W "C b "i W  1 "v W Y

) u

b h  Amech

g

Y

bg

1  e 31 b d31 b

e

E "n K  s11

j

m 2

"nK

F x

E s11

2 "C b  eT33 1  k31

"

g

"

m 2

bg

vx

b "x h

"x , "m  r b h "x b h

Abbildung 9.52. Finites Netzwerkelement des piezoelektrischen Längsschwingers

9.3.3 Piezoelektrischer Dickenschwinger als Wellenleiter Beim piezoelektrischen Dickenschwinger stimmen die elektrische Anregungsrichtung und die Schwingungsrichtung überein. Zunächst wird in Abbildung 9.55 das nite Netzwerkelement des Dickenschwingers abgeleitet. Im Unterschied zum Längsschwinger erhält man aus Tabelle 9.4 einen längenproportionalen Wandlerkoe!zienten { v33 { 1 = \  {, \ = D h33 D g33 und die Teilbauelemente %33 D , Fb = {

qK =

1 { , f33 D

p = D{.

Durch Anwendung der im Abschnitt 9.1.1 bei der Herleitung des Schaltbildes des elektrostatischen Wandlers aufgezeigten Möglichkeit, eine imaginäre gyra-

372

9 Elektrische Wandler u

i

"i

u

"C b

bY g

"v W

bY g

bY g "F W

F1 v1

"

m 2

"nK

wegen Gleichheit der Wandlerkräfte

i

"

F2

m 2

v2

"F W  F W 

u aller Elemente gilt: Y

i W   "i W C b   "C b

u u

bY g F1

u u Y

u u Y

bY g

F  0 "nK

v1

"

bY g FW F2

F 0

m 2

"

v2

m 2

u 2 C b  eT33 1  k31

e

Y

F1 v1

j bh l

sE 1  11 e 31 b d31 b

i

Cb

iW

u Y FW iW 

1 v Y W

vW

eindimensionaler Wellenleiter

FW F2 v2

Abbildung 9.53. Piezoelektrischer Längsschwinger als eindimensionaler Wellenleiter

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

373

u i

Cb

h1  j hD tan

iW

u Y FW iW F1 v1

h2 

1  vW Y FW vW

h2

h1

hD jsin b l

E b  w r s11

F2 h1

bl 2

v2

hD 

1 Amech

E s11 r

Abbildung 9.54. Schaltung des piezoelektrischen Längsschwingers

torische Verkopplung durch eine reelle transformatorische Verkopplung bzw. umgekehrt zu ersetzen, lässt sich durch den Übergang zu einem imaginären transformatorischen Wandlungsvierpol [ =

1 h33 1 1 = , $ Fb \ $ %33

qC = \ 2 Fb

der Nachteil des längenbezogenen Wandlerkoe!zienten vermeiden. Wegen des gleichen Stroms für jedes Teilelement erhält man im Unterschied zum Längsschwinger aus Abbildung 9.53 eine elektrische Reihenschaltung der Elemente. Diese Reihenschaltung ist für die niten Netzwerkelemente mit imaginären Wandlerkoe!zienten j[ in Abbildung 9.56 dargestellt. Die Teilkapazitäten Fl lassen sich zur Reihenkapazität Fb summieren. Da auch hier die Wandlerkräfte I W wegen der mechanischen Reihenschaltung übereinstimmen, können die mechanischen Teilvierpole als Kettenschaltung eines eindimensionalen Wellenleiters zusammengefasst werden. Schließlich wird in Abbildung 9.57 der zusammengefasste imaginäre transformatorische Wandlervierpol durch den äquivalenten reellen gyratorischen Vierpol ersetzt. Die sich dabei ergebende negative Feldnachgiebigkeit qC = \ 2 Fb kann als negative Reihenkapazität Fb auf die elektrische Seite transformiert werden. Die Schaltung des Dickenschwingers unterscheidet sich daher topologisch nur durch diese Zusatzkapazität von der des Längsschwingers. Zusammengefasst ergibt sich sowohl für den piezoelektrischen Längs- als auch Dickenschwinger ein gyratorischer Wandlungsvierpol, dessen Größen Fb und \ den Abbildungen 9.54 und 9.57 entnommen werden können. Der homogene, verlustfreie mechanische Wellenleiter kann wahlweise durch einen Sechspol mit T- oder -Struktur abgebildet werden. Die zugehörigen Ersatzparameter sind in Abbildung 9.49 zusammengefasst. Die jeweiligen Beziehungen für die Wellenadmittanz kD und die Wellenzahl  sind in Abbildung 9.54 und 9.57

374

9 Elektrische Wandler l v1 F1

R

i

A   R2 )

F2

v2

F2

v2

3

l  lel  lmech

2

2

A  Ael  A mech

3 Wandlerelement

bg F bx g

F1

1

"x

b g F b x  "x g v x  "x

vx

v1

v1

u l d33 , e 33 , s33 , c33 ,e33

1

u

A

F1

v2 F2

"u

i u

b

v x  "x

b

F x  "x FW i "u  "Y F W "v W "C b i W  1 "v W "Y

g

"

iW

"u

g

m 2

"nK "

bg

F x

m 2

bg

vx

b

F x  "x

i "C b "u

"u W

b

v x  "x

g

FW

1

"v W "v W "X i  j "X F W

"u W  j

"nL

"nC 14243

bg

F x

"

g

m 2

"nK "

m 2

bg

vx

Abbildung 9.55. Finites Netzwerkelement des piezoelektrischen Dickenschwingers

aufgeführt. Die elastischen und piezoelektrischen Koe!zienten sind für Quarz und Piezokeramik der Tabelle 9.9 zu entnehmen.

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter "C b

u

375

"u W

i

bX g

bX g

bX g

"v W "F W

F1 v1

"

m 2

"nL 

"

F2

m 2

"nK "nC , "nK  "nC

v2 nK  s33

l , nC  Y 2 Cb A

u i uW

Cb

1

v X W i  jX FW

uW  j

vW F1 v1

m " 2

eindimensionaler Wellenleiter

FW F2

"nL

m " 2

v2

Abbildung 9.56. Piezoelektrischer Dickenschwinger als eindimensionaler Wellenleiter

Abbildung 9.57. Schaltung des piezoelektrischen Dickenschwingers

376

9 Elektrische Wandler

9.3.4 Anwenungsbeispiele von piezoelektrischen Längs- und Dickenschwingern Mit den Schaltungen aus Abbildung 9.54 und Abbildung 9.57 besitzt man nun die Grundbausteine zur Berechnung beliebiger, verlustfreier piezoelektrischer Längs- und Dickenschwinger. Bei beidseitiger mechanischer Belastung der Schwinger wird direkt von diesen Schaltungen ausgegangen. Die Schaltungen lassen sich jedoch noch weiter vereinfachen, wenn der Schwinger einseitig, z. B. als Ultraschallschwinger, oder beidseitig, z. B. als Filterelement, mechanisch leer läuft. In den Tabelle 9.10 und 9.11 sind sowohl für den Längs- als auch Dickenschwinger die vereinfachten Schaltbilder für einseitig und beidseitig frei laufende Schwinger einschließlich der Berechnungsgrundlagen für die mechanischen und elektrischen Bauelemente zusammengestellt. Für den einseitig freien Schwinger wird I 1 = 0 und für den beidseitig freien Schwinger wird I 1 = I 2 = 0 gesetzt. Daraus ergeben sich die vereinfachten Schaltungen auf der mechanischen Seite. Die Admittanzen k1 und k2 können in der Umgebung der ersten mechanischen Resonanz näherungsweise durch die konzentrierten Bauelemente qK , qC und p ersetzt werden. Die Basis hierfür bilden die im Abschnitt 6.1 ausführlich behandelten näherungsweisen Vierpoldarstellungen. Bei der Berechnung der folgenden Anwendungsbeispiele wird auf die in den Tabellen 9.10 und 9.11 aufgeführten vereinfachten Schaltungen zurückgegriffen. Ausgehend von den in Abbildung 9.38 angegebenen technisch wichtigen piezoelektrischen Schwingern wird als erstes Berechnungsbeispiel der beidseitig freie Quarzlängsschwinger untersucht. Quarzlängsschwinger als Filterelement Der in Abbildung 9.58 dargestellte beidseitig freie Quarzlängsschwinger mit I 1 = I 2 = 0 wird unter Anwendung der Näherungsbeziehungen aus den Tabellen 9.10 und 9.11 als vereinfachte Schaltung abgebildet. Die mechanischen Verluste werden durch die parallel geschaltete Reibungsimpedanz u berücksichtigt. Für die Impedanz ] = x@l des Quarzschwingers ergibt sich aus Abbildung 9.58 folgende Beziehung:  ¶2  ¶ 1 $ $ r 1  j 1 1 Op $0 $0 T 2 ¶  ]= , $0 = , T= 1 $ $ Op Fq U Fq  $ 2 Fq Fb Op Fq + Fb  $0 T Damit weist ] zwei Resonanzstellen auf, nämlich die • Serienresonanz iS für elektrischen Kurzschluss:  ¶2 1 $ 1 s für  1 = 0, iV = 2 Op Fq $0

TÀ1

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

377

Tabelle 9.10. Ableitung der Schaltungen für ein- und beidseitig freie Längs- und Dickenschwinger beidseitig freie Schwinger

einseitig freie Schwinger

i u

F1  0 v1

Längsschwinger (Index L)

b

u

v1

v1 Dickenschwinger (Index D)

F1  0

E S e 33 , c33 , e33 , r

E T e 31 , c11 , e33 , r

v1

i

u

l

F2

v2

F1  0

u

v2

l

i

F2

h

E T , e33 , r e 31 , c11

i

E S e 33 , c33 , e33 , r

A   R2

F2  0

v2

u i Cb *

i

Cb

)

Cb * iW

iW

eYL,D j v1

vW

h2

FW h1

vW

F1  0 v2

v1

h1

E

h2

F2  0

h1

v2

u i Cb *

Cb

)

iW

i Cb*

iW

eYL,D j vW

FW

E

u Cb

)

eYL,D j F2

h1

v2

F1  0

u Cb

F1  0

F2  0

eYL,D j vW

FW

FW

h1 h1

h2 *)

v2

Cb bei Dickenschwinger ergänzen

2h 1

)

378

9 Elektrische Wandler

Tabelle 9.11. Vierpol-Schaltungen für ein- und beidseitig freie Längs- und Dickenschwinger

einseitig freie Schwinger

i

*)

iW

Cb

u

Cb

Y u = ×FW 2 2 i W = vW Y

m2

FW vW

m1

1 nK , n2 = nK 8 2 1 Dickenschwinger: n1 = 2 n L , n 2 = n L 8 Längsschwinger:

n1 =

2

2

n1

F2

n2

U| V| W

v2

m1 =

m2 =

m 2 8

m

2

beidseitig freie Schwinger

i u

*)

iW

Cb Cb

Längsschwinger: Dickenschwinger:

YL =

u =Y ×FW iW

1 = vW Y

n1 =

8

n1 =

8

2

2

nK nL

F2 = 0

FW vW

m1

U| V| W

n1 v 2

i

*)

Cb Lm

u

1 m1 = m 8 Lm = Y 2 × m1

Cb

*)

Cm

Cb bei Dickenschwinger ergänzen

Cm = 1 Y 2 × n1

1 l , YD = , C bL = e33 b × l , C bD = e33 A , mL = r × b × h × l , e 31 × b e 33 × A h l

mD = r × A × l , nKL =

n ×n 1 l 1 l , nKD = , nL = KD C , nC = YD2 × C bD nKD nC c11 b × h c33 A

und die • Parallelresonanz iP für elektrischen Leerlauf r Fq iP = iS 1 + für Fq + Fb  $ 2 Fq Fb = 0, Fb

T À 1.

Vorteilhaft ist der Betrieb des Quarzoszillators in der Serienresonanz, da hier die Resonanzfrequenz nur von den sehr stabilen Materialkonstanten fH 11 und

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter E T e 31 , c11 , e33 , r b

i u

iW

i h

) u

Cb

l v1

v2

Y i

Cb

iW 

FW

n1

1 v Y

m1

r

1 b l 8 1 , C b  e33 , n1  2 nK , m1  m e 31 b h 8 

Lm  m1 Y 2 

u

u  Y FW

379

R  w 0 Lm

m 2 8 e31

b2

1 Q

2 e31 8 Cn  2  2 Cb  e33 c11 Y

n1

U| || V| || |W

1 w 20



f0 

nK m 

2



1 r l2  2 c11

1 c11 r 2 l

Abbildung 9.58. Schaltbild und mechanische Resonanzfrequenz des beidseitig freien Quarzlängsschwingers

 des Quarzes abhängig ist. Die Dierenz der Resonanzfrequenzen lässt sich mit 1 Fq iP  iS  iS 2 Fb abschätzen. Für einen Quarz im X-Schnitt und mit den Abmessungen o = 4 mm, e = 0> 5 mm und k = 0> 1 mm ergeben sich die Bauelementewerte und Resonanzfrequenzen in Tabelle 9.12. Diese Werte sind den typischen Oszillatorwerten des X-, 5 -X- und AT-Schnitts gegenübergestellt. Bemerkenswert ist die sehr hohe Zeitkonstanz von Quarzoszillatoren [80]: Kurzzeitkonstanz (WM = 1 s, & = ±1 K, temperaturkompensiert): iS ? 1011 iS Langzeitkonstanz (WM = 24 h, & = ±1 K): iS ? 109 iS Langzeitkonstanz (WM = 1 Jahr, & = ±1 K): iS ? 106 iS

380

9 Elektrische Wandler

Temperaturkoe!zient der Resonanzfrequenz: i = 106 bis 104 K1

Tabelle 9.12. Kennwerte von Quarzoszillatoren als Längs- und Dickenschwinger Werte

Beispiel

typische Werte

X-Schnitt X-Schnitt 5°-X-Schnitt (Längsschwinger) (Längsschwinger) (Längsschwinger)

AT-Schnitt (Dickenschwinger)

Lm / H

7,8

1,5

19,4

3,3

Cb / pF

0,8

60

7,9

5,8

Cn / pF

0,008

0,016

0,07

0,04

R/ W

3.017

60

170

5.000

fS / kHz

616

999

139

427

fP / kHz

619

1.000

140

429

Q

10

4

10

5

10

5

1.800

Als zweites Berechnungsbeispiel wird ein Ultraschallsender als @2-Dickenschwinger betrachtet. Ultraschallsender in /2-Resonanz Zur Abstrahlung von Ultraschallwellen in Wasser wird ein @2-Dickenschwinger aus PZT-4-Piezokeramik verwendet. Die Abmessungen des Dickenschwingers und das elektrische Schaltbild sind in Abbildung 9.59 angegeben. Dabei wird auf das Schaltbild des einseitig freien Dickenschwingers, das mit der Reibungsadmittanz ka des angekoppelten Wassers abgeschlossen wird, aus den Tabellen 9.10 und 9.11 und auf die PZT-4-Materialkonstanten aus Tabelle 9.9 zurückgegrien. Die elastischen Verluste des Schwingers werden durch die zusätzlich eingefügten Reibungsadmittanzen k1 und k2 berücksichtigt. Für i  i1 wirkt vom Serienresonanzkreis nur noch U1 . Außerdem kann für diese Frequenz der Parallelresonanzkreis gegenüber Ua vernachlässigt werden. Für die Berechnung der abgestrahlten Leistung Sak bei Einspeisung mit x ˜ ist daher näherungsweise nur noch U1 und Ua zu berücksichtigen: Sak =

x ˜2a = Ua



Ua U1 + Ua

¶2

x ˜2 Ua 1 2 x ˜ = · = Sel Ua U1 + Ua U1 + Ua

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter n2 u

Wasser

PZT-4

v rW ,cW A

l

A   R  5 10 mm l l  6,7 mm ! 2 ~  70 V u 2

3

Cb

u

n1 

2

FG Y IJ H 2K 2 

2

h2 m2 Pak  ha

v n1 h1 m1

nL , nL 

381

nK Y 2C b nK  Y C b 2

, nK  s33

l A

1 8 m n2  nL , m1  , m2  2 m, m  r A l 8 2  1 h1  w1 n1 Q mech , h2  w 2 n2 Q mech

rW  103 kg m 3 cW  1450 m s 1

ha 

Q mech  560

1 r W cW A

R  l

für

elektrisches Schaltbild:

1,65 nF 0,96 % 0,3 mH u

C1  C2  L1 

4,16 nF C1 Cb

4

2

Y 2 2

nL 

R1

8 2

L1

2

Cb , k33

Y2 

4 1 1 2

Cb , n  k33 2 8 L 2 Y 2

2

Y Y m1  m, 4 8 R1 

0,4 mH L2

2 1  k33 nK 2 k33 C b

C b  e33

L2 

1 , Q mech C1 w1

1,02 nF C2

A l

2

2 Y m2  2 Y 2 m 4  R2 

Q mech , C2 w2

Ra 

U| || V| || |W

14,2 % Ra

490 k% R2

f1 

1 2l

c33 2 1  k33 r

e

j

 160 kHz f2 

1 2l

c33 r

 220 kHz

2

Y r W cW A 4

Abbildung 9.59. Schaltbild eines @2-Dickenschwingers aus PZT-4-Piezokeramik für Ultraschallabstrahlung in Wasser

Der Wirkungsgrad  ergibt sich damit zu =

Ua Sak = = 0> 94. Sel U1 + Ua

Für eine Einspeisung von x ˜ = 70 V und damit Sel  320 W erhält man ca. 300 W abgestrahlte Ultraschallleistung. Wegen der dielektrischen Verluste, die zu einer Erwärmung des Wandlers führen und der durch die Fertigungstechnologie der Keramik bedingten Streuung der piezoelektrischen Konstanten ergeben sich messtechnisch jedoch Dierenzen zum theoretisch möglichen Wert in Richtung eines niedrigeren Wirkungsgrades.

382

9 Elektrische Wandler

9.3.5 Piezoelektrisches Biegeelement als Wellenleiter Zur Erzeugung grosser Wegamplituden im Bereich von einigen Zehnteln Millimeter werden wie im Abschnitt 9.2.5 bereits ausgeführt, piezoelektrische Biegeschwinger verwendet. Ausgehend vom quasistatischen Zehnpolschaltbild in den Abbildungen 9.41 und 9.60 des piezoelektrischen Bimorph-Biegeelementes wird jetzt die Schaltung für höhere Frequenzen abgeleitet. Wie beim Längsschwinger erhält man sie in Abbildung 9.61 durch elektrische Parallel- und mechanische Reihenschaltung der niten Bimorph-Biegeelemente aus Abbildung 9.60. Im Unterschied zum Längsschwinger wird jetzt die mechanische Seite als Achtpol mit der in Abbildung 9.61 angegebenen Kettenmatrix des Biegewellenleiters beschrieben. Der Darstellung des Biegewellenleiters liegt die bereits im Abschnitt 5.1.2 aufgeführte Kettenschaltung mit niten Biegeelementen zugrunde.

i

M 1 ,+1

I

b h3 12

u

b

M2 F2 d31 , s E11, eT33, r

h v1 , F 1

+2 v2

x 1 x 1  "x

0 BimorphBiegeelement Schaltung für Biegeelement

x

l

u "i

"C b

bY g b g

M x1

b g F bx g v bx g

"n RK

b

M x 1  "x

g b

+ x 1  "x

+ x1

b

F 2 x 1  "x

1

1

g

2 "x

"m

2 "x

b

v x 1  "x

g

g

Abbildung 9.60. Biegeschwinger mit Schaltung für das verlustfreie Biegeelement {

Für den technisch wichtigen Anwendungsfall des einseitig eingespannten Biegers lassen sich die Beziehungen aus Abbildung 9.61 vereinfachen. Nach [2] sind in den Tabellen 9.13 und 9.14 für ausgewählte Frequenzverhältnisse die vereinfachten Schaltungen und die zugehörigen Bauelemente angegeben. Bei der Berechnung der folgenden drei Anwendungsbeispiele — piezoelektri-

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

Cb

2 Cb  4 e33 1  k31

i iW

u Y MW 1 + Y W +W M W

iW  M 1 M 1 +1 F1 v1

) l h b

(

u

383

h , z0

d31 1 1 d31 b h  , Y 2 s11 e33 s11

h

w , w0  w0

1 m n0

, z0 

m n0

s11 l b h3 I  nRK h 2 , I 12 2 s11 h 1  k31 nRK  3 2 I 1  k31 4 3 2 1  k31 1 1 1 h2 2 4 w0   2 12 r s11 1  k31 l 4 m n0 3

n0 

M 2 M 2 BiegewellenLeitung

2 k31 

+2 F2 v2

Kettenmatrix des Biegewellenleiters:

l   S  C h   v1   h s     C l  +1        M 1   j z l c  j z l2 s 0 0   h  F1     j z0 h S  j z0 l c 

1 c j z0 l 

h S j z0 l 2 C hs l

Rayleigh-Funktionen:

1 (sinh h +sin h), 2 1 s (h ) = (sinh h -sin h ) , 2

S (h ) =

1 s j z0 h  c   v2     j z 0 l   +2    S   M 2   l h   F 2   C  

1 (cosh h +cos h) 2 1 c (h ) = (cosh h -cos h ) 2

C (h ) =

Ausbreitungsgeschwindigkeit der Biegewellen:

cB  cD r w ,

cD 

E , r

r

I A

Biegewellenlänge:

l B  2

cD r w

Abbildung 9.61. Schaltung und Kettenmatrix des piezoelektrischen Biegeschwingers Index B: Biegewelle

384

9 Elektrische Wandler

scher Ausschlagssender und Ausschlagsempfänger, piezoelektrischer Beschleunigungssensor mit Biegeelement sowie piezoelektrischer Multilayer-Biegeaktor — werden die Beziehungen aus den Tabellen 9.13 und 9.14 angewendet. 9.3.6 Anwendungsbeispiele von piezoelektrischen Biegeelementen Ausschlagssender und -empfänger mit piezoelektrischem Biegeschwinger Der Ausschlagssender besteht aus einem elektrisch angesteuerten, einseitig eingespannten piezoelektrischen Parallelbimorph (Abb. 9.62). Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E x =  S @x verwendet man die Schaltung aus Tabelle 9.13 a). a) Ausschlagssender

b) Ausschlagsempfänger

b

l

Parallelbimorph

h

u

u

C b

FG 1 IJ HY K B

FW FS

F 01 GH Y

Y 0

 f  f1

I JK

n vS

FS

u Y

Y  Y  r

ve

n

F 01 GH  Y

x n F n f  f1



n0 3

Y 0

I JK

iW

i C b

i

u

u YB

i

ie

vS

v

bng

Fe FW

Cb   Cb  Cn

FS

n

n vS

i

3 d31 b h 2 s11 l

F

F

u

vS

iW

i

ve , F e

FS

i

C ie  

u

ve n ,C 2 Y Y

ue C

u

u

1 x C Y e

Y  Y  r

Abbildung 9.62. Vereinfachte Schaltung des piezoelektrischen Ausschlagssenders und Ausschlagsempfängers

Bei Speisung aus einer ausreichend niederohmigen Spannungsquelle kann zur Übertragungsfaktorberechnung die Kapazität Fb0 vernachlässigt werden. Man erhält nach Transformation der elektrischen Seite auf die mechanische Seite mit dieser Annahme die vereinfachte Schaltung aus Abbildung 9.62 a).

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

385

Tabelle 9.13. Schaltungen und Bauelemente des einseitig freien Biegeschwingers für unterschiedliche Frequenzbereiche

u l

b

i iW

Cb

v F

h

u

u  Y MW

i

v2  v

v1  0

F2  F

+1  0

M2  0

1 + Y W +W M W

iW  M 1

+1  0

w , w0  w0

h

1

M 2 M 2  0 BiegewellenLeitung

h , z0

v1  0

m n0

M 2  M W

+2  +W F2  F v2  v

elektrische Schaltungen:

a) beliebig

C b

F 01 GH Y

Y 0

I JK

h  1

c)

(in der Umgebung der ersten Biegeresonanz)

F

i u

h  h1  1875 ,

b)

h

n v u

(quasistatisch)

ners F

i Cb

F 01 GH Y

Y 0

I JK

F

i v u

Cb

F 01 GH Y

Y 0

I JK

mers Cb   Cb  Cn n0 Cn  g Y 2 l2

C b ! C b

n0

ners  0,971 n0 3

n

h

3

t

Y  Y  r l r  j h

mers  m 4 Y  Y  r h l r  tan 1  0,727 l h 2

C b ! C b

nK 

n0 3

2 Y  Y  l 3

nK v

386

9 Elektrische Wandler

Tabelle 9.14. Schaltungen und Bauelemente des einseitig freien Biegeschwingers für unterschiedliche Frequenzbereiche.

g

FG H

1 1  cosh h cos h h sinh h cos h  cosh h sin h

t

cosh h sin h  sinh h cos h 1  cosh h cos h

j

cosh h sin h  sinh h cos h sinh h sin h

e 1 1 d31 1  b h  k31 33 b h , 2 Y  2 s11 s11 

I

b h3 12

,

kB2 

3 2 k31 , 4

C b  4 e33

IJ K

n0 

b l 2 1  k31 h

e

l 3 s11  nRK h 2 I

j

Der Leerlaufausschlag  L berechnet sich aus der Leerlaufgeschwindigkeit y L zu 1 x  L = yL = q . j$ \ Setzt man nun die Beziehungen für q und \ aus Tabelle 9.13 ein, so erhält man ¶   sinh () sin () 1 E x = L = Ex0 2 x  1 + cosh () cos () mit Ex0 =

¡ ¢ 2 o2 1  n31 1 g31 ek q0 = 6g31 2) . 2 v11 o (1 + nB

Der Verlauf der normierten Übertragungsfunktion ist in Abbildung 9.63 a) dargestellt. Bereits unterhalb der ersten Biegeresonanz i1 ergibt sich eine Resonanzüberhöhung des Ausschlags. In unmittelbarer Nähe der ersten Biegeresonanz kann die Schaltung aus Tabelle 9.13 b) verwendet werden. Als Beispiel wird ein Ausschlagssender aus PZT-4-Keramik mit den Werten g31 = 12> 3 · 1011 berechnet. Mit

m , o = 20 mm, k = 0> 4 mm, n31 = 0> 33, x ˆ = 100 V V s 3 n31 = 0> 29 nB = 2

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter a) Ausschlagssender

Bx

2

Bu 

Bx 0

b) Ausschlagsempfänger 1

xS

Bu

u

Bu0

1,5

0,5

Bx  1

0 0

387

0,2

0,4

f f1

0,6

0,8

0

u xe

0,2

0,4

0,6

f f2

0,8

1,0

1,2

Abbildung 9.63. Übertragungsfunktionsverläufe des piezoelektrischen Ausschlagssenders und Ausschlagsempfängers

folgt für den Leerlaufausschlag ˆ = Ex0 x ˆ = 150 m. L Für die Biegeresonanzfrequenz erhält man mit i1 =  21 · i0 , 1 = 1> 87 und der Kennfrequenz i0 aus $ 20 =

2 1 1 1  nB k2 = · · 4, 2 pq0 12v11 1  n31 o

i0 = 153 Hz

den Wert i1 = 538 Hz. Die tatsächliche Resonanzfrequenz liegt aufgrund der real vorhandenen zusätzlichen Nachgiebigkeiten an der Biegereinspannstelle jedoch niedriger. Ausschlagsender mit Biegeschwingern werden in Kopfhörern, zur Auslenkung von Miniaturspiegeln aber auch in Linear- und Schrittmotoren eingesetzt. Kehrt man den Wandlungseekt um, so lässt sich der piezoelektrische Biegeschwinger als Ausschlagsempfänger nach Abbildung 9.62b betreiben. Jetzt wird mechanische Leistung eingespeist und elektrische Leistung entnommen. Gegenüber dem Sendebetrieb sind Strom- und Kraftpfeile entgegengerichtet. Außerdem weist jetzt die Kopplungsmatrix negative Vorzeichen auf. Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E  = x@ e wird das vereinfachte Schaltbild aus Abbildung 9.62b, das auf einer Geschwindigkeitsquelle mit vernachlässigbarer innerer Nachgiebigkeit q beruht, verwendet. Für die Übertragungsfunktion des Ausschlagsempfängers folgt aus Abbildung 9.62b E = 

x 1 \ = . = e F\ q

Daraus lässt sich durch Einsetzen der Beziehungen für \ und q aus Tabelle 9.13 ableiten: ¶  1 + cosh () cos () E  = E0  2 sinh () sin ()

388

9 Elektrische Wandler

mit

v11 o 1 g31 ek q0 Unter Verwendung der Zahlenwerte des betrachteten Beispiels beträgt E0 = 2

mV . m

E0 = 67

Der Verlauf der Übertragungsfunktion ist in Abbildung 9.63b angegeben. Für  2 =  hat die Übertragungsfunktion eine Nullstelle. Für die zugehörige Frequenz erhält man i2 =  2 i0 = 1> 51 kHz

mit

i0 = 153 Hz.

Piezoelektrische Bimorph-Elemente dienen als Wandlerelemente in Mikrofonen, deren Konstruktionsprinzip bereits in Abbildung 9.46 dargestellt wurde. Wegen ihrer hohen Empndlichkeit und guten Reproduzierbarkeit der Kennlinie werden sie auch als hochau ösende Wegmesselemente, z. B. in Kraft- und Tunnelmikroskopen, eingesetzt. Piezoelektrischer Beschleunigungssensor mit massebehaftetem Biegeschwinger Zur Berechnung der Übertragungsfunktion E d = xL @d wird vom quasistatischen Schaltbild in Tabelle 9.13c des einseitig eingespannten Biegers ausgegangen. Durch die Zusatzmasse p erfolgt die Verringerung der Resonanzfrequenz des Biegeschwingers, so dass die Bedingung  ¿ 1 in ausreichender Näherung erfüllt wird. Die Schaltung des massebelasteten Biegeschwingers ist in Abbildung 9.64b angegeben. Transformiert man für den Leerlauall die Kapazität Fb auf die mechanische Seite und ersetzt die Geschwindigkeitsquelle durch eine Stromquelle, so erhält man das mechanische Netzwerk in Abbildung 9.64c. Die Leerlaufspannung berechnet sich aus der Wandlerkraft I W mit xL = \ I W

mit

\ =

4 v11 o . 3 g31 ek

Durch Anwendung der Stromteilerregel lässt sich eine Beziehung für  ¶ 2 3 2 IW 3 1 qK nB 2 1  nB = $0 = , qL =  ¶2 , I0 4 pqL 3 4 $ 1 $0 ableiten. Damit ergibt sich für die Leerlaufübertragungsfunktion Ed =

xL v11 o 2 n p = d g31 ek B

1

1 

$ $0

¶2 = Ed0

1

1 

$ $0

¶2 ,

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter a)

b)

i n

v, F

m

F0  m a F m

m

FW

v

u

F 01 GH  Y

n

n  nK 

h  1 c)

F

Y 0

I JK

iW

389

i u

Cb

n0 bl 2 2 , Y  Y  l, C b  4 e33 1  k31 h 3 3

e

j

d)

Bu

FW

nK

Bu0 Y Cb

3 2

2

12 4 4 3 nL

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

f f0

Abbildung 9.64. Schaltung und Übertragungsfunktionsverlauf eines Beschleunigungssensors mit massebelastetem Biegeschwinger

deren Verlauf in Abbildung 9.64d angegeben ist. Für den PZT-4 Bieger erhält man mit g31 und v11 aus Tabelle 9.9 sowie o = 20 mm,

e = 10 mm,

k = 0> 4 mm,

nB = 0> 29,

p = 4g

den Übertragungsfaktor Ed0 = 168 mVm1 s2 und für die Resonanzfrequenz i0 = 180 Hz. Damit liegt dieser Wert deutlich unter der ersten Biegeresonanz von i1 = 540 Hz. Piezoelektrischer Multilayer-Biegeaktor Im Folgenden soll systematisch die kanonische Schaltung eines einseitig eingespannten Biegeaktors bestehend aus q Schichten abgeleitet werden (Abb. 9.65). Ausgangspunkt für diese Betrachtung stellt ein dierentielles homogenes Balkenelement dar, wie es bereits in Abschnitt 5.1.2 diskutiert wurde. An beiden Enden des Balkenelementes greifen sowohl translatorische (Geschwindigkeit y, Kraft I ) als auch rotatorische Größen (Winkelgeschwindigkeit , Drehmoment P ) an. Um eine Aussage über das dynamische Verhalten des Balkenelementes treen zu können, werden des Weiteren seine Masse p, die auf das Balkenelement wirkende äquivalent viskose Dämpfung u und eine von außen angreifende kontinuierliche Linienlast i ({) in die Betrachtungen mit einbezogen. Abbildung 9.66 stellt diesen Sachverhalt anschaulich dar. Unter der Annahme, dass man sich die Reibungskraft und die Linienlast in der Mitte des Balkenelementes konzentriert vorstellen kann und P unter Berücksichtigung der kinematischen und dynamischen Bedingungen l I l = j$py ({)

390

9 Elektrische Wandler

u

En En1

P P

Schicht n Schicht n1

y x

Neutrale Faser

P P P

Einspannung

E3 E2 E1

Schicht 3 Schicht 2 Schicht 1

z

Abbildung 9.65. Einseitig eingespannter piezoelektrischer Multilayer-Biegeaktor

"F (x ) = f (x )"x - "rv (x ) "m, s11 , I yy , A, r

v2

F 1 ,v1

y x

"x

M 1 , +1 z

x-

"x 2

x

+2

A

F2

x+

M2

"x 2

Abbildung 9.66. Dierentielles Balkenelement unter Berücksichtigung der Masse p, der Reibung u und einer angreifenden Linienlast i ({)

P und l P l = 0 ergibt sich die in Abbildung 9.67 dargestellte innere Struktur des dierentiellen Balkenelementes. Die innere Struktur des in Abbildung 9.67 dargestellten Balkenelementes entspricht der bereits in Abbildung 9.60 vorgestellten Schaltung eines niten, verlustfreien Biegeelementes, bei welchem jedoch eine angreifende Linienlast i ({) und die äquivalent viskose Dämpfung u nicht berücksichtigt wurden.

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

M (x - "x / 2 )

391

M (x + "x / 2 )

"nR

+ (x - " x / 2 )

+ (x + " x / 2 )

F (x - "x / 2 ) v (x - "x / 2 )

1

v (x )

F (x + "x / 2 )

1

"x / 2

"m

"x / 2

1

f (x )

"r

v (x + "x / 2 )

Abbildung 9.67. Schaltung des dierentiellen Balkenelementes bei Berücksichtigung von Reibungskraft und Linienlast

Abbildung 9.67 zeigt, dass die translatorischen und rotatorischen Größen durch ideale Transformatoren miteinander verknüpft werden. Die Größe qR entspricht der rotatorischen Nachgiebigkeit eines dierentiellen Balkenelementes. Unter BerücksichtigungPder bereits oben erwähnten P kinematischen und dynamischen Bedingungen l I l = j$py ({) und l P l = 0 sowie der beiden Maschen lassen sich aus der inneren Achtpolstruktur in Abbildung 9.67 die Dierenzengleichungen für die translatorischen und rotatorischen Geschwindigkeiten y und ableiten. Aus den kinematischen und dynamischen Bedingungen und den daraus ableitbaren Dierenzengleichungen können nun mittels Grenzwertbetrachtung ({ $ 0) die Dierentialgleichungen für das dynamische Verhalten eines homogenen Biegebalkens in komplexer Form abgeleitet werden. Die Kombination dieser Dierentialgleichungen führt zur Gesamtdierentialgleichung eines homogenen Biegebalkens in komplexer Form $ $  d4 y ({) y ({) + j ua y ({) = j i ({) .  $2 (9.29) 4 d{ HL HL HL Die expliziten Berechnungen sind ausführlich in [76] dargestellt. In Gl. (9.29) entspricht die Größe HL,  und ua der Biegesteigkeit des homogenen Balkens, der längenbezogenen Masse und dem längenbezogenen Reibungsbeiwert. Unter Berücksichtigung der ausbreitungsfähigen Moden [p eines einseitig eingespannten Biegeschwingers und der jeweils dazugehörigen Wellenzahlen  p lässt sich die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung (9.29) herleiten:

yp

"

4

#

HL ( p o) + j$ + ua = j$o4

Ro

i ({) [p d{

0

Ro 0

. 2 d{ [p

(9.30)

392

9 Elektrische Wandler

Eine detailierte Herleitung von Gl. (9.30) ist ausführlich in [76] dargestellt. Um zu einer Darstellung von Gl. (9.30) im Rahmen der Netzwerktheorie zu gelangen, werden die längenbezogene Drehnachgiebigkeit q0R = 1@HL und die translatorische Bezugsnachgiebigkeit q0 = o3 @HL als Bezugsgrößen eingeführt (s. a. Abschn. 5.1.2 und Abschn. 6.1.5). Weiterhin werden die Gesamtmasse p = o und der Reibungsbeiwert u = ua o ebenfalls als Bezugsgrößen verwendet. Gleichung (9.30) lässt sich unter Verwendung der Bezugsgrößen zu

yp

"

1 j$ (nq0o)4

#

+ j$p + u =

p

o

Ro

i ({) [p d{

0

Ro

(9.31) 2 d{ [p

0

umschreiben. Der Klammerausdruck auf der linken Seite von Gl. (9.31) weist eine Analogie zur mechanischen Impedanz } eines Feder-Masse-DämpferSystems mit einem Freiheitsgrad bei Anregung mit einer harmonischen Erregerkraft I auf. Die mechanische Darstellung, das mechanische Schema und die entsprechende Netzwerkdarstellung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems sind in Abbildung 3.19, Abschnitt 3.1.7 dargestellt. Für die Beschreibung des Biegeschwingers als elektromechanisches System im Rahmen der Netzwerktheorie erfolgt die Verknüpfung zwischen den Dierenzgrößen (y> ) und den Flussgrößen (I > P ) mittels einer Matrix, welche auch als Mitgangsmatrix H bezeichnet wird. Die allgemeine Verknüpfungsstruktur ist in der Matrixgleichung (9.32) aufgezeigt 43 4 3 4 3 y1 I1 k11 k12 k13 k14 FE F E F E FE F E F E E 1 F Ek21 k22 k23 k24 F EP 1 F FE F E F E FE F, E F=E (9.32) FE F E F E E y 2 F Ek31 k32 k33 k34 F E I 2 F FE F E F E DC D C D C

2 k41 k42 k43 k44 P2 {z } | H

wobei folgende Randbedingungen für die Dierenz- und Flusskoordinaten deniert werden: y ({)|{=0 = y1

a

y ({)|{=o = y2

(9.33)

I ({)|{=0 = I 1

a

I ({)|{=o = I 2

(9.34)

({)|{=0 = 1

a

({)|{=o = 2

(9.35)

P ({)|{=0 = P 1

a

P ({)|{=o = P 2

(9.36)

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

393

Die allgemeine Berechnung der einzelnen Elemente klm der Mitgangsmatrix H in Gl. (9.32) mittels Gl. (9.31) würde den Rahmen des vorliegenden Buches sprengen, weshalb an dieser Stelle auf [76] verwiesen wird. Im nächsten Schritt erfolgt der Übergang von einem homogenen Biegeschwinger zum piezoelektrischen Multilayer-Biegeaktor, wie er in Abbildung 9.65 dargestellt ist. Da auch hier die einzelnen Schichten elektrisch parallel angesteuert werden, ergibt sich eine Zehnpol-Schaltung gemäß Abbildung 9.61. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass sich die Wandlerkonstante \ und die translatorisch festgebremste Kapazität Fb des Multilayer-Biegeaktors aus der Kombination von geometrischen, elastischen und elektromechanischen Werten jeder einzelnen Schicht berechnen lassen. Die detailierten Berechnungen sind [76] zu entnehmen. ¢ ¡ ¢ ¡ Für die Biegewellenleitung mit den Klemmenpaaren 1 > P 01 , 2 > P 02 und (y 1 > I 1 ), (y2 > I 2 ) gilt die in (9.32) ermittelte Mitgangsmatrix H, wenn die Momente P 1 , P 2 durch P 01 , P 02 ersetzt werden. Dabei gelten folgende Koordinatenbeziehungen:

W = 2  1

(9.37)

P 01 = P 1  P W

(9.38)

P 02 = P 2  P W

(9.39)

Aus den bisher gewonnen Erkenntnissen wird im nächsten Schritt das elektromechanische Schaltbild eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Vielschichtaktors entwickelt. Ausgangspunkt hierzu stellt die Mitgangsmatrix H unter Berücksichtigung der Koordinatenbeziehungen (9.37) - (9.39) dar. 4 3 43 4 3 y1 k11 k12 k13 k14 I1 F E FE F E F E FE F E E 1 F Ek21 k22 k23 k24 F EP 1  P W F F E FE F E F=E FE F E (9.40) F E FE F E F F F E E E y k k k k I 2 2 F E 31 32 33 34 F E F E D C DC D C

W + 1 k41 k42 k43 k44 P2  PW

Mit der Kenntnis der ausbreitungsfähigen Eigenmoden eines einseitig eingespannten Biegeaktors können alle Elemente klm der Mitgangsmatrix H explizit bestimmt werden. Die am freien Ende vorhandenen Geschwindigkeiten und Kräfte werden mit dem Index S versehen, da der Wandler in der vorliegenden Darstellung als Sender für mechanische Bewegungsgrößen wirkt (s. Abb. 9.68).

394

9 Elektrische Wandler u

F S vS Schicht n Schicht n1

y x

Neutrale Faser

Schicht 3 Schicht 2 Schicht 1

z

Abbildung 9.68. Piezoelektrischer Biegeschwinger als Erzeuger für mechanische Bewegungsgrößen (Motor)

Externe Biegemomente treten am freien Ende des Biegers nicht auf (P 2 = 0). Die Ansteuerung erfolgt mittels einer Erregerspannung x womit sich die Matrixgleichung (9.40) zu 4 3 43 4 3 0 0 0 0 0 I1 F E FE F E F E FE F E F EP 1  P W F E 0 F E0 0 0 0 F E FE F E F=E FE F E (9.41) F E FE F E F E y S F E0 0 k33 k34 F E I S F E FE F E D C DC D C

W 0 0 k43 k44 P W vereinfacht. In Abbildung 9.69 ist dargestellt, wie der mechanische Zehnpol mit den genannten Randbedingungen auf einen Vierpol A reduziert wird.

Aus der Mitgangsmatrix (9.41) lassen sich die translatorische Geschwindigkeit y S und die Winkelgeschwindigkeit W in Abhängigkeit der Flussgrößen I S und P W darstellen: y S = k33 I S  k34 P W

(9.42)

W = k43 I S  k44 P W

(9.43)

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

395

+W

a)

MW M 1

+1  0

M 2  M W

M 2

M1  0

+2  +W Biegewellenleitung

+2

FS vS

v1  0

b)

i u

iW Cb

FS

MW 0   1 Y

Y  0  

+W

(A)

vS

Abbildung 9.69. Einseitig eingespannter piezoelektrischer Biegeschwinger a) entsprechende Zehnpoldarstellung; b) reduzierte Darstellung mit piezoelektrischem Wandler und Wandlervierpol (A)

Aus Gl. (9.42) und Gl. (9.43) gewinnt man nach einer Zwischenrechnung die Koe!zienten des zugehörigen Vierpols A bzgl. der Matrixgleichung 3 4 3 43 4

W D11 D12 yS C D=C DC D PW D21 D22 IS

zu

3 k k k 4 44 k43  44 33 E k34 k34 F F E D=E F. D C 1 k33  k34 k34

(9.44)

Eine schaltungstechnische Darstellung des Vierpols A erfolgt nach Abbildung 9.70 mit den Mitgängen k1 und k2 [2].

396

9 Elektrische Wandler

MW

FS

(A)

+W

FS

MW vS

= +W

h2

h1

vS

1/ q  A11   A 21

A12   A 22 

1 q  0 

=

 0  q 

h2  1   1 1  h2 h h1  1

    

Abbildung 9.70. Schaltung für den mechanischen Teilvierpols eines piezoelektrischen Biegeschwingers und die dazugehörige Matrixschreibweise

Zusammen mit Gl. (9.44) können das Übersetzungsverhältnis t und die Mitgänge k1 und k2 aus der Schaltung des mechanischen Teilvierpols (s. Abb. 9.70) ermittelt werden. Koe!zientenvergleich mit den ausmultiplizierten Teilmatrizen liefert: t=

k34 k44

k1 =  k2 =

(9.45)

k234 k44

(9.46)

k34 k43  k33 k44

(9.47)

Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass der piezoelektrische Biegeschwinger nur sehr geringen äußeren Belastungen ausgesetzt ist, womit der Reihenmitgang k2 vernachlässigt werden kann. Die reduzierte Vierpoldarstellung des piezoelektrischen Biegeschwingers weist somit bzgl. Abbildung 9.69b die in Abbildung 9.71 dargestellte Struktur auf.

i u

Cb

FS

MW

iW 0   1 Y

Y  0  

+W

h1

vS

1/ q Abbildung 9.71. Elektromechanische Schaltung eines piezoelektrischen Biegeschwingers unter Berücksichtigung des Transformationsverhaltens von rotatorischen und translatorischen Größen

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

397

Der Zusammenhang zwischen dem elektrischen Koordinatenpaar (x> lW ) und dem mechanischen Koordinatenpaar (y S > I S ) lässt sich aus der Reihenschaltung des Gyrators und des mechanischen Teilvierpols ableiten. Dabei wird der Gyrator mit der Wandlerkonstanten \ sowie der Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis 1@t zu einem neuen Gyrator Y0 mit folgender Struktur zusammengefasst: 4 3 0 t\ F E (9.48) Y0 = C 1 D 0 t\ Unter Anwendung der gyratorischen Verknüpfungsmatrix (9.48) lassen sich die elektrischen und mechanisch translatorischen Koordinaten gemäß 3

x

3

4

0

C D=E C 1 lW t\

43

4 1 0 3 4 yS FE F DC 1 DC D 1 0 IS k1

t\

(9.49)

miteinander verknüpfen. Die Matrixgleichung (9.49) entspricht der in Abbildung 9.72 dargestellten Schaltung eines einseitig eingespannten, piezoelektrischen Biegeschwingers. i u

iW

FS  0   1  qY 

Cb

qY   0  

vS

h1

Abbildung 9.72. Allgemeine Schaltung für einen einseitig eingespannten piezoelektrischen Biegeschwinger bei geringer externer Belastung (k2 = 0)

Um zu einer allgemeinen Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors unter Berücksichtigung der Nebenmoden zu gelangen, wird von der Denition des mechanischen Mitgangs k1 in Gl. (9.46) ausgegangen. Unter Verwendung des Übersetzungsverhältnisses 1@t gemäß Gl. (9.45) und mit der Denition für das Matrix-Element k34 lässt sich der Mitgang k1 zu

k1 = tk34 = t

4 X

p=1

3 E E C

[p (o)

j$

1 q0 4

( p o)

d[p (o) d{ 4

F + j$p + uF D

o Zo

0

2 d{ [p

(9.50)

398

9 Elektrische Wandler

umformulieren [76]. Im Rahmen der Netzwerktheorie entspricht die Summenschreibweise in (9.50) einer Reihenschaltung von parallelgeschalteten FederMasse-Dämpfer-Elementen, woraus man die kanonische Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors erhält, wie sie in Abbildung 9.73 dargestellt ist. i u

iW Cb

 0   1  qY 

qY   0  

FS m 4qX1X 1

4qX1X 1 r

4n0qX1X 1

m 4qX 2 X 2

4qX 2 X 2 r

4n0qX2 X 2

m 4qX 3 X 3

4qX 3 X 3 r

4n0qX3 X3

(b1l)4

(b2l )4

vS

(b3l )4

Abbildung 9.73. Kanonische Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors

Im nächsten Schritt erfolgt die Transformation von der elektrischen auf die mechanische Seite. Mit Gl. (9.51) yS = k1 I

(9.51)

ergibt sich für die translatorische Geschwindigkeit yS unter Anwendung der Berechnungsvorschrift (9.50) für die mechanische Admittanz k1 4 x X 3 yS = \ p=1 E E C

[p (o)

j$

1 q0 ( p o)4

d[p (o) d{ 4

F + j$p + uF D

o. Zo

(9.52)

2 d{ [p

0

Dabei tritt das Übersetzungsverhältnis 1@t nicht mehr auf. Kann sich der Biegeaktor am freien Ende ungehindert auslenken, so erhält man die in Abbildung 9.74 skizzierte schaltungstechnische Darstellung. Um die in Abbildung 9.74 dargestellte kanonische Schaltung messtechnisch zu verizieren, wird der Fokus auf die Ermittlung der dynamischen AuslenkungsCharakteristik  in Abhängigkeit der Ansteuerspannung x gelegt. Die Untersuchungen werden mit dem in Abbildung 9.75 dargestellten Monomorph in

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

399

nC

u Y

vS

m 4X 1X 1

4X1X 1 r

4n0 X1X1

m 4X 2 X 2

4X 2 X 2 r

4n0 X 2 X 2

m 4X 3 X 3

4X 3 X 3 r

4n0 X 3 X 3

(b1l)4

(b2l )4

(b3l )4

Abbildung 9.74. Kanonische Schaltung eines piezoelektrischen Vielschichtaktors nach der Transformation auf die mechanische Seite U AgPd-Elektroden S,T S,T S,T S,T S,T

}

Piezo-Keramik-Schichten (M 1832) Trägerschicht (S2-Glas)

z (3) Thermische Anpassschicht (NiCo 2918)

y (2)

x (1)

Polarisationsrichtung

Abbildung 9.75. Aufbau des verwendeten Monomorphs in Multilayer-Technologie

Multilayer-Technologie durchgeführt. Die geometrischen und materialspezischen Parameter des verwendeten piezoelektrischen Biegeaktors sind in Tabelle 9.15 aufgeführt.

400

9 Elektrische Wandler

Tabelle 9.15. Geometrische und materialspezische Daten der einzelnen Schichten.

Schicht l

1

2

337

Material

NiCo 2918

S2-Glas

M 1832

ol [ mm]

20

zl [ mm]

8 100

200

5 × 48

312 vH m2 N31 ] 11>l [·10

6> 369

17> 857

14> 144

g31>l [·10312 m V31 ]

–

–

3350

%W33>l

–

–

4500

8300

1998

8100

kl [ m]

l [ kg m33 ]

Die Messkette setzt sich aus einer Piezo-Treiberstufe, dem Biegeaktor und einem Laser-Triangulator zusammen. Die experimentelle Anordnung ist in Abbildung 9.76 skizziert [76]. Netzwerkanalysator

A

E1 E2

elektronische Treiberstufe

uNetz

B1

MultilayerBiegeaktor

uPiezo

B2

LaserTriangulator

x

B3

uTri

Abbildung 9.76. Messkette zur experimentellen Verizierung der kanonischen Schaltung eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Multilayer-Biegeaktors

Die Messung der Auslenkung  erfolgt am freien Ende des Biegeaktors ({ = o). Die freie Einspannlänge des Aktors beträgt o = 19> 2 mm. Der untersuchte Frequenzbereich erstreckt sich von 20 Hz bis 10 kHz. Die Spannungsamplitude x ˆNetz wird auf 500 mV eingestellt. Die Gesamtübertragungsfunktion E G der

9.3 Piezoelektrischer Wandler als eindimensionaler Wellenleiter

401

Messkette setzt sich aus der Übertragungsfunktion der Piezo-Treiberstufe E 1 , des Biegeaktors E 2 und des Laser-Triangulators E 3 zusammen. Es ergibt sich EG = E1 · E2 · E3.

(9.53)

Mit den in Abbildung 9.76 dargestellten Ein- und Ausgangsgrößen lässt sich Gl. (9.53) zu  x x x · Tri = Tri (9.54) E G = Piezo · xNetz xPiezo  xNetz umschreiben. In Abbildung 9.77 sind die gemessene und analytisch berechnete Gesamtübertragungsfunktion E G in einem Frequenzbereich von 20 Hz bis 10 kHz dargestellt. Der Reibungsbeiwert u des piezoelektrischen Biegeschwingers wurde aus dem zeitlichen Verlauf der frei gedämpften, harmonischen Schwingung bestimmt und beträgt u = 0> 078 Ns@m [76]. 20

f1,an  958 Hz

20 lg uTri / uNetz 31dB 42

0

f2,an  6,00 kHz

-20 -40 -60 Gesamtübertragungsfunktion B0 - Messwerte

-80 -100 10

Gesamtübertragungsfunktion B0 - Berechnung

100

1000

10000

Frequenz f [Hz]

Abbildung 9.77. Gemessener und analytisch berechneter Gesamtfrequenzgang |E 0 | auf Basis der kanonischen Schaltung eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Multilayer-Biegeaktors

Die Messungen weisen eine sehr gute Übereinstimmung mit den analytischen Berechnungen auf. Daraus kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass die entwickelte Struktur des kanonischen Schaltbildes eines einseitig eingespannten piezoelektrischen Biegeaktors zu dessen netzwerktheoretischer Beschreibung herangezogen werden kann.

10 Reziprozität in linearen Netzwerken

Reziprozitätsbeziehungen sind Verknüpfungen zwischen jeweils zwei Übertragungsfaktoren bzw. Übertragungsimpedanzen oder -admittanzen eines linearen Systems. Diese Beziehungen bilden die Grundlage einer Reihe von Messverfahren und gestatten außerdem in vielen Fällen die Berechnung von Zusammenhängen, die anders nur mit großem Rechenaufwand zu erreichen wären. In Netzwerken einer physikalischen Struktur sind sie mit der im Abschnitt 2.2 und im Kapitel 4 genannten Symmetrie der - und -Matrizen zur Hauptdiagonalen identisch. In diesem Kapitel sollen spezielle Folgerungen für Vierpole, d. h. für die Verknüpfung von zwei Koordinatenpaaren, gezogen werden. Insbesondere wird mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Wandlervierpole gezeigt, dass auch für Systeme, die verschiedene physikalische Strukturen enthalten, Reziprozitätsbeziehungen bestehen, die besondere praktische Bedeutung besitzen.

10.1 Reziprozitätsbeziehungen in Netzwerken mit nur einer physikalischen Struktur In Kapitel 4 war für einen abstrakten linearen q-Pol festgestellt worden, dass die - und -Matrizen, die die - und -Vektoren einer physikalischen Struktur miteinander verknüpfen, symmetrisch zur Hauptdiagonalen sind. Diese Eigenschaft linearer Netzwerke wird üblicherweise als Reziprozität oder Umkehrbarkeit bezeichnet. Es muss hier noch einmal darauf hingewiesen werden, dass die Existenz solcher Verknüpfungen innerhalb einer physikalischen Struktur nichts mit Energie- oder Leistungsbetrachtungen zu tun hat, sondern allein aus der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes in einer durch die Gln. (10.1) bis (10.4) beschriebenen Struktur folgt. Für den speziellen Fall eines Vierpols lauten diese Beziehungen mit den Vorzeichenregeln von Abbildung 10.1: 21 =

2L 1

=

01L 02

= 12

(10.1)

404

10 Reziprozität in linearen Netzwerken

l1

l2    l2

l2

l1   l1

er j ik

m

1

m

b2 g

b1g

2

m 

b2 g

2

m

b1g

1

eg j ik

m m 2

2

mm 1

1

Abbildung 10.1. Umkehrung des allgemeinen Vierpols

 21 =

2K 0 = 1K =  12 1 02

(10.2)

Die rechte Seite der beiden Gleichungen entspricht in Abbildung 10.1 jeweils der Übertragung von der Seite 1 zur Seite 2 und die linke Seite der umgekehr¡ ¢ ten Übertragungsrichtung. Die Indizes K und L bedeuten Kurzschluss  = 0 und Leerlauf ( = 0). Die lK und  lK beschreiben die Verknüpfungen zwischen den Koordinaten 1 , 2 , 1 und 2 :  ¶  ¶ ¶ 1 11 12 1 = (10.3) 2 21 22 2  ¶  ¶ ¶  11  12 1 1 = (10.4) 2  21  22 2 Mit Hilfe dieser Gleichungen und den Bedingungen der Gln. (10.1) und (10.2) kann man leicht nachprüfen, dass auch noch die folgenden beiden Reziprozitätsbeziehungen gelten, die denen der Gln. (10.1) und (10.2) gleichwertig sind: 1L 2L 0 02K = 1K (10.5) 0 0 = 1 2 2 1 Die Indizes K (Kurzschluss,  = 0) bzw. L (Leerlauf,  = 0) beziehen sich jeweils auf die zum gleichen Klemmenpaar gehörende Koordinate  bzw.  (z. B. 0lK $ 01 ). Hier entsprechen die rechten Seiten der beiden Gleichungen wieder dem linken Teil und die linken Seiten dem rechten Teil von Abbildung 10.1. Für die Analyse des Übertragungsverhaltens ist neben den Gln. (10.3) und (10.4) noch eine dritte Form der Vierpolgleichungen — Kettenmatrix — üblich, die die Eingangsgrößen mit den Ausgangsgrößen verknüpft: ¶ ¶  ¶  2 1 11 12 = (10.6) 21 22 1 2

10.2 Reziprozitätsbeziehungen in allgemeinen linearen Vierpolen

405

Durch Umformen dieser Gleichungen in die Form von Gl. (10.3) erhält man Gl. (10.7), aus der mit den Gln. (10.1) und (10.2) eine weitere Reziprozitätsbeziehung als Gleichung zwischen den Elementen der Kettenmatrix entnommen werden kann: 3  () 4  ¶ 11  ¶  1 E 21 F 1 = C 122 (10.7) 22 D 2 2  21 21 Wenn 12 = 21 sein soll, dann muss gelten:

 () = 11 22  12 21 = 1

(10.8)

Das ist die letzte der möglichen Reziprozitätsbeziehungen bei linearen Vierpolen. Die aufgeführten Reziprozitätsbeziehungen sind gleichwertig, d. h. jede der Beziehungen in den Gln. (10.1), (10.2), (10.5) und (10.8) gestattet die Herleitung der vier übrigen.

10.2 Reziprozitätsbeziehungen in allgemeinen linearen Vierpolen Mit Hilfe der in den Kapiteln 3 bis 7 behandelten Kopplungsvierpole kann man nun q-Pole aufbauen, die am Rand Koordinatenpaare aus verschiedenen physikalischen Strukturen enthalten. Ein Beispiel zeigt Abbildung 10.2. u M +

i F v

Abbildung 10.2. Elektromechanischer Sechspol

Solche Netzwerke müssen im Inneren wenigstens einen der in Abbildung 2.19 dargestellten Wandlervierpole enthalten. Es erhebt sich nun die Frage, ob auch für einen solchen linearen q-Pol Reziprozitätsbeziehungen existieren und wie sie aussehen. Eine formale Übertragung der Ergebnisse vom Abschnitt 10.1 ist sicherlich nicht zulässig. Bei der Ableitung dieser Beziehungen war nämlich als wesentliche Voraussetzung das Superpositionsgesetz innerhalb einer physikalischen Struktur benutzt worden, das aber nur eine Überlagerung gleichartiger Koordinaten erlaubt. Im Folgenden wird zunächst der Fall der Vierpole betrachtet, weil sie praktisch die größte Bedeutung haben und weil dort die wesentlichen Zusammenhänge am deutlichsten erkennbar sind. Ein

406

10 Reziprozität in linearen Netzwerken

l W1

l1

m

1

Netzwerk der Struktur 1

bg

"a

1

1

m

W1

R| || || | S| || || || T

l W1

m

l W2

F GG H "b ag 1

W1

0

T 0

T

I JJ K

W2

1

W

l W1

m

m

l W2

F I m GH JK "b ag  1

W1

G

0 1

0

W2

G

W

l1

l W2

m

l2 Netzwerk der

W2 Struktur

m

2

2

bg

"a

2

1

l2

m

m

1

2

b g b g b g "bag

" a " a 1" a

U| || || | V| || || || W

W

2

 &1

Abbildung 10.3. Mögliche Verkopplungen von zwei physikalischen Strukturen durch einen allgemeinen Vierpol

solcher Vierpol zwischen verschiedenen physikalischen Strukturen muss sich durch eine Schaltung nach Abbildung 10.3 darstellen lassen. Der Kopplungsvierpol kann nur eine der beiden Formen besitzen und damit eine transformatorische oder gyratorische Verkopplung bewirken. Die Koe!zienten W und J können dann eine der elektromechanischen Kopplungsgrößen [, \ , eine Stablänge o oder eine Fläche D sein. Man benutzt den Umstand, dass sich die Kettenmatrix einer Kettenschaltung mehrerer Vierpole aus dem Produkt der Kettenmatrizen der Einzelvierpole ergibt. Dabei gilt dann noch, dass die Determinante der Gesamtkettenmatrix gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Kettenmatrizen ist. Für den Fall der transformatorischen Verkopplung ist somit die Kettendeterminante des gesamten Vierpols gleich 1. Damit gelten auch die miteinander gleichwertigen Reziprozitätsbeziehungen der Gln. (10.1), (10.2), (10.5) und (10.8). Für den zweiten möglichen Fall, den der gyratorischen Verkopplung, ist  () = 1, und man muss untersuchen, wie dann die anderen beiden Paare von Reziprozitätsbeziehungen [Gln. (10.1), (10.2) und (10.5)] aussehen. Das kann sofort anhand der Gl. (10.7) und der dazu analogen, hier nicht aufgeführten -Matrix als Funktion der -Elemente entschieden werden. In den Gln. (10.1), (10.2) und (10.5) ändert sich bei  () = 1 lediglich das Vorzeichen,

10.3 Elektromechanische Wandler

407

so dass zusammenfassend für den allgemeinen linearen Vierpol die folgenden Reziprozitätsbeziehungen gelten:  () = ±1 2L 1 2L 1

=± =±

(10.9)

02

0 2K = ± 1K 1 2

(10.10)

01K 02

 02K = ± 1L 1 2

(10.11)

1L

Für die Vorzeichen der Koordinaten gelten die Festlegungen von Abbildung 10.1. Bei der Umkehrung werden die Richtungen der Flusskoordinaten umgekehrt. Damit ist also bis auf das in der Regel belanglose Vorzeichen eine Übereinstimmung der Reziprozitätsbeziehung in Netzwerken mit nur einer physikalischen Struktur und dem allgemeinen Netzwerk erreicht. Das darf jedoch nicht darüber hinweg täuschen, dass in beiden Fällen ganz verschiedene Ursachen für die Reziprozität vorhanden sind. Im Fall der Netzwerke einer physikalischen Struktur war es die Gültigkeit des Superpositionsgesetzes in Verbindung mit der Struktur des Systems, wohingegen bei den Wandlervierpolen die Übereinstimmung der Verknüpfung zwischen je einem Paar Wandlerkoordinaten aus verschiedenen physikalischen Strukturen die Ursache für | ()| = 1 darstellt. Diese Übereinstimmung war aber eine unmittelbare Folge der Annahme, dass im Wandler nur umkehrbare Vorgänge im Sinne der Thermodynamik ablaufen, bzw. dass etwa vorhandene Verluste in Form eines weiteren Netzwerkes abgetrennt werden können. Diese Gesichtspunkte müssen beachtet werden, wenn etwa weitere physikalische Verkopplungsmechanismen, wie z. B. die elektrothermische Verkopplung, in die hier skizzierte Theorie eingefügt werden sollen.

10.3 Elektromechanische Wandler In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts auf den konkreten Fall der elektromechanischen Wandler angewendet und ihre praktische Bedeutung an einem technischen Beispiel gezeigt. Der Übergang von den allgemeinen Koordinaten  und  zu den hier vorliegenden Koordinaten x, l, y und I erfolgt nach den Überlegungen von Kapitel 4 und Abbildung 10.4: x = 1 ,

l = 1 ,

y = 2 ,

I = 2

408

10 Reziprozität in linearen Netzwerken

i u

v

u  u ,

F

i

F

i  i ,

u

v

v  v ,

F  F

i

i F u

F

u v

v Übertragungsrichtung von der Erregung zur Antwort

Abbildung 10.4. Vorzeichenfestlegungen bei der Umkehr eines elektromechanischen Wandlers

Es wird nachfolgend untersucht, wie die Verkopplung mit Hilfe elektrischer oder magnetischer Felder vor sich geht. In beiden Fällen ergeben sich unterschiedliche Werte für  ():  ¶ 0 \ Elektrische Wandler: () = $  () = 1 1@\ 0  ¶ 1@[ 0 Magnetische Wandler: () = $  () = +1 0 [ Daraus folgen mit den Gln. (10.1), (10.2), (10.5) und (10.8) sofort die Reziprozitätsbeziehungen: x0 yL = ± L0 , l I

IK l0 = ± K0 , x y

yL l0 = ± K0 , x IK

I 0K xL 0 =± y l

(10.12)

Das positive Zeichen gehört zu den Vierpolen mit magnetischen und das negative Zeichen zu den Vierpolen mit elektrischen Wandlern. Ein typisches Beispiel für die Anwendung dieser Beziehungen ist die Reziprozitätskalibrierung elektromechanischer Sensoren. Nachfolgend wird die Aufgabe angenommen, einen Beschleunigungssensor zu kalibrieren, ohne einen unmittelbaren elektromechanischen Standard (Kalibrierquelle für mechanische Größe) zu benutzen. Der in der Messeinrichtung vorhandene Widerstand U stellt indirekt dieses Normal dar, weil zur Denition von Strom- und Spannungseinheiten ein Anschluss an mechanische Größen erforderlich ist. Es wird

10.3 Elektromechanische Wandler

409

angenommen, dass man für Absolutmessungen nur Geräte für rein elektrische und rein mechanische Größen zur Verfügung hat. Die Messanordnung besteht aus einem elektromechanischen Wandler, von dem bekannt ist, dass er eine Verkopplung mit Hilfe magnetischer Felder enthält, und von dem man die mechanische Eingangsimpedanz für elektrischen Leerlauf kennt (Abb. 10.5). i1

u1

F

vL

u2

i1

Magnetischer Wandler

zu kalibrierender Aufnehmer

u 2  Ba a  Ba jwv

v

=

u1L F

= BR

æFö ç ÷ = zL è v øi =0

Abbildung 10.5. Anordnung zur Reziprozitätskalibrierung eines Beschleunigungssensors

Die Masse des Sensors betrachtet man als Teil des Wandlersystems. Die Impedanz } 1 muss also bei angebrachtem Sensor gemessen werden. Mit dieser Anordnung werden nun nacheinander die beiden folgenden Experimente durchgeführt. Im Experiment I wird der magnetische Wandler mit einem Strom erregt, und I man bestimmt die Übertragungsimpedanz (x2 @l1 ) . Diese Impedanz kann man mit den Beziehungen von Abbildung 10.5 durch E R und E a ausdrücken: 

x2 l1

¶I

= j$E a E R

(10.13)

Im Experiment II wird das mechanische System bei elektrischem Leerlauf (l1 = 0) mit einer äußeren Kraft I II erregt und dabei das Verhältnis (x2 @x1L )II gemessen. Auch dieses Verhältnis lässt sich auf E a , E R und } L zurückführen, denn bei bekannter Impedanz } L ist mit der Kraft I II auch die Geschwindigkeit yII = I II @} L bekannt: II xII 1L = E R I ,



x1L x2

¶II

=

II xII 2 = j$E a y

E R I II ER = II j$E a y j$} L E a

(10.14)

Durch die Multiplikation der Gln. (10.13) und (10.14) miteinander kann man E R eliminieren, und man erhält E a als Funktion der beiden gemessenen Verhältnisse und der Impedanz } L : s  ¶I  ¶II x1L |} L | x2 |E a | = (10.15) $2 l1 x2

410

10 Reziprozität in linearen Netzwerken

Üblicherweise wird das System so dimensioniert, dass mit hinreichender Näherung } L = j$p angenommen werden kann. Die Masse p kann man durch Wägen einfach bestimmen. Der Strom l1 wird durch einen bekannten Widerstand U0 in eine Spannung xl umgeformt. Damit erhält man für |E a | die folgende Beziehung: s  ¶I  ¶II x1L pU0 x2 |E a | = $ xl x2

10.4 Mechanisch-akustische Wandler Der Übergang von den allgemeinen Koordinaten zum Spezialfall des mechanisch-akustischen Wandlers erfolgt hier mit der Zuordnung: y = 1 ,

I = 1 ,

s = 2 ,

t = 2

Damit erscheint der innere Wandlervierpol nach Abschnitt 5.2 als Gyrator: ¶ ¶  ¶  sW yW 0 1@ (*D) = $  () = 1 *D 0 IW tW Die Reziprozitätsbeziehungen lauten demzufolge: sL I

=

y 0L , t0

tK y

=

I 0K , s0

sL y

=

I 0K , t0

t 0K I0

=

yL s

(10.16)

Die Zuordnung der einzelnen Größen zur geometrischen Konguration des Wandlers ist in Abbildung 10.6 dargestellt. Der Pfeil kennzeichnet wieder die Übertragungsrichtung von der Erregung zur Antwort. Wegen t = j$Y und y = j$ können in den Gln. (10.16) auch die Volumenverschiebungen Y und Ausschläge  anstelle der Koordinaten t und y eingesetzt werden. Mit dem folgenden Beispiel soll gezeigt werden, welche Rechenerleichterungen die Anwendung der Reziprozitätsbeziehungen in manchen Fällen bringen kann. Es besteht die Aufgabe, für eine Anordnung nach Abbildung 10.7, bei der durch die Kraft I ein Volumenänderung Y erzeugt ³wird, den ´ Quotienten Y @I zu bestimmen. Der Druck s soll dabei Null sein t = t K . Um diesen Quotienten zu bestimmen, wäre zunächst die Durchbiegungsfunktion einer Platte für die dargestellte punktförmige Belastung durch ein Kräftepaar zu bestimmen. Das ist ein sehr kompliziertes Problem. Dann müsste aus der erhaltenen Lösung noch die Volumenänderung Y durch Integration gewonnen werden. Der gesuchte Quotient ist jedoch in der letzten¡ Beziehung ¢ von Gl. (10.16) enthalten. Er ist identisch mit dem Quotienten  (u) @s I =0 . Der Ausschlag  (u) ist dabei an dem Radius zu messen, an dem im ersten Fall die

10.4 Mechanisch-akustische Wandler

v  jwx

p

v   jwx 

p

F  F  ,

v  v ,

q  q  ,

p  p V

V F

q   jwV 

F

q  jwV

F

F

v

v

p

411

p

Abbildung 10.6. Vorzeichenfestlegung bei der Umkehr eines mechanischakustischen Wandlers

Kräfte angreifen. Dieser zuletzt genannte Quotient ist aber aus Tabellenbüchern sehr leicht zu entnehmen. Für eine eingespannte Platte ergibt sich z. B. nach [43]:  ¶  ³ u ´2 ¶2  Y ¶  (u) U4 K 1 = =  s 64N U I s=0 I =0 Dabei ist N die Biegesteigkeit der Platte mit N=

Hk3 . 12 (1   2 ) F

2r v

v v

2R

V r

F v

bg

x r

r

r

p

Abbildung 10.7. Bestimmung des Quotienten (Y @I )s=0 eines mechanischakustischen Wandlers mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes

412

10 Reziprozität in linearen Netzwerken

Es ist damit gelungen, mit Hilfe der Reziprozitätsbeziehung eine außerordentlich mühevolle und langwierige Rechnung zu umgehen bzw. auf eine sehr einfache Rechnung zurückzuführen.

Teil IV

Anhang

A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe

A.1 Materialkennwerte von kristallinem Quarz

Tabelle A.1. Materialkennwerte von kristallinem Quarz [9]

Art

Eigenschaften

a-Quarz

Temperatur der a-b-Umwandlung

Einheit

Werte

°C

573

Dichte r

g/cm

elastische Konstanten c11 , c12, c13 c14 , c 33, c44

GPa

3

2,655

86,7 17,9

7,0 107,2

MOHS-Härte

7 6

lineare Ausdehnungskoeffizienten a

10 /K

aa-Achse: 13,37; ac-Achse: 7,97

Wärmeleitfähigkeiten l

W/K m

l a : 5,6...7,2;

l c : 9...13,2

% cm

1 10 ... 10 15

Waferdurchmesser (und Kantenlänge)

mm

51 (2 Zoll); 76 (3 Zoll)

Waferdicke

mm

500

spezifischer elektrischer Widerstand Quarzwafer (Blank)

11,9 57,9

114

416

A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe

A.2 Piezoelektrische Konstanten von Sensor-Werkstoen

Tabelle A.2. Piezoelektrische Konstanten von Sensor-Werkstoen [79]

Werkstoff

d11

110 3

d14 12

e 11

e 14 22

1 As/m 3 4

m/V 2 4

Umwandlungstemperatur 31°C42

a-Quarz (linksdrehend)

2,3

0,67

0,171

Gallium Orthophosphat (GaPO4)

4,5

1,9

---

Langasit (L3Ga5SiO14)

6,16

5,36

0,45

6,677

1470

LGN (L3Ga5,5Nb0,5O14)

6,63

5,55

0,44

6,68

1510

!0

---

Zinkoxid (ZnO)

d33: 12,3

!0

e 33: 0,96

0,041

---

573

950

A.3 Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe

417

A.3 Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe

Tabelle A.3. Materialkennwerte metallischer Konstruktionswerkstoe

Werkstoff

DIN

Zustand

100 Cr 6 90 MnCrV 8 C 60 W X 210 CrW 12

4957 17350 17200

angelassen

Federstähle

17221 warmgewalzt u. weichgeglüht

E-Modul Zugfestigkeit Bruchdehn. TK-Ausdehn. 1102 2 1106 /K 2 1109 N/m2 2 1106 N/m2 2 3 4 3 4 3 4 3 4 RT

Werkzeugstähle

50 CrV 4 50 CrMo 4 korrosionsbeständige Stähle (Edelstähle)

11,5 12,2

220

750 750 830 470

17

215 210

390 640

36 23

200 200 200

550 600 600

36 35 30

230

560

28

210

470

17

180-220 170-220 185 196

600 550 550 400

< 60 < 52 < 40 < 45

210

19 19

17440

X 5 CrNiMo 18.11 X 10 CrNiMoTi 18.10 X 12 CrMo S 17 Warmarbeitsstähle

4390

40 NiCrMo 15

7740

210 CrW 46

geschmiedet weichgegüht geschmiedet weichgegüht

Spezialwerkstoffe Hastelloy B Hastelloy C Monel Incoloy

Ni62Mo28FeS/CrMn Si Ni57/Mo17/Cr16/FeWMn Ni65/Cu33/Fe2 Ni32,5/Cr21/Fe

10,3 10,8 13,9 14,2

418

A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe

A.4 Materialkennwerte von Silizium und Passivierungsschichten

Tabelle A.4. Materialkennwerte von Silizium und Passivierungsschichten [81]

Kennwerte

Einheit

Silizium

Siliziumdioxid

Siliziumnitrid

Dichte

kg/m3

2929

2200

2400

E-Module

GPa

73

290

Zugfestigkeit / Streckgrenze *)

GPa

Bruchfestigkeit

GPa

Eigenspannung

GPa

Härte

[100]

130

[110]

169

[111]

188

Si-Wafer:

2...3

*)

14,0

Mikrostrukturen: 0,5...1

kg/mm

4...6 --2

Mohshärte:

7,0

Knoophärte: 1150 Wärmeleitfähigkeit

*) 8,4

W/K m

RT

156

300°C

66

0,3

1,2

---

---

2,1

19

Wärmeausdehnungskoeffizient

106 /K

RT 100°C 200°C 300°C 600°C

2,31 3,05 3,55 3,84 4,18

0,5

0,8

spezifische Wärme

Ws/kg K

RT

695

1000

170

300°C

836

Durchbruchfeldstärke

MV/cm

Isolationswiderstand

%/cm

-----

8...12 16

10

3...13 10

10 ... 10 16

A.5 Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe

419

A.5 Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe

Tabelle A.5. Materialkennwerte keramischer Konstruktionswerkstoe [9]

Kennwerte T  300 K

Einheit

rel. Dielektrizitätskonstante

Al2O3 Al2O3 (96%) (99,5%)

AlN

BeO BN (99,5%)

SiC

ZrO2 Al2TiO5

9...10

9,8

10

6,9

4,1

15...45

1

3

5

2

45

500

9...33

10

10114

4 10111

10115

1011

Wärmeleitfähigkeit W/K m 21...24

35

110...170

250

25

spezifische Wärme J/kg K

795

795

738

lin. Wärmeausdeh106 /K nungskoeffizient

6,8...8

8

3,8

7,5

!0

3,7

10

1,0

380

200

18

950

40

5,95

3,2

Dielektrischer Verlustfaktor bei 1 Mhz Durchschlagsfeldstärke

104

kV/mm 10...28

elektrischer Durch% cm 1012... 10 14 gangswiderstand

0,07

E-Modul

GPa

340

370

300...310 ! 300

43

Biegefestigkeit

MPa

500

380

270...360

53

°C

1700

1750

>1000

g/cm3

3,85

maximale Einsatztemperatur Dichte

220

1 1013

90...270 2,5

2,0

>1000

420

A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe

A.6 Materialkennwerte ausgewählter Polymere

Tabelle A.6. Materialkennwerte ausgewählter Polymere [9]

Kennwerte

Einheit PVC- PMMA PVDF PTFE hart

ABS

PFA

PUR

Polyimid

1,1...1,3

1,42

0,69

0,4...2

3,0

Dichte

g/cm3

1,38

1,18

E-Modul

GPa

2...3

3,3

2,6

Wärmeleitfähigkeit

W/K m 0,16

0,19

0,19

0,24

0,19

0,22

0,35

0,4...0,5

spezifische Wärme

J/kg K

1000

1500

960

1040

1420

1080

1880

---

lin. Wärmeausdehnungskoeffizient

106 /K

80

80

106

100

85

°C

---

106

177

---

---

305

% cm

10115

10115

1 1018

10118

10113

1 1018

10118

10118

3

2,9

11*)

2,1

2,9...4,1

---

3,4

3,4

2

2

0,01

1...8

4,7

0,005

1,5

1,49

Glasübergangstemperatur spezif. elektr. Widerstand rel. Dielektr.Konstante bei 1 MHz tan d Brechungsindex *)

102

2...2,3

1,12

0,3...0,6 2,5...3,0

130...200 170...200 35...100

---

bei 100 kHz; ABS: PFA: PMMA: PTFE: PVC: PUR: PVDF:

Polyacrylnitrilbutadienstyrol, perflouriertes Alkoxy-Kopolymer des PTFE (Teflon-PFA), Polymethylmethacrylat, Polytetraflourethylen (Teflon), Polyvinylchlorid, Polyurethan, Polyvinylidenflourid.

A.7 Materialkennwerte von Kunststoen als Konstruktionswerkstoe

421

A.7 Materialkennwerte von Kunststoen als Konstruktionswerkstoe

Tabelle A.7. Materialkennwerte von Kunststoen als Konstruktionswerkstoe [9]

Kennwerte

Verarbeitungstemperaturbereich

Einheit Epoxidharz- Epoxidharz Siliconharz- Siliconharz Poly- Silicon**) **) Basis Basis imid kautschuk +Ag +Ag

°C

20...170

50...150

150

50...150

20

20

Zug-(Scher-) festigkeit

MPa

7...75

6...15

1...7

1,3

55...70

---

spezif. elektr. Widerstand

% cm

3 10115

2 104

10114

104

10118

10114... 10 115

Durchbruchfeldstärke

kV/mm

1,9 10 5

---

20 10 5

---

---

23 10 5

rel. Dielektr.Konstante bei 1 MHz

!4

---

! 3,5

---

3,4

2,8

dielektrischer Verlustfaktor bei 1 MHz

90 10 4

---

25 10 4

---

50 10 4

20 10 4

lin. Wärmeausdehnungs- 106 /K koeffizient

20...100

! 30

20...240

95

35...70

300

0,65

0,8...3,7

0,4

4,2

1,3

0,2

Wärmeleitfähigkeit **)

W/K m

mit Silber gefüllt

422

A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe

A.8 Zusammensetzung und Materialkennwerte ausgewählter Gläser

Tabelle A.8. Zusammensetzung und Materialkennwerte ausgewählter Gläser [9]

Glassorte

Natron- AlkaliBoroAluminium- LithiumEinheit Quarz(Kiesel-) Kalkglas Zinksilikatglas BoroAluminiumGlas Borosilikatglas silikatglas silikatglas 68

65

81

50

! 70

%

16

6

4

< 0,2

! 15

Al2O3-Gehalt

%

3

4

2

11

B2O3-Gehalt

%

2

10

13

13

CaO: 6 Rest: K2O, BaO, MgO

K2O: 7 ZnO: 5 Rest: TiO2

SiO2-Gehalt

%

Na2O-Gehalt

100

Sonstiges

BaO: 25 Rest: As2O3

Rest: überwiegend Li2O3

Dichte

g/cm3

2,2

2,47

2,51

2,23

2,76

2,37

E-Modul

GPa

78

70

74

63

68

78

0,025

0,08

0,06

820

835

Biegefestigkeit GPa Erweichungstemperatur spezifische Wärme

°C

0,05 1500

696

720

J/kg K

754

879

lin. Wärmeausdehnungs- 106 /K koeffizient

0,49

9,2

7,4

3,25

4,5

9

Wärmeleitfähigkeit

W/K m

1,4

> 0,8

> 0,8

1,15

> 0,8

1,35

spez. elektr. Widerstand

% cm

>10 16

>10 5

>10 7

>10 7

>10 12

>10 12

3,826

6,5

6,7

4,6

5,8

6,5

rel. Dielektrizitätskonstante bei 1 Mhz

A.9 Materialkennwerte metallischer Lote und Glaslote

423

A.9 Materialkennwerte metallischer Lote und Glaslote

Tabelle A.9. Materialkennwerte ausgewählter Lote und Glaslote [9]

Typ

Weichlote

Hartlote

Zug(Scher-) festigkeit

10 /K

% cm

MPa

1,47 10

Verarbeitungstemperaturbereich

linearer Wärmeausdehnungskoeffizient

Masse-%

°C

6

8

60 Sn; 40 Pb 65 Sn; 25 Ag; 10 Sb 25 Pb; 50 Bi; 12,5 Sn; 12,5 Cd 80 Au; 20 Sn

180...188 240...310 60,5...70 280

25,6 20,6 16

(4,6...6,6) 10 1,6 108

97 Au; 3 Si 55,4 Al; 44,6 Ge

362 424...499

12 18

(1,0...1,1) 108

84

(1...5) 108

Glaslot kristallisierend 75...82 PbO; 7...14 ZnO; 6...12 B2O3 450...500 nicht 380 kristallisierend 75...82 PbO; <7 ZnO; >12 B2O3 Aktivlote

spezifischer elektrischer Widerstand

Zusammensetzung

70 Ag; 27 Cu; 3 Ti 60 Ag; 24 Cu; 15 In; 1 Ti

850...950 700...750

25...40 8

45...47 275

120...170

424

A Materialkennwerte ausgewählter Werkstoe

A.10 Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand

Tabelle A.10. Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand [82]

Stoff

Dichte [kg/m3]

Schallgeschwindigkeit [m/s] longitudinal

transversal

Wellenwiderstand longitudinal [Ns/m3]

Metalle: Aluminium (gewalzt)

2700

6420

3040

17,3

Blei (gewalzt)

11400

2160

700

24,6

Gold

19700

3240

1200

63,8

Silber

10400

3640

1610

37,9

Kupfer (gewalzt)

8930

5010

2270

44,7

Kupfer (geglüht)

8930

4760

2325

42,5

Magnesium

1740

5770

3050

10,0

Messing (70% Cu, 30% Zn)

8600

4700

2110

40,4

Stahl (rostfrei)

7900

5790

3100

45,7

Stahl (1% C)

7840

5940

3220

46,6

Zink (gewalzt)

7100

4210

2440

29,9

Zinn (gewalzt)

7300

3320

1670

24,2

Glas (Flintglas)

3600

4260

2552

15,3

Glas (Kronglas)

2500

5660

3391

14,2

Quarzglas

2200

5968

3764

13,1

Plexiglas

1180

2680

1100

3,16

Polyethylen

900

1950

540

1,76

Polystyrol

1060

2350

1120

2,49

Nichtmetalle:

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen B.1.1 Abschätzung des Approximationsfehlers bei numerischen Analysen von Fourier-Reihen Bei numerischen Analysen ist es nicht möglich, die Summation über l von 0 bis 4 auszuführen. Da aber die dl und el erst für l $ 4 gegen Null gehen, erzeugt eine Summation bis l = P À 1 lediglich einen Approximationsfehler , der mit Gl. (B.1) abgeschätzt werden kann. M ¶ 4 4 P P 2 P 1 2 f2l f  f 2 l l 2 (˜ { (w)  { (w)) l=1 l=1 l=M 2 % = = = P (B.1) 4 4 P 1 2 2 { (w)2 f f l l 2 l=1

l=1

Die durch endliche Summationsobergrenzen erzeugten Fehler können als Bandbegrenzungsfehler aufgefasst werden. Aus der Fourier-Summe der fehlerfreien Funktion { (w) wird durch ideale Tiefpasslterung mit $ j = $ 0 · M die fehlerbehaftete Funktion { ˜ (w). Die so erzeugten Fehler im Zeitbereich treten besonders an Sprungstellen oder steilen Flanken der Funktion { (w) in Erscheinung. Zur Demonstration dieser besonderen Eigenschaft der approximativen Fourier-Reihen wird die in Abbildung B.1 links dargestellte periodische Wiederholung eines Rechteckimpulses der Breite  verschiedenen Analyseoperationen unterzogen. Die Berechnung der Fourier-Koe!zienten dl , el und fl erfolgt gemäß dl =

2ˆ { sin (2l @W ) W 2l @W

(B.2)

el =

2ˆ { 1  cos (2l @W ) W 2l @W

(B.3)

426

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

x~ t

bg

bg

xt

x$

"x A

x$

A

B

t

T

t

"x B

T

t

Abbildung B.1. Periodische Impulsfunktion

und fl =

q 2ˆ { sin (l @W ) . d2l + e2l = W l @W

(B.4)

Die Abschätzung des Restfehlers % für eine vorgegebene Summengrenze ist mit Gl. (B.1) möglich. Wenn die Summation in Gl. (B.6) näherungsweise durch eine Integration ersetzt wird und der Nenner l in jedem Intervall zwischen Nullstellen von fl durch den Anfangswert von l ersetzt wird, erhält man für den Fehler näherungsweise:

2

% =

4 P

l=M

f2l =

1 4ˆ {2  2 2 { ˆ  @W W 2

{ (w)2 s 2 1 1 % 3  @W M

für



sin (l @W ) l @W

¶2

M À 1.

(B.5)

(B.6)

Das bedeutet für  @W = 0> 25 und P = 64 einen Fehler % von 6> 3%. In Abbildung B.2 rechts ist die bei endlichem M auftretende Näherungszeitfunktion { ˜ (w) qualitativ dargestellt. Bei den im folgenden zitierten Operationen mit { (w) werden jeweils die in den Kästen A und B dargestellten Abweichungen { (w) zwischen { (w) und { ˜ (w) angegeben. Aus Symmetriegründen stimmt der Fehlerverlauf in der Umgebung von w = 0 mit dem im Kasten A und der in der Umgebung von w = W mit dem im Kasten B überein. In Abbildung B.2 links sind die Fehler { (w) für den Sonderfall  = 0> 5 für die oberen Grenzen M = 64 und 24 dargestellt. Aus Symmetriegründen stimmen hier auch die Fehler in den Kästen A und B überein. Aus diesen beiden Fällen kann schon abgeschätzt werden, wie sich { ˜ (w) für sehr große M verhält. Die Zeitintervalle zwischen zwei Nullstellen der Oszillationen von { ˜ (w) in der Umgebung der Sprungstellen werden sehr klein und die

B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen 0,1

t  0,5 T

0,1

t  0,5 T

"x A 0,05

M  24

"x A 0,05

fg  24 f0 M  24

0

0 M  64

M  64

mit TP

0,05

0,3

427

t T

0,5

0,05

t T

0,3

0,5

f r  24 f0 , Q  1 FourierReihe

FourierReihe

M  24; 64

M  64

bg

B w 

bg

B w

1 TP

wr

w

1

b

1  w wr

2

g  jb w w g Q r

Abbildung B.2. Signaloperationen mit der Modellfunktion { (w) aus Abbildung B.1 links für  = 0> 5W

Oszillationen ziehen sich bei etwa konstantem Spitzenwert an der Sprungstelle auf eine immer kleinere Umgebung der Sprungstellen zusammen. Diese Eigenschaft der approximativen Fourier-Reihen in der Umgebung von Sprungstellen wird als Gibb´sches Phänomen bezeichnet. Es ist eine Folge der Anwendung der Fourier-Entwicklung auf physikalisch irreale Prozesse. Der Übertragungsfaktor realer dynamischer Systeme verschwindet für $ $ 4. Das gleiche muss deshalb für die Fourier-Koe!zienten realer physikalischer Vorgänge gelten, da sie ja nur durch reale Systeme erzeugt werden können. Eine typische reale Bandbegrenzung, die auch in den folgenden Kapiteln bei technischen Systemen häug auftritt, ist der Tiefpass mit Resonanz. In Abbildung B.2 rechts ist die Antwort eines solchen Tiefpasses der Resonanzfrequenz $ res = 24$ 0 auf den Modellvorgang { (w) aus Abbildung B.1 rechts dargestellt. Zum Vergleich ist in dieser Abbildung noch die Näherungsfunktion { ˜ (w) der Impulsfunktion { (w) mit der idealen Bandbegrenzung bei Mg = 24 eingezeichnet. Man erkennt, dass die bezüglich der Grenzfrequenz in etwa äquivalente

428

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

reale Bandbegrenzung deutlich kleinere Abweichungen zwischen { ˜ (w) und { (w) aufweist als eine physikalisch irreale ideale Bandbegrenzung. Abbildung B.3 zeigt schließlich den gleichen Vergleich für eine Modellfunktion aus Abbildung B.1 mit  = 0> 25W . Hier unterscheiden sich die Fehler in den Kästen A und B. 0,1 M  24

0,05

0

"x A

M  24

0 TP

"x B TP

t  0,25 T

0,1

t  0,25 T

0,1

0,2

0

0,1

t T

0,2

0,3

0,3

t T

0,4

0,5

Abbildung B.3. Signaloperationen mit der Modellfunktion { (w) in Abbildung B.1 links für  = 0> 25W

B.1.2 Anwendungsbeispiel zur periodischen Wiederholung einmaliger Vorgänge Zur anschaulichen quantitativen Interpretation der allgemeinen Überlegungen wird im Folgenden ein Beispiel dargestellt. Dafür wird die Musterfunktion {p (w) aus Abbildung B.4 verwendet. Sie ist zur Vereinfachung bandbegrenzt und mittelwertfrei. Wegen der erwähnten Ausdehnung des Spektrums der n ,  n bis 4 muss man jedoch bei einer endlichen oberen Summationsgrenze K, die bei numerischen Analysen unvermeidlich ist, mit Bandbegrenzungsfehlern bei { ˜ (w) rechnen. Mit dieser Musterfunktion wurde nun die in Abbildung 2.6 (Abschn. 2.1.3) dargestellte Prozedur mit verschiedenen L ausgeführt. In Abbildung B.5 sind die n ,  n mit steigendem L dargestellt. Man erkennt den schon aus den Gln. (2.51) und (2.52) abzulesenden Sachverhalt, dass auch bei verschwindenden dl die Koe!zienten n erscheinen.

B.1 Fourier-Entwicklung von Zeitfunktionen

bg bg

x t , xp t

0,4

bg

xp t

für

t  0 K1, b1  0,3, b2  0,15, b3  0,1 T0

0,2

x~ t

bg

0,5

t T0

1

0,2

A

0,4

Abbildung B.4. Musterfunktion {p (w)

a k L, b k L 0,2

b1

0,1 0,1

p

b zL

b3 2

1 1

k

3 3

2

zk 

b2

a zL

0,2

d~x btg  x btgi

L 1

0,3

k L

0,3 a k L, b k L

L3

0,3 b zL

0,2

b3

b1

0,1 1

4

3

2

5

6 2

1

0,1

a zL

0,2

7

8

10

9 3

k zk 

k L

b2

0,3 a k L, b k L

L7

b1

0,3

bg

0,2

b zL

0,1

10

1

5 1

0,1 0,2 0,3

bg

a zL

15

20

b3 k

2

3

b2

Fortsetzung auf der nächsten Seite

zk 

k L

429

430

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken a k L, b k L 0,2 0,1

15

1

0,1

25

30

b3 35

20 2

1

3

k zk 

k L

b2

bg

azL

0,3

bg

b zL

10

5

0,2

L  11

b1

0,3

Abbildung B.5. Fourierkoe!zienten der mit unterschiedlichen Pausenlängen wiederholten Musterfunktion aus Abbildung B.4

Abbildung B.6 zeigt schließlich die Unterschiede { zwischen { (w) und { ˜ (w) im Bildausschnitt A von Abbildung B.4. Hier muss beachtet werden, dass die dargestellten Zahlenwerte mit endlichen oberen Summationsgrenzen K berechnet wurden. Die auftretenden Abweichungen { sind nicht allein durch die Einfügung der Pause, sondern auch durch das endliche K bedingt. Es ist aber bemerkenswert, dass die Abweichung { für L = 7 nur während 6% der Pausenzeit den Wert 0> 001 überschreitet. ~ x t,

bg

x t , x~ t

bg bg

~ x t,

bg

0,01

1

0,9

bg

xt 0,01

L  3,

11 ,

K  30 L  7,

K  60 1,2

t T0

0,02

Abbildung B.6. Einzelheiten zum Verlauf der Ausgleichsfunktion { (w) aus dem Ausschnitt A von Abbildung B.4

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass mit den Gln. (2.46) und (2.48) für band- und zeitbegrenzte Funktionen {p (w) entsprechend Abbildung 2.6 eine Funktionenfolge mit zwei freien Parametern K, L deniert wurde, die für unbegrenztes Wachstum beider Parameter unabhängig von ihrer Reihenfolge gegen einen Grenzwert konvergiert. Dieser Sachverhalt lässt sich durch numerische Analysen bis zur Au ösungsgrenze der Recheneinrichtung bestätigen. Bei Aufhebung der Bandbegrenzung für {p (w) kommt ein weiterer Parameter M hinzu, ohne dass sich an den o.g. Aussagen etwas ändert.

B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen

431

B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen B.2.1 Problemstellung Die Beschreibung einmaliger Vorgänge durch Fourier- und Laplace-Integrale erlaubt noch eine Abstraktion, die durch die Übertragungseigenschaften zeitbegrenzter Vorgänge kurzer Dauer W =  — Stöße — durch reale lineare Systeme begründet ist. Die Erfahrung zeigt, dass ein reales lineares System bei sehr kurzen Stößen nicht mehr erkennen kann, welchen Zeitverlauf der Stoß innerhalb der Stoßzeit  besitzt. Das System reagiert nur noch auf das Integral über die Stoßfunktion, die Stoß äche L. Es erhebt sich die Frage, warum dieser Sachverhalt vorliegt und was „sehr kurz“ bezogen auf die Übertragungseigenschaften des Systems bedeutet. Diese Frage soll zunächst für die erwähnten Stoßvorgänge geklärt und anschließend auf Sprungvorgänge übertragen werden. B.2.2 Ideale Stöße und ihre Systemantwort Als Modell für die ideale Stoßfunktion wird eine Funktionenfolge gewählt, die von der in Abbildung B.7 links dargestellten Funktion { (w@ ) ausgeht. Die Bezugszeit  mit der Bedeutung einer äquivalenten Impulsdauer ist so gewählt, dass ihr Produkt mit {0 = { ( ) die Impuls äche L ergibt. xb

b g

xt t

L

g bt

t

g

xb

L

g bt

g

b

t  L x L t t

g b2.75bg

L x0

x0 

T t

t t

1 

z bg

I  x t dt  x 0 t

b2.75ag

1L

Ib

L

g   x bL g btg dt  I  L x

z 0

0

t t

0

1 t L

Abbildung B.7. Modell für eine Funktionenfolge zur Denition der idealen Stoßfunktion

Die Impuls äche L kann gemäß Abbildung B.7 links zu L=

Z4 0

{ (w) dw = {0 

(B.7)

432

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

bestimmt werden. Eine Reduzierung der äquivalenten Impulsdauer um den Faktor L ermöglicht mit der Stoßfunktion {(L) (w@ ) = L · { (L · w@ )

(B.8)

die Berechnung der Impuls äche zu L

(L)

=

Z4

1 {(L) (w) dw = L = L{0  . L

(B.9)

0

Es wird angenommen, dass { (w) eine Fourier-Transformierte besitzt, also die Bedingung der Gl. (2.70) erfüllt ist. Weiterhin soll vorausgesetzt werden, dass die Impuls äche L 6= 0 ist. Dann ergibt sich die Fourier-Transformierte von { (w) aus Gl. (2.46). Es ist schon zu erkennen, dass f (0) 6= 0 ist. Drei typische Beispiele für impulsartige Vorgänge sind in Abbildung B.8 dargestellt.

bg bg

cw

x$

c0

t

1,00

t C

B

x$

e



t t

t

0,95

d  5%

t x$

A

t

0,90

t wt

1 0

0,315

111 ,

1,48

wd t

Abbildung B.8. Fourier-Spektraldichten von typischen Impulszeitfunktionen

Die Kurvenverläufe A, B und C sind mit folgenden Spektraldichten f ($) verknüpft: A: B:

C:

ˆ |f ($)| = {

sin ($ @2) ($ @2)

1 ˆ q |f ($)| = { 2 1 + ($ ) ˆ |f ($)| = {

sin2 ($ @4) ($ @4)2

(B.10) (B.11)

(B.12)

B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen

433

Aus Abbildung B.8 ist zu erkennen, dass sich f ($) für die dargestellten Beispiele im Bereich $   = 0> 3 = = = 1> 5 um weniger als 5% von f (0) = L unterscheidet. Wenn ein solcher Impuls als Eingangszeitfunktion { (w) auf ein lineares System mit der Übertragungsfunktion E ($) wirkt, ergibt sich die Ausgangsgröße nach Gl. (2.72). Die Übertragungsfunktionen realer linearer Systeme besitzen obere Grenzfrequenzen $ g , bei denen E ($ g ) unter die Auflösungsgrenze der verwendeten Rechen- oder Messeinrichtungen fällt. Wenn nun die eektive Impulsdauer  aus Abbildung B.7 so eingestellt wird, dass die Fehlergrenzfrequenz $  für f ($) aus Abbildung B.8 gleich $g ist, entsteht die in Abbildung B.9 am Beispiel eines Rechteckimpulses dargestellte Situation.

bg

cx w

b g

" c x wd

I

wd  e

1 t

1t

w

bg

B w

bg

B0

wd

w

Abbildung B.9. Forderungen an die Impulsdauer bei bandbegrenzter Übertragungsfunktion.

Der Fehler  in Abbildung B.9 ergibt sich zu =

sin (%@2)  |f{ ($  )| =1 . f{ (0) %@2

(B.13)

Die Spektraldichte f ($) ist innerhalb des Übertragungsbereiches von E ($) im Rahmen des zugelassenen Fehlers  unabhängig von $ und gleich der Stoß äche L. In diesem Fall kann das System nicht mehr erkennen, welche konkrete Eingangsfunktion { (w) die Ausgangsfunktion | (w) erzeugt hat. Es reagiert nur noch auf die Impuls äche L. Dieser Sachverhalt legt den in Abbildung B.7 links durch Gl. (B.8) beschriebenen Übergang von { (w) über die Folge {(O) (w) zu einem idealen Stoß nahe. Mit wachsendem L wird die eektive Impulsdauer kleiner und die Amplitude größer. Bei dem in Gl. (B.8) beschriebenen Ansatz bleibt die Impuls äche L konstant.

434

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

Die Fourier-Transformierte f ($) eines Folgenelementes nimmt dabei die folgende Form an: (L)

f

($) =

Z4

(L)

{

j$w

(w@ ) e

dw = O

0

(L)

f

($) =

Z4

Z4

{ (Lw@ ) ej$w dw

(B.14)

0

0

{ (w0 @ ) ej$w @L dw,

w0 = Lw

w0 =0

f(L) ($) = f ($L)

(B.15)

Dieser Übergang ist in Abbildung B.10 dargestellt. c , cbL g

I

bg

cbL g w

cw

bg

L w1

w1

Abbildung B.10. Übergang von f ($) zu f(L) ($)

Mit zunehmendem L erweitert sich der Bereich, in dem f ($) = L angesehen werden kann, um den Faktor L. Die Elemente dieser Funktionenfolge besitzen die folgenden Eigenschaften: f (0) = L

lim f(L) ($) = 0

und

W $4

(B.16)

Der Grenzwert der Funktionenfolge {(L) (w@ ) @L für L $ 4 wird als normierte ideale Stoßfunktion der Dirac-Stoß  (w) = lim {(L) (w) @L L$4

(B.17)

bezeichnet. In Verbindung damit wird dann stark verkürzt auch f { (w)} = lim f(L) (w) @L = 1 L$4

(B.18)

gesetzt und daraus schließlich auf 1  (w) = 2

Z4

4

ej$w d$

(B.19)

B.2 Ideale Stoß- und Sprungfunktionen

435

geschlossen. Genau genommen kann jedoch der Grenzübergang in Gl. (B.19) von $ K $ 4 nur mit einem Folgeelement f(L) ($) vorgenommen werden, weil nur diese für $ gegen Null geht. Gl. (B.19) muss deshalb ausführlich heißen: 5 6 Z$K Z f(L) ($) ej$w d$ 8 (B.20)  (w) = lim 7 lim L$4

K$4 $ K

Der Grenzwert  (w) kann nur mit der angegebenen Reihenfolge der beiden Grenzübergänge bezüglich der beiden Parameter K und L ermittelt werden. Die Antwort eines linearen Systems auf einen idealen Sprung {Stoß (w) = L (w) kann unter Berücksichtigung von Gl. (B.19) mit Gl. (2.76) angegeben werden. Wenn aber E ($) eine obere Grenzfrequenz $ g im Sinne von Abbildung B.9 besitzt, kann die Integration in Gl. (2.76) auf ±$ g beschränkt werden. Dann kann auch der Grenzwert für f{ ($) aus Gl. (B.18) benutzt werden und man erhält: Z$g L E ($) ej$w d$ (B.21) | (w) = j (w) L = 2 $ g

mit 1 j (w) = 2

Z$g

E ($) ej$w d$

(B.22)

$ g

und E ($) =

Z4

j (w) ej$w dw

(B.23)

0

Die Funktion j (w) wird als normierte Stoßantwort eines Systems bezeichnet. Die Rücktransformation in Gl. (B.22) zeigt, dass die Systemeigenschaften sowohl durch j (w) als auch durch E ($) vollständig beschrieben sind. Gl. (B.22) erlaubt auch experimentell die Bestimmung von E ($) mit Hilfe eines DiracStoßes und bildet die Grundlage für zahlreiche Messverfahren. Ein Zahlenbeispiel soll abschließend die Verhältnisse bei Anwendung eines Rechteckimpulses bei der Bestimmung von j (w) erläutern. Als Übertragungsfunktion E ($) 1 E ($) = ³ , ´2 2 + m ($@$ 0 ) 1@T 1  ($@$ 0 )

mit

T = 1,

i0 = 100 Hz,

soll ein Tiefpass mit Resonanz vorliegen.

(B.24)

436

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

Als Grenzfrequenz erhält man hier mit der Annahme |E ($ g )|  103 den Wert: ig = 3 kHz $ g  30$ 0 , Bei Annahme eines zugelassenen Fehlers  = 0> 01 der Fourier-Spektraldichte folgt mit Gl. (B.10):  = 102 , % = $ g  = 0> 490 Daraus folgt schließlich die zugelassene Impulsdauer: $g = $ ,  =

0> 49 = 26 s 30$ 0

Ein Impuls mit dieser Impulsdauer gestattet die Bestimmung der normierten Stoßantwort j (w) mit Fehlern im %-Bereich. B.2.3 Die ideale Sprungfunktion und ihre Systemantwort Zur Analyse von Einschaltvorgängen von Systemen ist die in Abbildung B.11 dargestellte Sprungfunktion nützlich. Von {s (w) wird die normierte Sprungfunktion v (w) abgeleitet. {s (w) und v (w) besitzen keine Fourier-Transformierte, weil die Bedingung der Gl. (2.70) verletzt ist.

bg

xs t

x$ x s t  x$ s t

bg

bg t

Abbildung B.11. Ideale Sprungfunktion

Für die spektrale Beschreibung dieser Funktion ist nur die Laplace-Transformation anwendbar. Nach Gl. (2.84) ergibt sich: L {{s (w)} =

Z4

{ ˆ esw dw =

{ ˆ s

(B.25)

0

Wirkt der Sprung {s (w) auf ein lineares System mit der Übertragungsfunktion E (s), ergibt sich | (w) nach Gl. (2.85) zu { ˆ | (w) = 2

+j$ Z

j$

1 sw e ds = z (w) { ˆ. s

(B.26)

B.3 Das Faltungs-Integral

437

Die Funktion z (w) wird als normierte Sprungantwort bezeichnet. Sie kennzeichnet wie auch E (s) das Übertragungsverhalten des Systems. Wenn eine numerische Lösung für z (w) gesucht wird, ohne das Verfahren der Laplace-Transformation anzuwenden, kann anstelle von {s (w) eine periodische Rechteckfunktion {p (w) mit  = W @2 gemäß Abbildung B.12 verwendet werden.

bg

z t

1 x$ 2

bg

xp t

x$

t T 2

t

bg

xp t 

T

T 2

T

1 x$  z t 2

bg

Abbildung B.12. Periodische Rechteckfunktion als Näherungsmodell für {s (w)

Vom nullpunktfreien Anteil } (w) kann eine Fourier-Reihenentwicklung angegeben werden, die zu einer Näherungsfunktion }p (w) führt. Wenn { (w) als Eingangsfunktion eines linearen Systems angesehen wird, ergibt sich die Ausgangsfunktion |p (w) zu: |s (w) =

4

1 1 X { ˆE (0) + { ˆ E ($ l ) f{ ($ l ) ej$l w 2 2 l=1

(B.27)

Für reale Systeme verschwindet der zeitabhängige Anteil von |p (w) für hinreichend große w (w A Wg ). Wenn als Periode W A 2Wg gewählt wird, stimmt |p (w) im Intervall 0 = = = W @2 mit | (w) aus der exakten Lösung von Gl. (B.26) überein. Daraus ergibt sich bei Einhaltung dieser Bedingungen, die numerisch leicht zu überprüfen ist, die folgende Näherungsgleichung für z (w): z (w) =

4

1X 1 E (0) + E ($ l ) fl{ ($ l ) ej$l w 2 2 l=1

mit

fl{ = { ˆ

1  ej$l W j$ l W (B.28)

B.3 Das Faltungs-Integral Im vorhergehenden Abschnitt war mit Gl. (B.22) gezeigt worden, dass die Systemübertragungsfunktion aus der normierten Stoßantwort j (w) bestimmt werden kann. Damit ist es grundsätzlich möglich, die Gl. (2.76) (s. Abschn.

438

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

2.1.3) unter Benutzung der Gln. (2.77) und (B.22) so umzuschreiben, dass die Systemantwort | (w) nur noch von j (w) und { (w) abhängt. Es ist zu erwarten, dass wegen der an mehreren Stellen diskutierten Probleme über die Reihenfolge der Grenzübergänge einige Vorsicht bei den erforderlichen Umformungen erforderlich ist. Diese Komplikationen können mit dem im Folgenden dargestellten direkten und anschaulichen Lösungsansatz umgangen werden. Wenn die Antwort eines Systems mit bekannter Stoßantwort auf eine Eingangsfunktion { (w) gesucht wird, kann { (w) entsprechend Abbildung B.13 in dierentielle Rechteckimpulse zerlegt werden.

bg

x t

bg

"x n t

b g

x tn

b g

 x tn

"tn

"tn

tn

tn

t

bg

x t 



 "x n btg

b2.92g

bg

y t

t

n 

bg

bg

"x n t

"yn t x t

tn

bg

bg

g t

tn

t

bg b

"yn t  g t  tn

g x bt g "t n

n

t

b2.93g

Abbildung B.13. Aufbau der Antwortzeitfunktion eines linearen Systems aus der Summation von mit j (w) bewerteten Rechteckimpulsen von { (w)

Jede Teilfunktion {q (w) aus { (w) =

+4 X

{q (w)

(B.29)

q=4

wird entsprechend |q (w) = j (w  w0q ) { (w0q ) w0q

(B.30)

in eine Teilfunktion |q (w) überführt. Die Ausgangszeitfunktion | (w) ist die Summe aller |q (w): | (w) =

+4 X

q=4

j (w  w0q ) { (w0q ) w0q

(B.31)

B.3 Das Faltungs-Integral

439

Diese Summe geht an der Grenze wq $ 0 in ein Integral der Form | (w) =

Z4

w=4

j (w  w0 ) { (w0 ) dw0

(B.32)

über. Wegen j (w) = 0 für w ? 0 lässt sich diese Gleichung in die folgende Form überführen: Z4 0 0 w  w =  , | (w ) = j ( ) { (w0   ) d (B.33)  =0

Die Gln. (B.32) und (B.33) lösen die zu Anfang genannte Aufgabe, die Ausgangsfunktion | (w) unmittelbar aus j (w) und { (w) zu bestimmen. Sie lassen sich aber noch in einer zweiten Form schreiben, die man formal aus der Relation dv (w) j (w) = (B.34) dw ableiten kann. Die Ableitung dieser zweiten Variante ist aber auch mit einem in Abbildung B.14 dargestellten einfachen Modell, ähnlich dem aus Abbildung B.13, möglich.

bg

b

x t

"xn t  tn

bg

"x n t

g

"tn

t

tn

 "xn btg

bg

t

tn

b2.98g

bg

b

"xn t  "x$ n s t  tn

n 

g

b2.99g

bg

bg

"yn t

"x n t

bg

x t tn

n

dt

t  tn



x t 

b g "t

dx t

"x$ n 

bg

x t

bg

s t

bg

y t

t

tn

"yn (t )  s (t  tn )

dx dt

t

"tn tn

Abbildung B.14. Aufbau der Antwortzeitfunktion eines linearen Systems aus der Summation von dierentiellen Sprungfunktionen

440

B Zur Signalbeschreibung und -übertragung in linearen Netzwerken

Analog zu den Gln. (B.31) und (B.33) ergibt sich hier schließlich: ¯ ¯ Z4 d{ ¯¯ d{ ¯¯ | (w) = v (w  wq ) · wq , v (w   ) · d dw ¯wq dw ¯w= q=4 +4 X

0

(B.35)

Literatur

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Index

Abgasschalldämpfer, 132 Absorber, 224—230 abstraktes Netzwerk, 135—142 Abtastwert, 23 Abweichung dierentielle, 246 quadratische, 24 Adiabatenexponent, 115 adiabatische Zustandsänderung, 115 Admittanz, 80 -funktion, 184 -matrix, 194 allgemeine, 80 komplexe, 80 translatorische, 197 akustische Dämpfungselemente, 224 Masse, 117 Nachgiebigkeit, 115 Reibung, 117 Reziprozität, 230 Schaltung, 118 akustischer Resonator, 113 Systempunkt, 47 Transformator, 120 Wellenwiderstand, 225 akustisches Schema, 119 Teilsystem, 4, 212 Tiefpass-System, 205 allgemeine Admittanz, 80

Impedanz, 80 Koordinaten, 136 -Quarz, 356, 357 Amplitude dierentielle, 38 komplexe, 19, 20 Amplitudenfrequenzgang, 84 Anregungszeitfunktion, 18 Ansatzfunktion, 211 Antwortzeitfunktion, 438, 439 Approximationsfehler, 425 approximative Fourier-Reihe, 23—25, 425, 427 Arbeits -frequenz, 93, 178, 183 -punkt, 14, 237 Ausgangs -funktion, 23 -signal, 188, 310 -zeitfunktion, 438 Ausgleichsfunktion, 430 Ausschlags -empfänger, 384, 387 -methode, 238 -sender, 384, 386 bandbegrenzte Zeitfunktion, 32 Bandbegrenzungsfehler, 425 Barkhausen, 11 Bauelement akustische Feder, 116 akustische Masse, 117 akustische Reibung, 117 Drehfeder, 106—108

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Index

Drehreibung, 106—108 Feder, 70 Hebel, 77 Masse, 73 Reibung, 72 Trägheitsmoment, 106—108 Bauelemente abstrakte, 136, 137 konzentrierte, 65, 66 zeitinvariante, 39 zweipolige, 17, 40 Beschleunigungs -übertragungsfunktion, 259 -amplitude, 94 -quelle, 76 Bewegungskoordinate, 68, 119 Bezugs -frequenz, 86 -größen, 192, 392 Biege -wellen, 190, 353 -wellenlänge, 383 -wellenleiter, 321, 382, 383 -winkel, 147 Bildbereich, 20 Bimorph, 353—355 Biot-Savart, 50 -Gesetz, 56, 240 -Kraft, 57, 241 Blindleistung kinetische, 180 potentielle, 180 BODE-Diagramm, 84 Carnot-Prozess, 61 Cauer, 11, 41 charakteristische Frequenz, 84 Coulomb, 50 -Gesetz, 51 -Gleichungen, 50, 52, 242 -Kraft, 50, 240, 241, 308, 325 Cremer, 11 Curie-Temperatur, 356 Dämpfung, 86 Dehnung, 93, 147 Dehnwellen, 172, 195, 366 -leiter, 365—367 Dickenschwinger, 348, 349

Dielektrikum anisotropes, 307 isotropes, 307, 334 dielektrische Polymere, 335 dierentielle Abweichung, 246 Amplitude, 38 Teilschwingung, 35 dierentielles Biegeelement, 147—149 Dierenzdrucksensor, 205 Dierenzierglied, 86 Dierenzkoordinaten, 18, 59 Dipol-Bass-Lautsprecher, 216 Dirac-Stoß, 434 Dreh -feder, 106—108 -masse, 106—108 -moment, 105 -reibung, 106—108 Drehreibungsadmittanz, 110 Dreitor-Anordnung, 153, 155 Druck -übertragungsfunktion, 205 -amplitude, 128 -dierenz, 114 Durchbiegungsfunktion, 161 Durch utungsgesetz, 260 dynamischer Systementwurf, 5 E-Modul, 70 komplexer, 93 ebene Welle, 224 Eekt magnetoelastischer, 296 magnetostriktiver, 289 piezoelektrischer, 339—342 piezomagnetischer, 290 pyroelektrischer, 356 quadratischer, 341 eindimensionaler akustischer Wellenleiter, 225 Dehnwellenleiter, 367 Wellenleiter, 171 Eingangsfunktion, 433, 437 Eingangszeitfunktion, 433 Einstein’sche Summationsvereinbarung, 290 Einzelübertragungsfunktion, 86 elastische Materialkonstante, 290

Index Elektret, 223, 231, 329 elektrische Feldenergie, 12, 39 Feldkraft, 245 Feldstärke, 335, 340, 347, 356 Leistung, 236, 259 Punktladung, 50 Stromdichte, 278 elektrischer Systempunkt, 53 Wandler, 4, 60 Widerstand, 73 elektroaktive Polymere, 335 elektroakustische Systeme, 65, 152 elektrodynamischer Kalibrierschwingtisch, 264—270 Lautsprecher, 261—264 Wandler, 253—257 elektrodynamisches Antriebssystem, 257—260 Autofokus-System, 261 elektromagnetischer Schwingförderer, 281—285 Stellantrieb, 285—288 Wandler, 270—278 elektromechanischer Kopplungsfaktor, 251, 252 elektromechanisches Relais, 278—281 System, 4, 54 elektrostatische Feldgröße, 50 Tastsonde, 319—321 elektrostatischer Festkörperwandler, 334, 335 Membranwandler, 325—328 Polymeraktor, 335—339 Wandler, 307 elektrostatisches Feld, 52—54 Elektrostriktion, 334 Elementar -funktionen, 86 -netzwerke, 59, 61 Energie innere, 41 kinetische, 179 potentielle, 179 Enthalpie, 57 Ersatz

-masse, 179 -nachgiebigkeit, 181 -parameter, 179, 180 -system, 181 Exzentrizität, 96 Faraday, 12 FE -Analyse, 211, 212 -Methode, 210 -Modell, 210—212 Feder, 70, 71 -konstante, 70 reale, 93 verlustfreie, 93 Fehler -grenzfrequenz, 433 -maß, 24 -verlauf, 426 numerische, 220 reduzierter, 268 zugelassener, 433 Feld -nachgiebigkeit, 276, 313, 373 -verteilung, 245 elektrostatisches, 52—54 Feldenergie -dichte, 270 elektrische, 12, 39 magnetische, 12, 39 Feldkraft elektrische, 245 magnetische, 240 nichtlineare, 244 Feldstärke elektrische, 335, 340, 347, 356 magnetische, 289, 291, 295 Fernfeld, 132, 133, 264 -elemente, 218, 220 Ferroelektrika, 341, 355, 356 ferroelektrische Polymere, 335 Filter -frequenzgang, 189 -systeme, 183 mechanisches, 188, 189 mikromechanisches, 323—325 nites Federelement, 172 Netzwerkelement, 201, 203

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Index

Flächenträgheitsmoment, 147, 150, 195 uidmechanisches Netzwerk, 47 System, 45 Flusskoordinaten, 59 Fourier -Entwicklung, 22, 425 -Koe!zienten, 35, 425 -Spektraldichte, 432, 436 -Summe, 425 -Transformation, 27 Fourier-Reihe, 18, 22 approximative, 23—25, 425, 427 interpolative, 24 Frequenz, 18 -funktion, 92, 183 -grenze, 113, 130 -verlauf, 209, 323 charakteristische, 84 komplexe, 21 Funktion mittelwertfreie, 30 periodische, 22 stetige, 24 trigonometrische, 147 zeitbegrenzte, 22, 29, 430 Funktionaltransformation, 20, 34 modizierte, 38 Funktionenfolge, 28, 430 Güte, 86 Gaskonstante, 115 Gekoppelte Simulation, 210 Gesamtübertragungsfunktion, 88, 401 Geschwindigkeit komplexe, 78, 79 Geschwindigkeits -dierenz, 69, 72, 73 -quelle, 76 Gleichungssystem algebraisches, 20 lineares, 43 Grenzfrequenz, 129 Großsignalverhalten, 289 Gyrator, 153, 154, 250 Hüllkurvenfunktion, 32 Halbleiter-Relais, 279, 281 Hamilton, 11

harmonische Analyse, 218 Kreisfunktion, 18 Hebel, 77—79 idealer, 68 Hecht, 11 Helmholtz, 11 -Resonator, 113 Hochpass, 86 Hohlräume kanalartige, 113, 116 volumenartige, 113, 115 Hohlraumsysteme, 127 Hybridmatrix, 213 hydraulische Systeme, 152 idealer Hebel, 68 Kolbenwandler, 153 Stab, 144—146 Transformator, 39 ideales Gas, 115 imaginäre Wandlerkonstante, 275 Impedanz, 80 -funktion, 178 -matrix, 194 allgemeine, 80 komplexe, 80 translatorische, 195 Impuls - äche, 431 -funktion, 426 Inchworm Motor, 301, 302 Induktivität, 110 induzierte Polarisation, 335 Spannung, 254 Inertialsystem, 73 innere Energie, 41 Polarisation, 334 Integrierglied, 86 interpolative Form, 24 Fourier-Reihe, 24 interpolierende Hüllkurve, 32 Isomorphie, 82 isotropes Dielektrikum, 334

Index Küpfmüller, 11 Kalibrierschwingtisch, 264—270 kanalartige Hohlräume, 113, 116 Kanalelemente reale akustische, 116 virtuelle, 114 kanonische Schaltung, 398 Kapazitätsmatrix, 51 kapazitiver Membranwandler, 202 Kapillarsystem, 205 kartesisches Koordinatensystem, 43 Kennfrequenz, 91 Kern -admittanz, 141 -impedanz, 141 Ketten -matrix, 194 -schaltung, 86 kinetische Blindleistung, 180 Energie, 179 Kirchhoff, 11 Kleinsignal -Wandlerschaltbild, 273 -verhalten, 247 Knoten -satz, 80 -spannungen, 41 -ströme, 41 Kolbenwandler idealer, 153 realer, 155 Kombinierte Simulation, 210 Kompensationsmethode, 238, 239 komplexe Übertragungsfunktion, 26 Admittanz, 80 Amplitude, 19, 20 Ausbreitungskonstante, 224 Belastung, 204 Ebene, 135 Frequenz, 21 Geschwindigkeit, 78, 79 Impedanz, 80 Netzwerkkoordinate, 80 Strahlungsimpedanz, 217—219 Teilschwingung, 37 Zeitfunktion, 19 komplexer

E-Modul, 93 Wellenwiderstand, 224 Kondensatormikrofon, 329—331 konzentrierte Bauelemente, 65, 66 Federn, 66 Ladung, 247 Masse, 66 Parameter, 14, 65 Reibungselemente, 66 Koordinaten -darstellung, 67 allgemeine, 136 mechanische, 51 verallgemeinerte, 44—46 Koppelelement gyratorisches, 187 transformatorisches, 186 Koppelsysteme, 43 verallgemeinerte, 53 Kopplungs -achtpol, 145 -faktor, 251, 252 -funktion, 43 Kopplungsvierpol, 144 Kraft -kennlinie, 310 -koordinaten, 44 -quelle, 77 -vektor, 57 kraftbelasteter Systempunkt, 151 Kreisfunktion, 18 Kurzschluss -kraft, 97 strom, 42 längenbezogene Drehnachgiebigkeit, 392 Masse, 174, 391 Nachgiebigkeit, 174 Längsschwinger, 349 Ladungsdichte, 329 -verteilung, 309 Lagekoordinaten, 43 unabhängige, 43 verallgemeinerte, 46 Lagrange, 11 -Formalismus, 44 -Funktion, 12

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Index

-Gleichungen, 43 @2-Wellenleiter, 186 @4-Wellenleiter, 187 laminare Strömung, 123 Leerlauf -übertragungsfunktion, 388 -spannung, 42 Leitwertmatrix, 41 lineares Gleichungssystem, 43 Netzwerk, 18, 61 System, 27, 38 Linearisierung, 310 Linearitätsfehler, 273 Linearkombination, 18, 44 Lithium -niobat, 355 -tantalat, 355 Lorentz-Kraft, 253 Magnetfeldstreuung, 276 magnetische Abtastsysteme, 254 Feldenergie, 12, 39 Feldkraft, 240 Feldstärke, 289, 291, 295 Induktion, 254 Materialkonstante, 290 Wechselwirkung, 241 magnetischer Fluss, 260 Wandler, 60, 240, 248 magnetoelastischer Eekt, 296 magnetostatische Feldgleichungen, 17, 50 Magnetostriktion, 288 magnetostriktiver Aktor, 300 Eekt, 289 Wanderwellenmotor, 301 Maschensatz, 79 Masse -schwerpunkt, 73 akustische, 117 konzentrierte, 66 längenbezogene, 174, 391 Materialkonstante elastische, 290 magnetische, 290

piezomagnetische, 290 Maxwell, 12 -Gleichungen, 12 -Spannung, 334 mechanische Dehnung, 93 Koordinaten, 51 Punktsysteme, 159 Schwinggüte, 95 Spannung, 93 Systemkraft, 240 Vorspannung, 325 mechanischer Wandler, 143 Zweipol, 97 mechanisches Filter, 188, 189 Schema, 75, 90 Teilsystem, 53, 362 Membranwandler elektrostatischer, 325—328 kapazitiver, 202 Mikrofonkapsel, 223 mikromechanisches Filter, 323—325 Mitgangsmatrix, 392 mittelwertfreie Funktion, 30 Mittenfrequenz, 325 mittlere quadratische Abweichung, 24 Modell -funktion, 27, 428 -zeitfunktion, 18 modizierte Funktionaltransformation, 38 Momentenquelle, 109 Monomorph, 353 Musterfunktion, 428—430 N-Tor, 54 Näherungs -funktion, 23, 24, 427, 437 -zeitfunktion, 426 Nachgiebigkeit, 70 akustische, 115 längenbezogene, 174 rotatorische, 105 Netzwerk abstraktes, 135—142 elektrisches, 39—42

Index uidmechanisches, 47 lineares, 18, 61 rotatorisches, 46 translatorisches, 45 verallgemeinertes, 52 neutrale Faser, 147 nichtlineare Feldkraft, 244 Normierungsgrößen, 102 numerische Fehler, 220 Orthogonalität, 24 Orts -funktion, 157, 200 -kurve, 258 Parameter konzentrierte, 14, 65 verteilte, 14 Parseval-Gleichungen, 24 passiver Schwingungstilger, 100—104 Wandler, 235, 236 Periodendauer, 24 periodische Funktion, 22 Impulsfunktion, 426 Zeitfunktion, 23 Phasen -frequenzgang, 84 -geschwindigkeit, 195 -winkel, 18 -Schaltung, 176, 177 piezoelektrische Keramiken, 355, 356 Kraftkonstante, 346 Ladungskonstante, 347 Zustandsgleichungen, 345—347 piezoelektrischer Beschleunigungssensor, 360, 362, 363 Biegeschwinger, 353 Dickenschwinger, 348, 349 Eekt, 339—342 Längseekt, 345 Längsschwinger, 349, 350 Multilayer-Biegeaktor, 389, 390 Quereekt, 349 Signalgeber, 212 Wandler, 236, 339 piezoelektrisches Mikrofon, 363—366

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piezomagnetische Materialkonstante, 290 piezomagnetischer Eekt, 290 Ultraschallsender, 302—305 Wandler, 288, 297 Pistonfon, 127—129 Plattenwandler, 155 -schaltung, 160 Polardiagramm, 229, 231, 232 Polarisation induzierte, 335 innere, 334 Polymeraktor, 335—339 Polymere dielektrische, 335 elektroaktive, 335 ferroelektrische, 335 Porosität, 226 potentielle Blindleistung, 180 Energie, 179 Punktladung, 50 PVDF, 335, 355, 359 pyroelektrischer Eekt, 356 PZT, 356 quadratische Abweichung, 24 Kennlinie, 273 quadratischer Eekt, 341 Quarz, 356, 357 quasistatische Verformung, 182 Quell -amplitude, 75 -größe, 66, 122, 132 -koordinaten, 76 Rayleigh-Funktionen, 192 reale akustische Kanalelemente, 116 Volumenelemente, 120, 121 reale Feder, 93 realer Kolbenwandler, 155 Rechteckfunktion, 437 reduzierter Fehler, 268 reelle Zeitfunktion, 19

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Index

Reibung, 72, 73 akustische, 117 Reibungs -admittanz, 73 -eekt, 72 -impedanz, 72 -standwert, 258 Reichardt, 11 Reihenentwicklung, 51, 57 Relais, 278—281 Reluktanzprinzip, 278 Resonanz -frequenz, 86, 91 -güte, 91 Restfehler, 426 Reversibilität, 242 reziproke Induktivitätskoe!zienten, 58 Kapazitätskoe!zienten, 51 Matrix, 41 Reziprozität, 403 akustische, 230 Reziprozitäts -beziehungen, 403—407 -eigenschaften, 42 -kalibrierung, 408 Richtcharakteristik, 228 rotatorische Nachgiebigkeit, 105 Systeme, 45, 60 rotatorischer Systempunkt, 144 Zweipol, 109 rotatorisches Netzwerk, 46 Teilsystem, 4 Sättigungsmagnetostriktion, 289 Schall -druckpegel, 133 -erzeugungssysteme, 127 -leistung, 264 Schaltung akustische, 118 kanonische, 398 Schema akustisches, 119 mechanisches, 75, 90 Schubmodul, 71

Schwinggüte, 95 Schwingungsisolation, 96 Schwingungstilger passiver, 100—104 Signal - uss, 236 -geber, 212 -operationen, 427, 428 -verarbeitungsrichtung, 4 Silizium -Messelement, 204, 205 -Mikrofon, 331—333 -Mikrotechnik, 279 -Ober ächenmikromechanik, 323 Simonyi, 12 Simulation gekoppelte, 210 kombinierte, 210 Simulations -systeme, 13 -verfahren, 11—15 Singularität, 196, 198 Spannung induzierte, 254 mechanische, 93 Spannungsintegral, 57, 240 spektrale Darstellung, 27—29 Spektrallinien, 32 spezische Wärme, 115 Sprungfunktion, 436, 437 Stab -element, 190 -resonanzfrequenz, 178 idealer, 144—146 starrer, 143—146 Stabilitätsgrenze, 283 stationäre Zeitfunktion, 17 Stoß -dämpfer, 19 -funktion, 431 Strahlungsimpedanz, 217—219 Streifen -membran, 202 -platte, 203 Strukturfaktor, 226 Superpositionsgesetz, 403 System -antwort, 23 -entwurf, 5

Index -kraft, 240 -matrix, 52 elektromechanisches, 4, 54 uidmechanisches, 45 lineares, 27, 38 trigonales, 356 Systeme akustische, 240 elastomechanische, 159 elektroakustische, 65, 152 hydraulische, 152 rotatorische, 45, 60, 240 translatorische, 240 Systempunkt akustischer, 47 elektrischer, 53 kraftbelasteter, 151 rotatorischer, 144 T-Schaltung, 176, 177 Tastsonde, 319—321 Tauchspule, 254 Taylor-Reihe, 183 Teilschwingung dierentielle, 35 komplexe, 37 Teilsystem akustisches, 4, 212 mechanisches, 53, 362 rotatorisches, 4 translatorisches, 4 Tiefpass 1= Ordnung, 86 mit Resonanz, 86 Trägheitsmoment, 106 Transformations -admittanz, 185 -matrix, 44 Transformator akustischer, 120 idealer, 39 Translationsachse, 70, 73 translatorische Admittanz, 197 Bezugsnachgiebigkeit, 392 Impedanz, 195 Systeme, 240 translatorisches Netzwerk, 45

Teilsystem, 4 Trichter, 201 trigonales System, 356 trigonometrische Funktion, 147 Trimorph, 353 Ultraschall -Mikroaktor, 202—204 -sender, 302—305 unabhängige Lagekoordinaten, 43 Unterziehvolumen, 206 Unwuchtamplitude, 96 verallgemeinerte Koordinaten, 44—46 Koppelsysteme, 53 Kraftkoordinaten, 44 verallgemeinerter Vektor, 51 verallgemeinertes Netzwerk, 52 Verlustfaktor, 93 verlustfreie Feder, 93 verlustfreie Vierpole, 235 Verrückung, 43 virtuelle, 244 verteilte Parameter, 14 virtuelle Kanalelemente, 114 Verrückung, 244 Zustandsänderung, 56 viskoser Reibungseekt, 72 vollständiges Dierential, 242 Lösungssystem, 192 Volumen -elemente, 120, 121 - uss, 114 volumenartige Hohlräume, 113, 115 Wärmeleitfähigkeit, 120 Wagner, 11 Wanderwellenmotor, 301, 302 Wandler -koe!zienten, 62 -matrix, 248 -vierpole, 59 elektrischer, 4, 60 elektrodynamischer, 253—257 elektromagnetischer, 270—278 elektrostatischer, 307

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Index

magnetischer, 60, 240, 248 mechanischer, 143 passiver, 235, 236 piezoelektrischer, 236, 339 piezomagnetischer, 288, 297 Wandlerkonstante, 236 imaginäre, 275 Wellen -admittanz, 366 -geschwindigkeit, 366 -impedanz, 175 -länge, 175 -zahl, 175 Wellenleiter eindimensionaler, 171 eindimensionaler akustischer, 225 Wellenwiderstand akustischer, 225 komplexer, 224 Widerstand, 73 Winkel -geschwindigkeit, 45, 106 -koordinaten, 105 -quelle, 107 Zähigkeit, 123 Zehnpolschaltung, 353, 354 zeitbegrenzte Funktion, 22, 29, 430 Vorgänge, 27 Zeitbereich, 20

Zeitfunktion bandbegrenzte, 32 komplexe, 19 periodische, 23 reelle, 19 stationäre, 17 zeitinvariante Bauelemente, 39 Netzwerke, 39 zugelassener Fehler, 433 Zustands -dierentialgleichungen, 14 -funktion, 41 -gleichungen, 345—347 -raum, 54 -vektor, 54 Zustandsänderung adiabatische, 115 virtuelle, 56 Zweig -leitwert, 41 -spannungen, 42 -ströme, 42 -widerstände, 41 Zweipol aktiver, 70 mechanischer, 97 rotatorischer, 109 zweipolige Bauelemente, 17, 40 Zylinderkoordinatensystem, 105