Éléments de Mathématique: Fonctions d'une variable reelle. Theorie elementaire

BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE Théorie éléme...

Author: N. Bourbaki

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BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE

Théorie élémentaire

123

Réimpression inchangée de l’édition orginale de 1976 © Hermann, Paris, 1976 © N. Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

ISBN-10 3-540-34036-X Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-34036-2 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Imprim´e en Allemagne Cover Design: WMXdesign, Heidelberg Imprim´e sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 -

Mode d'emploi

.

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NOUVELLE É D I T I O N

1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'université.

2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé, L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu' il ne possède déjà des connaissances assez étendues. 3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants: désigné par E Théorie des Ensembles A Algèbre 3) TG Topologie générale Fonctions d'une variable réelle ,, FVK Espaces vectoriels topologiques , EVT Intégration Y' INT Algèbre commutative ,) AC Variétés différentielles et analytiques )> VAR Groupes et algèbres de Lie ,? LIE Théories spectrales 3' 1's i'

y

Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué-ci dessus), chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce Livrc ou dans

ies Livres antérieurs. A partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres etant toujours supposés connus).

4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes Ils sont placés entre deux astérisques: *. . . ., Dans certains cas, il s'agit seulement de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux. 5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fasciculles de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration.

6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les déjnitions, les axiomes, et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de <( propositions r), (( lemmes s, ((corollaires>>, <( remarques >>, etc; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de <( scholie )), on trouvera quelquefois un commentaire d'un théorème particulièrement important. Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d'introduire certaines notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu'à l'intérieur d'un seul chapitre ou d'un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les anneaux considérés sont commutatifs, on peut convenir que le mot anneau )) signifie toujours G anneau commutatif O). De telles conventions sont explicitement mentionnées à la tête du chapitre dans lequel elles s'appliquent.

7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, où il risquerait de tomber; ces passages sont signalés en marge par le signe

(Qtournant dangereux D). 8. Les exercices sont destinés, d'une part, à permettre au lecteur de vérifier qu'il a bien assimilé le texte; d'autre part à lui faire connaître des résultats qui n'avaient pas leur place dans le texte; les plus dificiles sont marqués du signe 11. 9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l'objet d'une attention particulière. On s'est eforcé de nejamais s'écarter de la terminologie repe sans de très sérieuses raisons. 10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l'exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu'il a été possible, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage.

11. Le texte étant consacré à l'exposé dogmatique d'une théorie, on n'y trouvera qu'exceptionnellement des références bibliographiques; celles-ci sont groupées dans des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d'importance dans l'évolution de la théorie considérée; elle ne vise nullement à être complète.

Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur provenance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils d'exercices). 12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no 3), le chapitre et la page où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre est supprimée; par exemple, dans le Livre d'Algêbre, E, III, p. 32, cor. 3 renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III, page 32 de ce chapitre; II, p. 23, Remarque 3 renvoie à la Remarque 3 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 23 de ce chapitre. Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple: EVT, R signifie (( fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topologiques )>. Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le chapitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question; par exemple : AC, III, 5 4, no 5, cor. de la prop. 6. Au cas où le Livre cité a été modifié au cours d'éditions successives, on indique en outre l'édition.

INTRODUCTION

L'objet de ce Livre est l'étude élémentaire des propriétés infinitésimales des fonctions d'une variable réelle; l'extension de ces propriétés aux fonctions de plusieurs variables réelles, ou, à plus forte raison, à des fonctions définies dans des espaces plus généraux, ne pourra être traitée que dans des Livres ultérieurs. Les propriétés que nous démontrerons sont surtout utilisées lorsqu'elles se rapportent à des fonctions numériques (finies) d'une variable réelle; mais la plupart s'étendent sans nouveau raisonnement aux fonctions d'une variable réelle prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel de dimensionjnie sur le corps R, et plus généralement à des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur R (voir ci-dessous);comme ces fonctions interviennent fréquemment en Analyse, c'est pour elles que nous énoncerons toutes les propriétés qui ne sont pas spéciales aux fonctions numériques. La notion d'espace vectoriel topologique, dont nous venons de parler, est définie et étudiée en détail au Livre V de ce Traité; mais dans le présent Livre, nous n'aurons besoin d'aucun des résultats du Livre V; seules interviendront quelques définitions que nous allons reproduire ci-dessous pour la commodité du lecteur. Nous ne reviendrons pas sur la définition d'une espace vectoriel sur un corps commutatif K (A, II, p. 3) .l Un espace vectoriel topologique E sur un coqs topologique K l Les éléments (ou vecteurs) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K seront notés d'ordinaire dans ce chapitre par des minuscules grasses, les scalaires par des minuscules latines; le plus souvent, nous noterons à droite le scalaire t dans le produit par t d'un vecteur x, produit qui s'écrira donc x t ; éventuellement, nous nous permettrons toutefois d'utiliser la notation à gauche tx dans certains cas où elle sera plus commode; nous écrirons aussi parfois le prodüit du scalaire ljt (t O) et du vecteur x sous la forme x/t.

+

FvR 1.10

INTRODUCTION

est un espace vectoriel sur K muni d'une topologie telle que les fonctions x + y et xt soient continues dans E x E et dans E x K respectivement; une telle topologie est en particulier compatible avec la structure de groupe additif de E. Lorsque le groupe topologique E est complet, on dit que l'espace vectoriel topologique E est complet. Tout espace vectoriel normé sur un corps valué K (TG, IX, p. 31)l est un espace vectoriel topologique sur K. Soit E un espace vectoriel (muni ou non d'une topologie) sur le corps R des nombres réels; si x, y sont deux points quelconques de E, on appelle segment fermé d'extrémités x, y l'ensemble des points x t y ( l - t ) lorsque t parcourt l'intervalle fermé (0, 1) de R. On dit qu'une partie A de E est convexe si, quels que soient les points x, y de A, le segment fermé d'extrémités x et y est contenu dans A. Par exemple, une variété linéaire affine est convexe; il en est de même d'un segment fermé; dans Rn, un parallélotope (TG, VI, p. 3) est convexe. Toute intersection d'ensembles convexes est un ensemble convexe. On dit qu'un espace vectoriel topologique E sur le corps R est localement convexe si l'origine (et par suite tout point de E) possède un système fondamental de voisinages convexes. Tout espace normé E sur R est localement convexe; en effet, les boules llxll < r ( r > O) forment un système fondamental de voisinages de O dans E, et chacune d'elles est un ensemble convexe, car les relations llxll < r, llyll < r entraînent

+

pour O < t < 1. En particulier, les espaces numériques Rn sont localement convexes. Enfin, une algèbre topologique A sur un corps topologique (commutatif) K est une algèbre sur K munie d'une topologie telle que les fonctions x y, xy et x t soient continues dans A x A, A x A et A x K respectivement; lorsqu'on munit seulement A de sa topologie et de sa structure d'espace vectoriel sur K, A est donc un espace vectoriel topologique. Toute algèbre normée sur un corps v a b é K (TG, IX, p. 37) est une algèbre topologique sur K.

+

l On rappelle qu'une norme sur E est une fonction numérique llxll définie dans E, à valeurs finies et 3 O, telle que la relation llxll = O soit équivalente à x = O et qu'on ait

IIx + YII < ll~ll+ llrll et llxtll = Ilxll.ltl pour tout t E K (Itl étant la valeur absolue de t dans K).

CHAPITRE 1

Dérivées

Ainsi qu'il a été dit dans l'Introduction, nous étudierons dans ce chapitre et le suivant les propriétés infinitésimales des fonctions définies dans une partie du corps R des nombres réels, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique E sur le corps R; nous dirons pour abréger qu'une telle fonction est une fonction vectorielle d'une variable réelle. Le cas le plus important est celui où E = R (fonctions numériques finies d'une variable réelle). Lorsque E = Rn, la con-sid3ration dlung fonction vectorielle à valeursdans E revient-à la consid&ation simultanée de n fonctions numériques finies. Beaucoup des définitions et propriétés énoncées dans le chapitre 1s'étendent aux fonctions définies dans une partie du corps C des nombres complexes, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur êI (fonctions vectorielles d'une variable complexe). Certaines de ces définitions et propriété s'étendent même aux fonctions définies sur une partie d'un corps fofiologiyue commutatif quelconque K, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur K. Nous signalerons ces généralisations au passage (voir en particulier 1, p. 8, Remarque 2), en insistant surtout sur le cas des fonctions d'une variable complexe, de beaucoup le plus important avec celui des fonctions d'une variable réelle, et qui sera étudié de manière plus approfondie dans un Livre ultérieur.

1. Dérivée d'une fonction vectorielle

1. - Soit f une fonction vectorielle déJinie dans un intervalle 1 c R, non f (4 - f(_xo) réduit à-un-point. On dit que f estdérjvable eB un point x, €1 si lim x - t x ~ , x s I , x + x ~X - X o DÉFINITION

-

-

-

-

-

-

-

FVR 1.12

$1

DÉRIVÉES

existe (dam l'espace vectoriel où f prend ses valeurs) ; la valeur de cette de limite s'appelle dérivée première (ou simplement dérivée) de f au point x,, et se note f '(x,) ou Df (x,) . Si f est dérivable au point x,, il en est de même de la restriction de f à tout intervalle J c 1,non réduit à un point et tel que x, E J, et la dérivée de cette restriction est égale à ff(x,). Réciproquement, soit J un intervalle contenu dans 1et contenant un voisinage de x, par rapport à I ; si la restriction de f à J admet une dérivée au point x,, il en est de même de f. O n exprime ces propriétés en disant que la notion de dérivée est une notion locale. Remarques. -* 1) E n Cinématique, si le point f (t) est la position d'un point mobile

*

dans l'espace R3 à l'instant t, f ( t ) - (tO) est ce qu'on appelle la vitesse moyenne du t - to mobile entre les instants to et t, et sa limite f1(t0)la vitesse instantanée (ou simplement vitesse) à l'instant to (lorsque cette limite existe). 2) Si une fonction î, définie dans 1, est dérivable en un point xo E 1, elle est nécessairement continue par rai-port à I en ce point.

,

DÉFINITION 2. -Soit f une fonction vectorielle d@ie dans un intervalle 1 c R, et soit x, un point de 1 tel que l'intervalle 1 n [x,, + K I [ (resp. 1 n ) - a , x,)) ne soit pas réduit à un point. O n dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point xo si la restriction de f à l'intervalle 1 n (x,, +KI( (resp. 1 n ) - co, x,)) est dérivable aupoint x,; la valeur de la dérivée de cette restriction au point x,, s'appelle dérivée à droite (resp. à gauche) de f aupoint x,, et se note fi (x,) (resp. f i (x,)). Soit f une fonction vectorielle définie dans 1, x , un point intérieur à 1et tel que f soit continue en ce point; il résulte des déf. 1 et 2 que, pour que f soit dérivable au point x,, il faut et il suffit que f admette en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, et que ces dérivées soient égales; on a alors

f '(x,)

=

(x,) = f i (x,) .

Exemfiles. - 1) Une fonction constante a en tout point une dérivée nulle. 2) Une fonction linéaire affine x ++ a x b a en tout point une dérivée égale à a, donc constante. 3) L a fonction numérique l/x (définie pour x # 0) est dérivable en tout point 1 - i ) / ( x - 9)= --, et comme I/x est continue au point xo, xo # O, car on a xxo la limite de l'expression précédente est - l/x$ 4) L a fonction numérique 1x1, définie dans R,admet au point x = O une dérivée à droite égale à + 1 et une dérivée à gauche égale à - 1;elle n'est donc pas dérivable en ce point. * 5) L a fonction numérique égale à O pour x = 0, à x sin I/x pour x # 0, est définie et continue dans R, mais elle n'admet ni dérivée à droite ni dérivée à gauche a u point x = O., O n peut donner des exemples de fonctions continues dans un intervalle et n'ayant de dérivée en aucun point de l'intervalle (1, p. 42, exerc. 2 et 3).

+

DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle f dgnie dans un intervalle 1 c R est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) dans 1si elle est dérivable (resp.

No 2

FVR 1.13

DÉRIVÉE PREMIÈRE

dérivable à droite, dérivable à gauche) en tout point de 1 ; la fonction x t-t fl(x) (resp. x H f i ( x ) , x Hf i (x)) déjnie dans 1, est appelée fonction dérivée ou (par abus de langage) dérivée (resp. dérivée à droite, dérivée à gauche) de f, et se note f ' ou D f ou dfldx (resp. fi, f,' ) . Remarque. -Une fonction peut être dtrivable dans un intervalle, sans que sa dérivée soit continue en tout point de cet intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 5); * c'est ce 0; que montre l'exemple de la fonction égale à O pour x = 0, à x2 sin llx pour x elle a partout une dérivée, mais cette dérivée est discontinue au point x = O.,

+

2. Linéarité de la dérivation

PROPOSITION 1. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1 c R, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables au point x,, est un espace vectoriel sur R, et f H Df (x,) est une application linéaire de cet espace dans E . En d'autres termes, si f et g sont définies dans 1 et dérivables au point x,, f + g et fa ( a scalaire quelconque) sont dérivables au point x,, et ont respectivement pour dérivées en ce point f'(x,) + g'(x,) et ff(x0)a.Cela résulte aussitôt de la continuité de x + y et de x a dans E x E et dans E respectivement. COROLLAIRE. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f HDf est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des applicatiom de 1 dans E. Remarque. - Si on munit de la topologie de la convergence simple (ou de la topologie de la convergence uniforme) l'espace vectoriel des applications de 1dans E et le sous-espace des applications dérivables (cf. TG, X, p. 4), l'application linéaire f F+ Df n'est pas continue en général); * par exemple, la suite des fonctions f,(x) = sin n2x/n converge uniformément vers O dans R, mais la suite des dérivées f,'(x) = n cos nax ne converge pas simplement vers O.,

PROPOSITION 2. -Soient E et F deux espaces vectorie1.r topologiques sur R, u une application linéaire continue de E dans F. Si f est une fonction vectorielle définie dans un intervalle 1 c R, prenant ses valeurs dans E et dérivable au point xo E 1, la fonction composée u o f admet au point xo une dérivée égale à u(f '(x,) )

.

En effet, comme ~ ( f ( x ) ) u(f(xo)) = u X - Xo

(f

-

( x O ) ) ) cela résulte de la

X - Xo

continuité de u. COROLLAIRE. - S i (P est une forme linéaire continue dans E , la fonction numérique @ f admet au point x, une dérivée égale à ( ~ ('(x,)) f . O

Exemjles. - 1) Soit f = (f,),,,,, une fonction à valeurs dans Rn, définie dans un intervalle 1 c R; chacune des fonctions numériquesf, n'est autre que la fonction composée pr, o f, donc est dérivable au point xo si f l'est, et on a alors f'(xo) = (f((xo))iai
FVR 1.14

4 1.

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

* 2) En Cinématique, si f ( t ) est la position d'un mobile M à l'instant t, g ( t ) la position a u même instant de la projection M' d e M sur un plan P (resp. une droite D) parallèlement à une droite (resp. u n plan) non parallèle à P (resp. à D), g est cornposée de la projection u de R3 sur P (resp. D) et de f; comme u est une application linéaire (continue), on voit que la projection de la vitesse d'un mobile sur un plan (resp. une droite) est égale à la vitesse de la projection d u mobile sur le plan (resp. la droite)., 3) Soic f une fonction à valeurs complexes, définie dans un intervalle 1 c R, et soit a un nombre complexe quelconque; la prop. 2 montre que sif est dérivable en u n point xo E 1, il en est de même de af, et la dérivée de cette fonction a u point xo est égale à af' ( x o )

.

3. Dérivée d'un produit

Considérons maintenant p espaces vectoriels topologiques E, (1

< i < p)

sur

R, et une application multilinéairel continue (que nous noterons de El x E ,

...

( x 1 , x 2 . .+,) ++ t - ~ l . ~ , . ..x p I ) x E, dans un espace vectoriel topologique F sur K.

PROPOSITION 3. -Pour chaque indice i ( 1 < i < P),soit fi une fonction définie dans un intervalle I c R, prenant ses valeurs dans E,, dérivable au point xo E 1. Alors la fonction

définie dans 1 et à valeurs dans F , admet au point xo une dérivée égale à

Posons en effeth(x)

=

[ f l ( x ) . f 2 ( x ) . . . 5 ( x ) ] ; en vertu de l'identité

[b,.b, . . .b , ] - [ a , .a,. . .a , ]

=

5 [b,. . .b,. .(b,-

ai).ai+ l . . .a p ] ,

i=l

on peut écrire Y

h(x) -

W O )

=

.2 [ f l ( 4

1=1

. .fi - 1 ( 4

(

("4 - fi(x0)) . f i + l b O ) . . . f p ( x o ) l .

1 Multipliant les deux membres -et faisant tendre x vers xo dans 1,on obtient X - Xo

bien l'expression (1), en tenant compte de la continuité de

et de la continuité de l'addition dans F. Rappelons (A, II, p. 71) qu'une application f de El x E, x linéaire si toute application partielle

-.x

E, dans F est dite multi-

de Et dans F (1 < i < p), les a, d'indice f étant quelconques dans les Ej, est une application linéaire. On notera que si les El et F sont des espaces de dCmensionjnie sur R, toute application x E, dans F est nécessairement continue; il n'en est pas de m&mesi rnultilinéaire de El x E, x certains de ces espaces sont des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie.

.. .

No 3

FVR 1.15

DÉRIVÉE PREMIÈRE

Lorsque certaines des fonctions f , sont des constantes, les termes de l'expression (1) contenant les ddrivées f[(xo) de ces fonctions sont nuls. Nous expliciterons le cas particulier p = 2, le plus important pour les applications: si (x, y) ++ [x.y] est une application bilinéaire continue de E x F dans G (E, F, G espaces vectoriels topologiques sur Et), f et g deux fonctions vectorielles dérivables au point x,, prenant leurs valeurs respectivement dans E et F, la fonction vectorielle x ++ [f ( x ) .g(x)] (qu'on note encore [f.$1) admet au point x, une dérivde égale à [f'(x,) .g(xo)] + [f (xo).g1(x0)].En particulier, si a est un vecteur constant, [a.f] (resp. [f.a]) admet au point x, une dérivée égale à [a$'(x,)] (resp: [f(x,).a]), Si f et g sont toutes deux dérivables dans 1, il en est donc de même de [f.g], et on a -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Exemples. - 1) Soient f une fonction numérique, g une fonction vectorielle, toutes deux dérivables en un point xo; la fonction gf admet au point x0 une dérivée égale à g'(xo)f (xo) + g(xo)f'(xo). En particulier, si a est un vecteur constant, af admet une dérivée égale à af'(xo). Cette dernière remarque, jointe à l'exemple 1 de 1, p. 13, prouve que si f = (fi)l est une fonction vectorielle à valeurs dans Rn, pour que f soit dérivable au point xo, il faut et il suffit que chacune des fonctions numériques A(l ,( i < n) le soit: car, si (e,), est la base canonique de Rn, on peut écrire

,,,,

n

f =

C elfi.

in1

2) La fonction numérique xn provient de la fonction multilinéaire définie dans Rn, par substitution de x à chacun des xi; la prop. 3 montre donc que xn f i t dérivable dans R ega pouil dérivée nxn-L Itenrésnlte-que lafonction polynômGe an (a, vecteurs constants) a pour dérivée aoxn + alxn-l+ . . + an-,x

+

lorsque les alsont des nombres réels, cette fonction coïncide avec la dérivée d'une fonction polynôme définie en Algèbre (A, IV). 3) Le produit scalaire euclidien (x'ly) (TG, VI, p. 8) est une application bilinéaire (nécessairement continue) de Rn x Rn dans R. Si f et g sont deux fonctions vectorielles à valeurs dans Rn, dérivables au point xo, la fonction numérique x H (f(x) 1 g(x)) a au point xo une dérivée égale à (f'(xo) 1 g(xo)) (f (x,) 1 g'(xo)). On a un résultat analogue pour le produit scalaire hermitien dans Cn, ce dernier espace étant considéré comme espace vectoriel sur R. Considérons en particulier le cas où la norme euclidienne Il f (x) II est constante, et par suite aussi (f (x) 1 f (x)) = Il f (x) 11 2; en écrivant que la dérivée de (f (x) 1 f (x)) est nulle au point xo, il vient (f(xo) 1 f'(xo)) = O, autrement dit, ff(xo) est un vecteur orthogonal à f (xo). 4) Si E est une algèbre to#ologique sur R (cf. Introduction), le produit xy de deux tléments de E est fonction bilinéaire continue de (x, y); si f et g prennent leurs valeurs dans E et sont dérivables au point xo, la fonction x Hf ( x ) ~ ( xadmet ) au point xo une dérivée égale à f'(xo)g(xo) f (xo)gl(xo).En particulier, si U(x) = ( q ( x ) ) , Vix) = @,,(+Y)) sont deux matrices surrées d'ordre 71, dérivables an paintlco,feur prodult

+

+

FVR 1.16

91

DÉRIVÉES

UV admet en ce point une dérivée égale à la matrice U1(x0)V(xo) 4 U(xo)Vf(xo) (avec Uf(x) = (ul,(x)) et Vf(x) = (P;(x))). 5) Le déterminunt det(xl, x2, . . .,x,) de n vecteurs x, = (xi,)=<,<, de l'espace Rn (A, III, p. 90) étant une fonction multilinéaire (continue) des xi, on voit que si les n2 fonctions numériques hi sont dérivables au point xo, leur déterminant g(x) = det(h,(x)) admet en ce point une dérivée égale à

3

t = 1 [f1(~0),

., ft-1(~0),C(XO),ft+l(xo),- - ., fn(x0)1

où f,(x) = (fij(x))l,,,,; en d'autres termes, on obtient la dérivéed'un déterminant d'ordre n en faisant la somme des n déterminants qu'on obtient en remplaçant, pour chaque i, les termes de la colonne d'indice i du déterminant donné par leurs dérivées.

Remarque. - Si U(x) est une matrice carrée dérivable et inversible au point x,, la dérivée de son déterminant A(x) = det(U(x))s'exprime encore à l'aide de la dérivée de U ( x )par la formule

(3)

Ar(x0)= A(%,).T ~ ( U ' ( X , ) U - ~ ( X , ) ) .

En effet, posons U(x, + h) = U(x,) + hV; V tend par définition vers Uf(xo)lorsque h tend vers O. On peut alors écrire

A(x,

+ h) = A(xo). d e t ( l + hVU-l(x,)). n

Or, det(I + hX)

+ h T r ( X ) + k2= 2 Akhk,

2) étant des polynômes par rapport aux éléments de la matrice X; comme les éléments de VU-l (x,) ont une limite lorsque h tend vers O, on a bien la formule (3). =

1

les 1, (k

4. Dérivée de l'inverse d'me fonction

PROPOSITION 4. -Soit E une algèbre normée complète sur R, ayant un élément unité et soit f une fonction définie dans un intervalle 1 c prenant ses valeurs dans E, et dérivable au point x, E I. Si y. = f (xo) est inversiblel dans E, la fonction x H ( f ( x ) )- l est définie dans un voisinage de x, (par rapport à 1) et admet au point x, une dérivée égale à - ( f ( x o )-)l f '(x,)( f ( x o )-)l . En effet, l'ensemble des éléments inversibles de E est un ensemble ouvert où la l continue (TG, I X , p. 40); comme f est continue (par fonction y ~ y - est rapport à 1) au point x,, ( f (x))-l est définie dans un voisinage de x,, et on a ( f ( x ) ) - *- (f(x0))-1= ( f ( ~ ) ) - ~ ( f (x of () 4 ) (f(xo))-lLa proposition résulte donc de la continuité de y-l au voisinage de y,, et de la continuité de xy dans E x E. Exemples. - 1) Le cas particulier le plus important est celui où E est l'un des corps

R ou C:si f est une fonction à valeurs réelles ou complexes, dérivable au point xo et telle quef (xo) # 0, llfadmet au point xo une dérivée égale à - f'(xO)/( f ( ~ 0 ) ) ~ . On rappelle (A, 1, p. 15) qu'un élément 2 E E est dit inversible s'il existe un élément de E, noté z - l , tel que l'on ait zz-l = 2-12 = e (eélément unité de E).

DÉRIVÉE PREMIÈRE

FVR 1.17

2) Si U = ( z I j ( x ) ) est une matrice carrée d'ordre n, dérivable au point xo et inversible en ce point, U - l admet au point xo une dérivée égale à - U-lU'U-l. 5. Dérivée d'une fonction composée

PROPOSITION 5. - Soient f une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, et g une fonction vectorielle dgnie dans un intervalle de R contenant f (1). Si f est dérivable au point x, et g dérivable au point f (x,), la fonction composée g 0 f admet au point x, une dérivée égale à g' (f (x,) ) f '(x,) . En effet, posons h = g of; on peut écrire, pour x # x,,

dans le cas contraire. Lorsque x tend vers x,, f (x) a pour limite f (x,), donc u ( x ) a pour limite g r (f (x,)), d'où la proposition en vertu de la continuité de la fonction y x dans E x R. 6. Dérivée d'une fonction réciproque

PROPOSITION 6. -Soit f un homéomorphisme d'un intervalle 1 c R sur un intervalle J = f (1) c R, et soit g l'homéomo~hismerécipr~que.~ Si f est dérivable au point x, E 1, et sif '(x,) # O, g admet aupoint y, = f (x,) une dérivée égale à 11f '(x,) . En effet, pour tout y EJ, on ag(y) E 1 et u = f ( g ( y ) );on peut donc écrire, pour Y f Yo, g(y) - g(yO) = g(y) Lorsque y tend vers y, en restant dans J Y-Y0 f(g(y))-f(xo) et f y,, g ( y ) tend vers x, en restant dans 1 et f x,, et le second membre de la formule précédente a donc une limite égale à 11f '(x,), puisque par hypothèse f ' ( x 0 ) f 0. COROLLAIRE. - Si f est dérivable dans 1 et si f ' ( x ) # O dans 1, g est dérivable dans J et sa dérivée en tout point y E J est égale à 1/f ' (g(y)). Par exemple, pour tout entier n > O, la fonction x1In, homéomorphisme de R + sur 1 LI. lui-même, réciproque de xn, a pour dérivée en tout point x > 0, - xn n O n en déduit aisément, d'après la prop. 5, que, pour tout nombre rationncl r = P / q > O, la fonction x7 = (xl'q)' a pour dérivée rxT-l en tout point x > 0. Remarques. - 1) Toutes les propositions qui précèdent, énoncées pour des fonctions dérivables en un point xo, donnent aussitôt des propositions pour des fonctions dérivables à droite (resp. à gauche) en xo, en considérant a u lieu de ces fonctions,

Pour quef soit un homéomorphisme de 1 sur une partie de R, on sait qu'il faut et il suffit que f soit continue et strictement monotone dans 1 (TG, IV, p. 9, th. 5).

FVR 1.18

$1

DÉRIVÉES

leurs restrictions à l'intersection de l'intervalle où sont définies ces fonctions et CO[ (rcsp.) - CO, x,)) ; nous laissons a u lecteur le soin de lcs de l'intervalle [x,, énoncer. 2) Les définitions et propositions qui précèdent (à l'exception de ce qui concerne les dérivées à droite et dérivécs à gauche) s'étendent aisément a u cas où on remplace par un corps topologique commutatif quelconque K, et les espaces vectoriels topologiques (resp. algèbres topologiques) sur R par des espaces vectoriels topologiques (resp. algèbres topologiques) sur K. Dans la déf. 1 et les prop. 1, 2 et 3, il suffit d e remplacer I par un voisinage de xo dans IC; dans la prop. 4, il faut supposer de plus que l'application y Hy - l est définie et continue dans un voisinage de f(x,) dans E. L a prop. 5 se généralise de la façon suivante: soient K' un sous-corps du corps topologique K, E un espace vectoriel topologique sur K ; soit f une fonction définie dans un voisinage V c K' de xo E Kt, à valeurs dans K (considéré comme espace vectoriel topologique sur K'), dérivable au point x,. et soit g une fonction définie dans un voisinage de f (x,) E K, à valeurs dans E, ct dérivable a u point f (x,) ;alors l'application g of est dérivable a u point x, et a une dérivée en ce point égale à g'( f (x,)) f'(xo) (E étant alors considéré comme espace vectoriel topologique sur K'). Avcc les mêmes notations, soit f une fonction définie dans un voisinage V d e a E K,à valeurs dans E, et dérivable au point a; si a E K' et n'est pas point isolé dans K', la restriction de f à V n K' est dérivable a u point a, et a pour dérivée f ' ( a ) en ce point. Ces considérations s'appliqueront surtout, en pratique, au cas où K = C et

+

K'

=

R.

Enfin, la prop. 6 s'étend a u cas où on remplace 1par un voisinage de xo G K, e t f par un homéomorphisme de I sur un voisinage J = f (1) deyo = f (xo) dans K.

7. Dérivées des fonctions numériques

Les définitions et propositions qui précèdent se complètent sur quelques points lorsqu'il s'agit de fonctions numériques (finies) d'une variable réelle. Tout d'abord, sif est une telle fonction, définie dans un intervalle 1 c R,et continue par rapport à 1en un point x, E 1, il peut se faire, lorsque x tend vers x, en restant dans 1et

+ x,,

que

X

(XO)

- Xo

ait une limite égale à

+ CO ou à - a;

on dit alors encore que f est dérivable au point x, et a pour dérivée en ce point +co (resp. -a) ; si, en tout point x de 1, la fonction f a une dérivée (finie ou infinie) f'(x), la fonction f' (à valeurs dans R) est encore appelée la fonction dérivée (ou simplement la dérivée) def. O n généralise de même les définitions de la dérivée à droite et de la dérivée à gauche. point x = O, la fonction x % (fonction réciproque de x3, homéosur lui-même) admet une dérivée égale à co ; la fonction 1x1% admet au point x = O une dérivée à droite égale à cc et une dérivée à gauche égale à - co. Exemple. -Au

+

+

Les formules donnant la dérivée d'une somme, d'un produit de fonctions numériques dérivables, ou de l'inverse d'une fonction dérivable (prop. 1, 3 et 4) ainsi que la dérivée d'une fonction (numérique) composCe (prop. 5) sont encore valables lorsque les dérivées qui y figurent sont infinies, pourvu que toutes les

No 7

DÉRIVÉE PREMIÈRE

FVR 1.19

expressions intervenant dans ces formules aient un sens (TG, IV, p. 15-16). Enfin, dans la prop. 6, si on suppose que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) et continue dans 1, et si f '(x,) = O, la fonction réciproque g admet au point y, = f (x,) une dérivée égale à + co (resp. - a ) ; si f'(x,) = +co (resp. - co), g admet une dérivée égale à O. On a des résultats analogues pour les dérivées à droite et dérivées à gauche, que nous laissons au lecteur le soin d'énoncer. Soit C le graphe ou courbe représentative d'une fonction numérique finief, partie du plan R2 formée des points (x,f (x)) où x parcourt l'ensemble où f est définie. Si, en un point x, E 1, la fonction f a une dérivée à droite finie, la demi-droite ayant comme origine le point Mx, = (x,, f (x,)) de C, et pour paramètres directeurs (1, f,'(x,)) est appelCe demi-tangente à droite à la courbe C au point Mxo; (x,) = -a),on appelle encore ainsi la demilorsque f,'(x,) = +co (resp. f,' droite d'origine Mx, et de paramètres (0, 1) (resp. (O, - 1)). On définit de même la demi-tangente à gauche au point Mx,, lorsquefi (x,) existe. Avcc ces définitions, on vérifie aussitôt que l'angle que fait la demi-tangente à droite (resp. à gauche) avec l'axe des abscisses, est la limite de l'angle que fait avec cet axe la demi-droite d'origine Mx, passant par le point Mx = (x, f (x)) de C, lorsque x tend vers x, en restant > x, (resp. < x,) . On peut dire aussi que la demi-tangente à droite (resp. à gauche) est la limite de la demi-droite d'origine Mx, passant par Mx, en considérant sur l'ensemble des demidroites de même origine, la topologie de l'espace quotient C*//Rf (TG, VIII, p. 9).

Si les deux demi-tangentes en un point Mx, de C existent, elles ne sont opposées que lorsque f a une dérivée (finie ou non) au point x, (supposé intérieur à 1) ; elles ne sont identiques que lorsquef,'(x,) et f,'(x,) sont infinies et de signes contraires. Dans les deux cas, on dit que la droite qui contient les deux deinitangentes est la tangente à C au point Mx,. Lorsque la tangente en M,, existe, elle est la limite de la droite passant par Mx, et Mx, lorsque x tend vers xo en restant # x o , la topologie sur l'ensemble des droites passant par un même point étant celle de l'espace quotient C*/R* (TG, VIII, p. 15). Les notions de tangente et de demi-tangente à une courbe représentative sont des cas particuliers de notions génPrales qui seront définies dans la partie de ce Traité consacrée aux variétés différentielles.

DÉFINITION 4. - On dit qu'une fonction numériquejnief, définie dans une partie A d'un espace topologique E, admet un maximum relatif (resp. maximum relatif strict, minimum relatif, minimum relatif strict) en un point x, E A, par ratport à A, s'il existe un voisinage V de x, dans E tel qu'en tout point x E V n A dzférent de x,, on ait f (x) < f (x,) (resp. f ( x ) < f (xo), f ( x ) >f(xo), f ( 4 >f(xo)). Il est clair que si f atteint sa borne supérieure (resp. inférieure) dans A en un point de A, elle a un maximum relatif (resp. minimum relatif) par rapport à A en ce point; la réciproque est bien entendu inexacte.

FVR 1.20

§2

DÉRIVÉES

On notera que si B c A, et si f admet (par exemple) un maximum relatif en un point xo E B, par rapport à B, f n'admet pas nécessairement un maximum relatif par rapport à A en ce point.

PROPOSITION 7. -Soitf une fonction numériquejinie, déJinie dans un intervalle 1 c R. Si, en un point x,, intérieur à 1,f admet un maximum relatif (resp. un minimum relatif) et a en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, on a fi (x,) < O et f,'(x,) 2 O (resp. fi (x,) 2 O et f,'(x,) < O) ; en particulier, si f est dérivable au point xo, on a f'(xo) = 0. La proposition résulte trivialement des définitions. On peut dire encore que si en un point x, intérieur à 1 la fonction f est dérivable et admet un maximum ou minimum relatif, la tangente à sa courbe représentative est parallèle à l'axe des abscisses. La réciproque est inexacte, comme le montre l'exemple de la fonction x3 qui a une dérivée nulle au point x = O, mais n'a ni maximum ni minimum relatif en ce point.

8 2.

LE THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

Dans les propositions démontrées au § 1, hypothèses et conclusions ont un caractère local: elles ne font intervenir que des propriétés des fonctions considérées dans un voisinage arbitrairement petit d'un point fixe. Au contraire, les questions dont nous allons nous occuper dans ce paragraphe font intervenir les propriétés d'une fonction dans tout un intervalle. 1. Théorème de Rolle

PROPOSITION 1 (().-Soitf unefonction numériquejinie et continue dans un intervalle fermé 1 = (a, b) (où a < b), admettant en tout point de )a, b( une dérivée (finie ou non), et telle que f (a) = f (b). Il existe alors un point c (au moins) de )a, b( tel quef '(c) = 0. La proposition est évidente si f est constante; sinon f prend par exemple des valeurs > f (a), et atteint donc sa borne supérieure en un point c intérieur à 1 (TG, IV, p. 27, th. 1). Comme en ce point f admet un maximum relatif, on a f (c) = O (1, p. 20, prop. 7). COROLLAIRE. - Soitf une fonction numérique jinie et continue dans (a, b) (où a < b), admettant en tout point de )a, b( une dérivée (finie ou non). I l existe alors un point c (au moins) de )a, b( tel quef (b) - f (a) = f '(c) (b - a). Il suffit d'appliquer la prop. 1 à f (x) = f (b) -f (a) ( x b -a

- a).

No 2

THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

FVR 1.21

Ce corollaire signifie qu'il existe un point Mc = (c, f (c)) de la courbe représentative C def tel que a < c < b et qu'en ce point la tangente à C soitparallèle à la droite joignant les points Ma = (a,f (a)) et M, = (6, f (b)). 2. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques

Du corollaire de la prop. 1 résulte en particulier l'importante propriété suivante : si on a m t f ' ( x ) t M dans )a, b(, on a aussi rn t (') G M. Autrement b-a dit, d'une majoration de la dérivée f' dans tout un intervalle d'extrémités a, b

-

(rapport de 1' u accroissement O b-a de la fonction à 1' (( accroissement de la variable dans l'intervalle). Nous allons dans ce qui suit préciser et généraliser ce résultat fondamental.

résulte la même majoration du rapport

PROPOSITION 2. - Soitf une fonction numériquefinie et continue dans un intervallefermé borné 1 = (a, b) (où a < b), et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complémentairepar rapport à (a, b(:d'une partie dénombrable A de cet intervalle. Si f,'(x) 2 O en tout point x de (a, b( n'appartenant pas à A, on a f (b) P f (a) ;si en outref,'(x) > O en unpoint au moins de (a, b(, on af (6) > f (a). Soit E > O un nombre arbitraire, et désignons par (a,),,, une suite obtenue en rangeant dans un certain ordre les points de l'ensemble dénombrable A. Soit J l'ensemble des points y E 1tels que, pour tout x tel que a t x t y, on ait

la somme du second membre étant étendue à l'ensemble des indices n tels que a, < x. Nous allons démontrer que si f,'(x) 2 O en tout point de (a, b( distinct des a,, on a J = 1. Il est clair que J n'est pas vide, puisque a EJ; d'autre part, la définition de cet ensemble montre que si y E J, on a x E J pour a t x t y, donc J est un intervalle d'origine a (TG, IV, p. 7, prop. 1);soit c son extrémité. On a c EJ; c'est évident si c = a; sinon, pour tout x < c, on a l'inégalité (l), et afortiori

d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte (en raison de la continuité def ) que c satisfait à (1). Cela étant, nous allons voir qu'on a nécessairement c = b. En effet, si on avait c < b, ou bien on aurait c $ A; alorsf,' (c) existerait, et commef,'(c) 2 O par hypothèse, il existerait un y tel que c < y t b et que pour c t x t y, l'on ait

FVR 1.22

DÉRIVÉES

d'où, en tenant compte de ( l ) ,où x est remplacé par c

ce qui signifie qu'on aurait y E J, contrairement à la définition de c. Ou bien on aurait c = a, pour un indice k; commef est continue au point ak, il existerait un y tel que c < y O est arbitraire, on déduit de ( 2 ) qu'on a f ( b ) 2 f ( a ) , ce qui démontre la première partic de la proposition. Remarquons maintenant que ce résultat appliqué à un intervalle (x, y ) où a x < y < b, prouve que f est croissante dans 1 ; si on avait f (b) = f ( a ) , on en déduirait que f est constante dans 1, et par suite que fd ( x ) = O en tout point de [a, b [ ; d'où la seconde partie de 1'Cnoncé.

COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejinie et continue dans (a, 6 ) (où a < 6 ) et admettant une dLrivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[ d'une partie dénombrable A de ce1 iniervalle. Pour que f soit croissante dans 1, il faut et il sufit quef,' ( x ) 3 O en tout point de (a, b[ n'appartenantpas à A; pour quef soit strictement croissante, il faut et il sufit que la condition précédente soit vériJ;ée,et en outre que 17en.remble de5 points x oùf i ( x ) > O soitpartout dense dans [a, b). Remarques. - 1) La prop. 2 reste valable quand on remplace dans son énoncé l'intervalle ( a , b( parla, b ) et les mots <( dérivée à droite )> par <( dérivée à gauche )>. 2) L'hypothèse de la continuité de f dans l'intervalle fermC 1 (et non seulement sa continuité à droite1 en tout point de (a, b ( ) est esscntiellc pour la validité de la prop. 2 (cf. 1, p. 43, exerc. 8). 3) La conclusion de la prop. 2 devient inexacte si on suppose seulement que l'ensemble A des points <( exceptionnels est rare dans 1, mais non dénombrable (cf. 1, p. 447 exerc. 3). )>

La prop. 2 entraîne le théorème fondamental suivant (en apparence plus général) : Une fonction définie dans un intervalle 1 c R est dite continue à droite en un point xo E 1 si sa restriction à l'intervalle 1 n ( x o , + co( est continue au point xa par rapport à cet intervalle; il revient au même de dire que la limite à droite de la fonction au point x, existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

No 3

THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS F I N I S

FVR 1.23

THEORÈME 1 (théorème des accroissements finis). -Soient f et g deux fonctions numéripuesjinies et continues dans un intervalle fermé borné I = [a, b), et admettant une dérivée à droite (finie o u n o n ) en tous les points du comnplémentaire par rapport à [a, b[ d'une partie dénombrable de cet intervalle. On suppose en outre que f,'( x ) et gd ( x ) ne peuvent devenir injnis simultanément qu'aux points d'une partie dénombrable de 1 et qu'il existe deux nombresfinis m, M tels que

sauf aux points d'une partie dénombrable de 1 ( e n remplacant M .gd(x) (resp. m . g i ( x ) ) Dans ces conditions, on a par O si M = O (resp. m = O ) et g i ( x ) = I: a). sauf lorsqu'on a f ( x ) = M . g ( x ) + k, o u f ( x ) = m.g(x) + k (k constante) pour tout x E 1. II sufit d'appliquer la prop. 2 a u x fonctions M . g - f et f - m.g, qui, e n vertu des hypothèses faites, ont u n e dérivée à droite positive sauf a u x points d'une partie dénombrable de 1. Remarque. - Le th. 1 est inexact si on suppose dans l'énoncé que fi et gi peuvent simultanément infinis aux points d'une partie non dénombrable de 1 (cf. 1, p. 44, exerc. 3).

COROLLAIRE.-Soit f une fonction numériquejnie et continue dans (a, 6) (où a < b) et admettant une dérivée à droit (finie o u n o n ) en tous les points du complémentaire B par rapport à (a, b( d'une partie dénombrable de cet intervalle. Si m et M sont les bornes inférieure et supérieure def,'dans B, on a (5)

m(b - a) < f (b) - f (a) - M ( b - a)

sif n'estpas unefonction linéaire ajîne; sif est linéaire a$1ne, on a

Les inégalités ( 5 ) sont des conséquences d e (4)lorsque m et M sont finis; le cas o ù l'un o u l'autre d e ces nombres est infini est trivial. Remarque, -Les inégalités ( 5 ) prouvent qu'une fonction continue ne peut avoir une dérivée à droite égale à +CO en tout point d'un intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 6). 3. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorlelles T H É O R È M E 2. - Soit f une fonction vectorielle d&nie et continue dans un intervalle fermé borné 1 = (a, b) de R (où a < b) et prenant ses valeurs dans un espace normé E sur

soit g une fonction numérique continue et croissante dans 1. On suppose que f et g admettent une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[ d'une partie

FVR 1.24

DÉRIVÉES

52

dénombrable A de cet intemalle (ga(x) pouvant être infinie en certains des points x $ A), et qu'en chacun de cespoints on a

Il fd' (x)I < &(x).

(6)

La démonstration suit une marche tout à fait analogue à celle de la prop. 2. Soient E > O un nombre arbitraire, et (a,) la suite obtenue en rangeant dans un certain ordre les points de A. Soit J l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout x tel que a < x < y, on ait

nous allons montrer que J = 1. On voit d'abord, comme dans la prop. 2, que J est un intervalle d'origine a; si c est son extrémité, on a c EJ; en effet, pour tout x < c, on a la relation (8), et afortiori

d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte, en raison de la continuité de f, que c satisfait à (8). Montrons qu'on a nécessairement c = 6. En effet, supposons c < 6, et d'abord que c $ A; f i (c) et gd(c) existent donc et vérifient (6) ;supposons en premier lieu que ga(c) (qui est nécessairement 2 O) soit finie; alors on peut toujours écrire f,'(c) = ugd(c), avec llull 6 1; la fonction f (x) - ug(x) ayant au point c une dérivée à droite nulle, il existe un y tel que c < y < b et que, pour c < x < y, on ait

et, en tenant compte de (8), où x est remplacé par c

On aurait donc y E J, ce qui est contradictoire. Supposons ensuite qu'on ait c $ A et ga(c) = +CO; il existe alors un y tel que c < y 6 b et que, pour c < x < y, on ait, d'une part llf(x)

- f(c)ll <

(Ilfi(c>ll+ 1) (X - 6)

No 3

FVR 1.25

et d'autre part

d'où

et o n conclut c o m m e précédemment. Enfin, si o n a c c < y < b et que, pour c < x < y, o n ait

=

a,, il existe un y tel q u e

d'où en, tenant compte d e (8),o ù x est remplacé par c,

ce qui entraîne d e nouveau contradiction. L a démonstration se termine c o m m e celle d e la propr. 2. C.Q.F.D. Remarques. - 1) Ici encore, on peut remplacer dans l'énoncé du th. 2 l'intervalle (a, b ) par )a, b ) et <( dérivée à droite par (( dérivée à gauche n. 2) Nous montrerons plus tard comment on peut préciser les cas d'égalité dans la relation (7), et aussi comment on peut généraliser le th. 2 au cas où E est un espace localement convexe quelconque, à l'aide d'une autre méthode de démonstration qui permet de déduire le th. 2 du th. 1.

*

COROLLAIRE.- Pour qu'une fonction vectorielle continue dans un interualle 1 c R, à ualeurs dans un espace normé E sur R, soit constante dans 1, il sufit qu'elle ait une dérivée à droite nulle en tous les points du complémentaire (par rapport à 1 ) d'une partie dénombrable de 1. Remarque. - Les démonstrations des th. 1 et 2 font intervenir de façon essentielle les propriétés topologiques particulières au corps R; on peut en effet donner des exemples de corps valués K pour lesquels il existe des applications continues non constantes de K dans lui-même qui ont en tout point une dérivée nulle (cf. 1, p. 44, exerc. 2).

PROPOSITION 3. - Soit f une fonction vectorielle à ualeurs dans un espace normé E sur R, d$nie et continue dans un intervalle 1 R, dérivable à droite dans le complémentaire B (par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1 ; quels que soient les points x, E B, x E 1, y E 1, on a ( e n supposant par exemple x < y)

(9)

Ilf ( y ) - f ( x ) - fi ( ~ 0 ()Y

- XI

1 a

(Y - XI a s B s"p , x < z < u Ilfi (4

A

fA

11

( ~ 0 )

FVR 1.26

DÉRIVÉES

Il suffit e n e f f e t d'appliquer le th. 2 e n remplaçant f par la fonction Ilfi ( 2 ) - f i (x,) 11. sup L e th. 2 s'étend aux fonctions vectorielles d'une variable complexe:

et g par la fonction linéaire dont la dérivée est

zeB,x
4. -Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe déJinie, continue PROPOSITION et dérivable dans une partie ouverte convexe A du corps C , à valeurs dans un espace normé E sur le corps C . Si on a Ilf'(z) I < mpour tout z E A, on a /If( 6 ) - f (a)I < m 1 6 - a 1 pour tout couple de points a, b de A. Posons e n effet g ( t )

=

1

--f(a 6-a

+ t(b - a ) )

pour O

1 ; comme

g t ( t ) = f f ( a + t(b - a ) ) , l'application d u th. 2 à la fonction g donne aussitôt la proposition. COROLLAIRE.- Pour qu'une fonction vectorielle f d'une variable complexe, d@ie et continue dans un ensemble A c C , à valeurs dans un espace normé sur C, soit constante, il sufit qu'elle ait une dérivée nulle en tout point de A. E n effet, soit a u n point quelconque d e A; l'ensemble B des points z d e A o ù f ( z ) = f (a) est fermé puisque f est continue; il est aussi ouvert par application de la prop. 4 (avec m = 0) à u n voisinage ouvert convexe, contenu dans A, d'un point quelconque d e B ;donc il est identique à A. PROPOSITION 5. -Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe, déJinie, continue et dérivable dans un ensemble ouvert convexe A c C, à valeurs dans un espace normé sur le corps C ; quels que soient lespoints x,, x et y dans A, on a (10)

Ilf

(Y) -

f

(4 - f'(x0)

(Y - 4 I l

<

lY - xl - .sup Z EA

IlfW

-

f'(x0) Il.

II suffit d'appliquer le th. 2 à la fonction g(t) dans l'intervalle (0, 1).

=

f(x

+ t(y - x ) ) - f t ( x 0 ) ( y - x)t

4. Continuité des dérivées

PROPOSITION 6. -$oient 1 un intervalle ouvert de R, x, une des extrémités de 1, f une fonction vectorielle d@nie et continue dans 1, prenant ses valeurs dans un espace norme' complet E sur R ; on suppose que f admet une dérivée à droite aux points du complémentaire B, par rapport à 1, d3unepartie dénombrable de 1. Pour que fi ( x ) ait une limite lorsque x tend vers x, en restant dans B et # x,, il faut et il su@ que f ( y ) - (') ait une limite c lorsque Y-x (x, y) tend vers (x,, x,) de sorte que x E 1, y E 1, x # x,, y # xo et x # y. Dans ces condi-

No 4

THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

FVR 1.27

tions, f se prolonge par continuité au point x,, f i ( x ) tend vers c lorsque x tend vers x, (en restant dans B) et la fonction f prolongée (définie dans 1 c {x,)) admet au point xo une dérivée égale à c. Supposons par exemple que x, soit l'extrémité de 1. Montrons d'abord que si tend fd (x) tend vers e lorsque x tend vers x, en restant dans B et # x,, (Y)-f Y-x vers c; cela résulte aussitôt du th. 2 appliqué à la fonction f (2) - cz, qui donne

E > 0, il Y -X existe h > O tel que les conditions lx - x,l < h, ly - x,l < h (x # x,, y # x,)

pour x < y < x,. Inversement, si f(y) - f ( x ) tend vers c, pour tout

entraînent

Mais pour tout x E B et # x,, tel que lx - x,l < h, il existe k > O (dépendant de x) tel que la relation x < y < x + k entraîne

d'où, en tenant compte de (11):

pour lx - x,l < h, x E B et x # x,, ce qui prouve que f i (x) tend vers c. En outre, de la relation (11) on tire d'abord que

ce qui prouve (critère de Cauchy) que f a une limite d au point x,, lorsque x tend vers ce point en restant dans 1 et # x,; faisant alors tendre x vers x, dans (1l), il v i e n t , p o u r y ~ I , y# x,et Iy - x,l C h,

ce qui prouve que c est la dérivée au point x, de la fonction f prolongée par continuité à 1 r\ (x,). Remarque. - Un raisonnement analogue, basé sur le th. 1, montre que si f est une fonction numérique telle que f,'( x ) tende vers co au point xo, le rapport

+

( f (Y)

- f (x))l(y - x)

tend aussi vers +a,et réciproquement; si en outre f a une limite finie au point xo (ce qui ici n'est plus une conséquence de l'hypothèse), la fonction f prolongée au point xo par continuité a une dérivée égale à +CO en ce point.

FVR 1.28

3 3. DERIVÉES

D'ORDRE SUPÉRIEUR

1. Dérivées d'ordre n

Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie, continue et dérivable dans un intervalle 1. Si la dérivée f ' existe dans un voisinage (par rapport à 1) d'un point x, E 1, et est dérivable au point x,, sa dérivée est appelée la dérivée seconde de f au point x,, et se note f1'(x,) ou D2f(x,). Si cette dérivée seconde existe en tout point de 1 (ce qui implique que f ' existe et est continue dans 1), x i-t f "(x) est une fonction vectorielle qu'on désigne par la notation f " ou D2f. Par récurrence, on définit de même la dérivée n-ème (ou dérivée d'ordre n) de f, qu'on note f(n)ou Dnf; par définition, elle a pour valeur au point x, E 1la dérivée de la fonction f(n-l)au point x,: cette définition suppose donc l'existence de toutes les dérivées f(k)d'ordre k 6 n - 1 dans un voisinage de x, par rapport à 1, et la dérivabilité de f(" au point x,. On dira que f est nfois dérivable au point x, (resp. dans un intervalle) si elle admet une dérivée n-ème en ce point (resp. dans cet intervalle). On dit que f est ind$iniment dérivable dans 1 si, pour tout entier n > O, elle admet une dérivée d'ordre n dans 1. Par récurrence sur rn, on voit que

De façon précise, lorsque l'un des deux membres de (1) est défini, l'autre est défini et lui est égal.

1. -L'ensemble desfonctions uectorielles déjïnies dans un intervalle 1 c R, PROPOSITION prenant leurs valeurs dans un même espace uectoriel topologique E, et admettant une dérivée n-èrne dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f i-t Dnf est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des applications de 1 dans E. On démontre en effet par récurrence sur n les formules

lorsque f et g ont une dérivée n-ème dans 1 (a constante). PROPOSITION 2 ((
No 2

FVR 1.29

DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR

et admet une dérivée n-ème dam 1, [f.g] admet dans 1 une dérivée n-ème donnée par la formule

+

(p)

[f'"-P).gp)]

+ . . . + [f. g(")].

La formule (4) se démontre encore par récurrence sur n (compte tenu de la n- 1 n-1 = entre coefficients binomiaux). relation + P-1

(p) ( ) ( )

On vérifie de même la formule suivante (où les hypothèses sont les mêmes que dans la prop. 2) :

Les propositions précédentes ont été énoncées pour des fonctions n fois dérivables dans un intervalle; nous laissons au lecteur le soin d'énoncer les propositions analogues pour les fonctions n fois dérivables en un point.

2. Formule de Taylor

Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle 1 c R, à valeurs dans un espace normé E sur R; dire que f a une dérivée en un point a G 1 signifie que l'on a

(6)

lim x+a,xaI,x#a

f(x) - f(a) - ff(a) (x - a) X-a

=

O

autrement dit, que f est G approxirnativcment égale )> à la fonction linéaire f (a) + f'(a) (x - a) au voisinage de a (cf. chap. V, où cette notion est développée de façon générale). Nous allons voir que l'existence de la dérivée d'ordre n de f au point a entraîne de la même manière que f est <( approximativement égale )> à un polynôme en x, de degré n, à coefficients dans E (TG, X, p. 39) au voisinage de a. De façon précise : THÉORÈME 1. -Si lafonction

(7)

f admet une dérivée n-ème au point a, on a

(X - a) f(x) - f(a) - f'(a) l! lim x+a,x~I,x+a (X - a)n

. . . -f(%)(a)(X

Procédons par récurrence sur n. Le théorème est vrai pour n

-

n!

=

a)" =

O.

1. Pour n

FVR 1.30

DÉRIVÉES

83

quelconque, on peut, d'après l'hypothèse de récurrence, l'appliquer à la dérivée f ' de f: pour tout E > O, il existe donc h > O tel que, si on pose g(x)

=

(2 - a) - f " ( 4 (x - a)2 f(x) - f(a) - f'(a) 1! 2!

. . . - f(n)(a) (X -n !a)"

Appliquons le th. des accroissements finis (1, p. 22, th. 2) dans l'intervalle d'extrémités a, x (avec lx - al < h) à la fonction vectorielle g et à la fonction numérique croissante égale à E 1 y - aln/n si x > a, à - E 1 y - aln/n si x < a; il vient Ilg(x)II ,< E lx - aln/n,ce qui démontre le théorème. On peut donc écrire

où u(x) tend vers O lorsque x tend vers a en restant dans 1; cette formule est dite formule de Taylor d'ordre n, relative au point a, et le second membre de (8) est appelé le développement de Taylor d'ordre n de la fonction f au point a. Le dernier terme rn(z) = u(x) (x - ~ ) ~ /est n !appelé le reste de la formule de Taylor d'ordre n. Lorsque f admet une dérivée d'ordre n + 1 dans 1, on peut avoir en fonction de cette dérivée (n + 1)-ème une majoration de 1 rn(x)11 valable dans 1 tout entier, et non seulement dans un voisinage non précisé de a: PROPOSITION 3. -Si Ilf(n+l)(~) II 6 M dans 1,on a

dans 1. En effet, la formule est vraie pour n = 0, d'après 1, p. 23, th. 2. Démontrons-la par récurrence sur n; d'après l'hypothèse de récurrence appliquée à f', on a

d'où la formule (9) par application du th. des accroissements finis (1,p. 23, th. 2).

No 2

FVR 1.3 1

DÉRIVÉESD'ORDRE SUPÉRIEUR

COROLLAIRE. -S i f est une fonction numériquejnie admettant une dérivée ( n dans 1, et si m 6 f ("+l)(x) < M dans 1, on a, pour tout x 2 a dans 1

+ 1)-ème

le second membre ne pouvant être égal au premier (resp. au troisième) que si f ( " + l ) est constante et égale à m (resp. M) dans l'intervalle (a, x). La démonstration se fait de la même manière, mais en appliquant le th. 1 de 1, p. 17. Remarques. - 1) On a déjà noté, au cours de la démonstration du th. 1, que si f admet une dérivée n-ème dans 1, et si (11)

f ( x ) =a,

+- a,(x

- a)

+ a,(x

- a))

+ ... + a,(x

- a),

-P

r,(x)

est son développement de Taylor d'ordre n au point a, le développement de Taylor d'ordre n - 1 de f' au point a est

On dit qu'il s'obtient en dérivant terme à terme le développement ( 1 1 ) de f. 2) Dans les mêmes hypothèses, les coefficients a, de (11) sont déterminés par récurrence par les relations

a.

=

al

=

f (a) lim f

x-+a

(4 - f (a) X

-a

f ( x ) - f ( a ) - a,(x - a ) x-+a ( X - a)=

a, = lim

a, = lim x-ra

f(x)

-

f ( a ) - a,(x - a ) - . . . - a,-,(x ( X - a),

-

Dans le cas où a = O, on conclut de là en particulier que, si f ( x p ) (f entier > 0) admet une dérivée d'ordrepn dans un voisinage de O, le développement de Taylor d'ordre@ de cette fonction n'est autre que

r,(xP) étant le reste du développement (cf. V, p. 11). 3 ) La définition de la dérivée d'ordre n et les résultats qui précèdent se généralisent de façon immédiate aux fonctions d'une variable complexe; nous n'insistons pas davantage ici sur cette question, qui sera reprise en détail dans un Livre ultérieur de cet ouvrage.

F V R 1.32

8 4.

54

DÉRIVÉES

F O N C T I O N S C O N V E X E S D ' U N E V A R I A B L E RÉELLE

Soient H une partie de R, f une fonction numérique finie définie dans H, G le graphe ou ensemble représentatif de la fonction f dans R x R = R2, ensemble des points M, = ( x ,f ( x ) ) , où x parcourt H. Nous conviendrons de dire qu'un point (a, b) de R2 tel que a E H est au-dessus (resp. strictement au-dessus, au-dessous, strictement au-dessous) de G si on a b 2 f ( a ) (resp. 6 > f (a), b Q f ( a ) , b < f ( a ) ) . Si A = (a, a') et B = (6, b') sont deux points de R2,nous désignerons par A B le segment fermé d'extrémités A et B ; si a < 6, A B est le graphe de la fonction 6' - a' linéaire a' + -( x - a) définie dans (a, 6 ) ; nous désignerons par @ ( A B )la b-a b' - a' pente -de ce segment, et ferons usage du lemme suivant, dont la vérification b-a est immédiate :

Lemme. - Soient A = (a, a'), B = (b, b'), C = (c, a < b < c. Les propositions suivantes sont équivalentes: a ) B est au-dessous de A C ; b) C est au-dessus de la droitepassantpar A et B ;

CI)

trois points de R2 tels que

Fig. 1

c) A est au-dessus de la droitepassantpar 16 et C; d ) P ( W P ( A C ); e) p(BC). Le lemme est encore exact quand on y remplace au-dessus (resp. (( audessous ))) par strictement au-dessus )) (resp. << strictement au-dessous )>) et le signe Q par < (fig. 1). <(

1. Définition des fonctions convexes

DÉFINITION 1. - On dit qu'une fonction numérique finie f, deJinie dans un intervalle (1 c R, est convexe dans 1, si, quels que soient les points x, x' de 1 (x < x'), tout point M,

No 1

FVR 1.33

FONCTIONS CONVEXES

du graphe G de f tel que x 6 z 6 x' est au-dessous du segment M x M , (ou, ce qui revient au même, si tout point de ce segment est au-dessus de G) (fig. 2).

O'

x

x'

L

X

Fig. 2

Tenant compte de la représentation paramétrique d'un segment (TG, VI, p. 5), la condition pour que f soit convexe dans I est que l'on ait l'inégalité

pour tout couple (x, x') de points de I et tout A E (0, 1). La définition 1 est encore équivalente à la suivante: l'ensemble des points de R2 situés au-dessus du graphe G def est convexe. En effet, cette condition est évidemment suffisante pour que f soit convexe dans 1; elle est aussi nécessaire, car si f est convexe dans 1, et si (x, y), (x', y') sont deux points situés au-dessus de 6, on a y 2 f(x),yf >, f(xl),d'où,pourO < A < 1, Ay

+ (1 - A) y'

>, Af (x)

+ (1 - A) f (x')

2f (Ax

+ (1 - 1 ) ~ ' )

d'après (l), ce qui montre que tout point du segment d'extrémités (x, y) et (x', y') est au-dessus de G. Remarque. - O n voit de même que l'ensemble des points situés strictement au-dessus de G est convexe. Réciproquement, si cet ensemble est convexe, on a Ay ( 1 - A)y' > f (Ax (1 - A)x') pour O < A < 1 et y > f ( x ) , y' > f (x') ; en faisant tendre y vers f ( x ) et y' vers f (x') dans cette formule, il en résulte que f est convexe. Exemples. - 1 ) Toute fonction linéaire affine (numérique) ax b est convexe dans R. 2) La fonction x2 est convexe dans Pi, car on a lx2 ( 1 - A)xf2 - (1% ( 1 - A ) x ' ) ~= A(1 - A)(x - x')' > O pour O < A < 1. 3) La fonction 1x1 est convexe dans R,car on a

+

+

+

+

+

Ihx

pour0

< A < 1.

+ (1 - h)x'

1 < A 1x1

+ ( 1 - A)lx'l

Il est clair que sif est convexe. dans 1, sa restriction à tout intervalleJ c I est convexe dans J.

FVR 1.34

54

DÉRIVÉES

Soient f une fonction convexe dans 1, x, x' deux points de 1 tels que x < x ' ; si z E 1 est extérieur à (x, x'), M, est au-dessus de la droite D joignant M, et Mx,; c'est une conséquence immédiate du lemme. O n en déduit que, si z est un point tel que x < z < x', et tel que M, soit sur le segment M,M., alors, pour tout autre point z' tel que x < z' < x', M,# est aussi sur le segment M,Md, car il résulte de ce qui précède que M,, doit être à la fois au-dessus et au-dessous de ce segment; en d'autres termes, f est alors égale à une fonction linéaire afJinedans (x, x'). DÉFINITION 2. - On dit qu'une fonction numériquejnief, définie dans un intervalle 1 c R, est strictement convexe dans 1, si quels que soient les points x, x' de 1(x < x'), tout point M, du graphe G de f tel que x < z < x' est strictement au-dessous du segment M,M,, (ou, ce qui revient au même, si tout point de ce segment, distinct des extrémités, est strictement au-dessus de G)

.

En d'autres termes, on doit avoir l'inégalité

pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout A tel que O < A < 1. Les remarques précédant la déf. 2 montrent que, pour qu'une fonction f convexe dans 1 soit strictement convexe, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun intervalle contenu dans 1 (et non réduit à un point) tel que la restriction def à cet intervalle soit linéaire a$Ene. Des exemples donnés ci-dessus, le premier et le troisième ne sont pas des fonctions strictement convexes; par contre, on voit que x2 est une fonction strictement convexe dans R; un calcul analogue montre que 1/x est strictement convexe dans )O, + m(.

PROPOSITION 1. - Soitf une fonction numériquejnie, convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle 1 c R.Pour toute famille (xi), i,p de p 2 2 points distincts de 1, et

,

toutefamille (hi),

,,,,dep nombres réelstels que O < Ai < 1 et 5 hi = 1, on a i=l

(resp. (4)

La proposition (pour les fonctions convexes) se réduisant à l'inégalité (1) p l;

2

pour p = 2, nous raisonnerons par récurrence sur p > 2. Le nombre p = 1 = 1 Ai est > O; il est immédiat que si a et b sont le plus petit et le plus grand des xi, on a 1P - 1 Ai c 6, autrement dit le point x = hixi appartient à 1, et z=1

Z

p i=1

No 2

FVR 1.35

FONCTIONS CONVEXES P-1

l'hypothèse de récurrence entraîne pf (x)

< i=1 2 hif (xi); d'autre

part, on a,

d'après (1)

O n raisonne de même pour les fonctions strictement convexes en partant de l'inégalité (2). On dit qu'une fonction numérique finie f est concave (resp. strictement concave) dans 1 si - f est convexe (resp. strictement convexe) dans 1. Il revient au même de dire que, pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout h tel que O < h < 1,ona I

f (hx C (1 - h)xr) 2

+ (1 - h)f (x')

hf (x)

(resp.f ( h x + (1 - h)x') > Af(x)

+ (1 - A)f(x')).

2. Familles de fonctions convexes

PROPOSITION 2. -Soientf, (1

< i < p) p fonctions convexes dans un intervalle 1 c R, P

et ci (1

 O, f est strictement convexe dans 1. Cela résulte aussitôt de l'inégalité (1) (resp. (2)) appliquée à chacune des f,, en multipliant les deux membres de l'inégalité relative à f, par ci, et ajoutant membre à membre.

l

/!

PROPOSITION 3. - Soit (fa) une famille defonctions convexes dans un intervalle 1 c R ; si l'enveloppe supérieure g de cettefamille estjnie en tout point de 1, g est convexe dans 1. En effet, l'ensemble des points (x, y) E R2 situés au-dessus du graphe de g est l'intersection des ensembles convexes formés respectivement des points situés audessus du graphe de chacune des fonctionsf,;il est donc convexe. PROPOSITION 4. -Soit H un ensemble defonctions convexes dans un intervalle 1 c R ; si 8 est un Jiltre sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction numérique finie f,, cettefonction est convexe dans 1. 11 suffit pour le voir de passer à la limite suivant 8 dans l'inégalité (1).

FVR 1.36

84

DÉRIVÉES

3. Continuité ecdérivabilité des fonrctions convexes

PROPOSITION 5. -Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle 1, il faut et il sz@ que pour tout a E 1, la pente

soit une fonction croissante (resp. strictement croissante) de x dans 1 n C(a). Cette proposition est une conséquence immédiate des déf. 1 et 2 et du lemme de 1,p. 32. 6. - Soit f une fonction numériquejnie, convexe dam un intervalle 1 c R. PROPOSITION E n tout point a intérieur à 1, f est continue, admet une déride à droite et une dérivée à gauchejnies, et on af i ( a ) 6 fi (a). En eflèt, pour x

E

H et x > a, la fonction x 1--t

f(') -

-f

x-a 5) et bornée inférieurement, puisque si y < a et y E 1,on a

('1

est croissante (prop.

d'après la prop. 5; ccttc fonction admet donc une limite à droite finie au point a, autrement dit/,' (a) existe ct est h i e ; en outre, en faisant tendre x vers a (x > a ) dans (5), il vient

pour tout y < a appartenant à 1. On démontre de même que f i ( a ) existe, et que

pour x E 1 et x > a. En faisant tendre x vers a ( x > a) dans cette dernière inégalité, il vient f i (a) < f i ( a ) . L'existence des dérivées à droite et à gauche au point a entraine cvidemmcnt Ia continuité def en cc point. COROLLAIRE 1. - Soit f unefonction convexe (resp. strictement convexe) dans 1;si a et b sont deux points intérieurs à 1 tels que a < b, on a (fig. 3)

(resp. (9)

La double inégalité ( 8 ) provient de ( 6 ) et ( 7 ) par simple changement de

FONCTIONS CONVEXES

FVR 1.37

Fig. 3

notation. D'autre part, si f est strictement convexe et c tel que a < c < 6, on a, d'après (8) et la prop. 5

COROLLAIRE 2. - Sif est convexe (resp. strictement convexe) dans 1,f,' etfg sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l'intérieur de 1; l'ensemble despoints de 1 où f n'est pas dérivable est dénombrable, etf,' etf,' sont continues en tout point où f est dérivable. La première partie résulte aussitôt de (8) (resp. (9)) et de l'inégalité &'(a> < f,'(a). Soient d'autre pari E l'ensemble des points x intérieurs à 1où f n'est pas dérivable (c'est-à-dire fi (x) < f,'(x)). Pour tout x E E, soit J, l'intervalle ouvert )f ,'(x), f,'(x)(; il résulte de (8) que si x et y sont deux points de E tels que x < y, on a u < v pour tout u EJ, et tout u E J,; autrement dit, lorsque x parcourt E, les intervalles ouverts non vides J, sont deux à deux sans point commun; l'ensemble de ces intervalles est donc dénombrable, et il en est par suite de même de E. Enfin, f,' (resp.f,') étant croissante, a en tout point x intérieur à I une limite à droite et une limite à gauche; la prop. 6 de 1, p. 26 montre alors que la limite à droite de fd (resp.fi) au point x est égale à f,'(x), et sa limite à gauche à f,'(x) ; d'où la dernière partie du corollaire. Soient f une fonction convexe dans 1, a un point intérieur à I, D une droite passant par le point Ma, d'équation y - f (a) = a(x - a). Il résulte des inégalités (8) que sif,'(a) < a < f,' (a), tout point du graphe G def est au-dessus de D, et, sif est strictement convexe, Ma est le seul point commun à D et G; on dit que D est une droite d'appui de G au point Ma. Inversement, si G est au-dessus de D, on a

f (x) - f (a) 2 a(x - a) pour tout x E 1, d'où f(1' - f > a pour x 2 a, et x-a < a pour x < a; faisant tendre x vers a dans ces inegalités, il vient x -a

FVR 1.38

54

DÉRIVÉES

En particulier, si f est dérivable au point a, il n'existe qu'une seule droite d'appui de G au point M a , la tangente à G en M a . Remarque.

- Si

j est une fonction strictement convexe dans un intervalle ouvert 1,

,fi est strictement croissante dans 1, donc trois cas seulement sont possibles, d'après

la prop. 2 de 1, p. 21 : l 0f est strictement décroissante dans 1; Z0 f cst strictement croissante dans 1; 3 O il existe a E 1 tel que, pour x < a, f soit strictement décroissante, et, pour x 2 a, strictement croissante. Lorsque f cst convexc dans 1, mais non strictement convexe, f peut être constante dans un intcrvalle contenu dans 1 ; soit J = )a, b[ le plus grand intervalle ouvert où f est constante (c'est-à-dire l'intéricur de l'intervalle où fd(x) = O) ;f cst alors striciement décroissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x < a (s'il en existe), strictement croissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x 3 b (s'il en existe). Dans tous les cas, on voit que f possède une limite à droite à l'origine de 1 (dans R), une limite à gauche à l'extremité de 1; ces limites peuvent être finies ou infinies (cf. 1, p. 51, exerc. 5,6 et 7). Par abus de langage, on dit parfois que la fonction continuc (à valeurs dans ]R) égale à f dans l'inttkieur de 1, et prolongée par continuité aux extrémités de 1, est convexe dans Ï.

4. Critères de convexité

PROPOSITION 7. - SoitJ une fonction numériquejnie, d&nie dans un intervalle 1 c R. Pour que f soit convexe dam 1, il faut et il su@ que, pour tout couple de nombres a, b de 1 tels que a < O, et pour tout nombre réel p, la fonction f ( x ) + px atteigne sa borne supérieure dans (a, O) en l'un des points a, b. La condition cst nécessaire; en effet, comme px est convexe dans R, f ( x ) f px est convexe dans 1; on peut donc se borner au cas où p = 0. Or, pour

x

=

Aa

+ (1 - A)b(O G

h 6 l),

on a

f (4 G AS (a) f-

(1

-

A ) f (b) G Max

(f(4,f( b ) ) .

-f (b) -f

-

et soit g(x) 6-a f ( x ) -t px; on a g(a) = g ( b ) , donc g ( x ) < g(a) pour tout x E (a, b), et on vérifie aussitôt que cette inégalité équivaut à l'inégalité ( 1 ) où on a remplacé z par a et x' par b. La condition cst su$sante. Prenons en effet p

=

PROPOSITION 8. - Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle ouvert 1 c Hi, il faut et il SUI@ qu'elle soit continue dans 1, admette une dérivée en tout point du complémentaire B par rapport à 1 d'une partie dénombrable de cet intervalle, et que cette dérivée soil croissante (resp. strictement croissante) dans B. La condition est nécessaire d'après la prop. 6 et son corollaire 2 (1, p. 3 6 ) ; montrons qu'elle est suffisante. Supposons doncf'croissante dans B, et supposons quef ne soit pas convexe; il existerait donc (1, p. 36, prop. 5) trois points a, b, c de

No 4

FONCTIONS CONVEXES

FVR 1.39

accroissementsfinis (1, p. 23, th. 1), on a

O n aurait donc

sup XEB,Q<X
f' ( x ) >

inf

f '(x) , contrairement à l'hypo-

x€B,c<~
thèse quef ' est croissante dans B. Si maintenantf' est supposée strictement croissante dans B, f est convexe et à une fonction linéaire affine dans aucun intervalle ouvert ne peut être égale contenu dans 1, car dans cet intervalle f ' serait constante, contrairement à l'hypothèse. COROLLAIRE. - SoitJune fonction numériquejnie, continue et deux fois dérivable dans un intervalle I c R ; pour quef soit convexe dans 1, ilfaut et il su@t quef "(x) O pour tout x E 1; pour quef soit strictement convexe dans 1, il faut et il su&t que la condilion précédenie soit vér$ée et en outre que l'ensemble des points x E 1oùf"(x) > O soitpartout dense dans 1. Cela résulte aussitôt de la proposition précédente, et du corollaire de 1, p. 22. Exemple. - * Dans l'intervalle )O, +a(,la fonction xr ( r réel quelconque) a unc dérivée seconde égale à r ( r - I ) X ~ -donc, ~ ; elle est strictement convexe si r > 1 ou r < O, strictement concave si 0 < r < l*.

Pour énoncer un autre critère de convexité, nous poserons la définition suivante: étant donné le graphe H d'une fonction numérique finie définie dans un intervalle 1 c R,et un point a intérieur à I, nous dirons qu'une droite D passant par Ma = (a,f ( a ) ) est localement au-dessus (resp. localement au-dessous) de G en ce point s'il existe un voisinage V c 1 de n tel que tout point de Il contenu dans V x R soit au-dessus (resp. au-dessous) de G; nous dirons que D est localement sur G au point Ma s'il existe un voisinage V c I de a tel que l'intersection de D et de V x R soit identique à celle de G et de B x (autrement dit, si D est à la lois localement au-dessus et localement au-dessous de 6). PROPOSITION 9. - Soit f une fonction numériquejnie, semi-continue supérieurement dans un intervalle ouvert 1 c Pa. Pour que f soit comexe dans 1, il faut et il su&% que, pour tout point Mx du graphe G d e f , toute droite localement au-dessus de G en ce point soit localement sur G (au point Mx). La condition est nécessaire; cn effet, si f est convexe dans 1, en tout point Ma du graphe G def, il existe une droite d'appui A de G; A est au-dessous de 6, ct a fortiori localement au-dessous de G (1, p. 37) ; si une droite D est localement au dessus de G au point Ma, elle est localement au-dessus de A, donc coincide nécessairement avec A, et par suite est localement sur G au point Pd,. La condition est su@sante. En effet, supposons-la remplie, et supposons que f

FVR 1.40

84

DÉRIVÉES

ne soit pas convexe dans 1; il existerait alors deux points a, b de 1 (a < 6)tels qu'il existe dcs points M, de G strictement au-dessus du segment M,M, (fig. 4).

(x - a) prendrait 6-a des valeurs > O dans (a, 6); comme clie est finie et semi-continue supérieurement dans cet intervalle compact, sa borne supérieure k dans [a, b) est finie et > O, et

Autrement dit, la fonction g(x)

0

= f (x)

a

- f (a)

c Fig. 4

-

X

b

-1

l'ensemble g(k) est fermé et non vide (TG, IV, p. 30, th. 3 et p. 29, prop. 1). Soit -1

c la borne inférieure de g(k) ;on a a < c < b, et au point Mc la droite D d'équa-

+

-

(x - c) est localement au-dessus de G ; mais elle ne 6-a peut être localement sur G en ce point, puisque, pour a < x < c, on a g(x) < k, ce qui signifie que M, est strictement au-dessous de D. Nous aboutissons donc à une contradiction, ce qui établit la proposition. tion y

= f (c)

COROLLAIRE 1. -- Pour qu'une fonction numériquejnief, d@nie dans un intervalle ouvert , et semi-continue supérieurement dans 1, soit convexe dans 1, il faut et il sufit que, pour tout x E 1, il existe E > O tel que la relation 1 hl < E entraîne

f (4 2 (f(x + h) +f (x - 4 ) .

I

O

a-h a a+h

x

No 4

FONCTIONS CONVEXES

FVR 1.41

Nous avons seulement à démontrer que la condition est su$sante. En effet, si en un point M a du graphc G d e 5 une droite D est localement au-dessus de G, elle est localement sur G en ce point; car, dans le cas contraire, par exemple, un point Ma+, serait strictement au-dessous de D, le point M a - , étant au-dessous de D; le milieu du segment M a - ,Ma +, serait alors strictement au-dessous de D (fig. 5), et en vertu de l'hypothèse M a serait a fortiori strictement au-dessous de D, ce qui est absurde.

2. - Soit f une fonction numérique $nie, déjinie dans un intervalle ouvert COROLLAIRE I c R. Si, pour tout point x E 1, il existe un intervalle ouvert J, c I contenant x et tel que la restriction def à J, soit convexe dans J,, alorsf est conaexe dans 1. Il est clair en effet quef satisfait au critère de la prop. 8.

Exercices

81 1) Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie dans un intervalle 1 c R, et dérivable en un point xo intérieur à 1. Montrer que le rapport

tend versf'(xo) lorsque h et k tendent vers O par valeurs O. Réciproque. * Montrer que la fonctionf, égale à x2 sin llx pour x # O, à O pour x = 0, est dérivable en tout point, mais que (f (y) - f (z))/(y - z ) ne tend pas versf'(0) lorsque y et z tendent vers O en restant distincts et >O., 2) Dans l'intervalle I = (0, l), on définit par récurrence une suite de fonctions continues numériques (f,), de la manière suivante: On prend fo(x) = x; pour tout entier n 3 1, fn est linéaire affine dans chacun des 3" intervalles

pour0

< k < 3n -

l;enoutre,

on prend

Montrer que la suite (f,) converge uniformément dans 1 vers une fonction continue, qui n'a de dérivée (finie ou infinie) en aucun point de l'intervalle )O, 1( (utiliser l'exerc. 1). 3) Soit Q(1) l'espace complet des fonctions numériques finies et continues définies dans l'intervalle compact 1 = [a, b) de R, W(1) étant muni de la topologie de la convergence uniforme (TG, X, p. 4). Soit A la partie de W(1) formée des fonctions x telles que, pour un point a u moins t E (a, b( (dépendant de la fonction x), x ait au point t une dérivée à droite finie. Montrer que dans Q(I), A est un ensembIe maigre (TG, IX, p. 53), et par suite son complémentaire, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions continues dans 1, n'ayant de dérivée à droite finie en aucun point de (a, b(, est un sous-espace de Baire de g ( I ) (TG, IX, p. 54). (Soit A, l'ensemble des fonctions x E W(1) telle que, pour une valeur de t au moins satisfaisant à a < t 6 b - I/n (et dépendant de x) on ait Ix(tr) - x(t) 1 6 nlt' - - tl pour tout t' tel que t < t' < t Iln. Montrer que chacun des A, est un ensemble fermé rare dans Q(I) : on remarquera pour cela que, dans Q(I), toute boule contient une fonction ayant une dérivée à droite bornée dans (a, b(; d'autre part, pour tout E > O et tout entier m > 0, il existe dans 1une fonction continue ayant en tout point de (a, b( une dérivée à droite finie et telle que, pour tout t E (a, b(, on ait 1 y(t) 1 < E et 1 yi(t) 1 3 m.)

+

4) Soient E un espace vectoriel topologique sur R, f une fonction vectorielle continue, définie dans un intervalle ouvert 1 c R, et admettant en tout point de 1une dérivée à droite et une dérivée à gauche. a) Soient U un ensemble ouvert non vide dans E, A la partie de 1 formée des points x tels que fA(x) E U . Étant donné un nombre or > O, soit B la partie de 1 formée des points x tels qu'il existe au moins un y E 1 vérifiant les conditions x - a < y < x et (f (x) - f(y))/(x - y) E U; montrer que l'ensemble B est ouvert et que A n CB est dénombrable (remarquer que ce dernier ensemble est formé d'origines d'intervalles contigus à GB). En déduire que l'ensemble des points x E A tels que fg(x)$ Ü est dénombrable. b) O n suppose que E est un espace normé; I'image f(1) est aIors un espace métrique ayant une

§2

EXERCICES

FVR 1.43

base dénombrable, et il en est de même du sous-espace vectoriel fermé F de E engendré par f (1), sous-espace qui contient fi (1) et fi (1). Déduire de a) que l'ensemble des points x E 1 tels que fd (x) # fi (x) est dénombrable. (Si (U,) est une base dénombrable de la topologie de F, remarquer que pour deux points distincts a, b de F, il existe deux ensembles U,, U, sans point commun et tels que a E Up et b E U,). c) O n prend pour E l'espace produit RI (espace des applications de 1 dans R, muni de la topologie de la convergence simple), et pour tout x E 1, on désigne par g(x) l'application t H lx - t 1 de 1 dans R. Montrer que g est continue et que, pour tout x E 1, on a g;(x) # g; ( 4 . 5) Soit f une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert 1 c R, à valeurs dans un espace normé E sur R, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite. a) Montrer que l'ensemble des points x E 1 tels que fi soit bornée dans un voisinage de x est un ensemble ouvert partout dense dans 1 (utiliser le th. 2 de TG, IX, p. 56). b) Montrer que l'ensemble des points de 1 où fi est continue est le complémentaire d'un ensemble maigre dans 1 (cf. TG, IX, p. 114, exerc. 20).

6) Soit (r,) la suite des nombres rationnels appartenant à [O, l), rangés dans un certain ordre. m

&

Montrer que la fonction f (x) = 2 -,(x - r,) K est continue et dérivable en tout point .- de R et admet une dérivée infinie en tout point rn. (Pour voir quef est dérivable en un point x distinct des rn, distinguer deux cas suivant que la série de terme général 2-"(x - rn)-35 a pour somme +CO ou est convergente; dans le second cas, remarquer que, pour tout x # O et tout y # x, on a O < (y% - &)/(y - x) < 4/3x%).

7) Soitf une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, admettant une dérivée à droitefi (xo) = O en un point de 1, et soit g une fonction vectorielle définie dans un voisinage de y, = f (xo), et admettant en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche (non nécessairement identiques). Montrer que g of admet au point xo une dérivée à droite égale à O. 8) Soitf une application de R dans lui-même, telle que l'ensemble C des points de R où f est continue soit dense dans R, ainsi que son complémentaire A. Montrer que l'ensemble D des points de C où f est dérivable à droite est un ensemble maigre. (Pour tout entier n, soit En l'ensemble des points a E W tels qu'il existe deux points x, y tels que O < x - a < lin, O < y - a < Ilnet

f ( 4 - f (a) - f (y) - f (a) > 1 x-a

Y-a

Montrer que l'intérieur de En est partout dense dans R. Pour cela, noter que pour tout intervalle ouvert non vide 1 dans R, il y a un point b E 1 n A; montrer que pour a < b et b - a assez petit, on a a E En.)

9) Soit g ( N ) l'espace des suites bornées x = (x,),,~ de nombres réels, muni de la norme llxll = sup lxn/; donner un exemple d'une application continue t Hf (t) = (f,(t))n,N de R dans a ( N ) telle que chacune des fonctions fn soit dérivable pour t = O, mais que f ne soit pas dérivable en ce point.

1) Soit f une fonction numérique définie et continue à gauche dans un intervalle ouvert 1 = )a, b( de R; on suppose qu'en tous les points du complémentaire B par rapport à 1 d'une partie dénombrable de 1,f soit croissante à droite, c'est-à-dire qu'en tout point x E B, il existe y tel que x < y < b et que, pour tout z tel que x < z < y, on aitf (x) $ f (2).Montrer quef est croissante dans 1 (raisonner comme dans la prop. 2).

FVR 1.44

92

DÉRIV~ES

2) Dans le corps Q, des nombres p-adiques (TC, III, p. 84, exerc. 23), tout entier p-adique x E Z, admet un développement et un seul de la forme x = a, + a,$ + . . . + anpn + . . ., où les a, sont des entiers rationnels tels que O < ai < p - 1 pour tout j. Pour tout z E Z,, on pose f (x) = a, a@ . . anp2, . . ;

+

+ -+

+ .

montrer que, dans Z,, f est une fonction continue, qui n'est constante dans le voisinage d'aucun point et admet en tout point une dériuLc nulle.

,

3) a) Soient K l'ensemble triadique de Cantor (TG, IV, p. 9), In, les 2, intervalles contigues à K et de longueur 1/3n+1(1 < fi < Zn), K,, les Z n + l intervalles fermés de longueur 1/3n+1dont la réunion est le complémentaire de la réunion des 1,, pour m < n. Soit cc un nombre tel que 1 < cr < 312; pour tout n, on désigne par f, la fonction continue croissante dans (O, l), égale à O pour x = O, constante dans chacun des intervalles 1,. tels que m < n, linéaire affine dans chacun des intervalles K,, (1 < p < Zn+l) et telle que fi (x) = c c n + l dans chacun des intérieurs de ces derniers intervalles. Montrer que la série de terme généralf,, est uniformément convergente dans (0, l), a pour somme une fonction f qui admet partout une dérivée à droite (finie ou non) dans (O, 1(, et que l'on a,fi(x) = +a en tout point de K distinct des origines des intervalles contigus In, b) Soit g une application continue croissante de [O, 1) sur lui-même, constante dans chacun des intervalles In,, (TG, IV, p. 63, exerc. 9). Si h = f g, montrer que h admet une dérivée à droite égale à fi ( x ) en tout point x de (O, l(.

,

,

,

,.

+

4) Soitf une fonction numérique finie et continue dans un intervalle compact (a, b) de R et admettant cn tout point de l'intervalle ouvcrt )a, b( une dérivée à droite. Soient m et M les bornes inférieure et supérietire (finies ou non) de fd dans )a, b(. a) Montrer que, lorsque x et y parcourent )a, b( de sorte que x f y, l'ensemble des valeurs de (f (x) - f (y))/(x - y) est identique à l'intervalle )m, M( si f n'est pas linéaire affine. (Se ramener à prouver que si fd prend deux valeurs de signes contraires en deux points c, d de )a, b( (avec c < d), il existe deux points distincts de l'intervalle )c, d( où f prend la même valeur). b) Si f admet en outre en tout point de )a, b[ une dérivée à gauche, les bornes inférieures (resp. supérieures) de fi et fi dans )a, b( sont égales. c) En déduire que si.f est dérivable dans )a, b(, l'image p a r y de tout intervalle contenu dans )a, b( est un intervalle, et par suite est connexe (utiliser a)).

5) Soit f l'application vectorielle de 1 = [O, 1) dans R3 d6finie comme suit: pour O < t < +, f ( t ) = (-4t,O,O); pour $ < t <$, f ( t ) = ( - 1 , 4 t - 1,O); pour + < t < $ , f ( t ) = ( - 1, 1, 4t - 2 ) ; enfin, pour < t < 1, f ( t ) = (4t - 4, 1, 1). Montrer que l'ensemble convexe engendré par l'ensemble f;(I) n'est pas identique i l'adhérence de l'ensemble des valeurs de (Y) - (') lorsque (x, y) parcourt l'ensemble des couples de points distincts de 1 Y-x (cf. exerc. 4 a)).

+

6) Dans l'intervalle 1 = (- 1, I), on considère la fonction vectorielle f, à valeurs dans R2, définie de la manière suivante: f (t) = (0, O) pour - 1 < t < 0;

+

pour O < t < 1. Montrer que f est dérivable dans ) - 1, 1(, mais que l'image de cet intervalle par f' n'est pas un ensemble connexe dans R2 (cf. exerc. 4 c)).

7 ) Soit f une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert 1 c Pa. à valeurs dans un espace normé E sur R, et admettant en tout point de I une dérivée à droite. Montrer que l'ensemble des points de 1 où f admet une dérivée est le complémentaire d'un ensemble maigre dans 1 (utiliser l'exerc. 5 b) de 1, p. 43, et la prop. 6 de 1, p. 26).

§2

FVR 1.45

EXERCICES

8) O n considère, dans l'intervalle (0, l), une famille (1,. ,) d'intervalles ouverts deux à deux sans point commun, définie par récurrence comme suit: l'entier n prend toutes les valeurs >O; pour chaque valeur de n, l'entier fi prend les valeurs 1, 2, . . ., 2"; on a IoSl= )3, $(; siJ, est la réunion des intervalles 1,, correspondant aux nombres m < n, le complémentaire de Jn est réunion de P+lintervalles fermés Kn, (1 < p < 2"+l) deux à deux sans point commun. Si K,, est un intervalle (a, b), on prend alors pour I n + , , l'intervalle ouvert b-a b -3a ( l + & ) e t b - - . Soit E l'ensemble parfait complémentaire d'extrémités b - 3.2" de la réunion des In,, par rapport à (0, 1). Définir dans (0, 1) une fonction numérique continue f qui admette en tout point de (O, 1 [ une dérivée à droite, mais qui n'ait pas de dérivée à gauche aux points de l'ensemble non dénombrable dcs points de E distincts des extrémités d'intervalles contigus à E (cf. exerc. 7). (Prendre f (x) = O dans E, définir convenablement f dans chacun des intervalles In, de sorte que, pour tout x E E, il y ait des points y < x n'appartenant pas à E, arbitrairement voisins de x, et tcls quefb) -.f(x) = - l ) . y-x

,

,

,

,

9) Soient f et g deux fonctions numériques finies et continues dans (a, b) et ayant chacune une dérivée finie dans )a, b(; montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que

7 10) Soient f et g deux fonctions numériques finies, strictement positives, continues et dérivables dans un intervalle ouvert 1. Montrer que, si f' et g' sont strictcrnent positives, et f ' / g r strictement croissante dans 1, ou bien f/g est strictement croissante dans 1, ou bien il existe un nombre c E 1, tel que f/g soit strictement décroissante pour x < c, et strictement croissante pour x 2 c (remarquer que si on a f'(x)/g'(x) < f (x)/g(x), on a aussi pour tout y < x ) .

S'(Y)/~'(Y)< f ( Y ) / ~ ( Y )

I l ) Soit f une fonction à valeurs complexes, continue dans un intervalle ouvert 1, ne s'y annulant pas, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite. Pour que 1 f 1 soit croissant dans 1, il faut et il suffit que W(fiIf) > O dans 1.

fl 12) Soient f une fonction numérique dérivable dans un intervalle

ouvert 1, g sa dérivée dans 1, (a, b) un intervalle compact contenu dans 1; on suppose que g est dérivable dans l'intervalle ouvert )a, b(, mais n'est pas nécessairement continue à droite (resp. à gauche) a u point a (resp. 6); montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que d b ) - d a ) = (b (utiliser l'exerc. 4 c) de 1, p. 43).

-

a)gf(c)

13) O n appelle dérivée symétrique d'une fonction vectorielle f en un point xo intérieur à l'interf (xo h) - f (xo - h) lorsque h tend valle où est définie f, la limite (lorsqu'elle existe) de 2h vers O en restant >O. a) Généraliser à la dérivée symétrique les règles de calcul établies a u $ 1 pour la dérivée. b) Montrer que les th. 1 et 2 du 4 2 sont encore vrais quand on y remplace les mots ( par « dérivée symétrique ».

+

14) Soit f une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle compact 1 = (a, b) de R, à valeurs dans un espace normé sur R. O n suppose que f admet une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b( d'une partie dénombrable A de cet intervalle. Montrer qu'il existe un point x E )a, b( n CA tel quc Ilfi(x)ll(b - a). Ilf(6) - f(a)ll (Raisonner par l'absurde, en décomposant (a, b( en trois intervalles (a, t(, (t, t

+ h(

et

FVR 1.46

+

§3

DÉRIVÉES

(t h, b( avec t $ A; si k = Ilf(b) - f(a)/l/(b - a), noter que pour h assez petit, on a Ijf ( t h) - f (t) /j < k.h, et utiliser le th. 2 de 1, p. 23, dans les autres intervalles.)

+

§3 1) Avec les mêmes hypothèses que dans la prop. 2 de 1, p. 24, démontrer la formule

2) Avec les notations de la prop. 2 de 1. p. 28, on suppose que la relation [a.y] = O pour 1 fonctout y E F entraîne a = O dans E. Dans ces conditions, si g, (O < i < n) sont n tions vectorielles à valeurs dans E, définies dans un intervalle 1de R et telles que, pour toute fonction vectorielle f à valeurs dans F et n fois dérivable dans 1, on ait identiquement

+

[go.f]

+ [g1.f']

+ . a . +

[gn.f('q = O

les fonctions g, sont identiquement nulles. 3) Avec les notations de l'exerc. 2 et la même hypothèse sur [x. y], on suppose que chacune des fonctions gk est n fois dérivable dans 1; pour toute fonction f, n fois dérivable dans 1, à valeurs dans F, on pose

ce qui définit les fonctions h i (O identiquement [ho.f]

-

[h.f]'

+ [h2.fIn

+ . . a +

< i < n)

sans ambiguïté (exerc. 2); montrer que l'on a

(-l)n[hn.f](n) = [go.f]

+ [gl.f'] +...+

[gn.f(n)].

4) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Montrer que pour I/x E 1, on a identiquement

(raisonner par récurrence sur n).

5 ) Soient u et v deux fonctions numériques finies n fois dérivables dans un intervalle 1 c R. Si l'on pose Dn(u/u) = ( - l)nwn/vn+len tout point x où v(x) # O, montrer que l'on a

(posant w = u/v, dériver n fois la relation u = wu).

6 ) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle ouvert 1 c R, prenant ses valeurs dans un espace normé E. O n pose Af (x; hl) = f ( x + hl) - f (x), puis, par récurrence, APf(x;h1, hz,..., hp-1, h,) = Ap-lf(x

+ hp; hl ,...,hp-1) - AP-lf(x;hl ,..., hp-1);

ces fonctions sont donc définies, pour chaque x E 1, lorsque les h, sont assez petits.

§3

FVR 1.47

EXERCICES

a) Si la fonction f est n fois dérivable au point x (et par suite n - 1 fois dérivable dans un voisinage de x), on a

(raisonner par récurrence sur n, en utilisant le th. des accroissements finis).

b ) Si f est n fois dérivable dans l'intervalle 1, on a

/j Anf(x; hi,

. . .,h,)

.

- fCn)(xo) hlhz. . hn 1 < Ihlhz. .hnl sup llf'n'(x

.

+ tlhl +

la borne supérieure étant prise dans l'ensemble des (tl) tels que O (même méthode).

. . + tnh,) - f(n)(xo)11

< tt <

1 pour 1

c) Sif est une fonction numérique n fois dérivable dans 1, on a

Anf (x; hl, h2,

. . .,h,)

= hlhz. . .hJ'n'(~

+ Blhi + - . + Bnhn)

les nombres 8, appartenant à (O, 1) (même méthode, en utilisant 1, p. 31, corollaire).

7) Soient f une fonction numérique finie n fois dérivable au point xo, g une fonction vectorielle n fois dérivable au point y, = f (xo). Soient

les développements de Taylor d'ordre n def et g aux points xo et y. respectivement. Montrer 1 termes du developpement de Taylor d'ordre n de la fonction comque la somme des n posée g of au point xo est égal à la somme des termes de degré < n dans le polynôme

+

+ +

+

+ - . + ~ , h " )+~ . . + bn(alh + . - .+ ~ , h " ) ~ .

bo + bl(alh . . anhn) bz(alh . En déduire les deux formules suivantes:

la somme étant étendue à tous les systèmes d'entiers positifs (ml),

+ 2m2 + - + qm, + mz + - - .+ m,. ml

et p désignant la somme ml

,i,,tels que

=n

8) Soient f une fonction numérique définie et n fois dérivable dans un intervalle 1, x,, x2, . . .,xp des points distincts de 1, et nt (1 d i d p) p entiers > O tels que O n suppose qu'au point xi,f s'annule ainsi que ses ni - 1 premières dérivées pour 1 < i < p : montrer qu'il existe un point E; intérieur au plus petit intervalle contenant les xi et tel que f'"-"(4) = o.

9) Avec les mêmes notations que dans I'exerc. 8, on suppose que f est n fois dérivable dans 1

mais par ailleurs quelconque. Soit g le polynôme de degré n - 1 (à coefficients réels) tel qu'au point xi (1 < i < f i ) , g et ses nt - 1 premières dérivées soient respectivement égaux àf et ses nt - 1 premières dérivées. Montrer qu'on a

FVR 1.48

§3

DÉRIVÉES

où E est intérieur au plus petit intervalle contenant les points xi (1 l'exerc. 8 à la fonction de t

< i < P) et x.

(Appliquer

où a est une constante convenablement choisie.)

10) Soit g une fonction numérique impaire, définie dans un voisinage de O, et 5 fois dérivable dans ce voisinage. Montrer qu'on a

(même méthode que dans l'exerc. 9). En déduire que sif est une fonction numérique définie dans (a, b ) et 5 fois dérivable dans cet intervalle, on a

avec a <

4
(6

formule de Simpson s).

11) Soient f i , fi,....fn, g l , g2, ..., gn 22 fonctions numériques n - 1 fois dérivables dans ~ , ,suite strictement croissante de n points de 1. Montrer que un intervalle 1. Soit ( x , ) ~ ~ une le rapport des deux déterminants

(appliquer l'exerc. 9 de 1, p. 45). Cas particulier où g, ( x ) = 1, g2 ( x ) = x,

.... gn(x) = xn- l .

7 12) a) Soit f une fonction vectorielle définie et continue dans l'intervalle fini 1 = (-a, +a), prenant ses valeurs dans un espace normt E sur R et deux fois dérivable dans 1. Si on pose Mo = sup Ijf ( x ) 1 , M2 = sup jlfr'(x) 11, montrer que pour tout x E 1, on a XE1

XE1

(exprimer chacune des différences f (a)

- f ( x ) , E( - a ) - f ( x ) ) .

6 ) Déduire de a) que si f est une fonction deux fois dérivable dans un intervalle 1 (borné ou

§3

FVR 1.49

EXERCICES

non), et si Mo = sup Ilf(x) 11 et M2 = sup /If(x) I sont finis, il en est de même de M, = XE1

XE1

sup jlf'(x) Il, et on a : X E 1

--

Ml

si 1 a une longueur a < ~IM,M,

2

Montrer que, dans ces deux inégalités, les nombres 2 et 4 2 rcspectivement ne peuvent être remplacés par des nombres plus petits (considérer d'abord le cas où on suppose seulement que f admet une dérivée secondc à droitc, et montrer que dans cc cas les deux membres des inégalités précédentes peuvent devenir égaux, en prenant poui f une fonction numériqiic égale <( par morceaux >) à des polynômes du second degré). c) Déduire de b) que si f estp fois dérivable dans R, et si M, = sup Iif(P)(x)11 et Mo = sup jjf (x)II .Y

s R.

sont finis, chacun des nombres M, = sup IlW(x) // est fini pour 1

x e n

- 1, ct on a

xeH.

7 13) a) Soit f une fonction numérique deux fois dérivable dans R, et (f(x))" < a et ( f ' ( ~ ) )f~ ( f " ( ~ ) )6~ b dans R; montrer qu'on a ( f ( 4 ) " + (f'(x))2 < m 4 a , b)

telle que l'on ait

+ y2prend une valeur que + y2prenne des

dans R (raisonner par l'absurde, en remarquant que si la fonction f

c > max(a, b) en un point xo, i. cxiste deux points x,, x2 tels que x, < xo < x2 et qu'en

xl et x2 la fonction f' prenne des valeurs assez petites pour f2 y2atteint sa borne supérieure valeurs < c ; considérer alors un point de (xl, x,) oùJ2 dans cet intervalle). b) Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans Pa, et teile que l'on ait ( f( x ) ) ~ < a et (f(n)(x))2< b dans R;montrer que l'on a (f("-"(x))" (f ("-l)(x))" (f ("'(x))" max(a, b)

+

+

dans R pour 1 < k < n. (Raisonner par récurrence sur n; remarquer que, d'après l'exerc. 12, ~ IR est finie; montrer qu'on a nécessaircment la borne supérieure c de ( f ' ( ~ ) ) dans c < max(a, b) en raisonnant par l'absurde: dans l'hypothèse où c > max(a, b), choisir les p., on ait 1 g(x) 1 < l , / gf(x)1 < 1, mais constantes A et p. de sorte que pour la fonction g = Af < 1 pour tout x). qu'on ne puisse avoir ( g ( ~ ) ) ~

+

+

7 14) Soit f une fonction n - 1 fois dérivable dans un intervalle 1 contenant O, et soit fn la fonction vectorielle définie pour x # O dans 1 par la relation a) Montrer que si f admet une dérivée (n + p)-ème au point O, fn admet une dérivée fi-ème au point O et une dérivée (n p - 1)-ème en tout point d'un voisinage de O distinct de O; en k! outrc, on a fik)(0) = f(n+k'(0)pour O < k < p, ct f$'+k)(x). xk tend vers O avec x, (n k )! pour 1 6 k < n - 1 (exprimer les dérivées de f n à l'aide des développements de Taylor des dérivées successives d e f, et utiliser la prop. 6 de 1, p. 26). p - 1)-ème b) Inversement, soit f n une fonction vectorielle admettant une dérivée (n dans un voisinage de O dans 1, ct telle que f$'+Ic'(x). x" tende vers une limite pour O < k < n - 1. Montrer que la fonction f,(x) . xn admet une dérivée (n p - 1)-èmc dans 1; si en outre f, admet une d6rivi.c p-ème a u point O, f,(x). xn admet une dkrivée (n p)-ème a u point O. c) O n suppose 1 symétrique par rapport à O, et f paire (f(-x) = f (x) dans 1). Montrer, à l'aide de a) que, si f est Zn fois dérivable dans 1, il existe une fonction g définie et n fois dérivable dans 1, telle que E(x) = g(x2) dans 1.

+

+

.

+ +

+

FVR 1.50

53

DÉRIVÉES

7 15) Soit 1 u n intervalle ouvert de R, f une fonction vectorielle définie et continue dans 1 ; on suppose qu'il existe n fonctions vectorielles g, ( 1 < i < n) définies dans 1, et telles que la fonction de x

tende unijlormément vers O dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque h tend vers O. a) O n pose f p ( x ,h) = APf ( x ; h, h, . . ., h) (1, p. 46, exerc. 6 ) . Montrer que pour 1 < fi < n, ( l / h p ) f p ( xh) , tend unijhmément vers g p ( x ) dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque h tend vers O, et que les g, sont des fonctions continues dans 1 (le démontrer successivement pour fi = n, fi = n - 1 , etc.). b) En déduire que f possède dans 1 une dérivée n-ème continue et qu'on a f ( P ) = g, pour 1 < p < n (tenir compte de la relation f p + ,(x, h) = f ( x h, h) - fp(x,h)).

+

7 16)

+

Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans 1 = )- 1 , 1(, et telle que ( x )1 < 1 dans cet intervalle. a) Montrer que, si mk(h) désigne le minimum de 1f ( k ) ( x )1 dans u n intervalle de longueur h contenu dans 1, on a

1f

( O n remarquera que si l'intervalle de longueur h est décomposé en trois intervalles de longueurs a, P, y, on a

b) Déduire de a) qu'il existe u n nombre p, ne dépendant que de l'entier n, tel que, si If'(0) 1 2 p,, la dérivée f ( n ) ( x )s'annule en au moins n - 1 points distincts de 1 (montrer par récurrence sur k quef")s'annule au moins k - 1 fois dans 1). 17) a) Soit f une fonction vectorielle ayant des dérivées de tous ordres dans u n intervalle ouvert 1 c R. O n suppose que, dans 1, on ait llf(n)(x)II < a. n!rn,où a et r sont deux nombres >O indépendants de x et de n; montrer qu'en tout point x,, la <( série de Taylor )), de terme général ( l / n ! ) f ( n ) ( x(ox) - x , ) ~est convergente et a pour somme f ( x ) dans u n voisinage de xo. b) Inversement, si la série de Taylor de f e n u n point xo converge dans u n voisinage de xo, il existe deux nombres a et r (dépendant de x,) tels que Ilf(n)(xo) II < a.n!rn pour tout entier n > 0. c ) Déduire de a) et de l'exerc. 16 b ) que si, dans u n intervalle ouvert 1 c R, une fonction numérique f est indéfiniment dérivable et s'il existe u n entier fi indépendant de n tel que, pour tout n, f ( n )ne s'annule pas e n plus de fi points distincts de 1, alors la série de Taylor def au voisinage de tout point xo E 1 est convergente et a pour somme f ( x ) e n tout point d'un voisinage de xo. 18) Soit (a,) une suite quelconque de nombres complexes. O n pose, pour tout n 2 0, si0) = a,, et on définit par récurrence, pour k 2 0,

a) Prouver la a formule de Taylor pour les suites v: pour tout entier

(procéder par récurrence sur k ) .

84

FVR 1.51

EXERCICES

b) O n suppose qu'il existe u n nombre C tel que lna,l < C pour tout n, et que la suite (d2)/n),formke des moyennes arithmétiques 1 (so + . . . + ~ , , - ~ ) / des n sommes partielles a,-=, tend vers une limite o. Montrer que la série de terme général a, est s, = a. convergente et a pour somme o (a théorème taubérien de Hardy-Littlewood ))). (Ecrire + o . -

+

où Irnl est majoré à l'aide de l'inégalité jna,l tion de n.)

< C , et h est choisi convenablement

en fonc-

1 ) a) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle compact (a, b) c R; o n suppose que les ensembles H ( a ) et H(b) sont majorés dans R et qu'il existe u n point c tel que a < c < b et que H(c) soit minoré dans R; montrer que H est u n ensemble équicontinu dans )a, b( (TG, X , p. 10). b) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle 1 c R, et soit 8 u n filtre sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction f o ; montrer que 8 converge uniformément vers f o dans tout intervalle compact contenu dans 1. 2) Montrer que toute fonction f convexe dans u n intervalle compact 1 c R est limite d'une suite décroissante uniformément convergente de fonctions convexes dans 1 admettant une dérivée seconde dans 1 (considérer d'abord la fonction ( x - a) +,et approcher f par la

-

somme d'une fonction linéaire affine et d'une combinaison linéaire cients cf 2 0 ) .

2 c,(x - ai)

+

à coeffi-

3) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle 1 c R. a) Montrer que si f n'est pas constante, elle ne peut atteindre sa borne supérieure e n u n point intérieur à 1. b ) Montrer que si 1 est relativement compact dans R, f est minorée dans 1. c) Montrer que si 1 = R et si f n'est pas constante,f n'est pas majorée dans 1.

4) Pour qu'une fonction f soit convexe dans u n intervalle compact (a, b) c R, il faut et il suffit qu'elle soit convexe dans )a, b( et que l'on ait f (a) 3 f ( a + ) et f (b) 3 f ( b - ) . 5) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle ouvert )a, + a ( ; s'il existe u n point c > a tel que, dans )c, + a ( , f soit strictement croissante, on a lim f ( x ) = + m . x++m

6 ) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle )a, + a ( ; montrer que f ( x ) / xa une limite (finie ou égale à co) lorsque x tend vers co ; cette limite est aussi celle de f i ( x ) et de f i ( x );elle est >O si f ( x ) tend vers co lorsque x tend vers + W .

+

+

+

7) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle )a, b( où a 2 O ; montrer que dans cet intervalle, la fonction x Hf ( x ) - xf'(x) ((( ordonnée à l'origine )) de la demi-tangente à droite au point x au graphe de f ) est décroissante (strictement décroissante si f est strictement convexe). En déduire que: a) Si f admet une limite à droite finie au point a, ( x - a ) f i ( x ) a une limite à droite égale à O en ce point. b) Dans )a, b(, ou bien f ( x ) / x est croissante, ou bien f ( x ) / x est décroissante, ou bien il existe c E )a, b( tel que f ( x ) / xsoit décroissante dans )a, c( et croissante dans )c, b(. c) O n suppose que b = co; montrer que, si

+

est finie, il en est de même de a = lim f (x)/x, que la droite y = ax X+

+

+ P est asymptote1 a u

02

graphe d e f , et est située au-dessous de ce graphe (strictement au-dessous si f est strictement convexe).

8) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle ouvert 1 c %a. Pour que f soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait lin1 sup f (x + h) + f (x - h) - 2f (2) > O. (Démontrer d'abord que, pour tout E > 0, h2 h+O..h+O f (x) ex2 est convexe, en utilisant la prop. 9 de 1, p. 39).

+

~

7 9j

Soit f une fonction numérique finie, semi-continue inférieurement dans un intervalle 1 c W. Pour que f soit convexe dans 1, il suffit que, pour tout couple de points a, b de 1 tels que a < b, il existe un point z tel que a < z < 6, et que M, soit au-dessous du segment M,Mb (raisonner par l'absurde, en remarquant que l'ensemble des points x tels que Mx soit strictement au-dessus de MaMb est ouvert).

9j 10) Soit f une fonction numkrique finie définie dans un intervalle 1 c R, telle que

quels que soient x, y dans 1. Montrer que, si f est bornée supérieurement dans un intcrvalle ouvert )a, 6( contenu dans 1, f est convexe dans 1 (on montrera d'abord que f est bornée supérieurement dans tout intervalle compact contenu dans 1, puis que f est continue en tout point intérieur à 1).

7 11) Soitf une fonction continue dans un intervalle ouvert 1 c W, admettant en tout point de 1 une dérivée à droite finie. Si, pour tout x e I et tout y E 1 tel que y > x, le point M, = (y, f (y)) est au-dessus d e la demi-tangente à droite au point Mx = (x, f (x)) du graphe d e 5 montrer que f est convexe dans 1 (en utilisant le th. des accroissements finis, montrer que l'on a fi (y) 2 f (9) - f (') pour x < y). .,u - x Donner un exemple de fonction non convexe, ayant en tout point une dérivée à droite h i e , et telle que pour tout x E 1, il existe un nombre 11, > O dépendant de x, que M, soit y <x h,. au-dessus de la demi-tangente à droite a u point Mx pour tout y tel que x Cette dernière condition est toutefois suffisante pour que f soit convexe, si on suppose en outre quef est dérivable dans 1 (utiliser 1, p. 20, corollaire).

+

7 12) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle

ouvert 1 c IR; on suppose que, pour tout couple (a, b) de points de I tel que a < b, le graphe d e f soit tout entier audessus ou tout entier au-dessous du segment M,Mb dans l'intervalle (a, 6). Montrer que f est convexe dans tout 1 ou concave dans tout 1 (si, dans )a, 6(, il existe un point c tel que Mc soit strictement au-dessus d u segment M,Mb montrer que pour tout x E I tel que x > a, le graphe de f est au-dessus du segmcnt MaMx dans l'intervalle (a, x)).

13) Soit f une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert 1 c R. O n suppose que, pour tout couple (a, b) de points de 1 tels que a < 6, il existe un seul point c E )a, 6( tel que f ( b ) - f (a) = (6 - a)f'(c); montrer que f est strictement convexe dans 1 ou strictement concave dans 1 (montrer que f' est strictement monotone dans 1). 14) Soit f une fonction numérique convexe et strictement monotone dans un intervalle ouvert 1 c R; soit g la fonction réciproque de f (définie dans l'intervalle f (1)). Montrer que si f est décroissante (resp. croissante) dans 1, g est convexe (resp. concave) dans f (1).

+

15) Soit 1 un intervalle contenu dans )O, co[; montrer que, sif (llx) est convexe dans 1, il en est de même d e xf (x), et réciproquement. C'est-à-dire que Lm ( f (x) - (ax +x++m

P))

= 0.

§4

FVR 1.53

EXERCICES

* 16) Soient f une fonction positive convexe dans )O, +a(,a et b deux nombres réels quelconques. Montrer que la fonction xaf ( x - ~ )est convexe dans 10, +CO(,dans les cas suivants : 1' a = + ( b l), Ibl a 1, 1); 2" xaf (xbb)croissante, a(b - a) 2 O, a à $(b 3' xaf ( x - ~ )décroissante, a(b - a) 3 O, a < +(b + 1). Dans les mêmes hypothèses surf, montrer que exI2f ( e - " ) est convexe (utiliser l'exerc. 2 de 1, p. 51).

+

+

,

17) Soient f et g deux fonctions positives convexes dans un intervalle 1 = [a, b); on suppose qu'il existe un nombre c E 1tel que, dans chacun des intervalles (a, c) et (c, b), f et g varient dans le même sens. Montrer que le produit fg est convexe dans 1. 18) Soit f une fonction convexe dans un intervalle 1 c R, g une fonction convexe et croissante dans un intervalle contenant f (1) ; montrer que g of est convexe dans 1.

7 19) Soient f et g deux fonctions numériques finies, f étant définie et continue dans un intervalle 1,g définie et continue dans R. O n suppose que, pour tout couple (A, p) de nombres hw p) soit convexe dans 1. réels, g(f (x) a) Montrer aue "P est convexe et monotone dans R. b) S i g est croissante (resp. décroissante) dans R, montrer que f est convexe (resp. concave) dans 1 (utiliser la prop. 7).

+

+

A

20) Montrer que l'ensemble IY des fonctions convexes dans un intervalle 1 # W est un ensemble réticulé pour la relation d'ordre <( quel que soit x E 1, f (x) < g(x) o (E, III, p. 13). Donner un exemple de deux fonctions f, g convexes dans 1 dont la borne inférieure dans P prend en certains points une valeur distincte de inf (f (x), g(x)). Donner un exemple d'une famille infinie (f,) de fonctions de IY telle que inf f,(x) soit fini en tout point x E 1, a

mais telle qu'il n'existe aucune fonction de

IY inférieure à toutes les fa.

21) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle ouvert 1 c R. Pour que f soit strictement convexe dans 1, il faut et il suffit qu'il n'existe aucune droite localement au-dessus du graphe G de f en un point de G. 22) Soientf,, . . .,f, des fonctions convexes continues dans un intervalle compact 1 c suppose que pour tout x E 1, on ait sup (h(x))3 O. Montrer qu'il existe n nombres cc, 3 O

5

5

tek que E, = 1 et que l'on ait u&(x) a O dans 1. (Traiter d'abord le cas n = 2 en 5=1 j=l considérant un point xo où l'enveloppe supérieure sup(f,, f2) atteint son minimum; lorsque xo est intérieur à 1, déterminer GC, de façon que la dérivée à gauche de ccl fi (1 - u,) fi au point xo soit nulle. Passer de là au cas général en raisonnant par récurrence sur n; utiliser l'hypothèse de récurrence pour les restrictions de fl, . . .,fn-, à l'intervalle compact où f n b ) $ 0.)

+

23) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle compact I c II%; parmi les fonctions g < f qui sont convexes dans 1, il en existe une plus grande que toutes les autres go. Soit F c 1 l'ensemble des x E 1 tels que g,(x) = f (x) ; montrer que F n'est pas vide, et que dans chacun des intervalles ouverts contigus à F, go est égale à une fonction linéaire affine (raisonner par l'absurde). 24) Soit P(x),un polynôme de degré n à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles et contenues dans l'intervalle (- 1, 1). Soit k un entier tel que 1 $ k $ n. Montrer que la fonction rationnelle

est croissante dans tout intervalle de R où elle est définie; si cl < c2 <

. < c,

sont ses

FVR 1.54 pôles (contenus dans ( - 1, Il), f est convexe pour x < c, et concave pour x > c,. En déduire que lorsque a parcourt [ - 1, 11, la longueur du plus grand intervalle contenant les zéros de la dérivée k-ème dc (x - a)P(x) atteint sa plus grande valeur lorsque a = 1 ou a = - 1.

25) O n dit qu'une fonction numérique f définie dans [O. f (x + y) > f (x) + f (y) pour x 2 0, y 2 O, et f (O) = O.

+CD( est

suradditive si l'on a

a) Donncr dcs exemples de fonctions suradditives discontinues. b) Montrer que toute fonction f convexe dans (O, -tCO( et tellc quc f (O) = O est suradditive. c) Si f, et f, sont suradditives, il en est de même de inf (f,, f,) ; en déduire des exemples de fonctions continues suradditives et non convexes. d ) Si f est coniinue et > O dans un intcrvalle [O, a) ( a > O), tellc que f (O) = O et f (x/n) < f (x)/n pour tout entier n 2 1, montrer que f admet une dérivée à droite a u point O (raisonner par l'absurde). En particulier toute fonction continue suradditive et 2 O admet une dérivée à droite au point O.

CHAPITRE II

Primitives et intégrales

§ 1. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Sauf mention expresse du contraire, nous ne considérerons, dans ce chapitre, que des fonctions vectorielles d'une variable réelle, prenant leurs valeurs dans un espace normé complet sur R. Lorsqu'il s'agit en particulier de fonctions numériques, il est donc toujours sous-entendu que ces fonctions sont Jinies si le contraire n'est pas spécifié.

1. Définition des primitives

Une fonction vectorielle f, définie dans un intervalle 1 c R, ne peut être en toutpoint de cet intervalle la dérivée d'une fonction vectorielle g (définie et continue dans 1) que si elle satisfait à des conditions assez restrictives: par exemple, si f admet une limite à droite et une limite à gauche en un point x, intérieur à 1,f doit être continue au point x,, d'après la prop. 6 de 1, p. 26; il en résulte que, si on prend pour 1 l'intervalle ( - 1, + 1)' pour f la fonction numérique égale à - 1 dans ( - 1, O(, à -I- 1 dans (O, 1), f n'est pas la dérivée d'une fonction continue dans 1 ; toutefois, la fonction 1x1 a pour dérivée f (x) en tout point # O ; on est ainsi conduit à poser la définition suivante : DÉFINITION 1. -Etant donnée unefonction vectorielle f, d@nie dans un intervalle 1 c HP, on dit qu'une fonction g déJinie dans 1est une primitive de f si g est continue dans I et admet une dérivée égale à f (x) en tout point x du complémeataire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1.

FVR 11.2

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Si en outre g admet en tout point une primitive stricte de f.

$1

x de 1 une dérivée égale à f ( x ) , on dira que g est

Avec cette définition, on voit que la fonction numérique f considérée ci-dessus admet une primitive égale à 1x1. 11 est clair que, si f admet une primitive dans 1, toute primitive de f est aussi une primitive de toute fonction égale à f sauf aux points d'une partie dénombrable de 1. Bar abus de langage, on peut parler d'une primitive dans 1 d'une fonction fo définie seulement dans le complémentaire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1: il s'agira de la primitive de toute fonction f définie dans 1,et égale à foaux points où foest définie.

PROPOSITION1. - Soit f une fonction vectorielle d$nie dans 1, à valeurs dans E ; si f admet une primitive g dans 1, I'ensemble des primitives de f dans 1est identique à l'ensemble desfonctions g + a, où a est unefonction constante, à valeurs dans E. En effet, il est clair que g + a est une primitive de f quel que soit a E E; d'autre part, si g1 est une primitive de f, gl - g admet une dérivée égale à O sauf aux points d'une partie dénombrable de 1, donc est constante (1, p. 24, corollaire). O n dit que les primitives d'une fonction f (lorsqu'elles existent) sont définies à une constante additive près r). Pour définir sans ambiguïté une primitive de f, il sufit de se donner (arbitrairement) sa valeur en un point x, E 1; en particulier, il existe une primitive et une seule g de f telle que g(xo) = O; pour toute primitive ln de f, on a g(x) = h(x) - h(x,). G

2. Existence des primitives

Soit f une fonction définie dans un intervalle quelconque 1 c R;pour qu'une fonction g définie dans 1soit une primitive de f, il faut et il suffitque la restriction de g à tout intervalle compact J c 1soit une primitive de la restriction de f à J.

unjltre 8, (f,),,, unefamille defonctions v~ctoriellesà valeurs dans un espace normé complet E sur R, d@nies dans un intervalle 1 c IR; pour tout a E A, soit g, une primitiue de f,. On suppose que : l 0suivant lejltre 8, lesfonctions f, convergent uniformément dans tout partie compacte de 1vers unefonction f; 2 O il existe un point a E 1 tel que, suivant lejltre 8, la famille (g,(a)) a une limite dans E. Dans ces conditions, les fonctions g, convergent uniformément (suivant 8) dans toute partie compacte de 1, vers une primitive .g de f. D'après la remarque du dCbut de ce no, nous pouvons nous borner au cas où I est un intervalle compact. THÉORÈME 1. -Soient A un ensemblejltré par

No 2

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

FVR 11.3

Montrons d'abord que les g, convergent uniformément dans 1 vers une fonction continue g. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe un ensemble M E 8 tel que, pour deux indices quelconques a, fi appartenant à M, on ait jlf,(x) - f B ( x )1 ,< E pour tout x E 1 ; on a par suite (1, p. 23, th. 2)

en désignant par 1 la longueur de 1 ; comme par hypothèse g,(a) tend vers une limite suivant 8, il résulte du critère de Cauchy que les g, convergent uniformément dans 1. Reste à voir que la limite g des g , est une primitive de f. Pour tout entier n > O, soit cc, un indice tel que jlf ( x ) - fEn(x)1 6 l l n dans 1 ; il est clair que la suite (f,,) converge uniformément vers f et que la suite (gNn) converge uniformément vers g dans 1. Soit H, la partie dénombrable de 1 où fEn n'est pas la dérivée de gun,et soit H la réunion des H,, qui est donc une partie dénombrable de 1 ; nous allons voir qu'en tout point x E 1 n'appartenant pas à H, g admet une dérivée égale à f (x). En effet, on voit comme ci-dessus que pour tout m 3 n et tout y E 1, on a

En faisant croître m indéfiniment, on a aussi

pour tout y E 1 ; or, il existe h > O tel que, pour 1 y - xl 6 h ct y E 1, on ait Ilg,.,,(y) - g,,(x) - fWacn(x) ( y - X ) II Q 1 y - xlln; comme d'autre part, on a I l f ( x ) - f,,(x) 1 < lln, on obtient finalement

pour y E 1 et 1 y - xl G h, ce qui achève la démonstration. COROLLAIRE 1. -L)ensemble Z des applications de 1 dans E qui admettent une primitive dans un intervalle 1 est un sous-espace vectorielfermé (donc complet) de l'espace vectoriel complet %,(I; E ) des applications de 1 dans E , muni de la tolopogie de la convergence uniforme dans toutepartie compacte de 1 (TG,X , p. 4). COROLLAIRE 2. -Soit x0 un point de 1, et pour chaque fonction f E Z,soit P ( f ) la primitive de f qui s'annule au point xo; l'application f HP ( f ) de Z dans e ( I ; E ) est une application linéaire continue. Le cor. 1 du th. 1 permet d'établir l'existence de primitives de certaines catégories de fonctions par le procédé suivant: si on sait que les fonctions appartenant à une partie d de F c ( I ; E) admettent une primitive, il en sera de même

FVR 11.4

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

51

E; ) du sous-espace vectoriel des fonctions appartenant à l'adhérence dans Fc(I engendre par al. NOUSallons appliquer cette méthode au no suivant. 3. Fonctions réglées

DÉFINITION 2. - On dit qu'une application f d'un intervalle 1 c R dans un ensemble E est unefonction en escalier s'il existe une partition de 1 en un nombrefini d'intervalles J , telle quef soit constante dans chacun desJ,. Soit (a,),,,,, la suite strictement croissante formée des extrémités distinctes des J,; comme les J, sont deux à deux sans point commun. chacun d'eux est, soit réduit à un point a,, soit un intervalle ayant pour extrémités deux points consécutifs ai, a,+l; en outre, comme 1 est réunion des J,, a, est l'origine, et a, l'extrémité de 1. Toute fonction en escalier dans 1 peut donc êtrc caractérisée comme une fonction constante dans chacun des intervalles ouvcris )a,, ai+l( (O 6 i 6 n - 1)' (a,), étant une suite strictement croissante de points de 1 telle que a, soit l'origine et a, l'extrémtié de 1.

, ,,

PROPOSITION 2. -L'ensemble des fonctions en escalier déjinies dans 1, à valeurs dans un espace vectoriel E sur ,est un sous-espace vectoriel B de l'espace vectoriel F(1;E ) de toutes les applications de 1 dans E. En effet, soientfet g deux fonctions en escalier, (A,)et (B,) deux partitions dc 1 en un nombre fini d'intervalles telles que f (resp. g) soit constante dans chacun des Ai (resp. Bi) ; quels que soient les nombres réels 1, p, il est clair que Af + pg est constante dans chacun des intervalles non vides A, n Bf, et ces intervalles forment une partition de 1. COROLLAIRE. - Le sous-espace vectoriel G est engendré par les fonctions caractéristiques d'intervalles. Considérons maintenant le cas où E est un espace normé sur R;alors, il est immédiat que la fonction caractéristique d'un intervalle J d'extrémités a, b ( a < b) admet une primitive, savoir la fonction égale à a pour x 6 a, à x pour a < x 6 b, et à 6 pour x 3 b. Le cor. de la prop. 2 montre donc que toutefonction en escalier à valeurs dans E admet une primitive. Nous pouvons maintenant appliquer la méthode cxposée au no 2. DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle, déjinie dans un intervalle 1, à valeurs dans un espace normé complet E sur W,est unefonction réglée si, dans toute partie compacte de 1, elle est limite uniJorme defonctions en escalier. En d'autres termes, les fonctions réglées sont les éléments de l'adhérence dans

e(I; E) du sous-espace vectoriel 8, des fonctions en escalier; 2 est un sous-espace

No 3

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

FVR 11.5

vectoriel de e ( I ; E) et comme &(I: E) est complet, il en est de même de 2 ; autrement dit, si une fonction est dans toute partie compacte de 1 limite uniforme de fonctions réglées, elle est réglée dans 1. Pour que f soit réglée dans un ptervalle 1, il faut et il suffit que sa restriction à tout intervalle compact contenu dans 1soit réglée. Le cor. 1 de II, p. 3 montre que: THÉORÈME 2.

- Toute fonction réglée dans un intervalle 1 admet une primitive dans 1.

Nous allons transformer la déf. 3 de II, p. 4 en une autre équivalente : qu'une fonction vectorielle f d@nie dans un intervalle 1, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, soit réglée, ilfaut et il su$t qu'elle ait une limite à droite et une limite à gauche en tout point intérieur à 1, une limite à droite à l'origine de 1 et une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces points appartiennent à 1. L'ensemble des points de discontinuité de f dans 1est alors dénombrable. Comme tout intervalle 1est réunion dénombrable d'intervalles compacts, on peut se borner à démontrer le th. 3 lorsque 1est compact, soit 1 = (a, 6). l o La condition est nécessaire. Supposons en effet que f soit réglée, et soit x un point de 1distinct de b. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe une fonction en escalier g telle que jlf (z) - g(z) < E pour tout z E 1; comme g admet une limite à droite au point x, il existe y tel que x < y < b et tel que, pour tout couple de points z, z' de l'intervalle )x, y), on ait llg(z) - g(zl)1 < E et par suite llf (z) - f (2') I < 3 ~cela ; prouve (critère de Cauchy) que f a une limite à droite au point x. On montre de méme que f a une limite à gauche en tout point de 1distinct de a. 2 O La condition est su$sante. Supposons-la remplie; pour tout x E 1, il existe un intervalle ouvert V, = )c,, dx( contenant x et tel que dans l'intersection de 1et de chacun des intervalles ouverts (c,, x( ,)x, dx( (lorsque cette intersection n'est pas vide), l'oscillation de f soit < E. Comme 1 est compact, il existe un nombre fini de points x, de 1tels que les V,, forment un recouvrement de 1; soit (a,), la suite obtenue en rangeant dans l'ordre croissant les points de l'ensemble fini formé de a, b et des points xi, c,, et d,, qui appartiennent à 1; chacun des intervalles )a,, a,+,( (O < k < n - 1) égant contenu dans un intervalle )cx,, xi( ou )xi, dxi(, l'oscillation de f y est < E ; soit c, une des valeurs de f dans )a,, a,+,(; en posant g(a,) = f (a,) pour O < k < n, et g(x) = c, pour tout x E )a,, a,+,( (O < k < n - l), on définit une fonction en escalier g telle que Ilf (z) - g (z) I < E dans 1;donc f est réglée dans 1. Montrons enfin que si f est réglée dans 1, l'ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable. Pour tout n > O, il existe une fonction en escalier g, telle que lIf (x) - g,(x) I < l/n dans 1; comme la suite (g,) converge uniformément vers f dans 1, f est continue en tout point où les g, sont toutes continues THÉORÈME 3. -Pour

/I

,,,

FVR 11.6

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

91

(TG, X, p. 8, cor. 1) ;mais comme g , est continue sauf aux points d'un cnsemble fini H,, f est continue aux points du complémcntairc de l'ensemble H = IJ H,, n

qui est dénombrable.

COROLLAIRE 1. - Soit f une fonction réglée dans 1; en tout point de 1, saflf l'extrémité (resp. l'origine) de 1, toute primitive de f a une dérivée à droite égale à f (x + ) (resp. une dérivée à gauche égale à f ( x - )) ; en particulier, en tout point x où f est continue, f ( x ) est la dérivée d'une quelconque de ses prinzitives. C'est une conséquence immédiate du th. 3 ct de la prop. 6 de 1, p. 22 de I I , p. 5. COROLLAIRE 2. --Soient f, (1 d i 6 n ) n fonctions réglées dans un intervalle 1, f, prenant ses valeurs dans un espace normé complet Ei sur W. ( 1 6 i 6 n). S i g est une

- n Ei dans un espnce normé complet F sur R, i = ï 4 ( 1 ) de z = 1 n

applcation continue du sous-espace

lafonction composée x Hg ( f , ( x ),f2(x), . . ., P,(x)) est réglée dans 1. En effet, elle satisfait de façon évidente aux conditions d ~ ath. 3 de I I , p. 5. On voit ainsi que si f est une fonction vectorielle réglée dans 1, la fonction numérique x t>Ijf ( x ) est aussi réglée. De mème, les fonctions numériques réglées dans 1 forment un anneau; en outre, si f et g sont deux fonctions numériques réglées, sup(.h g) et inf (f,g) sont réglées.

/I

Remarque - 1.) Si f est une fonction numérique réglée dans 1, g une fonction vectorielle réglée dans un intervalle contenant f (I), la fonction composée g oJnYest pas nécessairement réglée (cf. II, p. 29, exerc. 4).

Deux cas particuliers du th. 3 de I I , p. 5 sont spécialement importants:

3. - Toute fonction vectorielle continue dans un intervalle 1 c PROPOSITION ses ualeurs dans un espace nornzé complet E sur , est réglée et admet dans 1 une primitive, dont elle est la dérivée en tout point. Remarques - 2.) Pour démontrer qu'une fonction continue admet une primitive, on peut utiliser le fait que tout polynôme (à coefficients dans E) d'une variable réelle admet une primitive; comme d'après le th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3) toute fonction continue cst limite unifornie de polynômes dans tout intervalle compact, le th. 1 de II, p. 2 montre que toute fonction continue admet une primitive. 3) Le principe de la remarque précédente s'étend sans modification importante aux fonctions vectorielles d'une variable complexe, à valeurs dans un espace normé complet sur 6. Si U est un ensemble ouvert dans C , homéomorphe à C , une primitive d'une telle fonction vectorielle % definie dans U est par définition une fonction continue dans U, ayant une dérivée égale à f en tout point de U. Avec cette définition, le th. 1 de II, p. 2 s'étend sans modirication (on démontre en effet, en tenant compte de ce que U est connexe, que (g,) est uniformément convergente suivant 3 dans un voisinage de toüt point d e U, d'où résulte que (gU)est uniformément convergente suivant $ dans toute partie compactc de U ; la fin de la démonstration se fait en utilisant !a prop. 4 de 1, p. 26). Par suite, toute fonction qui est limite uniforme de polynûmes

No 4

PRIMITIVES ET

INTEGRALES

FVR 11.7

dans toute partie compacte de U, admet une primitive dans U ; ces fonctions ne sont autres que les fonctions dites holomorphes dans U, que nous étudierons plus en détail dans un Livre ultérieur.

PROPOSITION 4. - Toute fonction numérique f monotone dans un intervalle 1 c IR est réglée, et tauteprimitive def est convexe dans 1. En effet, f satisfait au critère du th. 3 de TG, IV, p. 19, prop 4; la seconde partie de la proposition résulte cor. 1 ,de II, p. 6, et de la prop. 5 de 1, p. 36. Remarque - 4.) II ne faudrait pas croire que les fonctions rtglées dans un intervalle 1 soient les seules fonctions ayant une primitive dans 1 (cf. II, p. 29, exerc. 7 et 8). 4. Intégrales

Nous avons obtenu (II, p. 5, th. 2) une primitive d'une fonction réglée dans un intervalle 1 comme limite uniforme de primitives de fonctions en escalier. Ce procédé peut s'exprimer de façon legèrement différente: soient x,, x deux points quelconques de 1tels que x, < x; appelons subdivision de l'intervalle [x,, x) toute est une suite strictesuite d'intervalles (xi, x, + ,) de réunion (xo, x), où (xi) ment croissante de points de [x,, x) telIe que xn = x. Nous appellerons somme de Riemann relative à une fonction vectorielle f définie dans 1, et à la subdivision

,,,,

n-1

formée des (xi, xi + ,) toute expression de la forme tient à (xi, xi + ,) pour O

2 f (t,)(xi

i=O

- x) où t, appar-

 O, il existe un nombre p > O tel que, pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p, on ait

pour toute somme de Riemann relative à cette subdivision. En effet, soit f une fonction en escalier telle que Ilf ( y ) - f1(y) I/ y E (x,, x ) ; on a, en désignant par g, une primitive de f1dans 1,

< s pour tout

d'après le th. des accroissements finis, et d'autre part

Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque f est une fonction en escalier. < k G m la suite finie strictement croissante des points de discontinuité de f Soit dans (xo, Pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p, chacun des points y, appartient à deux intervalles au plus; il ne peut donc y avoir

XI.

FVR 11.8

$1

PRIMITIVES ET I N T ~ G R A L E S

que 2m intervalles au plus dans lesquels f ne soit pas constante; or, dans un tel intervalle (xi, xi + ,), on a

en désignant par M la borne supérieure de llf 1 dans (x,, x); au contraire, lorsque f est constante dans (xi, xi +1), on a

n-1

On voit donc que la différence /Ig(x) - g(x,) excéder 4Mmp; il suffit donc de prendre p

,

z=o

f(t,) (xi+, - xi) l/ ne peut

< ~/4Mmpour obtenir (1).

Remarque - 1.) Lorsque f est continue, la prop. 5 se démontre plus simplement : comme f est uniformément continue dans (x,, x), il existe p > O tel q u e dans tout intervalle d e

< p contenu dans (xo, x), l'oscillation d e f soit < x-A; pour toute sub- X,, division de (x,, x ) e n intervalles (xi, xi+l) d e longueur < p, et tout choix d e t, dans (xi, x i + l ) pour O < i < n - 1 , la fonction e n escalier f , égale à f (t,) dans (xi, xi +1(

longueur

(O

- 1 ) , à f ( x ) au point x, est telle que Ilf(y) - f l ( y ) 1

< -X!.

-

Xo

dans

n-1

2

(x,, x ) ;si g1 est une primitive d e f l , o n a g1 ( x ) - gl(x,) = f (t,) (xi+ - xi), donc la i=o relation ( 1 ) résulte aussitôt d e l'application d u th. des accroissements finis.

Dans tout le reste de ce chapitre, nous allons nous borner à l'étude des primitives des fonctions réglées dans un intervalle 1. Pour une telle fonction f, à valeurs dans E, une primitive g de f, et deux points quelconques x,, x de 1, l'élément g(x) - g(x,) de E (qui évidemment est le même, quelle que soit la primitive g de f que l'on considère) est appelé intégrale de la fonction f de x, à x (ou dans Z'interualle compact (x,, x)) et noté f (t)dt ou f. Ce nom et cette notation ont leur origine dans la prop. 5 de II, p. 7, qui montre qu'une intégrale peut être approchée arbitrairement par une somme de Riemann; plus particulièrement, on peut, en prenant des subdivisions de (x,, x) en intervalles égaux, écrire

Jzo

1 Autrement dit, l'élément X - Xo

I',;f(t)dt est limite de la moyenne arithmétique

des valeurs de f aux origines des intervalles d'une subdivision de (x,, x) en intervalles égaux; aussi l'appelle-t-on encore la moyenne (ou valeur moyenne) de la fonction f dans l'intervalle (x,, x). Par définition, la fonction x H f (t) dt n'est autre que la primitive de f qui s'annule au point x, E 1; aussi la note-t-on encore f (t) dt ou f.

lxo Lo

No 5

FVR 11.9

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Remarques. - 2) Pour une fonction quelconque h définie dans 1, à valeurs dans E, l'élément h ( x ) - h ( x , ) s'écrit aussi h ( t )]go; avec cette notation, on voit que, si g est une primitive quelconque de la fonction réglée f dans 1, on a

Co

3) Les expressions f (t) dt, g ( t )/go sont des (( symboles abréviateurs )> représentant des assemblages dans lesquels figurent les lettres x, x,, f, g, mais non la lettre t (cf. E, 1, p. 14); on dit que dans ces symboles, t est une « variable muette )>; on peut donc y remplacer t par tout autre argument distinct de x, xo, f et g (et des arguments qui entrent kentuellement dans la démonstration où figurent de tels symboles) sans changer le sens du symbole obtenu (le lecteur comparera ces symboles à des symboles tels que i$lxi,

"

X,, où i est de même une variable muette).

4) L'approximation d'une intégrale par des sommes de Riemann se rattache étroitement à l'une des origines historiques de la notion d'intégrale, le problème de la mesure des aires. Nous reviendrons sur ce point au Livre d'Intégration qui est consacré aux généralisations de la notion d'intégrale auxquelles a conduit ce problème; dans ces généralisations, les fonctions (
Co

JXo

5. Propriétés des intégrales

Les propriétés des intégrales des fonctions réglées ne sont autres que la traduction, dans la notation qui leur est propre, des propriétés des dérivées démontrées au chap. 1. En premier lieu, la formule (3) montre que, quels que soient les points x, y, z de 1, on a

1;

f ( t ) dt

=

O

D'après la prop. 1 de II, p. 2, on a

et pour tout scalaire k

S.,

=

Sxo

f-

FVR 11.10

$1

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Soient E, F deux espaces normés complets sur R,u une application linéaire continue de E dans F. Si f est une fonction réglée dans 1, à valeurs dans E, u o f est une fonction réglée dans 1, à valeurs dans F (II,p. 6, cor. 2), et on a (1, p. 13, Prop. 2)

1;

(9)

~ ((t)) f dt

=

u

(J: f(t) dt).

Soient maintenant E, F, G trois espaces normés complets sur R,(x, y) H [x .y] une application bilinéaire continue de E x F dans G. Soient f et g deux fonctions vectorielles définies et continues dans 1, prenant leurs valeurs dans E et F respectivement; supposons en outre que f et g soient toutes deux primitives de fonctions réglées, que nous désignerons par f' et g' par abus de langage (ces fonctions ne sont en effet égales respectivement aux dérivées de f et g qu'aux points du complémentaire d'un ensemble dénombrable). D'après la prop. 3 de 1, p. 14, la fonction h(x) = [f (x) .g(x)] admet en tout point du complémentaire d'une partie dénombrable de 1, une dérivée égale à [f (x) .g' (x)] + [f '(x) .g(x)]. Or, d'après la continuité de [x .y] et le cor. 2 de II, p. 7, chacune des fonctions [f.g'] et [f'.g] est une fonction réglée dans; 1on a donc la formule

dite formule d'integration par parties, qui permet de calculer de nombreuses primitives Par exemple, la formule d'intégration par parties donne la formule suivante

et ramène donc l'un à l'autre le calcul des primitives des deux fonctions f(x) et xf' (2).

De même, si f et g sont n fois dérivables dans un intervalle 1, et si f(n)et g(n) sont des fonctions réglées dans 1, la formule ( 5 ) de 1, p. 29 équivaut à la suivante : (il)

[f("'(t).g(t)]dt a

n- 1 p=o

(t) .g")(t)]) :1

+ ( - 1)"

Sb

[f ( t ).gCn'(t)]dt

a

qu'on appelleformule d'intégration par parties d'ordre n. Traduisons maintenant la formule de dérivation des fonctions composées (1, p. 17, prop. 5). Soitf une fonction numérique définie et continue dans 1,et qui soit primitive d'une fonction réglée dans 1 (que nous écrirons encore f' par abus de langage) ; soit d'autre part g une fonction vectorielle (à valeurs dans un espace normé complet) continue dans un intervalle ouvert J contenant f (1) ; si h

No 5

FVR II. 1 1

PRIMITNES ET INTÉGRALES

désigne une primitive quelconque de g dans J, h admet en tout point de J une dérivée égale à g (II, p. 6, prop. 3) ; donc la fonction composée h of admet une dérivée égale à g(f (x))f '(x) en tous les points du complémentaire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1 (1, p. 17, prop. 5); comme la fonction g (f (x))f '(x) est réglée (II, p. 7, cor 2), on peut écrire la formule

diteformule du changement de variables, qui facilite également le calcul des primitives. Si on prend par exemple f (x) = x2, on voit que la formule (13) ramène l'un à l'autre le calcul des primitives des fonctions g(x) et xg(xa).

Pour traduire le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 1) pour les primitives de fonctions numériques réglées, remarquons d'abord qu'une fonction numérique réglée f dans un intervalle compact 1 est bornée dans 1; soit J l'ensemble des points de 1 où f est continue, et posons m = inf f (x), M = sup f (x); on sait XEJ

xeJ

(II, p. 5, th. 3) que 1 n CJ est dénombrable; en outre, si B est le complémentaire, par rapport à 1, d'une partie dénombrable quelconque de 1, et m' = inf f (x),

M' = supf (x), on a m' XEB

< m < M < M':

XEB

en effet, en tout point x E J, il existe

des points y de B arbitrairement voisins de x, où on a donc m' < f (y) < M'; f étant continue au point x, on voit, en faisant tendre y vers x (y restant dans B) que m' < f (x) < M', ce qui démontre notre assertion. Cela étant, la traduction du th. des accroissementsfinis donne la proposition suivante : PROPOSITION 6 (théorème de la moyenne). -Soit f une fonction numérique réglée dans un interualle compact 1 = (a, b); si J est l'ensemble des points de 1oùf est continue, et m = inf f (x), M = sup f (x), ona xeJ

xeJ

sauf lorsquef est constante dans J, auquel cas les trois membres de (14) sont égaux. En d'autres termes, la moyenne de la fonction réglée f dans 1 est comprise entre les bornes de f dans la partie de 1 où f est continue.

COROLLAIRE 1. - Si une fonction numérique f réglée dans 1 est telle que f (x) O aux 1 b g ( t ) dt > O sauf si f (x) = O aux points ouf est points où f est continue, on a -

a-A

continue.

FVR 11.12

$1

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

2. - Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans 1, telles que COROLLAIRE g(x) 2 O aux points où g est continue; si m et M sont les bornes inférieure et supérieure de f dans l'ensemble des Points de 1 O&f est continue, on a

Les deux premiers membres (resp. les deux derniers) ne sont égaux que si g ( x )( J ( x ) - m) = O (resp. g(x) ( f ( x ) - M ) = O ) en toutpoint o.& f et g sont continues. Pour les fonctions vectorielles, le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2) donne de même la proposition suivante : PROPOSITION 7. - Soit f une fonction veclorielle r&lée dans un intervalle compact 1 = [a, b], à valeurs dans un espace normé complet E, et soitg unefonction numérique réglée dans 1, telle que g(x) 2 O aux points où g est continue; dans ces conditions, on a

En particulier, on a

6. Forme intégrale du reste de la formule de Taylor; primitives d'ordre supérieur

La formule d'intégration par parties d'ordre n (II, p. 10, formule ( 11 ) ) permet d'exprimer sous forme d'une intégrale le reste r,(x) du développement de Taylor d'ordre n d'une fonction f admettant une dérivée (r,+ 1)-ème réglée dans un intervalle 1 (1, p. 30) ; en effet, en remplaçant, dans (12), f par f', b par x et g(t) par la fonction ( t - ~ ) ~!, il / vient n

+

sax

f"

+

l) ( t )

( x - t)n

-Tdt

autrement dit

( x - t)n n!

Pn+l) ( t ) -dt formule qui permet souvent d'obtenir des majorations simples du reste. Étant donnée une fonction f réglée dans un intervalle 1, une primitive quelconque g de f, étant continue dans 1, admet à son tour une primitive; une quelconque des primitives d'une primitive quelconque de f est appelée primitive

No 1

INTÉGRALESDANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

FVR 11.13

seconde de f. Plus généralement, on appelle primitive d'ordre n de f une primitive d'une primitive d'ordre n - 1 de f. On voit aussitôt, par récurrence sur n, que la différence de deux primitives d'ordre n de f est un polynôme de degré au plus égal à n - 1 (àcoefficientsdansE) .Une primitive d'ordre n de f est entièrement déterminée si on se donne, en un point a E 1,sa valeur et celles de ses n - 1 premières dérivées. i- celle des primitives d'ordre n O n désignera en particulier par la notation de f qui est nulle au point a ainsi que ses n - 1 premières dérivées. La formule de Taylor d'ordre n - 1, appliquée à cette primitive, montre que si g = f, on a

:1

:1

et ramène la détermination des primitives d'ordre n au calcul d'une seule intégrale.

5 2. INTÉGRALES

DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

1. Définition d'une intkgrale dans un intervalle non compact

Soit 1 un intervalle compact (a, b) de la droit^ achevée (a et b pouvant donc être infinis) ;soit f une fonction définie dans )a, b(, prenant ses valcurs dans un espace normé complet E sur R. Généralisant la déf. I de II, p. 1, nous dirons qu'une fonction g, définie dans [a, b), à valeurs dans E, est une primitiue de f si elle est continue dans (a, b) (et en particulier aux extrémités a, b) et admet une dérivée égale à f (x) cn tous les points du complémentaire par rapport à Ba, b( d'une partie dénombrable de cet intervalle. Nous allons nous borner à considérer le cas suivant: il existe une suite finie strictement croissante (c,), de points de I = (a, b), telle que c, = a, c, = 6, et que f soit réglée dans chacun des intervalles ouverts )c,, c, + ,(, mais non réglée dans tout intervalle ouvert contenant au moins un point c, intérieur à 1; une telle fonction sera dite régléepar morceaux dans )a, b(. O n notera qu'une fonction réglée dans )a, b( est réglée par morceaux (en prenant n = 1 dans la définition précédente). Si f admct une primitive g dans 1 (au sens précisé ci-dessus), et si a cst un point de l'intervalle Bc,, c,+,( (O < i < n - 1), on a, par hypothèse, pour tout x appartenant à cet intervalle, g(x) - $(a) = f ( t ) d t ;g étant continue dans 1par hypothèse, on voit que f(t)dt doit tendre vers une limite dans E lorsque x tend vers c, à droite et lorsque x tend vers c,,, à gauche. Inversement, supposons que ces conditions soient vérifiées pour tout t, et soit gt une primitive de f dans l'intervalle )ci, c,+,( (O < i < n - 1); on constate aussitôt que la fonction g, définie dans le complémentaire par rapport à I de l'ensemble des c,, par la

,,,,

lz

i

condition d'être à égale à gi(x)

+ *Zl (gk- l(ck -)

-

g k ( i +)) dans )ci,ci+,(

FVR 11.14

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

§2

pour O Q i Q 12 - 1, est continue en tout point de 1 distinct des ci et admet une limite en chacun de ces points; elle peut donc être prolongée par continuité en chacun des ci, et la fonction prolongée est évidemment une primitive de f dans 1. Il est clair en outre que toute autre primitive de f est de la forme g + a (a élément de E) . DÉFINITION1. - On dit qu'une fonction vectorielle f réglée par morceaux dans un intervalle (a, b[ de R admet une intégrale dans cet intervalle si f admet une primitive dans (a, b); si g est une quelconque desprimitives de f dans (a, b], x, et x deux points quelconques de [a, b), on appelle intégrale de f de x, à x, et on note f (t) dt l'élément g(x) - g(xo).

lzo

Cette notion coïncide évidemment avec celle définie lorsque l'intervalle (x,, x) ne contient aucun des points c,. Les remarques qui précèdent la dé[. 1 montrent que, pour que f ait une intégrale dans )a, b(, il faut et il suffit que sa restriction à chacun des intervalles )c,, ci+ ,( admette une intégrale dans cet intervalle. Autrement dit, on est ramené au cas où f est réglée dans un intervalle non compact I c R, d'extrémités a, 6 (a < b), et où: lo ou bien un des nombres a, b (au moins) est infini; 2 O ou bien f n'est pas réglée dans un intervalle compact contenant au moins un des points a, b (les deux hypothèses ne s'excluant pas mutuellement). Pour que f a i t une intégrale dans 1, il faut et il suffit alors quc l'intégrale f(t)dt tende vers une

1:

limite lorsque le point (x, y) tend vers (a, b) E E2en rcstant dans 1 x 1, et cette limite n'est autre que f(t)dt d'après la déf. 1. Par abus de langage, au lieu de f(t)dt est dire que f a une intégrale dans 1, on dit encore que l'intégrale convergente.

1;

Exemfiles. - 1) L'intégrale

2) L'intégrale

S:"

(lt/t2 est convergente et égale à

1, car

u't/dtest convergente et égale à 2, car

3) Soit (u,),,, une suite infinie de points de E, et soit f la fonction en escalicr définic dans l'intervalle (1, + a ( par les coiiditions: f (x) = u, pour n < x < n + 1. Pour que l'intégrale f (t)dt soit convergente, il faut et il suffit que la série de terme général ai, soit convergente dans E; cn effet, on a

"S:

donc la condition est nécessaire; réciproquement, si la série de terme général un

No 1

FVR 11.15

INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

converge dans E, on a lim u n

=

O; or, si n

n+ w

< x < n + 1, on

n-1

2 up + un(x - n), donc cette intégrale a pour

p=l

a

J," f (t) dt

=

m

limite

2 u n lorsque x

n=l

tend

vers +o. Il est immédiat que si une fonction f réglée par morceaux admet une intégrale dans 1, les formules (4) à (9) de II, p. 9 sont encore valables. De même, la formule (10) de II, p. 10 s'étend de la façon suivante: f et g sont supposées être des primitives de fonctions f', g' réglées dans )a, b(, et on désigne par [f.g] ;1 la limite (si elle existe) de [f.g] ,I: lorsque (x, y) tendvers (a, 6) (avec a < x < y < b) ; alors, si deux des expressions [f.g] [f(t) .g1(t)Idt, J: [f'(t) .g(t)] dt ont un sens, il en cst de même de la troisième, et la formule (10) de II, p. 10 subsiste. Enfin, soit f une fonction numérique définie et continue dans 1 = )a, b(, primitive d'une fonction f' réglée dans )a, b(; soit d'autre part g une fonction vectorielle continue dans un intervalle ouvcrt J contenant f (1) ; si la fonction g (f (x))f '(x) admet une intégrale dans 1, et si f tcnd vers une limite (finie ou non) aux points a et 6, g admet une intégralc de f ( a + ) à f (b-), et on a la formule

la, J":

+

En effet, si (x, y) tend vers (a, O), (f (x),f (y)) tend vers (f (a ), f (b - )) par hypothèse; il suffit donc d'appliquer la formule (12) de II, p. 11 entre x et y et de passer à la limitc pour avoir (1). Etant donnée une fonction f réglée dans un intervalle non compact 1 c R, d'extrémités a et b (a < b), la condition pour que f a i t une intégrale dans 1 peut se présenter de la manière suivante. Les intervalles compacts J c 1 forment un ensemble ordonnéjltrant %(I)pour la relation c (l), car si (a, P) et (y, 6) sont deux intervalles compacts contenus dans 1, et si on pose A = min(or, Y), p = max(p, a), l'intervalle (A, p) est contenu dans 1 et contient les deux intervalles considérés. Pour tout intervalle compact J = (cc, fi) contenu dans 1, posons alors

SJ

f(t) dt

=

SaR

f ( t ) dt;

pour que f admette une intégrale dans 1, il faut et il suffit que l'application J H f (t) dt ait une limite dam E suivant l'en~embleordonnéjltrant P(1) ; cette limite f (t) dt. est alors l'intégrale f ( t ) dt, que nous noterons encore J",

1;

l Rappelons (E, III, p. 12) qu'un ensemble 8 de parties de 1 est jltrant pour la relation c si, quels que soient X E 8, Y E 8 il existe Z E 8 tel que X c Z et Y c Z. Si S(X) désigne la partie de 8 formée des Y E 8 tels que U 3 X, les S(X) forment la base d'un filtre sur 8, ditjiltre des sections d e 8 ; l a limite (si elle existc) d'une application f de 8 dans un espace topologique, suivant le filtre des sections de 8, est encore dite limite de f suivant l'ordonnéjiltrant 5 (cf. TG, 1, p. 49 et TG, IV, p. 18).

FVR 11.16

§2

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PROPOSITI~N 1 (Critère de Cauchy pour les intégrales). - Soit f une fonction réglée dans un intervalle 1 c , de bornes a et 6 (a O, il existe un intervalle compact JO = [a, P) contenu dans 1, tel que pour tout intervalle compact K = (x, y) contem dans 1, et n'ayant aucun point intérieur commun avec JO, on ait f ( t ) dt 1 6 E .

1;

111,

En effet, comme E est complet, le critère de Cauchy montre que, pour que l'intégrale f ( t ) dt soit convergente, il b u t et il sufit que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO = [a, P) tel que, pour tout intervalle compact J tel que JO c J c 1, on ait f (t) dt f ( t ) dtll 6 E. La proposition résultera donc du lemme suivant:

SI

111,

lJo

Lemme. -Soit JO = ( a , P) un intervalle compact contenu dans 1. Pour qu'on ait I f( t ) dt - S,, f ( t ) dtll 6 E, pour tout couple d'intervalles compacts J , J' contenus dans 1 et contenant J,, il faut que f ( t ) dtll < E, et il sufit que j/!, f ( t ) dtjl 6 ~ 1 2 pour , tout interualle comnfiact K contenu dans 1el n'ayant aucun point intérieur commun auec JO.

1,

111,

En effet, si pourJO c J c 1etJO c J' c 1,on a

on voit en particulier que, pour x 6 y 6 or, ou pour P < x 6 y ( x et y dans I), on a f ( t ) dtll 6 E. Inversement, si / I f ( t ) dt 1 < ~ / pour 2 tout intervalle compact K c I tel que K n JO = a,et si J = ( x , y), J' = (2, t ) sont deux intervalles compacts contenus dans I et contenant JO,on a

111;

1,

puisque

x 6 a G P G y

et

z
Exemfile. - Si l'intervalle 1 est borné, et si f est bornée dans 1, l'intégrale J", f (t)dt existe toujours, car d'après le th. de la moyenne, on a pour y < CL < P < z

I:1

f ( t ) dt

/<

( a - a) JUP X E 1

If

I 1; I

(x) II,

f (t)

dt

G (b -

P) SUP I f X E 1

(x)

Il

et il sufit de prendre cc - a et b - P asscz petits pour que le critère de Cauchy soit satisfait. On notera que, dans ce cas, une primitive de f dans 1 n'a pas nécessairement de dérivée à droite (resp. à gauche) 2 l'origine (resp. l'extrémité) de 1 (lorsque ce nombre est fini) contraircment à ce qui a lieu lorsque 1 est compact et f réglée dans 1 (cf. II, p. 33, excrc. 1).

2. Intégrales de fonctions positives dans un intervalle non compact

PROPOSITION 2. -Soit f une fonction numérique réglée et 3 O dans un intervalle 1 c R, de bornes a et b ( a < b). Pour que l'intégrale f ( t ) dt existe, il faut et il s u i t que

1;

No 2

INTÉGRALESDANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

FVR II. 17

fJ f (t) dt soit majoré, lorsque J parcourt I'ensemble des interualles 1 f(t) dt est alors la borne supérieurede l'ensemble des compacts contenus dans I ; l'intégrale : l'ensemble des nombres

JJ f (4 dt. En effet, commef 3 0, la relation J c J' entraîne

SJf

(t) dt 6

SJ,

f (t) dt;

l'application J ++fJ f (t) dt est donc croissante, et la proposition est une conséquence du théorème de la limite monotone (TG, IV, p. 18, th. 2).

1,

Lorsque l'application J F+ f ( t ) dt n'est pas bornée, elle a pour limite + co suivant l'ordonné filtrant L(1); on dit alors, par abuse de langage, que l'intégrale f (t) dt est égale à + W . Les propriétés dcs intégrales établies au no 1 s'étendent (lorsqu'il s'agit de fonctions 3 0) au cas où certaines des intégrales qui interviennent dans ces propriétés sont infinies, pourvu que les relations où elles figurent gardent un sens.

Sa

PROPOSITION 3 (principe de comparaison). -Soientf et g deux fonction.^ numériques réglées dans un interualle 1 c R, telles que O 6 f (x) 6 g(x) en tout point où f et g sont continues (cf. II, p. 11, prop. 6). Si l'intégrale de g dans 1 est convergente, il en est de même de l'intégrale de f et on a f (t) dt 6 JI g(t) dt. En outre les deux intégrales ne peuuent être égales que si f (x) = g(x) en tout point de 1où f et g sont continues. En efict, pour tout intervalle compact J c 1, on a

1,

comme

JJ g(t) dt

$

JI g(t) dt,

l'intégrale

f (t) dt est majorée, donc l'intégrale

f, f (1) dt est convcrgentc; en outre, en passant à la limite, on a fI f (t) dt <

g(t)dt. Supposons en outre que f (x) < g(x) en un point x E 1 où f et g sont continues; il existe un intervalle compact (c, d) contenu dans 1, non réduit à un point et tel que x E [G, dl; on a J: f (t) dt < g(t) dt (II, p. I l , cor. l), et commc d'autre

1:

part J',C f (t) dt $ J: g(t) dt et f(l)dt 6 en ajoutant membre à membre, qu'on a

fi g(t) dt d'après ce qui précèdc, on voit, 1; f (t) dt < Jg"(t):dt.

Cette proposition fournit le moyen le plus fréquemment employé pour dCcidcr si une intégrale d'une fonctionf 3 O est ou non convergente, en comflarantf à une fonction plus simple g 3 0, dont on sait déjà si son intégrale est ou non convergente; nous verrons au chap. V comment peut se fairc, dans les cas les plus usuels, la rccherche de ces fonctions de comparaison, et nous en déduirons les critères d'application courante pour la convergence dcs intégrales et des séries.

FVR 11.18

53

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

3. Intégrales absolument convergentes

DÉFINITION 2. - On dit que l'intégrale d'une fonction f réglée dans un intervalle 1 c R est absolument convergente, si l'intégrale de la fonction positive Ilf (x) est convergente.

/I

4. -Si l'intégrale de f dans 1est absolument convergente, elle est convergente, PROPOSITION et on a

En effet, pour tout intervalle compact J c 1, on a (II, p. 12, formule (16))

Si l'intégrale de la fonction positive Il£ (x) I est convergente, pour tout E > 0, il existe un intervalle compact (a, p) contenu dans 1, tel que, pour tout intervalle compact (x, y) contenu dans 1 et n'ayant aucun point intérieur commun avec (M, P), on ait Ilf(t) dtll < E (II, p. 16, prop. 1); on en tire Il/: f ( t ) dt(l 6 E , ce qui démontre la convergence de l'intégrale dans 1 (II, p. 16, prop. 1) ; en passant à la limite dans (3), on en déduit alors l'intégalité (2).

Jz

COROLLAIRE. -Soient E, F, G trois espaces normés complets sur R, (x, y) tt [x .y] une application bilinéaire continue de E x F dans G. Soient f, g deuxfonctions réglées dans 1, à valeurs dans E et dans F respectivement. Si f est bornée dans 1 et si l'intégrale de g dans 1 est absolument convergente, l'intégrale de [f. g] dans 1est absolument convergente. En effet, il existe un nombre h > O tel que l'on ait identiquement II[x.y]II < hllxII. IIyII (TG, IX, P. 35, th. 1) ; si on pose = sup ] I f (x) 11, x Ei

on a donc (1 [f (x) .g(x)] 11 6 hkj(g(x)(1 dans 1; le principe de comparaison montre donc que l'intégrale de [f.g] dans 1est absolument convergente, et on a, d'après (2),

Remarque. - Une intégrale peut être convergente sans l'être absolument; c'est ce que montre l'Exemple 3 de II, p. 14, lorsque la série de terme général unest convergente sans être absolument convergente.

5 3.

INTEGRALES DE FONCTIONS DEPENDANT D'UN PARAMÈTRE

DERIVÉES E T

1. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle compact

Le th. 1 de II, p. 2, appliqué au cas particulier des primitives de fonctions réglées dans un intervalle compact, se traduit de la manière suivante dans la notation propre aux intégrales :

No 1

INTÉGRALESDÉPENDANTD'UN PARAMÈTRE

FVR II. 19

PROPOSITION 1. -Soient A un ensemble filtré par un filtre 8, (f,),,, une famille de fonctions réglées dans un intervalle compact 1 = (a, 6); si les fonctions fa convergent miformément dans 1uers unefonction (réglée) f suivant lejltre 8, on a

Deux corollaires de cette proposition sont importants dans les applications: COROLLAIRE 1. -Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle compact 1 = (a, b). S i la suite ( f n ) converge uniformément dans 1vers une fonction (réglée) f, on a iim Jab fn(t) dt = n-r a,

1;

f ( t ) dt.

En particulier, si une série dont le terme général un est une fonction réglée dans 1, converge uniformément vers f dans 1, la série de terme général J: un(t)dt est convergente et a pour somme J: f ( t ) d t (Gintégration terme à terme d'une série uniformément convergente D). COROLLAIRE 2. -Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de 1 x A dans un espace normé complet E sur Pi, telle que, pour tout a E A, la fonction x i-t f ( x , a ) soit réglée dans 1. Si les fonctions x tt f ( x , a ) convergent uniformément dans 1vers une fonction (réglée) x i-t f ( x ) , lorsque a tend uers un point a, E A en restant dans A, on a iim

:1

tr-+ao,aeA

f ( x , a ) dx

=

1:

g ( x ) dx.

En particulier : PROPOSITION 2 (((continuité d'une intégrale par rapport au paramètre )>).-Soient F un espace compact, 1 = (a, b ) un intervalle compact de R, f une application continue de 1 x F dans un espace normé complet E sur R ; lafonction h ( ~=) f (ct, X ) dx est continue dans F. En effet, comme f est uniformément continue dans l'espace compact 1 x F, les fonctions f ( a , x ) convergent uniformément vers f ( x , a,) dans 1, lorsque u tend vers un point quelconque ct, E F.

Ji

Voici une application de cette proposition: la fonction (x, a) H xa est continue dans le produit 1 x J, où 1 = (a, b) est un intervalle compact tel que O < a < b, J un intervalle compact quelconque dans R;on en conclut que - - xa dx est une fonction conba+l - aa+l tinue de a dans R;or, pour a rationnel et # - 1, cette fonction est égale à J et a f l ba+l - aa+l est continue dans tout intervalle de R ne contenant la fonction cc H u + l ba+i - aa+l pas - 1; on a donc (prolongement des identités) xa dx = pour tout a ai-1 réel et $ - 1; cela signifie encore que, pour tout a réel, la dérivée de xa est axa-l (cf. III, p. 4).

l:

FVR 11.20

§3

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

2. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle non compact

Le th. 1 de II, p. 2 s'applique à des fonctions plus générales que les fonctions réglées, puisqu'il suppose seulement que ces fonctions admettent des primitives. O n voit donc en particulier que la prop. 1 de II, p. 19 s'applique encore lorsque, dans un intervalle 1 c R,les fonctions f, sont seulement supposées réglées par morceaux et admettant une intégrale dans 1; toutefois, ce résultat suppose que soient vérifiées les deux autres hypothèses de la prop. 1, savoir: l01est un intervalle borné; 2O les f, convergent uniformément dans 1 vers f. La formule (1) de II, p. 19 peut être inexacte lorsque l'une de ces conditions cesse d'être remplie : il peut se faire alors que l'un ou l'autre des deux membres n'existe pas, ou qu'ils existent tous deux mais aient des valeurs distinctes. Par exemple, si f , est la fonction réglée dans )O, 11, définie par f,(x) = n pour O < x < I/n, f n ( x ) = O pour I/a < x ,( 1, la suite (f,) converge vers O un2formément dans tout intervalle compact contenue dans )O, 11, mais non uniformément dans )O, l), et on a f,(t) dt = 1 pour tout n. O n aurait un exemple où f n ( t ) f ne tend vers aucune limite en remplaçant la suite (f,) précédente par la suite ((- l)nfn) qui converge encore uniformément vers O dans tout intervalle compact contenu dans )O, 1). D'autre part, dans l'intervalle non borné 1 = (O, +CO(, soit f , la fonction réglée 1)2 et f n ( x ) = O pour toute autre valeur telle que fn(x) = l l n pour n2 < x ,( ( n de x dans 1 ( n 2 1) ; la suite (f,) converge uniformément vers O dans 1, mais l'intégrale J": f n ( t ) dt = (Zn + 1)ln tend vers 2 lorsque n croît indéfiniment. En d'autres termes, lorsque 1 est non borné, si on désigne par 9 l'espace vectoriel formé des fonctions f réglées dans 1, à valeurs dans E, et admettant une intégrale dans 1, l'application f i-t JI f ( t ) dt n'est pas continue lorsqu'on munit 9 de la topologie de la convergence uniforme dans 1 (cf. II, p. 4, cor. 2).

JD

Ji

+

Nous allons chercher des conditions su@antes pour assurer la validité de la prop. 1, sous les hypothèses suivantes : l o 1 est un intervalle quelconque de R, f, est réglée dans 1, et admet dans 1 une intégrale; 2O suivant le filtre 8, la famille (f,) converge uniformément vers f dans tout intervalle compact contenu dans 1. Désignant alors par ~ ( 1l'ensemble ) ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1 (II, p. 15), le premier membre de la formule (1) de II, p. 19 peut s'écrire limg (lim f (t) dt) ; d'autre part compte tenu de la prop. 1 (II, p. 19) JERU)

1

et du fait que la famille (f,) est uniformément convergente dans tout intervalle compact J c 1, le second membre de (1) (II, p. 19) peut s'écrire lirn (lim8 JJ f,(t) dt). O n voit donc que la prop. 1 de 11, p. 19 s'étendra J

PU)

lorsquYonpourra intervertir les limites de l'application (J,a ) t-t j, f,(t) dt suivant le filtre 8, et suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant !@(I).Or,nous connaissons une condition su$sante pour que cette interversion soit licite, savoir

No 2

INTÉGRALES

DEPENDANT

D'UN PARAMÈTRE

FVR 11.21

l'existence de la limite de l'application (J, a) i-t JJ f,(t) dt suivant le jltre produit x 8 (TG, 1, p. 58, cor. du th. 1). Nous allons transformer cette condition en une condition équivalente plus maniable. En premier lieu, comme E est complet, pour que (J, a) tt JJ f,(t) dt ait une limite suivant 0 x 8, il faut et il suffit que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c 1 et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient les éléments a, p de M ct l'intervalle compact J 3 JO contenu dans 1, on ait

Nous allons montrer d'autre part que cette condition est elle-même équivalente à la condition suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c I et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient a E M ct l'intervalle compact J 3 JO contenu dans 1,on ait

Il est évident en effet que cette dernière condition est nécessaire; inversement, si elle est satisfidite, il existe (en vertu dc la convergence uniforme de (fa) dans tout intervalle compact) un ensemble N E 8 tel que, quels que soient a, P dans N, on ait

IJ

et par suite, on a /lJJo f,(t) dt - &(t) dtll < 2~ quels que soient a et f~ dans M n N E 8 et quel que soit l'intervalle compact J 2 JO. Enfin, le lemme de II, p. 16 nous permet de mettre la dernière condition trouvée sous la forme équivalente suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c 1 et un ensemble M E 8 (dépendant de E ) tels que, pour tout interualle compact K c 1 n'ayant aucun point intérieur commun avec JO, et tout a E M , on ait

IIJ,

fE(t) d~ll 6 Le plus souvent, on utilise une condition plus restrictive, obtenue en supposant, dans l'énoncé précédent, que l'ensemble M ne dépendepas de E :

1,

DÉFINITION 1. - On dit que l'intégrale fw(t) dt est uniformément convergente pour a E A (ou uniformémeni convergente dans A) si, pour tout E > O, il existe un interualle compact JO c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 sans point intérieur commun avec JO, et tout a E A, on ait

FVR 11.22

43

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Cette définition équivaut à dire q u e la famille des applications u HjJ f,(t) dt est uniformément convergente dans A (vers l'application u tt f,(t) dt) suivant le filtre des sections @ d e @ ( I );chacune des intégrales f,(t) est afortiori convergente (la réciproque étant inexacte). E n outre, d'après ce q u e nous venons d e voir ( o u d'après TG, X , p. 8, cor. 2 ) :

1,

II

PROPOSITION 3. - Soit (f,) unefamille defonctions réglées dans un intervalle 1, telles que: losuivant lejltre 8, la famille ( f a )converge uniformément vers unefonction f (réglée dans 1) dans tout intervalle compact contenu dans 1 ; 2O l'intégrale fI f,(t) dt soit uniformément convergentepour tout u E A. Dans ces conditions, l'intégrale f, f ( t ) dt est convergente, et on a

Les conditions de la prop. 3 sont remplies par exemple lorsque 1 est un intervalle borné, que les fa sont uniformément bornées dans 1, et convergent uniformément vers f dans tout intervalle compact contenu dans 1; en effet, si lIf,(x) 11 $ h pour tout x E 1 et tout CL, et si J O est tel que la différence entre les longueurs de 1 et de J O soit $ ~ / h , la condition ( 7 ) est vérifiée pour tout intervalle K c 1 sans point intérieur commun avec JO.

C o m m e pour la prop. 1 de I I , p. 19, deux corollaires d e la prop. 3 sont importants dans les applications : COROLLAIRE1. -Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1, uniformément convergente vers une fonction f dans tout intervalle compact contenu dans 1; si l'intégrale JI f,(t) dt est uniformément convergente, l'intégrale fI f ( t ) dt est convergente, et on a iim

n-. m

fn(t) dt

=

jIf ( t ) dt.

Remarque. -Les hypothèses faites dans ce corollaire sont suffisantes, mais non nécessaires pour la validité de la formule (9); nous généraliserons plus tard cette formule en même temps que la notion d'intégrale (voir INT, I V ) , et obtiendrons des conditions beaucoup moins restrictives. COROLLAIRE2. - Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de 1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle que, pour tout a E A, la fonction x tt f (x, a) soit réglée dans 1. Si, d'une part, les fonctions x i-t f (x, a) convergent uniformément, dans tout intervalle compact contenu dans 1, vers une fonction x ++f ( x ) , lorsque u tend vers u, E A en restant dans A; si, d'autre part, l'intégrale fI f (x, a ) dx est uniformément convergente dans A, alors l'intégrale f, f ( x ) dx est convergente, et on a

No 3

INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE

FVR 11.23

En particulier : PROPOSITION 4 (((continuité d'une intégrale impropre par rapport au paramètre )>).- Soient F un espace compact, 1un interualle quelconque de R, f une application continue de 1 x F dans un espace normé complet E sur R ; si I'integrale h(a) = f (x, ci) dx est uniformément convergente dans F, elle estfonction continue de a dans F.

1,

Compte tenu de la prop. 2 de II, p. 19, cette proposition résulte aussi de la continuité d'une limite uniforme de fonctions continues (TG, X, p. 9, th. 2).

3. Intégrales normalement convergentes

Soit (fa) A une famille de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1 c R, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. Supposons qu'il existe une fonction numérique finie g réglée dans 1, telle, que, pour tout x E 1 et tout a E A, on ait Ilf,(x) 1 6 g(x) et que l'intégrale g(t) dt soit convergente. Dans ces

SI

1,

conditions, l'intégrale f, (t) dt est absolument et uniformémentconvergente dans A; en effet, pour tout intervalle compact K contenu dans 1,on a

et la convergence de l'intégrale J", g(t) dt entraîne que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact J c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 ne rencontrant pas J, on ait f, g(t) dt < E. Lorsqu'il existe une fonction numérique g ayant les propriétés précédentes, on dit que l'intégrale uergente dans A (cf. TG ,X, p. 22).

SI f,(t) dt est normalement con-

Une intégrale peut être uniformément convergente dans A sans être normalement convergente. * C'est ce qui se passe pour la suite (f,) de fonctions numériques définies 1, fn(x) = O pour les autres valeurs par les conditions fn(x) = l/x pour n < x < n de x dans 1 = (1, +CO(. Il est immédiat que l'intégrale j T fn(t) dt est uniformément convergente, mais elle n'est pas normalement convergente, car la relation&) > fn(x) pour tout x E 1et tout n entraîne g(x) 3 llx, et par suite l'intégrale de g dans 1n'est pas convergente.*

+

En particulier, considérons une série dont le terme général un est une fonction réglée dans l'intervalle 1, et supposons que la série de terme général Ilun(x)I (qui est une fonction réglée dans 1) converge uniformément dans tout intervalle compact contenu dans 1,et soit telle que la série de terme général f, llu,(t) I dt soit convergente; alors (II, p. 16, prop. 2) la fonction (réglée) g(x), somme de la série de terme général I l un(x)11, est telle que l'intégrale JI g(t) dt soit convergente. Si on n

pose f =

2 u,, l'intégrale

p=1

ffl(t)dt est normalement conuergmte, car on a

FVR 11.24

53

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

pour tout x E I et tout n; par suite, la somme f de la série de terme général unest une fonction réglée dans 1 telle que l'intégrale JI f(t) dt soit convergente, et on a

(((intégration terme à terme d'une série dans un intervalle non compact ))).

4. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle compact

Soient A un voisinage compact d'un point a, dans le corps (resp. le corps C ) , 1 = (a, b ) un intervalle compact dans R, f une application continue de I x A dans un espace normé complet E sur R (resp. @). O n a vu (II, p. 19, prop. 2) que, dans ces conditions, g(a) = f(t, a) dt est une fonction continue dans A. Cherchons des conditions su$santes pour que g admette une dérivée au point a,. On a, pour a # a,

fa

- convergent uniformédonc (II, p. 19, cor. 2), si les fonctions x Hf (x, a) - f (x9-a,) a - a, ment dans 1 vers une fonction (nécessairement continue) x K-h(x) lorsque a tend vers a, (en restant # a,), g admet une dérivée égale à h(t) dt au point a,;

d'ailleurs, pour chaque x E 1, (" a) -

a - a,

tend vers h(x), donc h(x) est la

dérivée au point a, de l'application a F+ f (x, a) ; nous désignerons cette dérivée (dite dérivée partielle de f par rapport à a) par la notation fk (x,a,) ; les hypothèses faites entraînent donc que

La proposition suivant donne une condition sufisante plus simple pour la validité de la formule (12) : PROPOSITION 5. - On suppose que la dérivée partielle fi (a, x) existe pour tout x E 1 et tout a appartenant à un voisinage ouvert V de a,, et que, pour tout a E V, l'application x ttf; (x, a) soit réglée dans 1. Dans ces conditions, si x t+ f: (x, a) converge uniformément dans 1 vers x H (x, a,) lorsque a tend vers a,, lahnction g(a) = f (t, a) dt admet au point a, une dérivée donnéepar laformule (12). En effet, pour tout E > O, il existe par hypothèse r > O tel que la - a,/ < r

a!

No 4

INTÉGRALES DÉPENDANTD'UN PARAMÈTRE

FVR 11.25

entraîne Ilfa (x, a ) - f; (x, a,) I < E quel que soit x E 1. D'après les prop. 3 et 5 de 1, p. 25, on a, pour la - a,/ < r ( a # a,) et pour tout x E 1

( x , a,) vers f; (x, a,) dans 1 a - a, lorsque a tend vers a , (en restant # a,), et établit donc la formule (12).

ce qui prouve la convergence uniforme de

f ( % , a )- f

COROLLAIRE. - Si la dérivée partielle f; (x,a ) existe dans 1 x V et est fonction continue de (x, a ) dans cet ensemble, lafonction g admet au foint a, une dérivée donnée par laformule (12). En effet, si MT est un voisinage compact de cc, contenu dans V, l'application (x, cc) t-f $4 (x, cc) est uniformément continue dans l'ensemble compact 1 x W, donc fi (x, a ) tend uniformément vers f; (x, a,) dans 1 lorsque a tend vers a,. De la prop. 5, on déduit une proposition plus générale permettant de calculer la dérivée d' une intégrale lorsque, non seulement la fonction intégrée f , mais aussi les limites d'intégration, dépendent du paramètre cc: PROPOSITION 6. - Les conditions de la prop. 5 étant sufiposées vérgées, soient a(&),b(a) deux fonctions déJilzies dans V, à valeurs dans 1; si les dérivées ar(a,), bf(a,) existent et sont .finies, la jimction g ( a ) = f (t, a)dt admet au point a, une dérivée donnée par la formule

sa:,";

En effet, pour tout a

EV

distinct de a,, on peut écrire

D'après la prop. 5 de I I , p. 24, la première intégrale du second membre tend vers f; (t, a,) dt lorsque a tend vers a,. Dans la seconde, nous allons remplacer f ( t , a ) par f(b(a,), a,), et montrer que la différence tend vers O. Posons M = Max(ljf (b(a,), a,) 11, 1 br(a,) 1 + 1) ; la fonction b(a) étant continue au point a,, et la fonction f continue au point (b(a,), a,), pour tout E tel que O < E < 1, il existe r > O tel que la relation la - a,/ < r entraîne Ilf (t, a ) - f (b(ao),a,) 1 < E pour tout t appartenant à l'intervalle d'extrémités b(cr,) et b ( a ) ; on peut aussi

c:z:;

supposer que la relation la - a,l

entraîne

1 b(4

b(ao) - bl(a,)

a - a, ) -

1<

E.

FVR 11.26

53

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

D'après la formule de la moyenne ( I I , p. 12, formule (17)), on a donc

et par suite

/2 -

@O

b(uo)

f (t, a ) dt

-

b' ( a o ) f(b(a,), a,)

1<

2Mî

f (t, a ) dt tend vers b l ( a o ) f(b (a,), ao). De la ce qui montre que -&!~~, a - a, 1 même manière, on montre que ,::f f ( t , a ) dt tend vers al(a,)f(a(ao),a,). a - a, 5. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle non compact

L'ensemble V ayant la même signification que dans la prop. 5 de I I , p. 24, supposons maintenant que 1 soit un intervalle quelconque de R, f une application continue de 1 x V dans E ; si l'intégrale g ( a ) = J; f (t, a ) dt existe pour tout a E V et est fonction continue de a, la fonction g n'a pas nécessairement au point a, une dérivée égale à JI f; (t, a,) dt, même si f: (x, a ) converge uniformément vers f: (x, a,) dans tout intervalle compact contenu dans 1, et si l'intégrale fI f: (t, a ) dt existe pour tout a E V (cf. I I , p. 35, exerc. 3 ) . Une condition suffisante pour que la formule (12) ( I I , p. 24) soit encore valable dans ce cas est donnée par la proposition suivante:

7. - Soit I un intervalle quelconque de R, f une fonction continue dans PROPOSITION 1 x V . On suppose que : l 0 la dérivée partielle f; (x, a ) existe pour tout x E 1 et tout a E V , et, pour tout a E V , l'application x t+ f; (x, a ) est réglée dans 1 ; 2O pour tout a E V , f: (x, P) converge un$ormément vers f: (x, a ) dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque P tend vers a ; 3O l'intégrale f, f i (t, a ) dt est uniformément convergente dans V ; 4O l'integrale JI f (t, a,) dt est convergente. Dans ces conditions, l'intégrale g ( a ) = JI f (t, a ) dt est uniformément convergente dans V ,et lafonction g admet en toutpoint de V une dérivée donnéepar laformule

La convergence uniforme dans V de l'intégrale

f; (t, a ) dt signifie que la

No 6

INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE

FVR 11.27

fonction a t-If, (t, a) dt converge uniformément dans V suivant le filtre des sections 0 de l'ordonné filtrant h(1) des intervalles compacts J contenus dans 1. Posons u, (a) = f(t, ~ ) d t ;les hypothèses montrent d'une part que u,(a,) a une limite suivant @, et d'autre part, en vertu de la prop. 5 de II, p. 24, que u;(cc) = f: (t, a) dt pour tout a E V. Nous pouvons donc appliquer le th. 1 de II, P. 2, aux fonctions ai,, le rôle de l'ensemble d'indices étant tenu ici par k(I), celui du filtre sur cet ensemble par le filtre @; la proposition en résulte aussitôt.

1,

1,

Remarques. - 1) Les conditions l o r t 2 O de la prop. 7 sont remplies a fortiori lorsque fa ( x , x ) est fonction continue de (Y, a) dans 1 x V. 2) Lorsque, dans unc intégrale f(t, a ) dt, les extrémités de l'intervalle d'intégration sont des fonctions Jinies du paramètre, l'étude de cctte intégrale en fonction de x peul se rattacher à celle d'une intégrale dans (O, 1); en effet, par le b(a)u, on a changement de variable t = a(a) (1 - u )

:
+

f (t, E ) dt

r=

Ji f ( a ( % )(1

--

u)

+ b(z)u, a) (b(a) - a(a)) du.

6. Interversion des intégrations

Soient 1 = (a, b ) et A = [c, d ) deux intervalles compacts de R;soit 6. une fonction continue dans I x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R; d'après la prop. 2 de II, p. 19, J f" (x,: a) dv est fonction continue de a dans A; son intégrale

fO(f:

f(x, a) dx)da se note aussi, pour simplifirr (C da

/,b f(x, a) dv.

PROPOSITION 8. - Si f est continue clans 1 x A, on a

(<(formule d'in tcrversion cles intégrations D). Nous allons montrer que, pour tout y E A, on a

Comme les deux membres de (16) sont des fonctions de y égales pour y = c, il suffira de prouver qu'elles sont dérivables dans )c, d( et que leurs dérivées sont égales en tout point de cet intervalle. Si on pose g(a) = f(.x, a) dx, h(x, y) =

1; f (x,K)dx, la relation (16) s'écrit Or, la dérivée du premier membre par rapport à y est $(y), celle du second est hj(x, y) dx d'après II, p. 25, corollaire, puisque hj(x, y) = f(x, y) est continue dans 1 x A; les deux expressions ainsi obtenues sont bien identiques.

1:

FVR 11.28

53

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Supposons maintenant que A = (c, d ) soit un intervalle compact dans R, 1 un intervalle quelconque dans 48; soit f une fonction continue dans 1 x A, à valeurs dans E, telle que l'intégrale f ( a ) = JI f (t, a ) dt soit convergente pour tout a E A; même si g ( a ) est continue dans A, on ne peut pas toujours intervertir les intégrations dans l'intégrale da JI f (t, a ) dt, car l'intégrale JI dt Jf f (t, a ) da peut ne pas

Scd

exister, ou être distincte de l'intégrale O n a toutefois le résultat suivant:

1; doc JI f (t, a ) dt (cf. I I , p. 36, exerc. 7 ) .

9. - Si la fonction f est continue dans 1 x A, et si l'intégrale f (t, a ) dt PROPOSITION est unijirmément convergente dans A, l'intégrale JI dt f (t, oc) da est ronaergente, et on a

Se

Scd

da

f (t, a ) dt =

SI Scd dt

f (t, a) da.

Pour tout intervalle compact J contenu dans 1, posons =,(a) = JJ f (t, a ) dt. L'hypothèse entraîne que suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant k ( I ) , la fonction continue æaJ converge uniformément dans A vers JI f (t, a ) dt; donc

( I I , p. 19, prop. l), Jf dor JJ f ( t , a ) dt a pour limite mais, d'après la prop. 8 ( I I , p. 2 7 ) , on a

da

JI f ( t , a ) dt

suivant @;

Le résultat précédent signifie donc que l'intégrale JI dt If f (t, a ) da est convergente, et en passant à la limite suivant dans la relation (18), on obtient (17).

Exercices

1) Soit (f,) un ensemble de fonctions numériques, définies dans un intervalle 1 c W, admettant chacune une primitive stricte dans 1, et formant un ensemble ordonné filtrant pour la relation < . Soit f l'enveloppe supérieure de la ramille (f,) ; on suppose qucf admct une primitivc stricte dans 1. Montrer que, si g, (resp. g) est la prirnitivc de f, (resp. f ) qui s'annule cn un point xo E 1, g est l'enveloppe supérieure de la famille (g,) dans l'intersection 1 n (xO, +CO(ct son enveloppe inféricure clans I'interscction I n 1 - C O ,x,). (En se bornant a u premier de ccs intcrvallcs, montrer que si u cst I'enveloppc supérieure de (g,) dans 1 n (x,, +CO(, on a u(x h) - U(X)< g(x t 11) - g(x) pour h > O; prouver cnsuite quc, h) - u(x) 3 g,(x 11) -- g,(x), et conclure dc cette dernière pour tout or, on a u(x h) - u(x))/h > f (x); en déduire la proposition.) inégalité que lim inf (u(x

+ +

h+O

+

+

Donner en cxemple de suitc croissante (J,) de ronctions continues dans un intervalle 1, uniformément bornées, mais dont l'enveloppe supérieure n'admet pas de primitive stricte dans 1.

2) Montrer que pour qu'une fonction f soit unc fonction en escalier dans un intervalle 1, il faut et il suffit qu'elle n'ait qu'un nombre fini de pointr de discontinuité, ct soit constante dans tout intervalle où elle est continue. 3) Soit f une fonction réglée dans un intervalle 1 c W, prenant ses valeurs dans un espace normé complet E sur R ; montrer que pour toute partie con~pacteH de 1, f (1-1) est relativement compact dans E ; donner un exemple où f (H) n'est pas fcrmé dans E.

4) Donner un exemple de fonction numérique continue f dans un intervalle compact 1 c R, telle que la fonction composée x I -t sgn (f (x)) ne suit pas réglée dans 1 (bien que sgn soit réglée dans R). 5) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle compact 1 = [a, b) c W , prenant ses valeurs dans un espace normé complct F,; on dit que f est à variation bornée dans 1s'il existe un nombre m > O tel que, pour toute suite finie strictemcnt croissante (x,), de

.,.,

n-1

1

points de 1 telle que xo = a et x, = 6, on ait Ilf (x,, ,) - f (x,) 11 < m. t=o a) Montrer que f (1) est relativement compact dans E (raisonner par l'absurde). b) Montrer que 6 est réglCe clans I (prouvcr que lorsque x tend vcrs un point restant > x o , f ne peut avoir deux valeurs d'adhérence distinctes: et utiliser a)).

.yo E

1 en

6) Pour qu'une fonction f, à valeurs dans un cspace normé complet E, ct définie dans un intervalle ouvert 1 c R, soit égale à une fonction réglée dans 1, en tous lcs points du complémentaire d'une partie dénombrable de 1, il faut et il suffit qu'elle satisfasse à la condition suivante: pour tout x E 1 et tout E > O, il existe un nombre h > O et deux éléments a, b de E tels que l'on ait [If(y) - al1 < E pour tout y E (x, x h), sauf au plus une infinité dénombrable de points de cct intervalle, et /If(z) - b I < E pour tout z E (x - 12, x) sauf a u plus une inf nité dénombrable de points de cet intervalle.

+

* 7) Montrer que la fonction égale à sin (llx) pour x f O, à O pour x = O, admet une primitive stricte dans R (remarquer que x2 sin (Ilx) admet une dérivée en tout point). E n déduire que, si g(x, u, v) est un polynôme en u, v, à coefficients fonctions continues de x dans u n intcrvalle 1 contenant O, la fonction égale à g(x, sin llx, cos llx) pour x f O, à une valeur convenable a (que l'on déterminera) pour x = O, admet une primitive strictc dans 1; donner un exemple où a f g(0, 0, 0). *

FVR 11.30

* 8) Montrer qu'il

PRIMITIVES ET

INTEGRALES

existe une fonction continue dans (- 1,

+ 1) admettant une dérivée finie

en tout point de cet intervalle, cette dérivée étant égale à sin de Ilnx (n entier f O) et de O. (Au voisinage de x

-

61

aux points x distincts ,lx)1

(SI.

llnx, faire le changement de variable

et utiliscr l'exerc. 7 ; à l'aide du même changement de variable, montrer nx Arc sin u qu'il existe une constante a > O indépendante de n, telle que x =

+

en déduire que si on pose g(x) = ~ i m E+O

g admet a u point x = O une dérivée nulle.)

):( sin

.

1

dt,

sin -

9 ) Soit f une fonction réglée dans un intervalle compact 1 = (a, O). Montrer que, pour j(f( t ) - g ( t ) /j dt < E (se tout E > O, il existe une fonction g continue dans 1 et telle que ramener a u cas où f est une fonction en escalier). E n déduire qu'il existe un polynôme h (à coefficients dans E) tel que j: jlf (t) - h ( t ) I/ dt < E.

fl

10) Soit f une fonction réglée dans (a, b), prenant ses valeurs dans E, g une fonction réglée dans (a, c ) (c > b ) , prenant ses valeurs dans F, et soit (x,y) tt [x.y] une application bilinéaire continue de E x F dans G (E, F, G espaces normés complets). Montrer que

(se ramener a u cas où f est une fonction en escalier). I I ) Les hypothèses étant les mêmes que dans I'exerc. 10, montrer que, pour tout E > 0, il existe un nombre p > O tel que pour toute subdivision de (a, O) en intervalles (x,, xl +1) de longueur < p (O ( i < n - l), on a

quels que soient, pour chaque indice i, les points u,, v, dans (x,, x,

,

(se ramener au cas où

f et g sont des fonctions en escalier).

7 12) O n dit qu'une suite (xn)de nombres réels appartenant à l'intervalle (0, 1) est également répartie dans cet intervalle si, pour tout couple de nombres cc. p tels que O < cc < p < 1 on a, en désignant par vn(a, P) le nombre des indices i tels que 1 < i < n et a < x, < jj P) = p - a. -

lim vn!., n+m

12

Montrer que, si la suite (x,) est également répartie, et si f est une fonction réglée dans

(0, 117 on a Iim

n-+ m

-1

Z f(r,)

l=l

=

1;

f (t) dt

(se ramener a u cas où f est une fonction en escalier). Réciproque. Montrer que, pour que la suite (.Y,,) soit égalemcnt répartic, il suffit que la relation (2)

si

FVR 11.31

EXERCICES

ait lieu pour toute fonction numérique f appartenant à un ensemble partout dense dans l'espace des fonctions numériques continues dans (O, 1), muni de la topologie de la convergence uniforme.

IT[ 13) Soitf une fonction numérique réglée dans un intervalle compact (a, b). O n pose

a) Montrer que, si f est croissante dans (a, b), on a

b) Sif est continue et admet dans (a, b( une dérivée à droite réglée et bornée, montrer qu'on a b -a b-a lim nr(n) = -(f (b) - f (a)) (en posant xk = a k -3 remarquer qu'on a

2

n+m

+

et appliquer la prop. 5 de II, p. 7). c) Donner un exemple de fonction f croissante et continue dans (a, 6 ) telle que nr(n) ne tende b-a pas vers -(f (b) - f (a)) lorsque n croît indéfiniment [prendre pour f la limite d'une

2

suite décroissante (f,) de fonctions croissantes dont les courbes représentatives sont des lignes brisées, telles que

14) Soit f une fonction vcctorielle primitive d'une fonction réglée f' dans (a, b), et telle que f (a) = f (6) = O. Montrer que si M est la borne supérieure de Ilf '(x) 11 dans l'ensemble des points de (a, b) où f' est continue, on a

15) Soit f une fonction numérique continue, strictement croissante dans un intervalle (O, a), et telle que f (0) = O; soit g sa fonction récriproque, définie et strictement croissante dans (O, f (a)); montrer que, pour O < x < a et O < y < f (a), on a

l'égalité n'ayant lieu que si y = f (x) (Ctudier les variations en fonction de x (y restant fixe) f ( t ) dt). En déduire que, pour x 2 O, y 2 O, de xy > 1, fi' = p/(p - l ) , on a xy -/ aap + byp' pour a > 0, b > O et ( p a ) ~ ' ( p ' b )> ~ 1. 16) Soient f une fonction vectorielle réglée dans I = (a, b) c R, u une primitive de f dans 1, D un ensemble convexe fermé contenant u(1).Montrer que si g est une fonction numérique monotone dans 1, on a

FVR 11.32

PRIMITIVES ET

31

INTEGRALES

où c appartient à D (se ramener a u cas où g est une fonction en escalier monotone). En déduire que sif est une fonction numérique réglée dans 1, il existe c G I tel que

(«deuxième théorème de la moyenne )>). 17) Soit g une fonction numérique admcttant une dérivée continue et f O dans (a, x); sif cst 1)-Cme réglke dans (a, x), montrer que le une fonction numérique ayant unc dérivée (n reste rn(x) du d&eloppemcnt d e Taylor d'ordre n def au point a, peut s'écrire

+

où a <

< < x (utiliser la forme intégrale de r,(x)).

18) Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle ouvert 1. Pour que f soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait

(raisonner comme dans l'exerc. 9 de 1, p. 52). 19) Soient f une fonction convexe dans un intervalle 1, h un nombre >O, et 1 , l'intersection de 1 et des intervalles 1 + h et I - h ; montrer que, si 1, n'est pas vide, la fonction

est convexe dans 1,; si h < k, on a g, < g. Lorsquc h tend vers O, montrer que gh tend uniformément vers f dans tout intcrvalle compact contenu dans l'intérieur de 1. 20) Montrer que, lorsque n croît indéfiniment, le polynôme

tend uniformément vers - 1 dans tout intcrvalle ( - 1, - E), et tend uniformément vers + 1 dans tout intervalle (E, l), où E > O (remarquer que (1 - t2), dt > (1 - t ) n dt).

+

Ji

JE

Ji

f,(t) dt tend uniformément vers 1x1 dans (- 1, + l), En déduire que le polynôme gn(x) = ce qui donne une nouvelle dkmonstration du th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3). 21) Soit f une fonction numérique croissante convexe et continue dans un intervalle (O, a) et telle que f (O) = O. Si a, > a, > . 2 a, > O est une suite finie décroissante de points de (O, a), montrer que l'on a

..

f (al) -f(a,)

+ .- + (-

l)n-y(a,)

> f (al

- a2

+ .. + ( -

(On peut se borner au cas où n = 2m est pair; remarquer que pour 1

l)n-lan).

< j < m, on a

22) Soit f une fonction numérique continue croissante et > O dans l'intervalle (0, 1). a) Montrer qu'il existe une fonction convexe g > O dans (O, 1) telle que g G f et g(t) dt > 3 f: f ( t ) dt (cf. 1, p. 53, exerc. 23). b) Montrer qu'il existe une fonction convexe h dans (O, 1) telle que h > f et que

Ji

Io1 h(t) dt 4 2

JO1

f (t) dt.

§2

FVR 11.33

EXERCICES

(Pour tout a tel que O < a < 1, soit fa la fonction égale à f pour O $ t < a et à f (a) pour a < t < 1; soit A l'ensemble des a E )O, 1) pour lesquels il existe une fonction convexe ha dans (O, 1) telle que ha 3 fa et J" h,(t) : dt < 2 fa(t) dt. Montrer que la borne supérieure b de A appartient encore à A, en utilisant l'exerc. 1 de 1, p. 52. Prouver ensuite quefb= f en raisonnant par l'absurde. Pour cela, on se ramène à prouver le résultat suivant: si pi est continue et croissante dans {O, 1), non constante et telle que pi(0) = O, il y a un point telle que +(c) = pi(c) et c E )O, l ( tel que p(c) > O et que la fonction linéaire

J":

+

+(2c - 1) = O vérifie la relation $(t) 3 v(t) pour max(0, 2c

-

1)

$

t

< c.)

23) Soit f une fonction vectorielle continûment dérivable dans un intervalle (a, b) c R, à valeurs dans un espace normé complet. a) Montrer que pour a < t < b, on a

b) En déduire les inégalités

1) Soient cc et p deux nombres réels finis tels que cc < p. Montrer que si y et 6 sont deux nombres tels que cr < y < 6 < p, il existe une fonction numériquef, définie dans un intervalle (O, Q), ne prenant que les valeurs cc et p, telle que dans tout intervalle (E, a) (pour E > O), f soit une fonction en escalier et que, si on pose g(x) = f (t) dt, on ait

(prendre pour g une fonction dont le graphe est une ligne brisée dont les côtés consécutifs ont pour pentes a et p et dont les sommets se trouvent alternativement, soit sur les droites y = yx, y = Sx pour y # 8, soit sur la droite y = yx et la parabole y = yx x2 pour y = 6). Par la même méthode, montrer que si y et S sont finis ou non (y < 6 ) il existe une fonction numérique f définie dans )O, a) telle que, dans tout intervalle (E, a) (pour E > O), f soit une fonction en escalier, que l'intégrale g(x) = f ( t ) dt existe et que l'on ait encore les relations (*).

+

fi

2) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle )O, a) telle que l'intégrale

fi

f (t) j: dt soit t

convergente. Montrer que l'intégrale g(x) = f (t) dt est convergente et que g admet au point x = O une dérivée à droite (intégrer convenablement par parties). b) Donner un exemple de fonction numérique f telle que l'intégrale g(x) = f (t) dt soit convergente et admette au point O une dérivée à droite, mais que f (t)/t n'admette pas d'intégrale dans )O, a) (prendre pour f (x)/x la dérivée d'une fonction de la forme COS cp(x), où pi tend vers $ CO lorsque x tend vers O).

SE

3) Soit f une fonction numérique 2 0, définie dans un intervalle )O, a) et réglée dans cet

FVR 11.34

52

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

intervalle, telle que l'intégrale g(x) = J O f (t) dt soit convergente mais que g n'ait pas de dérivée à droite a u point O. Montrer qu'il existe une fonctionfl réglée dans )O, a), telle que (f1(x))" = f (x) pour tout x, que l'intégrale gl(x) = JE fl(t) dt soit convergente et que gl ait une dérivée à droite au point O. (Considérer d'abord le cas où f est identique à une fonction en escalier dans tout intervalle (E, a) (pour E > O). Dans ce cas, diviser chaque intervalle où f est constante en un assez grand nombre de parties égales, et prendre fi constante dans chacun de ces intervalles, le signe de fi étant différent dans deux intervalles consécutifs. Procéder de même dans le cas général.) 4) Définir dans l'intervalle (0, 1) deux fonctions numériquesf, g telles que f et g admettent des primitives strictes, mais que fg soit en tout point de (O, 1( la dérivée à droite d'une fonction continue qui n'admet pas de dérivée à gauche en un ensemble de points ayant la puissance du continu (utiliser des constructions analogues à celles de l'exerc. 8 de 1, p. 45 et de l'exerc. 3 ci-dessus).

5) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle ouvert borné )a, b(; on suppose qu'il existe une fonction numérique g, décroissante dans )a, b(, telle que Ilf (.Y)]/ < g(x) dans )a, b( et que l'intégrale g(t) dt soit convergente. Montrer que, si (en) est une suite de nombres > 0, tendant vers 0 et telle que inf nEn > O, on a n

'2 n-1

iim

n-rm

n

k=o

f(a

+ en + k*)

n

= /:f(t)

dt.

b) Donner un exemple de fonction numérique f réglée et >O dans )O, 1) telle que l'intégrale Ji f (t) dt soit convergente, mais que la relation (*) n'ait pas lieu pour E, = l/n (prendre f de sorte que sa valeur pour x = 2-P soit 2"P). c)

Avec les mêmes hypothèses que dans a), montrer que

6 ) Soit f une fonction réglée dans l'intervalle )a, +CO(;on suppose qu'il existe une fonction numérique g décroissante dans )a, + a ( , telle que llf (x) I < g(x) dans cet intervalle et que

2

f (a l'intégrale J,' " g(t) dt soit convergente. Montrer que la série n=l convergente pour tout h > O, et que l'on a iim h h- m

sl

f (a

+ nh)

=

:1

+ nh) est absolument

f ( t ) dl.

7) Soient f et g deux fonctions réglées et >O dans un intervalle ouvert )a, b(. Montrer que les intégrales des fonctionsf/(l + fg) et inf (f,1/g) dans )a, b( sont à la fois convergentes ou infinies. 8) Soit f une fonction réglée et 2 O dans un intervalle (a, + CO(, et soit g une fonction dérivable croissante définie dans (a, +CO(, et telle que g(x) - x 2 -h > O pour tout x > a. Montrer que si l'on a f (g(x))g'(x) < k.f (x) avec k < 1 (resp. f (g(x))gl(x) 2 k.f (x) avec k > l), l'intégrale f (t) dt est convergente (resp. égale à + a ) (critère d'Ermakoff: en f (t) dt et faire croître n désignant par gn la n-ème itérée de g, considérer l'intégrale J9,n(a) indéfiniment).

+

9) Soit GC un nombre > O, f une fonction 2 O et décroissante, définie dans l'intervalle )O, a ( et telle que l'intégrale JOmtf' (t) dt soit convergente. Montrer que pour tout x > O, on a

53

FVR 11.35

EXERCICES

(Le démontrer d'abord lorsque f est constante dans un intervalle )O, a) et nulle pour x > a, puis pour une somme de telles fonctions, et passer à la limite dans le cas général.)

1) Soient 1 un intervalle quelconque de R, A un ensemble, g une fonction numérique finie, définie dans I x A, telle que pour tout a E A, t Hg(t, a) soit décroissante et > O dans 1; on suppose en outre qu'il existe un nombre M indépcndant de a tel que g(t, a) < M dans 1 x A. f (t) dl soit cona) Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, telle que l'intégrale

SI

SI

vergente, l'intégrale f(t)g(t, a)dt est uniformément convergente pour cc E A (utiliser le second théorème de la moyenne; CF. II, p. 31, exerc. 16). b ) O n suppose que 1 = (a, + C O ( ct en outre que g(t, cc) tendc uniformément vers O (pour a E A) lorsque t tend vers + co. Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, et s'il existe un nombre k > O tel que / J, f (t) dt // < k pour tout intervalle compact J contenu dans 1,

SI

l'intégrale f (t)g(t, cc) dt est uniformément convergente pour a E A (même méthode). G)O n suppose que 1 = (a, + C O ( avec a > O, A = (O, +CO(, et g(t, a) = O dans A, tendant vers O lorsque .Y tcnd vers m et telle que ?(O) = 1. O n suppose en outre que f = h , où h est une fonction deux fois dérivable " f (t)rp(cct)dt est alors dans (a, CO(,bornée ainsi que h' dans cet intervalle. L'intégrale convergente pour cc > O; montrer que lorsque cc tend vers O, elle tend vers - h'(a) (intkgrcr par parties et utiliser le second théorème de la moyenne). * d) O n prend O, a = 1 ct pour f la fonction complexe t »eil0gt/tqui pour un choix convenable de c est la dérivée d'une fonction bornCc dans 1; montrer que . .

+

S:

+

l'intégrale

j:

,$l06t

" ëact -dt, qui est absolumcnt convergente pour cc > O, ne tend vers 1

aucune limite lorsquc a tend vers O (après avoir intégré par parties, faire le changcment de variables cct = u ; pour voir que f: e-CU+ilOgU du n'est pas nulle pour certains G > 0, utiliser la théorie de la transformation de Laplace.), 2) Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans un intervalle compact (a, b), tclles que f soit décroissante dans (a, b), et O < g(t) < 1. Si on pose h = j: g(t) dt, montrer que l'on a

sauf lorsque f est constantc, ou que g est égale à O (resp. 1) en tous lcs points où cllc rst conj'(t)g(t) dt, faire tinue (auxquels cas les trois membres sont Cgaux). (Dans l'intégrale varier l'une des limites d'intégration.)

s:

-

+

3) Soitf(x, a) = 1 / d 1 - 2ax cr2 pour - 1 < x < 1 et a E R; montrer que la fonction d x / d l - Sccx cr2 est continue dans R, mais n'admet pas de dérivée pour g(cc) = or = 1 e t c c = - 1 ; m o n t r c r q u c f ~ ( x , c c ) c x i s t e p o u r t o u t c c ~ R e t p o u r x ~=I) - 1 , +1(, et est continue dans 1 x R, que I'intCgralc j+:f,' (x, cc) dx cxiste pour tout cc E R, mais vérifier que cette inttgrale n'est pas uniformément convergente dans un voisinage du point a = 1 ou du point or = -1.

Sr:

+

7 4) Soit 1 un intervalle dans ]ta, A un voisinage d'un point cco dans le corps W (resp. le corps C), f une application continue de 1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle que fL(x, cc) existe et soit continue dans 1 x A. Soient a(a), b(a) deux fonctions définies et continues dans A, à valcurs dans 1, telles qu'on ait identiqueincnt f (a(cc), cc) = f (b(cc), cc) = O dans A. Montrer que la fonction g(a) = f (t, a) dt admet au point cco une dérivée égale

FVR 11.36

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

53

::S:

à fA(t, a,) dt, même si a et b ne sont pas dérivables au point oro (soit M la borne supérieure de Ilfa (x, a) I / dans un voisinage compact de (b(ao), a,) ;remarquer, à l'aide du th. de Bolzano appliqué à b(a), que pour tout point x appartenant à l'intervalle d'extrémités b(aO)et b(rx), on a, lorsque a est assez voisin de a,, jjf (x, a) 1 < Mla - ccol).

5) Soit f une fonction vectorielle continue dans l'intervalle compact 1 = (O, a). Montrer que si, au point a, E 1, il existe E > O tel que (f (x) - f(a,))/lx resteborné lorsque x tend vers a,, la fonction g(a) = J"(: f (x) d x l d z admet au point a, une dérivée égale à

pour a, > 0, à O pour uo = 0. Lorsque f est la fonction numérique d a , dérivée infinie au point cco.

- x,

montrer que la fonction g admet une

7 6) Soient 1 = (a, b), A = (c, d) deux intervalles compacts dans R ; soit f une fonction définie dans 1 x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, telle que pour tout a E A, t Hf (t, a) soit réglée dans 1, que f soit bornée dans 1 x A, et que l'ensemble D des points de discontinuité de f dans 1 x A soit rencontré en un nombrejni de points par toute droite x = xo et toute droite a = a, (xo E 1, cco E A). a) Montrer que la fonction g(a) = f (t, a) dt est continue dans A (étant donnés cco E A et E > O, montrer qu'il existe un voisinage V de a, et un nombre fini d'intervalles Jk contenus dans 1 et dont la somme des longueurs est GE, tels que, si J désigne le complémentaire par rapport à 1 de UJk, f soit continue dans J x V).

SE

k

6) Montrer que la formule d'interversion des intégrations (II, p. 27, formule (15)) est encore valable (même méthode que dans a)).

7) Soit f une fonction numérique définie et ayant une dérivée continue dans l'intervalle + cc (, et telle que

)O,

lim f (x) = lim f (x) = 0.

L'intégrale

Sa

que l'intégrale

x-O

x-+m

f'(at) dt est définie et continue dans tout intervalle )O, a) borné; montrer

f l mdt J": f'(at)

da peut ne pas exister ou être distincte de

7 8) Soient 1 et J deux intervalles quelconques dans R, f une fonction définie et continue dans 1 x J, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. O n suppose que: f (x, y) dx est uniformément convergente lorsque y décrit un intervalle Io l'intégrale compact quelconque contenu dans J; Z0 l'intégrale J", f (x, y) dy est uniformément convergente lorsque x décrit un intervalle compact quelconque contenu dans 1; 3O si, pour tout intervalle compact H contenu dans 1, on pose u,(y) = f (x, y) dx, l'intégrale u,(y) dy est uniformément convergente pour H E R(1) (ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1). dx j, f (x, y) dy et f, dy fS, f (x, y) dx Dans ces conditions, montrer que les intégrales existent et sont égales.

SI

S,

SI

* 9) Déduire de l'exerc. existent et sont égales.,

8 que les intégrales

§3

FVR 11.37

EXERCICES

10) a) Si h, ZL, v' sont des primitives de fonctions réglées numériques dans un intervalle ouvert )a, b( de R, v une primitive de v', et si v(x) > O dans cet intervalle, on a l'identité de Redheffer

aux points dc )a, b( où les dérivées sont définies.

* b) Soient v, w dcux w' < O. Déduire de a)

fonctions >O dans )a, b(, primitives de fonctions réglées v' > 0, que pour toute fonction u primitive d'une fonction réglée u' dans

)a, 6( et telle que lim.inf u(x) = 0, l'hypothèse que l'intégrale x-a.xia

vergente entraîne que l'intégrale

lab

v (x)

1."$;

-d2(x) dx est con-

u2(x)dx est convergente et que

lim sup u2 (x)w(x)/v(x) x-+b.x
est finie, ainsi que l'inégalité

(Posant A = wlv', observer d'abord que dt/h(t) < v(x)/w(x) pour a < c < x remarquer que l'on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz

< LI et

en déduire que l'on a

.

lim inf u2(x)zei (x)/v(x) = O, x-a,x>a

puis intégrer l'identité de Redheffer.) c) Déduire de (*) que si u est primitive d'une fonction réglée dans )O, l), si

et si l'intégrale J: ug2(t)dt est convergente, il en est de même de l'inégalité, pour tout v. > O

( ~ ( t ) / tdt) ~et on a

d) Soient cc un nombre > O, K une fonction > 0, dérivable et décroissante dans )O, +CO(et telle que lim K(x) = O. Si u est la primitive d'une fonction réglée dans )O, +CO(, x++m

telle que iimsinf u(x) = O, et si l'intégrale x-o.x>o

JO+ X1-mK(X)U12(X) dX est convergente, la

fonction ~ - ~ K ( x ) u ~tend ( x ) vers O lorsque x tend vers O ou vers

est convergente et l'on a

x ) l'identité de Redheffer). (prendre v(x) = xm,h(x) = ~ l - ~ K ( dans

+CO,l'intégrale

FVR 11.38

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

E n particulier, pour cc =

+ et K ( x ) = x-%, o n a

(inégalité de Hardy-Littlewood) . e) Soient cc > - 1 , K u n e fonction 2 0 , dérivable et croissante dans (0, q u e les intégrales JO+ rn

x - ' K ( x )d 2( x ) dx

et

JO+ rn

+CO(.

Supposons

x a ~ ( xu2(x) ) dx

soient convergentes. Alors K ( x ) u 2 ( x )tend vers O lorsque x tend vers

+CD, et

l'on a

(prendre v ( x ) = exp (-cxa) dans l'identité d e Redheffer, avec u n e constante c convenable). E n particulier, si a et b sont des constantes telles q u e b + 1 2 a et a + b 2 O, o n a (a

+ a)

x ~ + ~ - w ( xdx ) 4 2

(IO+

xZaur2( x ) dx)

"

(JO+ rn

X"Y ( x ) dx)

'

si les intégrales d u second membre convergent (inégalité de H. Weyl généralisée). = O, o n a

f )Si O < cc < 2 et u est primitive d'une fonction réglée dans (O, cc) et u(0)

(inégalité d'Opial généralisée). (Appliquer convenablement (*) e n remplaçant u ( x ) par e-X~(~).) g) Si u est primitive d'une fonction réglée dans (O, b) et u ( 0 ) = 0 ,

(inégalité de Hlamka) ( m ê m e méthode q u e dans f )). h ) Si u est la primitive d'une fonction réglée dans R, o n a, pour tout t E R uf2( x ) dx)

(s:

u2( x ) dx) m

'

si les d e u x intégrales d u second membre sont convergentes (considérer les deux intervalles ) - C O , t ) et (t, + K I ( ;prendre u(x) = eux dans les deux intervalles, h(x) = l/cc dans le premier intervalle et h(x) = - l / a dans le second, puis choisir cc > O convenablement).,

CHAPITRE III

Fonctions élémentaires

$1. DÉRIVÉES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES E T CIRCULAIRES 1. Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e

On sait que tout homomorphisme continu du groupe additif W dans le groupe multiplicatif R" des nombres réels # O est une fonction de la forme x tt a" (dite fonction exponentielle) où a est un nombre > O (TG, V, p. 11) ; c'est un isomorphisme de R sur le groupe multiplicatif R z des nombres >O si a # 1, et l'isomorphisme réciproque de R: sur R se note log, x et est appelé logarithme de base a. Nous allons voir que la fonction f (x) = aXa pour tout x E R une dérivée de la forme c. aX (où on a évidemment c = f'(0)). Cela résulte du théorème général suivant : THÉORÈME 1. - Soit E

une algèbre normée complète sur le corps R, ayant un élément unité e, et soit fun homomorphisme continu du groupe additifR dans le groupe multiplicatifG des éléments inversibles de E. L'application f est dérivable en tout point x E R , et on a

(1)

f'(x) = f(x)f'(O). Remarquons d'abord que, E étant une algèbre complhte, G est ouvert dans E (TG, IX, p. 40, prop. 14). Considérons la fonction g(x) = j t f(x -t t) dt, où a > O est un nombre que nous préciserons plus loin; comme f (x + t ) = f(x)f(t) par hypothèse, on a g(x) = : j f(x)f(t)dt = f(x) f ( t ) dt (1, p. 14, prop. 3). Soit a > O tel que la boule /lx - el\ 6 a soit contcnuc dans G; comme f(0) = e et que f est continue par hypothèse, on peut supposer que a est pris assez petit pour que Ilf(t) - e/l 6 a dans (0, a); par suite (II, p. 12, formule (16)), on a

1;

FVR 111.2

$1

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

1 et - f(t) dt appartient à G, autrement dit est inversible; il en est de même a de b = f(t) dt, et on peut écrire f(x) = g(x)bT1; il suffit donc de prouver que g(x) est dérivable; or, par le changement de variable x + t = u, on a g(x) = f:*a f (u) du; comme f est continue, g est dérivable pour tout x E W (II, p. 6, prop. 3), et on a

1;

Jl

gf(x) = f (x D'où f'(x) = gt(x)b-l ff(0) = e.

=

+ a) - f (x)

= f (x) (f(a)

- e).

f(x)c, où c = (f(a) - e)bP1,et on a évidemment

Réciproquement, on peut démontrer, soit directement (III, p. 24, exerc. l), soit à l'aide de la théorie des équations différentielles linéaires (IV, p. 29) que toute application dérivable f de R dans une algèbre normée complète E, telle que f ' ( x ) = f (x)c et f (O) = e, est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif G.

PROPOSITION 1. -Pour tout nombre a > O et # 1, la fonction exponentielle aXadmet en tout point x E R une dérivée égale à (log, a)aXoz2 e est un nombre > 1 (indépendant de a). L'application du th. 1 au cas où E est le corps R lui-même montre en effet que aXadmet en tout point une dérivée égale à y(a) .aX,où y(a) est un nombre réel # O ne dépendant que de a. Soit b un second nombre > O et Z 1; la fonction bX a une dérivée égale à cp(b) .bX d'après ce qui précède; d'autre part, on a bx = aX.'O% donc (1, p. 17, prop. 5), la dérivée de bX est égale à log, b . y(a)bx; par comparaison des deux expressions obtenues, il vient On en déduit qu'il existe un nombre b et un seul tel que y (6) = 1; en effet, cette relation équivaut, d'après (2), à b = II est d'usage de désigner par e le nombre réel ainsi déterminé; d'après (2), on a y(a) = log, a, ce qui achève de démontrer la prop. 1. On écrira souvent exp x au lieu de ex. La définition du nombre e montre qu'on a ce qui prouve que ex est strictement croissante, et par suite que e > 1. Au $ 2 (III, p. 15), nous verrons comment on peut calculer des valeurs aussi approchées qu'on veut du nombre e.

DÉFINITION1. -Les logarithmes naturels).

logarithmes de base e sont appelés logarithmes neériens (ou

On convient d'ordinaire d'omettre la base dans la notation d'un logarithme népérien. Sauf mention expresse du contraire, la notation log x (x 0) désignera

No 2

FVR 111.3

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

donc le logarithme népérien de x. Avec cette notation, la prop. 1 s'exprime par l'identité (4)

D(ax) = (log a)ax

valable pour a quelconque > O (puisque pour a = 1, log a = 0). Cette relation montre que ax a des dérivées de tout ordre, et qu'on a

(5)

Dn(ax) = (log a)nax.

En particulier, pour tout a > O et # 1, on a D2(aX)> O pour tout x ER, et par suite ax est strictement convexe dans R (1, p. 39, corollaire). On en déduit la proposition suivante:-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

PROPOSITION 2 ( G inégalité de la moyenne géométrique n). - Quels que soient les n

nombres z, > O (1

 O tels que i1 Pi = 1, on a =1

En outre les deux membres de (6) ne sont égaux que si tous les zi sont égaux. En effet, posons z, = exi; l'inégalité (6) s'écrit (7)

exp (plxl

+ p2x2 + . . + pnxn) < piexl + p2eX2+ . . . + Pnexn.

La proposition résulte alors de la prop. 1 de 1, p. 34, appliquée à la fonction ex, strictement convexe dans R. On dit que le premier membre (resp. le second membre) de (6) est la moyenne géométriquepondérée (resp. la moyenne arithmétique pondérée) des n nombres zi, relatives aux poids pi (1 < i < n). Si pi = lin pour 1 5 i-< n, on dit _que 1- moyennes aritl-i~iïéticquëetgélornétrique correspondantes sont les moyennes arithmétique et géométrique ordinaires des zi. L'inégalité (6) s'écrit alors -

-

-

-

-

2. Dérfvée de log, x

Comme aX est strictement monotone dans R pour a # 1, l'application de la formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) donne, pour tout x 3 O D(log, x) = et en particulier

1 x log a

FVR 111.4

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

41

Si u est une fonction numérique admettant une dérivée au point x,, et telle que 21(xO)> 0, la fonction log u admet au point x, une dérivée égale à u'(x,)/u(x,). En particulier, on a D(log 1x1) = l/IxI = 11%si x > O, et

si x < O; autrement dit, on a D(1og 1.~1)= l/x quel que soit x # O. O n en conclut que si, dans un intervalle 1, la fonction numérique u n'est pas nulle et admet une dérivée finie, log lu(x) 1 admet dans 1 une dérivée égale à uf/u;cette dérivée est dite dérivée logarithmique de u. Il est clair que la dérivée logarithmique de lula est auf/u, et que la dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs; l'application de ces règles permet souvent de calculer plus rapidement la dérivée d'une fonction. Elles redonnent en particulier la formule ( a réel quelconque, x > 0)

(11) D(xE) = ax"-l déjà démontrée par une autre voie (II, p. 19).

Exemple. - Si u est u n e fonction f O dans u n intervalle 1,v une fonction numérique quelconque, on a log(lulU)= u. log l u / ,donc si u et v sont dérivables 1 D(lulv) = u'log

14V

+ u-a 21'

Iicl

3. Dérivées des fonctions circulaires; nombre n

O n a défini, en Topologie générale (TG, VIII, p. 8) l'homomorphismc continu x i-t e(x) du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U des nombres complexes de valeur absolue 1; c'est une fonction pCriodique de période principale 1, et on a e(+) = i. O n sait (lm. cit.) que tout homomorphisme continu de Pi sur U est de la forme x tt e(x/a), et qu'on pose cos, x = &?(e(x/a)), sin, x = 9(e(x/a)) (fonctions trigonométriques, ou fonctions circulaires, de base a) ; ces dernières fonctions sont des applications continues de R dans (- 1, + 1)' admettant a pour période principale. O n a sin,(x + a/4) = cos, x, cos,(x + a/4) = -sin, x, et la fonction sin, x est croissante dans l'intervalle ( - a/4, a/4). PROPOSITION 3. -La fonction e(x) admet en tout point de R une dérivée égale à ànie(x), ozi n est une constante > 0. En effet, le th. 1 de 111, p. 1, appliqué au cas où E est le corps C des nombres complexes, donne la relation ef(x) = er(0)e(x); en outre, comme e(x) a une norme euclidienne constante, ef(x) est orthogonal à e(x) (1, p. 15, Exemple 3) ; on a donc et(0) = ai, avec a réel. Gomme sin, x est croissante dans (-$, 41, sa O, et comme e(x) n'est pas constante, dérivée pour x = O est 3 0, donc a a > O; il est d'usage de désigner le nombre a ainsi défini par la notation Zn.

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.5

Nous montrerons au 3 2 (III, p. 23) comment on peut calculer des valeurs aussi approchées qu'on veut du nombre x.

On a donc la formule

On voit que cette formule se simplifie lorsque a = 2x; c'est pourquoi on utilise exclusivement en Analyse les fonctions circulaires relatives à la base 2x; on convient d'omettre la base dans la notation de ces fonctions; sauf mention expresse du contraire, les notations cos x, sin x et tg x désigneront donc respectivement cos,, x, sin,, x et tg,, x. Avec ces conventions, la formule (12), où on fait a = Zx, s'écrit D(cosx

(13)

+ isinx) = cos

ce qui équivaut à D(cos x) = -sin x,

(14)

D (sin x )

=

cos x,

d'où l'on tire

A côté des trois fonctions circulaires cos x, sin x et tg x, on emploie encore, dans la pratique du calcul numérique, les trois fonctions auxiliaires: cotangente, skcante et cosécante, définies par les formules 1 1 1 cotg x = - sec x = -Y cosec x = -' tg x' COS x sin x Rappelons (TG, VIII, p. 10) que l'unité d'angle correspondant à la base Zn est appelée radian.

4. Fonctions circulaires réciproques

La restriction de la fonction sin x à l'intervalle (-n/Z, +x/2) est strictement croissante; on désigne par Arc sin x sa fonction réciproque, qui est donc une application strictement croissante et continue de l'intervalle (- 1, + 1) sur (- 4 2 , + x/2) (fig. 6). La formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) donne la dérivée de cette fonction D(Arc sin x) = Comme - 4 2

1 cos (Arc sin x)'

< Arc sin x < x/2, on a COS (Arc sin x) sin (Arc sin x)

=

x,

2 O, et comme

FVR 111.6

FONCTIONS ÉLÉMENTNRES .

on a cos (Arc sin x) = dl - x2, d'oit D(Arc sin x) =

1

d i -

De même, la restriction de cos x à l'intervalle (O, x] est strictement décroissante; on désigne par Arc cos x sa fonction réciproque, qui est une application strictement décroissante de (- 1, -) sur (O, x) (fig. 6). On a d'ailleurs

+

= cos (Arc cos x) =

x

Fig. 6

et comme -x/2

(17)

< n/2 - Arc cos x < n/2, on a Arc cos x =

n -2

- Arc sin x

d'où résulte en particulier que D (Arc cos x ) =

1 --fi2*

Enfin, la restriction de tg x à l'intervalle ) - x/2,

+ x/2(

est strictement

No 5

FVR 111.7

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLEMENTAIRES

croissante; on désigne par Arc tg x sa fonction réciproque, qui est une application strictement croissante de R sur ) - n/2, + x/2( (fig. 7) ; on a lim Arc tg x X-b

- Ca

=

7t

- -, 2

lim Arc tg x x-cm

=

X

2

Fig. 7

et par application de la formule de dérivation des fonctions réciproques et de la formule (15) de III, p. 5 , on a

5. L'exponentielle c o m p l e x e

O n a déterminé (TG, VIII, p. 8) tous les homomorphismes continus du groupe topologique (additif) C des nombres complexes sur le groupe topologique (multiplicatif) C* des nombres complexes #O; ce sont les applications où a,p, y, S sont quatre nombres réels assujettis à la seule condition a8 - py # O. Proposons-nous de déterminer ceux de ces homomorphismes z »f (z) qui sont dérivables dans 6 . Remarquons d'abord qu'il suffit que f soit dérivable au point z = O; en effet pour tout point z E 6,on a f ( 2 + h) - f ( 4 =f(z) f ( 4 - 1 . f h y si f'(0) existe, il en est donc de même de f'(z), et on a f '(2) = af(z), avec a = f'(0). D'autre part, si g est un second homomorphisme dérivable, tel que gf(z) = bg(z), on a g(az/b) = f ( z ) , car on constate aussitôt _que le quotient g(az/b)/f(z) admet p;lrtout une dérivée nÜlle et est égal à 1 pour z = 0; tous les -

-

FVR 111.8

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

91

homomorphismes dérivables sont donc de la forme z i-tf (Az), où f est l'un d'entre eux (supposé exister), et A une constante (complexe) quelconque. Cela étant, si f est dérivable au point z = O, chacune des applications x i-tf(x), y Hf(iy) de R dans C est nécessairement dérivable au point O, la première ayant comme dérivée f'(O), la seconde $'(O). Or les dérivées des applications x 14 eOlxe(yx),y i-t eme(Sy) au point O sont respectivement égales à a + 2xiy et p + 2rci6, d'où les conditions (3 = -2xy et a = 2x6; ces conditions sont en particulier remplies par l'homomorphisme x + iy F+exe(y/2n), que nous désignerons provisoirement par fo. Nous allons maintenant montrer qu'effectivement fo est dérivable au point z = 0. En effet, il est clair que x Hfo(x) et y i-tfo(iy) ont des dérivées de tout ordre; en particulier, la formule de Taylor d'ordre 1 appliquée à ces fonctions montre que, pour tout E > O, il existe r > O tel que, si on pose

pour lzl

< r, on a

1x1

r et IyI

ce qui prouve que le quotient f

f, admet au point z

< r, d'où

O(4

- 1-

2

Z

tend vers O avec z, c'est-à-dire que

O une dérivée égale à 1. Alors, ce qui précède prouve que, pour tout z E @, on a =

Cette propriété rapproche encorefo de la fonction ex, qui est d'ailleurs la restriction defo à l'axe réel; pour cette raison, on pose la définition suivante:

2. - On appelle exponentiellecomplexe l'homomo~hismex + iy M exe(y/2n) DÉFINITION de C sur C*; sa ualeurpour un nombre complexe quelconque z se note eZou exp z. 6. Propriétés de la fonction eZ

Le fait que z identités (22)

tt eZ

est un homomorphisme de C dans C* se traduit par les e~+a1 , e2 e2' ,

eO=l,

e-2=l/e".

On a par définition, pour tout z = x + iy ex+ iy = ex (cos y + i sin y)

(23)

No 6

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.9

et comme ex > O, on voit que e2 a pour valeur absolue ex, pour amplitude y (modulo 2x). La déf. 2 (III, p. 8 ) donne en particulier ce qui permet d'écrire les formules qui définissent cos x et sin x sous la forme

(formules d'Euler). Comme 2n est période principale de e ( y / 2 ~ )2xi , est liériode princ@ale de eZ; autrement dit, le groupe des périodes de es est l'ensemble des nombres 2nxi, où n parcourt Z. Enfin, la formule (21) de III, p. 8 s'écrit

d'où, pour tout nombre complexe a Remarque. - Si, dans la formule (27), on restreint la fonction eaZ(a complexe) à l'axe réel, on obtient encore, pour x réel

Cette formule permet de calculer une primitive de chacune des fonctions Px COS Px, eax sin Px ( a et fJ réels); en effet, on a ecatiB)X = eax cos px + UC(Xsin pz, donc, d'après (28)

De la même manière, on raméne le calcul d'une primitive de xneaXcos Px, ou de xneax sin fJx (n entier > 0) à celui d'une primitive de xne(atiD)x;or, la formule d'intégration par parties d'ordre n + 1 (II, p. 10, formule (11)) montre qu'une primitive de cette dernière fonction est

En vertu des formules d'Euler, on peut d'autre part exprimer toute puissance entière positive de cos x ou de sin x comme conibinaison linéaire d'exponentielles e'px ( p entier positif ou négatif). D'après la formule (28), on pourra donc exprimer par une combinaison linéaire de fonctions de la forme xpeaXcos l x et xPeax sin vx, une primitive d'une fonction de la forme xneaX(cos Px)* (sin y ~ (n,) p,~r, s entiers, cr, p, y, 1, p. réels). Exemple. - O n a

FVR 111.10

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

d'où

Iox

( - ')" (:sin 2nx sinzn t dt = ZZn n

-

fn) sin (2n - 21% + 1 n-1

J-

.. .

et e n particulier

7. Le logarithme complexe

Soit B la (
-Arctg-

lu

=

O

lu

=

-?n

X

siy > O

Y

siy -

x

Arctg-

Y

=

O

siy < 0.

Il est clair que log z est un prolongement à F de 1ü fonction log x définie sur le demi-axe récl positif ouvert R:. Si z, z' sont deux points de F tcls que zz' ne soit pas réel négatif, on a log (zz') = log z + log z' + 2 ~ n i où , E = + 1, - 1 ou O suivant les valeurs de Am(z) et Am(zl). O n notera qu'aux points du demi-axe réel négatif, la fonction log z n'a pas de

No 8

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.1 1

limite; de façon précise, si x tend vers xo < O et si y tend vers O en restant > O (resp. < O), log z tend vers log lxo1 ni (ïesp. log lxo1 - xi) ; lorsque z tend vers O, /log zl croît indéfiniment.

+

Nous verrons plus tard comment la théorie des fonctions analytiques permet de prolonger la fonction log z, et de définir le logarithme complexe dans toute sa généralité.

Comme log z est un homéomorphisme réciproque de e", la formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) montre qu'en tout point z E F, log z est dérivable, et qu'on a

formule qui généralise la formule (10) de III, p. 3. 8. Primitives des fonctions rationnelles

La formule (31) permet de calculer une primitive d'une fonction rationnelle quelconque r(x) d'une variable réelle x, à coefficients réels ou complexes. En effet, on sait (A, VII, $2, No 2) qu'une telle fonction peut s'écrire (d'une seule manière) comme somme d'un nombre fini de termes, qui sont: a) soit de la forme axp ( p entier 2 O, a nombre complexe); b) soit de la forme a/(x - 6)" (m entier >O, a et 6 nombres complexes). Or, il est facile d'obtenir une primitive de chacun de ces termes: x~+ 1 a) une primitive de axp est a p + 1; a b) si m > 1, une primitive de a/(x - b)" est (1 - m)(x - b)"-l9 c) enfin, d'après les formules (10) (III, p. 3) et (31) (III, p. 1l ) , une primitive a de -est a . log lx - bl si b est réel, a . log (x - b) si b est complexe. Dans ce X-b iq, on a d'ailleurs (III, p. 10, formules (30)) dernier cas, si b = p

+

log (x - 6)

=

log d ( x - p)2

-P,i2. + q2 + i Arc tg X4 2

Nous renvoyons à la partie de cet ouvrage consacrée au Calcul numérique, l'examen des méthodes les plus pratiques pour la détermination explicite d'une primitive d'une fonction rationnelle donnée explicitement.

On peut ramener au calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle: l0 le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme r(eax), r étant une fonction rationnelle, a un nombre réel; en effet, par le changement de variable u = eax, on est ramené à trouver une primitive de r(u)/u;

FVR 111.12

81

FONCTIONS ÉLEMENTAIRES

2O le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme f (sin ax, cos ax), où

fest une fonction rationnelle de deuxvariables et a un nombre réel; par le changement de variable u

=

tg ax/2, on est ramené à trouver une primitive de

9. Fonctions circulaires complexes; fonctions hyperboliques

Les formules d'Euler (25) (III, p. 9) et la définition de eZ pour tout z complexe, permettent de prolonger à C les fonctions cos x et sin x définies dans R, en posant, pour tout z E C

(cf. III, p. 28, exerc. 19). Ces fonctions sont périodiques de période principale 2x; on a cos (z -sin z, sin (z + 4 2 ) = cos z; on vérifie également les identités

+ 42) =

cos2 z + sin2 z = 1 COS (Z + zl) = COS z COS z1 - sin z sin z' sin (z + z') = sin z cos z' + cos z sin z'. Plus génkralement, toute identité algébrique entre fonctions circulaires de variables réelles est encore vraie lorsqu'on donne à ces variables des valeurs complexes quelconques (III, p. 27, exerc. 18). On pose tg z = sin z/cos z si z # (2k + 1) x/2 et cot g z = cos z/sin z si x # kn; ce sont des fonctions périodiques de période principale x.

La formule (27) (III,p. 9) montre que cos z et sin z sont dérivables dans C, et que l'on a D(cos z) Pour z

=

=

- sin z,

D(sin z)

=

cos z.

ix (x réel), les formules (32) donnent

Il est commode de désigner par une notation particulière les fonctions réelles qui s'introduisent ainsi; on pose (ch x = &(ex-t e-") sh x = &(ex- e-") (33)

(cosinus hyperbolique de x) (sinus hyperbolique de x)

shx - ex - e-% thx=-(tangente hyperbolique de x) c h x ex + e-%

.

FVR 111.13 On a donc, pour tout x réel cos ix = ch x, sin ix = i sh x. (34) De toute identité entre fonctions circulaires d'un certain nombre de variables complexes zk (1 < k < n) on déduit une identité entre fonctions hyperboliques, en remplaçant partout zkpar ixk (xkréel, 1 < k < n) et utilisant les formules (34) ; par exemple on a ch2 x - sh2x = 1 ch (x + x') = ch x ch x' + sh x sh x' sh (x + x') = sh x ch x' + ch x sh x'. Les fonctions hyperboliques permettent d'exprimer les parties réelles et imaginaires de cos z et sin z pour z = x + iy, car (X+ iy) sin (x + iy)

COS

= COS x COS iy - sin x sin iy = = sin x cos iy cos x sin iy =

+

cos x ch y - i sin x sh y sin x ch y + i cos sh y.

Enfin, on a

Comme ch x > O pour tout x, on déduit de là que sh x est strictement croissant dans R ; comme sh O = O, sh x a donc le signe de x. Par suite, ch x est strictement décroissante pour x < O, strictement croissante pour x > O; enfin th x est strictement croissante dans R. On a en outre lim s h x = - c o , -w

lim s h x = + c o

x-r

lirn chx

=

x-r-a3

x-t

+

00

lim chx

=

+co

%-++a3

lirn t h x = -1,

x-r-w

lirn t h % = + l

x-r+w

(fig. 8 et 9).

On désigne parfois par Arg sh x la fonction réciproque de sh x, qui est une application strictement croissante de R sur R ; cette fonction s'exprime d'ailleurs à l'aide du logarithme, car de la relation x = sh y = 2 (eu - e-Y), on tire e 2 Y - 2xeY - 1 = O, et comme eY > O, ey = x + d x 2 + 1, c'est-à-dire Argshx

=

log (x

+ d x 2 + 1).

De même, on désigne parfois par Arg ch x la fonction réciproque de la restriction de ch x à (O, +CO(; c'est une application strictement croissante de (1, +CO( sur (0, + co[; on montre comme ci-dessus que Arg ch x

=

log (x

+ d x 2 - 1).

FVR III.14

Fig. 9

No 1

FVR 111.15

DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

Enfin, on désigne par Arg th x la fonction réciproque de th x, qui est une application strictement croissante de ) - 1, + 1( sur R; on a d'ailleurs

r complexe, on écrit aussi parfois

Remarque.-Pour

+ +

ch z = (eZ e - Z ) = cos Êz sh z = 3 (eZ - e - 8 ) = - i sin iz.

Ces fonctions prolongent donc à C les fonctions hyperboliques définies dans IR. -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

fj 2. DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES, E T DES FONCTIONS QUI S'Y RATTACHENT 1. Développement de l'exponentielle réelle

Comme Dn(ex) = ex, le développement de Taylor d'ordre n de ex est

Le reste de cette formule est > O pour x > O, du signe de ( - l ) n f l pour x < O; en outre, l'inégalité de la moyenne montre que

Or, on sait que la suite (xn/n!) a pour limite O lorsque n croit indéfiniment, pour tout x 3 O (TG, IV, p. 33) ; donc, en laissant fixe x et faisant croître indéfiniment n dans ( l ) , il vient, d'après (2) et (3)

et la série du second membre est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact de R. En particulier, on a la formule

Cette formule permet de calculer des valeurs rationnelles aussi approchées que l'on veut du nombre e ; on obtient ainsi -

-

-

-

-

-

-

-

e

.-

= 2,718281 828.

-

-

-

-

-

-

-

-

FVR 111.16

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

82

à 1/109 près par défaut. L a formule (5) prouve en outre que e est un nombre irrationnell (TG, VI, p. 41). Remarque. - Comme le reste de la formule (1) est > O pour x > O, on a, pour x > O

et a fortiori

+

pour tout entier n; on en déduit que ex/xn tend vers CO avec x, pour tout entier n; nous retrouverons ce résultat au chap. V par une autre méthode (V, p. 2 1).

2. Développements de l'exponentielle complexe, de cos x et sin x

Soit z un nombre complexe quelconque, et considérons la fonction
formule qui, lorsque z est réel, est équivalente à (1). Le reste rd4

"1

- t)" n! eztdt

de cette formule se majore encore, en valeur absolue, à l'aide de l'inégalité de la moyenne;siz = x + iy,ona leZtl = ext, donc lezt\ < 1 si x < O, leztl a ex si x > O; il vient donc six

si x > O. Comme ci-dessus, on en conclut que

la série étant absolument et unÊformémentconvergente dans toute partie compacte de C. De (6) on tire en particulier, pour x réel

Ch. HERMITE a démontré en 1873 que e est un nombre transcendant sur le corps Q des nombres rationnels (autrement dit, n'est racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) (ühvres, t. III, p. 150, Paris (Gauthier-Villars), 1912).

No 2

DÉVELOPPEMENTSDES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR III.17

d'où on déduit les développements de Taylor de cos x et de sin x: en prenant la partie réelle de (10) pour l'ordre 2n + 1, on a (11) c o s x = 1 - -

x2 2!

x4 +4!

(-1)n-

+ . - a +

x2n (Zn) !

avec la limitation du reste

1 J.Gx

+ l COS

(;2i+

l)!

t dt

IxI""'"

( < (Zn + 2) !*

De même, en prenant la partie imaginaire de (10) pour l'ordre 2n, il vient

(13) sinx

=

x3 x5 x - - + - + .. 3! 5!

+ (-

1)n-1

-1 (2n - 1) ! +

(-

'1%

l0

(X - t)2n cos t dt (Zn) !

avec la limitation du reste

En outre, en comparant les restes de (11) pour l'ordre 2n on a

+ 1 et l'ordre 2n + 3,

et, en tenant compte de (12), on voit que le reste de (1 1) est du signe de (- l ) n + l quel que soit x; de même manière, on montre que le reste de (13) est du signe de (-l)nx. En particulier, pour n = O et n = 1 dans ( I l ) , pour n = 1 et n = 2 dans (13), on obtient les inégalités (15)

x2 1-p t

(16)

X - -

Enfin, en faisant z

=

x3 6

COS

x

<1

< sin x < x

pour tout x pour tout x 2 0.

ix dans (9), on a 00

cos x

=

x2n 2 (- 1)" (Zn) !

n=O

FVR 111.18

§2

FONCTIONS ÉLEMENTAIRES

ces séries étant absolument et uniformément convergentes dans tout intervalle conlpact. Il est clair d'ailleurs que les formules (17) et (18) sont encore valables pour tout x con@!exe, les séries des seconds membres étant absolument et uniformément convergentes dans toute partie compacte de C.En particulier, on a pour tout x (réel ou complexe)

3. Le développement du binôme

Soit m un nombre réel quelconque. Pour x > O, on a Dn(xm)= m(m - 1). . . (m - n

+ I)X~-~;

en appliquant à la fonction (1 $- x ) la~ formule de Taylor d'ordre n relative au point x = O, on obtient, pour tout x > - 1, la formule

avec

m(m - 1) ...( m - n + 1) La formule (19) se réduit à la n! formule du binôme (A, 1, p. 94) lorsque m est entier > O et n 2 m; par extension, où on a posé

(3

=

on la nomme encore formule du binôme, et les coefficients

sont dits coeficients

binomiaux, lorsque m est un nombre réel quelconque et n un entier quelconque > 0. Le reste de (19) a le signe de si

- 1 < x < O.

1 1

(n

Comme -

1) si x > O, le signe de ( - 1)"'

'

1x1 pour tout t > - 1 appartenant à'

l'intervalle d'extrémités O et x, on a la limitation suivante du reste, pour met n quelconques et x > - 1

No 3

DÉVELOPPEMENTSDES FONCTIONS ÉLÉMENTALRES

Si l'on suppose x > O, et n 2 m - 1, on a (1 valle d'intégration, donc

FVR 111.19

+ t)n-m+l > 1 dans l'inter-

ce qui donne la majoration du reste

D'autre part, supposons - 1

<m

< O; si dans l'intégrale de (19) on fait le x-t changement de variables u = on obtient x(l t)

+

Pour majorer l'intégrale pour x > - 1, on remarque que, puisque m + 1 < 1, un du est convergente et majore l'intégrale du second membre l'intégrale (1 - u)"+l de (22) puisque 1 + ux > 1 - u. Or, pour - 1 < x < 0, l'hypothèse sur m en-

I

de (19) sont

(y)r , ):(

. . ., (:lxn figurant au second membre 2 O, et par suite rn(x) B (1 + x ) ~ d'où , en divisant par (1 + x ) ~ ,

traîne que tous les termes

x2,

D'ailleurs pour - 1 < x < O, le facteur devant l'intégrale est 30, d'où en faisant tendre x vers - 1,

et par suite, pour - 1 (23)

<m

< O et x > - 1 Irn(%)/< (1

+~)~lxl~+l.

De ces inégalités, nous allons déduire d'abord que, pour 1x1 < 1, on a (1

+ x)"

3

= n=O

(n)xn

la série du second membre (dite série du binôme) étant absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans ) - 1, l(. En effet on peut écrire

+

FVR 111.20

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

d'où

Si 1x1

< 1, il existe no tel que 1

posant

14 < 1/r1, où r < r' +no

< 1, d'où, en

ce qui démontre la proposition. Au contraire, pour x > 1, la valeur absolue du terme général de la série (24) croit indéfiniment avec n, si m n'est pas un entier 2 O; en effet, d'après (25), on a, pour n > n, 2 lm + 11

lm n ll > l/x', où 1 < x' < x. Soit no > n, tel que, pour n 2 no, on ait 1 - --Si on pose +

on aura, pour n > no,

d'où la proposition. On notera que, pour m

=

- 1, l'identité algébrique

donne l'expression du reste de la formule générale (19) sans intégration; la formule (23) se réduit dans ce cas à l'expression de la somme de la série (ou progression) géométrique (TG, IV, p. 32). En second lieu, étudions la convergence de la série du binôme pour x = 1 ou x = - 1 (le cas trivial m = O étant exclu) :

<

- 1. Le produit de terme général 1 - -converge vers +CO si n m < - 1, vers 1 si m = - 1, donc il résulte de (25) que pour x = -I 1, le terme général de la série du binôme ne tend pas vers O. a) m

+

'

6 ) - 1 < m < O. Cette fois, le produit de terme général 1 - -converge +

n

No 4

DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.21

vers O, donc l'inégalité (21) montre que rn(l) tend vers O. La série du binôme est donc convergente pour x = 1 et a pour somme 2"; en outre, la série du binôme est uniformément convergente dans tout intervalle )xo, 1) avec - 1 < x, < 1, en vertu de ce qui a été vu plus haut et de (21). Par contre, pour x = - 1 tous les termes du second membre de (24) sont > O; si cette série était convergente, on en déduirait que la série du binôme serait normalement convergente dans (- 1, 1) et aurait par suite pour somme une fonction continue dans cet intervalle, ce qui est absurde puisque (1 + x ) n'est ~ pas bornée dans ) - 1, 1) pour m < 0. O n en conclut aussi que pour x = 1, la série du binôme n'est pas absolument convergente. c) m > O. La définition de rn(x) montre alors que lorsque x tend vers - 1, r,(x) tend vers une limite r,,(- 1); en passant à la limite dans (20), on en conclut m-1 etcommem - 1 > -l,onvoitque,pourx = -1, q u e n ( - <

)I,

(

+

la série du binôme est convergente. D'ailleurs, pour n > m 1, tous les termes de cette série sont de même signe; donc la série du binôme est normalement convergente dans l'intervalle (- 1, 1) et a pour somme (1 x ) dans ~ cet intervalle.

+

4. Développements de log(1

+ x),

de Arc tg x et de Arc sin x

Intégrons les deux membres de (26) entre O et x; on obtient le développement de Taylor d'ordre n de log (1 + x), valable pour x > - 1 (27)

log (1

x3 + x) = -x1 - x2 - + - + . . . + (-1)'-l2 3

xn n

+

(-I)~/~

Le reste est du signe de ( - 1)" si x > O, et est O , o n a l + t > 1 p o u r O ~ <x,et,pour t - 1 < x < 0 , 1 + t > 1 - 1x1 pour x < O; d'où les limitations du reste pour x 2 O

(29)

IIo~ f t "l tndt

Ixln+l ( a + l ) ( l - 1x1) pour - 1 < x

< 0.

De ces deux dernières formules, on déduit aussitôt que, pour - 1 < x on a

<

1,

la série étant uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans ) - 1, + 1), absolument convergente pour 1x1 < 1.

FVR 111.22

52

FONCTIONS ~ L ~ M E N T A I R E S

Au contraire, pour 1x1 > 1, le terme général de la série du second membre de (30) croit indéfiniment en valeur absolüc avec n (III, p. 16). Pour x = - 1, la série se réduit à la série harmonique, qui a pour somme +a (TG, IV, p. 33).

De même, remplaçons dans (26) x par x2 et intégrons les deux membrcs entre O et x ; on obtient le développement de Taylor d'ordre 2n - 1 de Arc tg x, valable pour tout x réel

+- t 2 3

Le reste est du signe de ( - l)"x, et comme 1 limitation

d'où on tire que, pour 1x1

<

1,

s ( - l)"-' m

Arc tg x

=

n=l

la série étant uniformément co~zuergente dans pour 1x1 < 1. En particulier, pour x

=

6-

X2n - 1

--

2n - 1

1,

+ 11,

et absolument convergente

1, on obticnt la formule

1 1 3 = 1 - -3 + -5 -l- ... + 7i

(34)

1 pour tout t, on a la

(-l).-

1

2n

+1

f

... .

Pour 1x1 > 1, le terme général de la série du second membre de (33) croit indéfininient en valeur absolue avec n.

Enfin, pour le développement de Taylor de Arc sin x, partons du développement de sa dérivée ( 1 - x2) -?$; ce dernier s'obtient en remplaçant x par - x2 dans le développement de (1 + x) - % suivant la form~dcdu binôme, ce qui donne pour 1x1 < 1,

avec la limitation déduite de (23)

En prenant la primitive du développement précédent, il vient

(35) Arc sin ,x = x

1.3x5 + -2l x-33 + -+. 2.4 5

No 4

DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.23

où R,(x) est du signe de x et satisfait à l'inégalité

D'ailleurs, la relation (35) montre que R,(x) tend vers une limite lorsque x tend vers 1 ou - 1,-et on a donc

-

Mais l'intégrale du second membre de (37) tend ve- Olouque n tend yers t c a en effet; l'ht&rale dt/\/l - t Z étant convergente, pour tout E > O, il existe

I,'

-

-

-

a tel que O < a < 1 et J:" d t l d l - t 2

-

-

< E;

-

-

d'autre part, on a

> no on ait (2n + 3 IRn(x)/ < 2~pour 1x1 < 1 et n > no. O n a donc

et il existe donc no tel que pour n ment

Arc sin x =

+3 ) i m

< E, d'où finale-

1 . 3 . 5 . . .(2n - 1) 2 n=o 2 . 4 . 6 . . .2n Zn + 1

la série du second membre étant normalement convergente dans l'intervalle compact (- 1, 1). Au contraire, on-montre, camme pourla formuledu-binôme, que le termcgénérd d e la série du second membre de (38) croît indéfiniment en valeur absolue pour 1x1 > 1. En faisant par exemple ?e = 4 dans (38), on obtient une nouvelle expression du nombre

?i:

qui se prête beaucoup mieux que la formule (34) a u calcul de valeurs approchées de x (voir Calcul numérique);on peut ainsi obtenir TC = 3,141 592 653..

.

à 1/109près par défaut.l

Le nombre n est, non seulement irrationnel (cf. III, p. 35 exerc. 5), mais même transcendant sur le corps Q des nombres rationnels, comme il a été démontré pour la première fois en 1882 par (v. par exemple D. HILBERT, Gesanzmelte Abhandlungen, t. 1, p. 1, Berlin (Springer), 1932). LINDEMANN

Exercices

91 1) Soit f une application continue et dérivable de R dans un algèbre normée complète E sur R,ayant un élément unité e; on suppose que f (O) = e et qu'on ait identiquement fl(x) = f (x)c, où c est un élément inversible de E. Montrer que f est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif G des éléments inversibles de E. (Considérer le plus grand intervalle ouvert 1contenant O et tel que f (x) soit inversible pour tout z E 1, et prouver y dans 1 on a f(x y) (f ( x ) f (y))- l = e en laissant x fixe et faisant que pour x, y et x varier y; en déduire enfin que 1 = R.)

+

+

+

2) a) Pour que la fonction (1 l / ~ ) ~ soit + p décroissante (resp. croissante) pour x > 0, il faut et il suffit que fi > 3 (resp. p < O) ;pour O < fi < +, la fonction est décroissante dans un intervalle )O, xo(, croissante dans lxo, a(.Dans tous les cas, la fonc~iontend vers e lorsque x tend vers CO.

+

+

6) Etudier de même les fonctions (1 - I / X ) ~ -(1 ~ ,iI / X ) ~ (+ I p/x) et ( 1 x

>

o.

3) a) Démontrer que pour a x 2 0, (1 x)= < 1 ax.

+

+

b) Démontrer que pour O

<x

>

1 et x 3 0, (1

+ ,Y)=

,< 1 et CL >, O, on a (1

2 1

+ a,?, et

+ ~ / x )l ~pour +

pour O ,< a

<

1 et

1 - x)= < ---. 1 + ax

Pour 0 < ol < 1, montrer que pour x 3 0 et y 2 O, on a ~ ~ y O tels que aEbl-= = a ( l - CL)^ -a.

6)

d) Déduire de c) que sif, g sont deux fonctions réglées 2 O dans un intervalle 1 tel que les intégrales JI f (t) dt et JI g(t) dt soient convergentes, l'intégrale JI (f (t))=(g(t))l-adt est convergente et l'on a

En déduire l'inégalité de Hdder

(dite a inégalité de Cauchy-Buniakowski-Schwarz )> pour a =

4).

4) Déduire de l'inégalité de Cauchy-Schwarz que pour toute fonction u primitive d'une fonction réglé; dans (a, b) et toute fonction continue h > O dans (a, b), on a /u(b)'

- u(a)' / < 2

(lab

uI2(t) h(1) dt) YI

(la-

u2(t) dt) YI h(t)

si les deux intégrales du second membre sont convergentes. En prenant a = O, b = 4 2 , h(t) = 1 et u ( t ) = cl cos t

+ cz cos 3t + . . . -i- c, cos (Zn - 1) t,

où c j 2 O pour toutj, en déduire l'inégalité de Carlson

s1

FVR 111.25

EXERCICES

5) Pour x > O et y réel quelconque, montrer que l'on a

< log x -t eY-l

xy

(cf. II, p. 31, exerc. 15) ;dans quels cas les deux membres sont-ils égaux? 6) On note A, et G, les moyennes arithmétique et géométrique ordinaires des n premiers nombres d'une suite (ak) (k 3 1) de nombres >O. Montrer que n(An

- Gn) <

(n + 1) (An+,

l'égalité n'ayant lieu que si an+ = G, (poser a,

+

- Gn+1)

= xn+l,G, = yn+l).

7) Avec les notations de l'exerc. 6, montrer que si l'on pose x, = a,/A la relation G,

> (1 - a)A, pour O < a <

1, entraîne, pour 1 < i

+

+

En déduire que, pour tout indice i, on a 1 x' < xi < 1 x", où x' est la racine x" la racine 2 O, de l'équation (1 x)e-% = (1 - cc)n (cf. III, p. 24, exerc. 2).

+

< O,

8) On considère une suite d'ensembles Dk (k 2 1) et pour chaque k, deux fonctions (xl, . . ., xk) t-+ fk(xl, . . ., xk), (xl, . . .,xk) t-+gk(xl, . . ., xk) à valeurs réelles, où (x,, .. .,xk) E Dl x D2 x . . . x Dg. On suppose que pour tout k, il existe une fonction réelle F, définie dans R et telle que, pour tout y E R et pour al E Dl, . . . , ak-l E Dk-l arbitraires, on ait

(On prend par convention f, = 1). Montrer que si les suites de nombres réels (y,) et (ak) vérifient les conditions Fl(pl) = O et Fk(pk)= Sk, on a les inégalités (PI

-

%)f1

+ (PZ- a d f i + . . . +

( ~ n - 1-8n)fn-1

+ ~ n f n< S i

+gz

pour toutes les valeurs de n et des xk E DR.

9) Les notations étant celles de l'exerc. 6, montrer que l'on a pourvu que l'on ait hk 3 O pour tout k et - @;y1) pour 1 pk = k((hk@k)llk

avec 3 O pour tout k, pl < 1 et pn+l = O (méthode de I'exerc. 8). En particulier, pour des choix convenables des hk et Pk, on a les inégalités

et en particulier (inégalité de Carleman) Gi où ï, = (G1

+

6 2

+ ... + G,

+ G2 + . . . + G,)/n

+ + ... + a , ) ;

< e(al az eA, 3 F, eGnIrn

(amélioration de l'inégalité de Carleman) ;

si la suite (a,) est croissante; -

-

-

-

-

-

-

-nGn-mG,

G a,l

-+ a,+a +; . .-+ a,.

+ . . a

+gn

FVR 111.26

$1

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

10) La suite (ak)k,l étant formée de nombres > O, on pose s, = nA, = al Pourp < 1 et Ak > O, o n a

+ . . . + a,.

+

Sk.)llSavec q = p/(l - fi), pourvu que pl 2 Al et, pour k > 2, pk = (A; 6k 2 0 pour tout k et = O (méthode de l'exerc. 8). En particulier, on a les inégalités

qui entraîne (avec A, = s,/n)

(inégalitéde Hardy améliorée) ;

pourvu que bk

a

1 pour tout k ;

as + af + . . . + an) a a: + (a2 si l'on a, pour un 0 tel que O X

x

< cp < -, cr

,z n

2(1

- cos 0) et

@ = 1

- sin (n +

1)0

sin nB

-. + 1

Cas où 0 = -. ,cas où 0 = n + l 2n 11) Soient aij (1

=

+ . . . + (a, - an-# + @ai

X

 O; on pose yt = ail% + ai2a2 + . . . + ainxn (1 a i < n). Montrer que yly2 . . . y, > xlx2. . . x,, (minorer log y, pour chaque indice i). 12) a) Soit 2 cijxiXj, où cji = Zij, une forme hermitienne positive non dégénérée, A son .. a,, = 1 et, pour tout indicej,

i =1

i , i

déterminant; montrer que A < cl1cz2. . .c,, (exprimer A et les cii à l'aide des valeurs propres de la forme hermitienne, et utiliser la prop. 2). b) En déduire que, si (aLj)est une matrice carrée d'ordre n à éléments complexes quelconques, A son déterminant, on a (<(inégalité de Hadamard i ) )

l'égalité n'ayant lieu que si un des facteurs du second membre est nul ou si on a, quels que soient les indices distincts h, k

+

ahlakl f ahzak2

. ' $. ahnÜkn= 0

(multiplier la matrice (ai,) par la conjuguée de sa transposée).

13) Si x, y, a, b sont > O, montrer que X Y %log- $ y l o g b

l'&alité n'ayant lieu que si x/a = ylb.

>

(X

+y)log-

X + Y

a + b

5l

FVR 111.27

EXERCICES

14) Soit a un nombre réel tel que O < a < x/2. Montrer que la fonction

est strictement croissante dans l'intervalle )a, x/2( (cf. 1, p. 45, exerc. 11). 15) Soient u et v deux polynômes en x, à coefficients réels, tels qu'on ait identiquement 1/ 1 - u2 = vd 1 - x2; montrer que, si n est le degré de u, on a u' = nu; en déduire que l'on a U(X)= COS (n Arc cos x). 16) Démontrer (par récurrence sur n) la formule Dn(Arctg x) = :( -

-

-

-

lp-Y

(n

-

l)!

7 17) Soit f une fonction numérique définie dans un intervalle ouvert 1 c R, telle que TC, on ait pour tout système de trois points XI, x,, x3 de 1 satisfaisant à xl < x2 < x3 < x1

+

f (xl) sin (x3 - x2)

(1)

+ f (2,) sin (xl - x3) + f (xÛ)sin (x2 - xl)

3 0.

Montrer que: a) f est continue en tout point de 1, et admet en tout point de 1 une dérivée à droite et une dérivée à gauche finies; on a en outre pour tout couple de points x, y de 1 tels que lx - y1 < x ; on a aussi l'inégalité analogue à (2) où on remplace fi par f i ; enfin on a fi(x) < fd(x) pour tout x G 1. (Pour démontrer (2), faire tendre x, vers X, dans (1), en laissant x3 fixe, et obtenir ainsi une majoration de - (xl) ; puis faire tendre x3 vers XI dans l'inégalité trouvée; en déduire - x1 l'existence de fd ( x ) et l'inégalité (2) pour y > x; procédés analogues pour les autres questions.) b ) Réciproquement, si (2) a lieu pour tout couple de points x, y de 1 tels que lx - y1 < x, f vérifie (1) dans 1

(")

lim sup

X2

Xl'tXl

(considérer la dlfférenqe -

-

-

-

-

f (x2) f(%) )? sin (x3 - x , ) sin lx3 2 xl)

-

-

-

-

-

-

-

-

c) Sif admet une dérivée seconde dans 1, (1) est équivalente à la condition (3) pour tout x E 1.

f(x)

+y'(%) >0

1 ces résultats en considérant la courbe plane définie par x = -cos f, f (4 1 y = '- sin t ((( convexité par rapport à l'origine p).,

* Interpréter f (t)

18) a) Montrer que, dans l'espace vectoriel des applications de R dans C, les fonctions distinctes de la forme xneOlx(n entier, u complexe quelconque) forment un système libre (raisonner par l'absurde, en considérant une relation entre ces fonctions ayant le plus petit nombre possible de coefficients # O, et dérivant cette relation). b) Soit f (XI, X,,. .., X,,J un polynôme par rapport à m indéterminées, à coefficients complexes, tels que lorsqu'on substitue à X, la fonction cos (k$Lhk~k)

(5

pour 1 < j < r, la fonction

pour r + I < j < m, où les fijk sont réels et les xk rie&, on obtienne une foncsin k=l tion des xk identiquement n@le;montrer que l a même identité a l i e u lorsqu'on-donneaux x, des valeurs comp~exe~arbitraires (utiliser a)).

FVR 111.28

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

31

'/[ 19) On sait (A, IX, 8 10, exerc. 2) que, dans le plan compbxe C2, le groupe des angles de droites pointées A est isomorphe au groupe orthogonal O,(@), l'isomorphisme canonique faisant correspondre à l'angle 0 la rotation d'angle 0; on transporte au groupe A la topologie de Oz(C) (considéré comme sous-espace de l'espace M2(C) des matrices d'ordre 2 sur C) par cet isomorphisme, ce qui fait de A un groupe topologique localement compact; en outre l'application 6 H cos 6 + i sin 8 est un isomorphisme du groupe topologique A sur le groupe multiplicatif C* des nombres complexes # 0, l'isomorphisme réciproque étant défini par

les formules cos 0 = &(z

I + l/z), sin 0 = (z - 112). Déduire de ces relations que tout 2i

homomorphisme continu z H y(z) du groupe additif @ sur A, tel que les fonctions complexes cos y (z), sin O, et du segment 3 ( z ) = 0, O W(z) < x. Montrer que la restriction de la fonction cos z à D est une bijection de D sur C; la restriction de cos z à l'intérieur de D est un homéomorphisme de cet ensemble ouvert sur le complémentaire, dans @, de la demi-droitey = O, x d 1. 21) Soientf et g deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, le degré def étant strictement inférieur à celui de g. Soient p le p.g.c.d. de g et de sa dérivée g', q le quotient de g par p; montrer qu'il existe deux polynômes u, v uniquement déterminés, de degrés respectifs strictement inférieurs à ceux dep et q, et tels que

En déduire que les coefficients de u et v appartiennent au plus petit corps (sur Q) contenant les coefficients def et g et contenu dans C. 22) Soientf et g deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, f étant de degré strictement inférieur à celui de g. Soit K un sous-corps de C contenant les coefficients de f et de g, et tel que g soit irréductible sur K. Pour qu'il existe une primitive de f/g de la forme Cai log ut, où les a, sont des constantes appartenant à K, les u, des polynômes irréductibles sur K, il faut et il suffit qu'on ait f = cg', où c est une constante appartenant à K.

23) Sif (x, y) est une polynôme quelconque en x, y, à coefficients complexes, montrer que le calcul d'une primitive def (x, log x) et def (x, Arc sin x) se ramène au calcul d'une primitive de fonction rationnelle. 24) Montrer qu'on peut ramener le calcul d'une primitive de (ax + b)'xq (# et q rationnels) au calcul de la primitive d'une fonction rationnelle lorsque l'un des nombres p, q, p + q est entier (positif ou négatif).

* 25) Les fonctions méromorphes dans Lin disque ouvert A de C forment un corps M(A). Un sous-corps F de M(A), tel que u E F implique Du E F, est appelé un sous-corps di$rentiel de WA).

+

+

+

a) Pour tout polynôme P(X) = Xm alXm-l a, à coefficients dans M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert Al c A (non de même centre que A en général) et une fonction f G M(A,) vérifiant en tous les points z E A, où f et les a, sont holomorphes, la relation

Si F est un sous-corps de M(A) contenant les ai, on dit que le sous-corps de M(A1) engendré par f et les restrictions à A, des fonctions de F est le corps F(f ) obtenu par adjonction à F de la racine f de P. Cet abus de langage ne cause pas de confusion parce que l'application de restriction g~ g 1 Al de F sur un sous-corps de M(Al) est injective. Si F est différentiel,il en est de même de F(f ).

SI

FVR 111.29

EXERCICES

b) Pour toute fonction a E M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert Az c A tel qu'il existe une fonction g E M(A,) vérifiant la relation g'(z) = a(z) en tout point z E Az où g et a sont holomorphes. Si F est un sous-corps de M(A) contenant a, on dit que le sous-corps F(g) de M(A,) engendré par g et les restrictions à A, des fonctions de F est le corps obtenu par adjonction à F de laprimitive f a dz. Si F est différentiel, il en est de même de F(g). c) Pour toute fonction b E M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert A3 c A tel qu'il existe h E M(A,) vérifiant la relation hf(z) = b(z)h(z) en tout point z E A, où h et b sont holomorphes et f O. Si F est un sous-corps de M(A) contenant b, on dit que le sous-corps F(h) de M(A3) engendré par h et les restrictions à A3 des fonctions de F est le corps obtenu par adjonction à F de l'exponentielle de primitive exp(J b dx). Si F est différentiel, il en est de même de F(h). d) Pour tout sous-corps F de M(A) et tout polynôme P(X) = Xm + alXm-1 . . . amà coefficients dans F, il existe un corps K obtenu par adjonction successive à F de racines de polynômes, tel que K soit une extension galoisienne de F et qu'on ait P(X) = ( X - cl). . . (X - cm)où les c, sont des fonctions méromorphes (dans un disque convenable) appartenant à K. Si F est différentiel, on a (5.g)' = 5.g' pour tout g E K et tout élément 5 du groupe de Galois de K sur F.,

+

+

* 26) a) Soit F c M(A) un corps différentiel, et soit K une extension galoisienne finie de F, sous-corps d'un M(Al). Soit t une primitive ou une exponentielle de primitive d'une fonction de F; montrer que si t est transcendant sur F, il n'existe aucune fonction u E K telle que t' = u'. (Considérer séparément les deux cas t' = a E F ou t' = bt avec b E F; obtenir une contradiction en considérant les transformés 5 . u de 21 par le groupe de Galois de K sur F et leurs dérivées o.uf; dans le premier cas, montrer que l'on aurait t' E c' pour un c E F et dans le second cas, en posant N = [K:F], (tN/c)' = O pour un c E F.) b) Supposons que t soit transcendant sur F et que t' = bt avec b E F; montrer qu'il n'existe aucun c f O dans K tel que (ctm)' = O (même méthode).. * 27)

Soient F c M(A) un corps différentiel contenant C, t une primitive ou exponentielle de primitive d'une fonction de F, et supposons t transcendant sur F. D'autre part, soient cl, . . ., c, des éléments de F linéairement indépendants sur le corps des nombres rationnels Q; si alors ul, . . ., un et v sont des éléments d u corps F(t), et si

appartient à l'anneau F[t], on a nécessairement u E F[t]. En outre, si t E F, on a nécessairement u, E F pour 1 < j < n; si t'lt E F, il existe pour chaque j un entier v, > O tel que ui/tViE F. (Décomposer les u;/u, et v en éléments simples dans une extension galoisienne convenable de F et utiliser I'exerc. 26.)*

* 28) a) Soit F c M(A) un corps différentiel. On dit qu'un corps Ff élémentaire de F s'il existe une suite finie

3

F est une extension

telle que pour tout j < n - 1, on ait FI+, = Fj(tj), où l'on a, ou bien t; = aj/a, pour un a, f O dans F, (de sorte que l'on peut écrire tj = log a,, ou bien tilt, = a; pour un ai E Fi (de sorte que t, = exp (aj)). Une fonction élémentaire est une fonction qui appartient à une extension élémentaire de C(z) (corps des fonctions rationnelles sur C). Par exemple, les fonctions

sont des fonctions élkmentaires,

FVR 111.30

31

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

6) Soit a E F tel qu'il existe des éléments u, (1 < j < m) et u d'une extension élémentaire F' de F, et des constantes y, E C (1 < j < m) tels que l'on ait

Montrer alors qu'il existe des éléments f j (1 1 j (1 < j < fi) tels que l'on ait

< fi)

et g de F et des constantes

EC

(Se ramener par récurrence sur le nombre n dans la suite (1) au cas où F' = F(t). En modifiant les uj, montrer d'abord qu'on peut supposer les yj linéairement indépendants sur Q. Lorsque t est transcendant sur F, utiliser l'exerc. 27: si t' = s'/s avec s E F, on a nécessairement u, E F et c E F[t]; en utilisant (*) et raissonant par l'absurde, montrer qu'on on a nécessairement u = ut + 6 avec E. C et b E F. Si t'lt = r' avec r E F, montrer qu'en k . r pour un entier k E Z convenable, on peut encore supposer que remplaçant v par u u, E F, u E F[t]; montrer par l'absurde que u est de degré 0, donc u E F. Enfin, si t est algébrique sur F, plonger F' dans une extension galoisienne K de F et considérer les transformés de (*) par le groupe de Galois de K sur F.),

+

* 29) Soient f et g deux fonctions rationnelles de z (éléments de C(z)). Montrer que, pour que la primitive J"f (z)eg(~) dz soit une fonction élémentaire (exerc. 28), il faut et il suffit qu'il existe une fonction rationnelle r E C(z) telle que f = r' + rg'. (Poser t = eg et considérer le corps différentiel F = C(z, t), extension élémentaire de C(z), puisque t'lt = g'. Montrer d'abord que t est transcendant sur C(z) :en raisonnant par l'absurde, considérer une extension galoisienne K de C(z) contenant t, et les transformés de l'équation t'lt = g' par le groupe de Galois de K ; on obtiendrait une équation g' = u'lu avec u E C(z), et il est impossible que gr n'ait que des pôles simples dans C. Appliquant l'exerc. 28, on aj? =

2 y 6 + u',

avec

Uf

yj E C,les u, et u dans F; on peut se ramener au cas où les y, sont linéairement independants sur Q. Appliquant ensuite l'exerc. 27 à l'extension C(z)(t),montrer que l'on a,ft = vu' h, avec h E C(z) et v E C(z)[t]. En conclure que u est nécessairement de degré 1 en t, et par suite que f est égal au coefficient de t dans v'.) En déduire que les primitives ez2 dx et J" eZdzjz ne sont pas des fonctions élémentaires (théorème de Liouuille), en examinant dans la relation f = r' - rg' l'allure des deux membres au voisinage d'un pôle de r.,

+

30) a) Si m et n sont deux entiers tels que O < m < n, démontrer, la formule X

mn n sin n b) Montrer que, pour O < a < 1, l'intégrale

dx est uniformément convergente, pour a variant dans un intervalle compact, et déduire de a) que "

31) Si 1,. est une primitive de sinmx cosn x (m et n nombres réels quelconqucs), montrer que, sim+n+Z#O Im+,.n

est une primitive de sinm+ x

= COS

s ~ ~ ~ + ~ x c o sm ~ ++ l~ x ----m+n+2 m +n+21m,"

+

51

FVR 111.31

EXERCICES

Retrouver à l'aide de cette formule la formule (29) de III, p. 10 et démontrer la formule 2.4.6 ...2n 1) 1.3.5 ...(2n

sinZn+lx dx =

+

(n entier 3 0).

32) Démontrer laformule de Wallis 1 2 . 4 . 6 . . .2n lim I i ' 1 . 3 . 5 . . .(2n - 1) =

n+m

x

en utilisant l'exerc. 3 1 et l'inégalité sinn

+

< sinnx pour O

dn d x d x/2.

33) a ) Calculer les intégrales

pour n entier > 0, à l'aide de l'exerc. 3 1. b) Montrer que l'on a 1

- 2 2 < 8-x2

pour O

<x <

1

e-x2 < - pour x 2 0. 1 x2

+

c) Déduire de a) et b) et de la formule de Wallis (exerc. 32) que

34) a) Montrer que pour a > O, la dérivée de i(a) = est égale à

-JO+"

Io +

.-Ex-

sin x x d~

eWuX sin x dx.

b) En déduire que JO+

"

dx =

-. 2

Tc

35) Démontrer, par dérivation par rapport au paramètre, et utilisation de I'exerc. 33 c), les formules

[o'mexp(-x2

- $)dX

= fie-2u

2

(a > O).

36) Déduire de l'exerc. 33 c) ci-dessus et de II, p. 36, exerc. 9, que l'on a

'J"'2

JO+ "

sin x2 dx = -

2

.

37) Soit f une fonction vectorielle réglée dans 10, l(, telle que i'intégrale f (sin x) dx soit convergente. Montrer que l'intégrale j: xf (sin x ) dx est convergente et que l'on a

Ion

f (sin x) dx. y JOZ

x f (sin x) dx = -

FVR 111.32

82

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

38) Soit f une fonction vectorielle réglée pour x 3 O, continue au point x = O et telle que f (x) dx/x soit convergente pour a > O. Montrer que pour a > O et b > 0, l'intégrale l'intégrale

Ji O

x

* (bX) dx est convergente et égale

à f (O) log a/b.

39) Soient m une fonction convexe dans (O, + CO(,telle que m(0) = 0, e t p un nombre tel que - 1 1 et A > O, remarquer que m(kx) l'inégalité

m(x)

+ (k - I)xmA(x),

et en déduire

Majorer la seconde intégrale à l'aide de l'inégalité de Holder (II, p. 24, exerc. 3) puis faire tendre A vers + CO et k vers 1.) §2 1) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Démontrer la formule

en tout point x tel que ex E 1, le cofficient amayant pour expression

(méthode de 1, p. 47, exerc. 7, en utilisant le développement de Taylor de ex). 2) Soient f une fonction numérique n fois dérivable au point x, g une fonction vectorielle n n

fois ddrivable au point f (x). Si l'on pose Dn(g(f (x))) =

d k ) (f (x))uk(x), uk ne dépend

que de la fonctionf; en déduire que uk(x) est le coefficient de tk dans le développement (par rapport à t ) de e-tf(x)Dn(etf(x)). 3) Pour tout x del > O et tout m I. y + iv complexe, on pose xm = emlogx;montrer que la formule (19) de III, p. 18, est encore valable pour m complexe et x > - 1, et que le reste rn(x) de cette formule satisfait aux inégalités

Généraliser l'étude de la convergence de la série de binôme au cas où m est complexe. 4) Pour tout x réel et tout nombrep > 1 démontrer l'inégalité

5 z!

FVR 111.33

EXERCICES

où on a posé m =

[pl (partie entière de p) et @(fi- 1) ...(fi - m + 1) h, = (m - l)!

7 5) Montrer que TC est irrationnel, de la façon suivante: si on avait x = p/q (p et q entiers), en posant f (x) = (x(x - ~ ) ) ~ / l'intégrale n! qn jt f (x) sin x dx serait un entier > O (utiliser 1); mais montrer d'autre part que la formule d'intégration par parties d'ordre n CO. qn f (x) sin x dx tend vers O lorsque n tend vers

+

+

6) Montrer que dans l'intervalle (- 1, + l), la fonction 1x1 est limite uniforme de polynômes, en remarquant que 1x1 = (1 - (1 - x2))lI2et utilisant la série du binôme. En déduire une nouvelle démonstration du th. de Weierstrass (cf. II, p. 32, exerc. 20).

7 7) Soientp un nombre premier, Q, le corps des nombresp-adiques (TG, III, p. 84, exerc. 23 à 25), Z, l'anneau des entiersp-adiques, & l'idéal principal (fi) dans Z,. a) Soit a = 1

+ $6, où b E Z,

est un un élément du groupe multiplicatif 1

+ &;

lorsque l'entier rationnel m augmente indéfiniment, le nombre p-adique tend vers une limite égale à la somme de la série convergente

(1

montrer que

+ pb)pm - 1 Pm

O n désignera cette limite par log a. aX - 1 b) Montrer que, lorsque le nombre p-adique x tend vers O dans Q,, le nombre -tend X

vers log a (utiliser a) et la définition de la topologie de Q,). c ) Montrer que, si p # 2, on a log a = pb (mod. b2), et si = 2, log a r O (mod. b2), et log a = - 4b4 (mod. b3). d) Montrer que, si p # 2 (resp. p = 2), x H log x est un isomorphisme du groupe topologique multiplicatif 1 + & sur le groupe topologique additif & (resp. b2) ; en particulier, si e, est tel que log e, = (resp. log e, = 4), l'isomorphisme de Z, sur 1 &, l'élément de 1

+

+

1

réciproque de x H 1log x (resp. x »$ log x) est y Hep (cf. TG, III, p. 84, exerc. 25). h

ir

e) Montrer que pour tout a E 1 f &, la fonction continue x n aX,définie dans Z,, admet en tout point une dérivée égale à ax log a; en déduire que la fonction log x admet en tout point de 1 + & une dérivée égale à llx.

7 8) a) Avec les notations de l'exerc. 7, montrer que la série de terme général xn/n! est convergente pour tout x E t) si p # 2, pour tout x E b2 (mais pour aucun x 6 b2) si p = 2, pour tout x E Pz (mais pour aucun x 4 b2) si p = 2 (déterminer l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers). Si f (x) est la somme de cette série, montrer quef est un homomorphisme continu de b (resp. b2) dans 1 b2. En déduire que l'on a, pour tout z E ZP,f (pz) = e; (resp.f (p2z) = eg), autrement dit, que

+

(utiliser l'exerc. 7 e)). b) Pour tout a E 1 + & et tout x E Z,, montrer que log(ax) = x log a, et déduire de a) et de l'exerc. 7 d) que l'on a x log a +--x2(log a)2 + . . . xn(loga)" ax=l+l! 2!

+.--J-

+"'

FVR 111.34

§2

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

+

Pour tout m E Z,, montrer que la fonction continue x H xm, définie dans 1 #, admet une dérivée égale à mxm- l (utiliser b) et l'exerc. 7 e)). d) Montrer que pour tout m E 2, et tout x E j~si p # 2 (x E b2 si p = 2) la série de terme général

c)

(r).

xn est convergente et que sa somme est fonction continue de m ; en déduire que cette

,

somme est égale à (1

+x

) en ~ remarquant que Z est partout dense dans Z,.

7 9) Avec les notations de l'exerc. 7), on désigne par pace Q;) le groupe des matrices de la forme

0 2 (Q,) (groupe des rotations de l'es-

à éléments dans Q,, tels que x2 + y2 = 1, ce groupe étant muni de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. a ) O n désigne par G, le sous-groupe de O,+(Q,) formé des matrices telles que t = y/(l x) E bn. Montrer que G, est un groupe compact, que G,/G,,+l est isomorphe à Z/pZ, et que les seuls sous-groupes compacts de G1 sont les groupes G, (cf. TG, III, p. 84, exerc. 24). b ) Montrer que Gl est identique au sous-groupe des matrices

+

+

+

+

1 b 3 e t y ~ b 2 s i p= 2. tellesquex2 y2 = 1 , x 1~ b 2 e t y ~ $ s i p# 2 , x ~ Montrer que les séries de terme général ( - l)nx2n/(2n)! et ( - l)n-1x2n+1/(2n+ 1) ! sont convergentes pour tout x E b si p # 2, pour tout x E b2 si p = 2; soient cos x et sin x les sommes de ces séries. Montrer que l'application

c)

-sin 'Osx x cos x est un isomorphisme du groupe topologique additif # (resp. b2) sur le groupe G,. d) S i p est de la forme 4h + 1 ( h entier), il existe dans Q, un élément i tel que i2 = - 1. Si à tout z E QP on fait correspondre la matrice

on définit un isomorphisme du groupe multiplicatif Q*, sur le groupe O,+(4, ;) au groupe # correspond par cet isomorphisme le groupe G,, et on a cospx i sinpx = ep (III, 1 p. 33, exerc. 8). e) Si p est de la forme 4h 3 (h entier), les matrices de O,+(Q,) ont nécessairement leurs éléments entiers p-adiques. Le polynôme X2 + 1 est alors irréductible dans Q,; soit Qp(i) l'extension quadratique de Q, obtenu par adjonction d'une racine i de X2 + 1; on munit Q,(i) de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. Le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe a u groupe multiplicatif N des éléments de Q,(i) de norme 1, par l'isomorphisme qui à la matrice

+

+

+

(-t :) . < ,

fait correspondre l'élément z = x

+ iy. Montrer que, dans Q,(i),

il existe p

+

1

racines de l'équation xP+l = 1, qui forment un sous-groupe cyclique R de N (raisonner comme dans TG, III, p. 84, exerc. 24: montrer d'abord qu'il existe, dans Q,(i), p + 1 racines distinctes de la congruence x p + l E 1 (modp) et, pour chaque racine a de cette congruence, former la suite ( a p z n ) ) . En déduire que le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe auproduit des groupes R et Cl. f ) Montrer que, pour j~ = 2, le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe au produit du groupe G1 et d'un groupe cyclique d'ordre 4.

NOTE HISTORIQUE (Chapitres I, II, et III)

(N-B. - Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.) En 1604, à l'apogée de sa carrière scientifique, Galilée croit démontrer que, dans un mouvement rectiligne où la vitesse g o î proportionnellementa~chemin ~ parcou?u,la loi dumouvementsera bien celle (x = ct2) qu'il a découverte dans la chute des graves ((III), t. X, p. 115-1 16). Entre 1695 et 1700, il n'est pas un volume des Acta Eruditorum mensuellement publiés à Leipzig, où ne paraissent des mémoires de Leibniz, des frères Bernoulli, du marquis de l'Hôpital, traitant, à peu de chose près avec les notations dont nous nous servons encore, des problèmes les plus variés du calcul différentiel, du calcul intégral, du calcul des variations. C'est donc presque exactement dans l'intervalle d'un siècle qu'a été forgé le calcul infinitésimal, ou, comme ont fini par dire les Anglais, le Calcul par excellence (((calculus >)); et près de trois siècles d'usage constant n'ont pas encore complètement émoussé cet instrument incomparable. Les Grecs n'ont rien possédé ni imaginé de semblable. S'ils ont connu sans doute, ne fût-ce que pour s'en refuser l'emploi, un calcul algébrique, celui des Babyloniens, dont une partie de leur Géométrie n'est peut-être qu'une transcription, c'est strictement dans le domaine de l'invention géométrique que s'inscrit leur crCation mathématique peut-être la plus géniale, leur méthode pour traiter des probkmes qui pour nous relèven* du calcul intégral. Eudoxe, traitant du volume du cône et de la pyramide, en avait donné les premiers modèles, qu'Euclide nous a plus ou moins fidèlement transmis ((1),livre XII, prop. 7 et 10). Mais surtout, c'est à ces problèmes qu'est consacrée presque toute l'ceuvre d'Archimède ((II) et (II bis)) ; et, par une fortune singulière, nous sommes à même de lire encore dans leur texte original, dans le sonore dialecte dorien où il les avait si soigneusement rédigés, la plupart de ses écrits, et jusqu'à celui, retrouvé récemment, où il expose les procédés (( heuristiques >)par lesquels il a été conduit à quelques-uns de ses plus beaux résultats ((II), t. II, p. 425-507). Car c'est là une des faiblesses de I'<( exhaustion a d'Eudoxe: méthode de démonstration irréprochable (certains postulats étant admis), ce n'est pas une méthode de découverte; son application repose nécessairement sur la connaissance préalable du résultat à démontrer; aussi, dit Archimède, des résultats dont Eudoxe a trouvé le premier la démonstration, au sujet du cône et de la pyramide.. ., une part non petite reuient à Démocrite, qui f i ~ le t premier à les énoncer sans démonstration (loc. cit., p. 430). Cette circonstance rend particulièrement difficile l'analyse détaillée d e - l'œuvre cPArchiméde;andyse qui; à vrai direLne-semble avoir été entreprise par aucun -

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historien moderne; car de ce fait nous ignorons jusqu'à quel point il a pris conscience des liens de parenté qui unissent les divers problèmes dont il traite (liens que nous exprimerions en disant que la même intégrale revient en maints endroits, sous des aspects géométriques variés), et quelle importance il a pu leur attribuer. Par exemple, considérons les problèmes suivants, le premier résolu par Eudoxe, les autres par Archimède : le volume de la pyramide, l'aire du segment de parabole, le centre de gravité du triangle, et l'aire de la spirale dite d'Archimède ( p = cw en coordonnées polaires); ils dépendent tous de l'intégrale Sx2 dx, et, sans s'écarter en rien de l'esprit de la méthode d'exhaustion, on peut tous les ramener au calcul de (( sommes de Riemann s de la forme

2 an2. C'est ainsi en

effet qu'Archimède traite de la spirale ((II), t. II, p. 1-121), au moyen d'un lemme qui revient à écrire

Quant au centre de gravité du triangle, il démontre (par exhaustion, au moyen d'une décomposition en tranches parallèles) qu'il se trouve sur chacune des médianes, donc à leur point de concours ((II), t. II, p. 261-315). Pour la parabole, il donne trois procédés: l'un, heuristique, destiné seulement à ((donnerquelque vraisemblance au résultat O,ramène le problème au centre de gravité du triangle, par un raisonnement de statique au cours duquel il n'hésite pas à considérer le segment de parabole comme la somme d'une infinité de segments de droite parallèles à l'axe ((II), t. II, p. 435-439); une autre méthode repose sur un principe analogue, mais est rédigée en toute rigueur par exhaustion ((II), t. II, p. 261315) ; une dernière démonstration, extraordinairement ingénieuse mais de moindre portée, donne l'aire cherchée comme somme d'une série géométrique au moyen des propriétés particulières de la parabole. Rien n'indique une relation entre ces problèmes et le volume de la pyramide; il est même spécifié ((II), t. II, p. 8) que les problèmes relatifs à la spirale n'ont <( rien de commun avec certains autres relatifs à la sphère et au paraboloïde de révolution, dont Archimède a eu l'occasion de parler dans la même introduction et parmi lesquels il s'en trouve un (le volume du paraboloïde) qui revient à l'intégrale x dx. Comme on le voit sur ces exemples, et sauf emploi d'artifices particuliers, le principe de l'exhaustion est le suivant: par une décomposition en (<sommes de Riemann >), on obtient des bornes supérieure et inférieure pour la quantité étudiée, bornes qu'on compare directement à l'expression annoncée pour cette quantité, ou bien aux bornes correspondantes pour un problème analogue déjà résolu. La comparaison (qui, faute de pouvoir employer les nombres négatifs, se fait nécessairement en deux parties) est introduite par les paroles sacramentelles : <( sinon, en effet, elle serait, ou plus grande, ou plus petite; supposons, s'il se peut, qu'elle soit plus grande, etc.; supposons, s'il se peut, qu'elle soit plus petite, etc. D,

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NOTE HISTORIQUE

d'où le nom de méthode (( apagogique ou (t par réduction à l'absurde D (((&xcrywyt EES &~UVUTOVO ) que lui donnent les savants du XVII" siècle. C'est sous une forme analogue qu'est rédigée la détermination de la tangente à la spirale par Archimède ((II), t. II, p. 62-76), résultat isolé, et le seul que nous ayons à citer comme source antique du (t calcul différentiel >) en dehors de la détermination relativement facile des tangentes aux coniques, et quelques problèmes de maxima et minima. Si en effet, en ce qui concerne 1'(

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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

se creuser un fossé entre découverte et démonstration. Aux époques favorables, le mathématicien, sans manquer à la rigueur, n'a qu'à mettre par écrit ses idées presque telles qu'il les conçoit; parfois encore il peut espérer faire en sorte qu'il en soit ainsi, au prix d'un changement heureux dans le langage et les notations admises. Mais souvent aussi il doit se résigner à choisir entre des méthodes d'exposition incorrectes et peut-être fécondes, et des méthodes correctes mais qui ne lui permettent plus d'exprimer sa pensée qu'en la déformant ct au prix d'un fatigant effort. L'une ni I'autrc voie n'est exempte de dangers. Les Grecs ont suivi la seconde, et c'est là peut-êtrc, plus cncore que dans l'effet stérilisant de la conquête romaine, qu'il faut cherclicr la raison du surprenant arrêt de leur mathématique presquc aussitôt après sa plus brillante floraison. Il a été suggéré, sans inÿraiscmblance, que l'enseignement oral des successeurs d'Archimède et d7Apollonius a pu contenir maint résultat nouveau sans qu'ils aient cru devoir s'infliger l'extraordinaire effort requis pour une publication conforme aux canons reçus. Ce ne sont plus de tels scrupules en tout cas qui arrêtent les mathématiciens du XVII" sikle, lorsquc, devant les problèmes nouveaux qui se posent en foule, ils cherchent dans l'étude assidue des écrits d'Archimède les moyens de le dépasser. Tandis que les grands classiques de la littérature et de la philsophie grecque ont tous été imprimés en Italie, par Alde Manuce et ses émules, et presque tous avant 1520, c'est en 1544 seulement, et chez Hervagius à Bâle, que parait l'édition princeps d'Arcliimède, grecque et latine,l sans qu'aucunc publication antérieure en latin soit venue la préparer; et, loin quc les mathématiciens dc cette époque (absorbés qu'ils étaicnt par leurs recherches algébriques) en aient ressenti aussitôt l'influeiicc, il faut attendre Galilée et Képlcr, tous deux astronomes et physiciens bien plus que mathématiciens, pour que cette influence devienne manifeste. Apartir de ce moment, ct sans cesse jusque vers 1670, il n'est pas de nom, dans lesécrits des fondateurs du Calcul infinitésimal, qui revienne plus souvent que celuid7Archimède. Plusieurs lc traduisent et le commentent; tous, de Fermat à Barrow, le citent à l'envi; tous déclarent y trouver à la fois un modèle et une source d'inspiration. Il est vrai quc ces déclarations, nous allons le voir, ne doivent pas toutes être prises tout à Ijit à la lettre; là se trouve l'une des difficultés qui s'opposent à une juste interprétation de ces écrits. L'historien doit tenir compte aussi de l'organisation du monde scientifique de cette époque, fort défectueuse encore au début du XVII"siècle, tandis que vers la fin du même sièclc, par la création des sociétés savantcs et des périodiques scientifiques, par la consolidation et le développemcnt des universites, elle finit par ressembler fort à ce que nous connaissons aujourd'hui. Dépourvus de tout périodique jusqu'en 1665, les mathématiciens n'avaient Ic choix, pour faire connaître leurs travaux, qu'entre la voie épistolaire, et l'impression d'un livre, le plus souvent à leurs propres frais, ou à ceux d'un mécène s'il l Archimedis 0,bera quae quidem emtant omnia, nunc jrirnus et gr. et lat. edita 1544, 1 vol. in-fol.

. . . Basileae, JO.

Hervagius,

NOTE HISTORIQUE

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s'en trouvait. Les éditeurs et imprimeurs capables de travaux de cette sorte étaient rares, parfois peu sûrs. Après les longs délais et les tracas sans nombre qu'impliquait une publication de ce genre, l'auteur avait le plus souvent à faire face à des controverses interminables, provoquées par des adversaires qui n'étaient pas toujours de bonne foi, et poursuivies parfois sur un ton d'aigreur surprenant: car, dans l'incertitude générale où l'on se trouvait au sujet des principes mêmes du calcul infinitésimal, il n'était pas difficile à chacun de trouver des points faibles, ou du moins obscurs et contestables, dans les raisonnements de ses rivaux. O n comprend que dans ces conditions beaucoup de savants épris de tranquillité se soient contentés de communiquer à quelques amis choisis leurs méthodes et leurs résultats. Certains, et surtout certains amateurs de science, tels Mersenne à Paris et plus tard Collins à Londres, entretenaient une vaste correspondance en tous pays, dont ils communiquaient des extraits de part et d'autre, non sans qu'à ces extraits ne se mêlassent des sottises de leur propre cru. Possesseurs de (<méthodes que, faute de notions et de définitions générales, ils ne pouvaient rédiger sous forme de théorèmes ni même formuler avec quelque précision, les mathématiciens en étaient réduits à en faire l'essai sur des foules de cas particuliers, et croyaient ne pouvoir mieux faire, pour en mesurer la puissance, que de lancer des défis à leurs confrères, accompagnés parfois de la publication de leurs propres résultats en langage chiffré. La jeunesse studieuse voyageait, et plus peut-être qu'aujourd'hui; et les idées de tel savant se répandaient parfois mieux par l'effet des voyages de tel de ses élèves que par ses propres publications, mais non sans qu'il y eût là une autre cause encore de malentendus. Enfin, les mêmes problèmes se posant nécessairement à une foule de mathématiciens, dont beaucoup fort distingués, qui n'avaient qu'une connaissance imparfaite des résultats les uns des autres, les réclamations de priorité ne pouvaient manquer de s'élever sans cesse, et il n'était pas rare que s'y joignissent des accusations de plagiat. C'est donc dans les lettres et papiers privés des savants de ce temps, presque autant ou même plus que dans leurs publications proprement dites, que l'historien a à chercher ses documents. Mais, tandis que ceux d'Huygens par exemple nous ont été conservés et ont fait l'objet d'une publication exemplaire (XVI), ceux de Leibniz n'ont été publiés encore que d'une manière défectueuse et fragmentaire, et beaucoup d'autres sont perdus sans remède. Du moins les recherches les plus récentes, fondées sur l'analyse des manuscrits, ont-elles mis en évidence, d'une manière qui semble irréfutable, un point que des querelles partisanes avaient quelque peu obscurci: c'est que, chaque fois que l'un des grands mathématiciens de cette époque a porté témoignage sur ses propres travaux, sur l'évolution de sa pensée, sur les influences qu'il a subies et celles qu'il n'a pas subies, il l'a fait d'une manière honnête et sincère, et en toute bonne foi1; ces témoignages précieux, dont nous possédons un assez grand Ceci s'applique par exemple à Torricelli (voir (XII), t. VIII, p. 181-194) et à Leibniz (D. MAHNKE, Abh. Preuss. Akad. der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926). Ce n'est pas à dire, bien entendu,

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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

nombre, peuvent donc être utilisés en toute confiance, et l'historien n'a pas à SC transformer à leur égard cn juge d'instruction. Au rcstc, la plupart des questions de priorité qu'on a soulevées sont tout à fait dépourvues de sens. 11 est vrai que Leibniz, lorsqu'il adopta la notation dx pour Ia G différentielle O,ignorait que Newton, depuis une dizaine d'années, se servait de ipour la ((fluxion a: mais qu'importerait qu'il l'eût su? Pour prendre un exemple plus instructif, quel est l'auteur du théorème log x = dxlx, et quelle en est la date ? La formule, telle que nousvenons de l'écrire, est de Leibnizpuisquel'un et l'autre membre sont écrits dans sa notation. Leibniz lui-même, et Wallis, l'attribuent à Grégoire de SaintVincent. Ce dernier, dans son Opus Geometricum (IX) (paru en 1647, mais rédigé, dit-il, longtemps auparavant), démontre seulement l'équivalent de cc qui suit: si f (a, 6 ) désigne l'aire du segment hyperbolique a < x < b, O < y < AIX, la relation b'lu' = ( b / ~ cntraine )~ f (a', b') = n .f (a, 6); à quoi son élève et commentateur Xarasa ajoute presque aussitôt1 le remarque que les aires f(a, 6) peuvent donc <( tenir lieu de logarithrncs )). S'il n'en dit pas plus, ct si Grégoire lui-même n'en avait rien dit, n'est-ce pas parce que, pour la plupart des mathématiciens de cette époque, les logarithmes étaien-Edes << aides au calcul )) sans droit de cité en mathématique? II est vrai que Torricelli, dans une lettre de 1644 (VI1 bis), parle de ses recherclies sur une courbe que nous noterions y = ae-ex, x 3 0, en ajoutant que là où Neper (que d'ailleurs il couvre d'éloges) G ne poursuiüait que la prntiqzle arithmétique lui-même (( en tirait une $éculatioîz de géométrie w ; et il a laissé sur cette courbe un manuscrit évidemment préparé pour la publication, mais resté inédit jusqu'en 1900 ((VIX), t. 1, p. 335-347). Descartes d'ailleurs avait rencontré la mêmc courbe dès 1639 à propos du (( problèmc de Debeaune et l'avait decrite sans parler de logarithmes ((X), t. II, p. 514-517). Quoi qu'il en soit, J. Gregory, en 1667, donne, sans citer qui que ce soit ((XVII a), reproduit dans (XVI bis), p. 407-462), une règle pour calculer les aires dcs segments hypcrboliqucs au moyen des logarithrncs (déciniaux) : cc qui implique à la fois la cor~naissancctliéorique du lien entrc la quadrature de l'hyperbole et les logarithmes, et la connaissance numérique du licn entre logarithmes naturels et {( décimaux o. Est-ce à ce dernier point seulement que s'applique la revendication de Huygens, qui conteste aussitôt la nouveauté du résultat dc Gregory (XVI a) ? C'est cc qui n'est pas plus clair pour nous que pour les contemporains; ceux-ci en tout cas ont eu l'impression nette que l'existence d'un licn entre logarithmes ct quadraturc de i'liyperbole était chose connue depuis longtemps, sans qu'ils puissent là-dessus se référer qu'A des allusions épistolaires ou bien au livre de Grégoire de Saint-Vincent. En 1668, lorsque Brouncker donne (avec une démonstration de convergence soignée, par comparaison avec série géométrique) des séries pour log2 et log (514) (XIV), il les présente comme exprcssions des segments d'hyperbole )>,

)>

qu'un mathématicien ne puisse se faire des illusions sur l'originalité de ses idées; mais ce ne sont pas les plus grands qui sont le plus enclins à se tromper à cet égard. l Solutio problematis . . Auctore P. ALFONSO ANTONIO DE SARASA . . . Antverpiae, 1649.

.

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NOTE HISTORIQUE

correspondants, et ajoute que les valeurs numériques qu'il obtient sont G dans le même rapport que les logarithmes a de 2 et de 514. Mais la même année, avec Mercator (XIII) (ou plus exactement avec l'exposé donné aussitôt par Wallis du travail de Mercator (XV bis)), le langage change: puisque les segments d'hyperbole sont proportionnels à des logarithmes, et qu'il est bien connu que les logarithmes ne sont définis par leurs propriétés caractéristiques qu'A un facteur constant près, rien n'empêche de considérer les segments d'hyperbole comme des logarithmes, qualifiés de <( naturels D (par opposition aux logarithmes <( artificiels D ou {( décimaux )>), ou hyperboliques; ce dernier pas franchi (à quoi contribue la série pour log(1 + x ) , donnée par Mercator), le théorème log x = Jdx/x est o b t e m , à la n~tatlio~pr'es, ou plutôt31 &t devenüdéfinition. Que conclure, sinon que c'est par transitions presque insensibles que s'en est faite la découverte, et qu'une dispute de priorité sur ce sujet ressemblerait fort à une querelle entre le violon et le trombone sur le moment exact où tel motif apparaît dans une symphonie? Et à vrai dire, tandis qu'à la même époque d'autres créations mathématiques, l'arithmétique de Fermat, la dynamique de Newton, portent un cachet fortement individuel, c'est bien au déroulement graduel et inévitable d'une symphonie, où le G Zeitgeist H, à la fois compositeur et chef d'orchestre, tiendrait le bâton, que fait songer le développement du calcul infinitésimal au xvne siècle: chacun y exécute sa partie avec son timbre propre, mais nul n'est maître des thèmes qu'il fait entendre, thèmes qu'un contrepoint savant a presque inextricablement enchevêtrés. C'est donc sous forme d'une analyse thématique que l'histoire en doit être écrite; nous nous contenterons ici d'une esquisse sommaire, Voici en tout cas les et qui ne saurait prétendre à une exactitude min~tieuse.~ principaux thèmes qu'un examen superficiel fait apparaître : A) Le thème d e l a rigueu~mathématique,contrastant avec celui des i$nZmelzts petit, indivisibles ou di$éreentielles. On a vu que tous deux tiennent une place importante chez Archimède, le premier dans toute son œuvre, le second dans le seul traité de la Méthode, que le X V I I ~siècle n'a pas connu, de sorte que, s'il a été transmis et non réinventé, il n'a pu l'être que par la tradition philosophique. Le principe des infiniment petits apparaît d'ailleurs sous deux formes distinctes suivant qu'il s'agit de <( différentiation )) ou d'o intégration )).Quant à celle-ci, soit d'abord à calculer une aire plane: on la divisera en une infinité de tranches parallèles infiniment petites, au moyen d'une infinité de parallèles équidistantes; et chacune de ces tranches est un rectangle (bien qu'aucune des tranches finies qu'on obtiendrait au moyen de deux parallèles à distance finie ne soit un rectangle). De même, un solide de révolution sera décomposé en une infinité de cylindres de même hauteur infiniment petite, par des plans perpendiculaires à -

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Dans ce qui suit, l'attribution d'un résultat à tel auteur, à telle date, indique seulement que ce résultat lui était connu A cette date (ce qui a été le plus souvent possible vérifié sur les textes originaux) ; nous n'entendons pas affirmer absolument que cet auteur n'en ait pas eu connaissance plus tôt, ou qu'il ne l'ait pas reçu d'autrui; encore bien moins voulons-nous dire que le même résultat n'a pu êtrs obtenu indépendamment par d'autxs, soit p1ustôt;soitplus tard. -

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PONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

l'axe1; des raçons de parler analogues pourront être cmployées lorsclu'il s'agit de décomposer une aire cn triangles par des droites concourantes, ou de raisonner sur la longueur d'un arc dc courbe comme s'il s'agissait d'un polygone à une infinité de côtés, etc. Il cst certain quc les rares matliémüticiens qui possédaient à fond le maniement des méthodes d'Archimède, tels Fermat, Pascal, Huygens, Barrow, ne pouvaient, dans chaque cas particulier, trouver aucune difficulté d remplacer l'emploi de cc langage par des démonstrations rigourcuscs; aussi fontils fréquemment remarquer que ce langage n'est là que pour abréger. ((Il serait aisé D,dit Fermat, (<de donner des démonstrations à la manière d'drchimdde;. .., ce dont il sufia d'avoir averti unefois pour toutes nJn d'éviter des répétiliow continuelleî. ..)) ((XI), t. 1, p. 257) ; de même Pascal: <( ainsi l'une de ces méthodes ne dzJdre de l'autre qu'en la maniére de parler )) ((XII b), p. 352) 2 ; et Barrow, avec sa concision narquoise: << longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsud r> (on pourrait allonger par un discours apagogique, mais à quoi bon?) ((XVIII), p. 251). Fermat se garde même bien, scmble-t-il, d'avancer quoi que ce soit qu'il nc puisse justifier ainsi, et se condamne par là à n'énoncer aucun résultat général quc par allusion ou sous forme de <( métliode O ; Barrow, pourtant si soigncux, est quelque peu moins scrupuleux. Quant à la plupart de leurs contemporains, on peut dirc à tout le moins que la rigueur n'cst pas leur principal souci, et que le nom d'Archimède n'est le plus souvent qu'un pavillon destiné à couvrir unc m a ~ h a n d i s cde grand prix sans doute, mais dont Archimède n'eût certes pas assumé la responsabilité. A plus forte raison en est-il ainsi lorsqu'il s'agit de différentiation. Si la courbe, lorsqu'il s'agit de sa rectification, est assimiléc à un polygone à une infinité dc côtés, c'est ici un arc << infiniment petit )> de la courbe qui est assimilé à un scgment de droite ((infinimentpetit )), soit la corde, soit un segment de la tangentc dont l'existence est admise; ou bien encore c'est un intervalle de tcmps ((infiniment petit )> qu'on considère, durant lequel (tant qu'il nc s'agit que de vitesse) lc mouvemcnt <( est 1) uniforme; plus hardi encore, Descartes, voulant déterminer la tangcntc à la cycloïde qui ne se prête pas à sa règle générale, c~ssimiledes courbes roulant l'une sur l'autre à des polygones, pour en déduire que << dans l'infiniment petit )) le mouvement peut être assimilé à une rotation autour du point de contact ((X), t. II, p. 307-338). Ici encore, un Fermat, qui fait reposer sur de telles considérations infinitésimales ses règles pour les tangentes et pour les maxima et minima, est en état de les justifier dans chaquc cas particulier ((XI 6) ; cf. aussi (XI), t. II, passim, en particulier p. 154-162, et Supplément aux ûhvres (GauthierVillars, 1922), p. 72-86) ;Barrow donne pour une grande partie de ses tliéorèmes l V . p. ex. l'exposé d e Pascal dans la lettre à M . de Carcavy s (XII b ) . O n notera que, grâce au prestige d'une langue incomparable, Pascal arrive à créer l'illusion d e la parfaite clarté, a u point que l'un d e ses éditeurs modernes s'extasie sur (1 la minutie et la précision dans l'exactitude de la démonstration ))! Mais, dans la Lettre à Mon5ieur A. D. D. S. : (1 . . . Jans m'arrêter, ni aux méthodes de5 mouvements, ni à celles des indivisibles, mais en suivant celles des anciens, a$n que la chose pût être désormais ferme et sans dislute >> ((XII a ) , p. 256).

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des démonstrations précises, à la manière des anciens, à partir d'hypothèses simples de monotonie et de convexité. Mais le moment n'était déjà plus à verser le vin nouveau dans de vieilles outres. Dans tout cela, nous le savons aujourd'hui, c'est la notion de limite qui s'élaborait; et, si l'on peut extraire de Pascal, de Newton, d'autres encore, des énoncés qui semblent bien proches de nos definitions modernes, il n'est que de les replacer dans leur contexte pour apercevoir les obstacles invincibles qui s'opposaient à un exposé rigoureux. Lorsqu'à partir du XVIII" siècle des mathématiciens épris de clarté voulurent mettre quelque ordre dans l'amas confus de leurs richesses, de telles indications, rencontrées dans les écrits de leurs prédécesseurs, leur ont été précieuses; quand d'Alembert par exemple explique qu'il n'y a rien d'autre dans la différentiation que la notion de limite, et définit celle-ci avec précision (XXVI), on peut croire qu'il a été guidé par les considérations de Newton sur les (( premières et dernières raisons de quantités évanouissantes )) (XX). Mais, tant qu'il ne s'agit que du xvue siècle, il faut bien constater que la voie n'est ouverte à l'analyse moderne que lorsque Newton et Leibniz, tournant le dos au passé, acceptent de chercher provisoirement la justification des nouvelles méthodes, non dans des démonstrations rigoureuses, mais dans la fécondité et la cohérence des résultats. B) La cinématique. Déjà Archimède, on l'a vu, donnait une définition cinématique de sa spirale; et au moyen-âge se développe (mais sauf preuve du contraire, sans considérations infinitésimales) une théorie rudimentaire de la variation des grandeurs en fonction du temps, et de leur représentation graphique, dont on doit peut-être faire remonter l'origine à l'astronomie babylonienne. Mais il est de la plus grande importance pour la mathématique du xvne siècle que, dès l'abord, les problèmes de différentiation se soient présentés, non seulement à propos de tangentes, mais à propos de vitesses. Galilée pourtant ((III) et (III bis)), recherchant la loi des vitesses dans la chute des graves (après avoir obtenu la loi des espaces x = ut2, par l'expérience du plan incliné), ne procède pas par différentiation: il fait diverses hypothèses sur la vitesse, d'abord v = dxla't = cx ((III), t. VIII, p. 203), puis plus tard v = ct (id., p. 208)' et cherche à retrouver la loi des espaces en raisonnant, d'une manière assez obscure, sur le graphe de la vitesse en fonction du temps; Descartes (en 1618) raisonne de même, sur la loi v = ct, mais en vrai mathématicien et avec autant de clarté que le comporte le langage des indivisibles1 ((X), t. X, p. 75--78); chez tous deux, le graphe de la vitesse (en l'espèce une droite) joue le principal rôle et il y a lieu de se demander jusqu'à quel point ils ont eu conscience de la proportionnalité entre les espaces parcourus et les aires comprises entre l'axe des temps et la courbe des vitesses; mais il est difficile de rien affirmer sur ce point, bien que le langage de Descartes Descartes ajoute même un intéressant raisonnement géométrique par lequel il déduit la loi x = utz de l'hypothèse duldt = ct. En revanche, il est piquant, dix ans plus tard, de le voir s'embrouiller dans ses notes, et recopier à l'usage de Mersenne un raisonnement inexact sur la même

question, où le graphe de la vitesse en fonction du temps est confondu avec le graphe en fonction de l'espace parcouru ((X),t. 1, p. 71).

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semble impliquer la connaissance du fait en question (que certains historiens veulent faire remonter au moyen-âge1), tandis que Galilée n'y fait pas d'allusion nette. Barrow l'énonce explicitement en 1670 ((XVIII), p. 171); peut-être n'était-ce plus à cette époque une nouveauté pour personne, et Barrow ne la donne pas pour telle; mais, pas plus pour ce résultat que pour aucun autre, il ne convient de vouloir marquer une date avec trop de précision. Quant à l'hypothèse v = cx, envisagée aussi par Galilée, il se contente (loc. cd.) de démontrer qu'elle est insoutenable (ou, en langage moderne, que l'équation dxldt = cx n'a pas de solution # O qui s'annule pour t = O), par un raisonnement obscur que Fermat plus tard ((XI), t. II, p. 267-276) prend la peine de développer (et qui revient à peu près à dire que, 2x étant solution en même temps que x, x # O serait contraire à l'unicité physiquement évidente de la solution). Mais c'est cette même loi dxldt = cx qui, en 1614, sert à Neper à introduire ses logarithmes, dont il donne une définition cinématique (IV) qui, dans notre notation, s'écrirait comme suit: si, sur deux droites, deux mobiles se déplacent suivant les lois dxldt = a, dyldt = -ay/r, x, = 0, y, = r, alors on dit que x est le ( de y (en notation moderne, on a x = r log (rly)). O n a vu que la courbe solution de dyldx = c/x apparaît en 1639 chez Descartes, qui la décrit cinématiquement ((X), t. II, p. 514-51 7) ; il est vrai qu'il qualifiait assez dédaigneusement de <( mécaniques )) toutes les courbes non algébriques, et prétendait les exclure de la géométrie; mais heureusement ce tabou, contre lequel Leibniz, beaucoup plus tard, croit encore devoir protester vigoureusement, n'a pas été observé par les contemporains, ni par Descartes lui-même. La cycloïde, la spirale logarithmique apparaissent et sont étudiées avec ardeur, et leur étude aide puissamment à la compénétration des méthodes géométrique et cinématique. Le principe de composition des mouvements, et plus précisément de composition des vitesses, était à la base de la théorie du mouvement des projectiles exposée par Galilée dans le chefd'œuvre de sa vieillesse, les Discorsi de 1638 ((III), t. VIII, p. 268-313), théorie qui contient donc implicitement une nouvelle détermination de la tangente à la parabole; si Galilée n'en fait pas expressément la remarque, Torricelli au contraire ((VII) t. III, p. 103-159) insiste sur ce point, et fonde sur le même principe uneméthodegénérale de détermination des tangentes pour les courbes susceptibles d'une définition cinématique. Il est vrai qu'il avait été devancé en cela, de plusieurs années, par Roberval (VIII a), qui dit avoir été conduit à cette méthode par l'étude de la cycloïde; ce même problème de la tangente à la cycloïde donne d'ailleurs à Fermat l'occasion de démontrer la puissance de sa méthode de différentiation ((XI b), p. 162-1 65), tandis que Descartes, incapable d'y appliquer sa méthode algébrique, invente pour la circonstance le centre instantané de rotation ((X), t. II, p. 307-338). Mais, à mesure que le calcul infinitésimal se développe, la cinématique cesse H. WIELEITNER, Dcr t. 13 (1912), p. 115-145.

(1

Tractatus de Iatitudinibus formarum

D

des Oresme, Bibl. Mat. (III),

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d'être une science à part. O n s'aperçoit de plus en plus qu'en dépit de Descartes, les courbes et fonctions algébriques n'ont, du point de vue (( local O qui est celui du calcul infinitésimal, rien qui les distingue d'autres beaucoup plus générales; les fonctions et courbes à définition cinématique sont des fonctions et courbes comme les autres, accessibles aux mêmes méthodes; et la variable <( temps O n'est plus qu'un paramètre, dont l'aspect temporel est pure affaire de langage. Ainsi chez Huygens, même lorsqu'il s'agit de mécanique, c'est la géométrie qui domine (XVI b) ; et Leibniz ne donne au temps dans son calcul aucun rôle privilégié. Au contraire Barrow imagina de faire, de la variation simultanée de diverses grandeurs en fonction d'une variable indépendante universelle conçue comme un (); la possibilité que s'accorde Newton de changer au besoin de paramètre est présente également dans la méthode de Barrow, quoiqu'utilisée par celui-ci avec moins de ~ouplesse.~ Le langage des fluxions, adopté par Newton et imposé par son autorité aux mathématiciens anglais du siècle suivant, représente ainsi le dernier aboutissement, pour la période qui nous occupe, des méthodes cinématiques dont le rôle véritable était déjà terminé. C) La Géométrie algébrique. C'est là un thème parasite, étranger à notre sujet, qui s'introduit du fait que Descartes, par esprit de système, prétendit faire des -

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Sur les rapports de Barrow et de Newton, voir OSMOND, Isaac Barrow. His life and time,London, Correspondence of scient& men..., Oxford, 1841, vol. 1944. Dans une lettre de 1663 (cf. ST. P. RIGAUD, II, p. 32-33), Barrow parle de ses réflexions déjà anciennes sur la composition des mouvements, qui l'ont amené à un théorème très général sur les tangentes (si cYestceluidesLect.Geom., Lect. X((XVIII), p. 247), il est si général en effet qu'il comprend comme cas particulier tout ce qui avait été fait jusque-là sur ce sujet). D'autre part hTewtona été l'élève de Barrow en 1664 et 1665, mais dit avoir obtenu indépendamment sa règle pour déduire, d'une relation entre << fluentes s, une relation entre leurs
>>.

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courbes algébriques l'objet exclusif de la géométrie ((X), t. VI, p. 390); aussi est-ce une méthode de géométrie algébrique, et non comme Fermat une méthode de calcul différentiel, qu'il donne pour la détcrmination des tangentes. Les résultats légués par les anciens sur l'intci-section d'unc droite et d'une conique, les réflexions de Descartes lui-même sur I'interscction de deux coniques et les problèmcs qui s'y ramènent, devaicnt tout naturellement le conduire à l'idée de prendre pour critère de contact la coïncidence dc deux intersections: nous savons aujourd'hui qu'en géométric algébrique c'est là le critère correct, et d'une si grande généralité qu'il est indépendant du concept dc limite et de la nature du (( corps de base D. Dcscartcs l'applique d'abord d'une manière peu commode, en cherchant à faire coïncider en un point donné deux interscctions de la courbe étudiée et d'un cercle ayant son centre sur Ox ((X), t. VI, p. 413-424); ses disciples, van Scl-iooten, Hudde, substituent au cercle une droite, et obtiennent sous la forme -FY/FY la pente de la tangente à la courbe

les G polynômes dériv6 )) FX, F j étant définis par leur règle formelle dc formation ((X bis), t. 1, p. 147-344 et (XXII), p. 234-237) ; de Sluse arrive aussi à ce résultat vers la même époque ((XXII), p. 232-234). Bien entendu les distinctions tranchées que nous marquons ici, et qui seules donnent un sens à la controverse entre Descartes et Fermat, ne pouvaient en aucune façon exister dans l'esprit des mathématiciens du xvne siècle: nous nc lcs avons mentionnées que pour éclairer un des plus curieux épisodes de l'liistoirc qui nous occupe, et pour constater presque aussitôt après la complète éclipse des méthodes algébriques, provisoirement absorbées par les méthodes différentielles. 19) ClassiJication des problèmes. Ce thème, nous l'avons vu, semble abscnt de l'ccuvre d'Archimède, à qui il est assez indiflérent de résoudre un problème directement ou de le ramener à un problème déjà traité. Au xvlrC siècle, les problèmes de différentiation apparaissent d'abord sous trois aspects distincts: vitesses, tangentes, maxima ct minima. Quant à ces derniers, Képler (V) fait l'observation (qu'on trouve déjà chez Orrsmel, et qui n'avait pas échappé même aux astronomes babyloniens) que la variation d'unc fonction est particulièrement lente au voisinage d'un maximum. Fermat, dès avant 1630 ((XIb) ;cf. (XI), t. II, p. 7 1)' inaugure à propos de tels problèmcs sa méthode infinitésimale, qui en langage moderne revient en somme à rcchcrcher les deux premiers termes (le terme constant et le terme du premier ordre) du développement dc Taylor, et à écrire qu'en un extremum le second s'annule; il part de là pour étendre sa méthode à la détermination des tangentes, et l'applique mEme à la recherche des points d'inflcxion. Si on tient compte de ce qui a été dit plus haut à propos de cinématique, on voit que l'unification des trois types de problèmes relatifs à la dérivée

* H. WIPLEITNER, Der (iTractatus de latitudinibus formarum des Oresme, Bibl. Mat. (III), t. 13 (1912), p. 115-145, en particulier p. 141.

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première a été réalisée d'assez bonne heure. Quant aux problèmes relatifs à la dérivée seconde, ils n'apparaissent que fort tard, et surtout avec les travaux de Huygens sur la développée d'une courbe (publiés en 1673 dans son Horologium Oscillatorium (XVI 6 ) ) ; à ce moment, Newton, avec ses fluxions, était déjà en possession de tous les moyens analytiques nécessaires pour résoudre de tels problèmes; et, malgré tout le talent géométrique qu'y dépense Huygens (et dont plus tard la géométrie différentielle à ses débuts devait profiter), ils n'ont guère servi à autre chose, pour la période qui nous occupe, qu'à permettre à la nouvelle analyse de constater la puissance de ses moyens. Pour l'intégration, elle était apparue aux Grecs comme calcul d'aires, de volumes, de moments, comme calcut de lx longueur du cercleet d'aires de segments sphériques; à quoi le xvnesiècle ajoute la rectification des courbes, le calcul de l'aire des surfaces de révolution, et (avec les travaux de Huygens sur le pendule composé (XVI 6)) le calcul des moments d'inertie. Il s'agissait d'abord de reconnaître le lien entre tous ces problèmes. Pour les aires et les volumes, ce premier et immense pas en avant est fait par Cavalieri, dans sa Géométrie des indivisibles (VI a). Il y énonce, et prétend démontrer, à peu près le principe suivant: si deux aires planes sont telles que toute parallèle à une direction donnée les coupe suivant des segments dont les longueurs sont dans un rapport constant, alors ces aires sont dans le même rapport; un principe analogue est posé pour les volumes coupés par les plans parallèles à un plan fixe suivant des aires dont les mesures soient dans un rapport constant. Il est vraisemblable que ces principes ont été suggérés à Cavalieri par des théorèmes tels que celui d'Euclide (ou plutôt d'Eudoxe) sur le rapport des volumes des pyramides de même Ilauteur, et qu'avant de les poser d'une manière générale, il en a d'abord vérifié la validité sur un grand nombre d'exemples pris dans Archimède. Ils les_((justifie a par Yemplei d'un Tangage, iÜr la Ggitimité-du&;l on le voit interroger Galilée dans une lettre de 1621, alors qu'en 1622 déjà il l'emploie sans hésitation ((III), t. XIII, p. 81 et 86) et dont voici l'essentiel. Soient par exemple deux aires, -

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-

n -1

les sommes d'ordonnées

n-1

f(knln), k=O

2 g(ka/n)

sont l'une à l'autre dans un

k=O

rapport qui, pour n assez grand, est aussi voisin qu'on veut du rapport des deux aires, et il ne serait même pas difficile de le démontrer par exhaustion pour f et g monotones; Cavalieri passe à la limite, fait n = CO, et parle de <( la somme de toutes les ordonnées D de la première courbe, qui est à la somme analogue pour la deuxième courbe dans un rapport rigoureusement égal au rapport des aires; de même pour les volumes; et ce langage est ensuite universellement adopté, même par les auteurs, comme Fermat, qui ont le plus nettement conscience des faits précis qu'il recouvre. Il est vrai que par la suite beaucoup de mathématiciens, tels Roberval (VI-II a) et Pascal [XR bj, préf&rentvoir; dansce~ordonnées

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de la courbe dont on fait la G somme D, non des segments de droite comme Cavalieri, mais des rectangles de même hauteur infiniment petite, ce qui n'est pas un grand progrès du point de vue de la rigueur (quoi qu'en dise Roberval), mais empêche peut-être l'imagination de dérailler trop facilement. En tout cas, et comme il ne s'agit que de rapports, l'expression < de la courbe, est en définitive, comme il apparaît bien par exemple dans les écrits de Pascal, l'équivalent exact du J"zj dx leibnizien. Du langage adopté par Cavalieri, les principes énoncés plus haut s'ensuivent inévitablement, et entraînent aussitôt des conséquences que nous allons énoncer en notation moderne, étant entendu que J"f dx y signifiera seulement l'aire comprise entre Ox et la courbe y = f (x). Tout d'abord, toute aire plane, coupée par chaque droite x = constante suivant des segments dont la somme des longueurs est f (x), est égale à J"f dx; et il en est de même de tout volume coupé par chaque dx dépend plan x = constante suivant une aire de mesure f(x). De plus, J"f linéairement de f; on a J" (f + g) dx = J"f dx + Jg dx, J"cfdx = c J"f dx. En particulier, tous les problèmes d'aires et de volumes sont ramenés aux quadratures, c'est-à-dire à des calculs d'aires de la forme J"f dx; et, ce qui est peut-être encore plus nouveau et important, on doit considérer comme équivalents deux problèmes dépendant de la même quadrature, et on a le moyen dans chaque cas de décider s'il en est ainsi. Les mathématiciens grecs n'ont jamais atteint (ou peut-être n'ont jamais consenti à atteindre) un tel degré d ' abstraction ~ )>. Ainsi ((VI), p. 133) Cavalieri G démontre 1) sans aucune peine que deux volumes semblables sont entre eux dans un rapport égal au cube du rapport de similitude, alors qu'Archimède n'énonce cette conclusion, pour les quadriques de révolution et leurs segments, qu'au terme de sa théorie de ces solides ((II), t. 1,p. 258). Mais pour en arriver là il a fallu jeter la rigueur archimédienne par-dessus bord. On avait donc là le moyen de classifier les problèmes, provisoirement du moins, suivant le degré de difficulté réel ou apparent que présentaient les quadratures dont ils relevaient. C'est à quoi l'algèbre de l'époque a servi de modèle : car en algèbre aussi, et dans les problèmes algébriques qui se posent en géométrie, alors que les Grecs ne s'étaient intéressés qu'aux solutions, les algébristes du XVI" et du XVIP siècle ont commencé à porter principalement leur attention sur la classification des problèmes suivant la nature des moyens qui peuvent servir à les résoudre, préludant ainsi à la théorie moderne des extensions algébriques; et ils n'avaient pas seulement procédé à une première classification des problèmes suivant le degré de l'équation dont ils dépendent, mais ils s'étaient déjà posé de difficiles questions de possibilité: possibilité de résoudre toute équation par radicaux (à laquelle beaucoup ne croyaient plus), etc. (voir Note historique du Livre II, chap. V) ; ils s'étaient préoccupés aussi de ramener à une forme géométrique type tous les problèmes d'un degré donné. De même en Calcul intégral,

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les principes de Cavalieri le mettent à même de reconnaître aussitôt que beaucoup des problèmes résolus par Archimède se ramènent à des quadratures J x n dx pour n = 1,2, 3; et il imagine une ingénieuse méthode pour effectuer cette quadrature pour autant de valeurs de n qu'on veut (la méthode revient à observer qu'on a xn dx = cnan l par homogénéité, et à écrire

Jia

+

d'où, en développant, une relation de récurrence pour les c,) ((VI a), p. 159 et (VI b), p. 269-273). Mais déjà Fermat était parvenu beaucoup plus loin, en pour n entier positif n+l ((XI), t. II, p. 83), au moyen d'une formule pour les sommes de puissances des N premiers entiers (procédé imité de la quadrature de la spirale par Archimède), puis en étendant la même formule à tout n rationnel # - 1 ((XI), t. 1, p. 195198); de ce dernier résultat (communiqué à Cavalieri en 1644) il ne rédige une démonstration que fort tard, à la suite de la lecture des écrits de Pascal sur l'intégrationl (XI c). Ces résultats, joints à des considérations géométriques qui tiennent lieu du changement de variables et de l'intégration par parties, permettent déjà de résoudre un grand nombre de problèmes qui se ramènent aux quadratures élémentaires. Au delà, on rencontre d'abord la quadrature du cercle et celle de l'hyperbole: comme c'est surtout d'<)des quadratures en question, c'est-à-dire du caractère non algébrique des fonctions qu'elles définissent; et en même temps, on s'accoutume à considérer qu'un problème est résolu pour autant que sa nature le comporte, lorsqu'il a été ramené démontrant d'abord (avant 1636) que

* Il est remarquable que Fermat, si scrupuleux, utilise l'additivité de l'intégrale, sans un mot pour la justifier, dans !es applications qu'il donne de ses résultats généraux: se base-t-il sur la monotonie par morceaux, implicitement admise, des fonctions qu'il étudie, moyennant laquelle il n'est pas difficile en effet de justifier I'additivité par exhaustion? ou bien est-il déjà, en dépit de lui-même entraîné par le langage dont il se sert?

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à l'une de ces quadratures O impossibles o. C'est le cas par exemple des problèmes sur la cycloïde, résolus par les fonctions circulaires, et de la rectification de la parabole, ramenée à la quadrature de l'hyperbole. Les problèmes de rectification, dont nous venons de citer deux des plus fameux, ont eu une importance particulière, comme formant une transition géométrique naturelle entre la différentiation, qu'ils présupposent, et l'intégration dont ils relèvent; on peut leur associer les problèmes sur l'aire des surfaces de révolution. Les anciens n'avaient traité que le cas du cercle et de la sphère. Au X V I I ~siècle, ces questions n'apparaissent que fort tard; il semble que la difficulté, insurmontable pour l'époque, de la rectification de l'ellipse (considérée comme la courbe la plus simple après le cercle) ait découragé les efforts. Les méthodes cinématiques donnent quelque accès à ces problèmes, ce qui permet à Roberval (VI11 b) et Torricelli ((VII), t. III, p. 103-159), entre 1640 et 1645, d'obtenir des résultats sur l'arc des spirales; mais c'est seulement dans les années qui précèdent 1660 qu'ils passent à l'ordre du jour; la cycloïde est rectifiée par Wren en 1658 ((XV), t. 1, p. 533-541); peu après la courbe y3 = ax2 l'est par divers auteurs ((XV), t. 1, p. 551-553; ( X bis), p. 517-520; (XI d)), et plusieurs auteurs aussi ((XI), t. 1, p. 199; (XVI), t. II, p. 224) ramènent la rectification de la parabole à la quadrature de l'hyperbole (c'est-à-dire à une fonction algébricologarithmique). Ce dernier exemple est le plus important, car c'est un cas particulier du principe général d'après lequel la rectification d'une courbe y = f (x) (f'(~))~ et; c'est bien de n'est pas autre chose que la quadrature de y = 4 1 ce principe que Heurat le déduit. 11 n'est pas moins intéressant de suivre les tâtonnements de Fermat vieillissant, dans son travail sur la courbe y3 = ax2 (XI d ) ; à la courbe y = f (x) d'arc s = g(x), il associe la courbe y = g(x), et détermine la tangente à celle-ci à partir de la tangente à la première (en langage moderne, il démontre que leurs pentes f '(x), g'(x) sont liées par la relation

+

=

(d(4)2= + (f'(~))~); on se croit tout près de Barrow, et il n'y aurait qu'à combiner ce résultat avec celui de Heurat (ce que fait à peu près Gregory en 1668 ((XVII bis), p. 488491)) pour obtenir la relation entre tangentes et quadratures; mais Fermat énonce seulement que si, pour deux courbes rapportées chacune à un système d'axes rectangulaires, les tangentes aux points de même abscisse ont toujours même pente, les courbes sont égales, ou autrement dit que la connaissance de f'(x) déterminef (x) (à une constante près) ; et il ne justifie cette assertion que par un raisonnement obscur sans aucune valeur probante. Moins de dix ans plus tard, les Lectiones Geometricae de Barrow (XVIII) avaient paru. Dès le début (Lect. 1),il pose en principe que, dans un mouvement rectiligne, les espaces sont proportionnels aux aires u dt comprises entre l'axe des temps et la courbe des vitesses. O n croirait qu'il va déduire de là, et de sa méthode cinématique déjà citée sur la détermination des tangentes, le lien entre

J":

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NOTE HISTORIQUE

la dérivée conçue comme pente de la tangente, et l'intégrale conçue comme aire; mais il n'en est rien, et il démontre plus loin, d'une manière purement géométrique ((XVIII), Lect. X, $ 11, p. 243) que, si deux courbes y = f (x), + Y = F(x) sont telles que les ordonnées Y soient proportionnelles aux aires :J" y dx

"

(c'est-à-dire si c.F(x) = f (x) dx), alors la tangente à Y = F(x) coupe Ox au point d'abscisse x - T déterminée par y/Y = c/T; la démonstration est d'ailleurs parfaitement précise, à partir de l'hypothèse explicite que f (x) est monotone, et il est dit que le sens de variation de f ( x ) détermine le sens de la concavité de Y = F(x). Mais on notera que ce théorème se perd quelque peu parmi une foule d'autres, dont beaucoup fort intéressants; le lecteur non prévenu est tenté de n'y voir qu'un moyen de résoudre par quadrature le problème Y/T = f(x)/c, c'est-à-dire un certain problème de détermination d'une courbe à partir de données sur sa tangente (ou, comme nous dirions, une équation différentielle d'un genre particulier); et cela d'autant plus que les applications qu'en donne Barrow concernent avant tout des problèmes du même genre (c'est-à-dire des équations différentielles intégrables par (( séparation des variables )>).Le langage géométrique que s'impose Barrow est ici cause que le lien entre différentiation et intégration, si clair tant qu'il s'agissait de cinématique, est quelque peu obscurci. D'autre part, diverses méthodes avaient pris forme, pour ramener les problèmes d'intégration les uns aux autres, et les (> déjà classés. Sous sa forme géométrique la plus simple, l'intégration par parties consiste à écrire l'aire comprise entre Ox, Oy, et un arc de courbe monotone y = f (x) joignant un point (a, O) de Ox à un point (O, 6) de Oy comme j,"y dx = x dy; et elle est fréquemment utilisée d'une manière implicite. Chez Pascal ((XII c), p. 287-288) apparaît la généralisation suivante, déjà beaucoup plus cachée :J(x) étant comme ci-dessus, soit g (x) une fonction 3 0, et soit G(x) = J," g(x) dx; alors on a J," yg(x) dx = G ( x )dy, ce qu'il démontre ingénieusement en évaluant de deux manières le volume du solide O < x < a,

Si

1:

0 6y

< f (x), 0 6

%ni-i

z 6 g(x) ;le cas particulier g(x) = xn, G(x) =

-joue un +

rôle important, a la fois chez Pascal (loc. cit., p. 289-291) et chez Fermat ((XI), t. 1, p. 271) ; ce dernier (dont le travail porte le titre significatif de << Transmutation et émendation des équations des courbes, et ses applications variées à la comparaison des espaces curuilignes entre eux et avec les espaces rectilignes.. . ))) ne le démontre pas, sans doute parce qu'il juge inutile de répéter ce que Pascal venait de publier. Ces théorèmes de << transmutation r), où nous verrions une combinaison d'intégration par parties et de changement de variables, tiennent lieu en quelque mesure de celui-ci, qui ne s'introduit que fort tard; il est en effet contraire au mode de pensée, encore trop géométrique et trop peu analytique, de l'époque, de se permettre l'usage de variables autres que celles qu'impose la figure, c'est-à-dire l'une ou l'autre des coordonnées (ou parfois des coordonnées polaires), puis l'arc de la courbe. C'est

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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

ainsi que nous trouvons chez Pascal (XII d) des résultats qui, en notation moderne, s'écrivent, en posant x = cos t, y = sin t, et pour des fonctions f(n) particulières :

et, chez J. Gregory ((XVIH bis), p. 489), pour une courbe y = f (x) et son arc s, f y d~ = z dx, avec z = y2/1 + yr2. C'est seulement en 1669 que nous voyons Barrow en possession du théorème général de changement de variables ((XVIII), p. 298-299); son énoncé, géométrique comme toujours, revient à ce qui suit: soient x et y reliés par une relation monotone, et soit p la pente du graphe de cette relation au point (x, y); alors, si les fonctions f (x), g(y) sont telles qu'on ait f (x)/g(y) = p pour tout couple de valeurs (x, y) correspondantes, les aires Jf(x) dx, jg(y)dy, prises entre limites correspondantes, sont égales; et réciproquement, si ces aires sont toujours égales (f et g étant implicitement supposées de signe constant), on a p = f (x)/g(y); la réciproque sert naturellement à appliquer le théorème à la résolution d'équations différentielles (par G séparation des variables D).Mais le théorème n'est inséré par Barrow que dans un appendice (Lect. XII, app. III, theor. IV), où, en faisant observer que beaucoup de ses résultats précédents n'en sont que des cas particuliers, il s'excuse de l'avoir découvert trop tard pour en faire plus d'usage. Donc, vers 1670, la situation est la suivante. O n sait traiter, par des procédés uniformes, les problèmes qui relèvent de la dérivée première, et Huygens a abordé des questions géométriques qui relèvent de la dérivée seconde. O n sait ramener tous les problèmes d'intégration aux quadratures; on est en possession de techniques variées, d'aspect géométrique, pour ramener des quadratures les unes aux autres, dans des cas mal classifiés, et on s'est habitué, de ce point de vue, au maniement des fonctions circulaires et logarithmique; on a pris conscience du lien entre différentiation et intégration; on a commencé à aborder la G méthode inverse des tangentes w, nom donné à cette époque aux problèmes qui se ramènent aux équations différentielles du premier ordre. La découverte sensa-

1

m

tionnelle de la série log (1

+ x)

= -

(-x)"/n par Mercator vient d'ouvrir

des perspectives toutes nouvelles sur l'application des séries, et principalement des séries de puissances, aux problèmes dits <( impossibles o. En revanche les rangs des mathématiciens se sont singulièrement éclaircis: Barrow a quitté la chaire du professeur pour celle du prédicateur; Huygens mis à part (qui a presque toute son œuvre mathématique derrière lui, ayant obtenu déjà tous les principaux résultats de 1'Horologium Oscillatorium qu'il se dispose à rédiger définitivement), ne sont actifs que Newton à Cambridge, et J. Gregory isolé à Aberdeen, auxquels Leibniz s'adjoindra bientôt avec une ardeur de néophyte. Tous trois, Newton à partir de 1665 déjà, J. Gregory à partir de la publication de Mercator en 1668,

NOTE HISTORIQUE

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Leibniz à partir de 1673 environ, se consacrent principalement au sujet d'actualité, l'étude des séries de puissances. Mais, du point de vue de la classiiication des problèmes, le principal effet des nouvelles méthodes semble être d'oblitérer entre eux toute distinction; et en effet Newton, plus analyste qu'algébriste, n'hésite pas à annoncer à Leibniz en 1676 ((XXII), p. 224) qu'il sait résoudre toutes les équations différentielles1; à quoi Leibniz répond ((XXII), p. 248-249) qu'il s'agit au contraire d'obtenir la solution en termes finis chaque fois qu'il se peut {( en supposant les quadratures r), et aussi de savoir si toute quadrature peut se ramener à celles du cercle et de l'hyperbole comme cela a été constaté dans la plupart des cas déjà étudiés; il rappelle à ce propos que Gregory croyait (avec raison, nous le savons aujourd'hui) la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole irréductibles aux quadratures du cercle et de l'hyperbole; et Leibniz demande jusqu'à quel point la méthode des séries, telle que Newton l'emploie, peut donner la réponse à ces q~iestions.Newton, de son côté ((XXII), p. 209-21 1)' se déclare en possession de critères, qu'il n'indique pas, pour décider, apparemment par l'examen des séries, de la O possibilité de certaines quadratures (en termes finis), et donne en exemple une série (fort intéressante) pour l'intégrale Jxa(l + x)D dx. O n voit l'immense progrès rCalisé en moins de dix ans: les questions de classification se posent déjà dans ces lettres en termes tout modernes; si l'une de celles que soulève Leibniz a été résolue au xrxe siècle par la théorie des intégrales abéliennes, l'autre, sur la possibilité de ramener aux quadratures une équation différentielle donnée, est encore ouverte malgré d'importants travaux récents. S'il en est ainsi, c'est que déjà Newton et Leibniz, chacun pour son propre compte, ont réduit à un algorithme les opérations fondamentales du calcul infinitésimal; il suffit d'écrire, dans les notations dont se sert l'un ou l'autre, un problème de quadrature ou d'équation différentielle, pour que sa structure algébrique apparaisse aussitôt, dégagée de sa gangue géométrique; les méthodes de (( transmutation D aussi s'écrivent en termes analytiques simples; les problèmes de classification se posent de façon précise. Mathématiquement parlant, le xme siècle a pris fin. E) Interpolation et calcul des dzférences. Ge thème (dont nous ne séparons pas l'étude des coe$cients du bin6me) apparaît de bonne heure et se continue à travers tout le siècle, pour des raisons à la fois théoriques et pratiques. L'une des grandes tâches de l'époque est en effet le calcul des tables trigonométriques, logarithmiques, nautiques, rendues nécessaires par les rapides progrès de la géographie, de la navigation, de l'astronomie théorique et pratique, de la physique, de la mécanique céleste; et beaucoup de mathématiciens les plus éminents, de Képler à Huygens et Newton, y participent, soit directement, soit par la recherche théorique des procédés d'approximation les plus efficaces. Au cours de cet échange de lettres, qui ne se fait pas directement entre les intéressés mais officiellement par l'intermédiaire du secrétaire de la Royal Society, Newton a prend date a en énonçant sa méthode comme suit: 5accdae IOeffh 12i... rrrsssssttuu, anagramme où se trouve renfermée la méthode de résolution par une série de puissances à coefficients indéterminés ((XXII), p. 224).

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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

L'un des premiers problèmes, dans l'usage et même la confection des tables, est celui de l'interpolation; et, à mesure que s'accroit la précision des calculs, on s'aperçoit au X V I I ~siècle que l'antique procédé de l'interpolation linéaire perd sa validité dès que les différences premières (différences entre les valeurs successives figurant dans la table) cessent d'être sensiblement constantes; aussi voit-on Briggs par exemple1 faire usage de difîérences d'ordre supérieur, et même d'ordre assez élevé, dans le calcul des logarithmes. Plus tard, nous voyons Newton ((XIX d) et (XX), livre III, lemme 5) et J. Gregory ((XVII bis), p. 119-120), chacun de son côté, poursuivre parallklement des recherches sur l'interpolation et sur les séries de puissances; l'un et I'autre aboutit, par des méthodes d'ailleurs différentes, d'une part à la formule d'interpolation par polynômes, dite G de Newton D, et de l'autre à la série du binôme ((XVII bis), p. 131; (XXII), p. 180) et aux principaux développements en séries de puissances de l'analyse classique ((XVII bis) ; (XIX a et d) et (XXII), p. 179-192 et 203-225); il n'est guère douteux que ces deux ordres de recherches n'aient réagi l'un sur l'autre, et n'aient été intimement liés aussi dans l'esprit de Newton à la découverte des principes du calcul infinitesimal. Chez Gregory comme chez Newton se fait jour un grand souci de la pratique numérique, de la construction et de l'usage des tables, du calcul numérique des séries et des intégrales; en particulier, bien qu'on ne trouve chez eux aucune démonstration soignée de convergence, dans le genre de celle de Lord Brouncker citée plus haut, tous deux font constamment mcntion de la convergence de leurs séries du point de vue pratique de leur aptitude au calcul. C'est ainsi encore que nous voyons Newton, en réponse à une question posée par Collins pour des fins N

pratiques3, appliquer au calcul approché de

2 -, -t.1 p in

pour de grandes valeurs

de N, la méthode de sommation dite d'Euler-Maclaurin. O n recontre aussi de bonne heure le calcul des valeurs d'une fonction à partir de leurs différences, employé comme procédé pratique d'intégration, et même, peut-on dire, d'intégration d'équation différentielle. Ainsi Wright, en 1599, ayant à résoudre en vue de tables nautiques un problème que nous noterions 1 dx - sec t = -Y dt cos t procède par addition des valeurs de sec t, par intervalles successifs d'une seconde d'arc4, obtenant naturellement à peu de chose près une table des valeurs de log tg (n/4 + t/2); et cette coïncidcncc, observée dès le calcul des premières tables de log tg t, demeura inexpliqués jusqu'à l'intégration de sec t par Gregory en 1668 ((XVJI c) et (XVII bis) p. 7 et 463). EI. BRIGGS, Aritlzmetica lo,narithmica, London, 1624, chap. XIII. Voir aussi D. C. FRASER, Newton's Interpolation Formulas, Joutn. Insl. Actuaries, t. 51 (1919), p. 77-106 et p. 21 1-232, ct t .59 (1927), p. 53-95 (articles réimprimés en plaqueite, London (sans date)). Cf. ST. P. RIGAUD, Corresjondence of scientiJic men... Oxford, 1841, t. II, p. 309-310. ED. WRIGIIT, Table of Latitudes, 1599 (cf. Nufier Mernorial Volurne, 1914, p. 97). 1

2

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NOTE HISTORIQUE

Mais ces questions ont aussi un aspect purement théorique et même arithmétique. Convenons de noter par Arx, les suites de différences successives d'une suite (x,),,,, définies par récurrence au moyen de Ax, = x,,, - x,,

et de noter par Sr l'opération inverse de A et ses itérées, en posant donc y, = Sx, si n-r

y.

=

O, ~ y = , x,, et srxn = s(s'-lx,);

B(";!;'),

on a Srxn = p = o

en

particulier, si x, = 1 pour tout n, on a Sx, = n, les suites S2x, et S3xnsont celles des nombres <( triangulaires )) et c< pyramidaux v étudiés déjà par les arithméticiens grecs, et on a en général Srx, =

i:)

pour n 2 r (et Srx,

=

O pour n < r); ces

suites s'étaient introduites, de ce point de vue, en tout cas dès le xvre siècle; elles apparaissent d'elles-mêmes aussi dans les problèmes combinatoires, qui, soit par eux-mêmes, soit à propos de probabilités, ont joué un assez grand rôle dans les mathématiques du XVII" siècle, par exemple chez Fermat et Pascal, puis chez Leibniz. Elles se présentent aussi dans l'expression de la somme des m-èmes puissances des N premiers entiers, dont le calcul, comme nous l'avons vu, est à la base de l'intégration de l x mdx pour m entier, par la première méthode de Fermat ((XI), t. II, p. 83). C'est ainsi que procède aussi Wallis en 1655 dans son Arithmetica Inznitorum (XV a) sans connaître les travaux (non publiés) de Fermat, et sans connaître non plus, dit-il, la méthode des indivisibles autrement que par la lecture de Torricelli; il est vrai que Wallis, pressé d'aboutir, ne s'attarde pas à une recherche minutieuse: une fois le résultat atteint pour les premières valeurs entières de m, il le pose vrai > I(m, n) = (1 - xl'm)ndx (dont la valeur, pour m et n > O est I'(m + l)I'(n + l)/I'(m + n + 1)) et autres semblables, dresse, pour m et n entiers, le tableau des valeurs de l/I(m, n) qui n'e'st autre que celui des entiers

JO

(m

n), et, par des méthodes presque identiques à celles qu'on emploie

aujourd'hui pour exposer la théorie de la fonction I', aboutit au produit infini il n'est pas difficile d'ailleurs de rendre sa pour I(3, 2) = 7cI4 = méthode correcte au moyen d'intégrations par parties et de changements de variables très simples, et de la considération de I(m, n) pour toutes les valeurs réelles de m et n, ce à quoi il ne pouvait guère songer, mais que l'analyse newtonienne allait bientôt rendre possible. C'est en tout cas l'cc interpolation )> cffectuke par Wallis des entiers

+

( n )

à des valeurs non entières de rn (plus

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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

précisément aux valeurs de la forme n = p/2, avec p entier impair) qui sert de point de départ à Newton débutant ((XXII), p. 204-206)' l'amenant, d'abord par l'étude du cas particulier (1 - x2)pI2, à la série du binôme, puis de là à I'introduction de xa (ainsi noté) pour tout a réel, et à la différentiation de xa au moyen de la série du binôme; tout cela sans grand effort pour obtenir des démonstrations ni même des définitions rigoureuses; de plus, innovation remarquable, c'est de la connaissance de la dérivée de xa qu'il déduit jxa dx pour a # - 1 ((XIX a) et (XXII), p. 225). Du reste, et bien qu'il ait été bientôt en possession de méthodes beaucoup plus générales de développement en série de pissances, telles la méthode dite du polygone de Newton (pour les fonctions algébriques) ((XXII), p. 221) et celle des coefficients indéterminés, il revient maintes fois par la suite, avec une sorte de prédilection, à la série du binôme et à ses généralisations; et c'est de là, par exemple, qu'il semble avoir tiré le développement de xa(l + x)xd" dont il a été question plus haut ((XXII), p. 209). L'évolution des idées sur le continent, cependant, est fort différente, et beaucoup plus abstraite. Pascal s'était rencontré avec Fermat dans l'étude des coefficients du binôme (dont il forme ce qu'il nomme le Q triangle arithmétique )>)et leur emploi en calcul des probabilités et en calcul des différences; lorsqu'il aborde l'intégration, il y introduit les mêmes idées. Comme ses prédécesseurs, quand il emploie le langage des indivisibles, il conçoit l'intégrale F(x) = :f f(x) dx comme valeur du rapport de la <( somme de toutes les ordonnées de la courbe n

1

à l'a unité r N

=

O
1 pour N = m ((XII b), p. 352-355) (ou, lorsqu'il

abandonne ce langage pour le langage correct par exhaustion, comme limite de ce rapport pour N augmentant indéfiniment). Mais, ayant en vue des problèmes de moments, il observe que, lorsqu'il s'agit de masses discrètes yi réparties à intervalles équidistants, le calcul de la masse totale revient à l'opération Sy, définie plus haut, et le calcul du moment à l'opération S2yn;et, par analogie, il itère l'opération pour former ce qu'il nomme les a sommes triangulaires des ordonnées O, donc, dans notre langage, les limites des sommes N-2S2(f ( n / N ) ) , c'est-à-dire les intégrales F,(x) = F(x) dx; une nouvelle itération lui donne les

1

fz

1:

<< sommes pyramidales F3(x) = F2(x) dx, limites de N-3S3(f (n/N)); le contexte marque d'ailleurs suffisamment que, s'il s'arrête là, ce n'est pas par défaut de généralité dans sa pensée ni dans son langage, mais seulement parce qu'il ne compte se servir que de celles-là, dont l'emploi systématique est à la base d'une bonne partie de ses résultats, et dont il démontre aussitôt les propriétés que nous (x - u) f (u) du, F3(x) = f (X - U) Y(u) du ((XII b), écririons F2(x) = p. 361-367); tout cela sans écrire une seule formule, mais dans un langage si

1;

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NOTE HISTORIQUE

transparent et si précis qu'on peut immédiatement le transcrire en formules comme il vient d'être fait. Chez Pascal comme chez ses prédécesseurs, mais d'une manière beaucoup plus nette et systématique, le choix de la variable indépendante (qui est toujours l'une des coordonnées, ou bien l'arc sur la courbe) est implicite dans la convention qui fixe les points de subdivision équidistants (bien qu'c( infiniment voisins w) de l'intervalle d'intégration; ces points, suivant le cas, sont, soit sur Ox, soit sur Oy, soit sur l'arc de courbe, et Pascal prend soin de ne jamais laisser subsister aucune ambiguïté à ce sujet ((XII b), p. 368-369). Lorsqu'il a à c h a ~ g e de r variable, il le fait au moyen d'un principe qui revient à dire que l'aire J" f (x) dx peut s'écrire S (f (xi) Ax,) pour toute subdivision de l'intervalle d'intégration en intervalles infiniment petits Axi, égaux ou non ((XII d), p. 61-68). Comme on voit, on est déjà tout près de Leibniz; et c'est, peut-on dire, un hasard heureux que celui-ci, lorsqu'il voulut s'initier aux mathématiques modernes, ait rencontré Huygens, qui lui mit aussitôt les écrits de Pascal entre les mains ((XXII), p. 407-408) ;il y était particulièrement préparé par ses réflexions sur l'analyse combinatoire, et nous savons qu'il en fit une étude approfondie, qui se réflète dans son œuvre. En 1675, nous le voyons transcrire le théorème de Pascal cité ci-dessus, sous la forme omn(xw) = x.omn w - omn(omn a), où omn w est une abréviation pour l'intégrale de w prise de O à x, à laquelle Leibniz, quelques jours plus tard, substitue J" w (initiale de (( summa omnium w n) en même temps qu'il introduit d pour la (( différence )) infiniment petite, ou, comme il dira bientôt, la différentielle ((XXII),p. 147-167). Concevant ces (( différences >> comme des grandeurs comparables entre elles mais non aux grandeurs finies, il prend d'ailleurs le plus souvent, explicitement ou non, la différentielle dx de la variable indépendante x comme unité, dx = 1 (ce qui revient à identifier la différentielle dy avec la dérivée dyldx), et au début l'omet de sa notation de l'intégrale, qui apparaît donc comme plutôt que comme dx; mais il ne tarde guère à introduire celle-ci, et s'y tient systématiquement une fois qu'il en aperçoit le caractère invariant par rapport au choix de la variable indépendante, qui dispense d'avoir ce choix constamment présent à l'esprit1; et il ne marque pas peu de satisfaction, lorsqu'il revient à l'étude de Barrow qu'il avait jusque-là nCgligé, en constantant que le théorème général de changement de variable, dont Barrow faisait si grand cas, découle immédiatement de sa propre notation ((XXII), p. 412). En tout ceci du reste, il se tient très près du calcul des différences, dont son calcul différentiel se déduit par un passage à la limite que bien entendu il serait fort en peine de justifier rigoureusement; et par la suite il insiste volontiers sur le fait que ses principes s'appliquent indifféremment à l'un et à l'autre. Il cite

ly

Iy

* a J'avertis qu'on prenne garde de ne pas omettre dx.. .faute fréquemment commise, et qui empêche d'aller de l'avant, du fait qu'on ôte par là à ces indivisibles, comme ici dx, leur généralité.. . dc laquelle naissent d'innombrables transJigurations et équipollences dejgures. D ( ( X X I b ) , p. 233).

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expressément Pascal, par exemple, lorsque dans sa correspondance avec Johann Bernoulli ((XXI), t. III, p. 156), se référant à ses premières recherches, il donne une formule de calcul des différences qui est un cas particulier de celle de Newton,

1 m

dny xn ( - 1)" - - (où y est dxn'n! une fonction s'annulant pour x = O, et les dny/dxnsont ses dérivées pour la valeur x de la variable), formule équivalente à une semblable que vient de lui communiquer Bernoulli ((XXI), t. III, p. 150) et (XXIV), t. 1, p. 125-128), et que celui-ci démontre par intégrations par parties successives. Cette formule, comme on voit, est très voisine de la série de Taylor; et c'est le raisonnement même de Leibniz, par passage à la limite à partir du calcul des diflérences, que Taylor retrouvc en 1715 pour obtenir (( sa série1, sans d'ailleurs faire de celle-ci grand usage. F) O n aura déjà aperçu, implicite dans l'évolution décrite plus haut, l'algébrisation progressive de l'analyse infinitésimale, c'est-à-dire sa réduction à un calcul opérationnel muni d'un système de notations uniforme de caractère algébrique. Comme Leibniz l'a maintes fois indiqué avec une parfaite netteté ((XXI b) p. 230-233), il s'agissait de faire pour la nouvellc analyse ce que Viète avait fait pour la théorie des équations, et Descartes pour la géométrie. Pour en comprendre la nécessité, il n'est que de lire quelques pages de Barrow; à aucun moment on ne peut se passer d'avoir sous les yeux une figure parfois compliquée, décrite au préalable avec un soin minutieux; il ne faut pas moins de 180 figures pour les 100 pages (Lcct. V-XII) qui forment l'essentiel de l'ouvrage. Il ne pouvait guère êtrc question d'algébrisation, il est vrai, avant que quelque unit6 ne fût apparue à travers la multiplicité des apparences géométriques. Cependant Grégoire de St. Vincent (IX) déjà introduit (sous le nom de ductus plani in planum O) une sorte dc loi de composition qui revient à l'emploi systématique d'intégrales f (x)g(x) dx considérées comme volumes de solides a < x < b, O < y < f (x), O 6 z < g(x) ; mais il est loin d'en tirer les conséquences que plus tard Pascal déduit, comme: on a vu, de l'étude du même solide. Wallis en 1655, et Pascal en 1658, se forgent, chacun à son usage, des langages de caractère algébrique, dans lesquels, sans écrire aucune formule, ils rédigent des énoncés qu'on peut immédiatement transcrire en formules de calcul intégral dès qu'on en a compris le mécanisme. Le langage de Pascal est particulierement clair et précis; et, si l'on ne comprend pas pourquoi il s'est refusé l'usage des et en déduit par G passage à la limite ii la formule y

=

)>

<(

B. TAYLOR, Methodm Incremenlorum directa et inversa, Lond., 1715. Pour le calcul des différences, Taylor pouvait naturellement s'appuyer sur les résultats de Newton, contenus dans un lemme fameux des Princifiia ((XX), Livre III, lemme 5) et publiés plus amplement en 1711 (XIX d). Quant à l'idée dc passer à la limite, elle semble typiquement leibnizienne; et l'on aurait peine à croire à l'originalité de Taylor sur ce point si on ne connaissait de iout temps maints exemples de disciples ignorants de tout hormis des écrits de leur maître et patron. Taylor ne cite ni Leibniz ni Bernoulli; mais la controverse Newton-Leibniz faisait rage, Taylor Ctait secrétaire de la Royal Society et Sir Isaac en était le tout-puissant président.

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notations algébriques, non seulement de Descartes, mais même de Viète, on ne peut qu'admirer le tour de force qu'il accomplit, et dont sa maîtrise de la langue l'a seule rendu capable. Mais qu'on laisse passer quelques années, et tout change de face. Newton le premier conçoit l'idée décisive de remplacer toutes les opérations, de caractère géométrique, de l'analyse infinitésimale contemporaine, par une opération analytique unique, la différentiation, et par la résolution du problème inverse; opératioii que bien entendu la méthode des séries de puissances lui permettait d'exécuter avcc une extrême facilité. Empruntant son langage, nous l'avons vu, à la fiction d'un paramètre (( temporel O universel, il qualifie de (( fluentes O les quantités variables en fonction de ce paramètre, et de << fluxions D leurs dérivées. Il ne paraît pas avoir attaché une importance particulière aux notations, et ses séides plus tard vantent même comme un avantage l'absence d'une notation systématique; il prend néanmoins de bonne heure, pour son usage personnel, l'habitude de noter la fluxion par un point, donc dxldt par X, d2x/dt2 par x, etc. Quant à l'intégration, il semble bien que Newton, tout comme Barrow, ne l'ait jamais envisagée que comme problème (trouver la fluente connaissant la fluxion, donc résoudre X = f (t)), et non comme opération; aussi n'a-t-il pas de nom pour l'intégrale, ni, semble-t-il, de notation habituelle (sauf quelquefois un carré,

If0

ou f (t) pour f (t) dt). Est-ce parce qu'il répugne à donner un nom et un signe à un être qui n'est pas défini d'une manière unique, mais seulement à une constante additive près? Faute d'un texte, on ne peut que poser la question. Autant Newton est empirique, concret, circonspect en ses plus grandes hardiesses, autant Leibniz est systématique, généralisateur, novateur aventureux et parfois téméraire. Dès sa jeunesse, il eut en tête l'idée d'une (> ou langue symbolique universelle, qui devait être à l'ensemble de la pensée humaine ce que la notation algébrique est à l'algèbre, où tout nom ou signe eût été la clef de toutes les qualités de la chose signifiée, et qu'on n'eût pu employer correctement sans du même coup raisonner correctement. Il est aisé de traiter un tel projet de chimérique; ce n'est pas un hasard pourtant que son auteur ait été l'homme même qui devait bientôt reconnaître et isoler les concepts fondamentaux du calcul infinitésimal, et douer celui-ci de notations à peu près définitives. Nous avons déjà assisté plus haut à la naissance de celles-ci, et observé le soin avec lequel Leibniz, qui semble conscient de sa mission, les modifie progressivement jusqu'à leur assurer la simplicité et surtout l'invariance qu'il recherche (XXI a et b). Ce qu'il importe de marquer ici, c'est, dès qu'il les introduit (sans rien connaître encore des idées de Newton), la claire conception de Jet de d, de l'intégrale et de la différentielle, comme opérateurs inverses l'un de l'autre. Il est vrai qu'en procédant ainsi il ne peut éviter l'ambiguïté inhérente à l'intégrale indéfinie, qui est le point faible de son système, sur lequel il glisse adroitement, de même que ses successeurs. Mais ce qui frappe, dès la première

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REELLE

apparition des nouveamx symboles, c'est de voir Leibniz occupé aussitôt A cil formuler les d'emploi, se demander si ci(xy) = dx dy ((XXII), p. 16-166), et se répondre à lui-même par la négative, pour en venir progressivement à la règle correcte (XXI a), qu'il devait plus tard généraliser par sa fameuse formule pour dn(xy) ((XXP), t. III, p. 175). Bien entendu, au moment où Leibniz tâtonne ainsi, Newton sait depuis dix ans dCjà que z = xy entraîne i = iy + xj; mais il ne prend jamais la peine de le dire, n'y voyant qu'un cas particulier, indignc d'être nommé, de sa règle pour différentier une relation F(x, y, z) = O entre fluentes. Au contraire, le principal souci de Leibniz n'est pas de faire servir ses méthodes à, la résolution de tels problèmes concrets, ni non plus de les déduire de principes rigourcux et inattaquables, mais avant tout de mettre sur pied un algorithme reposant sur le maniement formel de quelques règles simples. C'est dans cet esprit qu'il améliore la notation algébrique par l'emploi dcs parenthèses, qu'il adopte progressivement log .x ou Zx pour lc logarithme1, et cju7ilinsiste sur le c< calcul exponentiel c'est-&-dire la considération systématique d'exponenticlles, aX,xX, xy, où l'exposant est une variable. Surtout, tandis que Newton n'introduit les fluxions d'ordre supérieur que strictement dans la mesure où elles sont nécessaires dans chaque cas concret, Leibniz s'oriente de bonne heure vers la création d'un t( calcul opérationnel >> par l'itération de d et de J; prenant peu à peu claire conscience de l7analogicentre la nlultiplication des nombres et la composition des opérateurs de son calcul, il adopte, par une hardiesse heureuse, la notation par exposants pour écrire les itérés de ci, écrivant donc dn pour le n-Cme itéré ((XXIH), p. 595 et 6012, et (XXI), t. V, p. 221 et 378) et même d-l, d-" pour et ses itérés ((XXI), t. III, p. 167); et il cherche même à donner un sens à du pour u. réel quelconque ((XXP), t. II, p. 301-302, et t. III, p. 228). Ce n'est pas à dire que Leibniz ne s'intéresse aussi aux applications de son calcul, sachant bicn (comme Huygens le lui répète souvent ((XXII), p. 599)) qu'elles en sont la pierre dc touche; mais il manque de patience pour les approfondir, ct y cherche surtout I'oecasion de formuler de nouvelles règles générales. C'est ainsi qu'en 1686 (XXI c) il traite de la courbure des courbes, et du cercle osculateur, pour aboutir en 1692 (XXI d) aux principes généraux sur le contact des courbes planes 3; en 1692 (XXI e) et 1694 ( X X I f ) il pose Ics bases de la )>,

1

l Mais il n'a pas de signe pour les fonctions trigonométriques, ni (faute d'un symbole pour e ) pour le « nombre dont le logarithme est x >). « ...c'est à peu pres comme si, au lieu des racines et puissances, on uouloit toujours substituer des lettres, et au lieu de xx, ou x3, prendre m, ou n, après avoir déclaré que ce doivent estre les puirsances de la grandeur x. Jugés, Mons., combien cela embarasseroit. Il en est de mesme de dx ou de ddx, et les differences ne sont pas moins des agections des grandeurs indeterminées dans leurs lieux, que les puissances sont des affections d'une grandeur przse à part. I l me semble donc qu'il est plus naturel de les designer en sorle qu'elles fassent connoistre immediatement la grandeur dont elles sont les affections. i> Il commet d'abord IA-dessus une erreur singulière, croyant que le
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théorie des enveloppes; concurremment avec Johann Bernoulli, il effectue en 1702 et 1703l'intégration des fractions rationnelles par décomposition en é2éincnts simples, mais d'abord d'une manière formelle et sans bien se rendre compte des circonstances qui accompagnent la présence de facteurs linéaires complexes au dénominateur (XXI g et h). C'est ainsi encore qu'un jour d'août 1697, méditant en voiture sur des questions de calcul des variations, il a l'idée de la règle de différentiation par rapport à un paramètre sous le signe f, et, enthousiasmé, la mande aussitôt à Bernoulli ((XXI), t. III, p. 449-454). Mais lorsqu'il en est là, les principes fondamentaux de son calcul sont acquis depuis longtemps, et l'usage a commencé à s'en répandre: l'algébrisation de l'analyse infinitésimale est un fait accompli. G) La notion de fonction s'introduit et se précise d'une foule de manières au cours du xvne siècle. Toute cinématique repose sur une idée intuitive, et en quelque sorte expérimentale, de quantités variables avec le temps, c'est-à-dire de fonctions du temps, et nous avons vu déjà comment on aboutit ainsi à la fonction d'un paramètre, telle qu'elle apparaît chez Barrow, et, sous le nom de fluente, chez Newton. La notion de ((courbe quelconque O apparaît souvent, mais est rarement précisée; il se peut que souvent elle ait été conçue sous forme cinématique ou en tout cas expérimentale, et sans qu'on jugeât nécessaire qu'une courbe soit susceptible d'une caractérisation géométrique ou analytique pour pouvoir servir d'objet aux raisonnements; il en est ainsi, en particulier (pour des raisons que nous sommes mieux à même de comprendre aujourd'hui) lorsqu'il s'agit d'intégration, par exemple chez Cavalieri, Pascal et Barrow; ce dernier, raisonnant sur la courbe définie par x = ct, y = f ( t ) ,avec l'hypothèse que dyldt soit croissante, dit même expressément qu' G il n'importe en rien )) que dyldt croisse <( régulièrement suiuant une loi quelconque, ou bien irrégulièrement D ((XVIII), p. 191) c'est-à-dire, comme nous dirions, soit susceptible ou non d'une définition analytique. Malheureusement cette idée claire et féconde, qui devait, convenablement précisée, reparaître au XIX" siècle, ne pouvait alors lutter contre la confusion créée par Descartes, lorsque celui-ci avait, en premier lieu, banni de la géométrie fi toutes les courbes non susceptibles d'une définition analytique précise, et en second lieu restreint aux seules opérations algébriques les procédés de formation adinissibles dans une telle définition. Il est vrai que, sur ce dernier point, il n'est pas suivi par la majorité de ses contemporains; peu à peu, et souvent par des détours fort subtils, diverses opérations transcendantes, le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques, les quadratures, la résolution d'équations différentielles, le passage à la limite, la sommation des séries, acquièrent droit de cité, sans qu'il soit facile sur chaque point de marquer le moment précis où se fait le pas en avant; et d'ailleurs le premier pas en avant est souvent suivi d'un pas en arrière. Pour le logarithme, par exemple, on doit considérer comme des étapes importantes l'apparition de la courbe logarithmique (y = aX ou y = log x suivant le choix des axes), de la spirale logarith-

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mique, la quadrature de l'hyperbole, le développement en série de log (1 + x), et même l'adoption du symbole log x ou lx. En ce qui concerne les fonctions trigonométriques, et bien qu'en un certain sens elles remontent à l'antiquité, il est intéressant d'observer que la sinusoïde n'apparaît pas d'abord comme définie par une équation y = sin x, mais bien, chez Roberval ((VI11 a), p. 63-65), comme (( compagne de la roulette D (en l'espèce, il s'agit de la courbe

c'est-à-dire comme courbe auxiliaire dont la définition est déduite de celle de la cycloïde. Pour rencontrer la notion générale d9expressioiianalytique, il faut en venir à J. Gregory, qui la définit en 1667 ((XVI bis), p. 413), comme une quantité qui s'obtient à partir d'autres quantités par une succession d'opérations algébriques (( ou de toute autre opération imaginable O ; et il essaie de préciser cette notion dans sa préface ((XVI bis), p. 408409), en expliquant la nécessité d'adjoindre aux cinq opérations de l'algèbre1 une sixième opération, qui en définitive n'est autre que le passage à la limite. Mais ces intéressantes réflexions sont bientôt oubliées, submergées par le torrent des développements en série découverts par Gregory lui-même, Newton, et d'autres; et le prodigieux succès de cette dernière méthode crée une confusion durable entre fonctions susceptibles de définition analytique, et fonctions développables en série de puissances. Quant à Leibniz, il semble s'en tenir au point de vue cartésien, élargi par l'adjonction explicite des quadratures, et par l'adjonction implicite des autres opérations familières à l'analyse de son époque, sommation de séries de puissances, résolution d'équations différentielles. De même, Johann Bernoulli, lorsqu'il veut considérer une fonction arbitraire de x, l'introduit comme <( une quantitéformée d'une manière quelconque à partir de x et de constantes D ((XXI), t. II, p. 150), en précisant parfois qu'il s'agit d'une quantité formée (( d'une manière algébrique ou transcendante )) ((XXI), t. II, p. 324) ;et, en 1698, il se met d'accord avec Leibniz pour donner à une telle quantité le nom de ((fonction de x D ((XXI), t. III, p. 507-510 et p. 525-526)2. Déjà Leibniz avait introduit les mots de (( constante O,(( variable r), ((paramètre n, et précisé à propos d'enveloppes la notion de famille de courbes dépendant d'un ou plusieurs paramètres (XXI e). Les questions de notation se précisent aussi dans la correspondance avec Johann Bernoulli: celui-ci écrit l

Il s'agit des quatre opérations rationnelles, et de l'extraction de racines d'ordre quelconque:

J. Gregory n'a jamais cessé de croire à la possibilité de résoudre par radicaux les équations de tous les degrés. Jusque-là, et déjà dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employé ce mot comme abréviation pour désigner une grandeur > (c'est-à-dire, en notre langage, algébrique) (cf. D, MAHNKE, Abh. Paeuss. Akad. der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926).

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volontiers X, ou E,, pour une fonction arbitraire de x ((XXI), t. III, p. 531); Leibniz approuve, mais propose aussi ilLi, 2@là où nous écririons fl(x), f,(x) ; et il propose, pour la dérivée dzldx d'une fonction z de x, la notation dx (par opposition à dz qui est la différentielle) alors que Bernoulli écrit Az ((XXI), t. III, p. 537 et 526).

* **

Ainsi, avec le siècle, l'époque héroïque a pris fin. Le nouveau calcul, avec ses notions et ses notations, est constitué, sous la forme que Leibniz lui a donnée. Les premiers disciples, Jakob et Johann Bernoulli, rivalisent de découvertes avec le maître, explorant à l'envi les riches contrées dont il Icur a montré Ic chemin. Le premier traité de calcul différentiel et intégral a été écrit en 1691 et 1692 par Johann Bernoulli1, à l'usage d'un marquis qui se montre bon élève. Peu importe d'ailleurs que Newton se soit décidé enfin, en 1693, à publier parcimonieusement un bref aperçu de scs fluxions ((XV),t. II, p. 391-396) ;si ses Principia ont de quoi fournir aux méditations de plus d'un siècle, sur le terrain du calcul infinitésimal il est rejoint, et sur bien des points dépasse. Les faiblesses du nouveau système sont d'ailleurs visibles, du moins à nos yeux. Newton et Leibniz, abolissant d'un coup une tradition deux fois millénaire, ont accordé à la différentiation le rôle primordial, et réduit l'intégration à n'en Ctre que l'inverse; il faudra tout le xrxe siècle, et une partie du xxe, pour rétablir un juste équilibre, en mettant l'intégration à la base de la théorie générale des fonctions de variable réelle, et de ses généralisations rnoderncs (voir les Notes historiques du Livre sur l'Intégration). C'est de ce renversement de point de vue aussi que découle le rôle excessic ct presque exclusif, que prend déjà chez Barrow, et surtout à partir de Newton et Leibniz, l'intégrale indéfinie aux dépens de l'intégrale définie: là aussi le xlxe siècle eut à remettre les choses au point. Enfin la tendance proprement leibnizienne au maniement formel des symboles devait aller en s'accentuant à travers tout le xvme siècle, bien au delà de ce que pouvaient autoriser les ressources de l'analyse de ce temps. En particulier, il faut bien reconnaître que la notion leibnizienne de différentielle n'a à vrai dire aucun sens; au début du xlxe siècle, elle tomba dans un discrédit dont elle ne s'est relevée que peu à pcu; et, si l'emploi des différentielles premières a fini par être complètement légitimé, les différentielles d'ordre supérieur, d'un usage pourtant si commode, n'ont pas encore été vraiment réhabilitées jusqu'à ce jour. Quoi qu'il en soit, l'histoire du calcul diflércntiel et intégral, à partir de la fin du XVII"siècle, se divise en deux parties. L'une se rapporte aux applications de ce calcul, toujours plus riches, nombreuses et variées. A la géométrie différentielle La partie de ce traité qui se rapporte au calcul inttçral fut publiée en 1742 seulement ((XXIV), t. III, p. 385-558) ;celle qui a irait au calcul différentiel n'a été retrouvéc et publiée que récemment

(XXIV bir) ;il est vrai que le marquis de l'Hôpital l'avait publiée en français, légèrement remaniée, sous son propre nom, ce dont Bernoulli marque quelque amertume dans ses lettres à Leibniz.

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des courbes planes, aux équations différentielles, aux séries de puissances, au calcul des variations, dont il a déjà été question plus haut, viennent s'ajouter la géométrie différentielle des courbes gauches, puis des surfaces, les intégrales multiples, les équations aux dérivées partielles, les séries trigonométriques, l'étude de nombreuses fonctions spéciales, et bien d'autres types de problèmes, dont l'histoire sera exposée dans les Livres qui leur seront consacrés. Nous n'avons à nous occuper ici que des travaux qui ont contribué à mettre au point, approfondir et consolider les principes mêmes du calcul infinitésimal, en ce qui concerne les fonctions d'une variable réelle. De ce point de vue, les grands traités du milieu du XVIII~siècle n'offrent que peu de nouveautés. Maclaurin enAngleterrel, Euler sur le continent (XXV a et b), restent fidèles aux traditions dont chacun d'eux est l'héritier. Il est vrai que le premier s'efforce de clarifier quelque peu les conceptions newtoniennes2 tandis que le second, poussant le formalisme leibnizien à l'extrême, se contente, comme Leibniz et Taylor, de faire reposer le calcul différentiel sur un passage à la limite fort obscur à partir du calcul des différences, calcul dont il donne du reste un exposé fort soigné. Mais surtout Euler achève l'euvre de Leibniz en introduisant et faisant adopter les notations encore aujourd'hui en usage pour e, i, et les fonctions trigonométriques, et répandant la notation x. D'autre part, et si le plus souvent il ne fait pas de distinction entre fonctions et expressions analytiques, il insiste, à propos de séries trigonométriques et du problème des cordes vibrantes, sur la nécessité de ne pas se borner aux fonctions ainsi définies (et qu'il qualifie de (( continues >)), mais de considérer aussi, le cas échéant, des fonctions arbitraires, ou a discontinues )>, données expérimentalement par un ou plusieurs arcs de courbe ((XXV c ) , p. 74-91). Enfin, bien que cela sorte quelque peu de notre cadre, il n'est pas possible de ne pas mentionner ici son extension de la fonction exponentielle au domaine complexe, d'où il tire les célèbres formules liant lYexponentieIleaux fonctions trigonométriques, ainsi que la définition du logarithme d'un nombre complexe; par là se trouve élucidée définitivement la fameuse analogie entre logarithme et fonctions circulaires réciproques, ou, dans le langage du X V I I ~siècle, entre les quadratures du cercle et de l'hyperbole, observée déjà par Grégoire de St. Vincent, précisée par Huygens et surtout par J. Gregory, et qui, chez Leibniz et Bernoulli, était apparue dans 1

2

2

l'intégration formelle de -= 1 +x2 2(x+i) 2(x-i) D'Alembert cependant, ennemi de toute mystique en mathématique comme ailleurs, avait, dans de remarquables articles (XXVI), défini avec la plus grande clarté les notions de limite et de dérivée, et soutenu avec force qu'au fond c'est C . MACLAURIN, A comjlete treatise ofj¶uuxbns, Edimburgh, 1742. Elles avaient fort besoin, en effet, d'être défendues contre les attaques philosophico-théologicohumoristiques du fameux évêque Berkeley. D'après celui-ci, qui croit aux fluxions ne doit pas trouver fort difficile de prêter foi aux mystères de la religion: argument ad hominem,qui ne manquait ni de logique ni de piquant. l

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là toute la <( métaphysique D du calcul infinitésimal. Mais ces sages avis n'ont pas eu de suite immédiate. Le monumental ouvrage de Lagrange (XXVII) représente une tentative de fonder I'analyse sur l'une des plus discutables conceptions newtoniennes, celle qui confond les notions de fonction arbitraire et de fonction développable en série de puissances, et de tirer de là (par la considération du coefficient du terme du premier ordre dans la série) la notion de différentiation. Bien entendu, un mathématicien de la valeur de Lagrange ne pouvait manquer d'obtenir à cette occasion des résultats importants et utiles, comme par exemple (et d'une manière en réalité indépendante du point de départ que nous venons d'indiquer) la démonstration générale de la formule de Taylor avec l'expression du reste par une intégrale, et son évaluation par le théorème de la moyenne; du reste l'œuvre de Lagrange est à l'origine de la méthode de Weierstrass en théorie des fonctions d'une variable complexe, ainsi que de la théorie algébrique moderne des séries formelles. Mais, du point de vue de son objet immédiat, elle représente un recul plutôt qu'un progrès. Avec les ouvrages d'enseignement de Cauchy, au contraire (XXVIII), on se retrouve enfin sur un terrain solide. Il définit une fonction essentiellement comme nous le faisons aujourd'hui, bien que dans un langage encore un peu vague. La notion de limite, fixée une fois pour toutes, est prise pour point de départ; celles de fonction continue (au sens moderne) et de dérivée s'en déduisent immédiatement, ainsi que leurs principales propriétés élémentaires; et l'existence de la dérivée, au lieu d'être un article de foi, devient une question à étudier par les moyens ordinaires de l'analyse. Cauchy, à vrai dire, ne s'y intéresse guère; et d'autre part, si Bolzano, parvenu de son côté aux mêmes principes, construisit un exemple de fonction continue n'ayant de dérivée finie en aucun point (XXIX), cet exemple ne fut pas publié, et la question ne fut publiquement tranchée que par Weierstrass, dans un travail de 1872 (et, dans ses cours dès 1861) (XXXII). En ce qui concerne l'intégration, 19euvrede Cauchy représente un retour aux saines traditions de l'antiquité et de la première partie du xvne siècle, mais appuyé sur des moyens techniques encore insuffisants. L'intégrale définie, passée trop longtemps au second pIan, redevient la notion primordiale, pour laquelle Cauchy fait adopter définitivement la notation f (x) dx proposée par Fourier x=b parfois employé par Euler) ; et, pour la (au lieu de l'incommode ff (x) dx

fa

[X =

a]

définir, Cauchy revient à la méthode d'exhaustion, ou comme nous dirions, aux sommes de Riemann >> (qu'il vaudrait mieux nommer sommes d'Archimède, ou sommes d'Eudoxe). Il est vrai que le X V I I ~siècle n'avait pas jugé à propos de soumettre à un examen critique la notion d'aire, qui lui avait paru au moins aussi claire que celle de nombre réel incommensurable; mais la convergence des sommes << de Riemann vers l'aire sous la courbe, tant qu'il s'agit d'une courbe monotone ou monotone par morceaux, était une notion familière à tous les auteurs soucieux de rigueur au X V I I ~siècle, Fermat, Pascal, Barrow; et J. Gregory,

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particulièrement bien préparé par ses réflexions sur le passage à la limite et sa familiarité avec une forme déjà fort abstraite du principe des (1 intervalles emboîtés )), en avait même rédigé, parait-il, une démonstration soignée, restée inédite ((XVII bis), p. 445-446)' qui eût pu servir à Cauchy presque sans changement s'il l'avait connue1. Malheureusement pour lui, Cauchy prétendit démontrer l'existence de l'intégrale, c'est-à-dire la convergence des (( sommes de Riemann )>, pour une fonction continue quelconque; et sa démonstration, qui deviendrait correcte si elle s'appuyait sur le théorème de continuité uniforme des fonctions continues dans un intervalle fermé, est dénuée de toute valeur probante faute de cette notion. Dirichlet ne semble pas s'être aperçu non plus de la difficulté au moment où il rédigeait ses célèbres mémoires sur les séries trigonométriques, puisqu'il y cite le théorème en question comme facile à démontrer D ((XXX), p. 136); il est vrai qu'il ne l'applique en définitive qu'aux fonctions bornées, monotones par morceaux; Riemann, plus circonspect, ne mentionne que ces dernières lorsqu'il s'agit de faire usage de sa condition nécessaire et suffisante pour la convergence des (( sommes de Riemann a ((XXXI), p. 227-271). Une fois le théorème sur la continuité uniforme établi par Heine (cf. TG, II, Note historique p. 42), la question n'offrit bien entendu plus aucune difficulté; et elle est aisément tranchée par Darboux en 1875 dans son mémoire sur l'intégration des fonctions discontinues (XXXIII), mémoire où il se rencontre du reste sur bien des points avec les importantes recherches de P. du Bois-Reymond, parues vers la même époque. Du même coup se trouve démontrée pour la première fois, mais cette fois définitivement, la linéarité de l'intégrale des fonctions continues. D'autre part, la notion de convergence uniforme d'une suite ou d'une série, introduite entre autres par Seidel en 1848, et mise en valeur en particulier par Weierstrass (cf TG, X, Note historique p. 62), avait permis de donner une base solide, sous des conditions un peu .trop restrictives il est vrai, à l'intégration des séries terme à terme et à la différentiation sous le signe en attendant les théories modernes dont nous n'avons pas à parler ici, et qui devaient éclaircir ces questions d'une manière provisoirement définitive. Nous avons ainsi atteint à l'étape finale du calcul infinitésimal classique, celle qui est représentée par les grands Traités d'Analyse de la fin du xlxe siècle; du point de vue qui nous occupe, celui de Jordan (XXXIV) occupe parmi eux une place éminente, pour des raisons esthétiques d'une part, mais aussi parce que, s'il constitue une admirable mise au point des résultats de l'analyse classique, il annonce à bien des égards l'analyse moderne et lui prépare la voie. Après Jordan vient Lebesgue, et l'on entre dans le sujet d'un autre Livre du présent ouvrage.

1,

C'est du moins ce qu'indique le résumé donné par Turnbull d'après le manuscrit.

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assura,

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BIBLIOGRAPHIE

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( X X I V bis) JOHANNBERNOULLI:Die erste Integralrechnung, Ostwald's Klassiker, no 194, Leipzig-Berlin, 19 14; Die Dzyerentialrechnung, Ostwald's Klassiker, no 2 1 1 , Leipzig, 1924. ( X X V ) L. EULER, Opera Omnia: a) Institutiones calculi dzferentialis, ( 1 ) ) t. X , Berlin ( T e u b n e r ) ,19 13 ;b ) Institutioncscalculi intqralis, ( 1 ) ) t . X I - X I I I , Berlin ( T e u b n e r ) , t. 1, 1913-14; c) Commentationes analyticae.. . ( l ) , t. X X I I I , Berlin-Zürich ( T e u b ner-O. Füssli), 1938. T : Sur les principes métaphysiques d u Calcul infinitésimal ( X X V I ) J . ~ ' A L E M B E Ra) (Mélanges de littératwe, d'histoire et de philosophie, nouv. éd., t. V ,Amsterdam, 1768, p. 207-2 19) ; b ) Encyclopédie, Paris, 1751-65, articles G Différentiel >)et << Limite o. ( X X V I I ) J.-L. LAGRANGE,(Euvres, Paris (Gauthier-Villars), !867-1892: a) Théorie des fonctions analytiques, 2" éd., t. I X ; b ) Lepns sur le calcd desfonciions, 2e éd., t. X . ( X X V I I I ) A.-L. GAUCHIT,Résumé des le~onsdonnées d L'École Royale Polytechnique sur le calcul inznitésinzal, Paris, 1823 ( = (Euvres complètes, ( 2 ) : t. I V , Paris (Gauthier-Villars), 1899). ( X X I X ) B. BOLZANO,Schrften, Bd. 1: Funktionenlehre, Prag, 1930. ( X X X ) P. G . LEJEUNE-DIRICHLET, Werke, t. 1, Berlin ( G . Reirner), 1889. Gesammelte Mathematische Werke, 2" éd., Leipzig ( T e u b n e r ) , 1892. ( X X X I ) R. RIIMANN, ( X X X I I ) K. WEIERSTRASS, Mathematische Werke, t. I I , Berlin ( M a y e r und Ivlüller), 1895. ( X X X I I I ) 6. DARBOUX,Mémoire sur les fonctions discontinues, Ann. E. Ai. S., ( 2 ) t. I V (1875),p. 57-1 12. ( X X X I V ) C . JORDAN,Traité d'Analyse, 3e éd., 3 vol., Paris (Gauthier-Viilars), 1909-15.

CHAPITRE IV

Equations di

rentielles

§ 1. THÉORRMES D'EXISTENCE 1. La notion d'équation différentielle

Soient 1 un intervalle contenu dans W et non réduit à un point, E un espace vectoriel topologique sur R,A et B deux parties ouvertcs de E. Soit (x,y, t) »g(x,y, t ) une application de A x B x I dans E; à toute application dérivable ai de 1 dans A, dont la dérivée prend ses valeurs dans B, faisons correspondre l'application t t.g(u(t), uil(t), t) de 1 dans E, que nous désignerons par g ( u ) ; g est donc définie dans l'ensemble 9 ( A , B) des applications dérivables de P dans A, dont la dérivée prend ses valeurs dans B. Nous dirons que l'équation g(u) = O est une équation dz$éentielle en u (relativement à la variable réelle t) ; une solutio?~ de cette équation est encore appeléc int&rale de I'équation différentielle (dans l'intervalle 1); c'est donc une application dérivable de P dans A, dont la dérivée prend ses valeurs dans B, et qui est telle quc g(u(t), ul(t), t) = O pour tout t E I. Par abus de langage, nous écrirons l'équation différentielle g(u) = O sous la forme

dx, x', t )

O, étant sous-entendu que x est un élément dc l'ensemble 9 ( A , B) =

Par exemple, pour 1 = E = R, les relations tx' - 2 x = O, xt2 - 4 x = O , x - t2 = O X' = 2t, sont des équations differentielles, qui admettent toutes quatre pour solution la fonction x ( t ) = t 2 .

Dans ce chapitre, nous ne considérerons en principe que le cas où E est un espace normé complet sur R, et où les équations différentielles sont de la forme particulière (1)

x' = f(t, x)

FVR IV.2

91

ÉQUATIONS DIFF RENTIELLES

(<(équations résolues par rapport à x' >)), f désignant une fonction à valeurs dans E, définie dans I x H, où H est une partie ouuerte non vide de E. Nous élargirons d'autre part un pcu la notion de solution (ou iîtégrale) d'une telle équation (dans l'intervalle 1) : nous dirons qu'une fonction u définie et continue dans 1, à valeurs dans H, est une solution (ou intégrale) de i'équation (1) s'il existe une partie dénombrable A de I telle qu'en tout point t du complémentaire de A par rapport à 1, in adnxtte une dérivée u f ( t ) t e k que uf(t) = f(t, ~ ( t ) )Si. u est dérivable et vérifie la relation précédente en tout point t E 1, nous dirons que c'est une solution stricte de l'équation (1) dans 1. Dans Ir cas particulier d'une équation différentielle de la forme x' = f (t), f étant une application dc I dans E, les solutions a u sens précédent sont les primitives de la fonction f (II[,p. l ) , et les solutions strictes sont lespri9nitiues ~trictes.

Lorsque E est un ~roduitd'espaces normés complets E, (1 < i < n), on peut écrire x = (x,),,,,, ct f = (B;) où x, est unc application de 1 dans E,, et f, une application de 1 x H dans E,; l'équation (1) est alors équivalente au rystème d'équations rlz&entielles

,,,,,

xi = f,(t,x1,x2,..., xn)

(2)

(1

< i < n).

Lc cas le plus important est celui où tous les Ei sont égaux à R ou à C; on dit alors que (2) est un système d'équations différentielles scalaires. A l'6tucle des systèmes (2) se ramènc celle des relations de la forme x(") = f (t, X, x f , . . .,x(n - 1))

(3)

où x est une fonction vcctorielle n fois dérivable dans 1: en posant en effet x, = x, x, = x(,-l) pour 2 < f < n, la relation (3) est équivalente au système

Une relation dc la forme (3) est appelée équation dzfirentielle d'ordre n (résolue par rapport à x(IL));par opposition, les équations de la forme (1) sont dites Cquations différentielies du premier ordre. O n ramène dc même à un système de la [orme (2) tout àil-Tcrentirllrs de la forme (5)

(1

((

systkme d'équations

Dn%xi= f , ( t , XI, Dxl, . . ., D n l - l ~ l ., . . , xp, D x p. . ., Dnp-lxp)

< i < p), où xi est une fonction ni fois dérivable dans 1 (pour 1 < i < fi).

2. Équations diRérentielles admettant gour solutiolas des primitives de fonctions réglées

Rappelons (II, p. 4, déf. 3) qu'une fonction vcctorielle an définie dans un intervalle I c R est dite réglée si, dans toute partie compacte de 1, elle est limite

No 2

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV.3

uniforme de fonctions en escalier; une condition équivalente est qu'en tout point intérieur à 1, u ait une limite à droite et une limite à gauche, ainsi qu'une limite à droite à l'origine de I et une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces points appartiennent à 1 (II, p. 5, th. 3). Nous allons dans ce chapitre nous restreindre aux équations différentielles ( 1 ) dont toute solution est une primitive d'une fonction réglée dans 1. Cette condition est évidemment satisfaite si, pour toute application continue ai de I dans H, la fonction f(t, u ( t ) ) est réglée dans 1; le lemme suivant donne une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi:

Lemme 1. - Soit f une application de 1 x H dans E telle que, en désignant par fx (pour tout x E H ) l'application t i-t f ( t , x) de 1 dans E, les conditions suivantes soient réalisées: l 0 fx est réglée dans 1pour tout x E H ; 2, l'application x ++f, de H dans l'ensemble T(1,E ) des applications de 1dans E est continue quand on munit F ( I , E ) de la topologie de la convergence compacte (TG, X , p. 04). Dans ces conditions: 1" Pour toute application continue u de 1 dans H, la fonction t i-t f ( t , u ( t ) ) est réglée dans 1; de f a p précise, la limite à droite (resp. à gauche) de cette fonction en un point t , E 1 est égale à la limite à droite (resp. à gauche) de la fonction t i-t f(t, u ( t , ) ) au point t,. 2" S i (un)est une suite d'applications de 1 dans H, qui converge unformément vers une application continue u de I dans H, dans toute partie compacte de 1, la suite des fonctions f ( t , u n ( t ) ) converge uniformément vers f ( t , u ( t ) ) dans toute partie compacte de I . l o Soit c la limite à droite de f ( t , ~ ( t , ) au ) point t,; pour tout E > O, il existe un voisinage compact V de t , dans I tel que l'on ait jlf(t, u ( t , ) ) - cl1 < E pour t E V et t > t,. D'autre part, il existe 8 > O tel que les relations

entraînent I/f(s,x) - f(s, u ( t , ) ) 1 < E pour tout s E V; si W c V est un voisinage de t, dans 1 tel que l'on ait / l u ( t ) - u(t,) I < S pour tout t E MT, on aura donc j/f(t, ~ ( t ) -) cl1 < 2o pour t E W et t > t,, ce qui prouve que c est limite à droite de f (t, ~ ( t )au ) point t,. 2" Soit K une partie compacte de 1; comme u est continue dans 1, u ( K ) est une partie compacte de H; pour tout E > O et tout x E u ( K ) il existe un nombre 8, telque, poury E H, / / y- X I I < 8, et pour tout t E K , on ait I/f(t,y) - f ( t , x)I / < E. Il existe un nombre fini de points xiE u ( K ) tels que les boules fermées de centre xi et de rayon 4 S,, forment un recouvrement de u ( K ) ; soit S = Min (8,,). Par hypothèse, il existe un entier no tel que pour n 2 no, on ait IIuEi,(t)- u ( t ) / j < $8 pour tout t E K. Or, pour tout t E K , il existe un indice i tel que

par suite, on a I/un(t) tout t E K et tout n 2 no.

xi11

<

S,,, d'où /If(t,u , ( t ) ) -

FVR IV.4

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

41

Dans toute la suite de ce paragraphe, 1 désignera un intervalle contenu dans IR et non réduit à un point, H un ensemble ouvert non vide contenu dans l'espace normé E, f une applicatioîl de 1 x H dans E satisfaisant aux conditions du lemme 1. PROPOSITION 1. -Soient t, un point de 1, x, un point de H; pour qu'une fonction continue u soit une solution de l'équation ( 1 ) dans 1 et prenne la valeur x, au point t,, il faut et il su@t qu'elle vérijie la relation (6)

u(t) = x ,

+

t

S,.

f(s,u(s))ds

pour tout t E 1. E n effet, d'après le l e m m e 1, si u est solution d e ( 1 ) dans 1, f(t, u ( t ) ) est réglée, donc le sccond membre d e ( 6 ) est défini et égal à u ( t ) pour tout t E 1. Réciproquemcnt, si u est u n e fonction continue satisfaisant à (6), f(t, u ( t ) ) est réglée d'après le l e m m e 1, donc u a pour dérivée f ( t , u ( t ) ) sauf aux points d'une partie dénombrable d e 1. COROLLAIRE. - En tout point de 1 distinct de l'origine (resp. de l'extrémité) de cet intervalle, toute solution u de ( 1 ) dans I admet une dérivée à gauche (resp. à droite) égale à la limite à gauche (resp. à droite) de f ( t , u ( t ) ) en cepoint. PROPOSITION 2. - Si f est une application continue de 1 x H dans E, toute solution de l'équation ( 1 ) dans 1 est une solution stricte. E n effet, u n e telle solution u est primitivc de la fonction continue f ( t , u ( t ) ) ( I I , p. 16, prop. 3). O n notera d'ailleurs qu'une fonction f continue dans 1 x H vérifie l e conditions du lemme 1 (TG, X, p. 13, cor. 3).

Dans cc q u i suit, nous allons nous donner arbitrairement t, E 1 et x, E H, et chercher s'il existe dans I ( o u dans un voisinage de t, par rapport à 1) des solutions d c ( 1 ) prcnant la valeur w, a u point t, (ou, ce qui rcvient au m ê m e , des solutions d e ( 6 ) ) . 3. Existence de solutions approchées

Étant donné un nombre E > O, nous dirons qu'une application continue u d e 1 dans H est u n e solution approchée à E près d e l'équation différentielle x'

=

f (t, x)

si, e n tous les points d u coniplémentaire par rapport à 1 d'un ensemble dénombrable, u admet u n e dérivée qui satisfait à la condition

No 3

THÉORÈMESD'EXISTENCE

FVR IV.5

Soit (t,, x,) un point de I x 13; f satisfaisant par hypothèse aux conditions du lemme 1 (IV, p. 3), il existe un voisinage compact Q de t, dans I tel que f(t, x,) soit bornée dans J, et une boule ouverte S de centre x,, contenue dans H, telle que f(t, x) - f(t, x,) soit bornée dans J x S; il en résulte que f(t, x) est bornée dans J x S. Dans tout ce no,J désignera un intervalle compact, uoisinage de t, dans 1, S une boule ouverte de centre x, et de rayon r, contenue dans H, J et S étalzt tels que f soit bornée dans J x S; M désignera la borne supérieure de Ilf(t, x) II dans J x S. PROPOSITION 3. -Daru tout interualle compact d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans J et de longueur < r/(M + E), il existe une solution approchée à E près de l'équation (l), à valeurs dans S, et égale à x, au point t,. Nous allons supposer que t, n'est pas l'extrémité de J, et démontrer la proposition pour les intervalles d'origine t,. Soit R l'ensemble des solutions approchées de (1) à E près, dont chacune prend ses valeurs dans S, est égale à x, au point t,, et est définie dans un intervalle semi-ouvert (t,, b[ contenu dans J (intervalle dépendant de la solution approchée que l'on considère). Montrons d'abord que rJn n'est pas vide. Soit c la limite à droite de f(t, x,) au point t,; d'après le lemme 1 (IV, p. 3), la fonction f(t, X, + ~ ( -t tO))a une limite à droite égale à c au point t,, donc la restriction de la fonction x, + c(t - tO)à un intervalle semiouvert (t,, b( assez petit appartient à R. Ordonnons l'ensemble % par la relation << u est une restriction de v H, et montrons que rJn est inductif (E, III, p. 20). Soit (u,) une partie totalement ordonnée de n, et soit (t,, b,( l'intervalle où ia, est définie: pour b, < b,, ai, est donc un prolongement de u,. La réunion des intervalles (t,, b,Q est un intervalle (t,, b( contenu dans J, et il existe une fonction et une seule u définie dans (t,, b( et coïncidant avec u, dans (t,, b,( pour tout cc; parmi les b,, il existe une suite croissante (b,,) tendant vers b; comme u coïncide avec u,, dans (t,, bu,(, u admet, en tous les points du complémentaire par rapport à (t,, b[ d'un ensemble dénombrable, une dérivée vérifiant la relation (7), et est donc la borne supérieure de l'ensemble (u,) dans m. D'après le th. de Zorn (E, III, p. 20, th. 2), % admet un Clément maximal u,; nous allons montrer que si (t,, t,[ est l'intervalle où est définie ai,, ou bien t, est l'extréniité de J, ou bien t, - t, 3 r/(M + E). Raisonnons par l'absurde, en supposant qu'aucune de ces deux hypothèses ne soit vérifiée; montrons d'abord qu'on peut prolonger u, par continuité au point t, : en effct, quels que soient s et t dans (t,, t,[, on a

d'après le th. des accroissements finis; le critère de Cauchy montre donc que U, admet une limite à gauche x, 6 S au point t,. Soit alors cl la limite à droite au point t, de la fonction f(t, x,) ; on a ~IC, II < M; le même raisonnement qu'au

FVR IV.6

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

41

début de la démonstration montre qu'on peut prolonger u, dans un intervalle c,(t - t,), de sorte que la fonction semi-ouvert d'origine t,, par la fonction x, prolongée appartienne encore à %, ce qui est absurde. La proposition est donc démontrée.

+

Lorsque f est unz-formément continue dans J x S, on peut démontrer la prop. 3 sans faire usage du th. de Zorn (IV, p. 37, exerc. 1 a)).

PROPOSITION 4. -L'ensemble des solutions approchées de (1) à E près d4nies dmr un même intervalle K c J, et prenant leurs valeurs dans S, est uniformément équicontinu. En effet, si arm est une fonction quelconque appartenant à cet ensemble, s et t deux points de K, on a, d'après le th. des accroissements finis,

COROLLAIRE (théorème de Peano). - Si E est de dimension finie sur R, dans tout interoalle compact K d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans J et de longueur < r/M, il existe une solution de (1) à valeurs dans S, Égale à x, au point t,. En effet, d'après la prop. 3, dès que n est assez grand, il existe une solution approchée u n de l'équation (1) à l/n près, définie dans K, à valeurs dans S, et égale à x, au point t,. En outre, à partir d'une certaine valeur de n, un(K) est contenu dans une boule fermée de centre x, et de rayon < r y indépendant de n. L'ensemble des u n est équicontinu (prop. 4), et comme E est de dimension finie, S est relativement compacte dans E, donc pour tout t E K, l'ensemble des u,(t) est relativement compact dans E. D'après le th. d'Ascoli (TG, X, p. 17, th. 2), l'ensemble des un est relativement compact dans l'espace F ( K ; E) des applications de K dans E, muni de la topologie de la convergence uniforme. 11 existe donc une suite (un,) extraite de (un), qui converge uniformément dans K vers une fonction continue u. On a u(K) c S et par suite t tt f(t, u(t)) est définie dans K ; en vertu du lemme 1 (IV, p. 3), f(t, un,(t)) converge uniformément vers f(t, u(t)) dans K ; d'après (IV, p. 4, formule (7)), unfiest primitive d'une fonction qui tend uniformément vers f (t, u(t)) dans K, donc (II, p. 2, th. 1) u est solution de (1) dans K, égale à x, au point t,. Remarques. - 1) Il peut exister une injnité d'intégrales d'une équation différentielle ( l ) ,prenant la même valeur en un point donné. Par exemple, l'équation différentielle scalaire x' = 2dm admet pour intégrales prenant la valeur O au point t = O toutes les fonctions définies par u(t) = O u(t) = - (t $ u(t) = ( t -

pour

P)2 pour pour

- p < t < cr t <

-P

tac(

quels que soient les nombres positifs GL et 3. 2) Le th. de Peano n'est plus exact lorsque E est un espace normé complet quelconque de dimension injnie (IV, p. 41, exerc. 18).

No 4

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV.7

4. Comparaison des solutions approchées

Dans ce qui suit, 1 et H désignent, comme ci-dessus, un intervalle contenu dans R et un ensemble ouvert dans l'espace normé E, respectivement; to est un point de 1. DÉFINITION 1. -Etant donnée une fonction numérique positiue t t-t k(t) déJinie dans 1, on dit qu'une application f de I x H dans E est lipschitzienne pour la fonction k(t) si, pour tout x E H, la fonction t i-t f(t, x) est reglée dans 1, et si, pour tout t E 1 et tout couple de points x,, x, de H, on a ((( condition de Lipschitz >>)

O n dira que f est lipschitzienne (sans préciser) dans 1 x H si elle est lipschitzienne dans cet ensemble pour une certaine constante k 3 0. Il est immédiat qu'une fonction lipschitzienne dans 1 x H satisfait aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3 (la réciproque étant inexacte); lorsque f est lipschitzienne (dans 1 x H), on dit que l'équation différentielle (1) est lipschitzienne (dans 1 x H).

x'

=

f(t, X)

Exemple. - Lorsque E = , et que H est un intervalle dans R,si en tout point (t, x) de I x H la fonctionf (t, x) admet une dérivée partieilef; (II, p. 24) telle que 1 f; (t, x) 1 Q k(t) dans 1 x W, la condition (8) est vérifiée en vertu du th. des accroissements finis; nous verrons plus tard comment cet exemple se généralise au cas où E est un espace normé quelconque. Si f est lipschitzienne dans 1 x H, pour tout intervalle compact J c 1 et toute boule ouverte S c H, f est bornée dans J x S. La prop. 3 (IV, p. 5) est donc applicable, et démontre l'existence de solutions approchées de l'équation (1). Mais on a en outre la proposition suivante, qui permet de comparer deux solutions approchées : PROPOS~TION 5. - Soient k(t) une fonction numérique réglée et > O dans 1, f ( t , x) une fonction définie et lipschitzienne pour la fonction k(t) dans 1 x H. Si u et v sont deux solutions approchées de l'équation (1) à E, et E, près respectivement, définies dans 1et prenant leurs ualeurs dans H, on a, pour tout t E 1 tel que t 2 t,,

FVR IV.8

91

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES

De la relation [[u1(t)- f(t, u(t)) 1 < cl, valable dans le complémentaire d'un ensemble dénombrable, on déduit, par application du th. des accroissements finis

et de même

D'après la condition de Lipschitz (S), on a

d'où, en posant w(t) = I[u(t) - v(t) 1 ,

La proposition est alors conséquence du lemme suivant:

*

Lemme 2. - Si, dans tintervalle (t,, t,), w est unefonction numérique continue satisfaisant à l'inégalité

où

< tl

1:

Posons en effet y(t) = k(s)w(s) ds; la relation (12) entraîne que, dans le complémentaire d'un ensemble dénombrable, on a

En posant z(t) = y (t)exp( -

j:ok(s) ds), la relation

(14) équivaut à

t

z f ( t ) < cp(t)k(t) exp (-

6.

k(s) ds).

No 4

F V R IV.9

THÉORÈMES D'EXISTENCE

Appliquant le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2 ) à cette inégalité, il vient, puisque z(to) = O

d'où

et c o m m e w ( t )

<~

( t +) y ( t ) , o n obtient ainsi (13).

COROLLAIRE.-Soit f une fonction lipschitzienne pour la constante k > 0, déJinie dans 1 x H. Si u et v sont deux solutions approchées de ( 1 ) à cl et E , près respectivement, d$nies dans 1 et prenant leurs valeurs dans H , on a, pour tout t E 1,

Cette inégalité est e n effet u n e conséquence immédiate de ( 9 ) lorsque t pour la démontrer lorsque t < to, il suffit de l'appliquer à l'équation

déduite d e ( 1 ) par le changement d e variable t

> to;

= -S.

Remarques. - 1) Lorsque k = 0, l'inégalité (15) est remplacée par l'inégalité

dont la démonstration est immédiate. 2) Lorsque E est de dimensionfmzie, et que f est lipschitzienne dans 1 x H, on peut démontrer l'existence de solutions approchées de l'équation (1) (IV, p. 5, prop. 3) sans utiliser l'axiome de choix (IV, p. 37, exerc. 1b)).

PROPOSITION 6. -Soient f et g deux fonctions d&nies dans 1 x H , satisfaisant aux conditions du lemme 1 de I V , p. 3, et telles que, dans 1 x H ,

On suppose en outre que g soit lipschitzienne pour la constante k > O dans 1 x H . Dans ces conditions, si u est une solution approchée de x' = f(t, x) à cl près, d$nie dans 1, à valeurs dans H , et v une solution approchée de x' = g(t, x) à E, près, déjïnie dans 1, à valeurs dans H , on a, pour tout t E 1 (17)

Ilu(t) - v ( t )1 G Iju(t,) - v ( t o )1 ekit-tOl

+ (cc iE

FVR IV. IO

$1

ÉQUATIONS DIPFÉRENTIELLES

En effet, on a, pour tout t dans le complémentaire par rapport à 1 d'une partie dénombrable de 1, llu'(t> - d t , 4 t ) ) JI G or. + EI autrement dit, u est solution approchée de x' = g(t, x) à cc l'inégalité (17) par application de la prop. 5 de IV, p. 7.

+

E,

près, d'où

5. Existence et unicité des sol~tlonsdes équations lipschitziennes et localement lipschitziennes THÉORÈME 1 (Cauchy). -Soient f une fonction l$schitzienne dans 1 x H, J un interualle compact contenu dans 1et non réduit à un point, t, un point de J, S une boule ouverte de centre x, et de rayon r, contenue dans H, M la borne supérieure de I/f(t,x) 1 dans J x S. Dans ces conditions, pour tout intervalle compact K non réduit à un point, contenu dans l'intersection de J et de )to - r/M, t, + r/MQ et contenant t,, il existe une solution et une seule de l'équation dz$érentiellex' = f (t, x), dgnie dans K, à valeurs dans S et égale à xo au point t,. En effet, pour tout s > O assez petit, l'ensemble FEdes solutions approchées de (1) à E près, définies dans K, à valeurs dans S et égales à x, au point t,, n'est pas vide (IV, p. 5, prop. 3) ; en outre, si u et v appartiennent à F,, on a, d'après (15) (IV, P. 9) eklt-tol - 1 llu(t) - v(t) 11 G 2~ k pour tout t E K, donc les ensembles F, forment une base de filtre @ qui converge uniformément dans K vers une fonction continue w, égale à xo au point t,; w prend ses valeurs dans S, parce que, dès que E est assez petit, les fonctions u E F, prennent leurs valeurs dans une boule fermée contenue dans S. Comme f(t, u(t)) tend uniformément dans K vers f(t, w(t)) suivant @, w satisfait à l'équation (6) de IV, p. 4, donc est solution de (1). L'unicité de la solution découle aussitôt de l'inégalité (15) de IV, p. 9, où on fait E, = E, = O et u(t,) = v(t,).

Nous dirons qu'une fonction f définie dans 1 x H est localement l$schitzienne dans cet ensemble si, pour tout point (t, x) de 1 x H, il existe un voisinage V de t (par rapport à 1) et un voisinage S de x tels que f soit lipschitzienne dans V x S (pour une constante k dépendant de V et de S). En vertu du th. de Borel-Lebesgue, pour tout intervalle compact J 1 et tout point xo G H, il existe une boule ouverte S de centre x,, contenue dans H, telle que f soit lipschitzienne dans J x S; f satisfait donc aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3. Lorsque f est localement lipschitzienne dans 1 x H, nous dirons que l'équation x' = f(t, x) est localement l$schitzienne dans 1 x H. Nous allons généraliser et préciser le th. 1 de IV, p. 10 pour les équations localement lipschitziennes; nous nous bornerons au cas oh to est l'origine de l'intervalle 1; on passe aisément de là au cas où to est un point quelconque de 1 (cf. IV, IV, p. 9, corollaire).

No 5

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV. 11

THÉORÈME 2. -Soient

1 c R un intervalle (non réduit à un point) d'origine to E 1, H une partie ouverte non vide de E, f une fonction localement lipschitzienne dans I x H. 1" Pour tout x, E H, il existe un plus grand intervalle J c 1, d'origine t, E J, dans lequel il existe une intég~aleu de l'équation x' = f(t, x), prenant ses valeurs dans H et égale à x, au point to; cette intégrale est unique. 2 O Si J # 1, J est un intervalle semi-ouvert [t,, de longueurjnie; en outre, pour toute

partie compacte K c H, 2 (K) est alors une partie compacte de R. 3O Si J est borné, et si f(t, a ( t ) )est bornée dans J, u(t) a une limite à gauche c à l'extrémité de J; en outre, si J # 1, c est un pointfrontière de H dans E. 1" Soit W l'ensemble des intervalles L (non réduits à un point) d'origine t, E L, contenus dans 1 et tels que, dans L, il existe une solution de (1) (IV, p. 2) à valeurs dans H et égale à xo au point t, ; d'après le th. 1 (IV, p. IO), l'ensemble n'est pas vide. Soient L, L' deux intervalles appartenant à %,et supposons par exemple que L c L'; si u et v sont deux intégrales de ( l ) , définies respectivement dans L et L', à valeurs dans H et égales à x, au point t,, nous allons voir que v est un prolongement de u. En effet, soit t, la borne supérieure de l'ensemble des t E L tels que u(s) = v(s) pour to 6 s 6 t; nous allons prouver que t, est l'extrémité de L. Dans le cas contraire, on aurait ia(t,) = v(t,) par continuité, et x, = u(t,) appartiendrait à H ; comme f est localement lipschitzienne, le th. 1 prouve qu'il ne peut exister qu'une seule intégrale de (1) définie dans un voisinage de t,, à valeurs dans H et égale à x, au point t,; il y a donc contradiction à supposer que t, ne soit pas l'extrémité de L. Nous voyons donc que, si J est la réunion des intervalles L E %%, il existe une intégrale u et une seule de ( l ) , définie dans J, à valeurs dans H et égale à xo au point t,. 2" Supposons J # 1, et soit P l'extrémité de J; si P est l'extrémité de 1, on a p E 1 (donc p est fini) et J = (t,, p[ en vertu de l'hypothèse. Supposons donc que p ne soit pas l'extrémité de I ; si (3 E J, u(P) = c appartient à H; d'après le th. 1, il existe une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie dans un intervalle et égale à c au point P;J ne serait donc pas le plus grand des intervalles de n, ce qui est absurde; on a donc bien J = [to, @(. Si K est une partie compacte de H,;

(K) est fermé dans J; nous allons voir

qu'il existe y E J tel que$ (K) soit contenu dans [t,, y), ce qui prouvera (K) est compact. Dans le cas contraire, il existerait un point c E K tel que ((3, c ) soit adhérent à l'ensemble des points (t, u(t)) tels que t < P et ~ ( t E) K. Comme fi E 1 et c E H, il existerait un voisinage V de p dans I et une boule ouverte S de centre c et de rayon r, contenue dans H, tels que f soit lipschitzienne et bornée dans V x S; soit M la borne supérieure de Ilf(t, x) j/ dans cet ensemble. Par hypothèse, il existe t, E J tel que p - t, < r/2M, t, E V et l/iu(t,) - cl1 6 4 2 ; le th. 1 montre qu'il existe une intégrale et une seule de ( l ) , à valeurs dans H, définie dans un

FVR IV. 12

51

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

intervalle (t,, t,) contenant p, et égale à u(t,) au point t,; comme cette intégrale coïncide avec u dans l'intervalle [t,, P(, J = (t,, P( ne serait pas le plus grand des intervalles de m, ce qui est absurde. 3 O Supposons que J soit borné et que Ilf(t, ~ ( t )I )< M dans J; on a donc Iluf(t)1 $ M dans le complémentaire d'une partie dénombrable de J; par suite Iju(s) - u(t) I $ Mls - tl quels que soient s et t dans J, en vertu du th. des accroissements finis; d'après le critère de Cauchy, u a donc une limite à gauche c à l'extrémité p de J. Si J # 1, c ne peut appartenir à H, car en prolongeant u par continuité au point p, ai serait une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie dans l'intervalle (t,, fi) et égale à x, au point t,; on aurait donc J = (t,, P), contrairement à ce qu'on a vu au 2 O . COROLLAIRE 1. -Si H = E et J # 1, f(t, u ( t ) )n'est pas bornée dans J; si de plus E est de dimensionjnie, llu(t) / I a pour limite à gauche +CO à l'extrémité de J. La première partie est une conséquence immédiate de la troisième partie du th. 2. Si E est de dimension finie, toute boule fermée S c E est compacte, donc la seconde partie du th. 2 montre qu'il existe y EJ tel que u(t) 4 S pour t > y. Si E est de dimension infinie, il peut se faire que J f 1, mais que jlu(t) 11 reste bornée lorsque t tend vers l'extrémité de J (IV, p. 37, exerc. 5 ) .

COROLLAIRE 2. - Si, dans 1 x H, f est lipschitzienne pour une fonction réglée k(t), et si l'extrémité de J appartient à 1, u a une limite à gauche au point p; si H = E et si f est lipschitziennepour unefonction réglée k(t) dans 1 x E, on a J = 1. En effet, si p E 1, il existe un voisinage compact V de p dans 1, tel que f(t, x,) et k(t) soient bornées dans V; on a donc Ilf(t, x) I $ mllxll + h (m et h constantes) dans V x H, d'où Ilul(t) 1 < mllu(t) 1 h dans le complémentaire d'une partie llu(s)11 ds + q ( q constante) dénombrable de V n J, et par suite jlu(t) I $ m dans V n J; le lemme 2 (IV, p. 8) montre que Ilu(t) / I $ cemt + d (c et d constantes) dans V nJ, donc f(t, u(t)) reste bornée dans J, et le corollaire résulte alors du th. 2 de IV, p. I l .

+

Exemfiles. - 1) Pour une équation différentielle de la forme x' = g(t), où g. est réglée dans 1, toute intégrale u est évidemment définie dans 1tout entier. O n notera que u peut être bornée dans 1sans que g(t) le soit. 2) Pour l'équation scalaire x' = 2/ 1 - x2, on a 1 = R, N = ) - 1,1(. Si on prend to = xo = 0, l'intégrale correspondante est sin t dans le plus grand intervalle contenant O, où la dérivée de sin t soit positive, c'est-à-dire dans ) - $ 2 , x / 2 ( ; aux extrémités de cet intervalle, l'intégrale tend vers une extrémité de H. 3) Pour l'équation scalaire x' = 1 + x2, on a I = H = R ; l'intégrale nulle pour t = O est tg t, et le plus grand intervalle contenant O, où cette fonction est continue, est J = ) - x/2, + x/2(; aux extrémités de J, 1 tg tl tend vers + co (cf. IV, p. 12, cor. 1). 4) Pour l'équation scalaire x' = sin tx, on a 1 = H = R et le second membre est borné dans 1 x H, donc (IV, p. 12, cor. 1) toute intégrale est définie dans R tout entier.

+

No 6

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV. 13

6. Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre

La prop. 6 (IV, p. 9) montre que lorsqu'une équation différentielle

est ((voisine)> d'une équation lipschitzienne x' = g(t, x) et qu'on suppose que les deux équations admettent chacune une solution approchée dans un même intervalle, ces deux solutions approchées sont << voisines )>; nous allons préciser ce résultat en montrant que l'existence de solutions de l'équation lipschitzienne x' = g(t, x) dans un intervalle entraine celle de solutions approchées de l'équation x' = f (t, x) dans le même intervalle pourvu que, dans ce dernier, les valeurs de la solution de x' = g(t, x) ne soient pas (
7. -Soient f et g deux fonctions déJinies dans 1 x H, satisfaisant aux PROPOSITION conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telles que, dans 1 x H

On suppose en outre que g soit lipschitzienne pour la constante k > O dans 1 x H, et que f soit localement lipschitzienne dans 1 x H, ou que E soit de dimensionjnie. Soient (t,, x,) un point de 1 x H, p. un nombre >O, et

Soit u une intégrale de l'équation x' = g(t, x), déJinie dans un interualle K = (t,, b( contenu dans 1, égale à x, au point to et telle que, pour tout t E K, la boulefermée de centre u(t) et de rayon ~ ( tsoit ) contenue dans H. Dans ces conditions, pour tout y E H tel que Il y - x, 11 < p, il existe une intégrale v de x' = f (t, x), définiedans K, à valeurs dans H, et égale à y au point t,; en outre, on a Ilu(t) - v(t) 1 S q(t) dans K. Soit klll l'ensemble des intégrales de x' = f(t, x), dont chacune prend ses valeurs dans H, est égale à y au point t, et est définie dans un intervalle semiouvert (t,, T( contenu dans 1 (dépendant de l'intégrale que l'on considère). D'après le th. 1 de IV, p. 10 (lorsque f est localement lipschitzienne) ou IV, p. 6, corollaire (lorsque E est de dimension finie), W n'est pas vide, et le même raisonnement que dans la prop. 3 de IV, p. 5, montre que W est inductifquand on l'ordonne par la relation <( v est une restriction de w )). Soit v, un élément maximal de klll, (t,, t,( l'intervalle où est définie v,; d'après la prop. 6 de IV, p. 9, tout revient à prouver que tl 2 6. Dans le cas contraire, on aurait

dans l'intervalle (t,, t,( en vertu de la prop. 6; dans l'intervalle compact (t,, t,), la fonction réglée g(t, u(t)) est bornée, donc, dans l'intervalle (t,, t,(, g(t, v,(t)) est bornée, puisque l'on a lIg(t, v,(t)) j/ 6 1 g(t, u(t)) / I + kq(t) dans cet intervalle.

FVR IV.14

$1

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Comme v, est solution approchée de x' = g(t, x) à cc près dans (t,, t,(, il existe un nombre M > O tel que Il'brl,(t) I/ < M dans cet intervalle, sauf aux points d'un ensemble dénombrable; le th. des accroissements finis montre alors que Ilv,(s) - v,(t) 1 6 Mls - t 1 pour tout couple de points s, t de [t,, t,[, donc (critère de Caucliy) v,(t) a une limite à gauche c au point t,, et, par continuité, on a llc - ~ ( t , 1 ) < rp(t,), donc c E H. On voit alors par IV, p. 10, th. 1 ou IV, p. 6, corollaire, qu'il existe une intégrale de x' = f(t, x) définie dans un intervalle (t,, ta( et Cgale à c au point t,, ce qui contredit la définition de v,.

- Soient F un espace topologique, f une a&dication de 1 x H x F dans E telle que, pour tout E E F, (t, x) Hf ( t , x, E) soit lipschitzienne dans I x H, et que, lorsque 5 tend vers 5,, f (t, x, 5) tende unformément vers f(t, x, 5,) dans 1 x H. Soit u,(t) une intégrale de x' = E(t, x, E,), d&nie dans un intervalle J = [ta, b[ contenu dans 1, à valeurs dans H et égale à x, au point t,. Pour toui intervalle compact [ta, t,) contenu dans J, il existe un voi.sinage V de 5, dans F tel que, pour tout E V, l'équation THÉORÈME 3.

x'

=

f(t, x,

E)

ait une intégrale (et une seule) a(i, 5) d&nie dans [t,, t,), à valeurs dans

H et égale à x, nu point t,; en outre, lorsque 5 tend vers E,, aa(t, 5) tend uniformément vers =o(t) dans dto, tlB" En effet, soit r > O tel que, pour t, < t 6 t,, la boule fermée de centre w,(t) et de rayon r soit contenue dans H; si f(t, x, 5,) est lipschitzienne pour la consek(ti-to) - 1 tante k > O dans 1 x H, prenons cc assez petit pour que cc < r; en

k

prenant V tel quc, pour tout E E V, on ait jlf(t, w, 5) - f(t, x, E,) jj < cc dans 1 x H, on répondra à Ia question en vertu de la prop. 7 de IV, p. 13; en outre, 011 a

dans (t,, t,), ce qui achève de démontrer le tl-iéorèmc. Remarque. - Lorsque H = E et que la condition (16) de IV, p. 13, est vérifiée dans 1 x E, la prop. 7 de IV, p. 13, s'applique à toute solution u de x' = g ( t , x), dans un intervalle quelconque où cettc solution est definie; on peut même supposcr que g(t, x) est lipschitzienne pour une fonction k ( t ) régléc dans K , mais non nécessairement bornéc dans cet intervallc.

7. Dépendance des conditions initiales

Soit x' = f(t, X) une équation localement lipschitzienne dans 1 x I-I; d'après le th. 2 (IV, p. 1l), pour tout point (t,, x,) de 1 x H, il existe un plus grand intervalle J(t,, x,) c 1, non réduit à un point, contenant t,, et dans lequel il existe une intégrale (et une seule) de l'équation, égale à x, au point t,; nous allons préciser la manière dont cette intégrale, et l'intervalle J(t,, x,) oh elle est définie, dépendent du point (t,, x,).

No 7

FVR IV. 15

THÉORÈMES D'EXISTENCE

TIIÉORÈME 4. - Soient f une fonction localement lipschitzienne dans 1 x H, (a, b) un point quelconque de I x H. 1" Il existe un intervalle K c 1, voisinage & a dans 1, et un voisinage V de b dans H tels que, pour tout point (t,, x,) de K x V, il existe une iztégrale et une seub ~ ( tt,,, x,) définie dans K, à valeurs dans N et égale à x, au point 1, (autrement dit, on a J(t,, x,) 3 K quel que soit (t,, x,) E K x V). 2" L'application (t, t,, x,) H~ ( tt,,, x,) de K x K x V dans H est unifor~nément continue. 3" 1-1 existe un voisinage MT c V de b clam H tel que, pour tout poinl (t, tO,x,)

EK

x K x W,

l'équation x, = u(t,, t, x) ait danr V une solution unique x égale à ~ ( tt,,, x,) (Grésolution de l'intégrale par rapport à la constante d'intégration >>). 1" Soient S une boule de centre b et de rayon r contenue dans H, JO un intervalle contenu dans 1 et voisinage de a dans 1, tels que f soit bornée et lipschitziennc (pour une certaine constante k) dans JO x S; nous désignerons par M la borne supéricure de ljâ(t, x) Ij dans J O x S. Il existe alors (IV, p. 10, th. 1) un intervalle J c JO, voisinage de a dans 1, et une intégrale v de x' = f(t, x) définie dans J, à valeurs dans S et égale à b au point a. Nous allons voir que la boule ouverte V de centre b et de rayon r/2, et l'intersection K de J et d'un intervalle )a - l, a + 14, où 1 est assez petit, répondent à la question. En effet, la prop. 7 de IV, p. 13 (appliquée à l'ensemble J, x S et au cas où oc = O) montre qu'il existe une intégrale de x' = f(t, x) d@nie dans K, à valeurs dans S, et égale à x, en un point t, E K, pourvu que l'on ait

pour tout t E K. Or, d'après le th. des accroissements finis, on a

pour tout t E K; comme /lx, (19)

Ml

< r/2, on voit qu'il suffit de prendre 1 tel que

Bp/l

+ (Ml + r/2) e2k1 < r

pour que la relation (18) soit vérifiée pour tout point (t, to, x,) de K x K x V. 2" D'après le th. des accroissements finis, on a

(20)

t ~~,

0

)

~

(

~

t2 ~7~,

0

1

)

-

tll

quels que soient t,, t,, t, dans K et x, dans V. La prop. 5 (IV, p. 7) montre que

quels que soient t et t, dans M,x, et x, dans V. Enfin, si t, et t, sont deux points quelconques de K, on a

FVR IV. 16

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

d'après le th. des accroissements finis, c'est-à-dire

comme u(t, t2, x,) est identique à l'intégrale qui, au point t,, prend la valeur u(t,, t2, x,), la prop. 5 (IV, p. 7) montre que l'on a

(22)

//"(t, tl, xo)

-

~ ( tt 2, , xo) I l G

e2k11tz- t1l

quels que soient t, t,, t2 dans K et x, dans V. Les trois inégalités (20), (21) et (22) démontrent donc la continuité uniforme de l'application (t, t,, x,) tt u(t, t,, x,) dans K x K x V. 3" D'après (20), on a Ilu(t, t,, x,) - x, // < Mlt - t,l G 2MZ dans

Si Z a été pris assez petit pour que 2M1 < r/4, on voit donc que si x, est un point quelconque de la boule ouverte W de centre b et de rayon r/4, on a ~ ( tt,,, x,) E V quels que soient t ct t, dans M. Si x = u(t, t,, x,), la fonction s Hu(s, t, x) est donc définie dans I< et égale à l'intégrale de (1) qui prend la valeur x au point t, c'est-à-dire à u(s, t,, x,) ; en particulier

D'ailleurs, si y E V est tel que x, = ~ ( t , t,, y), l'intégrale s Hu(s, t, y) prend la valeur x, au point t,, donc est identique à s tt u(s, t,, x,), et par suite prend la valeur x au point t, ce qui montre que y = x et achève la démonstration.

1. Existence des intégrales d'une 6qraation dilérentielle linéaire

Soient E un espace normé complet sur le corps Hi, J un intervalle dans R, non réduit à un point. On dit qu'une équation différentielle

où f est définie dans J x E, est une équation linéaire si, pour tout t E J, l'application x »f(t, x) est une application linéaire a$ne continue1 dc E dans lui-même; si on pose b(t) = f(t, O), l'application x Hf (t, x) - f(t, O) = f(t, x) - b(t) est donc une application linéaire continue de E dans lui-même; nous désignerons désormais cette application par A(t), et nous noterons A(t) . x (ou simplement A(t)x) sa valeur en un point x E E; l'équation différentielle linéaire (1) s'écrit donc Rappelons que si E est de dimension finie, toute application linéaire affine de E dans luimême est continue (TG, VI, p. 3 et 6 ) .

FVR IV.17

où b est une application de J dans E ; lorsque b différentielle linéaire (2) est homogène.

=

O, on dit que l'équation

Exemples. - 1) Lorsque E est de dimension finie n sur R, on peut identifier l'endomorphisme A(t) à sa matrice (ati(t))par raflort à une base (quelconque) de E (A, II, p. 144); lorsqu'on identifie un vecteur x E E à la matrice à une colonne (xi) de ses composantes par rapport à la base de E considérée, l'écriture A(t) .x de la valeur de l'application linéaire homogène A(t) au point r est bien conforme aux conventions générales d'Algèbre (A, II, p. 144, prop. 2). Dans ce cas, l'équation (2) est équivalente au système d'équations différentielles scalaires

2) Soient G une algèbre normée complète sur R, a(t), b(t) et c(t), trois applications de J dans G; l'équation

est une équation différentielle linéaire; x Ha(t)x + xb(t) de G dans elle-même.

A ( t ) est ici l'application

linéaire

Pour tout t EJ , A ( t ) est un élément de l'ensemble 9 ( E ) des applications linéaires continues de E dans lui-même (endomorphismes continus de E ) ; on sait (TG, X, p. 24) que 9 ( E ) , muni de la norme 1 Ull = sup 1 U.xII est une algèbre Il~lG l l

normée compléte sur le corps R et que l'on a I U V 1 6 1 U I . Ij Y / / . Dans tout ce paragraphe, nous supposerons que les conditions suivantes sont satisfaites: a) L'application t HA ( t ) de J dans 2 ( E ) est réglée. b) L'application t Hb ( t ) de J dans E est réglée. Lorsque E est de dimension n, 9 ( E ) est isomorphe à Rna (en tant qu'espace vectoriel topologique) et la condition a) signifie que chacun des éléments aii(t) de la matrice A(t) est une fonction réglée dans J.

I

Comme on a A ( t l ) x - A ( t ) x 1

est riglée pour tout x

E

A ( t l ) - A ( t ) 1 . /lxll, l'application

E; en outre, on a

quels que soient t E J, x, et x, dans E; en d'autres termes, le second membre de ( 2 ) satisfait aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et est lipschitzien pour la fonction réglée ljA(t)11 dans J x E. Par suite (IV, p. 12, cor. 2) : 1. -Soient t i-t A ( t) une application réglée de J dans 2 ( E ) , t Hb ( t) une application réglée de J dans E. Pour tout point (t,, xo) de J x E, l'équation linéaire ( 2 ) admet une solution et une seule, d@nie dans J tout entier et égale à x, au point t,. THÉORÈME

FVR IV. 18

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

52

2. Liméarité des intégrales d'une équation différentielle linéaire

La résolution d'une équation différentielle linéaire (2) est un problème linéaire (A, II, p. 48); l'équation linéaire homogène

est dite associée à l'équation non homogène (2) ; on sait alors (A, II, p. 48, prop. 14) que si ra, est une intégrale de l'équation non homogène (2), toute intégrale de cette équation est de la forme u + u, où u est une intégrale de l'équation homogène associée (4), et réciproquement. Nous allons d'abord étudier dans ce no les intégrales d'une équation homogène (4). PROPOSITION 1. -L'ensemble Y des intégrales de l'équation linéaire ho;mogène (4), définies dans J, est un sous-espace vectoriel de l'espace g(J;E) des applications continues de J dans E. La démonstration est immédiate. SHÉORÈME 2. -Pour tout point (t,, x,) de J x E, soit u(t, t,, x,) l'intégrale de l'équation homogène (4), deJinie dans J et égale à x, au point t,. 1" Pour tout point t E J, l'ap~licationx, tt u(t, t,, x,) est une application linéaire bijective et bicontinue C(t, t,) de E sur lui-même. 2 O L'ap@'cation t F+C(t, t,) de J dans9(E) est identique à l'intégrale de l'équation dzflrentielle linéaire homogène

qui prend la valeur I (application identique de E sur lui-même) au point t,. 3" Quels que soient les points s, t, u de J, on a

(6)

C(s,u)

=

C(s, t)C(t, u),

C(s, t)

=

(C(t,s))-l.

D'après la prop. 1, u(t, t,, x,) + u(t, t,, x,) (resp. hu(t, t,, x,)) est une intégrale de (4) et prend au point t, la valeur x, + x, (resp. hx,), donc, en vertu du th. 1 de IV, p. 17 elle est identique à n(t, t,, x, + x,) (resp. ~ ( tt,,, ho)) ; l'application x, tt u(t, t,, x,) est donc une application linéaire C(t, t,) de E dans lui-même, et on peut écrire u(t, t,, x,) = C(t, t,) .x,. Comme l'application (X, Y) HXY de 9 ( E ) x 9 ( E ) dans 9 ( E ) est continue (TG, X, p. 23, prop. 8), l'application t tt A(t ) U de J dans 9 ( E ) est réglée pour tout U E 9 ( E ); on a en outre (TG, X, p. 21) llA(t)X - 4t)YII = I l A ( W - Y) I

lIA(t) II. IIX - YIIY

donc on peut appliquer à l'équation linéaire homogène (5) le th. 1 de IV,

No 2

FVR IV. 19

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES

p. 17; soit V(t) l'intégrale de cette équation définie dans J et égale à 1 au point t,. On a (1,p. 14, prop. 3)

et pour t = t,, V(t) .x, = I.x, = x,; d'après le th. 1 de IV, p. 17), on a nécessairement V(t) .x, = C(t, t,) .x, pour tout x, E E, c'est-à-dire V(t) = C(t, t,) ; ceci démontre que C(t, t,) appartient à 9 ( E ) , autrement dit, que x, HC(t, to).xo est continue dans E, et que l'application t t+ C(t, t,) est l'intégrale de (5) égale à 1au point to. Enfin, l'intégrale s F+C(s, u) .x, de (4) est égale à C(t, u) .x, au point t, donc on a, par définition C(s, u) .x, = C(s, t) . (C(t, u) .x,) = (C(s, t)C(t, u)) .x, quel que soit x, E E, d'où la première relation (6) ; comme C(s, s) = 1, on a C(s, t)C(t, s) = Iquels que soient s et t dans J; ceci prouve (E, II, p, 18, corollaire) que C(t, t,) est une application bijective de E sur lui-même, dont l'application réciproque est C(t,, t) . Le théorème est ainsi complètement démontré.

On dit que C(t, t,) est la résolvante de l'équation (2) de IV, p. 17. COROLLAIRE 1. -L'application qui, à tout point x, E E, fait correspondre la fonction continue t HC(t, t,) .x,, dgnie dans J, est un isomorphisme de l'espace normé E sur l'espace vectoriel 9des intégrales de (4), muni de la topologie de la convergence compacte. C'est en effet une application linéaire biljective de E sur 3;dans un ensemble compact K c J, C(t, t,) est bornée, donc on a jlC(t, t,) .xoll < Mllxojl quels que soient t E K et x, E E, ce qui prouve la continuité de l'application considérée;

il est évident que son application réciproque est aussi continue.

2. -L'application (s, t) t+ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue. COROLLAIRE En effet, on a, d'après (6), C(s, t) = C(s, t,)(C(t, t,))-l; or, l'application (X, Y) HXY de 9 ( E ) x 9 ( E ) dans 9 ( E ) est continue, et il en est de même de l'application X t+ X - l du groupe (ouvert) des éléments inversibles de 9 ( E ) sur lui-même (TG, IX, p. 40, prop. 14). O n notera q u e l'application t HC(tO,t ) = (C(t, t O ) -) l admet (dans le complémentaire d'un ensemble dénombrable) u n e dérivée égale à - (C(t, t o ) ) - l (dC(t, to)/dt) (C(t, t 0 ) ) - l (1, p. 16, prop. 41, c'est-à-dire (d'après I V , p. 18, la formule (5)) à - C(to,t )A ( t ) .

COROLLAIRE 3. -Soit K un intervalle compact contenu dans J, et soit k

=

sup IIA(t) 11. t aK

Quels que soient t et t, dans K, on a lIC(t, t,) - Ill (7)

< eklt-tol

- 1.

FVR IV.20

52

ÉQUATIONS DIFFÉREWTIELLES

En effet, on a /lA(t)x,ll < kllxoj/pour tout t E K; dans K, la fonction constante près de l'équation (4) de IV, égale à xo est donc une intégrale approchée à kJlxoJ) p. 18; d'après la formule (15) de IV, p. 9, on a donc

I

IIC(t, to)xo - xoll < xoll (eklt-tol - 1) quels que soient t et t, dans IC, et x, dans E, ce qui équivaut à l'inégalité (7) d'après la définition de la norme dans 2 ( E ) .

2. -Soit B un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et permutable PROPOSITION avec A(t) pour tout t EJ; alors B est permutable avec C(t, t,) quels que soient t et t, dan^ J. En effet, on a, d'après (5)

z (BC) = BAC = ABC

et

d

2 (CB) = ACB,

d donc - (BC - CB) = A(BC - CB) ; mais BC(t,, t,) - C(t,, t,) B dt (IV, p. 17, th. 1) BC(t, t,) - C(t, t,) B = O pour tout t E J.

=

O, donc

Un cas particulier important de la prop. 2 est celui où E est muni d'une structure d'espace vectoriel norrné par rapport au corps des nombres complexes @, et où, pour tout t E J, A(t) est un endomorphisme de E pour cette structure d'espace vectoriel; cela signifie que A(t) est permutable avec l'endomorphisme continu x H-ix de E (pour la structure d'espace vectoriel sur R) ; donc C(t, t,) est permutable avec cet endomorphisme, ce qui signifie que, quels que soient t et to dans J, C(t, t,) est un endomorphisme continu de la structure d'espace vectoriel normé de E sur C. 3. Intégration de l'équation linéaire non homogène

L'intégration de l'équation linéaire non homogène

se ramène à l'intégration de l'équation homogène associée

et au calcul d'une primitive. Avec les notations du th. 2 de IV, p. 18, posons en effet x = C(t, t,) .z, d'où on tire, d'après la seconde formule (6) de IV, p. 18, z = C(t,, t) .x; si x est une intégrale de (2)) z est une intégrale de l'équation d - (C(t, t,) .z) = A(t)C(t, to).z + b(t) ; comme l'application bilinéaire dt (U, Y) H U.Y de 2 ( E ) x E dans E est continue (TG, X, p. 23, prop. 6), z admet une dérivée (sauf en un ensemble dénombrable de points de J) et on a, par la formule de

No 4

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLESLINÉAIKES

FVR IV. 21

dérivation d'une fonction bilinéaire (1, p. 5, prop. 3)

(en remplaçant dC(t, to)/dt par A(t)C(t, t,), en vertu de (5) (IV, p. 18)). L'équation en z se réduit donc à C(t, t,) .dzldt = b(t), ou encore à

d'après la seconde formule (6) de IV, p. 18. Or, le second membre de l'équation (8) est une fonction réglée dans J, étant obtenue en substituant des fonctions réglées à U et y dans la fonction bilinéaire continue U .y (cf. II, p. 6, cor. 2) ; l'équation (8) a donc une intégrale et une seule prenant la valeur x, au point to, donnée par la formule

Jio

Ik

C(t, to)C(to,s) .b(s) ds (II, p. 10, Comme on a C(t, t,) . C(t,, s) .b(s) ds = formule (9)), on obtient (en tenant compte de la première formule (6) de IV, p. 18) le résultat suivant : PROPOSITION 3. -Avec les notations du th. 2 (IV, p. 18), pour tout point (t,, x,) de J x E, l'intégrale de l'équation linéaire (2) défrnie dans J et égale à x, au poiazt to, est donnée par la formule

La méthode qui conduit à la formule (10)' et qui consiste à prendre la fonction z comme nouvelle fonction inconnue, est souvent appelée <( méthode de variation des constantes s. 4. Systèmes fondamentaux d'intégrales d'un système linéaire d'équations différentielles scalaires

Nous allons considérer dans ce no et le suivant le cas où E est un espace vectoriel de dimensionjnie npar rapport au corps C des nombres complexes (donc de dimension 2n par rapport à Hi), et où pour tout t EJ, A ( t ) est un endomorphisme de Epour la structure d'espace vectoriel sur @. On peut alors identifier A(t) à sa matrice (aij(t)) par rapport à une base de E (sur le corps C), les atj étant cette fois n2 fonctions complexes définies et réglées dans J; x, (1 < j Q n) désignant les composantes (complexes) d'un vecteur x E E par rapport à la base considérée, l'équation linéaire

F'VR IV22

ÉQUATIONS DIFF~RENTIELLES

est encore équivalente au système

Les th. 1 (IV, p. 17) et 2 (IV, p. 18) et la prop. 2 (IV, p. 20) montrent alors que, pour tout x, = (x,,)l,,c,, dans E, il existe une intégrale ct une seule RE = (u,) de l'équation

définie dans E et égale à x, au point t,; cette intégrale peut s'écrire

C(t, t,) étant une matrice carrée inversible (c,,(t, t,)) d'ordre n, dont les coefficients sont des fonctions complexes continues dans J x J et telles que t t+ c,,(t, t,) soit une primitive de fonction réglée dans J. Dans le cas particulier où n = 1, le système (3) se réduit à une seule équation scalaire

(a(t) et b ( t ) fonctions complexes réglées dans J);on vérifie aussitôt que la matrice ( A un élérnen~)C(t, t,) est égale à exp a($) ds) ; I'intégrale de (11) égale à x, au point t, cst donc donnée explicitement par la formule

(JiO

u(t)

(12)

=

r, exp

([y

a<s>di)

+

S,:

b(s) exp

([:

a(r) dr) di.

Dans l'espace Y(J; E) dcs applications continues de J dans E, muni de la topologie de la convergencc compacte, l'ensemble .Y des intégrales de l'équation (4) est un sous-espace vectoriel (sur C) isomorphe à E, donc à Cn (IV, p. 19, cor. 1, et IV, p. 20, prop. 2). On appelle systèmefondamental d'intégrales de (4) une base (q) ,de cet espace (sur le corps C) .

,

PROPOSITION 4.-Pour que n intégrales ui (1 6 j < n) de l'équation (4) formeni un systèmefondamental, il faut et il sufit que leurs valeurs ui(t,) en un point t, EJ soient des vecteurs linéairement indépendants dans E. En effet, l'application qui, à tout x, E E, fait correspondre l'intégrale t tt C(t, t,,) .x,, est un isomorphisme de E sur 9 (IV, p. 19, cor. 1 et IV, p. 20, prop. 2). Si (ejj ! ,i,, est une base quelcorique de E sur C , les n intégrales u,(t) =

C(t, t,) .e, ( I

< j < n)

No. 4

8 FVR IV.23

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

forment donc un système fondamental; si on identifie C(t, t,) à sa matrice par rapport à la base (e,),les intégrales ui ne sont autres que les colonnes de la matrice

C(t, t,). L'intégrale de ( 4 ) prenant au point t, la valeur xo

=

2 hjei

est alors

1=1

n

Étant données n intégrales quelconques uj (1 < j < n) de ( 4 ) , on appelle déterminant de ces n intégrales en un point t E J, par rapport à une base ( e J ,,i,n de E , le déterminant

des n vecteurs u i ( t ) par rapport à la base (ej)(A, III, p. 90). On a (A,III, p. 91, P'OP. 2)

(14)

A(t)

=

A(t,) det (C(t,t,)).

,.

D'après la prop. 4 de IV, p. 22, pour que (aii), ,j soit un système fondamental d'intégrales de (4), il faut et il suffit que le déterminant A ( t ) des aij soit # O en un point t, de J; la formule (14) montre alors de nouveau que A ( t ) # O en tout point de J, autrement dit que les vecteurs q ( t ) ( 1 < j < n) sont toujours linéairement indépendants.

5. - Le déterminant de la matrice C(t, t,) est donnépar laformule PROPOSITION det (C(t,t,)) = exp

(l:

T r ( A ( s ) )ds).

En effet, si on pose 8 ( t ) = det (C(t,t,)), on a, d'après la formule donnant la dérivée d'un déterminant (1, p. 8, formule ( 3 ) )

c'est-à-dire, en vertu de l'équation différentielle (5) de I V , p. 18 à laquelle satisfait C(t, t,)

Comme 6(t0) = 1, la formule ( 1 5) se déduit de l'expression (12) (IV, p. 22) de l'intégrale d'une équation linéaire scalaire. La donnée de n intégrales linéairement indépendantes de ( 4 ) détermine toutes les intégrales de cette équation, comme nous venons de le voir. Nous allons maintenant montrer que pour, 1 6 p 6 n, la donnée de p intégrales linéairement

FVR IV.24

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

52

indépendantes uj (1 < j < p) de l'équation (4) ramène l'intégration de cette équation à celle d'un système linéaire homogéne de n - p équations scalaires. Supposons que, dans un intervalle K c J, il existe n - p applications de K dans E, primitives de fonctions réglées dans Kyet telles que, pour tout t E Ky les n vecteurs u j ( t ) (1 < j < n) forment une base de E. Pour tout point tl E J, il existe toujours un intervalle K, voisinage de tl dans J, dans lequel sont définies n - p fonctions up+k(1 < k < n - p) ayant les propriétés précédentes. En effet, soit (et),,,,, une base de E; il existe n - p vecteurs de cette base qui forment avec les u,(tl) (1 < j < p) une base de E (A, II, p. 95, th. 2); supposons par exemple que ce soient ep+ . . ., e n ; comme le déterminant det (ul(t), . . .,up(t), ep+ ,, . . .,en) (par rapport à la base (ei)) est fonction continue de t et n'est pas nul pour t = tl, il existe un voisinage K de tl dans lequel il n'est pas nul; on peut donc prendre u, +, (t) = ep+, (1 < k < n - fi) pour t E K.

,,

Il existe une matrice inversible B ( t ) d'ordre n, dont les éléments sont des primitives de fonctions réglées dans Kytelle que B ( t ) .ei = u j ( t )pour 1 6 j < n. dB dy Posons x = B ( t ) . y ; y satisfait à l'équation -. y + B ( t ) .- = A ( t ) B ( t ). y , dt dt qui s'écrit aussi

où H ( t ) = (hik(t))est une matrice à coefficients réglés dans K. D'après la définition de B ( t ) , cette équation linéaire admet les p vecteurs constants ei ( 1 < j < p) comme intégrales; on en conclut aussitôt qu'on a nécessairement h j k ( t ) = O pour 1 < k < p; les composantes y, de y (par rapport à la base (e,))d'indice k 2 p + 1 satisfont donc à un système linéaire homogène de n - p équations; une fois déterminées les solutions de ce système, les dy,/dt d'indice j < p sont fonctions linéaires des y, d'indice k 2 p + 1, donc sont connues, et les primitives de ces fonctions donneront les y, d'indice j < p. En particulier, lorsqu'on connaît n - 1 intégrales linéairement indépendantes de l'équation (4) de IV, p. 22, l'intégration de cette équation est ramenée à celle d'une seule équation scalaire homogène, et par suite au calcul de n primitives. Remarques. - 1) Tout ce qui précède s'applique encore au cas où E est de dimension n sur le corps R et A(t) un endomorphisme de E pour tout t E J : il suffit de remplacer partout C par R. 2) Soit A(t) = (a,,(t)) une matrice carrée d'ordre n dont les éléments sont des fonctions réglées réelles (resp. complexes) de t dans J, et soit C(t, to) = (ct,(t, to)) la matrice resolvante du système linéaire (3) (IV, p. 22) correspondant. Soit F un espace normé complet quelconque sur R (resp. C) et considérons le système d'équations différentielles linéaires

où les fonctions inconnues y,prennent leurs valeurs dans F. Il est immédiat que la solution

No. 5

FVR IV.25

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

(uj),, j , ,de ce système telle que u j ( t o ) = d, pour 1 est donnée par les formules

< j < n (djarbitraires dansF)

Considérons en particulier le cas où A ( t ) est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie n sur C, tel qu'il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de A ( t ) ait ses éléments réels pour tout t E J. Alors ce qui précède montre (en vertu du th. 1 de IV, p. 17) que la matrice résolvante C(t, t,) par rapport à la même base a aussi ses éléments réels: il suffit en effet de considérer l'espace vectoriel E, sur W engendré par la base de E considérée, et de remarquer que la restriction de .A(t)à Eo est un endomorphisme de cet espace vectoriel.

5. Équation adjointe

L'espace E étant toujours supposé être de dimensionjnie n sur le corps C, soit E* son dual (A, II, p. 40), qui est un espace de dimension n sur C (A, II, p. 102, th. 4) ; la forme bilinéaire canonique <x, x*) définie dans E x E* (A, II, p. 41) est continue dans ce produit (étant un polynôme par rapport aux composantes de X E E et de x* EE*). Étant donnée une équation linéaire homogène (4) (IV, p. 22), où t HA(t) est une application réglée de J dans 9 ( E ) , cherchons s'il existe une application t ++v(t) de J dans E*, primitive d'une fonction réglée dans J, et telle que la fonction numérique t H ( ~ ( t )v(t)> , soit constante dans J lorsque u est une solution quelconque de (4) ; il revient au même d'écrire que la dérivée de cette fonction doit être nulle en tout point où u et v sont dérivables, c'est-à-dire qu'on doit $voir en ces points

Or, d'après (4)' on a

(2,

V(t))

=

=

-

oh - B ( t ) est la transpose'e de A(t) (A, II, p. 42). La relation à laquelle doit satisfaire v s'écrit donc

en tous les points où A(t) est continue et v(t) dérivable. Or, pour un tel point t et un point x, EEarbitraire, il existe d'après le th. 1 de IV, p. 17, une solution u de (4) telle que u(t)

x,

E E,

=

xo; on doit donc avoir

<

dv ce qui signifie que - - B(t) .v(t) dt

", di

=

dv

-

B(t) .v(t))

=

O pour tout

O. Par suite:

PROPOSITION 6. -Pour qu'une application t tt v(t) de J dans E*, primitiue d'une fonction réglée dam J, soit telle que (u(t), v(t)) soit constante dans J pour toute solution u de

FVR IV.26

$2

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

l'équation (4) de IV, p. 22, il faut et il sufit que v soit solution de l'équation linéaire homogène

oh -B(t) est la transposée de A(t). L'équation (16) est dite adjointe de (4); il est clair qu'inversement (4) est adjointe de (16). Les éléments de la matrice B(t) étant fonctions réglées de t dans J, les résultats obtenus ci-dessus sur les équations linéaires sont applicables à l'équation (16). En particulier, l'intégrale de (16) prenant la valeur x: au point to peut s'écrire H(t, to).xg, où H(t, to) est une application linéaire bijective de E* sur lui-même, identique à l'intégrale de l'équation

qui prend la valeur I au point t,. Il en résulte qu'on a (avec les notations de IV, P. 18) M t , to) Xo, H(t>to) 4) = (xo, x 3 quels que soient x0 E E et xg

E E*,

ce qui montre que

H(t, to) = C(t, to) (18) (contragrédiente de C(tJ t,)). En particulier, si on connaît un système fondamental d'intégrales de l'équation adjointe (16)) la matrice H(t, to) est déterminée, donc aussi C(t, t,), et par suite toutes les intégrales de l'équation (4). Remarque. -Soient E et F deux espaces normés complets sur R (ou sur C ) , (x, y) H(x, y> une forme bilinéaire continue dans E x F, telle que la relation (x, y> = O pour tout y E F >)(resp. (x, y) = O pour tout x E E $) entraîne x = O (resp. y = 0). <(

<(

Supposons en outre que, pour tout t E J, il existe une application linéaire continue

B(t) de F dans lui-même, telle que l'on ait (A(t). x, y> + (x, B(t). y> = O pour tout

(x, y) E E x F. Dans ces conditions, on voit comme ci-dessus que, pour qu'une application t~ v(t) de J dans F, primitive d'une fonction réglée, soit telle que (u(t), v(t)> soit constante pour toute intégrale u de (4), il faut et il suffit que v soit intégrale de l'équation (16), qu'on appelle encore l'adjointe de (4).

6. Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Nous supposons de nouveau que E est un espace normé complet quelconque sur R; soit A un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et considérons l'équation linéaire homogène

Lorsque E est de dimension Jnie, l'équation (19) est équivalente à un système homogène (3) (IV, p. 22) d'équations différentielles scalaires, où les coefficients ai, sont des constantes.

No 6

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

FVR IV.27

D'après le th. 1 (IV, p. 17), toute intégrale de (19) est définie dans R tout entier; d'après le th. 2 (IV, p. 18), l'intégrale de (19) prenant la valeur x, en un point t, E R peut s'écrire C(t, t,)x,, où C(t, t,) est une application linéaire bijective et bicontinue de E sur lui-même, satisfaisant à l'équation

et telle que C(t,, t,) = I. On a en outre ici l'identité (21)

C(t

+

7,

tO

+

7)

=

+

C(t, tO)

quel que soit z E : en effet, on a dC(s, t, z)/ds = AC(s, t, et, comme A est constant, il en résulte qu'on a aussi

+ 7 ) d'après (20),

d'autre part d'où l'identité (21), puisque l'intégrale de (20) égale à I au point t, est unique. Si on pose C,(t) = C(t, O), on a donc C(t, t,) = C,(t - t,); d'autre part, pour tout h E ]ta, C',(At) est identique à l'intégrale de l'équation

qui prend la valeur I au point O. Nous poserons la définition suivante: DÉFINITION 1. - Étant donné un endomorphisme continu A de E, on désigne par eA ou exp A l'automor~hismede E égal à la valeur au point t = 1 de l'intégrale de I'équation (20) qui prend la valeur I au point t = 0. Avec cette notation, les remarques qui précèdent la déf. 1 montrent que C(t, t,) = exp (A(t - t,)). (23) La notation exponentielle ainsi introduite et justifiée par les propriétés suivantes, qui sont tout à fait analogues à celles de la fonction exp z, pour z réel ou complexe (cf. III, p. 8 et 16): PROPOSITION 7. - l 0 L'application X t+ ex est une application continue de 9 ( E ) dans le groupe des automorphismes de E (éléments inversibles de Y(E)). 2O L'application t t+ ext de W dans 9 ( E ) est dérivable et on a

FVR IV.28 3O

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES

Quel que soit X E 9 ( E ) , on a

la série du second membre étant absolument et uniformément convergente dans toute partie bornée de 9 ( E ) ; en particulier, eit = e t Ipour t E HP. 4O Si X et Y sont permutables, Y et eYsont tous deux permutables avec ex, et on a La relation (24) résulte de l'expression (23) de C(t, O) et du fait que cette fonction est intégrale de (20) ; de (24) on déduit par récurrence sur n que t t-t ext est indéfiniment dérivable dans R et que l'on a Dn(ext)= Xn ext. D'après la formule de Taylor, on peut donc écrire (2 7)

X eX=I+l!

X"

+-

2!

xn

+...+r+ Xn+l n.

' (1 - t)" ext dt.

j,

n!

D'autre part, le cor. 3 de IV, p. 19, montre que lleXt1 < exp ( IIXll. It 1). Donc 1 (1 - t)" le reste rn(X) = X n + l ---i-ext dt de la formule (27) satisfait à l'inégalité n.

Io

d'où on déduit la formule (25), la série du second membre étant absolument et uniformément convergente dans toute partie bornée de L?(E). Pour tout couple d'éléments X, T de .Y(E), on a donc

Or, on peut écrire (X + T)" - Xn =

V,V,.

(VI)

. . Vn,

la somme étant

étendue aux 2n - 1 suites (VJ d'éléments de 9 ( E ) telles que & = Xou V, = T pour 1 < i < n, un au moins des Vi étant égal à T; on en conclut aussitôt l'inégalité Il(X+ Tln - Xnll

<

(IlXII

+

IITll)n - llXllnt

d'où (28)

Ilexp(X+T)-exPXII~exP(Ilxll+IITll)-eXPIIXIl

ce qui établit la continuité de l'application X ++exp X. Enfin, si X et Y sont permutables, Y est permutable avec ext (IV, p. 20, prop. 2), donc on a

No 6

FVR IV.29

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Comme d'autre part eXteYtest égal à I pour t = O, on a eXteYt= e(x+Y)t, d'où la formule (26). De cette dernière, on déduit en particulier que, pour s et t réels quelconques, on a t) = eXseXt

(29) et aussi que (30)

On notera par contre que la formule (26) n'est plus exacte lorsqu'on ne suppose pas X et Y permutables: elle entraînerait en effet que exp X et exp Y sont toujours permutables, ce qui n'est pas le cas, comme le montrent des exemples simples (IV, p. 41, exerc. 3).

Supposons maintenant que E soit un espace vectoriel de dimensionjnie sur le corps C, et A un endomorphisme de E (pour la structure d'espace vectoriel sur C) qu'on peut identifier à sa matrice par rapport à une base de E; pour tout t E R, eAtest alors un automorphisme de E pour cette même structure (IV, p. 20, prop. 2). Soient rk (1 < k < q) les racines distinctes (dans C) du polyndme caractéristique cp(r) = det (A - rI) de l'endomorphisme A (((racines carac4

téristiques u de A) ; si nk est l'ordre de multiplicité de rk, on a

2 n,

=

n. On sait

k=l

(A, VIX, 4 5, no 3) qu'à chaque racine rk correspond un sous-espace E, de E, de dimension n,, tel que E, soit stable par A, et que E soit somme directe des E,: E, peut être défini comme le sous-espace des vecteurs x tels que

Soit a un vecteur quelconque de E; on peut &rire a

=

5

k=l

a,, où a,

l'intégrale de l'équation (19) de IV, p. 26, prenant la valeur a au point t donc donnée par

Mais comme a,

E E,,

E

=

E,;

O est

on a

Toute intégrale de l'équation (19) de IV, p. 26, peut donc s'écrire

où pk(t) est un polynôme par rapport à t, à coefficients dans l'espace vectoriel E,, et de degré 6 nk - 1. En particulier, si toutes les racines de l'équation

F V R IV.30

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

32

caractéristique de A sont simfiles, les espaces E, (1 < k < n) sont tous de dimension 1 sur le corps Cl, et il existe donc n vecteurs c , tels que les n fonctions er&, ( 1 < k 6 n) formcnt un système fondamental d'intégrales de l'équation (19) de I V , p. 26. Lcs racines caract6ristiques de l'cndoinorphisme A sont encore appelées les racines caracté~istiqziesde l'équation linéaire (19) de IV, p. 26. O n observera qu'on obtient l'équation caractéristique de A en exprimant que la fonction ceftest intégrale de (19) poi?r un vecteur c # 0. Lorsque l'on a déterminé explicitement les racines r, (1 < k < q), ainsi que l'ordre de multiplicité n, de r,, on obtient en pratique les intégrales de (19) en écrivant que cette équation est vérifiée par l'expression (32) de IV, p. 29, où pk est un polynôme arbitraire de degré < n, - 1, à coefficients dons E ; en identifiant, dans les deux membres de l'équation obtcnuc, lcs cocfficients de erkt (pour 1 < k < q), on obtient des équations linéaircs par rapport aux coelricients des polynômes p,: on constate aisément que ces équations detcrmincnt les cocficients des termes de dcgré > O de p, en fonction du tîrme constant, et que ce dernier est solution de l'équation (A - r,I)"k . x = 0, qui définit le sous-espace Ek (((méthodedes cocfficients indéterminés >)). Remarque. - Lorsqu'il existe une base de E telle que la matrice de A par rapport à cette basc ait scs éléments réels (cf. IV, p. 24, Remarque 2), l'équation caractéristique de A a ses coefficients réels. - Pour tout vecteur x = (t,),,,,, de E, rapporté à la base considérée, soit S = (t,),,,,,; l'application x-X est une involution antilinéaire de E. O n saii (A, VII) que, si r , est une racine non réelle de l'équation caractéristique de A, E, le sous-espace stable correspondant, alors 7, est une racine caracteristique ayant même ordre de multiplicité n, que ri<,et l'image EL de Ek par l'application x t-t I est le sous-espace stablc correspondant à T,. O n en déduit que si u, (1 < j < n,) sont nk intégralcs linéairement indépendantes à valeurs dans E,, les 2nk intégralcs u, + ü,, i ( u j - U,) sont linCairement indépendantes et ont, par rapport à la base choisie dans E, des composantes qui sont des fonctions rblles de E. Si r , est une racine caractéristique réelle, la Remarque 2 de IV, p. 24, montre (avec les mêmes notations) qu'il existe n, integrales linéairement indépendantes v, (1 < j < n,) à valeurs dans E, et qui ont leurs composantes réelles. O n obtient de la sorte un système fondamental d'intégrales de (19) dont les composantes sont toutes réelles.

7. Équations linéaires d'ordre n

On appelle équation dzj5érentielle linéaire d'ordre n toute équation de la forme

où les a, (1 6 k 6 n) et b sont des fonctions scalaires (complexes) de la variable réelle t, définies dans un intervalle ,J de R. Lc procédé général de I V , p. 2, montre que cette équation équivaut au système linéaire de n équations du premier ordre

FVR IV.3 1 c'est-à-dire à l'équation linéaire

où on a posé x = (x,, x2, . . .,x,) A(t) est définie par

E Cn, b(t) =

(0, 0, . . ., 0, b(t)), et où la inatrice

L'étude de l'équation linéaire d'ordre n consistc donc à appliquer à l'équation linéaire particulière (35) les résultats généraux qui précèdent. Pour tout intervalle J où les fonctions ai (1 < j < n) et b sont réglées, il existe une fonction et une seule u, définie dans J, admettant dans cet intervalle une dérivée (n - 1)-ème continue et une dérivée n-ème réglée (sauf aux points d'un ensemble dénombrable), satisfaisant à l'équation (33) dans le complémentaire d'une partie dénombrable de J, et telle que où to est un point quelconque de J, x,, xh, . . .,xg-l), n nombres complexes arbitraires. Pour que p intégrales ui (1 < j < p) de l'équation homogène Dnx - al(t)Dn-lx - . - an-l(t)Dx - an(t)x = O (37) associée à (33), soient linéairement indépendantes (dans l'espace % ,J(' C) des applications continues de J dans C, considéré comme espace vectoriel sur C), il faut et il suffit que lesp intégrales correspondantes u j = (uj, Duj, . . .,Dn-luj) de l'équation homogène dxldt = A(t) .x soient linéairement indépendantes (dans l'espace %'(J; Cn) des applications continues de J dans Cn). Il est évident en effet que la condition est nécessaire. Inversement, s'il existe n constantes complexes hi non toutes nulles telles qu'on ait identiquement

déduit

5

j=l

3

i=1

hiui(t)

=

hiDkuj(t) = O dans J pour tout entier k tel que 1

qui signifie que l'on a

2

i=l

bui("

=

O dans J, on en

4 n - 1, ce

O dans J.

Par suite (IV, p. 19, cor. 1) : PROPOSITION 8. - L'ensemble des intégrales de l'équation linéaire homogène (37), d@nies dans J, est un espace vectori?'elde dimension n sur le corps C.

FVR IV.32

ÉQUATIONS DIFF~RENTIELLES

52

Étant données n intégrales quelconques u j (1 < j 6 n) de l'équation (37), on appelle wromkien de ce système d'intégrales le déterminant (par rapport à la base canonique de Cn) du système des n intégrales correspondantes u j dc l'équation dxldt = A(t) .x,c'est-à-dire la fonction

Pour que les n intégrales u j soient linéairement indépendantes, il faut et il suffit que W(t) # O dans J; d'ailleurs, il suffit pour cela que W(t,) # O en un point t, de J (IV, p. 22, prop. 4) ;en outre, on a (IV, p. 23, prop. 5)

Identifions la résolvante C(i, t,) de l'équation (35) à sa matrice par rapport à la base canonique de 6"; les colonnes vj(t, t,) (1 < j < n) de cette matrice sont alors n intégrales linéairement indépendantes

de l'équation homogène dxldt = A(t) .x, qui correspondent aux n intégrales linéairement indépendantes uj(t, t,) de l'équation (37), telles que Dk--'uj(to,t,)

=

8jk

(indice dc Kronecker) pour 1 6 j < n, 1 6 k 6 n (en convenant de poser DOui= uj). Il en résulte en particuIier que la méthode de variation des constantes (IV, p. 21) appliquée à l'équation (35) donne ici comme intégrale particulière de (33), égale à O ainsi que ses n - 1 premières dérivées au point to, la fonction

Dans le cas particulier de l'équation Dnx = b ( t ) , la formule (39) redonne la formule exprimant la primitive n-ème de la fonction réglée b(l) qui s'annule ainsi que ses n - 1 premières dérivées au point t, w(t) =

Io

( t - s)"-l b(s) ( n - l ) ! ds

(II, p. 13, formule (19)): l'intégrale de Dnx = O qui est nulle ainsi que ses n - 2 premières dérivées a u point t,, et dont la dérivée (n - 1)-ème est égale à 1 en ce point, est en effet le polynôme (t - to)n-l/(n - 1) !.

No 8

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES

FVR IV.33

8. Equations linhaires d'ordre n à coefficients constants

Si, dans l'équation (33), les coefficients ai sont constants, la matrice correspondante A est constante; l'équation caractéristique correspondante s'obtient en écrivant que ert est solution, ce qui donne

Soicnt rj (1 6 j 6 q) les racines distinctes de cette équation,

lzj

(1 6 j

< q)

4

l'ordre de multiplicité de la racine î; (

2 ni

=

n). D'après les résultats de IV,

j=1

p. 26 à 32, à chaque racine ri correspond, pour l'équation homogène

un système de ni intégrales linéairement indépendantes

oùp,, est un polynôme (à coefficients complexes) de dcgré 6 ni - 1 (1 ,< k 6 n,) ; en outre, les n intégrales uik (1 6 j 6 q, 1 6 k 6 n,) ainsi obtenues sont linéairement ind&endantes. 11en résulte quc les n, polynômesp,, (1 6 k 6 nj) sont linéairement indépendants dans l'espace des polynômes en t de degré 6 ni -- 1, donc forment une base (sur B*) de cet espace, puisque cc dernier est de dimension ni. h t r e m e n t dit : PROPOSITION 9. -Soient r, (1 6 j 6 q) les racines distinctes de l'équation caractéristique (40), et soit ni l'ordre de multiplicité de la racine ri (1 < j 6 q). Les nfonctions t"erlt (1 6 k 6 ni, 1 ,< j < q) sont des inLégrales linéairement indépendantes de l'iquation homogène (41). On peut ddmontrer ce résultat dircctcment de la façon suivante. Il résulte dc l'équation (41) quc la dérivée n-ème dc toute intégrale de cette équation est dérivable dans R,d'où on déduit aussitôt, par récurrence sur l'entier nz > ~z,que toute intégrale de (41) admet une dérivée d'ordre m, autrcmcnt dit, est indgniment dérivable dans IR. Soit 9 l'espacc vectoriel sur (C: (non topologique) des fonctions complexes indéfinimcnt dérivables dans %a; l'application x t+ Dx est un endomorphisme de cet espace, et l'équation (41) peut s'écrire

où f(D)

=

DR - a,Dn-l - . . . -

a,-,D

-

a, (A, IV, $ 2,no 1).

PROP~SITIQN 10. -Soient g et h deux polynômes premiers enlre eux tels que f = gh. Le sous-espace des solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des deux équations g(D)x=O, h(D)x=O.

FVR IV.34

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES

52

En effet, en vertu de l'identité de Bezout (A, VII, tj 1, no 2, th. l), il existe deux polynômes p(D) et q(D) tels que p(D)g(D) q(D)h(D) = 1. Pour toute solution x de (42), on peut donc écrire x = y + z, où y = p(D)g(D)x et z = q(D)h(D)x, et on a h(D)y =p(D)(f (D)x) = O, et g(D)z = q(D)(f (D)x) = O. D'autre part, si on a à la fois g(D)x = O et h(D)x = O, on en tire

+

ce qui achève la démonstration. Avec les notations précédentes, on peut alors écrire

n 4

=

3=1

(D -

,)nj

et la prop. 10, appliquée par récurrence sur q, montre que le sous-espace des solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des q équations (43) (D - r j ) ? x = O (1 < j < q). Or, pour tout nombre complexe r, on a

et par suite l'équation (43) équivaut à et a donc pour solutions les fonctions erjt p,(t), où pj parcourt l'ensemble des polynômes de degré < nj - 1;on retrouve ainsi la prop. 9 de IV, p. 33. L'équation homogène (41) étant supposée résolue (c'est-à-dire que les racines caractéristiques sont supposées déterminées), on sait que la méthode de variation des constantes permet de trouver les solutions de l'équation non homogène DnX - alDn-l x - . . . - a,-,Dx - anx = b(t) (45) où b(t) est une fonction réglée quelconque (IV, p. 21) ; on notera que si b(t) est ind$niment dérivable dans un intervalle J, toutes les intégrales de (45) sont indéfiniment dérivables dans J. Dans le cas particulier b(t) = eatp(t), où p est un polynôme (à coefficients complexes) et ci un nombre complexe quelconque, on obtient plus simplement une intégrale de (45) de la façon suivante. Posons x = ewty; l'équation f (D)x = eatp(t)

s'écrit d'après (44)

f (ci + D)Y = P(t) ou encore, en vertu de la formule de Taylor appliquée au polynômef (D),

No 9

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLESLINÉAIRES

FVR IV.35

m

Soit m le degré du polynôme P(t)

=

C hktm-k;sif (a) # O (c'est-à-dire si a

k=O

n'est pas racine caractéristique), il existe un polynôme et un seul u(t)

z m

=

k=O

cktm-k

de degré m, solution de l'équation (46), car les coefficientsc, sont déterminés par le système d'équations linéaires

qui admet évidemment une solution et une seule. Si au contraire a est une racine caractéristique, et si h est son ordre de multiplicité, le calcul précédent montre qu'il existe un polynôme et un seul v(t) de degré m, tel que toute solution de Dhy = v(t) soit une intégrale; autrement dit, tout polynôme solution de (46) est alors de degré m + h (<(résonance ))). 9. Systemes d'équations linéaires à coefficients constants

Avec les notations du no 8, considérons plus généralement un système de m équations différentielles de la forme

où les inconnues x, (1 6 k 6 n) et les seconds membres bi (1 6 j 6 m) sont des fonctions complexes de la variable réelle t, et où les pik(D) sont des polynômes (de degré quelconque) à coefficientsconstants (complexes) par rapport à l'opérateur de dérivation D (1 < j 6 m, 1 6 k 6 n). De tels systèmes ne sont pas du même type que ceux considCrés dans IV, p. 2, (formule (5)), comme le montre l'exemple suivant:

Nous nous bornerons au cas où les bj(t) sont les fonctions ind@niment dérivables dans un intervalle J, et nous chercherons seulement les solutions (x,), indéfiniment dérivables dans J. En posant b(t) = (b,(t), . . ., bm(t)) (application de J dans Cm),et x = (x,, x,, . . ., xn), le système (47) peut s'écrire

,<,

où P(D) est la matrice (p,,(D)) à m lignes et n colonnes, dont les coefficients

FVR IV.36

§2

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES

appartiennent à l'anneau C[D] des polynômes en D, à coefficients dans C. Soient J.(D) (1 6 j 6 r < Min(m, n)) les invariants de similitude non nuls de la matricc P(D) ; on sait (A, VII, $ 5, no 1) que ce sont des polynômes unitaires bien déterminés, tels que f. divise A.+, pour 1 6 j 6 r - 1 (r étant le rang de P(D)); en outre, il existe deux matrices carrées U(D) et V(D), d'ordres respectifs m et n, inuersibles (dans les anneaux de matrices carrées d'ordre m et n respectivement, à coefcients dans l'anneau C[D] des polynômes en D à coefcients complexes), et telles que la matrice Q(D) = (qjlc(D))= U(D) P(D) V(D) ait tous ses termes nuls, à l'exception des termes diagonaux qj3(D) = f.(D) pour 1 < j 6 r. Posons alors y = V-l(D)x; l'équation (49) est équivalente à l'équation

puisque U(D) est inversible. Or, si y U(D)Wt)

=

=

(y,, y,,

(c,(t),

a ,

. . .,y,),

et si

cm(t)),

l'équation (50) s'écrit

Le système n'admet donc de solutions indéhiment dérivables que si les conditions (52) sont vérifiées; la détermination des yj d'indice j < r se ramène alors à l'intégration de r équations diff6rentiellcs linéaires à coefficients constants (51) ; les y, d'indice > r sont des fonctions indéfiniment dérivables arbitraires. Une fois les solutions y de l'équation (50) ainsi déterminées, on en déduit les solutions de (47) par la formule x = V(D)y. Remarques. - 1) Certains des polynômesf,(D) pcuvcnt se rkduire à des constantes non nulles; les y, correspondants sont alors entièrement déterminés. 2) Lorsque les 6, sont tous nuls, c'est-à-dire que le système (47) est homogène, les conditions (52) sont toujours vérifiées; si en outrc r = n, on voit que l'ensemble des solutions dc (47) est un espace vectoriel sur C , de dimension égale à la somme des degrés desf,(D), c'est-à-dire au degré dc dct(P (D)). 3) Les polynômes fijk(D) étant donnés, un système (47) qui admet des solutions lorsque les seconds membres sont indéfiniment dérivables (ou dérivables jusqu'àun ccrtain ordre) peut ne pas en admettre lorsque les seconds membres sont des fonctions réglées quelconques: c'est ce que montre I'excmple (48), qui n'admet pas de solution lorsque a ( t ) n'est pas une primitivc. Nous n'entreprendrons pas ici de rechercher les conditions supplémentaires de possibilité qui s'introduisent ainsi lorsque les seconds membres sont des fonctions réglées quelconques.

Exercices

1) a) Avcc les notations de IV, p. 4, on suppose que f est uniformément continue dans J x S. Démontrer alors la prop. 3 de IV, p. 5, sans faire usage de l'axiome de choix. (Soit 8 tel que les relations It2 - tll < 6, jlxz - xlj/ < 6 entraînent ljf (t,, x,) - f (t,, x,) I < E; considérer une subdivision de J en intervalles de longueur < inf(S, 6/M) et définir par récurrence la solution approchée.) 6) Lorsque E est de dimension finie, et que f est lipschitzienne dans 1 x H, démontrer la prop. 3 de IV, p. 5, sans fairc usage de l'axiomc dc choix. (Remarquer que, pour tout S > 0, il existe un nombre fini de points xi de S tels que tout point de S soit à une distance < S d'un des xi; procéder ensuite comme dans a) en considérant les fonctions réglées t Hf (t, x,), en nombre fini.)

2) Étant donnés deux nombres b > O, M > O et un nombre arbitraire

E > O, donner un exemple d'une équation différentielle scalaire x' = g ( x ) telle que Ig(x)1 < M pour 1x1 < b et qui admet une intégrale x = u(t) continue dans l'intervalle ) - b/M - E, b/M + E(, mais b qui n'a pas de limite finie a u point x = - E (définir g de sorte que l'intégrale considérée M b b ait une dérivéc continue dans ) - - - E, - E(, cette dérivée étant égale à la constante M M M dans (- b/M, b/M)).

+

+

3) Soient S c H une boule ouverte de centre xo et de rayon r, f une fonction lipschitzienne pour la constante k > O dans I x S ; on suppose en outre que t ++ f (t, xo) est bornée dans 1 et on désigne par Mo la borne supérieure de /If (t, xo)Ij pour t E 1. Montrcr que pour tout t, E 1, il existe une intégrale u de x' = f (t, x), à valeurs dans S, égale à xo a u point t,, et définie dans l'intersection de 1 et de l'intervalle )to - A, to f ?,(, où

(remarquer que l'on a Ilu(t)

7 4)

+

- xo 1 < M(t - to) + k

1:

jlai(s)

- x01 ds

pour t > t,).

Soient 1 = )to - a, to a( un intervalle ouvert dans R, S une boule ouverte de centre xo et de rayon r dans E, f une fonction localement lipschitzienne dans 1 x S. Soit (s, z) H h(s, z ) une fonction 2 O définie et continue pour O < s < a et O < z < r, telle que, pour tout s E (O, a) l'application z i-t h(s, z ) soit croissante; on suppose que dans 1 x S, on ait Ijf (t, x) 11 < h(l t - toi, llrv - xo11). Soit
h(s, O dans (O, toute intégrale de x' = f (t, x) est définie dans 1 tout entier.

+

+

+

7 5)

Soit E l'espace normé complet formé des suites x = (x,) de nombres réels telles que lim x, = 0, normé par llxjl = sup lxn/.Pour tout entier n > O, soit enla suite dont tous les

. , arn

&-&es sont nuls, à l'exception du'terme d'indice n, égal à 1;l'espace E est somme directe d u sous-espace V, de dimension 2 engendré par en et e,,,, et sous-espace fermé W, engendré

FVR IV.38

$1

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

+

par les e, d'indice k distinct de n et de n 1. Soit fn une fonction continue et lipschitzienne dans E, à valeurs dans E, constante sur toute classe modulo Wn, égale à en+^ - en sur la droite joignant en et entl, et égale à O dans l'intersection de Vn et de la boule ljxl] < 4. D'autre part, pour tout entier n > O, soit cpn une fonction numérique définie et continue 1 dans I'intervalle égale à O aux extrémités de cet intervalle, et telle que

[zi],

j ~ ~cpn(t) ~ ,dt,= 1. Soit 1l'intervalle (0, 1) dans R; on considère dans 1 x

E la fonction f,

à valeurs dans E, définie comme suit: f (O, x) = O quel que soit x E E; pour

1 < t < n1 n + l -9

f (t, x) = cpn(t)fn(x).Montrer que f est continue et localement lipschitzienne dans 1 x E, mais qu'il existe une intégrale u de l'équation x' = f (t, x), définie et bornée dans )O, 11, égale à en pour t = lln, et par suite ne tendant vers aucune limite lorsque t tend vers O.

a

6) a) Soit 1 = (0, fCO(;si f est lipschitzienne dans 1 x E pour une fonction réglée k(t) dt soit convergente, montrer que toute intégrale de k(t) > O telle que l'intégrale l'équation x' = f (t, x) est définie dans 1tout entier. b ) Si en outre l'intégrale j,f"O Ijf (t, x,) 1 dt est convergente (pour un certain point x, E E), montrer que toute intégrale de x' = f (t, x) tend vers une limite finie lorsque t tend vers + co (montrer d'abord que toute intégrale est bornée lorsque t tend vers + a ) .

Sirn

7) On considère le système d'équations différentielles scalaires

où les ciil< sont des constantes telles que ckji = -cijk. Montrer que les intégrales de ce sysn

tème sont définies pour toutes les valeurs de t (remarquer que intégrale x = ( x i ) ) .

2 x,2 est constante pour toute

<=1

8) Soit f une fonction définie dans 1 x H, satisfaisant aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telle que, pour une constante k telle que O < k < 1, et pour un point t, E 1, on ait, quels que soient t E 1et xl, x2 dans H

Montrer que, si u et v sont deux solutions approchées de l'équation x' = f (t, x) à cl et E, près respectivement, définies dans 1, à valeurs dans H et prenant la même valeur au point t,, on a, pour tout t E 1 En déduire que les th. 1 (IV, p. IO), 2 (IV, p. 11) sont encore valables pour l'équation x' = f (t, x) dans les conditions indiquées.

r/ 9) Soient 1 un intervalle dans R, to un point de 1, S une boule de rayon r et de centre x, dans E, G l'espace normé des applications bornées de 1 x S dans E, la norme d'une telle application f étant la borne supérieure I/f /j de lIf (t, x) 1 dans 1 x S. Pour tout M > 0, soit GMla boule llf l j < M dans G. Soit L la partie de G formée des applications lipschitziennes de 1 x S dans E; pour toute fonction f E L n G,, soit u = U(f) l'intégrale de x' = f (t, x), telle que u(to)= x,, à valeurs dans S et définie dans l'intersection J, de 1et de l'intervalle r )to - r ,to -( (th. 1). M LM a) Soit (f,) une suite de fonctions appartenant à L n 6,; si fn converge uniformément dans 1 x S vers une fonction f, toute valeur d'adhérence (pour la topologie de la convergence compacte) de la suite des un = U(fn) dans l'espace F des applications bornées de J, dans E, est une intégrale de x' = f(t, x) prenant la valeur xo au point to. Réciproquement, toute

+

FVR IV.39

EXERCICES

intégrale v de x' = f (t, x) définie dans J, et telle que v(to) = xo, est aussi intégrale d'une équation x' = g(t, x), où g est lipschitzienne et arbitrairement voisine de f dans G (considérer I'équation b) On suppose en outre que E soit de dimension $nie. Montrer que si f E G, satisfait aux conditions du lemme 1, pour tout t E J,, l'ensemble H(t) des valeurs au point t des intégrales de x' = f (t, x) qui prennent la valeur xo au point t,, est un epsemble compact et connexe (pour voir que H(t) est fermé, utiliser le th. d'Ascoli; pour voir qu'il est connexe, utiliser a) : si xl, x2 sont deux points de H(t), et c > O un nombre arbitraire, montrer qu'il existe un ensemble connexe
1% - xol < b de R2. Soit M la borne supérieure de 1f (t, x)l dans P, et 1 = )to - a, t, + c(,

où a = inf (a, b/M). Montrer que l'enveloppe supérieure et l'enveloppe inférieure de l'ensemble @ des intégrales de x' = f (t, x) définies dans 1et prenant la valeur xo au point t,, sont encore des intégrales de x' = f (t, x), qu'on appelle respectivement intégrale maximale et intégrale minimale de cette équation, correspondant au point (to, xo) (remarquer que l'ensemble 4> est équicontinu et fermé pour la topologie de la convergence uniforme dans 1). Pour tout T E 1, soit E la valeur de l'intégrale minimale (correspondant à (t,, x,)) au point 7. Montrer que l'intégrale minimale correspondant au point (T, 5) est identique à l'intégrale minimale correspondant au point (to, xo) dans un intervalle de la forme (2, -r + h( si r > to, de la forme) T - h, T) si T < to. En déduire qu'il existe un plus grand intervalle ouvert )t,, t2( contenant t, et contenu a(, tel que l'intégrale minimale u correspondant au point (t,, x,) puisse dans )t, - a, to être prolongée par continuité à )tl, ta( de sorte qu'en tout point t de )tl, t,(, u (t) appartienne à )xo - b, xo b( et que u soit identique à l'intégrale minimale correspondant au point (t, u(t)) h( si t > to, de la forme) t - h, t) si t < t,; montrer dans un intervalle de la forme (t, t en outre qu'on a, soit t1 = to - a (resp. t2 = to a) soit lim u(t) = xo $. b (resp. lim u(t) =

+

+

+

+

t-tl

t-tz

11) a) Dans le pavé P: It - toi < a, 1% - xol < b, soient g et h deux fonctions numtriques continues telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit u (resp. v) une intégrale de x' = g(t, ,Y) (resp. x' = h(t, x)) telle que u(to) = xo (resp. v(to) = xo) définie dans un intervalle (t,, to + c(; montrer que, pour to < t < to c, on a u(t) < v(t) (considérer la borne supérieure -r des t pour lesquels cette inégalité a lieu). b) Soit ul'intégrale maximale de x' = g(t, x) correspondant au point (t,, x,) (exerc. IO), définie dans un intervalle (to, t, + c(, à valeurs dans lx - xol < b. Montrer que, dans tout intervalle compact (t,, to d ) contenu dans (t,, to c(, l'intégrale minimale et l'intégrale maximale E correspondant au point (t,, x,) sont définies dès que E > O de l'équation x' = g(t, x) est assez petit, et convergent uniformément vers u lorsque E tend vers O par valeurs > 0. c) Soient g et h deux fonctions numériques définies et continues dans P et telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit (t,, t, f c( un intervalle dans lequel sont définies une intégrale u de x' = g(t, x) telle que u(to) = x,, et l'intégrale maximale v de x' = h(t, x) correspondant au point (to,x,). Montrer que, dans cet intervalle, on a u(t) < v(t) (se ramener au cas a) à l'aide de b)).

+

+

+

+

12) Soit u l'intégrale de l'équation x' = A

x2 +égale à O pour t = O, 1 + ta 3

et soit J le plus

grand intervalle d'origine O dans lequel u est continue. a) Montrer que, si h 6 on a J = (0, CO( (utiliser l'exerc. 4 de IV, p. 37).

a,

+

FVR IV.40

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

b) Montrer que, si h > $, on a J = (O, a(, avec

(poser x = y d l

+ t2, et utiliser lyexerc.Il).

7 13) a) Soit 1 = (t,, to f c), et soit w une fonction numérique continue et > O définie dans 1 x R. Soit S une boule de centre x, dans un espace normé complet E, et soit f une application continue de 1 x S dans E telle quc, quels que soient t E 1, x, E S et x2 E S, on ait . u et v deux intégrales de x' = f (t, X) définies llf(t, x,) - f (t, x,) jl < w(t, lix, - ~ ~ 1 1 )Soient dans 1, à valeurs dans S, tdles que u(to) = x,, v(to) = x2; soit w l'intégrale maximale exerc. 10) de z' = w(t, z) corrcspondant a u point (t,, jjx, - x21/),et supposée définie dans 1; montrer que, dans 1, on a jju(t) - v(t) li < ~ ( t ) (Soit . w(t, E) l'intégrale maximale de z' = w(t, z) + E correspondant au point (t,, llx, - x21/),où E > O est assez petit. Montrer que Ilu(t) - v(t) 11 < rei (t, E) pour tout E > O, en raisonnant par l'absurde.) b) Dans l'énoncé des hypothèses de a), on rcmplace 1 par l'intervalle 1' = )t, - c, t,). Montrcr que, si w est, dans cet intervalle, l'intégrale minimale de z' = w(t, z) correspondant a u point (to, Ijx, - x2jl), on a, dans 1', Ilu(t) - v(t) 1 2 w(t) (même mbthode). 7 14) a) Soit w(t, z) une fonction numérique continue et > O définie pour O < t < a et z > O. O n suppose que z = O soit la seule intégrale de z' = w(t, z) définie pour O < t < a et telle que lim z(t) = O et lim z(t)/t = O. Soient I = (t,, to + a(, S une boule de centre x, t+o

t-O

dans E, f une application continue de 1 x S dans E telle que, quels que soient t E 1, x, E S et x2 E S, on ait Ijf (t, x,) - f (t, x2) I < w(lt - toi, jlx, - x2 11). Montrer que, dans un intervalle d'origine t, contenu dans 1, l'équation x' = f (t, x) ne peut avoir qu'une seule solution u telle que u(to) = x,. (Raisonner par l'absurde: si v est une seconde intégrale de x' = f ( t , x), minorcr llu(t) - v(t) j/ dans un intervalle d'origine t,, à l'aide dc l'exerc. 13 b), et obtenir ainsi une contradiction.) Appliquer au cas où o(t, z) = k(z/t) avec O < k < 1 (cf. IV, p. 38, exerc. 8). b) Le résultat de a) s'applique pour w(t, z) = zlt; mais montrer dans ce cas par un exemple que si u, v sont deux intégrales approchées à c près de x' = f (t, x), égales à x, au point t,, il n'est pas possible de majorer Ilia(t) - v(t) /j par un nombre ne dépendant que de t (et non de la fonction f ) . (Prendre pour f une application continuc de W + x R dans R, égale à x/t pour t > cr et pour O < t O dans l'intervalle (O, a). Montrer que si 1 e(t) dt cst convergente, lc résultat de a) s'applique pour w(t, z) = --- z; t

+

dt est infinie, donner un exemple de fonction continucf, telle que l'on ait

/If

(4 XI) - f (t7 x2) Il

$

l

+

(It It -

-

'o') ljx, - x2/l,mais telle que l'équation r' = f(t, x)

ait une infinité d'intégrales égalcs à x, au point t, (méthode analogue à celle de b)). 15) Soit f une fonction numérique définie et continue pour lt/ < a, 1x1 < b, telle quef (t, x ) < O pour tx > O et f (t, x) > O pour tx < O; montrer que x = O est la seule intésrale de l'équation x' = f (t, x) qui prenne la valeur O a u point t = O (raisonner par l'absurde). 16) Soient E un espace vectoriel de dimcnsionjnie, f une fonction bornée dans 1 x H et satisfaisant aux conditions de IV, p. 3, lemme 1, telle que l'équation x' = f(t, x) admette une seule solution u définie dans 1, à valeurs dans H, égale à x, au point t,. O n suppose en outre que, pour tout entier n assez grand, il existe une intégrale approchée u, de x' = f (t, x) à l/n près, définie dans 1, à valeurs dans H, et égale à xo a u point t,. Montrer que la

92

FVR IV.41

EXERCICES

suite ( u n )converge uniformément vers in dans tout intervalle compact contenu dans 1 (utiliser le fait q u e la suite (un)est équicontinue dans 1). 17) Pour étudier l'équation x' = sin tx ( I V , p. 12, Exemple 4). o n pose u = xy, et o n consi-

+

dère les solutions d e l'équation correspondante u' = 2 t sin u = F(tJ u) q u i sont > O t pour t > O (pour toute solution de cette nature, o n a u(0) = O). On désigne par rkl a courbe définie par les relations (2k par D, l'ouvert défini par

+ 2t = O pour chaque entier k 1, U (2k - l ) x O et u > O, d e la réunion des Bk. a) Montrer q u e toute courbe intégrale qui coupe u n e droite u = 2 k x coupe aussi la droite 1)x. u = (2k b ) Si u n e courbe intégrale C coupe u n e courbe rke n un point (to, u,), la fonction u est croissante pour O < t < to, décroissante pour t > to, et lorsque t tend vers + a ,u(t) tend vers (2k - l ) x , la courbe C restant dans Dkpour t > to. c ) Montrer qu'il n ' y a aucune courbe intégrale C contenue dans E et telle q u e u ( t ) tende vers co lorsque t tend vers co. (Former l'équation différentielle dxldu = G ( u , x ) entre x et u le long d e C. Si C est tout entière dans E , o n a x2 > u pour u = (2k - + ) x ; majorer d'autre part x2(u) e n utilisant l'équation différentielle précédente, et obtenir u n e contradiction.) d ) Montrer q u e pour chaque entier k , il existe u n e courbe intégrale et une seule C contenue dans E et telle q u e u(t) tende vers 2kx lorsque t tend vers + W . ( E n posant v = 2 k x - u, o n a v - 2kx v - 2kx une équation v'= -+ t sin u ; comparer cette équation à v' = --- tu, t t t tendant vers co et v vers O.)

+

+

+

+

+

18) Soit E l'espace des suites x = (x,),,~ d e nombres réels telles q u e l i m x, = 0, m u n i de la norme

]/XI/

n-m

= sup lx,[, q u i e n fait u n espace normé complet. Pour tout x = (x,) E E, soit n

y = f ( x ) l'élément (y,) d e E défini par y, = Ixnj'/z

' . la fonction f est continue dans +n + 1'

E. Montrer qu'il n'existe aucune solution de l'équation différentiellex' = f ( x ) définie dans un voisinage d e O dans R, à valeurs dans E et égale à O pour t = O (cf. I V , p. 39, exerc. 11). §2 1 ) Soient E u n espace normé complet sur R, F un espace topologique, J u n intervalle de R n o n réduit à un point; soit (t, E ) ++ A(t, E ) u n e application d e J x F dans S?(E), telle q u e lorsque E tend vers Eo, A(t, 5) tende uniformément vers A(t, 4,) dans J. Si C ( t , to, E ) est la résolvante de l'équation linéaire dxldt = A ( t , 5) .x, montrer que, pour tout intervalle compact K c J , C(t, to, 5) tend uniformément vers C(t, to, Eo) dans K x K , lorsque tend vers Eo. 2 ) Soit t HA ( t ) u n e application réglée d e J dans 9 ( E ) telle que, pour deux points quelconques s, t d e J, A ( s ) et A ( t ) soient permutables. O n pose B ( t ) = jfo A ( s ) ds. Montrer q u e la résolvante C ( t , to) d e l'équation dxldt = A ( t ) . x est égale à e x p ( B ( t ) ) . Si t H Ai(t), t HA z ( t ) sont d e u x applications réglées d e J dans 2 ( E ) telles que, pour d e u x points quelconques s, t d e J , A,(s), A l ( t ) , A,(s), A z ( t ) soient deux à deux permutables, montrer q u e l'on a

FVR IV.42

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

3) Étant données les deux matrices montrer que exp(A + B) # exp(A) exp(B). 4) Si Pest un automorphisme quelconque appartenant à 9 ( E ) , montrer que exp(PAP-1) = P.exp(A) .P-l pour tout A E 9 ( E ) .

+

5) Montrer par un exemple qu'une équation linéaire dxjdt = A.x eatp(t), où A E 9 ( E ) est indépendant de t et p est un polynôme (à coefficients dans E) peut avoir une intégrale égale à un polynôme de même degré que p, même lorsque a est racine caractéristique de A.

6) Soitf (X) un polynôme de degré n à coefficients complexes, et soit

la décomposition de la fraction rationnelle I lf (X) en éléments simples (A, VII, Montrer que, pour toute fonction réglée b, la fonction

8 2, no 2).

est une intégrale de l'équation f (D) x = b(t).

-

7) a) Soit t H A(t) une application d'un intervalle J c R dans 9 ( E ) , telle que, pour tout A(t) . x de J dans E soit continue. Montrer que, dans tout intervalle x E E, l'application t compact K c J, t e l/A(t)l]est borde (utiliser TG, IX, p. 56, th. 2). Dans ces conditions, b(t) admet une montrer que, pour tout point (to, x,) E J x E, l'équation dxldt = A(t) . x solution et une seule, définie dans J, et égale à xo au point to. En outre, si on désigne par u(t, t,, x,) cette solution, l'application x, ++ u(t, to, xo) est une application linéaire bijective et bicontinue C(t, to) de E sur lui-même, qui satisfait aux relations (6) (IV, p. 18) et (7) (IV, p. 19);de plus, l'application (s, t) ++ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue. b) On prend pour E l'espace des suites x = (x,),,~ de nombres réels, telles que lim x, = 0,

+

n-t

m

muni de la norme jlxll = snp Ixnl, pour laquelle E est complet. Pour tout t E J = (0, l), soit A(t) l'application linéaire de E dans lui-même telle que

Montrer que A(t) satisfait aux conditions de a ) , mais que l'application t~ A(t) de J dans 9 ( E ) n'est pas continue au point t = O, et que la résolvante C(t, to) de l'équation dxldt = A(t) . x est telle que l'application t HC(t, to) de J dans 9 ( E ) ne soit pas dérivable au point t = 0.

7 8) Soit G une algèbre normée complète sur le corps R, admettant un élément unité e. a) Soit t H a(t) une fonction réglée dans un intervalle J c R, à valeurs dans G. Montrer que l'intégrale u de l'équation linéaire dxldt = a(t)x qui prend la valeur e en un point to E J est inversible dans J, et que son inverse est solution de l'équation dxldt = - xa(t) (si v est l'intégrale de cette dernière équation qui prend la valeur e au point t,, considérer les équations linéaires vérifiées par UV et vu). En déduire que, pour tout x, E G, l'intégrale de dxldt = a(t)x qui prend la valeur xo au point to est égale à u(t)x,. b) Soient a(t), b(t) deux fonctions réglées dans J, u et v les intégrales des équations dxldt = a(t)x, dxjdt = xb(t), qui prennent la valeur e au point to. Montrer que l'intégrale de l'équation dxldt = a(t)x xb(t) qui prend la valeur xo au point t, est égale à u(t)x,v(t). C) Soient a(t), b(t), c(t), d(t) quatre fonctions réglées dans J, (u,v) une solution du système de deux équations linéaires

+

FVR IV.43

EXERCICES

Montrer que si, dans J, v est inversible, w = UV-lest intégrale de l'équation dzldt = b(t) a(t)z - zd(t) - ac(t)z (<(équation de Riccati O);réciproque. En déduire que toute intégrale de cette derniére équation dans J, prenant la valeur xo au point to, est de la forme (A(t)xo B(t)e)(C(t)xo D(t)e)-l, où A(t), B(t), C(t) et D(t) sont des applications continues de J dans 9 ( G )vérifiant l'identité U. (xy) = (U.x)y. d) Soit w, une intégrale de dzldt = b(t) a(t)z - zd(t) - zc(t)z dans J ; montrer que, si w est une autre intégrale de cette équation telle que w - wl soit inversible dans J, w - W, s'exprime à l'aide des intégrales des équations dxldt = - (ci cw,)x et dxldt = x(a - wlc) (considérer l'équation à laquelle satisfait (w - wl) -l, et utiliser b ) ) .

+

+

+

+

+

9) Soient y, (1 < k < n) n fonctions numériques définies dans un intervalle 1 c R et admettant dans 1une dérivée (n - 1)-ème continue. a) Montrer que si les n fonctions y, sont linéairement dépendantes, la matrice ( ~ & ~ ' ( t ) ) ~ <1<~k 4< ~est - l de , rang < n en tout point t E 1. b) Inversement, si pour tout t E 1,la matrice (yr)(t)) est de rang < n, montrer que dans tout intervalle ouvert non vide J c 1, il existe un intervalle ouvert non vide U c J tel que les restrictions des y, à U soient linéairement dépendantes (si est le plus petit des nombres q < n tels que les wronskiens de q quelconques des fonctions yk soient identiquement nuls dans J, considérer un point a E J où le wronskien de fi - 1 des fonctions y, n'est pas nul, et montrer que p des fonctions y, sont intégrales d'une équation linéaire d'ordre p - 1 dans un voisinage de a). c) O n pose yl(t) = t2 pour t E R, yz(t) = t2 pour t 2 0, y2(t) = -tZ pour t < O; montrer que y, et y, admettent une dérivée continue dans R et que ylya - y2y; = O, mais que yl et y, ne sont pas linéairement dépendantes dans R.

* 10)

Soit t~ X(t) une application d'une intervalle J c R dans l'espace des matrices complexes d'ordre n. O n suppose que la dérivée t t+ Xf(t) existe et est continue dans J, et est telle que X(t)X'(t) = X'(t)X(t) pour tout t E J. a) O n suppose en outre que, pour tout t E J, les valeurs propres de X(t) sont distinctes. Montrer qu'il existe alors une matrice inversible constante Po tel que PoX(t)P;l = D(t), où D(t) est une matrice diagonale, de sorte que X(tl) et X(tz) sont permutables pour tout couple de valeurs tl, ta de t dans J. (Écrire X(t) = P(t) D(t) P(t) - l au voisinage de chaque point de J et former l'équation différentielle satisfaite par P(t).) b) La matrice / t2 t3 t4 \

est permutable à sa dérivée, mais la conclusion de a) n'est pas valable..

NOTE HISTORIQUE

(N.-B. -Les cette note.)

chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de

les problèmes conduisant Comme on l'a vu (Note historique des chap. 1-11-111)) à l'intégration d'équations différentielles ont été parmi les premiers de ceux qu'ont considérés les fondâteurs du Calcul infinitésimal au X V I I ~siècle (notamment Descartes et Barrow). La théorie des équations différentielles n'a cessé depuis lors d'exercer la sagacité des mathématiciens, et d'être un terrain de prédilection pour l'application des méthodes les plus variées de l'Analyse; les questions qu'elle soulève sont très loin d'être toutes résolues, et l'intérêt qui s'y attache est d'autant plus soutenu qu'elle constitue un des points de contact les plus permanents et les plus fructueux entre les mathématiques et les sciences expérimentales: ces dernières y trouvent souvent une aide précieuse, et en échange lui fournissent constamment de nouveaux problèmes. Des nombreux chapitres que devrait comporter une étude moderne et complète des équations différentielles, nous n'avons voulu exposer ici que deux des plus élémentaires, traitant des théorèmes d'existence et des équations linéaires, la variable étant supposée réelle. C'est donc aussi à ces deux aspects que nous limiterons notre bref exposé historique. Dès le début du XVIII~siècle, les mathématiciens s'étaient convaincus que l'intégrale ((généralea d'une équation différentielle d'ordre n dépend de n constantes arbitraires, et qu' (<en général »,il existe une intégrale et une seule prenant des valeurs données ainsi que ses n - 1 premières dérivées pour une valeur donnée x, de la variable: conviction qu'ils justifiaient par le procédé (remontant à Newton) qui consiste à calculer de proche en proche les coefficients du développement de Taylor de la solution au point x,, à l'aide de l'équation différentielle elle-même et des n premiers coefficients. Mais jusqu'à Cauchy, personne n'avait étudié la convergence de la série ainsi obtenue, ni démontré que sa somme était solution de l'équation différentielle; et bien entendu, il n'était question que d'équations différentielles analytiques. Parmi les diverses méthodes imaginées par Cauchy pour démontrer l'existence des intégrales des équations différentielles, celle que nous avons suivie ((IV) et (IV bis)), généralisée un peu plus tard par Lipschitz, est particulièrement intéressante pour le cas des équations non analytiques et pour l'approximation des intégrales. Les équations différentielles linéaires ont été parmi les premières à attirer l'attention. Leibniz et Jakob Bernoulli intègrent l'équation linéaire du premier ordre par deux quadratures ((1)' t. II, p. 731) ; l'intégrale générale de l'équation

NOTE HISTORIQUE

FVR IV.45

linéaire d'ordre quelconque à coefficients constants et second membre arbitraire est obtenue par Euler ((II), p. 296-354) ; d'Alembert résout de la même manière les systèmes linéaires à coefhients constants. Un peu plus tard, Lagrange (III) aborde la théorie générale des équations linéaires d'ordre n, reconnaît que I'intégrale de l'équation homogène est fonction linéaire des n constantes d'intégration, introduit l'équation adjointe, découvre l'abaissement de l'ordre de l'équation homogène lorsqu'on en connaît des solutions particulières, et la méthode de variation des constantes pour l'intégration de l'équation non homogène. Les points obscurs de la théorie de Lagrange (notamment en ce qui concerne l'indépendance linéaire des intégrales) furent éclaircis par Cauchy, dont l'exposé (IV bis) est resté quasi définitif, aux améliorations de détail près apportées par la notation matricielle et la théorie des diviseurs élémentaires.

BIBLIOGRAPHIE

(1) .JAKOB BERNOULLI, Opera, 2 vol., Genève (Cramer-Philibert), 1744. (II) L. EULER,Opera Omnia: Iwtitutiones calculi integralis, (1) t. XII, Leipzig-Berlin (Teubner), 1914. (Euvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867-1890: a) Solution de dif(III) J.-L: LAGRANGE, férents problèmes de calcul intégral, t. 1, p. 471 ; b ) Sur le mouvement des nœuds des orbites planétaires, t. IV, p. 111. (IV) A.-L. CAUCHY,CEuvres complètes, (2), t. XI, Paris (Gauthier-Villars), 1913, p. 399 ( =Exercices d'Analyse, Paris, 1840, t. 1, p. 327). in Lejons de calcul dz@rentiel et de calcul intégral, rédigées principalement (IV bis) A.-L. CAUCHY, d'après les méthodes de M. A.-L. Cauchy, par l'abbé Moigno, t. II, Paris, 1844.

CHAPïïRE V

Etude locale des fonctions

5 1.

COMPARAISON DES FONCTIONS DANS UN ENSEMBLE FILTRÉ

Soit E un ensemble, filtré par un filtre de base 8 (TG, 1, p. 36) ;dans ce chapitre, nous considérerons des fonctions dont l'ensemble de définition est une partie de E appartenant à la base de filtre 8 (partie dépendant de la fonction considérée) et qui prennent leurs valeurs, soit dans le corps R des nombres réels, soit plus généralement dans un espace vectoriel normé sur un corps valué (TG, IX, p. 32). Dans les applications, E sera le plus souvent une partie d'un espace numérique Rn, ou de la droite achevée 6, et 8 la trace sur E d u filtre des voisinages d'un point adhérent à E, ou encore le filtre des complémentaires des ensembles relativement compacts dans E (<(voisinages du point à l'infini >>).

Il ne suffira pas en général de savoir qu'une telle fonction tend vers une limite donnée suivant $ pour pouvoir traiter tous les problèmes de (<passage à la limite suivant 8 D où interviennent des expressions formées avec cette fonction. Par exemple, lorsque la variable réelle x tend vers +a, les trois fonctions x, x2

et

4;tendant toutes trois vers + co, mais, des expressions. (X

+ 1)2 - x2,

la première tend vers

(X

+ 1) - x,

d

m di

+ co, la seconde vers 1, la troisième vers O.

Il importe donc de connaître, non seulement la valeur limite d'une fonction suivant 8 (lorsque cette limite existe), mais encore la (<manière D dont la fonction tend vers sa limite; en d'autres termes, on est amené à opérer une classification dans l'ensemble des fonctions qui tendent vers une même limite.

FVR V.2

$1

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

1. Relations de comparaison: 1. Relations faibles

Nous désignerons dans ce qui suit par V un espace vectoriel normé sur un corps valué Kypar %($, V) l'ensemble des fonctions à valeurs dans V, dont chacune est définie dans une partie de E appartenant à la base de filtre 8. Les relations que nous allons définir entre de telles fonctions ont un caractère local relatif au filtre de base 8 : nous allons préciser ce qu'il faut entendre par là. Si f et g sont deux fonctions de %($, V), rappelons que la relation a il existe un ensemble Z E 5 tel que f et g soient définies et égales dans Z est une relation d'équivalence R, dans S ( $ , V) (TG, 1, p. 44). Cela étant, nous dirons qu'une relation S où figure une fonction f de V) est de caractère local (suivant 8) relativement à f, si elle est compatible (en f ) avec la relation d'équivalence R, (E, II, p. 42) ; on sait que, si f est le germe de f suivant 8, classe de f modulo R, (élément de l'ensemble quotient S m ( $ ,V) = A?($,V)/R,), on déduit de S, par passage au quotient, une relation entre f e t les autres arguments de S, et que réciproquement, toute relation de cette nature définit une relation de caractère local relativement à f. Exemple. -Si f et g sont deux fonctions de %(g, R), la relation G il existe un ensemble X E 8 tel quef et g soient définies dans X, et quef ( t ) < g(t) pour tout t E X H est de caractère local relativement à f et g. On notef < g la relation obtenue en passant au quotient (pour f et g) ; on remarquera que si f < g, il existe une fonctionf,Ef et une fonction g, E g, définies dans E tout entier, et telles que fi(t) < g, (t) pour tout t E E. Remarques. - 1) Soient VI (1 i n) n espaces vectoriels normés sur K, y, une fonction définie dans V, x V2 x .. x V,, à valeurs dans V par passage aux quo-

,

%(a,

tients suivant R,, la fonction cp définit donc une application de Ha($, VI) x ... x Yi", (8,Vn) (8, V), que l'on notera le plus souvent cp($l,. . ., Zn) (TG, 1 xh, p. 45). Par dans exemple en prenant pour y, les applications (x, y) H x y et x Hxh (A E K), on et f h définit ainsi, pour deux germes quelconques f, de H, (8, V), les éléments fF et on vérifie aussitôt que les lois de composition ($, 2) H P. g et (A, f) Hf h définissent sur Hm($, V) une structure d'espace vectoriel sur le corps K; dans cet espace, 6 est la classe formée des fonctions égales à O dans un ensemble de 8, et - â est la classe formée des fonctions égales à - f dans un ensemble de 5. De même, si V est une algèbre sur K, on définit sur Yim(9, V) une seconde loi de composition interne (g, g) & en prenant cp(x, y) = xy; avec les deux lois précédentes, elle définit sur H m ( g ,V) une structure d'algèbre sur le corps K; si V admet un élément unité e, Hm (8, V) admettra pour élément unité la classe ë, formée des fonctions égales à e dans un ensemble de $; pour que f soit inversible dans e m ( $ , V), il faut et il suffit que, pour une fonction f E i, il existe Z E $ tel que f (t) soit inversible dans V pour tout t E Z (auquel cas cette condition est vérifiée pour toute fonction de la classez).

+

+

+

-

+

n

2) Avec les mêmes notations, soit une application d'une partie de VIdans V; i=l nous désignerons par $(&, f,, . . ., fn) la fonction égale à $(f,(t),. ., f,(t)) en tout point t E E où les fl(t)sont définis et où le point (f,(t)) appartient à l'ensemble où est

.

No 1

FVRV 3

COMPARAISON DES PONCTIONS

définie $1. Par exemple, f + g est la fonction égale à f ( t ) 3. g ( t ) en tout point t E E où f et g sont toutes deux définies. O n observera que l'application (f, g ) »f g n'est pas une loi degroufie dans &'(g, V ) ,car si f n'est pas définie dans E tout entier, il n'existe g = O. pas de fonction g E %(8, V )telle que f

+

+

DÉPINITION 1. -Etant données deux fonctio~zsnumériques f, g appartenant à p ( 8 , a) et qui sont 2 O dam un ensemble de 8, on dit que f est dominée par g, ou que g domine f (suivant g ) , et on écrit f g OU g >f, s'il existe un ensemble X E 8 et un nombre k > O tels que f ( t ) < k . g ( t ) pour tout t E X (autrement dit, s'il existe k > O tel que f < k.2). Étant données deux espaces normés V,, V,, et deux fonctions f,, f, appartenant respectivement à i f ( $ , V,) et S ( 8 , V,) on dit que f, est dominée par f, (suivant 8) et on écrit fl & o u f , f, si on a llflll $ l/f211.

<

<

>

+

L a relation fl f 2 est évidemment de caractère local en fl et f,; elle est donc f 2 qui s'en déduit par passage aux quotients. Lorsque équivalente à la relation f, f et g sont deux fonctions numériques, on aura soin de ne pas confondre les relations J < g e t f < g.

<

<

O n notera que pour tout scalaire A # O, la relation f1 f2A est équivalente à fl f,. Si f, f,, il existe un ensemble X E 8 tel que, pour tout point x E X où f,(x) = O, on ait f1 ( x ) = 0.

<

<

Exemples. - 1 ) La relation 6

< 1 signifie que f est bornée dans un ensemble de 5.

2) Pour toute fonction f de %(8, V )et tout scalaire A f O, on a f 4 f A . 3) Lorsque x tend vers + co,on a sin2 x $ sin x. 4) Lorsque (x, y ) tend vers ( 0 , O ) dans R2,on a xy 5 xZ + y2.

Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates de la déf. 1: PROPOSITION 1. - Si f, g, h sont trois fonctions de %'(?j, Pi), les relations f g h entratnentf h.

<

<

< g et

PROPOSITION 2. -Soient f,, f , deuxfonctions de i f ( & V )et g unefonction de i i ( 8 , R). Les relations f1 g et f, g entrainent f, f f, g.

<

<

<

En outre : PROPOSITION 3. -Soient V I ,V 2 ,V trois espaces normés sur un même corps valué, ( x ,y ) » [x.y ] une application bilinéaire continue de V , x V , dans V . Si f, et f2 sont des fonctions de .%(8, V I )et S ( 5 , V2) respectivement, gl, g2 deux fonctions de Z ( 8 , W) telles que f1 g, et f, , ig2, on a [ f l .f2]
<

En effet (TG, IX, p. 35, th.l), il existe un nombre a > O tel que IIfl .filIl a IlfiIl li%ll-

'

En particulier, dans toute la suite, pour une fonction f de Yi(%,V), nous désignerons par llf 1 la fonction t~ /If( t )11, appartenant à 9 ( 5 , R) et définie dans le même ensemble que f : nous signalons expressément que, dans ce chapitre, Ilf I est unefonction et non un nombre.

FVR V.4

§ 1

ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS

COROLLAIRE. - Si V est une algèbre norriée, f,, f2 deux fonctions de df(8, V), g,, g, deuxfonctions de 2 ( 8 , R), les relations f, & g,, f2 & g2 entraînent f,f2 g,g,.

<

La relation f & g entre fonctions de Z(5, V) est transitive d'après la prop 1; comme elle est réJIexive, la relation (
<

<

2. - Étant données deux fonctions f, g de Yi($, V), on dit que f et g sont DÉFINITION semblables (suivant 8) et on écrit f x g si on a f & g et g & 8: Pour tout scalaire A # O, la relation f x g est équivalente à f =: gA. Elle entraîne l'existence d'un ensemble X E 8 tel que la partie de X formée des points où f (x) = O soit identique à la partie de X formée des points où g(x) = O. 1 Exemples. - 1) Pour une fonction numérique f E Z ( 8 , R), la relation f signifie qu'il existe deux nombres a > O, b > O tels que a < 1 f (x) 1 < b dans un ensemble de 8, ou encore que la fonction log 1f 1 est bornée dans un ensemble de 8: on dit alors quef est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8. 2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) = aoxn + alxn-1 + . - . + an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V , tel que a, f O. Pour tout vecteur b f O, on a f ( x )h b x n lorsque 1x1 tend vers +m. 3) Nous avons vu qu'on a sin2 x sin x lorsque x tend vers + CO, mais on n'a pas sin2x == sin x , bien que ces deux fonctions s'annulent aux mêmes points. 4) O n a x2 xy + y2 =< x2 + y2 lorsque (x, y ) tend vers (O, O) dans W2,mais non xy k: x2 y2.

<

+

+

Il résulte aussitôt de la prop. 3 de V, p. 3, que sif,, f2, p.,, g, sont des fonctions de X ( 3 , K) (K corps valué quelconque), les relations f, x g, et f2 =: g2 entraînentf,f,== g,g2. O n notera par contre que lcs relations f l h g,, f , g, ~ n'entraînent pas y 2 h gl g2, comme le montre l'exemple où f,(x) = g l ( x ) = x2, f 2 ( x ) = fi - (x2 x ) , g2(x) = - (x2 - l), .X réel tendant vers + co.

+

+

+

Les relations de comparaison f ,< g, f x g sont dites relations faibles. On dit que deux fonctions f, g de A?($,V) sont faiblement conzparables si elles vérifient lbne (au moins) des deux relations f ,< g, g f.

<

Remarques. - 1 ) Dcux fonctions dc Z ( 8 ,W) nc sont pas nécessairement faiblement comparables, commc le montre l'exemple des fonctions 1 et x sin x lorsque x tend vers +W.

2) Désignons par Rn la relation f x g dans ( 2 8 ,V), et par Sn(%, V) l'ensemble quotient 2($, V ) / R o ; on notera que la relation R, entraîne R,. Par passage a u g donne, d'après la prop. 1 de V, p. 3, une relation d'ordre dans quotient, la relation f ;/Po@, V ) (E, III, p. 3 ) ; l'exemple qui précède prouve que ZO(& V ) n'est pas totalement ordonné par cette relation.

<

No 2

FVR V . 5

COMPARAISON DES FONCTIONS

2. Relations d e coppîp;araisoni: II. Relations f o r t e s

DÉFINITION 3. -Étant données deuxfonctions numériquesf, g appartenant à Y i ( 8 , Ha) et qui sont 3 O dans un ensemble de 8 , on dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante sur f (suivant B), et on écrit f «g ou g »f si, pour tout E > O, il existe un ensemble X E 8 tel quef ( t ) 6 ~ g ( tpour ) tout t E X . Étant donnés deux espaces normés V I ,V,, et deux fonctions fl, f2 appartenant respectivement à Z ( 8 , V I )et Y f ( 8 , V,), on dit que f, est négligeable devant f2 (suivant 8 ) etonécritf, « f , o u f , » f , s i o n a l]P;II « IlfJ. Pour tout scalaire A # O, la relation f1 « f,h est équivalente à fl tion fl « f2 entraîne fl « f,, mais n e lui est pas équivalente.

« f,. L a rela-

O n notera que la relation f, 4 f, n'entrainc nullement la relation f, 4 f2 ou f, =: f, >>: on a sin x 1 lorsque x tend vers w , mais aucune des relations sin x 4 1, sin x=i 1 n'est vraie.

<

Exemples. - 1 ) L a relation f

+

« 1 signifie q u e f tend vers O suivant 8.

2) Lorsque cr et P sont deux nombres réels tels que cr < P, on a x" < xB lorsque x tend vers + m . De mêmc, lorsque m et n sont deux entiers rationncls tels que m < n, on a zm znlorsque le nombre complexe z tend vers W. 3) Lorsquc x tend vers co, on a xn ex pour tout entier n (III, p. 16). 4) Dans R2, on a, lorsque (x, y) tend vers (O, 0)

«

+

«

Les propositions suivantes se déduisent immédiatement d e la déf. 3 : PROPOSITION 4. - S i f , g, h sont troisfonctions de Z ( 8 , ), les relationsf (resp.f «g et g h) entrafnentf « h.

<

< g et g « h

PROPOSITION 5. -Soient fl, f, deux fonctions de Y i ( & V ) ,g unefonction de p ( 8 , W ) . Les relations f1 «g et f, «g entrafnentf, $. f, «g. D'autre part, le m ê m e raisonnement q u e pour la prop. 3 d e V , p. 3 , montre que : PROPOSITION 6. -Avec les notations de la prop. 3, les relations f1 «gl et f, g, et f2 «g,) entraînent [f,.f,] «g,g,. (resp. f,

<

«

< g,

La prop. 4 montre que la relation f g entre fonctions de S ( 8 , V) est transitive; mais elle n'est pas réjfexive: de façon précise, la relation f < f entraîne que f est nulle dans un ensemble de 8 (autrement dit, f est équivalente à O modulo R,); cn effet, pour un E tel que O < E < 1 il existe X E 8 tel que Ijf(x) 11 < ~llf(x) 1 pour tout x E X , ce qui n'est possible que si f (x) = O pour tout x E X. Il en résulte que la relation <( f g et g f D est transitive et symétrique, mais non réflexive: cc n'est donc pas une relation d'équivalence (elle signifie qu'il existc un ensemble X € 8 tel que f(x) = g(x) = Opour toutx E X).

«

«

F V R V.6

$1

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

PROPOSITION 7. - S i f et g sont deux fonctions de A?@, V ) ,la relation f - g « f est équivalente à f - g « g. En effet, f - C; « f signifie que, pour tout E > O, il existe X E 8 tel que Ilf ( x ) - g ( x ) 1 < ~ l l(fx )I pour tout x E X. O n en tire ( 1 - E ) ] l f ( x )II < llg(x) 11, et par suite f g , d'où (p. 5, prop. 4) f - g « g.

<

COROLLAIRE. -La

relation f

-

g « f est une relation d'équivalence dans Z ( 3 ,V ) .

En effet, si f - g « f et g - h « g, on a f - g « g, d'où (V, p. 5 , prop. 5 ) f - h « g, et par suite, comme g f, f - h < f, ce qui montre que la relation considérée est transitive; elle est symétrique d'après la prop. 7 et est évidemment réflexive, d'où le corollaire.

<

4. - Étant données deuxfonctions f, g de Af(5,V ) ,on dit que f et g sont DÉFINITION équivalentes (suivant 8) et on écrit f g si on a f - g « f. La relation f

-

-

g entraîne f x g , mais ne lui est pas équivalente.

Exemples. - 1) Si a est une fonction constante et # O dans E, la relation if signifie que f tend vers a suivant 8.

-

a

2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) = aoxn + a,xn-l an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V, tel que aO# O. O n a f ( x ) a o x n lorsque 1x1 tend vers a. , 3) Lorsque x réel tend vers + m, on a (1 sin x sin x.

+ - - .+

N

+

-

+ 2) \

4) Lorsque la variabie complexe z tend vers O, on a ez - 1 z. Plus généralement, si V est un espace normé sur un corps valué K, f une fonction définie dans un voisinage de xo E K, à valeurs dans V , et admettant a u point xo une dérivée f f ( x o ) # O, f ' ( x O )( x - x O ) (1, p. 2 , défi 1). on a, lorsque x tend vers xo, f ( x ) - f ( x , ) 5) Lorsque ( x , y ) tend vers (O, O) dans R2, on a N

dsin2 x + sin2y d m . 6) Soit f ( x , y ) un polynômc à coefficients réels par rapport à deux variables réelles x, y , n'ayant pas de terme constant. Si, lorsque x tend vers O en restant > O, il existe une fonction q ( x ) continue dans un intervalle (O, a) et telle que q ( O ) = O et f ( x , q ( x ) ) = O pour O < x < a, on peut montrer qu'il existe un nombre rationnel r et un nombre réel h # O tels que y ( x ) hxr ( V , p. 48, exerc. 3). 7) Pour tout x > O, soit x ( x ) le nombre des nombres premiers qui sont < x ; on a démontré que, lorsque x tend vers + co, on a n ( x ) x/log x l . N

-

N

Remarque. - O n notera que la relation f g ne signifie nullement que la différence f - g tende vers O suivant 8 ; cette différence peut même être non bornée, comme le montre l'exemple x2 x x2, x tendant vers W . N

+

+

N

PROPOSITION 8. - Soient K un corps valué, f,, f,, g,, g, quatre fonctions de Y i ( & K) ; g1etf, g2 entrainent f , f2 g1g2. les relationsf ,

-

-

l Voir par exemple A. E. INGHAM,TXe distribution of prime numbers (Cambridge tracts, no 30), Cambridge University Press, 1932.

No 3

F'VR V.7

COMPARAISON DES FONCTIONS

fi

Par contre, nous avons donné dans V, p. 4, un exemple où on avait f, = mais où la relation f, fi=:g, g, n'était pas vraie (ni a fortiori

- gz,

+

+

g,,

Les relations de comparaison f « g, f g sont dites relations fortes. Deux fonctions f, ,a de x ( 8 , V) sont dites comparables (oufortement cornparabla lorsqu'on veut éviter des confusions possibles) si elles vérifient l'une des trois relations: gha. f « g , f > g , o u ( ( i l e x i s t e h # Otelquef

-

Remarques. - 1 ) Deux fonctions peuvent être faiblement comparables sans être fortement comparables, par exemple les fonctions 1 et sin x lorsque x tend vers + W . 2) La défniiion des relations de comparaison f, fi et f, f, ne fait intervenir qu'en apparence les normes sur les espaces VI, V, où fl et fi prennent respectivement leurs valeurs; elle ne dépcnd en réalité que dcs toflologies de V1 et V,, car les relations f, f2 et f, f, sont remplacées par des relations équivalentes lorsqu'on remplace la norme sur VI ou V, par une norme équivalente (TG, IX, p. 32, def. 7).

<

<

«

«

3. Changement de variables -1

Soit rg une application d'un ensemble E' dans E, telle que cp (8) soit unc base de filtre sur E'. Il est clair que si fl, f2 sont des fonctions de Y?'(%, VI) et if('$, V2) respectivement, les fonctions fl cp, f2 0 y appartiennent respectivement a 0

%'($(8), VI) et A?($(B),V,), et que la relation f, équivalente à 9; 0 cp f2 0 cp (resp. f1 cp « B;; 0 cp).

<

< f2 (resp. fl« f2) est

0

4. Relations de comparaison entre fonctiomns strictement positives

Soit g une fonction de Z ( 8 , R), strictement positive dans un ensemble de 8. Les relations de comparaison où figure g peuvent alors se formuler d'une autre manière: la relation f «g équivaut à dire que la fonction I/f1 /g (qui est définie dans un ensemble de 8) est bornée dans u n ensemble de 8 ; la relation f « g équivaut à dire que l]fll/g tend vers O suivant 8. Si f est une fonction de 2 ( 3 , f =r g signifie que f /g est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8, et la relation f g, queJ/g tend vers 1 suivant 8. Si f est une fonction de Z ( 8 , R) positive dans un ensemble de 8, dire que f et g sont cornparablez signifie donc que f /gtend vers une limite ( j n i e ou égale d + co) suivant 8,

-

FVR V.8

$1

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

PROPOSITION 9. - Soient f et g deux fonctions de Z ( 8 , W) strictement positives dans un t pour tout nombre ensemble de 8. Pour que f et g soient comparables, il faut et il s u ~ que t 3 O, sauf un au plus, la fonction f - tg garde un signe constant1 dans un ensemble de 8. La condition est nécessaire. En effet, si f «g, on a f - tg -tg sauf pour t = O, doncf - tg est strictement négative dans un ensemble de 3, sauf pour t = 0; si f »g, f - tg est strictcrnent positive dans un ensemble de 8 pour tout t ; enfin, sif k.g (k constante > O),f - tg (k - t ) g sauf pour t = k'donc, sauf peut-être pour t = k, f - tg a le signe de k - t dans un ensemble de 8. La condition est suffisante. En effet, supposons que le rapport f /g ait deux valeurs d'adhérence distinctes a t ; donc f ( x ) - tg(x) ne garde pas un signe constant dans X; nous arrivons à une conclusion incompatible avec l'hypothèse. Il s'ensuit queflg n'a qu'une seule valeur d'adhérence (finie ou infinie) suivant le filtre de base 8, et par suite (TG, 1, p. 60, corollaire) a pour limite cette valeur suivant 5.

-

-

PROPOSITION 10. -Soient f et g deux fonctions de x(8, R) strictementpositives dans un ensemble de 8 ; pour tout a réel et # 0, la relationf x g (resp. f g) est équivalente à f" U- g" (resp. f" g") ;s i x > O, la relationf g (resp. f (ig) est équivalente àf" 4 g" (resp.f" «g") ;si a < O, elle est équivalente df" g" (resp.f" »g"). Les démonstrations sont immédiates.

-

-

>

O n notcra que dans Yi($, R), l'ensemble ï dcs fonctions strictement positivcs dans u n ensemble d e 3 cst tel q u e ï / K , soit un groupz multiplicaiij r, dans (8, 8); ï / R , est idcntique au groupe quotient d e ï, p a r le sous-groupe des classcs (mod. R,) des fonctions d e ï logarithmiqucment bornées; sur ï/R,,l a relation d'ordre dCduite d e la relation f $ g par passage aux quotients est conzfiatible avec l a structure de groupe de ï/R,, e t en fait donc u n groupe ordonné.

airn

PROPOSITION 11. .- Soit g unefonction de Z ( 8 , la) telle que lim8 g f «g entraîne ef « eg; la relationf g entraine logf log g.

-

En effet, si f «g, f - g = g

f

-

g, on a logf

=

1% f -- 1 même de log g

log g =

-

= -tco;

la relation

tend vers -co suivant 8. De même, si

+ log f-, donc logf - log g tend vers O, et il en est de

g log f - 1% g. 1% g

Par contre, on notcra que la relation f g n'entraîne pas ef eg, ni même ef =C eg, comme le montre l'exemple où f (x) = x2, g(x) = x2 i- x, x tendant vers + co; d e log g, comme le montre l'exemple où même, l a relation f (ig n'entraîne pas log f f (x) = X, g(x) = x2, x tendant vers + m . N

N

«

1 On rappelle qu'on a défini le signe sgn x d'un nombre réel x comme égal à $. 1 si x > 0, à - 1 si x < O, à O si x = O (TG, IV, p. 12). Dire qu'une fonction numérique garde un signe constant dans un ensemble signifie donc, soit qu'elle est > O en tout point de cet ensemble, soit qu'elle est < O en tout point de l'ensemble, soit enfin qu'elle est identiquement nulle dans l'ensemble.

No 5

FVR V.9

COMPARAISON DES FONCTIONS

DÉFINITION 5. - Soit g une fonction de i f ( & R), strictement positive dans un ensemble de 8, et telle que limg g = O ou lima g = + m. On dit qu'une fonction f E A?''(&R) est d'ordre p ($ni ou injini) par rapport à g si on a lim8 log (1 f 1 /log g) = p. On notera que sif est d'ordre p par rapport à g, f est d'ordre - p par rapport à l/g; on peut donc considérer uniquement le cas où g(x) tend vers + co suivant 8. PROPOSITION 12. - Soit g une fonction de j%f(g,W) telle que limg g = + co ;soitf une fonction de Y f(8, R). a) Pour quef soit d'ordre + c n par rapport à g, ilfaut et il suit quef »g" pour tout a 3 O. b) Pour quef soit d'ordre - COpar rapport à g, ilfaut et il su@ quef «g-"pour tout a > O. c) Pour quef soit d'ordrejni et égal à p par rapport à g, il faut et il suit que, pour tout E > 0 , 0 n a i t g ~ « - ~f «gP+E. Démontrons par exemple c). Si l'ordre de f par rapport à g est p, pour tout E > O, il existe un ensemble M E 8, tel que, pour tout x E M, on ait

ou encore (g(x)1 0 - i < 1f (x) < (g(x))~+Z;comme limg g = + m, on a donc pour tout E > O; la réciproque est immédiate. Les démonstra«f tions de a) et b) sont analogues. On notera que sif cst d'ordrejni p par rapport à g, fg-0 est d'ordre O par rappar rapport à port à g, et réciproquement; sif, (resp.f,) est d'ordre pl (resp. g, et si pl pz est défini, f,f, est d'ordre pl + p, par rapport àg.

+

Remarques. - 1) O n obscrvcra que lorsque f est d'ordre fini p par rapport à g, le rapportf/gP ne tend pas nécessairement vcrs unc limite; par exemple, toute fonction logarithmiquement bornée est d'ordrc O par rapport à g, mais n'a pas nécessairement d e limitc suivant 8. 2) Une fonction f définie dans un ensemble de 8 n'a pas nécessairement un ordre déterminé (fini ou non) par rapport à g, car les fonctions ayant un ordre déterminé par rapport à g sont comparables à toutes les puissances de g, sauf une au plus. Or, f n'a pas nécessairement cette propriété, comme on le voit sur l'exemple g(x) = x, f ( x ) = 1 f x2 sin2 x (x tendant vers +CO). Dans cct exemple, f est comparable à ga pour cc < O et cc > 2 ; si on prenait f (x) = e" sin2 x e-" cos2x, f ne serait comparable à aucune puissance (positive ou négative) de g.

+

5. Notations

Étant donnée une fonction numérique f E Z(8, Ha), il est souvent commode, dans une formule, de noter O(f ) une fonction dominée par f, et O ( f ) une fonction négligeable devant f. Lorsque, dans une démonstration, interviennent plusieurs fonctions dominées par une même fonction f (resp. négligeables devant f ) , on les notera O1(f), O2 (f), etc. (resp. 01 ( f ) , 02 (S),etc.) Beaucoup d'auteurs notent indistinctement O(f ) (resp. O ( f ) ) toutes les fonctions intervenant dans une démonstration et dominées par f (rcsp. négligeables devant f ) , par un abus de langapc qui n'est pas sans créer dcs risques de confusion.

FVR V.10

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

52

Avec ces notations, les prop. 1, 2, 3 (V, p. 3) se traduisent comme suit: si g = O, (f) et h = O(g), alors h = O, (f) ;on peut écrire n

2 A,O, (J)

i =1

=

,

On+ (f)

(A, scalaires)

De même, la prop. 4 (V, p. 5) montre que si g = O,(f) et h = o(g) (resp. g = o,(f) et h = O(g)), on a h = o,(f), et les prop. 5 et 6 (V, p. 5) s'expriment sous la forme n

2

(3)

i = l &O,(

f)

=

on + (f)

(A, scalaires)

-

o(g). La notation O(1) (resp. o(1)) La relation f g équivaut à f = g idésigne une fonction bornée dans un ensemble de 8 (resp. une fonction tendant vers O suivant 8).

3 2.

DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES

1. Échelles de comparaison

Soient E un ensemble filtré par un filtre de base 8, et K un corps valué non discret (le plus souvent K = ou K = C). Dans l'ensemble des fonctions de z ( 8 , K) non équivalentes à O modulo R, (c'est-à-dire telles que dans tout ensemble de 8, il existe un point au moins où la fonction ne s'annule pas), la relation <(f «g ou f = g )) est une relation d'ordre. DÉFINITION 1. - On dit qu'unepartie 8 de Yf(8, K)formée defonctions non équivalentes à O modulo R, est une échelle de comparaison lorsque B est totalement ordonnée par la relation Gf«gouf = g>>. En d'autres termes, sif et g sont deux fonctions de 8, on a toujours entref et g une (et une seule) des trois relationsf « g, g «f,f = g. Il s'ensuit que dans 8, la relation f h g (et a fortiori 1 f 1 a 1g1, où a est un nombre > 0) entraînef = g. Toute partie d'une échelle de comparaison est évidemment une échelle de comparaison. N

Exemples. - 1) Pour x réel tendant vers +co, l'ensemble des fonctions x" ( a nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison. II en est de même des fonctions (x - a)" lorsque 8 est l'ensemble des intervalles ouverts d'origine a. 2) Pour z complexe tendant vers co, l'ensemble des fonctions zn (n entier rationnel) est une échelle de comparaison; il en est de même des fonctions ( z - a)n lorsque 8 est la trace sur le complémentaire du point a E G du filtre des voisinages de ce point.

No 2

FVR V. 11

DÉVELOPPEMENTSASYMPTOTIQUES

3) Soit F un espace normé; l'ensemble des fonctions ]lx- alla (a nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison lorsque 8 est la trace sur le complémentaire de a du filtre des voisinages de ce point. O n notera que si p et q sont deux normes distinctes sur F, la réunion des deux échclles de comparaison formées des fonctions (P(x - as))@ et (q(x - a))" n'est plus en général une échelle de comparaison. 4) Pour x réel tendant vers +GO,l'ensemble & des fonctions de la forme exp(P(x)), où p(x) parcourt l'ensemble des polynômes sans terme constant (à coefficients réels), est une échelle de comparaison: il suffit de remarquer que le quotient de deux fonctions de & appartient encore à &, et qu'une fonction exp(p(x)) tend nécessairement vers O ou + GO si p # O; en effet, on a alors ~ ( x ) axn, où n > O et a # O; si CI > O, P(X) > axn pour x assez grand; si a < O, p(x) < 4axn pour x assez grand; dans le premier cas, exp(p(x)) tend vers +CD, et dans le second cas vers O. 5) Pour x réel tendant vers +GO,l'ensemble & des fonctions de la forme xE(logx)D (définies pour x > 1)' où a et P sont des nombres réels arbitraires, est une échelle de comparaison. En effet, ici encore le quotient de deux fonctions de & est une fonction de 8; il suffit donc de montrer que si a et (3 ne sont pas tous deux nuls, xE(logx ) tend ~ vers O ou vers +CO; c'est évident si ct = O, # O; si CI > O, on a (log x) - 0 « xu, et si a < O, (log x)O « x-" quel que soit P, d'où la proposition.

-

+

O n observa que cette dernière échelle de comparaison est un ensemble totalement ordonné (pour la relation a f g ou f = g n) dont la structure d'ordre est isomorphe à la structure d'ordre lexicographique de R2 (E, III, p. 23) ; on rappelle que dans cette structure, la relation (cc, p) < (y, 8) signifie <( cr < y, ou cc = y et P < 8 9 ) . De même, l'échelle formbe des fonctions exp(p(x)), o ù p parcourt l'ensemble Po des polynômes sans terme constant, a une structure d'ordre isomorphe à la structure d'ordre de Po, dans laquelle la rclation p < q signifie que le terme dominant du polynôme q - p a un coefficient > O (cf. A, VI, $2, no 1. Exemple 2).

«

-1

Soit cp une application d'un ensemble F dans E, telle que (~(8) soit une base de filtre sur F. Si 8 est une échelle de comparaison sur E (pour la base de filtre 3)' les fonctions f 0 y, où f parcourt 8, forment une échelle de comparaison sur F (pour la base de filtre @'(s)). 2. Parties principales et développements asymptotiques

Soit 8 une échclle de comparaison formçe de fonctions à valeurs dans un corps valu6 non discret K. Soit V un espace normé sur Ky et soit f une fonction de ag, 3f(8, V) ; s'il existe une fonction g E 8, et un élément a j O de V tels que f on dit que ag est une partie principale de f relativement à l'échelle 8.D'après la déf. 1 de V, p. 10, f ne peut avoir qu'une seule partie principale relative à 8, car si gl, g, sont deux fonctions de 8, a,, as, deux éléments # O de V, la relation

-

FVR V.12

92

ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS

-

algl a2g2 entraîne /g, 1 Ig21, et par suite g, = g,, d'où (a, - a,)g, «g,, et comme g, n'est identiquement nulle dans aucun ensemble de 8, cela entraîne 8, =

al.

Si f admct une partie principale relativement à une échelle de comparaison 8, elle admet ln même partie principale relativement à toute Çchelle de comparaison 8' 3 B. Exemples. - 1) Pour x réel (resp. complexe) tendant vers + K I (resp. vers KI),tout polynôme aoxn a,xn-l + . + an à coefficients dans V, tels que a, f O, a pour partie principale aoxnpar rapport à l'échelle des xn (ou de toute échelle contenant les aOxm . . a, xn). O n en déduit que toute fraction rationnelle boxn . bn à coefficients réels ou

.-

+

+ + + - .+

complexes tels que aobo # O, a pour partie principale

2 xm-npar rapport à la même

bo échelle. 2) Une fonction peut être comparable à toutes les fonctions d'une échelle de comparaison sans admettre de partie principale par rapport à cette échelle. Par exemple, pour x réel tendant vers +CO, 4.: n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle des xn, où n est entier rationnel; log x n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle des xa (cc réel quelconque) ; e x p ( d G ) et xX = e X 1 O g x n'ont pas de partie principale par rapport à l'échelle des xa(log x)D, ni par rapport à l'échelle des exp (p(x)) (p polynôme sans terme constant).

La notion de partie principale est susceptible d'une généralisation étendue. Supposons en effet qu'une fonction f E X ( 3 , V) ait une partie principale a,g, par rapport à une échelle 8 ; la relation f a,g, équivaut à f - a,g, «g, (V, p. 6, déf. 4) ; pour étudier de façon plus précise la fonction f, on est donc amené à considérer la fonction f - a,gl. Si cette fonction a une partie principale a2g2par rapport à 8, on aura nécessairement g, «g, et f - a,gl - a2g2« g2. D'une façon générale, supposons que l'échelle 8 soit écrite paramétriquement sous la forme (g,), où a parcourt un ensemble d'indices A muni d'une structure d'ensemble totalement ordonné isomorphe à l'opposée de la structure d'ordre de 8: la relation K < P est donc équivalente à gD«g,. Dans ces conditions : DEFINITION 2. - On dit qu'une fonction f E Yi($,V) admet un développement asymptotique à la précision g, (relativement à l'echelle 8) s'il existe une famille (a,),,, d'éléments de V, nuls sa$ un nombrejni d'entre eux, tels que f -

-2

2

1 a,g,

,401

«L.On dit

a,g, est an développement asymptotique de f à la précision &, que les a,g, ( h 6 a) que,<, sont les termes, les a, les coejicients et la finctions r, = f a,g, le reste de ce développement. Pour exprimer que

2 a,g,

h i

ci

est un développement asymptotique de f à la préci-

sion ga,on se bornera le plus souvent à &rire

No 2

DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES

FVR V.13

s'il figure plusieurs fonctions dans la démonstration) conformément aux notations de V, p. 9 et 10.

De deux développements asymptotiques (de deux fonctions distinctes ou non) relativement à la même échelle 6, on dit que celui dont la précision a le plus grand indice est leplus précis. Si tout

2 ahgh est un développement asymptotique de f à la précision g,,

A<,

pour

1ahgh est un développement asymptotique de f à la précision g ,

< a,

A< B

(V, p. 5, prop. 5) : on dit qu'on l'obtient en réduisant à la précision g , le développement donné

1ahgh de f.

h< a

2

b s g h sont des développements asymptotiques à la même Si a < , ahgL et précision de deux fonctions f,, f, (a, + 4 ) g , est un développement

2

h
asymptotiquc de f,

+ f2à la précision g,

(V, p. 7, prop. 5) et pour tout scalaire

2

a h c h est un développement asymptotique de f,c à la précision g,. On en hacc déduit que si une fonction f admet un développcment asymptotique à la précision g,, ce développement est unique: il suffit de voir que la fonction O ne peut admettre de développement asymptotique à la précision g, ayant des coefficients # O. c,

T-.

Or, si O

= L?,

h sol

on aurait a,g,

a,gh =

-

+ r,, et si y est le plus petit des indices A < a tel que a, # O,

2

,
ahgh - r,

«g,,

ce qui est absurde.

Dire qu'une fonction f admet un développement asymptotique à la précision g,, dont tous les coefficients sont nuls, équivaut à dire que f « g,. Si f admet un développement asymptotique

C ahgh à àa précision h,dont les coefficients ne

hsa

sont pas tous nuls, et si y est le plus petit des indices A tels que a, # O, a,gy est la partie principale de f relativement à l'échelle 6, car on a f - a,gy =

2

vih
ahgh + r,

«g y ;

de même, si /L

est la partie principale de f -

est un indice tel que a, # O, a,g,

2 ahgh.

h
Les développements asymptotiques les plus importants dans les applications sont les dévcloppernents relatifs à l'échelle des x-" (resp. des z-"), où n est entier positif ou négatif, lorsque .x réel tend vers + CO ou - CO (rcsp. lorsque z complexe tend vers CO), ou relatifs à l'échelle des (x - c)" (rcsp. (z - 6)") lorsque x réel tend vers c à droite ou à gauche (resp. lorsque z complexe tend vers c). O n a vu dans 1, p. 29 que toute fonction vectorielle d'une variable réelle x, k fois dérivable au point c E R, admet en ce point un développement de Taylor d'ordre k, c'est-à-dire un développement asymptotique à la précision (x - c)k relatif à l'échelle des (X

- 6)".

FVR V.14

§2

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

3. Sommes et produits de développements asymptotiques

Si f,, f, admettent des développements asymptotiques à la précision g, et g, respectivement, relativement à une echelle de comparaison &, on en déduit des développements à la précision grni,,,, en limitant à cette précision les deux développements; nous avons vu alors dans V, p. 13, comment on obtient un développement asymptotique de f, + f2à la précision gmin,,( ,).

,

Soient V,, V, et V trois espaces normes sur le corps K, et soit (x, y) I-+ [x. y] une application bilinéaire continue de V, x V, dans V; nous supposerons d'autre part dans tout le reste de ce paragraphe, que l'échelle & soit telle que le produit de deux fonctions quelconques de & appartienne encore à € (ce qui est le cas pour toutes les échelles de comparaison données en exemples (dans V, p. 10). Soient alors fl, f, des fonctions de #(8, VI) et X ( 8 , V,) respectivement, admettant par rapport à l'échelle € des développements asymptotiques f1 =

2 a,gh + r,,

h
f, =

2 b,g,

i*G

B

+ r, à la précision g,

et gBrespectivement. Sup-

posons en outre que - ni les a, ni les b, ne soient tous nuls, et soient a,g, et b,g, les parties principales de f, et f,. Par hypothèse, on peut écrire g,g, = g, et g,g, = d

g,; montrons que la somme Z[a,.b,]g,g,, étendue aux couples (A, IL) tels que gag,, est un développement asymptotique de [f, .f,] ci la précision gmin(O, O). gmin(P, En effet, la différence entre [f, .f,] et cette somme est somme d'un nombre fini de termes, qui sont soit de la forme [a,. b,]g,g, avec gag, « gmin,,, ), soit de la forme [a,.r,]gA, où À 2 y, soit de la forme [r,. b,]g,, où IJ. 2 8; mais comme [x. y] est continue, on a (V, p. 3, prop. 3 et V, p. 5, prop. 6) [a,. rB]gII. rBgh«gBgh= gp pour A 2 y, et de même [r,. b,]g, r,g, « g,g, = go pour p 2 8, d'où la proposition (V, p. 5, prop. 5). Si tous les ah sont nuls, on a [fl.f,] «g,po, autrement dit, on a un développement asymptotique de [f, .f2] à termes nuls, à la précision g,g6; de même si tous les ah

<

<

<

et tous les b, sont nuls, on a un développement asymptotique de [fl.f2]à termes nuls, à la précision g,ge.

On appliquera surtout le résultat précédent au cas où V est une algèbre normée sur K , et la fonction bilinéaire [x.y] le produit xy dans cette algèbre; les cas les plus importants sont ceux où V est égal à R ou C. En particulier, si f, (1 . . .f ;I par I rapport auxf;, à coefficients dans un espace normé V; (v,)

les règles qui précèdent permettent en outre de déterminer la précision du développement obtenu, connaissant celles des développements des fonctions J;. 4. Composition des développements asymptotiques

Soit f une fonction de &(8, R) (resp. &(8, C)) admettant un développement asymptotique à la précision g, par rapport à une échelle 6, et ayant pour limite O

No 4

DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES

FVR V. 15

suivant le filtre de base 8. Soit d'autre part h une fonction à valeurs dans l'espace normé V sur R (resp. C), définie dans un voisinage du point O dans R (resp. C) et nfois dérioable dans ce voisinage; on a donc dans ce voisinage,

(1, p. 29), d'où, dans un ensemble convenable de 8,

NOUSavons vu, au no 3, comment on peut former un développement asymptotique de co clf -t- - . . cnf", à une précision g, bien déterminée par la précision du développement de f; d'autre part, supposons que les coefficients du développement asymptotique def ne soient pas tous nuls, et que aygysoit la partie principale def, et soit go = gy; si CJ < p, on aura un développement de h 0 f à

+

+

la précision go en limitant le développement de contraire p

5

< s, le développement de k = O ekf k

2

k=O

ckf k à cette précision; si au

est aussi un développement de

h of à la précision g,. Si tous les termes de développement asymptotique de f sont nuls et si gx < 1, on a f 4 ga, donc f k < g$< g, pour tout entier k > O; si cm est le premier coefficient d'indice > O qui ne soit pas nul (en supposant que les c, d'indice k > O ne soient pas tous nuls), c, est un développement asymptotique de h of à la précisiong;.

Dans le reste de ce no,nous nous bornerons au cas où les fonctions de d o n t des valeurs réelles et strictementpositives dans un ensemble de 8, et nous ne considérerons que les développements asymptotiques de fonctions de %(a, R). Supposons d'abord que pour toute fonction g E 8 et tout nombre réel v, gVappartienne encore à &: cette condition est par exemple remplie par l'échelle des x", ou celle des xa \log XI* ( a et P réels quelconques) au voisinage de +CO ou au voisinage de O dans R. Cette propriété entraîne que le quotient de deux fonctions de d appartient encore à 8. Cela étant, d'un développement asymptotique relatif à & d'une fonction f E %(B, R), à la précision g,, on peut déduire un développement de ] f lv pour tout nombre réel v. Bornons-nous en effet au cas où les coefficients du développement de f ne sont pas tous nuls, et soit a,g, la partie principale de f ; on peut écrire 1f IV = [aylvg,Y(l$ h)V,avec

En vertu des hypothèses faites

whaa

5 est un développement asymptotique aygy

de h, à la précision g,/g,; comme h tend vers O suivant 8, la méthode décrite cidessus donne un développement asymptotique de (1 + h)V,puis un développement de 1 f IV en multipliant par laylvgy.

FVR V.16

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

Sous les mêmes hypothèses surf, on peut écrire 1% I f l = log la,g,l + log(l + h) et log (1 + h) se développe comme il a été dit plus haut, la fonction log (1 t ) étant indéfiniment dérivable au voisinage de O; si en outre log g, admet un développement asymptotique par rapport à &, ou par rapport à une échelle &, 2 &, on obtient un développement asymptotique de log 1f 1 en faisant la somme de deux développements asymptotiques.

+

Exemple. O on a log (1

1

- log (1 X

n a (1

+ x)

+ x)lIx

= logx

+ log

= erp

:(

log (1

+ ,Y)); lorsque

x tend vers + m ,

(1 + -il, d'où le développement asymptotique de

+ x) par rapport à l'échelle des xa (log x)B: 1 -log (1

x

+ x)

=

log x -

1

1

De ce développement, et du développement de Taylor u2 u3 eu = 1 u - o(u3) 6 2 au voisinage de u = O, on tire par les méthodes exposées ci-dessus, le développement asymptotique 1 log x 1 (log x)2 1 1 (log 4 3 + -log - -x (1 + x)llX = 1 - -+x 2 x2 x2 6 x3 zX3 + Op($) par rapport à l'échelle des xa(log x)o.

+ + + +

+

+

Les hypothèses et les notations restant les mêmes, le développement asymptotique de ef ne pose de nouveaux problèmes que lorsque f » 1; il faut alors distinguer deux cas, suivant que g, » 1 ou g, 1. Dans le premier cas, la donnée du développement de f ne permet pas d'obtenir une partie principale de ef relative à &, car on ignore en général si le reste r, tend vers 0, c'est-à-dire si ere tend

<

vers 1. Au contraire, si g,

< 1, on a r, « 1, donc ef - exp

préciser ce résultat: soit a,g, la partie principale def, et soit S l'indice (tel que y c 6 6 a ) pour lequel g,

=

1;posonsJ,

=

2 a,g,,

h
f, = ,J< ,a,g,

+ r, ;on a

f =fi + f2, donc ef = eflef2, et la méthode générale exposée au début de ce no permet de former un développement asymptotique de efz (à partir du développement de Taylor de et au point t = O). On aura donc encore un développement asymptotique de ef si efl contenant 8. Exemple. a log x

=

- O n a xxl'*

« x, d'où

ha6

=

exp(o,g,) appartient à tq ou à une échelle 8,

exp (log x . exp

; lorsque x tend vers

le dtveloppement asymptotique de log x. exp

à l'échelle des xa(log x)P :

= logx

+7

+ CO, on

No 5

FVR V. 17

DÉVELOPPEMENTSASYMPTOTIQUES

Tous les termes de ce développement à partir du second tendent vers O ; à partir de ce développement et du développement de Taylor eu = 1 u + 912 $ o(u2) au voisinage de u = O, on tire XxllX = x (log x ) ~ 3 1(log x ) ~ 1 (log x ) + 0 .

+

+

+

(F)

+ 2 x

x

5. Développements asymptotiques à coefficients variables

On peut généraliser la notion de partie principale et celle de développement asymptotique, de la manière suivante. Soit & une échelle de comparaison formée de fonctions réelles (resp. complexes) telles que, pour chacune d'elles, il existe un ensemble de 8 où la fonction ne s'annule en aucun point. Soit d'autre part V? un ensemble de fonctions de -(& Vk satisfaisan1 aux trois conditionssuivantes: (CO,) pour toutefon~tiona E %?, on a a 1. (CO,,) La relation a « 1pour unefonction a E %? entraine a = 0. (CO,,,) %? est un espace vectoriel sur R (resp. C ). Soit alors f une fonction quelconque de P ( 8 , V) ;s'il existe une fonction g E E et une fonction non nulle a E %? telles que f - ag «g, on dira que ag est une partie princz'pale de f, relative à l'échelle de comparaison & et au domaine de coejicients V. S'il existe une telle partie principale, elle est unique: supposons en effet qu'il existe deux telles parties principales a,g, et a,g,; on ne peut avoir g, «g,, car en vertu de (CO,) on déduirait de là a,g, «g2, et f - a,gl «g,
-

- -

-

-

<

R, ayant une même période 7, satisfont aux conditions (COI), (COII) et (COnr) : en effet si lim a(x)-= O, pour-tog E > O il exige xo telque x 2 x4 entraineja(x) u)l < E; -

Y-3.m-

on en déduit qu'on a aussi ja(x)l < E pour O < x < 7 , puisqu9il existe un entier n tel que x n.c 2 xo, et que a(x) = a(x n.c) ; comme E est arbitraire, on a a(x) = O dans (0, T), donc partout.

+

+

2

Avec Les notations de V, p. 12, on dira que ahgA,où les ah appartiennent ?.
2

Asa

2

p. tel que a, # O, a,g, est alors la partie principale de f a,g,, relative à 8 et h4w à W, ce qui prouve l'unicité de développement asymptotique de f (à la précision gu) lorsqu'il existe. Les méthodes données au no 3 (V, p. 14) pour former un développement asymptotique de f, + f, ou de [f, .f,] à partir de développements asymptotiques donnés de f, et f, s'appliquent encore aux développements à coefficients variables, à condition que les [a,. b,] appartiennent au domaine de coefficients V correspondant à l'espace normé V ou admettent un développement asymptotique àcoefficients -dans Q. -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

FVR V.18

5 3.

DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Dans ce paragraphe, nous allons considérer seulement le cas où l'ensemble E est un intervalle ouvert de la droite achevée R, et 8 une base de la trace sur E du filtre des voisinages de l'origine ou de l'extrémité a de E; en outre, nous étudierons surtout les fonctions numériques (finies) définies dans un ensemble de 8 (dépendant de la fonction considérée). En utilisant au besoin l'un des changements de variables 1 , X , = -- 1 , on peut toujours se ramener au cas où x' = - x, x' = X-GC

X-GC

+

E est un intervalle de la forme )a, CO(,et par suite où 8 est formée des intervalles (t, +col, où t > a. Nous nous bornerons donc en principe à ce dernier cas, et laisserons au lecteur le soin de traduire la plupart des propositions obtenues (au moyen des changements de variables précédents), sauf pour quelques résultats particulièrement importants. Il nous sera commode de désigner, par abus de langage, les ensembles de 8 sous le nom de (( voisinages de $ a )).

1. Intégration des relations de comparaison: 1. Relations faibles

+

PROPOSITION 1. -Dans un intervalle (a, CO(, soient f unefonction vectorielle réglée, g une fonction réglée 2 O et telle que " g(t) dt > O. La relation f gpour x tendant vers + co entraine

,a

Sa

Sr f (t) dt <

g(t) dt. Si l'intégrale

S:

<

" g(t) dt est convergente, l'intégrale

* f (t) dt est absolument convergente. En effet, il existe par hypothèse 6 2 a et un nombre c' > O tels que f

)

< cl(g()

pourx 2 6,

d'où

Ji

comme d'autre part, on peut supposer 6 assez grand pour que g(t) dt z O, il f (t) dtll 4 C" g(t) dt; en posant c = max (cf, c"), on a existe c" > O tel que donc, pour tout x > b,

I /:

d'où la proposition. COROLLAIRE 1. -Si f et g sont des fonctions réglées 2 O dans l'intervalle (a, +a(, telles quef g, et si f, " g(t) dt = m, on a "f (t) dt = + co.

>

+

No 2

DÉVELOPPEMENTSAU VOISINAGE DE

+ CO

FVR V. 19

COROLLAIRE 2. -Sif et g sont 2 O et non identiquement nulles dans (a, +a(et telles quef =:g, on a f (t) dt =: g(t) dt.

a!

Sa

2. Application: critères logarithmiques de convergence des intégrales

Par un choix convenable de la fonction g, on peut déduire de la prop. 1 deV, p. 18, et de son cor. 1 des critères permettant d'affirmer que l'intégrale Jaf "f (t) dt d'une fonction f 2 O est convergente ou infinie: il suffit de choisir pour g une fonction dont on connaît une primitive. En particulier, comme xN a pour primitive %lL+l

~

+

lorsque p # - 1, et log x lorsque p = - 1, on a le critère suivant: l

PROPOSITION 2 (a critère logarithmique d'ordre O D).-Soitf unefonction réglée 2 O dans l'intervalle (a, + CO(;si f (x) , ixv pour un p < - 1, l'intégrale " f (t) dt est convergente; sif (x) xUpour un p 2 - 1, l'intégrale "f (t) dt est infinie.

>

1;

Ce critère ne permet pas de conclure lorsque l/xl «f (x) « l/x pour tout exposant a > 0, par exemple pour f (x) = 1/x(log x)lL(p > O). Mais dans ce 1 si p # 1 et log log x si = 1. dernier cas, f a pour primitive -(log x)lmW 1-P Par suite: +"

3 ((( critère logarithmique d'ordre 1 ))). -Soitf unefonction réglée 2 O PROPOSITION dans l'intervalle (a, +col;sif (x) l/x(log x)U pour un p > 1, l'intégrale "f (t) dt ~ un p < 1, l'intégrale "f (t) dt est infinie. est convergente; si f (x) I/x(log x ) pour

>

<

1;

Sa

De façon générale, désignons par ln(x), pour tout entier n 2 O, la fonction définie par récurrence (pour x assez grand) par les relations 1, (x) = x, ln(x) = log (1,-,(x)) pour n > 1; on dit que ln(x) est le n-ème logarithme itéré de x (cf. 1 Appendice). On vérifie aussitôt que -(1,(x)) l-" est une primitive de 1-P

,

pour p # 1, et ln+ (x) une primitive de

1 Par suite : x.ll(x). 12(x).. .ln-&) .ln(%)

4 (((critère logarithmique d'ordre n )>).-Soitf unefonction réglée 2 O PROPOSITION 1 dans l'intervalle (a, CO(;sif (x) pour un p > 1, x - ~ I ( x* )l 2 ( ~-)-ln-l(x) (1n(x))lL

+

<

FVR V.20 l'intégrale

53

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

fa+

f (t) dt est convergente; si f (x)

Lcf

<

+ x.ll(x). . .ln-l(x). (ln(x))upour un 1

1, l'intégrale f "f ( t )dt est inJinie. Chaque critère logarithmique est donc applicable à des fonctions pour lesquelles les critères d'ordre inférieur ne peuvent donner de conclusion (cf. V, p. 52, exerc. 5 6) et V, p. 53, exerc. 8). En raison de son utilité, nous traduirons le critère d'ordre O pour les intégrales f (t) dt, oùf est réglée et 2 O dans l'intervalle non compact )a, a) : p

fz

PROPOSITION 5 ( G critère logarithmique d'ordre O O ) .-Si, au voisinage de a, 1/(x - a)fi pour un p < 1, l'intégrale f f (t) dt est convergente; si on a f (x)

<

f (x)

> 1/(x - a) pour un p 2 1, l'intégrale fz f (t) dt est injnie.

Nous laissons a u lecteur le soin de traduire de même le critère logarithmique d'ordre n.

L'application des critères logarithmiques est immédiate si on sait obtenir une partieprincipale def par rapport à une échelle de comparaison contenant les fonctions qui interviennent dans ces critères: sif, est cette partie principale, l'intégrale "f (t) dt est convergente ou infinie en même temps que f,(t) dt, et pour cette dernière intégrale, l'application des critères logarithmiques est immédiate.

fa

Sarn

Exemples. - 1) La fonction P ( l - t)%st non bornée dans )O, 1( lorsque P < O ou q < O; d'après les critères logarithmiques d'ordre O appliqués a u voisinage des points O et 1, pour que l'intégrale tP(1 - t)4dt converge, il faut et il suffit que P > - 1 et q > - 1. Lorsqu'il en est ainsi, cette intégrale est dite intégrale eulérienne de première espèce et notée B(p 1, q i- 1) (cf. VII, p. 8). 2) Considérons l'intégrale t x - l e ë t dt. Comme e-t 1 au voisinage de O, pour que cette intégrale converge, il faut que x > O; cette condition est aussi sufisante car on a e-' « t-O quel que soit p > O. Lorsque x > 0, l'intégrale a u voisinage de +a, est dite intégrale eulérienne de seconde espèce et notCe î ( x ) (cf. VII, p. 7).

+

-

3. Intégration des relations de comparaison: II. Relations fortes

PROPOSITION 6. -Soient f une fonction vectorielle réglée, g une fonction numérique réglée et 2 O dans (a, +cm(. 1" Si l'intégrale g(t)dt est convergente, la relation f «g (resp. f cg, od c est

-

Sa"

constant) entraîne

5; " f ( t ) dt « J-l" g(t) di (resp. 1; " f (t) dt

2 O Si l'intégrale

c

1; * g(t) dt).

fa+ " g(t) dt est inJinie, la relation f «g (resp. f - cg) entraine

quels que soient cr. et p dans (a, +a(.

N

No 3

DÉVELOPPEMENTSAU VOISINAGE DE

+ CO

FVR V.21

Il suffit de démontrer la proposition concernant la relation f «g, puisque, si c # O, la relation f cg est équivalente à f - cg «g. La première partie est une conséquence immédiate du théorème de la moyenne, car si on a Jlf(x)I < cg(%)pour x > xo, on en tire

-

:1

11:

* ~lf(t) 11 dt < c * g(t) dt pour x à xO. f(t) dtll c En second lieu, supposons que g(t) dt = +CO. Si I]f(x)II < cg(%)pour x 3 xo à max (cr, p), on a

\If@) /I dt

=

/af

jxO I l f (t)11 dt + 1% [If (t) I dl G 1%' /If (t) 1 dt +

dt

xo

a

Or, il existe x, à xo tel que pour tout x à x,

d'où, pour x 2 x1

ce qui achève la démonstration, E > O étant arbitraire. En d'autres termes, on peut intégrer les deux membres d'une relation forte f «g, f ag, lorsque g est positive dans un intervalle (a, +CO(,sans que la relation cesse d'avoir lieu entre les primitives des deux membres, pourvu qu'on ait soin d'intégrer de x à oo si " g(t) dt est convergente et de cc à x (cr quelconque dans (a, co() dans le cas contraire. N

+

+

/af

On notera que les prop. 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) sont encore valables lorsque 8 est la base de filtre formée de la trace des intervalles (t, f i a ( (où t > a ) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable (cf. 1, p. 23, th. 2). Exemjles. - 1 ) En appliquant la prop. 6 de V, p. 20, à la relation l/x « xa-l où cc > O, on retrouve la relation log x < xa pour tout cr > O, équivalente à la relation ylla « eY démontrée dans III, p. 16.

2) On a

(5)'

=

f(1 - 4)

w

déduit de la prop. 6 de V, p. 20, que

e X / x ; comme eX/x tend vers JIX

;

- dt

N

+ia

avec x, on

eX/x.

Remarque. - Lorsque g n'est pas supposée rester > O dans un intervalle (a, +-co( g(t) dt n'est pas convergente, la (ou rester < O dans un tel intervalle), et que g(t) dt, comme le montre f (t) dt relation f g n'entrahe pas nécessairement N

(

l'exemple où g(x) = sin x et f (x) = 1 f

Sz

Sa

N

- sin x; on a en effet

FVR V.22

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

d'où

ln

nn

et l'intégrale 49, exerc. 4).

sin2 t Idt

ST dtjt est infinie, alors que jz- g ( t ) dt = - cos x reste bornée (cf. V, p. 2

4. Dérivation des relations de comparaison

-

Les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) n'admettentpas de réciproque: l'existence d'une relation de comparaison f g, f « g, f cg entre deux fonctions dérivables au voisinage de + co n'entraîne pas nécessairement la même relation de comparaison entre leurs dérivées, même lorsqu'il s'agit de relations de comparaison entre fonctions numériques et monotonesf et g.

<

2

+

Par exemple, la fonction x2 + x sin x cos x est monotone et équivalente à x2, mais sa dérivée x(2 cos x ) n'est pas équivalente à 2x.

+

Par contre, on peut dériver des relations de comparaison lorsqu'on suppose a priori que les dérivées des fonctions considérées sont comparables (V, p. 7). De façon générale, nous dirons que deux fonctions numériquesf, g, définies dans un intervalle (a, +CO(, sont comparables d'ordre k au voisinage de +CO si, dans un voisinage de +KI,elles admettent une dérivée k-ème réglée sauf en une infinité dénombrable de points, et si, dans ce voisinage,f ('") et g'" gardent un signe constant (dans l'ensemble où elles sont définies), et sont comparables. O n convient de dire que deux fonctions numériques comparables (V, p. 7) sont comparables d'ordre 0.

PROPOSITION 7. - Si deux fonctions numériques f, g, sont comparables d'ordre 1, elles sont comparables; en outre, la relation f « g (resp. f cg, c constante) entraîne f ' 4 g' (resp.f ' cg') sauf sig est équivalente à une constante # 0. En effet, comme f' et g' gardent un signe constant dans un intervalle (xo, +CO(,f et g sont monotones dans cet intervalle, donc tendent vers une limite finie ou infinie lorsque x tend vers + co. Il est évident quef et g sont comparables lorsque x tend vers +a, si une de ces limites est finie et # O, ou si l'une est nulle et l'autre infinie. Si f et g tendent toutes deux vers O, on peut écrire f (x) = -" : j fl(t)dt, g(x) = - J+" gr(t)dt;comme f' et g' sont comparables, il en est de même def et g et la relation de comparaison entref et g est la même que celle qui existe entre f ' et g', d'après la prop. 6 (V, p. 20). De même, si f et g ont f'(t) dt, g(x) = g(xo) + toutes deux un elimite infinie, on a f (x) = f (x,,) + g'(t) dt; la prop. 6 (V, p. 20) montre de nouveau que f et g sont comparables et que la relation de comparaison entre f et g est la même que celle qui existe entref'etg'. P Our achever de démontrer la proposition, il reste à considérer le cas oùg tend vers + co et f vers une constante; alors on ne peut avoir f ' 3 g', car on

-

-

Eo

No 5

DÉVELOPPEMENTSAU VOISINAGE DE

+ CO

FVR V.23

lzo

déduirait de la prop. 1 (V, p. 18) que l'intégrale g f ( t ) dt serait convergente; comme f ' et g f sont supposées comparables, on a nécessairement f ' « g'. COROLLAIRE. -S i deux fonctions numériquesf, g sont comparables d'ordre k 2 1, elles sont comparables d'ordre p pour O < p < k ; en outre, la relation f « g (resp. f cg) entratnef ( k )
+

1

Par exemple, on a l/x 4: 1

+A

bien que les dérivées des deux membres soient

+ x-21 ' mais 1/x2% 2/x3. et g sont comparables d'ordre k, une fonction f, équivalente à f n'est pas

équivalentes; demême 1

1 +;

1

2) Si f nécessairement comparable d'ordre k à g; elle l'est toutefois si on suppose que f , est comparable d'ordre k à f et qu'aucune des dérivées f ( p ) (O < $ < k - 1) n'est équivalente à une constante # O. 3) Si f et g sont comparables d'ordre k, il n'en pas nécessairement de même de hf et hg, même pour une fonction monotone h aussi simple que h ( x ) = x (V, p. 49, exerc. 3); de même, l/f et l/g ne sont pas nécessairement comparables d'ordre k (V, p. 48, exerc. 1).

5.

Partie principale d'une primitive

Soitf une fonction numérique réglée tr O et gardant un signe constant dans un intervalle (a, +CO(;la proposition suivante permet dans certains cas d'obtenir f ( t ) dt est conune partie principale simple de la primitive f;" f (t) dt si

Sa+"

1; f ( t ) dt si l'intégrale 1; f ( t ) dt est infinie: 8. - On pose F ( x ) = 1; "f (t)dt si 1; "f (t)dt est convergente, F ( x ) = PROPOSITION

vergente, et de la primitive

f f ( t ) dt si J",f " f ( t )dt est injinie. On suppose que log 1f

1

et log x sont comparables

d'ordre 1. l0Sif est d'ordrejni p # - 1par rapport à x, on a

2O

Sif est d'ordre inJini par rapport à x et si f /f'et x sont comparables d'ordre 1, on a

On notera que l'hypothèse entraîne que f ( x ) a un ordre déterminé par rapport à x (V, p. 9).

FVR V.24

93

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

-

la Si f est d'ordre p # O par rapport à x, on a log 1f 1 p log x, donc, comme log 1f 1 et log x sont comparables d'ordre 1, on a d'après la prop. 7 de V, p$ Si p > - 1, on a f (x) » xw-Epour tout E > 0, p. 22, f'/f p/x, ou xf' donc (V, p. 19, prop. 2) l'intégrale "f ( t ) dt est infinie. On peut écrire F(x) =

-

N

1;

1;f (t) dt = xf (x) - af (a) - 1; tf '(t) dt, ou encore

comme p # - 1, f (x)

+ xf'(x)

(p

+ 1)f (x), donc (V, p. 20, prop. 6)

ce qui démontre dans ce cas la relation (1). Si p = 0, on a de même xf '(x) «f (x), ce qui donne encore f (x) + xf'(x) f (x). On raisonne de manière analogue lorsque p < - 1, cas où "f (t) dt est convergente. 2" Sif est d'ordre +CG par rapport à x, on a log 1f 1 » log x, donc (V, p. 22, prop. 7) f'/f » llx, ou encore, en posant g(x) = f (x)/f'(x), g(x) « x; en outre, comme f (x) » xCC pour tout cc > 0, l'intégrale f (t) dt est infinie. On peut écrire N

1;"

comme g et x sont comparables d'ordre 1, de la relation g(x) « x on déduit (V, p. 22, prop. 7) g'(x) « 1, doncfg' « f, et par suite (V, p. 20, prop. 6)

ce qui établit la relation (2). Démonstration analogue lorsquef est d'ordre - m par rapport à x, cas où * f (t) dt est convergente.

:1

Soit d une échelle de comparaison (pour x réel tendant vers +CO)formée de fonctions numériques non nulles et de signe constant au voisinage de +CO,telle que x E & et que le produit et le quotient de deux fonctions de & appartiennent encore à 8 (V, p. 11 et p. 14). Si une fonction réglée f de signe constant au "f (t) dt (resp. voisinage de + o~ admet une partie principale cg par rapport à f (t)dt suivant le cas) sera équivalente à c " g(t) dt (resp. c g(t) dt) ; si la fonction g satisfait aux conditions de la prop. 8 de V, p. 23, et si (lorsque la formule (2) de V, p. 23, s'applique) on connaît une partie principale de g' relativement à 8, on aura ainsi une partie principale de "f (t) dt (resp. f (t) dt) relativement à &.

,a

&,lX 1;

:1

:1

Sz

DÉVELOPPEMENTSAU VOISINAGE DE i-CO

FVR V.25

Exem$les. - 1) La fonction l/log x est d'ordre O par rapport à x, et satisfait aux conditions de la prop. 8 de V, p. 23; donc

IaX - &. dt

2) La fonction ex2 est d'ordre la prop. 8, donc

+ co par rapport à x ct satisfait aux conditions d e

Dans l'Appendice (V, p. 41), nous définirons un ensemble de fonctions auxquelles les prop. 7 et 8 sont toujours applicables. Remarque. - La prop. 8 n'est pas directement applicable à une fonction f d'ordre - 1 par rapport à x. Mais on pcut alors écriref(r) = fl(x)/x, f, étant d'ordre O par rapport à x. Supposons par exemple que "f (t) dt soit infinie; alors F(x) =

1;

[T

(t) dt =

Saxf

f,(t) df

=

lo:aX fl(eu) du.

Si la fonction f,(eY) satisfait aux conditions de la prop. 8 et a un ordrc # - 1 par rapport à y (c'est-à-dire si fl(x) a un ordre # - 1 par rapport à log x), les formules (1) et (2) permettront encore d'obtenir une partie principale dc F(x). Par exemple, ,-exp % o (gl' x) ; comme exp ( I F ) est d'ordre O par rapport à x, f est soit f (x) = x log- x d'ordre - 1; on a ici f,(eY) = eJ4/.y et cette fonction est d'ordrc +CO par rapport à y; la prop. 8 lui est applicable et donne SaeJü/u du 2eJG/dj; en revenant à la variable x, il vient donc

exp ( d

m )dt

-

2 exp ( d&x)

I F x

6. Développement asymptotique d'une primitive

Soit G une échelle de comparaison au voisinage de +CO formée de fonctions numériques # O et de signe constant au voisinage de +a; soit f une fonction vectorielle réglée définie dans un intervalle (a, +a(,à valeurs dans un espace normé complet E, et admettant un développement asymptotique

à la précision g,, par rapport à 8. Supposons en outre que toute primitive g(t) dt d'une fonction g E 8 admette un développement asymptotique par rapport à 8. Dans ces conditions, nous allons voir qu'on peut obtenir un développement asymptotique de F(x) = f(l' f ( t ) dt relativement à 8. Distinguons deux cas :

par

J"a

l0 J": g J t ) dt est infinie; alors (V, p. 20, prop. 6), on a r,(t) dt « J": g,(t) dt; hypothèse, on peut obtenir un développement asymptotique de

2 a, J": g (t)dt à une certaine précision gp (V, p. 12) ; si cg* est la partie princi-

h$a

pale de J": g,(t)dt, on aura donc un développement asymptotique de J"(1f ( t ) dt à la précision g,,, O, dont tous les termes ont des normes croissant indéfiniment.

,,,

FVR V.26 2 O

53

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

1: * g,(t) dt est convergente; soit p alors le plus petit des indices

que a, # O et que

)i

< cr tels

" g,(t)dt soit convergente; l'intégrale

est alors convergente, et on peut écrire r,(t) dt.

h < 13

Si

1:

On a alors " r,(t) dt « "g,(t) dt ;si cg, est la partie principale d e J i "g,(t)dt, et si on a un développement asymptotique de

à la précision g,, on aura de la sorte un développement asymptotique de F à la précision gmin(,,,). Tout revient donc à trouver des développements asymptotiques par rapport à & de primitives de fonctions de 8. Nous avons vu comment, moyennant certaines hypothèses sur &, la prop. 8 de V, p. 23 donne la partie principale d'une telle primitive. En outre, la démonstration de la prop. 8 donne l'expression de la différence des deux membres de la formule (1) (resp. (2)) de V, p. 23, sous forme

avec g = f/ f ') ;en formant la partie principale de cette nouvelle primitive, ainsi qu'un développement asymptotique du second membre de (1) (resp. (Z)), on obtiendra le second terme du développement cherché (voir V, p. 36-43).

Sz

Exemples. - 1) Soit f (x) = l/log x (x > 1) ;on a vu que dtllog t xllog x, et la dt - - -?est une primitive de l/(log x ) ~ ;on peut de nouveau différence a log t log x appliquer à cette fonction la prop. 8, qui donne dt/(log t)2 x/(log x ) ~ .Par récurrence, on obtient ainsi le développement

Sz

N

N

O n notera que, quel que soit n, tous les termes de ce développement tendent vers avec x. ex ex ex 2) Soit f ( x ) = -; on peut écrire f ( x ) = - x2 1 xZ donne les développements +a,

+

d'où par addition

No 1

FVR V.27

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

5 4.

APPLICATION AUX SÉRIES A TERMES POSITIFS

1. Critères de convergence des séries à termes positifs

Dans tout ce paragraphe, nous entendons (par abus de langage) par série à termes positifs une série (un) à termes réels tels que un 2 O à partir d'une certaine valeur de n. Tout ce qui sera dit sur ces séries s'étend aussitôt par changement de signe aux séries dont tous les termes sont < O à partir d'une certaine valeur de n. O n a vu (II, p. 14, Exemple 3) qu'à toute suite (un),, de points d'un espace normé E, on associe une fonction en escalier u définie dans (1, +m( par les conditions 1: alors, pour que la série (un) soit convergente, il u(x) = un pour n < x < n faut et il suffit que l'intégrale J": " u(t) dt soit convergente.

,

+

Soient (un) et (v,) deux séries à termes positifs, u et v les fonctions en escalier associées: la relation un < vn pour n 2 no équivaut à u(x) < v(x) pour x 2 no. Par suite, chacune des relations un un, un «un, un vn est respectivement équivalente à u(x) v(x), u(x) « v(x), u(x) u(x); cette remarque permet de traduire comme suit les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) :

<

<

-

-

PROPOSITION 1. - Soient (un) et (un) deux séries à termes positifs. Si un

< un, et si la

m

série (un) est convergente, la série (un) est convergente; si u,

> un et si 2 un = +a,on a n=l

PROPOSITION 2. - Soient (un)et (un) deux séries à termespositifs: 1" Si la série (un) est convergente, la relation un « vn (resp. un

5

p=n

2

Z -3

up « p = n up (resp. p = n up

-

un) entraine

up).

2 vn = + m , la relation un « un (resp. un - un) entraîne 2 up « 2 vp m

20 Si

-

n=l

p=1

p=1

-

O n obtient des critères commodes de convergence en prenant pour série de comparaison (un) dans la prop. 1 une série dont les termes sont de la forme un = f (n), où f est une fonction 2 0, d$nie pour tout nombre réel x > x, et décroissante dans l'intervalle (x,, + m(; en effet: PROPOSITION 3 (critère de Cauchy-Maclaurin). -Si f est une fonction 2 O et décroissante dans (x,, + m(, pour que la série de terme général vn = f (n) soit convergente, il f (t)dt soit convergente. faut et il suit que l'intégrale Il suffit pour le voir de remarquer que si v est la fonction en escalier associée à

Jio"

FVR V.28

54

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

la série (un), on a v(x + 1) < f ( x ) < v(x) pour tout x 2 xo, puisque f est décroissante; la proposition résulte donc du principe de comparaison (II, p. 17, prop. 3). Comme les fonctions qui figurent dans les critères logarithmiques de convergence des intégrales (V, p. 19-20, prop. 2, 3 et 4) sont décroissantes dans un intervalle (x,, +CO(, l'application des prop. 1 et 3 de V, p. 27, donne les critères suivants : PROPOSITION 4 ((
<

PROPOSITION 5 (((critère logarithmique d'ordre P D).- Soit (un) une série à termes 1 pour un p. > 1, la série (un) est PositÊfs. Si u i " 'n.ll(n).l,(n). . .lp-,(n) (lp(n))i" 1

convergente; si u, >, somme injnie. Si O

1

n.11(4

. Jp-,(n)

1, on a qn

pour un p (lP(n))i"

< n-v quel que soit

IJ.

<

1, la série (un) a une

> 0; l'application du critère logam

rithmique d'ordre O prouve à nouveau la convergence de la série géométrique

S qn n=O

pour 1q1 < 1 (TG, IV, p. 32). Si on applique la prop. 1 en prenant un = qn on obtient un critère qui peut se mettre sous la forme suivante (<(critère de Cauchy i ) ) : Soit (u,,) une série à termes posit$s; si lim. sup (un)lln < 1, la série (21,) est convergente; si lim .sup (un)lln > 1, la série n-

n-m

((un)

a une somme inifinie. E n effet, si lim. sup (un)lln =

m

<

n- m

a < 1, pour tout nombre q tel que a < q < 1, on a un qn. Si au contraire limasup (un)lin = a > 1, pour tout q tel que 1 < q < a, on a un 2 qn > 1 pour une n- a

SI

+

infinitd de valeurs de n; un ne tendant pas vers O, on a un = CO. Ce critère est fort utile dans la théorie des séries entières, que nous étudierons plus tard; mais il ne permet déjà plus de décider de la convergence des séries (Ilnu), autrement dit son champ d'application est beaucoup plus restreint que celui des critères logarithmiques.

2. Développement asymptotique des sommes partielles d'une serie

Pour x réel tendant vers + co, soit d une échelle de comparaison formée de fonctions dont chacune est définie dans tout un intervalle (x,, +co[ (dépendant de la fonction) et est 2 O dans cet intervalle. Soit (un)une série dont les termes appartiennent à un espace normé complet E, telle que unadmette un développement asymptotique à la précision g, par rapport à l'échelle 8' des restrictions à N des fonctions de &:

z

U n = a< or

a d n )

+ r&).

No 2

FVR V.29

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

Supposons que toute somme partielle

m=l

g(m) où g E 8, admette un dévelop-

pement asymptotique par rapport à 8'. On peut alors obtenir un développement asymptotique de sn = cas :

2

m=l

u, par rapport h 8'; nous distinguerons encore deux

m

10

1g,(n)

n =1

=

+m. Alors (V, p. 27, prop. 2), on a

2 r,(m) 2 g&) X

m=l

m=1

;

par hypothèse, on peut obtenir un développement asymptotique de

(V, p. 13) à une certaine précision g,,; si cg, (n) est la partie principale de

2 g,(m), on aura un développement asymptotique de s, 2la précision gmin(o,

m=l

-

20

2 g,(n)

n=l

est convergente; soit alors (3 le plus petit des indices h

< a tels

m

que ah # O et que

2 gh(n)soit convergente; la série

n =1

est alors absolument convergente, et on peut écrire

m

On a en outre m=n+l

m=n+l

«m = n + l

r,(m)

g,(m); si cg,(n) est la partic principale de

g,(m), et si on a un développement asymptotique de

à la précision g,, on obtiendra ainsi un développement asymptotique de s, à la précision gmin(P. O). On est ainsi ramené au cas particulier des séries (g(n)) où g E 8. Nous allons voir comment, moyennant certaines conditions, on peut tout d'abord obtenir une

partie principale de s,

L

m =n +1

g(m) (lorsque

3

n=l

=

5

m =1

g(n) <

g(m) (lorsque

3

n .. = l-

g(n)

=

+a)ou de r,

=

+ m).

PROPOSITION 6. -Soit g une fonction numérique > O et monotone denie dans un intervalle (x,, + KI( (où x, < l), et telle que log g et x soient com~arablesd'ordre 1.

FVR V.30

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

l o Sig est d'ordre infiipar rapport à ex, on a

2" Si g est d'ordrejni ppar rapport à ex, on a

I* devant être remplacé par 1 dans (3) et (4) lorsque p = 0). (le nombre --1 - e-p 1" Si g est d'ordre +m par rapport à ex, on a log g » x, d'où g'/g » 1 ou gf »g d'après l'hypothèse; g est donc croissante et tend vers + m avec x, d'où

2

n =1

g(>i) =

+ m. Si u est la fonction en escalier associée à la série (g(n)) (V, p. 27)'

on a u(x) 6 g(x) à partir d'une certaine valeur de x, donc u

< g et par suite

-

comme sn = sn-, + g(n), on a bien sn g(n). Démonstration analogue lorsque g est d'ordre - m par rapport à ex; on a alors la formule (2). 2" Si g est d'ordre p par rapport à ex, on peut écrire g(x) = eVxh(x),où h est px pour y # O d'ordre O par rapport à ex; en outre, par hypothèse, log g

-

(log g « x pour p

=

O) entraîne h' 4: h. Supposons d'abord que

03

2 g(n) = + m

n =1

(ce qui implique p O, et est réciproquement toujours vérifié si p > 0, puisg(t) dt. qu'alors g(x) tend vers + co avec x) ;évaluons une partie principale de J": On peut écrire

-,

Or, la relation h' « h signifie que, pour tout z > O, il existe no tel que la relation x > no entraîne Ihf(x)/h(x)l 6 E ; on en déduit, pour n - 1 6 t 6 n,

No 2

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

que - E d'où

< log Ih(t)/h(n)1 < E d'après le th. Ih(t) - h(n)l

<

FVR V.31

des accroissements finis, si n 2 no, l)h(n)

(eL

et par suite

puisque ePt est croissante. Comme eE - 1 est arbitrairement petit avec voit qu'on peut écrire

étant remplacé par 1 lorsque p

=

1.

O

E,

on

La proposition est alors une

2

conséquence de la pmp. 2 de V, p. 27. On raisonne de même lorsque n = l g(n) est finie. Par application répétée de la prop. 6 de V, p. 29, on peut parfois obtenir un

5

déueloppement asymptotique de sn = +CO

m=l

g(m). Supposons d'abord que g soit d'ordre

par rapport à e x ; pour toute valeurjxe dep, on peut écrire, d'après la prop. 6,

et il suffira de développer (relativement à 6') chacune des fonctions g(n - k) (O < k < p) en limitant la précision de ces développements à la partie principale de g(n - p), pour avoir un développement de s,. Exemple. - S o i t g ( x ) = xx prenantp = 2, on a

+ co

exp ( x l o g x ) , d'ordre

=

par rapport à ex. En

( n - l ) l o g ( n - 1) = ( n - 1 ) l o g n - 1 d'où (V, p. 16)

(fi

- 1)n-1

=

inn-1

+

n n - ~+ ~ , ( n ~ - ~ ) 2e

et de même

1 (n - 2)n-2 = @-2

+

eZ

,2 (nn-2 );

par suite 5,

= nn

1

+ -e. n - l

+ (2, -+e:)

nn-2

+~

~ ( n ~ - ~ ) .

On procède de même (pour rn) lorsque g est d'ordre - oo par rapport à e x

2

Si maintenant g est d'ordre fini p par rapport à ex, et si par exemple g(n) = n=l + CO,on peut écrire

FVR V.32

El.

où fl(n) = g(n) -

Sn-,

g(t) dt «g(n) d'après la prop. 6 de V, p. 29. Si

on a une partie principale cgl(n) defl(n) par rapport à &', et si on peut appliquer de nouveau la prop. 6 à la fonction g,, on obtiendra une primitive équivalente à

3

fl(m) si

m =1

zl

m

gl(n)

=

+mi équivalente à

m=n+l

n

(dans ce dernier cas, on écrit

2 2

fl(m) dans le cas contraire

m

);f1(m) = C m=l

-

m

f,(m), avec C m=n+l

n = l fl(n)). De proche en proche, on peut obtenir ainsi éventuellement une expression de s, sous forme de la somme d'un certain nombre de primitives, dont chacune est négligeable devant la précédente, d'un terme restant négligeable devant la dernière primitive écrite, et éventuellement d'une constante (cas où le terme restant tend vers O). Il reste ensuite à développer chacune des primitives obtenues relativement à 8' (cf. V, p. 25).

Exemjde.

=

1

- Soit g(n) = -; on a n

puis 1

--

(log n

- log (n -

1))

1

N

-Zn2

d'où

La constante y qui s'introduit dans cette formule joue un rôle important en Analyse (cf. chap. VI et VII) ;elle est connue sous le nom de constante d'Euler; on a y = 0,577 215 664... à 1/109près par défaut.

Nous verrons dans VI, p. 20, comment la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin donne, dans les cas les plus importants, un développement asymptotique d'ordre quelconque de sn (ou de r,) . 3. Développement asymptotique des produits partiels d'un produit infini

On sait (TG, V, p. 14) que, pour que le produit infini de facteur général 1 + un (un > - 1) soit convergent (resp. commutativement convergent), il faut et il suffit que la série de terme général log (1 + un) soit convergente (resp. commutativement convergente), et que l'on a alors la relation

P

log n = l (1

+ un) = ns= l log (1 + un).

No 3

FVR V.33

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

Lorsque le produit infini est convergent, on sait que un tend vers O; on a donc log(1 + un) un; or, on sait que, pour qu'une série de nombres réels soit commutativement convergente, il faut et il suffit qu'elle soit absolument convergente (TG, IV, p. 39, prop. 5) ; en vertu de la prop. 1, on retrouve ainsi que, pour que le produit de facteur général 1 + un soit commutativement convergent, il faut et il suffit que la série de terme général un soit absolument convergente (TG, IV, p. 35, th. 4).

-

U n raisonnement analogue s'applique à un produit infini de facteur général comjlexe 1 un (un f - 1). En effet, pour qu'un tel produit soit commutativement convergent, il faut et il suffit (TG, VIII, p. 16, prop. 2) que le produit infini de uni le soit, et en outre, si 0, est l'amplitude de 1 f un (comprise facteur général 11 entre-x et S n ) , que la série des 0, soit commutativement convergente. Comme u,, tendalors vers O, log(1 un) est défini à partir d'une certaine valeur den (III, p. 10) et on a log(1 un) = log Il uni ion;

+

+

+

+

+

+

donc, pour que le produit de facteur général 1 + un soit commutativement convergent il faut et il suffit que la série de terme général Ilog(1 + un\ soit absolument convergente (TG, VII, p. 16, th. 1); or log(1 + un) un (1, p. 26, prop. 5), donc on retrouve la condition que la série de terme général un soit absolument convergente (TG, VIII, p. 16, th. 1).

-

La relation entre produits infinis et séries de nombres réels permet parfois n

(1 + uk); il suffit d'avoir un développement asymptotique de la somme partielle sn = d'obtenir un développement asymptotique du produit partiel!,

2 log (1 + u,), puis de développer pn

1c = 1

=

=

k=l

exp (sn); on est donc ramené à deux

problèmes examinés antérieurement (V, p. 28, et p. 16). Exemfile: formule de Stirling. - Cherchons un développement asymptotique de n!; on est ramene à développer successivement

S.

=

5

p=1

log j, puis enp(sn). La methode du no 2 donne

puis log n

-

Snn-

log t dt = log n

-

(n log n

-

(n - 1) log (n - 1)

-

1)

1

d'où

sn = nlogn

-n

-

+ +logn + ~ ( l o g n ) .

O n a ensuite log t dt

- 12 (log n - log

(n

- 1))

1 -1Zn2

d'où sn = n log n - n

1 + -1 log n + k + + o,($ 12n

(k constante)

1 Zn

-

FVR V.34

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

et on tire finalement ( V , p. 16)

Nous démontrerons dans VII, p: 17, qu'on a ek = 4%. La formule ( 5 ) (avec cette valeur de k) est dite formule de Stzrling. De la même manière, pour tout nombre réel a distinct d'un entier > O, on démontre que

~+S ( a + 1 ) ( a + 2 ) . . .(a $ 12) N ~ ( c z ) n ~ + e-n. (6) Nous déterminerons également la fonction K(a) ( V I I , p. 18). Des formules (5) et ( 6 ) on tire en particulier

pour tout nombre réel a distinct d'un entier > O, y(a) étant une fonction de a qui sera précisée dans V I I , p. 18.

4. Application: critères de convergence de seconde espèce pour les séries à termes positifs

On rencontre assez souvent des séries (un), pour lesquelles un > O à partir d'un certain rang, et un+&, a un développement asymptotique facile à déterminer. Il est commode, pour de telles séries, d'avoir des critères (dits critères de seconde espèce) permettant de déterminer si la série est convergente d'après le seul aspect de un+Jun. U n tel critère est le suivant: PROPOSITION 7 (a critère de Raabe O ) . - Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Si, à partir d'un certain rang, un + ,/un Q 1 -

a

-n pour

la série (un) est convergente; si à partir d'un certain rang, un+,/un 2 1 -

un a > 1, 1

-, la série n

(un)a une somme infinie. En effet, si un+,/u,

fJ

i).or, on

<

a 1 - - avec n

ct

> 1, pour tout n B no, on a un

(2

=

a n2 a log 1 - - - - - - - + o - , d'où log pn = n 2n2 1 -oc log n + k o(l/n) (k constante), et pn ek - -comme a > 1, le critère nQ' logarithmique d'ordre O permet de conclure. 1 Si au contraire U , + ~ / U , 2 1 - - à partir d'un certain rang, le même calcul n 1 prouve que un - d'où la proposition. n O n démontrerait de la même manière, en utilisant les critères logarithmiques d'ordre > O, le critère de seconde espèce suivant:

(1 -

+

>

( :)-

N

No 4

FVR V.35

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

PROPOSITION 8. - Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Si, à partir d'un certain rang, on a

pour un C( > 1, la série (un) est convergente; si, àpartir d'un certain rang, on a

la sérÊe (un)a une somme inJinie. Exemnfile. - Considérons la sér-iehypergéonzétrique, de terme général

où or, fi, y sont des nombres réels quelconques, différents des entiers < O; il est clair que un est > O à partir d'un certain rang, ou < O à partir d'un certain rang. O n a

+

P < y, Le critère de Raabe montre donc que la série est convergente pour cc et a une somme infinie pour or p > y ; lorsque cc P = y, la série a encore une somme infinie, comme le montre la prop. 8.

+

+

Remarques. - 1) Comme cas particulier d u critère de Raabe, on voit que si lim-sup u,, + ,/un < 1, la série (un)est convergente; si au contraire lirneinf un+,/un > 1, n- m

n- m

la série a une somme infinie (critére dc d'Alembert).

2) Les critères de seconde espèce ne peuvent s'appliqucr qu'à des séries dont le terme général se comporte de façon très régulière lorsque n tend vers +oz ; autrement dit, leur champ d'application est bien plus restreint que celui des critères logarithmiques, et ce serait une rnaladrcsse que de vouloir les utiliser en dehors dcs cas spéciaux auxquels ils sont particulièrement adaptés. Par exemple, pour la série (un) définie par u,, = 2-"', u2,+, = 3-m, on a 2 1 2 m + l / ~ 2 m = ($)m, = 1,(z) 3 m ; le premicr de ces rapports tcnd vers O ct lc second vers co lorsque m croît indéfiniment, donc aucun critère de seconde espèce n'est applicable; cependant, comme u,." . 2 -"12. il est immédiat aue la série est convereente. " Même lorsque U , + ~ / U , a une exprcssion simple, une évaluation directe d'une partie principale de un conduit souvcnt au résultat aussi vite que lcs critères de seconde espèce. Par exemple, pour la série hypergéométriquc, la formule de Stirling ana+B-y-,, où a est une constante #O, et le critère logamontre aussitôt que un rithmique d'ordre O est par suite applicable.

+

<

N

APPENDICE

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H) 1. Corps de Hardy

Soit $ la base de filtre sur R constituée par les intervalles de la forme [xo3 +CO(. Rappelons que, dans l'ensemble A?(& R ) des fonctions numériques définies dans des parties appartenant à $, nous avons défini la relation d'équivalence R,: a il existe un ensemble M E $ tel que f (x) = g(x) dans M >> (V, p. 2)) et que l'ensemble quotient S(8, R)/R, est muni d'une structure d'anneau ayant un élément unité.

IR), on dit que a/R, DÉFINITION1. -Étant donné un sous-ensemble BY de Z($, (image canonique de % dans A?(& R)/R,) est un corps de Hardy, si BY satisfait aux conditions suivantes: R)IR,. l0 @IR, est un sous-corps de l'anneau Z($, Z0 Toute fonction de 9 est continue et dérivable dans un intervalle (a, +CO((dépendant de la fonction), et la classe suivant R, de sa dérivée appartient à %/Ra. L'hypothèse que BY/R, est un corps équivaut aux conditions suivantes: si f E 9 et g E 9,f + g etfg sont égales à des fonctions de 9 dans un ensemble de $; en outre, si f n'est pas identiquement nulle dans un ensemble de 8, il existe un ensemble M de 8 dans lequel f ne s'annule pas, 11f étant égale à une fonction de BY dans M; d'après la condition 2") on peut toujours supposer M pris tel quef soit continue dans Myet par suite garde un signe constant dans cet intervalle. Par abus de langage, si BY est tel que @IRmsoit un corps de Hardy, nous dirons dans ce qui suit que R lui-même est un corps de Hardy. Exemples. - 1) Tout corps de Hardy contient le corps des constantes rationnelles

No 2

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

FVR V.37

(plus petit corps de caractéristique 0, cf. A, V, $ l), qu'on peut identifier au corps Q ; d'ailleurs, comme deux constantes ne sont congrues modulo R, que si elles sont égales, Q/R, est identique à Q. Les constantes réelles forment aussi un corps de Hardy, qu'on peut identifier à R. 2) Un exemple plus important de corps de Hardy est l'ensemble des fonctions rationnelles à coe$îcients réels, que nous noterons R(x) par abus de langage; si f (x) = p(x)/q(x) est une fonction rationnelle à coefficients réels, non identiquement nulle, elle est continue, dérivable et # O dans l'intervalle (a, + a(,où a est strictement supérieur à la plus grande des racines réelles des polynômes p(x) et q(x) ; donc tout élément de R(x)/R, autre que O est inversible. On notera encore que deux fonctions rationnelles ne peuvent être congrues modulo R, que si elles sont égales, donc R(x)/R, peut encore être identifié à R(x). 2. Extension d'un corps de Hardy

Étant donné un corps de Hardy @, nous allons voir comment on peut former de nouveaux corps de Hardy 9' 2 9 tels que @'/R, s'obtienne par adjonction à @/Ra (au sens algébrique du terme, cf. A, V, $ 2) de nouveaux éléments, d'une forme que nous allons préciser. Lemme 1. -Soient a(x), b (x) des fonctions numériques continues et ne changeant pas de signe dans un intervalle (x,, +a[.Si, dans cet intervalle, la fonction y(x) est continue et dérivable et vérijie l'identité il existe un intervalle (x,, + CO(dans lequel y ne change pas de signe. a(t) dt) (cf. IV, p. 22); on a, d'après En effet, posons z(x) = y(x) exp (1), Z' (x) = b(x) exp ( - JXo a(t) dt). Si b(x) 3 O pour x 3 x,, z est croissante dans cet intervalle, donc, ou bien est < O dans tout l'intervalle, ou bien est nulle dans un intervalle (x,, +CO(,ou bien est > O dans un intervalle (x,, +GO(;comme y a le même signe que z, la proposition est démontrée dans ce cas. Raisonnement analogue si b(x) < O pour x 3 x,.

(-!XI,

Remarque. - Cette propriété si élémentaire ne s'étend pas aux équations différeny = 0, tielles linéaires d'ordre > 1 ; par exemple, la fonction y = sin x satisfait à y" mais change de signe dans tout voisinage de m.

+

+

Lemme 2. -Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy 9, y(x) une fonction satisfaisant à l'identité (1) dans un intervalle (x,, + a( où a et b sont d$nies et continues. Si p(u) est un polynôme par rapfort à u, dont les coeficients sont des fonctions de x appartenant à @, d$nies et dérivables dans (xo, +cm(, il existe un intervalle (xi, + GO(,dans lequel lafonction p(y) ne change pas de signe.

FVR V.38

APP-

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

La proposition est triviale si p(u) a ses coefficients identiquement nuls dans (x,, +CO(, ou si p(u) est de degré O par rapport à u, puisqu'une fonction de 9 garde un signe constant dans un intervalle (x,, + coq. Supposons que p(u) soit de degré n > O ; le coefficient dominant c de P(u) est alors f. O dans un intervalle (a, + C O [ ; on peut donc écrirep(u) = c(un + clun-l + . . + 6,) où C, cl, c2, . . .,C, sont des fonctions appartenant à 9 et dérivables dans (a, +CO(;il suffit donc de démontrer le lemme pour c = 1. Raisonnons alors par récurrence sur n; on a

+ ciyn-l +

. . . + 6;

=

na.P(y)

+ q(y)

où q(u) est un polynôme de degré < n - 1, à coefficients dans 9. Par hypothèse, les fonctions na(x) et q ( y ( x ) )ne changent pas de signe dans un intervalle (p, +CO(; le lemme est donc une conséquence du lemme 1. THÉORÈME 1. -Soient a(x) et b ( x ) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy P, y(x) une fonction satisfaisant à (1) dans un intervalle (x,, +CO[. Lorsque r(u) = p(u)/q(u) parcourt l'ensemble des fractions rationnelles en u à coejicients dans 6 telles que q ( y ) ne soit pas identiquement nulle dans un voisinage de +CO,l'ensemble S ( y ) des fonctions r ( y )forme un corps de Hardy. En effet, d'après le lemme 2, il existe un intervalle (x,, + a ( dans lequel r ( y ) est définie, continue et ne change pas de signe, d'où résulte aussitôt que S ( y ) / R , est bien un corps; d'autre part, comme

(où r'(y) = ( p l ( y ) q ( y )- p ( y ) q ' ( y ) ) / ( q ( y ) ) 2est définie par hypothèse dans un voisinage de + a )la , dérivée de toute fonction de @(y) appartient à @(y), ce qui prouve que @ ( y )satisfait aux conditions de la déf. 1 de V, p. 36. Il est clair que 9(y)/R, s'obtient par adjonction algébrique à @/Rade la classe de y modulo R,. On dit encore que @( y) s'obtient par adjonction de y à 9.

COROLLAIRE 1. - Si y est une fonction de 9 non identiquement nulle dans un voisinage de + a,@(log1 y ] )est un corps de Hardy. En effet, (log 1 y])' = y'/y est égale à une fonction de 9 dans un intervalle ( ~ 0+ , 4. COROLLAIRE 2. - Si y est unefonction quelconque de 9, P(eY) est un corps de Hardy. En effet, (eV)' = eyy', et y' est égale à une fonction de 9 dans un intervalle (xo, +al. COROLLAIRE 3. - Si 9 contient les constantes réelles, et si y est une fonction de 6 non

No 3

F'VR V. 39

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

identiquement nulle dans un voisinage de +co, 9(ly/") est un corps de Hardy pour tout nombre réel a. d En effet, - (/y]") = ]y)"( q f / y ) , et ixy'ly est égale à une fonction de 9 dans dx un intervalle (x,, + GO(. Notons enfin que si y est une primitive d'une fonction quelconque de 9, S(y) est encore un corps de Hardy.

3. Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy

PROPOSITION 1. - Deuxfonctions appartenant à un même corps de Hardy sont comparables d'ordre quelconque (V, p. 22). En effet, si f appartient à un corps de Hardy 9, pour tout entier n > O, il existc un intervalle (x,, + GO( dans lequel f est n fois dérivable, sa dérivée n-ème étant égale à une fonction de 9 dans cet intervalle. 11 suffit donc de montrer que deux fonctions quelconquesf, g de 9 sont comparables. C'est évident si l'une d'elles est identiquernent nulle dans un voisinage de + co ;on peut donc se borner au cas où elles sont toutes deux strictement positives dans un voisinage de + m . Mais alors, pour tout nombre réel t, f - tg est égale à unc fonction de 9 dans un voisinage de +GO,donc garde un signe constant dans un voisinage de +GO,ce qui démontre la proposition (V, p. 8, prop. 9). O n déduit d'abord de cette proposition que, si un corps de Hardy 9 contient lcs constantes réelles (ce que nous supposerons toujours par la suite), et si f et g sont deux fonctions quelconques de 9, deux quelconques des fonctions ef, eg, log 1 f 1, log Igl, 1 f I", /gl" (ix réel quelconque), JaS) g (a réel quelconque dans un intervalle (x,, +a$ où f et g sont réglées) sont comparables (lorsqu'ellcs sont définies); en effet, deux quelconques de ces fonctions apparticnnent à un même corps de Hardy obtenu en les adjoignant successivement à @. De même, toute fonctionf (x) d'un corps de Hardy 9 est comparable à x, car x et f (x) appartiennent au corps de Hardy %(x)obtenu en adjoignant x à 9. O n en conclut donc (en particulier) que f est comparable d'ordre quelconque à toutc puissance xC",ainsi qu'à log x et à ex. O n voit aussi que, si f et g appartiennent à un même corps de Hardy 9, si et si g(x) tend vers O ou vers + co lorsque x g(x) > O dans un intervalle Qx,, +a[, tend vers +a,l'ordre def par rapport à g (V, p. 9) est toujours défini. La prop. 8 de V, p. 23, est donc applicable à toute îonction f d'un corps de Hardy, et prouve que :

Sa

1" sif'est d'ordre -i-c o par rapport à x,

J'a f (t) dt - (f (x))'/ f

'(x).

FVR V.40

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

1 Saf (t) dt xf (x). ~ + 1 1 3" si f est d'ordre p < - 1 par rapport à x, Sxf "f ( t ) dt - --, 1 .f(x). 2O si f est d'ordre p > - 1 par rapport à x,

N

+

4-O

sif est d'ordre - co par rapport à x

JX " f (t) dt - - (f ( x ) ) ~f/'(x).

O n a en outre la proposition suivante : PROPOSITION 2. -Soitf unefonction appartenant à un corps de Hardy R. 1 Sifest d'ord~ezninipar rapport à x, on a, pour tout entier n > 0,

2O Sif est d'ordrejini ppar rapport à x, on a, pour tout n > 0,

sauf si p est entier > O et n > p. l0 Sif est d'ordre infini par rapport à x, on a log 1 f 1 » log x, donc, puisque log]f J et log x sont comparables d'ordre q~~elcunquc, f '/f » llx. Posons g = f '1f ; comme g est égale à une fonction de 9 dans un voisinage dc +a,on déduit de l/g « x, que g'/g2 « 1, et par suite gl/g « g = f 'If, ou cncore fg' «gf'.De la relationf ' = fg, on déduit cn dérivant

-

f" = f g l + g f ' gf' ou encore f "/f ' f'lf. Le même raisonnement, appliqué à f (") au lieu de f , montre, par récurrence sur n, que f ( " ) / J ( "l)- f '/ f ; d'où la relation (2).

-

-

-

2" Si f est d'ordre fini p par rapport à x et si p + O, on a log 1 f 1 p log x, ~f l-; .( 4 on en déduit que fr est d'ordre p - 1 par rapd'où, en dérivant, f'(x) x port à x, ce qui permet d'appliquer le même raisonnement par récurrence sur n tant que p, # n, d'où la formule (3) lorsque p n'est pas un entier 3 O ct < n.

-

Lorsque f est d'ordre entier j~ > O par rapport à x, on peut écrire f (x) = x~'(x), où f,est d'ordre O par rapport à x. D'après la prop. 2, on a

f'"'"fi! fi. Pour évaluer les dérivées d'ordre n > fi, on peut donc se borner au cas où fi = 0. Alors, on a log 1 f 1 d log x, d'où fr(x)/f (x) « Ilx, autrement dit xf '(x) «f (x); si f n'est pas équivalente à une constante k # O, on a, en dérivant cette relation (V, p. 22, prop. 7), xf "(x) f '(x)
+

Si f est équivalente à une constante k f on est ramené à étudier les dérivées def,.

O, on a f (x) = k

+ f,(x)

avec f, « 1, et

No 4

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

FVR V.41

4. Fonctions (H)

PROPOSITION 3. -Si O. est un coqs de Hardy, il existe un corps de Hardy 9, contenant 9, et tel que, pour toutefonction z E O, non identiquement nulle dans un voisinage de +CO,

1

eZet log zl appartiennent à P. Désignons par iY l'ensemble des fonctions f E A?($,R) ayant les propriétés suivantes: pour chaque fonctionf E 9 il existe un nombre fini de corps de Hardy Pl, O,, . . ., O, (le nombre n et les corps Si dépendant def )tels que f E 9, et que, pour O < i < n - 1, on ait 9 + = Pi(ui+,), où U, + est égale, soit à eZi, soit à log Izil, Z, appartenant à Li et n'étant pas identiquement nulle au voisinage de +CO. O n dit que u,, u,, . . . , un forment une suite de d&nition du corps 9, et de la fonction f; une même fonction f E P peut naturellement admettre plusieurs suites de définition. D'après la déf. 1 de V, p. 36, toute fonction f E 9, non identiquement nulle dans un voisinage de +CO,garde un signe constant et est dérivable dans un intervalle (x,, +CO[; si f E P,, 11f et f ' sont égales à des fonctions de Rn, donc à des fonctions de 9, dans un voisinage de + GO. Pour voir que P est un corps de Hardy, il suffit donc de prouver que sif et g sont deux fonctions de P, f - g et fg sont égales à des fonctions de L dans un voisinage de +CO. O r soit u,, u,, . . .,u, une suite de définition def, v,, u,, . . ., un une suite de définition de g. La suite u,, u,, . . ., u,, u,, u2, . . ., v, obtenue par juxtaposition des suites (u,) et (uj) est encore et ce corps contient f et g, donc une suite de définition d'un corps de Hardy @+,. f - g et fg sont égales à des fonctions de O,+, dans un voisinage de +CO.

,

,

O n dira que le corps de Hardy P défini dans la démonstration de la prop. 3 est l'extension (H) du corps de Hardy O,. Si L' est un autre corps de Hardy possédant les propriétés énoncées dans la prop. 3, il résulte de la construction de P que O/Rwest contznu dans 9'/Rw.Par abus de langage, on peut donc dire que l'extension (H) d'un corps de Hardy O. est leplzispetit corps de Hardy P ayant les propriétés énoncées dans la prop. 3.

DÉFINITION 2. - On appelle corps desfonctions (H) l'extension (H) du corps de Hardy R(x) desfonctions rationnelles à coejîcients réels. Toutefonction appartenant à cette extension est ditefonction (H). D'après cette définition, si f est une fonction (H) non identiquernent nulle dans un voisinage de + GO, ef et log 1 f 1 sont aussi des fonctions (H). Plus généralement, si g est une seconde fonction (H), u,, u,, . . ., u, une suite de définition de g, et si f (x) tend vers +KI avec x, on voit par récurrence sur n que les fonctions composées U, o f , u2 o f , . . .,un of et g 0 f sont des fonctions (H). 5. Exponentielles et logarithmes itérés

Nous avons déjà (V, p. 19) défini les logarithmes itérés l,(x) par les conditions lo(x) = x, l,(x) G lo,q(l,-,.(x)) pour n 2 1. O n définit dc même les exponentielles

FVR V.42

*PP.

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

,

itérées en(x) par les conditions eo(x) = x, en(x) = exp(en- (x)) pour n > 1. Il est immédiat, par récurrence sur n, que ln(x) est la fonction réciproque de e,(x), définie pour x > en-,(O), et que em(en(x))= em+,(x), lm(ln(x)) = lm+,(x). En vertu des relations log x < xu « ex pour tout p > O, on a, pour n 3 1

(5)

ln(.)

« (ln- l ( ~ ) ) Lpour L tout p

>O

pour p > O, cc > O, p > 0, O < y < 1, O < 6 < 1, ces nombres étant par ailleurs quelconques (cf. V, p. 8, prop. 11). Nous avons déjà vu (V, p. 19) que, pour n à 1, on a

O n a de même pour n Z 1

d'où, en vertu de la prop. 8 de V, p. 23, pour tout p > O

O n peut montrer que si f est une fonction ( H ) quelconque telle que f deux entiers m et n tels que

).-

1, il existe

lm(x) «f(4 « e n b ) (V, p. 51, exerc. 1 et 52, exerc. 5). Par contre, on peut definir des fonctions croissantes g(x) (qui ne sont plus des fonctions ( H ) ) telles que g ( x ) » e,,(x) pour tout n > O, ou 1 « g ( x ) « lm(%)pour tout m > O (V, p. 53, exerc. 8,9 et 10).

A l'aide des logarithmes itérés, nous allons montrer qu'on peut définir une échelle de comparaison (pour x tendant vers + co) & formée de fonctions (H), qui sont > O dans un voisinage de + m et satisfont aux conditions suivantes: a) le produit de deux fonctions quelconques de 8 appartient à 8 ; b) pour toute fonctionf G & et tout nombre réel p, fi" E G; c) pour toute fonction f E 8 , log f est combinaison linéaire d'un nombre fini de fonctions de 8; d ) pour toute fonction f E & autre que la constante 1, ef est équivalente à une fonction de 8. m --

Considérons d'abord l'ensemble Go des fonctions de la forme

m =O

(lm(x))um,

No 5

FVR V.43

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

où les cr, sont des nombres réels, nuls sauf pour un nombrc fini d'indices m; il est immédiat, d'après (5) (V, p. 42), que ccs fonctions forment une échelle de comparaison quisatisfait aux conditions a), b) et c). Définissons ensuite par récurrence sur n l'ensemble 8, (pour n 2 1) comme formé de la constante 1 et des fonctions de la forme exp

(SI

a, fk), où p est un entier > O arbitraire, fk (1 4 k 4 p) des fonc-

f,

tions de &,_, telles que »f2 )*. . . . »f, » 1, et les a, des nombres réels # 0; montrons par récurrence que 8,est une échelle de comparaison satisfaisant aux conditions a), b) et c) et contenant 6, - En premicr lieu, la relation 8, c gn est vraie pour n = 1, car le logarithme d'une fonction non constante de 8, est de

-,

,.

la [orme

5

k=l

akfk, où les f,sont des logarithmes itérés, donc > 1; d'autre part,

-,

,,

8,; cette définition si 8,-, c 6,- on déduit de la définition de 6, que 8, montre en outrc que bnsatisfait à a), 6) et c). Reste à voir que 8, est une Cchelle de comparaison: comme le quotient dc deux fonctions de 8,appartient encore à Q,, il sufit de prouver qu'une fonction f de 8, autre que la constante 1, ne peut P

être équivalente à une constante # O. O r on a log f

=

2 akfk

1, = 1

- a1f1 par

construction, et comme f, » 1, log f tend vers 2 a , donc f tcnd vers O ou vers + co lorsque x tend vers +CO. Cela étant, si 6 est la réunion des 8, pour n 2 0, Q est une Echelle de comparaison, car dcux fonctions de 8 apparticnncnt à une mênic échelle 8,; pour la même raison, Q satisfait à a ) , et il est clair qu'elle satisfait aussi à 6) et c). Enfin, sif E 8, il existe n tel que f E 8,; si f n'est pas la constante 1,f (x) tend vers O ou vers + GO lorsque x tend vers + co ; dans le premier cas, ef 1, et dans le second, ef appartient à 8,+,par définition, donc à 8.

-

Remarque. - Malgré l'utilité pratique de l'échelle & que nous venons de définir, il cst facile de donner des exemples de fonctions (H) qui n'ontpas departieprincipale par rapport à 8. En effet, si f est une fonction (H) telle que f ag, où a est une constante > O et g E 8, log f - log g - log a tend vers O avec l/x, donc log f admet, relativement à &, un développement asymptotique dont le reste tend uers O, en vertu de la propriété c). Or, si on considère par exemple la fonction (H)

, on

a log f (x)

=

exp

, donc

les développements

asymptotiques de logf par rapport à & sont de la forme

1

ex

II est clair que le reste de ce développement est équivalent à -(n + 1) ! xnfl' donc ne tend pas vers O. Par suite, f n'a pas de partie principale par rapport à 8.

FVR V.44

*PP-

ÉTUDE LOCALE DES FONCTlONS

6 . Fonction réciproque d'une fonction ( H )

Sif est une fonction (H),f est monotone et continue dans un intervalle [xo, + a ( , donc la fonction réciproque cp de la restriction de f à cet intervalle est monotone et continue au voisinage du point a = lim f (x) ; mais, si a est égal à +CD X+

(resp.

-CO,

+m

fini), on peut montrer que rp(y) (resp. rp(-y), cp

Toute( t) fois, nous allons voir que, dans certains cas importants, on peut obtenir une foncy a - - n'est pas en général égale à une fonction (H) au voisinage de

tion (II) équivalente à rp(y) (resp. Y( -y), rp

+CO.

et même parfois

un développement asymptotique de cette fonction par rapport à l'échelle 8 définie dans V, p. 43. Nous utiliserons la proposition suivante :

PROPOSITION 4. - Soient p et q deuxfonctions (H) strictement positives dans un intervalle (xo, +a[. l0 Sig «p/p1,onap(x q(x)) p(x). 2" Si on a à lafois q «plpr et q(x) « X, on ap(x - q(x)) p(x). Les deux parties dc la proposition sont évidentes si p k (constante # O) ; on peut donc supposer p(x) « 1 (sinon on raisonnerait sur llp). O n en déduit pf(x) « 1. q(x)pl(x 8q(x)) avec O 6 8 6 1 lo O n peut écrire p(x + q(x)) = p(x) (1, p. 22, corollaire). Comme Ipf(x)1 tend vers O lorsque x tend vers +a,et est égale à une fonction (H) dans un voisinage de +a,elle est décroissante dans un intervalle [xl, + a ( , donc, pour x 3 x,, on a If(x + 6q(x))( 6 (pl(x)1 ; comme q(x)) p(x). qp' «p, on a bienp(x 2" La condition q(x) « x assure que x - q(x) tend vers +COavec x. On a encore p(x - q(x)) = p(x) - q(x)pl(x - 6p(x)) avec O 6 O < 1. Le même raisonnement que dans la première partie de la démonstration montre que, pour x assez grand, on a Ipl(x - Oq(x))1 6 ]pt(x - q(x))1. Tout revient à montrer que

+

-

--

+

+

+

q(x)

'30)tend vcrs O lorsque x tend vers

P(x - q ( 4 ) si pl/p > 1, car alors

+m. La proposition est vraie

Ipr/$l est une Fonction (M) croissante pour x assez grand, donc q(x) k t ( x - d x ) ) l 6 q(x) IP'(x)l et on a qp' < p par hypothèse. Elle est IP(x)l' I P ( ~- q(x))I k (k constante # O), car alors vraie aussi si p'lp

-

No 6

FVR V.45

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

puisque x - q(x) tend vers +m. Reste uniquement à examiner le cas oùpf/p « 1. Supposons d'abord que p(x) soit d'ordre fini par rapport à x, donc (V, p. 22, 1 - 4b)) 0,(1), donc prop. 7) que p' (x)/p(x) « llx. O n a alors P(x-q(x)) x-dx) P ' b - 4(4) - d x ) 4(4 q(x)p(x-q(x)) -'0,(1) = 0,(1) et on voit que dans ce cas la proposition est vraie sous la seule hypothèse q(x) « x. Considérons enfin le cas où l/x «pf(x)/p(x) « 1; la fonction r = pf/p est alors d'ordre fini par rapport à x; comme d'après la remarque précédente, la prop. 4 de V, p. 44, est applicable à une telle fonction, on a Pr(x - q(x))/p(x - q(x)) pf(x)/p(x),et l'hypothèse qp' «p permet alors d'achever la démonstration.

-

Remarque. - Les conditions imposées à q ( x ) n e peuvent êtrc amkliorées, c o m m e le montrent les exemples suivants: q(x) = 1 =

p(x) = ex,

a)

P(x) -, fi'(%)

p(x

+ q(x)) = e . p b )

q ( x ) = x - l o g x < - = Px (l xo) g x , P'@) p ( x - q ( x ) ) = log log x «fi@).

fi(x)=logx,

b)

Nous allons d'abord étudier les fonctions réciproques d'un type particulier de fonctions (13) :

PROPOSITION 5. - Soit g une fonction (13) non équivalente à une constante # O et telle que g(x) « x, et soit u(x) la fonction réc$roque de x - g(x), déJinie dans un voisinage de +m. Soit (un) la suite de fonctions dgnie, par récurrence sur n, par les conditions u,(x) = x, g(un-,(x))pourn 2 l;onau,» l'et un(x) = x i-

u(x), yn = uTL(x);on a donc x = y - g(y), y, = x et y, = x + g(yn+,). O n en tire d'abord x/y = 1 - g(y) --; comme y tend vers + co Posons y

=

avec x, l'hypothèse g(x) « x montre que y

Y

=

u(x)

x

= y,;

en outre,

où z appartient à l'intervalle d'extrémités x, y; quand x tend vers + K I ,il en est donc de même de z, et comme g(x) « x, gr 4: 1, donc gr(z) tend vers O, et on a par suite y - x = g(x) o(y - x) d'où

+

FVR V.46

*PP

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

.

Montrons en second lieu, par récurrence sur n, que lorsque x tend vers +m,onau, » l , e t

En effet,y - y, = g(y) - g(y,-,) = (y - y,-,)gf(z,- ,), où 2,-,appartient à l'intervalle d'extrémités y et y,-, ; d'après l'hypothèse de récurrence, 2 , - , tend vers + m avec x, donc gf(z,- ,) tend vers O, ce qui démontre (13). O n déduit de cette relation et de (12) que u(x) - u,(x) « u(x) - x g(x) « x u(x), d'où u(x) et par suite un » 1. Enfin, la relation u(x) - u,(x) « u(x) - x u,(x) s'écrit aussi (u(x) - x) - (u,(x) - x ) « u(x) - x, d'où

-

-

-

-

-

Pour démontrer (1 1)' remarquons d'abord que, si t(x) est une fonction telle que t(x) - x g(x), on a g'(t(x)) gf(x). En effet, quel que soit E > O, pour x assez grand, g' est monotone, donc gl(t(x)) est comprise entre gf(x + (1 + ~ ) g ( x ) ) et (gf(x + (1 - E ) ~ ( x ) ) La . prop. 4 de V, p. 44, montre donc que gf(t(x)) g'(x), pourvu qu'on établisse la relation g «gf/g''. Or, si g est d'ordre infini par rapport à x, on a (V, p. 40, prop. 2) g"/gf gf/g, et comme gf « 1, g «g/gf gf/g"; si g est d'ordre fini p par rapport à x, on a nécessairement p < 1; si p < 1, comme g n'est pas équivalente à une constante # O, les formules (3) et (4) (V, p. 40) montrent que g"/gl k/.x (k constante # O), d'où encore g « gf/g"; enfin si p = 1, gf est d'ordre O par rapport à x, donc gU/g'« l/x, et par suite on a encore g « g'lg". Cela étant, comme 2,-, est compris entre y et y,-,, il résulte de (14) que g' (x) d'après ce qui précède; on a donc Z, - - x g(x), d'où g'(zn - ,)

-

-

-

-

-

Y - Yn d'où (11) par récurrence sur n.

(Y

-

- yn-i)gr(x)J

Remarques. - 1) Sig est d'ordre < 1 par rapport à x, la fonction u(x) - un(x) tend vers O avec l/x dès que n est assez grand. En effet, dans le cas contraire, on aurait ggfn» 1 pour tout n, donc g serait d'ordre infini par rapport à I/g'; autrement dit, on aurait log Igl »log Ig'l, d'où en derivant g'/g »g"/g'. Mais, si g est d'ordre < 1 par rapport

-

'"

g"/gf lorsque p = - m, EL - lorsque y f O et enfin s EL-lg' lorsque p = O (V, p. 40, no 3). Par contre, si g est d'ordre 1 par rapport à x, on pcut avoir ggrn» 1 pour tout entier n > O, comme le montre l'exemple g(x) = xllog x. 2) Lorsque g(x) est une fonction (H) équivalente à une constante k # O, on a g,(x), avec g, « 1; la fonction ul(x) = u(x) - k est fonction réciproque g(x) = k k), et on est ramené au cas traité dans la prop. 5 de V, p. 45. de x - g,(x à x, on a gT/g

g'/g

«gr'/g'

+

N

+

Pour avoir un développement asymptotique de la fonction u, il suffit donc d'avoir un tel développement pour la fonction un: si g admet un développement asymptotique par rapport à l'échelle considérée, on est ainsi ramené (en vertu de la définition des fonctions (PI)) aux problèmes examinés dans V, p. 14 à 17.

No 6

FVR V.47

CORPS DE HARDY. FONCTIONS ( H )

Au cas traité dans la prop. 5 de V ,p. 45, se ramène le cas plus général suivant: la fonction y = u ( x ) est supposée satisfaire à la relation

+

+

où cp est une fonction ( H ) , une fonction ( H ) telle que » 1 et que la fonction réciproque 0 de soit aussi une fonction (H), et g une fonction (H) telle que g « Soit alors v ( x ) la fonction réciproque de x - g(O(x));on a u = 0 v o cp, et g ( O ( x ) ) « x ; si on connaît un développement asymptotique de u grâce à la prop. 5 de V , p. 45, on en déduira un développement asymptotique de u par deV, p. 14 à 17.

+

+.

0

Exembles. - 1 ) Cherchons u n développement asymptotique de la fonction réciproque v(x) de x5 + x (pour x tendant vers +a) ;e n posant x5 = t, on est ramené à chercher u n développement de la fonction réciproque u(t) de t f t% (pour t tendant vers + co),c'est-à-dire à appliquer la prop. 5 de V , p. 45, au cas o ù g(t) = - t%. Calculons par exemple u2(t); on a 1 2 t-% + Ol(t-%). u2(t) = t - ( t - t%)% = t - t 1/ s + t-?4 + 5 25 D'autre part, d'après ( 1 1 ) (V,p. 45) 1 ~ ( t-) u2(t) --t-% 25 d'où 1 t-% + 02(t-%) U(t) = t - t% + -1 t-% + 5 25 N

et on e n déduit le développement cherché

2 ) Cherchons u n développement asymptotique de la fonction réciproque v(x) de la fonction xllog x; de l'identité x = yllogy, o ù y = u(x), on tire l o g x = log y log log y; posant z = log y, t = log x, on a t = z - log z, et on est donc ramené à développer la fonction réciproque u ( t ) de t - log t ; on a par exemple u2(t) = t

log t (log t)2 + log ( t + log t ) = t + log t + -7 + t 2t

O,

et d'autre part, d'après ( 1 1 ) (V, p. 45) ~ ( t -) u2(t)

N

log t t2

d'où u(t) = t

+ logt + -t

et en revenant au problème initial, on obtient le développement asymptotique v(x) = x log x

log log x + x log log x + x --+ log x

(

O X-

3

Remarque. - O n notera que deux fonctions ( H ) équivalentes peuvent avoir des fonctions réciproques non équivalentes, comme le montre l'exemple des deux fonctions log x et 1 log x.

+

Exercices

81

+ CO, la fonction f (x) = (Xcos2x + sin2x)e

1) Montrer que pour x réel tendant vers

est monotone, mais n'est pas comparable à ex', ni faiblement comparable à xx exa. 2) Soit cp une fonction strictement positive, définie et croissante pour x > O et telle que cp %- 1. a) Montrer que si la fonction log cp(x)/log x est croissante, la relation f 4 g entre fonctions > O entraîne cp 0f « cp 0 g si g % 1. b) Donner u n exemple où log p(x)/log x est décroissante, f et g sont deux fonctions >O g, mais cp of n'est pas équivalente à cp o g. telles que g % 1 etf N

8 3)

a) Soient (a,, pi) n couples distincts de nombres réels inf a, = inf pi = O. O n considère l'équation i

O, distincts de (O, O) et tels que

i

où les a, sont des nombres réels # O, les cpl des fonctions continues dans un carré O < x < a, O < y < a, et tendant vers O lorsque (x, y) tend vers (O, O). O n suppose qu'il existe une fonction g positive et continue dans un intervalle (O, b), tendant vers O avec x et telle que f (x, g(x)) = O pour tout x E (O, b). Pour tout nombre réel p > O, montrer queg(x)/x" tend vers une limite finie ou infinie lorsque x tend vers O (utiliser V, p. 8, prop. 9, en considérant, pour tout nombre t 2 0, l'équation f (x, txu) = 0). O, il est nécessaire que p soit tel qu'il b) Pour que g(x)/xU tende vers une limite finie et pPk et existe a u moins deux couples distincts (cch7 ph) et (ak, PL) tels que ah pPh = uk & 2 ah + pPh. O n obtient ainsi un nombre que, pour tout autre couple (cc1, pl), on ait cc, fini de valeurs possibles pi (1 < j ,ir); les nombres - l / p j sont les pentes des droites affines d u plan R2 contenant au moins deux points de l'ensemble des points (a,, Pi) et telles que tous les autres points de cet ensemble soient au-dessus de la droite considérée ({(polygonede Newton N). c ) Soit pl le plus petit des nombres yj. Montrer que g(x)/x"i tend une limitejnie (pouvant être nulle). (Montrer d'abord qu'on peut toujours supposer que si i et j sont deux indices < P,; en déduire qu'on peut supposer al = 0, distincts, on n'a pas à la fois ai < a, et ai > O et pi < Pl pour i # 1; en posant alors g(x) = t(x)xul, montrer que t(x) ne peut pas tendre vers + CO lorsque x tend vers O.) d) Déduire de c), par récurrence sur r, qu'il existe un indice j tel que g(x)lx% tende vers une limite finie et # O lorsque x tend vers O.

+

+

+

§3 1) Définir une fonction croissante g, admettant une dérivée continue dans un voisinage de +CD, telle que g et l/x soient comparables d'ordre 1, mais que x et I/g ne soient pas comparables d'ordre 1 (prendre g'(x) = 1 sauf dans des intervalles suffisamment petits ayant pour milieux les points x = n (b entier > O) dans lesquels g' prend des valeurs très grandes).

2) Soient f et g deux fonctions > O tendant vers +COavec x et comparables d'ordre 1; si h est une fonction dérivable, 2 O et croissante pour x tendant vers co, montrer que hf et hg sont comparables d'ordre 1.

+

83

FVR V.49

EXERCICES

3) Donner u n exemple de deux fonctions f, g positives, décroissantes et tendant vers O lorsque x tend vers +CO,comparables d'ordre 1 et telles que xf (x) et xg(x) ne soient pas comparables d'ordre 1 (prendre f et g équivalentes et telles que

ne soient pas comparables). sin x

4) a) Montrer que l'on a -

ix

convergente et l'intégrale

Sa

+

N

%), + %)

sin x (1

sin t

4;

(1

+

dt infinie.

+

b) Montrer que les intégrales que

lx+y

mais que l'intégrale

" sin2t

sont toutes deux convergentes, mais dt, bien que l'on ait sinaf/t2< sin f/i.

dt n'est pas

c) O n considère les deux fonctions continues à valeurs dans R2, définies dans (1, sin x

+CO(:

1 sin x

Montrer qu'elles ne s'annulent pour aucune valeur de x, qu'on a f g pour x tendant " f (t)dt et " g(t)dt sont convergentes, mais que " f (t)dt vers m, que les intégrales n'est pas équivalente à " g(t)dt lorsque x tend vers + CQ.

+

Sa

S:

S:

Soitf une fonction numérique convexe définie dans un voisinage de + CQ, telle quef x) > x. O n dit quef est régulièrement convexe au voisinage de + cc si, pour toute fonction convexe g définie gd. dans un voisinage de + CQ et telle quef w g, on a aussif,' Pour tout nombre a > O et tout x assez grand, soit k(a, x) la borne inférieure des nombres (f (y) - ( y - x) f,' ( y))/f (x) lorsque y parcourt l'ensemble des nombres 2 x tels que fi ( y) < (1 cc)f,' (x). Soit de même h(a, x) la borne inférieure des nombres

7 5)

N

+

( f ( 4 + (x - z ) f d ( z ) ) l f ( 4 lorsque z parcourt l'ensemble des nombres < x tels que fi (z) > (1 -O) fd(x). Soient +(a) = lim sup k(a, x), cp(cc) = limesup h(m, x). Montrer:que, pour que f soit régulièrement convexe x++m

x++m

a u voisinage de +a,il faut et il suffit que, pour tout a > O assez petit, on ait +(cc) < 1 et d g ) < 1. 7 6) Soient f une fonction vectorielle continue dans un intervalle (x,, cc[ de R et telle que, pour tout A > O, 12 fonction f (x + A) - f (x) tende vers O lorsque x tend vers +a. a) Montrer que f (x + A) - f (x) tend uniformémentvers O avec lix lorsque A appartient à un intervalle compact quelconque K = (a, b ) de (O, +cc[. (Raisonner par l'absurde: s'il existe une suite (x,) tendant vers + C Oet une suite (A,) de points de K telles que

+

Il f (xn + An) - f (xn) jl > cc > 0 pour tout n, il existe un voisinage J, de A, dans K tel que I(f(x, A) - f (x,) /j > a pour tout A E J,. Construire par récurrence une suite décroissante d'intervalles fermés II, c K, et une suite (x,,) extraite de (x,), telles que jlf (x,, + A) - f (x,,) 11 > 4 3 pour tout A E Ik; on remarquera pour cela que si Sk est la longueur de 1, et q un entier tel que q8, > b - a, SI,) - f (x) I < 4 3 q dès que x est assez grand). on a Ijf (x b) Déduire de a) que f (t) rlt - f (x) tend vers O lorsque x tend vers CQ, et en conclure quel'on a f ( x ) = O@).

+

+

S:+

+

7) Soit g une fonction numérique strictement positive, continue dans un intervalle [x,, + CO(, et telle que, pour tout p > O, on ait g ( ~ x ) g(x). Déduire de 19exerc.6 que g est d'ordre O N

par rapport à x.

FVR V.50 §4

1) Si la série de terme général un & O est convergente, il en est de même de la série de terme La réciproque est inexacte en général; montrer qu'elle est vraie si la général .\/U,U,+~. suite (un) est décroissante.

+

2) Soit (fi,) une suite croissante de nombres > O, tendant vers CO. a) Si le rapport ~ , / p , - ~ tend vers 1 lorsque n croît indéfiniment, montrer que l'on a

&Jk k=l

(bk

1

- bk-1)

-pE+l

pour p > - 1

+

(appliquer la prop. 2 de V, p. 27). b) Sans hypothèse sur le rapportpn/fn- ,, montrer que la série de terme général (fi, - pn- ,)Ibn a toujours une somme infinie (distinguer deux cas suivant que pn/pn-, tend ou non vers 1). c) Montrer que, pour p > O, la série de terme général (fi, - f n - l ) / p n f i ~ - lest convergente 1 1 (comparer à la série de terme général - - -, 1 pn 3) Montrer que, pour toute série convergente (un) à termes > O, il existe une série (un) de somme infinie, à termes > O, telle que lim. inf vn/un = O. n+

m

4) Soit (u,,) une suite décroissante de nombres >O; s'il existe un entier k tel que kukn > un quel que soit n à partir d'un certain rang, la série de terme général un a une somme infinie. 5) Soit (un)une série à termes > O à partir d'un certain rang. Montrer que si

lima sup n- m

r ~ ) ~ <

la série (un) est convergente, et que si lime inf (un+ n+

9

2 I/e, la série a une somme infinie.

m

6) Soit (un) une série à termes réels # O, tels que lim un = O. Montrer que, s'il existe un n- m

nombre r tel que O < 7 < 1 et qu'à partir d'une certaine valeur de n, on ait - 1 < un+Jun la série (un)est convergente. 7) Soit (un)une série convergente à termes > O. a) Montrer que lim u1 n+ m

+ 2u2 + - .. + nu, n

b ) Montrer que

c) ~ é d u &de e a) et b), que l'on a lim n(ulu2. . . un)lln = O

n-w

(appliquer l'inégalité (8) de III, p. 3).

=

o.

< 7,

FVR V.51

EXERCICES

1[8) a) Soit (z,) une suite de nombres con~plcxes.Montrcr que si les séries de terme général z,, 22, . . .,zz-l, 1 zn]qsont convergentes, le produit infini de facteur général 1 + zn est convergent. b) Si zn est réel et si la série de terme général z, est convergente, le produit infini de facteur zn est convergent si la série de terme gknéral z i est convergente, et on a général 1

+

c) Pour tout entierp, on pose

2 Xi,

P-1

k p = [log log A,

h, =

2x

o -- k,

"

. +

m, O n définit de la façon suivante la suite (2,) de nombres complexes: pour n = hp O < m < k, - 1, on pose z, = em'%/logp. Montrer que pour tout entier g > O, la série de terme général zQ est convergente, mais que le produit de facteur général 1 + r, n'cst pas convergent.

9) a) Démontrer, à l'aide de la formule de Stirling, que le maximum de la fonction

1

&(x) = e-

" - c-x

3

1c = O

( - 1)

axk / dans l'intervalle (O, + a(,tend vers O avec Ijn.

b) En déduire, par récurrencc sur' l'entier p, que pour tout E > O, il existe un polynôme g(x) tel que leëPx - e-.g(x)l < E pour tout x > O (remplacer x par px/2 dans a), et utiliser l'hypothèse de récurrence appliquée à eë(p).

10) Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule

lorsque n tend vers +a.

7 11)

Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule

lorsque n tend vers

+CO

(comparer chaque terme (fi!)-"in à n-=pln).

Appendice

1) Soit L un corps de Hardy tel quc, pour toutc foriction f E S? non identiquement nulle au il existe A > O tel que voisinage de +a, l e

x

9f (x) 3 e,,

(2)

(m entier indépendant de f ) . a) Soint u,, u,, . ., up p fonctions de la forme uk=loglzkl, où z, E S n'est pas nulle dans un voisinage de m . Montrer que pour toute fonction g (non nulle dans un voisinage de CO) . des fonctions uk (1 < k O tel que l « g(x) < e,,, ( x 3

+

.

+

m

(se ramener a u cas où p. est un polynôme par rapport aux u,, à coeficients dans $2,et raisonner par récurrence sur p, puis, pour p = 1, raisonner par récurrence sur le degré du polynôme g en procédant comme dans le lemme 2 de V, p. 37). 6) Soient uk (1 ,( k < p) p fonctions de la forme u, = exp (2,) où zk E S. Montrer que pour

FVR V.52

*PP.

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

toute fonction g du corps de Hardy !@(ul,. . ., u,), non identiquement nulle a u voisinage de + co,il existe un nombre p > O tel que

(méthode analogue). c ) En déduire que si Jest une fonction (H) admettant une suite de définition de n ternies, et

il existe un nombre A > O tel que non identiquement nulle dans un voisinage dc +CO, 1 «f (x) «e,(x". e,o

2) a) Montrer que toute fonction (H) possédant une suitc de définition d'un seul terme est équivalente à une fonction de l'une des formes xP(1og x)q, ou ~peg'~), où p et q sont des entiers rationnels, et g un polynôme en x (méthode de l'exerc. 1). b) Déduire de a) que toute fonction du corps de Hardy W(x, u,, . . . , u,), où ul, . . ., u, sont des fonctions (K) ayant une suite de définition d'un seul terme, est équivalente à une fonction de la forme xP (log ~ ) q e g (où$ ~ ) et q sont des entiers rationnels, et g un polynôme en x. 3) Soient f et g deux fonctions (H) telles que f /g soit d'ordre O par rapport à lm(x); montrer que si g n'est pas d'ordre O par rapport à l,(x), on a f '/g' f /g (comparer log 1 f 1 et log Igl). N

4) Soit 9 un corps de Hardy tel que, pour toute fonction f E SY non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une constantc k et un cntier rationnel r tels quef (x) k(l,(x))'. a) Soit z une fonction quelconque de B, non identiquement nulle dans un voisinage de $ m. Montrer que toute fonction g du corps dc Hardy @(loglzl)non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à lm(x),est équivalente à une fonction de la formc k(l,,+l(x))r (k constante, r entirr rationnel). (Considérer d'abord le cas où g est un polynôme de degré p en loçlzl, à coefficients dans 9, et raisonner par recurrence sur 4, en utilisant l'exerc. 3; si g est une fonction rationnelle de log1zl, à coefficients dans 9, raisonner par récurrence sur le degré du numérateur, en utilisant l'exerc. 3.) b) Montrer que toute fonction de @(l,+,(x)) est équivalente à une fonction de la forme f (x)(lm+ ,(x))I, oùf E !@ et r est un entier rationnel. c ) Soit z une fonction quelconque de 9.Montrer que toute fonction g du corps de Hardy P(eZ),d'ordre O par rapport à l,(x), est équivalente à une constante. (Considérer d'abord le cas où g = uqP(u), où u = e", q est un cntier rationnel, et P(u) un polynôme en u, de degré p, à coefficients dans 9; raisonner alors par récurrence sur p, en utilisant a ) et l'exerc. 3. Passer de là au cas général en utilisant l'exerc. 3.) d) Etendre le résultat de a) a u corps P(u,, u,, . . ., us), où les u, sont de la forme e"k ou log lz,l, les z, étant des fonctions de !@ non identiquement nulles dans un voisinage de +or, (raisonner par récurrence surs).

-

5) a) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (H) ayant une suite de définition de n termes, non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une k(l,(~))~. constante k et un entier rationnel r tels quef (x) b) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (R) quelconque, il existe un entier n tel que le critère logarithmique d'ordre n soit applicable pour déterminer si l'intégrale J: " f ( t ) d t est convergente ou infinie. N

6) Comparer entre elles les fonctions e,((l,(x))P) suivant les valeurs des entiers p et q et d u nombre réel p, supposé > O, et # 1.

7 7) Soit f une fonction (H) ayant une suite de définition de n termes. Montrer que si on a «f (x) « e,((&) lu) (resp. e,((l,(x)) 9 9f (x) 9 e, + 1((&))OL) quel que soit ep((4 + l(.)) p > O et quel que soit a tel que O < a < 1, on a nécessairement p + q 1 < n (raisonner par récurrence sur n, en utilisant des mEthodes analogues à celles des exerc. 1 ( V p. 51) et 4 (V, p. 67)).

+

A

~

~

.

F'VR V.53

EXERCICES

8) a) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à #(a, R) et telles que f, 4 f n + l pour tout n. Montrer qu'il existe une fonctionf, continue, croissante, appartenant à &(s, R) et telle quef »f, pour tout n (se ramener au cas où f n < f,+ et dtfinir f desortequef,(x) 4 f (x) d fn+l(x) pourn d x 4 n 1). b) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à X ( s , R), et telles que 1 «fn+ «f, pour tout n. Montrer qu'il existe une fonctionf continue, croissante et appartenant à %(a, R), telle que 1 «f 4f, pour tout n (en se ramenant au cas où f n + l < f,, montrer qu'on peut définir une suite croissante (x,) de nombres réels et une fonction continue et croissantef telle quefn+ l(x) < f (x) < fn(x) pour x, 4 x < x,+ 1). c ) Soient (f,), (g,) deux suites de fonctions continues croissantes appartenant à %(a, R), telles que fn 4fn+l, g, » gm+,et f, -4 g, quels que soient m et n; montrer qu'il existe une fonction h continue, croissante, appartenant à Y($,R), telle que f, « h « g , quels que soient m et n (méthode analogue). En particulier, montrer qu'il existe une fonction continue et décroissantef, appartenant à .@(a, R ) et telle qu'aucun critère logarithmique ne permette de déterminer si l'intégrale f (t)dt est convergente ou infinie (s théorthes de Du Bois-Reymond ,>).

+

,

Sa+

9) Montrer que la série

3 en(n)converge uniformément dans toute partie compacte de R,

n=l

et que sa sommef (x) est telle quef (x) b en@)pour tout entier n. 10) Montrer qu'il existe une fonction croissante f, définie, continue et > O pour x b O, telle quef (2x) = 2f(X) pour tout x 5 0; en déduire que, pour tout entier n, on a f (x) » en(x). 11) Soit f une fonction croissante, continue et > 0, définie pour x 2 O, et telle que ~ ' ( x» ) e,(x) pour tout entier n; montrer que, si g est la fonction réciproque de f, on a 1 « g(x) « Ln(x) pour tout entier n.

3

7 12) Pour tout entier n > O, soit n = k = O ik2&le développement dyadique de n (rk entier nul sauf pour un nombre fini d'indices, O < ik< 1). On pose

kzo + a

a) Démontrer la formule Al(n) =

(k

Al(n) =

2)ik2*-1. En déduire la formule

n log n - o(n log log n) 2 log 2

+

lorsque n croit indéfiniment (décomposer la somme qui exprime Al(n) en deux parties, l'indice k variant de O à y(n) dans la première somme, de y(n) à nl dans la seconde, où nl est le plus grand des nombres k tels que ck # O, et y(n) un nombre convenablement choisi; on majorera la première somme en utilisant la prop. 6 de V, p. 29, et on majorera ensuite la différence entre la deuxième somme et nln/2). b ) Démontrer la relation

f étant une fonction quelconque définie dans N (considérer pour un k donné le nombre des j < 2, tels que a ( j ) = k). c) Pour m = Zr - 1, démontrer la relation a(m - j ) + a ( j ) = r. Déduire de cette relation

et de b) qu'on a A&,)

= r2*-l

N

2"' log log 2"' 2 log 2

FVR V.54

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

d) Pour nz = Zr, montrer qu'on a

+ 1) - a(n) = 1 - A(n + 1) pour

où on a posé a(n

tout n (utiliser 6 ) et la relation

m-1

+ r) = a(r) + 1 pour r < 2k). Montrer que i2= O (" l) A ( j + 1) a r2m-2 (remarquer que A(j + 1) = O sij est pair, et A ( j + 1) < logjllog 2 pour toutj). En déduire à a(Zk

\

O

,

l'aide de c), qu'on a log zm -.zmlog 2log2

3 3 A2(2m)2 - rZm-l > 2 '2

Conclure de c) et de cette relation que Az(n) n'est dquivalente à aucune fonction (H) lorsque n tend vers co

+ .

13) Soit f une fonction (H) telle que 1 «f (x) « x. Montrer que, dans la formule de Taylor

avec O < 0 < 1 (1, p. 47, exerc. 9), chaque terme est négligeable devant le précédent. Sif est d'ordre < 1 par rapport à x, le dernier terme de cette somme tend vers O avec llx dès que n est assez grand. 14) Déduire de l'exerc. 13 que sif est une fonction (H), telle que log f (ex) soit d'ordre < 1 par rapport à x, la fonction f (xf (x)) est équivalente à une fonction de la forme eqcX), où g est une fonction rationnelle par rapport à x, log f (x) et un certain nombre de dérivées de cette dernière fonction.

7 15)

Soit f une fonction (H) convexe au voisinage de +a,telle que f (x) )5 x. Pour tout a > O, soit x, le point tel quef ' ( x , ) = (1 a)f'(x). a) Sif est d'ordre $ co par rapport à x, montrer que l'on a

+

(utiliser les prop. 2 (V, p. 40) et 4 (V, p. 44), en appliquant la formule de Taylor à log ff(x)). Montrer que (f ( x ) , - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers (1 a ) ( l - log(1 a)) lorsque x tend vers m. b) Sif est d'ordre r > 1 par rapport à x, montrer que

+

+

+

-

(remarquer que sifl est d'ordre O par rapport à x, on a fl(kx) fl(x) pour toute constantek, en vertu de la prop. 4 de V, p. 40). En déduire que (f (x,) - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers r(1

+ a) - (r - 1)(1 + a)T/'T-l)

+

lorsque x tend vers m. c) On suppose enfin que f soit d'ordre 1 par rapport à x. En posant f (x) = xfl(x), montrer que

+

(considérer la fonction réciproque defl, qui est d'ordre co par rapport à x). En déduire que (f (x,) - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers - co lorsque x tend vers + m . Soit de même xk le point tel que f ' ( x a ) = (1 - a)f'(x) (pour O < a < 1). Donner les

*PP*

EXERCICES

formules analogues aux précédentes exprimant la partie principale de x

+

(f(4)+

(x -

FVR V.55 - x& et la limite de

w ) l f <x>

lorsque x tend vers W . Conclure de ces résultats que f est une fonction régulièrement convexe au voisinage de (V, p. 49, exerc. 5 ) .

+

CO

CHAPITRE VI

Développements tayloriens généralisés Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

tj 1. DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS 1. Opérateurs de composition dans une algèbre de polynômes

Soient K un corps commutatif de caractéristique 0, K[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée sur K (A, IV, 5 1, no 1); dans tout ce paragraphe, nous désignerons sous le nom d'opérateur dans K[X] toute application linéaire U de l'espace vectoriel K[X] (par rapport à K) dans lui-même; comme les monômes Xn (n 2 O) forment une base de cet espace, U est déterminé par la donnée des m

polynômes U(Xn); de fason précise, si f (X)

=

2 hkXk avec hk

k=O

E K,

on a

a)

2

u ( f ) = k = O hku(xk). Si G est une algèbre commutative sur K y ayant un élément unité, le Gmodule G[X] s'obtient par extension à G du corps des scalaires K de l'espace vectoriel K[X]; tout opérateur U dans K[X] se prolonge donc d'une seule manière en une application linéaire du G-module G[X] dans lui-même, que nous m

noterons encore U (A, II, p. 82); pour tout élément g(X) m

fi E Gyon a U(g) =

=

k=O

ykXk, avec

2 ykU(Xk).

k=O

Considérons en particulier le cas où G = K[Y]; GEX] est donc l'anneau K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur K; pour éviter toute confusion, on notera Ux le prolongement de U à G[X]. Pour tout polynôme g(X, Y) = m

00

2 yk(Y)Xk,où yk(Y)

k=O

E K[Y]

on a donc U,(g)

=

U, est lindaire, on voit que si on &rit g(X, Y) =

2

W g ) = h = o u(ah)yh.

yk(Y)U(Xk). Comme

k=O m

2 ph(X)Yh,on a aussi

h-0

FVR VI.2

$1

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Par l'isomorphisme canonique de K[X] sur K[Y] qui à X fait correspondre Y, l'opérateur U se transforme en un opérateur dans K[Y] que nous noterons Uy pour éviter toute confusion, Uy(f (Y)) étant donc le polynôme obtenu en remplaçant X par Y dans le polynôme U(f (X)) = Ux(f (X)). Cet opérateur Uy peut à son tour être prolongé en un opérateur (noté encore Uy) dans K[X, Y] : m

si g(X, Y)

=

m

2 Ph(X)Yh,on a donc ici Uy(g(X, Y)) =

h=O

h=O

Ph(X) Uy(Yh).

Comme exemple de ces prolongements, citons l'opérateur de dérivation D dans K[X] (A, IV, 3 4)' qui donne dans K[X, Y ] les opérateurs de dérivation partielle Dx

Dy. Pour tout polynôme f E K[X], nous désignerons par T, (f) le polynôme f (X + Y) de K[X, Y]; l'application Ty est une application K-linéaire de K[X] dans K[X, Y], dite opérateur de translation. et

DÉFINITION 1. - On dit qu'un opérateur U dans K[X] est un opérateur de composition s'il est permutable avec l'opérateur de translation, c'est-à-dire si U, Ty = TyU. En d'autres termes, sif est un polynôme quelconque de K[X], et si g = U (f), on doit avoirg(X Y) = Vx(f (X Y)). Il résulte aussitôt de cette définition que, pour tout polynôme f (X) E K[X], on a, avec les notations introduites ci-dessus,

+

(1)

+

UX(f (X

+ Y))

=

UY(f ( X

+ Y)).

Exemples. - 1) Pour tout A E K, l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait correspondre le polynôme f ( X + A ) , est un opérateur de composition. 2 ) La dérivation D dans K [ X ] est un opérateur de composition (cf. prop. 1). Remarque. - Comme K est un corps infini, pour que l'opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition, il faut et il suffit que pour tout polynôme f e K[X] a) = U ( f (X a)). et tout élément a E K, on ait, en posant g = U (f ) , g(X (A, IV, $2, no 4).

+

+

Il est clair que toute combinaison linéaire d'opérateurs de composition, à coefficients dans K, est un opérateur de composition; il en est de même du composé de deux opérateurs de composition. En d'autres termes, les opérateurs de composition forment une sous-algèbre 'I de l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel K[X] .

PROPOSITION 1. - Pour qu'un opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition ilfaut et il sujjît qu'il soit permutable avec la dérivation D dans K[X]. En effet, la formule de Taylor montre que, pour tout polynômef E K[X], on a 1

udf (x + y)) = Ux (k=ok! 2- YkDkf (X)) O0

sionposeg = U ( f ) , o n a

51

= k = o k! YkU(Dkf (X));

No 1

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.3

pour que U soit un opérateur de composition, on doit donc avoir UDk = DkU pour tout entier k 3 1, et en particulier UD = DU. Inversement, si cette relation est vérifiée, elle entraîne UDk = DkUpour tout entier k 2 1, par récurrence sur k ; la formule de Taylor montre alors que g(X + Y) = U.(f(X + Y)). Pour tout polynôme f E K[X, Y], nous désignerons par Uo(f) le terme indépendant de X dans le polynôme Ux(f); en particulier, sif E K[X], Uo(f ) est le terme constant de U(f),et Uo est une forme linéaire sur K[X]. Pour tout polynôme f E K[X], soit g = U(f ) ;on a, en vertu de la déf. 1 de VI, p. 2,

et si, dans cette formule, on remplace X par 0, on obtient

On voit donc qu'on a

où pk est le terme constant du polynôme U (Xk). Cette formule montre que la donnée des pk détermine complètement l'opérateur de composition U; inversement, si (pn) est une suite arbitraire d'éléments de K yla formule (2) définit un opérateur U qui est évidemment permutable avec D, et par suite (VI, p. 2, prop. 1) un opérateur de composition. Nous écrirons désormais la formule (2) sous la forme

Cette formule peut s'interpréter en langage topologique de la façon suivante: si on considère sur K[X] la topologie discrète, et sur l'algèbre End (K[X]) des endomorphismes de K[X], la topologie de la convergence simple dans K[X] (TG, X, 1 p. 4), la série de terme général - p,Dk est commutativement convergente dans

k!

End(K[X]) et a pour somme U (TG, III, p. 44). m

2

La formule (3) montre qu'à toute série f m e l l e u(S) = ir,Sk à une ink=O déterminée sur K (A, IV, 5 5), on peut faire correspondre l'opérateur de composition U =

2 akDk,que nous noterons désormais u(D). Cette remarque peut ttre

k=O

précisée de la façon suivante :

FVR VI.4

$1

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS al

THÉORÈME

1. -L'application

gui, d toute série formelle u(S)

=

indéterminée sur K, fait correspondre l'opérateur de composition u(D)

2 akSk à une

k=O m

=

k=O

akDk dans

K[X], est un isomorphisme de l'algèbre K[[S]] des séliesformelles sur l'algèbre 'I des opérateurs de composition. On vérifie aussitôt que cette application est un homomorphisme. Tout m

revient donc à voir qu'elle est injective, autrement dit, que la relation

O entraîne a,

=

2 akDk

k=O

=

O pour tout k; or, h!a, est le terme constant du polynôme obtenu

m

en appliquant

ZakDkà Xh,d'où le théorème.

k=0

COROLLAIRE. -L'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X] est commutative. Exemple. - Si U est l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait correspondre 1 Par k=ok! analogie avec le développement en série de ex (III, p. 15), nous désignerons par 1 es ou exp(S) le série formelle - Sndans l'anneau K[[S]] ; on peut donc écrire k=on! U = ehD.En remplaçant dans ce raisonnement le corps K par le corps de fractions rationnelles K(Y), on voit de même que l'opérateur de translation Typeut s'écrire eYD. On notera d'ailleurs que, dans l'anneau K[[S, Tl] des séries formelles sur K à deux indéterminées, on a

f (X

+ h)

(où h s K), on a Uo(Xk) = hk, et par suite

U

=

2

2

1

et en particulier

(5)

(exp S)(exp ( - S)) = 1

ce qui justifie la notation introduite. Scholie. - L'isomorphie de l'algèbre K[[S]] des séries formelles et de l'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X], permet parfois de démontrer plus simplement des propositions relatives à des séries formelles, en les démontrant pour les opérateurs de composition qui leur correspondent (cf. VI, p. 6, prop. 6).

No 2

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.5

2. Polynômes d'Appel1 attachés à un opérateur de composition m

Étant donne un opérateur de composition U =

2 rrkDk # O, soit p

k=O

le plus

petit des entiers k tels que a, # O; nous dirons que p est l'ordre de l'opérateur U. PROPOSITION 2. - Tout opérateur de composition d'ordre O est inversible dans l'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X] . m

2

En effet, une série formelle ukSk telle que u, # 0 est inversible dans k=O l'anneau K[[S]] (A, IV, kj 5 ) ; la proposition résulte donc du th. 1 de VI, p. 4. PROPOSITION 3. -Soit U un opérateur de composition d'ordre p; pour tout polynôme f de est un polynôme degré < p, U (f)= O ;pour tout polynôme f # O de degré n p, U (f) # O de degré n - p. C'est une conséquence immédiate de la formule ( 2 ) de VI, p. 2 et de la définition de l'ordre de U.

U

Il est clair que tout opérateur U d'ordre p peut s'écrire d'une seule manière V = VDP, où V est un opérateur d'ordre O (donc inversible).

=D

DÉFINITION2. -Soit U = DPV un opérateur de composition d'ordre p dans K [ X ] . On appelle polyndme d'Appel1 d'indice n attaché à l'opérateur U le polynôme un@) =

v- yxn). Si V-'

=

1 - pkDk(avec Po # O) on a donc k=ok!

2

O n vérifie ainsi que un est un polynôme de degré n (prop. 3) ; on a en outre

Les polynômes d'Appel1 attachés à U satisfont aux relations

FVR VI. 6

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

$1

Ces formules sont en effet respectivement équivalentes aux relations suivantes (compte tenu de la déf. 2) : (Io)

D y - 1 = V-ID (exp (YDx)) V ;

(11) (12)

UV-'

PROPOSITION 5. -Pour d'ordre fi, on a

l

=

Vg l exp (YDx)

=

DP.

tout polynôme f E K[X] et tout opérateur de composition U

(développementtaylorien généralisé). En effet, si on pose U = DpV = PDP,on a (VI, p. 2, formule (1))

en raison de la formule de Taylor et de la déf. 2 de VI, p. 5; il suffit d'appliquer l'opérateur Ux aux deux membres extrêmes de la formule (14) pour obtenir (13). 3. Série génératrice des polynômes d'Appel1

Soit E l'anneau des sériesformelles à une indéterminée S, à coefficients dans l'anneau de polynômes K[X] (A, IV, $ 5 ) autrement dit, l'anneau des séries formelles m

g(X, S)

=

2 an(X)Sn,où les an appartiennent à K[X]. Pour tout opérateur U

n=o

dans K[X], on définit une application Ux de E dans lui-même en posant U,(g(X, S))

=

2- U(a,)Sn.

n .. = O

Il est clair que E est un module sur l'anneau

K[[S]] des séries formelles en S à coefficients dans K ; en raison de la linéarité de U dans K[X], on vérifie aussitôt que pour tout élément 8 E K[[S]] et tout g E E, on a Ux(Og) = OUx(g); autrement dit, Ux est une application linéaire du module E dans lui-même.

6. -Soit U = DPV = u(D) un ofiérateur de composition d'ordre fi dans PROPOSITION K[X], u(S) étant une série d'ordre formellep dans K[[S]]. On a alors lesformules (15)

U,(exp (XS)) = u(S) .exp (XS)

un étant le polynôme d'Appel1 d'indice n attachéà U.

No 4

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.7

D'après le scholie du th. 1 (VI, p. 4), pour établir la formule (15), il suffit de démontrer que, pour tout polynômef (Y) E K[Y], on a Or, le premier membre de (17) est Ux(f (X + Y)), et comme U = u(D), le second membre de (17) est Uy(f (X Y)), si bien que l'identité (17) se réduit à (1) (VI, P. 2) 11suffit ensuite d'appliquer (15) à l'opérateur de composition V-l = Dn/u(D) pour obtenir (16), puisque, par définition, on a

+

O n notera que la formule (16) s'obtient aussi en multipliant les séries formelles SP/u(S)et e x p ( X S ) , compte tenu de (6).

On dit que la série formelle (16) est la série générutrice des polynômes d'Appel1 attachés à U. 4. Polynômes de Bernoulli

Considérons l'opérateur de composition U défini par U(f(X)) = f ( X

+ 1) - * f ( X ) ;

1 (VI, p. 2, Exemple 1) ; c'est un opérateur d'ordre 1, et D si on pose U = DV, on a V-1 = ----Le polynôme d'Appcll de degré n eD - 1 correspondant à l'opérateur U s'appelle polynôme de Bernoulli de deçri. n et se note Bn(X);si on pose h, = B,(O), on a les formules on peut l'écrire U

=

eD

-

et en particulier

Les formules (7) et (9) de VI p. 5, donnent, pour les polynômes de Bernoulli, les relations

FVR VI.8

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

81

En particulier, on a Bn(l) - Bn(0) = O pour n > 1, ce qui, compte tenu de (18))donne la relation de récurrence m = ~m

6,

=

(pourn > 1)

O

qui permet de calculer de proche en proche les b,. Ces nombres sont évidemment rationnels; comme on peut écrire

et que l'on a (VI, p. 4, formule (5))

'Y

es tous les termes de degré imjair ont un on voit que, dans la sCrie formelle - 2eS-1 coefficient nul; on a donc +

(24)

bo=l,

bl=

-3,

bZnwl = O pourn > 1.

Les nombres rationnels 62, (n 2 1) sont appelés nombres de Bernoulli; nous verrons (VI, p. 19) que b,, a le signe de ( - l),-l. La formule (23) donne, pour les premières valeurs de n,

On notera que les numérateurs 691, 3617, 43867 sont premiers; les autres ont pour factorisations

tous les facteurs des seconds membres étant premiers.

No 5

FVR VI.9

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

O n en déduit pour expression des premiers polynômes de Bernoulli

5. Opérateurs de composition sur les fonctions d'une variable réelle

Soit 1 un intervalle de R contenant l'intervalle R, = (O, + co(; soit E un espace vectoriel sur le corps C, formé de fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes, définies dans 1. Nous qpposerons que, pour-tout a 2-0 et toute fmction f~EJ lafonction x H ~ ( X + a) appartient à E; en outre, nous supposerons que E contient les restrictions à 1 des polyndmes à coejicients complexes et des exponentielles ehx, où A est un nombre complexe quelconque. Nous appellerons opérateur dans E toute application linéaire U de E dans l'espace de toutes les applications de 1 dans le corps C des nombres complexes; sif E E et g = U(f ) , il sera commode d'utiliser la notation

-

-

-

-

-

-

dx)

=

UXf(S))

< étant donc une variable muette dans le symbole fonctionnel du second membre (cf. II, p. 9). Pour tout a 2 0, l'opérateur qui, à toute fonction f E E, associe la restriction à 1de la fonction x »f (x + a), est appelé l'opérateur de traîzslationpar a. DÉFINITION 3. - On dit qu'un opérateur U dans E est un opérateur de composition si, pour tout a à O, il estpermutable avec l'opérateur de translation par a. Avee la-notatbnintroduitë ci-dessus, cette définition se traduit p a r l'rdentité en x et a (x E 1,a 2 0) -

Dans cette identité, on peut échanger les rôles de x et a si x à O, puis faire a = 0; on obtient ainsi, pour tout x 2 0. (26)

Wf (9) = UCxf (F + 4)

U, étant la forme linéaire sur E qui, à toute fonction f E E, fait correspondre la valeur g(0) de g = U (f ).

Si f est un polynôme, on a f ([

+ x) = ~2c =-o1kf(X)(<)+, et la formule (26) !

montre donc que U(f ) est un polynôme; restreint à l'ensemble des polynômes en x, à coefficients dans C (ensemble qu'on peut identifier à l'algèbre C[X]), l'opérateur U est donc un opérateur de composition au sens de la déf. 1 de VI, p; 2,et tous les résultats~desnümérosprécéde~s lui sont applicables. -

- -

-

-

-

-

-

FVR VI. IO

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

$1

Nous désignerons encore par un les polynômes d'Appel1 attachés à l'opérateur U. Au développement taylorien généralisé d'un polynôme (VI, p. 6, formule (13)) correspond, pour des fonctions plus générales, le résultat suivant: THÉOXÈME 2. -Soitf une fonction admettant une dérivée (n et appartenant à E ainsi que toutes ses dérivéesf (") pour 1 < m de composition d'ordrep 6 n dans E, on a, pour x 2 O et h > O

+ 1)-ème continue dans 1, < n. Si U est un opérateur

(développement taylorien généralisé).

- un(.

Considérons l'intégrale

+ r)f(n*l) (F - ?)dï,

définie pour

tout E E 1, et appliquons-lui Ia formule d'intégration par parties d'ordre n (II, p. 10, formule (1 1));en tenant compte des relations

déduites de (7) (VI, p. 5) par récurrence, il vient

Appliquons l'opérateur U aux deux membres de la formule (29), considérés comme fonctions de 5, puis prenons la valeur de la fonction obtenue pour la valeur h de la variable 5; en remarquant que, d'après les formules (26) (VI, p. 9) et (9) (VI, p. 5), on a uh(~,(E - h))

=

U,S(u,(F))

=

O

pour m # p Our m = p

on obtient finalement la formule (27). 6. Indicatrice d'un opérateur de coanipositioaa

Les hypothèses étant les mêmes que dans le no 5, la formule (26) de VI, p. 9, appliquée à la fonction ehx, donne

(30)

Uz(ehS)= U$(e"ehS)

=

ehxU$(ehS)= u(A)ehx

No 6

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.11

en posant u(A) = U,S(ehS).On dit que la fonction u(A), définie dans C et à valeurs complexes, est l'indicatrice de l'opérateur de composition U. On notera que, si la restriction de U à l'anneau C[X] des polynômes est égale à la série

-

-

(VI, p. 4, th. 1) (que nous avons notée u(D) dans VI, p. 4), la série à termes complexes dont le terme général est n'est pas nécessairement convergente pour A # O, et que, même si elle converge pour certaines valeurs de A, sa somme n'est pas nécessairement égale à l'indicatrice u(h) de U (VI, p. 22, exerc. 2). Nous dirons que l'opérateur de composition U est régulier s'il existe un vaisinage de O dans C-tel que la série de terme général çcnAn+" soit absolument convergente et ait une somme égale à l'indicatrice u(h) dans ce voisinage1. Appliquons la formule (27) de VI, p. 10, à la fonction eh", en faisant h = O; comme Dm(ehx)= Amehx,on a U$(Dm(eh") = Amu(A);il vient donc, pour tout h complexe tel que u(A) # O

-

et en particulier, pour x = O

avec p, = u,(O). Si U est un opérateur régulier, pour tout A

EC

tel que les séries entières u(A)

=

m

2 g,hntp et

n=O

n=o

ln soient absolument conriergenies2,i l dssultede-la formule p4 3

(16) et de la formule donnant le produit de deux séries absolument convergentes

(TG, VIII, p. 16, prop. 1) que l'on a

De même, puisque le développement en série de Taylor de ehx est absolument convergent pour tout A E C et tout x E C (III, p. 15) on a aussi (formules (6) (VI, p. 5) et (16) (VI, p. 6), pour toutes les valeurs considérées et pour tout x E 6;

1 Nous ferons plus tard l'étude des séries dont le terme général est de la forme cnzn (en E C , z E C ) , qu'on appelle séries entières; on verra en particulier que lorsqu'une telle série est absolument convergente pour z = zo, elle est normalement convergente pour 1 zl < ] z , ] . a Il résulte de la théorie des séries entières que lorsque l'une de ces séries est absolument convergente dansunvoisinage vdel), l'autrexst absalumentronvergente daas un voisinage-W Vde4

FVR VI. 12

51

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Remarque. - O n peut utiliser l a formule ( 3 3 ) (resp. (34)) pour le calcul des (resp. des un(x)) e n utilisant le lemme suivant d e la théorie des séries entières: Lemme.

-S i

deux s&es entiires

2

cnhn

Pn

JO dnAn sont absolument convergentes pour tout h

f

&

dans un uoisinage de O, et si on a cnAn = dnAn gour ces valeurs de A, alors cn = d, n=O n=O gour tout entier n 2 O1. Si, p a r u n procédé quelconque, o n peut obtenir une série entière convergente égale à hP/u(A) dans u n voisinage de O, les coefficients d e cette série sont nécessairement égaux aux pn. C'est ce procédé que nous allons appliquer dans les exemples qui suivent.

Exemples. - 1) Si U est l'application identique, on a u(h) = 1, et l'opérateur U est évidemment régulier; comme un(x) = xn, la formule (27) de VI, p. 10, s'écrit, en posant t = 6 - 7

c'est-à-dire se réduit à la formule de Taylor (II, p. 12). 2) Prenons pour U l'opérateur de composition qui, à toute fonction f définie dans R,, fait correspondre la fonction x t+ f (x + 1) - f (x) ; on a donc nous avons vu (VI, p. 7) que la restriction de U à C[X] est égale à eD - 1. Comme d'autre part u(h) = eh - 1, l'opérateur U est régulier; nous verrons (VI, p. 19) comment on peut déterminer les nombres de Bernoulli b, en calculant un développement en série entière convergente de

-eh -h 1

En appliquant la

formule (27) de VI, p. 10, à uneprimitive de la fonctionf, il vient

avec

1

Ce lemme est un cas particulier d'un résultat général que nous démontrerons plus tard; en m

voici la démonstration. Si une série entière m

tout entier k

> O la série n2 c,, =o

2 c,An

n=O

est absolument convergente pour A = Ao, pour

,An est normalement convergente pour 111

dans ce disque (TG, X, p. IO); on en conclut que

<

Ihol, donc est continue

m

2

n=k+l

c,An = o(Ak) au voisinage de O. Le lemme

résulte alors de l'unicité des coefficients du développement asymptotique d'une fonction suivant les An (V, p. 12).

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.13

* 3) Soit E l'espace vectoriel des fonctionsf définies et continues dans R, telles en outre que l'intégrale j+ f (x c)e-k212 de soit convergente pour tout x 2 0. L'opérateur Udéfini par

+

est donc défini dans E et est évidemment un opérateur de composition. L'espace E contient toutes les exponentielles ehX( A complexe quelconque), et on a

(cf. III, p. 28, exerc. 24, et VII, p. 9, formule (22)). O n a n!an = @(En) =

J-x

1 ,p&

e-kzi2 end<. Pour tout entier n, on peut écrire

La série$oe-E2@

n!

peut donc être intégrée terme à terme dans R (II, p. 22) w

2

cor. l), ce qui prouve que la série n = o cinAn converge absolument pour tout

À E

C,

m

2

Azn

et a une somme égale à u(A) = eA212= n=02nn! -; l'opérateur U est donc régulier. L'application du lemme énoncé ci-dessus montre que pour tout n 3 0; l'opérateur U est donc d'ordre 0. O n a

cizn

= 1/2nn!, azn+l = O

la série étant absolument convergente pour tout A E C; une nouvelle application du w 2n)' An ( l ) pz, , = O; en outre, la série un(x) est lemme montre que p2, = Zn n! n=on! absolument convergente pour tout A E C et tout x E R, et on a

L

C

En appliquant la formule de Taylor à la fonction exp (-x2I2), on obtient donc l'expression suivante des polynômes un(x);

Ce polynôme est appelé polynôme d'Hermite de degré n, et se note le plus souvent Hn(x). Les formules (7), (8) et (9) de VI, p. 5, donnent ici

FVR VI. 14

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

et la formule

(27) de VI, p. 10, devient, pour h

=

0

7. La formule çommatoire d'Euler-Maclaurin

Dans la formule (35) de VI, p. 12, remplaçons x par 0, et h par x ; comme B,(O) = b,, il résulte des relations (24) de VI, p. 8, qu'on peut écrire, pour tout entier P>O

avec

(38)

R,(x) = - (2p

i lo1 l)!

B,,

+

,(t) f

(2"+1) ( X

+ 1 - t ) dt.

Dans cette formule, remplaçons successivement x par x + 1, x et ajoutons les formules obtenues membre à membre; il vient

(f(x)

+ f ( x + 1) +

e

.

0

+ 2, . . .,x + n,

+ f ( x + n)

avec

(40) T p ( x ,n)

= -

(2p

: Io1 l)!

B,,,,(t)

(5 k=O

f ( 2 p + 1 ) ( x+ k

+ 1 - t ) ) dt.

Le reste T,(x, n) de cette formule peut encore s'écrire de la façon suivante: désignons par B,, ( t ) la fonction périodique de période 1, égale à B,, + ( t ) dans l'intervalle (0, 1(. On a alors +

et par suite

,

,

No 1

DÉVELOPPEMENTSEULÉRIENS

FVR VI.15

La formule (39) est diteformule sommatoire d'Euler-Maclaurin; elle est applicable à toute fonction complexe ayant une dérivée (2p + 1)-ème continue dans un

intervalle (x,, +a(,pour tout x > x,. Nous verrons (VI, p. 20) comment on peut majorer le reste T,(x, n) de cette formule.

tj 2. DI~VELOPPEMENTSEULERIENS DES FONCTIONS

TRIGONOMÉTRIQUES

ET NOMBRES DE BERNOULLI

1. Développement eulérien de cotg z

D'après la formule (20) de VI, p. 7, les nombres bn/n! sont les coefficients du développement en série formelle de S/(eS - 1); nous allons démontrer dans ce paragraphe que la fonction z/(eZ- 1) est égale à la somme d'une série entière absolument convergente dans un voisinage de O dans C; il résultera du lemme de VI, p. 12, que les coefficients de cette série seront les nombres b,/n!, d'où nous déduirons des majorations pour les nombres de Bernoulli b,. Notons en premier lieu qu'on a

Nous allons obtenir dans ce qui suit un développement en série de cotg z, valable pour tout z distinct d'un multiple entier de n. PROPOSITION 1. -Pour tout nombre complexe z et tout entier n, on a

En effet, on peut écrire eniz - e - n i ~ sin nz = 2i

=

- niz 2niz

(e

-

2i

1)

A sin r sin ( z

+ ): . . . sin (z + (n -n 1)x

1. -Pour tout entier n, on a COROLLAIRE x . 2x (n - 1)x = sin - sin - . . . sin n n n

--.n

p-1

FVR VI. 16

§2

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Il suffit en effet de diviser les deux membres de (2) par sin z et de faire tendre z vers O. COROLLAIRE 2. -Pour tout entier impair n que nz ne soitpas multiple entier de x, on a cotg nz = ( - 1)" cotg z cotg (z

(4)

2m

=

+ ):

(5)

. . .cotg (2 x

En effet, on a sin n en remplaçant z par z

+ 1, et tout nombre complexe z tel

1.

+ (n - 1)n =

( - l)mcosnz, d'où,

+ 7-2'c dans (2)

(n - 1)x c o s n z = ( - l ) ~ ~ ~ ~ ~ c o s ~ c. .o. cs o(sz( z++ ~ ) n

et les formules (2) et (5) donnent (4) par division membre à membre lorsque sin nz # 0. Dans tout ce qui suit, nous supposerons toujours que n = 2m + 1 est un entier impair; la formule (4) peut aussi s'écrire

1

+ t g z t g -knn kn n

pour tg z fini; par rapport à u = tg z, cotg nz est donc une fraction rationnelle dont le numérateur est de degré n - 1 et dont le dénominateur, de degré n, a les n racines simples tg kxln; en décomposant cette fraction en éléments simples, il vient cotg nz

=

3

k = -m

Ak

kn u - tgn

avec

A,

=

lim cotgnz.

kn n

a-rknln

-.

COS Z COS -

cos nh

sin h

1

d'où, en mettant à part dans (6) le terme correspondant à k = O, en réunissant les termes correspondant à des valeurs opposées de k, et en remplaçant z par zln,

No 2

FVR VI. 17

DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS

cotg z

(7)

=

2n tgn

l 2 + k2 =l n tg cos2- n tg n knx (

- (nsin?)' valable pour tout nombre complexe z non multiple entier de x/2. On peut a, 1 écrire cette formule sous la forme cotg z = 7 + vk(n, z) avec vk(&?, z) = ntgk=l n

1

O pour k > m et

)

vk(n, z) =

n

( )

kx( . pOurl""m. cos2- n tgn sin n Nous allons voir que pour tout z contenu dans une partie compacte K de C ne contenant aucun multiple entier de x, et pour tout n impair assez grand, la sdrie de terme général vk(n, z) est normalement convergente. En effet, lorsque n tend Z

vers +a, nt g z tend vers - uniformément dans K, donc il existe un nombre n

I :l <<

M > O tel que n tg-

M pour tout entier m assez grand et tout z é K.

D'autre part, pour O

x

< n/2,

on a sin x/x d 1 -

X"

3

+,

donc pour

kx on a n sin - 2 kx/2; par suite, dès que m est assez grand, n 8M pour tout entier k tel que kn/2 > M, on a luk(n, Z) 1 < 4M2, ce qui k2n2 démontre notre assertion. Pour tout k fixe, vk(n, z) tend (uniformément dans K) 1

< k < m,

vers

2z

z2-kx

+ m. Par suite:

lorsque n tend vers

THÉORÈME 1. -Pour

tout nombre complexe z distinct d'un multiple entier de x, on a cotg z

=

1 -+ z

2 z2 -22n2x2

n=1

la série du second membre étant normalement convergente dans tout ensemble compact K c C ne contenant aucun multiple entier de x (développement eulérien de cotg z)

.

2. Développement eulérien de sin z

Pour tout entier impair n p. 15, peut s'écrire sin nz

=

=

2m

( - 1)m2fi-1

+ 1 et tout z complexe, la formule (2) de VI,

fi - $1 fi (. F)

k = -m

sin (z

= ( - 1)my-l sin z

sin

k =1

-

sin ( z

+

3.

FVR VI.18

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

sin2z -- sin",

fi .

s1n2

k=l

52

kn et, d'après (3) (VI, p. 15) n

kn = 2n-n ', d'où, en remplaçant z par z/n n

n in

On peut écrire cette formule sin z

=

n sin (1 - ~ ( nz)), , avec wk(n,z) nic=i

=

O

-n

sin2

pour k > m, et wk(n, z)

=

Z

L.

pour 1 < k < m. Nous allons voir que pour klr

sin2n tout z contenu dans une partie compacte K de C et pour tout n impair, la série de terme général wk(n, z) est normalement convergente. En effet, lorsque n tend vers +CO,n

1 $1 < n sin

Z

sin - tend uniformément vers z dans Ky donc il existe M > O tcl que n M pour tout entier m et tout r E K. Nous avons vu d'ailicurs dans la

I

démonstration du th. 1 de VI p. 17, que pour 1

. kïc kn < k ,< m on a n sin - 2 -; n 2 Iwk(n, z ) 1 a 4M2/k2n2,CC qui

donc, pour tout entier k tel que kn/2 3 M, on a démontre notre assertion. Comme pour tout k fixe, wk(n, z) tend (uniformément dans K) vers z2/k2n2lorsque n tend vers + CO, on voit que : THÉORÈME 2. -Pour tout nombre complexe z, on a m

sin z = z

rI - -)

n=l

(1

z2 n2n2

le produit injni du second membre étant absolument et uniformément convergent dans toute partie compacte de C (développement eulérien de sin z) . 3. Application aux n~rnbresde Bernoulli

Le th. 1 de VI, p. 17, montre que, pour O < x < TC,la série de terme général 2x 2 O est convergente. On peut d'autre part écrire, pour tout nombre n2x2 - x2 complexe z tel que 1 zl < n,

No 3

FVR VI.19

DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS

la série du second membre étant absolument convergente. Nous allons en déduire que la série G double O

est absolument convergente dans le disque ouvert 1 zl < z, normalement conuergente dans tout 1 ensemble compact contenu dans ce disque, et a pour somme cotg z - -. En effet, pour Z

IzI

6 a < n, la valeur absolue du terme général dc (11) est au plus égale à 2a2k-1/n2k~2k, et la somme d'une nombre fini quelconque de termes 2a2" 1 / n 2 k ~ z k

2

2a -en sommant d'abord par rapport est inférieure au nombre fini n = l n2n2 - aZy à k, puis par rapport à TL, on voit que la somme de la série (11) est égale à 22 ,, ce qui démontre notre assertion. z2 - n x Si maintenant on somme la série (1 l), d'abord par rapport à n, puis par rapport à k, on a l'identité (pour Izl < n)

n=ï

,

où on a posé Sk =

2* -nk1 D'après (1) (VI, p. 15), on a donc, pour jrl

n=l

< 2~

d'où la formule b2n =

(14)

( - 1)n-1(2n!)2S2n pour n 3 1, (2n)

formule qui montre en particulier que les nombres S2,/nZnsont rationnels. On a évidemment Sk+, 6 S,, donc, pour tout k entier 3 2, on a Sk 6 S2 = n2/6 6 2; on tire donc de (14) les inégalités suivantes pour les nombres de Bernoulli

z0(3

De ces inégalités on peut tirer une majoration du polynôme de Bernoulli Ba(%)=

bkxn-k;en particulier, pour O

<x

6 1, on a

FVR VI.20

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

$3. MAJORATION DU RESTE DE LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN 1. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin

La majoration obtenue dans (16) pour les polynômes de Bernoulli dans l'intervalle (0, 1) permet de majorer aisément le reste Tp(x, n) de la formule d'Euler-Maclaurin (IV, p. 14, formule (39))

On a en effet (VI, p. 14, formule (41))

,

où B,, + (t) est la fonction périodique de période 1 égale à B,, valle (0, l(. La formule (16) de VI, p. 19, montre que

+

,(t) dans l'inter-

pour tout t E R, et l'application de la formule de la moyenne donne pour T,(x, n) la majoration

1 f (2p+1)(t)1 dt. 2. Application aux développements asymptotiques

La formule d'Euler-Maclaurin permet de donner une solution plus complète (dans les cas les plus importants) au problème traité dans V, p. 28 à 32, consistant à obtenir un d6veloppement asymptotique de la somme partielle sn =

(resp. du reste rn =

m=n+l

2 g(m)

m=O

g(m)), où g est une fonction numérique > O et mono-

tone définie dans un intervalle (xo, +CO(. Nous allons nous borner au cas où g est une fonction (H) (V, p. 41), d'ordre 0 par rapport à ex; autrement dit, on a la relation g' « g; de cette relation, on déduit g(k+l)«g(-) pour tout entier k > O tel qu'aucune des dérivées gCh)d'ordre h 6 k ne soit équivalente à une constante

No 2

RESTE DE LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN

FVR VI.21

d'ordre h 6 2p (V, p. 22, prop. 7). Soit@un entier tel qu'aucune des dérivées ne soit équivalente à une constante. Supposons d'abord que la série de terme général g(n) ait une somme infinie, et distinguons plusieurs cas : 1" Ig(2p-i)(n)1 tend vers +co avec n; il en est de même, en vertu de l'hypothèse, de Ig(2k-i)(n)1 pour 1 < k 6 @; en outre comme g(2pii) est monotone au voisinage de + co, la formule (4) de VI, p. 20, donne Tp(O, n) = 0(g(2P)(n 1)) = ~(g(~P-l)(n + 1)); la formule d'Euler-Maclaurin, appliquée pour x = O, montre que

+

chacun des termes de cette somme étant négligeable devant le précédent; en développant chacun d'eux par rapport à une échelle de comparaison 8, on aura donc un développement asymptotique de sn. 2O Supposons maintenant que pour un indice q tel que 1 < q < p, lg@q-l)(n)1 tend vers + co avec n, mais que g(2k-1)(n)tende vers O pour k > q. Comme est g@@+l) est monotone au voisinage de +CO,l'intégrale J," Ig(2p+1)(~)ld~ convergente, et on peut alors écrire

où C est une constante: on a en effet

La même formule est valable lorsque g(n) elle-même tend vers O. Enfin, lorsque la série de terme général g(n) est convergente, on a, pour le reste Co

rn =

m=n+l

g(m), le développement

Exercices

1) Soient K un corps de caractéristique 0, U et V deux opérateurs de composition dans K[X], et W = VU = UV; soient (un), v,), (w,) les suites de polynômes d'Appel1 correspondant respectivement à U, V, W. Démontrer que, sip est l'ordre de U, on a

2) Soit E l'espace vectoriel sur C engendré par les fonctions xn (n E N), eh* ( 1 E C, A # O) et

IX + 4 (P E R). a) Montrer que les fonctions précédentes forment une base de E., b) Soit U l'opérateur de composition défini dans E par les conditions: U$(tn) = (n!)2, pl) = lx pl pour p E R. L'indicatrice u(h) est la U(ehx) = ehxpour h # O, U(lx constante 1, mais la série de terme général n!hn n'est convergente pour aucune valeur h # O. c) Soit V l'opérateur de composition défini dans E par les conditions V(xn) = xn, V(lx pl) =I X pl, V(ehx) = O pour 1 0; l'indicatrice v(h) est égale à 1 pour h = 0, à O pour

+

+

+

+

+

mi

2

A # O, et est donc distincte de la somme de la série n = O cr,hn, où CL, = d ) Soit W l'opérateur de composition défini dans E par W(xn)=xn,W(ehx)=ehX,

Vg(p).

W((x+pI)=ex+";

montrer que l'on a VW # WV.

3) Soit K un corps de caractéristique 0. On dit qu'un endomorphisme U de l'algèbre K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées X, Y sur K est un opérateur de composition si, pour tout polynôme f E K[X, Y], on a, en posant g = U(f), g(X + S, Y + T ) = Ux, f ( X + S, Y f T)), S et T étant deux autres indéterminées. a) Généraliser à ces opérateurs la prop. 1 et le th. 1. En déduire une nouvelle démonstration = eSeT. de la formule es b) Pour les opérateurs de composition de la forme DED@(Dx, Dy), où le terme constant de la série formelle u n'est pas nul, définir les polynômes d'Appel1 un,, et généraliser les prop. 4 , 5 e t 6 deV1,p. 5 e t 6 . c) On considère en particulier l'opérateur de composition U défini par U(f (X, Y)) = f (X 1, Y 1) - f ( X ,Y 1) - f ( X 1, Y) f (X, Y); on appelle polynômes de Bernoulli et on note B,, , les polynômes d'Appel1 correspondant à cet opérateur. Montrer que l'on a B,, .(X, Y) = B, (X)Bn(Y). +

+

+

+

+

§2

1) Démontrer les formules

+

92

FVR VI.23

EXERCICES

X

où les séries du second membre sont absolument convergentes, la première pour lzl < 2 et la seconde pour 1 zl < (exprimer tg z et Ilsin 22 comme combinaisons linéaires de cotg z 22n(22n- 1) bznsont entiers. (On utilisera le lemme et cotg 22). En déduire que les nombres 2n suivant: si, dans deux séries absolument convergentes mn et pn sont entiers, dans leur produit écrit sous la forme

5 5 4

zo n=o

-3

n!

=,

Pn

.

les coefficients

zn y, n. les y, sont entiers.) i $

2) Démontrer la formule

(dériver la série Sesx/(es - 1) par rapport à S). En déduire la formule

pour les nombres de Bernoulli. 3) Démontrer, pour tout entier4 > 1, la formule

4) a) Démontrer la relation Bn(l

- X)

= (- l)nB,(X)

-,= O pour n > 1, et la relation

(utiliser le fait que bzn

B,(1 - X)

- B,(-X)

= ( - l)%Xn-l.)

b) Montrer qu'on a

(utiliser l'exerc. 3). Montrer que, pour n pair, Bn(X) a deux racines dans l'intervalle (O, 1) de R, et que, pour n impair > 1, B,(X) a une racine simple aux points O, -$ et 1, et ne s'annule en aucun autre point de (O, 1) (utiliser b) et la relation BL = nBn- ,). d) Déduire de c) que, pour n pair, le maximum de IBn(x)1 dans l'intervalle (0, 1) est égal à Ibn[, et que pour n impair, si an est le maximum de IB,(x) 1 dans (O, l), on a

c)

(utiliser le th. des accroissements finis). 1

5 ) Si l'on pose Sn(x) = -(B, + ,(x) n f 1

- B,

+

1(0)), on a, pour tout entier a > O

a ) Montrer que pour tout entier n 2 O et tout entier a > O, on a 2Szn+,(a) = O (mod. a) (considérer la somme kZn l -t (a - k)2n l) b) Si Y et s sont deux entiers O quelconques, montrer que +

+

.

FVR VI.24

§2

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

c) Soit p un nombre premier. Montrer que si n est divisible par fi - 1, on a Sn(p) I - 1 (rnod. fi), et si n n'est pas divisible parp - 1, Sn($) = O (rnod. p) (si@ne divise pas l'entierg, remarquer que Sn(@)= gnSn(p)(rnod. fi)). 6) a) Les nombres rationnels bn étant définis par la formule (20) de VI, p. 7, on note d, le dénominateur >O de bn écrit sous forme de fraction irréductible. Montrer qu'aucun 1 (utiliserla formule de récurrence (23) de VI, p. 8). facteur premier de dnne peut être > n b) Montrer que l'on a, pour tout entier6 > O et tout entier n > O

+

c) Déduire de b) par récurrence sur n que, pour tout nombre premier fi le dénominateur de Sn@) - bnp écrit SOUS forme de fraction irréductible, n'est pas divisible par fi (observer quep'+I ne peut diviser r + 1). d) Déduire de c) que le nombre

oùp parcourt l'ensemble des nombres premiers p Conclure que

1 et n est pair, est un nombre entier.

où p parcourt l'ensemble des nombres premiers tels que (théorème de Clausen-von Staudt; utiliser l'exerc. 5 c).

* 7)

p - 1 divise Zn, est un entier

On admettra que pour tout entier a > O, il existe une infinité de nombres premiers dans l'ensemble des entiers 1 ma (m parcourant l'ensemble des entiers > 1; cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet). a) Soit n un entier >, 1, et soit s > 1 un entier tel que q = 1 (Zn l ) ! s soit premier; montrer que si p est un nombre premier tel que p - 1 divise Znq, alors fi - 1 divise nécessairement Zn (dans le cas contraire, on aurait p - 1 = qd avec d entier, et fi serait divisible 1). pard b) Déduire de a) que pour tout entier n > O, il existe une infinité d'entiers m > n tels que barn - bzn soit un entier.,

+

+

+

+

8) Montrer que, pour tout nombre premier fi > 3, S2,(pk) - pkb2n,mis sous forme de fraction irréductible, a un numérateur divisible par pZk(raisonner comme dans I'exerc. 6).

9) Dire qu'un nombre rationnel r est un entier p-adique (TG, III, p. 84, exerc. 23) pour un nombre premier p signifie que, lorsque r est mis sous forme de fraction irréductible, son dénominateur n'est pas divisible par p; on écrit r = O (rnod. fi) pour exprimer que r/p est un entier p-adique, et r = r' (rnod. p) est équivalent par définition à r' - r 2 O (rnod. fi). m 1 a) Soit m un entier rationnel; la fonction Fm(z)= -- -est analytique pour 1 zl emz- 1 ea - 1 assez petit et s'écrit donc sous forme de série entière convergente au voisinage de O F ~ ( Z= )

nz,

(mn - 1)

Zn-1

n ( n - l)!

Montrer qu'on a aussi au voisinage de O

où les cn sont entiers p-adiques; en dkduire que les nombres an = (mn - 1)

, ,= a, (rnod.fi).

p-adiques; en outre on a an+ -

%

sont entiers

32

FVR VI.25

EXERCICES

b) Déduire de a) que si p - 1 ne divise pas n, b,/n est entier p-adique et que l'on a bn+p-l

bn (mod. p) n

E

n+p-1

(congruences de Kummer). (Prendre pour m un entier dont la classe mod. p est un générateur du groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/@Z(A, VII, 5 2, no 4) .) 10) Avec les notations de l'exerc. 9, montrer que les nombres mnan = mn(mn- 1) b,/n sont entiers (écrire Fm(z)comme quotien de deux polynômes en ez). En déduire que (pour n pair k 2) le dénominateur 6, de bn/n écrit sous forme de fraction irréductible est tel que, pour tout entier m premier à n, on a mn = 1 (mod. 8,). En outre, si un entier d est tel que mn = 1 (mod. d) pour tout entier m premier à n, d divise 6, (utiliser le th. de Clausen-von Staudt et la structure du groupe multiplicatif de Z/dZ (A, VII, 9 2, no 4)).

11) a ) Soit p un n ~ m h r e p r ~ m i efr 2. Alors les propriétés süivaritesso& équivalentes: a) bn/n

+

+ O (mod. p) pour tout n pair tel que$

-

-

1 ne divise pas n.

O(m0d.p) pourn = 2,4,6,. . .,p - 3. (Utiliser l'exerc. 96) .) b) O n dit q u e p est un nombre premier régulier s'il est égal à 2 ou vérifie les conditions équivalentes de a); sinon p est dit irrégulier. Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 sont réguliérs; 69 1 est irrégulier. - Soit 1un ensemble fini de nombres premiers irréguliers. Soit n un entier 3 2 multiple de 1 1 (q - 1) et tel que 1bn/nl > 1, (cf. VI, p. 19, formule (15)). Soit p un facteur premier du

P) bn

nc = - -T

numérateur de Ib,/nl mis sous forme irréductible. Montrer que p - 1 ne divise pas n et par suite que p est irrégulier. En déduire que l'ensemble des nombres premiers irréguliers est inzni. 12) Pour tout polynôme Q à coefficients réels, tel que Q(0) = Q(1), on note &la fonction 1) = &(x) pour tout continue dans R telle que Q(x) = Q(x) pour O < x < 1 et &(x ER. a) Pour tout entier m 3 2, le polynôme de Bernoulli Bmest l'unique polynôme à coefficients réels, Q de degré m, unitaire et tel que l'on ait Q(x) dx = 0, Q ( l ) = Q(0) et que la fonction soit m - 2 fois dérivable dans R et ait une dérivée (m - 2)-ème continue. (Raisonnerparrécwrznw sur m.) b ) Montrer que l'on a, pour m 3 1

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Ji Bm(x)e-2ntnx dx = " c)

Déduire de b) que, pour O

<x<

si n # O

-

-

-

dans Z.

1 et m 3 2, on a

la série étant normalement convergente., 13) Soient f un entier 2 1, x une fonction définie dans Z, à valeurs complexes, telle que ) tout x E Z. Si l'on pose ~ ( x f ) = ~ ( x pour

+

FVR VI.26

DEVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Déduire de l'exerc. 12 que I'on a, pour tout entier m 2 2,

Par exemple, on a

§3 1) Montrer que, si f(2p+1)(t)est monotone dans l'intervalle (x, x + n + l), le reste Tp(x,n) de la formule d'Euler-Maclaurin VI, p. 20, (formule (2)) a le même signe que le terme

et a une valeur absolue au plus égale à celle de ce terme. Si on suppose que f ( 2 p + 2 ) est continue (mais de signe quelconque), montrer que I'on a 1 ITp(sn)l < (2j 2)! \b"+2\ (1 f(2p+') (X n 1) - f(zp+l) (I)/ j:ln+l/ f(liPtai(t)ldt).

+ +

+

+

2) Démontrer la formule *f(x) - f ( x +

1)+f(x+2)

-...-

f(xf2n-

1) +$f(x-!-Zn)

avec

(appliquer la formule d'Euler-Maclaurin à g(x) = f (2x)).

3) Soit f une fonction continue ainsi que ses 2 j (0, 1). Démontrer la formule

avec

+ 1 premières

dérivées dans l'intervalle

NOTE HISTORIQUE (Chapitres V et V I )

(N.B. -Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.) La distinction entre les (t infiniment petits )> (ou <( infiniment grands )>) de divers ordres, apparaît implicitement dès les premiers écrits sur le Calcul différentiel, et par exemple dans ceux de Fermat; elle devient pleinement consciente chez Newton et Leibniz, avec la théorie des <( différences d'ordre supérieur )>; et on ne tarde pas à observer que, dans les cas les plus simples, la limite (ou (( vraie valeur O ) d'une expression de la forme f ( x ) / g ( x ) , en un point où f et g tendent toutes deux vers 0, est donnée par le développement de Taylor de ces fonctions au voisinage du point considéré (a règle de l'Hôpital H, due vraisemblablement à Johann Bernoulli). En dehors de ce cas élémentaire, le principal problème dy(( évaluation asymptotique qui se pose aux mathématiciens dès la fin du xvne siècle est le calcul, exact ou approché, de sommes de la forme

2 f (k), lorsque n est très grand; un

k=l

tel calcul est en effet nécessaire aussi bien pour l'interpolation et l'évaluation numérique de la somme d'une série, que dans le Calcul des probabilités, où les ((fonctionsde grands nombres )> telles que n! ou

(3

jouent un rôle prépon-

1 5+k

lorsque n a est grand, indique une m6tliode qui revient (sur ce cas particulier) à calculer les premiers termes de la formule d'Euler-Maclaurin (1). Vers la fin du siècle, Jakob Bernoulli, au cours de recherches sur le Calcul des probabilités, se propose dérant. Déjà Newton, pour obtenir des valeurs approchées de

k=i

n-1

de déterminer les sommes Sk(n) =

2 pk, polynômes en n dont il découvre la

p=l

loi générale de formation (sans en donner de démon~tration)~, introduisant ainsi pour la première fois, dans l'expression des coefficients de ces polynômes, les nombres qui portent son nom, et la relation de récurrence qui permet de les calculer ((II), p. 97). En 1730, Stirling obtient un développement asymptotique pour

2

k=l

log ( x

+ ka), n croissant indéfiniment, avec un procédé de calcul des

coefficients par récurrence. De 1730 à 1745 se placent les travaux décisifs d'Euler sur les séries et les l

Ce sont les primitives des a polynômes de Bernoulli >) Bk(x).

FVR VI.28

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

n

questions qui s'y rattachent. Posant S(n)

=

2 f (k), il applique à la fonction

k=l

S(n) la formule de Taylor, ce qui lui donne

équation qu'il ((inverse >> par la méthode des coefficients indéterminés, en cherchant une solution de la forme

il obtient ainsi de proche en proche

sans pouvoir tout d'abord déterminer la loi de formation des coefficients (III a et d). Mais vers 1735, par analogie avec la décomposition d'un polynôme en facteurs du premier degré, il n'hésite pas à écrire la formulc 1

sin s a

- -sin =

(1

-:)

(1

s --)x s a (1 ----) -n

- a

-

(1

--)2x s

- a

et en égalant les coefficients des développements des deux membres en série entière il obtient en particulier (pour a

=

n/2) les célèbres expressions des séries

1 2nZk

n=l

à l'aide des puissances de x (III b)l. Quelques années plus tard, il s'aperçoit enfin que les coefficients de ces puissances de x sont donnés par les mêmes équations que ceux de sa formule sommatoire, et reconnaît leur lien avec les nombres introduits par Bernoulli, et avec les coefficients du développement en série de z/(e2 - 1) (III g). Indépendamment d'Euler, Maclaurin était arrivé vers la même époque à la même formule sommatoire, par une voie un peu moins hasardeuse, voisine de celle que nous avons suivie dans le texte; il itère en effet la formulc <( taylorienne )) qui exprime f (x) à l'aide des différences f ( 2 k l)(x + 1) - f (2k +l)(x), formule qu'il obtient en (( inversant les développements de Taylor de ces différences par la méthode des coefficients indéterminés (IV) ; il n'aperçoit d'ailleurs pas la loi de formation des coefficients,découverte par Euler. +

l En 1743, Euler, pour répondre à diverses critiques de ses contemporains, donne une dérivation un peu plus plausible des « développements eulériens » des fonctions trigonométriques; par exemple, 1 le développement en produit infini de sin x est tiré de l'expression sin x = - (e-lx - et" ), et du fait 2i

que e" est limite du polyn6me (1

+ :). (IIIr ) .

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

FVR VI.29

Mais Maclaurin, comme Euler et tous les mathématiciens de son temps, présente toutes ses formules comme des développements en série, dont la convergence n'est même pas étudiée. Ce n'est pas que la notion de série convergente fût totalement négligée à cette époque: on savait depuis Jakob Bernoulli que la série harmonique est divergente, et Euler avait lui-même précisé ce résultat en évaluant la somme des n premiers termes de cette série à l'aide de sa formule sommatoire (III c et d) ; c'est aussi Euler qui remarque que le rapport de deux nombres de Bernoulli consécutifs croit indéfiniment, et par suite qu'une série entière ayant ces nombres pour coefficients ne peut converger ((III f), p. 357)l. Mais la tendance au calcul formel est la plus forte, et l'extraordinaire intuition d'Euler lui-même ne l'empêche pas de tomber parfois dans l'absurde, lorsqu'il écrit par exemple 0 =

y

n=-00

9((IIIf ) , p. 362)2.

Nous avons dit ailleurs (Note hist. du chap. IV) comment les mathématiciens du début du xlxe siècle, lassés de ce formalisme sans frein et sans fondement, ramenèrent l'Analyse dans les voies de la rigueur. Une fois la notion de série convergente précisée, apparut la nécessité de critères simples permettant de démontrer la convergence des intégrales et des séries par comparaison avec des intégrales ou séries connues; Cauchy donne un certain nombre de ces critères dans son Analyse algébrique (Va), tandis qu'Abel, dans un mémoire posthume (VI), obtient les critères logarithmiques de convergence. Cauchy, d'autre part (V b), élucide le paradoxe des séries telles que la série de Stirling, obtenues par application de la formule d'Euler-Maclaurin (et souvent appelées a séries semi-convergentes ))) ; il montre que si (en raison de la remarque d'Euler sur les nombres de Bernoulli) le terme général u,(n) d'une telle série, pour une valeur Jixe de n, croit indéfiniment avec k, il n'en reste pas moins que, pour une valeurfixe de k, la k

somme partielle s,(n) =

2 uh(n) donne

h=l

un développement asymptotique

(pour n tendant vers + co) de la fonction a représentée >) par la série, d'autant pius précis que k est plus grand. Dans la plupart des calculs de l'Analyse classique, il est possible d'obtenir une loi générale de formation des développements asymptotiques d'une fonction, ayant un nombre de termes arbitrairement grand; ce fait a contribué à créer une confusion durable (tout au moins dans le langage) entre séries et développements asymptotiques; si bien que H. Poincaré, lorsqu'il prend la peine, en 1886 (VIII), de codifier les règles élémentaires des développements asymptotiques (suivant les puissances entières de 1lx au voisinage de + GO), emploie encore le vocabulaire de 1 Comme la série que considère Euler en cet endroit est introduite en vue du calcul numérique, il n'en prend que la somme des termes qui vont en décroissant, et à partir de l'indice où les termes commencent à croître, il les remplace par un reste dont il n'indique pas l'origine (le reste de la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme générale n'apparaît pas avant Cauchy). Il est piquant que cette formule suive, à une page de distance, un passage où Euler met en garde contre l'usage inconsidéré des séries divergentes !

FVR VI.30

NOTE HISTORIQUE

la théorie des séries. Ce n'est guère qu'avec l'apparition des développements asymptotiques provenant de la théorie analytique des nombres que s'est enfin opérée la distinction nette entre la notion de développement asymptotique et celle dc série, en raison du fait que, dans la plupart des problèmes que traite cette théorie, on ne peut obtenir explicitement qu'un très petit nombre de termes (le plus souvent un seul) du développement cherché. Ces problèmes ont aussi familiarisé les mathématiciens avec l'usage d'échelles de comparaison autres que celle des puissances de la variable (réelle ou entière). Cette extension remonte surtout aux travaux de P. du Bois-Reymond (VII) qui, le premier, aborda systématiquement les problèmes de comparaison des fonctions au voisinage d'un point, et, dans des travaux très originaux, reconnut le caractère (<non archimédien des échelles de comparaison, en même temps qu'il étudiait de façon générale l'intégration et la dérivation des relations de comparaison, et en tirait une foule de conséquences intéressantes (VI1 b). Ses démonstrations manquent toutefois de clarté et de rigueur, et c'est à G. H. Hardy (IX) que revient la présentation correcte des résultats de du Bois-Reymond: sa contribution principale a consisté à reconnaître et démontrer l'existence d'un ensemble de a fonctions élémentaires )>, les fonctions (H), où les opérations usuelles de l'Analyse (notamment la dérivation) sont applicables aux relations de comparaison1. Il n'entrait pas dans notre propos de développer dans ces chapitres les méthodes qui permettent d'obtenir des développements asymptotiques de fonctions se classant dans certaines catégories particulières, comme par exemple certains types d'intégrales dépendant d'un paramètre, qui interviennent fréquemment en Analyse; sur ce point (et. en particulier sur les importantes mtthodes de Laplace et de Darboux) le lecteur pourra consulter le livre cité de Hardy (IX), qui contient une bibliographie très complète.

BIBLIOGRAPHIE

(1) 1. NEWTON,in St. P. RIGAUD,Correspondence of scientîjc mm Oxford, 1841, t. II, p. 309-310. Ars conjectandi, Bâle, 1713. (II) JAKOB BERNOULLI, (III) L. EULER, Opera omnia (11, t. XIV; Commentationes analytkae.. ., Leipzig-Berlin (Teubner), 1924: a) Methodus generalis summandi progressiones, p. 42-72 ( =Comm. Acad. petrop., t. VI (1732-33)); b) De summis serierum reciprocarum, p. 73-86 ( = Comm. Acad. petrop., t. VI1 (1734-35)) ; c) De progressionibus harmonicis observationes, p. 87-100 (ibid.) ; d) Inventio summae cujusque seriei.. ., p. 108-123 ( = Comm. Acad. jetrop., t. VI11 (1736)) ; e) De summis serierum reciprocarum.. . dissertatio altera.. ., p. 138-155 ( = Misc. Berol., t. VI1 (1743)) ;f ) Consideratio progressionis.. ., p. 350-363 (=Cornm. Acad. petrop., t. X I (1739)); g) De seriebus quibusdam considerationes, p. 407-462 ( = Comm. Acad. petrop., t. XII (1 740)). (IV) C. MACLAURIN, A complete treatise ofjuxiolzr, Edimburgh, 1742. (V) A. L. CAUCHY: a) Cours d'Analyse de L'Ecole Royale Polytechnique, lrOpartie, 1821 (= Euvres, (2), t. III, Paris (Gauthier-Villars), 1897); b) Euvres, (l), t. VIII, p. 18-25, Paris (Gauthier-Villars), 1893. (VI) N. H. ABEL,Euvres, t. II, p. 197-205, éd. Sylow et Lie, Christiania, 1881. (VII) P. DU BOIS-REYMOND: a) Sur la grandeur relative des infinis des fonctions, Ann. di Mat. (2), t. IV (1871), p. 338-353; b) Ueber asymptotische Werthe, infinitare Approximationen und infinitare Auflosung von Gleichungen, Math. Ann., t. VI11 (1875), p. 362-414. (VIII) H. POINCARÉ, Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires, Acta Math., t. VI11 (1886), p. 295-344. (IX) G. H. HARDY,Orders of inznity, Cambridge tracts, no 12, 2Eéd., Cambridge University Press, 1924.

CHAPITRE VI1

La fonction gamma

5 1.

LA FONCTION GAMMA DANS LE DOMAINE RÉEL

1. Définition de la fonction gamma

Nous avons défini (E, III, p. 41) la fonction n! pour tout entier n 3 0, comme égale au produit

n

O$kin

(n - k); on a donc O!

=

1, ( n + l ) !

=

(n

+ 1).n!

pour n 3 0. Nous poserons r(n) = (n - 1) ! pour tout entier n 3 1; nous nous proposons de définir, dans l'ensemble des nombres réels x > O, une fonction continue r(x), prolongeant la fonction I' définie sur l'ensemble des entiers 3 1. Il est clair qu'il existe une infinité de telles fonctions; comme on a la relation F(n + 1) = nr(n) pour tout entier n 3 1, nous nous bornerons à considérer, parmi les fonctions continues qui prolongent r, celles qui pour tout x > O satisfont à l'équation (1)

f(x

+ 1) = xf(x).

Pour qu'une solution de cette équation soit un prolongement de r(n), il faut et il suffit qu'on ait en outre f (1) = 1. Sif satisfait à (l), pour tout n entier > 1, on a, par récurrence sur n

pour tout x > O. Cette relation montre en particulier que les valeurs de f dans un intervalle )n, n + 1) (n entier 3 1) sont déterminées par ses valeurs dans l'intervalle )O, 1). Inversement, soit cp une fonction continue dans )O, l), satisfaisant aux seules conditions y (1) = 1, lim xcp (x) = 1; pour tout entier n 3 1, définissonsf par la relation

x-+o

FVR VIL2

g1

LA FONCTION GAMMA

dans l'intervalle )n, n + 1); il est clair que f est continue dans )O, + a ( , satisfait à l'équation (l), et prolonge I'(n). Si f est une solution continue de (1) et prend des valeurs >O dans )O, l), elle prend des valeurs > O dans )O, + co( d'après (2) ; la fonction g(x) = logf (x) est donc définie et continue dans )O, + a ( et satisfait dans cet intervalle à l'équation g(x + 1) - g(x) = logx. (3) Sig, est une seconde solution continue de (3) dans )O, + a ( , et si h = g, - g, on a h(x + 1) - h(x) = O pour tout x > O; autrement dit, h est une fonction continue périodique de période 1, définie dans )O, + a ( ; inversement, pour toute fonction h de cette nature, g + h est une solution continue de (3). PROPOSITION 1. -Il existe une fonction convexe et une seule g, d&nie dans )O, + a ( , satisfaisant à l'équation (3) et prenant la valeur O pour x = 1. Montrons d'abord que s'il existe une fonction g satisfaisant aux conditions de l'énoncé, elle est bien déterminée dans l'fntervalle )O, l), et par suite dans tout l'intervalle )O, + a ( . En effet, pour tout entier n > 1, la pente de la droite joignant le point (n, g(n)) au point (x, g(x)) est fonction croissante de x, puisque g est convexe (1, p. 36, prop. 5) ; on doit donc avoir, pour O < x G 1

c'est-à-dire, d'après (3) x log (n - 1)

(4)

< g(x + n)

-

g(n)

< x log n.

Or, d'après (3), on a g(x

+ n) - g(n) = g(x) + log x +

D'autre part, on peut écrire log n

.

-

Z (log (x + k) - log k).

k=l

5 log - donc l'inégalité (4) s'écrit

= k=

y

n-1

x

k Zlog k- 1 G g(x) + log x

k=2

n

n

+2

k=2

Posons, pour tout n (5)

u,(x)

=

(log

1)) G x

2 log-.k -k 1

k=2

>2

n x log -- log (x n- 1

+ n - 1) + log (n - 1)

FVR VII.3

n Comme log -tend vers O lorsque n tend vers iCO, on déduit de (6) que si n-1 la solution g existe, elle est nécessairement égale, dans )O, l), à la limite de g,(x). Or, on tire aussitôt de la relation (5) que, pour tout x fixe et >O, on a

lorsque n tend vers +CO,ce qui prouve que la série de terme général un(x) converge tout x > O. Chacune des fonctions un(x) étant convexe dans )O, + CO(,ainsi que -log x, la fonction g(x)

=

-log x

5

+ n = 2 un(%)est convexe dans cet inter-

valle (1, p. 35, prop. 2 et prop. 4) ; enfin, on a un(l) = O, d'où g(1)

=

O, et

d'où g(x + 1)

=

-log (x

+ 1) + xlog2 + nt un(%) = logx + g(x); =3

autrement dit, g satisfait à l'équation (3) de VII, p. 2. DÉFINITION1. - On désigne par r(x) la fonction > O déjinie dans l'intervalle )O, sati.$aisant à l'équation

(7) telle que I'(1)

+ 1) = x ~ ( x ) , = 1 et que log r(x) soit conuexe dans )O, + CO(. r(x

2. Propriétés de la fonction g a m m a

PROPOSITION 2. -Pour tout x > O, on a F(x) (formule de Gauss), et

=

lim

,,,

nX.n!

X(X

+ 1). . .(X+ n)

+ CO(,

FVR VIL4

$1

LA FONCTION GAMMA

où y désigne la constante d'Euler, et le produit injni du second membre de (9) est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle compact de R ne contenant aucun entier < O (formule de Weierstrass). La fonction r(x) est indéJinimentdérivable dans )O, +CO(,et on a

m

Dk(log r(x))

=

- l)! 2 (-l)k(k ( x + n)k

n=o

pour k 2 2,

les séries quijgurent aux seconds membres de (10) et (11) étant absolument et uniformément convergentes dans tout interualle compact ne contenant aucun entier < 0. En effet, la démonstration de la prop. 1 de VII, p. 2, montre que

.,,

r(x) = lim

+

X(X

nx(n - 1) ! l ) . . .(x n - 1)

+

n d'où la formule de Gauss, puisque --- tend vers 1 lorsque n tend vers +m. x n O n peut aussi écrire

+

n log -= n-1 n-1

n log -n-1 n-1

-

donc (avec les notations de la prop. 1)

n 1 et la série de terme général log -- -est absolument convergente et a n-1 n-1 pour somme - y, où y désigne la constante d'Euler (V, p. 32), d'où la formule de Weierstrass. Pour 1x1 < a, on a ll/(x n)kl < l/(n - a)lcdès quen > a, donclasériedu second membre de ( I l ) est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact de R ne contenant aucun entier , 2; le même raisonnement s'applique à la série du second membre de (IO), 1 a pour 1x1 < a et n > a. Comme ces séries puisque - - - < x nI n(n - a) s'obtiennent en dérivant terme à terme la série

+

:1

+

X

qui converge pour tout x > O, la série de terme général - - log n

No 2

LA FONCTION

I'DANS LE DOMAINE

RÉEL

FVR VII.5

absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans (O, +CO(,et on a bien les relations (10) et (11) de VII, p. 4, pour tout x > O X

(II, p. 2, th. 1). D'ailleurs, pour tout x E R, - - log n que n est assez grand, donc le th. 1 de II, p. 2, montre encore que le produit infini du second membre de (9) (VII, p. 3) est absolument et uniformément convergent dans tout intervalle compact ne contenant aucun entier 6 0. La fonction I'(x), définie pour x > O, peut se prolonger à tout l'ensemble des points x distincts des entiers 6 0 de façon à satisfaire à l'équation (7) de VII, p. 3, dans cet ensemble: il suffit, pour - (n + 1) < x < -n, de poser

D'après la prop. 2 de VII, p. 3, les formules (8), (9), (10) et (11) de VII, p. 3 et 4 sont encore valables dans cet ensemble. La formule (9) (VII, p. 3) montre que r(x) l/x lorsque x tend vers O, d'où, d'après (7) de VII, p. 3,

-

lorsque x tend vers - n (n entier 2 O). La fonction l / ï ( x ) peut donc être prolongée par continuité à R tout entier, en lui donnant la valeur O aux entiers Q O; on a alors, pour tout x E R 1

-- -

lim n-tm

X(X

+ 1). . . (X + n) nx.n!

et on montre comme dans la prop. 2 de VII, p. 3 que le produit infini du second membre de (13) est absolument et uniformkment convergent dans tout intervalle compact de R. Comme I'(x) > O pour x > 0, l'équation (7) de VII, p. 3, montre que l'on a r(x) < O pour - (2n - 1) < x < - (2n - 2) et I'(x) > O pour (n entier 3 1) ; r(x) a pour limite à droite + a3 aux points - 2n, - co aux points - (2n + l), pour limite à gauche - oo aux points - 2n, + co aux points - (2n + 1) (pour tout n E N ) . La formule (11) de VII, p. 4, montre que, pour k = 2, le second membre est toujours 2 0 lorsqu'il est défini, donc

FVR VII.6

LA FONCTION

- -1 - -2 - -3

''Il Fig. 1

et par suite i"'(x) a le signe de I'(x) ; I' est donc convexe pour x > O et pour -(Zn + 2) < x < -(Zn + l ) , concavepour -(Zn + 1) < x < -Zn ( n ~ N ) ; o n en déduit que, dans les intervalles où 'I est convexe, I"(x) croît de - m à + m, et dans les intervalles où I' est concave, F ( x ) ddcroit de + CO à -m. D'où la courbe représentative de I' (fig. 1). 3. Les intégrales eulériennes

Nous dirons pour abréger qu'une fonctionf définie dans un intervalle 1 c R et > O dans cet intervalle, est logarithmiquement convexe dans 1 si logf est convexe dans 1. La définition de I'(x) montre donc que cette fonction est logarithmiquement convexe dans )O, + CO(. Il est clair que le broduit de deux fonctions logarithmiquement convexes dans 1 est logarithmiquement convexe dans 1. En outre:

Lemme 1. -Soientf et g deuxfonctions > O et deuxfois dérivables dans un intervalle ouvert 1. Sif et g sont logarithmiquement convexes dans 1, f + g est logarithmiquement convexe dans I.

No 3

LA FONCTION

I' DANS LE DOMAINE RÉEL

FVR VII.7

En effet, la relation D2(logf (x)) 2 O s'écrit f (x)f (x) - ( f ' ( ~ ) )2~O. Nous sommes ramenés à montrer que les relations a 2 O, a' 2 O, ac - b2 2 0, a'c' - bt2 2 O entraînent (a a')(c + cf) - (b + b')2 2 0; or, les relations a 2 O, ac - b2 2 O équivalent au fait que la forme quadratique ax2 + 2bxy + cy2 est 2 O dans Ra, et il est clair que si

+

dans R" on a aussi (a

+ a')x2 + 2(b + bl)xy + (c + c')y2 2 O dans R2.

Lemme 2. - Soit une fonction numérique $nie et > 0, définie et continue dans le produit 1 x J de deux intervalles ouverts dans R et telle que, pour tout t E J, lafonction x ttf (x, t) soit logarithmiquement convexe et deux fois dérivable dans 1. Dans ces conditions, si pour tout x E 1, l'intégrale g(x) = JJ f (x, t) dt est convergente, g est logarithmiquement convexe dans 1. Montrons d'abord que, pour tout intervalle compact I< c J, la fonction f (x, t)dt est logarithmiquement convexe. En effet, si K = (a, b), la gK(x) = jK suite des fonctions n-1

gn(x) =

on" 2 f (x, a + ,tnh) k=o

converge simplement vers gK(x)dans 1 (II, p. 7, prop. 5), donc log gn converge simplement vers logg,; d'après le lemme 1 de VII, p. 6, logg, est convexe dans 1, donc (1, p. 35, prop. 4) il en est de même de log gK. D'autre part, g est limite simple des g, suivant l'ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1 (II, p. 15), donc logg est limite simple des log g,; ces dernières fonctions étant convexes dans 1, il en est de même de log g (1, p. 35, prop. 4). On montre facilement que les lemmes 1 et 2 sont encore valables lorsque l'on n'y suppose plus les fonctions deux fois dérivables (VII, p. 20, exerc. 5).

Lemme 3. -Soit
O dans un intervalle ouvert J contenu dans (0, + CO(.Si 1 est un intervalle ouvert tel que l'intégrale g(x) = jJtx-l O, donc le lemme 2 est applicable. 3. - Pour tout x > O, on a PROPOSITION

(seconde intégrale eulérienne).

FVR VII.8

LA FONCTION GAMMA

$1

En effet, la fonction g(x) = J," e-t t x - l dt est définie pour tout x > O (V, p. 19) ;le lemme 3 de VII, p. 7, montre donc qu'elle est logarithmiquement convexe dans )O, +CO(.D'autre part, en intégrant par parties, on a

Autrement dit, g est une solution de l'équation (1) de VII, p. 1; enfin,

la proposition résulte donc de la prop. 1 de VII, p. 2. Par le changement de variable e ë t = u, on déduit de (14) (VII, p. 7) la formule

De même, par le changement de variable u = t x , il vient

ou encore, en tenant compte de (7) (VII, p. 1)

et en particulier, pour x = 2

PROPOSITION 4. -Pour x > O et y > O, l'intégrale

(première intégrale eulérienne) a pour ualeur

En effet, l'intégrale est convergente pour x > O et y > O (V, p. 19). D'après le lemme 3 de VII, p. 7, la fonction x H B(x, y ) est logarithmiquement convexe pour x > O. D'autre part, on a

d'où, en intégrant par parties

No 3

LA FONCTION

r DANS LE DOMAINE RÉEL

FVR VII.9

Il en résulte que f (x) = B(x, y)r(x + y) satisfait à l'identité (1) de VII, p. 1. D'autre part cette fonction est logarithmiquement convexe, comme produit de deux fonctions logarithmiquement convexes. Enfin, on af (1) = B(l, y)r(y + 1), 1 et B(1, y) = (1 - t)Y-l dt = lly, d'où f(1) = - l'(y + 1) = I'(y). La Y fonction f (x)/F(y) est donc égale à r(x) d'après la prop. 1 de VII, p. 2, ce qui démontre (18).

1:

Par le changement de variable t = -5 la formule ' (18) devient u f 1

et par le changement de variable t

=

sin2 9,

Si, dans cette dernière formule, on fait x = y = (21) d'où, en vertu de (17)

r(+)=

+, il vient

ix

D'après la relation (7) de VII, p. 3, on a pour I'(x), au voisinage de O, le développement asymptotique

De même, pour tout y fixe et >O, on peut écrire

et la formule (18) donne donc, pour y fixe, le développement asymptotique au voisinage de x = O

FVR VII.10

LA FONCTION GAMMA

D'autre part, pour x > O et y > O, on a

=;

La fonction cp (t )

=

1

+

Io l

tx

(1 - t)Y-l - 1 dt. t

(1 - t)Y-1 - 1 est coritinue dans l'intervalle compact (O, 1); t

comme t x = e X l o g t= 1

avec 1 rn(x, t ) 1

x2 xn + x log t + (log t)' + . . . + a (log t)" + rn(x, t) 2!

Xn + 1

llog t ln l (puisque log t < O et x > O), la formule (n il)! (25) donne pour B(x, y) le développement asymptotique au voisinage de x = O B(x,y)

=

<

! + X

+

~ ( tdt)

+

XI,'

~ + ! log ( t ) tdt

+-.

+ $ JO1 Pour n

=

p(t) (log t)" dl

+ 02(xn+l).

1, l'identification de ce développement à (24) donne en particulier rr(y) = ryi) - UY)

JO1

(1 - t).-l t

D'ailleurs la formule (10) donne ï'(1)

=

-1

dt.

rr(l)/l?(l) = -y, donc (intégrale

de Gauss)

5 2.

LA FONCTION GAMMA DANS LE DOMAINE COMPLEXE

1. Prolongement à C de la fonction g a m m a

Reprenons la formule de Weierstrass qui donne l'expression de Ilr(x) pour tout x réel

et considérons le produit infini de terme général quelconque. On peut écrire e-"In

=

2

1-n

e-xin, pour z complexe

+ h(z), avec (h(z)[

lz12 12/n1 (III, 6 -e 2n2

NO1

LA FONCTION

r DANS LE DOMAINE COMPLEXE

FVR ~ 1 1 . 1 1

p. 16, formule (8)), d'où

el zl

1zI2(1 + - (1 + 121)); le produit infini considéré est donc avec Ivn(z)1 6 n2 2 absolument et uniformément convergent dans toute partie compacte de C; en outre, sa valeur n'est nulle que pour les points z = - n (TG, IX, p. 80, corollaire). En raison de la formule (1) de VII, p. 10, on pose, pour tout z complexe

La fonction F(z) est ainsi définie pour tout point z E C distinct des points - n (n E N) ; elle est continue dans cet ensemble, et au voisinage de - n, on a (Z

+ n)r(z)

-

-

( - t)n. La formule (2) montre que l'on a r(r) = r ( z ) pour -

n. tout z distinct d'un entier négatif. Le raisonnement qui permet de passer de la formule de Gauss (VII, p. 3, formule (8)) à la formule de Weierstrass, repris en sens inverse, s'applique aussi pour z complexe, et montre que, pour tout z # - n (n E N), on a r(z) en convenant de poser n"

=

=

lim

eZIOgn.

z(z

+

nz.n! 1) . . . (z

+ n)

Comme on a

on a encore, en passant à la limite, l'équation fonctionnelle fondamentale (4) pour tout z # -n

r ( z + 1)

= zr(z)

EN).

Soit p un entier > O quelconque, et K, le disque ouvert lzl < p; pour tout z E K p et tout entier n > p, 1

(

log 1

+ -nZ

n'est pas un nombre réel négatif, donc

3+ (3:

+-

est défini, et il résulte de ce qui précède que la série de terme

général log 1

- - - (n > p) est normalement convergente dans K,; il en est

de même des séries obtenues en dérivant un nombre quelconque de fois le terme gCnéral, puisqu'on a

FVR VII.12

5 .2

LA FONCTION GAMMA

pour z E K, et n > p. O n voit donc (cf. II, p. 68, Remarque 3) que r ( z ) est indtjçniment dérivable en tous les points z E C distincts des points - n, et on a en ces points

pour k 2 2, les séries des seconds membres de (5) et (6) étant normalement convergentes dans tout ensemble compact contenu dans C et ne contenant aucun entier GO. On peut écrire en outre

en convenant que lorsqu'un logarithme, dans cette formule, porte sur un nombre réel négatif, il a l'une ou l'autre des deux valeurs limites (différant de 2ni) de log z en ce point; la série du second membre de (7) est alors normalement convergente dans tout ensemble compact contenu dans C et ne contenant aucun entier < 0. 2. La relation des compléments et la formule de multiplication de LegendreGauss

On tire aussitôt de la formule (2) de VII, p. 11, que, pour tout z E C

Or, le développement eulérien de sin z (VI, p. 18, th. 2) montre que

fi g)

2n=l

(1 -

=

1 . ; sm nz;

tenant compte de l'équation fonctionnelle (4) de VII, p. 11, on voit donc que: PROPOSITION 1. -Pour tout z complexe, on a (8)

1 1 = - sin xz r(z)r(i-z)

(relation des compléments). COROLLAIRE. - Pour tout t réel, on a -,

No 2

LA FONCTION

r DANS LE DOMAINE COMPLEXE

En effet on déduit de (8) que I'(it)r(- it)

-

=

r(- it) = r(it); de même, (8) donne F(+

sin(:

in n = -et t sin nzt t sh nt x

n

+ it)F(+- it) =

=-=-

+ zit)

FVR VII.13

cos nit

on a

X

ch xt '

et on a

r(+- it) = r(++ it). Soit maintenant p un entier > O quelconque, et considérons le produit

D'après (3) (VII,p. 1 l ) , pour tout z

z

- n (n E N ) ,f ( z )est limite du produit

et en particulier f (0) est limite du produit

d'où résulte que f (z)/f(0) est limite de

ce qui, d'après (3) (VII, p. 1 1 ) ) donne

(11) Mais on peut écrire

f (4 = f

(o)zP-Zr(z).

FVR V I I . 1 4

LA FONCTION GAMMA

puisquef (0) > O; la relation des compléments donne par suite

et comme le produit du second membre est égal à p/2p-1 ( V I , p. 15, cor. l ) , on voit finalement que : PROPOSITION 2. -Pour tout nombre complexe z distinct d'un entier < O et pour tout entier

p > O, on a (formule de multiplication de Legendre-Gauss) . PROPOSITION 3. -Pour tout nombre réel x > O, on a

(intégrale de Raabe). Démontrons d'abord la formule (13) pour x

=

J":

O. Comme log r ( x )

-

1 log X

lorsque x tend vers 0, l'intégrale log r ( x ) dx est convergente. En outre, dans )O, 11, la fonction log r ( x ) est décroissante ( V I I , p. 6); pour tout cc > O, on a donc

q étant le plus grand entier tel que q/n 1 avec or et que log i' n k=q+i ( I I , p. 7, prop. 5), on a

< or.

2

Sol

log r

Comme Ji log ï ( x ) dx tend vers O log r ( x ) dx lorsque n tend vers

( ~dx)= n-tm lim 1 5 log r($ ?2 k=l

Mais, d'après (12), le second membre de cette formule est limite de

n-1 1 log n log 2 x Z n y Zn d'où

(14)

J

log P ( x ) dx

=

O

Remarquons maintenant que, de l'identité

4 log 2a.

+m

NO3

r DANS LE DOMAINE COMPLEXE

LA FONCTION

FVR VII.15

on déduit, en intégrant, pour x > O

Mais l'intégrale du premier membre est aussi égale à donc, d'après (14),

J";+' log r(t)dt.

On a

3. Le développement de Stirling

Soient x et y deux nombres complexes non situés sur le demi-axe réel négatif; d'après la formule (3) de VII, p. 11, et avec les conventions de VII, p. 12 concernant les logarithmes, log r(x) - log !?(y) est congru modulo 2xi à la limite de l'expression

Posons f (t) = log (y + t) - log (x + t) ; nous allons appliquer à la fonction f la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin (VI, p. 20)

avec

Comme f'"'(t)

=

( - y '

1

(m - l ) ! ((y

+ t)"

-

(x +l t)"

).

f(2k-1)(n + 1) tend vers O lorsque n tend vers +a, pour tout k 2 1; il en est d'ailleurs de même de f(n

+

1)

=

Y

log 1 + n 1) - log (1

(

+

&) *

D'autre part, on a

son+

l

log (X

+ t) dt = (x + n + l)(log (x + n + 1) - 1) - x(1og x - 1) ;

FVR VII.16

LA FONCTION GAMMA

lorsque n tend vers (x

+CO,

on a le développement asymptotique

+ n)(log(x + n) - 1) = nlogn

- n t- xlogn t- O

(3 -

Portant dans l'expression (15) on voit finalement que, lorsque n tend vers +a, Tp(n) a une limite R,(x, y) et que l'on peut écrire logJ?(x)

- g(x) r logr(y) - g(y) + R,(x,y)

(inod. 2ni)

en posant

Fig. 2

Nous allons maintenant évaluer une borne supérieure de R,(x, y) à l'aide de l'inégalité (16), en supposant que x et y soient tous deux dans la partie HAde C définie par la relation (( %(z) >, A ou 1$(2) 1 2 A O, où A est un nombre > O arbitraire (fig. 2). Remarquons pour cela que si x = s + it avec s > A, on a + UI 2 A + u pour tout u > O et par suite

IX

No 3

LA FONCTION

De même, si Itl tout u réel, d'où

> A,

I?

on a lx

DANS LE DOMAINE COMPLEXE

+ ul

= 1s

+ u + itl

2 I'A~

FVR VII.17

+ + u ) pour ~ (S

O n voit donc que, lorsque x et y sont dans HA, on a CP IRp(x,y)l G A, où C, ne dépend que de p. Soit alors 8 le filtre ayant pour base les ensembles HA; le critère de Cauchy montre que, suivant le filtre 8, la fonction log F(z) - g(z) a une limitefinie8 (modulo 2ni) et que, si on pose o(z) = max (B?(z), 14(z))), on a

Pour x réel et >O, on a r(x) > O, et g(x) est réel, donc on peut supposer 6 réel, et on a

Nous allons en déduire la valeur de la constante 8; d'après la prop. 2 de VII, p. 14, appliquée pour p = 2, on a, pour x réel tendant vers +CD x-1 x x log2 - 5 2

x x + l + ?log2

x+l+2S -2 = xlogx - x - 'zlogx + ('z - x) log2

d'où on tire aisément 6

=

+ +log2n + 6 + o(1)

3 log 2x. On a donc finalement le résultat suivant:

4. -Suivant le jltre 8, on a (pour tout entier p PROPOSITION

>

1) le développement

(développement de Stirling).

- Suivant lejltre 8, on a COROLLAIRE.

-

i 2 n exp (zlog z - z r(z) (20) En particulier, pour x réel et tendant vers +CD,la formule (20) s'écrit (21)

r(x)

-

12nxx-'2 edX,

FVR VII.18

LA FONCTION GAMMA

d'où pour n entier tendant vers n!

+ co

-

Iznn+l/ze-n

(cf. v, p. 34). On déduit de là de nombreuses formules. Par exemple, pour tout nombre complexe cc et tout entier n, on a, lorsque n tend vers oo

+

De même, pour tout nombre complexe a distinct d'un entier

O, on a

et pour nombre complexe a, distinct d'un entier 2 O

Enfin, pour toute constante réelle k > 1, on a

Le même raisonnement conduit à la proposition analogue suivante : PROPOSITION 5. - Suiuant le jltre 9, on a (pour tout entier p 2 1), le développement asymptotique

Au lieu de la prop. 2 de VII, p. 14, on utilise pour la détermination de la constante la formule

Exercices

7 1)

Soit g une fonction réglée et > O dans )O,

+ cri(.

a ) Soient u, v deux fonctions croissantes dans )O, +CO(, telles que u(x V(X 1 ) - ~ ( x= ) g ( x ) pour tout x > O. Montrer que si w = u - u, on a

+

+

1)

-

u(x) =

+

1, o n a u ( y ) - u(x) < g(a).) En particulier, si (Remarquer que, pour a < x < y < a inf g(x) = O, il existe a u plus une solution croissante de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g(x)

X>O

prenant une valeur donnée e n u n point donné. b ) O n suppose que g décroissante dans )O, + cri (. Montrer que la série w

+

rp(4 =

& M n ) - g(x + n ) )

est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans hr est une solution croissante de )O, +cri(; si A = lim g(x), la fonction u(x) = p(x)

+

x-

+

+w

l'équation u(x 1) -u(x) = g(x). Montrer que pour toute solution croissante v de cette équation, on a v ( y ) - v(x) p ( y ) - ~ ( x pour ) O < x < y. Quelle est l'enveloppe supérieure (resp. inférieure) de l'ensemble des solutions croissantes de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g ( x ) prenant une valeur donnée e n u n point donné? Montrer que, pour que cet ensemble se réduise à u n seul élément, il faut et il suffit que A = 0. c) Montrer que si g(x) est croissante et > O dans (O, +cri(, il existe une infinité de solutions croissantes de l'équation u(x + 1 ) - u(x) = g ( x ) qui prennent une valeur donnée en u n point donné. d ) Soit +(x) la fonction définie dans )O, +CO( par les conditions: +(x) = O pour O < x < 1, 1 < x < n -n1 ( n 2 2); soit +(x) = 1 pour 1 < x < 2, +(x) = n pour n - 1 n- 1 g(x) = +(x + 1 ) - +(x).Montrer que est la seule solution croissante de l'équation

+

+

+

+

7 2) Soit g une fonction continue et croissante dans )O, CO(. a) Montrer que si 1im.inf g(x)/x = O, il existe a u plus une solution convexe de l'équation x++m

+ 1 ) - U ( X ) = g(x) prenant une valeur donnée en u n point donné (remarquer que pour tout h > O, la fonction v(x) = u(x + h) - u(x) est une fonction croissante satisfaisant à l'équation v(x + 1 ) - v(x) = g(x +- h) - g(x), et appliquer l'exerc. 1 a)). b ) Montrer que si g est concave dans )O, +CO(,il existe une solution convexe de l'Cquation U ( X + 1 ) - u(x) = g ( x ) ; pour qu'il existe une seule solution convexe de cette équation U(X

prenant une valeur donnée e n u n point donné, il faut et il suffit que

lim g(x)/x = O x-

(cf.exerc. 1 b ) ) . c) O n suppose désormais q u e g est croissante et concave dans )O,

+ cri(, et que

+m

lim g(x)/x = x++w

O. Pour tout couple de nombres h > O, k > O, et toute fonction numérique finie f définie dans )O, + cri (, on pose

pour x > k. Montrer que si u est une solution convexe de l'équation u(x

+ 1 ) - u(x) = g(x),

FVR VII.20 on a

lim

s1

LA FONCTION GAMMA

A(u(x); h, k ) = O quels que soient h > O et k > O (utiliser l'expression de u',

x-+m

tirée de l'exerc. 1 b) de VII, p. 19). d) Avec les notations de c), montrer qu'il existe une constante cc telle que l'on ait u(x) = v(x) a, avec

+

où on a posé

(Remarquer que v(x

+

1) - v(x) = g(x), et que lim A(v(x); h, k) = O quels que soient X ' f W

h > O et k > O.)

3) a) Soit g une fonction définie et admettant une dérivée k-ème continue dans )O, +CG(, telle que g(") soit décroissante dans cet intervalle et que lim g(")(x) = O. Montrer qu'il

+

x-+rn

existe une solution ct une seule u de l'équation u(x 1) - u(x) = g(x) qui admette dans )O, +CO( une dérivée k-ème croissante et prenne une valeur donnée en un point donné (utiliser l'exerc. 1 b)). 6) Soit cc un nombre réel quelconque. Soit S, la fonction définie dans )O, +CO(,satisfaisant à la relation S,(x 1) - S,(x) = xE telle que S, (1) =O, et en outre telle que la dérivée de S, d'ordre égal à la partie entière 1) ' soit croissante (fonction qui est unique d'après a)). Montrer que l'on a de (or SL(x) - Sa (1) = ccS,-l(x), et

+

+

pour tout entierp 3 1, où C, est une constante qui, lorsque cc # - 1, est égale à

(cf. VII, p. 14, prop. 2 et VI, p. 23, exerc. 3). 4) Montrer que la fonction f (x) =

+ 1) = I/xu(x)

U(X

r(x'2) --

est la seule solution convexe de l'équation

(remarquer que cette équation entraîne u(x

X + 2) = l 44, +

et

appliquer l'exerc. 1 a)).

5) Généraliser les lemmes 1 et 2 de VII, p. 6 et 7 aux fonctions logarithmiquement convexes quelconques (cf. 1, p. 51, exerc. 2). Montrer que toute fonction logarithmiquement convexe est convexe. 6) Soit +(x) = ~ ' ( X ) I ~ ( X pour ) ; tout entier q > 1 et tout entier k tel que 1 < k démontrer les formules

(Utiliser la formule (9) de VII, p. 3.)

1,

FVR VII.21

EXERCICES

71) a) Soit g une fonction numérique continue pour x k O. Montrer que si g vérifie les deux identités

elle vérifie aussi l'identité

b) En déduire que si une fonction g a une dérivée continue pour x 3 O et vérifie l'identité

elle est de la forme a ( x - +), où a est une constante (remarquer que g vérifie une identité analogue, où p est remplacé par pn; faire tendre n vers +a,et en déduire que g'(x) = g'(t) 4. c) Conclure de b) que la fonction I' est la seule fonction ayant une dérivée continue pour x > 0 , vérifiant l'équation ( 1 ) de V I I , p. 1, et la formule de multiplication (12) de V I I , p. 14, pour une valeur de p.

Ji

(0

2) Pour tout nombre entier k > 1, on pose Sx =

n-*. Démontrer que, pour

- 1< r 4

1,

la série du second membre étant uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans ) - 1, l ) , et absolument convergente pour 1x1 < 1. 3) Soit s un nombre réel fixe; montrer que lorsque t tend vers

+ it)l

-

+ co ou vers -a,on a

i 2 . l t y - " e-(n12)ltl

et

4) Soit t un nombre rtel fixe et # O; montrer que lorsque s tend vers

+ co,on a

(utiliser la relation des compléments).

5) Soit xn la racine de l'équation I"(x) = O appartenant à l'intervalle )-n, - n Montrer que l'on a 1 1 x n = - n +log n +O(-) (utiliser la relation des compléments et la formule (5) de V I I , p. 12). En déduire que

+

1(.

FVR VII.22

LA FONCTION GAMMA

6) Soit V, le déterminant de Vandermonde V(1,2,

où k est une constante.

$2

. . .,n) (A, III, p. 99) Montrer que l'on a

NOTE HISTORIQUE

(N.-B. -Les cette note.)

chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de

L'idée d' <( interpoler )> une suite (un) par les valeurs d'une intégrale dépendant d'un paramètre réel A et égale à un pour A = n, remonte à Wallis (III, p. 55). C'est cette idée qui guide principalement Euler lorsque, en 1730 ((1), t. XIV, p. 1-24), il se propose d'interpoler la suite des factorielles. Il commence par k + l n k que ce produit k k+n est défini pour toute valeur de n (entière ou non), et qu'en particulier, pour n = +,il prend la valeur _S;V' d'après la formule de Wallis. L'analogie de ce résultat avec ceux de Wallis le conduit alors à reprendre l'intégrale

remarquer que n! est égal au produit infini

'(

k=l

)

(n entier, e quelconque), déjà considérée par ce dernier. Euler en obtient la n! valeur par le développement du binôme; un change(e l)(e 2). . . (e n) ment de variables lui montre alors que n! est la limite, pour z tendant vers O, de 1 lex2n l'intégrale JO dx, d'où la fi seconde intégrale eulérienne u

+

+

+

par la même méthode, et l'usage de la formule de Wallis, il obtient la formule J: d l o g l/x dx = _SA Dans . ses travaux ultérieurs, Euler revient fréquemment à ces intégrales; il découvre ainsi la relation des compléments ((1)' t. XV, p. 82 et t. XVII, p. 342), la formule B(p, q) = r(p) F(q)/r(p + q) ((1)' t. XVII, p. 355)' et le cas particulier de la formule de Legendre-Gausscorrespondant à x = 1 ((1))t. XIX, p. 483) ;le tout bien entendu sans l'inquiéter de questions de convergence. Gauss poursuit l'étude de la fonction l? à l'occasion de ses recherches sur la fonction hypergéométrique, dont la fonction I' est un cas limite (II); c'est au cours de ces recherches qu'il obtient la formule générale de multiplication (déjà remarquée par Legendre peu auparavant pour p = 2). Les travaux ultérieurs sur I' ont surtout porté sur le prolongement de cette fonction au domaine complexe. Ce n'est que récemment que l'on s'est aperçu que la propriété de convexité

FVR VII.24

LA FONCTION GAMMA

logarithmique caractérisait P(x) (dans le domaine réel) à un facteur près parmi toutes les solutions de l'équation fonctionnelle f (x + 1) = xf (x) (III) ; et Artin a montré (IV) comment on peut rattacher simplement tous les résultats classiques sur F(x) à cette propriété. Nous avons suivi d'assez près son exposé

BIBLIOGRAPHIE

(1) L. EULER,Obera omnia, Leipzig-Berlin (Teubner): t. X I V (1924), t. X V (1927), t. XVII (1915) et t. X I X (1932). (II) C. F. GAUSS,Werke, t. III, Gottingen, 1866. Laerebog i matematisk Analyse, t. III, Kopenhagen, 1922, (III) H. BOHRund J. MOLLERUP, p. 149-164. (IV) E. ARTIN,Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Leipzig (Teubner), 1931.

INDEX DES NOTATIONS fl(xo), fd(xo), f;(~o),Df(xo): 1, P. 12 f', f,, f,, Df, dfldx: 1, p. 13 Dnf(x,), f(")(x0): 1, p. 28 Dnf, f'"): 1, p. 28 f(t)dt, f : II, p. 8

lXo 1; SI

Szo

lxo

f(t)dt7 f : 11, p. 8 h(t) l",: II, p. 9 f: II, p. 13 f ( t ) dt: II, p. 15 e, exp x ( x réel) : III, p. 2 log x (x réel > 0) : III, p. 2 n: III, p. 4 cos x, sin x (x réel) : III, p. 5 tg x, cotg x, sec x, cosec x: III, p. 5 Arc sin .x, Arc cos x, Arc tg x: III, p. 5 e', exp (z) (z complexe) : III, p. 7 log z (z complexe non situé sur le demi-axe réel négatif) : III, p. 10 cos z, sin z, tg Z, cotg z ( Z complexe) : III, p. 12 ch x, sh x, th x: III, p. 12 Arg sh x, Arg ch x, Arg tli x : III, p. 13

):(

( m réel, n entier

> 0) : III, p.

18

eA, cxp A (-4 endomorphisme continu d'un espace norme) : IV, p. 27 = p ( 6V), , R,, yfm(a, V) : V, p. 2 f +- g, fh, J/f11, fg (f, g fonctions dc X (5, V)) : V, p. 3 f g, g f (,f et g fonctions nurnériquîs 2 0) : V, pl 3 fi fi,f, 2 fl (fl fonction dc X ( 5 , V,), f, fonction de T ( 5 , V,)): V, p. 3

< > <

fxg:V,p.3 f «g, g »f (f et g fonctions numériqucs 3 0) : V, p. 5 fl « f2, f2» f, (f, fonction de If($,VI), f, fonction de X (8, V,)) : V, p. 5 f g : V, p. 6 O ( f ), Qdf1, o ( f ), o d f 1 : V, S. 9 Zox7Z,x: V, p. 19 ~ ( y (iY ) corps de Hardy) : V, p. 38 : V, p. 41 e~(x)7 N

3

k=O

akDk:VI, p. 4

B,(x) : VI, p. 7 6,: VI, p. 7 u%(f( 4 ) ): VI, p. 9 F(x) (x réel) : VII, p. 7 B(x, y) : VII, p. 8 r ( z ) (z compIexe) : VII, p. 10.

INDEX TERMINOLOGIQUE

Absolument convergente (intégrale -) : II, p. 18 Accroissements finis (théorème des -) : 1, p. 23 Adjonction à un corps différentiel d'une racine d'un polynôme, d'une primitive, d'une exponentielle de primitive: III, p. 28, exerc 25. Adjointe (équation -) d'une équation différentielle linéaire: IV, p. 25 Appel1 (polynômes d' -) : VI, p. 5 Approchée (solution ?) à c prèsd'une équation di-ffé~entielle:IV, p. 4~ S ~ m ~ t o t(développement i~ue -) : voir Développement asymptotique Au-dessous (point -) d'un graphe: 1, p. 32 Au-dessus (point -) d'un graphe: 1, p. 32 -

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Bernoulli (nombres de -) : VI, p. 7 Bernoulli (polynômes de -) : VI, p. 7 Binôme (formule du -, série du -) : III, p. 18 Caractère local (relation de -) : V, p. 2 CaractCristiques (racines -) d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants: IV, p. 30 Cauchy (critère de -) pour les intégrales: II, p. 16 Cauchy (critère de convergence de -) : V, p. 28 Cauchy (théorème de -) : IV, p. 10 Cauchy-Maclaurin (critère de convergence de -) : V, p. 27 Changement de variables (formule de -) : II, p. 11 Coefficients d'un développement asymptotique: V, p. 12 et p. 17 Coefficients binomiaux: III, p. 18 Comparables (fonctions -) : V, p. 7 Comparables d'ordre k (fonctions -) : V, p. 22 Comparaison (échelle-de L)i V,-p. 1 0 Compléments (relation des -) : VII, p. 12 Concave (fonction -) : 1, p. 35 Condition de Lipschitz.: IV, p. 7 Congruences de Kummer: VI, p. 25, exerc. 9 Constante d'Euler: V, p. 32 Convergente (intégrale -) : II, p. 14 Convexe (fonction -) : 1, p. 32 Corps de Hardy: V, p. 36 Corps différentiel: III, p. 28, exerc. 25 Cosécante: III, p. 5 Cosinus d'un nombre complexe: III, p. 12 Cosinus hyperbolique: III, p. 12 Critère de Cauchy pour les intégrales: II, p. 16 Critère de convergence de Cauchy: V, p. 28 Critère de convergence de Cauchy-Maclaurin: V, p. 27 Critère de convergence de d'Alembert: V, p. 35 Critère de convergence d'Ermakoff: II, p. 34, exerc. 8 Critère de convergence de Raabe: V, p. 34 Critères de convergence de seconde espèce: V, p. 34 Crit2resdecowergenee legarithmiquesponr les intégrales: V, p. 19 -

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FVR VII. 28

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Critères de convergence logarithmiques pour les séries: V, p. 28 D'Alembert (critère de convergence de -) : V, p. 35 Demi-tangente à droite, demi-tangente à gauche: 1, p. 19 Dérivable (fonction -) en un point: 1, p. 11 Dérivable (fonction -) dans un intervalle: 1, p. 12 Dérivable à droite, à gauche (fonction -) en un point: 1, p. 12 Dérivable à droite, à gauche (fonction - ) dans un intervalle: 1, p. 12 Dérivable (fonction n fois -) en un point: 1, p. 28 Dérivable (fonction n fois -) dans intervalle: 1, p. 28. Dérivée d'une fonction: 1, p. 11 Dérivée à droite, dérivée à gauche: 1, p. 12 Dérivée infinie: 1, p. 18 Dérivée logarithmique: III, p. 4 Dérivée n-ème: 1, p. 28. Dérivée première : 1, p. 11. Dérivée seconde: 1, p. 28 Dérivée symétrique: 1, p. 45, exerc. 13 Déterminant de n intégrales d'un système de n équations différentielleslinéaires: IV, p. 23 Détermination principale du logarithme d'un nombre complexe: III, p. 10 Développement asymptotique d'une fonction par rapport à une échelle de comparaison: V, p. 12 Développement asymptotique à la précision g,: V, p. 12 Développement asymptotique plus précis qu'un autre: V, p. 13 Développement asymptotique réduit à la précision go: V, p. 13 Développement asymptotique à coefficients variables: V, p. 17 Développement de Stirling de log F(z) : VII, p. 15 Développement de Taylor d'ordre n: 1, p. 30 Développement eulérien de cotg z : VI, p. 15 Développement eulérien de sin z : VI, p. 17 Développement taylorien généralisé d'un polynôme: VI, p. 6. Développement taylorien généralisé d'une fonction: VI, p. 10 Dominée (fonction -) par une autre: V, p. 3 Droite asymptote à un graphe: 1, p. 51, exerc. 7 Droite d'appui du graphe d'une fonction convexe: 1, p. 37 Droite localement au-dessous, localement au-dessus d'un graphe: 1, p. 39 Droite localement sur un graphe: 1, p. 39 Echelle de comparaison: V, p. 10 Equation différentielle à variable réelle: IV, p. 1 Equation différentielle adjointe: IV, p. 25 Equation différentielle d'ordre n: IV, p. 2 Equation différentielle du premier ordre: IV, p. 2 Equation différentielle linéaire: IV, p. 16 Equation différentielle linéaire homogène: IV, p. 2 Equation différentielle linéaire d'ordre n: IV, p. 30 Equation différentielle lipschitzienne: IV, p. 10 Equation différentielle localement lipschitzienne: IV, p. 10 Equation différentielle scalaire: IV, p. 2 et p. 30 Equivalentes (fonctions -) : V, p. 6 Escalier (fonction en -) : II, p. 4 Euler (constante d' -) : V, p. 32 Euler (formules d' -) : III, p. 9 Euler-Maclaurin (formule sommatoire d' : VI, p. 14 Eulérien (développement -) de cotg z: VI, p. 15

->

INDEX TERMINOLOGIQUE

FVR VII. 29

Eulérien (développement -) de sin z: VI, p. 17 Eulériennes (intégrales -) : VII, p. 6 Exponentielle complexe: III, p. 7 Exponentielles itérées: V, p. 41 Extension élémentaire d'un corps différentiel: III, p. 29, exerc. 28 Extension (H) d'un corps de Hardy: V, p. 41 Faiblement comparables (fonctions - ) : V, p. 4 Fonction à variation bornée: II, p. 29, exerc. 5 Fonction concave, fonction convexe: 1, p. 34 Fonction croissante à droite: 1, p. 43, exerc. 1 Fonction dérivable: 1, p. 12 Fonction dérivable à droite, dérivable à gauche: 1, p. 12 Fonction dérivée: 1, p. 13 Fonction dominée par une autre: V, p. 3 Fonction élémentaire: III, p. 29, exerc. 28 Fonction en escalier: II, p. 4 Fonction (H): V, p. 41 Fonction indéfiniment dérivable: 1, p. 28 Fonction lipschitzienne: IV, p. 7 Fonction localement lipschitzienne: IV, p. 10 Fonction logarithmiquement bornée: V, p. 4 Fonction logarithmiquement convexe: VII, p. 6 Fonction négligeable devant une autre: V, p. 5 Fonction n fois dérivable: 1, p. 28 Fonction prépondérante sur une autre: V, p. 5 Fonction réglée: II, p. 4 Fonction réglée par morceaux: II, p. 13 Fonction régulièrement convexe: V, p. 49, exerc. 5 Fonction strictement concave, strictement convexe : 1, p. 34 Fonction suradditive: 1, p. 54, exerc. 25 Fonctions comparables : V, p. 7 Fonctions comparables d'ordre k: V, p. 22 Fonctions équivalentes: V, p. 16 Fonctions faiblement comparables: V, p. 4 Fonctions fortement comparables : V, p. 7 Fonctions semblables: V, p. 4 Fondamental (système -) d'intégrales d'un système d'équations différentielles linéaires: IV, p. 2 1 Formule de Gauss: VII, p. 3 Formule de Leibniz: 1, p. 28 Formule de multiplication de Legendre-Gauss: VII, p. 12 Formule de Stirling: V, p. 33 Formule de Taylor: 1, p. 29 Formule de Wallis: III, p. 31, exerc. 32 Formule de Weierstrass: VII, p. 3 Formule d'intégration par parties: II, p. 10 Formule d'intégration par parties d'ordre n: II, p. 10 Formule du changement de variables: II, p. 11 Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin: VI, p. 14 Formules d'Euler: III, p. 9 Fortement comparables (fonctions -) : V, p. 7 Gauss (formule de -) : VII, p. 3 Gauss (intégrale de -) : VII, p. 10

FVR VII. 30

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

(H) (extension -) : V, p. 41 (H) (fonction -) : V, p. 41 Hardy (corps de -) : V, p. 36 Hermite (polynômes d' -) : VI, p. 13 Homogène (équation différentielle linéaire -) Hyperboliques (fonctions -) : III, p. 12

: IV, p. 17

Identité de Redheffer: II, p. 37, exerc. 10 Indéfiniment dérivable (fonction -) : 1, p. 28 Indicatrice d'un opérateur de composition: VI, p. 10 Inégalité de Carleman: III, p. 25, exerc. 9 Inégalité de Carlson: III, p. 24, exerc. 4 Inégalité de Cauchy-Buniakowsky-Schwarz: III, p. 24, exerc. Y Inégalité de Hadamard: III, p. 26, exerc. 12 Inégalité de Hardy: III, p. 26, exerc. 10 Inégalité de Hardy-Littlewood: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de Hlawka: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de Holder: III, p. 23, exerc. 3 Inégalité d'Opial: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de H. Weyl: II, p. 38, exerc. 10 Intégrale absolument convergente: II, p. 18 Intégrale convergente: II, p. 18 Intégrale de Gauss: VII, p. 10 Intégrale de Raabe: VII, p. 14 Intégrale d'une équation différentielle: IV, p. 2 Intégrale d'une fonction réglée dans un intervalle compact: II, p. 13 Intégrale d'une fonction réglée par morceaux: II, p. 14 Intégrale normalement convergente: II, p. 23 Intégrale uniformément convergente: II, p. 21 Intégrales eulériennes : VII, p. 6 Intégration par parties (formule d' -) : II, p. 10 Intégration par parties d'ordre n (formule d' -) : I I p. 10 Itérées (exponentielles -) : V, p. 41 Itérés (logarithmes -) : V, p. 19 Legendre-Gauss (formule de multiplication de -) : VII, p. 12 Leibniz (formule de -) : 1, p. 28 Linéaire (équation différentielle -) : IV, p. 16 Linéaire homogène (équation différentielle -) : IV, p. 16 Linéaire d'ordre n (équation différentielle -) : IV, p. 30 Lipschitz (condition de - ) : IV, p. 7 Lipschitzienne (équation différentielle -) : IV, p. 10 Lipschitzienne (fonction -) : IV, p. 7 Localement au-dessous, localement au-dessus d'un graphe (droite -) : 1, p. 39 Localement lipschitzienne (équation différentielle -) : IV, p. 10 Localement lipschitzienne (fonction - ) : IV, p. 10 Localement sur un graphe (droite -) : 1, p. 39 Logarithme d'un nombre complexe (détermination principale du - ) : III, p. 10 Logarithme naturel: III, p. 2 Logarithme népérien: III, p. 2 Logarithmes itérés: V, p. 19 Logarithmique (dérivée -) : III, p. 4 Logarithmiques (critères de convergence -) : V, p. 19 Logarithmiquement bornée (fonction -) : V, p. 4 Logarithmiquement convexe (fonction -) : VII, p. 6

INDEX TERMINOLOGICUE

FVR VII. 31

Maximum relatif, maximum relatif strict: 1, p. 19 Méthode de variation des constantes: IV, p. 20 Minimum relatif, minimum relatif strict: 1, p. 19 Moyenne arithmétique ordinaire, moyenne arithmétique pondérée: III, p. 3 Moyenne géométrique ordinaire, moyenne géométrique pondérée: III, p. 3 Moyenne (théorème de la -) : II, p. 11 Moyenne (valeur -) d'une fonction: II, p. 8 Naturel (logarithme -) : III, p. 2 Négligeable (fonction -) devant une autre: V, p. 5 Népérien (logarithme -): III, p. 2 Nombre premier régulier, nombre premier irrégulier: VI, p. 25, exerc. II Nombres de Bernoulli: VI, p. 7 Normalement convergente (intégrale -): II, p. 23 Opérateur de composition: VI, p. 1, et p. 9 Opérateur de composition régulier: VI, p. 11 Opérateur de translation: VI, p. 2 et p. 9 Ordre d'un opérateur de composition: VI, p. 5 Ordre d'une fonction par rapport à une autre: V, p. 8 Partie principale d'une fonction relative à une échelle de comparaison: V, p. I l Partie principale d'une fonction relative à une échelle de comparaison et à un domaine de coefficients: V, p. 17 Peano (théorème de -) : IV, p. 6 Plus précis (développement asymptotique -) qu'un autre : V, p. 13 Polygone de Newton: V, p. 48, exerc. 3 Polynômes d'Appel1: VI, p. 5 Polynômes de Bernoulli: VI, p. 7 Polynômes d'Hermite: VI, p. 13 Précision d'un développement asymptotique: V, p. 12 Prépondérante (fonction -) sur une autre: V, p. 5 Primitive d'une fonction dans un intervalle de R : II, p. 1 Primitive d'ordre n : II, p. 13 Primitive seconde : II, p. 12 Primitive stricte: II, p. 2 Principe de comparaison des intégrales: II, p. 17 Raabe (critère de -) : V, p. 34 Raabe (intégrale de -) : VII, p. 14 Racines caractéristiques d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants: IV, p. 30 Réduit à la précision go (développement asymptotique -) : V, p. 13 Réglée (fonction -) : II, p. 4 Réglée par morceaux (fonction -) : II, p. 13 Régulier (opérateur de composition -) : VI, p. I l Relation de caractère local: V, p. 2 Relation des compléments: VII, p. 12 Résolvante d'une équation différentielle linéaire: IV, p. 19 Reste de la formule de Taylor: 1, p. 30 et II, p. 12 Reste de la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin: VI, p. 14 et p. 19 Reste d'un développement asymptotique: V, p. 12 Rolle (théorème de -) : 1, p. 20

FVR VII. 32

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Scalaire (équation différenticlle -) : IV, p. 1 Sécante: III, p. 5 Second théorème de la moyenne: II, p. 31, exerc. 16 Semblables (fonctions -) : V, p. 4 Série génératrice des polynômes d'Appel1 attaches à un opératrur de composition: VI, p. 6 Signe constant (fonction de -) : V, p. 7 Sinus d'un nombre complexe: I I I , p. 12 Sinus hyperbolique: III, p. 12 Solution d'une équation différentielle: IV, p. 2 Solution approchée à E près d'une équation différentielle: IV, p. 3 Solution strictc d'une équation différentielle: IV, p. 2 Stirling (développcrnent de -) : VII, p. 15 Stirling (formule de -) : V, p. 33 Stricte (prirnitivr -) : II, p. 2 Stricte (solution - ) d'unr équation différentielle: IV, p. 2 Strictement au-dcssous, strictement au-dessus d'un graphe (point -) : 1, p. 32 Strictement concave, strictement convexe (fonction -) : 1, p. 34 Suite de définition d'une fonction (H) : V, p. 4 1 Système d'équations différentielles: IV, p. 2 Système d'équations diff6rcntielles linéaires: IV, p. 16 Système fondamental d'intçgralcs d'un système d'équations différentielles lintaires: IV, p. 21 Tangente à un graphe: 1, p. 19 Tangent? hyperboliquc: III, p. 12 Taylor (développement de - ) : 1, p. 30 'Taylor (formule de -) : 1, p. 29 'Termes d'un développement asymptotique: V, p. 12 TliCorèmc dc Cauchy: IV, p. 10 Théorème de Clauscn-von Staudt: VI, p. 24, exerc. 6 Théorème de la moyenne: II, p. 11 Théorème de Liouville: III, p. 30, exerc. 29 Théorème de Peano: IV, p. 6 Théorème de Rolle: 1, p. 20 Théorème dcs accroisscmcnts finis: 1, p. 23 'Théorèmes de Du Bois-Reymond: V, p. 53, exerc. 8 Théorèmc taubérien de Hardy-Littlewood: 1, p. 50, exerc. 18 Uniformément convergente (intégrale -)

: II, p. 21

Valeur moyenne d'une fonction: II, p. 8 Variation des constantes (méthode de -) : IV, p. 20 Weierstrass (formule de -) : VII, p. 3 Wronskicn de n intégrales d'une équation différcnticllc linéaire d'ordre n: IV, p. 32

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION

............................................

.................................... ...................................... § 1. Dérivée première 1. Dérivée d'une fonction vectorielle ................ 2. Linéarité de la dérivation ........................ 3 . Dérivée d'un produit ........................... 4. Dérivée de l'inverse d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 5. Dérivée d'une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Dérivée d'une fonction réciproque ................ 7 . Dérivées des fonctions numériques ................

..

CHAPITRE I

DÉRIVÉES

§ 2. Le théorème des accroissementsjnis ........................ 1 Le théorème de Rolle ........................... 2 . Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques .................................. 3 . Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Continuité des dérivées ..........................

.

3 3. Dérivées d'ordre supérieur ............................... 1. Dérivées d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4. Fonctions convexes d'une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Définition des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Familles de fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

3 Continuité et dérivabilité des fonctions convexes . . . . . . 4. Critères de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du § 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. PRIMITIVES ET INTÉGRALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE II

FVR VI1. 34

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

1. Définition des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Existence des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Forme intégrale du reste de la formule de Taylor; primitives d'ordre supérieur ....................

$ 2 . Intégrales dans les intervalles non compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Définition d'une intégrale dans un intervalle non compact

....................................

2 . Intégrales de fonctions positives dans un intervalle non

compact .................................... 3. Intégrales absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . .

$ 3. Dérivées et intégrales de fonctions dépendant d'un paramèt~e. . . .

1 . Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle compact .................................... 2 . Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Intégrales normalement convergentes . . . . . . . . . . . . . . 4. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle compact .................... 5. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Interversion des intégrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

..................... 5 1. Dérivées des fonctions exponentielles et circulaires . . . . . . . . . . . . . 1. Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e . . . . . 2. Dérivée de log, x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Dérivées des fonctions circulaires; nombre 7~ . . . . . . . . 4. Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. L'exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Propriétés de la fonction e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE III - FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

8. Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 9. Fonctions circulaires complexes; fonctions hyperboliques .....................................

I I I .1 I I I .1 I I I .1 111.3 111.4 111.5 111.7 111.8 111.10 I I I .11 I I I .12

TABLE DES MATIÈRES

§ 2. Dévelop~ementsdesfonctions exponentielles et circulaires. et desfonctions qui s'y rattachent ............................... 1. Développement de l'exponentielle réelle ........... 2. Développements de l'exponentielle complexe. de cos x et sin x ...................................... 3. Le développement du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Développements de log (1 + x). de Arc tg x et de Arcsinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note historique (chapitres 1-11-111) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..

CHAPITRE IV

.

FVR VI1 35

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Théorèmes d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. La notion d'équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Équations différentielles admettant pour solutions des primitives de fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Existence de solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Comparaison des solutions approchées ............. 5. Existence et unicité de solutions des équations lipschitziennes et localement lipschitziennes ............ 6. Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre . 7. Dépendance des conditions initiales ............... § 2 . Équations d$érentielles linéaires .......................... 1. Existence des intégrales d'une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Linéarité des intégrales d'une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Intégration de l'équation linéaire non homogène . . . . 4. Systèmes fondamentaux d'intégrales d'un système linéaire d'équations différentielles scalaires . . . . . . . 5. Equation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Équations différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Équations linéaires d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Équations linéaires d'ordre n à coefficients constants . 9. Systèmes d'équations linéaires à coefficients constants . Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111.15 I I I.15

FVR VI1. 36

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Note historique ......................................... Bibliographie ..........................................

v.. ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS .................. $ 1. Comparaison des fonctions dans un ensemblejltré . . . . . . . . . . . . . 1 . Relations de comparaison: 1. Relations faibles . . . . . . 2 . Relations de comparaison: II. Relations fortes ...... 3. Changement de variables ........................

CHAPITRE

4. Relations de comparaison entre fonctions strictement positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ 2 . Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Echelles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . Parties principales et développements asymptotiques . 3. Sommes et produits de développements asymptotiques

.

4 Composition des développements asymptotiques ..... 5. Développements asymptotiques à coefficients variables

$ 3 . Développements asymptotiques des fonctions d'une variable réelle . . . 1. Intégration des relations de comparaison: I . Relations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Application: critères logarithmiques de convergence des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Intégration des relations de comparaison: II . Relations fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Dérivation des relations de comparaison . . . . . . . . . . . 5. Partie principale d'une primitive ................. 6. Développement asymptotique d'une primitive . . . . . .

.

§ 4 Application aux séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Critères de convergence des séries à termes positifs . . 2 . Développement asymptotique des sommes partielles d'une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Développements asymptotiques des produits partiels d'un produit infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Application : critères de convergence de seconde espèce pour les séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Appendice . Corps de Hardy . Fonctions ( H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Corps de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Extension d'un corps de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FVR VIL 37

TABLE DES MATIÈRES

. . . .

3 Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy .... 4 Fonctions (H) ................................. 5 Exponentielles et logarithmes itérés ............... 6 Fonction réciproque d'une fonction (H) ........... Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 3 ........................................ Exercices du 5 4 ........................................ Exercices de l'Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

CHAPITRE VI . DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS FOR-

.................... 5 1. Développements tayloriens généralisés ......................

MULE SOMMATOIRE D'EULER-MACLAURIN

1. Opérateurs de composition dans une algèbre de polynômes ...................................... 2. Polynômes d'Appell attachés à un opérateur de composition ..................................... 3. Série génératrice des polynômes d'Appel1 .......... 4. Polynômes de Bernoulli ......................... 5. Opérateurs de composition sur les fonctions d'une variable réelle ............................... 6. Indicatrice d'un opérateur de composition ......... 7. La formule sommatoire d'Euler-Maclaurin .........

$ 2 . Développements eulériens des fonctions trigonométriques et nombres

de Bernoulli ...................................... 1. Développement eulérien de cotg z . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Développement eulérien de sin z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Application aux nombres de Bernoulli .............

.

$ 3. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin . . . . . . . . . 1. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin

2 . Application aux développements asymptotiques . . . . .

Exercices du 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 3 ........................................ Note historique (chapitres V et VI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

........................ dans le domaine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE VIL . LA FONCTION GAMMA

5 1. La fonction

gamma 1. Définition de la fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

FVR VI1 38

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

2. Propriétés de la fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

3 Les intégrales eulériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ 2 . La fonction gamma dans le domaine complexe . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Prolongement à C de la fonction gamma .......... 2. La relation des compléments et la formule de multiplication de Legcndre-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Le développement de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index des notations ..................................... Index terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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