Espazio metrikoen topologia

ESPAZIO - METRIKOEN ( TOPOLOGIA

I .1n9

I le cuksikkci I) IMIII~ unibertsitatea

IRUÑEA 1982

ESPAZIO METRIKOEN TOPOLOGIA J. DUOANDIKOETXEA

1981-1982 IKASTURTEA LEIOA

EUSKO JAURLARITZAREN LAGUNTZAZ

Jabegoa: U.E.U.ko MATEMATIKA Saila Lege-gordailua: BI-2.099-82 ISBN:

84-300-7954-8

Inprimategia: I. BOAN, S.A. - BILBO

HITZAURREA

"Baina oroitzen naiz, noski, ni re ikaslea izan zen aspaldian. Gero poeta bilakatu da: jakina, ez zuen irudimenik nahikoa Ala-

tematikan aritzeko". HILBERT.

Gure eskola-denboran Matematika eta zenbakia gauza bera ziren eta kalkulua zen Matematikaren muina. Oraindik ere, askoren ustez, matematikaria kontuak besteek baino arinago et'a errezago egiten dituen pertsona bat baizik ez da. Baina Plate-

matika, mundu guztia bezala, XIX. mendetik pasatu da eta mende horretatik eraberritua atera da, itxura berria kaleko jendearen artera urte asko ez direla zabaldu bada ere, lehen mai lako ikasketetan sartzearekin batera, alegia.

Jorge Luis Borges-ek "El Libro de los Seres Imaginarios" delakoaren hitzaurrean hauxe dio: "Liburuaren izenak justifika tuko luke Hamlet printzea, puntua, lerroa, gainazala, hiperkuboa,... sartzea". Ez dabil oker argentinar idazle ospetsua iru dimenezko izakien artean kontzeptu matematikoen aipamena egite rakoan

Horrela da, Matematikan gaur ez dago dena begiz

ikusterik, baina, ikusten ez den hori irudimenez atzematekopo sibilitaterik ez duenak, nekez ulertuko du gauza handirik.

Matematikaren berriztapena gaur, gutxi aski, eskoletan sartuta dago -ez gara hasiko horren egokitasunaz hitz egiten-

iv

eta Fakultatera heltzen den ikasleak ba du, gure denboran ez bezala, mundu matematikoaren zenbait kontzepturen berri. Hala ere, momentu horretan sentitzen du eraginik handiena eta "ez da hau nik espero nuena" esango dizu batek baino gehiagok urte-bukaeran.

Matematika saileko lehen kurtsoan bide klasikotikgehien alderatzen den gaia "Topologia" izenekoa dugu, batipat. Ezin izan bestela, izenak berak ere ez du konfidantza handirik ematen eta. 1981-82 ikasturte honetan matematikarigaien talde bati gai honen eskolak ematea nire gain gelditu zenean -neure gogoz- ba nekien jakin Topologiaren abstraktutasuna ikasleen baitan modu atseginez txertatzea zaila izango zitzaidana. Eta, urrian lehen klaseetara neraman ilusioa emendatuz joan da urteak aurrera egin ahala, ikasleen jokabideari esker.

Gero gerokoak. Ohizko kontzeptuen generalizazioa egite rakoan, bolak ez dira beti borobilak, batzutan karratuak aterako dira, inoiz zartaginen antza daukate, distantziak nola neurtzen diren arabera. Baina, ba ote dago ohi dugun moduaz aparte distantziak neurtzerik? Ez esan horretaiako ez dela irudimenik behar!.

"Orduan Topologiak pelotak, zartaginak eta kaixak zaku berean sartzen baldin baditu, ez du seriotasun handirik" esan go du norbaitek. Azal dezagun, bada, nola edo hala, Topologiak zer dakarkigun.

v

Hasteko, Topologia hitza grekotik dator, "topos"

le

kua eta "logos" = zientzia, estudioa direlarik. Etimologikoki "lekuaren estudioa" litzateke, beraz, eta hasieran Geometriaren inguruko problemak tratatzen zirela esateak zerbait azalduko luke izenaren zergatia. Gaur, Topologian bi adar nagusi daude, Topologia orokorra eta Topologia algebraikoa izenekoak, eta gure espazio metrikoen topologia hau lehenaren azpisail bat baino besterik ez da.

Topologiaren definizioak ematerakoan, egitura espazialaren deskribapena egiten duela esango du norbaitek; bijekzio birjarraiez (jarraia aplikazioa eta jarraia inbertsoa) aldatzen ez diren propietateen estudioa beste batek; limitea eta jarraitasuna aztertzen dituen saila dela ere ikus daiteke non bait. Dena dela, definizioak ez dira sekulan gogobetekoak iza ten.

Limitea eta jarraitasuna zer diren ulertzeko, azken ba tez, liburuan barrena abiatu beharko denez, egitura espaziala ren ideiaz hitz bi. Espazioan, multzo batetan, puntuen arteko distantziak neurtzen jakinez gero, puntu bakoitzetik hurbil dauden puntuak kontsidera daitezke. Horrela, ingurunearen kontzeptua sortuko da; bestalde, azpimultzo baten puntu bakoi tzak ingurune bat azpimultzoaren "barruan" badu, irekia izango da; itxia, multzokoak ez diren puntuek ingurune oso bat multzotik "kanpora" badute (multzoak ez du bereak ez

diren

puntuekiko "harremanik"), eta abar. Era honetako ideien abs trakzioak garatuz egiten da Topologia.

v

i

Lan honetaz ere zerbait esatea komeni da. Gaiak ez dira derrigorrez datozen ordenean irakurri behar. Lehen eta bigarren kapituluak oinarrizkoak dira eta ez dago atzerago ematerik. Besteak, ordea, nahi bezala ordena daitezte eta guk se gitu duguna klasean emandakoa da; ez du horrek esan nahi onena denik (oso posible da ez izatea, gainera). Demagun funtzio jarraiak (hemen seigarren kapituluan) hirugarren kapitulutzat sartu nahi direla, ezin izango ditugu bertan sartu ez segidekiko erlazioa ez trinko edo konexuen propietateak, dagozkien kapituluak tratatzen direnerako utzi beharko dira. Honelako es kema bat argigarri izan daiteke.

I. Espazio metrikoa

II. Egitura topologikoa

III.

/

Trinkotasuna

V. Segidak

IV. Konexutasuna

1/1 VI. Jarraitasunal

VII. Biderkadura-espazioa I

Ez da aurretik gauza asko jakin behar Topologia ulertzeko. Komeni da Multzoen Teoriaren oinarriak eta zenbaki errealen propietateak berrikustea, azkena adibideak ulertzeko batez ere. Bibliografian aipatzen diren liburuen hasieran

vii

aurki daitezke, esate baterako. Analisia jakitea ez da derrigorrezkoa baina bai oso lagungarri.

Maila honetako gaietan ez dago norberak asmaturiko lanik idazterik. Ezin da esan, hala ere, egilearen eskua ageriko ez denik: aurkezpena, estiloa, frogapenen aukera, gai bati zein besteri lehentasuna ematea,...; ba dago zer erabakirik eta non huts egiterik ere. Aitor ditzadan, bada, lan honi aur kitzen dizkiodan akats batzu: "definizioa-teorema-frogapena" sistema hertsiegia, irazkin eskasez ornitua; kasu errealekiko (begiekin ikusten direnekiko) konparaketa gutxi; problema-zerrenda ez-osoak, teorikoak nagusi bait dira. Hutsok, neure bu rua zuritzeko edo esango dut, kurtsoa lehen aldiz ematearen ondorio izan daitezke eta hurrengoetan konpontzeko esperantza ez dugu galduko. Ez zaio, bestalde, apuntu-liburu bat izan go

go duenari gehiegi eskatu behar, irakasleak ere klasean zer gaineratu edukiko du beti.

Ez da hau euskaraz agertzen den Topologiazko lehen lana. Aintzindari du 1978. urtean UEUn argitaratutako "Espazio topologikoak" delakoa, Leioako matematikari-taldeak egina. Gaur egun, espazio topologikoei gainbegirada bat botatzekoba lio badu ere, terminologiaren problema nabaria du, batzuk bes terik pentsatu arren, urte gutxi hauetan hango hitz asko zahar kituak eta ordeztuak gelditu bait dira. Gure lan honetan erabiltzen den terminologia UZEIren Matematika-Hiztegiarekin (egunen batetan kaleratuko den horrekin) bat dator, gehiena behintzat, diferentzia txiki bat edo beste ba dago eta.

viii

Azkenerako, ohi denez, eskerrak emateko ordua. Eskerrak, bada, amaitu berri dugun ikasturte honetan Matematika Saileko lehen kurtsoko bigarren taldean adiskide eta lankide izan ditudan ikasle-irakasleei; denen . artean bizi izan dugun giroak lagundu nau lanari eusten_beste nonbaitetik zetorkidan etsipenerako gogoa gaindituz. Makinaz pasatzen eman diodan lana gatik ere eskertu nahi nuke Mari Karmen Menika idazkaria.

Hitzaurre hau burutik buru irakurtzeko kemenik izan baduzu lasai abia zaitezke espazio metrikoetan barrena. On dagizula.

Leioan, 1982.eko ekainean J. Duoandikoetxea

ix

AURKIBIDEA

HITZAURREA

iii

Aurkibidea



ix

I. KAPITULUA. ESPAZIO METRIKOAK



1

1. Definizioa eta adibideak

3

2. Multzoen arteko distantzia

14

3. Espazio metriko baten azpiespazioak

18

4. Isometriak



18

Problemak



23

II. KAPITULUA. ESPAZIO METRIKOAREN EGITURA TOPOLOGIKOA

27

1. Bola irekiak, itxiak eta esferak

2. Multzo irekiak

29

34

3. Inguruneak. Puntu atxekiak eta metatze-puntuak

39

4. Multzo itxiak

44



5. Multzo baten muga

51

6. Irekiak eta itxiak azpiespazioetan

52

7. Multzo dentsoak eta inon ez dentsoak

55

8. Metrika topologikoki baliokideak

58

9. F-ko irekien egitura

61

Problemak



64



69

1. Multzo bornatuak. Diametroa

71

2. Aurretrinkotasuna

74

III. KAPITULUA. TRINKOTASUNA

X

3. Multzo trinkoak



80

4. Multzo erlatiboki trinkoak eta lokalki trinkoak

88

5. Multzo trinkoak P n -n

91

Problemak

94



97

IV. KAPITULUA. KONEXUTASUNA



1. Multzo konexuak 2. Konexuen itxidura eta bildura



99 102



104

3. Osagai konexuak



106

4. Konexuak R-n 5. Konexutasun lokala

108

111

Problemak



117

1. Segidak. Segiden limiteak



120

2. Segida cauchyarrak



126

V. KAPITULUA. SEGIDAK ETA OSOTASUNA

3. Espazio osoak



129

4. Osotasuna eta trinkotasuna



137

5. Baire-ren teorema



141

6. Osakuntza



145

Problemak



152



159

1. Jarraitasuna puntu batetan



163

2. Jarraitasuna multzo batetan



170

VI. KAPITULUA. JARRAITASUNA

3. Jarraitasun uniformea



176

4. Jarraitasuna multzo trinkoetan



180

xi

5. Jarraitasuna multzo konexuetan

184

6. Arkuzko konexutasuna

187

7. Metrika baliokideak

191

8.

Konbergentzia uniformea

9.

Hedapen-teoremak

10.



194



197

Puntu finkoaren teorema bat

Problemak

VII.







208

BIDERKADURA-ESPAZIO METRIKOAK

KAPITULUA.

1. Biderkadura-espazio metrikoak 2.

204

.

217'



219



Projekzioak

221

3. Segidak eta aplikazioak



223

4.

Trinkotasuna

226

5.

Konexutasuna

229



Problemak

232

ERASKINAK

235

1.

Supremoa eta infimoa ]R-ren azpimultzoetan

2.

Kontagarritasuna

3.

Espazio topologikoetarantz

4. Historia pixka bat

BIBLIOGRAFIA

HIZTEGIA





.

237



241

251 257

269

273

I. KAPITULUA

ESPAZIO METRIKOAK

I.1 Definizioa eta adibideak 1.2 Multzoen arteko distantzia 1.3 Espazio metriko baten azpiespazioak 1.4 Isometriak

2

I. KAPITULUA

ESPAZIO METRIKOAK

Kapitulu honetan metrikaren definizioa ematen da, espazio metrikoa definitzeko oinarria. Metrika, ikusiko denez, ohizko distantzia geometrikoaren abstrakzioa da, honen propietate garrantzitsuenak atxikiz. Orokortasuna gorde nahiz, beste propie tate batzu kanpoan gelditzen dira, batez ere eragiketekin zer ikusia dutelako. Eragiketak kontutan hartu gabe distantziak ne urtzea interesatzen bait zaigu.

Puntuen arteko distantziak neurtu ondoren, puntu batetatik multzo batetarakoa eta bi multzoren artekoa ere definituko dira, biak modu natural batez.

Multzo batetan metrika bat edukiz gero, edozein azpimul tzotako puntuen arteko distantziak ere definituta dauzkagu. Ho nela, azpiespazio metrikoaren kontzeptua agertzen zaigu. Azkenik, isometriak definitzen dira, bi ikuspuntutatik begira daitezkeelarik; alde batetik, espazio metrikoak identifikatzeko balioko dute; bestetik, espazio metriko batetatik bijekzio ba ten bidez beste multzo batetara distantzia pasatzeko modua es kaintzen digute.

3

I.1. DEFINIZIOA ETA ADIBIDEAK

Espazio metrikoa zer den esateko, distantzia bat definitu behar dugu.

"Distantzia" hitza ezaguna zaigu guztioi, hizketa arrun tean erabiltzen bait dugu. Nork ez du ulertzen "Bilbotik Gasteizerako distantzia 60 kilometrotakoa da" esaldia? Hizketa arruntaren esanguraz ari gara eta ez dugu aztertzen esaldiaren zehaztasuna, Bilboko zein puntutatik Gasteizko zein puntutara neurtzen dugun, zein bidetatik joanda, etab.

Distantzia geometrikoak (eta distantzia geografikoak gutxi gora-behera distantzia geometrikoak dira) ulerterrezakzaiz kigu, baina, nola defini distantziak edozein multzo batetan? Jar dezagun adibide bat. Biz B bokaleen multzoa, hau da, B={a, e,

o, u} . Letra hauen arteko distantzia neurtzeko har de-

zagun "IRUNEKOAK" hitza. Hona zer egingo dugun: bokale batetatik beste batetara joateko zenbat "jauzi" eman behar diren kontatu eta lortutako zenbakiari bi bokale horien arteko distantzia deitu. Esate baterako, a-tik i-rako distantzia 7 da eta o-tik a-rakoa 1. B-n distantziak neurtzeko modu hau nahiko bitxia badirudi ere, ez dago arrazoi berezirik hori distan tzia ez izateko.

Baina, orduan, multzo baten puntu-bikote bakoitzari zenbaki bat lotzea nahikoa izango da distantzia bat definitzeko? Ba, ez dirudi horren zabal jokatuz asko irabaziko genukeenik;

4

egia esan, propietate batzu eskatzea, ohizko distantziek betetzen dituztenetariko batzu, ezinbestekoa zaigu.

Hauxe da

orain egingo duguna.

1.1. Definizioa

Biz E edozein multzo ez-huts eta d:

aplika-

zio bat. d metrika da ondoko propietateok betetzen baditu:

M1.

V x,y c E

d(x,y)

M2.

V x,y e E

d(x,y)

M3.

V x,y c E t

d(x,y)= d(y,x)

M4.

fl x,y,z e E

d(x,y)

0 =0

<

x

=

y

(simetria)

d(x,z) + d(y,z)

(desberdintza triangeluarra)

Zer esan nahi dute propietate horiek hizketa arruntean?

M1.

Bi lekuren arteko distantzia ez dugu inoiz negatibotzat hartzen.

M2.

Bi lekuren arteko distantzia 0 bada, leku batetatik ez gara higitzen, eta alderantziz.

M3.

Bilbotik Gasteizera edo Gasteizetik Bilbora distantzia berbera dago.

M4. Bilbotik Gasteizera zuzen joatea, Donostiatik pasatuz joa tea baino laburragoa da (har bitez x = Bilbo, z = Donostia).

y

=

Gasteiz,



5

Azken propietateari jarri zaion izena (desberdintza triangeluarra) geometriak justifikatzen du. Irudian ikus deza kegunez zera da: edozein triangelutan alde baten luzera beste bien luzeren batura baino txikiagoa da.

Oharra.- Metrika hitza erabiliko dugu aplikazioa izendatzeko. Metrikak bikote bati lotzen dion balioa bi puntu horien arteko distantzia izango da.

1.2.

Definizioa.

Biz E edozein multzo ez-huts eta d E-n definitutako metrika bat; orduan, (E,d) bikotea espazio metrikoa deitzen

da.

Har bedi kontutan espazio metrikoa bikotea dela. E mul tzo ber batetan bi metrika desberdin definituz gero, bi espazio metriko desberdin lortzen dira.

Ez da beharrezkoa M1, M2, M3 eta M4 baldintza guztiak ematea 1.1. definizioan. M2 eta M4 emanez gero, beste biak lor daitezke. Hona hemen nola:

Idatz dezagun M4 propietatean y=x. Zera dugu orduan, V x,z

E

E

d(x,x)

<

d(x,z) + d(x,z)

eta M2 aplikatuz x,z E

E

0 < 2 d(x,z), hots, 0 < d(x,z)

(M1)



6

Egin dezagun orain M4-ean x,y

E

E

eta M2 aplikatuz,

d(x,y)

z=x d(x,x) + d(y,x)

d(x,y) < d(y,x)

x eta y-ren tokia aldatuz, d(y,x) < d(x,y) eta bi desberdintzetatik

V x,y C E

1.3.

d(x,y) = d(y,x)

(M3)

Teorema.

Biz (E,d) espazio metrikoa. Orduan,

V x,y,z

e E

d(x,z) - d(y,z)I

d(x,y)

Frogapena

Desberdintza triangeluarra bi bider aplikatuz zera dugu: d(x,z) < d(x,y) + d(z,y) = d(x,y) + d(y,z) eta

d(y,z)

beraz,

d(y,x) + d(z,x) = d(x,y) + d(x,z) d(x,z) - d(y,z) < d(x,y)

eta Hemendik,

-d(x,y) < d(x,z) - d(y,z) Id(x,z) - d(y,z)I < d(x,y)

f.n.g.

Prupuuiziu hunen esangura ere geometria elementalean aurkitzen dugu: edozein triangelutan alde baten luzera beste bien luzeren kendura baino handiagoa da.

7

1.4. Teorema. Bira x 1 , x 2 , Orduan d(xx

n

)

xn espazio metriko baten n puntu.

d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) +

+ d (x

n-1

,x

n

).

Teorema hau M4 propietatearen generalizazioa da eta handik, indukzioa aplikatuz, erraz lortzen da. Egin ariketa bezala.

Ikus dezagun zein den teorema honen esangura geometrikoa: edozein poligonotan alde ba ten luzera beste alde guztien lu zeren batura baino txikiagoa da. (Honegatik, desberdintza poligonala deitzen zaio).

1.5.

Definizioa.

Biz (E,d) espazio metrikoa. Existitzen bada k> 0 zei nentzat d(x,y) ‹ k bait da edozein x eta y-tarako, (E,d) espazio metriko bornatua dela esaten da.

Adibideak

1. Biz E edozein multzo ez-huts eta defini dezagun d(x,x) = 0 d(x,y) = 1





x e E `7" x,y e E,

x

y

8

Erraz ikus daiteke (E,d) espazio metrikoa dela, hots, d metrika dela. Espazio metriko hau diskretua deitzen da. Kontutan har bedi ez dugula eskatzen E multzoan inolako egitura algebraikorik, eragiketarik ere ez dugu behar.

2.

E=R izanik,

biz d(x,y) =

c

lx-y1 V x,y

Balio absolutuaren propietateetatik berehala lortzen di ra M1-M4 propietateak. d metrika da, beraz, 13R-ren ohiz ko metrika deitua. Beste metrikarik aipatzen ez denean hau xe izango da ]R-n erabiliko duguna.

3.

Har dezagun E = ]Ft n , eta idatz dezagun x = (x

1

,x.x

n

)cE

Defini dezagun

d(x,y) =

(n =2 edo n =3 denean hauxe da distantziak neurtzeko modu arrunta). d metrika da, metrika euklidearra izenekoa. ]R ri espazioko ohizko metrika da d. M1 eta M3 nabariak dira. Ikas dezagun M2: d(x,x) = O dela bistakoa da. d(x,y) = 0
i

x i -y i l = 0

i=1,2,...,n



=1,2,..,n



9

M4 n=2 denean frogatuko dugu. Zera ikusi behar da:

z i -y i = b, x 2 -z 2 = c , z 2 -y 2 = d ipiniz,

x l -z i = a,

x l -y i = a + b eta x 2 -y 2 = c + d dugu, eta zera frogatu behar dugu

( a+b )

2

+ ( c+d )

2

a

2

+ o

2

+

b

2

+ d

2

karratura jasoz (a+b) 2

c+d ) 2

ab + cd < V

edo

a2 c 2

a2

b2

d 2 + 2 \./ a 2 +c 2

b2+d2

b2 d2

c 2

Berriz karratura jasoz (ab +cd)

2

Í

(a

2

2 2 2 +c ) (b +d )

2 2 2 2 2abcd < a d + b c

edo

eta hau beti betetzen da, ondoko desberdintza hau bait da:  (ad bc )

0

2

n=3 edo gehiago denean antzeko bide bat segi daiteke M4 propietatea frogatzeko baina luzeegia da. Hobe da ondoko desberdintza hau erabiltzea:

a,b

1Rn

E i=1

2 a.

a.b. _ V i=1

2 b. V i=1

(Ikus kapitulu honen lehen problema desberdintza honen fro gapenerako). Egiazta bedi desberdintza honekin M4 betetzen dela.



1

0



4.

Biz E = 11: =3R

U {-co, +

x

f(x) =

CO }

Defini dezagun:

x c ]R

1+ IxI

f(+

CO )

d(x,y)

eta

f(- co)

= 1

=

1

=-1

V x,y E ]}'

f(x) - f(y) I

,

d metrika da. Egiazta ditzagun M1-M4 propietateak.

d(x,y) = d(y,x) eta d(x,x) = 0

d(x,y)?-0,

Biz d(x,y) x =

+co

nean.

=0.

nabariak dira.

Orduan, f(x) = f(y) izango da. f(x) =+1

denean bakarrik da, eta f(x) = -1 x = -co

de-

Izan bitez, beraz, x,y e ]R eta f(x) = f(y) . Or

duan,

xY _ Iyi

1+

1+ ixi

Izendatzaileak positiboak direnez, berdintza horretatik zeinu x = zeinu

y

ateratzen da.

x + x IyI =

x

+ x .

zeinu

eta hemendik, x =

y.

y

+

y

Beraz,

IxI

y.y=y+y.zeinu

x . x

Honela, M2 frogatuta dago.

If(x) - f(y) I If(x') - f(z)I + If(z) - f(y) I

desberdintzak frogatzen digu M4.

Beti d(x,y) bornatua da.

2 dugunez (zergatik?), espazio metrikoa

11

5.

Biz E =

C( [a,13]),

d(f,g) =

eta V f,g c E definitzen dugu

lf(t) - g(t)I max a
f eta g [a,b] -n jarraiak badira, f-g ere jarraia da tarte berean eta Weierstrass-en teoremaz (ikus Analisi Errealeko edozein liburutan), maximoa iristen du.

d(f,g) kO,

d(f,g) = d(g,f)

eta d(f,f) = 0 nabariak

dira hemen ere. d(f,g) = 0

lf(t) -g(t)1 = 0 beraz,

max a
bada,

if(t) -g(t)1 -0 da, hots, edo

f(t) =g(t) V t e a,b ,

f = g .

f,g,h funtzio jarraiak badira, zera iku

M4 ikusteko, si behar da: max a t
if(t) -g(t)1

max a
1f(t) -h(t)1 +

max Ih(t) -g(t)1 a
Biz t o lehen ataleko maximoa ematen duen puntua: max a
lf(t)-g(t)1 = If(t o )-g(t o )1

if(t o ) - g(t o ) <

1f(t

1h(t

o

o

If

) - h(t

) -g(t

(t o ) - h(t o ) + h(t o ) - g(t o ) I dugu eta

o

o

)1 max

1f(t)

h(t) I

a
max a
1h(t) -g(t)1

direnez, desberdintza triangeluarra frogatuta dago.



12

6.

(E 1, d 1 )

Izan bitez

eta (E 2, d 2 )

bi espazio metriko.

E x E 2 -n ondoko metrika hauek defini daitezke:

1

(1)

d 1 (x

1

(2)

max {d1(x1,y1)

(3)

Vd (x y 1 1' 1

,y 1 ) + d2(x2,Y2)

non x = (x l ,x 2 ),

)

2

d 2 ( x 2 ,Y 2 )

}

+ d2 (x2' y2 )2

(y i ,y 2 )

y =

E

E 1 x E 2 bait dira. Froga

penak ariketatzat uzten dira. Bi espaziorentzat egin dugun bezalaxe n espaziorentzat egin dezakegu. Gainera, espazio guztiak

badira,

ohizko metrikarekin, 1R n multzoan ondoko metrika hauek definitzen dira:

E

(1')

ixi-yil

i=1 max

(2' ) 1


yix.-

n

Zi lx.

(3')

-y.

I

2

i=1 non

x

=

xn),

y

= (y 1 ,...,

y n ) e 7R n

bait dira.

(3') expresioak ematen duen metrika 3. adibidean ikusi du gun metrika euklidear berbera da. Hiru metrika hauek dira n IR -n sarrien erabiltzen direnak eta, hurrengo kapituluan ikusiko dugunez, Topologiarako baliokideak dira.

Erdimetrika d: E x E

aplikazioak metrika izateko lau baldin-



13

tza (M1-M4) bete behar ditu. M2 delakoak zati bi ditu: d(x,x) = 0

eta

0

d(x,y)

x

y

denean.

Baldintzaren bigarren zatia eskatzen ez denean, d hori erdimetrika dela esaten da. Horrela, bi puntu desberdinen arteko distantzia 0 izatea onartzen da. Beraz,

1.6. Definizioa.

Biz E multzo ez-huts bat, eta d:E x E

aplikazio

bat. d erdimetrika dela esango dugu 1.1. definizioaren M1, M3 eta M4 propietateak eta M2'.

d(x,x) =0

VxcE

betetzen baditu.

Adibidea Biz E =

e( [ a,b

] ), [ a,b] tartean definituriko funtzio

jarraien multzoa, eta t o c[a,b] . Defini dezagun d(f,g) =

If(t o ) - g(t0)1

Erraz ikusten da d honek M1, M2', M3 eta M4 propieta teak betetzen dituela, eta beraz, erdimetrika dela. Bainaezda metrika; eta t

o

izateko.

d(f,g) = 0 izatetik,

f(t o ) = g(t o )

ateratzen da

puntuan balio berdina hartzea ez da nahikoa f = g

14

§I.2. MULTZOEN ARTEKO DISTANTZIA

Puntu batetatik multzo batetarako distantzia

Biz (E,d) espazio metriko bat, x o e E eta AC E. x -tik A-ren puntu guztietarako distantziak ondo definituta o dauzkagu eta zenbaki errealen azpimultzo bat osotzen dute. Mul tzo hau behetik bornatua dago M1 propietatearen arabera; beraz, infimoa du (ikus lehen eraskina).

1.7. Definizioa

x

o

c E puntuaren eta A C E multzo ez-hutsaren arteko

distantzia zera da: d(x

o

,A) = y

inf cA

d(x

o

,y)

bada, d(x ,A) = 0 da, nabaria denez. Baldin x A o o Alderantzizkoa ez da egia, hau da, d(x 0 ,A) = 0 izan arren x o A izan daiteke. Adibidez, tarte irekia eta x d(x

o

o

= 1

A=(0,1)

har dezagun

puntua; orduan,

1

(0,1),

baina

,A) = 0.

Oraingo distantzia hau ere d letraz adierazten dugu, ohi denez. Aplikazio bezala,

E x (4) (E)-{0} ) multzoan egongo li

tzateke definituta.

1.3. teoremaren antzeko bat daukagu hemen ere:

15

1.8. Teorema

Bira Ac:E ez-hutsa eta

x,y,C

E ; orduan,

d(x,y)

Id(x,A) - d(y,A)I

Frogapena

Desberdintza triangeluarra erabiliz zera dugu d(x,z)

5_

d(x,y) + d(y,z)

d(x,A)-ren definizioaz,

Orduan,

d(x,A)

5.

d(x,A) 5. d(x,z)

d(x,y) + d(y,z)

d(x,A) - d(x,y)  d(y,z)

d(x,A) - d(x,y)

Vz

zenbakia

cA

Vz EA dugu.

Vz cA Vz

(*)

cA

{d(y,z) / ze A } multzoaren behe-

-bornea da eta infimoaren definizioaz

d(x,A) - d(x,y) _.

Hemendik,

x eta

y

d(x,A) - d(y,A)

d(y,z) = d(y,A)

d(x,y)

elkarrekin trukatuz eta simetria erabiliz

d(y,A) - d(x,A)

Beraz,

inf ze A

Id(x,A) - d(y,A)I <

d(y,x) = d(x,y)

d(x,y)

f.n.g.

Oharra.- Frogapen honetan infimoaren definizioa erabili dugu soil-soilik. Infimoaren propietateak erabiliz (*)-tik

16

d(x,A)

d(x,y) + d(y,A)

eraskinean

ateratzen da zuzenean. Ikus lehen

6. eta 8. propietateak.

Multzo biren arteko distantzia

1.9. Definizioa Biz (E,d) espazio metrikoa eta har ditzagun A,BC=E azpimultzo ez-hutsak. Orduan A eta B-ren arteko distantzia zera da: d(A,B) =

inf xeA yE B

d(x,y)

1.7. definizioan bezala infimo hori existitzen da, {d(x,y) / x cA,

y

EB } multzoa behetik bornatua bait dago.

A multzoak elementu bakar bat badu, A = {x o } , orduan argi dago

An B

d( {x o } ,B) = d(x

(15 bada,

o

,B)

dela.

d(A,B) = 0 da, noski. Baina, gorago

gertatu den bezala, d(A,B) =0 izan arren,

An

teke. Hango adibideak balioko digu, A = {1}

B = d izan dai eta B = (0,1)

hartuz. Beste adibide bat hauxe litzateke: A = (-1,0) eta B = (0,1) . Egiazta bedi d(A,B) = 0 dela, frogapen zehatza emanez.

Berriro ere d letra darabilgu multzoen arteko distan tziarentzat. Orain, aplikazio bezala, ( g)(E)- {0 }) x K")(E)-{0}) multzoan definituta dago. 9(E)- {d} multzoan definitutako me trika bat ote da? M1 eta M3 betetzen dira, M2' ere, baina

17

ez M2 d(A,B) = 0 izan bait daiteke A t B izanda. M4 bete ko balitz erdimetrika izango litzateke baina ez da betetzen. C = (1,2) kontradibide

Har bitez P-n A = (0,1) B = (2,3) bat lortzeko.

1.10. Teorema Bira A,Bc:E ez-hutsak. Orduan,

d(A,B) =

inf d(x,B) = inf ye B x e A

d(y,A)

Frogapena d(A,B) = inf d(x,B) frogatuko dugu, bestea berdin egin xe A go bait da.

Har dezagun edozein xc A. d(A,B)  d(x,y) Vyc B dugu, beraz, d(A,B) zenbakia { d(x,y) / ye B} multzoaren behe-bornea da eta d(A,B) S inf Ye B

d(x,y) = d(x,B)

eta honek V xe A balio duenez,

d(A,B) 

inf xe A

d(x,B)

Biz c > 0 ; d(A,B)-ren definizioaz,

xe A eta y E B

aurki daitezke zeinentzat d(x,y)< d(A,B) + E bait da. d(x,B) «5. d(x,y)

dugunez,

d(x,B) < d(A,B) + e

mentu batentzat. Hemendik (ikus lehen eraskina), d(A,B) =

inf xe A

d(x,B)

f.n.g.

xe A

Eta ele-

18

d(A,B)-ren definizioan infimo bat agertzen da baina, dakigunez, balio horrek ez du zertan

{d(x,y) / xE A, yc B}

multzoan egon behar. Ez dira, bada, beti egongo d(x

o

y ) o

=

= d(A,B) beteko duten x o c A, y o e B elementuak.

§I.3.

ESPAZIO METRIKO BATEN AZPIESPAZIOAK

Biz (E,d) espazio metriko bat eta FC E ez-hutsa. No la F x F C E x E den, d aplikazioa F x F-ra murriz daiteke,

d 1 : F x

IR

,

d1(x,y) = d(x,y)

eginez.

Argi dago d 1 honek M1-M4 propietateak beteko ditue la d aplikazioak betetzen bait ditu. Orduan,. (F,d 1 ) espazio metrikoa da eta (E,d)-ren azpiespazio metrikoa dela esango dugu. Metrika honi ere izen berbera ematen zaio gehienetan, (F,d) idatziz.

Adibidea

Ft-ren edozein azpimultzo ez-huts espazio metrikoa izan go da d(x,y) = ix-yi hartuz.

IR-ren azpiespazio metrikotzat

hartuko dugu.

§I.4.

ISOMETRIAK

1.11. Definizioa Izan bitez

(E,d)

eta

(E', d') espazio metrikoak.



19

bijekzio bat bada eta

f:

d(x,y) =

V x,y cE

d'(f(x), f(y))

bada, f isometria dela esango dugu.

Beste modu batez esanda, isometria distantzia gordetzen duen bijekzio bat da. Hortik datorkio izena.

f bijekzioa denez, f -1 : E'—, E alderantzizko aplikazioa existitzen da eta bijekzioa da. Gainera, nabaria da

Vx',y'

e

d'(x',y') = d(f -1 (x'), f-1(y'))

E'

betetzen dela, beraz, f

-1

ere isometria da.

Espazio metriko guztien multzoan baliokidetasun-erlazio bat defini daiteke isometrien bidez.

(E',d') (E,d)-ren isome-

trikoa dela esango dugu (E,d) eta (E',d')-ren arteko isometria bat badago. Baliokidetasun-erlazioaren propietateak betetzen dira: E identitatea isometria da.

- bihurkorra: - simetrikoa:



f: E--, E' isometria bada, f

- iragankorra: f:

E' eta g:

-1

: E . --,E ere.

isometriak badi-

ra, gof: E__, E" ere isometria da.

Adibideak

1. Bira E = R

2

metrika euklidearrarekin eta E' = C

d'(z,w) = iz-w da).

z,wce

metrikarekin

(I.j

moduloa

20

Orduan,

f:



isometria da. ( a , b ) --÷ a + bi

Bijekzioa dela ezaguna zaigu, eta gainera,

d'(f(a,b), f(c,d) = d'(a+bi, c+di) = la-c+(b-d)il =

=

V(a-c)2+(b-d)2 = d((a,b), (c,d))

2. Har dezagun E = d metrikarekin E' = [-1,+1]

= FZU {- co, +oo} gorago definitu dugun (ikus §I.1, 4. adibidea). Biz, bestalde,

7R-ren azpiespazioa, hau da, ohizko metrikaz.

Defini dezagun

f(x) =

f:}1:7 ---+[-1,+1]

xe

1 +1x1

f(- co ) = -1,

hurrengo moduan:

f(+ co) = + 1

f bijekzioa da: (i) Ondo definituta dago,

f(x) c[-1,+1]

bait da.

(ii) Injekzioa izango da f(x) = f(y) == x=y badugu. Eta hori gorago ikusi da, 4. adibidean.

(iii) Suprajekzioa dela ikusteko [-1,+1]-eko edozein elementuk aurreirudia ba duela ikusi behar da. Nabaria da +1 x

eta -1

balioe-ntzat.

=hartuz, 1 1y1

f(x) =

da. Nola d-ren definizioaz

y

y

e(-1,+1)

bada,

dela erraz ikusten

21

Yx,y

d(x,y) = If(x)-f(y)1

den, f isometria da.

]R hurrengo mo-

Defini dezagun orain g: duan: g(x)



x e (-1,+1)

- ixi

g(-1) = -co

g(+1) = +co

g Frau f-ren alderantzizko isometria da.

3. Biz E = P n metrika euklidearrarekin (edo metriken 6. adi bidean definitu ditugunen arteko beste batekin). a elRnedo zein izanik (baina finkoa), biz

T (x) = x + a a

Orduan, T a bijekzioa da (alderantzizkoa T_a(x)=x-a izango da) eta, nabaria denez,

d(x,y) = d(x+a,

Beraz, T

a

dugu.

y+a)

isometria da, translazioa deitua.

4. Aurreko espazio metriko berean eta ae P fl izanik, defini dezagun S (x) = 2a-x a

S

a



V x e IRn

bijekzioa da (alderantzizkoa aplikazio bera da)

eta S (x) -S (y) a a

=

y-x denez,

22

d(x,y) = d(S a (x), S a (y))

S

a

dugu.

ere isometria da, a puntuarekiko simetria deitua.

23

PROBLEMAK

1.1. Cauchy-Schwarz-en desberdintza. Froga bedi ondoko desberdintza hau:

V a i , b i C IR

i=1

a.b. 11

,

1,2,..., n

n ( i=1

1/2 )

Bi bide proposatzen dira:

(i) Indukzioz: n=2 denean frogatu ondoren

(§I.1

bidean egin denez), n-rako balio duela suposatuz

3. adi (n+1)-

-erako frogatuko da.

n

( ii ) Kontsidera bedi tc

; exprei=1 sio hori A+Bt +Ct 2 trinomio bezala idatz daiteke eta t-ren edozein baliotarako positiboa dela kontutan harturik, diskriminanteak bete behar duen baldintza da bilatzen dugun desberdintza.

1.2. Aurreko probleman frogaturiko desberdintza erabiliz, ikus d(x,y) = /: i=1

2 !x i -y i l metrika dela

IR -n.

1.3. Froga bedi §I.1 6. adibidean emandako metrikek M1-M4 baldintzak betetzen dituztela.



24

1.4. Biz E= {a,b} eta defini dezagun

d(a,b) = d(b,a) = r > 0

d(a,a) = d(b,b) = 0

Froga bedi (E,d) espazio metrikoa dela. Beste metrikarik defini ote daiteke E-n?

1.5. Biz E ez-hutsa,

d(x,x) = 0 Vx cE

= d(y,x) c[1,2] x

Ikus d metrika dela.

y .

1.6. Biz E = IR n . k finkatuz,

d

1.7. d

k

1

eta d(x,y) =

1< k< n, defini dezagun

ixk -Etaerdimetrika? Ykl ha du k :rik: da?

eta d

2

E-n definitutako bi metrika badira, zer esan

daiteke ondoko hauetaz:

d +d 2 • 2 ; 1

max (d

,d 2 ) d ) •; min ( d1 1' 2

?

1.8. d metrika bada, ikus d . ( x ,Y) =

d(x,y)

metrikak direla.

+d(x,y)

'eta

d"(x,y) = min (1,d(x,y))

25

1.9. Biz E =

eta

d(x,y) = =

lx-yI + 1

zeinu x

zeinu

y

bada

Ix-yl

zeinu x = zeinu

y

bada

Froga bedi (E,d) espazio metrikoa dela. (zeinu 0 = + hartuko da).

1.10. Biz

E =

C1 ( [ a,b] ),

hots, [a,b] tartean deribatu ja-

rraia duten funtzioen multzoa. Defini dezagun

d(f,g) = If(a)

g(a)I +

max a
If'(t) - g'(t)I

Ikus d metrika dela. Zer gertatzen da If(a) -g(a)1 kentzen badugu?

1.11. Biz E = IR

2

eta defini dezagun

V(x 1-v -1 ) 2

d(x,y) =

( v ) 2 x,y eta (0,0) zuzenkide + x2--2 badira kL2 + x 2 + \ i ‘, 2 + y2 bestela v A l 2 v .Y 1 2

x=(x 1 ,x 2 ) eta

y=

(y i ,y 2 )

izanik. Froga bedi d metrika

dela. (Irudia egitea komeni da bi punturen arteko distan tzia zein den hobeto ikusteko. Asko laguntzen du frogapenak egiterakoan ere).

1.12. Biz 7R ohizko metrikarekin eta x ga bedi

o

e ]}2 puntu bat. Fro

IR-rako bi isometria bakarrik daudela

26

x

o

finko uzten dutenak.

2 1.13. Froga bedi JR -n jatorriarekiko e angeluko biraketa iso metria dela. Biraketaren ekuazioak hauexek dira:

x = x 1 cos

e—

x

2

sin e

x' = x sin 0 + x cos e 2 1 2

1.14. Biz E segida erreal bornatuen multzoa eta defini deza gun d({ x } , n

{y } ) n

= su p n

Ix n — y n I

Ikus d metrika dela.

1.15. Biz C([a.,b] ) [a.,b)

tartean definitutako funtzio ja-

rraien multzoa. Ikus b d (f g) = 1 '

If(x) - g(x)I dx a b

d 2 (f , g)

\ 1/2 If(x) - g(x)I 2 dx )

a

metrikak direla. (Bigarrenak Cauchy-Schwarz-en eratako desberdintza bat behar du frogaOenerako. Bietan Riemann-en integralaren propietateak erabiliko dira).

II, KAPITULUA

ESPAZIO METRIKOAREN EGITURA TOPOLOGIKOA

II.1 Bola irekiak, itxiak eta esferak 11.2 Multzo irekiak 11.3 Inguruneak. Puntu atxekiak eta metatze-puntuak 11.4 Multzo itxiak 11.5 Multzo baten muga 11.6 Irekiak eta itxiak azpiespazioetan 11.7 Multzo dentsoak eta inon ez dentsoak 11.8 Metrika topologikoki baliokideak 11.9 ]R-ko irekien egitura

28

II. KAPITULUA

ESPAZIO METRIKOAREN EGITURA TOPOLOGIKOA

Multzo batetan egitura topologiko bat definitzeko bera ren azpimultzoen artean zeintzu diren irekiak esan behar da. Aukera hau baldintza batzuk mugatzen digute, noski. Espazio me triko batetan metrika izango da, hain zuzen, egitura topologi koa eraikitzeko tresna. Metrikaren bidez bolak definitzen dira eta, hemendik, multzo ireki bat zer den esan ahal izango da.

Multzo irekiak zeintzu diren jakinda, Topologia orokorrak segitzen duen bide berberetik abia gaitezke. Lehenengo, inguruneak definituko ditugu eta, hortik, puntu atxekiak eta metatze-puntuak zer diren esateko moduan egongo gara.

Ondoren, hiru bide dauzkagu multzo itxiak definitzeko. Bide horietatik bat aukeratzean, irekien osagarriena hartu du gu, beste biak baliokideak direla frogatuz. Gero, multzo baten muga eta multzo dentsoak aipatuko dira.

Multzo batetan bi metrika edukiz gero bi espazio metriko ditugu, zein bere egitura topologikoarekin. Hala ere, gerta daiteke egitura hauek berdinak izatea eta, orduan, metrikak to pologikoki baliokideak direla esango dugu. Ft n -ren ohizko metrikak horrelakoxeak direla erakutsiko da.

]R-ko irekiek duten propietate berezi batekin amaitzen da kapitulua.

29

§ II.1. BOLA IREKIAK, ITXIAK ETA ESFERAK

2.1. Definizioa Bira (E,d) espazio metrikoa, acE eta r >0 zenbaki erreala. a zentruko eta r erradioko bola irekia zera izan go da: B(a,r) = {x e E / d(x,a)
Halaber, bola itxia

f(a,r) = ( x cE / d(x,a) < r}

eta esfera S(a,r) = {x cE / d(x,a) = r }

Oharra.- Izen horiek dira gehien erabiltzen direnak. Hala ere, autore batzuk B(a,r) esfera i ŕekia deitzen dute, ri(a,r), es fera itxia, eta S(a,r), gainazal esferikoa. Azken izen hauek geometria elementalak justifikatzen ditu, E =

3

eta distan

tzia euklidearra hartuz ikusten denez. Eman ditugun izenak he datuagoak daudelakoan hautatu ditugu.

Definiziotik berehala ateratzen diren propietate batzu:

(i)

B(a,r) C b(a,r)

(ii)

S(a,r) C U(a,r)

(iii) (iv)

B(a,r) U S(a,r) = El(a,r) r 1
B(a,r 1 )C=B(a,r 2 ) eta 5-(a,r1)C:(a,r2)



30

(v) {B(a,r ), i =1,2,...,n } zentru bereko

n

bola ireki ba

dira, non r = min 1
nn B(a,r.)= B(a,r) i=1 1

r.den.

(vi) Gauza bera dugu n bola itxirentzat,

1-1 i=1

r3(a,r i ) = ff(a,r)

berriz ere r bolen erradiorik txikiena izanik.

Adibideak 1.

ohizko distantziarekin hartuz zera dugu: B(a,r) = (a-r, a+r) r3(a,r) = [a-r, a+r]



tarte irekia

S(a,r) = {a-r, a+r}

tarte itxia

bi puntu

2. R 2 distantzia euklidearrarekin hartuz B(a,r) = {x e F 2 /

\/(x 1 -a 1 )

= {x c R 2 /

(x 1 -a 1 )

2 2

+ (x 2 -a 2 ) + (x 2 -a 2 )

2 < r } = 2 < r2 }

beraz, a zentruko eta r erradioko zirkulua, baina zirkunferentziarik gabe. zirkulu bera zirkunferentzia eta guzti. S(a,r): a zentruko eta r

erradioko zirkunferentzia.



31

B(a,r)

3.

3



5(a,r)

. distantzia euklidearrarekin hartuz: B(a,r): a zentruko eta r erradioko esfera (hitz hau

geometria elementalean duen zentzuaz hartuz), gainazalaken duta. 15(a,r): esfera bera gainazal eta guzti. S(a,r): gainazal esferikoa bakarrik.

4. Har dezagun

2

eta d(x,y) = max {I x 1 -Y 1

dezagun zeintzu diren B(0,r),

B(0,r) = {x e 1R =

ff(0,r)_

2

1

xi

1

JR 2 /

eta

2

2 -y 2

1}

.

Ikus

eta S(0,r).

/

lx 2

x2 1 < r }

< r

eta

1

r

eta

lx 2 1

<

S(0,r) = {x e ]R 2 / max

={ x 11=2

Ix

/ max ( 1 x i 1,1x 2 1) < r } =

s 14 2 /

{xe

ff(0,r)

1,

( lx 1 1,1x 2 I ) =

x i I = r eta 1x 2 1 < r

1

<

r }

r } =

edo

= r

Planora eramanaz ondoko irudi hauek lortzen ditugu:

< r



32

ro 0

13(0,r)



5(0,r)

Bola hauen zentrua 0 puntua izan beharrean a puntua balitz, karratu guztiok zentrua a puntuan edukiko lukete.

5. ]R

2

hartuko dugu berriz baina oraingo metrika d(x,y)

= 1x 1

-y 1 l + 1x2-Y21

izango da. Ikus dezagun zeintzu diren orain B(0,r), 8(0,r) eta

S(0,r). B(0,r) = x e lR

2 / lx 1+1x

1

< r} dugu eta koadran-

2

teen arabera zera dugu: - lehen koadrantean:

x

1

- bigarren koadrantean:

> 0 ,

x

1

+x2 < r

< 0,

x

2

> 0,

,x 2 x

1

- hirugarren koadrantean: x

i

< 0, x

- laugarren koadrantean:

l

>O,

x

2

-x i + x 2 < r

< 0, - -x

x 2 <°,



x

i

-x

Hau guztiau planora eramanez zera lortzen dugu:

r

2

<

2

< r

33

Modu berean,

(0,r) egin nahi izanez gero, karratu ho-

rren aldeak ere hartu beharko dira, eta S(0,r) alde horiek bakarrik osotuko dute.

Bolen zentrua a puntua bada, translazio bat egingo dugu, karratuen zentrua a izan dadin.

6. E = IR 3 izanik, distantzia euklidearra hartuz lortzen diren bolak ikusi ditugu 3. adibidean. Interesgarria da ondoko bi metrika hauek estudiatzea: d i (x,y) =

max {1 x 1 -.Y 1 1, l x 2 -Y 2 1, lx3-Y31}

d 2 (x,y) =

Ix i - y i l

+ lx 2 -y 2 1

+ lx3-y31

Ariketatzat uzten da.

7. Biz (E,d) espazio metriko diskretua

(ikus § I.1, lehen adi

bidea) eta a eE. Orduan: r <1:

B(a,r) = {a} ,

r =1:

B(a,r) = {a} ,

}5(a,r) = E

,

S(a,r) = E- {a}

r >1:

B(a,r) =

ff(a,r) = E

,

S(a,r) =

E

,

(a,r) = {a} ,

S(a,r) =

Egiazta bedi horrela dela. Adibide honetatik garrantzizko ondorio bat atera dezakegu: esferak multzo hutsak izan daitezkeela, alegia. Bola irekiak eta bola itxiak, aldiz, beti ez-hutsak dira, zentrua n bolan bait dago. R-n edo R -n ohizko metrikak erabiliz lortzen diren esferak ez dira inoiz hutsak.

34

§ 11.2. MULTZO IREKIAK

2.2. Definizioa Biz (E,d) espazio metrikoa eta ACE. A irekia dela esango dugu ondoko propietatea betetzen bada:

A

3 r > 0 :

B(x,r)

C

A

hots, A-ren puntu bakoitza A-ren parte den bola baten zentrua da.

2.3. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa eta AC:E. Orduan,

x

L

A

A-ren barruko puntua dela esaten da, existitzen bada r> O zei nentzat B(x,r)C A den.

A-ren barruko puntuen multzoa A-ren barrualdea deitzen da eta A idazten.

Definizio hau kontutan hartuta, 2.2 definizioa modu honetan alda daiteke: - A multzoa irekia da beraren puntu guztiak barrukoak badira, edo - A multzoa irekia da, A = A bada.

Definiziotik E eta d irekiak direla ateratzen da. Multzo hutsaren kasuan puntu-guztiak barrukoak dira, ez bait dago barruko punturik ez den elementurik.

35

2.4. Teorema Bola irekiak multzo irekiak dira. (Honela, bolari irekia deitzea justifikatzen da).

Frogapena Biz B(a,r) bola irekia eta xeB(a,r).

r' >0 balio

B(x,r . ) C B(a,r) beteko duena. (La-

bat aurkitu behar dugu,

gungarri izango da 7R 2 -n irudi bat egitea).

r

..

-- s.

...-

Har dezagun

..._

r

/ /

i

(Nola d(a,x)
; / \

1 \

/

0 < r' < r - d(a,x).

..

/

....- .

/

\

►

1

I

i I //

\

/

\ /

\ \/... s s _ ..... n

r' >0 hartzea). Ikus dezagun B(x,r')GB(a,r) dela. Biz

zeB(x,r'), orduan d(z,x)‹r'

izango da. Desberdintza triange luarrak d(a,z)
ematen du, beraz, d(a,z)
eta

r'-ren hautapenagatik d(a,z)
f.n.g.

Hurrengo teorema honetan agertzen dira multzo irekien propietarik garrantzitsuenak:

2.5. Teorema ( i ) Multzo irekien familia baten bildura irekia da.

36

(ii) Multzo irekien familia finitu baten ebakidura irekia da.

Frogapena

{A}

(i) Biz

i

multzo irekien familia bat, eta dei deza-

iEI

gun A =

ieI

A..

Ikus dezagun A irekia dela.

I=(6badaedoA.=e5 beraz.

3 ic

9:5 bada,

A

A=0

eicI,

biz xe A.

Bilketaren definizioaz,

Nola A i hau irekia den,

I: xe A i .

da, irekia

3r

>0 : B(x,r)C:Ai.

Baina A.0 A dugu, beraz, B(x,r)C A eta A irekia izan go da.

(ii) Familia hutsa bada, ebakidura E da, itxia beraz. Bira A

A l'

2"

A n

irekiak eta kontsidera dezagun A=

,n = 1,2, n bada, zera dugu B(x,ri)= i=1

A. i bakoitzairekiaclenez,3r>0 i B(x,r

n A• •

i=1

r =

n

min r. 1
)c:A . i

B(x,r) C B(x,r ) C A

beraz, B(x,r)c

n

A.

A

i = 1,2,

,n

eta A irekia da,

f.n.g.

i=1

Oharra.- Irekien familia infinitu baten ebakidura ez da beti irekia ondoko adibide honek erakusten duenez: metrikarekin eta A n er,J.

Baina,

n

n n E1N

= (A

n

71)

biz IR ohizko

- B (0 —) • A ' n 'n

irekia da

= {0} dugu, eta hau ez da irekia.

2.6. Teorema Multzo bat irekia da baldin Pta soilik baldin bola ire

37

kien bildura bada.

Frogapena Bola irekien bildura irekia dela aurreko teoremak frogatzen du.

Har dezagun multzo ireki bat, A. Multzoa hutsa bada, familia huts bat hartuz frogatuta dago.

Suposa dezagun A ez-hutsa dela. x B(x,r x )c A. baria da

Har dezagun, orduan, {B(x,r

x

E

)/ x

A bada, 3 r x > 0: E

A} familia. Na

B(x,rx)c:A dela eta A-ren puntu bakoitzabe E xA

rari dagokion bolan dagoenez, A

C

x l-EJ A

B(x,r x ) ere.

Multzo baten barrualdea

2.3 definizioan esan dugu multzo baten barrualdea zer den. Ikus ditzagun orain propietate batzu:

2.7. Teorema (i )

A

C

B

C

irekia da

A

A-ren parte den irekirik handiena da (iv) A A-ren parte diren irekien bildura da.

Frogapena

(i)

X E

A

bada, 3r > o : B(x,r)C A,

eta Ac B denez,



38

B(x,r)C B, beraz

x

13.

Biz x E A ; orduan, 3 r > 0: B(x,r)C A; nola B(x,r)

(ii)

irekia den,

B(x,r) = B(x ,r ) CA , beraz,

A irekia da. 0

(iii)

Ikusi dugu A irekia dela eta AC A. Zera falta zai

gu: B irekia bada eta BC A, orduan BC A dela. Baina hau nao

o

baria da (i) aplikatuz, zeren B = BC A bait da.

(iv) Aurreko puntutik berehala ateratzen da.

2.8. Teorema A

eta B espazio metriko baten azpimultzoak badira:

AnB

( i )

(ii)

AuB

;1/4u

Frogapena A AC

( i) o

ra, A

nB

o

c

eta

dugunez,

;Nn'Bc >

A n B da. Gaine

o

irekia da (irekien ebakidura) beraz, aurreko teore

o

mak An B C A f113 A

ematen digu.

B C A denez, An BCA da. Ha laber,

eta orduan,

A

n

U

B denez, ACAU B

A

nBCB

,

B o

( ii) A o

beraz,

C

A

da. Halaber Bc A U B ;

o

AUBCAUB.

Oharrak 1. Bi multzorentzat definitu dugun teorema hau, n multzo-

39

rentzat defini daiteke, noski.

2.

dugu, baina berdintza ez da beti ger

AUBCAUB

tatzen. Hona hemen bi kontradibide ]R-n (bigarrenak bi multzo horiek oso desberdinak izan daitezkeela erakusten du):

a) A = (0,1] , A = (0,1) ,

B = (1,2) B = (1,2) ,

n (0,1) ,

A = 6 ,

B = d

Orain ere

AU B = (0,2),

AU B = (0,2)

AU B .

beraz, AU B

b) A = Q

badira, zera dugu:

B = O c n (0,1)

badira:

, AUB = (0,1) ,

AB U

AUB = (0,1)

AUB .

§II.3. INGURUNEAK. PUNTU ATXEKIAK ETA METATZE-PUNTUAK.

2.9. Definizioa Biz E espazio metrikoa eta x o c E. Vc:E x o -ren ingurunea dela esango dugu, existitzen bada multzo ireki bat,A,

xc AC V betetzen duena. o

Beste modu batez esanda, V x o -ren ingurunea da, xo V-ren barruko puntua bada.

Nabaria da x

zentrutzat duen edozein bola x -ren o o

ingurunea dela, eta baita ere, multzo ireki bat bere puntu guztien ingurunea dela.

40

2.10. Teorema x

o

puntuaren ingurune-familia finitu baten ebakidura,

x -ren ingurunea da. o

Frogapena ...,V Bira V ,V 1 2' n

x -ren n ingurune. Ingurunearen o

definizioaz, existitzen dira A 1 , A 2 ,...,A n irekiak non Baina, 2.5 teoremaz, c A C V i = 1,2 ..... n bait da. i i n V.denez, A. irekia da eta orduan, x c A C n A = n i o i=1 i=1 1 azken hau x -ren ingurunea da. o x

o

n

Puntu atxekiak

2.11. Definizioa Bira • (E,d) espazio metrikoa,

AC:E eta x

o

E

E.

x

o

A-ren puntu atxekia da, x -ren edozein ingurunetan A-ren o punturen bat badago.

A-ren puntu atxekien multzoa A-ren atxekiduraedoitXi-

dura deitzen da, eta A idazten.

Nabaria da A C A dela, zeren x o c A hartuz, beti egon puntua. go bait da x -ren edozein ingurunetan x o o Bistakoa da, baita ere', AC B bada, A C B dela. Puntu atxekiaren definiziotik berehala ikusten da.

41

2.12. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta A,B c E. Orduan

AU B = A

( i)

A flB C

( ii)

U

7n•

Frogapena

( i) AC A U B eta BC A U B direnez, A

C

A U B eta BC A U B

izango dira, beraz, ÄUBCAU B.

A U B C A U EÎ ikusteko, absurdura eramango dugu. Demagun x0

E

AU B dela, baina x o U B. Orduan, x o eta

x



B betetzen zaizkigu. Puntu atxekien definizioa apli

o

katuz zera dugu: existitzen dira V 1 eta V 2 , x o -ren inguru neak , zeinentzat V 1 n A =

eta V 2 n

= d bait dira.

Baina, orduan, (V i (1 v 2 )n(A u B) = eS da, eta V 1 n v 2 xo-ren ingurunea izanik, x

o

ez da AU B-ren puntu atxekia, hi-

potesiaren aurka.

( ii) An Bc A eta An Bc B direnez, A n BCA eta An BCB dira; hortaz,

An B CA 11B

f.n.g.

Oharrak

1.

Proposizio hau

2.

Ez da lortzen A = (0,1)U { 2}

n

multzotarako defini daiteke.

An B = AnB eta

. Hona kontradibide bat:

B = (0,2)

izanda,

42

A(1B = 10,1)

eta

Af1B = fo,1iut2

dira.

Metatze-puntuak

2.13. Definizioa Bira (E,d) espazio metrikoa, AC:E eta x A-ren metatze-puntua da, x

o

o

cE.

x

o

-ren edozein ingurunetan A-ren pun

turen bat badago, puntu hau x o bera ez delarik.

A-ren metatze-puntuen multzoa A-ren multzo deribatua deitzen da eta A' idazten.

Ikusten denez, puntu atxekien eta metatze-puntuen defi nizioetan diferentzia txiki bat bakarrik dago. Bistakoa da me tatze-puntuak puntu atxekiak direla baina x o eA atxekia izan daiteke metatze-puntua izan gabe. Honela gertatuko da xo-ren ingurune batetan A-ren puntu bakar bat badago, x

o

bera, hain

zuzen.

Puntu atxekiak bi sailetan bana ditzakegu: Metatze-pun tuak eta metatze-puntu ez direnak. Azken hauek jp ntu isolatuak deitzen dira. Izena ongi justifikatuta dagoela uste dugu: pun tu isolatuak ba du ingurune bat non bera bait da A-ren puntu bakarra.

Multzoen notazioa erabiliz zera idatz dezakegu:

= AU A'

{puntu isolatuak }=

- A' = A - A'

43

Adibideak Ondoko taulan lR-ren bost azpimultzo jartzen dira berauen itxidura, metatze-puntu eta puntu isolatuekin

A'

puntu isolatuak

[0,1 ] U {2}

[0,1 ]

{2}

1\1

(6

1\1

A (0,1 ) U

{2}

]N (a,b] 1 {— , n

ne iiN }

[a,b]

[a,b]

AU { -0}

{0}

A

IR

e5

TR

'1.)

Egiazta bedi taula hau ondo dagoela.

Metatze-puntuen definizioan x -ren ingurune bakoitzean o A-ren puntu bat (x o -ren desberdina) egotea eskatzen genuen. Egia esan, ondoren ikusiko dugunez, puntu bat baino askoz ere gehiago egon beharko du.

2.14. Teorema Biz x

o

c A'. Orduan, x -ren edozein ingurunetan A-ren o

infinitu elementu daude.

Frogapena Absurdura eramanez frogatuko dugu. Demagun, bada, xo-ren V ingurunean A-ren n puntu bakarrik ditugula (x o -ren desber dinak): y1,y2,...,yn.

44

V x -ren ingurunea denez, 3r> 0 zeinentzat B(x

o

,r)C V

bait da. Biz, orduan, r' = min {r,d(x0,y1),.., d(x 0 ,y n ) } eta har dezagun B(x o ,r'). Argi dago B(x o ,r') x o -ren ingurunea de la, gainera B(x o ,r' )C V da eta B(x o ,r')n{ y1,y2,..,yn} = dugu. Honelatan, B(x rik. Ez litzateke x

o

o'

r') bolan ez dago A- {x o } -ren puntu

A-ren metatze-puntua izango, hipotesia

ren aurka.

Ondorioa.- Multzo batek metatze-puntuak edukiko baditu, infinitua izan behar du. Alderantzizkoa ez da egia; aurreko adibi de batek erakusten digunez, A = 1N multzo infinituak ez du F2-n metatze-punturik.

§II.4. MULTZO ITXIAK

2.15. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa. Ac:E itxia dela esango dugu, A c irekia bada.

E eta (r5 multzo itxiak dira (berauen osagarriak, eta E, hain zuzen, irekiak bait dira). Honek erakusten digu multzo bat irekia eta itxiabatera izan daitekeela. Propietate hau multzo hutsak eta E-k espazio metriko guztietan daukate. E-ren beste azpimultzoren batek propietate hori duenez ikusteagarrantzizkoa izango da konexutasunean (ikus IV. kapitulua).

45

Bestalde, har bedi kontutan multzo bat irekia ez bada ez dela derrigorrez itxia izango. Adibidez, IFt-n [a,b) tarte erdireki bat ez da ez irekia ez itxia.

2.16. Teorema Bola itxiak eta esferak multzo itxiak dira.

Frogapena

1)(a,r) bola itxia multzo itxia izango da, i3(a,r) c irekia bada. Ikus dezagun, beraz, hala dugula. g (a,r) c ={ xe E / d(x,a)> r}da. x Biz

xe l(a,r) c ; x zentrutzat

duen bola bat aurkitu behar du gu,

(a,r)c-ren parte dena.

Irudiak laguntzen digu bola ho nen erradioa zein izan daitekeen aukeratzen. Har dezagun

ye B(x,r') bada,

Beraz

ye t(a,r) c eta

Bestalde,

r'< d(a,x) -r,

eta B(x,r').

d(y,a)..? d(a,x) - d(x,y)> d(a,x)-r'>r

B(x,r') c

.i3-(a,r)c

S(a,r) ={ xe E / d(a,x) = r} =

= ({x eE /d(a,x) r} ) c = (B(a,r)UB(a,r)c)c

Baina, B(a,r) irekia da eta, halaber, r3(a,r) c , oraintxe ikusi dugunez. Bion bildura ere irekia izango da etaS(a,r) itxia, ireki baten osagarria izateagatik.



46

2.17. Teorema (i) Multzo itxien familia finitu baten bildura itxia da. (ii) Multzo itxien familia baten ebakidura itxia da.

Frogapena 2.5. teorematik berehala ateratzen da osagarriak hartuz. (i) A1A2'An itxiak badira, (A irekia

Har

da,

U

beraz,

A

i=1

i ic I multzo

( ii) {A }

eta, halaber,

i

1 U A2

n

U...UA )c=

U

A nn

itxia.

itxiak badira, {A} i ic I icI

A c1 " n A c n

irekiak dira

Ai . Beraz,

n A. ( iu cI

A. c)c

itxia da.

Oharra.- Bildura finituentzat balio duen erresultatu honek ez du balio bildura infinituentzat. dezagun

A

n

=

—n , n Ue

r 1

( bola itxi bat da) , baina

1

n

A

1 - — j V n An = ( 0,1)

n

itxia da

ez da itxia.

Ondoren, multzo itxiaren bi ezagupide emango ditugu. Biak erabiltzen dira multzo itxiak definitzeko.

2.18. Teorema Biz Ac:E. Ondoko hiru baiezpenok baliokideak dira: (i) A itxia da ( ii) A'C A

47

(iii ) A = A

Frogapena

A = E bada, nabaria da. Biz A

E; A itxia ba-

da, A c irekia da. Biz x e A c ; orduan, existitzendax-en ingurune bat V zeinentzat Vc:A c bait da. Beraz, V ingurunearentzat

v(1 A

= vS dugu eta x ezin daiteke izan

A-ren metatze-puntua. Nola x e A c edozein den, A'C A izan behar.

(ii )

)

= A U A' denez, A'

CA

bada, ÄCA dugu. No-

la ACTn beti den, A = A izan behar.

. Biz c A irekia).

= A eta ikus dezagun A itxia dela(hots, Biz xeA

c

; nola x

x-en ingurune bat, V, zeinentzat nk e

VC A

c

den, existitzen da

vn

A = d den; baina ho

suposatzen du, beraz, A c irekia da.

Esan dugunez, teorema honen hiru baiezpenak erabiltzen dira multzo itxien definizioa emateko:

(i) (ii) (iii)

A itxia da A c irekia bada. A itxia da bere metatze-puntuak barne baditu A itxia da bere atxekiduraren berdina bada

Multzo finituak beti itxiak dira.

2.14 proposizioaren

ondorioz ikusi dugu multzo finituek ez dutela metatze-punturik; nabaria da, orduan, A' = d C A dela.

48

2.19. Teorema Biz AC E. Orduan ,

(A) ' = A'

Frogapena Nola ACA den, argi dago A-ren metatze-puntuak nak ere izango direla eta A'C()' dela.

frogatu behar dugu orain. baria da; orduan, (Ä)'

(Ä)' = r6 bada, na

suposatuko dugu.

Biz x c(Ä)';

V x-en edozein ingurune ireki bada, Vf1A multzoak infinitu puntu ditu.

= AU A' dugunez, tzateke eta y eta

y

vn

vn

A = (15 balitz,

A'

A' har liteke. Baina, V irekia denez

e V, V ' y-ren ingurunea da, eta

izan behar. Beraz,

vn

x cA'

y

cA' denez, VflA

dugu.

2.20. Korolarioa Edozein A multzotarako, A' eta A itxiak dira.

Frogapena (i) (A)' = A'C A denez, (ii)

A'C A denez,

A

itxia da.

(A')'C(K)' = A'.

Beraz, A' itxia da.

2.21. Teorema (i) A A partetzat duen multzo itxirik txikiena da. (ii) A A partetzat duten multzo itxi guztien ebakidura da.

49

Frogapena (i) Ba dakigu A itxia dela eta ACÄ dugula. Biz orain B itxia eta ACB ; orduan, AC g = B

Aurreko puntutik nabaria da.

Oharra.- Pentsa liteke bola ireki baten itxidura erradio bereko bola itxia dela, eta horrelaxe gertatzen da 11R n espazioan, ohizko metrika batekin (ikus 2.15. problema). Bainaez da egia edozein espazio metrikotan.

B(x,r) B(x,r)

c

c

g(x,r)

B(x,r)

denez, eta azken hau itxia,

izango da beti. Partekortasun hertsiagerta-

tzen den kasu bat ondoko hauxe da:

Biz E espazio metriko diskretu bat (puntu birekin gu txienez); orduan,

B(a,1) eta

ae E hartuta,

= E

{ a }

B(a,1) = {a }c g(a,l) = E eta ez dira berdinak.

2.22. Teorema xeA baldin eta soilik baldin d(x,A) =0 bada.

Frogapena (i) Biz x eA eta e > 0 ; orduan, denez,

B(x,e

)nA

B(x,e ) x-en ingurunea

da, hots, existitzen da ye AC1B(x,e).

50

d(x,y) < e izango da eta d(x,A) < d(x,y) <e. d(x,A)<e

VE >0 denez, halabeharrez, d(x,A) = 0 izango da.

eta V x-en ingurune bat. Existitu

(ii) Biz d(x,A) = 0

Baina,

B(x,r)c:V betetzen duena.

behar du r >0 , d(x,A) = 0 bada,

3y

eA: d(x,y)
Orduan, ycVn A eta

VflA#0

y

cB(x,r)CV.

f.n.g.

2.23. Teorema A,B C E. Orduan:

Izan bitez (i)

A irekia bada eta B itxia, A-B irekia da. A itxia bada eta B irekia, A-B itxia da.

(ii)

Frogapena A-B

=

Ar) B

c

denez, nabaria da.

2.24. Teorema Biz ACE. Orduan A

c

° =

c

(A)

—

eta A c

=

Frogapena (i ) x E A c x-en

ingurunea, x

ingurunea: VCA B e r a z ,

A

c

=

(A)

vn

A

x-en

q5 °

x c(A)

c

.

c

(ii) Aurrekoan, A-ren ordez A c jarriz, Äc = Ac

A c

A- = (A c ) c edo

51

§II.5. MULTZO BATEN MUGA

2.25. Definizioa Biz A (E,d) espazio metrikoaren azpimultzo bat. A-ren muga hurrengo multzo hau da:

(A) = A

fl Ac

Definiziotik (eta orain arte ikusi dugunetik) berehala ateratzen diren propietate batzu:

(i)

itxia da

(A)

(itxien ebakidura)

(ii) a (A) = a (Ac) (iii) B (A)

denean, zera dugu:

x e a(A) 4=4, d(x,A) = d(x,A c ) = 0<=> V x-en edozein

vn

ingurune izanda,

A

cr5 eta

vn

A c ch.

(2.22. teorema eta puntu atxekiaren definizioa aplika tuz).

(iv)

(2.24. teorema aplikatuz)

(A) = A- - A

(v)

A = AU a(A)

= AU(Ä - A)

= A U a(A) C AUa (A) dugu, eta alde

rantzizko partekortasuna nabaria da.

(vi)

A itxia

(A)c A

A itxia bada,

(A)CA- = A = AUa (A) = A

(A)cA bada,

(vii)

A

irekia



A

n

8 (A) =



52

A irekia

Ac itxia !:->> a (A c ) = a (A)C=A c

4=¥

a (A)(1 A = (r5

Multzo baten muga hutsa izan daiteke. Adibidez, espazio metriko diskretu batetan, a cE bada, da, beraz

{a} irekia eta itxia

{a} c ere itxia da eta a({a}) =

.

Bestalde, 1R n -n gertatzen dena ikusita, pentsa liteke B(a,r)

eta ff(a,r)

bolen muga S(a,r) dela. Ez da hau egia

edozein espazio metrikotan eta, askotan bezala, espazio metri ko diskretua da kontradibide bat bilatzeko egokiena:

B(a,1) = {a}

eta

8(B(a,1)) =

S(a,l) = E - {a} .

Goiko (vi) eta (vii) propietateek interpretazio bat dute, F n -n multzo irekiak eta itxiak ezagutzeko balio duena: multzo baten muga osorik multzoan bertan badago, multzoa itxia da eta mugako puntu bat ere ez badago multzoan, hau ire kia izango da.

§II.6. IREKIAK ETA ITXIAK AZPIESPAZIOETAN Biz (E,d) espazio metrikoa eta Fc E ez-hutsa. d-ren FxF-rako murrizpena d idazten badugu berriz, ba dakigu (F,d) espazio metrikoa dela,

E-ren azpiespazio metri

koa, hain zuzen.

Biz a EF

eta

r > 0 ; orduan,

53

B F (a,r) ={x E F / d(a,x) < r} = B(a,r)n F non B(a,r) zentru eta erradio bereko bola den, baina (E,d) espazioan.

2.26. Teorema Ac:F irekia da (F,d) azpiespazio metrikoan baldin eta soilik baldin existitzen bada A A = A

l

n F

1

cE irekia, zeinentzat

da.

Frogapena (i)

Biz A = A i n F , A 1 irekia E-n, eta har dezagun x E A. Nola xeA l den, 3r >0 :

B(x,r)C A 1 , baina orduan,

B F (x , r) = B(x,r)fl Fc:A nF = A 1 eta beraz, A irekia da.

(ii)

Biz A irekia F-n . Vx E A eta A =

LJ

x E A

Dei dezagun

B (x r ) ' x F Al = x

L c

3r x :

BF(x,rx)C:A

(ikus 2.6 teorema).

A B(x r ). A irekia da E-n, ' x 1

bola irekien bildura bait da, eta Ai

n

F = ( x YA B(x,r x »n F =

x A

A (B(x,r x )n F)=

B (x r ) = A ' x F

Oharra.- F-ren azpimultzo bat irekia izan daiteke F-n E-n izan gabe. F bera beti izango da irekia F-n. rt-n

F = [-1,1] hartzen badugu, eta ac(-1,1) bada,

54

edozein (a,1) eratako tarte erdirekia multzo irekia da F-n, baina ez

. F bera, kasu honetan, ez da irekia

2.27. Korolarioa F-ren azpimultzo ireki guztiak irekiak dira E-n baldin eta soilik baldin F irekia bada E-n.

Frogapena (i) F-ren irekiak E-n ere irekiak badira, F irekia izango da E-n, beti irekia bait da F-n.

(ii) F irekia bada E-n, aurreko teoremaz F-ren irekiak E-n ere irekiak dira, irekien ebakidurak bait dira.

2.28. Teorema Cc:F itxia da F-n baldin eta soilik baldin existitzen bada C itxia E-n, zeinentzat CnF=C den. 1 1

Frogapena (i) C F-n itxia bada, F-C irekia da eta existitzen da AC E irekia zeinentzat F-C= C = F -

(ii) Biz C =

(AnF)

C

i

n

=

Fn

A c eta

A fl F

A

c

den. Baina orduan,

= C itxia da E-n. 1

F eta C i itxia E-n. Orduan F-C =

Fn

C

c 1

eta 2.26 teoremaz F-C irekia da F-n. Orduan C itxia da F-n.

55

2.26 teoremaren atzetik egindako oharra itxientzat ere egin dezakegu. 2.27 korolarioaren parekoa ondoko hau izango da:

2.29. Korolarioa F-ren azpimultzo itxi guztiak itxiak dira E-n baldin eta soilik baldin F itxia bada E-n. (Frogapena hangoa bezalakoxea da).

§II.7. MULTZO DENTSOAK ETA INON EZ DENTSOAK

2.30. Definizioa (i) Bira A eta B (E,d) espazio metriko baten azpimul tzo bi. A B-rekiko dentsoa dela esaten da baldin BC A

bada.

(ii) A E-rekiko dentsoa denean, hots,

= E denean, A

dentsoa dela esaten da.

Nabaria da E dentsoa dela eta A itxia bada, A A ez dela dentsoa izango,

= A

E,

E izango bait da.

3R-n zenbaki razionalen azpimultzoa dentsoa da. (Erresultatu honek garrantzi handia du Analisian).

A-ren itxidurarentzat ikusi ditugun propietateetatik berehala ateratzen da ondoko hiru puntu hauen baliokidetasu-

56

na: (i ) A dentsoa da

(ii) (iii)

X/xc E

d(x,A) = 0

V c E irekia ez-hutsa bada,

vnA



56

(V

bere edo-

zein punturen ingurune da eta puntu hori A-ren puntu atxekia izango da).

2.31. CWinizioa A inon ez dentsoa da beraren itxiduraren osagarria dentsoa bada, hots, W c = E bada.

2.24 teorema aplikatuz zera dugu: Ac

= E

- —c

C =

Beraz, definizio baliokide bat eman dezakegu:

A inon ez dentsoa da beraren itxiduraren barrualdea hutsa bada (ez dago itxiduraren parte den bolarik).

Ondoko erresultatu hau ere berehala ateratzen da:

(i) A dentsoa bada, eta Ac:B, B ere dentsoa da (ii) A inon ez dentsoa bada, eta Bc:A, B ere inon ez den tsoa da.

2.32. Teorema A irekia edo itxia bada, A-ren muga inon ez dentsoa da.



57

Frogapena

(A) = 7N-^

(i ) Biz A irekia, orduan

(A)c = ,Tn c U A eta

Beraz,

(A) c = A o U A = Ä

c

U

a (A)

c

(A) c = A c U

A c U

=

A

Äc U

A = E

(A) = A - ;Da

(ii ) Biz A itxia, orduan Orain,

Ac

- A =

=

An

`Ac

eta

= AC U A = AC U

Kasu bietan (A) = E dugunez,

;Tn

AC U

A =

E

a(A) inon ez dentsoa

da.

2.33. Teorema A1,A2,...,An

(E,d)

espazio metrikoaren n azpimul-

badira, beraien bildura ere inon ez den

tzo inon ez dentso tsoa da.

Frogapena Aski da bi multzorentzat egitea eta gero indukzioa apli katzea. Biz B = A 1 U A 2 ; orduan, B irekia da eta Bc:A l

A2 = Al

u

U

irekia da eta A

1

A 2 . Hortaz, Bn A 2 c C A l . Baina =

rd

Hemendik B c A eta A

dugu (A inon ez dentsoa izateagatik) 1

2.7 teorema aplikatuz,

beraz,

2

= ,75

2

BnA2c

BnA 2 c

= fzi

dugu.

ateratzen da eta B irekia denez,

, aurreko kasuan bezala B = d izan behar.

58

o

A l u A 2 = 9:5 dela ikusi dugunez, A l L) A 2 inon ez den tsoa da.

2.34. Definizioa Espazio metriko bat banangarria da azpimultzo kontagarri dentso bat badu.

Espazio metriko baten azpimultzo bat banangarria da az piespazio bezala hartuta banangarria bada.

Kontagarritasunaz ikus bigarren eraskina.

Edozein espazio metriko finitu banangarria da; F ere banangarria da, Q kontagarria eta F-n dentsoa delako. 7R

2

ere banangarria da, Qx 0 kontagarria eta dentsoa delako. n Erresultatu hau 1P -rako ere gertatzen da.

§II.8. METRIKA TOPOLOGIKOKI BALIOKIDEAK

E multzoan bi metrika, d i eta d 2 , baditugu, bi espazio metriko, (E,d 1 ) eta(E,d 2 ), ditugu.

E-ren azpimultzo bat irekia izan daiteke metrika baten tzat eta ez bestearentzat. Honen bidez, topologikoki, konpara keta bat egin daiteke metrika bien artean.

59

2.35. Definizioa (i)

Espazio

metriko baten irekien multzoa espazioaren to-

pologia dela esango dugu.

(ii) Bira T 1 T

1

c T

2

(E

bada,T 2

'

d

1

)-en topologia eta T

(E,d2)-rena.

2

baino finagoa dela esango dugu.

T

(iii) E multzoan definituriko d 1 eta d 2 metrikak topoespazio metri

logikoki baliokideak dira (E,d 1 ) eta (E,d 2 ) koen topologiak berdinak badira.

Irekien definizioa aplikatuz berehala ateratzen da:

2.36. Teorema

i r Bira B i ( (i) T

1 C:T 2

T

1

(E t opologia '

eta

izango da edozein ac E eta r > 0

T

(E,d2)-rena.

2

- tarako

existitzen

bada r' > 0 zeinentzat B (a r') C B (a , r) 2 ' 1

den

(ii) d 1 eta d topologikoki baliokideak dira edozein 2 ac E eta r > 0-tarako existitzen badira r',r" > 0 zeinentzat B 2 (a,r') C B i (a,r)

eta

Bi(a,r") c B 2 (a,r)

bait dira.

(B (a , r) d metrikarentzako a zentruko eta r erra1 1 dioko bola da eta B 2 (a , r) d

2

metrikarentzakoa).

Metriken baliokidetasunara berriz itzuliko gara VI.ka pituluan, jarraitasunaz hitz egiterakoan.

60

n R -ko irekiak eta itxiak n IR -n hiru metrika nagusi definitu ditugu, hirurak n 3R -ren ohizko metrikak direla esanez. Eta ez dugu hiruren ar teko bat aukeratu hirurak,topologikoki baliokideak bait dira.

Dei ditzagun:

d

d

d

1

(x y) '

2

(x y) = '

3

(x y) '

=

=

/: 1x.-y.1 i=1

max 1
ix.-y.1

Ikus dezagun ondoko irudia:

Bola bakoitzaren azpiindizetzat dagokion metrikarena 2 hartuz, zera dugu R -n:

B 3 (a,) C

) c B 1 (a,r) c B 2 (a,r) c B3(a,r)

n eta modu berean, R -ren kasuan, r B (a - ) 3 n

C

B (a, — ) C B (a,r) C B (a,r) C B 3 (a,r) 2 1 2

61

Beraz, 2.36 teoremaz,hiru metrika horiek topologikoki baliokideak dira. Hiru metrikentzat lortzen diren irekiak ber dinak dira eta, orduan, itxiak ere.

Kapitulu honetan definitu ditugun kontzeptu guztiak (bolak eta esferak izan ezik) topologikoak direla esaten da, hau da, ez dute metrikaren dependentzia zuzenik, bakarrik me trikak definitutako topologiarena.

§II.9. R-K0 IREKIEN EGITURA Ezaguna da multzo ireki bat bola irekien bildura bezala idatz daitekeela (2.6 Teorema te irekiak dira eta alderantziz, a+b B(—— ,

b-a

) da, hots,

). R-n bola irekiak tar (a,b)

tarte irekia

a+b zentrutzat eta 2

b-a 2

erradio-

tzat duen bola irekia. Beraz, edozein multzo ireki tarte ire kien bildura bezala ipin dezakegu, baina tarteok ez dute zer tan disjuntuak izan behar.

Orain erakutsi nahi dugun erresultatu hau finagoa da, R-n bildura hori disjuntua izateko moduan hauta bait daiteke. Baina, (-oo,a), (b,+(p )

eta (

+co) eratako tarteak

onartu beharko ditugu eta hauek ez dira bola irekiak.

2.36. Teorema R-ko ireki bat tarte ireki disjuntuen familia kontaga rri baten bildura da. Familia hori bakarra da.

62

Frogapena Biz ACE irekia eta x cA. Orduan I tarte irekia existitzen da non xe IC:A betetzen bait da. Har dezagun pro pietate hori betetzen duen tarte irekirik handiena eta dei de zagun

I(x).

I(x) = (a(x), b(x)) izango da,

a(x) = inf{y/(y,x)C:A}

eta b(x) = sup {z / (x,z)c:A} hartzen badira. (Posible da a(x) =

eta b(x) = +co izatea). Argi dago horrela defi

nitutako tartea A-ren parte dela eta a(x), b(xq A direla (infimoaren eta supremoaren definizioaz); ez dago, bada, tarte handiagorik.

Har dezagun I(x)nI(x')

fiS

x'cA,

dugula.

Orduan

eta I(x)c:I(x) U I(x')c:A. diena zenez, beraz,

x'

x eta suposa dezagun I(x) U I(x') tarte bat da

I(x) x barne duen tarterik han-

I(x) = I(x)U I(x'); halaber,

I(x) = I(x') .

I(x') =I(x)UI(x')

Eraiki dugun tarte-familian, bi puntu

ri dagozkien tarteak edo berdinak dira edo disjuntuak.

Beraz { I(x), xe A } familia hartuz, dis juntua da eta beronen bildura A izango da.

Ikus dezagun familia kontagarria dela. Horretarako, kontagarria dela jakinik, idatz ditzagun Q-ren elementuak se gida batetan: x x

2'"''xn'"'

I(x) tarte batek segida ho-

rretako infinitu elementu ditu baina bat izango da indizerik txikiena duena (segida horretan lehenengo aurkituko duguna);

63

biz n indize hori eta egin dezagun f(I(x)) = n x

n

e I(x)

eta x

m

(beraz,

I(x) m< n). Tarteak disjuntuak direnez,

f aplikazioa injektiboa izango da eta orduan, f tarte-fami lia horren eta 3N-ren parte baten arteko bijekzioa da. Hots, familia kontagarria da.

Deskonposaketa hori bakarra da. Suposa dezagun A=kel\JJk non J

k

Orduan J edo d

tarte irekien familia disjuntu bat den. Biz xe Jk. k

c

I(x) da.

(x) balitz eta J = (c,d), c#a(x) J I k k

b(x) litzateke. Suposa dezagun c

a(x) dela,

or-

duan, ce I(x) denez, ce A dugu eta existituko da J k , zeinentzat c c J

k'

den. Baina orduan J

k

n Jk

'

genuke hi-

potesiaren aurka.

Deskonposaketaren bakartasunaren ondorioz, ezin da tarte ireki bat tarte ireki disjuntu bi edo gehiagoren bildura beza la idatzi.

Adibidea.- 1\1 itxia denez,

irekia da. Ireki honen deskon

posaketa hauxe da:

JI\l

c

U = (-co,0) U(n n+1)) n elV '

Orain egin dugun deskonposaketa hau eta konexutasunean egingo duguna (ikus § IV.3)

gauza berbera dira.



64

PROBLEMAK

2.1.

Biz

7f2 = IR U {-co,+co}

§I.1

4. adibidean definitu

tako metrikarekin._ Esan zeintzu diren: B(1,2),

2.2. Biz 3R

2

B(+

2) ,

B(0, 1/2) ,

B(2, 1/3).

1.11 probleman definitutako metrikarekin.

Egin hurrengo multzo hauen irudia planoan:

B((1,1),1); B((1,1),2); B((1,0),2); S((2,0),3); S((1,0),2)

2.3.

Biz A =

{x = (x i ,x 2 )e IR

2

2 / 2 + x 2 <1 } . A hau

]R 2 -ren

•

azpiespazio metrikotzat hartuz, esan zeintzu diren: B((0,0, 1/2)

2.4.

eta

Biz A = {x = (x i ,x 2 )e IR a' =(2,0)

B((1,0), 1/4)

2

/

x1 +

izanik, egiazta bedi

2 x 2 < 9} . a= (0,0) eta B(a',4) c B(a,3) dela.

(Honek erakusten du bola bat beste baten parte izan dai tekeela nahiz eta erradioa handiagoa izan).

2.5.

IR

2

ohizko metrikarekin kontsideratuz eman ondoko mul-

tzo hauen metatze-puntuak eta esan irekiak, itxiak edota ez bata ez bestea diren:



65

a)

{x

b)

{x

c)

IR

2

/ x

2 2 + x > 1} 1 2

2 , 2

E

+

2 x2 > 1 }

1 1 {(— —) / n, m elN } n m

d)

{x

e)

{x

f )

{x

2 2 / x - x < 1 } 1 2 2

E

IR

2

/ x

1

> 0 }

/ x1 > 0 }

2.6. Froga bedi edozein espazio metrikotan puntu bakar bateko multzo bat itxia dela. Ondorioz, edozein multzo multzo irekien ebakidura bezala ipin daiteke.

2.7. Biz 0 < r < s eta a E E puntu finko bat. Froga bedi {x e E / r < d(a,x) < s }

eraztuna multzo irekia dela eta

{x

eraztuna multzo itxia dela.

E

E / r < d(a,x) < s }

2

(IR -ren ohizko metrikekin multzo horiek duten eitea ikus tea komeni da; metrika euklidearrak erakusten du "eraztun" izenaren zergatia).

2.8. Biz ACR ez-hutsa eta goitik bornatua eta x = sup A. Froga bedi

x

A bada,

x E A' dela. Aurki bedi

multzo bat zeinentzat sup A

den.

2.9. Biz A C3R irekia, ez-hutsa eta bornatua. a = inf A eta B= sup A izanik, ikus

ÇUn

eta

B A direla.

66

2.10. Froga bedi multzo ireki batetatik puntuak kopuru finituan kenduz gero, irekia izaten jarraitzen duela. (Aski da A irekia bada eta x

o

A, A-{x o } irekia dela ikustea).

2.11. Biz (E,d) espazio metriko bat metrika diskretuarekin. Fro ga bitez ondoko baiezpenok: (i)

edozein azpimultzo irekia eta itxia da,

(ii)

puntu guztiak isolatuak dira,

(iii) ezein azpimultzok ez du metatze-punturik, (iv)

edozein bola edo puntu bakarrekoa da, edo espazio guztia.

2.12.

a) Biz A irekia (E,d) espazio metrikoan; froga bedi edozein B cE-tarako, A BCAnB b) Eman zuzen errealean A,B multzo ireki bi, zeinentzat

An g , BnA,

An B eta

multzoak desberdinak diren.

c) Eman zuzen errealean tarte bi, A eta B, zeinentzat A

n B

An

ez den

B-ren parte.

2.13. Biz (E,d) espazio metrikoa. AcE bakoitzarentzat defini ditzagun a(A) = A eta

0(A) = A.

a) Froga bedi A irekia bada, Aca(A) dela, eta A itxia bada,

$(A)c:A.

b) Aurrekoa aplikatuz, ikus bedi edozein AC:E-tarako,

a(a (A))

=

a(A)

eta

$($(A)) = $(A)

direla.

67

c) Eman zuzen errealean multzo bat , A, zeinentzat o

_

A, A , A,

a(A),

0(A),

a(A), 0(Ä) multzoak des-

berdinak diren, beraien arteko partekortasun bakarrak hauexek izanda: Ac:ACZ ; Ac a(A)c 0(A)c:A- ;

A C a(A) C

7n )C7n• A.

2.14. Bira x,y E E. Froga bedi U

eta V ireki disjuntuak

aurki daitezkeela, x E U eta ye V izanik. co— (1v = izatea ere eska daiteke).

2.15. Froga bedi

1R n -n

B(a,r) = B(a,r)

eta

a

B(a,r) = S(a,r)

direla.

2.16. A eta B ez-hutsak badira, ikus d(A,B) = d(Ä,E7) dela.

2.17. a) Froga bedi E-ren edozein A azpimultzotarako, a (A)C:(A)

eta

(A) c

(A). Eman 1R-n hiru multzo ho-

riek desberdinak direneko kasu bat. b) Bira A,BCE.

Froga bedi 3 (A U 8) C

(A) U B(B) de-

la eta eman partekortasun hertsiaren adibide bat 1R-n. Baldin A f18 =

ep

bada, froga bedi

(A U B) =

(A) U B( B )

dela.

2.18. A,B itx iak dis juntuak badira, ikus U eta V =

{xE

xe E / d(

E / d(x,B)
eta B CV izanik .

)
68

2.19. Bira A,B CE. Froga bedi o

(A) n a (B) =

bada, A U B =

o

= A U B dela.

2.20. Froga bedi Eman

a(A)-=

4,

dela A irekia edo itxia bada E-n

(A) = E gertatzen deneko adibide bat.

2.21. Biz A = {x IR 2 / (x 1 +1) B =

{X E

IR

2

/ ( x -1)

2

+ x

2 2 2

+ x <

2 }

eta

<

eta d metrika euklidea-

rra. Zein da B (AUB,d) espazioan?.

2.22. IR

2

metrika euklidearrarekin kontsideratuz, defini ditza

gun C. = (0,1) x (0,1)

B = {(1 + . A =

,y )

B U C U

/

n c

- {0},

yE (-1,0)}

((-1,1) , (-1,-1)1

Esan zeintzu diren A-ren barrualdea, itxidura, deribatua, puntu isolatuak eta muga.

2.24. Biz

(E,d)

espazio metrikoa,

zein. Froga bedi B na(A)

2.25. Biz bedi

c a

A itxia eta Bc:E edo(An B) dela.

(E,d) espazio metrikoa eta Ac:E edozein. Froga (B(A)))c = E dela eta horretatik atera

B(3(B(A))) = a(B(A)).

Egia da

(A) ) = MA) ?

III, KAPITULUA

TRINKOTASUNA

III.1 Multzo bornatuak. Diametroa 111.2 Aurretrinkotasuna 111.3 Multzo trinkoak 111.4 Multzo erlatiboki trinkoak eta lokalki trinkoak 111.5 Multzo trinkoak

n

-n

70

III. KAPITULUA

TRINKOTASUNA

Trinkotasunaren kontzeptua Analisi Errealeko funtzioen propietateetatik atera zen, multzo trinkoetan definitutakofun tzio jarraiek portaera berezia bait dute. Multzo trinkoen defi nizioa eman nahi dugunean, zenbait formulazio baliokiderekin aurkituko gara (baliokideak espazio metrikoetan ari garelako). Guzti horietan estalkien bidezkoa gertatzen da egokiena eta gaur egun, dudarik gabe, zabalduena, espazio topologikoetara hedatzeko oso komenigarria bait da. Bolzano-Weiertrass-en pro pietatea eta definizio hori baliokideak direla ikusiko da.

Aurretik multzo bornatuak eta aurretrinkoak (inoiz guz tiz bornatuak izendatzen direnak) estudiatuko ditugu. Hauek trinkotasuna baino baldintza ahulagoak eskatzen dituzte.

Multzo bat trinkoa izan ez arren, trinko baten parte izatea aski izan daiteke batzutan. Horrela, trinkotasun erla tiboa definituko dugu. Bestalde, trinkotasuna propietate glo bala denez, trinkotasun lokala ere komeni da definitzea, pun tu baten inguruan dagoena soilik kontutan hartuz.

Azkenik, lR n -ren multzo trinkoak itxi bornatuak baino ez direla ikusiko dugu, oinarrizko erresultatu bat berau.

71

§III.1. MULTZO BORNATUAK. DIAMETROA.

Espazio metriko bornatuak zeintzu diren 1.5 definizioan esana dago. Espazio metriko baten azpimultzo bat, azpiespazio bezala kontsideratuz bornatua bada, multzo bornatua dela esan go dugu. Hurrengo definizio hau eman daiteke:

3.1. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa eta ACE ez-hutsa. A bornatua dela esango dugu ondoko baldintza hau betetzen bada:

3 k > 0 :

d(x,y)< k



Vx,y E A

Ondorioa.- Multzo bornatu baten edozein azpimultzo ez-huts bor natua da.

Multzo hutsa ere bornatua dela esango dugu.

Ze;» adierazten du def inizio horrek ]R-n? Biz A clR bornatua eta

a e A. Orduan ,

3 k >0

:

d(x,a)< k

Vx e A

,

edo

3 k > 0

:

I x-a I

\y x e A

,

edo

3 k > 0

:

x e [a-k,a+k]

Vx e A

,

edo

3k

:

AC[

> 0

< k

a-k,a+k ]

Beraz, multzo bornatu bat tarte itxi baten parte da (tarte ireki baten parte ere izango da).

Biz, orain,

A

c [a,b] .

Orduan,

x,y e A badira,

72

d(x,y) = lx-yi
eta A bornatua da.

Labur esanda, ]R-ren azpimultzo bat bornatua da baldin eta soilik baldin tarte baten parte bada. Erresultatu hau edo zein espaziotarako eman daiteke ondoko teoremak erakusten digunez.

3.2. Teorema

Biz (E,d) espazio metrikoa. AcE bornatua da baldin eta soilik baldin bola baten parte bada.

Frogapena

(i)

B(a,r) bornatua da.

x,y eB(a,r) badira,

Izan ere,

d(x,y) < d(x,a) + d(y,a) < 2r

dugu.

(Bola itxientzat d(x,y) < 2r). Orduan, Ac:B(a,r) bada, A bornatua da.

(ii) Biz A bornatua eta a cE.

Biz k > 0 d(x,y)< k

Vx,y eA betetzen duena. Orduan, x eA izanik, har dezagun

r> d(a,x) + k eta ikus dezagun Ac:B(a,r) dela.

Horretarako, har dezagun z eA ; d(z,a)
z cB(a.r).

(Bola itxiak erabiliz gero,

r = d(a,x) + k har daiteke).

Oharra.- Ikusten denez, bolaren zentrua espazioaren edozein puntutan har daiteke.



73

Diametroa 3.3. Definizioa

A bornatua eta ez-hutsa bada, A-ren diametroa honela definitzen da:

d(A) =

sup

d(x,y)

x,y eA

Ondo definituta dago,

{d(x,y) / x,y sA} multzoa goi-

tik bornatua denez, supremoa defini daiteke.

Oharra.- Multzo hutsaren diametroa 0 dela esango dugu. Multzo ez-bornatuentzat edo ez da diametrorik definitzen edo +co dela esaten da.

A multzoak puntu bakar bat badu, beraren diametroa 0 da. A-n bi puntu desberdin badaude puntuon arteko distantzia baino handiago edo berdin da A-ren diametroa. Ondorioz, (5(A) = 0 da baldin eta soilik baldin A hutsa edo puntu ba karrekoa bada.

Definiziotik berehala ateratzen den propietate bat hau xe dugu:

Bc:A

6(B)

d(A)

Diametroa, ikusten denez, supremoaren bidez definitu dugu. Orduan, balio hori ez da derrigorrez {d(x,y)/x,yeA } multzoan iritsiko; esan nahi bait da, ez direla beti egongo x,y E A

d(x,y) = 6 (A) betetzen dutenik. Kontsidera bedi, esa

74

te baterako, A = (0,1) tartea zuzen errealean.

"Diametro" hitza ezaguna zaigu geometria elementaletik, zirkulu eta esferetan kontzeptu arrunta bait da. F{

2

eta P

3

metrika euklidearrarekin kontsideratuz, bolak zirkuluaketaes ferak dira, hurrenez hurren. Diametro geometrikoa eta orainde finitu berri duguna gauza bera ote dira? Erraz ikus daiteke baietz ,(3.3 problema). Beti geometria elementalaren analogiaz segituz zera galde daiteke: bola baten diametroa erradioaren bikoitza izango ote da? Oraingoan, ezetz erantzun behar. Espazio metriko diskretu bat hartzen badugu, B(a,1/2) = {a} du gu eta r = 1/2 baina

6(B(a,1/2)) = 0.

Hala ere, 8 (B(a,r)) Vx,y e B(a,r)

< 2r dugu beti:

d(x,y) < d(x,a) + d(a,y) < 2r.

Modu berean,

d(g(a,r)) < 2r

eta

6(S(a,r)) < 2r.

§ III. 2. AURRETRINKOTASUNA

3.4. Definizioa

Biz

(E,d)

espazio metrikoa.

E-ren azpimultzo-familiak

Fc:E bada eta {A i} ici

F C LJ

betetzen badu, famiiE I A .

lia hori F-ren estalkia dela esango dugu (edo F estaltzen duela).

Familia horren azpifamilia batek ere F estaltzen ba-

75

du, aurreko estalkiaren azpiestalkia dela esango dugu.

Familia finitua edo kontagarria bada, estalkia ere finitua edo kontagarria dela esango dugu eta estalkiaren multzo guztiak irekiak badira, estalki irekia izendatuko dugu.

3.5. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa. E aurretrinkoa da ondoko baldintza betetzen badu: c >0 bakoitzarentzat, c erradioko bolen bidez estalki finitu bat lor

daiteke.

Ac:E aurretrinkoa da (A,d) azpiespazioa aurretrinkoa bada, hau da,

V E >0

B(x., ) AC 3x 1' x 2" •• ' x n 6AE i=1

Zentruak eta bolen kopurua (finitua beti) c-en dependenteak dira.

3.6. Teorema

Multzo aurretrinkoak bornatuak dira.

Frogapena E= 1 hartuz, aurretrinkotasunaren definizioaz, 3x

x

.. x

1' 2 '''

n

:

Dei dezagun

AC U i=1

h = max

B(x1)

{d(x i ,x j ) ,

i,j< n} . Orduan,

76

x,yEA badira,

xeB(x.,1)

eta

y

eB(x.,1)

izan beharko du

te i eta j batzurentzat eta d(x,y)
Hau

Vx,y

egia izanik, A bornatua da (eta

(A) < 2 + h).

Oharrak.- 1. Teorema hau nabaria da multzo bornatuen bildura finituak bornatuak direla frogatzen bada (ikus 3.1 problema).

2. Multzo finituak aurretrinkoak dira. Definizioa aise aplikatzen da; edozein erradio erabiliz, puntu bakoi tzean bola bat zentratuz behar den estalkia lortzen da.

3. Multzo bornatuak ez dira beti aurretrinkoak. Har dezagun (E,d), non E multzo infinitu bat eta d metri ka diskretua diren. Espazio bornatua da, d(x,y) <1 bait da beti (eta d(E) = 1). Baina e = 1/2 hartuz gero, B(x,1/2) = {x} denez, bola-familia finitu batek ezin deza ke E estal.

4. laber

n

edozein multzo bornatu aurretrinkoa da. Ha

-n, beti ohizko metrikak erabiliz, noski. Teore-

ma bat eman ondoren ikusiko dugu zergatik.

3.7. Teorema

Multzo aurretrinko baten parte ez-hutsak aurretrinkoak dira.

77

Frogapena Biz A aurretrinkoa eta Bc=A ez-hutsa. Orduan,E >0 x1,x2,...,xnE A zeinentzat

hartuz gero, existitzen dira

A

C LJ

B (xE /2) bait da.

i=1

[3(x.,E/2)n B = 0 denean ez dugu bola hori kontutan har bada, har dezagun

tuko.Balelin[3(x.,c/2)n B

y i B(x i , e/2)n B . ze B(x i ,E/2)

B(x i , E/2)C=B (y i , c)

denean,

dugu; izan ere,

d(z,y i ) < d(z,x i ) +d(x i ,y i )

= e

da.

Bolen zentru berriak y1,y2,...,ym (m < n)

U

dugu: BC

deituz, zera

B(y i , E ). Orduan, B aurretrinkoa da.

i=1

Orain, )R-ren edozein azpimultzo bornatu aurretrinkoa dela ikusteko, nahiko dugu tarte itxiak aurretrinkoak direla ikustea.

Biz x i =

[a,b] tarte itxia eta E >0 . Har ditzagun

+E/2 , x 2 = a + e

2(b-a) n <

< n + 1

( b-a < c/ 2 bada,

k

-n

, x 3 = a + 3 c/2

xn= a + ne/2,

delarik.Orduan,[a,b]CUB(x.,c) da. i=1 X 1 E [a,b] edozein har daiteke).

[a 1 ,b 1 ] x [a 2 ,b 2 ]

x

. x [a k ,b k] eratako mul-

tzoen aurretrinkotasuna frogatzea aski da. Maximoaren metrika rentzat,

[a i ,b i ]

tarte bakoitzean, gorago bezala,

lio aukeratuko ditugu, beraien arteko distantzia

n(i) bac/2 izanez.

78

Puntu bat estalkiaren bola baten zentrua izango da koordenatu bakoitza dagokion tartearen balio nabarmen horien artean bada go. Horrela,

n(1) x n(2) x

. x n(k)

bola beharko ditugu.

Ohizko metriken bolen artean dauden partekortasun-erlazioak kontutan hartuta (ikus § II.8), maximoaren metrikarentzat egi nez gero besteentzat ere gertatzen da.

Aurretrinkotasuna eta banangarritasuna

3.8. Teorema Multzo aurretrinkoak banangarriak dira.

Frogapena Biz A aurretrinkoa.

n

ll\I

bada,

n



erradioko bolez

A-ren estalki finitu bat egin daiteke; bira xin,x2n,..,xmneA bolen zentruak (m n-ren dependentea da).

U 1n' x 2n' "' ' xmn} • S k°n n El\I tagarria da multzo finituen bildura kontagarria bait da. Gaine Idatz dezagun

ra, xe A

S =

{x

bada eta e > 0 , aukera dezagun

1 n eliN : T < e ; or-

1 duan, existitzen da x kn e S : x s B(x kn , -r7 )hots, d(x,S)< -F1 <e. Edozein

E-etarako balio duenez, d(x,S) = 0 dugu, hau da,

xe S. Beraz, Ac: S

eta S dentsoa A-n.

Hurrengo teoremak ez du aurretrinkotasunarekin erlazio rik baina, geroago beharko dugun espazio banangarrien garrantzizko propietate bat denez, hemen emango dugu.

79

3.9. Teorema (E,d) espazio metrikoa banangarria bada, edozein estal ki irekitatik azpiestalki kontagarri bat atera daiteke.

Frogapena

Biz "i }

ie I E-ren estalki ireki bat. Biz, bestalde, E-ren azpimultzo kontagarri

S = {x l ,x 2 , ". , x n , dentso bat.

Kontsidera dezagun

(13(x

n

1 , 7)

ma kontagarria. Beronen laguntzaz

/ n, mc ]N }

{A.}. lEI

bola-bildu

estalkiaren azpi

estalki kontagarri bat aterako dugu.

Lehenbizi, bilduma kontagarri hori beste modu honetan idatziko dugu: B i , B 2 ,

ndoren, B O n

kc

zenbakia

ri (behar bada ez guztiei) goiko estalkiaren multzo bat lotu ko diogu, aukera modu honetan egiten delarik: {A i / ic I}

familian B k partetzat duten multzoen ar

teko bat (edozein) hartuko dugu k-ri lotzeko; B k partetzat duenik ez badago ez dugu bat ere ez hartuko balio horrentzat.

Aukera horrekin azpifamilia kontagarri bat daukagu, E estaltzen duela ikusi beharko dugu.

Biz xc E ; denez, 3mc IN :

orduan, 1

3

ic I : xc A i eta A i irekia

. S dentsoa denez, m horretara

ko aurki daiteke x S zeinentzat d(x,x n )< 2m n 1 B(x )cB(x,7)c:Ai dugu : y EB(xn,)bada, n' 2m

den.

80

d(y,x) < d(y,x n ) + d(x

n

,x) <

1 1 1 = + m • 2m 2m

1 , -- n' 2m)

{B /k el\l} familiako elementu bat da eta partetzat k 1 partetzat duen A i bat, gutxienez, ba dago; beraz, B(x n , B(x

duen bat aukeratu dugu azpifamilia egiterakoan eta horrek x bar ne izango du.

Oharra.- Frogapena egiterakoan { B k /kelN } familiaren propie tate bat oinarrizkoa da, hauxe: edozein irekik familia horreta ko multzoren bat du partetzat.

111.3. MULTZO TRINKOAK

3.10. Definizioa Biz (E,d) espazio metrikoa eta Ac:E. A trinkoa da A-ren edozein estalki irekitatik azpiestalki finitu bat atera badaiteke.

Oharra.- (A,d) azpiespaziotzat hartuz gero, A azpiespazioaren irekien bidez estal daiteke. Erraz ikusten da (E,d)-ntrin koa izanda, (A,d)-n ere izango dela, eta alderantziz.

Bistakoa da multzo finituak trinkoak direla. Esan daiteke, nolabait, propietateei begiratuz, multzo trinkoak multzo finituen generalizazioa direla.



81

3.11. Teorema Multzo trinkoak aurretrinkoak dira.

Frogapena Biz A trinkoa.

c >0 bada, {B(x,e) / xe A}

A-ren

estalki irekia da; existitzen da, beraz, azpiestalki finitu bat:

{3(x 1 , E ), B(x2,E),..., B(x n , E )}

. Orduan, A aurretrin

koa da.

3.12. Korolarioa Multzo trinkoak bornatuak eta banangarriak dira. (3.6 eta 3.8 teoremak aplikatuz).

Trinkotasunaren definizioaren propietate baliokide bat eman daiteke, irekien ordez itxiak erabiliz. Hona hemen balio kidetasun hori:

3.13. Teorema (E,d) espazio metrikoa trinkoa da baldin eta soilik bal din ondoko propietate hau betetzen bada: biz

{ F. }

itxien familia bat'

i s I



i 11 c I

F. = d bete-

tzen duena; orduan, existitzen da azpifamilia finitu bat, F 1 , F 2 Fn

,

n

F i = aS betetzen duena.

i=1

Frogapena

(i).11I 1 E renez,

i

ci

c . irekiak diiF-Q5baaU c I F ---- EcaetaF.

E-ren estalki ireki bat daukagu; existitzen da, be

82

U F rc., = E .

raz, azpiestalki finitu bat F1U F2U Orduan,

F1

F2

fl

n F n =

fl

.

(ii) Biz {A.}. eI E-ren estalki bat, hartuz,

. U

eI

A. = E. Osagarriak

i f-- ,A ci =viduguetaACitxiak. Orduan, n A c n. . .n

An multzoak

daude A 1 , A 2 ,

betetzen dutenak. Beraz, A 1 U A 2

U

U

AC

ba

=

A n = E dugu.

Oharra.- Proposizioa espazio metrikoarentzat definitu dugu eta ez azpimultzo batentzat. Azpimultzoarentzat ere defini daiteke, itxiak azpiespazioan hartuz.

3.14. Korolarioa (E,d) trinkoa bada ondoko propietatea betetzen da: F

1

3

F

F

3...

2

kor bat bada,

n

n

D

n

]N F

multzo itxi ez-hutsen segida behera ez-hutsa da.

Frogapena n

F

n

hutsa balitz, E trinkoa denez, aurreko teo-

remaz azpifamilia finitu baten ebakidura hutsa litzateke, bai na familia beherakorra denez, azpifamilia finitu baten ebakidu ra indizerik handiena duen elementua da eta, hipotesiz, ezinda hutsa izan.

Oharra.- Erresultatu honen alderantzizkoa ere egia da, baina frogapena gerorako utziko dugu (ikus 3.21 teorema).

83

3.15. Lema Bira x,y cE eta x

y

.

Existitzen dira x-en ingu-

rune bat, U , eta y-ren ingurune bat, V , un V =

betetzen

dutenak.

Frogapena 1

r = V = B(y,r).

d(x,y)

izanik, har ditzagun U = B(x,r) eta

U eta V x eta y-ren inguruneak dira eta

zEU bada, d(x,z) < r dugu eta d(z,y) >d(x,y) - d(z,x) >d(x,y) raz,

v .

z

un v =

sti

r = 2 d(x,y) = r , be-

dugu.

Lema honek erakusten digunez, bi puntu desberdin banan ditzakegu ingurune disjuntuak aurkituz. Honen antzeko zerbait egin daiteke puntu bat eta multzo trinko bat banantzeko, hurrengo teoremak ematen duenez.

3.16. Teorema Bira A trinkoa eta xcE-A. Orduan, aurki daitezke x-en ingurune bat,

U, eta multzo ireki bat, V, zeinen-

tzat AC:V eta un V = v5 betetzen bait dira.

Frogapena Har dezagun ye A; existitzen dira U(y)

y

x denez, aurreko lema aplikatuz,

x-en ingurunea eta V(y) y-ren inguru-

nea, zeinentzat U(y)n V(y) = 0

bait da.



84

Hau

Vy

E A eginez,

{V(y) /

y

e A} A-ren estalki ire

ki bat da eta A trinkoa denez, existitzen da azpiestalki bat: n n VV. .V.Geidit~v=1.jv.e .ta U = Ui non 1' 2' • ' Vn i=1 i=1 dagokiona den. U x-en ingurunea da eta V irekia eta AC:V V. Gainera,

unv

=

da eraikibideak erakusten due-

nez.

3.17. Korolarioa Espazio metriko baten edozein azpimultzo trinko itxia da.

Frogapena Biz A trinkoa. A = E bada, itxia da. A x

E badaeta

existitzen da x-en ingurune bat non ez dagoen A-ren pun

turik, orduan x()Fn . Beraz, A = A eta A itxia da.

Multzo itxiak ez dira beti trinkoak, ez bait dira beti bornatuak. Hala ere, bornatuak izan arren ez dute zertan trin koak izan behar. Har dezagun espazio metriko diskreto infinitu bat; espazioa itxia eta bornatua da baina ez da trinkoa, ez bait da aurretrinkoa gorago ikusi dugunez.

Bolzano-Weierstrass-er) propietatea

3.18. Definizioa Biz (E,d) espazio metrikoa eta Ac:E. A multzoak Bolzano-Weierstrass-en propietatea betetzen du A-ren edozein azpi

85

multzo infinituk metatze-puntu bat badu A-n. Propietate hau betetzen duten multzoak BW direla esango dugu.

Multzo finituak BW dira ez bait dute propietatea betetzen ez duen azpimultzo infiniturik.

3.19.

Lema BW multzoak aurretrinkoak dira.

Frogapena Demagun A BW dela eta ez aurretrinkoa. Orduan,3c> 0 zeinentzat ez dagoen

e erradioko bola-familia finitu batez

A estaltzerik.

Biz

xi

C

A; nola AC:B(x l ,c ) ez den posible,

c A - B(x x1, x ... x hautatu baditugu, • n l' l' 2 n n A C U B(x i ,c) ez denez, har dezagun x n+i c A - L) B(x i , i=1 i=1

3x

2

{x

n

/ nc 7N1

d(x.,x)>E , i j

E).

multzoa eraiki dugu propietate honekin:

j denean. Multzoa infinitua denez, metatze-

-puntu bat du (A BW bait da). Biz

y

metatze-puntu hori.

B(y,E /2) bolan multzo horren infinitu puntu daude eta horietariko bi hartuta,

x i eta x j , zera dugu:

d(x i ,x j ) < d(x i ,y) +

d(y,x j ) <

E

E + 7

E

Baina, hau kontraesankorra da. Beraz, A aurretrinkoa da.

86

3.20. Teorema Multzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin BW bada.

Frogapena

(i)

Multzo trinkoak BW dira. Absurdura eramanez frogatuko dugu hau. Suposa dezagun A trinkoa dela baina ez dela BW. Ba dago, orduan, TC:A multzo infinitua A-n metatze-punturik ez duena, hots,

T'n

A =

. Beraz,

x cA bada,

x  T' denez, existitzen

vn

da V(x), x-en ingurunea, zeinentzat v

nT

T = d edo

= {x} den.

{V(x), x cA } A-ren estalki irekia denez, eta A trinV(x 1 ), V(x2),..,V(xn). koa, azpiestalki finitu bat dago: n n V(x) ere. ugu eta Tc Hortaz, AC U V(x) dugu i=1 T nv(x )c{x } i i

U

i

n

i=1

i

x } li izanik, T = U vcx ) n T C {x 1'"' n — i i=1 tzateke eta T finitua, hipotesiaren aurka.

(ii)

BW multzoak trinkoak dira. Biz A BW multzo bat eta {B

i } EI

A-ren estalki ire

ki bat. A aurretrinkoa denez, banangarria da eta, orduan, azpiestalki kontagarri bat atera daiteke:{B

n} n

.0

B.. i=1 areago,A-UB.infinitua da. Eraiki dezagun multzo infi i=1 x edozein eta x 1, x 2 ,..., x aukeranitu bat modu honetan: n Suposa dezagun A ez dela trinkoa; orduan, Vn A

n1

tuz gero,

x

n+1

e

A - LJ B. 1 i=1

'

i
Multzo infi

87

nitu honek metatze-puntu bat edukiko du A-n; biz x metatzex EA denez, existitzen da B k :

-puntu hori. B

k

x cB k ; baina,

x-en ingurunea denez, B -n {x /n clN} multzoko infinitu k n

elementu egon beharko lukete eta hau ezinezkoa da eraikibidetik (x i Bk, i > k bada). Beraz, A trinkoa da.

Hurrengo teoremak 3.14 korolarioaren alderantzizkoa ematen du:

3.21. Teorema Demagun (E,d) espazio metrikoan zera betetzen dela: multzo itxi ez-hutsen familia beherakor bat iza

{ F n /nc]1\1 nik,

n ]N F (15 da. Orduan, n e

E BW da (beraz, trinkoa).

Frogapena Biz AcE infinitua. Har dezagun A-ren azpimultzo kon T = {xl,x2,..., x n ,...}

tagarri bat,

F n = {x k / k > n}

ipini

ta, propietatearen baldintzetan gaude eta existitzen da x

nc

F

.

1\1

l

r {x nc

/ k

k>n}= —

denez, xeF'c: T'c A'

eta A-k ba du metatze-puntu bat.

3.22. Teorema Multzo trinko baten azpimultzo itxiak trinkoak dira.

Frogapena Biz A trinkoa eta Bc:A itxia A-n. B finitua bada, trinkoa da. B infinitua bada, biz T B-ren azpimultzo

88

infinitu bat. A trinkoa denez, T horrek ba Ou metatze-pun tu bat A-n, x

x B-ren metatze-puntua ere ba da eta, B itxia

denez, xE B dugu. Orduan, T-k ba du metatze-puntu bat B-n eta B trinkoa da.

Teorema honen frogapen zuzen bat eman daiteke estalkiak erabiliz (3.10 problema).

Multzo trinkoak aurretrinkoak, itxiak, bornatuak etaba nangarriak dira. Propietate hauek, ordea, ez dute trinkotasuna halabehartzen. Ba dago, dena dela, R n -n garrantzizko erre sultatu bat (ikus

111.5) : 1R n -ko azpimultzo itxi bornatuak

trinkoak dira.

§III.4. MULTZO ERLATIBOKI TRINKOAK ETA LOKALKI TRINKOAK.

3.23. Definizioa Biz (E,d) espazio metriko bat.

Ac:E erlatiboki trin-

koa aa, A trinkoa bada.

Multzo trinkoak erlatiboki trinkoak dira, beti itxiak bait dira.

3.24. Teorema Multzo erlatiboki trinko baten azpimultzoak erlatiboki trinkoak dira.

89

Frogapena Biz A trinkoa eta Bc:A. rTic=7, dugunez eta A trinkoa, 3.22 teoremaz, B ere trinkoa da; beraz, B erlatiboki trinkoa.

3.25. Teorema Multzo erlatiboki trinkoak bornatuak eta aurretrinkoak dira.

Frogapena Nahikoa dugu aurretrinkoa dela ikustea. Biz A erlatiboki trinkoa, orduan, A trinkoa da, beraz, aurretrinkoa. 3.7 teorema aplikatuz A aurretrinkoa da.

3.26. Definizioa Biz (E,d) espazio metriko bat. AczE lokalki trinkoa da A-ren edozein puntuk ingurune trinko bat badu.

Adibideak 1.

Edozein espazio trinko lokalki trinkoa da.

2.

Espazio metriko diskretu bat lokalki trinkoa da.

3.

IR (eta IR n ) lokalki trinkoa da: edozein puntuk tarte itxi bat du ingurunetzat eta IR-ren tarte itxiak trinkoak dira (ikus 3.29 teorema).

4.

Q , F-ren azpiespaziotzat hartuz, ez da lokalki trinkoa.

90

3.27. Teorema Espazio lokalki trinko baten azpimultzo itxi bat lokal ki trinkoa da.

Frogapena Biz E lokalki trinkoa eta Ac:E itxia. x EA bada, x-ek ba du E-n ingurune trinko bat, V. Baina vnA V-n, beraz, trinkoa. Orduan,

itxia da

x-ek ba du A-n ingurune trinko

bat, vn A.

3.28. Teorema A eta B E-ren azpimultzo lokalki trinkoak izanik,

AnB ere lokalki trinkoa da.

Frogapena Biz x Afl B.

x honek ba ditu A-n ingurune trinko bat,

V, eta B-n beste bat, V' . Orduan, v nv , koa da A

n B-n

eta A

nB

x-en ingurune trin-

erlatiboki trinkoa.

Bi azpimultzo lokalki trinkoen bildurak ez du zertan lokalki trinkoa izan behar: har ditzagun

2

-n

A = { (x,y)/ x >0} eta B = {(0,0)}

A eta B lokalki trinkoak dira, baina AuB ez da lokalki trinkoa, (0,0) puntuak ez bait du ingurune trinkorik.

91

n

111.5. MULTZO TRINKOAK

-N

Gorago aurreratu dugun erresultatu bat frogatuko dugu, n

-ko trinkoak eta itxi bornatuak bat datozela, alegia.

3.29. Teorema (Borel-Lebesgue) JR-ren azpimultzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin itxia eta bornatua bada.

Frogapena Aski dugu tarte itxiak trinkoak direla ikustea. Horrela izanik, A bornatua bada tarte itxi baten parte izango da eta, gainera itxia bada, trinkoa izango da 3.22 teoremaz.

Biz, orduan, {A i } ic I

[a,b]

tarte itxia estaltzen duen

ireki-familia bat. Idatz dezagun c=sup {x E [a,b] / [a,x] azpifamilia finitu batek estaltzen du} .

Familia horretako ireki batetan a puntua egongo da, acA.;orduan,

E >Obaterdzatzango

da

eta

definitu dugun multzoa ez da hutsa izango. Goitik bornatua da goenez supremoa ondo definituta dago.

Ikus dezagun c = b dela. Demagun c
J

Baina,

j:

ce A i eta, orduan, s' ba [a,c] estaltzen zuen fa-

hau gehituz

[a,c+e')-ren estalki

finitu bat dugu eta, kasu horretan, c ez litzateke .multzoa-

92

ren supremoa izango. Derrigorrez, c = b.

3.30. Teorema n

-ren azpimultzo bat (n >2) trinkoa da baldin etasoi

lik baldin itxia eta bornatua bada.

Frogapena 2 Frogapen hau IR -rentzat egingo dugu. Arrazonamendua n > 2 denean ere egin daiteke, indukzioa erabiliz. Orain,aski dugu

[a,b] x [c,d]

eratako multzo bat trinkoa dela ikustea

(bolak maximoaren metrikarako hartuta).

Biz ki bat.

{A.} .[a,b] x [c,d] I

z

[a,b] x [c,d]

bada,

multzoaren estalki ire

i batentzat z eA i izango

da eta, A irekia denez, z zentrutzat duen bola bat har deza kegu V(z) x W(z)CA. {V(z) x W(z) / ze [a,b] x [c,c1]}

[a,b] x [c,d] -ren estalki

bat da.

Finka dezagun x E [a,b]. Orduan, {x} x [c,d] zuzenkiaren estalki bat daukagu eta aurreko teoreman bezala estalki fi nitu bat lor daiteke: V(z i ) xW(z 1 ), B(z 2 ) xW(z 2 ),.., V(z n ) xW(zn) n = n(x) delarik.

Orain

Dei dezagun V(x) = n i=1

{V(x) / xE [a,b]}

v(zi).

[a,b]-ren estalkia da eta

azpiestalki finitu bat atera daiteke: V(x 1 ),..., V(x m ). ditzagun

{x i } x

Har

[c,d] zuzenkla estaltzen zuten bolak,

i = 1,2 ..... m izanik.

Horrela lortzen dugun bolen familia fi

93

nitua da eta

[a,b] x [c,d]

estaltzen du. Bola bakoitzari

hasierako familiako ireki bat dagokionez, ireki hauek hartuta [a,b] x [c,d] -rentzat azpiestalki finitu bat dugu.

Frogapen honek ez du zuzenean metrikaren propietaterik erabiltzen eta beste kasu batzuetan erabilgarria da. Dena dela, espazio metrikoetan gaudenez, errazago da segiden bidez frogatzea geroago ikusiko dugunez

(ikus VII. kapitulua).



94

PROBLEMAK

3.1. A eta B multzo bornatuak izanik, froga bedi (AUB) < d(A,B) -4-c5 (A) -1-(5 (B)

dela.

Ondorioa: Multzo bornatuen bildura finituak bornatuak dira.

3.2. Froga bedi A bornatua dela baldin eta soilik baldin bornatua bada eta

(A) =, (5 (Ä) dela.

Eman multzo

ez-bornatu bat barrualde bornatua duena.

3.3.

Ikus dela.

3.4.

Biz

n

-n ohizko edozein metrikarentzat 6(B(a,r)) = 2r

Zein da

(E,d)

d (S(a,r)) ?

espazio metriko diskretu bat. Froga bedi A

aurretrinkoa dela baldin eta soilik baldin A finitua bada.

3.5. Froga bedi A aurretrinkoa dela baldin eta soilik baldin c >0 guztietarako existitzen bada e baino diametro txikiagoko ireki-familia finitu baten bidezko A-ren estalki bat.

95

3.6. Froga bedi A aurretrinkoa bada A eta A' ere aurretrinkoak direla.

3.7. Biz (E,d) espazio metriko banangarri bat. Froga bedi ireki binaka disjuntuen familia bat kontagarria dela. Gauza bera gertatzen da irekien ordez itxiak erabiliz?

3.8. A itxia bada eta B trinkoa, froga bedi A

nB

trinkoa

dela.

3.9.

(i) Froga bedi multzo trinkoen familia baten ebakidura trinkoa dela.

(ii) Froga bedi multzo trinkoen familia finitu baten bil dura trinkoa dela. Zer gertatzen da familia infinitu batekin?

3.10. Froga bedi zuzenean (estalkiak erabiliz) trinko baten parte itxiak trinkoak direla.

3.11. P-ren hurrengo azpimultzootan esan zeintzu diren trinkoak:

(0,1] , [0,1j,

{1,2,3,4} ,

Z

. Trinkoak ez di

renentzat eman azpiestalki finiturik ez duen estalki ire ki bat.

96

3.12. Biz K trinkoa eta x zeinentzat

d(a,x

o

or

K. Froga bedi ba dagoela acK

) = d(x

o'

K) den.

a hori bakarrada?

3.13. Bira A,KC:E eta K trinkoa. Froga bedi ba dagoela aE K

zeinentzat d(a,A) = d(A,K).

Ondorioa: K

trinkoa denean, d(A,K) =

K

3.14. Froga bedi A trinkoa bada, A' ere trinkoa dela.

3.15. Froga bedi zuzenean

n[0,1]

ez dela trinkoa, hau da,

eman estalki ireki bat azpiestalki finiturik ez duena. [0,1] tartea estaltzen duen ireki-familia bat har dezakegu?

3.16. Suposa dezagun

(E,d) espazio metrikoaren bola itxiak

trinkoakdirela.Froga bedi edozein bornatu erlatiboki trinkoa dela.

3.17. Biz K trinkoa, A irekia eta Kc:A.

Froga bedi ba da

goela F itxia zeinentzat KCFCA den. bedi ahal bada).

(F

K hauta

IV. KAPITULUA

KONEXUTASUNA

IV.1 Multzo konexuak IV.2 Konexuen itxidura eta bildura IV.3 Osagai konexuak IV.4 Konexuak P-n IV.5 Konexutasun lokala

98

IV. KAPITULUA

KONEXUTASUNA

Topologian erabiltzen ditugun kontzeptuetan konexutasu na dugu intuitiboenetarikoa. Gauza bat ez da konexua (ez dago konektatuta) bitan banantzerik badago, multzo bat bi irekidis juntutan, hain zuzen. Konexua izango da ez-konexua ez dena.

Konexuen itxidurak beti konexuak dira. Konexuen bildurak, aldiz, ez, aise egiazta daitekeenez. Zein baldintza osagarri eska dakiokeen konexu-familia bati bildura konexuduna izateko erakutsiko da.

Edozein multzotan partiketa bat antola daiteke, parte bakoitza konexua izanik eta ez beste konexu handiago baten par te. Parte konexu maximal horiek multzoaren osagai konexuakdei tuko ditugu.

IR-ren ordena-erlazioak erresultatu berezi bat eskaini ko digu: multzo konexuak tarteak baino ez direla, hain zuzen.

Azkenik, konexutasun lokalaz arituko gara, puntu bakoi tzaren inguruan konexutasuna gorde ahal izatea eskatuko da. Ikusiko denez, konexutasunak eta konexutasun lokalak ez dute elkarren arteko erlaziorik.

99

§IV. MULTZO KONEXUAK Har ditzagun E-ren bi azpimultzo hauek: A= (0,2) eta B=(0,1)U(2,3). Berauen adierazpen grafikoari begiratzeanahi koa da lehen multzoa konexua dela esateko, eta ez bigarrena. Eta hau konexutasunaren definiziorik eman gabe, soil- soilik hitz horren zentzu arruntak dioskunaz baliatuz.

Definizio matematiko bat bilatzean zera ikusten da: errazago dela konexua zer ez den esatea zer den esatea baino. Horregatik, multzo ez-konexuen definizioa emango dugu.

4.1. Definizioa (E,d) espazio metrikoa ez-konexua dela esango dugu bal din existitzen badira A,B ireki disjuntuak eta ez-hutsak, zeinentzat E = AUB den.

(E,d)

konexua da ez-konexua ez bada.

4.2. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa. Hurrengo lau baiezpenok baliokideak dira:

(i)

E ez-konexua da.

(ii)

E = AUB da non A eta B itxi disjuntu ez-hutsak di ren.

(iii) E-ren azpimultzo jator ez-huts bat dago, irekiaetaitxia.

100

( iv ) E

=

AUB da, non A eta B ez-hutsak eta An g =

n B

=

r6

e3 ,

diren.

Frogapena Nabaria da 4.1 definizioan A eta B-ren osagarriak hartuz. E = AUB, AnB = d , A,B itxi ez-hutsak dugu. Orduan, A = B c eta, B itxia denez, A irekia. A irekia eta itxia da eta, hipotesiz,

A

e5 ,

E dugu.

Biz AC:E irekia eta itxia, A c

ra gertatuko da A -rentzat. A

c

e5,

E. Gauza be

= B deituz, nabariak

dira AUB

=

E ,



Anr3 = A n A c = A n A c

( iv

E = AUB , E

A uB

eta

ÄnB = An A c =

A

n

eta A n =

B

=

6

=

05

.

eta 7am3 = d dugu orain.

direnez , A

=

B c

kia . Modu berean B irekia da eta A n B

da eta A ire=

aS

izan be-

har duenez , frogatuta dago.

Teorema honen baiezpenek ez-konexutasuna adierazten ba digute, berauen ukapenak konexutasunaren ezagupideak izango zaizkigu. Hona hemen garrantzizkoena:

(E,d) espazio metrikoa konexua da baldin eta soilikbal din ez badago E-ren azpimultzo jator ez-hutsik, baterairekia eta itxia dena.

101

Bestalde,

Ant5

= d eta

ranB

= d baldintzak betetzen

dituzten multzoak bananduta daudela esaten da. Ikus problemetan zenbait erresultatu multzo bananduetaz.

4.3. Definizioa Biz (E,d) espazio metrikoa eta FCE. F konexua (edo ez-konexua) da (F,d) azpiespazioa konexua (edo ez-konexua) ba da.

Azpiespazio baten irekiak espazioaren irekiekiko ebaki duraz lortzen direnez, ondoko teorema hau ateratzen da:

4.4. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta FCE. F ez-konexua da baldin eta soilik baldin existitzen badira A,B irekiak (E-n) zeinentzat FC AU B , AnB = 93 eta FnA , FnB ez-hutsak.

4.5. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta A,BCE. B konexua ba da eta AnB eta AnB c ez-hutsak, orduan, B

n

(A)

6.

Frogapena —c E = A U (A)U A izanik gainera),

denez

B = (B(l;k)

Demagun, orain,

Bna

u

(B fl

(hiru multzook dis juntuak a (A))

u

(A) = (r5 dela.

(B n7, c ) .

Orduan,

102

u

B = (Bn/°a)

(Bn7,c)

,-,— c B n A eta B A

B-n irekiak direlarik. Gainera,

BnA CB n jaua (A» = (Bn;,)u (Bna (A)) = Bn'A)

eta

. Modu berean,

BnA

Bn A c C B n (A c U MA)) = (BnA c ) U (B n 3(A)) = BnAo eta

. Baina, orduan, B ez litzateke konexua izan

B

go, hipotesiaren aurka. Derrigorrez,

izan behar

B n a (A)

du.

gIV.2. KONEXUEN ITXIDURA ETA BILDURA

4.6. Teorema A konexua bada eta ACBCFn , B ere konexua da. Ondorioz,

A

ere konexua da.

Frogapena Izan bitez V 1 eta V 2 irekiak, eta (B

n V1

) n (B n

v2 )

B = (E

)U(B n V2)

. B konexua dela ikusteko ebakidura

=

horietariko bat hutsa dela frogatu behar da.

ACB denez, A = (A n V i ) U (AnV2) da eta (A n

n (A n V 2 ) = d

edo A n v 2 = eta x E A

nv i ,

.

. A hipotesiz konexua denez, edo A (1 V1=e5

Demagun A nv i = d dela. A nv i balitz

nola V 1

x-en ingurunea den eta xe

vinA

izango litzateke, suposatu dugunaren aurka. Baina, orduan,



103

n v1

=

,23

n vi

izango da eta, halaber B

n

V 1 -en parte

bait da.

Multzo konexuen bildura ez da beti konexua. Nabaria da tartea kontsideratuz, adibidez. Baina biltzen

(0,1)U (2,3)

diren multzoei gainerako hipotesiak eskatuz konexutasuna gorde daiteke. Hipotesiotan errazena ondoko teoremak erabiltzen duena da, multzo guztiak "konektatuko" dituen parte bat egotea, alegia.

4.7. Teorema Biz {A.} ie I multzo konexuen familia bat eta suposa dezagun . n ie I



A.

dela. Orduan

U

'

ie I

A

i

konexua da.

Frogapena Dei dezagun A =

i e I

A. eta demagun A = BUC dela, i

B eta C ireki ez-hutsak izanik

Har dezagun xe

(A-n) eta Bnc

=

suposa dezagun xe B de

A.

la. Ba dago, gutxienez, familiako elementu bat, A k , betetzen duena. Baina, xe A k denez, Ak = Orduan, A

(A

k

k

(1 B)

u

(A

k

(1

c) ,

es .

(A

k

A

k

n

(1 B)n(A

B k

Akn

da eta n

C) =

.

ez litzateke konexua izango, hipotesiaren aurka.

Ez dago, beraz, gorago jarri dugun A-ren deskonposaketa egiterik eta A konexua da.

Teorema honek eskatzen duen baldintza bete gabe ere ko

104

nexutasuna gorde daiteke. Hona hemen beste modu batetako erre sultatu bi, aurreko teorematik aterata:

4.8. Korolarioa multzo konexuen familia bat eta A mu l } ic I o tzo konexu bat, A o nA i baldintza betetzen duena EI. Biz {A i

Vi

Orduan, A o

U( i Y,

A i ) konexua da.

Frogatzeko, aplika bekio aurreko teorema {A o tj A i} ei familiari.

4.9. Korolarioa Biz {A } i •

multzo konexuen familia finitu bat 1
§ IV.3. OSAGAI KONEXUAK Edozein multzo ez-hutsetan partiketa bat egin dezakegu parte bakoitzari konexua eta maximala (ez beste konexu baten parte jatorra) izatea eskatuz.

Biz Ac:E eta har dezagun x cA. Kontsidera ditzagun A-ren azpimultzo konexuen artean x barne dutenak. Gutxienez bat ba dago, { x } konexua bait da.

x-i lotu diogun konexu-

-familia horren ebakidura ez da hutsa, denetan x bait dago,

105

eta, 4.7 teoremaz, familiaren bildura ere konexua izango da. Dei dezagun 0(x) horrela hartu dugun konexua. Bistakoa da x barne dutenen arteko konexurik handiena horixe dela.

4.10. Definizioa x puntuari dagokion C(x) multzoa x-en osagai konexua A-n deituko dugu.

A-ko puntu guztien osagai konexuak A-ren osagai konexuak direla esango dugu.

A-ren partiketa bat lortu dugula ikusteko zera frogatu ko dugu,

x,y e A badira, C(x) = C

(y)

edo

e(x)n e(y) =

izan behar duela.

Demagun C(x)O e(y)

q5 dela, orduan

C(x)U C(y) ere

konexua da eta x,ye C(x)U C(y) . Baina, osagaiaren maximal tasunaz,

C(x)U

go dira, beraz,

e(y)

=

C(x)

eta

C(x)U C(y) = e(y) izan-

C(x) = e(y).

4.11. Teorema Biz

(E,d) espazio metrikoa eta AC:E.

(i)

xeA osagai bakar batetan dago.

(ii)

A-ren azpimultzo konexu bakoitza osagai baten parte da.

(iii) A-ren azpimultzo konexu bat irekia eta itxia bada, osagai konexua da. (iv)

Osagai guztiak itxiak dira.

106

(v) A konexua da baldin eta soilik baldin C(x) = A Vx EA.

Frogapena (i) eta (ii) nabariak dira eraikibidetik.

(iii)

BC:A konexua bada eta x e B,

Bc:e(x) dugu. B irekia

eta itxia bada A-n, irekia eta itxia da C(x)-n eta, hau konexua denez, B = e (x).

(iv)

C(x) konexua izanik, c(x)

ere (4.6 teorema). Baina,

C(x) maximala denez, e (x) = C(x)

dugu eta C(x) itxia

da.

(v)

Bistakoa da.

4.12. Definizioa Multzo bat guztiz ez-konexua da beraren osagai guztiak puntu bakar bat badute.

Adibidez, edozein espazio metriko diskretu guztiz ez-ko nexua da. Halaber Q ohizko metrikarekin.

§IV.4. KONEXUAK IR-N IR-ren tarte irekiak eta itxiak ezagunak dira baina gure oraingo helburuetarako definizio bat behar dugu, definizio honetan tarte infinituak ere sartzen direlarik: A C IR tarte bat da, bere edozein bi punturen artean

107

dauden puntu guztiak barne baditu; hots, x,y EA eta x
z EA.

Horrela, bederatzi tarte-mota ditugu: bornatuak:

(a,b), [a,b] ,

ez-bornatuak:

(a,b] ,

[a,b)

(-co,b) , (-co,b], (a,+co) , [a,+co), (-0D,“:0)=E

4.13. Teorema Puntu bat baino gehiago duen F-ren azpimultzo bat konexua da baldin eta soilik baldin tarte bat bada.

Frogapena (i)

Biz AcF eta demagun A ez dela tarte bat. Orduan, ba daude x,yE A eta z

A zeinentzat x
Har ditzagun B = (-co,z)nA eta C= (z,+co) fl A. B eta C irekiak dira A-n, xe B

eta ys C direnez, ez dira

hutsak eta BUC=A denez, A ez da konexua. Halabeharrez, A konexua bada, A tartea da.

(ii)

Biz A tarte bat eta demagun A ez dela konexua. Orduan, existitzen dira B eta C irekiak A-n, disjuntuak, ez-hutsak eta A = BUC betetzen dituztenak. Har ditzagun x E B eta

y EC eta suposa dezagun x< y dugula.

B n [x,y] multzoa ez-hutsa da eta goitik bornatua da go, beraz, x
z = sup B

fl [x,y]

defini daiteke. Gainera,

108

z e B bada, z<

y

dugu

(y



B

bait da) eta aurki dai-

teke e >0 zeinentzat [z,z+ e] C[x,y] eta [z,z+dcB (B irekia bait da), eta orduan, z ez litzateke supremoa izango.

z e C bada, z >x izango da eta, modu berean, aurki daiteke

>0 zeinentzat

[z-E,z]CC(I[x,y] den; berriz ere

z ez litzateke supremoa izango.

Baina z  B U C ez da posible, A tartea izanik, ze A bait da. Beraz, kontraesan batetara heldu gara eta A konexua izango da.

Erresultatu berezi hau lortu dugu Ft-ren ordenaz balia tuz. Ezin •genezakeen horrelakorik eman F n -rentzat (n > 2).

KONEXUTASUN LOKALA

4.14. Definizioa (E,d) lokalki konexua da puntu bakoitzaren edozein ingurunek puntu horren ingurune koriexu bat partetzat badu.

Konexutasuna eta korlexutasun lokala ez dira bata beste tik ateratzen. Hona adibide hauek:

(i)

konexua da, 4.13 teoremak erakusten duenez, eta lokalki konexua ere zeren edozein punturen ingurune batek tarte ireki bat bait du partetzat, puntua tartean dagoelarik.

109

Q ohizko metrikarekin ez da ez konexua ez lokalki kone

(ii)

xua. Aski da ae

c

= ((-a),a)n Q) U ((a,+op ) n Q)

idaztea,

. izanik, Q ez dela konexua ikusteko. Modu berean

ikusiko da ezein puntuk ez duela ingurune konexurik. Egia esan, Q guztiz ez-konexua denez, ez dago puntu bat baino gehiago duen azpimultzo konexurik.

(iii) Espazio metriko diskretu bat ez da konexua (puntu bat baino gehiago badu) baina bai lokalki konexua, a puntuarentzat {a} ingurunea konexua bait da eta beste edozein inguruneren parte.

(iv)

E = {(x l ,x 2 )ert

2

/ x 1 sQ

0

< x

2 < 1} U {(x 1 ,0)/0< x < 1} 1

konexua da baina ez lokalki konexua.

4.15. Teorema Espazio metriko baten bola irekiak konexuak badira, es pazioa konexua eta lokalki konexua da.

Frogapena Biz x EE eta V x-en ingurune bat; orduan, 3r

>0 : B(x,r)c:V.

Baina B(x,r)

xua hipotesiz, beraz,

x

o

x-en ingurunea da eta kone

E lokalki konexua da.

EE edozein izanda,

E =

n

U

B(x

gu. Bola bakoitza irekia denez gero eta x E o 4.7 teoremaz, E konexua da.

o'

n) idatz dezake U

n E IN

B(x n), o'

110

4.16. Teorema

(E,d) lokalki konexua da baldin eta soilik baldin edozein irekiren osagaiak irekiak badira.

Frogapena

(i)

Biz xe E eta V x-en ingurune ireki bat (edozein ingu runek ingurune ireki bat edukiko du partetzat). x-en osa gaia V-n hartuz gero, irekia izango da hipotesiz, x-en ingurunea beraz, konexua eta V-ren parte.

(ii) Bira E lokalki konexua, A irekia E-n eta B A-ren osa gai konexu bat. xc B izanda, A x-en ingurunea denez, ba dago V x-en ingurune konexu bat, Vc:A betetzen due na. Baina, osagaiaren definizioaz, VCB izango da eta B x-en ingurunea. B bere edozein punturen inguruneade nez, irekia da.

Ondorioak.- (i) Espazio lokalki trinko baten osagaiak irekiak eta itxiak dira batera.

(ii) R-ren edozein azpimultzo ireki tarte ireki disjuntuen bildura bezala idatz daiteke (ikus 2.36 teorema).

111

PROBLEMAK

4.1. Froga bedi espazio metriko diskretu batek puntu bat bai no gehiago badu, ez-konexua dela.

4.2. Froga bedi

ohizko metrikarekin guztiz ez-konexua de

la.

4.3. Froga bedi (E,d) konexua bada eta puntubatbainogehia go badu, infinitua dela.

A,B bananduta daude

AnB

= eS eta

AnB

= d badira.

4.4. Froga bitez ondoko baiezpenok:

(i)

A eta B bananduta badaude eta A badira, A 1 eta B

(ii)

1

1

c A eta B

1

C B

bananduta daude.

A eta B bananduta badaude eta A eta C ere, A eta BU C bananduta daude.

(iii) A eta B itxi disjuntuak (edo ireki disjuntuak) ba dira, A eta B bananduta daude.

(iv)

A eta B itxiak badira (edo irekiak), A-B eta B-A bananduta daude.

112

4.5. Bira A eta B ez-hutsak. d(A,B) >0 bada, froga bedi A eta B bananduta daudela. Erakuts bedi adibide batekinal derantzizkoa ez dela egia.

4.6. Froga bedi A eta B bananduta badaude eta AU B irekia, A eta B irekiak direla; AUB itxia bada, A eta B ere itxiak dira.

4.7. Froga bedi A eta B konexuak badira eta

,

AU B konexua dela.

4.8. Froga bedi bi osagai konexu desberdin bananduta daudela.

4.9. Bira A eta B ez-hutsak. Baldin A eta B itxiak ba dira eta A U B eta

AnB

konexuak, A eta B konexuak di

ra. Ikus bedi A eta B itxiak ez badira, ez duelazer tan egia izan behar.

4.10. Biz

(E,d) espazio metriko konexu ez-bornatua. Froga be

di E-ren esferak ez-hutsak direla.

4.11. (i) Biz

(E,d) trinkoa eta demagun

B(a,r)-ren itxidura



113

EJ(a,r) dela Va E E, r > 0 . Froga bedi E-ren bola irekiak konexuak direla. (Suposa bedi B(a,r)= CU D non C,D ez-hutsak, itxiak B(a,r)-n eta c(1D = diren; baldin a E C bada, kontsidera bedi x EDzei nentzat d(a,x) minimoa den. Ikus aurreko kapitulua ren 3.12 problema).

(ii) Eman espazio metriko guztiz ez-konexu bat non bola ireki bakoitzaren atxekidura dagokion bola itxiaden. 2 (iii) F( -n

d(x,y) = max {ix i -y i l, ix 2 -y 2 1} metrika kontsi

deratuz,

biz E = {(x l ,x 2 ) / x 1 = 0 eta 0 < x 2 < 1

edo x 2 = 0 eta 0<x 1 < 1} . Froga bedi E-n bola irekiak konexuak direla B(a,r)-ren itxidura (a,r) izan ez arren.

4.12.

Biz E konexua gutxienez bi punturekin. Froga bitez:

(i)

A E-ren azpimultzo konexua bada eta B A c -ren az pimultzoa A c -n irekia eta itxia, AUB konexua da.

(ccm n N irekia (edo itxia) bada M eta N-re

kiko, irekia (edo itxia) da MUN-n).

(ii) A E-ren parte konexua bada eta B A c -ren osagai konexua, B

c

konexua da.

(iii) Froga bedi ba daudela E-n bi parte konexu ez-huts M eta N zeinentzatMUN =E eta mnN= d diren.



114

4.13. Biz E espazio metrikoa, puntu baten osagai konexua puntua barne duen edozein multzo ireki eta itxiren par te da.

4.14. E konexua da baldin eta soilik baldin E-ren edozein bi punturentzat biak barne dituen E-ren azpimultzo nexurik badago.

4.15.

Biz

(E,d) trinkoa. Froga bedi

(E,d)-ren osagaiak ire

kiak badira, gehienez kopuru finituan daudela.

4.16. Froga bedi E-ren osagaiak kopuru finituan badaude ire kiak eta itxiak direla.

4.17.

Froga bedi

{(x 1 ,x 2 ) E IR

xua dela eta ez

2

/ x i e

{(x 1 ,x 2 ) e1R 2 /

edo x 1 ,x 2 c

x

2

e

kone-

}.

4.18. Biz A konexua eta B, A C B C A baldintza betetzen duen multzo bat. Froga bedi B konexua dela B= AU(

yeB-A

{y})

eta 4.7 problema erabiliz.

4.19.

Biz E konexua,

x E E eta Ac:E - { x} .

Froga bedi

115

A E-{x}-en irekia eta itxia bada, A." = AU{x} dela eta konexua.

4.20.

Biz A

=

1 {( — ,y) n

/

n

E ]N* , 0 <

B = {(x,0) / 0<x <1 } .

y

<

1

}

eta

Froga bitez ondoko baiezpe-

nok: (i)

A ez da konexua baina bai lokalki konexua.

(ii)

AU B konexua eta lokalki konexua da.

(iii) AU B konexua da baina ez lokalki konexua.

V. KAPITULUA

SEGIDAK ETA OSOTASUNA

V.1 Segidak. Segiden limiteak V.2 Segida cauchyarrak V.3 Espazio osoak V.4 Osotasuna eta trinkotasuna V.5 Baire-ren teorema V.6 Osakuntza

118

V. KAPITULUA

SEGIDAK ETA OSOTASUNA

Segida baten limitearen definizioa aspalditik ezaguna da segida errealen kasuan eta ez dago inolako eragozpenik es pazio metrikoetan modu berean definitzeko. Hemen, aurretik, inguruneen bidezko definizio baliokide bat emango dugu,metri karik gabeko espazio topologiko orokorretarako egokia. Oinarrizko propietateak (bakartasuna, metatze-puntuekin erlazioa) gordetzen dira espazio metrikoetan.

Ondoren, segida cauchyarrak definitzen dira, kontzeptu honek metrikaren beharra duelarik. Zenbait propietate erakusten dira baina garrantzizkoena propietate negatibo batda:IR-n ez bezala (eta bai Q-ri bezala) segida cauchyar guztiak ez dira konbergenteak. Hortaz baliatuz, espazio metriko osoen kontzeptu berria daukagu. Osotasuna Cantor-en tarte kolkoratuen teoremaren generalizazioaren baliokidea dela ikusten da.

Gero segidazko trinkotasuna definitzen da eta aurretik ikusi dugun trinkotasunaren baliokidea dela frogatzen (espazio metrikoetan gaudelako berr z ere). Espazio aurretrinkooso bat ere trinkoa dela ikusiko da eta alderantziz.

Baire-ren kategoriazko erresultatuak ematen ditugu bai na berauen garrantzia ez da hemen agerian jartzen, aplikazioak

119

maila altuagokoak bait dira.

Azkenik, Q-tik lIR lortzen den bezalaxe, espazio ez-oso bat osotzeko posibilitatea eta bidea erakusten dira, segida cauchyarren bidez.



120

§V.1. SEGIDAK, SEGIDEN LIMITEAK

5.1. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa. E-n definitutako segidabat E-rako aplikazio bat da.

ne

elementuaren irudia, a n, segidaren n-garren gaia

dela esango dugu. 11-ren elementuen ordena jarraituz idatzdai teke: {a1,a2,a3,...,an,...} . Izena ere hemendik datorkio, nos k

Ondo desberdindu behar dira segida bera (aplikazio bat) eta segidak hartzen dituen balioek osotzen duten multzoa, segi daren multzo euskarria izendatuko duguna. Multzo hau finitua ere izan daiteke, ondoko bi kasu hauetan gertatzen denez:

- segida konstantea: aplikazioa konstantea denean, hots, gai guztiak berdinak direnean;

- segida erdikonstanteak: gai batetik aurrera konstante direnean, hots,

3n

o

E

:

a

n

,m = a n m

n

o

badira.

Multzo euskaria finitua izan daiteke segida erd konstan tea izan gabe; adibidez,

a

n

= (-1) n

segida erreala.

Segida baten limitea

5.2. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa eta

(an} ne )N1 E-n definitu

121

tako segida bat. Segida horren limitea

R

cE dela esango du

gu ondo. ko baldintza betetzen bada:

V

Orduan

2-ren ingurunea

lim n co

a

n

=

3

n

o

a E n

: n > n — o

V

idatziko dugu.

R

Hitzez esanda zera litzateke: 2-ren edozein ingurunetan segidaren gai baten ondoren datozen guztiak daude.

Edozein 2-ren ingurunek c zentruko bola bat partetzat duenez, definizio hori beste modu honetara alda daiteke:

5.2. Definizioa (bis)

lim a = n n+co n

o

da ondoko baldintza betetzen bada:

R

:

n

> n

—

o



a

n

E B(2,E )

(edo

d(a

n' 2) <e).

Har bedi kontutan bai definizio batean eta bai bestean agertzen den n

o

hori V-ren edo E-en dependentea dela.

Azken definizio hau R-ren kasuan (ohizko metrikarekin) Analisian ematen denarekin bat dator:

V E >0

3 n o : n

n — › o

I

a

I

<E

Hau kontutan hartuta berehala eman dezakegu beste ezagupide bat:



122

im a l n

lim n 4-co

d(a ,t) = 0 n r1.4-co

bigarren limitearentzat Ft-ren definizioa erabiliz.

Limitea duten segidak konbergenteak deituko ditugu.

Eman ditugun definizioetan lehenaren garrantzia metrika ez erabiltzean datza. Horrela, espazio topologikoetan eman daiteke eta, bestalde, kontzeptu topologikoa dela ikusten da, hots, metrikak definitzen dituen irekien dependentzia bakarrik du (ikus §II.7).

Limitearen bakartasuna

5.3. Teorema

Segida baten limitea, existitzen bada, bakarra da.

Frogapena eta

Biz {a } segida bat eta demagun lim a n n n•co lirn a = Q direla. n n.00 Limitearen def inizioaz , existitzen dira n n ni

nentzat

d ( an

Har dezagun, orduan, d(a ,2, ) n

<

e eta d(a , n

eta n n 2

) < E n

o

= max {n )

<

E

1

,n

2

} .

betetzen dira.

Desberdintza triangelua , raren bidez,

1

eta n zei

d ( an n

2

)< e .

n d enean o

123

d(2, 21 ) < d(2,,a n ) + d(a n , 2) <

Hau Ve >0 egia izanik,

d( 2,, 2, 1 ) = 0 eta

2E

P.

P.

dugu.

Oharra. Segida bat konbergentea izatea ala ez espazioaren dependentzian dago. Honela, {

1 F

} segida konbergentea da F-n

baina ez (0,1]-en, nahiz bietan ohizko metrika erabili.

Segidak eta metatze-puntuak

5.4. Teorema

Biz {a } segida konbergente bat, P. beronen limitea n

eta T multzo euskarria. Orduan,

(i) T bornatua da (segida bornatua dela esango dugu) (ii)£ T-ren puntu atxekia da.

Frogapena (i)

E= 1 eta aplika diezaiogun limitearen de-

Har dezagun finizioa :

3

N > 0 :

Biz r = 1 + max

n > N...,—. d(a n ,2, ) < 1.

{d( 2,,a 1 ), ....,d(2, ,a, N_1 )} .

T c B(2, ,r) , beraz,

Orduan,

T bornatua da.

(ii) 2, -ren edozein ingurunek T-ren puntuak barne dituenez, ,Q,

e T da.

Oharra. T infinitua bada, 2-ren edozein ingurunek T-ren infi

124

nitu elementu barne ditu eta R T-ren metatze-puntua da. Gai nera, kasu honetan, limitea T-ren metatze-puntu bakarra da, 5.3 teoremaren antzeko frogapen batek erakusten duenez.

Baldintza hau, multzo euskarriak metatze-puntu bakarra izatea, hain zuzen, ez da nahikoa segida konbergentea izateko. {1,

1

, 2 ,

1

, 3 ,

1

segida erreala ez da konber

, 4 , ...}

gentea, nahiz beraren multzo euskarriak 0 eduki metatze-pun tu bakartzat.

5.5. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta Ac E. b A-ren puntu atxekia bada, ba dago A-n segida bat,

{a n } , b-rantz konber

gitzen duena. Puntu atxeki hori metatze-puntua bada, segidaren gai guztrak desberdinak har daitezke.

Frogapena beÄ denez, a

n

c B(b,

1

)n A

b e A'

.

4)n A

25 dugu; har dezagun

B(b, r d(a

n

,b)<

bada, B(b,

1

ñ

denez,

)n A

lim a = b dugu. n n*co

infinitua da eta a

n

aukera

tzean aurrekoen desberdina har dezakegu.

Oharra. Teorema honen alderant'zizkoa ere egia da, aurreko 5.4 teoremaren korolarioa bait da.

Azpisegidak Biz g:

injekzio gorakor bat eta {a n } espa-

125

zio metriko baten segida bat. Defini dezagun {b n } segida b

n

= a g(n) eginez; {b n } {a n } -ren azpisegida dela esaten

da.

Hitz arruntez esanda, azpisegida batek segidaren gaiak hartzen ditu (ez denak) dauden ordena gordez. Kasu partikularra litzateke g injekzioa identitatea izatea zeren, orduan, segida bera azpisegidatzat lortuko bait genuke.

5.6. Teorema

-rantz konber-

(E,d) espazio metrikoan segida batek

gitzen du baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiek -rantz konbergitzen badute.

Frogapena

(i) Segida bera azpisegida izanik, bistakoa da baldintza nahi koa dela.

(

ii)

lim a n n,co Orduan,V E > 0 Biz

denez,

3

eta { b

= 2,

3 n

o

:

n

}

= {

a

g( n)

n — > n d(an, o

n z 1 einentzat

g(n)

} azpisegida bat.

£) < E

n

> n o

Vn>n i d(bn,2) < E eta {b n } segidak



g gorakorra

>n

1Beraz,

-rantz konbergi

tzen du.

Segida baten azpisegida guztiek izan behar dute konber genteak segidaren konbergentzia ondorioztatzeko. Gerta daiteke segida ez-konbergente batek azpisegida konbergenteak iza-

126

tea:

biz a

n

= (-1)

n

segida erreala; b

n

= a

2n

definituz,

azpisegida konbergente bat dugu, konstantea bait da.

§V.2. SEGIDA CAUCHYARRAK

5.7. Definizioa (E,d) espazio metrikoaren segida bat.

Biz {a n }

{an}

cauchyarra da ondoko baldintza hau betetzen badu: V c >0

3 n : p,q >

—

o

n

o

d(a p ,a ) < e

Idatz dezagun T n = {a k / k >n } {a n}

segidarentzat.

Segida cauchyarraren definizio baliokide bat eman dezakegu:

5.7. Definizioa (bis)

{a n } segida cauchyarra da baldin eta soilik baldin lim n+ao

d(T

n

) = 0

bada.

Hitzez esanda, gutxi gora-behera, honela azal daiteke: edozein balio positibo emanda, segidaren gai batetik aurreran tza daudenen arteko distantziak emandako balioa baino txikiagoak dira.

5.8. Teorema

Segida konbergenteak cauchyarrak dira.

127

Frogapena } segida konbergente bat eta lim a = £ . Or n n.co zeinentzat n>. n deduan, c >0 bada, aurki dezakegu n o o Biz {a

nean,

n

d(a n ,£) < -.,

Baina,

bait da.

p,q > n o badugu,

d(a ,a ) < d(a p ,£) + d( 2, ,aq ) < e p q - (Hau da, Cauchy-ren baldintza betetzeko c -i lotzen zaion n

o

, limitearen baldintza betetzeko -E-ri lotzen zaiona 2

da).

Teorema honen alderantzizkoa ez da egia, kontradibide honek erakusten duenez:

1 { -} 71

segida konbergentea da IR-n, beraz cauchyarra; se-

gida bera (0,11-en kontsideratuz cauchyarra izango da (bi gai ren arteko distantzia IR-n zuten berbera da) baina ez du limi terik.

Alderantzizkoa gertatzen den espazioak osoak deitzen di ra, aurrerago ikusiko denez.

5.9. Teorema Segida cauchyarrak bornatuak dira.

Frogapena 5.4 teoremarena bezalakoa da limitearen ordez segidaren gai egoki bat hartuz.

128

e= 1 izanda, Cauchy-ren baldintzaz, 3N >0 : p,q >N Vp >N

d(a ,a ) <1 . Orduan, P q r = 1 + max

d(ap, a N ) < 1 dugu eta

{d(al,aN), d(a 2 , a N ) ,

ten badugu, Tc:B(a

N'

, d(a

N-1'

a )} egiN

r) da, T segidaren multzo euskarria

izanik.

Oharra. Frogapen berau pixka bat egokituz T hori aurretrinkoa dela froga daiteke.

5.10. Teorema

Segida cauchyar batek azpisegida konbergente bat badu, bera ere konbergentea da, eta limite berberantz, hain zuzen.

Frogapena {a } segida cauchyar bat eta {b n } = {a g(n)} azn

Biz

pisegida konbergente bat,

lim b n = n

izanik.

n , co

3 n o > 0 : p,q > n o d(a p, a q ) < 2. { b n}

e > 0 bada,

segidaren gaiak {a n } -tik hartu direnez, limitearen definizioaz,

k > n p : d(ak,R)

Orduan, n

n b ada: o

d(a n ,R) < d(a n , a k ) + d(a k ,R ) <

Beraz,

lim n,co

a

n

= R

da.

E

129

5.11. Korolarioa Segidacauchyar baten multzo euskarriak metatze-punturik badu, segida konbergentea da.

Frogapena 5.5 teoremaren arabera azpisegida konbergente bat lor daiteke eta, eman berri dugun teoremaz, segida konbergentea da. Gainera, metatze-puntu bakar bat eduki behar du, segidaren limitea.

§ V.3. ESPAZIO OSOAK

5.12. Definizioa

(E,d) espazio metrikoa osoa da segida cauchyar guztiak konbergenteak badira.

Adibideak

a) 5.13. Teorema }F{ ohizko metrikarekin osoa da.

Frogapena Biz {a n } segida erreal cauchyarra eta T beraren mul tzo euskarria.

T finitua bada, beraren elementu bat infinitu aldiz



130

agertuko da, beraz, goiko segidaren azpisegida konstante bat dago. Azpisegida konstante hau konbergentea da, noski, eta, 5.10 teoremaz,

{a n } ere.

T infinitua bada, bornatua denez, existitzen da [c,d] tarte itxi bat zeinentzat T c[c,d] den.

Baina [c,d] trin-

koa da eta T infinitua, hortaz, T-k metatze puntu bat du. 5.11 korolarioaz, {a n } konbergentea da.

Oharra. Frogapen honetan P-ren itxi bornatuen trinkotasuna erabili dugu. Propietate hori erabili gabe ere froga daiteke, 5.20 probleman proposatzen denez. Orduan Ft-ren osotasunamul tzo itxi bornatuak trinkoak direla ikusteko erabil daiteke.

b) E k

ohizko metrika batekin ere osoa da. Hau frogatu aurre-

tik eman dezagun lema bat:

5.14. Lema k

a n } konbergentea da (erresp. cau-

E -ren segida bat

{a ni }

chyarra) baldin eta soilik baldin

i = 1,2,...,k

koor-

denatu-segida bakoitza konbergentea (erresp. cauchyarra) bada.

Frogapena (i) Biz

{a n } konbergentea eta

3

limitea. c >0 bada

Baina, orduan,

la

ni

-3?,

n

n

=

£k) beraren

n : n > n ==>,(/: la - — 0 0 i=1 ni

,2,1/2

o

11 < ( E

i — i=1

la

ni

-

2 .1

1/2 )

< e

i = 1,2,..,k

< e



131

eta



i = 1,2 ..... k n.co

.

eta e>0 . Orduan,

i = 1,2,...,k

nA.co 3n:n>n- - o

la

ni

-2, .1 <

i = 1,2,...,k

(Koordenatu guztientzat n o bera hauta daiteke, bakoitza ri legokiokeenetarik handiena hartuz). Orduan,

i=1

eta lim n,co

la '

_£ .i 2 \ 1/2 <( /

k j.=1

2 1/2 k

=

a = Q . n

Beste metrikentzat eta Cauchy-ren baldintzarentzat antzeko bide bat segi daiteke.

5.15. Teorema

IR k osoa da ohizko metrika batekin.

Frogapena k Biz {a n } R -ren segida cauchyar bat; orduan, aurreko lema aplikatuz,

{a ni }

cachyarra da ]R-n

na IR osoa da eta, orduan, {a ni} eta, berriro aurreko lema aplikatuz,

i = 1,2,..,k. Bai-

bakoitza konbergentea da {a n } ere konbergentea

izango da. k Egia esan, R -ren osotasuna frogatzeko 5.13 teoreman



132

egin dugun gauza berbera egin zitekeen, trinkotasuna erabiliz. Hala ere bide honi hobeto deritzogu, bertan P-ren osotasuna eta garrantzi handia duen 5.14 lema erabiltzen bait dira. Bi de hau, gainera, biderkadura-espazioetan egiten denadugu (ikus VII. kapitulua).

e) Biz (E,d) espazio metriko bat non d metrika diskretua den. Orduan (E,d) osoa da.

{a } (E,d)-ren segida cauchyar bat bada, E= n

1

hartuta

Cauchy-ren baldintzak zera ematen du:

3 n o : p,q

no



d(a P , a

q

)

< 1

eta honek, metrika diskretuaren definizioaz, a = aq Vp,q > n o • eskatzen du. Beraz,

(E,d)-ren segida cauchya-

rrak erdikonstanteak dira eta, orduan, konbergenteak.

d)

(0,1) ohizko metrikarekin ez da osoa

'

1 , segida cauchya -n+11

rra ez bait da konbergentea.

ere ez da osoa, Analisitik ezaguna denez. Seg da cauchyar ez konbergente bat hautatzearren, har dezagun a

n

1 n = (1 + 7 )

gai orokortzat duena.

Bi multzo hauek (eta beste asko)

osoak

ez di-

rela 5.16 teoremak ematen digu berehala.

e) Espazio metriko baten osotasuna metrikaren dependentea da eta ez topologiarena; hots, multzo berean definitutako bi metrika desberdin topologikoki hliokideak izan arren es-

133

pazio metriko bat osoa izan daiteke eta ez bestea. Konbergentzia propietate topologikoa denez, segida cauchyarra iza tea ez da topologikoa.

metrika diskretuarekin; orduan, osoa da, gora

Biz

go ikusi denez. Kontsidera dezagun orain 1n1-n beste metrika hau:

d'(m,n) = I

;71

-

I .

Metrika hau diskretuaren to

pologikoki baliokidea da eta a n = n gai orokortzat duen segida, d' metrikarentzat, cauchyarra da baina ez konbergen tea.

Azpiespazio osoak (E,d) espazio metrikoa bada eta Fc:E, (F,d) azpiespazioaren osotasuna interesatzen zaigu orain.

Biz {a n } segida bat E-n; a

n

c F bada

Vn,

F-n defi

nitutako segida bezala har daiteke. Orduan: - (E,d)-n segida cauchyarra bada, (F,d)-n ere eta alderantziz.

- (E,d)-n konbergentea bada eta limitea F-n badago, (F,d)-n ere konbergentea da, limite bera duelarik.

- (E,d)-n konbergentea bada eta limitea F-n ez badago, (F,d)-n ez da konbergentea.

- (F,d)-n konbergentea bada, (E,d)-n ere.

5.16. Teorema Biz

(E,d) espazio metrikoa eta FC:E.



134

(i)

(F,d) osoa bada, F itxia da.

(ii) (E,d) osoa bada eta F itxia, (F,d) osoa da.

Frogapena

(i)

Biz xe T . Orduan, 5.5 teoremaz, existitzen da segida bat F-n, x limitetzat duena. Segida hori konbergentea izanik, cauchyarra izango da eta F-ren osotasunaz, be raren limiteak F-n egon behar du. Beraz, x c F dugu eta F itxia da.

(ii) Biz {a n } (F,d)-ren segida cauchyar bat. (E,d)-n ere cauchyarra izango da eta, hau osoa denez,

lim a =2, c E n+co n dugu. Segida F-n dagoenez, 5.4 teoremaz, R E T dugu eta, F itxia denez,

R e F. Orduan,

F osoa da.

5.17. Korolarioa

(E,d) espazio metriko osoa bada, F osoa da baldin eta soilik baldin itxia bada.

Honek erakusten digu berriz ere (0,1) eta Q ez direla osoak ohizko metrikarekin.

5.18. Teorema

Biz

(i)

{F.}

i c

(E,d) espazio metrikoa.

(E,d)-ren azpiespazio osoak badira eta

135

F q 3 i

in I

,

i. E I F.



osoa da.

n (ii) {F.}

1 <].< n

osoakbaclira,LJF.ere osoa da. i=1

Frogapena

(i)

itxia da, itxien ebakidura bait da; gainera, edo F. . n is I i -rentzat, o

zein

n

ie I

F. c F

.

Orduan, 5.16 teoremaz,

io

F i osoa da.

(ii) Bi azpimultzorentzat ikustea nahikoa izango da. F 1 eta F 2 osoak izanik, ikus dezagun F 1 U F 2 ere osoa dela.

Har dezagun {a n } segida cauchyarra F l U F 2 -n eta kon tsidera ditzagun N

1

= {ne

/ a

n

EF

1

}

eta N

2

= {n sIN / a

n

s F

2

}

Multzo hauetarik bat, gutxienez, infinitua da; demagun N da,

dela. Orduan, {a

1

(F

1

segida cauchyar bat 1 ,d) espazio osoan, beraz, konbergentea. Jatorrizns N

ko segidak azpisegida konbergente bat duenez, konbergentea da.

Espazio metriko osoentzat ondoko ezagupide hau dugu:

5.19. Teorema

Biz

(E,d) espazio metrikoa. Orduan, ondoko baiezpenok

baliokideak dira:

136

( )

(E,d)

(ii) A

1

osoa da.

DA . ..p 2

A

n

'D

herakorra bada eta

multzo itxi ez-hutsen segida be lim n+co

6(A ) = 0, n

n n=1

A

n

multzoak

puntu bakar bat du.

Frogapena

(i) ~(ii)

Har dezagun a n e A n eta kontsidera dezagun {a n } segi da. T n = {a k

/ k>n}cA n denez,

6(T n )

6(A

n

) dugu

eta lim 6(T ) = 0 izango da; beraz, {a n } cauchyarra da n n+co (ikus 5.7 definizioa, bis).

(E,d) osoa denez, existitzen da

= lim a . Gainen+co n A .

n

ao

ra, Q c '71"

C

n

n

= A

n

, beraz, Q e

n=1

ao

£le

A n balitz,

n=1 beraz,

teke,

(ii)

n

d(R,R 1 ) = 0

) < 6(A n ) Vn izango litza eta

52,= Q 1 .

> (i)

Biz {a n } segida cauchyar bat eginez,

T

1

:)T

2

:DT d ugu 3

(E,d)-n . T n = {a k /k>n }

eta

lim (5(T ) = 0 da, n n+co

segida cauchyarraren definizioaz.

Orain, A n

= Tn

ipiniz, A 1

lim 6 (A n ) = 0, 6(A n ) = 6(T ) n n+w siz, A n = {x} dugu. n=1

n

D

A

2 A 3

bait da.

D



eta

Orduan, hipote



137

e >0 bada, har dezagun n n > n

Orduan ,

o

zeinentzat

o

(A

n

)<eden.

d(a n ,x)<e da eta x = lim a n dugu . n co

Teorema honek ]R-ren kasuan zera ematen du: ]R-ren oso tasuna eta Cantor-en tarte kolkoratuen teorema baliokideak di ra.

Teoremaren propietatean hipotesi guztiak beharrezkoak dira:

a) Multzoak itxiak ez badira, ebakidura hutsa lor daiteke. Adibidez,

]R-n A

n =

(O,

1

)

hartzen denean, segida beheao

rakor bat dugu,

lim

(A ) = 0 da baina n

n

n=1

A

n

= ,25 .

b) Diametroek ez badute 0-rantz jotzen ere ebakidura hutsa lor daiteke. Adibidez,

R-n

A

n

= [n, + op )

ez-hutsen segida beherakor bat dugu, baina

hartuta, itxi co A = (6 da. n n=1

n

§V.4. OSOTASUNA ETA TRINKOTASUNA

5.20. Definizioa

Biz

(E,d) espazio metrikoa eta Ac:EE. A

segidaz

trinkoa da A-ren edozein segidak azpisegida konbergente bat (A-n) badu.

5.21. Lema Multzo aurretrinko batetan edozein segidak azpisegida cauchyar bat du.



138

Frogapena Biz {a n } multzo aurretrinko batetako segida bat eta dei dezagun T segidaren multzo euskarria.

T finitua bada, gutxienez elementu bat infinitu aldiz agertzen da eta, horrela, azpisegida konstante bat dugu, cauchyarra beraz.

T infinitua bada, 1 erradioko bolez estal dezakegu, bo lak kopuru finituan egonik. Orduan, gutxienez bola batek T-ren infinitu elementu ditu. Bola hori B

1

deituko dugu eta ber-

tan dauden elementuek ematen duten segida {a

1

1 , a 2

a

1

onen multzo eskarria. idatziko dugu. Biz T h 1

1/2 erradioko bolez estalki bat eginez, bola batek B bola hori eta T -en infinitu elementu ditu. Biz 2 1 2 2 elementu horiek ematen duten segida. , ....} , a3 {a a 1 , Biz T

segida honen multzo euskarria eta errepika dezagun

2

prozedura, hurrengoan 1/3 erradioa erabiliz.

Honela, segida bakoitza aurrekoaren azpisegida da, segidaren multzo euskarria beti infinitua da eta T

1

6 (T

DT n

2 T 3 T n

)

6(B ) < n — n

Har dezagun

,

T

n

C B

izanik,

n

hots,

.

1 2 3 {a l , a 2 , a 3 ,

a

n

'

...}

segida dia-

gonala. Segida hau emandakoaren azpisegida da; ikus dezagun cauchyarra dela. o

badira,

c> 0 bada, biz n

o

: n

o

> 2/ c orduan,

< c . , aq)< a P , a q B eta d(a pp' n q n p q o o

139

5.22. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa. Orduan, ondoko baiezpenok baliokideak dira: (i)

E trinkoa da.

(ii)

E aurretrinkoa eta osoa da.

(iii)

E segidaz trinkoa da.

Frogapena

Multzo trinkoak aurretrinkoak direla 3.12 teoremak fro gatzen du.

E osoa dela ikusteko, 5.18 teoremaren ezagupideaz baliatuko gara. Biz, bada, A 1 D A 2 A33 ez-hutsen segida beherakor bat eta lim

multzo itxi (An) = 0 ; 3.15 ko-

rolarioak erakusten duenez, E trinkoa izateagatik, da eta lim

n

A

neiN n

(An) = 0 denez, puntu bakar bat izango da. Hor

taz, E osoa da.

(ii)==>(iii) Biz {a } E-ren segida bat. E aurretrinkoa bada, aurre n ko lema aplikatuz {a n }-tik azpisegida cauchyar bat atera daiteke eta, espazioa osoa denez, azpisegida hori konbergenteada. Hortaz, E segidaz trinkoa da.

(iii)==>(i) E segidaz trinkoa denean BW dela ikusiko dugu (3.21

140

teoremaz trinkoa ere izango da).

Biz Ac:E multzo infinitu bat. A-n {a n } segida bat har daiteke beronen gai guztiak desberdinak direlarik; E segi daz trinkoa denez, segida horrek azpisegida A-n konbergente bat du eta azpisegida horren limitea A-ren metatze - puntua izango da. Hortaz, E BW da.

Oharrak. 1. Teorema honetan erdi izkutuan erresultatu hau du gu: espazio trinkoak osoak dira.

2. Trinkotasunaren hirugarren forma baliokide bat daukagu hemen, segidazko trinkotasuna hain zuzen. Baina, besteentzat ger.tatzen den legez, baliokidetasuna espazio metrikoetan dugu, ez topologia orokorrean.

§V.5. BAIRE-REN TEOREMA

Orain lortuko dugun erresultatu hau garrantzizkoa da Analisi Funtzionalean, teorema handi batzuen frogapenetan era bilia bait da.

5.23. Definizioa

Biz (E,d) espazio metriko bat eta ACE. A lehen kategoriakoa da multzo inon ez dentsoen bildura kontagarria bada. Bigarren kategoriakoa da lehen kategoriakoa ez bada.

Gogora bedi multzo bat inon ez dentsoa dela beraren

141

itxiduraren osagarria dentsoa denean (edo itxiduraren barrual dea hutsa).

Izen hauek ez dute inolako informaziorik ematen propie tate honetaz eta beraien ordez mehea ("magro, maigre, meager") eta ez-mehea erabil daitezke. Dena dela, oraindik, askoz ere gehiago ikusten dira kategoriazko izendapenak.

Berehalako propietate batzu:

(i)

ACB bada eta B lehen kategoriakoa, A ere.

(ii) Lehen kategoriako multzoen bildura kontagarriak lehen ka tegoriakoak dira.

(iii) Multzo itxi batek barrualde hutsa badu, lehen kategoria koa da (nabaria da, inon ez dentsoa bait da).

Adibideak

1. Puntu bakar bat duen multzo bat inon ez dentsoa (eta, beraz, lehen kategoriakoa) da baldin eta soilik baldin puntua isolatua ez bada.

2. Q lehen kategoriakoa da; kontagarria denez, puntu bakar bateko multzoen bildura kontagarri bezala idatz daiteke eta puntu horiek isolatuak ez direnez, multzoak inon ez dentsoak dira.

3. Espazio diskretu batetan ez dago inon ez dentsoa den multzo ez-hutsik. Ondorioz, edozein multzo ez-huts bigarren katego riakoa da.

142

4. IR

2

planoaren abzisa-ardatza lehen kategoriakoa da (inon ez

dentsoa da). F

2

bera bigarren kategoriakoa da, Baire-ren

teorematik aterako denez.

5.24. Lema A inon ez dentsoa bada eta U ireki ez-hutsa, aurki daiteke bola bat B, U-ren parte eta A-ren disjuntua.

Frogapena Demagun ez dela hori gertatzen. Orduan, xe U bada, x zentrutzat duen edozein bolak A-ren puntuak ditu eta, ondorioz, xc A da. Hau U-ren puntu guztientzat egia izanik, Uc:Ä litzateke. Baina hau absurdua da, JA" =

bait da.

5.25. Teorema (Baire-ren teorema)

Espazio metriko oso bat bigarren kategoriakoa da.

Frogapena Demagun lehen kategoriakoa dela. Orduan, E =A n ' nelNI A

inon ez dentsoa delarik. n

Har dezagun A l ; aurreko lema aplikatuz, B 1 bola itxia aurki dezakegu, A 1 -en disjuntua eta erradioa < 1

duelarik.

(Bola batek lema betetzen badu zentru bereko eta erradio txikiagoko edozeinek betetzen du). Orain A 2 hartuta, aurki dai teke B

2

bola itxia, B -en partea, A -ren 2 1

erradioa < 1/2 duelarik (A = A

2

eta U = B

disjuntua eta 1

multzoei apli-



143

katu behar zaie aurreko lema). Honela segituz, bola itxien se gida beherakor bat lortzen dugu, erradioek 0-rantz jotzen dun 1 hartubaitda) etaB n 0(U A)= e5 telarik (B -ren erradioa n i=1 izanik.

n

Espazioa osoa denez,

nc }I\I

B = { a} da (ez-hutsa) eta n

An Vn . Ondorioz, E

eraikibideaz, a

#

U

nelf\I

A

n

hipotesia ,

ren aurka. Beraz, E bigarren kategoriakoa da.

5.26. Korolarioa Espazioa metriko oso batetan ireki dentsoen ebakidura kontagarria dentsoa da. Bereziki, ireki dentsoen ebakidura ho ri ez da hutsa.

Frogapena Izan bitez

ireki dentsoak; orduan r i k = E n __c eta, beraz, A cn inon ez dentsoa da (A cn = A n bait da). {An}nc

E osoa denez, E

U

nc

Gainera, V irekia bada, V

Ac n

dugu aurreko teoremaz.

J i\J A da, aurreko frogapenean ne n

B c:V hartuz gero ikusten denez (posible da 5.24 lemaren ara 1 bera). Orduan, A c ) c v nU nc 1\1 n

beraz,

nc

A

n

edo

v

n

n e lN

A ) n

dentsoa da.

Aplikazioak Ez da erraza maila honetan Baire-ren teoremaren aplika



144

zioak aurkitzea. Analisi Funtzionaleko teorema garrantzitsuenetariko bi frogatzeko erabiltzen da (korolarioa batez ere); teorema horiek Banach-Steinhaus-ena eta aplikazio irekiarena dira eta liburu espezializatuetan aurki daitezke.

Ba dago, bestalde, beste aplikazio bat hurbilago gelditzen dena Analisi elementala ezagutuz gero. Erresultatu hau lortzen da: [a,b] tartean definituriko funtzio jarrairik "gehienak" ez dute deribaturik (ezta albo-deribaturik ere) inongo puntutan. Frogapena, labur esanda, honelaxe egitenda:

(i)

C( [a,b] ) , [a,b]

tartean definituriko funtzio jarraien

multzoa izanik, eta f,ge

d(f,g) =

sup a < t‹ b

c(

[a,b] ) ,

If(t) — g(t)I

metrika bat da eta (C( [a,b] ),d) osoa da (konbergentzia uniformea erabili behar da; ikus hurrengo kapitulua), be raz, bigarren kategoriakoa.

(ii) Biz A [a,b)-ko puntu batetan gutxienez eskuin-deribatua duten funtzioen multzoa. Ipin dezagun

E f n

e

e( [a,b] ) / 3x

f(x+h) - f(x)

Orduan, A

C n Y iN

En

lehen kategoriakoa da.

c [a,b -

n den V h,

eta E

n

zeinentzat

1 h< — n

inon ez-dentsoa denez, A

145

(iii) B (a,b] -ko puntu batetan gutxienez eskuin-deribatua duten funtzioen multzoa bada, B ere lehen kategoriakoa da.

(iv)

Ondorioz, e( [a,b] ) - (A(J B)

bigarren kategoriakoa

da, beraz ez-hutsa. Multzo honetako funtzioek ez dute ez eskuin- ez ezker-deribaturik [ a,b] tarteko inongo puntutan. Lehen kategoriako multzoak bigarren kategoria koak baino "meheagoak" direnez, funtziorik "gehienak"

e(

a,b] ) - (AU B)-n daude.

Frogapen hau Banach-ek eman zuen lehen aldiz (1931) eta Pitts-en "Introduction to Metric Spaces" liburuan aurki daite ke (7. kapituluan).

Existentzia teoriko hau frogatu orduko Weierstrass-ek XIX. mendean eraiki zuen funtzio jarrai bat inon ez deribaga rria. Ikus adibide bat Spivak-en "Calculus" liburuan, 23. ka pituluan.

§V.6. OSAKUNTZA

Espazio metriko ez-oso bat dugunean, osotzeko bide bat eman daiteke. Baina osotze hori honela ulertu behar dugu: bes te espazio metriko bat lortuko dugu eta hasierako hura berri honen parte baten isometrikoa izango da, parte horrekin identifikatzen delarik.

146

5.27. Teorema Biz (E,d) espazio metriko bat; orduan, existitzen da (E*,d*) espazio metriko osoa zeinentzat zera dugun:

(i)

(E,d) (E*,d*)-ren E 1 azpiespazio baten isometrikoa da.

(ii) E

1

dentsoa da E*-n.

Baldintza hauek betetzen dituen beste edozein espazio oso (E*,d*)-ren isometrikoa da.

Frogapena Urrats hauek emango ditugu:

a)

(E*,d*)-ren eraiketa: multzoa eta metrika.

b)

(E,d)-ren azpiespazio isometrikoa

c)

E

d)

E* osoa da.

e)

(E*,d*) bakarra da, isometrikoak salbu.

1

: E1

dentsoa da E*-n.

a) E-ren segida cauchyarren multzoan erlazio bat definitzen dugu:

{a n }

{a n } eta {b n } segida cauchyarrak badira,

R

{b l im n

d(a ,b ) = 0 n n n.a)

Adibidez, limite berbera duten segida konbergenteak erlazionaturik daude. Baliokidetasun-erlazioa da (ia nabaria) eta, orduan, zatidura-multzoa defini daiteke. Zatidura-mul tzo honi E* deituko diogu.

147

E* eta {a n } eta {b n } A eta B klaseen

Bira A,B

adierazleak, hurrenez hurren. Defini dezagun

d*(A,B) =

lim n .co

d(an , bn)

Ikus dezagun d*(A,B) elR dela, ez duela hautatutako adierazleen dependentziarik eta metrika bat dela.

1d(a

n'

b

n

) - d(a

b )1 d(a ,a ) + d(b b ) m m' m n n' m

dugunez, {a n } eta {b n } cauchyarrak izanik,

{d(a n, b n )} cau

chyarra da ]R-n eta orduan konbergentea, hots, d*(A,B)<+co.

Bestalde, A-n eta B-n beste adierazle batzu hartzenba dira, {a ry eta {b 1:1 }, zera dugu

1d(a n ,b n ) - d(a 1:1 , b t:1 )1

< d(a n ,a;1 ) + d (bn,br",)

eta erlazioaren definizioaz bigarren atalak 0-rantz jotzen duenez,

lim d(a n ,b n ) =

lim d(a f'1 , 10;1 )

eta ez dago adie-

razleen dependentziarik.

Egiazta dezagun, lehen urratsa bukatzeko, d* metrika dela. M1 nabaria da, segida ez-negatibo baten limitea beti ez-negatiboa bait da.

M2 d*(A,A) = 0 ere nabaria da, a

n

= b

n

har bait

daiteke. lim d(a b ) = 0 da eta, orduan, n' n n-.co erlazioaren definizioaz, {a n } eta {b n } klase berekoak dira, d*(A,B) = 0 bada,

148

hots, A = B . nabaria da.

M3. d*(A,B) = d*(B,A)

M4.

{a n } ,{b n } eta {c n } A,B eta C klaseen adierazleak ba

dira, hurrenez hurren, d(a n ,b n ) d(a n ,c n ) + d(c n ,b n )

denez, limitera pasatuz,

d*(A,B) < d*(A,C) + d*(C,B)

b) (E*,d*)-ren parte bat E-ren isometrikoa lortu behar dugu. ae E bada, a gai guztietan duen segida konstantea cauchya rra da eta segida horri dagokion klasea kontsidera dezakegu. Klase horien multzoa E

1

izendatuz, nabaria da E eta

E -ren arteko bijekzioa. 1 Gainera, a,be E badira eta A,Be E l dagozkien klaseak

lim d(a,b) = d(a,b) n+w

d*(A,B) =

eta distantziak gordetzen dira, hots, isometria bat dugu.

c) E

1

dentsoa da E*-n.

Biz Ae E* eta {a n } A-ren adierazle bat. Kontsidera dezagun a k bakoitzarentzat ri dagokion A

k

{ak,ak,ak,...} segida konstantea-

klasea. Orduan, A

e >0 bada, biz n o denean. Orduan,

d*(A,A k ) =

k

k

e E

l

da.

zeinentzat d(a ,a )< e den, p,q> n o P

n d enean o

lim d(a a ) n' k n-'co



149

Beraz, A = lim A k eta E 1 = E* n+m

d) E* osoa da. Biz {A n } E*-ren segida cauchyar bat. A k bakoitzarent.zat har dezagun B k eE l zeinentzat d*(Ak,Bk) b

Bk

k

1

den eta biz

klaseari dagokion segida konstante adierazlearen

gaia. Ikus dezagun

{bk}kci\I definituz, E-ren segida cau

chyar bat dugula.

d(b p, b q ) = d*(B Bp q ) _
l\J cauchyarra izanik, {bn}n }n c

eta {An

ere cauchyarra

izango da. {b } segidari dagokion klasea B izendatuz, zera dun n gu d*(B,A

n

)
n

) + d*(B

n'

b ) + A )<.lim d(b k' n n n-b.co

1

E>0 izanda, n nahiko handia hartuz, d*(B , A n ) < c

eta

dugu. Hots, B = lim A n eta n n+co

e) Demagun

E* osoa da.

(E',d') espazio metriko osoa dela, E 2 C E', (E,d)

(E 2' d')-ren isometrikoa eta E 2 E'-n dentsoa.

Orduan,

(E',d') (E*,d*)-ren isometrikoa da.

Biz A E E* ; nola E

1

dentsoa den E*-n, existitzen

da E -en segida bat A-rantz konbergentea. Biz {A } kei\J 1 k segida hori.

E 1 eta E 2 isometrikoak direnez (biak E-ren

150

isometrikoak bait dira), biz {%} k Elt\J isometria horren bi dezko { A

k

} segidaren irudia. {A'

E'-ren segida cauchyar

bat izango da, {A k} ere cauchyarra bait da eta isometrian distantziak gordetzen bait dira, eta E' osoa denez, limitea edukiko du E'-n. Limite hori A' izendatuko dugu.

Honela, A cE*-ri A' cE' lotuz E*-tik E'-rako aplika zio bat definitu dugu (erraz ikusten da ez duela A k segidaren dependentziarik) eta aplikazio hori suprajektiboa da, bidea atzekoz aurrera ere egin bait daiteke. Distantziak gordetzen dituela ikusiz isometria izango da, horrek injektibotasuna segurtatzen bait du.

Izan bitez A,B eE* eta dei ditzagun A',B' irudiak. A = lim A

k

rE+" CO

A k, B

k

eE 1 izanda. A'

beraien

eta B = lim B izan daitezke, k n -+ co eta B'-ren E -ko irudiak badira, 2

zera dugu

d'(A',B') = lim

=

d*(A k ,B k ) = d*(A,B)

k->C0

(Lehen eta hirugarren berdintzetan 5.3 problema apli katu dugu).

Honekin teorema osorik frogatuta gelditzen da.

Oharra.- Q, zenbaki razionalen multzoa, ez da osoa ohizko me trikarekin. Osotzeko, zenbait bide proposatu izan dira, Cauchy-ren segidena da horietariko bat. Hemen espazio abstraktu batentzat egin dena ]R-ren eraikibide horretan oinarritzenda baina, kontutan hartu behar da frogapenean IR-ren osotasuna era

151

bili egin dela.

Q-tik abiatuz IR eraiki nahi denean zati hori ez da beharrezkoa eta, beste helburu batzu daudenez, 7R-ren eragiketak eta ordena-erlazioa definitu behar dira, gainera. Halaere, frogapen honen zatirik gehienak egokiak dira han aplikatzeko.

1R-ren eraiketa honetarako ikus R. Couty eta J. Ezra-ren "Analyse" liburua.

5.28. Korolarioa (E,d) espazio metriko oso bat bada, (E,d) eta bere edozein osotu bat isometrikoak dira.

5.29. Korolarioa (E,d) espazio metriko oso baten (E,d) azpiespazioa hartzen badugu, (F,d)-ren osotutzat(F,d) har daiteke.

Frogapena (F,d) osoa da (ikus 5.16 teorema) eta F F-ren azpimultzo dentsoa da.

Oharra.- Espazio baten osotua lortzeko beste bide bat 6.35 problemak proposatzen du.

152

PROBLEMAK

5.1. Biz {a n } zenbaki errealen segida gorakor eta goitik bornatu bat. Froga bedi konbergentea dela eta haren limitea (Aski da supremoaren definizioa) . t= sup a n dela. neIN n Eman eta froga segida beherakor eta behetik bornatu bati dagokion erresultatua.

5.2. a n = 1 -

1

+

1

1

-

+

+

(-1)

n-1 izanda, froga bedi

{a } segida cauchyarra dela P-n. n

5.3. lim a = a eta lim b n = b izanda, froga bedi n n+m n+m lim d(a ,b ) = d(a,b) n n n+co



dela.

5.4. Biz {a n } espazio metriko baten segida bat. Froga bedi {a } 2n

} konbergenteak badira, {a ,} eta {a } {a n 3n 2n+1

ere konbergentea dela. Nahikoa izango litzateke {a 2n } eta {a

2n+1

}

konbergenteak izatea? Eta {a 2n } eta {a3n}?

Eman zenbaki errealen segida ez-konbergente bat {an} zeinentzat {a kn } azpisegida konbergentea den

V k >2 .

(Pentsa bedi kn ez dela inoiz zenbaki lehena).

5.5. Bira {a n } eta {b

n

} E-ren segida bi, {a n } cauchyarra eta



153

lim d(a. ,b ) = 0. Froga bitez: n n n->co (i)

{b n } cauchyarra da.

(ii)

{b n } -k z-rantz konbergitzen du baldin eta soilik baldin {a n } -k z-rantz konbergitzen badu.

5.6. Bira {a n } eta {b n } segida bi eta demagun {nc ]N / a

n bn

finitua dela. Froga bedi edo biak limite berbera dutela edo biak ez-konbergenteak direla.

5.7.

(i) Biz {a n } segida erreal bat Baldin b < z

bada,

z-rantz konbergentea.

3 n o : Vn > n o , b < a n .

(ii) Ondorioa: {a n } konbergentea bada eta limitea ez-nulua, gai batetik aurrerantza daudenak limitearen zeinu berbera dute.

(iii)

{a } konbergentea bada eta a < b n n

lim a < b . Zer esan daiteke n n+co

5.8.

V n > no

'

a < b denean? n

(i) Bira lim a = Q eta lim b , st, < R izan n = n + co n*co nik. Froga bedi existitzen dela n o c IN zeinentzat n no denean,

a
(ii) Bira lim a = z , lim b eta a < b n n = n n n . co n.co Vn > n . Froga bedi z< zi dela. Q Eman z = gerta_ o tzen den adibide bat.

}



154

5.9.

Bira {a n } ,{b n } eta {c n } segida errealak eta a n b n c n

n o . Baldin lim a n = lim c n = z n+co n.co bada, froga bedi lim z dela. Vn

n.co

5.10. (i)

Froga bedi segida cauchyar baten multzoeuskarria fi

nitua bada, segida erdikonstantea dela (beraz, konbergentea). (ii) Ondorioa: Espazio metriko baten puntuak kopuru fini tuan badaude, espazioa osoa da.

5.11.

d metrika bat E-n eta d'(x,y) = min {1,d(x,y)} Froga bedi {a n } (E,d)-n cauchyarra dela baldin eta soilik

Biz

baldin (E,d')-n cauchyarra bada.

5.12.

ondoko metrika hau

Defini dezagun

Ix — yl

d(x,y) -

1+x 2 11+y2

Froga bedi (P,d) ez dela osoa.

5.13.

Kontsidera dezagun

ondoko metrika hau:

1 1 d(m,n) = i rT1 - 71-1

Ikus a n = n gai orokortzat duen segida cauchyarra bai

155

na ez-konbergentea dela. E = lini*U{+co

metrika berberarekin

(1/+

= 0

definituz), osoa da.

ondoko metrika hau

5.14. Defini dezagun

1 m + n

d(m,n) = 1 +

m

n

m = n

= 0

1 Froga bedi (]N,d) osoa dela. ff(n, 1+ --) bolak hartu 2n ta, egiazta bedi bola itxien segida beherakor bat dugula baina beraien ebakidura hutsa dela (diametroek ez dute O-rantz jotzen).

5.15. Bira (E,d)

eta

(E',d . )

isometrikoak. Froga bedi

osoa dela baldin eta soilik baldin

(E',d')

(E,d)

osoa bada.

5.16. Demagun E-n bola itxiak trinkoak direla. Froga bedi E osoa dela eta E-ren parte trinkoak itxi bornatuak soilik direla. (Propietate hau

betetzen da).

5.17. Kontsidera dezagun IR-n ohizko metrika, d ,

d (x ' 1

y)

eta

ix-yi

zeinu x = zeinu

y

bada

lx-yi +

zeinu x # zeinu

y

bada

=



156

(0 zeinu positiboduna hartuko da distantziak neurtzeko). (i)

Froga bedi {a n } (iP,d)-n

bada,

(P,d

1

Q >0-rantz konbergentea

)-en ere konbergentea dela. Orobat

<0 de

nean.

(ii) Bira eta {c

n

1 a = n 7'

b

= -

n

} cauchyarrak dira

1 71- '

c

n

(R,d 1 )-

-

(-1) n

en?

n . {a

n

}, {b

n

}

Konbergenteak

dira? Azpisegida konbergenterik ba dute?

osoa da?

(:R,d ) 1

(iii)

5.18. Defini dezagun ]Ft-n ondoko metrika hau: l x i

y

x

IYI

d(x,y) = 0

x

=

y

osoa da?

5.19. {a n } segida erreal bat bada, defini ditzagun Tn={ak/k>n} eta b

n

= inf T

n

, c

n

= sup T

n

. Froga bedi {b n } eta

{c n } konbergenteak direla.

{b n } segidaren limitea {a } -ren behe-limitea deitzen n da eta lim inf

a

n

.idazten. Halaber, {c

n

} segidaren

limitea {a n } -ren goi-limitea da eta lim sup a

n

idaz

ten da. Froga bedi {a n } konbergentea dela baldin eta soilik baldin goi- eta behe-limiteak berdinak badira eta bien balio hori dela {a } -ren limitea. n

157

5.20. Froga bedi ]R osoa dela bide hau segituz: (i) Edozein segida erreal bornatuk azpisegida konbergen te bat du. (Laguntza: {a n } bornatua bada, ipin dezagun S = {xcIR / a n > x gehienez n-ren balioen kopuru fini tu batentzat } eta biz b = inf S . Ikus b-rantz konber gitzen duen

(ii) {a

n

{a n }-ren azpisegida bat eraiki daitekeela).

} cauchyarra bada, aurreko erresultatua aplika

dakioke.

(iii)

7R osoa da.

5.21. IR-ren osotasuna (eta 5.14 lemaz IR n -rena) erabiliz, fro ga bedi IR-ren (edo 1R n -ren) azpimultzo itxi bornatu bat segidaz trinkoa dela (beraz, trinkoa eta BW).

5.22. Biz (E,d) espazio metriko lokalki trinkoa. Froga bedi ondoko hiru propietateok baliokideak direla:

(i)

E trinkoen bildura kontagarria da.

(ii) E-ren parte trinkoen segida bat dago, zeinentzat

K

n

c:K

neIN

n+1 '

eta E

{K n } n

'

K den. = nU e 1N n

(iii) E banangarria da. (Laguntza: K E-ren azpimultzo trinko ez-hutsa izanik, ikus existitzen dela r > 0 zeinentzat K(r) ={ycE/d(y,K) < r} trinkoa den. E =

lJ ne

]N F

n

badugu, F

Vn, K = F eta K = F U Kn-1(r) n n n o o gu).

n

trinkoa ez-hutsa 0 definitzen ditu

VI, KAPITULUA

JARRAITASUNA

VI.1 Jarraitasuna puntu batetan VI.2 Jarraitasuna multzo batetan VI.3 Jarraitasun uniformea VI.4 Jarraitasuna multzo trinkoetan VI.5 Jarraitasuna multzo konexuetan VI.6 Arkuzko konexutasuna VI.7 Metrika baliokideak VI.8 Konbergentzia uniformea VI.9 Hedapen-teoremak VI.10 Puntu finkoaren teorema bat

160

VI. KAPITULUA

JARRAITASUNA

Topologian oinarrizko kontzeptua dugu jarraitasuna. Esan ohi da Topologia jarraitasunaz arduratzen den Matematika ren ada r ' ra dela.

Oso ezaguna da funtzio errealen jarraitasunaren defini

zioa.

Definizio berbera egokitzen da espazio metrikoen kasura

ere baina, aurretik, inguruneen bidezko definizio baliokide orokorrago bat emango dugu, generalizazioetarako balioko duena.

Jarraitasuna puntu bakoitzean aztertu behar da (puntua la) eta multzo batetako puntu guztietan bete daiteke (globala). Zenbait propietate agertzen dira: segidekiko erlazioa, konposizioaren jarraitasuna, funtzioen limiteekiko lotura (funtzio errealetan gertatzen zena oroiteraziz), jarraitasun globalaren ezagupideak (irekien eta itxien irudi inbertsoak irekiak eta itxiak izatea, alegia).

Bijekzio batek bi multzoren elementuak identifikatzen baditu, homeomorfismo batek bi espazio metrikoren (orokorrago, bi espazio topologikoren) egitura topologikoak identifikatzen ditu. Nahikoa izango da irekiak identifikatzea eta hau jarraitasunaz lor daiteke.

161

Ondoren, jarraitasun uniformeaz arituko gara. Funtzio errealetan dugun kontzeptu berberaren egokitzapena baino ez da oraingo definizioa; metrikak posiblez.tatzen du hedapena egitea eta ez dago inguruneen bidez orokorrago ematerik.

Multzo trinkoek eta konexuek propietate bereziak ematen dizkiete funtzio jarraiei. Analisi Errealeko erresultatu ezagunak egoera honetara aldatzen dira: Weierstrass, Heine, Bolzano, Darboux.

Arkuzko konexutasuna konexutasuna bera baino intuitiboagoa da. Edozein bi puntu arku baten bidez lotzerik badago arkuzko konexutasuna dugu. Honek hura halabehartzen duen artean, alderantzizkoa ez da beti gertatzen.

Metrika desberdin bi multzo ber batetan topologikoki baliokideak izan zitezkeen bigarren kapituluan esan bezala. Orain beste baliokidetasun-erlazio bi definituko ditugu hangoa baino sendoagoak biak.

Funtzio-segiden kasuan puntuz-puntuko konbergentzia eta uniformea desberdinduko dira eta funtzio jarraien segida baten limite uniformea jarraia dela frogatuko da.

Hedapen-teorema batzu ikusiko ditugu ondoren, hedapenari jarraitasuna edo jarraitasun uniformea gordetzea eskatuz. Funtzio errealen kasuan, Tietze-ren teorema emango dugu, bertan bornapen-baldintzak ere eskatzen direlarik.

162

Azkenik, puntu finkoaren teorema bat ere ikusiko dugu, kontrakzioena, hain zuzen. Ba daude beste puntu finkoaren teo rema batzu ere baina hemen kasu berezi horrekin konformatu be harko dugu.



163

§VI.1. JARRAITASUNA PUNTU BATETAN.

6.1. Definizioa eta (E',d') espazio metrikoak eta f:E' E'

Bira (E,d) aplikazio bat. x

o

e E bada, f x -n jarraia dela esango dugu o

ondoko baldintza hau betetzen bada:

VV f(x )—ren ingurunea, 3U x —ren ingurunea: f(U)C V . o o

Ingurune bakoitzak puntuan zentraturiko bola bat parte tzat duenez, beste definizio baliokide bat emango dugu:

6.1. Definizioa (bis)

f

x -n jarraia da baldin eta soilik baldin o

> 0

3,5 > 0 :

f(B(x 0 ,45)) C B(f(x 0 ),E )

Vc>0

38 > 0 :

d(x,x 0 ) < 6



d'(f(x), f(x

bada

edo

))
Azken formulazio honetan Analisi Errealeko ohizko defi nizioa ikus daiteke,

E = E' =

eta d = d' = ohizko metri

ka hartuz egiazta daitekeenez.

Oharra.- Aplikazioa multzoen artekoa da eta ez du metrikarekin zer ikusirik. Aplikazioaren jarraitasuna, aldiz, metrika bien menpekoa da (hobeto, metrikek definitzen dituzten topologien menpekoa). Orduan, f : (E,d)---' (E',d') esan nahi da: f :

idazten badugu zera

E' aplikazioa hartzen dugu eta d eta

d' metrikek erabakiko dituzte f-ren propietateak.



164

(E,d) espazio metrikoa badugu eta FC:E , f : F aplikazioaren jarraitasuna estudiatzeko, f :

(E',d')

kontsideratuko dugu aurrean esan dugun arabera. Azpiespazioen irekiak eta inguruneak - nola egiten diren jakinda, x o c F bada, f x o -n jarraia izateko baldintza zera litzateke:

0

36 >0 :

f(B(x

> 0

36 > 0 :

d(x,xo)
>

edo

o

,6)n F) C B(f(x

o

),

)

6.2. Teorema

Bira (E,d) eta (E',d')

espazio metrikoak eta

f jarraia.da x o -n baldin eta soilik baldin x o -rantz konbergitzen duen edozein {a n } segidaren irudia, {f(a

n

)} , f(x

o

)-

-rantz konbergentea bada E'-n.

Frogapena (i) Biz f jarraia x -n eta { a n} segida bat, lim a n= x o o n+co n betetzen duena. Orduan, c >0 badugu,

3

> 0 :

d(x,x

o

d'(f(x), f(x 0

) < s

s horrentzat,

eta lim a = x denez, n o n4co 3n

o

E N :

Baina, orduan, raz,

n >n - o



n > no

lim f(a ) = f(x ) o n n4co

))< e

d( a ,x ) < 6 o n

.

d'(f(a

n

), f(x

o

)) <e

eta be-

e.

165

(ii) Demagun f ez dela jarraia x o -n . Orduan, tzat eta 6>0 bakoitzarentzat aurki daiteke bat zeinentzat d(x,x

o

c >0 baten x

puntu

)< d eta d'(f(x), f(x 0 ))>s

bait

d-ren dependentea izango da, noski).

dira (x hori

d = 1/n hartuta, dagokion x hori a n izendatuz zera dugu:

d(a n , x o ) < 1/n eta d(f(a n ), f(x 0 ))> c . Honek

esan nahi du eraiki dugun {a n } segida horrek xo-rantz konbergitzen duela, baina {f(a n )} ez dela f(x0)-rantz konbergentea.

6.3. Teorema

Bira ko eta da x

o

(E,d) , (E',d')

(E",d") hiru espazio metri

eta

E" funtzio bi. f jarraiaba

E' eta puntuan eta g f(x

o

) puntuan, g o f jarraia da x

o

puntuan.

Frogapena Biz W

(gof) (x o ) = g(f(x 0 ))-ren ingurunea. g f(x0)-n

jarraia denez, existitzen da V f(x

o

)-ren ingurunea zeinentzat

g(V) c W den. Baina f x -n jarraia denez, existitzen da o U x -ren ingurunea: o (gof) (U) C g(V) c W

f(U)c:V V. eta

Orduan,

g of jarraia da x -n. o

Oharra.- Teorema honetan nahikoa da g f(E)-n definituta ego tea.

166

Funtzioen limiteak

6.4. Definizioa Bira (E,d) x

o

espazio metrikoak eta

eta (E',d')

E-ren metatze-puntua bada, lim f(x) = R c E' dela esango n->eo

dugu zera betetzen denean:



Vv

R-ren ingurunea 3u x -ren ingurunea: f(U-{x })cV o o

edo, metrikak erabiliz,

Ve>

x

0

o

3d

>0 :

d'(f(x), z) < E

0 < d(x,x 0 ) < 6

E-ren metatze-puntua izatea eskatzen dugu zeren, pun

tu isolatua balitz, U = {x o } hartuz, f(U - {x 0 })c:V beti bete •

ko bait litzateke eta edozein

limitea izango bait litzate

R

ke.

, x

A C E bada eta f :

A-ren metatze-puntua

o

bada, nahiz eta f x o -n definitu gabe egon, limiteaz hitz egi teak zentzua du. Orduan,

$2, -ren ingurunea

3 f(A

edo,

Ve> 0

36 > 0 :

U x -ren ingurunea (E-n): o fl

U - {x o } ) C V

0 < d(x,x .0 )< eta

x

Kasu honetan, A azpimarratu nahi delarik, idatziko da.

Biz, orain, BC:Ac:E. definiziotik b stakoa denez,

A --4>d'(f(x),

)<E

lim f(x) = z x.x x s A

x o B-ren metatze-puntua bada,

167

lim f(x) x . x X C

(bigarrena existitzen bada)

= lim f(x) x.x

B

X E

Gerta daiteke, hala ere, gabe.

A

lim f(x) existitzea, lim existitu x.x x.x x e A

x e B

Areago, B i C:A eta B 2 C2A badira, x o B 1 eta B 2 -ren lim f(x) lim f(x) bada, metatze-puntua eta lim f(x) x.xx.x X4X o ez da existitzen. c A xE 13 x xc B 1 2

Adibidez, f funtzio erreal bat bada, A = (x o -r,x 0 ) U (x 0 ,x 0 + r)-n definitua eta B i = (x o -r, xo) eta B 2 = (x 0 ,x 0 + r) zera esan daiteke: f-k x -n limitea badu, albo-limiteakexis o titzen dira eta limitearen balioa dute; albo-limiteak desberdi nak badira, funtzioak ez du x -n limiterik. o

6.5. Teorema Bira

(E,d)

eta

espazio metrikoak eta

A-ren metatze-puntua bada eta lim f(x) x.x existitzen bada, limitea bakarra da. x EA f : AC:E

E' .

x

(E',d')

o

Frogapena Demagun bi limite daudela,

eta Q 2 ,

R 1 # 2 2 .

Har ditzagun V i R 1 -en ingurunea eta V 2 R 2 -rena, vinv2=r6 delarik (adibidez,

V 1 = B(21 , r/2)

eta V 2 = B(2,2,r/2), non



168

r

= d(t 1

,£ 2

)

bait da). Orduan, ba dauzkagu U 1 eta U 2 xo-ren

inguruneak zeinentzat f (U Baina f(U

1

nA-

U

u2

n

1

{x

fl U

nA

o

2

-{x

})

c v



eta f (u 2

(l

A -

x -ren ingurunea da, u i o o

})cf(u nA 1

-{x

o

)n f (U

{x 0 }) C V 2

u

n

2

nA

2

fl

A -

diren.

{x

eta

} o

-

{x

o

})cv

i

n

v

2

= r6

Hau absurdua da; beraz, ez da posible bi limite desberdin izatea.

Hurrengo teoremak jarraitasunaren eta funtzioen limiteen arteko lotura egingo du, Analisi errealean egin ohi den bezala.

6.6. Teorema Bira (E,d) eta (E',d') espazio metrikoak eta

(i)

x

o

E'.

E-ren puntu isolatua bada, f jarraia da x o -n.

E-ren metatze-puntua bada, f jarraia da x o -n bal bada. lim f(x) = f(x ) din eta soilik baldin o X+X o

(ii) x

o

Frogapena (i)

x

o

isolatua bada, U={x o } x o -ren ingurunea da eta beti

hauxe hartuz jarraitasunaren definizioan nabaria da f(U) C V dela V f(x

(ii) lim f(x) = f(x o ) x+x

o

)-ren edozein ingurune izanik.

bada, aurreko 6.4 definizioaz zera

O

dugu:

V E

>0

3 is

>0 : 0
<

=>

cl'(f(x),f(x0)

169

baina nabaria da x = x

o

puntuak ere d'(f(x), f(x

o

))< c

betetzen duela, beraz, Ve> 0

36 > 0 :

d(x,x 0 ) < d ---> d'(f(x), f(x 0 )) < e

hau da, x -n jarraia izateko baldintza. o Bestalde, f x o -n jarraia bada, jarraitasunaren definizioaz nabaria da

lim f(x) = f(x X+ X

o

)

dela.

6.7. Teorema Bira (E,d), (E',d') eta (E",d")

, g: BCE'--+E" aplikazio bi, f(A) C B

eta f: ACE izanik. x

hiru espazio metriko

A-ren metatze-puntua bada, lim f(x) = b cB exis x+x titzen bada eta g b puntuan jarraia bada,

lim x+x x E

o

(go f) (x) = g(b)

da.

O

A

Frogapena W g(b)-ren ingurunea bada, g-ren jarraitasunaz exis titzen da V b-ren ingurunea zeinentzat g(VnB)CW den.

lim f(x) = b denez, existitzen da U x o -ren ingurux+x O

x e A nea zeinentzat (g o f)

eta

lim x+x x e A

f(U(l A - {x 0 }) C V den.

(un

A - {x 0 })C g(V n B) C

(gof) (x) = g(b).

Orduan, .



170

Oharra.- Erresultatu hau da Analisian beti erabiltzen dena li miteak kalkulatzeko.

lim x+x

g(f(x)) = g (lim x+x

f(x))

egin daiteke g funtzioa jarraia denean

(lim . f(x) puntuan). x+ x

§VI.2. JARRAITASUNA MULTZO BATETAN

Orain arte funtzio baten jarraitasuna puntu bakoitzean ikusi dugu, puntuan eta ingurune batetan gertatzen zena kontu tan hartuz. Ondoren, modu zabalago batez, multzo batetango ja rraitasuna aztertuko dugu.

6.8. Definizioa Biz

f: (E,d)

(E',d')

eta Ac:EE.

f A-n jarraia

dela esango dugu A-ren puntu guztietan jarraia bada.

6.1 definizioaren arabera honela jar dezakegu: Vx

A , Ve >0

3 (5

d(x,y) <6

>0 :

hori x puntuaren eta E

-d'(f(x), f(y))<

balioaren dependentea delarik.

Adibideak.

1. Aplikazio konstanteak f(x) = a E'



Vx e E jarraiak di

ra E-n.

2.

i:

(E , d )

identitatea jarraia da E-n.

171

Abiaburu eta helburu-multzoak berdinak badira, baina metri ka desberdinekin, ikus aurrerago 6.12 teoremaren ondokoa.

3.

espazio metrikoa bada eta ac E finkoa,

(E,d)

d(a,x)

E-tik Ft-rako aplikazioa jarraia da. Aski da

4.

id(a,x)- d(a,y)I < d(x,y)

(E,d) espazio metrikoa bada eta Ac E finkoa, gauza bera gertatzen da Orain ere

5.

kontutan hartzea.

d(x,A) aplikazioarekin.

Id(x,A) - d(y,A)1 < d(x,y)

dugu.

(E,d) espazio metrikoa bada, defini dezagun E x E-n ondoko metrika hau: d*((x,y), (x',y')) = d(x,x') + d(y,y') (ikus

VII. kapitulua). Orduan d : E x E

]Ft

metrika ematen duen aplikazioa jarraia da. id(x,y) - d(x

y

o

)1 d(x,x

o

)+ d(y,y

o

)

dela erraz ikus daiteke.

6. (E,d) espazio metriko diskretua bada, f : (E,d)----+ (E',d') beti da jarraia. 6.3 teorema lokalaren ordaina eman dezakegu hemen ere:

6.9. Teorema Bira

(E,d), (E',d') eta

(E",d")

hiru espazio metriko



172

eta f:

aplikazio bi, f(E)C F iza

g:

nik. f E-n jarraia bada eta g f(E)-n, g * f jarraia da E-n. Nabaria da 6.3 teorema aplikatuz.

6.10. Teorema Bira (E,d)

espazio metrikoak eta

eta (E',d')

Ondoko lau baiezpenok baliokideak dira: (i)

f jarraia da E-n.

(ii) AC:E

f(A)C:f(A).

edozein izanik,

(iii) Bc:E'

itxia bada, f

(iv)

irekia bada,

Bc:E'

-1

f

(B) -1

itxia da E-n.

(B)

irekia da E-n.

Frogapena (i) =(ii)

A = r6 bada, nabaria da. A

bada, eta xe

existitzen da A-ren elementuen segida bat, {a n }, ze nen f jarraia denez, lim f(a ) =f(x) tzat lim a = x den. n n n4-co f(x) da eta, orduan, {f(a n )} segidaren multzo euskarria ren puntu atxekia da. Baina, multzo euskarri hori fl,(A)-ren parte denez, f(x) c f(A)

Bc:E'

(ii) duan,

itxia bada, dei dezagun A = f -1 (B).

f(Ä) C f(A) = f(f-1(B))c:b" = B eta

A C f -l (f( -A)) C f -1 (B) = A

(i i i)

=(i v )

da.



Bc:E'

.

irekia bada,

Beraz, A = A dugu.

B c itxia da. Orduan,

Or



173

f

(f

-1

(B

(i)

(iv)

.

c (B )

-1

c

))



c

.

(f

da eta

= f

-1

Biz x

(B)

o

-1

c c (B ))

. irekia.

Baina

da.

e E eta har dezagun V f(x

o

)-ren ingu

runea. Existitzen da ireki bat, B, zeinentzat f(x0)eBcV 1 f- (B) irekia da eta x

den.

x -ren ingurunea da eta f(f o

o -1

barne du, orduan, f

-1

(B)

(B))C BC:V. Hortaz f ja

rraia da x-n. o

Oharra.

Teorema honek aplikazio jarraien ezagupide garrantzi

tsu bat ematen du:

f jarraia da baldin eta soilik baldin helburu-multzoa ren irekien (itxien) irudi inbertsoak irekiak (itxiak)

badira

abiaburu-multzoan.

Kontuz ibili behar da zeren abiaburu-multzoaren irekien (itxien) irudiak ez bait dute zertan irekiak (itxiak) izan behar. Ikus kontradibide hauek:

a) Biz da

f : 1R

1R

,

f(x) = 1x1 .

(f(x) = d(x,0) dugu), baina

Aplikazio hau jarraia

(-1,1) irekiaren irudia

[0,1) da eta hau ez da irekia.

b) Biz baina

f:

]1,t , f(x) -

1

. Aplikazio hau jarraia da 2 1+ x irekia eta itxia izan arren, f()R) = (0,1]ezdaez

irekia ez itxia.

c) Biz

i : ( ]R,d )

(1R,d1 )

non d ohizko metrika eta d

1

174

metrika diskretua diren (i = identitatea). Orduan irekien irudiak irekiak dira eta itxien irudiak itxiak, baina i ez da jarraia ezein puntutan.

Homeomorfismoak

6.11. Definizioa Izan bitez

(E,d)

eta (E',d')

bi espazio metriko eta

f : E--+ E' aplikazio bat. f homeomorfismoa dela esango dugu bijekzioa bada eta f eta f -1 jarraiak badira.

Honen bidez espazio metrikoen arteko baliokidetasun-er lazio bat defini daiteke: (E,d)-tik

da,

(E',d')

(E , d )-ren homeomorfoa

(E',d')-rako homeomorfismo bat badago. Erraz

egiaztatzen dira baliokidetasun-erlazioaren hiru baldintzak.

Adibideak

ax + b (a,,# 0) P-tik P-rako homeomorfismo bat da.

1.

x

2.

IR eta

(-1,1)

homeomorfoak dira (x

x

ix ,

aplika-

zioa).

3.

P-ren edozein bi tarte ireki homeomorfoak dira eta, beraz, tarte ireki guztiak P-ren homeomorfoak dira.

6.10 teorema aplikatuz hurrengo hau daukagu hemen:



175

6.12. Teorema Biz

f : (E,d)

(E',d')

bijekzio bat. Orduan, hu-

rrengo lau baiezpenok baliokideak dira:

(i)

f homeomorfismoa da.

(ii)

AC E izanik, A (E,d)-n irekia da baldin eta soilik baldin

(iii)

(E',d')-n

irekia bada.

AC:E izanik, A (E,d)-n itxia da baldin eta soilik baldin

(iv)

f(A)

bACE ,

f(A)

(E',d')-n

itxia bada.

f(Ä) = f(A) .

Frogapena ariketatzat uzten da. Erraz egiten da 6.10 teorema aplikatuz eta, f bijekzioa denez, VACE f-1(f(A))=A eta V B C E'

f(f-1(B)) = B direla kontutan hartuz.

Homeomorfismoak dira berarizko aplikazio topologikoak, bi espazio homeomorfoen artean irekien bijekzio bat bait dago eman berri dugun teoremak erakusten duenez. Orduan, propietate topologiko berdinak edukiko dituzte.

Multzo ber batetan bi metrika, d

1

eta d 2, definituz ge

ro, bi espazio metriko ditugu, (E,d 1 ) eta (E,d2). i : (E,d 1 )--+ (E,d 2 )

- i

jarraia bada

identitatea hartuz, zera esan dezakegu:

(E,d 2 )-ren irekiak

(E,c1 1 )-en irekiak ere

ba dira (eta §11.8an emandako definizioaren arabera, (E,d 1 )-en topologia (E,d 2 )-rena baino finagoa izango da).

i -1 jarraia bada, gauza bera esan daiteke

(E,d

1

) eta

176

elkarrekin trukatuz.

(E,d 2 )

- i homeomorfismoa bada,

(E,d 1 )-en eta (E,d 2 )-ren irekiak

berdinak dira, hots, d i eta d 2 metrika topologikoki balio(Ikus aurrerago

kideak dira.

VI.7).

§ VI.3. JARRAITASUN UNIFORMEA

Aplikazio bat multzo batetan jarraia dela esan dugu mul tzoaren puntu bakoitzean jarraia denean. Baina puntu bakoitza bere aldetik hartzen da. Definizioa hartuz gero,

f

jarraia

da A-n zera betetzen denean

Vxc A

Ve >.0

3a >0 : d(y,x)< 6 eta yc A

›d'(f(y), f(x))< e

6, gorago esan dugunez, x-en eta c -en dependentea da. e-en aukera bakoitzarentzat 6-ren balio bat xe A puntu guz tietarako egokia bada, jarraitasun uniformea dugu.

6.13. Definiz.ioa Biz

f : (E,d)

(E',d')

eta AC:EE.

f

A-n

uni-

formeki jarraia da ondoko baldintza hau betetzen bada:

Vc >0

26 >0 : d(x,y)< 6

eta

x,yc A =>cl'(f(x), f(y))‹c

Har dezagun kontutan jarraitasun uniformea propietate globala dela, ez dago beraz puntu batetango jarraitasun uniformeaz hitz egiterik. Bestalde, ez da propietate topologikoa, metrikoa baizik; hots, metrikaren dependentea da zuzenean eta

177

ez metrikak definitzen duen topologiarena soilik. Definizioan bertan ageri da hau guztiau.

Bistakoa da definiziotik funtzio uniformeki jarraiak A-n jarraiak direla. Alderantzizkoa, ordea, ez da gertatzen. , f(x) = x

f : 1,2

2

kontsideratuz, jarraia da F-ren

puntu guztietan, ezaguna denez, baina ez da uniformekijarraia:

If(x+ h) - f(x)I = h I2x+ hi

denez,

E

>0 emanda,

hI2x + hl
egin nahi badugu,

h < d

denean, d hori x-en arabera hartu behar da eta ez da posible d bat x guztietarako aurkitzea.

Adibideak

1.

Funtzio konstanteak uniformeki jarraiak dira.

2.

i : (E,d)

3.

Ac:E finkatuz,

(E ,d )

uniformeki jarraia da.

d(x,A)

uniformeki jarraia da.

Izan ere,

Id(x,A) - d(y,A)I <

4.

E-tik F-rako aplikazioa

d(x,y)

d metrika diskretua izanik,

f :

dugu.

(E',d') unifor

meki jarraia da.

5.

Aplikazio lipschitziarrak f :

(EI,d')

lipschitziarra deitzen da baldin

existitzen bada L> 0 zeinentzat



178

d'(f(x), f(y)) < L d(x,y)



V x,ye E

den.

Aplikazio lipschitziarrak uniformeki jarraiak dira; aski da C emanda, 6 = c /L hartzea.

Alderantzizkoa ez da beti gertatzen, aplikazio uniformeki jarraiek ez dute zertan lipschitziarrak izan behar.

6.14. Teorema f: (E,d)----> (E',d')

uniformeki jarraia da baldin eta

soilik baldin edozein bi segidatarako, {x n } eta {y n } , lim d(x ,y ) = 0 n n n . co

lim d'(f(xn),f(yn)) = 0 n.co

bada.

Fro2apena (i)

Demagun f uniformeki jarraia dela, {x n } eta {y n } bi segida eta c>0

lim d(x ,y ) = 0. n n n.co

emanda,

36>0 : d(x,y)< 6

d'(f(x),f(y))
baina 6 horrentzat aurki daiteke n Vn

n

o

, d(x

betetzen duena. Orduan, n

d'(f(x

(ii)

o

n ),f(y n )) <e

eta

lim n.co

n

d'(f(x

o n

n

,y

n

)

6

denean,

),f(y

n

)) = 0

f uniformeki jarraia ez bada, c> 0 batentzat eta 6> 0 guztientzat aurki daitezke x eta y zeinehtzat d(x,y)< 6 d'(f(x), f(y)) > E den.

eta

6 =

1

denean, izan bitez x

ko puntuak; orduan,

d(x

n

,y

n

n

eta y

) <-

1

n

baldintza horreta

eta d'(f(x

n

),f(y )) > c n



179

lim d(x

izango da, hots,

n.co

lim n+co

d'(f(x

n

), f(y

n

n

,y

n

) = 0

baina

0.

))

Oharra.- Teorema hau oso egokia da aplikazio bat ez dela uniformeki jarraia ikusteko. Adibidez, gorago aipatu dugun f(x) = x 2 aplikazioaren kasuan, x n = n eta tuz,

n

),f(yn)) = I n

2

n

= n + 1 har n

baina

d(x n ,y n ) = 71- -->0

d(f(x

y

1 2 - (n + 7 )

I = 2 +

1 n

2

---->2 # 0

6.15. Teorema Bira

eta

f:

g: Bc:(E',d')

(E",d")

aplikazio bi eta demagun f(A)c:B dela. f A-n uniformeki ja rraia bada eta g f(A)-n, g o f A-n uniformeki jarraia da.

Frogapena E>0 emanda, g-ren jarraitasun uniformeaz, aurki dezakegu

h> 0

zeinentzat

d"(g(x'), g(y')) <e

Lortutako n



x',y' ee

eta d'(x',y')<]-1 denean,

bait da.

horrentzat eta f-ren jarraitasun uni-

formeaz, aurki dezakegu 6> 0 zeinentzat x,yeA eta d(x,y)< 6 denean,

d'(f(x), f(y)) < n bait da.

Orduan, x,ye A eta d(x,y) < 6 badira, d"((g of)(X), (g of)(y)) = d" (g(f(x)), g(f(y))) < c



180

6.16. Teorema Biz f: AC(E,d)-->-(E',d') {a

uniformeki jarraia A-n eta

} A-ren segida cauchyar bat. Orduan, {f(a n )} cauchyarra

n

da E'-n.

Fro2apena Biz

3 6>

e >O, orduan

0 : x,y e A eta d(x,y) <8 ==>.

d'(f(x), f(y)) < e . 8 horrentzat eta {a n } cauchyarra izanik, aurki daiteke n den.

o

zeinentzat p,q>n

d'(f(a ), f(a )) < e

da eta

Oharrak. 1: Erresultatu hau uniformeki). Adibidez, = n 1

{f(a

n

)} cauchyarra.

ez da egia f jarraia denean (ez

IR , f(x) = ;17

f:

hartuta, f(a

den arren, {f(a n )}

direnean, d(a ,a ) < 6 P

p,q > n o direnean,

Baina, orduan,

baina a

o

n

jarraia da,

) = n dugu eta {a n } cauchyarra

ez.

2. Segida cauchyar guztien irudiak cauchyarrak izatea ez da nahikoa aplikazioa uniformeki jarraia izateko. Adibidez,

f(x) = x 2 ,

]R-rako aplikazioa, ez da unifor-

meki jarraia baina segida cauchyarren irudiak cauchyarrak dira.

VI.4. JARRAITASUNA MULTZO TRINKOETAN 6.17. Teorema Biz

(E',d') jarraia.

E

trinkoa bada f(E)



le

181

ere trinkoa da.

Frogapena Biz {f

-1

{V.}

(V.)}. I

f(E)-ren estalki bat.

ic I

Orduan,

E-ren ireki-familia bat da eta E= . 0 ,f-i(v.)

•

E trinkoa denez, ireki-familia honen azpifamilia finitu batek ere E estaltzen du, hots,

n

3

V i , V 2 ,

Vn

:

E =

U i=1

f -1 (Vi)

Orduan,f(E)= i=i f(f -1 (V.)) C i=1 Vi

beraz,

f(E)-ren azpiestalki finitu bat lortu dugu eta f(E)

trinkoa da.

Oharrak.- 1. f:

(E',d')

jarraia bada eta AC:E trin

koa, f(A) ere trinkoa da. Aski da f-ren A-rako murrizpena kontutan hartzea.

2. Ireki eta itxien kasuetan ez bezala, trinkoen irudiak trinkoak dira baina ez irudi inbertsoak. Hona kontradibide bat: Biz E edozein espazio metriko ez-trinko eta f aplikazio konstante bat f(x) = ac E'

VxcEE. Orduan, {a}

trinkoa da E'-n baina f-1 ({a }) = E ez da trinkoa.

6.18. Teorema f: (E,d)

(E',d')

bijekzio jarraia bada eta

trinkoa, f -1 ere jarraia da (beraz, homeomorfismoa).

182

Frogapena 6.15 teorema aplikatuz, aski dugu AC:E itxia bada f(A) ere itxia dela ikustea.

E trinkoa denez, AC:E itxia bada trinkoa izango da eta, orduan,

f(A) ere.

(f eta f ikus 6.21

f(A)

trinkoa izanik, itxia izangoda.

jarraiak ezezik uniformeki jarraiak dira, j

teorema).

Ondoren emango ditugun bi teoremok oso ezagunak dira Analisian eta ez dago inolako oztoporik kasu orokor honetara pasatzeko. Aurretik lema bat emango dugu.

6.19. Lema R-ren azpimultzo trinko batek supremoa eta infimoa ditu eta azpimultzoan daude.

Frogapena ACR trinkoa bada, bornatua izateagatik supremoa eta infimoa ditu. Bi balio hauek A-ren puntu atxekiak dira, eta, A itxia denez, A-n daude.

6.20. Teorema (Weierstrass) f: (E,d)--+ R jarraia bada, eta E trinkoa, f-k ma ximoa eta minimoa iristen ditu E-n.

(f funtzioan aEE puntuan maximoa du f(a) >f(x)Vxe E

183

bada, eta b e E puntuan minimoa f(b) < f(x) Vx e E bada).

Frogapena E trinkoa bada, f(E)ClR trinkoa da eta aurreko lema ren arabera, supremoa eta infimoa iristen ditu. M = sup f(E) eta m = inf f(E)

badira, m,M c f(E)

izateak z.era suposatz.en

du: ba daude a,beE zeinentzat f(a) = M eta f(b) = m diren, a puntuan maximoa iristen da eta b puntuan minimoa.

Teorema honen aplikaziotzat, 3.12 eta 3.13 problemak oso erraz berregin daitezke

x F—›-d(x

o

,x) e-ta

aplikazioen jarraitasuna erabiliz.

6.21. Teorema (Heine) jarraia eta A trinkoa.

Biz f:

Orduan, f uniformeki jarraia da A-n.

Frogapena Biz E >0 . f A-ren puntu bakoitzean jarraia denez, 3 6(x)

Vx 6 A

> 0 :

d(y,x)< 6 (x) eta

{B(x, 6 (x)/2) / xcA}

E A

y

d'(f(x),f(y))<

e

A-ren estalki irekia da eta, A trin-

koa denez, azpiestalki finitu bat atera daiteke, hots,

3x 1'

x

2'

.... ,x

nE

A:

Idatz dezagun

Orduan,

d(x,y)< 6

/2

Aci=1

6 = min

bada eta

B(x i ,

6(xi)/2).

{8(x )/2 / 1
x,y

A,

3i

c { 1,2, ...,n }

184

x etahorrentzat i 6 (x . ) 6 + d(y,x ) < d(y,x) + d(x,x ) < < 6 (x.) i 2 x eB(x.,6(x.)/2)

6(x.)-ren definizioaz,

x,y EAnB(x i ,6(x i )).

hau da,

eta

d'(f(x), f(x i ))

d'(f(y), f(x i ))<

,

hots,

d'(f(x), f(x i )) + d'(f(x i ), f(y)) < c .

d'(f(x), f(y)) <

§VI.5. JARRAITASUNA MULTZO KONEXUETAN.

6.22. Teorema f: (E,d)---*(E',d')

Biz xua bada,

f(A)

jarraia.

Orduan, Ac:E

kone-

konexua da.

Frogapena Demagun f(A) ez dela konexua. Orduan, M eta N ireki disjuntu ez-hutsak (f(A)-n) aurki ditzakegu zeinentzat f(A) =MUN den. Baina, orduan, f

-1

(m)nA

eta f

-1

(N)nA

irekiak dira A-n, disjuntuak, ez-hutsak eta ACf -1 (M) .0 f-1(N) A ez litzateke konexua iz.ango hipotesiaren aurka.

Oharra. Gorago trinkoentzat esan dugun bezala, konexuen irudiak konexuak dira baina ez irudi inbertsoak. Adibidez, E ez-konexua bada eta f konstantea, f(x) = a xua da baina

f

-1

((a

= E

Vxe E,

{a} kone

ez.

Funtzio errealen kasuan teorema horren ondorio ezagun

185

bat daukagu:

6.23. Korolarioa (Bolzano, Darboux) Bira f: AC:(E,d)--+

jarraia,

A konexua, a,be f(A)

eta c E

: a
f(x) = c

den.

xE A zeinentzat

(Hau da, konexu batetan definitutako funtzio erreal jarrai batek balio bi hartuz gero, berauen arteko guztiak ere hartz.en ditu).

Frogapena A konexua izanik, f(A) konexua izango da

hots,

tarte bat. Orduan, a,be f(A) eta a
(ikus

IV.4)

Erresultatu honen kasu berezitzat har daiteke beste hau: jarraia, A konexua eta a,b E A -rentz.at f(a)

f

eta f(b) zeinu desberdinetakoak izanez gero, A-ren puntu batetan, gutxienez, f anulatu egiten da.

(Bolzano-ren teorema

esan ohi zaio erresultatu honi).

Funtzio jarraiek multzo konexuen ezagupide bat ematen digute.

Ipin dezagun, horretarako,

E 0 = {0,1} eta d o = me-

trika diskretua. Orduan:

6.24. Teorema (E,d) espazio metrikoa ez-konexua da baldin eta soilik



186

(E d )-rako aplikazio suprajektibo jarrai o o

(E,d)-tik

baldin

bat badago.

Frogapena

(i)

Demagun f:(E,d)----)-(E0,d0) aplikazio suprajektibo jarrai bat dela. Orduan, E konexua balitz, f(E) = E o ere konexua litzateke baina hau ez denez, hura ere ez.

(ii)

E ez-konexua bada, existitzen dira A,B ireki disjun tu ez-hutsak zeinentzat AUB=E den. Defini dezagun

x e A

{01 f(x) =

x e B

f

jarraia da,

eta f

-1

(E

o

f

-1

1 f- ({0})

(s6) = (6 ;

= A; f

-1

({1})

=B

) = E bait dira.

Teorema hau beste modu honetan irakur daiteke: E konexua da baldin eta soilik baldin

(E,d)-tik

(E 0 ,d 0 )-rako apli

kazio jarrai bakarrak konstanteak badira.

6.25. Teorema f:

Ft_—,

bijekzio jarraia bada,

f

-1

ere jarraia da

(hots, homeomorfismoa).

Frogapena Aski dugu , 6.15 teoremaz ,

A

irekia bada, f ( A ) ire

kia dela ikustea. Hasteko, tarte ireki baten irudia tarte ire-

187

ki bat dela frogatuko dugu.

Biz

f((a,b))

(a,b)CIR ; orduan,

(konexu baten irudia). Bestalde, nez,

f([a,b])

tarte bat izango da

[a,b] trinkoa eta konexuade

tarte itxi bat izango da (trinkoa eta konexua

izan behar bait du).

f([a,b]) =

f((a,b)) = [c,d] - {f(a), f(b)} f((a,b)) = (c,d)

[c,d]

idatziz,

tarteaizan dadin,

izan behar.

Biz, orain, Ac:lR irekia. A tarte irekien bildura be zala ipin daitekeenez, f(A) tarte ireki horien irudien bildura izango da, irekia beraz.

§VI.6. ARKUZKO KONEXUTASUNA.

Puntu honetan zehar [0,1] tarte erreala erabiliko dugu (beste edozein tarte [a,b] erabil genezakeen), beti ohizko me trikarekin.

6.26. Definizioa Biz rraia.

(E,d)

f([0,1])

dugu (E-n).

f(0)

espazio metriko bat eta f: [0,1]--.+E jaf(0)-tik

f(1)-erainoko arkua dela esango

arkuaren jatorria deitzen da eta f(1) mu-

turra.

Arku bat beti da konexua eta trinkoa, [0,1]-en irudi ja rraia bait da.



188

6.27. Definizioa (E,d) espazio metrikoa arkuz konexua dela esango dugu edozein bi puntutarako, x eta

y,

x jatorritzat eta

mu-

y

turtzat duen arku bat baldin badago.

Multzo batek puntu bat bakarrik badu arkuz konexua da, nabariki.

6.28. Teorema Espazio metriko arkuz konexuak konexuak dira.

Frogapena Biz

(E,d) arkuz konexua eta har dezagun aeE.

f x ([0,1]). Bai

guztietarako a-tik x-erainoko arku bat dago: na, orduan,

E

U

xcE

f

x

([0,1])

eta ae

n

xE c

x e E

f ([0,1]) . x

f x ([0,1]) guztiak konexuak direnez, E ere konexua da.

Alderantzizkoa ez da gertatzen, E konexua izan daiteke arkuz konexua izan gabe. Hona kontradibide bat:

Biz

A =

{(x, sin

eta arkuz konexua da.

1

2

c

Orduan,

/ xe (0,1]}

.

A

kdnexua

= A IJ({0} x [-1,1]) ere kone

xua da (konexu baten itxidura) baina ez da arkuz konexua. Hau intuitiboki onargarria da ez bait da ikusten nola igarogaitez keen A-ko puntu batetik zehar.

{0} x [-1,1]-eko puntu batetara

Ondo frogatzeak, hala ere, lana eskatzen du (ikus,

adibidez, Pitts-en "Introduction to Metric Spaces").

Alderantzizkoaren kasu berezi bat frogatuko dugu orain,

189

n lR -ren ireki konexuena, alegia. Horretarako bi erresultatu hauek erabiliko ditu.gu: 1. Arku baten muturra beste baten jatorria bada, arku bion bil dura ere arku bat da.

hurrengo moduan:

fini dezagun h:[0,1]

h(t) = f(2t)



h(t) = g(2t-1.)

h

jarraia da eta

f(1) = g(0) . De

eta

Bira f:[0,1]---+E

0
1/2
h([0,1]) = f([0,1]) U g([0,1]) .

n 2. P -ren zuzenkiak arkuak dira. a,b E P n badira, a-tik b-rainoko zuzenkia honela eman dai teke f(t) = a + t(b-a)

t c [0,1]

f hori jarraia denez, zuzenkia arku bat da.

6.29. Teorema ]R n

-ren azpimultzo ireki konexuak arkuz konexuak dira.

Frogapena Biz AC.P n ireki konexua eta ac A . Defini dezagun M = {b E A / a-tik b-rainoko arku bat dago} eta N = A - M . A arkuz konexua izateko M = A dela frogatu behar dugu. Ikus dezagun lehenbizi M eta N irekiak direla.

Biz xEM.

xcA denez eta A irekia, 3r > 0: B(x,r) CA

M-ren definizioaz a-tik x-erainoko arku bat dago eta

y

EB(x,r)

190

bada, x-etik y-rainoko zuzenkia B(x,r)-n dago (egiazta bedi). Bi arkuon bildura eginez, a-tik y-rainoko arku bat dugu eta ye

M da. Orduan, B(x,r)CM eta M irekia.

Biz, orain, y'e B(x',r')

bada,

x'E N.

Orduan,

y'eN da.

3r'

>0 : B(x',r')c:A .

Izan ere,

y'

EM balitz, a-tik

y'-rainoko arku bat legoke eta yLtik x'-rainoko zuzenkiaz bildu ta, a-tik x'-rainoko arku bat genuke eta x' E M, hipotesiaren aurka.

Hortaz,

B(x',r')c:N eta N irekia da.

A = MU N dugunez, M eta N irekiak (]R n -n eta A-n, A irekia bait da) eta A konexua, bietariko bat hutsa izango da. Baina ac M dugu, beraz, N =

eta A = M .

6.30. Teorema f:

(E',d')

jarraia bada eta Ac:E arkuz ko

nexua, f(A) ere arkuz konexua da.

Frogapena Izan bitez x,y E A: f(x) = x'

y' .

h=fog: [0,1]

=y.

eta h(1) =

eta f(y) =

y'

A arkuz

konexua denez,

A arku bat zeinentzat g(0) = x

ba dago g:[0,1] g(1)

x',y'e f(A) ; orduan, existitzem dira

.

Honelatan,

f(A) f(A)

eta

jarraia da eta h(0) =x'

arkuz konexua da.

191

§VI 7. METRIKA BALIOKIDEAK

Metrika topologikoki baliokideak

Dagoeneko ikusia dugu metrika topologikoki baliokideak zer diren (ikus §II.8). E-n definitutako bi metrika topologikoki baliokideak izateko ezagupide hauek ditugu:

(2.36 teorema)

(i) B

VatE,

2 (a,r') C (3 1 (a,r)

(ii)

(6.2 teoremaz)

(E,d1)

eta

Bl(a,r") CB 2 (a,r )

Va sE :

a) = 0 lim d (x 1 n' n . co (iii)

3 r',r" >0 :

V r >0

(E,d2)

lim d (x ,a) = 0 n 2 n.co homeomorfismoa da.

Metrika baliokideak

6.31. Definizioa E multzoan definitutako metrika bi, d 1 eta d 2 , baliokideak dira existitzen badira m

1

eta m 2 > 0 zeinentzat

m 1 d 1 (x,y) < d 2 (x,y) < m 2 d l (x,y)

V x,y E E

den.

Adibidez, ]R n -ren ohizko hiru metrikak baliokideak dira:

d (x 1

'

d

y) =

d 3 (x , y)

i=1

=

1x.-y. max ]. 1 < i < n

2

1

d 3 (x,y) < d 2 (x,y) < d i (x,y) < n

(x,y) = (

n

lx-

i=1

izanik,

d 3 (x,y)

dugu.

12,1/2

192

Bi metrika baliokide topologikoki baliokideak dira. Goi ko baldintzatik zera ateratzen da:

B (a 1

C B (a,r)

m

eta

2

B (a,m 2

1

r) C B (a,r) 1

2

Alderantzizkoa ez da gertatzen: har dezagun ]R-n d ohiz ko metrika eta d' = min (1,d) . Metrika hauek topologikoki baliokideak dira, erraz ikus daitekeenez, baina d'< d betetzen den arren, ez dago d 1 hartuta zera genuke

x = d(x,0) < k

d'(x,0) = k

eta ezinezkoa da hau x >1 guztientzat gertatzea.

Metrika uniformeki baliokideak

6.32. Definizioa E-n definitutako bi metrika d liokideak dira baldin

eta d 2, uniformeki ba1

(E,d1)-->(E,d2) eta i

-1

: (E,d2)-->(E,d1)

uniformeki jarraiak badira.

6.14 teoremaz, baliokidetasun uniformearen baldintza ho nela jar daiteke: E-ren edozein bi segidatarako, {x

lim d (x 1 n' n•co

)

y n

= 0

n

} eta {y n } :

lim d (x 2 n' n•co

y

)

= 0

n

(Praktikan bide hau gertatzen da egokiena).

Bi metrika uniformeki baliokide topologikoki baliokideak

193

dira (nabaria da, jarraitasun uniformeak jarraitasuna halabehartzen bait du) eta bi metrika baliokide uniformeki baliokideak dira. Izan ere, baldintzatik

m 1 d 1 (x n ,y n )
y ) = 0. y ) = 0 ~=> lim d (x lim d (x 2 n' n 1 n' n n+co n•co

Alderantzizkoak ez dira gertatzen:

1.

3R-n d 1 (x,y) = lx-yi

Har ditzagun d

1

eta d

2

3 3 eta d 2 (x,y) = ix -Y 1

topologikoki baliokideak dira

ix n -a1 ---÷ 0 =:. lx ,1 - a 3n l

bait da

baina ez dira uniformeki baliokideak zeren, x = n eta n yn = n +

d

2

(x

ñ n'

hartuz gero, d i (x n ,y n )-->0

y

n

) = 3n +

n

+ n

—-->

3

eta

0.

di(x,y) 2.

]R-n d 1 (x,y) = lx-y1

eta d 2 (x,y) -

hartzen 1 +

( x ,y)

badira, d 1 eta d 2 uniformeki baliokideak dira, lim d i (x n ,y n ) = 0 < n•co



lim d 2 (x n ,y n ) = 0 bait da, n.co

baina ez dira baliokideak. Gorago bezala, d 1 < k d 2 balitz,

VXER

x = d (x 0)
genuke eta hau ezinez

koa da.

Metrika uniformeki baliokide k osotasuna gordetzen dute. Aplikazio uniformeki jarraien bidezko segida cauchyarren irudiak cauchyarrak direnez, zera dugu:

194

d 1 eta d 2 uniformeki baliokideak izanik, (E,d 1 ) osoa da baldin eta soilik baldin (E,d 2 ) osoa bada.

§ VI.8. KONBERGENTZIA UNIFORMEA

(E,d) eta (E',d') f

n

{f

aplikazio bat. x e E puntu bakoitzarentzat

: n

bi espazio metriko izanik, biz Vn

(x)} E'-ren segida bat da; segida hau konbergentea bada

VxcE , {f n } funtzio-segidak puntuz-puntu konbergitzen duela esaten da. Idatz dezagun f(x) = lim f n (x) ; hau ere E-tik n+co E'-rako aplikazio bat da.

Puntuz-puntuko konbergentziarako baldintza honela eman daiteke: >n d'(f (x), f(x)) < e Ve> 3 n 0n : n o — o

VxeE

non n

x-en eta

o

tzat n

o

(

e -en menpekoa den. Baldin x EE guztien

ber batek balio badu, konbergentzia uniformea de-

la esango dugu.

6.33. Definizioa funtzio segida f-rantz unifor-

{f n :

meki konbergentea da ondoko baldintza hau betetzen bada: Ve >0

3n

o

:

n > n d' — o

(f

n

(x), f(x)) < e Vx EE

Oharra. Orain arte esan dugun guztian ez da beharrezkoa abia buru-multzoa espazio metriko bat izatea. Ez gara d metrikaz ba

195

liatuko f-ren jarraitasunaz hitz egin arte.

ida-

E-tik E'-rako funtzio bornatuen multzoa 5(E,E') tziz, multzo honetan metrika bat defini daiteke d*(f,g) = sup d'(f(x), g(x)) xe E

Vf,ge

(E,E')

ipiniz. Erraz ikusten da d* metrika dela; d* konbergentzia uniformearen metrika deitzen da, zergatia ondoko teoremak ema ten duelarik.

6.34. Teorema {f n : (E,d)----* (E',d')} funtzio-segidak f-rantz unifor meki konbergitzen du baldin eta soilik baldin lim d*(f ,f)=0 n ntao bada, hots, {f n }-k f-rantz konbergitzen badu (53(E,E'),d*) es pazio metrikoan.

Frogapena (i)

lim d*(f n.co

d*(f

n

n

,f) = 0

,f) < c

n

sup

c >0 ,3 n o :

d'(f

xcE

eta hemendik (ii) {f

, hots,

bada eta

n

d'(fn(x),f(x))< c Vx

n2n

hots,

no:

n >n o

sup

d'(f n (x), f(x))<

_d'(f

n



>,

(x), f(x)) < e E.

}-k f-rantz uniformeki konbergitzen badu eta

bada,

o

(x), f(x))<

2

> 0

Vxe E ,

< e,

x cE

Konbergentzia uniformeaz funtzio jarraiek limite jarraia dute baina ez derrigorrez puntuz-puntuko konbergentziaz.



196

6.35. Teorema {f



n :

funtzio jarraien segida bat ba

da eta f segidaren limite uniformea, f ere jarraia da.

Frogapena Bira a e E eta

{f

e > 0 .

n

}-k f-rantz uniformeki

konbergitzen duenez, 3n

• n >n o' — o

d'(f

Biz m>n

o

n

(x), f(x)) <-

finkoa; f

jarraia denez,

m

d'(fm(x), f m (a)) < 3

d(x,a) < 6

5

.

36> 0 :

Orduan,

denean,

d(x,a)< 6

d'(f(x), f(a))
Oharra. Teoremaren aurretik esan dugunez puntuz-puntuko konber gentziak ez du segurtatzen limitearen jarraitasuna. Har ditzagun f n : [O, +co) --÷ 71R x



min (xn,l)

Funtzio hauek jarraiak dira baina ez

f(x) = lim f n•co

n

(x) = 0 =

1



0 < x < 1

x > 1



197

§VI.9. HEDAPEN-TEOREMAK f: A--+13 aplikazio bat bada eta AC:A l badugu, g:A 1 4. B f(x) = g(x)

f-ren hedapena dela esaten da

Vx cA bada.

Batzutan gertatzen da eremu batetan definitutakofuntzio bat eremu handiago batetara hedatu nahi izaten dela. Hasierako funtzioa jarraia denean, hedapena ere jarraia izatea nahi badu gu, jatorrizko eremutik kanpo aukera mugatua dago, ezinezkoa ere gerta liteke hedapen jarrai bat lortzea.

6.36. Lema Bira f,g: (E,d)—+(E',d') aplikazio jarrai bi. duan, D ={x EE / f(x) = g(x)}

Or-

itxia da.

Frogapena D c irekia dela ikusiko dugu. Biz a E D c ; orduan, r = d e (f(a), g(a)) # 0 .

Biz da

E= r/3 . f eta g-ren jarraitasunaz, existitzen

d >0 zeinentzat

d(x,a) < d eta

d'(f(x), f(a)) < e

denean

d'(g(x), g(a))< e

bait dira.

Orduan, r = d'(f(a),g(a))< d'(f(a),f(x) + d'(f(x),g(x)) + d' (g(x),g(a) ) < <2 E+ d'(f(x),g(x)) =

Beraz, d'(f(x),g(x)) >

3

> 0

2r

+ d'(f(x),g(x))

eta x ED c .

nez, D c irekia da eta D itxia.

B(a,6 ) c D c de



198

6.37. Korolarioa Bira

f,g: (E,d)

(E.,d')

aplikazio jarrai bi.

f eta g berdinak badira E-ren azpimultzo dentso batetako pun tuetan, berdinak dira puntu guztietan.

Frogapena Biz AC:E dentsoa eta f(x) = g(x)

Vxe A . Orduan,

D = {xs E / f(x) = g(x)} izanda, Ac:D daukagu eta D itxia denez, A C D , hots, D = E, A dentsoa bait da.

6.38. Teorema Biz izanik,

f:

(E',d')

jarraia,

A E-n dentsoa

f-ren E-rako hedapen jarrai bat, g, existitzen da

baldin eta soilik baldin lim f(x) existitzen bada Vae E. x,a xcA Existitzekotan, g hori bakarra da.

Frogapena

(i)

g existitzen bada bakarra da. Aurreko korolarioaz, bi funtzio jarraik A-n balio berdinak hartuz gero, E-n ere bat datoz.

(ii) g existitzen bada,

lim f(x) x,a x EA

existitzen da Vac E.

ac A bada f(a) = g(a) = lim g(x) = x.a

x eA

x E A

a E E-A bada,

g(a)= lim x,a

g(x)

lim f(x)

lim x E A

g(x) = lim f(x). x,a xEA

199

(iii) g(a) = lim f(x) definituz gero, g jarraia da eta x.a xcA A .

g(x) = f(x)

ac A bada, g(a) = lim f(x) = f(a), f-ren jarraitasux.a x EA naz.

Ikus dezagun, orduan, g jarraia dela.

3 6> 0 : 0
eta x e A ==d'(f(x), g(a))< e /2 .

ye E puntuak 0
betetzen badu,

lim f(x) x.y xsAnB(a,6)

g(y)E f(AnB(a,d)) hots,

c> 0 izanda,

B(g(a), E/2)

C

C B(g(a), e)

d'(g(y), g(a))<E

Oharra. Teorema honetan A E-n dentsoa dela suposatu dugu. A dentsoa ez bada, hedapen jarraia Ä-n definitzeko balio du teoremak.

6.39. Teorema Biz

f: AC:(E,d)

dentsoa eta (E',d')

(E',d')

osoa izanik.

uniformeki jarraia, AC E Orduan, existitzen da

f-ren E-rako hedapen uniformeki jarrai bakar bat.

Frogapena Hedapena jarraia izango denez, Va e E titzen dela ikusi behar dugu.



lim f(x) exis x.a xe A

200

Biz ac E ; orduan, existitzen da A-ren segida bat {xn} {x n } hau cauchyarra izango da (konzeinentzat lim x = a . n n-,co bergentea bait da) eta, f uniformeki jarraia denez, {f(xn)} ere.

E' osoa denez hipote-siz,

lim f(x ) = bcE' existitzen n n+Im

da.

lim f(x) = b dela frogatuko dugu orain. >0 bada, x+a x eA >0 zeinentzat eta har dezagun d(x,y) < 6 x,ye A

d'(f(x), f(y)) < c •

n

o

: nn

d(x,x

n

o



, 0 < d(x,a;

x c A ,

Biz, orain, -

d(a,x n )

<

)
n

2

1

d

betetzen duena eta

Orduan,

6.

) < d eta

d'(f(x), f(x

n

))< c (nn

o

).

aplikazioaren jarraitasunez, d'(f(x),b)< c,

y

1 hau xe A eta d(x,a) < , 6

denean betetzen delarik. Orduan,

b = lim f(x) dugu. x+a xe A g(a) = lim f(x) x+a xcA nituz, g uniformeki jarraia dela. Ikus dezagun, azkenik,

Bira, a,a' cE, {x n } eta {xn}

Va cE defi-

a-rantz eta a'-rantz, hu

rrenez hurren, konbergitzen duten segidak. Demagun d(a,a,' )< dela. eta

Har dezagun d(xn,a')<

d(x

1

zeinentzat, n>n i denean, d(xn,a)< 1 diren.

Orduan,

x') < d(x ,a) + d(a,a') + d(a' x' m n n m

m, n>n i denean, hots,

d'(f(x

co-rantz eramanez, jarraitasunaz,

n

< 6

), f(x')) < c .

n

eta m

d'(g(a), g(a'))< E eta g

1

s



201

uniformeki jarraia da.

Tietze-ren hedapen-teorema

Funtzio errealentzat beste hedapen-teorema bat daukagu. Ikus dezagun aurretik lema bat.

6.40. Lema jarraia,

Biz f: Fc:(E,d)

F itxia izanik.

f bornatua bada eta sup f(x) = M eta inf f(x) = -M , existi xe F xe F zeinentzat tzen da g:

ig(x)H; M

Vx eE

M

if(x) - g(x)1





V x eF

;

Ig(x)i<

3

M

Vxe Fc

diren.

eta inf f(x) = m1 Oharra. f bornatua bada, sup f(x) = M 1 x e F m .fm xe F har daiteke f1 = f- 1 izanda, m 1 + - M 1 denean. 2 1 eta f

1

hau bornatua da eta lemak eskatzen duen baldintza be-

tetzen du.

Frogapena Idatz dezagun A = {x cF/f(x) < - 1 M} , B = {xe F/f(x)>1} Orduan A eta B itxiak (F-n), disjuntuak eta ez-hutsak dira. F itxia denez, A eta B E-n ere itxiak dira.

Defini dezagun

x

g(x) = 1 M 3 eta x

d(x,A) - d(x,B) d(x,A) + d(x,B) funtzio erreal jarraiak dire

nez, berauen kendura eta batura ere jarraiak dira eta g jarraia izango da izendatzailea anulatzen ez bada. Baina,



202

d(x,A) + d(x,B) = O

d(x,A) = d(x,B) = 0

> x eÄ = A

eta hau ezinezkoa da A n B

(i)

x E g = B

eta =

x eA nB

bait da.

d

id(x,A) - d(x,B)1 < d(x,A) + d(x,B)

denez, ig(x)i<

1

M

VxsE .

(ii)

d( x,A )- d( x, B) xe F c ==.xyA, x%B eta orduan d(x,A) + d(x,B) 1 hots, Ig(x)1< - M . 3

(iii)

x A bada,

g(x)

if(x) - g(x)i<

3

= -

1

— 3

M ; - M <

f(x)

< -

1 — 3

#1, -1 ,

hots,

M ,

M .

xe B denean, modu berean egiten da. xe F-(A hots,

B)

denean,

Ig(x)1<

if(x) - g(x)i<

1

M eta

3 .

If(x)1<

1

M ,

m

6.41. Teorema (Tietze) Biz f: F C (E,d)

F jarraia, FcE itxia ez-hutsa

izanik. Orduan, existitzen da f-ren hedapen bat, g:(E,d) jarraia. Gainera, m = inf f(x) eta M = sup f(x) izanda, xeF x eF V x cF c lor daiteke (m <M suposatuz). mi
Frogapena (i) f bornatua bada, demagun m = -M dela (ez balitz, f -

m+M 2

eginez lortuko genukel.

Aurreko lemaz, hauta dezagun g 1 : (E,d)--> IR jarraia zei nentzat

Ig

1

(x)1 <

1 M

VxcE ;

ig

1

(x)i<

1

M

c Vx -F ;



203

If(x)

3

gi(x)I<



Vx eF

M

idatziz, hauta dezagun g 2 :

f2 = f - g 1

rraia zeinentzat

Ig 2 (x)I<

If2(x) - g 2

VxcF c ;

diren. ja-

M) dx cE; Ig 2 (x)I<

(;

(x)I<( 2 ) 2

Vxc

M

F

(

3 3

M

)

diren.

n-garren pausuan f_= n fn-l-gn-1 ipiniz g n : (E,d) jarraia hautatzen da zeinentzat Ig n

(x)1<

1 2 n-1

If n (x) - g n

Nola f

n

()

M

(x)I<

(;) n M

1 2 n-1

(x)I

Vx EF

Vxe F

c

diren .

= f n_ . - a -n-1 = f n-2 - (g n-2 gn-1)

+gn_i)

( g l +g 2 +

= f

n

E

If(x) -

den,

ig n

Vxc E ;

g i (x)i<

(-25 ) n

EF .

M

i=1 n m g(x) = lim Zi g.(x) = E g (x), Vxc E. n 1 n=1 n•coi=1 n E g. jarraiak dira eta g i bakoitza jarraia denez, i=1 1

Defini dezagun

.n gi(x) 1=1

{Z:

1=1

g i } i=1 g jarraia da.

orduan,

1

M =

k3,

n

. 2

2 (3)

1=1

vx

E E ;

segidak uniformeki konbergitzen du eta

xe F denean goiko desberdintza batetatik f(x) =

g(x) lim 1 n+co i=1

ateratzen da, beraz, f(x) = g(x)

VxEF . Gainera, xe F c bada,

m

Ig(x)I

<2:

Ig•(x)I < M 1 i ---1

m

,i-1

yi

-

i=1

3



1. -

M



204

hots,

dx E

Ig(x)I< M

FC .

(ii) f ez-bornatua bada, kontsidera dezagun h:

hof

non

--> (-1,1) homeomorfismo bat den. Orduan, hof

bornatua da eta aurreko prozeduraz beroni dagokion g fun tzioa aurki daiteke;g=h

-1

og da bilatzen dugun fun-

tzioa.

Oharrak. 1. Hedapena ez da bakarra. 2. F itxia ez bada, gerta daiteke hedapen jarrairik ez egotea. Adibidez,

f: (0,1]

f(x) = sin X

defini-

tuz, ezin da [0,1] -rako hedapen jarrai bat lortu.

§ VI.10. PUNTU FINKOAREN TEOREMA BAT

Analisiko zenbait existentzi erresultatutan puntu fin koaren teoremak erabiltzen dira. Orain, teorema horietatik bat ikusiko dugu, aplikazio kontraktiboarena, hain zuzen. Bes te baten formulazio berezi bat 6. 24 problemah dago.

6.42. Teorema Bira

(E,d)

espazio metriko bat eta f: (E,d)--4(E,d)

aplikazio jarrai bat zeinentzat

d(f(x), f(y))
d(x,y)



3k :

Vx,y E

E ,

0 < k <1

Orduan, existitzen da a E E bakar bat zeinentzat f(a) = a den. (f-ren bidez distantziak uzkurtu egiten direnez, f kon-

trakzioa dela esaten da, eta f(a) = a betetzen duen a pun

205

tu finkoa da).

Frogapena Har dezagun x c E edozein eta defini dezagun x 1 =f(x ) o o x

n

definituta egonez gero, biz x

d(x Vn e]N .

d(x

n

,x

m

n' x n+1

)k

d(x

n'

x

n-1

= f(x

n+1

)

n

) .

< k

n

d(x

o'

x

1

)

dugu

n <m bada,

)d(x

<(k

n

= d(x

n

' + k

x

n+1

n+1

x ) o' 1

) + d(x

+

n+1'

+ k

m-1

x

n+2

) +

+ d(x

m-1'

x

m

)

co ) d(x

x )
. 1=n

k =

kn 1-k

eta k <1 denez, azken expresio hori nahi adina txiki egin daiteke n handia hartuz. Orduan, {x n } cauchyarra da.

E osoa denez, existitzen da a = lim x . f jarraia n+m n f(a) = lim f(x ) = lim x = a . denez, n n+1 n+co n+m

Beraz, a puntu finko bat da.

Bi puntu finko desberdin baleude, a eta b, zera litza teke:

d(a,b) = d(f(a), f(b))
d(a,b)< d(a,b)

eta hau ezinezkoa da.

Oharrak. f

n

1. f kontrakzioa izan ez arren, f-ren potentzia bat,

, kontrakzioa bada, f-k puntu finko bakar bat du.

Biz a f n -ren puntu finkoa,

f n (a) = a . Orduan,

206

f n (f(a)) = f(f n (a)) = f(a) denez,

f(a)

ere f n -ren puntu

finkoa da eta f n -ren puntu finkoaren bakartasunaz f(a) = a .

2.

d(f(x), f(y))
d x,y e E, x

y

baldintza

ez da nahikoa puntu finko bat edukitzeko. Adibidez, E = [0,+ oD) bada eta f(x ) = 1x 2 + 1 , baldin tza hori betetzen da baina ez dago puntu finkorik.

3.

(E,d)-ren osotasuna beharrezkoa da teoreman.

1 E = (0,1] bada eta f(x) = 7 x , f kontrakzioa da baina ez du puntu finkorik.

Aplikazioak Teoremak puntu finkoaren existentziaz aparte, puntu ho rretarantz konbergitzen duen segida bat ematen du. Segida horrek puntu finkoaren hurbilketa bat lortzeko balio du. Frogapenean egindako kalkulu baten arabera

d(x

n'

a)

d(x

o'

x

1

)

n k 1-k

dugu eta hurbilketaren errorearen estimazio bat dugu.

Adibidez, f(x) = x ekuazio errealaren ebazpen bat lor tu nahi bada, f kontrakzioa izanik, a = lim f n (x ) dugu o n->dd (f I tarte itxian definituta egonez gex edozein izanik. o ro, f(I)c=I behar dugu). Grafikoki zera da:

207

F(x) = 0 ekuazioaren ebazpenak, f(x) = x -X F(x) ekua zioaren puntu finkoak dira eta baldintza egokiak edukiz gero, f kontrakzioa izan daiteke.

Beste aplikazio batzu ikus daitezke Pitts-en "Introduc tion to Metric Spaces" eta Copson-en "Metric Spaces" liburuetan. Aplikazio hauetarik garrantzizkoena ekuazio diferentzial baten ebazpenaren existentzia ematen duena da. Frogapen hau teoremaren formulaziora heldu baino nahiko lehenagokoa da.



208

PROBLEMAK

6.1. Biz f:(E,d)--.(E',d' ) eta x o EE.

Froga bedi f ja-

rraia dela x-n baldin eta soilik baldin edozein o -1 (V) x -ren inguruneaba V f(x )-ren inguñunetarako f o o da.

. Froga bedi f jarraia dela

6.2. Biz

-1 ° -1 f (B)C f (B) bada.

baldin eta soilik baldin V B cE'

6.3. Biz f: ACE

7R

jarraia eta aE A. Baldin f(a)
bada, froga bedi ba dagoela V a-ren ingurunea non f(x)
6.4.

Vx

evn

A

bait da.

Biz f:(E,d)----.(E',d')

jarraia eta E osoa. Froga be

di E-ren segida cauchyar baten irudia cauchyarra dela E'-n. E osoa izan ezik, balio du erresultatu honek?

6.5.

Biz (non

E

=

1 co

\1

1

* U { + co }

eta

d(x,y)

=

I

1 —

x

-

1 — y

i

= 0 hartzen bait da) E-n definitutako metri

ka. (i)

Froga bedi

(ii) Biz

*

+co

* f: (1\1 ,d)

N -ren metatze-puntua dela. (E',d') .

zer den idatz eta beronen

lim f(n) n.co* neN

esangura adieraz. (iii)

lim f(n) galdetzeak ba o n.7

luke zentzurik?

209

{x eA / f(x) = b}

Froga bedi

edozein.

jarraia A-n eta b cE'

6.6. Biz f: AC:E



itxia dela (A,d)-n .

jarraia bada, f(x) = 0

Ondorioa: f:

ekua

zioaren erroek multxo itxi bat osotzen dute.

2 6.7. R -n ohizko metrika bat (edozein, baliokideak bait dira) kontsideratuz, froga bedi f i (x ,x ) =

max

f 2 (x l' x 2 ) = min f 3 (x 1 ,x 2 ) =

{xl,x2} {x1,x2}

x 1 x2

]R 2 -tik ]R-rako aplikazio jarraiak direla.

6.8.

jarraiak. Froga bedi f+g, cf

Bira f,g:

(c R) jarraiak direla, non (f+g)(x) = f(x) + g(x)

(cf)(x).= c f(x)

bait dira.

6.9. Izan bitez A eta B itxiak, ez-hutsak eta disjuntuak (E,d)-n. Froga bedi aurki daitezkeela U eta V ireki disjuntuak zeinentzat AcU eta Bc V diren. (Kontsidera bitez x)---a•d(x,A) eta

aplikazioak).

2 6.10. f(x) = e ~x

R-tik R-rako aplikazio jarrai bat da.

Aurki bitez A irekia eta B itxia zeinentzat f(A) ez den irekia eta f(B) ez itxia.

210

6.11. Eman funtzio ez-jarrai bat eta beronentzat aurki bitez: (i)

A irekia:

f -1 (A)

ez-irekia.

itxia :

f -1 (B)

ez-itxia.

(ii) B (iii)

C : f()

6.12. Biz f: ACE

f(C) .

eta demagun f(A) bornatua dela.

Baldin a cA bada, f-ren oszilazioa a-n honela definitzen da: w(f;a) = inf os(fcvn A)) / V a-ren ingurunea}

Froga bitez: ( )

f a-n jarraia da baldin eta soilik baldin w(f;a) = 0 bada.

(ii)

V E >0 D ={xcE /w(f;x) >s} itxia da (A,d)-n.

(iii) D = {x eE / f ez da jarraia x-en } (A,d)-ren itxi-familia kontagarri baten bildura da.

6.13.

Froga bedi

f:

(-1 ,1 ) ,

f(x) - 1

+1x1

homeomorf is

moa dela. Defini bedi (-1,1) eta (a,b)-ren arteko homeomorfismo bat.

6.14. Biz f: E---• E' bijekzio bat. Froga bedi f homeomorfis moa dela baldin eta soilik baldinVACE f(4) = f(A) ba da.

211

6.15.

Biz

jarraia,

f:

(E,d)

osoa izanik.

Defini dezagun * d (x,y) = d(x,y) + d'(f(x), f(y)). * * Froga bedi d metrika dela E-n eta (E,d ) osoa dela.

eta A,Bc:E .

6.16. Biz

Froga bedi f jarraia iza

nez gero A-n eta B-n eta hauek irekiak, f jarraia dela AU B-n. Froga bedi gauza bera gertatzen dela biak itxiak izanik. Eman kontradibide bat A eta B ez biakirekiak ez biak itxiak izanez gero.

6.17.

Biz f: [a,b]

jarraia.

g:

Defini dezagun

modu honetan: g(x) = max

f(x)

y c[a,x]

Froga bedi g jarraia dela.

6.18.

jarraiak A-n.

Bira f,g: AC:E h: ACE

,

Froga bedi

h(x) = max {f(x), g(x)} jarraia

dela A-n.

6.19.

Bira A,B (E,d)-ren itxi disjuntuak: Froga bedi ba da goela f:

jarraia zeinentzat f(x) = 0 Vxe A



212

eta f(x) = f(x) -

1

Vxe B

diren.

d(x,A)

( Kontsidera bedi

).

d(x,A) + d(x,B)

6.20. Froga bedi f: (E,d)--> (E',d' ) uniformeki jarraia dela baldin eta soilik baldin d(A,B) = 0

6.21.

4===> d'(f(A),

Bira f,g: (0,1)--> IR ,

VA,BCE ez-hutsak, f(8) = 0

f(x) = 1/x

bada.

eta g(x)= sin 1/x.

Froga bedi f eta g jarraiak direla, baina ez unifor meki jarraiak.

6.22.

f(x) = 1 +

Biz f: (0, +co

1

. Froga bedi

f

jarraia dela. Ikus f ez dela uniformeki jarraia (0,+OD )-n baina bai

6.23.

Biz

(1, +co )-n.

f: (E,d) ---> (E' ,d' ) bijekzioa. Froga bedi

E'

osoa, f uniformeki jarraia eta f -1 jarraiabadira, E osoa dela.

6.24.

Biz I = [0,1] eta f: I

►

jarraia.

Froga bedi exis

xe I zeinentzat f(x) = x den

titzen dela

(puntu

finkoa, beraz). (Laguntz.a: A = {xc I / x
f(x)

xua izango).

x Vxe A

,litz, I ez litzateke kone

213

jarraia, A trinkoa izanik eta

6.25. Biz f: Ac:E V k c A

f(x) >0. Froga bedi ba dagoela k> 0 : \ix E A

f(x) >k .

6.26. AC:E trinkoa bada, froga bedi existitzen direla x,ye A zeinentzat

d(x,y) = 6(A)

6.27. Biz Ac:E eta^ A IIJ A (x) = 1

den.

A-ren funtzio ezaugarria, hots, xE A .

= 0

xe A ;

Noiz da

jarraia E-n?.

6.28. Froga bedi tarte itxi bat eta tarte ireki bat ezin dai tezkeela iz.an homeomorfoak.

6.29. Eman, ahal baldin bada, S-tik T-rako aplikaz.io jarrai suprajektibo bat ondoko kasu hauetan:

(i)

S = (0,1)

T = (0,1]

(ii)

S = (0,1)

T = (0,1)U (1,2)

(iii)

S = 7R

T =

(iv)

S =

[0,1]

x

[2,31

T =

(v)

S =

[0,1]

x

[0,1]

T = 7R2

(vi)

S = (0,1)

x

(0,1)

T = â

{0,1)

2

(ezin izanez gero, esan zergatik).

6.30. d E-n metrika bat bada, froga bedi d1- 1+ d

eta



214

d

2

= min (1,d) d-ren topologikoki baliokideak direla.

Ondorioa: edozein espazio metriko espazio metriko bornatu baten homeomorfoa da.

6.31.

11\i-n izan bitez d 1 = metrika diskretua, d 2 = ohizko metrika, d

3

d3(x,y)

= I

-

31

.

Froga bedi d 1 ,d 2 eta

topologikoki baliokideak direla; d

1

eta d

2

unifor-

meki baliokideak dira, baina ez d 3 ; ez daude metrika baliokide bi.

6.32.

Biz E = C([0,1]) ga bedi

d(f,g) =

funtzio erreal jarraien multzoa. Fro sup 0
If(t) - g(t)I

1 d'(f,g) =

If(t) - g(t)I dt 0

ez direla baliokideak.

6.33. Aurreko problemaren metrikak kontsideratuz froga bedi f (x) = x n xe [0,1] funtZioen segida konbergentea n dela bigarren metrikarentzat baina ez lehenengoarentzat (ez da uniformeki konbergentea, beraz).

6.34.

Biz E = (0,1)U (1,2)

(i) gun



eta E' = [0,1]. Defini deza

f(x) = 0

xs (0,1)

= 1

xe (1,2)

f jarraia da? Uniformeki jarraia da?

(ii) f

= [0,2]-ra hedatu nahi da. Posible da hedapen



215

jarrai bat lortzea? (iii)

E = (0,1)U (2,3) f(x) = 0 = 1

izanez gero

eta

x z(0,1)



xe (2,3)

erresultatu bera lortuko genuke?

6.35.

Biz

(E,d) espazio metriko bat eta '33(E) = {f: metri

jarraia eta bornatua} . Defini dezagun ka bat modu honetan: d (f,g) = sup xe E

(i)

1f(x) - g(x)1

Biz x o c E finkoa eta f

a

: E

IR - d(x,x0)

Froga bedi f a c g3(E) dela,

(ii) Defini dezagun F(E)-ren itxidura

Va

EE .

, F(a) = f a Biz (F ,d ) (£(E), d*)-n.

((E), d ) osoa dela eta, orduan, Froga bedi * * * * (E ,d ) ere osoa dela, F(E) (E ,d )-n dentsoa izanik. (iii) Froga bedi F injekzioa dela eta if (y) - f (y)I < d(a,a') a' a

Va,a.,ys E

eta berdintza ere gertatzen dela. Erabaki d (F(a), F(a')) = d(a,a . ) hots, (E,d) eta Horrela,

* (E ,d )

(F(E),d )

V a,a'c E

isometrikoak dira.

(E,d)-ren osotua da.

VII, KAPITULUA

BIDERKADURA-ESPAZIO METRIKOAK

VII.1 Biderkadura-espazio metrikoa VII.2 Projekzioak VII.3 Segidak eta aplikazioak VII.4 Trinkotasuna VII.5 Konexutasuna

218

VIII. KAPITULUA

BIDERKADURA-ESPAZIO METRIKOAK

Espazio metriko bi (edo gehiago) edukiz gero, multzoen biderkadura cartesiarra egin daiteke; biderkadura cartesiar hau espazio metriko bilakatuko da metrika bat definitzen badiogu.

Ez bat bakarrik, hiru metrika definituko dizkiogu bider kadura cartesiar honi, hirurak baliokideak. Gehiago ere defini zitezkeen baina horiexek dira garrantzizkoenak, F n -ren ohizko metrikei dagozkienak, hain zuzen (ez ahantz ]R n ere biderkadura cartesiar bat baino ez dela). Hiru horietarik bat besteak baino erabilgarriagoa da eta horretaz baliatuko gara arrazona menduak egiteko.

Kapitulu honetan biltzen diren erresultatuen helburua honela adieraz daiteke: zein propietate topologiko eta metri ko pasatzen dira biderkagaietatik biderkadurara eta, alderan tziz, zein baldintza eskatu behar zaie biderkagaiei biderkaduran propietate bat lortzeko. Aurreko kapituluetako kontzep turik gehienak banan-banan aztertuko dira.

Ohargarria da biderkaketa finituak soilik egiten direla. Biderkaketa infinituak (kontagarriak) problema batetan aipatzen dira.

219

Kapitulu honetan zehar biderkadura finituak bakarrik erabiliko ditugu, beraz, bi espaziorentzat egitea nahikoa da. n espaziotarako generalizazioa berehala egin daiteke.

§

VII.1. BIDERKADURA-ESPAZIO METRIKOA eta (E 2 ,d 2 ) bi espazio metriko izanda,

(E 1 ,d 1 ) E = E

1

x E

2

biderkadura cartesiarra ere espazio metriko bihur

tu nahi dugu, beronen metrika ditugun bietatik definituz.

x = (x 1 ,x 2 ) eta

d(x,y) = max

y

=

E

(y1,y2)

1

x E

badira, izan bitez.

2

d 1 (x 1 ,y 1 ), d2(x2,Y2)

d'(x,y) = d 1 (x 1 ,y 1 ) + d2(x2,y2) d"(x,y) = (d 1 (x 1 ,y 1 )

2

+ d

2

(x

1/2

2

2'

y

2

)

)

Lehen kapituluan esan dugunez, hiru metrika dira (ikus I.1

6. adibidea). Metrika hauek baliokideak dira,

d(x,y)
Vx,y e E 1 xE 2 . Orduan, erresultatu topologiko eta

metriko berberak ematen dituzte eta berdin da zein aukeratzen dugun biderkadura-espazio metrikoa definitzeko.

7.1. Definizioa (E 1 ,d 1 ) E = E 1 xE 2 ,

eta (E 2, d 2 ) espazio metriko bi badira eta (E,d) (non d goian definitutakoa den) espazio

bion biderkadura-espazio metrikoa deituko dugu.

220

(Aipatu dugunez, berdin izan zitekeen (E,d . )

edo

(E,d").)

Metrika horien arteko diferentzia bakarra boletan dago. (Diametro desberdinak ere ematen dituzte baina multzoen borna tasuna gordetzen da). Bolarik errazenak d metrikarentzat lortzen dira: B(a,r) = 8 1 (a 1 ,r) x B2(a2,r) g (a,r)

non a = (a

1

= g i (a l ,r) x g2(a2,r)

,a ) EE x E 2 eta bolen azpiindizeek zein espazio 2 1

tan gauden adierazten duten. Propietate honegatik erabiltzen da sarriago d metrika biderkadura-espazio metrikoaren definizioan. Erresultatu hori egiazkoa dela ikustea ariketatzat uz ten da.

7.2. Teorema A

1

eta A

hurren, A

1

x A

E-ren eta E -ren irekiak badira, hurrenez 2

2

irekia da E x E 2 -n.

2

Frogapena a = (a

1 '

a

2

) E A1 x A

existitzen dira rr

2

2

bada ,

A

1

eta A

2

irekiak direnez ,

> 0 zeinentzat

r ) c A eta B (a l ' l 1 l

B2(a2'r2)C A

2

diren.

r = min { r 1 ,r 2 } hartuz gero,

B(a,r) = B i (a l ,r) x B 2 (a 2 ,r) c A l x A eta A

1

x A

2

irekia da.

2



221

Oharra. Horrek ez du esan nahi E-ren ireki guztiak irekien 2 biderkadura bezala idatz daitezkeenik; aski da lR -ren kasua kontutan hartzea.

7.3. Teorema A

1

c:E

1

eta A 2 CE 2 badira,

A

1

x A

2 =

1

x A

2

Ondorioz, A 1 x A 2 itxia da E-n baldin eta soilik baldin A

1

E1

-en eta A i txiak 2

badira.

Frogapena (i)

Biz a = (a

1'

a )sÄ x 7n 2 1 2

;• orduan,

eta x 2 s A 2 : ci 1 (x 1 ,a 1 )< c x = (x l ,x 2 )

(ii)

Äl x A 2 a1

e A

1

eta d 2 (x 2 ,a 2 )< c . Beraz, . Honelatan, ae A 1 x A2.

d(x,a)<

bada, edo a l

3x 1

ki ,

edo a 2

A 2 , edo biak.

c bada, ac A l x E 2 irekia eta

7 1 x E

ipiniz,

Ve > 0

2

)n

(A l x A 2 ) = d .

Orduan, a  A 1 x A

2

. Modu

berean a 2  42denean.

§

VII.2. PROJEKZIOAK

7.4. Definizioa (E 1 ,c1 1 ) eta (E 2 ,d 2 )

espazio metrikoak badira eta (E,d)

biderkadura-espazioa, :

E



E.

222

aplikazioak (i = 1,2) projekzioak deitzen dira.

7.5. Teorema Projekzioak uniformeki jarraiak dira.

Frogapena

x,yE E badira, zera dugu: d i (w i (x), w i (y)) = d i (x i ,y i ) ‹ d(x,y)

7.6. Lema a 1 cE l finkatuz gero,

x 2 (a1,x2) aplikazioa

E -ren eta { } x E -ren arteko isometria da. 2 2 Halaber, a 2 E E 2 zioa E -ren 1

eta E

1

finkatuz gero, x 1

(x1,a2) aplika

x{a }-ren arteko isometria da. 2

Frogapena Bijekzioa dela nabaria da; distantzia gordetzen dituela d (edo d', d") -ren definiziotik berehala ateratzen da.

7.7. Teorema Ac:E x E irekia (itxia) bada eta a 1 2 1 A(a 1 ) = n 2 (An({a l } x E 2 ))

E

E

1

'

sekzioa irekia (itxia) da E2-n.

Frogapnea A E-n irekia bada, An({a l } x E 2 ) irekia da {a 1 } x E -n . 2

Orduan, lema aplikat

n2(An({a1} x E 2 ) ) ire

223

E2

kia da E -n . 2

7.8. Teorema CE 1 x E

irekia bada,

2

w i

(A) irekia da E i -n (i=1,2).

Frogapena ff

2

(A)

=

x

A(x ) denez, irekia da. Modu berean,

U 1

c E

1

Oharra. A itxia bada, ez da gertatzen erresultatu hau. A =

{(x, 1/x) / x c lIR - {0 }}

w.(A) =

1R - {0} ez da

itxia da P 2 -n baina

itxia.

5 VII.3. SEGIDAK ETA APLIKAZIOAK

7.9. Teorema E = E l x E 2 -ren segida bat, {a n } , 2, -rantz konbergentea (cauchyarra) da oaldin eta soilik baldin dak, i = 1,2, ra.

wi

{w i (

an

)}

segi-

(t)-rantz konbergenteak (cauchyarrak) badi-



224

5.14 lemaren generalizazioa da eta frogapena ariketa tzat uzten da.

7.10. Teorema (E,d) osoa da baldin eta soilik baldin (E 1 ,d 1 )

eta

(E 2, d 2 ) osoak badira.

Frogapena (E,d) osoa bada, E 1 x {a 2 } ere osoa da, itxia bait da

(i)

eta E -en isometrikoa denez, E osoa izango da. Hala1 1 ber E -rentzat. 2 (ii) Biz

{a n } segida cauchyarra (E,d)-n. Orduan,{w i (a n )} ,

i = 1,2,- cauchyarrak dira eta

(E 1 ,c1 1 ) eta

(E2,d2)

osoak direnez, konbergenteak, beraz, {a n } ere konbergen tea da.

7.11. Teorema Bira (F,d*) espazio metriko bat eta (E = E 1 x E2,d) biderkadura-espazio metrikoa. f: (F,d*) --- > (E,d) jarraia da z fi

EF puntuan baldin eta soilik baldin

o

= Tr

i

o

f : (F,d*)

(Ei,di)

jarraiak dira (i=1,2) zo-n.

Frogapena (i)

jarraia denez, f jarraia bada,

w

(ii) Biz f

1

E> 0; orduan,

3 6

(B (z 6 )) C B (f (z ) F o' 1 o ' 1 1

2 E)

> 0 : _ta

w

i

o

f ere.

225

f

2

(B (z 6 )) C B (f (z ) E) 2 o ' F o' 2

6= min

(6

f(BF(z

o'

1'

6

2

hartuz gero,

)

6)) C f

1

(BF (z

o

,6

1

)) x f

2

(BF(z.

6

o'

2

)) c

C B (f(z ),E) x B (f(z. ) c) = B(f(z. ),E) . o o ' 2 1 o

7.12. Teorema Aurreko teoremaren hipotesi berberetan f uniformeki jarraiadabaldinetasoilikbaldinf.=1T. of



uniformeki

jarraiak badira (i=1,2).

Frogapena ariketatzat uzten da.

7.13. Teorema Bira (F,d*)

espazio metriko bat, Ac:F, f:Ac(F,d*)

-->(E,d) aplikazio bat eta a A-ren metatze-puntua. b = lim f(x) existitzen da baldin eta soilik baldin x*a xEA b i =limf.(x) x*a x EA

existitzen badira (i=1,2). Orduan, b=(bb

2

).

Fro2apena (i)

b existitzen bada, projekzioak jarraiak direnez., lim x*a x EA

f.(x) = u.(b)

da.

existitzen badira eta f 1 (B (a,6 1 )(1 A - {a}) C Bi(bi,E)

>0 bada,

3d

,6 >0:

226

f

2

)n

(B (a 6 F ' 2

6 = min

(6

1'

6

2

A - {a}) C B

2

(b

2'

E)

izanda

)

f(B F (a,6)(l A - {a})

C B i (b i ,E) x B 2 (b,E)= B(b,E)

7.14. Teorema Biz f: (E,d) ---÷(F,d*) aplikazio bat. f jarraia ba (x 1, a 2 ) x f 1

da (a 1 ,a 2 ) puntuan,

E -etik F-rako aplika1

zioa jarraia da a 1 -en. f uniformeki jarraia bada, x1.->f(x1,a2) ere uniformeki jarraia da.

Frogapena x1 1—> (x 1 ,a 2 )

Aplikazio hori

f(x1,a2) konposi-

zioa dugu, bakoitza jarraia (edo uniformeki jarraia) izanik.

Oharra.

x f (x 1, a 2 ) 1

eta

f(a1,x2)

jarraiak iza

tea ez da nahikoa f (a l ,a 2 )-n jarraia izateko. Kontsidera de zagun. 2xi x 2 2 f(x 1 ,x 2 ) = x1

f(0,x 2 ) eta f(x 1 ,0) (0,0)

(x 1, x 2 )

(0,0)

eta

f(0,0) = 0,

x2

jarraiak dira baina f ez da jarraia

puntuan; izan ere, f(x 1 ,x 1 ) = 1/2 dugu

x 1 # 0 denean.

§VII.4. TRINKOTASUNA

7.15. Teorema (E,d) aurretrinkoa da baldi- eta soilik baldin (E1,d1)

227

eta (E 2, d 2 ) aurretrinkoak badira.

Frogapena (i)

(E,d) aurretrinkoa bada,

E 1 x {a2 } aurretrinkoa da, be-

raz, E 1 ere honen isometrikoa bait da. Modu berean, E -rentzat. 2 c >0;

(ii) Biz

{B i (x ii ,c),

Bi(xin,c)}

B1(x12,e),...,

E 1 -en estalkia eta {B 2 (x 21 ,e) , B2(x22,e),.., B2(x2m,e)} E -ren estalkia aurki daitezke. Orduan, 2 {B (x ) 1 1 j'

x B (x e ) / j= 1,2,••,n 2 2k'

,

k= 1,2,.., m

E-ren estalkia da.

7.16. Teorema (Tychonoff) (E,d) trinkoa da baldin eta soilik baldin (E (E 2, d 2 )

1

,d

1

) eta

trinkoak badira.

Frogapena (i)

(E,d)

trinkoa bada,

jarraia denez, E

w

=w

(E) ere.

(ii) Ikus dezagun (E 1 ,d 1 ) eta (E 2 ,d 2 ) trinkoak izanez gero, (E,d) ere trinkoa dela. Segidazko trinkotasuna frogatuko dugu. Biz {a n } (E,d)-ren segida bat eta idatz dezagun a

n

= (a

1n

,a

2n

).

{a

1n

} (E

da konbergente bat du,

1

,d

1

)-en segida denez, azpisegi

{a ig(n) }. Honi dagokion {ag(n)}

segida emandakoaren azpisegida da.

{a

2g(n)

} segidatik

228

azpisegida konbergente bat atera daiteke {a {a {a

2h(n)

}hasierako segidaren azpisegida da eta,

h(n) 2h(n)

}

.

Orduan

{alh(n)}

eta

konbergenteak direnez, konbergentea.

}

7.17. Teorema (E,d) lokalki trinkoa da baldin eta soilik baldin eta (E 2, d 2 )

(E 1 ,d 1 )

lokalki trinkoak badira.

Frogapena (i)

a 1 sE l izanda,

biz a 2 eE 2 edozein.

(a 1 ,a 2 )

puntuak

ba du ingurune trinko bat E-n. Ingurune horren projek zioa trinkoa da eta a 1 -en ingurunea (zergatik?).

(ii) a =

(a

1

a ) sE 2

bada, ba daude V 1, a -en ingurune trin 1

koa E 1 -en, eta V 2 , a 2 -ren ingurune trinkoa E 2 -n. Orduan, V

1

x V

2

a-ren ingurune trinkoa da (E-n).

7.18. Teorema ACE erlatiboki trinkoa da baldin eta soilik baldin -en eta u (A) eta u (A) erlatiboki trinkoak badira ,E 1 1 2 E 2 -n, hurrenez hurren.

Froapena (i) Biz A erlatiboki trinkoa. Orduan, A trinkoa da eta Tr i

(W)

Gainera, u i (A)c u i (Ä) denez, ui(A)c:ui()

ere.

eta, alderantzizkoa ere gertatzen denez tasunaz),

Tr

i (A) = u i (A) .

erlatiboki trinkoa da.

u i (A)

(u i -ren jarrai

trinkoa izanik, ui(A)



229

(ii) Ac:E bada eta w i (A) eta Tr 2 (A) B = Tri (A)

biz

x Tr (A). 2

erlatiboki trinkoak,

B = Tri (A) x lr (A) 2

trinkoa da

eta ACZB denez, A C B. Orduan, A ere trinkoa da, beraz, A erlatiboki trinkoa.

§ VII.5. KONEXUTASUNA

7.19. Teorema konexua da baldin eta soilik baldin

(E,d)

(E 7 ,d 1 ) eta

konexuak badira.

(E 2, d 2 )

Frogapena (i)

konexua bada, u i -ren jarraitasunaz, u i (E) = Ei

(E,d) ere.

E

1

1

x{a E

1

2

konexuak badira, Va i EE 1 , a 2 EE2

eta {a } x E konexuak dira (7.6 lema) eta 1 2

x {a } 2

(E 1 x {a 2 }) (E

(E 2 ,d 2 )

eta

(ii) (E l ,d 1 )

fl

({a 1 }x E 2 ) = (a 1 ,a 2 )

})U ({a } x E ) konexua da. 1 2

x E

2

=

a EE i 1

(Ei

X {

denez, Orduan,

a 2 } )U({ a i }

X

E2)]

konexua (ebakidura ez-hutseko konexuen bildura)da.

7.20. Teorema (E,d) lokalki konexua da baldin eta soilik baldin (Ed 1 ) eta (E 2, d 2 ) lokalki konexuak badira.

230

Frogapena (i)

(E,d) lokalki konexua dela eta biz a

Demagun

1

e E1.

V a -en ingurune bat bada, V x E (a ,a )-ren ingurunea 1 2 2 1 da (a

2

EE

2

edozein izanik) eta, E lokalki konexua denez,

ba dago W, (a 1 ,a 2 )-ren ingurune konexua E-n, zeinentzat WcV x E 2 den. Orduan,

wi

(W) a 1 -en ingurune konexuada

eta w i (W)C:V .

(ii) Demagun, orain, direla. Biz

(E

1

,d

1

lokalki konexuak

(E 2, d 2 )

) eta

(a l ,a 2 )-ren ingurunea;

(a 1 ,a 2 )EE eta W

(i=1,2) .

orduan,w.(W)a.-ren ingurunea da E.-n 3V i

(E i ,d i ) lokalki konexua denez, nexua:

V

i

cw (W)

V

(i=1,2).

1

x V

a i -ren ingurune ko 2

(a

1

,a

2

)-ren ingu-

rune konexua da eta V 1 x V 2 cW W.

7.21. Teorema

(E,d) arkuz konexua da baldin eta soilik baldin (E1,d1) eta (E 2, d 2 ) arkuz konexuak badira.

Frogapena

(i)

arkuz konexua.

Biz (E,d)

a1,b1

adira, har ditzae E b 1

gun a 2 ,b 2 e E 2 (edozeintzu); ba dago h: [0,1] , E jarraia zeinentzat o u

h(1) = (b 1 ,b 2 ).

h : [0,1] ---* E 1 jarraia da eta

1 (h(1))

(ii) Bira

h(0) = (a 1 ,a 2 ),

= a 2 ,

(E 1 ,d 1 )

(b 1 ,b 2 ) EEE.

beraz,

eta

u

1 (h(0))

Orduan, = a 1 eta

E 1 arkuz konexua da.

(E 2 ,d 2 )

Existitzen dira

arkuz konexuak eta (a1,a2), h 1 : [0,1]

eta

231

eta h 2 : [0,1]---=E 2 h 2 (0) = a 2 ,

Defini dezagun

zeinentzat

h1(0) = a 1 , h 1 (1) = b1,

h 2 (1) = b 2 bait dira.

h:

0,1]

,

h(t) = (h i (t), h2(t)).

h jarraia da (7.11 teorema) eta h(0) = (a a ) 1' 2

,

h(1)=(b1,b 2 ).



232

PROBLEMAK

7.1. Bira A

1

c

E

C E . Froga bedi A x A = A x A 1 eta A 2 2 1 2 1 2

dela.

7.2. Biz a = (a l ,a 2 ) eE. E 1 -en eta V 2

Froga bedi V 1

a 1 -ren ingurunea

a 2 -ren ingurunea E 2 -n badira, V i x V2

a-ren ingurunea E-n dela.

7.3. A

1

eta A C E badira, froga bedi 1 E1 2 2 (A

x A 2 ) =

(A1 1 ) x A) U (T1 x

(A ) )

2

•

7.4. Froga bedi E bornatua (edo banangarria) dela baldin eta soilik baldin E

1

eta E

bornatuak (edo banangarriak) ba-

2

dira.

7.5. Demagun E eta E konexuak direla eta 1 2 A1C:E1' A2c:E2 c azpimultzo jatorrak. Froga bedi (A 1 x A 2 ) konexua dela.

A= {(x 1 ,x 1 )

7.6. Froga bedi la E

1

1

x 1 (diagonala) itxia de

x E -en.

1

7.7. f: (E1,d12'd2)

aplikazio bat bada,

G = f(x l ,f(x 1 )) / x l cE l } f-ren grafoa deitzen da. Froga bedi f jarraia denean G itxia dela E-n eta G eta E1 homeomorfoak direla.

233

7.8.

f,g: (E1,d12'd2)

jarraiak badira, froga bedi

{x 1 cE l / f(x 1 ) = g(x 1 )} itxia dela.

7.9. Bira A 1 eta A 2

E 1 eta E 2 -ren azpimultzo trinkoak, hu

rrenez hurren, eta W A 1 x A 2 partetzat duen E-ren ireki bat. Froga bedi ba daudela V 1 eta V 2 E 1 -en eta E 2 -n irekiak, hurrenez hurren, zeinentzat A1C=V1, W. A 2 C=V 2 eta V 1 x V 2 c:W

(A2 puntu bakar batekoa

den kasuarekin has daiteke).

7.10. Biz

f:(E l'

E 2' d ) d 1 )( 2

aplikazio bat eta G g-ren

grafoa. Froga bedi E 2 trinkoa eta G itxia izanez gero, f jarraia dela.

7.11. Espazio metrikoen biderkadura kontagarria Biz {(En'dn)}n i\J espazio metriko ez-hutsen familia c kontagarri bat eta demagun zagun E =

ó(E

n

)

1 dela. Definide

I E ={{ x } nd\J / x e E n el\l} ; E hau n n n elN n n

familiaren biderkadura cartesiarra da.

(i) Froga bedi

d({x

},{y

m

Vm (x,r) = {y eE /

n

})

=171 n=1 2 definitutako metrika bat dela.

( ii) x ={x n }cE,

n

eta

r > 0

d

n

(x

n

,y

n

)

E-n

izanik, biz

d k (x k ,y k )
Vk <m}

Froga bedi V m (x,r) x-en ingurune bat dela eta x-en edozein ingurunek era horretako ingurune bat duela partetzat.

234

(iii) {x

(m) melN ,

E-ren segida, konbergentea da baldin

eta soilik baldin {x

(m)} n

m El\J

bakoitza konbergentea

bada E -n. Gauza bera segida cauchyarrentzat. n Froga bedi E osoa dela baldin eta soilik baldin E bakoitza osoa bada. n

( iv )

A c E Vne 7N hartuta, eta A =A ne n n n ikus bedi

(v)

TT

n elN n

dela.

E aurretrinkoa (trinkoa) da baldin eta soilik bal din E

(vi)

=

iz.anik,,

n

bakoitza aurretrinkoa (trinkoa) bada.

E lokalki trinkoa da baldin eta soilik baldin E bakoitza lokalki trinkoa bada eta ia E

n

n

guztiak

(hots, familia finitu bat kenduta) trinkoak badira.

(vii)

E konexua da baldin eta soilik baldin E

n

bakoitza

konexua bada.

(viii)

E lokalki konexua da baldin eta soilik baldin E guztiak lokalki konexuak badira eta ia guztiak (hots, familia finitu bat izan ezik) konexuak.

n

ERASKINAK

1. Supremoa eta infimoa 112-ren azpimultzoetan 2. Kontagarritasuna 3. Espazio topologikoetarantz 4. Historia pixka bat

237

LEHEN ERASKINA SUPRENKX ETA INFIMOA R-REN AZPIMULTZOETAN

E.1.1

Definizioa Biz AC IR ez-hutsa.

(i)

a eIR A-ren goi-bornea da a > x

\ixsA bada.

(ii)

b

VxcA bada.

(iii)

A multzoak goi-bornerik badu, goitik bornatua dela esa

A-ren behe-bornea da b <x

'cen da eta behe-bornerik badu, behetik bornatua. (iv)

A bornatua da, goitik eta behetik bornatua bada.

E.1.2 Definizioa A-ren goi-borneen multzoak elementu txikien bat badu, elementu hori A-ren supremoa deitzen da eta sup A idazten.

Halaber, behe-borneen multzoak elementu handien bat ba



238

du, elementu hori A-ren infimoa deitzen da eta inf A idazten.

Definizioaren arabera ezagupide hauek eman ditzakegu: A-ren goi bornea

a a = sup A •.—►

{A-re n goi bornea bada, a' >a edo a > x a = sup A



-g.

f V c>0

Vx eA

3x cA : x>a-

b A-ren behe-bornea b = inf A

f b'

A-ren behe-bornea bada, b'< b

edo b < x

Vx cA

b = inf A {. V

e>0

3x cA :

x < b + e

E.1.3 Supremoaren axioma

A goitik bornatua bada, supremoa du.

E.1.4 Ondorioa A behetik bornatua bada, infimoa du. (Axiomaren ondorioa da, hurrengo propietateen arteko 5.a era biliz).

]R-ren eraikuntza (Q-tik abiatuz) egin gabe, axiomatikoki defini daiteke. Orduan, supremoaren axioma onartu egiten

239

da eta ]R-ren osotasuna (segida cauchyarren konbergentzia), Cantor-en tarte kolkoratuen teorema eta propietate arkimedearra bertatik ondorioztatzen dira. Gertatzen da, hala ere, bes te propietate bat onartzen dela axiomatzat eta, orduan, supre moaren axioma teorema bezala agertuko da eta frogatu egin beharko da.

E.1.5 Propietateak

1.

A goitik (behetik) bornatua bada eta BC=A, B ere goitik (behetik) bornatua da eta sup B < sup A

2.

3.

sup(A U B) = max

{ sup A,

sup B }

inf (A U B) = min

{ inf A,

inf B }

A

E3

#

bada,

93

sup(A(1

B) <

min

inf (An B)> max

4.

(inf B > inf A)

Biz A + B =

{sup A, sup

B }

{inf A, inf B }

{x+y / xc A, ye B }

sup(A + B) = sup A + sup B inf(A + B) = inf A + inf B

5.

Biz -A = {-x / x E A} sup(-A) = - inf A inf (-A) = - sup A

240

6.

Bira f,g : A sup

eta f(x)
f(x) < sup

xcA

inf

f,g : A sup

g(x)

f(x) < inf g(x) xe A

P

aplikazio bi badira,

(f + g)(x)

<

sup f(x) + sup g(x)

xEA

sup

xcA

f(x) + inf g(x)

xc A

xcA

sup (f+g)(x )

xc A

xe A

inf f(x) + inf g(x) xs A

Orduan,

xcA

xe A

7.

Vx EA.

<

xe A

inf (f+g) (x) xE A

inf (f+g)(x) < sup f(x) + inf g(x) x E A

8.

sup

xcA

(f(x) + k) =

x E A

inf (f(x) + k) xEA

xEA

sup f(x) + k xEA

=

inf f(x) + k xe A

(Propietate guztietan suposatzen da supremoa edota infimoa existitzeko baldintza egokietan gaudela).

Froga bitez propietate hauek eta komenigarria litzateke desberdintza gertatzen den kasuetan desberdintza hertsien adibideak bilatzea.

2. ERASKINA KONTAGARRITASUNA

Teologo batzuk Jainkoaz aparteko infinitutasunik onartzen ez zutenez, CANTOR oso kezkatan ibili zen beti beremul tzo infinituekiko estudioak Elizaren kontra joan ez zitezen. Haren ustez, Jainkoak berak iradokitzen zuen bere lana eta, zorionez, kezka horiek ez zioten eragotzi ondorio ederrak es kaintzea. Ikus "Dieu, Cantor et l'infini" artikulua "La Recherche" aldizkarian(1977.ekoabendua, 1110-1116 orLIrudia

ere

bertatik hartu da; hor agertzen diren eta w ikurrak, kar dinal eta ordinal transfinituei dagozkie, hurrenez hurren.

242

Multzo biren artean zeinek dituen elementu gehiago jakitea gauza erreza iruditzen zaigu; kontatzea besterik ez dago! Baina arazoa konplikatu egiten da multzoen elementuak ko puru infinituan daudenean. "Zer dira gehiago (0,1) tartekozen baki errealak ala zenbaki osoak (/)?" galdera ezin daiteke erabaki "kontatuz".

Elementu-kopuruen araberako multzoen konparazioaez zen XIX. mendera arte ebatzi; hala ere, aspaldian, Galileo-ren iz kribu batzuetan hain zuzen, aurki daitezke erantzunbide zuzenaren aztarrenak. Hona hemen Galileoren "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" liburuaren atal bat (1638):

"Salviati: Ba dakizue (zenbaki berdinen) biderkadurak karratuak deitzen di ren bezala, sortzen dituztenak, hots, biderkatzen diren zenbakiak, aldeak edo erroak deitzen direla. Zenbaki bat bere buruaz biderkatzerakoan lortzen ez diren zenbakiak, ez dira, jakina, ka rratuak. Beraz, esaten badut zenbaki guztiak, karratu eta ez-ka rratu barne, karratuak bakarrik baino gehiago direla, egiazko proposamendu bat adieraziko dut, ez da?

Simplicio: Bistan dena.

Salviati: Gainera, zenbat karratu dauden galdetuko banu, erantzun daiteke egiazki erroak beste direla, kontutan hartuz karratu bakoitzak bere erroa duela eta erro bakoitzak bere karratua; ez dago, bes talde, erro bat baino gehiago duen karraturik ez eta karratu bat baino gehiago duen errorik.

Simplicio: Horrelaxe da.

Salviati: Baina zenbat erro dauden galdet n badut, ezin da ukatu zenba-

243

kiak beste direla, ez bait dago karraturen baten erroa ez den zenbakirik. Gauzak honela, esan beharko da zenbaki beste karra tu dagoela, erroak beste bait dira eta zenbaki guztiak erroak bait dira. Hasieran, aldiz, esan dugu zenbakiak orotara karratuak baino askoz ere gehiago direla, gehienak ez bait dira karratuak. Areago, karratuen kopurua gutxituz doa zenbaki handia goetara hurbildu ahala. 100eraino 10 karratu daude, hau da, ha marren bat bakarrik dira karratuak; hamar miletan ehuneko bat bakarrik dira karratuak, milioi batetan mileko batera jaisten garen artean. Dena dela, zenbaki infinitu batetan, bururatzerik bagenu, esan beharko litzateke zenbakiak orotara beste karratu dagoela.

Sagredo:

Zer ondorioztatu behar da guzti honetatik?

Salviati: Nik ez dut besterik ikusten zera ez bada: zenbakiak orotara in finituak dira, infinituak karratuak, infinituak hauen erroak; karratuen kopurua ez da zenbakiena baino txikiagoa, ez eta hau hura baino handiagoa; eta, azkenik, "berdin", "handiago", "txi kiago" atributoak kantitate finituei aplikatzen zaizkie soilik eta ez kantitate infinituei".

Galileorena oraingoz alde batetara utzita, ikus dezagun planteamendua modu arrunt batez. Demagun dantzaldi batetara nes kak eta mutilak joan direla eta zeintzu diren gehiago jakin na

hi dugula. Kontatu gabe, nola jakin? Ez da zaila! Has daiteze la dantzan bikoteak eginda. Neskaren bat mutilik gabe gelditzen baldin bada, neskak dira gehiago; mutilak gehiago, aldiz, neska gabeko mutilik geldituz gero. Eta inor ez bada sobratzen, mu til adina neska dagoelako izango da. Matematikoki esanda hauxe dugu: nesken multzoa eta mutilen multzoa hartuta, bien arteko bijekzio bat badago, bietan elementu-kopuru berbera dago.

244

Galileok egin duena honela azal daiteke: IN zenbaki arrunten multzoa izanda eta A = {n

2

/ ne }1\1} karratuen mul-

tzoa, A eta 1\J-ren arteko bijekzio bat egin da eta, orduan, batek besteak baino elementu gehiago duenik ez dago esaterik. Gainera, A 1\1-ren azpimultzo jatorra da (hauxe da harrigarrie na!).

E.2.1.

Definizioa Bi multzo kopurukideak dira bien arteko bijekzio bat

badago.

Bistakoa da baliokidetasun-erlazio bat dela. Guri interesatzen zaigun arazoa kontagarritasuna denez (INJ eta 11-ren az pimultzoekike konparazioa) ondoko definizio hauek ditugu:

E.2.2. Definizioak

(i)

A multzoa finitua da eta n elementu ditu baldin A eta

{1,2,...,n }

kopurukideak badira. Multzo hutsa

finitutzat hartuko dugu eta 0 elementu dituela esan go da.

(ii)

A multzoa infinitua da finitua ez bada.

(iii) A multzoa kontagarri infinitua (edo zenbakigarria) da 11-ren kopurukidea bada.

(iv)

A kontagarria da finitua edo kontagarri infinitua bada.

Lehen definizioan kontraesar

ez dagoela ondoko hone-

245

tatik ateratzen da: {1,2,..,n} eta

{1,2,..,m} kopurukideak

dira baldin eta soilik baldin m = n bada.

Multzo finitu eta infinituen artean honako diferentzia hau aipa daiteke: multzo bat infinitua da baldin eta soilik baldin bere azpimultzo jator baten kopurukide bada. (Ikus gorago Galileo-ren adibidea).

E.2.3. Propietateak

(i)

Multzo kontagarri baten edozein azpimultio kontagarria da.

(ii)

Bi multzokontagarriren biderkadura cartesiarra kontagarria da.

(iii) Multzo kontagarrien familia kontagarri baten bildura kon tagarria da.

Ez dugu propietate hauen frogapenik egingo baina interesgarria izan daiteke

(ii)-a frogatzen duen 11 x 1\1-ren kon

tagarritasuna ikustea. Jar ditzagun 1\1 x IN-ren elementuak mo du honetan:

(1,1) -----> (1,2)

(1,3)

(1,4)

(2,2) (3,1) (3,2) (4,1) '..-(4,2)

(2,3) (3,3) (4,3)

(2,4) (3,4) (4,4)

(2,1)

246

eta ordena ditzagun geziek erakusten duten moduan: (1,1);

(1,2),

(2,1);

(1,3),

(2,2),

(3,1);

(1,4),

(2,3),....

]N x 1\J eta ]N-ren arteko bijekzioa zera da:

f(m,n)

=

Z

(m+n -1) (m+n - 2 ) +m

g(m,n) = 2 m 3 n funtzioak

(Beste modu batez,

aV x 11\I eta

]N-ren azpimultzo jator baten arteko bijekzio bat emango ligu ke).

E.2.4. Ondorioak eta Q kontagarriak dira.

2

= {0,1,2,3,...} U {-1,-2,-3,...}

multzo kontaga-

rri biren bildura da.

= U

meZ

I

r.2

n

/ n

- (0}} multzo kontagarrien familia

kontagarri baten bildura da.

E.2.5. Teorema F ez da kontagarria.

Frogapena Aski dugu

(0,1)

tartea ez dela kontagarria ikustea.

Erresultatu honen frogapen desberdinak eman dira eta Cantor-ek emandakoetarik bat (bigarrena) erakutsiko dugu.

Demagun (0,1) kontagarria

eta idatz ditzaflun be

247

ronen zenbakiak IN-rekiko bijekzioaren arabera, garapen hamar tarra erabiliz:

0,

a11

a 12

a 13 a14

0, a 21 a 22 a 23 a24 0, a 31 a 32 a 33 a34

(a

nm

= n-garren zenbakiaren m-garren zifra hamartarra). Zenba

ki hamartar zehatzek bi garapen onartzen dituztelarik 0-ak dituena hartuko da. Eraiki de-

(0,5000... = 0,4999...), zagun beste zenbaki bat

0, b 1

zeinentzat

b b

b2

k 1

b



k 2

3 a



kk

1

akk = 1

bada bada.

Horrela definitzen den zenbakia ez daoo ooiko z p rr p ridan, 7eren k-garren lekuan balego,

bk = akk bait litzateke.

(Egia esan, b k aukeratzean bk

akk

bakarrik inte-

resatzen zaigu baina kontuz ibili behar da garapen baliokidee kin, 0-ak eta 9-ak, eta horregatik 1 eta 2 aukeratu dira).

E.2.6. Ondorioa Zenbaki irrazionalen multzoa ez da kontagarria.

Bestela IR multzo kontagarri biren bildura litzateke, kontagarria beraz.

248

Kardinalak

E.2.7. Definizioak

(i)

A finitua bada eta

{1,2,...,n)-ren kopurukidea,

n

A-ren kardinala dela esango dugu: kard A = n .

(ii)

kard ]1\1 = 1• (:) deitzen da

(}-j^

= aleph, hebraieraren

lehen letra).

(iii) kard

= c deitzen da ( ="continuum-aren potentzia").

Continuum-aren hipotesia

Lor daiteke A multzo bat zeinentzat 1N A-ren parte baten kopurukidea den, A 1R-ren parte baten kopurukidea eta A ez lN-ren eta ez IR-ren kopurukidea? Kardinalen notazioaz: ba ote dago kard tzorik?.

< kard A
Horrelako propietaterik duen A multzorik ez ego

teari "continuum-aren hipotesia" esaten zaio.

Cantor-ek "continuum-aren hipotesia" egiazkotzat zeukan eta frogapenaren atzean luzaroan ibili arren ez zuen erantzunik lortu. Kurt Gbdel-ek 1940an hasi eta Paul Cohen-ek 1963ean burututako erresultatua ez zen espero zitekeena. Honela defini daiteke:

"continuum-aren hipotesia" erabakiezina da. Esan na-

hi baita, bai "continuum-aren hipotesia" edo bai kontrakoaonar daitezke multzoen teoriaren beste onizko axiomekin batera, kon traesanik eman gabe. Ez dago, beraz, frogatzerik. Normalki, onartu egiten da.

249

Amaitzeko, Shilov-en liburutik (ikus Bibliografian) hurrengo problema hau hartzen dugu:

1. Behin, X matematikariak bere lagunak, Y anaiak, hartu ditu etxean. Hauek, kapelak kendu eta eskaratzean utzi dituzte. Irtetzerakoan konturatu dira, etxeko jaunaren kez karekin, kapela bat falta dela. Baina, ez da inor eskaratzean sartu haien bisita izan den artean.

2. Beste batez, Y anaiek, X ikustera etorririk, kapelak ka koan utzi dituzte. Kanporantza doazenean, kapela bat gehiegiz aurkitu dute. Haatik, etxeko jaunak eta bisitariek ondo dakite heldu aurretik kakoa hutsik zegoela.

3. Hurrengoan, kapelak jantzi eta ba doaz. Etxeko jaunak kale raino lagundu ditu, gero berriro sartu da eta bisitariak ir ten aurretik zeuden beste kapela ikusi ditu.

4. Azkenik, laugarren batez, anaiak buruhas etorri eta joaterakoan azken bisitan gelditu diren kapelak hartu dituzte. Etxeko jaunak bisitariak lagundu ondoren berriro sartzean anaiak heldu aurretik zeuden beste kapela aurkitu ditu. Nola argitu paradoxa hauek?

3. ERASKINA

ESPAZIO TOPOLOGIKOETARANTZ

Espazio metrikoak ikusiz gero, espazio topologikoen teo riarako hainbat gauza aprobetxa daiteke, metrikak eragin berezia ez duen definizio eta erresultatuak, alegia.

Hasiera desberdina da, noski. Espazio metrikoetan puntuen arteko distantzia oinarrizkoa izan zaigu multzo ireki bat zer den esateko. Topologia orokorrean, aldiz, metrikarikezdu gu eta, hasieratik bertatik, irekiak zeintzu diren esan beharrean gaude. Zenbait aurkezpenetan beste abiapuntu batzu hartzen dira, adibidez, itxiak zeintzu diren esatea edo puntu ba koitzaren ingurune-familia definitzea.

Multzo bat espazio topologiko bihurtzeko, beraren azpi multzoen artean familia bat nabarmendu behar da; familia horre tako elementuak irekiak deituko dira eta familia bera multz.oa ren topologia. Hala ere, baldintza batzu eskatu behar zaizkio topologia izango den familiari; hauexek:

252

(i)

Multzo hutsa eta espazio guztia irekiak dira.

(ii)

Irekien familia baten bildura irekia da.

(iii)

Irekien familia finitu baten ebakidura irekia da.

Behin topologia definituta edukiz gero, hona hemen ager tzen zaizkigun beste kontzeptuak:

Itxiak: irekien osagarriak. Inguruneak: definitu diren bezala. Barruko puntuak eta barrualdea; metatze-puntuak eta deribatua puntu atxekiak eta atxekidura; puntu isolatuak: bigarren kapi tuluan definitu diren bezala aldaketa txiki batekin, barruko puntuen kasuan bolaren ordez ingurune bat jartzearena, hainzu zen. Itxien ezagupideak: 2.18 teoremak balio du. Azpiespazioak: Espazioaren parte baten irekiak eta itxiak, es pazioaren ireki eta itxien parte horrekiko ebakidurak dira. Partearen puntu baten inguruneak azpiespazioan ere modu berean lortzen dira. Guk definitu dugun azpiespazio metrikoarekin bat datoz definizio hauek. Multzo baten muga, multzo dentsoak, inon ez dentsoak, banangarriak: aldatu gabe balio dutd. Multzo bornatuek eta aurretrinkotasuna: ez dute zentzurik. Trinkotasuna, Bolzano-Weierstrass-en propietatea: definizioak eman diren bezala gorde daitezke baina oinarrizko 3.20 teorema ez da betetzen, hots, propietat6ok ez dira beti baliokideak. 3.13 teoremak emandako trinkotasunaren formulazio baliokidea

253

(ebakidura finituen bidezkoa), aldiz, egokia da. Bestalde, trin koek ez dute zertan itxiak izan behar.

3.15 lema eta 3.16 teorema ez dira gertatzen edozein espazio topologikotan. Lema betetzeari T

2

banantze-axioma

dei.tzen zaio eta propietate hori duten espazioak T 2 izendatzen dira (Hausdorff edo bananduak ere esaten zaie). Banantze-axiomek espazio topologikoen sailkapen bat eskaintzen dute. T

2

espazioetan trinkoak itxiak dira.

Trinkotasun erlatiboa eta lokala: ikusi bezala balio dute. Konexutasuna, konexutasun lokala, arkuzko konexutasuna eta osagai konexuak: espazio metrikoen kasuan esandako guzti-guztiaes pazio topologikoetarako ere balioduna da. Segiden konbergentzia: emandako definizioa ona da (inguruneen bidezkoa, jakina, besteek metrika bait darabilte). Gerta daiteke, hala ere, segida baten limitea bakarra ez izatea; bakarra da T

2

espazioetan.

Segida cauchyarrak, osotasuna: ezin daitezke kasu orokorrean . definitu. Horiekin lotuta dagoen guztiak ere ez du zentzurik. Segidazko trinkotasuna: eman dugun definizioak balio du baina, Bolzano-Weierstrass-en propietatearentzat aipatu bezala, ez da trinkotasunaren baliokidea. Jarraitasuna: bai jarraitasun puntuala eta bai globala defini tu diren bezala egokiak dira espazio topologikoetan, metrika eta bolak erabili ezik, noski. Ez dute balio ez segidekiko er lazioak(6.2 teorema) ez funtzioen limiteaz baliatzeaK.Orain

254

ere 6.10 teorema gertalzen da garrantzizkoena jarraitasun glo balaren ezagupide bezala. Homeomorfismoak: espazio topologikoen propielateak gordeko di tuzten aplikazioak berriz ere. Definizioa eta 6.12 teoremaren ezagupideak onak dira kasu orokorrean. Jarraitasun eta konbergentzia uniformeak: ez dute zentzurik definitu diren moduan; izan ere, puntu bakoitzaren inguruneak puntuaren dependenteak dira eta ez dagc puntu desberdinen inguruneak lotzeko modurik, espaio metrikoetan bolen erradioa zegon bezala. Kontzeptu hauen hedapen bat lor daiteke espazio uniformeak direla medio. Aplikazio jarraien propietateak: Trinkoen irudiak trinkoak dira eta konexuen irudiak konexuak.6.20teorema(Weierstrass) eta 6.23 teorema (Bolzano, Darboux) kasu honetan ere defini daitezke, helburu-multzoa IR bere ohizko topologiarekin (ohiz ko metrikak ematen duenarekin) den artean. Heine-ren teoremak ez du orain zentzurik. Biderkadura-espazio topologikoak: a) biderkaketa finituak direnean, biderkagaien irekien biderkadura cartesiarrak irekiak dira eta horrela lortutako multzoen bildura guztiak ere; b) bi derkaketa infinituak direnean, lehenbiziko irekien biderkadurak egiterakoan irekirik gehienek (hots, kopuru finitu bat izan ezik) esi:az-r.o guztia izan behar dute. Definitu ditugun biderkadura-espazio metrikoen topologia ados dago oraingo ho nekin.

255

Metrizagarritasuna Espazio topologiko eta metrikoen arteko loturak proble ma hau sorterazten du: espazio topologiko bat emanda, defini ote daiteke topologia bera ematen duen metrika bat? Problema honen erantzuna Nagata-k (1950) eta Smirnov-ek (1951) emango dute espazio topologikoari eskatu behar zaizkion baldintzak zehaztuz. Willard-en "General Topology" liburuan, adibidez, aurki daiteke metrizagarritasunaren teorema.

4.

ERASKINA

H1STORIA PIXKA BAT

Topologia XIX. mendean sortu zela esan ohi da eta RIEMANN-en lan bat aipatzen da beraren abiapuntutzat; bertan RIE MANN espazioak sailk;Azen saiatuko da.

Ezin daiteke esan, hala ere, horren aurretik Topologia rik ez zegoenik. Askoz lehenago EULER-ek eta GAUSS-ek problema topologikoekin ere topo egin zutela esatea ez da desegokia. Bestalde, Topologia (parte batetan behintzat) limiteaz eta ja rraitasunaz arduratzen den Matematikaren adarra dela onartuz gero, kalkulu infinitesimalaren historian barrena murgildu be harko genuke topologiaren lehen arrastoen bila.

Izena Topologia, jatorri grekodun hitza, 1847. urtean ikusten da lehenengoz: Gauss-en ikasle batek, LISTING-ek, "Vorstudien zur Topologie" izeneko liburu bat argitaratu zuen urte horretan. Aurretik, latinetiko "Analysis Situs" zen erabilia, jada

258

nik 1679an LEIBNIZ-ek aipatua. Bi izenak batera ikusiko ditugu luzaroan, baina "Topologia" geroz eta gehiago agertuko da, hitz eratorriak emateko egokiagoa zelakoan dirudienez. Gaur egun, ez da besterik erabiltzen.

Izena agertu arren, Topologia ez da Matematikaren adar berezi bat izango XX. mendera arte. BAIRE-k "Encyclopedie des Sciences Mathematiques" delakoan "Theorie des Ensembles" sailean sartuko du (1909) eta Topologiaren historian garrantzirik handienetako liburu bat HAUSDORFF-en "GrundzUge der Mengenlehre" ("Multzoen Teoriaren Oinarriak") dugu (1914).

GRUNDZOGE DER

MENG ENLEHRE VON

FELIX HAUSDORFF O. PROFESSOR DER MATHEMAT1X AN DER UNIVERSITAT GRETFSWALD

MIT 53 FIGUREN IM TEXT

Topologiaren sailak Gaur egun, Topologian, bi sail nagusi ditugu: Topologia orokorra eta Topologia algebraikoa (edo konbinatorioa). Bigarren honen garapena ederra izan da baina ez du zer ikusirik he men egin dugunarekin eta ez gara beronen historian sartuko. Aipa dezagun, soilik, hor nonbait T- ,lologiaren dibulgaziozko

259

aurkezpenetan erakusten diren problema "politak" (Mbbius-en banda, Kbenigsburg-eko zubiak, lau koloreetako mapak, Topologia algebraikoari dagozkiela. Arlo honen sortzailetzat, XIX.mendeko aurrepausuak alde batetara utzita, POINCARE-ren "Analysis Situs" artikulua (1895) kontsideratzen da.

Topologia orokorra bideratuko duten lanik garrantzitsue nak XX.mendearen hasierakoak dira: FRECHET-en "Sur quelques po ints du Calcul Fonctionnel" (1906); RIESZ-en "Die Genesis des Raumbegriffs" (1906) eta "Stetigkeitsbegriff und abstrakte Men genlehre" (1908) eta HAUSDORFF-en "GrundzUge der Mengenlehre" (1914).

MATHEMATISCHE l‘TATURWISSENSCHAFTLICHE

BERICHTE AUS UNGARN. 9. DIE GENESIS DES RAUMBEGRIFFS• Von FRIEDRICH RIESZ.

Espazio metrikoak Zuzen errealeko zenbakiak, espazioko puntuak, funtzioak, denak modu beretsuan azter zitezkeen multzo bakoitzeko elementuen arteko distantziak neurtzen jakinez gero. Horixe da, hain zuzen ere, FRECHET-en ekarpena. Beraren tesian ("Sur quelques points du Calcul Fonctionnel", 1906) lehen aldiz definitzen dira metrikaren axiomak.

260

Egoera berri honetara heda daitezke, errazki, Pn-n ezagunak ziren inguruneak, limiteak eta jarraitasuna. Trinko tasuna eta konexutasuna erabat finkatuta egon gabe ere, ordu rarteko ideiak eskura zitezkeen.

'SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCT1ONNEL;

Par M. Maurice Frachet (Paris) *).

Adunanaa del 22 aprile

7906.

Frechet-en ondotik HAUSDORFF-ek (1914) garatuko du nozio hau eta URYSOHN-ek emango dio, batez ere, gaurko aurkezpe na (1924). Espazio metrikoek garrantzi handia hartuko dute BA NACH-ekin eta honen eskolakoekin.

Egitura topologikoaz XIX.mendean zenbaki errealak, multzoen teoria eta funtzioak estudiatzen dira sakonki eta puntu-multzoak karakterizatu nahi dira.

Mende horretako analistak izango dira Topologiaren kon tzepturik elementalenak definituko dituztenak eta zaila daesa ten nori dago_kion kontzeptu bakoitzaren jatorria.

Honela,

WEIERSTRASS-en kurtsoetan metatze-puntuak, inguruneak, irekiak, multzo bornatuak, kanpoko puntuak agertzen dira, CANTOR-en ar tikul-sail batetan multzo deribatu

irekia, itxia, dentsoa,

261

perfektua definitzen dira; DEDEKIND-ek irekia, barruko eta kan poko puntuak, muga erabiliko ditu. Dedekind-en kasuan, aipagarria da "Allgemeine Satze Uber Raume" ("Teorema orokorrak espa zioetaz") iz.eneko lana; urte askotan argitara gabea, egin z.en garairako apartekoa dela esan ohi da; izan ere, bertanagertzen dira, nolabait, espazio metrikoen oinarriak, irekiakdefinitzen dira, bola irekiak irekiak direla ikusten da, barruko eta kanpoko puntuak eta muga definitzen dira, irekien muga ez dela ire kia ere frogatzen da.

MATHEMATISCHE ANNALEN. Ueber tuanalliebe, lineare Punhmannichfaltigkeiten. vou Onoto CanTok in Ralle.
Zuzenqrrealeanedo espazioan definituriko kontzeptu hauen generalizazioa aise egingo da, bai espazio metrikoetara eta bai Topologia orokorrera, irekiak edo inguruneak zerdiren jakinez. gero.

Trinkotasuna Trinkotasunaren definizioa berandu helduko da. Hasieran, IR n espazio euklidearraren estudioan, itxi bornatuen propietate baliokide batzu aurkituko dira: BOLZANO-WEIERSTRASS-en teorema (multzo eta segidekin), HEINE-BOREL-ena eta multzo itxi bornatuen segida beherakorrena. Baina propietate guzti hauek ez dira baliokide suertatuko Topologia orokorrera zabaldu nahi dire



262

nean.

FRECHET-ek dakar "trinko" (= "compact") hitza lehenengoz, baina zera esan nahiko du: "edozein azpimultzo infinituk metatze-puntu bat du" (ez derrigorrez azpimultzoan bertan). Ebakidura finituen propietatea RIESZ-ek (1908) erabiliko du eta orain oinarrizkotzat hartzen dena, hots, estalkiena, ALEXANDROFF-ek eta URYSOHN-ek sartuko dute (1924). Orduan, propietate hau zuen multzoa "bitrinkoa" (= "bicompact") deitzen zen; gero, berau garrantzizkoena denez, "trinko" izenarekin gelOitu da. Biderkadura-espazio topologikoetara trinkotasun-mota hau igarotzen den artean besteak ez igarotzea pisuduna izan omen zen aukera egiterakoan. Espazio trinkoen biderkadu ra trinkoa dela

T

YCHONOFF-ek frogatuko du (1930, 1935).

ANNALES SCIENTIFIQUES

IACOLE NORMALE SiiPPAIIEURE.

SUR OliETOTES l'OINTS

THEORIE DES PArt ,111 ...

nc

M.

coNrñENces

BOREL, 1,1-1.1.£

DES SCIEN,S 01: LILLE

]R-ren tarte itxi baten estalki ireki batetatik azpiestalki finitu bat atera daitekeela nolabait HEINE-ren lan bate tan agertzen da (1870), ez argi formulatuta, hala ere. Lehen

263

formulazioa BOREL-ek emango du 1895ean estalki kontagarri batentzat eta geroago, 1902an, LEBESGUE-k kasu orokorra frogatu ko du.

Multzo aurretrinkoak FRECHET-ek definituko ditu (1906) eta trinkotasun lokala TIETZE-k eta ALEXANDROFF-ek (1924).

Konexutasuna Kontzeptua erraza bada ere, definizio egokia bilatzea zaila izan zitzaien matematikariei; azpiespazioen topologia eskuratu arte erdizka ibili ziren beti.

Lehen hurbilketa WEIERSTRASS-i dagokio, baina honen definizioa arkuzko konexutasuna da. CANTOR-ek

e-katea dela

koa erabiliko du definizioa emateko (bide hau espazio metrikoetara bakarrik heda daiteke, ez urrunago) baina r.ent..r.0 hau ez da ohizkoaren baliokidea, Q-k adibidez beteko luke propietatea.

POLrffiTCA,IQUE NuC.JOWIAN

Hurrengo garrantzizko pausua JORDAN-en "Cours d'Analyse"

264

famatuaren bigarren edizioan (1893) aurkitzen da: "Itxi borna tu bat konexua da baldin eta soilik baldin ezin bada deskonpo satu bi itxi ez-huts disjuntutan". Definizio hau espazio eukli dearretan Cantor-en defienizioaren baliokidea dela frogatukodu eta edozein espaziotarako hedapena posibleztatzen da.

Azkeneko pausua RIESZ-i zor zaio, topologia erlatiboa (azpiespazioen topologia, alegia) dela medio (1906). Honen on dotik HAUSDORFF-ek ere definizio bera emango du (1914) eta osagai konexuak sartuko ditu.

Konexutasun lokala HAHN-ek emango du lehenengoz (1914) eta orain ikusten dugun moduan TIETZE-k (1919).

Segidak eta limiteak

Kalkulu infinitesimalaren historia egiterakoan grekoen garaira joaten baldin bagara, beste horrenbeste egin beharko dugu limitearen kontzeptua historian zehar bilatu nahi izanez gero. Dena dela, lehen definizio zehatza, modernoa nolabait esateko, askoz ere hurbilago dugu, XIX. mendearen lehen herenean, hain zuzen: BOLZANO (1817) eta' CAUCHY (1821) ditugu bide-urratzaile.

Cauchy-ren "Cour3 d'Analyse" 1821ean irtetzen da lehen aldiz eta hura izango da urte askotan eta hainbat matema tikarirentzat oinarrizko liburua. Bertan agertzen da Cauchy-ren izena daraman propietatea ere, serie errealentzat defini

265

tua eta orduan, noski, konbergentziarako erizpide baliokide bezala. Gero, segida cauchyarrak definitzeko erabiliko da.

C 0 URS D'ANALYSE DE

L'LCOLE ROYALE POLYTECHNIQUE; PAR M. AUGUSTIN -LOVIS

CAUCHY,

Ingenieur des Ponise, Ch n LISffeS, Proresseur d'Analyse y rt.eele polyiecheique, d'honneur. Cheyslier de I. )1.sel.re de l'Acede'mie des •••

1." PA RTIE.

ANALYSE ALGLBRIQUE.

FRECHET-ek erakutsiko du Cauchy-ren propietatea ez dela nahikoa segida baten konbergentziarako eta osotasunaren kon tzeptua agertzen zaio. Zenbait espazio ez direla osoak ere fro gatuko du.

HAUSDORFF-ek 1914ean ' espazio ez-oso bat osotuko du, ho rretarako zenbaki errealen eraikibide batetan oinarrituz. Or durako bi osakuntz nabarmen ezagunak ziren: Q-ren osaketaz IR lortzen da (CANTOR-ek eta MERAY-k segida cauchyarren bidez, DEDEKIND-ek ebakien bidez), funtzio Riemann-integragarrien osaketaz funtzio Lebesgue-integragarriak lortzen dira (FISCHER, RIESZ).

BAIRE-ren erresultatuak 1899an agertuko dira lehenengoz;

266

antzekorik lortuko du OSGOOD-ek F-rentzat urte bat lehenago. Baire-ren teorema aplikatuz funtzio jarrai inon ez deri bagarrien existentzia BANACH-ek frogatuko du (1931).

Jarraitasuna

Limitearentzat esan dugun gauza berbera esan behar dugu jarraitasuna Matematikaren historian kokatu nahi badugu. Eta hantxe bezala, BOLZANO-ri eta CAUCHY-ri zor zaizkie lehen definizio zehatzak (funtzio errealentzat, jakina). Defini zio horiek gaurkoak bezalakoxeak dira: "f(x+u)) - f(x) kendura edozein kantitate eman baino txikiago egin daiteke w nahi bezain txikia hartu ahal bada" esango du, adibidez, Bolzano-k.

Homeomorfismoak hasieran aplikazio topologikoak deituko dira (oraindik ere izen hau ikus daiteke), berauek bait di ra Topologiaren oinarrizko aplikazioak.

Jarraitasun uniformearen lehen definizioa HEINE-k eman zuen 1870ean,

"Uber trigonometrisdhe Reihen" ("Serie trigo

nometrikoetaz") izeneko lanean; berriz ere ikusten dugu nola Analisiko problemak kontzeptu berriak eragiten dituzten. Bertan dator Heine-ren teorema ere, tarte itxi batetan definitu riko funtzio erreal jarraientzat, noski.

Konbergentzia uniformea Cauchy-ren erresultatu batzuetan beharrezkoa da eta, ideia horrn faltan, ematen dituenfro

267

gapenak faltsuak dira. ABEL konturatuko da honetaz eta 1826an kasu partikular batetan erabiliko du nahiz eta definizio berezirik ez eman. Geroztik, XIX. mendearen erdialdean, zenbait la netan agertuko da, Cauchy-k berak 1853an sartuko du. Ba dirudi, hala ere, WEIERSTRASS-ek 1941ean kontzeptu hori argi definitu ta zeukala, haren lana luzaroan idatziz agertu gabe egon arren.

Hedapen-erresultatuak LEBESGUE-ri, TIETZE-ri(1915) eta URYSOHN-i (1925) zor dizkiegu, batez ere.

Puntu finkoaren teorema desberdinek jatorri desberdina dute, noski. Kontrakzioena, bere formulazio orokorrean BANACH-ek emana da (1922) baina PICARD-ek 1890ean ekuazio diferen tzialen ebazpenaren existentzia frogatzeko erabiltzen duen me todoa gauza bera da.

Izendegia

LEIBNIZ, Gottfried Wilhelm (1646-1716) Alemania. EULER, Leonhard

(1707-1783) Suitza.

GAUSS, Carl Friedrich (1777-1855) Alemania. BOLZANO, Bernhard (1781-1848) Txekoslovakia. CAUCHY, Augustin - Louis (1789-1857) Frantzia. ABEL, Niels Henrik (1802-1829) Norvegia LISTING, Johann Benedikt (1802-1872) Alemania. WEIERSTRASS, Karl Theodor Wilhelm (1815-1897) Alemania. HEINE, Heinrich Eduard (1821-1881) Alemania. RIEMANN, Georg Friedrich Bernhard (1826-1866) Alemania.

268

DEDEKIND, Julius Wilhelm Richard (1831-1916) Alemania. MERAY, Hugues Charles Robert (1835-1911) Frantzia. JORDAN, Camille (1838-1921) Frantzia. CANTOR, Georg (1845-1918) Errusia. POINCARE, Jules Henri (1854-1912) Frantzia. OSGOOD, William Fogg (1864-1943) Estatu Batuak. HAUSDORFF, Felix (1868-1942) Alemania. BOREL, Emile (1871-1956) Frantzia. BAIRE, Rene Louis (1874-1932) Frantzia. LEBESGUE, Henri Leon (1875-1941) Frantzia. FISCHER, Ernst (1875-1959) Austria. FRECHET, Maurice (1878-1973) Frantzia. HAHN, Hans (1879-1934) Austria. RIESZ, Frederic (1880-1956) Hungaria. TIETZE, Heinrich Franz Friedrich (1880-1964) Austria. BANACH, Stefan (1892-1945) Polonia, ALEXANDROFF, Pavel Sergeievich (1896-

) Errusia.

URYSOHN, Pavel Samuilovich (1898-1924) Errusia. TYCHONOFF, Andrei Nicolaievich (1906-

) Errusia.

269

BIBLIOGRAFIA

1.

Espazio metrikoak gaitzat daukaten liburuak ez dira ugari: COPSON, E.T. "Metric Spaces". Cambridge University Press, Cambridge, 1968.

IRIBARREN, I.L. "Topologia de espacios m'êtricos". Limusa Wiley, Mexico, 1973.

KAPLANSKY, I. "Set Theory and Metric Spaces". Allyn & Bacon, Boston, 1972.

PITTS, C.G.C.

"Introduction to Metric Spaces". Oliver &

Boyd, Edinburgh, 1972.

2. Topologia Orokorrean liburu asko ditugu. Bertan, normalki, espazio metrikoei kapitulu batzu eskaintzen zaizkie. Zerren da luze bat ez egitearren, erabilitako gutxi batzu aipatuko ditugu:

CHOQUET, G. "Cours d' Analyse. Tome II: Topologie". Masson et Cie, Paris, 1964; (gazteleraz) "Topologia". Toray-Masson, Barcelona, 1971.

DELACHET, A. "La Topologie". Coll. "Que sais-je?".

P.U.F.

Paris, 1978 (ehun orrialdetan Topologia elementala polito azaltzen da).

THRON, W.J.

"Topological Structures".

Winston, New York, 1966.

Holt, Rinehart and

270

WILLARD, S. "General Topology". Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1970.

3. Analisi modernoaren oinarria Topologian datza. Ez da harri tzekoa, Analisiko liburuen hasieran espazio metrikoen topo logia aurkitzea. Hona hemen liburu horietariko batzu:

APOSTOL, T.M. "Mathematical Analysis, 2nd edition". Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1974; (gazteleraz) "Anålisis Matemåtico, 2 a ediciOn". Reverte. Barcelona, 1977.

DIEUDONNE, J. "Foundations of Modern Analysis". Academic Press, New York, 1960; (gazteleraz) "Fundamentos de Anålisis Moderno". Reverte, Barcelona, 1966; (frantzesez) "Elements d' Analyse I. Fondements d' Analyse Moderne". Gauthier-Villars, Paris.

SHILOV, G.

"Analyse Mathematique. Fonctions d' une varia-

ble". Mir, Moscu, 1973 (errusieratiko itzulpena).

4. Aipatutako liburuetan problemak proposatzen dira baina ez dira ebazten. Problema ebatziak aurkitzeko Topologia oroko rreko problemetako liburuetara jo behar da:

FLEITAS MORALES, G. eta MARGALEF ROIG, J. "Problemas de Topologia General". Alhambra, Madrid, 1970.

271

FLORY, G. "Topologie, analyse. Exercices avec solutions. Tome 1. Topologie". Vuibert, Paris; (gazteleraz) "Ejercicios de Topologia

y

Anålisis.

Tomo 1: Topologia". Reverte, Barcelona, 1978.

LIPSCHUTZ, S. "Theory and Problems of General Topology". Schaum, New York, 1965; (gazteleraz) "Teoria

y

Problemas de Topologia Gene

ral" . Serie Schaum, Mc Graw Hill, Panamå, 1970.

5. Aurreko liburuetan ohar historiko batzu ager daitezke baina pare batetan izan ezik, oso eskasak. Bereziki Matematikaren historiaz arduratzen diren liburu bi emango ditugu:

BOURBAKI, N. "Elements d' histoire des Mathematiques". Her mann, Paris, 1960; (gazteleraz) "Elementos de historia de las Matematicas". Alianza Universidad, Madrid, 1972.

DIEUDONNE, J. eta beste: "Abrege d' histoire des mathemati ques 1700-1900". Hermann, Paris, 1978.

6. Topologia zer den dibulgazio-mailan azaltzen dute:

TUCKER, A.W. eta BAILEY, H.S.

"Topology" in "Scientific

American", 1950.eko urtarrilan; (gazteleraz) in "Matematicas en el Mundo Moderno". Blume, Madrid, 1974.

272

COURANT, R. eta ROBBINS, H. "What is mathematics?". Oxford University Press, Oxford, 1967; (gazteleraz) drid, 1971.

"que

es la Matemåtica?". Aguilar,Ma

273

HIZTEGIA

(Parentesi artean doan zenbakia kontzeptua definitzen den orrialdearena da).

ARCU (187)

arco arc arc (path)

ARKUZ KONEXU (188)

conexo por arcos connexe pos arcs (pathwise) connected arcwise

ATXEKI PUNTU (40)

punto adherente point adhrent adherent point

ATXEKIDURA (40)

adherencia adherence adherence

AURRETRINKO (75)

precompacto precompact precompact

AZPIESPAZIO METRIKO (18)

subespacio mštrico sous-espace metrique metric subspace

AZPIESTALKI (75)

subrecubrimiento sous-recouvrement subcover

AZPISEGIDA (125)

subsucesiOn sous-suite subsequence

BALIOKIDEAK (METRIKA)(191)

(metricas) equivalentes (metrioues) equivalentes equivalent (metrics)

BANANGARRI (62)

separable separable separable

274

interior interieur interior

BARRUALDE (34)

BARRUKO (PUNTU)(34)

(punto) interior (point) interieur interior (point)

espacio metrico producto BIDERKADURA—ESPAZIO METRIK0(219)espace metrique produit product metric space

BOLA IREKI (29)

bola abierta boule ouverte open ball

BOLA ITXI (29)

bola cerrada boule fermee closed ball

BORNATU (7,71)

acotado borne bounded

(sucesiOn) de Cauchy CAUCHYAR (SEGIDA)(126)

(suite) de Cauchy Cauchy (sequence)

DENTSO (55)

denso dense dense

DERIBATU (42)

derivado derive derived

DIAMETRO (79)

diâmetro diamtre diameter

DISKRETU (METRIKA) (8)

(metrica) discreta (metrique) discrete discrete (metric)

275

semimetrica semimetrique semimetric

ERDIMETRIKA (13)

ERLATIBOKI TRINKO (88)

relativamente compacto relativement compact relatively compact

ESFERA (29)

esfera sphre sphere

ESPAZIO METRIKO (5)

espacio mtrico espace mõtrique metric space

ESTALKI (74)

recubrimiento recouvrement cover (covering)

EUKLIDEAR (METRIKA)(8)

(mètrica) euclidea (m'êtrique) euclideenne euclidean (metric)

GUZTIZ EZ-KONEXU (106)

totalmente inconexo totalement inconnexe totally disconnected

HOMEOMORFISMO (12)

homeomorfismo homêomorphisme homeomorphism

INGURUNE (39)

entorno voisinage neighborhood

INON EZ DENTSO (56)

denso en ninguna parte dense nulle part nowhere dense

IREKI (34)

abierto ouvert open

276

ISOLATU (PUNTU)(42)

(punto) aislado (point) isol isolated (point)

ISOMETRIA (19)

isometria isomtrie isometry

ITXI (44)

cerrado ferm closed

ITXIDURA (40)

clausura fermeture closure

JARRAI (163,170)

continua continue continuous

(sucesiOn) convergente (suite) convergente convergent (sequence)

KONBERGENTE (SEGIDA)(122)

convergencia uniforme KONBERGENTZIA UNIFORME (194).. convergence uniforme uniform convergence

conexo connexe connected

KONEXU (99)

LIMITE (121,166)



LIPSCHITZIAR (APLIKAZIO)(177).

LOKALKI KONEXU (108)



limite limite limit

(aplicaciOn) lipschitziana (application) lipschitzienne Lipschitz (mapping)

localmente conexo localement connexe locally connected

277

LOKALKI TRINKO (89)

localmente compacto localement compact locally compact

METATZE—PUNTU (42)

punto de acumulaciOn point d' accumulation accumulation point

METRIKA (4)

metrica metrique metric

MUGA (51)

frontera frontiere boundary

OSAGAI KONEXU (105)

componente conexa composante connexe connected component

OSO (ESPAZIO)(129)

(espacio) completo (espace) complet complete (space)

PROJEKZIOA (221)

proyeccin projection projection

SEGIDA (120)

sucesiOn suite sequence

SEGIDAZ TRINKO (137)

sucesionalmente compacto sequentiellement compact sequentially compact

TRINKO (80)

compacto compact compact

TOPOLOGIA (58)

topologia topologie topology

278

TOPOLOGIKOKI BALIOKIDEAK (METRIKA)(58)

UNIFORMEKI BALIOKIDEAK (METRIKA)(192)

UNIFORMEKI JARRAI (176)

(metricas) topolgicamente equi valentes (metriques) topologiquement equivalentes topologically equivalent (metrics)

(metricas) uniformemente equivalentes (metriques) uniformement equivalentes uniformly equivalent (metrics)

uniformemente continua uniformement continue uniformly continuous