Formulacion Hamiltoniana De La Mecanica

FORMULACION HAMILTONIANA DE LA MECANICA.

CARLOS S. CHINEA

1

INDICE: 01.

Introducción: 01.1. 01.2. 01.3.

02.

El Principio de Mínima Acción: 02.1. 02.2. 02.3. 02.4.

03.

Sistemas de partículas. Grados de libertad y condiciones de ligadura. Coordenadas. Coordenadas generalizadas. El espacio de configuración de un sistema mecánico.

El Principio de Hamilton de la Mínima Acción. Expresión matemática de la Acción. Ecuaciones de Lagrange. La lagrangiana. 02.4.1. Determinación. 02.4.2. Lagrangiana de una partícula libre. La lagrangiana de una particula en un campo exterior.

Ecuaciones de Hamilton: 03.1.

Definición del momento lineal. 03.1.1. Momento lineal. 03.1.2. Coordenadas ignoradas. 03.1.3. Espacio fásico. 03.2. La función hamiltoniana. 03.2.1. Significado. 03.2.2. Invariancia en los sistemas holónomos esclerónomos. 03.3. Las Ecuaciones de Hamilton. 04.

Teoremas básicos de la formulación. 04.1. 04.2. 04.3. 04.4. 04.5.

El Teorema El Teorema variables. El Teorema El Teorema El Teorema

de Hamilton-Jacobi. de transformación canónica de de los Corchetes de Poisson. del Jacobiano. de Liouville.

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La primera de las formulaciones de la Mecánica Teórica fue la desarrollada por Isaac Newton (1643-1727), basándola, como sabemos, en tres leyes o principios. Posteriormente, Joseph Luis de Lagrange (1736-1813), desarrolló su concepción de la Mecánica obteniendo sus famosas ecuaciones diferenciales para describir la evolución de los sistemas mecánicos. William Rowan Hamilton (1805-1865) utilizó los principios del cálculo variacional para dotar a la Mecánica Teórica de una concepción intrínseca que superaba a la concepción desarrollada antes por Lagrange.

NEWTON

LAGRANGE

HAMILTON

Los trabajos de Hamilton fueron desarrollados por grandes físicos y matemáticos como Carl Gustav J. Jacobi (18041851), Simeón Poisson (1781-1840), o Joseph Liouville (18091882).

JACOBI

POISSON

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LIOUVILLE

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La Formulación Hamiltoniana de la Mecánica tiene como referente a la anterior Formulación Lagrangiana. Hamilton consideró como variables independientes no solamente las coordenadas generalizadas, sino también los momentos o ímpetus asociados, definiendo lo que llamó el Espacio de la Fases. La función principal de Hamilton, o hamiltoniana, tiene una forma relacionada con la función principal de Lagrange, suma de los productos de cada ímpetu por la velocidad menos la función lagrangiana, pudiendo, con ella obtener unas ecuaciones de evolución de los sistemas mecánicos mucho más potentes que las ecuaciones de Lagrange.

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01.

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Introducción: 01.1. Sistemas de partículas. 01.2. Grados de libertad y condiciones de ligadura. 01.3. Coordenadas. Coordenadas generalizadas. El espacio de configuración de un sistema.

01.1. Sistemas de partículas: Un conjunto de partículas con una propiedad común α es un αsistema de partículas. En realidad, todos los objetos son sistemas de partículas en la mecánica clásica. Un sistema puede, no obstante, estudiarse, en múltiples aspectos como si fuera una sola partícula, y esto ocurre en los casos en que la interacción mutua de las partículas del sistema puede despreciarse en el estudio mecánico de sus peculiaridades dinámicas. Un sistema de partículas diremos que es cerrado si no sufre interacción desde ningún sistema exterior, es decir, si consideramos que no está sometido a ningún campo de interacción externo. Un sistema se dice conservativo si está exclusivamente sometido a campos externos que originan fuerzas conservativas, esto es, si existe una función potencial V tal que la fuerza que sufre el sistema es v v f = −∇ V Si el sistema de partículas está sometido además a otras fuerzas no conservativas, que llamaremos fuerzas disipativas, esto es, no provenientes de una función potencial, tales como el rozamiento, etc.., diremos que el sistema es no conservativo o bien que es disipativo. 01.2. Grados de libertad y condiciones de ligadura: El grado de libertad de cada una de las partículas de un sistema físico puede estar restringido por condiciones de ligadura, es decir, por condiciones que impiden que todo el sistema o una parte de él se pueda desplazar libremente en algún sentido. Estas condiciones DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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pueden ser dependientes del tiempo, y pueden ser representables mediante ecuaciones matemáticas o ecuaciones diferenciales integrables. o bien, en muchos casos, solo son representables mediante inecuaciones o sistemas de diferencias. Un sistema se dice holonomo, o bien, sometido a ligaduras holónomas, si las condiciones de ligadura son expresables mediante ecuaciones matemáticas entre sus coordenadas o ecuaciones diferenciales integrables. En caso contrario, se dice que el sistema mecánico es no holónomo. Un sistema se dice que es esclerónomo si las condiciones de ligadura son independientes del tiempo. En caso contrario el sistema se dice que es reónomo o sometido a ligaduras reónomas. Por tanto: Un sistema holonomo esclerónomo es un sistema sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas. Un sistema holónomo reónomo es un sistema sometido a condiciones de ligadura dependientes del tiempo expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas. Un sistema no holónomo esclerónomo es un sistema sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo no expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas. Un sistema no holónomo reónomo es un sistema sometido a condiciones de ligadura dependientes del tiempo no expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas. Los sistemas mas esclerónomos.

usuales

son,

naturalmente,

los

holónomos

01.3. Coordenadas. Coordenadas generalizadas. El espacio de configuración de un sistema mecánico: sea un sistema de N partículas pi, i =1, 2, ..., N. Cada partícula tiene tres coordenadas en el espacio ordinario, por lo que en total hay 3N coordenadas para el sistema de partículas. Si hay k ecuaciones de ligadura entre estas variables se tiene que el número total de variables independientes es n = 3N - k. Podemos DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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representar por qi , i =1,2,...,n a estas variables independientes, que se denominan coordenadas generalizadas. Sus correspondientes derivadas temporales se llaman velocidades generalizadas. Se llama espacio de configuración de un sistema de partículas al espacio cuyos puntos son las 2n-plas formadas por las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas y el tiempo. .    Espacio de configuración: Ec =  q i , qi , t  / qi coord _ gener    

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02.

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El Principio de Mínima Acción: 02.1. 02.2. 02.3. 02.4.

El Principio de Hamilton de la Mínima Acción. Expresión matemática de la Acción. Ecuaciones de Lagrange. La lagrangiana. 02.4.1. Determinación. 02.4.2. Lagrangiana de una partícula libre. La lagrangiana de una particula en un campo conservativo.

02.1. El Principio de Hamilton de la Mínima Acción: →

En todo sistema de N partículas en donde es f i la fuerza aplicada →

sobre una partícula de radio vector ri se verifica que existe siempre una función escalar Γ que llamaremos "energía cinética" del sistema, tal que la integral t2 N → →   S = ∫  Γ + ∑ f i ri .dt i =1  t1  es mínima en el movimiento real del sistema en el espacio de configuración. A la integral S la llamaremos "acción" del sistema de partículas. La trayectoria, pues, ha de ser la extremal de la integral definida como acción. O sea, es la curva para la cual es mínima la acción: δS = 0 02.2. Expresión matemática de la Acción: →

Si la fuerza aplicada a cada partícula, f i , tiene una componente →

→

conservativa, f ic , y otra componente no conservativa, f i ' , se tiene que →

→

→

→

→

f i = fic + fi = − ∇ v + f i DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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Siendo V una función de las coordenadas generalizadas que llamaremos "energía potencial" del sistema de partículas. La acción, en definitiva, puede expresarse matemáticamente así: t2

 S = ∫  Γ + t1 

 f i ri .dt = ∑ i =1  N

→ →

t2

t2

t1

t1

∫ Γ.dt −

→

→

∫ ∇V . ri .dt +

→

→

∫ f 'i . ri .dt

02.3. Ecuaciones de Lagrange: Aplicando el Principio de Mínima Acción, se tiene: t2

t2

→

∂r δS = δ ∫ Γ.dt − ∫ ∑ ∇ V . i δq j .dt + ∂q j t 1 j =1 n

→

t1

t2

= δ ∫ Γ.dt − t1

t2

n

t1

j =1

∫∑

∂V δq j .dt + ∂q j

t2

→

∂r f i . i .δq j .dt = ∫t ∑ ∂q j j =1 1

t2

n

t1

j =1

n

→

∫ ∑ Q .δq .dt j

j

=0

aplicando cálculo variacional a la primera integral (ver ecuaciones variacionales de Euler), se tiene:   ∂Γ d ∂Γ δS = ∫ ∑  − dt ∂ q. t 1 j =1  ∂q j j  t2

n

 t1 n t2 n  ∂V δq j .dt + ∫ ∑ Q j .δq j .dt = 0 .δq j .dt − ∫ ∑  t 1 j =1 ∂q j t 1 j =1 

o bien:    ∂Γ  d ∂Γ ∂V δS = ∫ ∑  − − + Q j .δq j .dt = 0 dt ∂ q. ∂q j t 1 j =1  ∂q j  j   o, lo que es lo mismo: t2

n

  ∂ (Γ − V ) d ∂(Γ − V ) δS = ∫ ∑  − + Qj . ∂ q dt j = 1 t1  j ∂ qj  t2

n

  .δq j .dt = 0  

verificándose entonces las n ecuaciones siguientes: ∂(Γ − V ) d ∂(Γ − V ) − + Q j = 0; j = 1,2,...n . ∂q j dt ∂ qj DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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que son las ecuaciones de Lagrange del sistema de partículas. La función L = Γ − V se denomina "lagrangiana" del sistema. En función de la lagrangiana sería: ∂L d ∂L − + Q j = 0; j = 1,2,...n . ∂q j dt ∂ qj (Ecuaciones de Lagrange) Para sistemas conservativos es Q j = 0,

j = 1,2,..., n por lo que las

ecuaciones anteriores quedan así: ∂L d ∂L − = 0; j = 1,2,...n . ∂q j dt ∂ qj (Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos) Para estos sistemas, en donde no existen fuerzas disipativas, la acción del sistema de partículas es, simplemente, la integral en el tiempo de la función lagrangiana: S =

t2

∫ L.dt t1

02.4. La lagrangiana: La lagrangiana de un sistema se define, como ya hemos visto, por la expresión L = Γ − V , donde es Γ la energía cinética y V la energía potencial. 02.4.1. Determinación: Toda función L' que difiera de la lagrangiana en la derivada temporal de una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo es, también, lagrangiana del sistema de partículas. Efectivamente: d  f (q j , t ) ⇒ L'  dt lagrangiana 

L = L'+ L

lagrangiana t2

se tiene que si es L lagrangiana ⇒ δS = δ ∫ L.dt = 0 t1

por tanto, es: DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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t2 t2  t2 t2  d   δ ∫  L'+ f (q j , t ) .dt = δ ∫ L'.dt +f (q j , t ) t  = δ ∫ L'.dt + δf (q j , t 2 ) − δf (q j , t 1 ) t 1  dt  t1  t1 1 

y siendo

t2

δf (q j , t 2 ) = δf (q j , t 1 ) = 0 , se tendrá que δ ∫ L'.dt = 0 y L' es t1

también lagrangiana. 02.4.2. Lagrangiana de una partícula libre. La lagrangiana de una particula en un campo conservativo: a) El caso de una partícula libre: La lagrangiana de una partícula libre, al ser una función característica de la misma, no puede depender de las coordenadas de la partícula ni del tiempo, en virtud de la homogeneidad del espacio-tiempo. Tendrá que depender solamente de la velocidad, pero en virtud de la isotropía del espacio, no ha de depender de la dirección de la velocidad, sino, en todo caso de su módulo, por tanto, ha de poder expresarse en función del cuadrado de la velocidad: .

2

L = L(q j ) = L(v 2 ) Por otra parte, si consideramos una variación infinitesiamal, u, de la velocidad, se tendría: v → v' = v + u y la lagrangiana también se puede expresar en función de v':

(

) (

L(v ' 2 ) = L (v + u)2 = v 2 + 2v.u + u 2

)

desarrollando en serie y despreciando los términos de órden superior al segundo, se tiene: ∂L L(v ' 2 ) = L(v 2 ) + .2u + ... ∂v 2 Y siendo lagrangianas tanto L(v 2 ) como L(v ' 2 ) , se deduce, en virtud de un ressultado expuesto antes, que el termino restante ha de ser, necesariamente, la derivada temporal de una función de las coordenadas y del tiempo: ∂L d .2v.u = f (q j , t ) 2 dt ∂v DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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pero esto indicaría que la derivada parcial ha de ser constante, luego: ∂L = const = a ∂v 2 y, en definitiva, es L = a.v 2 . Llamamos "masa" de la partícula a la constante m = 2.a. Luego, la lagrangina se puede expresar así: 1 mv 2 2

L=

Si se trata de un sistema de N partículas en movimiento libre: L=

1 2

N

∑ m .v j

2 j

j =1

b) Una partícula en un campo exterior de potencial V: Siendo L = Γ − V , se tiene que si V= 0 (movimiento libre), hemos 1 visto que L = Γ − 0 = Γ = mv 2 , por tanto, será: 2 1 L = mv 2 − V 2 Y si se trata de un sistema de N partículas en movimiento libre, tenemos: L=

1 2

N

∑ m .v j

2 j

−V

j =1

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03.

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Ecuaciones de Hamilton: 03.1. Definición del momento lineal. 03.1.1. Momento lineal. 03.1.2. Coordenadas ignoradas. 03.1.3. Espacio fásico. 03.2. La función hamiltoniana. 03.2.1. Significado. 03.2.2. Invariancia en los sistemas holónomos esclerónomos. 03.3. Las Ecuaciones de Hamilton.

03.1. Definición de momento lineal: 03.1.1. Momento lineal: Se define el momento lineal con respecto a la coordenada qj de una partícula de lagrangina L por pj =

∂L .

j = 1,2,..., n

∂ qj

→

Al n-vector p = (p1 , p2 ,..., pn ) se le llama vector momento lineal o impulso de la partícula. 03.1.2. Coordenadas ignoradas o cíclicas: Si la lagrangiana L no depende explícitamente de la coordenada qj se dice que qj es ignorada o cíclica. Si una determinada coordenada es cíclica, el momento lineal correspondiente es constante, y, al revés, si el momento es constante, la coordenada correspondiente es cíclica. Coord qj cíclica ⇒ L ≠ L(q j ) ⇒ pj =

∂L .

∂ qj

const ⇒

∂L d ∂L ∂L =0⇒ = 0 ⇒ pj = const . . ∂q j dt ∂ qj ∂ qj

d ∂L ∂L =0⇒ = 0 ⇒ L ≠ L(q j ) ⇒ qj ignorada . dt ∂q j ∂ qj

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03.1.3. Espacio de las fases: Se define el espacio de las fases de un sistema de partículas como el espacio cuyos puntos son las 2n componentes q1 , q 2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn es decir, las coordenadas generalizadas y las correspondientes componentes de momento lineal. Espacio fases = E (q1 , q 2 ,..., qn , p1 , p 2 ,..., pn ) Se define el Corchete de Poisson para dos funciones, f1 y f2, en las variables del espacio de las fases, y se representa por [ f1 , f 2 ] , a la suma de derivaciones parciales siguiente:

[ f 2 , f1 ] = ∑  ∂f1 . ∂f 2 n

i =1

−

 ∂q k ∂pk

∂f 1 ∂f 2 . ∂p k ∂q k

  

Naturalmente, si una coordenada es ignorada, y como su componente de momento lineal es constante, el espacio fásico tendría dos componentes menos. En el caso de que hubiera m coordenadas ignoradas, las dimensiones del espacio de las fases sería, entonces, 2(n-m). 03.2. La función hamiltoniana: Se define como hamiltoniana de un sistema de partículas de lagrangiana L a la función siguiente: H =

n

.

∑ p .q j

j

−L

j =1

donde las pj son las correspondientes componentes de momento lineal. 03.2.1. Significado: En un sistema sometido a un campo exterior de potencial V, sabemos que la lagrangiana es de la forma

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n . 2 1 1 2 L = mv − V = m∑ q j − V 2 2 j =1

por tanto, se tiene: H =

n

.

∑ pj qj − L = j =1

=

n

. 2

∑ m. q j − j =1

n

∂L

j =1

∂ qj

∑

.

2

.

qj −

n . 1 m∑ q j + V = 2 j =1

n

.

.

∑ m. q j q j − j =1

2

n . 1 m∑ q j + V = 2 j =1

n n . 2 . 2 1 1 1 m∑ q j + V = m∑ q j + V = mv 2 + V = Γ + V 2 j =1 2 j =1 2

Es decir, la Hamiltoniana de un sistema sometido a un campo exterior constante, no dependiente del tiempo ni de la velocidad, es la energía total del sistema, suma de la energía cinética más la energía potencial. 03.2.2. Invariancia en los sistemas holónomos esclerónomos: En un sistema holónomo esclerónomo, esto es, en un sistema sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas, su lagrangiana, naturalmente, no depende por tanto expresamente del tiempo, sino, todo lo más, de sus coordenadas y velocidades generalizadas. Por tanto, al derivar con respecto al tiempo: .

.   n d q  ∂L  dq j ∂L j  .  dt + ∑ . dt = j =1 ∂q  ∂ qj j   .  d  n dL  ∑ p j q j  = → → dt  j =1  dt

n dL ∂L dq j ∂L d q j n d =∑ +∑ . =∑ dt dt j =1 ∂q j dt j =1 j =1 dt ∂ qj n

.   n  ∑ p j q j  j =1 j =1  j =1  .  .  d  n dL d  n d  ∑ pj q j  −  ∑ p j q j − L  = 0 → → =0→ H = 0 → H const dt  j =1 dt  j =1 dt  dt 

=

n

.

.

n

..

∑ pj .qj + ∑ pj qj =

d dt

La invariancia de la Hamiltoniana se debe, en definitiva, a la uniformidad del tiempo, al hecho de que la lagrangiana no depende explicitamente del tiempo en estos sistemas. Como la Hamiltoniana de un sistema cerrado o sometido a un campo exterior constante es la energía total del sistema, se deduce, con esto, que la energía total de un sistema de este tipo es constante.

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03.3 Las Ecuaciones de Hamilton: Haciendo la diferencial de la Hamiltoniana: .  n  dH = d  ∑ p j . q j − L  =  j =1 

=

n

.

∑ dp . q j

j

+

j =1

n

j

.

∑ dp j . q j + j =1

n

j

j =1

.

∑ p j . dq j − dL = j =1

∂L .dq j − j =1 ∂ q j n

.

∑ p . dq

n

−∑

n

∑

j =1

∂L .

∂ qj

n .  dp j   p . dq − − Q j .dq j − ∑ j j ∑ j =1 j =1 j =1  dt  n n .  dp j  ∂L = ∑ dp j . q j − ∑  − Q j .dq j − .dt ∂t j =1 j = 1  dt 

=

n

.

∑ dp j . q j +

n

.

.d q j −

∂L .dt = ∂t

n

.

∑ p j .d q j − j =1

∂L .dt = ∂t

en definitiva, se tiene: n  dp .  ∂L j  dp . q − − Q j .dq j − .dt ∑ ∑ j j  ∂t j =1 j =1  dt  n n ∂H ∂H ∂L dH = dp + .dq j + .dt ∑ j ∑ ∂t j =1 ∂ p j j =1 ∂ q j

dH =

n

por tanto, al identificar se obtienen un conjunto de ecuaciones que se conocen como Ecuaciones de Hamilton: . ∂H = qj ; ∂p j

. ∂H = Q j − pj ; ∂q j

∂H ∂L =− ∂t ∂t

(j=1,2,...,n) Si se trata de sistemas conservativos: . ∂H = qj ; ∂p j

. ∂H = − pj; ∂q j

∂H ∂L =− ∂t ∂t

(j=1,2,...,n)

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04. Teoremas básicos de la formulación: 04.1. 04.2. 04.3. 04.4. 04.5.

El El El El El

Teorema de Hamilton-Jacobi. Teorema de transformación canónica de variables. Teorema de los Corchetes de Poisson. Teorema del Jacobiano. Teorema de Liouville.

04.1. El Teorema de Hamilton-Jacobi: Para todo sistema sometido exclusivamente a fuerzas conservativas, existe una ecuación de la forma: ∂S +H =0 ∂t siendo suficiente que tenga una solución completa, S0=S0(qj,pj,t), para que sean integrables las 2n ecuaciones de Hamilton. Efectivamente: a) Sabemos que si el sistema es conservativo, entonces la acción S es la integral en el tiempo de la función de Lagrange: S =

t2

t2 dq j  n  L . dt = pj − H .dt ∫t ∫t  ∑ dt j =1  1 1

Por tanto, la diferencial dS será: dq j  n  dS =  ∑ p j − H .dt = dt  j =1 

n

∑ p .dq j

j

− H.dt

j =1

Y por otra parte, al ser la acción S función de las coordenadas generalizadas y del tiempo, se tiene: dS =

n

∂S

∑ ∂q j =1

dq j +

j

∂S dt ∂t

por lo cual, al identificar, tenemos que es: DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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∂S = pj, ∂q j

∂S = −H, ∂t

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( j = 1,2, ...n)

podemos escribir estas relaciones de la forma: →

∂S +H =0 ∂t

→

∇S = p,

∂S + H = 0, Ecuación de Hamilton-Jacobi ) ∂t

(

b) Veamos que si existe una función S0=S0(qj,pj,t) que verifica la Ecuación de Hamilton-Jacobi, entonces existen las integrales de las ecuaciones de Hamilton, es decir se pueden calcular las integrales siguientes: ∂H

∫ ∂q

j

∂H

dt = − ∫ dp j = − p j ,

∫ ∂p

dt =

j

∫ dq

j

= qj

diferenciando la integral S0: dS 0 =

n

∂ S0

∑ ∂q j =1

j

n

dq j +∑ j =1

∂ S0 ∂S 0 dp j + dt = ∂p j ∂t

n

∂S 0

∑ ∂q j =1

j

n

dq j + ∑ j =1

∂S 0 dp j − Hdt ∂p j

Despejando la H: Hdt =

n

∂ S0

∑ ∂q j =1

j

n

dq j +∑ j =1

n . ∂ S0 ∂S . n ∂S . dp j − dS0 → H =∑ 0 q j +∑ 0 p j − S 0 ∂p j j =1 ∂ q j j =1 ∂ p j

y siendo, por otra parte: dH =

n

∂H

∑ ∂q j =1

.

dt . q j +

n

∂H

∑ ∂p j =1

j

.

dt. p j +

j

∂H dt ∂t

al integrar respecto al tiempo: H =

. ∂H dt . q ∑ j + ∫ ∂q j j =1 n

n

∑∫ j =1

. ∂H dt . p j + ∂p j

∫

∂H dt ∂t

lo que nos permite identificar: ∂H

∫ ∂q

j

dt =

∂ S0 , ∂q j

∂H

∫ ∂p

j

dt =

∂S 0 , ∂p j

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∫

dS 0 ∂H dt = − ∂t dt MARCHENA 2002

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04.2. El Teorema de transformación canónica de variables: La condición necesaria y suficiente para que una transformación de variables de la forma

(qi , p i ) → (Qi , Pi ) mantenga la invariancia de las ecuaciones de Hamilton ∂H p& i = − ∂qi (i = 1,2,3,..., n) ∂H q& i = ∂pi es que exista una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo, f = f ( q1 , Qi , t ) , tal que ∂f pi = ∂q i ∂f Pi = − (i = 1,2,3,..., n ) ∂Qi ∂f H '= H + ∂t siendo H’ función hamiltoniana del sistema con respecto a las nuevas coordenadas. Este tipo de transformación se dice Transformación canónica de variables. En efecto: - Veamos que es necesaria esa condición si se cumplen las ecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas y ímpetus generalizados: Sea L’ y H’ las funciones de lagrange y Hamilton respecto de las nuevas coordenadas. Se cumple, como ya sabemos, que, para toda función de las coordenadas y del tiempo f(qi, Qi, t) es: L = L'+

n n df → ∑ p i dqi − Hdt = ∑ Pi dQi − H ' dt + df → dt i =1 i =1 n

n

i =1

i =1

→ df = ∑ p i dqi − ∑ Pi dQi + (H '−H )dt DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED.

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por otra parte: n

df = ∑ i =1

n ∂f ∂f ∂f dq i + ∑ dQi + dt ∂qi ∂t i =1 ∂ Q i

por lo que, identificando: ∂f ∂f ∂f = Pi , = − Pi , = H '− H ∂q i ∂Q i ∂t que es la condición indicada y resulta ser, pues, necesario su complimiento. - Veamos ahora que es suficiente esa condición para que se deduzcan las ecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas e ímpetus generalizados: si se cumplen n

df = ∑ i =1

∂f ∂f ∂f = Pi , = − Pi , = H '−H , se tendrá entonces que: ∂q i ∂Q i ∂t

n n n ∂f ∂f ∂f dqi + ∑ dQi + dt = ∑ pi dq i −∑ Pi dQi + ( H '− H ) dt ∂qi ∂t i =1 ∂Qi i =1 i =1

n n df dq dQi df = ∑ p i i − H −∑ Pi + H ' = L − L' → L = L'+ dt i =1 dt dt dt i =1

Por tanto las funciones L’ y H’ son respectivamente lagrangiana y hamiltoniana del sistema en las nuevas variables, cumpliéndose por tanto las ecuaciones de Hamilton: •

Pi = −

∂H ∂Qi

∂H Qi = ∂Pi

( i = 1, 2,3,..., n )

•

04.3. El Teorema de los Corchetes de Poisson: La variación temporal de una función f = f ( qi (t ), pi (t ), t ) , de coordenadas e ímpetus generalizados, es expresable en la forma

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df ∂f = + [H , f ] dt ∂t Donde H es la función hamiltoniana del sistema, corchete de Poisson de las funciones H y f.

y [H, f] es el

En efecto: n n  ∂f dq k df ∂f ∂f dqk n ∂f dp k ∂f ∂f dp k  = = +∑ +∑ = + ∑  + dt ∂t k =1 ∂q k dt k =1 ∂p k dt ∂t k =1  ∂q k dt ∂p k dt  n  ∂f dH ∂f ∂f dH  ∂f = = + ∑  − + [H , f ] ∂t k =1  ∂qk dp k ∂p k dq k  ∂t

04.4. El teorema del Jacobiano: El jacobiano de una transformación canónica de variables es siempre igual a la unidad. O sea: ∂Q i ∂(Qi ; Pi ) ∂qk D= = =1 ∂ (qi ; pi ) ∂pi ∂Pk En efecto: Sea f una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo que verifica la condición de la transformación canónica de variables: ∂f ∂f ∂f = Pi , = − Pi , = H '− H ∂q i ∂Q i ∂t n

y construyamos una función de la forma φ = f + ∑ Pk Qk . Se tiene, al k =1

diferenciar: n

n

dφ = df + ∑ Pk dQk +∑ Qk dPk = k =1

k =1

n n ∂f ∂f ∂f dqk +∑ dQk + dt +∑ Pk dQk + ∑ Qk dPk = ∂t k =1 ∂q k k =1 ∂ Q k k =1 k =1 n

n

=∑ n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

= ∑ pk dqk −∑ Pk dQk + (H '−H )dt +∑ Pk dQk +∑ Qk dPk

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quedando, en definitiva: n

n

k =1

k =1

dφ = ∑ pk dqk + ∑ Qk dPk + (H '− H )dt por otra parte, es:

n ∂φ ∂φ ∂φ dq k + ∑ dPk + dt ∂t k =1 ∂q k k =1 ∂Pk n

dφ = ∑ por tanto, al identificar:

∂φ ∂ 2φ ∂pk = pk → = ∂qk ∂qk ∂Pi ∂Pi ∂φ ∂ 2φ ∂Qk = Qk → = ∂Pk ∂Pk ∂qi ∂ qi ∂φ = H '−H ∂t de lo cual: ∂pk ∂Pi

∂pk ∂Qk = →D = =1 ∂Pi ∂qi ∂Qk ∂ qi

04.5. El Teorema de Liouville: Dado el espacio de las fases del movimiento real de un α-sistema de partículas con n grados de libertad, y llamando dΓ = dq1 .dq2 ....dqn .dp1 .dp2 ....dpn al elemento diferencial de volumen, se verifica que la integral invariante con respecto variables. O sea: En efecto:

a

las

transformaciones

∫ dΓ

canónicas

es de

∫ dΓ = consante

Bastará probar que en una transformación canónica de variables el volumen expresado en unas variables es el mismo que expresado en las otras. En las variables (qi, pi): dU =

n

∏ dp dq i

i

i =1

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En las variables (Qi, Pi): dW =

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n

∏ dQ .dP i

i

i =1

Ahora bien, el jacobiano de la transformación es, precisamente el cociente: n

∏ dp dq i

D =

i

=

i =1 n

∏ dP dQ k

dU dW

k

k =1

y, por el teorema anterior para el jacobiano: D = 1 → dU = dW →

n

∫ ∏ dpi dqi = i =1

por tanto, se cumple que

n

∫ ∏ dP dQ i

i

i =1

∫ dΓ = consante

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