This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
(&,-) = At-, t = 1,...,п. Тогда y>(u) = и(д,<р(х)) = = u(g,h) = 1, поскольку w является G-тождеством. Следовательно, и Е Е Kerv? для всех кр Е Ф. Поэтому и € I. Наоборот, пусть w Е J,/г = (Ль..., /&n) ~ произвольный набор элемен тов из G. Определим G-гомоморфизм ф из Gv[X] в G следующим образом: ф(д) = д для всех д €G, ф(х{) = Ы. Такой G-гомоморфизм существует, поскольку группа Gy[-X"] являет ся (G, ^-свободной группой. Так как и Е / , то ф(и) = 1. Следовательно, и(д, h) = 1. В силу того, что набор Л = (fti, ...,/&п) произволен, и является G-тождеством, а потому и Е Vn,red{G)> D Выведем некоторые условия, когда V"n>red(G) = 1 на языке G-тождеств. Обозначим через Vn,c(H) вербальную подгруппу G-тождеств от п переменных, истинных в G-группе Я . Л Е М М А 2.2. Пусть X G-тождеств VniC(G) =
= {х\} . . . , х п } . Группа
редуцированных
Vn,red(G) равна единице тогда и только тогда, когда
Vn,c(Gv[X]).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть u(g,x) E K, C (G). Тогда в G истинно G-тождество и{д, х) = 1, и следовательно, это тождество истинно в Gv[-X"]. Допустим, что и(д, х) — неединичный элемент в Gy[X]. Полагая у, = ж|? получим противоречие с тем, что и{д,х) является G-тождеством в Gv[X]. Обратно, пусть VnyC(G) ф V n , c (Gy[X]). Тогда Vn,c(G) строго больше Vn,c(GV[-X"]), и пусть и(д} х) — элемент из их разности. Ясно, что и{д, х) ф 1 в GV[X], а поскольку и(д, х) Е Vn,red(G), то Vn,red(G) ф 1.
262
М. Г. Ам&глобели, В. Н. Ремесленников Соберем вместе доказанные выше результаты в виде следующего
критерия. Т Е О Р Е М А 2.2. Пусть G — группа ип — натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) Vnired(G) = 1; 2) группа Gv[X] = G * Fn(X),
А" = {a?i,..., хп},
G-аппроксимируется
группой G\ 3) Vn,c{G) = VBlC(GV[X]). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Группу G назовем нормализованной, если для любого натурального числа п выполняется Vn%Ted(G) = 1. В силу теоремы 2.2 можно заменить в этом определении выполни мость условия 1 на выполнимость условия 2 или 3. О Б Щ А Я П Р О Б Л Е М А . Пусть задано некоторое многообразие групп. Требуется описать структуру ее нормализованных групп. Отметим, что если А — абелева группа, то она (см. [7]) всегда норма лизована; если G — неабелева 2-ступенно нильпотентная группа без круче ния, то она нормализована тогда и только тогда, когда Z(G) = Gf (см. [7]). Там же доказано, что группа Z{G) = Z(G)/Gf
служит мерой отклонения
группы G к понятию "быть нормализованной группой".
§ 3. Вычисление группы редуцированных G-тождеств 3.1 • Группы, близкие к свободным, В [11] введена категория С$ групп (близких к свободным). Этот класс групп важен тем, что лю бая координатная группа неприводимого алгебраического множества над нётеровой по уравнениям гиперболической группой без кручения является ОД-группой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Группа G принадлежит категории
С$-групп
(близких к свободным), если она удовлетворяет следующим аксиомам: CF1 : G — неабелева CSЛ-группа, не содержащая элементов второго порядка; CF2 : G является нётеровой по уравнениям;
263
G-тождества, и G -многообразия CF3 : G удовлетворяет условию (5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Группа G называется нётеровой по уравнени ям, если любая система уравнений над G относительно конечного числа переменных эквивалентна некоторой ее конечной части. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Группа G называется CSA-группощ
если лю
бая ее максимальная абелева подгруппа М является мальнормальной, т. е. М П g~lMg = 1, если g £ М. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Группа G удовлетворяет условию S, если для любого элемента и бесконечного порядка и любых элементов g = = (5b...,5fc+i) таких, что [#,ум] Ф 1, существует такое натуральное чис ло &, что множество Su,a,k = {giuaig2-g8uaeg8+i
I Ы > *}
не содержит 1. Класс СУ-групп достаточно широк. Он включает свободные группы, нётеровы по уравнениям гиперболические группы без кручения и группы, действующие свободно на Л-деревьях. Более того, большинство групп с одним соотношением содержится в этом классе. Наша цель — доказать что справедлива следующая Т Е О Р Е М А 3.1. Пусть G является С$-группой.
Тогда для любо
го натурального числа п выполняется Vn^red{G) = 1, т. е. G нормализованной
является
группой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 2.2 достаточно проверить, что G-свободная группа ранга п Gy[X] G-аппроксимируется группой G, где V = var(G). Доказательство теоремы будет проведено по следующей схеме. Прежде всего докажем, что любая С#-группа порождает многообра зие всех групп, т. е. на ней не выполняется никакое нетривиальное тожде ство. Отсюда будет следовать, что Gypf] = G * F n ( X ) , где * — просто сво бодное произведение, a Fn(X) — абсолютно свободная группа. Во-вторых, покажем, что Gy[-Y] G-аппроксимируется группой G. Ключом к доказательству этих результатов служат следующие две леммы.
264
М. Г. Амаглобели, В. Н. Ремесленников Л Е М М А 3.1. Пусть и ф 1 из G} С(и) = С — централизатор эле
мента и, G* = (С, £ | [С, £] = 1) — свободное расширение централизатора элемента и ранга 1. Тогда группа G* G-аппроксимируется группой G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определение свободного расширения центра лизатора элемента содержится в [12]. Там же доказано, что любой нееди ничный элемент д* можно записать в виде g* = 9itai...gntangn+u
(l)
причем [#,-, t] ф 1 для г = 2,..., п. Докажем, что группа G* G-аппроксимируется
группой G. Пусть
#* Ф 1 задан в виде (1). Если п ^ 2, то система £2)—>£п
и
элемент г*
удовлетворяют условию (5) из определения С#-группы. Пусть А; — нату ральное число, которое гарантирует выполнение условия CF3 для системы 91 » •••» <7п+ъ и построим Сг-гомоморфизм
такой, что
= 5i£ ff2> Если [<7ь «] 9^ 1 и [#2jtt] 7^ 1)
ф 1 по свойству (5). Пусть д* — то
рассуждение такое же, как и
выше. Пусть д* = #£ас, где с Е С(и). Тогда # 0 С (и). Строим G-гомоморфизм <ро : G* —• G такой, что <ро(£) = 1Тогда <£о(5*)
-дсф1.
И, наконец, пусть #* = £ас, где с 6 С(м). Тогда снова применим G-гомоморфизм щ и получим ¥>*($*) = « ^
1.
Итак, мы доказали, что группа G* G-аппроксимируется группой G. П Обозначим через GUit группу G* из предыдущей леммы. Л Е М М А 3.2. Для любого натурального числа п G-свободная груп па Gv[X] является подгруппой Guj-
G-тождества, и G-многообразия
265
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Этот результат имеет аналог в категории обычных групп (см. [13]). Поэтому здесь мы приводим только схему дока зательства. Выберем элемент Л, не принадлежащий централизатору эле мента и. Такой элемент существует, поскольку группа G является неабелевой CSА-группой.
Рассмотрим подгруппу, порожденную элементами
h*,...,/i en . О н а свободна, и выбранные элементы являются ее базой (это следует из нормальности формы элементов свободного расширения цен трализаторов (см. [12])). Аналогично доказывается, что подгруппа, поро жденная G, /&*,..., fo*n, изоморфна Gy[X]. • Теперь теорема 3.1 непосредственно следует из лемм 3.1 и 3.2. В са мом деле, поскольку группа Gu,t G-аппроксируется группой G, то и ее G-подгруппа <Зу[Х] также G-аппроксимируется группой G для любого натурального числа п. В частности, свободная группа Fn(X)
аппрокси
мируется группой G. Следовательно, группа G порождает многообразие всех групп. •
§ 4. Вычисление группы редуцированных тождеств д л я относительно свободных нильпотентных групп Основной целью этого параграфа является доказательство следую щего результата. ТЕОРЕМА 4. Пусть Ж — нильпотентное ступени нильпотентности
многообразие групп
с и пусть G = Fy^(l) — Ж-свободная груп
па ранга I ^ с. Тогда для любого натурального числа п Vn,red{G) = 1. В силу теоремы 2.2 эту теорему можно переформулировать в экви валентной форме следующим образом. Т Е О Р Е М А 4Л. Пусть Ж — нильпотентное многообразие групп ступени нильпотентности с и пусть Fj^(n) — Ж-свободная группа ранга п ^ I с базой {xi, ...,x„}, рассматриваемая кап G-группа, где G является Ж-свободной группой ранга 1} порожденной х\) ...,#/. Тогда группа Fj^(n) G-аппроксимируется
группой G.
266
М. Г. Амаглобели, В. Я. Ремесленников Прежде всего докажем теорему 4.1 для случая, когда Ж совпада
ет с многообразием пс всех нильпотентных групп ступени с. Итак, пусть F Uc (n), где п ^ с (допускаются и бесконечные кардиналы), — свободная в пс группа ранга п с базой X = {#i, ...,£,,...} и \Х\ = п. Обозначим через G(l) = С?, п ^ / ^ с, подгруппу в F Uc (n), порожденную первыми / буквами, и будем рассматривать Fnc(n) как G-rpynny. Определим множество Л G-эндоморфизмов F nc (n). Множество Л со стоит из элементов двух типов: 1) эндоморфизм вычеркивания St (t ^ I): St(xi) = Xi, 1 ^ i ^ Ц
St(xi) = 1 при г > £. 2) эндоморфизм сжатия оц^1у„.^к, где координаты вектора (ji, ...,ifc) попарно различны и больше /, к ^ L Этот эндоморфизм первые / букв оставляет на месте, буквы # л , . . . , ж^ отображает в какие-то к из первых / букв, все остальные же буквы из X он отображает в единицу. Из опреде ления видно, что dijXi„tjjk — это обозначение не для одного эндоморфизма, а для конечной серии эндоморфизмов. ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. Ясно, что все эндоморфизмы из Л являются G-эндоморфизмами, и если п конечно, то множество Л также является конечным. Т Е О Р Е М А 4.1'. В вышеприведенных обозначениях группа F n c (n) G-аппроксимируется
группой G, причем множество Л служит аппрок
симирующим семейством для
Fnc(n).
Перед доказательством теоремы приведем некоторые факты о базис ных коммутаторах, построенных на множестве X. Определения базисных коммутаторов, веса базисного коммутатора и используемых их свойств со держатся, например, в [14, 15]. Обозначим через D множество всех базис ных коммутаторов веса ^ с вместе с естественным линейным порядком на нем. Тогда известно [14, 15], что любой неединичный элемент g из Fne(n) имеет единственную запись в виде g = d ? / ^ . . . d g \ где otx < <*2... < <*Р, oth 6 ZJ = 1,...,р.
(1)
267
G-тождества, и G-многообразия
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы проведем индукцией по ступени нильпотентности с, а при фиксированном с индукцией по числу р в (I). При с = 1 группа F n i (n) является свободной абелевой группой ранга п. Пусть I ) с и р = <7i#2 ~ неединичный элемент из Fni(n),
где #i за
писан через первые / букв, а #2 через остальные буквы. Если д\ ф 1, то требуемый в теореме гомоморфизм — это эндоморфизм вычеркивания <$/. Если же 0i = 1, а 02 = з ^ - ч t*j ^ 0, j > I, то эндоморфизм a / j будет аппроксимирующим для элемента д. Предположим, что теорема верна для всех с < t и докажем ее для с = t. Пусть # — неединичный элемент из Fnc(n). Если д £ lc{Fnc(n)), перейдем от группы Fnc(n) к группе Fnc_l(n))
то
факторизуя первую груп
пу по последнему неединичному члену нижнего центрального ряда. По предположению индукции для образа д элемента д в F^^ (n) существует эндоморфизм а из А такой, что а(д) ф 1 в Р^с_х (п). Естественным образом эндоморфизм а группы Fnc_x {n) поднимается до эндоморфизма а1 группы Fnc(n) из А. Эндоморфизм о! будет искомым для элемента д. Итак, пусть д G 7c(^n c ( n ))i и> следовательно, существует однозначная запись этого элемента через базисные коммутаторы веса с:
д = 4ч^..4Р, где di,d2,.-.,dp
(2)
— базисные коммутаторы веса с,d\ < d^ < ... < dp,Pi02~-
...рРфо. Обозначим через a(d) все буквы из X, входящие в запись коммур
татора d, и пусть а(д) = (J a{di). Назовем первые / букв из алфавита t==i
X главными, а остальные буквы из X неглавными. Разберем несколько случаев. 1. Пусть <т(д) содержит только главные буквы. Тогда искомым гомо морфизмом для д служит эндоморфизм вычеркивания <$/. Далее доказательство теоремы ведем двойной индукцией по ступе ни нильпотентности с и числу р — количеству базисных коммутаторов в (2). Пусть р = 1, т.е. д = rf^.'B этом случае а{д) содержит не более с букв. Следовательно, существует специальный гомоморфизм Щ^х,...,зк = ot
268
М. Г. Амаглобели, В. Я. Ремесленников
такой, что a(d\) также является базисным коммутатором при некотором порядке на буквах х\, ..., #/, а потому &{a[l) ф 1. 2. Существуют два коммутатора, скажем d\ и с?2> и неглавная буква Xj такая, что Xj € 0"(di), но Xj £ <т(с?2)» Увеличив, если это необходимо, значения / и изменив нумерацию букв, будем предполагать, что все буквы из а{д) являются главными, за исключением буквы Xj. После этого применим к элементу д оператор вычеркивания <5/. То гда &i(g) — неединичный элемент, запись которого в (2) короче, чем р. По индукции существует эндоморфизм а 6 Л с прежним значением /, для которого a(Si(g)) отлично от единицы. Ясно, что композиция aSi является Л-эндоморфизмом. Следовательно, можно предполагать: если неглавная буква содержится в одном из с^-х, то она содержится и в остальных базис ных коммутаторах из (2). Во всех остальных случаях будем предполагать, что последнее условие выполнено. Л Е М М А 4 . 1 . Допустим, что мы доказали утверждение теоремы для всех д, для которых а(д) содержит только одну неглавную букву Xj. Тогда утверждение теоремы верно для всех д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что а(д) содержит t неглавных букв XJX < Xj2 < ... < Xjt, t > 1. Тогда мы заменим число / на число ^1 == jt — 1 > f- По условию леммы существует /i-эндоморфизм а, для которого а(д) = д\ ф 1. Количество неглавных букв в а{д\) не может увеличиться, но может сохраниться прежним, равным t. При этом индекс самой большой неглавной буквы в сг(дх) строго меньше j t . Применим к д\ те же рассуждения, что и выше, и рассмотрим /г-эндоморфизм a
G-тождества, и G-многообразия
269
= <j(dt). Так как / ^ с, а длины базисных коммутаторов в (2) равны с и базисные коммутаторы обязательно содержат букву Xj, то существует главная буква ж,-, которая не принадлежит хк) при этом &l,xj (g) ф 1> %k £ &о(д) и Xk можно выбрать из <т{д), если для д нарушается условие пункта 3.1. Для р = 1 это верно. Далее, так как |Pi | < р и ж,- € <70((/i), то по индукции существует a^Xj, Xj -» Xk, такой, что Xk £ cr0(gi) и atiXj(gi) ф 1. Поскольку хк £ &o(gi), то к ф х. Положим a = aiiXj и докажем неравенство а(д) ф 1, что завершит оба индукционных доказательства. В противном случае, а(д2) =
a(gi)~l.
Последнее равенство неверно: обозначим через /3 эндоморфизм группы Р Пс (п), который вычеркивает букву х,, а все прочие буквы оставляет на месте, тогда fi{a(g2)) = ot(g2) ф 1, с другой стороны, fi(a(gi)) = 1. D С Л Е Д С Т В И Е 4.1. В вышеприведенных обозначениях п
^п с ( );
п
G-группа
c
^ f является G-подгруппой декартова произведения F^c(c) =
= П Fnc(c)> г^е ^пЛс) ~ F*c(c) для всех а £ Л. Если п конечно, то это декартово произведение содержит конечное число копий группы РПс (с).
270
М. Г. Амаглобели, В. Н. Ремесленников Для доказательства теоремы 4.1 в полном объеме необходимо уси
лить теорему 4.1/. Вначале введем ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Будем говорить, что
нильпотентная
группа ранга п, рассматриваемая как G-группа, где G = Fnc(l), п ^ / ^ с. Тогда F ttc (n) вербально G-аппроксимируется группой Fnc (l), и множество Л служит аппроксимирующим семейством G-эндоморфизмов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы проведем индукцией по ступени нильпотентности с, а при фиксированной ступени — по числу р в запи си (2). 1. При с = 1 группа F = F n i (n) является свободной абелевой ранга п. Пусть фиксирована вербальная подгруппа V = Fm, где m — натуральное число (других вербальных подгрупп в абелевых группах нет, см. [9]). Пусть g £ V и представим g в виде g = <7i#2? где #i записан через первые / букв, а 32 через остальные. Если д\ £ V, то требуемый в теореме гомоморфизм — это эндоморфизм вычеркивания Si. Если же д\ € V} a #2 = ...x°jJ..., j > / (такой индекс обязательно найдется, поскольку # ^ У), то эндоморфизм aij будет аппроксимирующим для элемента д. Предполагаем, что теорема верна для всех с < t и докажем ее для с = t. Пусть д — неединичный элемент из Fnc(n). Если д £
Vyc(Fnc(n)),
то перейдем от группы F n c (n) к группе F Uc _ 1 , факторизуя первую группу по последнему неединичному члену нижнего центрального ряда. В этом случае доказательсво такое же, как и для соответствующего случая теоре мы 4.2. 2. Далее, доказательство теоремы ведем двойной индукцией по сту пени нильпотентности с и числу р — количеству базисных коммутаторов в записи (2). Пусть р = 1, т. е. д = d\!. Тогда а(д) содержит не более с букв. Пусть Xit, ...,#,-, — главные буквы, входящие в запись di, a ar^ , ...,#j t — неглав-
G-тождества, и G-многообразия
271
ные буквы, входящие в запись d\. Выберем среди {х\,..., ж/} \ {# t l , ..., х, в } £ различных букв х^ ,..., Xkt и эндоморфизм о — ^/iii»..»»it» отображающий ж л -> ж*п ...,-жЛ ~* ж*|« Поскольку df1 $• V, то df1 ^ VH F(
V{Fnc(l)).
3. Далее, можно предполагать в силу индукционных соображений, что запись g £ V в виде (2) минимальна в том смысле, что Vii,...,t't G € {1, ...,р} выполняется дх =
самом деле, если, наоборот,
5i G V, ^ = 5i52> то 52 ^ V* и 52 имеет более короткую запись в виде (2). И, наконец, утверждение теоремы верно для элемента д тогда и только тогда, когда оно верно для #2Учитывая сказанное в п. 1, 2, 3, завершим доказательство теоремы 4.2, следуя доказательству теоремы 4.1', и заменяя выражение "д — нееди ничный элемент" на фразу пд £ V". •
ЛИТЕРАТУРА 1. G.Baumslag, A.Myasnikov,
V. Remeslennikov, Algebraic geometry over
groups, J. Algebra, 219, N 1 (1999), 16-79. 2. В. С. Анашин, О функционально полных группах, Матем. заметки, 22, N 1 (1977), 147-151. 3. R. M. Brayant, The laws of finite pointed groups, Bull. London Math. Soc, 14, pt. 2 (47) (1982), 119-123. 4. B. С.Анашин, Смешанные тождества в группах, Матем. заметки, 24, N 1 (1978), 19-30. 5. В. С. Анашин, Смешанные тождества и смешанные многообразия групп, Матем. сборник, 129 (171), N 2 (1986), 163-174. 6. И. 3. Голубчик, А.В.Михалев, Обобщенные групповые тождества в клас сических группах, Зап. науч. семинара ЛОМИ, 114 (1982), 96—119. 7. М. Г. Амаглобели, G-тождества нильпотентных групп, Новосибирск, НИИ МИОО НГУ, 1997, препринт N 29. 8. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд, М., На ука, 1982.
М. Г. Аматлобели, В. Н. Ремесленников
272 9. Х.Нейман,
Многообразия групп, М., Мир, 1969.
10. G. Baumslag, A. Myasrtikov, V. Remeslennikov, Residually hyperbolic groups, Omsk, IITAM, 1995, 3-37, preprint N 24. 11. A.Myasnikov, 12. A.G.Myasnikov,
V. Remeslennikov, Big powers and free-like groups, preprint. V. N. Remeslennikov, Exponential groups II: Extensions of
centralisers and tensor completion of CSA-groups, Int. J. Algebra Comput., 6, N 6 (1996), 687-711. 13. G. Baumslag, On generalized free product, Math. Zeitschr., 78, N 5 (1962), 423-438. 14. М.Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962. 15. Ph. Hall, Nilpotent groups, Canadian mathematical congress, summer seminar, University of Alberta, 12-30 August, 1957 (имеется перевод: Ф. Холл, Нильпотентные группы, Математика: сб. ст., Пер., 1968, 12, N 1 (1968), 3—36).
Адреса авторов: АМАГЛОБЕЛИ Михаил Георгиевич,
Поступило 17 ноября 1999 г. РЕМЕСЛЕННИКОВ Владимир Никанорович,
ГРУЗИЯ,
РОССИЯ,
384077, г. Тбилиси,
644099, г. Омск,
ул. Казбеги 29/2, кв. 116.
ул. Орджоникидзе 13, кв. 202.
![[G] Four Arthurian Romances](https://epdf.mx/img/300x300/g-four-arthurian-romances_5b4e3675b7d7bc47291200ee.jpg)
