George Spencer Brown: Eine Einführung in die ''Laws of Form'', 2. Auflage

Tatjana Schönwälder-Kuntze · Katrin Wille · Thomas Hölscher George Spencer Brown

Tatjana Schönwälder-Kuntze Katrin Wille · Thomas Hölscher

George Spencer Brown Eine Einführung in die „Laws of Form“ 2., überarbeitete Auflage

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1998 1. Auflage November 2000 (erschienen im Westdeutschen Verlag, Wiesbaden) 2., überarbeitete Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © VS Verlag für Sozialwissenschaften | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Frank Engelhardt VS Verlag für Sozialwissenschaften ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.vs-verlag.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Krips b.v., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-531-16105-1

Vorwort zur zweiten Auflage

Es sind ein wenig mehr als vier Jahre vergangen , seit wir die erste Auflage fertiggestellt haben, urn mit einem ersten detaillierten Textkommentar die Laws of Form einem breiteren Publikum zuganglich zu machen. Dass uns das gelungen ist, zeigen sowohl die zahlreichen Reaktionen von Kollegen aus verschiedenen Disziplinen, als auch der Urnstand, dass die hohe erste Auflage bereits vergriffen ist. Wir haben aile Teile des Buches einer kritischen Prilfung unterzogen, wobei sowohl die einleitenden Texte als auch die Kommentare im Wesentlichen denen der ersten Auflage entsprechen. Bei der Uberarbeitung haben wir darauf geachtet, den (Lehrbuch-)Charakter des Buches zu erhalten , so dass wir vor allem stilistische Mangel behoben und - wo notig - minimale Erganzungen hinzugefugt haben. 1m Gegensatz dazu haben wir den letzten Teil - IV. Anwendungen und Deutungen - erheblich erweitert : Nicht nur wurden die Artikel I V.C Philosophie und I V.D Niklas Luhmanns Systemtheorie umfassend liberarbeitet und erganzt, sondem es ist auch ein neuer Artikel: IV.E Form und Geschl echterunterscheidung hinzugekommen. Daran lasst sich im wahrsten Sinne des Wortes ablesen, dass die Arbeit an den Laws ofForm mit der Erstellung der ersten Auflage fur uns keinesfalls beendet war, sondem dass die intensive Auseinandersetzung den Grundstein fur Anwendungen in unseren eigenen Forschungen gelegt hat. Leider konnten wir fur die zweite Auflage die neue Ausgabe der Laws of Form, die Ende 2008 erscheint, nicht mehr angemessen berlicksichtigen, so dass sich unsere Referenzen im Text auf die englische Ausgabe von 1994 beziehen. An dieser Stelle sei Galia Assadi fur viele kritische und konstruktive Anmerkungen bei der Uberarbeitung gedankt. Ebenso gilt ihr und Kathrin Schlierkamp unser Dank fur die tatkraftige Unterstlitzung bei der Erstellung eines druckreifen Typoskripts - wie immer ware es ohne Hilfe nicht gegangen! Auch danken wir wiederum der Ludwig-Maximilians-Universitat Munchen , die im Rahmen des Mentorinnen-Programms Gelder zur Erstellung der zweiten Auflage zur Verfugung gestellt hat. Munchen im Oktober 2008

Tatjana Schonwalder, Katrin Wille und Thomas Holscher

Danksagung der ersten Auflage

Das vorliegende Buch ist das Ergebnis langjahriger, intensiver, manchmal auch notwendigerweise ruhender Forschungen des AutorInnenteams zu den Laws of Form Spencer Browns. Dem geistigen Austausch, den vie len Anregungen, den Ansatzen zum Weiterdenken und den kritischen Erwagungen haben wir es zu verdanken, dass wir diese Arbeit auf den Weg und zu einem vorlaufigen Ende .bringen konnten. Fur die Initialzundung unserer Forschung und fllr viele, viele Interpretationsvorschlage, Handreichungen und Bruckenschlage zu anderen philosophischen Denkem des 20. Jahrhunderts danken wir vor allem Matthias Varga von Kibed. Unter dessen Leitung fand ein sechsjahriges, interdisziplinar besetztes Forschungscolloquium zu den Laws ofForm statt, an dem neben unserem Team der Mathematiker Peter Schuster, die Mathematikerin und Logikerin Julia Zink , der Theologe und Philosoph Holm von Egidy und die Philosophin Susanne Kessler regelmafiig teilgenommen sowie intensiv und kontrovers diskutiert haben. Ihnen allen danken wir von ganzem Herzen fur die tiefgehenden Diskussionen und zahlreichen Klarungen. Fur die undogmatische Haltung seinen Schulem gegenuber und die Aufforderung, mit Spencer Brown eigene und neue Wege zu gehen, wollen wir Matthias Varga von Kibed ganz besonders danken. Gerustet mit vielen Einsichten aus diesem Munchener Kreis haben Tatjana Schonwalder und Katrin Wille im Sommer 2002 ein Proseminar zu Spencer Brown angeboten, das sich zu einem funfsemestrigen Textexegese-Serninar entwickelt hat, an dem hoch engagierte und vielfaltig interessierte Studierende vieler Disziplinen teilgenommen haben. Auch diesen wollen wir fur ihre Geduld und ihre Bereitschaft, mit dem AutorInnenteam sogar ein Wochenende im Kloster auf der Fraueninsel (Chiemsee), abgeschieden von allen storenden Einflussen, zu verbringen, unseren tiefen und aufrichtigen Dank aussprechen. Dieser gilt insbesondere Christine Bruckmeier, lise Daiber, Volker Krux, Stephan Packard, Florian Prittwitz und Mechthild Schreiber fur ihren unermudlichen Einsatz und die unzahligen, sehr guten Beitrage, Hinweise und Denkanregungen. Stephan Packard haben wir nicht nur fur engagiertes Mitdenken bei der Entstehung der Interpretation zu danken, sondem insbesondere auch fur seine kritische Lekture des Manuskriptes, die wiederum mit vielen Anregungen - und Zuspruch - einher ging. SchlieBlich gilt unser Dank Karl-Georg Niebergall, der an vielen Stellen zur Klarung der Gedankengange beigetragen hat. Zuletzt sei

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noch der Ludwig-Maximilians-Universitat Mtmchen fur die finanzielle Unterstutzung gedankt.

Mtmchen im August 2004 Thomas Holscher, Tatjana Schonwalder, Katrin Wille

Inhalt

Vorwort zur zweiten Auflage

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Danksagung der ersten Auflage

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I. Einleitung

11

II. Kontexte und Architektur der Laws of Form

23

II.A Kontexte der Laws of Form

23

Katrin Wille und Thomas HOlscher

n .B Bemerkungen zur Architektur der Laws of Form

.45

Tatjana Schonwdlder-Kuntze

III. Kommentar zu den Laws of Form O. Kapitel : Womit der Anfang gemacht wird

63 64

Katrin Wille

Das erste Kapitel: THEFORM Tatjana Schonwdlder-Kuntze und Katrin Wille

67

Inhalt

9

Das zweite Kapitel : FORMS TAKEN OUT OFTHE FORM

87

Katrin Wille und Thomas Holscher

Das dritte Kapitel : THECONCEPTION OFCALCULATION

113

Tatjana Schonwiilder-Kuntze

Das vierte Kapitel: THEPRIMARY ARITHMETIC

120

Tatjana Schonwdlder-Kuntze

Das ftinfte Kapitel: A CALCULUS TAKEN OUT OFTHE CALCULUS

133

Tatjana Schonwdlder-Kuntze

Das sechste Kapitel : THEPRIMARY ALGEBRA

140

Tatjana Schonwalder-Kuntze

Das siebte Kapitel: THEOREMS OFTHE SECOND ORDER

149

Tatjana Schonwdlder-Kuntz e

Das achte Kapitel: RE-UNITING THE TWO ORDERS

154

Tatjana Schonwdlder-Kuntze

Das neunte Kapitel: COMPLETENESS

166

Katrin Wille

Das zehnte Kapitel : INDEPENDENCE

171

Katrin Wille

Das elfte Kapitel: EQUATIONS OFTHE SECOND DEGREE

174

Katrin Wille

Das zwolfte Kapitel : RE-ENTRY INTO THE FORM

194

Tatjana Schonwdlder-Kuntze

IV. Anwendungen und Deutungen IV.A Appendizes zu den Laws of Form

207 211

Tatjana Schbnwdlder-Kuntze

IV .B Mathematik, Logik, Naturwissenschaft Thomas HOlscher und Katrin Wille

223

10

Inhalt

IV.C Philo sophie

235

Tatjana Schonwdlder-Kunt ze

IV.D Niklas Luhmanns Systemtheorie

257

Thomas HOlscher

IV.E Form und Geschlechterunterscheidung

273

Katrin Wille

IV.F Praxis der Unterscheidung

287

Katrin Wille

V. Literaturverzeichnis

301

VI. Register

315

Sachregister

315

Namen sregister

320

Angaben zu den AutorInnen

323

I. Einleitung

Die Laws of Form haben vor allem durch zwei Wendungen in vielen verschiedenen Disziplinen ,Bertihmtheit' erlangt: Durch die Anweisung: Draw a distinction und durch den Ausdruck Re-entry bzw. durch das, was er - vermeintlich bedeutet. Weniger bekannt als diese Wendungen sind aber der Text und vor allem die Gedankengange der Laws of Form selbst. Deshalb ist es an der Zeit, den gesamten Text vorzustellen und damit den gedanklichen Kontext zu liefem, in den die vielzitierten Wendungen eingebettet sind. Das Kernstuck dieser Einfiihrung ist ein Kommentar aller zwolf Kapitel der Laws of Form, mit dem wir das Ziel verfolgen, den Gedankengang des Textes durchsichtig zu machen, indem wir ihn kommentieren und kontextualisieren. Die Perspektive, aus der unser AutorInnenteam diese Einfuhrung schreibt, ist eine philosophische. Unser Hauptinteresse liegt darin, die Laws of Form als begriffliche Arbeit am Unterscheidungsbegriff und dem daraus resultierenden Formbegriffzu analysieren, urn so ein angemessenes Verstandnis fur den Kalkul des Hinweisens zu entwickeln. Das heiBt nicht, dass damit die Laws of Form, die von Spencer Brown seiber als Mathematik beschrieben worden sind, einfach in eine andere Disziplin versetzt werden sollen. Vielmehr befragen wir philosophisch beispielsweise die besondere Gestalt der Mathematik, die Spencer Brown mit den Laws of Form ins Leben gerufen hat. Unsere Aufmerksamkeit liegt dabei auf der begrifflichen Entwicklung und darauf, den Spencer Brownschen Ansatz in moglichst immanenter Gedankenentwicklung aufzuzeigen. Inwieweit dieser den Ansprtichen von Einzeldisziplinen, wie der Technik, der Mathematik, der Logik, der Soziologie gerecht wird, konnen und wollen wir in diesem Rahmen nicht beurteilen . Das bleibe den LeserInnen uberlassen . I. Aufbau des Einfiihrungsbuches Diese Einftihrung in die Laws ofForm besteht aus funf Teilen. Irn ersten einleitenden Teil werden neben dem Uberblick tiber den Aufbau dieses Buches die anderen Werke Spencer Browns, eine kommentierte Chronologie der diversen Einleitungen und Vorworte Spencer Browns zu den Laws ofForm sowie wichtige Stationen der Rezeptionsgeschichte vorgestellt. Der zweite Teil ist den Kontexten und der Architektur der Laws of Form gewidmet. Es werden die fur die Entstehung wichtigsten Kontexte skizziert : Technik, Mathematik, Logik und ostasiatische Philosophie. AuBerdem wird ein

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Einleitung

Uberblick tiber den inneren Aufbau der Laws ofForm, also den Zusammenhang der einzelnen Kapitel und ihr Auseinanderhervorgehen gegeben. Den dritten Teil bildet der Kommentar zu den zwolf Kapiteln der Laws of Form, mit dem wir ein Novum in der Rezeptionsgeschichte vorlegen . Durch die strenge Orientierung am Text der Laws of Form wird nicht nur sichtbar, wie verschiedene Formulierungen, die in der Rezeption oft aus dem Textzusammenhang gelost worden sind, in die Gedankenentwicklung des Textes eingebettet sind, sondem auch der Aufbau kann Schritt fur Schritt nachverfolgt und eingeholt werden . Damit ist die Grundlage fur den vierten Teil gelegt, in dem wichtige Interpretationen bzw. Anwendungsgebiete der Laws of Form dargestellt und eingeschatzt werden konnen. Den Abschluss bildet eine Ubersicht tiber die bisher bestehende Literatur zu Spencer Brown. I 2. Weitere Werke Spencer Browns Die Beschaftigung mit den veroffentlichten Arbeiten Spencer Browns zeigt, dass sein Denken und Arbeiten interdisziplinar und ,interstilistisch' angelegt ist. Seine Texte erstrecken sich von der Statistik, Wissenschaftstheorie und Philosophie tiber Technik , Mathematik und Logik bis zur Poesie. Im folgenden seien die Werke Spencer Browns, die chronologisch vor und nach den Laws ofForm entstanden sind, kurz nacheinander skizziert. Zu der Zeit als ,Research Lecturer of Christ Church' in Oxford hat Spencer Brown sich mit wissenschaftstheoretischen Fragen nach statistischer Signifikanz, Methoden der Randomisierung und dem Begriff der Wahrscheinlichkeit beschaftigt. 1953 erschien ein Aufsatz mit einer Kritik an der statistischen Signifikanz von Experimenten zu Formen tibersinnlicher Wahrnehmung". Spencer Brown vertritt dort die allgemeinere These, dass experimentalpsychologische Forschungsresultate dem Versagen der Randomisierungsverfahren geschuldet sind und stellt eine ausfuhrlichere Studie zum Begriff des Zufalls, der Wahrscheinlichkeit und zum ublichen Verfahren der Randomisierung in Aussicht. Diese folgt 1957 mit der Monographie Probability and Scientific Inferen ce. Darin stellt Spencer Brown seine Kritik an Zufallsgeneratoren und dem Randomisierungsverfahren in den weiteren Kontext einer grundsatzlichen Kritik der Wahrscheinlichkeitstheorie. Aus dem Vorwort wird deutlich, dass Spencer Brown dieses Buch als philosophische Kritik am Begriff der Wahrscheinlichkeit verstanden wissen will. Zunachst geht er den Voraussetzungen nach, die dem gewohnlichen Begriff der Wahrscheinlichkeit zugrunde Iiegen, kritisiert das Konzept .Realitat' als Erwartbarkeit von Phanomenen , sowie das Bestreben der Die einzelnen Beitr age sind namentlich gekennzeichnet, urn zurn Ausdruck zu bringen , wer von uns rnaBgeblich fur welchen Text verantwortlich ist. Spencer Brown 1953

Einleitung

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Wissenschaft, Veranderungen auf unabanderliche Formeln zu bringen. Ein Kennzeichen unserer Welt, die kein ,Nichts-Universum' ist, in dem wir nicht vorkommen und kein ,Alles-Universum', in dem wir keine Unterscheidungen treffen konnten, liegt in einer Art Parallelentwicklung zwischen Beobachter und Beobachtetem, denn unsere Beobachtungen hangen von unserer eigenen Veranderbarkeit abo Nach diesen und weiteren kritischen Analysen zu den Begriffen ,Induktion' und ,Wahrheit' stellt Spencer Brown innere Widerspruche und Antinomien der Wahrscheinlichkeitstheorie dar . Urn den Begriff der Wahrscheinlichkeit weiter verwenden zu konnen und die Paradoxien der Wahrscheinlichkeit aufzulosen, unterscheidet er zwischen primarer und sekundarer Zufalligkeit. Als wesentliches Kriterium der Zufalligkeit gilt das Fehlen eines Musters und die prim are Zufalligkeit bezieht sich nur auf ein individuelles Ereignis, die sekundare Zufalligkeit auf eine ganze Folge. Spencer Brown zeigt, dass der Zufallsbegriff nur in Bezug auf einen Beobachter sinnvoll ist.' Ein Zufallsgenerator konne deshalb nicht sich selbst iiberlassen bleiben, sondem bekomme Feedback vom Bediener oder Beobachter, urn ein Ubermaf an bekannten Mustem zu verhindern." In einer im Appendix abgedruckten wissenschaftlichen Diskussion mit einem Kritiker bekraftigt Spencer Brown seine These, dass ein Experimentator je nach verfolgten Zielen dazu beitragen kann, allein durch die Art, wie er seine Daten darstellt (ohne zu betriigen), die Signifikanz spezieller Trends zu maximieren oder zu minimieren. In Bezug auf die Laws ofForm ist wichtig festzuhalten, dass in diesem Buch eine Kritik an der wissenschaftlichen Praxis geiibt wird, die Veranderungen in Konstanten fixieren und kontrollieren will und dies mit selbstimmunisierenden Strategien durchfuhrt. Diese Kritik findet sich auch in den Vorworten zu den Laws of Form wieder, z.B. durch die Aufnahme der kritischen Unterscheidung von Ronald Laing zwischen vermeintlichen Data (von datum: gegeben) und Capta (von captum: genommen). AuBerdem ist ein Vergleich der wissenschaftlichen Stile auBerst aufschlussreich: Wahrend in der Monographie von 1957 die Fulle von alltagssprachlichen Uberlegungen, Analysen des Sprachgebrauchs als Ausgangspunkt fur die Argumentation, der kleinschrittige Autbau der Argumentation und die Fiille von Gedankenexperimenten stilbildend sind, kennzeichnet die Laws ofForm ein auBerst verdichteter Stil. Diese kondensierte Darstellungsform fordert die LeserInnen gewissermaBen dazu auf, die kleinschrittige Argumentation, die Anbindung an alltagssprachliche Plausibilitaten selbst zu leisten. Seine These tiber Zufallsgeneratoren besteht darin, dass die Reihen eines sieh selbst uberlasscnen Zufallsgenerators nadi jedem gewahlten Staidard hochst signifikant verzerrt sein werden . Damit konnen zwar die Paradoxien des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, nicht aber dessen starke Vagheit gelost werden. Von starker Vagheit 5011 dann gesproehen werden, wenn cine Bcsonderheit oder cine Variable erklart werden soli, die sich aufgrund der Beobachtung verandert, Und eine solehe Variable ist eben der Wahrscheinlichkeitsbegriff.

14

Einleitung

Darin liegt eine Stilahnlichkeit zu der kondensierten Textform von Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus, ein Werk, auf das sich Spencer Brown in Probability and Scientifi c Inferen ce und in den Laws ofForm an mehreren Stellen bezieht. FUr das Entstehen der Laws ofForm von 1969 sind zum einen Einflusse aus der Elektroingenieurspraxis Spencer Browns aufserst wichtig. Wirksam war zudem der Austausch mit dem Psychiater Ronald Laing, der auch fur die Bewegung der Antipsychiatrie steht. In den Laws of Form und in den Arbeiten aus den 70er Jahren sind viele Spuren dieser Einflusse nachweisbar. Zeitlich kurz auf die Laws of Form folgen zwei unter dem Pseudonym ,James Keys' veroffentlichte Gedichtbande, 1970 erscheint 23 Degrees of Paradise und 1971 erscheint Only two can play this game. In dem Gedichtband 23 Degrees of Paradise' lasst sich Spencer Brown von Gedichten englischer Dichter wie Blake und Chaucer, von gesellschaftlichen Verhaltnissen, Regeln und Verboten , von mythischen Stoffen , von Beziehungsthemen zwischen Frau und Mann fur seine eigenen Gedichte anregen. Das Kemsttick bildet eine Art Ballade , in der nicht nur ritterliche Welten und modeme medizinische Szenarien verschrankt werden, sondem auch alltagliche, phantastische und verzerrte Realitaten ineinander geblendet werden. Diese Verschiebung von Realitaten und die Darstellung von verzerrten Operationsszenen in Krankenhausern erinnert an den Text von Ronald Laing Birds of Paradise von 1967. Andere Spuren des Einflusses von dem Kontakt zu dem Psychiater Ronald Laing finden sich in einem lyrischen Spiel mit der schon erwahnten kritischen Unterscheidung zwischen Data und Capta und in dem Zitat einer Stelle aus dem Thomas-Evangelium, die Laing den Birds ofParadise als Motto vorangestellt hat. Der Eintritt ins Konigreich wird dort an das Verschwinden von Unterscheidungen gebunden, z.B. : " When you make the two one, and when you make the inner as the outer and the outer as the inner and the above as the below, and when you make the male and the female into a single one ... " .6 An die Laws of Form direkt erinnert die Wiederholung eines Zitats von William Blake: "Reason, or the ratio of all we have already known, is not the same that it shall be when we know more."? Dem Gedichtband Only two can play this game" ist ein kurzes Vorwort von Ronald Laing vorangestellt. Der Band umfasst Gedichte, Darstellungen eigener Erfahrungen, theoretische Reflexionen und eine Art kommentierte Bibliographie, in der Spencer Brown intentionsverwandte BUcher vor allem anderer AuIn der Anzeige seiner Werke in der Ausgabe der Laws ofForm von 1994 findet sich hierfur die Beschreibung : ,Transcendental verse'. Spencer Brown 1970:66 Spencer Brown 1970:82 In der Anzeige seiner Werke in der Ausgabe der Laws ofForm von 1994 findet sich hierfur die Beschreibung : ,The psychology of male-female relation s' .

Einleitung

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toren vorstellt, aber auch seine Laws of Form, sowie umfangliche .Notes'. In seinem eigenen Vorwort macht Spencer Brown deutlich, dass dieser Band auch als westliche Kulturkritik verstanden werden soli, deren judische und griechische Hauptwurzeln beide die ,weibliche Seite' abgewertet hatten und frauenfeindlich seien. Mit diesem Gedichtband solie die Kluft zwischen der .weiblichen' und der .mannlichen' Seite uberbrnckt werden. Die poetische Form ist fur Spencer Brown ein angemessener Ausdruck dessen, was er die ,weibliche Seite' nennt. Spencer Brown beschreibt das Charakteristische dieses Buches so: "In this book I break two unwritten rules . In the first place I try to say something positive. In the second, I speak from my own experience.?" In vielen der Reflexionen in Only two can play this game finden sich Wortspiele, in denen Grundbegriffe der Laws ofForm wie z.B. .form', .calling', .laws' auftauchen. Auf3erdem werden eine ganze Reihe von Motiven aufgenommen und .erfahrungsgesattigter' verwendet, wie das Motiv der Einsicht in innere (und das sind mathematische) Strukturen durch den Blick nach Innen. Es wird immer wieder dazu aufgefordert, die Unterscheidungen zu erinnern, mit denen wir unsere Wirklichkeit(en) konstruiert haben und dazu, gegen den ,c1everen Trick' anzugehen, der uns das Tun vergessen lasst, durch das wir die Realitat so gemacht haben, wie wir sie nun vorfinden. In der ersten Anmerkung, einem kleinen Essay fur sich, parallelisiert Spencer Brown die grundlegenden Elemente des mathematischen Entwurfs der Laws of Form mit verschiedenen westlichen und ostlichen religiosen und mythologischen Schopfungsentwurfen, Aufgabe des Dichters sei es, den/die LeserIn oder Zuhorerln auf eine Reise zu dem Ort mitzunehmen, der ihnen beiden gemeinsam ist. Das Motiv der Reise, bei der der/die LeserIn begleitet ist und doch ihre eigenen Erfahrungen mit ganz neuen Raumen und Gegenden macht, durchzieht die Reflexionen tiber die Arbeit eines Dichters (der hier zugleich immer auch fur den Mathematiker steht) . Dazu heiBt es: "In short , a well-constructed work of art will pick you up, transport you, show the secrets of your being, return you, and plant you back on your feet again ... ,,10 Die letzten beiden Stationen nennt Spencer Brown auch ,Re-entry' und gibt damit der formalen Figur aus den Laws ofForm eine Deutung innerhalb des Reisemotivs. Die zweisprachig erschienene Geschichtensammlung von 1995 A Lion's Teeth. The Tales ofOne Who Came Thus l l umfasst kurze Geschichten vor allem aus den fruhen 60er, 70er und 90er Jahren sowie einen Essay tiber die ,Laws of Time' und autobiographisch untermischte Erlauterungen. Zu den Geschichten bemerkt Spencer Brown, dass sie ohne Moral seien und j e nach LeserIn Unterschiedliches bedeuteten, das selbst wieder wandelbar sei. Vor allem die Kom9

10 II

Spencer Brown 1971:13 Spencer Brown 1971:37 In der Anzeige seiner Werke in der Ausgabe der Laws of Form von 1994 findet sich hierfur die Beschreibung: ,Fabulous fables, together with 1I1 essay on the Laws of Time' .

Einleitung

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mentare aus den 90er Jahren sind durchdrungen von der Rezeption buddhistischer Philosophie und Weltanschauung. In den Bezugen auf die Laws of Form stehen zwei neue Grundbegriffe im Vordergrund: das ,Nichts' und die ,konditionierte Koproduktion'. In den Laws of Form sei zwar gezeigt, wie das Universum entstehen muss, wenn die Moglichkeit der Unterscheidung gegeben ist, die neue entscheidende Frage ist aber vielmehr die, wie es jemals zur ersten Unterscheidung kommen kann. Die neue Antwort ist, dass nur Nichts nichts verwandeln kann." Es kann also nur die selbstreferentielle Struktur des Nichts zur ersten Unterscheidung fuhren. Die buddhistische Idee der ,konditionierten Koproduktion' findet Eingang in die neuen Vorworte und Einleitungen, die Spencer Brown fur die Ausgaben der Laws ofForm von 1995 und 1997 verfasst hat - wir kommen darauf zuruck, 3. Die verschiedenen Ausgaben der Laws ofForm Der Text der Laws ofForm ist zehnmal an neun verschiedenen Orten aufgelegt worden. In funf Zyklen, in der ersten Ausgabe 1969, in der dritten Ausgabe (der ersten amerikanischen) 1972, in der achten Ausgabe 1979, in der neunten Ausgabe 1994 und in der zehnten, der ersten deutschen Ausgabe 1997, hat Spencer Brown den Haupttext mit neuen Vorworten oder Einleitungen versehen, die jeweils verschiedene Schichten der Laws of Form in den Mittelpunkt der Aufmerksamkeit heben. Durch jeden dieser einleitenden Texte wird der Haupttext vor einen anderen Horizont gestellt. Diese Horizonte schichten sich mit jeder neuen veranderten Auflage hintereinander, so dass der Haupttext schon vor seinem eigentlichen Beginnen zu ,irisieren', also seine Farbe zu verandern anfangt." Im ersten Zyklus, also der ersten Ausgabe der Laws of Form 1969, sind ein Vorwort (Preface), eine Einleitung (Introduction) und eine Anmerkung zum mathematischen Zugang (A note on the mathematical approach) entstanden. Dieses Vorwort (Preface) hat den Charakter einer Danksagung an viele derer, die die Entstehung der Laws ofForm unterstiltzt und begleitet haben ." Die Einleitung (Introduction) bringt den mathematischen Anspruch zum Ausdruck, es werden die Motivation und das besondere Profil der Laws of Form dargestellt, Platzierungen derselben zu andem mathematischen und logischen Projekten, Anschlussmoglichkeiten an andere Systeme. In diesem Zusammenhang wird die Leistungskraft und Rolle der beiden Appendizes skizziert, durch die die vereinfachende und klarende Kraft der Laws of Form gegenuber mathematischen 12

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Spencer Brown 1995:151 Derzeit erscheint gerade die elfte Auflage im Bohmeier Verlag in englischer Sprache mit einem neuen Vorwort sowie drei neuen Appendices 7-9 und einer Erganzung zu Appendix 5. Erwahnt werden so verschiedene Personen wie z.B. Bertrand Russell und Mr. 1. V. Idelson, General Manager of Simon-MEL Distribution Engineering , der Chef der Firma, bei der Spencer Brown als Ingenieur angestellt war.

Einleitung

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Fragen (den Beweisen der Shefferschen Postulate als einem theoretischen Erfolg) und der symbolischen Logik ausgefuhrt werden soil. Mit den Laws of Form wird ein Indikationenkalkul vorgelegt, der das Potential hat, einen Punkt der Einfachheit zu erreichen, der erlaubt , die Form zu betrachten, aus der die Erfahrungen des Common Sense wie auch die verschiedenen Wissenschaften hervorgehen. Die Anmerkung zum mathematischen Zugang (A note on the mathematical approach) zieht erkenntnistheoretische Konsequenzen aus der in der Einleitung skizzierten Art, die Rolle der Mathematik zu betrachten. Denn beginnen wir wirklich mit dem Anfang, also dem ursprunglichen Akt der Trennung (severance) und sehen, wie daraus aile moglichen Bereiche hervorgehen, dann wird deutlich, dass es auf dieser anfanglichen Stufe keinen Unterschied gibt zwischen dem Universum und der Art, wie wir auf es einwirken (act upon it). 1m zweiten Zyklus, also der dritten Ausgabe der Laws ofForm 1972, ist ein Vorwort zu dieser ersten amerikanischen Ausgabe (Preface to the fir st american edition) dazugekommen. Hier wird eine andere Qualitat des Textes deutlich starker herausgehoben, als es im ersten Zyklus der Fall war, namlich die Leistung im Umgang mit selbstbezuglichen Paradoxa. Als signifikantester mathematischer Anspruch wird skizziert, wie eine Analogie zur Verwendung der imaginaren bzw . komplexen Zahlen in der mathematischen Theorie ublicher algebraischer Gleichungen hergestellt und produktiv fllr selbstbezugliche Paradoxa genutzt werden kann. 1m dritten Zyklus, der achten Ausgabe der Laws ofForm 1979, ist ein weiteres Vorwort fur diese Ausgabe hinzugekommen (Preface to the 1979 Edition) . Ahnlich wie in der Einleitung zur ersten Ausgabe zehn Jahre fruher wird die (neue) Verhaltnisbestimmung zwischen Mathematik und Logik vorgenommen. AuBerdem wird auf einen weiteren theoretischen Erfolg hingewiesen, denn mit dem Indikationenkalkul 2. Ordnung konnte nach Spencer Brown das VierFarben-Theorem gelost werden. 1m vierten Zyklus, der neunten Ausgabe der Laws ofForm 1994 ist wiederurn ein neues Vorwort hinzugekommen (Preface to the 1994 limited edition) . Dort wird nicht nur eine weitere Schicht des Textes in den Vordergrund geruckt, sondem es wird auch eine wirkliche Neukontextualisierung der Laws of Form vorgenommen. Es wird namlich der Gedanke der abhangigen Koproduktion aus dem Buddhismus aufgenommen und gezeigt, wo dieser Gedanke im Indikationenkalkul ganz elementar und an der Basis (im ersten Kapitel) angewandt worden ist. Es wird also eine Art nachtraglich aufgefundene Geistesverwandtschaft zum Ausdruck gebracht, die die Laws ofForm nunmehr verstarkt mit einer ganz anderen Weltanschauung in Beruhrung bringen. 1m funften Zyklus ist die zehnte Ausgabe der Laws ofForm 1997, die erste deutsche Ausgabe, urn die beiden einfuhrenden Texte ,Vorstellung der intemationalen Ausgabe' und eine neue ,Einleitung' erganzt worden. Die ,Vorstellung

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Einleitung

der intemationalen Ausgabe' ist ein Text, der schon 1985 fur eine geplante deutsche Ausgabe geschrieben wurde und hier erstmals abgedruckt ist. Dort ist die fur den vierten Zyklus beschriebene Neukontextualisierung thematisch schon durchgefuhrt, die Einfuhrung der Ausdriicke ,Koproduktion' und ,konditionierte Struktur des Nichts' bilden einen Schwerpunkt dieses Textes. Die Koproduktion wird als das eine Prinzip beschrieben, auf das der ganze Text der Laws ofForm reduzierbar ware. Einen zweiten Schwerpunkt bildet die Beschaftigung mit der Moglichkeit wirklichen Wissens im Unterschied zu bloBem Meinen und Glauben, das nur durch den Weg von ,Befehl und Betrachtung' gewonnen werden kann . Dies ist an einem Beispiel vorgefuhrt. In diesem TextstUck fallt ein Stilunterschied auf, denn an einigen Stellen wird der/die LeserIn direkt angesprochen. In der neuen Einleitung wird der Unterschied zwischen der Spencer Brownschen und der Booleschen Algebra erstmals ausdriicklich ausgefuhrt. Die Laws of Form werden als ein kreatives Werk beschrieben, das ein Schaffensfeld eroffnet, das sich selbst zu korrigieren vermag. Zu der deutschen Ausgabe sind vier neue Appendizes hinzugekommen, damnter die schon 1979 angekiindigte Losung des Vier-Farben-Theorems und eine ,Algebra fur die natUrlichen Zahlen', von 1961 stammend. 4. Wichtige Station en der Rezeptionsgeschichte der Laws ofForm Der wichtigste Multiplikator fur die Ideen der Laws of Form war eine privat organisierte Konferenz, die mit ausgewahlten amerikanischen Geistesgrossen aus allen Denkrichtungen und Disziplinen zusammen mit Spencer Brown fur einige Tage am Esalen-Institut in Kalifomien stattfand, einem damals schon bekannten Zentmm fur innovative Therapie, Psychologie und Spiritualitat, Diese Konferenz war die Femwirkung einer brillanten und wirksamen Rezension, die Heinz v. Foerster, damals Direktor des Biological Computer Lab der Universitat Urbana/Illinois, 1969 im Whole Earth Catalog veroffentlicht hatte. lm selben Jahr war zwar in Nature die iiberaus respektvolle Besprechung des beriihmten englischen Management-Kybemetikers Stafford Beer erschienen, aber ohne sichtbaren Erfolg. Stewart Brant, der Herausgeber der Zeitschrift, sparer Leiter des Media-Lab am MIT, hatte zuvor Gregory Bateson, den Anthropologen und Biologen, sowie John Lilly, den Delphinforscher, urn eine Rezension gebeten, die sie aber an v. Foerster weitergereicht hatten . Dessen Besprechung schuf augenblicklich eine umfassende Resonanz. Eine neue amerikanische Ausgabe des Buches ging schnell in die zweite Auflage. Alan Watts, Religionswissenschaftler, Philosoph, Zenmeister und Griinder der ,Society of Comparative Philosophy' war sogleich ,elektrisiert' und beschloss, mit Brand, Bateson und Lilly, seine Lieblingsidee einer ,American University of the Masters' (AUM oder OM, dem Mantra gemals) ins Leben zu mfen, mit Spencer Brown als erster Session. In Esalen trafen Mathematiker, Kybemetiker, Computerwissenschaftler, Anthropologen und Sozialforscher, Kommunikationsfor-

Einlcitung

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scher, Biologen, Psychiater und Psychotherapeuten sowie praktizierende Experimentatoren diverser religioser bzw. spiritueller Traditionen zusammen . Aile waren interessiert an einer grenziiberschreitenden Betrachtung der westlichen wissenschaftlich-technischen Zivilisation, die Mehrzahl in strenger Erweiterung bzw. Revision der Grundlagen ihrer Disziplinen und das sowohl in praktischer wie theoretischer Hinsicht. Ein Teil liebaugelte auch im damaligen herrschenden Trend mit esoterischer ,Bewusstseinserweiterung' . Hier bildete sich das Grundmuster einer unerwartet breiten, interdiszipl inaren, stets aber auch zwiespaltigen Rezeption Spencer Browns . Die meisten Zuhorer waren uberfordert, aber das stand einer langfristigen tieferen Wirkung nicht entgegen. Spencer Brown schenkte ihnen nichts, vor allem was die mathematischen Grundlagen seiner Ideen betraf. Er bot eine souverane, luzide Darstellung seiner Gedanken anhand detaillierter und origineller Erlauterungen zu den Laws of Form wie zu zentralen theoretischen Passagen von Only two can play this game. Thematisiert wurde die gesamte Breite und Tiefe seines Ansatzes : Von der radikalen Reduktion auf die Unterscheidung als einen einfachsten Ausgangspunkt bis zu den mehrfachen Windungen der selbstreferentiellen, rekursiven Formen; von der mathematischen Sprache des Calculus of indications bis zu sprachkritisch-methodologischen Erlauterungen religioser Sprachen. Anhand der Transkripte" wird deutlich, dass er Spezifizierungen, Erganzungen und auch Alternativmoglichkeiten zum ,kanonischen' Text der Laws ofForm gegeben hat. Diversen Angeboten der Fragesteller in die esoterische Richtung verschliel3t er sich aber konsequent, im Dialog jedoch z.B, mit Bateson tiber Mensch- versus Tierkommunikation wird etwas von den wesentlichen Grundlagen deutlich. Heinz v. Foerster bleibt die Integrationsfigur fur die weitere Rezeption. Aus seinem Biological Computer Lab, das von 1958 bis 1976 existierte, verstand er es, in seltener Vielfalt und zugleich philosophisch-epistemologischer Reflektiertheit, einen interdisziplinaren Sammelpunkt der Kognitionsforschung zu schaffen, an dem eine Fulle innovativer Logiker, Mathematiker, Elektrotechniker, Informatiker, Biologen, Neurophysiologen und Sozialwissenschaftler zusammenwirkten. Aile orientiert an v. Foersters wissenschaftlichem Kernparadigma, der Erforschung zirkularer, rekursiver, selbstreferentieller und selbstorganisierender Prozesse im Ubergangsfeld von Maschinen zu Organism en, mit dem Ziel, eine ,Kybemetik der Kybernetik ' bzw. ,2nd Order Cybernetics' zu entwickeln . Hier findet, direkt inspiriert durch Spencer Brown, die wichtige Ablosung der maschinellen, elektrotechnischen Sicht des ,computings' und der Kybernetik (das Paradigma v. Neumanns und Wieners) durch das Paradigma lebender, spater auch sozialer Prozesse bis hin zu Organisationen statt, die durch eine entsprechende andere Mathematik moglich geworden war. Hierfur stehen vor allem Humberto Maturana und Francisco Varela mit ihrer Theorie der AuIS

Die Transkripte der Esalen-Konferenz sind unter ,AUM-Protokollc' im Internet abrufbar.

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Einleitung

topoiesis bzw . der Principles of Biological Autonomy", Die im Biological Computer Lab gesaten Ideen wirken bis heute weiter, in den vielfaltigen Konsequenzen aus einer ,General Systems Theory' und der ,2nd Order Cybernetics' als ihrer inharenten Reflexionsgestalt. An dieser Entwicklung hat einen nicht zu unterschatzenden Anteil der Chicagoer Spencer Brown Zirkel urn den Mathematiker Louis Kauffman. Von 1975 an, ein Jahr nach seiner Begegnung mit den Laws of Form, die, nach seiner eigenen Aussage, sein gesamtes mathematisch-theoretisch-philosophisches Weltbild auf den Kopf stellten, versammelt er eine Anzahl von Wissenschaftlern wiederum der unterschiedlichsten Disziplinen fur drei Jahre urn sich. Hier wird vielleicht zum ersten Mal eine systematische Lektiire der Laws of Form von vorne bis hinten, in allen ihren Kapiteln vorgenommen, gegenuber dem bis dahin - und bis heute vorwiegend - wohl weitgehend liblichen selektiven bis impressionistischen Lektiireverhalten . Kauffman hatte Kontakt zu v. Foerster und hat zusammen mit Varela die wichtige Arbeit Form Dynamics'? auf der Basis von Spencer Browns Calculus of indications verfasst. Er arbeitet in der Perspektive einer mathematischen Fundierung der ,2nd order Cybernetics', aber nicht nur an einer Mathematik selbstreferentieller Grundprozesse, sondern zugleich, ganz im Geiste der Laws of Form, an einer mathematischkonzeptuellen Formuli erung der Interrelation von Einfachheit und Komplexitat. Mithilfe der von ihm neu adaptierten ,Knoten' -Theorie fuhrt er dies in die Grundlagen der Quantenphysik welter." In Deutschland konnte man ein Rezeptionszentrum mit ,Bielefeld' umschreiben. Gemeint ist die systemtheoretisch angelegte Soziologie bzw. Soziologische Theorie von Niklas Luhmann, die beispielsweise von Elena Esposito, Dirk Baecker oder Armin Nassehi und anderen fortgefuhrt wird. Luhmann hat das Verdienst, die Laws of Form und somit auch ihren Autor George Spencer Brown fur die deutsche Diskussion entdeckt und eingefuhrt zu haben. Gesellschaft ist fur Luhmann ein komplexes System unabzahlbarer bestandig iterierter, unterschiedlicher und in Rekursionsschleifen prozessierter, beobachtungs- und damit handlungsgenerierter wie -generierender Unterscheidungsbildungen. Durch einen Hinweis von dem Philosophen und Psychotherapeuten Paul Watzlawick , der seinerseits vermutlich durch die Diskussionen urn die EsalenKonferenz auf die Laws of Form aufmerksam gemacht wurde, 1980 an den Heidelberger Psychiater Fritz Simon, sind die Laws of Form zu einem Bezugspunkt fur die Arbeiten des Heidelberger Forschungskreises zur systemischen Therapie geworden. Pragend fur diese Rezption wurde 1988 das Buch von Fritz 16 17 18

Varela 1979b Kauffm an! Varela 1980 Damit folgt Kauffman einer Perspektive der Laws ofForm als einem " account of the emergence of physical archetypes , presented as a rigorous essay in mathematics", Spencer Brown 1971:109.

Einleitung

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Simon: Unterschiede, die Unterschiede machen. Klinische Epistemologie: Grundlagen einer systemischen Psychiatrie und Psychosomatik, durch das erstmals Auszuge der Laws ofForm auf deutsch zuganglich wurden. SchlieBlich verdient Erwahnung der Miinchner Logiker Matthias Varga v. Kibed vom Seminar fur Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie der Ludwig-Maximilians-Universitat. Varga v. Kibed hat sich in seiner Habilitation und einer Reihe von Aufsatzen und Vortragen mit den tiefgreifenden Einsichten Spencer Browns in die zeichentheoretischen und paradoxientheoretischen Grundlagen der modemen Logik beschaftigt, die er in einem gross angelegten Forschungsprogramm, das kritische Einsichten von Wittgenstein und Peirce mit Spencer Brown zusammenspannt, fur eine entscheidende Revision der modernen Logik fruchtbar machen mochte. Dieser Ansatz einer ,Logik der Logik' verspricht vor allem wichtige konzeptuelle Klarungen in den Grundlagen der modernen Logik und Sprachtheorie. 5. Zur Lesehaltung - ein Vorschlag Spencer Brown beschreibt an verschiedenen Stellen, dass zur Entwicklung der Laws of Form ein Prozess des Verlernens gehort, ein Verlernen von iiblichen Denkmustem und gewohnten Komplexitaten, So, wie er selbst den Ansatz der Laws of Form durch einen Prozess des Verlemens ge- und erfunden hat , sieht auch die Leseanweisung fur uns InterpretInnen und Leserlnnen aus : die Laws of Form im Interpretieren und Lesen immer wieder neu zu finden und zu erfinden, bedarf eines fortschreitenden Prozesses des Veriem ens von Beschreibungsmustern der eigenen Disziplin, von vorschnellen kritischen Urteilen nach iiblichen Malistaben und vor allem Geduld. Die Laws of Form fordem in besonderem MaBe, sich auf sie einzulassen, mit ihnen und durch sie zuruckzugehen zu dem Treffen einer Unterscheidung, durch die zwei unterschiedene Zustande hervorgebracht werden. Fragen danach, wie sich diese beiden Zustande zu Raum und Zeit, zum Subjekt und zur Wirklichkeit verhalten, sind zunachst zu verlemen. Ohne Ubung in Langsamkeit und ohne Offenheit fur Unvertrautes ist den Laws ofForm kaum zu folgen . Neben der Bereitschaft zum Veriernen stellen wir uns fur die Lektiire dieser Einfuhrung folgende Lesehaltung vor: Unsere Interpretationsvorschlage und den (englischen) Text der Laws ofForm nebeneinander zu legen und be ides in einer Hin- und Her- Bewegung zu lesen, Text, Kommentar, Text usw. Dadurch wird unser Text, der aus einem jahrelangen Dialog mit dem Text der Laws of Form und untereinander entstanden ist, durch jede/n Leserln wiederum variiert und in vielerlei neue mogliche Dialoge mit den Laws ofForm gebracht. Wir zitieren die Laws of Form und andere Texte Spencer Browns im Original, d.h . auf Englisch, kommentieren den Text aber auf Deutsch. 19 Damit wer19

Hinweis : Wir zitieren die Laws ofForm nach der Ausgabe von 1994, im Foigenden LoF.

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Einleitung

den zwei Sprachstile zusammengebracht, die Spencer Brown seiber so beschrieben hat: ,,[D]as, was ich das Irisieren englischer Worte nennen will - ihre Fahigkeit, jeden Augenblick die Farbe zu verandern, die unserer Prosa und Poesie solche Magie verleiht - [geht] im Deutschen verloren, wo fur jedes Wort cine exakte Farbe gewahlt werden muss, [weil es] die meisten verschiedenen Worte fur Bedeutungsnuancen enthalt, welche im Englischen durch ein und dasselbe Wort ausgedriickt werden, und der Unterschied dabei durch den Kontext festgelegt wird.,.20

Da zur Form einer Unterscheidung nach Spencer Brown immer auch ein Kontext gehort, beginnen wir den Hauptteil mit einer Kontextualisierung der Laws of Form, also gleichsam mit einer Definition des auferen Rahmens, in dem sie spielen. AnschlieBend wird der Text in seiner inneren Architektur vorgestellt.

20 Vgl. die Vorstellung der irtemationalen Ausgabe, Spencer Brown 1997:ix.

II. Kontexte und Architektur der Laws ofForm

II.A Kontexte der Laws of Form Katrin Wille und Thomas Holscher FUr die Entstehung und das Selbstverstandnis der Laws of Form sind vor al1em vier Kontexte wichtig - Technik, Mathematik, Logik und ostasiatische Philosophie . Im Folgenden werden die Laws of Form nacheinander in diese Kontexte gestel1t. Laut eigener Darstel1ungen Spencer Browns wurde die Entwicklung der Laws of Form angestoBen durch Anwendungsprobleme in technischen Zusammenhangen, Zu dem Kontext ,Technik' (1) gehort deshalb auch eine Auseinandersetzung mit der Frage nach dem Verhaltnis von Theorie und Anwendung. Der Kontext ,Mathematik' (2) ist deshalb zentral, weil Spencer Brown seine Laws ofForm als Mathematik versteht und seine Auffassung von Mathematik in Anknupfung und Kritik an Boole an vielen Stel1en beschreibt. Durch seine akademischen Studien und die Gesprache mit Bertrand Russel1 und Ludwig Wittgenste in ist der Kontext ,Logik' (3) prasent. Spencer Brown fuhrt aus, inwiefern die formale Aussagenlogik eine von verschiedenen moglichen Interpretationen der Laws ofForm ist. Der Kontext ,ostasiatische Philosophie' (4) ist fur Spencer Brown als ein Horizont seines Denkens von Anfang an deutlich. Dies zeigt sich durch das vorangestel1te Zitat aus dem Daodejing und in spateren Anmerkungen und Vorworten dann in zunehmendem MaBe an Bezugen auf buddhistisches Denken . In diesem Kapitel orientieren wir uns vor al1em an AuBerungen uber diese vier Kontexte in Texten von Spencer Brown, die eher Oberblickscharakter haben. Wir fuhren hier zusammen und kommentieren, was Spencer Brown in den diversen Vorworten und Einleitungen und auch in der AUM-Konferenz, auf der er vor einem offentlichen Publikum die Laws ofForm erlauterte, dargestel1t hat. AuBerdem nehmen wir auf wichtige Passagen der Selbstkommentierung in den beiden Texten Only two can play this game und A Lion's Teeth Bezug .

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1. Technik Einen Hintergrund fur die Laws of Form bildet ein technisches Anwendungsproblem'. Spencer Brown wurde in technischen Untemehmen' eingestellt, urn als ausgebildeter Logiker an der Entwicklung von Schaltkreisen fur Transistorenelemente bei speziellen Computeranwendungen mitzuwirken.' Eine der Aufgaben ist, Zahlmaschinen von Wagenradern vor und nach der Einfahrt von Zugen in einen Tunnel zu entwickeln. Diese Maschinen mtlssen zum einen vorwarts und ruckwarts zahlen und zum anderen die verschiedenen Zahlergebnisse abgleichen konnen. Der Rahmen der akademischen Logik erweist sich den technischen Anforderungen gegenuber als unzureichend: zum einen wegen mangelnder Moglichkeiten, mit der erforderlichen technischen Komplexitat umzugehen, zum anderen darin, den Sicherheits- und Effizienzanforderungen gerecht zu werden. Die Losung fur diese praktischen Anforderungen, die erst einmal ohne theoretische Fundierung bleibt, liegt in dem, was Spencer Brown sparer als .imaginare Werte' bestimmt. Er ubertragt die Theorie der imaginaren oder komplexen Zahlen i aus der Mathematik systematisch und nicht nur in ad hoc- Verwendungen auf die Arbeit mit Schaltsystemen." Dies fuhrt zu einfacheren Vorrichtungen als bisher ublich und ist deswegen okonomisch gunstiger und effizienter. In Schaltsystemen wird die Schaltalgebra technisch umgesetzt. Die Schaltalgebra ist eine mogliche Interpretation der Theorie der Booleschen Algebren. Den Booleschen AusdrUcken ,1' und ,0' konnen als Werte die beiden Zustande eines Schaltkreises ,Energie fliel3t' oder ,Energie fliel3t nicht' zugeordnet werden. Den Operationen der Booleschen Algebren lassen sich verschiedene Kreislaufe im Schaltkreis zuordnen. Bestimmte Transistoren (ubersetzt: Ubertragungswiderstand) fuhren den Output eines Kreislaufes wieder in den Kreislauf zuruck, was als eine logische Verknnpfung zwischen den Eingangssignalen und den Ausgangssignalen dargestellt werden kann . "The techniques here recorded being first developed not in respect of questions oflogic, but in response to certain unsolved problems in engineering ." LoF:xvii. Spencer Brown nennt im Vorwort zur ersten Ausgabe der Laws of Form die Firma ,SimonMEL Distribution Engineering' (LoF:xvii) und in den Transkripten der AUM-Konferenz die Firma ,Mullard Equipment , Ltd., a branch of the Phillips organization' , AUM 1,1. (Die erste Ziffer steht fur das AUM-Transkript der jeweiligen Sitzung, die zweite fur die Seitenzahl.) Vgl. AUM 1,1. Vgl. zu den komplexen Zahlen : ,,[Die komplexen Zahlen gehoren] seit langem zum gesicherten Bestand der Analysis . Da es unter den reellen Zahlen kein Element c mit c2 + 1 = 0 gibt (auf Grund der Ordnungsbeziehung in R ist jede solche Quadratsumme positiv), und da dies eine Unvollkommenheit der reellen Zahlen zum Ausdruck bringt, die sich haufig in Rechnungen storend auswirkt, wird durch cine nochmalige Erweiterung des Zahlenbereichs die Existenz eines Elementes mit dieser Eigenschaft (das dann natUrlich auBerhalb von R liegt) erzwungen.", Remmert 1964:348. Vgl. auBerdem zur Kritik an Ublichen ad hoc-Verwendungen imaginarer Werte von Ingenieuren LoF:xxiv.

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Theoretisch konnen diese praktischen Losungen aber innerhalb der bestehenden logischen und technischen Erklarungsmuster zunachst nicht angemessen beschrieben und erfasst werden . Die Innovation einer theoretischen Beschreibung dieses technischen Phanomens der in sich selbst zurucklaufenden Schaltkreise besteht nach Spencer Brown darin, diese durch Gleichungen mit ,imaginaren Werten' zu beschreiben. Spencer Brown untemimmt mit dem elften Kapitel der Laws of Form den Versuch, die Primate Algebra durch die Einfuhrung von ,Gleichungen zweiten Grades' mit .imaginaren Werten' zu erweitem und damit die technischen Anwendungen theoretisch zu fundieren . Dieser Entstehungshintergrund der Laws of Form, aus dem Geiste des Praktischen' ist aber nicht nur aus biographischen Grunden interessant, sondem auch in Bezug darauf, wie Spencer Brown auf der Basis dieser Erfahrung das Verhaltnis zwischen theoretischer Grundlagenarbeit und Praxis bestimmt. Der Austausch und das Zusammenspiel zwischen Theorie und Praxis laufen nicht nur in die eine Richtung, namlich von der Theorie zur Anwendung, sondem auch in die andere Richtung, also von der Praxis zuruck zur Theorie. Aus der praktischen Arbeit gehen neue theoretische Impulse hervor, die einen langeren Suchprozess einleiten konnen, urn etwas, das praktisch funktioniert, theoretisch beschreiben und begrunden zu konnen . Dieser Suchprozess verlauft nicht deduktiv, sondem eher wie ein Prozess des Vertrautwerdens mit dem neuen Boden, durch den dann plotzlich ein neuer theoretischer Zusammenhang aufscheinen kann, der die Bildung eines theoretischen Gebaudes einleitet. Durch praktische Experimente und die Entwicklung von praktischem Konnen fokussiert sich nicht-intendiert die Aufmerksamkeit auf bisher ungewohnte Zusammenhange, die die Voraussetzung fur Erkenntnis und eigentiiches Wissen ist. Spencer Brown macht das Verhaltnis zwischen Theorie und Praxis produktiv, indem er eine neue Form von ,praktisch fundierter Theorie' einfuhrt, die sich von Theorie als reiner Beschreibung auf der einen Seite und Praxis als blol3erAnwendung auf der anderen Seite unterscheidet. Kennzeichen sind": a) dass aus der Entwicklung von Konnen und dem Vertrautwerden mit neuen Formen erst die Moglichkeit von Wissen und Begrundung erwachst". Hierzu Dieser Versuch einer neuen Verhaltnisbestimmung zwischen einer Theorie und ihren Gebrauchskontexten kann in den Horizont einer ganzen Reihe von Ansatzen gestellt werden , die das Verhaltnis zwischen logischer Form und praktischem Gebrauch nicht extern und auberlich denken, sondern intern und konstitutiv . Erwahnt sei die konstitutive Rolle der Anwendung im ,angewandten Satz' in Wittgensteins Tractatus, die Spencer Brown sicher bekannt war. Andere Neubestimmungen des Verhaltnisses zwischen Logik und Anwendung finden sich z.B. bei expliziten Versuchen einer ,pragmatischen Logik' : z.B. Brandom 2008, Putnam 2002, Dewey 2002, Quine 1975, v. Weizsacker 1977. Vgl. dazu z.B. die Notes zum dritten Kapitel LoF:84f. Der Prozess des .Sich-Vertraut-Machens' (familiarize) wird in Only two can play this game sogar als Erinnerung an Verlorengegangenes bestimmt, vgl. Spencer Brown 1971:37 sowie AUM 2,1Of.

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gehoren z.B. die praktischen Experimente fur die Entwicklung neuer technischer Anwendungen. b) dass (theoretisches) Wissen nicht durch die Mitteilung und Beschreibung von Tatsachen gewonnen wird, sondem nur durch die Ausfuhrung von Anweisungen zu verschiedenen gedanklichen Handlungen, die in dem /der LeserIn eine eigene (theoretische) Erfahrung erzeugt (vgl. die Ausfuhrungen zur ,injunktiven Methode' im nachsten Abschnitt). FUr die Entwicklung eines derartigen Theorieentwurfs, in dem die Unterscheidung zwischen Theorie und Praxis unterlaufen werden soli, verwendet Spencer Brown ein differenziertes Vokabular fur verschiedene Akzentuierungen der praktischen Dimension, wie z.B. Praxis als Konnen und Knowing-how (knowing-how), als innertheoretische und auBertheoretische Anwendung (application), als Interpretation (interpretation), als Illustration (illustration), als Reprasentation (representation), als Gebrauch (use), als Anweisung (injunction). Der Leitbegriff fur die in den Laws of Form entwickelte ,praktisch fundierte Theorie', die fur ibn zur Mathematik gehort, ist der der Anweisung (injunction). 2. Mathematik Urn die pragmatische Arbeit mit den imaginaren Werten theoretisch zu fundieren, geht Spencer Brown den Weg eines sich immer weiter fortsetzenden Prozesses der Vereinfachung von Strukturen bis auf den einfachsten Grund: das Treffen einer Unterscheidung. Das definierende Moment einer Unterscheidung besteht darin , voneinander unterschiedene Zustande zu schaffen. Aus den Eigenschaften der einfachen Idee der Unterscheidung soli dann ein mathematischer Kalkul mit zwe i Zustanden (Werten) aufgebaut werden. Die Erweiterung des Kalkuls urn einen dritten , den .imaginaren Zustand' , ermoglicht dann den direkten Ubergang zu schaltalgebraischen Anwendungen. Der Ausgangspunkt ist ,Unterscheidung' und nicht .Identitat' . Dass .Identitat' kein Ausgangspunkt einer Theorie sein kann, zeigt sich einfach daran, dass mit jedem Grundelement, das fur eine Theorie gewahlt wird, (meist imp lizit) eine Unterscheidung getroffen wird zwischen dem jeweiligen Grundelement auf der einen und allen anderen moglichen auf der anderen Seite. Urn die Bewegung der Vereinfachung und des Absehens von gewohnten Bestimmungen (mit) zu vollziehen, ist ein ,Verlemprozess' notig . Zu verlemen sind aile konkreten Bestimmungen, Regeln, Qualifizierungen, Unterscheidungen bestimmter Art, Werte, Normen, Verbote, selbstverstandliche Voraussetzungen.' Hinter all das ist zuruck zu gehen bis hin zu dem einfachen Gedanken einer Unterscheidung zwischen zwei Zustanden. Nicht mehr und nicht weniger." In dem Reduktionsprozess gehen wir auch hinter das isolierte Subjekt zuruck , es wird gerade nicht von einem eigens unterschiedenen Bcobachter ausgeg angen . Vgl. dazu in der Note on the

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Dieser Verlemprozess hat in Spencer Browns Verstandnis eine theoretischstrukturelle und eine gesellschaftlich-moralische Ebene, und die .SelbstAnalyse ' bis hin zur einfachsten Form kann mathematisch und auch psychologisch verstanden werden.? Einfach eine Unterscheidung getroffen zu haben und zwei Zustande zu haben, nennt Spencer Brown .mit der Form zu beginnen' ." Dabei zeigt sich, dass die Form gleichzeitig der .Ort' maximaler Entleerung und maximaler Verdichtung ist. Ohne jede konkrete Bestimmung (und in diesem Sinne vollig leer) liegt in der Form ein gemeinsamer Vorlaufer fur aIle strukturellen Moglichkeiten, die erst durch schrittweise Differenzierungen auseinander treten . Zu den Moglichkeiten, die dieser Ruckgang zur Form birgt, schreibt der Interpret Louis Kauffman : "Once we follow a structure back into what seems to be its essential simplicity, there is a new and wider view available, and this view compounded with what we already knew, leads to a new way to hold the entire matter and more possibility to move into even deeper simplicity . ... By moving into simplicity , we make room for a wcrld with even greater complexity'.1I

Und tiber dieses Wagnis, die Grenze zwischen Einfachheit (simplicity) und Auflosung (vanishing) zu erkunden, heil3t es anderswo : "As things nearly vanish, we reach regions where apparently distinct domains touch , join and become one ."12

Spencer Brown versteht die Laws of Form als ein mathematisches Werk, nicht als ein philosophisches oder logisches. Inhaltlich besteht sein Anspruch darin, die Theorie der Booleschen Algebren einerseits mit einer zugehorigen Arithmetik zu fundieren und andererseits mit Gleichungen hoheren Grades unter Verwendung irnaginarer Werte zu erweitern . Methodisch wahlt er eine Form der Darstellung, die er in Beweisverfahren der akademischen Disziplin Mathematik

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Mathematical Approach: "The act is itself already remembered, even if unconsciously, as our first attempt to distinguish different things in a world where, in the first place, the boundaries can be drawn anywhere we please . At this stage the universe cannot be distinguished from how we act upon it, and the world may seem like shifting sand beneath our feet." LoF:xxix. Der Prozess des Verlemens, des weitest rnoglichen Zuruckgehens hinter Voraussetzungen, erinnert an das philosophische Verfahren des methodischen Zweifels, wie es vor allem von Descartes bekannt ist. Spencer Brown fuhrt dieser Weg aber gerade nicht zum .cogito ', sondem zu der selbstreferentiellen Form, wie im Kommentar zum zweiten Kapitel gezeigt wird . Vgl. ADM 1,3 und 1,9: "no quality other than being states" , " ...we defined states without any concept of distance , size, shape --only ofdifference ." Damit ist auch nicht gemeint, dass die Zustande irgendeine Grobe oder irgendeine Dauer haben sollen, es sollen all diese Bestimmungen hintergangen, unterschritten werden, vgl. ADM 1,10. Vgl. ADM 1,3 sowie : "One has to break every law, every rule, that we are taught in our upbringing. And why it is so difficult to break them, is that there is no overt rule that you may not do this, why it is so powerful is that the rule is covert .", ADM 1,13. ADM 1,6 Kauffman 2000b :92 Kauffman 1998a:63

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vorgepragt findet. Das Charakteristische seines Vorgehens nennt er ,injunktiv', wodurch die LeserInnen zu mitvollziehenden Denkhandlungen aufgefordert werden und die Darstellung aus dem Wechselspiel zwischen Aufforderung , Ausfuhrung und Betrachtung ihren theoretischen Autbau gewinnt. 13 Der inhaltliche Anspruch: Die Primdre Arithmetik und die Theorie imagindrer Werte

Mit den Laws of Form will Spencer Brown eine Fundierung und eine Erweiterung der Theorie" der Booleschen Algebren vorlegen. Beide Projekte haugen zusammen: Eine Erweiterung der Theorie der Booleschen Algebren urn einen dritten, .imaginaren' Term neben den Termen ,I' und ,0' kann nach Spencer Brown nur dann hinreichend motiviert sein, wenn das theoretische Interesse sich auch auf die Moglichkeiten der Ableitung der beiden Ublichen Terme der Booleschen Algebren ,0' und ,I ' richtet. Damit wird eine ,protoboolesche' Forschungsperspektive eingenommen, die nicht mit den Termen und Operatoren der Theorie der Booleschen Algebren einsetzt, sondem die nach Moglichkeiten fragt, diese Theorie aus nur einer einzigen Idee abzuleiten und damit maximal einfach und hinreichend komplex in der KalkUlentwicklung einzusetzen. Diese Bedingungen maximaler Einfachheit und hinreichender Komplexitat werden durch die Form der Unterscheidung erfullt, die entsteht, wenn eine Unterscheidung getroffen wird, deren Resultat zwei Zustande sind. Die einfachste Art, die Beziehung zwischen diesen beiden Zustanden zu denken und formal darzustellen, besteht in einem anderen ,Differenzmodus' als dem der Ublichen binaren Differenz zwischen und 1 oder - im Modell der Aussagenlogik - wahr und falsch. 1m zweiten Kapitel der Laws of Form wird entwickelt, dass der einfachste semiotische Ausdruck dieser beiden Zustande in der Markierung des einen Zustandes und der Nicht-Markierung des anderen Zustandes liegt. In der semiotischen Nutzung der Nicht-Markierung, des, leeren Raumes ' , die die RUckbeziehung auf die Form der Unterscheidung erlaubt, liegt eine wesentliche Vereinfachung. Die andere wichtige Vereinfachung besteht darin, dass das Markierungszeichen fur den einen Zustand gleichzeitig als Zeichen fur das, auf das operiert wird (den Operanden, also den Zustand) wie als Operationszeichen (als Operator) verwendet werden kann. Die dritte wesentliche Vereinfachung bezieht sich auf die Eigenschaften des Zeichens in seiner Funktion als Operationszeichen. Denn der dadurch ausgedruckte Operator ist nicht auf einen einstelligen oder binaren Geltungsbereich eingeschrankt. Die vierte Vereinfachung ist die, dass bei Kombination verschiedener Vorkommnisse des formalen

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Vgl. AUM 4,6. Mit der Theorie Boolescher Aigebren sind Satze uber die Booleschen Aigebren geme int, die in allen Modellen, Interpretationen der Booleschen Algebren geIten.

ILA Kontexte der Laws ofForm

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Zeichens zu einem komplexen Ausdruck die Reihenfolge der Zeichen keine Relevanz hat. Die Notation ist nicht linear, sondem zweidimensional." Mit diesem ,Minimalinventar' an Zeichen kann auf die beiden verschiedenen Zustande der Form der Unterscheidung hingewiesen werden. Aus der Form der Unterscheidung ergeben sich zwei Grundregeln, Hinweise auf diese beiden Zustande zu kombinieren. Dies fuhrt zur Entwicklung einer (Primaren) Arithmetik, die Spencer Brown als Wissenschaft von Konstanten und deren Beziehungen bestimmt. 16 Metaphorisch spricht Spencer Brown fur seine Primare Arithmetik auch von ,Individuenforschung' , wahrend die Prim are Algebra Wissenschaft von den Beziehungen von Variablen ist, urn in der Metapher zu bleiben: eher ,soziologische Forschung'." Seine These ist, dass es zu jeder Algebra, der Ebene der Variablen, d.h. des Generellen, eine Arithmetik, die Ebene der Konstanten, d.h. des Individuellen geben muss. Und diese Ebene ergibt sich eben durch die Ableitung von zwei verschiedenen Zustanden aus der Form der Unterscheidung. Damit fallt Spencer Brown aber nicht hinter eine Entwicklung innerhalb der Mathematik zuruck, in der Mathematisierbarkeit und Quantifizierbarkeit auseinander getreten sind und Mathematik sich gerade von dem Gegenstandsbereich der Zahlen und Grolien gelost hat. In An Investigation of the Laws of Thought von George Boole heiBt es z.B i: ,,[Die] Natur des Mathematischen fist] nicht dadurch bestimmt, dass [sie] von Zahl und Quantitat handelr". Mathematik und genauer die abstrakte symbolische Algebra kann dann vier allgemeiner als Wissenschaft von symbolischen Operationen verstanden werden. Dieses algebraische System symbolischer Operationen kann fur die verschiedensten Bereiche interpretiert werden, einer ist der Bereich der Eigenschaften der Zahlen, mogliche andere waren geometrische Probleme oder elektrotechnische Schaltkreise . Spencer Browns Entwicklung einer neuen Arithmetik fur die abstrakte symbolische Algebra soli erklartermalsen eine nicht-numerische Arithmetik sein. Mathematik im Sinne Spencer Browns ist nicht die Wissenschaft von Grofien, sondem die Wissenschaft der Unterscheidungen bzw. der Hinweise auf Unterscheidungen. Die algebraischen symbolischen Operationen mussen also an die

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Spencer Brown spricht bei den beiden letzten Punkten von verdeckten Verboten, die mit unseren linearen Notierungsgewohnheiten zusammenhangen und die wir uns als Voraussetzungen meist gar nicht mehr bewusst machen. Darin liegt ihre Verdecktheit und scheinbare Selbstverstllndlichkeit. Vgl. dazu Spencer Brown 1997:xv und LoF:88-89, 92. Vgl. zu diesem Punkt auch Varga! Matzka 1993 sowie den Kommentar zumzweiten Kapitei. VgI. AUM 2,3. VgI. AUM 2,2. Boole 1854:12

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Form der Unterscheidung zuruck gebunden werden, und genau das will die nicht-numerische, Primare Arithmetik leisten ." Dieser allgemeinere Begriff von Arithmetik zeigt, dass diese Wissenschaft nicht auf die Elemente des Rechnens mit Zahlen festgelegt ist, wie es durch die Schulmathematik nahe gelegt wird. Die ,Konstanten' und ,Individuen', urn die es in der Arithmetik geht, konnen, mussen aber keine Zahlen sein . Die Primate Arithmetik versteht sich als eine der ublichen Zahlenarithmetik vorangehende Arithmetik, eine Art ,Protoarithmetik', in der die Konstanten (Individuen) durch den einfachen Prozess der Unterscheidung gewonnen werden. In der Arithmetik zeigt sich, ,wie sich die Konstanten verhalten' (how they perform") und wie ihre Beziehungen zu bestimmen sind." Die maximale Vereinfachung in der Primaren Arithmetik fuhrt zu Ergebnissen, die so simpel und einfach sind, dass sie ,gesehen' werden konnen. Dies ist ein Kennzeichen fur diese Ebene von ,Protomathematik' . Auf der Basis der Lehre von diesen einfachsten Konstanten, der .Primaren Arithmetik', wird die .Primare Algebra' errichtet, die Relationen und Beziehungen zwischen Variablen betrachtet, unabhangig von bestimmten Gegenstandsbereichen. Spencer Brown legt mit den Laws ofForm einen Indikationenkalkul (calculus of indications) VOL Dies ist ein Aquivalenzenkalkiil, in dem Schemata fur die Transformation von Aquivalenzbezlehungen entwickelt werden. Die Bezeichnung des Kalkiils als Indikationenkalkiil ist uberraschend und wirft die Frage auf, ob fur diesen Typ von Kalkiil das entscheidende Merkmal modemer Kalkulisierung", namlich Formalitat uberhaupt, erfullt ist. Der Kalkul ist formal, wenn die verwendeten Symbole fur nichts stehen, interpretationsfrei sind, also keine extrasymbolische Bedeutung haben . Die Symbole des Indikationenkalkuls stehen fur nichts und sind interpretationsfrei. Sie sind aber Hinweise auf die Zustande der Form der Unterscheidung. Die Symbole des Kalkuls weisen gewissermaBen auf das hin, was sie selbst sind: Unterscheidungen. Damit ist aber kein bestimmter Gegenstandsbereich aufgerufen und keine Interpretation gegeben, sondem vielmehr die Moglichkeit von Formen und Formalitat iiberhaupt beruhrt.

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Kauffman fuhrt aus, dass die Primare Arithmetik der geschlossenen Formen ein fundamentales Muster sei, das der ,First Order Logic' unterliege . Die ,First Order Logic ' gehe daraus hervor. Das sei ein Gedanke , an den man sich erst zu gewohnen habe und der einen sehr anderen Blickpunkt auf Logik gabc, denn Logik sei nicht mehr als die Eigenschaften des Aktes der Unterscheidung, vgl. Kauffman 2001b:90. AUM2,3 Vgl. AUM 2,3 : .Not just to find the constants, because that would be, in terms of arithmetic of numbers, only to find the number . But to find out how they combine, and how they relate - and that is the arithmetic ." Vgl. zu einer Typologie von Merkmalen modemer Kalkulisierung Kramer 1988:176ff.

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Aus der Form der Unterscheidung werden auch die beiden Axiome des ersten Kapitels der Laws of Form gewonnen. Die Axiome bilden also nicht den Ausgangspunkt, vielmehr gilt es von der Form der Unterscheidung her zu sehen, wann und unter welch en Bedingungen es uberhaupt Sinn macht, von der Geltung von Grundsatzen (und dann der Grundgleichungen) zu sprechen. Vorausgesetzt sein mussen die Moglichkeiten des Prozesses der Unterscheidung. Dies ist der Rahmen, innerhalb dessen Prozesse wiederholt werden konnen und erst auf der Ebene, auf der Wiederholung denkbar wird, konnen Grundsatze, hier zwei Axiome, uberhaupt gelten. 1m Anschluss an die beiden Axiome und durch die Bildungs- und Transformationsregeln fur Ausdriicke konnen dann Theoreme abgeleitet und bewiesen werden . Hierunter fallen nach Spencer Brown auch Satze, die in ublichen Systemen den Status von Postulaten bzw. Axiomen ha-

ben." Spencer Brown entwickelt die drei Teile der Laws of Form, die Primare Arithmetik, die Primare Algebra und die erweiterte Algebra, wie gezeigt bewusst in Absetzung zur nblichen Arithmetik und Algebra, zur Theorie der Booleschen Algebren und zu gangigen Versuchen, mit selbstreferentiellen und paradoxen Ausdrucken umzugehen, wie z.B. der Russellschen Typentheorie . Die Gleichungen ersten Grades in der Primaren Arithmetik und der Primaren Algebra arbeiten im Rahmen der beiden Zustande der Form der Unterscheidung. Die Gleichungen zweiten Grades der erweiterten Algebra entstehen durch das Hinzukommen einer anderen Dimension. Diese neue Dimension interpretiert Spencer Brown als selbstreferentielle Figur und spricht bei Gleichungen dann von Selbstreferentialitat, wenn der Ausdruck, der bestimmt werden solI (,x'), in dem Ausdruck, durch den er bestimmt werden soil, selbst vorkommt oder, anders gesagt, wenn der Ausdruck, der bestimmt werden solI, in den, durch den er bestimmt werden solI, ,wieder eintritt' . Die Figur des Wieder-Eintritts oder ,Re-entry' charakterisiert die verschiedenen Gleichungen zweiten Grades der erweiterten Algebra. Ein Typ von Gleichungen zweiten Grades notigt zur Erweiterung der beiden bisherigen Zustande urn einen dritten, imagindr genannten Zustand (imaginary state)." Dieser dritte Zustand ergibt sich durch die Oszillation zwischen den beiden anderen Zustanden, ist also eine Art Zwischenzustand, der das, was er ist, auch nicht ist.

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Vgl. im Unterschied dazu die Rolle von Axiomen in der Logik : .A xiorne gelten als ,evidente' Prinzipien, welche als cines Beweises nicht bedurftig an den Anfang gesetzt werden. Es sci betont, dass diese Axiome lediglich in Bezug auf den bestimmten Kalkul und in der Theorie T keines Beweises bedurfen; es bedeutet nicht, dass die Axiome nicht anderweitig gerechtfertigt werden mussten. FOr jemanden, der z.B. keine unendlichen Mengen zulassen will, besitzt das Unendlichkeitsaxiom keine Rechtfertigung, auch wenn es ein Axiom von ZF ist." Link/Nieberga1l2003 :II9. Vgl. den Kommentar zum elften Kapiel,

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Spencer Brown deutet an, mit der Idee der imaginaren Werte in der erweiterten Algebra auch einen Weg fur den Umgang mit Paradoxien in der Logik gefunden zu haben, wie z.B. dem Satz ,Dieser Satz ist falsch.', der dann wahr ist, wenn er falsch ist oder dann falsch ist, wenn er wahr ist. Denn zwischen den G1eichungen zweiten Grades mit ungeradzahligen ,Re-entries' in seinem erweiterten Kalkul und den paradoxen -Satzen besteht nach Spencer Brown eine Analogie. In allen diesen Fallen findet sich eine selbstreferentielle Struktur mit Negation. Die Losung paradoxer Satze" kann nach Spencer Brown genau wie die Losung von G1eichungen zweiten Grades mit ungeradzahligen ,Re-entries' in einem dritten, oszillierenden Zustand Iiegen. Dadurch besteht die Moglichkeit , den eigenen theoretischen Rahmen zu erweitem, ohne solche Strukturen in einer Art Praventivverfahren verbieten zu mussen, wie es z.B. die Typentheorie von Russell und Whitehead versucht. Injunktive Methode In der Mathematik, wie Spencer Brown sie versteht, wird keine Aussage uber das gemacht, was ist." Dies ist eine Konsequenz aus dem oben beschriebenen Reduktionsprozess, den Spencer Brown auch als einen von Existenz auf Wahrheit, Wahrheit auf Bezeichnung, Bezeichnung auf Form und Form auf Leere bestimmr". Es werden keine Existenzaussagen getroffen. Dies heif3t aber nicht nur, sich der Existenzaussagen zu enthalten, sondem auch, die Idee der Existenz auf ihre Vorlauferin zu reduzieren, also die Idee von (selbstandig) Bestehendem fallen zu lassen. In diesem Prozess begegnen wir der Idee der Wahrheit , also der Ubereinstimmung zwischen Reprasentation und Wirklichkeit. Aber auch diese Idee der Wahrheit fallt in der Bewegung der Reduktion, da es ohne die Idee einer existierenden Wirklichkeit auch keinen Sinn mehr macht, von der Ubereinstimmung zwischen Reprasentation und Wirklichkeit zu reden. Es bleibt die Idee des Hinweisens, die aber auf die Idee der Form reduziert werden muss, wei! das, worauf hingewiesen werden kann, nicht einfach so vorhanden ist (das ist die Idee der Reprasentation, die wahr oder falsch sein kann) , sondem als komplexe Form generiert wird. Diese Form hat aber keinen Bestand , sie hat keine Existenz, sondem muss in immer neuen Akten generiert und aufrechter25

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Paradoxien konnen nach einem Grundmuster folgender Art gebildet werden: Verbindung vo n Inform ation uber die Welt mit scmantischer Information in einem Satz . , druckt aus, dass IjI wahr ist.'; Negation , druckt aus, dass IjI falsch (nicht wahr) ist. ' ; Reflexive Verwendung des Schemas , druckt aus, dass wahr ist.' Diese Funktion, etwas von sich selbst auszusagen, konnen indexikalische Ausdrucke ubernehmen. (Indikatoren = sprachlichc Zcichcn, die abhangig von der A uBerungssituation, in der sie verwendet werden , auf einen Gegenstand verweisen .) Nehmen wir aile Bcdingungen zusammen, ergibt sich das Schema: , druckt aus, dass falsch ist.' vgl. Link/NicbcrgaIl2003 :I09. Vgl. Spencer Brown 1997:x. Vgl. die Notes zum elften Kapit el Iof' :101.

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halten werden , sie beruhrt die Grenze zum Verschwinden und lost sich auf, wenn kein Hinweis mehr erfolgt - so kann sie letztlich auf die Leere reduziert werden. Dies sagt uns etwas tiber den Typ mathematischer Satze und auch tiber die Methode, mathematische Satze zu lesen und zu verstehen . Mathematische Satze drucken aus, was erscheinen wurde, wenn es konnte, Moglichkeiten, die sich im Reduktionsprozess erschlielien. " Es gehort zum Charakter der in den Laws of Form vorgenommenen Reduktionsbewegung, dass auch Raum und Zeit nicht als bestehende Strukturen vorausgesetzt werden, sondem der Ort ihrer Entstehung und damit die Moglichkeit ihrer mathematischen Verwendung markiert wird. Spencer Brown spricht von einem ersten Raum (first space), der durch die erste Unterscheidung (first distinction) zwischen Zustanden gemessen wird. Raum ist das, was ware, wenn es eine Unterscheidung geben konnte." Die erste Zeit (first time) wird durch die Bewegung der Oszillation zwischen den Zustanden bestimmt und hat keine Dauer. Zeit ist das, was ware, wenn es eine Oszillation zwischen Zustanden geben konnte." Beschreiben wir die Ebene der ersten Unterscheidung in der normal en Sprache, dann stehen wir vor dem grol3en Problem, dass die Qualitaten der Beschreibung nicht zu den Qualitaten dessen, was beschrieben wird, gehoren, Deshalb braucht es eine Notation, bei der die Beschreibung und das Beschriebene strukturanalog sind." Die Notation aus der Alltagssprache heraus zu verstehen, ist sehr schwierig und gelingt nur, wenn man ,gesehen hat', worum es dort geht. Die Satze der Mathematik nach Spencer Browns Verstandnis sind als Aufforderungen zu verstehen, als lnjunktionen, theoretische Prozesse selbst zu vollziehen. Denn der spezifisch mathematische Reduktionsprozess ist nur zu verstehen, wenn er realisiert wird, da ,Form' ja nichts fur sich Bestehendes, sondem nur als Generationsprozess zuganglich ist. Spencer Brown entwirft damit in konsequenter Form einen eigenen Erkenntnismodus, er sei ,inj unktiver Erkenntnismodus' genannt.

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AUM 1,12: " We represent what doesn 't actually happen but might happen , if it could" und AUM 4,3: "The universe is simply what would appear if it could" sowie "Its laws are the laws of the possible , called by Sakyamuni ..., called by me the calculus of indications . Each teaches exactly the same teaching , how what cannot possibly be anything comes to appear as if it were something ", LoF 1994:viii. Der ,first space', der einfach durch die Unterscheidung entsteht, hat noch keine GrOBe und daher keine Mabstabe . Deshalb kann es auf dieser Ebene (vgl. AUM 2,4) noch kcine Geometrie geben , hier sind Primare Arithmetik und Geometric noch kondensiert . Vgl. AUM 1,9. "And in talking about the system , the qualities in the description do not belong to what we are describing" (AUM 1,10). Es gilt also eine Sprache zu entwickeln, die, mit Wittgenstein gesagt , die richtige ,logisehe Mannigfaltigkeit' hat.

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Dieser ,injunktive Erkenntnismodus' ist uns nicht ohne weiteres zuganglich und will geubt sein . Dazu gehort, alle Verwendungen von ,ist' durch: ,lasst uns so tun, als ob' zu ersetzen. AuBerdem gehort zur Realisierung des ,injunktiven Erkenntnismodus' ein systematisches Verlemen von Unterscheidungskomplexitaten, die in unserer naturlichen Sprache immer schon vorausgesetzt scheinen. Befolgen wir namlich einfach nur die Aufforderungen, die in den Laws ofForm zu Beginn des Kalkuls fur die Konstitution der ersten Unterscheidung gegeben werden, dann konnen wir dabei auch ubliche Ebenen von Unterscheidungskomplexitaten uber- und unterschreiten, bis die Form der Unterscheidung selbst gesehen werden kann." Zu verstehen (understanding") heiBt, Ebenen tiefer gehen zu konnen, sich ,unter etwas Bisheriges, Gewohntes stel1en zu konnen' (standing under) und damit die Kompetenz zu entwickeln, zwischen verschiedenen Ebenen hin und her zu gehen." Dies kann aber nicht in der Sprache ausgesprochen, also deskriptiv beschrieben werden, sondem es muss eine (theoretische) Erfahrung vermittelt werden, durch die etwas gesehen werden kann, erst dann ist Verstehen moglich." Zu Spencer Browns Theorieaufbau gehort demnach wesentlich das Verfahren der Injunktion, das die Beschranktheiten der deskriptiven Alltagssprache, aber auch al1er Formen von deskriptiver Kunstsprache zu Uberwinden vermag. Dies Verfahren ist ein quasi praktisches Gehen und damit Erschaffen eines theo32

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Vgl. vor allern das zweite Kapitel der Laws ofForm. "Because understanding means literally what it says: You go into another level and stand under." AUM 4,4. Vgl. AUM 4,4 . Oort wird ausgefilhrt, dass dann, wenn alles nur auf einer Ebene gesehen wird, Widerspriiche auftauchen . Unsere Sprache ist nicht so gemacht, dass wir verschiedene Ebenen hin- und riickiiberschreiten konnen, es braucht Training. Oer injunktive Gebrauch der Sprache steht dem deskriptiven entgegen und transportiert keine Meinungen (AUM 4,5). Fiir die Idee von Ebenen (levels) und Ebenenwechsel bezieht sich Spencer Brown auf das Buch von Rolt (Ubersetzung und Einfilhrung. 1920) iiber die Engelshierarchien und die Heiligen Namen von Oionysios Areopagita, einem spatantiken mystischen Theologen. Oass dies eine wichtige Anregung fur Spencer Brown war, hauptsachlich die Fundierung seiner nicht-numerischen , formalen Mathematik betreffend , geht aus den akzentuierten Hinweisen in AUM (1,IOf. und 4,2 und 4,4) und aus den Biicherempfehlungen von Only tWo can play this game hervor, wo es als eigener Titel angefuhrt ist. Oort heisst es: "Much of what is in this book is confirmed , with a very different method, in the next book lund das ist: Laws of Form seiber]. The reader's attention may be drawn , for example , to the parallel accounts of the emergence of time...'', Spencer Brown 1971:108f. Oenn in der Sprache, die physikalische Verhaltnisse beschreibt, werden immer schon sehr komplexe , nach Spencer Browns Beschreibung mehrfach in sich selbst wieder eingetretene Unterscheidungen verwendet, auf die innerhalb der Sprache nicht verzichtet werden kann. Vgl. zum Wechsel von ,seeing' , ,being' und ,doing' AUM 4,2. Vgl. auch das Verhaltnis der Formen des Verstehens ,communion ' und ,communication' . Je mehr gemeinsame Erfahrung (communion) da ist, desto weniger Kommunikation in der Wortsprache (communication) ist notig. Je weniger gemeinsame Erfahrung da ist, desto mehr Kommunikation in der Wortsprache ist notig, vgl. dazu AUM 3,2.

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retischen Weges, der eben dadurch entsteht und gewusst werden kann. Die Injunktion, die diese Erfahrung vennittelt, unterschreitet die Differenz zwischen der aktiven Handlung eines Akteurs, der sich aIs Ursache versteht, auf der einen Seite und eines passiven Ereignisses auf der anderen Seite . Auf diese Weise werden die ublichen Grenzen zwischen experimenteller und deduktiver Methode und zwischen Theorie und Praxis eigentumlich verschoben." Der Typ der mathematischen Satze und der ihm angemessene injunktive Erkenntnismodus haben erkenntnistheoretische Implikationen. Diejenige Erkenntnis ist adaquat, die den Generationsprozess von Unterscheidungen (mit)voHzieht. Durch das Treffen von Unterscheidungen entstehen Welten, die je nach Ebene und Unterscheidungskomplexitat je andere sind." 3. Logik Spencer Brown versteht die Laws of Form aIs zur Mathematik und nicht zur Logik gehorig, Denn eine Untersuchung tiber die Gesetze der Form Iiefert den elementaren Rahmen, innerhalb dessen z.B. die Aussagenlogik arbeitet. Er versteht Mathematik wie die Grundlagenwissenschaft, Logik wie eine Anwendung dieser mathematischen Grundlagen. Dieses Grundlagen-Anwendungsverhaltnis bezieht er vor allem auf seine Laws ofForm auf der einen und die Aussagenlogik auf der anderen Seite." Spencer Brown bestimmt die Aussagenlogik als Interpretation des Indikationenkalkuls aus den Laws ofForm?" Dies gilt genauso fur die Schaltalgebra, die auch aIs Interpretation des Indikationenkalkuls beschrieben wird: "The same mathematics underlie both, but it is not the same as anyone of its interpretations. ,,40 Der zentrale Begriff fur die Verhaltnisbestimrnung zwischen mathematischem Indikationenkalkiil und Aussagenlogik, der der Interpretation, hat in Spencer Browns Verwendung folgende Kontur. Mit Interpretation ist nicht nur 36

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Die Grenzen, die Wittgenstein der Sprache in Satz 7 des Tractatus zieht, gelten nach Spencer Brown nur fur die deskriptive Sprache und werden seines Erachtens durch das injunktive Verfahren aufgehoben, vgl. Notes zum zweiten Kapitel LoF:77. Das Konzept der Injunktivitat versteht sich ausdrucklich als Alternative zu Wittgensteins Tractatus . Allerdings hat Wittgenstein selbst mit diesen beiden Sprachmodi gearbeitet, vgl. z.B.: ,,Jede Vorschrift kann als Beschreibung ,jede Beschreibung als Vorschrift aufgefasst werden ." Philosophische Bemerkungen, 59. Zu den erkenntnistheoretischen Implikationen vgl. Spencer Brown 1994a :34. Dort kritisiert er einen ,Trick', der .xlazu dient, uns das Tun vergessen zu lassen , mit dem wir sie [die physische Welt] so gemacht haben , wie wir sie nun vorfinden," ,,[L]og ic is not , and never has been, a fundamental discipline", LoF :xi . Vgl. auch die Notes zum elften Kapitel : "Thus the relation of logic to mathematics is seen to be that ofan applied science to its pure ground ...'', LoF:102. Hierzu wieder tiber den Unterschied in der , Introduction' von 1967: " Thus the subject matter of logic , however symbolically treated, is not ... a mathematical study.", xxviii. (Hvhb. K.W . und T.H.) AUM 1,2

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wie sonst fur Kalkule ublich die Zuordnung von Werten zu Ausdrucken gemeint, sondem der Zusammenhang zwischen einer Theorie mit einer einfacheren und einer mit einer komplexeren Syntax. Die Theorie mit der einfacheren Syntax kann deshalb grundlegender genannt werden, weil gezeigt werden kann, wie die komplexeren Theorien sich auf der Basis der einfacheren aufbauen lassen. In diesem Sinne konnen die komplexeren Theorien als lnterpretationen der einfacheren verstanden werden . Die hohere Komplexitat der Aussagen- und Pradikatenlogik zeigt sich an ihrer aus Spencer Browns Sicht viel zu komplizierten Syntax, wodurch verschiedene theoretische Moglichkeiten eher verbaut als ermoglicht werden. Die Sprache der Aussagen- und Pradikatenlogik enthalt Symbole verschiedenen Typs, solche fur Satze (p, q) oder Dinge (x, y), Symbole fur Eigenschaften (G, F), solche fur Beziehungen wie Symbole fur Relationen (R) und solche fur Operatoren wie Symbole fur Zusammenfassungen (\::1,3) und Symbole fur Verknupfungsoperationen (--" /\, v, ~ , B). In der mathematischen Sprache des Indikationenkalkiils dagegen sind all diese Unterscheidungen zwischen Formeln, Relationszeichen, Termen und Operatoren in dem Zeichen I kondensiert. Damit entwickelt Spencer Brown eine moglichst einfache Syntax (soweit hier uberhaupt von Syntax im Unterschied zu Pragmatik und Semantik gesprochen werden kann), in der verschiedene Funktionen nicht durch je eigene Symboltypen, sondem durch verschiedene Gebrauchsweisen im Kontext ausgedriickt werden konnen." Der Ort der Aussagen- und Pradikatenlogik ist aus der Sicht Spencer Browns nah an der Grammatik, nah an der natnrlichen Sprache. Wie die Grammatik die Analyse der sprachlichen Konstruktionen ist, so sind Aussagen- und Pradikatenlogik die Analyse und die Formulierung der Strukturen und Regeln, die in Argumenten verwendet werden . Damit ist die Sprache der Aussagen- und Pradikatenlogik wie die der Grammatik aber eben zu komplex, urn die Ebene der ersten Unterscheidung ausdrucken zu konnen." Spencer Brown sucht in den Laws of Form eine Begrundung fur die Wahl seiner Syntax, die nicht auf die Alltagssprache zuruckgreift und auch nicht (nachtraglich) durch die Resultate und die Leistungskraft des Kalkiils gegeben wird. Diese Begrundung findet er in der Form der Unterscheidung. Zu dem Interpretationsverhaltnis zwischen mathematischem Indikationenkalkul und Aussagen- und Pradikatenlogik gehort die Moglichkeit der Ubersetzung der Ausdrucke der Theorie mit der einfacheren Syntax in die Ausdrucke 41

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Bei dieser Kondensation geht es nicht nur darum, dass sich ein vollstandiges formales System auf nur einem Operator aufbauen lasst , Dies ist z.B . durch den Sheffer-Strich und den PeircePfeil schon anderweitig nachgewiesen. Das Besondere ist, dass die verschiedenen Symboltypen kondensiert werden. Dadurch wird eine formale Sprache entwickelt, die keine scharf individuierten Objekte, fur die es einen eigenen Symboltyp braicht, voraussetzt. Vgl. ADM I ,ll.

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der Theorie mit der komplexeren Syntax. 1m Appendix 2 ,The calculus interpreted for logic'? legt Spencer Brown eine solche Ubersetzungsmoglichkeit vor. Die genauen Zuordnungen zwischen den Ausdrucken der versch iedenen Sprachen sind nicht festgelegt, sondem lassen Spielraum ftlr konventionelle Entscheidungen. Die Zuordnung von ,marked state' zu Wahrheit (W) oder ,unmarked state' zu Falschheit (F) lieBesich z.B. auch vertauschen. Jede Theorie mit komplexerer Syntax, die in diesem Sinne als Interpretation der Theorie mit der einfacheren Syntax verstanden werden kann, ist nach Spencer Brown in ihrem Anwendungsbereich eingeschrankter als die Theorie mit der einfacheren Syntax. Die Theorie mit der einfacheren Syntax ,unterliegt' denen mit komplexerer Syntax und liefert fur diese gewissermaBen einen gemeinsamen Vorlaufer. Dies eroffnet auch die Moglichkeit, die Interrelationen zwischen den verschiedenen Symboltypen in komplexeren Sprachen als verschiedene Aspekte von Unterscheidungen und Hinweisen zu betrachten. Bei der Interpretation des Indikationenkalkuls bleibt so immer ein Ebenenunterschied bestehen , es wird also nicht nur eine Ubersetzung in gleichwertige Sprachen vorgenommen. Dies zeigt sich an der Ubersetzung bzw. Interpretation des ,cross' des Indikationenkalkuls als non-Operator in der Aussagenlogik. Es wird durch diese Interpretation eine von verschiedenen moglichen Gebrauchsweisen des ,cross' herausgegriffen, namlich die, invertierender Operator zu sein. Dadurch, dass diese Gebrauchsweise von den anderen Gebrauchsweisen getrennt wird, entsteht eine andere Sprache als die, in der das ,cross' einfach ,Uberschreite' heiBt. Diese Interpretation ist eine Reprasentationsentscheidung, die den Moglichkeitsspielraum des ,cross ' einschrankt." 4. Daoismus , Buddhismus Spencer Brown hat die Laws ofForm von der ersten Auflage an in den Kontext ostasiatischer Kulturen gestellt. Das Motto stammt aus einem Basistext des philosophischen und religiosen Daoismus, dem Daodejing'". In den spateren Vorworten nimmt Spencer Brown zunehmend auf den Buddhismus Bezug." 1m Vordergrund stehen dabei die Themen ,Nichts' und ,Leere', die in ihrem kosmologischen Aspekt (Entstehung aus dem Nichts) und in ihrem semiotischen Aspekt (Zeichenlosigkeit und Namenlosigkeit) anklingen. Aus der weitverzweigten Tradition des Buddhismus nimmt Spencer Brown den zentralen Gedanken der .abhangigen Koproduktion' (Pratityasamutpiidai auf und konzent-

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Vgl. IV.A Appendizes. "We have only made it representative of ' not' for the purpose of interpretat ion ...", AUM 1,12. Vgl. Kommentar zum ,0. Kapitel'. Vgl. Vorstellung der intemationalen Ausgab e von 1985 in LoF:1997, Vorwort von LoF:1994 sowie in Spencer Brown 1971 und vor allem 1995.

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riert sich dabei auf dessen methodische Moglichkeiten als eine Art von Relationalitat. Spencer Brown ruckt die Laws ofForm durch diese Bezuge auf ostasiatische Traditionen in Kontexte, die fur die westliche mathematische, wie auch logische und philosophische Theoriebildung immer noch ungewohnlich sind (trotz Ausnahmen wie Leibniz oder Smullyan). Diese Kontexte sind nicht nur durch Sprachen gekennzeichnet, die zum Teil grundsatzlich anders funktionieren als die westlichen (das gilt vor allem fur das Chinesische") und deren Traditionen ganz andere Begriffsbildungen (falls sich davon sprechen lasst) entwickelt haben . In diesen Traditionen findet sich meist auch eine andere Vorstellung von Theorie, die Ethik, Ontologie, Logik, Epistemologie und Soteriologie" umfasst und nicht als ,Disziplinen der Philosophie' und als ,Theologie' oder .Religion"" voneinander isoliert werden. Die theoretische Betrachtung der Wirklichkeit und die Erkenntnis von ,Objekten' wird immer mit Selbsterkenntnis und Transformation seiner selbst in Zusammenhang gebracht. Spencer Brown fuhrt die Zusammenhange, die er zwischen den Laws of Form und den ostasiatischen Traditionen sieht, nicht genau aus, sondem beschrankt sich auf (zahlreiche) Andeutungen. Dadurch scheint er auf einen als geistesverwandt empfundenen Hintergrund hinzudeuten, auf dem entscheidende Gedanken der Laws of Form durchsichtiger werden konnten, Das spezifische Interesse Spencer Browns ist primar kognitiv, wie die Frage nach dem Entstehen von Unterscheidungen und die Frage nach Grenzen und Moglichkeiten der Sprache , auch einer religios-spirituellen, zeigen .

Nichts, Leere Das erste Wort, mit dem die Laws of Form beginnen, ist das chinesische Wort ,wu' - Nichts, nicht, ohne. Dieses fur den philosophischen und religiosen Daoismus zentrale Wort bildet nicht nur den Anfang der Laws of Form, sondem wirkt auch in den Text hinein und wird von Spencer Brown in den verschiedenen Selbstkommentierungen mehr und mehr zum Thema gemacht. Wahrend das Vorkommen von ,wu' zu Beginn der Laws of Form zuerst eher fur den Anfang ohne Namen zu stehen scheint", treten die verschiedenen Bedeutungen von 47

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Spencer Brown sagt selbst iiber die chinesische Sprache in seiner Empfehlung des Daodejing: ,,[Die] chinesische Sprache fist] so kraftvoll ... , dassjede .Ubersetzung' in eine westlich e Sprache nur jeweils eine der viclen moglichen Interpretationen des Originals abdeckt. Chinesisch ist eine Bilder spraehe, sehr poetisch und mathematisch .. .", 1994a:104. ,Lehre von der Befreiung vom Ieiden'. Fiir den buddhistischen Kontext sind beide Ausdriicke problematisch , da der Buddh ismus gerade keinen Gott, keine Offenb arung und keinen Glauben an beides kennt. Zentral ist dafur eine Form von Einsicht , die gleichermallen als Wissen und als Erfahrung beschrieben werden kann. Vgl. dazu z.B. Elberfeld 2004:69ff. Vgl. den Kommentar zum ,0. Kapitel' .

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,Nichts' mit der Frage nach dem ,Woraus' der ersten Unterscheidung mehr und mehr in den Vordergrund, die Spencer Brown vor allem in A Lion's Teeth und dann auch in dem Vorwort zu den Laws ofForm von 1994 nachdrucklich stellt. Die Spuren der Wirksamkeit der ostasiatischen Konzepte von ,wu' (Nichts, Leere, Losigkeit) erschlieBen sich leichter, wenn einige Bedeutungen von ,wu' unterschieden werden." Es seien vier verschiedene Bedeutungsrichtungen voneinander abgesetzt, die sich aus einer Kombination von etymologischen Uberlegungen und der Zusammenschau zentraler Verwendungen im Daodejing ergeben. • Jlff, wu ' als Prozess des Entstehens und Vergehens Eine etymologische Moglichkeit ist es, das Schriftzeichen ~ ,wu' auf eine Kombination der Zeichen ,Wald' und ,Feuer' zuruckzufuhren, ,wu' also bildlich als niedergebrannten Wald zu verstehen . "AIs gedankliches Substrat des Begriffs ,wu' ist offenbar der Zustand des Noch-Nicht-Seins oder Nicht-MehrSeins wie auch der Prozess, durch welchen dieser Zustand hervorgerufen wurde, zu verstehen."? 1m Daodejing finden sich zwei Varianten von .prozessualelrj (Interjdependenz?" zwischen Sein und Nichtsein. Dort geht es urn ein Hervorgehen und Vergehen, urn ein Ineinanderubergehen, Im zweiten Kapitel des Daodejing heiBt es nber den Zusammenhang zwischen ,wu' (nicht, Nichts) und ,you' (sein, haben) : "Sein und Nichtsein erzeugen einander.'?' Im 40. Kapitel des Daodejing wird die Beziehung anders beschrieben: .Das Sein entsteht im Nichtsein.v" • Jlff, wu ' als geformte Leere Im Daodejing kommt ,wu ' in zentraler Funktion im elften Kapitel vor, dort steht ,wu' fur den Leerraum z.B. bei der Radnabe, bei einem Gefaf und bei einem Haus, durch den all diese erst gebraucht werden konnen. Im elften Kapitel finden sich ,wu' (nicht, Nichts) und ,you' (sein, haben) in unmittelbarer Juxtaposition ,wu you' . .Das Rad, das GefaB und das Haus gewinnen ihre Brauchbarkeit durch die Leerstellen in ihnen. Diese .Gegenstande' sind eben nicht als blol3e Gegenstande beschrieben, sondem als ,funktionale Prozesse' .,,56

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Die Basis dafur ist die Studie von Wohlfart 2001b. Ein interessanter Versuch im Anschluss an Spencer Browns Appendix 4 iiber die natiirlichen Zahlen mit verschiedcnen Aspekten von Nichts im Bereich westlicher Mathem atik umzugehen, findet sich bei Kauffman in seinem Versuch tiber ,Zero numbers ' : ,,1 shall also discuss ,zero numbers ', a concept grounded in ordinary numbers that opens up the powers of zero so that 0, OxO, OxOxO, ... are all distinct forms of the void." Kaufman 2000c : 83. Schwarz, zitiert nach Wohlfart 2001b:66. Wohlfart 2001b :63 Uber setzt von Wilhelm , zitiert rach Wohlfart 2OOlb:62. Obersetzt von Wilhelm , zitiert mch Wohlfart 2001b:63. Moller, zitiert nech Wohlfart 200Ib:64.

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• f!!f, WU' in der Zusammenstellung von Gegenlaufigem In den Kapiteln 13, 38, 46 und 79 des Daodejing findet sich ,wu' im Zusammenhang mit einer Zusammenstellung gegenlaufiger Gegebenheiten zum Zwecke eines Vergleichs bzw. einer Valuierung, ,haben Korper/Selbst - nicht (haben) Korper/Selbst' (13), ,haben Tun - ohne Tun' (38), ,haben dao (Weg) nicht haben dao (Weg)' (46), ,haben de (Tugend) - nicht haben de (Tugend)' (79)57. • f!!f, wu ' als Ritus, ,Etwas ins Sein zu rufen ' Eine andere etymologische Moglichkeit ist es, das Schriftzeichen f!lIi ,wu' auf eine fruhe Schreibweise zuruckzufuhren, die eher ,tanzen' bedeutet und mit einer Form rituellen Tanzes in Verbindung steht. Diese Rituale "beziehen sich auf Zustande, die vor dem sichtbaren Erscheinen empirischer Dinge liegen und die gleichzeitig eine mit magischer Bedeutung verknupfte Voraussetzung fur das Entstehen dieser Dinge bilden.?" Die Wirksamkeit des .wu' bzw. der verschiedenen Bedeutungsebenen zeigt sich an verschiedenen Stellen in den Laws of Form. ,Leere' und ,Nichts' sind zum Einen wichtig bei dem radikal durchgefiihrten Reduktionsprozess" von Existenz aufWahrheit, Wahrheit auf Bezeichnung, Bezeichnung auf Form und Form auf Leere . In diesem Verfahren wirkt ,wu' als Prozess des Vergehens, urn von einer elementareren Basis her, quasi aus der Leere den Kalkul neu aufzubauen. (Hier wirkt ,wu' als Prozess des Entstehens - im Bild gesprochen: aus den Wurzeln des abgebrannten oder abgerodeten Waldes.) ,Wu' in dieser Bedeutung realisiert sich im Prozess des ,unlearning', des ,Verlernens' von gewohnten, als unhintergehbar ,seiend' angenommenen Unterscheidungen." Die spateren Vorworte und vor allem A Lion 's Teeth von 1971 zeigen, dass Spencer Brown immer mehr Aufmerksamkeit auf die Frage gerichtet hat, wie die erste Unterscheidung aus Nichts entstehen kann und wie ,Nichts' als wirksames ,Nichts', aus dem etwas folgen kann, gedacht werden kann ."

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Nach Wohlfart 200Ib :64f Ommerbom, zitiert nach Wohlfart 200Ib:67. Die .Logik' dieses Prozesses einer radikalen Reduktion tiber eine Folge von Ebenen (levels) fand Spencer Brown auch in Rolts Dionysios-Buch, allerdings stammt die Verlangerung in das ,void ', als das ,unnamable Tao' , aus dem Daodejing. Spencer Brown 1971:124. Vgl. zum ,unlearning' ADM 1,10. "AIl I teach is the consequence of there being nothing. The perennial mistake of western philosophers has been to suppose, with no justification whatever , that nothing cannot have any consequences .", LoF:ix sowie: "The idea that the creation must be a consequence of 'something' is moronic. No thing can have any consequence whatever ....Ifthere were originally something, it would poison the whole creative process. Only nothing is unstable enough to give origin to endless concatenations of different appearances." LoF:ix/Anm 5.

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Die Bedeutungsebene von ,wu' als gefonnte Leere wirkt in die Wahl der Grundstrukturen hinein , wenn Spencer Brown im zweiten Kapitel den ,marked state' und den ,unmarked state' als die beiden Grundzustande wahlt und dem leeren Raum eine Funktion im Kalkul zuschreibt. Die dritte Bedeutungsebene von ,wu' in der Zusammenstellung von GegenIaufigem wirkt hinein in die Verfahrensweise Spencer Browns, im Kalkul die beiden gegenlaufigen Operationsrichtungen zu betrachten, wie im sechsten KapiteI.

Abhangige oder konditionierte Koproduktion Spencer Brown kontextualisiert die Laws of Form in den spateren Vorworten und Einleitungen immer deutlicher in den Denkrahmen buddhistischer Philosophie". Im Vordergrund steht der zentrale Gedanke der ,konditionierten Koproduktion ?" , Den Sinn der Pratityasamutpiidd" (sanskrit), also der ,konditionierten Koproduktion' oder des ,Entstehens in gegenseitiger Abhangigkeit', soli nach vielen Uberlieferungen Buddha kurz nach seinem Erwachen erfasst haben. In praktisch allen buddhistischen Traditionen wird es zur Analyse der Entstehung und zur Ubung der Aujhebung von Leid verwendet. Ublich geworden ist eine Kausalkette von zwolf Gliedem, die in Abhangigkeit voneinander stehen und Leid verursachen ." Spencer Brown konzentriert sich dagegen auf die methodischen Moglichkeiten eines bestimmten Typs von Relationalitat, die auch mit dem Gedanken der ,konditionierten Koproduktion' verbunden werden konnen. An dem Gedanken des abhangigen oder konditionierten Entstehens aller Aspekte eines Systems, sei es eines mathematischen Systems , seien es Alltagsliberzeugungen uber die Welt und sei es unsere Stellung darin, lassen sich verschiedene Struktunnomente unterscheiden, die Spencer Brown als intentionsverwandt mit dem Vorgehen in 62 63

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Dieser ,Denkrahmen' ist keinesfalls einheitlich, sondem hoch komplex und vielfaltig. Z.B. "The universe is simply what would appear ifit could . Its laws are the laws of the possible, called by Sakyamuni the links of conditioned coproduction, called by me the calculus of indications.", LoF:viii : Oder auch : .Kanon Null . Koproduktion : Was ein Ding ist, und was es nicht ist, sind, in der Form, identisch , gleich. .. . [W]enn eine Unterscheidung ,in' nichts getroffen werden konnte, dann [wurde] das Ganze der konditionierten Koproduktion , deren Operation unentrinnbar ist und vollstandig sichtbar, unvermeidlich stattfinden .. ., und das erkennbare Universum unvermeidlich erscheinen .. ., ganz genau gernaf den Gesetzen ,seiner' Form." in der Vorstellung der internationalen Ausgabe Spencer Brown I997:ix-x. Zur Etymologie vgl. die Ruckfuhrung auf den ursprlinglichen Pali-Ausdruck: .Paticca Samuppada ' bei Macy 1991: .Uppada' bedeutet ,Entstehen', ,sam' bedeutet ,mit, zusammen ', .Paticca' bedeutet .Bezogen-Sein-auf Begrundet-Sein-von' , In der englischen Literatur sind fur .Pratrtyasamutpada' die beiden Obersetzungen : ,dependent co-originati on' (Streng 1967) und ,conditioned co-production' (Conze 1962) gelaufig. Waldenfels (1976) findet die Umschreibung ,reine Relationalitat', ,das reine Existieren aus/in Beziehung ' . Vgl. Elberfeld 2004 :65-74.

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den Laws of Form erkannt und deshalb explizit aufgenommen hat. In der Art, wie Spencer Brown diesen Gedanken des abhangigen oder konditionierten Entstehens aufnimmt, kann er folgendermaBen profiliert werden: 1) Einheiten entstehen nie isoliert, sondem mindestens als triadische Struktur. Daraus ergibt sieh, dass ein moglicher Anfang fur eine Theorieentwieklung in einer triadischen Struktur und nicht in einer daraus abstrahierten Einheit Iiegt. Am Anfang steht bei Spencer Brown die triadische Struktur Unterscheidung. Dazu heiBt es in dem Vorwort von 1994: "Any indication implies duality, we cannot produce a thing without coproducing what it is not, and every duality implies triplicity : what a thing is, what it isn't, and the boundary between thern. v' ? 2) In der Form der Unterscheidung sind unendlich viele Moglichkeiten angelegt, komplexe Ausdriicke zu bilden. Spencer Brown verweist auf den Zusammenhang zwischen der buddhistischen Idee der konditionierten Koproduktion und dem, was im Indikationenkalkiil die Erweiterung der Referenz (,Expansion of Reference', Kanon 5 im dritten Kapitel) genannt wird. Dort heiBt es: "Thus, in general, let any form of reference be divisible without limit." 67 Beide Ideen zeigen, wie aus Einfachem beliebige Komplexitaten generiert, aber auch wieder reduziert werden konnen. 3) Es ist ein ublicher, aber inadaquater Umgang, einzelne Elemente aus den Bezugen zu den anderen Elementen und also aus der sie ermoglichenden Struktur herauszulosen und die Elemente als voneinander getrennte aufzufassen . AuBerhalb der konditioniert koproduzierten Struktur ,gibt' es niehts, und da auch diese Struktur sich nicht wie ein einzelnes Element benennen lasst, ,gibt' es nichts. Dazu Spencer Brown: "None of these exists in reality, or separately from the others. In reality there never was, never could be, and never will be anything at all.?" In diesen Zusammenhang gehort Spencer Browns Verwendung des Moglichkeitsbegriffs. Mit .Moglichkeit' ist keine Vorstufe von Existenz gemeint, sondem die Weise, wie die Struktur konditionierter Koproduktion angemessen zu bestimmen ist. Die Rede von ,Existenz ' dagegen geht von dem Bestehen von Trennungen aus und ist damit als verkurzendes Modell zu kritisieren. .Moglichkeit' und ,Existenz ' erscheinen so als zwei Betrachtungsweisen von Wirklichkeit. Die Untrennbarkeit von Betrachtungsweise und Wirklichkeit

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An dieser Stelle geht es weiter in Bezug auf das erste Kapitel der Laws of Form : "Thus, as explained in the Chapter 1 of the Laws, you cannot indicate anything without defin ing two states, and you cannot define two states without creating three elements." , LoF :ix. All dies versteht Spencer Brown als Neufassung des Buddha zugeschriebenen Wortes : "Ex istence is duality : nonexistence is nonduality. " (ebd.) . Vgl. zu der triadischen Struktur auch schon Spencer Brown 1971:125-126. Spencer Brown 1995:151. Vgl. zu Kanon 5 LoF:10 sowie den Komrrentar zum dritten Kapitel. LoF:ix

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nimmt Spencer Brown in seiner Idee der ,triple identity' im Wechselspiel von ,reality, appearance and awareness' auf." 4) Ein wichtiges Strukturmoment im Gedanken der konditionierten Koproduktion betrifft die Art der Beziehung zwischen den Aspekten des entstandenen Strukturgefuges (hier z.B, des triadischen). Die Aspekte oder Elemente entstehen simultan durch einander ohne weitere Ordnungsbeziehungen wie Reihenfolge oder Rangfolge . Spencer Brown arbeitet auch in seinem Indikationenkalkill nur mit der Beziehung der Unterschiedenheit (und nicht Getrenntheit) der Aspekte, die zusammen mit anderen Aspekten entstehen. Dafur muss von allen anderen Beziehungen wie Reihenfolge, ZweistelIigkeit, Wertrangfolge abgesehen werden, da dies vieI komplexere und nur fur bestimmte Bereiche angemessene Beziehungen sind." Im Denkrahmen der konditionierten Koproduktion, wie Spencer Brown sie aufnimmt, wird die Verwendung verschiedener grundlegender Konzepte, wie sie z.B. in der Pradikatenlogik eingesetzt werden, problematisch, da sie in der Theorieentwicklung, wie Spencer Brown sie versteht und durchfiihrt, nicht vorausgesetzt oder gar nicht gebraucht werden konnen. Allen problematischen Konzepten ist gemeinsam, dass Elemente und ihr (triadisches) Strukturgefuge so gedacht werden, dass sie voneinander trennbar sind (buddhistisch formuliert : ein Eigensein haben") und erst nachtraglich aufeinander bezogen werden. Dazu gehoren neben dem schon genannten Konzept der ,Existenz' noch: ,Individuen' (isolierbare Elemente), .Pradikation' (wir schreiben einem isolierbaren Etwas eine Eigenschaft zu), der Begriff ,Referenz' (wir beziehen einen isolierbaren Begriff auf ein isolierbares Objekt oder einen isolierbaren Satz auf eine isolierbare Tatsache), ,(exteme) Relation' (isolierbare Elemente sind aufeinander beziehbar) . Im ersten und zweiten Kapitel der Laws of Form wird versucht, innerhalb der Form Altemativen zu den Konzepten Individuum, Pradikation, Referenz und (extemer) Relation zu denken, die den Typ von Relationalitat realisieren, der mit den vier Kriterien der ,konditionierten Koproduktion' bestimmt ist.

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Vgl. LoF:vii sowie den Ansatz einer Beobachtungstheorie, in der die Laws of Form mit der buddhistischen Madhyamika-Philosophie in einen Dialog gebracht werden : "Die Wirklichkeit wird im Bezug zur Beobachtung gesehen und kann auch nur so erkannt werden . ... [Wirklichkeit] wird genau dann [erfahren], wenn die Beobachtung der Wirklichkeit bis auf den Grund ihrer Konstitution durchschaut wird." Von Egidy 2003 :9. Vgl. dazu in Anmerkung I in Only two can play this Game : "In a qualityless order, to make any distinction at all is at once to construct all things in embryo . Thus the First Thing , and with it the First Space and the Fist Existence and the First Being, are all created explosively together." Spencer Brown 1971:124. Sanskrit ,svabhiiva' .

H.B Bemerkungen zur Architektur der Laws of Form Tatjana Schonwalder-Kuntze

Die Laws of Form von George Spencer Brown sind ein kryptisches, schwer zu durchdringendes und noch viel schwerer zu fassendes Buch - zumindest auf die ersten zehn Blicke. Das liegt an Spencer Browns reduktionistischem Stil, an seiner vollkommen neuen und andersartigen Notation gegenuber anderen logischen Kalkulen und an seiner teilweise eigentiimlichen Verwendung der englischen Begriffe , bei der er grof3en Wert auf deren Etymologie legt, sowie an den von ihm selbst vorgeschlagenen Deutungen und Anwendungen, die von philosophischen Grundfragen bis zu elektromagnetischen Schalttafeln fiihren. Das wurde reichen, um das Buch als ,wunderlich' abzutun und es nicht weiter zu beachten . Zudem verweist uns dieses Buch immer auch explizit auf uns selbst als Lesende, Rezipierende und Nach-Vollziehende, so dass die Schwierigkeiten bei den Durchdringungsversuchen auch daran liegen konnten, dass wir versuchen, vollbeladen mit allerlei ,Werkzeug' aus den Disziplinen Mathematik, Philosophie und Logik dieses Buch zu verstehen. Spencer Brown selbst empfiehlt uns aber, diese ,Werkzeuge' moglichst erst einmal zu vergessen, sonst konne man sich den Kalkul nicht erschlief3en, sich seiner Schonheit nicht nahern . Die genannte Empfehlung ist leichter ausgesprochen als in die Tat umgesetzt - denn schlief3lich sind es diese ,Werkzeuge', anhand derer wir gelemt haben, die Welt oder zumindest unsere Forschungsgegenstande zu erfassen. Einige der Fragen, die sich dem ,Forschungsreisenden' in die Laws ofForm stellen, konnten moglicherweise so lauten: Lohnt sich das? Was habe ich davon, alles (vieles) von dem, was ich gelemt habe, zunachst zu vergessen? Wird es wirklich neue Einsichten geben, oder handelt es sich um alten Wein in neuen Schlauchen? Wofiir kann ich diese Einsichten, sofem ich sie gewinnen sollte, denn brauchen? Was interessieren mich ein weiterer ,logischer Kalkul' , Schaltkreise oder die angekundigte Moglichkeit, eine elegante Losung fur Paradoxien zu finden? Es ist wohl nicht ubertrieben zu behaupten, dass solche Fragen am Anfang jeder Entdeckungsgeschichte der Laws of Form stehen - eine Ausnahme bilden die Leserlnnen, die bereits auf den ersten Blick die .Schonheit' und .Einfachheit' zu entdecken vermogen, von denen auch Spencer Brown selbst spricht. Auch wir haben uns im Laufe der Beschaftigung mit den Laws of Form diese Fragen immer wieder gestellt und hatten dennoch nie das Gefiihl, etwas Oberflussiges oder gar Unsinniges zu tun. 1m Gegenteil, die nicht - primar - inten-

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dierten Effekte der langjahrigen Beschaftigung lagen zum Beispiel darin, dass die Aufforderung, bereits bewahrte Denkwege und -muster wieder zu ,vergessen' und sich andere, unbekannte vorfiihren zu lassen und nach zu vollziehen, auch in ganz anderen Themen und Lebensbereichen zum Verlassen erstarrter Denk- und Rezeptionsmuster gefiihrt hat. Auch die Einsicht, dass Exaktheit und Formalisierbarkeit nicht notwendig an das Vorhandensein von Entitaten gebunden ist, sondem auch komplex ere Zusammenhange und Prozesse die Grundlage der Mathematik bzw . der Formalen Logik bilden konnten, hat so manchen 10sungsverstellenden Blick entschleiert. SchlieBlich zeigt auch die Rezeptionsgeschichte , dass die Kenntnis der Gesetze der Form nach Spencer Brown bereits in vielen wissenschaftlichen Disziplinen zu erstaunlichen Perspektivwechseln gefuhrt hat. I Wir haben die Zweiteilung des in die Laws of Form einleitenden Kapitels in diesem Buch gewahlt, weil wir so einen ,ersten Zugang' aus zwei sehr verschiedenen Blickwinkeln ermoglichen konnen : Einmal ,von auBen', d.h. in seinem historischen Zusammenhang und seinem systematischen Umfeld. Die zweite, gleichwertige Perspektive versucht die Laws of Form aus sich selbst heraus in ihrem inneren Zusammenhang darzustellen. Diese verschiedenen, immer auch bedeutungsbestimmenden Perspektiven wirken sich nattirlich auf den dargestellten Inhalt aus, der so in zwei seiner zahlreichen Facetten prasentiert werden kann.' SchlieBlich sei noch eine Anmerkung zum Vorgehen in diesem Teil der Einleitung hinzugefiigt: Urn nicht immer wieder und schon von vomeherein ausschliej3lich auf die Konnotationen der logischen Zweiwertigkeit aufmerksam zu machen , und weil dieser Zusammenhang bereits ausfiihrlich im ersten Einleitungsteil behandelt wurde, erlaube ich mir in diesem zweiten Teil bei der Nachzeichnung der Argumentation auf aile Begriffe zu verzichten, die auf bestimmte Werte (wahr/falsch ; richtiglfalsch) abzielen . Das Faktum, dass in den Laws of Form von drei verschiedenen Zustanden - dem markierten, dem unmarkierten und dem imaginaren - die Rede ist, berechtigt meines Erachtens dazu, nicht unmittelbar davon auszugehen, es handle sich hier urn einen logisch zweiwertigen Kalkul . Es wird sich zeigen , dass auch eine Rekonstruktion, die auf solche impliziten Be-Wertungen und damit Engfiihrungen verzichtet, Zusammenhange darstellen kann, die nichts mit diesem Teil klassischer Logik und Boolescher Algebra zu tun haben.

Vgl. IV. Anwendungen und Deutungen. Eine weitere Facette lage z.B. in dcm Vorschlag von Stephan Packard , der den Text als grundlegend semiotischen Text liest, der Aussagen uber den Unterschied von Signifikanten und Signifikat mache .

II.B Bemerkungen zur Architektur der Laws ofForm

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Die Architektur der Laws of Form wird im Foigenden anhand der Leitfrage: "Wie hangen die einzelnen Kapitel der Laws of Form zusammen?" dargestellt. In einem ersten Schritt wird eine Deutung der Entwicklung des Buches gegeben, die einen Uberblick iiber die Struktur des Werks vermittelt. In einem zweiten Schritt werden die einzelnen Kapitel inhaltlich zusammengefasst sowie deren Zusammenhang dargelegt. Einige Anmerkungen zur Genese der Begriffe ,step' und ,form ' sowie zum Gleichheitszeichen beschliessen das einleitende KapiteI. 1. Deutung der Entwicklung des Buches Die Laws of Form sind in zwolf Kapitel mit je eigenen Oberschriften und je eigenen Anmerkungen (Notes) , die am Ende des Haupttextes stehen, untergliedert. Das Augenrnerk Iiegt im Foigenden auf dem Haupttext, d.h. dass die Appendizes hier nicht beriicksichtigt werden. Die Reihenfolge der Kapitel ist meines Erachtens weder dadurch motiviert, dass das jeweils nachste aus dem vorhergehenden im logischen Sinne ableitbar ware, noch entspricht sie einer Komposition mit Vor- und Riickgriffen. Vielmehr lasst sich zeigen, dass jedes Kapitel als je Vorhergehendes die Nachfolgenden insofem vorbereitet, als zunachst prozessual ,vollzogen wird' , was anschliessend reflektiert und begrifflich gefasst wird und auch erst dann deskriptiv dargestellt werden kann . Die nachfolgenden Kapitel reflekt ieren, explizieren und formalisieren Teile der Prozesse, die in den vorhergehenden Kapiteln durchgefiihrt werden. Aber sie schranken zugleich auch aufscheinende Moglichkeiten per Festlegung wieder ein. Ein Zusammenhang besteht also darin, bereits ,Vollzogenem' eine Form zu geben . Eine weitere Verbindung zwischen den Kapiteln ist darin zu sehen , dass nachfolgende Kapitel jeweils eine oder mehrere der potentiellen Entwicklungsmoglichkeiten, die vorlaufig angelegt worden sind, tatsachlich realisieren, und somit auch durchgehend Neues entstehen lassen. Eine Besonderheit bilden das erste, das achte und das zwolfte Kapitel, weil sie aufje spezifische Weise die Gesetze der Form, von auften' in den Blick nehmen : Das erste Kapitel als Bereitstellung der Voraussetzungen und Deskription der Form schlechthin; das achte als verallgemeinerte Reflexion auf den Zusammenhang der vollstandigen Darstellung der Form der ersten Unterscheidung (Primare Arithmetik) einerseits und der in dieser Darstellung wiederum sichtbar gewordenen Zusammenhange zwischen darstellenden Hinweisen (Primare Algebra) andererseits. Das zwolfte Kapitel kann als (semiotische) Variation des zweiten Kapitels gelesen werden und dam it als andere Darstellung der Form der ersten Unterscheidung. Die Abfolge innerhalb des ersten Kapitels spiegelt das beschriebene Vorgehen we iter Teile des Buches ,in nuce' wider: Es beginnt mit der expliziten Voraus-Setzung zweier Ideen durch Spencer Brown, der ,idea of distinction' und der ,idea of indication'. Die erste der beiden Ideen wird anschlieBend definiert,

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d.h. begrifJlich festgelegt und anhand eines Beispiels erlautert. Es folgen zwei Axiome, die Gesetze formulieren, die fur die Wiederholung der zweiten, bis dahin noch nicht definierten Voraussetzung - die Idee des Hinweises - gelten sollen. Hier wird das Hinweisen gleichsam tiber seine Verwendung definiert, die mit den Axiomen bzw. mit den Gesetzen erlaubt bzw. ermoglicht wird. Zugleich wird im Text des ersten Kapitels deutlich, dass die Unterscheidung der beiden Ideen ,distinction' und ,indication ' einer bestimmten ausdifferenzierenden Perspektive geschuldet ist, dass sie also auch als zwei ,Eigenschaften' eines einzigen Aktes gedeutet werden konnten. Jeder Hinweis gebende Akt ist zugleich eine Unterscheidung und jeder unterscheidende Akt ist auch ein Hinweis an und aufsich selbst. Dieses Auffachern verschiedener Facetten eines Prozesses, mit der daraus entstehenden moglichen Unterscheidung verschiedener Aspekte eines Prozesses einerseits und dem gleichzeitigen Blick auf die ,Undifferenziertheit' andererseits, ist ein wesentliches methodisches Moment der Laws of Form . Das Fortschreiten des Buches in den ersten Kapiteln lasst sich analog beschreiben: Erst wird ,gemacht', dann werden verschiedene Aspekte ge- und benannt und so auch als verschieden eingeflihrt. In der Weiterverwendung zeigt sich dann, dass die Verschiedenheit auf der basalen Ebene, auf der die Laws of Form spielen, noch gar keinen Sinn ergibt, und so werden die Differenzen zwischen den Aspekten teilweise wieder eingezogen. Auf der anderen Seite erweist es sich jedoch als sinnvoll , bestimmte Differenzen zu stabilisieren - je nachdem , welchern Zweck sie dienen, was mit ihnen gezeigt werden soil. Auf diese Weise wird deutlich, dass scheinbar neu Eingeftihrtes aus der stabilisierenden Verwendung einer moglichen Differenzierung des schon Vorhandenen heraus entstanden ist. Das Darstellungsschema, dem das Buch folgt, lasst sich als variierende Wiederholung folgender Etappen beschreiben, wobei manche Etappen oft nur implizit mitzudenken sind: (1) Positionierung oder Konstatierung einer Verschiedenheit beispielsweise durch die Verwendung unterschiedlicher Begriffe. (2 a) Gefolgt von einer Aufhebung der Differenz durch explizite Aufforderungen, das Benannte (wieder) gleichzusetzen. (2 b) Gefolgt von einer Explizierung der eingefuhrten Unterscheidung durch eine Aufforderung, sie nach-zu-machen, oder durch eine Definition, die anschliel3end formalisiert wird. (3 a) 1m Anschlul3 daran ergehen explizite Aufforderungen an den Leser, das Vorgefuhrte gemafi aufgestellter Gesetze oder Regeln, d.h. auch in der formalisierten Form, zu verwenden. (3 b) Formulierung von Regeln, bereits gemachte Unterscheidungen wieder einzuziehen, Unterschiede wieder aufzuheben.

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(4) Implizite Aufforderung an den Exegeten: Schau, was alles entsteht oder entstehen kann, wenn es zur Verwendung kommt und wie und was sich dabei veran dert und welche Unterschiede an welcher Stelle relevant sind. (5) bzw. wieder (1) Auswahl , Benennung, Explizierung und Verwendung weiterer im jeweiligen Kont ext relevanter Unterschiede. Eine strenge Zuordnung der einzelnen Kapitel zu den verschiedenen Etappen ist aus folgenden Grunden nicht moglich: Umso weiter ,hinten' im Buch das Kapitel steht, umso komplexere Inhalte und Formen werden durch einzelne Zeichen dargestellt bei gleichzeitiger Speziali sierung auf gan z bestimmte, in den jeweiligen Kont exten relevante Aspekte. Parallel dazu werden aber auch imm er mehr Differenzen als nicht (mehr) rele vant wieder eingezogen. Es werden zunehmend mehrere dieser Etappen von Teilen der Kapitelinhalte parallel durchlaufen. Die Zwi schentitel in den Laws of Form haben beispielsweise die Funktion, den neuen Aspekt explizit zu nennen, auch wenn es in dem Kanon, der Regel oder dem Theorem urn Eigenschaften geht, die schon langer bekannt oder auch schon anders aufgetaucht sind . 2. Inhaltliche Entwicklung bis zur Primaren Algebra (Kapitel I - 5) Das erste Kapitel THE FORM beginnt also mit der Setzung zweier Ideen: die Idee der Unterscheidung und die Idee des Hinweisens. Weil jedem Hinweis notwendig eine Unterscheidung zu Grunde liegt und weil jede Untersch eidung durch ihre verschiedenen Aspekte die .aufsere' Form jedes Unterschiedenen bildet, wird die Idee der Unterscheidung als die Form eingefuhrt. Daran schli el3t sich die einzige explizit auch so benannte Definition des Buches: "Definition: Distinction is perfec t continence" (LoF:I ) an . Es folgt ein Beispiel fur eine Unterscheidung, woraus sich vier logisch gleichwertige Aspekte ableiten lassen , die fur Spencer Bro wn zur Form der Unterscheidung gehoren: zwei Unterschiedene, die Grenze zwischen ihnen und ein Kontext, in dem die Unterscheidung einen Untersch ied im Sinne Spencer Browns macht. Schliel3lich werden noch zwei Axiome bzw. Gesetze vorgestellt, die festlegen, auf welche Weisen auf die durch die Unterscheidung hervorgebrachten, unterschiedenen Seiten hingewiesen werden kann : das Axiom I . Law of calling und das Axiom 2. Law of crossing. Die beiden Axiome bestimmen, welche Gesetzmalsigkeiten fur die wiederholte Verwendung der jeweiligen Hinweisart gelten sollen und ermoglichen durch ihre Verschiedenheit, auf die unterschiedenen Seiten der entstandenen Form hinzuweisen. Die beiden Voraussetzungen ,Unterscheidung' und ,Hinweis' tauchen demnach sofort als zu Definierendes (Definiendum) und als durch zwei verschiedene Verwendungsarten Expli ziertes wieder auf. Wahrend die Definition der Unterscheidung das enthalt, was der Akt des Unterscheidens gleichsam anal ytisch

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hervorbringt (die Aspekte der Unterscheidung), wird die Idee des Hinweises tiber Verwendungsgesetze expliziert . 1m ersten Kapitel finden wir demnach explizit Etappe (1) und (2 b) unseres Schemas wieder.' Die Etappen (3) und (4) erscheinen erst im zweiten Kapitel: Die von Spencer Brown zur Niederschrift des ersten Kapitels verwendeten oder gebrauchten Worter und Begriffe, die im ersten Kapitel in Bezug auf die beiden vorausgesetzten Ideen explikativen bzw . dejinierenden Charakter haben, werden im zweiten Kapitel selbst explizit eingefUhrt und defmiert . Das zweite Kapitel FORMS TAKEN OUT OF THE FORM beginnt mit der beriihmt gewordenen Aufforderung: "Draw a distinction." (LoF:3) . Hier wird also die Unterscheidung, die im ersten Kapitel lediglich deskriptiv vor- und dargestellt wurde, vorgefuhrt, indem dazu aufgefordert wird, eine Unterscheidung zu treffen, den Prozess nach-zu-machen . Daran anschlieBend werden einerseits relevante Begriffe des ersten Kapitels wie ,content', ,intent' , ,form', ,name', ,value' definiert, indem Entstandenes mit ihnen bezeichnet wird: «Mache dies und nenne das Resuitat Deiner Handlung dann so!». Andererseits werden auch neue Begriffe wie ,expression', ,equivalence', ,equation' oder ,relation' eingefUhrt, die Eigenschaften des schon Verwendeten bezeichnen, also schon implizit ,vorhanden waren' . Der Leser lemt die Grundbegriffe im ,learning by doing"Verfahren, indem er das, was sie bezeichnen, macht, und dann dem (Nach-) Gemachten den bereit gestellten Namen gibt. 1m zweiten Kapitel werden aber nicht nur die im ersten Kapitel verwendeten Begriffe in handelnder Weise vom Leser (re-)konstruiert, sondem Spencer Brown fUhrt auch das formale Zeichen ein - den Haken I -, das als Markierung einer Unterscheidung fungieren wird. Damit ist das Dejiniendum des ersten Kapitels nicht nur formuliert , sondem auch formalisiert: Der Haken als das Zeichen, das zunachst auf die gesamte Form der Unterscheidung hinweist. 1m nachsten Schritt wird dazu aufgefordert, eine andere Form entstehen zu lassen, in der dann Kopien (Plural!) des Hakens als Namen auf einen Zustand hinweisen. Durch die explizit erlaubte Moglichkeit, Kopien anzufertigen, wird zugleich die Moglichkeit fur Gleichungen eroffnet. Denn jetzt sind bereits vielfaltige Hakenkopien als hinweisender Name auf denselben Zustand oder die gleiche Seite moglich. Hinweise, Namen, die auf dasselbe hinweisen , sind dquivalent . Zur Formalisierung der beiden Axiome, und das heiBt zur Ermoglichung von formalen Hinweisen auf beide entstandenen Seiten, ist es allerdings noch notig, die Bedeutung der Hakenkopien zu erweitem - sofem und wei! kein neues Zeichen fur die zweite Seite in Anspruch genommen werden solI. So sind die Hakenkopien im Folgenden nicht mehr nur einfache Namen fur einen Zustand, Inwiefem auch (2 b) Teil des ersten Kapitels ist, wird im Kommentar gezeigt.

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sondem sie stehen auch fur eine Anweisung (instruction) - dann heif3en sie allerdings .cross' . Die Kopien des ersten Hakens stehen so fur zwei Funktionen zugleich : sie konnen ein hinweisender ,name' und ein zu einer Handlung auffordemdes ,cross' sein, sie sind mithin zugleich Operator und Operand. Damit sind aile Bedingungen erfllllt, urn mit einem einzigen Zeichen die beiden Axiome zu formalisieren und zugleich Gleichungen ins Leben zu rufen . Im zweiten Kapitel finden sich dem Schema gemals mindestens die ersten drei Etappen : Der Begriff ,name' hat das Schema bis zu seiner formalisierten Darstellung durchlaufen, kann so im Folgenden ,rein formal ' verwendet werden und hat durch die Bedeutungserweiterung der Hakenkopie und durch die Formalisierung des zweiten Axioms zwei formale Erscheinungsformen: als einfaches Zeichen und als Doppelcross - und eine Nicht-Erscheinungsform als leerer Ausdruck . Zudem sind andere Begriffe wie ,value' , ,state ', ,content' etc. in den formalen Zeichen in ,kondensierter' Weise aufgehoben. Im dritten Kapitel THE CONCEPTION OF CALCULATION - wortlich etwa ,die Ersinnung oder die Konzeption der Berechnung' - werden die letzten Voraussetzungen fur das folgende Kapitel, die Prim are Arithmetik, dargelegt: Wie kann oder soli ,gerechnet' werden? Das Kapitel beginnt wieder mit der Aufforderung, etwas bereits Eingefuhrtes nach zu machen, das im zweiten Kapitel nur postulierend eingefuhrt worden war: Es soli ein ,cross' konstruiert, markiert , benannt und angezeigt werden. Anschlief3end wird deutlich gemacht, was man mit der Aquivalenz der formalisierten Namen , d.h. mit der Aquivalenz zweier Hinweise anfangen kann: Es wird dazu aufgefordert, die Hakenkopien durch aquivalente Hakenkopien (oder den leeren Ausdruck) zu ersetzen. Jede Handlung, die dieser Aufforderung folgt, erhalt einen eigenen Namen: ,step' . Mit ,steps ' ist es nun moglich, gemals den zwei Axiomen und den Aquivalenzgleichungen jede beliebige Ansammlung von Hakenkopien durch Ersetzung auf einen einzigen, leeren Haken oder den leeren Ausdruck zu vereinfachen. Umgekehrt lasst sich aus jedem einzelnen Haken oder aus jedem leeren Ausdruck durch mehrere Ersetzungsschritte eine komplexe Ansammlung von Hakenko pien, ein ,arrangement' machen, das dem Ausgangszeichen - der einzelnen Hakenkopie oder dem leeren Ausdruck - aquivalent bleibt. Die ,calculation' oder das Rechnen besteht nun genau in dieser Ersetzungsoder A ustauschtatigkeit von formalen Hinweiszeichen durch andere aquivalente Hinweiszeichen. Rechnen ist also der Prozess regelhaften Hinzufllgens und Reduzierens von Hakenkopien. Da es gemaf3 der ersten Unterscheidung und der (formalisierten) Axiome zwei verschiedene Klassen von Namen, Zeichen oder Hinweisen gibt, gibt es auch zwei verschiedene Ersetzungsmuster, die Spencer Brown die Initialgleichungen der primaren Arithmetik nennt : die ,forms of step' , d.h. die Formen der Aquivalenz, Der daran anschlief3ende ,Dritte Kanon' formuliert explizit die Verfahrensweise der ,primitive equations' des zweiten

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Kapitels, d.h. der beiden fonnalen Darstellungen der Axiome, indem dazu aufgefordert wird , die Ausdriicke durch aquivalente Ausdriicke zu ersetzen. Die beiden Axiome haben also an dieser Stelle auch das Schema einmal durchlaufen: 1m ersten Kapitel wurden sie eingefiihrt oder fonnuliert; im zwei ten expliziert und formalisiert und im dritten schlieBlich so zur Anwendung gebracht, dass die Moglichkeiten der Hinweisiteration, die sie formulieren, in ein allgemeines Ersetzungsschema transformiert werden. Aus den beiden Aquivalenzgrundformen bzw . Initialgleichungen und der Moglichkeit des (Teil-)Austausches durch ,steps' w ird im folgenden vierten Kapitel die Primare Arithmetik entwickelt, in der aile Formen, d.h. Zusammenstellungen von Hakenkopien, die direkt und unmittelbar aus den beiden genannten Initialgleichungen gefolgert werden konnen, zusammen gefasst werden . Das vierte Kapitel THE PRIMARY ARITHMETIC beginnt mit der Einfiihrung eines neuen Begriffs: ,theorem'. Theoreme sind - so die Beschreibung in den Laws of Form - unterschiedliche, aber allgemeine Muster, die durch fonnale Betrachtungen an den Initialgleichungen erkannt werden konnen, Die Theoreme der Primaren Arithmetik stellen verschiedene Zeicheneigenschaften vor, die den Zeichen einerseits im zweiten Kapitel ,zugeschrieben' wurden und die andererseits erst durch ihre Verwendung im Austauschprozess entstehen. 1m vierten Kapitel werden diese Theoreme nach ihrer Funktion klassifiziert. So nennt Spencer Brown die ersten vier Theoreme .Reprasentationstheorerne', da sie den Gebrauch der Primaren Arithmetik als System von Hinweisen auf die unterschiedenen Seiten der ersten Unterscheidung rechtfertigen. Die Theoreme Tl , T3 und T4 der Laws ofForm explizieren und beweisen, dass jede beliebige endliche Anzahl von Hakenkopien als Ausdruck, d.h. als Hinweiszeichen verwendet werden kann, dass die Reduzierung auf ein ,cross ' einen bestimmten Inhalt meint , und dass das Hinzufiigen und das Reduzieren eindeutig ist. Diese drei Theoreme formulieren die Gultigkeit der Festlegungen des zweiten Kapi tels, die im dritten Kapitel ausgefiihrt bzw. nachgemacht werden. Die restlichen arithmetischen Theoreme explizieren hingegen Muster, die sich durch den geregelten Austausch ergeben und eroffnen somit weitere Optionen. Hier geht es ganz explizit nicht (mehr) urn die Aquivalenz von je zwei Hinweiszeichen auf die beiden Seiten der ersten Unterscheidung, sondem urn die Moglichkeit, ganz verschiedene Hinweiszeichen auf je eine der beiden Seiten mit ,steps' zu generieren. Die Zeichenveranderungsanleitung unter Beibehaltung der Valenz, die im dritten Kapitel durch die explizite Einfuhrung der ,steps' ermoglicht wurde, erhalt in den ersten vier Theoremen der Primaren Arithmetik ihre festlegende Formulierung. Die ,Prozesstheoreme' 5 bis 7 erlautem bestimmte Prozessvereinfachungen. Die Theoreme 8 und 9 heif3en Anschlusstheoreme, weil sie von der Arithmetik

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in die Algebra iiberleiten und die Verwurzelung der Algebra in der Arithmetik bzw. Teile ihres Zusammenhanges aufzeigen. Das anschliel3ende funfte , sechste und siebte Kapitel der Laws ofForm ge horen zur Prim aren Algebra, insofem im fiinften Kapitel ihre Synta x, aus Resultaten bzw. Folgerungen der Primdren Arithmetik bestehend, festgelegt wird und insofern das sechste Kap itel verschiedene mogliche Folgerungen oder Ableitungen aus den Initialgleichungen gem all den explizierten Substitutionsregeln vorfiihrt und das siebte Kapitel bereits wieder - ahn lich wie am Schluss des vierten Kapi tels - den Blick von den reinen ,Transformations' auf bestimmte allgemeine Muster richtet, die bei diesen algebraischen Umwandlungen sichtbar werden. Das funfte Kapitel A CALCULUS TAKEN OUT OF THE CALCULUS ist einerseits das Obergangskapitel von der Primaren Arithmetik zur Primaren Algebra, in dem das im vierten Kapitel vorgestellte, d.i, die Einfuhrung von neuen Zeichen fur Ausdriicke (variables), die Reduktion der Funktion der Hakenkopie auf die Darstellung von Verhaltnissen von Variablen und die Bedeutungsverschiebung in Bezug auf die Aquivalenz, explizit genannt und festgel egt werden . Andererseits wird so aber auch die Syntax der primaren Algebra formuliert und festge legt. Durch die Erweiterung der formalen Sprache urn operative Variablen, verliert die Hakenkopie (scheinbar) ihre Funktion als Operand, insofem sie in kom plexen Ausdriicken bzw . Gefiigen nur noch als ,cross' fungiert." Als ,cross' oder Operator ist sie ein Zeichen fur das Verhaltnis zwischen Vari abl en, eine Verkniipfungskonstante. Die implizit im Gleichhe itszeichen vollzogene Bedeu tungsverschiebung der Aqui valenz von bestimmten Wert enl Seitenl Referenzen hin zu Verhaltnissen von Vari ablen, die durch Operatoren verkniipft sind , wird in einer Substitutions- und einer Ersetzun gsregel expliziert. Damit sind aile Komponenten der Synta x der Primaren Algebra aufgezahlt: Variablen, Verkniipfungskonstante (cross), Gleichheitszeichen sow ie die algebraischen Regeln , nach denen ersetzt oder umgewandelt, d.h . wiederum: gerechnet werden darf. An dieser Stelle sei ein zusarnmenfassender Riickblick unter Verwendung des Schemas erlaubt: (I) Zunachst erfahren wir im ersten Kapitel, aus welchen Komponenten die Form der Unterscheidung besteht, und wie auf ihre unterschiedenen Seiten hingewiesen werden kann . Anschliel3end werden wir aufge ,Scheinbar' ist hier in Klammem gesetzt, weil auch in der Primaren Algebra ein einzcln stehender Haken sowohl als ,cross ' als auch als ,name' interpretiert werden kann, es sich also urn keine scma ntische Veranderung handclt.

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fordert, eine Unterscheidung zu treffen und die Hinweise auf ihre Seiten auf die angegebene Art darzustellen (2 b) und zu verwenden (3 b). Die Moglichkeit des Austauschens bzw . der geregelten Generierung der je verschiedenen Hinweisforrnen fur die zwei Seiten entspricht (3 b) des Schemas und zugleich wieder Teil (I). Die Theoreme verdeutlichen ihrerseits bestimmte Resultate des Austauschprozesses und legen beispielsweise fest, was iiberhaupt als Hinweis gelten soil oder wie Austauschprozesse verkurzt werden diirfen . Die dabei zum Vorschein kommenden Aquivalenzen zwischen den Ausdriicken explizieren einerseits Zusarnrnenhange und sind andererseits eine Aufforderung, diese weiter zu verwenden und schliel3lich zu sehen, was dabei Neues entsteht (5) - so z.B. die Einsicht, dass bestimmte Anordnungen von Ausdriicken mit anderen bestimmten Ausdriicken immer aquivalent sind, unabhangig von den Werten ihrer (Teil)Ausdriicke. Mit dem funften Kapitel ist die Entwicklung der Prirnaren Algebra aus der Primaren Arithmetik abgeschlossen, und obwohl die Kapitel funf bis zehn zur Primaren Algebra gehoren, beginnt hier etwas Neues : Nach der Darstellung der Genese der Primdren Algebra kann sie die Primate Arithmetik als Feld, in dem gearbeitet wird, ablosen, und wird dadurch auch selbst zum Gegenstand der Betrachtung. Es beginnt die algebraische Art des Austauschens oder Rechnens das Folgern -, es werden ,Muster' der Algebra expliziert und dann im siebten Kapitel Theoreme 2. Grades, d.h. Theoreme der Algebra aufgestellt. 1m achten Kapitel werden diverse Aspekte des Verhaltnisses der Primaren Algebra zur Prirnaren Arithmetik expliziert. Das neunte und zehnte Kapitel forrnulieren allgemeine Eigenschaften der Algebra: ihre Vollstandigkeit und die Unabhangigkeit ihrer Initiale . Damit wird die Verwendung, Explizierung, Forrnulierung und Betrachtung der Primaren Algebra abgeschlossen. 3. Bemerkungen zur Primaren Algebra und zum ,Re-entry' (Kapitel 6 - 12) Das sechste Kapitel THE PRIMARY ALGEBRA beginnt mit der Aufforderung, mit der Musterunterscheidung fortzufahren . Diesmal handelt es sich jedoch urn besondere - und nicht urn allgemeine - Muster, die aufgefunden werden konnen durch ,sequentielle Manipulationen der Initialgleichungen' der Primaren Algebra. Die hier gesuchten Muster sind nichts anderes als Folgerungen - sie heiBen ,consequences' -, die sich daraus ergeben, dass die Basisgleichungen der Algebra entsprechend den Regeln und den bereits angefUhrten Theoremen umgewandelt, d.h. in aquivalente Forrnen durch Ersetzung von Teilausdriicken umgeformt werden. Dieses Umforrnen wird im Folgenden algebraisches Rechnen genannt.

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Im siebten Kapitel THEOREMS OF THE SECOND ORDER werden Einsichten in bzw. allgemeine Muster algebraischer Rechnungen, d.h. Folgerungen expliziert. Die ersten drei Theoreme der 2. Ordnung stellen eine Art iteratives Erweiterungsmuster fur komplexe Ausdrticke oder Gefuge dar, das sich durch Austausch aus dem ersten algebraischen Initial und einiger ,consequences' ergibt. Die noch fehlenden zwei Theoreme des siebten Kapitels haben eine entgegengesetzte Intention, da sie die Moglichkeit der Reduktion komplexer Ausdrticke auf ein allgemeines Schema explizieren. Das achte Kapitel RE-UNITING THE TWO ORDERS hat einen Sonderstatus, insofem in ihm zunachst aus einer extemen Perspektive das Verhaltnis zwischen einem variablen Ausdruck und seinem unter einem Haken stehenden sowie unter zwei Haken stehenden Pendant erortert wird. Die Betrachtung dieses Verhaltnisses nennt Spencer Brown ,reflexion' und weist damit zugleich den Weg fllr eine Interpretation der ersten ,consequence' aus dem sechsten Kapitel. AnschlieBend wird die Reflexionsbewegung, die von einem Ausdruck (,Inhalt') zu seinem Pendant unter einem Haken (,Abbild') und zuri.ick geht, auf das Verhaltnis der Primaren Algebra zur Primaren Arithmetik i.ibertragen. Hier werden beispielsweise ihre verschiedenen Rechenprozesse zueinander in Beziehung gesetzt oder ihr Verhaltnis als das eines Abbildes (image) zu seinem Inhalt (content) beschrieben. Die ,consequences' der Prirnaren Algebra erscheinen hier als Theoreme der Primaren Arithmetik und sind insofem algebraische BUder mit arithmetischem lnhalt. Ebenso konnen die ,sturen' Austauschprozesse (demonstrations) der Primaren Algebra als Beweise (proofs) der Theoreme der Prirnaren Arithmetik aufgefasst werden, ,j e nachdem, auf welchen Standpunkt man sich stellt'. Im Anschluss daran wird diese Art des gedanklichen Wechsels zwischen verschiedenen Ebenen der Laws ofForm - der Ebene der Prozesse und der Ebene ihrer reflexiven Beschreibung - wieder in die formale Darstellung rucktransferiert und ein weiteres Prinzip entdeckt: das Transmissionsprinzip, das allgemeine Muster der Werti.ibertragung oder der Wertverdeckung bei bestimmter Variablenbelegung expliziert. Im achten Kapitel finden also Gedankenbewegungen auf und zwischen verschiedenen Ebenen statt, deren Transferrnoglichkeit jedoch nicht begrundet, sondem still vorausgesetzt und in der Durchfuhrung bestatigt wird. Die anschlieBenden zwei Kapitel erlautern zwei Zusammenhange zwischen der Primaren Arithmetik und der Primaren Algebra: Das neunte Kapitel COMPLETENESS widmet sich der Vollstandigkeit. Wahrend in der formalen Logik mit der Vollstandigkeit eines Kalki.ils die Tatsache gemeint ist, dass jeder wahre Satz des Kalki.ils auch in ihm beweisbar ist (sofem man seine Syntax

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erweitem dart), bedeutet Vollstandigkeit hier, dass aBe beweisbaren Theoreme der Arithmetik als Folgerungen in der Algebra demonstrierbar sind. Das wird uber einen Induktionsbeweis gezeigt. Das zehnte Kapitel INDEPENDENCE postuliert die Unabhangigkeit der beiden Initialgleichungen der Primaren Algebra, d.h. dass sie nicht auseinander ableitbar sind . Mit dem elften Kapitel EQUATIONS OF THE SECOND DEGREE beginnt verglichen mit der Primaren Algebra etwas partiell Neues, das aber zugleich an die Primare Arithmetik anknupft und in einem gewissen Widerspruch zu ihr steht, insofem die Gleichungen hier einerseits wieder mit konkreten Werten belegt werden und andererseits die Anzahl der vollzogenen .steps' nber eine bestimmbare, endliche Anzahl hinausgeht. Hier wird eine andere Art von Verallgemeinerung produktiv als in der Primaren Algebra, ein weiterer Strang bzw . Ast expliziert, der aus den Hinweismoglichkeiten auf die beiden Seiten der ersten Unterscheidung und dem arithmetischen Stamm hervorgehen kann . Das elfte Kapitel ermoglicht es durch , mit und tiber das ,Re-entry ' die Zweiwertigkeit zu verlassen: Es lasst einen dritten ,imaginary value ' zu, der auf einen ,imaginary state' hinweist und der dadurch entsteht, dass nicht immer das gleiche iteriert wird, sondem die Wiederholung abwechselnd auf eine der beiden Seiten hinweist. Der Ubergang von der einen zur anderen Seite und zuruck generiert Zeit, die benotigt wird, urn abwechselnd auf die beiden Seiten hinzuweisen . So imaginieren wir Zeit, wenn wir zwei Unterschiedene in ihrer sie unterscheidenden Form nacheinander betrachten. Spencer Brown ftihrt anhand von drei ,Re-entry' -Ausdrucken drei konkrete Anwendungen vor : Ausdrucke mit nur einem ungeradzahligen ,Re-entry' sind Oszillationsfunktionen; Ausdriicke mit nur einem geradzahligen ,Re-entry' sind Gedachtnisfunktionen und Ausdrueke mit mehreren ,Re-entries' sind Modulationsfunktionen. Das zwolfte und letzte Kapitel RE-ENTRY INTO THE FORM kann einerseits als Variation des zweiten Kapitels gelesen werden, wei! dort unter Verwendung anderer Notationssysteme auf die zwei Seiten einer vollzogenen Unterscheidung bzw . auf sie selbst hingewiesen wird . Andererseits wird in den vorgefiihrten Experimenten eine (weitere) Eigenschaft jedes Zeichens explizit, die bereits in der Voraussetzung des ersten Kapitels steckt, dort aber noch nicht zum Tragen kommt: Jedes Zeichen weist nicht nur auf das Resultat einer beliebigen Unterscheidung hin, es ist auch an sich selbst immer das Resultat einer Unterscheidung. SchlieBlich erfahren wir im letzten Kapitel auch noch, dass wir selbst als Beobachter ein Zeichen und damit eine Unterscheidung in unserer eigenen Form sind .

II.B Bemerkungen zur Architcktur dcr Laws ofForm

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An dieser Stelle endet der Uberblick uber die einzelnen Kapitel und es wird fur die genaue Textexegese auf den Kommentar verwiesen. Ziel dieser Zusammenfassung war es, den Zusammenhang der Kapitel herauszustellen und damit einige Aspekte der Entwicklung der Laws of Form deutlich zu machen. Sie zeigt sich auch in der Bedeutungswandlung bestimmter Namen fur Prozessresultate, die sich daraus ergibt, dass wir ,Etwas' z.B. in verschiedenen Zusammenhangen oder auf verschiedenen Komplexitatsstufen betrachten konnen: "a word may have different, but related, meanings at different, but related, levels of consideration" (LoF :91). Im Folgenden werden die Bedeutungen zweier Begriffe und des Gleichheitszeichens vorgestellt, mit denen je andere Aspekte des Kalkiils bezeichnet werden. ,Step' kennzeichnet diverse Vorgange der Austauschprozesse; das ,Gleichheitszeichen' steht fur verschiedene Arten von Aquivalenzen und driickt diverse Resultate der Austauschprozesse aus; und der Begriff ,form ' steht fur einen der Grundgedanken der Laws ofForm schlechthin. 4. Bemerkungen zum Begriff ,step' Der Begriff ,step' steht in den Laws of Form als Name fur Austausch- oder Rechenschritte, mit denen gleichwertige hinweisende Ausdriicke ersetzt werden dnrfen . Die Austauschschritte werden unter verschiedenen Perspektiven thematisiert : Was wird ausgetauscht? Was passiert bei wiederholten ,steps' ? Ist die Richtung des Austausches relevant? Und: welcher Unterschied besteht zwischen arithmetischen und algebraischen ,steps '? Eingefuhrt wird der Begriff ,step' im dritten Kapitel: Jede Hakenansammlung kann gemals den arithmetischen Initialgleichungen durch eine aquivalente Hakenansammlung ausgetauscht werden. Weiterhin konnen mit ,steps' Hakenkopien zu anderen gultig hinzugefugt oder auch weggestrichen werden. Keiner dieser Schritte andert etwas daran, worauf der Hinweis gerichtet ist, d.h . jeder Schritt verandert nur die Hinweisform, ohne dabei die Funktion, auf je eine bestimmte Seite der ersten Unterscheidung hinzuweisen, zu beeintrachtigen. FUr einen ,step' gilt demnach, dass er nur die (aufsere) Form des Hinweises verandert, nicht aber die Bedeutung des Hinweises , d.h. auf welchen Wert, welche Seite hingewiesen wird . ,Steps' bezeichnen so erstens iterative Generierungsprozesse, die keine qualitative, keine inhaltliche, keine Wertveranderung mit sich bringen, sondem nur an der Quantitat in der Form etwas verandern. Sie sind Generatoren, mit denen unendlich viele Hinweisformen auf die beiden Seiten der ersten Unterscheidung hergestellt werden konnen. In diesem Sinne sind die ,steps' vom gleichen Typ wie das ,calling' aus dem ersten Kapitel: Durch wiederholte ,steps' verandert sich ebenso wenig an der spezifischen Referenz der jeweiligen Hinweisformen,

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wie die Wiederholung des Namens etwas am ,Worauf des Namens andert. ,Steps ' beschreiben demnach einen Prozess, mit dem keine Valenz- oder Qualitatsveranderung einhergeht. Das dritte Kapitel legt fest, dass sowohl die Reihenfolge und die Richtung als auch die Anzahl bei wiederholten ,steps' irrelevant sind. Das arithmetische Rechnen besteht darin, durch ,steps' die Ausdriicke unter Beibehaltung ihrer Bedeutung beliebig zu erweitem bzw. zu vermehren oder zu reduzieren , gleichgultig, in welcher Reihenfolge oder Richtung der Austausch vorgenommen wird. Die arithmetischen Initialgleichungen sind ,forms of step allowed' (LoF:II), in denen die allgemeinen Reduzierungs- und Erweiterungsmuster formalisiert sind . Die ,steps ' der primaren Algebra werden nicht explizit eingeftihrt, aber das formale Zeichen fur ,steps' aus der Vorbereitung der Arithmetik wird zur Bezeichnung der Umwandlungsprozesse in den ,consequences' weiterhin verwendet. In der Algebra verandert sich die Bedeutung der ,steps' insofem, als sie nicht mehr die konkreten Hinweisformen austauschen, sondem unbestimmte algebraische Ausdrucke, d.h. die Relationen, Gefuge oder Verhaltnisse der Variablen zueinander, die durch Manipulation im Rahmen der algebraischen Substitutions- und Ersetzungsregeln aus den Formen der Initialgleichungen entstanden sind. Da die Ausdriicke in den algebraischen Gleichungen auf keine bestimmte Seite referieren, drucken die Gleichungen nur noch die Aquivalenz von Gefugen im Allgemeinen aus. Damit werden mit den ,steps ' nur noch aquivalente Hinweise ausgetauscht, die aber - im Gegensatz zu den Haken - keiner konkreten Seite mehr zug eordnet werden konnen. So erhalten sie zwar weiterhin die Valenz eines Ausdruckes, aber nicht mehr einen spezifischen Wert. Auch in der Algebra gilt, dass es auf die Anzahl der Veranderungsschritte nicht ankommt - solange aus der einen Relation in einer endlichen Anzahl von Schritten die andere gefolgert werden kann. So besteht das algebraische Rechnen in regelhaften Veranderungen von aquivalenten Verhaltnissen von Variablen und Operatoren, d.h. die algebraischen ,steps' sind verschiedene, stetige und regelhafte Umformungen der algebraischen Initialgleichungen und ihrer Folgerungen. Mit dem Fortschreiten des Kalkuls werden immer mehr ,steps' in einer einzigen Gleichung zusammengefasst, wie z.B. in den algebraischen ,consequences' Cl bis C9. Durch den Nachweis , dass die beiden Terme der Gleichungen aquivalent sind, konnen sie gegeneinander ausgetauscht werden , ohne sdmtliche Austauschschritte sowohl aufjeder Seite fur sich als auch von der einen zur anderen Seite der Gleichung nachvollziehen zu mussen. Damit wird eine Anzahl von ,steps' in einem einzigen Austauschschritt kondensiert und dies wird mit den Gleichungen dargestellt. Zu beachten ist, dass es hier urn die Anzahl der rechnerischen ,steps' selbst geht, die einer Reduktion unterzogen werden. Damit diese Reduzierung nicht zu Inkonsistenzen fuhrt, wird festgelegt , dass die Re-

II.B Bemerkungen zur Architektur der Laws of Form

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duktion immer zum gleichen Resultat fuhrt: "in any calculation, we regard any number of steps, including zero, as a step." (LoF:37). Bis zum elften Kapitel werden die ,steps' in den arithmetischen Beweisen bzw. in den algebraischen Folgerungen angewendet, spielen aber selbst keine exponierte Rolle. Das andert sich im elften Kapitel grundlegend, weil sie hier derart erweitert werden , dass der Nachvollzug nicht mehr moglich ist: 1m elften Kapitel wird eine ,step-sequence' generiert , in der ein algebraischer Ausdruck derart verandert wird , dass er die Form eines ,Echelons' erhalt , d.h. eine Form , deren Teilausdruck wiederholt wird. Da diese Folgerungs- bzw . Umwandlungsschritte unendlich oft wiederholt werden konnen , lassen sich endlo s viele ,Echelons ' generieren, die mit dem urspriinglichen Ausdruck aquivalent sind. Das Neue im elften Kapitel besteht nun darin , eine unendlich e Anzahl ,steps' - mithin keine ,number of steps ' - in einem Ausdruck zu kondensieren, d.h. sich ein ,Echelon' mit endlos vielen gleichen Teilausdriicken vorzustellen. Von einer notwendigen Aquivalenz zwischen dem ursprunglichen Ausdruck und seinem unendlich oft iterierten ,Bruder' kann dann jedoch nicht mehr die Rede sein, da der Nachweis der Aquivalenz tiber die endliche, d.h . nachvollziehbare Anzahl der Veranderungsschritte zu laufen hat. Spencer Brown ermoglicht dennoch durch den Kunstgriff des ,Re-entry' den Nachweis der Aquivalenz zwischen dem urspriinglichen Ausdruck und ,seinem' Echelon. An den neu entstandenen Gleichungen lasst sich durch Einsetzung zeigen , dass bei einer bestimmten Belegung der Variablen der Wert des ,Echelon' und seines Re-entry variiert , d.h . dass die Gleichung zwei verschiedene Losungen hat bzw. dass mit einer Gleichung zugleich auf beide Seiten hingewiesen wird , oder dass bei der Aufhebung der Beschrankung der Schritte auf eine endliche Anzahl auf eine andere Art quasi-algebraische Gleichungen, die zwei Losungen haben , hergestellt werden konnen. Mit der unbestimmten Anzahl der Wiederholungen der ,steps ' geht aber die Eindeutigkeit der Gleichungen verloren . Die unendliche Iterierbarkeit der ,steps ' erlaubt es daher, ,Gleichungen' zwischen hinweisenden Ausdriicken aufzustellen, die auf etwas anderes als eine der beiden Seiten referieren , namlich auf die Oszi/lation von Hinweisen auf beide Seiten der ersten Unterscheidung. Die reine Iteration oder die reine Wiederholung von ,names' , von Teilausdrucken oder von ,steps' ftihrt nicht zu qualitativen Veranderungen, solange sie im wortlichen Sinne nachvollziehbar, also ,step by step' durchftihrbar bleiben . Wird aber der Raum des faktisch Moglichen verlassen und eine unendliche Schrittfolge vorgestellt, ,imaginiert' , dann passiert etwas Neues, dann kommt es zu einem ,qualitativen Sprung' , der tiber das real Machbare hinausgeht: Darin besteht das Imaginate der Form , die erlosende Illusion, die ganze Form zugleich in den Blick nehmen zu konnen,

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5. Das Gleichheitszeichen Das Gleichheitszeichen wird im zweiten Kapitel eingefiihrt als "sign = of equivalence be written between equivalent expressions." (LoF :5). Es besagt die Wertgleichheit zweier Ausdriicke. Sis zur Primaren Algebra konnte man dieses Verhaltnis oder die Relation der Gleichwertigkeit zweier Hinweiszeichen selbst als Hinweis auf eine der beiden Seiten lesen, da es jede arithmetische Gleichung immer nur mit Hinweisen auf eine der beiden Seiten der ersten Unterscheidung zu tun hat, mithin auf diese Weise selbst implizit Hinweis auf eine der beiden Seiten ist. In der Primaren Algebra verlieren Gleichungen dann diese implizite Hinweisfunktion, weil die Gleichheit, die sie beschreiben, von einer anderen Art ist. Es geht nicht mehr urn die je spezifische Seite der ersten Unterscheidung, auf die mit den Hinweiszeichen hingewiesen wird, sondem nur noch urn das Verhdltnis der Hinweiszeichen zueinander an sich. Dass von der Spezifitat der Hinweiszeichen in der Algebra abgesehen werden kann, zeigt sich auch darin, dass Variablen eingefuhrt werden konnen. So verschiebt sich der Fokus der Aufmerksamkeit: In der Arithmetik wurde die Gleichheitsrelation eingefiihrt tiber aquivalente Hinweisformen oder -zeichen, die in ihrer Gestalt verschieden, aber in ihrer Bedeutung bzw. Funktion gleich waren. In der Algebra ist nur noch die Aqufvalenz-Relation an sich von Interesse: nicht was sie gleich setzt, sondem dass sie gleich setzt, wird thematisiert. Das Gleichheitszeichen in den algebraischen Gleichungen sagt demnach etwas tiber die Aquivalenz der Verhaltnisse: Rechts und links des Gleichheitszeichens stehen Gefuge, d.h. verschiedene komplexe Ausdriicke, in denen sich Hinweiszeichen - Variablen oder ,crosses' - zueinander befinden. Algebraisch aquivalent sind sie, insofem der eine Ausdruck durch ,steps' zum anderen Ausdruck gemacht werden kann, insofem sie durch Austausch ineinander uberfuhrbar sind. Sowohl die arithmetischen als auch die algebraischen Gleichungen stellen kondensierte Austauschprozesse dar, die werterhaltend sind und die notfalls ,step by step' nachvollzogen werden konnten. Die Gleichungen ,zweiten Grades ' im elften Kapitel hingegen verlieren auch diese Bestimmtheit, denn mit ihnen ist die endliche Anzahl der Austauschschritte nicht mehr implizit mitgemeint. So ,passiert ' den Austauschschritten hier etwas ahnliches wie den Ausdrucken, die durch Variablen ersetzt werden: Es wird nur noch dargestellt, dass ausgetauscht wurde , aber nicht mehr , wie oft; ebenso wie eine Variable nur noch darstellt, dass sie fur einen Wert steht, aber nicht mehr fur welchen. Das Gleichheitszeichen wird also mit zunehmender Komplexitat immer weniger spezifisch, es weist immer weniger auf konkrete Aquivalenzen hin und immer mehr auf die Aquivalenz komplexer Strukturen oder Zusammenhange. Im zwolften Kapitel schlieBlich werden mit dem Gleichheitszeichen Konfusionen angezeigt zwischen den Hinweiszeichen fur oder auf eine vollzogene

II.B Bcmcrkungenzur Architekturder Laws ofForm

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Unterscheidung einerseits und einer vollzogenen Unterscheidung andererseits. So expliziert hier das Gleichheitszeichen die doppelte Eigenschaft jedes Zeichens, eine Unterscheidung zu sein und zugleich auf etwas Unterschiedenes in seiner Form hinzuweisen. 6. Die Bedeutung des Begriffes ,form' Die Form einer Unterscheidung besteht aus den vier Aspekten, die simultan entstehen, wenn eine Unterscheidung getroffen wird: Die Grenze, die unterschiedenen Seiten, der ,Hintergrund' oder Kontext, vor dem unterschieden wird. Damit bildet die Form eine Einheit, die aus einer Differenz besteht: eine Form mit einem Inhalt, der von anderem unterschieden wurde . Die Betonung liegt hier aber nicht auf der Frage, inwiefern sich die zwei unterschiedenen Seiten unterscheiden , sondem darauf, dass es uberhaupt eine Ungleichheit gibt. Durch die Unterscheidung werden sie als verschieden voneinander zueinander in Beziehung gesetzt und bilden als solche eine Einheit. Damit gehort zur Form jedes ,Inhalts' im weitesten Sinne immer auch das, was er nicht ist, die andere Seite seiner Form . In dieser Hinsicht unterscheidet sich der grundlegende Form-Begriff von Spencer Brown wesentlich von anderen, philosophiegeschichtlichen Gebrauchen, in denen beispielsweise die Form dem Inhalt oder der Materie gegenubergestellt wird. In diesen Fallen bezeichnet die Form nur die eine, unterschiedene Seite, nicht aber die simultan mitentstehenden anderen Aspekte . Bei den ,Formen, die aus der Form genommen werden' des zweiten Kapitels handelt es sich auch nicht urn den gebrauchlichen Formbegriff, obwohl es hier urn Hinweis-Formen geht, die je nur auf eine der beiden Seiten referieren . Auch die wiederholte Verwendung als ,form of cancellation' fur die erste Initialgleichung der Primaren Arithmetik oder der ,form of transposition ' fur die zweite Initialgleichung der Primaren Algebra, oder die Rede von den ,forms of step allowed' oder von den ,forms of reference' bezeichnen immer Hinweis-Formen, mit denen entweder auf die eine Seite oder auf die andere Seite der ersten Unterscheidung, nie aber auf beide Seiten zugleich hingewiesen werden kann. An sich selbst sind diese Hinweisformen oder Ausdrucke Formen im Spencer Brownschen Sinne, was im ersten Theorem im vierten Kapitel, das den Namen ,Form' tragt, ausdrucklich expliziert wird: Hinweise gelten als Ausdrucke, wenn sie in einer abgeschlossenen Form stehen, wenn sie gemeinsam eine Form im Sinne der Form der Unterscheidung bilden . Die Form als grundlegender Begriff bezeichnet also alle Aspekte einer Unterscheidung zusammen; die Gesetze der Form entstehen hingegen aus den verschiedenen Moglichkeiten auf zwei der Aspekte , d.h. auf die beiden entstandenen Seiten der Form hinzuweisen. Es handelt sich urn allgemeine Gesetze, die fur den Gebrauch von Hinweisformen auf die zwei Seiten einer Unterscheidung gelten. Der Begriff ,Gesetz' aus dem Titel, der im Haupttext im ersten Kapitel

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bei der Formulierung der beiden Axiome wieder aufgenommen wird, bezieht sich auf den iterierten Gebrauch der zwei Hinweisarten. In der Arithmetik geht es urn vielfaltige Generierungsmoglichkeiten von aquivalenten Hinweisen aufje eine der beiden Seiten; in der Algebra urn die Aqulvalenz von Hinweisgefugen oder von Verhaltnissen von Hinweismoglichkeiten auf beide Seiten, und mit dem ,Re-entry' wird eine Hinweismoglichkeit auf die gesamte Form, d.h. auf beide Seiten und ihre Unterschiedenheit zugleich , eingefuhrt. Die oszillierende Gleichung, die durch das ,Re-entry' ermoglicht wird, stellt formal die Form in ihrer differenzierten Einheit dar. Sie ist fur Spencer Brown der Schltissel zum Verstandnis fur Paradoxien. Aus dieser Perspektive konnte gesagt werden, dass Paradoxien den Versuch kennzeichnen, zugleich auf die beiden Seiten einer Unterscheidung hinzuweisen, was nur als Hinweis auf die Oszillation moglich ist, die das abwechselnde Nacheinander ausdruckt, So entstehen Paradoxien, weil wir versuchen, das simultane Entstehen der Aspekte im Akt der Unterscheidung im Akt des Hinweisens zu kopieren - das geht aber nur, indem wir oszillierend Zeit generieren. Zeit entsteht so nicht durch endlose Wiederholungen ein und desselben, sondem durch iterierte Abwechslung oder Veranderung, Paradoxien und ungeradzahlige ,Re-entries' waren in dieser Hinsicht Darstellungsform en der Zeit. Mit dem in den Laws of Form dargelegten Kalkul wird explizit auf die beiden Seiten der ersten Untersche idung hingewiesen, und weil jeder Hinweis an sich selbst eine Unterscheidung ist, weist der Kalkul so auch auf seine eigene abstrakte Form hin, ist er eine Darstellung der Form der Unterscheidung jedes Hinweises schlechthin. Die kurzen Einblicke in den Bedeutungswandel einzelner Begriffe oder Namen fur Prozesse oder Prozessresultate, die in den Laws ofForm expliziert und verwendet werden, beenden die Bemerkungen zur Architektur. Mit dem Schema wird ein Leitfaden angeboten, der die Orientierung in dem zunachst vielleicht kryptisch anmutenden Buch erleichtem kann. Die Zusammenfassungen der einzelnen Kapitel bieten eine - zugegebenermaBen interpretierende - Obersicht und sind ebenfalls als Orientierungshilfe gedacht. Die abschlieBende Skizzierung der drei Begriffe fungiert einerseits als Erklarung, andererseits jedoch auch als Hinweis auf die ,architektonische Schonheit' und die Rekursivitat der Laws ofForm, als AnstoB, sich weitere innere Bedeutungslinien und -zusammenhange klar zu machen. Im Folgenden wird der Text der Laws ofForm Kapitel fur Kapitel kommentiert. Wir empfehlen dazu den Text im Original mitzulesen .

III. Kommentar zu den Laws ofForm

Nachdem die Laws of Form im letzten Teil in verschiedene Kontexte gestellt und in ihrem architektonischen Aufbau vorgestellt worden sind, werden in diesem Teil die zwolf Kapitel der Laws of Form kommentiert. Der Kommentar orientiert sich streng am Text und vollzieht damit die Entwicklung des Gedankengangs und des Kalkuls Schritt fur Schritt mit. Der StH der Kommentierung ist den Erfordemissen der einzelnen Kapitel angemessen und daher nicht immer einheitlich. Wir haben vor allem in den Kommentaren zu den ersten Kapiteln drei Ebenen unterschieden: (B) Hinweise zur Etymologie und zum Gebrauch wichtiger Begriffe. Es sollen die von Spencer Brown bewusst erinnerten lateinischen Wortwurzeln sowie Eigentumlichkeiten des Englischen offengelegt werden. Damit tritt manchmal eine Bedeutungsvielfalt zu tage, der das gesprochene, zeitgenossische Englisch zuweilen nicht (mehr) entspricht. (SK) und (ADM) Selbst-Komrnentierungen und AUM-Konferenz. Die Bemerkungen Spencer Browns zu den Laws of Form auBerhalb des Haupttextes werden einbezogen. Dazu gehoren die verschiedenen Vorworte, Einleitungen und der Anmerkungsapparat, sowie die vier Transkripte der AUM-Konferenz von 1973. (I) Von diesen beiden Ebenen wird die Interpretation gestutzt, die auch Vorund Ruckgriffe beinhalten wird, sofem sie sich nicht vermeiden lassen. 1m Kommentar zum zweiten Kapitel ist vor allem auf den injunktiven Aspekt Wert gelegt worden, weshalb hier eine andere Form der Darstellung gewahlt wurde . Auf die Appendizes wird im vierten Teil der vorliegenden Einfuhrung eingegangen.

o. Kapitel: Womit der Anfang gemacht wird Katrin Wille

Oem Haupttext der Laws of Form ist eine Reihe von Schriftzeichen vorangestellt. Den meisten westlichen LeserInnen tritt damit zu Beginn des Textes ein fremde s Schriftbild entgegen, unubersetzt und unkommentiert. Die dieser Sprache unkundigen LeserInnen werden im Dunkeln gelassen tiber Bedeutung, Sinn, genauen Ort.' Es liegen vor allem drei Wege nahe, mit dieser Situation umzuge hen: Ein erster Weg ist, die fremdart ige Zeichenreihe asthetisch als Kalligraphie aufzufassen und nach kurzer Betrachtung in den ,eigentlichen' Text einzutreten. Ein zweiter Weg ist, sich auf der Suche nach Sinn, Art und dem genauen Ort des Textes ein paar Schritte weit in eine fremde Welt zu begeben. Ein dritter Weg ist, sich zu fragen, wieso diese Zeichen unmittelbar vor dem ersten Kapitel stehen. Gibt es einen Zusammenhang zwischen ihrer Bedeutung, dem Ort, an dem sie stehen und dem Inhalt der Laws of Form? Wir wollen den ersten Weg wiederum unseren LeserInnen uberlassen und die beiden anderen Wege nacheinander einschlagen. Der zweite Weg fuhrt uns in die altchinesische Welt des Daodej ing (Tao-Te-King) .

Der Satz und sein Kontext im ,Daodej ing' Die chinesische Zeichenreihe ist der dritte Vers aus dem ersten Kapitel des Daodejing von Laozi (Lao-tse)": ~ Wu Nicht, Ohne , Nichts

~ ming Name Bezeichnung

7(. tian Himmel

ttl! di Erde

Z.

zhi von des, deren

fJi3

shi Anfang

Am Ende des Vorworts von 1968 dankt Spencer Brown fur die Erlaubnis, einen Teil einer alten Faksimile-Kopie vorn Daodejing photographiert haben zu diirfen, vgl. LoF:xviii. Wir erfahren also im Vorfeld , dass die Schriftzeichen aus dem Daodejing stammen, nicht aber den genauen Ort oder die Bedeutung. Es werden die chinesischen Schriftzeichen, die Pinyin-Transk ription und deutsche Ubersetzungsmog licbkeiten angegeben.

III. Kommentar- O. Kapitel : Womit der Anfang gemacht wird

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Da das Chinesische eine isolierende und keine flektierende Sprache ist, gehort zu dem chinesischen Satz eine Ambiguitat, die in den westlichen Sprachen durch die Entscheidung fur eine Wortart verloren geht.' Die Ambiguitat hangt an der grammatischen Rolle des ersten Wortes wu: nicht, ohne, Nichts . Moglichst wortlich ubersetzt lauten die beiden Varianten: (1) Ohne Name ist der Anfang des Himmels und der Erde . (2) ,Nichts' ist Name des Anfangs von Himmel und Erde. In der Mehrzahl der englischen und deutschen Obersetzungen wird die erste Variante gewahlt, es findet sich aber auch eine ganze Zahl englischer, deutscher und franzosischer Ubersetzungen, die der zweiten Variante folgen." In den beiden zentralen klassischen Kommentaren des philosophischen und des religiosen Daoismus, dem des Wang Bi und dem des Heshanggong, wird die Ambiguitat dieser Stelle deutlich: Wang Bi: "All being originated from nonbeing. The time before physical forms and names appeared was the beginning of the myriad

things.?' Heshanggong:

"The nameless designates the Tao . Tao is without form . Therefore it cannot be named."

Die Ambiguitat richtet sich also auf die Art des Anfangs. 1st der Anfang ohne Namen oder ist der Name des Anfangs ,Nichts' oder, wie in manchen Ubersetzungen zusammengezogen wird, ist der Anfang Nichts? Oder ist der Anfang eben dieses Vexierbild? Der Vers gehort zu einer Einheit von vier Versen, mit denen das erste Kapitel beginnt. Die vier Verse lauten in einer moglichen Ubersetzung: I Der Weg, der wirklich Weg ist, ist ein anderer als der unwandelbare Weg . 2 Die Namen, die wirklich Namen sind, sind andere als unwandelbare Namen.? 3 NamenloslNichts ist der Anfang von Himmel und Erde . 4 Der Name ist die Mutter der zehntausend Dinge."

FUrdiese und aile folgenden sinologischen Hinweise danken wir Rolf Elberfeld. Duyvendak mit Bezug auf Ma Hsu-lun, Chu, Thomas Cleary, Gu, Man-Ho-Kwok, Martin Pohner, Jay Ramsey, Kwok. Wang Pi 1979:1. Es ist vor allen Dingen Wang Bi, der durch seinen Kommentar dem Nichts im Daodejing eine herausgehobene philosophische Bedeutung gegeben hat, die dann fur die Rezeption des Buddhismus bedeutsam geworden ist. Erkes 1950:13 Nach der franzosischen Obersetzung von Duyvendak: " La Voie vraiment Voie est autre qu 'une voie constante. Les Termes vraiment Termes sont autres que des termes constants. (Le terme Non-etre indique Ie commencement du ciel et de la terre ; Ie terme Etre indique la mere des dix mille choses .).", Duyvendak 1987:3. Versuch nach den oben genannten Uberlegungen,

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Katrin Wille

Der Satz vom Anfang bei Spencer Brown Richtet man nun die Aufmerksamkeit auf den Ort, an dem der chinesische Vers in den Laws of Form auftaucht, dann zeigen sich einige Ubereinstimmungen zwischen Spencer Browns Umgang mit dem Vers und seinem Inhalt. Denn zum einen wird ein Satz tiber den Anfang an den Anfang der Laws of Form gestellt. Zum anderen geschieht den meisten LeserInnen des englischen Textes der Laws of Form wohl das, worub er der Vers spricht: die chines ischen Zeichen am Anfang bleiben den meisten ein semantisches Nichts und ohne Nam en, namenlos . Spencer Brown wah It aus dem ersten Kapitel des Daodejing diesen Vers und lasst die anderen ungenannt. In den drei nicht zitierten Versen ist vom Weg und vom Namen die Rede, namlich zusammenfassend gesagt vom VerIaufscharakter des Weges und des Namens? und von dem, was aus dem Namen entstehen kann (, die zehntausend Dinge '). Wir konnen mutmaBen, dass Spencer Brown hier ungenannt lasst, was er in den Laws of Form auf seine Weise auszufuhren gedenkt. Wir konnen erwarten , etwas tiber das Verhaltnis von Nichts , NamenIosigkeit und Namen, das angemessene Verstandnis des Namens und die Entstehung von Komplexitat aus dem Namen zu erfahren. Machen wir den Anfang mit dem ersten Kapitel : THE F ORM.

Vgl. Wohlfart 200 1a:27-54.

Das erste KapiteI: THE FORM

Tatjana Schonwalder-Kuntze und Katrin Wille

I. Titel Der Titel des ersten Kapitels lautet: The Form. Es geht urn die Form schlechthin, darum, wie sie entsteht, und was alles zu ihr gehort. Es werden also keine bestimmten Formen und Formbildungsprozesse untersucht, sondem vieImehr die GrundIagen fur Formbildungsprozesse verschiedenster Art. Die Form wird als Form der Unterscheidung bestimmt und es werden Moglichkeiten aufgezeigt, wie auf Aspekte/Teile dieser Form hingewiesen werden kann. 2. Voraussetzungen Die Form der Unterscheidung als die Form zu nehmen, ist das Ergebnis der dreigliedrigen Voraussetzung, mit der das erste Kapitel beginnt: "We take as given the idea of distinction and the idea of indication, and that we cannot make an indication without drawing a distinction . We take, therefore , the form of distinction for the form ."!

(I) Ais gegeben angenommen werden die ,Idee der Unterscheidung' und die ,Idee des Hinweisens'. Die Art der Beziehung dieser beiden Ideen lasst zwei Deutungen zu : Nach der ersten Deutung werden die beiden Ideen des Unterscheidens und des Hinweisens so miteinander verkniipft, dass die Moglichkeit, einen Hinweis zu geben, von dem Treffen einer Unterscheidung abhangig ist, weil es sonst nichts gabe , worauf hingewiesen werden konnte . Da also der Prozess des Hinweisens den Prozess des Unterscheidens erfordert, kann die Form der Unterscheidung zur Form schlechthin erhoben werden. Nach der zweiten Deutung zeigt sich, dass die beiden Ideen des Unterscheidens und des Hinweisens urspriinglich zwei Momente eines einzigen Prozesses bezeichnen, die nicht separierbar sind, insofem jeder Hinweis immer zugleich und ,an sich selbst' auch eine Unterscheidung ist: als Hinweis unterscheidet er sich von anderem. Auch deshalb kann die Form der Unterscheidung als die Form gelten. Beide Deutungen tauchen im Aufbau der Laws of Form auf, an manchen Stellen ist die Differenzierung zwischen zwei Prozessen Unterscheidung und Hinweis relevant, an anderen gerade die Authebung dieser Differenzierung.' LoF: I. Solange kein erneuter Hinweis erfolgt, stehen die anschlieBenden Zitate ebd.

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1m weiteren Verlauf des ersten Kapitels werden die beiden Prozesse einzeln analysiert. Da die Form der Unterscheidung zur Form schlechthin erklart werden kann, wird zunachst der Prozess des Unterscheidens herausgenommen. Er wird als das betrachtet, was Form(en) generiert. Dies bildet den Ausgangspunkt fur aile weiteren Uberlegungen. Dann wird die Moglichkeit gezeigt, dass und wie auf bestimmte Teile/Aspekte der Form durch verschiedene Prozesse Hinweise erfolgen konnen . Die dreigliedrige Voraussetzung kann also wie ein Keirn aufgefasst werden, in dem angelegt ist, was im Folgenden entwickelt wird. Das erste Kapitel liel3e sich so als ein Differenzierungsprozess auffassen, der an einem einzigen Akt : Unterscheidendes Hinweisen oder hinweisendes Unterscheiden immer mehr Aspekte hervortreten lasst und in ein Verhaltnis zueinander setzt. Dafur ist es wichtig, die Begriffe ,distinction' , ,indication' und ,idea' naher zu betrachten. (B) ,distinction' . Der spezifische Gebrauch von ,distinction' wird deutIich, wenn man den hier nicht verwendeten Begriff ,difference' dagegen halt. Wahrend letzterer sowohl im Lateinischen (differentia) als auch im Englischen eher fur bereits bestehende, vorfindliche, existierende Unterschiede steht, wird ,distinction' (distinctio) eher fur eine unterscheidende Handlung gebraucht. So weist die englische Redewendung: ,a distinction without a difference' darauf hin, dass es eine unterscheidende Handlung geben kann, die auf keinem wirklichen Unterschied beruht. ,Distinction' kann beides bedeuten: die Herstellung von Unterschiedenen und von Differenzen und die hergestellten Unterschiede, die Resultate von Unterscheidungen. Es kann aber davon ausgegangen werden, dass ,distinction' hier verwendet wird, urn primar auf den unterscheidenden Vollzug , den Unterscheidungsprozess selbst aufmerksam zu machen, der den Unterschied als ,difference' , als Resultat erzeugt. ,indication' . Der Gebrauch von ,indication' kann an dieser Stelle durch seine beiden Bedeutungen motiviert werden, zum einen im Sinne von Zeichen (,sign') und zum anderen im Sinne von Wink (,suggestion'). Wenn ,indication' als Zeichenfiir etwas verwendet wird, dann in dem Sinn, wie ein Signifikant auf ein Signifikat oder wie ein Wegweiser auf etwas hinweist. Wird ,indication' im Dieses Vorgehen ist kennzeichnend fur den Stil und den Inhalt der Laws of Form. Es wird gezeigt, wie aus einem einzig en Prozess Differenzierungen generi ert und wieder zuruckgenommen werden konnen - je nach Standpunkt und Kontext. FOr solche und andere rnethodologische Mehrdeuti gkeiten verwenden wir hier und im Foigenden den Terminus ,systematische Ambiguitat' . Damit sind intendierte Mehrdeutigkeiten gemein t, durch die verschiedene md zum Teil auch gegenlaufige Bedeutungen in einem geme insamen Vorlaufer verdichtet sind. So konnen an einigen Stellen gezielt verschi edene Moglichkeiten auftauchen , die an anderen Stellen bei Bedarf auseinander genommen werden konnen, Dieser Ausdruck stammt von Matthias Varga von Kibed und spielt fur unsere Deutung eine wichtige Rolle .

III. Kommentar- Das crstc Kapitel: THE FORM

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Sinne von ,suggestion' gebraucht, dann ist es selbst eine Andeutung, ein Ankundiger von etwas, wie etwa das Wetterleuchten von weitem ein Unwetter ankundigt, weil es ein Ausdruck ist, der zum Ausgedruckten selbst gehort. Urn beide Bedeutungen einzuschlieBen, scheint die deutsche Ubersetzung ,Hinweis' angemessener als die haufig verwendete Ubersetzung ,Bezeichnung' , die den ersten Bedeutungsaspekt betont und den zweiten verloren gehen lasst. ,idea' . Der spezifische Gebrauch des philosophiegeschichtlich aufgeladenen Begriffs ,idea' an dieser Stelle lasst sich motivieren durch eine Uberlegung, die Spencer Brown auf der AUM-Konferenz angestellt hat. (AUM) Der Beginn der Laws ofForm ist das Ergebnis eines Reduktionsprozesses auf das Denken von Unterscheidung ohne weitere Qualifikationen der Unterscheidung durch GroBe, Gestalt, Abstand oder andere Qualitaten, Urn diesen Beginn nachzuvollziehen, mussen wir also absehen von allen konkreten Bestimmungen, die wir immer schon mit Unterscheidungen verbinden. Anders gesagt , wir mussen unsere Gewohnheiten der Qualifizierung verlemen und alles beiseite lassen, was nicht nur die ,Idee' der Unterscheidung ist (vgI. AUM 1,9). Das Ergebnis, die ,Idee der Unterscheidung', ist aber nicht wie eine mentale Entitat zu verstehen, sondem wie eine zunachst nicht weiter qualifizierte Beziehung zwischen Unterschiedenen (vgI. AUM 4,1). (I) Mit der Voraussetzung der ,Idee der Unterscheidung' wird dazu aufgefordert, sich auf den Nachvollzug des Prozesses ,distinction' einzulassen. Hier ist der reine Prozess des Unterscheidens gemeint, ohne ihm schon bestimmte Qualitaten zuzuschreiben, sowie das, was dieser Prozess mit sich bringt: die ,Form der Unterscheidung' . Diese ist nicht wie eine abstrakte Entitat zu verstehen, sondem eher wie der Generierungsprozess eines Beziehungsgefuges. Das bedeutet, dass an dieser Stelle nicht nur von allen standortbezogenen, besonderen Bedingungen dessen, der unterscheidet, sondem yom Beobachter uberhaupt abgesehen wird. 3. Definition Nach der Aufzahlung der Voraussetzungen wird der Prozess der Unterscheidung erst genauer bestimmt, denn die anschlieBende Zwischenuberschrift lautet : Definition . Ihr folgt eine explizite Defmition des Begriffes ,distinction': "Distinction is perfect continence ."

(B) ,perfect'. Das lateinische Verb ,perficere' hat mehrere Bedeutungsnuancen: Neben ,vollenden', ,beendigen', ,beschlieBen', steht es fur ,verfertigen', .ausfuhren' , ,zustande bringen ' , ,vollziehen', aber auch fur ,ausarbeiten' und .ver-

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fassen' bzw. ,durchsetzen' und ,bewirken'. Als Adjektiv kommen noch die Bedeutungen ,vollkommen' und ,tiichtig' hinzu. Irn Englischen steht es auch noch fur .vollstandig', ,exakt' und ,akkurat' . ,continence'. Im englischen Sprachgebrauch kommt ,continence' in zwei sehr verschiedenen Bedeutungsfeldem vor. Zum einen steht es fur die generelle Fahigkeit zur Selbstkontrolle, aber auch Selbstgenugsamkeit ohne spezifischen Bezug zu einem Etwas, dessen man sich enthielte, anders als das deutsche Wort ,Enthaltsamkeit' . Zum anderen kommt es in einem spezifischen Geometer- bzw. Ingenieursgebrauch vor und meint hier den raumlichen Zusammenhalt im Sinne der Zentripetalkraft und im Sinne des Zusammenhalts fester Kerper.' Die erste Verwendung entspricht exakt dem substantivischen Gebrauch im Lateinischen (continentia); betrachtet man allerdings das abgeleitete Adjektiv (continens), kommen noch weitere Bedeutungen hinzu. Das waren ,angrenzend' , .anstoBend' und ,unmittelbar folgend', aber auch .zusammenhangend' , .ununterbrochen', ,fortlaufend', ,anhaltend'. Das Verb (continere) halt aber auch die geometrische Verwendung bereit im Sinne von ,zusammenhalten' sowie .enthalten', ,einen Inhalt bilden', ,einschlieBen', ,umfassen', ,in sich tragen ', .festhalten' und ,begrenzen'. Damit ist fast die gesamte Bedeutungsvielfalt, die in der Definition steckt und im folgenden Text ausflihrlicher erlautert wird, bereits angesprochen. ,is' bzw. ,to be' (SK) Spencer Brown betont in einer der verschiedenen Vorbemerkungen zum Haupttext der Laws ofForm, dass bei der Verwendung von ,sein' in Definitionen keine Aussage daruber getroffen werden soll, was und wie etwas ist, sondem dass eine Regel in einem Spiel ausgedruckt werden solI. Das Vorkommen von ,ist' oder ,sein' in Defmitionen kann als ,lasst uns so tun, als ob' verstanden werden. Durch die Definition sind wir also aufgefordert, Unterscheidung zunachst in der vorgeschlagenen Weise aufzufassen."

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An dieser Stelle sei Stephan Packard fur viele Hinweise auf den englischen Sprachgebrauch sowie auf etymologische Wurzeln herzlich gedaikt. Vgl. Vorstellung der internationalen Ausgabe Spencer Brown 1997:X: .Es sollte beachtet werden, dass es in diesem Text nirgendwo einen einzigen Satz gibt, welcher besagt, was oder wie irgendetwas ist" In der Anmerkung dazu hei6t es: .Eine Definition, wie ,Unterscheidung ist perfekte Be-Inhaltung' sagt nicht, was sie ist, sondern weist den Leser an diesem Punkt nur an, wie er sie zu definieren hat. Spater werden wir, wie wir sehen werden , diese Definition zum Tei! aufheben oder auf andere Weise definieren... wenn sie eine Definition gemacht haben, ailes, was sie taten war, die Regeln fur ein Spiel ,Lasst uns so tun, als ob' festzulegen."

III. Kommentar- Das erste Kapitel : THEFORM

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(I) Mogliche Ubersetzungen konnten daher lauten: Unterscheidung ist vollkommene Enthaltsamkeit oder Unterscheidung ist vollzogener Zusammenhang' . Die Definition scheint zunachst widerspruchlich: Unterscheidung ist ... Zusammenhang, da unter Unterscheidung etwas Trennendes, Scheidendes und unter Zusammenhang im Gegenteil etwas Verbindendes, Vereinendes verstanden wird. Setzen wir diese vorlaufigen Ubersetzungen ein, dann lautet die Definition : Trennung ist (sein Gegenteil) Verbindung. Es ist also erlauterungsbedurftig, was hier wie enthalten ist, und wessen sich enthalten wird, worin der Zusammenhang besteht und was iiberhaupt zusammenhangt. Wenn ,ist' fur die Aufforderung steht: ,Lasst uns so tun, als ob', werden die Leserlnnen durch die Definition aufgefordert, so zu tun, als ob Unterscheidung vollzogener oder voIlkommener Zusammenhang ware, bzw. dazu, Unterscheidung als Zusammenhang aufzufassen . Betrachten wir also Unterscheidung als vollzogenen Zusammenhang, legen sich zunachst zwei Bedeutungen nahe: Zusammenhang I : Durch eine Unterscheidung wird etwas hervorgehoben oder zusammengehalten. Es wird ein Inhalt oder ein Bereich geschaffen, der zusammengehalten wird . Dies hat eine Entsprechung im Ingenieursgebrauch des Begriffes .continence' .? Zusammenhang 2: Wird etwas hervorgehoben oder zusammengehalten, setzt es sich damit gleichzeitig abo Ein innerer Zusammenhang bildet zugleich eine Grenze nach auBen. Durch eine Unterscheidung bleibt etwas auBen vor, wird gewissermaBen ausgeschlossen. Gerade dadurch , dass das Ausgeschlossene von etwas ausgeschlossen wird, hangt es mit dem hervorgehobenen Inhalt aber zusammen, ohne dass dieser dadurch vollstandig bestimmt ware.' Diese Bedeutung entspricht eher der Verwendung in Bezug auf den menschlichen Kerper und seiner Selbstkontrolle bzw. Enthaltsamkeit. Ein dritter Sinn von Zusammenhang erschlieBt sich, wenn die beiden ersten Bedeutungen zusammengenommen und aufeinander bezogen werden: Zusammenhang 3: Der zusammenhangende Inhalt (Zusammenhang I) und der Zusammenhang mit seinem AuBen (Zusammenhang 2) bewirken gemein-

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Vgl. fur andere Ubersetzungen die etymologischen Uberlegungen von Matthias Varga von Kibed und Rudolf Matzka in Varga! Matzka 1993:60. Dieser Sinn von ,continence' wird besonders betont, wenn Spencer Brown in den Notes zum ersten Kapitel schreibt: "Although it says somewhat more, all that the reader needs to take with him from Chapter 1 are the definit ion of distinction as a form of closure ...", LoF:77. In der Tradition von Spinoza und Hegel konntcn wir vorschnell dazu neigen , den Zusammenhang zwischen der einen und der anderen Seite als Negationsverhaltnis zu betrachten: etwas ist etwas , weil cs alles andere nicht ist. Spencer Brown versteht die Negation hingegen als Teil des komplexen Unterscheidungsspiels ,Logik' . Das Unterscheidungskalkul kann in die formale Logik ubersetzt werden , das sagt aber nichts tiber das ,Wesen ' der Grenze als Negationsform. Insgesamt kritisiert er eine Uberbetonung der Rolle der Negation in unseren ublichen Sprachspielen: "We take so seriously the not-boundary." AUM 3,5.

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sam etwas Neues und damit einen weiteren Sinn von Zusammenhang, durch den Inhalt und Auf3en iiberhaupt erst unterscheidbar sind. Hierfur kann an die Bedeutung von ,perficere', ,bewirken' erinnert werden. 4. Die expliziten Aspekte der Form der Unterscheidung Im anschlief3enden Textstuck werden die Definition und die verschiedenen moglichen Bedeutungen von ,continence' naher bestimmt. Dort sind verschiedene Aspekte erwahnt, die mit einer Unterscheidung entstehen und zu ihrer Form gehoren . Diese Aspekte konnen auch als Komponenten einer komplexen zusammenhangenden Form verstanden werden, die der Prozess der Unterscheidung mit sich bringt. "That is to say, a distinction is drawn by arranging a boundary with separate sides so that a point on one side cannot reach the other side without crossing the boundary."

(B) ,boundary' . Im Englischen kann damit zum einen eine Linie gemeint sein, die ein Limit im Sinne einer unuberschreitbaren Grenze anzeigt oder markiert. Andererseits meint ,boundary' aber auch eine trennende, spaltende Linie zwischen Verschiedenem. (I) Eine Unterscheidung im Sinne der Laws of Form wird nur dann getroffen, wenn durch das Errichten einer Grenze zwei getrennte Seiten entstehen, so dass ein Punkt auf einer Seite die andere Seite nicht erreichen kann, ohne die Grenze zu uberschreiten. Was als eine Grenze gelten kann, wird durch die Punktmetapher veranschaulicht. An der Grenze wird der Unterschied oder die Differenz zwischen zwei unterschiedenen Bereichen deutlich. Durch sie wird markiert, wo der Ubergang von einem Bereich, Zustand oder Inhalt zum anderen stattfindet; sie halt die zwei Unterschiedenen auseinander, tiber die hier nicht mehr gesagt werden kann, als dass sie nicht identisch sind und nicht ineinander ubergehen aber eine gemeinsame Grenze haben." In diesem Textstiick treten also zunachst drei Aspekte einer Unterscheidung auf: (1) Das Unterschiedene, die eine Seite, (2) das Ubrige, die andere Seite, (3) die Grenze zwischen den beiden Seiten. Diese drei Aspekte der Unterscheidung haben keine logische oder gar zeitliche Reihenfolge, sondem stehen in einem Verhaltnis der abhangigen Koproduktion Dieser Grenzbegriff ist noch ganz unbestimmt: Etwas kann beispielsweise in Bezug auf seine aubere Form von etwas anderem unterschieden werden oder in Bezug aufseinen Wert oder in Bezug auf seine Eigenschaften etc.

III. Kommentar - Das erst e Kap itel: THE FORl\1

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oder Koerzeugung. Damit ist eine logische Gleichursprunglichkeit und auch Gleichwerti gkeit der Aspekte gemeint, nicht aber ihre Funktionsgleichheit. (SK) Zu diesem Gedanken der Koerzeugung von Aspekten heil3t es im Vorwort zur Autlage von 1994 in Bezug auf den Hinweis: "Any indication impl ies duality, we cannot produce a thing without copro ducing what it is not, and every du ality implies triplicity: what the thing is, what it isn' t, and the boundary between them . Thus, as explained in the Chapter I of the Laws, you cannot indicate anything without defining two states, and you cannot define two states without creating three cleme nts. No ne of these exists in real ity, or separately from the others.,,9

5. Das Beispiel oder der implizite Aspekt 1m Beispiel taucht der vierte Aspekt der Form der Unterscheidung auf, der von anderer Qualitat ist als die anderen drei bisher explizierten Aspekte . " For example, in a plane space a circle draws a distinction".

(B) ,exam pie'. Die lateinische Wurzel lautet ,exemplum' , was wiederum eine Ableitung von ,exemlum', das Herausgenommene, ist. Hier wird also etwas herausgenommen. 1m Sinne von Zusammenhang 1 ist das Beispiel an sich selbst eine Untersch eidung und weist auch als solche auf die Unterscheidung hin. (I) Spencer Brown lasst den vierten Aspekt der Unterscheidung in einem Beispie l auftauchen (in a plane space). Betrachtet man die Etymologie von ,example' , kann man sehen, dass die Funktion eines Beispiels darin bestehen kann, etwas heraus zu nehmen: Hier wird der implizite Kontext, der den Kreis erst zu einer Unterscheidung macht, aus der Latenz gehoben, heraus genommen.

Eine Unterscheidung treffen bedeutet also vier Aspekte simultan hervorzubr ingen oder kozuproduzieren: zwei Seiten, eine Grenze zwischen ihnen und einen Kontext oder Raum, der die drei anderen Aspekte erst zu Aspekten der Unterscheidung macht. Der vierte Aspekt lautet demnach: (4) der Kontext, der die beiden Seiten unterscheidbar bzw. zu verschiedenen macht. Die ersten drei sind explizite Aspekte ; der letzte, vierte Aspekt ist implizit durch die anderen drei mitgegeben und bestimmt diese seinerseits erst zu Aspekten der Unterscheidung." Denn jeder der vier Aspekte entsteht durch und 9

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LoF:ix. Vgl. auch in der Vorstellung der internationalen Ausga be: .Kanon Null. Koprodu ktion." , Spencer Brown 1997 :ix. Die A ufteil ung der vie r Aspekte in drei explizite und einen impliz iten haben wir vo n Matthias Varga von Kibed ubern omm en.

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mit den anderen, keiner kann ohne die anderen entstehen und vollstandig verstanden werden. (AUM) Der implizite Charakter des vierten Aspektes kann durch eine Uberlegung Spencer Browns aus den AUM-Transkripten erlautert werden: Wir neigen dazu, zu denken und zu sagen, dass eine Unterscheidung, wie z.B. der geometrische Kreis, in einem Raum stattfindet. Bei solcher Redeweise entsteht der Eindruck, als sei der Raum vor der Unterscheidung gegeben und konnte auch ohne die Unterscheidung weiter bestehen . Spencer Brown versucht die Beziehung zwischen Unterscheidung und Raum anders als ublich zu denken: der Raum ist nicht vor der ersten Unterscheidung da, er entsteht mit der ersten Unterscheidung (AUM 1,9). In den Notes zu den Laws of Form weist Spencer Brown auf die Wichtigkeit des 4. Aspektes hin, denn nicht jeder Kontext generiert eine Unterscheidung im Sinne der hier vorgelegten Definition. So ist auch nicht jeder Kreis ein Beispiel fur eine Unterscheidung. Wird beispielsweise ein Kreis auf einen Torus, einen dreidimensionalen Ring gezeichnet, gibt es die Moglichkeit, von der einen Seite auf die andere Seite zu kommen, ohne die Grenze, die durch den Kreis gezogen wird, zu uberschreiten." (I) Es ist namlich auf einem Torus moglich, einen Strich von der ,einen' Seite des Kreises - der scheinbaren ,Grenze' - zur ,anderen' zu zeichnen , ohne die Kreislini e zu beruhren, indem man einfach ,hintenherum' zeichnet. " Hier lage keine Unterscheidung vor, denn ein beweglicher Punkt konnte von der einen auf die andere Seite gelangen , ohne die Grenze zu liberschreiten . Deshalb lassen sich auf einem Torus nicht zwei Seiten unterscheiden, es gibt keine echte Grenze und damit keine Unterscheidung. Damit ein Kreis eine Unterscheidung darstellt, muss er in geeigneten Kontexten , wie z.B. in einer Ebene gezogen werden . Die Ebene stellt also in diesem Beispiel den vierten ,Aspekt' dar, ohne den mit dem Zeichnen eines Kreises keine Form der Unterscheidung hergestellt wird. Oder nochmals anders formuliert: wenn ein Kreis eine Unterscheidung im genannten Sinne sein soli, dann ist ein Kontext notwendig, der die drei expliziten Aspekte der Form der Unterscheidung auch tatsachlich zwei Seiten und eine Grenze zwischen ihnen sein

lasst, Den impliziten Kontext , in diesem Fall die Ebene , eigens zu benennen, bedeutete streng genommen, eine neue Unterscheidung zu treffen, denn damit wurde dieser Kontext, die Ebene, zum Inhalt gemacht und gegenliber allen moglichen anderen Kontexten herausgehoben. Durch die Benennung und d.h. Explizierung des Kontextes verschiebt sich die Zuordnung der Aspekte der UnterII 12

LoF:79 Beispielsweise haben Donuts, die suben amerikanischen Schmalzkringel, die Form eines Torus .

III. Kommentar - Das erste Kapitel: THEFORM

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scheidung, die Ebene wird zum neuen ersten Aspekt . Mit dem Beispiel befinden wir uns gewissermal3en schon im Ubergang von einer Unterscheidung zu einer anderen . Dem Beispiel kommt deshalb eine wichtige und gleichzeitig ,grenzwertige' Rolle zu, denn es lasst einen impliziten Aspekt aufscheinen , der bei genauerer Betrachtung seinen impliziten Charakter verliert. Deshalb bleibt dieser Aspekt aul3erhalb des Beispiels implizit und bildet nur den Kontext, den Hintergrund , der in dem Prozess des Unterscheidens mit hervorgebracht wird. Das Beispiel von dem Kreis in der Ebene zeigt eine Moglichk eit, den Aspekt der Grenze raumlich zu bestimmen. In anderen Bereichen hat aber der Aspekt ,Grenze' einen anderen Charakter, denn die Abgeschlo ssenheit der beiden Seiten voneinander bezieht sich haufig nicht auf eine raumliche Trennung . In der Biologie beispielsweise sprechen Humberto Maturana und Francisco Varela in Bezug auf autopoietische Organisationsformen von der Membran als "hllutchenllhnliche[m] Rand ... . In bezug auf die Relationen von chemischen Tra nsformationen haben wir hier eine gan z besondere Situation vor uns: Auf der einen Seite sehen wir ein dynamisches Netzwerk von Transform ationen ..., das die Bedingun g der Moglichkeit eines Randes ist. Auf der anderen Seite sehen wir einen Rand, der die Bedingun g der Moglichkeit des Operierens eines Netzwe rkes von Transformationen ist, welch es das Netzwerk als Einheit erzeugt. ... Wohlgemerkt: Dies sind keine sequentiellen Prozesse, sondem zwei Aspekte eines einheitlichen Phanornens. Es ist nicht so, daB es zuerst einen Rand und dann eine Dynamik gibt und dann cinen Rand und so weiter. Wir sprec hen von einer Art Phanornen, bei der die Moglichk eit, Etwas von dem Ganze n zu unterscheiden ..., von der Ganzheitl ichkeit der Prozesse abhangt , die dieses Etwas moglich machen . Unterbrechen wir ... das ... Netz , und wir werden nach einiger Zei t keine Einheit mehr haben, die wir als solche bezeic lne n kOnnten.,,13

Der geschlossene Funktionszusammenhang ist damit ebenso eine Grenze im Spencer Brownschen Sinne, da der Zusammenhang, der die Grenze eine Grenze sein lasst, also der Kontex t, eben in deren Funktion besteht. 14 Grenzen sind also in vielen Zusammenhangen ein Komplex von Kriterien, die erst gemeinsam die

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Maturanal Varela 1987:53f. Von Luhmann wird dies dann mit der Rede von der funkt ionalen Gesc hlossenheit von Orgaiis men gcgc nuber ihrer Umwelt wieder auf genommen. Ober das Verhaltnis von Maturanas und Spencer Browns Verstandnis von Grenze ging es in einem personlichen Gesprlich zwisc hen den Autorinnen und Humb erto Maturana am 15.1.2002 in MOnchen. Maturana hatte in diesem Gesprach vehement bestritten, dass sei n Verstandn is von Grcnze etwas mit dem Spencer Brownschen gemein habe, da sich eine funktionale Abgrenzung, wie sic in der Biologie vorkommt, gerade dadurch auszeichne, dass sie den ,Teilchenaustausch ' der einen Seite mit der anderen nicht nur crrnogliche, sondern sogar notwendig rnache, wie das Beispiel der Haut als Membran zeige . Wir hingegen versuchten filr einen geme insamen Grenzbegri ff zu argumentieren, der Membr an und Kreis in der Ebene als Beispiele umfassen kann. Keiner der beiden Grenztypen darf unseres Erachtens verallgerneinert werden. Vie lmehr gehort es zu dem allgemeinen Grenzbegriff, dass eine Grenze immer zugleich mitdefiniert, was fur sie Abgesch lossenheit bzw. Undurchlassigkeit bedeutet und welche Art Inhalt sie dadurch abgrenzt bzw. hervorbrin gt oder ,am Leben erhalt' .

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eine Seite zur einen, die andere Seite zur anderen machen , und damit entscheiden, was auf die eine Seite und was auf die andere gehort. Bis hierhin ist die Darstellung abgeschlossen, wie die Form der Unterscheidung hergestellt wird. Im nachsten Schritt geht es urn das Aufrechterhalten einer Unterscheidung. 6. Aufrechterhalten der Form der Unterscheidung "Once a distinction is drawn , the spaces, states, or contents on each side of the boundary, being distinct, can be indicated."

Ist einmal eine Unterscheidung getroffen, also die Form der Unterscheidung mit den vier Aspekten generiert, dann kann auf die beiden ersten Aspekte (die beiden unterschiedenen Seiten) hingewiesen werden . (B) ,spaces' , ,states', ,contents'. Damit werden drei Moglichkeiten flir verschiedene Bestimmungen der beiden Seiten einer Unterscheidung aufgezahlt, Durch sie werden verschiedene Kontexte impliziert: Raume, Zustande und Inhalte. (ADM) Wird eine Unterscheidung getroffen, entstehen durch die zwei Seiten Raume, Zustande oder Inhalte, ohne jede weitere Qualifizierung. Es gibt deshalb zunachst auch kein Innen oder Aul3en, dies suggeriert vielleicht das geometrische Beispiel vom Kreis, das nur eine mogliche Illustration der Unterscheidung ist, die zunachst einfach nur zwei verschiedene Zustande hat (AUM 1,13) . (B) ,can' . Spencer Brown wahlt haufig den Modus der Moglichkeit und schreibt nicht ,muss', ,soli' , oder ,ist ' , sondem ,kann' . Darin spiegelt sich das Selbstverstandnis des ganzes Werkes: "We represent what doesn 't really happen but might happen , ifit could ." (AUM 1,12). (I) Die Prozesse, die zur Aufrechterhaltung der Form der Unterscheidung nctig sind, werden im Modus der Moglichkeit formuliert. Der Prozess der Unterscheidung, der die Form der Unterscheidung mit den vier Aspekten generiert, 'war in der dreigliedrigen Voraussetzung zu Beginn als notwendiges Erfordemis fur den Prozess des Hinweisens genannt worden. Hier wird die anfangliche Reihenfolge wieder aufgenommen: erst durch das Unterscheiden ist die Moglichkeit des Hinweisens geschaffen worden . Es ist wichtig zu bemerken, dass ein Hinweis aufjede der beiden unterschiedenen Seiten, seien es Raume, Zustande oder Inhalte, erfolgen kann. In Bezug auf die Moglichkeit des Hinweisens sind die beiden Seiten symmetrisch.

Ill. Kommentar - Das erste Kapitel: THEFORM

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Die Moglichkeit des Hinweisens auf die Resultate des Unterscheidungsprozesses erfordert weitere Bedingungen, die in den anschIiel3enden Zeilen erortert werden: "There can be no distinction without motive , and there can be no motive unless contents are seen to differ in value ." (Hvhb. T.S. und K.W.)

(I) Der Prozess, eine Unterscheidung zu trefJen und das Resultat, diese (Form einer) Unterscheidung zu sein" oder sie aufrechtzuerhalten, werden unterschieden. An dieser Stelle geht es urn die Bedingungen des Aufrechterhaltens einer Unterscheidung, die erfiillt sein mussen, damit auf die unterschiedenen Seiten hingewiesen werden kann. Dafur ist ein Motiv notig, eine gerichtete Bewegung oder ein ,Woflir', ein ,Umzu ' der Unterscheidung , das aus der Unterscheidung ein stabiles Unterscheidungsergebnis macht. Ein Motiv entsteht da, wo Inhalte ,als von verschiedenem Wert gesehen werden '. Zwei Eigenheiten des Textes verdienen besondere Aufmerksamkeit: Erstens ist zu bemerken , dass auf der Ebene der Wertigkeit, oder auch NutzIichkeit, Brauchbarkeit, Verwendbarkeit oder Funktion von lnhalten, und nicht mehr von Raumen oder Zustanden die Rede ist. Dort, wo verschiedene Seiten auf ihre Wert- oder Funktionsdifferenz hin betrachtet werden, handelt es sich urn Inhalte. Hatten die Inhalte den gleichen Wert oder die gleiche Funktion, wurde die Unterscheidung zusammenfallen. Das ,Umzu' macht auch die Unterscheidung insgesamt wertvoll, sie ist fur etwas gut, sie hat einen Zweck. Zweitens ist wichtig, dass hier auf der Ebene der Wert- oder Funktionsverschiedenheit der angemessene Ort ist, den Begriff .Differenzen" zu verwenden. Das Kriterium fur das ,Bestehen' verschiedener Inhalte, also fur das Bestehen von ,Differenzen' ist eben eine Wert- oder Funktionsverschiedenheit. Erst auf der Ebene ,motivierter Funktionsdifferenz' als komplexe Bedingung fur die Aufrechterhaltung einer Unterscheidung kann auf einen der beiden Werte hingewiesen werden . 7. Zwei Arten des Hinweisens und ihre Verwendung Es werden zwei Arten vorgestellt, mit denen ein Hinweis auf Werte erfolgen kann: Auf der einen Seite ist das tiber die Nennung eines Namens moglich , die mit dem Wert des Inhalts identifizierbar ist; auf der anderen Seite tiber die Absicht, die Grenze zwischen den beiden unterschiedenen Inhalten zu uberschreiten.

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An dieser Stell e sci noch einmal an die oben zitierte Ubersetzungsregel erinn ert, Vorkommnisse von .sein' durch ,Lasst uns so tun, als ob ' zu substituieren. Vgl. zu dem Unterschied zwischen ,distinction' (Unterscheidung) und ,difference' (Differenz) die o.g. Hinweise.

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Tatjana Schonwalder-Kuntze und Katrin Wille "If a content is of value, a name can be taken to indicate this value , Thus the calling of the name can be identified with the value of the content. .., Equally, if the content is of value, a motive or an intention or instruction to cross the boundary into the content can be taken to indicate this value, Thus , also, the crossing of the boundary can be identified with the value of tile content.,,17

(B) ,identify' heif3t einerseits, ,die Gleichheit einer Sache feststellen', ,erkennen ' oder auch ,entdecken'. Andererseits wird es aber auch als ,gleichsetzen' verwendet, also in einem eher konstruktiven Sinne. Das englische Verb ist aus den beiden lateinischen Wurzeln ,idem' und ,fingere' zusammengesetzt. ,Idem' heif3t ,derselbe', der ,gleiche' und ,fingere' bedeutet neben ,formen ' , ,gestalten' , ,darstellen' und ,sich vorstellen' , ,sich denken' , ,annehmen' auch .erlugen' oder ,vorgeben' . (I) Die beiden Textstucke, in denen zwei Arten von Hinweisen vorgestellt werden, sind parallel angelegt. Beide Arten, der Hinweis durch die Nennung eines Namens und der Hinweis durch eine Absicht, die Grenze zu uberschreiten, haben zur Voraussetzung, dass die unterschiedenen Inhalte von Wert sind. Dies wiederum erfordert die ganze Form der Unterscheidung und es ist zu sehen, dass die Moglichkeit des Hinweisens den gesamten Prozess der Unterscheidung notig hat. Hingewiesen werden kann auf den Wert eines Inhalts, auf das, was ihn zu einem unterschiedenen Inhalt macht, nicht auf die Inhalte selbst oder die Seiten der Unterscheidung. Bei der Formulierung ,if a content is of value' ist es wichtig, den Ubergang von dem Sehen einer Wertdifferenz zwischen Inhalten (contents are seen to differ in value) zu .von-Wert-Sein' (if a content is of value) eines Inhaltes zu beachten. Durch die Ubersetzungsregel, die Spencer Brown fur ,sein' als ,lasst-uns-so-tun-als-ob' gegeben hat, wird der Zusammenhang zwischen ,sehen von' und ,sein ' deutlich. Die erste Hinweisart ist wiederum zweigliedrig : Sie besteht darin, einen ,Namen zu nehmen' , mit dem auf den Wert eines Inhalts hingewiesen wird. Ein Name kann gewahlt werden, urn als Hinweis auf den Wert eines Inhalts zu dienen . Davon unterschieden wird die Verwendung des Namens, die Operation des ,calling ', also das Nennen des Namens. Erst die Verwendung des Namens realisiert tatsachlich die Moglichkeit des Hinweisens. Wenn nun ein Inhalt von Wert ist, kann mit einem Namen (,Wert') darauf hingewiesen werden. Deshalb (thus) ist das Nennen des Namens ,Wert' mit dem Wert des Inhalts identifizierbar, d.h. die Identifikation zwischen der Verwendung des Namens ,Wert' und dem Wert des Inhalts ist moglich." Der Name steht auf dieser elementaren Ebene fur das, 17 Das Zitat nach der Auslassung findet sich in den LoF:2, Die beiden Stellen werden hier zusammengezogen , da sie strukturell und gedanklich eine Einheit bilden, 18 Das gleiche gilt auch fur die anderen elementaren Begriffe wie ,Name' oder ,Inhalt' . .Name', ,Inhalt' und .Wert' bezeichnen auf dieser elementaren Ebene der Form dasselbe: das, was durch

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was den Inhalt zusammen halt. Der Inhalt muss ein unterschiedener sein, sonst ware er kein Inhalt, und dass er unterschieden ist, macht seinen Wert aus. Deshalb ist der Wert das, was den Inhalt zu einem solchen macht, so wie es oben als Zusammenhang 1 erlautert worden ist. Auch die zweite Hinweisart ist zweigliedrig: Sie besteht einerseits in einem Motiv oder einer Intention oder einer Anweisung zur Grenziiberschreitung und andererseits in der Tatigkeit, die Grenze in den Inhalt hinein zu iiberschreiten. Welchen genauen Charakter die Absicht zur Grenziiberschreitung hat - sei sie ein mehr an Zwecken orientiertes Motiv oder eine mehr aus einer inneren Einstellung erfolgende Intention oder die Befolgung einer Anweisung - ist hier nicht relevant." Von der Absicht zur Grenziiberschreitung ist die ausgefiihrte Oberschreitung selbst zu unterscheiden. Ebenso wie erst die Namensnennung den Hinweis realisiert, realisiert erst die Absichtsausfiihrung, also die Grenziiberschreitung den Hinweis. Die Absicht zur Grenziiberschreitung ,iiberschreite die Grenze' indiziert den Wert des Inhalts, insofem dieser Inhalt be-grenzt ist. Deshalb (thus) kann die Grenziiberschreitung mit dem Wert des Inhalts identifiziert werden: denn die Moglichkeit der Grenziiberschreitung macht die Begrenzung deutlich, die schlieI31ich den Inhalt zum unterschiedenen, d.h. zum werthaften Inhalt macht. Die Absicht zur Grenziiberschreitung zeigt also die reine Verschiedenheit der beiden Inhalte an, d.h. dass der eine Inhalt vorn anderen verschieden ist und nicht inwiefem, so wie es oben als Zusammenhang 2 erlautert worden ist. Der Akt der Grenziiberschreitung ist mit dem Wert .be-grenzt', der der einzige offensichtliche Unterschied ist, den es bisher gibt, identifizierbar. Die Unterscheidung zwischen der Ebene dessen, auf das hingewiesen werden kann (Wert des lnhalts) und der Ebene dessen, durch das darauf hingewiesen werden kann (,Name' oder ,Absicht zur Grenziiberschreitung') und der Ebene der Verwendung oder Realisierung der Moglichkeit des Hinweisens (,calling' oder ,cros-

das Treffen einer Unterscheidung cntstanden ist. Die drei Begriffe stehen hier nicht fur einen spezifischen Unterschied, wie in der Alltagssprache. Wenn ,Etwas' durch eine Unterscheidung zu einem Inhalt geworden ist, kann mit einem Namen ,Inhalt' auf es hingewiesen werden. 1m Akt des Nennens wird dann ,Inhalt' mit Inhalt identifiziert. Ebenso ist etwas durch den Akt der Unterscheidung zu einem verschiederen Wert geworden , der mit dem Namen ,Wert' bezeichnet werden kann. Hier haben wir es also mit einem parallelen Vorgehen zu tun, wie oben mit den Voraussetzungen: die Momente der beiden Seiten einer Form der Unterscheidung - Inhalt zu sein, Wert zu haben, einen Namen zu haben -, werden von uns als verschiedene aufgefasst, obwohl sic auf dieser elementaren Ebene noch in eins fallen . 19 Wir konnen auch dieses Vorgehen, bestimmte Differenzierungen aufzuheben oder bewusst zu verlernen, als Teil der Gesamtbewegung verstehen, einen gemeinsamen Typus von verschiedenen moglichen Prozessen des Hinweisens zu entwickeln. FOr dieses Prozedere ist es gleichermaben wichtig , zu zeigen, was fur den gemeinsamen Typus relevant ist, wie auch zu zeigen , was dafur nicht relevant ist und .verlernt' werden muss .

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sing') ist in den beiden parallel konstruierten Textpassagen gleichennaf3en zu finden. Auf dieser Basis werden im nachsten Schritt jeweils Regeln genannt, die fur die Iteration der beiden verschiedenen Moglichkeiten von Hinweisprozessen gelten. Damit wird auch der Modus gewechselt: Wir bewegen uns von der Beschreibung von Moglichkeiten auf die Ebene notwendiger Regelsetzung/-befolgung. Erst durch die Iteration macht es nberhaupt Sinn, von Gesetzen im Sinne von Gesetzmalsigkeiten zu sprechen . Wenn die beiden Hinweise wiederholt verwendet werden, dann gelten die folgenden zwei Axiome, die Gesetze fur die Wiederholung der Hinweisprozesse angeben. Sie werden unter den Titeln ,Axiom I. The law of calling' und ,Axiom 2. The law of crossing' vorgestellt. 8. Die beiden Axiome als Gesetze der Wiederholung von Hinweisen Mit den Axiomen werden einerseits elementare Einsichten tiber die iterative Verwendung der beiden Hinweisarten ,calling a name' und ,crossing a boundary' fonnuliert. Andererseits werden diese Einsichten als Gesetze bezeichnet, da sie gelten rnussen, urn die Form der Unterscheidung aufrecht zu erhalten . Dies ist nur dann gewahrleistet, wenn klar und eindeutig fonnuliert wird, wie auf die eine und wie auf die verschiedene, andere der beiden Seiten der Unterscheidung hingewiesen werden kann. In der Regel weisen wir auf zwei verschiedene Bereiche, Inhalte oder Werte mit zwei verschiedenen Namen hin, wir verwenden also die gleiche Hinweisart und machen den Unterschied durch eine Variation der Namen deutlich . 1m ersten Kapitel der Laws ofForm werden nicht die Namen variiert, sondern es werden zwei verschiedene Hinweisarten verwendet, urn auf die verschiedenen Seiten hinzuweisen. Dass mit diesen beiden verschiedenen Hinweisarten oder prozessen eindeutig auf je eine der beiden Seiten hingewiesen werden kann, wird deutlich, wenn sie wiederholt werden." (SK) Axiome stehen nach Spencer Browns Verstandnis auf3erhalb des Kalkuls, da durch sie eine allgemeinere Einsicht ausgedruckt wird, deren Geltungsbereich viel weiter ist als der des Kalkuls. Axiome legen elementare Zusammenhange offen, die in der naturlichen Sprache latent sind und deren Voraussetzung

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So gibt es keine notwendige Reihenfolg e der beiden Axiome. Beide Axiome betreffen die Wiederholung von Hinweisakten auf eine vollzogene und aufrechterhaltene Unterscheidung und sind voneinander unabhdngig, so dass es gleichgUltig ist, welches der beiden Axiome zuerst im Text erwahnt wird. Erst die Festlegung, welche Hinweisart fur welche Seite der Unterscheidung verwendet werden soli, setzt die beiden Hinweisarten in ein Verhdltnis zueinander: wenn fur den Hinweis auf die eine Seite die ,Namensnennung' verwcndet wird, crgibt sich, dass fur die andere Seite nur noch die ,GrenzUberschreitung' ubrig bleibt

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in der allgemeinen Fahigkeit des Nachdenkens und Rechn ens besteht." Axiome werden verstanden, wenn ihre Relevanz und der Kontext, aus dem sie Sinn erhalten, eingesehen werd en. "Axiom I. The law of calli ng. The value of a call made again is the value of the call. That is to say, if a name is called and then is called again, the value indicated by the two calls taken together is the value indicated by one of them. Tha t is to say, for any name, to recall is to call."

(I) Bisher ist klar, dass mit der Namensnennung auf eine der beiden Seiten der Unterscheidung hingewiesen werden kann - welche ist hier irrelev ant, es gibt dafur auch noch gar kein Unte rscheidungskr iterium. Das gilt auch dann, wenn der Hinweis durch emeutes ,calling' wiederholt wird. Das Geset z tiber die Wiederholung garantiert, dass eine Wiederholung die Eind eutigkeit des Hinweises nicht andert. Es wird ausge schlossen, dass durch die wiederholte Namensnennung plotzlich auf die andere Seite der Unterscheidung hingewiesen wird . Mit dieser Einsicht in das Geset z der Wiederholung im Faile des ,calling' wird der Definition der Unterscheidung Rechnung getragen. Die Gesetzmaliigkeit fur die Wiederholung von Namensnennungen besteht genauer betrachtet darin , dass der Wert einer wiederholten Nennung der gleiche ist wie der Wert der Nennung, negativ formuliert: dass sich der Wert der Nennung durch die Wiederholung nicht andert, Mit dem Gesetz des Nennens wird also neben dem Wert des Inhalts auch vom Wert der Nennung eines Nam ens, d.h. vom Wert des Hinweisaktes selbst gesprochen. Damit expliziert das Ax iom, inwief ern die Namensnennun g und der Wert des Inhalts identifiziert werden konn en: in Bezug auf ihren Wert. In der zitierten Erlauterung zum ersten Axiom wird gezeigt, was die Wertgleichheit bei Wied erholung der Nennung fur die Funkt ion des Hinweisens bedeutet. Dass der Wert einer wiederholten Nennung der Wert der Nennung ist, heil3t, dass der Wert , auf den durch die beiden Nennungen zusammengenommen hingewiesen wird, gleich dem Wert ist, auf den nur durch eine (beli ebig welche) Nennun g hingewiesen wird . Die Wiederholun g und die in ihr liegende Vervielfachung andert, verdoppelt oder erweitert den Wert nicht. Ftir aile drei Moglichkeiten, auf den Wert des Inhalts hinzuweisen, die durch wiederholte Namensnennung entsteh en, also die einfache Namensnennung, die wiederholte Namensnennung und diese beiden zusammengenommen, gilt: Aile weisen auf den gleichen Wert hin. ,Inhalt', ,Inhalt' , ,Inh alt' meint immer nur wieder den Inhalt. Zwischen den Namensnennungen besteht also kein Wertun-

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Vgl. LoF:94fT.

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terschied und damit kein hier relevanter Unterschied ." Zusammenfassend gilt also fur jeden Namen: ,to recall is to call' . Das Wortspiel mit dem englischen Ausdruck ,recall' als ,wiedemennen' und ,erinnem' betont, dass beliebiges Hin- und Hergehen zwischen .fruheren' und .spateren' Wiederholungen moglich ist und keinen qualitativen Wertunterschied macht. ,FrUher' und .spater' macht hier noch keinen Unterschied , die Moglichkeit, Zeit in der Form zu generieren, ist noch nicht entwickelt. Der Hinweis auf den Wert eines Inhalts durch eine Namensnennung erfolgt demnach unabhangig davon, ob bereits vorher der gleiche Hinweis gegeben worden ist oder nicht. Genau wie mit der Namensnennung kann auch mit der GrenzUberschreitung auf eine der beiden Seiten hingewiesen werden . Auch hier ist offen, auf welche der beiden Seiten. Mit der ersten Hinweisart ,Namensnennung' kann auf einen der beiden Inhalte hingewiesen werden - also gilt es jetzt zu zeigen, wie mit der anderen Hinweisart auf die (je) andere Seite hingewiesen werden kann. "Axiom 2. The law of crossing. The value ofa cross ing made again is not the value ofthe crossing. That is to say, if it is intended to cross a boundary and then it is intended to cross it again , the value indicated by the two intentions taken together is the value indicated by none of them . That is to say , for any boundary , to recross is not to crosS.,,23

(I) Mit dem Gesetz fur die Wiederholung des ,crossing' wird zunachst einfach eine Differenz ausgedruckt: der Wert des wiederholten ,crossing' ist nicht der des einfachen ,crossing'. Eine GrenzUberschreitung kann von beiden Seiten einer Grenze aus vorgenommen werden. Die Grenze steht fur einen Unterschied zwischen den beiden Seiten und die Grenzuberschreitung ist mit dem Wert des Inhalts, in den sie hinein geht, identifizierbar. Daraus folgt, dass die wiederholte Uberschre itung einen anderen Wert hat als die einfache Uberschreitung. Wahrend das erste Axiom die Hinweisart thematisiert, mit der auch in der Wiederholung immer nur auf eine Seite - gleichgUltig welche - der Form der Unterscheidung hingewiesen werden kann, thematisiert das zweite Axiom eine Hinweisart, mit der durch die Wiederholung abwechselnd auf beide Seiten hingewiesen werden kann : mit einer Uberschreitung auf die eine Seite und mit ihrer Wiederholung auf die Ge) andere. Die Absicht zur GrenzUberschreitung gibt einen Hinweis auf eine (beliebige) Seite, die Absicht, die Grenziiberschreitung zu wiederholen, weist somit auf die andere Seite hin. Damit ist hier die 22 (SK) Den hier entwickeIten Differenztyp einer wertindifferenten Vermehrung nennt Spencer Brown in den Notes zum funften Kapitel "division" (LoF :87). Damit ist die Moglichkeit beliebig er VervielfliItigung gemeint, die keine qualitative Verschiedenheit erzeugt. Dieser Differenztyp taucht wieder auf in den .steps' und in diversen Theoremen. Erst durch , im und mit dem .Re-entry' im elften Kapitel erzeugt sie eine Qualitatsvcranderung - und Zeit. 23 Der Ausdruck ,recross' ist ein von Spencer Brown gebildeter Neologismus.

III. Komm entar - Das erste Kapitel : T HE FORM

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Moglichkeit eroffnet, die Absicht auf eine wiederholte Grenziiberschreitung als Hinweis auf die andere Seite der Unterscheidung zu verwenden, ohne eine weitere Differenzierung vomehmen zu mussen. Genauer betrachtet zeigt sich im Text, dass neben dem Wert des Inhalts auch vom Wert der Grenzuberschreitung selbst gesprochen wird. Hier wird analog zu oben deutlich, dass die Grenzuberschreitung selbst und der Wert des Inhalts in Bezug auf ihren Wert identifiziert werden konnen. In Bezug auf die Werte von Grenzuberschreitungen tut sich hier aber ein entscheidender Unterschied auf: Die Wiederholung von Grenzuberschreitungen ist nicht werterhaltend, sondem wertverandernd, denn der Wert eines wiederholten Uberschreitens ist nicht gleich dem Wert des Uberschreitens. In der zitierten Erlauterung zum zweiten Axiom wird gezeigt, was die Wertverschiedenheit bei Wiederholung des Uberschreitens fur die Funktion des Hinweisens bedeutet. Dabei wird wieder die Absicht zur Grenzuberschreitung aufgenommen (Motiv, Intention, Anweisung) , die eine Hinweisart fur Werte darstellt. Es gilt folgender Zusammenhang: Wird eine Grenzuberschreitung beabsichtigt und wird beabsichtigt, die Grenze noch einmal zu uberschreiten, dann weisen diese beiden Absichten zusammengenommen nicht auf einen der Werte hin, auf den die beiden Absichten fur sich genommen hinweisen . FUr aile drei Moglichkeiten dieser Hinweisart, die durch die Wiederholung der beabsichtigten Grenzuberschreitung entstehen, also die beabsichtigte einfache GrenzUberschreitung, die beabsichtigte wiederholte Grenzuberschreitung und diese beiden zusammengenommen, gilt: Keine weist auf den gleichen Wert hin, auf den die anderen hinweisen. Durch die Wiederholung verandert sich der Wert, auf den hingewiesen wird: Jede der Absichten ist ein Hinweis auf einen anderen Wert. Zwischen den Varianten der intendierten Grenziiberschreitungen besteht also ein Wertunterschied und damit ein hier relevanter Unterschied ." Zusammenfassend gilt also fur jede Grenze: ,to recross is not to cross' . Wichtig ist zudem, dass die Ruckuberschreitung nicht unabhangig von der Hinuberschreitung moglich ist - das ,recross ' kann nicht als isolierter Prozess aufgefasst werden . Es besteht gleichsam ein innerer Zusammenhang zwischen den wiederholten Hinweisen, der zweite weist auf etwas anderes als der erste hin, weil er der folgende ist, wei! bereits eine Grenzuberschreitung vorhergegangen ist. Diese Gesetzrnafiigkeit fur die Uberschreitung gilt zunachst ganz unabhangig von der Richtung der Uberschreitung . BerUcksichtigen wir aber die Moglichkeiten der Richtung der Uberschreitung, dann ergibt sich folgendes Bild: 24

(SK) Den hier entwickelten Differenztyp einer wertv eranderlichen Vervielfaltigung durch Wiederholung nennt Spencer Brown "severance or cleavage" (LoF :87) , d.h. Spaltung. Damit ist eine qualitative Verschiedenheit gemeint, die bei der Wiederholung dieser Hinweisart zu tage tritt .

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Wird die Oberschreitung einer Grenze in einen Inhalt hinein mit dem Wert des Inhalts identifiziert, wird ein je anderer Wert angezeigt , je nachdem , in welche Richtung iiberschritten wird - jede Oberschreitung entspricht dem Wert des Inhalts, in den sie hineingeht. Deshalb ist der Wert der wiederholten Uberschreitung in verschiedene Richtungen nicht der Wert der Uberschreitung. Die genaue Textanalyse der Erlauterung des Axioms zeigt , dass die Differenz zwischen ,crossing' und ,recross' nicht nur die Moglichkeit eroffnet - und hier in keiner Weise festlegt - das doppelte Uberschreiten, also das ,recross ' mit dem Wert der anderen Seite zu identifizieren bzw. die Absicht zum ,recross' als Hinweis auf die andere Seite zu verwenden . Es taucht auch noch eine weitere Moglichkeit auf: Wenn beide Absichten , die Grenze einmal zu iiberschreiten und die Grenze nochmal zu tiberschreiten ,zusammen genomm en werden', dann weist dies auf einen Wert hin, der weder der Wert der Oberschreitung noch der der Rtickiiberschreitung ist, sondem ein Wert, auf den durch keine von beiden hingewiesen wird (the value indicated by none of them). An dieser Stelle bleibt offen, ob aile drei Optionen genutzt werden, oder ob sie auf zwei oder gar nur einen Wert verdichtet werden und auch, wie diese drei moglichen Werte bestimmt werden. Seide Axiome formulieren Gesetze, die fur die Wiederholung von Hinweisen auf den/die Wertle des Inhalts/der Inhalte der Unterscheidung gelten sollen , d.h. sie sagen nur etwas aus tiber elementare Werte oder Inhalte .an-sich' , die durch die Unterscheidung unterschieden wurden. Insbesondere besagen sie, dass diese Werte mit den entstandenen Inhalten identifiziert werden konnen , auf welche Weisen auf diese Inhalte bzw. Werte hingewiesen werden kann und dass fur die Wiederholung der Hinweisakte verschiedene Gesetzrnalsigkeiten gelten. Ruck- und Ausblick: Ein Hinweis erfordert einen unterscheidenden Prozess, der die Form einer Unterscheidung generiert. Die zwei Seiten, die Grenze und der implizite Kontext werden beim Unterscheiden hergestellt. Es kann auf je eine der beiden unterschiedenen Seiten , d.h. auf zwei der vier Aspekte, hingewiesen werden , wenn die Unterscheidung als Resultat des Unterscheidungsprozesses durch ein Motiv aufrechterhalten wird und wenn die beiden Inhalte als von verschiedenem Wert seiend gesehen werden . Das Motiv und der Wert sind so notwendige BestandteiIe des Hinweisprozesses, mit dem die Unterscheidung erhalten oder stabilisiert werden kann . Ais Hinweise konnen Namen und Absichten zur Grenztiberschreitung dienen. Die die Hinweise realisierenden Hinweisakte konnen auf verschiedene Weisen erfolgen: entweder durch Namensnennung oder durch Grenzuberschreitungen. Mit einer Grenztiberschreitung oder mit einer Namensnennung kann immer nur auf eine der beiden Seiten hingewiesen werden; die wiederholte Grenztiberschreitung weist ebenfalls immer nur auf die Seite hin, und zwar auf

III. Kommentar- Das erste Kapitel: THEFORM

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diejenige , von der aus die einmalige Grenzuberschreitung vorgenommen wird. Nimmt man nun einen Namen fur die eine Seite A, lasst sich durch doppeltes Oberschreiten von der anderen Seite B aus auch auf diese andere Seite B selbst hinweisen. Anders gesagt: Nur wenn ein ,recross' vollzogen wird, wird auf die Seite, von der ausgegangen worden ist, hingewiesen , ohne dafiir einen zweiten Namen ins Spiel bringen oder eine weitere Unterscheidung eirfu hren zu milssen. So zeigt sich, dass das unterschiedliche Referenzverhalten der beiden Hinweisprozesse - das erst in der Wiederholung deutlich wird - dazu verwendet werden kann, urn auf die beiden Seiten einer Form der Unterscheidung hinzuweisen. Es ist also nicht ausreichend, nur zwei verschiedene Hinweisarten zu wahlen , da durch die einfache Verwendung der Hinweise nicht eindeutig auf die beiden verschiedenen Seiten hingewiesen wird, deshalb formulieren die Axiome Gesetze, die fur die Wiederholung gelten . Sowohl der Name als auch die Grenzuberschreitung konnen mit einem Wert identifiziert werden ; nirgendwo steht, dass der Name mit der einen Seite und die Grenziiberschreitung mit der anderen Seite identifiziert wird. Erst durch die Wiederholung der zweiten Hinweisart wird es moglich , auch auf die andere, unterschiedene Seite hinzuweisen, weil hier die beiden Hinweise - ,cross' und ,recross' - aufeinander bezogen werden. Weil aber die erste Hinweisart und die zweite Hinweisart in der einfachen Verwendung auf den gleichen Inhalt referieren konnten , kann die einfache Nennung mit der einfachen Absicht identifiziert werden und es lassen sich so auch die beiden Hinweisarten aufeinander beziehen. So zeigen die beiden Axiome , dass mit den beiden verschiedenen Hinweisarten, sofem sie wiederholt werden , eindeutig, d.h. ohne Verwech slungsgefahr auf die beiden Seiten der Form der Unterscheidung hingewiesen werden kann. Dies tragt der Definition der Unterscheidung Rechnung und erhalt die Form der Unterscheidung aufrecht. Wichtig ist zudem festzuhalten , dass es keine Bestimmung dafur gibt, welche Seite durch den Namen und welche Seite durch die Absicht zur (zweifachen) Grenziiberschreitung bezeichnet wird. Auf beide Seiten einer Form der Unterscheidung konnte mit beiden Hinweisarten hingewiesen werden . Auf welche der beiden Seiten durch Namensnennung oder Grenzliberschreitung hingewiesen wird, ist allerdings offen. Das zweite Kapitel wird mit der Aufforderung, eine Unterscheidung zu treffen , d.h. eine Form der Unterscheidung zu generieren, beginnen. Dies ist der art, an dem im Text entschieden wird, welche Seite durch welche Hinweisart bezeichnet sein soil. 1m elften Kapitel wird der dritte, im ersten Kapitel nur angedeutete Wert virulent - er wird dort als .imaginary value' wieder auftauchen. Bis dahin allerdings bestehen die Laws of Form in einer Explizierung und Verwendung der

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beiden Wiederholungsgesetze; in einem Aufzeigen dessen, was man mit den Hinweisen auf die zwei unterschiedenen Seiten einer Form der Unterscheidung alles machen kann, was alles aus ihnen ableitbar sein kann.

Das zweite Kapitel: FORMS TAKEN OUT OF THE FORM Katrin Wille und Thomas Holscher

1m Ubergang vom ersten Kapitel ,The Form' zum zweiten Kapitel ,Forms taken out of the Form' andert sich der Modus der Darstellung. 1m ersten Kapitel sind die Prozesse der Bildung und Aufrechterhaltung einer Unterscheidung beschrieben worden , im zweiten Kapitel wird ein Konstruktionsprozess vollzogen, der die Voraussetzungen aus dem ersten Kapitel konstruktivaufbaut, bestimmt und in eine eigene formale Sprache umsetzt. Dieser Konstruktionsprozess bewegt sich systematisch an den Schnittstellen zwischen Semiotik, Pragmatik, Syntax und Semantik. Bei der Entwicklung einer der Form (aus dem ersten Kapitel) angemessenen Notation werden Zeichen eingefiihrt, dabei neue Moglichkeiten fur die Bildung und Funktionsweise von Zeichen iiberhaupt eroffnet (Semiotik) . Zeichen werden als Anweisungen zu Handlungen konzipiert (Pragmatik), Grundregeln fur deren Verkniipfung abgeleitet (Syntax) und die Basis fur die Zuordnung von Zeichen und Werten gelegt (Semantik). Der Aufbau der Syntax und Semantik des Indikationenkalkuls insgesamt greift tiber das zweite Kapitel hinaus und wird im dritten und vierten Kapitel fortgesetzt. Spencer Brown setzt sich implizit und explizit von der ublichen Aussagenund Pradikatenlogik abo Es ist aufschlussreich, diese impliziten kritischen Absetzungen an einigen Stellen des folgenden Kommentars zu explizieren, urn die charakteristische Transformation im Aufbau und in der konkreten Entwicklung der Laws of Form zu bemerken. Ein wichtiger Unterschied zur ublichen Logik ist die Betonung des konstruktiven Bildungs- und Aufbauprozesses der Grundlagen des Kalkuls, den Spencer Brown im zweiten Kapitel kleinschrittig voIlzieht. Weil dieser Bildungsprozess nur als wirklich vollzogener Bildungsprozess verstandlich wird, ist er in einer Reihe von Anweisungen formuliert, die zur selbstandigen Nachbildung auffordern. Die Uberschrift des zweiten Kapitels gibt dafur eine Richtung . Es wird die Form konstruiert, urn dann aus dieser Form Formen zu entnehmen : Forms taken out ofthe form. Wichtig ist zum einen das Verhaltnis von Singular und Plural in der Uberschrift: aus der (einen) Form werden (mehrere) Formen moglich. Zum anderen weist die Formulierung ,taken out' auf den Prozess des Nehmens oder Entnehmens der Mehreren aus der Einen hin. Die Uberschriften des ersten, zweiten und zwolften Kapitels : ,The form', ,Forms taken out of the form' und .Re-entry into the form' stehen durch das Vorkommen des zentralen Ausdrucks ,form' in Beziehung zueinander. Diese

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drei Kapitel bilden einen allgemeineren Rahmen fur den Indikationenkalklil, der in den Kapiteln drei bis elf dargestellt wird. Aus der Zusammenstellung dieser drei Oberschriften lasst sich die Dynamik dieses Rahmens ersehen : von dem Ausgangspunkt der Form werden komplexere Formen aufgebaut (out of), die letzte Bewegung fuhrt uns wieder zurlick zum Ausgangspunkt (into). Die Verwandtschaft der Oberschrift des zweiten Kapitels ,Forms taken out of the form ' mit der Oberschrift des fUnften Kapitels ,A calculus taken out of the calculus ' akzentuiert das zweite Kap itel als Ubergang von der Form an der Basis zum Autbau eines Kalkuls , wie das ftinfte Kapitel den Uberg ang von einem Kalkul (der Prirnaren Arithmetik) zum nachsten (der Primaren Algebra) markiert. 1m Text des zweiten Kapitels finden sich zwanzig Zwischenliberschriften, die hier wie zwanzig Schritt e aufgefasst werden sollen , zu deren Nach- und Mitvollzug wir aufgefordert werden. I. Schritt : Konstruktion (Construction)

Draw a distinction - im ersten Schritt wird die Anweisung formuliert, eine Unterscheidung zu treffen. Die elementare mathematische Form ist nach Spencer Brown nicht die der Beschreibung eines Theorieautbaus, sondern die der Anleitung zu einem Theorieautbau und dessen Verwendung. Theorie (und fur Spencer Brown vor allem mathematische Theorie ) zu betreiben heiBt, eine Reihe von Anweisungen zu geben , durch die die Theorie erschaffen wird. Wichtig dabei ist die Modalitat der Anweisung als Aufforderung zu einer Handlung, nicht so sehr die genaue Reihenfolge der verschiedenen Anweisungen, die kann variiert werden. Hier fordert Spencer Brown sogar zu selbstandigen Handlungen auf, indem er in den Notes zum zweiten Kapitel den/die Leserln dazu ermuntert, eigene Wanderungen durch den Text zu unternehmen und eigene IlIustrationen zu finden, mogen sie nun mit dem Text libereinstimmen oder auch nicht.' Hier haben wir es mit einer Konstruktion sanweisung zu tun, durch die etwas erzeugt werden soll.' Damit wirklich eine Unters cheidung getroffen wird, musVgl. die Notes zum zweiten Kapitel, LoF:79. Spencer Brown nennt diesen Typ von Injunktion ,co mmand', durch den etwas ins Sein gerufen, also erschaffen wird. Die Injunktion Triff eine Unterscheidung soll an dieser Stelle wie ein gemeinsamer Vorlaufer von ein er aktiven Form wie z.B. Finde eine Unterscheidung oder Definie re eine Unterscheidung und einer passiven Form wie Lass eine Unterscheidung getrofJen sein verstand en werden. Es geht also an dieser Stelle urn eine Art von Konstruktion, die nicht in das Unterscheidungsspiel zwischen aktiver Kreation auf der einen Seite und passiver Rezeption auf der anderen Seite gehort, sondem dieser Unterscheidung gewissermaBen noch voran geht Daraus entwickeln sich im Laufe des Prozesses erst andere Typen von Injunkti onen, die hier noch konden siert sind. Genau wie das Gegensatzpaar ,aktiv' und ,passiv ' sollen auch andere Gegensatzpaare ,unterschritten' werden. Dies gilt an dieser Stelle sogar selbst fur den Gegensatz von Aufforderung und Beschreibung. Dazu heiBt es in den Notes zum zweiten Kapitel: " ... that the ideas of description, indication, name and instruction can amount to the same thing." LoF:8 Iff.

III. Kommentar - Das zweite Kapitel : FORMS TAKENOUT OFTHE FORM

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sen zwei Seiten durch eine Grenze SO unterschieden sein, dass die eine Seite von der anderen aus nur erreicht werden kann, wenn die Grenze zwischen ihnen iiberschritten wird.' Urn nun die Konstruktionsanweisung TrifJ eine Unterscheidung umzusetzen, muss irgendeine Art von Illustration der Unterscheidung gewahlt werden, irgendein Material oder Kontext, in dem eine Unterscheidung, die die Bedingungen erfullt, geschaffen wird. Dazu gibt es unendlich viele Meglichkeiten. Eine nennt Spencer Brown in seinem Beispiel im ersten Kapitel, namlich den Kreis in einem ebenen Raum . Konkret konnten Blatt und Bleistift oder Sandflache und Finger" gewahlt werden , urn in einer ebenen Flache einen Kreis oder ein Rechteck oder irgendeine andere geometrische Figur zu zeichnen, die geschlossen ist, also zwei Seiten klar und ohne Liicke voneinander unterscheidet. Nicht jedes Material und jeder Kontext eignen sich fur die Illustration einer Unterscheidung, Kreise in einem dreidimensionalen Raum auf der Oberflache eines Ringes oder Torus erfiillen die Bedingungen einer Unterscheidung z.B. nicht .' Es sei dem/der Leserln empfohlen, sich ein leeres Blatt und einen Bleistift zur Hand zu nehmen und die Konstruktionsanweisung auf eine der vielen moglichen Arten zu befolgen: TrifJ eine Unterscheidung! 2. Schritt: Inhalt (Content) Durch das Treffen einer Unterscheidung ist ein Gefuge entstanden, das aus verschiedenen Aspekten besteht. Die englische Zwischeniiberschrift ,content' erinnert dabei sowohl an die Entstehung von Inhalten (content = Inhalt) als auch an die Erfiillung der im ersten Kapitel aufgestellten Bedingungen (content = befriedigt, zufrieden). In diesem zweiten Schritt sollen den Aspekten der Unterscheidung Benennungen gegeben werden, damit sie als Referenzpunkte dienen konnen.? Benannt werden soli der im ersten Schritt vollzogene Prozess der Unterscheidung selbst, er soli die erste Unterscheidung genannt werden . Der Raum , in dem die Unterscheidung getroffen worden ist, also z.B. das Blatt Papier oder die Sandflache Vgl. den Kommentar zum ersten Kaptcl. Vgl. die Notes zum zweiten Kapitel LoF:79. Es sei zugleich auf die Notwendigkeit und die Grenzen von IIIustrationen hingewiesen . Illustration ist zum einen namlich die notwendige Realisienng von Anweisungen. Andererseits konnen lIIustrationen nicht immer die gegenseitige Abhangigkeit der Aspekte der Form ausdriicken , denn der Raum als ein Aspekt der Form entsteht erst zusammen mit der Unterscheidung und ist nicht, wie z.B. ein Blatt Papier , schon vorher unabhangig von der Unterscheidung da. Neben dem Typ von Injunktion , durch den etwas ins Sein gerufen , also erschaffen wird und den Spencer Brown Command nennt, entsteht hier ein zweiter Typ von Injunktion , der zum Vergeben von Benennungen auffordert, die als Referenzpunkte fur das Foigende verwendet werden konnen , Dieser Typ von Injunktion aubert sich im Text in der Form: .call-so-and-so-such-andsuch', vgl. Notes zum zweiten Kapitel LoF:80.

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oder was auch immer zur Illustration der Unterscheidung gewahlt worden ist, solI durch die Unterscheidung gespaltener Raum genannt werden . Die Teile des Raums, die durch Spaltung gestaltet worden sind, sollen Seiten der Unterscheidung genannt werden , oder altemativ durch die Unterscheidung unterschi edene Raume, Zustdnde oder Inhalt e. Spencer Brown wahlt hier mit Bedacht die Formulierung ,Spaltung' (cleavage), urn eine Unterscheidung von Zustanden (oder Raumen oder Inhalten) aufverschiedenen Ebenen auszudrucken.? Diese Anweisung, Benennungen zu vergeben, kann zum Beispiel durch die Beschriftung der im ersten Schritt geschaffenen Skizze iIIustriert werden . Diese Skizze kann insgesamt erste Unterscheidung genannt und so betitelt werden . Der Raum, in dem die Unterscheidung getroffen ist, heiBt gespaltener Raum . Die Teile, die durch die geschlos sene Grenze (wie z.B. bei den geometrischen Figuren ,Kreis' oder ,Viereck') entstehen, konnen mit Benennungen versehen werden, wie Seit en, Rdume, Zustdnde, Inhalte . Durch die Angabe verschiedener Worter Seiten, Rdum e, Zustande, Inhalte wird deutlich , dass wir hier noch auf der sehr elementaren Ebene sind, auf der verschiedene mogliche Qualifizi erungen kondensiert, verdichtet sind . Immer da, wo solche Reihungen im Text auftauchen, wird an die implizite Anweisung erinnert: Verleme die verschiedenen Qualitaten und Kategorien und die komplexen Unterscheidungen und Ausdifferenzierungen und geh zuruck zu den einfachen Bestimmungen, die allen moglichen Qualitaten und Kategorien gemeinsam sind! 3. Schritt: Gebrauchszweck (Intent) Mit dem nachsten Schritt beginnt eine Reihe von Anweisungen fur den Prozess der Zeichenbildung. Es solI irgende ine Markierung , ein ,token' oder ein Zeichen mit der Unterscheidung oder mit irgendeinem Bezug auf die Unterscheidung als Signal gewahlt werden . Ein Zeichen , eine Markierung oder ein ,token' werden dann als Signal aufg efasst, wenn das Zeichen (die Marki erung, das ,token') eine bestimmte Funktion der Informationsvermittlung bekommt, die auf Verabredung beruht. Es kann also zur Illustration dieser Anweisung irgendeine beliebige Art von optischem oder akustischem Zeichen als Signal mit der oder mit Bezug auf die geschaffene Unterscheidung herangezogen oder erfunden werden . Auch hier ist wieder die implizite Anweisung gegeben , Gewohnheiten tiber das, was als Signal verwendet werden kann, zu verlemen. Das Zeichen braucht nicht einem bekannten Zeichensystem zu entstammen, sondem kann irgendetwas sein, das die Funktion eines Signals in Bezug auf die Unterscheidung erhalten solI. FOr die Unterscheidung von Zustanden auf der gleichen Ebene fuhrt Spencer Brown in den Notes zum vierten Kapitel die Formulierung ,division' ein, vg l. Kommentar zum vie rten Kapit el sowie LoF:87.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel: FORMS TAKE N OUT OFTHE FORM

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Das Signal erhalt seine Funktion, Information zu venn itteln, durch seinen Gebrauch. Dieser soll der Gebrauchszweck (intent) des Signals genannt werden, das Signal erwei st sich so als Trager eines Gebrauchszwecks (intent), durch das zu Handlungen aufgefordert wird." Der Zeichenbildungsprozess, der in den folgenden Schritten fortgesetzt wird, hat also eine pragmatische Basis. 4. Schritt: Erster Canon. Die Konvention der Intention (First Canon . Convention of Intention) Der Gebrauch szweck eine s Signals ist nicht beliebig. Es wird dazu aufgefordert, den Gebrauch szweck eines Signals auf den Gebrauch , der ihm erlaubt ist, beschrankt sein zu lassen. Mit der in diesem Schritt ,Kanon' genannten Anweisun g wird auf alle bisherigen und aile folgenden Anweisungen Bezug genommen. Diese Art von Anweisung steht auBerhalb des Systems, das erschaffen wird und fonn uliert eine allgemeine Vorschrift.? Diese soli ,convention of intention ' genannt werden . Allgemeiner ist damit die Vorschrift gemeint, dass das, was nicht erlaubt ist, verboten ist. Der Gebrauchszweck eines Signals ist damit nicht nur mit seinem Gebrauch gleichzusetzen, sondern scharfer ist sein Gebrauchszweck auch auf den zugelassenen Gebrauch beschrankt. Uber das hinaus, was mit einem Signal gemacht werden soli, darf es keine Verwendung haben. Verwendungen , die vielleicht in anderen Kontexten und Systemen gewohnt und ublich sein mogen, sind nicht in den Konte xt hier zu ubertragen, wenn diese Verwendung nicht explizit erlaubt worden ist. Auch in den Transkripten zur AUM-Konferenz heiBt es dazu: Es darf nur verwendet werden, was eingeftihrt worden ist." Dieser Kanon ist damit eine Art ,Metaanweisung' , die bei j edem konkr eten Schritt mit zu beachten und zu befolgen ist. In diesem Kanan wird explizit aufgenommen, was im zweiten und dritten Schritt als implizite Anweisung zum Verlernen von gewohnten Kornplexitaten

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Zu dem Bedeutun gsfeld des Ausd rucks ,intent' gehort nicht nur Zweck (eines Gegenstandes), son dem auch Absicht (einer Person) oder als Adjektiv beabsichtigend, begierig (etwas bestirnmtes zu tun). Hier fallt die Bedeutungsverwa ndtschaft, aber auch der Unterschied zu dem viel verwe ndeten Ausdruck intention (vgl. im ersten Kapitel und auch im nachsten Schritt dieses Kapitels) auf. Spencer Brown bezieht sich an vielen Stellen explizit und an vielen Stellen eher implizit auf Wittge nsteins Tractatus log ico-ph ilosophicus. Ab Satz 2.1 entwic kelt Wittgenstein dort die sogenannte Bildtheorie und analysiert zu Beginn die semiotischen Bedingungen von Sprache. Ein wichtiges Moment dieser Analyse ist der Gebrauch von Zeichen. Dazu heiBt es z.B. in den Satzen 3.326 und 3.327 : " Um das Symbol am Zeichen zu erkennen, muB man aufseinen sinnvollen Gebrauch achten." und .Das Ze ichen bestimmt erst mit seiner logisch-syntaktischen Verwendung zusammen eine logische Form.". Vgl. dazu die Notes zum zweiten Kapitel: "A canon is an order, or set of orders, to permit or allow, but not to construct or create." LoF:80. Vgl. AUM 1,8 und 3,6.

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und Kategorien erwahnt worden ist. Diese Aufforderung zum Verlemen schlagt sich bei Spencer Brown stilistisch immer wieder in der Reihung von Wortern nieder, durch die eben ausgedrtickt werden soli, dass hier der Unterschied zwischen diesen Ausdrticken zu ,unterschreiten' oder zu ,verlemen' ist. Nur ein strenges Einhalten dieser Anweisung errnoglicht auch den theoretischen Reduktionsprozess der Laws ofForm insgesamt, den Spencer Brown in den Transkrip ten zur AUM-Konferenz als ,journey backwards ' und als ,taking farther and farther back to the simplest ground' bestimmt. II Wenden wir diese Anweisung gleich an und fragen, was uns bisher erlaubt worden ist: Bisher haben wir die Konstruktion einer Unterscheidung, die Benennung des Konstruktionsprozesses (als ,erste Unterscheidung') und der erschaffenen Aspekte der Unterscheidung (als ,gespaltener Raum' und ,Seiten' ), sowie ein beliebiges Zeichen, das als Signal mit einer oder mit Bezug auf eine Unterscheidung verwendet werden kann und in diesem Gebrauch seinen Gebrauchszweck hat, eingeflihrt. All dies darf nicht verwendet werden, urn etwas tiber verschiedene Qualitaten oder Wertigkeiten der Seiten zu sagen, nicht dazu, spezielle Zeichen vor anderen als mehr oder weniger geeignet auszuzeichnen. All dies widersprache der ,Metaanweisung'. Es ist eine gute Ubung, sich die Metaanweisung immer wieder dadurch zu illustrieren, dass man zusammenfasst, was bisher eingeflihrt worden ist, welcher Gebrauch erlaubt ist und welcher nicht. Mit einem etwas anderen Akzent konnte die ,convention of intention' auch als Transparenz- und Exaktheitsprinzip fur die Entwicklung von (wissenschaftlichen) Systemen seiber verstanden werden. In der Entwicklung eines mathematischen Systems wie hier des Indikationenkalkuls z.B. soli es keine verdeckten Konventionen geben." Vielmehr soli alles offen und explizit eingeflihrt sein (und nur die Alltagsfahigkeiten, die Sprache zu verstehen und zahlen zu konnen , werden vorausgesetzt, keinerlei Sprach- oder Zahlentheorie). Aber genau in diesem Transparenz- und Exaktheitsprinzip liegt auch die Schwierigkeit von Mathematik, denn man muss in der Lage sein, nur das zu lesen und aufzunehmen, was gesagt wird und dies mit keinen weiteren Annahmen zu vermischen ." 5. Schritt: Wissen (Knowledge) Im filnften Schritt wird die Anweisung gegeben, eine Markierung mit einem bestimmten Gebrauch einzufuhren . Durch die Markierung I der Unterscheidung (mark of distinction) soli ein durch die Unterscheidung unterschiedener

II

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Vgl. AUM 1,9. Vgl. AUM 3,6. Vgl. dazu AUM3 ,6-7 und die Notes zum zweiten Kapitel LoF:81.

III. Kommentar - Das zweite Kapitel : FO RMS TAK EN OUT OF THE FORM

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Zustand" markiert werden. Der Gebrauchszweck der Markierung liegt darin, den Zustand (vom anderen) zu unterscheiden und wieder zu erkennen." Dieser Zustand solI markierter Zustand genannt werden. Auf dem von uns als LeserInnen angefertigten Skizzenblatt konnen wir die gewahlte Markierung I neben die Skizze schreiben. Dadurch solI einer der moglichen Zustande der Unterscheidung von dem anderen unterschieden und markiert werden - welcher , ist hier offen gelassen . Der durch die Markierung unterschiedene Zustand hat keine weiteren Qualitaten, als dass er durch die Markierung der Unterscheidung (mark of distinction) unterschieden und durch die Markierung wieder erkannt werden soIl. Die unterschiedenen Zustande sind unterschieden, aber durch keinerlei Charakteristika, die ihnen inharent waren, unterscheidbar. Solche Charakteristika gibt es nicht (convention of intention! Mehr konnen wir nicht tiber ihn sagen!) . Die Unterscheidbarkeit wird geschaffen, indem einer der durch die Markierung unterschiedenen Zustande ,markierter Zustand' genannt wird. Durch diese Benennung ist ein Referenzpunkt geschaffen, der wieder erkannt und wieder verwendet werden kann. Die Markierung wird von Anfang an nicht als Reprasentation von Zustanden eingefuhrt, sondem als Moglichkeit der Unterscheidung und Wiederverwendung. Damit gehort sie seIber zur Form, die im nachsten Schritt als das, was aIle bisherigen Aspekte umfasst, eingefiihrt wird. 6. Schritt: Form (Form) Der durch die Unterscheidung gespaltene Raum zusammen mit dem gesamten Inhalt des Raumes soli die Form der Unterscheidung genannt werden . Und die Form der ersten Unterscheidung soli die Form genannt werden . Mit der Ebene der Form (der ersten Unterscheidung) ist die Ebene gemeint, auf der von allen raumlichen Qualitaten wie GroBe, Gestalt, Abstand und allen zeitlichen Qualitaten wie vorher, nachher und allen anderen Qualitaten wie Farbe oder Wertigkeit abgesehen worden ist. Bei der ersten Unterscheidung soli nur Differenz gedacht werden, Differenz zweier Zustande in einem durch die Unterscheidung gespaltenen Raum. Es ist keine bestimmte und auch nicht die eine Ur-Unterscheidung, es ist keinerlei ,Was' einer Unterscheidung, sondem leeres ,Dass ' einer Unterscheidung gemeint. Unterscheidbar werden diese unterschiedenen Zustande eben nicht aus sich heraus, sondem durch die Moglichkeit der Markierung.

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Hier wird aus den moglichen Bestimmungen der Raumt eile , die durch die Untersch eidung gesehaffen werden, die Bezeichnung Zustand und nicht Seite , Inhalt , Raum gewahlt, Zu dem breiten Bedeutungsfeld von ,knowing' und ,to be known by ' gchort neben ,wissen ', .erkcnnen' , ,erfahren', ,verstehen' , ,bekannt sein durch' auch ,einen vom anderen unters cheiden' und ,wieder erkennen ' .

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Die Differenz zwischen den Zustanden, die Zustande und der durch die Unterscheidung gespaltene Raum entstehen gleichzeitig und in Abhangigkeit voneinander. Von einem Zustand oder einem Raum unabhangig von oder vor der Unterscheidung kann nicht gesprochen werden , scharfer sogar: es kann keinen Zustand und keinen Raum vor, aul3erhalb oder nach der ersten Unterscheidung geben." Was entsteht, wenn etwas entstehen kann , ist die Form . Alles , was im Folgenden entwickelt werden kann , ist in der Form kondensiert, verdichtet. Diese Zusammenfuhrung kann in der Skizze durch einen Obertitel illustriert werden: Die Form. 7. Schritt: Name (Name) Auf der Basis der Form und der Moglichkeit, einen unterschiedenen Zustand zu markieren, kann nun die Entwicklung einer der Form angemessenen Notation und damit der Sprache des Kalkiils vorgenommen werden. Die Moglichkeit von Zeichen liegt in der Vervielfaltigung, der Replikation der Form, zuerst muss eine von der Form unterschiedene Form geschaffen werden. Diese Anweisung konnte z.B. so illustriert werden, dass ein neues Stuck Papier oder ein weiteres Areal Sand dazu genommen wird ." Durch die Erschaffung einer unterschiedenen Form wird aber keine zweite Form hergestellt, denn es geht bei diesem Vorgang nicht urn numerische Unterscheidungen, sondem vielmehr urn eine semiotische DifJerenz zwischen der Form der ersten Unterscheidung und der aus ihr entnommenen Form fur die Zeichenbildung. Die Markierung der Unterscheidung (mark of distinction),"} , soll aus der Form (also z.B. dem bisherigen Stuck Papier, auf das sie notiert worden ist) in die andere Form kopiert werden. Erst durch diese Kopie , die Replikation der Markierung in einer anderen Form ist die Moglichkeit eines Zeichens realisiert. Die kopierte Markierung ist zugleich Unterscheidung der Zustande, ermoglicht die Wiedererkennung und Wiederverwendung wie auch die Vervielfaltigung von Markierungen. Die kopierte Markierung soll, als Referenzpunkt fur das Folgende, Zeichen (token) der Markierung genannt werden. Jedes Zeichen (token) der Markierung soll als Name des markierten Zustandes genannt bzw. gebraucht werden . IS Durch die nachste Konstruktionsanweisung wird der Gebrauch des Namens bestimmt, der Name soll auf den Zustand hinweisen (indicate). Hier wird deutlich, wie die semiotischen Protostrukturen der Form aufgenommen und zu einer Zeichenverwendung ausgearbeitet werden. Aus der Markierung wird in der 16

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AUM 1,9: "The first state or space is measured by a distinction between states. There is no state for a distinction to be made in. If a distinction could be made, then it would create a space." Vgl. die Notes zum zweiten Kapitel, LoF:79. Es ist wichtig , zwischen dem Benennen von Aspekten, durch das Referenzpunkte erschaffen werden , und dem Gebrau ch von Namen , durch den auf Zustande hingewiesen wird, zu unterscheiden.

III. Kommentar - Das zwe ite Kapitel : FORMS TA KEN OUT OF THE FORM

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Replikation (Kopie) der Name. Das Zeichen "I kann also als Name fur den markierten Zustand verwendet werden . Die Hinweisfunktion (indication) des Namens ist aber genau wie bei der Markierung nicht als Reprasentation des Zustandes durch den Namen verstanden. Zum Hinweis auf einen Zustand durch den Namen gehort seine Unterscheidung, Wiedererkennung und Wiederverwendung . Der Leitbegriff des Indikationenkalkiils, Indikation oder Hinweis ruht in der pragmatischen Dimension der Form. Die graphische Gestalt des Zeichens "I hat auch die Funktion eines ,icons ' , eines Bildes der Unterscheidung von Zustanden im Raum. Die ikonische Funktion wird zum einen daran deutiich, dass Spencer Brown in den Notes immer wieder an eine alternative Notation mit Kreisen im Raum erinnert, und zum anderen durch die Moglichkeit, die gewahlte graphische Gestalt "I zu einem Rechteck, zu einer vollstandig begrenzten Figur im Raum, die nach Definition einen Unterschied in der Ebene macht, zu erweitern: 0 .19 Die Entwicklung einer der Form angemessen en Notation ist ein zentraler Punkt in den Laws of Form. Die Angemessenheit zeigt sich darin, dass die Notation die formalen Eigenschaften selbst aufweist, fur die sie stehen soll." Zu einem Zeichen gehort etwas, auf das es hinweist (indicate). Das, worauf es hinweist, muss aber nicht von ihm unterschieden sein, es steht also die Maglichkeit offen , dass ein Zeichen auf sich selbst hinweist. Ein ikonisches Zeichen, das das, worauf es hinweisen soli, seiber ist (wie der Kreis eine Unterscheidung), erhalt seine Funktion , Zeichen fur zu sein, vor allem durch den Kontext der Verwendung zusammen mit anderen .token ' ." , Das Vokabular der forma/en Sprache besteht bisher aus dem Symbol I das als Name , der auf den markierten Zustand hinweist, verwendet werden kann.

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Vgl. ahnli ch Engstrom 1999:37 "So we need a symbol that creates a new space. A box is a natural enough symbol of a distinction, and creates a new space inside itself; but a circle or any closed curve will do." Engstroms Ziel istes, nachzuzeiehnen, dass die Notation Spencer Brown s nieht wie iiblicherwei se arbitr ar, sondern durch pre-notationelle Ebenen fundiert ist. In Engstrom 200 I :29ff. unterscheidet er zwischen iiblicher typograph ischer Notation, die in linear geordneter Sequenz notiert und von links nach rechts gelesen wird , und graphischer Notation, die wie Graphen und Diagramme zweidimensional notiert wird und keine bestimmte Reihenfol ge hat , so dass die line are Ordnun g verloren gehen kann. Peirce und Spencer Brown entwickeln cine graphische Notation mit vcrbluffcnd vielen Ahnlidikeiten. Es ist ein zentrales Anliegen, eine Notation mit der angemessenen ,Iogischen Mannigfaltigkeit' (Wittgenstein, Tractatus 4.04) zu entwickeln. Vgl. dazu z.B . Kauffman 2001b:92: "The circle refers to itself, but that self is a Sign in a context of Signs , and so the circle can refer to other Signs individuall y indistinct from itself and yet distinguished from the original circle by the context of this community of Signs."

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8. Schritt: Zusammenstellung (Arrangement) Der nachste Schritt in der Entwicklung der formalen Sprache ist die Anweisung dazu, wie Zeichenzusammenstellungen gebildet werden konnen . Jede Ansammlung von Zeichen (token) , die als zu einer Form gehorig betrachtet werden , bilden das, was nach Spencer Brown ein ,arrangement', eine Zusamm enstellung genannt werden soil. Die Bildung eines ,arrangement' kann durch eine beliebige Foige von Zeichen (l ), die zusammen gehoren sollen, auf einem Blatt Papier illustriert werden. 9. Schritt: Ausdruck (Expression) Aus Zusammenstellungen von Zeichen werden ,expressions' , wenn die Zusammenstellung als Indikator, Hinweis auf etwas verwendet wird. ,Arrangements' bilden das blol3e Zeichenmaterial, ,expressions' dagegen sind Zeichen, die gebraucht werden sollen und durch die ein Hinweis gemacht werden kann." Wir konnen die Anweisung, einen Ausdruck (expression) zu bilden , in unserer Skizze z.B, dadurch illustrieren , dass wir die Zusammenstellung von Zeichen aus dem achten Schritt als Hinweis auf einen Zustand verwenden. " 10. Schritt: Wert (Value) Urn den Leitbegriff des Indikation enkalkiils, Indikation bzw. Hinweis, weiter zu entwickeln, soli der Zustand , auf den durch einen Ausdruck (expression) hingewiesen wird, der Wert des Ausdrucks genannt werden." Dem Ausdruck soli also ein Wert zugeordnet werden, der mit dern Zustand , auf den hingewiesen wird, identifiziert wird. An dieser Stelle geht es noch nicht urn die Art und Anzahl der Zustande und darnit auch noch nicht urn die Qual itat und Anzahl der Werte. Bisher ist ein unterscheidbarer Zustand , namlich der markiert e Zustand eingefiihrt und damit auch ein Wert. Ob und wenn ja welche anderen Zustande und Werte ,aus der Form entnommen ' werden konnen , ist an dieser Stelle noch offen. 22

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Wittge nstein nennt diesen Unterschied im Tractatus den zwischen Zeichen und Symbol, z.B. in Satz 3.326 : "U m das Symbol am Zeichen zu erkennen , muB man auf den sinnvollen Gebrauch achten." Ein Vergleich waren hier Satze, die in kommunikativen Situationen gebraucht werden . 1m Aufbau der Syntax der Aussagen logik wurde hier von ,Formeln' gesprochen. Wahrend es allerdings in der Syntax der Aussagenlogik induktive Definition en und Bildungsregeln braucht , urn aus einem Ausdruck eine Formcl zu machen, ist hier nur die Verwendun g der Zeichenansarnmlung als hinweisende ,expression' nofig. Der Begriff Wert kommt zum ersten Mal im ersten Kapitel vor, vgl. den Komment ar zum ersten Kapitel. Es ist weder dort noch hier ein ethischer, asthetischer oder okonomischer Wert gemeint.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel : FORMS TAKEN OUT OFTHE FORM

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Mit der Anweisung, den Zustand, auf den ein Ausdruck hinweist, seinen Wert zu nennen, wird die Basis fur die Semantik des Indikationenkalkuls gelegt, bei der es urn die Zuordnung von Werten zu Ausdriicken (expressions) geht. " Dieser Schritt kann in der Skizze so illustriert werden, dass dem Ausdruck (expression) in der Vorstellung ein Wert zugeordnet wird, ahnlich wie einem komplexen Funktionsausdruck x ein Wert y zugeordnet wird . Und bei dieser Illustration in der Vorstellung geht es darum, dass ein Wert zugeordnet wird, nicht was fur ein Wert das ist. 11. Schritt: Aquivalenz (Equivalence) Zwischen Ausdrucken (expressions) konnen tiber ihre Werte Beziehungen hergestellt werden. Haben Ausdriicke (expressions) denselben Wert, sollen sie aquivalent, also eben von gleichem Wert genannt werden. Urn Wertgleichheit zwischen Ausdriicken (expressions) auszudriicken, soli ein Zeichen fiir diese Aquivalenz, namlich das Zeichen , =' , zwischen die beiden wertgleichen Ausdriicke geschrieben werden. Damit sind die syntaktischen und semantischen Voraussetzungen geschaffen, urn das erste Axiom aus dem ersten Kapitel in die bisher entwickelte formaIe Sprache zu ubersetzen, Im ersten Axiom wurde die Ununterschiedenheit zwischen der wiederholten und der einmaligen Verwendung eines Namens ausgesprochen. Die einmalige Verwendung eines Namens (der auf einen Zustand hinweist und einen Wert hat) auf der einen Seite (der rechten Seite der Aquivalenzbeziehung, formal ausgedruckt: I) und die wiederholte Verwendung dieses Namens auf der anderen Seite (der linken Seite der Aquivalenzbeziehung, formal ausgedriickt: I I ) bilden zwei verschiedene Ausdriicke (expressions), die den gleichen Wert haben. Also gilt formal ausgedriickt: 11=1 . Mit dem Zeichen ,= ' wird eine semantische Behauptung tiber die beiden Ausdriicke, also tiber ihre Wertgleichheit gemacht und es wird nicht (syntaktisch) zur Herstellung eines neuen Ausdrucks (expression) verwendet. Diese Aquivalenzbeziehung soli die Form der Kondensation (form of condensation)" genannt werden . Kondensation, Verdichtung steht hier fur die Moglichkeit, eine wiederholte Namensverwendung, also einen komplexeren Ausdruck (expression) und eine einfache Namensnennung, also einen einfachen 25

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Spencer Browns Wertbegriffist ein anderer als der der Wahrheitswerte ,wahr' und ,falsch', die in der Semantik der (mathematischen) Logik verwendet werden. Durch die Identifikation von Wert mit dem Zustand, auf den ein Ausdruck hinweist, realisiert Spencer Brown einen weiteren Schritt in der Kette von konzeptuellen Reduktionen, die er in den Notes zum elften Kapitel so beschreibt: ,,[W]e must abandon existence to truth, truth to indication , indication to form, and form to void .", LoF:101. Moglicherweise sollen in der ,form of condensation' und auch in der im zwolften Schritt entwickelten ,form of cancellation' die Funktion von Axiomen und die Funktion von Schlussregeln zusammengefasst sein, die bei sonst Ublichem axiomatischem Aufbau unterschieden werden .

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Ausdruck (expression) vennittels ihrer Werte gleich zu setzen. Auf3erdem deutet die Bezeichnung Kondensation an, wie diese Form im weiteren Aufbau verwendet werden kann, namlich auch zur Substitution zwecks Kondensation von Ausdriicken (expressions)." Die Form der Kondensation kann als die erste Regel in dem ,Spiel mit Hinweisen', dem Indikationenkalkiil, gelten. Es wird hier schon deutlich, dass es in diesem ,Spiel' urn Aquivalenzbeziehungen geht. 12. Schritt: Aufforderung (Instruction) Der zwolfte Schritt ist ein Komplex aus verschiedenen Anweisungen, die die fonnale Sprache wesentlich erganzen, Urn die erste Anweisung ausfuhren zu konnen, ist es wichtig, sich ins Gedachtnis zu rufen, dass zur Form der Unterscheidung die Teile oder Zustande (Plural!) gehoren, die durch die Unterscheidung unterschieden werden. Einer der unterschiedenen Zustande wurde durch die Markierung I markiert und markierter Zustand genannt. Es erfolgt nun die Anweisung, den Zustand, der nicht mit der Markierung markiert worden ist, den unmarkierten Zustand zu nennen. Damit sind beide Zustande durch verschiedene Benennungen voneinander unterscheidbar, der eine Zustand heif3t der markierte Zustand, der andere heif3t der unmarkiertei" Mit der nachsten Anweisung wird der Gebrauch des Zeichens der Markierung (token of the mark) erweitert: Jedes Zeichen der Markierung (token of the mark) soli so gesehen werden, dass es den Raum, in den es hinein kopiert ist, spaltet. Jedes Zeichen der Markierung I soli seiber eine Unterscheidung in seiner eigenen Form sein. Damit ist das Zeichen der Markierung zum einen Name des markierten Zustandes (nach Schritt sieben) und zum anderen eine Unterscheidung in seiner eigenen Form. Durch jedes ,token' - als Unterscheidung betrachtet - wird eine ,eigene Form' aufgespannt, wird ein Raum gespalten und werden Zustande (Inhalte, Seiten) unterschieden. Die konkave Seite des Zeichens I soli seine Innenseite oder Innen genannt werden. Durch diese Anweisung, eine weitere Benennung einzufiihren, wird ein

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Der Terminus .condensation' ist zentral filr die Laws of Form: In der Formulierung ,form of condensation' als terminus technicus und als Prozess der Verdichtung , durch den ein Zeichen grobere Wirksamkeit (power) erhalt, da viele Bedeutungsebenen ,hineingefaltet' werden . Zu letzterem heiBt es in den Notes zum zweiten Kapitel : " We may also refer to it ... as a place where ideas condense in one symbol. It is this condensation which gives the symbol its power ... which is achieved by condensing as much as is needed into as little as is needed ." LoF:8I. Engstrom zeigt , dass Peirce in seinen ,existential graphs' auch mit geschlossenen Formen und mit notationellen Leerstellen arbeitet, vgl. Engstrom 2001:43. Anders als Spencer Brown ist Peirce von der Frage geleitet , welche raumliche Darstellung filr die logische Beziehung der Implikation angemessen ist, vgl. Engstrom 2001 :46f. Spencer Brown arbeitet dagegen nur mit Gleichungen, nicht mit Implikationsverhaltnissen, Ein wichtiger Grund dafilr liegt darin, dass das Irnplikationsverhaltnis eine bestimmte Richtung hat, wahrend Gleichungen beide Richnmgen erlauben, vgl. Engstrom 200 1:52.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel: FORMS TAKENOUT OF THE FORM

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neuer Referenzpunkt innerhalb der Form des Zeichens (token) als Unterscheidung selbst geschaffen. Mit der nachsten Anweisung wird der Gebrauch des Zeichens (token) noch einmal erweitert: Jedes Zeichen (token) soll als Aufforderung (instruction) aufgefasst werden , die Grenze der ersten Unterscheidung zu iiberschreiten. Die erste Unterscheidung ist die, deren Aspekte ein gespaltener Raum und Teile, Seiten oder Zustande sind, die durch eine Grenze voneinander unterschieden sind, so dass man nur von einer Seite auf die andere Seite gelangen kann, wenn die Grenze iiberschritten wird. Mit dieser Aufforderung, die Grenze zu uberschreiten, haben wir es im zweiten Kapitel mit einem neuen Typ von Anweisung zu tun, durch den eine Operation mit einer Richtung von einem Zustand zu einem anderen Zustand ausgefuhrt werden soll." Der erste Typ waren Konstruktionsanweisungen, durch die Formen erzeugt werden, der zweite Typ Anweisungen, urn durch Benennungen Referenzpunkte fur das Folgende zu schaffen, der dritte Typ Kanones, durch die Metaanweisungen gegeben werden. Dieser hier eingefuhrte vierte Typ von Aufforderungen oder lnstruktionen fordert innerhalb der formalen Sprache (des Kalkiils) zu Operationen auf, bei denen die Richtung eine entscheidende Rolle spielt (dies gilt fur den Typ zwei dagegen nicht). Die Aufforderung (instruction) ist also dann vollstandig und ausfiihrbar, wenn die Richtung angegeben wird, von wo und wohin die Bewegung gehen soIl. Urn also iiberhaupt die Grobe ,Richtung' einfuhren zu konnen, braucht es mindestens einen Bezugspunkt im Raum, von dem aus eine Richtung eingeschlagen werden kann. Der Referenzpunkt, von dem aus der Prozess des Uberschreitens beginnt , soli die oben benannte lnnenseite sein. Der Prozess soli damit von dem Zustand ausgehen, auf den auf der Innenseite des Zeichens (token) - als Unterscheidung gedacht - hingewiesen wird. Von dart soIl die Uberschreitung zu dem Zustand gehen, auf den durch das Zeichen (token) hingewiesen wird. Wird das Zeichen (token) als eine Aufforderung zum Uberschreiten genommen, wird es also als Operator verstanden, dann sind in den Gebrauchsregeln fur diesen Crossing-Operator sein Gebrauch als Name (fur den markierten Zustand) und sein Gebrauch als Unterscheidung kondensiert. Der Zustand, von dem der Prozess des Uberschreitens beginnt, also der auf der lnnenseite indizierte Zustand, zeigt sich durch den Gebrauch des Zeichens (token) als Unterscheidung. Der Zustand, in den der Prozess des Uberschreitens hineingeht, also der Zustand, auf den durch das Zeichen (token) hingewiesen wird, zeigt sich durch den Gebrauch als Name. Die Koinzidenz oder Kondensation von Operation des Uberschreitens, Unterscheidung und Name wird in diesem zwolften Schritt systematisch voIlzogen.

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Vgl. die Notes zum zweiten Kapitel, LoF:80.

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Das Zeichen I ist also systemati sch mehrdeutig" zwischen drei versch iedenen Gebrau chsweisen und Deutungen . Es stellt sich die Frage nach dem Wozu dieser Kondensation , die das Verstandnis davon, wie das Zeichen I verstanden werden soli, erheblich zu erschweren scheint. Warum, so liel3e sich fragen, wird nicht auch auf der Zeichen ebene zwischen den drei Funktionen differenziert , indem die Verschiedenheit durch Indizes oder neue Zeichen angezeig t wird? Ein Grund liegt darin : Wiirden diese Bedeutungsschicht en des Zeichens I derart auseinande r genommen, wiirde der innere Zusammenhang zwischen ihnen verloren gehen und nicht mehr deutlich sein, wie diese Aspekte in Abhangigkeit voneinander entstehen und sich gegenseitig stiitzen. ,Unterscheidung', ,crossing' und ,calling' sind Prozesse, die durch einander entsteh en und nur in Bezug aufeinander moglich sind. Eine Aufgliederung in verschiedene Zeichen fur die Unterscheidung, fur die Operation des ,crossing' und fur die Verwendung des Namens beim ,calling ' wiirde suggerieren, dass dies selbstandige Aspekte sind, die erst nachtraglich aufeinander zu beziehen und deren Beziehungen also wieder neu aufzubauen sind . Die methodologische Entscheidung, aile drei in einem Zeichen zu kondensieren, gibt den konstitutiven Beziehungen zwischen ihnen den Vorrang . Zusammengenommen heil3t dies, dass das Zeichen fur einen Zustand zugleich das Treffen einer Unterscheidung ist, die zugleich die Aufforderung ist, die Grenze von innen her zu iiberschreiten zu dem Zustand, fur den das Zeichen eben steht. 3 1 Es wird deutlich , wie hier selbst wieder eine Kreisbewegung vollzogen wird , die dahin zuruckfllhrt, wo begonnen worden ist, durch die das, mit dem begonnen worden ist, seinerseits aber wieder ermoglicht ist." 30

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Farnilienahnlich zur Idee der systematischen Arnbiguitat (vgl. dazu den Kommen tar zum ersten Kapitel) spricht Kauffman 200 Ib :82ff. von ,portmanteau signs' und von ,pivot duality' . Unter eine m ,portm anteau sign ' versteht er ein Zeiche n, das eine Kombination von verschiedene n Bedeutungen ist, so dass diese in dem Zeiehen zusammengesetzt oder kondensiert werden. Unter ,pivot duality' versteht er ein Zeic hen, dass in mehr als einer Weise interpretiert werden kann; diese Multiplizitat der Interpretation fuhrt zu einem Drehpunkt zwischen den versc hiedenen Kontexte n, der auf eine tiefe re gemeinsame Ebene hinweist. Beide Formen sind nach Kauffman zentral fur Ze ichen und vor allem fur formale Ze ichen. Dagegen steht der Wunsch, Zeic hen so zu bilden, dass je des Zeiehen eine einzige ihm zugewiesene Bedeutun g hat. Dies ist nach Kauffman nicht moglich und verstobt gegen die Idee von Sprache. Kauffman will in einer Analyse der Notationen von Peirce, Nico d und Spencer Brown zeigen, dass die formale Operation der Implikation nicht einfach ist und so nicht als Ausgangspunkt genommen werden kann. Deshalb ist dafur auch ein Ze ichen adaquat, das selbst ein komplexes Zeichen ist, zusammengesetzt aus anderen logischen Zeichcn also ein ,portmanteau sign' . Oder auchso herum : dass das Treffen einer Unterscheidung zugleich die Aufforderung ist, die Grenze von innen zu iiberschreiten hin zu dem Zustand, auf den das Zeic hen der Unterscheidung zugleich hinwei st, den markierten Zustand. An dieser Kreisbewe gung mit drei Prozessen wird deutl ich, dass die Unterscheidung zwische n ,Sache' und ,Zeichen fur die Sache' keine absolute ist, sondern immer wieder neu erschaffen und iiberschritten wird . Die semiotische Differenz ist also keine, die immer und selbstve rstandlich gilt

Ill. Kommentar - Das zweite Kapitel : FORMS TAKEN OUT OFTHE FORM

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Es ist wichtig, auch hier die Metaanweisung aus dem vierten Schritt (convention of intention) zu beachten. FUr die Operation des ,crossing' ist ein Ausgangspunkt bestimmt, das Innen, und eine Richtung, also uber die Grenze hin zu dem Zustand, auf den durch das Zeichen hingewiesen wird. Auf dem Hintergrund unserer begrifflichen Gewohnheiten ist die Versu chung groli, komplementar zu der Innenseite eine Aulienseite zu bilden und das ,crossing' von dem Innen in das Aulien gehen zu lassen. Da es aber keine Anwe isung zur Bildung des komplem entaren Begriffes ,AuBen' gibt, ist dies hier auch nicht erlaubt. In den Transkripten zur AUM-Konferenz heiBt es dazu, dass es bei der ersten Untersch eidung kein Aullen und kein Innen gibt, da seien die graphi schen Illustrationen irrefuhrend. Die Qualifizierung als .Aufsen' und ,Innen' hangt namlich davon ab, wo man sich als BetrachterIn befindet, dies ist aber fur die erste Unterscheidung noch nicht relevant. 33 Nachdem die kondensierte Komplexitat des Zeichens I entwickelt worden ist, schlielst die nachste Anweisung dort an, wo dieser zwoltte Schritt begonnen hat: Ein Raum ohne Zeichen soli auf den unmarkierten Zustand hinwei sen. So, wie das Zeichen der Markierung auf den markierten Zustand hinweist, weist der nicht markierte Raum auf den unmarkierten Zustand hin. Das klingt konsequent und symmetrisch. Es besteht aber ein wichtiger Unterschied zwischen dem Zeichen der Markierung und dem nicht markierten Raum. Nur das Zeichen der Markierung kann als Name (im Sinne des siebten Schritts) verwendet werden , nicht aber der Raum ohne Zeichen . In den Transkripten zur AUM-Konferenz betont Spencer Brown diesen Punkt: "We did away with the second name . This is essential. It' s the fear of doing away with the second name, that has left logic so complic ated . If you don't do away with the second name, you can't make the magic reduction. '?" Oem Anspruch der grobtrnoglichen Reduk tion und Einfachheit gemaf reicht es, bei der ersten Unterscheidung eine Seite zu markieren. Wo die Markierung gefunden wird, wird auf die markierte Seite hingewiesen. Wo keine Markierung gefund en wird, weist dies auf die andere Seite hin, die nicht markiert worden ist.35

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Vgl. AUM 1,13. Der Grund dafur, dass in der Literatur Oblicherwei se von der Innenseite und von der Aufsenseite gespro chen wird, liegt wohl darin, dass Spencer Brown in den Notes zu dem zweiten Kapitel eine ander e Art der Ableitung fur die beiden einfachen Gleichungen gibt. Diese illustriert er mit Kre isen und verwendet die Rede von der Innen- und AujJenseite der Kreise. Vgl. die Notes zum zweiten Kapitel LoF:82-83 sowie z.B. Simon 1999:59: "G rundlage einer je den Bezeichnung ist eine Unterscheidun g zwischen innen und au6en, die der Beobachter vornimmt ." Es ist bei Spencer Brown im Aujbau des Kalkuls weder von der Untersche idung zwischen innen und au6en, noch von dem Beobachter die Rede. Auf die Kornplement aritat zwischen Innen- und Au6ense ite greift auch Kauffman in seiner eindrucksvollen Rekonstruktion des Ind ikationenkalkul s zuruck. Vgl. z.B. Kauffman 1998a. AUM 1,12 Vgl. AUM 1, 13. Der Raum ohne Markierung konnte als .Quasi-Indikator' bezeichnet we rden.

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Dies ist die einfachste Art, zwei Zustande zu bestimmen und nur einen Namen zu brauchen, urn auf jeden der Zustande hinweisen zu konnen, einmal, indem der Name verwendet wird, und zum anderen, indem er nicht verwendet wird. Und die Nicht-Verwendung des Namens ist selbst kein Name ." Die Moglichkeit, einen Hinweis zu machen, besteht nicht nur durch einen Namen oder durch die Operation des ,crossing' (wie auch im ersten Kapitel ausgeflihrt), sondem auch durch einen Raum ohne Zeichen. Was sich ergibt, wenn die Operation des Uberschreitens wiederholt wird, ist im 2. Axiom des ersten Kapitels ausgedriickt und kann mit den geschaffenen syntaktischen Mitteln so formalisiert werden: '= . Die Operation des ,crossing' geht, wie ausgefuhrt, von dem Zustand , auf den auf der Innenseite des Zeichens hingewiesen wird, tiber die Grenze in den Zustand , auf den durch das Zeichen hingewiesen wird. Wird die Operation wiederholt und die Grenze von dem einen Zustand, auf den durch das Zeichen hingewiesen wird, also dem markierten Zustand, wieder zuruck uberschritten in den anderen Zustand, auf den auf der Innenseite hingewiesen wird, kommen wir zu dem Zustand zuruck, von dem wir ausgegangen sind, und das ist der unmarkierte. Das, was fur den Ausgangspunkt des Oberschreitens offen als ,der Zustand, auf den auf der Innenseite des Zeichens hingewiesen wird' vorgestellt werden solite, erweist sich in der Wiederholung und im Zusammennehmen der beiden Uberschreitungen (bzw. wie es in Axiom 2 heiJ3t, der beiden Absichten zu Uberschreitungen) als der unmarkierte Zustand . Es ist allerdings nicht erlaubt (nach dem vierten Schritt) zu sagen, dass die Innenseite des Zeichens fur den unmarkierten Zustand stehe. Nicht die Innenseite ist als Name eingefuhrt worden, sondem nur das Zeichen der Markierung (token of the mark) . Erst mit der Wiederholung des Oberschreitens wird der Ausgangspunkt des ersten Uberschreitens als unmarkierter Zustand zuganglich, In den Notesbetont Spencer Brown, dass mit jeder Aufforderung (instruction), und das heillt mit jeder Aufforderung, die Grenze zu iiberschreiten, der Zustand gewechselt wird." Auf das Oberschreiten in den markierten Zustand hinein folgt das wiederholte Oberschreiten mit der umgekehrten Ausrichtung in den anderen Zustand hinein, also hier den unmarkierten Zustand. Die wiederholte Uberschreitung der Grenze wird durch zwei ineinander geschriebene Zeichen in der formalen Sprache ausgedruckt. Die doppelte Oberschreitung, die zum unmarkierten Zustand fuhrt, kann als wertgleich angesehen werden (, =' nach dem elften Schritt) zu dem Wert, der durch nichts (von alldem) angezeigt wird . Wie im elften Schritt handelt es sich hier urn die Aquiva-

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Vgl. dazu sehr deutlich Kauffman 1981:254: "T here are no blank symbols ; there is only the empty space of the plane .... But a blank is not a symbol , it is ju st a place where no symbol has been drawn ." Vgl. die Notes zum zweit en Kapitel, LoF:80.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel : FORMS TAKE N OUT OF THE FORM

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lenz von zwei verschiedenen Ausdrticken,1I und , die den gleichen Wert haben . Spencer Brown nennt diese Aquivalenz die Form der Aufhebung (form of cancellation). Wird die Uberschreitung wiederholt und werden die beiden Uberschreitungen zusammengenommen, dann wird das Zeichen der Markierung aufgehoben, geloscht, und es entsteht ein Raum ohne Zeichen, der auf den unmarkierten Zustand hinweist. Die Form der Aufhebung kann als die zweite Regel in dem ,Spiel mit Hinweisen', dem Indikationenkalkiil, gelten. 13. Schritt: Gleichung (Equation) Es legt sich eine Reihe von Moglichkeiten nahe, an den wichtigen zwolften Schritt anzuschIiel3en. Eine Moglichkeit ware, die eingefllhrten Formen, die ,form of condensation' und die ,form of cancellation' und die in ihnen verwendeten Ausdriicke naher zu bestimmen . Eine andere Moglichkeit Iiegt darin, die systematische Mehrdeutigkeit des Zeichens (token) als Name, Unterscheidung und Instruktion aufzunehmen. In den Schritten 13-I5 wahlt Spencer Brown die erste Moglichkeit, in Schritt 16 wird die zweite aufgegriffen. 1m elften und zwolften Schritt wurden Aquivalenzen zwischen wertgleichen Ausdrucken vorgestellt. Es soIl nun der Hinweis auf aquivalente Ausdriicke eine Gleichung genannt werden. Spencer Brown unterscheidet damit zwischen Aquivalenzen und Gleichungen. Aquivalenzen sind Wertgleichheiten von Ausdrncken, Gleichungen sind Hinweise auf diese, also gewissermal3en .Satze' iiber aquivalente Ausdriicke. Die Funktion von Gleichungen bleibt an dieser Stelle beschrankt auf den Hinweis auf die Aquivalenz von Ausdrucken. Es ist hier noch nicht die Erlaubnis gegeben , Gleichungen wie in der Gleichungslehre iiblich durch Aquivalenzumformungen zu vereinfachen und dadurch eine Losungsmenge der Gleichung zu bestimmen. Diese Erlaubnis muss explizit gegeben werden und dies wird kleinschrittig im dritten Kapitel entwickelt." 14. Schritt: Einfache Gleichung (Primitive equation) Unter den Moglichkeiten fur Gleichungen wird in diesem Schritt ein bestimmter Typ von Gleichungen hervorgehoben, die einfachen oder primitiven Gleichungen (primitive equation). Darunter sollen die Form der Kondensation (form of 38

In den Erlauterungcn zu dem fruhen Such tiber Wahrscheinlichkeit und Wissenschaft macht Spencer Brown sich Gedanken tiber Gleichungen: ,,[It] prompts me to consider in what way mathematical propositions are c1ucidatory. What use is it to say that one expression is equal to another different-looking expression? I think the answer lies in their different forms stressing different aspects of what we want to consider.. .. In other words , the different ways of saying the same thing emphazise different aspects of it. When we use a mathematical formula containing the equality sign, we do so in order to couple together certain ideas we wish to emphazise on either side of it " Spencer Brown 1957:141.

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condensation) und die Form der Aufhebung (form of cancellation) fallen. Auf3er diesen beiden soIl es keine weiteren einfachen bzw. primiti ven Gleichungen geben . Die Bezeichnung der beiden Gleichungen als ,primitiv' erinnert an ,primitive Symbole' , die in der Logik oft als Zeichen bestimmt werden, deren Bedeutung als bekannt vorausgesetzt wird. Zu Spencer Browns Verwendung von ,primitiv' gehoren unbedingt die Bedeutungsschichten ,elementar' und .ublichen Differenzierungen voraus liegend '" . Damit ist aber entgegen ublicher Verwendungen nicht gemeint, dass das als ,primitiv' oder ,elementar' Qual ifizierte einfach gegeben oder vorausgesetzt wird. ,Elementar' oder ,primitiv' ist das, was aus der Idee der Unterscheidung ohne weitere Qualifizi erung abgeleitet werden und als Grundlage fur andere Verwendungen dienen kann . Mit den beiden einfachen bzw. primitiven Gleichungen werden demgemaf Hinweise auf aquivalente Ausdrlicke gegeben , die im Folgenden als bekannt vorausgesetzt werden und auf denen die weitere Entwicklung (von Differenzierungen) aufbauen kann . 15. Schritt: Einfacher Ausdruck (Simple expression) Die drei verschiedenen Formen von Zusammenstellungen (arran gements) , die in den beiden einfach en bzw . primitiven Gleichungen vorkommen, sollen, wie im neunten Schritt festgelegt, Ausdriicke heif3en, also : 11 ,11 ,I und dazu noch die Abwesenheit von Form . Jeder Ausdruck , der aus einem leeren Zeichen besteht, also aus I , soIl einfach genannt werden . Jeder Ausdruck, der aus einem leeren Raum besteht , also aus , soli einf ach genannt werden. Nur diese beiden Ausdrlicke sollen einfache Ausdriicke heilsen." Durch diese Bestimmung der beiden einfachen Ausdrucke als ,Ieeres Zeichen' und ,Ieerer Raum' wird eine terminologische Parallelit at zwischen den beiden hergesteIlt, die den weiteren Aufbau eines zwe iwertigen Systems (bis zum zehnten Kapitel) ermoglicht. Die beiden einfachen Ausdrucke weisen auf die beiden Zustande, Werte hin, mit denen gearbe itet wird . Es ist wichtig zu beachten , dass diese Parallelitat der beiden Werte hier gesc hafJen und bewusst eingefiihrt wird und nicht die Voraussetzung ist, auf der das System beruht. 1m zwolften Schritt wurde deutlich , dass die Beziehung der beiden einfachen Hinweise auf die beiden Zustande, den markierten und den unmarkierten, keine von zwei Namen ist, seien es einfach zwei verschiedene Namen a und b oder ein Name a und sein komplernentarer Name ~a . Hier wird vielmehr, wie dargesteIlt , die einfachste Form gewahlt, in der nur ein Name verwendet wird, urn auf zwei Zustande hinzuweisen, eben durch die Verwendung und die Nicht-Verwendung

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Vgl. diese Verwendun g z.B. in den Notes zum zweiten Kapite\, Lcf:84. Streng genom men sind die beiden einfachen Ausdriicke vor diesem 15. Schritt noch gar nicht eingefuhrt; als Ausdriicke explizit cingcfuhrt sind im achten und neunten Schritt nur (mehrere) ,token' in Beziehun g aufeinander.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel: FORMS TAKENOUT OF THE FORM

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des Namens. Der Hinweis auf den unmarkierten Zustand ohne Verwendung einer Markierung, also eines Zeichens und damit eines Namens, nutzt die einfachste Differenz von Prasenz und Absenz, metaphysisch aufgeladen formuliert von Sein und Nichts. Es liegt aber alles daran, wie diese Differenz, wie dieser Differenzmodus bestimmt wird. Dabei wird die Prasenz, ,das Sein' , als Zeichen , als Markierung verstanden, die Absenz, ,das Nichts ', als Nicht-Vorhandensein einer Markierung. Damit wird die Absenz nicht zu einer Art ,negativer Prasenz' , die komplementar zu der Prasenz bestimmt werden kann . Absenz, das NichtVorhandensein, kann als Hinweis fungieren, nicht aber als Name. 1m Anschluss an diesen Schritt legt sich die Frage nahe , wie auf der Basis der einfachen Ausdrticke andere Ausdrlicke, moglicherweise komplexe Ausdrueke, gebildet werden konnen." 16. Schritt: Operation (Operation) In diesem Schritt wird inhaltlich zum zwolften Schritt zurlickgegangen und es wird an die intendierte, systematische Mehrdeutigkeit des Zeichens I (token) angeknlipft. Es werden zwei der Gebrauchsweisen des Zeichens (token) explizit zusammengefuhrt: der Gebrauch als Name und der Gebrauch als Aufforderung (instruction) gemaf Vereinbarung. Durch beide Gebrauchsweisen kann auf einen Zustand hingewiesen werden . 1m siebten Schritt wurde deutlich, dass ein Name auf einen Zustand hinweisen kann. Und genauso kann dies, wie im zwolften Schritt vorbereitet, die Aufforderung, die Grenze zu liberschreiten. Diese hat eine Richtung , namlich die Grenze hin zu dem Zustand, auf den durch das Zeichen hingewiesen wird, zu liberschreiten. So kann hier der Schritt gemacht werden, dass auch durch die Verwendung des Zeichens als Aufforderung, die Grenze zu liberschreiten, auf einen Zustand hingewiesen werden kann . Dies ist in der Vereinbarung im zwolften Schritt vorbereitet und wird hier explizit erlaubt. Daraus folgt, dass jedes Zeichen als Aufforderung (instruction) zur Durchfuhrung (operation) einer Absicht zur Grenzliberschreitung aufgefasst werden kann. Dem Zeichen (token) kann so verstanden der Name ,liberschreite' (cross) gegeben werden, urn darauf hinzuweisen , worin die Absicht besteht. Dadurch werden die Vorbereitungen aus Axiom 2 des ersten Kapitels aufgenommen, wo die Absicht (intention), die Grenze zu liberschreiten, schon als Hinweis auf den Wert des Inhalts bestimmt wird. Dies ist die Basis fur die Formulierung von Axiom 2, welches wiederum die Grundlage fur die ,form of condensation' aus dem zwolften Schritt bietet.

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In anderen formalen Systemen warden die einfaehen Ausdriieke die Funktion von ,atomaren Formeln' haben, auf deren Basis dann rekursive (Bildungs-)Regeln fur wohlgeformte Ausdriieke entwiekelt wiirden. 1m weiteren Aufbau des Indikationenkalkiils werden sieh Untersehiede und Ahnli chkeiten zu diesem Verfahren zeigen.

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An dieser Stelle werden die Namensfunktion und die Anweisungsfunktion zu einer Operation systematisch miteinander verschrankt. In dem Zeichen l ist beides verdichtet, konden siert. Der Name ist selbst nichts als die Anweisung, in den markierten Zustand hinein zu uberschreiten, die Anweisung zu uberschreiten ist selbst nichts als der Name fur den markierten Zustand." Dadurch werden zwei Typen von Injunktionen, die zunachst unterschieden word en sind, eng auf einander bezogen, so dass sie nur in Abhangigkeit voneinander moglich sind, namlich der zweite Typ, durch Benennungen Referenzpunkte zu schaffen und der vierte Typ, Instruktion en in eine vereinbarte Richtung auszufuhren." Einer der im 15. Schritt gebildeten einfachen Ausdrucke, das leere Zeichen, ist gleichzeitig (der einzig e) Operator: ,cross'. Mit diesem 16. Schritt wird der einzige Operator erzeugt, der zur Sprache des mathemat ischen Systems des Indikationenkalkuls gehort. Die Besonderheit gegenuber anderen formal en Sprachen liegt allerdings nicht nur darin, dass es nur einen Operator gibt, durch den Sheffer-Strich und den Peirce-Pfeil ist schon anderweitig nachg ewiesen , dass sich ein vollstandiges formales System auf nur einem Operator aufbauen lasst. Besonders ist, dass Oper and und Operator gezielt und in allen Kontexten zusammenfallen'" und dadurch eine selbstreferentielle Struktur haben ." Das ,cross' ist ein Ausdruck, auf den eine Operation angewandt werden kann, und Aufforderung zu einer Operation zugleich. Es wird im Autbau des Kalklils gezeigt, dass dies keinerlei Verwirrung stiftet und genauso leistungsstark ist wie nbliche formale Systeme , die hier eine strikte Unterscheidung von Operator(en) und Operanden fordem. 17. Schritt: Relation (Relation) Es ist noch offen , wie das einzige Symbol bzw. der einzige Name, der wie ausgefuhrt verschiedene Gebrauchsweisen vereinigt, mit Kopien seiner selbst in Beziehung treten kann, also wie die Zusammenst ellung (arrangement) von Zeichen und komplexe Ausdrlick e gebildet werden durfen, Was, so ist hier die

'2

'3

"

'5

Vgl. "Na me and act have condensed. The name is nothing but the act of crossing from the absence of name." Kauffman 1998a:65. Dies druckt Spencer Brown auch in den Notes zum zweiten Kapitel aus, wenn Namen "in relation with the operation of instru ctions" eingefuhrt werden, LoF:80. Kauffman zeigt z.B. wie ublich es in der mathematischen Praxis ist, Ze ichen in verschiedenen Kontexten mal als Operand und mal als Operator zu verwend en. Es hangt dabei immer vom Standpunkt ab, was der Akteur ist und was dasjenige ist, auf das operiert wird, vgl. Kauffman 1981:253. 1m Unterschied dazu haben Zeichen bei Spencer Brown in allen Kontext en beide Funktionen. Nehmen wir noch die dritte Funktion des Zeichens hinzu, selbst eine Unterscheidung (in seiner eigenen Form) zu sein, dann ist das Ze ichen selbst das, worauf es hinweist und weist somit auf sich selbst hin. "Hence, the mark is its own name. We have found a sign that stands for itself." Kauffman 1998c:64.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel : FORMS TAKEN OUTOFTilE FORM

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Frage, die nicht explizit beantwortet ist, sind (syntaktische) Regeln fiir ,wohlgefonnte ' Ausdri.icke? Zur Beantwortung dieser Frage nimmt Spencer Brown eine Entscheidung zur Bestimmung der Form aus der Definition im ersten Kapitel auf: Distinction is perfect continence. Die Art und Weise, wie ,crosses' in Beziehung treten konnen, wird von dieser Definition abgeleitet. Die einzige Beziehung, die zwischen ,crosses' zugelassen ist, ist ,continence', Enthaltensein. Ein ,cross' solI das enthalten, was auf seiner Innenseite ist und das nicht enthalten, was nicht auf seiner Innenseite ist. Weitere Relationen zwischen ,crosses' sind nicht eingeftihrt, ,nebeneinander', ,untereinander' oder auch ,einander liberlappend' gelten z.B . nicht als Relationen zwischen .crosses'." Durch die ,fonn of condensation' und die ,fonn of cancellation' wird ja auch gerade gezeigt, dass die Vervielfaltigung von ,crosses' (ob nebeneinander, untereinander ist eine reine Konvention der Schreibweise) keinen Unterschied erzeugt, wohl aber die Schreibung ineinander (als Ausdruck der Relation ,continence'). In den nachsten Schritten wird diese einzige Art der Relation zwischen ineinander stehenden Vorkommnissen des einzigen Symbols weiter entwickelt, so dass deutlich wird, was eigentlich ein wohlgefonnter Ausdruck ist. An dieser Stelle im Prozess beginnt die Beschaftigung mit der Anordnung der ,crosses'. Wie sollen eine Zusammenstellung (arrangement) und ein Ausdruck (expression) geschrieben werden? Der Raum, der durch die Art der Anordnung der ,crosses' aufgespannt wird und entsteht, wird betrachtet und mit ihm die Frage, was fiir ein Raum sich bei dieser Notation ergibt. Der Raum , der sich bei dieser Notation ergibt, ist einer, bei dem nur die raumliche Beziehung enthalten - nicht enthalten gelten solI. Der Raum, der hier entsteht, ist ein Raum ohne die Unterscheidungen rechts und links, oben und unten , nebeneinander und entfemt voneinander. Das einzige, was einen Unterschied macht, ist die Beziehung des Enthaltenseins. Ob in einem ,arrangement' die verschiedenen ,crosses ' , die entweder andere enthalten oder nicht enthalten, in einer Reihe nebeneinander stehen oder nicht, ist gleichgiiltig und eine reine drucktechnische Frage. Diese Notation ist also nicht linear und nicht an die libliche Schreibung in der Linie gebunden. Ein wohlgefonnter Ausdruck kann also sowohl in einer Zeile geschrieben werden11111111 , aber auch so:

I

11 I

11 I

Zwischen beiden Ausdrlicken besteht kein relevanter Unterschied. Es gelten bei dieser Notation also nicht die Einschrankungen, die bei sonstigen linear ge46

Hierin liegt einer der zentralen Unterschiede zu den Venn-Diagrammen, an die man sich bei der ikoni schen Notation Spencer Browns, die auch mit geschlossenen Formen wie Kreisen oder Boxen darge stellt werden kann , erinnert fuhlen konnte, vgl. II.A Kontexte der Laws of Form.

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Katrin Wille und Thomas Holscher

schriebenen formalen Sprachen bestehen. Da es keinen Unterschied macht, ob die ,crosses' untereinander, ubereinander, weit voneinander entfemt und nah beieinander geschrieben werden, ist diese Notation auch reihenfolgeunabhangig, Nehmen wir die erste Version von oben, so macht es keinen Unterschied, ob die Reihenfolge der ,crosses' so 11111111 oder so 11111111 angeordnet ist. Die einzige Relation des Enthaltenseins ist auch nicht eingeschrankt auf die Beziehung zwischen zwei ,crosses ' , Enthaltensein ist keine binare Relation und hat keine Stelligkeit. Es konnen beliebig viele ,crosses' in anderen ,crosses' enthalten sein, z.B

,

Diese Notation kommt also mit der Relation ,continence' aus, durch die eine klare Zusammenfassung gegeben wird, durch die keine gesonderten Klammersymbole, wie bei ein- oder zweistelligen Relationen notig, gebraucht werden . Der Vergleich dieser Notation mit der in der Aussagenlogik ublichen z.B. zeigt, dass die eingeschrankte Stelligkeit und die Reihenfolgeabhangigkeit Eigenschaften der Iinearen Notation sind, also Eigenschaften der Zeichen und des durch und mit ihnen entstehenden Raurns." Diese werden dann durch die zusatzliche Einfuhrung von Klammersymbolen und die Einfuhrung des Kommutativgesetzes fur Konjunktion und Adjunktion teilweise wieder aufgehoben. All dieser formale Aufwand , urn Wirkungen der gewahlten Notation auszugleichen, kann bei einer Notation wie der hier entwickelten wegfallen . 18. Schritt: Tiefe (Depth) Die Relation ,continence' hat verschiedene Tiefen, denn es gibt keine Beschrankung auf Quantitat und Ebenenvielfalt der ,crosses' . Ein Ausdruck kann aus mehrfach gestaffelten Raumen bestehen , deren Tiefe mit Zahlenindizes unterschieden werden kann. In einer Zusammenstellung (arrangement) a, die in einem Raum s steht, soli die Anzahl der ,crosses' , die uberschritten werden mussen , urn einen Raum s, von s aus zu erreichen, die Tiefe von s, in Bezug auf s genannt werden.

';JIs 47

Spencer Brown wirft der ublichen mathematischen Notation vor, die Freiheit der zuslitzlichen Dimension zu verfehl en, die sich ergibt, wenn wir von der gesproch enen zur geschriebenen Sprache wechseln . Die Fixierung des Skopus von Junktoren wie ,und' und ,oder' ist wichtig fur die gesprochene Sprache, nicht aber fur die geschriebene, die zwei Dimensionen zur Verfugung hat, die diese Einschrlinkung des Skopus aufzwei uberflussig macht. Vgl. die Noles zum zweiten Kapitel, LoF: 88-89,92 sowie Spencer Brown 1997:xv.

III. Kommentar- Das zweite Kapitel: FORMS TAKEN OUT OF THE FORM

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Der Raum, der durch die grofste Anzahl von Uberschreitungen nach innen erreicht wird, soli der tiefste Raum in der Zusammenstellung a genannt werden. Der Raum, der ohne jede Uberschreitung erreicht wird, soli der jlachste Raum in a genannt werden. Also ist der flachste Raum So gleich dem Raum , in dem die Zusammenstellung steht, es gilt somit: So = s = flachster Raum Sn = tiefster Raum

Jedes ,cross', das in irgendeinem Raum beliebiger Tiefe unter einem ,cross' c steht, soli in diesem enthalten genannt werden . In der folgenden Skizze sind die beiden inneren ,crosses' in dem aufseren ,cross' c enthalten. Jedes ,cross' , das im flachsten Raum von c steht, soli unter diesem stehend oder von diesem bedeckt genannt werden . In der folgenden Skizze ist das im ,cross' c enthaltene ,cross' von diesem bedeckt. Die Relation des Enthaltenseins wird hier in den ihr eigenen Beziehungsmoglichkeiten entwickelt. Anordnungen im Unterscheidungsmuster enthalten nicht-enthalten haben einen flachsten Raum , einen tiefsten Raum und je nach Ausdruck verschiedene mogliche Tiefen. Die Anordnungseigenschaft der Tiefe ermoglicht die Bildung von wohlgeformten komplexen Zusammenstellungen (arrangements) und Ausdriicken (expressions). Welche Transformationsregeln fur komplexe Ausdriicke verschiedener Tiefe gelten, durch die in einer endlichen Sequenz von Schritten ein eindeutiger Wert errechnet werden kann, wird im dritten und vierten Kapitel (Beweis zu Theorem 3) gezeigt. 19. Schritt: Ungeschriebenes ,cross' (Unwritten cross) Eine Zusammenstellung (arrangement) war im achten Schritt bestimmt als eine Anzahl von Zeichen, die in Bezug auf einander betrachtet werden oder anders gesagt , die als in derselben Form angesehen werden. Diese Zusammengehorigkeit von Zeichen oder ,crosses' zu einer Zusammenstellung wird durch ein ungeschriebenes ,cross' (unwritten cross) vorgestellt. Es soli angenommen werden, dass jeder flachste Raum so, also der Raum, in dem die Zusammenstellung steht, von einem ungeschriebenen ,cross' umgeben ist. Die ,crosses', die unter einem ,cross' c stehen , die also in s\ stehen, wenn c in So steht, sei es geschrieben oder nicht geschrieben, sollen die ,crosses', die von dem flachsten Raum in c durchdrungen werden , genannt werden . Zu der Anordnungseigenschaft der Tiefe gehort also auch noch das Umgebensein jedes Ausdrucks durch ein ungeschriebenes ,cross' und die Moglichkeit, dass ,crosses' durch sie umgebende Raume durchdrungen werden . Dadurch wird die Zusammengehorigkeit von ,crosses' in einer gemeinsamen Tiefe mog-

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lich (deren Reihenfolge zum Beispiel vertauscht werden kann, ohne dass das einen Unterschied machen wurde) . 20. Schritt: Durchdringender Raum (Pervasive Space) Die Anordnungseigenschaft des Durchdrungenwerdens von ,crosses' durch Raume bezieht sich aber nicht nur auf einen zusammengehorigen Ausschnitt, sondem auch auf ganze Zusammenstellungen (arrangements). Jedes ,arrangement' soli von seinem flachsten Raum Sn durchdrungen sein . Der Raum s, der ein ,arrangement' a durchdringt, egal, ob noch andere ,arrangements' als a von dem Raum durchdrungen werden , soli der durchdringende Raum von a genannt werden . Vermittels der Durchdringung der Zusammenstellungen durch den Raum, in dem sie stehen und den sie erzeugen , wird sparer die Moglichkeit eroffnet, in dem Raum Transformationen vorzunehmen, zu erweitem, zu verdichten , den Wert zu ermitteln" und vom tiefsten in den flachsten Raum hinein Signale zu senden", Mit diesem zwanzigsten Schritt endet der schrittweise Aufbau des zweiten Kapitels. 21. Schritt: Rtickblick - Eine der Form der Unterscheidung angemessene Notation In der im zweiten Kapitel vorgelegten Entwicklung einer der Form der Unterscheidung angemessenen Notation beruhren sich Semiotik , Pragmatik , Syntax und Semantik. Die semiot ischen Entscheidungen haben direkte pragmatische, syntaktische (und semantische) Konsequenzen . Tragen wir die wichtigsten Punkte zusammen: Es gibt in der formalen Sprache keine unabhangigen identifizierbaren Elemente, sondem die Form als komplexes Gebilde , aus der Operand und Operator gleichzeitig und in Abhangigkeit voneinander entstehen. Das Zeichen (token) list systematisch mehrdeutig zwischen Name , Unterscheidung und Instruktion. Durch den Prozess der Kondensation ist die grofstmogliche Verdichtung von Zeichen erreicht, durch die die gegenseitige Abhangigkeit verschiedener Gebrauchsweisen deutlich wird. Das Zeichen ist nicht rein arbitrar, sondem eine ikonische Reprasentation der Unterscheidung (die es selbst ist).

48 49

Vgl. z.B. Theorem 2 im vierten Kapt el. Dazu z.B. in der ,rule of dominance' im vierten, achten und elft en Kapitel.

III. Kommentar - Das zweite Kapitel : FORMS TAKENOUTOFTHE FORM

III

Das Nicht-Vorhandensein eines Zeichens (der leere Raum) fungiert als Hinweis (nicht als Name) auf den zweiten Zustand, d.h. es braucht zur Arbeit mit zwei Zustanden (zwei Werten) nicht mehr als einen Namen . Zwischen den Zeichen gibt es eine Art von Relation . Darin zeigen sich fur die Gebrauchsweise des Zeichens als Operator die Eigenschaften der Reihenfolgeunabhangigkeit und Nichtstelligkeit. Wie durfen wir die Notation verwenden? Wie wird mit Hilfe dieser Notation der Indikationenkalktil aufgebaut? - Lesen wir dazu - nach einer kleinen Schleife im 22. Schritt - weiter im dritten bis elften Kapitel. 22. Schritt: Variationen Spencer Brown fordert die LeserInnen in den Notes zum zweiten Kapitel dazu auf, die Anweisungen des zweiten Kapitels zu variieren und eigene und andere Wege und IIIustrationen auszuprobieren als die vorgeschlagenen." Zwei Variationen deutet Spencer Brown seIber an. In den Notes zum zweiten Kapitel schlagt Spencer Brown eine andere, weniger elegante, aber moglicherweise zuganglichere Ableitung der beiden einfachen (primitiven) Gleichungen vor. Weniger elegant daran ist, dass in zweierlei Hinsicht gegen die Metaanwei sung, die convention ofintention, verstoBen wird. Es wird namlich mit Substitution und mit der Unterscheidung zwischen innen und auBen gearbeitet, die beide in der strengen Entwicklung noch nicht eingefuhrt sind, mit denen wir aber durch alltagssprachliche Verwendungen vertraut sind. Spencer Brown skizziert zwei Wege. Den ersten gibt er fur eine andere Ableitung der zweiten Gleichung an: Es sei ein Zeichen ,m ' verwendet , urn auf den markierten Zustand hinzuweisen, die Absenz eines Zeichens soli wie oben auch auf den unmarkierten Zustand hinweisen. Ein Kreis urn einen der beiden Indikatoren, also m oder die Absenz eines Zeichens, soli auf den jeweils anderen Wert als den innerhalb des Kreises hinweisen, der dann auBerhalb des Kreises geschrieben werden soIl. Substitution des Zeichens m durch den Kreis ergibt dann die zweite einfache (primitive) Gleichung. " FUr den zweiten Weg, die alternative Ableitung der ersten einfachen (primitiven) Gleichung, wird die Innen-AuBen-Unterscheidung verwendet und sonst keine weitere Unterscheidung von Raurnverhaltnissen. Urn das zu garantieren, sei ein blindes Tier nur mit dieser Unterscheidungsfahigkeit vorgestellt. Wenn nur dieses Unterscheidungsmuster zur Verfugung steht, dann kann nicht zwischen verschiedenen Anzahlen von innen unterschieden werden, wie es uns

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Es heiBt dort : " It is not necessary for the reader to confine his illustrations to the commands in

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the text. He may wander at will , inventing his own illustrations, either consistent or inconsistent with the textual commands." LoF :79 . Vgl. Notes zum zweiten Kapitel , LoF : 82f. und die Variationen des zwolften Kapitels.

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erscheinen mag, wenn wir zwei Kreise nebeneinander sehen. Das Tier kennt nur zwei Zustande, innen und auBen. So konnen zwei Kreise nicht von einem unterschieden werden und es gilt die erste einfache (primitive) Gleichung. Die zweite Variation deutet Spencer Brown in der Vorstellung der internationalen Ausgabe an. Dort heiBt es, dass der gesamte Text der Laws ofForm auf ein Prinzip reduziert werden konnte, namlich : .Kanon Null. Koproduktion. Was ein Ding ist, und was es nicht ist, sind, in der Form, identisch gleich. " Dazu erlautert Spencer Brown, dass die Unterscheidung aIs Grenze das Ding aIs auch das, was es nicht ist, erzeuge ." Der Hinweis , der dadurch gegeben wird, geht dahin, den Aufbau der Laws of Form uber die gegenseitige Abhangigkeit und die gIeichzeitige Entstehung von Etwas und dem , was es nicht ist, zu entwickeln . Ein solches Vorgehen baut auf das auf, was Spencer Brown die Operation der konditionierten Koproduktion nennt und auf die Umdeutung von ,nichts' . Daher kommen die vielen Bezuge auf ostasiatisches Denken."

52 53

Vgl. Vorstellung der intem ationalen Ausgabe , Spencer Brown 1997:ix. Vgl. ILA Kont exte der Laws a/Form.

Das dritte Kapitel: THE CONCEPTIO N OF CALCULATION

Tatjana Schonwalder-Kuntze

I. Titel (B) ,conception' . Das lateinische ,concipere' weist folgende Bedeutungen auf: ,Zusammenfassen' im Sinne von ,in eine Formel fassen ' oder aussprechen' bzw. ,ansagen' . Zudem kann es aufnehmen' , ,empfangen' , ,erkennen ' ,begreifen' oder ,sich vorstellen' heiBen. 1m Englischen hat es auch die Bedeutung ,ersinnen' und ,entwerfen' . ,calculation' meint sowohl die Tatigkeit des Rechnens selbst als auch das Resultat dieser Tatigkeit im Sinne einer abgeschlossenen Kalkulation. Der Titel des dritten Kapitels weist auf eine neue Tatigkeit hin, die in diesem Kapitel vorbereitet wird: es geht urn das Entwerfen des Berechnens. Dieser Entwurf besteht in einer Explikation des Prozesses, der notwendig ist, urn mit den beiden Gleichungen des zweiten Kapitels, die die Hinweismoglichkeiten auf die zwei Seiten der Form der Unterscheidung des ersten Kapitels formal darstellen, rechnen zu konnen, 2.lnhalt Das Hauptthema des dritten Kapitels ist die Tatigkeit, die beim Rechnen vollzogen wird: Der Prozes s des Austauschens (von aquivalenten Hinweisformen), der zusammen mit festgelegten Regeln den grundlegenden, operativen Aspekt der Berechnung bildet - die zweite Komponente des Rechnens bilden die dafur verwendbaren und dabei neu entstehenden Operanden. Die Regeln fur den Austausch und wie durch das Austauschen von Hinweisen neue Hinweiszeichen generiert werden durfen, wird in den vier Kanones dieses Kapitels festgelegt. 3. Die Schritte des Austauschens Die Aquivalenz von ,einfachen Ausdriicken', die als Hinweis auf eine der beiden Seiten der Form der Unterscheidung dienen , eroffnet die Moglichkeit fur den Austausch von ,arrangements ' mit aquivalenten ,arrangements '. Jeder Austausch solI, ein Schritt, ,a step' (LoF:8), genannt werden. Die ,steps' werden unter zweierlei Perspektiven betrachtet: nach der Art (kind) des Ausdrucks, der

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Tatjana Schonwalder-Kuntze

ausgetauscht wird und der so die Art des Austauschs selbst bestimrnt' und nach der Richtung, in der der Austausch vorgenommen wird . Die erste Perspektive betrachtet den ,step ' als Austauschprozess, in dem aquivalente ,arrangements' ersetzt werden . Hier liegt die Betonung auf dem, was ausgetauscht wird. Die zweite Perspektive legt hingegen die Betonung auf den Austauschprozess selbst, insofem dieser eine Richtung haben kann. Durch einen Austausch wird eine Reihenfo/ge hergestellt zwischen dem (dann) Ausgetauschten und dem Auszutauschenden, die als Darstellung auf einem Blatt Papier deutlich als Richtung gesehen werden kann. Je nachdem, welcher Ausdruck ausgetauscht wird, wird die Reihenfolge bzw. die Richtung verandert. Auf einem Blatt Papier soli "a barb in the sign indicate the direction of the change" (LoF :8). Beim Lesen so eines Austauschs vollziehen wir die Richtungsanderung wahrhaft mit, indem wir die Augen einmal von links nach rechts bewegen und einmal von rechts nach links. ,Step ' bezeichnet also den Austausch von wertgleichen Objekten oder Operanden in verschiedenen Richtungen, mithin den Prozess, aquivalente Ausdrueke oder ,arrangements' in einer von zwei Richtungen auszutauschen. 4. Die Kanones des Austauschens Der dritte Kanon "Convention of substitution" (LoF :8) expliziert, verallgemeinert und erweitert die Festlegung des zweiten Kapitels in Bezug auf aquivalente ,arrangements' : sie durfen gegeneinander ausgetauscht werden . Diese Art von Austausch ist keine neue Art, denn sie wiederholt nur die Festlegungen des ersten und zweiten Kapitels in Bezug auf aquivalente Hinweise . Aber mit der Konvention wird sein Anwendungsbereich verallgemeinert bzw. erweitert, weil jetzt die Ersetzung in jedem Ausdruck erlaubt wird. Der vierte Kanon "Hypothesis of simplification" (LoF:9) formuliert die Annahme oder Hypothese, dass der Wert eines ,arrangements' dem Wert eines einfachen Ausdrucks entspricht, durch den es ersetzt werden kann. Dadurch , dass es zwei verschiedene Arten von ,steps' gibt - je nachdem , welchen Wert die ausgetauschten Objekte anzeigen - , sind auch verschiedene Vereinfachungswege moglich , abhangig davon, mit welchem ,arrangement' der Austausch beginnt, und davon , durch welchen gleichwertigen, einf achen oder simp/en Ausdruck in einem ,arrangement' ausgetauscht wird. (SK) Notes, Chapter 3: "The hypothesis of simplification is the first overt convention that is put to use before it has been justified." (LoF:84) .

Die ,Art' eines ,steps' wird danach bcstimmt, ob durch ihn Ausdrucke ausgetauscht werden, die nach dem ersten odernach dem zwciten Axiom gebildet verden , vgl. LoF:9.

III. Kommentar - Das dritte Kapite1 : THECONCEPTION OFCALCULATION

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Dass tiber die verschiedenen Wege der Vereinfachung das gleiche ,arrangement' immer - letztlich - gegen den gleichen simp len Ausdruck ausgetauscht wird, wird erst im vierten Kapitel unter Theorem 3 bewiesen. Auch die Formulierung ,,In any expression, let any arrangement be changed ..." (LoF:8) des dritten Kanon und das Beispi el des vierten Kanon sind Vorgriffe auf die arithmetischen Moglichkeiten der beliebigen Erweiterung von ,arrangements' in und zu einem Ausdruck, die dann in Theorem I festgelegt werden. 5. Die Kanones der austauschbaren Hinweise oder Referenzen Der zweite und der funfte Kanon werden hier zusammengefasst erlautert, weil sie beide vorn Umgang mit Rejerenzen handeln. Der zweite Kanon , der am Anfang des dritten Kapitels steht, heif3t "Contraction of reference" (LoF:8); der funfte Kanon in der Mitte desselben Kapitels tragt den Titel " Expansion of reference" (LoF: 10). (B) ,reference' . Das englische ,reference' kann im Deutschen fur eine Empfehlung, ein Zeugnis, eine Verweisung, eine Anspielung, den Akt der Bezugnahme selbst, aber auch fur eine Beziehung, eine Auskunft oder fur einen Auskunftgeber stehen. Zusatzlich meint ,reference' auch dasjenige, worauf Bezug genommen wird, das Relatum . Das lateinische ,referre' tragt noch weitere Bedeutungen wie .uberliefem' , ,berichten', aber auch ,abliefem' oder ,unter etwas rechnen'. ,contraction' heif3t ,Zusammenziehung' ; in Bezug auf grammatische Phanomene bedeutet es auch ,Kurzform'. ,expa nsion' meint die ,Ausdehnung' im aktiven wie im passiven Sinne , d.h. ,sich aktiv ausbreiten' oder auch ,Weite' oder .Raumlichkeit' . Das lateinische ,expandere' meint neben ,ausbreiten' auch ,klar darlegen ' und .verkunden' . (I) Die Ubersetzung des Titels des zweiten Kanon konnte also etwa ,Kurzform der Verweisung' lauten. Er legt fest, dass die vier verschiedenen Aufforderungen, ein ,cross' zu konstruieren , es mit einem ,c ' zu markieren, ,c' seinen Namen sein zu lassen und dieses ,c' auf das ,cross' hinweisen zu lassen, in einer einzigen Aufforderung kondensiert werden sollen: "Take any cross c." (LoF:8). Dieses Zusammenziehen verschiedener Aufforderungen wird dahingehend verallgemeinert, dass aile Aufforderungen, etwas zu tun, soweit zusammengefasst werden sollen, dass es weiterhin moglich bleibt, sie nach zu vollziehen. Es geht also urn den Austausch von vielen Hinweisen gegen eine Kurzjorm, die ein zusammengezogener Hinweis ist, mit dem zu einem mehrteiligen Vollzug aufgejordert wird. Der funfte Kanon, dessen Titel zunachst ganz analog ,Ausdehnung der Verweisung' lauten konnte , meint aber die Moglichkeiten, durch den Austausch in

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,arrangements' immer neue Hinweise in Form von Ausdrucken herzustellen. Die neu entstehenden Ausdriicke bleiben aber eindeutige Hinweise, die immer nur auf eine der beiden Seiten hinweisen - seien sie als ,mark' oder als ,cross ' aufgefasst , d.h. als Name fur den ,markierten Zustand ' oder als Aufforderung, die Grenze in den markierten Zustand hinein zu uberschreiten. Die Moglichkeit, eine Kurzform als Referenz auf bestimmte Anweisungen zu schaffen , und die Moglichkeit, den Ref erenzcharakter auf viele Hinweiszeichen ausdehnen zu konnen , sind aber nicht einfach Umkehrprozesse: 1m ersten Fall werden verschiedene AufJorderungen derart zusammengezogen, dass in der Kurzform diese Verschiedenen in ihrer Bestimmth eit aujbewahrt bleiben. 1m FalIe der Generierung weiterer Hinweise wird die Referenz ausgedehnt, weil es zwar immer mehr, aber qualitativ gleichwertige Hinweise geben kann. Die beiden Kanones und der Begriff ,reference' beziehen sich demnach auf zwei verschiedene Objekte : auf Aufforderungen, etwas zu tun, und auf Hinweise auf einen der beiden Werte . D.h. ,reference' wird in zwei Bedeutungen verwendet: einmal wird mit einem Hinweis auf verschiedene Handlungsaufforderungen zugleich hingewiesen; und einmal wird mit vielen Hinweisen auf denselben Wert hingewiesen. 6. Vier Referenzformen aufzwei Werte Die ,form of condensation' und die ,form of cancelIation ' sind bereits als Formalisierung der Axiome aus dem zweiten Kapitel bekannt. Die beide zusammenfassende "form of reference" (LoF: 10) wird durch zwei neu hinzukommende erweitert, die sich aus der Moglichkeit der Richtung(sumkehr) der Austauschschritte ergeben : Zur Formalisierung des ersten Axioms kommt als Umkehrung die ,form of confi rmation" (LoF:10) hinzu. D.h., dass sowohl die austauschbaren ,einfachen Ausdriicke ' (simple expressions) als auch die beiden Austausch-Formen als Hinweis auf den markierten Raum dienen konnen, Sie werden unter ,number' zusammengefasst. Mit ,number' werden diejenigen Hinweise bezeichnet, deren Wiederholung nur immer wieder den gleichen Wert bezeichnet. Die Anzahl der Hinweisformen verandert sich zwar, aber das bedeutet nicht, dass deswegen ein anderer Wert bezeichnet wurde - so wie etwa jede beliebige Anzahl von Synonymen dennoch immer nur ein und dasselbe bezeichnet. Zur anderen Referenzform, die das zweite Axiom formalisiert, kommt als Umkehrung die ,form of compensation" (LoF:lO) hinzu . Beide betreffen die anderen Hinweise, die sich auf den ,unmarkierten Raum' beziehen. Sie werden mit ,order' bezeichnet. (B) ,order' heiBt ,Ordnung', ,Anordnung', aber auch ,Reihenfolge' und ,Befehl' , ,Regel' oder ,Vorschrift' .

III. Kommentar - Das dritte Kapitel: THECONCEPTIONOF CALCULATION

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(I) Mit ,order' werden diejenigen Hinweise bezeichnet, mit denen im Wiederho-

lungsakt auf etwas anderes hingewiesen wird als durch den der Wiederholung vorhergehenden Akt, also auf die zweite Seite des Unterscheidungsprozesses: Das einfache ,cross' kann sowohl als Name fur eine Seite als auch als Aufforderung zur Grenzliberschreitung gedeutet werden; das Doppelcross ist der Hinweis auf die wiederholte Grenzliberschreitung und damit auf die andere, nicht markierte oder nicht benannte Seite. Dafur bedarf es aber einer Reihenfolge der Grenzliberschreitungen: hinein in den (benannten oder markierten) Inhalt und wieder hinaus. Dann ,bezeichnet' die zweifache Uberschreitung den unmarkierten Zustand. Wegen der impliziten, aber notwendigen Reihenfolge wird die zweite Art von Hinweisformen ,order' genannt. 7. Austausch von Formen als Rechnen und als Gleichung "Call calculation a procedure by which, as a consequence of steps, a form is changed for another, and call a system of constructions and conventions which allows calculation a calculus." (LoF:11). Der geregelte Austausch von Formenseien es simple Formen oder Referenzformen - heiBt ,a calculation'; und ein System, das so einen Austausch erlaubt, wird ein Kalkul (calculus) genannt. (B) Mit ,calculus' wird im Englischen auch der zweiteilige Ast der Mathematik bezeichnet, der es mit variablen Quantitaten zu tun hat: die differenziale und die integrale Algebra, d.i. die Analysis. Mit dem Abschnitt ,calculus' ist das eigentliche Thema des dritten Kapitels beendet: das Austauschen von aquivalenten ,arrangements' in je einer von zwei moglichen Richtungen ist die prozessuale Tatigkeit, die Rechnen heiBt. 1m folgenden Abschnitt ,Initial' werden dann die Basisgleichungen aus dem zweiten Kapitel und das geregelte Austauschen zusammengefuhrt, indem die vier verschiedenen Referenzformen, die sich aus den verschiedenen Austauschmoglichkeiten eines ,steps' ergeben haben (zwei Werte / zwei Richtungen), als Formen definiert werden , die in einem gegebenen "set of equations" (LoF:II) gesehen werden konnen. D.h., die bereits im zweiten Kapitel entwickelten Referenzformen bestimmen, welche Art Austausch eriaubt ist - der Austausch nicht aquivalenter ,arrangements' ist nicht erlaubt. Die Referenzformen bzw. Gleichungen, die verwendet werden, urn die erlaubten Austauschformen zu bestirnmen, werden lnitialgleichungen des Kalkuls genannt. Der Kalktil, der aus den beiden primitiven Basisgleichungen durch den geregelten Austausch ihrer Operanden entsteht, soli Kalkul der Hinweise heiBen;die unmittelbaren Ableitungen aus diesen Initialgleichungen bilden die Primare Arithmetik der Laws ofForm .

liS

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Ruck- und Ausblick: Das dritte Kapitelsteuert die zweite notwendige Grundkomponente zum Rechnen bei : den Prozess des Austauschens. Rechnen besteht so aus zwei Tei!en: aus dem, womit gerechnet wird und aus dem, wie gerechnet werden dar! Spencer Brown leitet das ,wie' aus den formalisierten Axiomen als Hinweisformen ab, indem er die Aquivalenz zweier ,arrangements' als Moglichkeit, sie gegeneinander auszutauschen, deutet. Die Initialgleichungen haben daher einen erweiterten Charakter gegenuber den Referenzformen: sie ,beinhalten' je zwei Referenzformen und drucken damit die Irrelevanz der Reihenfolge des Austausches aus.' Das Gleichheitszeichen in den Initialgleichungen hat somit eine weitere Funktion hinzugewonnen: es zeigt nicht nur die Wertgleichheit seiner beiden Seiten an - unabhangig yom je spezifischen Wert -, sondem in ihm sind auch die erlaubten Austauschprozesse ,zusammengezogen' - damit stellt es selbst einen Anwendungsfall des zweiten Kanons dar. Der erlaubte Austauschprozess, der in diesem Kapitel vorgestellt wird, ist zudem eine Explikation der beiden Axiome . Diese bestimmen, welche Regeln gelten solien, wenn Hinweisarten iteriert, d.h. wiederholt werden . Durch die Werterhaltung trotz Wiederholung im ,law of calling' wird die Moglichkeit geschaffen, zwei oder mehrere Hinweise an sich selbst als aquivalent zu betrachten, wei! sie die gleiche Bedeutung haben . Wenn zwei Hinweise aber auf ein und dasselbe hinweisen bzw. die gleiche Bedeutung haben, dann konnen sie beide gleichermafien verwendet werden - und sind daher austauschbar. In Bezug auf das erste Axiom scheint das auf den ersten Blick trivial, insofern graphisch wie sprachlich identische Zeichen oder Namen in der Regel auch dieselbe Bedeutung aufweisen . Es gibt jedoch ausreichend Beispiele, bei denen aus der graphisch fixierten Wiederholung des Zeichens eine andere Bedeutung erwachst: So ist , I l' keineswegs dasselbe wie ,1 ' - was sich durch die phonetische Unterscheidung auch zeigt.' Die Formalisierung des ersten Axioms in der ,form of condensation' formuliert demnach , dass durch die Wiederholung oder das ,recall' ein aquivalentes Hinweiszeichen generiert wird ." Die Wiederholung wird so als innerer, aber irrelevanter Zusammenhang zwischen den beiden gleichwertigen Namen formalisiert. Daraus ergibt sich die Moglichkeit , sie gegeneinander auszutauschen. Das zweite Axiom hingegen legt fur die zweite Hinweisart fest, dass mit der ,Wiederholung' des Hinweises keine Werterhaltung einhergeht, sondem dass das zweite ,crossing' eine andere Bedeutung haben soli als das erste, auch wei! Vgl. LoF:12. Ich danke Stephan Packard fur das Beispiel. Das hieBc fur o.g. Beispiel, dass die Wiederholung formal wic folgt wieder gegeben werdcn musste: , 1' , 1' oder auch I, I. In jedem Fall musste die Notation deutlich machen, dass cs sich urn die Wiederholung des Hinweises handclt und damit die Bezeichnung eines anderen Wcrtc s ausgeschlossen ist.

III. Kommentar - Das dritte Kapitel : THE CONCEPTION OF CALCULATION

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es auf einen anderen Zustand hinweist. 1m Gegensatz zum ersten Axiom besteht also kein irrelevanter Zusammenhang zwischen den beiden Hinweisen, d.i. ,crossings' . Die Formalisierung des zweiten Axioms in der ,form of cancellation' formuliert aber - ebenfalls im Gegensatz zum ersten - nicht den durch Wiederholung hergestellten inneren Zusammenhang zwischen den beiden ,crossings' , sondern hier wird formal dargestellt, dass mit dem Doppelcross auf etwas anderes hingewiesen wird; dass das Doppelcross als Hinweis an sich selbst einen anderen Wert hat, mit einem anderen Ausdruck aquivalent ist.' Da dieses andere aber nur die Seite in einer Form der Unterscheidung sein kann, von der zunachst ausgegangen wurde, von der aus die erste Uberschreitung vorgenommen wurde, weisen Doppelcross oder ,void' immer auf die Seite hin, auf die die erste oder einfache Oberschreitung nicht hinweist. Das arithmetische Rechnen bestelit so in der Erlaubnis , Hinweiszeichen, die auf das gleiche hinweisen (Namen und einfache Uberschreitungen oder Doppelliberschreitungen und ,kein Zeichen') und die deshalb auch aquivalent sind, untereinander auszutauschen. Die Initialgleichungen drucken aus, welche Hinweiszeichen durch die Axiome als aquivalent bestimmt wurden.

Zur Erinnerung: Zu den ,simple expressions' zailt auch "the one absence ofform", LoF:6.

Das vierte Kapitel: THE PRIMARY ARITHMETIC

Tatjana Schonwalder-Kuntze

I. Titel (B) ,primary' bezeichnet im Englischen einen Vorrang in verschiedenen Hinsichten: zeitlich, strukturell oder auf Entwicklung bezogen. So ist mit dem ,primary meaning of a word ' seine erste und urspriingliche Bedeutung - nicht seine haufigste - gemeint. Die drei Grundfarben, rot, gelb und blau , heil3en ,primary colours' . ,arithmetic' ist die Rechenkunst, sie bezeichnet die Wissenschaft der Zahlen und das Arbeiten mit Zahlen. Das lateinische ,arithmetica' ist aus dem griechischen upl8/lTJttKU libemommen und heil3t dort auch Reihe(nfolge). So konnen anstelle der Zahlen auch Nummem gemeint sein, die blol3 eine Anzahl von Gleichwertigem meinen und nichtje verschiedene Werte , wie die Zahlen. (I) Mit dem gewahlten Namen Primdre Arithm etik fur den ersten Kalkul wird sowohl auf seine eigene Entwicklun g hingewiesen, als auch darauf, dass dieser Kalklil die urspriinglichste Bedeutung des Begriffes ,Arithmetik' zum Ausdruck zu bringen vermag: Durch ,Berechnung' kann eine Anzahl oder Quantitat qualitativ gleichwertiger Hinweisformen generiert werden, so dass es hier nicht urn die Generierung von Zahlen geht - wie das erste Theorem dieses Kapitels zeigt.

2. Inhalt Die Grundkomponenten der Primaren Arithmetik sind in den letzten Kapiteln vorgestellt worden: das, wornit gerechnet werden darf, die Operanden, und die Art und Weise, wie gerechnet werden darf, der geregelte Austauschprozess. Die stellen den Zusammenhang Initialgleichungen 11: I I = l u n d 12:11 = der beiden Komponenten formal dar. Die Operanden der Basisgleichungen stehen in der Primaren Arithmetik fur konkrete Werte, so dass die austauschbaren ,arrangements' in den Gleichungen nach wie vor auf eine der beiden Seiten der ersten Unterscheidung hinweisen. Die Berechnungen der Primaren Arithmetik bestehen in den durch die Kanones erlaubten, unmittelbar ableitbaren, d.h. durch Austausch generierten, erweiterten oder verringerten Ausdriicken ihrer Initial- bzw . Basisgleichungen.

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Diese Berechnungen vorzuftihren oder darzustellen ist aber nicht das Anliegen des vierten Kapitels; vielmehr werden allgemeine Muster herausgestellt, die als Theoreme formuliert werden. Diese Muster betreffen bestimmte Eigenschaften derides formalen Zeichen(s), insofem sie Hinweiszeichen im Austauschprozess und Operand sowie Resultat des Austauschprozesses sind , insofem also mit Zeichen und an ihnen ein Austausch vollzogen wird, d.h. mit ihnen gerechnet wird. 3. Eigenschaften der Zeichen als Theoreme Das vierte Kapitel beginnt mit folgender Aufforderung: "We shall proceed to distinguish general pattems, called theorems, which can be seen through formal considerations of these initials ." (LoF :12). Theoreme bezeichnen allgemeine Muster, die durch formale Betrachtungen an den Initialgleichungen erkannt werden konnen. Hier werden latente Eigenschaften der verwendeten Zeichen in Gleichungen explizit formuliert, insofem die Zeichen als Ausdrticke einmal die Funktion haben, auf die Seiten einer Form der Unterscheidung hinzuweisen; insofem sie zum zweiten Operanden des Austauschprozesses sind; und insofem sie drittens Resultate von Austauschprozessen sind. Theoreme werden also nicht aus den Axiomen abgeleitet, sondem sie formulieren, was mit den Zeichen in einem Rechenprozess passiert, was sich an ihnen zeigt, wenn mit ihnen Austauschschritte vollzogen werden. Da die beiden Initialgleichungen die erlaubten Rechenprozesse darstellen - Austausch der Zeichen oder Ausdrucke unter Beibehaltung des Wertes , auf den sie hinweisen, den sie haben - sprechen Theoreme allgemeine Muster aus, die ,an den lnitialgleichungen' erkannt werden konnen. Sie sind allgemeine Muster der verwendeten Zeichen im Austauschprozess, wei! sie jeden erlaubten Rechenprozess immer begleiten : denn ohne Zeichen konnte gar kein Rechnen statt finden . Die Theoreme gehoren also zu einem metasprachlichen Diskurs tiber die verwendeten Ze ichen in einem Rechenprozess und somit nicht zum Rechnen selbst. 4. Die Klassifikation der Theorerne' Die neun Theoreme der Primaren Arithmetik werden nach ihrer Funktion klassifiziert: So heil3en die ersten vier Theoreme Reprasentationstheoreme, da sie den Gebrauch der Primaren Arithmetik als System von Hinweisen auf die unterschiedenen Seiten der ersten Unterscheidung rechtfertigen und festlegen. Die Theoreme 5 bis 7, die Prozessualen Theoreme, bestatigen einerseits die Regeln des Austauschprozesses, die sich durch das Gleichheitszeichen zusammengefasst darstellen lassen . Andererseits werden die Eigenschaften der Zeichen oder Ausdrucke hervorgehoben, die aus ihrem Operandendasein folgen . Vgl. den Abschnitt ,A classification of theorems ' am Ende des vierten Kapitcls, LoF:24.

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Mit den Reprasentations- und den Prozesstheoremen wird expliziert und ex post bewiesen, was im ersten , zweiten und dritten Kapitel gemacht oder vorgefiihrt wurde. Das ist zum einen die Verwendung von verschiedenen Hinweisformen als Hinweise auf die zwei Seiten der ersten Unterscheidung und sind zum anderen die Moglichkeiten, die durch die Austauschbarkeit solcher Formen, sofem sie dquivalent sind, geboten werden . Die Theoreme 8 und 9 heil3en Anschlusstheoreme, weil sie das Spezifikum der Algebra, mit Variablen rechnen zu konnen, aus den Anordnungsmustem arithmetischer Ausdriicke, die durch Rechenprozesse generiert werden, vorbereiten. Sie leiten damit von der Arithmetik in die Algebra tiber und bezeugen das stetige Hervorgehen der Algebra aus der Arithmetik. 5. Die Reprasentationstheoreme Mit den ersten zwei Reprasentationstheoremen werden zwei grundsatzliche, allgemeine Eigenschaften der verwendeten formalen Zeichen, also des Hakens' und der aus ihm generierbaren Ausdriicke, expliziert und nachgewiesen: we/che Hakenanordnungen tiberhaupt als Ausdruck oder Hinweis gelten , und war auf ein einzelner Haken hinweist. Die Theoreme 3 und 4 explizieren und beweisen hingegen zwei spezifische Eigenschaften, die erst durch die Verwendung im Austauschprozess virulent werden, d.i. die Moglichkeit der Vereinfachung eines Ausdruckes - bis sein spezifischer Wert sichtbar wird - sowie die Werterhaltung im Austauschprozess. Die ,Eigenschaften', die die Theoreme formulieren und die bewiesen werden, sind solche, die den Zeichen dadurch zukommen , dass sie so verwendet werden , wie es im zweiten Kapitel bestimmt worden ist. Dort wird diese Verwendung aber lediglich eingefuhrt, wahrend sie hier als konsistent bewiesen und allgemein erlaubt wird. "Theorem l. Form" (LoF: 12) formuliert, dass jede beliebige endliche Anzahl von ,crosses' als ein Ausdruck gelten kann. In diesem Theorem wird expliziert, was mit einem Ausdruck passiert, wenn von einem simp/en Ausdruck ausgehend gerechnet wird, d.h. wenn durch den Austausch gleichwertiger ,arrangements' neue Ausdrucksformen generiert werden . Der Ausdruck verandert seine aujJere Form. Jede solchermal3en veranderte Form eines Ausdrucks darf dann als Ausdruck verwendet werden . So wird hier theoremhaft erlaubt, wow im zweiten Kapitel unter ,arrangement' in Bezug auf ,token' und unter ,Relation' in Bezug auf ,crosses' aufgefordert wurde: die Wenn im Foigenden statt der in den Laws of Form verwendeten Bezeichnung .mark' oder .cross' von .Haken' die Rede ist, dann urn darauf hinzuweisen , dass die Eigenschaften, die in den Theoremen formuliert werden, fur beide Verwendungsweisen des Hakcns gelten.

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Zusammenstellung von Zeichen als einen zusammenhangenden Ausdruck, als eine Form zu betrachten. In der Formulierung "The form ofany finite cardinal number ofcrosses ..." (ebd. Hvhb . T.S.) steckt der Hinweis, dass mit ,Arithmetik' hier nicht das Rechnen mit Zahlen, sondem mit einer Anzahl von Hinweisen gemeint ist, die aber zusammengenommen aile auf den selben Wert hinweisen. Beispielsweise unterscheidet sich der erste Baum in einer StraBe von dem dritten Baum nicht in Bezug auf sein Baum-sein, sondem nur in der Reihenfolge. Diese wird hier aber nicht als relevanter Unterschied gesehen .'

(I) Der Name des Theorems Form ist damit motivierbar, dass jede Kombination des formalen Zeichens als eine Form, als zusammenhangend betrachtet werden soil und dam it, dass dies fur die Hinweise auf beide Seiten der Form der ersten Unterscheidung gilt. Schliel3lich ist hier auch der vierte, implizite Aspekt mitgemeint, insofem ein Ausdruck einer aulseren Begrenzung bedarf, durch die eine Ansammlung von Haken als ein Ausdruck definiert wird. Auf einem Wilrfel musste man beispielsweise noch deutlich machen, ob er auf jeder Seite beschriftet werden darf oder nicht.' Das Theorem macht also die vier Aspekte der Form der Unterscheidung an den verwendeten Hinweiszeichen explizit: ihren inneren Zusammenhang, die beiden Seiten, auf die sie hinweisen konnen, und den notwendigen impliziten Kontext, durch den sie als ein Zeichen gesehen werden konnen, Auf diese Weise zeigt sich, dass die verwendeten Zeichen - als Ausdrucke - auch den Charakter einer Form der Unterscheidung haben. Der Beweis des ersten Theorems verwendet das bisher explizit Erlaubte: jedes denkbare ,arrangement ' aus jeder Anzahl von ,crosses' kann aus einem ,einfachen Ausdruck' durch ,steps' unter Verwendung der Initialgleichungen generiert werden. Bewiesen wird das tiber eine Vereinfachungsprozedur, d.h . unter Zuhilfenahme der ,hypothesis of simplification' aus dem dritten Kapitel: Wenn eine beliebige Zusammenstellung auf einen einfachen Ausdruck reduziert werIn der Mengentheorie werden Kardinalzahlen von Ordinalzahlen unterschieden: wahrend Ordinalzahlen die genaueAnordnung oder Reihenfolge der Elemente in einer Menge angeben, geben Kardinalzahlen die Anzahl der Elemente einer Menge an. Der Unterschied zwischen beiden kommt allerdings erst im indefiniten Bereich zum Tragen , im definiten Bereich sind sie gleich. Kardinal- und Ordinalzahlen bezeichnen demnach verschiedene Ordnungsmuster, die zur Beschreibung von Mengeneigenschaften dienen. Ich danke Karl-Georg Niebergall fur diesen Hinweis. (SK) In den Notes weist Spencer Brown daraufhin, dass das Theorem nicht wahr ist, wenn die Au sdrucke nicht auf einer flachen Oberflache geschrieben stehen . Urn es auf anderen Unterlagen wahr zu machen, musste man expliziter sein , vgI. LcF:85.

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den kann, dann kann auch eine beliebige Zusammenstellung aus einem einfachen Ausdruck generiert werden. Die Prozedur (procedure) der Vereinfachung wird dann in allgemeiner Form beschrieben: In einem beliebigen ,arrangement ' a sollen vom tiefsten Raum aus die ,initialen' Austausch-Schritte zum Zwecke der Vereinfachung des Ausdrucks angewendet werden, bis die Prozedur zu einem einfachen Ausdruck fUhrt. Dies wird fur aile moglichen Typen von Fallen durch Fallunterscheidung vorgefuhrt. Das folgende "Theorem 2. Content" (LoF: 13) formuliert eine weitere, bereits im zweiten Kapitel unter ,Operation' angesprochene ,Eigenschaft' des Zeichens: dass der Wert des Raumes oder der Form, in dem das ,cross' steht, der markierte Zustand ist. 5 (I) In diesem Theorem wird die Semantik des ,cross' expliziert und damit werden die beiden Bedeutungen des einen formalen Zeichens zusammengeflihrt: als Mark hat der Haken die Funktion, auf eine der beiden Seiten hinzuweisen ohne Festiegung auf welche ." Als ,cross' hat der Haken die Bedeutung einer Aufforderung oder einer Absicht in diesen Ausdruck hinein die Grenze zu uberschreiten. Das Theorem heif3t lnhalt, wei I hier das Muster herausgestellt wird, dass der Haken auch als ,cross' die Funktion eines Namens hat , d.h . immer auf den Inhalt, in dem es steht, hinweist - bisher war das ,cross' nur als Zeichen fur eine Aufforderung, d.h. als Operator und nicht als Operand bestimmt worden. Die folgenden zwei Theoreme gelten den Eigenschaften des Rechenprozesses, die in der Vereinfachungshypothese des vierten Kanons vorgeschlagen wurden: der konsistenten Vereinfachung und Erweiterung. Aus den Notes geht hervor, dass die gewahlte Reihenfolge, in der sie in den Laws of Form dargestellt werden , gleichgiiltig ist, wei! sie "symmetrical" (LoF:86) sind, denn sie zeigen beide die Konsistenz des Kalklils, einmal im Sinne der Vereinfachung (Theorem 3) und zum anderen im Sinne des Aufbaus komplexer Ausdriicke aus einfachen (Theorem 4) .

In "Theorem 3. Agreement" (LoF: 14) wird expliziert, dass der simplifizierende Austausch, d.h . der Prozess der Vereinfachung immer eindeutig ist, dass also die Reduktion eines Ausgangsausdruckes immer zu ein und demselben simplen

1mzweiten Kapitel heiBtes unter .Operation' , dass ein Zustand sowohl mit einem namenhaften als aueh mit einem aufforderungshaften .token' markiert werden kann. Hier wird gezeigt, dass das auch gemacht werden dar! Festgelegt wird im zweiten Kapitel nur, dass "a space with no token indieate[s] the unmarked state.", LoF:5.

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Ausdruck fiihrt: entweder zum leeren Haken (empty token) oder zum leeren Ausdruck . (I) Der Name des Theorems lautet ,agreement', denn es macht auf verschiedene Ubereinstimmungen aufmerksam: Erstens die Ubereinstimmung der Werte, aufgrund derer der Austausch stattfinden darf. Zweiten s kommt man iiberein, den Austausch so und nicht anders stattfinden zu lassen : Zusammenfassungen oder Reduzierungen miissen eindeutig sein, d.h. sie diirfen nur vorgenommen werden , wenn sie immer zum gleichen Resultat fiihren, wenn vor und nach der Reduzierung der gleiche Wert angezeigt wird. Das Allgemeine der Vereinfachung besteht sowohl darin, dass sie, je nach Ausgan gs- ,arrangement' , zu beiden simplen Ausdriicken ftihren kann als auch darin, dass beliebige Ausdriicke simplifizierbar sind. "Theorem 4. Distinction" (LoF :18) formuliert gleich zwei Eigenschaften des Rechnens . Einerseits steckt im Titel eine Geltungsbedingung der Vereinfachung : Wenn die Simplifizierung ftir zwei Moglichkeiten auf einen Wert hinzuweisen gilt, muss auch garanti ert werden , dass es nicht zu Verwechslungen kommt, d.h. dass die Untersche idung auch erhalten bleibt , wenn die Hinweise zu Operanden in einem Austauschsystem werden. Es muss garantiert werden , dass durch den Austausch - egal in welche Richtung - keine Verwechslung der zwei Seiten der ersten Unterscheidung zustande kommt. 7 Andererseits wird hier die gegenla ufige Richtung des Austausches hervor gehoben: die (Komplexitats-)Erweiterung von Ausdriicken , als weitere Unterscheidungen innerhalb der ersten Unterscheidung, muss ebenfalls eindeutig sein. Die ersten vier Theoreme der Laws ofForm formulieren und weisen nach , dass jede beliebige, endlich e Anzahl des formalen Zeichens - des Hakens - als Ausdruck verwendet werden kann, dass sie eine Form bildet; dass ein ,empty cross ' auf den markierten Zustand hinweist und dass die Austauschprozesse eindeutig sind, d.h. nicht zu Konfu sionen fuhren. Damit zeigen sie auf, dass mit den Ausdriicken, die durch die Austauschprozesse generiert werden konnen, auf die beiden Seiten der ersten Unterscheidung vollstandig und konsistent hingewiesen werden kann. Die erste Unterscheidung ist auf diese Weise reprdsenti erbar. Die folgenden drei Theoreme explizieren die Eigenschaften der Austauschprozesse, insofern aquivalente Hinweise ausgetauscht werden diirfen.

Vgl. Abschnitt "Consistency", LoF :19.

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6. Die Prozessualen Theoreme Die Theoreme 5, 6 und 7 zeigen weitere Muster , die sich erst durch die Verwendung von Zeichen im Austauschprozess ergeben. Der ambige Gebrauch des Gleichheitszeich ens bringt sie zum Ausdruck , da zwei A usdriicke sowohl in Bezug auf ihre iiuj3ere Form als auch in Bezug auf die Werte, auf die sie hinweisen , gleichgesetzt werden konnen. Das siebte Theorem fasst diese beiden Aspekte des Gleichheitszeichens als Folgerung zusammen. In "Theorem 5. Identity" (LoF:20) wird gezeigt , dass ikonographisch identische Ausdrucke, d.h. dass sie die selbe auliere Form haben , den gleichen Wert anzeigen - im Gegensatz zum zweiten Kapitel, in dem Ausdrucke aquivalent genannt werden, die von identischem Wert sind.' Der Beweis? des Theorems geht tiber die bislang explizierte Verwendung der Aquivalenz, d.h. der Wertgleichheit hinaus: wenn ein Ausdruck ausgetauscht wird, verandert er seine auBere Form, aber nicht seinen Wert. Durch einen Richtungswechsel im Austauschprozess kann ein Ausdruck gleicher bzw. identischer Form generiert werden, der ebenfalls den gleichen Wert anzeigt. Das bedeutet, dass auch formgleiche bzw. identische Ausdrucke wertgleich sind. Diese Aquivalenz zweier identisch er Ausdrucke ist eine Eigenschaft der Zeichen, die sich aus ihrer spezifischen Verwendung im erlaubten Rechenprozess erst ergibt. (I) Mit diesem Theorem wird eine Eigenschaft des Gleichheitszeichens herausgestellt , die' nicht selbstverstandlich ist. Ein Beispiel aus der Linguistik soli das ilIustrieren: Wahrend im zweiten Kapitel die Verwendung des Gleichheitszeichens durch den Wert bestimmt wird, denn es zeigt eine Aquivalenz an - so wie der bezeichnete Gegenstand die Synonymie der beiden Namen ,Orange' und ,Apfelsine' bestimmt " -, wird in diesem Theorem hervorgehoben, dass durch den erweitemden oder simplifizierenden Austausch von Zeichen die Gleichheit auch in Bezug auf auBerlich identische Formen gilt. Damit wird eine Doppeldeutigkeit als mogliche Eigenschaft identischer Formen ausgeschlossen. Zugleich bestatigt dieses Theorem auch die lrrelevanz einer wiederholten Namensnennung in Bezug auf den angezeigten Wert: Die wiederholte Verwendung eines Namens, d.i. einer identischen iiuj3eren Form, weist nur immer wie-

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Vgl. Abschnitt "Equivalence", LoF:5. In den Laws of Form wird zwischen Beweisen (proofs) und anschaulichen oder nachahmbaren Darstellungen (demonstrations) unterschieden . Der Unterschied besteh darin, dass .proofs ' eine Einsicht fordem , die nicht durch stures Nachmachen generierbar ist; sie haben etwas Heurekahaftes, und wer sie nicht sieht, dem kann in gewisser Weise auch nicht dabei geholfen werden , vgl. ausfuhrlicher dazu den Komment ar zum sechsten Kapitel. Der Gegenb egriff ware Homon ym: Hier ist die Gestalt gleich, aber der Inhalt bzw. der Sinn verschieden: Das Wort .Bai k' hat die Bedeutung ,Sitzgelegcnheit' und ,Geldinstitut' _

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der auf denselben Wert hin. Wobei zu beachten ist, dass mit ,eine identische aufsere Form haben' eine identische Form gemeint ist. Die Identitat bezieht sich auf die Formgleichheit: ,2 ' als Name ware also identisch mit ,2 ' ; nicht aber mit ,22' , da hier eine andere Form , d.h. ein anderer Wert und damit ein anderer Name im Spiel ist. Die Wiederholung bezieht sich auf den angezeigten Wert , nicht auf das Zeichen an sich: die Wiederholung von ,2 ' ware also schriftlich mit ,2, 2' wiederzugeben, da jede ,2' als ein Name wiederholt wird , wahrend ,22' ein anderer Name ist, der zufallig aus zwei gleichen graphischen Zeichen besteht. Kurz: Theorem 5 besagt, dass Formgleichheit Wertgleichheit bedeutet. "Theorem 6. Value" (LoF:20) expliziert und bestatigt hingegen, dass auch Ausdrucke, die nur denselben Wert ausdrticken, identifizierbar sind, d.h . fureinander stehen konnen . Der Beweis verlauft wiederum tiber die Durchftihrung zweier Austauschprozesse, die beide zum selben simplen Ausdruck fuhren, der ja immer nur einen Wert anzeigt. Da beide Ausdrticke diesen Wert reprasentieren, konnen sie, obwohl sie verschiedene Formen haben, miteinander identifiziert werden . Der Wert wird so als Identifikationskriterium bestatigt, "Theorem 7. Consequence" (LoF:21) formuliert eine Foigerung aus den beiden vorhergehenden Theoremen: wenn zwei Ausdrucke mit einem dritten, (mit sich) identischen Ausdruck aquivalent sind, dann sind sie es auch untereinander.

(I) Der Beweis zeigt, inwiefem hier nicht nur tiber Foigerungen gesprochen wird - wie der Titel vermuten liefle - , sondem dass auch eine Foigerung formuliert ist: Wenn Ausdruck x mit Ausdruck v wertgleich ist (nach T6) und wenn Ausdruck y mit Ausdruck v wertgleich ist (nach T6) , dann reprasentieren beide Ausdrticke v in beiden Pramissen den selben Wert (nach T5) und daraus folgt , dass Ausdruck x mit Ausdruck y wertgleich ist (T7). Die drei prozessualen Theoreme explizieren ebenso wie die erst en vier Theoreme allgemeine Muster, also weitere Eigenschaften der Hinweiszeichen, insofem diese in einem Austauschprozess verwendet werden. Das betrifft erstens den Nachweis, dass aufgrund der Austauschregeln Formgleichheit bzw . Identitat auch Wertgleichheit bzw . Aquivalenz bedeutet; dass zweitens bei vorliegender Wertgleichheit auch formverschiedene Ausdrucke identifizierbar sind; und dass drittens daraus das Transitivgesetz gefolgert werden kann . Das Transitivgesetz, das in Theorem 7 formuliert wird, ist daher eine durch den Austauschprozess erworbene Zeicheneigenschaft, die aus T5 und T6 gefo lgert werden kann: Die Aquivalenz zweier Ausdrticke mit einem dritten Ausdruck zeigt nach T6, dass sie beide mit diesem dritten identifizierbar sind; da der dritte Ausdruck in beiden Austauschprozessen formgleich, d.h. mit sich identisch ist, ist er auch mit sich wertgleich und daher sind es auch die beiden

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anderen. Folgerichtig konnen also zwei fonnverschiedene Ausdriicke iiber die Wertgleichheit mit demselben dritten Ausdruck mittelbar identifiziert werden, obwohl sie nicht direkt auseinander generiert werden. In den folgenden zwei Anschlusstheoremen werden allgemeine Muster der durch Austauschprozesse generierten Ausdrucke, d.h, in den Rechenresultaten vorgestellt. 7. Die Anschlusstheoreme Die Theoreme 8 und 9 explizieren Eigenschaften oder Muster der beiden arithmetischen Initialgleichungen, die sich nicht auf die verwendeten Zeichen als Hinweisfonnen und auch nicht als Operanden des Austauschpro zesses beziehen , sondem auf Eigenschaften, die sie als Resultate eines Austauschprozesses ausweisen. Das achte Theorem thematisiert eine bestimmte Form oder eine Anordnung, die immer auf den ,unmarked state' hinweist. Das neunte Theorem expliziert keinen spezifischen Wert einer bestimmten Anordnung, sondem (nur noch) eine allgemeine Aquivalenz zweier Anordnungen - unabhangig davon, welchen gleichen Wert sie bei einer konkreten Belegung der Buchstaben reprasentieren wiirden. Da beide Theoreme (Anordnungs- )Aquivalenzen explizieren, sind sie als Gleichungen darstellbar. Die Allgemeinheit dieser beiden Muster liegt in der Jrrelevanz der konkreten Werte, die die (Teil-LAusdrucke haben - weshalb diese (Teil-)Ausdriicke durch Buchstaben dargestellt werden konnen. Relevant ist hingegen die spezifische Anordnung oder der innere Zusammenhang der Teilausdriicke in den hier vorgestellten Formen. "Theorem 8. Invariance " (LoF:22) besagt, daB die Anordnung der Ausdriicke p in der Form J)lpl in jedem Fall aquivalent ist mit dem Hinweis auf eine bestimmte Seite, d.h. mit dem leeren Ausdruck, gleichgiiltig ob p fur einen Ausdruck steht, der durch einen leeren Ausdruck, oder fur einen, der durch ein ,empty cross' ersetzt werden kann. Das Muster, das durch die Gleichung ausgedruckt wird, besteht also darin, dass eine bestimmte Anordnung von Teilausdrucken dazu fuhrt, dass der gesamte Ausdruck aquivalent ist mit dem Hinweis auf den unmarkierten Zustand. (I) Durch den geregelten Austausch im Rechenprozess ergeben sich demnach Ordnungsmuster zwischen einzelnen Teilausdriicken eines Ausdrucks, durch die der Wert des Teilausdrucks irrelevant wird. Die Variabilitat der Teilausdriicke ist somit eine Eigenschaft bestimmter Rechenresultate, die aus dem geregelten Austausch aquivalenter Hinweiszeichen generiert werden . Theorem 8 fonnuliert ein Muster, das dem ,leeren Ausdruck' aquivalent ist, das daher auch als Hinweis auf eine bestimmte Seite gewertet werden kann.

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Der Name des Theorems IiH3t sich durch folgende Uberlegungen motivieren: Wenn innerhalb eines Kontextes (s.) etwas (Sn+2) von etwas (Sn+l) unterschieden wird, obwohl beide ,denselben Raum durchdringen', also Hinweis auf dieselbe Seite sind , dann - konnte man sagen - entspricht der Wert dieser Unterscheidung dem Wert des leeren Ausdrucks. Mit ,invariance' wird hervorgehoben, dass das Verhaltnis, oder die Anordnung, oder der Zusammenhang auf der einen Seite der Gleichung invariant ist, weil er immer dem ,Ieeren Ausdruck' aquivalent bleibt. Das gilt unabhangig von dem Wert des Ausdrucks, fur den der Buchstabe verwendet wurde . Das Anordnungsmuster, das "Theorem 9. Variance" (LoF:22) zeigt formal , dass die Anordnung zweier variabler Ausdriicke mit einem dritten variablen Ausdruck mit einer anderen Anordnung aquivalent ist:

prJ qrll = p1 qll r Es gibt also eine bestimmte Anordnung dreier Ausdriicke p, q und r, bei denen der Wert der Anordnungen selbst, abhangig vom Wert der angeordneten (Teil-) Ausdrucke, immer derselbe bleibt. (I) Der Name , Varianc e' laBt sich aus der Moglichkeit ableiten , dass beide Anordnungen entweder Hinweise auf die eine Seite oder auf die andere Seite der ersten Unterscheidung sein konnen - abhangig von der jeweiligen Teilbelegung ihrer Buchstaben. Invariant ist nur, dass beide Anordnungsmuster aquivalent sind. Das wird durch die Gleichung dargestellt.

8. Die Dominanz des markierten Zustandes Neben den neun Theoremen wird im vierten Kapitel der sechste Kanon formuliert, der Theorem 2 und 3 zusammenfasst: die ,ru le of dominance' (vgl. LoF: 15). Diese besagt, dass der Wert eines Ausdrucks der markierte Zustand ist, wenn wenigstens einer seiner Teilausdriicke, die im ,shallowest space ' stehen mussen , durch Austausch zu einem ,empty cross ' vereinfacht wird (T2 und T3) . Die Dominanz ergibt sich aus Theorem 3, das die Eindeutigkeit der Simplifizierung festlegt: wenn (Teil-)AusdrUcke bei der Simplifizierung zum ,Ieeren Ausdruck' fuhren , der auf den unmarkierten Zustand hinweist und andere (Teil-) Ausdrucke zum ,empty cross' fuhren, das auf den markierten Zustand hinweist (T2), dann soli das ,cross ' der dominante Hinweisgeber sein, d.h. der ganze Ausdruck soli auf den markierten Zustand hinweisen . 1m sechsten Kanon wird diese Regel expliziert, und es wird festgelegt , dass somit der Wert des ganzen Ausdrucks der markierte Zustand ist.

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9. Wertneutrale Buchstaben als Hinweiszeichen In der Beweisfuhrung des dritten und vierten Reprasentationstheorems sowie in der formalen Darstellung der Prozessualen- und der Anschlusstheoreme werden Buchstaben verwendet. In den Reprasentationstheoremen stehen diese fur konkrete Ausdrucke, die auf den markierten Zustand (m) und auf den unmarkierten Zustand (n) hinweisen. " In den drei Prozessualen Theoremen haben die Buchstaben hingegen die Bedeutung von ,Protovariablen', da sie zur Darstellung bestimmter Eigenschaften der verwendeten Zeichen oder Ausdrucke, wie z.B. Formgleichheit, dienen, die fur die Hinweise auf beide Zustande oder Seiten der ersten Unterscheidung gelten. In den Anschlusstheoremen werden fur die (Teil-)Ausdriicke Buchstaben verwendet, deren Konstellation mit anderen (Teil-)Ausdrucken als allgemeines An ordnungsmuster deutlich werden soil. Wenn Ze ichen, die als Hinweis auf einen Wert ,genommen werden', in geregelten Austauschprozessen verwendet werden, dann erwerben sie bestimmte, aIle in dem Verwendungsprozess geschuldete Eigenschaften, die mit den konkreten Werten, fur die sie stehen, nichts mehr zu tun haben. Das Zeichen emanzipiert sich gleichsam wieder von der Identifikationsmoglichkeit mit dem Wert des Inhalts einer Seite einer Form der Unterscheidung durch seine Verwendung im Austauschprozess zum wertneutralen Ausdruck. Die Buchstaben konnen also verwendet werden, wei! die konkreten Werte , auf die die Ausdriicke hinweisen, fur die Explizierung allgemeiner Zeicheneigenschaften in Rechenprozessen irrelevant geworden sind. Zwar stehen die Buchstaben fur einen Wert , doch ist dieser variab el. Damit wird die Eigenschaft der Primaren Algebra, mit Variablen zu rechnen, die fur verschiedene konkrete Werte stehen konnen, aus der Betrachtung der Anordnung von (Teil-)Ausdrucken arithmetischer Rechenresultate gewonnen. Ruck- und Ausblick:

1m vierten Kapitel werden die Eigenschaften der als Operanden verwendbaren Zeichen, die im zweiten Kapitel festgelegt wurden, als Theoreme formuliert und als allgemein gultig bewiesen. Dies geschieht unter drei verschiedenen Perspektiven : Die Reprasentationstheoreme explizieren Zeicheneigenschaften und legen fest, dass die Formveranderung der Zeichen im Austauschprozess keine Wertveranderung bedeutet; die Prozessualen Theoreme heben Zeicheneigenschaften hervor, die durch ihre Verwendung im Austauschprozess sichtbar bzw. erworben werden, und die Anschlusstheoreme weisen auf Anordnungsmuster hin, durch die die konkreten Werte der Zeichen, die fur Teilausdriicke stehen, irrelevant werden.

II

Vgl. LoF:14.

III. Kommentar - Das vierte Kapitel : TH E PRIMARY ARITHMETIC

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Zugleich zeigen die vier Reprasentationstheoreme, dass das ,cross' und das ,void' zusammen mit dem geregelten Austauschprozess, d.h . die im zweiten und dritten Kapitel vorgestellten Komponenten des arithmetischen Rechnens, ausreichend sind, urn ein vollstandiges und konsistentes System von Hinweisen auf die beiden Seiten einer Unterscheidung zu generieren. Die drei Prozessualen Theoreme sind zudem Austauschprozessverktirzungstheoreme, weiI sie den Geltungsbereich der Aquivalenz zweier Ausdrticke sichtbar machen. So kann auch die Geltung des Transitivgesetzes gezeigt werden, das die Identifikation zweier wertgleicher, aber formverschiedener Ausdrticke erlaubt. SchlieBIich bilden die Anschlusstheoreme durch den Nachweis, dass in bestimmten Konstellationen oder Anordnungen davon abgesehen werden kann, fur welche konkreten Werte die operativen Zeichen stehen, den Ubergang zur Primdren Algebra. Allerdings sei darauf hingewiesen, dass die Buchstaben in der Arithmetik (noch) fur einen bestimmten Ausdruck, d.h. fur die in TI-T7 festgelegten, durch Austausch generierbaren Formen stehen . Die neun Theoreme der Prirnaren Arithmetik lassen sich auch in Bezug auf den Bedeutungswandel oder besser auf die Bedeutungserweiterung von Gleich heit betrachten: Mit den zwei Axiomen wird Gleichheit erstens als Identifikationsmoglichkeit zwischen den hinweisenden Prozessen (Namensnennung oder Grenztiberschreitung) und dem Wert des jeweiligen Inhalts eingefiihrt; im zweiten Kapitel wird ein Zeichen eingefuhrt, das zwischen aquivalenten, d.h. konkreten Ausdrucken stehen soli: das Gleichheitszeichen. Diese Funktion, Wertgleichheit anzuzeigen, behalt das Gleichheitszeichen bis zum elften Kapitel bei. Allerdings verandern sich die Terme oder Relata, deren Gleichwertigkeit es anzeigt: Zunachst sind es Zeichen, die auf konkrete Werte hinweisen (Tl bis T7) - diese konnen auchJormgleich sein (T5) -, dann sind es Anordnungen von (Teil-)Ausdrticken, die einen bestimmten Wert haben (T8), und schlieBIich sind es Anordnungen von (Teil-)Ausdrticken, die mit anderen Anordnungen von (Teil-)Ausdrticken wertgleich sind, unabhangig davon , welchen Wert sie anzeigen. Eine Gleichung zeigt also nicht mehr an, welche Zeichen gleichwertig sind, sondem nur noch, dass bestimmte Anordnungen oder Konstellationen in Ausdrucken wertgleich sind. Erst die Aquivalenz zweier ZeichengeJiige macht den Ubergang zur Algebra perfekt, weil die Werte, fur die die Buchstaben stehen, nicht mehr bekannt sein mtissen : Variablen konnen daher als von unbekanntem Wert eingefiihrt werden. 1m Mittelpunkt der Aufmerksamkeit steht dann nur noch die Struktur, die innere Anordnung, die Relation, in der die Variablen zueinander stehen, und dass aquivalente Gebilde bzw . Formen - wiederum durch geregelten Austausch - generierbar sind . 12 12

Zur Vcrwcndung dcr Bcgriffc .Primare Arithmetik' und .Primare Algebra' vgl. Juan Caramuel: "So entstand also die Notwendigkeit, dcr gemeinen Arithmetik, die es mit bcstimmten Zahlen zu tun hat, eine weitcrc Arithmetik hinzuzufilgen , die es mit unbestimmten Zahlen zu tun hat."

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Im folgenden fiinften Kapitel werden u.a. die Zeicheneigenschaften, die sich an den Resultaten der arithmetischen Austauschprozesse gezeigt haben, als semantische und syntaktische Grundkomponenten der Primaren Algebra explizit formuliert und festgelegt. Sowohl die spezifische Variabilitat der algebraischen Operanden als auch die beiden algebraischen lnitialgleichungen, die die Wertgleichheit verschiedener Anordnungsmuster ausdrucken, gehen so aus dem arithmetischen Zeichenaustausch hervor und werden nicht einfach (voraus-) gesetzt. Die Grundkomponenten der Spencer Brownschen Algebra lassen sich gleichsam am arithmetischen Rechenprozess ablesen.

(Caramuel 1670/1977), zitierl nach Glasersfeld 1997:181. Glasersfeld nennt diese .z weite Arithmetik, die es mit Abstraktionen zu tun hat," (ebd .) Algebra. In den Laws of Form wird hingegen gezeigt, dass die algebraische Moglichkeit, Variablen zu verwenden, aus der rechn erischen Verwendung von Ausdrucken hervorgehen kann. Damit wird von den konkreten Werten nicht einfach durch Abstraktion abgesehen, sondem bestimmte Konstellationenzeigen, dass die konkreten Werle hier irrelevant (geworden) sind.

Das fiinfte Kapitel: A CALCULUS TAKEN OUT OF THE CALCULUS Tatjana Schonwalder-Kuntze

I. Titel Ein Kalktil ist ein System von AnweisungenlKonstruktionen und Ubereinkunften, das geregelte Austauschprozesse von Hinweisformen, d.h. von Ausdrticken erlaubt. Der Kalktil, aus dem in diesem Kapitel ein weiterer Kalktil ,herausgenommen' wird , ist die Primare Arithmetik. Der neue, aus dem arithmetischen Kalktil herausgenommene algebraische Kalktil meint eben falls ein Generierungssystem. Allerdings bezieht es sich nicht mehr auf die beiden Seiten der Form der Unterscheidung als Referenzpunkt, sondem auf die Resultate der Arithmetik. Der neue Kalktil wird ,aus dem (alten) Kalktil herausgenommen' , wei! in ihm erstens der Austauschprozess aus der Arithmetik tibemommen und als algebraisches Berechnen (um-)formuliert wird. Zweitens werden die beiden arithmetischen Gleichungen aus T8 und T9 aus ihrem Entstehungskontext herausgenommen und zu den Initialgleichungen des neuen, algebraischen Systems gemacht. 2.Inhalt Der Inhalt des fiinften Kapitels besteht einerseits darin, aus den Resultaten des arithmetischen Rechnens die Ausdriicke, d.h. die Operanden, die in der Prirnaren Algebra verwendet werden sollen , zu explizieren und festzuschreiben . Dafiir werden die verschiedenen Funktionen, die bislang mit Kopien oder ,token' des einen verwendeten Zeichens, also des Hakens, darstellbar waren , ausdifferenziert : die Operanden von unbekanntem Wert und der Operator werden graphisch unterschieden. Andererseits werden die Regeln des arithmetischen Austauschprozesses in algebraische Regeln umformuliert und so ihre Syntax festgelegt. Schliel3lich werden die beiden Gleichungen aus den Theoremen 8 und 9 als Initialgleichungen des neuen Kalktils bestimmt. Das fiinfte Kapitel beschreibt also die Transformation bestimmter Ergebnisse des arithmetischen Kalktils in die Ausgangskomponenten des algebraischen Kalktils. 3. Operanden als Variablen Durch das Entdecken der Aquivalenz zweier Zeichengefuge oder Anordnungen (T9), deren Aquivalenz gerade darin besteht, unabhangig von den Werten der (Teil-LAusdrucke zu sein, die durch den Austauschprozess eine spezifische An-

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ordnung erfahren , wird die Moglichkeit eroffnet, auf die Operanden, d.h. die Ausdriicke der Arithmetik durch "token of variable form" (LoF:25) hinzuweisen. In der Algebra konnen also zusatzlich zum Haken oder zu einem Ausdruck, der aus einer finiten Anzahl von Haken besteht, Buchstaben von unbekanntem Wert zum Rechnen verwendet werden. Wobei ,unbekannt' nur bedeutet, dass sie entweder den Wert des einen Inhalts oder den Wert des anderen Inhalts der Form der Unterscheidung anzeigen - weitere Werte sind bisher nicht erlaubt worden . Die einzig verbleibende, wertbezogene Eigenschaft der Variablen besteht darin, dass sie einen Wert anzeigen, und dass identische Variablen, d.h. formgleiche Token oder Buchstaben dengleichen Wert anzeigen (nach T5). Zudem gibt es nicht nur eine Form, die einen variablen Wert anzeigen kann, sondem aile Buchstaben konnen als Variable auftreten: deshalb sind die Variablen auch von variabler Form . Variablen sind also in zweifacher Hinsicht variabel: in Bezug auf den Wert, den sie anzeigen, und in Bezug auf die Form (den Buchstaben), die sie annehmen . 4. Der Operator als Konstante In einer algebraischen Gleichung haben der Haken oder mehrere Haken immer noch die Doppelfunktion, zugleich Operatoren und Operanden zu sein: im Gegensatz zu den Variablen handelt es sich aber bei jedem Token des Hakens urn eine "constant form" (LoF:25). Es soIl weiterhin ,cross ' heiBen und behalt weiterhin die Funktion, Aufforderungen zur Grenzuberschreitung anzuzeigen . Haken haben in der Algebra vor allem die Funktion eines Anordnungs- oder Relationsanzeigers fur das Gefuge. I 5. Initialgleichungen und Anordnungsaquivalenzen als Hinweisformen Die Gleichung, die Theorem 8 formal beschreibt, wird ,aus ihrem (Enistehungs-)Kontext genommen' und "form of position" (LoF:25) genannt: J)lp = . Das bedeutet erstens, dass sie ihrer arithmetischen Funktion entiedigt wird, formale Darstellung einer bestimmten Anordnung von (Teil-)Ausdrucken zu sein, die einen bestimmten oder bekannten Wert anzeigen. In der Primaren Algebra sind die in der ,form of position' verwendeten Buchstaben Variablen von unbekanntem Wert und der Haken zeigt die Relation oder das Gefuge zwischen ihnen an. Dieses (Teil-j.Ausdrucksgefuge ist weiterhin dem ,void' aquivalent, es hat also noch die arithmetische Eigenschaft, als Gefuge bzw. Variablenanordnung einen bestimmten Wert anzuzeigen bzw. auf eine Seite hinzuweisen. Der Name konnte motiviert werden mit dem Faktum, dass diese Anordnung der Setzung Man konnte Operator mit ,Unterschied-Macher' oder ,Unterscheider' ubersetzen. Dann HeBe sich formulieren, dass der Haken seine Bedeutung als Wertanzeiger verliert und lediglich seine Bedeutung als Unterscheider beibehalt.

Ill. Kommentar - Das funfte Kapite l: A CALCULUS TAKEN OUT OF TH E CA LCULUS

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eines Wertes entspricht und dass jeder leere Ausdruck SO aufgefasst werden kann, dass er ein Hinweis auf den unrnarkierten Zustand ist und daher dieses Variablengefuge dart hingesetzt werden kann. SchlieBlich liel3e sich auch sagen, dass der Ausdruck auf der linken Seite zu jedem beliebigen Ausdruck einfach dazu gesetzt werden darf, ohne dass das Gleichungsgefuge aus dem Gleichgewicht gerat . FUr die Gleichung, die Theorem 9 formal beschreibt, gilt in Bezug auf die verwendeten Zeichen das glei,che. Sie wird in der Algebra "form of transposition" (LoF :26) genannt: prrqrJ = plqll r Sie unterscheidet sich von der ,form of position' dadurch, dass sie nicht auf den Wert eines Variablengefuges hinweist, sondem darauf, dass zwei verschie dene Variablengefuge aquivalent sind, unabhangig davon , we/chen konkreten Wert die Gefiige se/bst anzeigen . Die ,form of transposition' ist damit nur noch ein Hinweis darauf, dass eine Aquivalenz zwischen zwei Gefligen besteht, unabhangig davon, welcher Wert von ihnen angezeigt wird. Ihr Name konnte dadurch motiviert sein, dass er ein Hinweis auf die neu entstandene Moglichkeit ist, Variablengeflige zu ubersetzen, d.h. nur die auliere Form , nicht aber den Bedeutungsinhalt zu verandern, Zugleich weist der Name auf eine Umsetzung hin - insofem diese Gleichung ein Hinweis auf eine Hand lungsmoglichkeit ist, ein Hinweis darauf, was mit solchen Variablengefugen gemacht werden kann : sie konnen durch einen Austauschprozess, der unabhangig ist von konkreten Werten, umgesetzt werden . So steht der Name auch fur den algebraischen Rechenprozess schlechthin. Und schlieBlich kann der Name auch anzeigen, dass die Variable r einfach innerhalb des Gefliges in der angegebenen Weise umgesetzt werden darf. 6. Aigebraische Rechenregeln als Extrakt der Verwendung des Gleichheitszeichens Zur Festlegung des algebraischen Austauschs oder Rechnens werden zwei Rege/n angegeben, die fur Spencer Brown als "commonly accepted in the use of the sign = " (LoF:26) gelten. Zudem wird in den Notes (SK) darauf verwiesen, dass "rules I and 2 ... say nothing that has not, in the text , already been said" (LoF :87), so dass diese Regeln beanspruchen, keine neuen oder von aul3en hinzukommenden Ideen mit ein zu beziehen. Regel I betrifft die Moglichkeit, aus einem Gefuge durch Ersetzung aquivalenter Variablen einformg/eiches und aquivalentes zweites Gefuge herzustellen. Regel 2 betrifft zwei Gefuge , die nicht formgleich , aber dafur wertgleich sind und deren formgleiche Variablen gegen andere formgleiche Variablen ausgetauscht werden durfen , ohne die Aquivalenz der Gefuge zu gefahrden,

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Rule 1. Substitution Wenn zwei Variablen aquivalent sind, d.h. nicht notwendig (fonn-)identisch, aber wertgleich, dann diirfen sie gegeneinander ausgetauscht werden , dann kann jedes Vorkommnis der Variable e durch die Variable f ersetzt werden. Wenn eine der beiden Variablen in einem Gefiige oder (algebraischem) Ausdruck steht und wenn sie durch die andere ersetzt wird , so dass ein form- bzw . strukturgleiches, aber variablenverschiedenes Gefuge gebildet wird, dann entsteht ein in Bezug auf die Anordnung der Variablenformidentischer Ausdruck, der mit dem ersten aquivalent ist. Regel 1 besagt also, dass auch die beiden Gefiige, also der Ausdruck oder das Gefiige g und der aus g durch Substitution von Variablen entstandene zweite Ausdruck bzw. das zweite Gefuge h aquivalent sind : Aus e = ffolgt g = h, wobei e und fVariablen, und g und fGeflige sind.' Mit der Substitutionsregel wird die Moglichkeit geschaffen, durch den Austausch aquivalenter Variablen in einem Ausdruck ein formgleiches, aber variablenv erschi edenes Gefuge herzustellen (constructed by substituting), das mit dem Ausgangsgeflige aquivalent ist. Zugleich expliziert sie eine stillschweigende algebraische Anwendungsregel des Gleichheitszeichens, die besagt, dass unabhangig von den Variablen ein Gefuge seinen Wert behalt, Das heil3t, die identische Anordnung der Variablen ist ausreichend fur die Wertgleichheit zweier Gefuge ; die Formgleichheit zweier Geflige muss sich nicht auch auf die Variablen erstrecken, soli Wertgleichheit angezeigt werden .' Damit wird auch eine Verschiebung des Geltungsbereiches der Aquivalenz, die durch das Gleichheitszeichen ausgedriickt wird, herausgestellt: Aquivalenz ist auch dann gegeben, wenn die Identitat zweier Gefuge allein in der identischen Anordnung der Konstanten oder ,crosses' besteht, unabhangig yom arithmetischen Wert der Variablen, wie in Theorem 8 nachgewiesen wurde , und unabhangig von der Form der Variablen , die durch die Verwendung von Buchstaben ebenfalls variabel geworden ist. Deshalb sind aquivalente Variablen in einem anordnungsidentischen Gefuge oder Ausdruck ohne Wertveranderung substituierbar. Diese Regel wird nicht bewiesen, sondem unter Rekurs auf die arithmetische Substitutionsiibereinkunft und die Reprasentationstheoreme begriindet (vgl.

Wobei folglich naturlich jede Variable auch fur ein ganze s Gefuge stehen kann. Die Substitutionsregel druckt den Sonder fall aus, dass aile Vorkommnisse eines Ausdrucks oder einer Variable e durch einen wert gleichen anderen Ausdruck f inf ormidentischen Gefugen ausgetau scht werden durfen , und zwar, wei! diese formidentischen Gefuge erst dur ch den Austau sch der Variablen entstehen . Sie besagt also nichts uber den Austausch wertverschiedener Variablen in formid entischen Gefu gcn.

III. Kommentar - Das funfte Kapitel : A CALCULUS TAK EN OUT OF THE CALCULUS

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,,Justification" LoF:26).4 Die Begriindung der Substitutionsregel bezieht sich also auf die arithmetische Austauschbarkeit von wertgleichen ,arrangements' in Ausdriicken einerseits und die Eindeutigkeit von Ausdriicken in Bezug auf den Wert, den sie reprasentieren, andererseits . Beide zusammen bilden sie die ,Geltungsbedingung' dieser Regel. Mit Regel I lassen sich also formgleiche Gefiige herstelIen , die sich nur durch die auJ3ere Form ihrer Variablen unterscheiden. Rule 2. Replacement Wenn zwei Gefiige aquivalent sind (e = t) und wenn es ein oder mehrere v in der Gleichung e = f gibt, die durch den Ausdruck w ersetzt werden , dann bleibt die Wertgleichheit von e und f erhalten , auch wenn w nicht wertgleich mit v ist, oder selbst unabhangig oder variabel (kann also auch o&r sein) . Wenn in dem Gefiige e die Variable v durch w ersetzt, so dass ein Gefiige j entsteht, und wenn in dem aquivalenten Gefiige f j edes vorkommende v ebenfalIs durch w ersetzt wird, so dass das Gefuge k entsteht, dann gilt j = k. Die Ersetzungsregel formuliert die Moglichkeit, Variablen auch in nichtidentischen, aber wertgleichen Ausdriicken oder Anordnungsgefugen durch arithrnetische Zeichen oder algebraische Variablen ersetzen zu konnen. Damit zeigt das Gleichheitszeichen die Wertgleichheit zweier Gefiige auch dann noch an, wenn gar keine konkreten Werte mehr im Spiel sind. Auch diese Regel wird nicht bewiesen, sondem unter Rekurs auf die Anschlusstheoreme begrundet.' In T8 und in T9 ist nachgewiesen worden, dass die Aquivalenz unabhangig von der Belegung der Buchstaben besteht - hier wird expliziert, dass das auch fur Variablen von unbekanntem Wert gilt, die das ganze Gefuge in arithmetischer Hinsicht unenthiillt lassen: "we can find equivalent expressions, not identical, which ... are not wholIy revealed." (LoF :26). Das einzige , was das Gleichheitszeichen so noch ausdriickt, ist, dass auch Ausdriieke, die mit unbekannten Variablen gebildet werden, mit anderen ebensowenig vollstandig enthiillten Ausdriicken wertgleich sind - aber mehr nicht. Die beiden algebraischen Regeln bestimmen den Austausch von variablen und nicht-variablen Ausdriicken in algebraischen Gefugen , so dass das algebrai-

1m Text heiBt es: Die arithmetische Substitutionsiibereinkunft werde hier nur wieder (ein-)gesetzt, allerdings zusammen mit einer Folgerung, einem Schluss (,inference ' , nicht .consequence') , der aus den Reprasentationstheorernen gezogen werden kann. Die Substitution siibereinkunft (LoF:8) besagt , dass wertgleiche Arrangemen ts in Ausdriicken ausgetauscht werden diirfen. Reprasentationstheorcmc heiBen die Theoreme 1 mit 4, die nachweisen , dass fur aile erlaubten Zeichen die Eindeutigkeit ihres Hinweischarakters, d.h. auf welche der beiden Seiten der ersten Untersch eidung sie hinweisen , gegeben ist. Anschlusstheoreme heiBen die Theoreme 8 und 9, in denen bereits (arithmetische) Buchstaben verwcndet werden , weil sie die Aquivalenz zweier Gefuge unabhdngig von den konkreten Werten, die sie anzeigen, hcrausstellen .

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sche Rechnen, d.h . die geregelte Transformation von algebraischen Ausdriicken in andere algebraische Ausdriicke, beginnen kann. Unter "Indexing" (LoF:27) erfolgt noch eine Regel, die etwas uber die Verwendung der Zeichen festlegt, mit denen das Buch geschrieben ist. Es geht also nicht direkt urn die Inhalte der Laws of Form, sondem urn die Erlaubnis, einen abkurzenden Darstellungsmodus zu verwenden - und dam it wird das bislang Vorgetragene rekursiv auch auf die Darstellung selbst angewendet: ,consequences' durfen mit ,C' abgekurzt werden, die ,initials' der Arithmetik mit ,I', die der Algebra mit ,1', ,rules' mit ,R' und ,theorems' mit ,T'. Sie alle konnen mit einer Nummer versehen werden, die auf die Reihenfolge ihres Auftauchens hinweist. Aul3erdem sind diese abkiirzenden Namen im Folgenden immer ein Hinweis auf das, wofUr sie stehen. Anders soli das mit dem Buchstaben ,E' fur ,equations' gehandhabt werden: er meint in jedem Kapitel andere Gleichungen, ist also nicht immer ein Hinweis auf den gleichen Inhalt und hat daher als einziger den Zeichencharakter einer algebraischen Variable. 7. Das Verhaltnis der beiden Kalkule Das fUnfte Kapitel hat die Funktion, die Operatoren und die Syntax der Primaren Algebra vorzustellen und das bedeutet, die Regeln fur den Austausch, d.h . fur den Rechenprozess festzulegen - die beiden Initialgleichungen der Primaren Algebra stell en den Zusammenhang der drei Komponenten zusammengefasst dar. Wahrend die Operanden - seien es Buchstaben, Haken oder der ,void' - der Primaren Arithmetik immer bestimmte Werte anzeigen, zeigen die Buchstaben der Primaren Algebra lediglich an, dass sie fur einen Wert stehen, aber nicht mehr fur welch en. Mit der EinfUhrung der Variablen haben die (Teil- )Ausdriicke die arithmetische Eigenschaft verloren, auf bestimmte Werte zu referieren." Es konnen nur noch Aussagen daruber gemacht werden, welchen Wert bestimmte ganze GefUge haben (aus T8) und inwiefem verschiedene Anordnungen oder Verhaltnisse wertvariabler Zeichen zu anderen solchen Verhaltnissen aquivalent sind (T9) . Die arithmetische Konzeption der Berechnung als System zur Generierung formversch iedener, aber wertgleicher Ausdriicke, wird in der Algebra beibehalten, da auch hier formverschiedene, aber wertgleiche Ausdriicke durch Substitution bzw . Ersetzung der Variablen generiert werden. Der Unterschied besteht 6

(SK) In der Einfuhrung zur ersten Ausgabe schrcibt Spencer Brown : "A point of interest ... is the development of the ideaofa variable solely from that of the operative constant. This comes from the fact , that the algebra represents our ability to consider the form of an arithm etical equation irresp ective of the appearance, or otherwise, of this constant in certain spec ified places.", LoF :xxii .

III. Kommentar - Das filnfte Kapitel: A CALCULUS TAKE N OUT OF THE CALCU LUS

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darin , dass die durch den Rechenprozess entstehenden arithmetischen Ausdrueke auf eine Seite der ersten Unterscheidung hinweisen; wahrend das algebraische Rechnen nur noch in dem Hinweis auf die Aquivaienz zwischen zwe i verschiedenen algebraischen Ausdrucken, d.h. Variablengefiigen besteht. Dieser Hinweis besteht in den algebraischen Gleichungen, die ihrerseits Folgerungen aus Austauschprozessen sind. Die Wertdifferenz der beiden Seiten der ersten Unterscheidung wird in der Primaren Algebra irrelevant - es geht nur noch urn die Gleichwertigkeit verschiedener Anordnungsmuster, d.h. urn die Darstellung der Aquivalenz von Ausdrticken, die sich in ihrer nichtidentischen Form wegen ihren Variablen und/oder ihrer Gefiigeanordnung voneinander unterscheiden. Mit dem Ubergang zur Algebra findet also in Bezug auf die konkreten Werte eine Loslosung von der Form der ersten Unterscheidung statt. Die Prim are Algebra soli als "calculus for the primary arithmetic" (LoF :26) betrachtet werden, weil sie etwas aussagt tiber die Gleichwertigkeit formverschiedener Ausdrticke, die in der Primaren Arithmetik generiert werden konnen, Damit ist sie selbst ein System, das auf bestimmte Eigenschaften der Primaren Arithmetik hinweist: Wahrend beispielsweise in der Primaren Arithmetik das Gleichheitszeichen verwendet wird, urn auf die Aquivalenz zweier Ausdriicke hinzuweisen, expliziert undformuliert die Prim are Algebra, was diese Verwendung selbst bedeutet, auf welche Zusamrnenhange sie ihrerseits hinweist. Die Moglichkeit, die Grundkomponenten der Algebra, d.i. ihre Operanden als Variablen - in zweifacher Hinsicht - , ihren Operator als Zusammenhangsoder Gefiigedarsteller und ihre Austauschregeln aus der Primaren Arithmetik hervorgehen zu lassen, zeigt ihrerseits den inneren Zusammenhang zwischen beiden Kalktilen. Man che der im arithmetischen Austausch entstehenden Muster werden zur Grundlage der Algebra gemacht, indem sie exp liziert und bezeichnet werden und so einer weiteren Verwendung zur Verfiigung stehen. Ausblick: Das folgende sechste Kapitel stellt algebraische Gleichungen vor, die wiederum Resultate geregeiter algebraischer Austauschprozesse sind. Aus algebraischen Ausdriicken, d.h. Variablengefligen, konnen durch Austausch oder Ersetzung ihrer (Teil-l.Ausdriicke und unter Verwendung der beiden initialgleichungen andere, neue Ausdriicke gefolgert werden, die mit den Ausgangsausdrticken aquivalent sind - weshalb ihr Zusammenhang als Gleichung, d.h . als Aquivalenz dargestellt werden kann.

Das sechste Kapitel:

THE PRIMARY ALGEBRA

Tatjana Schonwalder-Kuntze

1. Titel (B) ,primary' (vgl. die etymologischen Hinweise im Kommentar zum vierten Kapitel). ,algebra' heiBt der Zweig der Mathematik, in dem arithmetische Operationen und formale Manipulationen statt auf einzelne Quantitaten auf abstrakte Symbole angewendet werden. Sie bezeichnet die Lehre von den Beziehungen zwischen mathematischen Grolsen und den Regeln, denen sie unterliegen, und ist das Gebiet der Mathematik, das sich mit der Losung von Gleichungen und Gleichungssystemen befasst. Der Name selbst stammt aus dem Titel eines arabischen Lehrbuches aus dem 9. Jhdt. I Mit dem gewahlten Namen Primare Algebra fur den zweiten, aus der Primaren Arithmetik ,genommenen ' Kalkul wird sowohl auf ihre eigene Entwicklung hingewiesen, als auch darauf, dass dieser Kalkul eine der ursprtmglichen Bedeutungen des Begriffes ,Algebra' zum Ausdruck zu bringen vermag, wenn auch nicht historisch, so doch genealogisch gesehen.'

Vgl. ,Algebra' in: Brockhaus sowie in: Encyclopaedia Britannica, zit. am 15.08.2008, Encyclopeedia Britannica Premium Service (http://www.britannica.com/eb/article?eu=120643). Dass diese allgemein gehaltene Definition moglicherweise Mathematiker nicht bedenkenlos akzeptieren werden, ist vor dem Hintergrund ihrer Spezialdisziplin vollkommen einsichtig. Die oben genannte Definition erhebt aber auch nicht diesen Anspruch . Eine exakte Begriffsbestimmung forderte zudem die Auseinandersetzung mit einem historisch bedingten Bedeutungswandel, wie der Eintrag in der Encyclopaedia Britannica zeigt: "The notion that there exists such a distinct subdiscipline of mathematics , as well as the term algebra to denote it, resulted from a slow historical development." (lch danke Stephan Packard fur seine Recherche.) Vergleicht man den Entwicklungsprozess der Algebra in den Laws of Form beispielsweise mit einem Lemma in einem beliebigen Lexikon, wird der Unterschied der Herkunftsdeutung deutlich. .Der ProzeB, der von der verbal en Form der Aufgabenstellung zur symbolischen algebraischen Schreibweise (Variablen , Platzhalter) fuhrte, war erst am Ende des 17. J. beendet, obgleich bereits in der indischen Mathematik abstrakte Zeichen bekannt waren ." dtv Brockhaus Bd.l: III ,Algebra' . Wahrend normalerweise ein Abstraktionsprozess vom konkreten Sachverhalt zur abstrakten Darstellung ihren Entstehungsprozess begrundet, ein Prozess also, der nicht genuin mathematisch ist, wird die Algebra in den Laws ofForm aus den Eigenschaften der verwendeten Zeichen im Rechenprozess selbst generiert . (SK) In den Notes ist von "revelation and incorporation of its own origin" (LoF:87) die Rede.

III. Kommentar- Das sechste Kapitel:THE PRIMARY ALGEBRA

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2.Inhalt Das sechste Kapitel beginnt - wie das vierte - mit der Vorstellung der beiden, nun algebraischen Basisgleichungen und der Aufforderung, mit der Musterunterscheidung fortzufahren . Die beiden Muster der Anschlusstheoreme im vierten Kapitel sind als Explikation latenter Eigenschaften der verwendeten Zeichen vorgestellt worden, insofem diese Resultate von Austauschprozessen sind . Theorem 8 weist als Gleichung daraufhin, dass ein bestimmtes Geflige, unabhangig von der Variablenbelegung, immer dem ,void' aquivalent ist. Theorem 9 weist als Gleichung darauf hin, dass es bestimmte Formen von Ausdrticken bzw. deren Anordnungen gibt, die mit anderen aquivalent sind - eben falls unabhangig von der Variablenbelegung. Die beiden Gleichungen werden als Initialgleichungen der Primaren Algebra verwendet. Die Muster, die in diesem Kapitel unterschieden werden, ergeben sich aus ,sequentiellen Manipulationen' der Initialgleichungen. Sie werden ,consequences' genannt und sind Gleichungen, die eine Folgerung aus zwei Umwandlungswegen im algebraischen Austauschprozess darstellen. Gefolgert wird die Aquivalenz zweier formverschiedener, aber eben durch geregelten Austausch als aquivalent nachgewiesener Geflige . Diese Aqulvalenzen werden als Gleichung dargestellt - eben so wie bei den Theoremen 8 und 9. Das neue in diesem Kapitel besteht darin, dass nicht mehr alle algebraischen Austauschprozesse nachvollzogen werden mussen, sondem dass gefolgert werden darf, und das bedeutet: Prozesse durfen ubersprungen bzw . in wenige Schritte kondensiert werden. Dabei wird eine Eigenschaft des Austauschprozesses sichtbar: die Irrelevanz der Richtung, in der der Austausch vorgenommen wird, und dam it die Aquivalenz richtungsverschiedener ,steps' . Zuletzt erfolgt eine weitere allgemeine Einteilung von Ausdrucken in solche, die den markierten Zustand, solche, die den unmarkierten Zustand und solche, die, je nach Belegung, entweder den einen oder den anderen Zustand anzeigen. 3. Die Initialgleichungen der Algebra Die beiden Initialgleichungen der Algebra entsprechen der Formalisierung der arithmetischen Theoreme 8 und 9. Beide werden im flinften Kap itel ,aus ihrem (Entstehungs-)Kontext genommen' und erhalten die Namen ,form of position' und ,form of transposition' . Als Initialgleichungen der Algebra heiBen sie nur noch "Initial 1. Position" und "Initial 2. Transposition" (LoF :28) . 11: -plq! =

und

J2:

prlqr11

= -plCjllr

Mit der ersten Initialgleichung wird es moglich, an beliebigen leeren Stellen in einem Ausdruck bzw. Geflige den Ausdruck der linken Seite der Gleichung 11 einzusetzen; diese Eintauschrichtung heiBt "put in" (ebd.). Die Gegenrichtung, also das Herausnehmen dieses oder strukturidentischer Gefuge wird "take out" (ebd.), also ,herausnehmen' genannt.

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Die Richtungen des Austausches in der zweiten Initialgleichung heil3en von links nach rechts gelesen ,sammeln' (collect) und in der anderen Richtung ,verteilen' (distribute). Diese Gleichung stellt eine Art Distributivmuster dar, da hier eine zweimal vorkommende Variable aus der gleichen Tiefe ,ausgeklammert' bzw. umgekehrt ,verteilt' werden dare (SK) In den Notes wird daraufhingewiesen, dass Peirce der algebraischen Gleichung, die Initial 1 darstellt, den Namen ,erasure', d.h. ,Ausradierer' gegeben habe . Mit ,position' verweist Spencer Brown auf die ebenso erlaubte Gegenrichtung der ,Setzung' . 4. Konsequenzen und ihre Namen "We shall proceed to distinguish particular patterns, called consequences, which can be found in sequential manipulations of these initials." (LoF:28) . (B) ,consequence' kann neben der Bedeutung ,Ergebnis oder Effekt von etwas' im Englischen auch synonym fur ,importance', d.h. ,Wichtigkeit' verwendet werden. Das lateinische ,consequens' meint eine Folge oder Folgerung, aber das dazugehorige Deponens ,consequeri' hat auch die Bedeutung von ,gleichkommen' , .vollstandig erfassen' oder ,ausdriicken' . ,sequential' heil3t ,folgend' in zeitlicher oder raumlicher Hinsicht , aber auch im Sinne eines Resultates . Das zugrundeliegende lateinische Deponens ,sequeri' bezieht sich einerseits enger auf das Subjekt, denn es bedeutet urspriinglich ,mit den Augen folgen', ,begleiten' , ,verfolgen' . Andererseits kann es auch ,sich (von selbst) einstellen' heil3en. ,manipulation ' meint ,operieren ', ,mit Geschicklichkeit oder Fertigkeit mit etwas umgehen', aber auch ,fUhren' oder ,leiten' und ,kontrollieren' . Die lateinische Wurzel ,manipulus' heil3t vor allem ,dicht' im Sinne von .gedrangt' und kommt urspriinglich von ,in einer Hand (,manus') zusammen fassen' . (I) Die hier Konsequenzen genannten Muster bezeichnen eine Folgerung, die eine nachvollziehbare Verdichtung der Austauschschritte, der Austauschwege und der Austauschrichtung darstellen. Unter Verwendung der beiden lnitialgleichungen wird in zwei Gefugen derart ausgetauscht, dass sie beide einem dritten, identischen Ausdruck aquivalent werden und folglich auch miteinander gleichgesetzt werden diirfen. In den so entstehenden Gleichungen sind sowohl die beiden Rechenwege oder Austauschprozesse in den beiden Termen der Gleichung als auch die Folgerung nach T7, sie gleichsetzen zu diirfen, enthalten . Die ,consequences' genannten Gleichungen stellen diese verschiedenen Prozesse - Austausch und Folgerung - wiederum abgekurzt dar. 3

Vgl. hierzu die wortliche Beschreibun g von Theorem 9, LoF:22.

III. Komment ar - Das sechste Kapitel : TilE PRIMARY ALGEBRA

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Die ausftihrliche Vorfuhrung der beiden Austauschwege, die die erste .consequence ' errnoglicht, zeigt, dass beide algebraischen Initiale verwendet werden, dass die Resultate mehrmaliger Ersetzungen aufbeiden Wegen irgendwann zu einer identischen Form fuhren und dass daraus nach T7 gefolgert werden kann, dass die beiden Terme, Ausdrucke bzw. GefUge der Gleichung aquivalent sind." Diese Interpretation der ,consequences' wird auch dadurch gestutzt, dass Theorem 7, in dem zwei Rechenwege in einer Gleichung verkurzt darstellbar werden und das eine Art Transitivgesetz formuliert, im vierten Kapitel der Laws ofForm ,consequence' genannt wird. (SK) In den Notes wird darauf hingewiesen, dass die Benennung der .consequences' eine angemessene Beschreibung des benannten Prozesses sein solI, so wie er in der Algebra erscheint, ohne seinem arithmetischen Ursprung Gewalt an zu tun (vgl. LoF:87f.). Zudem steckt in den Gleichungen die Erlaubnis weiterer, neuer Austauschmoglichkeiten der beiden Terme, die rechts und links des Gleichheitszeichens stehen, die, je nachdem in welcher Richtung man sie vomimmt, jeweils verschieden gekennzeichnet und benannt werden: "When the step allowed by this equation is taken from the former to the latter expression, it is called ..., and when taken in reverse it is called ..." (LoF:91 hier beispielhaft fur C9). Algebraische Gleichungen, d.h. hier ,consequences', die bereits von anderen Mathematikem aufgestellt wurden, bezeichnen mit ihrem Namen - so Spencer Brown - meist nur eine Austauschrichtung, wahrend die Benennung beider Austauschrichtungen in den hier vorgestellten Folgerungen beiden Richtungen gerecht werden will (vgl. LoF:90). Die folgenden Gleichungen weisen also nicht nur auf verschiedene Austauschwege hin, die unter Verwendung der beiden Initiale und der algebraischen Rechenregeln vorgenommen werden konnen, sondem es werden auch zwei Rechenarten - Austausch und Folgerung, d.h. die Verkurzung mehrerer Austauschprozesse - in ihnen zusammen gefasst. Die Benennung der ,consequences' hat die Funktion, auf deren Herkunft zu verweisen, d.h. sie beziehen sich auf verschiedene Verkurzungsaspekte, die in den Gleichungen implizit mit ausgedruckt werden. Manche Namen bezeichnen "a part of the consequence" (LoF:35), andere "may include reflex ions" (LoF:36), und wieder andere "may indicate a crosstransposed form" (ebd.).

4

Nach " We first find ... by JI " (LoF:28) wird erst gezeigt, wie von dem Initial ausgehend durch Ersetzung der linke Term der Konsequenz errechnet wird. AnschlieBend wird von 12 ausgegangen unter "We next find ..." (LoF:29). Ab "We then find ..." (ebd.) wird gezeigt, dass das gewonnene Resultat des Austauschprozesses, der von 12 ausgegangen war, mit dem Resultat des ersten Prozesses aquivalent ist, usw.

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Tatjana Schonwalder-Kuntze

5. Neun algebraische Folgerungen "Consequence I. Reflexion" (LoF:28): al1 = a In CI werden beide Austauschrichtungen ,reflektieren' genannt , was sie zur Ausnahme macht. Das deutet bereits an, dass ,reflexion' in den Laws of Form ein unterschiedsIoses Hin- und Her meint und nicht etwa den philosophischen Begriff der (SeIbst-)Refle xion oder ahnliches .' (B) ,Reflexion' heillt ,Widerschein ' und ,Spiegelbild' , aber auch .Uberlegung' , ,Gedanke' und ,to reflect' .zuruckwerfen', ,zum Ausdruck bringen ' ; im lateinischen ,reflectere' ist auch .zuruckbeugen ' , ,drehen', ,wenden ' , ,abwenden' und .zuruckdenken' gemeint. (I) Das Doppelcross steht als formales Zeichen fur die zusammen genommene,

zweifache Absicht zur Grenzilberschreitung. Gleichgultig woftir die Variable steht - von der Seite, die sie bezeichnet, wird die zweifache Grenzilberschreitung wieder zu ihr zuruckfuhren, da es nur diese zwei Seiten gibt. So ist der Wert, den die Variable anzeigt, und der Wert, den sie zusammen mit dem Doppelcross anzeigt, derselbe. In "Consequence 2. Generation" (LoF:32): ab1 = a1 b wird ein Generierungsmuster sichtbar : Eine aul3erhalb eines ,cross', d.h. in der Tiefe So stehende Variable kann nochmals in dem ,cross' stehen; sie kann also ohne Wertveranderung (nochmals) ,generiert' werden . Von links nach rechts gelesen ,degeneriert' das Gefuge , weil die Anzahl der Vorkommnisse der Variable abnimmt ; von rechts nach links findet eine ,Regenerierung' statt. Als Differenz zu C1 sei noch erwahnt, dass in C2 nur noch die Initialgleichungen manipuliert werden , wahrend die beiden Regeln und dam it auch T7 nur noch implizit durch die Verwendung von CI zur Anwendung kommen , so dass es sich bei der Gleichung nur noch urn eine Austau schschritte zusammenfassende Folgerung handelt - das gilt fur aile anschliessenden Folgerungen. (SK) In den Notes wird auf Proklos (410-485), einen der letzten athenischen Neuplatoniker, verwiesen. Es sei interessant zu sehen, dass die Transformationen dieser Folgerung unmittelbare Bilder dessen seien, was Proklos , 1r p60 8 0 ~' in englischer Ubersetzung ,procession' und ,EmcrTpo
also urn eine allgemeine, algebraische Generierungsgleichung. Der Verweis auf Proklos impliziert auch einen Verweis auf den Begriff Emanation" , der in seiVgl. hierzu auch den Kommentar zum achten Kapitel.

III. Kommentar- Das sechstc Kapitel: THE PRIMARY ALGEBRA

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ner dialektischen Bewegung von Proklos herausgearbeitet wurde . Die dialektische Bewegung ergibt sich im Nachvollzug des Entstandenen und in der Riickfuhrung auf seine Herkunft . Ein Gegenbegriff zu Emanation ware die Evolution, die einen qualitativen Veranderungsprozess meint, wahrend mit einem Emanationsprozess zwar die Entwicklung ganz verschiedener Erscheinungsmoglichkeiten gemeint ist, die aber aile nur Ausdruck einer einzigen Qualitat - eines Wertes - sind. "Consequence 3. Integration" (LoF:32): 1 a = 1 zeigt die Moglichkeit, neben einem einzelnen ,empty cross' eine Variable setzen oder wegnehmen zu konnen. Von links nach rechts gelesen reduziert der Austausch; von rechts nach links gelesen vermehrt er das Gefuge urn eine Variable. Da der Wert der Gefuge nicht von ihrer Belegung abhangig ist und sie immer auf den ,marked state' hinweisen, zahlen sie zu den ,integral expressions'. (I) In C3 wird gezeigt, dass die arithmetische Regel des dominanten Ausdrucks auch in der Algebra, d.h. fiir Variablen gilt: das .cross' integriert als Hinweis mogliche andere Hinweise: wenn die Variable auch fur ein .cross ' steht, ergeben beide zusammen nach II wieder ein .cross'; steht sie fur ein .void', bleibt das .cross', was es ist. "Consequence 4. Occultation" (LoF:33): al bla = a stellt eine Folgerung als ,Verdunklung' vor: Durch den Austausch kann von rechts nach links ,enthiillt' werden, dass aus jeder Variable ein ganzes Gefuge entwickelt werden kann, in dessen Form noch weitere Variablen auftauchen. Von rechts nach links gelesen , wird die mogliche Komplexitat einer Variable ,verborgen' . (SK) Spencer Brown zieht dem Whiteheadschen Begriff ,absorption' sein ,occultation ' vor: "The occulting part of the expression is not so much absorbed in the remainder as eclipsed by it." (LoF:90). "Consequence 5. Iteration" (LoF:33) : a = aa zeigt, dass fur die Variablen als Hinweise das gleiche Gesetz gilt wie fur die Namen : die Wiederholung eines Namens andert nichts am Wert, den er anzeigt. Damit zeigt C5 auch, dass Variablen Namen sind, wenn auch fur einen unbestimmten Inhalt: sie sind Namen fur Hinweise, die einen Wert haben oder anzeigen, sie bezeichnen, dass etwas einen Wert hat. (B) Von links nach rechts gelesen heil3t der Austausch ,iterate', also ,immer wieder sagen' oder ,unermiidlich wiederholen' ; von rechts nach links gelesen .reiterate' , also ebenfalls .wiederholen' . Man konnte sagen, dass die ,iterate'-

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Richtung einfach zum wiederholten Male darauf hinweist, dass die Wiederholung eines Namens nichts an dem Inhalt, den er benennt, andert, wahrend die umgekehrte Richtung dasselbe fur die Wiederholung von Variablen ausdruckt. Damit gehort diese ,consequence' zu denjenigen, in deren Namen eine Reflexion steckt. "Consequence 6. Extension" (LoF:33): -an;llal b I = a ist wie C4 eine Folgerung, die zeigt, dass Variablen ganze Gefuge sein konnen, d.h. dass fur sie ganze Gefuge eingesetzt bzw. dass Variablen in ganze Gefuge umgeformt werden konnen. Von links nach rechts gelesen heil3t der Austauschschritt ,contract', er zieht also etwas zusammen; von rechts nach links ,expand' , d.h. ,auseinanderziehen' . "Consequence 7. Echelon" (LoF:34): al b I cl = aCl bl c I zeigt, dass ein ,gemischtes' Gefuge, d.h. ein Gefuge, dass sowohl ,divisions' als auch ,severances' enthalt, auch zu einem geordneten Echelon , das nur noch ,divisions' enthalt, gemacht werden kann. Von links nach rechts gelesen , wird das Echelon unterbrochen; von rechts nach links gelesen, wird es gemacht oder hervorgebracht. Durch den Namen von C7 wird also nur ein Teil der ,consequence ' benannt: die linke Seite. (B) ,Echelon' wird im Englischen eine Staffel(aufstellung) genannt . (I) Es geht hier urn die Moglichkeit, eine geordnete Menge , ein geordnetes Hinter-, Neben- oder Nacheinander herzustellen, in dem so viele, Tiefen' hergestellt werden, wie verschiedene Variablen vorhanden sind. Andererseits kann aber auch die Tiefe eines Ausdrucks oder Gefuges urn eine Tiefe reduziert , d.h. urn ein ,cross' verringert werden. "Consequence 8. Modified transposition" (LoF:34): albr1Cf11 = alblClI alfll ist, wie der Name sagt, eine Modifizierung der zweiten Initialgleichung. Die Austauschrichtungen erhalten dieselben Namen wie in 12, d.h. von links nach rechts gelesen heil3en sie ,collect' und umgekehrt ,distribute' . (I) Im Unterschied zu 12 handelt es sich urn eine grofsere Anzahl von Variablen und urn eine Erweiterung der Versetzungsmoglichkeit: es kann nicht nur eine Variable aus einem Gefuge ,ausgeklammert' werden, sondem auch ein Teilgefuge .

Die letzte "Consequence 9. Crosstransposition" (LoF:35):

blfllalfllXl y IYJ r I = bl abl

rxyl

III. Kommcntar- Das scchstc Kapitcl:THE PRIMARYALGEBRA

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ist eine weitere Variation des zweiten Initials, und zwar in einer wiederum anderen Form von Zusammenziehung distributiver Ersetzungs- bzw. Auflosungsschritte in einer algebraischen Gleichung . Von links nach rechts gelesen heiBt der Austausch ,crosstranspose' oder ,collect', von rechts nach links ebenfalls ,crosstranspose' oder ,distribute'. In den vorgestellten aIgebraischen Folgerungen werden verschiedene Austauschschritte, -wege und -richtungen zusammen gefasst in Gleichungen dargestellt. Die ,consequences' sind Muster, die sich aus der Verwendung der beiden Initialgleichungen sowie der erlaubten Austauschschritte ergeben. Dass in den Folgerungen C2 bis C9 bereits andere, vorher vorgestellte Folgerungen benutzt werden, ist eine weitere Verktirzung von Rechenschritten und -wegen. Dennoch lieBen sich alle diese Folgerungen in ihren einzelnen Austauschschritten rekonstruieren, und durch die Belegung der Variablen lieBe sich ihre arithmetische Gultigkeit aufzeigen . Die Folgerungen der Algebra sagen demnach auch etwas tiber die Arithmetik: tiber Zusammenhange in der Arithmetik, die fur die Hinweisformen auf beide Seiten gelten. Sie entsprechen damit insofem den Theoremen der Arithmetik, als sie allgemeine Verkiirzungsmuster der arithmetischen Rechenprozesse darstellen. 6. Aquivalenz samtlicher Austauschschritte Mit den ,consequences' ist eine weitere Komplexitatsstufe erreicht, es werden immer mehr Austauschschritte in einer einzigen Gleichung ,zusammen gezogen' dargestellt, d.h. neben den in den Regeln festgelegten Austauschmoglichkeiten von Variablen auch die in den Folgerungen sichtbar gemachte Austauschmoglichkeit von Gefiigen: "We shed the labour of calculation by taking a number of steps as one step." (LoF:36) . Erlaubt ist das gemafs dem zweiten Kanon: "contraction of reference" (LoF:8), der die Benennung verschiedener Ausfiihrungsanweisungen in einem einzigen Hinweis moglich macht, solange sie noch nachvollziehbar sind. Obwohl es sich einerseits urn verschiedene Austauschschritte handelt, wei! der durch eine Folgerung erlaubte Austausch etwas anderes austauscht als Variablen - z.B. ganze Gefiige -, ist die Rede von einer Anzahl gleicher ,steps' erstens angemessen, wei1die Folgerungen selbst bereits eine Zusammenziehung aquivalenter Schritte darstellen. Zweitens sind die ,steps' zwar verschieden in Bezug auf die Richtung, in der sie vollzogen werden; aber diese Verschiedenheit wird im - arithmetischen - Gleichheitszeichen zusammengezogen und damit auch im algebraischen Gleichheitszeichen kondensiert dargestellt. Betrachtet man die Austauschschritte an sich selbst, d.h. in Bezug auf ihren Wert, lasst sich sagen, dass jeder Schritt als Schritt in die gleiche Richtung den gleichen Wert hat, sonst konnte nicht ihre Aquivalenz betrachtet werden : "thus if

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we consider the equivalence of steps" (LoF:36). Zwei Zeichen, die auf einen aquivalenten Wert hinweisen , durfen in einem Zeichen zusammengenommen geschrieben werden (nach Kanon 2). Ebenso konnen zwei entgegengesetzte Austauschschritte so betrachtet werden, als waren sie nicht vollzogen worden. Durch das Zusammenziehen aquivalenter Schritte zu einem Schritt kann es aber zu einer Inkonsistenz kommen, je nachdem, welche Schritte zusammen gefasst werden , d.h. mit welchem zusammenfassenden Austausch begonnen wird (vgl. LoF:36f). Deshalb folgt, dass in jeder Berechnung jede Anzahl von Austauschschritten, "including zero" (LoF:37), als Schritt betrachtet wird. Da das Zeichen ftlr ,steps' ein Name fur einen Austauschschritt ist, der am Wert des Ausdrucks oder des Gefuges nichts andert, kann auch ein dem ersten Schritt vorhergehender ,nullter' Schritt theoretisch als Schritt betrachtet werden: die bloBe Anzahl der Schritte andert nichts, denn durch sie verandert sich der Wert des Gefuges oder Ausdrucks , (in dem) den sie austauschen nicht - sie sind also, wie aile Namen, beliebig oft verwendbar oder aufrufbar, ohne deshalb eine Wertveranderung zu indizieren . 7. Klassifikation der Folgerungen Die algebrai sche Betrachtung der Primaren Arithmetik fuhrt zu einer weiteren Klassifikation bzw. Unterscheidung von Ausdriicken: Ausdrucke des markierten Zustandes heiBen integral (m), wei! sie ein ganzer , vollstandiger und wesentlicher Hinweis sind - das trifft auf beide Seiten von C3 zu. Ausdriicke des unmarkierten Zustandes heiBen hingegen disintegral (n) - das gilt fur beide Seiten von J1. Diejenigen Ausdriicke , deren Wert von ihrer Variablenbelegung abhangig ist, sollen ,consequencial expressions ' genannt werden. Dazu zahlen J2, Cl , C2, C4, C5, C6, C8, C9. Ausblick: 1m siebten Kapitel werden vier algebraische Folgerungen verallgemeinert und konnen daher als Theoreme formuliert werden . Sie beschreiben Eigenschaften des algebraischen Rechnens bzw. Austausches . 1m achten Kapitel werden die Primare Arithmetik als vollstandiges Hinweissystem auf die zwei Seiten der ersten Unterscheidung und die Primare Algebra als Hinweissystem auf die Hinweisformen, -arten und -prozesse der Primaren Arithmetik unter verschiedenen Perspektiven in ihrem Zusammenhang betrachtet.

Das siebte Kapitel: THEOREMS OF TilE SECOND ORDER Tatjana Schonwalder-Kuntze

1. Titel Der Titel bezieht sich auf eine zweite Art von Theoremen, auf algebraische Theoreme . Die algebraischen Theoreme explizieren die Einsicht , dass in bestimmten algebraischen Gefiigen bestimmte Teilausdrlicke unbegrenzt erweiterbar bzw. Variablen und Operatoren auf hochstens zwei reduzierbar sind. Das Pradikat ,order' bezeichnet in den Laws of Form die Notwendigkeit einer Reihenfolge: Wahrend die arithmetischen Theoreme erster Ordnung bestimmte Eigenschaften der Hinweisformen bzw. -zeichen explizieren , die diesen dadurch zukommen, dass sie Operanden in einem Austauschprozess sind, weisen die Theoreme zweiter Ordnung bereits reflexiv auf die Erweiterbarkeit bestimmter Austauschprozesse hin und damit auch auf die Erweiterbarkeit der Initialgleichung J2. Da mit den algebraischen Gleichungen immer Gesetzmaliigkeiten ausgedruckt werden , die nicht nur fur beide Arten von Hinweisformen - inklusive der beiden arithmetischen Initialgleichungen - gelten, sondern auch und vor allem fur die Rechenprozesse selbst, in denen zunehmend von konkreten Werten und Hinweisformen abgesehen werden kann, ergibt sich gleichsam eine natiirliche Reihenfolge in der Explikation. So konnte auch gesagt werden, dass die Theoreme erster Ordnung, d.h. die der Primaren Arithmetik, bestimmte Muster, die sich im geregelten Austausch von Hinweisen an den Hinweisen ergeben, explizit machen, wahrend die Theoreme zweiter Ordnung allgemeine Muster betreffen, die Eigenschaften der Austauschprozesse selbst sowie der im algebraischen Austausch verwendeten algebraischen Zeichen darstellen . 2. Inhalt Der Inhalt des siebten Kapitels besteht in der Formulierung sechs algebraischer Theoreme, wobei die Theoreme 10 bis 12 bestimmte Eigenschaften derjenigen Gleichungen verallgemeinern, die Variationen der distributiven ,form of transposition' darstellen : die Initialgleichung J2 und die beiden Folgerungen C8 und C9. Die Verallgemeinerung besteht darin, ihren Geltungsbereich zu erweitern, d.h. die erlaubten Umsetzungsmoglichkeiten auf formverschiedene Gefuge auszudehnen. Theorem 13 expliziert eine Eigenschaft der generierenden Folgerung C2, und die Theoreme 14 und 15 formulieren zwei Muster in Bezug auf die

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Tatjana Schonw alder-Kuntze

verwendeten algebraischen formvariablen Operanden bzw. den formkonstanten Operator. Die Theoreme 10-13 tragen keine eigenen Namen, weil sie keine neuen Muster offen legen, sondem nur verallgemeinemde Erweiterungen bzw. Zusammenziehungen an bereits aufgedeckten Mustem darstellen. Deshalb konnen die Namen der erweiterten Gleichungen auf diese Theoreme ubertragen werden (vgl. LoF :40). 3. Drei distributive Theoreme Die folgenden drei Theoreme verallgemeinem bestimmte Aspekte der .conseque~ces' und dehnen so den Geltungs- bzw . Anwendungsbreich der dargytellten Aquivalenzen aus. So wird in "Theorem 10": albl ... r = arllm... (LoF:38) expliziert, dass die Umsetzungsmoglichkeit einer Variable, die mit der Initialgleichung 12 ausgedruckt wird, nicht nur fur zwei Teilgeflige bzw . Teilraume gilt, sondem fur jede Anzahl von Teilgefugen oder -raumen mit der gleichen Tiefe So+2 in einem Raum der Tiefe So+l . Mit "Theorem 11" : albflCfl...1 = alblCl...lalfll (LoF:39) wird gezeigt, dass die Verallgemeinerung in T 10 auch fur C 8 gilt, d.h. dass auch die ,modifizierte Umsetzung' fur jede Anzahl von Teilraumen mit der Tiefe So+2 moglich ist. Das gleiche gilt fur "Theorem 12":

(ebd.) nur in Bezug auf C 9, also auf die ,kreuzweise Umsetzung' von Teilausdrucken. FUr aile drei Theoreme gilt gleichermaf3en, dass die Anzahl formverschiedener Variablen, die nicht versetzt werden, parallel zur Anzahl der neuen (Teil-) Raume oder Teilgeflige steigt, in denen diese Variablen stehen. In den formalen Darstellungsformen der Theoreme werden somit verschiedene Austauschschritte und -wege in verschiedene Richtungen zusammengezogen dargelegt: (1) Erstens implizieren die Gleichungen die Generierung weiterer Teilausdrucke oder Raume in einem Gefuge, d.h . die Vermehrung von algebraischen ,crosses', inklusive algebraischer Variablen, die zwar von unbekanntem Wert sind, aber immer auf einen der beiden arithmetischen Werte verweisen, d.h. durch einen Haken oder einen leeren Ausdruck ersetzt werden konnen, (2) Zweitens verweisen die Gleichungen auf die Versetzungsmoglichkeit von Variablen, die sich ursprunglich an einem Resultat des arithmetischen Austausches gezeigt hat, d.i. in T9. Der zweifache Austausch erzeugt aquivalente, aber formverschiedene Ausdrucke.

III. Kommcntar - Das sicbte KapiteI: TH EOREMS

OF TilE SECOND ORD ER

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(3) Durch die Aquivalenz der beiden Gefuge wird die Versetzungsmoglichkeit der Variablen sichtbar und so auch der Austausch der Gefuge selbst moglich. Ais Initial J2 der Primaren Algebra wird T9 zur Austauschbasis algebraischen Rechnens, des sen Resultate in den ,consequences' dargestellt werden. (4) In diesen Gleichungen stecken bereits wieder verschiedene Rechenschritte und -wege, da sie Resultate einer Folgerung sind. Die zwei weiteren gefolgerten Versetzungsvariationen C8 und C9 bilden schlieBlich zusammen mit J2 die Basis fur die Erweiterung der Distributionsbzw. Kollektivierungs- oder Einklammerungs- bzw. Ausklammerungsmoglichkeiten von Variablen in solchen Gefugen. (SK) In den Notes zum vierten Kapitel wird daraufhingewiesen, dass sich an T9 die unterschiedliche Bedeutung der Begriffe ,division' auf der einen Seite und ,cleavage' oder ,severance' auf der anderen Seite zeige (vgl. LoF:87). Wahrend eine Teilung im Sinne einer ,division' eine quantitative Veranderung meint, die z.B. der wiederholten Namensnennung entspricht oder der ,number' , d.h. eine Anzahl vieler Gleichartiger meint, ist mit ,cleavage' eine Unterscheidung im Sinne der ersten Unterscheidung, d.h. eine qualitative Spaltung gemeint. (I) An den drei distributiven algebraischen Theoremen, die aile eine verallgemeinerte Variation des neunten arithmetischen Theorems darstellen, zeigt sich zunachst, dass die Anzahl der (Teil- )Raume mit der Tiefe So+2 in einem Raum mit der Tiefe So+\ irrelevant ist fur den Wert, auf den das Gefuge hinweist. Die Division eines Gefiigeraumes, der die Tiefe So+1 hat , kann so unbegrenzt fortgesetzt werden, ohne dass sich etwas am Wert des gesamten Gefuges veranderte. Die Division eines Raumes entspricht somit nur der Erweiterung moglicher Teilausdrucke und damit einer einfachen arithmetischen Zeichengenerierung innerhalb eines algebraischen Gefuges, und das unabhangig von der Belegung der Variable, die in dem Raum steht. FUr Gefuge, die in der gleichen Tiefe stehen, gilt, dass sie nur quantitative Teilungen des Raumes darstellen und keine qualitativen - deshalb gilt fur sie das gleiche Gesetz wie fur die Namen: Ihre Wiederholung andert nichts daran, worauf sie ein Hinweis sind und somit verandert sich auch der Wert des Ausdrucks bei beliebiger Wiederholung nicht. Die Theoreme 10-12 sind neben dem distributiven Austauschmuster, das sie explizieren und verallgemeinem, auch ein impliziter Hinweis auf samtliche Austauschvorgange, die zu ihnen gefuhrt haben . In dieser Hinsicht sind sie zusammenziehende und -gezogene Prozessreferenzen. Das gilt in gleichem MaBe fur die folgenden drei Theoreme zweiter Ordnung, auch wenn sie andere Teilaspekte des algebraischen Rechenprozesses und seiner Moglichkeiten explizieren.

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4. Das algebraische Generierungstheorem

~blalgg (LoF:39)verallgemeinert "Theorem 13": ...clblalg C2, d.h. die Generierungsmoglichkeit identischer Variablen in einem Gefuge . Es besagt, dass die Generierung einer Variable, d.h. ihre Wiederholung in dem ,cross', neben dem sie bereits steht, nicht nur fur das nachste links stehende ,cross' gilt, sondem fur aile ,crosses' jeder Tiefe, sofem diese nicht geringer ist als die Tiefe, in der die Variable zunachst auftaucht. Eine identische Variable kann also beliebig tief in einem Gefuge reproduziert werden, und wie der Beweis zeigt, auch beliebig oft, d.h. sie konnte theoretisch in allen oder auch nur in einigen Tiefen generiert werden. Die drei distributiven Theoreme und das algebraische Generierungstheorem sind Theoreme, die den Geltungsbereich einer ,consequence' verallgemeinem, indem sie ihn erweitern oder ausdehnen im Sinne des funften Kanon : ,Expansion of reference' . Die folgenden zwei Theoreme formulieren hingegen Eigenschaften, die von der Art sind, wie sie im zweiten Kanon angesprochen wird, denn es geht urn eine ,contraction of reference'. 5. Zwei kanonische Theoreme Die folgenden zwei Theoreme haben die Besonderheit, zugleich Kanones zu formulieren . Ein Kanon legt bestimmte Bedeutungen und Verwendungsregeln fest, wie beispielsweise der erste Kanon festlegt, dass alles, was nicht explizit erlaubt wird, verboten bleibt. Oder wie der dritte das Zusammenziehen von Anweisungen in einer einzigen Anweisung erlaubt ; oder wie der funfte Kanon die mogliche Ausdehnung von Referenzen durch Division gestattet. Kanones formulieren gleichsam ,von auBen' bestimmte Prozessmoglichkeiten und erlauben damit die Verwendung dieser Moglichkeiten : "A canon bears the distinction of being outside (i.e. describing) . ... A canon is an order ... to commit or allow, but not to construct or create." (LoF:89). Die folgenden Theoreme Tl4 und TI5 sind Kanones, wei! sie eine latente Moglichkeit des Austauschprozesses explizieren und zugleich eine neue Art von Austausch erlauben . "Theorem 14. Canon with respect to the constant" (LoF:40) expliziert, dass von jedem Ausdruck oder jedem Gefuge - mit einer beliebigen Anzahl von Konstanten, also ,crosses' - ein Ausdruck oder ein Gefuge mit einer max. Tiefe Sn+2 abgeleitet werden kann. Dass bei der Ableitung Gefuge mit einer max. Tiefe von zwei ,crosses' entstehen, heiBt, dass entweder eins, zwei oder kein ,cross' ubrig bleiben. In der Arithmetik ist erlaubt worden, den Hinweis ,cross' geregelt zu erweitern und beliebig tief'verschachtelte Ausdrucke zu bauen. Jetzt wird die Umkehrung der Expansionsregel als algebraisches Theorem formuliert. Da die Vertie-

Ill. Kommentar- Das siebte Kapitel: THEOREMS OF THE SECOND ORDER

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flmg eines Ausdrucks ursprunglich tiber das arithmetische Vervielfaltigen von Ausdrucken moglich ist - mit 12 -, muss naturlich auch die Reduzierung der Tiefe, also die Umkehrung dieses Austausches moglich sein - wenn auch der Beweis in der Algebra tiber die Moglichkeit zur Tiefenreduzierung, die in C7 gezeigt wird, gehen muss. "Theorem IS. Canon with respect to a variable" (LoF:41) expliziert eine Moglichkeit der Reduktion fur die Anzahl von Variablen : Aus jedem Ausdruck oder Gefuge - mit beliebig vielen Variablen - kann ein Ausdruck abgeleitet werden, in dem von jeder Variablenform max. zwei vorkommen . Die Theoreme 14 und IS explizieren eine allgemeine Eigenschaft von algebraischen Ausdrucken oder Gefugen: Zu jedem Ausdruck gibt es einen aquivalenten Ausdruck, bei dem sowohl die Anzahl identischer Variablen als auch die Tiefe des Gefiiges auf zwei reduziert werden kann.' 1m Umkehrschluss explizieren die beiden Theoreme, dass jedes algebraische ,cross' und ,Doppelcross' in einem Gefuge immer auch einen Hinweis auf jede aquivalente Anzahl von ,crosses' darstellt, und dass jede zweimal vorkommende Variable potentiell fur jede Anzahl identischer Variablen stehen konnte - was aber an dieser Stelle implizit bleibt. Ruck- und Ausblick: Mit diesem siebten Kapitel ist die Genese der Primaren Algebra in den Laws of Form abgeschlossen: Es wurden verschiedene, mogliche und d.h. generierbare und darstellbare Zusamrnenhange zwischen einzelnen Ausdrucken vorgefiihrt und ihr Hervorgehen aus der primaren Arithmetik gezeigt. Das folgende achte Kapitel beschreibt den Zusammenhang der beiden Kalkiile nicht in Bezug auf ihren inneren, genealogischen Zusammenhang, sondem aus einer (Auf3en-) Perspektive, die sie auch als zwei Seiten einer Unterscheidung erscheinen lasst.

Diese aquivalenten Ausdrucke werden im neuntcn Kapitcl (LoF:51) ihre ,kanonische Form' genannt- so lasst sich der Name der Theoremc noch auf eine zweite Weise motivieren.

Das achte Kapitel:

RE-UNITING THE TWO ORDERS

Tatjana Schonwalder-Kuntze

1. Titel Mit dem Titel ,Wiedervereinigung der zwei Ordnungen' wird zum einen auf einen wiedervereinigenden Akt hingewiesen und zum anderen auf dasjenige, das wieder vereinigt werden solI. ,Order' ist im dritten Kapitel als gemeinsame Bezeichnung fur die Hinweisarten bestimmt worden, mit denen durch eine Wiederholung des Hinw eises auf die andere, zweite Seite hingewiesen werden kann , wodurch die Reih enfolge der abgegebenen Hinweise relevant wird . In dies em Kapitel sind mit ,order' Eigenschaften verschiedener Austauschprozesse gemeint, die in den Laws of Form nur nacheinander entdeckt und expliziert werden konnten, und die hier wieder zusammen in den Blick genommen werden. Dabei handelt es sich urn Prozesse, die in der Primaren Arithmetik stattfinden; urn Prozesse, die sowohl als Rechenvorgange der Primaren Arithmetik als auch der Primaren Algebra gesehen werden konnen und urn Prozesse, die ausschlieBlich in der Primaren Algebra vorkommen. Die Eigenschaften oder Muster dieser Prozesse werden wieder vereinigt, indem beide Kalkule zusammen betrachtet werden und nicht etwa, indem die Grenze zwischen ihnen aufgehoben wurde, ,Wiedervereinigung' meint Grenzuberschreitung, meint die Betrachtung der gemeinsamen Grenze, der " shared boundary" (LoF:94), meint eine (gedankliche) Hin- und Herbewegung zwischen zwei Unterschiedenen, durch die aber gerade die beiden Kalkiilen gemeinsamen Elemente oder Strukturen sichtbar gemacht werden konnen, 2.Inhalt Der erste Abschnitt des achten Kapitels ist der wiedervereinigenden Hin- und Herbewegung gewidmet, die Reflexion zwischen einem lnhalt und (s)einem Bild genannt wird. Es wird expliziert, was wir (gedanklich) tun, wenn wir Gemeinsamkeiten in Unterschiedenem suchen , wenn wir wiedervereinigen. Mit dem zweiten Abschnitt ,Anzeigender Raum' wird die ,Reichweite' des Wertes eines Ausdrucks bestimmt und die Position des Bewertenden in Bezug auf den Ausdruck. Zudem wird hier ein Beispiel fur ein wiedervereinigendes Tun gegeben: einen Ausdruck zu bewerten bedeutet immer auch einen algebraischen Ausdruck (wieder) arithmetisch zu betrachten. Anschliefsend werden fur Eigenschaften, die Ausdrucken in beiden Kalkiilen zukommen, das Relevanz-

III. Kommentar - Das achte Kapitel: R E- UNITING THE TWO ORD ERS

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prinzip als Kanon formuliert sowie beiden Kalkulen gemeinsame Prozesse vorgestellt , die, je nach Kalkul, eine andere Funktion einnehmen und daher auch einen anderen Namen tragen: Theoreme und Foigerungen sowie Beweise und ,demonstrations' . Das abschlieBende Briickentheorem formuliert eine weitere Eigenschaft algebraischer Gleichungen. Das in einem Kanon formulierte Transmissionsprinzip , das bereits die aus der Bewertung resultierende Ubertragung eines Wertes in den Raum hinein, in dem der Ausdruck steht, verwendet, weist schlieBlich vorbereitend auf das elfte Kapitel und damit auf das ,Re-entry' als weitere, andere Ordnung hin .

3. ,Inhalt' , ,Bild ' und ,Reflexion' Das achte Kapitel beginnt mit einer Zwischenuberschrift, die aus den drei Namen ,content' , ,image' und ,reflexion' besteht. Diese werden folgendermaBen formalisiert: FUrjeden Ausdruck e soli e Inhalt, eJ Abbild und =eilReflexion genannt werden. Der darauf folgende Textabschnitt bestimmt, in welchem Verhaltnis die drei Begriffe zueinander stehen und was mit ihnen gemeint ist. Mit ,Inhalt' ist hier derjenige Raum gemeint, in dem der Ausdruck e steht - und nicht der Raum, der von dem Ausdruck e umfasst wird. Der Raum, in dem ein Ausdruck steht, wird durch den Ausdruck markiert. Dieser Raum, in dem der Ausdruck als Markierung stehl, wird also nicht durch den Ausdruck begrenzt, ge bildet, gestaltet oder geformt (shaping), sondem der Ausdruck markiert den Rauminhalt, macht ihn zu einem Raum, der eine Markierung enthalt, Urn den Inhalt selbst abzubilden, bedarf es einer anderen , seinen Raum limitierenden Grenze , die den Inhalt als diesen markierten Rauminhalt abbildet. Das ,Abbild' eines Inhaltes besteht demnach aus dem (s)eine Markierung umgebenden Raum und einer Grenze , die diesen Inhalts-Raum abschlieBt, als die " boundary surrounding it and shaping another form." (LoF:42). (I) Welche Art von Begrenzung hier gemeint ist, ist aus dem Text nicht ersicht-

lich. Da wir uns nach wir vor auf der basalen Ebene der ersten Unterscheidung befinden, meint die Grenze, mit der der Rauminhalt abgebildet werden kann, jede Art von Grenze : eine gedankliche Grenze, die beispielsweise einen Geltungsbereich von einem anderen unterscheidet, eine lokale Grenze , eine funktionale Grenze etc. Festgelegt wird hier nur, dass das Abbild eines Inhalts nicht nur aus dem Inhalt, sondem eben auch aus der den Inhalt abgrenzenden Grenze besteht. Und festgelegt wird auch, dass es sich urn die Grenze zwischen einem Inhalt und seinem Abbild handelt. (B) ,Image' heillt ,Bild', ,Standbild', ,Ebenbild', ,Abbild', aber auch .Vorstellung' . Ais Verb kann es zudem als ,widerspiegeln' oder ,anschaulich schildem'

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verwendet werden. Das lateinische ,imago' bedeutet noch ,Schatten' , ,Schemen', ,Traumbild', ,Metapher' und ,Gleichnis'; aber auch ,Trugbild' und ,Erscheinung ' sowie ,Vorstellung' , ,Gedanke ' und ,Einbildung' . (I) Betrachtet man die Bedeutungen des verwendeten Begriffes, dann scheint es

sich weniger urn eine .aubere Begrenzung' des Inhalts zu handeln und auch nicht urn eine formgebende Bestimmung, sondem vielmehr urn das Hervorheben dessen, was den Inhalt zum Inhalt macht: der Ausdruck macht den Inhalt eben zum markierten Raum, und die Grenze hebt hervor, welcher Raum so markiert worden ist. Eine Rekapitulation der unterschiedlichen Verwendungen des Begriffes ,Inhalt ' in den Laws of Form zeigt zwei Bedeutungen : Mit ,Inhalt' (content) werden im ersten Kapitel zunachst einfach die beiden Seiten bezeichnet, denen als unterschiedene Inhalte verschiedene Werte zugesprochen werden, auf die dann durch Namen oder die (zweifache) Absicht zur Grenziiberschreitung hingewiesen werden kann . Irn zweiten Kapitel wird ,Inhalt' sowohl fur die zwei Seiten der ersten Unterscheidung verwendet als auch fur beide zusammen, denn unter ,Form' taucht ,Inhalt' wieder mit dem Pradikat ,entire' versehen auf (vgl. LoF:4). Hier meint ,Inhalt' beide unterschiedenen Inhalte zusamm en, weil sie als die zwei Seiten einer Form gedacht werden, d.h. zusammen unter einem ,unwritten cross' stehen. Mit ,Inhalt' werden also zwei verschiedene Arten von Inhalten bezeichnet: nur die Inhalte der jeweiligen Seiten oder aber beide zusammen genommen als gesamter, aber in sich unterschiedener Inhalt der Form der Unterscheidung. Ein ,Inhalt' und sein ,Abbild' konnten also als die zwei unterschiedenen Seiten einer Unterscheidung gedacht werden, die zusammen ihre Form bilden. Allerdings sei davor gewamt, sich das nur raumlich vorzustellen, wie in dem Kreisbeisp iel, in dem sich der eine Inhalt vom anderen dadurch unterscheidet, dass der eine Inhalt von der Grenze umschlossen wird und der andere den durch den Kreis markierten - in diesem Falle einen ,bekreisten' - Raum darstellt. Ein Inhaltsraum kann auch eine funktionale Grenze haben, und die Abbildung dieses Raumes besttinde dann gerade darin, diese den Inhalt zu einem Inhalt machende Funktion anzugeben - wie beispielsweise das Abbild ,menschlicher Kreislauf' den Inhalt nach seiner Funktion begrenzt und nicht nach raumlichen Kriterien. Die Form der Unterscheidung, die aus Inhalt und Abbild geschaffen wird, bestunde hier darin, bestimmte Zusammenhange im menschlichen Korper zusammenzufassen und diese als .Kreislauf' abzubilden . Wenn wir noch mal das Beispiel aus dem ersten Kapitel nehmen, dann heil3t das, dass der Inhalt des Kreises erst als Kreisinhalt sichtbar wird, wenn wir auf die ihn umgebende Grenze, die seine Form ,shaped ', schauen. Eine Markierung im Kreis weist auf den lnhalt des Kreises, also auf das Innere hin. Der lnhalt eines Kreises ist also der Raum, in dem die Markierung steht; das Abbild dieses

III. Kommentar - Das achte Kapitel : RE-UNlTINGTHE TWO ORDERS

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Inhalts ist ein Kreis, der zugleich die abstrakte Beschreibung oder Struktur darstellt, die einen Inhalt einen Kreis sein lasst, (B) Zu ,Reflexion' vgl. die etymologischen Hinweise irn Kommentar zum sechsten Kapitel. Weil - nach CI - die Retlexion und ihr Inhalt aquivalent sind, ist "the act of retlexion ... a return from an image to its content or from a content to its image ." (ebd. Hvhb. T.S .). Retlexion ist demnach nicht die einfache Bewegung von einem Inhalt zu seinem Abbild oder umgekehrt, sondem mit Retlexion ist bereits die Wiederholung, die Riickkehr gemeint, also eine sukzessive Bewegung in beide Richtungen, ein Hin und Her, gleichgultig von wo aus der Anfang genommen wird. In der Grafik (LoF:42) fordem die ,crosses' zwischen den Begriffen ,Inhalt' und ,Abbild' dazu auf, die Grenze einmal in die Richtung des Abbildes und dann wieder in die Richtung des Inhalts zu iiberschreiten. Die Grafik stellt aber keine immer anderen, neuen Inhalte und Abbilder dar, sondem versucht, die gedankliche Bewegung zwischen einem Inhalt und seinem Abbild einzufangen. Die hier Sukzession genannte Bewegung bezeichnet also keine Erweiterung und keinen unaufhaltsamen Retlexionsfortschritt, sondem mit ihr ist die reflektierende Hinund Herbewegung gemeint, die bei der Betrachtung eines Inhaltes und seines Abbildes stattfindet. Der Retlexionsakt nimmt also einen Inhalt und sein Abbild zugleich in den Blick, d.h . der Inhalt der einen Seite (und zugleich der ganze Inhalt) wird in seiner Form beschrieben: "Thus in describing a form we find a succession" (ebd.).' Wichtig ist festzuhalten, dass mit Reflexion hier kein Fortschritt ad infinitum gemeint ist, sondem die Bewegung von einem Inhalt zu seinem Abbild in einer Form der Unterscheidung. Retlexion meint eine zweifache Grenziiberschreitung, die wieder dahin zuruckfuhrt, woher sie gekommen ist, die von einem Ausdruck (in seinem Inhaltsraum) aus seine ihn umgebende Grenze uberschreitet und wieder zuriickiiberschreitet. Die hier vorgestellte Verwendung des Reflexionsbegriffes unterscheidet sich wesentlich von den meisten Verwendungen in der Philosophiegeschichte: Dort wird unter Reflexion meistens die - mit Hegel ,schlecht unendlich ' genannte - sich selbst zum Objekt machende Reflexion im Selbsterkenntnisakt verstanden, der unter einer erkenntnistheoretischen Fragestellung zur Erzeugung cines unendlichen Regresses im Denken filhren kann: Welches Bewusstsein erkennt?Dasjenige, das in einem weiteren Reflexionsakt crkannt werden kann . Und welches Bewusstsein erkennt dann dieses ? etc . Die potentiell in der Reflexionsbewegung enthaltene Unendlichkeit kann sieh aber auf die Wiederholungsmoglichket der Hin- und Herbewegung z wischen zwei Inhalten (lnhalt und sein Abbild) beziehen - wie in den Laws ofForm - oder eben auf unendlich generierbare, neue Inhalte , die durch die Thematisierung des impliziten Kontextes immer neue Fonnen entstehen lassen . Diese Art unendlichen Pro- oder Regresses im Denken meint Spencer Browns Reflexion nicht.

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Dargestellt oder abgebildet wird diese grenzuberschreitende, raumverlassende Bewegung durch ein ,cross' tiber dem Ausdruck. Der so entstandene neue Ausdruck ist gleichzeitig ein Abbild des ganzen Raumes, in dem der Ausdruck steht. Die Ruckuberschreitung wird dargestellt durch ein Doppelcross tiber dem Ausdruck - der so neu entstandene Ausdruck zeigt den ursprtinglichen Ausdruck, seinen Inhalt, sein Abbild und seine Reflexion an . Die doppelte Grenztiberschreitung stellt CI in der Algebra formal dar : Ein reflektierter Ausdruck verweist auf den gleichen Inhalt wie der Ausdruck selbst, d.h . das s ein ,token ' unter einem Doppelcross sowohl an sich selbst auf einen unterschiedenen Inhalt einer Form der Unterscheidung hinweist als auch auf die Reflexionsbewegung zwischen ihren beiden Seiten - beide Ausdrticke weisen auf ein und denselben Wert, aber nieht auf denselben Inhalt hin. So zeigt sieh , dass das achte Kapitel ebenso wie CI eine Variation bzw. eine Anwendung des zweiten Axioms ist, Der folgende Abschnitt in den Laws ofForm benennt einen besonderen Raum : Der Inhalt, der von dem Ausdruck e angezeigt wird , ist ein Raum der Tiefe so, . oder anders formuliert : ein Raum der Tiefe So ist der e durchdringende Raum? Wahrend im vorhergehenden Abschnitt das Verhaltnis von einem markierten Inhalt und seinem Abbild expliziert wurde, geht es im folgenden Abschnitt darum zu bestimmen, dass der Wert .markiert', der mit der Markierung veri iehen wird, sich auf den Raum ubertragt, in dem der Ausdruck steht.

4. Der anzeigende Raum

Im Text heiBt es: Wenn So der durchdringende Raum des Ausdrucks e ist, dann ist der Wert von e sein Wert bezogen auf oder fur So - ,the value of e is its value to so'. Wenn der Ausdruck e der einzige Ausdruck in So ist, dann (uberjnimmt So den Wert von e und wir konne n So den e anzeigenden Raum nennen (vgl. LoF :42) . Indem wir e bewerten, imaginieren wir uns - oder stellen wir uns - uns selbst zusammen mit e in So vor und somit umgeben von dem ungeschriebenen ,cross', das die Grenze zu (einem Raum der Tiefe) S_I ist. (I) Der anzeigende Raum eines Ausdrucks e ist der den Ausdruck e durchdringende Raum und d.h., So ist sein Inhalt oder der Raum, in dem e steht. Der Wert von So ist derselbe, wie der Wert des Ausdruckes e, wenn er der einzige Ausdruck im Raum ist, da dieser ja auf den Wert des Inhalts hinweist. Ein Inhalt .erhalt' so den gleichen Wert wie der Ausdruck, der in ihm steht. Der zitierte

,Pervasive space ' wird im zweiten Kapit el (LoF :7) der Raum genannt, der So und aile tieferen Raume beinhaltet, also der Raum , in dem das Arrangement bzw . der Ausdru ck steht . VgL den Kommentar zum zweiten Kapitel .

III. Kommentar - Das achte Kapitel : RE-UNITINGTHETWO ORDERS

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Satz hat zwei Teile, die als Implikation formuliert sind: ,indem wir das erste tun, passiert unmittelbar das zweite ': ,Indem wir e bewerten ...' heiBt, indem wir den Wert von e auf So tibertragen und so seinen Raum So den Wert von e haben und anzeigen lassen, ,... imaginieren wir uns oder stellen wir uns uns selbst zusammen mit e in So vor' heiBt, dass wir keine Unterscheidung treffen zwischen uns und dem Ausdruck e.

1m zweiten Kapitel wird mit dem Buchstaben s der Raum benannt, in dem ein Ausdruck steht. Die Tiefe eines Ausdrucks wird durch einen Index angezeigt und meint die Anzahl der ,crosses ' , die uberschritten werden mussen , urn von seinem innersten Raum zu dem Raum zu gelangen, in dem der Ausdruck steht.' Der Index - I kann also nicht den Raum meinen, in dem der Ausdruck steht, denn dieser tragt den Index O. Also ist mit s., der Raum gemeint, der jenseits des Raumes steht, in dem der Ausdruck - und wir selbst - stehen. Wenn es nun im Text heiBt, dass wir uns uns mit dem Ausdruck in So vorstellen, dann bedeutet das, dass wir keinen Unterschied herstellen zwischen uns und dem Ausdruck, dass wir hier keine Unterscheidung treffen. Selbst auf diese imaginierte Weise ins Spiel kommen, heiBt also keinesfalls, uns selbst als Beobachtende oder als Reflektierende in einem eigenen, unterschiedenen Raum oder Ort oder ahnlichem zu betrachten. ' Zusammenfassend lasst sich sagen, dass der erste Textabschnitt allgemein das Verhaltnis eines Inhalts zu seinem Abbild als Grenze zwischen ihnen, in ihrer (beider) Form vorstellt. Reflexion ist hier die Bezeichnung fur den grenztiberschreitenden (gedanklichen) Akt in beide Richtungen, mit dem die Form in den Blick genommen werden kann. Der zweite Textabschnitt behandelt die ,Reichweite' eines Wertes, den ein Ausdruck hat: Diese soli auch dem Raum, in dem er steht, seinen Wert verleihen, und das bedeutet, dass sein Raum auf den Inhalt beschrankt ist und nicht das Abbild umfasst - diese Festlegung wird spater fur das Transmissionsprinzip gebraucht. 1m zweiten Abschnitt wird aber auch deutlich, dass wir als Betrachtende keineswegs in einem Abbildverhaltnis zu den Vgl. LoF:7 sowie den Kommentar zum zweiten Kapitel. Diese Implikation konnte im Kontext der Laws ofForm interpretiert werden als ,Indem wir dem algebraischen Ausdruck eden einen oder den anderen arithmetischen, konkreten Wert zuordnen oder zuschreiben, versetzen wir uns in den arithmetischen Regelraum' . Die gedankliche Bewegung , die wir vollziehen, wenn wir einen algebraischen Ausdruck arithmetisch bewerten , entspricht einer Uberschreitung der Grenze zwischen der Primaren Algebra und der Primaren Arithmetik, da die konkreten arithmetischen Werte fur die Austauschprozesse, die die Algebra ausmachen, nicht (mehr) relevant sind. Wir verlassen also mit dem Akt der Bewertung den algebraischen ,Raum' und bewegen uns gedanklich (wieder) im arithmetischen .Raum' der konkreten Werte . Wenn wir in einer zuriickkehrenden Bewegung den Ausdruck e wieder von unbekanntem Wert sein lieBen, d.h. ihn wieder als algebraischen Ausdruck betrachteten, verlieBen wir den arithmetischen Raum gedanklich wieder und bewegten uns emeut im algebraischen Raum .

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Inhalten stehen, die wir betrachten, sondem dass wir zwischen uns und dem Inhait keine Grenze ziehen. Die Begriffe ,Inhait' und ,Abbild' werden stattdessen im unmittelbar folgenden Textverlauf des achten Kapitels explizit auf verschiedene Teile oder Prozesse der Primaren Arithmetik und der Primaren Algebra angewendet - und nicht etwa auf das Verhaltnis zwischen uns und dem Kalkii!. Die Rede von "the calculus of indications" (LoF:43) meint hier beide Kalkiile zusammen. Zuvor wird noch das Relevanzprinzip formuliert. 5. Das Relevanzprinzip Der siebte Kanon erlaubt, dass auf Eigenschaften, die allen Hinweisen gemeinsam sind , nicht eigens hingewiesen werden muss. Als Beispiele werden das jeden Ausdruck oder jeden ,anzeigenden Raum' So umgebende, ,unwritten cross' und der rezessive Wert genannt, der in jedem Ausdruck immer hinzugefugt werden konnte, ohne etwas am Wert des Ausdrucks zu verandem, 6. ,Inhaite'und ,Abbilder' in der Primar en Arithmetik, in der Primaren Algebra und in beiden zusammen Die Begriffe ,Inhalt' und ,Abbild' werden mit folgenden Prozessarten in Beziehung gesetzt: "In the form of any calculus, we find the consequences in its content and the theorems in its image." (LoF :43) . Als Beispiel wird eine arithmetische ,consequence' herangezogen, die auch ,demonstriert' , d.h. durch regelhafte Ersetzungsschritte nach II und 12 vorgefiihrt wird .' Diese Folgerung ist aber zugleich ein konkreter Fall des ein allgemeines Muster formulierenden Theorems T2, welches besagt, dass jeder Raum, in dem ein ,empty cross ' steht, den markierten Zustand anzeigt.? So kann man sagen, dass T2 das Abbild dieser arithmetischen Folgerung ist, insofem T2 eine Regel, eine Struktur ausspricht, unter die diese Folgerung fallt , Ein abstraktes arithrnetisches Theorem lasst sich also auch als konkrete arithmetische Folgerung lesen und vice versa: "T2 is a statement that all expressions of a certain kind, which it de-scribes without enumeration ... indicate the marked state . Its proof may be regarded as a simultaneous demonstration ... of all the ... expressions it describes." (LoF:43). Das Theorem findet sich als allgemeine, fur aile Folgerungen geltende Struktur im Abbild; die moglichen konkreten Folgerungen finden sich im Inhait, oder besser, sie sind der Inhait dieses Abbildes .' Dieser Zusam.Consequencc' erscheint hier zum ersten Mal als Bezcichnung fur eine arithmeti sche Gleichung - das ist deswegen moglich , weil j a auch in der Arithmetik mehrere und verschiedene Austauschschritte zusammengezogen werden konnen, Dieser verkurzende Prozess wird dann in der Algebra in Anlehnung an T7 ,Folgerung' genannt. Da auf der linken Seite der Gleichung gleich zwei ,empty crosses ' stehen , konnte aufgrund des Theorems auf ein .cross' geschlossen werden . Wahrend der Inhalt das konkrete Ereignis meint, also beispielsweise den konkreten Vollzug einer ,demonstration', findet sich im Abbild nur die Struktur. Ahnlich wie eine Funktion in der

III. Kommentar- Das achte Kapitel : R E-UNITING THE TWO ORDERS

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menhang gilt also auch fur Beweise und Vorfiihrungen. Wahrend in einer ,demonstration' stur bestimmte Austauschschrirte nacheinander vorgefuhrt und jeder einzelne Schrirt nachvollzogen werden muss, ist ein ,proof von anderer Qualitat: Er ist eine verallgemeinerte Darstellung bestimmter Austauschwege und -schritte, Dieses Abbildungsverhaltnis ist aber auch kennzeichnend fur das Verhaltnis von Arithmetik und Algebra im Allgemeinen. Eine algebraische Gleichung weist beispielsweise auf die Aquivalenz zweier Gefuge hin, unabhangig von den konkreten Ausdrucken bzw . Werten, fur die die Variablen stehen konnten. Das bedeutet, dass so eine Gleichung sowohl auf die Vielzahl der Hinweisformen, als auch auf die Vielzahl der Austauschprozesse dieser Hinweisformen hinweist. Sie driickt einen strukturellen Zusammenhang aus, der fllr eine Vielzahl von aquivalenten Gleichungen gilt, in denen aber verschiedene Hinweisformen start der Variablen oder andere Variablen rechts und links des Gleichheitszeichens stehen konnten, Das Muster, das die algebraische Gleichung darstellt, ist also eine allgemeine Struktur, ein fur aIle Arten von Hinweiszeichen geltender Zusammenhang." Ein ahnlicher Unterschied besteht beispielsweise beim Lesen einer Landkarte: Solange wir nur die Karte und die einzelnen Entfemungen etc. in den Blick nehmen, befinden wir uns analog auf der Ebene der Primaren Algebra. Schauen wir aber die Legende an und .fullen' die einzelnen Ausdriicke, d.h. hier SymboIe, mit konkreten Inhalten, dann bewegen wir uns gedanklich auf eine andere Ebene, analog der Ebene der Primaren Arithmetik. Der ,Inhalt' einer Landkarte bestiinde im Sinne Spencer Browns in den Werten bzw . in den Bedeutungen der einzelnen Symbole; das ,Abbild' dieses Inhalts besteht in der Anordnung der Ausdrucke bzw . Symbole auf der Landkarte, auf dem Stiick Papier. Mit ihrer Anordnungsstruktur weist die Karte genau genommen nicht auf die Bedeutungen der einzelnen Symbole hin (dafur reicht die Legende), sondem nur auf deren Verhaltnis zueinander, auf deren Zusammenhang - und genau darin besteht der Inhalt der Primaren Algebra, die iiber Verhaltnisse, genauer iiber Aquivalenzverhaltnisse von Ausdrucken spricht. Gleichungen bilden daher - unabhangig von den einsetzbaren Werten der Ausdrucke oder Gefuge auf beiden Seiten der Gleichung - Verhaltnisse von Ausdriicken aboDie algebraischen ,consequences' stellen also eben falls ,nackte' Analysis nur den Zusammenhang zwischen den moglichen einsetzbarcn Werten angibt. Hier ware das Einsetzen konkreter Werte und damit die Moglichkeit, Graphen zu zeichnen, der Inhalt, wahrend beispielsweise die Polinomfunktion f(x) = ax' + bx' + ex + d lediglich wie ein Abbild den strukturellen Zusammenhang angibt. (AUM) "The algebra is about the variables, or is the science of the relationships of variables . It is a science of the relationships of the variables when you don't know or don't care what constants they might stand for. Nevertheless, the constants aren't irrelevant, because whatever arithmetic this is an algebra of, if you were to substitute constants for this variables , ... then these formul ae still will hold.': AUM 2,3f.

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Strukturen oder eben Zusammenhange zwischen Hinweisformen dar, die auch dann bestehen, wenn die konkreten arithmetischen Bedeutungen unbekannt sind . Eine algebraische ,consequence' bildet so die Struktur vieler moglicher arithmetischer Gleichungen ab, und ist so ein Abbild dieses arithmetischen Inhalts ebenso wie die arithmetischen Theoreme: "Since the initial steps in the algebra were taken to represent theorems about the arithmetic , it depends on our point of view whether we regard an equation with variables as expressing a consequence in the algebra or a theorem about the arithmetic." (LoF:44)

Es lassen sich aber auch andere,Teile' der Primaren Algebra nicht nur im algebraischen Raum auffmden, sondem auch als ,Teile' der Arithmetik. Dies entspricht dem beschriebenen ,Ebenensprung' beim Kartenlesen: Die Primate Arithmetik kann als ,Inhalt', die Primare Algebra aIs ,Abbild' dieses Inhalts betrachtet werden, insofem das Verhaltnis zwischen den Variablen immer auch das Verhaltnis zwischen konkreten Werten abbildet. 1m Haupttext und in den Notes wird darauf aufmerksam gemacht, dass diese Beziehung (relationship) auch fur weitere ,Teile' der beiden Kalkule gilt (vgI. LoF:93f.):

Inhalt (,content') Axiome Arithmetische Folgerungen Theoreme I. Ordnung Algebraische Folgerungen Vorfuhrung (,demonstration')

Abbild (,image') Arithmetische Initialgleichungen" Arithmetische Theoreme I.Ordnung Algebraische Folgerungen AIgebraische Theoreme 2. Ordnung Beweis (,proof')

(SK) Ein Theorem oder ein Beweis im ,Abbild' einer Folgerung oder einer ,demonstration' , die den ,Inhalt' des Abbildes bildet, spricht ein Muster aus, das sich ,von auf3en', aus einer Draufsicht erkennen lasst: "In a proof we are dealing in terms which are outside of the calculus" (LoF:93). Diese Muster konnen nur aus einer Metaperspektive gewonnen werden, nicht aber durch stures Nachmachen oder Verharren in der jeweiligen Ebene, in der Ausfuhrung des jeweiligen Prozessablaufes oder VoIlzuges. Die strukturellen ,Abbilder' dieser Prozesse konnen dann entdeckt werden, wenn die Prozesse als Prozesse betrachtet werden und nicht mehr selbst vollzogen werden. Sie gehoren also zur Metasprache iiber einen Inhalt und nicht zur Objektsprache in einem Inhalt. 9

Zwar wird in den Notes die Beziehung umgekehrt angesetzt, also ,initial equation ' verhalte sich zu ,axiom ' genauso wie ,demonstration' zu .proof' (vgl. LoF:94), aber hierbei muss es sich urn eine Verwechslung handeln , da es ein Abbild nur von einem 1nhalt geben kann und nicht umgekehrt . Die arithmetischen Initiale sind Abbilder der Axiome, weil sic strukturelle Muster hervorheben, die sich aus den Axiomen ergeben . Diese bestehen darin, dass durch Wiederholung cine Hinweisvermehrung stattfindet , mit der je auf den gleichen Inhalt hingewiesen werden kann.

III. Kommentar - Das achte Kapitel: R E-UNITING THE TWO ORDERS

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(I) Die reflektierende Betrachtung auf jeden der Kalkule als einzelnen und auf beide Kalkule zusammen macht bestimmte Zusammenhange zwischen den beiden (Teil-)Kalkiilen bzw. zwischen Teilen der (Teil-)Kalkiile selbst deutlich. Unser Gebrauch der Begriffe oder besser der Namen fur die dargestellten Verhaltnisse ist zudem ein Hinweis darauf, wo wir uns gerade gedanklich bewegen . Denken wir beispielsweise ,algebraisch', werden wir eine ,consequence' mit einer ,demonstration' vorfiihren; befinden wir uns gerade gedanklich im arithmetischen Raum, werden wir versuchen, ein Theorem zu forrnulieren und einen Beweis dafiir zu finden: " ... theorems are more or less simple statements about the ground on which we have chosen to stand." (ebd.).

Beispielhaft wird anschliel3end start der ,demonstration', dass eine algebraische Gleichung gilt, ein arithmetischer Beweis vorgefiihrt: "instead of demonstrating in algebra the equation ... we can prove it by arithmetic" (LoF:44). Der Beweis zeigt, dass es ausreicht, eine Variable arithmetisch durchzuspielen, urn zu beweisen, dass die Gleichung gultig ist. "In these proofs we evidently supposed the irrelevance of variables other than the one we fixed arithmetically." (LoF:47). Das folgende Bruckentheorem beweist, dass die anderen beiden Variablen ignoriert werden durfen. 7. Das Briickentheorem und das Transmissionsprinzip Das Bruckentheorem J. Tei!

Der Vergleich der beiden Arten, mit denen die Gultigkeit einer Gleichung nachgewiesen werden kann - einmal konkret in der Arithmetik und einmal allgemein in der Algebra - , fuhrt zur Formulierung von "Theorem 16. The bridge" (LoF:47). Es besagt, dass algebraische Ausdrucke, deren Aquivalenz fur die mogliche Belegung einer Variablen nachgewiesen ist, uberhaupt aquivalent sind." Oder anders forrnuliert, dass es ausreicht, die Aquivalenz zweier Gefuge oder Ausdriicke fur die arithmetische Belegung einer Variablen zu zeigen, auch wenn mehrere Variablen in ihnen vorkommen. Theorem 16 zeigt, dass algebraische Gleichungen , deren Aquivalenz bisher gefolgert werden musste, unter Verwendung der beiden Initiale J lund J2 sowie der beiden algebraischen Austausch- bzw. Ersetzungsregeln auf eine andere Weise als aquivalent ausgewiesen werden konnen: indem eine ihrer Variablen arithmetisch (re)evaluiert wird und so ihre Aquivalenz gezeigt werden kann. Dafur muss aber das Verhaltnis der Werte der Variablen untereinander betrachtet und eine Entscheidung getroffen werden, wie sich die verschiedenen Werte, 10

Dieser Zusammenhang soli fur aile Algebren gcltcn, vgl. LoF:47.

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die die Variablen in einem Gefiige oder Ausdruck annehmen konnen, auf den Wert des ganzen Gefuges oder Ausdruckes auswirkt. Das Briickentheorem 2. Teil oder: Der achte Kanon . Das Transmissionsprinzip

Vor dem Beweis des Theorems werden ein paar .Uberlegungen' (,considerations') angestelIt, die zunachst nur den Wert des (unmittelbaren) Raumes betreffen, in dem eine Variable v steht (vgI. LoF:47): Hat der Rest der Variablen im Gefiige den Wert n, also den rezessiven Wert, dann nimmt der Ausdruck oder der Raum Sq den Wert von van: einmal n und einmal m, je nachdem, wornit wir ihn belegen. Die abwechselnde Belegung wird ,oscillation of v' genannt und die Ubertragung des Wertes der Variable auf das Gefuge oder durch den Raum Sq hindurch ,transmission'. Obertragt sich der Wert einer Variable auf den Raum, in dem sie steht, solI der Raum Sq ,transparent' heif3en. Hat aber nur eine der restlichen Variablen in dem Ausdruck den Wert m, d.h. ist diese andere Variable dominant und es wird nichts ubertragen, dann heif3t der Raum Sq ,opak' , und er behalt den Wert der dominanten Variable bei. Im darauf folgenden Textabschnitt (LoF:48) wird diese Ubertragung des Wertes einer Variable auf den Raum oder den Inhalt, in dem sie steht, auf den ganzen Ausdruck oder das gesamte Gefiige, in dem sie steht, transferiert. Die von der abwechselnden Belegung von v und von den Werten der ubrigen Variablen abhangige Transparenz oder Opazitat im Raum Sq ubertragt sich aufweitere Raume im Ausdruck oder Gefiige - wenn diese einen rezessiven Wert haben ; oder sie wird absorbiert von den Werten anderer Variablen in anderen Raurnen des Gefiiges. Wird die Obertragung komplett absorbiert, solI der Ausdruck - der Verband des gesamten Raumes - ,opak ' heif3en; unter jeder anderen Bedingung ,transparent' . Kurz: Die Belegung der Variable ubertragt sich - je nachdem welche Werte die anderen Variablen annehmen - auf den ,anzeigenden Raum' oder nicht; und der ,anzeigende Raum' ubertragt wiederum - je nach den Werten der anderen ,anzeigenden Raume' - seinen Wert weiter oder nicht. So kann ein ganzes Gefuge mal den einen oder mal den anderen Wert anzeigen, im FalIe der Transparenz des Gefuges, oder eben immer den gleichen Wert m, im FalIe seiner Opazitat. Die Ubertragungsgesetzmcfiigkeit ergibt sich aus der moglichen Belegung . der Variablen und ihrer Anordnung sowie der Festlegung, dass ein Ausdruck eine Variable - dem Raum, in dem er/sie steht, seinen/ihren Wert ubertragt. Sie wird im achten Kanon als Principle oftransmission formuliert und lautet: "With regard to an oscillation in the value ofa variable, the space outside the variable is either transparent or opaque." (LoF:48). Im Anschluss wird dann der Beweis zu Theorem 16 unter Zuhilfenahme des Transmissionsprinzips formuliert .

III. Kommcntar - Das achtc Kapitcl: R E-UNITI NG THE TWO ORDERS

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Das Theorem heil3t auch deshalb ,Briickentheorem', weil es einen vertikalen, der Genese geschuldeten Zusammenhang zwischen der Primaren Arithmetik und der Primaren Algebra formuliert. Ruck- und Ausblick: Das achte Kapitel macht eine Fulle von Zusammenhangen zwischen den einzelnen Austausch-, Rechen-, Arbeits- und / oder Denkprozessen, die seit dem ersten Kapitel geleistet wurden, explizit. Die Denkbewegung, die notwendig ist, urn solche Zusammenhange zu entdecken, wird Rejlexion genannt. Diese reflektierende Denkbewegung vereinigt zwei Ebenen, namlich den Prozess als Inhalt und die Betrachtung sowie Strukturierung des Prozesses . So meint Reflexion kein endloses, lineares Fortschreiten, sondern eben eine gedankliche Hin- und Herbewegung zwischen einem konkreten Inhalt und seiner strukturalen Abbildung. Die zu Formulierungen von Aquivalenz-Zusamrnenhangen geronnenen Prozesse, die sich entweder im ,Inhalt ' oder im ,Abbild' finden, konnen keinem der beiden fest zugeordnet werden: Mal sind sie im ,Inhalt', mal sind sie im ,Abbild' , je nachdem, auf welcher Entwicklungsstufe der Laws of Form man sie gerade betrachtet. Durch das Einnehmen der reflexiven Perspektive werden aber auch weitere, ,Inhalt' und ,Abbild' verbindende Strukturen aus der Latenz gehoben . Ein solcher Zusammenhang zeigt sich darin, dass die algebraischen ,consequences' in der Algebra, d.h. im ,Abbild ' zugleich als Theoreme uber den arithmetischen ,Inhalt' formulierbar sind. Als Gleichungen lassen sie sich sowohl in der Algebra ,demonstrieren' , d.h. vorfiihren, als auchfilr die Arithmetik als allgemeines Muster beweisen . Der Titel des achten Kapitels Wiedervereinigung der zwei Ordnungen spielt so auf eine Gleichheit in einer Verschiedenheit an, die der Entwicklung der Laws of Form und dem jeweiligen Standpunkt geschuldet ist. Es geht aber in diesem Kapitel nicht nur urn die Darstellung bestimmter gleichartiger Prozesse oder Strukturen in den beiden ,Ordnungen', sondem auch urn das Spiel mit dem gedanklichen Wechsel zwischen ihnen. Dieser rejlektierende Wechsel, d.h. die Belegung der algebraischen Variablen mit den arithmetischen Ausgangswerten, ist die Grundlage der Transmissions- sowie der Oszillationsvorstellung, die im elften Kapitel in den Blick genommen werden. Das Wesentliche des achten Kapitels besteht demnach darin, diesen Wechsel zu vollziehen, beide Kalkule zugleich in den Blick zu nehmen und zu sehen, was passiert, wenn wir solche Grenzuberschreitungen gedanklich durchfiihren. Die folgenden zwei Kapitel formulieren Aussagen tiber die Primare Algebra als Kalkul: es geht urn ihre Vollstandigkeit und urn die Unabhangigkeit ihrer beiden Initialgle ichungen .

Das neunte Kapitel: COMPLETENESS Katrin Wille

I.Inhalt Wir haben im achten Kapitel gesehen, dass jede demonstrierbare Folgerung (consequence) in der Algebra auf ein beweisbares Theorem tiber die Arithmetik hinweisen muss. Die Ebene, die im achten Kapitel erreicht ist, zeigt den Zusammenhang zwischen Primarer Arithmetik und Primarer Algebra: jede G1eichung mit Buchstaben als Platzhalter fur Werte kann je nach Standpunkt als Konsequenz der Algebra oder als Theorem tiber die Arithmetik aufgefasst werden. Dadurch wird deutlich, dass die Konsequenzen der Algebra die Eigenschaften der Arithmetik reprasentieren, die durch Gleichungen ausgedruckt werden konnen . Dieser Zusammenhang zwischen den beiden Kalkiilen erschlieBt sich nur von einer Metaebene aus, nicht innerhalb der Primaren Arithmetik und auch nicht innerhalb der Primaren Algebra. Zur Metaebene, von der aus beide Kalktile in ihrem Zusammenhang betrachtet werden konnen, gehoren das achte Kapitel wie auch das neunte und zehnte Kapitel. Bisher offen geblieben ist die Frage, ob die Algebra die Eigenschaften der Arithmetik vollstandig oder nur teilweise reprasentiert. Es ist namlich noch nicht gezeigt, dass tatsachlich jedes Theorem tiber die Arithmetik in der Algebra demonstriert werden kann.' Es steht also noch aus, die Vollstandigkeit der Reprasentation der Eigenschaften der Arithmetik in der Algebra zu zeigen.' 2. Vollstandigkeit Die vollstandige Reprasentation des einen Kalkiils durch den anderen kann nicht innerhalb einer der Kalktile gezeigt werden und damit nicht als eine Konsequenz demonstriert werden. Es braucht also ein Theorem, von dem ja gesagt worden ist, dass es im Unterschied zu den Konsequenzen auBerhalb des Kalknls steht In der Sprache der formalen Logik ist die Demonstration einer Konsequenz als syntaktische Herleitung und der Beweis eines Theorems als semantische logische FoIgerung zu verstehen . Wenn nun mit dem achten Kapitel gezeigt wird, dass jede demonstrierbare Gleichung auch als Theorem bewiesen werden konnen muss, dann ist damit in der Sprache der formalen Logik die semantische Korrektheit des Verfahrens gezeigt, jeder hergeleitete Satz muss auch logisch folgen. In der Sprache der formaIen Logik gesprochen muss hier also noch gezeigt werden , dass all das, was logisch folgt, auch herleitbar ist.

III. Kommentar- Das neunte Kapitel : COMPLETENESS

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und in der Metasprache und nicht in der Sprache des Kalkuls seIber fonnuliert ist. Es kann aber kein Theorem Uber die Arithmetik und auch kein Theorem uber die Algebra gewahlt werden. Vielmehr braucht es eine andere Art Theorem, mit dem etwas uber den Zusammenhang beider Kalkule gesagt werden kann, also ein gemischtes Theorem .' Theorem 17, das im neunten Kapitel bewiesen wird, wird gemischtes Theorem genannt, das nicht die Vollstandigkeit des Indikationenkalkiils als Ganzen zeigt, sondern die Vollstandigkeit der Reprdsentation der arithmetischen Eigenschaften im algebraischen Kalkul. 1m Indikationenkalkul finden sich zwei Reprasentationsverhaltnisse, zum einen die arithmetische Reprasentation der Form der Unterscheidung, zum anderen die algebraische Reprasentation der Arithmetik. In den Reprasentationstheoremen im vierten Kapitel wird gezeigt, dass und wie die Eigenschaften der Form arithmetisch reprasentiert werden konnen. In diesen Theoremen wird fur dieses elementare Reprasentationsverhaltnis zugleich bewiesen, dass es konsistent ist, dass also durch keine arithmetische Operation aus einem Ausdruck e sowohl der einfache Ausdruck des leeren ,cross' I (mit dem Wert m) als auch der einfache Ausdruck des leeren Raums (mit dem Wert n) hergeleitet werden kann. Dieser Nachweis wird fur beide mogliche Richtungen von Schritten (steps), in Theorem 3 fur die Richtung der Vereinfachung und in Theorem 4 fur die andere Richtung des Aufbaus von komplexen Ausdrticken, und damit vollstandig gegeben. Mit diesem Nachweis ist aber zugleich die Vollstandigkeit der Reprasentation der Form durch die Arithmetik bewiesen ." Denn die Eigenschaft der Form besteht gerade darin, einen Unterschied zwischen zwei Zustanden zu machen, die nicht ineinander ubergehen konnen, ohne eine Grenze zu uberschreiten, die also durch keinen im Kalkul erlaubten Schritt vennischt werden . Das ist die elementarste Eigenschaft allen Nachdenkens und Rechnens uberhaupt. Mit der Moglichkeit des Unterscheidens haben wir gewissermal3en den Punkt erreicht, hinter den nicht mehr zurUck gegangen werden kann, der selbst auch nicht begrUndet werden kann, also den .Iiarten Felsen, an dem der Spaten sich zuruck biegt.:" FUr die Reprasentation der Form in der Arithmetik fallen wie erinnert Vollstandigkeit und Konsistenz zusammen, erst bei der Reprasentation der Eigenschaften der Arithmetik in der Algebra bedarf es eines eigenen Beweises der Vollstandigkeit, der in diesem Kapitel geliefert wird. Ob die algebraische Reprasentation der Arithmetik allerdings konsistent ist, ob also keine ,demonstration' der Algebra sowohl die Aquivalenz zwischen zwei Gleichungen zeigt als auch nicht zeigt, bleibt offen. Es wird im achten Kapitel und in Theorem 16, dem ersten der beiden gemischten Theoreme, zwar nachgewiesen, dass und wie 1m Index of Forms, LoF: 138-141, werden Theorem 16 aus dem achten Kapitel und Theorem 17 als ,mixed theorems ' klassifi ziert . Vgl. LoF:18f. Vgl. Wittgenstein Philosophische Untersuchungen § 217.

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die Aquivalenz von Gleichungen sich auch im Fall von mehreren Variablen durchhalt, die nur fur eine Variable arithmetisch und algebraisch gezeigt worden ist. Fur solche Falle wird also Inkonsistenz ausgeschlossen. Es wird aber kein allgemeiner Konsistenzbeweis der Primaren Algebra geliefert. Spencer Brown betont in den Notes zum neunten Kapitel, dass die Idee der Vollstandigkeit sich nicht auf einen Kalkul als ganzen beziehen kann, sondem nur auf seine Reprasentation durch einen anderen. Kann die Sprache der algebraischen ,demonstration' (und damit der strukturellen Gleichheiten) auch all das ausdrucken, was die Sprache des arithmetischen Beweisens (und damit der Wertgleichheit) ausdrucken kann? Die Vollstandigkeit der algebraischen Reprasentation wird als die einfachste Art von Vollstandigkeit verstanden." In den Notes grenzt Spencer Brown dagegen komplexere Formen ab, die sich auf die Reprasentation der Arithmetik natUrlicher Zahlen beziehen, in der Addition und Multiplikation elementare Operationen sind . Hier gilt, wie Godel gezeigt hat, dass keine Algebra konstruiert werden kann, in der alle arithmetischen Beziehungen beweisbar (demonstrable) sind. Die Zahlenarithmetik ist also ein reicherer Grund mit einem weiteren Geltungsbereich als die dazu gehorige Algebra, die einiges von diesem ,Mehr' an arithmetischen Wahrheiten nicht beweisen

kann.?

3. Induktionsbeweis In Theorem 17 wird also bewiesen, dass eine Gleichung a = p, die als Theorem tiber die Primate Arithmetik bewiesen werden kann, als ,consequence' tiber alle a, p in der Primaren Algebra demonstriert (hergeleitet) werden kann . Der Beweis wird tiber Induktion gefuhrt. Die Form eines Induktionsbeweises wird hier und an keiner anderen Stelle beschrieben oder gerechtfertigt. Zusammen mit der Vorgehensweise der Fallunterscheidung, die haufig fur die Beweise im vierten Kapitel verwendet wird, scheint die Induktion aus Spencer Browns Sicht zu den naturlichen Fahigkeiten des Rechnens und Nachdenkens zu gehoren, auf deren Basis Beweise von Theoremen durchgeflihrt werden (im Unterschied zu den Demonstrationen von ,consequences', in denen nur auf abgeleitete Regeln zuruckgegriffen werden darf) ," Da hier durch Induktion ein gemischtes Theorem bewiesen werden soll, steht zu erwarten, dass in dem Beweisverfahren abgeleitete ,consequences'

In der Sprache der formalen Logik ist mit Vollstandigkeit hier ,semantische Adaquatheit' gemeint. Der HerleitungsbegriffheiBt eben dann semantisch adaquat oder vollstandig, wenn ailes, was logisch folgt , auch hcrlcitbar ist, vgl. Link! Niebergall 2003 :I 19. Davon zu unterscheiden ist ein viel strengerer Sinn von Vollstandigkeit als maximalc Konsistcnz , der besagt , dass jeder beliebige (formulierbare) Satz oder sein Gegmtcil in cincr Thcorie beweisbar sind. Vgl. LoF:96. Vgl. die Notes zum achten Kapitel.

III. Kommentar - Das neunte Kapit el: COMPLETENESS

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(algebraisches Prozedere) und die Substitution von Variablen durch konstante Werte (arithmetisches Prozedere) verwendet werden. Der Autbau des Induktionsbeweises weicht vom mathematisch iiblichen Standardautbau Induktionsanfang - Induktionsschritt abo Spencer Brown beginnt vielmehr mit der Induktionsvoraussetzung, dass alle Falle von a = p mit weniger als einer bestimmten positiven Zahl n an verschiedenen Variablen algebraisch demonstrierbar sind. Gilt dies, dann auch der Induktionsschritt, dass jeder Fall von a = p mit n verschiedenen Variablen algeb raisch demonstrierbar ist. Wird die Induktionsvoraussetzung von einem bestimmten positiven Wert von n erfullt, dann gilt auch der Induktionsschritt. Das Beweisverfahren setzt also mit der Induktionsvoraussetzung ein: Die Demonstrierbarkeit (Herleitbarkeit) von a = Pfur alle aquivalenten a, p mit weniger als n verschiedenen Variablen sei angenommen. Induktionsschritt: Es sei ein Ausdruck von aquivalenten a, p mit n verschiedenen Variablen gegeben . Werden zunachst beide Ausdriicke a, p auf ihre kanonische Form in Bezug auf die Variablen reduziert, so erhalten wir a' und P' bzw . die Gleichungen El und E2. Die beiden kanonischen Formen sind in Theorem 14 und 15 vorgestellt.? Theorem 14 bezieht sich auf die be1iebige Tiefe von Ausdriicken und Theorem 15 auf die be1iebig vielen Variablen von Ausdriicken. Das hier im Induktionsbeweis verwendete Theorem 15 besagt, dass aus jedem beliebigen Ausdruck mit be1iebig vielen Vorkommnissen von Variablen ein aquivalenter Ausdruck abgeleitet werden kann, der fur eine Variable v nicht mehr a1s 2 Vorkommnisse aufweist. Da TI4 und TIS a1gebraische Theoreme sind, vollzieht sich diese Reduktion auf a' und P' (bzw. E1 und E2) a1gebraisch. Urn nun aber zu zeigen, dass auch die Aquivalenz von a' und P' a1gebraisch demonstriert werden kann, schaffen wir per Substitution von Variablen durch konstante Werte zwei Gleichungen (E3 und E4) mit n-1 verschiedenen Variablen, die (laut Induktionsvoraussetzung) demonstrierbar sind . Die Gultigkeit des Induktionsschrittes konnen wir zeigen, indem wir von der Gleichung E1 die Gleichung E2 unter Verwendung von E3 und E4 herleiten und damit die Aquivalenz von E1 (a') und E2 (P') demonstrieren. Damit ist die Giiltigkeit des Induktionsschrittes bewiesen, denn a = p ist fur n Variablen demonstrierbar unter der Voraussetzung, dass es fur weniger a1s n Variablen demonstrierbar ist. Urn die Erfullung der Induktionsvoraussetzung zu zeigen, muss ein positiver Wert von n angegeben werden, fur den die Demonstrierbarkeit (Herleitbarkeit) von a = P fur alle aquivalenten a, Pmit weniger a1s n verschiedenen Variablen (n-x) gilt. Wird fur n 1 eingesetzt, dann kommt in der Gleichung a = P nach Induktionsvoraussetzung (n-x) keine Variable vor. Dann sind a und Paber Ausdriicke der Primaren Arithmetik. Die Demonstrierbarkeit von Gleichungen der Vgl. den Kommentar zum siebten Kapitel. Diese ,canonical forms ' des 1ndikationenkalkiils sind vergl eichbar mit der Idee dcr Normalformen im Aussagenkalkiil.

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Kalrin Wille

Primaren Arithmetik in der Primaren Arithmetik ist dort in den Theoremen 1-4 bewiesen. FUr die Demonstrierbarkeit von Gleichungen ohne Variablen in der Algebra bleibt zu zeigen, dass die algebraischen ,consequences' C3 und CI bei entsprechenden Belegungen in die arithmetischen Initialgleichungen uberfuhrt und damit in der Algebra demonstriert werden konnen, Damit ist die Induktionsvoraussetzung erfullbar, wie fur den Fall n = 1 gezeigt. Nur dieser Fall n = 1 ist fur die vollstandige Reprasentation der Eigenschaften der Arithmetik in der Algebra (als KalkUlfiir die Arithmetik") relevant, da in der Arithmetik ja keine Variablen vorkommen. Der Kern des Beweisverfahrens liegt deshalb darin, dass die beiden ,consequences' CI und C3 bei der Belegung von a mit dem Wert des ,unmarked state' in Cl und der Belegung von a mit dem Wert des ,marked state' in C3 direkt zu den beiden arithmetischen lnitialgleichungen fuhren . Damit sind die beiden arithmetischen lnitialgleichungen und aile anderen arithmetischen Gleichungen in der Algebra dernonstrierbar .

10

Es ist wichtig zu beachten, dass die Primare Algebra als ,calculus for the primary arithmetic ' bestimmt ist und damit ohne die Beziehung auf die Primare Arithmelik gar nicht zu verstehen ware. Eine solche Bezogenheil der Algebra auf eine Arithmelik gilt gerade nicht fur die Boolesche Algebren , die keine Arithmetik haben (was Spencer Brown eben als Man gel derselben auffasst und mit dem Indikationenkalkul beheben will).

Das zehnte Kapitel:

INDEPENDENCE

Katrin Wille

1. Inhalt Was ist in der Bewegung des Reflektierens tiber das Verhaltnis von Primarer Arithmetik und Primarer Algebra noch offen? 1m achten Kapitel wurde die Ubersetzbarkeit der beiden Kalkule ineinander gezeigt, im neunten Kapitel die Vollstandigkeit dieser Ubersetzbarkeit. 1m zehnten Kapitel wird die Aufmerksamkeit auf eine Eigenschaft des algebraischen Kalkuls selbst gerichtet, auf die gegenseitige Unabhangigkeit der beiden algebraischen Initialgleichungen. Diese wird in Theorem 18, das als algebraisches Metatheorem bezeichnet werden kann, bewiesen . 2. Die Initialgleichungen der Algebra Die beiden Initialgleichungen der Algebra J1 Position und J2 Transposition und die beiden Umformungsregeln Substitution und Replacement bilden die Basis des algebraischen Kalkuls .' Auf dieser Grundlage konnen ,consequences' demonstriert werden, nur unter Zuhilfenahme der Umformungsregeln und beider Initialgleichungen sowie der schon demonstrierten ,consequences' . Die Bedingungen , die die Initialgleichungen erfiillen mussen, bestehen darin, dass sie gultige Prinzipien darstellen , also unter allen moglichen Variablenbelegungen aquivalente Ausdrucke sind. Dies ist schon in der Primaren Arithmetik geschehen, dort sind die arithmetischen Vorlaufer der beiden Initialgleichungen als Theoreme bewiesen worden . In formalen Systemen, deren Aufbau wie hier auf Elementargleichungen (initials) oder im ublichen axiomatischen Aufbau auf ,ersten Satzen', eben Axiomen beruht, wird eine zahlenmalsige Begrenzung dieser Initialgleichungen oder Axiome angestrebt, durch die die Verwendungsweisen der Grundsymbole des Kalkuls angegeben werden . In den arithmetischen Initialgleichungen wurden die beiden grundlegenden Verwendungsweisen der ,crosses' festgelegt, die Verwendung mehrerer ,crosses' nebeneinander und die Verwendung mehrerer ,crosses' ineinander. In den Initialgleichungen der Algebra kommt die Verwendung von Variablen dazu, und es werden in den beiden Initialgleichungen die In axiomatisch aufgebauten formalen Systcmcn der Logik und Mathematik wurde das, was hicr ,Initialgleichung' genannt wird, ,Axiom' heiBen. Und die Funktion dcr Umformungsregeln des Indikationenkalkiils wurde dort die clementarc Schlussregel des Mows Ponens erfullen .

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Katrin Wille

Moglichkeit der Elimination (11) und die Moglichkeit des Versetzens oder ,Transplantierens' von einer Variablen in einem Ausdruck (12) gegeben. Ais algebraische Initialgleichungen konnen aile Gleichungen verwendet werden , die drei Bedingungen erfiillen: sie mussen gultig sein (1), sie miissen zusammen mit den Umfonnungsregeln genugen, urn aile giiltigen ,consequences ' herieiten zu konnen (2), und sie mussen unabhangig voneinander sein (3). Die dritte Bedingung ist dann erfullt, wenn keine der Initialgleichungen aus der oder den anderen hergeleitet werden kann. Welche von all den Gleichungen, die diese drei Bedingungen erfullen, als Initialgleichungen gewahlt werden , obliegt pragmatischen Grunden der einfacheren Demonstrierbarkeit von ,consequences' . In den Notes zum sechsten Kapitel heilst es, dass auch die beiden Gleichungen C5 und C6 als Initialgleichungen batten gewahlt werden konnen, dass einige Herieitungen dann aber vieI schwieriger und ausfuhrlicher hatten durchgefiihrt werden mussen.' Spencer Brown nimmt in den Notes zum sechsten Kapitel auf den Versuch Huntingtons' Bezug, die Standardaxiome der Booleschen Algebra auf ein spezielles Axiom zu reduzieren zusammen mit den Axiomen, durch die die Kornmutativitat und Assoziativitat der Operation ,+', die Zweistelligkeit der Operation ,+' und die Einstelligkeit der Operation ,~' geregelt werden. Spencer Brown kritisiert dabei zum einen die viel zu komplizierte und geradezu hindemde Syntax der Booleschen Algebra, in deren Rahmen Huntington weiter arbeitet. Dadurch, dass in der Booleschen Syntax die Reihenfolge von Zeichen und auch die Stelligkeit der Operatoren als Eigenschaften der Syntax aufgenommen werden, wird den kontingenten Eigenschaften der iiblichen zweidimensionalen Schreibflache, auf der durch lineare Lesart Reihenfolge und Stelligkeit erzeugt wird, logische Relevanz zugebilligt. Dies kann durch die von Spencer Brown im zweiten Kapitel entwickelte Syntax umgangen werden . Dort wird die nicht-lineare Lesart von Zeichen auf einer ebenen Flache eingefiihrt, durch die weder die Reihenfolge der Zeichen noch die Stelligkeit der Operatoren als einschrankende Annahmen den Zeichengebrauch behindem. Die zweite Kritik an Huntington zielt dahin, dass bei den von ihm vorgeschlagenen Axiomen die Funktionen des Eliminierens und Transplantierens, die bei den Initialgleichungen J lund J2 getrennt gehalten werden, vennischt werden. Die Vermischung fiihrt zur Verkomplizierung der Herieitungsprozesse, die Sonderung dagegen zur Vereinfachung derselben ." In der Einleitung zur intemationalen Ausgabe stellt Spencer Brown eine Gleichung vor, die als einzige Initialgleichung der Algebra verwendet werden konnte. Dort sind die Funktionen der Elimination und der Transplantation (oder des Verdichtens, wie es in der Einleitung genannt wird) kombiniert. Deshalb gilt 2

3

4

Vgl. Notes zum sechsten Kapitel LoF:88f. Huntington 1933:280ff. Huntington 1933:89. Kauffman zeigt , dass auch die Gleichungen JI und C2 als Init ialgleichmgen verwendet werd en kormten, vgl. Kauffman 2001 b:90.

III. Kommentar- Das zehnte Kapitel: INDEPENDENCE

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gegen diese Initialgleichung der gleiche Einwand wie gegen das eine spezielle Axiom fur die Boolesche Algebra von Huntington, namlich der Aufwand an Arbeit bei den Herleitungen.' 3. Unabhangigkeit Die dritte Bedingung fur Initialgleichungen, ihre gegenseitige Unabhangigkeit, wird in dem algebraischen Theorem 18 bewiesen. Die Unabhangigkeit der algebraischen Initialgleichungen Jl und J2 ist dann erfullt, wenn keine der beiden Gleichungen aus der anderen hergeleitet werden kann . Wurde nur Jl als Initialgleichung genommen, konnte J2 nicht als ,consequence' gefunden werden, und umgekehrt. Es wird im folgenden Beweis direkt gezeigt, dass dies nicht moglich ist. Dadurch wird die Unabhangigkeit der Initialgleichungen und gleichzeitig die Unvollstandigkeit des Kalkuls mit nur einer der beiden Initialgleichungen bewiesen. In dem Beweis der Unabhangigkeit wird auf die verschiedenen Funktionen der beiden Initialgleichungen rekurriert, die Funktion der Elimination und, in die andere Richtung gedacht, der Einfugung, bei Jl und die Funktion der Transplantation (oder des Verdichtens) einer Variablen in einem Ausdruck im FaIle von J2. Irn Beweis wird gezeigt, dass keine der beiden Gleichungen die spezifische Funktion der anderen erfullen kann und deshalb die jeweils andere niemals von der einen hergeleitet werden konnte. Gabe es nur Jl als Initialgleichung und damit als eriaubte Transformation, dann konnte ein Ausdruck der Form pi zwar in Ausdrucke eingefugt oder eliminiert werden, es ware aber nicht gewahrleistet, dass eine Variable r von einem Raum im Ausdruck in einen anderen verschoben werden kann, denn r muss nicht von der Form pi sein. J2 kann also nicht von Jl hergeleitet werden. Gabe es anders herum nur J2 als Initialgleichung und damit als eriaubte Transformation, dann ware es nicht moglich, eine bestimmte Variable zu eliminieren, sondem nur moglich, Variablen zu verschieben. Jl kann so nicht aus 12 hergeleitet werden . Damit ist bewiesen, dass die beiden algebraischen Initialgleichungen Jl und J2 die Bedingung der Unabhangigkeit erfullen.

PI

PI

Mit dem zehnten Kapitel ist die DarsteIIung des algebraischen Kalkuls, seiner Metatheoreme und seiner Basis im arithmetischen Kalkul abgeschlossen. Damit ist das System der Gleichungen ersten Grades vollstandig entwickelt. Es konnte nun gezeigt werden, wie dieser Kalkill fur die formale Logik oder die Theorie der natlirlichen Zahlen interpretiert werden kann. Dies geschieht in den Appendizes 2 und 4 6 • 1m Haupttext der Laws of Form wird ein anderer Weg eingeschlagen: von dem System der Gleichungen ersten Grades zu Gleichungen zweiten Grades.

6

Vgl. LoF:xiv . Appen dix 4 ist eine Erganzung in der internationalen Ausgabe von 1997.

Das elfte Kapitel: EQUA nONS OF THE SECOND DEGREE

Katrin Wille

I. Der bisherige Rahmen Eine entscheidende Regel , die in der Arithmetik und Algebra befolgt wurde , ist die, dass aIle gegebenen Ausdriicke endlich sein soIlten. Die Endlichkeit von Ausdrlicken bezieht sich auf die endliche Anzahl von ,crosses' und auf die endliche Anzahl von Umformungsschritten. Diese in Theorem 1 ausgedriickte und in den bisherigen Kanones zugrunde gelegte Regel ist die Bedingung dafur , dass der Wert von Ausdriicken bestimmt werden kann . Dies geschieht durch die Umformung eines Ausdrucks in einen aquivalenten Ausdruck in endlich vielen Schritten. Diese Implikation der endlich vielen Schritte in Theorem 1 kann als Kanon 9 (also eine Art Metaanweisung) formuliert werden : Die Regel der ,demonstration' besagt, dass jede Demonstration auf einer endlichen Zahl von Schritten beruht. Dies gilt fur aIle arithmetischen Demonstrationen, also das ,Rechnen' mit Ansammlungen von ,crosses' ohne Variablen. Dort sind die arithmetischen Schritte, durch die ein beliebiger Ausdruck zu einem der beiden einfachen Ausdriicke umgeformt wird, zahlbar und damit endlich. Dabei kommt es nicht darauf an, ob verschiedene Zahlvorgange im Ergebnis libereinstimmen, sondem darauf, dass zumindest einer dieser Zahlvorgange endlich ist.' Fur aIle algebraischen Demonstrationen, also die Herleitung von ,consequences' aus den algebraischen Initialgleichungen konnen die algebraischen Schritte gezahlt werden. 2. Uberschreitung des bisherigen Rahmens Innerhalb der in der Algebra erlaubten Operationen kann durch eine Sequenz von bestimmten algebraischen Schritten ein Ausdruck erzeugt werden, der den bisher gesteckten Rahmen tiberschreitet. Das Konstruktionsprinzip dieses Ausdrucks besteht darin, den Ausgangsausdruck nach dem gleichen Muster zu verlangern. Eine Sequenz von funf algebraischen Schritten (C5, CI, J2, C4, CI) fuhrt zu dem verlangerten Ausdruck, die Wiederholung der Sequenz zu dem urn wieder dasselbe Muster verlangerten Ausdruck (vgl. LoF :55). Es gibt keine Grenze fur die Verlangerung dieses Ausdrucks in der Form eines Echelons

Vgl. den Kommentar zum sechsten Kapitel sowie LoF:36.

III. Kommentar- Das elfte Kapitel: EQUATIONS OF THE SECOND DEGREE

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(Staffelung von a's und b's): jede neu erzeugte Lange des Echelons kann mit dem Ausgangsausdruck gleichgesetzt werden.' Der nachste entscheidende Schritt besteht darin, sich vorzustellen, wenn es moglich ist (let us imagine, if we can), dass der Prozess dieser Schrittsequenz end- oder zeitlos (timelessly) weiterlauft. Im Raum wlirde das ein Echelon (Staffelung) von a's und b's ohne Grenze ergeben, von der Form ~bl albl. Diese Form uberschreitet die Regel der endlichen Schritte, denn sie kann nicht in einer endlichen Anzahl von Schritten erreicht werden . Da die Bestimmung des Wertes eines Ausdrucks an die Regel der endlichen Demonstrierbarkeit gebunden ist, kann tiber den Wert eines Echelons ohne Grenzen keine Aussage gemacht werden. Das, was fur endliche Ausdrlicke gelten muss, dass jede im Kalkul erlaubte Umformung eines Ausdruckes zu einem aquivalenten, also wertgleichen Ausdruck fuhrt, muss bei dieser neuen Form von Ausdruck nicht notwendigerweise gelten. Es besteht aber die Moglichkeit, die verschiedenen Faile von Wertbelegungen durchzuspielen und ihr Verhalten mit dem endlicher Ausdrlicke zu vergleichen . 3. ,Re-entry' Betrachten wir den neu entstandenen Ausdruck naher, dann konnen drei besondere Kennzeichen unterschieden werden: I) Der Ausdruck entsteht durch eine klar bestimmte Folge von Schritten , es gibt also eine klare Konstruktionsanweisung. 2) Dieser Prozess der Konstruktion soli kontinuierlich fortgesetzt werden , zu der Konstruktionsanweisung kommt gewissermal3en die Anweisung, dass der Konstruktionsprozess end- oder zeitlos (timelessly) durchgefuhrt werden soil. 3) Ein Blick auf den so generierten Ausdruck zeigt, dass der Ausdruck nach dem Muster der Sich-selbst-Gleichheit erweitert wird . Der Ausdruck kann so betrachtet werden, als wurde er in seinen eigenen inneren Raum in jeder geradzahligen Tiefe wieder eintreten. Zentral ist, dass die Form dieses Ausdrucks als eine .Re-entry'-Figur betraehtet werden kann. Diese Sieht erlaubt es, dies in folgender Gleichung Et deutlicher in eine formate Sprache zu bringen und die die Fortsetzung der Schrittfolge ausdruckenden drei Punkte , .. .' zu ersetzen:

Der Begriff ,Echelon' wird im sechsten Kapitel als Name fur C7 verwendet. Bei der Verwendung an dieser Stelle wird aber nicht C7 aufgerufen, ,Echelon' steht hier allgemeiner fur einen Ausdruck, bei dem sich ein Staffelungsmuster erkennenlasst.

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Die Abkurzung fur den Gesamtausdruck ,f' tritt in seinen eigenen inneren Raum in geradzahliger Tiefe wieder ein. Diese Ersetzung der drei Punkte ,.. . ' durch f macht deutlich, dass ein Verwendungsunterschied zwischen den drei Punkten hier und den drei Punkten innerhalb des bisherigen Rahmens des Kalkills besteht. In den algebraischen Erweiterungstheoremen in Kapitel sieben ist die Erweiterung des Geltungsbereichs von bestimmten Regeln auf beliebig komplexe Ausdriicke bewiesen. In den Theoremen 10 bis 13 wird die Moglichkeit der Skopuserweiterung der zweiten Initialgleichung und der ,consequences' C2, C8 und C9 nachgewiesen. Das Transpositionsmuster kann also auf belieb ig komplexe Ausdriicke ausgedehnt werden. Die drei Punkte , ... ' wurden dort dafur verwendet, diese beliebige Komplexitat auszudriicken, die zwar beliebig grof3, aber endlich sein muss. Auf diese beliebig komplexen, aber endlichen Ausdriicke konnen dann die verschiedenen Varianten von Transpositionsregeln angewandt werden . Es gilt im Foigenden , die Aquivalenz zwischen dem Ausdruck alb! , von dem ausgegangen worden ist, und dem Ausdruck tal b! , der durch den formalen Ausdruck des ,Re-entry' gewonnen worden ist, zu prufen . In der Gleichung EI : talbl = fwerden die beiden Variablen a und b in allen vier moglichen Kombinationen mit den beiden Werten ,marked' (m) und ,unmarked' (n) belegt, urn den jeweiligen Wert des Ausdrucks durch die ,rule of dominance') zu bestimmen. Dies ergibt fur drei der vier moglichen Belegungen einen eindeutigen Wert fur f, im Fall der Belegung a = m, b = m ergibt sich n, im Fall von a = m, b = n ergibt sich m, im Fall von a = n, b = m ergibt sich n. Nur in dem Fall, in dem a = n, b = n hangt der Wert des Gesamtausdrucks von der Belegung von f (auf der linken Seite von EI) aboDieser vierte Fall ist also trotz Belegung der Variablen a und b unterdeterminiert. Wird f mit m (bei a = n, b = n) belegt, ist der Wert des Ausdrucks m, wird f mit n (bei a = n, b = n) belegt, ist der Wert des Ausdrucks n. Die Gleichung E1 hat also abhangig von der Belegung von f zwei Losungen. Betrachten wir den ganzen bisherigr Weg, dann ist augenfallig, dass ausgehend von einem Ausdruck e (hier al b ) durch eine unbegrenzte Anzahl von Schritten (die Wiederholung der Sequenz von fUnf Schritten) ein Ausdruck e' ( talb!) entstehen kann, der nicht aquivalent zu e ist. Denn da der Wert von e durch die Belegung von a und b bestimmt werden kann, der Wert von e' aber von der Belegung von f abhangig ist, kann es bei der Belegung a=n, b=n zu der Situation kommen, dass e = n = e' = n (im Falle von f = n), aber eben auch zu der Situation, dass e = n und e' = m (im Faile von f= m), also zu e "* e', einer ungiiitigen Gleichung mit zwei nicht aquivalenten Ausdriicken. Dies uberschreitet den Rahmen der Theoreme der Reprasentation (Tl-T4) aus dem vierten Kapitel, durch die gesichert wird, dass der Wert jedes Ausdrucks eindeutig be-

Vgl. den Kommentar zum vierten Krpitel sowie LoF:15.

III. Kommentar - Das elfte Kapitel: EQUAnONS OF THE SECOND DEGREE

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stimmbar ist und dass durch die im Kalkul erlaubten Operationen keine Inkonsistenz der Art m = n auftauchen kann. Mit dieser Gleichung EI ist gezeigt, wie mit algebraischen Mitteln eine Gleichung erzeugt werden kann, die mit den bisher zur Verfugung stehenden Mitteln nicht gelost, und das heiBt hier: in ihrem Wert nicht eindeutig bestimmt werden kann. Spencer Brown sagt in den Notes zum elften Kapitel, dass in jedem Kalkul, der sich auf Gleichungen und Satze ersten Grades (ohne ,Reentry') beschrankt, Satze gebildet werden konnen, die zwar mit den Mitteln des Kalkuls erzeugt worden sind, beschrankt auf die Mittel des Kalkuls aber nicht entschieden werden konnen." Er zeigt dies fur die algebraische Gleichung x 2 + ax + r = 0, die aufgelost nach x einen Ausdruck ergibt, der sich kontinuierlich durch sich selbst in sich selbst fortsetzen lasst. In die Variable x auf der rechten Seite der Gleichung: x = -a + -b/x lasst sich der ganze Ausdruck beliebig oft wieder einsetzen . Diese sich in sich selbst wieder einsetzende Figur kann ,kont inuierlich' oder auch ,subversiv', nach ,unten wendend' genannt werden.' 4. Der neue Rahmen : Gleichungen zweiten Grades Mit der Form von Gleichung EI ist ein neuer Rahmen geschaffen , in dem wichtige Regeln des alten Rahmens nicht mehr gelten, eben die Reprasentationstheoreme und damit die eindeutige Determiniertheit des Wertes von Ausdrticken und die Konsistenz in dem Sinne, der jedes Vorkommen von m = n ausschlieBt. Die Ausdrticke der Gleichung EI sind durch einen Grad von Unbestimmtheit gekennzeichnet, der sich von dem Typ von Unbestimmtheit, der die Primare Algebra ausmacht, wesentlich unterscheidet. In der Primaren Algebra werden unabhangige Variable verwendet. Jede Belegung der unabhangigen Variablen in einem Ausdruck bestimmt den Gesamtwert des Ausdrucks aber eindeutig . Und genau dies ist bei dem Grad von Unbestimmtheit der Gleichung EI nicht der Fall. Die Belegung der unabhangigen Variablen a und b bestimmen den Wert des Ausdrucks nicht in jedem Fall eindeutig. Wir haben es bei diesem Grad von Unbestimmtheit wie in El mit Gleichungen zweiten Grades zu tun, die im Titel des elften Kapitels angekundigt sind." Vgl. die Notes zum elften Kapitel LoF:99 sowie von der Struktur her ahnlich den ersten Godelsehen Unvollstandigkeitssatz, der besagt, dass es in der Arithmetik Satze gibt, die im Peanosehen Axiomensystem weder beweisbar noeh widerlegbar sind. Es gibt einen wahren arithmetisehen Satz, der nieht beweisbar, nieht widerlegbar, also unentseheidbar ist. Dies zeigt, dass die Begriffe der Wahrheit und der Beweisbarkeit auseinander fallen. Es gibt ,mehr' arithmetisehe Wahrheiten als beweisbare Satze. VgL genauer Link!Niebergall:124ff. Vgl. die Notes zum elften Kapitel sowie LoF:98f. Noeh in der Auflage der Laws of Form von 1979 (die in der Druekgeschichte 8. Auflage, hier bei E.P. Dutton Paperback, New York) findet sich ein genauerer Hinweis zur Klassifikation von

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In diesem neuen Rahmen konnen Ausdriicke mit dem gleichen Grad an Unbestimmtheit gleichgesetzt werden (Gleichungen zweiten Grades), nicht aber solche mit verschiedenem Grad. Eine ganze Reihe von Regeln aus der Primaren Algebra gelten aber im neuen Rahmen der Gleichungen zweiten (und hoheren) Grades weiter. Es gelten weiterhin die beiden Initialgleichungen der Algebra II und 12, durch die die Umformung von Ausdriicken durch Elimination und Transposition von Variablen erlaubt wird. Damit kann der in Kapitel sechs dargelegte Prozess der Demonstration auch fur die Gleichungen zweiten (und hoheren) Grades durchgefuhrt werden. 1m Rahmen der Gleichungen zweiten Grades ist es aber wegen der Rahmenerweiterung in Richtung Unendlichkeit nicht moglich, eine Demonstration mit Hilfe der Arithmetik zu bestatigen, nach dem im achten Kapitel dargestellten Verfahren von ,content' und ,image' . Wir konnen also in dem neuen Rahmen der Gleichungen zweiten Grades durch die Oberschreitung der durch die arithmetischen Regeln gesetzten Grenzen nicht mehr vollstandig wissen, wo wir uns in der Form befinden, auf der einen Seite, im ,marked state' , oder auf der anderen Seite, im ,unmarked state' . Die Regeln, die dem neuen Rahmen angepasst zur Orientierung dienen konnen, sind die ,rule of demonstration' und die ,rule of dominance'. Durch die ,rule of demonstration ' wird der Prozess der Demonstration als einer von endlichen Schritten charakterisiert. FUr die Gleichungen zweiten Grades gehoren dazu die algebrai schen Schritte und auch der neue Typ von Schritt, das ,Re-entry', aber eben nicht mehr die arithmetischen Schritte. Durch die ,rule of dominance' , einem einfachen Evaluierungsverfahren von Ausdrucken , konnen wie oben die verschiedenen Werte bestimmt werden, die ein Ausdruck (in verschiedenen Zustanden) annehmen kann. 5. ,Imaginary state' Zu dem neuen Rahmen der Gleichungen zweiten Grades gehort eine neue Art von Schritt, eben das ,Re-entry', der Wiedereintritt eines Ausdrucks in den eigenen inneren Raum. Einmal entwickelt kann der Schritt auch in anderen Ausdrucken als dem Echelon mit den beiden Variablen a und b wie in EI verwendet werden. Werden zwei verschiedene Gleichungen mit dem ,Re-entry' ohne weitere Variablen gebildet, zeigt sich, dass zwei Typen von ,Re-entry' unterschieden werden mussen . Die eine Gleichung E2 besteht aus einem Aus, die andere druck mit einem .Re-entry' in geradzahliger Tiefe: E2 f2 = fSil Gleichungen verschiedenen Grades : Gleichungen ohne ,Re-entry' und damit ohne unlosbare Unbestimmtheit heiBen Gleichungen ersten Grades, Gleichungen mit einem ,Re-entry' sollen Gleichungen 2. Grades genannt werden, und so weiter. Dieser Satz ist in der Auflagc von 1994 gestrichen (die in der Druckgeschichte 9. Auflage, bei Cognizer Co., Portland, Ohio) . Der Hinweis findet sich auch in der intemationalen Ausgabe von 1997 (die in der Druckgeschichte 10. Auflage , bei Bohmeier, Lubeck) nicht mehr .

III. Kommentar - Das elfte Kapitel: EQUATIONSOF THE SECONDDEGREE

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Gleichung, E3 dagegen besteht aus einem Ausdruck mit einem ,Re-entry' in . Dass die ,Re-entry'-Schritte nicht in ungeradzahliger Tiefe: E3 f3 = tl arithmetische Schritte ubersetzt werden konnen, zeigt folgende Oberlegung: Die drei Kennzeichen des ,Re-entry' warenja, dass es eine klare Konstruktionsanweisung gibt (1), die kontinuierlich fortgesetzt ~en soli (2), fur f2 besteht diese in der Iteration von , ,das kann durch 91 ausgedrtickt werden. FUr f3 besteht diese in der Iteration von I , das kann genauso ausgedrtickt werden. Beide Ausdrticke sind so zu betrachten, dass sie in ihren eigenen inneren Raum wieder eintreten (3). Demnach sind beide Gleichungen E2 und E3 mit dem selben Ausdruck gleichzusetzen und somit auch miteinander f2 = f3 • Betrachten wir jede der beiden Gleichungen E2 und E3 fur sich und uberlegen, welche Werte die jeweilige Gleichung bei der arithmetischen Belegung von f2 auf der rechten Seite von E2 mit m oder n und von f3 auf der rechten Seite von E3 mit m oder n annehmen kann, dann wird ein entscheidender Unterschied deutlich. E2 kann zwei Losungen haben, je nach Belegung von f2 , bei m hat der ganze Ausdruck den Wert m und bei n hat der ganze Ausdruck den Wert n. E2 gleicht von der Form EI bei der Belegung a = n und b = n und kann als selbstbestatigende Gleichung gelten.' Dagegen zeigt sich bei E3 ein widersprtichliches Ergebnis. Bei der Belegung von f3 mit m ergibt sich: m = n, bei der Belegung von f3 mit n ergibt sich: n = m, E3 kann als selbst-vemeinende Gleichung gelten." Es kann also nicht sein, dass die beiden Gleichungen E2 und E3 miteinander gleichzusetzen sind . Der Versuch der Obersetzung der ,Re-entry'Gleichungen in arithmetische Schritte fuhrt also aufzwei Widersprtiche: a) E2 = E3 und auch E2 i- E3. b) FUr E3: m = n. Hieran wird noch einmal scharfer deutlich, dass ,Re-entry'-Schritte nicht in arithmetische Schritte nbersetzt werden konnen und die Verbindung zu den Regeln der Arithmetik aufgehoben oder ,subversiv untergraben' ist. 1m Faile des geradzahligen ,Re-entry' wie in E2 ist die Verbindung untergraben, wei! es zwei Losungen gibt. 1m Faile des ungeradzahligen ,Re-entry' wie in E3 ist die Verbindung zu den Regeln der Arithmetik ,untergraben', weil die Gleichung mit den bisherigen zur Verfugung stehenden Mitteln keine Losung haben kann. reprasentieren die einzigen Zustande der Form, die bisher Denn lund betrachtet worden sind . FUr Losungen von Gleichungen mit ungeradzahligem ,Re-entry' wie E3 mussen die moglichen Zustande der Form und damit die Vgl. Introduction, LoF:xxiv. In der Sprache der formalen Logik wurde man E2 als Tautologie betrachten , die egal bei welcher Belegung ihrer Variablen immer wahr ist. Wittgenstein nennt Tautologien im Tractatus deshalb sinnlos, sie konnen nicht wahr oder falsch sein und transportieren deshalb keinen Sinn. Vgl. z.B. 4.461. Vgl. Introduction, LoF:xxiv . In der Sprache der formalen Logik wurde man E3 (m = n) als Kontradiktion betrachten , in konditionaler Formulierung ,wenn m, dann n' oder ,wenn n, dann m' als Paradoxie .

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bisherigen Mittel urn einen dritten Zustand, den imaginaren Zustand (imaginary state) erweitert werden. 1m Vorwort zur ersten amerikanischen Ausgabe motiviert Spencer Brown die Bezeichnung des dritten Zustandes als .imaginaren Zustand'. Damit soli eine Analogie zu der imaginaren Zahl i und zu ihrer Funktion in der Gleichungstheorie deutlich werden, die eine Ubertragung der Idee der imaginaren Zahlen in die erweiterte Algebra erlaubt. Imaginare (oder komplexe) Zahlen mussten eingefiihrt werden, wei! unter der Voraussetzung, dass Zahlen nur positiv, negativ oder Null sein konnten, Gleichungen von der Form x 2 + 1 = 0 nicht zu losen waren. Solche Gleichungen werden erst losbar durch die Einfiihrung einer vierten Klasse von Zahlen, eben der imaginaren ± i, wobei i im Fall der obigen Gleichung eine neue Art von Einheit ist, die aus der Quadratwurzel von -1 besteht ." Was aber soli unter dem imaginaren Zustand verstanden werden? Was ist mit dem widerspriichlichen Ausdruck m = n anzufangen? 1st der imaginate Zustand dann als weder m noch n zu verstehen oder als sowohl m als auch n, so wie ± i? 6. Zeit Urn den dritten Zustand, den ,imaginary state', als einen Zustand der Form verstehen zu konnen, mnssen wir den Zustand als einen in der Zeit und nicht im Raum betrachten, ohne allerdings den Raum , in dem wir uns schon befinden, zu verlassen. Was kann dam it gemeint sein, wie konnen wir uns das genauer vorstellen? Eine Moglichkeit, sich den imaginaren Zustand als einen in der Zeit, aber im Raum befindlich zu imaginieren, besteht darin, sich die Obertragung der Anderung des Wertes durch den Raum , in dem der Wert reprasentiert ist, als eine vorzustellen, die Zeit braucht, urn einen Weg zurlickzulegen. Die Transmission oder die Obertragung von Werten ist hier ein Prozess in der Zeit, in der sich ein Wertwechsel vollziehen kann . Einen Vorlaufer fur diesen zeitlich gedeuteten Transmissionsbegriff finden wir im achten Kapitel im ,principle of transmission' , wo die raumlich gedeutete Verwendung der Transmission von Werten in einem Ausdruck geklart wird. Nimmt namlich eine Variable mal diesen, mal jenen Wert an (oszilliert er also zwischen m und n) und ist der Raum auJ3erhalb Vgl. Preface to the First American Edition, LoF:xivf. "What we do in Chapter II is extend the concept to Boolean algebras, which means that a valid argument may contain not just three classes of statement, but four: true, false, meaningless , and imaginary. The implications of this, in the fields of logic, philosophy , mathematics, and even physics, are profound." LoF:xv . Fur den Indikationcnkalkul bedeutet das die Moglichkeit von drei Werten, ,marked', ,unmarked ' und ,imaginary' . Die Erweiterung durch die imaginaren Werte soli auch eine Losung fur die selbst-referentiellen Paradoxa in der Logik, die durch die Typentheorie vermieden werden sollen, bereitstellen .

III. Kommentar - Das elfte Kapitel: E QUATIONS OF THE SECOND DEGREE

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der Variablen entweder transparent oder opak, dann kann die Transmission entweder durch den transparenten Raum fortgesetzt werden, oder sie wird durch den opaken Raum absorbiert." Fur die zeitliche Deutung des Transmissionsbegriffs kann das Bild, das bisher zur Illustration der Unterscheidung genutzt wurde, namlich der Kreis in der Ebene , durch einen Tunnel unter der Oberflache erweitert werden, durch den sich die Transmission der Werte vollziehen kann. Dadurch wird die Unterscheidung zerstort, denn durch den Tunnel gibt es eine Moglichkeit, von der einen Seite auf die andere zu gelangen, ohne die Grenze zu tiberschreiten. Der imaginare Zustand ist damit wie eine zeitliche Bewegung von dem einen Zustand der Form durch den Tunnel in den anderen Zustand der Form vorzustellen, wie ein Hin und Her zwischen zwei Zustanden, das eben Zeit braucht bzw . Zeit eigentlich erst generiert. Der imaginare Zustand ist ein Wertwechsel auf einer Zeitachse. Zu j edem beliebigen Zeitpunkt t, kann mit Hilfe des ,principle of dominance' ein Wert des Ausdrucks bestimmt werden . FUr den Zeitpunkt t;+1 wird dann im nachsten Anwendungsschritt des ,principle of dominance' ein anderer Wert des Ausdrucks bestimmt, denn fur Ausdrucke mit einem ungeradzahligen ,Re-entry' gilt eben der Wertwechsel auf der Zeitachse. Den Prozess der Transmission von Zustanden (durch den Tunnel) auf der Zeitachse veranschaulicht eine Abbildung der verschiedenen Intervalle dieser Transmission.I I Damit ist der dritte Zustand oder dritte Wert bestimmt, der die Form nicht verlasst, sondem auf ihr aufruht und in ihr (oder besser unter ihr) Bewegung erlaubt und sie dam it wesentlich erweitert. Hier ist eingelost, was im ersten Kapitel in der Erlauterung zu Axiom 2 als Moglichkeit offen gelassen wurde : der Wert, der sich durch das Zusammennehmen der Absichten des Uberschreitens in einen Inhalt (crossing) und des wiederholten (Ruck-jflberschreitens in den anderen Inhalt ergibt, ist nicht der Wert des einen Inhalts (also der ,marked state') und auch nicht der Wert des anderen Inhalts (also der ,unmarked state ')keiner von beidem (none of them). Soweit das erste Kapitel." Hier in der Rahmenerweiterung der Gleichungen zweiten Grades kann diese Leerstelle gefullt werden: es ist weder der ,marked state ', noch der ,unmarked state' , sondem es ist der imaginate Wert der zeitlichen Bewegung. Die Gleichung E3: f3 = (J sagt den Wiedereintritt von f3 in seinen eigenen anzeigenden Raum (indicative space ") aus und zeigt damit f3 als einen Teil seiner selbst an. Wurde die Gleichung E3 in gewohnlicher arithmetischer Weise gelost, ergabe sich die Kontradiktion m = n oder n = m. Durch die EinfUhrung lO II

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Vgl. den Kommentar zumachten Kapitel sowie LoF:47 f. Vgl. LoF:60, Figure 1. Vgl. den Kommentar zum ersten Kaptel sowie LoF:2. Vgl. den Kommentar zumachten Kapitel.

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eines zeitlichen Prozesses des Wert- bzw . Zustandswechsels wird daraus die Grundfigur der zeitlichen Bewegung in der Form. Es lasst sich in beide Richtungen formulieren : Die Kontradiktion wird durch die Einfiihrung von Zeit gelost, aber auch: die Kontradiktion generiert Zeit. Damit wird eine formale Struktur rehabilitiert und verwendbar, die in anderen KalkUlen ausgeschlossen werden musste." In den AUM-Transkripten macht Spencer Brown allerdings sehr deutlich, dass mit dem imaginaren Zustand und damit mit der Oszillation der Werte zwischen m und n Zeit nicht als Losung fur eine unlosbare Gleichung von auBen eingefiihrt wird, sondem dass mit dem oszillierenden Verhalten Zeit simultan entsteht. Mit der Unterscheidung wird Raum simultan generiert, der nicht schon vorher da ist, sondem der mit der Unterscheidung entsteht und auch nicht mehr Eigenschaften hat als diese . Es entsteht also gewissermaBen ein ,erster ' Raum, I 5 noch ohne Qualitaten wie Abstand, GroBe, Gestalt, Reihenfolge, oben-unten, vome-hinten, rechts-links. Zu diesem ersten Raum gehoren nur Zusammenhalt (continence) und die Moglichkeiten, die Grenze hinein oder wiederholt (hineinhinaus) zu Uberschreiten . Analog zum ,ersten Raum' entsteht ,erste Zeit' zusammen mit der Oszillation zwischen zwei Zustanden, die nicht schon vorher da ist, sondem mit der Oszillation entsteht und auch nicht mehr Eigenschaften hat als diese. ,Erste' Zeit ist Oszillation, noch ohne die Qualitat der Dauer. Oszillation wird als Prozess der Wertveranderung beschrieben: "Supposing it is the marked state, then it puts the marked state back into itself, and the marked state within a cross produces the unmarked state outside .. . So this rubs itself out and so you get the unmarked state fed back in, and so out comes the marked state again."! " Ist einmal dies in sich selbst wieder eintretende ,cross' geschaffen, lauft es wie das Maschinenwerk einer Uhr ,von selbst' welter." Dieser Prozess hat aber keine Ausdehnung in der Zeit, sondem ist als ein ,simultanes' " if it is, it isn't - if it isn 't, it is."!" zu verstehen. Die Grundstruktur von Zeit ist das, was sein kann, wenn Oszillation sein kann und die Grundstruktur von Raum ist das, was sein kann , wenn Unterschei14

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Spencer Brown meint vor allem die Typentheorie Bertrand Russells , vgl. dazu Introducti on LoF:xxv. Vgl. AUM 1,9. Vgl. AUM 1,7. Vgl. AUM 1,9. Vgl. AUM 1,8 (Abschnitt Flackern (Fluttering», sowie AUM 4,3. Spencer Brown spricht hier von einer ,Mathematik der Vibration': "As we know , the mathem atics of vibr ations is always the equations with the imaginary value - if it is, it isn't, if it isn't, it is." An anderer Stelle heiBt es ahnlich : " When you first construct time, all that you are defining is a state, that, if it is one state, it is another. Just like a clock , if it is tick, therefore it is tock. But this time is the most primitive of all times , because the intervals are neither short nor long ; they have no duration." AUMI ,9.

III. Kommentar - Das elfte Kapitel : EQ UATIO NS OF TH E SECOND DEGRE E

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dung zwischen Zustanden sein kann. In den Laws of Form wird gezeigt, wie Unterscheidung und Oszillation sein konnen, nirgendwo wird behauptet, dass sie sind . Die Laws of Form befinden sich bezuglich Existenzbehauptungen an einem Indifferenzpunkt." Komplexere Raume (mit Abstanden, Reihenfolgen usw.) und komplexere Zeiten (deren Dauer gemessen werden kann) entstehen durch den mehrfachen Wiedereintritt in sich selbst, durch das ,sich in sich selbst zurtickleitende oder sich selbst nahrende cross?". Komplexitat entsteht nach Spencer Brown also aus negativen und positiven Feedbackprozessen", Prozessen, die Qualitaten in sich vereinen, die der semantische Raum von ,feeding back ' eroffnet: rtickkoppeln, zurtickleiten, sich nahren, unterhalten. 7. Dynamiken der Struktur des ,Re-entry' Die Einftihrung der Zeit bedeutet einen neuen groBen Einschnitt in dem Gedankengang der Laws of Form. Der erste groBe Einschnitt bestand in der Einfuhrung der Unendlichkeit, durch den die Moglichkeit ganz neuer Formen, eben der (zunachst geradzahligen) ,Re-entries', aufgetaucht ist. Mit der Einfuhrung der Zeit wird deutlich, dass die ungeradzahligen ,Re-entries' wie in der Gleichung E3 nicht mehr als formale Muster zu lesen sind, sondem als Dynamiken. Die Gleichung E3: f3 = (;l zeigt eine Bewegung von Wertveranderungen an. Gleichungen zweiten Grades sind zu lesen als Transmissionsdynamiken der Ubertragung von Werten von der linken Seite auf die rechte Seite der Gleichung und zurtick. Das ,cross' ist in diesem Rahmen als Inversionsoperator zu verstehen, als Aufforderung, den jeweiligen Wert umzukehren. Gleichungen sind nicht mehr nur Aquivalenzmuster wie in der Prirnaren Algebra. Die Transmission von Werten von der einen auf die andere Seite, die Produktion eines anderen Wertes durch die invertierende Kraft des ,cross', die Zurtickleitung des neuen invertierten Wertes in sich selbst usw. usw. brauchen Zeit. Urn diese zeitlichen Prozesse beschreiben zu konnen, erweitert Spencer Brown an dieser Stelle die Sprache des Kalktils. AuBerdem erweitert er die Notation urn das Zeichen U , das ein ,Re-entry ' anzeigen soil. Dazu werden verschiedene graphische Darstellungen von Transmissionsvorgangen bei ,Reentries ' vorgestellt, namlich Tunnel , quadratische Wellenztige und Netzwerke." Zunachst werden die Termini ,Frequenz' , ,Geschwindigkeit' und ,Funktion' eingeftihrt. Stellen wir uns dafur das Bild des Kreises in einer Ebene noch ein19 20

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Vgl. AUM 1,9ff. sowie AUM 4,3. Vgl. AUM 1,9. Spencer Brown ordnet negatives Feedback den ,ungeradzahligen Re-entries ' zu und positives Feedback den ,geradzahligen Re-entries', vgl. AUM 1,8. Dadurch werden auch pragmatisch Moglichkeiten einer schaltalgebraischen Interpretation des erweiterten Kalkuls skizziert, in der die Struktur des ,Re-entry' die Basis fur zentrale Leistungen verschiedener Zahlfurktionen darstellen soil, vgl. II.A Kontexte der Laws ofForm.

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mal vor und unter der Oberflache einen Tunnel, durch den das Kreisinnere mit der umgebenden Ebene verbunden ist. Die Funktion des Tunnels besteht darin, durch eine Grenze voneinander unterschiedene Gebiete miteinander zu verbinden. Wenn wir uns die Geschwindigkeit, mit der die Reprasentation des Wertes durch den Raum wandert, konstant vorstellen, dann ist die Frequenz der Oszillation" des Wertes durch die Lange des Tunnels bestimmt. Die Transmission des Wertes geschieht durch die Uberschreitung der Grenzen in der Ebene" und die ,Unterschreitung' der Grenzen durch den Tunnel. Die Lange des Tunnels ist durch die Haufigkeit der ,crosses' und die Tiefe des Raumes bestimmt, die durch den Tunnel ,unterwandert' werden. Wenn wir die Lange des Tunnels konstant halten, dann ist die Frequenz der Oszillation des Wertes durch die Geschwindigkeit der Transmission bestimmt. Lange des Tunnels und Transmissionsgeschwindigkeit sind also hier Variablen, die die Frequenz der Transmission des Wertes beeinflussen . Wird der Transmission eine Geschwindigkeit zugeordnet, dann muss ihr auch eine Richtung gegeben werden, so dass gerichtete Geschwindigkeit (velocity) entsteht. So wird gewahrleistet, dass der Transmissionsprozess vom Zeitpunkt ti z.B. zum Zeitpunkt ti+1 verlauft und nicht z.B. wieder zuruck zum Zeitpunkt ti_l. Die Moglichkeit eines rucklaufigen Ubertragungsprozesses und damit eines Richtungswechsels mtil3te durch ein eigenes ,Re-entry ' erst geschaffen werden . In dem erweiterten Rahmen der Gleichungen zweiten Grades sollen Ausdrticke mit der Variable v Funktionen von v genannt werden. Die (algebraische) Bezeichnung als Ausdruck mit Variablen oder die (erweitert algebraische) Bezeichnung als Funktion einer Variablen hangt von dem Standpunkt der Betrachtung aboMit der Terminologie der Funktionen wird also ein Vokabul ar fur einen dritten Blickpunkt auf die Form entwickelt, neben dem arithmetischen (Ausdrtieke mit bestimmtem Wert) und dem algebraischen (Ausdrticke mit Variablen, also mit unbekanntem Wert) der der erweiterten Algebra (Funktionen mit Variablen). Unter einer Funktion kann eine Operationfverstanden werden, die gewisse Elemente quasi als Input annimmt und in Abhangigkeit davon gewisse (andere) Elemente als Output produziert . Diese Inputs werden tiblicherweise Argumente, die Outputs (Funktions-twerte genannt ." Betrachten wir nun die beiden Formen von ,Re-entry', den ungeradzahligen ,Re-entry' der Gleichung E3: f3 = f;I und den geradzahligen ,Re-entry' der Gleichung E2: f2 = fzil als Funktionen, dann ergibt sich fur den ungeradzahligen

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Den Begriff der Oszillation kennen wir aus dem achten Kapitel als abwech selnde Belegung der Variable v in Theorem 16, vgl. den Kommentar zum achten Kapitel. Vgl. den Kommentar zum achten Kapitel ,principle of transmission ' . Vgl. z.B. Link2001 :37.

III. Kommentar- Das elfte Kapitel: EQUA nONS OF THE SECOND DEGREE

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Re-entry' eine Oszillatorfunktion und fur den geradzahligen ,Re-entry' eine Gedachtnisfunktion. 8. Oszillation: Zeitverlaufe und Zeitsprunge bei ungeradzahligen ,Re-entries' Es werden zwei graphische Umsetzungen fur die Transmissionsbewegung bei ungeradzahligen ,Re-entries' entwickelt. Die eine Umsetzung kann die Zeitverlaufe zeigen, die andere die Zeitsprunge. Urn die Zeitverlaufe der Transmission des markierten Zustandes von einer Seite zur anderen fur die einfachste Gleichung eines ungeradzahligen ,Re-entry' E3 zu veranschaulichen, wahlt Spencer Brown die graphische DarstelIung eines Kreises in der Ebene, wodurch wie bekannt zwei Seiten entstehen. Der eine Kreis setzt das ,cross' auf der rechten Seite der Gleichung urn. Das Kreisinnere steht fur das im ,cross' enthaltene f auf der rechten Seite der Gleichung, das Kreisaufiere fur das f auf der linken Seite der Gleichung. Die Graphik wird in die dritte Dimension erweitert, indem die beiden Seiten durch einen Tunnel miteinander verbunden werden . Dieser Tunnel illustriert den Wiedereintritt des Ausdrucks auf der linken Seite der Gleichung in sich selbst auf der rechten Seite der Gleichung. In der Abbildung ]26 wird ein ganzer Zyklus eines Transmissionsverlaufs in sechs Schritten gezeigt, bei dem auch die Ubertragungsubergange sichtbar werden. Es wird von dem Kreisaufseren zuerst das Signal des markierten Zustandes ubertragen, der Wert der Gleichung sei also zuerst der markierte Zustand (t,). Dieses Signal wird durch den Tunnel in das Kreisinnere ubertragen, der Wert der Gleichung auf der linken Seite der Gleichung wird also auch auf die rechte Seite ubertragen (t z). Durch die Kreislinie wird die Ubertragung invertiert, es wird also der unmarkierte Zustand produziert, der markierte Zustand zusammen mit dem ,cross' hebt sich selbst aufund es entsteht der unmarkierte Zustand (t-), Das Kreisauliere nimmt dadurch den Wert des unmarkierten Zustandes an, d.h. also der Ausdruck nimmt den Wert des unmarkierten Zustandes an, auf der linken Seite der Gleichung hat f den Wert n (t4) . Von dem Kreis aul3eren wird nun das Signal des unmarkierten Zustandes ubertragen, der Wert der Gleichung auf der linken Seite der Gleichung wird auch auf die rechte Seite ubertragen (ts). Durch die Kreislinie wird die Ubertragung wieder invertiert, es wird also der markierte Zustand produziert, der unmarkierte Zustand zusammen mit dem ,cro ss' wird zum markierten Zustand (t6) . Damit ist der erste Ubertragungszyklus abgeschlossen und die Schrittfolge von t, bis t6 kann unendlich iteriert werden. Urn dagegen die Zeitsprunge der Transmission des markierten Zustandes von einer Seite zur anderen fur eben diese einfachste Gleichung eines ungeradzahligen ,Re-entry ' E3 zu veranschaulichen, wahlt Spencer Brown eine andere graphische DarstelIung, namlich die eines quadratischen Wellenzuges. Dies ist 26

Vgl. LoF:60.

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eine Aufeinanderfolge von rechteckigen Wellen in einer bestimmten Frequenz, wobei die Taler den unrnarkierten Zustand und die Berge den markierten Zustand reprasentieren." Da jeder Impuls, markiert oder unrnarkiert, durch das ,cross' invertiert wird (wenn f mist, dann wird es n und wenn es n ist, wird es m), kann E3 als Oszillationsfunktion bestimmt und durch einen Wellenzug angezeigt werden. Diese Oszillationsfunktion kann zu der Tunnelgraphik in Beziehung gesetzt werden, denn sie bildet eine bestimmte Frequenz der Wertveranderung an einem Punkt p in der Ebene abo Dort oszilliert der Wert von ,marked' zu ,unmarked' zu ,marked' usw. in einer von Tunnellange und Transmissionsgeschwindigkeit abhangigen Frequenz. Die Oszillationsfunktion kann zu einer kontinuierlichen Funktion transformiert werden, indem der Wellenzug und seine Inversion iiberlagert werden . In der graphischen DarsteIlung des Tunnels konnte diese Transformation so arrangiert werden, dass ein Punkt p in zwei aufeinander folgenden Raumen vorkommt, zum einen innerhalb des Kreises, zum anderen in einer AuBenschicht, die von einem ,unwritten cross' umgeben iSt,28 Der Impuls ,markiert', der vom KreisauBern ins Kreisinnere geleitet wird, wird durch die Kreislinie invertiert und durch die Weiterleitung in den tlacheren Raum durch den markierten Wert von p iiberlagert . Fiir den FaIl, dass aus dem Kreisaulieren der Impuls ,unmarkiert' ins Kreisinnere geleitet wird, gilt, dass die Inversion durch die Kreislinie den Wert ,markiert' produziert und damit den Wert von p im nachst tlacheren Raum iiberlagert . Diese graphische KonsteIlation konnen wir auch in die Sprache der Gleichungen iibertragen. Wir konnen die Gleichungen E3 und C5 verwenden, urn aus C5 durch Substitution von f durch fl (mit E3) f= fl f zu erhalten. Diese Gleichung hat injedem Fall den Wert markiert, wir konnen also schreiben:

I

=

Tl r

Durch diese Transformation kann aus dem imaginaren Wert (in Bezug auf die Form) ein realer Wert (in Bezug auf die Form) werden. 9. Gedachtnisfunktion Die beiden graphischen Reprasentationen, die verschiedene Aspekte (eben Zeitverlaufe und Zeitspriinge) der Gleichung E3 mit ungeradzahligem ,Re-entry' vorgestellt haben, der Tunnel und der quadratische Wellenzug, konnen auch fur die Gleichung mit geradzahligem ,Re-entry' El (und den Grenzfall E2) verwendet werden. Hier zeigt allerdings die Tunnelgraphik die Zeitspriinge: zu der

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Vgl. LoF:60 unten. Hier wird implizit das ,unwritten cross ' aus dem zweiten Kapitel aufgerufen: Punkt p findet sich sowohl im Kreisinneren wie auch im darauf folgenden flachsten Raum . Dieser muss von einem ,unwritten cross ' umgeben vorgesteUt werden , denn das eigentliche Kreisaufsere gehort nicht zum Ausdruck der linken Seite der Gleichung.

III. Kommentar - Das elfte Kapitel : EQUA nONS OF THE SECOND DEGREE

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Gleichung E 1: f = tal b I gehort die Gestalt von zwei ineinander liegenden Kreisen. Innerhalb des inneren Kreises liegt a, innerhalb des aul3eren Kreises liegt b. Da f zum einen der Gesamtausdruck (auf der linken Seite der Gleichung) und zum anderen der innerste Teilausdruck (auf der rechten Seite der Gleichung, im Kreisinnem neben a) ist, wird die Kreisflache des inneren Kreises mit dem Aul3eren beider Kreise verbunden (vgl. Abbildung 2).29 Hier gehen die Impulse von den Belegungen der beiden Variablen a und b aus, der Wert, den der Innenkreis in Abhangigkeit von a annimmt, wird (uber den Tunnel) an das Kreisaufsere transmittiert und bestimmt somit den Gesamtausdruck." Fur den Fall, dass beide Variablen a und b den Wert n (unmarkiert) annehmen, soli die Erinnerungsfunktion einsetzen. Es soli die Erinnerung gespeichert sein, welche der beiden Variablen a oder b zuletzt den Wert markiert angenommen hat." Wenn dies fur a gilt, dann ist der ganze Ausdruck f markiert, wenn dies fur b gilt, dann ist der Ausdruck unmarkiert. Die effektive Transmission soli dabei auf die Richtung von aul3en nach innen beschrankt sein." Die graphische Darstellung des Wellenzuges, hier vereinfacht fur ein end liches (viergliedriges) Echelon nach dem Typ von EI vorgefuhrt, wird verwendet, urn die Zeitverlaufe der Erinnerungsfunktion von El zu illustrieren (vgl. Abbildungen 3 und 4) .33 Die Reprasentation durch den Tunnel dient hier als verkurzte Darstellung, die Reprasentation durch den Wellenzug kann die Transmissionswelle der partie lien Erinnerung entfalten. Werden a und b auf n gesetzt, alterniert der Wellenzug beginnend mit einem Tal (a = n) zu einem Berg (n wird durch Inversion zu m), wieder zu einem Tal (m wird durch emeute Inversion zu n) usw. bis der Wert des Gesamtausdrucks f = n entstanden ist. Wird nun a auf m gesetzt, bedeutet das die Inversion des gesamten Ausdrucks. Fallt a dann wieder auf n zuruck, wirkt dies zunachst nur im innersten Raum, denn nur der innerste Raum wird nicht von woanders her mit einem Impuls m versorgt. Das Abfallen von a auf n bewirkt nur eine einzelne Welle, die sich mit Verzogerung bis an den Ausgang fortsetzt und diesen irgendwann invertiert ." Der Wellenzug 29 30 31

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Vgl. LoF:61. Vgl. dazu die Wertetabelle fur die Gleichung EI, LoF:56. FOreine technische Umsetzung kann dies als logischer Speicherbaustein verstanden werden , der einen Zustand fur eine gewisse Zeit speichern und wieder zur Verfugung stellen kann, vgl. dazu z.B. Seifart 1998:153. Mann 1993:106f. zeigt die Obereinstimmung von EI mit einem einfachen, asynchronen ,RS-Flip-Flop', das aus zwei kreuzgekoppelten NOR-Gattern aufgebaut ist. Vgl. LoF:62. In den Notes zum elften Kapitel heiBt es, dass jede geradzahlig ,subvertierte' Gleichung auch geradzahlig in-formiert genannt werden konne. Sie kann als Subversion (UnterWendung) der Oberflache oder als In-formation (Formgebung innerhalb, eigene Form innerhalb seiner selbst) gesehen werden. Diese Struktur kann als Vorlaufer fur kompliziertere Formen von Gedachtnis verwendet werden, vgl. LoF:100. LoF:63f. Vgl. dazu und zum folgenden Punkt Mann 1993:112. Spencer Brown betont in den Notes zum elften Kapitel den Unterschied zwischen diesen quadratischen Wellenzugen eines Echelons und

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zeigt, dass diese Funktion ein ,begrenztes' Gedachtnis hat, bei dem Umschalten von a auf m wird der Wellenzug sofort invertiert, bei dem Zuriicksetzen von a wieder auf n wirkt sich diese Anderung nicht sofort auf f aus, sondem erst, wenn das dabei entstehende Wellental das Ende des Zuges erreicht hat. Im Faile der eigentlichen Funktion von EI , dem unendlichen Echelon, wurde das WelIentaI das Ende des Zuges nie erreichen, der Wert von fbIiebe also erhalten. 10. Erweiterung der Notation: Marker aIs Netzwerke Nachdem die beiden einfachen Funktionen ungeradzahliger und geradzahliger ,Re-entries' formal durch das Wiedervorkommen von f auf beiden Seiten ausgedriickt und durch zwei graphische Reprasentationen, die durch Tunnel und die durch Wellenziige, umgesetzt worden sind, ist nun eine Notationserweiterung fur kompIexere Funktionen notig . Die Notation fur ein ,Re-entry' muss zwei Bedingungen erfullen: erstens muss deutlich werden, wo der Wiedereintritt stattfindet, zweitens muss klar sein, welcher Teil des Ausdrucks wieder eintreten solI. Beides wird durch eine direkte Verbindungslinie mit einem urn eine Spitze erweiterten ,cross' geleistet. EI kann also in neuer Notation folgendermaBen geschrieben werden: jal b I . Beide Zeichen, die keine Buchstaben sind, werden im Folgenden ,marker' genannt, denn im Zusammenwirken mit dem ,Re-entry' verliert das ,cross' zwischen a und b seine Funktion, eine Grenze zu sein. Vielmehr reprasentieren beide Zeichen eine gemeinsame Grenze. Im Faile von Ausdriicken mit ,Re-entry' ist also ein ,cross' ein ,marker' , ein ,marker' muss aber nicht unbedingt ein ,cross' sein. Durch diese graphische (und nicht mehr typographisch-lineare) Notation wird deutlich, dass .Re-entry'-Ausdrucke als Netzwerke aufgefasst werden konnen. In einem Netzwerk stehen aile Elemente miteinander in Beziehung, jedes Element kann von anderen Information bekommen. Die durch ,crosses' unterschiedenen Bereiche werden also miteinander vemetzt, aus ,crosses' werden Elemente eines Netzwerks, Marker. Dieser Charakter von Netzwerken wird in einer neuen graphischen Reprasentation von Modulationsfunktionen augenfallig , 11. Modulationsfunktion Funktionen zweiten Grades, also solche mit einem ,Re -entry' , sind entweder Oszillationsfunktionen (ungeradzahlig) oder Gedachtnisfunktionen (geradzahlig) . Spencer Brown nimmt hier wieder einen Erweiterungsschritt vor hin zu Gleichungen hoheren Grades, also mit mehr als zwei ,Re -entries', die fur Funkdem physikali schen Wellenzug , der von einem aigeregten Teilchen emittiert wird. Die im elften Kapitel verwende ten Wellenziige seien zum einen quadratisch und zum anderen ohne Energie und konnten als vereinfachte Vorlaufer physikalischer Wellenziige verstanden werden . Diese konnten erst durch die Entwicklung weiterer Unterscheidungen erreicht werden , vgl. Lor :101.

III. Kommentar - Das elfte Kapitel : EQUA nONS OF THE SECOND DEGREE

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tionen stehen, die zdhlen konnen. Dies ist der letzte Erweiterungsschritt, der in den Laws ofForm vorgenommen wird und Spencer Brown gibt auch nur einige Hinweise in diese Richtung. Die Funktion des Zahlens soli als Regelung (Modulation) einer Wellenstruktur umgesetzt werden. Gewahlt wird die einfachste Regelung, die Eingangsfrequenz soli halbiert werden, es wird also die Zahlfunktion ,Division durch 2' in einer Wellenstruktur mit acht Markem ausgedruckt." Die Gleichung E4 36 steht fur diese Zahlfunktion mit acht Markem, von denen vier fur ,Re-entries' stehen, die in einen flacheren Raum wieder eintreten, einer fur ein ,Re-entry', das in einen tieferen Raum wieder eintritt, einer fur ein .Re-entry' mit mehr als einem Wiedereintritt und zwei fur ,crosses ' ohne ,Re-entry' . Das ganze ist eine Modulationsfunktion, durch die die Eingangsfrequenz halbiert werden kann. Da die Funktionen mit ,Re-entry' eigentlich eine dreidimensionale Darstellung brauchen, entwickelt Spencer Brown eine graphische Reprasentation fur die Gleichung E4, die die ruckgekoppelten Informationsflusse besser zum Ausdruck bringen kann. Marker sollen durch einen vertikalen Strich reprasentiert sein, alles was unter den Markem steht, soli mit Leitungen auf der linken Seite mit den vertikalen Strichen verbunden werden. Je flacher die Raume, desto weiter rechts stehen die vertikalen Striche. Die Gleichung E4 wird in diese graphische Reprasentation gebracht und an jeder Umschaltstelle durch einen Marker wird deutlich, wie sich dort die Frequenz andert, bis mit dem Ausgangssignal die Frequenzhalbierung erreicht ist. Werden nicht nur wie in E4 reale Werte verwendet, sondem auch imaginare Werte erlaubt, dann kann eine etwas andere Wellenstruktur mit nur sechs Markem erreicht werden." Spencer Brown bricht die Erweiterungsschritte des elften Kapitels an dieser Stelle abo Das elfte Kapitel setzt in besonderer Weise die Erlaubnis urn, die im Kanon 5 explizit ausgesprochen worden ist: ,expansion of reference': "Thus, in general, let any form of reference be divisible without limit. ,,38 Dieser Prozess konnte ohne Beschrankung fortgesetzt werden, es konnten z.B. kompliziertere 35 36 37

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Vgl. zu verschiedenen Varianten von Frequenzteilern Seifart 1998:206ff. Vgl. LoF:66. Vgl. die Abbildungen der Gleichu ng E4 (LoF:67) und die Variante mit imaginaren Werten (LoF:68) . Diese Abbildungen konnen als mathematische Abstraktion von digitalen Netzwcrkcn, die aus NOR-Gattern bestehen, aufgefasst werden, vgl. dazu Kauffman 1978:179 und zur genaueren Beschreibung und Variation des Vcrhaltens der Modulationsfunktion a.a.O.:183. Spencer Brown fuhrt in den Notes zum elften Kapitel aus, dass die beiden letzten Schaltkreise des elften Kapitels Erfindungen von ihm und seinem Bruder fur British Railways sind . Damit sei zum ersten Mal ein Gerltt konstrui ert worden , das ganzlich mittels ,Logik' zahle, ohne Kondensatoren zu benotigen. AuBerdem sei damit der erste Gebrauch imaginarer Werte fur reale Antworten in einem Schaltkreis vorgelegt , vgl. LoF:99. In der Einleitung zur deutschen Ausgabe werden diese Ausdrucke ,Reduktoren' genannt, vgl. Spencer Brown 1997:xiv. Vgl. den Kommentar zum dritten Kapitel sowie LoF:I O.

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Modulationsfunktionen entwickelt werden. Dabei besteht die Gefahr, das eigentliche Anliegen dieses Buches zu vergessen, namlich die Form einer einzigen Konstruktion zu bedenken, eben die der ersten Unterscheidung. Alles, was in diesem Buch geschehen ist, sind Betrachtungen von moglichen Erscheinungsweisen der ersten Unterscheidung. Bevor das Buch zu einem Ende kommt, gilt es im zwolften und letzten Kapitel, sich auf die Vereinbarung zuruckzuwenden, mit der das Buch im ersten Kapitel begonnen hat. 12. Zusammenfassung und Familienahnlichkeiten Das elfte Kapitel ist das Kapitel der Erweiterungen, der Erweiterung des Rahmens der Primaren Arithmetik, der Erweiterung der Notation und der Erlaubnis zu vielen weiteren Erweiterungen. Dabei ist nicht zu vergessen, und da beugt sich das Buch zu seinem Anfang zuruck, dass all diese Erweiterungen Erscheinungen der ersten Unterscheidung sind, verschiedene Blickwinkel und Moglichkeiten unseres Geistes, die Konstruktion der ersten Unterscheidung auszufuhren, zu betrachten und darzustellen. Das elfte Kapitel ist das explorativste, experimentellste aber auch am wenigsten fertig gestellte Kapitel des gesamten Buches." Es werden eine ganze Reihe von Strukturen explizit oder implizit ins Spiel gebracht, die mit dem ,Reentry ' in Verbindung stehen, sich aber nicht genau mit ihm decken. Es sollen in diesem letzten Abschnitt zum elften Kapitel zum einen die Idee des ,Re-entry' bei Spencer Brown zusammengefasst und zum anderen einige Familienahnlichkeiten aufgezeigt werden. Das ,Re-entry' hat einen doppelten Charakter, es ist Struktur und Dynamik zugleich . Deshalb sind auch verschiedene Notationen notig , die einmal mehr den strukturellen, dann wieder mehr den dynamischen Charakter zum Ausdruck bringen. Kennzeichen dieser Struktur/Dynamik des ,Re-entry' sind: ~ Ein .Re-entry' kann durch eine klare algebraische Konstruktionsanweisung erzeugt werden. Diese Anweisung soli end- oder zeitlos (timelessly) fortgesetzt werden. • Wird ein Fortsetzungsmuster" deutlich , kann der Prozess der Iteration dieses Musters in einem speziellen Zeichen kondensiert werden . Im Faile von Ausdrticken zweiten Grades mit nur einem ,Re-entry' sind diese speziellen 39

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In den Transkripten der AUM-Konferenz gibt es eine AuBerung tiber die Unsieherheit, das elfte Kapitel in das Such aufzunehmen oder nicht: "And I wasn 't quite sure whether to put it in at this point - because the book had to be finished . I wasn 't quite sure whether to put in, with this chapter, this beautiful breaking up of the truth where you get the rainbow, which turns into the Fibonacci series . You break up white light and you get the colors . You break up truth and you get the Fibonacci. [sicl] " (AUM 2,11) (Fib onacci-Folge: Folge der Zahlen I, 1,2,3,5,8,13, ... , wobei jedes Glied gleich der Summe der beiden vorangehenden Glieder ist, allgemein: a 0+1 = a n-I + a n, mit al = a2 = I) Dadurch konvergieren Invarianz und kontinuierl icher Proze ss.

Ill. Kommentar- Das elfte Kapitel: EQUAnONS OF THE SECOND DEGREE

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Zeichen die gleichen wie die fur den Gesamtausdruck (wie bei den Gleichungen El, E2, E3). Mit diesem speziellen Zeichen wird angezeigt, dass das Fortsetzungsmuster an dieser Stelle wieder und wieder in den Gesamtausdruck eintritt. 1m Falle von Ausdriicken zweiten Grades ist dieses Fortsetzungsmuster der Gesamtausdruck selbst. Dadurch werden die Grenzen zwischen den verschiedenen Elementen des Ausdrucks (partiell) aufgehoben und das wechselseitige Abhangigkeitsverhaltnis erlaubt die Transmission von Information. Zeit und logische Struktur werden in der StrukturlDynamik des ,Re-entry' konstitutiv zusammengebunden. Die zeitlichen Verzogerungen bei den Transmissionsvorgangen und das logische Verhalten werden nicht voneinander getrennt. Es gibt drei Grundtypen von ,Re-entry ' -Ausdrucken: o Ausdriicke mit nur einem ungeradzahligen ,Re-entry'. Das sind Oszillationsfunktionen. o Ausdriicke mit nur einem geradzahligen ,Re-entry ' . Das sind Gedachtnisfunktionen. o Ausdrucke mit mehreren .Re-entries' . Das sind Modulationsfunktionen.

Familienahnlichkeiten der Struktur/Dynamik des ,Re-entry' mit anderen Strukturen und Dynamiken werden durch Spencer Brown im Text der Laws ofForm und in anderen Texten implizit oder explizit genannt. Die Literatur zum ,Reentry ' Spencer Browns ist voll von Ansatzen, das .Re-entry' mit verschiedenen anderen Strukturen zu identifizieren, damit aber auch zu vereinnahmen und zu verkurzen. Es ist bei allen Interpretationen und Anwendungen wichtig zu sehen , dass das ,Re-entry' eine komplexe StrukturlDynamik mit verschiedenen Grundtypen ist, die nicht zu einem .Re-entry'-Singular verkurzt werden durfen , wenn man sich auf die Ideen der Laws of Form beziehen will. 1m Folgenden seien einige familienahnliche Strukturen aufgefuhrt, mit denen es Oberlappungen, aber nicht immer volle Obereinstimmung gibt:

Selbstreferenz : Kennzeichnend fur die Struktur der Selbstbezeichnung ist, dass das, was bezeichnet, das ist, was bezeichnet wird. Bei einem selbstreferentiellen Satz gibt es einen Teilausdruck, der den ganzen Satz bezeichnet. Die Gemeinsamkeit mit der StrukturlDynamik von ,Re-entry'-Ausdriicken zweiten Grades liegt darin , dass ein Teilausdruck (auf der rechten Seite der Gleichung) fur die ganze Gleichung steht.

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Rekursion: Rekursive Verfahren sind dadurch gekennzeichnet, dass sie immer wieder auf sich selbst angewandt werden, bis eine gesuchte Grol3e erreicht ist. Das geradzahlige ,Re-entry' in der G1eichung EI kommt durch eine rekursive Vorschrift zustande, der allerdings kein Ende gesetzi ist. Wenn wir in dem Ausdruck 1+I/( ) an die Stelle der Klammer immer wieder den ganzen Ausdruck einsetzen, dann erhalten wir z.B. eine Variante der Fibonacci-Reihe, die Spencer Brown in den AUM-Transkripten mit dem elften Kapitel in Beziehung setzt." Geometrische Rekursion fiihrt zur Entwicklung von Fraktalen, wie der Koch-

Kurve." Selbst-Ahnlichkeit: Die Struktur/Dynamik des geradzahligen ,Re-entry' hat mit der Struktur der Selbst-Ahnlichkeit gemeinsam, dass in einem solchen Ausdruck eine Kopie seiner selbst innerhalb seiner selbst vorkommt. Die Struktur der SelbstAhnlichkeit bedeutet auch einen besonderen Fall der Teil-Ganzes-Beziehung: Das Ganze ist Ganzes und gleichzeitig Teil seiner selbst. Feedback: Feedback wird meist als Prozess verstanden, in dem der Output eines Kreislaufes den Input verandert, Haufig erweist sich diese Trennung zwischen Input und Output als kunstlich, da ,Input' und ,Output' simultan und in Abhangigkeit voneinander entstehen. Beide Varianten konnen auf die Struktur/Dynamik des ,Re-entry' bezogen werden. Die Modulationsfunktion eines ,Re-entry' achten Grades wie im elften Kapitel der Laws ofForm hat einen bestimmten Frequenzinput, der vom Output durch den achten Marker verandert wird. Die Oszillationsfunktion ist ein Beispiel fur die simultane Entstehung von .Input' und ,Output'. Zirkularitat: Die Struktur/Dynamik von allen Typen von ,Re-entries' ist zirkular. In einem oder mehreren Kreislaufen kann die transmittierte Information an eine Stelle zurlickfliel3en, von der sie ausgegangen war.

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Vgl. Kauffman 1987b:62 sowie AUM 2,10. Vgl. Kauffmans kurze Skizze der Fraktalidee nach Mandelbrot als ein geomctrisches ,Reentry', 1987b:63.

III. Kommentar - Das elfte Kapitel: EQ UATIONS

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Imagindres:

Die imaginare Zahl i, die Wurzel aus Minus 1, hat eine reale und notwendige Funktion in der ublichen Mathematik und kann geometrisch als ,realer' Vorgang interpretiert werden. Dadurch konnen Gleichungen gelost werden, die sonst nicht direkt gelost werden konnten. Diese Funktion hat auch der imaginate Wert des ungeradzahligen ,Re-entry' zweiten Grades der Gleichung E3. Der imaginate Wert bekommt eine reale Funktion in Kalkulationsvorgangen, die sonst nicht ausgefuhrt werden konnen. In der Interpretation als oszillierender WelIenzug wird eine ,reale ' Deutung moglich." Paradoxie:

In einem schwachen Sinne wird dann yon einer Paradoxie gesprochen, wenn etwas gegen die Uberzeugungen des common sense geht (para doxa) und trotzdem wahr ist. Paradoxien bewegen sich also im Paradigma der Wahrheit, aus dem Spencer Brown mit den Laws of Form erklartermafsen austreten will. In einem starkeren Sinne wird bei Selbst-Widerspruchlichkeit yon Paradoxien gesprochen. Dies trifft fur das ungeradzahlige ,Re-entry' in der Gleichung E3 zu - aber eben nur, solange die Konsistenzforderung der Primaren Arithmetik gilt.

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Kauffman zeigt , dass die imaginaren Werte und die imaginaren Zahlen die gleichen Eigensdiaften haben , vgl. Kauffmann 1987b:69.

Das zwolfte Kapitel: RE-ENTRY INTO THE FORM Tatjana Schonwalder-Kuntze

1. Titel Der Titel des zwolften Kapitels bezeichnet eine andere Art des Wieder-Eintritts in die Form (der Unterscheidung) als das spezifische ,Re-entry' im e1ften Kapitel, das sich dort auf Gleichungen mit unendlich tiefen Ausdrucken bezieht. Der hier vorgestellte Wieder-Eintritt in die Form thematisiert Arten und Weisen, wie die Form betrachtet bzw. dargestellt werden kann . Das ist auf ,unendlich vielen verschiedenen Wegen' moglich - der vorgestellte Kalkul ist nur einer davon . Die Experimente des zwolften Kapitels und die Notes zu diesem Kapitel deuten andere Wege an. Jede der die entstandene Form darstellenden wie betrachtenden Weisen stellt als Darstellung oder Betrachtung aber auch einen WiederEintritt in die Form dar, wie gezeigt wird. Der Wieder-Eintritt in die Form wird also in diesem Kapitel aufverschiedene Weise dargestellt und vollzogen. 2.Inhalt Der Inhalt des zwolften Kapitels besteht darin zu zeigen, dass jede Darstellung der Form oder aIle Hinweise auf die (Seiten der) Form der Unterscheidung zugleich einen Wiedereintritt in die Form bedeuten. Das ,Re-entry' meint hier einen "return for a last look at the agreement with which the account was opened" (LoF :68), d.h. ein Zuruck zu der Vereinbarung, mit der das - nun verfasste und gelesene - Buch begonnen hat, zum Ausgangspunkt der Laws of Form . Diesen Ausgangspunkt bilden die beiden Voraussetzungen des ersten Kapitels die ,Idee des Hinweisens' und die ,Idee der Unterscheidung' -, die im Folgenden als Eigenschaften jedes Zeichens schlechthin ausgewiesen und so ex post ,als Gegebene' gerechtfertigt werden konnen. Das letzte Kapitel der Laws of Form beginnt zunachst mit allgemeinen Bernerkungen tiber die Moglichkeiten der Betrachtung und Darstellung der Form . Anschliel3end werden unter Verwendung einer anderen Notation, d.h. einer anderen Darstellungsform, vier Experimente gemacht. Am Schluss dieses Kapitels und damit auch am Ende des Haupttextes steht eine spezifische Evaluierung eines ,mark', die in den Notes aufgegriffen und vertieft wird : Wir selbst als ,observer' werden dort zum unterscheidenden Zeichen einer Seite in einer Form der Unterscheidung.

III. Kommentar- Das zwolfte Kapitel: R E- ENTRY INTO TH E FO IU"I

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3. Betrachtungen der Form: Motivation, Konfusion und zweierlei Referenzen Motivation :

Das zwolfte Kapitel beginnt mit folgenden Satzen: "The conception of the form lies in the desire to distinguish. Granted this desire, we cannot escape the form, although we can see it any way we please." (LoF:69). (B) ,conception' vgl. die etymologischen Hinweise im Kommentar zum dritten Kapitel. ,distinguish' ist im Englischen nur das Verb zu ,distinction '. Sowohl das englische ,distinguish' als auch das lateinische ,distinguere' haben neben ,unterscheiden' und ,trennen' auch noch die Bedeutungen ,verschieden farben', ,verzieren' und .ausschmucken' . Als Adjektiv ,distinctus' heiBt es auch ,streng gegliedert', ,klar' , ,bestimmt' und ,wohlgeordnet'. Auch das Nomen ,distinction' kann im Englischen in dieser Bedeutungsvielfalt verwendet werden, d.h. im Sinne von ,Zierde' , ,Schmuck' oder auch .Farbung', aber auch ,Bestimmtheit', ,Wohlgeordnetheit' und ,Klarheit' . Zunachst wird (uns) also gesagt, dass das Zusammenfassen, Erkennen , Begreifen oder auch Vorstellen und Entwerfen der Form (conception of the form) auf dem Wunsch oder dem Begehren zu unterscheiden, klar zu trennen bzw. verschieden zu farben beruht. Das heiBt nicht, dass hier eine weitere Bedingung fur das Unterscheiden eingefuhrt wird, sondem dass eine Folge, die sich aus dem Wunsch zu unterscheiden, zu ordnen oder zu verzieren ergibt, im Erkennen der Form liegt. Wird dieser Wunsch erst einmal zugestanden, konne der Form nicht mehr entkommen werden, auch wenn wir die Form aufjede Weise betrachten konnen, die uns gefallt. Weiter heiBt es, dass der in den Laws of Form dargestellte Kalkul nur eine Art und Weise darstellt, die Form zu betrachten: durch die Form lasst sich der Kalkul der Hinweisfonnen sehen und umgekehrt lasst sich die Form sehen, die im Kalklll zu sehen ist, auch ohne die helfende oder storende Vermittlung oder Einmischung (intervention) durch Gesetze, Initialgleichungen, Theoreme oder Folgerungen etc., d.h. ohne den Kalkul, (I) Die Darstellung des Indikationenkalkuls mit seinen deskriptiven wie zum Nachmachen auffordemden Kapiteln kann unter zwei Perspektiven betrachtet werden: einmal als Darstellung der Form der Unterscheidung uberhaupt und einmal als Hinweissystem auf die Form der Unterscheidung . Eine Art, die Form zu sehen oder zu erkennen, besteht in der Berechnung (calculus) verschiedener Hinweis(fonnen), die dazu dienen, auf die Form der Unterscheidung hinzuweisen. Damit ist auch jede Anwendung oder Ubersetzung bspw. (in) die formale

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Tatjana Schonwalder-Kuntze

Logik eine Art, auf die Form der Unterscheidung hinzuweisen. Andere Hinweisarten werden durch die vier Experimente des zwolften Kapitels prasentiert, die so eine Darstellungs- und Betrachtungsvariation vorstellen.

Konfusion:

In den Experimenten erhalt das Gleichheitszeichen eine andere Bedeutung als in den Kapiteln zwei bis elf, die bereits im ersten Kapitel durch die Moglichkeit der Identifizierung von ,value of the content', ,name' und ,value of the call' angelegt ist. M it der Verwendung des Gleichheitszeichens im Kalkul, d.h. im zweiten bis elften Kapitel, wird die Aquivalenz zweier Hinweise, Ausdrucke oder auch Zeichen dargestellt, die wertgleich sind, wei! sie auf den gleichen Zustand hinweisen, sei er ,markiert' oder ,unmarkiert '. Die Identifikationsmoglichkeit im ersten Kapitel lasst sich durch eine ,Eigenschaft' jedes Zeichens begrtmden: Jedes Zeichen oder jeder Name ist an sich selbst eine Unters cheidung und weist somit auch auf sich als solche hin . Urn diese Konfusion geht es in den vier Experimenten dieses Kapitels. Sie wird mit dem Gleichheitszeichen, das hier fur ,is confused with' steht, angezeigt.' Das Gleichheitszeichen steht hier also nicht nur fur die Aquivalenz zweier (verschiedener) Zeichen oder Ausdrucke, sondem es wird in den Experimenten fur den Austausch einer Notation gegen eine andere verwendet - Buchstaben gegen geometrische Gebi!de und vice versa. Durch diesen Austausch kommt es aber auch zu einer Ebenen- oder Typvertauschung oder -verwechslung zwischen einer faktischen Unterscheidung einerseits und einem Hinweis auf sie andererseits. Die Vorflihrung dieser durch den Notationswechsel entstehenden Konfusion zeigt die doppelte Eigenschaft jedes Zeichens, die darin besteht, dass jedes Zeichen einerseits an sich selbst eine vollzogene, faktische Unterscheidung ist und andererseits auch auf eine vollzogene Unterscheidung hinweist. Dass diese beiden Eigenschaften jedem Zeichen (Unterscheidung zu sein und auf Unterschiedenes hin zu weisen) inharent sind, und dass sie somit in jedem Zeichen kondensiert sind, wird durch die Experimente des zwolften Kapitels anhand eines Beispiels gezeigt. Auf diese Weise rechtfertigen die Experimente nochmals den Gebrauch der Zeichen fur den ,calculus of indications', der im zweiten Kapitel vorgestellt wird, und beleuchten die Voraussetzungen des ersten Kapitels unter einer anderen Perspektive. Ein Hinweis erfordert nicht nur eine vollzogene Unterscheidung, auf deren Seiten etc . er hinweisen kann, sondem er ist zugleich eine Unterscheidung in seiner eigenen Form , Die Wendung ,be confused ' korrnnt im Haupttext im Zusammcnhang mit dem vierten arithmetischen Theor em VOL Dort wird die Konsistenz des arithmetischen Hinweissystem s daran geknupft , dass cs bcim gcrcgelten Austausch von aquivalcnten Hinweiszeichcn nicht zu ciner Verwechslung der Werle kommen darf, d.h. dass jcdcs Hinweiszeichen immer nur auf cine dcr beiden Seiten hinweisen darf, vgl. den Kommentar zum vierten Kapitcl.

III. Kommentar - Das zwolfte Kapitel : RE-ENTRY INTO THE FORM

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Vor der Durchfiihrung der Experimente erfolgt noch ein letzter Einschub, der sich auf die Referenzen bezieht, die beiden Seiten einer Unterscheidung inharent sind. Obwohl dies einer der letzten Hinweise der Laws ofForm ist, birgt er einige Brisanz in Bezug auf bestimmte Deutungen des ganzen Buches , die er zu stutzen bzw. zu provozieren scheint: Es geht urn den Beobachter oder Betrachter (observer), der haufig zum - scheinbar - wesentlichen und vor allem relevanten Bestandteiljeder Form der Unterscheidung erklart wird.' Referenzen: (B) ,reference' (vgL die etymologischen Hinweise im Kommentar zum 3. KapiteL). Wegen der angesprochenen Brisanz wird das Textstuck im Einzelnen wiedergegeben : " We may also note that the sides of each distinction expe rimentally drawn have two kinds of reference ." (LoF:69, Hvhb. T.S.)

(I) Eine ,versuchsweise' getroffene Unterscheidung ist als Resultat einer konkreten, vollzogenen Unterscheidung eine weder mit spezifischen Konnotationen der Welterfahrung noch mit der Komplexitat der Welt aufgeladene Unterscheidung, weil sie getroffen wird, um die Form der Unterscheidung (er)kennen zu lemen . "The first, or explicit reference is to the value ofa side, according to how it is marked." (ebd.)

(I) Die explizite Referenz ist diejenige, die die Seiten als markierte oder unmarkierte zeigt , also ein Ausdruck mit oder ohne Zeichen. Auch der leere Ausdruck, das ,void' , ware eine explizite Referenz auf die unmarkierte Seite, so wie ein Zeichen die Referenz auf die Seite ist, die sie zur markierten macht. "The second , or implicit, reference is to an outside observer. That is to say, the outside is the side from which a distinction is supposed to be seen ." (ebd. Hvhb. T.S.)

(SK) In den Notes wird anhand eines Beispiels deutlich , dass der Standpunkt des Betrachters notwendig ist, urn einem Ausdruck oder Zeichen seinen Hinweischarakter zu verleihen . Das gilt z.B. dann, wenn die Grenzen eines Ausdrucks bzw. eines Zeichens, das ja etwas Bestimmtes bedeuten soli, sich nicht ,von selbst' ergeben, wie das beispielsweise bei einem Blatt Papier der Fall ist, und sie stattdessen nicht eindeutig bestimmbar sind - wie auf einem Wurfel oder einer Kugel.'

Vgl. IV.D Niklas Luhmanns Systemth eorie. Vgl. den Kommcntar zum vierten Krpitel.

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Tatjana Schonwalder-Kuntze "We must also indicate where the observer is supposed to be standing in relation to the expression. ... to make an expression meaningful , we must add to it an indicator to present a place from which the observer is invited to regard it." (LoF:103, Hvhb. T.S.).

(I) In dem vorliegenden Kommentar wird dieser Text nieht so interpretiert, dass der Beobachter am Anfang jeder Unterscheidung stunde und so die ontologische conditio sine qua non fur alle Unterscheidungen uberhaupt darstellte . Stattdessen werden das Textstiick und mit ihm die Laws of Form so gelesen, dass ein Hinweis auf etwas, d.h. die explizite Referenz, nur dann tatsachlich eine Referenz darstellt, wenn seine bzw. ihre Intention nbermittelt wird. Das bedeutet, dass sie ihren hinweisenden Charakter nur dann vollstandig zum Tragen bringen kann, wenn derjenige, der sie betrachtet, sie auch zu erkennen vermag. Der (andere) Betrachter muss den Hinweis verstehen konnen, und deshalb sollte seine Position in die Konstruktion des hinweisenden Ausdrucks mit einbezogen werden, indem sie angegeben wird. Die Position des Betrachters ist mithin notwendiger Bestandteil dafur, ein Zeiehen auch zu einem bestimmten Ausdruck werden lassen zu konnen . Es geht also urn eine angemessene Form der Darstellung, die dann angemessen ist, wenn der Ausdruck oder das Zeichen seinen Inhalt zu vermitteln vermag." Im Sinne Spencer Browns ist also auch der Unterscheider in den Laws of Form und derjenige, der die Form durch den Kalktll sieht, nur ein Nach-Macher, ein Prozess- Erinnerer daran, wie Soweit scheint also in Bezug auf die Form der Unterscheidung kein konstruktivistischer, alles bestimmender oder erfindender Beobachter angesprochen - eine Figur, der diese Funktion zukame , findet sich hochstens im vorfuhrenden, auffordernden, benennenden, austauschenden .Prozessvollzieher' oder .Prozessvorfuhrer' . In unserem Faile ware das George Spencer Brown , der uns .einladt', die Haken oder das .void' auf einem flachen Raum als Darstellungsform fur Ausdrucke anzusehen, mit denen auf die Seiten einer Unterscheidung hingewiesen werden kann. So weist er uns in dieser Hinsicht einen bestimmten Standpunkt zu, von dem aus sich nachvollziehen und nachdenken lasst, was er uns tiber die verschiedenen Arten von Zeichensystemen (seine Notation, das Alphabet zur Vermittlung der englischen Sprache, etc .), die das Buch ausmachen, vermitteln will. Es lieBe sich einwenden, dass diese Interpretation das konstruktivistische Moment nur verschiebt, namlich vom Beobachter zum Unterscheider. Der Unterscheider, der im Kalkul Entscheidungen trifft, d.h. sich fur die Markierung der einen oder anderen Seite entscheidet, in Form von Kanones Erlaubnisse formuliert , Anweisungen gibt, die Leser aufmerksam macht etc. , hat jedoch dennoch keinen Einjlu ss auf das , was sich entwickelt. Zwar liegt es an ihm als Darstellendem, das zu Sehende auch sichtbar zu machen, und an den Beobachtenden, es zu sehen , aber es liegt beispielsweise nicht an ihm oder an ihnen, dass hinweisende Ausdrucke diese oder jene Eigenschaften entwickeln, wenn sie in einem Austauschprozess verwendet werden. Auch ist das Aufdecken von Zusarnmenhangcn ein kreativer Akt, in dem aber nur aufgedeckt werden kann, was auch aufdeckbar ist. Das bedeutet, dass zwar eine Richtung vorgegeben sein kann, dass Zusammenhange aus dem Verborgenen geholt werden , die ein/e andere/r vielleicht nicht gesehen hatte, dass manchmal die Reihenfolge der Explikation arbitrar ist (wie mit T3 und T4), kurz : dass das Wie der Darstellung der Entwicklung beeinflussbar ist - nicht aber das, was dargestellt wird , namlich das, was sich aus dem Wunsch zu unterscheiden entwickelt bzw . entwickeln kann .

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"we manage to maintain a universe in any form at all, and our understanding of such a universe comes not from discovering its present appearance , but in remembering what we originally did to bring it about. In this way the ealculus itself can be realized as a direct recollection.... " (LoF:104).

Der basale, ursprtingliche Akt des Unterscheidens ist ein das Hinweisen und die Wahmehmung der Welt begleitender, weil konstitutiver Akt. So konnte man sagen, dass es zum reinen Akt der Konstruktion durch das Treffen von Unterscheidungen keine Altemativen gibt, und dass mit ihm und durch ihn zusammen mit den konkreten, bedeutungsgebenden Akten die Mannigfaltigkeit der Welt entsteht - und nattirlich auch tiber die verschiedenen Moglichkeiten oder Formen der Darstellung, d.h. Sprachen, Zeichen, Symbole und Ausdrticke im weitesten Sinne, mit denen auf die Resultate von Unterscheidungen hingewiesen wird.' Der Standpunkt des ,observer' ist also wichtig, damit das Zeichen auch im intendierten Sinne bedeutend sein kann, damit es mitteilen kann, was es mitteilen soli, damit es das anzeigt, auf das hinweist, auf das es hinweisen soil. Erinnert man nochmals das oben zitierte Textstuck, sieht man, dass es tiber die Referenzen der Seiten spricht und nicht etwa tiber Referenzen des Beobachters, d.h. die Bezugnahme geht von der Seite oder ihrem Wert zum Betrachter und nicht umgekehrt. Die allem Unterschiedenem inharente universelle wie einfache Struktur der im Akt der Unterscheidung entstandenen Form bildet aber den Inhalt der Laws ofForm - und diese wird keineswegs als variabel verstanden, und daher ist der Betrachter hier nur als dem angemessenen, hinweisenden, expliziten Ausdruck korrespondierendes implizites Relatum zum ,Inhalt ' zu verstehen. 4. Darstellung der Form: Darstellung(sgesetze) der Hinweisformen Mit den vier Experirnenten werden also weitere, andere Moglichkeiten des Form-Sehens oder Form-Erkennens einerseits und moglicher Hinweiszeichen auf sie andererseits veranschaulicht: "The experiments below illustrate one of the indefinite number of possible ways of doing this." (LoF:69).6 Auch diesen verschiedenen Betrachtungen der Form liegt als Motivation der ,Wunsch zu unterscheiden' zugrunde . Wichtig ist hier - urn es nochmals zu betonen -, dass "Returning, briefly , to the idea of existential precursors, we see that if we accept their form as endogenous to the less primitive structure identified, in present-day science, with reality, we cannot escape the inference that what is commonly now regarded as real consists , in its very presence, merely of tokens or express ions. And since tokens or expressions are concidered to be of some (other) substratum, so the universe itself, as we know it, may be considered to be an expression of a reality other than itself.", LoF:104. Zu den philosophischen Implikationen bzw. Fragen , die so eine Konzeption aifwirft, vgl. 1V.C Philosophie . In diesem Sinne konnte man sagen , dass die Experimente mogliche andere zweite Kapitel ab der Einfilhrung der Zeichen, d.h. ab dem Abschnitt .Knowledge' darstellen. Vgl. LoF:4 sowie den Kommentar zum zweiten Kapitel.

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sich zwar der Kalkiil von anderen Weisen, die Form zu sehen oder zu erkennen, iiuBerlich unterscheidet, dass das aber nicht bedeutet, dass im Kern etwas anderes gesehen wird . Die Art der Vermittlung oder der hinweisenden Zeichen mag differieren, der libermitteIte InhaIt als abstrakte Unterscheidungsform, auf die hingewiesen wird und die zugleich Bedingung des Hinweisens schlechthin ist, bleibt jedoch derselbe .? Jedes der vier Experimente beginnt mit dem Treffen einer Unterscheidung in Form eines Kreises . Dieser Kreis hat funf Funktionen: Erstens ist er (ein Beispiel fur) eine Unterscheidung und zweitens weist er auf (s)eine (Form der) Unterscheidung hin . Drittens bildet er - so gesehen - eine Seite dieser Form und weist auch zugleich viertens auf diese Seite/diesen Inhalt hin . Funftens schlieBlich folgt aus den letzten beiden Funktionen zusammengenommen, dass der Kreis auch ein Hinweis auf sein AuBen, auf die Seite ist, die er nicht direkt markiert. In den Experimenten wird mit diesen verschiedenen Funktionen oder ,Eigenschaften' eines Zeichens oder Ausdrucks gespielt. Wichtig ist, dass die Kreise und die Markierung m, je nachdem, wo sie stehen, von einem ,anzeigenden Raum' oder einem ungeschriebenen ,cross' umgeben sind oder eben von der Form des Kreises, die das Resultat eines Unterscheidungsaktes ist. Erstes Experiment Das erste Experiment zeigt, dass es nicht notwendig ist, zusatzlich auf das ,AuBen' von etwas hinzuweisen, weil jedes Unterscheidungsresultat immer die doppeIte Funktion hat, es selbst zu sein und indirekt auf sein ,AuBen' hinzuweisen. Kreis! entsteht als das Resultat einer Unterscheidung und erzeugt seine Form der Unterscheidung. Sein ,AuBen' wird bezeichnet mit einem ,mark'. Die Konfusion ersetzt das ,mark' durch ein anderes Zeichen : einen ,Kreis' - der nur zur Verdeutlichung des Unterschiedes im Folgenden den Index 2 erhalt . Dieser Kreis, hat im Experiment die Funktion, auf das ,AufJen' des Kreises, hinzuweisen. Ohne den Index ist kein Unterschied erkennbar zwischen Kreis! und dem Kreis; als Bezeichnung fur das ,AuBen' von Kreis., Es liegt also ein Gebilde vor, das in sich zwei Funktionen kondensiert: es ist das, dessen ,AufJen' es zugleich bezeichnet. Nimmt man den Kreis, als Namen , dann bezeichnet man mit ihm seine Aul3enseite in (s)einer Form der Unterscheidung; nimmt man ihn als Kreis., ist er einfach er selbst in seiner Form der Unterscheidung. Der Unterschied zwischen etwas und der Bezeichnung seines AuBen ist daher ein uberflussiger: Wenn ich etwas habe, bezeichnet dieses etwas immer zugleich auch sein AufJen; es ist zugleich es selbst und weist auf sein ,AuBen', d.h. auf seine Form der Unterscheidung hin. Die Verwendung eines Vgl. den Kommentar zum zweiten Kapitel, in dem auf die Variationsmogli chkeit der Darstellungsforrn hingewiesen wird.

III. Kommentar- Das zwolfte Kapitel: RE -ENTRY INTO THE FORM

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zweiten Zeichens erscheint also nur dann als notwendig, wenn etwas nicht in seiner Form gesehen wird und das heiBt, wenn der hinweisende Charakter auf das ,AuBen' nicht gesehen oder unterschlagen wird. Das erste Experiment stellt auch einen ,Kondensationsvorgang' dar, der aber etwas anderes kondensiert als das erste Axiom, das im Law of calling beschrieben wird. Dort wird die Wiederholung der Namensnennung, d.h. der Zeichenverwendung zu einem Wert zusammengefasst, und hier die Unterscheidung zwischen eine Seite einer Unterscheidung sein und auf seine/ihre andere Seite hinweisen aufgehoben. Wahrend das erste Axiom die Unterscheidung zwischen zwei gleichartigen Hinweisen aufhebt, wird hier die kunstliche Unterscheidung zwischen zwei simultan entstehenden ,Eigenschaften' jedes Zeichens erst vorgefiihrt, urn dann wieder aufgehoben zu werden. Zweites Experiment Das zweite Experiment thematisiert, dass durch eine Markierung dem Markierten zugleich ein Wert verliehen wird : der Wert, markiert zu sein . Wenn aber eine Seite den Wert ,markiert' erhalt, dann erhalt automatisch die andere Seite den Wert ,unmarkiert' . Kreis, entsteht als das Resultat einer Unterscheidung und erzeugt seine Form der Unterscheidung. Sein ,Innen' wird bezeichnet mit einem ,mark', das ,AuBen' bleibt unmarkiert. Jedes Zeichen verleiht ja dem, worauf es hinweist, den Wert, dass auf es hingewiesen wird, mithin den Wert ,markiert zu sein' , Hier markiert das Zeichen das .Innen' und deshalb erhalt das .Innen' den Wert Bezeichnetes zu sein . Indem das ,Innen' ,markiert', ,bezeichnet' oder aIs ,bezeichnetes' bewertet wird, erhalt das ,AuBen' aufindirektem Wege den Wert ,unmarkiert' , ,unbezeichnet' . Hier zeigt sich deutIich, dass es einen Unterschied gibt zwischen ,keine Markierung erhalten' und ,die Markierung, d.h. den Wert ,unmarkiert' zu erhalten. Letztere Evaluierung ergibt sich erst, indem eine Seite markiert wird, d.h. das Markieren der einen Seite macht die andere erst zu einer Seite, die dadurch den Wert ,unmarkiert' erhalt , Die Konfusion ersetzt das ,mark' wieder durch ein anderes Zeichen: einen weiteren Kreiss . Dieser Kreis, hat im Experiment die Funktion, das .Innen ' des Kreises, zu markieren, d.h. er verleiht dem ,Innen' des Kreises, den Wert ,markiert ' - dam it ist Kreis, in diesem Experiment kein Hinweis auf Kreis" sondern ein Wertverleiher: Dein ,Tnnen' sei markiert durch mich, d.h. es habe den Wert ,markiert'. Indem Kreiss das ,Innen' von Kreis I zur markierten Seite macht, ist der Doppelkreis zugleich ein Hinweis auf den Wert des ,AufJen' als .unmarkiert'. Es Iiegt also wiederum ein Gebilde vor, das in sich zwei Funktionen kondensiert: es zeigt, dass sein ,Innen' den Wert ,markiert' hat, und weist so auf den Wert ,unmarkiert' seines ,AuBen' hin - ebenso wie das Doppelcross auf den Wert des unmarkierten Zustandes hinweist.

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Das zweite Experiment stellt einen ,Authebungsvorgang' dar, in dem etwas anderes aufgehoben wird als im zweiten Axiom, das im Law of crossing beschrieben wird. Dort weist die Absicht zur einfachen Grenzuberschreitung auf eine Seite hin und die Wiederholung der Absicht zur Grenzuberschreitung hebt diesen ersten Hinweis wieder auf - im doppelten Sinne des Wortes ,konservieren' und ,negieren' -, wei! durch sie auf die andere Seite hingewiesen wird . Hier werden hingegen verschiedene Funktionen eines Zeichens kondensiert: Indem ein Zeichen (das sowieso eine Unterscheidung in seiner eigenen Form ist) seinen Raum oder Inhalt bzw . seine Seite der Form der Unterscheidung bezeichnet, markiert es diese Seite und verleiht ihr so den Wert ,markiert' . Damit weist es zugleich auf den Wert der anderen Seite als ,unmarkiert ' hin. Wahrend das zweite Axiom die Richtungsverschiedenheit zweier Hinweise in sich aufhebt, wird hier eine weitere kunstliche Unterscheidung zwischen ein Zeichen (fur eine Unterscheidung) sein und durch den Markierungsvorgang zugleich dem Raum, in dem das Zeichen steht, den Wert ,markiert' verleihen, aufgehoben." Die ersten beiden Experimente zeigen andere simultan entstehende Aspekte eines Hinweises als die, die im ersten Kapitel explizit thematisiert werden: Nicht die Form der Unterscheidung ist hier Gegenstand der Betrachtung, sondem die verschiedenen Funktionen oder Wirkungen, die so ein Zeichen - man konnte sagen, «sobald es einmal in der Welt aufgetaucht ist» - mit sich bringt. Jedes Zeichen ist (s)eine (eigene Form der) Unterscheidung. Als Zeichen weist es zugleich auf einen unterschiedenen Inhalt, (s)ein Au13en und auf sich als Unterscheidung hin. Aber als ein ,in der Welt aufgetauchtes' , existentes Zeichen weist es nicht nur auf (irgend)etwas hin, sondem es befindet sich auch in einem Raum (in (s)einer Form der Unterscheidung), dem es den Wert ,in Dir steht ein Zeichen' verleiht, d.h. den Wert ,markiert'. Ein Zeichen lasst sich somit in seinen verschiedenen Eigenschaften oder Funktionen betrachten: als Unterscheidung, als Hinweis, als Markierung und als Wertverleiher oder -zuweiser. Mit seinem Auftauchen finden folgende vier Prozesse zugleich statt : (1) es trifft eine Unterscheidung; (2) es weist auf sein Aulien und seine mit hervorgebrachte Form der Unterscheidung hin; (3) es bezeichnet eine Seite seiner Form, die so zur bezeichneten Seite wird, und (4) es verleiht dieser Seite den Wert ,markiert', so dass die andere Seite automatisch den Wert ,unmarkiert' erhalt, Die ersten beiden Aspekte werden im ersten Axiom relevant, die letzten zwei im zweiten Axiom.

(SK) Bezogen auf die beiden Konfusion saktionen im dritten Experiment heiBt es in den Notes: "Note that both of these ways of simplification are different from the methods of cancellation and condensation adopted for the calculus , although arising from, and thus not inconsistent with, them .", LoF:104.

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Drittes Experiment Das dritte Experiment ist "an alternative way ... of using the principle of relevance" (LoF: 103) aus dem achten Kapitel, das besagt, dass auf Eigenschaften, die allen Hinweisen oder AusdrUcken gemeinsam sind, nicht eigens hingewiesen werden muss, wie etwa auf das ungeschriebene ,cross' oder den rezessiven Wert. Der andere Weg, dieses Prinzip zu benutzen, besteht darin, eine gemeinsame Eigenschaft herauszustellen und so den Unterschied in Bezug auf diese Eigenschafi aufzuheben. 1m Experiment werden dazu (1) nacheinander beide Seiten des Kreises mit einem ,mark' bezeichnet, dadurch markiert und zugleich als ,markiert' evaluiert, so dass (2) gilt: "they cannot, in respect of value, be distinguished." (LoF:?3). Die Konfusion ersetzt das ,mark' wieder durch ein anderes Zeichen : Einen weiteren Kreis-, der ebenfalls sowohl das ,Innen' als auch das ,Aul3en' des Kreises, bezeichnet, markiert und evaluiert: "Now, because of identical markings, the original circle cannot distinguish different values." (ebd.). Kreis, unterscheidet auf diese Weise nichts Verschiedenes voneinander - denn der Wertunterschied bestunde darin, .markiert' oder ,unmarkiert' zu sein - und ist deshalb keine Unterscheidung und weist auch aufkeine hin." Wenn Kreis, keine relevante Unterscheidung ist (bezeichnet, markiert, evaluiert), ist er so etwas wie ein Allen zukommendes Merkmal, das uberall weggeloscht werden kann. Er ist eben als eine Unterscheidung seiend eine Eigenschaft, die jedem Zeichen zukommt - deshalb kann er ohne Verlust oder Gewinn aus dem Raum, in dem er steht, geloscht werden . Anschliefsend wird gezeigt, dass die Ausloschungspraxis von nicht unterscheidungsrelevanten Merkmalen mit den Ergebnissen der ersten beiden Experirnente kompatibel ist. Viertes Exper iment Das vierte Experiment fasst wie das dritte die ersten beiden Experimente zusammen, aber in einer anderen Hinsicht: Wenn eine Unterscheidung getroffen wird, deren Seiten beide unmarkiert bleiben, fuhrt das nicht etwa zum gleichen Ergebnis wie im dritten Experiment, sondern dazu, das Resultat einer Unterscheidung in seiner moglichen Bedeutungsvielfalt zu betrachten - was aber im vierten Experiment nur angedeutet wird. Ein Kreis ist ein Kreis, er weist als Unterscheidung immer auch indirekt auf sein ,Aul3en' hin; ein Kreis ist also auch ein Hinweis, der deshalb auch als Markierung seines ,Aul3en' gesehen und durch ein anderes ,mark' m ersetzt werden kann (Umkehrung des ersten Experiments) .

Zur Erinnerung sei auf das erste Kapitel hingewiesen: " ... there ean be no distinction without motive, and there can be no motive unlesscontents are seen to differ in value", LoF: I.

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Die Experimente zusammenfassend ergibt sich folgendes Bild: Ein in einem flachen Raum gezogener Kreis trifft eine Unterscheidung. Als solcher ist er (1) eine Unterscheidung, weist er (2) indirekt auf das ,Aul3en' seiner Form der Unterscheidung hin und ist so auch ein Hinweis auf seine ganze Form. Wird eine seiner Seiten mit einem ,mark' (3) markiert, verleiht die Markierung dieser Seite (4) den Wert ,markiert' und damit der anderen Seite den Wert ,unmarkiert '. All diese ,Funktionen' stecken in jedem hinweisenden Zeichen, das immer auch an sich selbst eine Unterscheidung ist, und das immer zugleich auch ein Hinweis auf seine Form der Unterscheidung ist und damit ein WiederEintritt in die Form , weil es auf sich selbst und den Rest "des Universums" zugleich hinweist. Die vier Experimente fiihren das vor. 5. Abschliel3ende Folgerungen und Deutungen Der Haupttext endet mit ein paar Folgerungen, die den ,observer' und nochmals die Experimente in diesem Buch betreffen : Ein ,observer' ist auch ein ,mark', insofem er den Raum, den er besetzt, unterscheidet, d.h. insofem er in der Form der Unterscheidung einer Seite den Wert ,markiert' gibt. Zudem sollen die Kreise in den Experimenten als Formen betrachtet werden und ihre Umfange als Grenzen zwischen den Raumen dieser Formen (das haben wir getan). Schliel3Iich wird expliziert, dass in dieser Konzeption eine in einem beliebigen Raum getroffene Unterscheidung ein ,mark' ist, das den Raum unterscheidet und ihn so zu einer Form der Unterscheidung macht; und dass jedes ,mark' in einem Raum eine Unterscheidung trifft, wei! es den Raum als unterschiedenen ,markiert' . Der Schlussakkord des Buches lautet: " We see now that the first distinction, the mark, and the observer are not only interchangeable, but, in the form, identical." (LoF:76). Dass sie in der Form identisch sind, heil3t, dass sie aIle drei ,das Sein eines Unterschiedenen haben ' und so zugleich auf ihr jeweiliges ,Aul3en' hinweisen, mithin Hinweise auf ihre Form der Unterscheidung sind. Wir als Betrachter sind also erstens immer auch selbst eine Unterscheidung (in unserer eigenen Form) und zweitens sind wir Hinweise auf eine Unterscheidung, wenn wir uns als markierende Zeichen betrachten: so weisen wir auf die Unterscheidung Betrachter/Betrachtetes hin, indem wir uns als Betrachter vom Betrachteten betrachtend unterscheiden. " Die oben angesprochene Vereinbarung, auf die im zwolften Kapitel nochmals ein Blick geworfen wird, erscheint so als die im ersten Kapitel formulierte Voraussetzung: "We take as given the idea of distinction and the idea of indication, and that we cannot make an indication without drawing a distinction." (LoF :1). Dass wir keinen Hinweis geben konnen , ohne vorher eine Unterschei10

Zum Bei spiel des Physikers, der sich einer seits selbst betrachtet , indem er die Welt betrachtet, und der sich andererseits aus dieser Betrachtun g ausschliellt , vgl. IV.C Philosophie.

III. Kommentar- Das zwolfte Kapitel : R E-ENTRY INTO THE FORM

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dung zu treffen, liegt somit auch daran, dass jeder Hinweis an sich selbst eine Unterscheidung ist. Damit wird die Voraussetzung des ersten Kapitels zur scheinbaren Voraussetzung: ein Hinweis ist immer auch an sich selbst eine vollzogene Unterscheidung und deshalb kann kein Hinweis gegeben werden, ohne eine Unterscheidung zu vollziehen. Die Form jedes Hinweises ist somit die Form der Unterscheidung! Weil jeder Hinweis eine Unterscheidung in seiner eigenen Form ist, ist seine Verwendung als Hinweis auf eine Seite der Form der Unterscheidung zugleich ein Wieder-Eintritt in die Form.

IV. Anwendungen und Deutungen

Dieser vierte Teil ist verschiedenen Deutungen bzw . Verwendungen der Laws of Form gewidmet, die teilweise weit tiber das hinausgehen, was dort geschrieben steht. Auf der einen Seite gibt es von Spencer Brown vorgeschlagene Anwendungsmoglichkeiten, die er beispielsweise in den Notes oft nur andeutet oder in den Appendizes naher ausfuhrt.' Auf der anderen Seite finden sich in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen Anwendungen des Kalkuls - oder besser einiger seiner grundlegenden ldeen. Bevor mit der Vorstellung der verschiedenen Deutungen und Verwendungen begonnen wird, ist es wichtig, Folgendes zu vergegenwartigen: (I) Erstens gibt es mehrere, verschiedene Ebenen oder Perspektiven, auf die sich ein(e) InterpretIn der Laws ofForm beziehen kann, die aber zunachst einer strikten Trennung bedurfen, weil sie Verschiedenes implizieren. Eine Ebene besteht darin, das, was in den Laws ofForm gemacht wird, d.h. den Prozessablaufzu verstehen und nach-zu-volIziehen. Eine andere besteht darin, den Inhalt, der dort prozesshaft dargestellt wird, der in und durch diesen Prozess entsteht, zu verstehen. Eine weitere, die ersten beiden reflektierende Ebene besteht aber auch darin zu sehen, dass im Anfang der Prozess und der Inhalt zugleich, simultan entstehen oder koproduziert werden - Varela druckt diese ,Ko-Emergenz' sehr treffend aus : "Gehen und Weg entstehen gemeinsam'", d.h. Prozess (Unterscheidung) und Inhalt (Zeichen) als Resultat entstehen gemeinsam. (2) Daraus ergeben sich zweitens unterschiedliche Anknlipfungspunkte, auf die man sich wiederum in vielfaltiger Weise beziehen kann. Eine Moglichkeit besteht im Feststellen einer strukturellen Parallelitat, durch die der Kalkul die Funktion erhalt, alle moglichen Arten von (autopoietischen) System en formal zu bestatigen bzw . darzustellen. Oder er wird wegen seines Umgangs mit Selbstreferenz fur konstruktivistische Epistemologien oder psychotherapeutische Methoden zur Begrundung bestimmter losungsorientierter Strategien verwendet. Eine weitere Moglichkeit besteht in Bewertungen der Seiten der Unterscheidung, indem die beiden ailein durch das Zeichen unterscheidbaren Zustande ,markiert' /,unmarkiert' ganz bestimmte Bedeutungen erhalten: Beobach-

2

Das waren z.B. die Interpretation des Kalkuls fur die forrnale Aussagenlogik (Appendix 2) oder auch die mogliche Losung des Vier-Parben-Theorems (Appendix 4) etc. Varela 1997:67

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IV. Anwendungcn und Deutungen

ter/Beobachtetes; System/Umwelt; FraulMann; Patient/Familie; KonstrukteurlKonstruiertes u.a, Dadurch wird aber der Rahmen des lndikationenkalkiils, die erste Unterscheidung, verlassen. Deshalb pladieren wir dafur, sehr genau zu unterscheiden, fur welche Uberlegungen der Kalkul wirklich direkt verwendet werden kann und wo er eher als Anregung fur die Analyse von Unterscheidungsprozessen dient, die nur fur bestimmte Bereiche gultig sind. Die folgenden sechs Beitrage wollen einen kurzen Ober- und Einblick uber einige der wissenschaftlichen Anwendungs- bzw. Deutungsfelder geben, wobei es sich nur urn knappe Hinweise handeln kann und nicht urn eine umfassende Auseinandersetzung mit den dargestellten Positionen. Auch erheben wir keinen Anspruch auf Vollstandigkeit oder wollen mit unserer Einschatzung den bzw. die LeserIn von einer eigenen Position entbinden . Das Erstaunliche und Zeigenswerte ist jedoch, dass Spencer Browns Laws ofForm in ganz verschiedenen Disziplinen , aus ganz unterschiedlichen Motiven heraus dankbar aufgenommen wurden. Das lasst die Spekulation zu, dass in diesem Buch etwas vorgetragen wird, das ein allgemeines ,prozessuales Wesen' des Welterfahrens und -erfassens beschreibt, das aufgrund seiner basalen Einfachheit fur viele ausdifferenzierte(re) Wissenschaften zuganglich, zutreffend und verwendbar ist. Der erste Beitrag ,Appendizes' stellt vor, welche Anwendungen und Interpretationen Spencer Brown selbst fur seinen Indikationenkalkiil vorschlagt. In dem zweiten Beitrag .Mathematik; Logik, Naturwissenschaft' werden weiterfuhrende Ansatze sowie kritische Distanzierungen vorgestellt . Der dritte Beitrag ,Philosophie' hat die direkte Aufnahme der ldeen Spencer Browns durch konstruktivistische Theorien zum Thema . Daruber hinaus werden strukturelle Parallelen zu anderen , auch in einem konstruktivistischen Sinne verstehbaren Philosophien aufgezeigt, zu deren Instrumentarium aber die Laws of Form nicht gehoren. Der vierte Beitrag ,Niklas Luhmanns Systemtheorie' wird und solI keinen Uberblick geben uber die immense Rezeption in dieser Disziplin, die v.a. durch Niklas Luhmann initiiert worden ist, sondem versucht in kritischer Absicht gewisse Vagheiten dieser Interpretationslinie aufzuzeigen . Der funfte Beitrag ist eine Anwendung der exegetisch-interpretatorischen Ergebnisse aus dem zweiten Teil fur formtheoretische Betrachtungen der Geschlechterunterscheidung. Dies geschieht einerseits in kritischer Auseinandersetzung mit der vorliegenden Analyse der Geschlechterunterscheidung durch Niklas Luhmann, andererseits konstruktiv durch den Entwurf eines unterscheidungstheoretischen Rahmens. Schliel3lich werden mit dem sechsten Beitrag ,Praxis der Unterscheidung' zentrale Aspekte einer Praxis der Unterscheidung aus den Laws of Form heraus profiliert und knapp einige Hinweise auf Anwendungen in der Psychologie, Psychotherapie und Beratung gegeben.

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Vor allem die letzten vier Beitrage sollen auch als Grenzbestimmung der Interpretierbarkeit der Laws of Form dienen und damit ihren Geltungsbereich abstecken, d.h. kennzeichnen, wo sie zur Legitimation bestimmter (wissenschaftlicher) Sichtweisen auf die Welt herangezogen werden und wo sie als Anregung und methodische Vorlage dienen konnen.

IV. A Appendizes zu den Laws ofForm

Tatjana Schonwalder-Kuntze

Die bislang erschienenen neun Appendizes zu den Laws ofForm sind von Spencer Brown selbst vorgeschlagene Anwendungen oder Interpretationen seines Kalkiils : Die ersten zwei Proofs of Sheffer's Postulate und The calculus interpretedfor Logic gehoren in den Bereich der formalen Logik, der dritte Bertrand Russell and the Laws of Form besteht aus Erinnerungen an seine Begegnungen mit Bertrand Russell, der vierte An Algebrafor the natural numbers ist der Generierung der naturlichen Zahlen gewidmet, der funfte Two proofs of the fourcolour map theorem stellt eine Losung des Vier-Farben-Theorems vor, der sechste Appendix Last Word ist eine abschlieBende Betrachtung zu Fragen der Existenz schlechthin, der siebte The prime limit theorem, achte Primes between squares und neunte Appendix A proof of Riemann's hypothesis via Denjoy's equivalent theorem stellen einen Beweis der Riemannschen Hypothese vor. I Irn Folgenden werden nur die Anwendungen des Kalkuls fur Fragen der formalen Logik, mithin die ersten beiden Appendizes vorgestellt, da diese einem breiteren Kreis von Leserlnnen ein Begriff sein sollten.' Zum vierten und funften Appendix werden hingegen lediglich einige Hinweise zu weiterfuhrender Literatur gegeben,' da es sich urn sehr spezielle mathematische Liebhaber-Probleme handelt; die zwei in Prosa gehaltenen Appendizes seien zur Urteilsbildung dem bzw. der LeserIn selbst uberlassen und auf die letzten zwei Appendizes gibt es bislang keine Reaktionen aus der mathematischen Fachwelt, wei! sie erst vor wenigen Wochen erschienen sind. Bevor Spencer Browns Transfer seines Kalkuls in den Bereich der formalen Logik betrachtet wird - bzw . seinem Anspruch gemall der Transfer der formalen Appendix lund 2 sind bereits in der ersten Autlage erschienen; Appendix 3, 4, 5 und 6 sind erst der deutschen Ausgabe von 1997 zugefugt worden . Die letzten drei Appendizes erscheinen zum Zeitpunkt der Drucklegung der vorliegenden Autlage im Herbst 2008 zum ersten Mal in einer Printversion. Aile Appendizes sind in der neuen englischen Ausgabe, Spencer-Brown, George (2008) : Laws ofForm . Heidelberg: Bohmeiei; enthalten. Zum Vergleich der verschiedenen Methoden bzw. Schritte , mit denen ublicherweise ein Kalkul aufgebaut wird und die Spencer Brown verwendet vgl. Il.A Kontexte der Laws of Form sowie IV.B Mathematik, Logik, Naturwissenschaft. An dieser Stelle sei nochmals Karl-Georg Niebergall ganz herzlich fIlrdie vielen Hinweise und Anregungen gedankt. Zu Appendix 4 ist Kauffman 1995b und zu Appendix 5 Kauffman 1986 einschlagig,

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Logik in seinen Kalktil-, ist es angebracht, Folgendes festzustellen: Eine Interpretation kann verschiedene Fehlerquellen in verschiedener Hinsicht bergen: (1) kann der AusgangskalkUl der Anwendung nicht angemessen sein - d.h. er kann nicht leisten, was die Anwendung erforderte; (2) kann die Anwendung dem Kalkul nicht angemessen sein - d.h. die Anwendung ist gar nicht kompatibel mit dem AusgangskalkUl und (3) konnen, gesetzt erstens und zweitens treffen nicht zu, bei der Ubersetzung Fehler passieren. Ein abschlieBendes Urteil daruber, ob mit dem Spencer Brownschen Kalkul formallogisch das geleistet werden kann, was in den Appendizes behauptet wird, wird im Folgenden nicht getroffen; statt dessen wird vorgestellt, was in den Appendizes versucht wird und worum es Spencer Brown jeweils geht, d.h. worin seine Intention besteht." Spencer Browns Vorgehensweis e

Die Anwendungen, die in den ersten beiden Appendizes vorgestellt werden, gehorchen einer Reihenfolge, die von einer einfachen Ubersetzung aus einer formalen Sprache in eine andere formale Sprache hin zu sehr komplexen Problemstellungen verlauft . Die Shefferschen Postulate (Appendix 1) sind Gleichungen , die ublicherweise in der Sprache der Booleschen Algebra formuliert werden. Sie werden im Appendix bewiesen, indem sie in die Sprache der Primaren Algebra aus den Laws ofForm ubersetzt werden. Die Anwendungen im zweiten Appendix sind anderer Natur, da hier Interpretationen vorgenommen werden, die tiber eine einfache syntaktische Ubersetzung oder Transkription hinausgehen . Hier werden semantische Belegungen der verwendeten Variablen vorgenommen, und folglich werden auch, analog zur Primaren Algebra, Gleichungen selbst semantisch interpretierbar. In Appendix 2 versucht Spencer Brown zudem, komplexe Fragestellungen der formalen Log ik mithilfe seines Kalkuls zu beantworten, indem er Zusammenhdnge sichtbar werden lasst, die tiblicherweise in der Latenz verborgen blieben. Logische Praliminarien

Urn zu verstehen , worum es Spencer Brown in Appendix I Proofs ofSheffe r 's Postulates und in Appendix 2 The calculus interpreted for Logi c tiberhaupt geht, ist es sinnvoll, ein paar kurze, sehr allgemein gehaltene Praliminarien zur Aussagenlogik voraus zu schicken.' Die Aussagenlogik hat es ganz allgemein gesprochen mit Aussagen und deren Wahrheitsgehalt zu tun. Klassischerweise ist eine einzelne Aussage entweEs sei den geneigten Leserlnnen iiberlassen, die Frage nach den korrekten Ausfuhrungen wic die nach der Moglichkeit selbst zu stellen und durch eigene Versuche nachzupriifcn. Vgl. hicrzu beispiclsweise Stegmiiller/ Varga v. Kibed 1984:49-72, v. Kutschera/ Breitkopf 19855:17-39, Link/NiebergaIl2003 :I07-I09.

IV.A Appendizes zu den Laws ofForm

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der ,wahr' oder ,falsch'. Aussagen konnen durch Worter wie ,nicht', ,und', ,oder' , ,wenn, dann ' , ,genau dann, wenn ' miteinander verknupft werden und es kann nach dem Wahrheitsgehalt dieser so entstandenen Verknupfungen gefragt werden. In der Aussagenlogik werden nun formale Sprachen eingefuhrt, deren Syntax darin besteht, Aussagen und die Verknupfungen durch Zeichen zu reprasentieren; dabei werden in der Regel kleine Buchstaben fur die elementaren Aussagen und besondere Zeichen fur die Verknupfungen verwendet, die Junktoren oder auch Operatoren genannt werden. Die Belegung der elementaren Aussagen mit den Werten ,wahr' oder ,falsch' wird semantische Belegung genannt. Ob eine Aussage, die mit einem Junktor und/oder anderen Aussagen verknupft wird, den Wert ,wahr' oder ,falsch' erhalt, lasst sich in den Wahrheitswerttabellen der einzelnen Junktoren ablesen. Die Junktoren weisen also den mit ihnen und durch sie verknupften Aussagen - je nach semantischer Belegung - Wahrheitswerte zu. Erhalt beispielsweise die Aussage ,p' den Wahrheitswert ,wahr', dann erhalt die Aussage ,nicht p' den Wahrheitswert ,falsch' , wei! der Junktor ,nicht' in einem zweiwertigen logischen System den Wahrheitswert vertauscht. Ein anderes Beispiel ware eine Konjunktion, also eine ,und'-VerknUpfung , die nur dann den Wert ,wahr' erhalt, wenn beide Aussagen auch mit ,wahr' belegt sind. In allen anderen Fallen - einer ,wahr', der andere ,falsch' , oder beide ,falsch' - erhalt die Konjunktion den Wert ,falsch' . Auf dieser aussagenlogischen Ebene setzen die ersten beiden Appendizes der Laws ofForm ein : Der erste hat mit Gleichungen zu tun, in denen der sogenannte Sheffer-Strich" vorkommt; der zweite Appendix zeigt mogliche Verwendungen des Spencer Brownschen Kalkuls in der formalen Logik.

Appendix 1: ShefJers Postulate Urn die Ubersetzung der Shefferschen Postulate, die als Gleichungen formuliert sind, in die Primare Algebra zu ermoglichen, interpretiert Spencer Brown den KaikUl implizit aussagenlogisch. Das formale Zeichen fur den Sheffer-Strich ist ,I'; mit ihm wird die zweistellige Verknupfung ,nicht und' formal dargestellt.? Die logische VerknUpfung nicht (a und b), formal alb, transkribiert Spencer Brown mit "ilil , d.h. er deutet in diesem Appendix den Haken als ,nicht' und

Der Sheffer-St rich ist ein f unktional vollstdndiger Junktor. Ein zweistelliger Junktor ist genau dann funktional vollstandig , wenn aile biraren Booleschen Funktionen mit ihm definiert werden konnen , Boolesche Funktionen ordnen Aus sagen eindeutig Wahrheitswerte zu, d.h. ,wahr' oder ,falsch'. Elementare Boolesche Funktionen entsprechen den verschiedenen Junktoren der Aussagenl ogik. In mathematischen Formelsammlungen wird er auch NAND (fur ,not and') genannt. Umgangssprachlich wird er auch mit ,nicht oder nicht' wiedergegeben, vgl. Varga! Segmuller 1984:72.

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zwei nebeneinander stehende Variablen als Konjunktion bzw . als ,und'Verknupfung (vgl. LoF: 107). Der ,Beweis' fur die Gultigkeit der Shefferschen Postulate (vgl. LoF :107f.) wird erbracht, indem diese erstens in die Notation der Primaren Algebra ubersetzt werden und anschlieBend diese Obersetzungen solange regelgerecht durch aquivalente algebraische Formen ersetzt werden, bis sie die Form einer Initialgleichung oder ,consequence' annehmen, deren Gultigkeit im Kalkiil bereits nachgewiesen ist. 1st das gezeigt, kann die Gultigkeit der Shefferschen Gleichungen als bewiesen behauptet werden. Die Giiltigkeit der Postulate wird also nachgewiesen, indem die Gultigkeit der Obersetzungen im Kalkiil der Laws of Form gezeigt wird. Dass die Gleichungen aus der einen Sprache in die andere ubersetzt werden konnen, d.h. dass beide Gleichungssysteme aquivalent sind, wird vorausgesetzt. 1m folgenden Appendix 2 wird hingegen bereits mit semantischen Belegungen,

d.h. mit Interpretationen gearbeitet. Hier werden Anwendungen auf verschiedenen Ebenen oder Komplexitatsstufen der formalen Logik vorgefuhrt, Appendix 2: Logische Interpretationen' Spencer Brown schlagt mit dem zweiten Appendix eine Interpretation seines ,calculus of indications' vor, den er zusammenfassend wie folgt beschreibt: "The calculus of indications consists of a set of ways of indicating one or the other of the two states distinguished by the first dinstinction, so wc shall be able to fin! an application of it to the indicative forms of any clear distinction of this kind . It must, for example, apply to cases where doors can be open or shut , or where switches can be on or off, or where lines can be clear or blocked. It will also apply to a language structure in which sentences can be true or false." (LoF :112) .

Hinzu kommen noch einige Vorbemerkungen zum Status einer Interpretation uberhaupt: ,,In interpreting a calculus, what we do is match the values or states or elements allowed in the calculus to a similar set of values or states or elements in what is to become its interpretation. ... Even so, although there must be an interpretation of it, in any case of a calculus of more than one value , the calculus and its interpretation are distinct. The fact of their distinction is made plain by the plurality of ways in which a given interpretation can be applied. " (LoF: 112f., Hvhb. T.S.) .

Eine Interpretation ist eine Anwendung, und was fur die Anwendung gilt, muss nicht fur den ursprunglichen Kalkul geIten, da Anwendung und Kalkul nicht aquivalent sein mussen, VieI eher lasst sich das Verhaltnis als Implikation beVgl. Varga! Matzka 1993 :80-82 .

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schreiben oder als ,Einbettung': die Anwendung muss aus dem Kalkul folgen konnen, aber der Kalkul nicht aus der Anwendung . Einen formalen Kalkul zu interpretieren bedeutet demnach, ihm eine bestimmte Bedeutung zu geben; oder auch, dass der Kalkul diese Anwendung ermoglicht, aber nicht, dass er die Anwendung ist. Es ist wichtig, diesen Punkt besonders hervor zu heben, weil der ,calculus of indications ' weder ein aussagen-, noch ein klassen- noch ein pradikatenlogischer Kalkul ist; er wird lediglich als sol cher interpretiert, so dass er moglicherweise zu verschiedenen logischen Fragestellungen interessante Losungsvorschlage bzw. -wege oder auch -perspektiven bereit zu stellen vermag. Unterschiede

Spencer Brown macht auf diverse Unterschiede zwischen dem Kalkul der Laws ofForm und der formalen Logik aufmerksam.? Irn zweiten Appendix hebt er vor allem folgende Unterschiede hervor: (1) Einen Unterschied zwischen der aussagenlogischen Deutung und dem Kalkul sieht er beispielsweise darin, dass erstere aus "forms of interpretation" (LoF:112) besteht, im Gegensatz zu der "form of indication from which they arise" (ebd .), die in den Laws ofFarm beschrieben wird. Der Kalkul der Laws of Form generiert aquivalente Hinweiszeichen auf die unterschiedenen Seiten einer Form der Unterscheidung, deren Relationen und Austauschmoglichkeiten; die zweiwertige Aussagenlogik und die 2-elementige Boolesche Algebra sind fur Spencer Brown bereits eine Interpretation dieses Systems von Hinweisen auf zwei unterschiedene Seiten - deshalb ,taucht die Aussagenlogik aus der Form des Hinweisens auf' . (2) Einen weiteren Unterschied sieht er in ihrer verschiedenen Struktur, d.h. in der Art ihres Aufbaus: Die klassische formale Logik stellt fur Spencer Brown einen anderen Typ von Logik dar als sein Kalkul, wei! sie eine "implicational logic" (LoF:118) ist im Gegensatz zu seiner "equivalence logic. The difference is in the kind of step used." (ebd.). Spencer Browns Kalkul wird uber die Generierung, Betrachtung und Beschreibung aquivalenter Hinweisformen hergestellt; die algebraischen ,consequences' beispielsweise sind Folgerungen, die sich aus den erlaubten , tei!weise selbst schon wieder zusammen gefassten Ersetzungsschritten von aquivalenten Hinweisen auf eine der beiden Seiten der ersten Unterscheidung ergeben . Folgerungen im Kalkul der Laws of Form bestehen also immer nur darin, aquivalente Ausdrucke gegeneinander auszutauschen - deshalb sind die beiden ursprungl ichen Terme, aus denen je der gleiche, neue dritte ,entstehen' oder gefolgert werden kann, auch untereinander aquivalent."

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Vgl. II.A Kontexte der Laws ofForm sowie IV.S Mathematik, Logik , Naturwissenschaft. Das besagt T7 im vierten Kapitel.

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Wenn hingegen in der fonnalen Logik zwei Konditionale der Form a ---+ b und d ---+ b gegeben sind, dann bedeutet das noch lange nicht, dass a = d. I J Aus dem Implikat lassen sich also keine ,Riickschltisse' auf das Antezedens ziehen; die erste Pramisse wird in diesem Fall (modus ponens) abgetrennt, d.h. dass sie fur weitere Schritte irrelevant ist. Bei einem logischen Konditional kann demnach, wenn es, wie im Beispiel, mehrere Antezedens gibt, aus denen das gleiche Implikat folgt, weder gesagt werden, aus welchem es folgt, noch dass die beiden aquivalent sind. Der Unterschied besteht also einerseits darin, welche Ersetzungen vorgenommen werden und andererseits, an welchem .Ort ' etwas abgetrennt wird: "In one case expressions are detached at the point of implication, in the other they are detached at the point of equivalence." (LoF: 118). (3) Der offensichtlichste Unterschied besteht naturlich in der Notation, durch die ein erhebliches fonnales Einsparungspotential realisiert werden kann, wei! beispielsweise durch die 2-Dimensionalitat des Hakens auf Klammem oder topologische Anweisungen verzichtet werden kann." Ob allerdings auch auf zusatzliche Zeichen fur die Quantifizierung verzichtet werden kann, wie es in dem Appendix versucht wird, bleibt fraglich. Moglicherweise ist die Notation nicht ausreichend, urn pradikatenlogische Operatoren wie den Alloperator und den Existenzoperator und deren Derivate hinreichend genau zu ersetzen . Intentionen

Der Zweck des zweiten Appendix besteht darin zu zeigen, dass mit den Ersetzungsmustem fur aquivalente Ausdrucke, die in dem Kalkul der Laws ofForm dargestellt werden, logische Probleme anders betrachtet und schneller gelost werden konnen; d.h. dass der Kalkul trotz oder gerade wegen seines anderen Aufbaus verwendbar ist, urn logische Fragestellungen zu beantworten. Mit anderen Worten besteht der Gewinn darin, auch aufgrund der geradezu spartanisch reduzierten Notation zur Verktirzung und Aufdeckung von Losungswegen fur Problemstellungen der Formalen Logik beitragen zu konnen." Spencer Brown hebt "two sources of power" (LoF: 114) hervor, die beide dem ,standard sentenJI

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Wenn es regnet, ist die StraBe nass und wenn die StraBenreinigung vorbei kommt, ist die StraBe nass. Aus diesen beiden Satzen lasst sich mitnichten folgern, dass ,es regnet ' und ,die StraBenreinigung kommt vorbei' aquivalente Aussagen waren, obwohl in beiden Fallen das ImpJikat lautet: ,die StraBe ist nass ' . Vgl. den Kommentar zum zweiten Ktpitel . Es sei daran erinnert, dass die Moglichkeit der reduzierten Notation, d.h. die Verwendung des Hakens sowohl als Zeichen fur den Wahrheitswert, als auch als einstelliger Operator (,nicht') sowie als zweistelliger Operator (,oder') moglich ist, weil in den Laws of Form die Primare Algebra aus der Betrachtung der Aquivalenzrelationen der Primaren Arithmetik hervorgeht und diese nur darstellt. Zu Moglichkeiten der Verkurzung von Schreibweisen durch die besondere Mehrdimensionalitat des Hakens, vgl. den Kommentar zumzweiten Kapitel.

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tional calculus' nicht zuganglich seien: "They are ... the condensation of a number of representative forms into one form, and the ability to proceed ... beyond logic through the primary arithmetic." (ebd.) Deutung und Beispiele

1m ersten Beispiel, das fur die Reduktion oder Verdichtung der Formen der Darstellung angefuhrt wird, wird dann allerdings nicht die Notation verwendet, mit der der Kalkul in den Laws ofForm beschrieben wird, sondem eine alternative Notation, die im Haupttext in den Experimenten des zwolften Kapitels und in den Notes bereits zur Erklarung des zweiten Kapitels verwendet wird: die Kreisnotation." Die Verklirzung besteht hier fur Spencer Brown darin, dass mit einem einzigen Ausdruck die logischen Aquivalente der ,und'-Verknlipfung dargestellt werden . Sie mlissen also nicht auseinander abgeleitet bzw. berechnet und ihre logische Aquivalenz muss auch nicht tiber Wahrheitstafeln bewiesen werden, sondern es ist ausreichend, den einen Ausdruck lesen zu konnen, urn die verschiedenen Darstellungsformen der Aussagenlogik darin zu sehen: "Thus, by the mere principle of avoiding an unnecessary prolixity in the representative form, we make the process of calculation considerably less troublesome. " (LoF:115). (2) Fur die anderen Anwendungen in Appendix 2 benutzt Spencer Brown die im Kalkul verwendete Notation. Der Haken bzw. das ,empty cross' sowie der leere Ausdruck werden als Wahrheitswerte gedeutet: Der Haken stehe fur ,wahr', der leere Ausdruck fur .falsch' ." In Verbindung mit Variablen, die in oder unter einem Haken stehen, bedeutet der Haken ,nicht' . Zwei nebeneinander stehende Variablen sollen als ,oder'-Verknlipfung gelesen werden - entgegen der Lesart im ersten Appendix! Wei! ,oder' und ,nicht' (zusammen) funktional vollstandige lunktoren sind, lassen sich mit dieser Interpretation des Hakens und des Nebeneinanderstehens aile lunktoren der Aussagenlogik darstellen. Eine ,und'-Verknlipfung ist logisch aquivalent mit der Verknlipfung ,nicht (nicht a) oder (nicht b)', formal: a /\ b <=> -, (-, av-,b). Deshalb wird a /\ b in der geschrieben. Spencer Brownschen Notation a]

bl!

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Ob allerdings diese Verkurzung so uberzeugend ist, sei dahingestellt ein gcubter Logiker sieht in der Form -. (-. av-.b) aueh sofort die logische Konjugation und deren andere vielfllltige Darstellungsmoglichkeitoi, so dass man auch hier sagen konnte, aile diese Schreibweisen seien in der einen enthalten . Die Interpretation des ,unmarked state' bzw. des ,empty cross ' als logisches .wahr' als auch die Interpretation des ,marked state' bzw. des ,blank space' als logisches .falsch' ist eine mogliche Interpretation - die genau so gut hatte umgekehrterfolgen konnen, vgl. LoF: l13f.

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Dasselbe gilt anal.2,& fur das Konditional : a ~ b <=> -,a v b; in Spencer Brownscher Notation a] b. 16 (3) Prozess- und Darstellungsvereinfachungen ergeben sich fur Spencer Brown aber nicht nur aus der Notation, sondem auch aus dem Zusammenhang zwischen Primarer Arithmetik und Primarer Algebra. Der springende Punkt besteht hier darin, dass die AusdrUcke der Algebra immer noch ihre arithmetische Wurzel gleichsam mit sich herum tragen, d.h., dass sie entweder arithmetisch auflosbar sind, indem sie durch endlich viele Austauschschritte (steps) in einen Haken oder den leeren Ausdruck umgewandelt werden . Diejenigen Ausdrucke, die nicht auf eine ,simple expression ' reduziert werden konnen, heiJ3en kontingent, da ihr Hinweischarakter von der Belegung der in ihnen enthaltenen Variablen abhangt . ,Arithmetisch auflosbar ' meint demnach, bei jedem algebraischen Ausdruck feststellen zu konnen, ob er bei jeder semantischen Interpretation der Variablen immer auf den ,unmarked state', oder immer auf den ,marked state' hinweist", oder ob er je nach der semantischen Interpretation der Variablen einmal auf den einen und einmal auf den anderen Zustand hinweist. Dass ganze AusdrUcke oder Gefuge einen bestimmten arithmetischen Wert annehmen konnen, der sich wiederum auf weitere komplex ere Gefuge, in denen diese AusdrUcke stehen, ubertragen kann oder nicht, ist das Thema des Bruckentheorems 16 aus dem achten Kapitel der Laws of Form. Diese ,arithmetischen Eigenschaften' algebraischer Ausdrucke macht sich Spencer Brown in den folgenden Beispielen zu Nutze. Fur den Nachweis, ob aussagenlogische Verknlipfungen gultig, d.h. tautologisch, ungultig, d.h. kontradiktorisch, oder kontingent sind, greift Spencer Brown auf die soeben erlauterte Klassifizierung algebraischer Ausdrucke bzw. ,consequences' aus dem sechsten Kapitel zuruck, die darin besteht, diese ,integral' - sie weisen auf den ,marked state' hin - , ,disintegral ' - sie weisen auf den ,unmarked state' hin - , oder ,consequential' - sie sind kontingent - zu nennen." Durch die Interpretation des Hakens als ,wahr ' kann auf diese Weise ein Ausdruck, der auf einen Haken reduzierbar ist, als Tautologie erkannt werden. Analog sind AusdrUcke, die zum leeren Ausdruck fuhren, Kontradiktionen und solche, die in die Kategorie der kontingenten AusdrUcke gehoren, sind abhangig von der Variablenbelegung (vgl. LoF:1l6f.). Den Gewinn sieht Spencer Brown darin, dass das ,Ausrechnen' der Wahrheit oder Falschheit eines Ausdrucks tatsachlich erheblich weniger aufwandig ist, als etwa aussagenlogische Beweis-

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Vgl. die Uberset zung, LoF:114. So ein Ausdruck ware beispielsweise das Gefuge in der Gleichung , die T8 formal darstellt. Vgl. den Komm entar zum sechsten Kapitel. Ausdrucke , die immer auf den markierten Zustand hinweisen , heiBen dort integral; Ausdrucke, die immer auf den unmarkierten Zustand hinweisen, heiBen disintegral , und Ausdrucke , deren Wert von ihrer Variablenbelegung abhangig ist, heiBen ,consequential' .

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verfahren , die beispielsweise tiber den Vergleich der Wahrheitswerttabellen laufen . Als Beispiel fur so eine Aufwandsreduktion wahlt Spencer Brown ein ,Dilemrna' - besser ware, von einer Kontradiktion zu sprechen -, das von Maurant formuliert wurde" und fur das er nachweist, dass es sich gar nicht urn eine Kontradiktion, sondem lediglich urn eine kontingente Form handelt. Die Transkription wird verstandlich, wenn man die o.g. Obersetzungsregel nochmals erinnert: a /\ b ist logisch aquivalent mit ..,(..,a v ..,b). In aussagenlogischer Notation harte das ,Dilemma', wenn aile Konjugationen mit den Junktoren fur ,nicht' und ,oder' dargestellt werden, folgende Form : ..,.., (.., (..,s v ..,c) v ..,(..,e v c) v ..,(c v ..,c)) v.., (s v e)." Ubersetzt man das in die Spencer Brownsche Notation, erhalt man die Figur auf Seite 118 oben, die nochmals durch die Anwendung von 11 und Cl vereinfacht werden kann, und gelangt so zu dem Ergebnis, dass es sich nicht urn eine Kontradiktion handelt, sondem urn einen kontingenten Ausdruck, in der die Frage nach der Inflation, so, wie das Problem formuliert ist, ganz irrelevant zu sein scheint: nbersetzt man el s zuruck, dann erhalt man ..,e v s, was logisch aquivalent ist mit e ~ s. Umgangssprachlich lautet das Ergebnis also: In der dargestellten Konstellation folgt aus einer gesunden Wirtschaft auf jeden Fall eine expandierende Wirtschaft. (4) Des weiteren versucht Spencer Brown noch den Kalkul fur Syllogismen, d.h. logische Schlussfiguren zu interpretieren." Durch Umformungen in logisch 19

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.W enn wir eine gesunde Wirtschaft haben wollen, durfen wir keine Inflation der Wahrung zulassen . Wenn wir aber eine expaid ierende Wirtschaft habcn wollen, mussen wir einc Inflation der Wahrung vorantreiben. Entweder wir lassen eine Inflation der wahrung zu oder wir lassen keine Inflation zu. Daher soIlten wir weder eine gesunde noch eine expandierende Wirtschaft haben .", LoF:117, Ubers. T.S. Spencer Brown lasst s filr ,wir haben cine gesunde Wirtschaft ' stehen c filr ,wir sorgen filr eine Inflation' und e fur ,wir haben eine expandierende Wirtschaft ' . Wenn man nun die einzelnen Satze in Konditionale umformuliert, und die wenn-Satze als Aussagen interpretiert, die aile zugleich gelten sollen, dann kann man die Konditionale durch den Junktor fur ,und' aneinanderreihen und erhalt so zunachst folgende Form: (s ~ -, c) /\ (e ~ c) /\ (c V -, c) ~ (-,s /\ -,e). Nach de Morgan ist das logisch aquivalent mit: -, ((-, s v -, c) /\ (-,e v c) /\ (c V -, c)) v -, (s v e) ~ -, (-, (-, (-,s v -, c) v -, (-,e v c)) /\ (c V -, c)) v -, (s v e) ~ -,-, (-, (-, (-, (-,s v -, c) v -, (-,e v c))) v -, (c v -, c)) v -, (s v e) ~ -,-, (-, (-,s v -,c) v -,(-,e v c) v -,(c v -,c)) v -, (s v e). Spencer Brown greift an dieser Stelle - sicherlich zur Verwunderung der Zunft der Log ikerauf die "traditional logic of classes" (LoF:119) zurnck, urn cine pradikatenlogische Fragestellung zu erortern, die ihn schlieBlich zu Fragcn nach der rcalen Existen z oder Nicht-Existenz von Argumenten bringt, also zur Quantorenlogik, die Existenzaussagen macht. Der klassenl ogische Einschub lasst sich so motivieren , dass die Behauptung einer Klassenzugeh origkeit eines Ele-

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aquivalente Formen lasst sich der klassische Syllogismus Barbara (wenn aIIe A auch B sind, und wenn alle Bauch C, dann sind aIIe A auch C) in Spencer Brownscher Notation darsteIIen. Formal in der Aussagenlogik fomuliert und so, dass die Transkription in die Spencer Brownsche Notation einsichtig wird: (a --? b /\ b --? c) --? (a --? c) was logisch aquivalent ist mit -,-, ((-,a v b) v -,(-,b v c)) v -,a v c und dem Gefuge oder der Figur FI entspricht (vgI. LoF: 120). Durch Vereinfachung des aquivalenten (Spencer Brownschen) Ausdrucks anhand der ,consequences' der Primaren Algebra zeigt sich, dass es sich urn eine ,integrale' Form handelt, d.h. urn eine Tautologie, die immer wahr ist, egal welche semantische Belegung die Variablen erhalten, und damit ist die Gultigkeit des Syllogismus gezeigt. Damit sei aber auch gezeigt, dass Schlussschemata, die ja immer tautologisch sind, mit den algebraischen Figuren aus den Laws of Form darstellbar und durch die Moglichkeit, sie auf ihre ,arithmetische Bedeutung' zu reduzieren, auch als logisch giiltig beweisbar sind. (5) Schliel3lich geht Spencer Brown noch einen Schritt weiter : Er versucht auch zu zeigen, dass es fur aIIe SyIIogismen eine gemeinsame ,kondensierte' Form gibt: "The consequences of the arithmetical availability are sweeping . AII forms of primitive implication become redundant, since both, they and their derivations are easily constructed from, or tested by reduction to, a single cross." (LoF:117). Zunachst formuliert er ein Interpretationstheorem, mit dem das Auflosungsprocedere verkiirzt werden kann: das ,interpretative theorem I' lautet: "If the primary algebra is interpretated so that integral expressions are true, and if each of a number of class-inclusion premisses is sententially transcribed in it, and if variables representing the same sentence at odd and even levels are cancelled , what remains , when retransiribed , is the logical conclusion." (LoF:I23).22

Logisch anspruchsvoIIer wird es im weiteren Veriauf der Argumentation (vgI. LoF:124-132), denn hier wird anhand eines weiteren Beispiels festgestellt, dass dieses interpretative Theorem 1 auch Schliisse als logisch gultig erscheinen

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mentes logis ch aquivalent ist zur Zuschreibung eines bestimmten Pradikat es in einem Allsatz : dass aile Elemente a der Klasse K die Eigenschaft b haben, kann auch aussagenlogisch als Konditional formuliert werden : wenn a, dann (haben sic die Eigenschaft) b. Dieses Konditional kann wiederum in der Quantoren logik als Allsatz formuliert werden : Fur aile a gilt, dass sie die Eigenschaft b haben . Auf diese Weise ist es moglich , die Zusarnrnenhange der verschied enen formallogischen Spielarten aufzuzeigen - allerdings gilt das nur, solange es urn Allsatze und wahre Aussagen geht, d.h. gerade dort, wo es ,Iogisch interessant' wurde , scheint die Notation nicht mehr ausreichend . Dieses Theorem wird zur Vereinfachung der letzten Sorites von Lewis Caroll verwendet und auch hier zeigt sich die Verkurzung der Berechnung bis zum endgulti gen Schluss.

IV.A Appendizes zu den Laws ofForm

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lasst, die offensichtlich nicht logisch gultig sind." Spencer Brown fragt, wie das moglich ist und stellt fest, dass dieser auftretende Widerspruch etwas mit der "form of interpretation" (LoF:127) zu tun hat und nicht etwa in den algebraischen Formen selbst zu finden ist. Also sucht er nach dem fur den Widerspruch verantwortlichen Interpretations- und nicht etwa nach einem strukturellen Fehler. Dieser besteht fur ihn darin, dass pradikatenlogische oder mathematische Formen tiblicherweise nichts tiber die tatsachliche Existenz ihrer Argumente aussagen, sondern nur tiber die moglichen und gtiltigen Zusammenhange zwischen ihnen: Ftir aile a gilt, dass sie b sind. Db a existiert, wird damit nicht behauptet, sondern nur, dass wenn a existiert, dass es dann b ist. Die Existenz eines a ist nicht notwendig, urn etwas dartiber auszusagen, was gelten wurde, wenn a existierte ; das gilt fur jede logische Implikation: wenn a der Fall ist, dann folgt daraus, dass auch b der Fall ist. Die Obersetzung der pradikatenlogischen Syllogismen in aussagenlogische Formen hat diese ja als Konditionale interpretiert, deren einzelne Pramissen als Konjunktionen miteinander verkntipft werden. Der widerspruchliche Syllogismus ergibt sich - so Spencer Brown - , wenn so ein (A11-)Satz, der eigentlich nur die Gtiltigkeit der Foigerung behaupten darf, und keinesfalls, dass das Implikat a auch tatsachlich existiert, negiert wird. Im Faile der Negation werde namlich die tatsachliche Existenz wenigstens eines Gegenbeispiels behauptet: es gibt wenigstens ein a, das nicht b ist. Und genau damit haben wir es - nach Spencer Brown - in dem widerspruchlichen Syllogismus zu tun, insofern hier implizit der Allsatz negiert wird: nicht aile a sind b, sondern nur einige. So verlasse die formale Logik gleichsam ihren Geltungsbereich: Sie spricht nicht mehr tiber die Beziehungen, die zwischen einem Element und ,seinem' Pradikat oder seiner Klassenzugehorigkeit bestehen - vollig unabhangig von der Frage nach ihrer tatsachlichen Existenz -, sondern sie behauptet plotzlich die faktische Existenz eines Elementes, fur das die behauptete Implikation nicht gilt. Damit ist fur Spencer Brown der erste Schritt zur Losung des Widerspruchs, dass mit der primaren Algebra offensichtlich ungtiltige Syllogismen als gultig dargestellt werden, getan. Er besteht darin, die in der Negation des Konditionals implizit gesetzte Existenzbehauptung auszuschlieBen: "In this alternative we have a means of confining all interpretations to a non-existential import" bzw. "making explicit the requirement that no statement is to be taken existentially." (LoF:128). Das bedeutet faktisch, ,einige a sind b' umzuformulieren in ,es ist nicht der Fall, dass kein a ein b ist' ; formal: --, (b ~ --, a). Beide Formulierungen sind 23

Einige a sind b und einige b sind c lasst nicht unbedingt den Schluss zu, dass einige a auch b sind - obwohl das die Transkr iption fur ,wahr' erklart, vgl. LoF:126.

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Tatjana Schonwalder-Kuntze

logisch aquivalent und daher ist diese Umformulierung legitim - und nicht nur legitim, sondem nach Spencer Brown auch praziser, weil auf diese Weise die versteckte Existenzaussage, die in dem kleinen Wort ,einige' enthalten ist, da hier implizit der Allsatz negiert wird, nicht mehr formuliert wird. Mit anderen Worten : es ist eine Formulierung gefunden worden, die die umgangssprachlich "inconsequential relation ... between a form and its content, occasioned by the partly accidental fact that the existence of particular content can serve to negate a general form" (LoF :129) vermeidet. Die allgemeine Form eines Allsatzes oder des Konditionals sagt eben nichts uber die Existenz ihrer Argumente. Deshalb lautet die erste Regel: "never to make an existential interpretation unless the argument demands it. ... Existential interpretations, where they are necessary at all, can be confined to entering and leaving the problem, and need never occur in the course of solving it." (LoF :131). D.h., dass die Frage nach der Gultigkeit einer Schlussregel vollkommen abzutrennen ist von der Frage nach der Existenz der Argumente und dass deshalb der gultige falsche Syllogismus nur dann falsch wird, wenn man durch die Negation eine implizite Existenzaussage hinein interpretiert. Schlief31ich kehrt die Argumentation wieder zum Syllogismus Barbara zuruck , und weil es in der Primaren Algebra unerheblich ist, in welcher Reihenfolge die Ausdrucke eines GefUges nebeneinander stehen, konnen die einzelnen Teilausdrucke umgruppiert werden . Dabei zeigt sich, dass die Syllogism en Barbara, Bocardo - ,aile a sind b ...' sowie ,einige a sind b ...' - und Baroco eine gemeinsame Form haben, d.h. logische und algebraische Aqulvalente sind, sofern die Existenzaussage vermieden wird. Das Interpretative Theorem 2 formuliert dann die notwendige Einschrankung der Interpretation oder Deutung des Kalkuls der Laws of Form fur die Logik folgendermaBen : .An existential inference is valid only in as far as its algebraic structure can be seen as a universal inf erence." (LoF :132). Die Anleitung zur Vermeidung versteckter Existenzaussagen in Syllogismen besteht also darin, sie derart zu formulieren, dass ihre algebraische Form mit den Formen von Syllogismen, die auf Allsatzen beruhen bzw. als Konditional formulierbar sind, als aquivalent erwiesen werden kann, sie "must therefore represent, at this level, an identi cal form of argument." (LoF :132).

IV.B Mathematik, Logik, Naturwissenschaft

Thomas Holscher und Katrin Wille

Die Laws of Form haben in der Mathematik und in der Logik relativ geringe Resonanz hervorgerufen. Die intensivere Rezeption hat in der Kybemetik stattgefunden und ist von dort in andere Bereiche gewandert, in denen Dialoge mit der Kybemetik stattgefunden haben. Wir stellen in diesem Kapitel vor allem drei theoretische Auseinandersetzungen mit dem forrnalen Anspruch der Laws of Form dar, den des Biologen Francisco Varela, den des Mathematikers Louis H. Kauffinan und den des Logikers Matthias Varga v. Kibed . Wenn sich auch mittlerweile eine ganze Reihe von Ansatzen in Mathematik, Logik, Naturwissenschaft und Technik tinden, in denen die Laws of Form erwahnt werden' , beschranken wir uns in der Darstellung allerdings auf die, die ihren theoretischen Grundansatz (auch) in der Arbeit mit den Laws of Form entwickelt haben. Das Folgende will einen Einblick in den Charakter dieser drei ,theoretischen Dialoge' mit den Laws ofForm geben. I. Francisco Varelas Deutung 1m Folgenden wird die Entwicklung von Francisco Varelas Spencer BrownInterpretation skizziert, die im Wesentlichen ein Ringen urn ein angemessenes Verstandnis der Struktur des ,Re-entry' ist. Die Entwurfe und Selbstkritiken Varelas sind auch deshalb interessant, weil sie zeigen, dass die Figur des ,Reentry' aus dem elften Kapitel der Laws of Form mehr eine Aufgabe als eine Hingewiesen sei auf das j ungste Buch von David Corfield Towards a Philosophy of Real Mathematics , dessen Passagen zu den Laws of Form den Anstoss fur eine neue Rezeption Spencer Browns in der Mathematik geben konnten, vgl. Corfield 2003 :53f., 256, 270. Die .Kategorientheorie ' ist cine modeme mathematische Disziplin, die die Mengentheorie als Basis ablosen mochte und darin, sowie in ihrer Tendenz auf eine ,Durch-Injunktivisierung' der Mathematik den Laws of Form, ohne von ihnen Kenntnis zu haben, sehr nahe kommt. Vgl. Dath 2003a, Kleinert 2002 . Irn Bereich der ,computational physics' ist der Ansatz von Stephen Wolfram bemerkenswert, vgl. Wolfram 2002a. Er fuhrt die Idee der zellularen Automaten bis an cine Grenze . Wolfram spricht vom .Aufbau der komplexesten Phanornene der Natur aus einfachsten Computerkurzprogramrnen", Wolfram 2002b:V2/9; die Laws ofForm werden erwahnt in Wolfram 2002a:I 173,II 75. Und schliesslich versucht Holger Lyre, die Naturgesetze auf ,Unterscheidbarkeit und Zeit als neue apriorische Grundformen' zuruckzufuhrcn. In entsprechenden informationstheoretischen Analysen bezieht er sich ausdrucklich auf die Laws ofForm, vgl. Lyre 1988, 1999,2002.

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Thomas HOlscher ID1d Katrin Wille

Losung ist. Varela beschreibt das ,Re-entry ' als eine Struktur, die in eine reiche und folgenreiche Richtung deutet, formal aber nicht ausreichend entwickelt ist. Die Spuren, die Spencer Brown mit dem ,Re-entry' gelegt hat, sind interpretationsbedurftig und es gilt klarer zu sagen , was mit dem ,Re-entry ' gemeint ist. In den Arbeiten Varelas werden die verschiedenen Ansatze sichtbar, mit der Aufgabe einer fonnalen Prazisierung und Klarung umzugehen. Kennzeichnend ist die Suche nach anderen theoretischen Ansatzen, die mit dem Indikationenkalkul Spencer Browns zusammen gelesen als Schlussel fur die Struktur des .Re-entry' gelten konnen, Varelas Motiv fur die intensive Beschaftigung mit dem Indikationenkalkul Iiegt in seinem biologischen Forschungsschwerpunkt, der darin besteht, die selbstproduzierende Dynamik von lebenden System en zu analysieren. Die Dynamik der Selbstproduktion baut auf einer selbstreferentiellen Struktur auf, in der der Unterschied zwischen dem Handelnden oder Operierenden und dem, worauf gehandelt oder operiert wird, in sich zusammen fallt. Darin liegt der Kern der Autonomie oder der Schliel3ung (closure) von lebenden Systemen. Varela wahlt als fonnales und damit auch allgemeines Fundament seiner biologischen Theorie lebender Systeme den Indikationenkalkul von Spencer Brown, denn in der Idee der Gleichungen hoheren Grades (mit ,Re-entry') findet Varela zentrale Hinweise auf einen einheitlichen Fonnalismus der Selbstreferenz, also eine Struktur, die den verschiedensten Vorkommnissen von selbstreferentiellen Verhaltnissen gemeinsam ist. 2 Varelas Auseinandersetzung mit dem IndikationenkalkUl Spencer Browns wird hier in funf Schritten entlang an fUnf Texten skizziert. I . Schritt: In dem Text A Calculus for Self-Refer ence' legt Varela eine Erweiterung des Indikationenkalklils Spencer Browns urn einen dritten Zustand vor. Varela vertritt die These, dass der Ubergang von den Gleichungen ersten Grades zu den Gleichungen hoheren Grades im elften Kap itel der Laws ofForm widerspruchlich ist. Er zeigt , dass die Gleichung E3 f = 71 mit dem ersten algebraischen Initial 11 kollidiert und dass der imaginate Wert deshalb nicht genug im Kalkul gegrundet ist. Unter Verwendung der algebraischen Initiale und der algebraischen ,consequences' ergibt sich folgender Widerspruch: Es gelten die Gleichungen E3 und 11. Mit Hilfe von C5 gilt: l= ff, unter Verwendung von E3 ergibt sich f = 71 f . Daraus folgt mit C I f = 71 fl . Den ganzen Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung unter dem aul3ersten ,cross' ersetzt Varela mit Hilfe von 11 durch den leeren Ausdruck, dann ergibt sich f = I. Setzen wir dies wieder in E3 ein, ergibt sich der Widerspruch: 1 = II .

Die Ubersetzung einer Theorie in eine formale Sprache zeigt nach Varela deutlicher ihre Nutzlichkeit und ihre Grenzen und ist vor allem im Entwicklungsprozess einer Theorie eine Hilfe beim Aufde ckcn von Unscharfen, vgl. Varela 1979b:106. Varela 1975

IV.B Mathem atik, Logik , Naturwissenschaft

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Urn einen Indikationenkalkiil zu erhalten, der voll kompatibel mit den Gleichungen hoheren Grades ist, legt Varela den ,Extended Calculus ofIndications' vor. Die wesentlichen Anderungen gegeniiber dem Indikationenkalkiil Spencer Browns sind die Einfuhrung eines dritten Wertes (der autonome Zustand) und der Wegfall des ersten algebraischen Initials 11 zusammen mit allen ,consequences ' , in denen 11 verwendet wurde. (In der Interpreta tion fur die Logik ist 11 das tertium non datur , das fur einen dreiwertigen Aufbau natiirlich nicht gelten kann). Das Zeichen fur den dritten Wert (self-cross LJ ) hat in dem erweiterten Kalkiil einmal die Funktion eines Zustandes und zum anderen die Funktion einer Operation des Wiedere intritts in den eigenen Raum . In dieser doppelten Funktion besteht die Verbindung zwischen der Arithmetik und den ,Re-entry' Ausdriicken . In dem erweiterten Kalkiil werden Selbstreferenz, Zeit und .Reentry ' als drei Aspekte desselben dritten Wertes gesehen , der autonom aus der Form der Unterscheidung entsteht. Damit ist eine formale und gemeinsame Struktur fur Formen von zirkularem Schliel3en in lebendigen Systemen, von Selbst-Bewusstsein und von Paradoxien und Antinomien gegeben , die die Funktion haben, eine Rahmenerweiterung zu schaffen, durch die iibliche Gegensatze zusammengefuhrt werden konnen." 2. Schritt : Varela interpretiert seinen erweiterten Indikationenkalkiil in dem kurzen aufbauenden Text The Extended Calculus ofIndications interpreted as a three valued logic' als dreiwertige Logik und definiert die logischen Junktoren mit Hilfe dreiwertiger Wahrheitstafeln. Die drei Werte werden als Interpretationen von hinweisenden Ausdriicken verstanden , die fur generellere Formen stehen sollen als die iiblichen Wahrheitswerte. Darin liegt der Unterschied zu anderen dreiwertigen Logiken , zu denen im formalen Aufbau allerdings im wesentlichen eine Isomorphie besteht." 3. Schritt: Eine Reihe der Fragen, die sich kritisch an den Erweiterungsversuch Varelas richten lassen, nimmt er selbst in einem Text zusammen mit Joseph Goguen auf. Zum einen beurteilt er dort die Einfuhrung eines dritten Wertes kritisch , durch den verschiedene ,Re-entry' -Formen vereinheitlicht wiirden, so dass ihre Differenz nicht mehr sichtbar ist.' Zum anderen wiirden durch die Aufgabe von dem ersten Initial der Primaren Algebra wichtige Intuitionen wegfallen und den Fundamenten der Indikation (indicational grounds) dadurch GeVgl. dazu auch IV.C Philosophie. Varela 1979a Vgl. Schwartz 1980. Durch die Einfuhrung eine s dritten Wertes verschwinden viele Dimensionen , die im e1ften Kapitel der Laws of Form bewusst eroffnet werden, namlich die Dimension der Zeit und damit der Dynamik in der Form, der Unendlichkeit, des Ebenenunterschiedes zwischen Primarer und erweiterter Algebra. Diese Dimensi onen deutet Varela in seinem erweiterten Kalkul gewissermaBen nachtragl ich als ,As pekte ' des autonomen Zustandes. Kauffman will dagegen in seiner Auseinandersetzung mit Spencer Browns elftern Kapitel und Varel as erweitertem Kalkul die zeitliche Perspekt ive als Ausgangspunkt nehmen und interpreti ert Varel as Erweiterungen in einer Spencer Brown nahen graphischen Netzwerknotation, vgl. Kauffman 1978:179, 184ff.

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Thomas HOlscher und Katrin Wille

walt angetan. Die andere Strategie, die in dies em Text vorgeschlagen und durchgefiihrt wird, besteht darin , die Struktur der ,Re-entry' -Ausdriicke und vor aIlem ihren Charakter von Unendlichkeit sorgfaltiger zu examinieren, anstatt in der arithmetischen Basis einen neuen Wert einzufiihren. Dazu wird eine Idee von Dana Scott aufgenommen, Unendlichkeit tiber die Idee der Approximation und des Grenzwertes einzufiihren. Unendlichkeit soIl sich in dem neuen Entwurf in einem ,Feld ' von Hinweisen reflektieren, einer unendlichen Serie von gegenseitigen Wechselbeziehungen. Denn immer dann, wenn eine Menge von Elementen betrachtet wird, die wechselseitig interagieren, entstehen (emerge) neue Eigenschaften, die nicht mit isolierten Komponenten beschrieben werden kennen. In einer Arithmetik der SchlieBung (arithmetic of closure) werden in dem Gebiet, in dem selbstreferentieIle Formen zugelassen werden, unendlich viele arithmetische Werte erzeugt, darunter auch der autonome Wert . Diese Formen werden unterschieden nach relativen Graden von Determination oder Approximation. 4. Schritt: In dem Text Form dynamics' nimmt er zusammen mit Louis Kauffman die Spur einer Erweiterung des Kalkuls wieder auf, aber so, dass den Defiziten des ersten Erweiterungsversuches Rechnung getragen wird. Diesmal ist die Struktur einer WeIlenform das leitende Paradigma, es soIl eine ,waveform arithmetic' entwickelt werden . Analog zu der WelIe/PartikelUnterscheidung der Quantenphysik wird das ,Re-entry' einmal raumlich als Muster oder Form gedeutet, die identisch mit einem Teil ihrer selbst ist. In der anderen Deutung oder Betrachtung wird das ,Re-entry' zeitlich als eine Vorschrift fur eine rekursive Tatigkeit verstanden, also als eine rekursive Dynamik. (In dem Titel des Textes Form dynami cs sind beide Betrachtungsweisen vereint.) Auch in diesem neuen Entwurf wird der Widerspruch zwischen Gleichungen hoheren Grades und dem arithmetischen Fundament gesehen, aber anders gelost. Die besonderen Kennzeichen dieser Strategie bestehen darin , dass das Zeichen lauch als Inversion mit einem halbperiodischen Wechsel (zwecks Entwicklung von WeIlenformen) interpretiert wird . AuBerdem wird eine Brownsche Algebra (Brownian Algebra) aufgebaut, die von anderen Initialen ausgeht? als die Primare Algebra und daraus zum Teil neue ,consequences' ableitet. Auch hier wird JI, das erste Initial der Primaren Algebra, nicht verwendet. Der Zweck der Brownschen Algebra besteht darin, WeIlenformen durch algebraische Sequenzen zu reprasentieren, 5. Schritt: Varela fiihrt all die theoretischen Bemuhungen urn die Struktur des ,Re-entry ' als formale Basis seiner Theorie lebender Systeme in seiner Monographie Principles of Biological Autonomy'? zusammen. An zentraler SteIle wird die doppeite Betrachtungsweise des ,Re-entry' als Form und als zeitlicher

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Kauffman!Varela 1980 Namlich C4 Occultation und 12 Transposition. Varela 1979b

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Prozess aufgenommen. Fur die Idee der Autopoiesis braucht es beide Betrachtungsweisen, da ein lebender Organismus beides ist, der, der produziert und der, der produziert ist. Es braucht die Invarianz einer Einheit und die unendliche Rekursion , die dieser Einheit unterliegt. Ais formale Basis wird hierfiir als erste Moglichkeit die Idee der Erweiterung des Indikationenkalkuls Spencer Browns urn einen dritten autonomen Wert wiederholt. Ais zweite Moglichkeit wird die Erweiterung tiber eine Wellenform zusammen mit der Grenzwertbildung leicht verandert vorgestellt. 2. Louis H. Kauffmans Deutung Louis H. Kauffman ist einer der wichtigsten und kreativsten Interpreten Spencer Browns. Die fiiihen Auseinandersetzungen mit den imaginaren Werten, die gemeinsame Arbeit mit Varela und die Deutung der Entstehung von natiirlichen Zahlen in einem der Appendizes von Spencer Brown sowie eine kontinuierliche Reihe spaterer Arbeiten zeigen sein intensives Interesse an den Laws ofForm. Charakteristisch fur den Mathematiker Kauffman ist sein mathematischer Zugang zu den Laws ofForm. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass er experimentell und in grosser Freiheit mit ihnen umgeht. In einem ,kalkulierenden' Spiel mit gleichungsmassigen Ersetzungen und Umformungen behandelt er das Set von Grundbestimmungen der Laws of Form in freier Kombination. Er erlaubt sich, Spencer Browns eigene Gestalt der Laws ofForm, gestutzr vor allem auf die ersten beiden Kapitel, auf ihren Grundimpuls, ihre Grundidee zu bringen, und sie dann in anderer Weise wieder aufzubauen. Diese Freiheit zur moglichen Alternative und Neukonstruktion bedeutet bei Kauffman jedoch keinerlei Willkur, sondern , im Gegenteil , umso grofsere ,Treue' und Nahe. Sein Ansatzpunkt, aus dem er die Laws ofForm ihrerseits neu konstruiert, ist eine Einsicht in die Verschrankung von Einfachheit und Komplexitat bereits in der ,first distinction' bzw. der ,form of distinction' bzw . schliesslich dem ,void' oder ,nothingness' . Diese Verschrankung sieht er mit der Einheit von Autbau und Abbau als dem zentralen Merkrnal der Laws of Form zusammen. In den Laws ofForm findet sich das beispielsweise im fiinften Kanon ", in dem es urn ,expansion' und ,contraction of reference ' geht als die zugleich ,kreative' und .zerstorerische'F Funktion der Grundgleichungen. Diesen gilt im Weiteren dann auch Kauffmans besonderes Augenmerk. Das Ziel der Logik und auch Mathematik seit der Antike ist es, einen Bereich klar umrissener, scharf individuierter Objekte zu konstituieren, d.h. die uberall vorkommenden Unklarheiten, Diffusitaten, Ambivalenzen und Ambiguitaten zu ,disambiguieren'. Kauffmans Grundidee ist nun, diesen synkretistischen, ,nicht-disambiguierten' , konfundierten und auch ,kondensierten' Bereich 11 12

Vgl. den Kommentar zum dritten Kapitel. Vgl. Kauffman 1994:22.

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als eine produktive Quelle fur Logik , Mathematik, formale Systeme, fur aile rationalen Prozesse zu betrachten und fruchtbar zu machen. Das nennt er, in einem archaischen Sinn des Wortes, ,Virtual Logic' . Die, Virtualitat' der Logik meint all das, was der Ilblichen Logik und Mathematik vorgelagert und als ,energizing', ,empowering' , als ,support base' wirksam ist: "That which empowers reason is not necessarily itself reasonable or logical .':" Sein Projekt ,Virtual Logic', das er seit 1996 in laufenden Kolumnen durchfuhrte , verfolgt diese Grundidee in einer Vielzahl von Bereichen der modemen Logik, Mathematik und formalen System en, immer mit direktem Bezug zu den Laws ofForm oder in lockeren Anknupfungen, Dabei geht es auch urn Grenzbereiche", Uberschreitungen und den Ubergang von einer Welt der ldeen in die andere, die sich aus dem Charakter der ,Virtual Logic' als Moglichkeitenfeld, als gemeinsamer Vorform von Verschiedenstem ergeben. Das schlagt sich in Kauffmans Konzeption von .Pivot'
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Kauffman 1997a:1. Zu den Besonderheiten einer ,Virtual Logic ' vgl. auch Kauffman 1999a:95, 2001c :78, 1999c:77, 200Od:8. "Virtual logic lives in the boundary between syntax and semantics", Kauffman 1996:293 lautet eine weitere wichtige Bestimmung. Vgl. Kauffman 2001b:84. Vgl. Kauffman 1998a,b,c.

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tung ergeben. Zu seiner Erlauterung der Grundgleichungen 17 geht er von einem wichtigen kondensierten Bereich aus, dem von ,naming' und ,instruction' zum ,cross'. Dieser wird zwar ,erst' im zweiten Kapitel und dort erst mit dem 12. und 16. Schritt eingefuhrt. Aber Kauffman ruckt dies in die Perspektive einer Manifestation der beiden Axiome , die er ebenfalls mit Spencer Brown, als in ein einziges Gesetz konfundierbar bzw. kondensierbar ansieht." Es handelt sich urn das ,Axiom of idem position" welches lautet: "Common boundaries cancel "!" (und entsprechend Kanon 5 gilt auch der inverse Prozess). So vermag er die beiden Grundgleichungen einheitlich zu erklaren, Wichtig fur den Ansatz ist die Betonung des Zusammenfallens von Operator und Operand und, wie gezeigt, von Akt der Unterscheidung (Aufforderung, von innen nach aul3en zu iiberschreiten) und Name fur die (Aul3enseite der) Unterscheidung in der Notation Spencer Browns. Diese Doppeldeutigkeit, die an manchen Stellen gezielt auseinander tritt und dann gezielt wieder zusammengenommen wird, pragt auch die Interpretation Kauffmans von den beiden Gleichungen: Bei der ,form of condensation' kommt es daraufan, dass realisiert wird, dass zwei Dinge identisch in der Form sind. Die beiden Markierungen konnen namlich verschieden einmal als Unterscheidung und als Name fur die Aul3enseite der Unterscheidung gesehen werden. Dann zeigt sich, dass die Unterscheidung selbst ihre eigene Aul3enseite indiziert. Das erste Zeichen kann als ,instruction to cross' aufgefasst werden, das zweite als ,name of the outside'.Und dass dies das gleiche, namlich konfundiert bzw. kondensiert ist, bringt die rechte Seite der Gleichung zum Ausdruck. Bei der ,form of cancellation': Die aul3ere Markierung wird interpretiert als eine Anweisung zur Uberschreitung, ausgehend von dem Zustand, der innerhalb der Markierung indiziert wird . Hier bedeuten die Markierungen das gleiche wie in der ,form of cancellation', jedoch mit dem Ergebnis ihrer gegenseitigen Auflosung . Der Operator (die aul3ere Markierung) operiert auf sich selbst und hebt sich so selbst auf. Er geht in seinem ,crossing' vom markierten Zustand aus und endet im unmarkierten, welcher durch den leeren Raum indiziert wird . Soweit

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Vgl. auch Kauffman! Varela 1986:174. Z iel und dahinter liegende tiefere Konzeption fur diese Wahl erhellen aus den folgenden Zitaten : "Name and act have condensed" - "The brackets now hold the double function of noun and verb , name and operator .., Action and name fit together" - "It is the cognizer (the cognizer is a verb AND a noun) who empowers and energizes reason", Kauffman 1998a:65, 1998b:76, 1998b, 82. Der ,cognizer' im letzten Zitat weist aif'Kauffmans Konzeption von der Position des .observer'. Die Selbstreferenz des observer bzw . die Einheit aus observer/observed stellt fur ihn die tiefste Ebene oder Quelle dessen 00 , was er ,virtual logic ' nennt. Spencer Brown 1997:152f.,184 . Zur Darstellung des Axioms bedient sich Spencer Brown im Appendix 5 tiber das Vier-Farben-Theorem kleiner Rechtecke als Markierungszeichen (diese sind ohnehin als Abkorzungen von ersteren gemeint): zwei nebeneinander geschriebene .Kastchen ' verschmelzen zu einem, wenn ihre Grenzlinien sich beruhren und geloscht werden, wahrend zwei ineinander geschriebene Kastdien sich beide vollstandig auflosen ,

Thomas HOlscher und Katrin Wille

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zu Kauffmans ,synthetischer' Sicht der Laws of Form, in Anwendung seines Konzepts einer ,Virtual Logie' auf diese selbst. Urn sein Vorgehen unter Handhabung einfachster Mittel in actu zu demonstrieren , sei der ,descent', welcher oben allgemein im Rahmen der ,Virtual Logie' charakterisiert wurde, konkret vorgeflihrt . Kauffman wahlt, der traditionellen Schreibweise nahe, als Zeichen Klammem in Iinearer Abfolge . 1. Schritt: Es wird mit einer Unterscheidung begonnen, die durch geschweifte Klammem { } ausgedrtickt wird, und dazu eine ubliche Konvention im Urngang mit Unterscheidungen aufgenommen, urn innen und auBen zu differenzieren, angezeigt durch I (inside) und 0 (outside). Dazu wird ein Operator eingeflihrt, der die Uberschreitung von einer Seite zu der anderen anzeigt, Symbol dafur sind eckige Klammem < >. Damit konnen Gleichungen gebildet werden, wie z.B. < I > = 0 , die besagt: ,wenn du von der Innenseite uberschreitest, dann bist du AuBen '. Damit stehen folgende Zeichen zur Verfligung : Namen fur Innen und AuBen , Operator, Zeichen fllr die Unterscheidung. Dieses relativ komplexe formale Inventar schafft eine komplizierte Beschreibungssprache. In den nachsten Schritten sol1diese Kornplexitat dekonstruiert, das heillt formal vereinfacht werden, bis Beschreibung und Beschriebenes koinzidieren. 2. Schritt : Identifiziere Innen mit der Abwesenheit eines Namens, Innen sei also unmarkiert. AuBen dagegen hat einen Namen , ist markiert durch O. Dies genugt, damit die beiden Seiten unterschieden sind. Es gibt also nur noch die Zeiehen < >, { }, und 0, die Gleichung von oben vereinfacht sich zu: < > = 0 und besagt nun, dass von dem unmarkierten Zustand zu dem markierten 0 gekreuzt werden soil. Bei diesem ersten Vereinfachungsschritt kann also ein Name weggenommen werden. 3. Schritt: Dies ermoglicht einen weiteren Vereinfachungsschritt: wir konnen auch den zweiten Namen weglassen, es reicht das leere Operator-Symbol, das den markierten Zustand anzeigt und zur Uberschreitung in den markierten Zustand auffordert. Dies erbringt eine bemerkenswerte Koinzidenz zwischen Name und Operation, der Name ist nichts als der Akt des Uberschreitens von der Absenz des Namens aus. Wir haben nach diesem zweiten Vereinfachungsschritt nur noch die beiden Zeichen < >, { }. 4. Schritt: Genauer betrachtet erweist es sieh, dass die eckigen Klammem seiber auch eine Unterscheidung darstellen, also braucht es nur noch das Zeichen : < >. Der Name ist das benannte Ding, Beschreibung und Beschriebenes koinzidieren. 5. Schritt : Was ist aber eigentlich dies Unterscheiden, wie kommt es dazu? Wenn die Leere zum Thema gemacht wird, dann entsteht Form . Die Form entsteht, wenn wir Nichts rahmen: "The Form we take to exist arises from framing nothing.?"

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Kauffman 1998b:77 und 2004:100

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Mit Unterscheidungen wurde in binaren logischen Systemen schon lange gearbeitet , Spencer Brown setzt aber fundamentaler an und fragt, wie die Einheiten, mit denen in der Mathematik gearbeitet wird, geschaffen werden, zum Beispiel bei der Konstruktion der naturlichen Zahlen ausgehend von der leeren Menge durch die Operation der Zusammenfassung. Fragen wir uns, was die leere Menge ist, dann entsteht sie dadurch, dass nichts eingerahmt wird. Die Klammem, die den Rahmen darstellen, indizieren eine Unterscheidung. Deshalb kann der ,descent' bzw. ,ascent', von denen Kauffman in Bezug auf die Laws of Form spricht, nicht ganz gleichgesetzt werden mit der Zahlenbildung aus der leeren Menge." 3. Matthias Varga von Kibeds Deutung (1) Der in Wirklichkeit prozessuale, sozusagen ,injunktive' Charakter von Paradoxien war es auch u.a., was den Paradoxientheoretiker Varga v. Kibed zu Spencer Brown gebracht hat. Seit den 80er Jahren widmet er sich der Fortsetzung und Erweiterung des Projekts seines Lehrers Ulrich Blau", die Paradoxientheorie mit neuesten logischen Forschungen zusammen zu bringen. Eine gewisse Stagnation hatte namlich auch die Beschaftigung mit Paradoxien in anderen, anwendungsbezogenen Bereichen nicht so effektiv werden lassen wie sie es harte sein konnen, in solchen Disziplinen wie Luhmanns Systemtheorie oder auch diversen Therapie- und Beratungsformen, welche mit oder ohne Anknupfung an die Laws of Form im grossen und ganzen auf dem Stand der Russellschen Typentheorie verharren . Ein Ziel Varga v. Kibeds ist es, diese Praxislucke zu schliel3en und das produktive Potential der modemen logischen und philosophischen Paradoxientheorie fruchtbar zu machen. Wollte man, skizzenhaft und partiell, eine Landkarte des Terrains von Varga v. Kibeds weitgefachertem ,Spencer Brown-Projekt ' versuchen , ware dies eine erste wichtige Markierung. Weitere Orientierungspunkte sind die folgenden: (2) An den Laws of Form fasziniert ihn, obwohl Spencer Brown sich dort noch ersichtlich an Russells Typentheorie abarbeitet, das ,Re-entry '- Kapitel, das ein unausgeschopftes Instrumentarium zur komplexeren Durchleuchtung und Verwendung von Paradoxien bereithalt. Vor allem aber die ,proto-' oder .pralogische' Grundlegung im ersten und zweiten Kapitel hat sein verstarktes und anhaltendes Interesse gefunden . Seine Arbeit ist von einem vollen Emstnehmen 21

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Bei Kauffman! Varela 1980:172 heisst es dazu: "Our aims are more fundamental ... we would give attention to the construction of the empty set itself." Auf die Paradoxien als einen weiteren wichtigen Gegen standsbereich von ,Virtual Logic' sei nur mit folgenden Zitaten verwiesen : "In a sense the best compl iment you can pay to a paradox is not to 'solve' it, but to use its form of reason to make progress in a non-paradoxical context. This is the virtual logic of the paradox." und "Behind every paradox , there is a rich vein of virtual logic." Kauffinan 1999c:77 und 1996:294. Vgl. Blau 1990,2004.

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Thomas HOlscher und Katrin Wille

dieser .Pra-Ebene' gepragt. Er mochte sie zu einer neuen Grundlegung der modemen Logik nutzen und bemiiht sich umgekehrt, aile nur erdenklichen theoretischen Mittel zu ihrem ausreichenden Verstandnis zu mobilisieren. Dazu gehort es, die besondere Starke der Notation in den Laws of Form herauszustreichen, die vor allem in dem ,anadischen' Operator und der ,topologischen Invarianz' der Notation liegt ." (3) Ein wichtiger Verbiindeter ist dabei Wittgensteins Tractatus logicophilosophicus, eine zweite tragende Saule in Varga v. Kibeds logischem und philosophischem Arsenal. Der Tractatus ist von Bedeutung, da man sagen kann, dass Wittgenstein hier seiber den Ubergang von einer ,protologischen' zur logischen Ebene bewusst implizit mit dargestellt, sozusagen ,auskonstruiert' hat. Das macht den Tractatus fur einen Nachvollzug dessen , was eigentlich in den radikalen Vereinfachungs- und Kondensierungsprozessen zu Anfang der Laws ofForm geschieht, so hilfreich. In dieser Sicht, in der Spencer Brown wiederum seinerseits auf das Verstandnis des Tractatus angewendet wird, stellt er so etwas wie ein logisches Modell des Ubergangs vom Vorlogischen zum Logischen dar, das Modell eines logischen .Ubergangsritus' sozusagen. (4) Ein dritter Verbiindeter in Varga v. Kibeds logisch-philosophischem Verbundsystem zur Realisierung der Errungenschaften der Laws ofForm ist der amerikanische Logiker, Mathematiker und Philosoph Charles S. Peirce. Dieser entwickelte eine mit Spencer Brown vergleichbare Unterscheidungstheorie der ,Schnitte' , setzte sich in ahnlicher Intensitat mit der Booleschen Algebra ausein ander und stellt in seiner Theorie der Semiotik Hilfsmittel bereit zum besseren Verstandnis der Tragweite der Notation und der Zeichenbildung und Verwendung in den Laws ofFormi" (5) Das sogenannte ,Tetralemma' stellt eine weitere Orientierungsmarke auf dem hier skizzierten Landkarten-Fragment dar. Dies ist ein logischargumentatives Schema, das der indischen und buddhistischen Logik entstammt. Es wurde von Varga v. Kibed verfeinert fur das Durchlaufen von verschiedenen Stufen und Rekursionen von Gegensatzbildungen, mit den entsprechenden Typen von Ne gation und den Artikulationen unterschiedlicher Kontextebenen und -formen. So stellt es auf einer vereinfachten Ebene einen ahnlichen Paradoxienund Arnbiguitaten-Modulator dar wie der Tractatus. Es eignet sich mit seinen vier Positionen ausgezeichnet zu einer Modellierung der ,form of distinction' mit ihren vier Aspekten, zuzuglich einer offenen funften Position, die alles aufhebt bzw. re-kontextualisiert, worin sich die verschiedenen ,Re-entry'-Prozesse des elften Kapitels der Laws ofForm darstellen lassen." Diese Landkarte erlaubt bei ausreichender Vernetzung ihrer Orte eine tiefergelegte Auffassung folgender E1emente: der Paradoxien, der Negationsvor23

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Vgl. Varga v.Kibed 1989b:402. 1990b:29,33. Auch Kauffman hat sich dicscn Bezugen gewidmet, vgl. Kauffman :200Ib. Siehc fur die praktische Seite IV.G Praxis der Unterscheidung.

IV.B Mathematik, Logik , Naturwissenschaft

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gange , der Kontextbildungen und Kontextthematisierungen, der Zeichenbildung und Notation. Dadurch wird ein angemessenes Verstandnis der Grundprozesse der Laws of Form in grosserer Naherung versucht: eben dessen , was die radikal einfache Ebene des Protologischen eigentlich ausmacht. Nicht weniger geht es darum, wie der ,calculus of indications' sich zur modemen formalen Logik verhalt: was er zu einem vertieften Verstandnis, ja zu ihrer Neukonstruktion beizutragen vermag, aber auch wie eines von mehreren Defiziten behoben werden konnte, namlich der nicht gegliickte Versuch seines Anschlusses an die Pradikatenlogik in Appendix 2. Als Konsequenz ergibt sich ein Ansatz tiefergelegter Paradoxien, und dieser fuhrt zu einem negationsbasierten Modell der Grundunterscheidung in den Laws ofForm . ,Tiefergelegt' meint: aus dem Bereich der Logik mit ihren spezifischen Unterscheidungen hinaus auf die .pra-logische Ebene' mit ihren andersartigen Unterscheidungen. Diese Ebene ist zugleich vor-sprachlich. Das macht man sich oft nicht klar, da die Laws of Form, auch die ersten Kapitel, notgedrungen sprachlich kommuniziert werden . Varga v. Kibeds Zielrichtung lasst sich gut mit Spencer Browns eigenen Worten demonstrieren. Ein Teilnehmer der AUMConference hatte den Eindruck, bei so vieI Rede von Widerspruchen und Paradoxien seien diese als ,the form of form' anzusehen und das Buch musse eher ,Laws of Contradiction' heissen. Die Antwort Spencer Browns ist: " Whenever we are speaking of contradiction , it is at such a more superficial level, because we are now already in language , and so on. Whereas in Laws ofForm the form is operative at every level. Whereas contradiction is only operative in something like our speaking .t'r"

So haben Paradoxie, Negation und die ublichen Operationen auf der Ebene der Form einen anderen Charakter als auf der Ebene der Sprache, die auch die der Logik ist. Daher kann man den ,mark of distinction', also den Unterscheidungsoperator, als Negationsoperator auffassen. Damit befindet man sich auf einer anderen Ebene als mit Spencer Browns eigener Diskussion tiber die Ubertragung des ,cross' als ,not-operator' auf die logische Ebene." Dieser Negationsoperator generiert die ,form of distinction' in allen ihren vier Aspekten tiber unterschiedliche Negationsformen, die er kondensiert enthalt: eine ausschlieBende bzw. grenzsetzende, eine einschlieBende sowie eine kontextrelevante." Das entspricht genau der zugleich trennenden und verbindenden Funktion der Grenze. Nicht mit einem Junktor haben wir es bei diesem Operator zu tun, son-

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AUM 4,6 AUM I,ll., vgl. II.A Kontexte der Laws ofForm. Es handelt sich urn die .prasupponierendc' und die ,dementierende' Negation sowie die Kornbinationen beider. Diese Theorie der multiplen Negation wurde von Ulrich Blau entwickelt. Blau

1990,2004.

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Thomas HOlscher und Katrin Wille

dem mit einer Form." Aus Varga v. Kibeds Perspektive fallen .Distinktor?? und ,Negator' zusammen: der ,Spencer Brown-Operator' ist die gemeinsame Form aller Polaritatsverhaltnisse. Wobei .Polaritat' die Vorlauferform der Ublichen logischen Negation ist, welche ihrerseits, ebenso wie die Wahrheitswerte wahr und falsch, eine re-symmetrisierte Form von Polaritat ist. Hier erweist sich fur Varga v. Kibed der grundlegend asymmetrische Charakter der ,distinction' . Schauen wir auf Spencer Browns eigenes Beispiel: "... we cannot produce a thing without coproducing what it is not, and every duality implies triplicity : what the thing is, what it isn't and the boundary between them .?" Hier zeigen sich Negationsoperator, Polaritat und Asymmetrie in Aktion. Was bei Spencer Brown fehlt, der ,implizite Kontext', den hat Varga v. Kibed in die Diskussion eingefuhrt", bei Spencer Brown erscheint er nur in der Gestalt des ,unwritten cross' , welches jeglichen ,mark of distinction' bzw. ,cross' unsichtbar umgibt." In Varga v. Kibeds Modell artikuliert die kontextrelevante Negation den impliziten Kontext, der als das, ,worin es stattfindet' zunachst unabgegrenzt bleibt, und erst u.a. durch das ,Re-entry' als Kontexterweiterung wie Rekontextualisierung thematisierbar wird", dadurch als solcher aber jeweils immer weiter zurUckweicht. Nur, indem man samtliche logische Kategorien und Unterschiede mit Spencer Brown auf dieser .pra-logischen Ebene' zu rekonstruieren versucht, kann es nach Varga v. Kibed gelingen, eine ,Prozess-Logik', die diesen Namen verdient, zu entwickeln - und dies ist ein wichtiges Femziel seiner Beschaftigung mit den Laws ofForm.

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Varga v. Kibed kann hier die grosse Ahnlichkeit zu Wittg ensteins ,N-Operator' im Tractatus zeigen. Varga v. Kibed 1990b . Der Ausdruck findet sich bei Howe / v. Foerster 1975:2. Spencer Brown 1994b:ix (Hvb .T.H.). Vgl. auch den Kommentar zum ersten Kapitel. Vgl. auch den Kommentar zum zweiten Kapitel. Hierbei muss das .Re-entry ' bzw . der .Re-entry-mark' ebenfalls mit seinem Kontext, also umgeben vorn ,unwritten cross' genommen werden , da es andemfalls zu Widerspruchen zu kommen scheint, die Varela in seinem Text A Calculus f or Self-Reference in den Laws ofForm nachzuweisen versucht. Gegen diese Kritik , die oft als Widerlegung der erw eiterten Algebra aufgefasst wurde, argumentiert Varga v. Kibed und entwickelt den Ansatz einer , Logik der Explizitmachung impliziter Kontexte ', vgl. Varga v. Kibed 1989b , 1990b , 1993. Es ware aufschlussreich, Kauffmans Auseinandersetzung mit derselben Kritik von Varela, die in eine andere Richtung zielt, hier zu vergleichen. Kauffman:2002ab, 2003b .

IV.C Philosophie Tatjana Schonwalder-Kuntze

Der vorliegende Beitrag stellt bereits erfolgte und mogliche philosophische Deutungen der in den Laws of Form dargelegten Ideen vor. Es werden drei unterschiedliche Verwendungen oder Adaptionen betrachtet , die an verschiedene Aussagen der Laws of Form anknupfen . Die erste Art von philosophisch interessanter Deutung findet sich in den Selbstkommentierungen Spencer Browns - hier werden als Beispiele der Weltreisende und der Physiker aus den Notes zu den Laws ofForm vorgestellt. Die zweite Art besteht in der euphorisch zu nennenden Aufnahme durch konstruktivistisch denkende Wissenschaftler aus verschiedenen Disziplinen . Eine dritte Art besteht schlieBlich darin, in (anderen) philosophischen Gedankengebauden strukturelle und dynamische Parallelen in Bezug auf deren methodologisches Analysemuster herauszustellen, dem eine ahnliche Idee von der vollstandigen Form einer Unterscheidung in zentraler Weise zugrunde zu liegen scheint. I. Zwei Beobachter: Der Weltreisende und der Physiker 1m Kommentar zum zwolften Kapitel ist der Beobachter nicht so stark konstruktivistisch interpretiert worden, wie das haufig getan wird. Stattdessen wurde bereits im Kommentar eine Position vertreten, in der der die Entstehung des Kalkuls mitverfolgende Beobachter eine implizite Referenz darstellt, insofern er einen relevanten Faktor ausmacht, wenn es urn die angemessene Form der Darstellung geht. Diese Lesart wird auch gestiitzt durch die (gedankliche) Reise, zu der uns Spencer Brown in den Notes einladt.' Dort heil3t es, dass wir uns vorstellen sollen, dass wir nicht - wie ublich auf einer ebenen Flache einen Hinweis notierten, sondem stattdessen die Erdoberflache benutzten , urn auf ihr hinweisende Zeichen niederzuschreiben. Anschliel3endsollen wir die Rolle wechseln, indem wir jetzt diejenigen spielen , die die Zeichen zur Kenntnis nehmen. Dabei stellt sich Folgendes heraus: Je nachdem, wo wir uns im Verhaltnis zum Geschriebenen befinden , seh en wir verschiedene Ausdrucke , deren Werte dann entsprechend der jeweiligen Belegung variieren, und damit verweisen sie auf Verschiedenes, bedeuten etwas anderes. Von London (a) aus scheint uns der Aquator die beiden Inseln Australien (b) und Neuseeland (c) zu umfassen , da wir uns aul3erhalb des Aquators befinden. Vgl. LoF:102f.

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Tatjana Schonw alder-Kuntze

In Sudafrika angekommen, haben wir den Aquator iiberschritten und das bedeutet, dass er aus unserer dortigen , von ,unten' sehenden Perspektive London umfasst. Australien und Neuseeland sehen wir allerdings so wie vorher - allerdings ohne den sie umfassenden Aquator. Wenn wir nach Australien weiter reisen , dann uberschreiten wir die australische Grenze und das bedeutet, dass sowohl das yom Aquator umgebene London als auch das von seiner Kustenlinie umgebene Neuseeland zusammen aul3erhalb der Kustenlinie Australiens gesehen werden - deshalb steht jetzt das ,Australien anzeigende' (b) alleine . Wenn wir die neuseelandische Kuste betreten , iiberschreiten wir wiederum eine Grenze und sehen diese dann - von der anderen Seite aus - sowohl Australien als auch London umfassen: "These four expressions are distinct and not equivalent." (LoF:103). Uberse tzt man die Kreisnotation in die Notation des Kalkuls , dann lasst sich arithmetisch beweisen, dass die Ausdriicke nicht aquivalent sind : Setzt man beispielsweise b = lund c = , dann erhalt man fur die ersten beiden Standpunkte (London und Cape Town) a = al und damit eine ungtiltige Gleichung. Durch die Veranderung der Beobachtungsperspektiven bzw. -standpunkte werden die einzelnen (Teil-)Ausdriicke in je andere Verhaltnisse zueinander gesetzt ; die grenznberschreitende Reise versetzt sie in je ,andere Tiefen'. Urn also tiber die Aquivalenz von Ausdrucken etwas aussagen zu konnen, muss eindeutig bestimmt werden, wie sie aufzufassen sind und das imp liziert notwendig den beobachtenden Standpunkt des Lesers bzw. des Betrachters. Die Reisebeschreibung zeigt mithin, dass die Bedeutung von Zeichen auch davon abhangig ist, aus welcher Perspektive oder von welchem Standpunkt aus sie betrachtet werden, und dass deshalb eine angemessene Zeichengebung den Standort des Beobachters miteinbeziehen muss, wenn Mifrverstandnisse und vor allem falsche Aquivalenzannahmen vermieden werden sollen. Das heillt aber keineswegs, dass der Reisende derjenige ist, der den Zeichen ,frei' ihre Bedeutung gibt, noch dass sie ausschliel3lich von ihm und seinem Standpunkt abhangen - aber indem er sich in ein bestimmtes Verhaltnis zu ihnen setzt, kann es zu einer Veranderung des Wertes der Verhdltnisse der Zeichen untereinander kornmen . Der Standpunkt dessen , der die Zeichen zur Kenntnis nimmt , hat somit eine unmittelbare Wirkung auf die Relation zwischen ihnen und muss daher mit einbezogen werden. Eine zweite Deutung des Beobachters findet sich eben falls in den Notes zum zwolften Kapitel. Hier tritt er in Gestalt eines Physikers auf, der auf der einen Seite zugleich das ist, was er beobachtet: "Let us then consider ... the world as described by the physicist. ... Now the physicist himself, who describes all this, is, in his own account, himself constructed of it." (LoF:104f., Hvhb. T.S.-K.). Der Physiker entdeckt also in letzter Konsequenz, dass er selbst aus nichts anderem besteht als aus dem, woraus die Welt zusammengesetzt ist. Auf der anderen

IV.C Philosophie

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Seite besteht das Faszinosum jedoch darin , dass er Teil eines Selbstbeobachtungsszenarios der Welt als ganzer ist, die sich - mittels seiner - selbst beobachtet. Daraus folgt , dass es keine Perspektive gibt , aus der ,sich ' die ganze Welt, die sich aus dem Beobachter und dem Beobachteten zusamm ensetzt, jemals vollstandig beobachten bzw. erkennen konnte: "Thus we cannot escape the fact that the world we know is constructed in order (and thus in such a way as to be able) to see itself. ... But in order to do so, evidently it must first cut itself up into at least one state which sees , and at least one other state which is seen . In this severed and mutilated condition, whatever it sees is only partially itself." (LoF:105). Die Bedingung der Moglichkeit der Selbstbeobachtung liegt in einer Unterscheidung, die zugleich die vollstandige Selbstbeobachtung unmoglich macht. ' Diese Eigenschaft, aIIes andere, nur nicht sich selbst beim Beobachten beobachten zu konnen, ist einer der Anknupfungspunkte konstruktivistischer Interpretationen . 2. Die ,konstruktivistische' Perspektive Die hier vorgesteIIte Version des Konstruktivismus entstand aus einer Tradition, deren Wurzeln im sogenannten ,Wiener Kreis ' liegen. ' Aus diesem interdisziplinar besetzten Kreis von Wissenschaftlem sind seit Beginn des 20. Jahrhunderts zahlreiche Theorien tiber die Moglichkeiten und Grenzen des Welterfassens, -erkennens und -verstehens hervorgegangen. Eine gemeinsame wissenschaftliche Grundannahme besteht in einer positivistischen Fundierung, aber auch Relativierung dessen , was Wahrheit ist - und das nicht zuletzt in Abgrenzung zu einer als stark spekulativ empfundenen und nicht wissenschaftlich nachprtifbaren Metaphysik, wie sie etwa im Denken Hegels und insbesondere Heideggers verortet wurde. Die Aufgabe der Philosophie besteht nach der Auffassung der ,Positivisten' darin, sprachkritisch tiber den Sinn und die Wahrheit von (naturwissenschaftlichen) Satzen Aussagen zu machen und nicht mehr darin , Satze tiber die Welt oder das Sein schlechthin zu formulieren . Die ErClam fuhrt gegen Luhmann an, dass aus der Tatsache , sein eigenes Sehen nicht sehen zu konnen, nicht notwendig folge, dass das Nicht-Sehen die Bedingun g der Moglichk eit des Sehens ist, vgl. Clam 2002:107 . Hier scheint aber das Argument verkurzt wider gegeben , denn es ist nicht die Tatsache der unmoglich en Selbstbeobachtung beim Beob achten, die von Spencer Brown als Moglichkeitsbedingung formuliert wird, sondem die zu treffende Unterscheidung zwischen einem sehenden und einem gesehenen Teil . Wird diese Differenz als Form der Unterscheidung im Sinne der Laws of Form rekonstruiert , dann ist die Selbstbeobachtung der beobachtenden Seite per dejinition em ausgeschlossen. Insofem kann dann davon gesprochen werden, dass das Nicht-Sehen die Bedingung der Moglichkeit des Sehen s ist. Mitglieder des ,Wiener Kreises' waren u.a. Rudolf Carnap, Kurt Go del, Olga Hahn-Neurath, Otto Neurath , Karl Popper , Moritz Schlick, Richard von Mises, Luwig Wittgenstein und Edgar Zilsel.

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kenntnis wird somit zum einen auf das Erkennen objektiv gegebener Naturgesetze beschrankt, zum anderen aber auch auf objektive Denkmuster und -strukturen und auf unsere Sprache hin relativiert. Wittgenstein steht hier am Beginn des ,linguistic tum' in der Philosophie; in der Physik sind vor allem Schrodinger und Heisenberg zu nennen; in der Psychologie der Entwicklungspsychologe Piaget. 4 Konstruktivistisch wird diese Perspektive, wenn man den Fokus auf den konstruktiven Zusammenhang von Denkmustem und erkannter Welt legt - wie schon von Kant 1787 in der 2. Auflage der Kritik der reinen Vernunft formuliert: "weil Erfahrung selbst eine Erkenntn isart ist, die Verstand erford ert, dessen Regeln ich in mir, noch ehe mir Gegenstande gegeben werden, mith in a priori vorauss etzen mul3, welche in Begriffen a priori ausgedruckt wird, nach denen sich also alle Gegenstande der Erfahrung notwendi g richten und mit ihnen ubereinstimmen muss en.:". Das erkennende Subjekt wird demnach durch die unwillkurliche ,Anwendung' seiner a priorischen Begriffe und Denkschemata im Erkenntnisakt zum Konstrukteur dessen , was es erkennt. Den neueren konstruktivistischen Theoretikem, die sich auf die Laws of Form beziehen , geht es allerdings weniger urn die Identifikation konkreter a priori scher und ahistorischer Denkkategorien, wie das etwa bei Kant der Fall war, noch urn konkrete naturwissenschaftliche Erkenntnisse, sond em vielmehr urn den rezipr oken Zusammenhan g zwischen beiden , d.h. urn den wechselseitigen Entstehungszusamme nhang zwischen kategorial en Denkmu stem auf der einen Seite und gewonnenen Erkenntnissen auf der anderen Seite. Die Rede von der ,konstruktivistischen Perspektive' muss daher im vorliegenden Zusammenhang dahingehend eingeschrankt werden , dass hier nur wenige Vertreter einer wiederum in sich vielfaltigen wissenschaftlichen Perspektive vorg estellt werden, die seit ihrem (emeuten) Auftauchen zu Beginn des 20 . Jahrhunderts in vielen Disziplinen Vertr eter gefunden hat und die sich bis heute fortentwickelt. 6 Diej enigen Wissenschaftler, die die Ideen der Laws of Form aufgen ommen haben , verstehen sie vor allem als philo sophisch-logische Fundierung und Bestatigung ihrer eigenen theo retischen Ansatze. Insofem es sich immer auch urn kognitionstheoretisch e Ans atze handelt, dienen ihnen die Laws ofForm auch in

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Die diesen Ansatze n zugrundeliege nde Perspekt ive auf das Wese n der Erkenntnis findet sich allerd ings auch schon we it fruher in Form elaborierter (Erkenntnis-)T heo rien. Beispielh aft waren hier zu nenne n: Giovanni Vico (1668-1744), George Berkeley (1684-1753), David Hume (17 11-1776), Immanuel Ka nt (1724-1804). Kant 1786: B XVll f. Der Begriff ,Konstruktivismus' ist in den 1920er Jahren in der russischen Architektur und Literatur geprag t worden, spater vo n Paul Lorenzen als .konstrukt ivistische Log ik' ubernommen worden, die als Beg rOndungslehre der Wissenschafte n dienen sollte. Heut e erstrec kt er sic h auf so unterschiedl iche Ansatze wie etwa den Nelson Goo dmanns oder Judith Butlers, wobei hier zwisc hen eine m erke nntnisth eoretisc hen, wisse nschafts theo rctisc hen und soz ialem Konstruktivismus unterschieden werden muss.

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einem wissenschaftstheoretischen Sinne als erkenntnistheoretische Grundlegung ihrer eigenen Disziplinen, weshalb hier nicht in der Philosophie tatige , sondern interdisziplinar arbeitende Wissenschaftler genannt werden: Heinz von Forster", Ernst von Glasersfeld", Paul Watzlawick? und Francisco Varela." Neben der fur aile Wissenschaften grundlegenden erkenntnistheoretischen Fragestellung, lasst sich das ausgepragte Interesse an den Laws ofForm vor allem dadurch erklaren, dass hier ein Differenzen erzeugender Entstehungsprozess angenommen wird, dass Unterschiede damit nicht als gegeben, sondern als produziert gedacht werden und somit eine konstruktive Funktion erhalten, sowie dass Rekursivitat und auftauchende logische Paradoxien als potentiell produktiv aufgefasst werden urn nur einige der Ankniipfungspunkte zu nennen. Diese Fiille verschiedener Fragestellungen sehen sie in der Form der Unterscheidung und dem auf ihr aufbauenden Hinweiskalkiil in komprimierter Form prasentiert: Neben dem logischen Kalkul findet sich die Idee einer urspriinglichen Weltkonstruktion durch Unterscheidungen und durch die wiederum differierende Bezeichnung dieses Unterschiedenen, mit der ihm zugleich Bedeutungen zugewiesen werden . Durch die Kalkiilisierung lassen sich die verschiedenen Ankniipfungspunkte zudem in einen systematischen Zusammenhang bringen, so dass sie kreisformig von einem zum anderen fuhren . So lasst sich in der Form der Unterscheidung ein dynamisches Konstruktionsmuster sehen, das aus einem Differenzierungsprozess entsteht , durch das zuallererst der erkennende Beobachter und sein erkanntes Beobachtetes als Erkenntnisrelation ,ko-produziert' werden. Durch den darauf aufbauenden Hinweis-Kalkiil bieten sie einen (erkenntnis- )theoretischen Ort fur die Verwendung von Zeichen und Sprache , der wissenschaftstheoretisch interpretierbar ist, insofern erst im Erkenntnisprozess erzeugte Unterschiede benannt, d.h. auch wissenschaftlich diskursiviert werden .

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Hein z von FOrster (19 11-2003 ) war ausgebildeter Diplomingenieur in technischer Physik , seit 1949 Prof. fur Informatik an der Universitat Illinoi s in Urbana, seit 1958 Professor fur Biophysik und Physiolo gie sowie Grunder und Leiter des Biologischen Computer-Laboratoriums, eines interdisziplinaren wie internati onalen Forschun gsinstituts fur das Studium der Physiologie, Theorie, Technologie und Epistemologie kognitiver Prozesse. (Dieser und die folgenden Hinweise zu den Personen sind in verkurzter Form Watzlawick 1985 und 1992 entn omme n). Ernst von Glasersfeld (* 1917) entwickelte Anfang 1970 die Zeichenspr ache ,Yerkish' und mit Piero Pisani das Computersystem , das fur Verstandigungsexperimente mit der Schimpansin Lana verwendet wurde . Seit 1978 ist er Profes sor fur Kognitive Psychologie an der University of Georgia. Paul Watzlawick (1921-2007) hat Philosophie und Phi1ologie studicrt und anschlie6end eine Ausbildung zum Psychoan alytiker absolviert. Von 1957-1960 war er Profess or fur Psychotherapie in EI Salvador, seit 1960 Forsehungsbeauftragter am Mental Research Institute in Palo Alto, seit 1976 zudem Clinic al Associate Professor in der Abteilung fur Psychiatrie der Stanford Univ ersity . Francisco 1. Varela (1946-2001 ) studierte Medizin und Naturwi ssen schaften und kam 1968 mit einem Stipendium nach Harvard . Seither Lehrtatigkeit als Professor an Universitaten in Chile, Costa Rica, Co lorado, New York und zuletzt in Paris.

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Zugleich findet sich eine Idee von variabler, wei! standortabhangiger Erkenntnis, die intersubjektiv, aber auch rekursiv aufgefasst werden kann. Nimmt man beispielsweise die Frage nach den Erkenntnismoglichkeiten heraus, dann zeigt sich folgende Verschiebung in der Fragestellung: Wenn man Erkenntnis als eine Relation auffasst, die zwischen einem erkennenden Subjekt und einem erkannten Objekt besteht, dann lautet eine klassische Bestimmung dieser Relation als ,wahr', dass eine ,adaequatio rei et intellectus ' vorliegen muss. Daran schlieBt sich die (alte) erkenntnistheoretische Frage an, ob es eine ,objektiv erkennbare Welt' gibt. Die Rede von einer ,obje ktiv erkennbaren Welt' kann dann entweder so verstanden werden, dass das Erkannte auch ohne die Erkennenden so, wie es erkannt wird, da ist, oder aber, dass aile Erkennenden prinzipiell das Gleiche erkennen, wenn sich auch nichts darilber aussagen lasst, wie es ohne den erkennenden Vorgang, ,an sich selbst' ist. Das Pradikat ,objektiv' bezieht sich mithin einmal auf das Erkannte und einmal auf die Art und Weise des Erkennen s. Eine andere Perspektive geht davon aus, dass alles, was wir als Welt erkennen , immer nur von jedem Einzelnen je verschieden erkannt wird und es daher weder eine objektiv erkennbare Welt noch objektiv erkennbare Erkenntnisformen gibt. Die konstrukti vistische Antwort auf diese Frage sieht den Zusammenhang zwischen Erkanntem und Erkennendem gleichsam als ,Form der Unterscheidung' , indem beide Seiten der Erkenntnisrelation zugleich und aufeinander bezogen entstehen, so dass die Frage nicht mehr lautet, ob sich die Erkenntnis nach den Gegenstanden richtet oder umgekehrt, sondem, wie beide Seiten gemeinsam ,entstehen': .J ch sage ..., daB die Zuk unft der kognitiven Wissenschafte n ... weder darin liegen wird, zu verste hen, wie wir die Reprascntation der Welt entw ickeln, noch darin, die Welt, die wir wahme hmen, fur eine Art willkurlicher Kreation des Denkens zu halte n. Statt dessen wurde ieh sagen ..., daf der Erkennende und das [Erkannte] ... in einem Zirkel der wec hselseitige n KoSpez ifizierung und des ko-abhangigen Entstehens gebunden sind. Dieses wegen je nem, j enes wege n diesem ... [sic.] ko-abhangiges Entstehen. Das bedeutet logischerweise: es gibt keinen Bezugspunkt, wede r innen noch auBen, d.h. es gibt keinen Bezugspunkt fu r ein Fundament. Also liegt der Mittelweg in der Mitte eines Zirkels.""

,Erkenntnis' wird aus dieser Perspektive zu einem fortwahrenden Herstellungsprozess, in dem sowohl die erkennende Seite als auch die erkannte Seite in wechselseitiger Abhangigkeit zugleich produziert werden. Watzlawick formuliert:

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Varela 1997:58

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.A uch die Physiker betonen immer wieder, daB die Beobachtung in eine andere Wirklichkeit fiihrt. Es ist ja nicht nur so, wie Heisenberg sagte, daB die Beobachtung auf das Beobachtete einwirkt, sondern es ist auch so, daB das Beobachtete auf den Beobachter zuruckwirkt.?"

Ernst von Glasersfeld betont unsere kognitiven ,Handlungen', mit denen und durch die wir die Welt so konstruieren, wie sie uns erscheint: .Der Ausdruck »die Welt, in der wir uns als Lebende vorfinden« ... leitet sich ... von der Idee Piagets her, daB einige der Begriffe, die die Struktur unserer Erfahrungswelt bestimmen, wahrend unserer sensomotorischen Periode konstruiert werden , ... wenn wir noch weit davon entfemt sind, uns dessen bewuBt zu sein, was wir da aufbauen''! ' bzw. worin der Grundakt des Aufbauens besteht: im Unterscheiden, Bezeichnen und Benennen des Unterschiedenen. Eine erkenntnistheoretische These des Konstruktivismus lautet also: Der Beobachter konstruiert (s)eine Wirklichkeit; wenn damit auch weder gemeint ist, dass die Materialitat schlechthin durch den Beobachtungsprozess erschaffen wiirde, noch, dass die Konstruktionsformen dem Willen und Wollen des Einzelnen unterlagen, sondem nur, dass der Beobachter konstitutiv fur die Wirklichkeit ist, weil er oder sie sie erkennend oder beobachtend in einen bestimmten, aber durchaus individuell, sozial und historisch variablen Ordnungszusammenhang bringt. Dass diese These nicht explizit in den Laws of Form zu finden ist, ist bereits angesprochen worden, auch wenn es Hinweise darauf gibt, dass Spencer Brown einer .Absage an die Annahme einer objektiven Wirklichkeit"!" moglicherweise zustimmen wiirde, wie folgendes Zitat deutlich macht: "And since tokens or expressions are considered to be of some (other) substratum, so the universe itself, as we know it, may be considered to be an expression of a reality other than itself." (LoF: 104). Auf das Wissen der Wissenschaften angewendet, bedeutete das, dass ihre genuine Tatigkeit weniger ein Entdecken der als vielmehr ein Produzieren von Welt ist - mit all den daraus ableitbaren Konsequenzen. " Dass mit einer solchen Idee von reziprok konstruierter Erkenntnis weite Teile des philosophischen Erkenntnis- und Selbstverstandnisses impuldieren, zeigt sich spatestens dann, wenn die Erkenntnisrelation rekursiv zur Anwendung kommt. In den Notes findet sich, wie bereits erwahnt, die These, dass der Beob-

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Watzlawick 1995:48. Dem Text geht das oben bereits angefllhrte Zitat von der Welt, die sich teilen muss, urn sich sehen zu konnen, voran , vgl. LoF:105. Glasersfeld 1997:194. AnschlieBend zitiert er: "and our understanding of such a universe comes not from discovering its present ~pearance , but in remembering what we originally did to bring it about .", LoF:104. Watzlawick 1995:55 Zur moglichen Verschiebung des Selbstverstandnisses der Wissenschafien im Wissensgenerierungsprozess vgl. beispielhaft Varela 1997, der dort insbesondere auf dic Kognitionswissenschaften eingeht.

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achter (als Physiker) Teil einer Welt ist, die offenbar in der Lage ist, sich selbst zu beobachten, wei! sie sich in einen beobachteten und einen beobachtenden rei! aufsp altet. Setzt man diese Spaltung als Moglichkeitsbedingung der Selbstbeobachtung der Welt voraus, ist es dem sehenden Teil nicht moglich, die ganze Form dieser Unterscheidung in den Blick zu nehmen, da er eben nur ein Teil dieser Form ist, und ein Blick von der ,anderen Seite' auf ihn selb st nicht moglich ist. Diese Unmoglichkeit wird nun von Heinz von Forster auf die biologische Erkenntnis ubertragen, dass der Beobachter oder der Sehende aufgrund der Anatomie des Auges ein en sogenannten ,blinden Fleck' aufweist, den er selbst aber nicht sehen kann, sondem allerhochstens im Selbstv ersuch auf vermittelte Art und Weise als parti elles Nicht-Sehen wahmehmen kann . Heinz von Forster nennt dies einen Fall von ,autologischer Rnckbezuglichkeir ", die inso fem eine An alogie zu den Laws of Form aufweist, als der ,blinde Fleck ' no twendige und damit anatomisch un vermeidbare Bedingung des Sehens schlechthin ist, ohne aber selbst gesehen werden zu konnen . Reformuliert man dieses Faktum als Paradoxie der Art, dass Sehen notwendig (partielles) Nicht-Sehen impliziert, dann lassen sich Parallelen zu den Ruckbezuglichkeiten ziehen, die Spencer Brown im II. Kapitel thematisiert und die unter bestimmten Umstand en zum ,Problem' der Paradoxie fuhren konnen." Aus ein er wissenschaftstheoretischen Perspektive werden auftretende Paradoxien als Hinweise au f notwendige Korrekturen im theoretischen Setting verstanden, d.h sie erh alten eine positive Funktion im Wis sens generierun gsprozess . Fur Wat zla wick stellen Paradoxien dah er kein zu verm eidendes Probl em dar , sondem sie sind ein .ep tstemologisches Warnlicht, das zu blinken beginnt, wenn ... eine Konstruktion nicht mehr paf3t oder ... wenn sich herausstellt, was die Wirklichkeit nicht isr'": In der Mathematik, so Watzlawick, neige man dazu,

,jene Gegebenheiten zu unterdriicken und fur unzuldssig zu erkldren, deren Annahm en das Denksystem ad absurdum fiihr en wurden." ? Fur Varela sind solche zirkularen Erscheinungen, die "man ublicherweise Teufelskrei se (circuli vitiosi) [nannte], ...circuli virtuosi oder kreative Z irkel"20, die u.a. in nattirlichen Syst emen fur deren Autonomie sorgen, d.h. fur deren 16 17

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Vgl. v. FOrster 1993:236. Spencer Brown stellt in dem Vorwort zur ersten amerikanischen Ausgabe von 1972 selbst die Verbindung zu Paradoxien und der (scheinbaren) Notwe ndigkeit, sie zu vermeiden, bei Russell her, vgl. LoF:xiii. Eine notwendige Bedingung - und damit ein bestimmt er Umstand - dafilr, dass Selbstreferenz zu einer Paradoxie fuhrt, ist die Negation der Selbstbeschreibung und eine zweiwertige Belegun gsmoglichkeit, wie etwa in dem Satz: ,Dieser Satz ist falsch ' : belegt man den Satz mit dem Wahrheitswert ,wahr' wird er falsch und vice versa. Watzlawick 1985:23 1 Watzlawick 1985:233. Watz lawick bezieht sich auf den Beitrag des Mathematikers Gabriel Stolzenberg ,Kann eine Untersuchung der Grundlagen der Mathematik uns etwas tiber das Denken verraten?' im selbenBand. Varela 1985:294

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Selbstregelung oder -steuerung. Autonomie wird so "als Ausdruck einer bestimmten Art von Prozeft'" gesehen, der die Seinsweise unzahliger ,Systeme' der naturlichen Welt darstellt, insofem die Welt als nicht von auBen z.B. durch Gott oder einen notwendigen historischen Ablauf determiniert gesehen wird. Erkenntnistheoretisch zieht Varela daraus den Schluss, dass die Frage nach dem Primat des Subjektiven oder des Objektiven falsch gestellt sei und stattdessen von einer .Perspektive der Partizipation und Interpretation, in der Subjekt und Objekt untrennbar miteinander verbunden sind [, auszugehen sei]. Diese Interdependenz wird dadurch deutlich, daB ich nirgendwo mit einer reinen, unkontaminierten Darstellung des einen oder des anderen beginnen kann.'<22 Aus dieser Perspektive , die zeige, dass unsere Erfahrung eigentlich ,grundlos' sei, dass es lediglich gewisse Regelmafligkeiten und Interpretationen gabe, die aus unserer gemeinsamen Geschichte entstanden seien, folge, dass .Ethik - Toleranz und Pluralismus, Loslosung von unseren eigenen Wahmehmungen und Werten, urn Riicksicht zu nehmen auf Wahmehmungen anderer - schlechthin die Grundlage der Erkenntnis und zugleich ihr Endpunkt ist.,, 23 Nach diesen kurzen Hinweisen auf die Verwendung der Laws of Form durch konstruktivistisch denkende Humanwissenschaftler, wird im Folgenden - wiederum nur kursorisch - durch punktuelle Vergleiche mit anderen philosophischen Theorien auf fundamentale Ahnlicbkeiten bzw. auf grundlegende, analoge Denkfonnen aufmerksam gemacht, ohne deshalb auch nur andeuten zu wollen, dass sich die Laws ofForm oder die jeweiligen theoretischen Gebaude durch die gefundenen Ubereinstimmungen gegenseitig ,beweisen' oder fundieren. Es soli lediglich gezeigt werden, dass der Urngang mit dem Differenzbegriff von Spencer Brown nicht einmalig und nicht erstmalig genannt werden kann, wenn auch seine Fonnalisierung und der Grad an Abstraktheit in dieser spezifischen Weise meines Wissens nur in den Laws ofForm zu finden ist. 3. Analoge Denkmuster in philosophischen Theorien der Modeme Wenn von Ahnlichkeiten zwischen theoretischen oder philosophischen Denkgebauden die Rede ist, dann konnen diese ganz verschiedene Ebenen oder Aspekte einer Theorie betreffen. Es kann das Thema , die Methode, die Form, das Resultat, die Problemstellung, die erkenntnistheoretischen oder ontologischen Pramissen etc. ahnlich oder gleich sein, ohne dass dies notwendig Auswirkungen auf die anderen Facetten der Theorie haben muss. Wenn also Ahnlichkeiten mit oder analoge Denkmuster in anderen philosophischen Theorien der Modeme

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Varela 1985 :296 Varela 1985:307f. Varela 1985:308f.

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gesucht werden sollen, kann sich die Ahnlicbkeit auf sehr Unterschiedliches beziehen . Spencer Brown selbst verweist auf den When Wittgenstein, wenn es ihm urn die Rolle der beschreibenden Sprache geht, d.h. urn Sprache in ihrer anderes bezeichnenden Funktion und nicht urn Sprache in ihrer injunktiven Aufforde rungsfunktion: "Where Wittgenstein says ... whereof one cannot speak, thereof one must be silent he seems to be considering descriptive speech only?". Dartiber hinaus lieBe sich beispielsweise das erste Axiom als Stabilisierung einer Unterscheidung durch Wiederholung mit John Austins Sprechakttheorie in Verbindung setzen" oder aber die Orientierung am Differenzbegriff statt am Identitatsbegriff mit Stromungen in der kontinentalen und insbesondere in der franzosischen Philosophie des 20. Jahrhunderts vergleichen. " Neben den zuletzt genannten partie lien oder auBerlichen Ubereinstimmungen mit anderen Denkgebauden, fmden sich auch strukturelle Analogien zu anderen philosophischen Gebauden, insofem die aus dem Akt der Unterscheidung resultierende Form der Unterscheidung ebenfalls implizit gedacht worden zu sein scheint. Auf soIche die zugrundeliegende Denkforrn betreffenden Ahnlichkeiten will dieser Abschnitt hinweisen. Dabei wird zum einen auf den Akt der Unterscheidung, der zugleich eine Trennung wie auch eine Vereinigung des Unterschiedenen mit sich bringt , Bezug genommen und zum anderen auf die daraus resultierende Form mit ihren beiden Seiten. Diese Art von Akten und Resultaten finden wir beispielhaft in den Theoriegebauden Georg Wilhelm Friedrich Hegels und Jean-Paul Sartres . Beide stehen paradigmatisch fur Philosophien, in denen ontologische Identitaten als Resultate von Differenzierungsprozessen interpretiert werden - wobei hier Differenzierung sowohl im Sinne von Ausdifferenzierung als auch im Sinne bloBer Veranderung verstanden werden muss . Das gilt auch und insbesondere fur die Genese des Subjektes selbst sowie fur die Weise der Weltauffassung, der Wissensgenerierung und seiner sprachlichen Verfasstheit, fur die die Unterscheidungsakte unseres Denkens von grundlegender Bedeutung sind.

Hegel Da es wahrlich zu weit fuhren wurde, den Nachweis der genannten Parallelitat am ganzen Hegelschen System vorzunehmen, wird im Foigenden ailein die 24

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26

LoF:77. Weitere Verweise finden sich z.B. LoF:viii, xxii. Zum Vergleich Wittgenstein-Spcncer Brown siehe Varga v. Kibed 1989. Vgl. hierzu beispielsweise v. Forster 1993:354 sowie Austin 1961/2002 . Zur Wende in der franz. Philosophie vgl. MOnster 1987, der von einer Abkehr von Begets Systemdenken insbesondere in Bezug auf die Geschichtsphil osophie spricht, in der "gegcn die Begriffe der Identitat und dcr sich verwirklichenden Vemunft als Wahrheit jene der Differenz und dcr Wiederholung" (MOnster 1987:19) gesctzt werden.

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sogenannte Differenzschrift " von 1801 als Beleg herangezogen, in der es laut Titel in der Hauptsache urn den Unterschied zweier philosophischer Systeme geht. Dartiber hinaus legt Hegel hier aber in komprimiertester Form seine Auffassung vom Unterschied und Zusammenhang von Identitdt und Differenz als absolute Identitat dar und dass seinem Erachten nach neben dem das Denken bewegendem Prinzip der (dialektischen) Veranderung der Unterscheidungsakt und seine Resultate der Stoff sind, aus dem das Denken, die Welt, die philosophische Reflexion und das Absolute bestehen - deshalb kann diese fruhe Schrift auch seine Methodenschrift genannt werden. Hegel beginnt mit einer Kritik am schlechten Zustand, in dem sich die zeitgenossische Philosophie seiner Ansicht nach befinde; beanstandet, dass die Philosophie nicht auf das Unterscheiden selbst Acht gebe, sondem nur noch die voneinander getrennten Resultate der Differenzierungsakte im Blick habe. Dadurch entstehe ein .verknochertes, totes Denken' , dass sich seiner eigenen, produktiven Tatigkeit nicht mehr bewusst sei. Hegel nennt diese Art des Denkens ,Verstandesdenken' . 1m Gegensatz dazu fordert er auf, vernunftig zu denken, was nichts anderes bedeutet, als auf die denkerische Tatigkeit des Unterscheidens selbst zu reflektieren. Nur auf diese Weise werde sich die Philosophie daruber klar, dass Gegensatze bzw. Differenzen immer auch das Ergebnis von gedachten Unterscheidungen sind. "Die Gegensatze , die sonst unter der Form von Geist und Materie, Seele und Leib, G1 aube und Verstand , Freiheit und Notw endigkeit ... bedeutend waren und aile Gewichte menschlicher Interessen an sich anhangten, sind im Fortgang der Bildung in die Form der Gegensatze von Vernunft und Sinnlichkeit, Intelligenz und Natur lund] ... absoluter Subj ektivitat und Obje ktivitat Ubergegangen . Solche festgewordenen Gegensatze aufzuh eben, ist das einzige Interesse der Vemunft. Dies ... hat nicht den Sinn, ... sich gegen die Entgegensetzung und Beschrankung uberhaupt (zu setzen) , denn die notwendige Entzweiung ist ein Faktor des Leb ens, das ewig entge gengesetzt sich bildet ... . Sondem die Vemunft setzt sieh gegen das absolut e Fixieren der Entzweiung durch den Verstand .... Wenn die Macht der Verein igung aus dem Leben der Menschen versehw indet und die Gegensatze ihre lebendige Beziehung und Wech selwirkung verloren haben und Selbstandigkeit gewinnen, entsteht das Bedurfnis der Philosophie. Es ist ... unter der gegebenen Entzweiung der notwendige Versuch, die Entgegensetzung der festgewordenen Subjektivitat und Objektivitllt aufzuheben und der intellektuellen und reellen Welt als ein Weden, ihr Sein als Produkte, als ein Produzieren zu begreifen.,,28

Die verstandige, d.h. vom Verstand geleitete, Reflexion hat bei Hegel also die Unterschiedenen, die Gegensatze, im Blick. Die vemlinftige Reflexion sieht hingegen auch das Differenzieren selbst, d.h. die Tatigkeit des Denkens als unterscheidendes Denken. Auf den unterscheidenden Akt zu reflektieren zeigt, dass erst durch diesen Akt Differenzen hergestellt, aber auch Zusamm enhdnge 27 28

,Differenzsc hrift' meint ublicherweise Hegels Aufsatz ,Differenz des Fichte schen und SchelIingschen Systems der Philosophie' in: G.W.F. Hegel 1986/2: 8-138. Hegel 180 1/1986 :2I f. Zur strukturellen Parallelitat von Denkfiguren in den Laws of Form und Hegels Wissenschaft der Logik, vgl.Wille 2003.

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oder Verbindungen gebildet werden. Die andere Seite des Unterscheidungsaktes ist also zugleich ein Verknupfungsakt: Indem wir untersche iden, stellen wir Identitaten her, und die volle Identitat ist diejenige, die sich aus dem Differenzierungsakt und tiber die so entstandenen Differenzen herstellt. Wollte man das in Hegelsche Termini ubersetzen, konnte man von der analytischen und der synthetischen Seite des Unterscheidungsaktes sprechen , d.h. von der spekulativen Reflexion auf die Akte einerseits und auf die Resultate in ihrer Unterscheidungiform andererseits . Hegel wendet diese Art und Weise des Entstehens und sich Entwickelns auch auf die Genese des Bewusstseins an, wie seine Darstellung des sich zum burgerlichen Subj ekt entwickelnden Bewusstseins in der Phanomenologie des Geistes von 1806 zeigt. 29 Die Anfange des Bewusstse ins werden dort von Hegel als negierende Bewegung des reinen Seins beschrieben, das sich im ersten Kapitel - tiber ,Sinnliche Gewissheit' - durch eine Differenzierungsbewegung erst schrittweise als solches konstituiert und dabei zugleich aus dem reinen Sein etwas Bestimmtes , d.h. unterschiedene und unterscheidbare ,Diese' und ,Etwas' macht. Diese Bewegung setzt sich in immer komplexer werdenden Selbst- und Fremdbestimmungen fort und erhalt ihre letzte Einheit im ,absoluten Geist', der bestimmt wird als Identitat aus dem immer gleichbleibend en Differenzierungsund Veranderungsprozess auf der einen Seite und aus den ausdifferenzierten Resultaten dieses Prozesses auf der anderen Seite - also als Identitat aus Identitat und Differenz. Aus einer ontologischen Perspekt ive konnte man Spencer Browns Form der Unterscheidung und das Hegelsche Absolute als gleiche Denkfiguren identifizieren, da beide durch einen Differenzierungsprozess entstehen , der sie erst wesentlich als Einheit bestimmt. Erkenntnistheoretisch ergibt sich allerdings das Problem, dass dieser Zusammenhang einer weiteren Differenzierung bedarf, durch die er zuallererst erkannt werden kann - das ware der Blick von Aul3en auf die Form. Da dies bei Spencer Brown eben nicht moglich ist, weil immer nur die andere Seite gesehen werden kann, steht hier am ,Ende' eine Differenz, die nicht mehr gedanklich als Identitat eingeholt werden kann: der Akt des Unterscheidens wird als solcher gesetzt, ohne auf eine ihm zugrundliegende, tatige Identitat zu verweisen. Das Absolute Hegels hingegen ist eine sich selbst entfaltende, sich ausdifferen zierende Einheit, deren ,Resultat im Anfang ist' : "Die lebendige Substanz ... ist als Subjekt die reine einfac he Negativitat, eben dadurch die Entzweiung des Einfachen; oder die entgegengesetzte Verdopplung, welche wieder die Neg ation dieser gleichgiiltigen Verschiedenheit und ihres Gegensatzes ist: nur diese sich wiederherstellende Gleichheit oder die Reflexion im Anderssein in sich selbst - nicht eine ursp riinglich e Einheit als solche oder unmittelbare als solche - ist das Wahre. Es ist das Werden sei ner selbst,

29

G.W.F. Hegel 1986/3.

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der Kreis, der se in Ende als sei nen Zwe ck voraussetz t und zum Anfange hat und nur durch die Ausfilhrung und sein Ende wirklich ist.,,30

Sartre Bei Sartre ist es nicht moglich, sich auf eine exponierte Schrift zu beziehen, in der das Wesen von Untersche idungsakten vorgestellt wurde. Ebenso wie im Hegelschen System liegt diese Art Akt der gesamten Ontologie zugrund e, insofern das Konstitutionsprinzip des Bewusstseins in einem Trennungsakt vom materialen .An-sich-Sein' besteht, durch das es sich aber gerade unausweichlich an dieses fesselt, mit ihm verbunden wird. Die wesentliche Differenz zu Hegel ist freilich der Verzicht auf ein sich selbst entfaltendes Absolutes als Ausgangsund Zielpunk t der Theorie, das stattdessen als Phanomen modemer Subjektkonstitution rekonstruiert wird. Dennoch finden sich grundlegende Reminiszenzen an Hegels Philosophie: Das Sein des Bewusstseins ist bei Sartre ein fortdauemder Untersch eidungsakt, das sich unaufhorlich vom ganzlich unbestimmten ,An-sich-Sein' durch einen Nichtung sakt unterscheid et. Mit diesem negierenden Unterscheidungsprozess geht einerseits eine Selbststrukturierung des Bewusstseins einher, deren Gesamtheit Sartre ,Entwurf oder .Fur-sich-Sein' nennt, der anderer seits das Ansich als bedeutungsvolle Welt erst simultan bestimmt. In den ,Metaphysischen Apercus' am Ende von Das Sein und das Nichts zieht Sartre folgende Schlussfolgerungen, die eine gute Zusammenfassung bieten: ,,(N)ach den Beschreibu ngen des An-sich und des Fur-sich erschie n es uns schwie rig, zwisc hen be iden eine Verbindung herzustellen , und wir furchtetc n, in einen uniiberw indlichen Dualismus zu gerate n... . Wir haben uns ... gefragt, ob die Entdec kung dieser beiden Sein styp en nicht auf einen Hiatus hinausliefe, der das Sein, als allen Existierenden zukommende allgemeine Kategorie, in zwei nicht kommunizierbar e Regionen spalten ... miiBte. Unsere Untersuchunge n haben uns ermoglicht, die ... Frage zu beantworten: das Fur-sich und das An-sich sind durch eine synthetische Verbindun g verei nigt, die nichts andere s ist als das Fur-sich selbst. ... das Fur-sich erscheint als eine wi nzige Nic htung, die innerhalb des Seins ihren Ursprung hat; und diese Nic htung ge niigt, dam it dem An-sich eine totale Urnwalz ung geschieht. Diese Umwa lzung ist die Welt.' ,3!

Eine strukturelle Analogie zu den Laws of Form lieBe sich auf wenigstens drei Ebenen herstellen: Zum ersten kann das Ensemble Welt-Bewussts ein, oder in Sartres Terminologie: Welt und Fur-sich-Sein, als Form der Unterscheidung betrachtet werden, indem man das Fur-sich-Se in und ,die Welt' als koprodu zierte Seiten eines andauemden, Bewusstsein seienden und generierenden Unterscheidung saktes interpret iert - in dieser Hinsicht weicht diese Auffassung nicht 30 G.W.F. Hege l 1986/3:23. 3! Sartre 1994:1055f. sow ie Schonwalde r-Kuntze 200 1:49-62.

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von der Hegels abo Zum zweiten bildet die Entwurfsstruktur des Fur-sich selbst eine Form der Unterscheidung, insofem diese Struktur von Sartre als unaufhorlicher Prozess beschrieben wird, in dem sich das Bewusstsein von seiner Gegenwart dadurch trennt, dass es sich auf einen Wert hin entwirft, in der es sich selbst sowohl als an-sich-seiend als auch als fur-sich-seiend erscheint - die das Bewusstsein bedingende und hervorbringende Differenz erscheint so im Entwurf als dessen Motiv - wenn auch die Identitat der beiden Seiten in der Sartreschen Konzeption nicht realisierbar ist, ohne die Unterscheidung selbst zu zerstoren. Das wurde bedeuten, das Bewusstsein in seiner Seinsweise zu vemichten, weshalb diese Art von Entwurf von Sartre als zum ,Scheitem verurteilt' beschrieben wird. Schlief31ich konnte man drittens den Reflexionsakt als Re-entry interpretieren, das dann paradox wird, wenn sich das Bewusstsein auf sich als An-sichSein bezieht, und nicht als (nichtender) Unterscheidungsakt und sich somit selbst negiert . Diese Art von Reflexion nennt Sartre ,unrein', weil sie unaufrichtig und widerspruchlich ist - sie entsprache der Form, die durch den ungeradzahligen Wiedereintritt standig ihren Eigenwert wechselt und auf diese Weise Zeit erzeugt. Die reine oder authentische Reflexion hingegen liefle sich als geradzahliger Wiedereintritt lesen, bei dem sich das Bewusstsein auf sich selbst als unterscheidenden Nichtungsakt bezieht und so mit sich als Unterscheidung identisch bleibt - diese Art der Reflexion nennt Sartre .Authentizitat'. Durch die hier nur angedeutete Analogisierung liefsen sich der Akt der Unterscheidung und die aus ihm resultierende Form der Unterscheidung und sogar das Re-entry als ontologische, genealogische und strukturelle Bewussteinsbeschreibungen lesen, deren genuine Denkweise auf diese Weise nicht blof als Unterscheidungspraxis erschiene, sondem deren Existenzweise als unaufhorlicher Unterscheidungsakt und deren Existenzform als Form der Unterscheidung beschrieben werden konnte, Dass Unterscheidungen ein Instrument philosophischer Weltbetrachtungen sind, ist nattirlich in gewisser Weise trivial, wenn man davon ausgeht, dass alles Welterfassen mit Unterscheidungen einhergeht. Philosophien, die spezifische Unterscheidungsakte und die aus ihnen resultierende Form reflektieren, sind schon seltener, auch wenn Unterscheidungen und Unterschiede gerade im 20. Jahrhundert zu einem wichtigen Thema in der Philosophie geworden sind." Der

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Da diese Vielfalt und Fulle hier nicht vorgestellt werden kann, werden beispiclhaft einige Autorlnnen und ihre Werke angefuhrt : Martin Heidegger. Identitat und Differenz (1957) ; Theodor Adorno. Negative Dialektik (1966); Derrida. La differance (1968); Jean-Francois Lyotard. Le Differend (1968) ; Lucy Irigaray . Le sex qui n'est pas un (1977). Eine gute Ubersicht gibt der Sammelband ,Philosophien der Differenz ' von H. Kimmerle (2000) . Eine sehr elaborierte Auseinander setzung mit Luhmann und Heidegger bietet auch ,Was heiBt, sich an Differenz statt an

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folgende letzte Abschnitt stellt Parallelen zu methodischen Untersuchungsweisen, wie der ,Dekonstruktion' oder der ,Kritik', und zuletzt eine eigene Adaption der Laws ofForm vor." 4. Methodologische Erwagungen : Theoriebildende Unterscheidungen und DeKonstruktionen in praktischer Absicht 1m Laufe der Arbeit mit den Laws ofForm war es immer wieder auffallig, wie sehr es zur Gewohnheit wird, die Form der Unterscheidung mitzudenken, gerade bei der Lektiire und Auseinandersetzung mit anderen Philosophien. Das bedeutet nicht, dass dabei ,nur' die bereits angefiihrten Ahnlichkeiten prasent werden, sondem dass sich auch ein Interesse am Umgang der Philosophlnnen mit DijJerenzen, d.h. an ihren Unterscheidungen tiberhaupt, ausbildet. Darunter soli im Folgenden zweierlei verstanden werden: Erstens der Vollzug des Unterscheidungsaktes bei der Theoriebildung und zweitens die daraus resultierende Architektur der Theorien. Die These lautet, dass das Treffen von Unterscheidungen ein gezieltes Instrumentarium ist, urn in befreiender Absicht den Geltungsbereich bestimmter (scheinbar) unbezweifelbarer Gesetzmalsigkeiten einzuschranken, d.h. urn einen neuen Bereich zu schaffen , in dem diese Gesetzrnaliigkeiten keine weitere Geltung haben sollen . Solche Unterscheidungen haben unmittelbar theoriebildende Effekte. Das soli in aller Ktirze anhand von drei Beispielen gezeigt werden. Dabei geht es weder darum, diese befreiende Absicht als einzige Motivation zu unterstellen, noch darum, andere Interpretationen in Bezug auf die Theoriebildungsstrategie als weniger plausibel oder gar falsch abzulehnen. Vielmehr geht es darum, eine weitere Perspektive auf Theorien vorzustellen , die Aufschluss geben kann tiber die Motivation architektonischer Eigenheiten, indem sie zeigt, dass sich solche Absichten architektonisch widerspiegeln. Als erstes Beispiel dient uns eine zusatzliche Unterunterscheidung auf der einen Seite innerhalb der .grollen' Unterscheidung Descartes' zwischen ausgedehnter und denkender Substanz: die Unterscheidung zwischen dem Verstand und dem Willen innerhalb der ,res cogitans ' . Betrachtet man die cartesische Hinfiihrung zu dieser Unterscheidung aus der eben genannten Perspekti ve, kann man sagen, dass sich Descartes durch diese Unterscheidung die Moglichkeit geschaffen hat, den Menschen einerseits der gottlichen Determination weiterhin unterstellt sein zu lassen (sowohl als Korper als auch als Erkennender), ihn aber andererseits

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Identitat zu orientieren?' von J. Clam (2002) und eine Ubersicht iiber die Hinwendun g zur Differenz in der franzosischen Philosophie bietet A. Miinster (1987). Vgl. Schonwalder-Kuntze/ Wille 20ma: 124f.

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durch seinen unendlichen, ,gottgleichen' Willen dieser Determination zu entziehen. Das Feld, das er sich so eroffnet, ist bekannt: Wahrend aIle wahre Wissenschaft auf die (Selbst-)GewiBheit des cogito und auf die gottliche Offenbarung gegrundet ist, ist aIle irrtumliche Erkenntnis dem Menschen allein zuzuschreiben. Dank seines unendlichen Willens fallt er auch dort Urteile , wo ihm der Verstand gar keine Erkenntnis bieten kann - so dass Descartes ihn ,im Irrtum frei' nennt. Der ,Preis' dieser Freiheit liegt freilich darin, dass der Mensch verantwortlich wird fur sein falsches Denken und fur sein Wollen. Dennoch wird er so zu einem erkenntnisfahigen und moralisch verantwortlichen Subjekt , ohne dass Descartes die Existenz Gottes oder dessen Allmacht theoretisch in Zweifel ziehen musste. "Go tt darf aber in keiner Weise ... als der Urheber unserer Irrtumer angenommen werden, weil er uns keinen allwissenden Verstand gegeben hat; denn die Endlichkeit gehort zur Natur des erschaffenen Verstandes ... . DaB aber der Wille so auBerordentlich weit sich erstreckl, entspricht auch seiner Natur , und es bildet die hochste Vollkommenheit im Menschen, daB er durch seinen Willen, d.h. frei handelt. Damit ist er gewissermaBen Urheber seiner Handlungen und kann ihretwegen gelobt werden .. .. Aus dem selben Grund ist es mehr un s ere Tat, daB wir das Wahre erfassen ..., wenn wir es erfassen, weil wir es mit Willen tun, als wenn wir es erfassen m u Bt en .,,34

Der cartesische, in gewisser Weise politisch-pragmatische Trick - wenn man das so sagen darf - besteht also darin, durch das Treffen einer neuen Unterscheidung einen neuen Geltungsbereich zu eroffnen , in dem Freiheit einen art haben darf, weil sie dort weder der gottlichen Allmacht noch dem gottlichen Monopol auf Wahrheit widerspricht. Unter dieser Perspektive betrachtet, erscheint philosophische Theoriebildung nicht (mehr) als Versuch , theoretisch abzubilden, was der Fall ist, sondem als strategisch wohlbedachtes Kreieren neuer Sichtweisen , die vor allem in praktischer Hinsicht neue Spielraum e und Denkweisen eroffnen. Zwar mag - urn bei Descartes zu bleiben - der Mensch nun verantwortlich sein fur seine Irrttimer; zugleich aber sind sie ihm allererst moglich, insofem er sie unabhdngig von der gottlichen Allmacht machen kann. Als zweites Beispiel soli auf eine Unterscheidung hingewiesen werden , die mal3geblich zur Gender-Forschung beigetragen hat, weil sie diesen Forschungsbereich iiberhaupt erst als solchen hervorgebracht hat: die Unterscheidung zwi34

Descartes 1955:12f; AT VIII, Erster Te il. Dieser cartesischen Unterscheidung innerhalb der res cogitans folgt beispielswei se aueh Kant, wenn er die theoret ische reine Vernunfl - Erkenntnis des Erkenntnisvermogens und Bestimmung seiner Grenzen bzw. seines Geltungsbereiches von der praktischen Vernunfl unterscheidet, die den Bereich des Willens oder Wollens betrifft, fur den wiederum die Unterscheidung zwischen reinem , kategorischem Wollen und situationsabhang igem, hypothetischem Wollen getroffe n wird. Allerdings befreit Kant unser Wollen nicht aus der gottlichen Determination, sondern aus der Naturkausalitat.

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schen ,sex ' als korperlichem Geschlecht und ,gender' als sozialem Geschlecht, die mit Simone de Beauvoirs Le Deuxiem e Sex von 1948 ihren Anfang genommen hat. Wiederum ist eine theoriebildende Unterscheidung in pragmatischer Weise vollzogen worden, die einen Ausweg aus einem determinierten Feld ermoglicht. Denn es ging darum, die fur Frauen giiltigen, dogmatischen Gesetzlichkeiten abzuweisen, die damit begriindet wurden und werden , dass sie durch ihre Korper und deren Funktionen determiniert und daher auch fur eine bestimmte Rollenzuweisung pradestiniert seien. De Beauvoir reaktiviert noch einmal die fundamentale cartesische Trennung von res extensa als Korper und res cogitans als Geist und zeigt, dass der Geist unter der Hand in einen allgemein menschlichen und einen sozialisationsbedingt erworbenen, am korperlichen Geschlecht orientierten Teil unterschieden worden ist. Sie insistiert also zum einen auf der cartesischen Unterscheidung und nimmt fur sich - und aile Frauen - in Anspruch, dass sie auch fur sie gelte, dass also der Geist relativ unabhangig vom Kerper gedacht werden kann. Zugleich deckt sie damit auf, dass die cartesische Unterscheidung unter der Perspektive der Geschlechtlichkeit offenbar keine Geltung hat, wei! hier das geistige und gesellschaftliche Potential unmittelbar an die Korperlichkeit gebunden wird. In der Einleitung von Le Deuxieme Sex beschreibt de Beauvoir die Motivation und das Ziel ihrer Analyse: .Welche Umstande beschranken die Freiheit der Frau, und kann sie sie iiberwinden? ... Wir werden zu zeigen versuchen, wie sich die «weibliche Wirklichkeit» konstituiert hat.":", urn dann den beruhmt gewordenen Schluss zu ziehen : "Man kommt nicht als Frau zur Welt, man wird es. Kein biologisches, psychisches , wirtschaftliches Schicksal bestimmt die Gestalt, die das weibliche Menschenwesen im Schof3 der Gesellschaft annimrnt.?" Die Unterscheidung von ,sex' und ,gender' steht in diesem Sinne ganz in der cartesischen Befreiungstradition, durch die ein scheinbar determinierter Bereich den dort geitenden Gesetzrnaliigkeiten enthoben wird. Der Befreiung von der gottlichen Determination folgt mit de Beauvoir die Befreiung von der durch den Kerper vermittelten Naturkausalitat und damit die Befreiung von den gesellschaftlichen Rollenzuweisungen, die diese durch den Ruckgriff auf den ,natiirlichen Kerper' legitimiert. Das Treffen von Unterscheidungen bzw. das Insistieren auf getroffenen Unterscheidungen und ihre Anwendung auf bestimmte Bereiche erscheint so als Befreiungsinstrument in der Theoriebildung, das - auch aus pragmatischen Grunden - den Geltungsbereich bereits zugegebener oder postulierter Gesetzmafiigkeiten einschrankt und im Gegenzug neue Bereiche fur andere Gesetzmaliigkeiten schafft. Der Akt der Unterscheidung zeigt sich so auch in der Theoriebildung in seiner produktiven und befreienden Funktion, auch wenn diese Unter35 36

de Beauvoir 1968:21f. de Beauvoir 1968:265

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scheidungen nach Spencer Brown das ,befreite' Terrain unweigerlich mit dem ,Rest' in ein enges , oft ubersehenes Verhaltnis setzen. Kritisch und ganz im Sinne Hegels ist also anzumerken, dass einmal - aus strategisch-politischen oder pragmatischen Grunden - getroffene theoretische Unterscheidungen und die daraus resultierenden .Gegensatze' unmittelbar beginnen, ein Eigenleben zu fuhren , das ihren Enstehungskontext vergessen und sie als unumstoliliche Tatsachen erscheinen lasst. In diesem Sinne lassen sich die ,kritischen' oder auch ,dekonstruktiv' genannten Anal ysen von Michel Foucault oder Judith Butler verstehen, die eine Rekonstrukt ion konkreter Unterscheidungsakte in der Diskursformation versuch en und nach den Bed ingungen und .Grunden' fur identitatsbildende Unterscheidun gen, aber auch nach dem Zweck stabilis ierender Wiederholungen fragen. " Dabei geht es neben der identitatsstiftenden Funktion von Unterscheidungen und deren Aufrechterhaltung immer auch urn die Frage nach der Markierung des Ausgeschlossenen, des nicht-Identischen, Differenten, das als die ,andere Seite ' gebildet wurd e, und urn die Grenze zwisch en ihnen. In Bezug auf Foucault sei hier beispielhaft auf seine 1970 gehaltene Antrittsvorlesung am College de France hingewiesen, in der er den methodologischen Rahmen seiner Forschung vorstellt ,38 Als letztes Beispi el wird im Folgenden die De-Konstruktion der sex/g enderDifferenz in Butlers Gender Trouble: Feminism and the Subversion of Identity von 1990 skizziert, urn deutlich zu mach en, inwiefem auch hier die Form der Unterscheidung als Anal ysemodell zum Vorschein kommen kann . 39 Das betrifft sowohl das Motiv bestimmter theoretischer Unterscheidungen, die Unterscheidung selbst als auch die Konsequenzen ihrer diskursiven Aufrechterhaltung durch permanente Reformulierung. Der theoretischen De-Konstruktion Butlers liegt eine p olitische Wamung folgender Intention zugrunde: Vorsicht vor der Verwendung oder gar dem Glauben an die Notwendigkeit einer essentiellen Kategorie ,Frau' als naturalistische Basis fur politische Zwecke und Erfolge. Das Argu ment lautet: Wenn der politische Fem inismus auf eine ahistorische, metaph ysische Identitatskategorie ,Frau' 37

38

39

Die Formulierung einer systematischen Analysemethode, die die ge nannten Methoden mit Spencer Brown vereinigt, ist Tei l der Habil itationsschrift der Autorin (2007), die den Titel Freiheit als Norm? Eine Untersuchung zur Theoriebi/dung in der Moderne tragt , Fouc ault unterscheidet dort zwischen einer gcnealogischen und einer kritischen Richtun g, in der seine Analysen erfolgen: Oer kritische Aspekt befasse sich mit den AusschlieBun gsfunktionen und -mechanismen, wie etwa die Grenzzi ehung zw ischen Wahn sinn und Vemunft oder die diversen Systeme von Sprechverb oten, vgl. Foucault 2003 9 :39. Oer genealogische Aspekt habe es hingegen mit den Bedin gungen etc. der faktisch entstandenen Oiskurse zu tun, vgl. Foucault 20039 :41. Vgl. auch Schonwal der-Kuntze/ Wille 2003a.

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zuruckgreift, begeht er nicht nur einen theoretischen Fehler, insofem er die faktische Reihenfolge vertauscht - denn Identitatskategorien sind fur Butler nach Foucault ,EfJekte von Institutionen, Verfahrensweisen und Diskursen' und keinesfalls platonische Ideen oder natiirliche Grundkonstanten -, sondem er handelt sich durch diesen Fehler auch noch Probleme ein, genauer unterminiert er seine eigenen Zielsetzungen. Mit dem Begriff der .Reprasentation' - so Butler weiter - werden zwei Funktionen verbunden: Er sei ein operativer Term in einem politischen Prozess, mit dem versucht werde, die Frauen als politische Subjekte in's Spiel zu bringen. Dafur milssten Frauen zunachst zeigen, dass ,Frau' auch ,Subjekt' bedeutet - die Intention Simone de Beauvoirs -, d.h. sich den herrschenden Konstitutionsregeln fur die Erlangung eines politischen Mitspracherechtes unterwerfen. "Maglicherweise wird dieses Subjekt, ebenso wie die Beschworung eines zeitlichen »vor« dem Gesetz selbst als fiktive Grundlage fur seinen eigenen Legitimationsanspruch geschaffen.':" Andererseits habe der Begriff .Reprasentation' eine normative Funktion in der Sprache, weil er das, was als ,Frau' gelte, ausdrilcken soli. Das erste Problem bestehe darin, dass mit so einer vorgangigen Identitatskategorie immer auch der Anspruch der Reprasentation und zwar der vollstandigen Reprasentation verbunden wird, d.h. die exakte Bestimmung der Extensionalitat des Begriffes, die die Frage beantwortet, auf wen oder was die Eigenschaft ,Frau' zutreffe. Dass diesem Anspruch keine Identitatskategorie gerecht werden konne, zeige die Debatte urn die Bindestrich-Identitaten. Butler kommt zu dem Schluss : .Jndem der Feminismus dem Anspruch der Reprasentationspolitik nachkommt, ein festes Subjekt zu artikulieren, sieht er sich selbst der Anklage einer groben Fehlreprasentation ausgesetzt .":" Das konne keine Ablehnung der Reprasentationspolitik bedeuten, da diese die herrschende Form ist, auBerhalb deren es keine Position gibt. Nur "die kritische Genealogie ihrer Legitimationspraktiken" (ebd.) werde hier gefordert und diese zeige eben gerade, dass ahistorische Identitatskategorien als Bedingung der Moglichk eit fur politische Reprasentation gefordert werden. Die Anschlussfragen lauten: Was ist das politische und was ist das theoretische Motiv? 1m Anschluss stellt Butler die Unterscheidung sex/gender als Konstruktion vor, in der ,sex' als das "natiirliche Geschlecht, als »vordiskursiv«, d.h. als der Kultur vorgelagert oder als politisch neutrale Oberflache ... als das radikal Nicht-konstruierte"" konstruiert wird und das moglicherweise , urn jetzt dem Korper die Funktion der unhinterfragbaren Essenz, eines unveranderlichen und unveraulierlichen Wesens aufzubilrden. Das bedeute aber nicht, diese Unterscheidung verschwinden zu lassen, sondem sie als theoretische Konstrukt ion zu hinterfragen: "Die Produktion des Geschlechts als vordiskursive Gegebenheit 40 4\

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Butler 1991:17f. Butler 1991:20 Butler 1991:24

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. mul3 umgekehrt als Effekt jenes kulturellen Konstruktion sapparates verstanden werden, den der Begriff gender bezeichnet." (ebd), Es geht also urn die Aufdeckung einer diskursiven Unterscheidungspraxis, mit der bestimmte Gegenstande, in diesem Fall der menschliche Korper, als vollkommen aul3erhalb jeder Kultur stehende Gegenstande , behauptet werden. Die Aufr echterhaltung der sex/gender-Unterscheidung, die fur de Beauvoir dem Zweck der theoretischen Befreiung aus einer naturlichen, korperlichen Determination gedient hat, stellt fur Butler einen Versuch dar, "die Dualitat der Geschlechter in ein vordiskursives Feld abzuschieben" (ebd.) und sie so unnahbar und nicht diskutierbar zu machen. Butler weist desweiteren darauf hin, dass die untiberlegte Verwendun g solcher Unterscheidungen und Kategorien politisch und gesellschaftlich kontraproduktive Wirkungen erzeugen kann, und dass es deshalb wichtig sei, sich tiber die Effekte solcher Unterscheidungen Gedanken zu machen und sie nicht ohne Rticksicht auf mogliche Implikationen aufrechtzuerhalten. Gegebenfalls sollten und konnen dann diese Unterscheidungen verworfen werden, wei! sie eine theoretische , phi!osophische Konstruktion sind. .Sosehr auch die radikale Unterscheidung zwischen biologischem und sozialem Gesc hlecht fur den Feminismus Beauvoirscher Pragung von zentraler Bedeutung war, ist sie doch in den letzten Jahren kritisiert worden, weil sie das Naturliche zu dem herabstuft , was »vorx der Intelligibilitat liegt und des Kennzeichens, wenn nicht der Verunstaltung durch das Soz iale bedarf, urn Bedeutung zu tragen, wiBbar zu sein und Wert zu erlangen. ... Wenn die Unterscheidung ... mit einem Begriff des radikalen Iinguistischen Konstruktivismus ve rbunden wird, verscharft sich das Problem nur noch.... Dieses biologische Geschlecht, von dem postuliert wird, es sei der Konstruktion vorgangig, wird je docha ufgrund seines Postuliert-Seins zur Wirk ung des gleichen Postulierens, zur Konstruktion der Konstruktion. ... Die radikalkonstruktivistische Auffassung ... nimmt letztendl ich das biologische Geschlecht als das Unkonstruierte an und raumt damit die Grenzen des linguistischen Konstruktivismus ein, indem sic unbeab sichtigt dasjenige umschreibt, was sich im Begriffsrahmen der Konstruktion nicht erkl aren liiBt. Wenn andererseits das biologische Geschlecht eine kunstliche Pramisse, cine Fiktio n ist, dann ... [wird] der Sinn von Konstruktion der eines linguistischen Monismus, demzufolge alles nur Sprache ist. Was dann folgt, ist eine gereizte Debatte, die viele von uns schon nicht mehr horen konnen: Entweder wird I. der Konstruktivismus auf eine Position des linguistischen Monismus verkurzt ... lund es] kommt die Frage: »Wenn alles Diskurs ist, wie steht es dann mit dem Korper?« Oder wenn 2. die Konstruktion bildlich auf ein sozia les Handeln reduziert wird, das ein Subjekt vorauszusetze n scheint, hort man die Kritiker ... fragen »wenn das soziale Geschlecht etwas Konstruiertes ist, wer ist es dann der konstruiert?«; die einschlagigste Formulierung dieser Frage ist 3. freilich die folgende: »Wenn das Subjekt konstruiert ist, wer konstruiert dann das Subje kt« ... [Es werde] ein volunt aristisches Subjekt vorausgesetzt, das sein sozia les Geschlecht durch instrumentelles Handeln zustande bringt. ... Von entscheidender Bedeutung ist demnach, daB die Konstruktion weder ein einzelner Akt noch ein kausaler ProzeB ist, der von einem Subje kt ausgeht und in einer Anzahl festgelcgter Wirkun gen endet.,,43

43

Butler 1997 :25-32

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Hier wird zugleich deutlich, dass die Form der Unterscheidung als Analyseschema auch im wissen(schaft)shis torischen Kontext eingesetzt werden konnte, indem Konstruktion und De-Konstruktion methodologisch als getroffene theoretische Unterscheidungen und das Aufdecken ihrer Form interpretiert werden konnten. 5. Schlussbemerkungen Zusammenfassend lasst sich aus der hier angeftihrten (sozial)konstruktivistischen Perspektive folgende Schlussfolgerung ziehen: Das erste, was eine Erkenntn istheorie berucksichtigen sollte, ist, dass wir uns nicht als Anfang erkennen (konnen), sondem immer nur als Resultat, d.h. dass wir als Beobachtende oder Erkennende zwar - trivialerweise - den erkenntnistheoretischen Ausgangspunkt des philosophischen Nachdenkens bilden, dass das aber nicht bedeutet, dass wir deswegen auch den ontologischen Ausgangspunkt bi/den. Was die Welt und damit uns ,im Innersten zusammenhalt ', hangt nicht davon ab, von wo aus wir unsere Erkenntnis beginnen . Ob wir ,mit der Erkenntn is der Welt' beginnen, wie das der philosophische Realismus fordert, oder mit der Erkenntnis unseres Erkenntnisapparates, wie im philosophischen Idealismus, bleibt sich letztlich gleich." Welche Bedeutung wir den durch Wiederholung stabilisierten Entitaten, d.h. Resultaten dieses unterscheidenden Prozesses geben, hangt hingegen absolut von uns ab - und damit Iiegt die Verantwortung fur alles, was wir aus (scheinbar menschenunabhangig gegebenen) Differenzen ableiten, bei uns. Das bedeutet 44

Man konnte durchau s die Experimente des zwolften Kapitels mit der Figur des die Welt (und sich selbst) entdeckenden Phys ikers .evaluieren' und kame so zu dem Ergebnis, dass es vollkomm en gleichgiiI1ig ist, ob ein realistischer oder ein idealistischer Standpunkt als epistcmologischer Ausgangspunkt genommen wird. Erstes Experiment: Ein von seine m Objekt unterschiedener Beobachter ist von diesem nieht zu unterscheiden, wenn er sich als der Form nach gleich entdeckt. Das ware der Physi ker, der nur sich selbst als Welt und die Welt als sich selbst entdeckt. Das zweite Experiment beginnt mit dem Erge bnis des ersten, d.h . der Beobachter ist markierter Teil seiner Umwe lt, aber das macht aus ihnen ein unbeobachtbares Ganzes, da keine Differenz mehr zu sehen ist! Das dritte Experiment zeigt einen Beobachter, der sich und seine Umwelt gleicherma6en markiert. Auch das fuhrt dazu, dass die Differenz zwischen ihnen versehwindet. Das Fazit der ersten drei Experimente konnt e lauten : Wie man es auch dreht und wendet, welchen Ausgangspunkt man auch wahlt, die Unterscheidung zwischen Beobachter und Umwelt lost sich bei genaucm Hinsehen auf, und daher folgt das vierte Experiment, in dem nur noch die Form der Unterscheidung dargestellt wird, d.h. gewisserma Ben die Laws of Form. Das fuhrt im Ergebnis zum Anfang des ersten Experiments. Zudem scheint das, was der Beobachter sieht, er selbst zu sein, und er mu6 nieht zwischen sich und der Umwelt unterscheiden, urn zu diesem Ergebnis zu komm en. Darais lieBe sich folgem, dass die Unterscheidung zw ischen dem Betrachter und dem Betrachteten irrelevant ist, und daher konnte man das zwo lfte Kapitel als Kapitel vor dem ersten deuten: die Form der Unters chei dung darf aueh ohne episte mologisc h notwendigen Beobachter betrachtet werden.

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Tatjana Schonwalder-Kuntze

aber eben auch nicht, dass jedes Individuum gleichsam gottgleich die Welt fur sich von Neuem erschufe, weil wir es immer schon mit vorgefundenen, sozial produzierten und gefestigten Unterscheidungen und deren Bedeutungen zu tun haben . Auf der anderen Seite gibt es Gestaltungsspielraum, gerade, wenn es urn die Bedeutung von Differenziertem geht. Und gerade weir wir es immer mit anderen zu tun haben, die von einem anderen Standpunkt aus die Bedeutungen erfassen, ist es so wichtig, sich der konstitutiven Zusammenhange zwischen ,Unterscheidungen treffen' und ,Unterscheidungen aufrecht erhalten' , dem jeweiligen Standpunkt und der so generierten Bedeutung bewusst zu sein. Das scheint uns eine wesentliche Konsequenz der angeflihrten konstruktivistischen Weltanschauungen und -erklarungen zu sein, fur die Spencer Browns aus dem Differenzbegriff entwickelte Form der Unterscheidung ein schlichtes, aber grundlegend diesen Gedanken darstellendes Schema oder Modell bietet. In Bezug auf die Entscheidung, wie der Kalktil gedeutet werden kann, kommt wiederum uns eine bedeutende Rolle zu und das im wahrsten Sinne des Wortes, aber in Bezug auf den in den Laws of Form dargestellten, ablaufenden Prozess sind wir als Beobachtende neutral. Freilich konnte die Form der Unterscheidung auch mit anderen Zeichen, einer anderen Notation dargestellt werden, aber das andert nichts am dargestellten Unterscheidungsprozess selbst. Die konstitutiven Zusammenhange bleiben auf dieser abstrakten Ebene unberuhrt: eine Unterscheidung zu treffen und aufrecht zu erhalten bedeutet, sie in der Form ihrer Unterscheidung aufrecht zu erhalten. Es geht also aus einer philosophischen Perspektive betrachtet darum zu sehen, dass die Idee der Form der Untersch eidung als Resultat eines Generierungsprozesses in ihrem Dass-Sein nicht veranderbar ist, was wiederum durch die These der interdisziplinar arbeitenden Konstruktivisten bestatigt wird, die besagt, dass wir die Welt unterscheidend konstruieren . Das bedeutet, dass es zwar in Bezug auf das, was der Kalkul sagt, keine Variationsmoglichkeiten gibt, wohl aber in Bezug auf die Form der Darstellung. Diese ist angemessen , wenn sie den Standpunkt des das Dargestellte betrachtenden Beobachters mit einbezieht, so dass der Sinn des Dargestellten nicht verfalscht wird. Jede Darst ellung kreiert gewissermal3en eine Welt, ist sie angemessen , kann sie auch aus einer anderen Perspektive verstanden werden. Die Form der Unterscheidung als der Inhalt der Laws ofForm spielt auf einer anderen Ebene als ihre Darstellung und die Beobachtung der Darstellung. Wahrend der Inhalt keinesfalls variabel ist, ist es die angemessene Darstellung sehr wohl - und diese muss auf den Standpunkt des Beobachters rekurrieren . Dass es sich bei diesem Inhalt urn eine invariante ,Wahrheit' handelt, ist wiederum nur aus der Anwendung heraus bestatigbar , weil sie immer nur im und als dieser Prozess selbst entsteht.

IV.n Niklas Luhmanns Systemtheorie Thomas Holsch er

From Simplicity to Complexity Santa Fe Institute, Logo I From Complexity to Simplidty and Back Again nach George Spencer Brown

Im FoIgenden geht es urn die Schwierigkeiten mit einer theoretisch adaquaten Wahmehmung eines zu Luhmann so heterogenen Theoretikers wie Spencer Brown innerhalb des Koordinatensystems der Systemtheorie, aber auch urn den gleichen Punkt im Unendlichen, dem beide auf gleichsam berUhrungslosen Parallelen zustreben. Neben den Theoretikem (und Praktikem) der Kybemetik zweiter Ordnung wie v. Foerster, Lofgren, Glanville und dem Philosophen Gotthard GUnther ist es George Spencer Brown mit seinen Laws ofForm, dem Luhmann im Theoriedesign seiner Systemtheorie eine tragende Rolle eingeraumt hat. Er bedient sich der Laws of Form ausgiebig und an zentralen Theoriestellen, vor allem in seinem ,Methodentraktat' in ,Die Wissenschaft der Gesellschaft". Eine besondere, ambivalente Attraktion scheint ihn mit diesem ihm im Prinzip so kontraren Mathematiker und Logiker zu verbinden: Hier die Suche nach moglichst einfachen Ausgangspramissen, aus denen hochst kontrolliert Schritt fUr Schritt die volle mogliche Komplexitat entwickelt wird, dort der Einsatz mit einer hyperkomplexen (sozialen) Welt, unentrinnbar verstrickt in eine allgegenwartige, fast apriorisch zu nennende Paradoxalitat - geradezu vom Status einer conditio humana -, in welche die besagten Theorien ein wenig Licht hinein werfen sollen. Dies scheint Luhmann bevorzugt Spencer Brown zuzutrauen, den er hin und wieder als den avanciertesten dieser Theoretiker auszeichnet .' Vielleicht ist es aber doch eine tragische Liebe gewesen. Man kann das, was Luhmann mit Spencer Brown macht, eine ,Anwendung' nennen. Interessant ware, ob es auch eine ,Deutung' darstellt, namlich in dem Sinn, in dem eine produktive Rezeption sich auf beide Teile, den Nehmenden, aber auch den Gebenden moglicherweise produktiv auswirkt. Eine solche Idee I 2 3

Siehe aber Gell-Man in Anm. 55. Luhmann 1990; relevante Passagen finden sich auch in: Luhmann 1984, 1997,2000, sowie in Luhmann! Pasero1988a . Vgl. Luhmann 1990:94.

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wechselseitig wirksamer ,Anwendung' vertritt z.B. Spencer Brown seIber . Im Appendix 2 spricht er die Erwartung aus, "that the calculus will have a useful or revealing application" (LoF 1994b:112), wobei sich das ,revealing' ebenso auf den Anwendungsfall wie auf den Kalkul seIber bezieht. Also darf gefragt werden, wie verwendet, was profitiert Luhmann von Spencer Brown und wirkt seine Lesart produktiv auf das Verstandnis der Laws ofForm zurUck? Hier muss zunachst einmal festgestellt werden, dass es Luhmann urn nichts anderes als seine Systemtheorie geht. Sie setzt er in einer Weise immer schon voraus, dass aIle fremden theoretischen Mittel nur Hilfsstatus haben konnen. Noch mehr: Da er seine Systemtheorie als einzigartige und ausschlieBlich adaquate Reflexion nicht nur der modemen Gesellschaft, sondem auch ihrer selbst ansieht, findet sich ein Theorieentwurf wie der der Laws of Form , zumal ,nur' mathematisch oder logisch" , fast schon automatisch, d.h. rein theorieimmanent, relativiert, ja marginalisierr', Es entsteht ein Konflikt der jeweiligen EigenansprUche. Trotzdem wollen wir im Folgenden immer auch Gesichtspunkte im Auge behalten, in denen der Eigenanspruch von Spencer Browns KalkUl nicht ohne weiteres den MonopolansprUchen der Systemtheorie subsumiert werden kann, ja vielleicht sogar in gewissen GrundzUgen ein produktives Gegenmodell abzugeben vermag. Luhmann ist fasziniert von der spezifischen Kombination von Einfachheit und Komplexitat, die die Laws of Form ausmachen, davon, dass sie ein Angebot enthalten, sowohl die einfachsten Grundelemente als auch die komplexen Formen zu modellieren, und dass der Kalkul beide Extrempositionen geregelt zu verbinden weiB. Denn Luhmann hat einen Bedarf an theoretischen Figuren des Komplexen wie des Einfachen, besser gesagt an grundbegriffiichen Konfigurationen. Beides findet er schnell mit sicherem Blick in den Laws of Form, ohne dass ibn seine spezielle BedUrfnislage weiter nachforschen lasst, welchem moglicherweise andersartigen Grundmodell das Verhaltnis von Komplexitat und Einfachheit bei Spencer Brown folgt." Seine Wahmehmung (seine ,Beobachtung') der Laws ofForm ist hochselektiv . Daher ist wohl zu erklaren, Die wichtigsten Bemerkungen zur Logik: Luhmann 1990:78, 88ff., 93, 99,192,311 ,541 und zu Mathematik bzw. zu Mathematikern: Luhmann 1990:74f., 84, 3I1ff., 541. Dieses Verfahren erinnert an die weith in iibliche SelbstbegrUndung der Logik aus ihrer Selbstverabsolutierung (oder abgrenzenden Selbstsetzungj.Ware Spencer Brown dem gefolgt, warcn die Laws of Form nicht moglich geworden. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie ,hinter' die Logik zuruck gehen und daraus eine zugleich auch fur die Logik fruchtbare Perspektive entwicke1n. Die nach wie vor groBen Vorbehalte heutiger Logiker gegen die Laws of Form hat hier einen wichtigen Grund. Kauffman hat dies inzwischen mit letzter K1arheit herausgearbeitet; siehe weiter unten zu Kauffman (2004b).

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- dass seine Rezeption sich ausschlieBlich auf die ersten bzw. die letzten beiden Kapitel beschrankt, d.h. die Theorieentfaltung ,dazwischen' , Uberhaupt die Tatsache, - dass es sich urn einen hochriskanten Ansatz der ,kontinuierlichen' VerknUpfung des Einfachsten mit dem Komplexesten (auch umgekehrt) handelt, ignoriert, - und sowohl die Grundbegrifflichkeiten urn ,distinction' als auch die Einfuhrung und das Phanomen des .Re-entry' in der erweiterten Algebra im elften Kapitel derartig eigenbedarfspezifisch fasst, dass der interne Sinn und Duktus der Laws of Form weitgehend Uberlagert und so unerkennbar werden. Vielleicht (zumindest) ein Fall von produktivem Missverstehen?? Moglicherweise liegt die Diskrepanz auch darin begrundet, dass, in seinem vorwiegenden Interesse am ersten und elften Kapitel, Luhmann sich nicht ausreichend die Gesamtintention, den vollstandigen Umfang und die Ambition von Spencer Browns Entwurf klar gemacht hat. Es handelt sich bei den Laws of Form urn eine zweifache Erganzung der Booleschen Algebra , von der Spencer Brown seinen Ausgangspunkt nimmt: Einmal in Richtung der ihr zugrunde liegenden Prinzipien, bis hin zum ,simplest ground' der ,first distinction' bzw. der ,form' oder sogar des ,void' ; sodann in einer Bewegung ihrer Erweiterung bis zu den ,rekursiven Forrnen" im elften Kapitel und in beliebige weitere Expansionen. Man muss sich klar machen, dass Spencer Brown mit seinen Laws of Form sehr wohl der geeignete Ansprechpartner zur Modellierung von komplexen und hyperkomplexen Formen aller Art ist. Seine Absicht war keineswegs, ein bloBes logisches bzw. mathematisches Kalkul zu ersinnen, sondern vielmehr das Interface von Mathematik und Welt (d.h. die volle physikalische Wirklichkeit vieler moglicher Universen) zu erkunden. In seiner eigenen Beschreibung der Laws ofForm in Only Two can play this game heiBt es: "An account of the emergence of physical archetypes, presented as a rigorous essay in mathematiCS"9. Ahnlich lautende Hinweise gibt es in den Laws ofForm 10. Der Gesamtentwicklung der Laws ofForm entsprechend legt Spencer Brown ein Abfolgeschema von ,levels' , ,departures', ,stages' und ,degrees' zugrunde : ,the void' (0); ,the form' (1); ,the axioms' (2), mit der Funktionserklarung:

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Ich artikuliere die Frage bewusst so, auch wenn ich weiss, dass Heinz v. Foerster der Ansicht ist, es gebe allenfalls Grade von (notzlichem oder weniger niltzlichem) Missverstehen, sonst nichts . Spencer Brown 1997:xivf. Spencer Brown 1971:109 Vgl. Laws of Form 1994:xxv-xxvi, 100f., 104f.

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,which see !' the form' ; ,the arithmetics' (3): ,which is seeing what becomes of the axioms'; ,the algebra' (4): ,... the generalities of it' ; ;equations' (4a) : ,... while you are seeing you notice you have got equations' ; und schlieBlich, auf ,level' oder ,departure' (5) die erweiterte Algebra mit den Gleichungen zweiten Grades und dem ersten ,Re-entry'. Wahrend es sich zuvor urn ,levels of eternity' handelt, also rein formale Bereiche, setzen mit dem ersten .Re-entry' Zeit und Materie ein und zwar in ihren einfachsten ,precursor'-Formen, die sich, nunmehr dem Gang iterierter ,Re-entries' , d.h. Gleichungen hoheren Grades als Grad 2 folgend , tiber die Generierung von Information, Energie und Partikeln bis hin zu dem, was uns als Materie im Sinne von ,being more and more solid, ... durable' erscheint." Wichtig fur unser Thema ist, dass Spencer Brown tiberzeugt war, den gesamten Prozess formal durchfuhren zu konnen, also nach seinen eigenen radikal-occamistischen Kriterien einer formalen Mathematik. Dies ist definitiv fur das erste bis zehnte Kapitel geleistet (dadurch, dass er einen Vollstandigkeitsbeweis fur primate Algebra und primate Arithmetik angibt), fur das elfte Kapitel nur in Andeutungen". Fur die hoherstufigen Gleichungen bzw . ,Re-entries' sieht Spencer Brown kein zusatzliches Problem - allein bei den Gleichungen funften Grades ergibt sich eine ,runaway' -Situation, die formal ausdrucklich nicht mehr kontrollierbar erscheint. Die dadurch gekennzeichneten ,destabilisierten' Systemzustande hochster Komplexitat sind genau diejenigen, die Luhmann beim Design seiner Systemtheorie im Blick hat. 14 Wenn dem so ist, dann ist Luhmanns Liebe zur Einfachheit im ersten Kapitel der Laws of Form in der Tat unglucklich, Unter Ausblendung der Eigendynamik" von Spencer Browns Theorieentwurf ist er geradezu zu .Missverstandnissen' gezwungen, die entstehen, wenn zur Befriedigung eines Theoriebedarfs zur Modellierung von ,runaway system '-Phanomenen quasi im direkten Durchgriff, tiber aIle die eben aufgezahlten Zwischenstufen hinweg, auf das erste und zweite Kapitel zugegriffen wird . AIlzu unvermittelt prallen hier extrem unterschiedliche Anspruche wie Grundhaltungen aufeinander. Eine nicht unerhebliche Verbiegung von Spencer Browns Grundbestimmungen ist die Folge eines solchen ,crash' .

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Auch hier sind also bereits rudimentare .Beobachtungsverhaltnisse' angelegt. Dieser Entwurf fur eine Distinktionentheorie der mathematischen Naturwissenschaften wurde inzwischen von Edward Close (2000) aufgegriffen und in einem quanten- und relativitatstheorc tischen Rahmen zu konkretisieren versucht. Vgl. den Kommentar zum elften Kapi:el. Siehe auch den Hinweis von Baecker auf das ,runaway system ' Baecker/ Kluge 2003 :77; siehe Anm.48. Urn nicht zu sagen des oder der ,Eigenwerte' bzw. .E igenzustande' im Sinne von v. Foersters (zu diesem Begriff siehe weiter unteri).

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So fallt es schon bei der ersten Bertihrung mit Luhmanns Laws of FormAdaptationen ins Auge, dass er eine Hille von Vorentscheidungen importiert, bei einer Theorie, dem ,calculus of indications', deren Grundprinzip geradezu ist, auf so viele Vorentscheidungen wie moglich zu verzichten, indem sie in geregeltem methodischen Vollzug abgebaut bzw., wie Spencer Brown lieber sagt, ,kondensiert' werden. Kondensierungen sind ein eigentlimlicher Typ von Abstraktion, der sich durch maximale Vereinfachung oder Reduktion bei maximaier erhaltener Komplexitat auszeichnet." Luhmann betont mehrfach den Charakter des ,Re-entry' als Entparadoxierungsverfahren," ohne sich ausreichend tiber die elementaren Entparadoxierungsmodelle klar zu werden, die es Spencer Brown uberhaupt erlaubt haben, einen solchen Entwurf wie die Laws of Form durchzufUhren. Sie betreffen vor allem das ,eine Ende' der Laws ofForm, namlich die anfanglichen Zonen von Komprimierung und Hyperkomprimierung, im Unterschied zu denen der Hyperkomplexitaten am ,anderen Ende' und daruber hinaus . Es handelt sich urn die einfachsten Instrumentarien der Logik oder besser Mathematik (im Sinn von Spencer Browns ,forrnaler Mathematik') - so einfach wie z.B. das pure ,usw.' als mogliches Generierungsprinzip der Cantorschen Hierarchien des Unendlichen - : namlich im Grunde nur Kanon 1 mit der Vorschrift, nur das zu verwenden, was ausfuhrlich (d.h. konstruktiv) eingefuhrt worden ist und mit dieser Vorschrift zu schau en, wo einen das hinfuhrt, wendet man sie konsequent und radikal an. Man landet namlich bei der ,first distinction' als der bloBen Gegebenheit zweier unterschiedener und unterschiedlicher Zustande ,without any quality whatever' . 18 Das erlaubt es Spencer Brown , eine Menge all des Importgutes, das Luhmann bereits in die Bestimmung der Grundbegrifflichkeiten von ,distinction' , ,indication', wie auch von ,form' einbringt, hineinprojiziert, zu verrneiden - mit den bekannten erheblichen Vereinfachungsgewinnen des Kalkiils. Man kann kaum diesen moglichen Nutzen aus den Laws ofForm - auch fur das Design einer Hyperkomplextheorie wie der Systemtheorie Luhmanns ziehen, uber- und unterspult man bereits im Ansatz den simplizitatstheoretischen Ausgangspunkt, den Spencer Brown - durchaus mit Bedacht und vollem Bewusstsein aller Konsequenzen und Voraussetzungen - angeblich ,naiv' gewahlt hat. Wenn so ,Beobachtung' als Grundkategorie" vorausgesetzt bleibt, Auch Luhmann ubernimmt sporadisch diesen BegriffSpencer Browns mit des sen Gegenbegriff "confirmation" (LoF :10), ohne dessen Potential auch nur annahernd auszu schopfen, Luhmann 1990:108, 3 I I f. FUr Spencer Brown ist er mit dem Wesentlichen der mathematischen Methode eng verbunden : " ...cond ensing as much as is needed into as little as is need ed" , " ...mathematics is a way of saying less and less mout more and more" . LoF 1994:9,81 , xxix . 17 Luhmann 1990:95, 189f., 192,223,314,380,541. 18 Vgl. II.A Kontexte und den Kommentar. 19 Das Kapitel .Beobachtung' in Luhmann 1990:68-122, ist so dicht geschrieben, dass es nicht sinnvoll erscheint, auf ein zelne Stellen gesondert zu verweisen. Ahnliches gilt fur den allgegenwartigen System-Begriff, wie beispiel sweise Luhmann 1990:76. 16

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wie vor allem auch der ,System' -Gedanke Uberhaupt, statt im Sinne von Kanon 1 abgeleitet wird (keine einfache Sachef") - dann hat man die zu modellierenden Komplexitaten und Paradoxienverhaltnisse an einer so ,frtihen' Stelle eingebracht, dass sie nicht mehr mit Aussicht auf Erfolg, im Sinne von mit Aussieht auf Vereinfachungsgewinn, bearbeitet werden konnen. Luhmann ist weiter fasziniert davon, wie Spencer Brown die Gesamtanlage seines Kalkuls dazu verwendet, die im ersten Kapitel ausgeblendeten (wohlgemerkt : per mathematische Methodik!) Selbstreferenzen und Paradoxien erst im elften Kapitel und die Frage des Beobachters im zwolften Kapitel explizit werden zu lassen . Indem er aber von einem bloBen ,vor sich herschieben' der Paradoxien redet, wird er dem gesamten Verfahren Spencer Browns - das ein ebenso ingenioses ist wie der Luhmannsche Umgang mit Kontingenzen, Komplexitaten, Paradoxien und Rekursivitatsordnungen mehrfacher Ordnung, nur in die umgekehrte, die Vereinfachungsrichtung - nieht gerecht." Der ,blinde Fleck' der Systemtheorie seiber bei aller ihrer Mehrfachordnung von Beobachtung (erster, zweiter, dritter ... Ordnung)" lasst ihn die Laws of Form und Spencer Brown weitgehend unterschatzen - d.h. aber nicht den vollstandigen moglichen Durchdringungsgewinn abschopfen, Denn die Pointe in Spencer Browns Verfahren ist, dass er Paradoxien und Komplexitaten nicht weniger zu prozessieren vermag als die Systemtheorie, nur versteht er sie derart in ein andersartiges Spektrum zwischen einfach und komplex (d.h. zwischen Anfang und Ende des Kalkuls) zu positionieren, dass Vereinfachungschancen entstehen, statt einer unfreiwilligen zusatzlichen Produktion von Uberkomplexitaten, wie es mir bei Luhmanns Versuch der Aneignung der Laws ofForm der Fall zu sein scheint. Es ist in der Tat so, dass bereits die ,first distinction' und die mit ihr gegebene ,form of distinction' als ein ,autopoietisches' Minimalmodell aufgefasst werden konnen, ohne im geringsten von der ,Nacktheit und BloBheit' der ersten Unterscheidung abrticken zu mUssen - das hat nicht zuletzt Kauffman immer wieder von Neuem demonstriert." Tritt man allerdings mit den Anforderungen oder Erwartungen eines ausgewachsenen autopoietischen Systems an die Logik bzw. Mathematik" des Unterschieds (im Singular, durchaus!) heran", entfaltet sich quasi automatisch und

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Siehe aber Hinweis weiter unten zur Ableitung des Systembegriffs. Vgl. Luhmann 1990:84,94. Vgl. zu einer eigenhaidigen Zeichnung Luhmanns weiter unten Vgl. Il.A Kontexte sowie IV.B Mathematik, Logik und Naturwi ssenschaft und den Kommentar zum zweiten Kapitel. Nicht so schnell lasst sich der Logiker, ganz sicher aber nicht der Mathem atiker im Sinne Spencer Browns, schachmatt setzen wie Luhmann das glaubt! Luhmann 1990:77, 80, 82f.

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auch ein wenig zwanghaft sogleich die ganze Dynamik dieser hochbrisanten Prozesse - zum Nachteil eines klaren Blicks auf das, was hier bei Spencer Brown vorliegt. Die .originare' Mehrfachanwendung und Selbstanwendung von ,Unterschieden von Unterschieden' , wie es Luhmann als Interpretament zur ,first distinction ' praktiziert," ist mehr als eine Uberinterpretation, Es ist ein Zuschutten von Moglichkeiten, von Analysemitteln. In vielfacher, unkontrollierter Weise projiziert er Phanomene und Verhaltnisse .spaterer' Zustande in diesen (nur scheinbar ,naiven', nur scheinbar bloB einem Beobachter erster Ordnung geschuldeten) Anfang hinein. Beginne ich mit einer Proliferation der Unterschiede statt ihrer Limitation, dann mache ich theoretisch alles theoretisch sonst Mogliche, vergewissere mich aber kaum in triftiger, vor allem aber erfolgsorientierter Weise der Mittel der Laws ofForm. Das Gesagte lasst sich mutatis mutandis auf die Grundfigur des .Beobachtens':" ubertragen. Auch hier wird das, was als eine langere Strecke des Differenzenproduzierens zwischen den ersten beiden Kapiteln und dem zwolften Kapitel angelegt ist, zu umstandslos kurzgeschlossen. NatUrlich kann gesagt werden, der Beobachter stecke in den ersten beiden Kapiteln mit drin , aber das zu bewerkstelligen und dann festzustellen, ist nicht die Kunst, viel mehr: ihn derart dort hineinzupraktizieren, dass er in einer - und zwar anderen als der Luhmannschen - Weise ,latent gehalten' oder .J nvisibilisiert''" wird , die ein Spiel mit intendiert verteilten Gewichten zwischen dem zwolften und dem ersten Kapitel ermoglicht. " Dieses Spiel lasst sich durchaus als ein Zirkularprozess, eine Rekursivitat verstehen - und es ware aufschlussreich, diese spezifische Art des Durchlaufs, des ,Prozessierens' bei Spencer Brown zu eruieren und mit den landlaufigen Vorstellungen der ,2nd Order Cybernetics' zu konfrontieren. Aufmerksam gemacht sei auf ein weiteres Dispositiv der Entparadoxierung im ersten Kapitel: Namlich der ,Trick', hier einen Vorlaufer, ,precursor', als Statthalter des ,observer' aus dem zwolften Kapitel zu installieren: das ,motive' (das sich konsequenterweise deshalb auch nur hier findet). All das ermoglicht eine beobachterfreie Formulierung der einfachsten Grundverhaltnisse - die eben ohne dies nicht die ,einfachst moglichen' waren -, und zwar ohne in die generelle Nichtbeachtung, Eliminierung des Beobachters in der .alteuropaischen' klassischen Logik, Epistemologie und Ontologie, von Luhmann zu Recht gegei Belt, zurUckzufallen.

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Luhmann 1990:75, 79f., 84, 93f., 378f. Dennoch sei aufeinige Stellen verwiesen: Luhmann 1990:73,74,80,82,84,91, passim. Zur Latenz weiter unten; ,lnvi sibilisierung als Entparadoxierungsverfahren' findet sich in Luhmann 1990 :174, 189,312,397,528,537. Vgl. 1V.C Philosophie .

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Die Idee eines ,Unbeobachtbaren', eine "Latenz"30 ist sicher etwas, was in die Nahe von Spencer Browns ,unmarked state ' ruckt (mehr aber noch in die Nahe des ,empty space'- Quasiindikators" oder des ,hide-and-seek' als unaufhebbares Grundverhaltnis" , und in letzter Instanz der ,konstitutiven' Funktion des ,void ' und des ,nothing' bei Spencer Brown, das, aufgrund seiner ostlichen Konnotationen, nicht verwechselt werden darf mit Luhmanns ablehnend gehande Iter .alteuropaischer Sein/Nichtsein-Konstellation", Sie beruhrt zweifellos eine der tiefsten Intuitionen der Laws of Form. Wahrend das Spencer BrownAquivalent des ,Unbeobachtbaren' jedoch unhintergehbar, unauflosbar bleibt (einen wesentlichen Zug der asymmetrischen Grundanlage der Laws of Form verkorpernd), ist mir das bei der Systemtheorie nicht so ganz klar: verfliichtigt sich letztlich der ,blinde Fleck' nicht in der Stufung und Kette der Beobachtungen von Beobachtungen, und ist eine derartige Beherrschbar- und Kontrollierbarmachung der ,Latenz' nicht gerade eines der obersten Ziele und der Stolz der Systemtheorie? Sehr aufschlussreich ist hier eine von Niels Werber" jungst publizierte kleine Zeichnung, auf der Luhmann eigenhandig sein Modell der Beobachtung von Beobachtem bildlich dargestellt hat. In einem gestrichelt nach auBen abgegrenzten leicht oval en ,Spiel- oder Aktionsfeld' sieht man eine kreisformige Prozession von sechs sich rechts herum hintereinander bewegenden Beobachtem, die als kleine Scheinwerfer ,vom e' mit tentakelartigen Sehstrahlen in die jeweilige Blickrichtung versehen, schematisch skizziert sind (oder .Kaulquappen, Raketenpiloten, Quallen, Mikroorganismenv" wie Werber spekuliert). Jeder sieht jeweils seinen Vordermann (von hinten) bis sich die Kette schlieBt. Nur einer von ihnen , bezeichnet mit NL , besitzt zwei zusatzliche vie I langere Sehstrahlen, die es ihm ermoglichen, auch noch seitliche Blicke auf seine beiden ubernachsten Vorganger zu erhaschen. Eine Inschrift gibt zu verstehen (in drei Zeilen untereinander) "draw a distinction - beobachte Beobachter - Niklas Luhmann" . Die Zeichnung bestatigt, dass Luhmann Spencer Browns "distinction" oder "draw a distinction" mit einer Beobachterkette gleichsetzt. Diese ist hier offensichtlich mit der Grenze bzw. Grenzziehung identifiziert. Eine solche erscheint gar nicht mehr als solche. Beobachtung(en von Beobachtung) als Grenzziehung? Erstaunlich ist, dass bei Luhmann die von ihm sicherlich intendierte Rekursivitat der Beobachtung rein zirkular bleibt - wie der sich in den eigenen Schwanz beiBende Hund (oder mehrere davon, sich gegenseitig jeweils in den 30 Luhmann 1990:85, 89ff., 92f., passim. 31 32

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Vgl. den Kommentar zum zweiten Ktpitel. Vgl. LoF:106 . Vgl. Luhmann 1990:88,509. Luhmann 2008 . Die Zeichnun g ersch ien zuerst 1990 in der brasilianischen Zeit schrift ,Entao. Jorn al de Porte Alegre', Anno I., NO.4. Vgl. die .Editorische Notiz".

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Schwanz beiBend). BloBe Zirkularitat ist aber noch keine Iteration im mathematisch-rekursiven Sinn (ebenso wenig wie sie fur Selbstreferenz ausreichend ist). Stets geht es urn Zuwachse, urn Akkumulationen und nicht urn Wiederholung des Immergleichen. An vielen Stellen hat Kauffman darauf hingewiesen (und Hegel sprach von ,schlechter Unendlichkeit'). Als dritter Problempunkt (nach dem Vorgeschaltetsein von ,Beobachtung' wie ,System' und ,Autopoiesis' und der Unterschiede-Multiplikation) ergibt sich die etwas eigenwillige ,Einheit' von ,distinction' und .indication" ." Sie trifft nur zu, wenn man das in der Voraussetzung des ersten Kapitels spezifizierte Implikationsverhaltnis von "cannot make a distinction without an indication" (LoF: 1) umstandslos reversibel fasst. Der behauptete direkte, drastische ,Paradoxiencharakter ' dieser Einheit ist von den Laws of Form her nur uber das Durchlaufen der Gesamtdynamik zwischen dem ersten und den letzten beiden Kapiteln zu verifiziererr". Im ubrigen kann man sagen, dass die Vielzahl von ParadoxieVerhaltnissen, welche die Beobachtung Luhmanns in den anfanglichen Unterscheidungsverhaltnissen ausmacht und so Techniken der Entparadoxierung zufuhren muss, in der Vier-Aspekte-Konzeption der ,form of distinction', als simultaner Ko-Produktiorr", der Laws of Form ganz unspektakular latent gehalten werden. Es bietet sich an, das Vier-Aspekte-Modell unter Berucksichtigung der wichtigen Funktion des "motive" aus Kapitel 1 zu einem Modell von funf konstitutiven Aspekten der ,form of distinction' zu erweitem. In der wechselseitigen ,Koproduktion' dieser funf Aspekte hatte man daruber hinaus das Modell eines einfachsten, allgemeinsten Systembegriffs. Dieser lasst sich demnach aus der ,form of distinction' ableiten ; er muss nicht vorausgesetzt bleiben Zum ,unmarked state' lasst sich noch erganzen, dass er aus dem strengen (minimal- oder "proto-autopoietischen") Interaktiv- oder Koproduktionsgefuge der beiden aufeinander bezogenen ,states', wie Ubrigens auch der zugehorigen beiden Indikatoren" , schwerlich mit ,der-unbeobachtbaren-Welt' schlechthin gleichgesetzt werden karin." Das widerspricht auch dem unerlasslichen vierten Aspekt der ,form of distinction ', namlich dem ,impliziten Kontext', der, reprasentiert im ,unwritten cross ',jeglichen direkten Welt-Durchgriffverhindert. FUr die Figur des - wechselnden - impliziten Kontextes gabe es ubrigens ein reiches Anwendungsfeld in einer sozusagen genuinen Laws ofForm-Systemtheorie.

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Vgl. Luhm ann 1990:79,92,95, 81f., 84, 95. Vgl. den Kommentar zum zwoltten Kapitel. Vgl. dazu den Kommentar zum ersten Kapitel und ILA Kontexte . Vgl. den Kommentar zum zweiten Kaiitel. Vgl. Luhmann 1990:92f., 93 (Anm.36) - und seinen ganz hohen Anspruch hier: Anm. 53

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Die Idee der .Zwei-Seiten-Form?" kommt der ,form of distinction' in den Laws ofForm am nachsten. Allerdings ist die stets mit der beobachtbaren Seite mitgeflihrte ,andere' Seite vielleicht ,unbeobachtbar' im Sinne Luhmanns, sie ist jedoch keineswegs unbezeichenbar - im Gegenteil: dass der ,unmarked state' zwar eben ,unmarked', aber sehr wohl indizierbar ist, und zwar, und das ist das Wichtigste, mittels eines .no-token', eines ,no-name' (unter Verzicht auf einen zweiten Namen), eines ,empty space' als Quasi-Indikator, das macht das Besondere an Spencer Browns Konstruktion aus und zeigt anschaulich, wie verunklarend die verfiiihte Interferenz mit der Beobachter-Idee wirkt. Ahnlich wie Spencer Brown darauf abzielt, die ,Anfangsgriinde' der Laws of Form beobachterfrei zu formulieren, so geschieht es mit der ,Zeit' . Hier ist nun die Diskrepanz zu Luhmann einmal wie im Brennglas zu studieren. Luhmann, qua Systemtheorie als Theorie der Gesellschaft, flihrt die Zeit nicht ein, sondem bringt sie einfach mit. Die ,Zeitdimension' gehort wie die ,Sach'- und die "Sozialdimension"? sozusagen zum fundamentum inconcussum seiner Theorie, an der vieles, so die gesamte traditionelle Erkenntnistheorie, Ontologie etc., gemessen und verworfen wird . Deshalb ist er gezwungen, ganz friih schon, kaum dass von den ersten Unterscheidungsverhaltnissen die Rede ist, Zeitbedarf anzumelden", an einer Stelle, wo sie fur Spencer Brown noch lange nicht eingeflihrt, d.h. ausdriicklich konstruiert ist - das geschieht erst mit dem Komplex Imaginare Werte /Gleichungen zweiten Grades /erstes ,Re-entry' (d.h. in der "fifth departure from the void", wie zitiert) . Zeit ist also generiert, im striktesten Sinne konstruiert bei Spencer Brown und keine quasi-apriorische Essenz, wie es fast zwangslaufig in einer sich seiber apriorisierenden Systemtheorie der Fall ist. Das fuhrt uns nun zum ,anderen Ende' des Kalkuls, zu den ,Re-entries' im elften Kapitel. Diese sind bei Spencer Brown Generierungsmechanismen sukzessiver Wirklichkeitsfragmente durch iterierte Anwendung selbstreferentieller Prozesse." Dem entspricht die auffallige Ausdifferenzierung in vier unterschiedliche Formen, den Gleichungen EI_E4 45• Mit diesem hier bereitliegenden Instrumentarium ist noch kaum weiter gearbeitet worden - am wenigsten von Luhmann. Ein Gegenbeispiel ware hier Kauffman, der, weit tiber Varelas Versuche hinaus in Neuland vorstofrt - in Richtung Knotentheorie, die er auf eine

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Luhmann 1990:79f. Hier: Luhmann 1990:74,89, passim. Vgl. Luhmann 1990:78f., 80, 91. Fast fraktalahnlich : gleichsam bis das Gesamthologramm erstellt ist. Die Ahnlichkeiten von Mandelbrods Fraktalgeometrie und der sie verwendenden Chaostheorie zu Spencer Browns Expansionsstufen von Laws of Form sind frappierend gro6, vor allem wenn man in Betracht zieht, dass die Chaostheorie, wie v. Foerster seiber nicht miide wurde, grimmig zu bemerken, ,nichts anderes ' ist a1s2nd Order Cybernetics im modischen Gewand . Vgl. den Kommentar zum elften Kaptel.

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vereinheitlichte Quanten-Relativitatstheorie anwendet." In seiner letzten groBen zusammenfassenden Arbeit zu den Laws of Form (Kauffman 2004b) hat Kauffman es in ingenioser Weise verstanden, Anfang und Ende des Kalkiils, d.h. das .minimal-autopoietische" Modell von Kapitel 1/2 und die ,ausgewachsenen ' autopoietischen Rekursionsstrukturen von Kapitel 11 sowohl angemessen zu unterscheiden, wie auch in produktive Beziehung zu setzen. Diese Arbeit stellt ein neues Referenz-Niveau der Beschaftigung mit den Laws of Form dar und wirft ein neues scharfes Licht auf die ganze Spannweite von Spencer Browns Ideen . Luhmann fasst das ,Re-entry' lediglich als Wiedereintritt der Unterscheidung in das von ihr Unterschiedene bzw. als Wiedereintritt der Form in die Form - eine Theorieposition, die er fiir die Grundanlage seiner Systemtheorie dringend benotigt, wegen des Grundpostulats der "operative(n) Geschlossenheir". Diese Idee stammt aber eher von Bateson als von Spencer Brown . Sie entspricht Batesons Theorie vom Spiel als Hineinziehen von Rahmenbildungen via spielerischen Umgang ins Spiel selber." Bei Spencer Brown ist stets nur die Rede von einem .Re-entry into the Form', so der Titel des zwolften Kapitels der Laws ofForm, bzw. von "re-enter the form" (LoF 1994b:104), da man namlich zuvor aus ihr herausgetreten war - "left the central state of the form" (ebd.). Es handelt sich um die generelle Dynamik von Abbau und Aufbau im ,Theoriedesign' der Laws of Form, von Dekonstruktion und Konstruktion, wie es Kauffman Uberzeugend demonstriert. Hier liegt vielmehr eine Oberschneidung mit der Frage nach dem Beobachter vor: In der Tat wird der Beobachter im zwolften Kapitel wieder in das erste Kapitel eingefuhrt, d.h. explizit gemacht, mit all den bereits erwahnten Modalitaten, nicht aber eine irgendwie geartete Unterscheidung . Da aber bei Luhmann, qua Voraussetzung, der Beobachter zentrales Distinktionsvehikel ist, scheinen hier die Unterschiede auch einmal zu verschwimmen . Dennoch bewegt man sich in diesem Bereich der iterierten ,Re-entries' immer mehr in der Nahe von den Phanomenen, die Luhmanns theoretischen Ausgangsbedarf markieren . Auf der Ebene des vierten ,Re-entry' (d.h. der Gleichungen fiinften Grades") stOBt man auf das schon zitierte Phanomen des ,runaway' . Spencer Brown seiber spricht von den "rekursiven Ausdrucken im Kapitel 11"50. Er nimmt eine Umbenennung vor und bezeichnet sie nunmehr als .Reduktoren" (ebd .), um daran das Eingestandnis ihrer noch unbefriedigenden Durchfiihrung im elften Kapitel zu knupfen, zugleich mit der Feststellung einer besonderen, kaum gesehenen, geschweige denn gelosten Schwierigkeit, die 46

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Vgl. Kauffman 1995c,2002. Luhmann 1990:82ff. Anschaulich bei Baecker/ Kluge 2003:100; Bateson 1981. Vgl. AUM 4,7f. Laws ofForm , deutsche Ausgabe, 1997:xivf.

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Funktionsweise dieser Reduktoren, gerade wei! sie so einfach seien, zu durchschauen. Ich mochte die Vermutung vorbringen, dass es sich bei diesen Reduktoren bzw. bei den nach und fur Spencer Brown noch ausstehenden Einfachsten von ihnen urn genau das handeIt, was bei Luhmann, im Rahmen seiner Theorie vieIfach verschlungener Rekursivitaten, die ,Eigenwerte' bzw . "Eigenzustande"51 sind . Diese Idee stammt von v. Foerster." Bei Luhmann hat sie einen zentralen Status.53 Stellen die ,Eigenwerte' (entsprechend den ,Attraktoren' der Chaostheorie) doch die rekursivitatstheoretisch produzierten und motivierten Analoga fur aIle einfachen Grundelemente oder -verhaltnisse dar, die immer neu zu gewinnenden Zonen von Stabilitat in der ,kochenden Materie' der systemtheoretischen Kornplexitaten, Destabilisiertheiten und Paradoxien, die dennoch moglichen ternporaren Identitaten, der ruhende Pol, das Auge des Zyklons gleichsam. Sie erfullen die auch fur Luhmann elementaren EinfachheitsBedurfnisse, bieten diese aber zugleich ,vermitteIt', ,konstruiert' und nicht unmittelbar, quasi ,gegeben' - weitgehend wie bei Spencer Brown, der daraus nur nahezu entgegen gesetzte Konsequenzen in der Durchfuhrung, der Architektur seines ,calculus of indications' zieht. Trotzdem stellt dies sicherlich einen Punkt grofrter Nahe zwischen beiden, Spencer Brown und Luhmann, dar." Wie bieten sich beide nun der gegenseitigen Wahmehmung ,Beobachtung' dar? Spencer Brown empfiehIt Luhmann seine divers en Vereinfachungsmodelle, die nicht so naiv sind, wie sie im Blick Luhmanns erscheinen. Vielmehr sind sie zugleich elementar einfach und zugleich implizit minimal-autopoietische Dispositive, zugleich Einfachheits-Generatoren und Komplexitatserhalter, in einer ungewohnlichen, neuartigen Kombination." Er weist Luhmann des Weiteren 51 Luhmann 1990:82, 83f., 87, 95, 97, 99, 311ff., 541 52

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In v. Foerster 2003 und 1985. Eine eigenstandige Weiterfuhrung bietet Kauffman 2003 und 2002. Luhmann sieht seine Systemtheorie seIber, nicht nur gewisse von ihr gesuchte und eruierte Verhaltnisse in den Gesellschaftssystemen, als solch einen .Eigcnwert' an: "It is my hypothesis that "systems theory" belongs to that kind of "eigenvalues" within modem intellectuality" und als Erklarung :"... not least because this theory is able to reflect and to understand the condition of self-creation in the unmarked state of the non-observable world." Luhmann 1995. Definitives lasst sich nicht aussagen, da, wie er seiber bemerkt, Spencer Brown nicht zur Ausarbeitung einer entsprechenden Theorie zum elften Kapitel gekommen ist. Jedoch werfen die Bemerkungen tiber die Fibonacci-Reihe als erwogener Alternative zu den ,Equations of the Second Degree ' (so der schlieBliche Gegenstand und Titel des elften Kapitels) ein weiteres Licht aufdiese Ideen, vgl. AUM 2,10 . Dieses neuartige und ungewohnlichc Verstandnis der Beziehung von Kornplexitat und Einfachheit erinnert frappierend an Formulierungen von Murray Gell-Man, dem Begrunder des Santa Fe Insititute - siehe oben das Motto - .J ch bin jedenfalls der Ansicht, dass wir das Eigentliche unserer Arbeit verzerrt darstellen, wenn wir als unser Thema .Komplexitar' angeben , denn ein entscheidendes Merkmal des ganzen Unternehmensist die Einfachheit der Grundregeln. Des-

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auf seine Unterschatzung des radikalen Potentials von Mathematik und Logik hin, speziell seiner formalen Mathematik. Sie verbindet mit groBer Leichtigkeit und Eleganz hochstmogliche Abstraktion mit Konkretisierungen, ein Verhaltnis , mit dem Luhmann nicht so glticklich operiert. Einerseits fordert er z.B. fur den Beobachtungsbegriff weitestgehende Abstraktion und Formalitat, urn ihn sogleich und im selben Atemzug als empirisches Phanomen in Anspruch zu nehmen.56 Spencer Brown konnte Luhmann also nahe legen, seine feste Meinung von der Mathematik und Logik, wie sie in den Laws ofForm praktiziert werden , diese namlich als bloBe systemtheoretisch relative bzw. implizite Figuren anzusehen, sozusagen bestenfalls als Art "ancilla theologiae':", zu revidieren. Als ein in-nuce-Beispiel fur beides wurde er zur Demonstration auf den Generierungsprozess von Zeit verweisen: Die ,first time' besteht aus einer puren ,oscillation between the states of the first distinction'. Es ist eine Zeit ohne jegliche Qualifizierung von ,duration'. Messbar wird eine solche Zeit erst, wenn man sie zumindest einmal ,put or feed it back into itself' , und eine Zeit unserer gewohnten Zeittypik generiert sich durch mehrfaches Feedback in sich selber." Eine derartige messtheoretische Darstellung stellt zweifellos ein einfachst mogliches autopoietisches System nach o Spencer Brown wtirde Luhmann auf die Kraft der einfachen Modelle verweisen , die es insbesondere auch erlauben, eine Ftille beobachtungsproduzierter ,Artefakte' zu bemerken und zu vermeiden ein nicht unerheblicher Beitrag zur Entkomplexisierung wie auch einer Entparadoxierung durch prophylaktische Paradoxienvermeidung." Luhmann konnte Spencer Brown hinweisen auf die Wichtigkeit der Erweiterungen der Algebra nicht nur auf Phanomene der Natur und Naturwissenschaften, sondem auf die Gesellschaftssysteme in ihrer in gewisser Weise stets auch die ersteren mit pragenden Funktion , sowie auf den darin liegenden wichtigen Anwendungsfall, der sich auch fur den Kalktil als besonders ,revealing' erweisen konnte . Und er konnte ihn ermutigen , die evidenten Lticken in seiner Durchdringung der hoheren Formen von Rekursivitaten zu schlieBen, einschlieBlich eines besonderen Augenmerks auf die hochrelevanten Rekursivformen der ,Eigenwerte'. Das erweist sich aber in letzter Instanz als ein mathema-

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halb formuliere ich es geme so: Wir erforschen die Einfachheit, verschiedene Arten von Komplexitat, komplexe Anpassungssysteme ..." in: Brockman, John 1995:440; vgl. auch den naheren und weiteren Zusammenhang 440-1 sowie 440-454 sowie die sich anschlieBenden Kommentare bedeutender Naturwissenschaftler 454-463, z.B. Martin Rees: "Was Murray Gell-Man klar erkennt, ist der Kontrast zwischen der Einfachheit der Teilchenphysik und der Komplexitat der Welt urn uns herum. Diese beiden Phanomene erfordern ganz unterschiedliche Denkweisen..." (ebd.: 459) - welche sodann in ein einheitliches Modell gebracht werden mussten, Zum Ganzen ausfuhrlicher und grundlegend Gell-Man 1994. Vgl. Luhmann 1990:73,75 ; 95f., 313. Luhmann 1990:75, 74, passim Vgl. II.A Kontexte der Laws of Form sowie AUM 1,9. Hier haben wir erkenntlichdie Luhmannsche Sprachregelungverlassen.

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tisch-logisches Desiderat" - und nicht allein als eins einer Systemtheorie der Gesellschaftssysteme." Sichtwechsel Die Prozesse, Verfahren, Mittel zur Findung/GenerierungIBewahrung moglichster ("anfanglicher") und ,beobachterfreier' Einfachheit in Form der ,first distinction ', welche fur die Laws of Form so charakteristisch sind - namlich Komplexitats-Verzicht (an dieser Stelle), Kondensierung (als eine Form von Abstraktion), Entparadoxierung durch Komprimierung/Hyperkomprimierung, Latentisierung, lnvisibilisierung sowie Bildung autopoietischer bzw ,protoautopoietischer' Minimalmodelle - diese Verfahren konnen in einem anderen Licht als Verfahren der Fiktionalisierung angesehen werden. In den Laws of Form ginge es demnach u.a. urn eine mathematisch-Iogische Fiktion: ,first distinction' und Kapitel I als retro-fiktionalisierte Elementar-Einfachheiten und -Erstheiten. Die Laws of Form mithin selbst als fiktionaler Text. In dieser Perspektive rncken die Laws of Form in die Reihe der avanciertesten modernen/ postmodernen theoretischer Formen d.h. Transformierungen des Modells .Llrsprungsmythos". Als signifikante Beispiele fur Entwurf und Funktion derartiger hochtheoretisierter Formen von "Ursprungsmythos" heutzutage sei verwiesen (1) auf das Konstrukt des .Llrzustands" und seine zentrale Bedeutung in John Rawls' "Theorie der Gerechtigkeit" sowie (2) auf Richard Dawkins' neuestes Buch "Geschichten vom Ursprung des Lebens" mit seiner Grundidee ,am Anfang waren die Replikatoren' . Autologie Michael Schiltz versucht die Komplexitatsproliferationen der Lumannschen Konzeption mithilfe der Kategorie der .Autologie" d.h. der Selbstimplikation als verscharfter Form der Selbstreferenz noch zu uberbieten." Erklartermassen an einer Affirmation des kuhnsten Kerns von Luhmanns Gesellschaftstheorie, 60 61

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Vgl. IV.B Mathem atik, Logik, Naturwissenschaft und die Arbeiten von Blau 1990,2008 die u.a. in solch eine Richtung zielen . Noch einmal pointiert Luhmann diese Aufgabe gegen die logischen und die mathematisch en Moglichkeiten als eine praktische - der Systemtheoretiker als cthisdt-praktische Instanz! - , aber gerade auch hier von einem eingeschrankten Verstandnis von Logik bzw. Mathematik geleitet. In kuhnem Bogenschlag zuruck zu einer Passage aus Platons Theaetet formuli ert er : .Zugleich ist damit klargestellt, dass die Entparadoxierung kein logisches Verfahren sein kann. Sie erfordert, urn nochmals auf den Theaetet zuruckzugre ifen, Kompensation von Schwache durch Mut und durch Ergiebigkeitsvertrauen" und schlie6t mit einer weiteren skepti schen Wendung : "Ob das System, wie die Mathematik , aus einer solchen Rekursivit at stabile .Eigenzustande' gewinnen kann, lasst sich nicht voraussehen . Das mu6 man halt ausprobier en" - der Systerntheoretiker als Bastler. Luhmann 1990:541,488. Vgl. Schiltz 2007.

IV.D Niklas Luhmanns Systemtheorie

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namlich eben ihrer Selbstimplikation in ihrem eigenen Gegenstandsbereich und was daraus folgen mag," interessiert, verliert er zwar nicht ganz die Differenz von Spencer Brown zu Luhmann aus der Sicht, vermag sie aber nicht produktiv zu gewichten . Denn die Laws of Form ist ihm nur ein Zulieferer an Autologie fur die Zwecke der Luhmannschen Theoriekonstruktion. Weshalb er den produktiven, limitativen Gegenpart, ja Widerhalt, den Spencer Brown, mit mindestens dem gleichen Recht, spielen konnte, nicht in den Blick bekommt. So dass es zu einer schwindelerregenden Vervielfachung der Selbstreferenzfiguren und schleifen kommt, welche immer mehr das Prekare streifen. Das spurt Schiltz zwar immer wieder einmal," geht aber dariiber hinweg start dies seiber ausreichend zum Thema zu machen, zu ,re-flektieren' - was auch die bei ihm mehr als einmal gestreifte Nahe von ,Auto logie' zur schlichten petitio principi sowie die Nichtunterscheidung zum ,Autismus' betrifft. Wie erklart sich dieser Reflexionsstop, dies Stehenbleiben der ,Autologie'? Ich sehe zwei Griinde. Einmal verknupft Schiltz mit seiner ,autology' ziemlich utopische anti-ontologische Erwartungen . Die autologisch hochgetrimmte Selbstreferenz soli der .alteuropaischen' Ontologie Luhmanns dicta folgend den letzten Rest geben. Und warum? Auf dass dann ,Freiheit herrsche'? Diese Utopie nun wiirde Luhmann seiber wohl ziemlich sicher nicht teilen. Besser im Rennen liegen hier neueste Neubewertungen von Ontologie , welche ihre Notwendigkeit gerade im Rahmen einer verallgemeinerten und gesteigerten Selbstreferentialitat (aller unserer Lebens- und Denkverhaltnisse) sehen. Foucault hat es mit seiner Ontologie der Sprache als Basis ihrer Selbstreferentialitat und umgekehrt vorgemacht." Ein so eminenter ,Denker' (u.a.) wie Alain Badiou hat es in .Das Sein und das Ereignis'i" zu systematisieren versucht, und zwar durch eine hoch gewagte Verschrankung von - u.a. - Platon und Cantor (womit die eigenwillige mathematische - in seinem Sinn - Ontologie Spencer Browns und der Laws of Form erst noch zu konfrontieren ware), und schlieBlich hatte Gilles Deleuze die Problemstellung noch einmal verscharft durch sein spezifisches Beharren auf der .Univozitat des Seins', und das unter ungeschmalert modernen bzw. ,postmodernen' differenztheoretischen Voraussetzungen (ein weiteres Desiderat in Konfrontation mit Spencer Browns Ansatz) . Und der andere Grund ist schlicht eine weitere gravierende Unterschatzung der Einfachheitshinsicht, d.h. der Okonomie, des radikalisierten ,Occam 's razor', der ,Eigenwerte', der Laws of Form - ein generelles Verkennen der notwendigen Verschrankung der beiden Pole Simplizitat und Komplexitat, wie es

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Vgl. Luhmann s Anspruch in seinen eigenen Worten inAnm. 53 "Whether this paradox -sc. of autology and contingency- has detrimental consequences is a question that must be left open here." Schiltz 2007 :24. Vgl. Mazumdar 2008. Vgl. Badiou 2005 .

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das wissenschaftliche Forschungsprogramm Murray Gell-Mans ausmacht - und eben den mathematisch-logischen Entwurf und Wurf George Spencer Browns . Man sieht , das Thema Spencer Brown und Luhmann und dartlber hinaus Spencer Brown und 'complexity science' ist noch offen - offnet sich vielleicht gerade erst.

IV.E Form und Geschlechterunterscheidung Katrin Wille

In den Debatten tiber die Geschlechterunterscheidung stehen zwei Wege offen : Es kann der direkte Weg gegangen werden und der Akzent auf den ersten Teil des zusammengesetzten Wortes gerichtet werden (Geschlechterunterscheidung) mit Studien z.B. daruber, wie die Geschlechterunterscheidung in verschiedenen gesellschaftlichen Zusammenhangen der Gegenwart und Vergangenheit verwendet wird und wurde, wie die Geschlechterunterscheidung anders interpretiert und mit neuen Wirkungen eingesetzt werden oder sogar aufgehoben werden konnte. Demgegenuber bedeutet die Akzentverschiebung des zweiten Weges (Geschlechterunterscheidung) einen scheinbaren Umweg ', namlich zunachst nach bestimmten Formen und Strukturen von Unterscheidungen selbst zu fragen und den Prozess des Unterscheidens als solchen auf seine konstitutiven Momente hin zu durchleuchten. Dadurch kann deutlich werden, welche strukturellen Moglichkeiten fur die Bildung von bestimmten Unterscheidungen zur Auswahl stehen, welche davon allgemeiner und offener sind, welche spezieller und festgelegter, welche zum Beispiel der Geschlechterunterscheidung bestimmte Bahnen vorzeichnen und andere versperren. 1m Foigenden soli der zweite Weg gegangen werden, fur den auch Niklas Luhmann in seinem ganzen Werk und in Bezug auf die Geschlechterunterscheidung in dem Aufsatz Frauen, Manner und George Spencer Brown von 1988 pladiert . Es werden zwei Varianten des zweiten Weges voneinander abgegrenzt: die eine ist die von Luhmann in dem genannten Text prasentierte und die andere gilt es in kritischer Abgrenzung von Luhmanns Variante knapp zu skizzieren . Der Ausgangspunkt scheint der gleiche zu sein: Der Referenztext fur die Analyse des Prozesses des Unterscheidens sind die Laws ofForm von George Spencer Brown . Aber genau dieser gemeinsame Ausgangspunkt bildet auch schon einen Differenzpunkt, da die theoretische Ebene, auf der in den Laws of Form die Form der Unterscheidung gewonnen wird, verschieden bestimmt wird und sich dadurch voneinander abweichende Deutungen und Foigerungen ergeben . Der zentrale Einwand , der hier gegen Luhmanns Deutung erhoben wird, ist der, dass zur theoretischen Ebene der Form der Unterscheidung (Singular!) keine Asymmetrie - wie Luhmann dies fur aIle Unterscheidungen annimmt - der Seiten der Unterscheidung gehort, sondem er sich mit seinen Interpretationen auf der Vgl. ausfuhrlicher tiber Motiv und sachliche Chancen des unterscheidungstheoretischen Umwegs, Wille 2007a.

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theoretischen Ebene der Strukturen der Unterscheidung (Plural!) bewegt und somit die Ebene der Form mit der der Struktur konfundiert. I . Klarung des theoretischen Rahmens: Uber Form und Strukturen Mit der Unterscheidung zwischen Form und Struktur oder genauer zwischen der Form der Unterscheidung (Singular!) und verschiedenen Strukturen der Unterscheidung (Plural!) soil fur die Unterscheidung zwischen zwei Theorieebenen argumentiert werden. Damit wird zunachst der theoretische Rahmen reflektiert, innerhalb dessen die Thematisierung der Unterscheidung zwischen Frauen und Mannern uberhaupt angemessen und sinnvoll ist. Es wird sich zeigen, dass die Betrachtung der Geschlechterunterscheidung nicht auf der Theorieebene der Form der Unterscheidung verhandelbar ist, sondem auf die Ebene der Strukturen der Unterscheidung gehort. Will Luhmann die .Frauenforschung'' nun dartiber aufklaren, dass die .Logik" der Unterscheidung zwischen Frauen und Mannem in der Form der Unterscheidung, wie Spencer Brown sie entwickelt hat, liege, konfundiert Luhmann eben diese beiden Theorieebenen, die Spencer Brown scharf auseinander halt. Mit seinen Laws of Form will Spencer Brown einen Punkt der Einfachheit erreichen, der erlaubt, die Form zu betrachten, aus der die Erfahrungen des Common Sense wie auch die verschiedenen Wissenschaften hervorgehen.' Dies ist nach Spencer Brown der Prozess des Unterscheidens als solcher, Form der Unterscheidung genannt. Urn diese Ebene der Form der Unterscheidung tiberhaupt erfassen zu konnen, ist es zunachst notig, einen theoretischen Weg des Verlernens zuruckzulegen. Dieser erfordert, von allen bestimmten Unterscheidungen abzu sehen , sie aufzuheben oder einzuklammem. Mit der Form zu beginnen oder die "erste" Unterscheidung zu treffen, heiJ3t, das Hervorgehen des Prozesses des Unterscheidens selbst zu betrachten, ohne vorgegebene Unterscheidungen zu verwenden, die dem Prozess des Unterscheidens noch voraus liegen und ihn bedingen. Alles , was zu dem Prozess des Unterscheidens gehort, muss in ihm selbst auftauchen und in Abhangigkeit von dem Prozess mit entstehen . Mit der Form bzw . der ersten Unterscheidung ist ein philosophischer Anspruch erhoben, der nicht dahin geht, ein ontologisch Erstes (wie klassisch einen ersten Anfang, eine erste Ursache) auszumachen, sondem mit einer vollstandig relationalen Gedankenbewegung zu beginnen, die durch nichts als sich selbst determiniert ist. Es muss mit groJ3em Nachdruck daraufhingewiesen werden, dass aIle weiteren Uberlegungen, was die Form der Unterscheidung fur diesen und jenen Zusammenhang, wie die Logik oder das System der naturlichen Zahlen oder die Schaltalgebra wie auch die Geschlechterunterscheidung oder die SystemlUmwelt Unterscheidung bedeutet, lnterpretationen der Form sind , die auf Vgl. II.A Kontexte der Laws ofForm.

IY.E Form und Geschlechterunterscheidung

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eine andere theoretische Ebene gehoren, Da die Geschlechterunterscheidung aber kein geschlossenes System ist wie die formale Logik, bei der die Symbole und die Beziehungen zwischen den Symbolen klar bestimmt sind, ist diese Interpretation noch zu erjinden . Mit jeder Interpretation verlassen wir notwendig die Ebene der Form der Unterscheidung (Singular!) und wechseln auf die Ebene der, wie ich es nennen will, Strukturen von Unterscheidungen (Plural!). Hier sind verschiedene Deutungen moglich, die gut gegeneinander abgewogen sein wollen. Luhmanns Text weist in diese Richtung, ist aber wegen der Konfundierung der Ebene der Form und der Ebene der Interpretation bzw. der Strukturen auf seine Interpretationsvorschlage hin kritisch zu befragen. Die Geschlechterunterscheidung von der Ebene der Form her zu betrachten, birgt ohne Zweifel die Chance, den Verlemprozess auch in Bezug auf diese Unterscheidung zu nutzen und hinter aile konkreten Bestimmungen, Regeln, Qualifizierungen, Unterscheidungen bestimmter Art, Werte, Normen, Verbote sowie selbstverstandliche Voraussetzungen zuruckzugehen bis zu dem einfachen Gedanken einer Unterscheidung zwischen Zustanden, Von dort aus kann das Tun erinnert werden, das notig ist, urn eine solche Unterscheidung wie die zwischen Frauen und Mannern aufzubauen und es werden auf dem Weg des Aufbaus verschiedene Scheidewege sichtbar, Strukturen zu bilden. Also konnen aus der immer wieder neuen Beschaftigung mit der Ebene der Form neue Ideen fur die Strukturbildung und vor allem Argumente gegen vorschnelle Festlegungen vermeintlicher notwendiger Strukturen gewonnen werden. 2. Die Struktur der Asymmetrie und ihre Kritik Da es bisher nur urn die Unterscheidung von Theorieebenen ging, ist noch vollig offen geblieben, was die Form der Unterscheidung ausmacht und was mogliche Interpretationen sind . Meine These ist, dass Luhmanns Darstellung der Form der Unterscheidung auf die Theorieebene der Interpretation und damit der verschiedenen Strukturen gehort. Urn dies deutlich zu machen, mussen Luhmanns Interpretation und Spencer Browns Form der Unterscheidung an einigen entscheidenden Punkten in ein kritisches Verhaltnis gesetzt werden. Zunachst sei Luhmanns Interpretation der Form der Unterscheidung auf ihre interpretatorischen Richtungsentscheidungen hin befragt, urn die Interpretation als Interpretation hinter dem Anspruch sichtbar werden zu lassen, die Form der Unterscheidung sei die eine singularische .Logik" von Unterscheidungen, die den Umgang mit konkreten Unterscheidungen steuere. An die grundlegenden Thesen Luhmanns tiber das Verhaltnis von Unterscheiden und Bezeichnen, die in dem Text tiber die Geschlechterunterscheidung und an vielen anderen Stellen in seinem Werk sehr knapp und dadurch gewisserma13en in einem hohen Tempo vorgestellt werden, und an das von ihm entwickelte Interpretationsvokabular werden Fragen gerichtet mit dem Ziel, die dahinter stehenden Entscheidungen und nicht gewahlten Altemativen wieder auftauchen zu lassen. Der Fokus Iiegt

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auf den allerersten und grundlegenden Interpretationsentscheidungen, die die Konsequenz der asymmetrischen Struktur von Unterscheidungen verstandlich machen. Andere Punkte, die sich anschlieBen, wie die (paradoxe) Zusammengehorigkeit von Unterscheiden und Bezeichnen und das "Re-entry" konnen in diesem Rahmen nur angedeutet werden. Theoretischer Ausgangspunkt sind fur Luhmann ganz allgemein Unterscheidungen, seinen Ansatz nennt er selbst difJerentialistisch. Denen eignet eine bestimmte (aus der Lektiire der Laws ofForm gewonnene) .Logik", die mit der Verhaltnisbestimmung von Unterscheiden und Bezeichnen einsetzt, welche ungefahr so zusammengefasst werden kann: Gegenstand der Analyse von Unterscheidungen ist zunachst die Operation des Unterscheidens, also das Vollziehen oder Gebrauchen einer Unterscheidung (a). Dabei werden zwei Seiten durch eine Grenze getrennt und gleichzeitig durch sie gegeben (b). Bei diesem Vollziehen oder Gebrauchen einer Unterscheidung sind zwei verschiedene Funktionen zusammengefasst, namlich zum einen das Unterscheiden von zwei Seiten und das Bezeichnen von einer der beiden Seiten (c). Dadurch ist die Form der Unterscheidung immer eine Zweiseitenform. Die andere, nicht bezeichnete Seite ist durch die Operation des Uberschreitens (crossing) zuganglich und das gilt durch die in der Ausgangsoperation bereits angelegte Asymmetrie (d). An diese hoch konzentrierten theoretischen Schritte seien eine Reihe von Fragen nach den lmplikationen und Hintergriinden der oben nummerierten Thesen gestellt und diskutiert : a) Was bedeutet es, mit der Operation des Unterscheidens zu beginnen und was spricht dafiir? Theoretische Ansatze, die Operationen oder Prozesse anstelle von Begriffen iiber theoretische Entitaten, wie Gegenstande oder Unterschiede in den Mittelpunkt ihrer Aufmerksamkeit riicken, gehen davon aus, dass solche theoretischen Entitaten durch Operationen generiert werden und die Begriffe der Entitaten eben diese Operationen beinhalten. Wenn wir mit Spencer Brown den Prozess des Unterscheidens nachvollziehen, zeigen sich in diesem Generierungsprozess eines Beziehungsgefuges verschiedene Momente, die sich nach und nach entfalten, wenn wir, wie uns die Definition (Distinction is perfect continence) auffordert, Unterscheidung als vollzogenen oder abgeschlossenen Zusammenhang denken . Dies bringt uns gleich in eine gedankliche Bewegung : Unter-scheidung, also eine Art von Trennung soli selbst einen Zusamrnenhang' vollziehen oder vollzogen oder abgeZusammenhang als Beziehung der abgeschlossenen Bereiche aufeinander. Mit dieser Bedeutungsebene von Zusammenhang ist gleich eine Perspektive gewonnen , die die Rede von Dichotomisierungen Ubersteigt und es wird ein Unterscheidungsbegriff mit beiden Aspekten Trennung und Verbindung vorgelegt.

IV.E Form und Geschlechterunterscheidung

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schlossen haben. In der Wahl des Ausgangspunktes gehen Spencer Brown und Luhmann d'accord, sie wahlen beide den Prozess bzw. die Operation des Unterscheidens. Punkt a wurde Spencer Brown also zustimmen . b) Warum wird fur den Prozess des Unterscheidens das Unterscheiden von zwei Seiten betont und nicht von drei, vier oder mehr Seiten? Klar ist, dass "Unterscheiden" mindestens eine zweistellige Operation ist. Es macht keinen Sinn zu sagen: Ich unterscheide x, sondem die Operation .Llnterscheiden'' ist nur dann vollstandig ausgefuhrt, wenn x mindestens von y unterschieden wird, aber eben durchaus auch von z usw. Luhmann motiviert seine Beschrankung auf Unterscheidungen zwisch en nur zwei Seiten bzw. die Behauptung, dass .Llnterscheidungen Zweieroppositionen, Duale sind" durch einen pragmatischen Hinweis auf informationsverarbeitungstechnische Vorzuge von binaren Schematisierungen, die nur in weitlaufigen Untersuchungen geklart werden konnten und hier als bekannt vorausgesetzt werden mussen." Plausibilisierungen tiber die Nutzlichkeit und den technischen Erfolg binarer Schematisierungen oder tiber alltagssprachliche Gewohnheiten, haufig zwei und nicht mehr Seiten zu unterscheiden (wie zum Beispiel gut/bose, richtig/falsch, oben/unten, wichtiglunwichtig u.v.m.) sind keine ausreichenden Argumente fur die Entwicklung einer theoretischen Form zum Prozess des Unterscheidens als solchen. Luhmann orientiert sich an einem ohne Zweifel sehr elementaren Typ von Unterscheidung, namlich der "Unterscheidung durch Negation", wie ,Wahrheit/Un-wahrheit', ,Eigentum/Nicht-Eigentum' oder noch allgemeiner: ,Dies/Nicht-Dies, also alles Obrige' oder ,Dies/nichts Anderes ' . Dieser Typ von Unterscheidung ist geeignet, jeden Auswahlakt schlechthin in seiner grundlegenden Verfassung zu beschreiben und findet damit bei jedem kognitiven Akt, jeder Wahmehmung, jeder Kommunikation Anwendung . Die Elementaritat der Unterscheidung als "Unterscheidung durch Negation" scheint ein starkes Argument fur die Zweiseitigkeit der Form der Unterscheidung . Auf der theoretischen Ebene der Form nach Spencer Brown gehort aber selbst die Operation der Negation (als einstellige Negation von etwas) nicht zu dem Prozess des Unterscheidens, sondem ist als eine (wenn auch sehr elementare) Interpretation zu verstehen. In der Operation des Unterscheidens ergeben sich nach Spencer Brown genauer betrachtet zunachst Momente der Form der Unterscheidung, die voneinander abgeschlossenen Bereiche und ein Moment, das die Funktion hat, die Bereiche voneinander abzuschlieJ3en und damit aber auch aufeinander zu beziehen . Dieses Moment wird Grenze genannt. Zu der Moglichkeit der Grenze, ihre Funktion als Grenze zu erftillen, gehort ein Medium (Raum, Kontext) , das die Bedingungen dafur bereit stellt. Auf der Ebene der Form ist nicht explizit die Rede von zwei Seiten, obwohl dies durch die Formulierung ,die eine und die 4

Luhmann 2003 :44.

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andere Seite ' und das Beispiel des Kreises im ersten Kapitel der Laws ofForm, durch den zwei Seiten voneinander unterschieden werden, nahe gelegt ist. Die Ebene der Form und auch die daraus zu entwickelnde Primare Arithmetik sind aber explizit nicht-numerische, sondem die numerische Arithmetik erst ermoglichen de theoretische Schritte . Deshalb ist hier das Wichtigste, dass Seiten unterschieden werden, deren Verschiedenheit durch die Abgrenzung voneinander erschaffen wird, und nicht wie viele Seiten. Spencer Brown wurde Punkt b also schon aus diesem Grund nicht zustimmen. c) Was ist mit Bezeichnen gemeint? Und aus welch en Grunden wird nur eine der beiden Seiten bezeichnet? Unter Bezeichnen kann Verschiedenes verstanden werden: ,hervorheben', ,mit einem Zeichen versehen', ,benennen', ,darauf hinweisen' , ,zum Gegenstand der Untersuchung machen', ,die Aufmerksamkeit darauf richten' oder ,gebrauchen' . Die erste Bedeutung ,mit einem Zeichen versehen' und dadurch ,benennen', scheint durch den Rekurs auf Spencer Brown zunachst im Vordergrund zu sein . Bei der Luhmannschen Rede von Bezeichnen schwingt sehr stark die Bedeutung von ,gebrauchen', ,verwenden' mit. Hat man zwei Seiten durch eine Grenze voneinander unterschieden, soli man nicht beide gleichzeitig gebrauchen konnen , sonst ware die Unterscheidung sinnlos . In diesem Bedeutungshorizont erscheint die Luhmannsche Betonung, dass nur eine von beiden Seiten bezeichnet werden kann, wie eine unterscheidungstheoretische Reformulierung des Nicht-Widerspruchsprinzipes: FUr eine Unterscheidung gilt, dass nicht beide Seiten zur gleichen Zeit fur den gleichen Zweck verwendet werden konnen . Wird die Bezeichnung System gebraucht, dann kann nicht zur gleichen Zeit fur den gleichen Zweck die Bezeichnung Umwelt gebraucht werden. Wenn zwei Seiten voneinander unterschieden sind, dann konnen nicht beide Seiten im gleichen Sinne verwendet werden. Luhmann scheint so etwas im Sinn zu haben, wenn er Bezeichnen manchmal als ,gebrauchen' bestimmt und an einem Beispiel erlautert, dass man bei der Unterscheidung zwischen Mannern und Frauen in einer Verwendungssituation fragen konnte : .Ist das ein Mann oder eine Frau?' Eine Antwort, die die Unterscheidung wirklich verwendet, kann immer nur eine entweder-oder Antwort sein. Dieses Beispiel deutet darauf hin, dass nicht prinzipiell eine der beiden Seiten nicht bezeichnet werden kann, sondem dass in einer Situation nicht beide zugleich bezeichnet und d.h. gebraucht werden konnen, Damit hiel3e Bezeichnen so etwas, wie ,eine der beiden Seiten aktualisieren ', ,aktuell aufrufen'. Und wenn eine Unterscheidung immer nur zwei Seiten haben kann, die in einem entweder-oder Verhaltnis gebraucht werden konnen, dann gilt auch das Tertium non datur (Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten). Luhmann fuhrt zu diesem Entweder-Oder an einer Stelle weiter aus : Wurde man nun in einer Situation weder die eine, noch die andere Seite verwenden, also zum Beispiel auf die Frage ,,1st das ein Mann oder eine Frau" antworten: ein Mikrophon oder ein

IV.E Form und Geschlechterunterscheidung

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Hermaphrodit, dann gebraucht man in beiden Fallen eine neue Unterscheidung, die im letzteren Fall wie eine Mischung aus beiden Seiten klingt, wodurch aber eigentlich ein neuer Term gebildet wird, der wieder von anderem zu unterscheiden ist.' Eine Verbindung der beiden Seiten, wie zum Beispiel in dem Ausdruck ,Hermaphrodit' bildet danach keine dritte Seite der Unterscheidung, sondem eroffnet vielmehr eine neue Unterscheidung, unterschieden wird auf der elementaren Ebene zwischen ,Hermaphrodit/alles Ubrige'. Zu dem Prozess der Unterscheidung gehort nach Spencer Brown noch ein weiteres Moment, das dem Prozess als einer Art Bewegung, einer Operation im Unterschied zu einem gegebenen Unterschied Rechnung tragt , Spencer Brown spricht vom Motiv, also gewissermaBen dem, was bewegt und dem Prozess des Unterscheidens Anlass , Richtung und Wirksamkeit gibt. Dies ist aber nicht wie eine diffuse Kraft zu sehen, sondern entsteht aus dem "Sehen einer Wertverschiedenheit" (are seen to differ in value) zwischen den beiden Seiten. Es ist bei dieser Formulierung wichtig, nicht an Bewertungen im Sinne eines Besser/Schlechter, Mehr/Weniger und auch nicht an gegebene Werte zu denken . Vielmehr gehort zu einer Unterscheidung das Sehen einer Verschiedenheit zwischen den beiden Seiten, die sich auf Qualitaten, Funktionen oder Wirkungen der Seiten beziehen kann. Das Interesse an dieser Verschiedenheit macht diese Qualitaten, Funktionen oder Wirkungen zu "Werten". Die Abgrenzung der Seiten voneinander konstituiert diese Wertversch iedenheit der Seiten , die den Prozess des Unterscheidens selbst wieder nahrt und ihn als Bewegung ermoglicht, Das Motiv geht dem Prozess der Unterscheidung nicht voraus, sondern ist ein ihm internes Moment, das gleichzeitig durch ihn erzeugt wird und ihn erst ermoglicht. Die beiden Momente Medium und Motiv machen den Prozess des Unterscheidens zu einer zirkularen Gedankenbewegung.? Urn mit der Unterscheidung zu arbeiten , sie zu verwenden, sind Hinweise (indication) auf die Seiten der Unterscheidung, genauer betrachtet auf die Werte, die in dem Prozess des Unterscheidens in den Seiten verschieden gesehen worden sind , notig. Das Spektrum moglicher Hinweise ist auf der Ebene der Form bewusst offen gelassen und nicht durch Spezifikation eingeschrankt, es umfasst das Richten von Aufmerksamkeit auf etwas, das Ausdriicken von etwas oder auch das sprachlich-symbolische Bezeichnen von etwas, also aile Akte von Wahrnehmung und Kommunikation. Die Seiten "als von versch iedenem Wert sehen" legt das Verstandnis nahe, dass beiden Seiten ein je verschiedener Wert zugeordnet werden kann. Es ist aber durch die Formulierung die Moglichkeit nicht ganz ausgeschlossen, dass nur einer Seite ein Wert zugeordnet wird. Dann Vgl. Luhmann 2004 2 :74. Dies ist im Kommentar zum ersten Kapitel anders dargestellt , dort wurde das Moment des Motivs der komplexen Operation des Hinweisens zugeordnet. Der Text des ersten Kapitels der Laws ofForm ist so hoch kondensiert, dass verschiedene Exegesezyklen verschiedene Lesarten hervorbringen, darin einem poetischen Text vergleichbar.

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kann man die Seiten insofem als von verschiedenem Wert sehen, als dass der einen ein Wert zukommt, der anderen nicht (wobei ganz offen gelassen ist, welche Seite als von Wert gesehen wird und welche nicht, das kann aus den Seiten selbst nicht hervorgehen). Diese Moglichkeit, die konstruiert anmuten konnte, sei hier offen gelassen, da Luhmann sie zu favorisieren scheint. Wir haben es hier mit einer typischen kondensierten und damit systematisch offenen Formulierung zu tun, mit der sich gerade nicht darauf festgelegt wird, dass nur auf den Wert einer Seite hingewiesen werden konne, da der anderen keiner zugeordnet sei. Mit so einer Aussage wurde die Ebene der Form verlassen und eine bestimmte Interpretation favorisiert. Spencer Brown wurde also dem Punkt c, dass nur eine der beiden Seiten bezeichnet wird, nicht zustimmen. d) Wie ist es zu verstehen, dass in der Ausgangsoperation, dem Unterscheiden von zwei Seiten und dem Bezeichnen von nur einer Seite Asymmetrie angelegt sei? Fur die Ausgangsoperation gehoren Unterscheidung und Bezeichnung notwendig zusammen , da sie sich gegenseitig Sinn verleihen: die Bezeichnung hat nur im Rahmen einer Unterscheidung von zwei Seiten Sinn, wahrend sich andersherum der Sinn der Unterscheidung erst in der Bezeichnung erfullt, die sie vorbereitet. Durch die Asymmetrie zwischen den beiden Seiten, die durch die Bezeichnung geschaffen wird, soli die eine bezeichnete Seite der Unterscheidung erst anschlussfahig fur weitere Operationen werden. Befragt man die bisherigen Ausfuhrungen tiber mogliche Anhaltspunkte fur diese Asymmetrie der beiden Seiten der Unterscheidung, dann scheinen zwei Voraussetzungen in Frage zu kommen: Zum einen konnte sich die Asymmetrie aus der Wahl des Unterscheidungstyps "Unterscheidung durch Negation " ergeben, bei der die beiden Seiten, gerade in der allgemeinsten Form ,DiesfNichtDies (also alles Ubrige) einen unterschiedlichen Grad an Bestimmtheit aufweisen, der als Asymmetrie (der Bestimmtheit) zu charakterisieren ware. Dieser Sinn von Asymmetrie der Bestimmtheit wurde auch Luhmanns Rede von der Innen- und der AuJ3enseite der Unterscheidung rechtfertigen. Zum anderen scheint mit ,Asymmetrie' einfach der implizit aufgerufene Satz des Widerspruchs artikuliert zu sein: Die beiden Seiten konnen nicht zur gleichen Zeit in der gleichen Hinsicht verwendet werden. Dies beides sind sehr verschiedene Sinne von Asymmetrie und in der Spencer Brown-Exegese zeigt sich, dass der erste Sinn (Asymmetrie der Bestimmtheit) nicht auf die theoretische Ebene der Form gehort und der zweite Sinn (Asymmetrie als Nicht-W iderspruch) in den Laws ofForm erst in der Kalkulentwicklung im vierten Kapitel als viertes Theorem der Konsistenz (LoF: 18ft), das auch nur fur die Primare Arithmetik und Primare Algebra gilt, eingefuhrt wird. Durch diese beiden moglichen Sinne der Asymmetrie ist aber nicht ausgeschlossen, dass auf die beiden Seiten der Unterscheidung gleichermaJ3en in verschiedenen Hinsichten hingewiesen werden kann, also (in der Sprache Luh-

IY.E Form und Geschlechterunterschcidung

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manns) beide Seiten bezeichnet werden konnen - nicht gleichzeitig und nicht zu dem selben Zweck, hier gilt der Satz vom Widerspruch selbstredend fur die Bezeichnung/Verwendung beider Seiten gleichermaBen, aber im gleichen Zusammenhang in verschiedenen Hinsichten. Was also kann mit Asymmetrie noch gemeint sein, wenn diese beiden Sinne, die sich bisher ergeben, die einseitige Verwendbarkeit der Zweiseitenformen nicht erklaren konnen? Ein anderer Sinn von Asymmetrie ergibt sich aus den Erlauterungen, dass die Asymmetrie sich als leichte Praferenz fur die eine Seite manifestieren kann. Dieser dritte Sinn von Asymmetrie (Asymmetrie der Praferenz) impliziert eine Art Skalierung von Werten. Dem, was praferiert wird, wird ein hoherer Wert als dem anderen gegeben. Wie schwierig es bei bestimmten Unterscheidungsstrukturen ist, diese Asymmetrie der Praferenz zu verstehen, zeigt sich an den Beispielen, die er - fur das Asymmetrie-ModelI werbend - gibe: Welcher Seite der Unterscheidung ,Subjekt/Objekt' die Praferenz gegeben wird, ist fur philosophische Ohren vollstandig abhangig von der philosophischen Richtung. In einem idealistischen Kontext wurde der Subjekt-Seite philosophische Praferenz gegeben, in einem realistischen Kontext der Objekt-Seite und es sind Kontexte denkbar, in denen gar keine Praferenz gebildet wird. Ahnlich kontextabhangig ist eine Praferenzbildung fur eine der beiden Seiten des zweiten Beispiels ,Zeichen/Bezeichnetes' : Was solI man da praferieren? Die strukturalistischen Semiotiker mogen die Zeichen-Seite praferieren, der Common Sense die Seite des Bezeichneten. Und schlieBlich erinnert im dritten Beispiel das Paar ,Herr/Knecht' eben an eine (dialektische) Figur in der Phanomenologie des Geistes von Hegel", in der - wenn man so will - eine Praferenz gerade in die andere umschlagt , bis sich beide zu einer neuen sozialen Interaktionsform weiterentwickeln. Ein vierter moglicher Sinn der Luhmannschen Asymmetrie (Asymmetrie der Notation) gehort zu den semiotischen Entscheidungen in den Laws of Form, namlich einen Hinweis auf den marked state durch die Verwendung eines Namens und einen Hinweis auf den unmarked state durch die Nicht-Verwendung des (einzigen) Namens zu erlauben . Beide Arten von Hinweisen funktionieren ohne Zweifel sehr verschieden und vor alIem der Hinweis durch NichtVerwendung des Namens (also gewissermaBen durch Nichts aufNichts) ist fur unsere Tradition auBerst ungewohnlich. Ein Hinweis durch Nicht-Verwendung, der kein Name ist, reduziert die reprasentative, darstelIende Funktion des Hinweises und betont die hervorbringende, performative Funktion, durch die der Hinweis durch Nicht-Verwendung sein Referenzobjekt (den unmarked state)

Luhmann 2003 :20. Vgl. zu einer untersch eidun gsthcorctischcn Rekonstruktion der Hegelschen Philosophic, Wille 2007c.

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erschafft.? Dies jedoch als Asymmetrie zu deuten, spricht eher fur die eigene Unvertrautheit im Umgang mit Leerstellen und fur die Gefangenheit in der Tradition der "Nihilophobie"lO, die das westliche Denken insgesamt kennzeichnet. Gegen eine Beschreibung des Verhaltnisses der beiden Hinweise als Asymmetrie steht auch, dass beide im Kalkul vollig parallel, man konnte sagen symmetrisch verwendet werden. In Luhmanns Ausfuhrungen tiber die Geschlechterunterscheidung werden zwei Interpretationsschritte vorgenommen: zum einen die Interpretation der Form der Unterscheidung als asymmetrische Unterscheidungsstruktur und zum anderen die Ubertragung dieser Struktur auf die Geschlechterunterscheidung. Die Legitimation und die Moglichkeiten des ersten Interpretationsschritts ergeben sich aus den Wirkungen, aus den soziologischen Obertragungen und Anwendungen. Es ist im nachsten Abschnitt zu fragen, ob die Ubertragung und Anwendung auf die Geschlechterunterscheidung dafur geeignet ist. 3. Die Geschlechterunterscheidung als Interpretation der Interpretation Luhmann wahlt fur seine Interpretation der Form der Unterscheidung eine sehr elementare Unterscheidungsstruktur, eben die "Unterscheidung durch Negation" (,Dies/Nicht-Dies - also alles Ubrige), und interpretiert diese als asymmetrische Struktur. Vier Sinne von Asymmetrie, die im zweiten Abschnitt differenziert worden sind, scheinen dabei zusammengefasst: Die Asymmetrie der Bestimmtheit (1), die Asymmetrie als Nicht-Widerspruch (2), die Asymmetrie der Praferenz (3), Asymmetrie der Notation (4). Wie soli diese Grundstruktur in einer neuen Schleife fur Unterscheidungen interpretiert werden, die gar nicht nach dem Muster dieser Grundstruktur zu funktionieren scheinen, wie die Geschlechterunterscheidung zwischen Frauen und Mannem? Bei dieser Unterscheidungsstruktur ist die eine Seite ja kaum als die Negation der anderen Seite zu verstehen, vielmehr sind beide Seiten gleichermaBen bestimmt und die Asymmetrie der Bestimmtheit scheint hier nicht vorzuliegen. Der zweite Sinn von Asymrnetrie ist als unterscheidungstheoretische Reformulierung des Satzes vom Widerspruch zu allgemein, als dass er als besonderes Strukturmerkmal gelten konnte und der vierte Sinn von Asymmetrie ist zu spezifisch auf maximale semiotische Kondensierung gerichtet. Es bleibt also der dritte Sinn von Asymmetrie, eine

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Vgl. eine gewisse Ahnlichkeit zur Ooppelfunktion der Null im Zahlensystem, einerseits als Zeichen fur die Abwesenheit von Zeichen (und Oingen) und als Zeichen fur eine wohl bestimmte Zahl , Oiese wohl bestimmte Zahl steht aber nicht fur eine Anzahl , sondern schafft ihr Referenzobjekt durch ihre Funktion im Zahlensystem. Der Mathematiker Brian Rotman hat diese Ooppelfunktion dcr Null als Zeichen und Mctazeichen untersucht und versucht, das " GespOr" fur die semiotische Schwierigkeit der Null zuruckzugewinnen Vgl. Rotman 2000 . Vgl. diesc Wendung bci Lutkehaus 2003:29.

IV.E Form und Geschlechterunterschcidung

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leichte Praferenz fur eine der beiden Seiten, die zwar revidierbar ist, die aber die Anschlussfahigkeit der Unterscheidung garantieren solI. Luhmann scheint in seinen Ausfuhrungen tiber die Geschlechterunterscheidung diesen Weg zu gehen und die Unterscheidung zwischen Frauen und Mannem als Interpretation der Grundstruktur zu fassen, zu der dann das Strukturmerkmal der Asymmetrie der Praferenz notwendig gehort, Der Bezug auf die theoretische Ebene der Form der Unterscheidung lasst aber (noch mindestens) eine andere Interpretation zu: Die Unterscheidung zwischen Frauen und Mannem ist nicht eine Interpretation der Grundstruktur "Unterscheidung durch Negation" , sondem eine Interpretation einer anderen Grundstruktur, die sich aus der Form der Unterscheidung genauso ableiten lasst, bei der zwei verschiedene Namen verge ben werden, die gleichermal3en bestimmt sind (,DieslDas '). Fur diese Grundstruktur ist Asymmetrie kein notwendiges Strukturmerkmal. Innerhalb dieser Grundstrukturen eroffnet sich ein variabler Spielraum fur die konkrete Umsetzung. Fur die erste Grundstruktur bedeutet das , dass die Frage nach dem Wie der Asymmetrisierung im Kontext verschiedener Gesellschaftsstrukturen zur Differenzierung verschiedener Konkretisierungen filhrt. Aus deren Fulle seien zwei konkretisierte Unterscheidungsstrukturen herausgegriffen. Luhmann hat in seinen Ausfuhrungen tiber die Geschlechterunterscheidung verschiedene solcher Asymmetrisierungsstrategien fur die Vergangenheit und die Gegenwart konturiert und dabei einer ganz besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Diese Moglichkeit besteht darin , die Asymmetrie tiber eine Reprasentationsfunktion der einen Seite einzulosen, Die Seite der Manner wird von der Seite der Frauen unterschieden, die (mehr als leichte) Praferenz gilt der Seite der Manner, da ihr die Reprasentation des Ganzen der Seinsordnung zugesprochen wird. II Diese in der traditionellen Gesellschaftsordnung sehr wirksame Struktur der Geschlechterunterscheidung lost die Asymmetrie der ersten Grundstruktur in Form einer hierarchischen Praferenzasymmetrie ein. Eine andere Konkretisierungsmoglichkeit innerhalb der ersten Grundstruktur findet sich in der Frauenbewegung und Frauenforschung der 70er und 80er Jahre implizit vielfach in der Suche nach der ganz eigenen und ganz anderen Identitat "der Frau" oder einer spezifischen "women's culture". Die eine Seite der Unterscheidung ist die der Frauen und die andere Seite der Unterscheidung ist unbestimmt offen: alles Ubrige, wozu auch Manner gehoren. Um die Seite der Frauen unabhangig von der Beziehung auf den traditionell vorgegebenen Gegenpol der Manner zu bestimmen, werden die Grundstruktur der "Unterscheidung durch Negation" und deren Asymmetrie der Bestimmtheit fur die asymmetrische Bestimmung des Weiblichen verwendet. Verstarkt wird diese Asymmetrie zwischen den beiden Seiten durch den dritten Sinn von Asymmetrie, die Praferenz fur die Seite des Weiblichen.

II

Luhmann 2003:23ff.

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Fur die zweite Grundstruktur, die nicht an der "Unterscheidung durch Negation" orientiert ist, sondem bei der zwei verschiedene Namen vergeben werden , die gleicherma13en bestimmt sind (,D ies/Das') und keine Bewertungsasymmetrie vorliegt, gibt es auch eine Reihe von Konkretisierungen, die in der komplex gefiihrten Diskussion tiber die Geschlechterunterscheidung verwendet worden sind und werden. Auch hier seien einige ausgewahlt. Die eine ist dadurch gekennzeichnet, die verschieden bestimmten Seiten der Frauen und Manner in ein komplem entares Verhaltnis zu setzen. Dabei werden die Funktionsverschiedenheit und die notwendige Erganzung betont, durch die die Gleichwerti gkeit beider Seiten begrund et wird. Die andere Konkretisierung in der Tradition der Aufklarung legt den Akzent auf die Gleichheit der beiden Seiten in Bezug auf Vernunftigkeit, Wnrde und Rechte und nimmt das Vorliegen von zwei verschiedenen Seiten, der Seite der Frauen und der Manner, eher als eine faktische Gegebenh eit hin. Eine dritte mogliche Konkretisierung im Rahmen dieser Grundstruktur deutet Luhmann als binare Codierung, die Unterscheidungsstruktur, die fur die durch funktionale Differenzierung gekennzeichnete Gesellsch aftsstruktur typisch geworden ist. 12 Allerdings ubemimmt die Geschlechterunterscheidung innerhalb der modemen Gesellschaftsstruktur funktion aler Differen zierung nur in einem einzigen Funktionsb ereich die Rolle eines Codes, namlich in der Familie." In allen anderen Funktionsbereichen fungiert die Geschlechterunterscheidung nicht mehr auf der Ebene von Codes. Der Frau/Mann-Code iibemimmt innerhalb von Familien immer weniger inhaltliche Steuerungsaufgaben, und wird, so konnte man vielleicht sagen, immer formaler, urn so immer mehr Raum zu lassen fur die Individualisierung in der Handhabung dieses Codes. Individualisierung kann hier Vervi elfaltigung der Formen des Zusammenlebens heilsen, bei der die Unterscheidung selbst in sich differenziert werden kann. Dies hat innerhalb der selbstreflexiven Dynamik der Genderforschung " zu neuen Unterscheidungsstrukturen gefuhrt, die hier als dritte und vierte Grundstruktur konturiert werden sollen . Die dritte Grund struktur kennt mehr als zwei Seiten der Unterscheidung, es gehoren also drei- oder mehrgli edrige Unterscheidungsstrukturen zu dieser Grundstruktur. Innerhalb dieser Grundstruktur gibt es eine ganze Reihe von Konkretisierungsmoglichkeiten, z.B. fur eine dritte Seite, die sich durch Oszillationsbiograph ien oder Hybridbildungen" ergibt, die

Luhmanns Versuch, in d ieser Unterscheidungsstruktur immer noch einen Rest vo n Asymmetrisierung zu sehen, die zwar durch die .Erleichterung von Cross ings erhebl ich abgesc hwacht" sei und bei der den beiden Werten (Wert und Gegenwert) f ast das gleiche Gewicht gege ben werde , scheint wie ei n Bemuh en, eine ganz andere Grundstruktur vo n Unterscheidunge n auf die von ihm als einzig moglidi postul ierte zu beziehen. 13 Vg l. Luhma nn 2003:5 1ff. 14 Vgl. Scho nwa lder/ Wille 2003 . 15 Mit Hybr iden ist die Ko mbination vo n Attribu ten gemei nt, die ursprun glich vo nei nander differenten Gege nsta ndsklasse n bzw . Feldem angehorten, jedoch in dem Misch wesen dann nicht 12

IV.E Form und Geschlechterunterscheidung

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sich eigene Szenen und Artikulationsmoglichkeiten geschaffen haben. Innerhalb der dritten Grundstruktur eroffnet sich der Spielraum fur eine "Geschlechteralgebra hoherer Ordnung" . In der vierten Grundstruktur wird das Moment des Mediums in den Vordergrund gertickt und dadurch die ganze Unterscheidungsforrnation verandert. Die bisher isolierte Unterscheidung (in Form der ersten oder zweiten oder dritten Grundstruktur) wird mit anderen Unterscheidungen in Beziehung gesetzt, also eingebunden in andere Differenzachsen und dadurch relativiert. Konkretisiert wird dieser Grundtyp in der Genderforschung durch die systematische Verbindung der Genderdifferenz mit anderen Differenzen wie "class" und "race" .1 6 Dadurch soli die Vielfalt und Unterschiedlichkeit der Gestaltungen sichtbar bleiben und in aile Bereiche der Genderdifferenz mussen weitere Differenzen eingetragen werden. Mit diesen vier Grundstrukturen der Unterscheidung und ihren vielfaltigen Konkretisierungsmoglichkeiten wurde und wird in Vergangenheit und Gegenwart der Lebenspraxis der Geschlechter und in der Frauen- und Genderforschung experimentiert. In der Lebenspraxis der Geschlechter sind die Strukturen und ihre Konkretisierungen in Mikropraktiken inkorporiert, einverleibt und dadurch nebeneinander wirksam. In der Frauen- und Genderforschung wurden und werden die Strukturen und ihre Konkretisierungen zur kritischen Analyse und zum Experimentieren mit neuen konstruktiven Strukturvorschlagen verwendel. In einer unterscheidungstheoretischen Perspektive auf die Geschlechterunterscheidung und die Genderforschung ist es von grol3er Wichtigkeit, 0berblick tiber die verwendeten und moglichen Unterscheidungsstrukturen zu schaffen. Damit andert sich die Fragerichtung von: ,Was wird unterschieden und warum?' zu ,Wie wird unterschieden, welche Struktur wird gewahlt und welcher Zweck wird damit verfolgt?' Dazu gehort es, Klarheit tiber den theoretischen Rahmen zu gewinnen, innerhalb dessen von der Geschlechterunterscheidung uberhaupt die Rede sein kann, namlich als Interpretation der Interpretation der Form der Unterscheidung. Der Spielraum der Varianten, der sich unter einem unterscheidungstheoretischen Blick ergibt, konnte hier nur angedeutet werden. 17 Aber schon die zusammengetragene Fulle der konkretisierten Unterscheidungsstrukturen wirft die Frage auf, wann, wie und warum welche der nebeneinander wirksamen konkretisierten Strukturen verwendet wird.

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aufgehoben werden , vielmehrsimultan nebeneinander bestehen und in ihrer Heterogcnitat damit auch erhalten bleiben . Vgt. Kramer 2006. Vgt. dazu z.B. die Diskussionen in dem Sammelband .Achsen der Differenz" hg.v. Knapp/ Wetterer 2003. Dazu genauer Wille 20mb.

IV.F Praxis der Unterscheidung Katrin Wille

Die Leistungskraft von bestimmten Begriffen und Modellen im Vergleich zu anderen Begriffen und Modellen zeigt sich nicht nur in der Subtilitat ihrer Entwicklung und argumentativen Begrtindung, sondem auch in dem, was sie uns einerseits zu sehen und zu verstehen und andererseits zu verdndern erlauben . Zu einer vollstandigen Theorie gehort, ihre Potentiale und Wirkungen fur und auf die praktischen Orientierungsfragen darzustellen. Die Laws of Form sind ein Werk, in dem Theorie und Praxis eigentumlich kondensiert werden, trotz oder vielleicht gerade wegen ihres hohen Abstraktionsgrades. Die Form der Unterscheidung entfaltet theoretische und praktische Kraft. In den Laws of Form ist dieser Anspruch so ausgedrtickt: "A mathematical text is thus not an end in itself, but a key to a world beyond the compass of ordinary description ."! Die theoretische Kraft zeigt sich z.B. in den Anregungen , die von den Laws of Form fur die philosophische Reflexion, fllr mathematische , logische und natur- und sozialwissenschaftliche Arbeit ausgehen. Die praktische Kraft zeigt sich z.B. daran , dass die Laws of Form in psychologischen, psychotherapeutischen und Beratungskontexten immer wieder als Moglichkeit zur theoretischen Selbstverstandigung und fur praktische Vorgehensweisen verwendet werden . In der Psychologie, der Lehre vom menschlichen Verhalten und Erleben, konnen die Laws ofForm z.B. nutzlich sein, urn die Grundkategorien psychologischer Beschreibung, Erklarung und Prognose zu reflektieren . In der Psychotherapie , als Begleitung von individuellen Transformationsprozessen verstanden, kann die Aufmerksamkeit auf die eigenen UnterscheidungsvolIztige und ihre Modifikation zu einer veranderten verkorperten Praxis des Einzelnen fuhreno In der Beratung, als Begleitung von institutionellen Veranderungsprozessen, konnen Interaktionslogiken und Handlungsoptionen als Form von Unterscheidungen sichtbar und nutzbar werden. In diesem Beitrag solI die Dimension der Praxis der Unterscheidung in den Mittelpunkt gertickt werden . Zu Beginn werden zentrale Aspekte einer solchen Praxis der Unterscheidung aus den Laws of Form heraus profiliert. 1m zweiten Schritt wird ein Schlaglicht auf die wohl historisch erste praktische Wirkung der Ideen der Laws of Form im Werk des englischen Psychiaters Ronald Laing geworfen. Anschliel3end folgen einige knappe Hinweise auf Anwendungen der Laws ofForm vor allem in der Psychotherapie und Beratung. LoF:xxix

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1. Die Laws ofForm als Praxis der Unterscheidung Durch ihre eigene praktische Kraft wird mit der Form der Unterscheidung die oft gezogene Grenze zwischen MathematikILogik/Phiiosophie und PsychologielPsychotherapie/Beratung uberschritten. 1m Foigenden seien die praktischen Potentiale der Laws ofForm, die in den verschiedenen Anwendungen mal mehr mal weniger aufgenommen werden, in einen Uberblick gebracht, der neun Punkte umfasst. (1) Spencer Brown wahlt als Ausgangspunkt die Idee der Unterscheidung, tiber die wir als kompetente Sprecher aile verfugen, da wir standig unterscheiden. Die Idee der Unterscheidung als Ausgangspunkt und Grundbegriff zu bestimmen, geht mit der Behauptung einher, dass jeder Begriff und jeder Satz, jede Wahmehmung und jede Erfahrung realisierte Formen der Unterscheidung sind. Aus dieser Perspektive gibt die Form der Unterscheidung allen Lebensbereichen ihre grundlegende Form. Mit der Form der Unterscheidung ist ein maximal elementarer und einfacher Rahmen gewahlt, der den Vorteil hat, derart schwache Vorannahmen zu machen, dass moglichst wenig ,theoretische Artefakte' entstehen. Fur jede Wissenschaft und auch fur jedes praktische Arbeiten ist die Uberprufung der eigenen theoretischen Modelle und der eigenen Vorannahmen auf mogliche theoretische Artefakte von zentraler Wichtigkeit. Allzu haufig werden Zusammenhange in der ,Wirklichkeit' beschrieben und erklart, die sieh bei genauerer Betrachtung mehr als Eigenschaften der theoretischen Modelle oder der eigenen Vorannahmen herausstellen, denn als Eigenschaften des zu Beschreibenden. Die Frage nach den Artefakten ist fur die praktische Arbeit mit Menschen und Institutionen von besonderer Brisanz. Es besteht die Gefahr, dass durch Klassifikationssysteme Probleme diagnostiziert werden, die aus der Sieht des Gegenubers gar nicht vorhanden sind und die durch therapeutische oder beraterische Intervention beim Gegenuber erst geschaffen werden. Je voraussetzungsschwdcher der theoretische Rahmen von TherapeutInnen und BeraterInnen ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass durch die Therapie oder die Beratung gar neue Probleme geschaffen werden. Spencer Brown seiber hat dieses Problem theoretischer Artefakte in den Laws ofForm vor allem fur mathematische und logische Notationen intensiv reflektiert. ' (2) In engem Zusammenhang mit der Einfachheit der Form der Unterscheidung steht ihre Formalitat. Die Aspekte der Form der Unterscheidung, die beiden Seiten (1,2), die Grenze (3), und der Kontext, der die beiden Seiten unterscheidbar macht (4)3, haben keinerlei inhaltliche Bedeutung. Durch eine Bedeutungszuweisung wurde die Form auf einen bestimmten Bereich bezogen , festgelegt und in ihrer Anwendung auf ganz andere Bereiche moglicherweise verhinVgl. vor allem den Kommentar zum zweiten Kapitel und IV. A Appendizes. Vgl. den Kommentar zum ersten Kaptel .

IV.F Praxis der Unterscheidung

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dert. Vielmehr ist das formale Gefuge der Aspekte offen fur die Vielfalt der Anwendungen in konkreten Situationen, es determiniert die konkreten Phanomenbereiche und Situationen aber nicht. Dieses formale Gefuge wirkt nicht wie ein (jedes Detail) determinierendes Programm, sondem wie ein Prozessschema, das einen Rahmen gibt und in jeder Anwendung ein neues und in der genauen konkreten Gestalt uberraschendes Ergebnis bringt. Das Potential einer formal en Theorie Iiegt fur die praktische Arbeit darin, tiber eine Kommunikationsebene zu verfugen , die geteilt werden kann, auch wenn sich inhaltliche Differenzen ergeben oder so verschiedene Konte xte, dass eine Verstandigung auf inhaltlicher Ebene unmoglich scheint. Auf der Ebene der Form kann es moglich werden, sich tiber verschiedenste Kulturen oder Meinungen hinweg zu treffen. (3) Die Ebene der Formalitat und der Einfachheit ist eine, die immer wieder neu zu gewinnen und zu uberprufen ist. Urn diese Ebene zu erreichen und immer wieder neu zu erreichen, sind Prozesse des Verlernens (unlearning) notig, die uns hinter unsere gewohnten Denkmuster, unsere ublichen Unterscheidungen und Bewertungen zuruck gehen lassen . Spencer Brown betont die Wichtigkeit dieses Verlemens fur wirkliche Grundlagenarbeit immer wieder und deutet dabei auch auf seine psychologischen Moglichkeiten hin. Diesen Prozess des Verlemens, den Spencer Brown uns und seinen mathematischen und logischen KollegInnen abverlangt, will er bis zum Ende fuhren, bis zu dem Punkt, wo Formen tlberhaupt zu entstehen beginnen. Damit ist die Grenze zwisch en Formentstehung und Auflosung der Form (in den spateren Einleitungen spricht er von Nichts und Leere 4 ) erreicht. An einer Stelle in den AUM-Transkripten wird die Arbeit und die Anstrengung deutlich , die dieser Verlemprozess bedeutet: "One has to break every law, every rule, that we are taught in our upbringing. And why it is so difficult to break them, is that there is no overt rule that you may not do this, why it is so powerful is that the rule is covert."? Die Laws ofForm sind damit eine geeignete Ubung fur ein Verfahren , das in der systemischen Psychotherapie und Beratung Musterunterbrechung genannt wird. Interventionen zur Musterunterbrechung werden da eingesetzt, wo sich Verhaltens- oder Interaktionsgewohnheiten gebildet haben, die kontraproduktive, einschrankende Wirkungen haben . Gelingende Musterunterbrechungen von elementaren Denkgewohnheiten nennt Gregory Bateson , ein entscheidender Inspirator fur die systemische Therapie und Beratung, in seiner Theorie des Lemens hoherer Ordnung den (seltenen) Ubergang von Lemen II (Lemtransfer, Lemen der Kontexte des Lemens) zu Lemen III (Lemen der Kontexte der Kontexte des Lernens)." Vgl. dazu I. Einleitung und II.A Kontexte zu den Laws ofForm . AUM 1,13 Vgl. Bateson 1981 :389-396. Zu Batesons Rezept ion von und Kritik an Spencer Brown s Position im Anschluss an die AUM-Konferenz 1973 vgl. Harries-Jones 1995 :207-209.

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(4) Die Form der Unterscheidung rein als Form, ohne inhaltliche Bestimmungen zu denken , kann als Weg des Verlemens oder auch als Bewegung der Abstraktion bestimmt werden. Lasst man sich auf die Bewegung der Abstraktion mit der Form der Unterscheidung ein, dann zeigt sich eigentumlicherweise, dass durch die Bewegung der Abstraktion Erfahrung bernhrt wird . In der Bewegung der Abstraktion kann die Erfahrung des Abstreifens, des Uberschreitens, der Eroffnung von Freiraumen gemacht werden . Haufig wird Abstraktion als etwas verstanden, das weit weg fuhrt von jeder konkreten Erfahrung. Umgekehrt konvergieren in dem Mitvollziehen der Laws of Form Wissen und Erfahrung viel eher als dass sie davon wegfuhren. (5) Die Dimension der Erfahrung ist zentral in Spencer Browns Verstandnis von Wissen. Wissen entsteht da, wo Prozesse selbst vollzogen werden und nicht da, wo jemandem etwas nur tiber etwas mitgeteilt wird. Deshalb besteht fur Spencer Brown der theoretische Grundakt in der Injunktion, im Ausfuhren von Anweisungen zum Mitvollziehen von theoretischen Prozessschritten.? Die Laws of Form verstehen sich also mehr als Vehikel (Transportmittel) zu Wissen , indem Anweisungen gegeben werden, wie Unterscheidungen hergestellt werden . Dies Vehikel soll fur beide Richtungen verwendet werden, fur den Aufbau von Komplexitaten und auch fur den Abbau derselben. Diese Spencer Brownsche Wissenstheorie in nuce ist wichtig fur die Begleitung von individuellen und institutionellen Transfonnationsprozessen. Denn nur wenn der jeweiligen Person oder dem jeweiligen System eigene Erfahrungen ermoglicht werden, Erfahrungen, in denen Losungsschritte selbst entwickelt werden, kann neues Wissen entstehen und kann eigentliche Veranderung stattfinden. Denn keine Mitteilung von Information von auI3en, aus der Perspektive der Beschreibung, fuhrt zu neuem Wissen fur das System. (6) Die Methode der Injunktion spiegelt die Prozessualitat der Form der Unterscheidung. Es ,gibt' keine Unterscheidungen, keine Hinweise: Unterscheidungen werden generiert, aufrechterhalten, verwendet , aber auch verandert oder aufgelost, Spencer Brown druckt diesen prozessualen Ansatz der Laws ofForm z.B, so aus: ,,[O]ur understanding of such a universe comes not from discovering its present appearance, but in remembering what we originally did to bring it about ."" Hierin liegt das konstruktive Moment der Laws of Form , das den Text flir einen Grundtext der konstruktivistischen Philosophic" und auch der konstruktivistisch-systemischen Therapie und Beratung geeignet macht. Es ,gibt' keine Neurosen und auch keine Krankheiten . Vielmehr werden standig Unterscheidungshandlungen oder -prozesse ausgefuhrt, die Zustande wie z.B. sogenannte Neurosen generieren oder aufrechterhalten, aber eben auch verandern oder auflosen konnen. Der Blick wendet sich unter einer solchen Perspektive Vgl. dazu ausfuhrlicher II. Kontexte dcr Laws ofForm. LoF: 104. Vgl. auch den Kommentar zum ersten Kaptel . Vgl. IV.C Philo sophic.

IV.F Praxis der Unterscheidung

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auf die konkreten alltaglichen Unterscheidungshandlungen von Individuen oder von impliziten und expliziten Regeln in Institutionen, die Unterscheidungshandlungen steuern. (7) Durch diesen prozessualen Ansatz wird vor die Unterscheidung zwischen einer subjektiven und einer objektiven Wirklichkeit zuruckgegangen. Die Form der (ersten) Unterscheidung in den Laws of Form ist weder die Beschreibung einer strukturellen Wirklichkeit noch die Konstruktion eines Subjektes oder eines Beobachters. Vielmehr sind Unterscheidungsprozesse selbst im Blick, durch die (bestimmte) Unterscheidungen, wie die zwischen Subjekt und Welt, erst ermoglicht werden." In der Form der Unterscheidung konvergieren die Ebene des Strukturellen und die Ebene des Individuellen. Spencer Brown schreibt dazu: "At this stage the universe cannot be distinguished from how we act upon it ...".1 1 Auch wenn es in der Psychotherapie und Beratung meist urn konkrete Unterscheidungen geht, kann eine Erinnerung an die Form der (ersten) Unterscheidung den Blick immer wieder weiten von den zweifellos wichtigen individuellen Verantwortlichkeiten und Wirkungsmoglichkeiten, die sich aus dem konstruktiven Ansatz mit Nachdruck ergeben , zu Prozessen der Unterscheidung selbst, die zwischen ,uns' und ,dem was ist' angesiedelt sind. (8) Die Laws ofForm sind fur eine Praxis der Unterscheidung aber nicht nur wegen ihrer groJ3en Einfachheit und Forrnalitat geeignet. Ein theoretischer Rahmen hat erst dann theoretische und praktische Kraft , wenn sein Grad an Differenziertheit nicht zu hoch ist, weil die Anwendbarkeit sonst nur auf bestimmte Phanomenbereiche eingeschrankt ist und fur ander e nicht zutrifft , aber auch nicht zu niedrig ist, wei! sonst viele Phanomenbereiche nicht erf asst und transparent gemacht werden konnen. Es geht urn das rechte MaJ3 an innerer Komplexitat, das die Moglichkeit fur die Anwendung auf die verschiedensten Bereiche eroffnet. Die Form der Unterscheidung aus den Laws of Form hat ein hohes MaJ3 an innerer Komplexitat, die in der Einfachheit der Grundform kondensiert ist. Der einfachste mogliche Ausgangspunkt ,Unterscheidung' ist in sich selbst komplex. Es seien drei wesentliche Momente zusammengefasst: a) Es werden nie Einheiten fur sich betrachtet, sondern immer die ganze Form von ,etwas': zwei Seiten, die Grenze , der Kontext, in dem die Seiten unterschieden werden konnen, b) Damit ist die konstitutive Beziehung von Ereignissen, Begriffen , Wahrnehmungen auf den Kontext und auf die Funktion in diesem Kontext in den Grundlagen verankert. c) Zur Unterscheidung gehort eine systematische Ambivalenz, die sich dadurch entfaltet, dass der Prozess des Trennens und der Prozess des Verbindens zusammengehoren und durch einander entstehen. Dies zeigt sich be10

II

Vgl. den Kommentar zum zwo ft en Kapitel. LoF:xxix

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sonders in der doppelten Funktion der Grenze, die sowohl eine trennende als auch eine verbindende Funktion erfullt. Die Einsicht in die Kontextrelativitat von Wahrnehmungen, Handlungen, Begriffen gehort zum konstruktivistischen Arbeiten. Transformationsprozesse von Individuen oder Institutionen gelingen erst dann, wenn die Kontexte, in den en Unterscheidungen tiberhaupt erst moglich sind, einbezogen und oftmals verschoben werden. Die Grundfigur der systematischen Ambivalenz von Unterscheidungen fmdet sich in der konstruktivistisch-systemischen Therapie in ihren problematischen (z.B. in Batesons ,double bind'-Theorie) und in ihren kreativen (z.B. Gunther Schmidts ,Ambivalenzcoaching') Moglichkeiten, (9) In den Laws of Form kommt aber noch eine entscheidende Komplexitatssteigerung hinzu, die sich aus der Form der Unterscheidung autbaut. Durch eine Folge von Schritten, die ohne Ende fortsetzbar ist, kann eine dynamische Form erzeugt werden, in der ein Ausdruck in sich selbst wieder eintritt, somit in sich selbst vorkommt. Diese dynamische Form, .Re-entry ' genannt, ist mit vielen Umschreibungen zu fassen versucht worden, z.B. Selbstreferenz, Ruckkopplung, Fraktalitat, Zirkularitat, Paradox. Die dynamische Form des ,Re-entry' hat von all diesen Phanomenen etwas und ist doch durch keines von ihnen vollstandig bestimmbar, denn das ,Re-entry' ist in den Laws ofForm eineformale Figur im erweiterten Kalkul", die interpretiert und gedeutet werden kann , die aber durch die Interpretationen immer nur in Teilaspekten sichtbar wird. Keine Interpretation kann eine formale Figur in dem ,was sie ist' zum Ausdruck bringen, denn Interpretation, Deutung, Anwendung und Form bleiben immer auf verschiedenen Ebenen. Der eine Grundtyp des ,Re-entry' (in der Gleichung EI ausgedruckt") kann als Entstehung eines sich-selbst-bestatigenden Kreislaufs gedeutet werden. Auf solchen sich-selbst-bestatigenden Kreislaufen Iiegt in der konstruktivistischsystemischen Psychotherapie und Beratung besondere Aufmerksamkeit. Durch Watzlawicks ,self-fulfilling prophecies' ist diese Struktur in den allgemeinen Sprachgebrauch tibergegangen. Ein anderer Grundtyp des ,Re-entry' (in der Gleichung E3 ausgedruckt) kann als Moglichkeit der Rahmenerweiterung durch Widerspruche gedeutet werden. Durch Unterscheidungen konnen Situationen entstehen, in denen eine Seite ,in die andere kippt' , in manchen Fallen in sein Gegenteil und zuruck, Dieses Hin- und Herkippen selbst kann zu einem neuen dritten Zustand gemacht werden, durch den der ursprungliche Rahmen der Unterscheidung erweitert wird . Solche Rahmenerweiterungen sind ein zentrales Mittel bei der Begleitung

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Genauer gesagt gibt cs drei verschiedene formale Grundtypen des ,Re-entry' . Vgl. den Kommen tar zum elften Kapitel. Vgl. fur diesen und den zweiten Grundtyp den Kommentar zum elften Kapiel.

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von Veranderungsprozessen, die Unterscheidungsprozesse zu erweitern und neu zu betrachten erlauben." 2. Praxis als Knoten: Ronald Laing Nach den Angaben von Ronald Laing in dem Gesprachsband Mad to be normal kam Spencer Brown 1968/69 zu therapeutischen Sitzungen in Laings Praxis. Spencer Brown gab ihm zum Ausgleich Stunden in Mathematik. " Darin ging es unter anderem urn Zahlentheorie und urn Spencer Browns eigenes System (den Indikationenkalkiil der Laws ofForm). Spencer Brown wandte sein System aber auch auf Laings Themen an und legte eine Reihe von ,Knoten' in zwischenmenschlichen Beziehungen offen, die er in die Operationen zerlegte, die darin enthalten sind . Laing schreibt, dass er selbst davon angeregt eine populate Version einiger dieser Hintergriinde in dem Buch The Politics ofthe Family dargestellt habe, damit eng verbunden sei das Buch Knots. Wahrend The Politics of the Family eine Sammlung von Vortragen ist, hat Laing mit Knots eine literarische Gestalt zwischen Erfahrung und Formalitat gewahlt, urn Strukturen zwischenmenschlicher Beziehungen aufzuzeigen. Ein Vergleich mit fruheren Texten Laings, wie z.B. dem bekannten Text The Politics of Experience (dt. Phanomenologie der Erfahrung) von 1967 zeigt, welche zusatzlichen Figuren durch die Arbeit mit Spencer Brown zu dem Ansatz Laings hinzugekommen sind. Charakteristisch filr The Politics ofExperience ist die Betonung des Primats der Erfahrung: .Einzig Erfahrung ist evident. Erfahrung ist die einzige Evidenz.?" Au13erdem liegt die Aufinerksamkeit auf Beziehungsgefugen und auf der Interdependenz, so dass das Untersuchungsobjekt in theoretischer und therapeutischer Arbeit immer ein soziales System sein muss und nicht ein extrapoliertes Individuum. Dazu kommt die von Sartre inspirierte gedankliche Auseinandersetzung mit der Negation als wesentliches Moment von Beziehungen. An einigen Stellen wird die Suche nach angemessenen Begriffen deutlich, die der Erfahrung nicht entgegenlaufen. In der Beschaftigung mit schizophrener Erfahrung wahlt Laing die Beschreibungsform einer Reise in den inneren Raum, fUr die die Unterscheidung zwischen aktiv und passiv nicht mehr zutrifft, und die zu einem Gebiet im Inneren fuhrt, das in der Moderne weitgehend unerforscht geblieben ist, so dass es kaum kompetente Begleiter gibt. Viele dieser Motive haben die Arbeit Spencer Browns beein14

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Vgl. zu einer Pragmatik der Unterscheidung , Wille 2007b. Mullan 1995:295-296. In seiner Autobiographie Weisheit, Wahnsinn, Torheit heiBt es auch dazu : "Erst als ich zwanzig Jahre spater einen der grobten Mathematiker dcr Welt, David George Spen cer-Brown , kennenlemte , wurde mir klar, dass meine Fragen von damals [als Schuler der 5. Klasse im Mathcmatikunterricht] genau zu der Sorte von Fragen gehorcn , die wahrhaft mathematisch sind ... Die Fahigkeit, das, was als selbstverstandlich gilt, ehrlich nicht zu begreifen, ist der Anfang wissenschaftlicher odcr philosophischer Klugheit.", Laing 1987:79. Laing 1969:12

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flusst, umgekehrt konnen wir aber auch die Spuren Spencer Browns in Laings Werken von 1969 und 1970 entdecken. In Knots sind Strukturen menschlicher Interaktionen vorgefuhrt, die sich wie ein Gewebe immer weiter verflechten, bis unentwirrbare Knoten entstehen. Die Darstellung der ,Knotengeschehen' zeigt die Operationen, die auf Operationen angewendet werden, die in sich selbst wieder eintreten und unendlich oft wiederholt werden konnen. Einige dieser Textstlicke wirken wie eine zugleich literarische und psychologische Umsetzung einer Dimension der Figur des ,Reentry', namlich der, die zu immer unentwirrbareren Verwirrungen zu fuhren scheint. Z.8.: Jill und Jack wollen beide gewollt werden. Jill will Jack, weil er gewollt werden will Jack will Jill, weil sie gewollt werden will. Jill will, dass Jack will *dass Jill will dass Jack will, dass sie will dafur dass er will, dass sie will, dass Jack will, dass Jill will dass Jack will dass Jill will, dass Jack will, dass sie will dafur dass er will dass sie will, dass Jack will* * wiederhole sine fin e" 1m funften Teil von Knots werden Themen aufgenommen, die an den thematischen Kontext der Laws of Form erinnem: Unterscheidungen als vom ,Geist' erschaffen, Spiel mit der Unterscheidung zwischen Innen und Aul3en und Uberschreitungen und Wiederuberschreitungen von Innen nach Aul3en und Aul3en nach Innen, der Zusammenhang zwischen Form und Formlosigkeit und Leere und sogar an einer Stelle der Einsatz eines leeren Raums. Diese Themen, die in Knots literarisch umgesetzt sind, sind in dem Band The Politics ofthe Family in einem diskursiven Vortragsstil verarbeitet. Dort aufsert Laing den Anspruch, den Umriss einer noch nicht existierenden systematischen Theorie und Methodologie fur (Familien- )Interaktionen zu liefem . Der Begriff der Unterscheidung ist zum Grundbegriff geworden , wir lesen zum Beispiel in dem Kapitel ,Operationen' : 17

Laing 1970:55

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" Wir konstruieren das Gegebene vermittels Unterscheidungen, und wir halten uns dabei an Regeln. ... Unsere Erfahrung ist ein Produkt, geformt nach einem Rezept, nach einem Set von Regeln, die bestimmen, was fur Unterscheidungen wann, wo und woruber zu machen sind. Regeln sind selbst Unterscheidung en in Aktion. ... Eine unserer fundamental en Unterscheidungen ist innerhalb-auBerhalb .,.I 8

Genauer als in den vorherigen Texten untersucht Laing die Operationen, durch die Unterscheidungen getroffen und aufrecht erhalten werden und analysi ert die Teiloperationen, die als verschiedene in unseren Bewertungen und Zuschreibungen von psych ischen Zustanden nicht mehr sichtbar sind. Sein besonderes Interesse gilt den Prozessen , die dazu fiihren, dass Operationen als Operationen nicht mehr sichtbar sind, sondem wie Realitaten scheinen, die eben so sind, wie sie sind und einfach abgebildet, ,diagnostiziert' werden konnen. Dagegen betont Laing (auch mit Verwe is auf amerikanische Geistesverwandte wie Bateson , Watzlawick oder Haley) mit Vehemenz, dass jede Beschreibung , Zuschreibung und Beobachtung eine Einwirkung auf das beschriebene System ist. An vie len Beispielen menschlicher Interaktionen legt er die Teiloperationen auseinander, die entweder intendierte Spiele autbeben (z.B. das Spiel: ,Wir sind eine gluckliche Familie' und die innerfamiliaren Operation en, die das absichem sollen und dadurch aber gerade autbeben 19) oder anders herum NichtIntendiertes geradezu heraufbeschworen. 3. Praxis als Einstellung: Paul Watzlawick Paul Watzlawicks Beitrag zur Entwicklun g der konstruktivistisch-systernischen Psychoth erapie und Beratung ist vor allem durch seine einpragsamen Lehrgeschichten Uber sich selbst nahrende psychologische Kreislaufe allgemein bekannt geworden. Die Geschichten zeigen alltagsnah , wie sich durch Voreinstel lungen die eigenen Wahmehmungen und die eigenen Handlungen so organisie ren, dass die Voreinstellung Wirklichke it wird. Watzlawick beschre ibt diese sich aufbau enden Prozesse in vielen Varianten wie der beruhmten Geschichte mit dem Hammer oder der Geschichte von einem, der, je mehr er sich vor moglichem UnglUck hUtete, durch sich haufende als Ungluck gedeutete Ereignisse immer mehr Grund fand, sich zu huten. Aus der oben entwickelten Perspektive der Praxis der Unters cheidung betrachtet, ist Watzlawick ein Meister im Finden von Alltagssituationen, die in den Deutungsrahmen des ersten Grundtyps des .Re-entry' passen: die Entstehung eines selbstbestatigenden Kreislaufs durch eine Unterscheidung (wie die Voreinstellung, dass das Leben gefahrl ich sei und 18

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Laing 1979:82f. Vgl. Laing 1979:89. Laing erzahlt in dem Gesprachsband Mad 10 be Normal, dass Spencer Brown sein logisches System z.B. auf die Vignette (kleine Fallgeschichte) der .glucklichen Familie' anwandte und zeigte , wie sich dies aus seinem System heraus aufhebt. Vgl. Mullan 1995:296.

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man sich huten miisse), die in sich selbst wieder und wieder eintritt (indem aile Wahmehmungen und Handlungen sich nach dem Muster dieser Unterscheidung, also dieser Voreinstellung verhalten und verandern). Diese Dynamik kann erwiinschte oder unerwiinschte Effekte haben. Im Faile der unerwiinschten Effekte liegt die Losung nach Watzlawick in einer Rahmenerweiterung der iiblichen Entweder-Oder-Logik urn einen dritten Wert. Genau hierfur verweist Watzlawick auf die Laws of Form, die mit dem ,Re-entry' und dem irnaginaren Wert neue theoretische und praktische Moglichkeiten eroffnet haben ." Aus der Perspektive der Praxis der Unterscheidung kann also die Deutung des zweiten Grundtyps des ,Re-entry' eine Losung fur unerwiinschte Effekte der Deutung des ersten Grundtyps darstellen. 4. Praxis als syntaktische Konstellation: Matthias Varga von Kibed Die beiden ersten oben entwickelten Praxismomente der Laws of Form, die Einfachheit jenseits von Artefakten und die Formalitat, sind charakteristisch fur die praktische Arbeit von Matthias Varga von Kibed , Beides zeigt sich besonders in der Arbeit mit einfachen Prozessschemata, wie z.B. dem ,Tetralemma' . Dadurch konnen die Seiten von Unterscheidungen (welcher Art auch immer) in eine Konstellation gebracht werden, die die Beziehungsqualitaten der Seiten zueinander wahmehmbar macht. Haufig wird dabei bewusst von inhaltlicher, semantischer Information iiber die Bedeutung der beiden Seiten der Unterscheidung abgesehen, urn die transformative Kraft der syntaktischen Ebene , der reinen Beziehung zwischen den beiden Seiten zur Wirkung zu bringen. Die Arbeit mit Inhalten (Semantik) verleitet dazu, die Aufmerksamkeit auf die Einzelmomente zu richten und so ihre Form als Unterscheidung aus dem Blick zu veriiereno Die Konzentration auf die Syntax befreit die Aufmerksamkeit von den Einzelmomenten fur die Beziehungen zwischen den Aspekten einer Unterscheidung . Der Ebene der Beziehungen wird durch das Verfahren des Konstellierens (in der zusammen mit Insa Sparrer entwickelten ,Systemischen Strukturaufstellungsarbeit') ein besonders intensiver Wirkungsraum gegeben. Das Prozessschema des ,Tetralemma' sieht zudem verschiedene Rahmenerweiterungen fur Unterscheidungen vor, die als Konkretisierungen und Verfeinerungen der Deutung des zweiten Grundtyps des ,Re-entry' aufgefasst werden konnen ." 5. Praxis als klinische Epistemologie: Fritz Simon Fritz Simon betont die Interdependenz zwischen theoretischen Modellen oder Erklarungsmustern auf der einen Seite und den Arten oder Moglichkeiten thera-

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Vgl. Watzlaw ick 1985:231ff. sowi e fur die Lehrgeschichten Watzlawick 1994:37ff., 1988b :19. Vgl. Sparrerl Varga 2003.

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peutischer oder beraterischer Intervention auf der anderen Seite, die er in vielfaltigen Anal ysen scharf herausarbeitet. In seiner ,klinischen Epistemologie' entwickelt er aus einer Interpretation der Laws of Form zusammen mit systemtheoretischen Deutungen ein theoretisches, epistemisches Modell zusammen mit dessen klinischem HandlungsspieIraum. Dabei liegt besonderes Gewicht auf den beiden Praxismomenten der Laws ofForm, die oben als Prozessualitat der Form der Unterscheidung und als angemessene Komplexitat der Form bestimmt worden sind . Denn diese ermoglichen die Analyse der generierenden Mechanismen von Phanomenen, Zudem zeigt die Beschreibung der Beobachtungs- und Differenzschemata, wie theoretische und praktische Situationen entstehen, wie sie aufrechterhalten werden und was ihre ,eingebauten' Beschrankungen und ihre Moglichkeiten sind. Die Prozesse des Aufrechterhaltens vollziehen sich als selbstbestatigende Schleifen (hier greift Simon auf die Theorie der operationellen SchlieBung von MaturanaIVarela zuruck), Die therapeutischen oder beraterischen Interventionsmoglichkeiten (gesetzt den Fall, dass es von einer Person oder von einer Institution einen Veranderungsauftrag gibt) liegen darin , diese sich selbst bestatigenden Schleifen durch ,seltsame' , ,selbstvemeinende' oder ,paradoxe' Schleifen zu storen, urn veranderte Unterscheidungen generieren zu konnen. Therapeutische oder beraterische Storung ermoglicht - aus der Perspektive der Praxis der Unterscheidung gesprochen - einen Ubergang von einem ,Re-entry' des ersten Grundtyps tiber ein ,Re-entry' des zweiten Grundtyps zu neuen Unterscheidungen." 6. Praxis als soziales Spiel mit der Form: Dirk Baecker Praxis heil3t in der Arbeit von Dirk Baecker vor allem soziale Praxis und ist motiviert durch die Suche nach Entsprechungen zwischen Formen aus dem KaikUl der Laws ofForm und verschiedenen Spielarten sozialer Praxis, wie zum Beispiel der sozialen Praxis des Spiels oder der sozialen Praxis des Untemehmens . Diese und andere soziale Praktiken analysiert Baecker als ,Kopplungen' von Operationen des Einschlusses von Handlungen, die durch den Ausschluss anderer Handlungen ermoglicht werden . Aus der Perspektive der Differenz der Unterscheidung verwendet Baecker die Momente der Komplexitat der Form und hier vor allem die systematische Ambivalenz der Unterscheidung fur die Anal yse und Gestaltung sozialer Praktiken. In systemtheoretischer Interpretationstradition wird die Komplexitat der Form erheblich angereichert durch die Unterscheidung von zwei Ebenen, die Ebene der Bezeichnung der Innenseite der Unterscheidung durch das und mit dem jeweiligen System (wie einem Unternehmen) und die Ebene der Bezeichnung der Aul3enseite durch eine/n BeobachterIn . Uber die Ebene der Beobachtung wird der Wiedereinschluss des Ausgeschlossenen moglich (die systemtheoretische Deutung des ,Re-entry' ), der not22

Vgl. Simon 1999 und 1993.

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wendig und unmoglich zugleich scheint. Hier setzt fur Baecker Unternehmensberatung ein." 7. Praxis als Verkorperung: Francisco Varela Francisco Varela hat seine ,praktische Wende ' wohl nicht mehr ausdriicklich im Dialog mit den Laws ofForm vollzogen, zumindest finden sich in seinen Texten zur ,Pragmatik menschlicher Wandlung' so gut wie keine Bezuge auf Spencer Brown . Aus der oben entwickelten Perspektive der Praxis der Unterscheidung stimmen Varelas Arbeiten zum Mittleren Weg der Erkenntnis, zum Ethischen Konn en und zur Entwicklung von Achtsamkeit (On Becoming Aware) mit entscheidenden Momenten der Praxis der Unterscheidung zusammen, wie dem des Verlemens von iiblichen Unterscheidungsmustem durch eine Bewegung der Entleerung von Absichten und von der Idee des Selbst. Ziel ist kein Wissen uber irgendetwas, sondem eine Art Einswerden des Wissens mit Erfahrung: Wissen als Erfahrung. Varela beschreibt Wege der Ubung fur das Verlemen einer Unterscheidung, die die westliche Kultur in ihren Fundamenten pragt: die zwischen Korper und Geist. Nur dort, wo Wissen zu verkorpertem Konnen und zu leiblichern Handeln wird, kann Transformation stattfinden." 8. Praxis als Ubung Die Schlaglichter, die in diesem Kapitel auf verschiedene Anwendungen und Deutungen der Laws of Form Spencer Browns geworfen wurden, zeigen , dass die Laws of Form das, woruber sie sprechen , auch umzusetzen scheinen: sie wirken auf verschiedenste InterpretInnen wie eine AufJorderung, Themen und Phanomene ihrer Fachbereiche als Formen der Unterscheidung zu betrachten. In jedem der oben entwickelten neun Punkte einer Praxis der Unterscheidung (die sich entlang am Kommentar zu den Laws ofForm noch erheblich vermehren lieBen) stecken Aufforderungen, das Sehen durch die Form der Unterscheidung zu iiben. Dies gilt schon allein deshalb, weil die Form der Unterscheidung ein Prozessgefuge ist, das jenseits der aktiven Verwendung, jenseits der Ubung keinen Bestand hat. Der Ausdruck Ubung ist deshalb gewahlt, wei! in der Bedeutung von Ubung zweierlei zusammengefasst ist: Oben meint zum einen ausiiben, vollziehen, in actu erleben, zum anderen verstehen wir unter Uben das systematische Wiederholen, Trainieren und Sich-zu-eigen-machen. Kantisch gesprochen handelt es sich dabei urn die Schulung der Urteilskraft zur erfolgreichen Anwendung der Theorie auf die Praxis.

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Vgl. Baecker 1993c und 1999. Vgl. Varela 1994 und 1995 und Depraz/ Varela! Vermersch 2003.

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Es gibt eine Vielzahl von Moglichkeiten, diese Aufforderungen in eigenen Dbungen urnzusetzen - der/die LeserIn sei durch die Laws ofForm aufgefordert, ihre theoretischen und praktischen Fragen in ihrer eigenen Form zu betrachten.

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VI. Register Sachregister

A agreement 125, 194 Algebra I algebras 18, 29, 31ff., 46, 49,53-56, 58, 60ff., 88, 117, 122, 130-135,138-141 ,143 ,145,147, 151, 153f., 158-163, 165-168, 170ff., 174, 177f., 180, 183f., 211f., 214f., 218, 220ff., 225f., 232, 234, 259f.,269 - Boolean 180 Anfang 17,23 ,31 ,38,42,45, 64ff., 93, 115, 157, 190, 198,207,232, 239, 246, 251,255, 262f., 267, 270, 274,293 Anweisung 11,26,51,79,83,88, 90ff., 94, 96-99, 101, 106, 152, 175, 190,229 Arithmetik larithmetics 27, 29ff., 5155,58, 60ff., 88,120-123,131 , 133f., 138ff., 147ff., 152ff., 159163,165-171 ,174, l77ff., 190, 193, 216, 218, 225f., 260, 278 arrangement 51,96,106,107-110, 114f., 122-125 Aspekte der Form 68,72,74,89, 123, 288 Asymmetrie 234, 273, 275f., 280-283 Aufrechterhalten 76 Autopoiesis 227, 265 Axiom 31,49,80-83,97, 102, 105, 114, 116, 118, 17Iff., 181, 201f., 229,244

B Beobachter 13,26,56,69, 101, 197f., 235, 237, 239, 241f., 255, 263f., 266f. - Standpunkt des 256

Beobachtung 13,43,241,256,258, 261f.,264f., 268, 295,297 - Selbst- 237,242 Bezeichnung 30, 32, 40, 58, 64, 69, 93,98, 101, 104, 118, 122, 154, 159f., 180, 184,200,239,278, 28Of.,297 blank 102, 217 Boolean algebras 180 boundary 42, 71ff., 76, 78,80,82, 154f., 228, 234 Buddhismus 17,37,38,65

c calculation 51,59,113, 117, 147,217 calculus 30,33,37,41 ,53,88,117, 139,160,162,170, 195f., 199,202, 211f.,214f., 217, 228,233, 258, 261,268 - of indication 30,33,41, 160, 196, 214f.,228, 233, 261, 268 call 81,82,89, 117, 196 calling 15,49,57,78-81, 100, 118, 201 cancellation 61,97, 103f., 107, 116, 119,202,229 classification of theorems 121 cleavage 83, 90, 151 closure 71,224,226 communion 34 complexity 27,272 conditioned coproduction 41 confused with 196 consequence 40,55,117,137, 142f., 146, 152, 160, 162f., 166, 168, 173, 214 content 50f., 55, 78, 89, 155ff., 160, 162, 178, 196, 222

Sachregister

316

continence 49,69, 70ff., 107f., 182, 276 cross 37, .51ff., 78, 82f., 85, 105ff., 109, 115ff., 122, 124f., 128f., 131, 134, 144ff., 152f., 158, 160, 167, 182f., 185f., 188, 200, 203, 217, 220, 224f.,229, 233f. - unwritten 109, 156, 160, 186,234, 265 crossing 49, 72, 78, 80, 82, 84, 100ff., 106,118, 181,202,229,276

D Definition / definition 22, 48, 49, 69, 70ff., 74, 81, 85, 95,107, 140,276 degree 56, 174 demonstration 144, 160, 162f., 167f., 174,178 description 33, 88, 287 desire to distinguish 195 Differenz 28,35,48,61 ,72,77,82, 84, 93f., 100, 105, 144,225,237, 244-248,252,255,271 ,285,297 direction 114 distinction 11,43,47,50, 67ff., 71ff., 76f., 88, 92-95, 152, 195, 197, 203f., 214, 227, 228, 232ff., 259, 261f., 264ff.,270 - first 33, 204, 227, 259, 261ff., 269f. Dynamik 75,88, 190ff., 224ff., 263, 267,284,296

E Echelon / echelon 59, 146, 175, 178, 187 Einfachheit 17,20,27,28,45,101 , 208, 227f., 258,260,268, 270,274, 288f.,291 ,296 engineering 24 equation 50, 103, 138, 143, 162f. equivalence 50,60, 148, 215f. Erkenntnis 25, 35, 38, 238, 24Of., 243, 250,255,298 existence 97,222

expression 50, 96f., 103f., 107, 115, 143, 145, 198f., 241 simple 116,119,218

F Form der Unterscheidung 28-31, 34, 36, 42, 49f., 53, 61f., 67ff., 73f.,76, 78ff., 82, 85f., 93, 98, 110, 113, 119, 121 ,123,130, 133f., 156ff., 167, 194, 195, 197f., 200ff., 204f., 215, 225,237,239,240,244,246-249, 252, 255f., 273, 274-277, 282f., 285, 287f., 290ff., 297f. formal /formality 28, 30, 51, 62, 97, 113, 118-121, 129, 134f., 158, 188, 207, 213, 217f., 221, 224, 230,260 Funktion / function 28,32,39,41,49, 52f., 57,60, 73, 75, 77,81 , 83,90f., 95,97,103 , 105f., 118, 121, 124, 131 ,134,138,143, 155f., 160, 171, 173, 180, 183f., 186, 188f., 193, 198, 200f.,207, 225,227,229,233 , 239, 242, 244, 25I ff., 264f.,269f., 277, 281f., 291f.

G Gedichte 14 gender 251-254 Geschlechterunterscheidung 5, 208, 273ff., 282-285 G1eichungen 2. Grades 178 Grenze 27,33,49,61 ,71-75, 77ff., 82ff., 89f., 99-102, 105, 112, 116, 124,154-159,167, 174f., 181f., 184, 188,223,228,233,236,252,264, 276ff., 288f., 291f.

H Hinweis 20f., 33, 48f., 54, 57, 60ff., 67,69,73 , 76-84, 95f., 102f., 105, Ili ff., 115ff., 119, 122f., 128ff., 135, 138f., 145, 147f., 15Iff., 163, 177, 195f., 198, 200-204, 235, 239, 260,262,277,281

Sachregister

317

I Identitat / identity 26,43 , 127, 136, 244ff., 248, 283 image 55,155,157,160,162,178 imaginary 31, 56, 85, 180, 182 state 31,56, 180 indication 42,47, 67f., 73, 88, 95, 97, 204, 215,261, 265, 279 indicator 198 Indikationenkalkul 17, 30, 35f., 42f., 88,98, 103, 111, 167, 170, 180,208, 224f.,293 Induktionsbeweis 56, 168f. Initial /initial 55,117,120, 141ff., 151, 162, 224ff. Injunktion 34, 88f., 290 injunktiv 28 instruction 51, 78, 88, 99, 102, 105, 229 intent 50, 91 intention 78, 91ff., 101, 105, III interdisziplinar 6, 12,237,239,256 Interpretation 6, 24, 26, 30, 35, 37, 55, 63, 100, 143, 183, 193, 198,207, 212, 214f.,217f., 222f.,225, 229, 243,275,277,280,282£., 285,292, 297 Invarianz / invariance 129, 190,227, 232 Iteration 59, 80, 145, 179, 190, 265

K Kornplexitat 20, 24, 28, 36, 60, 66, 101,1 45,176,183,197, 227£., 230, 257£.,260f.,268,271 ,291 ,297 Kondensation 36, 97, 99, 103, 110 Konstanten 13, 29f., 136, 152 konstruktiv 87,208,261 Konstruktivismus 237f., 241, 254 konstruktivistisch 235, 243, 290, 292, 295 Kontext 11f., 22f., 36ff., 49, 61, 64, 68, 73ff., 81, 84, 89, 91, 95, 123, 134, 141, 159,234,255,265,277, 281,283,288,291 ,294

Koproduktion 16ff., 37, 4I f£., 72£., 112 Kritik 12£.,23£., 172,234,238,245, 249,275,289 Kybemetik 19, 223, 257

L laws 15,27,33 ,41 , 80ff., 118,289 Leere 32,37-41 ,230,289,294 Logik 1If., 17,21 , 23ff., 30ff., 35, 38, 40,45£. , 55,71 ,87,97,1 04,166, 168,171 ,173, 179f., 189, 196,208, 211-216, 22I ff., 225, 227f., 232f£., 238, 245, 258, 26If£., 269£., 274ff., 288,296

M mark 92ff.,98, 106, 116, 122, 194, 20Of., 203f., 233f. Markierung 28, 50, 90, 92ff., 98, 10Iff., 105, 155f., 158, 198, 200-204,229,231 ,252 Mathematik / mathematics II£., 17, 19, 20, 23f., 26£., 29, 32-35, 39, 45f., 92,117,140,171 ,180,182,193, 208, 211, 215, 223, 227f., 231,242, 258-262,269£.,288,293 Moglichkeit 16, 18,25,30, 32£., 36f., 39f., 42,45,50,52, 54f., 67£., 74-79, 82ff., 93ff., 97, 102f., 109f., 113, 116, 118, 122, 129, 132-137, 139, 145f., 152f., 161 , 167, 172, 175£., 18Of., 183f., 196, 207,212,216, 220,227,237, 249,253,277,279, 283, 287, 291£. Motiv / motive 15, 77ff., 83f., 203, 224,248,252£.,263,265 ,273,279

N Name / name 50f., 53, 57, 64f., 78-81, 85,88, 94f., 98f., 101-106, llOf. , 116f., 123, 125, 127, 129, 134f., 140,146, 148, 153, 175, 196, 229£., 266,281

Sachregister

318

Negation 32,71 , 22If., 232ff., 242, 246,277,280, 282ff.,293 Nichts / nothing 13, 16, 18,37-40, 64ff., 105f., 135,230,247,264, 281, 289 Notation 29, 33, 45, 87, 94f., 107f., I IOf., 118, 183, 188, 190, 194, 196, 198,214,216-220,229, 232f., 236, 256, 281f. number 30,39,59, 116, 123, 147, 151 , 199,211 ,217,220

o observer 194, I97ff., 204, 229, 263 occultation 145 Operation 41, 78, 99-102, 105f., 112, 124, 167, 172, 184, 225, 230f., 276f.,279 Oszillation 31,33,59,62, 182, 184f.

p Paradoxie / paradox 179, 193, 231, 233,242,248,265,271 Philosophie 5, II f., 16, 21, 23, 38, 41, 43,45, 199,204,208,225,235,237, 239, 244f.,247ff., 263, 281,288, 290 philosophisch II , 19,235,238 possibility 27 possible 33,41 ,199 Praxis 13, 25f., 35, 106,208,232, 287f., 291, 293, 295-298 precursor 260, 263 Prirnare Algebra 25, 29ff., 47, 131 , 139f., 148, 162, 165, 170, 177,213 , 216,226,280 Primare Arithmetik 28-31,33 ,47, 5If., 54, 56,117,120,131 ,133,148, 162, 168, 170, 278, 280 primitive equation 51, 103 proof 160, 162,211

R Realitat 12, 15

recall 8I f., 118 recross 82-85 Reduktion 19,32,40,53,55,58, 101, 124,153,169, 217,261 Reflexion / reflexion 47,55, 144, 146, 154f., 157ff., 165, 245f., 248, 258, 287 rekursiv 138, 240f., 268 Relation 43,58,60, 106-109, III , 122,131 ,134,236,240 Relationalitat 38, 41, 43 rule of dominance 110, 129, 176, 178

s simple 116f., 119, 163,218 simplicity 27 space 33,73, 94f., 124, 129, 158, 164, 217 - empty 102, 264, 266 - indicative 181 state 51,94,178, 181f., 237, 267, 281 - imaginary 3 1, 56, 180 - marked 37,41 ,145,160,170,178, 18H., 217f., 281 - unmarked 37,41 , 124, 128, 170, 178, 181 f., 2 17f., 264ff., 268, 281 step 47,51 ,57-61,11 3,143 ,1 47,215 Strukturen 15,26, 32f., 36, 60, 154, 162,165,190f.,273 ff.,285,293f. Subversion 187,252

T Technik 11f., 23f., 223 time 33f.,65, 182,269 token 90, 94ff., 98f., 102-105, 110, 122, 124, 133f., 158,266 - empty 125 - of the mark 98, 102 truth 97, 190

u Obersetzung 34, 36ff., 65, 69, 115, 144,179,195, 212f., 218, 221, 224 Unabhangigkeit 54, 56, 165, 171, 173

Sachregister

319

Unendlichkeit 157,178,183 , 225f., 265 universe 27,33,41 ,199,241 , 290f. unlearning 40, 289 Unterscheidung 13f., 16, 19, 21f., 2631, 33f.,36, 39, 41f., 47-52, 54, 56f., 59, 60ff., 67, 69-74, 76-81, 83ff., 87-90,92-95,98-101 , 103f., 106, IlOff., 118, 120-123, 125, 129ff., 137,139,148,151,153, 155f., 159, 18lff., 190, 194-205, 207f., 215, 226,228-232,235,237,239,242, 244,248-256,262,267,273-285, 287f., 290-298 - erste 33,40, 89f., 92, 99, 101, 125, 208

v values 50f., 77f., 81f., 84,158,164, 196f., 203, 214, 279 - imaginary 56,85, 182 Variablen / variables 29f., 53, 58ff., 122,130-140, 145ff., 149-153, 161165,168-171 , 173f., 176-179, 181 , 184,187,212,214, 217f., 220 velocity 184 Veriernen 21,34,91 ,298 Verstehen 34 void 39f., 97, 119, 131, 134, 138, 141 , 145, 197f., 227f., 259, 264, 266 Vollstandigkeit 54f., 165-168, 171 , 208

w Wahrheit 13,32,37,40,177,1 93, 218,237, 244,250,256,277 Wahrscheinlichkeitstheorie 12f. Wert 45,57-60,63,72, 77ff., 81-85, 96f., 102, 105, 109ff., 114, 116, 118f., 122-131, 133-138, 144f., 147f., 150f., 158ff., 164, 167, 169f., 174-177,179,180-187,193,199, 201-204,213 ,218,224-227,248, 254,279,281 ,284,296

Wiedereintritt 178, 181, 183, 185, 188f.,194,248,267 Wiederholung 14, 31, 48, 56, 58f., 80-85, 102, 116ff., 127, 145f., 151 f., 154,157,162,174,176, 201f., 244, 255,265 Wissen 25f., 38, 92, 241, 290, 298 wissenschaftsthcoretisch 239

z Zcichen 28f., 32, 36, 39, 49-53, 56, 58, 64, 66, 68, 87, 90ff., 94-106, 108111, 118f., 121-124, 126ff., 13Of., 135, 137f., 140f., 144, 148f., 172, 183, 188, 190, 194, 196-204,207, 213, 216, 225f., 228ff., 235f., 239, 256, 278, 281f. Zeit Il f., 21, 33, 56, 62, 75, 82, 180183,187,191 ,223,225,248,260, 266, 269, 278, 280

N amensregister

A

Adorno, Theodor W. 248 Austin, John 244 B Badiou, Alain 271 Baecker, Dirk 20,260,267, 297f. Bateson, Gregory 18,19,267,289, 295 Beauvoir de, Simone 251, 254 Beer, Stafford 18 Berkeley, George 238 Blake, William 14 Blau, Ulrich 231, 233, 270 Boole, George 23,29 Brant, Stewart 18 Breitkopf, Alfred 212 Butler, Judith 252ff.

C Cantor, Georg 271 Caramuel, Juan 131 Carnap, Rudolf 237 Caroll, Lewis 220 Chaucer, Geoffrey 14 Clam, Jean 237,249 Cleary, Thomas 65 Close, Edward 260 Corfield, David 223 D

Dath, Dietmar 223 Dawkins, Richard 270 Deleuze, Gilles 271 Depraz, Natalie 298

Derrida, Jacques 248 Descartes, Rene 27,249f. Dewey, John 25 Dionysios Areopagita34, 40 Duyvendak, Jan-Julius-Lodewyk 65 E

Elberfeld, Rolf 38,41,65 Engstrom, Jack 95, 98 Erkes, Eduard 65 Esposito, Elena 20 F

Fibonacci, Leonardo 190, 192, 268 Foerster von, Heinz 18ff. 234, 257, 259f., 266, 268 Foucault, Michel 252f., 271 G Gell-Man, Murray 257,268,272 Glanville, Ranulph 257 Glasersfeld von, Ernst 132,239, 241 Goguen, Joseph 225 GUnther, Gotthard 257 H

Hahn-Neurath, Olga 237 Hegel, Georg Friedrich Willhelm 71,157,244-247,265,281 Heidegger, Martin 248 Heisenberg, Werner 238,241 Howe, Richard Herbert 234 Hume, David 238

N amensrcgister

Huntington, Edward V. 172f. I

Idelson, LV. 16 Irigaray, Luce 248 K

Kant, Immanuel 238,250 Kauffinan, Louis H. 20,27,30,39, 95, 100ff., 106, 172, 189, 192f., 211,223,225-232,234,258, 262,265-268 Keys, James 14 Kimmerle, Heinz 248 Kleinert, Ernst 223 Kluge, Alexander 260, 267 Kramer, Sybille 30, 285 Kutschera, von Franz 212

321

N

Nassehi, Armin 20 Neurath, Otto 237 Nicod, Jean 100 Niebergall, Karl-Georg 6, 31f., 123,168,177,211f. p Packard, Stephan 6,46, 70, 118, 140 Peirce, Charles Sanders 21,36,95, 98,100,106,142,232 Piaget, Jean-Paul 238 Pisani, Piero 239 Platon 271 Pohner, Martin 65 Popper, Karl-Georg 237 Proklos 144 Putnam, Hilary 25

L

Laing, Ronald 13f., 287, 293ff. Lao-tse 64 Leibniz, Gottfried Wilhelm 38 Lilly, John 18 Link, Godehard 31,32,168,177, 184,212 Lorenzen, Paul 238 Luhmann, Niklas 20, 75,208,237, 248,257-274,276-284 Lyotard, Jean-Francois 248 Lyre, Holger 223 M

Mandelbrot, Benoit 192 Mann, Christian 14, 187,208,278, 284 Maturana, Humberto 19, 75,297 Matzka, Rudolf 29,71,214 Maurant 219 Mises, von, Richard Herbert 237 Mullan, Bob 293,295 Munster, Arno 244, 249

Q

Quine, Willard Van Orman 25 R Ramsey, Jay 65 Rawls, John 270 Remmert, Reinhold 24 Russell, Bertrand 16,23,32,211, 242

S Sartre, Jean-Paul 247f., 293 Schlick, Moritz 237 Schrodinger, Erwin 238 Schwartz, Daniel G. 225 Seifart, Manfred 187, 189 Sheffer, Henry Maurice 36, 106, 211ff. Simon, Fritz B. 16,20,24, 101, 296f. Smullyan, Raymond 38 Sparrer, Insa 296

Namensregister

322

Spinoza, Baruch de 71 StegmUller, Wolfgang 212f. Stolzenberg, Gabriel 242 V

Varela, Francisco J. 19f., 75, 207, 223-227,229,231 ,234,239, 240-243, 297f. Varga v. Kibed ,Matthias 21,212, 223,231-234,244 Varga v. Kibed , Matthias 6,21, 68,71,73 ,232,234,296 Vermersch, Pierre 298 Vico, Giovanni 238 W Watts, Alan 18 Watzlawick, Paul 20,239-242, 295f. Weizsacker, von Carl Friedrich 25 Werber, Nils 264 Whitehead, Alfred North 32 Wiener , Norbert 237 Wittgenstein, Ludwig 21,23,33 , 35,91 ,95[, 16~ 179,232, 237[,244 Wohlfart, GUnter 39f., 66 Wolfram , Stephen 223 Z

Zilsel, Edgar 237

Angaben zu den Autorlnnen

Thomas Holscher, Dr. phil., geb. 14.10.44. Promotion in Kunstgeschichte tiber kunstgeschichtliche und philosophische Fragen zu Goya ( 1983). Mitarbeiter am Zentrum Seniorenstudium der Ludwig-Ma ximilians-Universitat Munchen. Freie Forschun gen zur Wechselbeziehung von Modemer Kunst , Medien, Philosophie und Logik. Tatjana Schonwalder-Kuntze, PD Dr. phil., geb. 06.05.66. Promotion in Philosophie zu Sartres Ethik (2000) sowie Habilitation (2007) zur Theoriebildung in der praktischen Philosophie der Modeme. Wissenschaftliche Assistentin an der Fakultat fur Philosophie, Wissenschaftstheorie und Religionswissenschaft der Ludwig-Maxirnilians-Universitat, Munchen ; Forschungen zu philosophischen Differenztheorien, zu Theoriebildungsstrategien und -genealogien in der Neuzeit und zu Diskursivierungen der Ethik. Katrin Wille, Dr. phil., geb. 06.12.71. Promotion in Philosophie zum Systembegriff bei Hegel und Wittgenstein (2000) . Akademische Ratin (auf Zeit) am Lehrstuhl fur praktische Philosophie , Institut fur Philosophie der PhiiippsUniversitat Marburg. Arbeit an einer Theorie der Unterscheidung (Aristoteles, Kant, Hegel, Luhmann) und Forschungen zur moralischen Urteilskraft in systematischer Weiterentwicklung der Ethik Immanuel Kants .