Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme (Grundstudium Mathematik)

Jan W. Pr¨uss · Mathias Wilke Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme Jan W. Pr¨uss Martin-Luthe...

Author: Mathias Wilke | Jan W. Prüss

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Jan W. Pr¨uss · Mathias Wilke

Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme

Jan W. Pr¨uss Martin-Luther-Universit¨at Halle-Wittenberg Institut f¨ur Mathematik 06099 Halle (Saale) Deutschland [email protected]

Mathias Wilke Martin-Luther-Universit¨at Halle-Wittenberg Institut f¨ur Mathematik 06099 Halle (Saale) Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-0348-0001-3 e-ISBN 978-3-0348-0002-0 DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0 Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet u¨ ber http://dnb.ddb.de abrufbar. c Springer Basel AG 2010 Das Werk ist urheberrechtlich gesch¨utzt. Die dadurch begr¨undeten Rechte, insbesondere die des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes in der jeweils geltenden Fassung zul¨assig. Sie ist grunds¨atzlich verg¨utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts. Einbandentwurf: deblik, Berlin Gedruckt auf s¨aurefreiem Papier Springer Basel ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.birkhauser-science.com

Prolog Seit der Formulierung der Grundgesetze der klassischen Mechanik durch Newton im 17. Jahrhundert bilden gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen ein exzellentes Werkzeug in der mathematischen Modellierung physikalischer Prozesse. Heute ﬁndet dieser Typ von Gleichungen in allen Naturwissenschaften – einschließlich der Life Sciences – in st¨ andig wachsendem Maße Anwendung. Daher geh¨ort ein Kurs u ohnlicher Diﬀerentialgleichungen unabdingbar zur Grund¨ber die Theorie gew¨ ausbildung von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren, und sollte auch im Studium der Life Sciences und der Wirtschaftswissenschaften pr¨asent sein. Nat¨ urlich gibt es in der deutschsprachigen Literatur diverse sehr etablierte Lehrb¨ ucher, sodass der Leser dieses Buches sich fragen wird, warum noch eines. Um diese Frage zu beantworten, sollte man zur Kenntnis nehmen, dass sich die Schwerpunkte der Theorie mit den Jahren verschoben haben, nicht zuletzt durch die enormen Fortschritte in der Numerik und Computertechnologie, speziell durch die Entwicklung moderner Computeralgebrasysteme. So erscheint es uns heute nicht mehr angebracht zu sein, in einem Kurs u ¨ber gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen viel Zeit mit expliziten L¨ osungen, mit klassischen Integrationsmethoden, Potenzreihenentwicklungen, etc. zu verbringen. Hierzu verweisen wir auf die klassische Literatur zu gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen und auf die zu speziellen Funktionen. Vielmehr sollte das Verst¨ andnis des qualitativen Verhaltens der L¨osungen im Vordergrund stehen. Computeralgebrasysteme sind zur Visualisierung von L¨osungen ein sehr gutes, zeitgem¨ aßes Werkzeug, und sollten daher unbedingt in solchen Kursen zur Illustration eingesetzt werden. Wir sehen heute den Schwerpunkt von Modulen zur Theorie gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen in den Aspekten Nichtlinearit¨ at und Dynamik. Studierende der Mathematik und der Physik sollten fr¨ uhzeitig mit dem Begriﬀ der Stabilit¨ at vertraut gemacht werden, und elementare Techniken aus diesem Bereich kennenlernen. Deshalb werden auch Randwertprobleme – mit Ausnahme periodischer Randbedingungen, die in dynamischen Systemen nat¨ urlicherweise durch periodisches Verhalten der L¨osungen auftreten, – in diesem Buch nicht betrachtet, denn sie spielen f¨ ur die Dynamik eine untergeordnete Rolle, und k¨ onnen viel eﬀektiver im Rahmen von Veranstaltungen u ¨ ber Funktionalanalysis oder u ¨ber partielle Diﬀerentialgleichungen behandelt werden.

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Prolog

Ein weiterer Aspekt, der uns dazu bewogen hat, dieses Lehrbuch zu verfassen, resultiert aus der Neuorganisation der Studieng¨ange im Rahmen der Modularisierung f¨ ur die Bachelor- und Masterprogramme. Dies erfordert eine Straﬀung der bisherigen Lehrveranstaltungen und somit auch eine Neu-Orientierung hinsichtlich der zu vermittelnden Lernziele und Lerninhalte. Durch die gr¨oßere Praxisorientierung dieser Studieng¨ ange muss auch der Aspekt der Modellierung st¨arkere Ber¨ ucksichtigung ﬁnden. Dieses Lehrbuch tr¨ agt diesen Entwicklungen Rechnung. Es ist aus Vorlesungen entstanden, die der erstgenannte Autor an der Martin-Luther-Universit¨at Halle-Wittenberg und an anderen Universit¨ aten u ¨ ber gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen und dynamische Systeme gehalten hat. Das Buch ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen hat einen Umfang von 2 ¨ SWS Vorlesung + 1 SWS Ubung, und ist in Halle im 3. Semester in die Analysis III integriert. Der zweite Teil Dynamische Systeme wird in Halle im 5. Semester als Bachelor-Vertiefungsmodul ebenfalls mit dem Umfang 2+1 SWS angeboten. Interessierte Studenten k¨ onnen daran ihre Bachelor-Arbeit anschließen. Nat¨ urlich ist es auch m¨oglich, das gesamte Buch als Grundlage f¨ ur ein 4+2-Modul im dritten oder im vierten Semester des Bachelor-Studiums zu nehmen. Der zweite Teil kann alternativ als Text f¨ ur ein Seminar u ¨ ber Dynamische Systeme verwendet werden. F¨ ur den ersten Teil werden nur die Grundvorlesungen in Analysis und moderate Kenntnisse der linearen Algebra vorausgesetzt, das wichtigste Hilfsmittel ist das Kontraktionsprinzip von Banach. Daher ist dieser Kurs auch f¨ ur Physiker, Ingenieure, sowie f¨ ur Studenten der Life Sciences und der Wirtschaftswissenschaften mit den entsprechenden Vorkenntnissen zug¨anglich. Aus didaktischen Gr¨ unden werden hier zwei Beispiele, n¨ amlich das Pendel und das Volterra–Lotka System, jeweils mit oder ohne D¨ ampfung, in verschiedenen Zusammenh¨angen wiederholt diskutiert. Dies soll aufzeigen, was die einzelnen S¨atze leisten, und dass nur aus ihrem Zusammenspiel ein vollst¨ andiges Bild der Dynamik eines Modells entsteht. Der zweite Teil wendet sich haupts¨ achlich an Studenten der Mathematik und Physik, da hier ein etwas tiefergehendes Verst¨andnis der Analysis ben¨otigt wird. Mathematisch sind hier das Kompaktheitskriterium von Arz´ela-Ascoli und der Satz ¨ uber implizite Funktionen in Banachr¨aumen zentral. Auf weitere funktionalanalytische Methoden wird hier dem Kenntnisstand der anvisierten Leser- bzw. H¨orerschaft entsprechend nicht zur¨ uckgegriﬀen. In diesem Teil werden anspruchsvollere Anwendungen zu den jeweiligen Themen diskutiert. Der Aufbau dieses Lehrbuchs ist folgendermaßen. In Teil I wird mit einer Einf¨ uhrung in die Thematik begonnen, in der grundlegende Begriﬀsbildungen eingef¨ uhrt und Problemstellungen erl¨ autert werden – die bereits in den Teil II hineinragen –, und es werden viele Beispiele angegeben, die zeigen sollen, dass gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen omnipr¨ asent und f¨ ur die Modellierung von konkreten dynamischen Systemen unerl¨ asslich sind. Wir betonen bereits in der Einf¨ uhrung geometrische Aspekte, um Studenten auf die Herausforderungen, welche die Analysis eines konkreten Systems bietet, vorzubereiten, aber auch um die Sch¨onheit der Theorie zu illustrieren. Kapitel 2 befasst sich mit Existenz und Eindeutigkeit,

Prolog

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der Satz von Picard und Lindel¨ of steht im Vordergrund. Diﬀerential- und IntegralUngleichungen – wie das Lemma von Gronwall – werden schon hier entwickelt, um Methoden zum Beweis globaler Existenz zur Verf¨ ugung zu haben. Danach behandeln wir die Theorie linearer Systeme, ohne auf die Jordan-Zerlegung von Matrizen zur¨ uckzugreifen, da diese heute nicht mehr generell in Modulen zur linearen Algebra gelehrt wird. Um das invariante Denken zu schulen, verwenden wir die Spektralzerlegung linearer Operatoren, die bereitgestellt wird. In Kapitel 4 geht es um stetige und diﬀerenzierbare Abh¨ angigkeit der L¨osungen von Daten und Parametern. Dieses Thema ist leider unbeliebt, aber von großer Bedeutung, nicht nur f¨ ur die Theorie gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen, sondern auch in anderen Bereichen der Mathematik, speziell in der Diﬀerentialgeometrie und f¨ ur die Theorie der Charakteristiken im Gebiet der partiellen Diﬀerentialgleichungen. In diesem Buch beweisen wir die entsprechenden Resultate und arbeiten auch wichtige Anwendungen aus. Das letzte Kapitel des ersten Teils ist der elementaren Stabilit¨atstheorie gewidmet. Es werden beide Teile des Prinzips der linearisierten Stabilit¨at, das in Anwendungen von großer Bedeutung ist, im Detail bewiesen, und die sehr leistungsf¨ahige Methode von Ljapunov wird in einfachen F¨allen ausgef¨ uhrt. Der erste Teil endet mit einer vollst¨ andigen Analysis eines aktuellen dreidimensionalen Virenmodells. Teil II ist f¨ ur die Vertiefung von Teil I, also die qualitative Theorie dynamischer Systeme auf der Basis gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen vorgesehen. Kapitel 6 dient einer Erg¨ anzung des ersten Teils: Es enth¨alt den Existenzsatz von Peano, die Konstruktion nichtfortsetzbarer L¨ osungen, und den allgemeinen Satz u ¨ ber stetige Abh¨angigkeit. Das Thema Eindeutigkeit wird vertieft behandelt, und wir zeigen, wie verallgemeinerte Diﬀerentialungleichungen in konkreten Anwendungen Eindeutigkeit – und damit Wohlgestelltheit – ergeben. Ist man gewillt, nur mit rechten Seiten aus C 1 zu arbeiten, so kann man ohne Weiteres auf dieses Kapitel verzichten. Kapitel 7 befasst sich mit invarianten Mengen, einem zentralen Konzept in der Theorie dynamischer Systeme. Wir erhalten als Anwendung Exponentiall¨osungen positiv homogener Gleichungen, den Satz von Perron und Frobenius, und stellen den Zusammenhang mit vektorwertigen Diﬀerentialungleichungen her. Letztere tragen erheblich zum Verst¨ andnis des qualitativen Verhaltens quasimonotoner Systeme bei, die ein Sub- und ein Superequilibrium besitzen. Diese Resultate werden dann zur vollst¨ andigen Analysis eines Mehrklassen-Epidemiemodells verwendet. In Kapitel 8 stehen nochmals Stabilit¨at und Ljapunov-Funktionen im Mittelpunkt. Es werden die S¨ atze von Ljapunov u ¨ ber Stabilit¨at, von La Salle u ¨ber Limesmengen, sowie der Hauptsatz u ¨ber gradientenartige Systeme bewiesen, und auf Probleme der mathematischen Genetik und der chemischen Kinetik angewandt. Im letzten Abschnitt des Kapitels behandeln wir die Lojasiewicz-Technik, und zeigen ihre Bedeutung anhand von Systemen zweiter Ordnung mit D¨ampfung in der Mechanik. Die Theorie von Poincar´e-Bendixson und die Index-Theorie f¨ ur zweidimensionale autonome Systeme stehen im Zentrum von Kapitel 9. Sie werden auf die Lienard-Gleichung – inklusive der van-der-Pol-Gleichung – angewandt, sowie auf Modelle f¨ ur biochemische Oszillatoren, die neueren Datums sind.

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Kapitel 10 enth¨ alt die Konstruktion der stabilen und der instabilen Mannigfaltigkeiten an hyperbolischen Equilibria, und Beweise des erweiterten Prinzips der linearisierten Stabilit¨ at an einer Mannigfaltigkeit normal stabiler bzw. normal hyperbolischer Equilibria. Es werden Anwendungen auf Diﬀusionswellen, inklusive der Konstruktion von Wellenfronten f¨ ur die Fisher-Gleichung, und auf Probleme der klassischen Mechanik gegeben. Die Floquet-Theorie periodischer Gleichungen ist Schwerpunkt von Kapitel 11. Dazu wird der Funktionalkalk¨ ul f¨ ur lineare Operatoren in Cn hergeleitet und zur Konstruktion der Floquet-Zerlegung verwendet. Mittels der Floquet-Multiplikatoren wird das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at f¨ ur periodische L¨ osungen hergeleitet, und die Abh¨angigkeit periodischer L¨osungen von Parametern mit Hilfe des Satzes u ¨ ber implizite Funktionen studiert. Kapitel 11 kann u ater nur in Abschnitt 12.5 zur Stabilit¨atsana¨bersprungen werden, es wird sp¨ lyse bei Hopf-Verzweigung verwendet. Die grundlegenden S¨atze der Verzweigungstheorie, also die Sattel-Knoten-, die Pitchfork-, und die Hopf-Verzweigung sowie ihre Bedeutung f¨ ur Stabilit¨ at, sind Gegenstand von Kapitel 12. Diese Resultate werden anhand Hamiltonscher Systeme und eines Problems aus der Reaktionstechnik illustriert. Das letzte Kapitel befasst sich schließlich mit Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten, auf die man durch Anwendungen, wie Zwangsbedingungen in der Mechanik, instantane Reaktionen in der chemischen Kinetik, und generell durch Probleme mit stark unterschiedlichen Zeitskalen gef¨ uhrt wird. Als Anwendung der Invarianzmethoden aus Kapitel 7 zeigen wir Wohlgestelltheit f¨ ur Gleichungen auf C 1 -Mannigfaltigkeiten, betrachten danach Linearisierung an Equilibria, leiten die invariante Form der Gleichung f¨ ur Geod¨atische her, und diskutieren den Zusammenhang mit Zwangskr¨ aften in der Mechanik. Zum Abschluss des Kapitels geben wir eine Analysis des Zweik¨orperproblems, die historisch zu den großen Erfolgen der Theorie gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen z¨ahlt. Die meisten in diesem Buch bewiesenen Resultate werden durch – zum Teil neue – Anwendungen erl¨ autert. Mit diesen soll gezeigt werden, wie man mit gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen konkrete Systeme modellieren und (manch¨ mal) erfolgreich analysieren kann. Jeder Abschnitt enth¨alt Ubungsaufgaben, die der Student nach Studium der entsprechenden vorhergehenden Abschnitte in der Lage sein sollte zu l¨ osen. Die Diagramme und Schemata – insbesondere die Phasenportraits – sind u ¨berwiegend mit dem Computeralgebrasystem Mathematica generiert worden. F¨ ur letztere wurde u.a. das Shareware-Package DiﬀEqsPackages verwendet, das man sich von der Wolfram Research Homepage herunterladen kann. Der Epilog enth¨ alt Kommentare zur Literatur, sowie Anregungen und Hinweise f¨ ur weitergehende Studien. Die angegebene Literatur ist zwangsl¨ auﬁg subjektiv ausgew¨ahlt und kann aufgrund der Historie und der Gr¨ oße des Gebiets per se nicht vollst¨andig sein. Der erste Teil des Literaturverzeichnisses enth¨ alt daher Lehrb¨ ucher und Monographien zur Thematik zum weiteren Studium, w¨ ahrend der zweite Teil Beitr¨age angibt, aus denen Resultate entnommen wurden, oder die zum weiteren Studium konkreter Probleme anregen sollen.

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Wir m¨ochten uns vor allem bei Prof. Dr. G. Simonett und Dr. R. Zacher f¨ ur ihre wertvollen Hinweise und Kommentare bedanken, sowie bei den Doktoranden S. Pabst und S. Meyer f¨ ur ihren Einsatz beim Korrekturlesen. Unser Dank geht außerdem an Prof. Dr. H. Amann und an den Birkh¨auser-Verlag, insbesondere an Dr. Th. Hempﬂing und Mitarbeiter. Jan Pr¨ uss und Mathias Wilke

Halle, im April 2010

Inhaltsverzeichnis Prolog

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Notationen

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I Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen 1 Einf¨ uhrung 1.1 Erste Beispiele . . . . . . . . . . . . 1.2 Systeme von Diﬀerentialgleichungen 1.3 Fragestellungen der Theorie . . . . . 1.4 Linienelement und Richtungsfeld . . 1.5 Trennung der Variablen . . . . . . . 1.6 Lineare Diﬀerentialgleichungen . . . 1.7 Die Phasenebene . . . . . . . . . . .

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3 4 10 11 14 15 18 20

2 Existenz und Eindeutigkeit 2.1 Lipschitz-Eigenschaft und Eindeutigkeit . . . . . 2.2 Existenz von L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fortsetzbarkeit und maximales Existenzintervall 2.4 Diﬀerential- und Integralungleichungen . . . . . . 2.5 Globale Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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27 27 30 33 35 38

3 Lineare Systeme 3.1 Homogene Systeme . . . . . . . . . . . . 3.2 Inhomogene Systeme . . . . . . . . . . . 3.3 Bestimmung von Fundamentalsystemen 3.4 Lineare Gleichungen h¨ oherer Ordnung .

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43 43 45 47 56

4 Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit 4.1 Stetige Abh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diﬀerenzierbarkeit der L¨ osungen nach Daten . . . . . . . . . . . .

67 67 70 75

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Inhaltsverzeichnis 4.4

Dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Elementare Stabilit¨atstheorie 5.1 Stabilit¨ atsdeﬁnitionen . . . . . . . . . . 5.2 Ebene lineare autonome Systeme . . . . 5.3 Stabilit¨ at linearer Systeme . . . . . . . . 5.4 Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at 5.5 Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . 5.6 Dynamik von Viren . . . . . . . . . . . .

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83 . 83 . 86 . 92 . 94 . 102 . 110

II Dynamische Systeme 6 Existenz und Eindeutigkeit II 6.1 Der Existenzsatz von Peano 6.2 Nichtfortsetzbare L¨ osungen 6.3 Stetige Abh¨ angigkeit . . . . 6.4 Diﬀerentialungleichungen . 6.5 Eindeutigkeit . . . . . . . . 6.6 Anwendungen . . . . . . . .

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117 . . . . . .

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119 119 120 121 123 126 127

7 Invarianz 7.1 Invariante Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Invarianzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Konvexe invariante Mengen . . . . . . . . . . . 7.4 Positiv homogene autonome Systeme . . . . . . 7.5 Diﬀerentialungleichungen und Quasimonotonie 7.6 Autonome quasimonotone Systeme . . . . . . . 7.7 Ein Klassenmodell f¨ ur Epidemien . . . . . . . .

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131 131 135 137 141 145 148 151

8 Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at 8.1 Ljapunov-Funktionen . . . . . . . . . . 8.2 Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Ljapunovs direkte Methode . . . . . . 8.4 Limesmengen und das Invarianzprinzip 8.5 Mathematische Genetik . . . . . . . . 8.6 Gradientenartige Systeme . . . . . . . 8.7 Chemische Reaktionssysteme . . . . . 8.8 Die Methode von Lojasiewicz . . . . .

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157 157 161 164 167 169 171 173 178

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9 Ebene autonome Systeme 185 9.1 Transversalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9.2 Poincar´e-Bendixson-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.3 Periodische L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Inhaltsverzeichnis 9.4 9.5 9.6

xiii

Lienard-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Biochemische Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Der Index isolierter Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10 Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten 10.1 Sattelpunkte autonomer Systeme . . . . . . . . . . 10.2 Ebene Wellen f¨ ur Reaktions-Diﬀusionsgleichungen 10.3 Normal stabile Equilibria . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Normal hyperbolische Equilibria . . . . . . . . . . 10.5 Teilchen im Potentialfeld mit D¨ ampfung . . . . . .

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207 207 211 214 221 226

11 Periodische L¨ osungen 11.1 Der Funktionalkalk¨ ul . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Floquet-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Lineare periodische Gleichungen . . . . . . . 11.4 Stabilit¨ at periodischer L¨ osungen . . . . . . . 11.5 Parameterabh¨ angigkeit periodischer L¨osungen

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231 231 234 240 243 250

12 Verzweigungstheorie 12.1 Umkehrpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Pitchfork-Verzweigung . . . . . . . . . . . . . 12.3 Hopf-Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Periodische L¨ osungen Hamiltonscher Systeme 12.5 Stabilit¨ at bei Hopf-Verzweigung . . . . . . . . 12.6 Chemische Reaktionstechnik . . . . . . . . . .

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255 255 260 265 271 272 276

13 Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten 13.1 Mannigfaltigkeiten im Rn . . . . . . . . . 13.2 Wohlgestelltheit . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . 13.5 Geod¨ atische . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Das Zweik¨ orperproblem . . . . . . . . . .

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283 283 287 288 290 293 297

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Epilog

303

Abbildungsverzeichnis

307

Literaturverzeichnis 309 Lehrb¨ ucher und Monographien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Originalliteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Index

315

Notationen In diesem Buch werden Standardnotationen verwendet. So bezeichnen N, R, C wie u urlichen, reellen und komplexen Zahlen, R+ = [0, ∞), N0 = N ∪ {0}; ¨blich die nat¨ K steht f¨ ur R oder C. Kn ist der Vektorraum der n-dimensionalen Spaltenvektoren, Km×n der Raum der m × n-Matrizen mit Eintr¨agen in K. Die Einheitsmatrix wird mit I bezeichnet, und ist A ∈ Kn×n so schreiben wir h¨auﬁg λ − A anstelle von λI − A. Wie u ¨blich bedeuten det A die Determinante und sp A die Spur von A, sowie N (A) den Kern und R(A) das Bild von A. AT bezeichnet die transponierte Matrix zu A und A∗ := A¯T ihre Adjungierte. Wir verwenden elementare Aussagen der linearen Algebra wie den Dimensionssatz f¨ ur A ∈ Km×n dim N (A) + dim R(A) = n ohne Kommentar. Eine Projektion P in Kn erf¨ ullt P 2 = P , und induziert mittels x = P x+(x−P x) die Zerlegung Kn = R(P )⊕N (P ) von Kn in eine direkte Summe; gilt P = P ∗ so heißt P orthogonal. Ist V ein Teilraum eines Vektorraums X, so bezeichnet W = X V ein direktes Komplement von V in X, also X = V ⊕ W . Der Aufspann einer Teilmenge A eines Vektorraums wird wie u ¨ blich mit span A benannt. Das Skalarprodukt in Kn wird mit (·|·) bezeichnet. | · | bedeutet sowohl den Betrag reeller oder komplexer Zahlen, alsauch eine nicht n¨aher speziﬁzierte Norm n auf Kn . F¨ ur 1 ≤ p < ∞ ist |x|p = ( j=1 |xj |p )1/p die lp -Norm auf Kn , und |x|∞ = max{|xj | : j = 1, . . . , n} die l∞ -Norm. ¯ r (x0 ) werden die oﬀene bzw. abgeschlossene Kugel mit Mit Br (x0 ) bzw. B Radius r > 0 und Mittelpunkt x0 ∈ Kn bzgl. einer Norm bezeichnet. Ist D ⊂ Kn , ¯ ∂D, int D den Abschluss, den Rand bzw. das Innere von D. Der so bedeuten D, Abstand eines Punktes x ∈ Kn zu einer Menge D ⊂ Kn wird mit dist(x, D) bezeichnet. Ist J ⊂ R ein Intervall, k ∈ N0 ∪ {∞}, so bedeutet C k (J; Rn ) den Raum der k-mal stetig diﬀerenzierbaren Funktion u : J → Rn , und wir setzen C(J; Rn ) := C 0 (J; Rn ); schließlich bezeichnet C ω ((a, b); Rn ) den Raum der auf (a, b) reell analytischen Funktionen. Analog sind die R¨aume C k (G; Rn ) f¨ ur eine oﬀene Menge G ⊂ Rm erkl¨ art. Alle weiteren Notationen werden im Text erl¨autert.

Teil I

Gewo ¨hnliche Diﬀerentialgleichungen

Kapitel 1

Einfu ¨hrung Eine gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung – im Folgenden h¨auﬁg kurz DGL genannt – hat die allgemeine Gestalt h(t, x, x, ˙ x ¨, . . . , x(m) ) = 0,

t ∈ J,

(1.1)

wobei J ein Intervall ist, und die Funktion h : J × Rn × . . . × Rn → Rn dabei als m+1−mal

gegeben vorausgesetzt wird. (1.1) ist hier in impliziter Form gegeben. Der Parameter t ist in (1.1) die einzige unabh¨ angige Variable. Dies ist das Merkmal gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen. In diesem Buch wird t oft als ”Zeit” bezeichnet, auch wenn es dem in manchen F¨allen nicht gerecht wird. Dabei ist x˙ = dx die Zeitableitung der Funktion x = x(t). dt Die Ordnung einer Diﬀerentialgleichung ist deﬁniert durch die h¨ochste darin nichttrivial enthaltene Ableitung. Die DGL (1.1) hat die Ordnung m, sofern ∂x(m) h ≡ 0 ist. Eine Diﬀerentialgleichung erster Ordnung hat demnach die Form h(t, x, x) ˙ = 0.

(1.2)

L¨ost man, falls dies m¨ oglich ist, (1.1) nach x(m) auf, so ist die Diﬀerentialgleichung m-ter Ordnung in expliziter Form gegeben: x(m) = g(t, x, x, ˙ x ¨, . . . , x(m−1) ).

(1.3)

Wir werden uns hier nur mit expliziten Diﬀerentialgleichungen besch¨aftigen, da diese in Anwendungen am h¨ auﬁgsten auftreten, und implizite Diﬀerentialgleichungen im Allgemeinen schwieriger zu l¨ osen sind, jedoch oft mit Hilfe des Satzes u ¨ ber implizite Funktionen auf explizite Diﬀerentialgleichungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨onnen. Gesucht sind Funktionen x = x(t), welche (1.1) erf¨ ullen. Somit kommen wir zu der folgenden Deﬁnition.

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_1, © Springer Basel AG 2010

4

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

Deﬁnition 1.0.1. Eine Funktion x : J → Rn heißt L¨osung von (1.1) in J, falls x ∈ C m (J; Rn ) ist, und h(t, x(t), x(t), ˙ x ¨(t), . . . , x(m) (t)) = 0 f¨ ur alle t ∈ J gilt. Im Gegensatz zu gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen enthalten viele Diﬀerentialgleichungen mehrere unabh¨ angige Variable. Man nennt solche dann partielle Diﬀerentialgleichungen: H(y, u, ∇u, ∇2 u, . . . , ∇m u) = 0,

y ∈ U ⊂ Rn , U oﬀen.

L¨osungen u = u(y) sind hierbei Funktionen mehrerer Variablen. Es sei daran erinnert, dass ∇u(y) den Gradienten von u(y), ∇2 u(y) die Hesse-Matrix, etc. bezeichnen. Wir werden uns in diesem Buch ausschließlich mit gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen befassen.

1.1 Erste Beispiele Die folgenden Beispiele sollen einen ersten Eindruck u ¨ber das Auftreten gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen bei der Modellierung dynamischer Vorg¨ange vermitteln. (a) Kapital- und Bev¨ olkerungswachstum. Sei x(t) das Kapital bzw. die Gr¨oße ¨ einer Population zur Zeit t. Dann bedeutet x(t) ˙ die zeitliche Anderung des Kapitals bzw. der Population, also x(t) ˙ < 0 → Abnahme, ¨ x(t) ˙ = 0 → keine Anderung, x(t) ˙ > 0 → Zunahme. Das einfachste Modell zur Beschreibung von Wachstumsprozessen basiert auf der ¨ Annahme, dass die zeitliche Anderung der Population proportional zum aktuellen Bestand ist. Die dies beschreibende DGL ist x˙ = αx, wobei α ∈ R ein Proportionalit¨atsfaktor ist, die sogenannte Wachstumsrate. Dieses Modell tritt auch in der chemischen Kinetik als sog. Zerfallsreaktion A → P auf. Dabei ist A die zerfallende Substanz, und P bedeutet ein oder mehrere Produkte des Zerfalls. x(t) bezeichnet dabei die zur Zeit t vorhandene Masse an A, gemessen z.B. in Mol oder in Mol pro Liter. Der Parameter α heißt Reaktionsgeschwindigkeitskonstante und ist dann negativ. Die L¨osungen dieser Gleichung sind durch die Funktionen x(t) = ceαt gegeben. Denn oﬀenbar ist ein solches x(t) eine L¨osung, und ist y(t) eine weitere, d so folgt dt [y(t)e−αt ] = 0, also ist y(t)e−αt ≡ a konstant, d.h. y(t) = aeαt . Man bezeichnet c ∈ K als Freiheitsgrad oder auch als Integrationskonstante der Gleichung.

1.1. Erste Beispiele

5

20 15 10 5

0

5

10

15

20

Abbildung 1.1: Logistisches Wachstum mit κ = 10 und α = 0.5 Der Parameter c kann durch einen Anfangswert x(t0 ) = x0 explizit festgelegt werden. Sei zum Beispiel zur Zeit t = 0 die Bev¨olkerungsgr¨oße gleich x0 . Dann gilt: x0 = x(0) = ceα0 = c, also x(t) = x0 eαt . Umgekehrt kann man die Exponentialfunktion et als L¨osung des Anfangswertproblems x˙ = x, t ∈ R x(0) = 1, deﬁnieren. Dies ist eine in der Theorie spezieller Funktionen h¨auﬁg angewandte Methode zur Einf¨ uhrung neuer Funktionen. In der Realit¨ at kann es exponentielles, d.h. unbeschr¨anktes Wachstum nicht geben, da stets nur endliche Ressourcen vorhanden sind. Ein modiﬁziertes Wachstumsgesetz, das dem Rechnung tr¨ agt, ist das logistische Wachstum: x˙ = αx(1 − x/κ),

t ∈ R.

Dabei sind α > 0 und κ > 0 ein weiterer Parameter, die sog. Kapazit¨ at. Die L¨osung des entsprechenden Anfangswertproblems mit Anfangswert x0 > 0 ist durch die Funktionen x0 κ , t ≥ 0, x(t) = x0 + e−αt (κ − x0 ) gegeben. F¨ ur t → ∞ konvergieren diese Funktionen gegen den S¨ attigungswert x(∞) = κ; vgl. Abb. 1.1. Logistisches Wachstum wird in vielen Disziplinen verwendet, um S¨attigungsverhalten zu modellieren. (b) Der harmonische Oszillator. Es sei mit Ausnahme der Gravitation jegliche außere Kraft vernachl¨ assigt. An der Masse m wirkt zum einen die Gewichtskraft ¨ Fg = mg von m und zum anderen die Federkraft Ff = −kx; k > 0 ist dabei die Federkonstante. Da sich die Feder nach Anh¨ angen der Masse m etwas gedehnt hat,

6

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

Abbildung 1.2: Harmonischer Oszillator sagen wir um eine L¨ ange x0 , wirkt auf m eine betragsm¨aßig gr¨oßere Federkraft, n¨amlich F˜f = k(x0 + x). Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt: m¨ x = Fg − F˜f = mg − k(x0 + x), da die Federkraft F˜f der Auslenkung entgegen wirkt; vgl. Abb. 1.2. Zur Anfangsauslenkung x0 (x = 0) halten sich die Gewichts- und die Federkraft die Waage, d.h. mg = kx0 bzw. x0 = mg/k. Setzen wir das in die obige Diﬀerentialgleichung ein, erh¨ alt man m¨ x = mg − k(mg/k + x) = −kx; die Anfangsauslenkung x0 spielt also gar keine Rolle. Daraus folgt x ¨ + ω 2 x = 0,

mit

ω2 =

k . m

(1.4)

ω 2 wird in der Physik Kreisfrequenz genannt. (1.4) ist eine Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung und heißt Schwingungsgleichung. Man sieht sofort, dass die Funktionen cos(ωt) und sin(ωt) und alle ihre Linearkombinationen a cos(ωt) + b sin(ωt) L¨osungen der Schwingungsgleichung sind. Die Konstanten a und b k¨onnen durch Anfangswerte f¨ ur z.B. x(0) = x0 und x(0) ˙ = x1 eindeutig festgelegt werden. Man erh¨alt so das Anfangswertproblem f¨ ur die Schwingungsgleichung x ¨ + ω 2 x = 0,

t ∈ R,

x(0) = x0 , x(0) ˙ = x1 .

Die trigonometrischen Funktionen cos(ωt) bzw. sin(ωt) k¨onnen als L¨osung dieses Anfangswertproblems mit x0 = 1, x1 = 0 bzw. x0 = 0, x1 = 1, deﬁniert werden. (c) Der Schwingkreis. Die Schwingungsgleichung tritt auch in vielen anderen Anwendungen auf. Wir diskutieren hier kurz eine Anwendung in der Elektrotechnik, n¨amlich den Schwingkreis. Betrachten wir einen einfachen, geschlossenen Schaltkreis der lediglich aus einer Spule und einem Kondensator besteht.

1.1. Erste Beispiele

7

L R C Abbildung 1.3: Schwingkreis Die Kirchhoﬀsche Knotenregel zeigt dann, dass die Str¨ome IC am Kondensator und IL in der Spule gleich sind, und die Kirchhoﬀsche Maschenregel besagt, dass sich die Spannungen am Kondensator UC und an der Spule UL aufheben: UC + UL = 0. Hat der Kondensator die Kapazit¨at C, die Spule die Induktivit¨at L, so sind die Zusammenh¨ ange zwischen Uj und I := Ij , j = L, C, durch die folgenden Gesetze gegeben: C U˙ C = IC ,

LI˙L = UL .

Diese ergeben somit LC I¨ = LC I¨L = C U˙ L = −C U˙ C = −IC = −I, sodass wir auf eine Schwingungsgleichung f¨ ur I mit ω 2 = 1/LC gef¨ uhrt werden. Die Spannungen UL und UC gen¨ ugen ebenfalls dieser Gleichung. Beﬁndet sich zus¨atzlich ein in Reihe geschalteter Widerstand R im Stromkreis, vgl. Abb. 1.3, so gilt ebenfalls IR = IL , und die Maschenregel wird zu UC + UL + UR = 0. Das Ohmsche Gesetz UR = RIR f¨ uhrt dann auf die Schwingungsgleichung mit D¨ampfung LC I¨ + RC I˙ + I = 0. Hat der Widerstand eine nichtlineare Charakteristik UR = R(IR ), so folgt entsprechend die Gleichung: LC I¨ + CR (I)I˙ + I = 0. Ein sehr bekanntes Beispiel f¨ ur diesen Fall ist der van der Pol-Oszillator x ¨ + μ(x2 − 1)x˙ + x = 0, den wir in sp¨ateren Kapiteln behandeln werden. (d) Das mathematische Pendel. Wie in (b) sei jede ¨außere Kraft mit Ausnahme der Gravitation vernachl¨ assigt.

8

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

Abbildung 1.4: Das mathematische Pendel Wir erhalten mit dem 2. Newtonschen Gesetz f¨ ur die Auslenkung x die Gleichung ml¨ x = −Fr , da die R¨ ucktriebskraft Fr der Auslenkung entgegen wirkt. Anhand von Abb. 1.4 gilt damit Fr = mg sin x, also schließlich x ¨ + ω 2 sin x = 0

mit ω 2 =

g . l

Aus dem Satz von Taylor folgt: sin x = x −

x3 x5 + − O(x7 ) ≈ x, f¨ ur kleine Auslenkungen x, 3! 5!

das heißt n¨aherungsweise gilt x ¨ + ω 2 x = 0. Wir werden durch diese Approximation also wieder auf die Schwingungsgleichung (1.4) gef¨ uhrt. Inwieweit diese Approximation gerechtfertigt ist, werden wir sp¨ater sehen. Deﬁnition 1.1.1. Eine Diﬀerentialgleichung (1.1) heißt linear, falls sie linear in allen abh¨ angigen Variablen ist, also in x, x, ˙ x ¨, . . . , x(m) . Ansonsten heißt (1.1) nichtlinear. Beispiele (a) und (b) sind somit linear, die van der Pol-Gleichung in (c), und (d) sind hingegen nichtlinear. In vielen Anwendungen treten Diﬀerentialgleichungen in Form von Systemen von Gleichungen auf. Die folgenden Beispiele sollen einen ersten Eindruck daf¨ ur vermitteln.

1.1. Erste Beispiele

9

(e) Das R¨auber-Beute-Modell (Volterra–Lotka 1924). Sei x(t) die Gr¨oße der Population der Beute und entsprechend y(t) die Population der R¨auber zur Zeit t. Das Volterra–Lotka-Modell f¨ ur R¨ auber-Beute-Systeme lautet wie folgt. x˙ = ax − byx, (RB) a, b, c, d > 0. y˙ = −cy + dyx, Die Terme ax bzw −cy repr¨ asentieren wie in (a) Wachstum der Beute bzw. Reduktion der R¨ auber in Abwesenheit der jeweils anderen Art. Das Produkt xy repr¨asentiert die Interaktion der Spezies, die mit einer gewissen H¨auﬁgkeit zum Tod der Beute und zum Wachstum durch Nahrungsaufnahme der R¨auberpopulation f¨ uhrt. (f ) Das Epidemiemodell von Kermack–McKendrick. Es repr¨asentiere x(t) den gesunden Teil der Population einer Spezies, die Suszeptiblen (S), y(t) den inﬁzierten Teil, die Inﬁzi¨osen (I) und z(t) den immunisierten Teil, Recovered (R), zur Zeit t. Die Epidemie sei nicht fatal, f¨ uhre also nicht zu Todesf¨allen, und verlaufe schnell gegen¨ uber den Geburts- und Sterbevorg¨angen in der Population. Das klassische SIR-Modell von Kermack und McKendrick f¨ ur die Ausbreitung einer solchen Epidemie lautet folgendermaßen: ⎧ ⎪ ⎨x˙ = −axy (SIR) y˙ = axy − by a, b > 0. ⎪ ⎩ z˙ = by Summiert man x, ˙ y, ˙ z˙ auf, so erh¨ alt man x˙ + y˙ + z˙ = 0, was ¨aquivalent zum Erhaltungssatz x + y + z = c, mit einer Konstanten c ∈ R, ist. Daher kann man das System (SIR) auf ein System f¨ ur die zwei Unbekannten x und y reduzieren. (g) Chemische Kinetik. Eine reiche Quelle f¨ ur Systeme von gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen ist die chemische Kinetik. Zerfallsreaktionen haben wir schon in Beispiel 1.1 (a) kennengelernt. Ein anderer sehr h¨auﬁg auftretender Reaktionstyp ist die Gleichgewichtsreaktion k+ A + B P. k− Beispiele f¨ ur solche Reaktionen sind die Dissoziationen von Salzen in w¨assriger L¨osung. Gleichgewichtsreaktionen sind typischerweise reversibel, also umkehrbar. Sie werden modelliert durch ein Diﬀerentialgleichungssystem der Form c˙A = −k+ cA cB + k− cP ,

cA (0) = c0A ,

c˙B = −k+ cA cB + k− cP ,

cB (0) = c0B ,

c˙P = k+ cA cB − k− cP ,

cP (0) =

c0P .

(1.5)

10

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

Dabei bedeuten die Variablen cL die Konzentration der Substanz L = A, B, P . Die Reaktion von rechts nach links wird durch den Term k− cP als Zerfall modelliert, dies ist eine Reaktion 1. Ordnung. Auf der anderen Seite kommt es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zur Bildung von P nur dann, wenn je ein Molek¨ ul A mit einem Molek¨ ul B zusammentriﬀt. Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zum Produkt cA cB , daher modelliert man die Reaktion von links nach rechts durch den quadratischen Term k+ cA cB , man spricht dann von einer Reaktion 2. Ordnung. Dieses System ist gekoppelt, zun¨ achst erscheint keine der Gleichungen redundant zu sein. Durch Addition der ersten bzw. der zweiten Gleichung zur dritten ﬁndet man jedoch c˙A + c˙P = c˙B + c˙P = 0, also cA (t) + cP (t) = konstant = c0A + c0P ,

cB (t) + cP (t) = konstant = c0B + c0P .

Aus diesen zwei Erhaltungss¨atzen lassen sich z.B. cA und cB eliminieren, sodass lediglich eine Diﬀerentialgleichung verbleibt, hier die f¨ ur cP . c˙P = k+ (c0A + c0P − cP )(c0B + c0P − cP ) − k− cP =: r(cP ). Insbesondere im Teil II dieses Buches werden wir Anwendungen aus der chemischen Kinetik eingehender untersuchen.

1.2 Systeme von Diﬀerentialgleichungen Wie bereits in den Beispielen (e)–(g) gesehen, treten h¨auﬁg Systeme von Diﬀerentialgleichungen auf. Ein allgemeines System 1. Ordnung wird dargestellt durch: x˙ 1 = f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn ), x˙ 2 = f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn ), .. . x˙ n = fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ). Mit x = [x1 , . . . , xn ]T ∈ Rn und f (t, x) = [f1 (t, x), . . . , fn (t, x)]T ∈ Rn schreibt sich dieses System in Vektornotation als x˙ = f (t, x),

f : J × Rn → Rn .

Das zugeh¨orige Anfangswertproblem (AWP) ist durch x˙ = f (t, x), gegeben.

t ≥ t0 ,

x(t0 ) = x0 ,

1.3. Fragestellungen der Theorie

11

Durch eine geeignete Substitution kann man Diﬀerentialgleichungen h¨oherer Ordnung auf ein System erster Ordnung reduzieren. Dazu sei eine explizite Diﬀerentialgleichung y (m) = g(t, y, y, ˙ . . . , y (m−1) ) (1.6) m-ter Ordnung gegeben. Man setze ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ y y˙ y˙ x1 ⎢ x2 ⎥ ⎢ y˙ ⎥ ⎢ y¨ ⎥ ⎢ ⎥ y¨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x := ⎢ . ⎥ := ⎢ .. ⎥ , es folgt x˙ = ⎢ .. ⎥ = ⎢ ⎥, . . . ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ⎣ ⎦ . xm y (m−1) y (m) g(t, y, y, ˙ . . . , y (m−1) ) also ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ x˙ = ⎢ ⎢ ⎣

x2 x3 .. .

⎤

⎡

x2 x3 .. .

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ =: f (t, x). ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ xm xm g(t, x1 , x2 , . . . , xm ) g(t, y, y, ˙ . . . , y (m−1) )

(1.7)

Wir haben so das System 1. Ordnung x˙ = f (t, x) erhalten, welches ¨aquivalent zu (1.6) ist. Proposition 1.2.1. Die Funktion y ∈ C m (J) l¨ ost (1.6) genau dann, wenn x ∈ C 1 (J; Rm ) das System (1.7) l¨ost. Beweis. Es bleibt nur noch die entsprechenden Regularit¨aten der L¨osungen zu beweisen. Sei zun¨ achst y ∈ C m (J) eine L¨ osung von (1.6). Mit der oben eingef¨ uhrten Substitution xj = y (j−1) gilt x˙ j = y (j) ∈ C (m−j) (J), j ∈ {1, . . . , m}. Daraus folgt xj ∈ C 1 (J), also x ∈ C 1 (J; Rm ). Hat man andererseits eine L¨ osung x ∈ C 1 (J; Rm ) des Systems (1.7) gegeben, (j) so gilt y = x˙ j ∈ C(J), j ∈ {1, . . . , m}. Daraus ergibt sich die Behauptung. Diese Reduktion auf ein System 1. Ordnung kann ebenso auch f¨ ur Systeme h¨oherer Ordnung durchgef¨ uhrt werden. Ist ein System m-ter Ordnung mit Dimension N gegeben, so hat das resultierende System 1. Ordnung die Dimension n = mN .

1.3 Fragestellungen der Theorie Eine allgemeine Theorie f¨ ur Diﬀerentialgleichungen wirft eine Reihe von Fragen auf, von denen wir jetzt einige kommentieren wollen. 1. Wie viele L¨ osungen einer Diﬀerentialgleichung gibt es? Eine skalare Diﬀerentialgleichung m-ter Ordnung hat m Freiheitsgrade, also

12

Kapitel 1. Einf¨ uhrung m Integrationskonstanten. Sind diese nicht speziell bestimmbar, so gibt es beliebig viele L¨ osungen. Man spricht dabei von einer m-parametrigen L¨osungsschar. Entsprechendes gilt f¨ ur Systeme. Eine M¨ oglichkeit, diese Konstanten festzulegen, ist, sich zu einem festen Zeitpunkt t0 Anfangswerte di x(t)|t=t0 = x(i) (t0 ) = x0i , i = 0, . . . , m − 1, dti vorzugeben. Ein System dieser Art nennt man ein Anfangswertproblem. Daher lautet das allgemeine Anfangswertproblem f¨ ur ein System 1. Ordnung: x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 . Eine zweite M¨ oglichkeit, die Integrationskonstanten zu bestimmen, besteht darin, Randwerte festzulegen. Dies f¨ uhrt auf sogenannte Randwertprobleme: x˙ = f (t, x), t0 < t < t 1 . R0 x(t0 ) + R1 x(t1 ) = y, Dabei sind t0 und t1 gegebene Zeitwerte und Rj ∈ Rn×n , j = 0, 1. In diesem Buch werden haupts¨ achlich Anfangswertprobleme untersucht.

2. Existieren L¨osungen von (1.7) lokal oder global? Diese Frage ist nicht immer leicht zu beantworten; vgl. Kapitel 2. • Globale Existenz, wie zum Beispiel f¨ ur x˙ = αx, x(0) = x0 . Die (eindeutige) L¨ osung ist gegeben durch x(t) = x0 eαt , sie ist global ∞ und es gilt x ∈ C (R). • Lokale Existenz, wie zum Beispiel x˙ = 1 + x2 , x(0) = 0. In diesem Fall ist die L¨ osung x(t) zum Anfangswert x(0) = 0 gegeben durch x(t) = tan(t), wie man durch eine Probe leicht nachweist. Diese L¨osung existiert in J = (− π2 , π2 ) und es gilt limt→± π2 x(t) = ±∞. Man spricht von einem blow up der L¨osung, d.h. sie explodiert in den Punkten t± = ± π2 .

1.3. Fragestellungen der Theorie

13

3. Eindeutigkeit von L¨osungen? Wir werden Beispiele kennenlernen, die eine L¨osungschar zu einem festen Anfangswert zulassen. Daher ist in solchen F¨allen die Zukunft, also die L¨osung zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt, nicht durch die Gegenwart, also den Anfangswert bestimmt. Man sagt dann, dass das System nicht deterministisch ist. Als Modelle f¨ ur physikalische Prozesse sind solche Gleichungen nicht geeignet, da sie dem Prinzip des Determinismus widersprechen. Daher ist es sehr wichtig, Klassen von Gleichungen deren L¨osungen eindeutig sind, anzugeben; vgl. Kapitel 2 und 6. 4. Abh¨ angigkeit der L¨osungen von Daten Ebenso wichtig wie Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen ist ihre Abh¨angigkeit von den Anfangswerten und Parametern, kurz Daten genannt. Soll ein Anfangswertproblem ein deterministisches physikalisches Modell be¨ ¨ schreiben, so sollten kleine Anderungen der Daten nur zu kleinen Anderungen der L¨osungen f¨ uhren. Ist das der Fall, so sagt man, die L¨osung h¨angt stetig ¨ von den Daten ab; in Kapitel 4 und 6 wird dies pr¨azisiert. Ahnliches betriﬀt die Diﬀerenzierbarkeit der L¨ osungen nach den Daten. 5. Wie berechnet man L¨ osungen von Diﬀerentialgleichungen? • Analytisch; vgl. Kapitel 1 f¨ ur einige Beispiele. • Numerisch; wichtiger Teil der Numerischen Mathematik. 6. Qualitative Theorie Die qualitative Theorie gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen und die Theorie dynamischer Systeme befassen sich mit Eigenschaften der L¨osungen. So sind u.a. die folgenden Fragen von Interesse: • Bleiben die L¨ osungen beschr¨ ankt oder explodieren sie? • Bleiben die L¨ osungen in einer vorgegebenen Menge? • Bleiben die L¨ osungen positiv? • Zeigen die L¨ osungen periodisches Verhalten? • Wie sieht ihre Asymptotik f¨ ur große Zeiten aus? • Konvergieren die L¨ osungen f¨ ur t → ∞? ¨ • Wie ¨ andert sich das qualitative Verhalten der L¨osungen bei Anderung von Parametern? Mit einigen dieser Fragen werden wir uns bereits im ersten Teil dieses Buchs besch¨aftigen, vor allem aber sind diese Gegenstand der Theorie im zweiten Teil.

14

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

1.4 Linienelement und Richtungsfeld Bevor wir uns der analytischen Berechnung von L¨osungen von Diﬀerentialgleichungen in einigen einfachen F¨ allen widmen, sollen hier noch zwei Begriﬀe, Linienelement und Richtungsfeld, erl¨ autert werden. Betrachten wir das skalare AWP x˙ = f (t, x), (1.8) x(t0 ) = x0 , mit f : J × R → R, J ⊂ R ein Intervall. Angenommen x(t) ist eine L¨ osung von (1.8). Wird x u ¨ ber die Zeit t parametrisiert, d.h. γ : t → [t, x(t)]T , so hat der Tangentenvektor an die L¨osungskurve folgende Gestalt: 1 1 γ(t) ˙ = = , f¨ ur alle (t, x(t)) ∈ J × R. x(t) ˙ f (t, x(t)) Es ist also klar, dass der Anstieg der Kurve γ in jedem Punktepaar (t, x) ∈ J × R gegeben ist durch f (t, x). Das Zahlentripel (t, x, m) deutet man nun geometrisch wie folgt: m = f (t, x) ist die Steigung der Tangente an γ in (t, x). Dieses Tripel nennt man ein Linienelement . Anschaulich erh¨ alt man es, indem man im Punkt (t, x) ein kleines Geradenst¨ uck der Steigung m antr¨ agt. Die Gesamtheit aller Linienelemente zu ausgew¨ahlten Punkten (t, x) ∈ J × R nennt man Richtungsfeld der Diﬀerentialgleichung aus (1.8). Es bietet einen Blick auf den m¨oglichen Verlauf der L¨ osungskurve(n). Nat¨ urlich existieren nun auch Punkte (t, x), in denen die Steigung u ¨berall gleich einem festen Wert c ist. Eine Bezeichnung f¨ ur die Menge, die nur aus diesen Punkten besteht, liefert uns die folgende Deﬁnition. Deﬁnition 1.4.1. Eine Funktion f (t, x) = c = const heißt Isokline zur Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x). Beispiel. x˙ = t2 + x2 = f (t, x). Setze x˙ = c = const. Dann gilt c = t2 + x2 . √ Die Isoklinen sind also Kreise um den Nullpunkt mit dem Radius c; vgl. Abb. 1.5. In allen Punkten auf dem Kreis ist der Anstieg gleich c. Variiert man nun c ∈ (0, ∞), so erh¨alt man eine Isoklinenschar f¨ ur die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x).

1.5. Trennung der Variablen

15 x 2

1

t

1

1

2

1

Abbildung 1.5: Richtungsfeld der Diﬀerentialgleichung x˙ = t2 + x2

1.5 Trennung der Variablen Wir bezeichnen eine Gleichung der Form x˙ = h(t)g(x)

(1.9)

als Diﬀerentialgleichung mit getrennten Variablen. Es sei ein Anfangswert x(t0 ) = x0 gegeben. Satz 1.5.1. Seien h : (α, β) → R und g : (a, b) → R stetig, t0 ∈ (α, β), x0 ∈ (a, b), x 1 t G(x) := x0 g(s) ds, sofern g(x0 ) = 0 und H(t) := t0 h(τ )dτ. Dann gelten: 1. Ist g(x0 ) = 0, so ist x(t) ≡ x0 eine L¨osung auf (α, β). Es kann jedoch weitere L¨ osungen geben (Nicht-Eindeutigkeit). 2. Ist g(x0 ) = 0, so gibt es ein δ > 0, sodass die eindeutig bestimmte L¨osung x(t) auf Jδ = (t0 − δ, t0 + δ) mit x(t0 ) = x0 durch x(t) = G−1 (H(t)),

t ∈ Jδ ,

gegeben ist. d Beweis. Zu 1.: Das ist trivial, da 0 = dt x0 = h(t)g(x0 ) = 0 gilt. Vgl. auch Beispiel (c) weiter unten f¨ ur Nicht-Eindeutigkeit. Zu 2.: Angenommen x = x(t) ist eine L¨osung von (1.9) in (α, β). Da die Funktionen g und h nach Voraussetzung stetig sind, ist auch die Komposition g ◦ x stetig. Daher existiert ein δ > 0, mit g(x(t)) = 0 f¨ ur alle t ∈ Jδ . Aus (1.9) x(t) ˙ folgt somit g(x(t)) = h(t), t ∈ Jδ . Mit den obigen Deﬁnitionen f¨ ur G und H und aus der Kettenregel erhalten wir

d 1 G(x(t)) = x(t)G ˙ (x(t)) = x(t) ˙ = h(t). dt g(x(t))

16

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

Damit gilt nach dem Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung:

t

G(x(t)) − G(x(t0 )) =

h(τ )dτ

oder

t

G(x(t)) = G(x(t0 )) +

t0

h(τ )dτ. t0

Daraus folgt G(x(t)) = H(t),

t ∈ Jδ ,

(1.10)

da G(x(t0 )) = G(x0 ) = 0 ist. 1 Aufgrund von G (x(t)) = g(x(t))

0 f¨ = ur alle t ∈ Jδ ist die Funktion G streng monoton nahe bei x0 . Dies stellt die Existenz der Umkehrfunktion G−1 zu G sicher, und (1.10) liefert x(t) = G−1 (H(t)),

f¨ ur alle t ∈ Jδ .

(1.11)

Die L¨osung x = x(t) ist also durch die explizite Darstellung (1.11) eindeutig bestimmt. Sei nun x = x(t) durch (1.11) gegeben. Nach Voraussetzung sind g und h stetig, also sind die Funktionen G und H stetig diﬀerenzierbar. Dann liefert der Satz von der Umkehrfunktion x = G−1 (H) ∈ C 1 (Jδ ). Nun gilt x(t) ˙ =

d −1 d ˙ (G (H(t))) = ( G−1 )(H(t))H(t). dt dx

Nach der Regel f¨ ur die Diﬀerentiation der Umkehrfunktion ergibt sich x(t) ˙ =

1 h(t) = g(G−1 (H(t)))h(t) = g(x(t))h(t), G (G−1 (H(t)))

also ist x = x(t) deﬁniert durch (1.11) tats¨achlich die L¨osung von (1.9) zum Anfangswert x(t0 ) = x0 . Beispiele. (a)

x˙ = (cos t) cos2 x, x(0) = 0.

Es gilt:

g(x) = cos2 x, h(t) = cos t,

x 1 1 ds = ds = tan x, 2 2 x0 cos s 0 cos s t t H(t) = cos τ dτ = cos τ dτ = sin t, x

G(x) =

t0

0

Nach Satz 1.5.1 existiert genau eine L¨ osung x(t), denn es ist g(x0 ) = cos2 (0) = 1, und diese lautet: x(t) = arctan(sin(t)).

1.5. Trennung der Variablen

17

In diesem Fall ist x(t) die globale L¨ osung, da H und G−1 stetig auf R sind. (b) Theoretisch berechnet man die L¨ osung x(t) wie in (a). Praktisch jedoch erspart man sich einige Schritte: x˙ = 3t2 x, x(0) = 1. Trenne die Variablen formal wie folgt: dx = 3t2 dt x

(∗).

Integriere die linke Seite bzgl. x, die rechte Seite bzgl. t und erhalte so log |x| = 3 t3 + c, wobei c ∈ R ein Freiheitsgrad ist. Daraus folgt x(t) = c˜et , mit c˜ := ±ec . Zun¨achst gilt c˜ ∈ R \ {0}. Jedoch ist x(t) ≡ 0 auch eine L¨osung der Diﬀerentialgleichung, welche bei Division durch x in (∗) verloren ging. Man sollte sich also vorsehen. Durch Umformungen wie in (∗) k¨ onnen leicht L¨osungen verloren gehen! Freilich spielt die triviale L¨ osung in unserem Anfangswertproblem keine Rolle, da ja x(0) = 1 gefordert wird, was letztere ganz oﬀensichtlich nicht erf¨ ullt. Es 3 gilt ferner 1 = x(0) = c˜e0 = c˜. Damit ist die L¨osung durch x(t) = et gegeben. (c) Eine Diﬀerentialgleichung mit f (t, x) ≡ f (x) heißt autonom. Wir betrachten das autonome Anfangswertproblem x˙ = 3x2/3 , x(0) = 0, also (1.9) mit h(t) ≡ 1 und g(x) = 3x2/3 . Wegen g(0) = 0 impliziert Satz 1.5.1, dass x(t) ≡ 0 eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung x˙ = 3x2/3 ist. Wir untersuchen, ob es weitere L¨ osungen dieses Anfangswertproblems gibt. Der Ansatz u ¨ber die Trennung der Variablen liefert x−2/3 dx = 3 dt. Daraus folgt 3x1/3 = 3(t+c), also gilt x(t) = (t+c)3 . Einsetzen des Anfangswertes ergibt c = 0, d.h. x(t) = t3 ist neben x(t) ≡ 0 eine weitere L¨osung. Dies ist beileibe nicht die einzige weitere, es existiert hier sogar eine Schar von L¨osungen zum Anfangswert x(0) = 0. Denn die Funktionen ⎧ 3 ⎪ ⎨(t − a) , t ≤ a, xa,b (t) = 0, t ∈ [a, b] mit a ≤ 0, b ≥ 0, ⎪ ⎩ 3 (t − b) , t ≥ b,

18

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

erf¨ ullen s¨amtlich die Diﬀerentialgleichung x˙ = 3x2/3 und es gilt xa,b (0) = 0. Wir nennen t3 , t ≥ 0 ∗ x (t) = 0, t < 0 die Maximall¨ osung und dementsprechend 0, t > 0 x∗ (t) = 3 t , t≤0 die Minimall¨ osung des Anfangswertproblems. Man beachte, dass die Funktion g(x) = x2/3 zwar in x = 0 eine Nullstelle hat, aber 1/g(x) ist integrierbar in einer Umgebung von x = 0, besitzt also dort eine Stammfunktion, die außerdem streng monoton ist. Dies ist der mathematische Grund f¨ ur die Nichteindeutigkeit in diesem Beispiel.

1.6 Lineare Diﬀerentialgleichungen Wir betrachten die lineare Diﬀerentialgleichung 1. Ordnung t ∈ (α, β),

x˙ = a(t)x + b(t),

(1.12)

zum Anfangswert x(t0 ) = x0 , t0 ∈ (α, β), wobei a, b : (α, β) → R stetig seien. Die Diﬀerentialgleichung (1.12) heißt homogen bzw. inhomogen, falls b(t) ≡ 0 bzw. b(t) ≡ 0 ist. Sei t A(t) := a(s)ds. (∗) t0

Angenommen x(t) ist eine L¨ osung von (1.12) mit dem Anfangswert x(t0 ) = x0 . Wir setzen u(t) := e−A(t) x(t) und diﬀerenzieren nach t unter Verwendung von (1.12) und (∗): −A(t) ˙ u(t) ˙ = e−A(t) x(t) ˙ − A(t)e x(t) = e−A(t) (a(t)x(t) + b(t) − a(t)x(t)).

Daher gilt u(t) ˙ = b(t)e−A(t) . Da b(·) und e−A(·) stetig sind, k¨onnen wir den Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung anwenden, und erhalten t u(t) = u(t0 ) + e−A(τ )b(τ )dτ, t ∈ (α, β). t0

Berechnen wir u(t0 ): u(t0 ) = e−A(t0 ) x(t0 ) = x(t0 ) = x0 nach (∗). Aus der Deﬁnition von u(t) folgt nun e−A(t) x(t) = x0 +

t

t0

e−A(τ ) b(τ )dτ

1.6. Lineare Diﬀerentialgleichungen

19

und damit f¨ ur die L¨ osung x(t) die explizite Darstellung t A(t) A(t) x(t) = e x0 + e e−A(τ ) b(τ )dτ.

(1.13)

t0

Insbesondere ist die L¨ osung eindeutig bestimmt, und man veriﬁziert durch Nachrechnen, dass x(t) deﬁniert durch (1.13) tats¨achlich eine L¨osung von (1.12) ist, sogar auf dem ganzen Intervall (α, β), also ist sie global. Gleichung (1.13) wird als Formel der Variation der Konstanten bezeichnet. ¨ Dieser Name resultiert aus den folgenden Uberlegungen. Sei xh (t) die allgemeine L¨osung der homogenen Gleichung x˙ h = a(t)xh und xp (t) sei eine spezielle L¨osung von (1.12). Dann l¨ ost x(t) = xh (t) + xp (t) ebenfalls (1.12), denn x˙ = x˙ h + x˙ p = a(t)xh + a(t)xp + b(t) = a(t)(xh + xp ) + b(t) = a(t)x + b(t). Aus x˙ h = a(t)xh , Satz 1.5.1 und (∗) folgt xh (t) = e

t

t0

a(s)ds

c = eA(t)c.

(1.14)

F¨ ur die spezielle L¨ osung xp w¨ ahlen wir nun den Ansatz xp (t) = eA(t) c(t). Wir setzen also in (1.14) c = c(t) und variieren damit c. Wegen x˙ p (t) = eA(t) c(t) ˙ + eA(t) a(t)c(t) und x˙ p (t) = a(t)xp + b(t) = eA(t) a(t)c(t) + b(t) gilt c(t) ˙ = e−A(t) b(t), also

t

c(t) =

e−A(τ ) b(τ )dτ,

t0

wobei wir c(t0 ) = 0 gesetzt haben. Die L¨ osung xp erh¨alt damit die Darstellung t xp (t) = eA(t) e−A(τ ) b(τ )dτ. t0

Daraus folgt mit (1.14)

t

x(t) = xh (t) + xp (t) = eA(t) c + eA(t)

e−A(τ ) b(τ )dτ,

t0

die Darstellungsformel f¨ ur die allgemeine L¨ osung von (1.12). Wir fassen zusammen: Proposition 1.6.1 (Superpositionsprinzip). Man erh¨alt alle L¨ osungen der Diﬀerentialgleichung (1.12), indem man zu der allgemeinen L¨ osung der homogenen Gleichung eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Gleichung addiert. Die L¨osung des Anfangswertproblems f¨ ur (1.12) ist durch die Formel der Variation der Konstanten (1.13) gegeben.

20

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

Beweis. Ist L ⊂ C 1 ((α, β), R) der L¨ osungsraum der homogenen Gleichung und sind v und w beliebige L¨ osungen von (1.12), so gilt oﬀensichtlich v − w ∈ L. Beispiel.

x˙ = 3t2 x + 2t2 , x(0) = 1, t also a(t) = 3t2 und b(t) = 2t2 . Mit A(t) = 0 3s2 ds = t3 erhalten wir aus (1.13) die eindeutige L¨ osung t 2 5 3 2 3 3 3 3 t x(t) = et 1 + 2 e−τ τ 2 dτ = et 1 + − e−τ = et − , 3 3 3 0 0 welche auf ganz R existiert.

1.7 Die Phasenebene In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einer weiteren geometrischen Interpretation von Diﬀerentialgleichungen befassen, n¨ amlich mit der Phasenebene f¨ ur autonome zweidimensionale Systeme erster Ordnung. Betrachte ein zweidimensionales System der Form x˙ f1 (x, y) = , (1.15) y˙ f2 (x, y) wobei die stetigen Funktionen fi gegeben sind. Eine L¨osung (x(t), y(t)), t ∈ J = (a, b) beschreibt dann eine Kurve im R2 , der sog. Phasenebene des Systems (1.15). Der Tangentenvektor an diese Kurve ist im Punkt (x(t), y(t)) durch den Vektor (x(t), ˙ y(t)) ˙ = (f1 (x(t), y(t)), f2 (x(t), y(t))), gegeben, also durch das Vektorfeld f . Dieser ist stets nichttrivial, mit Ausnahme der station¨ aren Punkte des Systems, also der L¨osungen des Gleichungssystems f1 (x, y) = f2 (x, y) = 0. Solche Punkte werden auch Gleichgewichte oder Equilibria des Systems genannt. Equilibria sind die konstanten L¨ osungen des Systems. Deﬁnition 1.7.1. Eine Funktion φ : R2 → R, φ ≡ 0, heißt erstes Integral der Diﬀerentialgleichung (1.15), falls φ entlang der L¨osungen von (1.15) konstant ist, d.h. f¨ ur jede L¨osung (x(t), y(t)) von (1.15) existiert eine Konstante c ∈ R, sodass φ(x(t), y(t)) ≡ c ist. Die Menge φ−1 (c) := {(x, y) ∈ R2 : φ(x, y) = c} heißt Niveaumenge der Funktion φ. Nach Deﬁnition 1.7.1 liegt die Bahn, die Trajektorie, oder der Orbit t → [x(t), y(t)]T einer L¨ osung in einer Niveaumenge der Funktion φ. Dieser Sachverhalt liefert wertvolle Informationen u ¨ber das Verhalten der L¨osungen, auch wenn man diese nicht explizit kennt. Wir untersuchen nun einige Beispiele.

1.7. Die Phasenebene

21

(a) Volterra–Lotka-Modell. x˙ = ax − byx, (V L) y˙ = −dy + cyx,

a, b, c, d > 0.

Um die 4 Parameter a, b, c, d zu reduzieren, f¨ uhrt man eine Skalierung durch. Seien x(t), y(t) L¨osungen von (VL). Man setzt u(s) = αx(γs), v(s) = βy(γs) und t = γs. Diﬀerentiation von u und v liefert: u(s) ˙ = αγ x(γs) ˙ = αγ(ax − bxy)(γs) = αγax(γs) − αγbx(γs)y(γs) = aγu(s) −

bγ u(s)v(s) β

und v(s) ˙ = βγ y(γs) ˙ = βγ(−dy + cxy)(γs) = −βγdy(γs) + βγcx(γs)y(γs) = −dγv(s) + W¨ahlt man nun zum Beispiel γ = a1 , β = bγ = ab , α = cγ = erh¨alt man das skalierte Volterra–Lotka-Modell u˙ = u − uv, (SV L) v˙ = −εv + uv.

cγ u(s)v(s). α c a

und ε = dγ = ad , so

Dieses System enth¨ alt nur noch den Parameter ε > 0. Sei nun (u(t), v(t)) eine L¨ osung dieses Problems in einem Zeitintervall J = (t0 , t1 ) 0, mit Anfangswert u(0) = u0 > 0 und v(0) = v0 > 0. Da u und v aus C 1 sind k¨onnen wir annehmen, dass u(t), v(t) > 0 in J ist; ggf. verkleinere man J. Multipliziert man die Gleichung f¨ ur u mit (1 − ε/u), die f¨ ur v mit (1 − 1/v), so folgt ε 1 1− u˙ = − 1 v. ˙ u v Die Kettenregel impliziert damit d [(u − ε log u) + (v − log v)] = 0, dt

t ∈ J,

also ist die Funktion φ(u, v) = u + v − ε log u − log v ein erstes Integral f¨ ur das skalierte Volterra–Lotka-Modell; vgl. Abb. 1.6. Es gilt weiter 1 − ε/u ∇φ(u, v) = ; 1 − 1/v

22

Kapitel 1. Einf¨ uhrung v 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 u 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Abbildung 1.6: Phasenportrait von (SVL) mit ε = 1 daher besitzt φ einen kritischen Punkt in u∗ = ε und v∗ = 1. Wegen ε > 0 ist ε/u2 0 2 ∇ φ(u, v) = 0 1/v 2 positiv deﬁnit, also ist φ strikt konvex und (u∗ , v∗ ) ist ein globales Minimum in (0, ∞) × (0, ∞). Das Paar (u∗ , v∗ ) ist eine station¨are L¨osung von (SVL), d.h. u(t) ˙ = v(t) ˙ = 0, t ∈ R. Da die Niveaumengen von φ geschlossene Kurven sind, bleiben alle anderen L¨ osungen mit Startwert u0 , v0 > 0 positiv. Man beachte, dass sich die L¨osungskurven nicht schneiden; dies folgt auch aus dem Eindeutigkeitssatz, den wir in Kapitel 2 beweisen. Wir werden sp¨ater sehen, dass die nichtstation¨aren L¨osungen sogar periodisch in t sind, d.h. es gilt u(t + τ ) = u(t) bzw. v(t + τ ) = v(t) f¨ ur alle t ∈ R, wobei die Periode τ vom Anfangszustand abh¨angt. (b) Kermack–McKendrick-Modell. x˙ = −cxy, (KK) y˙ = cxy − dy,

c, d > 0.

Eine Skalierung ergibt hier das System u˙ = −uv, (SKK) v˙ = uv − v, und man veriﬁziert leicht, dass ein erstes Integral von (SKK) durch φ(u, v) = v + u − ln u gegeben ist. Sind u(t), v(t) L¨ osungen von (SKK), so ist φ entlang dieser konstant und wir k¨onnen die Phasenbahnen nun explizit darstellen durch v(u) = ln u − u + c,

c = const.

1.7. Die Phasenebene

23

v 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 u 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Abbildung 1.7: Phasenportrait von (SKK) Die station¨aren L¨ osungen sind hier u∗ = const, sowie v∗ = 0, d.h. wir haben es hier mit einer ganzen Schar von station¨ aren L¨osungen zu tun. Es gilt nun v (u) > 0 ⇐⇒ u < 1

und

v (u) < 0 ⇐⇒ u > 1.

Daraus folgen Monotonie-Eigenschaften der L¨osungen in Abh¨angigkeit vom Anfangswert u0 : (i) Sei u0 > 1 und v0 > 0. Dann ist u(t) monoton fallend f¨ ur alle t > 0, denn u(t), v(t) bleiben immer positiv (vgl. Abb. 1.7) und es existiert ein t∗ (u0 , v0 ) sodass v(t) im Intervall (0, t∗ ) monoton wachsend ist, und in (t∗ , ∞) monoton fallend gegen Null. (ii) Sei 0 < u0 < 1 und v0 > 0. Dann ist wie in (i) u(t) monoton fallend in (0, ∞), wie auch v(t), da u(t) < 1 und somit v˙ = v(u − 1) < 0 f¨ ur alle t > 0 ist. Der Wert u0 = 1 ist damit ein Schwellenwert des Modells, ist u0 < 1 so klingt die Epidemie schlicht ab. Ist hingegen u0 > 1, so bricht sie zun¨achst aus, und klingt erst ab, nachdem der Anteil der Gesunden u(t) kleiner als 1 geworden ist. Dieses Schwellwert-Verhalten ist typisch in Epidemiemodellen. (c) Das mathematische Pendel. Wir transformieren die Gleichung f¨ ur das mathematische Pendel x ¨ + ω 2 sin x = 0 in ein System 1. Ordnung: u˙ = v, (P ) v˙ = −ω 2 sin u. Ein erstes Integral f¨ ur (P) erh¨ alt man, indem man die erste Gleichung mit ω 2 sin u, die zweite mit v multipliziert, und addiert. Die Kettenregel ergibt dann d 1 2 2 v + ω (1 − cos u) = 0, dt 2

24

Kapitel 1. Einf¨ uhrung v 1.5 1.0 0.5 10

u

5

5

10

0.5 1.0 1.5

Abbildung 1.8: Phasenportrait von (P) und somit ist φ(u, v) =

1 2 v + ω 2 (1 − cos u) 2

ein erstes Integral f¨ ur (P). φ wird Energiefunktional von (P) genannt, denn physikalisch entspricht der erste Term in φ der kinetischen Energie, da v = x˙ die Geschwindigkeit bedeutet, und der zweite Term entspricht der potentiellen Energie des Pendels. Wegen 2 ω sin u ∇φ(u, v) = , v sind die station¨ aren L¨ osungen, also v∗ = 0 und u∗ = kπ, k ∈ Z, genau die kritischen Punkte von φ. Eine Untersuchung der Hesse-Matrix 2 ω cos u 0 ∇2 φ(u, v) = 0 1 ergibt das folgende Resultat. F¨ ur cos u∗ = 1 ist (u∗ , v∗ ) ein absolutes Minimum und f¨ ur cos u∗ = −1 ist (u∗ , v∗ ) ein Sattelpunkt des Energiefunktionals φ. Die ¨außeren unbeschr¨ankten Kurven in Abb. 1.8 beschreiben den Fall des rotierenden Pendels. Die Niveaulinien mit Schnittpunkt in u = (2k + 1)π, k ∈ Z und v = 0 geben den Fall wieder, in dem sich das Pendel f¨ ur t → ∞ gegen die obere (instabile) Ruhelage bewegt, also u(t) → (2k + 1)π, k ∈ Z f¨ ur t → ∞. Die inneren ellipsenf¨ormigen Kurven stellen die periodischen Pendelbewegungen mit einem Ausschlag von |x| < π dar. (d) Das eindimensionale Teilchen im Potentialfeld. betrachten wir die Gleichung 2. Ordnung (P F ) x¨ + φ (x) = 0,

In Verallgemeinerung von (c)

1.7. Die Phasenebene

25

wobei φ ∈ C 2 (R; R) Potential heißt. Ein ber¨ uhmtes Beispiel in der Physik ist φDW (x) = 14 (x2 − 1)2 , das aufgrund seiner Form h¨auﬁg Double-Well-Potential genannt wird. x 2 1

2

x

1

1

2

1 2

Abbildung 1.9: Phasenportrait von (PF) f¨ ur φDW Die Energie ist hier 1 2 |x| ˙ + φ(x), 2 also wieder kinetische plus potentielle Energie, denn l¨angs einer L¨osung gilt E(x, x) ˙ =

d E(x(t), x(t)) ˙ = (¨ x(t) + φ (x(t)))x(t) ˙ = 0. dt Das zugeh¨orige Phasendiagramm ist in Abbildung 1.9 dargestellt. ¨ Ubungen 1. Skizzieren Sie das Richtungsfeld der Diﬀerentialgleichung x˙ = log(t2 + x2 ), und zeichnen Sie einige L¨ osungen ein. Wie sehen die Isoklinen aus? 2. Berechnen Sie alle L¨ osungen der folgenden Diﬀerentialgleichungen und skizzieren Sie ihren Verlauf. (a) x˙ = t sin(x); (b) x˙ = [2x(x − 1)]/[t(2 − x)]. 3. (a) F¨ uhren Sie die Gleichung x˙ = f (at + bx + c) durch eine geeignete Transformation auf eine Gleichung mit getrennten Variablen zur¨ uck. (b) L¨ osen Sie das Anfangswertproblem x˙ = (t + x)2 , x(0) = 0. (c) Bestimmen Sie alle L¨ osungen von x˙ = (t + 3 − x)2 ; 4. (a) Transformieren Sie die Gleichung x˙ = f (x/t), t > 0, in eine Gleichung mit getrennten Variablen. (b) Bestimmen Sie alle L¨ osungen von x˙ = xt ( xt + 1).

26

Kapitel 1. Einf¨ uhrung

5. Bestimmen Sie die L¨ osungen der folgenden Anfangswertprobleme: (a) x˙ + 3t2 x = 6t5 ,

x(0) = 5;

(b) x˙ + t/(2x) = 3x/(2t),

x(1) = 1.

6. Zeigen Sie, dass sich die Bernoulli-Gleichung x˙ = a(t)x + b(t)xα f¨ ur α = 0, 1, a, b stetig, mittels einer Transformation der Form u = xp mit geeignetem p auf eine lineare Gleichung zur¨ uckf¨ uhren l¨ asst. Was ist mit den F¨ allen α = 0, 1? 7. Die Riccati-Gleichung x˙ + a(t)x + b(t)x2 = ϕ(t) mit a, b, ϕ stetig kann unter Kenntnis einer speziellen L¨ osung x∗ (t) mit dem Ansatz x(t) = y(t) + x∗ (t) auf eine BernoulliGleichung f¨ ur y(t) zur¨ uckgef¨ uhrt werden. L¨ osen Sie auf diese Weise das Anfangswertproblem x˙ − (1 − 2t)x + x2 = 2t, x(0) = 2. 8. Es sei f ∈ C 1 (R; R), und eine Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung durch x ¨ + f (x) = 0 deﬁniert. (a) Schreiben Sie diese Gleichung als System 1. Ordnung; (b) Geben Sie ein erstes Integral des Systems an. 9. Bestimmen Sie f¨ ur die Gleichung 2. Ordnung x ¨ + x − √ 2x

1+x2

= 0 ein erstes Integral

und skizzieren Sie das Phasenportrait. 10. In einer Schale werden a Gramm Bakterien zu b Gramm einer N¨ ahrl¨ osung gegeben. Die Bakterien vermehren sich proportional (mit Faktor α) zur vorhandenen Biomasse, d.i. die Menge an Bakterien, und zur vorhandenen N¨ ahrl¨ osung. Letztere wird proportional zur Biomasse verbraucht (mit Faktor β). Wie lauten die Zeitfunktionen x(t) der Biomasse und y(t) der N¨ ahrl¨ osung? Nach wie vielen Stunden ist die H¨ alfte der N¨ ahrl¨ osung verbraucht, wenn a = 0.5g, b = 5g, sowie α = 1.2 × 10−3 (gh)−1 und β = 9 × 10−2 h−1 sind?

Kapitel 2

Existenz und Eindeutigkeit Wir betrachten im Folgenden das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 .

(2.1)

Dabei seien G ⊂ Rn+1 oﬀen, f : G → Rn stetig und (t0 , x0 ) ∈ G. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Resultate u ¨ber Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen des Anfangswertproblems (2.1) bewiesen. Dabei spielt die LipschitzEigenschaft der rechten Seite f eine zentrale Rolle. Zur Untersuchung globaler Existenz sind Diﬀerential- und Integralungleichungen ein wichtiges Hilfsmittel, daher werden auch einige elementare Ergebnisse aus diesem Bereich diskutiert und angewandt.

2.1 Lipschitz-Eigenschaft und Eindeutigkeit Deﬁnition 2.1.1. 1. Eine stetige Funktion f : G → Rn heißt lokal Lipschitz bzgl. x, falls zu jedem ¯r (x1 ) und ein α > 0 mit [t1 − α, t1 + α] × Punkt (t1 , x1 ) ∈ G eine Kugel B ¯r (x1 ) ⊂ G, sowie eine Konstante L = L(t1 , x1 ) > 0 existieren, sodass gilt: B |f (t, x) − f (t, x ¯)| ≤ L(t1 , x1 )|x − x ¯|,

¯r (x1 ). falls |t − t1 | ≤ α, x, x ¯∈B

2. f heißt global Lipschitz bzgl. x, falls die Konstante L > 0 unabh¨ angig von (t1 , x1 ) ∈ G ist, also: |f (t, x) − f (t, x ¯)| ≤ L|x − x ¯|,

falls (t, x), (t, x ¯) ∈ G.

Wir werden sp¨ ater zeigen, dass (2.1) mit einer lokal Lipschitz Funktion f eine eindeutig bestimmte lokale L¨ osung besitzt. Zun¨achst beweisen wir aber die

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_2, © Springer Basel AG 2010

28

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

Proposition 2.1.2. Sei f : G → Rn stetig, lokal Lipschitz in x, und es sei K ⊂ G kompakt. Dann ist die Einschr¨ ankung f |K von f auf K global Lipschitz in x. Beweis. Angenommen f |K ist nicht global Lipschitz, das heißt ∀n ∈ N ∃(tn , xn ), (tn , x ¯n ) ∈ K : |f (tn , xn ) − f (tn , x ¯n )| > n|xn − x ¯n |.

(2.2)

Nach Voraussetzung ist K kompakt, also existieren zwei konvergente Teilfolgen (tnk , xnk ) → (t∗ , x∗ ) ∈ K, (tnk , x ¯nk ) → (t∗ , x ¯∗ ) ∈ K, k → ∞. Da f stetig ist, gilt M := max(t,x)∈K |f (t, x)| < ∞. Aus (2.2) folgt somit |xnk − x ¯n k | <

1 1 |f (tnk , xnk ) − f (tnk , x ¯nk )| ≤ 2M, nk nk

und daher gilt x∗ = x¯∗ . Nach Voraussetzung existieren f¨ ur (t∗ , x∗ ) ∈ K Konstanten ∗ ∗ ∗ ∗ α > 0, r > 0 und L(t , x ) > 0, sodass |f (t, x) − f (t, x ¯)| ≤ L(t∗ , x∗ )|x − x ¯|,

¯r ∗ (x∗ ). falls |t − t∗ | ≤ α∗ , x, x ¯∈B

Wegen der Konvergenz der Teilfolgen existiert somit ein k0 ∈ N, sodass |tnk −t∗ | ≤ α∗ /2 und |xnk − x∗ | + |¯ xnk − x∗ | ≤ r∗ /2 f¨ ur alle k ≥ k0 gilt. Zusammen mit (2.2) erhalten wir so die Absch¨ atzung nk |xnk − x ¯nk | < |f (tnk , xnk ) − f (tnk , x ¯nk )| ≤ L(t∗ , x∗ )|xnk − x ¯nk |, f¨ ur alle k ≥ k0 , also nk < L(t∗ , x∗ ) < ∞, ein Widerspruch zu nk → ∞ f¨ ur k → ∞. Der folgende Satz zeigt, dass die lokale Lipschitz-Eigenschaft von f die Eindeutigkeit von L¨ osungen von (2.1) impliziert. Satz 2.1.3 (Eindeutigkeitssatz). Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen und f ∈ C(G; Rn ) lokal Lipschitz in x. Dann existiert h¨ ochstens eine L¨ osung von (2.1). Beweis. Seien x, x ¯ ∈ C 1 ([t0 , t1 ]; Rn ) L¨ osungen von (2.1) mit (t, x(t)), (t, x¯(t)) ∈ G f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ]. Die Menge K := {(t, x(t)), (t, x ¯(t)) ∈ G : t ∈ [t0 , t1 ]} ⊂ G ist kompakt. Nach Proposition 2.1.2 ist f |K global Lipschitz mit einer Konstanten L > 0, also |f (t, x) − f (t, x ¯)| ≤ L|x − x ¯|,

falls (t, x), (t, x ¯) ∈ K.

(2.3)

Integriert man (2.1) bez¨ uglich t, so erh¨ alt man die Integralgleichungen

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s)) ds, t0

t

x ¯(t) = x0 +

f (s, x ¯(s)) ds, t0

t ∈ [t0 , t1 ]. (2.4)

2.1. Lipschitz-Eigenschaft und Eindeutigkeit

29

Setze ρ(t) := |x(t) − x ¯(t)|. Dann folgt aus (2.4) t t t ρ(t) = f (s, x(s)) ds − f (s, x ¯(s)) ds ≤ |f (s, x(s)) − f (s, x ¯(s))| ds t0

t0

t0

und (2.3) ergibt die Absch¨ atzung t t t ρ(t) ≤ L |x(s) − x ¯(s)| ds = L ρ(s) ds = L e−αs ρ(s)eαs ds t0

≤ L sup (e−αs ρ(s)) s∈[t0 ,t1 ]

t0 t

eαs t0

t0

L ds ≤ eαt sup (e−αs ρ(s)), α s∈[t0 ,t1 ]

f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ]. W¨ ahle α = 2L und multiplizieren die obige Ungleichung mit e−αt . Weil nun die rechte Seite der Ungleichung von t unabh¨angig ist, kann man auf der linken Seite zum Supremum u ¨bergehen und erh¨alt so 0 ≤ sup (e−αt ρ(t)) ≤ t∈[t0 ,t1 ]

1 sup (e−αs ρ(s)). 2 s∈[t0 ,t1 ]

Also ist ρ(t) ≡ 0 und damit x(t) = x ¯(t), f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ].

Bemerkungen 2.1.4. 1. F¨ ur stetiges f ist die Integralgleichung (2.4) sogar ¨aquivalent zu (2.1). Um dies zu sehen, sei x ∈ C([t0 , t1 ]; Rn ) mit (t, x(t)) ∈ G f¨ ur t ∈ [t0 , t1 ] eine L¨osung der Integralgleichung t x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds, t ∈ [t0 , t1 ], t0

Da f : G → Rn stetig ist und (t0 , x0 ) ∈ G gilt, ist die Abbildung t t → f (s, x(s)) ds t0

stetig diﬀerenzierbar f¨ ur alle t ∈ (t0 , t1 ) und es gilt x(t) ˙ = f (t, x(t)) mit x(t0 ) = x0 . Also ist x = x(t) eine L¨ osung des Anfangswertproblems (2.1). 2. Eindeutigkeit nach links erh¨ alt man mittels Zeitumkehr: Ist n¨amlich x(t) eine L¨osung von x˙ = f (t, x) im Intervall [t1 , t0 ], so ist y(t) = x(−t) mit g(t, z) = −f (−t, z), eine L¨ osung von y˙ = g(t, y) in [−t0 , −t1 ]. Da mit f auch g stetig und lokal Lipschitz in x ist, ergibt der Eindeutigkeitssatz durch diese Transformation auch Eindeutigkeit nach links. Wir haben bereits in Kapitel 1 gesehen, dass das Anfangswertproblem x˙ = 3x2/3 , x(0) = 0 keine eindeutige L¨ osung besitzt. Nach Satz 2.1.3 kann die Funktion f (x) = x2/3 daher in keiner Umgebung von x = 0 lokal Lipschitz sein. Dies kann

30

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

man auch folgendermaßen einsehen: nach dem Mittelwertsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung existiert f¨ ur alle 0 < x < x ¯ ein ξ ∈ (x, x ¯), sodass |f (x) − f (¯ x)| = 2ξ −1/3 |x − x ¯|,

ξ ∈ (x, x ¯).

Aufgrund von ξ −1/3 → +∞ f¨ ur ξ → 0+ kann f in x = 0 daher nicht Lipschitz sein. Die folgende Proposition liefert ein hinreichendes Kriterium f¨ ur die lokale Lipschitz-Eigenschaft, das in den meisten Anwendungen verf¨ ugbar ist. Proposition 2.1.5. Sei f : G → Rn stetig und bez¨ uglich x stetig diﬀerenzierbar. Dann ist f lokal Lipschitz in x. Beweis. Sei (t1 , x1 ) ∈ G. Da G ⊂ Rn oﬀen ist, existieren Konstanten α > 0 und ¯r (x1 ) ⊂ G erf¨ r > 0, sodass die kompakte Menge K := [t1 − α, t1 + α] × B ullt. Nach dem Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung und mit der Kettenregel gilt |f (t, x) − f (t, x ¯)| =

1 0

d f (t, τ x + (1 − τ )¯ x) dτ dτ 1 ≤ |(x − x ¯)T ∇x f (t, τ x + (1 − τ )¯ x)| dτ 0

f¨ ur alle (t, x), (t, x¯) ∈ K. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung liefert daher |f (t, x) − f (t, x ¯)| ≤ |x − x ¯|

1

|∇x f (t, τ x + (1 − τ )¯ x)| dτ

0

≤ |x − x ¯| max |∇x f (t, x)| = L|x − x ¯|, (t,x)∈K

mit L := max(t,x)∈K |∇x f (t, x)| < ∞. Die Existenz des Maximums beruht auf der Tatsache, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Maximum annehmen.

2.2 Existenz von L¨ osungen F¨ ur den Beweis des Hauptsatzes dieses Abschnitts verwenden wir den in der Analysis bekannten Satz 2.2.1 (Fixpunktsatz von Banach). Es sei (M, d) ein vollst¨ andiger metrischer Raum und T : M → M eine Kontraktion, das heißt, es existiert eine Konstante q ∈ (0, 1), sodass d(T x, T y) ≤ q d(x, y),

f¨ ur alle x, y ∈ M

gilt. Dann besitzt T genau einen Fixpunkt x∗ ∈ M , also T x∗ = x∗ .

2.2. Existenz von L¨osungen

31

Bez¨ uglich der lokalen Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen des Anfangswertproblems (2.1) k¨ onnen wir nun das folgende Resultat zeigen. Satz 2.2.2 (Existenzsatz von Picard–Lindel¨ of ). Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, f : G → n R stetig und lokal Lipschitz in x. Dann existiert ein δ > 0 und eine eindeutig bestimmte Funktion x ∈ C 1 (Jδ , Rn ) mit Jδ := [t0 − δ, t0 + δ], sodass (t, x(t)) ∈ G f¨ ur alle t ∈ Jδ gilt, und x = x(t) l¨ ost (2.1) im Intervall Jδ . Beweis. Zun¨achst zeigen wir Existenz in [t0 , t0 + δ], also Existenz nach rechts. Um Satz 2.2.1 anzuwenden, konstruieren wir einen metrischen Raum (M, d) und eine Abbildung T : M → M . Nach Bemerkung 2.1.4 ist das Anfangswertproblem (2.1) aquivalent zur Integralgleichung ¨ t x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds, t0

¯r (x0 ) ⊂ G daher betrachten wir diese. Seien δ0 > 0 und r > 0 so ﬁxiert, dass Jδ0 × B gilt, und deﬁniere eine Menge M und eine Abbildung T mittels ¯r (x0 ), x(t0 ) = x0 , t ∈ Jδ }, δ ≤ δ0 M := {x ∈ C(Jδ ; Rn ) : x(t) ∈ B und f¨ ur x ∈ M

t

T x(t) = x0 +

f (s, x(s)) ds,

(2.5)

t0

wobei δ > 0 im Weiteren festgelegt wird. Zun¨achst beweisen wir die Eigenschaft T : M → M . F¨ ur x ∈ M folgt aus der Stetigkeit von f , dass auch die Funktion T x stetig ist, und (2.5) ergibt die Absch¨ atzung t t |T x(t) − x0 | = f (s, x(s)) ds ≤ |f (s, x(s))| ds ≤ mδ, t0

t0

¯r (x0 )} < ∞. F¨ mit m := max{|f (t, x)| : t ∈ Jδ0 , x ∈ B ur δ ≤ δ1 := min{δ0 , r/m} ¯ folgt T x(t) ∈ Br (x0 ), f¨ ur alle t ∈ Jδ , also T M ⊂ M . Es bleibt noch die Kontraktionseigenschaft von T nachzuweisen. Dazu deﬁnieren wir eine Metrik d auf M mittels d(x, x ¯) := max e−αt |x(t) − x ¯(t)|, t∈Jδ

wobei α > 0 sp¨ ater festgelegt wird. Seien t ∈ Jδ und x, x ¯ ∈ M . Aus (2.5) folgt t |T x(t) − T x ¯(t)| ≤ |f (s, x(s)) − f (s, x ¯(s))| ds. t0

¯r (x0 ) global Lipschitz stetig, mit einer Nach Proposition 2.1.2 ist f auf Jδ0 × B Konstanten L. Daraus folgt t t |T x(t) − T x ¯(t)| ≤ L |x(s) − x ¯(s)| ds = L e−αs |x(s) − x ¯(s)|eαs ds t0

t0 t

≤ Ld(x, x ¯)

eαs ds ≤ t0

L d(x, x ¯)eαt , t ∈ Jδ . α

32

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

¨ Nach Multiplikation mit e−αt und Ubergang zum Maximum ergibt dies d(T x, T x ¯) ≤

L d(x, x ¯). α

W¨ahlt man z.B. α = 2L > 0, so folgt d(T x, T x ¯) ≤ 12 d(x, x ¯), also ist T eine strikte Kontraktion. Somit liefert Satz 2.2.1 genau einen Fixpunkt x∗ ∈ M von T , d.h. t x∗ (t) = x0 + f (s, x∗ (s)) ds, t ∈ Jδ . t0

Nach Bemerkung 2.1.4 ist x∗ = x∗ (t) die eindeutig bestimmte L¨osung des Anfangswertproblems (2.1). Existenz nach links erh¨alt man mittels Zeitumkehr, mit einem ggf. kleinerem δ > 0. Die resultierende L¨osung ist stetig diﬀerenzierbar auch in t0 , da x(t) ˙ aufgrund der Diﬀerentialgleichung auch in t = t0 stetig ist. Bemerkungen 2.2.3. 1. Man beachte, dass δ > 0 im Beweis zu Satz 2.2.2 nur von δ0 , r und m abh¨angt, nicht aber von der Konstanten L > 0. Diese Tatsache kann man verwenden, um lokale Existenz f¨ ur rechte Seiten f zu erhalten, die stetig aber nicht notwendig lokal Lipschitz in x sind (Existenzsatz von Peano, vgl. Kapitel 6). 2. Ist (tk , xk ) → (t0 , x0 ) ∈ G eine Folge in G, dann existiert ein gleichm¨aßiges δ > 0, sodass die Anfangswertprobleme x˙ = f (t, x), x(tk ) = xk f¨ ur hinreichend große k genau eine L¨ osung xk (t) auf [tk , tk + δ] besitzen. Dies folgt wie im Beweis des Existenzsatzes, indem man (t0 , x0 ) durch (tk , xk ) ersetzt. Beispiele. (a) Skaliertes Volterra–Lotka-Modell u˙ = u(1 − v), (SV L) v˙ = v(u − ε),

ε > 0.

Es ist f (u, v) = [u(1 − v), v(u − ε)]T = [f1 (u, v), f2 (u, v)]T und die Komponenten von f (u, v) sind Polynome in 2 Variablen, also gilt sogar f ∈ C ∞ (R2 ). Nach Proposition 2.1.5 ist f lokal Lipschitz und der Satz von Picard–Lindel¨of liefert zu jedem Anfangswert (u0 , v0 ) ∈ R2 genau eine lokale L¨osung von (SVL). (b) Das mathematische Pendel (P )

u˙ = v, v˙ = −ω 2 sin u.

Hier ist f (u, v) = [v, −ω 2 sin u]T und wie in Beispiel (a) gilt f ∈ C ∞ (R2 ). Unter Verwendung von Proposition 2.1.5 liefert der Satz von Picard und Lindel¨of die Existenz einer eindeutigen lokalen L¨ osung von (P), zu jedem Anfangswert (u0 , v0 ) ∈ R2 . Ein wichtiger Spezialfall von Satz 2.2.2 betriﬀt lineare Systeme.

2.3. Fortsetzbarkeit und maximales Existenzintervall

33

Korollar 2.2.4. Sei J = [a, b], t0 ∈ (a, b), x0 ∈ Rn und es seien die Funktionen b ∈ C(J, Rn ), A ∈ C(J, Rn×n ) gegeben. Dann besitzt das Anfangswertproblem x(t) ˙ = A(t)x(t) + b(t), (2.6) x(t0 ) = x0 , genau eine lokale L¨ osung. Beweis. Die Behauptung folgt aus Satz 2.2.2 mit f : J × Rn → Rn , deﬁniert durch f (t, x) := A(t)x + b(t). Denn oﬀensichtlich ist f stetig, und es gilt |f (t, x) − f (t, y)| = |A(t)(x − y)| ≤ |A(t)||x − y| ≤ L|x − y|, f¨ ur alle (t, x), (t, y) ∈ J × Rn , wobei L := maxt∈J |A(t)| < ∞ aufgrund der Kompaktheit von J und der Stetigkeit von |A(·)| gilt, also ist f sogar global Lipschitz in x.

2.3 Fortsetzbarkeit und maximales Existenzintervall Wir betrachten wieder das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 ,

(2.7)

wobei G ⊂ Rn+1 oﬀen ist, f : G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x. Dann existiert nach Satz 2.2.2 ein δ0 > 0 und genau eine Funktion x ∈ C 1 ([t0 −δ, t0 +δ0 ], Rn ), als lokale L¨osung von (2.7). In Kapitel 1 hatten wir die Frage aufgeworfen, ob die L¨osung f¨ ur alle Zeiten t ≥ t0 existiert oder nicht. Wir wollen diese Problematik jetzt im Detail diskutieren. Zun¨ achst beachte man, dass sich L¨osungen zusammensetzen lassen. Um dies zu sehen, seien x1 L¨ osung im Intervall [t0 , t1 ] und x2 L¨osung in [t1 , t2 ] mit x1 (t1 ) = x2 (t1 ); dann gilt aufgrund der Diﬀerentialgleichung auch x˙ 1 (t1 ) = f (t1 , x1 (t1 )) = f (t1 , x2 (t1 )) = x˙ 2 (t1 ), folglich ist die zusammengesetzte Funktion x(t) deﬁniert durch x(t) = x1 (t) f¨ ur t ∈ [t0 , t1 ] und x(t) = x2 (t) f¨ ur t ∈ [t1 , t2 ] stetig diﬀerenzierbar in [t0 , t2 ]. Diese Eigenschaft und die Eindeutigkeit der L¨osungen zeigen, dass die folgende Deﬁnition sinnvoll ist. Deﬁnition 2.3.1. Es seien t± (t0 , x0 ) ∈ R durch t+ := t+ (t0 , x0 ) := sup{t1 ≥ t0 : es ex. eine L¨ osung x1 von (2.7) auf [t0 , t1 ]}, t− := t− (t0 , x0 ) := inf{t2 ≤ t0 : es ex. eine L¨osung x2 von (2.7) auf [t2 , t0 ]} deﬁniert. Die Intervalle [t0 , t+ ), bzw. (t− , t0 ], bzw. (t− , t+ ) heißen maximales Existenzintervall der L¨ osung nach rechts, bzw. nach links, bzw. schlechthin. Die maximale L¨osung von (2.7) wird deﬁniert durch x(t) = x1 (t), f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ], bzw. x(t) = x2 (t) auf [t2 , t0 ], also gilt x ∈ C 1 ((t− , t+ ), Rn ).

34

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

Der Existenzsatz stellt t+ (t0 , x0 ) > t0 und t− (t0 , x0 ) < t0 sicher, und gilt t+ = ∞ bzw. t− = −∞, so haben wir globale Existenz nach rechts bzw. nach links. Wie l¨asst sich nun die Endzeit t+ = t+ (t0 , x0 ) charakterisieren? Dazu nehmen wir t+ < ∞ an. Die erste M¨ oglichkeit ist nun die, dass die L¨osung dem Rand ∂G zu nahe kommt, genauer lim inf dist((t, x(t)), ∂G) = 0. t→t+

Eine zweite M¨oglichkeit ist ein blow up, also lim |x(t)| = ∞.

t→t+

Sei beides nicht der Fall. Dann gibt es eine Konstante M > 0 und eine Folge tn t+ , sodass |x(tn )| ≤ M

und

dist((tn , x(tn )), ∂G) ≥ 1/M

f¨ ur alle n ∈ N gilt. Die Folge (x(tn ))n∈N ist also beschr¨ankt, daher existiert nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß eine konvergente Teilfolge x(tnk ) → x∗ f¨ ur k → ∞, also (tnk , x(tnk )) → (t∗ , x∗ ) ∈ G f¨ ur k → ∞. Daher ﬁnden wir nach Bemerkung 2.2.3 f¨ ur hinreichend großes k0 ∈ N ein gleichm¨aßiges δ∗ > 0 und eine eindeutig bestimmte L¨ osung xk = xk (t) auf [tnk , tnk + δ∗ ] mit xk (tnk ) = x(tnk ) f¨ ur k ≥ k0 . Nun gilt aber tnk + δ∗ > t∗ f¨ ur große k ∈ N. Daher kann die L¨osung x = x(t) nicht in einem Punkt (t∗ , x∗ ) ∈ G stecken bleiben. Entsprechendes gilt mittels Zeitumkehr f¨ ur t− . ¨ Aus diesen Uberlegungen und mit Deﬁnition 2.3.1 erhalten wir unmittelbar das folgende Resultat. Satz 2.3.2 (Fortsetzungssatz). Sei f : G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x. Dann existiert die L¨ osung zum Anfangswertproblem (2.1) auf dem maximalen Intervall (t− , t+ ), mit t− (t0 , x0 ) =: t− < t0 < t+ := t+ (t0 , x0 ). Der rechte Endpunkt t+ ist charakterisiert durch die folgenden Alternativen. 1. t+ = ∞: x(t) ist eine globale L¨ osung nach rechts. 2. t+ < ∞ und lim inf t→t+ dist((t, x(t)), ∂G) = 0, das heißt, die L¨ osung x(t) kommt dem Rand von G beliebig nahe. 3. t+ < ∞ und lim inf t→t+ dist((t, x(t)), ∂G) > 0, limt→t+ |x(t)| = ∞. Entsprechendes gilt f¨ ur den linken Endpunkt t− . Bemerkungen 2.3.3. 1. Das maximale Existenzintervall ist stets oﬀen, da man sonst die L¨osung an der Stelle t = t+ bzw. t = t− mit Satz 2.2.2 fortsetzen k¨onnte. 2. Die Aussage von Satz 2.3.2 wird in der Literatur h¨auﬁg kurz formuliert als: Die L¨ osungen existieren bis zum Rand von G.

2.4. Diﬀerential- und Integralungleichungen

35

2.4 Diﬀerential- und Integralungleichungen Schon im Beweis von Satz 2.1.3 haben wir eine Integralungleichung der Form 0 ≤ t ϕ(t) ≤ C t0 ϕ(s)ds f¨ ur stetiges ϕ kennengelernt, und gezeigt, dass dies ϕ(t) = 0 f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ] impliziert. Ein grundlegendes Hilfsmittel f¨ ur unser weiteres Vorgehen ist das Lemma 2.4.1 (von Gronwall). Seien die Funktionen α, β, ϕ ∈ C[a, b] mit β(t) ≥ 0 f¨ ur alle t ∈ [a, b] gegeben und es sei t 0 ≤ ϕ(t) ≤ α(t) + β(s)ϕ(s)ds, f¨ ur alle t ∈ [a, b]. a

Dann gilt

t t ϕ(t) ≤ α(t) + β(s)e s β(τ )dτ α(s) ds, t ∈ [a, b]. a

Speziell gilt f¨ ur α(t) ≡ M t

ϕ(t) ≤ M e a β(τ )dτ , t ∈ [a, b]. t Beweis. Wir setzen ψ(t) = a β(τ )ϕ(τ ) dτ, t ∈ [a, b]. Da β und ϕ nach Voraus˙ setzung stetig sind, ist ψ stetig diﬀerenzierbar auf [a, b], mit ψ(t) = β(t)ϕ(t). Aus ϕ(t) ≤ α(t) + ψ(t) erhalten wir wegen β(t) ≥ 0 die Diﬀerentialungleichung ˙ ≤ β(t)(α(t) + ψ(t)), t ∈ [a, b]. ψ(t) Wir multiplizieren ψ(t) mit e−

t a

β(τ )dτ

(2.8)

und erhalten mit (2.8)

t d − t β(τ )dτ ˙ − β(t)e− at β(τ )dτ ψ(t) e a ψ(t) = e− a β(τ )dτ ψ(t) dt t ˙ − β(t)ψ(t) = e− a β(τ )dτ ψ(t) ≤ β(t)e−

t a

β(τ )dτ

α(t).

Integration dieser Ungleichung von a bis t ergibt t t s e− a β(τ )dτ ψ(t) ≤ β(s)e− a β(τ )dτ α(s) ds. a

Daraus folgt t t t s t ψ(t) ≤ β(s)e( a β(τ )dτ − a β(τ )dτ )α(s) ds = β(s)e s β(τ )dτ α(s) ds, a

a

und die Behauptung ist eine unmittelbare Konsequenz der Ungleichung ϕ(t) ≤ α(t) + ψ(t).

36

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit Sei nun α(t) ≡ M . Dann gilt mit dem Hauptsatz der Diﬀerentialrechnung t t ϕ(t) ≤ M 1 + β(s)e s β(τ )dτ ds a

t t = M 1 − e s β(τ )dτ a

aufgrund von β(s)e ergibt

t s

β(τ )dτ

d = − ds e

t s

β(τ )dτ

, und die Auswertung an den Grenzen

t t ϕ(t) ≤ M 1 − 1 + e a β(τ )dτ = M e a β(τ )

dτ

.

Diﬀerentialungleichungen wie (2.8) treten in vielen Bereichen der Analysis auf. Wir beweisen hier daher ein elementares, aber wichtiges Resultat u ¨ ber solche Ungleichungen. Lemma 2.4.2. Sei J = [t0 , t1 ], u : J × R → R stetig, und ρ ∈ C 1 (J, R) erf¨ ulle die strikte Diﬀerentialungleichung ρ(t) ˙ < u(t, ρ(t)) f¨ ur alle t ∈ (t0 , t1 ] mit ρ(t0 ) < ϕ0 . Weiter sei ϕ ∈ C 1 (J, R) eine L¨ osung des Anfangswertproblems ϕ˙ = u(t, ϕ), ϕ(t0 ) = ϕ0 .

(2.9)

Dann gilt ρ(t) < ϕ(t) f¨ ur alle t ∈ J. Beweis. Angenommen es existiert ein t∗ ∈ (t0 , t1 ] mit ρ(t) < ϕ(t) f¨ ur alle t ∈ [t0 , t∗ ) und ρ(t∗ ) = ϕ(t∗ ). Dann gilt f¨ ur hinreichend kleine h > 0 ρ(t∗ ) − ρ(t∗ − h) ϕ(t∗ ) − ϕ(t∗ − h) > . h h Aus der Diﬀerenzierbarkeit von ρ und ϕ folgt f¨ ur h → 0+ ρ(t ˙ ∗ ) ≥ ϕ(t ˙ ∗ ) = u(t∗ , ϕ(t∗ )) = u(t∗ , ρ(t∗ )). Das ist ein Widerspruch, da nach Annahme ρ(t ˙ ∗ ) < u(t∗ , ρ(t∗ )) gilt.

Bemerkungen 2.4.3. 1. Der Beweis von Lemma 2.4.2 f¨ ur den Fall “>” verl¨auft analog. Die Funktion ρ bezeichnen wir je nach Situation als Ober- bzw. Unterl¨ osung zur Diﬀerentialgleichung (2.9). 2. Durch Zeitumkehr erh¨ alt man entsprechende Ungleichungen nach links. Man beachte, dass sich dabei die Relationszeichen in der Diﬀerentialgleichung umdrehen!

2.4. Diﬀerential- und Integralungleichungen

37

Beispiel. Betrachten wir ein AWP, dessen L¨ osung sich nicht analytisch elementar angeben l¨asst: x˙ = t2 + x2 , x(0) = 0. Sei zun¨achst t < 1. Dann gilt t2 + x2 < 1 + x2 und wir betrachten das Vergleichsproblem y˙ = 1 + y 2 , y(0) = tan(ε), mit einem hinreichend kleinen ε > 0. Aus Lemma 2.4.2 folgt x(t) < y(t) = tan(t + ε) f¨ ur alle 0 ≤ t < 1. Ferner ist x(t) ˙ > t2 , also x(t) > 13 t3 f¨ ur alle t ∈ (0, 1]. Insbesondere gilt also x(1) > 1/3. F¨ ur t ≥ 1 betrachten wir nun das Vergleichsproblem y˙ = 1 + y 2 , y(1) = 13 . Aus Lemma 2.4.2 folgt dann x(t) > y(t) = tan(t + arctan( 13 ) − 1) f¨ ur 1 ≤ t < π 1 + 1 − arctan( ). Insgesamt erhalten wir so die Absch¨ a tzung 2 3 π 1 < t+ < 1 + − arctan 2

1 3

f¨ ur die L¨ange des maximalen Existenzintervalls [0, t+ ). Ober- und Unterl¨osungen eignen sich also unter anderem dazu, das maximale Existenzintervall einzugrenzen; vgl. Abb. 2.1. x 4 3 2 1 t 0.5

1.0

1.5

2.0

Abbildung 2.1: L¨ osung und Vergleichsfunktionen

38

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

2.5 Globale Existenz Gegeben sei das Anfangswertproblem (2.1) und f sei stetig und lokal Lipschitz in x. Der Satz von Picard–Lindel¨ of impliziert, dass eine lokale eindeutig bestimmte L¨osung von (2.1) existiert und Fortsetzungssatz 2.3.2 liefert uns hierzu ein maximales Existenzintervall. Unser Anliegen in diesem Abschnitt ist es, Kriterien anzugeben, unter denen die L¨ osung von (2.1) global existiert. Korollar 2.5.1. Sei G = J ×Rn , J ⊂ R ein Intervall, (t0 , x0 ) ∈ G, und f : G → Rn stetig, lokal Lipschitz in x. Seien ferner a, b ∈ C(J; R+ ) gegeben, sodass |f (t, x)| ≤ a(t) + b(t)|x|,

(2.10)

f¨ ur alle t ∈ J, x ∈ Rn gilt; man sagt f sei bzgl. x linear beschr¨ankt. Dann existiert die L¨ osung von (2.1) global. Beweis. Sei x(t) die L¨ osung von (2.1). Angenommen t+ ∈ J, mit limt→t+ |x(t)| = ∞. Wir schreiben (2.1) als ¨ aquivalente Integralgleichung t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t ∈ [t0 , t+ ). t0

Wegen (2.10) und mit der Dreiecksungleichung gilt t t |x(t)| ≤ |x0 | + (a(s) + b(s)|x(s)|)ds = α(t) + β(s)|x(s)|ds, t ∈ [t0 , t+ ), t0

t0

t wobei α(t) := |x0 | + t0 a(s)ds und β(t) := b(t). Das Lemma von Gronwall 2.4.1 mit ϕ(t) := |x(t)| liefert t t |x(t)| ≤ α(t) + β(s)e s β(τ )dτ α(s)ds, t ∈ [t0 , t+ ). t0

Aus dieser Absch¨ atzung ergibt sich f¨ ur t t+ und endliches t+ ein Widerspruch zur Annahme, denn nach Voraussetzung sind die Funktionen α und β stetig in t, also bleibt x(t) beschr¨ ankt. Nach Satz 2.3.2 existiert die L¨osung x = x(t) f¨ ur alle t ∈ J, t ≥ t0 . Der Beweis f¨ ur den Fall t ≤ t0 verl¨auft analog mittels Zeitumkehr. F¨ ur lineare Gleichungen ergibt dieses Korollar das Korollar 2.5.2. Sei J ⊂ R ein Intervall, A ∈ C(J, Rn×n ), b ∈ C(J, Rn ), t0 ∈ J und x0 ∈ Rn . Dann besitzt das Anfangswertproblem (2.6) genau eine globale L¨ osung. Beweis. Es gilt die Absch¨ atzung |f (t, x)| = |A(t)x + b(t)| ≤ |A(t)x| + |b(t)| ≤ |A(t)||x| + |b(t)|, f¨ ur alle t ∈ J. Nun folgt die Behauptung aus Korollar 2.5.1.

2.5. Globale Existenz

39

Beispiele. (a) Das ged¨ ampfte Pendel. Betrachte die Diﬀerentialgleichung x ¨ + αx˙ + ω 2 sin x = b(t), t ∈ R,

(2.11)

wobei α ≥ 0 und b ∈ C(R) gegeben sind. Dabei bewirkt der Term αx˙ eine D¨ampfung der Schwingung z.B. durch Luftwiderstand, und b = b(t) stellt eine ¨außere Kraft dar, die am Pendel angreift. Wir transformieren (2.11) in das System erster Ordnung u˙ = v, v˙ = −αv − ω 2 sin u + b(t). Die rechte Seite

v f (t, u, v) = −αv − ω 2 sin u + b(t)

des Systems ist stetig in t und stetig diﬀerenzierbar in u, v, das heißt nach Proposition 2.1.5 und Satz 2.2.2 existiert zu jedem Anfangswert (u0 , v0 ) ∈ R2 genau eine lokale L¨osung. Ferner gilt die Absch¨ atzung |f (t, z)|2 = v 2 + (−αv − ω 2 sin u + b(t))2 ≤ v2 + 3(α2 v 2 + ω 4 u2 + b(t)2 ), denn es gilt | sin x| ≤ |x|, x ∈ R. Daraus folgt |f (t, z)|2 ≤ C(b(t)2 + |z|2 ),

t ∈ R,

mit z = [u, v]T und einer Konstanten C = C(α, ω) > 0. Wegen (x + y)1/2 ≤ x1/2 + y 1/2 f¨ ur alle x, y ≥ 0 gilt |f (t, z)| ≤ C(|b(t)| + |z|),

f¨ ur alle t ∈ R, z ∈ R2 .

Nach Korollar 2.5.1 existiert die L¨ osung [u(t), v(t)]T also global. (b) Ein nichtlinearer Schwinger. Die Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung x¨ + x − √

2x = b(t) 1 + x2

beschreibt ein weiteres nichtlineares Schwingungssystem. Dabei sei b ∈ C(R) eine gegebene Funktion, die eine ¨ außere Kraft bedeutet. Wir formulieren diese Gleichung wie zuvor als System u˙ = v, (N LS) 2u v˙ = b(t) − u + √1+u . 2 Man sieht leicht, dass auch dieses System lokal Lipschitz ist und lineares Wachstum hat, also existieren die L¨ osungen global. Korollar 2.5.1 versagt, wenn f polynomiale Terme mit Ordnung l ≥ 2 enth¨alt, wie z.B. in den Modellen von Volterra–Lotka und Kermack–McKendrick. Hier sind es andere Struktureigenschaften, die globale Existenz nach rechts ergeben. Dabei sind h¨auﬁg Diﬀerentialungleichungen von Nutzen, wie das n¨achste Korollar zeigt.

40

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

Korollar 2.5.3. Sei G = J × Rn , J ⊂ R ein Intervall, f : G → Rn stetig, lokal Lipschitz in x, und es existiere eine Konstante ω ≥ 0, sodass (f (t, x)|x) ≤ ω|x|22

(2.12)

f¨ ur alle (t, x) ∈ G gilt. Dann existieren alle L¨ osungen des AWPs (2.1) global nach rechts. Beweis. Sei x = x(t) eine L¨ osung von (2.1). Man setze ϕ(t) = |x(t)|22 . Unter Verwendung von (2.12) gilt: ϕ(t) ˙ =

n n n d d ϕ(t) = xi (t)2 = 2xi (t)x˙ i (t) = 2 xi (t)fi (t, x(t)) dt dt i=1 i=1 i=1

= 2(f (t, x(t))|x(t)) ≤ 2ω|x(t)|22 = 2ωϕ(t).

(2.13)

Sei nun ϕ(t0 ) =: ϕ0 , t0 ∈ J. Die Diﬀerentialungleichung (2.13) liefert uns die Absch¨atzung d ϕ(t)e−2ω(t−t0 ) = ϕ(t) ˙ − 2ωϕ(t) e−2ω(t−t0 ) ≤ 0, dt woraus nach Integration ϕ(t) ≤ ϕ0 e2ω(t−t0 ) bzw. |x(t)| ≤ |x0 |eω(t−t0 ) folgt. Die L¨osung x = x(t) von (2.1) ist damit auf jedem kompakten Intervall [t0 , t1 ] ⊂ J beschr¨ankt, und globale Existenz nach rechts folgt aus Satz 2.3.2. Die folgenden Beispiele greifen die Systeme aus Abschnitt 1.7 auf. Beispiele. (a) Das Kermack–McKendrick-Modell. Das Kermack–McKendrickModell ist durch u˙ = −uv, (SKK) v˙ = uv − v, in skalierter Form gegeben. Sind u0 , v0 > 0, so erf¨ ullt die L¨osung u(t), v(t) > 0 auf ihrem maximalen Existenzintervall [0, t+ ), denn es gilt in diesem Intervall u(t) = u0 e−

t 0

v(s)ds

,

v(t) = v0 e

t 0

(u(s)−1)ds

,

t ∈ [0, t+ ).

Es folgt u˙ + v˙ = −v ≤ 0,

t ∈ [0, t+ ),

also u(t) + v(t) ≤ u0 + v0 und somit Beschr¨ anktheit der L¨osung, also t+ = ∞ nach dem Fortsetzungssatz. Sind die Anfangswerte allerdings nicht positiv, so kann es blow up geben. Da aber u und v in diesem Modell Populationsgr¨oßen darstellen, ist die Annahme positiver Anfangswerte nat¨ urlich, negative u0 , v0 sind biologisch nicht relevant.

2.5. Globale Existenz

41

(b) Volterra–Lotka-Systeme mit S¨ attigung. Das skalierte Volterra–LotkaSystem mit S¨attigung lautet u˙ = u − κu2 − uv, (SV LS) v˙ = −εv + uv. Dabei sind ε > 0 und κ ≥ 0 Konstanten. Der Term κu2 beschreibt eine Selbstlimitierung der Beute durch Beschr¨ ankung ihrer Nahrung. Seien die Anfangswerte u0 , v0 positiv und sei (u(t), v(t)) die L¨ osung von (SVLS) auf ihrem maximalen Existenzintervall [0, t+ ). Wie in (a) haben wir

u(t) = u0 e

t (1−κu(s)−v(s))ds 0

,

v(t) = v0 e

t 0

(u(s)−ε)ds

,

t ∈ [0, t+),

also sind beide Funktionen auf [0, t+ ) positiv. Angenommen, es sei t+ < ∞. Aus der Gleichung f¨ ur u folgt dann u˙ ≤ u, also nach Integration u(t) ≤ et u0 ≤ et+ u0 =: c < ∞. Die Gleichung f¨ ur v ergibt v˙ ≤ cv, folglich v(t) ≤ ect v0 , also ist auch v(t) auf [0, t+ ) beschr¨ ankt, ein Widerspruch zum Fortsetzungssatz. Daher existieren alle L¨osungen mit positiven Anfangswerten global nach rechts.

¨ Ubungen 1. Sei f : R2 → R stetig und gelte f (t, x) < 0 f¨ ur tx > 0,

f (t, x) > 0 f¨ ur tx < 0.

Zeigen Sie, dass x(t) ≡ 0 die einzige L¨ osung der Gleichung x˙ = f (t, x) mit Anfangswert x(0) = 0 ist. 2. Beweisen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach und dem Fortsetzungsprinzip, dass das Anfangswertproblem x˙ = (t2 − x2 )3/2 ,

x(0) = 0,

genau eine L¨ osung auf ganz R besitzt. 3. Sei u : R → R deﬁniert durch

∞

u(t) :=

2

cos(tx)e−x dx,

−∞

t ∈ R.

Berechnen Sie u(t), indem Sie eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur u(t) aufstellen, und das zugeh¨ orige Anfangswertproblem mit ∞ √ 2 u(0) = e−x dx = π −∞

l¨ osen.

42

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

4. Das folgende Diﬀerentialgleichungssystem wurde vom Nobelpreistr¨ ager I. Prigogine erfunden, um seine Theorien u ¨ ber Morphogenese zu untermauern. Das System wird heute Brusselator genannt. u˙ = a − bu + u2 v − u, v˙ = bu − u2 v. Dabei sind a, b positive Konstanten. Zeigen Sie, dass dieses System f¨ ur Anfangswerte u(0) = u0 > 0, v(0) = v0 > 0 eindeutig bestimmte L¨ osungen besitzt, die f¨ ur t ≥ 0 positiv bleiben und dort global existieren. 5. Gegeben sei das SIRS-Epidemiemodell u˙ = −λuv + γw, v˙ = λuv − (μ + ν)v, w˙ = νv − γw, wobei λ, γ, μ, ν positive Konstanten bedeuten. Zeigen Sie, dass das AWP u(0) = u0 > 0, v(0) = v0 > 0, w(0) = w0 > 0 f¨ ur dieses System eindeutig l¨ osbar ist, und dass die L¨ osungen f¨ ur alle t ≥ 0 existieren. 6. Ein Hund in einem Fluss schwimmt mit konstanter (Relativ)-Geschwindigkeit vh auf seinen am Ufer stehenden Herrn zu, wird aber zugleich von der Str¨ omung des Flusses (Geschwindigkeit vf ) abgetrieben. (a) Stellen Sie eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Kurve auf, l¨ angs der sich der Hund fortbewegt. (b) Berechnen Sie die Kurve, auf der sich der Hund bewegt, wenn er im Punkt (x0 , y0 ) startet. Erreicht er seinen Herrn? 7. Das folgende Modell wurde zur Beschreibung des Stickstoﬀ-Kreislaufs in der Antarktis vorgeschlagen: u˙ = av + bw − cuv, v˙ = cuv − dvw − av,

(2.14)

w˙ = dvw − bw. Dabei bedeuten u den frei verf¨ ugbaren Stickstoﬀ, v das Phytoplankton, w das Zooplankton, und a, b, c, d > 0 sind Konstanten. Zeigen Sie, dass dieses Modell zu einem Volterra– Lotka-Modell ¨ aquivalent ist. Unter welchen Bedingungen sind v und w koexistent? Wie wirkt sich ein h¨ oherer Gesamtgehalt an Stickstoﬀ auf das Koexistenz-Equilibrium aus, und wie wirkt Beﬁschung des Zooplanktons z.B. durch Wale?

Kapitel 3

Lineare Systeme In diesem Kapitel behandeln wir die Theorie linearer Diﬀerentialgleichungssysteme. Das Anfangswertproblem f¨ ur ein allgemeines System 1. Ordnung lautet x(t0 ) = x0 , t ∈ J := [t0 , t1 ].

x˙ = A(t)x + b(t),

(3.1)

Dabei sind A ∈ C(J, Rn×n ) und b ∈ C(J, Rn ) gegebene Funktionen. Das System heißt homogen falls b ≡ 0 ist, andernfalls nennt man es inhomogen.

3.1 Homogene Systeme Sei b(t) ≡ 0, und u, v L¨ osungen der homogenen Diﬀerentialgleichung x˙ = A(t)x.

(3.2)

Dann ist auch die Funktion (αu + βv) f¨ ur alle α, β ∈ R, eine L¨osung von (3.2), denn es gilt aufgrund der Linearit¨ at d (αu + βv) = αu˙ + β v˙ = αAu + βAv = A(αu + βv). dt Die Menge aller L¨ osungen von (3.2) ist also ein Vektorraum, genauer ein Teilraum L ⊂ C 1 (J, Rn ). Sei x = x(·, x0 ) eine L¨ osung des AWPs x˙ = A(t)x, (3.3) x(t0 ) = x0 . Dann deﬁniert die Abbildung T x0 := x(·, x0 ) einen linearen Isomorphismus von Rn auf L. Denn aus Korollar 2.5.2 folgt, dass das Anfangswertproblem (3.3) zu jedem x0 ∈ Rn eine eindeutig bestimmte L¨ osung x(·, x0 ) ∈ L besitzt. Daher ist T

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_3, © Springer Basel AG 2010

44

Kapitel 3. Lineare Systeme

injektiv. Die Abbildung T ist surjektiv, da jede L¨osung einen Anfangswert besitzt. Schließlich ist T linear, denn mit T (αx0 + βx1 ) = x(·, αx0 + βx1 ), T x0 = x(·, x0 ), T x1 = x(·, x1 ) gilt αT x0 + βT x1 = αx(·, x0 ) + βx(·, x1 ) und aus der Eindeutigkeit der L¨ osung folgt T (αx0 + βx1 ) = αT x0 + βT x1 . Wegen der Isomorphie von Rn und L gilt dim L = dim Rn = n. Es existiert somit in L eine Basis, die aus n linear unabh¨ angigen L¨osungen von (3.2) besteht. Deﬁnition 3.1.1. Eine Basis von L heißt Fundamentalsystem (FS) zu (3.2). n L¨ osungen y i ∈ C 1 (J; Rn ) fasst man zu einer L¨osungsmatrix Y (t) = (y 1 , . . . , y n ) zusammen, wobei die L¨ osungen y i die Spalten von Y (t) darstellen. Ist {y 1 , . . . , y n} ein FS, so nennt man Y (t) eine Fundamentalmatrix (FM). Gilt außerdem Y (t0 ) = I, so heißt Y (t) Hauptfundamentalmatrix (HFM) in t0 und deren Spalten nennt man Hauptfundamentalsystem (HFS). Folgerungen. 1. F¨ ur jede L¨ osungsmatrix Y (t) gilt Y˙ (t) = A(t)Y (t). 2. Ist Y (t) eine FM, so l¨ asst sich jede L¨ osung von (3.2) durch y(t) = Y (t)c,

t ∈ J,

(3.4)

mit einem eindeutig bestimmten Vektor c ∈ Rn darstellen. 3. F¨ ur jede L¨ osungsmatrix Z(t) von (3.2) und jede konstante Matrix C ∈ Rn×n ist auch Y (t) = Z(t)C eine L¨ osungsmatrix von (3.2), denn es ist ˙ Y˙ (t) = Z(t)C = A(t)Z(t)C = A(t)Y (t). Sei Y (t), t ∈ J, eine L¨ osungsmatrix. Dann heißt ϕ(t) := det Y (t) WronskiDeterminante von Y (t). Die Wronski-Determinante ist entweder f¨ ur alle t ∈ J von Null verschieden oder sie ist identisch Null. Dies folgt aus Lemma 3.1.2. Sei Y (t) eine L¨ osungsmatrix f¨ ur (3.2) und ϕ(t) = det Y (t). Dann gilt ϕ(t) ˙ = (sp A(t))ϕ(t), t ∈ J, also t ϕ(t) = ϕ(τ ) exp sp A(s) ds , t, τ ∈ J, n

τ

wobei sp A(t) = i=1 aii (t) die Spur von A(t) bezeichnet. Insbesondere verschwindet die Wronski-Determinante eines Fundamentalsystems in keinem t ∈ J.

3.2. Inhomogene Systeme

45

Beweis. Sei τ ∈ J beliebig ﬁxiert und Z(t) die HFM f¨ ur (3.2) mit Z(τ ) = I. Da dann Y˜ (t) := Z(t)Y (τ ) ebenfalls eine L¨ osungsmatrix von (3.2) mit Anfangswert Y˜ (τ ) = Y (τ ) ist, folgt Y (t) = Y˜ (t) aus der Eindeutigkeit der L¨osung. Daher gilt ϕ(t) ˙ =

d d d (det Y (t)) = (det Z(t) det Y (τ )) = (det Z(t))ϕ(τ ). dt dt dt

Da det Z(t) linear in den Spalten z j (t) von Z(t) ist, ergibt die Kettenregel d d det Z(t) = det[z 1 (t), . . . , z j (t), . . . , z n (t)]. dt dt n

j=1

Aufgrund von z j (τ ) = ej und

dzi dt (τ )

= A(τ )ei , i ∈ {1, . . . , n} gilt folglich

n n 1 d i n det Z(t) = det e , . . . , A(τ )e , . . . , e = aii (τ ) = sp A(τ ), dt t=τ i=1 i=1

also dϕ ˙ = (sp A(t))ϕ(t) dt (τ ) = (sp A(τ ))ϕ(τ ). Da τ ∈ J beliebig ﬁxiert war, gilt ϕ(t) f¨ ur alle t ∈ J und die L¨ osung dieser Diﬀerentialgleichung lautet t ϕ(t) = ϕ(τ ) exp sp A(s) ds , t, τ ∈ J. τ

Im n¨achsten Abschnitt u ¨ber inhomogene Systeme wird die zur Fundamentalmatrix Y (t) inverse Matrix Y −1 (t) ben¨ otigt. Man beachte, dass diese aufgrund von Lemma 3.1.2 wohldeﬁniert ist. Y −1 (t) ist auch wieder die L¨osung einer homogenen linearen Diﬀerentialgleichung, denn es ist nach der Produktregel 0= also gilt

d d d I = (Y (t)Y −1 (t)) = Y˙ (t)Y −1 (t) + Y (t) Y −1 (t), dt dt dt

d Y −1 (t) dt

= −Y −1 (t)A(t) und

d Y −T (t) dt

= −AT (t)Y −T (t).

Bemerkungen 3.1.3. 1. Hauptfundamentalmatrizen werden im Weiteren mit X(t) bezeichnet. 2. Das Anfangswertproblem (3.3) besitzt die L¨osung x(t) = X(t)x0 , da x(t0 ) = X(t0 )x0 = x0 gilt. Ist Y (t) eine Fundamentalmatrix, dann existiert die Inverse Y −1 (t), sodass die Matrix X(t) := Y (t)Y −1 (t0 ) eine Hauptfundamentalmatrix ist und die L¨ osung von (3.3) dementsprechend durch x(t) = Y (t)Y −1 (t0 )x0 gegeben ist.

3.2 Inhomogene Systeme Sei Y ∈ C 1 (J, Rn×n ) eine Fundamentalmatrix zu (3.2) und z ∈ C 1 (J, Rn ) eine spezielle L¨osung von (3.1). Dann sind durch y(t) = Y (t)c, c ∈ Rn , alle L¨osungen

46

Kapitel 3. Lineare Systeme

von (3.2) gegeben und der Ansatz x(t) := y(t) + z(t) liefert alle L¨osungen der inhomogenen Diﬀerentialgleichung (3.1). Denn sind z, w L¨osungen der inhomogenen Gleichung, dann l¨ ost ihre Diﬀerenz die homogene Gleichung (Superpositionsprinzip). ¨ Ahnlich wie in Kapitel 1 wird auch hier die Methode der Variation der Konstanten helfen, eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Diﬀerentialgleichung zu bestimmen. Sei Y (t) eine Fundamentalmatrix f¨ ur (3.2). Man setze z(t) = Y (t)c(t), wobei c ∈ C 1 (J; Rn ) zu bestimmen ist. Aus der Produktregel folgt z(t) ˙ = A(t)z(t) + Y (t)c(t). ˙ Ist also z(t) eine spezielle L¨ osung von (3.1), so gilt Y (t)c(t) ˙ = b(t), t ∈ J, also ist c(t) ˙ = Y −1 (t)b(t), weil Y (t) als Fundamentalmatrix invertierbar ist. Integration von t0 bis t liefert t t c(t) − c(t0 ) = c(s) ˙ ds = Y −1 (s)b(s) ds, t ∈ J. t0

t0

Da wir nur an einer speziellen L¨ osung der inhomogenen Diﬀerentialgleichung interessiert sind, setzen wir c(t0 ) = 0 und erhalten f¨ ur z = z(t) die Darstellung t z(t) = Y (t) Y −1 (s)b(s) ds, t ∈ J. t0

Nach unserer Vorbemerkung lautet also die allgemeine L¨osung von (3.1) t x(t) = Y (t)c + Y (t) Y −1 (s)b(s) ds, t ∈ J.

(3.5)

t0

Mit einem gegebenen Anfangswert x(t0 ) = x0 ist t x(t) = Y (t)Y −1 (t0 )x0 + Y (t) Y −1 (s)b(s) ds, t ∈ J

(3.6)

t0

die L¨osung des Anfangswertproblems (3.1). Alternativ gilt t x(t) = X(t)x0 + X(t) X −1 (s)b(s) ds, t ∈ J,

(3.7)

t0

mit der HFM X(t) := Y (t)Y −1 (t0 ) in t0 . Bemerkungen 3.2.1. 1. Gleichung (3.7) geht f¨ ur n = 1 in die L¨osungsformel (1.13) u ¨ber. 2. Sind A(t) und b(t) komplexwertig, so f¨ uhre man eine Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil durch: A(t) = B(t) + iC(t) b(t) = c(t) + id(t) x(t) = u(t) + iv(t)

3.3. Bestimmung von Fundamentalsystemen

47

Daraus ergeben sich die beiden gekoppelten reellen Systeme u˙ = Bu − Cv + c und

v˙ = Bv + Cu + d,

die man als reelles System mit w := [uT , v T ] auﬀassen kann. 3. Es sei daran erinnert, dass sich Systeme m-ter Ordnung der Dimension N in ein System 1. Ordnung der Dimension n = mN u uhren lassen, wie in ¨ berf¨ Abschnitt 1.2 gezeigt.

3.3 Bestimmung von Fundamentalsystemen 1. Die d’Alembert-Reduktion Es sei y(t) = [y1 (t), . . . , yn (t)]T ∈ Rn mit yk (t) = 0 f¨ ur ein k ∈ {1, . . . , n} als L¨osung von (3.2) bekannt. Mit Hilfe der d’Alembert-Reduktion kann ein n × nSystem auf ein (n − 1) × (n − 1)-System reduziert werden. Dazu setzt man x(t) = ϕ(t)y(t) + z(t), wobei ϕ ∈ C 1 (J, R) und z(t) = [z1 (t), . . . , zk−1 (t), 0, zk+1 (t), . . . , zn (t)]T ist. Dann gilt x(t) ˙ = ϕ(t)y(t) ˙ + ϕ(t)y(t) ˙ + z(t) ˙ = ϕ(t)y(t) ˙ + ϕ(t)A(t)y(t) + z(t). ˙ Wegen x(t) ˙ = A(t)x(t) = A(t)ϕ(t)y(t) + A(t)z(t) muss also z(t) ˙ = A(t)z(t) − ϕ(t)y(t) ˙

(3.8)

sein. Mit zk (t) ≡ 0 liefert (3.8) f¨ ur die k-te Komponente 1 akl (t)zl (t), yk (t)

(3.9)

n yj (t) ajl (t) − akl (t) zl (t), yk (t)

(3.10)

n

ϕ(t) ˙ =

l=1

also f¨ ur j = k z˙j (t) =

l=1

wenn man (3.9) in (3.8) einsetzt. Das System (3.10) ist ein homogenes System von (n −1) Gleichungen. Hat man ein Fundamentalsystem {z 1 (t), . . . , z n−1 (t)} f¨ ur (3.10) bestimmt, so errechnet man damit (n−1) L¨osungen der Diﬀerentialgleichung (3.2). Zusammen mit der L¨ osung y(t) bilden diese ein Fundamentalsystem f¨ ur (3.2). Denn aufgrund von zk ≡ 0 ist {z 1 . . . , z n−1 } genau dann linear unabh¨angig, wenn {y, ϕy + z 1 , . . . , ϕy + z n−1 } diese Eigenschaft hat. Beispiel.

1/t x˙ = 1/t2

−1 x, 2/t

t ∈ J = (0, ∞).

(3.11)

48

Kapitel 3. Lineare Systeme

t2 eine L¨osung von (3.11). Aus (3.10) −t erhalten wir mit z1 (t) = 0 die Diﬀerentialgleichung y2 (t) 1 z˙2 (t) = a22 (t) − a12 (t) z2 (t) = z2 (t), y1 (t) t Oﬀensichtlich ist die Funktion y(t) =

das heißt, z2 (t) = ct mit einer beliebigen Konstante c ∈ R. Da wir nur an einer speziellen L¨osung z2 (t) interessiert sind, setzen wir c = 1. Aus Gleichung (3.9) folgt somit a12 (t)z2 (t) 1 ϕ(t) ˙ = =− , y1 (t) t also ϕ(t) = − log(t), t > 0, da wir wieder nur an einer speziellen L¨osung interessiert sind. Aus dem Ansatz x(t) = ϕ(t)y(t) + z(t) erhalten wir die zus¨atzliche L¨osung 2 −t log(t) x(t) = . t log(t) + t Mit der L¨osung y(t) ist dann Y (t) =

t2 −t2 log(t) −t t log(t) + t

eine Fundamentalmatrix f¨ ur (3.11); es gilt det Y (t) = t3 = 0 f¨ ur alle t > 0.

2. Systeme mit konstanten Koeﬃzienten In diesem Abschnitt sei A(t) = A eine von der Variablen t unabh¨angige reelle Matrix. Wir betrachten die lineare Diﬀerentialgleichung x(t) ˙ = Ax(t)+b(t), t ∈ J, mit b ∈ C(J; Rn ). F¨ ur b ≡ 0 und im Fall n = 1 ist x(t) = ea(t−t0 ) c eine L¨osung der Diﬀerentialgleichung. Es stellt sich daher die Frage, ob eine analoge L¨osungsformel auch im Rn existiert. Dies f¨ uhrt zum Begriﬀ der Matrix-Exponentialfunktion. Deﬁnition 3.3.1. Die Funktion z → eAz , deﬁniert durch eAz :=

∞ Ak z k k=0

k!

,

z ∈ C,

(3.12)

heißt Matrix-Exponentialfunktion zur Matrix A. Um zu sehen, dass die Abbildung z → eAz auf C wohldeﬁniert ist, deﬁnieren wir zun¨achst σ(A) := {λ ∈ C : λ ist Eigenwert von A}. Die Menge σ(A) heißt Spektrum von A, ρ(A) := C\σ(A) Resolventenmenge von A. Es gilt λ ∈ σ(A) ⇔ λ − A ist nicht invertierbar.

3.3. Bestimmung von Fundamentalsystemen

49

Daher ist σ(A) die Nullstellenmenge des charakteristischen Polynoms pA (z) = det(z − A). Die Zahl r(A) := max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, heißt Spektralradius von A und es gilt die Spektralradiusformel r(A) = lim sup |Ak |1/k ; k→∞

¨ vgl. Ubung 3.10. Die gew¨ ahlte Norm ist hier unerheblich. Ist nun ε > 0 gegeben, so gibt es ein k0 (ε) ∈ N mit |Ak | ≤ (r(A) + ε)k f¨ ur alle k ≥ k0 (ε), also |Ak z k /k!| ≤ [(r(A) + ε)|z|]k /k!. Damit sind die Reihenglieder dominiert durch die Glieder einer skalaren Exponentialreihe, also konvergiert (3.12) nach dem Majorantenkriterium von Weierstraß absolut und gleichm¨aßig bez¨ uglich z auf jeder kompakten Teilmenge von C. Ferner ist z → eAz holomorph und es d gilt dz (eAz ) = AeAz , denn N N N −1 l l d Ak z k Ak z k−1 Az = =A → AeAz , dz k! (k − 1)! l! k=0

k=1

l=0

f¨ ur N → ∞, gleichm¨ aßig bez¨ uglich z auf kompakten Teilmengen von C. Daraus folgt insbesondere, dass x(t) = eAt c, c ∈ Rn , eine L¨osung der Diﬀerentialgleichung x˙ = Ax ist, und x(t) = eA(t−t0 ) x0 ist die eindeutige L¨ osung des Anfangswertproblems (3.3) mit A(t) ≡ A. Die Matrix X(t) = eA(t−t0 ) ist die Hauptfundamentalmatrix in t0 , denn es ist X(t0 ) = I. Ferner gilt unter der Voraussetzung AB = BA eAt eBs = eAt+Bs ,

f¨ ur alle t, s ∈ R.

Man beachte aber, dass diese Identit¨ at f¨ ur nichtkommutierende Matrizen falsch ist! Die L¨osungsformel f¨ ur (3.1) mit A(t) ≡ A folgt nun direkt aus (3.5) bzw. (3.7). Es ist t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) b(s) ds, t ∈ R. (3.13) t0

Im Allgemeinen l¨ asst sich der Wert der Reihe (3.12) nur schwierig berechnen. Man sucht daher nach einem direkteren Weg, um ein Fundamentalsystem f¨ ur den Fall konstanter Koeﬃzienten zu bestimmen. Dazu machen wir den folgenden Exponential-Ansatz: Sei c ein nichttrivialer Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, es gelte also Ac = λc. Dann ist ! ! ∞ ∞ k k ∞ ∞ k k Ak tk t A c tk λk c t λ At e c= c= = = c = eλt c. k! k! k! k! k=0

k=0

k=0

k=0

50

Kapitel 3. Lineare Systeme

Daher l¨ost x(t) := eλt c die Diﬀerentialgleichung x˙ = Ax. Wir m¨ ussen also die Eigenr¨aume E(λ) := N (λ − A) von A diskutieren. 1. Fall: Die Matrix A besitzt n linear unabh¨angige Eigenvektoren {c1 , . . . , cn }. Dies ist der einfachste Fall, da hier der Exponential-Ansatz ausreicht. Lemma 3.3.2. Sind λ1 , . . . , λn die nicht notwendigerweise verschiedenen Eigenwerte von A und existieren zugeh¨ orige Eigenvektoren {c1 , . . . , cn }, die linear unabh¨ angig sind, so ist Y (t) = (eλ1 t c1 , . . . , eλn t cn ) eine Fundamentalmatrix f¨ ur die Diﬀerentialgleichung x˙ = Ax. Insbesondere ist dies der Fall, falls alle Eigenwerte λj , j ∈ {1, . . . , n}, paarweise verschieden sind. Beweis. Es gilt det Y (0) = det(c1 , . . . , cn ) = 0. Nach Lemma 3.1.2 ist somit det Y (t) = 0 f¨ ur alle t ∈ R, also Y (t) eine Fundamentalmatrix f¨ ur x˙ = Ax. Seien nun alle Eigenwerte λj paarweise verschieden und seien cj nichttriviale Eigenvektoren zu den λj . Angenommen {c1 , . . . , cn } sind linear abh¨angig. Nach einer eventuellen Umordnung sei k ∈ {1, . . . , n − 1} so gegeben, dass die Vektoren {c1 , . . . , ck } linear unabh¨ angig sind und span{c1 , . . . , ck } = span{c1 , . . . , cn }. Folglich gibt es ein l > k und αj mit cl =

k

αj cj .

j=1

Wendet man A auf diese Gleichung an und verwendet, dass die Vektoren cj Eigenvektoren zu den Eigenwerten λj sind, so erh¨alt man λl cl = Acl =

k

αj λj cj ,

j=1

folglich k

αj (λj − λl )cj = 0.

j=1

Da c1 , . . . , ck linear unabh¨ angig sind, und λi = λj f¨ ur i = j gilt, folgt αj = 0 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , k} und somit cl = 0, im Widerspruch zu cj = 0 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , n}.

3.3. Bestimmung von Fundamentalsystemen

51

Bemerkung 3.3.3. Sei A reellwertig, λ ∈ C \ R komplexer Eigenwert von A mit ¯ ein komplexem Eigenvektor c ∈ Cn . Dann ist die zu λ konjugiert komplexe Zahl λ Eigenwert von A mit Eigenvektor c¯, denn es gilt ¯ c. A¯ c = Ac = λc = λ¯ Sei x = u + iv eine komplexe L¨ osung der Diﬀerentialgleichung x˙ = Ax. Dann sind Re x = u und Im x = v ebenfalls L¨ osungen von x˙ = Ax, denn x˙ = u˙ + iv˙ und A(u + iv) = Au + iAv. Mit λ = μ + iν und c = c1 + ic2 erh¨alt man aus der Eulerschen Formel die L¨ osungsdarstellung x(t) = eμt [(c1 cos(νt) − c2 sin(νt)) + i(c2 cos(νt) + c1 sin(νt))], welche nach Aufspaltung in Real- und Imagin¨arteil die beiden linear unabh¨angigen reellen L¨osungen x1 (t) = Re x(t) = eμt (c1 cos(νt) − c2 sin(νt)) x2 (t) = Im x(t) = eμt (c2 cos(νt) + c1 sin(νt)) ¯ kann daher weggelassen werden, da liefert. Der konjugiert komplexe Eigenwert λ dieser keine neuen L¨ osungen liefert. 2. Fall: Sei λk ein m-facher Eigenwert von A und dim E(λk ) < m. Da nun nicht mehr ausreichend viele Eigenvektoren zu einem m-fachen Eigenwert vorhanden sind, ist man gezwungen sich zus¨atzliche L¨osungen zu besorgen, die in geeigneter Weise zusammen mit den Exponentiall¨osungen ein Fundamentalsystem bilden. Dazu ben¨ otigen wir die Spektralzerlegung von Matrizen. Fixiere einen Eigenwert λ ∈ C von A und deﬁniere die verallgemeinerten Eigenr¨ aume Nk durch Nk := N ((λ − A)k ). Oﬀenbar ist N1 = E(λ) der Eigenraum zum Eigenwert λ, und es gilt Nk ⊂ Nk+1 . Da diese Teilr¨aume des Cn sind, ist die Menge {k ∈ N : Nk = Nk+1 } ⊂ N nichtleer, enth¨alt also ein kleinstes Element k(λ). Es gilt dann Nk = Nk(λ) f¨ ur alle k ≥ k(λ). Auk ßerdem setzen wir Rk = R((λ − A) ) und haben Rk ⊃ Rk+1 f¨ ur alle k ∈ N. Das kleinste k aus der Menge {k ∈ N : Rk = Rk+1 } bezeichnen wir mit m(λ); dann gilt Rk = Rm(λ) f¨ ur alle k ≥ m(λ). Nun gilt Rk ∩ Nk = {0} f¨ ur alle k ≥ k(λ); denn ist x ∈ Rk ∩ Nk , so gibt es ein y ∈ Cn mit x = (λ − A)k y, und (λ − A)k x = 0, also y ∈ N2k = Nk und somit x = (λ − A)k y = 0. Andererseits, f¨ ur k ≥ m(λ) gibt es zu jedem x ∈ Cn ein x˜ ∈ Cn mit (λ − A)k x = (λ − A)2k x ˜; damit zeigt die Zerlegung x = (λ − A)k x˜ + [x − (λ − A)k x ˜], dass Rk + Nk = Cn gilt. W¨are nun k(λ) < m(λ) so folgt mit k = m(λ) aus dem Dimensionssatz der Widerspruch n = dimNk + dimRk = dimNk(λ) + dimRk < dimNk(λ) + dimRk(λ) = n,

52

Kapitel 3. Lineare Systeme

¨ also ist k(λ) ≥ m(λ). Ahnlich erh¨ alt man auch k(λ) ≤ m(λ), folglich gilt m(λ) = k(λ). Mit N (λ) = N ((λ − A)m(λ) ) und R(λ) = R((λ − A)m(λ) ) gilt somit die Zerlegung Cn = N (λ) ⊕ R(λ) = N ((λ − A)m(λ) ) ⊕ R((λ − A)m(λ) ). Die Zahl m(λ) heißt Riesz-Index des Eigenwerts λ, die Dimension l(λ) des verallgemeinerten Eigenraums N (λ) algebraische Vielfachheit von λ. Dies ist die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms pA (z). Die geometrische Vielfachheit von λ ist durch die Dimension von E(λ) = N (λ − A) deﬁniert. λ heißt halbeinfach wenn m(λ) = 1 ist, also wenn die geometrische Vielfachheit von λ gleich der algebraischen Vielfachheit ist. λ heißt einfach wenn λ algebraisch einfach ist. Ein Eigenwert ist also genau dann einfach, wenn er halbeinfach und seine geometrische Vielfachheit 1 ist. Sei nun μ = λ ein weiterer Eigenwert von A. Aufgrund von AN (λ) ⊂ N (λ) und AR(λ) ⊂ R(λ) folgt N (μ) ⊂ R(λ). Denn ist x ∈ N (μ), so gilt x = y + z mit y ∈ R(λ) und z ∈ N (λ); folglich ist 0 = (μ − A)m(μ) x = (μ − A)m(μ) y + (μ − A)m(μ) z, sowie (μ−A)m(μ) y ∈ R(λ), (μ−A)m(μ) z ∈ N (λ), also aufgrund von N (λ)∩R(λ) = {0} 0 = (μ − A)m(μ) y = (μ − A)m(μ) z. Es folgt z ∈ N (λ) ∩ N (μ), also z = 0, da dieser Schnitt Null ist. Dies sieht man folgendermaßen: Sei z ∈ N (λ) ∩ N (μ), λ = μ; dann ist mit k = m(μ) und l = m(λ) 0 = (μ − A)k z =

k k (μ − λ)k−j (λ − A)j z. j j=0

Nach Anwendung von (λ − A)l−1 folgt (λ − A)l−1 z = 0, und dann sukzessive mittels Induktion (λ − A)l−1 z = (λ − A)l−2 z = · · · = (λ − A)z = z = 0. Diese Argumente ergeben nach Durchlaufen aller Eigenwerte die SpektralZerlegung Cn = N (λ1 ) ⊕ N (λ2 ) ⊕ · · · ⊕ N (λr ), wobei λ1 , . . . , λr die r verschiedenen Eigenwerte von A bezeichnen. Nach diesem Ausﬂug in die lineare Algebra kommen wir zu den gesuchten L¨osungen. Deﬁniere V1 := E(λ), Vk := Nk Nk−1 , k ∈ {2, . . . , m(λ)}. 1. Sei c ∈ V1 . Dann ist x(t) = eλt c eine L¨ osung zum Eigenwert λ, also p0 (t) ≡ c.

3.3. Bestimmung von Fundamentalsystemen

53

2. Sei c ∈ Vk , k ∈ {2, . . . , m(λ)}. Aus der Deﬁnition der Menge Vk schließt man (A − λ)j c = 0, j ∈ {1, . . . , k − 1} und (A − λ)j c = 0, j ∈ {k, . . . , m(λ)}. Wir verwenden dies und (3.12), um folgende L¨osung zu erhalten: x(t) = eAt c = eAt e−λt eλt c = e(A−λ)t eλt c ! ∞ (A − λ)l tl = eλt c l! l=0 tk−1 k−1 = c + (A − λ)ct + . . . + (A − λ) c eλt (k − 1)! =: pk−1 (t)eλt . Ferner gilt N (λ) = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm(λ) , also haben wir insgesamt l(λ) := dimN (λ) linear unabh¨angige L¨osungen. Wir fassen nun die vorangegangenen Ergebnisse zusammen. Satz 3.3.4. Sei λ ein Eigenwert der algebraischen Vielfachheit l(λ). Dann besitzt die Diﬀerentialgleichung x˙ = Ax genau l(λ) linear unabh¨ angige L¨ osungen bez¨ uglich λ. Diese sind von der Form p0 (t)eλt , p1 (t)eλt , . . . , pm(λ)−1 (t)eλt , wobei pk Polynome vom Grad k ≤ m(λ) − 1 mit Koeﬃzienten aus Cn sind und m(λ) ≥ 1 ist die kleinste nat¨ urliche Zahl, sodass Nk+1 = Nk gilt. Setzt man V1 = E(λ), Vk = Nk Nk−1 , k ∈ {2, . . . , m(λ)}, so existieren dim E(λ) Polynome 0-ten Grades (also die Eigenvektoren) und dim Vk Polynome (k − 1)-ten Grades, also tk−1 pk−1 (t) = c + (A − λ)ct + . . . + (A − λ)k−1 c , c ∈ Vk , (k − 1)! k ∈ {2, . . . , m(λ)}. Nach Durchlaufen aller Eigenwerte von A erh¨ alt man so ein komplexes Fundamentalsystem f¨ ur die Diﬀerentialgleichung x˙ = Ax. Ist λ ein l-facher komplexer Eigenwert der reellen Matrix A, so liefert die Zerlegung der komplexen L¨ osungen pk (t)eλt in Real- und Imagin¨ arteile 2l reelle, linear unabh¨ angige L¨ osungen. Beispiele. (a)

⎡

⎤ 1 −1 2 x˙ = ⎣−1 1 2⎦ x. 1 1 0

Das charakteristische Polynom p(λ) = det(A−λI) zur Bestimmung der Eigenwerte lautet p(λ) = −λ3 + 2λ2 + 4λ − 8. Es ergeben sich die Eigenwerte λ1,2 = 2 und λ3 = −2, wobei λ = 2 ein doppelter Eigenwert ist.

54

Kapitel 3. Lineare Systeme

Bestimmung der Eigenvektoren: λ=2: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1 −1 2 c1 0 (A − 2I)c = ⎣−1 −1 2 ⎦ ⎣c2 ⎦ = ⎣0⎦ . 1 1 −2 c3 0 Die Zeilen bzw. Spalten der Matrix sind allesamt linear abh¨angig, das heißt, es verbleibt die Gleichung c1 + c2 − 2c3 = 0. Wir setzen c2 = α ∈ R und c3 = β ∈ R. Dann ist ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1 2 c = ⎣ 1 ⎦ α + ⎣0⎦ β. 0 1 Als Eigenvektoren w¨ ahlen wir c1 = [2, 0, 1]T und c2 = [−1, 1, 0]T . Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes ist also gleich der geometrischen Vielfachheit dim E(2) = 2. λ = −2: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 −1 2 d1 0 (A + 2I)d = ⎣−1 3 2⎦ ⎣d2 ⎦ = ⎣0⎦ . 1 1 2 d3 0 Durch Umformen der Zeilen ergeben sich die beiden Gleichungen d2 + d3 = 0 und 3d1 − d2 + 2d3 = 0. Daraus folgt d1 = d2 = −d3 . Wir setzen d3 = −α ∈ R\{0}. Dann ist ⎡ ⎤ 1 d = ⎣ 1 ⎦α −1 und als Eigenvektor w¨ ahlen wir d1 = [1, 1, −1]T . Aus Lemma 3.3.2 folgt, dass ⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1 1 ⎨ 2 ⎬ ⎣0⎦ e2t , ⎣ 1 ⎦ e2t , ⎣ 1 ⎦ e−2t ⎩ ⎭ 1 0 −1 ein Fundamentalsystem bildet, da die Vektoren {c1 , c2 , d1 } linear unabh¨angig sind. (b)

⎡

1 0 x˙ = ⎣1 1 0 0

⎤ 2 1⎦ x. 3

Das charakteristische Polynom lautet p(λ) = (3 − λ)(1 − λ)2 . Wie in (a) haben wir einen einfachen Eigenwert λ = 3 und einen doppelten Eigenwert λ = 1. Bestimmung der Eigenvektoren: λ = 3: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −2 0 2 c1 0 (A − 3I)c = ⎣ 1 −2 1⎦ ⎣c2 ⎦ = ⎣0⎦ . 0 0 0 c3 0

3.3. Bestimmung von Fundamentalsystemen

55

Die L¨osung dieses Gleichungssystems lautet c1 = c2 = c3 , also ⎡ ⎤ 1 c = ⎣1⎦ α 1 mit c3 = α ∈ R\{0}. Als Eigenvektor nehmen wir z.B. c1 = [1, 1, 1]T. λ = 1:

⎡ 0 ⎣ (A − I)d = 1 0

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 2 d1 0 0 1⎦ ⎣d2 ⎦ = ⎣0⎦ . 0 2 d3 0

Man sieht sofort, dass d1 = d3 = 0 gilt und c2 = α ∈ R\{0} beliebig. Es gilt also ⎡ ⎤ 0 d = ⎣1⎦ α. 0 Wir w¨ahlen den Vektor d1 = [0, 1, 0]T als Eigenvektor. Im Gegensatz zu (a) ist hier die geometrische Vielfachheit dim E(1) = 1 des Eigenwertes kleiner als die algebraische Vielfachheit. Nach Satz 3.3.4 bestimme man einen zus¨atzlichen Vektor aus V2 = N2 E(1). Dies gelingt oﬀenbar durch den Ansatz (A − I)v = d1 : ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 0 2 v1 0 ⎣1 0 1⎦ ⎣v2 ⎦ = ⎣1⎦ . 0 0 2 v3 0 Nun ist v1 = 1, v3 = 0 und v2 = α ∈ R \ {0} beliebig, also gilt f¨ ur v: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 v = ⎣0⎦ + ⎣1⎦ α 0 0 und wir w¨ahlen v 1 = [1, 0, 0]T ∈ V2 . Ein Fundamentalsystem lautet demnach ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫ 0 1 0 ⎨ 1 ⎬ ⎣1⎦ e3t , ⎣1⎦ et , ⎣0⎦ et + ⎣1⎦ tet . ⎩ ⎭ 1 0 0 0 Es soll nun noch die Anfangswertaufgabe x(0) = [0, 0, 1]T gel¨ost werden. Man verwende dazu (3.4). Die Fundamentalmatrix Y (t) ergibt sich aus dem Fundamentalsystem. Sei d ∈ R3 . Es folgt x(0) = Y (0)c, also ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 0 1 0 1 c = Y −1 (0)x(0) = ⎣0 1 −1⎦ ⎣0⎦ = ⎣−1⎦ . 1 0 −1 1 −1

56

Kapitel 3. Lineare Systeme ⎡

⎤ ⎡ ⎤ 1 e3t − et x(t) = Y (t) ⎣−1⎦ = ⎣e3t − (1 + t)et ⎦ −1 e3t

Dann ist

die L¨osung des Anfangswertproblems. Bemerkung. Der Exponentialansatz liefert auch eine spezielle L¨osung der inhomogenen Gleichung (3.1), sofern A(t) ≡ A konstant und b(t) von der Form m k b(t) = eμt k=1 b ur die gesuchte L¨osung die k t mit μ ∈ σ(A) ist. Dazu setzt man f¨ m μt k Form x(t) = e x t an, und erh¨ a lt nach Einsetzen in (3.1) die Beziehung k k=0 eμt

m

[xk+1 + (μ − A)xk − bk ]tk = 0,

t ∈ R;

k=0

dabei ist xm+1 = 0 zu setzen. Da die Monome tk linear unabh¨angig sind, folgt (μ − A)xk = bk − xk+1 ,

k = m, . . . , 0,

also mit μ ∈ σ(A) xk = (μ − A)−1 (bk − xk+1 ),

k = m, . . . , 0.

Auf diese Weise kann man sukzessive die Koeﬃzientenvektoren xk bestimmen.

3.4 Lineare Gleichungen ho ¨herer Ordnung Wir betrachten die lineare skalare Diﬀerentialgleichung n-ter Ordnung x(n) +

n−1

aj (t)x(j) = b(t), aj , b ∈ C(J), J = [t0 , t1 ],

(3.14)

j=0

mit gegebenen Anfangswerten x(t0 ) = x0 , x(t ˙ 0 ) = x1 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 . Mittels der Transformation uk = x(k−1) und uk0 := uk (t0 ) = x(k−1) (t0 ) = xk−1 f¨ ur k ∈ {1, . . . , n} erhalten wir aus (3.14) das ¨aquivalente System erster Ordnung u˙ = A(t)u + f (t), mit ⎡ ⎤ 0 1 0 ... 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ .. 0 ⎢ 0 ⎥ . 0 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ .. ⎢ ⎥ . .. ⎥ . . . . . . . ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ . . . . . A(t) = ⎢ ⎥ , f (t) = ⎢ .. ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. ⎢ 0 ⎣ 0 ⎦ . 0 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 b(t) 0 0 ... 0 1 ⎦ −a0 −a1 −a2 . . . −an−2 −an−1

3.4. Lineare Gleichungen h¨oherer Ordnung

57

und ak = ak (t), k ∈ {0, . . . , n − 1}. Nach Korollar 2.5.2 besitzt das Anfangswertproblem u˙ = A(t)u + f (t), u(t0 ) = u0 , genau eine globale L¨ osung auf J, also ist auch die Diﬀerentialgleichung (3.14) mit Anfangswerten x(t0 ) = x0 , x(t ˙ 0 ) = x1 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 eindeutig l¨osbar. ¨ Aus unseren Uberlegungen in Abschnitt 3.1 folgt dim L = n f¨ ur den L¨osungsraum L der homogenen Diﬀerentialgleichung (3.14). Sind {x1 (t), . . . , xn (t)} L¨osungen von (3.14) mit b = 0, so ist die Wronski-Determinante gegeben durch ⎡ ⎢ ⎢ ϕ(t) = det Y (t) = det{u1 (t), . . . , un (t)} = det ⎢ ⎣

x1 (t) x˙ 1 (t) .. . (n−1)

x1

... ...

xn (t) x˙ n (t) .. . (n−1)

(t) . . . xn

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(t)

wobei die Funktionen uj ∈ C 1 (J; Rn ), j ∈ {1, . . . , n}, L¨osungen der Diﬀerentialgleichung u˙ = A(t)u sind. Nach Lemma 3.1.2 gilt ferner

ϕ(t) = det Y (t) = ϕ(t0 )e

t t0

sp A(s) ds

= ϕ(t0 )e

−

t t0

an−1 (s) ds

, t ∈ J.

1. Die d’Alembert-Reduktion fu oherer Ordnung ¨r Gleichungen h¨ Sei v(t) = 0 eine L¨ osung der homogenen Diﬀerentialgleichung x(n) (t) +

n−1

aj (t)x(j) = 0, aj ∈ C(J), J = [t0 , t1 ].

(3.15)

j=0

Um die Ordnung der Diﬀerentialgleichung (3.15) zu reduzieren, w¨ahlen wir den Ansatz x(t) = ϕ(t)v(t). Das Ziel ist es, die Funktion ϕ(t) so zu bestimmen, dass x(t) eine L¨osung von (3.15) ist. Nach der Formel von Leibniz gilt (j)

x

j j (k) (t) = ϕ (t)v(j−k) (t), k k=0

f¨ ur alle j ∈ {0, . . . , n}. Substitution in (3.15) liefert mit an ≡ 1 ⎛ ⎞ j n n n j (k) j (j−k) ⎠ (k) ⎝ 0= aj (t) ϕ (t)v(j−k) (t) = aj (t) v (t) ϕ (t). k k j=0 k=0

k=0

Setze ck (t) =

n j=k

j=k

j (j−k) aj (t) v (t). k

58

Kapitel 3. Lineare Systeme

Dann gilt c0 (t) =

n

aj (t)v (j) (t) = 0,

j=0

f¨ ur alle t ∈ J, da v(t) eine L¨ osung von (3.15) ist. Außerdem ist cn (t) = v(t) = 0! Die Funktion ϕ(t) l¨ ost also die Diﬀerentialgleichung 0=

n

ck (t)ϕ(k) (t).

(3.16)

k=1

Mittels ψ = ϕ, ˙ k ∈ {1, . . . , n} erh¨ alt man so eine Diﬀerentialgleichung der Ordnung (n − 1) f¨ ur die Funktion ψ. Hat man (n − 1) linear unabh¨angige L¨osungen ϕ1 (t), . . . , ϕn−1 (t) von (3.16) bestimmt, so bilden die n Funktionen v(t) und v(t)ϕk (t), k = 1, . . . , n − 1, ein Fundamentalsystem f¨ ur die Diﬀerentialgleichung (3.15). Denn aus b0 v(t) + b1 v(t)ϕ1 (t) + · · · + bn−1 v(t)ϕn−1 (t) = 0 folgt b0 + b1 ϕ1 (t) + · · · + bn−1 ϕn−1 (t) = 0 da v(t) = 0 f¨ ur alle t ∈ J. Diﬀerenziert man diese Gleichung, so erh¨alt man b1 ϕ˙ 1 (t) + · · · + bn−1 ϕ˙ n−1 (t) = 0 und daher gilt b1 = . . . = bn−1 = 0, also auch b0 = 0. Von speziellem Interesse ist der Fall n = 2; wir k¨onnen dann a2 = 1 annehmen. Mit c0 = 0, c2 = v und c1 = a1 v + 2a2 v˙ erhalten wir die folgende Gleichung f¨ ur ψ: ψ˙ + [a1 (t) + 2a2 (t)v(t)/v(t)]ψ(t) ˙ = 0, deren L¨osung durch

t

ψ(t) = exp(−

[a1 (s) + 2a2 (s)v(s)/v(s)]ds), ˙

t ∈ J,

t0

gegeben ist. Beispiel. x ¨ − (cos t)x˙ + (sin t)x = 0. Eine L¨osung ist gegeben durch v(t) = e c1 (t) und c2 (t). Es gilt

sin t

(3.17)

. Wir bestimmen nun die Koeﬃzienten

c1 (t) = a1 (t)v(t) + 2a2 (t)v(t) ˙ = −(cos t)esin t + 2(cos t)esin t = (cos t)esin t , und c2 (t) = a2 (t)v(t) = esin t .

3.4. Lineare Gleichungen h¨oherer Ordnung

59

Wir m¨ ussen also die Diﬀerentialgleichung 0 = (cos t)esin t ϕ˙ + esin t ϕ¨ bzw. 0 = (cos t)ϕ˙ + ϕ ¨ ˙ l¨osen. Mit der Transformation ψ = ϕ˙ und ψ = ϕ ¨ erhalten wir die homogene Diﬀerentialgleichung erster Ordnung ψ˙ + (cos t)ψ = 0. Das Prinzip der Trennung der Variablen liefert die spezielle L¨ osung ψ(t) = e− sin t . Damit bildet zum Beispiel ) t * sin t − sin s sin t e , e ds e t0

ein Fundamentalsystem f¨ ur (3.17).

2. Variation der Konstanten Wie im Fall n = 1 l¨ asst sich die allgemeine L¨osung von (3.14) darstellen als Summe der allgemeinen L¨ osung der homogenen Diﬀerentialgleichung (3.15) und einer speziellen L¨ osung der inhomogenen Diﬀerentialgleichung (3.14). Das Ziel ist es, eine spezielle L¨ osung von (3.14) in Abh¨angigkeit von der Funktion b(t) anzugeben. Sei {x1 (t), . . . , xn (t)} ein Fundamentalsystem f¨ ur (3.15). Dann ist ⎡ ⎤ x1 (t) ... xn (t) ⎢ x˙ 1 (t) . . . x ˙ n (t) ⎥ ⎢ ⎥ Y (t) = ⎢ .. .. ⎥ ⎣ ⎦ . . (n−1)

x1

(t)

(n−1)

. . . xn

(t)

ein Fundamentalsystem f¨ ur das ¨ aquivalente System erster Ordnung u˙ = A(t)u. Nach Abschnitt 3.2 ist t u∗ (t) = Y (t) Y −1 (s)f (s) ds t0

eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Diﬀerentialgleichung u˙ = A(t)u + f (t). Der Vektor z := Y −1 (s)f (s) l¨ ost das Gleichungssystem Y (s)z = f (s). Nach der Cramerschen Regel gilt zi = det Yi (s)/ det Y (s) mit ⎡ ⎤ x1 (s) . . . xi−1 (s) 0 xi+1 (s) . . . xn (s) .. .. .. .. .. ⎢ ⎥ Yi (s) = ⎣ ⎦, . . . . . (n−1)

x1

(n−1)

(n−1)

(n−1)

(s) . . . xi−1 (s) b(s) xi+1 (s) . . . xn

(s)

f¨ ur i ∈ {1, . . . , n}. Entwickelt man det Yi (s) nach der i-ten Spalte, so ergibt sich detYi (s)

⎡

x1 (s) .. ⎢ n+i = (−1) b(s) det⎣ . (n−2)

x1 =: ϕi (s)b(s).

...

xi−1 (s) .. . (n−2)

(s) . . . xi−1 (s)

⎤ xn (s) .. ⎥ ⎦ .

xi+1 (s) .. .

...

(n−2)

. . . xn

xi+1 (s)

(n−2)

(s)

60

Kapitel 3. Lineare Systeme

Mit ϕ(s) = det Y (s) = 0 besitzt z also die Darstellung ⎡

⎤ ϕ1 (s) ⎢ ⎥ b(s) z(s) = ⎣ ... ⎦ . ϕ(s) ϕn (s) Also ist x∗ (t) =

n

t

xi (t)

b(s) t0

i=1

ϕi (s) ds ϕ(s)

eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Gleichung (3.14), denn wir ben¨otigen nur die erste Komponente von u∗ (t). Im besonders wichtigen Fall n = 2 ergibt sich f¨ ur die Wronski-Determinate ϕ(t) = x1 (t)x˙ 2 (t) − x2 (t)x˙ 1 (t) und ϕ1 (t) = −x2 (t), ϕ2 (t) = x1 (t). Daher ist eine partikul¨are L¨osung durch

t

x∗ (t) = −x1 (t) t0

x2 (s)b(s) ds + x2 (t) ϕ(s)

t t0

x1 (s)b(s) ds, ϕ(s)

t ∈ J,

gegeben. Beispiel. x ¨ + x = sin t, t0 = 0. x1 (t) = cos t und x2 (t) = sin t sind oﬀenbar L¨osungen der homogenen Gleichung x ¨ + x = 0. Dann ist cos t sin t Y (t) = − sin t cos t eine FM, denn ϕ(t) = det Y (t) = cos2 t + sin2 t = 1, f¨ ur alle t ∈ R. Die Berechnung von ϕ1 (t) bzw. ϕ2 (t) ist hier besonders einfach, denn: ϕ1 (t) = − sin t bzw. ϕ2 (t) = cos t. Damit erh¨ alt man die spezielle L¨ osung x∗ (t) = − cos t

t 2

sin s ds + sin t 0

0

t

1 sin s cos s ds = − (t cos t − sin t). 2

3. Konstante Koeﬃzienten Sei nun aj (t) ≡ aj ∈ R und sei an = 1. In diesem Fall kann man den Exponentialansatz x(t) = eλt , λ ∈ C, direkt verwenden, um ein Fundamentalsystem f¨ ur die Diﬀerentialgleichung n−1 x(n) + aj x(j) = 0, (3.18) j=0

3.4. Lineare Gleichungen h¨oherer Ordnung

61

zu bestimmen. Es gilt x(k) (t) = λk eλt . Dann l¨ost x(t) = eλt die Diﬀerentialgleichung (3.18) genau dann, wenn ⎛ ⎞ n eλt ⎝ aj λj ⎠ = 0 j=0

gilt, also genau dann, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p(λ) =

n

aj λj

(3.19)

j=0

ist. Hier ist also das charakteristische Polynom direkt aus der Gleichung ablesbar. Proposition 3.4.1. Ist λk eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms (3.19) von der Vielfachheit νk , so bilden {eλk t , teλk t , . . . , tνk −1 eλk t } νk linear unabh¨ angige L¨osungen von (3.18). Beweis. Die lineare Unabh¨ angigkeit ist klar, da die Monome tj linear unabh¨angig sind. Man muss nur noch zeigen, dass eine Funktion der Form y(t) = tl eλk t , l ∈ {0, . . . , νk − 1} eine L¨ osung von (3.18) ist. Das stimmt oﬀenbar f¨ ur l = 0. Ferner gilt ∂tj (tl eλt ) = ∂tj ∂λl (eλt ) = ∂λl ∂tj (eλt ) = ∂λl (λj eλt ), folglich y (j) (t) = ∂λl (λj eλt )|λ=λk . Setzt man dies in die Diﬀerentialgleichung (3.18) ein, so ergibt sich n j=0

aj y (j) (t) =

n

aj ∂λl (λj eλt )|λ=λk

j=0

⎡⎛ = ∂λl ⎣⎝

n j=0

⎞

⎤

aj λj ⎠ eλt ⎦

λ=λk

= ∂λl p(λ)eλt |λ=λk .

Aus der Formel von Leibniz folgt l l (j) ∂λl p(λ)eλt |λ=λk = (λk )tl−j eλk t = 0, l ∈ {0, . . . , νk − 1}, j p j=0

denn wegen der Vielfachheit von λk ist p(j) (λk ) = 0 f¨ ur j ∈ {0, . . . , l}, l ∈ {0, . . . , νk − 1}.

62

Kapitel 3. Lineare Systeme

Satz 3.4.2. Seien λ1 , . . . , λm die paarweise verschiedenen Nullstellen von p(λ). Dann bildet {eλj t , teλj t , . . . , tνj −1 eλj t , j = 1, . . . , m} ein komplexes Fundamentalsystem f¨ ur (3.18), wobei νj die Vielfachheit von λj angibt. Sind alle Koeﬃzienten aj reell, so ignoriere man alle Eigenwerte mit negativem Imagin¨arteil, und bilde Real- und Imagin¨ arteile der verbleibenden L¨osungen. Diese bilden dann ein reelles Fundamentalsystem. Beweis. Im komplexen Fall verwende man die Eulersche Formel und spalte die komplexe L¨osung in Real- und Imagin¨ arteil auf. Sei q(t) :=

m

qj (t)eλj t

j=1

eine Linearkombination der n L¨ osungen aus Satz 3.4.2, wobei die qj (t) Polynome der Ordnung ≤ νj − 1 mit Koeﬃzienten aus C sind. Wir zeigen per vollst¨andiger Induktion, dass q(t) ≡ 0 genau dann gilt, wenn alle qj (t) ≡ 0 sind. Oﬀenbar ist das f¨ ur m = 1 der Fall. Angenommen unsere Behauptung sei f¨ ur ein m > 1 bewiesen. Multipliziere nun 0≡

m

qj (t)eλj t + q(t)eλt , λ = λj

j=1

mit e−λt : 0≡

m

qj (t)eμj t + q(t), μj = λj − λ = 0.

j=1

Diﬀerenziert man diese Gleichung so oft, bis q(t) verschwindet, so ergibt sich 0≡

m

rj (t)eμj t ,

j=1

mit gewissen Polynomen rj (t). Aus der Induktionsvoraussetzung folgt rj (t) ≡ 0 f¨ ur alle j = 1, . . . , m, da die μj paarweise verschieden sind. Dann m¨ ussen aber auch alle qj (t) ≡ 0 sein, denn nach der Produktregel gilt f¨ ur ein Polynom p(t) d p(t)eμt = (p(t) ˙ + μp(t))eμt = r(t)eμt , dt wobei r(t) wieder ein Polynom ist mit der gleichen Ordnung wie p(t). Somit ist auch q(t) ≡ 0 und wir haben die lineare Unabh¨angigkeit der n L¨osungen. Beispiele. (a) Bernoulli-Balken. Die Biegung eines Balkens kann im einfachsten Fall nach Skalierung durch die Diﬀerentialgleichung x(4) + x = f (t),

t ∈ J,

3.4. Lineare Gleichungen h¨oherer Ordnung

63

f

t=0

t

t=l

Abbildung 3.1: Bernoulli-Balken modelliert werden. Dabei ist x(t) die vertikale Auslenkung des Balkens am Ort t und f (t) beschreibt eine Lastkraft. Dies ist eine lineare Diﬀerentialgleichung 4. Ordnung, f¨ ur die wir mit Hilfe des Exponentialansatzes ein Fundamentalsys4 tem bestimmen k¨ onnen. Die Eigenwertgleichung 1 = 0. Diese √ λ +i √ √ lautet dann 1 besitzt die vier komplexen Nullstellen λ = ± ±i = ±( 2 2 ± 2 2). Wie gewohnt vernachl¨ assigen wir die konjugiert komplexen Eigenwerte und erhalten so√ √ mit λ1 = (1 + i)/ 2 sowie λ2 = −(1 + i)/ 2. Ein reelles Fundamentalsystem ist dann gegeben durch + √ √ √ √ √ √ √ √ , et/ 2 cos(t/ 2), et/ 2 sin(t/ 2), e−t/ 2 cos(t/ 2), e−t/ 2 sin(t/ 2) . Eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Gleichung ﬁndet man zum Beispiel mittels Variation der Konstanten, wie in Abschnitt 3.4. Das n¨achste Beispiel ist ein zweidimensionales System 2. Ordnung, und soll zeigen, dass sich die Eigenwertmethode, also ein Exponential-Ansatz auch auf solche Probleme anwenden l¨ asst. (b) Das gefederte Doppelpendel. Wir betrachten hier den Fall gleicher Massen, gleicher Pendell¨ angen, und kleiner Auslenkungen, da man dann lineare N¨aherungen verwenden kann. Das entsprechende System lautet m¨ x = − mg l x + k(y − x), mg m¨ y = − l y + k(x − y), wobei m die Masse, l die L¨ ange der Pendel und k die Federkonstante sind. Wir vereinfachen weiter, indem wir m = l = 1 setzen: x ¨ = −gx + k(y − x), (DP ) y¨ = −gy + k(x − y). Das Ziel ist es, ein Fundamentalsystem f¨ ur (DP) zu bestimmen. Dazu w¨ahlen wir die Ans¨atze x(t) = aeλt und y(t) = beλt ; hier ist dasselbe λ zu verwenden, a, b

64

Kapitel 3. Lineare Systeme

l

l m

m

} } x(t)

y(t)

Abbildung 3.2: Gefedertes Doppelpendel hingegen d¨ urfen unterschiedlich sein. Dann erh¨alt man die beiden Gleichungen [(λ2 + g + k)a − kb]eλt = 0 bzw. [(λ2 + g + k)b − ka]eλt = 0, oder in Matrix-VektorNotation: 2 λ +g+k −k a = 0. −k λ2 + g + k b Die Eigenwertgleichung f¨ ur (DP) lautet (λ2 + g + k)2 − k 2 = 0. Diese erh¨alt man auch, wenn man (DP) auf ein 4 × 4-System 1. Ordnung transformiert und dann das charakteristische Polynom berechnet. Die Eigenwertgleichung ist gerade gleich der Determinante der obigen Matrix. Wir berechnen daher diejenigen Werte von λ, f¨ ur die das Gleichungssystem nicht eindeutig l¨osbar ist. Es gilt also −g, 2 λ = −g − k ± k = −g − 2k. √ Es ergeben sich insgesamt 4 rein imagin¨ are Eigenwerte, n¨amlich λ1 = i g, √ λ2 = i g + 2k und jeweils die konjugiert komplexen Eigenwerte, die wir jedoch vernachl¨assigen. Um zugeh¨ orige Eigenvektoren [a, b]T zu erhalten, w¨ahle man z.B. a = k und 2 b = λj + g + k, j = 1, 2. Wir erhalten so die beiden L¨osungen ) * 1 λ1 t 1 λ2 t e , e . 1 −1 Nach Satz 3.4.2 gewinnen wir daraus das reelle Fundamentalsystem ) * √ √ 1 1 1 1 cos(t g), sin(t g), cos(t g + 2k), sin(t g + 2k) . 1 1 −1 −1

3.4. Lineare Gleichungen h¨oherer Ordnung

65

Die allgemeine L¨ osung ist also eine Linearkombination der Form √ √ x(t) = α cos(t g) + β sin(t g) + γ cos(t g + 2k) + δ sin(t g + 2k), √ √ y(t) = α cos(t g) + β sin(t g) − γ cos(t g + 2k) − δ sin( g + 2k). Schließlich soll noch die Anfangswertaufgabe x(0) = y(0) = 0, x(0) ˙ = 1 und y(0) ˙ = 0 gel¨ost werden. Aus den ersten beiden Bedingungen folgt α = γ = 0. Die anderen 1 √1 beiden liefern β = 2√ g und δ = 2 g+2k . Den resultierenden Bewegungsvorgang √ √ nennt man eine quasiperiodische Schwingung mit den Frequenzen g und g + 2k.

¨ Ubungen 1. Bestimmen Sie reelle Fundamentalsysteme f¨ ur x˙ = Ai x, wobei die Matrizen Ai durch ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1 1 −1 3 −3 2 A1 = ⎣ 2 −1 2 ⎦ A2 = ⎣ −1 5 −2 ⎦ (3.20) 2 2 −1 −1 3 0 ⎡ ⎤ −6 4 1 6 −17 A3 = ⎣ −12 8 2 ⎦ A4 = (3.21) 1 −2 −8 4 2 gegeben sind. 2. L¨ osen Sie das folgende Anfangswertproblem: 1/t −1/t2 1 x˙ = x+ , 2 −1/t t

x(1) =

1 1

.

3. Bestimmen Sie s¨ amtliche L¨ osungen des Systems x˙ =

3t − 1 t+2

1−t t−2

.

x+

2

tet 2 et

/ .

Tipp: Das homogene System besitzt eine nichttriviale L¨ osung mit x1 ≡ x2 . 4. Es seien A, B, C n × n-Matrizen. Man zeige, dass die Matrixfunktion exp(A) die folgenden Eigenschaften hat: 1. exp (A(t + s)) = exp (At) exp (As), f¨ ur alle t, s ∈ R, exp (A0) = I; 2. exp (A) ist invertierbar; man berechne [exp (A)]−1 ; 3. Ist C invertierbar so gilt C −1 exp (A)C = exp (C −1 AC); 4. exp (A + B) = exp (A) exp (B) ist i.a. falsch; geben Sie ein Gegenbeispiel an. t

5. Zeigen Sie, dass die Matrixfunktion e 0 A(s)ds im Allgemeinen kein Fundamentalsystem f¨ ur x˙ = A(t)x ist. Unter welchen Bedingungen ist sie eins? 6. Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ ur die DGL x(3) − 3x˙ + 2x = 0,

66

Kapitel 3. Lineare Systeme

und suchen Sie eine spezielle L¨ osung der inhomogenen Gleichung x(3) − 3x˙ + 2x = 9et (a) mittels Variation der Konstanten (b) mit einem Ansatz der Form x(t) = p(t)et , p ein Polynom. 7. In drei F¨ assern (nummeriert mit 1, 2, 3) beﬁnden sich je 100 Liter Wasser. Im Fass 1 sei 1 kg Salz gel¨ ost, w¨ ahrend F¨ asser 2 und 3 kein Salz enthalten. Mit drei Pumpen werde mit einer Rate von 1 l/min Wasser von Fass 1 in Fass 2, von Fass 2 in Fass 3, und von Fass 3 in Fass 1 gepumpt. Unter der Voraussetzung, dass in jedem der F¨ asser stets eine homogene Mischung vorliegt, ermittle man, wieviel Salz sich zu jedem Zeitpunkt in jedem der drei F¨ asser beﬁndet. 8. Es sei A eine n × n-Matrix und ω > s(A) := maxi {Reλi }, wobei λi die Eigenwerte von A bezeichnen. Zeigen Sie, dass es eine Konstante M = M (ω) > 0 gibt, sodass | exp At| ≤ M (ω)eωt

f¨ ur alle t ≥ 0

gilt. Diese Behauptung ist i.Allg. falsch f¨ ur ω ≤ s(A); Gegenbeispiel? 9. Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ ur die DGL vom Eulerschen Typ 2t3 x(3) + 10t2 x ¨ − 4tx˙ − 20x = 0. Tipp: Substituieren Sie t = es . 10. Sei A eine n × n-Matrix. Beweisen Sie die Spektralradiusformel r(A) = lim sup |Ak |1/k , k→∞

und zeigen Sie r(eA ) = es(A) .

Kapitel 4

Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit Es sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, f : G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x. Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem f¨ ur ein System von Diﬀerentialgleichungen erster Ordnung x˙ = f (t, x), (t0 , x0 ) ∈ G. (4.1) x(t0 ) = x0 , In diesem Abschnitt untersuchen wir die Abh¨angigkeit der L¨osungen von den Daten, also von t0 , x0 , und f , hinsichtlich Stetigkeit und Diﬀerenzierbarkeit.

4.1 Stetige Abh¨angigkeit Gegeben sei die L¨ osung x(t) von (4.1) auf ihrem maximalen Existenzintervall (t− , t+ ). Es bezeichne graphJ (x) := {(t, x(t)) : t ∈ J} ⊂ G, wobei J = [a, b] ⊂ (t− , t+ ) ein kompaktes Teilintervall mit t0 ∈ (a, b) ist. Deﬁnition 4.1.1. Die gegebene L¨osung x(t) heißt stetig abh¨angig von (t0 , x0 , f ), falls es zu jedem kompakten Intervall J ⊂ (t− , t+ ) eine kompakte Umgebung K ⊂ G von graphJ (x) gibt, sodass gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 derart, dass die L¨ osung y(t) des Anfangswertproblems y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 , f¨ ur alle t ∈ [a, b] existiert und der Ungleichung |x(t) − y(t)| ≤ ε, f¨ ur alle t ∈ [a, b] gen¨ ugt, sofern g : G → Rn stetig, lokal Lipschitz in x, und |τ0 − t0 | ≤ δ, |x0 − y0 | ≤ δ,

sup |f (s, z) − g(s, z)| ≤ δ (s,z)∈K

erf¨ ullt ist.

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_4, © Springer Basel AG 2010

68

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit Damit k¨onnen wir das Hauptresultat dieses Abschnittes formulieren.

Satz 4.1.2. Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen mit (t0 , x0 ) ∈ G, f : G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x. Dann h¨ angt die L¨ osung x(t) von (4.1) stetig von den Daten (t0 , x0 , f ) ab. Beweis. Sei y(t) die L¨ osung des Anfangswertproblems y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 auf ihrem maximalen Existenzintervall (τ− , τ+ ) t0 . Wie in Kapitel 2 schreiben wir die Anfangswertprobleme f¨ ur x(t) und y(t) als ¨aquivalente Integralgleichungen

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s)) ds

t

y(t) = y0 +

t0

g(s, y(s)) ds. τ0

Dann gilt

= x0 − y0 − = x0 − y0 −

t

x(t) − y(t) = x0 − y0 +

t

f (s, x(s)) ds − t0 t0

g(s, y(s)) ds τ0

t

[f (s, x(s)) − g(s, y(s))] ds

f (s, x(s)) ds + τ0 t0

τ0 t

[f (s, x(s)) − f (s, y(s))] ds

f (s, x(s)) ds + τ0

(4.2)

τ0

t

[f (s, y(s)) − g(s, y(s))] ds.

+ τ0

W¨ahle α > 0 und η > 0, sodass die kompakte Menge K := {(t, y) : t ∈ [a − η, b + η], |x(t) − y| ≤ α} die Inklusion K ⊂ G erf¨ ullt, wobei η so klein ist, dass außerdem [a − η, b + η] ⊂ (t− , t+ ) gilt. Dann ist f |K global Lipschitz in x mit einer Konstanten L > 0. Gilt |τ0 −t0 |, |y0 −x0 | ≤ δ < min{α, η}, so ist (τ0 , y0 ) ∈ K. Es sei sup{|f (t, x)−g(t, x)| : (t, x) ∈ K} ≤ δ, und wir setzen M := sup{|f (t, x)| : (t, x) ∈ K}. Aus (4.2) und der Dreiecksungleichung folgt f¨ ur t ∈ [τ0 , min{b, τ+ }) mit (s, y(s)) ∈ K, τ0 ≤ s ≤ t

t

|x(t) − y(t)| ≤ |x0 − y0 | + M |t0 − τ0 | + δ(b − a + 2η) + L

|x(s) − y(s)|ds τ0

t

≤ Cδ + L

|x(s) − y(s)|ds,

(4.3)

τ0

mit C = 1 + M + b − a + 2η. Das Lemma von Gronwall 2.4.1 liefert somit die Absch¨atzung |x(t) − y(t)| ≤ δCeL(t−τ0 ) , (4.4) solange (t, y(t)) ∈ K gilt. W¨ ahle δ > 0 hinreichend klein, sodass die rechte Seite von (4.4) < α ist. Angenommen es existiert ein erstes t∗ ∈ [τ0 , min{b, τ+ }) mit

4.1. Stetige Abh¨angigkeit

69

|x(t∗ )− y(t∗ )| = α. Wegen (t∗ , y(t∗ )) ∈ K folgt aus (4.4) jedoch |x(t∗ )− y(t∗ )| < α, ein Widerspruch. Ebenso argumentiert man nach links. Der Graph der L¨osung y(t) kann die Menge K also nicht verlassen, und nach dem Fortsetzungssatz existiert die L¨osung y(t) daher auf [a, b], und erf¨ ullt dort (t, y(t)) ∈ K. Ist nun ein 0 < ε ≤ α gegeben, so w¨ahle δ > 0 klein genug, damit die rechte Seite von (4.4) ≤ ε ist. Bemerkungen 4.1.3. 1. Ist eine L¨ osung x(t) des Anfangswertproblems (4.1) stetig von den Daten abh¨angig, so ist sie auch eindeutig. Sei n¨amlich t0 = τ0 , x0 = y0 und f = g. Ist y(t) eine weitere L¨ osung von (4.1), so folgt aus der stetigen Abh¨angigkeit |x(t) − y(t)| ≤ ε. Da ε > 0 beliebig ist, gilt x(t) ≡ y(t); 2. Die lokale Lipschitz-Eigenschaft f¨ ur g wurde nur verwendet, um die Existenz und Fortsetzbarkeit der L¨ osung von y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 sicherzustellen. Es gen¨ ugt g stetig vorauszusetzen, falls man den Existenzsatz von Peano verwendet; vgl. Kapitel 6. 3. Die lokale Lipschitz-Bedingung von f kann weggelassen werden, falls man fordert, dass x(t) die eindeutige L¨ osung von (4.1) ist. Jedoch braucht man f¨ ur den Beweis den Existenzsatz von Peano; vgl. Kapitel 6. Eine alternative Formulierung der stetigen Abh¨angigkeit mittels Folgen lautet: Korollar 4.1.4. Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen,, (t0 , x0 ) ∈ G, f, fn : G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x und es sei x(t) die L¨ osung von (4.1) auf dem maximalen Existenzintervall (t− , t+ ). Es gelte tn → t0 , xn0 → x0 und fn (t, x) → f (t, x), gleichm¨ aßig auf kompakten Teilmengen von G. Sei [a, b] ⊂ (t− , t+ ). Dann besitzt das Anfangswertproblem x˙ n = fn (t, xn ),

xn (tn ) = xn0 , t ∈ [a, b],

f¨ ur hinreichend großes n genau eine L¨ osung auf [a, b], und es gilt xn (t) → x(t), gleichm¨ aßig auf [a, b]. Beispiel. Volterra–Lotka-Modell ⎧ ⎪ ⎨x˙ = ax − bxy, y˙ = −dy + cxy, ⎪ ⎩ x(0) = x0 , y(0) = y0 ,

x0 , y0 > 0, a, b, c, d > 0.

70

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

Nach Kapitel 2 existiert die eindeutige globale L¨osung x(t) x(t; x0 , y0 , a, b, c, d) = y(t) y(t; x0 , y0 , a, b, c, d) des Volterra–Lotka-Modells. Die Funktion f (x, y, a, b, c, d) =

ax − bxy −dy + cxy

ist lokal Lipschitz in (x, y) ∈ R2 . Nach Satz 4.1.2 h¨angen die L¨osungen stetig von den Daten (x0 , y0 , f ), also von (x0 , y0 , a, b, c, d) ab, da f stetig bez¨ uglich (a, b, c, d) ist.

4.2 Anwendungen Der Satz u angigkeit hat viele wichtige Konsequenzen, nicht nur in ¨ber stetige Abh¨ der Theorie gew¨ ohnlicher Diﬀerentialgleichungen, aber auch in anderen Bereichen der Analysis. Hier soll dieser Satz mit drei Anwendungen illustriert werden.

1. Diﬀerentialungleichungen In Lemma 2.4.2 hatten wir strikte Diﬀerentialungleichungen behandelt. Wir wollen in diesem Resultat die strikten Ungleichungen abschw¨achen. Lemma 4.2.1. Sei u : J × R → R stetig und lokal Lipschitz in x, J = [t0 , t1 ]. ρ ∈ C 1 (J, R) erf¨ ulle die Diﬀerentialungleichung ρ(t) ˙ ≤ u(t, ρ(t)), t ∈ J mit ρ(t0 ) ≤ ϕ0 . Weiter sei ϕ ∈ C 1 (J, R) die L¨osung von ϕ˙ = u(t, ϕ), ϕ(t0 ) = ϕ0 , die auf J existiere. Dann gilt ρ(t) ≤ ϕ(t) f¨ ur alle t ∈ J. Beweis. Setze un(t, x) := u(t, x) + 1/n. Sei ϕn (t) die L¨osung von ϕ˙ n = un (t, ϕn ), ϕn (t0 ) = ϕ0 + 1/n. Dann gilt ρ(t) ˙ ≤ u(t, ρ(t)) < u(t, ρ(t)) + 1/n und ρ(t0 ) ≤ ϕ0 < ϕ0 + 1/n. Aus Lemma 2.4.2 folgt also ρ(t) < ϕn (t), f¨ ur alle n ∈ N, t ∈ J.

(4.5)

Nach Satz 4.1.2 ist die L¨ osung ϕ stetig von den Daten abh¨angig, also folgt aus Korollar 4.1.4 ϕn (t) → ϕ(t) gleichm¨ aßig auf J und (4.5) liefert ρ(t) ≤ ϕ(t), f¨ ur alle t ∈ J.

4.2. Anwendungen

71

2. Positivit¨at von L¨osungen Sei f : R × Rn → R stetig und lokal Lipschitz in x und x(t) sei die L¨osung von (4.1). Wir gehen der Frage nach, unter welchen Bedingungen die Vorgabe der Anfangswerte x0j ≥ 0, j = 1, . . . , n die Nichtnegativit¨at von xj (t), j = 1, . . . , n, t ≥ t0 , mit x(t) = [x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)]T ∈ Rn impliziert. Diese Frage ist in Anwendungen von Bedeutung, da z.B. Variable wie Konzentrationen oder Populationsgr¨ oßen nichtnegativ sein m¨ ussen. Entsprechende Modelle m¨ ussen daher positivit¨ atserhaltend sein. Oﬀensichtlich ist daf¨ ur zun¨ achst die folgende Bedingung notwendig. Existiert ein k ∈ {1, . . . , n}, mit x0k = 0, so gilt 0 ≤ x˙ k (t0 ) = fk (t0 , x0 ), denn sonst w¨are xk (t) < 0 f¨ ur t ∈ (t0 , t0 + δ), f¨ ur ein hinreichend kleines δ > 0. Daher formulieren wir die Positivit¨atsbedingung wie folgt. Sei x ∈ Rn und xj ≥ 0, j = 1, . . . , n. (P ) F¨ ur jedes k ∈ {1, . . . , n}, t ≥ t0 und xk = 0 gilt fk (t, x) ≥ 0. Funktionen, die (P) erf¨ ullen, heißen quasipositiv. Zum Verst¨andnis dazu einige Beispiele. (a) Volterra–Lotka-Modell ⎧ ⎪ ⎨x˙ = ax − bxy, y˙ = −dy + cxy, ⎪ ⎩ x(t0 ) = x0 ≥ 0, y(t0 ) = y0 ≥ 0, wobei die Konstanten a, b, c, d nichtnegativ sind. Seien x, y ≥ 0. F¨ ur x = 0 bzw. y = 0 gelten f1 (0, y) = 0 bzw. f2 (x, 0) = 0. Damit ist die Positivit¨atsbedingung (P) erf¨ ullt. (b) Chemische Kinetik. Wir greifen ein Beispiel aus der chemischen Kinetik aus Kapitel 1 auf, n¨ amlich die Gleichgewichtsreaktion c˙A = −k+ cA cB + k− cP ,

cA (0) = c0A ,

c˙B = −k+ cA cB + k− cP ,

cB (0) = c0B ,

c˙P = k+ cA cB − k− cP ,

cP (0) =

(4.6)

c0P .

Dabei gilt f¨ ur die Reaktionskonstanten k− , k+ > 0. Damit veriﬁziert man leicht, dass die Positivit¨ atsbedingung (P) erf¨ ullt ist. Dass die Positivit¨ atsbedingung (P) tats¨achlich die Nichtnegativit¨at der einzelnen Komponenten xj (t) der L¨ osung x(t) liefert, zeigt uns der folgende Satz 4.2.2. Sei f : R × Rn → Rn stetig und lokal Lipschitz in x und es sei f quasipositiv. Ist x(t) die L¨osung von (4.1), und gilt x0j ≥ 0 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , n}, so folgt xj (t) ≥ 0 f¨ ur alle t ∈ [t0 , t+ ), dem maximalen Existenzintervall der L¨osung nach rechts.

72

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

Beweis. Sei e := [1, . . . , 1]T ∈ Rn und xm (t) sei die L¨osung von x˙ m = f (t, xm ) + e/m =: f m (t, x), xm 0j > 0, m ∈ N. xm (t0 ) = x0 + e/m =: xm 0 , Da f nach Voraussetzung stetig und lokal Lipschitz in x ist und aufgrund von f m (t, x) → f (t, x) gleichm¨ aßig auf kompakten Teilmengen von R × Rn , xm 0 → x0 , folgt aus Korollar 4.1.4 die gleichm¨ aßige Konvergenz xm (t) → x(t) auf kompakten Teilmengen des Existenzintervalls von x(t). Sei t1 > t0 das erste t, f¨ ur das ein Komponente von xm (t) verschwindet, also m z.B. xk (t1 ) = 0. Dann gilt einerseits x˙ m k (t1 ) ≤ 0, aber andererseits m x˙ m k (t1 ) = fk (t1 , x (t1 )) + 1/m ≥ 1/m > 0,

denn aus der Positivit¨ atsbedingung (P) folgt fk (t1 , xm (t1 )) ≥ 0, da alle Kompom nenten von x (t) nichtnegativ sind, also ein Widerspruch. Es gilt also xm ur alle k ∈ {1, . . . n} und m ∈ N, und f¨ ur alle t ≥ t0 k (t) > 0 f¨ f¨ ur welche die L¨ osung xm (t) existiert. Der Grenz¨ ubergang m → ∞ liefert somit xj (t) ≥ 0 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , n} und alle t im maximalen Existenzintervall der L¨osung nach rechts.

3. Periodische L¨osungen Sei f : R × Rn → Rn stetig und lokal Lipschitz in x, sowie τ -periodisch in t, das heißt f (t + τ, x) = f (t, x), f¨ ur alle t ∈ R, x ∈ Rn . Es stellt sich die Frage, ob es dann auch τ -periodische L¨osungen der Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x) gibt. Leider ist das im Allgemeinen nicht der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel.

x ¨ + x = cos t, x(0) = x0 , x(0) ˙ = x1 .

(4.7)

Oﬀensichtlich ist das dazugeh¨ orige System 1. Ordnung 2π-periodisch. Ein Fundamentalsystem f¨ ur die homogene Gleichung x ¨ + x = 0 lautet cos t sin t X(t) = . − sin t cos t Mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten erhalten wir eine spezielle L¨osung von (4.7), n¨ amlich t t x∗ (t) = cos t cos(s) sin(s) ds + sin t cos2 (s) ds = (t/2) sin t. 0

0

4.2. Anwendungen

73

Die eindeutige L¨ osung des Anfangswertproblems (4.7) lautet also x(t) = x0 cos t + x1 sin t + t/2 sin t, welche oﬀensichtlich nicht 2π-periodisch ist. Wir suchen eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x) mit x(t + τ ) = x(t). Dazu betrachten wir das ¨ aquivalente periodische Randwertproblem x˙ = f (t, x), x(0) = x(τ ),

t ∈ [0, τ ].

(4.8)

Sei x(t) L¨osung von (4.8) und sei f τ -periodisch in t. Dann ist die periodische Fortsetzung x ˜(t) von x(t) auf R eine periodische L¨osung. Wir behandeln dieses Randwertproblem, indem wir es auf ein Fixpunktproblem zur¨ uckf¨ uhren. Es sei y(t, z) L¨osung des Anfangswertproblems

y˙ = f (t, y) y(0) = z

(4.9)

und wir deﬁnieren eine Abbildung T : Rn → Rn durch T z := y(τ, z), die sogenannte Poincar´e- oder Periodenabbildung. z∗ ist genau dann ein Fixpunkt von T – es gilt also T z∗ = z∗ –, wenn y(τ, z∗ ) = z∗ = y(0, z∗ ) ist. Jedoch bleiben einige Probleme zu kl¨ aren: 1. Existiert die L¨ osung y(t) von (4.9) auf dem ganzen Intervall [0, τ ]? 2. Ist der Operator T stetig? Oﬀenbar ja, hier geht der Satz 4.1.2 u ¨ ber stetige Abh¨angigkeit ein. 3. Wir ben¨otigen einen geeigneten Fixpunktsatz. Der Fixpunktsatz von Banach ist hier eher ungeeignet, da er nur unter starken Voraussetzungen u ¨ ber f anwendbar ist. Stattdessen werden wir den Fixpunktsatz von Brouwer verwenden, der hier jedoch nicht bewiesen wird. Satz 4.2.3 (Fixpunktsatz von Brouwer). Sei D ⊂ Rn abgeschlossen, beschr¨ankt, konvex, und T : D → D stetig. Dann besitzt T mindestens einen Fixpunkt in D. ¯R (0) die abgeschlossene Kugel um den Nullpunkt mit Radius R. Sei D = B Dann ist D abgeschlossen, beschr¨ ankt und konvex. Satz 4.2.4. Sei f : R × Rn → Rn stetig, lokal Lipschitz in x und τ -periodisch in t. Außerdem gelte (f (t, x)|x) ≤ 0,

f¨ ur alle |x|2 = R, t ∈ [0, τ ].

(4.10)

Dann besitzt die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x) mindestens eine τ -periodische L¨ osung x∗ (t) auf R.

74

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

¯R (0) → Rn Beweis. Sei k ∈ N. Setze fk (t, x) := f (t, x) − x/k und sei Tk : B deﬁniert durch Tk z := yk (τ, z), wobei yk (t, z), t ∈ [0, τ ], die L¨osung des Anfangswertproblems y˙ k = fk (t, yk ), yk (0) = zk , ist. Wir wissen zwar jetzt noch nicht, dass yk global nach rechts existiert, aber dies wird im Weiteren bewiesen. Sei zun¨ achst |zk | < R. Dann gilt |yk (t, zk )| < R, f¨ ur alle t ∈ [0, τ ]. Denn angenommen die Behauptung ist falsch. Dann existiert ein erstes t∗ ∈ (0, τ ], mit |yk (t∗ , zk )| = R und |yk (t, zk )| < R f¨ ur alle 0 ≤ t < t∗ . Daraus folgt d |yk (t, zk )|22 ≥ 0. dt t=t∗ Andererseits gilt d |yk (t, zk )|2 = 2(y˙ k (t, zk )|yk (t, zk )) = 2(fk (t, yk (t, zk ))|yk (t, zk )) dt = 2(f (t, yk (t, zk )) − yk (t, zk )/k|yk (t, zk )) = 2(f (t, yk (t, zk ))|yk (t, zk )) − 2|yk (t, zk )|22 /k, f¨ ur alle t ∈ [0, τ ], also mit (4.10) d |yk (t∗ , zk )|22 R2 0 ≤ |yk (t, zk )|22 ∗ ≤ −2 = −2 < 0, dt k k t=t f¨ ur alle k ∈ N. Das ist ein Widerspruch. Die L¨osung yk (t, zk ), t ∈ [0, τ ], erreicht also niemals den Rand der Kugel BR (0), falls |zk | < R. Im Fall |zk | = R gilt d R2 |yk (t, zk )|22 ≤ −2 < 0, dt k t=0 also |yk (t, zk )| < R f¨ ur kleine t > 0. Daher ist Tk : D → Rn nach dem Fortsetzungssatz wohldeﬁniert und eine Selbstabbildung, also Tk (D) ⊂ D. Da die Funktionen fk f¨ ur alle k ∈ N stetig und lokal Lipschitz in x sind, ist die Abbildung Tk nach Satz 4.1.2 f¨ ur jedes k ∈ N stetig. Nach Satz 4.2.3 existiert f¨ ur jedes k ∈ N ein Fixpunkt zk∗ ∈ D von Tk . Daher gilt yk (0, zk∗ ) = yk (τ, zk∗ ), k ∈ N. Wegen zk∗ ∈ D f¨ ur alle k ∈ N und aufgrund der Kompaktheit der Menge D existiert eine konvergente Teilfolge zk∗m → x0 ∈ D f¨ ur m → ∞. Wir betrachten nun das Anfangswertproblem y˙ = f (t, y), t ∈ [0, τ ]. (4.11) y(0) = x0 , Da die L¨osung y(t) von (4.11) nach Satz 4.1.2 stetig von den Daten abh¨angt, folgt aus Korollar 4.1.4 die gleichm¨ aßige Konvergenz ykm (t) → y(t) auf [0, τ ], denn fkm (t, x) → f (t, x) gilt gleichm¨ aßig auf [0, τ ] × D. Ferner ist y(0) = y(τ ), da y(τ ) = lim ykm (τ ) = lim ykm (0) = x0 = y(0). m→∞

m→∞

4.3. Diﬀerenzierbarkeit der L¨osungen nach Daten

75

Die periodische Fortsetzung x∗ (t) von y(t) auf R ist die gesuchte τ -periodische L¨osung von (4.11).

4.3 Diﬀerenzierbarkeit der L¨osungen nach Daten 1. Autonome Systeme Wir untersuchen zun¨ achst das autonome Anfangswertproblem x˙ = f (x), x(0) = y,

(4.12)

mit f ∈ C 1 (G, Rn ), G ⊂ Rn oﬀen und y ∈ G. Nach Proposition 2.1.5 und Satz 2.2.2 existiert eine eindeutig bestimmte L¨ osung x = x(t, y), x ∈ C 1 (Jy , Rn ) auf dem maximalen Existenzintervall Jy := [0, t+ (y)) nach rechts. Um die Frage der Diﬀerenzierbarkeit der L¨osung x(t, y) nach dem Anfangswert y zu beantworten, diﬀerenziert man zun¨achst formal die Diﬀerentialgleichung (4.12) nach y mit dem Ergebnis ∂ x˙ ∂ ∂x ∂ ∂x (t, y) = (t, y) = f (x(t, y)) = f (x(t, y)) (t, y). ∂y ∂y ∂t ∂y ∂y Andererseits gilt formal ∂ x˙ ∂ (t, y) = ∂y ∂y

∂x (t, y) ∂t

=

∂ ∂t

∂x (t, y) . ∂y

Daraus erh¨alt man die lineare Diﬀerentialgleichung ∂ ∂x ∂x (t, y) = f (x(t, y)) (t, y) ∂t ∂y ∂y f¨ ur die Ableitung der L¨ osung nach dem Anfangswert y. Aus x(0, y) = y folgt ferner ∂x (0, y) = I. Mit A(t, y) := f (x(t, y)) ist die Funktion X = X(t, y) = ∂x ∂y ∂y (t, y) also eine L¨osung des Anfangswertproblems X˙ = A(t, y)X, t ∈ J = [0, a], (4.13) X(0) = I. Der folgende Satz zeigt, dass diese formale Rechnung legitim ist. Satz 4.3.1. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f ∈ C 1 (G, Rn ) und x(t, y) sei die L¨ osung von (4.12) auf einem Intervall J = [0, a] ⊂ Jy . Dann ist die Abbildung (t, y) → x(t, y) stetig diﬀerenzierbar und X = X(t, y) = ∂x ullt das Anfangswertproblem (4.13). ∂y (t, y) erf¨

76

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

Beweis. Sei y ∈ G ﬁxiert und eine Kugel Bδ (y) ⊂ G um y mit Radius δ > 0 gegeben. Ferner sei h ∈ Rn mit |h| < δ hinreichend klein, X = X(t) sei die L¨osung von (4.13) und uh (t) sei deﬁniert durch uh (t) := x(t, y + h) − x(t, y) − X(t)h,

t ∈ J.

Man beachte, dass x(t, y + h) nach Satz 4.2.3 auf J existiert sofern δ > 0 hinreichend klein ist. Um nachzuweisen, dass ∂x ussen wir zeigen, dass ∂y (t, y) existiert, m¨ f¨ ur jedes ε > 0 ein η(ε) > 0 existiert, sodass |uh (t)| ≤ ε|h| f¨ ur |h| ≤ η(ε) gilt. Dazu leiten wir eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Funktion uh (t) her. ∂ ˙ uh (t) = x(t, ˙ y + h) − x(t, ˙ y) − X(t)h ∂t = f (x(t, y + h)) − f (x(t, y)) − A(t, y)X(t)h = A(t, y)uh (t) + rh (t), wobei rh (t) durch rh (t) := f (x(t, y + h)) − f (x(t, y)) − A(t, y)[x(t, y + h) − x(t, y)] gegeben ist. Die Funktion uh (t) erf¨ ullt also das Anfangswertproblem u˙ h = A(t, y)uh + rh (t), t ∈ J, uh (0) = 0. Die matrixwertige Funktion X(t) ist ein Fundamentalsystem f¨ ur die homogene Gleichung u˙ h = A(t, y)uh . Dann liefert (3.6) die eindeutige L¨osung t uh (t) = X(t) X −1 (s)rh (s) ds, t ∈ J := [0, a]. 0

Wegen M1 := supt∈J |X(t)| < ∞ und M2 := supt∈J |X −1 (t)| < ∞ gilt |uh (t)| ≤ M1 M2

t

|rh (s)| ds, t ∈ J. 0

Da die Funktion f stetig und lokal Lipschitz in x ist, folgt aus Satz 4.1.2 die gleichm¨aßige Konvergenz x(t, y +h) → x(t, y) auf J f¨ ur |h| → 0. Da f ∈ C 1 (G, Rn ) auf kompakten Mengen gleichm¨ aßig diﬀerenzierbar ist, existiert zu jedem ε ∈ (0, 1) ein η(ε) > 0, sodass |rh (t)| ≤ ε|x(t, y + h) − x(t, y)|

f¨ ur alle |h| ≤ η(ε), t ∈ J,

gilt. Folglich gilt |rh (t)| ≤ ε|uh (t)| + ε|X(t)h| ≤ ε|uh (t)| + εM1 |h|,

t ∈ J,

4.3. Diﬀerenzierbarkeit der L¨osungen nach Daten

77

und somit erh¨ alt man die Integralungleichung |uh (t)| ≤ εaM12 M2 |h| + εM1 M2

t

|uh (s)| ds, t ∈ J.

(4.14)

0

Das Lemma von Gronwall 2.4.1 liefert |uh (t)| ≤ εaM12 M2 |h|eεM1 M2 t ≤ Cε|h|,

t ∈ J,

mit C = aM12 M2 eM1 M2 a . Damit ist die L¨ osung x(t, y) von (4.12) diﬀerenzierbar bez¨ uglich y und ∂x (t, y) ist als L¨ o sung von (4.13) nach Satz 4.1.2 stetig in y. ∂y

2. Nichtautonome Systeme Betrachten wir nun das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x, p), x(τ ) = y,

(4.15)

wobei f : G → Rn stetig diﬀerenzierbar in der oﬀenen Menge G ⊂ R × Rn × Rk ist, sowie (τ, y, p) ∈ G. Zu zeigen ist, dass die L¨ osung x(t; τ, y, p) von (4.15) stetig diﬀerenzierbar nach (τ, y, p) ist. Dazu transformieren wir (4.15) in ein autonomes System, um die Ergebnisse aus dem vorangehenden Abschnitt anzuwenden. Sei ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ τ τ +s v := ⎣y ⎦ ∈ Rn+k+1 und u(s) := ⎣x(τ + s; τ, y, p)⎦ ∈ Rn+k+1 , s ≥ 0. p p Der Term τ + s spielt hier die Rolle von t. Diﬀerenziert man u(s), so erh¨alt man ⎡

⎤ ⎡ ⎤ 1 1 ˙ + s; τ, v, p)⎦ = ⎣f (τ + s, x(τ + s; τ, v, p), p)⎦ ∂s u(s) = ⎣x(τ 0 0 ⎡ ⎤ 1 = ⎣f (u1 (s), u2 (s), u3 (s))⎦ =: F (u(s)). 0 Da nach Voraussetzung f ∈ C 1 (G, Rn ) gilt, folgt F ∈ C 1 (G, Rn+k+1 ). Wegen u(0) = v lautet das resultierende autonome System wie folgt: ∂s u(s) = F (u(s)), (4.16) u(0) = v, mit v ∈ R × Rn × Rk . Dann folgt aus Satz 4.3.1, dass die L¨osung u(s, v) von (4.16), also auch die L¨ osung x(t; τ, y, p) von (4.15), stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich v ist.

78

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

Ferner gilt nach Satz 4.3.1, dass ∂u ullt, ∂v (s, v) das Anfangswertproblem (4.13) erf¨ also gilt ∂ ∂u = F (u(s, v)) ∂u , ∂s ∂v ∂v (4.17) ∂u (0) = I. ∂v Wir wollen nun die einzelnen Diﬀerentialgleichungen bez¨ uglich den Variablen (τ, y, p) aus (4.17) herleiten. Zur Abk¨ urzung setzen wir f = f (u1 , u2 , u3 ) und x = x(τ + s; τ, y, p). Dann gilt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 0 0 ∂ ⎣f (u1 , u2 , u3 )⎦ = ⎣∂t f ∂x f ∂p f ⎦ . F (u) = (4.18) ∂u 0 0 0 0 F¨ ur

∂u ∂v

erh¨alt man mit der Kettenregel ⎡ ⎤ 1 0 0 ∂u ⎣ = ∂t x + ∂τ x ∂y x ∂p x⎦ , (4.19) ∂v 0 0 I ∂u ∂ sodass sich f¨ ur ∂s ∂v unter Beachtung von ∂s = ∂t der folgende Ausdruck ergibt ⎡ ⎤ 0 0 0 ∂ ∂u = ⎣∂t2 x + ∂t (∂τ x) ∂t (∂y x) ∂t (∂p x)⎦ . (4.20) ∂s ∂v 0 0 0 Die Anfangsbedingung lautet ⎡ 1 ∂u (0) = ⎣∂t x(τ ) + (∂τ x)(τ ) ∂v 0

0 (∂y x)(τ ) 0

⎤ 0 (∂p x)(τ )⎦ . I

(4.21)

Diese Matrix muss aber gerade gleich der Einheitsmatrix sein, das heißt, es gilt ∂t x(τ ) + (∂τ x)(τ ) = 0, (∂y x)(τ ) = I und (∂p x)(τ ) = 0. Ferner ist ∂t x(τ ) = f (τ, x(τ ), p) = f (τ, y, p). Setzt man (4.18), (4.19) und (4.20) in (4.17) ein, so erh¨alt man das Diﬀerentialgleichungssystem ⎧ ⎪ ⎨∂t (∂τ x) = ∂x f (t, x, p)∂τ x, (4.22) ∂t (∂y x) = ∂x f (t, x, p)∂y x, ⎪ ⎩ ∂t (∂p x) = ∂x f (t, x, p)∂p x + ∂p f (t, x, p), denn ∂t2 x(t) = ∂t f (t, x(t), p) + ∂x f (t, x(t), p)∂t x(t). Es gilt also der Satz 4.3.2. Sei G ⊂ R × Rn × Rk oﬀen, f ∈ C 1 (G, Rn ) und (τ, y, p) ∈ G. Dann ist die L¨ osung x = x(t; τ, y, p) von (4.15) stetig diﬀerenzierbar in allen Variablen (t, τ, y, p). Des Weiteren gen¨ ugen die partiellen Ableitungen (∂τ x, ∂y x, ∂p x) dem Diﬀerentialgleichungssystem (4.22) mit den Anfangsbedingungen (∂τ x)(τ ) = −f (τ, y, p),

(∂y x)(τ ) = I,

(∂p x)(τ ) = 0.

4.4. Dynamische Systeme

79

Bemerkung. Die Diﬀerentialgleichungen f¨ ur die Ableitungen der L¨osung nach den Parametern τ , y und p enthalten nicht die partielle Ableitung nach t. In der Tat ist unter den Voraussetzungen dieses Satzes die L¨osung zweimal stetig diﬀerenzierbar bzgl. t, es gilt x¨(t) = ∂t f (t, x(t)) + ∂x f (t, x(t))f (t, x(t)). Daher kann man Satz 4.3.2 mittels eines Approximationsarguments auf den Fall erweitern, dass f bzgl. t nur stetig ist. Auf die Details verzichten wir hier.

4.4 Dynamische Systeme Deﬁnition 4.4.1. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung φ : R×M → M , (t, x) → φ(t, x) heißt dynamisches System (Fluss), falls die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind. (D1) φ(0, x) = x, f¨ ur alle x ∈ M ; (D2) φ(t + s, x) = φ(t, φ(s, x)), f¨ ur alle t, s ∈ R, x ∈ M (Gruppeneigenschaft); (D3) φ ist stetig in (t, x) ∈ R × M . Ersetzt man in dieser Deﬁnition R durch R+ so spricht man von einem semidynamischen System oder Halbﬂuss auf M und (D2) heißt Halbgruppeneigenschaft. Interpretation. Die Abbildung φ beschreibt die Dynamik des Systems: Ist das System zum Zeitpunkt t = 0 in x, so beﬁndet es sich zur Zeit t = t∗ in φ(t∗ , x). Beispiele. (a) Das mathematische Pendel. Wir schreiben die nichtlineare Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung x ¨ + ω 2 sin x = 0 als System erster Ordnung u˙ 1 = u2 , (4.23) u˙ 2 = −ω 2 sin u1 . Zu jedem Anfangswert y ∈ M = R2 existiert genau eine globale L¨osung u(t, y) = [u1 (t, y), u2 (t, y)]T . Setze φ(t, y) = u(t, y), t ∈ R, y ∈ R2 . Dann deﬁniert die Funktion φ ein dynamisches System, denn es gilt φ(0, y) = u(0, y) = y, also (D1). Des Weiteren sind u(t+ s, y) und u(t, u(s, y)) L¨osungen von (4.23) bez¨ uglich t. F¨ ur t = 0 gilt u(0 + s, y) = u(s, y) = u(0, u(s, y)). Aus der Eindeutigkeit der L¨osung folgt also φ(t + s, y) = u(t + s, y) = u(t, u(s, y)) = φ(t, u(s, y)), f¨ ur alle t, s ∈ R, y ∈ R2 , also (D2). Die Eigenschaft (D3) folgt aus Satz 4.1.2. (b) Skaliertes Volterra–Lotka-Modell mit S¨ attigung u˙ = u − κu2 − uv, v˙ = −εv + uv.

(4.24)

80

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

Sei M = R2+ . F¨ ur alle z0 := [u0 , v0 ]T ∈ M existiert genau eine globale L¨osung z(t, z0 ) := [u(t, z0 ), v(t, z0 )]T von (4.24) nach rechts. Diese h¨angt nach Satz 4.1.2 stetig von z0 ab. Wie in Beispiel (a) deﬁniert dann die Funktion φ(t, z0 ) := z(t, z0 ) zumindest ein semidynamisches System. Man beachte, dass globale Existenz nach links hier nicht gilt! Der Satz u angigkeit ergibt den ¨ber stetige Abh¨ Satz 4.4.2. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : G → Rn lokal Lipschitz und zu jedem Anfangswert y ∈ G existiere die L¨ osung x(t, y) des Anfangswertproblems x˙ = f (x), x(0) = y,

(4.25)

global, also f¨ ur alle t ∈ R. Dann deﬁniert die Funktion φ(t, y) := x(t, y), y ∈ G, t ∈ R, ein dynamisches System. Existieren die L¨ osungen wenigstens nach rechts global, so erh¨ alt man entsprechend einen Halbﬂuss. Beweis. Die Eigenschaft (D1) ist wegen φ(0, y) = x(0, y) = y erf¨ ullt. Aufgrund der Autonomie des Systems (4.25), sind φ(t + s, y) = x(t + s, y) und φ(t, φ(s, y)) = x(t, x(s, y)) ebenfalls L¨ osungen von (4.25) bzgl. t. F¨ ur t = 0 ergibt sich x(0 + s, y) = x(s, y) = x(0, x(s, y)). Aus der Eindeutigkeit der L¨osung folgt x(t + s, y) = x(t, x(s, y)), also (D2). Schließlich gilt auch (D3), da x(t, y) = φ(t, y) nach Satz 4.1.2 stetig von y abh¨ angt. Bemerkungen 4.4.3. 1. Die Autonomie des Systems (4.25) ist notwendig, denn f¨ ur ein zeitabh¨angiges f ist x(t + s, y) im Allgemeinen keine L¨osung von x˙ = f (t, x), wie schon das Beispiel x˙ = tx, x(0) = y, zeigt. 2. Sei φ : R × M → M ein dynamisches System. Ersetzt man R durch Z, so spricht man von diskreten dynamischen Systemen. Entsprechend sind diskrete semidynamische System erkl¨ art. 3. Sei y ∈ M ﬁxiert. Dann nennt man γ(y) := {φ(t, y)|t ∈ R} Orbit oder Bahn oder Trajektorie durch y. Entsprechend heißt γ+ (y) = φ(R+ , y) positives Halborbit von y. 4. Ist φ(t, x) ein Halbﬂuss, und existiert x∞ := limt→∞ φ(t, x0 ) so ist x∞ ein Fixpunkt des Halbﬂusses, also φ(t, x∞ ) = x∞ f¨ ur alle t ≥ 0. Dies zeigt φ(t, x∞ ) = φ(t, lim φ(s, x0 )) = lim φ(t, φ(s, x0 )) = lim φ(t + s, x0 ) = x∞ . s→∞

s→∞

s→∞

Daher sind Grenzwerte von globalen L¨osungen einer autonomen Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) f¨ ur t → ∞ stets station¨are L¨osungen der Gleichung.

4.4. Dynamische Systeme

81

¨ Ubungen 1. Gegeben sei das Anfangswertproblem (∗)

x˙ = 3(x2 )1/3 ,

und f¨ ur n ∈ N seien xn die L¨ osung mit xn (0) = 1/n auf R+ , yn die L¨ osung mit Anfangswert yn (0) = −1/n auf R− . Zeigen Sie, dass diese global existieren und eindeutig bestimmt sind. Bestimmen Sie die Grenzwerte lim n→∞ xn (t) und limn→∞ yn (t). Zeigen Sie, dass diese Grenzwerte die gr¨ oßte bzw. kleinste L¨ osung von (∗) mit x(0) = 0 sind. 2. Sei ω : R → R lokal Lipschitz, J = [a, b], und φ ∈ C 1 (J) die L¨ osung von φ˙ = ω(φ), φ(a) = φ0 . Es sei ϕ ∈ C 1 (J), und gelte ϕ(t) ˙ ≤ ω(ϕ(t)), t ∈ J, ϕ(a) ≤ φ0 . Zeigen Sie ϕ(t) ≤ φ(t) f¨ ur alle t ∈ J. Tipp: Die Behauptung zun¨ achst im Falle strikter Ungleichungen beweisen; danach geeignet st¨ oren und mit dem Satz u angigkeit den allgemeinen Fall zeigen. ¨ ber stetige Abh¨ 3. Sei f : R+ × Rn → R stetig, lokal Lipschitz in x und gelte (f (t, x)|x) ≤ 0

f¨ ur alle t ∈ R+ , |x| = R.

Sei |x0 | ≤ R. Dann existiert die L¨ osung x(t) von x˙ = f (t, x), x(0) = x0 , global und es gilt |x(t)| ≤ R f¨ ur alle t ≥ 0. Tipp: Betrachten Sie zun¨ achst fn (t, x) = f (t, x) − x/n und verwenden Sie stetige Abh¨ angigkeit. 4. Das folgende System ist ein Modell f¨ ur eine Population bestehend aus m¨ annlichen (x) und weiblichen (y) Singles, und Paaren (p), in der nur die Paare zur Fortpﬂanzung beitragen. x˙ = −μm x + (βm + μ ˜f + σ)p − φ(x, y), y˙ = −μf y + (βf + μ ˜m + σ)p − φ(x, y), p˙ = −(˜ μm + μ ˜f + σ)p + φ(x, y). Dabei bedeuten βj die Geburtsraten, μj bzw. μ ˜j die Sterberaten der Singles bzw. der Paare, σ die Trennungsrate der Paare, und φ : R2+ → R+ die sogenannte Paarbildungsfunktion. Es sei φ lokal Lipschitz, monoton wachsend in beiden Variablen, und φ(x, y) = 0 ⇔ xy = 0. Zeigen Sie, dass dieses System einen Halbﬂuss auf R3+ erzeugt, also dass die L¨ osungen zu nichtnegativen Anfangswerten global nach rechts existieren, eindeutig bestimmt und nichtnegativ sind, und stetig von den Daten abh¨ angen. 5. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : G → Rn lokal Lipschitz und x ∈ C 1 (R+ ; G) eine L¨ osung von x˙ = f (x).

(4.26)

82

Kapitel 4. Stetige und diﬀerenzierbare Abh¨angigkeit

Es existiere der Grenzwert limt→∞ x(t) =: x∞ ∈ G. Zeigen Sie, dass dann x∞ station¨ are L¨ osung von (4.26) ist, also f (x∞ ) = 0 gilt. 6. Das System x˙ = g(x) − y,

x(0) = x0 ,

y˙ = σx − γy,

y(0) = y0 ,

mit g(x) = −x(x − a)(x − b), 0 < a < b, σ, γ > 0, heißt Fitzhugh-Nagumo-Gleichung. Es spielt in der Theorie der Nervensysteme eine wichtige Rolle. Zeigen Sie, dass dieses Anfangswertproblem eindeutig und nach rechts global l¨ osbar ist. Bestimmen Sie die Equilibria des Systems und skizzieren Sie das Phasendiagramm. Leiten Sie Diﬀerentialgleichungen f¨ ur die Ableitung der L¨ osung nach σ her. 7. Das folgende System wurde von Field und Noyes zur Modellierung der BelousovZhabotinski Reaktion vorgeschlagen. Es wird gelegentlich auch Oregonator genannt. x + y − xy − γx2 ,

εx˙

=

y˙

=

2δz − y − xy,

β z˙

=

x − z,

x(0) = x0 ≥ 0,

y(0) = y0 ≥ 0,

z(0) = z0 ≥ 0,

wobei β, γ, δ, ε > 0 Konstanten sind. Zeigen Sie, dass die L¨ osung eindeutig bestimmt ist, nichtnegativ bleibt, und nach rechts global existiert. Bestimmen Sie alle Equilibria in R3+ 8. Betrachten Sie das Randwertproblem x ¨ + g(x) = 0, x(0) = x(1) = 0, wobei g : R → R lokal Lipschitz sei. Die Shooting-Methode zur L¨ osung solcher Randwertprobleme besteht darin, das entsprechende Anfangswertproblem mit x(0) = 0, x(0) ˙ =a zu l¨ osen, und dann eine Nullstelle der Abbildung φ ∈ C 1 (R) deﬁniert durch φ(a) = x(1, a) zu suchen. Dabei bezeichnet x(t, a) die L¨ osung dieses Anfangswertproblems. Beweisen Sie mit dieser Methode einen Existenzsatz im Fall eines beschr¨ ankten g: |g(x)| ≤ M f¨ ur alle x ∈ R.

Kapitel 5

Elementare Stabilit¨atstheorie Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : R × G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x. In diesem Kapitel betrachten wir das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x), (5.1) x(t0 ) = x0 , mit t0 ∈ R und x0 ∈ G. Einer der wichtigsten Begriﬀe in der Theorie der Diﬀerentialgleichungen ist der der Stabilit¨at.

5.1 Stabilit¨atsdeﬁnitionen Sei x ˜(t), t ≥ t0 eine ausgezeichnete L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (5.1) zum Anfangswert x ˜(t0 ) = x ˜0 . Setze y(t) := x(t) − x ˜(t), wobei x(t), t ≥ t0 die L¨osung von (5.1) ist. Dann gilt y(t) ˙ = x(t) ˙ −x ˜˙ (t) = f (t, x(t)) − f (t, x ˜(t)) = f (t, y(t) + x ˜(t)) − f (t, x ˜(t)). Deﬁniert man g(t, y(t)) := f (t, y(t) + x ˜(t)) − f (t, x ˜(t)), so erh¨alt man die Diﬀerentialgleichung y˙ = g(t, y) f¨ ur die Funktion y(t), wobei die Funktion g nat¨ urlich wieder lokal Lipschitz in y und stetig in t ist. Es gilt oﬀensichtlich g(t, 0) = 0, das heißt, die Diﬀerentialgleichung y˙ = g(t, y) besitzt die triviale L¨osung y∗ = 0 zum Anfangswert y∗ (t0 ) = 0. Daher gen¨ ugt es den Fall f (t, 0) = 0 zu betrachten. Deﬁnition 5.1.1. Sei f : R×G → Rn stetig und lokal Lipschitz in x, mit f (t, 0) = 0 und x(t, x0 ), t ≥ t0 , sei die L¨ osung des Anfangswertproblems (5.1). 1. Die triviale L¨ osung x∗ = 0 heißt stabil, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 ¯ δ (0) ⊂ G, die L¨ ¯ δ (0) f¨ gibt, sodass B osung x(t, x0 ) zu x0 ∈ B ur alle t ≥ t0 existiert und |x(t, x0 )| ≤ ε, f¨ ur alle |x0 | ≤ δ, und t ≥ t0 , erf¨ ullt ist.

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_5, © Springer Basel AG 2010

84

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

2. x∗ = 0 heißt instabil, falls x∗ nicht stabil ist. ¯δ0 (0) ⊂ G, die 3. x∗ = 0 heißt attraktiv, falls ein δ0 > 0 existiert, sodass B ¯ L¨ osung x(t, x0 ) zu x0 ∈ Bδ (0) f¨ ur alle t ≥ t0 existiert, und ¯ δ (0) gilt. lim |x(t, x0 )| = 0 f¨ ur alle x0 ∈ B 0

t→∞

4. x∗ = 0 heißt asymptotisch stabil, falls x∗ = 0 stabil und attraktiv ist. Bemerkungen 5.1.2. 1. Die Stabilit¨ at der trivialen L¨ osung x∗ ist die stetige Abh¨angigkeit der L¨osung x(t, x0 ) vom Anfangswert x0 auf R+ in einer Umgebung der trivialen L¨osung, denn die Stabilit¨ atsdeﬁnition ist ¨ aquivalent zu lim |x(t, x0 )| = 0 gleichm¨aßig bez¨ uglich t ≥ t0 .

|x0 |→0

2. Zwischen Stabilit¨ at und Attraktivit¨ at von x∗ gelten keine allgemeing¨ ultigen Beziehungen. Genauer gilt (a) x∗ stabil ⇒ x∗ attraktiv; (b) x∗ attraktiv ⇒ x∗ stabil. Ein Beispiel zu (a) ist das mathematische Pendel, welches wir sp¨ater noch diskutieren werden. Zu (b) war historisch Vinograd (1957) der erste, der ein zweidimensionales System angegeben hat, in dem alle L¨osungen f¨ ur t → ∞ y 2 1

4

x

2

2

4

1 2

Abbildung 5.1: Phasenportrait von Vinograd gegen Null gehen, aber die Nulll¨ osung instabil ist, da es sog. homokline Orbits gibt; vgl. Abb. 5.1. Das Beispiel ist leider kompliziert, wir werden sp¨ater ein einfacheres kennenlernen (vgl. Abschnitt 9.2).

5.1. Stabilit¨atsdeﬁnitionen

85

Beispiele. (a) x˙ = αx, α ∈ R, x ∈ Rn . Hier ist x∗ = 0 die triviale L¨osung der Diﬀerentialgleichung und die eindeutige L¨osung zum Anfangswert x(0) = x0 lautet x(t, x0 ) = x0 eαt . Oﬀensichtlich ist die L¨osung x(t, x0 ) • stabil f¨ ur α ≤ 0, denn |x(t, x0 )| = |x0 ||eαt | ≤ |x0 | ≤ δ := ε, t ≥ 0; • instabil f¨ ur α > 0, denn limt→∞ |x(t, x0 )| = ∞, sofern x0 = 0 ist; • attraktiv f¨ ur α < 0, denn limt→∞ |x(t, x0 )| = 0 f¨ ur alle x0 ∈ Rn . (b) x˙ = −x3 , x ∈ R. Sei x(0) = x0 ∈ R \ {0}. Mit Trennung der Variablen erh¨alt man die eindeutige L¨ osung sgn(x0 ) x(t, x0 ) = , 2t + 1/x20

t > −1/(2x20 ).

Wie man sieht, existiert die L¨ osung f¨ ur jedes x0 = 0 global nach rechts, und f¨ ur |x0 | ≤ δ und t ≥ 0 gilt 1 1 |x(t, x0 )| = ≤= |x0 | ≤ δ := ε. 2t + 1/x20 1/x20 Wegen limt→∞ |x(t, x0 )| = 0 ist die L¨ osung x∗ = 0 auch asymptotisch stabil. (c) Das mathematische Pendel. Linearisiert um die untere Ruhelage (also kleine Auslenkungen) lautet das Anfangswertproblem f¨ ur das linearisierte Pendel x ¨ + ω 2 x = 0, (P ) x(0) = x0 , x(0) ˙ = 0. Die triviale L¨ osung x∗ = 0 der Pendelgleichung beschreibt die untere Ruhelage des Pendels. F¨ ur kleine Abweichungen der Anfangswertes x0 von x∗ = 0, also |x0 | ≤ δ, bleibt die L¨ osung von (P) innerhalb einer ε-Umgebung von x∗ = 0, denn mit x(t, x0 ) = x0 cos ωt gilt |x(t, x0 )| = |x0 || cos ωt| ≤ |x0 | ≤ δ := ε f¨ ur alle t ≥ 0. Die untere Ruhelage des linearisierten Pendels ist also stabil, aber nicht attraktiv, denn der Grenzwert limt→∞ x(t) existiert nicht. Wie wir sp¨ ater sehen werden, kann man bez¨ uglich Stabilit¨at von x∗ = 0 der unteren Ruhelage des linearisierten Pendels keine R¨ uckschl¨ usse auf die nichtlineare Diﬀerentialgleichung x ¨ + ω 2 sin x = 0 ziehen. Die untere Ruhelage ist aber auch f¨ ur die nichtlineare Pendelgleichung stabil, wie wir sp¨ater zeigen; siehe auch Abb. 1.8. Die obere Ruhelage x∗ = π der nichtlinearen Pendelgleichung x ¨ +ω 2 sin x = 0 ist instabil, denn selbst f¨ ur sehr kleine Abweichungen des Anfangswertes x0 von π ergeben sich große Auslenkungen.

86

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

5.2 Ebene lineare autonome Systeme Wir betrachten nun die autonome lineare Diﬀerentialgleichung a11 a12 x˙ = Ax, A = ∈ R2×2 . a21 a22

(5.2)

Oﬀensichtlich ist x∗ = [0, 0]T ein Equilibrium von (5.2). Ziel dieses Abschnittes ist, die Stabilit¨ atseigenschaften der trivialen L¨osung des Systems x˙ = Ax mittels der Eigenwerte von A vollst¨ andig zu charakterisieren. Dazu betrachten wir das charakteristische Polynom pA (λ) von A pA (λ) = det(λI − A) = λ2 − pλ + q, wobei p = sp A = a11 + a22 und q = det A = a11 a22 − a12 a21 . Wir m¨ ussen nun anhand der beiden (nicht notwendigerweise verschiedenen) Eigenwerte λ1 , λ2 diverse F¨alle unterscheiden. Die Eigenwerte der Matrix A sind explizit gegeben durch 0 0 p p2 sp A (sp A)2 λ1,2 = ± −q = ± − det A. 2 4 2 4 Wir unterscheiden zun¨ achst 3 Grundf¨ alle. 1. λ1,2 sind reell und λ1 = λ2 , falls q <

p2 4 ;

2. λ1,2 sind reell und λ1 = λ2 , falls q =

p2 ; 4

3. λ1,2 sind konjugiert komplex (λ2 = λ1 ), falls q >

p2 . 4

Diese F¨alle werden nun separat behandelt. Zu 1: Zu verschiedenen Eigenwerten λ1 , λ2 existieren zwei linear unabh¨angige Eigenvektoren v1 , v2 . Deﬁnieren wir eine Matrix C durch C := [v1 , v2 ], so gilt det C = 0, aufgrund der linearen Unabh¨ angigkeit von v1 , v2 . Also ist C invertierbar. Ferner gilt nat¨ urlich AC = (λ1 v1 , λ2 v2 ). Das gleiche Resultat erh¨alt man aber, indem man C mit einer Diagonalmatrix diag(λ1 , λ2 ) multipliziert C diag(λ1 , λ2 ) = (λ1 v1 , λ2 v2 ) = AC, also gilt diag(λ1 , λ2 ) = C −1 AC. Mit x = Cy folgt y˙ = C −1 x˙ = C −1 Ax = C −1 ACy und wir haben das zu (5.2) ¨ aquivalente System y˙ = By,

mit B := C −1 AC = diag(λ1 , λ2 )

erhalten, welches die entkoppelte Struktur y˙ 1 = λ1 y1 , y˙ 2 = λ2 y2 ,

(5.3)

5.2. Ebene lineare autonome Systeme

87 y2

1.0

0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

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0.5

1.0

Abbildung 5.2: (α) Sattelpunkt besitzt. Die L¨osungen von (5.3) lauten y1 (t) = k1 eλ1 t , k1 ∈ R, y2 (t) = k2 eλ2 t , k2 ∈ R.

(5.4)

¨ Beim Ubergang von (5.2) zu (5.3) bleiben die Eigenwerte erhalten und auch das globale Verhalten der L¨ osungen ¨ andert sich nicht. Geometrische Objekte werden ¨ lediglich einer aﬃnen Ahnlichkeitstransformation unterworfen. Die Trajektorien sind durch die Parametrisierung (5.4) gegeben. Anhand der Lage der Eigenwerte unterscheiden wir nun 5 Unterf¨ alle; vgl. Abb. 5.2, 5.3 und 5.4. (α) λ1 < 0 < λ2

: q < 0,

(β) λ1 , λ2 < 0

: 0 < q < p2 /4, p < 0,

(γ) λ1 , λ2 > 0 : 0 < q < p2 /4, p > 0, (δ) λ1 < 0, λ2 = 0 : q = 0, p < 0, (ε) λ1 > 0, λ2 = 0 : q = 0, p > 0. Zu 2: Im Fall q = p2 /4 sind die Eigenwerte durch λ1,2 = p/2 = sp A/2 gegeben. Es ergeben sich nun 2 M¨ oglichkeiten: 2a: λ = λ1,2 ist halbeinfach, das heißt, die geometrische Vielfachheit von λ ist gleich der algebraischen Vielfachheit, also gleich 2. Es existieren dann 2 linear unabh¨angige Eigenvektoren zum Eigenwert λ. Diesen Fall k¨onnen wir wie in 1. behandeln. Man erh¨ alt y1 (t) = k1 eλt , k1 ∈ R, y2 (t) = k2 eλt , k2 ∈ R. Die zugeh¨origen Phasenportraits nennt man echte Knoten, stabil f¨ ur λ < 0, instabil f¨ ur λ > 0. Im Fall λ = 0 ist A = 0, also der Fluss trivial.

88

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie y2

1.0

y2

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0.5

0.5

0.5

0.5

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y1

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0.5

0.5

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1.0

1.0

y1

Abbildung 5.3: Stabiler Knoten (β) und instabiler Knoten (γ) y2

1.0

y2

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Abbildung 5.4: Stabile Zust¨ ande (δ) und instabile Zust¨ande (ε) 2b: λ = λ1,2 ist nicht halbeinfach, das heißt, es gibt nur einen Eigenvektor v zum Eigenwert λ. Die Matrix A l¨ asst sich nun nicht mehr diagonalisieren. Gem¨aß Abschnitt 3.3 l¨ ose man die Gleichung (A − λI)w = v; das ergibt einen von v linear unabh¨angigen Vektor w. Wie in 1. deﬁnieren wir dann die Matrix C durch C := [v, w]. Es gilt λ 1 AC = (λv, Aw) = (λv, v + λw) = C . 0 λ Die Matrix C leistet also eine Transformation der Matrix A auf Tridiagonalform λ 1 = C −1 AC. 0 λ Setzen wir wie im 1. Fall x = Cy, so erhalten wir f¨ ur y das zu (5.2) ¨aquivalente

5.2. Ebene lineare autonome Systeme

89 y2

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0.5

0.5

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1.0

1.0

1.0

y1

Abbildung 5.5: Stabiler falscher Knoten (a) und instabiler falscher Knoten (c) System y˙ = By, B := C

−1

λ AC = 0

1 , λ

(5.5)

also y˙ 1 = λy1 + y2 , y˙ 2 = λy2 . Die L¨osungen dieses Systems lauten y1 (t) = (k1 + k2 t)eλt , k1 , k2 ∈ R, y2 (t) = k2 eλt , k2 ∈ R. Es ergeben sich 3 Unterf¨ alle f¨ ur Fall 2b: (a) λ < 0 : p < 0, (b) λ = 0 : p = 0, (c) λ > 0 : p > 0. Abb. 5.5 und 5.6 zeigen das Verhalten der Trajektorien. Zu 3: Wegen λ2 = λ1 gilt λ1 = λ2 . Die Matrix A l¨asst sich wie in Fall 1 (hier jedoch komplex) diagonalisieren. Man erh¨ alt so das System u˙ = λ1 u, v˙ = λ2 v. Zur Deutung der Stabilit¨ at ist dieses komplexe System jedoch nicht so geeignet. Daher betrachtet man den Real- und Imagin¨arteil von u. Sei λ1 = σ + iρ und

90

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie y2

0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

y1

0.5

Abbildung 5.6: Instabile Zust¨ande (b)

o.B.d.A. gelte ρ > 0. Ist das nicht der Fall, so vertausche man λ1 und λ2 . Seien ferner y1 = Re u und y2 = Im u. Damit ergibt sich das reelle System y˙ 1 = σy1 − ρy2 , y˙ 2 = σy2 + ρy1 .

(5.6)

Bez¨ uglich des Parameters σ unterscheiden wir nun wiederum 3 Unterf¨alle: (1) (2)

σ < 0 : p > 0, σ = 0 : p = 0,

(3)

σ > 0 : p < 0.

Wir schreiben (5.6) mittels der Transformation y1 = r cos ϕ, y2 = r sin ϕ und r = r(t), ϕ = ϕ(t) in Polarkoordinaten. r˙ cos ϕ − ϕr ˙ sin ϕ = σr cos ϕ − ρr sin ϕ, r˙ sin ϕ + ϕr ˙ cos ϕ = σr sin ϕ + ρr cos ϕ. Daraus gewinnen wir das entkoppelte System

r˙ = σr, ϕ˙ = ρ,

dessen L¨osungen durch r(t) = k1 eσt und ϕ(t) = ρt + k2 , k1 , k2 ∈ R, ρ > 0 gegeben sind. Man sieht sofort, dass sich f¨ ur ρ < 0 lediglich die Laufrichtung der Phasenbahnen ¨ andert. Das Stabilit¨ atsverhalten h¨angt nur vom Vorzeichen von σ ∈ R ab. Die Phasenportraits f¨ ur den Fall 3 sind in Abb. 5.7 und 5.8 wiedergegeben.

5.2. Ebene lineare autonome Systeme

91 y2

y2

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0.5

0.5

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1.0

y1

Abbildung 5.7: Stabile Spirale (1) und instabile Spirale (3) y2 1.0

0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

y1

0.5

1.0

Abbildung 5.8: Zentrum (2) Bemerkungen 5.2.1. ¨ 1. Wie bereits erw¨ ahnt, wird die Matrix A einer aﬃnen Ahnlichkeitstransformation unterzogen. In den urspr¨ unglichen Koordinaten (x1 , x2 ) haben die Trajektorien daher ein verzerrtes Aussehen. Des Weiteren k¨onnen wir aus Fall 1, 2 und 3 schlussfolgern, dass (5.2) f¨ ur q = det A > 0 und p = sp A < 0 asymptotisch stabil ist, und f¨ ur q < 0 oder p > 0 instabil ist. ¨ 2. Ein Zentrum ist das Ubergangsstadium zwischen stabilen und instabilen Spi¨ ralen. Falsche Knoten treten beim Ubergang von Knoten zu Spiralen auf. 3. Die wichtigsten F¨ alle sind die Knoten, Spiralen und die Sattelpunkte. Diese sind n¨amlich strukturell stabil, d.h. invariant unter kleinen St¨orungen der Matrix A. Insbesondere sind echte und falsche Knoten sowie Zentren nicht strukturell stabil. Letztere spielen in der Verzweigungstheorie eine wichtige Rolle.

92

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

Die Ergebnisse unserer Betrachtung k¨ onnen wir in folgendem Schema zusammenfassen: q

-K

not en

eKn

f eht

als ch e

Zentren

Spiralen

ec

Knoten

ot en

p²/4

h lsc a f teech Knoten p

Sattelpunkte Abbildung 5.9: Stabilit¨atsbereiche Der schraﬃerte Bereich skizziert das Stabilit¨atsgebiet. Die lineare Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung x ¨ + ax˙ + bx = 0, mit konstanten Koeﬃzienten a, b ∈ R ist a ¨quivalent zum ebenen linearen und autonomen System 1. Ordnung 0 1 z˙ = z, z = [u, v]T . −b −a Es gilt sp A = −a und det A = b, also p = −a und q = b.

5.3 Stabilit¨at linearer Systeme Gegeben sei das lineare Diﬀerentialgleichungssystem (L)

x˙ = A(t)x + b(t),

wobei A ∈ C([t0 , ∞), R ), b ∈ C([t0 , ∞), Rn ) und es seien x∗ (t) und x(t) L¨osungen von (L). Dann ist y(t) := x(t) − x∗ (t) eine L¨osung von n×n

(H)

y˙ = A(t)y.

Also ist eine L¨osung von (L) genau dann stabil (bzw. attraktiv), wenn die triviale L¨osung von (H) diese Eigenschaft hat. Daher spricht man bei linearen Systemen von Stabilit¨at schlechthin. Es sei Y (t) ein Fundamentalsystem f¨ ur die Diﬀerentialgleichung (H), also ist y(t) = Y (t)Y −1 (t0 )y0 die L¨ osung von (H) zum Anfangswert y(t0 ) = y0 .

5.3. Stabilit¨at linearer Systeme

93

Satz 5.3.1. Sei Y (t) ein Fundamentalsystem f¨ ur (H). Dann gilt 1. y∗ = 0 ist genau dann stabil f¨ ur (H), wenn supt≥t0 |Y (t)| < ∞ gilt; 2. y∗ = 0 ist genau dann attraktiv f¨ ur (H), wenn |Y (t)| → 0 f¨ ur t → ∞ gilt. Insbesondere fallen die Begriﬀe attraktiv und asymptotisch stabil f¨ ur lineare Systeme zusammen. Beweis. Zu 1: Sei die L¨ osung y∗ = 0 von (H) stabil. Laut Deﬁnition gilt also ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |y(t)| ≤ ε, f¨ ur alle |y0 | ≤ δ, und t ≥ t0 . Speziell existiert f¨ ur ε = 1 ein δ = δ(1) > 0, sodass |y(t)| = |Y (t)Y −1 (t0 )y0 | ≤ 1, f¨ ur |y0 | ≤ δ und alle t ≥ t0 . Sei nun v ∈ Rn beliebig und y0 := δY (t0 )v/|Y (t0 )v|. Dann folgt |Y (t)v| = δ −1 |Y (t0 )v||Y (t)Y (t0 )−1 y0 | ≤ δ −1 |Y (t0 )v| ≤ (|Y (t0 )|/δ)|v|. Daher ist |Y (t)| beschr¨ ankt durch |Y (t0 )|/δ, f¨ ur alle t ≥ t0 . Es gelte nun umgekehrt |Y (t)| ≤ M , f¨ ur alle t ≥ t0 , mit einer Konstanten M > 0. Sei ferner |y0 | ≤ δ. Dann gilt |y(t)| ≤ |Y (t)||Y −1 (t0 )||y0 | ≤ δM |Y −1 (t0 )| ≤ ε, falls δ ≤ ε/(M |Y −1 (t0 )|). Zu 2: Sei y∗ = 0 asymptotisch stabil f¨ ur (H). Dann existiert ein δ0 > 0, sodass |y(t)| = |Y (t)Y −1 (t0 )y0 | → 0 f¨ ur t → ∞ und alle |y0 | ≤ δ0 . Wie in Teil 1 dieses Beweises erhalten wir |Y (t)v| → 0 mit t → ∞ f¨ ur alle v ∈ Rn . Daraus folgt |Y (t)| → 0 f¨ ur t → ∞. Umgekehrt gelte |Y (t)| → 0 f¨ ur t → ∞. Dann gilt aber auch |y(t)| ≤ |Y (t)||Y −1 (t0 )||y0 | → 0, f¨ ur t → ∞ und alle y0 ∈ Rn mit |y0 | ≤ δ0 und δ0 > 0 ist beliebig, aber ﬁxiert. Daher ist y∗ = 0 attraktiv f¨ ur (H). Oﬀensichtlich existiert dann auch eine Konstante M > 0, sodass |Y (t)| ≤ M f¨ ur alle t ≥ t0 gilt. Aus dem ersten Teil des Beweises folgt somit, dass y∗ = 0 auch stabil f¨ ur (H) ist, also ist y∗ = 0 asymptotisch stabil. F¨ ur den Fall, dass A(t) eine vom Parameter t unabh¨angige Koeﬃzientenmatrix A ∈ Rn×n ist, erh¨ alt man aus Satz 5.3.1 das folgende Resultat.

94

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

Korollar 5.3.2. Sei A(t) ≡ A ∈ Rn×n . Dann gelten 1. y∗ = 0 ist genau dann stabil f¨ ur (H), wenn gilt Re λj ≤ 0 f¨ ur alle Eigenwerte λj von A, im Fall Re λj = 0 ist λj halbeinfach; 2. y∗ = 0 ist genau dann asymptotisch stabil f¨ ur (H), wenn Re λj < 0 f¨ ur alle Eigenwerte von A gilt. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Lemma 3.3.2 bzw. Satz 3.3.4 und Satz 5.3.1. Ist A ∈ Rn×n , so heißt die Menge aller Eigenwerte σ(A) Spektrum von A. Die Zahl s(A) := max{Re λ : λ ∈ σ(A)} wird Spektralschranke von A genannt. Damit kann man das Korollar kurz auch wie folgt formulieren: y∗ = 0 ist genau dann asymptotisch stabil wenn s(A) < 0 gilt, und s(A) > 0 impliziert Instabilit¨ at. Der Fall s(A) = 0, also wenn es Eigenwerte auf der imagin¨ aren Achse gibt, erfordert weitere Informationen u ¨ ber diese, die u at entscheiden. Dieser Fall wird h¨auﬁg marginal stabil ¨ber Stabilit¨at und Instabilit¨ genannt.

5.4 Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at Wir betrachten nun autonome Diﬀerentialgleichungen der Form (N )

x˙ = f (x),

mit f ∈ C 1 (Rn , Rn ). Sei x∗ ein Equilibrium von (N), also f (x∗ ) = 0. Unser Ziel ist es, die Stabilit¨ atseigenschaften dieser speziellen L¨osung zu charakterisieren. Es sei x = x(t) eine L¨ osung von (N). Setzen wir u(t) := x(t) − x∗ , so erhalten wir u(t) ˙ = x(t) ˙ −

d x∗ = x(t) ˙ − f (x∗ ) = f (u(t) + x∗ ) − f (x∗ ) = f (x∗ )u(t) + r(u(t)), dt =0 =0

mit

r(u) := f (u + x∗ ) − f (x∗ ) − f (x∗ )u = o(|u|),

f¨ ur |u| → 0.

Daher untersuchen wir das ¨ aquivalente semilineare System (N L)

u˙ = Au + r(u),

mit A := f (x∗ ) ∈ Rn×n und vergleichen dieses mit dem linearen System (L)

u˙ = Au.

Der folgende Satz enth¨ alt Implikationen der Stabilit¨atseigenschaften der trivialen L¨osung u∗ = 0 von (L) f¨ ur die von x∗ f¨ ur (N).

5.4. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at

95

Satz 5.4.1. Sei f ∈ C 1 (Rn , Rn ), x∗ ein Equilibrium von (N ), und A := f (x∗ ). Dann gelten die folgenden Aussagen: 1. Gilt Re λj < 0 f¨ ur alle Eigenwerte λj von A, so ist das Equilibrium x∗ asymptotisch stabil f¨ ur (N ); 2. Existiert ein Eigenwert λj , mit Re λj > 0, so ist x∗ instabil f¨ ur (N ). Damit gilt f¨ ur ein Equilibrium x∗ von (N ): s(f (x∗ )) < 0 ⇒ x∗ asymptotisch stabil;

s(f (x∗ )) > 0 ⇒ x∗ instabil.

Daher ist die Spektralschranke von f (x∗ ) charakteristisch f¨ ur Stabilit¨at des Equilibriums x∗ von (N). Beweis. Zu 1: Sei x = x(t) eine L¨ osung von (N). Dann l¨ost u(t) = x(t) − x∗ das System (NL). Ferner sei u(0) = u0 . Wegen f ∈ C 1 (Rn , Rn ) gilt: ∀ ρ > 0 ∃ η(ρ) > 0 : |r(u)| ≤ ρ|u|, falls |u| ≤ η.

(5.7)

Da u = u(t) eine L¨ osung von (NL) ist, liefert die Formel der Variation der Konstanten die Darstellung t At u(t) = e u0 + eA(t−s) r(u(s)) ds, t ≥ 0. (5.8) 0

Wir m¨ ussen zeigen: ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 : |u(t)| ≤ ε, falls |u0 | ≤ δ, ¨ f¨ ur alle t ≥ 0, und limt→∞ |u(t)| = 0. Nach Ubung 3.8 existieren Konstanten ω > 0 und M ≥ 1, sodass |eAt | ≤ M e−ωt , f¨ ur alle t ≥ 0. Daraus folgt die Absch¨ atzung t |u(t)| ≤ |eAt ||u0 | + |eA(t−s) ||r(u(s))| ds 0 t −ωt ≤ Me |u0 | + M e−ω(t−s) |r(u(s))| ds, t ≥ 0. 0

Wir ﬁxieren ρ > 0 so, dass M ρ − ω < 0 gilt. Sei ferner |u0 | ≤ δ < η. Solange |u(s)| ≤ η, 0 ≤ s ≤ t, k¨ onnen wir (5.7) anwenden und erhalten t −ωt |u(t)| ≤ M e |u0 | + M e−ω(t−s) ρ|u(s)| ds. 0

Mit der Substitution φ(t) = e |u(t)| folgt ωt

φ(t) ≤ M |u0 | + M ρ

t

φ(s) ds, 0

96

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

und das Lemma von Gronwall 2.4.1 liefert |u(t)| ≤ M e(Mρ−ω)t |u0 |. Aufgrund der Wahl von ρ > 0 gilt M ρ − ω < 0, also |u(t)| ≤ |u0 |M ≤ δM < η

und |u(t)| < ε,

(5.9)

mit δ = min{η, ε}. Dies zeigt, dass es kein t∗ > 0 geben kann, sodass |u(t∗ )| = η gilt. Nach dem Fortsetzungssatz 2.3.2 existiert die L¨osung u(t) also global nach rechts und wegen (5.9) ist u∗ = 0 zudem stabil. Zus¨atzlich gilt aber auch 1 2M

|u(t)| ≤ M e(Mρ−ω)t |u0 | → 0, f¨ ur t → ∞. Daher ist u∗ = 0 asymptotisch stabil f¨ ur (NL), das heißt, x∗ ist asymptotisch stabil f¨ ur (N). Zu 2: Seien λk , k = 1, . . . , r, die verschiedenen Eigenwerte der Matrix A, geordnet nach aufsteigenden Realteilen. Wie wir in Kapitel 3 gesehen haben, gilt dann die Spektralzerlegung Cn = N (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ N (λr ), wobei N (λk ) den verallgemeinerten Eigenraum von λk bedeutet. Wenigstens der Eigenwert λr habe positiven Realteil. W¨ ahle eine Spektrall¨ ucke [κ − σ, κ + σ] mit σ, κ > 0 so, dass Re λr > κ + σ ist, und keine Eigenwerte Realteil in [κ − σ, κ + σ] haben. Es sei s so gew¨ ahlt, dass Re λs < κ − σ und Re λs+1 > κ+ σ gelten, und wir setzen X− := N (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ N (λs ), X+ := N (λs+1 ) ⊕ · · · ⊕ N (λr ), und bezeichnen mit P± die Projektion auf R(P± ) = X± l¨ angs N (P± ) = X∓ . Dann l¨asst eAt die ¨ R¨aume X± invariant, und nach Ubung 3.8, angewandt auf A in X± , gibt es eine Konstante M ≥ 1 mit |P− eAt | ≤ M e(κ−σ)t ,

|P+ e−At | ≤ M e−(κ+σ)t,

f¨ ur alle t ≥ 0.

Angenommen, u∗ = 0 sei stabil f¨ ur (NL). Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, sodass die L¨osung u(t) von (NL) die Ungleichung |u(t)| ≤ ε f¨ ur alle t ≥ 0 erf¨ ullt, ¯δ (0) liegt. Nach (5.7) gilt ferner |r(u)| ≤ ρ|u| sofern ihr Anfangswert u(0) = u0 in B ¯η (0). Fixiere ρ > 0 (wird sp¨ater gew¨ahlt) und setze ε = η und f¨ ur alle u ∈ B δ = δ(η). Mit Variation der Konstanten gilt nun t u(t) = eAtu0 + eA(t−s) r(u(s))ds, t ≥ 0. (5.10) 0

Projiziert man diese Gleichung auf X+ so erh¨alt man t At P+ u(t) = P+ e u0 + P+ eA(t−s) r(u(s))ds 0 ∞ = P+ eAt v0 − P+ e−A(s−t) r(u(s))ds, t

t ≥ 0,

5.4. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at

97

∞ mit v0 = P+ u0 + 0 P+ e−As r(u(s))ds. Man beachte dabei, dass |r(u(s))| ≤ ρ|u(s)| ≤ ρη f¨ ur alle s ≥ 0 gilt, und da P+ e−As exponentiell f¨allt, existieren die Integrale in der letzten Darstellung von P+ u(t) und in der Deﬁnition von v0 und sind beschr¨ ankt. Andererseits ist P+ eAs exponentiell wachsend, folglich ist v0 = 0, da u(t) beschr¨ ankt ist. Daraus folgt ∞ |P+ u(t)| ≤ M ρ e(κ+σ)(t−s) |u(s)|ds, t ≥ 0, t

und durch Anwendung von P− auf die Darstellung (5.10) von u(t) ebenso t (κ−σ)t |P− u(t)| ≤ M e |P− u0 | + M ρ e(κ−σ)(t−s) |u(s)|ds, t ≥ 0. 0

Mit P+ + P− = I folgt |u(s)| ≤ |P+ u(s)| + |P− u(s)|, und setzt man φ(t) = e−κt |P− u(t)|, ψ(t) = e−κt |P+ u(t)|, so erh¨ alt man das System von Integralungleichungen t φ(t) ≤ M e−σt |P− u0 | + M ρ e−σ(t−s) [φ(s) + ψ(s)]ds, t ≥ 0, 0 ∞ −σ(s−t) ψ(t) ≤ M ρ e [φ(s) + ψ(s)]ds, t ≥ 0. (5.11) t

Addition dieser beiden Ungleichungen ergibt ∞ φ(t) + ψ(t) ≤ M e−σt |P− u0 | + M ρ e−σ|t−s| [φ(s) + ψ(s)]ds,

t ≥ 0,

0

und nach Multiplikation mit e−σt/2 und Integration u ¨ber R+ ∞ e−σt/2 [φ(t) + ψ(t)]dt 0 ∞ ∞ 2M ≤ |P− u0 | + M ρ [ e−σt/2 e−σ|t−s| dt][φ(s) + ψ(s)]ds 3σ 0 0 2M 8M ρ ∞ −σt/2 ≤ |P− u0 | + e [φ(t) + ψ(t)]dt. 3σ 3σ 0 Dabei haben wir die Integrationsreihenfolge vertauscht, was erlaubt ist, da der Integrand stetig und absolut integrierbar ist. W¨ahlt man nun ρ so klein, dass 8M ρ/3σ ≤ 1/2 ist, so folgt die Absch¨ atzung ∞ ∞ 4M e−σt [φ(t) + ψ(t)]dt ≤ e−σt/2 [φ(t) + ψ(t)]dt ≤ |P− u0 |. 3σ 0 0 Aus der Deﬁnition von v0 und mit v0 = 0 folgt nun ∞ 4M 2 ρ |P+ u0 | ≤ M ρ e−σt [φ(t) + ψ(t)]dt ≤ |P− u0 | =: γ|P− u0 | 3σ 0

98

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

Zusammengefasst haben wir aus der Stabilit¨atsannahme die Restriktion |P+ u0 | ≤ ¯δ (0), die dieser Restrikγ|P− u0 | hergeleitet. Nur L¨ osungen mit Anfangswerten in B ¯ε (0), was im Widerspruch zur Stabilit¨atsantion gen¨ ugen, bleiben in der Kugel B nahme steht. Bemerkung 5.4.2. Satz 5.4.1 liefert keine Aussage im Fall Re λ = 0, f¨ ur einen Eigenwert von A. Das zeigt schon das skalare Beispiel x˙ = βx3 bzgl. der trivialen L¨osung x∗ = 0. Nach Beispiel (b) am Ende des Abschnittes 5.1 ist x∗ = 0 asymptotisch stabil, falls β < 0 und instabil, falls β > 0. Beispiele. (a) Das mathematische Pendel. Die obere Ruhelage, also der Punkt (π, 0) ist ein Equilibrium der Pendelgleichung u˙ = v, v˙ = −ω 2 sin u. Mit f (u, v) = [v, −ω 2 sin u]T gilt

1 , 0

0 f (u, v) = −ω 2 cos u

sodass A := f (π, 0) =

0 ω2

1 . 0

Die Eigenwerte der Matrix A lauten λ1,2 = ±ω, sodass f¨ ur ω = 0 ein positiver Eigenwert von A existiert. Nach Satz 5.4.1 ist die obere Ruhelage des mathematischen Pendels also instabil. F¨ ur die untere Ruhelage ergeben sich zwei imagin¨are Eigenwerte von f (0), also ist Satz 5.4.1 nicht anwendbar. (b) Das Volterra–Lotka-Modell mit S¨attigung x˙ = ax − bxy − f x2 , (V L) y˙ = −dy + cxy,

a, b, c, d, f > 0.

Um die Equilibria von (VL) zu bestimmen, m¨ ussen wir das nichtlineare Gleichungssystem ax − bxy − f x2 = 0, −dy + cxy = 0, l¨ osen. F¨ ur y = 0 folgt aus der ersten Gleichung x1 = 0 und x2 = fa . Ist andererseits y = 0, so folgt aus der zweiten Gleichung x = dc , woraus sich aus der ersten Gleichung y = ab − fcbd ergibt.

5.4. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at

99

Es existieren also die 3 Equilibria E1 = (0, 0), E2 = fd d a c , b − cb . Ferner gilt

f (x, y) = Equilibrium E1 :

a ,0 f

und E3 =

a − by − 2f x −bx . cy −d + cx

a 0 f (0, 0) = . 0 −d

Die Eigenwerte der Matrix f (0, 0) lauten λ1 = a > 0 und λ2 = −d < 0. Nach Satz 5.4.1 ist das Equilibrium E1 ein Sattelpunkt, also instabil. Equilibrium E2 : / . −a − ab a f f ,0 = . 0 −d + ca f f Die Eigenwerte sind in diesem Fall gegeben durch λ1 = −a < 0 und λ2 = −d + ca . f Es gilt λ2 < 0 genau dann, wenn ac < df . Hier ist E2 f¨ ur ac < df asymptotisch stabil und im Fall ac > df instabil. Equilibrium E3 : df d a fd −c − bd c . A := f , − = ac−df c b cb 0 b Aus Abschnitt 5.2 wissen wir, dass Re λ1 , Re λ2 < 0 genau dann gilt, wenn sp A < 0 und det A > 0. Es gilt sp A = − dfc < 0 und > 0, falls ac > df, d det A = (ac − df ) c < 0, falls ac < df. Freilich ist das Koexistenzequilibrium E3 biologisch nur f¨ ur ac > df sinnvoll und dann ist es asymptotisch stabil und E2 instabil. Das Phasenportrait f¨ ur den Koexistenz-Fall in (VL) ist in Abb. 5.10 mit a = b = c = 2, d = f = 1 dargestellt. (c) Konkurrenzmodelle. Seien u, v die Populationsgr¨oßen zweier Spezies, welche um dieselbe Nahrungsquelle konkurrieren. Das entsprechende System lautet u˙ = au − bu2 − euv, (K) a, b, c, d, e, f > 0. v˙ = cv − dv 2 − f uv, Zur Bestimmung der Equilibria l¨ ose man das nichtlineare Gleichungssystem (a − bu − ev)u = 0, (c − dv − f u)v = 0.

100

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

y 2.0 1.5 1.0 0.5 x 0.5

1.0

1.5

2.0

Abbildung 5.10: Koexistenz im Volterra–Lotka-Modell Im Fall u = 0 bzw. v = 0 erh¨ alt man die 3 Gleichgewichtspunkte E1 = (0, 0), E2 = (0, dc ) und E3 = ab , 0 . F¨ ur u = 0, v = 0 existiert das Koexistenzequilibrium 1 u d = v −f bd − ef Also gilt E4 =

ad−ec bc−af bd−ef , bd−ef

−e a . b c

f (u, v) =

. Ferner ist die Jacobi-Matrix gegeben durch a − 2bu − ev −f v

Equilibrium E1 : f (0, 0) =

−eu . c − 2dv − f u

a 0 . 0 c

Da beide Eigenwerte gr¨ oßer als Null sind, ist E1 instabil, ein instabiler Knoten. Equilibrium E2 : c a − ec 0 d A := f 0, = . − fdc −c d Es liegt asymptotische Stabilit¨ at von E2 vor, falls sp A < 0 und det A > 0. Nun ist det A > 0 genau dann, wenn ce > ad gilt; in diesem Fall ist sp A < 0. Equilibrium E3 : Eine ganz ¨ahnliche Rechnung wie f¨ ur das Equilibrium E2 liefert die asymptotische Stabilit¨at von E3 f¨ ur af > bc und die Instabilit¨at von E3 f¨ ur af < bc. Equilibrium E4 : Dieses Koexistenzequilibrium ist wegen den Populationsgr¨oßen (u, v) nur dann sinnvoll, wenn beide Komponenten positiv sind. Sei E4 = (u∗ , v∗ ). Wegen 0 = u∗ (a − bu∗ − ev∗ ) und u∗ > 0, gilt −bu∗ = a − 2bu∗ − ev∗ . Analog erh¨alt man

5.4. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at

101 v

v 1.5

1.0 0.8

1.0

0.6 0.4

0.5

0.2 u

u 0.5

1.0

0.5

1.5

1.0

1.5

2.0

Abbildung 5.11: Konkurrenzmodell: Keine Koexistenz v

v 2.0

1.0 0.8

1.5

0.6 1.0

0.4 0.5

0.2 u 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u 0.5

1.0

1.5

2.0

Abbildung 5.12: Konkurrenzmodell: Koexistenz −dv∗ = c − 2dv∗ − f u∗ . Daraus erhalten wir f¨ ur die Jacobi-Matrix die Darstellung −bu∗ −eu∗ A := f (u∗ , v∗ ) = . −f v∗ −dv∗ Es gilt sp A = −(bu∗ + dv∗ ) < 0, da u∗ , v∗ > 0 und det A = u∗ v∗ (bd − ef ) > 0, falls bd − ef > 0. Nach Satz 5.4.1 ist das Equilibrium E4 asymptotisch stabil, falls bd − ef > 0 und instabil, falls bd − ef < 0. Im Falle b = 0 oder d = 0 ist E4 wegen −ef < 0 stets instabil und falls e = 0 oder f = 0, ist E4 wegen bd > 0 stets asymptotisch stabil. Die zugeh¨ origen Phasenportraits sind in den Abbildungen 5.11 und 5.12 dargestellt. In h¨oheren Dimensionen sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) = det(λ − A) nicht immer leicht zug¨ anglich, daher sind Kriterien n¨ utzlich, die Re λj < 0 f¨ ur alle Nullstellen λj von p(λ) sicherstellen. Das bekannteste ist das Kriterium von Routh-Hurwitz, das hier ohne Beweis angegeben wird; siehe auch [9]. Um es formulieren zu k¨ onnen, schreibt man p(λ) = a01 λn + a11 λn−1 + a02 λn−2 + a12 λn−3 + · · · . Die Zeilen a0j und a1j werden weiter nach rechts durch Nullen aufgef¨ ullt. Induktiv

102

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

werden nun die Eintr¨ age der Routh-Matrix deﬁniert mittels i ai+1 = ai−1 j j+1 − ri aj+1 ,

ri =

ai−1 1 , i, j ≥ 1, ai1

sofern ai1 = 0 ist, andernfalls wird ai+1 = 0 gesetzt. Nun gilt: j Satz 5.4.3 (Routh-Hurwitz-Kriterium). Es sei die Routh-Hurwitz-Matrix [aij ]ij wie angegeben deﬁniert. Dann sind ¨ aquivalent: (a) Alle Nullstellen von p(λ) haben negative Realteile. (b) Es gilt ai1 > 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , n. Man beachte dabei a01 = 1! Speziell ergeben sich f¨ ur n = 3, also f¨ ur p(λ) = λ3 + aλ2 + bλ + c die Stabilit¨atsbedingungen a > 0, c > 0, ac > b, und im Falle n = 4, also f¨ ur p(λ) = λ4 + aλ3 + bλ2 + cλ + d, die Relationen a > 0, d > 0, ab > c, abc > c2 + a2 d.

5.5 Ljapunov-Funktionen Sei f : G → Rn lokal Lipschitz, G ⊂ Rn oﬀen und betrachte die autonome Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x). (5.12) Ein wichtiges Konzept in der Stabilit¨ atstheorie von Diﬀerentialgleichungen ist das der Ljapunov-Funktion. Deﬁnition 5.5.1. 1. Eine Funktion V ∈ C(G; R) heißt Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.12), falls V entlang der L¨ osungen von (5.12) fallend ist, das heißt, die Funktion ϕ(t) := (V ◦ x)(t) ist f¨ ur jede beliebige L¨ osung x(t) von (5.12) fallend in t; 2. V heißt strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.12), falls V entlang nichtkonstanter L¨ osungen von (5.12) streng fallend ist, das heißt, die Funktion ϕ(t) := (V ◦ x)(t) ist f¨ ur jede beliebige nichtkonstante L¨ osung x(t) von (5.12) streng fallend in t. Beispiele f¨ ur Ljapunov-Funktionen. (a) Sei x = x(t) eine L¨osung von (5.12) und V ∈ C 1 (G; R). Die Kettenregel ergibt f¨ ur die Funktion ϕ(t) = (V ◦ x)(t): ϕ(t) ˙ = (∇V (x(t))|x(t)) ˙ = (∇V (x(t))|f (x(t)). Also ist V ∈ C 1 (G; R) genau dann eine Ljapunov-Funktion, falls (∇V (x)|f (x)) ≤ 0 f¨ ur alle x ∈ G

5.5. Ljapunov-Funktionen

103

gilt, und V ist eine strikte Ljapunov-Funktion, wenn (∇V (x)|f (x)) < 0

f¨ ur alle x ∈ G \ E,

ist, wobei E = {x ∈ G| f (x) = 0} = f −1 (0) die Equilibriumsmenge von (5.12) bedeutet. (b) Sei n = 1. Die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) besitzt eine LjapunovFunktion, denn falls V = V (x) eine Stammfunktion zu −f (x) ist, also V (x) = −f (x), so gilt V (x)f (x) = −f (x)2 ≤ 0. Die Funktion V ist sogar eine strikte Ljapunov-Funktion. Sei n > 1. Unter Gradientensystemen verstehen wir Systeme, bei denen die Funktion −f (x) eine Stammfunktion F ∈ C 1 (G, R) besitzt, also ∇F (x) = −f (x). Setzt man V (x) = F (x), so ist die Funktion V eine strikte Ljapunov-Funktion, denn es gilt (∇V (x)|f (x)) = −(f (x)|f (x)) = −|f (x)|2 ≤ 0, und f (x) = 0 genau dann, wenn x ∈ E. (c) Das ged¨ ampfte Pendel u˙ = v, v˙ = −αv − ω 2 sin u,

α ≥ 0, ω > 0.

Wir deﬁnieren V (u, v) = 12 v 2 + ω 2 (1 − cos u); dies ist das erste Integral f¨ ur das unged¨ampfte Pendel. Dann ist V ∈ C 1 (Rn ; R) eine Ljapunov-Funktion, denn es gilt 2 ω sin u v (∇V (u, v)|f (u, v)) = v −αv − ω 2 sin u = vω 2 sin u − αv 2 − ω 2 v sin u = −αv 2 ≤ 0, f¨ ur alle v ∈ R. Mit Ausnahme der u-Achse gilt sogar (V (u, v)|f (u, v)) < 0, also ϕ(t) = V (u(t), v(t)) streng fallend. Angenommen, ϕ(t) ist in einem nichttrivialem Intervall (a, b) nicht streng fallend; dann folgt ϕ(t) ˙ = 0, also v(t) = 0 in (a, b), folglich u(t), ˙ und somit u(t) = const in (a, b). Mit v(t) ˙ = 0 folgt dann sin u(t) = 0, d.h. diese L¨ osung muss ein Equilibrium sein. Daher ist V sogar eine strikte Ljapunov-Funktion. (d) Das Volterra–Lotka-System mit S¨attigung x˙ = ax − cxy − bx2 , (V LS) a, b, c, d, e > 0. y˙ = −dy + exy,

104

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

Das Koexistenzequilibrium im Quadranten G = (0, ∞) × (0, ∞) = (0, ∞)2 haben wir schon im vorigen Abschnitt bestimmt und auf Stabilit¨at untersucht. Es lautet x∗ = de und y∗ = ae−bd ce . Wir deﬁnieren nun eine Funktion V durch V (x, y) = α(x − x∗ log Dann gilt (∇V (x, y)|f (x, y)) =

x y ) + β(y − y∗ log ) x∗ y∗

α, β ∈ R.

α(1 − x∗ /x) ax − bx2 − cxy β(1 − y∗ /y) −dy + cxy

= α(x − x∗ )(a − bx − cy) + β(y − y∗ )(−d + ex) = α(x − x∗ )[b(x∗ − x) + c(y∗ − y)] + β(y − y∗ )e(x − x∗ ) = −αb(x − x∗ )2 + (βe − αc)(y − y∗ )(x − x∗ ). Hier haben wir die Identit¨ aten a = bx∗ + cy∗ und d = ex∗ verwendet. Wir w¨ahlen α = e und β = c. Daraus folgt (∇V (x, y)|f (x, y)) = −eb(x − x∗ )2 ≤ 0, f¨ ur alle x, y ∈ R. Also ist die Funktion V = V (x, y) eine Ljapunov-Funktion. Es gilt sogar (∇V (x, y)|f (x, y)) < 0 f¨ ur alle x = x∗ , also ist ϕ(t) = V (x(t), y(t)) streng fallend, sofern x(t) = x∗ ist. F¨ ur Zeitwerte t mit x(t) = x∗ ist aber x(t) ˙ = x∗ (a − cy − bx∗ ) = 0, sofern nicht auch y = y∗ ist. Daher verl¨ asst eine nichtkonstante L¨osung sofort die Menge {x = x∗ }, und V ist damit sogar eine strikte Ljapunov-Funktion. Ljapunov-Funktionen eignen sich zum Nachweis globaler Existenz der L¨osungen von (5.12). Proposition 5.5.2. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : G → Rn lokal Lipschitz, V ∈ C(G, R) eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.12) und es gelte 1. lim|x|→∞ V (x) = ∞, falls G unbeschr¨ ankt ist: V ist koerziv; 2. limx→∂G V (x) = ∞. Dann existiert jede L¨ osung von (5.12) global nach rechts. Ferner gelten sup |x(t)| < ∞ t≥0

und

inf dist(x(t), ∂G) > 0.

t≥0

Beweis. Sei x(t) eine L¨ osung von (5.12) mit dem maximalen Existenzintervall [0, t+ ). Dann ist die Funktion ϕ(t) := V (x(t)) nach Voraussetzung monoton fallend f¨ ur alle t ∈ [0, t+ ). Angenommen x(t) ist nicht beschr¨ankt. Dann existiert eine Folge tn → t+ mit |x(tn )| → ∞ f¨ ur n → ∞. Nach Voraussetzung 1 gilt dann aber auch V (x(tn )) → ∞ f¨ ur n → ∞. Dies widerspricht aber der Monotonie von ϕ. Angenommen dist(x(tn ), ∂G) → 0 f¨ ur tn → t+ . Aus Voraussetzung 2 folgt dann wiederum V (x(tn )) → ∞ f¨ ur n → ∞, ein Widerspruch. Aus Satz 2.3.2 folgt t+ = ∞, also die globale Existenz der L¨ osung nach rechts.

5.5. Ljapunov-Funktionen

105

Beispiele. (a) Das Volterra–Lotka-System mit S¨ attigung. Sei G = (0, ∞)2 . Wie wir bereits gesehen haben, ist die Funktion V (x, y) = e(x − x∗ log

x y ) + c(y − y∗ log ) x∗ y∗

eine Ljapunov-Funktion f¨ ur das Volterra–Lotka-System mit S¨attigung. Die Funktion V erf¨ ullt ferner die Voraussetzungen aus Proposition 5.5.2 f¨ ur G = (0, ∞) × (0, ∞). Also existieren die L¨ osungen global nach rechts und sind vom Rand weg beschr¨ankt. (b) Das ged¨ ampfte Pendel. Sei G = R2 . Die strikte Ljapunov-Funktion V (u, v) =

1 2 v + ω 2 (1 − cos u) 2

erf¨ ullt leider nicht die Bedingung 1 aus Proposition 5.5.2. Jedoch gilt V (u, v) → ∞ f¨ ur |v| → ∞. Das impliziert |u(t)| ˙ = |v(t)| ≤ M f¨ ur alle t ≥ 0. Aus der Diﬀerentialgleichung f¨ ur das ged¨ ampfte Pendel erhalten wir zun¨achst |¨ u(t)| ≤ M f¨ ur alle t ≥ 0 und nach Multiplikation der Gleichung mit u˙ und Integration bzgl. t weiterhin ∞ u(t) ˙ 2 dt < ∞. 0

Daraus folgt v(t) = u(t) ˙ → 0 f¨ ur t → ∞. Da die Ljapunov-Funktion V nichtnegativ ist, gilt V (u(t), v(t)) → V∞ ≥ 0 f¨ ur t → ∞ und damit cos u(t) → c∞ ∈ [−1, 1] f¨ ur t → ∞. F¨ ur jedes ε > 0 existiert also ein tε > 0, sodass | cos u(t) − c∞ | ≤ ε falls t ≥ tε . F¨ ur hinreichend kleines ε > 0 besteht das Urbild cos−1 ([c∞ − ε, c∞ + ε]) = {v ∈ R : cos v ∈ [c∞ − ε, c∞ + ε]} aus einer Vereinigung beschr¨ ankter disjunkter Intervalle. Daher gilt |u(t)| ≤ C f¨ ur alle t ≥ 0 mit einer geeigneten Konstante C > 0, da die Menge u(R+ ) zusammenh¨angend ist. Bevor wir zur sogenannten direkten Methode von Ljapunov kommen, ben¨otigen wir eine Aussage, die die Asymptotik der L¨osungen von (5.12) f¨ ur t → ∞ mit einer gegebenen Ljapunov-Funktion verbindet. Lemma 5.5.3. Sei V ∈ C(G) eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.12), sei x(t, x0 ) eine nach rechts globale L¨ osung von (5.12) mit x(tk , x0 ) → x∞ ∈ G f¨ ur eine Folge tk → ∞. Dann gilt x∞ ∈ E. Beweis. Die Funktion ϕ(t) = V (x(t)) ist fallend, daher existiert der Grenzwert ϕ(∞) = lim ϕ(t) = lim ϕ(tk ) = lim V (x(tk , x0 )) = V (x∞ ), t→∞

k→∞

k→∞

da V stetig ist. Eindeutigkeit und stetige Abh¨angigkeit implizieren lim x(t + tk , x0 ) = lim x(t, x(tk , x0 )) = x(t, lim x(tk , x0 )) = x(t, x∞ ),

k→∞

k→∞

k→∞

106

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

f¨ ur jedes feste t im maximalen Existenzintervall J∞ von x(·, x∞ ). Die Stetigkeit von V liefert daher die Identit¨ at ϕ(∞) = V (x∞ ) = V (x(t, x∞ )), f¨ ur alle t ∈ J∞ . Da V eine strikte Ljapunov-Funktion ist, muss x∞ daher ein Equilibrium von (5.12) sein. Kennt man eine Ljapunov-Funktion zu (5.12), so kann man unter bestimmten Voraussetzungen auf das Stabilit¨ atsverhalten eines Equilibriums x∗ ∈ G von (5.12) schließen. Satz 5.5.4. Sei V ∈ C(G; R) eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.12) und x∗ sei ein Equilibrium f¨ ur (5.12). Dann gelten: 1. Ist x∗ ein striktes Minimum von V , so ist x∗ stabil f¨ ur (5.12). 2. Ist x∗ isoliert in E = f −1 (0), ein striktes Minimum von V und ist V eine strikte Ljapunov-Funktion, so ist x∗ asymptotisch stabil f¨ ur (5.12). ¯ε (x∗ ) ⊂ G und V (x) > V (x∗ ) f¨ Beweis. Zu 1: Sei ε > 0 gegeben, sodass B ur alle ¯ x ∈ Bε (x∗ ) \ {x∗ } gilt. Sei ferner η :=

min

¯ ε (x∗ ) x∈∂ B

V (x).

Oﬀensichtlich gilt V (x∗ ) < η. Da V stetig ist, existiert ein δ ∈ (0, ε), sodass V (x) < η f¨ ur alle x ∈ Bδ (x∗ ). F¨ ur x(0) = x0 mit |x0 − x∗ | < δ gilt demnach V (x(t)) ≤ V (x0 ) < η,

(5.13)

solange die L¨osung existiert, da die Komposition V ◦ x eine monoton fallende Funktion ist. Angenommen es existiert ein kleinstes t∗ > 0 mit |x(t∗ ) − x∗ | = ε. Dann gilt V (x(t∗ )) ≥ η, im Widerspruch zu (5.13). Die L¨osung erreicht also ¯ε (x∗ ). Daher existiert die L¨osung global und es gilt niemals den Rand der Kugel B |x(t) − x∗ | < ε f¨ ur alle t ≥ 0. Zu 2: Seien δ > 0 und ε > 0 wie im ersten Teil des Beweises, aber unter der zus¨atzlichen Bedingung gegeben, dass ε > 0 so klein ist, dass x∗ das einzige ¯ε (x∗ ) ist. Angenommen die L¨osung x = x(t; x0 ) von (5.12) zum Equilibrium in B Anfangswert x0 ∈ Bδ (x∗ ) konvergiert nicht gegen das Equilibrium x∗ . Dann existiert ein ρ > 0 und eine Folge (tn ) ∞, sodass |x(tn ; x0 ) − x∗ | > ρ f¨ ur alle n ∈ N. Aus Teil 1 des Beweises folgt, dass die L¨ osung x(t; x0 ) f¨ ur alle t ≥ 0 gleichm¨aßig beschr¨ankt ist. Daraus folgt die Existenz einer Teilfolge (tnk ) ∞, sodass der Grenzwert ¯ε (x∗ ) ⊂ G, lim x(tnk ; x0 ) =: x∞ ∈ B k→∞

existiert. Nach Lemma 5.5.3 ist x∞ ∈ E ein Equilibrium von (5.12). Das ist ein ¯ε (x∗ ) ist. Widerspruch dazu, dass x∗ das einzige Equilibrium von (5.12) in B Bemerkung 5.5.5. Die Methode heißt direkt, da keine Algebra der Matrix f (x∗ ) (indirekte Methode), also keine Untersuchung der Eigenwerte notwendig ist. Das

5.5. Ljapunov-Funktionen

107

ist der große Vorteil gegen¨ uber der indirekten Methode. Leider muss man aber dazu eine Ljapunov-Funktion kennen, was im Allgemeinen nicht immer der Fall ist. Dem gegen¨ ubergestellt ist die indirekte Methode nat¨ urlich universell anwendbar, sofern die rechte Seite f aus C 1 ist. Leider liefert aber diese Methode wiederum keine Aussagen u ¨ber globales Verhalten. Beispiele. (a) Bewegung eines Teilchens im Potentialfeld. Sei φ = φ(x) das Potential, x = x(t) ∈ R3 die Position des Teilchens zur Zeit t und m dessen Masse. Die Bewegung des Teilchens im Potentialfeld wird beschrieben durch die Diﬀerentialgleichung m¨ x = −∇φ(x), x ∈ R3 . Setzt man q = x und p = mx, ˙ so erh¨ alt man die Hamilton’sche Formulierung des Problems: p q˙ = x˙ = m , (H) p˙ = m¨ x = −∇φ(x) = −∇φ(q). |x| ˙ 2

2

Setze nun V (q, p) = m 2 2 + φ(x) = |p| + φ(q), also ist V die Gesamtenergie des 2m Systems. Sind dann q = q(t) und p = p(t) L¨ osungen von (H), so gilt d 1 1 1 V (q(t), p(t)) = (∇φ(q)|q) ˙ + (p|p) ˙ = (∇φ(q)|p) + (p| − ∇φ(q)) = 0. dt m m m Somit ist V also eine Ljapunov-Funktion, sogar ein erstes Integral f¨ ur (H). Die Equilibria (q∗ , p∗ ) ergeben sich aus den Gleichungen p∗ = 0 und ∇φ(q∗ ) = 0. Wie man leicht nachrechnet, ist (q∗ , 0) genau dann ein striktes Minimum von V , wenn q∗ ein striktes Minimum von φ ist. Aus Satz 5.5.4 folgt also, dass strikte Minima des Potentials φ stabile Ruhelagen eines Teilchens in dessen Kraftfeld sind. Man beachte, dass diese aufgrund der Energieerhaltung nicht asymptotisch stabil sein k¨onnen. Ist andererseits q∗ ein Sattelpunkt oder ein lokales Maximum - von φ, genauer besitzt ∇2 φ(q∗ ) einen negativen Eigenwert μ, dann sind λ = ± μ/m Eigenwerte der Linearisierung von (H) in (q∗ , 0). Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at impliziert dann Instabilit¨ at des Equilibriums (q∗ , 0) von (H). (b) Das mathematische Pendel. Dieses Beispiel ist ein Spezialfall von (a). Die Funktion V (x, ˙ x) = 12 x˙ 2 + ω 2 (1 − cos x) ist eine Ljapunov-Funktion f¨ ur die Diﬀerentialgleichung x ¨ + ω 2 sin x = 0. Der Punkt (0, 0) ist ein Equilibrium des Pendels und zugleich ein striktes Minimum, denn es gilt 2 ω sin(0) 0 ∇V (0, 0) = = 0 0 und

2 ω 2 cos(0) 0 ω ∇ V (0, 0) = = 0 1 0 2

0 , 1

108

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

sodass die Hesse-Matrix ∇2 V (0, 0) positiv deﬁnit ist. Nach Satz 5.5.4 ist die untere Ruhelage des Pendels stabil, aber nicht asymptotisch stabil. Andererseits ist V im Fall des ged¨ ampften Pendels eine strikte LjapunovFunktion, also zeigt Satz 5.5.4, dass die untere Ruhelage f¨ ur das ged¨ampfte Pendel asymptotisch stabil ist. (c) Das Volterra–Lotka-System mit S¨ attigung. Wir hatten bereits gezeigt, dass die Funktion V (x, y) = e(x − x∗ log

x y ) + c(y − y∗ log ), x∗ y∗

eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur das Volterra–Lotka-System mit S¨attigung ist. Dabei ist (x∗ , y∗ ) das Koexistenzequilibrium, welches durch x∗ = de > 0 und y∗ = ae−bd > 0 gegeben ist. Es gilt ce ∇V (x∗ , y∗ ) =

e(1 − c(1 −

und

∇ V (x∗ , y∗ ) = 2

x∗ x∗ ) y∗ ) y∗

e x∗

0

=

0 c y∗

0 , 0

.

Demnach ist die Hesse-Matrix ∇2 V (x∗ , y∗ ) wegen c, e, x∗ , y∗ > 0 positiv deﬁnit. Also ist (x∗ , y∗ ) ein striktes Minimum von V und Satz 5.5.4 liefert die asymptotische Stabilit¨at des Koexistenzequilibriums. Ljapunov-Funktionen leisten aber noch viel mehr, sie geben n¨amlich auch Aufschluss u ¨ ber das asymptotische Verhalten von beliebigen beschr¨ankten L¨osungen. Satz 5.5.6. Sei V eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.12), K ⊂ G kompakt, x(t) = x(t; x0 ) sei eine L¨ osung von (5.12) mit {x(t; x0 )}t≥0 ⊂ K und es sei E := f −1 (0) ⊂ G die Equilibriumsmenge von (5.12). Dann gilt lim dist(x(t), E) = 0.

t→∞

Ist E ∩ V −1 ({α}) diskret f¨ ur jedes α ∈ R, so existiert der Grenzwert lim x(t) =: x∞ ∈ E.

t→∞

Beweis. Die erste Behauptung folgt aus Lemma 5.5.3. Sei nun E ∩ V −1 (α) f¨ ur jedes α ∈ R diskret. Angenommen der Grenzwert limt→∞ x(t) existiert nicht. W¨ahle eine Folge tk → ∞ mit x(tk ) → x∞ (k → ∞) und eine Folge sk → ∞ mit x(sk ) → y∞ = x∞ (k → ∞) und tk < sk < tk+1 . Mit α∞ := V (x∞ ), w¨ahle ein ε > ¯ε (x∞ ) ∩ E ∩ V −1 (α∞ ) = {x∞ }. Dies ist m¨oglich, da E ∩ V −1 (α∞ ) 0 so klein, dass B ¯ε (x∞ ) existiert ein k0 ∈ N, sodass diskret ist. Da x(t) stetig ist und wegen y∞ ∈ B

5.5. Ljapunov-Funktionen

109

¯ε (x∞ ) in jedem der Intervalle (tk , sk ) f¨ die Funktion x(t) den Rand der Kugel B ur alle k ≥ k0 triﬀt. Man erh¨ alt so eine Folge rk → ∞, mit |x(rk ) − x∞ | = ε. Da ¯ε (x∞ ) kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge aber der Rand der Kugel B x(rkl ) → z∞ und |z∞ − x∞ | = ε. Nach Lemma 5.5.3 gilt z∞ ∈ E ∩ V −1 (α∞ ). Das ¯ε (x∞ ) = {x∞ } gilt. ist aber ein Widerspruch dazu, dass V −1 (α∞ ) ∩ E ∩ B Beispiele. (a) Das ged¨ampfte Pendel. Die Funktion V (u, v) = 12 v2 + ω 2 (1 − cos u) ist eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur das Pendelsystem mit D¨ampfung u˙ = v, α ≥ 0, ω > 0. v˙ = −αv − ω 2 sin u, Die Equilibriumsmenge E ist durch E = {(kπ, 0) : k ∈ Z} gegeben, also diskret. Damit konvergiert jede L¨ osung dieses Systems gegen eine der Gleichgewichtslagen. (b) Das Volterra–Lotka-System mit S¨ attigung. Die Menge der Equilibria E ist hier diskret. Wir wissen ferner, dass V (x, y) = e(x − x∗ log

x y ) + c(y − y∗ log ) x∗ y∗

eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (x, y) ∈ G\E ist. Die L¨osungen existieren außerdem f¨ ur jeden Anfangswert x0 , y0 > 0 global und sind vom Rand weg beschr¨ankt. Dann besagt Satz 5.5.6, dass die L¨ osung (x(t), y(t)) zum Anfangswert (x0 , y0 ) f¨ ur t → ∞ konvergent ist, mit (x(t), y(t)) → (x∗ , y∗ ). Die anderen Equilibria liegen auf dem Rand von G = (0, ∞) × (0, ∞), und sind damit instabil. (c) Teilchen im Potentialfeld mit D¨ ampfung. In Verallgemeinerung von (a) betrachten wir nochmals die Gleichung f¨ ur ein Teilchen im Potentialfeld x ¨ + g(x) ˙ + ∇φ(x) = 0, wobei die lokale Lipschitz Funktion g : Rn → Rn eine D¨ampfung beschreibt. Als Ljapunov-Funktion w¨ ahlen wir wieder die Energie V (x, x) ˙ = 12 |x| ˙ 22 + φ(x). Dann ist d V (x, x) ˙ = −(g(x)| ˙ x), ˙ dt folglich ist V eine strikte Ljapunov-Funktion, falls die Bedingung (g(y)|y) > 0

f¨ ur alle y ∈ Rn , y = 0,

erf¨ ullt ist. Satz 5.5.6 impliziert nun die Konvergenz beschr¨ankter L¨osungen, sofern die kritischen Punkte von φ in jeder Niveaumenge φ−1 (α) diskret sind. Man beachte auch, dass mit Proposition 5.5.2 jede L¨ osung beschr¨ankt ist, sofern φ koerziv ist.

110

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

5.6 Dynamik von Viren Wir betrachten eine virale Infektion einer Zellkultur. Zur Modellierung seien V die Anzahl der freien Viren, Z die der nicht inﬁzierten Zellen und I die der inﬁzierten Zellen. Nicht inﬁzierte Zellen werden mit einer festen Rate λ > 0 bereitgestellt. Die freien Viren inﬁzieren die gesunden Zellen mit der Rate rV Z. Dabei beschreibt die Infektionskontaktrate r > 0 die Eﬃzienz dieses Vorgangs, also etwa die H¨auﬁgkeit mit der freie Viren nichtinﬁzierte Zellen aufsp¨ uren und in sie eindringen (oder ihr genetisches Material einf¨ uhren), sowie den Anteil der erfolgreichen Infektionen. Die anderen Prozesse sollen jeweils nur von einer Spezies abh¨angen: Inﬁzierte Zellen produzieren neue Viren und setzen sie mit Rate k > 0 pro Zelle frei. Die Sterberaten der drei Klassen seien gleich νV , mZ und μI. Schließlich ber¨ ucksichtigen wir die M¨oglichkeit, dass die Anwesenheit freier Viren die Zellproduktion mit der Rate bV anregt. Im u onnen inﬁzierte Zellen nicht gesunden. Somit erhalten wir ¨brigen k¨ das System V˙ = kI − νV, t ≥ 0, Z˙ = λ − mZ + bV − rV Z, I˙ = rV Z − μI, t ≥ 0, V (0) = V0 ,

Z(0) = Z0 ,

t ≥ 0,

(5.14)

I(0) = I0 .

Hierbei sind die Anfangswerte V0 , Z0 , I0 ≥ 0 und die Konstanten λ, r, k, m, μ, ν > 0 und b ≥ 0 gegeben. Mittels des Satzes von Picard–Lindel¨of zeigt man leicht, dass (5.14) eine eindeutige L¨ osung besitzt. Wir skalieren diese L¨osung mittels r kr kr V (t/μ), y(t) = 2 Z(t/μ), z(t) = 2 I(t/μ), μ μ μ rV0 krZ0 krI0 x0 = , y0 = , z0 = 2 . μ μ2 μ

x(t) =

(5.15)

Ferner setzen wir ξ = νμ−1 , σ = krλμ−3 , ρ = mμ−1 und δ = bkμ−2 . Dann ergibt sich aus (5.14) das normalisierte System x˙ = z − ξx,

t ≥ 0,

y˙ = σ − ρy + δx − xy, z˙ = xy − z, t ≥ 0, x(0) = x0 ,

y(0) = y0 ,

t ≥ 0,

(5.16)

z(0) = z0 .

Wir formulieren nun das grundlegende Resultat u ¨ ber das qualitative Verhalten von (5.16), wobei wir annehmen, dass die Anfangswerte x0 , y0 , z0 ≥ 0 und die Konstanten ξ, σ, ρ > 0 und δ ≥ 0 gegeben sind. Satz 5.6.1. Es seien δ ∈ [0, ξ) und (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3+ . Dann besitzt das System (5.16) eine eindeutige, beschr¨ ankte, positive L¨ osung f¨ ur alle t ≥ 0. Ferner gibt es

5.6. Dynamik von Viren

111

nur die Equilibria (x, y, z) = (0, σ/ρ, 0)

und

(x∗ , y∗ , z∗ ) =

σ − ρξ ξ−δ

, ξ, ξ

σ − ρξ . ξ−δ

(5.17)

Sei σ < ξρ. Dann ist (x, y, z) das einzige positive Equilibrium von (5.16). Es ist asymptotisch stabil und die L¨ osung von (5.16) konvergiert gegen (x, y, z). Sei σ > ξρ. Dann ist (x, y, z) in R3+ instabil, und (x∗ , y∗ , z∗ ) ist strikt positiv und asymptotisch stabil. Die L¨ osung konvergiert gegen (x∗ , y∗ , z∗ ), falls x0 + z0 > 0 ist. Aus diesem Satz ergibt sich gem¨ aß (5.15) unmittelbar die gew¨ unschte Beschreibung des asymptotischen Verhaltens des Virenmodells (5.14). Zun¨achst beachte man, dass die Ungleichung δ < ξ zur Bedingung kb < μν ¨aquivalent ist. Diese Zusatzbedingung sichert die Beschr¨ ankheit der L¨osung und schließt den unrealistischen Fall aus, dass die Viren die Produktion gesunder Zellen zu stark anregen. Sie gilt stets im Falle b = 0. Der obige Satz impliziert insbesondere, dass die Reσ produktionsrate R = ξρ das asymptotische Verhalten von (5.14) steuert: Ist R < 1, dann konvergiert das System gegen das infektionsfreie Gleichgewicht und die Infektion erlischt. Ist R > 1, dann konvergiert das System gegen das strikt positive endemische Gleichgewicht und die Infektion bleibt erhalten. Beweis. Es ist klar, dass eine einzige lokale L¨ osung (x, y, z) von (5.16) existiert. Sie bleibt positiv, da die Positivit¨ atsbedingung (P) erf¨ ullt ist. Wir setzen u = αx+y+z und κ = min{ρ, 1 − α, ξ − δ/α} > 0 f¨ ur ein α ∈ (0, 1) mit δ < αξ, wobei wir die vorausgesetzte Relation δ < ξ verwenden. Dann folgt aus (5.16) die Ungleichung u˙ = σ − (αξ − δ)x − ρy − (1 − α)z ≤ σ − κu. Durch Integration erhalten wir u(t) ≤ u(0) + σ/κ. Auf Grund ihrer Positivit¨at sind die L¨osungen somit beschr¨ ankt und existieren also f¨ ur alle Zeiten nach dem Fortsetzungssatz. Oﬀenbar ist (x, y, z) = (0, σ/ρ, 0) eine station¨are L¨osung von (5.16). Sei (x∗ , y∗ , z∗ ) ein weiteres Equilibrium. Da dann z∗ = ξx∗ = 0 gelten muss, erhalten wir y∗ = ξ, woraus x∗ = (σ − ρξ)/(ξ − δ) folgt. Folglich ist (x∗ , y∗ , z∗ ) das einzige weitere Gleichgewicht, das genau f¨ ur σ > ρξ positiv und ungleich (x, y, z) ist. Die rechte Seite von (5.16) ist durch f (x, y, z) = (z − ξx, σ − ρy + δx − xy, xy − z) gegeben. An den Equilibria erhalten wir die Linearisierungen ⎛ ⎞ −ξ 0 1 A = f (x, y, z) = ⎝δ − σ/ρ −ρ 0 ⎠ , σ/ρ 0 −1 ⎛ ⎞ −ξ 0 1 B = f (x∗ , y∗ , z∗ ) = ⎝δ − ξ −ρ − x∗ 0 ⎠ . ξ x∗ −1

(5.18)

112

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

Das charakteristische Polynom von A ist pA (λ) = (λ + ρ)[λ2 + (1 + ξ)λ + ξ − σ/ρ]. Es hat die Nullstellen λ1 = −ρ und λ2,3 = −

1+ξ 1± (1 + ξ)2 − 4(ξ − σ/ρ). 2 2

Gem¨aß dem Prinzip der linearisierten Stabilit¨at ist also (x, y, z) f¨ ur σ < ξρ asymptotisch stabil und f¨ ur σ > ξρ instabil. Die Instabilit¨at in R3+ folgt unmittelbar aus der unten gezeigten globalen Attraktivit¨ at von (x∗ , y∗ , z∗ ) im Falle σ > ξρ. Sei nun σ > ξρ. Das charakteristische Polynom von B ist durch λ3 + a1 λ2 + a2 λ + a3 mit a1 = 1 + ξ + ρ + x∗ , a2 = (1 + ξ)(ρ + x∗ ) und a3 = σ − ξρ gegeben. Weil a1 a2 > ξx∗ ≥ (ξ − δ)x∗ = a3 > 0, zeigt das Routh–Hurwitz Kriterium, dass die Eigenwerte von B strikt negative Realteile haben. Somit ist (x∗ , y∗ , z∗ ) in diesem Fall asymptotisch stabil. Wir wollen nun die behauptete globale asymptotische Stabilit¨at mittels Ljapunov-Funktionen zeigen. Zuerst betrachten wir den Fall σ < ρξ und das Equilibrium (x, y, z) = (0, σ/ρ, 0). Wir setzen Φ0 (x, y, z) = (y − y)2 /2 + (2ξ − δ − y)(x + z)

(5.19)

f¨ ur x, y, z ≥ 0. Dann ergibt sich aus (5.16) und σ = ρy ˙ 0 (x, y, z) = (y − y)(ρy − ρy + δx − xy) + (2ξ − δ − y)(xy − ξx) Φ = −ρ(y − y)2 − x[y 2 − 2ξy + δy + ξ(2ξ − δ − y)] = −ρ(y − y)2 − x[(y − ξ)2 + (ξ − y)(ξ − δ)]. Aus ξ − y = (ξρ − σ)/ρ > 0 folgt somit, dass Φ0 eine Ljapunov-Funktion auf R3+ ˙ 0 (x, y, z) = 0 l¨ ist. Gilt Φ angs einer L¨ osung, dann erhalten wir y = σ/ρ und x = 0. Daraus ergibt sich aber z = 0, sodass Φ0 eine strikte Ljapunov-Funktion ist. Somit folgt die Konvergenzaussage in diesem Fall aus Satz 5.5.6. Nun untersuchen wir (x∗ , y∗ , z∗ ) unter der Bedingung σ > ξρ. Zun¨achst betrachten wir die schon f¨ ur das Volterra–Lotka Modell verwendeten Funktionen φc (u) = u − c ln u f¨ ur u > 0, und setzen φ1 = φx∗ , φ2 = φy∗ und φ3 = φz∗ . Aus φ˙ c (u) = u(1 ˙ − c/u), (5.16) und (5.17) ergeben sich x∗ zx∗ φ˙ 1 (x) = (z − ξx) 1 − =z− − ξx + ξx∗ , x x φ˙ 2 (y) = (ρy∗ − δx∗ + x∗ y∗ − ρy + δx − xy)(1 − y∗ /y) ρ δ ξ 2 x∗ = − (y − y∗ )2 + (x − x∗ )(y − y∗ ) − xy + ξx + ξx∗ − y y y ξ−δ 2 ρ+x = −(y − y∗ ) − (x − x∗ )(y − y∗ ) (5.20) y y ξx∗ ξxyx∗ φ˙ 3 (z) = (xy − z) 1 − = xy − z − + ξx∗ . z z

5.6. Dynamik von Viren

113

Wir deﬁnieren Ψ(x, y, z) = φ1 (x) + φ2 (y) + φ3 (z) und erhalten z ρ δ ξ2 ξxy ˙ Ψ(x, y, z) = − (y − y∗ )2 + (x − x∗ )(y − y∗ ) − x∗ + + − 3ξ . y y x y z In Hinblick auf den Term [· · · ], setzen wir a = z/x > 0 und b = ξ 2 /y > 0 und 3 betrachten die Funktion ϕ(a, b) = a + b + ξab − 3ξ. Man sieht leicht, dass ∇ϕ in (0, ∞)2 nur f¨ ur a = b = ξ verschwindet und dass ϕ(ξ, ξ) = 0 ein striktes lokales Minimum ist. Ferner konvergiert ϕ gegen unendlich, wenn (a, b) gegen die Koordinatenachsen oder gegen ∞ strebt. Also ist ϕ positiv und somit −x∗ [· · · ] ≤ 0. Gleichung (5.20) zeigt, dass wir den vorzeichenwechselnden Summanden yδ (x−x∗ ) (y − y∗ ) eliminieren k¨ onnen, wenn wir ein geeignetes Vielfaches von φ2 zu Ψ addieren. Demgem¨ aß setzen wir Φ∗ (x, y, z) = Ψ(x, y, z) +

δ φ2 (y) ξ−δ

(5.21)

und erhalten nach unseren obigen Rechnungen z δx + ξρ ξ2 ξxy Φ˙ ∗ (x, y, z) = − (y − y∗ )2 − x∗ + + − 3ξ ≤ 0. y(ξ − δ) x y z ˙ ∗ (x, y, z) = 0 l¨angs einer Also ist Φ∗ eine Ljapunov-Funktion auf (0, ∞)3 . Ist Φ L¨osung, dann folgt y = y∗ = ξ. Die zweite Gleichung in (5.16) impliziert somit x = x∗ , woraus sich mit der ersten Gleichung z = ξx∗ = z∗ ergibt. Somit ist Φ∗ eine strikte Ljapunov-Funktion. Wenn (x, y, z) gegen die Koordinatenebenen oder gegen unendlich strebt, dann konvergiert auch Φ∗ (x, y, z) gegen unendlich. Somit sind die Mengen Nc = {x, y, z > 0 : Φ∗ (x, y, z) ≤ c} f¨ ur c ∈ R positiv invariant und kompakt. Zu einem strikt positiven Anfangswert gibt es ein c, sodass (x0 , y0 , z0 ) und (x∗ , y∗ , z∗ ) in Nc liegen. Nach Satz 5.5.6 konvergiert nun die zu (x0 , y0 , z0 ) geh¨orende L¨osung gegen das einzige Equilibrium (x∗ , y∗ , z∗ ) in Nc . Wir betrachten abschließend einen Anfangswert (x0 , y0 , z0 ) auf dem Rand von R3+ mit x0 + z0 > 0, wobei weiterhin σ > ξρ gelte. Zun¨achst zeigt die zweite Gleichung in (5.16), dass f¨ ur kleine t > 0 die Komponente y(t) strikt positiv ist, auch wenn y0 gleich 0 sein sollte. Wir k¨ onnen also annehmen, dass y0 > 0 gilt. Dann folgt aus (5.16), dass f1 (0, y0 , z0 ), f2 (x0 , 0, z0 ) und f3 (x0 , y0 , 0) strikt positiv sind. Somit tritt die L¨ osung f¨ ur t > 0 in (0, ∞)3 ein und konvergiert dann gegen (x∗ , y∗ , z∗ ). ¨ Ubungen 1. Sei f ∈ C(R) lokal Lipschitz, f (0) = 0, und f (x) = 0 f¨ ur 0 < |x| < r. Betrachten Sie die DGL x˙ = f (x). Charakterisieren Sie mit Hilfe von Vorzeichenbedingungen an die Funktion f im Intervall (−r, r) die Stabilit¨ at, asymptotische Stabilit¨ at und Instabilit¨ at der station¨ aren L¨ osung x∗ (t) ≡ 0.

114

Kapitel 5. Elementare Stabilit¨atstheorie

2 Betrachten Sie die Ruhelagen (x, x) ˙ = (0, 0) und (x, x) ˙ = (π, 0) des Pendels x ¨ + ω 2 sin x = 0. Zeigen Sie, dass die erste stabil aber nicht asymptotisch stabil, und die zweite instabil ist. 3. Untersuchen Sie die Stabilit¨ atseigenschaften der station¨ aren L¨ osungen der Fitzhugh¨ Nagumo-Gleichung (vgl. Ubung 4.6). ¨ 4. Bestimmen Sie die Equilibria des Brusselators (vgl. Ubung 2.4) und untersuchen Sie deren Stabilit¨ atseigenschaften. 5. Untersuchen Sie die Stabilit¨ atseigenschaften der station¨ aren L¨ osungen des Oregona¨ tors (vgl. Ubung 4.7). ¨ 6. Diese Aufgabe bezieht sich auf das Paarbildungsmodell (vgl. Ubung 4.4). Die Funktion φ(u, v) sei aus C 1 (R2 ) und homogen, d.h. φ(tu, tv) = tφ(u, v) f¨ ur alle t, u, v ∈ R. Alle im Modell auftretenden Parameter βj , μj , μ 1j , σ seien streng positiv. Unter welchen Bedingungen an die Parameter des Modells ist die triviale L¨ osung asymptotisch stabil bzw. instabil? 7. Sei H : R2n → R aus C 2 . Das zu H geh¨ orige Hamilton-System ist deﬁniert durch q˙ = Hp (q, p),

(5.22)

p˙ = −Hq (q, p). Zeigen Sie, dass H(q, p) eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.22) ist. Wann ist ein Equilibrium von (5.22) stabil, wann asymptotisch stabil? 8. Das System x˙ = −λxy − μx + μa, y˙ = λxy − μy − γy,

(5.23)

z˙ = γy − μz, mit λ, μ, γ, a > 0 ist ein SIR-Endemiemodell, bei der die Infektion nicht vererbt wird. Zeigen Sie, dass dieses System im Fall aλ > μ + γ genau ein nichttriviales (endemisches) Equilibrium (x∗ , y∗ , z∗ ) ∈ (0, ∞)3 besitzt, und dass die Funktion V (x, y, z) = x − x∗ log(x) + y − y∗ log(y) eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.23) auf (0, ∞)3 ist. Was k¨ onnen Sie u at ¨ ber die Stabilit¨ von (x∗ , y∗ , z∗ ) sagen? 9. Sei a > 0. Das lineare System x˙ 0 = a(x1 − x0 ), x˙ i = a(xi+1 + xi−1 − 2xi ), x˙ N +1 = a(xN − xN +1 ),

i = 1, . . . , n,

(5.24)

5.6. Dynamik von Viren

115

entsteht durch r¨ aumliche Diskretisierung der Diﬀusionsgleichung ∂t u = b∂y2 u f¨ ur (t, x) ∈ R+ × [0, 1] mit Neumannschen Randbedingungen ∂y u(t, 0) = ∂y u(t, 1) = 0. Zeigen Sie, dass N +1 V (x) = (xi − xi−1 )2 i=1

eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (5.24) ist. 10. Das Holling-Modell u˙ = u(1 − λu) − vf (u), v˙ = −μv − v 2 + vf (u), ist ein weiteres Modell zur Beschreibung von R¨ auber-Beute Populationen. Dabei ist f : R+ → R aus C 1 streng wachsend mit f (0) = 0, und μ > 0, λ ≥ 0 sind Konstanten. Untersuchen Sie die (nichtnegativen) Equilibria des Systems. Unter welchen Bedingungen gibt es Koexistenz und wie ist das Stabilit¨ atsverhalten der Equilibria? 11. Zeigen Sie, dass das SEIS Epidemie-Modell S˙ = λ − mS + bI − rIS, t ≥ 0, ˙ E = rIS − μE − aE, t ≥ 0, ˙ I = aE − νI − bI, t ≥ 0, S(0) = S0 ,

E(0) = E0 ,

I(0) = I0 ,

nach geeigneter Skalierung ¨ aquivalent zum Virenmodell aus Abschnitt 5.6 ist. Formulieren Sie die entsprechenden Resultate f¨ ur dieses Modell. Welche Zahl ist hier der Schwellenwert?

Teil II

Dynamische Systeme

Kapitel 6

Existenz und Eindeutigkeit II Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, (t0 , x0 ) ∈ G, f : G → Rn stetig, und betrachte das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 . (6.1) Wir wissen aus Teil I, dass (6.1) lokal eindeutig l¨osbar ist, und dass sich die L¨osungen auf ein maximales Existenzintervall fortsetzen lassen, sofern f lokal Lipschitz in x ist. Auch sind uns aus Kapitel 2 bereits einige Kriterien f¨ ur globale Existenz bekannt. Ziel dieses Kapitels ist die Erweiterung solcher Resultate auf den Fall allgemeiner stetiger rechter Seiten f .

6.1 Der Existenzsatz von Peano Bez¨ uglich der lokalen Existenz von L¨ osungen des Anfangswertproblems (6.1) f¨ ur allgemeine stetige rechte Seiten f gilt der Satz 6.1.1 (Existenzsatz von Peano). Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, f : G → Rn stetig und (t0 , x0 ) ∈ G. Dann existiert ein δ > 0 und eine Funktion x ∈ C 1 (Jδ ; Rn ) mit Jδ := [t0 − δ, t0 + δ], sodass (t, x(t)) ∈ G f¨ ur alle t ∈ Jδ gilt, und x = x(t) l¨ ost (6.1) im Intervall Jδ . ¯r (x0 ) ⊂ G gilt, und Beweis. Seien δ0 > 0 und r > 0 so ﬁxiert, dass Jδ0 × B ¯ setze M := max{|f (t, x)| : (t, x) ∈ Jδ0 × Br (x0 )}. Zun¨achst approximieren wir f gleichm¨aßig auf kompakten Teilmengen von G durch eine Folge von C 1 -Funktionen fk ∈ C 1 (G, Rn ), die daher lokal Lipschitz in x sind. Ohne Beschr¨ankung der ¯ r (x0 ) und k ∈ N. Nach Allgemeinheit sei |fk (t, x)| ≤ M + 1 f¨ ur alle (t, x) ∈ Jδ0 × B dem Satz von Picard–Lindel¨ of besitzen die Anfangswertprobleme x˙ = fk (t, x),

t ∈ Jδ , x(t0 ) = x0 ,

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_6, © Springer Basel AG 2010

120

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

jeweils eindeutige L¨ osungen xk ∈ C 1 (Jδ ; Rn ) auf einem gemeinsamen Existenzintervall Jδ = [t0 − δ, t0 + δ], und die Werte der L¨osungen bleiben in der Ku¯r (x0 ). Dabei sind r > 0 wie oben und δ = min{δ0 , r/(M + 1)}. Die Folge gel B (xk ) ⊂ C 1 (Jδ ; Rn ) ist daher gleichm¨ aßig beschr¨ankt, aber auch gleichgradig stetig, denn ihre Ableitungen x˙ k (t) = fk (t, xk (t)) sind beschr¨ankt durch M + 1. Der Satz von Arz´ela-Ascoli liefert daher eine auf Jδ gleichm¨aßig konvergente Teilfolge xkm → x. Die xk gen¨ ugen den Integralgleichungen t xk (t) = x0 + fk (s, xk (s)) ds, t ∈ Jδ , t0

also erh¨alt man nach Grenz¨ ubergang t x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds,

t ∈ Jδ .

t0

Daher ist der Grenzwert der Folge (xkm ) eine L¨osung von (6.1) auf Jδ .

6.2 Nichtfortsetzbare L¨ osungen F¨ ur allgemeines stetiges f kann man die Fortsetzbarkeit von L¨osungen bis zum Rand von G nicht direkt wie in Abschnitt 2.2 zeigen. Das Existenzintervall einer L¨osung h¨angt aufgrund der Nichteindeutigkeit nicht nur von (t0 , x0 ) ab, sondern auch von der L¨ osung selbst. Daher sind wir gezwungen, das Zornsche Lemma zu verwenden. Dazu betrachten wir die Menge L aller L¨osungen von (6.1), die eine gegebene, auf einem Intervall Ja t0 deﬁnierte L¨osung xa fortsetzen. Genauer ist L durch L = {(J, x) : x ∈ C 1 (J; Rn ) l¨ ost (6.1) auf J ⊃ Ja t0 , x|Ja = xa } deﬁniert; J ist dabei ein Intervall, welches das gegebene Intervall Ja enth¨alt. Auf dieser Menge f¨ uhren wir eine Ordnungsrelation wie folgt ein: (J1 , x1 ) ≤ (J2 , x2 )

⇔

J1 ⊂ J2 , x2 |J1 = x1 .

Man u ¨ berzeugt sich leicht, dass diese Relation reﬂexiv, symmetrisch und transitiv ist, also ist sie eine teilweise Ordnung auf L. Ist nun V ⊂ L eine vollst¨andig geordnete 2 Teilmenge von L, so ist das Supremum sup V := (J∗ , x∗ ) ∈ L durch J∗ = v∈V Jv , und x∗ = xv auf Jv , v = (Jv , xv ) ∈ V gegeben. Das Zornsche Lemma besagt dann, dass es ein maximales Element in L gibt. Die maximalen Elemente von L sind also Paare (J∗ , x∗ ) mit der Eigenschaft, dass x∗ das Anfangswertproblem auf J∗ l¨ ost, und dass es kein Element (J, x) ∈ L gibt, das echt gr¨oßer als (J∗ , x∗ ) ist. Also gibt es kein (J, x) ∈ L mit J ⊃ J∗ , J = J∗ , und x∗ |J = x. Solche Elemente (J∗ , x∗ ) von L nennt man nichtfortsetzbare L¨osungen von (6.1). Das Zornsche Lemma stellt somit die Existenz nichtfortsetzbarer L¨osungen sicher, und jede L¨ osung ist Restriktion einer nichtfortsetzbaren L¨osung.

6.3. Stetige Abh¨angigkeit

121

Der Fortsetzungssatz charakterisiert das Existenzintervall nichtfortsetzbarer L¨osungen. Satz 6.2.1 (Fortsetzungssatz). Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, f : G → Rn stetig und (t0 , x0 ) ∈ G. Dann existiert zu jeder auf einem Intervall J deﬁnierten L¨osung x(t) von (6.1), eine nichtfortsetzbare L¨ osung xm mit xm |J = x. xm ist auf einem Intervall (t− , t+ ) deﬁniert, dessen rechter Endpunkt t+ durch die folgenden Alternativen charakterisiert ist. 1. t+ = ∞: xm (t) ist eine globale L¨osung nach rechts. 2. t+ < ∞ und lim inf t→t+ dist((t, xm (t)), ∂G) = 0. 3. t+ < ∞ und lim inf t→t+ dist((t, xm (t)), ∂G) > 0, limt→t+ |xm (t)| = ∞. Entsprechendes gilt f¨ ur den linken Endpunkt t− . Der Beweis kann genauso wie in Abschnitt 2.3 gef¨ uhrt werden, wenn man anstelle des Satzes von Picard–Lindel¨ of den Satz von Peano verwendet.

6.3 Stetige Abh¨angigkeit Gegeben sei eine L¨ osung x(t) von (6.1) auf ihrem maximalen Existenzintervall (t− , t+ ). Es bezeichne graphJ (x) := {(t, x(t)) : t ∈ J} ⊂ G, wobei J = [a, b] ⊂ (t− , t+ ) ein kompaktes Teilintervall mit t0 ∈ (a, b) ist. Deﬁnition 6.3.1. Die gegebene L¨osung x(t) heißt stetig abh¨angig von (t0 , x0 , f ), falls es zu jedem Intervall J = [a, b] ⊂ (t− , t+ ), mit t0 ∈ (a, b), eine kompakte Umgebung K ⊂ G von graphJ (x) gibt, sodass gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 derart, dass jede L¨ osung y(t) des Anfangswertproblems y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 , (τ0 , y0 ) ∈ K, f¨ ur alle t ∈ [a, b] existiert und der Ungleichung |x(t) − y(t)| ≤ ε,

f¨ ur alle t ∈ [a, b]

gen¨ ugt, sofern g ∈ C(K, Rn ), und |τ0 − t0 | ≤ δ, |x0 − y0 | ≤ δ,

sup |f (s, z) − g(s, z)| ≤ δ (s,z)∈K

erf¨ ullt ist. Damit k¨onnen wir das Hauptresultat dieses Abschnittes formulieren. Satz 6.3.2. Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, f : G → Rn stetig und (t0 , x0 ) ∈ G. Die nichtfortsetzbare L¨osung x(t) von x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 , sei eindeutig bestimmt. Dann h¨angt x(t) stetig von den Daten (t0 , x0 , f ) ab.

(6.2)

122

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

Beweis. Sei y(t) eine L¨ osung des Anfangswertproblems y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 . Wie in Kapitel 2 schreiben wir die Anfangswertprobleme f¨ ur x(t) und y(t) als aquivalente Integralgleichungen ¨ t t x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds, y(t) = y0 + g(s, y(s)) ds. t0

τ0

W¨ahle α > 0 und η > 0, sodass die Menge K deﬁniert durch K := {(t, y) : t ∈ [a − η, b + η], |x(t) − y| ≤ α} die Inklusion K ⊂ G erf¨ ullt, wobei η so klein ist, dass außerdem [a − η, b + η] ⊂ (t− , t+ ) gilt. Oﬀensichtlich ist K kompakt. Sei |t0 − τ0 | ≤ δ, |x0 − y0 | ≤ δ sowie |f (t, x)−g(t, x)| ≤ δ f¨ ur alle (t, x) ∈ K, wobei δ ≤ δ0 := min{1, η/2, α/2} ist. Dann ist (τ0 , y0 ) ∈ K, und mit M := sup{|f (t, x)| : (t, x) ∈ K} gilt |g(t, x)| ≤ M + 1 auf K. Wir zeigen zun¨ achst, dass jede L¨ osung von y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 auf J = [a, b] existiert, mit graphJ (y) ⊂ K, sofern δ > 0 klein genug ist. Angenommen es gibt Folgen τ0k → t0 , y0k → x0 , gk → f gleichm¨aßig auf K, und L¨osungen yk (t) von y˙ k = gk (t, yk ), yk (τ0k ) = y0k , auf Intervallen Jk = [ak , bk ] ⊂ J, sodass (t, yk (t)) ∈ K f¨ ur alle t ∈ Jk gilt, und |yk (bk )−x(bk )| = α oder |yk (ak )−x(ak )| = α ist. O.B.d.A. nehmen wir den ersten Fall an. Sei a∞ = lim sup ak , b∞ = lim inf bk . ¨ Wir k¨onnen durch Ubergang zu einer Teilfolge z.B. bk → b∞ annehmen. Die L¨osungen yk existieren nach Abschnitt 6.1 mindestens auf den Intervallen [τ0k − δ1 , τ0k + δ1 ], wobei δ1 > 0 von k unabh¨ angig ist, sofern k hinreichend groß ist. Daher gilt a∞ ≤ t0 − δ1 < t0 + δ1 ≤ b∞ . Sei ρ ∈ (0, (b∞ − a∞ )/2) beliebig, aber ﬁxiert. F¨ ur hinreichend große k gilt dann Jρ := [a∞ + ρ, b∞ − ρ] ⊂ Jk . Die Funktionen yk sind auf dem Intervall Jρ beschr¨ankt, und mit |gk | ≤ M + 1 auch ihre Ableitungen, also sind sie gleichgradig stetig. Nach dem Satz von Arz´elaAscoli besitzen sie eine gleichm¨ aßig konvergente Teilfolge ykm → y. Grenz¨ ubergang in den Integralgleichungen f¨ ur die ykm zeigt, dass y(t) eine L¨osung von (6.2) ist, also y ≡ x auf Jρ , da nach Voraussetzung x die einzige L¨osung von (6.2) ist. Nun gilt mit |x|, ˙ |y˙ km | ≤ M + 1 α = |ykm (bkm ) − x(bkm )| ≤ |ykm (bkm ) − ykm (b∞ − ρ)| + |ykm (b∞ − ρ) − x(b∞ − ρ)| + |x(b∞ − ρ) − x(bkm )| ≤ 2(M + 1)(bkm − b∞ + ρ) + ε, sofern m ≥ m(ε) hinreichend groß ist. W¨ ahle nun ε < α/3, ρ < α/(6(M + 1)) und schließlich m ≥ m(ε) so groß, dass |bkm − b∞ | < α/(6(M + 1)) gilt. Mit dieser Wahl erh¨alt man einen Widerspruch, also war die Annahme falsch. Ist also δ ≤ δ0 hinreichend klein, so existiert jede L¨ osung y(t) von y˙ = g(t, y), y(τ0 ) = y0 auf J = [a, b] und erf¨ ullt graphJ (y) ⊂ K. Sei jetzt τk → t0 , y0k → x0 , sowie gk → f gleichm¨aßig auf K, und seien yk (t) L¨osungen von y˙ = gk (t, y), y(τk ) = y0k , auf [a, b]. Da sowohl die yk als auch ihre

6.4. Diﬀerentialungleichungen

123

Ableitungen y˙ k = gk (t, yk ) auf [a, b] gleichm¨ aßig beschr¨ankt sind, sind sie gleichgradig stetig, also gibt es nach dem Satz von Arz´ela und Ascoli eine gleichm¨aßig konvergente Teilfolge ykm → y. Durch Grenz¨ ubergang in der Integralgleichung f¨ ur ykm sieht man, dass y das Anfangswertproblem (6.2) l¨ost, also y = x, da dies nach Voraussetzung die einzige L¨ osung von (6.2) ist. Daraus folgt nun unmittelbar die gleichm¨aßige Konvergenz der ganzen Folge gegen die L¨osung x von (6.2). Die Formulierung der stetigen Abh¨ angigkeit mittels Folgen lautet: Korollar 6.3.3. Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen, (t0 , x0 ) ∈ G, f, fk : G → Rn stetig, und es sei x(t) die eindeutige L¨ osung von (6.2) auf dem maximalen Existenzintervall (t− , t+ ). Es gelte tk → t0 , x0k → x0 und fk (t, x) → f (t, x), gleichm¨ aßig auf kompakten Teilmengen von G. Sei [a, b] ⊂ (t− , t+ ). Dann besitzt das Anfangswertproblem x˙ k = fk (t, xk ),

xk (tk ) = x0k , t ∈ [a, b],

(6.3)

f¨ ur hinreichend großes k mindestens eine L¨ osung auf [a, b], und es gilt xk (t) → x(t), gleichm¨ aßig auf [a, b] f¨ ur k → ∞.

6.4 Diﬀerentialungleichungen Wie wir in Teil I gesehen haben, sind Diﬀerentialungleichungen ein wichtiges Hilfsmittel und werden auch in diesem Teil h¨ auﬁg verwendet. Es ist daher wichtig, solche Ungleichungen m¨ oglichst allgemein zu formulieren. Sei ω : [a, b) × R → R stetig, und betrachte das Anfangswertproblem ρ˙ = ω(t, ρ),

t ∈ [a, b), ρ(a) = ρ0 .

(6.4)

Die Maximall¨osung ρ∗ von (6.4) wird wie folgt deﬁniert: Betrachte das Problem ρ˙ k = ω(t, ρk ) +

1 , k

t ∈ [a, b), ρk (a) = ρ0 +

1 . k

(6.5)

Sei ρ(t) eine L¨ osung von (6.4) und ρk eine von (6.5). Nach Lemma 2.4.2 folgt dann die Ungleichung ρ(t) < ρk (t) f¨ ur alle t ∈ [a, b), f¨ ur die beide L¨osungen existieren. Ebenso erh¨alt man ρk (t) < ρl (t), sofern k > l ist. Daher ist die Folge (ρk (t)) fallend in k, nach unten beschr¨ ankt durch ρ(t), also konvergent gegen eine Funktion ρ∗ (t). Betrachtung der entsprechenden Integralgleichungen ergibt, dass ρ∗ (t) eine L¨osung von (6.4) ist, und dass jede andere L¨ osung ρ(t) von (6.4) die Relation ρ(t) ≤ ρ∗ (t)

124

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

erf¨ ullt, solange beide L¨ osungen existieren. Dieses ρ∗ (t) heißt Maximall¨osung von (6.4) und ist unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Folge (1/k). Wir ben¨otigen ferner die Dini-Ableitungen, die wie folgt deﬁniert sind: D+ ρ(t) := lim inf h→0+

ρ(t + h) − ρ(t) h

heißt rechte untere Dini-Ableitung von ρ(t). Man beachte, dass diese deﬁniert ist, auch wenn ρ(t) nicht diﬀerenzierbar ist, sofern man die Werte ±∞ zul¨asst. Ersetzt man in dieser Deﬁnition den lim inf durch lim sup, so erh¨alt man die rechte obere Dini-Ableitung D+ ρ(t) von ρ. Entsprechend sind die linke obere Dini-Ableitung durch ρ(t) − ρ(t − h) D− ρ(t) := lim sup , h h→0+ und analog die linke untere Dini-Ableitung D− ρ(t) deﬁniert. Lemma 6.4.1. Sei ω : [a, b) × R → R stetig, ϕ : [a, b) → R stetig und es gelte D+ ϕ(t) ≤ ω(t, ϕ(t)) f¨ ur alle t ∈ [a, b), (6.6) ϕ(a) ≤ ρ0 . Sei ρ∗ (t) die Maximall¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ), ρ(a) = ρ0 . Dann gilt ϕ(t) ≤ ρ∗ (t) ∗ f¨ ur alle t ∈ [a, b) mit ρ (t) < ∞. Beweis. Sei ρk (t) eine L¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ) + 1/k, ρ(a) = ρ0 + 1/k. Wir zeigen ϕ(t) ≤ ρk (t) f¨ ur alle t ∈ [a, b), f¨ ur die ρk (t) endlich ist. Angenommen, dieses w¨ are falsch. Dann gibt es ein t0 ∈ (a, b) und ein δ > 0 mit ϕ(t0 ) = ρk (t0 ) und ϕ(t) > ρk (t) f¨ ur t0 < t < t0 + δ. Nun gilt f¨ ur 0 < h < δ ϕ(t0 + h) − ϕ(t0 ) ρk (t0 + h) − ϕ(t0 ) ρk (t0 + h) − ρk (t0 ) > = , h h h folglich D+ ϕ(t0 ) ≥ ρ˙ k (t0 ) = ω(t0 , ρk (t0 )) + 1/k > ω(t0 , ρk (t0 )) = ω(t0 , ϕ(t0 )). Andererseits ist aber nach Voraussetzung D+ ϕ(t0 ) ≤ ω(t0 , ϕ(t0 )), was einen Widerspruch bedeutet. Mit k → ∞ konvergiert ρk (t) punktweise gegen die Maximall¨osung ρ∗ (t), folglich gilt ϕ(t) ≤ ρ∗ (t) und die Behauptung ist bewiesen. Resultate u ur den ¨ ber Diﬀerentialungleichungen wie Lemma 6.4.1 lassen sich f¨ Nachweis globaler Existenz verwenden. Das n¨achste Korollar ist daf¨ ur ein Beispiel. Korollar 6.4.2. Seien ω : [t0 , ∞) × R → R, f : [t0 , ∞) × Rn → Rn stetig, und gelte |f (t, x)| ≤ ω(t, |x|) f¨ ur t ∈ [t0 , ∞), x ∈ Rn ,

6.4. Diﬀerentialungleichungen

125

wobei | · | eine beliebige Norm auf Rn sei. Es bezeichne ρ∗ (t) die Maximall¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ), t ∈ [t0 , ∞), ρ(t0 ) = |x0 |, x0 ∈ Rn , und sie existiere auf dem ganzen Intervall [t0 , ∞). Dann existiert jede nichtfortsetzbare L¨ osung x(t) von (6.2) global nach rechts. Beweis. F¨ ur ϕ(t) = |x(t)| gilt auf dem rechtsseitigen Existenzintervall J = [t0 , t+ ) von x 1 (|x(t + h)| − |x(t)|) ≤ |x(t)| ˙ = |f (t, x(t))| h→0+ h ≤ ω(t, |x(t)|) = ω(t, ϕ(t)).

D+ ϕ(t) = lim inf

Folglich impliziert Lemma 6.4.1 die Absch¨ atzung |x(t)| = ϕ(t) ≤ ρ∗ (t) < ∞. Der Fortsetzungssatz ergibt die Behauptung. Die Aussage in Korollar 6.4.2 gilt auch nach links, wie man mittels Zeitumkehr zeigt. Allerdings sind Normabsch¨ atzungen in Anwendungen meist zu stark. Um einseitige Bedingungen zu erhalten, sei |·| eine Norm auf Rn und |x∗ |∗ := max{(x|x∗ ) : |x| ≤ 1} die dazu duale Norm. In Abschnitt 7.3 zeigen wir, dass zu jedem y ∈ Rn ¯1 (0) und mit |y| = 1 ein y ∗ ∈ Rn existiert, mit (x|y ∗ ) ≤ 1 f¨ ur alle x ∈ B (y|y ∗ ) = |y| = 1. Daraus folgt |y ∗ |∗ = max (x|y ∗ ) ≤ 1 = (y|y ∗ ) ≤ |y ∗ |∗ , |x|≤1

also |y ∗ |∗ = 1. Damit ist die folgende Deﬁnition sinnvoll: [x, y] := min{(x|y ∗ ) : (y|y ∗ ) = |y|, |y ∗ |∗ = 1},

x, y ∈ Rn .

Die Klammer l¨ asst sich f¨ ur konkrete Normen wie die lp -Normen |·|p leicht angeben. So ist f¨ ur die euklidische Norm | · |∗ = | · |2 und [x, y]2 = (x|y)/|y|2 , sofern y = 0, und [x, 0]2 = −|x|2 . Sp¨ ater verwenden wir die Klammer f¨ ur die Norm | · |1 . Hierf¨ ur ergibt sich | · |∗ = | · |∞ und [x, y]1 = xk sgn yk − |xk |. yk =0

yk =0

Ist nun x(t) diﬀerenzierbar, so w¨ ahle ein x∗ ∈ Rn mit |x∗ |∗ = 1 und (x(t)|x∗ ) = |x(t)|; damit erhalten wir 1 1 D− |x(t)| = lim sup (|x(t)| − |x(t − h)|) = lim sup ((x(t)|x∗ ) − |x(t − h)||x∗ |∗ ) h→0+ h h→0+ h 1 ∗ ≤ lim sup ((x(t)|x∗ ) − (x(t − h)|x∗ )) = (x(t)|x ˙ ), h→0+ h

126

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

¨ also nach Ubergang zum Minimum die wichtige Relation D− |x(t)| ≤ [x(t), ˙ x(t)] = [f (t, x(t)), x(t)]

(6.7)

f¨ ur L¨osungen von (6.1). Dies erfordert nur einseitige Absch¨atzungen an f , verlangt aber die linksseitige Dini-Ableitung. Korollar 6.4.3. Seien ω : [t0 , ∞) × R → R, f : [t0 , ∞) × Rn → Rn stetig, und gelte [f (t, x), x] ≤ ω(t, |x|) f¨ ur t ∈ [t0 , ∞), x ∈ Rn , wobei | · | eine beliebige Norm auf Rn sei. Es bezeichne ρ∗ (t) die Maximall¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ), t ∈ [t0 , ∞), ρ(t0 ) = |x0 |, x0 ∈ Rn , und sie existiere auf dem ganzen Intervall [t0 , ∞). Dann existiert jede nichtfortsetzbare L¨ osung x(t) von (6.2) global nach rechts. Es gilt [x, y] ≤ |x| f¨ ur alle x, y ∈ Rn ; daher ist Korollar 6.4.2 ein Spezialfall von Korollar 6.4.3. Der Beweis verl¨ auft genau wie der von Korollar 6.4.2; man verwendet dabei das folgende Lemma. Lemma 6.4.4. Sei ω : [a, b) × R → R stetig, ϕ : [a, b) → R stetig und es gelte D − ϕ(t) ≤ ω(t, ϕ(t)) f¨ ur alle t ∈ (a, b), (6.8) ϕ(a) ≤ ρ0 . Sei ρ∗ (t) die Maximall¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ), ρ(a) = ρ0 . Dann gilt ϕ(t) ≤ ρ∗ (t) ∗ f¨ ur alle t ∈ [a, b) mit ρ (t) < ∞. ¨ Der Beweis dieses Lemmas ist ¨ ahnlich zu dem von Lemma 6.4.1; vgl. Ubung 6.8.

6.5 Eindeutigkeit Sei G ⊂ Rn+1 oﬀen und (t0 , x0 ) ∈ G. Ist f : G → Rn nur stetig, so m¨ ussen die L¨osungen nicht eindeutig durch ihren Anfangswert bestimmt sein, wie wir schon in Kapitel 1 gesehen haben. Um zu Kriterien zu kommen, die Eindeutigkeit implizieren, verwenden wir nochmals Diﬀerentialungleichungen. Es seien x und x ¯ zwei L¨osungen von (6.1) auf einem Intervall [t0 , t1 ]. Wir setzen dann φ(t) = |x(t) − x ¯(t)|, wobei | · | eine beliebige Norm sei, und erhalten mit (6.7) D− φ(t) ≤ [x(t) ˙ −x ¯˙ (t), x(t) − x ¯(t)] = [f (t, x(t)) − f (t, x ¯(t)), x(t) − x ¯(t)],

t ∈ [t0 , t1 ].

Gilt nun eine einseitige Absch¨ atzung der Form [f (t, x) − f (t, x ¯), x − x ¯] ≤ ω(t, |x − x¯|),

t ≥ t0 , (t, x), (t, x¯) ∈ G,

6.6. Anwendungen

127

mit einer stetigen Funktion ω : [t0 , ∞) × R → R, so folgt weiter D − φ(t) ≤ ω(t, φ(t)),

t ∈ [t0 , t1 ],

φ(t0 ) = 0.

Lemma 6.4.4 impliziert dann |x(t) − x ¯(t)| = φ(t) ≤ ρ∗ (t),

t ∈ [t0 , t1 ],

sofern die Maximall¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ), ρ(t0 ) = 0 auf [t0 , t1 ] existiert. Die Forderung ρ∗ ≡ 0 impliziert dann φ(t) = 0, d.h. x(t) = x ¯(t) f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ]. Diese Argumente ergeben den folgenden Eindeutigkeitssatz f¨ ur (6.2). Satz 6.5.1. Seien f : G → Rn und ω : [t0 , ∞) × R → R stetig, sei | · | eine beliebig ﬁxierte Norm auf Rn , und gelte [f (t, x) − f (t, x ¯), x − x ¯] ≤ ω(t, |x − x ¯|),

t ≥ t0 , (t, x), (t, x ¯) ∈ G.

Es sei ferner ρ∗ ≡ 0 die Maximall¨ osung von ρ˙ = ω(t, ρ),

t ≥ t0 ,

ρ(t0 ) = 0.

Dann ist die L¨ osung von (6.2) eindeutig bestimmt. Man beachte, dass f¨ ur ω in diesem Satz notwendigerweise ω(t, 0) = 0 gelten muss. Das wichtigste Beispiel f¨ ur ein solches ω ist die Funktion ω(t, ρ) = Lρ; dies bedeutet eine einseitige Lipschitz-Bedingung an f . Aufgrund von [x, y] ≤ |x| sind Bedingungen der Form |f (t, x) − f (t, x ¯)| ≤ ω(t, |x − x ¯|),

(t, x), (t, x ¯) ∈ G,

st¨arker als die im Satz geforderte einseitige Bedingung. Andererseits ergeben letztere nur Eindeutigkeit nach rechts, die Normabsch¨atzung aber auch Eindeutigkeit nach links. Zusammenfassend beinhaltet Satz 6.5.1 eine wesentliche Verallgemeinerung des Eindeutigkeitssatzes aus Kapitel 2, der auf der Lipschitz-Bedingung beruht. Dies soll jetzt durch zwei Anwendungen belegt werden.

6.6 Anwendungen (a) Chemische Kinetik. Wir betrachten eine irreversible Reaktion A + B → P in einem ideal durchmischten R¨ uhrkessel mit Zu- und Abstrom. Es bezeichnen x1 bzw. x2 die Konzentration von A bzw. B im Reaktor, die Reaktionsrate sei durch eine Funktion r : R2+ → R gegeben, die stetig und in beiden Variablen wachsend sei 1 α2 und r(0, x2 ) = r(x1 , 0) = 0 erf¨ ulle, wie z.B. r(x1 , x2 ) = kxα 1 x2 , mit Konstanten k, α1 , α2 > 0. In der Chemie ist r h¨ auﬁg eine Bruttokinetik; dabei k¨onnen auch Exponenten αk < 1 auftreten. Daher ist r zwar stetig, aber im allgemeinen nicht

128

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

lokal Lipschitz. Zu- und Abstrom werden durch Terme der Form ai − xi modelliert (ai > 0), und die Gleichung f¨ ur das Produkt x3 kann weggelassen werden, da r hier nicht von x3 abh¨ angt. Das f¨ uhrt auf das folgende Anfangswertproblem f¨ ur x = (x1 , x2 ): x˙ 1 = a1 − x1 − r(x1 , x2 ),

x1 (0) = x01 > 0,

x˙ 2 = a2 − x2 − r(x1 , x2 ),

x2 (0) = x02 > 0.

(6.9)

Da nur positive L¨ osungen interessant sind, w¨ahlen wir hier G = (0, ∞)2 . Existenz ist mit Hilfe des Satzes von Peano klar, da r, also auch die rechte Seite von (6.9) stetig ist. Wir interessieren uns vornehmlich f¨ ur Eindeutigkeit, denn ist diese gew¨ahrleistet, so impliziert die Positivit¨ atsbedingung (P) aus Kapitel 4 Positivit¨at der L¨osungen, und dann erh¨ alt man mit r ≥ 0 auch globale Existenz, also einen Halbﬂuss auf G und auch auf R2+ . Sei die rechte Seite von (6.9) mit f bezeichnet. Dann haben wir bzgl. der l1 -Norm | · |1 nach Abschnitt 6.4 [f (x) − f (¯ x), x − x ¯] 1 = (fk (x) − fk (¯ x)) sgn(xk − x ¯k ) xk =x ¯k

−

|fk (x) − fk (¯ x)|

xk =¯ xk

≤ −|x − x ¯|1 − (r(x) − r(¯ x))

sgn(xk − x ¯k ) ≤ 0.

xk =x ¯k

Denn ist x1 > x2 und x¯1 > x ¯2 , so ist die verbleibende Summe gleich 2, und r(x) ≥ r(¯ x) aufgrund der Monotonie von r; ebenso wird der Fall x1 < x2 und x ¯1 < x ¯2 behandelt. Gilt hingegen (x1 − x ¯1 )(x2 − x ¯2 ) < 0, so ist die Summe Null. Die Grenzf¨alle folgen entsprechend. In diesem Fall kann man also z.B. ω ≡ 0 w¨ahlen, oder ω(t, ρ) = −ρ. Jedenfalls ist die Voraussetzung des Eindeutigkeitssatzes 6.5.1 erf¨ ullt und die L¨ osungen von (6.9) sind eindeutig bestimmt. (b) Ein Modell zur Paarbildung. Wir betrachten eine zweigeschlechtliche Population, die aus weiblichen Singles sf , m¨ annlichen Singles sm und Paaren p besteht. Im diesem Modell k¨ onnen Singles verschiedenen Geschlechts Paare bilden, nur Paare produzieren Nachwuchs, jede der Arten wird irgendwann sterben, und Paare k¨onnen sich trennen. Diese Modellannahmen f¨ uhren auf das folgende System von gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen f¨ ur die Evolution von sm , sf und p in der Zeit: s˙ f = −μf sf + (βf + μ ˜m + σ)p − φ(sf , sm ), s˙ m = −μm sm + (βm + μ ˜f + σ)p − φ(sf , sm ),

(6.10)

p˙ = −(˜ μf + μ ˜m + σ)p + φ(sf , sm ). Hierin bezeichnet die Konstante μj > 0, j ∈ {f, m}, die Sterberate der unverheirateten Frauen (j = f ) bzw. M¨ anner (j = m), entsprechend μ ˜j > 0, j ∈ {f, m},

6.6. Anwendungen

129

die Sterberate der verheirateten Frauen bzw. M¨anner und βj , j ∈ {f, m}, die Geburtenraten. σ ≥ 0 steht f¨ ur die Scheidungsrate, und φ ist die sogenannte Paarbildungsfunktion. Der Term φ(sf , sm ) gibt an, wie viele Paare aus sf weiblichen und sm m¨annlichen Singles pro Zeiteinheit gebildet werden. Demographische Beobachtungen legen nahe, dass φ die folgenden drei plausiblen Eigenschaften besitzen sollte: (φ1) φ : R+ × R+ → R+ ; φ(x, y) = 0 ⇔ xy = 0 f¨ ur alle x, y ≥ 0. (φ2) φ ist stetig; φ(·, y) und φ(x, ·) sind monoton wachsend f¨ ur alle x, y ≥ 0. (φ3) φ ist positiv homogen , d.h. φ(αx, αy) = αφ(x, y) f¨ ur alle α, x, y ≥ 0. Typische Beispiele f¨ ur Funktionen φ mit den Eigenschaften (φ1)–(φ3) sind die Minimumfunktion φ1 (x, y) = κ min{x, y}, das harmonische Mittel ) φ2 (x, y) =

xy 2κ x+y : (x, y) = (0, 0) 0 : (x, y) = (0, 0)

und das geometrische Mittel √ φ3 (x, y) = κ xy, wobei κ jeweils eine positive Konstante ist. Es gilt φ1 ≤ φ2 ≤ φ3 , und φi (x, y) = κx, i = 1, 2, 3, falls x = y. Insbesondere das geometrische Mittel ist zwar stetig aber nicht lokal Lipschitz, daher ist die Frage nach der Eindeutigkeit der L¨osungen von (6.10) von Bedeutung. Wir schr¨ anken uns auch hier auf den positiven Bereich G = (0, ∞)3 ein, der allein modellm¨ aßig interessant ist. Dazu seien zwei L¨ osungen (sf , sm , p) und (¯ sf , s¯m , p¯) gegeben. Wir verwenden zun¨achst (6.7) f¨ ur die ersten zwei Gleichungen des Systems, also f¨ ur s = (sf , sm ) in der Norm | · |1 , und erhalten wie in (a) D− |s(t) − s¯(t)|1 ≤ [s(t) ˙ − s¯˙ (t), s(t) − s¯(t)] ≤ −μf |sf (t) − s¯f (t)| − μm |sm (t) − s¯m (t)| + (β˜f + β˜m )|p(t) − p¯(t)| ˜ ≤ −μ|s(t) − s¯(t)|1 + β|p(t) − p¯(t)|, da die Paarbildungsfunktion φ in beiden Variablen wachsend ist. Hierbei bezeichnen μ = min{μf , μm }, β˜f = βf + μ ˜m + σ, β˜m = βm + μ ˜f + σ, und β˜ = β˜f + β˜m . Durch Addition der Gleichungen f¨ ur sf und p erh¨alt man ebenso D− |sf (t) + p(t) − (¯ sf (t) + p¯(t))| ≤ −μf |sf (t) + p(t) − (¯ sf (t) + p¯(t))| + |βf − μ ˜f + μf ||p(t) − p¯(t)|.

130

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

Schließlich addiert man beide Ungleichungen und erh¨alt mit ψ(t) = |sf (t) − s¯f (t)| + |sm (t) − s¯m (t)| + |sf (t) + p(t) − (¯ sf (t) + p¯(t))| die Diﬀerentialungleichung D − ψ(t) ≤ L|p(t) − p¯(t)| ≤ Lψ(t),

t ≥ 0,

ψ(0) = 0,

mit einer Konstanten L > 0. Lemma 6.4.4 impliziert ψ ≡ 0, also Eindeutigkeit der L¨osungen von (6.10). Dieses Beispiel zeigt, dass man nicht immer mit Satz 6.5.1 direkt ans Ziel gelangt, aber h¨auﬁg Lemma 6.4.4 dem entsprechenden Problem angepasst verwenden kann. Es sei bemerkt, dass in beiden Beispielen Normabsch¨atzungen nicht ausreichen, um Eindeutigkeit ohne Zusatzannahmen zu erhalten, einseitige Absch¨atzungen sind hier essentiell. ¨ Ubungen 1 ds 1. Sei ω : R+ → R+ stetig, ω(0) = 0, und gelte 0 ω(s) = ∞; solche Funktionen werden + gelegentlich Osgood-Funktionen genannt. Zeigen Sie, dass die Maximall¨ osung von t ≥ 0,

ρ˙ = ω(ρ),

ρ(0) = 0

identisch Null ist. 2. Wie verhalten sich Dini-Ableitungen bei Summen, Produkten und Quotienten stetiger Funktionen? 3. Sei J ⊂ R ein nichttriviales oﬀenes Intervall und ρ : J → R diﬀerenzierbar in t0 ∈ J, mit ρ (t0 ) ≥ 0, und g : R → R lokal Lipschitz. Zeigen Sie D g(ρ(t0)) = (D g)(ρ(t0))ρ (t0 ), wobei D eine der vier Dini-Ableitungen bezeichnet. 4. Sei | · | eine Norm auf Rn , man ﬁxiere x, y ∈ Rn und setze ϕ(t) = |y + tx|. Dann ist [x, y] = D− ϕ(0) = D− ϕ(0) = lim

t→0+

|y| − |y − tx| . t

5. Berechnen Sie die Klammer [·, ·] f¨ ur die lp -Normen auf Rn , wobei p ∈ [1, ∞]. 6. Sei Q ∈ Rn×n symmetrisch und positiv deﬁnit, und sei |x|Q = (Qx|x) die erzeugte Norm auf Rn . Bestimmen Sie die entsprechende Klammer [·, ·]Q . 7. Seien ϕ, ψ : [a, b] → R+ stetig und gelte D+ ϕ(t) ≤ ψ(t) f¨ ur alle t ∈ [a, b], ϕ(a) = ϕ0 . Dann folgt t ϕ(t) ≤ ϕ0 + ψ(τ )dτ, t ∈ [a, b]. a

8. Beweisen Sie Lemma 6.4.4.

Kapitel 7

Invarianz Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : R × G → Rn stetig. Wir betrachten das AWP x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 ,

(7.1)

wobei x0 ∈ G und t0 ∈ R sei. Im ganzen Kapitel nehmen wir Eindeutigkeit der L¨osungen nach rechts an. Sei x(t; t0 , x0 ) die L¨osung von (7.1) auf dem maximalen Intervall J+ (t0 , x0 ) := [t0 , t+ (t0 , x0 )).

7.1 Invariante Mengen Eines der wichtigsten Konzepte in der qualitativen Theorie gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen ist der Begriﬀ der invarianten Menge. Deﬁnition 7.1.1. Sei D ⊂ G. D heißt positiv invariant f¨ ur (7.1), falls die L¨osung x(t; t0 , x0 ) ∈ D f¨ ur alle t ∈ J+ (t0 , x0 ) erf¨ ullt, sofern x0 ∈ D ist. Entsprechend wird negativ invariant deﬁniert, falls die L¨ osungen von (7.1) eindeutig nach links sind, und D heißt invariant, wenn D sowohl positiv als auch negativ invariant ist. Es ist nicht schwer eine notwendige Bedingung f¨ ur die positive Invarianz von D anzugeben. Denn ist D positiv invariant, und ist x0 ∈ D beliebig, so gilt f¨ ur hinreichend kleine h > 0 dist(x0 + hf (t0 , x0 ), D) ≤ |x0 + hf (t0 , x0 ) − x(t0 + h; t0 , x0 )|2 und mit

t0 +h

x(t0 + h; t0 , x0 ) = x0 +

x(s; ˙ t0 , x0 ) ds,

x(t ˙ 0 ; t0 , x0 ) = f (t0 , x0 )

t0

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_7, © Springer Basel AG 2010

132

Kapitel 7. Invarianz

erh¨alt man zu jedem ε > 0 ein δ > 0, sodass t0 +h dist(x0 + hf (t0 , x0 ), D) ≤ hx(t ˙ 0) − x(s) ˙ ds ≤ εh, t0 2

sofern h ∈ (0, δ] ist. Wir haben gezeigt, dass die positive Invarianz von D die sogenannte Subtangentialbedingung F¨ ur alle t ∈ R, x ∈ D gilt (S) limh→0+ h1 dist(x + hf (t, x), D) = 0. nach sich zieht. Man beachte, dass (S) unabh¨angig von der gew¨ahlten Norm ist, da auf Rn alle Normen ¨ aquivalent sind. Erfreulicherweise ist (S) auch hinreichend f¨ ur positive Invarianz. Zun¨achst wollen wir uns jedoch (S) genauer ansehen. Es ist klar, dass lim

h→0+

1 dist(x + hf (t, x), D) = 0 h

f¨ ur alle x ∈ int D trivialerweise erf¨ ullt ist; (S) ist eine Bedingung in den Randpunkten von D und wird deshalb manchmal Randbedingung genannt. Um die geometrische Bedeutung von (S) zu kl¨ aren, ben¨otigen wir die Deﬁnition 7.1.2. Sei D ⊂ Rn abgeschlossen und x ∈ ∂D. Ein Vektor y ∈ Rn , y = 0, heißt ¨außere Normale an D in x, falls B|y|2 (x + y) ∩ D = ∅ ist. Die Menge der außeren Normalen in x sei mit N (x) bezeichnet. ¨ ¨ Außere Normalen m¨ ussen nicht unbedingt existieren, wie das Beispiel einer einspringenden Ecke zeigt. Lemma 7.1.3. Sei D abgeschlossen, x ∈ ∂D und z ∈ Rn . Dann impliziert die Bedingung 1 lim dist(x + hz, D) = 0, h→0+ h dass (z|y) ≤ 0 f¨ ur alle y ∈ N (x) gilt. Beweis. Sei x ∈ ∂D, z ∈ Rn , y ∈ N (x) und gelte limh→0+ h1 dist(x + hz, D) = 0. Angenommen (z|y) > 0. Dann folgt x + hz ∈ B|y|2 (x + y) f¨ ur 0 < h ≤ h1 ≤ (z|y)/|z|22, denn es ist sogar |x + hz − (x + y)|22 = |hz − y|22 = h[h|z|22 − 2(z|y)] + |y|22 ≤ h[h1 |z|22 − 2(z|y)] + |y|22 ≤ |y|22 − h(z|y) = |y|22 (1 − hα) α ≤ |y|22 (1 − h)2 , 2 mit α := (y|z)/|y|22 > 0. Aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz folgt 1−αh ≥ 0 f¨ ur alle 0 < h ≤ h1 , also 1 − αh/2 > 0. Sei nun ε ∈ (0, α|y|2 /2) gegeben. Dann

7.1. Invariante Mengen

133

existiert ein δ(ε) > 0 mit dist(x + hz, D) ≤ εh f¨ ur alle h ∈ (0, δ). O.B.d.A. d¨ urfen wir dabei δ ≤ h1 annehmen. Folglich erhalten wir f¨ ur h ∈ (0, δ) die Absch¨atzung εh ≥ dist(x + hz, D) = |x + hz − p(h)|2 = |x + hz − (x + y) − (p(h) − (x + y))|2 ≥ |p(h) − x − y|2 − |hz − y|2 ≥ |y|2 − |y|2 (1 − αh/2) = αh|y|2 /2, mit p(h) ∈ ∂D, also ε ≥ α|y|2 /2. Das ist ein Widerspruch zur Wahl von ε.

Die geometrische Bedeutung von (S) d¨ urfte nun klar sein: erreicht eine L¨osung den Rand von D, so zwingt die Bedingung (S) sie zum Umkehren, da der Winkel zwischen x(t) ˙ und jeder ¨ außeren Normalen in x(t) ∈ ∂D stets ≥ π/2 ist. Das Hauptergebnis dieses Abschnittes ist der Satz 7.1.4. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : R × G → Rn stetig und D ⊂ G abgeschlossen. Dann sind ¨aquivalent: 1. D ist positiv invariant f¨ ur (7.1); 2. f und D erf¨ ullen die Subtangentialbedingung (S). Beweis. Unter Annahme der Subtangentialbedingung (S) gen¨ ugt es zu zeigen, dass es zu jedem (t0 , x0 ) ∈ R × D eine lokale L¨ osung von (7.1) in D gibt. Eindeutigkeit der L¨osungen impliziert dann, das auch die maximale L¨osung in D nach rechts in D bleibt. ¯r (x0 ) ⊂ Dazu seien t0 ∈ R, x0 ∈ D gegeben und gelte (S). W¨ahle eine Kugel B ¯ r (x0 ) ∩ D}, und sei a := G, setze M := max{|f (t, x)| : t ∈ [t0 , t0 + 1], x ∈ B min{1, r/(M + 1)}. Wir zeigen, dass es auf dem Intervall [t0 , t0 + a] eine L¨osung x(t) von (7.1) gibt, sodass x(t) ∈ D f¨ ur alle t ∈ [t0 , t0 + a] gilt. Dazu konstruieren ¯r (x0 )], die den wir eine endliche Folge von Punkten (tj , xj ) ∈ [t0 , t0 + a] × [D ∩ B Graphen der L¨ osung approximieren sollen, wie folgt. Sei ε ∈ (0, 1). Der erste Punkt (t0 , x0 ) ist der gegebene Anfangspunkt. Die weiteren Punkte werden nun induktiv deﬁniert. Sei (tj , xj ) bereits konstruiert. Aus (S) in diesem Punkt folgt, dass es hj+1 > 0 und xj+1 ∈ D gibt mit dist(xj + hj+1 f (tj , xj ), D) = |xj + hj+1 f (tj , xj ) − xj+1 | ≤ εhj+1 .

(7.2)

Wir w¨ahlen dieses hj+1 ≤ ε maximal, sodass |f (s, x) − f (tj , xj )| ≤ ε f¨ ur alle |s − tj | ≤ hj+1 , |x − xj | ≤ hj+1 (M + 1)

(7.3)

erf¨ ullt ist, und setzen tj+1 := tj + hj+1 . Nun ist nach (7.2) |xk+1 − xk | ≤ hk+1 (M + 1) f¨ ur alle k ∈ {0, . . . , j} und daher |xj+1 − x0 | ≤

j

|xk+1 − xk | ≤ (M + 1)

k=0

j

hk+1

k=0

= (M + 1)

j k=0

(tk+1 − tk ) ≤ a(M + 1) ≤ r,

134

Kapitel 7. Invarianz

¯r (x0 ) ∩ D, sofern tj+1 ≤ t0 + a gilt. also auch xj+1 ∈ B Das Verfahren bricht ab, wenn tj+1 ≥ t0 + a ist. Angenommen, es existieren unendlich viele tj mit tj ≤ t0 + a. Dann haben wir tj t∗ ≤ t0 + a, und wegen |xj+l − xj | ≤

l−1

|xj+k+1 − xj+k | ≤ (M + 1)(tj+l − tj ) → 0,

k=0

¯ r (x0 ). Da f auf [t0 , t0 + a] × [D ∩ B ¯ r (x0 )] gleichm¨aßig auch xj → x∗ ∈ D ∩ B stetig ist, gilt (7.3) mit einem gleichm¨ aßigen h∗ > 0, und (S) bzw. (7.3) ergeben eventuell nach Verkleinerung von h∗ , dist(x∗ + h∗ f (t∗ , x∗ ), D) ≤ εh∗ /3 bzw. |f (s, x) − f (tj , xj )| ≤ ε/3 f¨ ur alle |s − tj | ≤ h∗ , |x − xj | ≤ h∗ (M + 1). Es folgt dist(xj + h∗ f (tj , xj ), D) ≤ dist(x∗ + h∗ f (t∗ , x∗ ), D) + h∗ |f (tj , xj ) − f (t∗ , x∗ )| + |xj − x∗ | ≤ εh∗ /3 + εh∗ /3 + εh∗ /3 = εh∗ , sofern |xj − x∗ | ≤ εh∗ /3 und |tj − t∗ | ≤ h∗ gilt, d.h. falls j groß genug ist. F¨ ur alle hinreichend großen j gilt daher hj+1 ≥ h∗ , denn hj+1 ist maximal. Dies impliziert aber tj+1 → ∞ f¨ ur j → ∞, ein Widerspruch. Das Verfahren bricht also nach endlich vielen Schritten ab. Wir deﬁnieren nun die Treppen x ¯ε (t) = xj und f¯ε (t) = f (tj , xj ) f¨ ur t ∈ [tj , tj+1 ), und den Spline xε (t) als den durch diese Punktfolge deﬁnierten Polygonzug, also t − tj tj+1 − t xε (t) = xj+1 + xj , tj ≤ t < tj+1 . hj+1 hj+1 Es gilt dann nach (7.2) |x˙ ε | = |xj+1 − xj |/hj+1 ≤ M + 1, und |xε (t) − xj | ≤ |xj+1 − xj | ≤ hj+1 (M + 1) ≤ ε(M + 1), F¨ ur t ∈ [tj , tj+1 ) gilt ferner t j ¯ fε (s)ds = t0

k=0

=

j k=0

tk+1

t ∈ [tj , tj+1 ).

f (tk , xk )ds − (tj+1 − t)f (tj , xj )

tk

f (tk , xk )hk+1 − (tj+1 − t)f (tj , xj ),

7.2. Invarianzkriterien

135

also erhalten wir mit rk = xk+1 − xk − hk+1 f (tk , xk ) die Identit¨at

j

t

f¯ε (s)ds +

xε (t) = x0 + t0

k=0

rk −

tj+1 − t (xj+1 − xj − hj+1 f (tj , xj )), hj+1

t f¨ ur t ∈ [tj , tj+1 ). Folglich gilt |xε (t)−x0 − t0 f¯ε (s)ds| ≤ εa, wie man aus (7.2) leicht sieht. Die Funktionen xεk , εk = 1/k, sind auf dem Intervall [t0 , t0 + a] gleichm¨aßig beschr¨ankt und Lipschitz mit Konstante M + 1, also sind sie gleichgradig stetig. Nach dem Satz von Arz´ela-Ascoli besitzt die Folge xεk eine gleichm¨aßig konvergente Teilfolge xεkm → x, mit einer stetigen D-wertigen Grenzfunktion x(t). Die Treppenfunktionen x ¯εkm (t) konvergieren ebenfalls gleichm¨aßig gegen die Grenz¯ r (x0 )] funktion x(t), und da f auf der kompakten Menge [t0 , t0 + a] × [D ∩ B ¯ gleichm¨aßig stetig ist, gilt außerdem fεkm (t) → f (t, x(t)) gleichm¨aßig. Also erhalten wir die Integralgleichung

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds,

t ∈ [t0 , t0 + a],

t0

und somit ist x(t) eine L¨ osung von (7.1), mit x(t) ∈ D f¨ ur alle t ∈ [t0 , t0 + a].

Bemerkungen 7.1.5. 1. Man beachte, dass der Beweis dieses Satzes f nur auf R × D verwendet. Im Fortsetzungssatz gilt dann die Alternative, dass x(t) nach rechts global existiert oder einen blow up hat. Insbesondere existiert sie global, falls D selbst beschr¨ ankt ist. Man beachte auch, dass die Menge D klein sein kann, in dem Sinne, dass sie keine inneren Punkte besitzt. So kann D = Σ z.B. eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit sein, darauf gehen wir in Kapitel 13 n¨aher ein. 2. Sind die L¨ osungen von (7.1) nicht eindeutig, so ist die Subtangentialbedingung (S) ¨ aquivalent zur Existenz mindestens einer L¨osung in D. Diese Eigenschaft von D nennt man positiv schwach invariant. Es kann aber L¨osungen geben, die in D starten, aber D sofort verlassen. Ein Standardbeispiel daf¨ ur ist x˙ = −3x2/3 mit D = R+ , t0 = 0, x0 = 0; vgl. Abschnitt 1.5.

7.2 Invarianzkriterien Bevor wir zu Anwendungen von Satz 7.1.4 kommen, wollen wir erneut die Subtangentialbedingung (S) diskutieren. Satz 7.2.1. Sei φ ∈ C 1 (Rn , R) und gelte ∇φ(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ φ−1 (a), d.h. a ist regul¨ arer Wert f¨ ur φ. Dann sind ¨ aquivalent: 1. D = φ−1 ((−∞, a]) ist positiv invariant f¨ ur (7.1).

136

Kapitel 7. Invarianz

2. (f (t, x)|∇φ(x)) ≤ 0 f¨ ur alle t ∈ R, x ∈ φ−1 (a) = ∂D. Beweis. Es gelte 1. Seien t ∈ R, x ∈ ∂D ﬁxiert und sei z = f (t, x). Nach Satz 7.1.4 gilt f¨ ur f und D die Subtangentialbedingung (S), d.h. es existiert eine Funktion p(h) ∈ D, sodass f¨ ur jedes ε ∈ (0, 1) ein δ > 0 existiert, mit |x + hz − p(h)|2 ≤ εh f¨ ur alle h ∈ (0, δ]. Da φ nach Voraussetzung C 1 ist, existiert zu ε ∈ (0, 1) ein ρ > 0, sodass |φ(p(h)) − φ(x) − (∇φ(x)|p(h) − x)| ≤ ε|p(h) − x|2 gilt, falls |p(h) − x|2 ≤ ρ. Wegen |p(h) − x|2 ≤ (1 + |z|2 )h nehmen wir im Weiteren 0 < h ≤ min{δ, ρ/(1 + |z|2 )} an. Nun ist φ(x) = a und φ(p(h)) ≤ a. Folglich erhalten wir p(h) − x p(h) − x (∇φ(x)|z) = ∇φ(x)z − + ∇φ(x) h h 1 ≤ |∇φ(x)|2 ε + |φ(p(h)) − φ(x) − (∇φ(x)|p(h) − x)| h ≤ |∇φ(x)|2 ε + ε(1 + |z|2 ) ≤ Cε, f¨ ur alle h mit 0 < h ≤ min{δ, ρ/(1 + |z|2 )}. Da ε ∈ (0, 1) beliebig war, folgt die Behauptung. Sei nun 2. erf¨ ullt und t0 ∈ R, x0 ∈ D ﬁxiert. Wir betrachten die gest¨orte DGL x˙ = f (t, x) − ε∇φ(x). Nach dem Satz von Peano existiert mindestens eine L¨osung xε (t) mit xε (t0 ) = x0 . Sei ϕ(t) = φ(xε (t)); es gilt ϕ(t0 ) = φ(x0 ) ≤ a, sowie ϕ(t) ˙ = (∇φ(xε (t))|x˙ ε (t)) = (∇φ(xε (t))|f (t, xε (t))) − ε|∇φ(xε (t))|2 . Angenommen, xε (t) ∈ / D f¨ ur ein t > t0 ; dann existiert ein t1 ≥ t0 mit xε (t) ∈ D f¨ ur t ≤ t1 , xε (t1 ) ∈ ∂D. Hier gilt nun ϕ(t ˙ 1 ) ≤ −ε|∇φ(xε (t1 ))|22 < 0, da a regul¨arer Wert von φ ist, also mit ϕ(t ˙ 1 ) = lim

h→0+

ϕ(t1 ) − ϕ(t1 − h) a − ϕ(t1 − h) = lim ≥0 h→0+ h h

ein Widerspruch. Daher bleibt xε (t) solange in D, wie die L¨osung existiert. F¨ ur ε → 0 konvergiert xε (t) gleichm¨ aßig auf kompakten Intervallen gegen x(t), die L¨osung von (7.1). Daher ist D positiv invariant. Korollar 7.2.2. Seien φ1 , . . . , φk ∈ C 1 (Rn , R) und aj ∈ R regul¨ arer Wert von φj , j = 1, . . . , k. Gilt dann (f (t, x)|∇φj (x)) ≤ 0

f¨ ur alle x ∈ φ−1 j (aj ), j = 1, . . . , k, t ≥ 0,

7.3. Konvexe invariante Mengen so ist D=

137

k 3

φ−1 j ((−∞, aj ])

j=1

positiv invariant. Beweis. Nach Satz 7.2.1 ist Dj = φ−1 j ((−∞, aj ]) positiv invariant bzgl. (7.1); 4 damit ist auch D = kj=1 Dj positiv invariant.

7.3 Konvexe invariante Mengen In diesem Abschnitt betrachten wir abgeschlossene Mengen, die positiv invariant f¨ ur (7.1) sind, unter der Zusatzannahme der Konvexit¨at. Zur Erinnerung: D ⊂ Rn heißt konvex, wenn mit x, y ∈ D auch die Verbindungsstrecke zwischen x und y zu D geh¨ort, also x, y ∈ D =⇒ tx + (1 − t)y ∈ D

f¨ ur alle t ∈ (0, 1).

Im Folgenden ben¨ otigen wir einige Eigenschaften konvexer Mengen, insbesondere die Existenz der metrischen Projektion auf D. Lemma 7.3.1. Sei D ⊂ Rn abgeschlossen und konvex. Dann existiert zu jedem u ∈ Rn genau ein P u ∈ D mit dist(u, D) = |u − P u|2 . P : Rn → D ist nichtexpansiv, d.h. Lipschitz mit Konstante 1 und es gilt (u − P u|v − P u) ≤ 0

f¨ ur alle u ∈ Rn , v ∈ D.

(7.4)

Ferner ist u − P u ∈ N (P u) f¨ ur alle u ∈ Rn , die Funktion φ(u) := 12 dist(u, D)2 ist stetig diﬀerenzierbar, und es gilt ∇φ(u) = u − P u,

f¨ ur alle u ∈ Rn .

Beweis. Sei u ∈ Rn gegeben. Ist u ∈ D, so setzen wir P u = u. Sei nun u ∈ / D. Dann existiert eine Folge xn ∈ D mit |u − xn |2 → dist(u, D); da xn beschr¨ankt ist, existiert eine Teilfolge xnk → x ∈ D und es gilt dist(u, D) = |u − x|2 . Wir zeigen, dass x dadurch eindeutig bestimmt ist. Dazu sei y ∈ D mit dist(u, D) = |u − y|2 . Es gilt dann aufgrund der Konvexit¨at von D 2 x + y |u − x|22 |u − y|22 1 dist(u, D)2 ≤ u − = + + (u − x|u − y) 2 2 4 4 2 1 ≤ (|u − x|2 + |u − y|2 )2 = dist(u, D)2 , 4

138

Kapitel 7. Invarianz

also |u − x+y 2 |2 = dist(u, D). Es folgt (u − x|u − y) = |u − x|2 |u − y|2 und daher u − x = u − y, also x = y, denn |u − x|2 = |u − y|2 . Setzt man nun P u = x, so ist P : Rn → D wohldeﬁniert. Wir zeigen (7.4). Es gilt f¨ ur alle w ∈ D |u − P u|22 = dist(u, D)2 ≤ |u − w|22 = |(u − P u) + (P u − w)|22 = |u − P u|22 + 2(u − P u|P u − w) + |P u − w|22 , folglich 1 |w − P u|22 , 2 f¨ ur alle w ∈ D. Mit v ∈ D ist auch w = tv + (1 − t)P u ∈ D, t ∈ (0, 1), da D konvex ist, und es gilt w − P u = t(v − P u). Nach Division durch t erh¨alt man (u − P u|w − P u) ≤

(u − P u|v − P u) ≤

t |v − P u|22 . 2

F¨ ur t → 0+ ergibt sich die Relation (7.4). Als n¨achstes zeigen wir, dass P nichtexpansiv ist. Dazu seien u, y ∈ Rn ; setzt man v = P y in (7.4), so erh¨ alt man (u − P u|P y − P u) ≤ 0, also |P y − P u|22 ≤ (P y − u|P y − P u) = (y − P y|P u − P y) +(y − u|P y − P u) ≤0 nach (7.4)

≤ |y − u|2 |P y − P u|2 , woraus |P y − P u|2 ≤ |y − u|2 f¨ ur alle u, y ∈ Rn folgt. Die Diﬀerenzierbarkeit von φ sieht man folgendermaßen. Es ist zum Einen φ(x + h) − φ(x) − (x − P x|h) 1 = |h + P x − P (x + h)|22 + (x − P x|P x − P (x + h)) ≥ 0, 2 und zum Anderen φ(x + h) − φ(x) − (x − P x|h) 5 6 |h|22 = |h|22 − |P (x + h) − P x|22 /2 + (x + h − P (x + h)|P x − P (x + h)) ≤ , 2 wie eine kurze Rechnung und (7.4) zeigen. Damit sind alle Behauptungen des Lemmas bewiesen.

7.3. Konvexe invariante Mengen

139

Bemerkungen 7.3.2. 1. (7.4) ist sogar charakteristisch f¨ ur die metrische Projektion P , denn es gilt die Implikation: F¨ ur x ∈ D und u ∈ Rn mit (u − x|v − x) ≤ 0 f¨ ur alle v ∈ D, folgt x = P u. Es gelte also (7.4). Dann ist |u − x|22 = (u − x|u − x) = (u − x|v − x) + (u − x|u − v) ≤ |u − x|2 |v − u|2 , also |u − x|2 ≤ |u − v|2 , f¨ ur alle v ∈ D, falls u = x gilt. Daraus folgt x = P u. F¨ ur u = x ∈ D ist P u = u = x. 2. Ist D ⊂ Rn abgeschlossen und konvex, dann ist N (x) f¨ ur jedes x ∈ ∂D nichtleer. Dies sieht man folgendermaßen. Sei x ∈ ∂D. W¨ahle eine Folge (xn ) ⊂ Rn \ D mit xn → x. Dann gilt νn :=

xn − P xn ∈ N (P xn ). |xn − P xn |2

Die Folge (νn ) besitzt eine konvergente Teilfolge νnk → ν und ν ∈ N (x). Diese ¨außere Normale erf¨ ullt (z|ν) ≤ (x|ν) f¨ ur alle z ∈ D; sie deﬁniert damit eine St¨ utzhyperebene an D in x ∈ ∂D. F¨ ur allgemeinere abgeschlossene D ist die Umkehrung von Lemma 7.1.3 leider falsch, da es mitunter nicht gen¨ ugend viele ¨außere Normalen gibt. F¨ ur konvexe Mengen jedoch ist sie richtig, wie wir nun zeigen werden. Lemma 7.3.3. Sei D ⊂ Rn abgeschlossen und konvex und sei z ∈ Rn , x ∈ ∂D. Dann sind ¨aquivalent: 1. limh→0+ h1 dist(x + hz, D) = 0; 2. (z|y) ≤ 0

f¨ ur alle y ∈ N (x).

Beweis. Wir haben nur noch 2. ⇒ 1. zu zeigen. Gelte also 2., aber wir nehmen an, 1. sei falsch. Dann existiert ein ε0 > 0 und eine Folge hn → 0+ mit ε0 hn ≤ dist(x + hn z, D) ≤ hn |z|2 . Es folgt

x − P (x + hn z) ε0 ≤ + z ≤ |z|2 ; hn

daher existiert eine Teilfolge, welche wir wieder mit hn bezeichnen, derart, dass hn → 0+ und x − P (x + hn z) yn := +z →y hn gilt; insbesondere ist y = 0. Dieses y ist eine ¨außere Normale an D in x, denn mit (7.4) erhalten wir f¨ ur v ∈ D 0 ≤ (yn |P (x + hn z) − v) → (y|x − v),

140

Kapitel 7. Invarianz

also (y|x − v) ≥ 0, und daher |x + y − v|22 = |x − v|22 + 2(x − v|y) + |y|22 ≥ |y|22 ,

f¨ ur alle v ∈ D,

d.h. B|y|2 (x + y) ∩ D = ∅, also y ∈ N (x). Außerdem ergibt (7.4) mit v = x und u = x + hn z die Ungleichung (x + hn z − P (x + hn z)|x − P (x + hn z)) ≤ 0, also nach Division durch h2n und mit n → ∞ (y|y − z) ≤ 0,

d.h. (z|y) ≥ |y|22 > 0,

was einen Widerspruch zu 2. bedeutet.

Als direkte Folgerung aus Satz 7.1.4 und Lemma 7.3.3 erhalten wir den Satz 7.3.4. Sei D ⊂ G abgeschlossen und konvex. Dann sind ¨ aquivalent: 1. D ist positiv invariant f¨ ur (7.1); 2. (f (t, x)|y) ≤ 0

f¨ ur alle t ∈ R, x ∈ ∂D, y ∈ N (x).

Ist D ⊂ G abgeschlossen, positiv invariant und beschr¨ankt, so existieren alle in D startenden L¨ osungen global nach rechts; das ist eine direkte Konsequenz des Satzes u osungen. Ist D außerdem konvex, so k¨onnen ¨ ber die Fortsetzbarkeit von L¨ wir noch mehr sagen. Satz 7.3.5. Sei D ⊂ G abgeschlossen, beschr¨ ankt und konvex und sei D positiv invariant f¨ ur (7.1). Dann gilt: 1. Ist f τ -periodisch in t, so existiert mindestens eine τ -periodische L¨osung x∗ (t) von (7.1) in D. 2. Ist f autonom, so besitzt (7.1) mindestens ein Equilibrium x∗ in D. Beweis. 1. Deﬁniere eine Abbildung T : D → D durch T x0 = x(τ ; 0, x0 ); da D positiv invariant ist, gilt T D ⊂ D. T ist stetig nach dem Satz u ¨ber die stetige Abh¨angigkeit. Da D abgeschlossen, beschr¨ ankt und konvex ist, liefert der Fixpunktsatz von Brouwer einen Fixpunkt x0 ∈ D von T , d.h. T x0 = x0 . Die L¨osung x(t; 0, x0 ) erf¨ ullt daher x0 = x(τ ; 0, x0 ), also gilt auch x(t; 0, x0 ) = x(t + τ ; 0, x0 ), da f τ -periodisch in t ist. Damit ist x(t; 0, x0 ) periodische L¨osung (7.1). 2. Setze τn = 2−n ; da f autonom ist, ist f insbesondere τn -periodisch, nach (i) existieren daher τn -periodische L¨ osungen xn (t) von (7.1) in D. Die Folge (xn )n∈N ⊂ C([0, 1], D) ist beschr¨ ankt, da D beschr¨ankt ist; sie ist aber auch gleichgradig stetig, da x˙ n = f (xn ) und f auf D beschr¨ankt ist. Der Satz von Arz´elaAscoli ergibt eine gleichm¨ aßig konvergente Teilfolge xnk → x∞ ; es ist x˙ ∞ = f (x∞ ) und x∞ ∈ D, wie man anhand der ¨ aquivalenten Integralgleichung sieht. Wir zeigen, dass x∞ (t) sogar konstant ist. Dazu muss man nur beachten, dass jedes xn (t)

7.4. Positiv homogene autonome Systeme

141

τm -periodisch f¨ ur n ≥ m ist; mit n → ∞ folgt daher: x∞ (t) ist τm -periodisch f¨ ur alle m ∈ N. Das heißt aber x∞ (0) = x∞ (kτm ) f¨ ur alle k ∈ {0, . . . , 2m }, m ∈ N; die Menge {k2−m : k ∈ {0, . . . , 2m }, m ∈ N} ist dicht in [0, 1], folglich muss x∞ (t) konstant sein.

7.4 Positiv homogene autonome Systeme Im Abschnitt 6.6 hatten wir ein Modell zur Paarbildung kennengelernt, das auf ein homogenes System f¨ uhrte. Hier wollen wir solche positiv homogenen Systeme allgemein untersuchen. Dazu betrachten wir das autonome Problem x˙ = f (x),

t ≥ 0,

x(0) = x0 ,

(7.5)

wobei f : Rn → Rn stetig und quasipositiv sei (vgl. Abschnitt 4.2). Wir nehmen ferner wieder Eindeutigkeit der L¨ osungen nach rechts an. Dann ist der Standardkegel K := Rn+ positiv invariant f¨ ur (7.5). Die Funktion f heißt positiv homogen, wenn f (αx) = αf (x) f¨ ur alle α ≥ 0 und x ∈ Rn+ gilt. Insbesondere ist dann f (0) = 0, also 0 ein Equilibrium f¨ ur (7.5), das triviale Equilibrium. Homogene Diﬀerentialgleichungen erlauben nichttriviale Exponentiall¨osungen der Form x∗ (t) = eλ∗ t z∗ , mit λ∗ ∈ R und z∗ ∈ K, z∗ = 0. Denn aufgrund der positiven Homogenit¨ at von f gilt f¨ ur ein solches x∗ (t) λ∗ eλ∗ t z∗ = x˙ ∗ (t) = f (x∗ (t)) = f (eλ∗ t z∗ ) = eλ∗ t f (z∗ ), also ist x∗ (t) genau dann eine L¨ osung von (7.5), wenn das Paar (z∗ , λ∗ ) L¨osung des nichtlinearen Eigenwertproblems f (z∗ ) = λ∗ z∗

(7.6)

ist. Aufgrund der positiven Homogenit¨ at ist mit (z∗ , λ∗ ) auch jedes (αz∗ , λ∗ ), α ≥ 0 eine L¨osung von (7.6). Daher ist es naheliegend eine Normierung einzuf¨ uhren. Dazu sei e = [1, 1, . . . , 1]T . Ist nun x(t) eine nichttriviale L¨osung von (7.5) in K, so gilt ρ(t) := (x(t)|e) > 0, und damit ist z(t) := x(t)/ρ(t) wohldeﬁniert. Die Zerlegung x(t) = ρ(t)z(t) ergibt ρ(t)z(t) ˙ + ρ(t)z(t) ˙ = x(t) ˙ = f (x(t)) = f (ρ(t)z(t)) = ρ(t)f (z(t)), aufgrund der Homogenit¨ at von f . Ferner gilt ρ(t) ˙ = (x(t)|e) ˙ = (f (x(t))|e) = (f (ρ(t)z(t))|e) = ρ(t)(f (z(t))|e), folglich z(t) ˙ = f (z(t)) − (f (z(t))|e)z(t),

142

Kapitel 7. Invarianz

also ist z von ρ entkoppelt. Die Funktion ρ ergibt sich durch Integration zu t ρ(t) = ρ0 exp{ (f (z(s))|e)ds}, 0

wenn z(t) bekannt ist. Daher ist das System (7.5) auf K \ {0} mit positiv homogenem f ¨aquivalent zu z˙ = f (z) − (f (z)|e)z,

t ≥ 0,

z(0) = z0 ,

(7.7)

mit der Nebenbedingung (z(t)|e) = 1. Setzt man nun D := {z ∈ K : (z|e) = 1}, das ist das Standardsimplex im Rn , so ist D ⊂ K abgeschlossen, konvex und beschr¨ankt, sowie positiv invariant f¨ ur (7.7). Nach Satz 7.3.5 besitzt das System (7.7) mindestens ein Equilibrium z∗ in D. Das bedeutet aber f (z∗ ) = (f (z∗ )|e)z∗ , also ist (z∗ , λ∗ ) eine nichttriviale L¨ osung des Eigenwertproblems (7.6) mit zugeh¨origem Eigenwert λ∗ := (f (z∗ )|e). Satz 7.4.1. Sei f : Rn → Rn stetig, quasipositiv und positiv homogen, und seien die L¨ osungen von (7.5) eindeutig nach rechts. Dann sind (7.5) auf Rn+ \ {0} und (7.7) auf dem Standardsimplex D in Rn ¨ aquivalent, und zwar mittels der Transformation x = ρz,

(z|e) = 1.

Das System (7.7) besitzt mindestens ein Equilibrium z∗ ∈ D, das nichtlineare Eigenwertproblem die L¨osung (z∗ , λ∗ ) mit λ∗ = (f (z∗ )|e), und (7.5) hat die Schar αeλ∗ t z∗ (α > 0) nichttrivialer Exponentiall¨osungen. Ist ferner f positiv, gilt also f (D) ⊂ Rn+ , so ist λ∗ ≥ 0, und ist f strikt positiv, gilt also f (D) ⊂ int Rn+ , so sind λ∗ > 0 und z∗ ∈ int Rn+ . Dieses Resultat ist ohne weitere Voraussetzungen auf das (nichtlineare!) Paarbildungsmodell aus Abschnitt 6.6 anwendbar. Man erh¨alt damit exponentielle, sog. persistente L¨osungen f¨ ur dieses Modell. Eine weitere Bemerkung ist die Folgende. Sei f ∈ C 1 (Rn ; Rn ) positiv homogen. Dann gilt f¨ ur alle λ > 0, f (λx)x =

d d f (λx) = [λf (x)] = f (x). dλ dλ

Mit λ → 0+ folgt damit f (x) = f (0)x, d.h. f ist linear, und wenn f quasipositiv ist, dann auch f (0). Dies zeigt, dass wir hier nicht sehr weit vom linearen Fall entfernt sind. Aber selbst im Spezialfall f (x) = Ax, mit einer quasipositiven Matrix A ∈ Rn×n , d.h. aij ≥ 0, i = j, ist das Resultat interessant. Satz 7.4.1 liefert uns dann n¨amlich einen positiven Eigenvektor z∗ ∈ Rn+ von A zum reellen Eigenwert λ∗ = (Az∗ |e). Ist A positiv, d.h. aij ≥ 0, dann ist λ∗ ≥ 0, und ist A strikt positiv, d.h. aij > 0, dann sind λ∗ > 0 und z∗ ∈ int Rn+ . Dies ist ein zentraler Teil des Satzes von Perron und Frobenius, den wir nun formulieren wollen. Dazu ben¨otigen wir den Begriﬀ der Irreduzibilit¨ at.

7.4. Positiv homogene autonome Systeme

143

Deﬁnition 7.4.2. Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt reduzibel, falls es eine Permutationsmatrix P gibt mit A1 0 −1 P AP = . B A2 Andernfalls nennt man A irreduzibel. Man u ¨ berlegt sich leicht, dass A genau dann irreduzibel ist, wenn es zu jeder echten Teilmenge I von {1, . . . , n} Indizes i ∈ I und k ∈ I gibt mit aik = 0. Damit ist klar, dass A genau dann irreduzibel ist, wenn die transponierte Matrix AT diese Eigenschaft hat. Eine reduzible Matrix l¨ asst sich mittels einer Permutationsmatrix P auf Block-Dreiecksform bringen, wobei die Bl¨ocke auf der Hauptdiagonalen irreduzibel sind. Satz 7.4.3 (Perron-Frobenius). 1. (a) Sei A ∈ Rn×n positiv. Dann ist λ = r(A) Eigenwert von A mit einem positiven Eigenvektor v ∈ Rn+ . (b) Ist A positiv und irreduzibel, dann ist v strikt positiv, also v ∈ int Rn+ , r(A) algebraisch einfach, und kein weiterer Eigenwert besitzt einen positiven Eigenvektor. (c) Ist A strikt positiv, dann gilt |λ| < r(A) f¨ ur alle λ ∈ σ(A) \ {r(A)}. 2. (a) Sei A quasipositiv. Dann ist λ = s(A) Eigenwert von A mit einem positiven Eigenvektor v. (b) Ist A quasipositiv und irreduzibel, dann ist v strikt positiv, s(A) algebraisch einfach, und kein weiterer Eigenwert besitzt einen positiven Eigenvektor. Ferner gilt Re λ < s(A) f¨ ur alle λ ∈ σ(A) \ {s(A)}. ∞ −(k+1) k −1 Beweis. 1.(a) F¨ ur s > r = r(A) gilt (s−A) = k=0 s A , also ist (s−A)−1 −1 positiv. Angenommen r ∈ σ(A); dann ist (z − A) holomorph in einer Umgebung von r, also stetig, daher existiert (r −A)−1 und ist positiv. Sei μ ∈ C ein Eigenwert von A, |μ| = r und sei w = 0 ein dazugeh¨ origer Eigenvektor. Deﬁniere y ∈ Rn+ mittels der Eintr¨ age yi = |wi |; es gilt dann ryi = |μwi | = |(Aw)i | ≤ (Ay)i , also ist (A − r)y ≥ 0. Durch Anwendung von (r − A)−1 folgt 0 ≤ y ≤ 0, also y = 0 im Widerspruch zur Annahme w = 0. Daher ist r Eigenwert von A. Um zu sehen, dass es zu r einen positiven Eigenvektor gibt, beachte man, dass die Resolvente (s − A)−1 eine rationale Matrixfunktion ist. s = r ist ein Pol f¨ ur (s − A)−1 mit der Ordnung l ≥ 1, also haben wir R := lim (s − r)l (s − A)−1 ≥ 0, s→r+

R = 0,

da (s − A)−1 f¨ ur s > r positiv ist, und es gilt AR = rR, denn A(s − A)−1 = −1 s(s − A) − I. W¨ ahle ein w ∈ Rn+ mit v := Rw = 0, also v ≥ 0. Dann gilt Av = rv und v ist positiv.

144

Kapitel 7. Invarianz

1.(b) Ist A irreduzibel und v positiver Eigenvektor zum Eigenwert r := r(A), so ist v strikt positiv. Denn ist I := {i : vi = 0} = ∅, so gibt es aufgrund der Irreduzibilit¨at von A Indizes i ∈ I und j ∈ I mit aij > 0. Folglich erh¨alt man den Widerspruch n 0 = rvi = aik vk ≥ aij vj > 0, k=1

also ist I = ∅, d.h. v ist strikt positiv. Da AT ebenfalls irreduzibel ist, gibt es einen strikt positiven Eigenvektor v ∗ von AT zum Eigenwert r. Insbesondere ist (v|v ∗ ) > 0, also kann man (v|v∗ ) = 1 annehmen. Damit steht v∗ senkrecht auf allen Eigenr¨aumen E(μ) von A, μ = r, und so kann es keine weiteren positiven Eigenvektoren zu Eigenwerten μ = r geben. Um zu zeigen, dass r einfach ist, sei Aw = rw ein weiterer Eigenvektor; durch ¨ Ubergang zu w − (w|v ∗ )v kann man (w|v ∗ ) = 0 annehmen, also ist w ∈ Rn+ . Da v strikt positiv ist, gilt w + tv ∈ int Rn+ f¨ ur große t ∈ R+ , also gibt es ein t0 > 0 mit w0 := w + t0 v ∈ ∂Rn+ . Ist w0 = 0 so ist w0 positiver Eigenvektor von A, und somit w0 ∈ int Rn+ , was aber nicht sein kann, da mindestens eine Komponente von w0 Null sein muss. Also ist w0 = 0, und daher sind w und v linear abh¨angig. Somit ist r geometrisch einfach. Sei nun Aw − rw = v; Skalarmultiplikation mit v ∗ ergibt dann den Widerspruch 1 = (v|v ∗ ) = (Aw − rw|v ∗ ) = (w|AT v∗ − rv ∗ ) = 0, also ist r halbeinfach und daher algebraisch einfach. 1.(c) Sei A strikt positiv und sei Aw = λw, w = 0, λ = r. Deﬁniere den Vektor y durch yi = |wi |. Dann folgt |λ|yi = |λwi | = |

n k=1

aik wk | <

n

aik yk = (Ay)i ,

k=1

da aij > 0 f¨ ur alle i, j = 1, . . . , n gilt, und w kein Vielfaches eines positiven Vektors ist. Durch Multiplikation mit vi∗ und Summation u ¨ ber i ergibt sich |λ|(y|v∗ ) < (Ay|v ∗ ) = r(y|v ∗ ), also |λ| < r, da w = 0 also y positiv und v ∗ strikt positiv ist. ¨ 2. Wir kennen schon die Identit¨ at r(eA ) = es(A) aus Ubung 3.10., die f¨ ur ¨ alle Matrizen A gilt. Ferner folgt aus Ubung 7.13., dass eA positiv ist, falls A quasipositiv ist, und eA ist strikt positiv, falls A außerdem irreduzibel ist. Damit kann man 1. auf eA anwenden, und alle Behauptungen in 2. folgen aus dem Satz 11.1.1 u ul, den wir in Kapitel 11 beweisen. ¨ber den Funktionalkalk¨

7.5. Diﬀerentialungleichungen und Quasimonotonie

145

7.5 Diﬀerentialungleichungen und Quasimonotonie Als weitere Anwendung der Invarianz abgeschlossener Mengen betrachten wir Differentialungleichungen der Form x˙ i − fi (t, x) ≤ y˙ i − fi (t, y), t ∈ J = [t0 , t1 ], i = 1, . . . , n. (7.8) xi (t0 ) ≤ yi (t0 ), Unter welcher Voraussetzung an f : R+ × G → Rn gilt dann xi (t) ≤ yi (t),

t ∈ J, i = 1, . . . , n ?

Um zu sehen, was diese Frage mit Invarianz zu tun hat, setzen wir u(t) = y(t) − x(t), t ∈ J; es ist dann ui (t0 ) ≥ 0, i = 1, . . . , n, also u(t0 ) ∈ Rn+ . Wir m¨ochten u(t) ∈ Rn+ f¨ ur alle t ∈ J zeigen, d.h. die Invarianz von Rn+ bzgl. einer noch zu deﬁnierenden DGL f¨ ur u(t). Nun ist u(t) ˙ = y(t) ˙ − x(t) ˙ = f (t, y(t)) − f (t, x(t)) + [y(t) ˙ − f (t, y(t)) − (x(t) ˙ − f (t, x(t)))] = f (t, u(t) + x(t)) − f (t, x(t)) + d(t) =: g(t, u(t)), wobei d(t) = y(t) ˙ − f (t, y(t)) − (x(t) ˙ − f (t, x(t))) ∈ Rn+ f¨ ur alle t ∈ J gilt. Ist also Rn+ positiv invariant f¨ ur u˙ = g(t, u), so folgt u(t) ∈ Rn+ , f¨ ur alle t ∈ J. Nach dem Positivit¨ atskriterium ist Rn+ positiv invariant f¨ ur diese Gleichung, falls gi (t, u) ≥ 0 f¨ ur alle u ≥ 0 mit ui = 0 gilt. Dabei beachte man, dass die L¨osungen von u˙ = g(t, u) eindeutig sind, falls f lokal Lipschitz in x ist, oder allgemeiner die Eindeutigkeitsbedingung aus Satz 6.5.1 erf¨ ullt. Da di (t) ≥ 0 ist, werden wir daher auf die folgende Deﬁnition gef¨ uhrt. Deﬁnition 7.5.1. Sei f : J × G → Rn . Die Funktion f heißt quasimonoton (wachsend), falls f¨ ur alle t ∈ J, x, y ∈ G, i = 1, . . . , n gilt (QM )

x ≤ y, xi = yi =⇒ fi (t, x) ≤ fi (t, y).

Beispiele. f (t, x) = A(t)x mit A(t) ∈ Rn×n ist quasimonoton, falls aij (t) ≥ 0 f¨ ur alle i = j gilt, also A(t) quasipositiv ist. Ist f stetig diﬀerenzierbar in x, so ist f genau dann quasimonoton, wenn die Matrix ∂x f (t, x) in jedem Punkt (t, x) quasipositiv ist. F¨ ur n = 1 ist jedes f quasimonoton. In Worten: f ist quasimonoton, wenn jede Komponentenfunktion fi in allen xj mit j = i monoton wachsend ist. Fassen wir unser Ergebnis zusammen im folgenden

146

Kapitel 7. Invarianz

Satz 7.5.2. Sei f : [t0 , t1 ]×G → Rn stetig und quasimonoton, und sei die Eindeutigkeitsbedingung aus Satz 6.5.1 erf¨ ullt. Seien x, y : [t0 , t1 ] → G stetig diﬀerenzierbar und gelte x˙ i (t) − fi (t, x(t)) ≤ y˙ i (t) − fi (t, y(t)), xi (t0 ) ≤ yi (t0 ), Dann gilt

xi (t) ≤ yi (t)

t ∈ [t0 , t1 ], i = 1, . . . , n.

f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ], i = 1, . . . , n.

In vielen F¨ allen ist es angemessen, andere Ordnungen auf Rn als die Standardordnung zu verwenden. Es ist nicht schwer, das Analogon von Satz 7.5.2 zu formulieren, indem man Invarianz allgemeiner Kegel betrachtet. Deﬁnition 7.5.3. Eine Menge K ⊂ Rn heißt Kegel, wenn K abgeschlossen, konvex und positiv homogen (d.h. λK ⊂ K f¨ ur alle λ ≥ 0) ist. Ein Vektor v ∈ K, v = 0 wird positiv genannt. Ein Kegel K heißt echt, wenn außerdem K ∩ (−K) = {0} gilt. Ist K ein Kegel, so heißt K ∗ = {x∗ ∈ Rn : (x|x∗ ) ≥ 0, f¨ ur alle x ∈ K} der zu K duale Kegel. Der duale Kegel ist tats¨ achlich ein Kegel, wie man leicht nachpr¨ uft. Man beachte, dass x ∈ K genau dann gilt, wenn (x|x∗ ) ≥ 0 f¨ ur alle x∗ ∈ K ∗ erf¨ ullt ist; insbesondere ist K ∗∗ = K. Dies sieht man z.B. folgendermaßen: Sei P die metrische Projektion auf K, und x ∈ Rn mit (x|x∗ ) ≥ 0 f¨ ur alle x∗ ∈ K ∗ . Dann gilt nach Lemma 7.3.1 (x − P x|k) ≤ (x − P x|P x) f¨ ur alle k ∈ K. Setzt man k = τ v mit v ∈ K und schickt τ → ∞, so erh¨ alt man (x − P x|v) ≤ 0 f¨ ur alle v ∈ K, also P x − x ∈ K ∗ , und andererseits gilt mit k = 0 die Ungleichung (x − P x|P x) ≥ 0. Es folgt (P x − x|P x − x) = (P x − x|P x) − (P x − x|x) ≤ 0, also x = P x ∈ K. Sei K ein Kegel im Rn ; mittels K

x≤y

⇐⇒

y−x∈K

wird auf Rn eine teilweise Ordnung deﬁniert mit den Eigenschaften K

(α) x ≤ y

K

und

y≤z

K

x≤z

K

(β) α ≥ 0, x ≤ y K

K

=⇒

=⇒ αx ≤ αy

(γ) x ≤ y, z ∈ Rn

(Transitivit¨at)

(Homogenit¨at)

K

=⇒ x + z ≤ y + z

K

(Additivit¨at);

K

(δ) xn ≤ yn , xn → x, yn → y ⇒ x ≤ y (Abgeschlossenheit); ist K außerdem echt, so gilt auch K

() x ≤ y

K

und

y≤x

=⇒ x = y

(Symmetrie).

7.5. Diﬀerentialungleichungen und Quasimonotonie

147

Umgekehrt u ¨berlegt man sich auch leicht, dass eine teilweise Ordnung ≤ auf Rn mittels K := {x ∈ Rn : x ≥ 0} einen Kegel deﬁniert, falls (α), (β), (γ), (δ) gelten; () ist dann ¨aquivalent zur Echtheit des Kegels. Die Bedeutung des dualen Kegels kl¨art Lemma 7.5.4. Sei K ⊂ Rn ein Kegel. Dann gilt f¨ ur x ∈ ∂K: N (x) = {z ∈ Rn \ {0} : −z ∈ K ∗ und (x|z) = 0}. Insbesondere ist K genau dann positiv invariant f¨ ur (7.1), wenn (f (t, x)|z) ≥ 0,

f¨ ur alle x ∈ ∂K, z ∈ K ∗ mit (x|z) = 0

erf¨ ullt ist. Beweis. “⊃” Sei −z ∈ K ∗ . Wir zeigen, dass z ¨außere Normale an K in x ∈ ∂K ist, falls außerdem (x|z) = 0 gilt. Angenommen, es ist u ∈ B|z|2 (x + z) ∩ K. Es folgt dann 0 ≤ (u| − z) = (u − x − z| − z) + (x + z| − z) ≤ |u − (x + z)|2 |z|2 − |z|22 < 0, ein Widerspruch, folglich gilt z ∈ N (x). “⊂” Sei nun umgekehrt z ∈ N (x). Dann gilt |x + z − u|2 ≥ |z|2 ,

f¨ ur alle u ∈ K,

also |x − u|22 + 2(x − u|z) ≥ 0.

(7.9)

Setzt man u = x + ty, y ∈ K beliebig, t > 0, so ergibt (7.9) nach Division durch t t|y|2 − 2(y|z) ≥ 0, also mit t → 0+ (y|z) ≤ 0 f¨ ur alle y ∈ K, d.h. −z ∈ K ∗ . Setzt man u = (1 − t)x in (7.9) und dividiert durch t ∈ (0, 1), so ergibt sich entsprechend t|x|2 + 2(x|z) ≥ 0, also mit t → 0+ auch (x|z) ≥ 0, d.h. (x|z) = 0. Die zweite Behauptung folgt unmittelbar aus Satz 7.3.4.

Um die geeignete Verallgemeinerung der Quasimonotonie zu erhalten, bemerken wir zun¨ achst, dass (Rn+ )∗ = Rn+ gilt. Nun ist f¨ ur K = Rn+ die Bedingung x ≤ y,

xi = yi

=⇒

fi (t, x) ≤ fi (t, y)

dann und nur dann erf¨ ullt, wenn x ≤ y,

z ∈ K∗

mit

(x|z) = (y|z)

gilt. Diese Beobachtung ergibt die

=⇒

(f (t, x)|z) ≤ (f (t, y)|z)

148

Kapitel 7. Invarianz K

Deﬁnition 7.5.5. Sei K ⊂ Rn ein Kegel, ≤ die erzeugte Ordnung, und sei f : J × G → Rn . Dann heißt f quasimonoton (bzgl. K), falls f¨ ur alle t ∈ J, x, y ∈ G gilt: K

x ≤ y, z ∈ K ∗ , (x − y|z) = 0

(QM )

(f (t, y) − f (t, x)|z) ≥ 0.

=⇒

Unter Verwendung von Satz 7.3.4 k¨ onnen wir nun Satz 7.5.2 direkt auf allgemeine Kegel bzw. Ordnungen u ¨bertragen. Satz 7.5.6. Sei f : [t0 , t1 ] × G → Rn stetig und sei die Eindeutigkeitsbedingung aus K

Satz 6.5.1 erf¨ ullt. Sei K ⊂ Rn ein Kegel, ≤ die von K erzeugte Ordnung, und sei f quasimonoton bzgl. K. Seien x, y : [t0 , t1 ] → G stetig diﬀerenzierbar und gelte ⎧ K ⎨ x(t) ˙ − f (t, x(t)) ≤ y(t) ˙ − f (t, y(t)), t ∈ [t0 , t1 ]. K ⎩ x(t0 ) ≤ y(t0 ), K

Dann gilt

x(t) ≤ y(t)

f¨ ur alle t ∈ [t0 , t1 ].

7.6 Autonome quasimonotone Systeme Sei f : Rn → Rn stetig und quasimonoton bez¨ uglich eines echten Kegels K mit K

induzierter Ordnung ≤. Wir betrachten in diesem Abschnitt das autonome System x˙ = f (x), (7.10) x(0) = x0 , K

und nehmen an, dass die L¨ osungen eindeutig sind. Gegeben seien x0 ≤ x0 , mit K

f (x0 ) ≥ 0 und

K

f (x0 ) ≤ 0;

x0 heißt Sub-Equilibrium, x0 Super-Equilibrium von (7.8). Setze K

K

D = [x0 , x0 ] := {x ∈ Rn : x0 ≤ x ≤ x0 }. D heißt das von x0 und x0 erzeugte Ordnungsintervall. Aus Satz 7.5.6 folgt, dass K

K

D positiv invariant f¨ ur (7.10) ist; denn ist x0 ∈ D, so gilt x0 ≤ x0 ≤ x0 , und die L¨osung x(t) mit Anfangswert x(0) = x0 erf¨ ullt K

x˙ − f (x) = 0 ≥ −f (x0 ), K

K

K

x˙ − f (x) = 0 ≤ −f (x0 ),

folglich x0 ≤ x(t) ≤ x0 f¨ ur alle t ≥ 0, d.h. x(t) ∈ D f¨ ur alle t ≥ 0. Echte Kegel haben gute Eigenschaften, wie das folgende Lemma zeigt.

7.6. Autonome quasimonotone Systeme

149 K

Lemma 7.6.1. Sei K ⊂ Rn ein Kegel mit der erzeugten Ordnung ≤. Dann sind ¨aquivalent: 1. K ist ein echter Kegel; K

K

2. K ist normal, d.h. es gibt γ > 0, sodass aus 0 ≤ x ≤ y folgt: |x| ≤ γ|y|; K

K

3. Aus xn ≤ yn ≤ zn und xn → x∞ ← zn folgt yn → x∞ ; K

K

4. Ordnungsintervalle [a, b] = {x ∈ Rn : a ≤ x ≤ b} sind kompakt; 5. x ∈ K, (x|x∗ ) = 0 f¨ ur alle x∗ ∈ K ∗ impliziert x = 0; 6. int K ∗ = ∅; 7. es gibt ein x∗0 ∈ K ∗ mit (x|x∗0 ) > 0 f¨ ur alle 0 = x ∈ K, also einen strikt positiven dualen Vektor. Ist dies der Fall, so sind monotone ordnungsbeschr¨ ankte Folgen konvergent. K

Beweis. (i) Sei K ein echter Kegel, aber nicht normal. Dann gibt es Folgen 0 ≤ K

xn ≤ yn mit |xn | > n|yn |. Setze un = xn /|xn |, vn = yn /|xn |; dann gibt es eine Teilfolge mit unk → u∞ = 0 und es gilt vn → 0. Da K abgeschlossen ist, ist einerseits u∞ ∈ K, aber andererseits auch −u∞ = limk→∞ (vnk − unk ) ∈ K, im Widerspruch zur Echtheit von K. Also impliziert 1. K normal, also 2. K

K

(ii) Sei xn ≤ yn ≤ zn und xn → x∞ ← zn . Ist K normal, so folgt |yn − xn | ≤ γ|zn − xn | → 0, also auch yn → x∞ . Daher folgt 3. aus 2. (iii) Es gelte 3. Angenommen, es existiert ein unbeschr¨anktes Ordnungsintervall [a, b]. Dann gibt es eine Folge xn ∈ [a, b] mit |xn | → ∞. Setze un = xn /|xn |; K

K

dann gilt a/|xn | ≤ un ≤ b/|xn | also mit 3. un → 0 im Widerspruch zu |un | = 1. Daher folgt 4. aus 3. K

K

(iv) Gelte 4. Das Ordnungsintervall [0, 0] = {x ∈ Rn : 0 ≤ x ≤ 0} ist gleich K ∩(−K). Ist v ∈ K ∩(−K), dann auch tv f¨ ur alle t ∈ R, also ist [0, 0] = K ∩(−K) genau dann beschr¨ ankt, wenn K ∩ (−K) = {0} ist, also wenn der Kegel echt ist. Daher ist 4. ¨aquivalent zu 1. (v) Es ist x0 ∈ K ∩ (−K) dann und nur dann, wenn (x0 |x∗ ) = 0 f¨ ur alle ¨ x ∈ K ∗ gilt. Dies zeigt die Aquivalenz von 1. und 5. ∗

(vi) Ist x∗ ∈ K ∗ strikt positiv, also (x|x∗ ) > 0 f¨ ur alle x ∈ K\{0}, dann schon uniform positiv, d.h. es gibt eine Konstante c > 0 mit φ(x) := (x|x∗ ) ≥ c|x| f¨ ur alle x ∈ K. Denn φ(x) hat auf K ∩ ∂B1 (0) ein strikt positives Minimum. Andererseits ist ein x∗ ∈ K ∗ genau dann uniform positiv, wenn x∗ ∈ int K ∗ gilt. ¨ Dies zeigt die Aquivalenz von 6. und 7.

150

Kapitel 7. Invarianz

(vii) Sei x∗ ∈ K ∗ strikt positiv und x0 ∈ K ∩ (−K), x0 = 0. Dann gilt 0 < (x0 |x ) < 0, ein Widerspruch. Also impliziert 6., dass K echt ist. Umgekehrt sei K echt. Da K ∗ ∩ ∂B1 (0) kompakt ist, gibt es eine dichte Folge {x∗k } ⊂ K ∗ ∩ ∂B1 (0). ∞ ∗ Setze x = k=1 k −2 x∗k ; oﬀenbar ist x∗ ∈ K ∗ wohldeﬁniert. Ist nun (x|x∗ ) = 0 f¨ ur ein x ∈ K, so folgt (x|x∗k ) = 0 f¨ ur alle k, also aufgrund der Dichtheit der Folge sogar (x|y ∗ ) = 0 f¨ ur alle y ∗ ∈ K ∗ . Dies impliziert mit 5. aber x = 0, also ist x∗ strikt positiv. ∗

Da K nach Voraussetzung echt ist, ist das Ordnungsintervall D nach Lemma 7.6.1 beschr¨ankt, also kompakt und konvex. Daher folgt aus Satz 7.3.5 die Existenz eines Equilibriums x∞ ∈ D. Es gilt aber noch viel mehr. Dazu betrachten wir die speziellen L¨osungen x(t) und x(t) von (7.10) zu den Anfangswerten x0 bzw. x0 . K

Diese bleiben in D, und f¨ ur jede andere in D startende L¨osung x(t) gilt x(t) ≤ K

x(t) ≤ x(t), t > 0. Folglich erhalten wir K

K

K

x(t) ≤ x(t + h) ≤ x(t + h) ≤ x(t), t, h > 0, K

d.h. x(t) ist monoton wachsend und x(t) monoton fallend bzgl. der Ordnung ≤. Diese Funktionen besitzen daher nach Lemma 7.6.1 Grenzwerte x∞ und x∞ , welche Equilibria von (7.10) sind. Insbesondere ist D∞ = [x∞ , x∞ ] wieder positiv invariant und jede in D startende L¨ osung konvergiert gegen D∞ , d.h. D∞ ist global attraktiv in D. Ferner liegen alle Equilibria von (7.10) (aus D) und auch alle periodischen L¨ osungen von (7.10) in D∞ . Gilt weiter x∞ =x∞ , d.h. (7.10) besitzt nur ein Equilibrium in D, dann konvergieren alle in D startenden L¨ osungen gegen dieses Equilibrium x∞ , d.h. x∞ ist global attraktiv in D. Wir haben somit den folgenden Satz bewiesen. Satz 7.6.2. Sei f : Rn → Rn stetig und quasimonoton bez¨ uglich eines echten Kegels K

K und seien x0 ≤ x0 Sub- bzw. Superequilibria f¨ ur (7.10). Dann ist D = [x0 , x0 ] K

positiv invariant, und es existieren Equilibria x∞ ≤ x∞ in D derart, dass f¨ ur alle Equilibria x∞ ∈ D von (7.10) gilt: x∞ ∈ D∞ = [x∞ , x∞ ]. D∞ ist positiv invariant und global attraktiv in D. Besitzt (7.10) h¨ ochstens ein Equilibrium x∞ ∈ D, so ist x∞ global attraktiv in D. Dieses Resultat wollen wir jetzt verwenden, um das qualitative Verhalten der chemischen Kinetik aus Abschnitt 6.6 zu untersuchen. Beispiel. Chemische Kinetik. Wir betrachten das System x˙ 1 = a1 − x1 − r(x1 , x2 ), x˙ 2 = a2 − x2 − r(x1 , x2 ),

x1 (0) = x01 > 0, x2 (0) = x02 > 0,

(7.11)

aus Abschnitt 6.6, wobei ai > 0 und r : R2+ → R stetig und wachsend in beiden Variablen, r(x1 , 0) = r(0, x2 ) = 0, sind. O.B.d.A. kann man a2 ≥ a1 annehmen,

7.7. Ein Klassenmodell f¨ ur Epidemien

151

ansonsten vertausche man x1 und x2 . Wir hatten schon gezeigt, dass dieses System einen globalen Halbﬂuss auf D := R2+ erzeugt. Es gibt genau ein Equilibrium in int D, das durch die Gleichungen x2 = a2 −a1 +x1 und r(x1 , a2 −a1 +x1 ) = a1 −x1 bestimmt ist; die letzte Gleichung besitzt genau eine L¨osung x ∈ (0, a1 ), da r in beiden Variablen wachsend ist. Das System ist quasimonoton bzgl. der vom Kegel K = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≤ 0} induzierten Ordnung. Man sieht leicht, dass x = (b1 , 0) ein Super-Equilibrium ist, sofern b1 ≥ a1 ist, und ebenso ist x = (0, b2 ) ein Sub-Equilibrium, wenn b2 ≥ a2 ist, es gilt x ≤ x. Jeder Anfangswert x0 ∈ D liegt in einem dieser Ordnungsintervalle. Daher ist Satz 7.6.2 anwendbar, und das Equilibrium ist global asymptotisch stabil in D.

7.7 Ein Klassenmodell fu ¨r Epidemien Die mathematische Modellierung von Infektionskrankheiten erfordert h¨auﬁg eine weitergehende Diﬀerenzierung der Populationsklassen S der Suszeptiblen und I der Infekti¨osen. Im Folgenden betrachten wir ganz allgemein n Unterklassen der Population mit jeweils Sk Inﬁzierbaren und Ik Infekti¨osen, k = 1, . . . , n. Ferner nehmen wir an, dass die Individuen die Klasse nicht wechseln k¨onnen und ber¨ ucksichtigen keine Geburts- und Sterbevorg¨ange. Folglich ist die Anzahl Sk +Ik =: Nk > 0 der k-ten Unterklasse konstant. Ferner sei ak > 0 die (pro Kopf) Gesundungsrate der k-ten Unterklasse und rkl die Kontaktrate der Infektion eines Inﬁzierbaren der Klasse k durch einen Infekti¨osen der l-ten Klasse. Damit ergibt sich das System I˙k = −ak Ik + = −ak Ik +

n l=1 n

rkl Sk Il rkl Nk Il −

l=1

n

rkl Ik Il

l=1

f¨ ur k ∈ {1, . . . , n}, wobei wir Sk = Nk − Ik eingesetzt haben. Wir normalisieren die Variablen, indem wir vk = Ik /Nk und bkl = rkl Nl ≥ 0 setzen, und erhalten so das System v˙ k = −ak vk +

n

bkl vl −

l=1

vk (0) = vk0 ,

n

bkl vk vl ,

t ≥ 0, k = 1, . . . , n,

l=1

(7.12)

k = 1, . . . , n.

Wir nehmen ferner an, dass die Population bez¨ uglich der Infektion irreduzibel ist, das heißt: F¨ ur jede echte Teilmenge J = ∅ von {1, . . . , n},

(7.13)

existieren l ∈ J, k ∈ {1, · · · , n} \ J mit bkl > 0.

(7.14)

152

Kapitel 7. Invarianz

Diese wesentliche Annahme besagt, dass eine gegebene Gruppe J von Unterklassen stets mindestens eine der nicht in J enthaltenen Unterklassen inﬁzieren kann. Andernfalls k¨onnte man die Gruppe J und ihr Komplement getrennt behandeln. Wir fassen die Komponenten zu den Vektoren v = [v1 , . . . , vn ]T und v0 = 0 [v1 , . . . , vn0 ]T zusammen. Ferner deﬁnieren wir die n × n–Matrix A = [akl ] durch akl = bkl f¨ ur k = l und akk = bkk − ak , sowie die nichtlinearen Abbildungen g(v) =

n

bkl vk vl

l=1

f (v) = Av − g(v).

und

k=1,...,n

Man beachte, dass auf Grund der angenommenen Irreduzibilit¨at der Population die Matrix A und damit auch ihre Transponierte AT irreduzibel sind. Mit diesen Vereinbarungen l¨ asst sich das System (7.12) als v˙ = Av − g(v),

t ≥ 0,

v(0) = v 0 ,

(7.15)

schreiben. In unserem Modell sind dabei nur Anfangswerte v0 im Einheitsw¨ urfel Wn = [0, 1]n von Interesse. Die Existenz einer eindeutigen positiven L¨osung von (7.12) ergibt sich leicht aus dem Satz von Picard–Lindel¨ of und dem Positivit¨atssatz. Sei x ∈ ∂Wn ein Vektor, der nicht auf den Koordinatenhyperebenen liegt, und sei ν eine ¨außere Normale an ∂Wn in x. Dann gilt νk = 0, wenn xk ∈ (0, 1), und νk ≥ 0, wenn xk = 1 ist. Somit folgt die Ungleichung (ν|f (x)) =

− ak νk +

xk =1

n

bkl xl νk −

l=1

n

bkl xl νk ≤ 0.

l=1

Damit ist Wn nach Satz 7.3.4 positiv invariant, und da Wn beschr¨ankt ist, existieren alle in Wn startenden L¨ osungen global nach rechts und bleiben in Wn . Sei nun v0 = 0 und t > 0. Wenn vk (t) f¨ ur ein k gleich 1 w¨are, dann w¨are t ein lokales Maximum und v˙ k (t) m¨ usste gleich 0 sein. Andererseits folgte aus (7.12), dass v˙ k (t) strikt negativ w¨ are. Also sind alle Komponenten von v(t) strikt kleiner als 1. Wir nehmen an, dass mindestens eine Komponente von v(t) gleich 0 sei. Da 0 eine station¨are L¨ osung ist, k¨ onnen nicht alle Komponenten von v(t) verschwinden. Weil die Population irreduzibel ist, gibt es also Indizes k, j ∈ {1, . . . , n} mit bkj > 0, vk (t) = 0 und vj (t) > 0. Aus der Diﬀerentialgleichung (7.12) und der schon gezeigten Positivit¨ at von v(t) folgt nun v˙ k (t) =

n

bkl vl (t) > 0.

l=1

Wieder ergibt sich ein Widerspruch, also sind alle Komponenten von v(t) gr¨oßer Null. Daher gilt v(t) ∈ int Wn , sofern t > 0 und v0 ∈ Wn , v0 = 0 ist, d.h. die nichttriviale L¨osungen gehen instantan ins Innere von Wn .

7.7. Ein Klassenmodell f¨ ur Epidemien

153

Da die Matrix AT quasipositiv und irreduzibel ist, hat sie nach dem Satz von Perron–Frobenius einen strikt positiven Eigenvektor y zum Eigenwert s(A) = s(AT ). Wir setzen nun Φ(x) = (x|y) f¨ ur x ∈ Wn . Mit δ = mink yk > 0 gilt zun¨achst δ |x|1 ≤ Φ(x) ≤ |y|∞ |x|1 .

(7.16)

Die Diﬀerentialgleichung (7.15) impliziert ˙ Φ(v) = (Av|y) − (g(v)|y) = s(A)Φ(v) −

n

bkl yk vk vl

(7.17)

k,l=1

f¨ ur v ∈ Wn . Seien s(A) ≤ 0 und v 0 = 0. Dann ist s(A)Φ(v) ≤ 0 und die Doppel˙ summe ist f¨ ur t > 0 strikt positiv. Also ist Φ(v) f¨ ur v ∈ Wn \ {0} strikt negativ. Somit ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion auf Wn und (7.15) hat außer 0 kein weiteres Equilibrium v∗ in Wn . Mit Satz 5.5.6 folgt v(t) → 0 f¨ ur t → ∞, und die Ungleichung (7.16) zeigt auch die Stabilit¨ at des Equilibriums v = 0. Damit haben wir den ersten Teil des Hauptresultats dieses Abschnitts gezeigt, das wie folgt lautet: Satz 7.7.1. Das System (7.12) sei irreduzibel im Sinne von (7.13) und sei v L¨osung von (7.12) mit v(0) = v 0 ∈ Wn = [0, 1]n . Dann gelten die folgenden Aussagen, wobei A vor (7.15) deﬁniert wurde. (i) Sei s(A) ≤ 0. Dann konvergiert v(t) f¨ ur t → ∞ gegen das einzige Equilibrium v = 0 in W n . v ist global asymptotisch stabil in Wn , die Infektion stirbt aus. (ii) Seien s(A) > 0 und v 0 = 0. Dann konvergiert v(t) f¨ ur t → ∞ gegen das einzige Equilibrium v∗ in W n \ {0}, v∗ ist global asymptotisch stabil in Wn \ {0}. Dabei liegt v∗ in (0, 1)n , die Infektion bleibt also in allen Unterklassen erhalten. Beweis. Wir m¨ ussen nur noch den zweiten Teil zeigen. Dazu verwenden wir Satz 7.6.2; im Folgenden sei also s(A) > 0. Seien 0 ≤ v ≤ w ≤ e = [1, . . . , 1]T , k ∈ {1, . . . , n} und vk = wk . Dann gilt fk (v) = −ak wk + (1 − wk )

n

bkl vl ≤ fk (w),

l=1

sodass (7.12) quasimonoton ist. Die Funktion e ist ein Super-Equilibrium von (7.12), da f (e) negativ ist. Nach dem Satz von Perron–Frobenius hat A einen strikt positiven Eigenvektor z zum Eigenwert s(A). Setze ζ = mink zk > 0; dann ist n fk (ηz) = ηs(A)zk − η 2 bkl zk zl ≥ η(ζs(A) − η|B||z|∞ |z|1 ) ≥ 0, l=1

sofern η > 0 gen¨ ugend klein gew¨ ahlt wird. Daher ist ηz ein Sub-Equilibrium, f¨ ur jedes η ∈ (0, η0 ).

154

Kapitel 7. Invarianz

Wir nehmen an, dass es zwei station¨ are L¨osung v∗ und v in Wn \ {0} g¨abe; beide strikt positiv. Wir k¨ onnen annehmen, dass m = maxk v∗k /vk > 1 und dass m = v∗1 /v1 . Dann ergeben sich die Ungleichungen v∗1 > v1 und v∗1 ≥ v1 v∗k /vk f¨ ur k = 2, . . . , n. Aus 0 = −a1 v∗1 + (1 − v∗1 )

n

b1l v∗l

k=1

folgt die Identit¨ at 0 = −a1 v1 + (1 − v∗1 )

n

b1l v∗l

k=1

v1 . v∗1

Andererseits haben wir 0 = −a1 v1 + (1 − v1 )

n

b1l vl .

k=1

Es gelten 1 − v∗1 < 1 − v1 und v1 v∗l /v∗1 ≤ vl , und es gibt ein j mit b1j > 0 auf Grund der Annahme (7.13). Somit f¨ uhren die obigen Gleichungen auf einen Widerspruch, und es folgt v = v∗ . Satz 7.6.2 impliziert daher, dass jede L¨ osung v(t) mit Anfangswert v0 ∈ [ηz, e] gegen das eindeutige Equilibrium konvergiert. L¨osungen werden instantan positiv, sind dann also in einem der Ordnungsintervalle [ηz, e]; damit konvergieren alle L¨osungen v(t) mit Startwert v0 ∈ Wn , v0 = 0, gegen das nichttriviale Equilibrium. ¨ Ubungen 1. Berechnen Sie die ¨ außeren Normalen f¨ ur die Kugeln in den lp -Normen, 1 ≤ p ≤ ∞. n×n 2. Sei Q ∈ R symmetrisch und positiv deﬁnit, und sei |x|Q := (Qx|x) die induzierte Norm auf Rn . Berechnen Sie die ¨ außeren Normalen der Einheitskugel in dieser Norm. Sehen Sie den Bezug zur entsprechenden Klammer [·, ·]Q ? (Vgl. Abschnitt 6.4.) 3. Endliche Markov-Prozesse. Sei A = [aij ] eine Markov-Matrix, d.h. A ist quasipositiv, n und n i=1 aij = 0, j = 1, . . . , n. Zeigen Sie, dass R+ und die Hyperebene (x|e) = c positiv invariant f¨ ur x˙ = Ax sind. Daher ist auch das Standardsimplex D = {x ∈ Rn + : (x|e) = 1}, also die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, positiv invariant. Zeigen Sie, dass es mindestens ein x∗ ∈ D mit Ax∗ = 0 gibt. 4. Es seien die Mengen Kj deﬁniert durch K1 = {x ∈ R3 : x21 + x22 ≤ x23 }, 3

K3 = {x ∈ R : x1 ≥ 0, x2 = x3 = 0},

K2 = {x ∈ R3 : x21 + x22 ≤ x23 , x3 ≥ 0}, K4 = {x ∈ R3 : x3 ≥ 0}.

Welche dieser Mengen sind Kegel, welche sind echt? Berechnen Sie die dualen Kegel, welche davon sind echt und welche haben innere Punkte? Interpretieren Sie Quasimonotonie bzgl. der Kegel.

7.7. Ein Klassenmodell f¨ ur Epidemien

155

5. Sei f : R+ × Rn → Rn stetig und stetig diﬀerenzierbar bzgl. x ∈ Rn . Zeigen Sie, dass f genau dann quasimonoton bzgl. des Standardkegels Rn ur alle + ist, wenn ∂x f (t, x) f¨ t ≥ 0, x ∈ Rn quasipositiv ist. 6. Diskutieren Sie achsenparallele positiv invariante Rechtecke des Fitzhugh-Nagumo¨ Systems (vgl. Ubung 4.6). 7. Betrachten Sie das SIS-Klassenmodell aus Abschnitt 7.7 f¨ ur den Fall zweier Klassen weiblicher, bzw. m¨ annlicher, heterosexueller Individuen. Dann gilt b11 = b22 = 0, −a1 b12 A= . b21 −a2 Untersuchen Sie die Equilibria und das asymptotische Verhalten dieses Modells. 8. Wenden Sie die Ergebnisse u ¨ber homogene Systeme aus Abschnitt 7.4 auf das Paarbildungsmodell aus Abschnitt 6.6 an. Unter welchen Bedingungen gibt es exponentiell wachsende persistente L¨ osungen? 9. Untersuchen Sie die Existenz und Eigenschaften der metrischen Projektionen f¨ ur kompakte konvexe Mengen bzgl. der lp -Normen, f¨ ur p ∈ [1, ∞], p = 2. F¨ ur welche p ist sie einwertig, f¨ ur welche stetig, f¨ ur welche Lipschitz? 10. Betrachten Sie das Holling-Modell u˙ = u − λu2 − vf (u),

v˙ = −μv + vf (u),

wobei μ, λ > 0 und f : R+ → R aus C 2 streng wachsend mit f (0) = 0 sei. Zeigen Sie, dass es genau dann ein Koexistenz-Equilibrium gibt, wenn μ < lims→∞ f (s) gilt, und beweisen Sie mit Invarianz-Techniken, dass dann alle L¨ osungen mit positiven Anfangswerten beschr¨ ankt sind. 11. Formulieren und beweisen Sie das Analogon zu Satz 7.4.1 u ¨ ber homogene Systeme f¨ ur einen echten Kegel mit inneren Punkten. 12. Formulieren und beweisen Sie das Analogon zu Satz 7.4.3 von Perron und Frobenius f¨ ur einen echten Kegel mit inneren Punkten. Wie sollte man irreduzibel f¨ ur solche Kegel deﬁnieren? 13. Sei A eine n × n-Matrix. Zeigen Sie: (a) Ist A quasipositiv, so ist eA positiv. (b) Ist A quasipositiv und irreduzibel, so ist eA strikt positiv.

Kapitel 8

Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at Es sei G ⊂ Rn oﬀen, f : R+ × G → Rn stetig. Wir betrachten das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x), t ≥ t0 , (8.1) x(t0 ) = x0 , wobei t0 ≥ 0 und x0 ∈ G sind. L¨ osungen sind in diesem Kapitel nicht notwendig eindeutig. Ist x(t) eine nichtfortsetzbare L¨ osung, so sei ihr Existenzintervall mit J(x) bezeichnet, sowie J+ (x) = J(x) ∩ [t0 , ∞). Wir haben bereits in Kapitel 5 die Bedeutung von Funktionen V (x) mit der Eigenschaft, dass ϕ(t) = V (x(t)) f¨ ur jede L¨ osung x(t) von (8.1) fallend ist, kennengelernt. Dieses Kapitel dient der Vertiefung der Theorie der Ljapunov-Funktionen.

8.1 Ljapunov-Funktionen In diesem Abschnitt sollen einige grunds¨ atzliche Eigenschaften und Beispiele f¨ ur solche Funktionen V diskutiert werden. Wir beginnen mit der Deﬁnition 8.1.1. Sei V : R+ ×G → R stetig. V heißt Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.1), falls die Funktion ϕ(t) = V (t, x(t)), t ∈ J+ (x), (8.2) fallend ist, f¨ ur jede L¨ osung x(t) von (8.1). Da man die L¨ osungen von (8.1) im Allgemeinen nicht kennt, ist es praktisch unm¨oglich direkt zu zeigen, dass ein V eine Ljapunov-Funktion ist – das liegt auch daran, dass V in Deﬁnition 8.1.1 nur als stetig vorausgesetzt wurde. Ist hingegen V aus C 1 (R+ × G), dann ist es auch die in (8.2) deﬁnierte Funktion ϕ und

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_8, © Springer Basel AG 2010

158

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

die Kettenregel ergibt ϕ(t) ˙ = (∂t V )(t, x(t)) + (∇x V (t, x(t))|x(t)) ˙ = (∂t V )(t, x(t)) + (∇x V (t, x(t))|f (t, x(t))). Die rechte Seite dieser Beziehung h¨ angt wie V und f nur von t und x ab, es ist daher sinnvoll, die folgende Funktion zu deﬁnieren V˙ (t, x) = (∂t V )(t, x) + (∇x V (t, x)|f (t, x)),

t ∈ R+ , x ∈ G.

(8.3)

V˙ heißt orbitale Ableitung von V l¨ angs L¨osungen von (8.1). Es ist klar, dass V ∈ C 1 genau dann eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.1) ist, wenn V˙ (t, x) ≤ 0 f¨ ur alle t ∈ R+ , x ∈ G gilt. Man beachte, dass diese Charakterisierung nicht mehr die Kenntnis der L¨ osungen von (8.1) voraussetzt, sondern nur von den Funktionen V und f Gebrauch macht. Da man in Anwendungen nicht immer mit C 1 -Ljapunov-Funktionen auskommt, ist es zweckm¨ aßig den Begriﬀ der orbitalen Ableitung allgemeiner zu halten. Ist V : R+ × G → R stetig, so deﬁnieren wir 1 V˙ (t, x) = lim sup [V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x)], h h→0+

t ≥ 0, x ∈ G;

(8.3 )

V˙ (t, x) heißt wieder orbitale Ableitung von V l¨angs (8.1). Wie zuvor h¨angt V˙ nur von V und f ab (sowie von t und x), verwendet also ebenfalls nicht die L¨osungen von (8.1). Leider ist es in dieser Allgemeinheit nicht mehr richtig, dass V˙ (t, x) ≤ 0 auf R+ × G ¨aquivalent dazu ist, dass V eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.1) ist. Schr¨ankt man sich aber auf Funktionen V ein, die lokal Lipschitz in x sind, so ist die Situation besser, denn es gilt das Lemma 8.1.2. Sei V : R+ × G → R stetig und lokal Lipschitz in x. Dann sind ¨aquivalent: 1. V ist eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.1); 2. Es gilt V˙ (t, x) ≤ 0 f¨ ur alle t ≥ 0, x ∈ G. Ist dies der Fall, und x(t) eine L¨osung von (8.1), so erf¨ ullt ϕ(t) := V (t, x(t)) die Gleichung D + ϕ(t) = V˙ (t, x(t)) (8.4) f¨ ur alle t ∈ J+ (x). Beweis. Mit Lemma 6.4.1 gen¨ ugt es, die Relation (8.4) zu zeigen. Dazu sei eine L¨osung x(t) von (8.1) sowie ein t ∈ J+ (x) ﬁxiert. W¨ahle U = [t, t + δ) × Bδ (x(t)) ⊂ R+ × G derart, dass |V (s, x) − V (s, y)| ≤ L|x − y|

8.1. Ljapunov-Funktionen

159

f¨ ur alle s ∈ [t, t + δ), x, y ∈ Bδ (x(t)) gilt und sei h0 > 0 so gew¨ahlt, dass h0 < δ und x[t, t + h0 ] ⊂ Bδ (x(t)) sowie h0 |f (t, x(t))| < δ erf¨ ullt sind. Nun gilt f¨ ur h ≤ h0 ϕ(t + h) − ϕ(t) = V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t)) = V (t + h, x(t) + hf (t, x(t))) − V (t, x(t)) + R(h) mit R(h) = V (t + h, x(t + h)) − V (t + h, x(t) + hf (t, x(t))). Es folgt |R(h)| ≤ L|x(t + h) − x(t) − hf (t, x(t))| t+h = L (x(s) ˙ − x(t)) ˙ ds = o(h), t

da x(t) eine C 1 -L¨ osung ist. Daraus folgt die Behauptung.

Der Zusammenhang mit Invarianz von Mengen wird im folgenden Korollar deutlich. Korollar 8.1.3. Sei V eine autonome Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.1). Dann sind die Mengen D = V −1 ((−∞, α]) ⊂ G positiv invariant f¨ ur (8.1). Beweis. Ist t0 ≥ 0, x0 ∈ D, also V (x0 ) ≤ α, so gilt auch V (x(t)) ≤ V (x0 ) ≤ α f¨ ur alle t ≥ t0 , da ϕ(t) = V (x(t)) in t fallend ist. Eine Ljapunov-Funktion gibt daher im Gegensatz zu Satz 7.2.1 nicht nur eine positiv invariante Menge, sondern eine ganze Familie derer! Auch sei bemerkt, dass alle in D startenden L¨ osungen in D bleiben, D ist also nicht nur schwach positiv invariant, sondern positiv invariant! Wir betrachten nun einige einfache Beispiele f¨ ur Ljapunov-Funktionen. Beispiele. 1. V (x) = 12 |x|22 ; V˙ (x) = (∇V (x)|f (t, x)) = (x|f (t, x)). V ist genau dann eine Ljapunov-Funktion, wenn (x|f (t, x)) ≤ 0 f¨ ur alle t ≥ 0, x ∈ G gilt. 2. V (x) = xi ; V˙ (x) = (∇V (x)|f (t, x)) = (ei |f (t, x)) = fi (t, x), i ∈ {1, . . . , n}. V ist genau dann eine Ljapunov-Funktion, wenn fi (t, x) ≤ 0 f¨ ur alle t ≥ 0, x ∈ G, i ∈ {1, . . . , n}. ¨ 3. Die folgenden Funktionen lassen wir dem Leser zur Ubung: V (x) = |x|∞ = max |xi | ; i=1,...,n

V (x) = max xi ; i=1,...,n

V (x) = |x|1 =

n i=1

V (x) =

n i=1

xi .

|xi |,

160

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

4. Gradientensysteme. Es sei φ ∈ C 1 (G), f (x) = −∇φ(x) und V gegeben durch V (x) = φ(x). Dann erh¨ alt man f¨ ur die orbitale Ableitung V˙ (x) = (∇φ(x)| − ∇φ(x)) = −|∇φ(x)|22 ≤ 0. 5. Hamilton-Systeme. Gegeben sei eine stetig diﬀerenzierbare Funktion H : Rn × Rn → R. Das 2n-dimensionale System q˙ = ∂p H(q, p), p˙ = −∂q H(q, p),

q(0) = q0 , p(0) = p0 ,

heißt Hamilton-System, und spielt in der Hamiltonschen Mechanik die zentrale Rolle. Um den Bezug zu fr¨ uheren Beispielen herzustellen, betrachten wir die Gleichung f¨ ur die Bewegung eines Teilchens in einem Potentialfeld, also m¨ x = −∇φ(x). Setzt man q = x, p = mx˙ und H(p, q) = p2 /2m + φ(q), so erh¨alt man die entsprechende Hamiltonsche Formulierung des Problems. Sei nun (q(t), p(t)) eine L¨ osung des Hamilton Systems. Dann gilt f¨ ur ϕ(t) := H(q(t), p(t)) ϕ˙ = (∂q H(q, p)|q) ˙ + (∂p H(q, p)|p) ˙ = (∂q H(q, p)|∂p H(q, p)) + (∂p H(q, p)| − ∂q H(q, p)) = 0, also ist die Hamilton Funktion H ein erstes Integral, insbesondere eine Ljapunov-Funktion. In der Hamiltonschen Mechanik ist H die Energie des Systems. 6. Allgemeiner ist jedes erste Integral eines Systems x˙ = f (x) eine LjapunovFunktion. Um einen direkten Bezug zwischen dem Prinzip der linearisierten Stabilit¨at und Ljapunov-Funktionen herzustellen, betrachten wir die Ljapunov-Gleichung f¨ ur Matrizen A ∈ Rn×n AT Q + QA = −I. (8.5) Sei n¨amlich die Gleichung x˙ = Ax asymptotisch stabil. Dann gibt es Konstanten ω > 0 und M ≥ 1, sodass |eAt | ≤ M e−ωt f¨ ur t ≥ 0 gilt. Damit k¨onnen wir ∞ T Q := eA t eAt dt 0

deﬁnieren und das Integral konvergiert absolut. Nun ist Q symmetrisch, und es ist ∞ (Qx|x) = |eAt x|2 dt > 0, f¨ ur alle x = 0, 0

also ist Q positiv deﬁnit und deﬁniert daher mittels |x|Q := auf Rn . Wir berechnen ∞ d AT t At T A Q + QA = [e e ]dt = −I, dt 0

-

(Qx|x) eine Norm

8.2. Stabilit¨at

161

d.h. Q ist eine L¨ osung der Ljapunov-Gleichung. Umgekehrt sei Q eine symmetrische, positiv deﬁnite L¨osung der LjapunovGleichung. Dann gibt es positive Konstanten c1 , c2 mit c1 |x|22 ≤ (Qx|x) ≤ c2 |x|22 ,

x ∈ Rn .

Ist nun x(t) die L¨ osung von x˙ = Ax mit Anfangswert x0 , dann gilt d (Qx(t)|x(t)) = (Qx(t)|x(t)) ˙ + (Qx(t)|x(t)) ˙ dt = ([AT Q + QA]x(t)|x(t)) = −|x(t)|22 ≤ −c−1 2 (Qx(t)|x(t)),

t > 0,

d.h. die Funktion V (x) = (Qx|x) ist eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur x˙ = Ax, also ist ϕ(t) = V (x(t)) strikt fallend entlang nichtkonstanter L¨osungen von x˙ = Ax. Mehr noch, es folgt dann n¨ amlich |x(t)|22 ≤ (1/c1 )(Qx(t)|x(t)) ≤ (1/c1 )e−t/c2 (Qx0 |x0 ) ≤ (c2 /c1 )e−t/c2 |x0 |22 , f¨ ur t > 0, d.h. die Gleichung x˙ = Ax ist asymptotisch stabil. Wir formulieren dieses Resultat wie folgt. Satz 8.1.4. Sei A ∈ Rn×n . Dann sind ¨ aquivalent: 1. Die Gleichung x˙ = Ax ist asymptotisch stabil. 2. Die Ljapunov-Gleichung AT Q + QA = −I besitzt eine symmetrische positiv deﬁnite L¨ osung. Ist dies der Fall, dann gilt mit einer Konstanten γ > 0 [Ax, x]Q ≤ −γ|x|Q ,

x = 0, ¯r (0) bzgl. der Norm |x|Q = und die Kugeln B (Qx|x) sind positiv invariant. Dabei bezeichnet [·, ·] die Klammer aus Abschnitt 6.4. Das Vektorfeld Ax zeigt also bzgl. der Kugeln Br (0) in der Norm | · |Q strikt nach innen. Diese Eigenschaft bleibt auch f¨ ur gest¨orte Vektorfelder f (x) = Ax + g(x) erhalten, sofern g(x) = o(|x|) und r > 0 hinreichend klein ist.

8.2 Stabilit¨at Wir betrachten die DGL x˙ = f (t, x),

(8.6)

wobei G ⊂ Rn oﬀen und f : R+ × G → Rn stetig ist. Dabei lassen wir auch hier Nichteindeutigkeit der L¨ osungen zu. Das Existenzintervall einer nichtfortsetzbaren L¨osung x(t) von (8.6) bezeichnen wir mit J(x) und es sei J+ (x) = J(x) ∩ [t0 , ∞).

162

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

Es sei ferner x∗ (t) eine ausgezeichnete L¨ osung mit Anfangswert x∗ (t0 ) = x0∗ , die auf R+ existiert und als bekannt angenommen wird. Durch die Transformation y(t) = x(t) − x∗ (t) geht x∗ (t) in die triviale L¨ osung y∗ (t) ≡ 0 von y˙ = f (t, y + x∗ (t)) − f (t, x∗ (t)) = g(t, y) u ¨ber; daher k¨onnen wir im folgenden stets f (t, 0) = 0

(8.7)

annehmen, sodass die ausgezeichnete L¨ osung die triviale L¨osung x∗ (t) ≡ 0 ist. Deﬁnition 8.2.1. Sei t0 ≥ 0 ﬁxiert. Die triviale L¨ osung x∗ (t) ≡ 0 von (8.6) heißt 1. stabil, falls es zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε, t0 ) > 0 gibt, sodass jede L¨osung x(t) von (8.6) |x(t)| ≤ ε f¨ ur alle t ∈ J+ (x) erf¨ ullt, sofern ihr Anfangswert ¯ δ (0) ⊂ G erf¨ x(t0 ) = x0 ∈ B ullt. 2. instabil, falls sie nicht stabil ist. ¯ δ0 (0) ⊂ G gibt, sodass jede nichtfortsetzbare 3. attraktiv, falls es eine Kugel B ¯ δ0 (0) global nach rechts existiert L¨ osung x(t) mit Anfangswert x(t0 ) = x0 ∈ B und x(t) → 0 f¨ ur t → ∞ erf¨ ullt. 4. asymptotisch stabil, falls sie stabil und attraktiv ist. Bemerkungen 8.2.2. 1. Sind die L¨ osungen von (8.6) eindeutig bestimmt, so stimmen diese Deﬁnitionen mit denen in Abschnitt 5.1 u ¨berein. 2. Ist x∗ (t) ≡ 0 stabil, so existiert jede nichtfortsetzbare L¨osung x(t) mit An¯δ (0) ⊂ G global nach rechts. Dies folgt direkt aus dem fangswert x0 ∈ B Fortsetzungssatz. 3. Ist die triviale L¨ osung stabil, dann auch eindeutig. Das ist direkte Konsequenz der Deﬁnition. Stabilit¨ at einer L¨ osung bedeutet deren stetige Abh¨angigkeit vom Anfangswert auf ganz [t0 , ∞). ¯ δ (0) einen 4. Ist die triviale L¨ osung instabil, dann kann es in jeder Kugel B Anfangswert x0 geben, sodass eine nichtfortsetzbare L¨osung mit diesem Anfangswert nicht global nach rechts existiert. 5. Weder folgt aus Stabilit¨ at die Attraktivit¨at, noch umgekehrt, wie wir schon in Kapitel 5 gesehen haben. In manchen Situationen ist es w¨ unschenswert, eine Gleichm¨aßigkeit bzgl. der Anfangszeit t0 zu haben. Dies f¨ uhrt auf die folgende Begriﬀsbildungen, die analog zu Deﬁnition 8.2.1 sind.

8.2. Stabilit¨at

163

Deﬁnition 8.2.3. Die triviale L¨ osung x∗ (t) ≡ 0 heißt 1. uniform stabil, falls es zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 unabh¨angig von t0 ≥ 0 gibt, sodass jede L¨ osung x(t) von (8.6) |x(t)| ≤ ε f¨ ur alle t ∈ J+ (x) ¯δ (0) ⊂ G erf¨ erf¨ ullt, sofern ihr Anfangswert x(t0 ) = x0 ∈ B ullt. 2. uniform attraktiv, falls es ein δ0 > 0 gibt, sodass jede nichtfortsetzbare ¯δ0 (0) global nach rechts existiert, L¨ osung x(t) mit Anfangswert x(t0 ) = x0 ∈ B ¯ δ (0) erf¨ und x(t) → 0 f¨ ur t − t0 → ∞ gleichm¨ aßig in (t0 , x0 ) ∈ R+ × B ullt. 0 3. uniform asymptotisch stabil, falls sie uniform stabil und uniform attraktiv ist. Bemerkung. Oﬀenbar sind uniform stabil, uniform attraktiv und uniform asymptotisch stabil st¨ arkere Begriﬀe als stabil, attraktiv und asymptotisch stabil. Ist allerdings f τ -periodisch in t oder sogar autonom, so impliziert stabil schon uniform stabil. Hingegen ist selbst im autonomen Fall uniform attraktiv st¨arker als attraktiv, da uniform attraktiv eine Gleichm¨ aßigkeit bzgl. x0 enth¨alt, attraktiv jedoch nicht; vgl. Bsp. 2 in Abschnitt 9.2. Sind hingegen die L¨osungen eindeutig, ist f τ -periodisch oder autonom, so impliziert asymptotisch stabil auch uniform ¨ asymptotisch stabil; vgl. Ubung 8.7. Zur Illustration dieser Konzepte betrachten wir nochmals das lineare System x˙ = A(t)x + b(t),

(8.8)

wobei A ∈ C(R+ ; Rn×n ) und b ∈ C(R+ , Rn ) sind. Ist x∗ (t) irgendeine L¨osung von (8.8) und x(t) eine weitere, so erf¨ ullt y(t) = x(t) − x∗ (t) die homogene Gleichung y˙ = A(t)y. Hat x∗ (t) daher eine der eben eingef¨ uhrten Stabilit¨atseigenschaften bzgl. (8.8), so hat die triviale L¨ osung der homogenen Gleichung x˙ = A(t)x

(8.9)

diese ebenfalls, und umgekehrt. Es ist daher sinnvoll zu sagen, dass (8.9) (bzw. (8.8)) diese Eigenschaft hat. Die L¨osungen von (8.9) sind durch x(t; t0 , x0 ) = X(t)X −1 (t0 )x0

(8.10)

gegeben, wobei X(t) ein Fundamentalsystem von (8.9) ist, d.h. eine globale L¨osung der Matrix-Diﬀerentialgleichung X˙ = A(t)X, t ∈ R+ . Nun gilt der

(8.11)

164

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

Satz 8.2.4. Sei X(t) ein Fundamentalsystem f¨ ur (8.9) Dann gelten: 1. (8.9) ist stabil ⇐⇒ |X(t)| ≤ C f¨ ur t ≥ 0. 2. (8.9) ist attraktiv ⇐⇒ (8.9) ist asymptotisch stabil ⇐⇒ limt→∞ |X(t)| = 0. 3. (8.9) ist uniform stabil ⇐⇒ |X(t)X −1 (s)| ≤ C f¨ ur s ≤ t, s, t ≥ 0. 4. (8.9) ist uniform attraktiv ⇐⇒ |X(t + s)X −1 (s)| → 0 f¨ ur t → ∞ gleichm¨ aßig in s ≥ 0. 5. (8.9) ist uniform asymptotisch stabil ⇐⇒ es gibt ein α > 0 mit |X(t)X −1 (s)| ≤ Ce−α(t−s) f¨ ur s ≤ t, s, t ≥ 0. Beweis. 1. und 2. hatten wir schon Abschnitt 5.3 gezeigt. 3., 4. und 5. beweist ¨ man ¨ahnlich (vgl. Ubung 8.1).

8.3 Ljapunovs direkte Methode Es sei f : R+ × Br (0) → Rn stetig und gelte f (t, 0) ≡ 0. Wir wollen nun die Verwendung von Ljapunov-Funktionen aufzeigen, um Stabilit¨atseigenschaften der trivialen L¨osung x∗ (t) ≡ 0 von (8.6) zu erhalten. Es sei also V : R+ × Br (0) → Rn eine Ljapunov-Funktion, genauer sei V stetig, lokal Lipschitz in x und es gelte 1 V˙ (t, x) = lim sup [V (t + h, x + hf (t, x)) − V (t, x)] ≤ 0 h h→0+ f¨ ur alle t ≥ 0, x ∈ Br (0). Das Wesentliche an der direkten Methode von Ljapunov sind Invarianzs¨atze der folgenden Art. Lemma 8.3.1. Sei G ⊂ Br (0) ein Gebiet, V eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.6) und α ∈ R. Außerdem gelte 1. V (t0 , x0 ) < α f¨ ur ein (t0 , x0 ) ∈ R+ × G; 2. V (t, x) ≥ α auf R+ × ∂G. Dann existiert jede nichtfortsetzbare L¨ osung x(t) von (8.6) mit Anfangswert x(t0 ) = x0 global nach rechts, und es gilt x(t) ∈ G f¨ ur alle t ≥ 0. Beweis. Sei x(t) = x(t; t0 , x0 ) und ϕ(t) = V (t, x(t)), t ≥ t0 . Dann ist ϕ(t) monoton fallend auf dem Existenzintervall J+ (x) von x(t), also erh¨alt man ϕ(t) < α f¨ ur alle t ∈ J+ (x), denn ϕ(t0 ) < α. W¨ are nun x(t1 ) ∈ / G f¨ ur ein t1 > t0 , so g¨abe es ein kleinstes t2 ≥ t0 mit x(t2 ) ∈ ∂G. Dann folgt aber aus 2. ϕ(t2 ) = V (t2 , x(t2 )) ≥ α > ϕ(t2 ), also ein Widerspruch. Die L¨ osung bleibt also in G, ist somit beschr¨ankt, und existiert nach dem Fortsetzungssatz global nach rechts. Damit ist das Lemma bewiesen.

8.3. Ljapunovs direkte Methode

165

Wir ben¨otigen als n¨ achstes die Deﬁnition 8.3.2. Sei W : R+ × Br (0) → R+ gegeben mit W (t, 0) ≡ 0. 1. W heißt positiv deﬁnit, falls es eine stetige, streng wachsende Funktion ψ : R+ → R+ mit ψ(0) = 0 gibt, so, dass gilt W (t, x) ≥ ψ(|x|),

f¨ ur alle t ≥ 0, x ∈ Br (0).

2. W heißt negativ deﬁnit, falls −W positiv deﬁnit ist. F¨ ur den Spezialfall W (t, x) = (Ax|x), mit A ∈ Rn×n symmetrisch, gilt, dass A genau dann positiv deﬁnit ist, wenn die dazugeh¨orige quadratische Form positiv ¨ deﬁnit im Sinne von Deﬁnition 8.3.2 ist. (vgl. Ubung 8.2). Der Hauptsatz der direkten Methode von Ljapunov ist der Satz 8.3.3. Sei V : R+ × Br (0) → R stetig, lokal Lipschitz in x, eine LjapunovFunktion f¨ ur (8.6) mit V (t, 0) ≡ 0. Dann gelten die folgenden Aussagen: 1. Ist V positiv deﬁnit, so ist x∗ = 0 stabil f¨ ur (8.6). 2. Ist V positiv deﬁnit und gilt limx→0 V (t, x) = 0 gleichm¨ aßig auf R+ , so ist x∗ = 0 uniform stabil f¨ ur (8.6). 3. Ist V positiv deﬁnit, V˙ negativ deﬁnit und ist f beschr¨ ankt auf R+ × Br (0), so ist x∗ = 0 asymptotisch stabil f¨ ur (8.6). 4. Ist V positiv deﬁnit, V˙ negativ deﬁnit und gilt limx→0 V (t, x) = 0 gleichm¨ aßig auf R+ , so ist x∗ = 0 uniform asymptotisch stabil f¨ ur (8.6). Beweis. Zu 1.: Es ist V (t, x) ≥ ψ(|x|) auf R+ × Br (0), also gilt f¨ ur ein ε ∈ (0, r) die Ungleichung V (t, x) ≥ ψ(ε) = α auf R+ × ∂Bε (0). Da nun V (t, 0) ≡ 0 und V stetig ist, existiert zu jedem t0 ≥ 0 ein δ = δ(t0 , ε), mit V (t0 , x0 ) < α, f¨ ur alle |x0 | ≤ δ. Lemma 8.3.1 impliziert dann x(t) ∈ G := Bε (0) f¨ ur alle t ≥ t0 , f¨ ur jede nichtfortsetzbare L¨ osung von (8.6) mit Anfangswert x(t0 ) = x0 . Also ist x∗ ≡ 0 stabil. Zu 2.: Gilt außerdem limx→0 V (t, x) = 0 gleichm¨aßig auf R+ , so l¨asst sich δ = δ(ε) im Beweisschritt 1 unabh¨ angig von t0 w¨ahlen. Daher ist x∗ = 0 dann sogar uniform stabil. Zu 3.: Es gen¨ ugt zu zeigen, dass x∗ = 0 attraktiv ist, denn die Stabilit¨at folgt schon aus 1. Nach Voraussetzung gilt V˙ (t, x) ≤ −χ(|x|), wobei χ stetig und streng wachsend ist. Es sei nun o.B.d.A. χ = ψ, da min{ψ(s), χ(s)} wieder stetig und streng wachsend ist und −χ(s) ≤ − min{ψ(s), χ(s)}, sowie ψ(s) ≥ min{ψ(s), χ(s)} gilt. Sei t0 ≥ 0 ﬁxiert und w¨ ahle δ0 = δ(t0 , r/2) aus 1.; dann ist V (t0 , x0 ) < α = ψ(r/2) f¨ ur alle |x0 | ≤ δ0 . F¨ ur eine beliebige nichtfortsetzbare L¨osung x(t) mit x(t0 ) = x0 gilt nun mit ϕ(t) = V (t, x(t)) D+ ϕ(t) = V˙ (t, x(t)) ≤ −ψ(|x(t)|),

t ≥ t0 ,

166

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

¨ also nach Ubung 6.7

t

ϕ(t) ≤ ϕ(t0 ) −

ψ(|x(s)|) ds,

t ≥ t0 .

t0

Nun ist ϕ(t0 ) < α und ϕ(t) = V (t, x(t)) ≥ ψ(|x(t)|), daher erf¨ ullt ρ(t) = ψ(|x(t)|) die Integralungleichung t ρ(t) + ρ(s) ds < α, t ≥ t0 , (8.12) t0

∞

also ist t0 ρ(s) ds ≤ α < ∞, da ρ ≥ 0 ist. Nach Voraussetzung ist f beschr¨ankt, folglich ist x(t) global Lipschitz in t und wegen der Stabilit¨at von x∗ = 0 daher ρ(t) gleichm¨aßig stetig. Daraus erh¨ alt man ρ(t) → 0 f¨ ur t → ∞ und schließlich |x(t)| = ψ −1 (ρ(t)) → 0 f¨ ur t → ∞, da ψ −1 (s) ebenfalls stetig und streng wachsend ist. Zu 4.: Gilt außerdem limx→0 V (t, x) = 0 gleichm¨aßig auf R+ , so ist δ0 = δ(r/2) nach Beweisschritt 2 unabh¨ angig von t0 . Sei ε > 0 gegeben; wir haben zu zeigen, dass es ein T = T (ε) gibt mit |x(t)| ≤ ε f¨ ur alle

t ≥ t0 + T, |x0 | ≤ δ0 ;

daraus folgt die uniforme Attraktivit¨ at und mit 2. die uniforme asymptotische Stabilit¨at. Setze κ(s) = sup V (t, x) + ψ(s), 0 < s < r. t∈R+ |x|<s

κ(s) ist streng wachsend und es gilt κ(s) → 0 f¨ ur s → 0, da limx→0 V (t, x) = 0 gleichm¨aßig f¨ ur t ∈ R+ gilt. Ferner haben wir σ(t) := ψ ◦ κ−1 (V (t, x(t))) ≤ ψ ◦ κ−1 (κ(|x(t)|)) = ψ(|x(t)|) = ρ(t), und daher mit (8.12)

t

σ(t) +

σ(s) ds < α,

t ≥ t0 .

(8.13)

t0

Beachte, dass mit ϕ(t) = V (t, x(t)) auch σ(t) fallend ist. Setze η = ψ ◦ κ−1 ◦ ψ(ε) und T ≥ αη . W¨ are nun σ(t0 + T ) ≥ η, dann auch σ(s) ≥ η f¨ ur alle s ≤ t0 + T , da σ f¨allt, also ergibt sich mit (8.13) α > η + ηT ≥ η + α, das heißt ein Widerspruch, da η > 0 ist. Folglich ist σ(t0 + T ) < η und daher σ(t) < η f¨ ur alle t ≥ t0 + T , woraus folgt |x(t)| = ψ −1 (ψ(|x(t)|)) ≤ ψ −1 (V (t, x(t))) = (ψ −1 ◦ κ ◦ ψ −1 )(σ(t)) ≤ (ψ −1 ◦ κ ◦ ψ −1 )(η) = ε. Daher ist x∗ = 0 uniform attraktiv.

8.4. Limesmengen und das Invarianzprinzip

167

8.4 Limesmengen und das Invarianzprinzip In diesem und den folgenden Abschnitten schr¨anken wir uns auf autonome Funktionen f (t, x) ≡ f (x) und entsprechend auf autonome Ljapunov-Funktionen ein, und wollen f¨ ur diesen einfacheren Fall das asymptotische Verhalten der L¨osungen des Anfangswertproblems x˙ = f (x),

t ≥ 0,

x(0) = x0 ,

(8.14)

untersuchen. Dabei sei f : G → Rn stetig, G ⊂ Rn oﬀen. Wir lassen auch hier Nichteindeutigkeit der L¨ osungen zu. Sei zun¨achst x : R+ → Rn eine beliebige stetige Funktion. Dann nennt man γ+ (x) := x(R+ ) Bahn oder Orbit der Funktion x. Die Menge ω+ (x) := {y ∈ Rn : es gibt eine Folge tk → ∞ mit x(tk ) → y} heißt (positive) Limesmenge von x. Oﬀensichtlich gilt γ+ (x) = γ+ (x) ∪ ω+ (x). Des Weiteren ist ω+ (x) abgeschlossen. Denn ist (yk ) ⊂ ω+ (x), yk → y, so w¨ahle zu k ∈ N ein tk ∈ R+ , tk ≥ k, mit |yk − x(tk )| ≤ 1/k. Dann folgt |y − x(tk )| ≤ |y − yk | + |yk − x(tk )| ≤ |y − yk | + 1/k → 0 f¨ ur k → ∞, also ist auch y ∈ ω+ (x). Mit Bolzano–Weierstraß ist die Limesmenge ω+ (x) genau dann nichtleer, wenn limt→∞ |x(t)| < ∞ ist. Proposition 8.4.1. Sei x : R+ → Rn stetig, und sei γ+ (x) beschr¨ ankt. Dann ist ω+ (x) nichtleer, kompakt, zusammenh¨ angend, und es gilt lim dist(x(t), ω+ (x)) = 0.

t→∞

Beweis. Nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß existiert eine konvergente Folge x(tk ) → y, mit tk → ∞, f¨ ur k → ∞. Daher ist ω+ (x) nichtleer. ω+ (x) ist abgeschlossen, und ω+ (x) ⊂ γ+ (x) beschr¨ ankt, also kompakt. Angenommen es gibt eine Folge tk → ∞ mit dist(x(tk ), ω+ (x)) ≥ ε0 > 0, f¨ ur alle k ∈ N. Dann existiert wieder nach Bolzano–Weierstraß eine konvergente Teilfolge x(tkl ) → y ∈ ω+ (x) f¨ ur l → ∞, was im Widerspruch zu ε0 > 0 steht. Wir zeigen schließlich, dass ω+ (x) zusammenh¨angend ist. W¨are dies falsch, so g¨abe es kompakte disjunkte ω1 , ω2 mit ω+ (x0 ) = ω1 ∪ ω2 , die beide nichtleer sind. W¨ahle y1 ∈ ω1 , y2 ∈ ω2 sowie Folgen (tk ), (sk ) → ∞ mit tk < sk < tk+1 , sodass x(tk ) → y1 und x(sk ) → y2 gilt. Da ε0 := dist(ω1 , ω2 ) > 0 ist, existiert zu jedem k ein rk ∈ (tk , sk ) mit dist(x(rk ), ωi ) ≥ ε0 /3 > 0, i = 1, 2. Da (x(rk )) beschr¨ankt ist, gibt es folglich eine konvergente Teilfolge x(rkl ) → v ∈ ω + (x) = ω1 ∪ ω2 , im Widerspruch zu dist(x(rk ), ωi ) ≥ ε0 /3 > 0, i = 1, 2. Hier interessieren wir uns nat¨ urlich f¨ ur Funktionen x : R+ → Rn , die L¨osungen einer Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) sind. Die Limesmenge gibt Aufschluss u ¨ ber das asymptotische Verhalten einer L¨ osung.

168

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

Beispiel. x˙ = y − (x2 + y 2 − 1)x, y˙ = −x − (x2 + y 2 − 1)y,

r˙ = −r(r2 − 1), oder in Polarkoordinaten ϕ˙ = −1.

(0, 0) ist ein Equilibrium dieses Systems und f¨ ur r = 1 haben wir ein periodisches Orbit. Gilt (x0 , y0 ) = (0, 0), so ist ω+ (x0 , y0 ) = ∂B1 (0), denn es ist r˙ > 0 f¨ ur r < 1 und r˙ < 0 f¨ ur r > 1. y 2 1

2

x

1

1

2

1 2

Abbildung 8.1: Der Grenzzyklus im Beispiel Limesmengen beschr¨ ankter L¨ osungen von (8.14) haben eine außerordentlich wichtige Eigenschaft. Proposition 8.4.2. Sei x : R+ → G eine beschr¨ ankte L¨ osung von (8.14) und sei ω+ (x) ⊂ G. Dann besteht ω+ (x) aus globalen L¨ osungen von (8.14), also L¨osungen auf R, d.h. ω+ (x) ist schwach invariant f¨ ur (8.14). Insbesondere sind kompakte Limesmengen positiv und negativ invariant, wenn die L¨ osungen von (8.14) eindeutig sind. Beweis. Sei y ∈ ω+ (x) gegeben. W¨ ahle eine wachsende Folge tk → ∞ mit x(tk ) → y. Wir ﬁxieren ein beliebiges kompaktes Intervall [a, b] ⊂ R, und w¨ahlen ein k0 mit tk0 + a ≥ 0. Dann sind die Funktionen yk (s) := x(tk + s) f¨ ur k ≥ k0 auf [a, b] wohldeﬁniert und L¨ osungen von x˙ = f (x). Sie sind beschr¨ankt, und haben beschr¨ankte Ableitungen auf [a, b], da f stetig und γ+ (x) ⊂ G kompakt ist; sie sind daher gleichgradig stetig. Der Satz von Arz´ela-Ascoli liefert eine auf [a, b] gleichm¨aßig konvergente Teilfolge ykm → z. Die Funktion z ist wieder eine L¨osung, ihr Anfangswert ist z(0) = y, und f¨ ur jedes s ∈ [a, b] gilt z(s) ← ykm (s) = x(tkm +s) f¨ ur m → ∞, woraus z(s) ∈ ω+ (x) f¨ ur alle s ∈ [a, b] folgt. Nun ist ω+ (x) kompakt, also l¨asst sich z nach links und nach rechts zu einer globalen L¨osung z : R → Rn mit z(R) ⊂ ω+ (x) fortsetzen. Das Hauptergebnis dieses Abschnittes ist der folgende Satz, der etwas u ¨ ber die Lage der Limesmengen in Gegenwart einer Ljapunov-Funktion aussagt. Um den Satz formulieren zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir den Begriﬀ der maximalen schwachinvarianten Teilmenge: Sei D ⊂ G beliebig. Wir betrachten dann die Menge aller vollst¨andigen Orbits in D, also der L¨ osungen x(t) von (8.14) auf R, die in D liegen,

8.5. Mathematische Genetik

169

also γ(x) = x(R) ⊂ D erf¨ ullen. Die maximale schwach-invariante Teilmenge MD von D ist deﬁniert als die Vereinigung all dieser Orbits. Satz 8.4.3 (Invarianzprinzip von La Salle). Sei G ⊂ Rn oﬀen, V : G → R sei eine Ljapunov-Funktion f¨ ur x˙ = f (x) und V sei lokal Lipschitz. Ferner sei M = {x ∈ G : V˙ (x) = 0}, und M sei die maximale schwach-invariante Teilmenge von M. Sei x eine globale L¨ osung nach rechts, sodass γ+ (x) ⊂ G kompakt ist. Dann gilt ω+ (x) ⊂ M , also insbesondere dist(x(t), M ) → 0 f¨ ur t → ∞. Beweis. Wir zeigen als erstes, dass V auf ω+ (x) konstant ist. Die Funktion ϕ(t) = V (x(t)) ist nach Voraussetzung monoton fallend, also existiert wegen der Kompaktheit von γ+ (x) der Grenzwert ϕ(∞) = limt→∞ ϕ(t). Sind nun y, z ∈ ω+ (x), so gilt x(tk ) → y, x(sk ) → z, folglich ϕ(tk ) → ϕ(∞) = V (y) aber auch ϕ(sk ) → ϕ(∞) = V (z), da V stetig ist. Es folgt V (y) = V (z), d.h. V ist auf ω+ (x) konstant. W¨are nun V˙ (y) < 0 f¨ ur ein y ∈ ω+ (x), so w¨ urde f¨ ur jede L¨osung x(t) mit Anfangswert x(0) = y gelten V (x(t)) < V (y) f¨ ur t > 0. Da nun nach Proposition 8.4.2 durch jeden Punkt in ω+ (x) ⊂ G eine L¨osung in ω+ (x) verl¨auft, erg¨abe dies einen Widerspruch zur Konstanz von V auf ω+ (x). Folglich gilt ω+ (x) ⊂ M und da ω+ (x) schwach invariant ist, auch ω+ (x) ⊂ M , aufgrund der Maximalit¨at von M. Zum Abschluss dieses Abschnittes f¨ uhren wir noch einige Begriﬀe ein. Deﬁnition 8.4.4. Ein x0 ∈ G wird von M ⊂ G angezogen, falls x(t) → M f¨ ur t → ∞ f¨ ur jede L¨ osung von (8.14) gilt. Die Menge A+ (M ) = {x0 ∈ G : x(t) → M, t → ∞, f¨ ur jede L¨ osung von (8.14)} heißt Anziehungsbereich (oder auch Attraktivit¨ atsbereich) von M . Schließlich heißt die Menge M Attraktor (oder attraktiv), falls A+ (M ) eine Umgebung von M ist. Gilt sogar A+ (M ) = G, so heißt M globaler Attraktor f¨ ur (8.1). Man beachte, dass A+ (M ) stets invariant ist. Es gilt ω+ (x) ⊂ M f¨ ur alle x0 ∈ A+ (M ), und jede L¨ osung von (8.14). Der globale Attraktor im Beispiel bzgl. G = R2 \ {0} ist der Einheitskreis ∂B1 (0). Als Folgerung zu Satz 8.4.3 erhalten wir folgendes Resultat u ¨ber den globalen Attraktor von (8.14). Korollar 8.4.5. Sei G ⊂ Rn oﬀen, V : G → R lokal Lipschitz eine LjapunovFunktion f¨ ur x˙ = f (x), und sei M = {x ∈ G : V˙ (x) = 0}, sowie M die maximale schwach-invariante Teilmenge von M. Sei G positiv invariant, und jede L¨osung sei nach rechts beschr¨ ankt. Dann ist M der globale Attraktor in G.

8.5 Mathematische Genetik Wir betrachten eine (große) Population von diploiden Organismen, die sich geschlechtlich gem¨ aß den Mendelschen Gesetzen fortpﬂanzen. Es bezeichnen i = 1, . . . , n eine (haploide) Chromosomenbesetzung mit Genen, die m¨oglich sind, xij

170

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

die Anzahl der Zygoten, die den i-ten und den j-ten Satz im Zellkern tragen und xi die Anzahl der Gameten mit Satz i. Identiﬁziert man ein Zygotum mit den entsprechenden zwei Gameten, so gilt die Beziehung xi = 2xii + xij + xji . j=i

j=i

Nimmt man Symmetrie in xij an, so gilt daher xi = 2 xij , x := xi = 2 xij , j

i

i,j

x ist die Gesamtanzahl der Gameten. Biologisch interessant sind die H¨auﬁgkeiten pij = 2

xij , x

pi =

xi , x

und es sind die pi , f¨ ur die wir eine Diﬀerentialgleichung herleiten m¨ochten. Bezeichnet mij die Fitness der (i, j)-Zygoten, so gilt unter Ausschließung von Mutation und Rekombination, also bei reiner Selektion x˙ ij = mij xij . Da [xij ]i,j symmetrisch ist, kann man auch M := [mij ]i,j als symmetrisch annehmen. F¨ ur die Ableitung von pi gilt d xi x˙ i x˙ p˙i = = − pi dt x x x x˙ ij pi =2 −2 x˙ kj = mij pij − pi mkj pkj . x x j j k,j

k,j

Um die pij durch die pi ausdr¨ ucken zu k¨ onnen, macht man nun die Hardy-Weinberg Annahme: pij = pi pj

f¨ ur alle i, j.

Biologisch wird diese Annahme meist als Zufallspaarung gedeutet. Sie ist nicht unumstritten, wir werden ihr aber folgen. Die Hardy-Weinberg Annahme impliziert nun die Gleichung p˙ i = pi mij pj − pi pk mkj pj . j

k,j

Mit p = [pi ]i und P = diag(pi ), so erh¨ alt man die Fisher-Wright-HaldaneGleichung (F W H) p˙ = P M p − W (p)p = f (p), wobei W (p) = (p|M p) gesetzt wurde. Setzt man e = [1, . . . , 1]T , so ist p = P e und man erh¨alt die ¨ aquivalente Form (F W H)

p˙ = P (M p − W (p)e) = f (p).

8.6. Gradientenartige Systeme

171

Wir wollen nun die bisher erarbeiteten Methoden auf (FWH) anwenden. Zun¨achst ist Rn+ invariant, wie auch int Rn+ und jeder Teilrand von Rn+ von der Form {p ∈ Rn+ : pi1 = · · · = pik = 0} und auch {p ∈ Rn+ : pi1 = · · · = pik = 0, pj > 0, j = i1 , . . . , ik }, denn pi = 0 impliziert fi (p) = 0. Biologisch interessant ist vor allem das Standardsimplex D = {p ∈ Rn+ : (p|e) = 1}, da p eine Wahrscheinlichkeitsverteilung repr¨asentieren soll. Wir untersuchen daher die Invarianz von D. Dazu sei p(t) eine L¨osung in Rn+ auf dem maximalen Intervall J(p) mit p(0) = p0 ∈ D. Wir setzen ϕ(t) = (p(t)|e) und h(t) = W (p(t)). Es ist dann wegen (FWH) ϕ(t) ˙ = h(t)(1 − ϕ(t)), t ∈ J, folglich ϕ(t) ≡ 1, wegen der Eindeutigkeit der L¨osung dieser DGL und da ϕ(0) = 1 ist. Daher ist D positiv invariant und ebenso D◦ = {p ∈ int Rn+ : (p|e) = 1}. Sei V (p) = −W (p). Wir zeigen, dass V eine Ljapunov-Funktion auf D f¨ ur (FHW) ist. Dazu sei q = M p; mit p = P e und W (p) = (M p, p) = (q|p) = (P q|e) gilt dann V˙ (t) = −(∇W (p)|f (p)) = −2(M p|P M p) + 2W (p)(M p, p) = −2(P q|q) + 2(P q|e)2 ≤ −2(P q|q) + 2(P q|q)(P e|e) = −2(P q|q) + 2(P q|q) = 0, da P positiv semideﬁnit ist. Ferner ist V˙ = 0 dann und nur dann, wenn P 1/2 q und P 1/2 e linear abh¨ angig sind, also wenn α, β existieren mit αP 1/2 q + βP 1/2 e = 0, |α| + |β| = 0. Daraus folgt αP M p + βp = 0, also α = 0, da p = 0 ist und schließlich P M p = λp, (p|e) = 1, d.h. λ = (M p|p) = W (p). Folglich gilt V˙ = 0 genau dann, wenn p ∈ E = {p ∈ D : f (p) = 0}, d.h. es ist M = E. In der Literatur heißt diese Aussage Fundamentaltheorem von Fisher. Aus Satz 8.4.3 folgt nun p(t) → E, t → ∞ f¨ ur alle p0 ∈ D. Ferner gilt sogar p(t) → p∞ ∈ E, falls E ∩ W −1 (α) f¨ ur jedes α ∈ R diskret ist, wie Satz 5.5.6 zeigt.

8.6 Gradientenartige Systeme Wir betrachten das autonome System x˙ = f (x),

t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ G,

(8.15)

wobei G ⊂ Rn oﬀen, f : G → Rn stetig ist. Nichteindeutigkeit von L¨osungen ist also zugelassen. Deﬁnition 8.6.1. Die autonome DGL (8.15) heißt gradientenartig, falls es eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (8.15) gibt, also eine stetige Funktion V : G → R mit der Eigenschaft, dass ϕ(t) = V (x(t)) entlang jeder nichtkonstanten L¨osung x(t) von (8.15) streng f¨ allt.

172

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at Selbstverst¨ andlich ist jedes Gradientensystem x˙ = −∇φ(x)

(8.16)

mit φ ∈ C 1 (G; R) gradientenartig, denn V (x) = φ(x) ergibt V˙ (x) = −|∇φ(x)|22 . Allerdings haben wir bereits in Kapitel 5 Beispiele von gradientenartigen Systemen kennengelernt, die keine Gradientensysteme sind: Das ged¨ampfte Pendel und das Volterra–Lotka-Modell mit S¨ attigung. Wir k¨onnen nun den Satz 5.5.6 hinsichtlich der Regularit¨at von f und V verallgemeinern, und gleichzeitig einen einfacheren Beweis angeben. Satz 8.6.2 (Konvergenzsatz). Sei (8.15) gradientenartig und bezeichne E = f −1 (0) die Equilibriumsmenge von (8.15). Sei K ⊂ G kompakt und sei x(t) eine beschr¨ ankte L¨ osung von (8.15) auf R+ mit γ+ (x) ⊂ K. Dann gilt lim dist(x(t), E) = 0.

t→∞

Ist außerdem E ∩ V −1 (α) diskret f¨ ur jedes α ∈ R, so gilt sogar lim x(t) = x∞ ,

t→∞

f¨ ur ein x∞ ∈ E. Es gibt keine nichttrivialen periodischen L¨ osungen. Beweis. Da nach Voraussetzung K ⊃ γ+ (x) und K eine kompakte Teilmenge von G ist, ist die Limesmenge ω+ (x) der L¨osung nichtleer, kompakt, zusammenh¨angend, und es gilt ω+ (x) ⊂ K ⊂ G. Da ϕ(t) = V (x(t)) fallend ist, existiert ϕ∞ = limt→∞ ϕ(t), also ist V auf ω+ (x) konstant. Da nach Proposition 8.4.2 durch jeden Punkt von ω+ (x) eine L¨osung verl¨auft, und V l¨angs nicht konstanten L¨ osungen streng f¨allt, kann ω+ (x) nur aus Equilibria bestehen, d.h. ω+ (x) ⊂ E. Damit ist lim dist(x(t), E) ≤ lim dist(x(t), ω+ (x)) = 0,

t→∞

t→∞

also die erste Behauptung bewiesen. Ist nun E ∩ V −1 (ϕ∞ ) diskret, so ist ω+ (x) ⊂ E ∩ V −1 (ϕ∞ ) einpunktig, da ω+(x) nach Proposition 8.4.1 zusammenh¨angend ist. Dies zeigt die zweite Behauptung. G¨ abe es schließlich eine nichtkonstante τ periodische L¨osung x(t), so w¨ urde sich der Widerspruch V (x(0)) = V (x(τ )) < V (x(0)) ergeben, also ist auch die letzte Behauptung bewiesen. In Satz 5.5.4 hatten wir gesehen, dass Equilibria x∗ , die strikte Minima einer Ljapunov-Funktion V sind, stabil, und sogar asymptotisch stabil sind, falls x∗ zus¨atzlich isoliert in E und V eine strikte Ljapunov-Funktion ist. Ist hingegen x∗ kein Minimum und die Ljapunov-Funktion strikt, dann ist x∗ instabil. Satz 8.6.3 (Cetaev-Krasovskij). Sei V : G → R stetig, x∗ ∈ G ein isoliertes Equilibrium von (8.15), und sei V (x∗ ) = 0. Es existiere ein r0 > 0, sodass V −1 ((−∞, 0)) ∩ Br (x∗ ) = ∅,

f¨ ur jedes r ∈ (0, r0 ).

8.7. Chemische Reaktionssysteme

173

gilt und V eine strikte Ljapunov-Funktion auf V −1 ((−∞, 0)) ∩ Br0 (x∗ ) ist. Dann ist x∗ f¨ ur (8.15) instabil. ¯ε (x∗ ). Angenommen, x∗ w¨are Beweis. Setze G0 = V −1 ((−∞, 0)) und Gε = G0 ∩ B ¯ε (x∗ ) f¨ stabil. Dann gibt es zu ε > 0 ein δ > 0, sodass x(t) ∈ B ur alle t ≥ 0 ¯δ (x∗ ) erf¨ und jede L¨osung x(t) von (8.15) gilt, sofern der Anfangswert x0 ∈ B ullt. Daher ist x(t) beschr¨ ankt, also ω+ (x) nichtleer. Fixiere ein ε ∈ (0, r0 ), sodass ¯ ε (x∗ ) ∩ E = {x∗ } ist und sei o.B.d.A. δ < ε. Dann gibt es nach Voraussetzung B ein x0 ∈ Gδ , folglich erf¨ ullt die Funktion ϕ(t) := V (x(t)) die Bedingung ϕ(0) < 0. Da V eine Ljapunov-Funktion in Gr0 ist, gilt ϕ(t) ≤ ϕ(0) < 0 f¨ ur alle t ≥ 0. Also bleibt die L¨ osung x(t) f¨ ur alle t ≥ 0 in Gε . Da V außerdem eine strikte Ljapunov-Funktion in Gr0 ist, gilt ω+ (x) ⊂ E = f −1 (0). Daher gibt es ein weiteres ¯ε (x∗ )∩V −1 ((−∞, ϕ(0))), also x∞ = x∗ , ein Widerspruch. Equilibrium x∞ ∈ B

8.7 Chemische Reaktionssysteme In diesem Abschnitt wollen wir allgemeine Reaktionssysteme mit sog. Massenwirkungskinetik betrachten. Dazu seien n Substanzen Ai gegeben, mit Konzentrationen ci , die wir zu einem Vektor c zusammenfassen. Zwischen diesen Spezies m¨ogen nun m Reaktionen stattﬁnden, diese werden mit dem Index j versehen. Die j-te Reaktion l¨asst sich durch ein Schema der Form n i=1

+ νij Ai

kj+ n − νij Ai , − kj i=1

j = 1, . . . , m,

beschreiben. Die Konstanten kj± sind die Geschwindigkeitskonstanten der Hinbzw. der R¨ uckreaktion; sind beide positiv, so ist die Reaktion reversibel, ist kj+ > 0 − aber kj = 0, dann heißt die Reaktion irreversibel. Man beachte, dass wir aufgrund ± der Symmetrie im Reaktionsschema kj+ > 0 annehmen k¨onnen. Die Zahlen νij heißen st¨ ochiometrische Koeﬃzienten der Reaktion. Dies sind nat¨ urliche Zahlen oder + − 0, νij gibt an wieviele Mol an Ai bei der Hinreaktion verbraucht werden, νij wieviele Mol entstehen. Eine Substanz Ak heißt Produkt in der j-ten Reaktion, falls − + νkj > 0 ist, Ak heißt in dieser Reaktion Edukt, falls νkj > 0 ist. Um Mehrdeutigkei+ − ten zu vermeiden, fordern wir νij νij = 0, d.h. ein Ai darf in einer Reaktion nicht gleichzeitig als Edukt und Produkt auftreten. Der Vektor νj mit den Eintr¨agen + − νij = νij − νij heißt St¨ ochiometrie der j-ten Reaktion. Die Reaktionsrate rj (c) der j-ten Reaktion unter der Annahme von Massenwirkungskinetik wird nun analog zur Gleichgewichtsreaktion modelliert, sie lautet dann ν+ ν− rj (c) = −kj+ Πni=1 ci ij + kj− Πni=1 ci ij , j = 1, . . . , m, oder in Kurzform +

−

rj (c) = −kj+cνj + kj− cνj ,

j = 1, . . . , m.

174

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

Beﬁndet sich die j-te Reaktion im Gleichgewicht, so gilt das Massenwirkungsgesetz ν+

Πni=1 ci ij

ν− Πni=1 ci ij

=

kj− kj+

=: Kj ,

j = 1, . . . , m,

oder in Kurzform cνj = Kj ,

j = 1, . . . , m.

Das die Kinetik beschreibende Diﬀerentialgleichungssystem ergibt sich nun zu c˙i =

m

νij rj (c1 , . . . , cn ),

ci (0) = ci0 , i = 1, . . . , n,

j=1

oder in Vektorschreibweise c˙ =

m

νj rj (c),

c(0) = c0 .

(8.17)

j=1

Fasst man die Reaktionsraten rj (c) zu einem Vektor r(c) zusammen und deﬁniert die n × m-Matrix N durch die Eintr¨ age νij , so kann man (8.17) noch kompakter als c˙ = N r(c), c(0) = c0 , (8.18) formulieren. Reaktionen, die der Massenwirkungskinetik gen¨ ugen, nennt man in der Chemie Elementarreaktionen, im Gegensatz zu sog. Bruttokinetiken, die aus Vereinfachungen resultieren. Die Reaktionsraten kj± sind i.Allg. noch temperaturabh¨angig, hier haben wir uns auf den isothermen, homogenen Fall beschr¨ankt, d.h. es wird angenommen, dass die Temperatur stets konstant ist, und dass die Substanzen ideal durchmischt sind. Andernfalls m¨ usste man auch eine Temperaturbilanz mitf¨ uhren und Transportwiderst¨ ande wie Diﬀusion ber¨ ucksichtigen. Außerdem haben wir in diesem Abschnitt angenommen, dass das betrachtete Reaktionssystem isoliert ist, also keine Substanzen zu- oder abgef¨ uhrt werden. Man spricht dann von einem abgeschlossenen System oder Batch-System. In oﬀenen Systemen m¨ ussen Zu- und Abstr¨ ome ebenfalls modelliert werden. Zum Beispiel hat man im Falle konstanter Zustr¨ ome und entsprechender parit¨atischer Abstr¨ome auf der rechten Seite von (8.18) einen Term der Form (cf −c)/τ zu addieren, wobei τ > 0 Verweilzeit des Reaktors genannt wird, bzw. γ = 1/τ Durchﬂussrate. Dabei ist die i-te Komponente cfi ≥ 0 von cf die Konzentration der Substanz Ai im Zustrom, dem Feedstrom. Da die Funktionen rj Polynome in c sind, ergibt der Satz von Picard und Lindel¨of die lokale Existenz und Eindeutigkeit einer L¨osung von (8.17). Wir u ¨berpr¨ ufen als n¨achstes die Positivit¨ atsbedingung. Dazu sei ck = 0, sowie ci ≥ 0 f¨ ur − νj− alle anderen i. Ist Ak Edukt in der j-ten Reaktion, so folgt rj (c) = kj c ≥ 0 sowie νkj > 0. Ist Ak hingegen Produkt, dann ist rj (c) ≤ 0 und νkj < 0. Es folgt

8.7. Chemische Reaktionssysteme

175

in beiden F¨allen νkj rj (c) ≥ 0, f¨ ur alle j, also c˙k ≥ 0. Damit ist das Positivit¨atskriterium erf¨ ullt, und folglich gilt ci (t) ≥ 0 f¨ ur alle t ≥ 0 und i = 1, . . . , n, sofern die Anfangswerte ci0 s¨ amtlich nichtnegativ sind. Es ist aber auch int Rn+ positiv invariant; dies sieht man folgendermaßen. Mit + − νj− − + νj+ hk (c) = νkj kj c + νkj kj c ≥ 0, + νkj >0

und gk (c) =

− νkj >0

+

+ + νj νkj kj c

+ νkj >0

−ek

+

−

− − νj νkj kj c

−ek

≥ 0,

− νkj >0

folgt c˙k = −ck gk (c) + hk (c) ≥ −ωck , da hk (c) ≥ 0 und ω = maxt∈[0,a] gk (c(t)) < ∞ ist. Es folgt ck (t) ≥ e−ωt c0k , also ck (t) > 0 f¨ ur alle t ∈ [0, a] sofern c0k > 0 ist. Dabei ist 0 < a < t+ (c0 ) beliebig. Sei S = R(N ) = span{ν1 , . . . , νm }; dieser Teilraum des Rn heißt st¨ochiometrischer Teilraum des Reaktionssystems. Aus (8.17) folgt nun c(t) ˙ ∈ S f¨ ur alle t, also c(t) ∈ c0 + S, t ∈ J, wobei J das maximale Existenzintervall einer L¨osung bezeichne. Der aﬃne Teilraum c0 + S heißt die zum Anfangswert c0 geh¨orige Kompatibilit¨atsklasse des Reaktionssystems, diese ist daher invariant f¨ ur (8.17). Die Dimension von S sei im Folgenden mit s bezeichnet, es ist nat¨ urlich s ≤ m und s ≤ n, aber sogar s < n. Dies sieht man folgendermaßen. Es sei βi > 0 die Molmasse der Substanz Ai , β der Vektor mit den Eintr¨ agen βi . Bei chemischen Reaktionen bleibt die Gesamtmasse erhalten. Dies bedeutet (νj |β) =

n

νij βi = 0,

j = 1, . . . , m,

i=1

also ist β ∈ R(N )⊥ , insbesondere ist s < n. Ferner haben wir d (β|c) = (β|c) ˙ = (β|N r(c)) = 0, dt also ist (β|c(t)) ≡ (β|c0 ). Daraus folgt mit Hilfe der Positivit¨at der ci (t) und βi > 0, dass alle ci (t) beschr¨ ankt bleiben, womit L¨osungen f¨ ur alle positive Zeiten existieren. Daher erzeugt (8.17) einen Halbﬂuss auf Rn+ und auf int Rn+ . Wir ﬁxieren eine Basis {e1 , . . . , en−s } von R(N )⊥ und fassen diese Vektoren in der n × (n − s)-Matrix E T zusammen. Es gilt also EN = 0, d.h. ker E = R(N ). Da man e1 = β w¨ ahlen kann und alle βi > 0 sind, kann man annehmen, dass E nur positive Eintr¨ age hat; evtl. addiere man zu den ej geeignete Vielfache von e1 = β. Durch Anwendung von E auf (8.17) erh¨alt man Ec(t) = Ec0 =: u0 f¨ ur alle t ≥ 0, wir haben also n − s Erhaltungss¨ atze.

176

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

Die Equilibria von (8.17) sind die L¨ osungen des nichtlinearen algebraischen Gleichungssystems N r(c) = 0. (8.19) Da die Kompatibilit¨ atsklassen (c0 + S) ∩ Rn+ abgeschlossen, beschr¨ankt, konvex und positiv invariant sind, impliziert Satz 7.3.5 die Existenz mindestens eines Equilibriums in jeder dieser Kompatibilit¨ atsklassen, allerdings m¨ ussen diese nicht eindeutig sein. Echte Equilibria sind nun solche, in denen jede einzelne Reaktion im Gleichgewicht ist, also L¨ osungen c∗ von r(c) = 0. Diese k¨onnen auch auf dem Rand von Rn+ liegen, wir interessieren uns hier nur f¨ ur solche im Inneren von Rn+ , die also ci > 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , n erf¨ ullen; diese werden im Folgenden positive echte Equilibria genannt ν Ist nun c∗ ein positives echtes Equilibrium, so folgt c∗j = Kj f¨ ur alle j, insbesondere gilt log Kj = (νj | log c∗ ), wobei log c den Vektor mit den Komponenten log(ci ) bezeichnet. Dies ist ein lineares Gleichungssystem f¨ ur log c∗ , das nicht immer l¨osbar ist. Nummeriert man die νj so, dass die ersten s Vektoren linear unabh¨angig sind, dann erh¨ alt man die Vertr¨aglichkeitsbedingungen νj =

s

αjk νk ,

α

Πsk=1 Kk jk = Kj ,

j = s + 1, . . . , m.

(8.20)

k=1

Ist s = m < n, so gibt es stets ein solches c∗ , sofern alle Kj > 0 sind, und dann ist auch c∗i > 0 f¨ ur alle i. Sind nun alle Reaktionen reversibel, gilt also Kj > 0 f¨ ur alle j = 1, . . . , m, und sind die Vertr¨ aglichkeitsbedingungen erf¨ ullt, so existiert ein positives echtes Equilibrium. Hierbei werden also irreversible Reaktionen ausgeschlossen. Wir nehmen im Folgenden an, dass ein solches positives echtes Equilibrium c∗ existiert. Sei jetzt c¯ ein weiteres positives echtes Equilibrium in der gleichen Kompatibilit¨atsklasse; dann folgt E(c∗ −¯ c) = 0, also c∗ −¯ c ∈ R(N ), und (νj | log c∗ −log c¯) = 0 f¨ ur alle j, also log c∗ − log c¯ ∈ R(N )⊥ . Dies impliziert 0 = (c∗ − c¯| log c∗ − log c¯) =

n

(c∗i − c¯i )(log c∗i − log c¯i ),

i=1

also c∗i = c¯i f¨ ur alle i, da log streng wachsend ist. Dies zeigt, dass es in jeder Kompatibilit¨atsklasse h¨ ochstens ein positives echtes Equilibrium geben kann. Nun deﬁnieren wir die Funktion Φ(c) :=

n

[ci log(ci /c∗i ) − (ci − c∗i )],

ci > 0, i = 1, . . . , n.

i=1

Es ist ∂k Φ(c) = log[ck /c∗k ], und Φ (c) = diag(1/ck ), folglich ist c = c∗ das einzige ν Minimum von Φ, und es ist strikt. Mit Kj = c∗j erh¨alt man f¨ ur eine L¨osung c(t),

8.7. Chemische Reaktionssysteme

177

die den Rand von Rn+ nicht triﬀt, d Φ(c) = (Φ (c)|c) ˙ = (νj | log[c/c∗ ])rj (c) dt j=1 m

=

=

m j=1 m

−

+

(νj | log[c/c∗ ])kj+ (Kj cνj − cνj ) ν+

−

+

kj+ c∗j [(c/c∗ )νj − (c/c∗ )νj ] log(c/c∗ )νj

j=1 m

=−

−

ν

kj+ cνj c∗j [(c/c∗ )νj − 1] log(c/c∗ )νj ≤ 0,

j=1

˙ da log streng wachsend ist. Ferner impliziert Φ(c) = 0 aus diesem Grund (c/c∗ )νj = νj 1, also c = Kj f¨ ur alle j, d.h. c ist ein weiteres echtes Equilibrium. Daher ist ˙ {c ∈ int Rn+ : Φ(c) = 0} ⊂ {c ∈ int Rn+ : cνj = Kj , j = 1, . . . , m} =: E. Die positiv invariante Menge (c0 +S)∩Rn+ ist beschr¨ankt und abgeschlossen, also ist die Limesmenge ω+ (c0 ) ⊂ (c0 +S)∩Rn+ nichtleer, kompakt und zusammenh¨angend. Es gibt nun zwei M¨ oglichkeiten. Die erste ist ω+ (c0 ) ⊂ ∂Rn+, diese wollen wir hier nicht weiter diskutieren. Die zweite M¨ oglichkeit ist ω+ (c0 ) ∩ int Rn+ = ∅. Dann gilt ˙ ∅ = ω+ (c0 ) ∩ int Rn+ ⊂ {c ∈ int Rn+ : Φ(c) = 0} ⊂ E, also gibt es mindestens ein positives echtes Equilibrium c¯ in der Kompatibilit¨atsklasse c0 + S. Dieses ist eindeutig bestimmt, also ω+ (c0 ) = {¯ c}, da ω+ (c0 ) zusammenh¨angend ist. Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen: Satz 8.7.1. 1. Das System (8.17) besitzt zu jedem Anfangswert c0 ∈ Rn+ genau eine globale L¨ osung f¨ ur t ≥ 0. Diese erf¨ ullt c(t) ∈ Rn+ ∩ (c0 + S), wobei S = R(N ) den st¨ ochiometrischen Teilraum des Reaktionssystems bezeichnet. Ist c0 ∈ int Rn+ , dann gilt auch c(t) ∈ int Rn+ f¨ ur alle t > 0. 2. In jeder Kompatibilit¨ atsklasse Rn+ ∩ (c0 + S) gibt es mindestens ein Equilibrium. 3. Das System (8.17) besitzt genau dann ein positives echtes Equilibrium c∗ , wenn Kj > 0 f¨ ur alle j = 1, . . . , m gilt, und die Vertr¨aglichkeitsbedingungen (8.20) erf¨ ullt sind. 4. Es existiere ein positives echtes Equilibrium c∗ , also eine L¨ osung von r(c) = 0 mit c∗i > 0 f¨ ur alle i. Dann gilt die Alternative:

178

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at (a) ω+ (c0 ) ⊂ ∂Rn+ , d.h. c(t) konvergiert gegen ∂Rn+ f¨ ur t → ∞; (b) Es gibt genau ein positives echtes Equilibrium c¯ ∈ c0 + S, und c(t) konvergiert f¨ ur t → ∞ gegen c¯.

Es gibt keine nichttrivialen periodischen L¨ osungen. Existiert ein solches c∗ nicht, dann ist die Dynamik des Systems (8.17) wesentlich komplizierter.

8.8 Die Methode von Lojasiewicz Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : G → Rn stetig, und sei V eine diﬀerenzierbare, strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur x˙ = f (x). Wir hatten in Abschnitt 8.6 Konvergenz beschr¨ankter L¨osungen bewiesen, sofern die Equilibriumsmenge E = f −1 (0) in jeder Niveaumenge von V diskret ist. Diese Annahme ist wesentlich, wie in den folgenden Beispielen gezeigt wird. Beispiel 1. Sei G := R2 \ {0} und betrachte das System x˙ = (x + y)(1 − -x2 + y 2 ), y˙ = (y − x)(1 − x2 + y 2 ).

(8.21)

In Polarkoordinaten liest sich (8.21) als r˙ = −r(r − 1), θ˙ = r − 1. Daher ist die Menge der Equilibria E von (8.21) in G durch den Einheitskreis gegeben, also nicht diskret. Die L¨ osungen lassen sich explizit angeben zu r0 r(t) = , θ(t) = θ0 + log(r0 + (1 − r0 )e−t ), t ∈ R+ . r0 + (1 − r0 )e−t Daher gilt r(t) → 1 und θ(t) → θ0 + log(r0 ) f¨ ur t → ∞, d.h. alle L¨osungen sind konvergent. Man sieht ferner leicht, dass V (x, y) = V (r) = (r − 1)2 eine strikte Ljapunov-Funktion in G ist, denn es gilt V˙ (r) = (∇V (x, y)|f (x, y)) = −2r(r − 1)2 ,

(x, y) ∈ G.

Beispiel 2. Sei wieder G := R2 \ {0} und betrachte das System x˙ = −x(- x2 + y 2 − 1)3 − y(-x2 + y 2 − 1)2 , y˙ = −y( x2 + y 2 − 1)3 + x( x2 + y 2 − 1)2 . In Polarkoordinaten wird (8.22) zu r˙ = −r(r − 1)3 , θ˙ = (r − 1)2 .

(8.22)

8.8. Die Methode von Lojasiewicz

179

y

2

y

2

2

1

1

x

1

1

2

2

x

1

1

1

1

2

2

2

Abbildung 8.2: Phasenportraits zu den Beispielen Auch in diesem Beispiel ist die Menge der Equilibria E in G durch den Einheitskreis gegeben, also nicht diskret. Man u ¨ berzeugt sich leicht, dass V (x, y) := (r − 1)2 auch hier eine strikte Ljapunov-Funktion ist, denn es gilt V˙ (r) = (∇V (x, y)|f (x, y)) = −2r(r − 1)4 < 0,

r = 1.

Insbesondere gilt auch hier r(t) → 1 f¨ ur t → ∞. Mittels Separation der Variablen erh¨alt man dθ 1 1 1 =− = − , dr r(r − 1) r r−1 folglich θ(r) = c0 − ln(|r − 1|/r). Damit spiralen die L¨osungen f¨ ur t → ∞, also f¨ ur r → 1 gegen den Einheitskreis. In diesem Beispiel konvergieren die L¨osungen also nicht. Welche zus¨ atzlichen Eigenschaften sind in solchen Situationen f¨ ur Konvergenz der L¨osungen entscheidend? Dazu deﬁnieren wir (∇V (x, y)|f (x, y)) , (x, y) ∈ G. |∇V (x, y)|2 |f (x, y)|2 √ Eine einfache ur Beispiel 1, und α2 (x, y) = - Rechnung ergibt α1 (x, y) = −1/ 2 f¨ −|r − 1|/ 1 + (r − 1)√2 in Beispiel 2. Man sieht, dass α2 → 0 f¨ ur r → 1 gilt, wohingegen α1 = −1/ 2, also strikt negativ, insbesondere in der N¨ahe von E ist. Da die Limesmengen der L¨ osungen ohnehin Teilmengen von E sind, kommt es nur auf eine Umgebung von E an. Daher ist es plausibel, die folgende Bedingung zu fordern: α(x, y) :=

Es gibt eine Umgebung U ⊂ G von E, sodass es zu jeder kompakten Teilmenge K von U eine Konstante c(K) > 0 gibt, mit (W )

(∇V (x)|f (x)) ≤ −c(K)|∇V (x)|2 |f (x)|2 ,

f¨ ur alle x ∈ K.

Man beachte, dass Gradientensysteme diese Bedingung stets erf¨ ullen, und zwar auf ganz G mit Konstante c = c(G) = 1.

180

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

Sei jetzt x(t) eine globale beschr¨ ankte nichtkonstante L¨osung von x˙ = f (x), und sei K := x(R+ ) ⊂ G. Dann gibt es aufgrund von ω+ (x) ⊂ E ein t1 ≥ 0 mit x([t1 , ∞)) ⊂ U , also k¨ onnen wir o.B.d.A. t1 = 0 annehmen. Sei a ∈ ω+ (x) beliebig ﬁxiert. V ist auf ω+ (x) konstant, also V (y) = V (a) auf ω+ (x), und V (x(t)) > V (a) f¨ ur alle t ≥ 0, da V eine strikte Ljapunov-Funktion ist. Sei θ ∈ (0, 1] ﬁxiert und setze Ψ(t) = (V (x(t)) − V (a))θ ; man beachte, dass Ψ wohldeﬁniert ist. Dann erhalten wir mit (W) −

d d (∇V (x(t))|f (x(t)) Ψ(t) = −θ(V (x(t)) − V (a))θ−1 V (x(t)) = −θ dt dt (V (x(t)) − V (a))1−θ |∇V (x(t))|2 ≥ θc(K)|f (x(t))|2 (V (x(t)) − V (a))1−θ ≥ θc(K)|x(t)| ˙ 2 m,

sofern wir w¨ ussten, dass |∇V (x(t))|2 ≥m>0 (V (x(t)) − V (a))1−θ gilt. Nehmen wir an dem sei so. Dann ergibt Integration u ¨ber R+

N

N

˙ Ψ(s)ds = Ψ(0) − Ψ(N ) → Ψ(0) < ∞,

|x(t)| ˙ 2 dt ≤ −

θc(K)m 0

0

also ist |x(·)| ˙ 2 ∈ L1 (R+ ). Das impliziert nun f¨ ur t > t¯ ≥ 0 |x(t) − x(t¯)|2 ≤

t¯

t

|x(s)| ˙ 2 ds → 0,

f¨ ur t, t¯ → ∞,

also existiert der Grenzwert limt→∞ x(t) =: x∞ und x∞ ∈ E. Diese Argumentationskette ist die Methode von Lojasiewicz. Sie beruht in zentraler Weise auf der Lojasiewicz-Ungleichung. Sei V : G → R aus C 1 . Wir sagen, dass f¨ ur V die Lojasiewicz-Ungleichung gilt, wenn es zu jedem kritischen Punkt a ∈ G von V Konstanten θa ∈ (0, 1/2], ma > 0 und δa > 0 gibt, derart, dass ma |V (x) − V (a)|1−θa ≤ |∇V (x)|2 ,

f¨ ur alle x ∈ Bδa (a) ⊂ G,

erf¨ ullt ist. Lojasiewicz selbst hat gezeigt, dass diese Ungleichung gilt, wenn V in G reell analytisch ist. In regul¨ aren Punkten von V ist sie trivialerweise erf¨ ullt. Um den Beweis mit Hilfe der Lojasiewicz-Ungleichung abzuschließen, u ¨ berdecken wir die kompakte Menge ω+ (x) ⊂ E, durch endlich viele Kugeln Bδi (ai ) mit ai ∈ ω+ (x), sodass die Lojasiewicz-Ungleichung in diesen Kugeln mit Konstanten

8.8. Die Methode von Lojasiewicz

181

2 mi > 0 und θi ∈ (0, 1/2] gilt. Setzt man dann U0 = i Bδi (ai ), θ = min θi , und m = min mi , so gilt die Lojasiewicz-Ungleichung auf U0 und beliebigem a ∈ ω+ (x), denn V ist auf ω+ (x) konstant. Die L¨ osung x(t) bleibt nach endlicher Zeit in U ∩U0 , also o.B.d.A. f¨ ur alle t ≥ 0, und damit ist der obige Beweis vollst¨andig. Wir fassen zusammen: Satz 8.8.1. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f : G → Rn stetig, V ∈ C 1 (G; R) eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur x˙ = f (x), und sei E = f −1 (0) ⊂ G die Equilibriumsmenge. Es gelte die Bedingung (W) und die Lojasiewicz-Ungleichung in einer Umgebung U ⊂ G von E. Dann konvergiert jede globale beschr¨ ankte L¨ osung x(t) mit x(R+ ) ⊂ G gegen ein Equilibrium. Als Anwendung betrachten wir ein Teilchen im Potentialfeld mit D¨ampfung. Beispiel. Sei φ : Rn → R aus C 2 und g : Rn → Rn sei aus C 1 , mit g(0) = 0. Ferner existiere ein γ > 0, sodass (g(y)|y) ≥ γ|y|22 f¨ ur alle y ∈ Rn gilt. Das Problem u ¨ + g(u) ˙ + ∇φ(u) =0, u(0) = u0 ,

(8.23)

u(0) ˙ = u1 ,

ist mit x = [u, u] ˙T¨ aquivalent zum System x˙ = f (x), wobei f (x) = [u, ˙ −g(u) ˙ − ∇φ(u)]T = [x2 , −g(x2 ) − ∇φ(x1 )]T ist. Die Equilibriumsmenge E dieses Systems besteht aus Paaren der Form (x1 , 0), wobei x1 kritischer Punkt von φ ist. Als Ljapunov-Funktion betrachten wir zun¨achst die Energie 1 V0 (x) = |x2 |22 + φ(x1 ). 2 Diese ist eine strikte Ljapunov-Funktion falls (g(y)|y) > 0 f¨ ur alle y ∈ Rn , y = 0 ist. Man beachte, dass jede L¨ osung von (8.23) nach rechts beschr¨ankt ist, sofern φ koerziv ist, also φ(u) → ∞ f¨ ur |u|2 → ∞ gilt, und nur (g(y)|y) ≥ 0 f¨ ur alle y ∈ Rn ist. Die Funktion V0 bringt die L¨ osungen in die N¨ahe der Equilibriumsmenge. Sie ist allerdings nicht gut genug, um die Lojasiewicz-Technik anwenden zu k¨onnen. Daher betrachten wir die modiﬁzierte Energie V (x) =

1 |x2 |22 + φ(x1 ) + ε(∇φ(x1 )|x2 ); 2

dabei wird ε > 0 sp¨ ater gew¨ ahlt. Es ist |f (x)|2 ≤ |x2 |2 + |g(x2 )|2 + |∇φ(x1 )|2 ≤ c(x2 )(|x2 |2 + |∇φ(x1 )|2 ), wobei wir c = c(x2 ) = 1 + |g(x2 )|2 /|x2 |2 gesetzt haben. Als n¨achstes ist ∇φ(x1 ) + ε∇2 φ(x1 )x2 ∇V (x) = , x2 + ε∇φ(x1 )

182

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilit¨at

also |∇V (x)|2 ≤ (1 + ε)|∇φ(x1 )|2 + (1 + εm(x1 ))|x2 |2 , mit m = m(x1 ) := |∇2 φ(x1 )|2 . Schließlich ist −(∇V (x)|f (x)) = −(∇φ(x1 ) + ε∇2 φ(x1 )x2 |x2 ) + (g(x2 ) + ∇φ(x1 )|x2 + ε∇φ(x1 )) = (g(x2 )|x2 ) + ε|∇φ(x1 )|22 + ε(g(x2 )|∇φ(x1 )) − ε(∇2 φ(x1 )x2 |x2 ) ≥ γ|x2 |22 + ε|∇φ(x1 )|22 − εc(x2 )|x2 |2 |∇φ(x1 )|2 − εm(x1 )|x2 |22 , wobei wir (g(y)|y) ≥ γ|y|22 verwendet haben. Die Youngsche Ungleichung ergibt daher −(∇V (x)|f (x)) ≥

ε εc(x2 )2 |∇φ(x1 )|22 + (γ − − εm(x1 ))|x2 |22 . 2 2

F¨ ur |x1 |2 ≤ R und |x2 |2 ≤ R folgt somit −(∇V (x)|f (x)) ≥

ε (|∇φ(x1 )|22 + |x2 |22 ), 2

sofern 0 < ε = ε(R, c, m, γ) ≤ 1 hinreichend klein gew¨ahlt wird. Andererseits haben wir |∇V (x)|2 |f (x)|2 ≤ C[|x2 |22 + |∇φ(x1 )|22 ], mit einer hinreichend großen Konstanten C = C(R). Daher ist die Winkelbedingung erf¨ ullt, sofern x beschr¨ ankt ist. Dies kann man aber stets annehmen, da wir die Winkelbedingung nur auf kompakten Teilmengen einer Umgebung der Equilibriumsmenge ben¨ otigen. Um die Lojasiewicz-Ungleichung f¨ ur V zu zeigen, nehmen wir an, sie sei f¨ ur φ erf¨ ullt. Sei a ∈ E, also insbesondere ∇V (a) = 0 und sei x ∈ Bδ (a), mit δ > 0 so klein, dass |x2 |2 ≤ 1 und |∇φ(x1 )|2 ≤ 1 ist. Dann gilt f¨ ur hinreichend kleines ε>0 2(1−θ)

(V (x) − V (a))1−θ ≤ C[|x2 |2

2(1−θ)

+ |∇φ(x1 )|2

+ |φ(x1 ) − φ(a1 )|1−θ ]

≤ C[|x2 |2 + |∇φ(x1 )|2 ] ≤ C|∇V (x)|2 , da 2(1 − θ) ≥ 1 ist. Damit sind die Voraussetzungen von Satz 8.8.1 erf¨ ullt, und wir erhalten das folgende Korollar. Korollar 8.8.2. Sei φ ∈ C 2 (Rn ; R) derart, dass φ die Lojasiewicz-Ungleichung erf¨ ullt, g ∈ C 1 (Rn ; Rn ), g(0) = 0, gen¨ uge der Bedingung (g(y)|y) > 0, y = 0,

(g(y)|y) ≥ γ|y|22 , y ∈ Bρ (0),

mit γ, ρ > 0. Dann konvergiert jede beschr¨ ankte L¨ osung von (8.23) gegen einen kritischen Punkt von φ.

8.8. Die Methode von Lojasiewicz

183

Zum Abschluss notieren wir ein weiteres Beispiel. 1 Beispiel 3. Es sei g(y) = y, und φ(u) = 2k (|u|22 − 1)k mit k ≥ 2. Hier ist E = {0} ∪ ∂B1 (0). Da φ als Polynom reell analytisch ist, gilt die Lojasiewicz-Ungleichung f¨ ur φ. Es gilt (g(y)|y) = |y|22 und oﬀenbar ist φ koerziv. Also konvergiert nach Korollar 8.8.2 jede L¨osung u(t) gegen ein Equilibrium.

¨ Ubungen 1. F¨ uhren Sie den Beweis von Satz 8.2.4 aus. 2. Sei ψ : R+ → R+ stetig wachsend, ψ(0) = 0 und ψ(s) > 0 f¨ ur s > 0. Konstruieren Sie eine Funktion ψ0 : R+ → R+ stetig, streng wachsend, ψ0 (0) = 0 und ψ(s) ≥ ψ0 (s) f¨ ur s > 0. 3. Sei W (x) = (Ax|x), mit A ∈ Rn×n symmetrisch. Zeigen Sie, dass die Matrix A genau dann positiv deﬁnit ist, wenn die dazugeh¨ orige quadratische Form W (x) positiv deﬁnit im Sinne von Deﬁnition 8.3.2 ist. 4. Die Funktionen V1 (x) = |x|∞ , V2 (x) = max{xk : k = 1, . . . , n}, V3 (x) = |x|1 sind nicht diﬀerenzierbar. Berechnen Sie V˙ j (x).Vergleichen Sie das Ergebnis f¨ ur V3 mit dem f¨ ur die diﬀerenzierbare Funktion V4 (x) = j xj . 5. Zeigen Sie, dass positiv deﬁnite L¨ osungen der Ljapunov-Gleichung AT Q + QA = −I eindeutig bestimmt sind. 6. Es sei das lineare System x˙ = A(t)x gegeben. Sei A(t) von der Form A(t) = D(t)+B(t) mit stetigen Funktionen D, B : R → Rn×n , wobei D(t) diagonal, negativ semideﬁnit und B(t) schiefsymmetrisch, also B(t) = −B(t)T f¨ ur alle t ∈ R seien. Konstruieren Sie eine Ljapunov-Funktion f¨ ur das System, und untersuchen Sie seine Stabilit¨ atseigenschaften. 7. Sei f (t, x) τ -periodisch in t, lokal Lipschitz in x, und sei das System x˙ = f (t, x) mit f (t, 0) ≡ 0 gegeben. Zeigen Sie f¨ ur die triviale L¨ osung, dass dann stabil bereits uniform stabil, und asymptotisch stabil schon uniform asymptotisch stabil implizieren. 8. Untersuchen Sie die Fisher-Wright-Haldane-Gleichung aus Abschnitt 8.5 f¨ ur die Fitnessmatrizen ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 2 1 2 4 5 2 4 1 1 5 6 F = ⎣ 2 3 1 ⎦, ⎣ 4 1 3 ⎦, ⎣ 4 3 1 ⎦, ⎣ 5 4 2 ⎦ 1 1 1 5 3 1 1 1 5 6 2 4 und skizzieren Sie die zugeh¨ origen Phasenportraits im Standardsimplex. 9. Sei V : (−a, a) → R aus C 1 , und V (0) = V (0) = 0. (i) Zeigen Sie die Lojasiewicz-Ungleichung f¨ ur V in 0, sofern V eine analytische Fortsetzung auf eine Kugel Br (0) ⊂ C besitzt, und dass dann θ = 1/m mit m = min{k ∈ N : V (k) (0) = 0} gew¨ ahlt werden kann. (ii) Geben Sie Funktionen V ∈ C ∞ (−a, a) an, die die Lojasiewicz-Ungleichung nicht erf¨ ullen. 10. Sei V : Rn → R aus C 2 , V (0) = ∇V (0) = 0 und sei ∇2 V (0) nicht singul¨ ar. Zeigen Sie, dass V die Lojasiewicz-Ungleichung in einer Kugel Br (0) mit θ = 1/2 erf¨ ullt.

Kapitel 9

Ebene autonome Systeme Wir betrachten in diesem Kapitel den speziellen, aber wichtigen zweidimensionalen autonomen Fall. Dazu seien G ⊂ R2 oﬀen, f : G → R2 stetig, und die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) (9.1) gegeben. Wir nehmen im ganzen Kapitel an, dass die L¨osungen von (9.1) durch ihre Anfangswerte eindeutig bestimmt sind. So ist x(t; x0 ) die L¨osung von (9.1) mit Anfangswert x(0) = x0 ∈ G. Die Menge der Equilibria wird wie zuvor mit E bezeichnet, also E := f −1 (0) = {x ∈ G : f (x) = 0}. Im Gegensatz zum n-dimensionalen Fall mit n ≥ 3 sind die Limesmengen der L¨osungen im Fall n = 2 sehr gut verstanden. So sagt das Poincar´e-BendixsonTheorem, dass eine Limesmenge, die kein Equilibrium enth¨alt, schon Orbit einer periodischen L¨ osung ist. Was macht den Fall n = 2 so besonders? Die Antwort darauf ist der Jordansche Kurvensatz, der besagt, dass eine Jordan-Kurve, also eine geschlossene, stetige, doppelpunktfreie Kurve, die Ebene in zwei disjunkte ¨ oﬀene, zusammenh¨ angende Teilmengen zerlegt, in ihr Inneres und in ihr Außeres.

9.1 Transversalen Das zentrale Hilfsmittel in der Poincar´e-Bendixson-Theorie ist das Konzept der Transversalen. Deﬁnition 9.1.1. Ein Segment L = {τ y0 + (1 − τ )y1 : τ ∈ [0, 1]} mit y0 = y1 , heißt Transversale f¨ ur das Vektorfeld f , falls f (x) = λ(y1 − y0 )

f¨ ur alle λ ∈ R, x ∈ L,

erf¨ ullt ist.

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_9, © Springer Basel AG 2010

(9.2)

186

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

In anderen Worten, L ist eine Transversale, falls kein Equilibrium auf L liegt, und die Richtung der Transversalen von der von f (x) f¨ ur jedes x ∈ L verschieden ist, d.h. y1 − y0 und f (x) sind f¨ ur jedes x ∈ L linear unabh¨angig. Bemerkung 9.1.2. 1. Ist x ∈ G \ E, dann existiert eine Transversale durch x. Eine solche kann jede Richtung haben, mit Ausnahme von der von ±f (x). Dies folgt aus der Stetigkeit von f , da man Transversalen beliebig kurz w¨ahlen darf. 2. Das Segment L = {τ y0 + (1 − τ )y1 : τ ∈ [0, 1]} ist genau dann eine Transversale, wenn (T ) (f (x)|z) = 0

f¨ ur alle x ∈ L, z = 0 mit (y1 − y0 |z) = 0,

erf¨ ullt ist. 3. Ist L eine Transversale und x0 ∈ L, so gilt x(t; x0 ) ∈ L f¨ ur alle |t| = 0 hinreichend klein. Dies bedeutet, wenn ein Orbit L triﬀt, dann kreuzt es L. Denn w¨are x(tk , x0 ) ∈ L, f¨ ur eine Folge tk → 0, so w¨ urde (x(tk , x0 ) − x(0, x0 )|z) =0 tk f¨ ur alle z ∈ Rn mit (y1 − y0 |z) = 0 gelten. Daraus folgt aber (f (x0 )|z) = 0, im Widerspruch zu (T). 4. Alle Orbits, die eine Transversale treﬀen, u ¨ berqueren sie in der gleichen Richtung. Denn ist z = 0 orthogonal zu L, so hat die stetige Funktion ϕ(τ ) := (f (τ y0 + (1 − τ )y1 )|z) f¨ ur alle τ ∈ [0, 1] das gleiche Vorzeichen. Proposition 9.1.3. Sei L = {τ y0 + (1 − τ )y1 : τ ∈ [0, 1]} eine Transversale f¨ ur (9.1), und sei x0 ∈ L ∩ G kein Endpunkt von L. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ¯δ (x0 ), sodass jede L¨ ¯ δ (x0 ) die eine Kugel B osung x(t; x1 ) mit Anfangswert x1 ∈ B Transversale f¨ ur ein t1 ∈ [−ε, ε] triﬀt. Beweis. Andernfalls g¨ abe es ein ε0 > 0 und eine Folge xk → x0 , sodass x(t, xk ) ∈ L f¨ ur alle t ∈ [−ε0 , ε0 ] gilt. Sei z = 0 orthogonal zu L; setze ϕk (t) = (x(t, xk ) − x0 |z), und ϕ0 (t) = (x(t, x0 ) − x0 |z). Aus xk → x0 folgt dann ϕk → ϕ0 gleichm¨aßig auf [−ε0 , ε0 ]. Nach Annahme ist x(t, xk ) ∈ L also sgn ϕk (t) auf [−ε0 , ε0 ] konstant. Andererseits hat aber ϕ0 (t) in t = 0 einen Vorzeichenwechsel, denn es ist ϕ0 (0) = 0 und ϕ˙ 0 (0) = (f (x0 )|z) = 0. Damit haben wir einen Widerspruch erhalten. Die folgende Proposition ist nicht ganz so leicht zu zeigen. Proposition 9.1.4. Sei L = {τ y0 + (1 − τ )y1 : τ ∈ [0, 1]} eine Transversale, und C = x[a, b] ein Teilorbit der L¨ osung x(t) f¨ ur (9.1). Dann gelten: 1. L ∩ C ist endlich, also L ∩ C = {x1 , . . . , xm }.

9.1. Transversalen

187

2. Ist x(t) nicht periodisch und x(tj ) = τj y0 +(1−τj )y1 , mit t1 < t2 < · · · < tm , so gilt entweder τ1 < τ2 < · · · < τm oder τ1 > τ2 > · · · > τm . 3. Ist x(t) periodisch und C = γ(x) das Orbit von x(t), so ist L ∩ C h¨ ochstens einpunktig. Beweis. 1. Angenommen, L∩C w¨ are nicht endlich. Dann g¨abe es eine Folge (xk ) ⊂ ¨ L ∩ C, mit xk → x0 ∈ L ∩ C. Sei xk = x(tk ) und sei evtl. nach Ubergang zu einer Teilfolge tk → t0 ∈ [a, b]. Es folgt xk − x0 x(tk ) − x(t0 ) = → x(t ˙ 0 ) = f (x0 ), tk − t0 tk − t0 also mit einem z = 0 orthogonal zu L 0=

(xk − x0 |z) → (f (x0 )|z), tk − t0

d.h. (f (x0 )|z) = 0 f¨ ur x0 ∈ L, im Widerspruch zu (T). 2. Seien xj = x(tj ), j = 1, 2, t1 < t2 zwei aufeinanderfolgende Schnittpunkte der L¨osung mit L, sei xj = τj y0 + (1 − τj )y1 , und es gelte o.B.d.A. τ1 < τ2 , also x1 = x2 . Der Kurvenbogen x[t1 , t2 ] und das Segment S[τ1 , τ2 ] = {τ y0 + (1 − τ )y1 : τ ∈ [τ1 , τ2 ]} stellen eine geschlossene doppelpunktfreie Kurve Γ im R2 dar; vgl. Abb. 9.1. Nach dem Jordanschen Kurvensatz teilt diese Kurve Γ die Ebene R2 in ein Innengebiet Gi und ein Außengebiet Ga , sodass R2 = Gi ∪Γ∪Ga gilt, wobei die

Ga

x2

L

x1 Gi x(t) Abbildung 9.1: Transversale Vereinigungen disjunkt sind. Wir betrachten nun die L¨osung f¨ ur t ≥ t2 : die L¨osung kann den Kurvenbogen x[t1 , t2 ] aufgrund der Eindeutigkeit der L¨osungen nicht schneiden, und auf S[τ1 , τ2 ] zeigt das Vektorfeld f ins Außengebiet, denn f (x2 ) hat diese Eigenschaft, also gilt sie nach Bemerkung 9.1.2 auf ganz L. Daher ist Ga f¨ ur diese L¨osung positiv invariant, weshalb der n¨achste Schnittpunkt x3 = x(t3 ) nur im Außengebiet Ga liegen kann, d.h. aber τ3 > τ2 . Analog geht es f¨ ur die negative Zeitrichtung.

188

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

3. Ist x(t1 ) = x(t2 ) ∈ L so ist x(t) oﬀensichtlich periodisch. Angenommen x(t) ist periodisch und x(t1 ) = x(t2 ). Dann m¨ usste die L¨osung f¨ ur t ≥ t2 die Jordan-Kurve Γ aus dem 2. Teil des Beweises schneiden, was nicht m¨oglich ist. Daher ist das Segment S[τ1 , τ2 ] = {x2 } trivial, und Γ ist das geschlossene Orbit von x(t). Proposition 9.1.5. Sei γ+ (x) ⊂ G kompakt, L eine Transversale f¨ ur (9.1), und sei y ∈ L ∩ ω+ (x). Dann gibt es eine wachsende Folge tk → ∞ mit xk := x(tk ) ∈ L und xk → y. Beweis. Da y ∈ ω+(x) gilt, gibt es eine wachsende Folge t¯k → ∞ mit x ¯k := x(t¯k ) → y; o.B.d.A. kann man t¯k+1 ≥ t¯k +2 annehmen. Nach Proposition 9.1.3 gibt ¯δm (y) mit der Eigenschaft, dass es zu jedem z ∈ B ¯δm (y) es zu ε = 1/m eine Kugel B mindestens ein t(z) ∈ [−1/m, 1/m] gibt mit x(t(z), z) ∈ L. Nun gilt f¨ ur k ≥ km , ¯δm (y). O.B.d.A. gelte km+1 ≥ km + 1. Wir m ∈ N hinreichend groß, x(t¯k ) ∈ B deﬁnieren nun eine Folge (tm ) durch tm = t¯km + t(¯ xkm ). Dann ist tm wachsend, denn wegen |t(¯ xkm )| ≤ 1/m gilt 1 m+1 1 +2− m+1 + 1 ≥ t¯km + t(¯ xkm ),

tm+1 = t¯km+1 + t(¯ xkm+1 ) ≥ t¯km +1 − ≥ t¯km ≥ t¯km

f¨ ur alle m ∈ N. Ferner gilt tm → ∞, sowie x(tm ) ∈ L aber auch x(tm ) → y, da x(tm ) = x(t(¯ xkm ), x ¯km ) mit |t(¯ xkm )| ≤ 1/m ist. Eine interessante Folgerung aus Proposition 9.1.5 ist das Korollar 9.1.6. Sei γ+ (x) ⊂ G kompakt und L eine Transversale f¨ ur (9.1). Dann ist L ∩ ω+ (x) h¨ ochstens einpunktig. Beweis. Angenommen es seien x ¯, z¯ ∈ L ∩ ω+ (x). Nach Proposition 9.1.5 gibt es Folgen tk → ∞, sk → ∞, tk < sk < tk+1 mit xk = x(tk ), zk = x(sk ) ∈ L und xk → x ¯, zk → z¯. Da sich nach Proposition 9.1.4 die nat¨ urliche Ordnung auf γ+ (x) auf die Ordnung der Schnittpunkte des Orbits mit L u ¨ bertr¨agt, folgt mit xk = τk y0 + (1 − τk )y1 und zk = σk y0 + (1 − σk )y1 die Relation τk < σk < τk+1 . Das impliziert nun x ¯ = z¯.

9.2 Poincar´e-Bendixson-Theorie Wir beginnen mit einer Charakterisierung periodischer L¨osungen mittels Limesmengen, die typisch zweidimensional ist. Lemma 9.2.1. Sei γ+ (x) ⊂ G kompakt. Die L¨ osung x(t) von (9.1) ist genau dann periodisch, wenn γ+ (x) ∩ ω+ (x) = ∅ gilt. Ist dies der Fall so ist γ+ (x) = ω+ (x).

9.2. Poincar´e-Bendixson-Theorie

189

Beweis. Ist x(t) periodisch, so ist oﬀensichtlich γ+ (x) = ω+ (x). Sei nun umgekehrt y = x(t0 ) ∈ γ+ (x)∩ω+ (x). Ist der Anfangswert x0 von x(t) ein Equilibrium, so gilt x(t) = x0 f¨ ur alle t ≥ 0, also ist auch y = x0 ∈ E. Sei also x0 ∈ E; dann ist aufgrund der Eindeutigkeit der L¨ osungen auch y ∈ E. Also gibt es nach Bemerkung 9.1.2 eine Transversale L durch y. Da y ∈ ω+ (x) ist, existiert nach Proposition 9.1.5 eine wachsende Folge tk → ∞ mit x(tk ) ∈ L und x(tk ) → y. Angenommen x(t) ist nicht periodisch. Dann gelten mit der durch die nat¨ urliche Ordnung auf γ+ (x) erzeugten Ordnung auf L f¨ ur tk ≥ t0 , mit y = τ0 y0 + (1 − τ0)y1 und x(tk ) = τk y0 + (1 − τk )y1 die Relationen τ0 < τk < τk+1 . Ferner gilt |τk − τ0 ||y1 − y0 | = |x(tk ) − y| → 0, also auch τk → τ0 f¨ ur k → ∞, ein Widerspruch. Also ist die L¨osung x(t) periodisch. Dieses Lemma ist in Dimensionen n ≥ 3 falsch, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel. Der irrationale Fluss auf dem Torus. ⎧ uw ⎪ ⎨ u˙ = −v − α √u2 +v2 , v˙ = u − α √uvw 2 +v 2 , ⎪ ⎩ w˙ = α(√u2 + v 2 − 2),

Betrachte das 3D-System u(0) = 3, v(0) = 0, w(0) = 0,

(9.3)

wobei α ∈ Q irrational, α > 0 ist. Die L¨ osung kann man explizit angeben: u(t) = [2 + cos(αt)] cos(t), v(t) = [2 + cos(αt)] sin(t), w(t) = sin(αt). Man u ¨berzeugt sich durch direktes Nachrechnen, das dies tats¨achlich die L¨osung von (9.3) ist. Es gilt nun (u(t) − 2 cos(t))2 + (v(t) − 2 sin(t))2 + w(t)2 = 1,

t ∈ R,

d.h. die L¨osung liegt auf dem Torus T, der durch u(φ, θ) = [2 + cos(θ)] cos(φ), v(φ, θ) = [2 + cos(θ)] sin(φ), w(φ, θ) = sin(θ),

φ, θ ∈ [0, 2π],

parametrisiert ist. Nun gilt γ+ (u, v, w) ⊂ ω+ (u, v, w) = T, da α irrational ist, aber (u, v, w) ist nicht periodisch. Man nennt solche Funktionen quasiperiodisch da es 2 unabh¨angige “Perioden”, n¨ amlich 2π und 2π/α gibt. Ist hingegen α ∈ Q, dann ¨ ist die L¨osung periodisch; vgl. dazu Ubung 9.8. Wir k¨onnen nun das Hauptresultat der Poincar´e-Bendixson-Theorie beweisen.

190

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

Satz 9.2.2 (Poincar´e-Bendixson). Sei γ+ (x) ⊂ G kompakt, und sei ω+ (x) ∩ E = ∅. Dann ist entweder ω+ (x) = γ+ (x), d.h. x(t) ist eine periodische L¨ osung, oder aber ω+ (x) ist ein periodisches Orbit, ein Grenzzyklus. Beweis. Sei x(t) nicht periodisch. Da ω+ (x) nichtleer und invariant ist, enth¨alt ω+ (x) nach Proposition 8.4.2 ein vollst¨ andiges Orbit γ(z). Da ω+ (z) ebenfalls nichtleer und kompakt ist, gibt es ein y ∈ ω+ (z) ⊂ ω+ (x). Da nach Voraussetzung y ∈ E ist, gibt es eine Transversale L durch y. Nach Korollar 9.1.6 ist ω+ (x) ∩ L = {y}. Andererseits, mit y ∈ ω+ (z) zeigt Proposition 9.1.5, dass γ+ (z) ∩ L nichtleer ist, folglich y ∈ ω+(z) ∩ γ+ (z), also ist z(t) nach Lemma 9.2.1 ein periodisches Orbit. Wir zeigen ω+ (x) = γ+ (z). Andernfalls g¨abe es eine Folge (yk ) ⊂ ω+ (x) \ γ+ (z) mit yk → y¯ ∈ γ+ (z), da ω+ (x) zusammenh¨angend ist. W¨ahle erneut eine ¯ durch y¯. Wieder gilt ω+ (x) ∩ L ¯ = {¯ Transversale L y} nach Korollar 9.1.6, aber ¯ ∩ ω+ (x), aus Proposition 9.1.3 folgt, dass es |tk | ≤ 1 gibt, sodass x(tk , yk ) ∈ L also x(tk , yk ) = y¯ ∈ γ+ (z) gilt. Aus der Eindeutigkeit der L¨osungen folgt aber x(tk , yk ) ∈ ω(x)\ γ(z), was einen Widerspruch bedeutet. Daher ist ω+ (x) = γ+ (z). Wir notieren das folgende wichtige Korollar 9.2.3. Sei ∅ = K ⊂ G kompakt, K ∩ E = ∅ und γ+ (x) ⊂ K. Dann besitzt (9.1) mindestens eine periodische L¨osung in K. An diesem Korollar ist bemerkenswert, dass man keine weiteren topologischen Eigenschaften wie etwa Konvexit¨ at von K braucht; vgl. Satz 7.3.5. F¨ ur den Fall, dass ω+ (x) h¨ ochstens endlich viele Equilibria enth¨alt, ergibt sich das folgende Bild. Satz 9.2.4. Sei K ⊂ G kompakt, γ+ (x) ⊂ K und K ∩ E endlich. Dann gelten die Alternativen: 1. ω+ (x) = {x∞ } f¨ ur ein x∞ ∈ E. 2. ω+ (x) ist ein periodisches Orbit. 3. ω+ (x) besteht aus endlich vielen Equilibria und außerdem aus (m¨ oglicherweise unendlich vielen) Orbits, die f¨ ur t → ±∞ gegen eines dieser Equilibria konvergieren. Beweis. Da nach Voraussetzung K ∩ E endlich ist, gibt es h¨ochstens endlich viele Equilibria in ω+ (x). Gilt ω+ (x) ⊂ E, dann ist ω+ (x) = {x∞ } einpunktig, da zusammenh¨angend; dies ist Alternative 1. Gibt es nun x1 ∈ ω+ (x) \ E, so ist dieses x1 Anfangspunkt eines vollst¨andigen Orbits γ(z) ⊂ ω+ (x), da diese Menge invariant ist. ω+ (z) ist ebenfalls nichtleer; wir nehmen an es gibt ein y ∈ ω+ (z) \ E. W¨ ahle eine Transversale L durch y. Nach Korollar 9.1.6 ist einerseits ω+ (x) ∩ L = {y}, andererseits L ∩ γ+ (z) = ∅, woraus mit Lemma 9.2.1 folgt, dass z ein periodisches Orbit ist. Wie im Beweis von Satz 9.2.2 folgt nun ω+ (x) = γ+ (z); dies ist Alternative 2.

9.2. Poincar´e-Bendixson-Theorie

191

Im verbleibenden Fall hat jedes nichtkonstante Orbit γ(z) ⊂ ω+ (x) Grenzwerte x± ∞ ∈ ω+ (x) ∩ E; das ist die dritte Alternative. Vollst¨andige Orbits, die f¨ ur t → ±∞ Grenzwerte x± ∞ haben, heißen he− + + teroklin, falls x∞ = x∞ ist, und homoklin im Fall x− ∞ = x∞ . Ist insbesondere ω+ (x) ∩ E = {x∞ }, so besagt Satz 9.2.4, dass entweder ω+ (x) = {x∞ } ist, oder ω+ (x) zus¨atzlich nur – m¨ oglicherweise mehr als ein – homokline Orbits mit Grenzwert x∞ enthalten kann. Homokline Orbits kann man als Grenzfall periodischer Orbits mit Periode ∞ ansehen. Ist ω+ (x) ∩ E nicht diskret, so kann ω+ (x) ⊂ E gelten, ohne dass x(t) einen Grenzwert besitzt; vgl. Beispiel 2 in Abschnitt 8.8. Beispiel 1. Der Brusselator von Prigogine und Nicolis. Das System ) u˙ = a − bu + u2 v − u, v˙ = bu − u2 v,

(9.4)

wurde vom Nobelpreistr¨ ager I. Prigogine zusammen mit dem Mathematiker G. Nicolis verwendet um Mechanismen biologischer Strukturbildung zu erl¨autern. Hier wollen wir lediglich zeigen, dass dieses System f¨ ur Parameterwerte b > 1 + a2 , a > 0, periodische L¨ osungen besitzt. Sei G = R2 . Zun¨ achst sind sowohl der Standardkegel R2+ als auch dessen 2 Inneres int R+ positiv invariant, da f1 (0, v) = a > 0 ist, und f2 (u, 0) = bu ≥ 0 f¨ ur u ≥ 0 gilt, sowie > 0 falls u > 0 ist. Das einzige Equilibrium des Systems ist (u∗ , v∗ ) = (a, b/a) ∈ int R2+ . Die Linearisierung A = f (u∗ , v∗ ) ergibt die Matrix b − 1 a2 A= . −b −a2 Es ist also sp A = b − 1 − a2 > 0 und detA = a2 > 0. Daher ist das Equilibrium (u∗ , v∗ ) f¨ ur 1 + a2 < b < (1 + a)2 eine instabile Spirale und f¨ ur b > (1 + a)2 ein 2 instabiler Knoten; f¨ ur b = (1 + a) ist es ein falscher Knoten. Da das Equilibrium (u∗ , v∗ ) f¨ ur b > 1+a2 in negativer Zeitrichtung asymptotisch stabil ist, ist die Kugel ¯ r (u∗ , v∗ ) nach Satz 8.1.4 bez¨ B uglich der Norm | · |Q negativ invariant, sofern r > 0 ¯r (u∗ , v∗ ) bez¨ klein genug ist und das Vektorfeld f zeigt auf ∂ B uglich der Norm | · |Q strikt nach außen. Wir k¨ onnen deshalb den Schluss ziehen, dass im Fall b > 1 + a2 keine nichttriviale L¨ osung gegen dieses Equilibrium konvergiert. Man beachte außerdem, dass die instabile Mannigfaltigkeit zweidimensional ist, also eine Umgebung des Equilibriums (u∗ , v∗ ) enth¨alt (vgl. auch Kapitel 10). Um die Existenz einer periodischen L¨osung zu zeigen, konstruieren wir zun¨achst eine positiv invariante Menge K = {(u, v) ∈ R2+ : u + v ≤ α, v − u ≤ β}, mit α, β ≥ 0 wie folgt; vgl. Abb. 9.2. Sei (u, v) ∈ ∂K mit u + v = α; dann ist y1 = [1, 1]T ein Normalenvektor in diesen Punkten, und es gilt (f (u, v)|y1 ) = a − u ≤ 0, sofern u ≥ a ist. Gilt andererseits (u, v) ∈ ∂K mit v − u = β, so sollte u ≤ a

192

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme v

v 5

4

4

3

3

2

2

1

1

u 1

2

3

4

5

u 1

2

3

4

5

Abbildung 9.2: Brusselator mit a = 1, b = 1, bzw. b = 3 gelten. Dann ist in diesem Fall y2 = [−1, 1]T ein Normalenvektor, und es gilt (f (u, v)|y2 ) = (u − a) + 2u(b − uv) ≤ 2u(b − uv) ≤ 0, sofern b ≤ uv ist. Weiter gilt (f (u, v)|y2 ) ≤ u−a+2bu = (1+2b)u−a ≤ 0, falls u ≤ a/(1+2b) gilt. Ist v = u+β, so gilt uv ≥ b, falls u ≥ b/β. Dies f¨ uhrt auf die Bedingung b/β ≤ a/(1 + 2b). W¨ahlt man nun zun¨achst β so groß, dass β ≥ b(1 + 2b)/a ist, und dann α = 2a + β, so ist K ⊂ G positiv invariant. Da K ⊂ G kompakt ist, folgt die Beschr¨anktheit aller L¨osungen, die in K starten. Deren Limesmengen sind in K \ {(u∗ , v∗ )} enthalten, also gilt nach Satz 9.2.2, dass ω(x) ⊂ K ein periodisches Orbit ist. Dieses bildet eine geschlossene doppelpunktfreie C 1 -Kurve, welche die Ebene in ein Innengebiet Gi und ein Außengebiet Ga zerteilt. Wir werden sp¨ater sehen, dass das Innengebiet Gi das Equilibrium enth¨ alt, die periodische L¨osung also das Equilibrium umkreist. Man beachte auch, dass die positive Invarianz von K f¨ ur β → ∞ globale Existenz nach rechts, aller in R2+ startenden L¨ osungen ergibt. Beispiel 2. Ein homoklines Orbit ; vgl. Abb. 9.3. Das System ) x˙ = x + xy − (x + y)(x2 + y 2 )1/2 , y˙ = y − x2 + (x − y)(x2 + y 2 )1/2 ,

(9.5)

lautet in Polarkoordinaten r˙ = r(1 − r),

φ˙ = r(1 − cos φ).

Es besitzt genau zwei Equilibria, (0, 0) ist ein instabiler echter Knoten, und (1, 0) hat den stabilen Eigenwert −1 mit Eigenvektor e1 , und den Eigenwert 0 mit Eigenvektor e2 . Der Einheitskreis bildet ein homoklines Orbit. Weitere homokline Orbits k¨onnen wegen der Monotonie der Funktion r(t) f¨ ur r(0) ∈ / {0, 1} nicht existieren. Ebenso sieht man, dass es keine periodischen Orbits gibt. Aus Satz 9.2.4 folgt daher, dass ω+ (x0 , y0 ) f¨ ur jeden Startwert (x0 , y0 ) = (0, 0) entweder nur aus dem Equilibrium (1, 0) besteht oder zus¨ atzlich aus dem homoklinen Orbit. Letzte˙ > 0 gilt, solange φ(t) = 2kπ, k ∈ Z. Somit res ist allerdings nicht der Fall, da φ(t) konvergieren alle L¨ osungen mit Anfangswert = (0, 0) f¨ ur t → ∞ gegen das Equi-

9.3. Periodische L¨osungen

193

librium (1, 0). Es ist daher ein globaler Attraktor in R2 \ {(0, 0)}, aber aufgrund des homoklinen Orbits ist (1, 0) instabil. y 2 1

2

x

1

1

2

1 2

Abbildung 9.3: Ein homoklines Orbit

9.3 Periodische Lo ¨sungen In diesem Abschnitt wollen wir uns mit Kriterien f¨ ur Existenz oder Nichtexistenz periodischer L¨ osungen f¨ ur (9.1) befassen, die auf der Poincar´e-Bendixson-Theorie beruhen, aber auch andere Argumente verwenden. Abgesehen von gradientenartigen Systemen, die nach Satz 8.6.2 in keiner Dimension nichttriviale periodische L¨ osungen besitzen, ist das bekannteste Kriterium f¨ ur Nichtexistenz das Negativ-Kriterium von Bendixson, welches wir nun beweisen. Satz 9.3.1. Sei G einfach zusammenh¨angend, ρ ∈ C 1 (G; R), f ∈ C 1 (G; R2 ) und es gelte: Zu jeder oﬀenen Teilmenge ∅ = U ⊂ G gibt es eine oﬀene Teilmenge ∅ = V ⊂ U mit (N )

f¨ ur alle x ∈ V.

div(ρ(x)f (x)) > 0,

Dann besitzt (9.1) keine nichttrivialen periodischen L¨ osungen in G. Beweis. Angenommen, es g¨ abe eine nichtkonstante periodische L¨osung von (9.1) in G. Es sei Γ = γ+ (x) das Orbit dieser periodischen L¨osung; Γ berandet nach dem Jordanschen Kurvensatz das Innengebiet Gi von Γ. Da G einfach zusammenh¨angend ist, gilt Gi ⊂ G. Da der Rand Γ wenigstens aus C 1 ist, l¨asst sich der Gaußsche Integralsatz auf Gi anwenden. Es gilt daher 0< div(ρ(x)f (x))dx = ρ(x)(f (x)|ν(x))dΓ, Gi

Γ

wobei ν(x) das Feld der ¨ außeren Normalen an Γ bezeichnet. Nun ist das Vektorfeld f (x) tangential an Γ, da Γ das Orbit einer L¨osung von (9.1) ist, also gilt

194

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

(f (x)|ν(x)) = 0 f¨ ur alle x ∈ Γ. Daher haben wir einen Widerspruch erhalten, d.h. (9.1) besitzt keine echte periodische L¨ osung. Beispiel 1. Als einfaches Beispiel betrachten wir die nichtlineare Schwingungsgleichung u ¨ + h(u)u˙ + g(u) = 0. Dabei seien g und h stetig diﬀerenzierbar auf R. Mit x = (x1 , x2 ) = (u, u) ˙ ist dieses Problem ¨aquivalent zu (9.1), wobei f (x) = [x2 , −h(x1 )x2 − g(x1 )]T ist. Equilibria sind die Punkte (u∗ , 0) mit g(u∗ ) = 0. Nun ist div f (x) = −h(x1 ) < 0, sofern die D¨ampfung h(u) f¨ ur alle u positiv ist. Satz 9.3.1 impliziert mit ρ ≡ −1, dass es keine nichttrivialen periodischen L¨ osungen geben kann. Beispiel 2. Der Brusselator. Wir hatten im vorhergehenden Abschnitt gesehen, dass der Brusselator f¨ ur b > 1 + a2 mindestens eine echte periodische L¨osung besitzt. Das Negativkriterium von Bendixson zeigt andererseits, dass es f¨ ur b ≤ 1 + a2 keine echten periodischen L¨ osungen geben kann. Denn es gilt div(ρ(x)f (x)) < 0,

x ∈ int R2+ , u = a,

1 ¨ wobei ρ(x) = u−2 e2( a −a)(u+v) , x = [u, v]T , ist; vgl. Ubung 9.9. Daher ist das Equilibrium (a, b/a) nach dem Satz von Poincar´e-Bendixson f¨ ur b ≤ 1 + a2 global attraktiv in R2+ und f¨ ur b < 1 + a2 sogar global asymptotisch stabil.

Ein weiteres negatives Kriterium, dass sich insbesondere auf Hamiltonsche Systeme (H) q˙ = ∂p H(q, p), p˙ = −∂q H(q, p), anwenden l¨asst, ist komplement¨ ar zu gradientenartigen Systemen. Man beachte, dass im Fall H ∈ C 2 die Identit¨ at div[∂p H(q, p), −∂q H(q, p)]T = 0 gilt. ˙ ≡ 0 auf G. Satz 9.3.2. Sei Φ ∈ C 1 (G; R) ein erstes Integral f¨ ur (9.1), d.h. es gilt Φ Φ sei auf keiner oﬀenen Teilmenge U von G konstant. Dann besitzt (9.1) keinen Grenzzyklus in G. Man beachte, dass dieser Satz keine Aussagen u ¨ ber periodische L¨osungen macht, sondern nur u ¨ber Grenzzyklen. Der harmonische Oszillator x¨ + x = 0 hat nur periodische L¨ osungen, aber keinen Grenzzyklus. Beweis. Angenommen, Γ = ω+ (x0 ) ⊂ G w¨are ein Grenzzyklus; setze x(t) := x(t, x0 ). Sei K ⊂ G eine kompakte Umgebung von Γ, die kein Equilibrium enth¨alt. Da dist(x(t), Γ) → 0 f¨ ur t → ∞ gilt, ist x(t) ∈ K f¨ ur t ≥ t0 , sofern t0 groß genug gew¨ahlt ist. W¨ ahle eine Transversale L durch einen Punkt y ∈ Γ, und sei x(t1 ), x(t2 ) ∈ L mit t2 > t1 ≥ t0 zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkte der

9.4. Lienard-Gleichung

195

L¨osung x(t) mit L. Deﬁniere D als den Bereich der durch Γ, die Transversale L und durch den Kurvenbogen x[t1 , t2 ] berandet wird. Dann ist D ⊂ K kompakt und positiv invariant f¨ ur (9.1). Nach dem Satz von Poincar´e-Bendixson haben alle L¨osungen, die in D starten, den Grenzzyklus Γ als Limesmenge. Da Φ entlang L¨osungen konstant ist, gilt nun Φ(x) = Φ(y) f¨ ur alle x ∈ D; da aber int D = ∅ ist, ergibt dies einen Widerspruch zur Annahme, dass Φ auf keiner oﬀenen Menge konstant ist. Das Argument im Beweis von Satz 9.3.2 zeigt, dass ein Grenzzyklus wenigstens “einseitig“ als Menge asymptotisch stabil ist. Ein positives Kriterium f¨ ur die Existenz eines Grenzzyklus haben wir bereits im Beispiel des Brusselators kennengelernt. Wir formulieren es allgemeiner als Satz 9.3.3. Sei f ∈ C 1 (G; R2 ), K ⊂ G kompakt und positiv invariant, und gelte K∩ E = {x∗ } mit Re σ(f (x∗ )) > 0. Dann besitzt (9.1) mindestens einen Grenzzyklus in K. Beweis. Da x∗ in negativer Zeitrichtung asymptotisch stabil ist, ist die Kugel ¯ r (x∗ ) bzgl. der Norm |·|Q aus Satz 8.1.4 negativ invariant, das Vektorfeld f zeigt B auf ∂Br (x∗ ) bez¨ uglich der Norm | · |Q strikt nach außen, sofern r > 0 hinreichend klein ist. Daher ist die Menge D := K \ Br (x∗ ) positiv invariant und auf ∂Br (x∗ ) startende L¨osungen sind nicht periodisch. Satz 9.2.2 impliziert die Behauptung.

9.4 Lienard-Gleichung Lienard-Gleichung nennt man eine Gleichung der Form (L) x¨ + h(x)x˙ + g(x) = 0. Dabei sind die h, g : R → R aus C 1 . Wir setzen x x H(x) = h(s)ds, G(x) = g(s)ds, 0

x ∈ R.

0

Die auf den ersten Blick unkonventionelle Transformation y = x˙ + H(x) u uhrt ¨berf¨ (L) in das System ) x˙ = y − H(x), (LT ) y˙ = −g(x). Die Equilibria von (L) bestehen aus Punkten der Form (x∗ , 0), die Equilibria f¨ ur (LT) sind von der Form (x∗ , H(x∗ )), wobei in beiden F¨allen g(x∗ ) = 0 gilt. Typischerweise ist g(x) eine R¨ uckstellkraft, die das System in die triviale Gleichgewichtslage x = 0, also (0, 0) f¨ ur (LT) bringen will. Daher sind die folgenden Annahmen f¨ ur g(x) sinnvoll: (G1) g(x)x > 0 f¨ ur alle x = 0,

196

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

(G2) G(x) → ∞ f¨ ur |x| → ∞. Dann ist oﬀenbar E = {(0, 0)}. Als Ljapunov-Funktion w¨ahlen wir den Ansatz V (x, y) = 12 y 2 + G(x). Oﬀenbar ist V aufgrund von (G1) positiv deﬁnit, und es gilt V (x, y) → ∞ f¨ ur x2 + y 2 → ∞, wegen (G2), also ist V koerziv. F¨ ur V˙ ergibt sich die Beziehung 1 V˙ (x, y) = −g(x)H(x) = −(xg(x)) · H(x), x folglich gilt V˙ (x, y) ≤ 0 genau dann, wenn xH(x) ≥ 0 ist. Die Linearisierung von (LT) im Equilibrium (0, 0) ergibt die Matrix −h(0) 1 A= , −g (0) 0 also sp A = −h(0), und det A = g (0). Daher ist (0, 0) kein Sattelpunkt des Systems (LT), falls wir zus¨ atzlich g (0) > 0 annehmen. Der Reibungskoeﬃzient hat in Anwendungen typischerweise die Eigenschaft (HS) xH(x) > 0,

x ∈ R, x = 0,

oder er erf¨ ullt (H)

h(0) < 0,

xH(x) > 0,

f¨ ur alle |x| ≥ a.

Das Verhalten des Systems (LT) ist in diesen F¨allen wesentlich verschieden. Wir setzen zun¨ achst (HS) voraus, d.h. es liegt stets D¨ampfung vor. Dann gilt V˙ ≤ 0 auf R2 , also ist (0, 0) nach Satz 8.3.3 stabil. Alle L¨osungen existieren global und sind beschr¨ ankt, da V koerziv ist. Nun ist V˙ (x, y) = 0 genau dann, wenn x = 0 ist. Dann ist aber x˙ = y = 0 mit Ausnahme des Equilibriums (0, 0), daher ist V in diesem Fall eine strikte Ljapunov-Funktion. Also ist das System (LT) gradientenartig, und mit Satz 8.6.2 konvergiert jede L¨osung gegen das triviale Equilibrium. Sei nun (H) erf¨ ullt. Dann gilt sp A = −h(0) > 0, also ist das Equilibrium (0, 0) instabil, genauer ein instabiler Knoten oder eine instabile Spirale. Wir wollen Satz 9.3.3 anwenden. Dazu besteht die Hauptarbeit darin, eine kompakte positive invariante Menge zu ﬁnden. Dann impliziert Satz 9.3.3 die Existenz eines Grenzzyklus. Zun¨achst sei bemerkt, dass das Vektorfeld f (x, y) = [y − H(x), −g(x)]T f¨ ur x = 0 horizontal ist, es ist f¨ ur y > 0 nach rechts und f¨ ur y < 0 nach links gerichtet. F¨ ur x = a > 0 gilt H(a) > 0 und g(a) > 0, also liegt f (a, y) im 4. Quadranten falls y > H(a) und im 3. Quadranten f¨ ur y < H(a). Analog gilt f¨ ur x = −a < 0 H(−a) < 0 und g(−a) < 0, d.h. f (−a, y) liegt im 1. Quadranten f¨ ur y > H(−a) und im 2. Quadranten wenn y < H(−a) ist. Damit zeigt das Vektorfeld in den vertikalen Streifen −a < x < a hinein, wenn x = a und y < H(a) bzw. x = −a und y > H(−a) gelten, ansonsten zeigt es aus dem Streifen hinaus.

9.4. Lienard-Gleichung

197 y

y

Abbildung 9.4: van der Pol Oszillator mit μ = 1 und μ = 3 (i) Wir setzen c0 = sup |g(x)|, |x|≤a

c1 = sup |H(x)|, |x|≤a

ﬁxieren ein R > c1 , und betrachten die in (0, R) startende L¨osung von (LT). Aufgrund von 0 ≥ y(t) ˙ ≥ −c0 folgt R ≥ y(t) ≥ R−c0 t, f¨ ur t ≥ 0, jedenfalls solange x(t) ≤ a gilt. Daher ist y(t) ≥ c1 , solange t ≤ t∗ := (R − c1 )/c0 ist. Andererseits gilt x(t) ˙ ≥ y(t) − c1 ≥ R − c1 − c0 t, solange x(t) ≤ a ist, und f¨ ur solche t ist x(t) ≥ (R − c1 )t − c0 t2 /2. Die rechte Seite dieser Ungleichung hat f¨ ur t = t∗ ein Maximum, dessen Wert (R − c1 )2 /(2c0 ) betr¨agt. Gilt daher a < (R − c1 )2 /(2c0 ), so erreicht x(t) nach dem Zwischenwertsatz den Wert a f¨ ur ein t = t1 (R) ∈ (0, t∗ ). Setzt man nun z = t1 (R)/(R − c1 ), so folgt a/(R − c1 )2 ≥ z − c0 z 2 /2, und mit z ≤ t∗ /(R − c1 ) = 1/c0 gilt daher t1 (R)/(R − c1 ) → 0 mit R → ∞. Deshalb gibt es zu jedem η > 0 ein R(η) > c1 mit t1 (R) ≤ η(R − c1 ) f¨ ur alle R ≥ R(η). Es folgt R ≥ y(t1 (R)) ≥ R − c0 t1 (R) ≥ R − ηc0 (R − c1 ),

f¨ ur R ≥ R(η).

Aus dieser Absch¨ atzung folgt leicht R ≥ y(t1 (R)) > c1 ≥ H(a), falls η ∈ (0, 1/c0 ) gilt. Die L¨ osung bleibt also oberhalb der Schaltkurve y = H(x). Das gleiche Argument l¨ asst sich auf die in (0, −R) startende L¨osung anwenden, und ebenso gilt es f¨ ur negative Zeiten. Diese L¨osungen f¨ ur R = R(η) liefern den oberen und unteren Rand der gesuchten Menge K. (ii) Als n¨ achstes betrachten wir die L¨osung mit Anfangswert (x(0), y(0)) = (a, R), R > c1 . Diese startet in den Bereich x ≥ a hinein. Dort ist V eine LjapunovFunktion, also ist ϕ(t) := V (x(t), y(t)) ≤ V (a, R). Wir behaupten, dass es ein erstes t2 (R) > 0 gibt mit x(t2 ) = a, die L¨ osung kehrt also in den Streifen |x| ≤ a zur¨ uck. W¨are dies nicht der Fall, so w¨ urde x(t) > a f¨ ur alle Zeiten gelten, die

198

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

L¨osung ist aber beschr¨ ankt, besitzt daher eine nichttriviale Limesmenge, welche nach dem Satz von Poincar´e-Bendixson ein periodisches Orbit sein m¨ usste. Dies kann aber nicht sein, da y(t) in x ≥ a streng fallend ist. Daher gibt es dieses erste t2 (R) mit x(t) > a in (0, t2 (R)) und x(t2 (R)) = a. (iii) Oﬀenbar muss y(t2 (R)) ≤ H(a) gelten, aufgrund von x(t ˙ 2 (R)) ≤ 0. Wir wollen y(t2 (R)) ≥ −R + δ zeigen. Allerdings ben¨otigen wir daf¨ ur die folgende Zusatzannahme: (H ) lim|x|→∞ |H(x)| =: H∞ > 0. Nun gilt t2 1 1 2 2 y(t2 ) − R = ϕ(t2 ) − ϕ(0) = ϕ(t)dt ˙ 2 2 0 t2 =− g(x(t))H(x(t))dt = − 0

R

H(x(y))dy.

y(t2 )

Die Zusatzannahme (H ) in Verbindung mit (H) ergibt H(x) ≥ δ0 f¨ ur x ≥ a. Daraus folgt

R

y(t2 )2 − R2 = −2

H(x(y))dy ≤ −2δ0 (R − y(t2 )), y(t2 )

also y(t2 ) ≥ −R + 2δ0 . W¨ ahlt man also δ < 2δ0 so folgt die Behauptung. Analog geht man an der linken Seite des Streifens vor. (iv) Die kompakte Menge ist nun die von diesen 4 L¨osungen und 4 vertikalen Segmenten berandete Menge; vgl. Abb. 9.4. Man beachte, dass auf diesen Segmenten, also z.B. S1 = {(a, y) : R ≥ y ≥ x(t1 (R))}, das Vektorfeld f nach K hinein zeigt, da dort y > H(a) gilt. Die Konstruktion ist abgeschlossen, und Satz 9.3.3 ergibt das folgende Resultat: Satz 9.4.1. Es seien g, h ∈ C 1 (R; R) mit den folgenden Eigenschaften:. (G0 )

g (0) > 0,

xg(x) > 0 f¨ ur alle x = 0,

(H0 )

h(0) < 0,

xH(x) > 0 f¨ ur alle |x| > a,

lim G(x) = ∞.

|x|→∞

lim|x|→∞ |H(x)| > 0.

Dann besitzt die Lienard-Gleichung (L) mindestens einen Grenzzyklus. F¨ ur g(x) = x und h(x) = μ(x2 − 1) (μ > 0) heißt (L) van-der-Pol-Gleichung. Oﬀensichtlich sind die Voraussetzungen (G0 ) und (H0 ) in diesem Fall erf¨ ullt.

9.5. Biochemische Oszillationen

199

9.5 Biochemische Oszillationen Diﬀerentialgleichungen der folgenden Form treten in der Modellierung gewisser biochemischer Systeme auf. u˙ = ν − f (u, v), v˙ = ην − μv + f (u, v),

(9.6)

wobei ν, μ, η > 0 Konstanten sind, und f ∈ C 1 (R2 ; R2 ) die folgenden Eigenschaften hat: ∂u f (u, v) > 0, f (0, v) ≤ 0,

∂v f (u, v) > 0,

u, v > 0;

f (u, 0) ≥ 0,

u, v ≥ 0.

(9.7)

Da nach Voraussetzung f lokal Lipschitz ist, erzeugt (9.6) einen lokalen Fluss in R2 . Die zweite Bedingung in (9.7) stellt sicher, dass der Standardkegel R2+ positiv invariant ist. Denn ist u = 0, so folgt u˙ = ν − f (0, v) > 0, und ebenso impliziert v = 0 die Ungleichung v˙ = ην + f (u, 0) > 0, das Positivit¨atskriterium ist also erf¨ ullt. Um nun globale Existenz der L¨ osungen nach rechts zu zeigen, gen¨ ugt es, Anfangswerte u0 > 0, v0 > 0 zu betrachten, da jede auf dem Rand von R2+ startende L¨osung sofort ins Innere des Standardkegels strebt. Wir konstruieren nun f¨ ur 0 < ε < ην/μ und R > 0 eine Familie von Mengen Dε,R ⊂ R2+ wie folgt; man fertige dazu eine Skizze an. Zun¨ achst sei uε als L¨osung von ν = f (u, ε) deﬁniert. Dazu nehmen wir ν < limu→∞ f (u, v) f¨ ur jedes v > 0 an. Da f (0, ε) ≤ 0 und f (·, ε) streng wachsend ist, existiert uε und ist eindeutig bestimmt. Beginne mit der horizontalen Geraden (u, ε) f¨ ur 0 ≤ u ≤ R und R ≥ uε . Auf dieser Strecke ist das Vektorfeld (ν − f (u, v), ην − μv + f (u, v)) nach oben gerichtet. Dann folgen wir der Vertikalen (R, v) von v = ε bis v = v∗ = (1 + η)ν/μ. Auf Grund der Monotonie von f gilt auf dieser Strecke ν − f (u, v) ≤ ν − f (uε , ε), also zeigt das Vektorfeld nach links. Danach folgen wir der Geraden u + v = c, mit c = R + (1 + η)ν/μ bis zum Schnittpunkt mit der Ordinate, also (0, c). Durch Addition der Komponenten des Vektorfeldes erh¨ alt man auf dieser Strecke (1+η)ν −μv ≤ 0, da hier v ≥ v∗ gilt. Also zeigt das Vektorfeld auch auf dieser Strecke in Dε,R hinein. Schließlich folgt man der Vertikalen von (0, c) zur¨ uck zum Ausgangspunkt. Auf diese Weise haben wir beschr¨ankte, konvexe und abgeschlossene Teilmengen von R2+ konstruiert, die positiv invariant f¨ ur (9.6) sind. Durch geeignete Wahl von ε > 0 und R > 0 kann man nun f¨ ur den Anfangswert (u0 , v0 ) ∈ Dε,R erreichen, die zugeh¨orige L¨osung bleibt in Dε,R , ist also nach rechts beschr¨ ankt und existiert damit auch global nach rechts. Als n¨achstes berechnen wir die Equilibria (u∗ , v∗ ) von (9.6). Durch Addition der Gleichungen ergibt sich v∗ = (1 + η)ν/μ > 0. Das entsprechende u∗ ist L¨osung von f (u, v∗ ) = ν. Da f (·, v∗ ) streng wachsend und f (0, v∗ ) ≤ 0 ist, gibt es genau eine L¨osung u∗ dieser Gleichung, sofern ν < limu→∞ f (u, v∗ ) gilt.

200

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

Die Stabilit¨ at dieses Equilibriums bestimmt man wie immer mittels Linearisierung A der rechten Seite von (9.6) in (u∗ , v∗ ). Dies f¨ uhrt auf die Matrix −∂u f (u∗ , v∗ ) −∂v f (u∗ , v∗ ) A= . ∂u f (u∗ , v∗ ) ∂v f (u∗ , v∗ ) − μ Die Determinante von A ist det A = μ∂u f (u∗ , v∗ ) > 0, und f¨ ur die Spur ergibt sich sp A = ∂v f (u∗ , v∗ ) − ∂u f (u∗ , v∗ ) − μ. Daher ist (u∗ , v∗ ) kein Sattelpunkt, sondern eine (stabile oder instabile) Spirale bzw. ein (stabiler oder instabiler) Knoten. Da jede in einem Punkt (u0 , v0 ) ∈ R2+ startende L¨osung in R2+ bleibt und nach rechts beschr¨ ankt ist, ist ihre Limesmenge ω+ (u0 , v0 ) nichtleer, und triﬀt den Rand von R2+ nicht, da sie invariant ist. (9.6) besitzt genau ein Equilibrium, also gilt nach dem Satz von Poincar´e-Bendixson entweder ω+ (u0 , v0 ) = {(u∗ , v∗ )} oder ω+ (u0 , v0 ) ist ein periodisches Orbit. Ein homoklines Orbit kommt hier nicht in Frage, da dann (u∗ , v∗ ) ein Sattelpunkt sein m¨ usste. Insbesondere existiert im Fall sp A > 0 mindestens eine periodische L¨ osung, und jede L¨osung (ausgenommen das Equilibrium (u∗ , v∗ )) konvergiert f¨ ur t → ∞ gegen eine periodische L¨osung. Damit hat das System in diesem Fall oszillatorisches Verhalten. Wir fassen zusammen. Satz 9.5.1. Es seien ν, μ, η > 0 Konstanten. Das Vektorfeld f ∈ C 1 (R2 ; R2 ) erf¨ ulle die Bedingungen limu→∞ f (u, v) > ν f¨ ur alle v > 0, und ∂u f (u, v) > 0, ∂v f (u, v) > 0, u, v > 0; f (0, v) ≤ 0, f (u, 0) ≥ 0, u, v ≥ 0.

(9.8)

Dann erzeugt das System (9.6) einen globalen Halbﬂuss auf R2+ . Es existiert genau ein Equilibrium (u∗ , v∗ ) ∈ R2+ , und es ist u∗ , v∗ > 0. Sei γ∗ := ∂v f (u∗ , v∗ ) − ∂u f (u∗ , v∗ ) − μ. Ist γ∗ < 0, so ist (u∗ , v∗ ) asymptotisch stabil, f¨ ur γ∗ > 0 hingegen instabil. Im Falle γ∗ > 0 konvergiert jede L¨ osung in R2+ gegen ein periodisches Orbit (nat¨ urlich mit Ausnahme des Equilibriums). Wir betrachten zum Abschluss zwei Beispiele. (a) f (u, v) = uv 2 ; dies ist ein vereinfachtes Sel’kov-Modell. Hier haben wir μ2 ν u∗ = , v∗ = (1 + η) , (1 + η)2 ν μ

9.6. Der Index isolierter Equilibria

201

und γ∗ = 2u∗ v∗ − v∗2 − μ = μ

1−η ν2 − (1 + η)2 2 . 1+η μ

F¨ ur η ≥ 1 ist γ∗ < 0, aber f¨ ur η < 1 ist γ∗ > 0 genau dann, wenn μ3 > ν 2 (1 + 3 η) /(1 − η) erf¨ ullt ist. Abb. 9.5 zeigt das Phasendiagramm f¨ ur dieses Modell. v

v 2.0

2.0

1.5

1.5

1.0

1.0

0.5

0.5 u

u 0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Abbildung 9.5: Biochemischer Oszillator (b) f (u, v) = u(1+v)2 ; diese Funktion tritt im Goldbeter–Lefever-Modell auf. Da f (u, 0) > 0 ist, kann man hier auch den Fall η = 0 betrachten. Dann sind u∗ =

νμ2 , (μ + ν)2

und γ∗ = μ

v∗ =

ν , μ

ν − μ (μ + ν)2 − . μ+ν μ2

F¨ ur ν ≤ μ ist hier γ∗ < 0, f¨ ur ν > μ ist γ∗ > 0 genau dann, wenn (1 + ν/μ)3 < μ(ν/μ − 1) gilt.

9.6 Der Index isolierter Equilibria Sei f ∈ C 1 (G; R2 ). Ist a ∈ R2 , a = 0, so deﬁnieren wir ϕ(a) als den Winkel den a mit e1 = [1, 0]T bildet. Sei nun Γ ⊂ G \ E eine rechts-orientierte C 1 -Jordan-Kurve, also geschlossen und doppelpunktfrei. Wir deﬁnieren den Index von f bzgl. Γ als ¨ die Anderung des normierten Winkels ϕ(f2π(x)) bei einem Umlauf l¨angs der Kurve Γ: 1 1 1 d ind(f, Γ) := d(ϕ ◦ f ) = ϕ(f (σ(s))ds, (9.9) 2π Γ 2π 0 ds wobei σ : [0, 1] → R2 eine C 1 -Parametrisierung von Γ bezeichnet. Hierbei ist die Funktion x → ϕ(f (x)) als stetig anzusehen, der Winkel ϕ(f (x)) kann also beliebige Werte in R annehmen. Mit anderen Worten: Der Index von f bzgl. Γ ist die Windungszahl der Kurve f (Γ) um 0.

202

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

Lemma 9.6.1. Sei f ∈ C 1 (G; R2 ), Γ ⊂ G\E eine C 1 -Jordan-Kurve mit Innengebiet Ω ⊂ G, und sei Ω ∩ E = ∅. Dann ist ind(f, Γ) = 0. Beweis. Ist f1 (x) > 0, so ist ϕ(f (x)) = arctan

f2 (x) f1 (x)

+ 2kπ,

wobei k ∈ Z konstant ist, solange f1 (x) > 0 gilt. Es folgt d 1 d f2 f1 f˙2 − f˙1 f2 ϕ(f (σ(s))) = = 2 ds 1 + (f2 /f1 ) ds f1 f12 + f22 f1 ∂2 f2 − (∂2 f1 )f2 1 σ˙ 2 = 2 . 2 (∂ f )f − f ∂ f − σ ˙ f1 + f2 1 1 2 1 1 2 1 Diese Darstellung gilt auch in den anderen Bereichen, nicht nur f¨ ur f1 > 0. Damit folgt 1 1 d 1 ind(f, Γ) = ϕ(f (σ(s)))ds = (g(x)|ν(x))dσ, 2π 0 ds 2π Γ wobei ν(x) die ¨ außere Normale an Γ = ∂Ω, dσ das Linienelement auf Γ, und g(x) das Vektorfeld 1 f1 ∂2 f2 − (∂2 f1 )f2 g(x) = 2 (x) f1 + f22 (∂1 f1 )f2 − f1 ∂1 f2 bezeichnen. Der Divergenzsatz impliziert daher 1 1 ind(f, Γ) = (g(x)|ν(x))dσ = div g(x)dx = 0, 2π Γ 2π Ω da g aufgrund von f (x) = 0 in Ω wohldeﬁniert ist, und wie eine einfache Rechnung zeigt, g ∈ C 1 die Relation div g(x) = 0 in Ω erf¨ ullt, sofern f ∈ C 2 ist. Das 2 Lemma ist somit f¨ ur f ∈ C bewiesen. Da sich jedes f ∈ C 1 (G; R2 ) auf kompakten Teilmengen von G gleichm¨ aßig durch C 2 -Funktionen approximieren l¨asst, ist die Behauptung des Lemmas auch f¨ ur f ∈ C 1 richtig. Sei nun f nur noch stetig in G. Approximiere f durch eine Folge von C 1 Funktionen fk , gleichm¨ aßig auf kompakten Teilmengen von G. Dann gilt ind(fk , Γ) =

1 1 [ϕ(fk (σ(1))) − ϕ(fk (σ(0)))] → [ϕ(f (σ(1))) − ϕ(f (σ(0)))], 2π 2π

und dies ist unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Folge fk . Damit ist ind(f, Γ) f¨ ur alle f ∈ C(G; R2 ) mittels ind(f, Γ) =

1 [ϕ(f (σ(1))) − ϕ(f (σ(0)))] 2π

9.6. Der Index isolierter Equilibria

203

deﬁniert, sofern Γ ∩ E = ∅ ist. Hierbei bezeichnet σ : [0, 1] → R2 nach wie vor eine C 1 -Parametrisierung von Γ. Es ist klar, dass ind(f, Γ) Werte in Z annimmt und stetig von f abh¨ angt. Daher gilt Lemma 9.6.1 auch f¨ ur f ∈ C(G; R2 ). Schließlich beseitigen wir noch die Glattheitsannahme an Γ. Dazu sei Γ eine stetige Jordan-Kurve mit Γ ∩ E = ∅. Wir approximieren Γ von innen her durch eine Folge von C 1 -Jordan-Kurven Γk . Ist k ≥ k0 , mit k0 hinreichend groß, so ist ind(f, Γk ) wohldeﬁniert, und mit Lemma 9.6.1 unabh¨angig von k. Daher deﬁnieren wir ind(f, Γ) := ind(f, Γk ), k ≥ k0 . Lemma 9.6.1 bleibt so f¨ ur alle stetigen Jordan-Kurven und f ∈ C(G; R2 ) mit Γ ∩ E = ∅ richtig. Damit k¨ onnen wir nun den Index eines isolierten Equilibriums von (9.1) einf¨ uhren. Es sei x∗ ∈ E isoliert. W¨ ahle eine Jordan-Kurve Γ∗ um den Punkt x∗ , derart, dass kein weiteres Equilibrium innerhalb oder auf Γ∗ liegt, und setze ind(f, x∗ ) := ind(f, Γ∗ ). Diese Zahl heißt Index des isolierten Equilibriums x∗ von f . Aufgrund von Lemma 9.6.1 ist diese Deﬁnition unabh¨ angig von der speziellen Wahl von Γ∗ . Eine direkte Folgerung aus Lemma 9.6.1 und der Deﬁnition des Index ist das Korollar 9.6.2. Sei Γ ⊂ G \ E eine Jordan-Kurve mit Innengebiet Ω ⊂ G, und sei Ω ∩ E = {x1 , . . . , xm } endlich. Dann gilt ind(f, Γ) =

m

ind(f, xj ).

j=1

Der folgende Satz – Hopfscher Umlaufsatz genannt –, hat wichtige Konsequenzen f¨ ur periodische L¨ osungen von (9.1). Satz 9.6.3 (Hopfscher Umlaufsatz). Sei Γ ⊂ G\E eine C 1 -Jordan-Kurve, und gelte (f (x)|ν(x)) = 0 auf Γ, wobei ν(x) die ¨ außere Normale an Γ bezeichne. Dann gilt ind(f, Γ) = 1. Ist das Innengebiet von Γ in G enthalten, so gibt es dort mindestens ein Equilibrium. Beweis. Wir k¨ onnen o.B.d.A. |f (x)|2 = 1 auf Γ annehmen, und das Koordinatensystem so w¨ahlen, dass Γ im ersten Quadranten liegt, und die x-Achse im Punkt (a, 0) ber¨ uhrt. Sei die Parametrisierung x(s) von Γ u ¨ ber die Bogenl¨ange s, so orientiert, dass x(s) ˙ = f (x(s)) gilt, sowie x(0) = (a, 0) = x(l) ist; es gilt dann x(0) ˙ = [1, 0]T = e1 . Wir konstruieren ein Vektorfeld g(s, t) auf dem Dreieck T = {(s, t) : 0 ≤ s ≤ t ≤ l} wie folgt: ⎧ s ∈ [0, l] ⎨ g(s, s) = f (x(s)), g(0, l) = −e1 = [1, 0]T ⎩ x(t)−x(s) g(s, t) = |x(t)−x(s)| , s = t.

204

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

Das Vektorfeld g ist auf T stetig und verschwindet in keinem Punkt, denn es gilt |g(s, t)|2 = 1, f¨ ur alle (s, t) ∈ T . Daher gilt ind(g, ∂T ) = 0 nach Lemma 9.6.1. Die ¨ Anderung des Winkels zwischen g(s, s) = f (x(s)) und e1 von 0 nach le := [l, l]T , ¨ also ind(f, Γ), ist daher gleich der Anderung des Winkels entlang der Vertikalen ¨ von 0 nach le2 plus der Anderung l¨ angs der Horizontalen von le2 nach le. Sei θ(s, t) dieser Winkel. Es ist θ(0, 0) = 0 da g(0, 0) = x(0) ˙ = e1 ist. Da Γ im ersten ¨ Quadranten liegt, ist 0 ≤ θ(0, t) ≤ π, und θ(0, l) = π. Daher ist die Anderung l¨ angs der Vertikalen von (0, 0) nach (0, l) gleich π. Ebenso sieht man, dass l¨angs der Horizontalen von (0, l) nach (l, l) π ≤ θ(s, l) ≤ 2π ist, und θ(l, l) = 2π, da g(l, l) = x(l) ˙ = e1 ist. Daher ist ind(f, Γ) = 1. Wir formulieren nun die Konsequenzen des Hopfschen Umlaufsatzes f¨ ur das zweidimensionale autonome System (9.1). Satz 9.6.4. Sei Γ ⊂ G ein periodisches Orbit von (9.1) und sei ihr Innengebiet Ω ⊂ G. Dann gelten die folgenden Aussagen: 1. ind(f, Γ) = 1; 2. Ω ∩ E = ∅; 3. Ist E diskret, so ist Ω ∩ E = {x1 , . . . , xm } endlich, und es gilt m

ind(f, xj ) = 1.

j=1

Insbesondere gibt es im Innengebiet Ω von Γ mindestens ein Equilibrium. Beweis. 1. Da Γ = γ+ (x) ein periodisches Orbit von (9.1) ist, gilt x(t) ˙ = f (x(t)), d.h. Γ ist C 1 und f (x) ist tangential an Γ, sowie = 0. Der Hopfsche Umlaufsatz ergibt die Behauptung. 2. Lemma 9.6.1 zeigt, dass wenigstens ein Equilibrium von f im Innengebiet Ω von Γ liegen muss. 3. Es ist E ∩ Ω = E ∩ Ω kompakt. Da E diskret ist, gibt es zu jedem x∗ ∈ E eine Kugel Br∗ (x∗ ) die keine weiteren Equilibria enth¨alt. Da diese Kugeln E ∩ Ω u ugen bereits endlich viele, d.h. E ∩ Ω ist endlich. Die letzte ¨berdecken, gen¨ Behauptung folgt aus dem Hopfschen Umlaufsatz und aus Korollar 9.6.2. Als n¨achstes berechnen wir den Index eines nicht ausgearteten Equilibriums. Proposition 9.6.5. Sei f ∈ C 1 (G; R2 ) und sei x∗ ∈ E nicht ausgeartet, es gelte also det f (x∗ ) = 0. Dann ist ind(f, x∗ ) = sgn det f (x∗ ). Insbesondere gilt ind(f, x∗ ) = −1 genau dann, wenn x∗ ein Sattelpunkt ist. F¨ ur Knoten, Spiralen und Zentren gilt hingegen ind(f, x∗ ) = 1.

9.6. Der Index isolierter Equilibria

205

Beweis. Es sei o.B.d.A. x∗ = 0 und ε > 0 hinreichend klein gegeben. Mit A = f (0) ist f¨ ur |x| = r |τ Ax + (1 − τ )f (x)| = |Ax − (1 − τ )(Ax − f (x))| ≥ |Ax| − |Ax − f (x)| ≥ |A−1 |−1 r − εr > 0, sofern r > 0 hinreichend klein ist. Daher ist gτ (x) := τ Ax + (1 − τ )f (x) = 0 auf ∂Br (0). Da die Funktion ψ(τ ) := ind(gτ , ∂Br (0)) stetig ist und Werte in Z hat, folgt ψ(0) = ψ(1), also ind(f, 0) = ind(A·, 0). Daher gen¨ ugt es die lineare Abbildung Ax zu betrachten. F¨ ur das im Beweis von Lemma 9.6.1 deﬁnierte Vektorfeld g(x) erhalten wir det A x1 g(x) = . |Ax|22 x2 Folglich ist f¨ ur Γ = ∂Br (0) mit ν(x) = r−1 [x1 , x2 ]T r det A dσ det A dσ ind(A·, 0) = = . 2 2π 2π |x|2 =1 |Ax|22 Γ |Ax|2 Da ind(A·, 0) eine ganze Zahl ist und stetig in den Eintr¨agen aij von A, ist diese Zahl konstant, solange det A nicht das Vorzeichen wechselt. Ist nun det A > 0 und a11 a22 > 0, so ergibt a12 , a21 → 0 und a11 , a22 → sgn a11 den Index ind(A·, 0) = 1; gilt nun a11 a22 ≤ 0, dann ergibt a11 , a22 → 0 und a12 → sgn a12 , a21 → sgn a21 wiederum ind(A·, 0) = 1. Ebenso argumentiert man im Fall det A < 0, um dann ind(A·, 0) = −1 zu erhalten. Damit ist die Proposition bewiesen. Eine interessante Folgerung ist Korollar 9.6.6. Sei G ⊂ R2 oﬀen und einfach zusammenh¨ angend, f ∈ C 1 (G; R2 ) und es sei jedes Equilibrium x∗ ∈ E ein Sattelpunkt, es gelte also det f (x∗ ) < 0. Dann besitzt (9.1) keine periodische L¨ osung in G. Beweis. W¨are Γ ein periodisches Orbit, so w¨are ind(f, Γ) = 1 nach Satz 9.6.4. Nach Voraussetzung und mit dem Satz u ¨ ber inverse Funktionen ist E diskret, also folgt aus Satz 9.6.4 und Proposition 9.6.5 1 = ind(f, Γ) =

m j=1

ind(f, xj ) =

m

(−1) = −m < 0,

j=1

ein Widerspruch. Eine weitere Folgerung beinhaltet die Existenz eines Equilibriums.

206

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

Korollar 9.6.7. Sei G ⊂ R2 oﬀen und einfach zusammenh¨ angend, f ∈ C 1 (G; R2 ), und sei ∅ = K ⊂ G kompakt und positiv invariant. Dann besitzt (9.1) mindestens ein Equilibrium in G. Beweis. Sei x0 ∈ K; da K positiv invariant und kompakt ist, ist die Limesmenge ω+ (x0 ) nichtleer. Enth¨ alt sie kein Equilibrium, dann ist sie nach dem Satz von Poincar´e-Bendixson ein periodisches Orbit. Da G einfach zusammenh¨angend ist, liegt das Innengebiet dieses Orbits in G. Nach Satz 9.6.4 gibt es dort mindestens ein Equilibrium. ¨ Ubungen 1. Die Gleichung x ¨ + ax˙ + bx + cx3 = 0 heißt Duﬃng-Gleichung. Man zeige: (a) Ist a = 0, so gibt es keine periodische L¨ osung. (b) Ist a = 0, so gibt es keinen Grenzzyklus. 2. Die Gleichung x ¨ + μ(x2 − 1)x˙ + x = 0 heißt van-der-Pol-Gleichung. Man zeige, dass diese Gleichung f¨ ur μ ≥ 0 mindestens eine periodische L¨ osung besitzt. 3. Man zeige, dass Satz 9.4.1 im Falle g (0) = 0 richtig bleibt. Tipp: V (x) ist eine Ljapunov-Funktion nahe 0 f¨ ur den R¨ uckw¨ artsﬂuss. 4. Die Lienard-Gleichung besitzt genau eine periodische L¨ osung, falls zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen von Satz 9.4.1 die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: h(x) ist gerade, g(x) ungerade, H(x) < 0 f¨ ur 0 < x < a, H(x) > 0 f¨ ur x > a, und H(x) → ∞ wachsend f¨ ur a < x → ∞. 5. Erf¨ ullt H(x) die Bedingung (H0 ) aus Satz 9.4.1, so besitzt die Gleichung y¨+H(y)+y ˙ = 0 mindestens eine periodische L¨ osung. Tipp: Setzen Sie x = −y. ˙ 6. Seien f, g ∈ C(G; R2 ), Γ ⊂ G eine Jordan-Kurve, und gelte αf(x) + βg(x) = 0,

f¨ ur alle x ∈ Γ, α, β ≥ 0, (α, β) = (0, 0).

Dann sind ind(f, Γ) und ind(g, Γ) wohldeﬁniert und es gilt ind(f, Γ) = ind(g, Γ). 7. Sei Γ ⊂ G ein periodisches Orbit f¨ ur (9.1), f ∈ C 1 (G; R2 ), und sei x∗ ∈ Ω ⊂ G, dem Innengebiet von Γ, ein Sattelpunkt, also det f (x∗ ) < 0. Dann gibt es mindestens drei Equilibria von (9.1) in Ω. 8. F¨ uhren sie die Details im Torus-Beispiel aus Abschnitt 9.2 aus. Tipp: Approximationssatz von Kronecker. 9. Veriﬁzieren Sie die Bedingung div(ρ(x)f (x)) < 0 im Beispiel 2 in Abschnitt 9.3. 10. Zeigen Sie die Konvergenz der L¨ osungen in Beispiel 2 aus Abschnitt 9.2 mittels der Lojasiewicz-Technik.

Kapitel 10

Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten In diesem Kapitel untersuchen wir das Verhalten von L¨osungen der autonomen Diﬀerentialgleichung z˙ = f (z) (10.1) in der N¨ahe eines Equilibriums. Dazu sei G ⊂ Rn oﬀen, f ∈ C 1 (G; Rn ) und z∗ ∈ G mit f (z∗ ) = 0.

10.1 Sattelpunkte autonomer Systeme Wir nennen z∗ einen Sattelpunkt, falls die Matrix A = f (z∗ ) ∈ Rn×n keine Eigenwerte auf der imagin¨ aren Achse hat, aber jeweils mindestens einen mit positivem und negativem Realteil. W¨ ahle R > 0, sodass BR (z∗ ) ⊂ G gilt. Wir setzen wieder x = z − z∗ , h(x) = f (x + z∗ ) − f (z∗ )x, x ∈ BR (z∗ ) und betrachten das Verhalten der Gleichung x˙ = Ax + h(x) (10.2) in der N¨ahe von x∗ = 0, wobei A = f (z∗ ). Man beachte, dass nach Konstruktion h ∈ C 1 (BR (0); Rn ) und h(0) = h (0) = 0 gilt. Abb. 10.1 zeigt anschaulich, wie sich das Phasenportrait in der N¨ ahe des Sattelpunktes x∗ = 0 ¨andert, wenn man vom linearen Problem y˙ = Ay (10.3) zum nichtlinearen Problem (10.2) u ¨ bergeht. Die gesamten Trajektorien werden durch die Nichtlinearit¨ at h = h(x) verbogen, um so st¨arker, je weiter man sich vom Sattelpunkt entfernt. Die topologischen Eigenschaften des Flusses bleiben dabei allerdings erhalten. Dieses Verhalten ist nicht nur an den zweidimensionalen Fall gebunden, wie wir gleich sehen werden.

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_10, © Springer Basel AG 2010

208

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten y2

y2

1.0 1.0

0.5

0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

y1

1.0

0.5

0.5

1.0

0.5

1.0

y1

0.5

1.0

Abbildung 10.1: Linearer und nichtlinearer Sattelpunkt Dazu ben¨ otigen wir jedoch noch eine Bezeichnung. Der Morse-Index k ∈ N eines Sattelpunktes z∗ ∈ G von (10.1) wird durch die Anzahl der Eigenwerte von A = f (z∗ ) mit positivem Realteil (Vielfachheit mitgez¨ahlt) deﬁniert. Wir kommen nun zur genauen Beschreibung nichtlinearer Sattelpunkte. Der nachfolgende Satz ist dabei f¨ ur Equilibria von (10.1) formuliert. Satz 10.1.1. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f ∈ C 1 (G; Rn ) und sei z∗ ∈ G ein Sattelpunkt von (10.1). Setze Ms = {y ∈ G : z(t, y) existiert auf R+ und lim z(t, y) = z∗ }, t→∞

und Mu = {y ∈ G : z(t, y) existiert auf R− und

lim z(t, y) = z∗ }.

t→−∞

Ferner bezeichnen wir mit Xs bzw. Xu die von den stabilen bzw. instabilen Eigenwerten von A = f (z∗ ) aufgespannten Teilr¨ aume des Rn , deren Dimensionen durch dim Xs = n − k und dim Xu = k gegeben sind, wobei k der Morse-Index von z∗ ist. Dann gilt 1. Ms bzw. Mu sind C 1 -Mannigfaltigkeiten der Dimension n−k bzw. k, welche durch z∗ verlaufen, d.h. z∗ ∈ Ms ∩ Mu . 2. Die Tangentialr¨ aume von Ms bzw. Mu in z∗ sind Xs bzw. Xu ; insbesondere schneiden sich Ms und Mu in z∗ transversal. 3. Die Mannigfaltigkeiten Ms und Mu sind invariant bez¨ uglich (10.1). 4. Es gibt Zahlen 0 < δ ≤ ρ derart, dass f¨ ur alle y ∈ Bδ (z∗ ) gilt y∈ / Ms =⇒ |z(t, y) − z∗ | > ρ, f¨ ur mindestens ein t > 0, und y∈ / Mu =⇒ |z(t, y) − z∗ | > ρ, f¨ ur mindestens ein t < 0.

10.1. Sattelpunkte autonomer Systeme

209

Beweis. Es gen¨ ugt, alle Behauptungen f¨ ur die stabile Mannigfaltigkeit Ms zu beweisen, denn durch Zeitumkehr ergeben sich die entsprechenden Aussagen f¨ ur die instabile Mannigfaltigkeit Mu . Sei Ps die Projektion auf den Teilraum Xs l¨angs Xu , d.h. es gilt R(Ps ) = Xs und N (Ps ) = Xu ; ferner sei Pu = I − Ps . Dann existieren Konstanten M ≥ 1, η > 0, sodass die Absch¨atzungen |eAt Ps | ≤ M e−ηt und |e−At Pu | ≤ M e−ηt f¨ ur alle t > 0 gelten. Wir w¨ ahlen nun r > 0 so klein, dass die Absch¨atzung |h(x)| ≤

η |x|, 2M

f¨ ur |x| ≤ r

erf¨ ullt ist und zeigen zun¨ achst, dass Ms die C 1 -Eigenschaft in einer Kugel um z∗ ∈ G besitzt. Dazu betrachten wir die Integralgleichung t ∞ u(t) = eAt x + eA(t−s) Ps h(u(s))ds − eA(t−s) Pu h(u(s))ds, (10.4) 0

t

wobei x ∈ Xs ist. Um die Existenz einer L¨ osung von (10.4) zu sichern, verwenden wir den Satz u ¨ ber implizite Funktionen, den wir aus [25, Theorem 15.1, Corollary 15.1] zitieren. Satz 10.1.2 (¨ uber implizite Funktionen). Seien X, Y, Z Banach-R¨aume, U ⊂ X, V ⊂ Y Umgebungen von x0 ∈ X und y0 ∈ Y , F : U × V → Z stetig, und stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich y. Ferner gelte F (x0 , y0 ) = 0 und Fy−1 (x0 , y0 ) ∈ B(Z, Y ). Dann existieren Kugeln Bδ (x0 ) ⊂ U, Bρ (y0 ) ⊂ V und genau eine stetige Abbildung Φ : Bδ (x0 ) → Bρ (y0 ), sodass Φ(x0 ) = y0 und F (x, Φ(x)) = 0 f¨ ur alle x ∈ Bδ (x0 ) gilt. In Bδ (x0 ) × Bρ (y0 ) besitzt die Gleichung F (x, y) = 0 keine weiteren L¨ osungen. Gilt f¨ ur ein m ∈ N ∪ {∞, ω} zus¨ atzlich F ∈ C m (U × V), so ist m auch Φ ∈ C (Bδ (x0 )). Wir deﬁnieren einen Banachraum U durch U := {u ∈ C(R+ ; Rn ) : uη = sup |u(t)|eηt/2 < ∞}. t≥0

¨ Nach Ubung 10.1 ist die Abbildung H : Xs × BrU (0) → U , deﬁniert durch t ∞ At A(t−s) H(x, u)(t) = u(t) − e x − e Ps h(u(s))ds + eA(t−s) Pu h(u(s))ds 0

t

stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich (x, u) ∈ Xs × BrU (0). Es gilt Dx H(x, u)(t) = At −e Ps und f¨ ur v ∈ U ist t ∞ A(t−s) Du H(x, u)v(t) = v(t)− e Ps h (u(s))v(s)ds+ eA(t−s) Pu h (u(s))v(s)ds. 0

t

210

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

Insbesondere ist H(0, 0) = 0 und Du H(0, 0) = I, denn nach Voraussetzung gilt h(0) = h (0) = 0. Nach dem Satz u ¨ ber implizite Funktionen existieren nun ZahXs 1 U len δ > 0 und ρ ∈ (0, r), und eine Funktion Φ ∈ C Bδ (0); Bρ (0) , mit H(x, Φ(x)) = 0 f¨ ur alle x ∈ BδXs (0). Ferner ist Φ(x) die einzige L¨osung von U H(x, u) = 0 in Bρ (0). Diﬀerenzieren wir die Gleichung H(x, Φ(x)) = 0 bez¨ uglich Xs x ∈ Bδ (0), so erhalten wir die Identit¨ at (Dx H)(x, Φ(x)) + (Du H)(x, Φ(x))Φ (x) = 0,

x ∈ BδXs (0).

Insbesondere gilt also Φ (0)(t) = eAt Ps , da Φ(0) = 0 ist. Wir setzen u(t; x) = Φ(x)(t). Dann ist u eine L¨ osung der Integralgleichung (10.4) und es gilt t ∞ At −As u(t, x) = e x− e Pu h(u(s, x))ds + eA(t−s) h(u(s, x))ds. (10.5) 0

0

Da ferner u(t, x) → 0 f¨ ur t → +∞ gilt, ist z(t) = z∗ + u(t, x) eine L¨osung von (10.1) mit z(0) = z∗ + u(0, x) = z∗ + x − q(x) ∈ Ms . Hierbei ist q(x) durch ∞ q(x) = e−As Pu h(u(s, x))ds 0

gegeben, das heißt q(x) ∈ R(Pu ) = Xu und es gilt ∞ q (x) = e−As Pu h (Φ(x)(s))Φ (x)(s)ds, 0

also mit h (0) = 0 insbesondere q (0) = 0. Wir haben damit durch die Abbildung BδXs (0) x → z∗ + x − q(x) ∈ Rn eine C 1 -Mannigfaltigkeit M∗s ⊂ Ms deﬁniert, die wegen q (0) = 0 den Raum Xs als Tangentialraum in x = 0 bzw. z = z∗ besitzt. Ist nun z(t) = x(t) + z∗ eine L¨ osung von (10.1) mit |x(t)| ≤ ρ f¨ ur alle t ≥ 0 und gilt |x(0)| < δ, dann existiert das Integral ∞ eA(t−s) Pu h(x(s))ds, t

denn es gilt die Absch¨ atzung ∞ A(t−s) ≤ e P h(x(s))ds u t

∞ t

η eη(t−s) ρds = ρ/2. 2

Folglich ist

t

At

Pu x(t) = e Pu x(0) + eA(t−s) Pu h(x(s))ds 0 ∞ At =e Pu x(0) + e−As Pu h(x(s))ds − 0

t

∞

eA(t−s) Pu h(x(s))ds,

10.2. Ebene Wellen f¨ ur Reaktions-Diﬀusionsgleichungen

211

und da die Funktion Pu x(t) nach Voraussetzung beschr¨ankt ist, erh¨alt man notwendigerweise ∞ Pu x(0) + e−As Pu h(x(s))ds = 0. 0

Daher gilt

t

At

A(t−s)

x(t) = e Ps x(0) +

e

∞

Ps h(x(s))ds −

0

eA(t−s) Pu h(x(s))ds,

t

das heißt x(t) ist eine L¨ osung von (10.4) in Bρ (0). Mittels der Eindeutigkeit der L¨osungen von (10.4) in BU C(R+ ; Rn ), dem Raum der beschr¨ankten gleichm¨aßig stetigen Funktionen auf R+ , erhalten wir nun x(t) = u(t, Ps x(0)) und daher auch x(0) = u(0, Ps x(0)) = Ps x(0) − q(Ps (x(0))), das heißt z(0) ∈ M∗s . Dadurch ist die Mannigfaltigkeit M∗s innerhalb von Ms lokal um z∗ charakterisiert. ¯ρ (z∗ ) = M∗ gilt. Man Allerdings stimmt es im Allgemeinen nicht, dass Ms ∩B s w¨ahle zum Beispiel ein System, welches ein homoklines Orbit besitzt; vgl. Abb. 1.9. Man bezeichnet M∗s auch als die lokale stabile Mannigfaltigkeit, w¨ahrend Ms die globale stabile Mannigfaltigkeit darstellt. Um zu sehen, dass Ms eine C 1 -Mannigfaltigkeit ist, sei y0 ∈ Ms \ {z∗ } beliebig ﬁxiert. Es existiert dann ein t0 > 0 mit der Eigenschaft z(t0 , y0 ) =: z0 ∈ M∗s . Folglich gilt z0 = x0 − q(x0 ) + z∗ , mit einem x0 ∈ BδXs (0). Die Abbildung y → z(t0 , y) ist ein Diﬀeomorphismus einer Umgebung von y0 auf eine Umgebung von z0 , mit der Inversen y → z(−t0 , y). Damit ist die Komposition g(x) := z(−t0 , x − q(x) + z∗ ) ein Hom¨ oomorphismus einer Umgebung von x0 ∈ Xs auf eine Teilmenge von Ms , welche y0 enth¨ alt. Deﬁniert man die Topologie durch die von solchen Umgebungen erzeugte, so wird Ms zu einer C 1 -Mannigfaltigkeit. Man beachte, dass im Allgemeinen die Topologie auf Ms nicht die von Rn induzierte ist, vgl. Abb. 1.9. Gilt hingegen Ms ∩ Mu = {z∗ }, dann stimmt die ¨ Topologie auf Ms mit der von Rn induzierten u 10.2. Der Beweis ¨berein, vgl. Ubung von Satz 10.1.1 zeigt, dass die Konvergenzrate der L¨osungen auf Ms bzw. Mu f¨ ur t → +∞ bzw t → −∞ exponentiell ist.

10.2 Ebene Wellen fu ¨r Reaktions-Diﬀusionsgleichungen In der Biologie, der Chemie und in der Biochemie spielen Wechselwirkungen zwischen Wachstum bzw. Reaktion und Transportprozessen wie Konvektion oder Diﬀusion eine zentrale Rolle. Ein typisches Beispiel f¨ ur die Modellierung von Reaktions-Diﬀusionsprozessen bildet das System partieller Diﬀerentialgleichungen ∂s u(s, ξ) = DΔξ u(s, ξ) + f (u(s, ξ)),

s ∈ R, ξ ∈ RN ,

(10.6)

212

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

wobei D eine symmetrische positiv deﬁnite Rn×n -Matrix, die Diﬀusionsmatrix ist, N Δξ = j=1 ∂ξ2j den Laplace-Operator in den Raumvariablen ξ ∈ RN bezeichnet, und f ∈ C 1 (Rn ; Rn ) die Reaktionen repr¨ asentiert. Eine ebene Welle f¨ ur (10.6) ist eine L¨ osung der Form u(s, ξ) = x((k|ξ) − cs),

s ∈ R, ξ ∈ RN ,

(10.7)

wobei k ∈ RN , |k|2 = 1, den Wellenvektor, also die Ausbreitungsrichtung der Welle beschreibt, und c ≥ 0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit bedeutet. Setzt man ein solches u in (10.6) ein, so sieht man dass u genau dann eine L¨osung von (10.6) ist, wenn x die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung Dx ¨(t) + cx(t) ˙ + f (x(t)) = 0,

t ∈ R,

(10.8)

l¨ ost. Jede globale L¨ osung von (10.8) ergibt damit eine ebene Welle f¨ ur (10.6). Aufgrund der Rotationssymmetrie des Laplace-Operators kann hier der Wellenvektor k beliebig gew¨ahlt werden. Es ist oﬀensichtlich, dass Equilibria x∗ von (10.8), also L¨osungen der algebraischen Gleichung f (x) = 0, genau den zeitlich und r¨aumlich konstanten L¨osungen von (10.6) entsprechen, und L¨ osungen von (10.8) mit c = 0 sind die ebenen station¨ aren Wellen, solche mit c > 0 die ebenen fortschreitenden Wellen von (10.6). Von Interesse sind nun bestimmte beschr¨ ankte Wellen, also beschr¨ankte globale L¨osungen von (10.8), insbesondere • Wellenfronten: Dies sind genau die heteroklinen Orbits von (10.8), also L¨osungen x(t) derart, dass lim x(t) = x± ∞,

t→±∞

+ x− ∞ = x∞

existieren; • Pulswellen: Dies sind genau die homoklinen Orbits von (10.8), also L¨osungen x(t) derart, dass lim x(t) = x∞ t→±∞

existiert; • Wellenz¨ uge: Dies sind genau die periodischen Orbits von (10.8), also τ periodische L¨ osungen x(t), mit minimaler Periode τ > 0. Daher sind solche L¨ osungen von (10.8) besonders relevant. H¨auﬁg kommen weitere Einschr¨ankungen hinzu, wie Positivit¨ at, falls der Vektor u Konzentrationen oder Populationsdichten beschreibt. Betrachten wir ein ber¨ uhmtes Beispiel. Beispiel. Die Fisher-Gleichung (Kolmogoroﬀ, Piscounoﬀ 1937). Gegeben sei die Fisher-Gleichung ∂s u = Δu + f (u), (10.9)

10.2. Ebene Wellen f¨ ur Reaktions-Diﬀusionsgleichungen

213

wobei f ∈ C 1 (R; R), f (0) = f (1) = 0, f (τ ) > 0 f¨ ur τ ∈ (0, 1), f (0) > 0, f (1) < 0. Ein typisches Beispiel f¨ ur f ist die Funktion f (τ ) = τ (1 − τ ); in diesem Fall beschreibt (10.9) die Ausbreitung einer Population, die logistisch w¨achst, mittels Diﬀusion. Die Variable u bedeutet die Gr¨ oße der Population in x zur Zeit t. Wir suchen eine Wellenfront von 1 nach 0, also eine streng fallende Funktion z(t), die das Problem z¨ + cz˙ + f (z) = 0,

mit

lim z(t) = 1, lim z(t) = 0

t→−∞

t→∞

l¨ost. In anderen Worten, gesucht ist ein c ∈ R+ , sodass das System erster Ordnung z˙ = w,

(10.10)

w˙ = −cw − f (z),

ein heteroklines Orbit besitzt, welches die Equilibria (1, 0) und (0, 0) miteinander verbindet; vgl. Abb. 10.2. w z 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.05 0.10 0.15 0.20

Abbildung 10.2: Heteroklines Orbit f¨ ur die Fisher-Gleichung Zun¨achst schauen wir uns die Linearisierungen A(x, y) von (10.10) in den beiden Equilibria an. Es gilt 0 1 A(0, 0) = , −f (0) −c also sp A(0, 0) = −c und det A(0, 0) = f (0) > 0. Folglich ist (0, 0) nach dem Prinzip der linearisierten Stabilit¨ at f¨ ur c > 0 stets asymptotisch stabil; genauer eine stabile Spirale f¨ ur 0-< c < 2 f (0) und ein stabiler Knoten f¨ ur c ≥ 2 f (0). Daher ist c ≥ c∗ := 2 f (0) notwendig f¨ ur die Existenz einer Wellenfront f¨ ur (10.9). Linearisierung von (10.10) in (1, 0) ergibt 0 1 A(1, 0) = , −f (1) −c

214

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

also sp A(1, 0) = −c < 0 und det A(1, 0) = f (1) < 0, das heißt (1, 0) ist stets ein Sattelpunkt. Nach Satz 10.1.1 existiert die instabile Mannigfaltigkeit Mu , die in (1, 0) gerade den Tangentialraum Xu besitzt, der vom positiven Eigenwert von A(1, 0) aufgespannt wird; es gilt Xu = span{[1, c2 /4 − f (1) − c/2]T }. Da beide Komponenten des Eigenvektors streng positiv sind, liegt der nach links unten gerichtete Teil der instabilen Mannigfaltigkeit Mu lokal im Dreieck G, das ¨ von den Ecken (0, 0), (1, 0) und (1, −α) aufgespannt wird. Aus Ubung 10.3 folgt, dass G positiv invariant f¨ ur (10.10) ist, falls man α > 0 geeignet w¨ahlt. Daraus folgt, dass der untere Teil der instabilen Mannigfaltigkeit das Dreieck G nicht mehr verl¨asst. Wegen z˙ ≤ 0 existieren keine periodischen L¨osungen von (10.10) in G. Aus Satz 9.2.4 folgt, dass die instabile Mannigfaltigkeit Mu das gesuchte heterokline Orbit ist, denn es gibt keine weiteren Equilibria in int G. ¨ Dieses Resultat war damals eine große Uberraschung. Um zu verstehen warum, nehmen wir jetzt an, dass f ein Potential besitzt, also f = ∇φ, wobei φ ∈ C 2 (Rn ; R) ist. Man beachte, dass wir in diesem Fall f¨ ur D = I genau die Gleichung f¨ ur das ged¨ ampfte Teilchen im Potentialfeld erhalten! Dann ist V (x, x) ˙ = 12 (Dx| ˙ x) ˙ + φ(x) eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (10.8), die f¨ ur c > 0 sogar strikt ist. Daher kann es dann keine echten periodischen L¨osungen und auch keine homoklinen Orbits geben, also keine fortschreitenden Wellenz¨ uge und Pulse f¨ ur (10.6). Ist ferner f linear, also f (x) = Ax, A symmetrisch, so gibt es u ¨ berhaupt keine beschr¨ankten L¨ osungen von (10.8), insbesondere auch keine Wellenfronten. Daher sind Diﬀusionswellen ein speziell nichtlineares Ph¨anomen! Erf¨ ullt das Potential nun zus¨ atzlich die Lojasiewicz-Ungleichung, dann impliziert Korollar 8.8.2, dass jede beschr¨ ankte L¨osung, die auf einer instabilen Mannigfaltigkeit eines Sattelpunktes von (10.8) liegt, ein heteroklines Orbit f¨ ur (10.8) ist, also eine Wellenfront f¨ ur (10.6) darstellt.

10.3 Normal stabile Equilibria Sei G ⊂ Rn oﬀen und f ∈ C 1 (G; Rn ). Wir haben bereits in Abschnitt 5.4 gesehen, dass man das Stabilit¨ atsverhalten eines Equilibriums z∗ ∈ G der Diﬀerentialgleichung z˙ = f (z) (10.11) mittels der Eigenwerte der Jacobi-Matrix f (z∗ ) ∈ Rn×n lokal charakterisieren kann. Dabei mussten wir den Fall ausschließen, dass mindestens ein Eigenwert λ von f (z∗ ) mit Re λ = 0 existiert. In diesem Abschnitt wollen wir nun Kriterien angeben, unter denen man auch im Fall 0 ∈ σ(A) auf Stabilit¨at des Equilibriums z∗ von (10.11) schließen kann. Wir werden außerdem zeigen, dass die L¨osung z(t) gegen ein Equilibrium z∞ konvergiert, welches aber im Allgemeinen von z∗ verschieden ist.

10.3. Normal stabile Equilibria

215

Sei E ⊂ G die Menge der Equilibria von (10.11), das heißt z∗ ∈ E genau dann, wenn f (z∗ ) = 0. F¨ ur ein z∗ ∈ E werden wir im Weiteren annehmen, dass z∗ in einer m-dimensionalen C 1 -Mannigfaltigkeit von Equilibria enthalten ist. Das heißt, es existiert eine oﬀene Menge U ⊂ Rm , 0 ∈ U und eine C 1 -Funktion Ψ : U → Rn , sodass die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind. • Ψ(U ) ⊂ E, Ψ(0) = z∗ , • Rang Ψ (0) = m. Wir werden sehen, dass sich in einer Umgebung von z∗ keine anderen Equilibria beﬁnden, als jene, die durch die Abbildung Ψ gegeben sind, d.h. E∩Br1 (z∗ ) = Ψ(U ) f¨ ur ein r1 > 0. Ist z eine L¨ osung von (10.11), so l¨ ost die Funktion u = z − z∗ die Diﬀerentialgleichung u˙ = Au + h(u), (10.12) mit A := f (z∗ ) und h(u) := f (u + z∗ ) − f (z∗ ) − f (z∗ )u. ˜ Rn ) und h(0) = h (0) = Man beachte, dass aufgrund der Voraussetzung h ∈ C 1 (G, ˜ = G − z∗ ist. Mittels der verschobenen Funktion ψ(ζ) = Ψ(ζ) − z∗ 0 gilt, wobei G erhalten wir ferner eine Gleichung f¨ ur die Equilibria von (10.12) −Aψ(ζ) = h(ψ(ζ)), ζ ∈ U.

(10.13)

Es folgt −Aψ (ζ) = h (ψ(ζ))ψ (ζ), also −Aψ (0) = h (0)ψ (0) = 0, das heißt Tz∗ E ⊂ N (A), wobei Tz∗ E den Tangentialraum von E in z∗ bezeichnet. Das Hauptresultat dieses Abschnittes ist der Satz 10.3.1. Sei z∗ ein Equilibrium von (10.11), f ∈ C 1 (G, Rn ) und es sei A = f (z∗ ). Angenommen z∗ ist normal stabil, das heißt 1. In einer Umgebung von z∗ ist die Menge der Equilibria E eine C 1 -Mannigfaltigkeit der Dimension m ∈ N, 2. Tz∗ E = N (A), 3. 0 ist ein halbeinfacher Eigenwert von A, das heißt Cn = N (A) ⊕ R(A), 4. σ(A) \ {0} ⊂ {μ ∈ C : Re μ < 0}. Dann ist z∗ stabil und es existiert ein δ > 0, sodass die eindeutige L¨ osung z(t) von (10.11) zum Anfangswert z0 mit |z0 − z∗ | ≤ δ f¨ ur alle t ≥ 0 existiert und f¨ ur t → ∞ exponentiell gegen ein z∞ ∈ E konvergiert. Beweis. Der Beweis des Satzes gliedert sich in mehrere Teile. (a) Wir setzen Xc = N (A) und Xs = R(A). Sei Pc die Projektion auf R(Pc ) = Xc l¨angs N (Pc ) = Xs und Ps sei die Projektion auf R(Ps ) = Xs l¨angs N (Ps ) = Xc .

216

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

Insbesondere gilt also Pc + Ps = I. Ferner bezeichne Al = APl den Teil der Matrix A in Xl , l ∈ {c, s}. Beachte, dass Ac = 0 wegen R(Pc ) = N (A) gilt. Aus den Voraussetzungen 1. und 2. folgt außerdem dim Xc = dim N (A) = dim Tz∗ (E) = m. (b) Betrachte die Abbildung g : U ⊂ Rm → X c ,

g(ζ) := Pc ψ(ζ).

Nach Konstruktion gilt g ∈ C 1 (U, Xc ) und g (0) = Pc ψ (0) : Rm → Xc ist ein Isomorphismus. Nach dem Satz von der inversen Funktion ist g daher ein C 1 Diﬀeomorphismus von einer Umgebung der 0 in Rm auf eine Umgebung BρX0c (0) der 0 in Xc , denn g(0) = 0. Die inverse Abbildung g −1 : BρX0c (0) → 0 ist also C 1 und g −1 (0) = 0. Wir setzen Φ(x) := ψ(g −1 (x)) f¨ ur x ∈ BρX0c (0). Dann gilt Φ ∈ C 1 (BρX0c (0), Rn ), Φ(0) = 0, {Φ(x) + z∗ : x ∈ BρX0c (0)} = E ∩ W, wobei W eine geeignete Umgebung von z∗ in Cn ist. Oﬀensichtlich gilt dann Pc Φ(x) = ((Pc ◦ ψ) ◦ g −1 )(x) = (g ◦ g −1 )(x) = x, x ∈ BρX0c (0), das heißt Φ(x) = Pc Φ(x) + Ps Φ(x) = x + Ps Φ(x) f¨ ur x ∈ BρX0c (0). Mittels der Abbildung φ(x) := Ps Φ(x) erhalten wir also φ ∈ C 1 (BρX0c (0), Xs ), φ(0) = φ (0) = 0,

(10.14)

und {x + φ(x) + z∗ : x ∈ BρX0c (0)} = E ∩ W. Die Eigenschaft φ (0) = 0 folgt aus der Tatsache R(Ψ (0)) ⊂ N (A) = Xc und Ps Xc = 0 (nach Voraussetzung 2 gilt sogar R(Ψ (0)) = N (A)). Die Mannigfaltigkeit E kann also durch den verschobenen Graph der Funktion φ in einer Umgebung von z∗ dargestellt werden. Wenden wir die Projektionen Pc und Ps auf (10.13) an und verwenden wir x + φ(x) = ψ(g −1 (x)) f¨ ur x ∈ BρX0c (0), so erhalten wir die aquivalenten Gleichungen ¨ Pc h(x + φ(x)) = 0,

Ps h(x + φ(x)) = −As φ(x),

x ∈ BρX0c (0),

(10.15)

f¨ ur die Equilibria von (10.12). Im Weiteren w¨ahlen wir ρ0 > 0 so klein, dass die Absch¨atzungen |φ (x)| ≤ 1, |φ(x)| ≤ |x| (10.16) f¨ ur alle x ∈ BρX0c (0) gelten. Dies gelingt oﬀenbar immer durch die Eigenschaft (10.14).

10.3. Normal stabile Equilibria

217

(c) Mittels der neuen Variablen x = Pc u = Pc (z − z∗ ), y = Ps u − φ(Pc u) = Ps (z − z∗ ) − φ(Pc (z − z∗ )), erhalten wir nun das folgende System in Xc × Xs , x˙ = T (x, y), x(0) = x0 , y˙ = As y + R(x, y), y(0) = y0 ,

(10.17)

mit x0 = Pc u0 und y0 = Ps u0 − φ(Pc u0 ) und den Funktionen T (x, y) = Pc h(x + φ(x) + y), R(x, y) = Ps h(x + φ(x) + y) + As φ(x) − φ (x)T (x, y). Aus (10.15) folgt T (x, y) = Pc (h(x + φ(x) + y) − h(x + φ(x))) , R(x, y) = Ps (h(x + φ(x) + y) − h(x + φ(x))) − φ (x)T (x, y),

(10.18)

insbesondere gilt T (x, 0) = R(x, 0) = 0 f¨ ur alle

x ∈ BρX0c (0),

das heißt, die Menge der Equilibria E von (10.11) nahe z∗ wurde auf die Menge BρX0c (0) × {0} ⊂ Xc × Xs reduziert. Das System (10.17) heißt Normalform von (10.11) nahe des normal stabilen Equilibriums z∗ . ˜ Rn ) und h(0) = h (0) = 0, existiert zu jedem η > 0 ein (d) Wegen h ∈ C 1 (G, r = r(η) > 0, sodass die Absch¨ atzung |h(u1 ) − h(u2 )| ≤ η|u1 − u2 |,

u1 , u2 ∈ Br (0),

(10.19)

gilt. Im Weiteren treﬀen wir die Annahme r ∈ (0, 3ρ0 ]. Mit u1 = x + φ(x) + y und u2 = x + φ(x) erhalten wir aus (10.16), (10.18) und (10.19) |T (x, y)|, |R(x, y)| ≤ Cη|y|,

(10.20)

¯ Xc (0), y ∈ B ¯ Xs (0) und alle ρ ∈ (0, r/3), wobei C > 0 eine gleichm¨aßif¨ ur alle x ∈ B ρ ρ ge Konstante ist. Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz besitzt das Problem (10.12) zu jedem u0 ∈ Bδ (0) mit δ ∈ (0, r) eine eindeutige lokale L¨osung u(t), welche sich nach dem Fortsetzungssatz auf ein maximales Existenzintervall [0, t+ ) fortsetzen l¨asst. Wir zeigen im Weiteren, dass die L¨osung u(t) global existiert und stabil ist. Sei u0 ∈ Bδ (0), N := |Pc | + |Ps | mit N δ < ρ < ρ0 . Dann gilt mit (10.16) Xc x0 = P c u0 ∈ B N δ

und

Xs y0 = Ps u0 − φ(x0 ) ∈ BN δ.

218

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

Ferner deﬁnieren wir t1 := t1 (x0 , y0 ) := sup{t ∈ (0, t+ ) : |x(τ )|Xc , |y(τ )|Xs ≤ ρ, τ ∈ [0, t]}, wobei (x(t), y(t)) die eindeutige L¨ osung von (10.17) zum Anfangswert (x0 , y0 ) bezeichnet. Angenommen t1 < t+ . Nach der Formel der Variation der Konstanten gilt f¨ ur die L¨osung y(t) der zweiten Gleichung von (10.17) zum Anfangswert y0 die Darstellung t y(t) = eAs t y0 + eAs (t−s) R(x(s), y(s))ds, t ∈ [0, t1 ]. 0

Wegen σ(As ) = σ(A) \ {0}, Voraussetzung 4. und (10.20) erhalten wir mit einem ω > 0 die Absch¨ atzung t |y(t)| ≤ M e−ωt |y0 | + M Cη e−ω(t−s) |y(s)|ds, 0

f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ], wobei M = M (ω) > 0 eine Konstante ist. Das Lemma von Gronwall liefert daher |y(t)| ≤ M |y0 |e(MCη−ω)t ,

t ∈ [0, t1 ].

Im Folgenden sei nun η > 0 so klein, dass M Cη < ω/2 gilt, also |y(t)| ≤ M |y0 |e−ωt/2 ,

t ∈ [0, t1 ].

Wir benutzen dieses Resultat f¨ ur eine geeignete Absch¨atzung der L¨osung x(t). Integration der ersten Gleichung in (10.17) ergibt t t |x(t)| ≤ |x0 | + |T (x(s), y(s))|ds ≤ |x0 | + Cη |y(s)|ds 0 0 t ≤ |x0 | + M Cη|y0 | e−ωs/2 ds = |x0 | + 2M Cη|y0 |(1 − e−ωt/2 )/ω 0

≤ |x0 | + C1 |y0 |, f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ] mit C1 := 2M Cη/ω > 0. Also gilt |x(t)| + |y(t)| ≤ |x0 | + (C1 + M )|y0 | ≤ (1 + C1 + M )N δ,

t ∈ [0, t1 ].

W¨ahle nun δ ≤ ρ/[2N (1 + C1 + M )]. Es folgt |x(t)| + |y(t)| ≤ ρ/2 f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ], was aber oﬀensichtlich der Deﬁnition von t1 widerspricht. Wir k¨onnen daher den Schluss t1 = t+ treﬀen und wegen (10.16) gilt |u(t)| ≤ |x(t)| + |φ(x(t))| + |y(t)| ≤ ρ/2 + ρ/2 + ρ/2 = 3ρ/2 < r/2,

10.3. Normal stabile Equilibria

219

f¨ ur alle t ∈ [0, t+ ). Dies zeigt , dass die L¨ osung u = u(t) von (10.12) zum Anfangswert u0 ∈ Bδ (0) die Kugel Br (0) nie verl¨ asst, das heißt sie existiert f¨ ur alle t ≥ 0 und das triviale Equilibrium u = 0 von (10.12) bzw. z = z∗ von (10.11) ist stabil, denn zu hinreichend kleinem r > 0 existiert ein δ > 0, sodass z(t) ∈ Br (z∗ ) f¨ ur alle t ≥ 0, sofern z0 ∈ Bδ (z∗ ). (e) Wir zeigen schließlich, dass die L¨ osung z(t) von (10.11) f¨ ur t → ∞ exponentiell gegen ein z∞ ∈ E konvergiert. Aus den Absch¨atzungen von Schritt (d) erhalten wir |y(t)| ≤ M |y0 |e−ωt/2 , und |x(t)| + |y(t)| ≤ ρ/2, f¨ ur alle t ≥ 0. Daher existiert der Grenzwert t ∞ lim T (x(s), y(s))ds = T (x(s), y(s))ds ∈ Xc . t→∞

0

0

Integration der ersten Gleichung in (10.17) ergibt ∞ lim x(t) = x0 + T (x(s), y(s))ds =: x∞ ∈ Xc , t→∞

0

und es folgt |x(t) − x∞ | =

∞ t

≤ Cη

T (x(s), y(s))ds ∞

|y(s)|ds

t

≤ 2M Cη|y0 |e−ωt/2 /ω,

t ≥ 0.

Die Funktion x(t) konvergiert also exponentiell gegen x∞ in Xc . Daher existiert der Grenzwert lim u(t) = lim (x(t) + φ(x(t)) + y(t)) = x∞ + φ(x∞ ) =: u∞

t→∞

t→∞

und u∞ + z∗ ist ein Equilibrium von (10.11). F¨ ur die Konvergenzrate von u(t) → u∞ f¨ ur t → ∞ ergibt sich nach dem Mittelwertsatz und (10.16) |u(t) − u∞ | = |x(t) + φ(x(t)) + y(t) − x∞ − φ(x∞ )| ≤ |x(t) − x∞ | + |φ(x(t)) − φ(x∞ )| + |y(t)| ≤ 4M Cη|y0 |e−ωt/2 /ω + M |y0 |e−ωt/2 = L|y0 |e−ωt/2 ,

t ≥ 0.

Damit konvergiert z(t) exponentiell gegen z∞ := u∞ + z∗ ∈ E f¨ ur t → ∞.

220

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

Beispiel. Sei G = R2 \ {0}. Betrachte das ebene System x˙ = (x + y)(1 − x2 + y 2 ), y˙ = (y − x)(1 − x2 + y 2 ).

(10.21)

¨ Durch Ubergang zu Polarkoordinaten (r, θ), erhalten wir r˙ = −r(r − 1), θ˙ = r − 1. Die Menge der Equilibria von (10.21) ist also der Einheitskreis und f¨ ur jeden Anfangswert (x0 , y0 ) ∈ G gilt r(t) → 1 f¨ ur t → ∞. Das Phasenportrait ist rotationsinvariant, das heißt, es gen¨ ugt, sich auf ein Equilibrium, sagen wir z∗ = (0, 1), einzuschr¨anken. Es bezeichne f (x, y) die rechte Seite von (10.21). Oﬀensichtlich gilt f ∈ C 1 (G, R2 ) und 0 −1 A = f (z∗ ) = . 0 −1 Die Matrix A besitzt die beiden Eigenwerte 0 und −1 mit dazu geh¨origen Eigenvektoren [1, 0]T und [1, 1]T . Der Eigenwert 0 ist halbeinfach und der Kern N (A) ist gerade der Tangentialraum Tz∗ E an E in z∗ . Also ist z∗ normal stabil und Satz 10.3.1 impliziert, dass jede L¨ osung, welche hinreichend nahe bei z∗ startet, f¨ ur t → ∞ exponentiell gegen einen Punkt auf dem Einheitskreis konvergiert. Außerdem ist z∗ stabil (siehe auch Abschnitt 8.8). Wir geben nun noch zwei Beispiele an, die zeigen, dass man auf die Bedingungen 2 und 3 aus Satz 10.3.1 nicht verzichten kann. Beispiele. (a) Sei G = R2 \ {0} und betrachte das System x˙ = −x( x2 + y 2 − 1)3 − y( x2 + y 2 − 1)m , y˙ = −y( x2 + y 2 − 1)3 + x( x2 + y 2 − 1)m .

(10.22)

¨ Durch Ubergang zu Polarkoordinaten (r, θ), erhalten wir das entkoppelte System r˙ = −r(r − 1)3 , θ˙ = (r − 1)m . Zun¨achst untersuchen wir den Fall m = 1. Die Menge der Equilibria ist wieder durch den Einheitskreis gegeben. Wie im Beispiel zuvor f¨ uhren wir die Stabilit¨atsanalyse nur f¨ ur das Equilibrium z∗ = (0, 1) durch. Es gilt 0 −1 A = f (z∗ ) = , 0 0

10.4. Normal hyperbolische Equilibria

221

wobei f (x, y) die rechte Seite von (10.22) bezeichnet. Daher ist λ = 0 ein Eigenwert von A mit algebraischer Vielfachheit 2 und dem Eigenraum N (A) = span{(1, 0)} = Tz∗ E. Der Eigenwert λ = 0 ist also nicht halbeinfach, das heißt, die Voraussetzung 3 aus Satz 10.3.1 ist nicht erf¨ ullt. Hier konvergieren die L¨osungen nicht, vgl. Beispiel 1 aus Abschnitt 8.8. (b) In diesem Beispiel betrachten wir wieder das System (10.22), aber hier mit m = 2. In diesem Fall ist E wieder der Einheitskreis und f¨ ur die Linearisierung in z∗ = (0, 1) gilt 0 0 A = f (z∗ ) = . 0 0 Damit ist λ = 0 ein Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 2 und es gilt N (A) = R2 , d.h. λ = 0 ist halbeinfach. Nun ist aber augenscheinlich die Bedingung 2 aus Satz 10.3.1 nicht erf¨ ullt, denn Tz∗ E = span{(1, 0)} R2 . Wie Beispiel 2 aus Abschnitt 8.8 zeigt, konvergieren die L¨ osungen nicht.

10.4 Normal hyperbolische Equilibria Wir wollen nun den Fall untersuchen, dass das Spektrum σ(A) der Linearisierung A = f (z∗ ) von (10.11) auch Eigenwerte mit positivem Realteil enth¨alt. Also nehmen wir im Weiteren an, dass sich σ(A) wie folgt zerlegen l¨asst: σ(A) = {0} ∪ σs ∪ σu ,

σj = ∅, j ∈ {u, s},

mit σs ⊂ {μ ∈ σ(A) : Re μ < 0} und σu ⊂ {μ ∈ σ(A) : Re μ > 0}. In dieser Situation k¨onnen wir das folgende Resultat beweisen. Satz 10.4.1. Sei z∗ ein Equilibrium von (10.11), f ∈ C 1 (G, Rn ) und es sei A = f (z∗ ). Angenommen z∗ ist normal hyperbolisch, das heißt 1. In einer Umgebung von z∗ ist die Menge der Equilibria E eine C 1 Mannigfaltigkeit der Dimension m ∈ N, 2. Tz∗ E = N (A), 3. 0 ist ein halbeinfacher Eigenwert von A, das heißt Cn = N (A) ⊕ R(A), 4. σ(A) ∩ iR = {0} und σj = ∅, j ∈ {u, s}. Dann ist z∗ instabil. Zu jedem hinreichend kleinem ρ > 0 existiert ein δ ∈ (0, ρ], sodass die L¨ osung z(t) von (10.11) zum Anfangswert z0 ∈ Bδ (z∗ ) genau eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt. • dist(z(t∗ ), E) > ρ f¨ ur ein t∗ > 0, oder • z(t) existiert f¨ ur alle t ≥ 0 und z(t) → z∞ ∈ E exponentiell f¨ ur t → ∞.

222

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

Beweis. Die Instabilit¨ at von z∗ folgt sofort aus Satz 5.4.1. Wegen Voraussetzung 3 k¨onnen wir den Raum Cn wie folgt zerlegen: Cn = N (A) ⊕ N (λ2 ) ⊕ . . . ⊕ N (λr1 ) ⊕ N (λr1 +1 ) ⊕ . . . ⊕ N (λr2 ), wobei 2 ≤ r1 < r2 , Re λj < 0 f¨ ur j ∈ {2, . . . , r1 } und Re λj > 0 f¨ ur j ∈ {r1 + 1, . . . , r2 }. Seien Pc , Ps , Pu die zugeh¨ origen Projektionen auf Xc = N (A), Xs = N (λ2 )⊕. . .⊕N (λr1 ) und Xu = N (λr1 +1 )⊕. . .⊕N (λr2 ), das heißt Pc +Ps +Pu = I. Ferner bezeichne Al = APl den Teil der Matrix A in Xl , l ∈ {c, s, u}. Wegen R(Pc ) = N (A) gilt wieder Ac ≡ 0. F¨ ur ein Element v ∈ Cn verwenden wir im Weiteren die Norm |v| = |Pc v| + |Ps v| + |Pu v|. (10.23) Sei ferner Φ die im Beweisschritt (b) von Satz 10.3.1 gewonnene Abbildung und wir deﬁnieren φl (x) = Pl Φ(x) f¨ ur alle x ∈ BρX0c (0). Dann gilt φl ∈ C 1 (BρX0c (0), Xl ),

φl (0) = φl (0) = 0,

l ∈ {s, u}

(10.24)

und {x + φs (x) + φu (x) + z∗ : x ∈ BρX0c (0)} = E ∩ W, f¨ ur eine geeignete Umgebung W von z∗ . Von nun an sei ρ0 > 0 so klein gew¨ahlt, dass die Absch¨ atzungen |φl (x)| ≤ 1,

|φl (x)| ≤ |x|,

l ∈ {s, u},

(10.25)

f¨ ur alle x ∈ BρX0c (0) gelten. Wenden wir die Projektionen Pl , l ∈ {c, s, u} auf die station¨are Gleichung (10.13) an, so erhalten wir das System von Gleichungen Pc h(x + φs (x) + φu (x)) = 0, Pl h(x + φs (x) + φu (x)) = −Al φl (x),

x ∈ BρX0c (0), l ∈ {s, u}.

(10.26)

Wir deﬁnieren die neuen Variablen x = Pc u,

y = Ps u − φs (x)

und

v = Pu u − φu (x).

Diese Deﬁnitionen ergeben die Normalform von (10.11) in Xc × Xs × Xu in der N¨ahe des normal hyperbolischen Equilibriums z∗ zu ⎧ ⎪ x(0) = x0 , ⎨x˙ = T (x, y, v), (10.27) y˙ = As y + Rs (x, y, v), y(0) = y0 , ⎪ ⎩ v˙ = Au v + Ru (x, y, v), v(0) = v0 , wobei die Funktionen T, Rs und Ru durch T (x, y, v) = Pc (h(x + y + v + φs (x) + φu (x)) − h(x + φs (x) + φu (x))),

10.4. Normal hyperbolische Equilibria

223

und Rl (x, y, v) = Pl (h(x + y + v + φs (x) + φu (x)) − h(x + φs (x) + φu (x))) − φl (x)T (x, y, v), l ∈ {s, u}, gegeben sind. Aus diesen Darstellungen folgt T (x, 0, 0) = Rl (x, 0, 0) = 0, l ∈ {s, u}, f¨ ur alle x ∈ BρX0c (0), das heißt, die Menge der Equilibria E nahe z∗ wurde auf die Menge BρX0c (0) × {0} × {0} ⊂ Xc × Xs × Xu zur¨ uckgef¨ uhrt. Sei nun η > 0 gegeben. Dann existiert ein r = r(η) > 0, sodass aus (10.19) die Absch¨atzung |T (x, y, v)|, |Rl (x, y, v)| ≤ Cη(|y| + |v|), l ∈ {s, u},

(10.28)

¯ Xl (0), l ∈ {c, s, u} mit 3ρ ∈ (0, r/5) folgt. Ohne Beschr¨ankung f¨ ur alle x, y, v ∈ B 3ρ der Allgemeinheit d¨ urfen wir r ≤ 5ρ0 annehmen. Sei z(t) = x(t) + y(t) + v(t) + φs (x(t)) + φu (x(t)) + z∗ die L¨osung von (10.11) zum Anfangswert z0 ∈ Bδ (z∗ ), δ ≤ ρ mit dem Existenzintervall [0, t+ ). Dann existiert entweder ein t∗ ∈ (0, t+ ) mit dist(z(t∗ ), E) > ρ oder dist(z(t), E) ≤ ρ f¨ ur alle t ∈ [0, t+ ). Wir betrachten den letzteren Fall und setzen t1 := t1 (x0 , y0 , v0 ) := sup{t ∈ (0, t+ ) : |z(τ ) − z∗ | ≤ 3ρ, τ ∈ [0, t]}. Angenommen es gilt t1 < t+ . Aus (10.23) folgt zun¨achst |x(t)| ≤ 3ρ f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ]. Wegen (10.25) gilt aber auch |z(t) − z∗ | ≥ |x(t)| + |y(t) + φs (x(t))| ≥ |x(t)| − |φs (x(t))| + |y(t)| ≥ |y(t)|, t ∈ [0, t1 ], also |y(t)| ≤ 3ρ; entsprechend erh¨ alt man auch |v(t)| ≤ 3ρ f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ]. Da E abgeschlossen ist, gibt es f¨ ur jedes z ∈ B3ρ (z∗ ) ein z¯ ∈ E, mit der Eigenschaft dist(z, E) = |z − z¯|. Gilt zus¨ atzlich dist(z, E) ≤ ρ, so erhalten wir aus der Dreiecksungleichung die Absch¨ atzung |¯ z − z∗ | < 4ρ. F¨ ur 4ρ ≤ ρ0 existiert daher ein ¨ x ¯ ∈ BρX0c (0), mit z¯ = x ¯ + φs (¯ x) + φu (¯ x) + z∗ . Aus diesen Uberlegungen und mit (10.25), erhalten wir somit die verbesserte Absch¨atzung ρ ≥ dist(z(t), E) = |z(t) − z¯(t)| = |x(t) − x ¯(t)| + |y(t) + φs (x(t)) − φs (¯ x(t))| + |v(t) + φu (x(t)) − φu (¯ x(t))| ≥ |x(t) − x ¯(t)| + |y(t)| − |φs (x(t)) − φs (¯ x(t))| ≥ |y(t)|, f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ]; entsprechend erh¨ alt man auch die verbesserte Absch¨atzung |v(t)| ≤ ρ f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ].

224

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

Wir werden uns zun¨ achst mit der Gleichung f¨ ur v(t) befassen. Da die Matrix Au nur Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt, integrieren wir die Gleichung f¨ ur v(t) bez¨ uglich t r¨ uckw¨ arts, das heißt, wir verwenden die L¨osungsdarstellung t1 v(t) = eAu (t−t1 ) v(t1 ) − eAu (t−s) Ru (x(s), y(s), v(s))ds, t ∈ [0, t1 ]. (10.29) t

Aus (10.28) und der Eigenschaft |v(t1 )| ≤ ρ ergibt sich t1 ω(t−t1 ) |v(t)| ≤ M e ρ + ηM C eω(t−s) (|y(s)| + |v(s)|)ds, t ∈ [0, t1 ]. t

Integration von 0 bis t1 ergibt |v|L1 (0,t1 ) ≤ M ρ/ω + (ηM C/ω)(|y|L1 (0,t1 ) + |v|L1 (0,t1 ) ).

(10.30)

Im n¨achsten Schritt leiten wir eine Absch¨ atzung f¨ ur |y|L1 (0,t1 ) her. Dazu integrieren wir die Gleichung f¨ ur y(t). Es folgt t |y(t)| ≤ M e−ωt |y0 | + ηM C e−ω(t−s) (|y(s)| + |v(s)|)ds, t ∈ [0, t1 ], 0

und nach einer weiteren Integration von 0 bis t1 |y|L1 (0,t1 ) ≤ M |y0 |/ω + (ηM C/ω)(|y|L1 (0,t1 ) + |v|L1 (0,t1 ) ).

(10.31)

Addition von (10.30) und (10.31) ergibt |y|L1 (0,t1 ) + |v|L1 (0,t1 ) ≤ M |y0 |/ω + M ρ/ω + (2ηM C/ω)(|y|L1 (0,t1 ) + |v|L1 (0,t1 ) ). W¨ahle η > 0 zus¨ atzlich so klein, dass 2ηM C/ω ≤ 1/2 gilt. Dann folgt |y|L1 (0,t1 ) + |v|L1 (0,t1 ) ≤ 2M (ρ + |y0 |)/ω.

(10.32)

Nun wenden wir uns der Gleichung f¨ ur x(t) zu. Mit Hilfe von (10.28) erhalten wir aus (10.32) f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ] die Absch¨ atzung |x(t)| ≤ |x0 | +

t

|T (x(s), y(s), v(s))|ds 0

≤ |x0 | + ηC(|y|L1 (0,t) + |v|L1 (0,t) ) ≤ |x0 | + 2ηM C(ρ + |y0 |)/ω. Wir w¨ahlen zuerst η > 0, dann |x0 | hinreichend klein und erhalten somit wegen |y(t)|, |v(t)| ≤ ρ f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ] die Ungleichung |z(t) − z∗ | < 3ρ, welche f¨ ur alle t ∈ [0, t1 ] gilt. Das bedeutet aber einen Widerspruch zur Deﬁnition von t1 , also gilt t1 = t+ . Ferner k¨ onnen wir sagen, dass im Fall dist(z(t), E) ≤ ρ, t ≥ 0, die L¨osungen x(t), y(t), v(t) global existieren und die Absch¨atzung |x(t)|, |y(t)|, |v(t)| ≤ 3ρ,

10.4. Normal hyperbolische Equilibria f¨ ur alle t ≥ 0 gilt. Die Gleichung f¨ ur y(t) und (10.28) ergeben t |y(t)| ≤ M e−ωt |y0 | + ηM C e−ω(t−s) (|y(s)| + |v(s)|)ds.

225

(10.33)

0

Da |v(t)| ≤ 3ρ f¨ ur alle t ≥ 0 gilt und eAu (t−t1 ) → 0 exponentiell f¨ ur t1 → ∞, folgt aus (10.29) die L¨ osungsdarstellung ∞ v(t) = − eAu (t−s) Ru (x(s), y(s), v(s))ds, t

also mit (10.28) |v(t)| ≤ ηM C

∞

eω(t−s) (|y(s)| + |v(s)|)ds.

(10.34)

t

Aus (10.33) und (10.34) erhalten wir f¨ ur ϕ(t) := |y(t)| + |v(t)| die nicht-kausale Integralungleichung ∞ −ωt ϕ(t) ≤ ce +β e−ω|t−s| ϕ(s)ds =: μ(t), t ≥ 0, (10.35) 0

mit c := M |y0 | und β := ηCM . Im Weiteren wollen wir nun zeigen, dass ϕ(t) eine Absch¨atzung der Form ϕ(t) ≤ be−αt f¨ ur geeignete α > 0 und b > 0 erf¨ ullt. Dazu beachte man zun¨ achst, dass μ(t) eine beschr¨ankte positive L¨osung der linearen inhomogenen Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung −¨ μ + ω 2 μ = 2ωβϕ

(10.36)

ist, mit μ(t) ≥ ϕ(t) ≥ 0. Subtraktion des Terms 2ωβμ in (10.36) liefert −¨ μ + ω12 μ = 2ω1 βψ,

(10.37)

wobei ω1 := (ω 2 − 2ωβ)1/2 > 0 f¨ ur β < ω/2, also η > 0 hinreichend klein, und ψ(t) := ω(ϕ(t) − μ(t))/ω1 gilt. Jede beschr¨ ankte L¨osung von (10.37) besitzt nach dem Superpositionsprinzip die Darstellung ∞ μ(t) = be−ω1 t + β e−ω1 |t−s| ψ(s)ds, t ≥ 0. 0

Wegen ψ(t) ≤ 0 folgt die Absch¨ atzung |y(t)| + |v(t)| = ϕ(t) ≤ μ(t) ≤ be−ω1 t , f¨ ur alle t ≥ 0, also insbesondere y(t) → 0 und v(t) → 0 exponentiell f¨ ur t → ∞. Schließlich k¨onnen wir in der L¨ osungsdarstellung f¨ ur x(t) wegen (10.28) zur Grenze t→∞u ¨bergehen und sehen, dass der Grenzwert ∞ lim x(t) = x0 + T (x(s), y(s), v(s))ds ∈ Xc t→∞

0

226

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

existiert. Damit ist z∞ = lim (x(t) + y(t) + v(t) + φs (x(t)) + φu (x(t))) + z∗ t→∞

= x∞ + φs (x∞ ) + φu (x∞ ) + z∗ , ¨ ein Equilibrium von (10.11). Ahnlich wie im Beweis zu Satz 10.3.1 sieht man, dass z(t) exponentiell gegen z∞ konvergiert. Als direkte Folgerung aus Satz 10.4.1 und Satz 8.6.2 erhalten wir das folgende Korollar 10.4.2. Sei G ⊂ Rn oﬀen, K ⊂ G kompakt und sei V ∈ C(G; R) eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur (10.11). Sei ferner z(t) eine L¨ osung von (10.11) mit γ+ (z) ⊂ K, welche ein normal stabiles oder ein normal hyperbolisches Equilibrium z∗ in ihrer Limesmenge ω+ (z) hat. Dann konvergiert z(t) f¨ ur t → ∞ gegen z∗ ∈ E. Liegt z(t) ferner in der instabilen Mannigfaltigkeit eines Sattelpunktes, so ist z(t) ein heteroklines Orbit. Beweis. Nach Satz 8.6.2 gilt dist(z(t), E) → 0 f¨ ur t → ∞, d.h. wir k¨onnen die Distanz der L¨osung zur Menge der Equilibria f¨ ur hinreichend großes t kontrollieren. Ferner existiert zu dem normal stabilen bzw. normal hyperbolischen Equilibrium z∗ ∈ ω+ (z) eine Folge (tk ), sodass z(tk ) → z∗ f¨ ur k → ∞ gilt. W¨ahlt man nun tk hinreichend groß, so impliziert Satz 10.3.1 bzw. Satz 10.4.1 die erste Behauptung. Da V eine strikte Ljapunov-Funktion ist, folgt die zweite Behauptung aus Satz 10.1.1.

10.5 Teilchen im Potentialfeld mit D¨ampfung Seien φ : Rn → R aus C 2 und g : Rn → Rn aus C 1 , mit g(0) = 0. Das Problem u ¨ + g(u) ˙ + ∇φ(u) = 0, u(0) = u0 ,

u(0) ˙ = u1 ,

(10.38)

ist mit x := [x1 , x2 ]T := [u, u] ˙T¨ aquivalent zum System x˙ = f (x), wobei f (x) = [u, ˙ −g(u) ˙ − ∇φ(u)]T = [x2 , −g(x2 ) − ∇φ(x1 )]T ist. Die Menge E der Equilibria dieses Systems besteht aus Paaren der Form (x1 , 0), wobei x1 kritischer Punkt von φ ist. Als Ljapunov-Funktion betrachten wir die Energie 1 V (x) = |x2 |22 + φ(x1 ); 2 die Beziehung d V (x(t)) = −(g(x2 (t))|x2 (t)) = −(g(u(t))| ˙ u(t)) ˙ dt

10.5. Teilchen im Potentialfeld mit D¨ampfung

227

l¨angs L¨osungen zeigt, dass V ein Ljapunov-Funktion ist, sofern (g(y)|y) ≥ 0 f¨ ur alle y ∈ Rn ; sie ist strikt, wenn (g(y)|y) > 0 f¨ ur alle y ∈ Rn , y = 0 gelten. Ist weiter φ koerziv, gilt also φ(u) → ∞ f¨ ur |u| → ∞, so ist jede L¨osung beschr¨ankt, und ihre Limesmengen sind somit nichtleer und liegen in E. Wir untersuchen nun, unter welchen Zusatzbedingungen ein Equilibrium x∗ = (u∗ , 0) normal stabil bzw. normal hyperbolisch ist. Dazu untersuchen wir die Menge der kritischen Punkte von φ nahe bei u∗ . Hier gibt es prinzipiell zwei F¨alle zu unterscheiden: (a) ∇2 φ(u∗ ) ist nicht singul¨ ar. In diesem Fall ist das Equilibrium isoliert in E. (b) ∇2 φ(u∗ ) ist singul¨ ar. In diesem Fall ist u∗ typischerweise nicht isoliert, die kritischen Punkte von φ bilden eine Mannigfaltigkeit. Wir nennen u∗ nicht ausgeartet, wenn der Tangentialraum dieser Mannigfaltigkeit mit dem Kern von ∇2 φ(u∗ ) u ¨bereinstimmt. Sei konkreter φ(u) = ϕ(|u|22 ), wobei ϕ : R+ → R+ aus C 2 sei, mit ϕ(1) = 0, ϕ (1) = 0, ϕ (1) > 0, ϕ (r) = 0 f¨ ur r = 1. Die Einheitssph¨are S1 besteht dann aus strikten Minima des Potentials, 0 ist ein lokales Maximum, und es gibt keine weiteren kritischen Punkte von φ. Das typische Beispiel ist das Double-Well-Potential φ(u) = 14 (|u|22 − 1)2 . In dieser Situation ist ∇φ(u) = 2ϕ (|u|22 )u, und ∇2 φ(u) = 2ϕ (|u|22 )I + 4ϕ (|u|22 )u ⊗ u, also ist ∇2 φ(0) = 2ϕ (0)I negativ deﬁnit da ϕ (0) < 0 gilt, und ∇2 φ(u) = 4ϕ (1)u ⊗ u f¨ ur u ∈ S1 . Damit ist 0 Eigenwert von ∇2 φ(u) der geometrischen Vielfachheit n − 1 f¨ ur jedes u ∈ S1 , und der Kern besteht aus allen Vektoren v mit (u|v) = 0; das ist genau der Tangentialraum an S1 in u. Die Annahme ϕ (1) > 0 ist dabei wesentlich, ansonsten ist jeder Punkt auf der S1 ausgeartet. Insbesondere 1 ist f¨ ur φ(u) = 2k (|u|22 − 1)k im Fall k ≥ 3 jeder Punkt u ∈ S1 ausgeartet. Um die Bedeutung von nicht ausgeartet im allgemeinen Fall genauer zu verstehen, sei B = ∇2 φ(u∗ ), und sei k = dim N (B). Da B symmetrisch ist, gilt Cn = N (B) ⊕ R(B) und die Zerlegung ist orthogonal. Wir w¨ahlen eine Basis T = [τ1 , . . . , τk ] von N (B) und eine Basis N = [ν1 , . . . , νn−k ] von R(B), und betrachten die Gleichung h(r, s) := N T ∇φ(u∗ + T r + N s) = 0. h : Rk × Rn−k → Rn−k ist aus C 1 , es gilt h(0, 0) = 0 und ∂s h(0, 0) = N T BN ist invertierbar. Der Satz u ¨ber implizite Funktionen ergibt eine C 1 -Funktion s : n−k Bρ (0) → R mit s(0) = 0 und h(r, s(r)) = 0 f¨ ur alle r ∈ Bρ (0). Ferner gilt 0 = N T BT + N T BN s (0), also s (0) = 0. Damit ist die Gleichung ∇φ(u) = 0 f¨ ur die Equilibria nahe u∗ ¨ aquivalent zu T T ∇φ(u∗ + T r + N s(r)) = 0,

(10.39)

228

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

und eine C 1 -Parametrisierung der L¨ osungsmenge nahe u∗ ist durch die Abbildung r → u∗ + T r + N s(r) gegeben. Nun kann man schließen, dass u∗ genau dann nicht ausgeartet ist, wenn (10.39) f¨ ur alle r ∈ Bδ (0) ⊂ Rk mit einem δ > 0 erf¨ ullt ist. Als n¨achstes betrachten wir die Linearisierung A = f (u∗ , 0), also A=

0 −∇2 φ(u∗ )

I −g (0)

.

λ = 0 ist genau dann ein Eigenwert von A, falls B = ∇2 φ(u∗ ) singul¨ar ist. Der Kern von A besteht aus den Vektoren [v, 0]T , wobei v ∈ N (B) ist. Sei als n¨achstes [v, w]T ∈ N (A2 ). Dann gelten Bv + g (0)w = 0

und

Bw = 0.

Multiplikation der ersten Gleichung mit w, ¯ der zweiten mit v¯, und Subtraktion f¨ uhrt auf (g (0)w|w) = 0. Die Annahme (g (0)y|y) ≥ η|y|22

f¨ ur alle y ∈ Rn ,

mit einem η > 0, ergibt dann w = 0 und somit auch Bv = 0, d.h. [v, w]T ∈ N (A). Daher ist 0 halbeinfach. Sei λ = σ +iρ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor [v, w]T . Dann gilt w = λv und λw + g (0)w + Bv = 0, also λ2 v + λg (0)v + ∇2 φ(u∗ )v = 0. Multipliziere skalar mit v¯ und zerlege in Real- und Imagin¨arteil, um (σ 2 − ρ2 )|v|22 + σRe(g (0)v|v) − ρIm(g (0)v|v) + (Bv|v) = 0, und 2σρ|v|22 + ρRe(g (0)v|v) + σIm(g (0)v|v) = 0 zu erhalten, denn die Matrix B ist symmetrisch. Ist nun die obige Annahme f¨ ur g (0) erf¨ ullt, so zeigt die zweite Gleichung, dass es auf der imagin¨aren Achse außer λ = 0 keine Eigenwerte gibt. Daher ist das Equilibrium x∗ normal hyperbolisch, falls u∗ nicht ausgeartet ist. Multiplikation der ersten Gleichung mit σ, der zweiten mit ρ und Addition f¨ uhrt auf σ(σ 2 + ρ2 )|v|22 + (σ 2 + ρ2 )Re(g (0)v|v) + σ(Bv|v) = 0. Ist B = ∇2 φ(u∗ ) positiv semideﬁnit, so zeigt diese Gleichung, dass es in der oﬀenen rechten Halbebene σ > 0 keine Eigenwerte gibt. In diesem Fall ist x∗ daher normal stabil, falls u∗ nicht ausgeartet ist. Wir fassen das Bewiesene in folgendem Satz zusammen.

10.5. Teilchen im Potentialfeld mit D¨ampfung

229

Satz 10.5.1. Sei φ ∈ C 2 (Rn ; R), g ∈ C 1 (Rn ; Rn ), g(0) = 0 und es gelte mit einem η>0 (g (0)y|y) ≥ η|y|2 , f¨ ur alle y ∈ Rn . Sei u∗ ein kritischer Punkt von φ und x∗ = (u∗ , 0) ∈ E sei das zugeh¨ orige Equilibrium von (10.38). Dann gelten 1. Ist ∇2 φ(u∗ ) nicht singul¨ ar, dann ist x∗ ∈ E ein hyperbolischer Punkt von (10.38), also asymptotisch stabil, falls ∇2 φ(u∗ ) positiv deﬁnit und ein Sattelpunkt, falls ∇2 φ(u∗ ) indeﬁnit ist. 2. Ist ∇2 φ(u∗ ) singul¨ ar, aber u∗ nicht ausgeartet, dann ist x∗ ∈ E normal hyperbolisch, und sogar normal stabil, falls ∇2 φ(u∗ ) positiv semideﬁnit ist. 3. Sei φ zus¨atzlich koerziv und gelte (g(y)|y) > 0 f¨ ur alle y ∈ Rn \ {0}. Dann konvergiert jede L¨osung x(t) von (10.38), die ein nichtsingul¨ ares oder ein normal stabiles oder ein normal hyperbolisches Equilibrium in ihrer Limesmenge ω+ (x) hat, f¨ ur t → ∞ gegen ein Equilibrium. Beweis. Die dritte Behauptung folgt direkt aus Korollar 10.4.2 im Falle eines normal stabilen oder normal hyperbolischen Equilibriums in ω+ (x). Liegt jedoch ein nichtsingul¨ arer Punkt (u∗ , 0) ∈ ω+ (x) vor, so ist (u∗ , 0) isoliert in E, also gilt ω+ (x) = {(u∗ , 0)}, da ω+ (x) zusammenh¨ angend ist. Daraus folgt die Konvergenz der L¨osung x(t) gegen (u∗ , 0). Man vergleiche dieses Resultat mit Korollar 8.8.2 aus Abschnitt 8.8. ¨ Ubungen 1. Es gelten die Bezeichnungen aus Satz 10.1.1. Zeigen Sie, dass die Abbildung H : Xs × BrU (0) → U , deﬁniert durch t ∞ H(x, u)(t) = u(t) − eAt x − eA(t−s) Ps h(u(s))ds + eA(t−s) Pu h(u(s))ds 0

stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich (x, u) ∈

t

Xs × BrU (0),

r > 0, ist, wobei U den Banachraum

U = {u ∈ C(R+ ; Rn ) : uη = sup |u(t)|eηt/2 < ∞}, η > 0 t≥0

bezeichnet. 2. Seien Ms bzw. Mu die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit aus Satz 10.1.1. Zeigen Sie, dass im Fall Mu ∩ Ms = {z∗ } die Topologie auf Ms mit der von Rn u ¨bereinstimmt. 3. Sei G ⊂ R2 das Dreieck, welches durch die Punkte (0, 0), (1, 0) und (1, −α), α > 0 aufgespannt wird. Zeigen Sie, dass das Dreieck G f¨ ur die Fisher-Gleichung (10.9) invariant ist, falls man α > 0 geeignet w¨ ahlt.

230

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

4. Gegeben sei das System von Diﬀerentialgleichungen (∗)

x˙ = ϕ(|x|2 )x,

mit einer C 1 -Funktion ϕ : [0, ∞) → R. (a) Bestimmen Sie alle Equilibria von (∗). (b) Charakterisieren Sie normal stabil bzw. normal hyperbolisch f¨ ur (∗). 5. Zeigen Sie f¨ ur die Huxley-Gleichung ∂s u = Δu + f (u), mit f (r) = r(1 − r)(r − a), r ∈ R, a ∈ (0, 1/2) die Existenz einer Wellenfront.

Kapitel 11

Periodische L¨ osungen In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit der Existenz periodischer L¨osungen der Diﬀerentialgleichung x˙ = A(t)x + b(t), mit τ -periodischen Funktionen A ∈ C(R; Rn×n ) und b ∈ C(R; Rn ). Wir untersuchen ferner das Stabilit¨ atsverhalten periodischer L¨osungen der Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x) f¨ ur τ -periodische Funktionen f (t + τ, x) = f (t, x), welche stetig in t und stetig diﬀerenzierbar in x sind. Wir werden sehen, dass sich das Stabilit¨atsverhalten grundlegend ¨ andert, wenn man die Funktion f (t, x) durch eine autonome Funktion f (x) ersetzt. Bevor wir mit der eigentlichen Existenz- und Stabilit¨atstheorie periodischer L¨osungen starten k¨ onnen, ben¨ otigen wir den Funktionalkalk¨ ul und beweisen außerdem den spektralen Abbildungssatz f¨ ur beschr¨ankte lineare Operatoren in Cn .

11.1 Der Funktionalkalku ¨l Sei A ∈ Cn×n und f : U → C holomorph in einer oﬀenen Umgebung U ⊃ σ(A). Diese Funktionen bilden eine Algebra, die wir mit H(U ) bezeichnen. F¨ ur solche f l¨asst sich in eindeutiger Weise ein f (A) ∈ Cn×n deﬁnieren. Die Abbildung Φ : H(U ) → Cn×n , f → f (A), heißt Funktionalkalk¨ ul. Sie besitzt sehr sch¨one Eigenschaften, die in der Analysis sehr n¨ utzlich sind. Ist U = BR (0) ⊃ σ(A) eine Kugel so besitzt f ∈ H(U ) eine Potenzreihenk darstellung f (z) = k≥0 fk z , deren Konvergenzradius ≥ R ist. Dann ist die Deﬁnition f (A) = fk A k k≥0

nat¨ urlich, und diese Reihe ist absolut konvergent, da der Spektralradius r(A) von A kleiner als R ist. Ein Beispiel, dass wir schon in Kapitel 3 betrachtet haben, ist

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_11, © Springer Basel AG 2010

232

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

ft(z) = ezt , mittels der Exponentialreihe hatten wir ein Fundamentalsystem f¨ ur die Gleichung x˙ = Ax gefunden. Allgemeiner hilft hier die folgende Konstruktion, die auf Funktionentheorie basiert. Sei U ⊃ σ(A) ﬁxiert. W¨ ahle eine rechtsorientierte Jordan-Kurve Γ ⊂ U \ σ(A) so, dass die Windungszahl n(Γ, λ) = 1 f¨ ur jedes λ ∈ σ(A) ist. Solche Kurven nennen wir zul¨ assig. Γ muss nicht unbedingt zusammenh¨angend sein, z.B. k¨onnte Γ aus r kleinen Kreisen um die Eigenwerte λ1 , . . . , λr von A bestehen. F¨ ur f ∈ H(U ), deﬁnieren wir

f (A) =

1 2πi

f (z)(z − A)−1 dz.

(11.1)

Γ

Man beachte, dass die Resolvente (z − A)−1 von A auf der Resolventenmenge, also der oﬀenen Menge ρ(A) = C \ σ(A) wohldeﬁniert und holomorph ist. Daher ist diese Deﬁnition unabh¨ angig von der speziellen Wahl von Γ, ein Dankesch¨on an den Integralsatz von Cauchy. Ist f holomorph in BR (0), R > r(A), so kann man als Kurve Γ den Kreis Γ = ∂Br (0) w¨ahlen, wobei r(A) < r < R ist. Ist f (z) = k≥0 fk z k die Potenzreihe von f , so folgt

f (z) =

1 2πi

f (z)(z − A)−1 dz =

Γ

fk Ak =

k≥0

fk Ak ,

k≥0

denn es ist Ak :=

1 2πi

z k (z − A)−1 dz = Ak ,

k ∈ N0 ,

Γ

was man leicht mittels der Identit¨ at z(z − A)−1 = I + A(z − A)−1 , dem Integralsatz von Cauchy und Induktion sieht. Daher ist die Deﬁnition von f (A) in (11.1) konsistent mit der f¨ ur Potenzreihen. Die Abbildung Φ : H(U ) → Cn×n deﬁniert durch Φ(f ) = f (A) ist oﬀenbar linear und stetig. Sie ist aber auch multiplikativ und daher ein Algebrenhomomorphismus. Dies sieht man folgendermaßen: Sei Γ eine weitere zul¨assige Kurve, sodass Γ innerhalb von Γ liegt; es ist dann n(Γ, z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Γ , und n(Γ , z) = 1 f¨ ur alle z ∈ Γ. Sind nun f, g ∈ H(U ), so gilt mit der Resolventengleichung (z − A)−1 (w − A)−1 = (w − z)−1 [(z − A)−1 − (w − A)−1 ], dem Satz von Fubini und dem Residuensatz:

11.1. Der Funktionalkalk¨ ul

233

1 f (z)g(w)(z − A)−1 (w − A)−1 dwdz (2πi)2 Γ Γ 1 = f (z)g(w)(w − z)−1 (z − A)−1 dwdz (2πi)2 Γ Γ 1 − f (z)g(w)(w − z)−1 (w − A)−1 dwdz (2πi)2 Γ Γ 1 = f (z)[ g(w)(w − z)−1 dw](z − A)−1 dz (2πi)2 Γ Γ 1 − g(w)[ f (z)(w − z)−1 dz](w − A)−1 dw (2πi)2 Γ Γ 1 = f (z)g(z)(z − A)−1 dz = (f · g)(A). 2πi Γ

f (A)g(A) =

Insbesondere ist die Algebra Φ(H(U )) ⊂ Cn×n kommutativ. Die Tatsache, dass Φ ein Algebrenhomomorphismus ist, hat wichtige Konsequenzen. Dazu sei λ ∈ σ(A) und Av = λv, v = 0. Dann ist (z −A)−1 v = (z −λ)−1 v f¨ ur z ∈ ρ(A). Folglich gilt mit der Cauchyformel 1 f (A)v = f (z)(z − λ)−1 vdz = f (λ)v. 2πi Γ Damit ist f (λ) Eigenwert von f (A), d.h. es gilt f (σ(A)) ⊂ σ(f (A)). Sei umgekehrt μ ∈ C, μ ∈ f (σ(A)). Dann ist die Funktion g(z) = 1/(μ − f (z)) in einer Umgebung U von σ(A) holomorph, und mit der Multiplikativit¨at des Funktionalkalk¨ uls erhalten wir g(A)(μ − f (A)) = [g · (μ − f )](A) = 1(A) = I, also ist μ − f (A) invertierbar. Damit haben wir den Spektralabbildungssatz bewiesen: σ(f (A)) = f (σ(A)), f¨ ur alle f ∈ H(U ). (11.2) Sei nun allgemeiner (λ − A)k v = 0. Mittels Induktion folgt dann k−1

(z − A)−1 v =

(−1)j (z − λ)−j−1 (λ − A)j v,

j=0

und daher mit Cauchy’s Integralformel f (A)v =

k−1

(−1)j [

j=0

=

k−1 j=0

(−1)j

1 2πi

f (z)(z − λ)−j−1 dz](λ − A)j v

Γ

f (j) (λ) (λ − A)j v. j!

234

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

Speziell f¨ ur k = 2 ergibt dies (f (λ) − f (A))v = f (λ)(λ − A)v,

(f (λ) − f (A))2 v = (f (λ))2 (λ − A)2 v. (11.3)

Es folgt f (A)N ((λ − A)k ) ⊂ N ((λ − A)k ) f¨ ur alle k ∈ N, insbesondere l¨asst f (A) alle verallgemeinerten Eigenr¨ aume von A invariant. Sei nun jedes λ ∈ σ(A) mit f (λ) = μ halbeinfach f¨ ur A, und sei f (λ) = 0 −1 2 auf f (μ) ∩ σ(A). Ist (μ − f (A)) v = 0, so folgt (μ − f (A))2 vj = 0 f¨ ur jedes vj ∈ N (λj ), f (λj ) = μ, da die verallgemeinerten Eigenr¨aume linear unabh¨angig sind. (11.3) impliziert (λj − A)2 vj = 0 also (λj − A)vj = 0 und dann mit (11.3) auch (μ − f (A))vj = 0. Daher ist der Eigenwert μ halbeinfach f¨ ur f (A). Ebenso sieht man die Umkehrung: Ist (λ − A)2 v = 0 f¨ ur ein λ ∈ f −1 (μ), dann mit (11.3) (μ − f (A))2 v = 0. Ist μ halbeinfach f¨ ur f (A) so folgt (μ − f (A))v = 0 und dann mit (11.3) und f (λ) = 0 auch (λ − A)v = 0. Wir fassen das bewiesene im folgenden Satz zusammen. Satz 11.1.1. Sei A ∈ Cn×n , und U ⊃ σ(A) oﬀen. Dann ist der Funktionalkalk¨ ul Φ : H(U ) → Cn×n deﬁniert durch 1 Φ(f ) = f (A) := f (z)(z − A)−1 2πi Γ ein Algebrenhomomorphismus. Die Abbildung Φ hat die folgenden Eigenschaften: 1. φ(H(U )) ist eine kommutative Unteralgebra von Cn×n . 2. Es gilt Φ(z k ) = Ak f¨ ur alle k ∈ N0 . 3. f (A)N ((λ − A)k )) ⊂ N ((λ − A)k ) f¨ ur alle k ∈ N, λ ∈ σ(A), f ∈ H(U ). 4. σ(f (A)) = f (σ(A)) f¨ ur alle f ∈ H(U ) (Spektralabbildungssatz). 5. Gelte f (λ) = 0 f¨ ur alle λ ∈ f −1 (μ) ∩ σ(A). (a) μ ist genau dann halbeinfacher Eigenwert f¨ ur f (A), wenn jedes λ ∈ f −1 (μ) ∩ σ(A) halbeinfach f¨ ur A ist. 7 (b) Es gilt N (μ − f (A)) = f (λ)=μ N (λ − A).

11.2 Floquet-Theorie Seien A ∈ C(R; Rn×n ) und b ∈ C(R; Rn ) τ -periodisch. In diesem Abschnitt untersuchen wir das lineare System x˙ = A(t)x + b(t),

x(0) = x0 ,

(11.4)

und das zugeh¨orige lineare homogene System y˙ = A(t)y,

y(0) = y0 .

(11.5)

11.2. Floquet-Theorie

235

Es sei Y (t) ein reelles Fundamentalsystem f¨ ur (11.5), es gelte also det Y (0) = 0 und Y˙ (t) = A(t)Y (t), t ∈ R. Nach Lemma 3.1.2 erf¨ ullt die Funktion ϕ(t) = det Y (t) die Diﬀerentialgleichung ϕ˙ = sp A(t)ϕ, (11.6) insbesondere ist ϕ(t) = 0 f¨ ur alle t ∈ R. Auf Grund der Periodizit¨at von A(t) ist Z(t) = Y (t + τ ) wieder ein Fundamentalsystem f¨ ur (11.5), denn es ist det Z(0) = det Y (τ ) = ϕ(τ ) = 0 und ˙ Z(t) = Y˙ (t + τ ) = A(t + τ )Y (t + τ ) = A(t)Z(t), t ∈ R. Daher gibt es eine Matrix M ∈ Rn×n mit der Eigenschaft Y (t + τ ) = Y (t)M und det M = 0. Ist Z(t) ein weiteres Fundamentalsystem, so gilt einerseits Z(t + τ ) = ˜ mit einer regul¨ ˜ ∈ Rn×n und andererseits Z(t) = Y (t)C, Z(t)M aren Matrix M det C = 0, folglich ˜. Z(t + τ ) = Y (t + τ )C = Y (t)M C = Z(t)C −1 M C = Z(t)M ¨ Die Matrix M ist also bis auf Ahnlichkeitstransformationen eindeutig bestimmt. Sei Y0 (t) das Fundamentalsystem von (11.5) mit Y0 (0) = I. Die zugeh¨orige Matrix M0 = Y0 (τ ), die also der Relation Y0 (t + τ ) = Y0 (t)M0 gen¨ ugt, heißt Monodromie-Matrix von (11.5) und ihre Eigenwerte μ1 , . . . , μr heißen FloquetMultiplikatoren. Man beachte, dass die Beziehung r 8

κ

μj j = det Y0 (τ ) = e

τ 0

sp A(t)dt

> 0,

(11.7)

j=1

gilt, wobei κj die algebraische Vielfachheit von μj angibt. Insbesondere sind alle Eigenwerte der Matrix M0 von Null verschieden. Da A(t) hier als reell angenommen wurde, ist die Anzahl aller negativen Eigenwerte μj (mit Vielfachheit gez¨ahlt) gerade. Ist vj ein Eigenvektor von M0 zum Eigenwert μj , so erf¨ ullt die L¨osung yj (t) = Y0 (t)vj die Diﬀerentialgleichung (11.5) und es ist yj (τ ) = μj vj . Man kann die Floquet-Multiplikatoren auch auf diese Weise deﬁnieren. F¨ ur die eigentliche Floquet-Theorie ben¨otigen wir nun die Tatsache, dass jede invertierbare Matrix M einen Logarithmus in folgendem Sinne besitzt. Es existiert eine Matrix L ∈ Cn×n mit M = eL . Die Matrix L ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt und komplex-wertig. Man erh¨alt eine solche Matrix L mit dem Funktionalkalk¨ ul 1 log M = (z − M )−1 log zdz. (11.8) 2πi Γ Dabei ist z.B. log z der Hauptzweig des komplexen Logarithmus und Γ bezeichnet eine Jordan-Kurve, welche alle Eigenwerte λ ∈ σ(M ) rechtssinnig umrundet, sodass die 0 im Außengebiet von Γ liegt. Eine solche Kurve Γ existiert stets, da det M = 0 gilt. Je nach Wahl von Γ erh¨ alt man unterschiedliche Logarithmen.

236

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

Wesentlich schwieriger gestaltet sich die Frage, ob eine reelle Matrix M mit det M = 0 einen reellen Logarithmus besitzt. Schon das eindimensionale Beispiel M = −1 zeigt, dass die Antwort auf diese Frage im Allgemeinen negativ ausf¨allt. Tats¨achlich ist det M > 0 eine notwendige Bedingung f¨ ur die Existenz eines reellen Logarithmus von M . Denn ist M reell und existiert eine reelle Matrix L mit M = eL , so folgt det M = det eL = esp L > 0. Die Bedingung det M > 0 ist aber keineswegs hinreichend, wie das Beispiel −α 0 M= , α, β > 0, α = β, 0 −β ¨ aus Ubung 11.1 zeigt. Dass die Verh¨ altnisse f¨ ur Monodromie-Matrizen nicht besser sind, zeigt das Beispiel. x ¨ + (cos2 t − 2)x˙ + (2 − cos2 t + sin t cos t)x = 0. Die dazugeh¨orige Matrix f¨ ur das ¨ aquivalente System erster Ordnung ist durch 0 1 A(t) = −2 + cos2 t − sin t cos t 2 − cos2 t gegeben. Die Matrix A(t) ist τ -periodisch, mit der Periode τ = π. Man rechnet leicht nach, dass eine L¨ osung durch die Funktion x1 (t) = et cos t gegeben ist. Nun t ist x˙ 1 (t) = e (cos t − sin t), also x1 (π) π cos π π 1 π x1 (0) =e = −e = −e , x˙ 1 (π) cos π 1 x˙ 1 (0) das heißt, μ1 = −eπ ist ein Floquet-Multiplikator. Den zweiten Multiplikator erh¨alt man aus dem Ansatz μ1 μ2 = det M = e

π 0

sp A(s)ds

= e2π−

π 0

cos2 sds

= e3π/2 ,

also μ2 = −eπ/2 . Die Monodromie-Matrix M ist daher ¨ahnlich zu π −e 0 , 0 −eπ/2 und wie wir gerade gesehen haben, gibt es zu dieser Matrix keinen reellen Logarithmus. Es d¨ urfte nun klar geworden sein, dass das Problem mit dem reellen Logarithmus bei den negativen Eigenwerten von M liegt. Besitzt M keine negativen ¨ Eigenwerte, so existiert stets zu reellem M ein reeller Logarithmus. Aus Ubung 11.2 folgt, dass die Matrix deﬁniert durch 1 log M = (λ − M )−1 log λdλ, 2πi Γ1

11.2. Floquet-Theorie

237

reell ist, wobei Γ1 eine Jordan-Kurve bezeichnet, die alle Eigenwerte von M rechtssinnig umrundet, sodass (−∞, 0] im ¨ außeren von Γ1 liegt und Γ1 symmetrisch zur reellen Achse ist; vgl. Abb. 11.1.

Abbildung 11.1: Integrationsweg Γ1 Wir haben somit die ersten zwei Aussagen des folgenden Lemmas erhalten. Lemma 11.2.1. 1. Sei M ∈ Cn×n mit det M = 0. Dann gibt es ein L ∈ Cn×n mit M = eL . 2. Sei M ∈ Rn×n mit σ(M ) ∩ (−∞, 0] = ∅ und det M > 0. Dann gibt es ein L ∈ Rn×n mit M = eL . 3. Sei M ∈ Rn×n mit det M > 0. Genau dann existiert ein L ∈ Rn×n mit M = eL , wenn es ein B ∈ Rn×n gibt, mit B 2 = M . Insbesondere gibt es zu jedem M ∈ Rn×n mit det M = 0 ein R ∈ Rn×n mit M 2 = eR . Beweis. Es bleibt nur noch die Aussage 3 zu beweisen. Seien M, L ∈ Rn×n mit 1 unschte, denn B 2 = M = eL . Dann leistet die Matrix B = e 2 L ∈ Rn×n das gew¨ L e = M. Sei umgekehrt B ∈ Rn×n mit B 2 = M ∈ Rn×n gegeben, sodass det M > 0 ist. Wir deﬁnieren eine Projektion P1 durch P1 =

1 2πi

(λ − B)−1 dλ, Λ

wobei Λ den in Abb. 11.2 gezeigten Integrationsweg in C bezeichnet und P2 = I − P1 .

238

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

Abbildung 11.2: Integrationsweg Λ Λ ist symmetrisch zur reellen Achse, also sind die Projektionen reell. Mit Hilfe von P1 zerlegen wir den Raum Rn wie folgt. Es gilt Rn = X1 ⊕ X2 mit X1 = R(P1 ) und X2 = R(P2 ) und die Matrix B l¨ asst die R¨aume Xj invariant, d.h. BX1 ⊂ X1 , BX2 ⊂ X2 . Ferner gilt σ(B|X1 ) ⊂ iR \ {0} und σ(B|X2 ) ∩ iR = ∅. Wegen B 2 = M , reduziert diese Zerlegung auch die Matrix M und es gilt σ(M |X1 ) ⊂ (−∞, 0) sowie σ(M |X2 ) ∩ (−∞, 0] = ∅. Nach Aussage 2 existiert f¨ ur M |X2 ∈ B(X2 ) eine Matrix L2 ∈ Rn×n mit M |X2 = eL2 und ebenso existiert nach 2. f¨ ur B|X1 ∈ B(X1 ) ein L1 ∈ Rn×n mit B|X1 = eL1 , denn det M |X2 und det B|X1 sind positiv, da die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist. Wir setzen L = 2L1 P1 + L2 P2 = 2L1 ⊕ L2 . Dann gilt 2 eL = e2L1 ⊕ eL2 = eL1 ⊕ eL2 = B 2 P1 + M P2 = M P1 + M P2 = M, denn wegen LPj = Pj L, j = 1, 2, zerlegen die Projektionen auch eL .

Wir k¨onnen nun den Hauptsatz der Floquet-Theorie formulieren. Satz 11.2.2 (Floquet). 1. Sei A ∈ C(R, Cn×n ) τ -periodisch und Y0 (t) sei das Fundamentalsystem von (11.5) mit Y0 (0) = I. Dann existiert ein B ∈ Cn×n und ein τ -periodisches R ∈ C 1 (R, Cn×n ) derart, dass die Darstellung Y0 (t) = R(t)eBt ,

t∈R

(11.9)

gilt. Die Transformation z(t) = R−1 (t)x(t) f¨ uhrt das System (11.4) in das System z˙ = Bz + c(t), z(0) = z0 (11.10) u ¨ber, mit z0 = x0 und c(t) = R−1 (t)b(t). Es gilt ferner R˙ = AR − RB,

t ∈ R,

R(0) = I.

(11.11)

11.2. Floquet-Theorie

239

Ist A(t) reell und kein Floquet-Multiplikator negativ, so k¨ onnen B und R(t) reell gew¨ ahlt werden. 2. Sei A ∈ C(R, Rn×n ) τ -periodisch und Y0 (t) sei das reelle Fundamentalsystem von (11.5) mit Y0 (0) = I. Dann existiert ein B ∈ Rn×n und ein 2τ periodisches R ∈ C 1 (R, Rn×n ) derart, dass die reelle Darstellung Y0 (t) = R(t)eBt ,

t ∈ R,

(11.12)

gilt. Die Gleichungen (11.10) und (11.11) gelten auch in diesem Fall. Beweis. 1. Sei B = τ1 log M0 und R(t) = Y0 (t)e−Bt . Dann ist R stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich t und es gilt R(t + τ ) = Y0 (t + τ )e−B(t+τ ) = Y0 (t)(M0 e−Bτ )e−Bt = Y0 (t)e−Bt = R(t), das heißt, R ist τ -periodisch. Ferner gilt ˙ R(t) = Y˙ 0 (t)e−Bt − Y0 (t)e−Bt B = A(t)R(t) − R(t)B,

t ∈ R,

und die Transformation z(t) = R−1 (t)x(t) ergibt die Diﬀerentialgleichung z(t) ˙ =

d −1 R (t) x(t) + R−1 (t)x(t) ˙ dt −1 ˙ = −R−1 (t)R(t)R (t)x(t) + R−1 (t)(A(t)x(t) + b(t)) = Bz(t) + c(t).

2. Sei nun A(t) reellwertig. Es gilt Y0 (2τ ) = Y0 (τ )M0 = M02 , da Y0 (τ ) = M0 ist. Nach Lemma 11.2.1 existiert ein reeller Logarithmus log M02 . Setzen wir nun 1 B = 2τ log M02 ∈ Rn×n , so ist die reelle matrixwertige Funktion R(t) = Y0 (t)e−Bt 2τ -periodisch, denn R(t + 2τ ) = Y0 (t + 2τ )e−Bt e−B2τ = Y0 (t)e−Bt M02 e−B2τ = R(t). Die Transformation z(t) = R−1 (t)x(t) liefert dann (11.10) und R(t) erf¨ ullt die reelle Diﬀerentialgleichung (11.11). Aus der Darstellung M0 = eBτ und dem spektralen Abbildungssatz folgt die Beziehung μ = eλτ f¨ ur μ ∈ σ(M0 ) und λ ∈ σ(B). Die Eigenwerte von B heißen Floquet-Exponenten von (11.5). Im Gegensatz zu den Floquet-Multiplikatoren sind diese jedoch nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2πi/τ eindeutig bestimmt. Korollar 11.2.3. Sei A ∈ C(R, Rn×n ) τ -periodisch und M0 sei die MonodromieMatrix von (11.5). Dann gilt: 1. y = 0 ist genau dann stabil f¨ ur (11.5), wenn (a) |μ| ≤ 1 f¨ ur alle μ ∈ σ(M0 ) gilt; (b) |μ| = 1 f¨ ur μ ∈ σ(M0 ) impliziert, dass μ halbeinfach ist.

240

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

2. y = 0 ist genau dann asymptotisch stabil f¨ ur (11.5), wenn |μ| < 1 f¨ ur alle μ ∈ σ(M0 ) gilt. Beweis. Wir u uhren zun¨ achst das System (11.5) mit Hilfe von Satz 11.2.2 ¨ berf¨ in ein System mit einer reellen konstanten Koeﬃzientenmatrix B. Da R(t) und R−1 (t) stetig und beschr¨ ankt sind, folgen die Behauptungen aus Korollar 5.3.2 und der Eigenschaft σ(M02 ) = σ(M0 )2 = eσ(B)2τ .

11.3 Lineare periodische Gleichungen In Anwendungen ist es im Allgemeinen schwierig, wenn nicht sogar unm¨oglich, die Floquet-Faktorisierung (11.9) zu erhalten. Bereits die Bestimmung der FloquetMultiplikatoren und damit die Bestimmung der Matrizen M0 und B erweist sich als kompliziert. Andererseits ist Satz 11.2.2 von großem theoretischen Interesse, da der Fall einer periodischen Matrix A(t) auf den Fall einer konstanten Matrix zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Zur Illustration dieser Methode beweisen wir den Satz 11.3.1. Sei A ∈ C(R, Rn×n ) τ -periodisch und μj , j ∈ {1, . . . , r} seien die Floquet-Multiplikatoren von (11.5). Dann gelten die folgenden Aussagen. 1. Genau dann besitzt das System (11.5) eine nichttriviale τ -periodische L¨ osung, wenn μj = 1 f¨ ur ein j ∈ {1, . . . , r} gilt. 2. Genau dann besitzt das System (11.5) eine nichttriviale mτ -periodische L¨ osung, wenn μm ur ein j ∈ {1, . . . , r} gilt. Das heißt, μj ist eine j = 1 f¨ m-te Einheitswurzel. 3. Genau dann besitzt das System (11.5) eine nichttriviale beschr¨ ankte L¨ osung, wenn |μj | = 1 f¨ ur ein j ∈ {1, . . . , r} gilt. 4. Genau dann besitzt das System (11.4) zu jedem τ -periodischen b ∈ C(R, Rn×n ) genau eine τ -periodische L¨ osung, wenn μj = 1 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , r} gilt. 5. Genau dann besitzt das System (11.4) zu jedem beschr¨ ankten b ∈ C(R, Rn×n ) genau eine beschr¨ ankte L¨ osung, wenn |μj | = 1 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , r} gilt. Beweis. 1. Sei y(t) eine nichttriviale τ -periodische L¨osung von (11.5), also y(t + τ ) = y(t) f¨ ur alle t ∈ R. Ist Y0 (t) das Fundamentalsystem von (11.5) mit Y0 (0) = I, so gilt y(t) = Y0 (t)y(0). Das impliziert aber y(0) = y(τ ) = M0 y(0). Daher ist y(0) ein Eigenvektor von M0 zum Eigenwert μ = 1, denn wegen der Eindeutigkeit der L¨osungen von (11.5) gilt y(0) = 0. Sei umgekehrt 1 ∈ σ(M0 ), v = 0 ein Eigenvektor zum Eigenwert μ = 1 und sei y(t) = Y0 (t)v die eindeutig bestimmte L¨ osung von (11.5) zum Anfangswert v. Es gilt y(t + τ ) = Y0 (t + τ )v = Y0 (t)M0 v = Y0 (t)v = y(t), das heißt, y(t) ist τ -periodisch. Die Aussage 2 beweist man analog.

11.3. Lineare periodische Gleichungen

241

3. F¨ ur den Beweis dieser Aussage machen wir uns Satz 11.2.2 zunutze. Demnach k¨onnen wir das System (11.5) mittels der Transformation z(t) = R−1 (t)y(t) in das reelle autonome System z˙ = Bz u uhren. Ist nun |μ| = 1 f¨ ur ein ¨berf¨ μ ∈ σ(M0 ), so ist μ2 ∈ σ(M02 ) und |μ2 | = 1. Wegen σ(M02 ) = e2τ σ(B) existiert also ein λ ∈ σ(B) mit Re λ = 0. Sei v = 0 der zu diesem λ geh¨orige Eigenvektor. Dann ist z(t) = eλt v = ei Im λt v eine L¨ osung von z˙ = Bz und es gilt |z(t)| = |v|, also ist z(t) beschr¨ ankt. Damit ist aber y(t) = R(t)z(t) eine beschr¨ankte L¨osung von (11.5). Sei nun y(t) eine nichttriviale beschr¨ ankte L¨osung von (11.5). Dann ist z(t) ebenfalls eine beschr¨ ankte L¨ osung von z˙ = Bz. Nach Satz 3.3.4 setzt sich die L¨osung z(t) als Linearkombination aus Termen der Form pj (t)eλt , λ ∈ σ(B), zusammen, wobei pj (t) Polynome vom Grad j ≤ m(λ) − 1, j ∈ N0 , mit Koeﬃzienten in Cn sind. Angenommen Re λ = 0 f¨ ur alle λ ∈ σ(B). Dann gilt |z(t)| → ∞ f¨ ur t → ∞ oder t → −∞, ein Widerspruch. Es existiert also ein λ ∈ σ(B) mit Re λ = 0. Wegen σ(M0 )2 = σ(M02 ) = e2τ σ(B) ist die Aussage 3 bewiesen. 4. Sei x(t) die einzige periodische L¨ osung von (11.4) zu gegebenem τ periodischen 0 ≡ b ∈ C(R, Rn ). Angenommen μj = 1 f¨ ur ein μj ∈ σ(M0 ), j ∈ {1, . . . , r}. Dann existiert nach Aussage 1 eine nichttriviale τ -periodische L¨osung y(t) von (11.5). Damit ist aber x1 (t) := x(t) + y(t) ebenfalls eine von x(t) verschiedene τ -periodische L¨ osung von (11.4), ein Widerspruch zur Einzigkeit von x(t). Also gilt μj = 1 f¨ ur alle μj ∈ σ(M0 ), j ∈ {1, . . . , r}. Um die Hinl¨ anglichkeit zu zeigen, betrachten wir die zu (11.5) ¨aquivalente Diﬀerentialgleichung (11.10). Nach Voraussetzung gilt μj = 1 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , r}, also λj = 2πim/τ, m ∈ Z. Es ist klar, dass wir nur die Existenz einer τ -periodischen L¨ osung zeigen m¨ ussen, denn die Eindeutigkeit ist nach 1. klar. Die L¨osungen von (11.10) sind gegeben durch

t

Bt

eB(t−s) c(s)ds.

z(t) = e z0 + 0

Um eine τ -periodische L¨ osung zu erhalten, muss z0 so bestimmt werden, dass z(τ ) = z0 gilt. Das f¨ uhrt auf die Identit¨ at

τ

z0 = eBτ z0 +

eB(τ −s) c(s)ds.

0

Nach Satz 11.2.2 gilt σ(eBτ ) = σ(M0 ), also 1 ∈ / σ(eBτ ). Daher ist die Matrix Bτ I − e invertierbar und wir k¨ onnen die obige Identit¨at nach z0 wie folgt auﬂ¨osen z0 = (I − eBτ )−1

τ

eB(τ −s)c(s)ds.

0

Schließlich erhalten wir f¨ ur die eindeutige periodische L¨osung von (11.10) die Dar-

242

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

stellung

t τ z(t) = (I − eBτ )−1 eB(t−s) c(s)ds + eB(t+τ −s) c(s)ds 0 t τ 0 = Gτ (t, s)c(s)ds, 0

wobei die Greensche Funktion G0τ durch B(t−s) , 0 Bτ −1 e Gτ (t, s) = (I − e ) eB(τ +t−s) ,

s ≤ t, s > t,

s, t ∈ [0, τ ],

deﬁniert ist. F¨ ur die τ -periodischen L¨ osungen von (11.4) ergibt sich daher die Darstellung τ

x(t) =

R(t)G0τ (t, s)R−1 (s)b(s)ds.

0

Die Funktion G(t, s) := R(t)G0τ (t, s)R−1 (s) heißt Greenscher Kern f¨ ur die Diﬀerentialgleichung (11.4). Damit ist 4. bewiesen. 5. Die Notwendigkeit ist wegen 3. und der Einzigkeit klar. Gilt nun |μj | = 1, so auch Re λj = 0 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , r}. Es bezeichne Ps die Projektion auf den stabilen Teilraum Xs von (11.10), also das Erzeugnis aller stabilen Eigenwerte λj , l¨ angs dem instabilen Teilraum Xu . Ferner sei Pu = I − Ps . Wir setzen eBt Ps , t > 0, G0 (t) = Bt −e Pu , t < 0, und

∞

z(t) = −∞

G0 (t − s)c(s)ds =

t

−∞

eB(t−s) Ps c(s)ds −

∞

eB(t−s) Pu c(s)ds.

t

Ist die Funktion b = b(t) beschr¨ ankt, so auch c = c(t). Folglich gilt mit einem η>0 t ∞ B(t−s) |z(t)| ≤ |c|∞ |e Ps |ds + |c|∞ |eB(t−s) Pu |ds −∞

≤ |c|∞ M

t

e −∞

−η(t−s)

ds +

t ∞

e

η(t−s)

ds = 2|c|∞ |M/η,

t

mit einer Konstanten M > 0, also ist z(t) beschr¨ankt. Des Weiteren l¨ost z(t) die Diﬀerentialgleichung (11.10), denn da man Diﬀerentiation und Integration aufgrund der absoluten Konvergenz der Integrale vertauschen darf, erh¨alt man t ∞ z(t) ˙ = Ps c(t) + BeB(t−s) Ps c(s)ds + Pu c(t) − BeB(t−s) Pu c(s)ds −∞

= Bz(t) + c(t),

t

11.4. Stabilit¨at periodischer L¨osungen

243

wegen Ps + Pu = I. F¨ ur die beschr¨ ankten L¨ osungen von (11.4) ergibt sich nun ∞ x(t) = G(t, s)b(s)ds, −∞

wobei G(t, s) = R(t)G0 (s)R−1 (s) der Greensche Kern f¨ ur (11.4) ist. Damit ist der Beweis des Satzes vollst¨ andig.

11.4 Stabilit¨at periodischer L¨ osungen Betrachte die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (t, x),

t ∈ R,

(11.13)

wobei f : R × G → Rn , G ⊂ Rn oﬀen, stetig in t, stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich x und τ -periodisch in t sei. Es sei ferner x∗ (t) eine τ -periodische L¨osung von (11.13) mit x∗ ([0, τ ]) ⊂ G. W¨ ahle r > 0 so klein, dass Br (x∗ (t)) ⊂ G f¨ ur alle t ∈ [0, τ ] gilt. F¨ ur die verschobene Funktion y(t) = x(t) − x∗ (t) ergibt sich dann y˙ = A(t)y + h(t, y),

t ∈ R.

(11.14)

Dabei ist A(t) = ∂x f (t, x∗ (t)) τ -periodisch und h(t, y) = f (t, x∗ (t) + y) − f (t, x∗ (t)) − ∂x f (t, x∗ (t))y,

y ∈ Br (0).

Aus dem Mittelwertsatz erhalten wir f¨ ur die τ -periodische Funktion h(t, y) die Absch¨atzung

1

|h(t, y)| ≤ |y|

|∂x f (t, x∗ (t) + θy) − ∂x f (t, x∗ (t))|dθ,

0

woraus sich wegen der Stetigkeit und τ -Periodizit¨at von ∂x f bez¨ uglich t und der Stetigkeit und τ -Periodizit¨ at der ﬁxierten Funktion x∗ (t) die Eigenschaft h(t, y) = o(|y|) f¨ ur |y| → 0, gleichm¨aßig in t, ergibt. Aus Satz 11.2.2 und Satz 5.4.1 erhalten wir nun das folgende Resultat. Satz 11.4.1. Sei f : R × G → Rn stetig in t, stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich x, τ -periodisch in t und es sei x∗ (t) eine τ -periodische L¨ osung von (11.13) mit x∗ ([0, τ ]) ⊂ G. Ferner sei A(t) = ∂x f (t, x∗ (t)), und μj , j ∈ {1, . . . , r} die FloquetMultiplikatoren der homogenen Gleichung y˙ = A(t)y. Dann gelten die folgenden Aussagen. 1. x∗ ist uniform asymptotisch stabil f¨ ur (11.13), falls |μj | < 1 f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , r} gilt.

244

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

2. x∗ ist instabil f¨ ur (11.13), falls |μj | > 1 f¨ ur ein j ∈ {1, . . . , r} gilt. Beweis. Sei R ∈ C(R, Rn×n ) die 2τ -periodische Funktion aus Satz 11.2.2. Mittels der Transformation z(t) = R−1 (t)y(t) ergibt sich die zu (11.14) ¨aquivalente reelle Gleichung z˙ = Bz + g(t, z), (11.15) mit der Funktion g(t, z) = R−1 (t)h(t, R(t)z). Es ist sofort ersichtlich, dass ebenfalls g(t, z) = o(|z|) f¨ ur |z| → 0, gleichm¨aßig in t,

(11.16)

gilt. Wegen der Gleichm¨ aßigkeit in (11.16) u ¨bertr¨agt sich der Beweis von Satz 5.4.1 auf (11.15) und der Rest folgt aus der Identit¨at σ(M0 )2 = σ(M02 ) = e2τ σ(B) . Die erste Aussage von Satz 11.4.1 ist unbefriedigend f¨ ur periodische L¨osungen autonomer Gleichungen der Form x˙ = f (x),

(11.17)

denn ist x∗ (t) eine τ -periodische, nichtkonstante L¨osung von (11.17), so ist μ1 = 1 immer ein Floquet-Multiplikator f¨ ur A(t) = f (x∗ (t)). Setzt man n¨amlich u∗ (t) = f (x∗ (t)), so ist u∗ (t) ≡ 0 und stetig diﬀerenzierbar in t. Folglich ergibt (11.17) u˙ ∗ (t) = f (x∗ (t))

d x∗ (t) = A(t)f (x∗ (t)) = A(t)u∗ (t), dt

sowie u∗ (τ ) = f (x∗ (τ )) = f (x∗ (0)) = u∗ (0), also ist u∗ (t) eine nichttriviale τ periodische L¨osung der Diﬀerentialgleichung y˙ = A(t)y und Satz 11.3.1 liefert μj = 1 f¨ ur ein j ∈ {1, . . . , r}. Daher ist der erste Teil von Satz 11.4.1 nicht auf diese Situation anwendbar. Es gilt sogar noch mehr. Eine nichtkonstante τ -periodische L¨osung von (11.17) ist niemals asymptotisch stabil. Denn mit x∗ (t) ist x∗ (t+t0 ) f¨ ur ein beliebiges t0 ∈ R wieder eine τ -periodische L¨ osung von (11.17). Folglich ist die Funktion ϕ(t) = |x∗ (t + t0 ) − x∗ (t)| ≡ 0 τ -periodisch, also ϕ(t) → 0 f¨ ur t → ∞. Da aber f¨ ur t0 → 0 der Wert ϕ(0) hinreichend klein wird, kann x∗ (t) nicht asymptotisch stabil sein. ¨ Diese Uberlegungen zeigen, dass der bisher verwendete Stabilit¨atsbegriﬀ hier nicht sinnvoll ist. Daher f¨ uhrt man die folgende Deﬁnition ein. Deﬁnition 11.4.2. Sei x∗ (t) eine τ -periodische L¨ osung von (11.17) und γ = x∗ (R) sei ihr Orbit. 1. x∗ heißt orbital stabil, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 gibt, mit dist(x(t), γ) ≤ ε f¨ ur alle t ≥ 0, falls dist(x0 , γ) ≤ δ. 2. x∗ heißt asymptotisch orbital stabil, falls x∗ orbital stabil und γ ein Attraktor f¨ ur (11.17) ist.

11.4. Stabilit¨at periodischer L¨osungen

245

Man beachte, dass orbitale Stabilit¨ at bzw. asymptotisch orbitale Stabilit¨at f¨ ur Equilibria mit den fr¨ uheren Stabilit¨ atsbegriﬀen zusammenf¨allt. Das folgende Ergebnis zeigt, dass der Begriﬀ der orbitalen Stabilit¨at das richtige Konzept f¨ ur τ -periodische L¨ osungen autonomer Gleichungen ist. Satz 11.4.3. Sei G ⊂ Rn oﬀen, f ∈ C 1 (G, Rn ) und sei x∗ (t) eine nichtkonstante τ -periodische L¨ osung von (11.17) mit dem Orbit γ. Ferner seien μ1 = 1, μ2 , . . . , μr die Floquet-Multiplikatoren von A(t) = f (x∗ (t)) mit |μj | < 1 f¨ ur j ∈ {2, . . . , r} und μ1 = 1 sei einfach. Dann ist x∗ asymptotisch orbital stabil. Es existieren ein ¯δ0 (γ) → R/Zτ mit der Eigenschaft δ0 > 0 und eine stetige Funktion a : B ¯δ0 (γ) =⇒ |x(t + a(x0 ), x0 ) − x∗ (t)| → 0 x0 ∈ B exponentiell f¨ ur t → ∞. a(x0 ) heißt asymptotische Phase von x(t, x0 ). In Worten bedeutet die Aussage des Satzes, dass es zu jedem Anfangswert x0 nahe beim periodischen Orbit eine Phase a(x0 ) gibt, mit der Eigenschaft, dass sich x(t, x0 ) f¨ ur t → ∞ asymptotisch wie die phasenverschobene periodische L¨osung x∗ (t − a(x0 )) verh¨ alt. Beweis von Satz 11.4.3. Wir f¨ uhren den Beweis in mehreren Schritten. (a) Zun¨achst konstruieren wir eine lokale Mannigfaltigkeit Mloc derart, dass alle L¨osungen von (11.17) mit Anfangswert auf Mloc f¨ ur t → ∞ exponentiell gegen den Orbit γ der nichtkonstanten periodischen L¨osung streben. Die Verschiebung u(t) = x(t) − x∗ (t) u uhrt (11.17) in das System ¨berf¨ u˙ = A(t)u + g(t, u),

(11.18)

mit der τ -periodischen Koeﬃzientenmatrix A(t) = f (x∗ (t)) und g(t, u) = f (x∗ (t) + u) − f (x∗ (t)) − f (x∗ (t))u. Gem¨aß Satz 11.2.2 erhalten wir aus der Transformation y(t) = R(t)−1 u(t) das System y˙ = By + h(t, y), (11.19) mit h(t, y) := R−1 (t)g(t, R(t)y) und einer konstanten reellen Koeﬃzientenmatrix B. Dabei ist R(t) eine reelle 2τ -periodische Funktion mit R(0) = I und es gilt M02 = e2Bτ , wobei M0 die zu A(t) geh¨ orige Monodromie-Matrix bezeichnet. Aus den Bemerkungen zu Beginn dieses Abschnittes folgt außerdem h(t, y) = o(|y|) f¨ ur |y| → 0, gleichm¨aßig in t. Nach dem spektralen Abbildungssatz besitzt die Matrix B den einfachen Eigenwert λ = 0 und r − 1 Eigenwerte λj , j ∈ {2, . . . , r}, mit negativem Realteil. Ferner gilt die Spektralzerlegung Cn = N (B) ⊕ N (λ2 ) ⊕ · · · ⊕ N (λr ) =: Xc ⊕ Xs .

246

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

Sei Ps die Projektion auf den Teilraum Xs l¨angs Xc = N (B), das heißt R(Ps ) = Xs , N (Ps ) = Xc , und sei Pc = I − Ps . Nach einer Translation und Rotation des Koordinatensystems k¨ onnen wir ferner annehmen, dass x∗ (0) = 0 und 0 = f (0) ∈ R(Pc ) gilt. Auf Xs und Xc gelten die Absch¨atzungen |eBt Ps | ≤ M e−ηt und |e−Bt Pc | ≤ M, f¨ ur t > 0 mit Konstanten M ≥ 1 und η > 0. Wir w¨ahlen ein r > 0 so klein, dass die Absch¨atzung ω |h(t, y)| ≤ |y| (11.20) M f¨ ur alle |y| ≤ r, t > 0 und f¨ ur festes ω ∈ (0, η) erf¨ ullt ist. Betrachte die Integralgleichung t ∞ y(t) = eBt z + eB(t−s) Ps h(s, y(s))ds − eB(t−s) Pc h(s, y(s))ds, (11.21) 0

t

wobei z ∈ Xs ist. Analog zum Beweis von Satz 10.1.1 existieren geeignete Zahlen δ, ρ > 0, sodass die Integralgleichung (11.21) f¨ ur jedes z ∈ BδXs (0) genau eine L¨osung y(t, z) ∈ BρU (0), ρ < r, besitzt, wobei U den Banachraum U = {u ∈ C(R+ ; Rn ) : |u|η = sup |u(t)|eηt/2 < ∞} t≥0

bezeichnet. Da die L¨ osung f¨ ur t → ∞ exponentiell f¨allt, ist y(t, z) in t diﬀerenzierbar und y(t, z) ist eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (11.19) zum Anfangswert ∞ y(0, z) = z − e−Bs Pc h(s, y(s, z))ds =: z − q(z), z ∈ BδXs (0), 0

und es gilt q(0) = q (0) = 0. Die Abbildung BδXs (0) z → z − q(z) deﬁniert eine lokale C 1 -Mannigfaltigkeit Mloc , welche wegen q (0) = 0 den Tangentialraum Xs in z = 0 besitzt. Aufgrund von 0 = f (0) ∈ Xc schneidet die periodische L¨osung x∗ (t) die lokale Mannigfaltigkeit Mloc transversal. Wegen (11.20), z ∈ Xs und y ∈ U , folgt aus Integration von (11.21) mit dem Satz von Fubini die Absch¨atzung 4M 4 4 |eηt/4 y|L1 (R+ ) ≤ |z| + ω|eηt/4 y|L1 (R+ ) + ω|eηt/4 y|L1 (R+ ) . 3η 3η η F¨ ur ein 0 < ω ≤ 3η/32 erhalten wir somit |eηt/4 y|L1 (R+ ) ≤

8M |z|, 3η

was in Kombination mit (11.21) die Absch¨ atzung |eηt/4 y(t)| ≤ M |z| +

16M ω M 3M |z| ≤ M |z| + |z| = |z| 3η 2 2

(11.22)

11.4. Stabilit¨at periodischer L¨osungen

247

f¨ ur alle t ≥ 0 liefert. Wegen |x(t) − x∗ (t)| ≤ |R(t)||y(t)| und Ps x(0) = Ps y(0) = z erhalten wir 3M |x(t) − x∗ (t)| ≤ C |Ps |e−ηt/4 |x(0)|, (11.23) 2 f¨ ur alle t ≥ 0, wobei C := maxt∈[0,2τ ] |R(t)| > 0 ist. (b) Wir zeigen, dass alle L¨ osungen, welche hinreichend nahe beim Orbit γ starten, die lokale Mannigfaltigkeit Mloc in endlicher Zeit treﬀen. Sei ein Anfangswert x1 ∈ γ gegeben. Aus dem Beweis von Satz 4.1.2 folgt die Ungleichung |x(t, x0 ) − x∗ (t, x1 )| ≤ cτ |x0 − x1 |, f¨ ur alle t ∈ [0, 2τ ], falls die Diﬀerenz der Anfangswerte |x0 − x1 | hinreichend klein ist. Insbesondere existiert die L¨ osung x(t, x0 ) in diesem Fall f¨ ur alle t ∈ [0, 2τ ]. Aufgrund der τ -Periodizit¨ at von x∗ (t) existiert zu jedem Anfangswert x1 ∈ γ ein erstes t1 ∈ [0, τ ], sodass x∗ (t1 , x1 ) = 0, also x∗ (t1 , x1 ) ∈ Mloc . Ferner gilt f¨ ur alle t ∈ [0, 2τ ] die Absch¨ atzung |x(t, x0 )| = |x(t, x0 ) − x∗ (t1 , x1 )| ≤ |x(t, x0 ) − x∗ (t, x1 )| + |x∗ (t, x1 ) − x∗ (t1 , x1 )| ≤ cτ |x0 − x1 | + c∞ |t − t1 |, wobei c∞ durch c∞ = maxs∈[0,τ ] |f (x∗ (s))| deﬁniert ist. Zu gegebenem ε0 > 0 existieren daher Umgebungen U(t1 ) und U(x1 ), sodass |x(t, x0 )| ≤ ε0 f¨ ur alle (t, x0 ) ∈ U (t1 ) × U(x1 ) gilt. Im Weiteren sei ε0 < δ/|Ps |. Wir deﬁnieren eine Abbildung F : U(t1 ) × U(x1 ) → Xc durch F (t, x0 ) = Pc x(t, x0 ) + q(Ps x(t, x0 )). Nach Satz 4.3.2 ist F stetig diﬀerenzierbar bez¨ uglich (t, x0 ) ∈ U(t1 ) × U(x1 ). Aus der Eindeutigkeit der L¨ osungen folgt ferner F (t1 , x1 ) = Pc x∗ (t1 , x1 ) + q(Ps x∗ (t1 , x1 )) = 0 und ∂t F (t1 , x1 ) = Pc f (x∗ (t1 , x1 )) + q (Ps x∗ (t1 , x1 ))Ps f (x∗ (t1 , x1 )) = Pc f (0) + q (0)Ps f (0) = f (0) = 0. Wegen dim Xc = 1, existieren nach dem Satz u ¨ber implizite Funktionen Umgebungen V(x1 ) ⊂ U (x1 ) und V(t1 ) ⊂ U (t1 ) und eine eindeutig bestimmte Funktion ϕ ∈ C 1 (V(x1 ); V(t1 )) mit der Eigenschaft F (ϕ(x0 ), x0 ) = 0, x0 ∈ V(x1 ) und ϕ(x1 ) = t1 . Dies ist aber ¨ aquivalent zu x(ϕ(x0 ), x0 ) = Ps x(ϕ(x0 ), x0 ) − q(Ps x(ϕ(x0 ), x0 )), ¯ ε0 (0), x0 ∈ V(x1 ). also x(ϕ(x0 ), x0 ) ∈ Mloc ∩ B (c) Wir zeigen nun, dass die im letzten Schritt gewonnene lokal deﬁnierte Funktion ϕ Werte in (0, 2τ ) annimmt. Dazu sei zun¨achst x1 = 0 ∈ γ. Da x∗ τ periodisch ist, gilt x∗ (τ, x1 ) = 0, also k¨ onnen wir t1 = τ setzen. Nach Schritt (b)

248

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

existiert eine Umgebung V0 von 0 und eine stetige Funktion ϕ0 : V0 → R mit ¯ε (0), x0 ∈ V0 . Durch Verkleinern von V0 ϕ0 (0) = τ und x(ϕ0 (x0 ), x0 ) ∈ Mloc ∩ B 0 k¨onnen wir ϕ0 (x0 ) ∈ (0, 2τ ) f¨ ur alle x0 ∈ V0 annehmen. Sei nun x1 ∈ γ \ V0 =: γ0 . Dann existiert ein hinreichend kleines κ > 0 und ein t1 ∈ (κ, τ − κ), sodass x∗ (t1 , x1 ) = 0. Ferner existieren eine Umgebung V1 von x1 sowie eine stetige ¯ε0 (0) f¨ Funktion ϕ1 : V1 → R, mit ϕ1 (x1 ) = t1 und x(ϕ1 (x0 ), x0 ) ∈ Mloc ∩ B ur alle x0 ∈ V1 . Durch Verkleinern von V1 k¨ onnen wir weiterhin ϕ1 (x0 ) ∈ (0, τ ) f¨ ur alle x0 ∈ V1 annehmen. ¨ Da die Menge γ0 kompakt ist, existiert eine endliche Uberdeckung {Vk }N k=1 von γ0 , wobei die Mengen Vk Umgebungen von Punkten xk ∈ γ0 , k ∈ {1, . . . , N } sind. Zu jedem Vk existiert eine stetige Funktion ϕk : Vk → (0, τ ), mit ¯ ε0 (0) f¨ x(ϕk (x0 ), x0 ) ∈ Mloc ∩ B ur alle x0 ∈ Vk . Des Weiteren bildet die Menge N 9 V := Vk k=0

¨ eine Uberdeckung des Orbits γ. (d) In diesem Schritt zeigen wir die orbitale asymptotische Stabilit¨at von x∗ . ¯δ (γ) ⊂ V, wobei B ¯δ (γ) durch Sei ε > 0 gegeben und x0 ∈ B ¯δ (γ) = {x0 ∈ Rn : dist(x0 , γ) ≤ δ} B ¯δ (γ) ⊂ V, falls δ > 0 hinrei¨ deﬁniert ist. Da V eine Uberdeckung von γ ist, gilt B chend klein gew¨ ahlt wird. Nach Schritt (c) existiert ein k ∈ {0, . . . , N } mit x0 ∈ Vk ¯ε0 (0). Daraus folgt mit (11.23) die Absch¨atzung und x(ϕk (x0 ), x0 ) ∈ Mloc ∩ B |˜ x(t) − x∗ (t)| ≤ C

3M 3M |Ps |e−ηt/4 |x(ϕk (x0 ), x0 )| ≤ C |Ps |e−ηt/4 ε0 , t ≥ 0, 2 2

wobei x ˜(t) durch x ˜(t) := x(t + ϕk (x0 ), x0 ) deﬁniert ist. Das impliziert einerseits die Attraktivit¨ at von γ und andererseits dist(x(t, x0 ), γ) ≤ ε,

f¨ ur alle t ≥ ϕk (x0 ),

falls ε0 > 0 hinreichend klein ist. F¨ ur die orbitale Stabilit¨at gen¨ ugt es daher die Absch¨atzung dist(x(t, x0 ), γ) ≤ ε f¨ ur alle t ∈ [0, 2τ ] zu zeigen, da nach Schritt ¯δ (γ) (c) stets ϕk (x0 ) ∈ (0, 2τ ) f¨ ur alle x0 ∈ Vk , k = 1, . . . , N gilt. Zu x0 ∈ B ﬁnden wir ein x1 ∈ γ mit |x0 − x1 | ≤ δ. Sei x∗ (t, x1 ) die L¨osung von (11.17) mit x∗ (0, x1 ) = x1 . Aus der stetigen Abh¨ angigkeit der L¨osung vom Anfangswert erhalten wir wie in (b) die Absch¨ atzung |x(t, x0 ) − x∗ (t, x1 )| ≤ cτ |x0 − x1 | ≤ cτ δ, f¨ ur alle t ∈ [0, 2τ ], wobei cτ > 0 eine von x0 und x1 unabh¨angige Konstante ist. F¨ ur hinreichend kleines δ > 0 ergibt dies die orbitale Stabilit¨at von x∗ .

11.4. Stabilit¨at periodischer L¨osungen

249

¯δ0 (γ), 0 < δ0 < δ, existiert nach Schritt (c) ein k ∈ (e) F¨ ur jedes x0 ∈ B {0, . . . , N } mit x0 ∈ Vk und |x(t + ϕk (x0 ), x0 ) − x∗ (t)| → 0, exponentiell f¨ ur t → ∞. Nach (c) gilt bereits ϕk (x0 ) ∈ (0, τ ) f¨ ur x0 ∈ Vk , k = 0 und ϕ0 (x0 ) ∈ (0, 2τ ) f¨ ur x0 ∈ V0 . Daraus folgt die Existenz einer Funktion a : ¯ δ (γ) → R, sodass B 0 |x(t + a(x0 ), x0 ) − x∗ (t)| → 0, (11.24) exponentiell f¨ ur t → ∞ (es gilt sogar R(a) ⊂ (0, 2τ )). Mit s = t + kτ, k ∈ Z, folgt aus der τ -Periodizit¨ at von x∗ |x(t + a(x0 ) + kτ, x0 ) − x∗ (t)| = |x(s + a(x0 ), x0 ) − x∗ (s − kτ )| = |x(s + a(x0 ), x0 ) − x∗ (s)| → 0, f¨ ur s → ∞. In diesem Sinne k¨ onnen wir alle Werte von a(x0 ), welche sich um ganzzahlige Vielfache von τ unterscheiden miteinander identiﬁzieren, das heißt a : ¯ δ0 (γ) → R/Zτ , wobei R/Zτ den Quotientenraum von R modulo Zτ bezeichnet. B Es bleibt noch die Stetigkeit der Funktion a zu zeigen. Angenommen a ist nicht ¯δ0 (γ). Dann existiert eine Folge xn → x0 f¨ stetig in x0 ∈ B ur n → ∞, sodass a(xn ) → a0 = a(x0 ) ∈ R/Zτ gilt, das heißt a0 − a(x0 ) ∈ / Zτ . Nun gilt wegen (11.23) |x(t + a(xn ), xn ) − x∗ (t)| ≤ Ce−ηt/4 f¨ ur alle t ≥ 0, wobei C > 0 eine von n unabh¨angige Konstante ist, da x∗ nach Schritt (d) orbital asymptotisch stabil ist. Da die L¨osung stetig vom Anfangswert abh¨angt folgt f¨ ur n → ∞ |x(t + a0 , x0 ) − x∗ (t)| ≤ Ce−ηt/4 ,

t ≥ 0.

Aus (11.24) erhalten wir somit die Absch¨ atzung |x∗ (t − a0 ) − x∗ (t − a(x0 ))| ≤ 2Ce−ηt/4 ,

t ≥ 0,

also |x∗ (−a0 ) − x∗ (−a(x0 ))| = |x∗ (kτ − a0 ) − x∗ (kτ − a(x0 ))| ≤ 2Ce−ηkτ /4 → 0 f¨ ur k → ∞, ein Widerspruch.

Unter gewissen Voraussetzungen kann man die Stabilit¨atseigenschaften einer nichtkonstanten periodischen L¨ osung von (11.17) auch ohne genaue Kenntnis der Floquet-Multiplikatoren bestimmen. Korollar 11.4.4. Sei f ∈ C 1 (G; Rn ), n ≥ 2, und x∗ eine nichtkonstante τ periodische L¨ osung von (11.17), x∗ ([0, τ ]) ⊂ G. Ferner sei τ := (div f )(x∗ (t))dt. 0

Dann gelten die folgenden Aussagen.

250

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

1. Ist

> 0, so ist x∗ instabil.

2. Ist

< 0 und n = 2, so ist x∗ orbital asymptotisch stabil.

Beweis. Wir betrachten die linearisierte Gleichung y˙ = A(t)y mit A(t) = f (x∗ (t)). Oﬀensichtlich gilt (div f )(x∗ (t)) = sp f (x∗ (t)), also folgt aus (11.7) r 8

κ

μj j = e

τ 0

(div f )(x∗ (t))dt

,

j=1

wobei μj die Floquet-Multiplikatoren von A(t) mit den algebraischen Vielfachheiten κj sind. Im ersten Fall existiert ein j ∈ {1, . . . , r}, mit |μj | > 1. Die Instabilit¨at von x∗ folgt aus Satz 11.4.1. Im Fall n = 2 und < 0 gilt μ1 μ2 < 1. Ein FloquetMultiplikator ist stets gleich Eins, also o.B.d.A. μ1 = 1. Daraus folgt |μ2 | < 1 und Satz 11.4.3 liefert die zweite Aussage. Beispiel. Sei G = R2 und betrachte das System x˙ = y + x(1 − x2 − y 2 ), y˙ = −x + y(1 − x2 − y 2 ), welches die 2π-periodische L¨ osung [x∗ (t), y∗ (t)]T = [sin t, cos t]T besitzt, vgl. Abschnitt 8.4. Es gilt div f (x, y) = 2 − 4(x2 + y 2 ), also 2π (div f )(x∗ (t), y∗ (t))dt = −4π < 0. 0

Nach Korollar 11.4.4 ist [x∗ , y∗ ]T orbital asymptotisch stabil. Insbesondere besitzt jede L¨osung, die in einer hinreichend kleinen Umgebung des Orbits γ von [x∗ , y∗ ]T startet eine asymptotische Phase. Man vergleiche dieses Resultat mit Abschnitt 8.4.

11.5 Parameterabh¨angigkeit periodischer L¨ osungen Als weitere Anwendung der Floquet-Theorie betrachten wir in diesem Abschnitt die parameterabh¨ angige Gleichung x˙ = f (t, x, λ), in der N¨ahe einer gegebenen nichtkonstanten τ∗ -periodischen L¨osung x∗ (t) von x˙ = f (t, x, λ∗ ), wenn f aus C 1 , und f (·, x, λ) periodisch mit Periode τλ , τ∗ = τλ∗ , ist. Hierbei kann man annehmen, dass τ∗ die minimale Periode von x∗ ist; allerdings muss τ∗ nicht unbedingt die minimale Periode von f (·, x, λ∗ ) sein, z.B. im wichtigen autonomen Fall f (·, x, λ) = g(x, λ). Sei x∗ ein Equilibrium von x˙ = g(x, λ∗ ), gelte also g(x∗ , λ∗ ) = 0. Ist g ∈ C 1 und gilt det ∂x g(x∗ , λ∗ ) = 0, also λ1 , . . . , λr = 0 f¨ ur alle Eigenwerte von ∂x g(x∗ , λ∗ )

11.5. Parameterabh¨angigkeit periodischer L¨osungen

251

dann impliziert der Satz u ¨ ber implizite Funktionen, dass es ein δ > 0 und eine C 1 -Funktion x : (λ∗ − δ, λ∗ + δ) → Rn gibt mit x(λ∗ ) = x∗ , und g(x(λ), λ) = 0 f¨ ur alle |λ − λ∗ | < δ. In einer Umgebung U von (x∗ , λ∗ ) gibt es keine weiteren Equilibria. Gilt ein ¨ ahnliches Resultat auch nahe einer periodischen L¨osung? Um diese Frage zu beantworten, ist es zweckm¨assig die Perioden auf 2π zu transformieren, welches man durch die Transformation t → τλ t/2π, f (t, x, λ) → f (τλ t/2π, x, λ) erreichen kann. Setzt man nun ω(λ) = 2π/τλ sowie ω∗ = ω(λ∗ ) so wird die Gleichung x˙ = f (t, x, λ) zu ω(λ)x˙ = f (t, x, λ),

t ∈ R.

(11.25)

Gesucht sind nun 2π-periodische L¨ osungen xλ von (11.25) nahe bei x∗ wenn λ in einer Umgebung von λ∗ ist. Beachte, dass ω(λ) mit f aus C 1 ist, sofern f nichtautonom ist. Wir formulieren das erste Resultat f¨ ur (11.25). Satz 11.5.1. Seien f : R × Rn × R → Rn und ω : R → (0, ∞) aus C 1 , f sei 2πperiodisch in t, und ω(λ∗ ) = ω∗ . Gegeben sei eine periodische L¨osung x∗ : R → Rn von ω∗ x˙ = f (t, x, λ∗ ). Bezeichnet A∗ (t) = ∂x f (t, x∗ (t), λ∗ ), also ω∗ y˙ = A∗ (t)y die Linearisierung von (11.25) f¨ ur λ = λ∗ in x∗ , so sei keiner ihrer FloquetMultiplikatoren μ∗1 , . . . , μ∗r gleich Eins. Dann gibt es ein oﬀenes Intervall J λ∗ , ein r > 0, und eine C 1 -Funktion x : R × J → Rn , x(·, λ∗ ) = x∗ , sodass x(·, λ) die einzige 2π-periodische L¨osung von (11.25) ist, die supt∈R |x(t, λ) − x∗ (t)| < r erf¨ ullt. Kein Floquet-Multiplikator μj (λ) der linearisierten Probleme ω(λ)y˙ = Aλ (t)y, Aλ (t) = ∂x f (t, x(t, λ), λ), ist gleich Eins. Gilt |μ∗j | < 1 f¨ ur alle j, dann auch |μk (λ)| < 1 f¨ ur alle k, in diesem Fall sind die periodischen L¨ osungen x(·, λ) asymptotisch stabil f¨ ur (11.25). Beweis. Der Beweis beruht auf dem Satz u ¨ber implizite Funktionen und dem Resultat u ¨ ber lineare periodische Gleichungen, Satz 11.3.1. Dazu deﬁnieren wir die Banachr¨aume Xj , j = 0, 1, j Xj := Cper (R; Rn ) := {x ∈ C j (R; Rn ) : x(t + 2π) = x(t), t ∈ R},

mit den Normen x0 := sup |x(t)|, t∈R

x1 := sup |x(t)| + sup |x(t)|. ˙ t∈R

t∈R

und die Abbildung F : X1 × R → X0 mittels F (x, λ)(t) = ω(λ)x(t) ˙ − f (t, x(t), λ),

t ∈ R.

F ist wohldeﬁniert, aus C 1 und es gilt F (x∗ , λ∗ ) = 0; allgemeiner sind die 2πperiodischen L¨ osungen von (11.25) genau die L¨osungen von F (x, λ) = 0. F¨ ur die Linearisierung L := ∂x F (x∗ , λ∗ ) erhalten wir Lu(t) = ω∗ u(t) ˙ − ∂x f (t, x∗ (t), λ∗ )u(t) = ω∗ u(t) ˙ − A∗ (t)u(t),

t ∈ R.

252

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

Da nach Voraussetzung alle Floquet-Multiplikatoren μ∗j = 1 sind, zeigt Satz 11.3.1, dass L : X1 → X0 ein Isomorphismus ist. Die erste Behauptung folgt nun mit dem Satz u ¨ ber implizite Funktionen, die weiteren aus der stetigen Abh¨angigkeit der Eigenwerte einer Matrix von ihren Koeﬃzienten, und aus Satz 11.4.1. Dieser Satz ist nicht auf den autonomen Fall anwendbar, da dann wenigstens ein Floquet-Multiplikator Eins ist; wie schon im Beweis des Stabilit¨atssatzes im vorhergehenden Abschnitt ist der autonome Fall schwieriger. Es sei also f (t, x, λ) = g(x, λ); wir transformieren wieder auf Periode 2π und erhalten das Problem ω x˙ = g(x, λ),

t ∈ R.

(11.26)

In diesem Fall ist die gesuchte Periode τ also auch ω = 2π/τ nicht a priori bekannt, sie muss mitbestimmt werden. Dieser zus¨ atzliche Freiheitsgrad kompensiert eine Dimension, also den algebraisch einfachen Floquet-Multiplikator Eins. Das Resultat f¨ ur den autonomen Fall lautet wie folgt. Satz 11.5.2. Sei g : Rn × R → Rn aus C 1 . Gegeben seien ω∗ > 0 und eine 2π-periodische L¨ osung x∗ : R → Rn von ω∗ x˙ = g(x, λ∗ ). Bezeichnet A∗ (t) = ∂x g(x∗ (t), λ∗ ), also ω∗ y˙ = A∗ (t)y die Linearisierung von (11.26) f¨ ur λ = λ∗ in x∗ , so sei μ0 = 1 algebraisch einfacher Floquet-Multiplikator. Dann gibt es ein oﬀenes Intervall J λ∗ , ein r > 0, und C 1 -Funktionen ω : J → R, x : R × J → Rn , mit ω(λ∗ ) = ω∗ , x(·, λ∗ ) = x∗ , sodass x(·, λ) eine 2π-periodische L¨ osung von (11.26) ist, die supt∈R |x(t, λ) − x∗ (t)| < r erf¨ ullt. x(·, λ) ist eindeutig bis auf Translationen. μ0 = 1 ist algebraisch einfacher FloquetMultiplikator der linearisierten Probleme ω(λ)y˙ = Aλ (t)y, Aλ (t) = ∂x g(x(t, λ), λ). Gilt |μ∗j | < 1 f¨ ur alle j = 0, dann auch |μk (λ)| < 1 f¨ ur alle k = 0, in diesem Fall sind die periodischen L¨ osungen x(·, λ) asymptotisch orbital stabil f¨ ur (11.26). Beweis. Neben den bereits genannten Problemen, die im autonomen Fall auftreten, sei daran erinnert, dass mit x∗ (·) auch alle Translationen x∗ (· + σ) 2πperiodische L¨osungen von ω∗ x˙ = g(x, λ∗ ) sind. Um dieser Nichteindeutigkeit aus dem Weg zu gehen, f¨ uhren wir eine Nebenbedingung ein, die auf der Identit¨at 2π 2π 1 1 d !x∗ |x˙ ∗ " := (x∗ (t)|x˙ ∗ (t))dt = |x∗ (t)|22 dt = 0 2π 0 4π 0 dt beruht. Dabei ist

2π 1 (u(t)|v(t))dt 2π 0 ein f¨ ur unsere Zwecke geeignetes Innenprodukt auf Xj . Wir deﬁnieren die Abbildung G : X1 × R × R → X0 × R durch !u|v" :=

G(x, ω, λ) = (ω x˙ − g(x, λ), !x|x˙ ∗ "). Diese Funktion ist aus C 1 und erf¨ ullt G(x∗ , ω∗ , λ∗ ) = 0. Die Linearisierung L von G bzgl. (x, ω) in (x∗ , ω∗ , λ∗ ) ist dann durch L(y, α) = (ω∗ y˙ − A∗ (t)y + αx˙ ∗ , !y|x˙ ∗ "),

y ∈ X1 , α ∈ R,

11.5. Parameterabh¨angigkeit periodischer L¨osungen

253

gegeben. Um die Bijektivit¨ at von L zu zeigen, seien b ∈ X0 , β ∈ R gegeben. Die Gleichung L(y, α) = (b, β) ist ¨ aquivalent zu ω∗ y˙ = A∗ (t)y − αx˙ ∗ + b(t),

y(0) = y(2π),

!y|x˙ ∗ " = β.

Es bezeichne Y∗ (t) das Hauptfundamentalsystem zu ω∗ z˙ = A∗ (t)z, also ist M∗ := Y∗ (2π) die zugeh¨ orige Monodromiematrix. Dann ist x˙ ∗ (t) = Y∗ (t)v mit v = x˙ ∗ (0) = 0. Integration der Gleichung f¨ ur y ergibt mittels Variation der Konstanten und y0 = y(0) y(t) = Y∗ (t)y0 −

tα 1 Y∗ (t)v + Y∗ (t) ω∗ ω∗

t

Y∗ (s)−1 b(s)ds,

0

also f¨ ur t = 2π (I − M∗ )y0 +

2πα 1 v = M∗ ω∗ ω∗

2

πY∗ (s)−1 b(s)ds.

(11.27)

0

Nun ist nach Voraussetzung μ0 = 1 einfacher Eigenwert von M∗ , also R(I − M∗ ) ⊕ N (I − M∗ ) = Rn , und da N (I − M∗ ) = span {v} gilt, gibt es genau ein α ∈ R und mindestens ein y0 ∈ Rn , sodass (11.27) erf¨ ullt ist. y0 ist nicht eindeutig und kann durch y0 + γv ersetzt werden. Dies erlaubt uns auch die Gleichung !y|x˙ ∗ " = β eindeutig zu l¨osen, denn β = !y + γ x˙ ∗ |x˙ ∗ " = !y|x˙ ∗ " + γ!x˙ ∗ |x˙ ∗ " l¨asst sich eindeutig nach γ auﬂ¨ osen. Die Bijektivit¨at von L ist damit bewiesen. Der Satz u ¨ ber implizite Funktionen ist somit auf G im Punkt (x∗ , ω∗ , λ∗ ) anwendbar, und die erste Behauptung damit bewiesen. Sei nun u(t) eine weitere 2π-periodische L¨osung von (11.26). Setze ϕ(s) = !u(· + s)|x∗ " = !u|x∗ (· − s)"; dann gilt ϕ(0) = ϕ(2π), also gibt es nach dem Satz von Rolle ein ξ ∈ R mit 0 = ϕ(ξ) ˙ = −!u|x˙ ∗ (· − ξ)" = −!u(· + ξ)|x˙ ∗ ", d.h. die verschobene Funktion u(· + ξ) erf¨ ullt die Nebenbedingung. Dies zeigt, dass die gefundenen 2π-periodischen L¨ osungen bis auf Translationen eindeutig sind. Die verbleibenden Behauptungen folgen wiederum aus der Stetigkeit der Eigenwerte und aus dem Stabilit¨ atssatz 11.4.3. ¨ Ubungen 1. Zeigen Sie, dass die Matrix M =

−α 0

0 , −β

α, β > 0, α = β,

254

Kapitel 11. Periodische L¨osungen

keinen reellen Logarithmus besitzt, das heißt, es existiert kein L ∈ Rn×n mit M = eL . 2. Sei M ∈ Rn×n mit det M > 0 und σ(M ) ∩ (−∞, 0] = ∅. Ferner sei Γ eine JordanKurve, welche alle Eigenwerte von M umrundet, sodass (−∞, 0] im ¨ außeren von Γ liegt und Γ symmetrisch zur reellen Achse ist; vgl. Abb. 11.1. Zeigen Sie, dass die Matrix 1 log M = (λ − M )−1 log λdλ, 2πi Γ reell ist. 3. Gegeben sei das System x˙ = A(t)x, mit − sin(2t) A(t) = cos(2t) + 1

cos(2t) − 1 , sin(2t)

und der speziellen L¨ osung [x1 (t), x2 (t)]T = [e−t (cos t+sin t), e−t (sin t−cos t)]T . Berechnen Sie die Floquet-Multiplikatoren von A(t). Ist die triviale L¨ osung x∗ = 0 stabil oder instabil? 4. Betrachten Sie das System x˙ = A(t)x, mit −1 + 32 cos2 t A(t) = −1 − 32 sin t cos t

1 − 32 sin t cos t , 2 3 −1 + 2 sin t t

t

und der speziellen L¨ osung [x1 (t), x2 (t)]T = [e 2 cos t, −e 2 sin t]T . Zeigen Sie, dass die Eigenwerte von A(t) unabh¨ angig von t sind und berechnen Sie sowohl die Eigenwerte, als auch die Floquet-Multiplikatoren von A(t). Kann man aus der Lage der Eigenwerte von A(t) R¨ uckschl¨ usse auf die Stabilit¨ at der trivialen L¨ osung x∗ = 0 ziehen? 5. Beweisen Sie die Aussage 5(b) aus Satz 11.1.1.

Kapitel 12

Verzweigungstheorie Sei G ⊂ Rn oﬀen, Λ ⊂ R ein oﬀenes Intervall und f ∈ C 1 (G × Λ; Rn ). In diesem Kapitel betrachten wir die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x, λ),

(12.1)

die einen zeitunabh¨ angigen Parameter λ ∈ Λ enth¨alt.

12.1 Umkehrpunkte Die Menge der Equilibria von (12.1) zu einem gegebenen λ ∈ Λ wird mit Eλ bezeichnet, dies ist der λ- Schnitt der Menge E = {(x, λ) ∈ G × Λ : f (x, λ) = 0},

Eλ = {x ∈ G : f (x, λ) = 0}.

Sei (x∗ , λ∗ ) ∈ E. Wir nennen (x∗ , λ∗ ) regul¨ar falls die Jacobi-Matrix ∂x f (x∗ , λ∗ ) invertierbar ist, wenn also det ∂x f (x∗ , λ∗ ) = 0 ist; andernfalls heißt (x∗ , λ∗ ) singul¨ar. Ist (x∗ , λ∗ ) regul¨ ar, dann gibt es nach dem Satz u ¨ber implizite Funktionen eine Kugel Bδ (λ∗ ) und eine C 1 -Abbildung x : Bδ (λ∗ ) → G, sodass x(λ∗ ) = x∗ und f (x(λ), λ) = 0 f¨ ur alle λ ∈ Bδ (λ∗ ) gilt. In einer Umgebung Br (x∗ )×Bδ (λ∗ ) ⊂ G×Λ sind dies die einzigen L¨osungen der Gleichung f (x, λ) = 0. Die Menge {(x(λ), λ) : λ ∈ Bδ (λ∗ )} nennt man einen L¨osungszweig der Gleichung f (x, λ) = 0 (genauer: ein St¨ uck eines L¨ osungszweiges). Die Funktion x(λ) ist L¨ osung einer Diﬀerentialgleichung, n¨amlich von ∂x f (x(λ), λ)x (λ) + ∂λ f (x(λ), λ) = 0, mit Anfangswert x(λ∗ ) = x∗ . Daher kann man nach dem Fortsetzungssatz den L¨osungszweig auf ein maximales Intervall fortsetzen. Allerdings kommt hier zu den u amlich |x(λ)| → ∞ oder dist(x(λ), ∂G) → 0, eine ¨ blichen Obstruktionen, n¨

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_12, © Springer Basel AG 2010

256

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

weitere hinzu, n¨ amlich die Jacobi-Matrix ∂x f (x(λ), λ) kann singul¨ar werden: Die L¨osung kann sich verzweigen. Haben alle Eigenwerte von ∂x f (x∗ , λ∗ ) negative Realteile, so ist x∗ asymptotisch stabil f¨ ur (12.1) mit λ = λ∗ . Da die Eigenwerte einer Matrix stetig von ihren Koeﬃzienten abh¨ angen, ist x(λ) ebenfalls asymptotisch stabil f¨ ur λ in der N¨ahe von λ∗ , und bleibt es bis mindestens ein Eigenwert die imagin¨are Achse u ¨ berquert. Generisch gibt es zwei F¨ alle die von Interesse sind: 1. Ein einfacher reeller Eigenwert geht durch Null; hier wird die Jacobi-Matrix singul¨ar. 2. Ein Paar einfacher komplex-konjugierter Eigenwerte u ¨ berquert simultan die imagin¨are Achse. Diese zwei F¨alle wollen wir in diesem Kapitel im Detail diskutieren. Sei (x∗ , λ∗ ) ∈ E singul¨ ar, also A∗ := ∂x f (x∗ , λ∗ ) nicht invertierbar. Dann ist A∗ nicht surjektiv. Der einfachste Fall ist nun der, dass noch span{R(A∗ ), b∗ } = Rn gilt, wobei wir b∗ := ∂λ f (x∗ , λ∗ ) gesetzt haben. Solch einen Punkt (x∗ , λ∗ ) nennt man Umkehrpunkt f¨ ur die Gleichung f (x, λ) = 0. Das folgende Beispiel illustriert die Situation. Beispiel. Betrachte die eindimensionale Gleichung x˙ = x(λ − (x − 1)2 ). Ein Equilibrium √ ist x = 0, das triviale. Ist λ > 0 so ﬁnden wir zwei weitere √ n¨amlich x = 1 ± λ. Davon√ist 1 − λ instabil falls λ ∈ (0, 1) (ein Sattelpunkt in einer Dimension) und 1 + λ stabil f¨ ur alle λ > 0 (ein stabiler Knoten in einer Dimension). Der Punkt (1, 0) ist ein Umkehrpunkt: Es gilt ∂x f (1, 0) = 0 und ∂λ f (1, 0) = 1. Das Verzweigungsdiagramm ist in Abb. 12.1 dargestellt.

x 2.0 1.5 1.0 0.5 0.2

0.4

0.6

0.8

0.5 Abbildung 12.1: Sattel-Knoten-Verzweigung

Λ

12.1. Umkehrpunkte

257

Wir wollen zeigen, dass dieses einfache eindimensionale Beispiel schon den allgemeinen Fall beinhaltet. Dazu sei (x∗ , λ∗ ) ein Umkehrpunkt. Dann ist der Rang von A∗ , also die Dimension von R(A∗ ) gleich n − 1, und N (A∗ ) ist eindimensional. Wir zerlegen nun Rn = N (A∗ )⊕Y , d.h. Y ist ein n−1-dimensionaler, zu N (A∗ ) komplement¨arer Unterraum. Man beachte, dass A∗ Y = R(A∗ ) ist. Wir zerlegen demgem¨aß x = su0 +y, wobei u0 ∈ N (A∗ ), u0 = 0 ﬁxiert ist, s ∈ R und y ∈ Y . Um die L¨osungsmenge von f (x, λ) = 0 in der N¨ ahe von (x∗ , λ∗ ) zu beschreiben, betrachten wir nun die Funktion g(s, y, μ) := f (su0 + y + x∗ , μ + λ∗ ), (s, y, μ) ∈ (−a, a) × {Br (0) ∩ Y } × (−b, b), wobei a, b, r > 0 klein genug gew¨ ahlt sind. Mit f ist auch g in C 1 . Wir wollen die Gleichung g(s, y, μ) = 0 nach (y, μ) auﬂ¨ osen. Dazu verwenden wir den Satz u ¨ ber implizite Funktionen im Punkt (0, 0, 0). Die Ableitung von g nach (y, μ) in diesem Punkt ist v ∂(y,μ) g(0) = ∂x f (x∗ , λ∗ )v + ∂λ f (x∗ , λ∗ )σ = A∗ v + b∗ σ. σ Da span{R(A∗ ), b∗ } = Rn ist, ist ∂(y,μ) g(0) surjektiv, also aus Dimensionsgr¨ unden invertierbar. Daher liefert der Satz u ¨ ber implizite Funktionen eine C 1 -Funktion s → (y(s), μ(s)), s ∈ (−δ, δ), mit y(0) = μ(0) = 0 und die einzigen L¨osungen von f (x, λ) = 0 in einer Umgebung von (x∗ , λ∗ ) sind (su0 + y(s) + x∗ , μ(s) + λ∗ ), |s| < δ. Weiter folgt aus f (su0 + y(s) + x∗ , μ(s) + λ∗ ) = 0 die Relation 0 = ∂x f (su0 +y(s)+x∗ , μ(s)+λ∗ )(u0 +y (s))+∂λ f (su0 +y(s)+x∗ , μ(s)+λ∗ )μ (s), also mit A(s) = ∂x f (su0 + y(s) + x∗ , μ(s) + λ∗ ) und b(s) = ∂λ f (su0 + y(s) + x∗ , μ(s) + λ∗ ), A(s)(u0 + y (s)) + μ (s)b(s) = 0,

s ∈ (−δ, δ).

(12.2)

Speziell in s = 0 ergibt sich mit u0 ∈ N (A∗ ) A∗ y (0) + μ (0)b∗ = 0, folglich ist μ (0) = 0 wegen b∗ ∈ R(A∗ ), und dann auch y (0) = 0, da A∗ auf Y injektiv ist. Daher liegt λ(s) = μ(s) + λ∗ f¨ ur kleine s typischerweise auf einer Seite von λ∗ , was den Namen Umkehrpunkt erl¨ autert. Wir fassen zusammen. Satz 12.1.1. Sei f ∈ C 1 (G × Λ; Rn ), (x∗ , λ∗ ) ∈ E, und sei A∗ := ∂x f (x∗ , λ∗ ) nicht invertierbar. Es gelte: 1. N (A∗ ) = span{u0 } ist eindimensional, und 2. b∗ := ∂λ f (x∗ , λ∗ ) ∈ R(A∗ ).

258

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Dann sind alle L¨ osungen der Gleichung f (x, λ) = 0 in einer Umgebung von (x∗ , λ∗ ) durch die Menge {(x(s) := su0 + y(s) + x∗ , λ(s) := μ(s) + λ∗ ) : |s| < δ} gegeben, wobei y : (−δ, δ) → R(A∗ ) und μ : (−δ, δ) → R aus C 1 eindeutig bestimmt sind, und y(0) = y (0) = 0, μ(0) = μ (0) = 0 erf¨ ullen. σ∗ = 0 ist Eigenwert von A∗ mit Eigenvektor u0 = 0. Es sei u∗0 = 0 ein ∗ Eigenvektor der adjungierten AT ∗ zum Eigenwert 0, mit (u0 |u0 ) = 1. Letzteres ist eine zus¨atzliche Annahme, die bedeutet, dass σ∗ = 0 halbeinfach, also algebraisch einfacher Eigenwert von A∗ ist. Wir zeigen, dass es dann eine Eigenwertkurve s → (σ(s), u(s), u∗ (s)) gibt mit σ(0) = 0, u(0) = u0 , u∗ (0) = u∗0 , und A(s)u(s) = σ(s)u(s), AT (s)u∗ (s) = σ(s)u∗ (s), und (u(s)|u∗ (s)) = 1. Da wir dieses Ergebnis h¨auﬁger ben¨otigen werden, formulieren wir es allgemein als Lemma 12.1.2. Sei A ∈ C m ((−a, a); Rn×n ), a > 0, m ≥ 0, und sei A∗ := A(0). Es ∗ ∗ gelte N (A∗ ) = span{u0 }, N (AT ∗ ) = span{u0 } und (u0 |u0 ) = 1. Dann gibt es ein δ > 0 und Funktionen u, u∗ ∈ C m ((−δ, δ); Rn ), σ ∈ C m ((−δ, δ); R), mit u(0) = u0 , u∗ (0) = u∗0 , σ(0) = 0, sodass A(s)u(s) = σ(s)u(s),

AT (s)u∗ (s) = σ(s)u∗ (s),

(u(s)|u∗ (s)) = 1,

f¨ ur alle s ∈ (−δ, δ) gilt. Beweis. Deﬁniere g : Rn × R × (−a, a) → Rn × R mittels A(s)u − σu g(u, σ, s) = . (u|u∗0 ) − 1 Dann ist g ∈ C m , g(u0 , 0, 0) = 0 und L := ∂(u,σ) g(u0 , 0, 0) =

A∗ u∗0 T

−u0 0

.

Wir zeigen, dass L injektiv, also bijektiv ist. Dazu sei L[v, ρ]T = 0, also A∗ v = ρu0 und (v|u∗0 ) = 0. Es folgt ∗ ρ = ρ(u0 |u∗0 ) = (A∗ v|u∗0 ) = (v|AT ∗ u0 ) = 0,

folglich A∗ v = 0, d.h. v = αu0 mit einem α ∈ R. Dies impliziert schließlich auch α = α(u0 |u∗0 ) = (v|u∗0 ) = 0. Der Satz u ¨ber implizite Funktion liefert nun C m -Funktionen u(s), σ(s) mit u(0) = u0 , σ(0) = 0 und A(s)u(s) = σ(s)u(s), (u(s)|u∗0 ) = 1 auf einem Intervall (−δ1 , δ1 ). Um u∗ (s) zu ﬁnden, betrachten wir die Funktion h : Rn × (−δ1 , δ1 ) → Rn deﬁniert durch h(v, s) = AT (s)v − σ(s)v + ((u(s)|v) − 1)u∗0 .

12.1. Umkehrpunkte

259

∗ ∗ ∗ T ∗ Es ist h(u∗0 , 0) = AT ∗ u0 − ((u0 |u0 ) − 1)u0 = 0, und L := ∂v h(0, 0) = A∗ + u0 ⊗ u0 T ∗ ist injektiv, also bijektiv. Denn Lv = 0 impliziert A∗ v + (u0 |v)u0 = 0, also nach ∗ Skalarmultiplikation mit u0 folgt (u0 |v) = 0, sowie AT ∗ v = 0, d.h. v = βu0 , β ∈ R, und dann auch v = 0. Der Satz u ¨ ber implizite Funktion liefert uns eine Funktion u∗ (s) der Klasse C m auf einem evtl. kleineren Intervall (−δ, δ) mit

0 = AT (s)u∗ (s) − σ(s)u∗ (s) + ((u(s)|u∗ (s)) − 1)u∗0 ,

s ∈ (−δ, δ),

u∗ (0) = u∗0 .

Skalarmultiplikation mit u(s) ergibt dann (u(s)|u∗ (s)) = 1, da (u(s)|u∗0 ) = 1 ist, folglich auch AT (s)u∗ (s) = σ(s)u∗ (s). In der Situation des Umkehrpunktes gibt die Relation A(s)u(s) = σ(s)u(s) nach Multiplikation mit u∗ (s) die Beziehung σ(s) = (A(s)u(s)|u∗ (s)). Andererseits f¨ uhrt (12.2) nach Multiplikation mit u∗ (s) auf (b(s)|u∗ (s))μ (s) = −(A(s)(u0 + y (s))|u∗ (s)) = −σ(s)(u0 + y (s)|u∗ (s)), also

μ (s) = −σ(s)l(s),

∗

s ∈ (−δ, δ),

(12.3)

∗

mit der Funktion l(s) := (u0 + y (s)|u (s))/(b(s)|u (s)), die wegen b∗ ∈ / R(A∗ ) = ⊥ ∗ N (AT ) f¨ u r kleine |s| wohldeﬁniert ist, und l(0) = 1/(b |u ) =

0 erf¨ u llt. ∗ 0 ∗ Sei jetzt zus¨ atzlich f ∈ C m , m ≥ 2. Diﬀerenziert man die Gleichung f (su0 + y(s) + x∗ , μ(s) + λ∗ ) = 0 ein zweites Mal, so erh¨ alt man in s = 0 die Beziehung b∗ μ (0) + A∗ y (0) + ∂x2 f (x∗ , λ∗ )u0 u0 = 0, also nach Skalarmultiplikation mit u∗0 (b∗ |u∗0 )μ (0) = −(∂x2 f (x∗ , λ∗ )u0 u0 |u∗0 ). Man beachte, dass (b∗ |u∗0 ) = 0 ist, sodass diese Beziehung μ (0) eindeutig deﬁniert. Nun diﬀerenzieren wir die Eigenwertgleichung nach s und erhalten in s = 0 σ (0)u0 = A∗ u (0) + A (0)u0 . Nach Skalarmultiplikation mit u∗0 und wegen A(s) = ∂x f (su0 + y(s) + x∗ , μ(s) + λ∗ ) erhalten wir schließlich σ (0) = (A (0)u0 |u∗0 ) = (∂x2 f (x∗ , λ∗ )u0 u0 |u∗0 ). Daraus folgt die zentrale Relation σ (0) = −(b∗ |u∗0 )μ (0).

(12.4)

260

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Diese Beziehung zeigt, dass im generischen Fall μ (0) = 0 die L¨osungszweige f¨ ur s > 0 bzw. s < 0 unterschiedliches Stabilit¨ atsverhalten haben: auf dem einen Zweig ist σ(s) < 0 auf dem anderen σ(s) > 0. Sind alle anderen Eigenwerte von A∗ in der oﬀenen linken Halbebene, so ist x(s) := su0 + y(s) + x∗ auf dem einen Zweig ein Sattelpunkt, auf dem anderen ein stabiler Knoten f¨ ur (12.1). Deshalb werden Verzweigungspunkte dieser Art in Anlehnung an den 2D-Fall in der Literatur auch als Sattel-Knoten Verzweigungen bezeichnet. Satz 12.1.3. Es seien die Voraussetzungen von Satz 12.1.1 erf¨ ullt, zus¨ atzlich seien f ∈ C 2 , und 0 ein halbeinfacher Eigenwert f¨ ur A∗ . Ferner sei u∗0 ∈ N (AT ∗ ) mit (u0 |u∗0 ) = 1, O.B.d.A. gelte (b∗ |u∗0 ) > 0, und es sei σ(A∗ ) \ {0} ⊂ C− , sowie γ := (∂x2 f (x∗ , λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) > 0. Dann gelten f¨ ur (12.1) die folgenden Stabilit¨ atsaussagen: 1. Der Zweig {(su0 + y(s), μ(s) + λ∗ ) : −δ < s < 0} besteht aus asymptotisch stabilen Equilibria. 2. Der Zweig {(su0 + y(s), μ(s) + λ∗ ) : 0 < s < δ} besteht aus instabilen Equilibria. Entsprechendes gilt im Fall γ < 0 wobei s durch −s zu ersetzen ist. F¨ ur γ < 0 gilt sλ (s) > 0, d.h. beide Zweige sind superkritisch. Im Fall γ > 0 gilt sλ (s) < 0, d.h. beide Zweige sind subkritisch.

12.2 Pitchfork-Verzweigung In vielen Anwendungen ist die triviale L¨ osung x(λ) = 0 f¨ ur alle λ gegeben, d.h. es gilt f (0, λ) = 0 f¨ ur alle λ ∈ Λ. Typischerweise resultiert diese Eigenschaft aus einer Normierung des Systems, das triviale Equilibrium repr¨asentiert dessen Normalzustand. In dieser Situation ist ∂λ f (0, λ) = 0, daher kann ein singul¨arer Punkt (0, λ∗ ) kein Umkehrpunkt sein. Das folgende Beispiel zeigt was hier passiert. Beispiel. Betrachte die Gleichung x˙ = x(λ − x2 ). Hier haben wir ur alle λ ∈ R √ f¨ das triviale Equilibrium x = 0, und f¨ ur λ > 0 zus¨atzlich x = ± λ. Damit sieht das Verzweigungsdiagramm wie eine Heugabel, englisch pitchfork, aus. F¨ ur λ = 0 ist x = 0 asymptotisch stabil. Die Linearisierung in x = 0 ist durch A = λ gegeben, also ist x = 0 f¨ ur λ < 0 ebenfalls asymptotisch stabil und f¨ ur λ > 0 ist x = 0 instabil; es ist ∂λ ∂x f (0, λ) ≡ 1. Die beiden nichttrivialen Zweige sind superkritisch, beide sind asymptotisch stabil f¨ ur alle λ > 0. Das entsprechende Verzweigungsdiagramm ist in Abb. 12.2 wiedergegeben. Sei nun f (0, λ) ≡ 0, und sei (0, λ∗ ) ein singul¨arer Punkt, also A∗ := ∂x f (0, λ∗ ) nicht invertierbar. Wir interessieren uns f¨ ur weitere L¨osungen der Gleichung f (x, λ) = 0

12.2. Pitchfork-Verzweigung

261

x 1.0 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

Λ

0.5 1.0 Abbildung 12.2: Pitchfork-Verzweigung in der N¨ahe von (0, λ∗ ). Dazu w¨ ahlen wir ein Komplement Y zum Kern N (A∗ ), und ein Komplement Z zum Bild von R(A∗ ), es gelten also N (A∗ ) ⊕ Y = Rn und R(A∗ ) ⊕ Z = Rn , und bezeichnen die dazugeh¨origen Projektionen mit P und Q; es ist also R(P ) = N (A∗ ), N (P ) = Y , und N (Q) = R(A∗ ), R(Q) = Z. Setzt man nun u = P x, y = (I − P )x, so ist die Gleichung f (x, λ) = 0 ¨aquivalent zum System (I − Q)f (u + y, λ) = 0,

Qf (u + y, λ) = 0.

Da A∗ auf Y injektiv ist, ist A∗ : Y → R(A∗ ) ein Isomorphismus. Also kann man die erste dieser Gleichungen nach y auﬂ¨ osen. Dazu setzen wir g(u, y, μ) := (I − Q)f (u + y, μ + λ∗ ),

(u, y, μ) ∈ BrN (A∗ ) (0) × BrY (0) × (−b, b).

Der Bildbereich von g liegt in R(A∗ ); man beachte, dass dim R(A∗ ) = dim Y gilt. Nun ist ∂y g(0, 0, 0) = (I − Q)A∗ = A∗ ein Isomorphismus von Y auf R(A∗ ). Ist N (A ) also f ∈ C 1 , so gibt es ein δ ∈ (0, min{r, b}), und eine C 1 -Funktion y : Bδ ∗ (0)× (−δ, δ) → Y , sodass y(0, 0) = 0 ist, und (I − Q)f (u + y(u, μ), μ + λ∗ ) = 0,

N (A∗ )

f¨ ur alle u ∈ Bδ

(0), |μ| < δ,

gilt. In einer Umgebung von 0 gibt es keine weiteren L¨osungen. Weiter erhalten wir mittels Diﬀerentiation bez¨ uglich μ und u (I − Q)∂x f (u + y(u, μ), μ + λ∗ )∂μ y(u, μ) + (I − Q)∂λ f (u + y(u, μ), μ + λ∗ ) = 0, und (I − Q)∂x f (u + y(u, μ), μ + λ∗ )[IN (A∗ ) + ∂u y(u, μ)] = 0,

262

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

und somit (I −Q)A∗ ∂μ y(0, 0) = 0, also ∂μ y(0, 0) = 0, sowie (I −Q)A∗ ∂u y(0, 0) = 0, also ∂u y(0, 0) = 0, da A∗ auf N (A∗ ) verschwindet. Ferner ist y(0, μ) ≡ 0, da f (0, λ) ≡ 0 angenommen wurde, und y(u, μ) eindeutig ist. Setzt man nun die Funktion y(u, μ) in die zweite Gleichung ein, so erh¨alt man die reduzierte Gleichung h(u, μ) := Qf (u + y(u, μ), μ + λ∗ ) = 0.

(12.5)

Diese Gleichung bestimmt die L¨ osungsmenge in der N¨ahe von (0, λ∗ ), sie heißt Verzweigungsgleichung des Problems. Man beachte, dass h(0, 0) = 0 aber auch ∂u h(0, 0) = 0 und ∂μ h(0, 0) = 0 gilt. Wegen dim N (A∗ ) < n liegt der Vorteil dieser Reduktion bei der Verkleinerung der Dimension des Problems, ohne L¨osungen aufzugeben. Eine L¨ osung von (12.5) ist nach wie vor die triviale (0, μ), da y(0, μ) ≡ 0 ist; durch die Auﬂ¨ osung nach y ist auch diese L¨osung nicht verloren gegangen. Im Allgemeinen ist die Verzweigungsgleichung nicht leicht zu analysieren, insbesondere wenn N (A∗ ) mehrdimensional ist. Der einfachste nichttriviale, aber auch der wichtigste, ist der eindimensionale Fall, also dim N (A∗ ) = dim Z = 1. Dazu sei wieder N (A∗ ) = span{u0 }. Die Idee, welche weitere L¨osungen liefert, besteht darin, die triviale L¨ osung “heraus zu dividieren”. Dazu setzen wir ) h(su0 , μ)/s f¨ ur s = 0, g(s, μ) = ∂u h(0, μ)u0 f¨ ur s = 0. Aufgrund von h(0, μ) = 0 ist g wohldeﬁniert; allerdings geht eine Diﬀerenzierbarkeitsstufe verloren, aber man u ¨berzeugt sich leicht, dass g in C 1 ist, wenn f zur 2 Klasse C geh¨ort. Die verbleibende Gleichung ist g(s, μ) = 0, und diese wollen wir nach μ auﬂ¨osen. Wie im vorhergehenden Abschnitt parametrisieren wir nichttriviale L¨osungen u ¨ber den Kern von A∗ . Nun ist g(0, 0) = ∂u h(0, 0)u0 = 0 und ∂μ g(0, 0) = ∂μ ∂u h(0, 0)u0 , sofern h, also f aus C 2 ist. Mit dem Satz u ¨ ber implizite Funktionen l¨asst sich die Verzweigungsgleichung daher nach μ auﬂ¨osen sofern ∂μ ∂u h(0, 0)u0 = Q∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 = 0 erf¨ ullt ist. Da N (Q) = R(A∗ ) ist, l¨ asst sich diese Bedingung auch folgendermaßen formulieren: ∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 ∈ R(A∗ ). (12.6) Wir fassen das Bewiesene in folgendem Satz zusammen: Satz 12.2.1. Sei f ∈ C 2 (G × Λ; Rn ) und f (0, λ) = 0 f¨ ur alle λ ∈ Λ. Sei A∗ := ∂x f (0, λ∗ ) nicht invertierbar, und gelte: 1. N (A∗ ) = span{u0 } ist eindimensional, und 2. ∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 ∈ R(A∗ ).

12.2. Pitchfork-Verzweigung

263

Dann sind alle nichttrivialen L¨ osungen der Gleichung f (x, λ) = 0 in einer Umgebung von (0, λ∗ ) durch {(x(s) := su0 + y(s), λ(s) := μ(s) + λ∗ ) : |s| < δ} gegeben, wobei y : (−δ, δ) → Y und μ : (−δ, δ) → R aus C 1 eindeutig bestimmt sind, und y(0) = y (0) = 0, μ(0) = 0 erf¨ ullen. Aus Gr¨ unden, die wir gleich sehen werden, heißt (12.6) Transversalit¨atsbedingung. Nun kann man auch den Namen Pitchfork f¨ ur diesen Verzweigungstyp verstehen: die triviale L¨ osung bildet den Stiel und die mittlere Zinke der Heugabel, die abzweigenden L¨ osungen bilden die zwei ¨ außeren Zinken. Zur Untersuchung der Stabilit¨ at der Equilibria in der N¨ahe des Verzweigungspunktes, wenden wir Lemma 12.1.2 zweimal an. Dazu setzen wir wie im vorigen Abschnitt wieder voraus, dass 0 halbeinfach f¨ ur A∗ ist, und w¨ahlen ein u∗0 ∈ N (AT ∗) ∗ mit (u0 |u0 ) = 1. Man beachte, dass in diesem Fall Rn = N (A∗ )⊕R(A∗ ) gilt. An der trivialen L¨osung setzen wir A(μ) = ∂x f (0, μ+λ∗ ) und erhalten eine Eigenwertkurve (u(μ), u∗ (μ), σ(μ)) mit (u(μ)|u∗ (μ)) ≡ 1, σ(0) = 0, u(0) = u0 und u∗ (0) = u∗0 . Aus A(μ)u(μ) = σ(μ)u(μ) folgt mit Diﬀerentiation nach μ und Multiplikation mit u∗ (μ) die Relation σ (μ) = (A (μ)u(μ)|u∗ (μ)),

|μ| < μ0 .

F¨ ur μ = 0 ergibt dies σ (0) = (A (0)u0 |u∗0 ) = (∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 |u∗0 ),

(12.7)

was mit u∗0 ⊥ R(A∗ ) und der Transversalit¨atsbedingung (12.6) die Bedingung σ (0) = 0 impliziert. Damit haben wir eine geometrische Interpretation der Transversalit¨atsbedingung erhalten: in λ = λ∗ u ¨berquert ein einfacher reeller Eigenwert von ∂x f (0, λ) bei wachsendem λ die imagin¨ are Achse mit nichttrivialer Geschwindigkeit. Am nichttrivialen L¨ osungszweig setzen wir B(s) = ∂x f (su0 +y(s), μ(s)+λ∗ ), und erhalten eine Eigenwertkurve (v(s), v ∗ (s), θ(s)) mit v(0) = u0 , v∗ (0) = u∗0 und θ(0) = 0. Diﬀerenziert man die Gleichung B(s)v(s) = θ(s)v(s) und multipliziert mit v∗ (s), so folgt θ (s) = (B (s)v(s)|v ∗ (s)) = (∂x2 f (su0 + y(s), μ(s) + λ∗ )(u0 + y (s))v(s)|v∗ (s)) + (∂λ ∂x f (su0 + y (s), μ(s) + λ∗ )μ (s)v(s)|v ∗ (s)), also mit s = 0 θ (0) = (∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) + (∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 |u∗0 )μ (0) = (∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) + σ (0)μ (0).

264

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Andererseits ergibt zweimalige Diﬀerentiation von f (su0 + y(s), μ(s) + λ∗ ) = 0 in s = 0 die Relation ∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 + 2μ (0)∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 + A∗ y (0) = 0.

(12.8)

Multiplikation mit u∗0 ∈ N (AT ∗ ) impliziert (∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) + 2σ (0)μ (0) = 0, folglich gilt

θ (0) = −σ (0)μ (0).

(12.9)

Daraus kann man den folgenden Schluss ziehen: Es seien f¨ ur μ < 0 alle Eigenwerte von A(μ) in der linken Halbebene, und in λ = λ∗ wird die triviale L¨osung durch die Transversalit¨ atsbedingung instabil, also σ (0) > 0; die Verzweigung sei trans kritisch, also μ (0) = 0. Dann besteht der superkritische Zweig aus asymptotisch stabilen Equilibria f¨ ur (12.1), der subkritische Zweig hingegen aus instabilen. Ist nun μ (0) = 0, was in Anwendungen h¨auﬁg vorkommt, so ist (12.9) nicht aussagekr¨aftig genug, wir ben¨ otigen ein feineres Argument. Dazu deﬁnieren wir eine Funktion k(s) mittels ) ∂λ f (su0 + y(s), μ(s) + λ∗ )/s f¨ ur s = 0 k(s) = ∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 f¨ ur s = 0. Die Funktion k(s) ist stetig, und es gilt nun mit B(s)(u0 + y (s)) + ∂λ f (su0 + y(s), μ(s) + λ∗ )μ (s) = 0 nach Multiplikation mit v∗ (s) f¨ ur s = 0 (k(s)|v ∗ (s))sμ (s) = −(B(s)(u0 + y (s))|v ∗ (s)) = −(u0 + y (s)|B T (s)v ∗ (s)) = −θ(s)(u0 + y (s)|v ∗ (s)). Da (u0 + y (s)|v ∗ (s)) → 1 f¨ ur s → 0 gilt, ist somit ϕ(s) := (k(s)|v∗ (s))/(u0 + y (s)|v∗ (s)) f¨ ur hinreichend kleines |s| wohldeﬁniert, und es folgt die zentrale Beziehung θ(s) = −sμ (s)ϕ(s),

|s| < s0 ,

(12.10)

wobei ϕ(s) stetig und ϕ(0) = σ (0) > 0 ist. Damit gilt die Stabilit¨atsaussage, die wir f¨ ur den transkritischen Fall getroﬀen haben, auch im Fall μ (0) = 0. Es ergibt sich so folgendes Bild f¨ ur die Stabilit¨ at der abzweigenden L¨osungen. Satz 12.2.2. Es seien die Voraussetzungen von Satz 12.2.1 erf¨ ullt und zus¨atzlich ∗ sei 0 ein halbeinfacher Eigenwert von A∗ . Ferner sei u∗0 ∈ N (AT ∗ ) mit (u0 |u0 ) = 1, ∗ und es sei σ(A∗ ) \ {0} ⊂ C− , sowie (∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 |u0 ) > 0. Dann gelten f¨ ur (12.1) die folgenden Stabilit¨ atsaussagen f¨ ur |s| < s0 :

12.3. Hopf-Verzweigung

265

1. Superkritische Zweige, d.h. sλ (s) > 0, bestehen aus asymptotisch stabilen Equilibria. 2. Subkritische Zweige, d.h. sλ (s) < 0 bestehen aus instabilen Equilibria. Um zu sehen, ob ein Zweig sub- oder superkritisch ist, diﬀerenzieren wir die Gleichung f (x(s), λ(s)) = 0 zweimal nach s, wobei x(s) = su0 + y(s) und λ(s) = μ(s) + λ∗ ist. Nach Multiplikation mit v ∗ (s) erh¨alt man 0 = (∂x2 f (x(s), λ(s))x (s)x (s)|v ∗ (s)) + 2(∂λ ∂x f (x(s), λ(s))x (s)|v ∗ (s))λ (s) + (B(s)x (s)|v ∗ (s)) + (∂λ2 f (x(s), λ(s))λ (s)2 |v ∗ (s)) + (∂λ f (x(s), λ(s))λ (s)|v ∗ (s)), also in s = 0 (∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) + 2(∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 |u∗0 )λ (0) = 0. Wegen (∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 |u∗0 ) > 0 ist der abzweigende Zweig genau dann transkritisch, wenn (∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) = 0 ist. Gilt nun andererseits (∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 |u∗0 ) = 0, also ⊥ ∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 ∈ N (AT ∗ ) = R(A∗ ),

so existiert wegen Rn = N (A∗ ) ⊕ R(A∗ ) ein eindeutiges w0 ∈ R(A∗ ), als L¨osung der Gleichung A∗ w0 + ∂x2 f (0, λ∗ )u0 u0 = 0. Aus (12.8) folgt somit w0 = y (0) ∈ R(A∗ ). Nochmalige Ableitung der Gleichung f (x(s), λ(s)) = 0 nach s und Multiplikation mit u∗0 (s) ergibt dann – sofern f aus C 3 ist – in s = 0 3λ (0)(∂λ ∂x f (0, λ∗ )u0 |u∗0 ) = −(∂x3 f (0, λ∗ )u0 u0 u0 |u∗0 ) − 3(∂x2 f (0, λ∗ )u0 w0 |u∗0 ). (12.11) Aus dieser Beziehung l¨ asst sich nun im generischen Fall ablesen, ob die Verzweigung sub- oder superkritisch ist.

12.3 Hopf-Verzweigung In diesem Abschnitt betrachten wir (12.1) in der Situation f (0, λ) ≡ 0, wobei diesmal ein Paar einfacher, komplex konjugierter Eigenwerte σ± (λ) f¨ ur λ = λ∗ die imagin¨are Achse u ¨ berquert, es gilt also σ± (λ∗ ) = ±iω0 , mit einem ω0 > 0. Die linearisierte Gleichung x˙ = A∗ x, mit A∗ = ∂x f (0, λ∗ ), besitzt dann die periodischen L¨ osungen eiω0 t ϕ und e−iω0 t ϕ ¯ mit Periode τ0 = 2π/ω0 . Daher erwartet

266

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

man, dass in dieser Situation periodische L¨ osungen von der Trivialen abzweigen. Diese Art der Verzweigung wird Hopf-Verzweigung genannt. Beispiel. Der Brusselator von Prigogine und Nicolis (vgl. Abschnitt 9.3) besitzt im positiven Quadranten R2+ genau ein Equilibrium n¨amlich (a, b/a). Die Linearisierung des Modells in diesem Punkt ergibt die Matrix b − 1 a2 A= , −b −a2 also ist sp A = b − (1 + a2 ) und det A = a2 > 0. Daher sind die Eigenwerte f¨ ur sp A = 0, also f¨ ur b = 1 + a2 rein imagin¨ ar und nat¨ urlich algebraisch einfach. Fasst man b als Verzweigungsparameter auf, so ﬁndet f¨ ur b = 1 + a2 eine HopfVerzweigung statt, wie wir sp¨ ater sehen werden. v

v 3.0

3.0

2.5

2.5

2.0

2.0

1.5

1.5

1.0

1.0 0.5

0.5

u

u 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Abbildung 12.3: Brusselator mit a = 1, b = 1.99, bzw. b = 2.01 Satz 12.3.1. Sei f ∈ C 2 (G × Λ; Rn ) mit f (0, λ) ≡ 0 gegeben, und setze A∗ = ∂x f (0, λ∗ ) und L∗ = ∂λ ∂x f (0, λ∗ ). Ferner seien die folgenden Bedingungen f¨ ur ein ω0 > 0 erf¨ ullt: ∗ 1. iω0 ist algebraisch einfacher Eigenwert von A∗ , A∗ ϕ = iω0 ϕ, AT = ∗ϕ ∗ ∗ −iω0 ϕ , und es gelte (ϕ|ϕ ) = 1.

2. Es gilt Re(L∗ ϕ|ϕ∗ ) = 0. 3. Keine Vielfachen ikω0 mit k ∈ Z, k ∈ / {−1, 1}, sind Eigenwerte von A∗ . Dann gibt es ein δ > 0 und C 1 -Funktionen τ : [0, δ) → (0, ∞), λ : [0, δ) → Λ, x : R × [0, δ) → Rn , derart dass x(·; s) eine τ (s)-periodische L¨osung von (12.1) f¨ ur λ = λ(s) ist. Es gelten τ (0) = 2π/ω0 , λ(0) = λ∗ , x(·, 0) ≡ 0. In einer Umgebung Br (0) × (λ∗ − a, λ∗ + a) von (0, λ∗ ) gibt es bis auf Phasenverschiebungen x(· + α; s) keine weiteren nichttrivialen periodischen L¨ osungen. Der Beweis dieses Satzes ist konzeptionell und technisch deutlich schwieriger als die der Verzweigungss¨ atze in den vorhergehenden Abschnitten, da hier nicht Equilibria, also Vektoren im Rn , sondern periodische Funktionen gesucht sind. Das Problem wird dadurch unendlichdimensional!

12.3. Hopf-Verzweigung

267

Bedingung 2. nennt man auch hier Transversalit¨ atsbedingung, wir werden sp¨ater sehen warum das gerechtfertigt ist. Bedingung 3. r¨ uhrt daher, dass mit ±iω0 auch Eigenwerte kiω0 τ0 -periodische L¨osungen der linearisierten Gleichung x˙ = A∗ x liefern, was hier f¨ ur k ∈ / {−1, 1} ausgeschlossen werden soll. Da (12.1) bez¨ uglich t translationsinvariant ist, sind mit x(t; s) auch x(t+α; s) periodische L¨osungen, die aber dasselbe Orbit haben wie x(t; s). In diesem Satz sind die periodischen Orbits eindeutig, die periodischen L¨osungen sind nur bis auf Translationen, also Phasenverschiebungen eindeutig bestimmt. Beweis. (i) Zun¨ achst beachte man, dass mit iω0 auch −iω0 Eigenwert von A∗ ist, mit Eigenvektor ϕ¯ und adjungiertem Eigenvektor ϕ¯∗ . Es ist iω0 (ϕ|ϕ¯∗ ) = (A∗ ϕ|ϕ¯∗ ) = (ϕ|AT ¯∗ ) = (ϕ|iω0 ϕ¯∗ ) = −iω0 (ϕ|ϕ ¯∗ ), ∗ϕ also (ϕ|ϕ ¯∗ ) = 0; ebenso gilt auch (ϕ|ϕ ¯ ∗ ) = (ϕ|ϕ ¯∗ ) = 0. Da die Periode der gesuchten periodischen L¨ osungen von vornherein nicht bekannt ist, ist es zweckm¨aßig, auf Periode 2π zu normieren. Daher betrachten wir anstelle von (12.1) die normierte Gleichung ω x˙ = f (x, λ). (12.12) Die Periode τ ist dann gegeben durch τ = 2π/ω; gesucht ist nun auch noch ω. (ii) Es bezeichne X0 := Cper (R; Cn ) den Raum aller Cn -wertigen, stetigen, 1 2π-periodischen Funktionen, und X1 := Cper (R; Cn ) den Raum der stetig diﬀerenzierbaren Funktionen aus X0 . Versehen mit den Maximumsnormen |x|X0 = |x|∞ bzw. |x|X1 = |x|∞ + |x| ˙ ∞ sind dies Banachr¨ aume. Wir untersuchen als erstes die Gleichung ω0 x˙ = A∗ x + b(t), t ∈ R, (12.13) bei gegebenem b ∈ X0 im Raum X1 . Diese Gleichung hat einen zweidimensionalen ¯ = e−it ϕ Kern N , der durch ψ(t) = eit ϕ und ψ(t) ¯ aufgespannt wird. Wir bezeichnen den Raum der Funktionen b ∈ X0 , sodass (12.13) eine L¨osung in X1 besitzt, mit R. Die L¨osung von (12.13) mit Anfangswert x(0) = x0 ist mit der Formel der Variation der Konstanten durch t A∗ t/ω0 x(t) = e x0 + eA∗ (t−r)/ω0 b(r)/ω0 dr, t ∈ R, 0

gegeben. Diese L¨ osung ist genau dann 2π-periodisch, wenn 2π (I − e2πA∗ /ω0 )x0 = eA∗ (2π−r)/ω0 b(r)/ω0 dr 0

¯ gilt. Da e ϕ = ψ(t) und e ϕ¯ = ψ(t) sind, die homogene Gleichung (12.13) aufgrund von Annahmen 1. und 3. keine weiteren unabh¨angigen 2πperiodischen L¨ osungen besitzt, ist der Kern von I − e2πA∗ /ω0 durch A∗ t/ω0

A∗ t/ω0

N (I − e2πA∗ /ω0 ) = span{ϕ, ϕ} ¯

268

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

gegeben, und der Orthogonalraum des Bildes von I − e2πA∗ /ω0 ist T

R(I − e2πA∗ /ω0 )⊥ = N (I − e2πA∗ /ω0 ) = span{ϕ∗ , ϕ ¯∗ }. Damit besitzt (12.13) genau dann eine L¨ osung in X1 wenn (

2π

e

A∗ (2π−r)/ω0

b(r)dr|ϕ ) = (

2π

∗

0

eA∗ (2π−r)/ω0 b(r)dr|ϕ¯∗ ) = 0

0

T erf¨ ullt ist. Wir setzen nun ψ ∗ (t) = eit ϕ∗ = e−A∗ t/ω0 ϕ∗ und ψ¯∗ (t) = e−it ϕ¯∗ = T e−A∗ t/ω0 ϕ ¯∗ . Dann sind die L¨ osbarkeitsbedingungen wegen

(

2π

eA∗ (2π−r)/ω0 b(r)dr|ϕ∗ ) =

0

2π

T

(b(r)|eA∗ (2π−r)/ω0 ϕ∗ )dr =

0

2π

(b(r)|ψ ∗ (r))dr

0

und der analogen Identit¨ at mit ϕ¯∗ ¨ aquivalent zu

2π

(b(r)|ψ ∗ (r))dr =

0

2π

(b(r)|ψ¯∗ (r))dr = 0.

0

Gilt nun b ∈ R, d.h. b erf¨ ullt die L¨ osbarkeitsbedingungen, dann existiert eine d L¨osung von (12.13). Damit hat der beschr¨ankte lineare Operator ω0 dt − A∗ : X1 → X0 den Kern N und das Bild R; man beachte, dass R abgeschlossen ist. (iii) Zur Abk¨ urzung f¨ uhren wir das Skalarprodukt 1 !u|v" := 2π

2π

(u(t)|v(t))dt,

u, v ∈ X0 ,

0

ein, und deﬁnieren P : X0 → X0 mittels ¯ P u := !u|ψ ∗ "ψ + !u|ψ¯∗ "ψ,

u ∈ X0 .

Oﬀensichtlich ist P : X0 → X0 eine stetige Projektion in X0 mit Bild R(P ) = N . Andererseits gilt b ∈ R genau dann, wenn !b|ψ ∗ " = !b|ψ¯∗ " = 0 ist, d.h. es gilt N (P ) = R. Damit haben wir die Zerlegung X0 = N (P ) ⊕ R(P ) = R ⊕ N , und mit X0 ist auch R ⊂ X0 ein Banachraum, da R abgeschlossen ist. Da N ⊂ X1 gilt, ist P auch eine Projektion in X1 und es gelten R(P |X1 ) = N , N (P |X1 ) = R1 , d sowie X1 = N ⊕ R1 . Daher ist die Einschr¨ ankung S0 des Operators ω0 dt − A∗ auf R1 := R ∩ X1 ein Isomorphismus von R1 auf R. Man beachte, dass P u = P u ¯ gilt, also ist mit u auch P u reell. Ebenso ist die L¨osung S0−1 b reell, wenn b ∈ R reell ist.

12.3. Hopf-Verzweigung

269

(iv) Von nun an sei o.B.d.A. λ∗ = 0. Wir zerlegen die Funktion f wie folgt. f (x, λ) = f (0, λ) + ∂x f (0, λ)x + r˜(x, λ) = A∗ x + λL∗ x + r(x, λ), wobei r wieder aus C 2 ist, und r(0, 0) = ∂x r(0, 0) = ∂λ r(0, 0) = ∂λ ∂x r(0, 0) = 0 erf¨ ullt. Dann ist (12.12) ¨ aquivalent zu ω x˙ − A∗ x − λL∗ x = r(λ, x). Wir w¨ahlen nun den Ansatz ¯ + sy, x = s(ψ + ψ)

!y|ψ ∗ " = !y|ψ¯∗ " = 0.

Dabei ist mit y auch x reell, denn es ist ψ + ψ¯ = 2Re ψ. In die letzte Gleichung eingesetzt ergibt dieser Ansatz nach Division durch s > 0 i(ω − ω0 )ψ − i(ω − ω0 )ψ¯ + ω y˙ − A∗ y − λL∗ (ψ + ψ¯ + y) = r0 (s, λ, y), )

mit r0 (s, λ, y) :=

¯ + sy, λ)/s, s = 0, r(s(ψ + ψ) ∂x r(0, λ)(ψ + ψ¯ + y), s = 0.

Man beachte, dass r0 eine Diﬀerenzierbarkeitsstufe weniger besitzt als r, aber immer noch aus C 1 ist, und es gilt r0 (0, 0, 0) = ∂y r0 (0, 0, 0) = ∂λ r0 (0, 0, 0) = 0. Nun ist !L∗ ψ|ψ ∗ " = (L∗ ϕ|ϕ∗ ) =: γ,

!L∗ ψ|ψ¯∗ " = γ¯ ,

¯ ∗ " = 0, !ψ|ψ¯∗ " = !ψ|ψ

und nach partieller Integration auch !y|ψ ˙ ∗ " = !y| ˙ ψ¯∗ " = 0, sowie !A∗ y|ψ ∗ " = ∗ ∗ ∗ !A∗ y|ψ¯ " = 0. Nach Anwendung von ψ und ψ¯ und I − P erh¨alt man daher das aquivalente System ¨ i(ω − ω0 ) − λγ = !r0 (s, λ, y)|ψ ∗ " + λ!L∗ y|ψ ∗ " −i(ω − ω0 ) − λ¯ γ = !r0 (s, λ, y)|ψ¯∗ " + λ!L∗ y|ψ¯∗ " (12.14) S0 y − (ω − ω0 )y˙ = λ(I − P )L∗ (ψ + ψ¯ + y) + (I − P )r0 (s, λ, y). Hierbei ist die 2. Gleichung die komplex-konjugierte der 1., also redundant. Die letzte Gleichung, also S0 y − (ω − ω0 )y˙ = λ(I − P )L∗ (ψ + ψ¯ + y) + (I − P )r0 (s, λ, y),

(12.15)

l¨asst sich mit Hilfe des Satzes u ¨ ber implizite Funktionen im reellen Banachraum R1 nach y auﬂ¨osen, denn ihre Ableitung nach y im Punkt (s, ω, λ, y) = (0, ω0 , 0, 0) ist S0 und nach Beweisschritt (iii) ist S0 : R1 → R ein Isomorphismus. Wir erhalten so eine C 1 -Funktion y : (−δ, δ) × (ω0 − δ, ω0 + δ) × (−δ, δ) → R1 mit y(0, ω0 , 0) = 0

270

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

sowie ∂ω y(0, ω0 , 0) = 0. Setzt man y(s, ω, λ) in die erste Gleichung aus (12.14) ein, so erh¨alt man die Verzweigungsgleichung: i(ω − ω0 ) − λγ = g(s, ω, λ), wobei

(12.16)

g(s, ω, λ) = !r0 (s, λ, y(s, ω, λ))|ψ ∗ " + λ!L∗ y(s, ω, λ)|ψ ∗ "

ist. Aufspalten in Real- und Imagin¨ arteil ergibt das zweidimensionale reelle System −λRe γ = Re g(s, ω, λ),

(12.17)

(ω − ω0 ) − λIm γ = Im g(s, ω, λ),

(12.18)

Dieses System kann man nun mit Hilfe des Satzes u ¨ ber implizite Funktionen nach ω und λ auﬂ¨osen. Denn dessen Ableitung nach ω und λ im Punkt (0, ω0 , 0) ist die Matrix 0 −Re γ C := , 1 −Im γ deren Determinate det C = Re γ ist, also nach Voraussetzung 2. det C = 0. Damit erhalten wir Funktionen ω, λ : (−s0 , s0 ) → R aus C 1 mit ω(0) = ω0 , λ(0) = 0 = λ∗ , und es gibt keine weiteren L¨ osungen in einer Umgebung von (ω0 , λ∗ ). Der Satz ist damit bewiesen. Um die Richtung der Verzweigung zu bestimmen, muss man zur Kenntnis nehmen, dass λ (0) = ω (0) = 0 ist; vgl. Abschnitt 12.5. Daher diﬀerenzieren wir die Gleichung −λ(s)Reγ = Re g(s, ω(s), λ(s)) zweimal nach s und werten sie in s = 0 aus. Zun¨ achst ergibt der Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung die Darstellung 1 g(s, ω, λ) = ! (∂x r(σs(ψ + ψ¯ + y), λ)(ψ + ψ¯ + y)|ψ ∗ )dσ" + λ!L∗ y|ψ ∗ ". 0

Nach Einsetzen der Funktionen λ(s), ω(s), y = y(s, ω(s), λ(s)) ergibt eine einfache, aber l¨angere Rechnung f¨ ur s = 0 die Identit¨ at ¯ ∗" − 3λ (0)Re γ = Re[(∂x3 f (0, λ∗ )ϕϕϕ|ϕ ¯ ∗ ) + 3!∂x2 f (0, λ∗ )y (0)(ψ + ψ)|ψ ¯ (0)|ψ ∗ "]. (12.19) + 3!∂x2 f (0, λ∗ )(ψ + ψ)y Dabei beachte man, dass y (0) als L¨ osung des aus (12.15) resultierenden Problems S0 y (0) =

1 2 ¯ ¯ ∂ f (0, λ∗ )(ψ + ψ)(ψ + ψ) 2 x

eindeutig bestimmt ist. Die Beziehung (12.19) erm¨oglicht die Bestimmung der Verzweigungsrichtung. Nat¨ urlich m¨ ussen wir hierbei f ∈ C 3 voraussetzen, damit diese Argumentation erlaubt ist.

12.4. Periodische L¨osungen Hamiltonscher Systeme

271

12.4 Periodische L¨ osungen Hamiltonscher Systeme Als Anwendung der Hopf-Verzweigung zeigen wir ein klassisches Resultat u ¨ ber periodische L¨osungen Hamiltonscher Systeme, das auf Ljapunov zur¨ uckgeht. Dazu betrachten wir das Hamilton-System q˙ = ∂p H(q, p),

p˙ = −∂q H(q, p),

(12.20)

mit einer Hamilton-Funktion H ∈ C 3 (R2n ; R). Es ist bequem, dieses System in der Gleichung x˙ = J∇H(x) zusammenzufassen, wobei x = (q, p) und 0 I J= −I 0 sind. Die Matrix J heißt Symplektik und hat die Eigenschaften J T = J −1 = −J, (Jx|x) = 0 f¨ ur reelle x und (Jz|z) ∈ iR f¨ ur komplexe z. Wir betrachten das Hamilton-System in der N¨ ahe eines Equilibriums x∗ = (q∗ , p∗ ), also eines kritischen Punktes von H. Es gilt das folgende Resultat: Satz 12.4.1. Sei U ⊂ R2n oﬀen, H ∈ C 3 (U ; R), und x∗ ∈ U ein kritischer Punkt von H. Es sei iω ein algebraisch einfacher Eigenwert von A∗ := J∇2 H(x∗ ), ω > 0, und kein Eigenwert μ = ±iω von A∗ sei auf der imagin¨ aren Achse. Dann besitzt das Hamilton -System x˙ = J∇H(x) in einer Umgebung Br (x∗ ) ⊂ U von x∗ eine eindeutige einparametrige Schar periodischer L¨ osungen. Beweis. Die Idee besteht darin, Satz 12.3.1 auf die Gleichung x˙ = f (x, λ) im Punkt (x∗ , 0) anzuwenden, wobei f (x, λ) = J∇H(x) + λ∇H(x) ist. Oﬀenbar ist ∂x f (x∗ , 0) = A∗ und ∂x ∂λ f (x∗ , 0) = ∇2 H(x∗ ) =: L∗ . O.B.d.A. kann man x∗ = 0 annehmen. Die Annahmen 1. und 3. von Satz 12.3.1 sind nach Voraussetzung erf¨ ullt, wir veriﬁzieren nun 2. Es seien ϕ und ϕ∗ wie in Satz 12.3.1 deﬁniert. Dann gelten J∇2 H(0)ϕ = iωϕ und ∇2 H(0)J T ϕ∗ = (J∇2 H(0))T ϕ∗ = −iωϕ∗ , folglich

J∇2 H(0)J T ϕ∗ = −iωJϕ∗ = iωJ T ϕ∗ ,

und somit J T ϕ∗ = αϕ, da iω einfach ist. Ferner ist α = 0 da sonst ϕ∗ = 0 w¨are, im Widerspruch zu (ϕ|ϕ∗ ) = 1. Nun folgt (L∗ ϕ|ϕ∗ ) = (∇2 H(0)ϕ|ϕ∗ ) = (J∇2 H(0)ϕ|Jϕ∗ ) = iω(ϕ| − J T ϕ∗ ) = −iω α|ϕ| ¯ 22 . Danach w¨are die Annahme 2. in Satz 12.3.1 erf¨ ullt, falls Im α = 0 ist. Es gilt 1 = (ϕ|ϕ∗ ) = (Jϕ|Jϕ∗ ) = −(Jϕ|αϕ) = −¯ α(Jϕ|ϕ). Da der Term (Jϕ|ϕ) rein imagin¨ ar ist, gilt α ∈ iR \ {0}. Nach Satz 12.3.1 ﬁndet also eine Hopf-Verzweigung statt, und wir ﬁnden eine eindeutige Schar periodischer Orbits γ(s), Perioden τ (s), und Parameter λ(s), wobei s ∈ (0, δ) ist.

272

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Der Clou des Beweises ist nun der, dass λ(s) = 0 f¨ ur alle s gilt, d.h. die periodischen Orbits geh¨ oren zu L¨ osungen des Hamilton Systems. In der Tat ist nach Voraussetzung J∇2 H(0) nichtsingul¨ ar, also auch ∇2 H(0). Dies impliziert, dass x∗ = 0 isolierter kritischer Punkt von H ist, also dass ∇H(x) = 0 in einer punktierten Umgebung Br (0) \ {0}. Weiter gilt ˙ H(x) = (J∇H(x)|∇H(x)) + λ|∇H(x)|22 = λ|∇H(x)|22 , also ist die Funktion −λH(x) f¨ ur λ = 0 eine strikte Ljapunov-Funktion f¨ ur x˙ = f (x, λ). Damit hat diese Gleichung f¨ ur λ = 0 keine nichtkonstanten periodischen L¨osungen. Daher muss λ(s) = 0 f¨ ur alle s ∈ (0, δ) gelten.

12.5 Stabilit¨at bei Hopf-Verzweigung (i) Es seien die Voraussetzungen von Satz 12.3.1 erf¨ ullt. Da iω algebraisch einfacher Eigenwert von A∗ ist, gibt es nach einer einfachen Modiﬁkation von Lemma 12.1.2 eine C 1 -Eigenwertkurve (σ(λ), φ(λ), φ∗ (λ)), λ ∈ (λ∗ − η, λ∗ + η), sodass σ(λ∗ ) = iω0 , φ(λ∗ ) = ϕ, φ∗ (λ∗ ) = ϕ∗ , (φ(λ)|φ∗ (λ)) = 1, und A(λ)φ(λ) = σ(λ)φ(λ),

AT (λ)φ∗ (λ) = σ ¯ (λ)φ∗ (λ),

λ ∈ (λ∗ − η, λ∗ + η),

gelten. Diﬀerentiation nach λ und Multiplikation mit φ∗ (λ) ergibt (A (λ)φ(λ)|φ∗ (λ)) = σ (λ), also f¨ ur λ = λ∗

Re σ (λ∗ ) = Re (L∗ ϕ|ϕ∗ ),

da A (λ) = ∂λ ∂x f (0, λ), also A (λ∗ ) = L∗ ist. Daher ist Bedingung 2. aus Satz 12.3.1 ¨aquivalent zu Re σ (λ∗ ) = 0, d.h. der Eigenwert σ(λ) u ¨berquert die imagin¨are Achse f¨ ur λ = λ∗ mit nichttrivialer Geschwindigkeit. Dies rechtfertigt die Bezeichnung Transversalit¨atsbedingung auch im Fall der Hopf-Verzweigung. Sind alle Eigenwerte von A∗ mit Ausnahme von ±iω0 in der oﬀenen linken Halbebene, und gilt Re σ (λ∗ ) > 0, so ist das triviale Equilibrium von (12.1) f¨ ur λ∗ − η < λ < λ∗ asymptotisch stabil, f¨ ur λ∗ < λ < λ∗ + η instabil, verliert also in λ = λ∗ seine Stabilit¨ at. Wir nehmen im Folgenden Re σ (λ∗ ) > 0 an. ¯ ¯ (ii) Ersetzt man s durch −s so ergibt sich −s(ψ(t)+ ψ(t)) = s(ψ(t+π)+ ψ(t+ π)), d.h. eine Phasenverschiebung um π. Mit der Transformation τ y(t) = −y(t+π) sieht man nun die Symmetrie r0 (−s, λ, τ y) = τ r0 (s, λ, y), und daher gilt aufgrund der Eindeutigkeit der L¨osungen von (12.15) die Symmetrie y(−s, λ, ω) = τ y(s, λ, ω). Da außerdem g(−s, ω, λ) = g(s, ω, λ) ist, folgt ω(−s) = ω(s) und λ(−s) = λ(s), und die periodischen L¨osungen x(·; s) = s(ψ + ψ¯ + y(s))

12.5. Stabilit¨at bei Hopf-Verzweigung

273

sind f¨ ur negative s lediglich die um π phasenverschobenen f¨ ur |s|. Daher gen¨ ugt es tats¨achlich nur den Zweig f¨ ur s > 0 zu betrachten, denn der Zweig f¨ ur s < 0 gibt keine weiteren L¨ osungen. Insbesondere sind λ (0) = ω (0) = 0. Dies impliziert, dass die periodische L¨ osung sehr schnell abzweigt. Denn ihre Amplitude ist proportional ¨ zu s. Hingegen ist f¨ ur kleine s die Anderung des Parameters λ(s) ebenso wie der Frequenz ω(s) und daher auch der Periode τ (s) = 2π/ω(s) proportional zu s2 . Diese Gr¨oßen ¨ andern sich also verglichen mit der Amplitude nur langsam in der N¨ahe des Verzweigungspunktes. (iii) Um die Stabilit¨ at der abzweigenden L¨osungen zu untersuchen, verwenden wir die Floquet-Theorie aus Abschnitt 11.2. Da die Gleichung (12.1) autonom ist, ist ein Floquet-Multiplikator stets gleich eins, und er ist algebraisch zweifach aber halbeinfach f¨ ur s = 0. Daher ist der zweite Floquet-Multiplikator μ(s) reell, und seine Lage entscheidet u ¨ber die Stabilit¨at der abzweigenden periodischen L¨osungen, denn wegen σ(A∗ ) \ {±iω0} ⊂ C− beﬁnden sich alle anderen FloquetMultiplikatoren f¨ ur s = 0 strikt innerhalb des Einheitskreises, also auch f¨ ur kleine positive s. Daher m¨ ussen wir μ(s) studieren; man beachte, dass auch μ (0) = 0 aufgrund der Symmetrie μ(−s) = μ(s) gilt. Wir betrachten daher das Problem ω(s)u(t) ˙ = B(t; s)u(t),

t ∈ [0, 2π],

u(2π) = μ(s)u(0),

(12.21)

¯ + y(t; s)) gesetzt wobei B(t; s) = ∂x f (x(t; s), λ(s)) und x(t; s) = s(ψ(t) + ψ(t) wurde. F¨ ur s = 0 ergibt sich das Problem ω0 u(t) ˙ = A∗ u(t),

t ∈ [0, 2π],

u(2π) = μ0 u(0),

welches μ0 = 1 als halbeinfachen doppelten Floquet-Multiplikator hat, und die Eigenvektoren lauten ϕ und ϕ. ¯ Sei X(t; s) das Hauptfundamentalsystem von (12.21), und M (s) = X(2π; s) die zugeh¨orige Monodromiematrix. Ist μ(s) = 1, dann sind die Kerne N (M (s)− I) und N (M (s) − μ(s)) eindimensional, denn die Eigenwerte 1 und μ(s) von M (s) sind algebraisch einfach. Wir ﬁxieren dann u0 (s) ∈ N (M (s) − I), u∗0 (s) ∈ N (M T (s) − I) mit (u0 (s)|u∗0 (s)) = 1, und v0 (s) ∈ N (M (s) − μ(s)), v0∗ (s) ∈ N (M T (s) − μ(s)) mit (v0 (s)|v0∗ (s)) = 1; man beachte dass μ(s) = 1 schon (u0 (s)|v0∗ (s)) = (v0 (s)|u∗0 (s)) = 0 nach sich zieht. Da M (s) reell ist, k¨onnen alle diese Vektoren reell gew¨ ahlt werden, und o.B.d.A. k¨onnen wir |v0∗ (s)|2 = 1 annehmen. Als n¨ achstes setzen wir u(t; s) = X(t; s)u0 (s), v(t; s) = X(t; s)v0 (s) sowie u∗ (t; s) = X −T (t; s)u∗0 (s), v∗ (t; s) = X −T (t; s)v0∗ (s); dann gilt !u(s)|u∗ (s)" = !v(s)|v∗ (s)" = 1 und !u(s)|v∗ (s)" = !v(s)|u∗ (s)" = 0. Diﬀerenziert man ω x˙ = f (x, λ) nach t so folgt ω(s)¨ x(t; s) = ∂x f (x(t; s), λ(s))x(t; ˙ s) = B(t; s)x(t; ˙ s), ¯ folglich kann man o.B.d.A. u(t; s) = x(t; ˙ s)/s = i(ψ − ψ)(t) + y(t; ˙ s) setzen. Mit ¯ s → 0 folgt dann u(·; s) → i(ψ − ψ), also auch u0 (s) → i(ϕ − ϕ). ¯ Diﬀerenziert man

274

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

die Gleichung nach s so erh¨ alt man (der bedeutet die Ableitung nach s) ω(s)x˙ (t; s) = ∂x f (x(t; s), λ(s))x (t; s) + ∂λ f (x(t; s), λ(s))λ (s) − ω (s)x(t; ˙ s). ¯ + y(t; s) + sy (t; s) → ψ(t) + ψ(t) ¯ f¨ Andererseits gilt x (t; s) = ψ(t) + ψ(t) ur s → 0. Wir multiplizieren die letzte Gleichung mit u∗ (s) und erhalten nach partieller Integration die Beziehung sω (s) = λ (s)!∂λ f (x(·; s), λ(s))|u∗ (·; s)". Des Weiteren gilt wegen v∗ (2π; s) = X −T (2π; s)v0∗ (s) = M −T (s)v0∗ (s) =

1 ∗ v (s), μ(s) 0

die Relation (

1 − 1)ω(s)(x (0; s)|v0∗ (s)) = ω(s)(x (0; s)|v∗ (2π; s) − v∗ (0; s)). μ(s)

Damit ergibt der Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung

∗

∗

2π

ω(s)(x (0; s)|v (2π; s) − v (0; s)) = ω(s) 0

d (x (t; s)|v ∗ (t; s))dt, dt

denn x (0; s) = x (2π; s). Ferner gilt ω(s)

2π

d (x (t; s)|v∗ (t; s))dt dt 0 2π = ω(s) [(x˙ (t; s)|v∗ (t; s)) + (x (t; s)|v˙ ∗ (t; s))]dt = 0

0 2π

[(B(t; s)x (t; s) + ∂λ f (x(t; s), λ(s))λ (s) − ω (s)x(t; ˙ s)|v∗ (t; s)) − (x (t; s)|B T (t; s)v∗ (t; s))]dt

= 2π!∂λ f (x(·; s), λ(s))λ (s) − ω (s)x(·; ˙ s)|v∗ (·; s)" = 2π!∂λ f (x(·; s), λ(s))λ (s)|v∗ (·; s)", denn ω(s)v˙ ∗ (t; s) = −B T (t; s)v∗ (t; s) und !x(·; ˙ s)|v∗ (·; s)" = s!u(·; s)|v ∗ (·; s)" = 0. Insgesamt erhalten wir so die Beziehung (1 − μ(s))ω(s)(x (0; s)|v0∗ (s)) = 2πλ (s)μ(s)!∂λ f (x(·; s), λ(s))|v∗ (·; s)". Sei nun sk → 0 eine Folge mit μ(sk ) = 1. Da die Folge (v0∗ (sk )) beschr¨ankt ist, gibt es eine Teilfolge die gegen ein v0∗ ∈ N (M (0)T −I) konvergiert; v0∗ ist reell, hat Norm Eins, und ist von der Form v0∗ = aϕ∗ +bϕ ¯∗ . Da nun außerdem (i(ϕ− ϕ)|v ¯ 0∗ ) = 0 gilt,

12.5. Stabilit¨at bei Hopf-Verzweigung

275

folgt a = b ∈ R. Wegen |v0∗ |2 = 1 sind ±a(ϕ¯ + ϕ¯∗ ) die einzigen H¨aufungspunkte von (v(sk )). Wir erhalten somit (x (0; s)|v0∗ (s)) → (ϕ + ϕ| ¯ ± a(ϕ∗ + ϕ¯∗ )) = ±2a = 0. Als n¨achstes berechnen wir lim

s→0

∂λ f (x(t; s), λ(s)) s ¯ = ∂x ∂λ f (0, λ∗ )x (t, 0) + ∂λ2 f (0, λ∗ )λ (0) = L∗ (ψ(t) + ψ(t)),

und erhalten damit : ; 1 ∗ ¯ ± a(ψ ∗ + ψ¯∗ )" = ±2aRe(L∗ ϕ|ϕ∗ ). lim ∂λ f (x(·; s), λ(s))|v (·; s) = !L∗ (ψ + ψ)| s→0 s Dies ergibt schließlich die wichtige Identit¨ at <1

1 − μ(s) = sλ (s)μ(s)h(s),

h(s) = 2π

=

∗ s ∂λ f (x(·; s), λ(s))|v (·; s) ω(s)(x (0; s)|v0∗ (s))

,

(12.22)

wobei h(s) → 2πRe(L∗ ϕ|ϕ∗ )/ω0 f¨ ur s → 0 gilt. Ist nun Re(L∗ ϕ|ϕ∗ ) = Re σ (0) > 0, so zeigt Identit¨ at (12.22), dass λ (s) > 0 einen Floquet-Multiplikator μ(s) < 1 nach sich zieht, also impliziert Satz 11.4.3 die orbitale asymptotische Stabilit¨at des abzweigenden Orbits. Im Fall λ (s) < 0 hingegen ergibt sich analog die Instabilit¨at des abzweigenden Orbits. Dies ist der Inhalt des folgenden Resultats. Satz 12.5.1. Es seien die Voraussetzungen von Satz 12.3.1 erf¨ ullt. Es sei A∗ ϕ = ∗ ∗ ∗ ∗ iω0 ϕ, AT ϕ = −iω ϕ , mit (ϕ|ϕ ) = 1 und Re(∂ ∂ f (0, λ )ϕ|ϕ ) > 0. Ferner 0 λ x ∗ ∗ gelte σ(A∗ ) \ {±iω0 } ⊂ C− . Dann gelten f¨ ur die abzweigenden periodischen Orbits von (12.1) die folgenden Stabilit¨ atsaussagen f¨ ur 0 < s < s0 : 1. Superkritische Zweige, d.h. λ (s) > 0, bestehen aus orbital asymptotisch stabilen periodischen L¨ osungen. 2. Subkritische Zweige, d.h. λ (s) < 0 bestehen aus instabilen periodischen L¨ osungen. Zum Abschluss dieses Abschnitts kommen wir auf den Brusselator zur¨ uck. Beispiel. Der Brusselator. Oﬀensichtlich ist σ (b∗ ) = 1/2, also u ¨ berqueren 2 konjugiert komplexe Eigenwerte in b = b∗ = 1 + a2 die imagin¨are Achse mit positiver Geschwindigkeit. Wir interessieren uns f¨ ur die Stabilit¨at des abzweigenden Orbits. Da es nach Beispiel 2 in Abschnitt 9.3 im Bereich b ≤ 1 + a2 keine echten periodischen Orbits gibt, muss b(s) > 1 + a2 f¨ ur s > 0 sein. Die Eigenwerte von A∗ sind ±ia, daher ist die Periode τ∗ = 2π/a. Da f im Falle des Brusselators polynomial, also analytisch ist, hat auch die Funktion b(s) diese Eigenschaft. Daher gibt es ein kleinstes m ∈ N mit b(m)(0) = 0, und es ist b(s) = 1+a2 +b(m) (0)sm /m!+O(sm+1 ).

276

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Da b symmetrisch ist, muss m gerade sein, und es ist b(m) (0) > 0, da der Zweig periodischer L¨ osungen im Bereich b > 1 + a2 liegt. Damit ist der abzweigende Zweig superkritisch, besteht also nach Satz 12.5.1 aus orbital asymptotisch stabilen periodischen L¨ osungen.

12.6 Chemische Reaktionstechnik Als Anwendung betrachten wir in diesem Abschnitt einen idealen R¨ uhrkessel, in dem eine nichtisotherme Reaktion 1. Ordnung abl¨auft. Zur Modellierung sei c(t) die Konzentration der abreagierenden Substanz, θ(t) die absolute Temperatur, cf die Konzentration im Zustrom, θf dessen Temperatur, sowie V das Volumen, V˙ der Volumenstrom durch den Reaktor, r(c, θ) die Reaktionsgeschwindigkeit, und q(θ) eine externe K¨ uhlung des Reaktors. Dann erf¨ ullen (c, θ) unter der Annahme konstanter W¨armekapazit¨ at κ > 0 und vernachl¨assigbarer Volumenver¨anderung sowie idealer Durchmischung das System V c˙ = V˙ (cf − c) − V r(c, θ), c(0) = c0 ≥ 0, κV θ˙ = κV˙ (θf − θ) + ΔHκV r(c, θ) − κV q(θ),

θ(0) = θ0 ≥ 0.

Dabei bedeutet ΔH die Reaktionsenthalpie, welche angibt, wieviel W¨armeenergie pro Mol durch die Reaktion frei, bzw. verbraucht wird. Die Reaktion heißt exotherm wenn ΔH > 0, endotherm wenn ΔH < 0, und isotherm wenn ΔH = 0 ist. Die Reaktionsrate r(c, θ) ist typischerweise vom Arrhenius-Typ: r(c, θ) = k0 ce−E/Rθ ,

c, θ > 0,

wobei k0 > 0 die maximale Reaktionsgeschwindigkeit angibt. E > 0 heißt Aktivierungsenergie, und R > 0 ist die Avogadro-Konstante. Die K¨ uhlungsfunktion q(θ) ist wachsend, ein typisches Beispiel ist die Newtonsche K¨ uhlung q(θ) = K(θ − θK ),

θ > 0,

wobei K ≥ 0 die K¨ uhlintensit¨ at und θK > 0 die Temperatur der K¨ uhlung bedeuten. Naheliegenderweise dividiert man die Gleichung f¨ ur c durch V , die f¨ ur θ durch κV , und erh¨ alt so das System 1 f (c − c) − r(c, θ), c(0) = c0 ≥ 0, τ 1 θ˙ = (θf − θ) + ΔHr(c, θ) − q(θ), θ(0) = θ0 ≥ 0, τ c˙ =

wobei die Zahl τ = V /V˙ Verweilzeit des Reaktors genannt wird; τ gibt die mittlere Zeit an, die ein Partikel im Reaktor verweilt. Wir skalieren die Variablen nun wie folgt. u(t) := c(τ t)/cf , v(t) = (θ(τ t) − θf )/(ΔHcf ),

12.6. Chemische Reaktionstechnik

277

und erhalten das skalierte System u˙ = 1 − u − duψ(v),

u(0) = u0 ≥ 0,

v˙ = −v + duψ(v) − g(v),

v(0) = v0 .

(12.23)

Dabei sind d = k0 τ > 0 die Damk¨ ohler-Zahl, und mit β = ΔHcf /θf , γ = E/Rθf > f f 0 , vK = (θK − θ )/ΔHc ist e−γ/(1+βv) , 1 + βv > 0, ψ(v) = g(v) = τ K(v − vK ). 0, 1 + βv ≤ 0, Dieses skalierte Problem soll in diesem Abschnitt untersucht werden. Wegen 0 ≤ ψ(v) < 1 gilt v˙ ≥ 0, falls v ≤ τ Kvk /(1 + τ K), sowie u˙ ≥ 0, falls u ≤ 0. Daher ist die Menge K := R+ × [τ Kvk /(1 + τ K), ∞) positiv invariant. Ferner gilt u˙ ≤ 0, falls u ≥ 1 und v˙ ≤ 0, falls v ≥ (d + τ Kvk )/(1 + τ K). Demnach existieren die L¨osungen in K global nach rechts, und der Bereich D := [0, 1] × [(τ KvK )/(1 + τ K), (d + τ KvK )/(1 + τ K)] ist positiv invariant und ein globaler Attraktor in K. Die Dynamik des Systems (12.23) spielt sich folglich in D ab, und nach Satz 7.3.5 gibt es mindestens ein Equilibrium in D. Wir unterscheiden im Weiteren 3 F¨alle. (i) Der endotherme Fall. Dieser Fall ist durch β < 0 charakterisiert. Hier gilt ψ (v) =

βγ ψ(v) ≤ 0, (1 + βv)2

v > 0,

also ist ψ nichtnegativ und fallend. Das System (12.23) ist quasimonoton, wir k¨onnen daher Satz 7.6.2 anwenden. Eine Unterl¨osung lautet [0, (τ KvK )/(1+τ K)]T und eine Oberl¨ osung ist gegeben durch [1, (d + τ KvK )/(1 + τ K)]T . Die Equilibria des Systems ergeben sich aus den Gleichungen u = 1 − v − g(v),

v + g(v) = dψ(v). 1 − v − g(v)

(12.24)

Die linke Seite der Gleichung f¨ ur v ist streng wachsend da g(v) wachsend ist, die rechte Seite hingegen fallend. Daher ist das Equilibrium eindeutig bestimmt, folglich nach Satz 7.6.2 global asymptotisch stabil in D und damit auch in K. Hierbei k¨ onnen die Funktionen g und ψ beliebig sein, wichtig sind nur ψ(v) ≥ 0 fallend und g wachsend. (ii) Der exotherme adiabatische Fall. Nun gilt β > 0. Adiabatisch bedeutet keine externe K¨ uhlung, also g(v) ≡ 0. Hier ist nun ψ(v) streng wachsend, also ist a priori die Eindeutigkeit der Equilibria nicht gesichert, diese h¨angt von den Parametern d, β, γ > 0 ab. Es bezeichne f (u, v, d) die rechte Seite von (12.23); wir

278

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

sehen d als den Verzweigungsparameter an, da d im Wesentlichen die Verweilzeit ist, die man einfach kontrollieren kann. Die Ableitung von f nach x = [u, v]T ist −1 − dψ(v) −duψ (v) A= . dψ(v) −1 + duψ (v) Die Determinante von A ergibt sich zu det A = 1 + dψ(v) − duψ (v), und f¨ ur die Spur erhalten wir sp A = −2 − dψ(v) + duψ (v) = −1 − det A. Daher sind die Eigenwerte von A durch λ1 = −1, λ2 = −det A gegeben. Im adiabatischen Fall gibt es somit keine Hopf-Verzweigung, und die Stabilit¨at eines Equilibriums wird durch det A bestimmt; det A > 0 bedeutet asymptotische Stabilit¨at, und det A < 0 Instabilit¨ at, ein Sattelpunkt. Nach dem Satz von Poincar´eBendixson konvergiert damit jede in K startende L¨osung gegen ein Equilibrium. Die Gleichung det A = 0 ergibt die m¨oglichen Verzweigungspunkte. Dann ist λ = 0 algebraisch einfacher Eigenwert von A, und ein Eigenvektor ist durch w = [−1, 1]T gegeben. Ein dualer Eigenvektor lautet w∗ = [dψ(v), 1 + dψ(v)]T . Andererseits ergibt die Ableitung von f nach d −uψ(v) b := ∂d f (u, v, d) = , uψ(v) also gilt (b|w∗ ) = uψ(v) = 0, d.h. b ∈ / N (AT )⊥ = R(A). Daher sind m¨ogliche Verzweigungspunkte nur Umkehrpunkte, Pitchforks treten nicht auf. Wir untersuchen nun det A genauer an Equilibria. Es gelte also 0 = det A = 1 + dψ(v) − duψ (v),

u = 1 − v,

v = dψ(v). 1−v

Elimination von u mit der zweiten Beziehung und Einsetzen der dritten in die erste ergibt mit ψ (v) = ψ(v)βγ/(1 + βv)2 1+

v βγv − = 0, 1 − v (1 + βv)2

also die quadratische Gleichung β(β + γ)v2 + β(2 − γ)v + 1 = 0. Diese Gleichung besitzt 2 reelle L¨ osungen, wenn γ > 4(1 + 1/β) ist und keine f¨ ur γ < 4(1 + 1/β). Im zweiten Fall gibt es keine Umkehrpunkte, im ersten sind sie durch γ − 2 ± γ(γ − 4(1 + 1/β)) v1,2 = 2(β + γ)

12.6. Chemische Reaktionstechnik

279

gegeben. Mit diesen Werten f¨ ur die skalierte Temperatur, die im Equilibrium gleich dem Umsatz 1 − u ist, erh¨ alt man die entsprechenden kritischen Werte f¨ ur den Verzweigungsparameter d, n¨ amlich d1,2 = v1,2 /(1 − v1,2 )ψ(v1,2 ). Schließlich gilt in einem Equilibrium det A = (1 − v)[

1 d v − dψ (v)] = (1 − v) [ − dψ(v)]. 2 (1 − v) dv 1 − v

v Besitzt die Gleichung 1−v − dψ(v) = 0 nun 3 L¨osungen, so ist folglich die mittlere instabil, die untere und die obere asymptotisch stabil, und falls es nur eine L¨osung gibt, so ist sie asymptotisch stabil.

v 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

d 0

2000

4000

6000

8000

Abbildung 12.4: Equilibriazweige des adiabatischen exothermen idealen R¨ uhrkessels mit γ = 12, β = 1. Die physikalische Interpretation im interessanteren Fall γ > 4(1 + 1/β) ist nun folgendermaßen. Bei kleiner Verweilzeit ﬁndet kaum Umsatz statt, aber dieser steigt mit wachsendem τ , d.h. mit d. Erreicht d den gr¨oßeren kritischen Wert d1 , so endet der Zweig auf dem sich das Equilibrium beﬁndet, daher springt die L¨osung auf den dar¨ uber liegenden stabilen Zweig, man sagt die Reaktion z¨ undet. Erh¨oht man die Verweilzeit weiter passiert nichts Wesentliches mehr, der Umsatz erh¨oht sich nur weiter. Nun spielen wir das umgekehrte Szenario durch. Wir starten mit sehr großer Verweilzeit und erniedrigen diese. Dann wandert das Equilibrium auf dem oberen Zweig nach links, bis der Parameterwert d2 , also der kleinere kritische Wert, erreicht wird. Verkleinert man d weiter, so springt die L¨osung auf den unteren stabilen Zweig, die Reaktion erlischt. Dieses Ph¨anomen wird als Hysterese bezeichnet, es ist eine der Thomschen Elementarkatastrophen: die Falte. (iii) Der exotherme nichtadiabatische Fall. Im nichtadiabatischen Fall g(v) = 0 erhalten wir f¨ ur die Ableitung von f nach x = [u, v]T −1 − dψ(v) −duψ (v) A= . dψ(v) −1 + duψ (v) − τ K

280

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Die Determinante von A ergibt sich zu det A = 1 + dψ(v) − duψ (v) + τ K(1 + dψ(v)), und f¨ ur die Spur erhalten wir sp A = −2 − dψ(v) + duψ (v) − τ K = −1 + τ Kdψ(v) − det A. Da auch hier im Fall det A = 0 der Vektor u∗ = [dψ(v), 1 + dψ(v)]T dualer Eigenvektor ist, folgt mit b = ∂d f (u, v) = [−uψ(v), uψ(v)]T wie in (ii) (b|u∗ ) = uψ(v) = 0, also b ∈ R(A). Daher gibt es auch im nichtadiabatischen Fall keine Pitchfork. Ferner ist 0 oﬀensichtlich geometrisch einfach, u = [−(1+τ K), 1]T ist ein Eigenvektor von A, und (u|u∗ ) = 1 − Kdψ(v), also ist 0 algebraisch einfach, es sei denn dψ(v) = 1/(τ K). Umkehrpunkte existieren hier f¨ ur γ > 4[1 +

1+K K + 2KvK + β vK (1 + KvK )], β 1+K

daher ist der qualitative Verlauf der Equilibriumszweige wie im adiabatischen Fall. Weiter gilt nun 1+K − dψ (v)] (1 − v − g(v))2 d v + g(v) = (1 − v − g(v)) [ − dψ(v)], dv 1 − v − g(v)

det A = (1 − v − g(v))[

daher ist das mittlere Equilibrium wieder instabil, ein Sattelpunkt. Am oberen und am unteren Zweig gilt wie zuvor det A > 0, woraus man aber hier noch nicht Stabilit¨at schließen kann, da an diesen Zweigen Hopf-Verzweigung auftreten kann. Diese Art Verzweigung tritt auf wenn sp A = 0 und det A > 0 ist, was ¨aquivalent zu 2+K 1 βγ 1+K + = < v + g(v) 1 − v − g(v) (1 + βv)2 (v + g(v))(1 − v − g(v)) ist. Die Ungleichung impliziert, dass nur L¨osungen der Gleichung mit 1 > v + g(v) > 1/(1 + K) in Frage kommen. Die linke Seite der Gleichung h¨angt nur von den Parametern K und vK ab, die Rechte nur von γ und β. W¨ahlt man nun γ hinreichend groß, so sieht man, dass es Punkte gibt an denen Hopf-Verzweigung auftritt. ¨ Ubungen 1. Sei f aus C 2 und x(λ) ein C 1 -L¨ osungszweig von Equilibria von (12.1), stabil f¨ ur λ < λ∗ . Es sei 0 algebraisch einfacher Eigenwert von A∗ := ∂x f (x(λ∗ ), λ∗ ). Wie lautet in dieser Situation die Transversalit¨ atsbedingung f¨ ur Pitchfork-Verzweigung? 2. Sei g : R2 → R aus C 2 , g(0) = g (0) = 0, g (0) = 0. Untersuchen Sie die L¨ osungsmenge von g(x, λ) = 0 in einer Umgebung von 0.

12.6. Chemische Reaktionstechnik

281

3. Untersuchen Sie Verzweigung der trivialen L¨ osung der van-der-Pol-Gleichung (vgl. Abschnitt 9.4) x ¨ + μ(x2 − 1)x˙ + x = 0, wobei μ der Verzweigungsparameter sei. 4. Untersuchen Sie das Verzweigungsverhalten der Fitzhugh-Nagumo Gleichung (vgl. ¨ Ubung 4.6) in Abh¨ angigkeit vom Parameter γ. Gibt es Umkehrpunkte, Pitchforks oder Hopf-Verzweigung? ¨ 5. Betrachten Sie das Holling-Modell aus Ubung 7.10 mit λ = 0. Sei zus¨ atzlich s0 > 0 striktes globales Minimum der Funktion s → s/f (s) in (0, ∞), mit (s/f (s)) > 0, und sei μ0 = f (s0 ). Zeigen Sie, dass f¨ ur μ = μ0 eine Hopf-Verzweigung am KoexistenzEquilibrium stattﬁndet, und untersuchen Sie die Stabilit¨ at der abzweigenden periodischen L¨ osungen. Betrachten Sie die Funktion f (s) = (γs/(1+ γs))2 als konkretes Beispiel (γ > 0). 6. Sei H(q, p) = p2 /2m + φ(q) die Hamilton Funktion eines Teilchens im Potentialfeld. F¨ ur welche kritischen Punkte q∗ von φ ist Satz 12.4.1 anwendbar? Betrachten Sie insbesondere den Fall n = 1. 7. Veriﬁzieren Sie die Gleichungen (12.11) und (12.19).

Kapitel 13

Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten Sei Σ ⊂ Rn eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, m < n, T Σ ihr Tangentialb¨ undel, und f : Σ → T Σ ein tangentiales lokal Lipschitz Vektorfeld, also f (p) ∈ Tp Σ f¨ ur alle p ∈ Σ. In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem x˙ = f (x),

t ≥ 0,

x(0) = x0 ∈ Σ.

(13.1)

Diese Situation tritt h¨ auﬁg auf. So deﬁniert jedes erste Integral eine intrinsische invariante Mannigfaltigkeit einer Diﬀerentialgleichung, und auch die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten in Sattelpunkten sind invariant. Weitere Quellen f¨ ur Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten sind Zwangsbedingungen, die in nat¨ urlicher Weise in der Physik auftreten, oder aus Problemen mit stark unterschiedlichen Zeitskalen herr¨ uhren.

13.1 Mannigfaltigkeiten im Rn 1. Wir betrachten eine m-dimensionale C 1 -Mannigfaltigkeit Σ im Rn , also eine m-dimensionale Fl¨ ache im Rn . Damit meinen wir eine abgeschlossene Menge mit der Eigenschaft, dass es zu jedem Punkt p ∈ Σ eine Kugel Br (p) ⊂ Rn , und eine injektive C 1 -Abbildung φ : Br (p) → Rn gibt mit φ(p) = 0, det φ (p) = 0, und φ(Σ ∩ Br (p)) = φ(Br (p)) ∩ Rm × {0}. Durch evtl. Verkleinerung von r kann man det φ (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Br (p) annehmen, d.h. φ : Br (p) → φ(Br (p)) ist ein Diﬀeomorphismus. Genauer sollte man sagen, dass Σ eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn ist. Kann man die Abbildungen φ ∈ C r , r ∈ N ∪ {∞, ω}, w¨ahlen, so heißt Σ m-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit im Rn . Schr¨ankt man ein solches φ auf Uϕ := Br (p) ∩ Σ ⊂ Σ ein, so ist ϕ := φ|Uφ : Uϕ → Vϕ := φ(Uϕ ) ⊂ Rm eine Karte f¨ ur Σ in p ∈ Σ, Uϕ heißt zugeh¨origes

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0_13, © Springer Basel AG 2010

284

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Kartengebiet. Dabei haben wir Rm × {0} mit Rm identiﬁziert. O.B.d.A. kann man nun ϕ(p) = 0 annehmen. Die Inverse ϕ−1 : Vϕ → Rn vermittelt dann eine bijektive C r -Abbildung von Vϕ auf Uϕ , die die Bedingung Rang[ϕ−1 ] (y) = m f¨ ur alle y ∈ Vϕ erf¨ ullt. Eine solche Abbildung heißt C r -Parametrisierung von Σ in p ∈ Σ. Ist ψ : Bs (0) → Σ eine weitere Parametrisierung mit Uϕ ∩ ψ(Bs (0)) = ∅, so heißt κ := ϕ ◦ ψ Kartenwechselfunktion. Dies ist ein Homeomorphismus einer oﬀenen Teilmenge V ⊂ Bs (0) ⊂ Rm auf eine oﬀene Teilmenge W ⊂ Rm , κ und κ−1 sind stetig diﬀerenzierbar und κ : Rm → Rm ist ein Isomorphismus. Es ist nun ψ = ϕ−1 ◦ κ also ψ = [φ−1 ] ◦ κκ . Diese Identit¨at zeigt insbesondere R(ψ (y)) = [φ−1 ] (κ(y))Rm = R([ϕ−1 ] (κ(y)).

(13.2)

2. Ist ψ eine Parametrisierung, so deﬁniert sie im Punkt p die Tangentialvektoren τi = τi (p) =

∂ ψ(0) = ∂i ψ(0), ∂yi

i = 1, . . . , m.

(13.3)

Diese Vektoren τi bilden eine Basis des Tangentialraums Tp Σ von Σ in p. Der Tangentialraum Tp Σ ist also durch Tp Σ = R(ψ (0)) ⊂ Rn gegeben, und ist daher unabh¨angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung, wie (13.2) zeigt. Im Folgenden verwenden wir die Einsteinsche Summenkonvention, die besagt, dass u ¨ber gleiche obere und untere Indizes zu summieren ist; δji bezeichnen die Eintr¨age der Einheitsmatrix I. Ein Vektor a ∈ TpΣ kann als Linearkombination der Basisvektoren τj dargestellt werden, also als a = ai τi . Die Koeﬃzienten ai heißen kontravariante Komponenten von a. Andererseits ist der Vektor a auch durch seine kovarianten Komponenten ai , deﬁniert durch ai = (a|τi ), eindeutig bestimmt; dies bedeutet, dass die kovarianten Komponenten von a die Koeﬃzienten von a in der dualen Basis {τ i } zur Basis {τj } sind, die durch die Relationen (τ i |τj ) = δji deﬁniert ist. Die Abbildung ψ (y) : Rm → Tp Σ ist ein Isomorphismus von Rm auf den Tangentialraum von Σ in ψ(y). Um ihre Inverse zu bestimmen, multipliziert man die Gleichung v = ψ (y)w mit ψ (y)T . Da ψ (y)T ψ (y) invertierbar ist, erh¨alt man damit w = [ψ (y)T ψ (y)]−1 ψ (y)T v. In Koordinaten geschrieben bedeutet dies wi = g ij vj = vi , d.h. die Komponenten von w sind die kontravarianten Komponenten des dazugeh¨origen Tangentenvektors v = v i τi . 3. Die 1. Fundamentalmatrix G = [gij ] in p ∈ Σ ist deﬁniert durch gij = gij (p) = (τi |τj ) = [ψ (0)T ψ (0)]ij ,

i, j = 1, . . . , m.

(13.4)

Diese Matrix ist symmetrisch und positiv deﬁnit, also invertierbar, denn es gilt (Gξ|ξ) = gij ξ i ξ j = (ξ i τi |ξ j τj ) = |ξ i τi |2 > 0,

f¨ ur alle ξ ∈ Rm , ξ = 0.

13.1. Mannigfaltigkeiten im Rn

285

Wir setzen G−1 = [g ij ], also gilt gik g kj = δij und g il glj = δji . Die Determinante g := det G is positiv. Sei a ein Tangentenvektor; dann impliziert a = ai τi ak = (a|τk ) = ai (τi |τk ) = ai gik , und

ai = g ik ak .

¨ Also erlaubt die 1. Fundamentalmatrix G den Ubergang von kontra- zu kovarianten Komponenten eines Tangentenvektors, und umgekehrt. Sind a, b zwei Tangentenvektoren, dann induziert (a|b) = ai bj (τi |τj ) = gij ai bj = aj bj = ai bi = g ij ai bj =: (a|b)Σ in kanonischer Weise ein Innenprodukt auf Tp Σ, die nat¨ urliche Riemann-Metrik. Mittels der Identit¨ at (g ik τk |τj ) = g ik gkj = δji ergibt sich die duale Basis als τ i = g ik τk . Wir setzen G = g ij τi ⊗ τj und erhalten damit G = g ij τi ⊗ τj = gij τ i ⊗ τ j = τi ⊗ τ i = τ j ⊗ τj . Sei schließlich u = uk τk + z, (τj |z) = 0, j = 1, . . . , m, ein beliebiger Vektor in Rn . Dann ist Gu = g ij τi (τj |u) = g ij τi uk gjk = uk τk , d.h. G ist die orthogonale Projektion PΣ im Rn auf den Tangentialraum TpΣ in p ∈ Σ. Dies zeigt insbesondere, dass der Tensor G unabh¨angig von der gew¨ahlten Parametrisierung ist. Diese drei Eigenschaften erkl¨ aren die Bedeutung der 1. Fundamentalmatrix gij . 4. H¨auﬁg werden Mannigfaltigkeiten mittels einer Gleichung der Form g(x) = 0, also Σ = g −1 (0), deﬁniert, wobei g : Rn → Rn−m aus C 1 ist, und nicht ausgeartet, d.h. g (x) hat Rang n − m f¨ ur alle x ∈ Rn mit g(x) = 0. Dann erh¨alt man eine Parametrisierung in x0 mit Hilfe des Satzes u ¨ber implizite Funktionen. Dazu w¨ahlt man eine Basis τ1 , . . . , τm von N (g (x0 )), und erg¨anzt diese z.B. mittels der Spalten ν1 , . . . , νn−m von g (x0 )T zu einer Basis von Rn . Beachte, dass g (x0 )g (x0 )T invertierbar ist. Dann deﬁniert man eine Funktion h : Rk ×Rn−m → Rn−m mittels h(y, z) = g(x0 +y iτi +z j νj ). Diese Funktion h ist aus C 1 , es ist h(0, 0) = g(x0 ) = 0 und ∂z h(0, 0) = g (x0 )[ν1 , . . . , νn−m ] = g (x0 )g (x0 )T ist invertierbar. Daher gibt es nach dem Satz u ¨ ber implizite Funktionen eine Kugel Br (0) und eine C 1 -Funktion ϕ : Br (0) → Rn−m mit ϕ(0) = 0 und h(y, ϕ(y)) = 0, also g(x0 + y i τi + ϕj (y)νj ) = 0. Die gesuchte Parametrisierung von Σ ist dann durch die Funktion φ(y) = x0 + y i τi + ϕj (y)νj gegeben, und es ist klar, dass φ (y) Rang m hat. Insbesondere ist Tx0 Σ = N (g (x0 )), und die Spalten ν1 , . . . , νn−m von g (x0 )T bilden ein Normalensystem f¨ ur Tx0 Σ, sind also linear unabh¨angig und orthogonal zu Tx0 Σ.

286

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Sei nun umgekehrt eine Parametrisierung φ f¨ ur Σ gegeben. Wir wollen Σ lokal um x0 = φ(0) als Nullstellenmenge g(x) = 0 darstellen. Dazu seien τ1 , . . . , τm die von φ in y = 0 erzeugten Tangentenvektoren. Wir erg¨anzen diese durch orthonormale Vektoren ν1 , . . . , νn−m mit (τi |νj ) = 0 zu einer Basis von Rn , und deﬁnieren die Funktion F : Br (0) × Rn−m ⊂ Rm × Rn−m → Rn durch F (y, z) = φ(y) − x0 + z j νj . Dann ist F aus C 1 , F (0, 0) = 0, und F (0, 0) = [φ (0), ν1 , . . . , νn−m ] = [τ1 , . . . , τm , ν1 , . . . , νn−m ] ist invertierbar, nach Konstruktion. Nach dem Satz von der inversen Abbildung gibt es daher eine Kugel Bρ (0) ⊂ Rn und G = (g1 , g2 ) : Bρ (0) → Rm × Rn−m aus C 1 mit G(0) = 0 und G ◦ F (y, z) = (y, z), F ◦ G(x) = x. Es folgt y = g1 (F (y, 0)) = g1 (φ(y) − x0 ) und 0 = g2 (F (y, 0)) = g2 (φ(y) − x0 ) f¨ ur alle |y| < δ. Daher ist die Funktion g(x) = g2 (x − x0 ) die gesuchte. 5. Eine Funktion ρ : Σ → R heißt diﬀerenzierbar in x ∈ Σ wenn die zusammengesetzte Funktion ρ ◦ φ f¨ ur eine Parametrisierung φ mit φ(0) = x – und damit f¨ ur alle Parametrisierungen um x – diﬀerenzierbar ist. Der Fl¨achengradient von ρ in x wird dann deﬁniert durch ∇Σ ρ(x) = ∂i (ρ ◦ φ)(0)τ i (0) = g ij ∂i (ρ ◦ φ)(0)τj (0). Man beachte, dass diese Deﬁnition unabh¨ angig von der Wahl der Parametrisierung φ ist. Ebenso deﬁniert man f¨ ur ein Vektorfeld f : Σ → Rn ∇Σ f (x) = τ i (0) ⊗ ∂i (f ◦ φ)(0) = g ij (0)τj (0) ⊗ ∂i (f ◦ φ)(0), und f (x) = [∇Σ f (x)]T = ∂i (f ◦ φ)(0) ⊗ τ i (0) = g ij (0)∂i (f ◦ φ)(0) ⊗ τj (0). Auch diese Deﬁnition ist unabh¨ angig von der Wahl der Parametrisierung φ. Ist nun f = f k τk ein Tangentenvektorfeld und Σ in C 2 , so ist ∂i f = ∂i f k τk + f k ∂i τk , also insbesondere ∂i f = (∂i f k )τk wenn f (x) = 0 gilt; dann ist f (x) : Tx Σ → Tx Σ. Die Fl¨achendivergenz eines Vektorfeldes f : Σ → Rn wird durch divΣ f (x) := sp∇Σ f (x) deﬁniert, also durch divΣ f (x) := (sp∇Σ f )(x) = (τ i (0)|(∂i f ◦ φ)(0)) = g ij (τj (0)|(∂i f ◦ φ)(0)). Der Divergenzsatz gilt auch auf C 1 -Mannigfaltigkeiten, allerdings nur f¨ ur tangentiale Vektorfelder. Bemerkung. In der Diﬀerentialgeometrie wird die Fl¨achendivergenz f¨ ur tangentiale Vektorfelder in lokalen Koordinaten wie folgt deﬁniert: √ −1 √ √ −1 √ divΣ f = g ∂i ( gf i ) = g ∂i (g ij gfj ),

13.2. Wohlgestelltheit

287

wobei wie zuvor g = detgij bedeutet. Diese Darstellung ergibt sofort den Divergenzsatz auf Mannigfaltigkeiten, ist aber eben nur f¨ ur tangentiale Vektorfelder anwendbar. Eine kleine Rechnung zeigt, dass diese Deﬁnition mit der oben angegebenen f¨ ur tangentiale Vektorfelder u ¨bereinstimmt. Der Vorteil unserer Deﬁnition ist der, dass sie f¨ ur beliebige Vektorfelder angewandt werden kann. So ist z.B. f¨ ur eine Hyperﬂ¨ache −divΣ νΣ /(n − 1) die mittlere Kr¨ ummung von Σ. Allerdings beruht unsere Deﬁnition darauf, dass Σ eine Untermannigfaltigkeit des Rn ist.

13.2 Wohlgestelltheit Wir betrachten nun das Anfangswertproblem (13.1), wobei Σ eine C 1 Mannigfaltigkeit und f : Σ → Rn lokal Lipschitz ist und f (p) ∈ Tp Σ f¨ ur jedes p ∈ Σ erf¨ ullt, d.h. f ist ein Tangentenvektorfeld f¨ ur Σ. Wir zeigen, dass sowohl f als auch −f der Subtangentialbedingung (S) gen¨ ugen. Dazu sei x ∈ Σ ﬁxiert und z ∈ Tx Σ sei ein Tangentenvektor. Deﬁniere mittels einer Parametrisierung φ mit φ(0) = x p(t) = φ(t[φ (0)T φ (0)]−1 φ (0)T z), Dann ist

t ∈ [−t0 , t0 ].

p (0) = φ (0)[φ (0)T φ (0)]−1 φ (0)T z = z,

da z ∈ Tx Σ gilt, folglich dist(x + tz, Σ) ≤ |x + tz − p(t)|2 = |x + tz − (x + tz + o(|t|))|2 ≤ o(|t|), also ist (S) f¨ ur f und −f erf¨ ullt. Damit ist Satz 7.1.4 bzw. die daran anschließende Bemerkung 7.1.5 anwendbar, und wir erhalten L¨ osungen in Σ, die eindeutig sind und auf einem maximalen Intervall existieren. Wir formulieren dieses Resultat als Satz 13.2.1. Sei Σ ⊂ Rn eine C 1 -Mannigfaltigkeit der Dimension m < n, und sei f : Σ → Rn lokal Lipschitz mit f (p) ∈ Tp Σ, f¨ ur alle p ∈ Σ. Dann besitzt das Anfangswertproblem (13.1) genau eine L¨ osung x(t) in Σ. Die L¨ osung existiert auf einem maximalen Existenzintervall 0 ∈ (t− (x0 ), t+ (x0 )), und es gilt limt→t+ |x(t)| = ∞, falls t+ = t+ (x0 ) < ∞ ist; analoges gilt f¨ ur t− (x0 ). Insbesondere existieren die L¨ osungen global wenn Σ kompakt ist. Daher erzeugt (13.1) einen lokalen Fluss auf Σ, und sogar einen globalen Fluss wenn Σ kompakt ist. Es ist aufschlussreich, das Problem in lokalen Koordinaten zu schreiben. Dazu w¨ahlen wir eine Parametrisierung φ mit φ(y0 ) = x0 , und setzen y(t) = φ−1 (x(t)), t ∈ (a, b) 0, wobei das Intervall (a, b) so klein gew¨ahlt wird, dass die L¨osung f¨ ur t ∈ (a, b) in Uφ bleibt. Dann ist x(t) = φ(y(t)), also gilt φ (y(t))y(t) ˙ = x(t) ˙ = f (x(t)) = f (φ(y(t)),

t ∈ (a, b),

y(0) = y0 := φ−1 (x0 ).

288

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Multipliziert man die Gleichung mit φ (y(t))T und invertiert φ (y(t))T φ (y(t)), so erh¨alt man die explizite Darstellung y(t) ˙ = [φ (y(t))T φ (y(t))]−1 φ (y(t))T f (φ(y(t)),

t ∈ (a, b),

y(0) = y0 .

(13.5)

Man beachte hier, dass die rechte Seite von (13.5) nur noch stetig ist, da die Mannigfaltigkeit Σ nach Voraussetzung lediglich in der Klasse C 1 liegt. Damit ist (13.5) mit dem Satz von Peano zwar immer noch l¨osbar, aber die Eindeutigkeit der L¨osungen ist nicht mehr oﬀensichtlich. Unsere Methode, die Subtangentialbedingung zu verwenden, vermeidet dieses Problem. Eine weitere Darstellung von (13.1) in lokalen Koordinaten folgt mit f (x) = f r (x)τr (x). Es ist nach Abschnitt 13.1 ij [φ (y(t))T φ (y(t))]−1 ij = g (y(t))

und

[φ (y(t))T τi ]l = gli (y(t)),

folglich [[φ (y(t))T φ (y(t))]−1 φ (y(t))T f (φ(y(t))]i = g il glr f r = f i (φ(y(t)), woraus man das Problem in kontravarianten Komponenten als y˙ i (t) = f i ◦ φ(y(t)),

i = 1, . . . , k, t ∈ (a, b),

y i (0) = y0i ,

(13.6)

erh¨alt. Der Vorteil der Darstellung in lokalen Koordinaten ist nat¨ urlich die kleinere Dimension k f¨ ur (13.5) gegen¨ uber n f¨ ur (13.1), allerdings hat man dann gelegentlich die Parametrisierung zu wechseln. Ljapunov-Funktionen f¨ ur Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten werden ebenso deﬁniert wie auf oﬀenen Mengen: Eine Funktion V ∈ C(Σ, R) heißt Ljapunov-Funktion f¨ ur (13.1), wenn V fallend l¨angs der L¨osungen von (13.1) ist; sie heißt strikt wenn sie l¨ angs nichtkonstanten L¨osungen streng f¨allt. Ist V aus C 1 so ist V genau dann eine Ljapunov-Funktion f¨ ur (13.1), wenn (∇Σ V (x)|f (x)) ≤ 0,

f¨ ur alle x ∈ Σ,

gilt. Damit gelten das Invarianzprinzip von La Salle und der Konvergenzsatz f¨ ur gradientenartige Systeme auch auf Mannigfaltigkeiten.

13.3 Linearisierung Besonders n¨ utzlich sind lokale Darstellungen von (13.1) wie (13.6) zur Stabilit¨atsanalysis von Equilibria. Dazu sei x∗ ein Equilibrium von (13.1), gelte also f (x∗ ) = 0 und sei f ∈ C 1 und Σ ∈ C 2 . W¨ahle eine Parametrisierung φ mit φ(0) = x∗ . In einer Umgebung von x∗ ist (13.1) ¨aquivalent zum m-dimensionalen System y˙ i = f i ◦ φ(y), das Equilibrium x∗ entspricht y∗ = 0. Daher ist das zugeh¨orige linearisierte System durch z˙ = Bz,

mit bij = ∂j (f i ◦ φ)(0),

13.3. Linearisierung

289

gegeben. Das Prinzip der linearisierten Stabilit¨at Satz 5.4.1 l¨asst sich nun auf dieses m-dimensionale System anwenden: Haben alle Eigenwerte von B negative Realteile, so ist y∗ = 0 asymptotisch stabil f¨ ur (13.6), und hat mindestens ein Eigenwert von B positiven Realteil, so ist y∗ = 0 instabil f¨ ur (13.6). Mittels der Transformation x(t) = φ(y(t)) u ¨bertragen sich diese Resultate auf (13.1). Wir formulieren dieses Ergebnis als Satz 13.3.1. Sei Σ aus C 2 , f : Σ → T Σ aus C 1 , und sei f (x∗ ) = 0. Setze A := f (x∗ ) ∈ B(Tx∗ Σ). Dann gelten die folgenden Aussagen: 1. Gilt Re λ < 0 f¨ ur alle Eigenwerte von A in Tx∗ Σ, so ist x∗ asymptotisch stabil f¨ ur (13.1) in Σ. 2. Gilt Re λ > 0 f¨ ur einen Eigenwert von A in Tx∗ Σ, so ist x∗ instabil f¨ ur (13.1) in Σ. Auf diese Art und Weise lassen sich auch die S¨atze u ¨ber die Sattelpunkteigenschaft, das verallgemeinerte Prinzip der linearisierten Stabilit¨at, und die Resultate u ¨ber die Sattel-Knoten Verzweigung, die Pitchfork- und die Hopf-Verzweigung auf Mannigfaltigkeiten u ¨ bertragen. Wir u ¨ berlassen die Formulierung der entsprechenden S¨atze dem Leser. Beispiel. Mathematische Genetik. Wir betrachten nochmals das Fisher-WrightHaldane Modell aus Kapitel 8. (F W H)

p˙ = P M p − W (p)p =: f (p),

mit W (p) = (p|M p), wobei M ∈ Rn×n symmetrisch ist. Die biologisch relevante Mannigfaltigkeit ist die Hyperebene Σ = {p ∈ Rn : (p|e) = 1}, sie ist invariant f¨ ur dieses System. Sei p∗ ∈ Σ ein Equilibrium, es gelte also f (p∗ ) = 0, und es sei pi∗ > 0 f¨ ur alle i, ein sogenannter Polymorphismus. Dann ist mik pk∗ = mkl pk∗ pl∗ f¨ ur alle i. F¨ ur die Ableitung A := f (p∗ ) erh¨ alt man aij = ∂j fi (p∗ ) = δij [mik pk∗ − (M p∗ |p∗ )] + pi∗ [mij − 2mjk pk∗ ] = pi∗ [mij − 2mjk pk∗ ] = pi∗ [mij − 2W (p∗ )]. Nun ist aij pj∗ = −W (p∗ )pi∗ , also ist p∗ stets ein Eigenvektor zum Eigenwert −W (p∗ ), ein dualer Eigenvektor ist e. W (p) kann jedes Vorzeichen haben. Es ist aber (p∗ |e) = 1, also p∗ ∈ Tp∗ Σ. Die relevanten Eigenwerte λ sind hier nur die mit Eigenvektoren v, die (v|e) = 0 erf¨ ullen. Daher folgt aus Satz 13.3.1, dass p∗ asymptotisch stabil f¨ ur (FWH) in Σ ist, falls alle Eigenwerte von A mit Eigenvektor senkrecht zu e negative Realteile haben, und instabil falls es einen Eigenvektor senkrecht auf e zu einem Eigenwert mit positivem Realteil gibt. Als generelle Regel sind Resultate u ¨ber Diﬀerentialgleichungen im Rn , die lokaler Natur sind, also an Equilibria, auch auf Mannigfaltigkeiten g¨ ultig. Andererseits sind globale Resultate nicht ohne weiteres u ¨bertragbar. Satz 7.3.5 u ¨ ber

290

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Existenz periodischer L¨ osungen bzw. von Equilibria ist auf allgemeinen kompakten Mannigfaltigkeiten falsch, wie auch der Satz von Poincar´e-Bendixson f¨ ur zweidimensionale Mannigfaltigkeiten nicht gilt. Der irrationale Fluss auf dem Torus (9.3) aus Abschnitt 9.2 belegt dies. F¨ ur globale Resultate spielt die Topologie der Mannigfaltigkeit eine wichtige Rolle.

13.4 Zwangsbedingungen 1. Es sei f : Rn → Rn stetig gegeben, und die Mannigfaltigkeit Σ = g −1 (0) wobei g : Rn → Rn−m aus C 1 sei, derart dass der Rang von g (x) gleich n − m f¨ ur jedes x ∈ Σ ist. Die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) wird dann Σ in der Regel nicht invariant lassen, die Bedingung g(x) = 0 ist eine Zwangsbedingung. Wie muss das Vektorfeld f modiﬁziert werden, sodass die Zwangsbedingung erf¨ ullt ist? Oﬀenbar muss das Vektorfeld f (x) in x ∈ Σ auf Tx Σ projiziert werden. Die einfachste und nat¨ urlichste Art ist die othogonale Projektion des Vektorfelds auf das Tangentialb¨ undel von Σ. Diese l¨ asst sich mittels g leicht bestimmen. Dazu sei n x ∈ Σ ﬁxiert, und a ∈ R beliebig. Wir suchen dann ein v ∈ Rn−m , sodass der Vektor a − [g (x)]T v ∈ Tx Σ = N (g (x)) ist. Wendet man g (x) auf diese Gleichung an, so erh¨alt man 0 = g (x)(a − [g (x)]T v) = g (x)a − [g (x)g (x)]T v. Da g (x) Rang n − m hat, ist [g (x)g (x)T ] : Rn−m → Rn−m invertierbar, also v = (g (x)[g (x)]T )−1 g (x)a, und damit die orthogonale Projektion PΣ (x) auf Tx Σ durch PΣ (x) = I − [g (x)]T (g (x)[g (x)]T )−1 g (x),

x ∈ Σ,

(13.7)

gegeben. Das modiﬁzierte Vektorfeld f˜(x) = PΣ (x)f (x) hat nun die Eigenschaft, ein Tangentenvektorfeld an Σ zu sein. Die zweite M¨ oglichkeit der Darstellung von f˜(x) verwendet den Tensor G = g ij τi ⊗ τj , der unabh¨ angig von der Wahl der Koordinaten ist. Damit erh¨alt man f˜(x) = PΣ (x)f (x) = g ij τi (f (x)|τj ) = g ij τi fj (x) = f i (x)τi ,

x ∈ Σ.

Diese Darstellung ergibt auf sehr einfache Weise die lokalen Gleichungen x˙ i = f i (x), verbirgt aber die Projektion auf Σ, und verwendet lokale Koordinaten. Beispiel 1. (i) Sei Σ = Sn−1 die Einheitssph¨are im Rn , also g(x) = (|x|22 − 1)/2, und k = n − 1. Hier haben wir g (x) = xT , also PΣ (x) = I − x ⊗ x. Die zugeh¨orige Diﬀerentialgleichung lautet dann x˙ = f (x) − (f (x)|x)x,

13.4. Zwangsbedingungen

291

die oﬀenbar die Menge |x|22 = 1 invariant l¨ asst. (ii) Polardarstellung. Sei f : Rn \ {0} → Rn lokal Lipschitz. Setze r = |x|2 und z = x/r, also |z|2 = 1. Die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) kann als Gleichung auf der Mannigfaltigkeit Σ = (0, ∞) × Sn−1 aufgefasst werden. Es ist n¨amlich mit g(r, z) = f (rz)/r, r˙ =

(x|x) ˙ = (f (x)|z) = (f (rz)|z) = r(g(r, z)|z), r

und

x˙ x r˙ f (x) − = − z(g(r, z)|z) = g(r, z) − z(g(r, z)|z). r rr r Damit ist x˙ = f (x) a ¨quivalent zu z˙ =

r˙ = r(g(r, z)|z),

z˙ = g(r, z) − z(g(r, z)|z)

auf Σ. Ist nun g unabh¨ angig von r, so entkoppelt die Gleichung f¨ ur z von der f¨ ur r, und r kann nach Kenntnis von z durch Integration bestimmt werden. Dies ist der Fall wenn f positiv homogen ist (vgl. Abschnitt 7.4). Der zweite Extremfall ist g(r, z) = φ(r)z; dann ist z˙ ≡ 0 und wir haben das eindimensionale Problem r˙ = rφ(r) f¨ ur r. 2. Als n¨achstes betrachten wir ein System 2. Ordnung mit Zwangsbedingungen, also x ¨ = f (x, x), ˙

t ∈ R,

x(0) = x0 , x(0) ˙ = x1 ,

g(x) = 0,

(13.8) (13.9)

wobei f : Rn × Rn → Rn lokal Lipschitz, g : Rn → Rn−m aus C 2 sind, und g (x) habe Rang n − m f¨ ur alle x ∈ g −1 (0). Hier gehen wir folgendermaßen vor. Das Vektorfeld f wird modiﬁziert zu f˜ = f − [g ]T a, wobei a ∈ Rn−m so zu bestimmen ist, dass die Zwangsbedingung erf¨ ullt ist. Dazu sei x(t) eine L¨osung des Problems mit f˜, die g(x(t)) = 0 f¨ ur alle t erf¨ ullt. Zweimalige Diﬀerentiation dieser Gleichung ergibt g (x(t))x(t) ˙ = 0, g (x(t))x(t) ˙ x(t) ˙ + g (x(t))¨ x(t) = 0, also −g (x(t))x(t) ˙ x(t) ˙ = g (x(t))¨ x(t) = g f˜ = g (x(t))(f (x(t), x(t)) ˙ − [g (x(t))]T a), folglich a = (g (x(t))[g (x(t))]T )−1 (g (x(t))f (x(t), x(t)) ˙ + g (x(t))x(t) ˙ x(t)). ˙ Damit erhalten wir f¨ ur das modiﬁzierte Vektorfeld f˜(x, y) = f (x, y) − [g (x)]T (g (x)[g (x)]T )−1 [g (x)f (x, y) + g (x)yy].

292

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Beispiel 2. Das dreidimensionale Pendel. Wir betrachten nochmals das Pendel der L¨ange l mit Aufh¨ angung in 0. Die Schwerkraft wirke in negativer x3 -Richtung mit Konstante γ, die Pendelmasse sei m = 1. Es sei x(t) die Position des Pendels, y(t) = x(t) ˙ dessen Geschwindigkeit. Dies ergibt die Zwangsbedingung g(x) = (|x|22 − l 2 )/2 = 0, und das Vektorfeld f ist f (x) = −γe3 . Es ist g (x) = xT , also g (x)[g (x)]T = |x|22 = l2 , sowie g (x) = I. Dies f¨ uhrt zur folgenden Gleichung f¨ ur das dreidimensionale Pendel auf Σ: x ¨ = −γe3 − x(|x| ˙ 22 − γx3 )/l2 ,

x(0) = x0 , x(0) ˙ = x1 .

(13.10)

Man sieht sofort, dass wie zu erwarten die Energie E = 12 |x| ˙ 22 + γx3 eine Erhaltungsgr¨oße ist, da (x|x) ˙ = 0 gilt, und dass f¨ ur einen Vektor v = 0 mit (x0 |v) = (x1 |v) = (e3 |v) = 0 auch (x(t)|v) = 0 f¨ ur alle t ∈ R gilt, d.h. die Schwingung bleibt eben wenn sie eben beginnt. Der zweite Term auf der rechten Seite von (13.10), also die Zwangskraft heißt Zentrifugalkraft. 3. Eine weitere Quelle f¨ ur Zwangsbedingungen liefern singul¨are Grenzwerte von Diﬀerentialgleichungen. Um dies zu erl¨ autern, betrachten wir eine Anwendung aus der chemischen Reaktionstechnik, die an Abschnitt 8.7 ankn¨ upft. Dazu sei ein chemisches Reaktionssystem in einem R¨ uhrkessel gegeben, in dem sowohl Konvektion und langsame Reaktionen stattﬁnden, aber auch sehr schnelle Gleichgewichtsreaktionen wie z.B. ionische Reaktionen ablaufen. Ein Modell daf¨ ur ist das System x˙ = f (x) + kN r(x),

(13.11)

wobei x ∈ int Rn+ den Vektor der Konzentrationen bedeutet. Die Konvektionsterme und die langsamen Reaktionen seien im Vektor f (x) zusammengefasst und N r(x) bedeutet die m schnellen Reaktionen, die wir in der in Abschnitt 8.7 angegebenen Form annehmen, und k ist ein Maß f¨ ur deren Geschwindigkeit. Daher w¨ urde man gern zum Grenzfall k → ∞ u urden die schnellen Reaktio¨ bergehen. Dann w¨ nen instantan, also w¨ are deren Gleichgewicht stets eingestellt, d.h. die Gleichung N r(x) = 0 tritt hier nat¨ urlicherweise als Zwangsbedingung auf. Der Einfachheit halber nehmen wir nun an, dass die schnellen Reaktionen linear unabh¨angig sind, d.h. N ist injektiv. Dann vereinfacht sich die Zwangsbedingung zu r(x) = 0. Wie sehen hier die nat¨ urlichen Gleichungen auf der Mannigfaltigkeit Σ = r−1 (0) aus? Wir suchen dazu wie zuvor ein m¨oglichst einfaches Vektorfeld f˜ das tangential zu Σ ist, allerdings ist die orthogonale Projektion hier nicht geeignet. Da die schnellen Reaktionen nur im Bild von N aktiv sind, ist der Ansatz f˜ = f − N a nat¨ urlich. Ist nun x eine L¨ osung von x˙ = f˜(x), die in Σ liegt, so erhalten wir wie in 1. d 0 = r(x) = r (x)x˙ = r (x)f˜(x) = r (x)f (x) − r (x)N a, dt also a = (r (x)N )−1 r (x)f (x), woraus sich das modiﬁzierte Vektorfeld f˜ = f − N (r (x)N )−1 r (x)f (x) =: P (x)f (x)

13.5. Geod¨atische

293

ergibt. Dabei ist zu beachten, dass r (x)N : Rm → Rm tats¨achlich f¨ ur alle x ∈ Σ ∩ int Rn+ invertierbar ist. Um dies zu sehen, erinnern wir an die Form von r(x); dabei seien κj = kj+ /k konstant. Es gilt f¨ ur x ∈ Σ +

−

rj (x) = κj (−xνj + Kj xνj ), also ∂i rj (x) = −

+ − νij νij + − + νij κj xνj + κj Kj xνj = − κj xνj . xi xi xi +

+

Setzt man nun X = diag{x1 , . . . , xn } und D = diag{κ1 xν1 , . . . , κm xνm }, so folgt r (x) = −DN T X −1 ,

r (x)N = −DN T X −1 N.

Damit ist aufgrund der Injektivit¨ at von N klar, dass r (x)N invertierbar ist, und f¨ ur die Projektion P (x) erhalten wir die alternative Darstellung P (x) = I − N (N T X −1 N )−1 N T X −1 . Man kann unter realistischen Annahmen u ¨ ber f zeigen, dass f˜ tats¨achlich das Vektorfeld ist, das beim Grenz¨ ubergang k → ∞ aus (13.11) entsteht.

13.5 Geod¨atische 1. Sei Σ ⊂ Rn eine zusammenh¨ angende m-dimensionale C 2 -Mannigfaltigkeit. Von besonderem Interesse sind die in Σ zwei Punkte a, b ∈ Σ verbindenden Kurven minimaler L¨ange, die Geod¨ atischen. In diesem Abschnitt leiten wir die Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Geod¨ atischen her, und untersuchen ihre Eigenschaften. Da jedes Teilst¨ uck einer Geod¨ atischen ebenfalls eine Geod¨atische ist, nehmen wir zun¨achst an, dass die Geod¨ atische in einer Karte Uφ liegt, die zur Parametrisierung φ von Σ geh¨ort. Es seien also a = φ(α) und b = φ(β), und x(t) = φ(y(t)) eine C 1 -Kurve γ(x) in Uφ , die a und b verbindet. Ihre L¨ ange ist T T T> k l(γ(x)) = |x(t)| ˙ dt = | y ˙ (t)τ (t)| dt = gkl (y(t))y˙ k (t)y˙ l (t)dt. 2 k 2 0

0

0

Sei x(t) = φ(y(t)) die Parametrisierung einer Geod¨atischen der Klasse C 2 von a nach b. O.B.d.A. kann man annehmen, dass t die Bogenl¨ange ist, also dass |x(t)| ˙ 2 = 1 f¨ ur alle t ∈ [0, T ] ist. Variiert man nun x(t) gem¨aß u(t; s) := φ(y(t)+sz(t)), so hat die Funktion s → l(γ(u(·; s))) f¨ ur jedes z ∈ C 1 ([0, T ], Rm ) mit z(0) = z(T ) = 0 in s = 0 ein Minimum, daher gilt dl(γ(u(·; 0))/ds = 0. Diﬀerentiation des Integranden |u(t; ˙ s)|2 nach s ergibt d d |u(t; ˙ s)|2 = (2|u(t; ˙ s)|2 )−1 [gkl (y + sz)(y˙ k + sz˙ k )(y˙ l + sz˙ l )] ds ds = (2|u(t; ˙ s)|2 )−1 [∂j gkl z j (y˙ k + sz˙ k )(y˙ l + sz˙ l ) + 2gkl y˙ k z˙ l + 2sgkl z˙ k z˙ l ],

294

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

also f¨ ur s = 0, d 1 |u(t; ˙ 0)|2 = ∂j gkl z j y˙ k y˙ l + gkl y˙ k z˙ l , ds 2 da |x(t)| ˙ 2 = 1 ist. Dies ergibt die Beziehung d 0= l(γ(u(·; 0))) = ds

T 0

1 j k l k l ∂j gkl (y(t))z (t)y˙ (t)y˙ (t) + gkl (y(t))y˙ (t)z˙ (t) dt, 2

also nach partieller Integration des zweiten Summanden mit z(0) = z(T ) = 0,

T

0= 0

1 z j (t)[ ∂j gkl (y(t))y˙ k (t)y˙ l (t) − ∂l gkj (y(t))y˙ k (t)y˙ l (t) − gkj (y(t))¨ y k ]dt. 2

Setzt man nun Λkl|j =

1 [∂k gjl + ∂l gjk − ∂j gkl ], 2

Λrkl = g rj Λkl|j ,

so folgt mit einer Umbenennung in der Summation, ∂l gkj ξ k ξ l = ∂k glj ξ k ξ j , die Relation

T

z j (t)[Λkl|j (y(t))y˙ k (t)y˙ l (t) + gkj (y(t))¨ y k ]dt.

0= 0

Da die Testfunktionen in L2 (0, T ) dicht liegen, und die z j beliebig aus C 1 mit Randwerten 0 gew¨ ahlt werden k¨ onnen, folgt Λkl|j (y(t))y˙ k (t)y˙ l (t) + gkj (y(t))¨ yk = 0

f¨ ur alle t ∈ [0, T ], j = 1, . . . , m,

oder nach Multiplikation mit g jr und Summation u ¨ ber j y¨r + Λrkl (y)y˙ k y˙ l = 0,

t ∈ [0, T ], r = 1, . . . , m.

(13.12)

2. Dies sind die Diﬀerentialgleichungen der Geod¨atischen bzgl. ihrer Bogenl¨ange in lokalen Koordinaten. Die Koeﬃzienten Λrkl heißen Christoﬀel-Symbole und spielen in der Diﬀerentialgeometrie eine wichtige Rolle. Eine andere Darstellung der Christoﬀel-Symbole erh¨ alt man so: Setze τkj := ∂k τj = ∂k ∂j φ = τjk ; dann folgt 2Λkl|j = ∂k gjl + ∂l gjk − ∂j gkl = ∂k (τj |τl ) + ∂l (τj |τk ) − ∂j (τk |τl ) = (τjk |τl ) + (τj |τkl ) + (τjl |τk ) + (τj |τkl ) − (τkj |τl ) − (τk |τlj ) = 2(τkl |τj ),

13.5. Geod¨atische

295

also gelten die Beziehungen Λkl|j = (τkl |τj ),

Λrkl = g rj Λkl|j .

Diese bedeuten, dass die Christoﬀel-Symbole Λrkl die kontravarianten Komponenten der Projektion der Vektoren τkl auf den Tangentialraum von Σ sind und entsprechend Λkl|j die kovarianten. Ist x(t) eine C 2 -Kurve auf Σ, parametrisiert u ¨ber die Bogenl¨ange, so ist |¨ x(t)|2 ihre Kr¨ ummung. Mit x(t) = φ(y(t)) folgt x˙ = τk y˙ k ,

x ¨ = τk y¨k + τkl y˙ k y˙ l .

Die Projektion von x¨ auf den Tangentialraum ist damit PΣ x ¨ = τr y¨r + PΣ τkl y˙ k y˙ l = τr (¨ y r + Λrkl y˙ k y˙ l ), |PΣ x ¨(t)|2 wird geod¨atische Kr¨ ummung genannt. Diese ist somit f¨ ur eine Geod¨atische gleich Null, die Geod¨ atischen sind die Kurven auf Σ verschwindender geod¨atischer Kr¨ ummung. Um zu einer koordinatenfreien Form der Gleichung f¨ ur die Geod¨atischen zu kommen, beachte man die Relationen τr Λrkl y˙ k y˙ l = PΣ τkl (τ k |x)(τ ˙ l |x), ˙ somit erhalten wir x ¨ = (I − PΣ )τkl (τ k |x)(τ ˙ l |x). ˙ Als n¨achstes gilt ∇Σ PΣ = ∇Σ τl ⊗ τ l = τ k ⊗ ∂k (τl ⊗ τ l ) = τ k ⊗ [τkl ⊗ τ l + τi ⊗ ∂k τ i ], sowie 0 = ∂k (τl |τ i ) = (τkl |τ i ) + (τl |∂k τ i ), also PΣ ∂k τ i = (∂k τ i |τl )τ l = −(τkl |τ i )τ l , was auf ∇Σ PΣ = τ k ⊗ (τkl − PΣ τkl ) ⊗ τ l f¨ uhrt. Die invariante Darstellung der Gleichung f¨ ur die Geod¨atischen in Bogenl¨ange lautet damit x ¨ = (x|[∇ ˙ ˙ (13.13) Σ PΣ (x)]x). Man beachte, dass x ¨(t) senkrecht auf Tx(t) Σ steht, also gilt (¨ x(t)|x(t)) ˙ = 0. Folglich ist |x| ˙ 2 ≡ 1 f¨ ur |x(0)| ˙ atische in Bogenl¨ange. 2 = 1, daher beschreibt (13.13) Geod¨ Dass (13.13) tats¨ achlich L¨ osungen x(t) hat, die in Σ bleiben, wenn die Anfangswerte x(0) = x0 ∈ Σ und x(0) ˙ = x1 ∈ Tx0 Σ sind, sieht man folgendermaßen. d [PΣ (x)x˙ − x] ˙ = (x|∇ ˙ Σ PΣ (x)x) ˙ + PΣ (x)¨ x−x ¨ = PΣ (x)¨ x = 0. dt

296

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Schreibt man (13.13) als System x˙ = v,

v˙ = (v|[∇Σ PΣ (x)]v),

(13.14)

so wird deutlich, dass mit |v|2 ≡ 1 auch Beschr¨anktheit von x(t) auf endlichen Zeitintervallen folgt, d.h. die L¨ osungen existieren global. Man beachte auch die Invarianz der Gleichung unter Zeitumkehr, daher gen¨ ugt es sie f¨ ur positive t zu betrachten. Ist die Mannigfaltigkeit aus C 2 , dann ist ∇Σ PΣ (x) lediglich stetig, daher ist zwar globale Existenz f¨ ur das Anfangswertproblem mit dem Satz von Peano gesichert, aber Eindeutigkeit der L¨ osungen bleibt unklar. Aber nat¨ urlich sind die L¨osungen eindeutig, wenn Σ zur Klasse C 3 geh¨ort, was in der Diﬀerentialgeometrie ohnehin meist gefordert wird. In diesem Fall erzeugt (13.13) also einen globalen Fluss auf Σ, den wir den geod¨atischen Fluss nennen. Wir fassen zusammen Satz 13.5.1. Sei Σ ⊂ Rn eine zusammenh¨ angende m-dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C 3 . Dann besitzt (13.13) zu jedem Anfangswert x0 ∈ Σ, x1 ∈ Tx0 Σ, |x1 |2 = 1 genau eine globale L¨ osung in Σ. Daher erzeugt (13.13) einen globalen Fluss auf Σ, den geod¨ atischen Fluss. Ferner gilt |x| ˙ 2 ≡ 1, d.h. x ist die Parameterdarstellung der Geod¨ atischen γ(x) in der Bogenl¨ ange. Betrachten wir ein einfaches Beispiel. Der geod¨ atische Fluss auf der Sph¨ are. Sei Σ = Sn−1 = ∂B1 (0) ⊂ Rn . Dann ist (PΣ u|v) = (u|v) − (x|u)(v|x), also ∇x (PΣ u|v) = −u(v|x) − (u|x)v, ν(x) = x, somit (ν|(∇x PΣ u|v)) = −2(x|u)(x|v), und schließlich ∇Σ (PΣ u|v) = −(v|x)u − (u|x)v + 2x(u|x)(v|x). Dies ergibt mit u = x˙ und (x|x) ˙ =0 (x|∇ ˙ Σ (PΣ x|v)) ˙ = −(v|x)|x| ˙ 22 = −(v|x), folglich ist x ¨ = −x die Gleichung der Geod¨ atischen auf der Sph¨are. 3. Sei Σ als Nullstellenmenge Σ = g −1 (0) gegeben, wobei g : Rn → Rn−m aus der Klasse C 2 sei, und g (x) habe vollen Rang f¨ ur jedes x ∈ Σ. Dann gilt in einem Punkt x ∈ Σ g (x)τk = 0,

g (x)τk τl + g (x)τkl = 0,

k, l = 1, . . . , m.

Da in diesem Fall PΣ = I − [g ]T (g [g ]T )−1 g ist, folgt τkl − PΣ τkl = −[g ]T (g [g ]T )−1 g τk τl . Daher bekommt (13.13) in diesem Fall die folgende Form x ¨ = −[g (x)]T (g (x)[g (x)]T (g (x)x˙ x). ˙

13.6. Das Zweik¨orperproblem

297

Dies ist genau die Gleichung f¨ ur ein Problem 2. Ordnung mit der Zwangsbedingung g(x) = 0, wenn das Vektorfeld f (x, x) ˙ = 0 ist; vgl. Abschnitt 12.4.2. Daher kann man eine Geod¨ atische als Bahn eines Teilchens mit Geschwindigkeit Eins auf Σ in Abwesenheit von Kr¨ aften interpretieren. Nochmals bezugnehmend auf Abschnitt 12.4.2 ist somit ˜ y) = PΣ f (x, y) + (y|∇Σ PΣ y). f(x, Also wird die durch Σ vorgegebene Zwangsbewegung eines Teilchens im Kraftfeld f durch die Diﬀerentialgleichung x ¨ = PΣ (x)f (x, x) ˙ + (x|∇ ˙ Σ PΣ (x)x) ˙

(13.15)

beschrieben. Das eﬀektive Kraftfeld ist die Summe aus dem auf T Σ projizierten Kraftfeld f und der Zwangskraft aus der Gleichung f¨ ur die Geod¨atischen. Ist f (x, x) ˙ = −∇ψ(x), so folgt auch hier Energieerhaltung d 1 2 [ |x(t)| ˙ 2 + ψ(x(t))] = 0, dt 2 da x(t) ˙ ∈ Tx(t)Σ ist und der geod¨ atische Term auf Tx(t) Σ senkrecht steht. Die Zwangsbedingung verbraucht also keine Energie, sofern sie nicht Reibung erzeugt. Ist allgemeiner f (x, x) ˙ = −∇ψ(x) − g(x), ˙ so erh¨alt man entsprechend d 1 2 ˙ E(t) := [ |x(t)| ˙ ˙ x), ˙ 2 + ψ(x(t))] = −(g(x)| dt 2 also ist die Energie auch hier eine Ljapunov-Funktion wenn (g(u)|u) ≥ 0 f¨ ur alle u ∈ Rn gilt, und eine strikte, falls (g(u)|u) > 0 f¨ ur alle u = 0 gilt. Daher lassen sich die Resultate f¨ ur x ¨ + g(x) ˙ + ∇ψ(x) = 0 im Rn auf das entsprechende Problem (13.15) mit Zwangsbedingungen u ¨bertragen.

13.6 Das Zweik¨ orperproblem Zum Abschluss dieses Buchs kehren wir an den Ausgangspunkt, n¨amlich zu Newton zur¨ uck. In diesem Abschnitt kommt es nicht so sehr auf Theorie an, sondern auf eine geschickte Parametrisierung, die die Erhaltungss¨atze, also die invarianten Mannigfaltigkeiten des Problems ausnutzt. Wir denken, dass die Analysis des Zweik¨orperproblems zur Allgemeinbildung jedes Mathematikers geh¨ort. Es sei xj die Position des K¨ orpers Kj , dessen Masse sei mj , j = 1, 2. Newtons Ansatz beruht auf der Annahme, dass die K¨orper sich anziehen, die wirkende Kraft ist proportional zum inversen Quadrat ihres Abstands. Dies f¨ uhrt auf die Gleichungen x1 − x2 , |x1 − x2 |2 x1 − x2 m2 x ¨2 = −φ (|x1 − x2 |2 ) , |x1 − x2 |2 m1 x ¨1 = φ (|x1 − x2 |2 )

x1 (0) = x10 , x˙ 1 (0) = x11 , x2 (0) = x20 , x˙ 2 (0) = x21 .

298

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Hierbei ist φ : R+ → R+ aus C 2 , im Newtonschen Fall φ(r) = γm1 m2 /r, wobei γ > 0 die Gravitationskonstante bezeichnet. 1. Reduktion auf ein Zentralfeldproblem. Die Hauptvariable in diesem System ist x = x1 − x2 . Nur diese tritt in den Kr¨ aften auf, daher ist es naheliegend, eine Gleichung f¨ ur x herzuleiten. Dazu beachte man, dass m1 x ¨1 + m2 x ¨2 = 0 ist, also ist die Bewegung des Schwerpunktes xS deﬁniert durch xS =

m1 x1 + m2 x2 m1 + m2

linear. Genauer gilt xS (t) = xS0 + xS1 t,

xS0 =

m1 x10 + m2 x20 m1 x11 + m2 x21 , xS1 = ; m1 + m2 m1 + m2

physikalisch ist dies die Erhaltung des Gesamtimpulses. Nun ist x1 = x + x2 = x +

m1 + m2 m2 x2 m1 + m2 m1 =x+ xS − x1 , m2 m1 + m2 m2 m2

folglich x1 = xS +

m2 x; m1 + m2

x2 = xS −

m1 x. m1 + m2

ebenso erh¨alt man

Diese Gleichungen zeigen, dass es gen¨ ugt, die Variable x zu betrachten. Wegen x ¨S = 0 folgt aus diesen Identit¨ aten m1 m2 x x ¨ = m1 x ¨1 = φ (|x|2 ) , m1 + m2 |x|2 also ist das Problem auf das Zentralfeldproblem m¨ x = φ (|x|2 )

x , |x|2

x(0) = x0 , x(0) ˙ = x1 ,

(13.16)

reduziert, wobei m := m1 m2 /(m1 + m2 ) die sog. reduzierte Masse bezeichnet. 2. Das Problem (13.16) besitzt zwei Erhaltungss¨atze, n¨amlich Energie und Drehimpuls. Diese erh¨ alt man wie folgt. Multipliziere (13.16) skalar mit x; ˙ dies ergibt d m 2 x [ |x| ˙ − φ(|x|2 )] = (m¨ x − φ (|x|2 ) |x) ˙ = 0, dt 2 2 |x|2 also ist die Energie E konstant: m 2 |x| ˙ − φ(|x|2 ) ≡ E. 2 2

13.6. Das Zweik¨orperproblem

299

Als n¨achstes bildet man das Kreuzprodukt von (13.16) mit x; das f¨ uhrt auf 0 = φ (|x|2 )

x×x d = m¨ x × x = m (x˙ × x), |x|2 dt

also ist x˙ × x ≡ a konstant. Dies bedeutet, dass sowohl x als auch x˙ f¨ ur alle Zeiten orthogonal zu a sind. Ist a = 0, dann sind x und x˙ sogar linear abh¨angig, also ebenfalls orthogonal zu einem Vektor a = 0. Daher l¨auft die Bewegung in der Ebene (x|a) = 0 ab. 3. Aus diesem Grund ist es naheliegend, das Koordinatensystem f¨ ur die Parametrisierung so zu w¨ ahlen, dass a = e3 ist; man erh¨alt dann x3 ≡ 0. In der (x1 , x2 )Ebene f¨ uhrt man zweckm¨ aßigerweise Polarkoordinaten x1 = r cos θ, x2 = r sin θ ein. Dann folgt x˙ 1 = r˙ cos θ − rθ˙ sin θ,

x˙ 2 = r˙ sin θ + rθ˙ cos θ,

also insbesondere |x| ˙ 22 = r˙ 2 + r2 θ˙2 ,

E=

m 2 [r˙ + r2 θ˙2 ] − φ(r). 2

Weiter gilt r˙ = x˙ 1 cos θ + x˙ 2 sin θ,

rθ˙ = −x˙ 1 sin θ + x˙ 2 cos θ,

folglich r¨ = x ¨1 cos θ + x¨2 sin θ + (−x˙ 1 sin θ + x˙ 2 cos θ)θ˙ = φ (r)/m + rθ˙2 , und ˙ rθ¨ + r˙ θ˙ = −¨ x1 sin θ + x¨2 cos θ − (x˙ 1 cos θ + x˙ 2 sin θ)θ˙ = −r˙ θ, also rθ¨ + 2r˙ θ˙ = 0. Die letzte Gleichung ergibt nach Multiplikation mit r d 2˙ r θ = 0, dt

also

r2 θ˙ ≡ h,

(13.17)

das 2. Keplersche Gesetz, welches physikalisch die Erhaltung des Drehimpulses beschreibt. Setzt man diese Gleichung in die Gleichung f¨ ur r ein, so erh¨alt man die von θ entkoppelte Gleichung f¨ ur r: r¨ =

1 h2 φ (r) + 3 . m r

(13.18)

(13.17) eingesetzt in die Energie f¨ uhrt schließlich auf m 2 h2 [r˙ + 2 ] − φ(r) = E. 2 r

(13.19)

300

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

4. Auf diese Weise konnte das urspr¨ unglich 12-dimensionale System unter Ausnutzung der vorhandenen Symmetrien und invarianten Mannigfaltigkeiten, sowie durch geschickte Parametrisierung auf eine einzige Diﬀerentialgleichung 1. Ordnung, n¨amlich auf die f¨ ur r zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Hat man r bestimmt, so folgt θ durch Integration der Gleichung θ˙ = h/r2 . Das Potential φ(r) tritt nur noch in der Gleichung f¨ ur r auf. Um die Bahnkurven zu bestimmen, beachte man, dass im generischen Fall h > 0 die Funktion θ(t) strikt monoton, also invertierbar ist. Daher suchen wir r als Funktion von θ anstelle als Funktion von t. Nun gilt mit u = h/r und der Kettenregel r˙ = r θ˙ = r

h = −u , r2

also ergibt (13.19) 2E 2φ(h/u) + . m m Verwendet man nun das Newtonsche Gesetz φ(r) = γm1 m2 /r so erh¨alt man u + u2 = 2

u + u2 = 2

2E 2M γu + , m h

mit M := m1 + m2 oder nach Diﬀerentiation u + u = γM/h. Die L¨osung dieses Problems ist durch u(θ) = γM/h+a cos(θ +θ0 ) mit einem a ≥ 0 und θ0 ∈ (−π, π] gegeben, also r = r(θ) =

p , 1 + ε cos θ

wobei wir o.B.d.A. θ0 = 0 angenommen haben. Dabei sind p = h2 /(γM ) > 0 und ε = ah/(γM ) > 0 gesetzt. Dies ist die Gleichung eines Kegelschnitts um den Brennpunkt (0, 0) in Polarkoordinaten: F¨ ur ε = 0 ist es ein Kreis, f¨ ur ε ∈ (0, 1) eine Ellipse, f¨ ur ε = 1 eine Parabel, und f¨ ur ε > 1 eine Hyperbel. Daraus folgt das 1. Keplersche Gesetz. Der Zusammenhang zwischen der Energie E und dem Exzentrizit¨atsparameter ε ergibt sich aus der Beziehung 2E γ 2M 2 2 + = u + (u − γM/h)2 = a2 , m h2 also ε = ah/(γM ) =

-

1 + 2Eh2 /(γ 2 M 2 m).

Die m¨oglichen Energieniveaus sind durch die minimale Energie E0 = −γ 2 M 2 m/(2h2 ) nach unten beschr¨ ankt. In diesem Fall wird eine Kreisbahn realisiert, mit Radius h2 /(γM ) = −γM m/(2E0 ).

13.6. Das Zweik¨orperproblem

301

5. Der dreidimensionale harmonische Oszillator. Hier ist φ(r) = 2c r2 . Dies f¨ uhrt auf die Gleichung 2E ch2 2 u + u 2 = + , m mu2 die mit der Substitution v = u2 die Beziehung v + 4v 2 = 2

8E 4ch2 v+ m m

(13.20)

ergibt, also nach Diﬀerentiation v + 4v =

4E . m

Die L¨osung dieses Problems ist mit einem κ ≥ 0 und θ ∈ (−π, π] v(θ) =

E (1 + κ cos(2(θ + θ0 ))), m 0

also r(θ) =

mh2 1 , E 1 + κ cos(2θ)

wobei wir wie zuvor o.B.d.A. θ0 = 0 angenommen haben. Hier sind die Bahnkurven Kreise f¨ ur κ = 0, Ellipsen f¨ ur 0 < κ < 1, Parabeln im Fall κ = 1, und Hyperbeln f¨ ur κ > 1, der Mittelpunkt ist jeweils (0, 0). Dabei ist κ wegen (13.20) durch 0 cmh2 κ = 1+ E2 gegeben. Folglich sind die Bahnkurven im Fall c = 0 Parabeln, f¨ ur c > 0 Hyperbeln, und f¨ ur c < 0 Ellipsen, d.h. alle L¨ osungen sind periodisch falls c < 0, und unbeschr¨ankt f¨ ur c ≥ 0. F¨ ur c ≥ 0 sind √ alle Energieniveaus m¨oglich, andernfalls jedoch ist die minimale Energie E = −mch2 (c < 0), und diese realisiert eine 0 Kreisbahn mit Radius r0 = 4 −mh2 /c. 6. Stabilit¨ at von Kreisbahnen. Sei zur Abk¨ urzung g(u) = u + φ (h/u)h/(mu2 ) gesetzt. Equilibria der Gleichung u + g(u) = 0 entsprechen dann Kreisbahnen, die mit konstanter Geschwindigkeit θ˙ = h/r∗2 = u2∗ /h durchlaufen werden. Wie steht es mit ihrer Stabilit¨ at? Schreibt man diese Gleichung als System u = v,

v = −g(u),

so besitzt dieses die Ljapunov-Funktion V0 (u, v) = 12 v2 + G(u), wobei G(u) eine Stammfunktion zu g(u) ist. Equilibria des Systems sind genau die Punkte (u∗ , 0) mit g(u∗ ) = 0, und dies sind genau die kritischen Punkte von V0 . Die zweite Ableitung von V0 in (u∗ , 0) ist genau dann positiv deﬁnit, wenn g (u∗ ) > 0 gilt. In

302

Kapitel 13. Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

diesem Fall ist (u∗ , 0) ein isoliertes Equilibrium und ein striktes Minimum f¨ ur V0 . Daher ist Satz 5.5.4 anwendbar, der zeigt dass (u∗ , 0) stabil ist. Ist andererseits - g (u∗ ) < 0, so hat die Linearisierung des Systems die zwei reellen Eigenwerte ± −g (u∗ ). Daher ist (u∗ , 0) nach dem Prinzip der linearisierten Stabilit¨at instabil. Um die Bedeutung der Bedingungen g(u∗ ) = 0, g (u∗ ) > 0 zu kl¨aren, berechnet man g (u∗ ) = 1 − 2

h h2 h2 φ (h/u∗ ) − φ (h/u∗ ) = 3 − φ (h/u∗ ). 3 4 mu∗ mu∗ mu4∗

Also ist g (u∗ ) > 0 genau dann, wenn φ (h/u∗ ) <

3mu4∗ 3u∗ =− φ (h/u∗ ) 2 h h

gilt bzw. mit r∗ = h/u∗ , wenn φ (r∗ ) < −

3 φ (r∗ ) r∗

ist. F¨ ur φ(r) = arμ , r > 0, ergibt dies die Bedingung aμ(μ+ 2) < 0, die im Fall des Newton Potentials φ(r) = γm1 m2 /r f¨ ur γ > 0 erf¨ ullt ist. F¨ ur den harmonischen Oszillator φ(r) = cr2 /2 gilt sie im Falle c < 0; man beachte dass hier nur f¨ ur c < 0 Kreisbahnen existieren. ¨ Ubungen 1. Sei Σ = T der Torus im R3 , deﬁniert durch > g(x) = g(x1 , x2 , x3 ) = [( x21 + x22 − 2)2 + x23 − 1]/2 = 0. Berechnen Sie die-Projektion PΣ und zeigen Sie, dass projizierte Vektorfeld f˜ = PΣ f f¨ ur f = [−x2 , x1 , α/( x21 + x22 − 2)]T die Gleichungen (9.3) in Abschnitt 9.2 ergibt. 2. Zeigen Sie, dass sich der irrationale Fluss auf dem Torus (9.3) in den kanonischen Toruskoordinaten (φ, θ) als das triviale System φ˙ = 1,

θ˙ = α

schreiben l¨ asst. 3. Das ¨ uberd¨ ampfte Pendel. Betrachte die Gleichung θ˙ = μ − sin(θ) auf der Sph¨ are S1 im R2 , wobei μ > 0 ist. Zeigen Sie, dass f¨ ur μ = 1 eine Sattel-Knoten Verzweigung auftritt. 4. Parametrisieren Sie die Gleichung f¨ ur das dreidimensionale Pendel mittels Polarkoordinaten. Interpretieren Sie das dabei auftretende Problem. 5. Leiten Sie die invariante Form der Gleichung f¨ ur die Geod¨ atischen auf dem Torus im R3 her.

Epilog In diesem Nachwort sollen einige Kommentare zur Literatur und Anregungen f¨ ur weitergehende Studien der Theorie dynamischer Systeme zusammengestellt werden, sie sind entsprechend der Kapitel geordnet. Da es sich bei diesem Werk um ein Lehrbuch zum Bachelor-Studium handelt, sind die meisten Resultate, Beispiele und Anwendungen Standard in der Literatur. Es werden daher nur Ergebnisse und Anwendungen kommentiert, die bisher noch nicht in einschl¨agigen B¨ uchern ber¨ ucksichtigt wurden. Die Hinweise zum weitergehenden Studium k¨onnen zur Planung eines sich an den Kurs anschließenden Seminars verwendet werden. Kapitel 5: Das Virenmodell geht auf Nowak und May [50] zur¨ uck. Dort wird es das Basismodell der Virendynamik genannt. Dieses Buch ist empfehlenswert, wenn man sich in der Modellierung von Viren weitergehend informieren m¨ochte. Die Analysis des Modells ist dem Buch von Pr¨ uss, Schnaubelt und Zacher [53] entnommen, in dem man auch Ergebnisse u ¨ber Modelle ﬁndet, die verschiedene Immunantworten ber¨ ucksichtigen. Das Basismodell ist ¨aquivalent zu einem SEIS¨ Epidemiemodell (vgl. Ubung 5.11), und einem Modell f¨ ur die Dynamik von Prionen; dies wurde in der Arbeit von Pr¨ uss, Pujo-Menjouet, Webb und Zacher [51] erkannt. In [53] wird auch das Prionenmodell diskutiert. Kapitel 6: Das Paarbildungsmodell ist eine Erweiterung eines von Hadeler, Waldst¨atter und W¨ orz-Busekros [33] vorgeschlagenen Modells, das die bis dahin gewonnenen Erkenntnisse u ¨ ber die Eigenschaften der Paarbildungsfunktion axiomatisiert. Diese Arbeit enth¨ alt auch das Resultat u ¨ ber homogene Systeme (vgl. Abschnitt 7.4). Die Analysis des erweiterten Modells ist in Pr¨ uss, Schnaubelt und Zacher [53] enthalten. Wesentlich realistischere Modelle ber¨ ucksichtigen in der Modellierung die Alterstruktur der Population; vgl. u.a. Hoppenstedt [37], Pr¨ uss und Schappacher [52] und Zacher [61]. Diﬀerential- und Integralungleichungen sind ein klassisches Thema. Wir verweisen auf die B¨ ucher von Lakshmikantham und Leela [43] und Walter [60] f¨ ur weitere Studien in dieser Richtung. Kapitel 7: Der Satz von Perron und Frobenius u ¨ber positive Matrizen und seine Verallgemeinerungen f¨ ur positive Operatoren in geordneten Banachr¨aumen haben in Anwendungen große Bedeutung erlangt. Weitere Resultate u ¨ ber positive Matrizen ﬁndet man in der Monographie von Gantmacher [31], und u ¨ ber positive Operatoren in Deimling [25] und Sch¨ afer [55].

J.W. Prüss, M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Grundstudium Mathematik, DOI 10.1007/978-3-0348-0002-0, © Springer Basel AG 2010

304

Epilog

In der Situation von Satz 7.6.2 gibt es im Fall x∞ = x∞ eine Vielzahl weiterer Resultate. So bilden z.B. die Equilibria in [x∞ , x∞ ] eine vollst¨andig geordnete Menge. Sind x∞ , x∞ stabil, so gibt es ein drittes Equilibrium in [x∞ , x∞ ]. Gibt es kein weiteres Equilibrium zwischen diesen, dann existiert ein heteroklines Orbit, das x∞ mit x∞ verbindet. Diese Resultate ﬁndet man in der Arbeit von Hirsch und Smith [36]. F¨ ur Verallgemeinerungen auf parabolische partielle Diﬀerentialgleichungen sei das Buch von Hess [35] empfohlen. Das SIS-Mehrklassenmodell f¨ ur Epidemien wurde erstmals von Lajmanovich und Yorke [42] analysiert. Der hier angegebene Beweis der globalen Stabilit¨at des epidemischen Equilibriums ist aus Pr¨ uss, Schaubelt und Zacher [53] entnommen, und ist einfacher als der urspr¨ ungliche. Die Monographie von Diekman und ¨ Heesterbeek [26] gibt einen guten Uberblick zur Modellierung und Analysis von Epidemien. Kapitel 8: Die moderne mathematische Populationsgenetik wurde durch die bahnbrechenden Arbeiten von Fisher, Haldane und Wright in den ersten Jahrzehnten des letzten Jahrhunderts begr¨ undet und ist heute ein wichtiger Beleg f¨ ur die Theorie Darwins. Es sei das an dieser Stelle das Buch von Fisher [30] hervorgehoben, in dem auch das nach ihm benannte Fundamentaltheorem erstmalig formuliert wurde. Das hier behandelte Modell ber¨ ucksichtigt lediglich Selektion. In diesem Fall kann man zeigen, dass jede in D startende L¨osung tats¨achlich gegen ein Equilibrium konvergiert, selbst wenn E nicht diskret ist. Dieses Resultat geht auf Losert und Akin [47] zur¨ uck, und ist im Buch von Pr¨ uss, Schnaubelt und Zacher [53] bewiesen. Man erh¨ alt wesentlich komplexere Modelle, wenn auch Mutation und Rekombination als weitere Prozesse in der Modellierung hinzugenommen werden. ¨ Einen guten Uberblick u ¨ber mathematische Genetik gibt die Monographie von B¨ urger [21]. Die Analysis chemischer Reaktionssysteme geht bis ins vorletzte Jahrhundert zur¨ uck. Damals stand die Gleichgewichtstheorie im Vordergrund, die zur Formulierung des Massenwirkungsgesetzes f¨ uhrte. Heute ist mehr die Dynamik Mittelpunkt des Interesses, insbesondere seit den Arbeiten von Belousov und Zhabotinski u ¨ ber die Existenz periodischen Verhaltens in solchen Systemen. Das Hauptresultat Satz 8.7.1 u uck auf Horn, Feinberg und Jack¨ ber chemische Reaktionssysteme geht zur¨ son [38]; vgl. auch Feinberg [29]. F¨ ur weitergehende Studien u ¨ber die Theorie chemischer Reaktionssysteme empfehlen wir das Buch von Erdi und Toth [28]. Lojasiewicz befasste sich in seiner Arbeit mit Gradientensystemen, deren Equilibriumsmengen nichtdiskret sind. Sein herausragender Beitrag ist der Beweis der heute nach ihm benannten Ungleichung f¨ ur reell analytische Funktionen. Dieser Beweis verwendet tieﬂiegende Ergebnisse aus der mehrdimensionalen komplexen Analysis, und kann hier nicht reproduziert werden. Es sei deshalb auf seine Arbeiten [45, 46] verwiesen. Die Anwendung auf das ged¨ampfte Teilchen im Potentialfeld ist eine Variante eines Resultats von Haraux und Jendoubi [34]. Die Methode von Lojasiewicz l¨asst sich auf unendlichdimensionale Probleme, also auf Evolutionsgleichungen, u artig ein wichtiger Forschungsgegenstand. ¨bertragen und ist gegenw¨

Epilog

305

Diesbez¨ uglich seien vor allem die Arbeit von Chill [22] und die Monographie von Huang [39] empfohlen. Die Theorie der Attraktoren ist vor allem im unendlichdimensionalen Fall aktueller Forschungsgegenstand. Hierzu verweisen wir f¨ ur den endlichdimensionalen Fall auf das klassische Buch von Bhatia und Szeg¨o [3] und allgemein auf die Monographie von Sell und You [57]. Die Themen seltsame Attraktoren und Chaos konnten wir in diesem Buch nicht ber¨ ucksichtigen. Wir verweisen diesbez¨ uglich auf die einschl¨ agige Literatur, z.B. auf Devaney [8]. Kapitel 9: Das Modell f¨ ur biochemische Oszillationen ist eine Verallgemeinerung der Modelle von Selkov [56] und Goldbeter und Lefever [32], die auf Keener and Sneyd [41] zur¨ uckgeht. Die Analysis des Modells ist dem Buch Pr¨ uss, Schnaubelt und Zacher [53] entnommen. F¨ ur weitergehende Studien der mathematischen Physiologie sei dem Leser die Monographie von Keener und Sneyd [41] w¨armstens empfohlen. Die in Abschnitt 9.6 entwickelte Indextheorie besitzt eine weitreichende Verallgemeinerung f¨ ur beliebige Dimensionen, n¨ amlich den Abbildungsgrad von Brouwer. Mit dessen Hilfe l¨ asst sich der Fixpunktsatz von Brouwer, der in den Abschnitten 4.2 und in 7.3 verwendet wurde, einfach beweisen. F¨ ur den analytischen Zugang zum Abbildungsgrad sei auf die B¨ ucher von Amann [1] und Deimling [25] verwiesen. Kapitel 10: Das erweiterte Prinzip der linearisierten Stabilit¨at war f¨ ur den Fall dim E = 1 schon Ljapunov bekannt. Der Fall beliebiger Dimensionen von E geht auf Malkin [48] zur¨ uck, der auch die entsprechende Normalform angab. Aulbach [19] zeigte den Satz u ¨ ber normal hyperbolische Equilibria in einer etwas anderen Form. Die hier angegebenen Beweise sind Adaptionen aus der Arbeit von Pr¨ uß, Simonett und Zacher [54], in der der Fall quasilinearer parabolischer partieller Diﬀerentialgleichungen behandelt wird. Diﬀusionswellen sind ein wichtiges Thema in der Theorie der ReaktionsDiﬀusionsgleichungen, und sind daher in der Literatur ausgiebig diskutiert. Wir verweisen f¨ ur weitere Studien dazu auf Volpert [59]. Ein weiteres Thema, dass zu diesem Kapitel erw¨ahnt werden muss, sind Zentrumsmannigfaltigkeiten Mc . Diese resultieren aus dem Spektrum der Linearisierung auf der imagin¨ aren Achse, sind also nicht trivial, wenn das Equilibrium nicht hyperbolisch ist. Leider sind Zentrumsmannigfaltigkeiten im Gegensatz zur stabilen oder der instabilen Mannigfaltigkeit nicht eindeutig bestimmt. Ist hingegen x∗ normal stabil oder normal hyperbolisch, dann ist Mc = E in einer Umgebung von x∗ , also auch eindeutig. Wir gehen in diesem Buch nicht n¨aher auf die Theorie der Zentrumsmannigfaltigkeiten ein, und verweisen diesbez¨ uglich z.B. auf Abraham und Robbin [18], Chicone [5] und Jost [15]. Kapitel 11: Analog zu hyperbolischen Equilibria einer Gleichung x˙ = f (x) deﬁniert man hyperbolische periodische Orbits als solche, die keine FloquetMultiplikatoren auf dem Einheitskreis haben, außer dem algebraisch einfachen

306

Epilog

Multiplikator Eins. Man kann dann wie an Sattelpunkten stabile und instabile Mannigfaltigkeiten l¨ angs des periodischen Orbits konstruieren. Wir verweisen diesbez¨ uglich auf Cronin [7] und [24]. Abschnitt 11.5 ist der Ausgangspunkt f¨ ur die Theorie der Verzweigung von periodischen Orbits. Hier gibt es eine Reihe von Szenarien: u ¨berquert ein algebraisch einfacher Floquet-Multiplikator μ(λ) mit positiver Geschwindigkeit den Einheitskreis durch 1, so zweigen periodische L¨osungen der gleichen Periode ab, dies ist die Pitchfork an periodischen L¨ osungen. Geht μ(λ) durch −1, so zweigen periodische L¨osungen der doppelten Periode ab, das ist die sogenannte subharmonische Verzweigung. Geht μ(λ) durch einen Punkt e2πiθ , θ = 1/2 rational, so f¨ uhrt das zum Abzweigen quasiperiodischer L¨ osungen, und ist θ irrational, so erh¨alt man als neue Zweige sogenannte invariante Tori um die gegebene periodische L¨osung. F¨ ur ein weiteres Studium dieser schwierigen Thematik verweisen wir auf das Buch von Iooss [40]. Kapitel 12: Die Anwendung der Hopf-Verzweigung auf Hamiltonsche Systeme ist dem Buch von Amann [1] entnommen, allerdings ist der hier angegebene Beweis etwas einfacher als der in [1]. In der chemischen Reaktionstechnik haben neben der eigentlichen chemischen Kinetik weitere Prozesse wie Konvektion und Diﬀusion Bedeutung. Das in Abschnitt 12.6 behandelte Modell ist das Einfachste im Universum der chemischen Reaktionstechnik. Die hier pr¨ asentierte Verzweigungsanalysis beruht auf der Arbeit von Uppal, Ray und Poore [58], in der auch das komplette Verzweigungsdiagramm angegeben ist. F¨ ur eine interessante, mathematisch fundierte Einf¨ uhrung in die Theorie der Reaktionstechnik verweisen wir auf das hervorragende Buch von Levenspiel [44]. Hier konnten nur die grundlegenden Resultate der Verzweigungstheorie formuliert und bewiesen werden. Diese Theorie ist vor allem f¨ ur unendlichdimensionale Systeme aktueller Forschungsgegenstand. Wir verweisen zum weiteren Studium dieser Thematik auf die Monographie von Chow und Hale [23]. Kapitel 13: Obwohl in der Physik omnipr¨ asent, sind Zwangsbedingungen in Standardlehrb¨ uchern u ohnliche Diﬀerentialgleichungen ein eher stiefm¨ utterlich ¨ ber gew¨ behandeltes Thema. Der entsprechende Abschnitt soll zeigen, wie solche Bedingungen auf nat¨ urliche Weise zu Diﬀerentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten f¨ uhren, und es soll deutlich gemacht werden, dass dies nicht eindeutig geht. Der nichttriviale Grenz¨ ubergang k → ∞ zur instantanen Reaktion in Abschnitt 13.4.3. ist in der Arbeit von Bothe [20] explizit ausgef¨ uhrt. Erst dieser Grenz¨ ubergang rechtfertigt hier die entsprechende Wahl der Projektion auf die Mannigfaltigkeit r(x) = 0. Die Theorie der Geod¨atischen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist ein zentrales Thema in der Diﬀerentialgeometrie. Dazu gibt es viele tieﬂiegende Resultate, die den Rahmen dieses Buchs bei weitem u ¨berschreiten. Daher seien interessierte Leser auf die einschl¨ agige Literatur zur Diﬀerentialgeometrie wie z.B. do Carmo [27] verwiesen.

Abbildungsverzeichnis 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Logistisches Wachstum mit κ = 10 und α = 0.5 . . Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . Richtungsfeld der Diﬀerentialgleichung x˙ = t2 + x2 Phasenportrait von (SVL) mit ε = 1 . . . . . . . . Phasenportrait von (SKK) . . . . . . . . . . . . . . Phasenportrait von (P) . . . . . . . . . . . . . . . Phasenportrait von (PF) f¨ ur φDW . . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

5 6 7 8 15 22 23 24 25

2.1

L¨osung und Vergleichsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1 3.2

Bernoulli-Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gefedertes Doppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12

Phasenportrait von Vinograd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (α) Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabiler Knoten (β) und instabiler Knoten (γ) . . . . . . . . . Stabile Zust¨ ande (δ) und instabile Zust¨ande (ε) . . . . . . . . . Stabiler falscher Knoten (a) und instabiler falscher Knoten (c) Instabile Zust¨ ande (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabile Spirale (1) und instabile Spirale (3) . . . . . . . . . . . Zentrum (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilit¨ atsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koexistenz im Volterra–Lotka-Modell . . . . . . . . . . . . . . Konkurrenzmodell: Keine Koexistenz . . . . . . . . . . . . . . . Konkurrenzmodell: Koexistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1 8.2

Der Grenzzyklus im Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Phasenportraits zu den Beispielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.1 9.2

Transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Brusselator mit a = 1, b = 1, bzw. b = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 192

. . . . . . . . . . . .

. 84 . 87 . 88 . 88 . 89 . 90 . 91 . 91 . 92 . 100 . 101 . 101

308 9.3 9.4 9.5

Abbildungsverzeichnis Ein homoklines Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 van der Pol Oszillator mit μ = 1 und μ = 3 . . . . . . . . . . . . . 197 Biochemischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.1 Linearer und nichtlinearer Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.2 Heteroklines Orbit f¨ ur die Fisher-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 213 11.1 Integrationsweg Γ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.2 Integrationsweg Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.1 12.2 12.3 12.4

Sattel-Knoten-Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pitchfork-Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brusselator mit a = 1, b = 1.99, bzw. b = 2.01 . . . . . . . . . . . . Equilibriazweige des adiabatischen exothermen idealen R¨ uhrkessels mit γ = 12, β = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256 261 266 279

Lehrbu ¨cher und Monographien [1] H. Amann, Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen, de Gruyter Lehrbuch. [de Gruyter Textbook], Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1983. [2] V. I. Arnold, Ordinary diﬀerential equations, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, 1973, Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman. [3] N. P. Bhatia and G. P. Szeg¨ o, Stability theory of dynamical systems, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 161, Springer-Verlag, New York, 1970. [4] M. Braun, Diﬀerential equations and their applications, fourth ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1993, An introduction to applied mathematics. [5] C. Chicone, Ordinary diﬀerential equations with applications, second ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 34, Springer, New York, 2006. [6] A. Coddington and N. Levinson, Theory of ordinary diﬀerential equations, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955. [7] J. Cronin, Diﬀerential equations, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., vol. 54, Marcel Dekker Inc., New York, 1980, Introduction and qualitative theory. [8] R. L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, second ed., Addison-Wesley Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. [9] W. Hahn, Stability of motion, Translated from the German manuscript by Arne P. Baartz. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 138, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. [10] J. K. Hale, Ordinary diﬀerential equations, Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 1969, Pure and Applied Mathematics, Vol. XXI. [11] P. Hartman, Ordinary diﬀerential equations, John Wiley & Sons Inc., New York, 1964.

310

Lehrb¨ ucher und Monographien

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Originalliteratur [18] R. Abraham and J. Robbin, Transversal mappings and ﬂows, An appendix by Al Kelley, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1967. [19] B. Aulbach, Continuous and discrete dynamics near manifolds of equilibria, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1058, Springer-Verlag, Berlin, 1984. [20] D. Bothe, Instantaneous limits of reversible chemical reactions in presence of macroscopic convection, J. Diﬀerential Equations 193 (2003), no. 1, 27–48. [21] R. B¨ urger, The mathematical theory of selection, recombination, and mutation, Wiley Series in Mathematical and Computational Biology, John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 2000. [22] R. Chill, On the Lojasiewicz-Simon gradient inequality, J. Funct. Anal. 201 (2003), no. 2, 572–601. [23] S. N. Chow and J. K. Hale, Methods of bifurcation theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Science], vol. 251, Springer-Verlag, New York, 1982. [24] J. Cronin, Branching of periodic solutions of nonautonomous systems, Nonlinear analysis (collection of papers in honor of Erich H. Rothe), Academic Press, New York, 1978, pp. 69–81. [25] K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1985. [26] O. Diekmann and J. A. P. Heesterbeek, Mathematical epidemiology of infectious diseases, Wiley Series in Mathematical and Computational Biology, John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 2000, Model building, analysis and interpretation. [27] M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Mathematics: Theory & Applications, Birkh¨ auser Boston Inc., Boston, MA, 1992, Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. ´ [28] P. Erdi and J. T´ oth, Mathematical models of chemical reactions, Nonlinear Science: Theory and Applications, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989, Theory and applications of deterministic and stochastic models.

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Index Abbildung Perioden-, 73 Poincar´e, 73 Ableitung Dini, 124 orbitale, 158 Anfangswertproblem, 12 Anziehungsbereich, 169 Attraktor, 169 globaler, 169 Bahn, 20, 80 Bendixson Negativkriterium von, 193 Bernoulli-Balken, 62 blow-up, 12 Brusselator, 42, 114, 192, 194, 266 d’Alembert-Reduktion Gleichungen 1. Ordnung, 47 Gleichungen n-ter Ordnung, 57 Diﬀerentialgleichung autonome, 17 explizite, 3 implizite, 3 mit getrennten Variablen, 15 partielle, 4 Diﬀerentialgleichungssystem, 10 linear homogenes, 43 linear inhomogenes, 45 Diﬀerentialungleichung, 36, 70, 123, 145 Eigenvektor, 49

Eigenwert, 49 algebraische Vielfachheit, 52 einfach, 52 geometrische Vielfachheit, 52 halbeinfach, 52 Eigenwertproblem nichtlinear, 141 Eindeutigkeitssatz, 28 Endemiemodell SIR-, 114 Epidemiemodell, 9, 22, 40 SIRS-, 42 SIS-Mehrklassen, 151 Equilibrium, 20 normal hyperbolisches, 221 normal stabiles, 215 Sub-, 148 Super-, 148 Erhaltungssatz, 20 Existenzsatz von Peano, 119 Existenzsatz von Picard–Lindel¨of, 31 Exponential-Ansatz, 49 Exponentiall¨osungen, 141 Fixpunktsatz von Banach, 30 von Brouwer, 73 Fl¨achendivergenz, 286 Fl¨achengradient, 286 FloquetExponent, 239 Multiplikator, 235 Floquet-Theorie, 234, 273 Fluss, 79

316 Formel der Variation der Konstanten, 19 Fortsetzungssatz, 34, 121 Freiheitsgrad, 4 Funktion Ljapunov, 102, 157 negativ deﬁnit, 165 nichtexpansiv, 137 Osgood-, 130 positiv deﬁnit, 165 positiv homogen, 141 quasimonoton, 145, 148 quasipositiv, 71 strikte Ljapunov-, 102 Funktionalkalk¨ ul, 231 Gleichung Bernoulli-, 26 Duﬃng-, 206 Field-Noyes-, 82 Fisher-, 212 Fisher-Wright-Haldane-, 170 Fitzhugh-Nagumo-, 82, 114, 155, 281 Goldbeter–Lefever-Modell, 201 Lienard, 195 Ljapunov-, 160 Riccati-, 26 Sel’kov-Modell, 200 van-der-Pol-, 198, 206 Volterra–Lotka-, 9, 21, 32, 41, 69, 71, 79, 98, 103, 108, 109 Gradient, 4 Gradientensystem, 103 Grenzzyklus, 190 Hamilton-System, 160 Hundekurve, 42 Index, 203 isolierter Equilibria, 201 Riesz-, 52 Infektionskontaktrate, 110, 151

Index Integral erstes, 20 Integralungleichung, 35 Integrationskonstante, 4 invariant, 131 negativ, 131 positiv, 131 schwach, 168 Isokline, 14 Jordan-Kurve, 232 zul¨assige, 232 Kegel, 146 dualer, 146 echter, 146 Konvergenzsatz von Lojasiewicz, 181 konvex, 137 L¨osung asymptotisch stabil, 84, 162 attraktiv, 84, 162 einer Diﬀerentialgleichung, 4 instabil, 84, 162 maximal, 33 nichtfortsetzbar, 120 periodisch, 22, 72, 231 stabil, 83, 162 station¨ar, 20, 22 uniform asymptotisch stabil, 163 uniform attraktiv, 163 uniform stabil, 163 Laplace-Operator, 212 Lemma von Gronwall, 35 von Zorn, 120 Limesmenge, 167 lineare Diﬀerentialgleichung 1. Ordnung, 18, 43 n-ter Ordnung konstante Koeﬃzienten, 60 periodische, 240 lineare Gleichung n-ter Ordnung, 56

Index Linienelement, 14 Lipschitz global, 27 lokal, 27 Logistik, 5 Mannigfaltigkeit, 283 instabile, 209 stabile, 209 Matrix Fundamental-, 44 Hauptfundamental-, 44 irreduzibel, 143 L¨osungs-, 44 Logarithmus einer, 235 Monodromie-, 235 quasipositiv, 142 Matrix-Exponentialfunktion, 48 Maximall¨osung, 123 Morse-Index, 208 Niveaumenge, 20 Normale ¨außere, 132 Normalform, 217, 222 Orbit, 20, 80 heteroklin, 191, 213 homoklin, 191 Oregonator, 82, 114 Oszillator harmonischer, 6 van-der-Pol-, 281 Paarbildungsfunktion, 129 positiv homogen, 129 Pendel, 8, 23, 24, 32, 39, 79, 85, 98, 103, 107, 109 gefedertes Doppel-, 63 Phase asypmtotische, 245 Phasenebene, 20 positiv homogen, 129

317 Positivit¨at von L¨osungen, 71 Positivit¨atsbedingung, 71 Projektion, xv metrische, 137 Pulswellen, 212 Randwertproblem, 12 Reaktion Belousov-Zhabotinski-, 82 Elementar-, 174 Gleichgewichts-, 9 reversible , 9 Zerfalls-, 4 Reaktions -Enthalpie, 276 Reaktions-Diﬀusionsgleichungen Ebene Wellen f¨ ur, 211 Richtungsfeld, 14 Routh-Hurwitz-Kriterium, 102 Sattelpunkt, 207 Satz u ¨ber implizite Funktionen, 209 Umlaufsatz von Hopf, 203 von Perron-Frobenius, 143 von Arz´ela-Ascoli, 120, 122 von Cetaev-Krasovskij, 172 von Floquet, 238 von La Salle, 169 von Peano, 119 von Picard–Lindel¨of, 31 von Poincar´e-Bendixson, 190 Schwingkreis, 7 Schwingungsgleichung, 6 Simplex Standard-, 142 Skalierung, 21 Spektral-Zerlegung, 52 Spektralabbildungssatz, 234 Spektralschranke, 94 Spektrum, 94 St¨ochiometrie, 173 st¨ochiometrische Koeﬃzienten, 173

318 st¨ochiometrischer Teilraum, 175 stabil asymptotisch orbital, 244 orbital, 244 strukturell, 91 Stabilit¨at periodischer L¨ osungen, 243 Prinzip der linearisierten, 94 stetige Abh¨angigkeit, 67, 121 Subtangentialbedingung, 132 Superpositionsprinzip, 19 System dynamisches, 79 Fundamental-, 44 gradientenartig, 171 Hauptfundamental-, 44 Trajektorie, 20, 80 Transversale, 185 Transversalit¨atsbedingung, 263 Umkehrpunkt, 256, 257

Index Ungleichung von Lojasiewicz, 180 van der Pol Oszillator, 197 Variation der Konstanten Gleichungen 1. Ordnung, 18 Gleichungen n-ter Ordnung, 59 Verzweigung Hopf-, 266 Pitchfork, 263 Sattel-Knoten, 260 transkritische, 264 Verzweigungsgleichung, 262, 270 Virenmodell, 110 Wachstumsrate, 4 Welle ebene, 212 fortschreitende, 212 station¨are, 212 Wellenfronten, 212 Wellenz¨ uge, 212 Wronski-Determinante, 44

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