Integrarea pe spaţii local compacte

Reflective

INTEGRAREA SPATIÎLOCAL COMPACTE

Coperta de Dumitru

Negrescu

N.

DINCULEANU

INTEGRAREA SPATIFLOCAL COMPACTE

EDITURA A C A D E M I E I REPUBLICII POPULARE R O M A N E BUCUREŞTI,

1965

Prefaţa Cartea de faţă este o continuare a tratatului de A n a l i z ă M a t e m a t i c ă de acad. Miron Nicolescu. în volumul III al acestui tratat este expusă teoria generală a măsurii şi a integralei pe un spaţiu abstract. Prezenta lucrare este dedicată teoriei integralei într-un caz special important: cazul spaţiilor local compacte. Importanţa acestui caz este justi­ ficată de următoarele considerente : 1. Spaţiile local compacte sînt suficient de particulare pentru ca măsu­ rile pe aceste spaţii să posede proprietăţi speciale, care să le apropie mai mult de modelul clasic — măsura Lebesgue pe dreaptă. Particularitatea spaţiilor local compacte constă în existenţa unei clase bogate de mulţimi cu proprietăţi remarcabile — mulţimile compacte. Una dintre proprietăţile importante ale spaţiilor local compacte este existenţa unei familii local numărabile de părţi compacte disjuncte, a căror reuniune diferă de spaţiul întreg printr-o mulţime neglijabilă. Datorită acestei proprietăţi, o serie de teoreme importante cum sînt: teorema lui Lebesgue-Nikodym şi teorema lui LebesgueFubini, sînt valabile pe spaţii local compacte fără nici o restricţie asupra măsurilor, în timp ce în cazul spaţiilor abstracte, aceste teoreme sînt demons­ trate, general, numai pentru măsuri a-finite. 2. Spaţiile local compacte sînt în acelaşi timp destul de generale pentru ea o teorie a integralei dezvoltată pe asemenea spaţii să poată fi aplicată cu succes în cea mai mare parte ă problemelor importante din analiza mate­ matică — de exemplu în analiza armonică pe grupuri local compacte. Deoa­ rece în analiza armonică se foloseşte în mod frecvent teorema lui Fubini, utilizarea în acest caz a teoriei generale a integralei pe spaţii abstracte ar impune condiţia restrictivă ca măsura Haar să fie a-finitâ, deci, cu o ase­ menea integrală, analiza armonică poate fi dezvoltată numai în cazul grupu­ rilor local compacte numărabile la infinit. 3. Menţionăm, în sfîrşit, că, aşa cum a arătat S. Kakutani, integrarea pe spaţii abstracte poate fi redusă totdeauna la integrarea pe spaţii local compacte.

•

6

în mod obişnuit, plecînd de la o măsură — definită ea funcţie de mul­ ţime — se construieşte integrala corespunzătoare, care este o funcţională liniară pe spaţiul funcţiilor integrabile. O teoremă clasică a lui F. Biesz, extinsă apoi de S. KaJcutani la cazul spaţiilor compacte, arată că, reciproc, orice funcţională liniară şi continuă pe spaţiul funcţiilor continue este o integrală în raport cu o anumită măsură regulată. Această teoremă -a permis identificarea măsurilor regulate cu funcţionalele liniare şi continue şi a condus grupul N. BourbaJci la construirea unei vaste teorii a integralei pe spaţii local compacte plecînd de la definiţia măsurii, nu ca funcţie de mulţime, ci ca funcţională. Adoptarea acestui punct de vedere oferă numeroase avantaje.

• în această carte am urmat îndeaproape punctul de vedere al lui N. Bour­ baJci, pe care l-am adaptat la cazul măsurilor vectoriale, definite ca operaţii liniare pe spaţiul funcţiilor vectoriale JC (T) cu valori într-un spaţiu Banach F. în cazul măsurilor majorate este suficient ca domeniul iniţial de defi­ niţie să fie spaţiul funcţiilor reale JC( T) iar domeniul valorilor un spaţiu Banach X, deoarece asemenea măsuri pot fi „prelungite" la spaţiul JC (T) cu valori în F, oricare ar fi spaţiile Banach E şi F astfel încît X d Jl(E, F). Cartea conţine trei părţi. în prima parte se studiază măsurile vectoriale, integrala superioară, spaţiile £ , funcţii integrale, funcţii măsurabile şi proprietatea de ridicare a spaţiului Jl . Această primă parte este consacrată în cea mai mare parte măsurilor pozitive (cu excepţia Cap. I). Partea a Il-a este consacrată în special măsurilor vectoriale. în această parte se studiază măsurile definite prin densitate, măsuri absolut continue şi teoreme de tip Lebesgue-Nikodym cu aplicaţii la reprezentarea integrală a operaţiilor liniare pe spaţiile J2?, sume de măsuri, imagini de măsuri, măsuri induse şi măsuri pe spaţii produs. Prin utilizarea unei ridicări a spaţiului Jd™, teoremele de tip Lebesgue-Nikodym şi teoremele de reprezen­ tare integrală a operaţiilor liniare pe J2. sînt demonstrate în condiţii foarte generale. în partea a IlI-a se studiază măsurile pe grupuri local compacte : măsura Haar, produsul de convoluţie (pentru funcţii vectoriale), algebre grupale (defuncţii şi măsuri vectoriale), reprezentările grupului şi ale algebrei grupale şi analiza armonică pe grupuri comutative. Tot în această parte se studiază măsurile definite pe spaţii de cîmpuri de vectori, spaţiile Lebesgue şi Orlicz de cîmpuri de vectori şi se dau teoreme de reprezentare integrală a operaţiilor definite pe aceste spaţii. E

E

p

a

00

v

• Trebuie observat că majoritatea rezultatelor demonstrate de N. Bourbaki pentru integrala superioară rămîn valabile şi pentru integrala superioară esenţială. în schimb, o serie de rezultate importante, cum sînt cele privitoare la măsurile definite prin densităţi, imaginile de măsuri şi restricţiile de măsuri, nu sînt în general valabile decît pentru integrala superioară esenţială.

7

Pentru o enunţare unitară a tuturor acestor rezultate am efectuat o modificare în definirea integralei superioare : am numit integrală superioară ceea ce Bourbaki numeşte integrală superioară esenţială. în conformitate cu aceasta am numit funcţie neglijabilă, respectiv integrabilă, ceea ce BourbaM numeşte funcţie local neglijabilă, respectiv esenţial integrabilă. Cu aceste modificări, toate spaţiile L se pot defini în mod unitar prin egalitatea L = JP/Tt, fie că 1 ^Cp < o o , fie că p — oo, Iii fiind mulţimea funcţiilor, neglijabile. De asemenea, inegalitatea lui Holder v

v

fg&\L

^CN

P

(/) N

Q

(g) este adevărată

pentru

funcţii

f > - 0 şi g^> 0,

chiar

şi în cazul cînd p — 1 şi q — o o . Teorema lui Lebesgue-Fubini nu este însă valabilă pentru funcţii esenţial integrabile. De aceea, în cadrul modificărilor menţionate mai sus, teorema lui Lebesgue-Fubini se enunţă în condiţia — aparent restrictivă — ca funcţiile să se anuleze pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise integrabile. De altfel, restricţii de acest fel se impun în unele propo­ ziţii relative la produsul de măsuri, chiar cu denumirile lui Bourbaki, Menţionăm, în sfîrşit, că majoritatea rezultatelor enunţate în această carte pentru măsuri cu valori în spaţii Banach se lasă uşor extinse pentru măsuri cu valori într-un spaţiu vectorial cu topologia definită de o seminormă şi apoi pentru măsuri cu valori în spaţii local convexe. N.

DlNCULEANU

Tabla

de

materii

Pag.

PARTEA

ÎNTÎI

CAPITOLUL I. MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE § 1. Definiţia măsurii 1. Spaţiul funcţiilor continue cu suport compact 2. Definiţia măsurii 3. Două metode de a defini o măsură

17 21 27

§ 2. Proprietăţile măsurilor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Integrarea funcţiilor scalare în raport cu o măsură vectorială Măsuri definite pentru funcţii scalare Măsuri scalare Integrarea funcţiilor vectoriale în raport cu o măsură scalară Măsuri pozitive Măsuri cu valori scalare

§ 3. Măsuri

31 34 39 41 44 48

majorate

1. Familii majorate de* măsuri reale 2. Măsuri majorate 3. Măsuri mărginite

52 55 60

§ 4. Suportul unei măsuri

CAPITOLUL II. SPAŢIILE JP.

FUNCŢII

INTEGRABILE

§ 5. Integrala superioară 1. 2. 3. 4. 5.

Funcţii semicontinue inferior Integrala superioară a funcţiilor semicontinue inferior Măsura exterioară a mulţimilor deschise Integrala superioară a funcţiilor pozitive Măsura exterioară a mulţimilor oarecare

70 72 75 77 87

10 Pag.

§ 6. Funcţii şi mulţimi neglijabile 1. 2. 3. 4. 5.

Funcţii neglijabile pozitive Proprietăţi adevărate aproape peste tot Clase de funcţii echivalente Funcţii definite aproape peste tot Funcţii cu valori în R

. . . . ,

§ 7. Spaţiile

88 90 91 92 93

p

J>

1. Inegalităţile lui Holder şi Minkowski

94

2. Seminormele N

97

p

3. Spaţiile Cf?

101

9

4. Spaţiile £

106

5. Relaţii între spaţiile J2.% (ţi) şi J2£ (JA)

108

6. Relaţu între spaţiile <£? (V-) Şi <&K (v) 7. Funcţii reale p-integrabile 8. Teorema lui Lebesgue

110 111 117

E

9. Relaţii între spaţiile <£% (y.) şi *&% M 10. Mulţimi filtrante în l?

119 120

§ 8. Funcţii integrabile 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Definiţia funcţiilor integrabile în raport cu o măsură majorată Integrarea în raport cu o măsură scalară Integrarea funcţiilor scalare în raport cu o măsură majorată Funcţii integrabile definite aproape peste tot Proprietăţile funcţiilor integrabile Trecerea la limită în integrale Caracterizarea funcţiilor numerice integrabile Mulţimi integrabile Funcţii etajate integrabile Integrarea funcţiilor vectoriale în raport cu măsuri vectoriale

122 123 126 127 129 131 134 137 146 151

CAPITOLUL III. FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL § 9. Funcţii şl mulţimi măsurabile 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definiţia funcţiilor măsurabile Funcţii compuse măsurabile Funcţii vectoriale măsurabile Funcţii numerice măsurabile Mulţimi măsurabile Funcţii măsurabile definite pe mulţimi măsurabile Principiul localizării

154 157 158 158 159 162 163

11 Pag.

§ 10. Şiruri de funcţii măsurabile 1. Funcţii cu valori în spaţii metrice 2. Funcţii cu valori în spaţii Banach 3. Funcţii numerice

164 169 171

§ 11. Criterii de integrabilitate 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Aditivitatea integralei superioare Suportul funcţiilor p-integrabile Criterii de integrabilitate Calculul integralei superioare pentru anumite funcţii Funcţii măsurabile definite local Funcţii boreliene

176 179 181 184 187 191

§ 12. Spaţiul J£* 1. Seminorma A/o>

193

2. Spaţiul C£*

195

3. Spaţiul J>°°

196 § 13. Proprietatea de ridicare

1. Proprietatea de ridicare a lui <£°° 2. Proprietatea de ridicare a spaţiilor de funcţii vectoriale 3. Funcţii cu proprietatea de ridicare § 14. Relaţii între spaţiile < £

198 202 206 p

1. Inegalitatea lui Holder 2. Calculul seminormelor N

211 213

p

T

3. Relaţii între spaţiile Jl

8

şi J2

PARTEA

229

A

DOUA

CAPITOLUL IV. MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI § 15. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Funcţii local integrabile. Măsuri definite prin densităţi

Funcţii local integrabile Măsuri definite prin densităţi local integrabile Funcţii operatoriale simplu măsurabile Funcţii operatoriale simplu local integrabile Măsuri definite prin densităţi simplu local integrabile Funcţii operatoriale slab măsurabile Funcţii operatoriale slab local integrabile Măsuri definite prin densităţi slab local integrabile

237 239 241 242 244 246 249 250

12 Pag.

§ 16. Integrarea în raport eu o măsură definită prin densităţi 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Familii filtrante de funcţii măsurabile Integrala superioară în raport cu o măsură pozitivă definită prin densităţi Integrarea în raport cu o măsură pozitivă definită prin densităţi Integrarea în raport cu măsuri definite prin densităţi slab local integrabile Integrarea în raport cu măsuri definite prin densităţi simplu local integrabile . . Integrarea în raport cu măsuri definite prin densităţi local integrabile

256 258 262 266 271 273

§ 17. Proprietăţile măsurilor definite prin densităţi 1. Proprietăţi algebrice 2. Măsuri cu densităţi local integrabile şi baze pozitive 3. Măsuri cu densităţi operatoriale

276 276 281

§ 18. Măsuri absolut continue 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Măsuri pozitive absolut continue Teorema lui Lebesgue-Nikodym Măsuri echivalente Măsuri vectoriale absolut continue Gazul | gm | = | g | | m | Măsuri singulare Măsuri difuze. Măsuri atomice

8. Operaţii liniare pe spaţiul Jl

284 287 290 293 298 301 304 307

E

CAPITOLUL V. SUME DE MĂSURI. IMAGINI DE MĂSURI § 19. Familii sumabile de măsuri 1. Familii sumabile de măsuri pozitive 2. Integrarea în raport cu suma unei familii de măsuri 3. Familii sumabile de măsuri vectoriale

321 323 327

§ 20. Imagini de măsuri 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Definiţia imaginilor de măsuri Integrala superioară în raport cu imaginea unei măsuri pozitive Integrarea în raport cu imaginea unei măsuri pozitive Integrarea în raport cu imaginea unei măsuri majorate Proprietăţile imaginilor de măsuri Aplicaţie. Măsura Lebesgue ca imagine a măsurilor difuze

330 332 337 340 342 347

§ 21. Măsuri induse 1. Definiţia măsurilor induse 2. Integrala superioară în raport cu o măsură indusă pozitivă 3. Integrarea în raport cu restricţia unei măsuri pozitive

354 356 358

T A B L A DE MATERII

13 Pag.

4. Proprietăţile măsurilor induse pozitive 5. Integrarea în raport cu restricţia unei măsuri majorate 6. Proprietăţile restricţiilor de măsuri majorate

360 363 365

§ 22. Produs de măsuri 1. 2. 3. 4. 5.

Definiţia măsurilor pe un spaţiu produs Integrarea în raport cu produsul a două măsuri Integrarea funcţiilor scalare în raport cu produsul a două măsuri vectoriale Proprietăţile produsului de măsuri Integrarea în raport cu un produs finit de măsuri .

PARTEA

A

366 372 382 385 398

TREIA

CAPITOLUL VI. MĂSURI PE GRUPURI LOCAL COMPACTE § 23. Măsura Haar 1. 2. 3. 4. 5.

Grupuri topologice Grupuri local compacte Măsuri invariante. Măsura Haar Proprietăţile măsurii Haar Funcţia modulară

, . . .

403 405 407 414 419

§ 24. Produsul de convoluţie 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Convoluţia a două măsuri Integrarea în raport cu convoluţia a două măsuri Convoluţia unei măsuri cu o funcţie Convoluţia unei măsuri mărginite cu funcţii mărginite Convoluţia a două funcţii Unitate aproximativă

*

427 432 434 440 445 450

§ 25. Algebra grupală 1

1. Algebra JH.

453

2. Algebra L \ 3. Algebre cu involuţie

455 458 § 26. Reprezentări

1. Reprezentările grupului G 2. Reprezentările algebrei L 3. Reprezentări slab măsurabile 1

< .

462 464 466

14 Pag.

4. Reprezentările regulate 5. Reprezentări de grupuri comutative 6. Grupul reprezentărilor

474 475 480

§ 27. Analiză armonică pe grupuri comutative local compacte 1. 2. 3. 4. 5.

Grupul caracterelor Transformata Fourier Funcţii de tip pozitiv. Teorema lui Bochner Formula de inversiune. Teorema lui Plancherel Teorema lui Pontriaghin

6. Exemple

484 486 489 498 508 510

CAPITOLUL VII. SPAŢII D E CÎMPURI D E VECTORI

§ 28. SpafiUe Jtjf. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Familii fundamentale Cîmpuri de vectori continue Proprietăţile cîmpurilor de vectori continue Cîmpuri de vectori p -integrabile Cîmpuri de vectori măsurabile Spaţiul Jt^ţ

515 516 517 522 523 528

Măsuri definite pe cîmpuri de vectori Integrarea cîmpurilor de vectori Cîmpuri de operaţii slab măsurabile şi slab local integrabile Măsuri definite prin densităţi Măsuri absolut continue

528 530 532 536 540

12. Operaţii liniare pe spaţiul - « - ^

547 § 29. Spaţii Orllez

1. Spaţiile (f^

552

2. Funcţii complementare în sensul lui Young 3. Seminormele || x ||^

559 563

4. Spaţiile J>*£

566

5. Operaţii liniare pe spaţiul

578

Bibliografie

PARTEA ÎNTÎI

Capitolul

I

M Ă S U R I P E S P A Ţ I I L O C A L COMPACTE

| 1. D E F I N I Ţ I A

MĂSURII

1. S p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t î n tot cuprinsul cărţii v o m n o t a cu T u n spaţiu local compact. F i e E u n s p a ţ i u B a n a c h . N o r m a u n u i e l e m e n t x e E v a fi n o t a t ă c u \x\. V o m n o t a p r i n JC (T) s p a ţ i u l v e c t o r i a l a l f u n c ţ i i l o r t : T E continue cu suport compact. Suportul funcţiei f este închiderea mulţimii {*|*eT, 0}. P e n t r u f i e c a r e p a r t e A c T, JC (T, A) e s t e s u b s p a ţ i u l l u i JC (T) f o r m a t d i n f u n c ţ i i l e c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n A. & ( T) s a u & e s t e s p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r continue f : T -> E. î n c a z u l cîrid T e s t e c o m p a c t , . JC (T) = & (T). D a c ă E = R, v o m scrie r e s p e c t i v X(T), X(T, A), &(T) î n l o c d e JC (T), JC (T, A), & (T). J£+(T) s a u 3£+ e s t e m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r pozitive c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t d e f i n i t e p e T. S p a ţ i u l JC( T) e s t e o r d o n a t p r i n r e l a ţ i a / < ; g : E

E

E

E

E

E

E

B

R

/ <[ g î n s e a m n ă f(t) <; g(t) p e n t r u o r i c e Dacă

teX (T), E

atunci

\i\eJ£ (T), +

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e f e J£ ( T) E

unde

R

leT.

prin

|f|

notăm

funcţia

notăm

| | î | | = s u p |f(|)|. A p l i c a ţ i a f - > | | f | | e s t e o n o r m ă p e f i e c a r e s p a ţ i u JC (T, A), şi d e f i n e ş t e p e a c e s t s p a ţ i u topologia convergenţei uniforme p e T. P e s p a ţ i u l JC (T) s e p o a t e c o n s i d e r a şi topologia convergenţei com­ pacte. A c e a s t a e s t e t o p o l o g i a d e s p a ţ i u l o c a l c o n v e x , d e f i n i t ă d e f a m i l i a de seminorme E

E

HtH* = s u p |f(f)| c î n d K p a r c u r g e m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r c o m p a c t e a l e l u i T. O a l t ă t o p o l o g i e c a r e s e p o a t e c o n s i d e r a p e s p a ţ i u l JC { T) e s t e t o p o ­ l o g i a limită inductivă a topologiilor convergenţei uniforme, pe fiecare din E

2 - c. 8688

MASURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

18

CAP. I

subspaţiile JC ( T, K), c î n d K p a r c u r g e m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r c o m p a c t e a l e l u i T. D a c ă G a T e s t e o m u l ţ i m e d e s c h i s ă , şi d a c ă î :G->E este o funcţie c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , , a t u n c i f se p o a t e p r e l u n g i l a o f u n c ţ i e c o n ­ t i n u ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T , c u s u p o r t u l c o m p a c t c o n ţ i n u t î n G, d î n d u - i v a l o a r e a 0 p e c o m p l e m e n t a r a l u i G. î n a c e s t fel se p o a t e i d e n t i f i c a s p a ţ i u l JC (G) c u s u b s p a ţ i u l JC ( T, G) a l l u i 3C (T), şi se p o a t e c o n s i d e r a c ă s p a ţ i u l JC (G) e s t e el î n s u ş i u n s u b s p a ţ i u al lui J£ (T). Amintim următoarele două propoziţii: P r o p o z i ţ i a 1 . Pentru orice mulţime compactă Kd T şi orice mulţime deschisă GZ)K, există o funcţie continuă cp pe T, cu valori în [ 0 , 1 ] , astfel ca y(t) = 1 pentru t(=K şi y(t) = 0 pentru t$G. P r o p o z i ţ i a 2 . Fie K d T o mulţime compactă. Orice aplicaţie con­ tinuă f definită pe K, cu valori într-un spaţiu Banach E, se poate prelungi la o funcţie f definită pe cu valori în E, continuă cu suport compact. Alte proprietăţi ale funcţiilor continue cu suport compact, care vor fi u t i l i z a t e m a i d e p a r t e , s î n t d a t e î n p r o p o z i ţ i i l e u r m ă t o a r e . P r o p o z i ţ i a 3 . Pentru orice mulţime compactă K (Z T , şi pentru orice acoperire finită (G^^^ a lui K, formată din mulţimi deschise, există o familie finită (fj^^n de aplicaţii continue ale lui T în [ 0 , 1 ] , astfel încît E

E

E

E

E

E

n

Yi f^t)

= 1

pentru

t<=K,

i=l n

S fi(t) 1 pentru orice t^T i=l şi pentru fiecare i, suportul lui fi este conţinut în S ă o b s e r v ă m m a i î n t î i c ă e x i s t ă o f a m i l i e f i n i t ă (T^iJi^i^n de^ m u l ­ ţ i m i d e s c h i s e r e l a t i v c o m p a c t e c a r e a c o p e r ă p e K, astfel ca CI 6 ^ p e n t r u i = 1, 2 , . . . , w . î n t r - a d e v ă r , deoarece fiecare p u n c t din T are u n sistem f u n d a m e n t a l de v e c i n ă t ă ţ i c o m p a c t e , p e n t r u fiecare p u n c t x e l există o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă r e l a t i v c o m p a c t ă U a s a a s t f e l c ă U s ă fie c o n ţ i n u t ă î n t o a t e m u l ţ i m i l e d e s c h i s e G c a r e c o n ţ i n p e x. V e c i n ă t ă ţ i l e d e s c h i s e TJ c o n s t i ­ t u i e o a c o p e r i r e a l u i K; se p o a t e e x t r a g e o a c o p e r i r e f i n i t ă (U a l u i K. P e n t r u f i e c a r e i, 1 < i [ 0 , 1 ] e g a l ă c u 1 p e V şi n u l ă p e CO . A v e m , a ş a d a r , x

x

{

X

x

i

i

4

n

n

£

9%(t) > 0 p e n t r u < e V , u n d e V — (J

i

^

V*. E e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i

S 9i(t) i=l l a m u l ţ i m e a c o m p a c t ă V e s t e c o n t i n u ă , d e c i p o a t e fi p r e l u n g i t ă l a o f u n c ţ i e r e a l ă h c o n t i n u ă p e T. A v e m h(t) =

pentru t i= l

9iW

teV.

DEFINIŢIA MĂSURII

Există de asemenea o funcţie continuă şi n u l ă p e C V- P e n t r u f i e c a r e i, 1 < ; i

19

[0, 1 ] , e g a l ă c u 1 p e K n, s ă p u n e m

/*(*) = 9i(t)
i

U*) =

t

g (t) ~ ~

=

t

i.

9i(t)

S

»=1 P e n t r u te F a v e m
tsi(*)-^—

= ^' 1=1

P e n t r u te F a v e m
£

= 0 <

1.

<=i

F u n c ţ i i l e ( / i ) i < i ^ » î n d e p l i n e s c c o n d i ţ i i l e c e r u t e şi p r o p o z i ţ i a e s t e demonstrată. F a m i l i a d e f u n c ţ i i ( / J i ^ ^ n se n u m e ş t e partiţie continuă a unităţii pe K, subordonată acoperirii deschise ( f l ^ J i ^ » a lui K. P r o p o z i ţ i a 4 . ( D i n i ) . Fie H d JC o mulţime filtrantă pentru relaţia^. Dacă s u p g<=J£ , atunci filtrul secţiunilor lui H converge uniform către +

+

g^H

anvelopa

superioară

sup g : o<=H

l i m g = s u p g! g&H

S ă n o t ă m / == s u p g. F i e

g^H

K s u p o r t u l lui / .

Fiecare funcţie g e H

g^H

a r e s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n K, d e o a r e c e 0 <[ g /. F i e z/> 0 ; p e n t r u o r i c e p u n c t seK, e x i s t ă o funcţie g astfel ca 9s( ) > / ( * ) — - D e o a r e c e f u n c ţ i i l e g şi / s î n t c o n t i n u e , e x i s t ă o v e c i ­ n ă t a t e deschisă V a lui s astfel ca 8

s

£

s

8

9 (t) s

>f(t)

-

e

Pentru

teF . 5

UT f i i n d o m u l ţ i m e c o m p a c t ă , e x i s t ă u n n u m ă r f i n i t d e m u l ţ i m i d e s c h i s e F j , . . . , V c a r e a c o p e r ă p e X şi u n n u m ă r f i n i t d e f u n c ţ i i g g din H astfel ca p e n t r u fiecare i să a v e m n

l

>/(*) -

£

Pentru

n

teF,.

D a r H e s t e filtrantă; e x i s t ă d e c i o f u n c ţ i e g e I ? a s t f e l c a gr > & p e n t r u i = 1, 2, w. A t u n c i >/(*) —

£

p e n t r u o r i c e te T,

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL

20

COMPACTE

CAP. I

a d i c ă g > / — e. C u m g < / , r e z u l t ă c ă / e s t e l i m i t a u n i f o r m ă a m u l ţ i m i i f i l t r a n t e H: / = lim g şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . P r o p o z i ţ i a 5 . Fie Kd T o mulţime compactă,

[ 0 , 1 ] o funcţie continuă cu suport compact, egală cu 1 pe K, şi o funcţie î^J£ (T, K). Pentru orice număr s > 0, există o familie finită (9 )i<»<» de aplicaţii ale lui T în [ 0 , 1 ] , continue şi cu suportul conţinut în suportul lui
i

S

t(t) -

a (t)

£

?(^)

i9i

pentru

orice

te

T.

M u l ţ i m e a TT = { t e T\ y(t) > 0 } e s t e d e s c h i s ă , r e l a t i v c o m p a c t ă şi K c U. F i e te U . D e o a r e c e f e s t e c o n t i n u ă , e x i s t ă o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă V a l u i t a s t f e l c a | f(t) — t(t') \ < — p e n t r u o r i c e V e V . t

t

P e n t r u V, t" e V

f

2

a v e m a t u n c i | f ( f ) — f ( f ) | < e. D e o a r e c e U e s t e c o m p a c t ă , e x i s t ă o f a m i l i e f i n i t ă ( T ^ ) ^ ^ » d e m u l ţ i m i d e s c h i s e c a r e a c o p e r ă p e K, a s t f e l c a p e n t r u fiecare i să a v e m

|f(t') — f(t")l < e o r i c a r e a r fi f, %" e V . Fie (AJi^w o partiţie continuă a unităţii p e U, s u b o r d o n a t ă (^i)i<*
M*)

=

1

pentru i=l S ă p u n e m
T

în [0, 1 ] , c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n

te

U.

sînt aplicaţii continue Şi X

t/fl^i

î n fiecare m u l ţ i m e F să a l e g e m u n p u n c t t D a c ă te F a v e m i

acoperirii

i9

9» =

ale

?•

şi s ă n o t ă m a = f ( ţ j <= 2?. i

t

-

«W>.(')l =

*(')

-

*(**) I

<

Inegalitatea

e s t e a d e v ă r a t ă şi d a c ă te V , i

d e o a r e c e î n a c e s t c a z cp^tf) = 0 . Ţ i n î n d s e a m a

n

d e f a p t u l c ă f = f 5j ? o t{t) -

pentru

deducem

Sa^t)

o r i c e te T . P r o p o z i ţ i a

»=1

este

demonstrată.

?.(') !(*) -

<

DEFINIŢIA

81 C o r o l a r . Pentru

orice

mulţime

spaţiul

76 (T,

21

MĂSURII

compactă

Kcz

T si orice

vecinătate n

compactă

U a lui K,

E

5j a*

TJ), al combinaţiilor

liniare

i?

cu a^E şi cp e 3£ (T, V), este dens în spaţiul JC (T, gia convergenţei uniforme. D e f i n i ţ i a 1 . Spunem că un subspaţiu 76 al spaţiului JC (T) este bogat, dacă pentru orice mulţime compactă K CZ T există o vecinătate relativ compactă U a lui K, astfel încît orice funcţie f din JC ( T, K) se poate aproxima uniform prin funcţii din 16, cu suportul conţinut în U. D a c ă T e s t e c o m p a c t , a s p u n e c ă 16 e s t e b o g a t , î n s e a m n ă c ă e s t e d e n s î n @ (T). D a c ă T n u e s t e c o m p a c t , o r i c e s p a ţ i u b o g a t e s t e d e n s î n JC {T), d a r a f i r m a ţ i a r e c i p r o c ă n u e s t e a d e v ă r a t ă . C u a c e a s t ă d e f i n i ţ i e c o r o l a r u l 1 se p o a t e e n u n ţ a a s t f e l : n Spaţiul 76 (T) al combinaţiilor liniare Yt %¥i cu a^E şi cp^e *=i este bogat. P r o p o z i ţ i a 6 . Spaţiul JC (T) este dens în spaţiul & (T) pentru topologia convergenţei compacte. î n t r - a d e v ă r , fie î^& (T). P e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT e x i s t ă o f u n c ţ i e c p e j ^ l ) , a s t f e l c a
+

E

E

E

E

E

a

E

E

E

E

7

E

E

E

E

2. Definiţia

măsurii

F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h ( a m b e l e r e a l e s a u c o m p l e x e ) . î n p a r t i c u l a r , u n u l s a u a m b e l e s p a ţ i i E şi F p o t fi B s a u C, i a r C p o a t e fi c o n s i d e r a t s p a ţ i u B a n a c h r e a l s a u c o m p l e x . D e f i n i ţ i a 2 . Se numeşte măsură vectorială pe T în raport cu spa­ ţiile E şi F, sau (E, F)-măsura pe T, orice aplicaţie liniară m : JC { T)->F care are proprietatea că oricare ar fi mulţimea compactă K (Z T, restricţia lui m la subspaţiul JC {T, K) este continuă pentru topologia convergenţei uniforme. E

E

V a l o a r e a m(f) a m ă s u r i i m p e n t r u o f u n c ţ i e f &Jt (T) E

se n u m e ş t e

integrala lui f în raport cu m şi se n o t e a z ă , î n c ă , ţ f d m s a u ţf(tf)dm(tf). A s p u n e c ă o p e r a ţ i a m : JC ( T) ->F e s t e o m ă s u r ă p e T, î n s e a m n ă că m verifică u r m ă t o a r e l e c o n d i ţ i i : E

1) m(f + g) = m(f) + m ( g ) pentru 2 ) m ( a f ) = a m ( f ) pentru t^JC (T) 3) pentru fiecare mulţime compactă astfel încît să avem E

| m(f) |

a

K

|| f || pentru

f,

j e ^ T ) ; şi a s c a l a r : K (Z T există un număr

orice funcţie

f e JC { T, K ) . E

a

K

> 0

22

MASURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

CAP.

I

C î n d n u v a fi p e r i c o l d e c o n f u z i e a s u p r a s p a ţ i i l o r E şi F, î n l o c (E, I ^ ) - m ă s u r ă v o m s p u n e , m a i s i m p l u , m ă s u r ă . S e v e r i f i c ă i m e d i a t c ă m u l ţ i m e a (E, I ^ ) - m ă s u r i l o r p e T e s t e u n spaţiu vectorial ( r e a l s a u c o m p l e x d u p ă c u m E şi F s î n t c o n s i d e r a t e s p a ţ i i v e c t o r i a l e r e a l e s a u c o m p l e x e ) , p e n t r u o p e r a ţ i i l e o b i ş n u i t e m + n şi a m . D a c ă T e s t e compact, a s p u n e c ă m e s t e o m ă s u r ă , î n s e a m n ă c ă a p l i c a ţ i a l i n i a r ă m : & ( T) ->F este continuă p e n t r u topologia conver­ g e n ţ e i u n i f o r m e . S p a ţ i u l (E), I ^ ) - m ă s u r i l o r p e T c o i n c i d e î n a c e s t c a z c u s p a ţ i u l J>(@EI a l a p l i c a ţ i i l o r l i n i a r e şi c o n t i n u e a l e l u i @ î n F. î n p a r t i c u l a r , d a c ă F= G ( s a u F = R), s p a ţ i u l (E, C)- m ă s u r i l o r p e T ( r e s p e c t i v s p a ţ i u l (E, i 2 ) - m ă s u r i l o r p e T) e s t e d u a l u l s p a ţ i u l u i @ (T). Dacă T n u este compact, o m ă s u r ă m n u este continuă, în general, p e î n t r e g s p a ţ i u l JC (T), p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i f o r m e . Observaţie. D a c ă se c o n s i d e r ă p e s p a ţ i u l OC (T) t o p o l o g i a limită inductivă a topologiilor convergenţei uniforme, p e fiecare s u b s p a ţ i u JC (T, K), c î n d K p a r c u r g e m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r c o m p a c t e a l e l u i T, a t u n c i , a s p u n e c ă m e s t e o (E, . F J - m ă s u r ă , î n s e a m n ă c ă a p l i c a ţ i a l i n i a r ă m : JC ( T)->F este continuă p e n t r u această topologie. P e n t r u f i e c a r e (E, I ^ - m ă s u r ă m p e T n o t ă m

de

E

E

E

E

E

E

E

||m|| = sup |m(f)|,

t*X (T). M

Următoarele proprietăţi sînt imediate : 1) 0 < ! || m || < ! + o o ; || m || = 0 dacă şi numai dacă m = 0 ; 2 ) || a m || = | a | | | m | | , a scalar*)] 3) | | m + n | | < | | m | | + - | | n | | . D a c ă T e s t e compact, a s p u n e c ă m e s t e o m ă s u r ă , î n s e a m n ă c ă || m || < + o o . A p l i c a ţ i a m - > | | m | | e s t e î n a c e s t c a z o n o r m ă p e s p a ţ i u l (E, ^ - m ă s u r i l o r p e T . Exemple. 1) P e n t r u o r i c e p u n c t te T , a p l i c a ţ i a f—>f(t) a l u i JC(T) î n R e s t e o m ă s u r ă p e T. A c e a s t ă m ă s u r ă se n o t e a z ă e şi se n u m e ş t e m ă s u r a d e f i n i t ă p r i n masa unitate plasată în punctul t. A v e m d e c i z (f) = f(t) p e n t r u / G I ( T ) . D a c ă E e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h , a p l i c a ţ i a f - > f(t) a l u i JC ( T) î n E e s t e d e a s e m e n e a o m ă s u r ă c a r e se n o t e a z ă t o t z . 2 ) F i e Na T o m u l ţ i m e c u p r o p r i e t a t e a c ă Np\K este o mulţime finită, o r i c a r e a r fi m u l ţ i m e a c o m p a c t ă K a T şi fie a : T-+R o funcţie a s t f e l î n c î t N = { t e T\ a.(t) ^ 0 } . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e JC(T) s ă n o t ă m 4

t

E

t

{*(/) = S «(*)/(*). S u m a d i n m e m b r u l d r e p t e s t e d e f i n i t ă , d e o a r e c e n u m ă r u l t e r m e n i l o r dife­ r i ţ i d e 0 e s t e f i n i t . S e v e r i f i c ă u ş o r c ă a p l i c a ţ i a / -> (JL(/) e s t e l i n i a r ă . P e n t r u fiecare m u l ţ i m e c o m p a c t ă Z c T să n o t ă m <*K =

S

*{t).

*) Se adoptă convenţia 0. oo = 0. Conform acestei convenţii, proprietatea 2) este adevă­ rată şi dacă a = 0 şi || m || = + oo.

DEFINIŢIA MĂSURII

Avem

23

atunci

\vif)\ <

II/II, P e n t r u

fe*{T,

K)

d e c i \L e s t e o m ă s u r ă p e T. S p u n e m c ă jx e s t e o m ă s u r ă discretă, definită prin masele <x(t) plasate în punctele t*= T. D a c ă T e s t e u n s p a ţ i u d i s c r e t , o r i c e m ă s u r ă ţx: JC( T) -> B e s t e discretă. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u fiecare I G Î să n o t ă m cu e funcţia definită p e T p r i n e (t) = 1 şi e (s) = 0 d a c ă s =f= t. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f^JC(T) avem atunci 1

t

t

t

Dacă

\L:J£(T)->R [*(/) =

este o măsură,

S

=

S

«(')/(*)

fnotînd

a(/) = \i(e ) t

avem

Pentru

d e c i [x e s t e o m ă s u r ă d i s c r e t ă . 3) M a i g e n e r a l , fie a : T -> B o f u n c ţ i e a s t f e l î n c î t , p e n t r u o r i c e p a r t e c o m p a c t ă KaT, s ă a v e m a = £ | <x(tf)| < - f - o o . E e z u l t ă c ă m u l ţ i K

m e a {/<= K | <x(/) ^ 0 } e s t e cel m u l t f u n c ţ i e feJC(T) notăm

numărabilă.

Dacă pentru

fiecare

«GET

a t u n c i ţx e s t e o m ă s u r ă p e T. 4) F i e (x : JC(T) - > JS o m ă s u r ă şi g : T -> B o f u n c ţ i e c o n t i n u ă . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e X(T), f u n c ţ i a fg e s t e c o n t i n u ă şi c u s u p o r t c o m p a c t . A p l i c a ţ i a / - > [i(fg) a l u i JC( T) î n B e s t e o m ă s u r ă . î n t r - a d e v ă r , e a e s t e l i n i a r ă ; d a c ă p e n t r u fiecare m u l ţ i m e c o m p a c t ă Z c î , a verifică ine­ galitatea 7

K

I VU)\ < atunci, notînd b

K

I

= a

K

Vifg) I <

11/11 p e n t r u

K),

\\ g \\, a v e m *K

11/11II9II =

b ll/H p e n t r u /<= JC(T, K) K

d e c i a p l i c a ţ i a / - > ţx(/gr) e s t e o m ă s u r ă . A c e a s t ă m ă s u r ă se n o t e a z ă ş i se n u m e ş t e p r o d u s u l m ă s u r i i (x c u f u n c ţ i a g. A v e m d e c i

(/) = Vtfg) P e n t r u

gy.

feX(T).

M a i d e p a r t e se v a s t u d i a p r o d u s u l u n e i m ă s u r i p r i n f u n c ţ i i c a r e n u s î n t neapărat continue. P r o p o z i ţ i a 7 . Fie H, E, F, G patru spaţii Banach. Dacă u: H->E si v :F -> G sînt aplicaţii liniare continue iar m : J£ ( T) -> F este o măsură, atunci aplicaţia n : X ( T) ->G definită prin egalitatea E

H

n(f) = vom(uoî) este o măsură

şi | | n | | < ; | v \ | | m | |

pentru \u\.

i<=X (T) H

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

24

CAP. I

L i n i a r i t a t e a a p l i c a ţ i e i n r e z u l t ă d i n l i n i a r i t a t e a a p l i c a ţ i i l o r u, m şi v. F i e K(ZT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi fie a > 0 astfel ca K

|m(9)| < * * l l 9 l l P e n t r u orice P e n t r u orice funcţie f e j £ ( T , f l

H«of||=

%
IT), a v e m uoîeJC (T,

K),

E

sup | * ( f ( t ) ) | < | « |

s u p |f(t)| =

şi

|«|||f||

deci |t>om(t*of)|<|t>| |m(uof) | < M * * N o f | | < M adică, notînd b

K

= |v\

K

\u\a

K9

|n(f) | < b \\t||

pentru f e ^ T , X).

K

Aceasta înseamnă că n |n(f)| -

\u\a \\î\\

este o măsură. A v e m apoi

|t>om(uof)|<M

|m(*ol)|<|t>|

||m|| | | « o f | | < \ v \

||m|| |u\||f||

d e u n d e | | n | | < | v \ \\m\\ \u\. Cu aceasta propoziţia este demonstrată. Corolarul 1 . Fie H, E, F trei spaţii Banach. Dacă u : H -> E este o aplicaţie liniară continuă iar m : JC ( T) F este o măsură, atunci aplicaţia n : JC ( T) - > F definită prin egalitatea E

H

n(f) =m(uot)

pentru 0

ieJC (T) H

0

este o măsură şi | | n || < ! \u \ || m || < ; + • î n t r - a d e v ă r , î n p r o p o z i ţ i a 7 s e i a O = F şi v(y) = y p e n t r u y e J P . Corolarul 2 . Dacă m: T) ^ F este o măsură iar E este un subspaţiu Banach al lui E, atunci restricţia : JC ( T) ->F a lui m la subspaţiul JCE (T) este o măsură şi Hm^H < | | m | | - < + o o . S e i a î n c o r o l a r u l p r e c e d e n t H = E şi u ' a p l i c a ţ i a c a n o n i c ă a l u i E î n E, u(x) = x p e n t r u x^E , şi s e o b s e r v ă c ă x

El

X

±

x

î

m ^ f ) = m(uoî) şi \u\ = 1 . Corolarul 3 . Dacă orice xeE, aplicaţia m

m : JC ( T) ->F este o măsură, atunci, : JC( T) - > F definită prin egalitatea

m (y)

= m(cp#) p e n t r u

x

şi | | m j ! < ; | | m | | | # | .

m+ x

v

7

fel^ţî )

E

x

este o măsură

pentru

= ni, + m

y

şi

pentru

cpe^(T)

Avem = om^, x,yeE,

a

scalar.

î n t r - a d e v ă r , a p l i c a ţ i a U(OL) = OLX a l u i R î n E e s t e l i n i a r ă şi c o n ­ t i n u ă , \u\ = |a?|, i a r m (
m se v e r i f i c ă f ă r ă

x + y

= m, + m

dificultate.

v

şi

= am,

DEFINIŢIA MĂSURII

25

Corolarul 4 . Fie E, F, G trei spaţii Banach. Dacă v :F -+G o aplicaţie liniară continuă iar m : JC { T) -+F este o măsură, atunci caţia n : JC ( T) -+G definită prin egalitatea

este apli­

E

E

n(l) = v o m(f) pentru

t e 3C ( T) E

este o măsură şi | | n | | < \ v\ ] | m | | . î n t r - a d e v ă r , î n p r o p o z i ţ i a 7 s e i a H = E şi u(x) = x p e n t r u Corolarul 5 . Dacă m : JC { T) F este o măsură, atunci pentru z'eF', aplicaţia z'om : JC {T) -> C definită prin egalitatea

xeH. orice

E

E

(s'om)(f) = este o măsură.

Avem

< m ( I ) , *' >

| | o m|| <

\z'\

pentru

t<=X (T)

| | m | | şi | | m | | =

sup

E

S e i a , î n c o r o l a r u l 4 , G = G şi v = z'. A v e m IImII =

sup

|m(f)| =

IlfJKi

=

sup

sup

sup

sup

l|f l K i

li'Ki

|(^'om)(f)|=

sup

E

x

,

este o măsură. Avem într-adevăr, (z'om) (
< 111(90?), z' >

| | 3 ' o m , | | < \z'\

= (z'om)(<ţ>x)

= <m(
apoi

| < m ( f ) , z' >

Corolarul 6 . Dacă m : JC { T) ->F este orice xeE şi orice z'eF', aplicaţia z'om : egalitatea (2 omJ(
||s'om||.

| | o m ||.

o măsură, atunci Jt(T) -> C definită

pentru

| | m | | \x\

| =

pentru prin

9E1(T)

şi z'om

x

=

(z'om) .

> = <m.(

x

=(z'om )(y) x

d e u n d e (z' o m) = z' o m , . E e s t u l a f i r m a ţ i i l o r r e z u l t ă d i n p r o p o r ţ i a 7 s a u d i n c o r o l a r e l e 3 şi 5 . V o m s p u n e c ă o a p l i c a ţ i e x -> x a u n u i s p a ţ i u v e c t o r i a l X î n X e s t e o involuţie, dacă îndeplineşte următoarele condiţii: x

1) « H - y = x +

y;

2) aa? = ă # , a s c a l a r ( ă c o n j u g a t u l c o m p l e x a l l u i a ) ; 3) x = Dacă X

x. este o a l g e b r ă se i m p u n e î n p l u s

condiţia:

4) xy =y x. D a c ă X este u n spaţiu normat, v o m presupune, fără altă caţie, că involuţia este izometricăr:

specifi­

6)|5|=|*|. D a c ă X e s t e s p a ţ i u l n u m e r e l o r c o m p l e x e , a p l i c a ţ i a a -> a, u n d e a e s t e c o n j u g a t u l c o m p l e x a l l u i a, e s t e o i n v o l u ţ i e d e a l g e b r ă B a n a c h . D a c ă X e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l r e a l , p r o p r i e t a t e a 2) s e s c r i e ax = oix, deci, în acest caz, involuţia este o aplicaţie liniară.

MASURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

26

CAP. I

F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h c u i n v o l u ţ i e . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f: T - > E v o m n o t a c u i : T - > E f u n c ţ i a d e f i n i t ă p r i n e g a l i t a t e a ! ( * ) = f(^y. p e n t r u

te

T.

A p l i c a ţ i a f - > f e s t e o i n v o l u ţ i e p e s p a ţ i u l a p l i c a ţ i i l o r l u i T î n E. A v e m |f| = | f | _ ş i ||f|| = ||f||. D a c ă f e s t e c o n t i n u ă , a t u n c i F e s t e c o n t i n u ă i a r f şi f a u a c e l a ş i s u p o r t . L e m ă . Pentru fiecare aplicaţie liniară şi continuă U: E - > F, aplicaţia U : E ->F definită prin egalitatea jjx =

Ux, pentru

x^E,

este liniară şi continuă şi \U\ = \U\. Aplicaţia U -> U este pe spaţiul ME, F). Se verifică i m e d i a t că U este liniară. A v e m apoi \Ux\ deci | U | <

= \W\

=

|J7|,_deci U<E£(E,

\Ux\<

|£7| \x\ =

F).

o

involuţie

\U\ \ x\,

_

D e o a r e c e U = U, d e d u c e m a p o i |I7j = J Z 7 | < | U | , d e c i | U | = |Î7|. Celelalte p r o p r i e t ă ţ i ale involuţiei U U se verifică fără dificultate. Observaţie. E g a l i t a t e a Ux = Ux e s t e e c h i v a l e n t ă c u e g a l i t a t e a TJx =

Ux.

Propoziţia 8. Fie E şi F două spaţii Banach cu involuţie. m : JC (T) ->F este o măsură, atunci aplicaţia m : JC (T) ->F prin egalitatea E

E

m ( f ) = m ( / ) , pentru

Dacă definită

fe^(T),

este o 'măsură şi | | m | | = | | m | | < ! + 0 0 . Aplicaţia m - > m este o involuţie pe spaţiul măsurilor m : JC ( T) - > F. S e v e r i f i c ă u ş o r c ă m e s t e l i n i a r ă . F i e KdT o mulţime compactă şi a > 0 a s t f e l î n c î t E

&

|m(f)| < a j | f | | , pentru P e n t r u orice funcţie |m(f)| =

î^JC (T, E

K)

avem

= |m(î) | <

teJC (T,K). E

atunci II*|| =

a^llfH,

deci m este o m ă s u r ă . _ P r o p r i e t ă ţ i l e d e i n v o l u ţ i e a l e a p l i c a ţ i e i m - > m se v e r i f i c ă f ă r ă difi­ c u l t a t e , şi d e a s e m e n e a e g a l i t a t e a H m || = | | m | | . Observaţii. P e n t r u o r i c e m ă s u r ă m : JC ( T) ->F şi o r i c e f u n c ţ i e î^X {T) avem E

E

m(f) = m ( T ) .

DEFINIŢIA MĂSURII

27

3. D o u ă m e t o d e de a d e f i n i o m ă s u r ă Propoziţia 9 . Fie ( ( ? ) e j o familie de mulţimi deschise care acoperă pe T şi pentru fiecare a e A fie m : JC (GJ ->F o măsură vectorială pe 6r . Dacă pentru fiecare pereche ( a , P) de indici, restricţiile măsurilor m şi m la subspaţiul JC (6r fi G$) sînt egale, există o măsură m : JC (T) - > _F şi numai una, a cărei restricţie la spaţiul JC (G ) este egală cu m , o r i c a r e ar fi OL^A. a) F i e f e JC (T) o f u n c ţ i e o a r e c a r e şi K s u p o r t u l s ă u . E x i s t ă o f a m i ­ l i e f i n i t ă (6r . ) ^ ^ c a r e a c o p e r ă p e K. F i e ( 9 ^ ^ ^ o p a r t i ţ i e c o n t i n u ă a u n i t ă ţ i i p e K, s u b o r d o n a t ă a c o p e r i r i i (G . )i^a^ : f i e c a r e f u n c ţ i e 9 a r e n v a l o r i î n [ 0 , 1 ] , a r e s u p o r t u l c o m p a c t c o n ţ i n u t î n G ., i a r Yi
a

a

E

a

a

E

a

3

E

E

a

a

E

a

1

i

n

a

n

t

a

*

p e n t r u t e K.

i= l

Atunci i=l

iar

f 9iG2 (6 .). £

A

Să

punem

m(f) =

£m .(f a

9*)0

S ă a r ă t ă m c ă m (f) n u d e p i n d e d e c î t d e f. î n t r - a d e v ă r , fie ( G ^ I C J C ™ altă a c o p e r i r e f i n i t ă d e s c h i s ă a l u i JST şi fie (<J>,)I< ^ o p a r t i ţ i e c o n t i n u ă a u n i t ă ţ i i p e K, s u b o r d o n a t ă a c o p e r i r i i (flk-)I<*<»î f i e c a r e f u n c ţ i e are m ?

W

v a l o r i î n [ 0 , 1 ] , a r e s u p o r t u l c o m p a c t c o n ţ i n u t î n # 3 . şi £ ^ ( t ) 7=1 teK. Atunci m J

•şi

fWej^flty. P e n t r u fiecare * a v e m m

j=l deci m

m ( f 94) = a i

de

£ m « . ( f Vi**) i=i

unde n

n

*=1 D e asemenea, p e n t r u fiecare j

m

»=1/=1 avem

*=1

= 1 pentru

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

28

CAP.

I

deci

de unde m

m

n 1

E " * , < * <M = E E ^ M

D a r p e n t r u f i e c a r e p e r e c h e d e i n d i c i ( i , j), f u n c ţ i a f 9* ^ a p a r ţ i n e s p a ­ ţiului ^ ( G a ^ n ^ e , ) ? iar restricţiile măsurilor m şi mp . l a a c e s t s p a ţ i u coincid : a i

9

Eezultă £

m « . ( f 9.) =

^m^fî

Aşadar, egalitatea m(f) = f;ma (f

9,)

i

defineşte p e m(f) fără a m b i g u i t a t e . A m d e f i n i t a s t f e l o a p l i c a ţ i e m : JC {T) ->F. b) E e s t r i c ţ i a l u i m l a 3£ {G*) c o i n c i d e c u m . î n t r - a d e v ă r , d a c ă f e 3£g{Q )j s u p o r t u l l u i K e s t e a c o p e r i t d e f a m i l i a f o r m a t ă n u m a i d i n G ; d a c ă 9 : T - > [0,1] a r e s u p o r t u l c o m p a c t c o n ţ i n u t î n G şi 9 (t) = 1 p e n t r u J e l T , a v e m f = f 9 şi E

E

a

a

a

a

m ( f ) = m ( I 9) a

=m (f). a

c) A p l i c a ţ i a m e s t e l i n i a r ă . F i e f, g e ^ f T ) . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K c e c o n ţ i n e s u p o r t u l a m b e l o r f u n c ţ i i . D a c ă (Oa^iKiKn este o a c o p e r i r e f i n i t ă a l u i K şi ( 9 ) i < < „ e s t e o p a r t i ţ i e c o r e s p u n z ă t o a r e a u n i ­ t ă ţ i i p e K, a v e m i

i

m(f) = S m

a <

( f 9J,

i

m ( g ) = Z m . (g^), i a

Dar f + g = S ( « + g)

9if

i

deci m ( f + g) = S m«. [(f + g) 9.] = 1 m . (f 9. + 99.) a

i

*

i

= 2 ma. (f 9.) + E m« (g 9) = m (f) + m (g). i i

=

DEFINIŢIA MĂSURII

29

O m o g e n i t a t e a m(cî) = cm(î), (c s c a l a r ) , se d e m o n s t r e a z ă î n m o d asemănător. d) S ă a r ă t ă m c ă m e s t e o m ă s u r ă . F i e Ka T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă , (QoL.)^^ o a c o p e r i r e f i n i t ă a l u i K şi (9i)iCi^n<> p a r t i ţ i e c o n t i n u ă a u n i ­ t ă ţ i i p e K s u b o r d o n a t ă a c e s t e i a c o p e r i r i . P e n t r u f i e c a r e i, fie K supor­ t u l funcţiei 9 . D e o a r e c e m . este o m ă s u r ă , e x i s t ă u n n u m ă r a > o astfel ca t

4

a

{

|nK(g)K«illSll

pentru g e ^ ( T , Z ) . i

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f e JC (T,

K) a v e m d e c i

E

I m ( f
şi d e c i Im(f)|<||;

aJ||f||. 4

B e z u l t ă c ă r e s t r i c ţ i a l u i m l a s p a ţ i u l J£ (T, K) e s t e c o n t i n u ă , a d i c ă m este o măsură. e) E ă m î n e d e d e m o n s t r a t u n i c i t a t e a l u i m . F i e m ' : J£ (T)-+F o m ă s u r ă astfel încît p e n t r u fiecare a e i , restricţia sa la spaţiul JC (G ) s ă fie e g a l ă c u m . S ă a r ă t ă m c ă m ' = m . F i e f e JC ( T ) , fie K s u p o r t u l l u i f, (Ga.)^^ o a c o p e r i r e f i n i t ă a l u i K şi ( 9 ) i ^ < o p a r t i ţ i e c o n t i n u ă a u n i t ă ţ i i p e K, s u b o r d o n a t ă a c e s t e i a c o p e r i r i . A v e m E

E

E

a

a

E

i

i

n

r !

şi t < p e ^ ( G a ) p e n t r u f i e c a r e i. A t u n c i i

B

i

m ' (f) = £

m ' (f

m ^ f
m(f)

deci m' = m. Cu aceasta, propoziţia este demonstrată. Coroiat. ( P r i n c i p i u l l o c a l i z ă r i i ) . Fie (G ) ^ o familie de mulţimi deschise, m, n : JC (T) -> F două măsuri pe T. Dacă pentru fiecare ael, restricţiile măsurilor m şi n la spaţiul JC (G ) sînt egale, atunci restric­ ţiile lui m şi n la spaţiul j £ j s ( L J # ) sînt de asemenea egale. Dacă, în plus, a a

A

E

E

a

a

v

familia

(GJ^j acoperă pe T, atunci m şi n sînt egale. P r o p o z i ţ i a 10. Fie 76 un subspaţiu bogat al spaţiului JC (T). O aplicaţie liniară n : 16 ->F se poate prelungi la o măsură m : JC (T) -+F, dacă şi numai dacă pentru orice parte compactă KczT, restricţia lui n la subspaţiul funcţiilor din 10 care au suportul în K, este continuă pentru topologia convergenţei uniforme. Prelungirea este atunci unică. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă m : JC (T) -+F e s t e o m ă s u r ă , a c ă r e i r e s t r i c ţ i e l a s p a ţ i u l 16 e s t e e g a l ă c u n . P e n t r u f i e c a r e p a r t e c o m p a c t ă KaT există u n n u m ă r a astfel ca E

E

E

E

E

E

E

K

I m ( f ) K a ^ | | f | | p e n t r u î<EX (T, e

K).

MĂSURI

30

PE SPAŢII LOCAL

COMPACTE

CAP. I

î n particular, relaţia p r e c e d e n t ă este a d e v ă r a t ă p e n t r u funcţiile d i n 2 ^ cu s u p o r t u l î n K. A c e a s t a î n s e a m n ă c ă r e s t r i c ţ i a n a l u i m l a 76 e s t e c o n t i n u ă p e s u b s p a ţ i u l 70 (\3CB(T K ) , p e n t r u topologia convergenţei uniforme. E e c i p r o c , fie n : 76 - > F o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă c u p r o p r i e t a t e a d i n e n u n ţ . F i e Z c T o p a r t e c o m p a c t ă şi fie TJ o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K a s t f e l c a s p a ţ i u l 76 (U) = 76 f] Jt {T, V) s ă fie d e n s î n X {T, K) p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i f o r m e . C u m n e s t e c o n t i n u ă p e 7f) (TJ) p e n t r u a c e a s t ă t o p o l o g i e , se p o a t e p r e l u n g i î n m o d u n i c l a o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă T\ :76 {TJ)->F. D e o a r e c e J£ (T, K)a76 (TJ), săno­ tăm cu m r e s t r i c ţ i a l u i n l a JC (T, K). Aplicaţia m : JC ( T , K) n u d e p i n d e d e TJ, ci n u m a i d e K. D a c ă TJ' şi TJ" s î n t d o u ă v e c i n ă t ă ţ i c o m p a c t e a l e l u i K a s t f e l c a 76 ( V) şi 76 { TJ") s ă fie d e n s e î n JC {T, K), a t u n c i TJ = U'\J TJ" e s t e o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K şi 76 (TJ) e s t e d e a s e m e n e a d e n s î n JC (T, K). D e o a r e c e 76 ( W ) d CZ76 (tJ) şi 76 (TJ")cz76 (TJ), rezultă că n este restricţia lui la 76 (W) şin?7" s t e r e s t r i c ţ i a l u i n ^ la>76 (TJ"). E e z u l t ă a t u n c i c ă > = = m şi ni*, ŢJ" = m de unde m > = m şi d e c i m este inde­ p e n d e n t ă d e TJ. Să n o t ă m cu a p l i c a ţ i a l i n i a r ă a l u i JC (T, K) î n jP, d e f i n i t ă mai sus. P e n t r u d o u ă m u l ţ i m i c o m p a c t e K' şi K" a s t f e l î n c î t K'czK", r e s t r i c ­ ţ i a l u i m » l a s u b s p a ţ i u l JC {T, K') c o i n c i d e c u m ^ - , d e o a r e c e d a c ă TJ e s t e o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K" a s t f e l î n c î t JC (T, K")(z.76 {TJ), a t u n c i X (T, K')d76 (TJ) şi d e c i r e s t r i c ţ i a l u i m '> l a s p a ţ i u l JC (T,K') coincide cu restricţia m a l u i n l a JC (T, K'). P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f e JC ( T ) s ă n o t ă m E

B

9

E

E

E

E

S

E

v

Kt

E

E

v

0

K

u

E

F

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

v

e

E

E

Kt

v

K

v

K

v

v

Kt

K

v

E

R

E

E

E

E

K

K%

v

D

t

E

v

E

E

E

m(f) =

m (f), £

u n d e K este o m u l ţ i m e c o m p a c t ă o a r e c a r e î n afara căreia f se a n u l e a z ă . D i n cele d e m a i s u s r e z u l t ă c ă m (f) n u d e p i n d e d e K. D e o a r e c e m - e s t e l i n i a r ă p e JC {T, K), d e d u c e m c ă m ( a f ) = a m ( f ) p e n t r u o r i c e s c a l a r a . D a c ă f, g e JC (T), e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K î n a f a r a c ă r e i a se a n u ­ l e a z ă a m b e l e f u n c ţ i i . D e o a r e c e m e s t e l i n i a r ă p e JC (T, K), d e d u c e m c ă m ( f + g) = m ( f ) + m ( g ) . A ş a d a r , a p l i c a ţ i a m : JC (T) ~> K, d e f i n i t ă mai sus, este liniară. D e o a r e c e p e n t r u o r i c e p a r t e c o m p a c t ă KciT, restricţia lui m l a JC (T, K) c o i n c i d e c u m , i a r e s t e c o n t i n u ă p e JC (T, K) p e n t r u topologia convergenţei uniforme, rezultă că m este o m ă s u r ă . E e s t r i c ţ i a l u i m l a s p a ţ i u l 76 c o i n c i d e c u n : d a c ă f e 76 C\JC { T, K), a t u n c i m ( f ) = m (î) i a r m ( f ) = n ( f ) , d e c i m ( f ) = n ( f ) . D a c ă m ' e s t e o a l t ă m ă s u r ă a c ă r e i r e s t r i c ţ i e l a 76 e s t e e g a l ă c u n , r e z u l t ă c ă m şi m ' c o i n c i d p e f i e c a r e s p a ţ i u 76 ( TJ) şi d e c i m = m ' . C u a c e a s sta propoziţia este complet demonstrată. A

E

E

E

E

E

K

E

E

K

E

E

j S :

E

E

Corolar. Fie m , m : JC (T) ->F două măsuri. 1

2

E

Dacă

m (9a?) = m ( 9 # ) 1

pentru

orice funcţie

2

9 e JC (T) şi orice xeE, +

atunci

m = m . î

2

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

într-adevăr,

31

avem ? ^J = m ^£ 4

9 ^

a

p e n t r u orice funcţie £ 9 ^ c u xe E şi 9 e j £ ( T ) . C u m s p a ţ i u l 35 a l acestor funcţii este b o g a t (corolarul propoziţiei 5 ) rezultă că m (f)=m (f) p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f e Jt (T), deci m = m . î n p a r t i c u l a r : dacă m m : j £ ( T) - > J smtf
i

+

E

1

E

1

2

2

7

1 ?

2

m (q>) = m ( < p ) pentru 1


2

+

atunci m

§2.

PROPRIETĂŢILE

1. Integrarea

funcţiilor

x

= m . 2

MĂSURILOR

scalare

î n raport

cu o măsură

vectorială

F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h , a m b e l e fiind c o n s i d e r a t e reale s a u complexe. P r o p o z i ţ i a 1 . Fiecărei măsuri m : JCg(T) ->JF îi corespunde o măsură (x.: JC (T) - > J2 (J57, .F) ş i wwa singură care verifică egalitatea ţx(
orice

9 6 JC(T) şi

xeE.

Aplicaţia m ->ţx este biunivocă, liniară şi ||{x|| 0> a s t f e l î n c î t s ă a v e m I m ( f ) | < a ||f|| K

p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e t&J£ (T,

K).

E

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 G 1 ( T ) şi o r i c e xeE 10,(9)

a v e m yxe

T (T). £

Să punem

=m{yx).

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e 9 G 2 ( T ) f i x a t ă , a p l i c a ţ i a 11.(9) : E->F prin egalitatea [L(
definită

a

e s t e l i n i a r ă , c u m s e v e r i f i c ă u ş o r . A p l i c a ţ i a l i n i a r ă (1.(9) e s t e şi c o n t i n u ă d e o a r e c e , n o t î n d c u K s u p o r t u l l u i 9, a v e m Iţi (9) x\ =

| m (9 # ) ! < < % II 9 #11 =

<*>k II 9II |a?|

p e n t r u o r i c e xgE. A ş a d a r (x (9) e £ (E, F). A p l i c a ţ i a jx : JC (T) -> £ (E, F) e s t e l i n i a r ă ş i p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT avem | |x (q>) | =

s u p l n ( 9 ) # | < a | | 91| o r i c a r e x

a r fi

<ş<eJC{T,K).

A ş a d a r (x e s t e o m ă s u r ă , şi d i n m o d u l î n c a r e a f o s t d e f i n i t ă r e z u l t ă c ă a v e m (JL (9) x = m ( 9 x) p e n t r u yeJC(T) şi xeE.

32

MĂSURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

CAP.

I

b) C o r e s p o n d e n ţ a m - > ţ x a s t f e l s t a b i l i t ă e s t e b i u n i v o c ă . î n t r - a d e ­ v ă r , d a c ă p e n t r u d o u ă m ă s u r i m , m ' : X (T) - > -F, c o r e s p u n d e a c e e a ş i m ă s u r ă ţx : X(T) -> J>(E,F), a t u n c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e y<=X(T) şi o r i c e x<eE avem E

\L(y)x

= m ' ( < p # ) = m(<pa?).

D i n corolarul p r o p o z i ţ i e i 9, § 1, r e z u l t ă a t u n c i că m ' = m , deci c o r e s p o n d e n ţ a m - > jx e s t e b i u n i v o c ă . e) F i e m , m ' : X ( T) ->F d o u ă m ă s u r i şi fie ţx, ţx': X (T) - > <£(E, F) măsurile corespunzătoare care verifică egalităţile E

ţx(
(t* + I*') (?)# = [>(
+ V*'{
=

= m (9 a?) + m ' (90?) = ( m + m ' ) (9 a?). Fie

v : X(T)

Eezultă

Jl{E,

F) m ă s u r a c o r e s p u n z ă t o a r e m ă s u r i i m

v ( 9 ) x = ( m + m ' ) (9 x) p e n t r u 9 e X (T)

şi a ? e E .

(jx + ţx') (9) a? = v (9) x p e n t r u

şi a?e

+ m ' :

că 9 e X(T)

deci (l* + I*') (9) = v ( 9 )

?G1(T)

pentru

de unde jx + ţx' =

v.

A ş a d a r c o r e s p o n d e n ţ a m - > ţx e s t e a d i t i v ă . O m o g e n i t a t e a se d e m o n s t r e a z ă în acelaşi m o d . ă) E ă m î n e d e v e r i f i c a t

relaţia |||i||<||m||.

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 e X (T)

şi o r i c e e > 0, e x i s t ă

x e E c u | x | = 1 şi

s

li*(9)1 < I M 9 H + Atunci

lt*(9)l e fiind a r b i t r a r ,

||&(9)*l = | m (9^)1 < | | m | | | | 9 « l l = | | m | | || 91|. deducem

| | & ( 9 ) K l l m | | || 9II

33

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

de unde |||»||<||m||<+oo. Cu aceasta propoziţia este demonstrată. Corolar. Dacă E şi F sînt spaţii Banach cu involuţie, şi dacă m : JC (T) ->F îi corespunde măsura jx: JC (T) -> Jl (E, F), atunci m îi corespunde măsura jx. într-adevăr, avem E

m(f) = m(f), pentru

măsurii măsurii

teJC (T) E

m(cp x) = jx(qp) x, p e n t r u 9 e JC ( T ) şi

j i ( 9 ) = jx(9), p e n t r u

xeE

96l(T).

F i e v : JC ( T ) - > Jl (E, F) m ă s u r a u n i c ă c e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a m((px)

=

v(9)#, pentru

A t u n c i , p e n t r u o r i c e 9 0 JC(T)

şi o r i c e x<eE, x

v ( 9 ) x = m ( 9 x) = m ( 9 x ) = deci jl(9) =

yeJC(T)

V*i^)

şi avem

— ^(9) ^ =

7 ( 9 ) p e n t r u o r i c e 9 e 2 ( T ) , a d i c ă fx = m(9«) =

( 9 ) x, p e n t r u

x<=E.

:

^(9)

v. A ş a d a r ,

9 e JC ( T ) şi # e 2?.

Observaţii 1°. E x i s t ă măsui^i fx: JC(T) Jl(E, F) c a r e n u se p o t o b ţ i n e c a î n p r o p o z i ţ i a 1 d i n m ă s u r i m : JC (T) ->F. V o m v e d e a m a i d e ­ p a r t e c ă d a c ă m ă s u r a m : JC (T) - > Jd {E, F) a r e o p r o p r i e t a t e s u p l i m e n ­ t a r ă ( d e a fi m a j o r a t ă ) , a t u n c i p o a t e fi „ p r e l u n g i t ă " l a o m ă s u r ă m : JC(T)-+F care să verifice egalitatea E

m ( 9 x) = (1(9) x,

(pelfî),

xeR.

2°. D a c ă E e s t e s p a ţ i u B a n a c h c o m p l e x , a t u n c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e ye:JC (T) şi o r i c e xeE a v e m F îi c o r e s p u n d e î n m o d u n i c o m ă s u r ă [x' : 3 £ (T) - > (25, F) c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a c

E

E

c

ţi' ( 9 ) x = m ( 9 x) p e n t r u o r i c e < p e I ( T ) c

şi xe J5.

D e a l t f e l m ă s u r a jx' s e p o a t e o b ţ i n e p r i n p r e l u n g i r e a m ă s u r i i jx d e l a JC ( T ) l a JC {T), a ş a c u m v a fi a r ă t a t m a i d e p a r t e . D i n c a u z a c o r e s p o n d e n ţ e i b i u n i v o c e m - > ţi, v o m i d e n t i f i c a , p î n ă l a u r m ă , m ă s u r a m c u m ă s u r a c o r e s p u n z ă t o a r e fx. P e n t r u f u n c ţ i i l e 9 e JC( T), G

i n t e g r a l a ^9d(x v a fi n o t a t ă , d e a s e m e n e a , c u J 9 d m , integrala

funcţiei

scalare

9 în raport

cu măsura

vectorială

şi

va m.

fi

numită

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

34

CAP.

I

E g a l i t a t e a d i n e n u n ţ u l propoziţiei se scrie a t u n c i : m(
T r e b u i e o b s e r v a t c ă d a c ă 9 e JC ( T ) , i n t e g r a l a ^9 d m e s t e u n e l e m e n t jg (E F), î n t i m p c e , d a c ă f e Jt y

(T), i n t e g r a l a

E

If d m e s t e u n e l e m e n t d i n F.

2 . Măsuri d e f i n i t e p e n t r u f u n c ţ i i Fie X u n spaţiu Banach. Propoziţia 2 . Fie [L : JC - > X trei condiţii :

o aplicaţie

+

1) f*(
+ ^(¥2)» i ^ J r t *

2

2) jx ( a 9) = a [i (9), 3) pentru asţ/ieZ încît să

orice avem

pentru

mulţime

I P (?) K

scalare

care verifică 9x,

a > • 0 şi 9 e ^

compactă

din

9

2

?

e

+

;

;

+

K c z T , există

<*>K II 9 II

e l

următoarele

un

T

număr

a

K

>

0

K

^ + (J

)'

Atunci {jl «6 poate prelungi în mod unic la spaţiul Jt (T) ca o măsură m : JC (T) - > X . Corespondenţa ţx - > m este liniară. F i e / o f u n c ţ i e o a r e c a r e d i n JC(T). F u n c ţ i a / s e p o a t e s c r i e c a d i f e ­ r e n ţ ă d e f u n c ţ i i pozitive, din j £ (T). Dacă +

/ =


¥2 — ^2* « n 9x,

9>

+1,

2

a t u n c i 9i +
t* ( + 2 ) =

f* (¥2) +

i>2^3£+(T), deducem:

f*(<W

unde i*(
D a c ă / = 9 — ']> c u 9 şi

din j £ + , p u n e m , prin definiţie, =

M?) -

M+)-

D i n cele d e m a i s u s r e z u l t ă c ă m (/) n u d e p i n d e d e m o d u l p a r t i c u l a r î n c a r e / se s c r i e c a d i f e r e n ţ ă d e f u n c ţ i i p o z i t i v e ăinJC ci d e p i n d e n u m a i d e / . P e n t r u f u n c ţ i i l e 9 d i n JC+ a v e m 9 = 9 — 0, d e c i +1

m(9)

= (x(9) -

p.(0) =

jx(9).

A ş a d a r , m e s t e o p r e l u n g i r e a l u i [x d e l a j £ l a JC(T). o măsură. F i e / , g<=X(T). Să scriem +

/ = /

+

+

Şi 9 = 9

-

9~-

Să a r ă t ă m că m este

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

+

+

F u n c ţ i i l e / , /"", g ,

35

g~~ s î n t d i n JC+ şi +

+

/ + 9 = (f

+ 9)

~ (/-

+ 9~~)'

Atunci m ( / + gr)= f*(/ - M D - M D

+

+

+ 9)

= Mt)

-

a/ =

a/

D a c ă a >• 0, a t u n c i

-

Mf~) +

m ( a / ) = (i(a/+) = Dacă

a < 0,

atunci

+

Mt

+ 9~) = Mf ) + v-(D

— a/

+

M*N

= «^(/ ) -

a((x(/+)-[x(/-)) = a/ =

vig-)

*(MD-Mf ))

=

= «»(/)

*Mt)

-

/ = /

- r ,

1/1 = /

+

+

m(g).

+

H [(-<*)/+]

=

+

«(Mf )-MD)=

+ r

şi /

=

— ( — a ) / , deci

«m(/).

Aşadar m este liniară. F i e J L C T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi / e JC ( T , +

-

am(/).

a/+ — a/" = (—a ) /

+

M9 )

şi

m ( a / ) = (x [ ( - « ) / - ] = -

-

+

+

+

Avem

<

i/i,/- <

i/i-

Atunci | m ( / ) | = \Mt) <

-

v^(t)\<Wit)\

«JITII + a

deci m este o m ă s u r ă p e

J C

+ KDI

|iril<2

<

a y/11 K

T.

D a c ă n : j £ (T) -> X e s t e o m ă s u r ă c a r e v e r i f i c ă n(cp) = (x(cp) p e n t r u

egalitatea


atunci +

=

+

n(/) = n ( / - / " ) = n ( / ) - n ( T ) = M D - n ( T ) m(/) p e n t r u o r i c e / ' G I ( T ) , d e c i n = m . E e z u l t ă c ă p r e l u n g i r e a l u i [x l a JC(T), ca o m ă s u r ă , este unică. L i n i a r i t a t e a c o r e s p o n d e n ţ e i ţx -> m r e z u l t ă d i n f a p t u l c ă d a c ă m , n : Jt(T) -> X s î n t d o u ă m ă s u r i a l e c ă r o r r e s t r i c ţ i i l a JC+(T) s î n t jx şi v, a t u n c i r e s t r i c ţ i a l u i m + n l a JC (T) e s t e (x + v i a r r e s t r i c ţ i a l u i a m l a JC (T) e s t e ajx. C u a c e a s t a , p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţie. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e c ă p e n t r u a p l i c a ţ i i l e (x : J£+( T)->R, e s t e s u f i c i e n t s ă fie aditive şi pozitive p e n t r u a p u t e a fi p r e l u n g i t e l a JC(T) c a m ă s u r i . P r o p o z i ţ i a 3 . Dacă X este un spaţiu Banach complex iar [x : JC(T)->X este o măsură, atunci [x se poate prelungi în mod unic la întreg spaţiul JC ( T) ca o măsură m: JC (T) -> X. Corespondenţa [x - > m este liniară, Şi II1* II •< || m || 2 || [x|| < + ° ° . Dacă, în plus, X este un spaţiu Banach cu involuţie, corespondenţa [x - > m păstrează involuţia pe spaţiile de măsuri. +

+

G

C

36

MASURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

F i e f<=J£ (T) unic sub forma

o funcţie o a r e c a r e . F u n c ţ i a / se p o a t e

c

c

+ P u n e m prin

CAP. I

u

fu

scrie în m o d

f

definiţie: m ( / ) = M A ) + *' M A ) .

D a c ă / e JC(T),

a t u n c i / = g + t'O, d e c i m(/) = M/) + *

M<>) =

V(f).

A ş a d a r , m e s t e o p r e l u n g i r e a l u i (x d e l a j i J f T ) l a JC (T). D a c ă / = A + if* Şi 9 = 9i + i92 i fu A? 9i, 92 s î n t d i n JC(T), a t u n c i C

+

a r

f + 9 = (fi + 9i) +i(f2

+ 92)

deci + ff) =

MA

+ *H (ff ) = 2

+ flfi) +

*MA

+

MA) + * MA) +

Dacă 2 = a + i p c u a ş i p

92) =

MA)

M0i)

+

+

M # i ) + i H(9i)=m{f)

reali,

* MA)

+

+ m (g).

atunci

* / = ( a + • P) (A + i / « ) = ( a A -

p/ ) + i (PA + a

a/ ) 2

deci m(s/) =

M« A -

= aMA) -

PA) + * M P A +

PMA) + *(PMA) +

= (a + t p) ( ^ ( A ) + ţ jx(A)) =

a/ )

-

2

«MA))

=

zm(/).

A ş a d a r m este o aplicaţie liniară (complexă) a lui ^ ( T ) î n X. F i e I c î o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi fie a > 0 a s t f e l î n c î t s ă a v e m c

7

K

I M
P

e

n

t

™


K).

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / = A + if d i n JC ( T , X ) c u A şi / IAI < l / l Şi IAI < l / l , d e c i A , / e ^ ( T , K). A t u n c i 2

C

2

din j£ (T), avem

2

|m(/)| = IMA)+ *MA)I < < a

K

|| A \\ + a

x

lMA)l +

HA | | < 2 ^ 1 1 / y .

Aşadar m este o măsură. P e n t r u feJC(T) avem | M / ) | = | m ( / ) | < | | m | | 11/11 deci |||i||<||m||.

IM/ )I< 2

PROPRIETĂŢILE MASURILOR

Pentru / = f

+ if

x

37

avem

2

Im(/)| = ||i(A) + < | i ( / , ) | < | | i ( / i ) | +

lnfWK

< I I 1*11 ll/ill + HijlII I I / I I < 2 | | x | | h/ii 2

deci

{

||m||<2|| i||. D a c ă m ' : JL ( T ) X e s t e o m ă s u r ă c a r e p r e l u n g e ş t e p e jx, p e n t r u orice funcţie / = + ifţ c u f şi / d i n JC ( î ) a v e m i

G

7

x

2

m ' (/) = m ' (A) + * m ' ( / ) = <x ( / J + *[i (/•) -

m(/)

t

deci m' = m . D a c ă m , n : JC ( T) X s î n t d o u ă m ă s u r i a l e c ă r o r r e s t r i c ţ i i l a JC( T) s î n t [x şi v, i a r a e C , a t u n c i r e s t r i c ţ i i l e l a JC(T) a l e m ă s u r i l o r m + n şi a m s î n t r e s p e c t i v fx + v şi a jx. A ş a d a r c o r e s p o n d e n ţ a m - > jx e s t e l i n i a r ă . D a c ă x - > x e s t e o i n v o l u ţ i e p e X şi d a c ă l u i jx îi c o r e s p u n d e m , a t u n c i m ă s u r i i ]x îi c o r e s p u n d e m , a d i c ă d a c ă jx (9) = j x ( 9 ) p e n t r u 9 e JC(T) a t u n c i f î i ( / ) = m ( / ) p e n t r u f^JC (T). Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . Observaţii. 1°. D a c ă X n u e s t e u n s p a ţ i u c o m p l e x , a t u n c i m ă s u r a {x : JC ( T ) - > X se e x t i n d e l a o m ă s u r ă m : JC (T) -> X , u n d e X e s t e s p a ­ ţ i u l B a n a c h {(o? + iy)\ x, j g ! } , c u a d u n a r e a C

y

c

C

(x + t y ) +

+ iy')

= (

x

c

c

+ x')+i(y+

y'),

înmulţirea cu scalari ( a + f p) (a? + i y ) = (aa? -

py) + i ( a y +

pa?)

şi n o r m a l* + *y| = V l^l

2

2

+ 12/1 .

2 ° . D a c ă X = O, se v a a r ă t a m a i d e p a r t e c ă | | m | | = ||ţx|| ( v . cololarul t e o r e m e i 1). P e n t r u f u n c ţ i i l e f^JC (

T), i n t e g r a l a ţ / d m v a fi n o t a t ă d e a s e m e n e a ,

c

/ d f x , şi v a fi n u m i t ă integrala funcţiei complexe f în raport cu măsura jx. Propoziţia 4 . Fie H(ZJC o mulţime filtrantă pentru relaţia < ; şi m : JC(T) Xo măsură definită pentru funcţii scalare. Dacă s u p ge JC+, +

atunci

aplicaţia

g -+m(g)

are limită

l i m m(g)

în X după filtrul

secţiunilor

lui H

şi

= m ( s u p g) = m ( l i m g).

S ă n o t ă m / = s u p g = lim g (propoziţia 4, § 1), l i m i t a fiind în sensul convergenţei uniforme. Fie K suportul lui / . Deoarece 0 g <; / pentru o r i c e g^H, r e z u l t ă c ă H(ZJC(T, K). E e s t r i c ţ i a m ă s u r i i m l a s u s p a ţ i u l JC{ Tj K) f i i n d c o n t i n u ă p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i f o r m e , d e d u c e m c ă l i m m(g) şi p r o p o z i ţ i a e s t e

= m ( / ) = m ( s u p g) = m ( l i m g)

demonstrată.

MASURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

38

Pentru

C o r o l a r . Fie m : JC(T) orice funcţie fej£+,

-> X o măsură avem m(f)

= lim

într-adevăr, mulţimea H = r e l a ţ i a < şi s u p g = f<= JC .

definită

CAP. I

pentru

funcţii

scalare.

m(g).

{g\g<E3C ,

g < / } este filtrantă pentru

+

+

P r o p o z i ţ i a 5 . Fie i = 1, 2 , . . . , n. Bacă

y.:X(T) 9 , (0

2 i-

-> j£(E,F) =

0>

o măsură,

= x

=

2

şi

x^E,

atunci

1 £ |i(?i)*i = t= l

Dacă ^

X(T)

0.

n £ MW

= 0, e g a l i t a t e a

= 0

e s

t

e

evi­

d e n t a d e v ă r a t ă . Să p r e s u p u n e m deci că spaţiul real generat de elementele x, x,

. . . y o bază a acestui spaţiu. m A t u n c i f i e c a r e e l e m e n t a?,- s e s c r i e a?, = S i , - f t > a,, e i ? , d e c i x

2

. . . , x e s t e d i f e r i t d e {0 }. F i e y n

y

l9

2J

m

a

Y

** =

E

a

E

«

=

E

a

E

«

\vi

=

E

^

M ' W / i=l u n d e f u n c ţ i i l e <J/,- = £ a q > , a p a r ţ i n s p a ţ i u l u i j K ( T ) . D i n e g a l i t a t e a i=l

<=i

j^i

i ;

£ (t)a>, = 0 9i

4=1 rezultă m £ <M«)y, =

0.

?=1

D e o a r e c e e l e m e n t e l e yi,...,y sînt liniar independente, rezultă că p e n t r u f i e c a r e t&T a v e m ty (t) = 0,...,<];„,(J) = 0, a d i c ă ^ = ^ = . . . = = <|i = 0. A t u n c i [L = 0, j = 1, 2 , . . . , m, d e c i m

t

2

m

E

*i =

E

i=l

«=1

«*

E

a

«

=

J=l

i* S

S

>=1

şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Fie | x : X{ T) -> (E, F) n Y

wnde

»=i ( T ) ş i a?,, y e U , f

=

< ' v « | sr* =

' »=1

o măsură. m


a

S

j=i atunci

E

/

vWi)

j= l

Dacă

y, =

0

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

§ 2

39

într-adevăr, m m

n deci

H

M ? * ) »i -

de unde rezultă egalitatea de

SYi v- (+i (y* =

o,

demonstrat.

3 . Măsuri s c a l a r e M ă s u r i l e jx : JL (T) -> C, d e f i n i t e p e n t r u f u n c ţ i i r e a l e , c u valori com­ se n u m e s c măsuri complexe. M ă s u r i l e \L: Jt(T) -> R, d e f i n i t e p e n t r u f u n c ţ i i r e a l e c u valori reale, se n u m e s c măsuri reale. M ă s u r i l e r e a l e şi m ă s u r i l e c o m p l e x e se n u m e s c măsuri scalare. Orice m ă s u r ă reală este în acelaşi t i m p o m ă s u r ă complexă, deoarece R(ZC. A ş a d a r , m ă s u r i l e s c a l a r e p o t fi t o t d e a u n a c o n s i d e r a t e c u v a l o r i î n C. P e n t r u o r i c e m ă s u r ă r e a l ă fx a v e m = [L. S e n u m e ş t e măsură pozitivă o r i c e m ă s u r ă s c a l a r ă jx c a r e a r e valori pozitive pentru funcţiile pozitve :

plexe

( x ( c p ) > 0 p e n t r u cp > 0,


O r i c e m ă s u r ă p o z i t i v ă fx e s t e o m ă s u r ă r e a l ă . î n t r - a d e v ă r , d a c ă cp e l ( T ) , a t u n c i cp se p o a t e s c r i e cp = c u cp şi cp d i n JC x

2

+

cp —

2

(T). A t u n c i ţxţcpi) > - 0 şi (x(cp ) > - 0 d e c i 2

fx(cp) = fxţcp!) — f x ( c p ) e # . 2

D i n p r o p o z i ţ i a 3 r e z u l t ă c ă t o a t e m ă s u r i l e (x: JC (T) C se p o t p r e l u n g i î n m o d u n i c l a m ă s u r i m: JC (T) -> C. D e a c e e a , i d e n t i f i c î n d o m ă s u r ă [x : JC (T) - > (7 c u p r e l u n g i r e a s a w : j £ (T) C, m ă s u r i l e m : JC ( T) - > O d e f i n i t e p e n t r u f u n c ţ i i l e c o m p l e x e , v o r fi n u m i t e t o t măsuri scalare. P r i n t r e m ă s u r i l e c o m p l e x e m : JC ( T) C, măsurile reale s î n t c a r a c t e r i z a t e p r i n p r o p r i e t a t e a d e a lua valori reale pentru funcţiile reale, i a r măsurile pozitive s î n t c a r a c t e r i z a t e p r i n p r o p r i e t a t e a d e a a v e a valori pozitive pentru funcţiile pozitive. D a c ă (x e s t e o m ă s u r ă c o m p l e x ă , a v e m fx(/) = ]x(jf), p e n t r u / e I ( T ) . D a c ă (x e s t e r e a l ă , a v e m fx(/) = fx(/), p e n t r u f 0, a t u n c i {* + v şi a [x s î n t d e a s e m e n e a m ă s u r i p o z i t i v e p e T. E e z u l t ă c ă JH+ (T) e s t e u n con convex î n s p a ţ i u l v e c t o r i a l Jtl (T). C

c

C

C

c

c

C

40

MASURI P E SPATII LOCAL COMPACTE

CAP.

I

F i i n d d a t e d o u ă măsuri reale ţx şi v p e T , s e d e f i n e ş t e r e l a ţ i a fx < v inegalitatea: M ? ) <^ (> 0 d i n JC(T). E e z u l t ă c ă o m ă s u r ă ţx e s t e p o z i t i v ă d a c ă şi n u m a i d a c ă (x > 0 , şi c ă jx < ; v d a c ă şi n u m a i d a c ă v — [x e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă . S e v e r i f i c ă u ş o r c ă r e l a ţ i a [x < ; v e s t e o relaţie de ordine p e j/l(T) c o m p a t i b i l ă c u s t r u c t u r a d e s p a ţ i u v e c t o r i a l a l u i JtL (T):

prin

v

9

1) [x < ; [x p e n t r u o r i c e 2) [ x < v ş i 3) ţx <

(xGjf(T);

v < [ [ x = > [ x = v (conform corolarului propoziţiei 10, § 1 ) ;

v şi v < X => [x < X;

4 ) ( x < v = > [ x + X < v + X; 5)

[x > 0 şi a > 0 => a [x > 0 .

A ş a d a r , JH (T) e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l o r d o n a t , p e n t r u r e l a ţ i a [x < v. Propoziţia 6 . Orice măsură complexă m pe T se poate scrie în mod unic sub forma m = ţx - f i v, unde

\L şi v sînt măsuri reale pe T. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e reală 9 e JC (T) s ă p u n e m [x(
N u m e r e l e r e a l e (x(
S e v e r i f i c ă u ş o r c ă [x şi v s î n t f u n c ţ i o n a l e l i n i a r e r e a l e p e JC ( T ) , d e o a r e c e funcţiile z E e (z) şi 2 - > I m (0) s î n t l i n i a r e . F i e 2 T c T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi a > 0 a s t f e l c a K

| m ( 9 ) | < a * || 91| p e n t r u o r i c e 9 e l ( T , X ) . Deoarece l p ( ? ) l < l*M
K). A ş a d a r , [x şi v s î n t m ă s u r i r e a l e p e T.

m ( 9 ) = |x(9) + i v ( ) 9

v a l a b i l ă p e n t r u f u n c ţ i i reale, s e m e n ţ i n e şi p e n t r u f u n c ţ i i c o m p l e x e d e o a r e c e p r e l u n g i r e a d e l a JC(T) l a JC (T) este o operaţie liniară. Corolar. Dacă m = ţx + atunci m = jx — i v. C

PROPRIETĂŢILE

MASURILOR

41

4 . Integrarea funcţiilor vectoriale în raport c u o măsură scalară T e o r e m a 1. Pentru orice măsură reală [L : JC (T) -> C şi orice spaţiu Banach real (respectiv măsură m : JC (T) -> E şi numai una care verifică E

m(yx)

= (i.(
Dacă E este un spaţiu

Banach

orice

Corespondenţa


cu involuţie,

m (9 x) — [L ( m este biunivocă,

{respectiv complexă) complex) E, există o egalitatea xeE.

atunci
liniară

şi

x&E.

şi | | m | | = n

S ă n o t ă m c u 16 m u l ţ i m e a c o m b i n a ţ i i l o r l i n i a r e d e f o r m a 9 =

^9^» i=l asemenea

E

d e f u n c ţ i i 9; d i n JC (T) c u c o e f i c i e n ţ i i x d i n E. P e n t r u f i e c a r e i

n

f u n c ţ i e ?; = 2 9 , x. s ă p u n e m n(fl) = S M E, c a r e , î n p a r t i c u l a r , verifică egalitatea 11(9 a?) = \L(
Se verifică uşor că aplicaţia n este liniară. Să a r ă t ă m că aplicaţia liniară n îndeplineşte condiţiile propoziţiei 10, § 1. n F i e KCZ T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi g = 2 ?» % f u n c ţ i e d i n J6 x

0

E

i= l

c u s u p o r t u l î n K. F i e a

K

> 0 astfel încît

I M ? ) K * r

P e n t r u ?eX(T,

K).

E x i s t ă u n e l e m e n t z' e E' c u | z' | = 1 a s t f e l î n c î t |n(g)| =


z'>.

Avem < n ( g ) , z'>

= < S i

= S M ) = i

*' >

= S ^(?i)<«*» * ' > = i

S < < p a j „ a î ' > ) = | i ( < S q> aj«,*'>) = i t = i*( ) i

deci l»(9)| = < n ( g ) , z > < ««II < g, *' > l l <

= | t ( < g , « ' > ) < llgll I ! = ««ligii-

i

42

MĂSURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

CAP.

I

Aşadar n (9) II <

II9 li

p e n t r u orice

g e 76

f] JC ( T ,

E

K)

E

a d i c ă n e s t e c o n t i n u ă p e 76 (\JC (T,K) p e n t r u topologia convergenţei uniforme. C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 1 0 , § 1, e x i s t ă a t u n c i o m ă s u r ă m : JC (T) -> E şi n u m a i u n a , a c ă r e i r e s t r i c ţ i e l a s p a ţ i u l 76 e s t e e g a l ă c u n . P e n t r u 9 £ 2 ( T ) şi XEZE avem E

E

E

E

m(9#) D a c ă o a l t ă m ă s u r ă m ' : JC {T) E

m ' (
=n(
=

[L(
-> E v e r i f i c ă pentru

egalitatea

9 e JC (T)

şi

x e

E,

a t u n c i a v e m m ' (g) = n (g) p e n t r u o r i c e g e 7C> şi d e c i m ' = m . D a c ă [L şi v s î n t d o u ă m ă s u r i s c a l a r e c ă r o r a l e c o r e s p u n d m ă s u r i l e m şi 11, a t u n c i m ă s u r i l e [L + v şi ajx, a s c a l a r , l e c o r e s p u n d r e s p e c t i v m ă s u ­ r i l e m + n şi a m . într-adevăr, E

= (JL(9) x, şi n(qx)

m(9#) p e n t r u xt=E

şi ( p £ l ( T ) .

(m + n)

=

v(9)a?

Atunci

= m(90?) + n(
=

fx(cp) a? + v(9) x

=

v)(
Şi ( a m ) (9a?) = Aşadar,

am(9#) +

a(x(9) a? = (aţi) (9) a?.

aplicaţia (x->m este liniară. D a c ă E

m(9#)

= m(9ă?) = j x ( 9 ) x + ^(9)

E ă m î n e d e v e r i f i c a t e g a l i t a t e a ||

este

pentru

(pl(T)

1*1

= l{*(
şi

avem

XGE.

= ||m||.

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 e j £ ( T ) şi a? e 25 c u \x\

I {*(?)! = l n ( ? ) l

cu involuţie,

= 1

avem

= | m ( < p a ? ) | < | | m | | || <pa?|| = | | m | | H9II

de unde j| x||<||m||<+00. (

E e c i p r o c , fie f e JC (T) E

o f u n c ţ i e o a r e c a r e şi fie K s u p o r t u l l u i f. F i e U o n

v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K. F i e e > 0 . E x i s t ă o f u n c ţ i e g =
J7) şi a ^ e J E , a s t f e l

£

9»

cu

încît

|t(«) - g ( * ) | <

min ţ ± ,

«J-

A t u n c i , p e d e o p a r t e || g | | < || f || + s, i a r p e d e a l t ă p a r t e I - g e 2 ( T , deci | m ( f - g ) < a j f - g | | < e

U)

y

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

de

43

unde |m(!)|<|m(g)| +

F i e z'eF'

c u \z'\ = l,

astfel

e.

ca

< m ( g ) , z'>

=

im(g)|.

Avem | m ( ff)) | - e < | m ( g ) | = < m ( g ) , z'>

= |t(
< l l { t | | l l < g , * ' > l l < Hi* IIII g l l < II s fiind a r b i t r a r ,

* ' » <

(11*11 + « ) •

rezultă |m(f)|<|M|||f||

şi d e c i | | m j | •< || Ţ i n î n d s e a m ă şi d e i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă d e m o n s t r a t ă m a i sus, rezultă = ||m||. Cu aceasta propoziţia este demonstrată. C o r o l a r . Dacă \L : JC (T)->C este o măsură scalară şi dacă m : JC (T)->C este măsura care prelungeşte pe (JL de la JC(T) la JC (T), atunci \\m\\ == || î n t r - a d e v ă r , m ă s u r a m verifică egalitatea C

C

m(yz) cu

= [1.(9)2 p e n t r u
şi

z<=C.

D a t o r i t ă c o r e s p o n d e n ţ e i jx - > m , se i d e n t i f i c ă m ă s u r a (JL : JC (T) ^ C m ă s u r a m : JC (T) ~> E. P e n t r u f u n c ţ i i l e îeJC (T), integrala E

E

(fdm

se n o t e a z ă d e a s e m e n e a (fdfx şi se numeşte

toriale

î în raport

cu măsura [L(
funcţiei

vec­

(JL. E g a l i t a t e a d i n e n u n ţ se s c r i e a t u n c i

scalară (JL (9)

integrala

x

sau

\ 9^d[x

— x\

9d(x

p e n t r u ( p e l ( T ) şi xeE. T e o r e m a 2 . Fie \i: JC(T) -> C o măsură reală (respectiv complexă), E si F două spaţii Banach reale (respectiv complexe). Pentru orice aplicaţie liniară şi continuă U : E ->F avem

P e n t r u orice funcţie g =

£

9^

avem 17

iar »

din

J6 ( T) E

c u 9 e JC( T) şi x e E i

{

MASURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

44

CAP. I

F i e î(=J£ (T) o f u n c ţ i e o a r e c a r e şi fie K s u p o r t u l s ă u . F i e V o v e c i ­ n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K şi fie (g ) u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n 76 c u s u p o r t u l î n V, u n i f o r m c o n v e r g e n t c ă t r e f. A t u n c i f u n c ţ i i l e TJo g s î n t d i n 76 (T), au s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n V şi c o n v e r g u n i f o r m c ă t r e TJo f. D e o a r e c e [x e s t e c o n t i n u ă p e JC (T V) şi JC ( T , V) p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i f o r m e , trecînd la limită în egalităţile B

n

E

n

E

y

E

F

obţinem ^f^fdtxj-ij^Cf^dfx^). Corolar. Fie un spaţiu Banach

(x: JC(T) -+C real (respectiv

< ( f d < x , z'>

5. Vom demonstra P r o p o z i ţ i a 7. O şi numai dacă este Să p r e s u p u n e m y

o măsură complex).

=C

reală (respectiv complexă) şi Pentru orice Z'<EF' avem

d ji,f ^(T). (

e

Măsuri p o z i t i v e

mai întîi o propoziţie ajutătoare. funcţională aditivă [i: JC (T) -> B este pozitivă crescătoare. m a i î n t î i c ă fx e s t e p o z i t i v ă :

(x(cp) > 0

E

pentru

cp > 0

din

dacă

JC(T)

şi s ă a r ă t ă m c ă (x e s t e c r e s c ă t o a r e : ix(cp) 0. D a r

9 <

dacă

9 < [ <1>.

^, (9, ^ e l ( r ) ) ,

atunci

— 9>0

deci

(x(^) = (x(^ — 9 + 9) = (x(^ — 9) + t*( - ţx(0) = 0, d e c i (x e s t e p o z i t i v ă . Corolarul 1 . Orice măsură pozitivă \ipe T este crescătoare.

9 >

0,

PROPRIETĂŢILE

§2

C o r o l a r u l 2 . Dacă

MĂSURILOR

ţx este o măsură lip|| =

sup

pozitivă

[i(f)<

45

pe T,

atunci

+°°.

într-adevăr, avem evident s u p (x(/) <

s u p |{i(jf)| = | | j i | | .

B e c i p r o c , fie gre j £ e u | gr| < ! 1 . D e o a r e c e (x e s t e c r e s c ă t o a r e , d i n r e l a ţ i a — | 0 | < 9< \9\ r e z u l t ă -M\9\XIL(9)
l n ( f f ) I O ( l < 7 l ) < s u p (x(/) 0^/^:1 şi d e c i ||[x||< sup

[X(/).

C o r o l a r u l 3 . Dacă (x şi v sm< dowa măsuri pozitive pe T şi dacă (x < ; v, || fx|| < ; || v||. Î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / > - 0 d i n J £ a v e m fx ( / ) < [ v ( / ) . L u î n d î n a c e a s t ă i n e g a l i t a t e m a r g i n e a s u p e r i o a r ă p e n t r u / e JC, 0 < ; / < ; 1 , o b ţ i n e m | | ( x | | < || v||. Propoziţia u r m ă t o a r e a r a t ă că p e n t r u măsurile pozitive condiţia de continuitate din definiţia 1 este superfluă. P r o p o z i ţ i a 8 . Orice funcţională liniară şi pozitivă (x : JC (T) -> E, este o măsură pozitivă pe T. F i e KciT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă o a r e c a r e şi fie

[ 0 , 1 ] o f u n c ţ i e c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , a s t f e l c a

0

0

l l ? l l ? o < ? < II 9II 9oF u n c ţ i o n a l a jx f i i n d p o z i t i v ă , e s t e c r e s c ă t o a r e , d e c i

— Il?ll

M
< l l 9ll

M9o)

cie u n d e I M < P ) K M 9 o ) II 9IILuînd a

K

= (x(9 ), r e z u l t ă c ă 0

| (x(9)| < a \\ 91| p e n t r u o r i c e cp^JC(T, K

K)

şi d e c i ţx e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă .

MĂSURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

46

CAP. I

C a o r i c e m ă s u r ă d e f i n i t ă p e JC(T),măsurile pozitive sînt unic deter­ m i n a t e d e v a l o r i l e l u a t e p e J£ (T). Măsurile pozitive au o proprietate suplimentară : Propoziţia 9 . Orice funcţională [L : 3£+(T) -> R aditivă şi pozitivă, se poate prelungi în mod unic la o măsură pozitivă pe T. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e l f T ) s c r i e m / = 9 — tycu 9, i j / e l ^ f î ) şi d e f i n i m +

1

Se a r a t ă ca în d e m o n s t r a ţ i a propoziţiei 2 că m n u depinde decît de / , p r e l u n g e ş t e p e (x şi e s t e aditivă p e JC{T). R e z u l t ă c ă m e s t e o f u n c ţ i o n a l ă pozitivă : * » ( / ) > 0 , pentru f^JC (T) +

d e c i e s t e c r e s c ă t o a r e ( p r o p o z i ţ i a 7 ) . E ă m î n e s ă a r ă t ă m c ă m e s t e omo­ genă. S ă r e m a r c ă m m a i î n t î i c ă d a c ă / = 9 —

™(—/) = ? ( * ) ~ F i e f^JC(T).

M
-

P e n t r u orice n u m ă r n a t u r a l n a v e m

w(n/) = m ( / + / +

. . . + / )

= »(/) + »!(/)+...

+ w(/) =

«-w(/)

Şi m ( — n / ) — m (n( —/)) = n-m(-f)

= n(—m(f))

=

—

n-m(f).

D a c ă p şi y s î n t d o u ă n u m e r e î n t r e g i şi q =f= 0, a t u n c i *

m

=

(l^)

m

?

( "f"^)

=

m

M

^S)

= P

(f)

deci

*(—/) = -**(/).

«

U i

Aşadar, p e n t r u orice n u m ă r r a ţ i o n a l r a v e m m(rf) = r m ( / ) . F i e a u n n u m ă r r e a l o a r e c a r e . E x i s t ă d o u ă ş i r u r i (r ) şi (s ) d e n u m e r e r a ţ i o n a l e , c o n v e r g e n t e c ă t r e a, a s t f e l î n c î t p e n t r u f i e c a r e n s ă a v e m n

r

<«<*„•

n

Dacă / este pozitivă,

avem r f<*f<sj n

şi d e o a r e c e m e s t e r,Mf)

crescătoare,

deducem

= m (rJ ) < m ( a / ) < m (sj)

= s m (/) n

Şi l i m r m(f) n

= l i m s m{f) n

=

am (/).

n

PROPRIETĂŢILE

MĂSURILOR

47

Trecînd la limita în inegalităţile precedente d e d u c e m că QLm(f) = m ( a / ) . D a c ă / == f

t

—f

2

c u A şi /

2

d i n JC ( T ) , a t u n c i +

<*/ =

a

/i —

a

/2

i a r a f şi a / s î n t a m b e l e p o z i t i v e s a u a m b e l e n e g a t i v e . A t u n c i x

2

m(<xf) = m (o/i) — m ( a / ) = am(f ) 2

x

= a(w(/i) — m(/ )) = 2

— am(/ ) 2

=

am(/).

Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . Observaţie. D e o b i c e i , p r e l u n g i r e a m a l u i [x se n o t e a z ă t o t c u [x. Propoziţia 10. Fie [x o măsură pozitivă pe T. Pentru orice mulţime H d JC+ filtrantă pentru relaţia , funcţia pozitivă g - > [x (gr) are limită (finită sau + °°) după filtrul secţiunilor lui H şi l i m ix(gf) = s u p (x(gr). Dacă

s u p
,

atunci

g^H

H m fx(gr) = (x(lim #) = [x(sup flf). S ă n o t ă m a = s u p fx(gr). A v e m o

0 0 . F i e a < a. E x i s t ă o

îGff

f u n c ţ i e g ^H a s t f e l c a a < (x (gr ) < ; a. A t u n c i , p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e g > gr d i n Jff a v e m (x (ff) > • (x (gr ), d e c i a < (x (gr) < ; a. A ş a d a r , f i e c a r e v e c i n ă t a t e a l u i a c o n ţ i n e a i m a g i n e a p r i n [x a u n e i s e c ţ i u n i 8 (g ) = = {ff | gr G H, g > -
a

a

a

a

a

Corolarul 1, jFie (x o măsură definită pe T avem

pozitivă

0 < l i m \i(g)

pe T. Pentru

orice funcţie

f >

0

= s u p ţx^flr) < 0 0 .

g^.f

gKf

î n t r - a d e v ă r , m u l ţ i m e a H = {g\geJ£+ tru relaţia < . Corolarul 2 . Dacă (x este o măsură pozitivă 9

g < / } este filtrantă pe T ,

atunci

|| tx|| = l i m M f f X + 0 0 . o<ar<:i

î n t r - a d e v ă r , d i n c o r o l a r u l 1 d e d u c e m , p e n t r u f(t)

= 1,

l i m jx (flf) = s u p [x ( g f ) < + 00 .

A f i r m a ţ i a r e z u l t ă a t u n c i d i n c o r o l a r u l 2 a l p r o p o z i ţ i e i 7.

pen­

MASURI PE SPAŢII LOCAL, COMPACTE

48

Corolarul 3 . Dacă

[îşiv

sînt două măsuri

II P +

CAP.

pozitive

pe T ,

I

atunci

v||=|||i||+||v||.

î n t r - a d e v ă r , (i + v e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T, d e c i +

v|| = =

lim lim

(fx +

y.(g)

v)(jr) =

+

lim

lim

(|i(jf) +

v(
|| +

v(g))

=

||v||,

6. Măsuri c u valori scalare

întîi

F i e E u n s p a ţ i u B a n a c h (real s a u complex). V o m d e m o n s t r a m a i următoarea L e m ă . Fie h e jK^(T) şi J£+ ( T ) astf/cZ c a 0 < g<; | h |. Să punem d a c a h (tf) =f= 0, IM*)I 0 a

Atunci

d a c a h (t) = 0.

7

cr |h| = h si h # e 3 ^ ( î ) . E g a l i t a t e a cx |hj = h e s t e i m e d i a t ă . F u n c ţ i a a g a r e s u p o r t u l c o m ­ p a c t ( c o n ţ i n u t î n s u p o r t u l l u i g). S ă a r ă t ă m c ă c g e s t e c o n t i n u ă . F i e J e T . D a c ă h(t )=f= 0, e x i s t ă o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă V a l u i t a s t f e l c a h(t)=J=0 p e n t r u o r i c e teV. Atunci funcţia | h | este continuă h

h

h

h

0

0

0

p e V şi d i f e r i t ă d e 0, d e c i f u n c ţ i a a = — e s t e c o n t i n u ă p e F , d e c i î n l l J , şi d e c i şi f u n c ţ i a a g e s t e c o n t i n u ă î n t . D a c ă h(t ) = 0, a t i m c i g(t ) = 0. F i e s > 0 ; e x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a l u i t a s t f e l c a g (t) >< e p e n t r u o r i c e t e F . A t u n c i h

h

0

h

0

0

0

0

=

9(t)<9(t)

< e

p e n t r u I e 7 . D e o a r e c e a ( J ) gf(^ ) = 0, r e z u l t ă c ă a g e s t e c o n t i n u ă î n t . F i e a c u m o m ă s u r ă c u v a l o r i s c a l a r e m : JC (T) - > C. P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e 9 > 0 d i n JC ( T ) s ă p u n e m h

0

0

h

0

E

+

M?) -

sup |m(f)|, f e j K , ( T ) .

Propoziţia 1 1 . Funcţionala a r e următoarele proprietăţi :

\L definită

1) 0 < ţx(cp) < + oo pentru

orice

pe JC (T)

orice

egalitatea

+

2 7

);

Î<EJC (T). S

î n t r - a d e v ă r , fie 9 e JC (T) şi fie IT s u p o r t u l s ă u ; f i e a +

ImWKajcllfH

(1)

cpe^ (T);

+ !*(?«)> ? i ^ ? 2 ^ + (

3) | m ( f ) | < | i ( | f | ) pentru

prin

+

e

2 ) c*(
(1)

£

p e n t r u orice

te-X {T,K). M

> 0 astfel ca

49

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

O r i c e f u n c ţ i e f e J£ ( T ) , p e n t r u c a r e | f | < 9, a r e s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n K, d e c i (1(9) = s u p | m ( f ) | < s u p a \\ 11|< a \\ 91| < + 0 0 . E

K

K

I n e g a l i t a t e a f x ( 9 ) > 0 e s t e e v i d e n t ă şi a s t f e l p r o p r i e t a t e a 1) e s t e monstrată. P r o p r i e t a t e a 3) r e z u l t ă d i n e g a l i t a t e a (1) l u î n d 9 = |f |. E ă m î n e s ă a r ă t ă m c ă fx e s t e a d i t i v ă p e JC (T). F i e 9, 9 ' e X ^ T ) şi e > 0 . E x i s t ă d o u ă f u n c ţ i i f, Ve-Jt (T) l » l < 9 , | f ' l < ? ' şi

de­

+

cu

E

|i(9)<|m(f)|

|i(?')<|m(f)l+4'

E x i s t ă d o u ă n u m e r e c o m p l e x e 6 şi 8' c u | 81 = | 0 ' | = 1 , a s t f e l c a |m(f)| = 6m(f) =

m(8f),

| m ( f ' ) | = 8'm(f') =

m(8T).

Atunci |8f+ 8T|<|8f| +

I 6'f' | ^

I f | -4- | f' | ^

cp +
Şi ,

+ (x(9 )<|m(f)| +

M9)

e fiind a r b i t r a r ,

|m(r)| + e = m ( 8 f + 6T) + c < ji(
rezultă

< V-{
+ Pentru a demonstra | h | < 9 + 9' şi

inegalitatea

contrară,

M

fie

+

0

0

0

0

astfel

E

şi a v e m < j r < | h | şi l u i J£+(T) şi a v e m a t u n c i g (t ) = | h (t ) | 9 (t ) şi 0

0

0

9' (t ) -1 h (t ) | -g (t ) = | h (t ) | - 9 (t ) < 9 (t ) + 9' (t ) - 9 (t ) = 9' (t ). 0

0

0

0

0

6

0

0

Să considerăm a c u m funcţia a definită în lema precedentă. A v e m h

h = c | h | = c g + c g' h

i a r G g şi c g' h

h

h

a p a r ţ i n l u i JC (T). kfcfifl < 9 <

h

Avem de asemenea

E

9

Şi

khff'l
?')

deci

+ <

ImKflOl +

e fiind a r b i t r a r ,

rezultă

+
|m(<7 0')| h

ca

z.

( | h | , 9) e s t e p o z i t i v ă , d i n J£+(T) g' = | h | — g a p a r ţ i n e d e a s e m e n e a 9'. î n t r - a d e v ă r , d a c ă | h (t ) | < 9 ( J ) , d a c ă | h (t ) \ > 9 (J ), a t u n c i g (t ) = 0

h<=X (T)

+ s<|x(9)

+ (1.(9')

+ e.

0

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

50

CAP.

I

şi d e c i (X(

cp') = jx(
şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Din propoziţia 9 rezultă că există o măsură pozitivă unică pe T n o t a t ă t o t (x, c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a (1) p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e cp ; > 0 d i n X(T). y

Propoziţia 12. Măsura pozitivă \L pe T definită de egalitatea este cea mai mică măsură pozitivă pe T care verifică inegalitatea | m(f) | <

[i( | f |) pentru

orice î e X (

(1),

T).

E

î n t r - a d e v ă r , fie v o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T a s t f e l c a |m(f)| < P e n t r u orice funcţie

v(|f|) p e n t r u orice

cpej£ (T)

fx(cp) =

Î<EX (T). E

avem

+

sup |m(f)| <

sup

v ( | f | ) < v(cp)

a d i c ă (X v. M ă s u r a p o z i t i v ă (x d e f i n i t ă d e e g a l i t a t e a (1) v a fi n o t a t ă a d e s e a şi v a fi n u m i t ă modulul l u i m . D a c ă fx e s t e o m ă s u r ă pozitivă p e T , a t u n c i |(x| = (x. Cu a c e a s t ă n o t a ţ i e , i n e g a l i t a t e a ( 2 ) se p o a t e scrie a s t f e l : | ^ f d m | < Jj |f | d | m |

p e n t r u orice f e X (

|m|

T),

E

i a r d a c ă (x e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă ,

J ^ cpdfx J < ; ^ | cp | d(x p e n t r u o r i c e cp e X( Propoziţia 1 3 . Avem într-adevăr, ||m||=

||m|| =

sup | m ( f ) | < Utilai teX

||(x|| <

+ oo dacă

s u p (x(|f | ) < i|f||
E

Pentru a demonstra inegalitatea contrară, D e o a r e c e (x ; > 0, a v e m |(x| = (x, d e c i lp(
sup IfKlvl I<EX E

|m(f)|<

T).

(x =

|m|.

s u p I fx(cp) | = |MI • iM/o ^X fie

cpej^(T)

sup

|m(f)|=

cu ||m||

IlflKi *<EX

E

de unde NI =

sup

| ( x ( c p ) l < ||m||

veX D i n c e l e d o u ă i n e g a l i t ă ţ i d e s e n s c o n t r a r r e z u l t ă ||m|| =

||(x||.

||cp||<;i.

PROPRIETĂŢILE MĂSURILOR

Corolarul 1.

51

Avem \\m\\ =

sup

| m | (cp) <

oo.

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u m ă s u r a p o z i t i v ă ţx = ||(x|| =

|m| avem

s u p (x(cp).

Corolarul 2 . Măsura m este continuă pe X (T) pentru topologia convergenţei uniforme , dacă şi numai dacă măsura | m | este continuă pe 3£(T) pentru această topologie'. Propoziţia 14. Orice măsură reală (x este diferenţa a două măsuri pozitive. F i e |(x| m o d u l u l l u i (x. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 > 0 d i n J£(T) a v e m B

M?)Klnl(?) deci

< ^(9) <

— Eezultă

că — lM<(x<|(x|

deci

(x

+

|{*l(
lţx| — (x > 0 şi

Şi — 1(^1 <

| ( x | £ f (x > 0.

Să

— (x <

|(x|

notăm

şi (x__ s î n t m ă s u r i p o z i t i v e şi a v e m (X =

Observaţie.

( X

+

-

(X_.

Avem de asemenea |(x| =

[L^ +

(X_.

jx+ şi (x_ se n u m e s c , r e s e c t i v partea pozitivă şi partea negativă a m ă s u r i i r e a l e (x. O m ă s u r ă r e a l ă (x p o a t e fi s c r i s ă î n m a i m u l t e m o d u r i c a d i f e r e n ţ ă a d o u ă m ă s u r i p o z i t i v e . D e e x e m p l u , d a c ă v >> 0, a t u n c i (x + +

v>0,

(x_ +

v> 0

şi

(x = ((x + v) — ((x_ + +

v).

M ă s u r i l e (x şi (x_ s î n t s i n g u r e l e m ă s u r i p o z i t i v e c a r e v e r i f i c ă î n a c e l a ş i t i m p egalităţile +

( x = (x +

(x^ şi

Corolar. D a c a jx este o măsură IWI = I I M +

| p | = (x + (x . +

reală,

avem

lin-II <

+ <*>•

MASURI

52

într-adevăr,

PE SPAŢII

3 al

+

P e de altă parte,

MĂSURI

COMPACTE

|(x| = (x + (x_ d e c i ( c o r o l a r u l UIMII =

§3.

LOCAL

||(x|| =

CAP.

propoziţiei

I

10),

11+

!l|[x|||,

deci

MAJORATE

1. F a m i l i i m a j o r a t e de m ă s u r i reale V o m a r ă t a c ă î n s p a ţ i u l v e c t o r i a l o r d o n a t M( T) a l m ă s u r i l o r r e a l e p e T orice m u l ţ i m e m a j o r a t ă a r e m a r g i n e superioară. Vom demonstra mai întîi Propoziţia 1. Pentru

orice

| p | = s u p ((x, -

măsură

reală

jx

avem

(x), (x = s u p ((x, 0 ) , (x_ = s u p ( ~ ( x , 0) . +

Din inegalitatea - | ( X | < { X < | ( X |

deducem |ţx| >

{x şi |(x| >

— (x

deci |(x| > s u p ( - ( x , (x). S ă a r ă t ă m c ă d a c ă v ; > fx şi v >> — (x, a t u n c i v > |(x|, d e u n d e v a r e z u l t a c ă |(x| = s u p ( — (x, (x). P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e cp e JC(T) avem fx(cp) v(cp) şi — (x(cp) < v(cp) d e c i |(x(cp)| < ! v(cp). î n p a r t i c u l a r , r e z u l t ă c ă v(cp) > 0 p e n t r u cp e J£ (T), a d i c ă v > 0. F i e a c u m cp e j£( T ) o a r e c a r e . S ă n o t ă m +

c p = ~ ( | c p | + cp) şi cp_ = i ( | 9 | +

— 9)

d e c i 9 , 9 _ e X ( T ) şi +

f

9 = 9

+

— 9_ ,

I91 =

9

+

+ 9_ .

Atunci =

< v(9 ) +

{*(*-) K

M
+ v(9_)

= v ( |

M
C u m |(x| e s t e c e a m a i m i c ă m ă s u r ă c a r e v e r i f i c ă i n e g a l i t a t e a < |(x|(9) p e n t r u o r i c e ( p e l f T ) , r e z u l t ă c ă | p | O şi d e c i |(x| = s u p ((x, -

ţx).

|(x(q>) | < !

53

MĂSURI MAJORATE

C e l e l a l t e e g a l i t ă ţ i r e z u l t ă d i n r e l a ţ i i l e *) s u p (fx, v ) + X = s u p ((X + X, v + X), sup (a(x, a v ) =

a sup ((x,v), a ^

0.

Anume : s u p ((x, -

|p| +

fx =

|(x| -

fx = s u p ((x, -

jx) +

tx =

s u p (2(x,0)

(x) -

(x = s u p (0, - 2 ( x )

de unde

=

t*+

+ {*)

= s u p ((x, 0 ) ,

\\ |x_ = ' - ( | { x | —V-) = s u p ( 0 , - ( x ) = s u p ( - ( x , 0 ) . P r o p o z i ţ i a 2 . D a c a (x este o măsură inf

fxj =

0

reală

şi s u p

avem

(fx+, fx_) = | ( x | .

Z)ac# (x şi ( x dowa măsuri pozitive cu (x = (x — ţx s i d a c ă inf ( ( x , ( x ) = 0, atunci (x = ( x ş i (x = [ x _ . S ă n o t ă m X = inf ( ( x , (x_) şi s ă c o n s i d e r ă m m ă s u r i l e v = ( x — X şi v = (x_ — X. A v e m , e v i d e n t , v ; > 0 şi v > 0 şi (x = v — v , d e u n d e (x < ; v . A t u n c i x

x

2

x

2

x

+

2

2

+

x

2

x

2

x

+

2

t

(x

Rezultă că X = ( i

-

+

+

= s u p ((x, 0) <

v < 0 . D a r X > - 0, d e c i X = 0, a d i c ă inf

D a c ă (x =

(x — (x şi x

Să n o t ă m

+

( ( x , (x_) = +

0 , (x

2

(x

s u p ( v , 0) = v .

= sup

0.

0 , a t u n c i (x

2

((x, 0) <

sup

(x şi x

( ( X i , 0) = ( X i .

X = fx — ţ x . A v e m x

^2 =

+

—

P =

~

n+

+

^ -

=

A

.

D i n e g a l i t ă ţ i l e ^ = X -f- ( x şi (x = X + (x_ r e z u l t ă X < ; (^ şi X < ; fx d e c i X < ; i n f ( ( X i , ţx ) = 0 . D a r X > 0 , d e c i X = 0 , d e u n d e (x = ţ x şi ţx = fx_. E g a l i t a t e a s u p ( ( x , fx_) = |(x| r e z u l t ă a s t f e l : +

2

2

2

x

+

2

+

SUp ( ( X + , fX_) =

= s u p (fx^ -

f x _ , 0) +

( s u p ( ( x ^ . , fX_) -

(x_ = s u p

((X, 0) +

fX_) + [X_ =

{i_ [X + +

= (A_ =

*) Aceste relaţii trebuie înţelese astfel: dacă marginea superioară dintr-o parte a egali­ tăţii există, atunci există şi marginea superioară din cealaltă parte, a egalităţii, iar egalitatea însăşi este adevărată.

54

MĂSURI PE SPAŢII LOCAL COMPACTE

CAP. I

Propoziţia 3 . Orice mulţime finită de măsuri reale are margine supe­ si margine inferioară. E s t e s u f i c i e n t s ă d e m o n s t r ă m p r o p o z i ţ i a p e n t r u d o u ă m ă s u r i (x şi v . î n p r o p o z i ţ i a 1 s-a d e m o n s t r a t c ă e x i s t ă s u p (ţx — v , 0) = ((x — v ) . A t u n c i e x i s t ă şi s u p ( ţ x , v ) şi rioară

+

sup

((x,

v)

= sup

Să observăm m a i d e p a r t e sup

((x,

v)

= sup

((X -

v,

0)

v,

0)

v =((X —

+

v )

+

+

v.

că ( - [ X

+

+

(fX -

(X =

V)_ +

{X.

Eezultă atunci că Sup

((X,

v

)

=

i

(|I —

V +

({i +

v)+

+

([X —

-

v|).

v)_)

adică sup

((x,

= i ( ( x

v)

+

v +

I(A

D e d u c e m a p o i c ă e x i s t ă inf (fx, v ) = — s u p ( — [ x , — v ) şi p r o p o z i ţ i a e s t e demonstrată. Observaţie. P r o p o z i ţ i a 3 a f i r m ă c ă s p a ţ i u l o r d o n a t JH( T) a l m ă s u r i l o r r e a l e p e T e s t e reticulat. U n s p a ţ i u v e c t o r i a l şi r e t i c u l a t se n u m e ş t e s p a ţ i u Eiesz. Propoziţia 4 . Orice parte nevidă A de măsuri pozitive, majorată şi filtrantă pentru relaţia ^ , are margine superioară. D e o a r e c e A e s t e m a j o r a t ă , e x i s t ă o m ă s u r ă j x > - 0 a s t f e l c a (x < ; f x p e n t r u orice ( x e l . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e p o z i t i v ă cpe Jt (T) să p u n e m 0

0

+

v(
s u p (X(
A v e m deci 0 < v ( c p ) < (x (cp) < + o o p e n t r u 0

Deoarece A este filtrantă, v(9) =

9 e

X (T). +

avem lim

(x(9) p e n t r u

(pel (T). +

D e aici r e z u l t ă c ă v e s t e a d i t i v ă p e JC (T) d e c i se p o a t e p r e l u n g i l a o m ă s u r ă p e T, n o t a t ă t o t v . D i n d e f i n i ţ i a l u i v r e z u l t ă c ă (x < ; v p e n t r u orice [x e A, i a r p e d e a l t ă p a r t e v ( x p e n t r u o r i c e m a j o r a n t [ x a l l u i A, d e c i v e s t e cel m a i m i c m a j o r a n t a l l u i A, a d i c ă +

0

v

Propoziţia 5 . Orice are margine superioară.

parte

H

=

sup

0

A.

de măsuri

reale,

nevidă

şi

majorată,

MĂSURI. MAJORATE

55

F i e A m u l ţ i m e a marginilor superioare ale familiilor finite de m ă s u r i d i n H. M u l ţ i m e a A e s t e f i l t r a n t ă p e n t r u r e l a ţ i a î n t r - a d e v ă r , fie [x f j , e i ; e x i s t ă d o u ă p ă r ţ i f i n i t e G şi C a l e l u i H a s t f e l c a [x = s u p C şi fx = s u p <7 . A t u n c i [x = s u p (C (J C ) e l şi Vt < ^2 < ^3P e d e a l t ă p a r t e , o r i c e m a j o r a n t a l l u i H e s t e şi u n m a j o r a n t a l l u i A, d e c i A e s t e m a j o r a t ă . F i e [x <= A şi A = { ţ x | ţ x e  , [x > - f x } . M u l ţ i m e a J . — [x = {u — [x | [ i e i , [ i > [ j i } e s t e f i l t r a n t ă p e n t r u r e l a ţ i a , m a j o r a t ă , şi f o r m a t ă d i n m ă s u r i p o z i t i v e , d e c i e x i s t ă s u p ( A — (i ). A t u n c i e x i s t ă şi 1?

x

2

x

2

x

2

0

0

0

3

0

0

2

±

2

0

0

0

sup^

0

= s u p (A

0

— (x ) + [x 0

0

0

şi d e c i e x i s t ă sup A = sup A

0

=

v.

U r m e a z ă c ă v e s t e m a r g i n e a s u p e r i o a r ă a m u l ţ i m i i H. î n t r - a d e v ă r , o r i c e m a j o r a n t X a l l u i H e s t e şi u n m a j o r a n t a l l u i A, d e c i X >> v. P e d e a l t ă p a r t e , v e s t e u n m a j o r a n t a l l u i H, d e o a r e c e p e n t r u o r i c e [ X E 5 e x i s t ă [ i ^ i a s t f e l c a [x < ; (x d e c i fx < ; v. E e z u l t ă a ş a d a r c ă v = s u p H. C o r o l a r . Orice parte H de măsuri reale, nevidă şi minorată are margine inferioară. î n t r - a d e v ă r , — H = {—[i\[i^H} e s t e n e v i d ă şi m a j o r a t ă d e c i a r e margine superioară. Atunci 1?

inf H=

-

sup

{—H).

Observaţie. U n s p a ţ i u vectorial o r d o n a t r e t i c u l a t în care orice p a r t e n e v i d ă şi m a j o r a t ă a r e m a r g i n e s u p e r i o a r ă se n u m e ş t e s p a ţ i u complet reticulat. S p a ţ i u l JH{ T) a l m ă s u r i l o r r e a l e e s t e d e c i c o m p l e t r e t i c u l a t .

2. M ă s u r i

majorate

F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h ( r e a l e s a u c o m p l e x e ) . D e f i n i ţ i a 1. Spunem că o măsură i n : 3C (T) —> F 4e o măsură pozitivă v, dacă E

|m(f) | < ! v (|f |) pentru

orice funcţie

este

majorată

î <s JC ( T). E

Spunem că măsura m : J£ ( T) -+F este majorată, dacă există o măsură pozitivă care o majorează. P r o p r i e t a t e a d e c o n t i n u i t a t e a u n e i m ă s u r i p e s p a ţ i i l e JC {T, K) rezultă din faptul că este m a j o r a t ă : P r o p o z i ţ i a G. Orice aplicaţie liniară majorată m : JC {T) -> F este o măsură majorată. Fie v o măsură > 0 p e T care majorează pe m : E

E

E

| m ( f ) | < v(|f|), pentru

teX (T). M

56

MASURI P E SPAŢII LOCAL

Fie K a

T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi fie a

K

Iv(cp) | < Pentru deci

orice

a

K

COMPACTE

CAP.

> 0 astfel ca

|| cp|| p e n t r u o r i c e yeJt{T,

f u n c ţ i e ieJC {T,

K)

E

I

avem

|m(f)|< v d f I X a ,

K).

|f| <=jK(T, K)

şi ||f|| =

I||f|||,

||f||.

Aceasta înseamnă că m este o m ă s u r ă . Există măsuri care n u sînt majorate, aşa c u m rezultă din exemplul următor. Exemplu. S ă l u ă m T = [ 0 , 1 ] , E = B, F = &(T) şi m a p l i c a ţ i a i d e n t i c ă a l u i &(T) î n F. E v i d e n t , m e s t e c o n t i n u ă p e &{T), d e c i e s t e o m ă s u r ă ; d a r m n u este m a j o r a t ă . î n t r - a d e v ă r , să p r e s u p u n e m prin a b s u r d c ă m a r fi m a j o r a t ă d e m ă s u r a p o z i t i v ă v : ||cp|| =

|m(cp)| <

v(|cp|) p e n t r u o r i c e c p e g ( T ) .

S ă a r ă t ă m m a i î n t î i c ă p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Ka T c u i n t e r i o r u l n e v i d , şi o r i c e f u n c ţ i e p o z i t i v ă ^ e g a l ă c u 1 p e K, a v e m v(^) > 1 . D e o a r e c e I n t K =f= 0 , e x i s t ă o f u n c ţ i e cp <=6(T, K) n e i d e n t i c n u l ă . A t u n c i l ? l < Il 1 . P e n t r u fiecare n u m ă r n a t u r a l n să n o t ă m K

= '

n

1

1

\n — 1 şi s ă l u ă m ty (t) = 1 p e n t r u te n

CU s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n K. n

Atunci

pentru

—»

——--

\n

4w — 3

fiecare n a v e m

4w — 2

astfel

ca

v(^ ) > 1 şi w

t <W < 1 , d e c i n < s v(.) < v ( l ) , d e u n d e v ( l ) = + o o , «=1 t=l i=l c e e a c e e s t e a b s u r d , d e o a r e c e f u n c ţ i a i d e n t i c e g a l ă c u 1 a p a r ţ i n e l u i @(T). P e n t r u măsurile cu valori scalare, a v e m Propoziţia 7. Orice măsură m : JC ( T) -> C cu valori scalare, este majorată de măsura \L = | m | . î n t r - a d e v ă r , m ă s u r a |m | m a j o r e a z ă p e m , e s t e c e a m a i m i c ă m ă s u r ă p o z i t i v ă c a r e m a j o r e a z ă p e m ( p r o p o z i ţ i a 1 2 , § 2) şi ||m|| = î n p a r t i c u l a r , m ă s u r i l e s c a l a r e s î n t m a j o r a t e . O m ă s u r ă p o z i t i v ă \L este majorată de ea însăşi, deoarece = ţi. V o m a r ă t a a c u m c ă n u n u m a i m ă s u r i l e c u v a l o r i s c a l a r e , ci o r i c e m ă s u r ă m a j o r a t ă ni p o s e d ă o c e a m a i m i c ă m ă s u r ă p o z i t i v ă m a j o r a n t ă c a r e v a fi n o t a t ă c u |m | : Propoziţia 8. Dacă m : JC ( T) -> F este o măsură majorată, atunci există o cea mai mică măsură pozitivă | m | care majorează pe m , si | | m | K <|||m|||< +oo. Dacă E şi F sînt spaţii Banach cu involuţie, atunci m este majorată şi | m | = | m | . Fie v o măsură > 0 care majorează pe m : |m(f) | < v( |f |) p e n t r u f e JC ( T). E

B

B

MASURI .MAJORATE

P e n t r u f i e c a r e z'eF' nită prin egalitatea

să

considerăm

( « o m ) (f) -

57

m ă s u r a z'om

< m ( f ) , «' > p e n t r u

P e n t r u orice funcţie f e

: JC (T)

-> C defi­

E

t
T) a v e m

l ( * ' o m ) ( f ) | < \z'\ | m ( f ) | <

\z'\ v (|*|)

d e c i m ă s u r a « ' o m e s t e m a j o r a t ă d e m ă s u r a p o z i t i v ă \z'jv. D a r « ' o m e s t e o m ă s u r ă c u v a l o r i s c a l a r e , şi |«' o m | e s t e c e a m a i m i c ă m ă s u r ă p o z i ­ tivă care o majorează. U r m e a z ă că v

| « ' o m | <^ | £ ' l p e n t r u o r i c e

z'eF'

Familia (|«'om|) de măsuri pozitive este majorată în spaţiul complet r e t i c u l a t JH{T), d e m ă s u r ă v. U r m e a z ă c ă a c e a s t ă f a m i l i e a r e o m a r g i n e s u p e r i o a r ă fx : |^'om| < Pentru

{x<

v pentru

o r i c e f u n c ţ i e teJ£ (T) sup

| <m{t),z' <

sup

cu

\z'\ <

1.

avem

S

|m(f)| =

o r i c e z'eF'

>

| -

,

sup

|(« om) (l)|

<

|*'om| ( | f | ) < | i ( | f | )

deci m a j o r e a z ă p e m . C u m jx < [ v şi c u m v a f o s t o m ă s u r ă a r b i t r a r ă c a r e m a j o r e a z ă p e m , r e z u l t ă c ă | m | = jx e s t e c e a m a i m i c ă m ă s u r ă c a r e majorează p e m. Mai departe ||m||=

s u p | m ( f ) | < sup ( x ( | f | ) < \\t\\^i l|f||
sup

|(x( ) | = 9

||(x|| =

|||m|||.

B

S ă p r e s u p u n e m c ă E şi F s î n t c u i n v o l u ţ i e . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e avem |m(f)| =

\^]

= |m(f)|<

|m|(jf|) =

Î<EJC (T) E

|m|(|f|),

d e c i m e s t e m a j o r a t ă şi | m | |m|. A v e m apoi |m| = |m| <; |m|, deci | m | = | m | şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . C a şi p e n t r u m ă s u r i l e c u v a l o r i s c a l a r e , c e a m a i m i c ă m ă s u r ă p o z i t i v ă | m | c a r e m a j o r e a z ă o m ă s u r ă m a j o r a t ă m , se n u m e ş t e modulul lui n u P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e ^&JC (T) avem +

|m|( sup

|m(f),

||m||<|||m|||

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

58

CAP. I

şi d u p ă c u m s-a a r ă t a t ( p r o p o z i ţ i i l e 1 2 şi 1 3 , § 2 ) , d a c ă m ă s u r a m a r e v a l o r i scalare, atunci |m|(
î n cazul cînd m n u a r e valori V o m n o t a c u JH {T) m: X (T)->F. P e n t r u m u l ţ i m e a Jft m ă s u r i l o r r e a l e , v o m folosi respectiv Jlt{T). Propoziţia 9 . Mulţimea este un spaţiu vectorial. Dacă EF

s c a l a r e , i n e g a l i t ă ţ i l e p o t fi s t r i c t e . s a u JU mulţimea măsurilor

majorate

sr

E

BtC

a

m ă s u r i l o r c o m p l e x e şi m u l ţ i m e a JH a în continuare notaţiile anterioare, JH^(T) R%R

JH ( T) a măsurilor majorate m : JC { T) -> F m , weJH iar OL este scalar, avem EtF

E

EF

|m + n | < | m | +

| n | şi | a m | =

|a| |m|.

F i e m , n e Jt şi a u n s c a l a r . S ă n o t ă m ţx = | m | şi v = o r i c e îeJC (T) avem

|n |. P e n t r u

E%F

E

|(m + n) ( f ) | =

|m(f) + n(f)| <

<(x(|f|) +

deci m + n este

v (|f|)

|m(f)| +

= ( n +

|n(f)|

<

v)(|f|)

m a j o r a t ă şi | m + n | < ! [x + v, a d i c ă | m + n | < | m |

D e a s e m e n e a , p e n t r u o r i c e îeJC (T) E

|am(f)| =

|«|

+ |n|. avem

|m(f)| <

|a|

|i(|f|)

d e c i a m e s t e m a j o r a t ă ş i |<xm| < ; |a|(x, a d i c ă | am| < D a c ă a = 0, egalitatea

|am| =

|a| |m| .

| a | | m | este verificată.

Să presupunem

D a c ă X m a j o r e a z ă p e a m , a t u n c i — m a j o r e a z ă p e m , deci — > 1*1 1*1 > | m |, d e u n d e X > | a | | m |. E e z u l t ă c ă |oc | | m | e s t e c e a m a i m i c ă m ă s u r ă c a r e m a j o r e a z ă p e a m , şi d e c i aL={=to.

|a| m = | a| | m | . Ou a c e a s t a p r o p o z i ţ i a este d e m o n s t r a t ă . Corolar. Dacă m este o măsură complexă jx şi v sînt măsuri reale, atunci W <

W , M <

şi \m\ <

v

şi dacă m = jx + i > |(x| +

|v|.

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e r e a l ă / e JC{T) a v e m |(x(/)| < ; \m(f)\ t r u 9 e JC (T) avem +

|(x|( )= 9

sup |(x(/)|< sup | m ( / ) | < |/I^:
unde

|m|(9).

deci pen­

MĂSURI MAJORATE

Propoziţia 1 0 . Fie m : JC (T) -^F Jl (E, F) măsura care verifică egalitatea

o măsură

E

y)x

= m ( y x ) pentru

59

9GI(T)

(x : JC(T)

şi fie

şi

xeE.

Dacă m este majorată, atunci ţx este majorată şi |ţx [ < [ [m |. î n t r - a d e v ă r , fie yeJC(T) şi e > 0 . E x i s t ă xeE 1^(9)1 < 1^(9)^1 + - A t u n c i

cu

\x\ = 1 şi

£

|(x(
|m(9a?)| <

\[i((?)x\

=

|m|(|9|

\x\)

=

| m | ( |cp^l) =

|m|(|9|).

e fiind a r b i t r a r , d e d u c e m | < | m | (I91) , d e c i jx e s t e m a j o r a t ă d e [ m | . R e z u l t ă a t u n c i c ă |(x| < ; | m | . Observaţii. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( t e o r e m a 5 , § 8) c ă , r e c i p r o c , d a c ă (x e s t e m a j o r a t ă , a t u n c i m e s t e m a j o r a t ă şi a v e m c h i a r e g a l i t a t e a |(x | = = |m|. M a i m u l t , s e v a a r ă t a c ă o r i c e m ă s u r ă m a j o r a t ă (x : JC( T) -> Jl (E, F) se p o a t e , , p r e l u n g i " l a o m ă s u r ă m : JC (T) -+F c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a E

[i(
9 e JC(T),

xG E.

I d e n t i f i c î n d m ă s u r i l e m şi (x, i n e g a l i t a t e a ||J9d(x|<^i9|d|m| se scrie |^9dmJ<|| |9|d|m|, Avem de asemenea

pentru

cţx=J£(T).

inegalitatea

| ^ f d m | < ^ |f|d|m|, pentru

TEX {T). S

Propoziţia 1 1 . Fie (x : JC(T) -> C o măsură reală (respectiv plexă), E un spaţiu Banach real (respectiv complex) şi m : JC (T) măsura unică ce verifică egalitatea E

m(
m este majorată

dacă si numai


şi

com­ E

xeE.

(x este majorată.

In acest caz

|m|=|n|. D a c ă m este m a j o r a t ă , p e n t r u orice funcţie \x\ == 1 a v e m M
=

1^(9)11^1 =

\v-(
«deci (x e s t e m a j o r a t ă şi |(x| < ; | m | .

|m(9^)l <

q><=JC(T) şi x <=E c u

|m|(|9a?|) =

|ni|(l9l)>

MĂSURI

60

PE SPAŢII LOCAL

COMPACTE

CAP. I

E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă (x e s t e m a j o r a t ă . F i e f e JC (T), fie K s u p o r t u l l u i f şi U o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K. F i e e > 0 ; e x i s t ă o f u n c ţ i e g = Ş

€

i

i

9

i

e

|m(f)| < | m ( g ) | + Şi |g| < u n d e y eX(T) < m ( g ) , z' >

şi

0

=

|m(f)| <

H

e <

|m(g)| =

(!<«,*'> =

Deoarece

s

|f|

este arbitrar,

I X

ecp , 0

t e U.

< m(g),

lix|(|f|) +

1

Fie

z' >

IMdgIX

zel* '

= j x ( < g, H

(l«l +

cu s'

*?•)

|«'| = 1

şi

> ) < =

«||i|(9o).

deducem |m(f)|<

E e z u l t ă că m este D i n cele d e | m | < |[A| şi |{x| Identificînd

+

(|f|).

m a j o r a t ă şi | m | < ! |[x|. m a i s u s , r e z u l t ă c ă d a c ă m şi [x s î n t m a j o r a t e , a v e m < [ | m | d e c i | m | = |jx|. P r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . m ă s u r i l e m şi ţx, i n e g a l i t a t e a |^fdm|<ţj|f|d|m|

pentru

teX (T) E

se s c r i e |ţjld(ji|<^f|d||i| Avem de asemenea

pentru

ieJC (T). E

egalitatea

|^cpd{x|<^|cp|d|{x| p e n t r u

cpejC(T).

Corolar. Dacă (x : JC(T) C este o măsură este prelungirea sala JC (T), avem \m\ = |ţx|.

scalară

şi m : JC (T) C

-> C

C

3 . Măsuri m ă r g i n i t e Definiţia 2 . Spunem că o măsură pozitivă [x pe T este mărginită dacă aplicaţia liniară fx : JC( T) -> B este continuă pentru topologia conver­ genţei uniforme. Spunem că o măsură vectorială m : JC ( T) -+F este mărginită dacă este majorată de o măsură pozitivă mărginită. E

MASURI MAJORATE

61

A s p u n e c ă o m ă s u r ă p o z i t i v ă (x e s t e m ă r g i n i t ă , î n s e a m n ă c ă jx a p a r ţ i n e d u a l u l u i s p a ţ i u l u i n o r m a t JC(T) ( c u n o r m a | | / | | = s u p |/(tf)|), te T i a r a c e a s t a î n s e a m n ă c ă ||(x|| < + 0 0 , u n d e = s u p |(x(/)|, f^JLT). D a c ă ţx şi v s î n t d o u ă m ă s u r i p o z i t i v e m ă r g i n i t e i a r a > - 0, a t u n c i ţx + v şi ocfx s î n t m ă s u r i p o z i t i v e m ă r g i n i t e , d e o a r e c e III* +

v|| -

|| + | | v | | < + 00 şi ||a(x|| =

| a | ||(x|| <

+ 00.

D e a s e m e n e a , d a c ă (x şi v s î n t d o u ă m ă s u r i p o z i t i v e a s t f e l c a (x d a c ă v e s t e m ă r g i n i t ă , a t u n c i şi jx e s t e m ă r g i n i t ă , d e o a r e c e

v şi

+00.

HnlKllvll <

D e d u c e m că : O m ă s u r ă v e c t o r i a l ă majorată m : JC (T) ->F e s t e m ă r g i n i t ă d a c ă şi n u m a i d a c ă m o d u l u l s ă u | m | e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă m ă r g i n i t ă . N o t ă m c u J)l , (T) m u l ţ i m e a m ă s u r i l o r v e c t o r i a l e m : JC (T) -*F m a j o r a t e şi m ă r g i n i t e . Jlt\ (T) este o s u b m u l ţ i m e a s p a ţ i u l u i JH (T) a l m ă s u r i l o r m a j o r a t e . M u l ţ i m e a m ă s u r i l o r s c a l a r e m ă r g i n i t e v a fi n o t a t ă c u JH\ ( T ) , i a r m u l ţ i m e a m ă s u r i l o r r e a l e m ă r g i n i t e v a fi n o t a t ă c u Jfl ( T ) . M ă s u r a m u l ţ i m i l o r p o z i t i v e m ă r g i n i t e se n o t e a z ă JH\ (T). Propoziţia 1 2 . Mulţimea JH (T) este un spaţiu vectorial iar aplicaţia m - > | | m | | este o normă pe acest spaţiu. F i e m şi n d o u ă m ă s u r i d i n Jfl (T) şi a u n s c a l a r . M ă s u r i l e m şi n s î n t m a j o r a t e i a r m ă s u r i l e p o z i t i v e | m | şi | n | s î n t m ă r g i n i t e . R e z u l t ă m a i î n t î i c ă m + n şi a m s î n t m a j o r a t e . D i n i n e g a l i t ă ţ i l e E

E F

E

%F

E9F

1

EiF

E9

|m + n | < | m |

+ |n|

şi

F

| am | = I a | | m |

şi d i n f a p t u l c ă | m | + | n | şi | a | | m | s î n t m ă r g i n i t e , r e z u l t ă c ă | m + n | şi | a m | s î n t m ă s u r i m ă r g i n i t e şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Din inegalitatea

l|m|K|| |m||| d e d u c e m c ă o r i c e m ă s u r ă mărginită m : JC (T) -> F e s t e o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă continuă p e JC (T) p e n t r u topologia convergenţei uniforme. Afirmaţia reciprocă n u este în general a d e v ă r a t ă : există măsuri v e c t o r i a l e c o n t i n u e , c a r e n u sînt nici m a j o r a t e (v. e x e m p l u l d e la p u n c t u l 2). P r o p o z i ţ i a 1 3 . O măsură cu valori scalare m : JC (T) -> G este mărginită dacă şi numai dacă este o aplicaţie liniară continuă pe JC (T) pentru topologia convergenţei uniforme. î n t r - a d e v ă r , o a s e m e n e a m ă s u r ă m e s t e t o t d e a u n a m a j o r a t ă şi d a c ă (x = | m | , a t u n c i | | m | | = ||(x||. D a c ă m e s t e c o n t i n u ă , atunci || (x|| — || m || < + 00, d e c i fx e s t e m ă r g i n i t ă , şi d e c i m e s t e m ă r g i n i t ă . E

E

E

E

62

MĂSURI PE SPAŢII LOCAL, COMPACTE

CAP. I

Eeciproc, dacă m e s t e m ă r g i n i t ă , a t u n c i | | m | | = || ţx|| < + o o deci m este c o n t i n u ă . D i n a c e a s t ă p r o p o z i ţ i e d e d u c e m c ă s p a ţ i u l M (T) al măsurilor m ă r g i n i t e m : JC ( T ) C, c o i n c i d e c u d u a l u l s p a ţ i u l u i n o r m a t JC (T) d e c i <Jt c (T) e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h p e n t r u n o r m a | | m | | . î n p a r t i c u l a r , Ml (T) şi JW (T) s î n t s p a ţ i i B a n a c h . P r o p o z i ţ i a 1 4 . Fie [L : JC (T) -> C o măsură scalară, E un spaţiu Banach şi m : JC ( T ) - > E măsura unică ce verifică egalitatea r

E9G

E

E

f

E9

1

E

m (
pentru


xeE.

Măsura m este mărginită dacă şi numai dacă [x este mărginită. î n t r - a d e v ă r , ||m|| = ( t e o r e m a 1, § 2). E e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a m ă s u r i l o r s c a l a r e m ă r g i n i t e JtL ( T ) se p o a t e s c u f u n d a i z o m e t r i c î n m u l ţ i m e a Jl(X (T), E) a a p l i c a ţ i i l o r l i n i a r e şi c o n t i n u e a l e l u i JC {T) î n E. P r o p o z i ţ i a 1 5 . Fie m :J£(T) C o măsură complexă, iar \L şi v măsurile reale pentru care m = \L + i v . Măsura m este mărginită dacă şi numai dacă măsurile reale [L şi v sînt mărginite. Afirmaţia rezultă din inegalităţile E

E

W

<M

. | v | < | » |

, |W|<||*| +

|v|.

P r o p o z i ţ i a 1 6 . O măsură reală [L : JC(T) B este şi numai dacă [L şi [L_ sînt măsuri pozitive mărginite. Afirmaţia rezultă din egalitatea

mărginită

dacă

+

IM = şi d i n i n e g a l i t ă ţ i l e

<

§4. SUPORTUL U N E I

+

P~

şi \L_ <;

MĂSURI

F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi m : JC (T) ->F o m ă s u r ă . D e f i n i ţ i a 1. Se numeşte suportul măsurii m , mulţimea punctelor te T care au proprietatea că, pentru orice vecinătate V a lui t, există o funcţie îeJC (T, V) astfel încît m(f)^0. V o m n o t a s u p o r t u l m ă s u r i i m c u S ( m ) . A s p u n e c ă u n p u n c t te T n u a p a r ţ i n e suportului lui m , î n s e a m n ă că există o v e c i n ă t a t e V a l u i t a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i m l a s p a ţ i u l JC (T, V) e s t e n u l ă . D a c ă G e s t e o m u l ţ i m e d e s c h i s ă , şi d a c ă r e s t r i c ţ i a l u i m l a s p a ţ i u l JC (G) e s t e n u l ă , s p u n e m c ă m ă s u r a m nu posedă masă în mulţimea G. F i e G r e u n i u n e a t u t u r o r m u l ţ i m i l o r deschise în care m nti p o s e d ă m a s ă . D i n p r i n c i p i u l l o c a l i z ă r i i d e d u c e m c ă m n u p o s e d ă m a s ă î n G , şi d e c i G este cea m a i m a r e m u l ţ i m e deschisă în care m n u p o s e d ă m a s ă . P r o p o z i ţ i a 1. Suportul măsurii m este complementara celei mai mari mulţimi deschise în care m nu posedă masă. F i e G cea m a i m a r e m u l ţ i m e deschisă în care m n u posedă m a s ă . A c e a s t a î n s e a m n ă c ă m ( f ) = 0 p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f eJC (T, G ). P e n t r u S

E

E

E

0

0

0

0

E

0

SUPORTUL UNEI MĂSURI

63

( m ) , d e c i G f]S

o r i c e p u n c t / e G l u ă m V = G şi d e d u c e m c&tmS de unde S(m)dCG . 0

0

0

(m) = 0 ,

0

R e c i p r o c , d a c ă t^G , n u e x i s t ă n i c i o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă G a l u i t, în care m să n u posede m a s ă , deoarece orice m u l ţ i m e deschisă în care m n u p o s e d ă m a s ă e s t e c o n ţ i n u t ă î n G . A ş a d a r , d a c ă t&G , atunci oricare a r fi v e c i n ă t a t e a V a l u i r e s t r i c ţ i a l u i m l a JC (T, V) n u e s t e i d e n t i c n u l ă şi d e c i te S(m). R e z u l t ă c ă C ^ o C # ( m ) . I n c l u z i u n e a c o n t r a r ă f i i n d d e j a d e m o n s t r a t ă , d e d u c e m 8(m) = CG . 0

0

0

E

0

C o r o l a r . Suportul unei măsuri este o mulţime închisă. P r o p o z i ţ i a 2 . Bacă m , n : JC (T) ->F sînt măsuri scalar =f= 0, atunci : E

S(m

+ n)Cfl(m)Ufl(n)

şi

fl(am)

iar

OL este

= S (m).

î n t r - a d e v ă r , nici u n a d i n cele d o u ă m ă s u r i n u p o s e d ă m a s ă î n m u l ţ i ­ m e a d e s c h i s ă C # ( m ) n C # ( n ) = Q (S (m){JS(n)). R e z u l t ă că nici m ă s u r a m + n n u posedă m a s ă în această m u l ţ i m e , deci

C ( S ( m ) U f i ( n ) ) c C « ( m + n) de unde

S(m

+ n)cS(m)U«(n).

E g a l i t a t e a # ( a m ) = S(m) e s t e e v i d e n t ă , d e o a r e c e m ă s u r i l e m şi a m se anulează în acelaşi t i m p . P e n t r u măsurile pozitive, obţinem proprietăţi suplimentare. P r o p o z i ţ i a 3 . Bacă \L > - 0 şi v >< 0 sînt măsuri pozitive şi dacă < ] v, atunci S (jx) (Z S ( v ) . î n t r - a d e v ă r , d a c ă v n u p o s e d ă m a s ă î n t r - o m u l ţ i m e d e s c h i s ă G, a t u n c i n i c i jx n u p o s e d ă m a s ă î n G. R e z u l t ă c ă S(v)cC^(^) de unde

#([x)c:>S(v). P r o p o z i ţ i a 4 . Bacă

jx şi v sînt

două

măsuri

pozitive,

I n c l u z i u n e a S([i + v) CZ S([i)[j # ( v ) e s t e a d e v ă r a t ă măsuri. A v e m a p o i (x ţx -f- v şi v < ; ţx - j - v d e c i S(IL)C:S(IL

+

şi

V)

^( )e^([x V

+

atunci

pentru

orice

v)

de unde « ( J I ) U ^ ( V ) C i » (JJL + V ) .

D i n cele d o u ă incluziuni r e z u l t ă e g a l i t a t e a d e P r o p o z i ţ i a 5 . Bacă ( ( x j i ^ ^ n este o familie finită atunci « ( S U p [L ) = I

\jS( L ). [

I

demonstrat. de măsuri pozitive,

64

MASURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

Să notăm i = 1, 2 ,

\

= s u p (x*. A v e m

ţx. <

CAP. I

X , d e c i 8((x ) i

CZ 8(X)

pentru

de unde U ^ ( ^ ) C / 8 ( X ) . »=i

P e d e a l t ă p a r t e , X < ^ + (x -+- . . . + ( x , d e c i a

*(X)C«(|i + 1

w

. . . + iO = « ( x ) U . . . U«(n») = f

1

U«(fc)-

Aşadar

Uflf(|i.). Propoziţia 6 . Dacă

H

este

o familie

majorată

de măsuri

pozitive,

atunci S(supjx) =

U^(^)-

S ă n o t ă m X = s u p jx. A v e m ţx <

X , d e c i 8(y.) CZ 8(1.) p e n t r u o r i c e

(xeJET, d e u n d e U

S(IL)CZ8(X).

D e o a r e c e # ( X ) e s t e o m u l ţ i m e închisă^ d e d u c e m U « ( ^ ) C A S ( X ) .

P e n t r u a demonstra incluziunea contrară, să considerăm mulţimea A a m a r g i n i l o r s u p e r i o a r e a l e p ă r ţ i l o r f i n i t e a l e l u i H. M u l ţ i m e a A e s t e f i l t r a n t ă , m a j o r a t ă şi X

= s u p v = l i m v. vGi

P e n t r u orice funcţie

9 e JC (T)

avem

vGi

deci

X(9) = l i m v(9). E e z u l t ă că d a c ă nici u n a d i n măsurile v e i n u a u m a s ă într-o m u l ţ i m e d e s c h i s ă G, a t u n c i n i c i X n u a r e m a s ă î n G. A c e a s t a î n s e a m n ă c ă d a c ă V a t u n c i G(ZC#( )> a d i c ă vGi

IntnCS(v)cC«(X).

SUPORTUL UNEI MASURI

65

Aceasta înseamnă că

vei

adică U#(v)lD£(X). v€ti

Piecară măsură v e i este marginea , . . . , [x„ d e m ă s u r i d i n 27, d e c i

superioară

S(v) = us(fc)c: U Urmează

a

u n e i familii

finite

W

că U v

şi d e c i

« ( v ) C

e -4

u«(J*) HEH

U^(^)=)/8(X). E e z u l t ă astfel că

şi p r o p o z i ţ i a e s t e

demonstrată.

P r o p o z i ţ i a 7. D a c a m : JC (T) ->F este o măsură majorată, = S(\m\). Să considerăm m a i întîi cazul măsurilor cu valori m : JC (T) C. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e

atunci

S(m)

E

scalare

+

|m|(
|m(f)|.

R e z u l t ă c ă d a c ă r e s t r i c ţ i a l u i m l a u n s u b s p a ţ i u JC (T, G) e s t e n u l ă , a t u n c i r e s t r i c ţ i a l u i | m | l a s p a ţ i u l JC (T,G) e s t e n u l ă . D e d u c e m c ă d a c ă in n u p o s e d ă m a s ă î n t r - o m u l ţ i m e d e s c h i s ă G, a t u n c i n i c i | m | n u p o s e d ă m a s ă î n G. A ş a d a r E

C£(m)cC#(|m|) de

unde S(w)Z)8(\m\).

S ă c o n s i d e r ă m a c u m m ă s u r a m : Jt (T) f i e c a r e z'eF', fie m ă s u r a z'om : JC (T) s

E

(*' o m ) (f) =

< m (f), z' >

-+F c u v a l o r i î n F. P e n t r u -> C d e f i n i t ă p r i n e g a l i t a t e a p e n t r u f e JC

E

(T).

MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE

Dacă m n u posedă m a s ă într-o m u l ţ i m e deschisă n u p o s e d ă m a s ă î n G, d e c i 8(m)

3

G,

a t u n c i nici

z'om

#(s'om).

Din prima parte a demonstraţiei rezultă S(z'om)

CAP. I

că

z>S(|s'om|)

deci 8(m)

Z)

8(\z'om|)

Dar | m | = sup

|«'om|,

i *' i ^ i

deci

8(\m\)= Incluziunea

U

fl(|*'om|)cS(m).

contrară rezultă din

inegalitatea

|m(f)|<|m|(|f|) Dacă | m | n u posedă masă în deci

G,

pentru

fe2 (î). F

atunci nici

m

n u posedă masă în G

CS(|m|)cC«(m) adică S(\m\)

Z)S(m).

R e z u l t ă astfel că <S(m) =

fl(|m|)

şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t a t ă Corolarul 1. Pentru orice măsură £((*) =

reală

fx

avem

#(MU#(i*-).

î n t r - a d e v ă r , | jx| = ţ x + jx_, i a r fx şi jx_ s î n t m ă s u r i p o z i t i v e , d e c i +

S([I)

= 8(\ L\)

+

= 8( L

[

[

Corolarul 2 . D # c # m şi dacă | m | < | n |, atunci

si

+ (xj =

+

n

smtf două

S(m)
A v e m | [x| <

|m|,

=

|v|<|m|

8{[L)Cl8(m)

măsuri

vectoriale

majorate

(n).

Corolarul 3 . D a c d m este o măsură t m d e jx s i v smtf măsuri reale, atunci 8(m)

S ( M U « W

complexă

şi dacă m = jx + i v ,

/8(ix)U>8(v). şi

| w | < | ţ x | + |v|,

şi

fl(v)
deci

SUPORTUL UNEI MASURI

de

67

unde fl(tA)U#(v)C

iar pe de altă

S(m)

parte + | v | ) = >»(| tx|)U>Sr(i v[) =

8(m)CZS(\iL\

^(jx)U^(v).

Aşadar S(m)

=

S(y.)\JS(v).

P r o p o z i ţ i a 8. Dacă m : JC (T)->F {x : JC ( T ) j& (E, F) este măsura care verifică

este o măsură egalitatea

E

m(yx) atunci

= fx(

8 ( m ) = # (fx). D a c ă r e s t r i c ţ i a l u i jx l a s u b s p a ţ i u l JC(T,G) w

a t u n c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e g = ][]
şi

dacă

xeE,

este n u l ă , G fiind deschisă,

4

şi

4

x

avem m (g)=0.

( T , 6?) p o a t e fi a p r o x i m a t ă u n i f o r m c u f u n c ţ i i de

C u m orice funcţie f e n

f o r m a ][] 9. 9. e j £ ( T , ( ? ) , x^E, i a r m e s t e c o n t i n u ă p e j K * ( j F , (7), r e z u l t ă c ă r e s t r i c ţ i a l u i m l a JC (T, G) e s t e n u l ă . A ş a d a r GSM C C^(m). deci #([x) 3 fl(m) E

P e d e a l t ă p a r t e , d a c ă r e s t r i c ţ i a a l u i m a l JC ( T , G) e s t e n u l ă , a v e m m ( 9 # ) = 0 p e n t r u o r i c e cpeJC(T,G) şi o r i c e xeE, a d i c ă jx(9) = 0 p e n t r u o r i c e ( p e l f T , G). A ş a d a r C # ( ) C C#(fx), d e u n d e E

m

$(m)Z)S(\L) şi d e c i 0(m) =

S(jx).

C o r o l a r . Dacă (x este o măsură scalară, extensiunea sa m : JC (T) -> E m : JC (T) - > C) a r e acelaşi suport ca şi jx. P r o p o z i ţ i a 9. JPic m : jK^ ( T ) - > . F o măsură şi ieJC (T). Dacă funcţia l se anulează pe suportul lui m , atunci m (f) = 0. F i e K s u p o r t u l l u i f şi fie a > 0 a s t f e l î n c î t E

(sau

C

E

K

|m(g)|
£

| | g | | p e n t r u qeZ (T,

K).

x

Fie s > 0 şi V = {te T\ \ l (t) \ < z}; V e s t e o m u l ţ i m e d e s c h i s ă şi S(m)aV. Mulţimea Creste compactă, £ S (m) este deschisă şi Kf)QV d CS(m). E x i s t ă o f u n c ţ i e 9 : T - > [0, 1 ] c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t a s t f e l c a 9(2) = 1 p e n t r u teKHQ V şi c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n C # ( m ) . A t u n c i lyeJC (T), şi s u p o r t u l f u n c ţ i e i f 9 e s t e c o n ţ i n u t î n C # ( m ) . C u m m ă s u r a m n u p o s e d ă m a s ă î n QS(m), r e z u l t ă m ( f 9) = 0. A v e m a p o i \ f 9 1 < | f | şi f (t)=î (t) 9 (t) p e n t r u teKdCV, d e c i | l(t)-f (t)11<2z p e n t r u o r i c e t e T. S u p o r t u l f u n c ţ i e i f — f 9 e s t e c o n ţ i n u t î n K, d e c i E

|m(f

-

f 9)l<

a \\î K

-

f ? i l < 2a

K

s.

MĂSURI PE S F A Ţ H LOCAL COMPACTE

68

CAP. I

Dar m(f -

f 9) = m ( f ) -

m ( f 9) =

m(f)

deci |m(f)j < 2 a c . J c

s f i i n d a r b i t r a r , r e z u l t ă | m ( f ) | = 0 , a d i c ă m ( f ) = 0. C o r o l a r . Fie m : JC (T) -+F o măsură, î şi g două funcţii din JC (T). Dacă t şi g sînt egale pe suportul măsurii m, atunci m (f) = m (g). Măsurile pozitive au o proprietate reciprocă. P r o p o z i ţ i a 10. Fie [L O măsură pozitivă şi 9 o funcţie pozitivă din JC (T). Dacă ( 1 ( 9 ) = 0, atunci funcţia 9 este nulă pe suportul măsurii [i. F i e * e T a s t f e l c a 9 ( ţ ) > 0. S ă a r ă t ă m c ă t m S(\L). F i e a u n n u m ă r a s t f e l c a 0 < a < 9 (t ). E x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a l u i t a s t f e l î n c î t 9 (t) > a pentru t&V. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e

0 d i n JC{T, V) s ă p u n e m P = || ^ | | ; a v e m E

E

0

0

0

0

0

<|/ < — 9 , d e c i ( x ( ^ ) < — M 9 ) = 0. D a c ă ^ e ^ ( T , V), a t u n c i <\> = ^ - ^ a a c u ty ty eJC+ ( > V)i d e c i j x ( ^ ) = ( i . ^ ) — ( x ( ^ ) = 0. A ş a d a r t ^8([i). R e z u l t ă c ă d a c ă IG8([L), a t u n c i F se poate prelungi la o aplicaţie liniară a lui & (T) în F, continuă pentru topologia convergenţei compacte, dacă şi numai dacă m are suportul compact. Prelungirea este în acest caz unică. D a c ă m se p o a t e p r e l u n g i l a o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă a l u i & (T) î n F, continuă p e n t r u topologia convergenţei compacte, atunci m este continuă p e JC (T) p e n t r u a c e a s t ă t o p o l o g i e . T o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i c o m p a c t e este o topologie local convexă g e n e r a t ă de seminormele ||f||* = s u p | f ( * ) |

2

y

19

t

0

2

E

E

E

E

c î n d K p a r c u r g e m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r c o m p a c t e a l e l u i T. D e o a r e c e m e s t e c o n t i n u ă p e JC (T) p e n t r u t o p o l o g i a d e f i n i t ă d e f a m i l i a d e s e m i n o r m e \\i\\ , m este continuă p e n t r u o singură s e m i n o r m ă din familie. E x i s t ă d e c i u n n u m ă r a > 0 şi o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K CZ T, a s t f e l î n c î t s ă a v e m E

K

|m(f)|
pentru

orice funcţie

î<sJC

E

(T).

D a c ă s u p o r t u l u n e i f u n c ţ i i g e JC (T) n u i n t e r s e c t e a z ă p e K, a v e m || g ! j = 0 şi d e c i m (g) = 0. R e z u l t ă c ă s u p o r t u l m ă s u r i i m e t s e c o n ţ i n u t î n K şi d e c i e s t e c o m p a c t . Reciproc, să p r e s u p u n e m că s u p o r t u l 8 (m) al m ă s u r i i m este com­ p a c t . F i e TJ o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă â l u i 8 ( m ) şi 9 : T - > [0, 1 ] o f u n c ţ i e c o n t i n u ă c u s u p o r t u l c o m p a c t H, e g a l ă c u 1 p e TJ. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f e j K j ( T ) a v e m g = Î9 e 3^. ( T , H) şi f(t) = $(t) p e n t r u te TJ, d e c i şi p e n t r u J e # ( m ) . R e z u l t ă că m ( f ) = m ( g ) . D a c ă a > 0 este astfel încît E

z

B

|m(h)! O n l l h | | pentru

h e ^ ( T ,

H),

atunci |m(f)| = | m ( g ) | < a | | g | | O * f l

s u p | f (t) \ = ^

||f ij^.

69

R e z u l t ă c ă m e s t e c o n t i n u ă p e JC (T) p e n t r u t o p o l o g i a - c o n v e r g e n ţ e i c o m p a c t e . C u m JC (T) e s t e d e n s î n & (T) p e n t r u a c e a s t ă t o p o l o g i e , r e z u l t ă c ă m se p o a t e p r e l u n g i î n m o d u n i c l a o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă a l u i & (T) î n P , continuă p e n t r u această topologie. Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Dacă m : JC (T) ->F este o măsură cu suport compact, atunci | | m | | < +00. î n t r - a d e v ă r , m e s t e c o n t i n u ă p e JC (T) p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r ­ g e n ţ e i c o m p a c t e ; e x i s t ă u n n u m ă r a > 0 şi o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K a s t f e l c a E

E

E

E

E

h

| m (f) | < a || f ||* p e n t r u o r i c e f e JC

E

Atunci,

cu

atît

mai

(T).

mult,

|m(l)|
p e n t r u o r i c e î
E

(T).

Rezultă deci că ||m|| a < 00. P r o p o z i ţ i a 12. Dacă \i : X(T) -> C este o măsură cu suportul finit, #((x)= a , ...,a }, atunci (JL este o combinaţie liniară a măsurilor punctuale z .. î n t r - a d e v ă r , d a c ă f^JC(T) şi d a c ă / ( a j = 0, i = 1, 2 , . . . , n, a t u n c i V-if) = 0- D a r e g a l i t ă ţ i l e f(a ) = 0 se s c r i u e . (/) = 0. D i n a l g e b r a l i n i a r ă se ş t i e a t u n c i c ă (JL e s t e c o m b i n a ţ i e l i n i a r ă a m ă s u r i l o r e . 2

n

a

{

a

a t

Capitolul

SPAŢIILE £ \

§ 5. INTEGRALA

II

FUNCŢII I N T E G R A B I L E

SUPERIOARĂ

1. Funcţii semicontinue

inferîor

O f u n c ţ i e n u m e r i c ă / : T -> R ( c u v a l o r i f i n i t e s a u i n f i n i t e ) se n u m e ş t e semicontinuă inferior, d a c ă p e n t r u o r i c e p u n c t t e T şi o r i c e n u m ă r e > 0, e x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a l u i t a s t f e l î n c î t să a v e m *) 0

0

/(*) ^> f(h)

—

e

p e n t r u o r i c e te

V.

O r i c e f u n c ţ i e c o n t i n u ă / : T -» E e s t e , e v i d e n t , semicontinuă inferior. F u n c ţ i a c o n s t a n t ă f(t) = + oo e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r . V o m n o t a c u 3 (T) s a u 3 + m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r pozitive d e f i n i t e p e T, c u v a l o r i f i n i t e s a u + o o , semicontinue inferior. A v e m JC+ ( T ) c 3 (T). F u n c ţ i i l e d i n 9+ a u u r m ă t o a r e l e p r o p r i e t ă ţ i : 1) Dacă / g 3 şi OL > - 0 , atunci* ') a / e 2 ; 2) D a c ă ( / ) este o familie oarecare de funcţii din atunci +

+

1

+

+

a

s u p / e 3 a

3) Dacă

(f ) a

este o familie

şi

+

E/ ^2+; a

f i n i t ă de funcţii ini f

a

din 3

+

,

atunci

<=9 . +

a

într-adevăr : 1) D a c ă a = 0 , a v e m <xf(t) = 0 , d e c i a / e 3 tatea

rezultă

din

aceea

că

+

; d a c ă a > 0, p r o p r i e ­

i n e g a l i t a t e a f(t)^f(t )

pentru

0

te

V

OL

implică inegalitatea

oLf(t) >> <x/(/ ) — e p e n t r u 0

teV.

*) Facem convenţiile obişnuite < x - f o o = + oo + <x= + oo dacă — oo < a + oo şi a— o o = — oo + a = — oo dacă — oo a < + oo. Aşadar, dacă f(t ) = — oo, atunci 0

**) Facem convenţiile 0( + oo) = 0, 0(—po) = 0 : a ( ± o o ) = ± o o dacă 0 < a < + oo, şj a(db oo) = ^ oo dacă — oo a < 0. Astfel, 0 f(t) = 0 chiar dacă f are valori infinite.

71

INTEGRALA SUPERIOARĂ

2) F i e / = s u p / ,

t (= T şi

a

s > 0 ; există u n indice

0

a'

astfel ca

a

/ a ' ( ^ o ) > fih)

~~ ~

Şî ° v e c i n ă t a t e

a v e m / , (/) > / , (/ ) a

a

> f(t )

0

F a lui t

astfel ca p e n t r u

0

I e 7

— s. A t u n c i , p e n t r u t e F , a v e m / ( / )

0

să =

2 = sup / ( * ) >f(t ) - e, deci / e 3 . <x S u m a unei familii finite d e funcţii d i n 9 9^.. D a c ă (f ) e s t e o f a m i l i e o a r e c a r e , a v e m a

0

+

±

a p a r ţ i n e de asemenea lui

a

S/a

SUp S

=

a

«7

/ , a

a£J

u n d e J parcurge m u l ţ i m e a părţilor finite d e indici. Deoarece 2 din prima

parte a demonstraţiei

/a

e

3+

rezultă

3) F i e / i , . - . , / » o f a m i l i e f i n i t ă d e f u n c ţ i i d i n 3 + , £ e T şi e > 0 . E x i s t ă n v e c i n ă t ă ţ i V ... V a l e l u i £ |, a s t f e l î n c î t să a v e m 0

19

W]

>Uh)

9

—

n

0

£

p e n t r u « g F , - , i = 1, 2 , . . . ,

Atunci inf /,(*) > inf /,(* ) -

s

0

pentru t e 7 = H

7«,

i a r V e s t e o v e c i n ă t a t e a l u i £ . A ş a d a r inf / , e . i P r o p o z i ţ i a 1. Orice funcţie f e 3 ^ . este anvelopa superioară a mul­ ţimii filtrante (pentru relaţia < ] ) { g r | g r e ^ , ff<^/}. î n t r - a d e v ă r , d a c ă / ( / ) = 0, a t u n c i geJC^ şi g r < / i m p l i c ă ff(/ ) = 0, 0

+

0

0

deci = s u p g(t ),

?
0

S ă p r e s u p u n e m / ( / ) > 0 ; fie £ > 0 u n n u m ă r o a r e c a r e a s t f e l c a / ( / ) — £ > 0 . E x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a lui t astfel ca 0

0

0

/(*) >f(to)

-

e

p e n t r u te

V.

E x i s t ă , d e a s e m e n e a , o f u n c ţ i e g e JC c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n F , a s t f e l c a e

9e(h)

+

= / ( * o ) — s şi 9e(t)
— e p e n t r u te

0

E e z u l t ă c ă g (t) < / ( / ) p e n t r u o r i c e te T, a d i c ă g < / e

e

/(* ) = sup jr(*). 0

0

şi

V.

S P A Ţ I I L E : ^ , FUNCŢII INTEGRABILE

72

A ş a d a r , o r i c a r e a r fi te

CAP. n

T-avem f(t)

= sup

rtfl.

^x

+

O f u n c ţ i e / : T -> R se n u m e ş t e semicontinuă superior d a c ă p e n t r u orice p u n c t J e T şi o r i c e n u m ă r s > 0, e x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a l u i t a s t f e l încît să a v e m 0

0

f(t) K f(h)

e

+

p e n t r u o r i c e t e V.

F u n c ţ i a / e s t e s e m i c o n t i n u ă s u p e r i o r d a c ă şi n u m a i d a c ă — / e s t e s e m i c o n ­ t i n u ă inferior. 2. Integrala s u p e r i o a r ă a f u n c ţ i i l o r F i e (x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e unei

Definiţia 1. Se numeşte funcţii / e ? , numărul +

semicontinue

inferior

T.

integrala superioară (în raport ţx*(/) definit de egalitatea |x*(/) = s u p

cu

(x) a

[i(g).

g*£f

D a c ă feX+ se v e r i f i c ă i m e d i a t c ă [x* (/) = ţx(/). A ş a d a r , [x* e s t e o p r e l u n g i r e a m ă s u r i i (jl d e l a 2 + l a 3 . D e o a r e c e m u l ţ i m e a A = {g \ g e X, g <; / } este filtrantă p e n t r u relaţia i a r m ă s u r a [x e s t e c r e s c ă t o a r e , r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a g - > \L(g) a r e l i m i t ă ( f i n i t ă s a u i n f i n i t ă ) d u p ă f i l t r u l s e c ţ i u n i l o r l u i A , şi l i m i t a e s t e e g a l ă c u m a r g i n e a s u p e r i o a r ă a f u n c ţ i e i fx pe această mulţime : y

+

lina [L(g) = s u p fx(#),

geX.

E e z u l t ă a t u n c i c ă i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă (x* (/) se p o a t e d e f i n i şi p r i n e g a l i ­ tatea : y.*(f) = l i m [x(0), geX . +

B i n definiţia

1 rezultă imediat

1) 0 < ! * • ( / ) < 2)

( A X

3) ix*(a/) =

+oo

|**(/,)

următoarele

pentru/ea,;

proprietăţi:

^(0)

= 0 ;

dacă/i
a (x* (/) d a c ă

a > 0 , / e 3

+

,

Exemplu. F i e a o f u n c ţ i e n u m e r i c ă f i n i t ă şi p o z i t i v ă d e f i n i t ă p e T , a s t f e l î n c î t p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K(ZT s ă a v e m 2 W < + ° ° * a

F i e ţx m ă s u r a p o z i t i v ă p e T d e f i n i t ă [*(/) = 2 te?

«(*)/(<)

prin

pentru

egalitatea feX(T).

INTEGRALA SUPERIOARA

Să arătăm că pentru orice funcţie / e 3 +

73

avem

K*(/) = E «(*)/(*) (punînd <*(t) f(t) = 0 dacă <*(t) = 0 şi /(*) = + o o ) . Pentru orice funcţie ge J£ cu g avem +

H(<7) = 2 a(«) j r ( * ) < S a(*)/ţ«) t^r teT deci H * ( / ) < 2 «(*)/(*). teT F i e acum un număr a < £ « < 2

E x i s t ă o parte finită MaT

cu

Pentru fiecare t e ilf şi fiecare număr 6 există o f

funcţie gr e j £ c u g < / şi ^ (t) > 6 • D a c ă notăm g = sup ^ , a v e m
9
t

Şi A9) >

e

2 «(*) ^

deci

!**(/) > E « ( 0 V a

U l t i m a sumă poate fi făcută oricît de apropiată de £ ( 0 f(t) luînd «GAT numerele b convenabil. Urmează că (x* ( / ) > a. C u m a este arbitrar, deducem t

!*•(/) > S

««)/*<)

deci

Teorema 1. Pentru

orice mulţime

K CZ 3+filtrantă

(pentru

relaţia^)

avem [L*

(sup g) = sup [L* (g) = lim ae# gen geH

Să notăm / = sup g. D a c ă H a J£ poziţiei 1 0 , § 2 , a v e m

+

Af)

=

Deoarece fx este crescătoare, (y*(g)) deci

1 1 1 1 1

gGH

şi fej£ , +

jx*

(gr). atunci, conform pro­

1%) •

este o familie filtrantă de numere,

lim [L(g) = sup p(g) geH geH şi teorema este demonstrată în acest caz.

74

<

S P A Ţ I I L E , ^ . FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă H e s t e o a r e c a r e . A v e m g < ; / , d e c i fx* (g) <; fx*(/) p e n t r u o r i c e gr e 1? şi d e c i s u p [x*(sr) <

{ * • ( / ) = [x* ( s u p gr).

E ă m î n e de d e m o n s t r a t inegalitatea c o n t r a r ă . P e n t r u aceasta este suficient să a r ă t ă m c ă p e n t r u orice funcţie e JC a s t f e l c a ^ /, avem +

[x(<J;)<sup

tf(g).

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e g e H s ă n o t ă m J.^ = {9 e X

l

, 9 < g} şi A = {J

A. g

D e o a r e c e E e s t e f i l t r a n t ă , A e s t e d e a s e m e n e a f i l t r a n t ă şi a v e m / = s u p 9. F i e ^ o f u n c ţ i e o a r e c a r e d i n JC

+

a s t f e l c a <J> < [ / . S ă o b s e r v ă m c ă

+ = s u p [inf (<j>, 9)]. Dar că

Şi

Din prima parte a demonstraţiei rezultă = s u p [x [inf

9)]

P e n t r u o r i c e « p e i e x i s t ă g r e I ? a s t f e l c a ^ e i ^ , d e c i 9 < ! # şi deci [x(inf (<J/, 9)) <

[ x ( 9 ) < [x* (gr) < s u p

\f(g)

de unde ti(40 < s u p

[i*(g).

E e z u l t ă atunci că [ x * ( / ) = s u p [ x ( ^ ) < s u p fx*(sr).

E g a l i t a t e a s u p \i*(g) = l i m [i*(g) r e x u l t ă d i n f a p t u l c ă H e s t e f i l t r a n t ă . T e o r e m a 2 . Dacă f

19

/ e3 , 2

+

atunci

^ ( / i + / ) = ^(/i)+ 2

^(/ )2

M u l ţ i m e a £T = { 9 1 + 9 2 I ? 2 < A ? ¥ 2 ^ + } t r a n t ă p e n t r u r e l a ţ i a < ! şi s u p H = f + / . î n b a z a t e o r e m e i p r e c e d e n t e avem e

x

e

+ / ) = s u p 11(9! + 9 ) = s u p [[x(9!) + [x(9 )] 2

=

s

t

e

2

2

2

s u p [x(9!) + s u p jx(9 ) =

=

+

2

considerîndu-se marginile superioare p e n t r u 9 < ! f şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . X

v

9 < / , 9 2

2

1?

9 e ^ 2

+

§ 5

INTEGRALA SUPERIOARA

75

T e o r e m a 2 e x p r i m ă f a p t u l că integrala superioară este finit aditivă pe 3 . Mai m u l t : +

Propoziţia 2.

Pentru

orice familie ^(2/<) = tei

de funcţii

din

3+

avem

E *ei

P e n t r u o r i c e p a r t e f i n i t ă J(Zl, d i n t e o r e m a p r e c e d e n t ă se d e d u c e prin recurenţă că n*( 2 / « ) = Z !**(/.).

ie./

»eJ

S ă n o t ă m g = Yi fi; a v e m Cînd J parcurge mulţimea părţilor f i n i t e a l e l u i I , f u n c ţ i i l e gj f o r m e a z ă o m u l ţ i m e f i l t r a n t ă p e n t r u r e l a ţ i a <1. D i n t e o r e m a 1 r e z u l t ă că 3

P * ( 2 / i ) = f**(sup gj) = s u p [i*(gj) =

«up

pi'(S/ )

j

i&J

(

2. M ă s u r a

ji*(/ ).

= sup £ V ( / i ) = 2

«/ ieJ

= 4

iei

exterioară a mulţimilor

deschise

F u n c ţ i a c a r a c t e r i s t i c ă 9^ a u n e i m u l ţ i m i d e s c h i s e GczTeste rior sem i c o n t i n u ă . P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e d e s c h i s ă GdT, integrala superioară se n u m e ş t e măsura exterioară a mulţimii G şi se n o t e a z ă n*(G). A v e m Utili = ^(T). î n t r - a d e v ă r , d e o a r e c e 9 ( t ) = 1, a v e m

infe­ [x*(9 ) G

r

[L*(T)

=

(x*(9 ) =

sup

r

[i(g)

=

sup

(sup

=

sup|

=

||[x||

Din proprietăţile integralei superioare rezultă proprietăţile măsurii exte­ rioare a mulţimilor deschise : 1) 0 < ; ţi* (G) < ; + 00 oricare (X*(0) =

ar

fi

mulţimea

deschisă

0 C T ;

0.

2). D a m fl^ d G atunci {x*((r ) < fi.*(# )« î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t c a z 9^ < ; 9^. 3) D a c a ^ este o mulţime de părţi deschise ale lui T , filtrantă relaţia CZ , atunci 2j

1

2

pentru

V* ( U G) = s u p y.*(G). î n t r - a d e v ă r , f a m i l i a (9^)

e s t e f i l t r a n t ă p e n t r u >< şi f o r m a t ă

din

Ge4£

funcţii din 3 iar marginea reuniunii ^* +

sa superioară este funcţia caracteristică

a

76

SPAŢIILE J2?

4) Dacă

(GJ.^j

este o familie

oarecare

iei Dacă

mulţimile

G

i

sînt

CAP. I I

FUNCŢII INTEGRABILE

de mulţimi

deschise,

atunci

iei

disjuncte

două

cîte două,

atunci

j*'(U0«) = S Să punem G = U iei

iei G> . A v e m

iei

t

== s u p

y

Q

Gi

iei

2 »ei

deci

<

(2 * * ) = 2 »ei

Dacă, în plus, mulţimile G

= 2

tei

•

tei

sînt disjuncte două cîte două,

4

atunci

2 *ei


şi d e c i t**(
**) = 2

*ei

= 2

*ei

^(GJ.

»ei

5 ) DacA mulţimea G este relativ compactă, atunci yS(G) < + o o . î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t c a z e x i s t ă o f u n c ţ i e f^JC a s t f e l c a
{

x*(^) =

{

+

x*(

9 o

)< x*(/)<+oo. [

6) Dacăf^O este semicontinuă inferior şi dacă atunci mulţimea A = {t \ f(t) =f= 0 } este egală cu reunmnea de mulţimi deschise cu [i*(G ) < + o o . într-adevăr, mulţimile

\i*(f) < + unui şir

n

^ } s î n t d e s c h i s e şi a v e m

Din inegalitatea / > lL*(G )^n n

— 9^ deducem n ! * • ( / ) < +

9^»

0 0 .

w/, d e c i

oo, (G ) n

77

INTEGRALA SUPERIOARA

§5

4. I n t e g r a l a s u p e r i o a r ă a f u n c ţ i i l o r

pozitive

V o m defini m a i întîi i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă a funcţiilor / >• 0 cu suport compact. D e f i n i ţ i a 2 . Fie / > 0 o funcţie numerică (finită sau nu) cu suportul compact. Se numeşte integrală superioară (în raport cu (JL) a funcţiei /, numărul \i*(f) definit de egalitatea !*•(/) = inf

(i'(ft).

h^f

he3

+

D a c ă / > - 0 e s t e o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r , cu suport compact, atunci integrala superioară definită m a i sus este egală cu integrala superioară definită a n t e r i o r ; într-adevăr, în definiţia de m a i sus p u t e m l u a h = f. Deoarece mulţimea B = {fte£7 | este filtrantă p e n t r u rela­ ţ i a ; > , i a r i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă \i*(h) e s t e c r e s c ă t o a r e p e B, r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a h - > \i*(h) a r e l i m i t ă ( f i n i t ă s a u i n f i n i t ă ) d u p ă f i l t r u l s e c ţ i u n i l o r lui Bj i a r l i m i t a e s t e e g a l ă c u m a r g i n e a i n f e r i o a r ă a f u n c ţ i e i \i* p e m u l ţ i ­ mea B : +

l i m [i*(h) = inf

fA*(ft),

R e z u l t ă c ă i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă \i*(f) 2b u n e i f u n c ţ i i / > O c i * suport pact se p o a t e d e f i n i şi p r i n e g a l i t a t e a (JL*(/)

com­

= l i m (**(»),

S ă o b s e r v ă m c ă d a c ă f şi g s î n t d o u ă f u n c ţ i i > 0 c u s u p o r t c o m p a c t , şi d a c ă / <
Pentru

orice

funcţie

semicontinuă

inferior

f >

0

avem \f(f)

=

sup K

JA*(/?*)

cînd K parcurge mulţimea părţilor compacte ale lui T. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kci T, f u n c ţ i a fy a r e s u p o r t u l c o m p a c t şi f

K

+


(x*(/).

K

R e c i p r o c , fie ge J£ deci

+

(T) c u gr < ; / şi fie X s u p o r t u l l u i g. A t u n c i g

\i(g) = fx*(gf) <

fx*(/
fA*(/cp ) A

^fy

AJ

p

SPAŢIILE j£ .

78

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP.

II

de unde ţi*(f) = s u p ţi*(g) < s u p JI*(/9jc)-

D i n cele d o u ă i n e g a l i t ă ţ i

contrare,

rezultă

= s u p \L*(f 0 K

Observaţie. asemenea

[i*(f) = s u p h*(/
compact. cu suport compact avem de compact.

î n t r - a d e v ă r , fie K s u p o r t u l l u i / . P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă avem d e - i y.*(f
KczT

K

V.*(f) =

s u p n*(/

V-*(f9K.) <

A

a: funcţii

D e f i n i ţ i a 3 . Se numeşte oarecare f > - 0 (finită

integrala superioară (în raport cu jx) a unei sau nu) numărul y.*(f) definit prin egalitatea

V.*(f) = s u p K cînd

K

parcurge

mulţimea

părţilor

[L*(f
compacte

ale lui

T.

I n t e g r a l a s u p e r i o a r ă ţx*(/) a u n e i f u n c ţ i i / > 0 v a fi n o t a t ă d e a s e ­ menea ^

fd\i

s a u ^ /(<) d(x (tf).

D i n p r o p o z i ţ i a şi o b s e r v a ţ i a p r e c e d e n t ă , r e z u l t ă c ă p e n t r u f u n c ţ i i l e / > 0 semicontinue inferior şi p e n t r u f u p c ţ i i l e / > - 0 suport compact, integrala superioară definită aici coincide cu cea definită anterior. Aşadar, a m e x t i n s d e f i n i ţ i a i n t e g r a l e i s u p e r i o a r e \L* d e l a 3 l a m u l ţ i m e a t u t u r o r f u n c ţ i i l o r / > 0 d e f i n i t e p e T. Exemplu. F i e a o funcţie pozitivă finită definită p e T astfel încît p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kc T s ă a v e m £ <x(tf)< + c© şi fie jjl h

măsura

pozitivă

definită {*(/) =

prin S

egalitatea

«(*)/(*)

pentru

feZ(T).

A m v ă z u t că p e n t r u orice funcţie / > 0 s e m i c o n t i n u ă inferior a v e m

!*•(/) = S «(<)/(<). Fie / > 0 o funcţie oarecare. A v e m

^ ( / ) > S *(<)/('). (GT Să a r ă t ă m

că dacă

§5

INTEGRALA SUPERIOARĂ

79

atunci «e T

Să p r e s u p u n e m m a i întîi că / are suportul compact. E x i s t ă atunci o funcţie k 3 cu şi [L*(h) < + o o . F i e w(t) = fc(t) — f(t) d a c ă d i f e r e n ţ a e s t e d e f i n i t ă şi u(t) = 0 d a c ă / ( t ) = A(t) = + 0 0 . S u m a £ oc(t) w(t) e s t e +

f i n i t ă . P e n t r u o r i c e s > 0 e x i s t ă o p a r t e f i n i t ă MczT

t t

cu £

oc(O (0>

>

J a(l) — e. F i e ^ f u n c ţ i a e g a l ă c u / ( f ) p e n t r u t e J f şi c u Ji(t) p e n t r u *e T t& M. F u n c ţ i a h e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r şi \ /. Avem apoi x

S « 6 T

a(t)*i(«)

= S

S a

*(t)h(t)-

«er

*(*)/(*)

S

+

e

«er

« G T

deci

! * * ( / ) < S «(*)/(*) + « . Deoarece

e este arbitrar,

deducem

«*•(/)< S «(<)/(') ier

şi d e c i

! * • ( / ) = S ««)/«). D a c ă / > - 0 e s t e o f u n c ţ i e o a r e c a r e c u [x* (/) < + 00, a t u n c i p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT avem \?(f
I «(')/(*)

=

( G A '

şi t r e c î n d l a l i m i t ă d u p ă f a m i l i a f i l t r a n t ă a m u l ţ i m i l o r c o m p a c t e o b ţ i n e m

!*•(/)= S «(«)/(*). P r o p o z i ţ i a 4 . Pentru

orice funcţie !*•(/)<

inf

f > - 0 auern

inegalitatea

^(fc).

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u orice funcţie > / d i n 3 + şi o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT a v e m h^>f^ şi fy este c u s u p o r t c o m p a c t , deci K

K


P

SPAŢIILE Jl

80

. FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP. II

de unde jx* ( / ) = s u p jx* (f
inf jx* (h),

K

h e 3+ .

Observaţie. P e n t r u f u n c ţ i i l e / > 0 c u s u p o r t c o m p a c t şi p e n t r u f u n c ­ ţiile / > 0 s e m i c o n t i n u e inferior, a v e m chiar e g a l i t a t e a ( x * ( / ) = inf (x*(fe).

D i n propoziţia p r e c e d e n t ă rezultă că egalitatea a r e loc p e n t r u orice funcţie / > 0

CU <X*(/) =

+ o o .

M a i d e p a r t e se v a a r ă t a c ă e g a l i t a t e a a r e l o c p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / > • ( ) p e n t r u c a r e e x i s t ă o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r /&>-/ c u j x * ( f t ) < + o o . I n e g a l i t a t e a diii p r o p o z i ţ i a 4 p o a t e fi î n s ă s t r i c t ă : p o t e x i s t a f u n c ţ i i / > - 0 c u ( a * ( / ) < + o o , a s t f e l î n c î t s ă a v e m jx*(fe) = -f pentru orice funcţie k 3 cu >/. V o m a r ă t a m a i d e p a r t e că în a n u m i t e cazuri (de e x e m p l u , d a c ă T e s t e n u m ă r a b i l l a i n f i n i t , s a u , m a i g e n e r a l , r e u n i u n e a u n u i şir (A ) de p ă r ţ i d e s c h i s e c u jx* ( - 0. Observaţie. S". B o u r b a k i n u m e ş t e integrală superioară a unei funcţii / > 0 , n u m ă r u l inf jx*(ft) ( p e c a r e îl n o t e a z ă [ x * ( / ) ) i a r integrală superioară 0

0

r

n

N

esenţială

[x*(/)).

a l u i / , n u m ă r u l s u p y-*(f<ţ> ) ( p e c a r e îl n o t e a z ă K

Integrala superioară a funcţiilor pozitive are u r m ă t o a r e l e p r o p r i e t ă ţ i : 1)

0 < ( * • ( / ) <

+ o o

;

2) | i * ( A ) < f * * ( / )

dacă

3) fx*(a/) = [ x a * ( / )

dacă

2

0 < A < / / > 0

2

şi a >

0.

I n t r - a d e v ă r , aceste proprietăţi, valabile p e n t r u funcţiile din 3 , se p ă s t r e a z ă , p r i n trecerea la m a r g i n e a inferioară, p e n t r u funcţiile pozi­ t i v e c u s u p o r t c o m p a c t , şi a p o i , p r i n t r e c e r e l a m a r g i n e a s u p e r i o a r ă , p e n t r u fujicţiile p o z i t i v e o a r e c a r e . Integrala superioară, care e r a aditivă p e n t r u funcţiile din 3 , este, în general, n u m a i subaditivă p e n t r u funcţiile pozitive o a r e c a r i : P r o p o z i ţ i a 5. Dacă A > - 0 si / > - 0, atunci +

+

2

^(A+/ )
2

Î n t r - a d e v ă r , fie KciT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă , şi f u n c ţ i i l e ^ , J g 3 a s t f e l î n c î t A

K

x

2

x

2

K

2

2

+

E

+

^ « A + A )
V<* (*i + h)

=

(^i) + I** (*«)

de unde H*((A+A)
inf

[ ^ ( f t j + ii* ( * . ) ] = = P*(A?*) +

inf

^(A?*)-

n*(*i)+

inf

(x*(fe )2

INTEGRALA SUPERIOARA

Rezultă f**(/i

81

apoi + / « ) = sup

+ / ) ?*) < s u p {x*(A(p/r) + s u p ^*(/ 9jr) = 2

2

=

+ !*•
Observaţie. I n e g a l i t a t e a p o a t e fi s t r i c t ă p e n t r u a n u m i t e f u n c ţ i i . Se v a a r ă t a m a i d e p a r t e c ă , p e n t r u a n u m i t e c l a s e d e f u n c ţ i i ( d e e x e m p l u , pentru funcţiile integrabile), integrala superioară este aditivă. D e o a r e c e m u l ţ i m e a C = {fy \K compact} este filtrantă pentru r e l a ţ i a < , i a r [x* e s t e c r e s c ă t o a r e r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a / - > (x*(/) a r e l i m i t ă d u p ă f i l t r u l s e c ţ i u n i l o r l u i C, i a r l i m i t a e s t e e g a l ă c u m a r g i n e a s u p e r i o a r ă a f u n c ţ i e i [x* p e m u l ţ i m e a O : K

v

l i m y.*(fy )

= sup ^(/(pjf), K

K

K

compact.

K

R e z u l t ă c ă i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă (x*(/) a u n e i f u n c ţ i i p o a t e d e f i n i şi p r i n e g a l i t a t e a : tfif)

o a r e c a r e / ! > 0 se

= lim | i " ( / ? * ) . K

Proprietatea d e permutabilitate a integralei superioare cu margi­ n e a s u p e r i o a r ă , v a l a b i l ă p e n t r u f a m i l i i f i l t r a n t e arbitrare d e f u n c ţ i i d i n Q n u m a i a r e l o c , î n g e n e r a l , d e c î t p e n t r u f a m i l i i numărabile d e funcţii pozitive. P r o p o z i ţ i a 6 . Fie (f ) un şir crescător de funcţii > 0 şi f = s u p f . +1

n

n

n

Dacă

pentru

fiecare

n

avem (x*(/ ) = i n f ţ x ' W , h>fn n

atunci inf Deoarece / „

şi

|*'(/) = b u

P

/ p e n t r u f i e c a r e n, a v e m l**(/.)
deci s u p !*•(/„) < ^ ( / ) . n

D a c ă s u p [i*(f ) = + o o , r e z u l t ă c ă (x*(/) = + oo şi y.*(h) = + oo p e n t r u orice f u n c ţ i e fe>/ d i n 3 + şi d e c i p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă î n a c e s t c a z (fără n i c i o c o n d i ţ i e a s u p r a f u n c ţ i i l o r / J . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă s u p fx*(/.J < + o o , d e c i [i (f ) < + oo p e n t r u f i e c a r e n. F i e e > 0. P e n t r u fiecare n e x i s t ă o funcţie h e 3 + astfel încît n

n

n

f < K Şi |A*(/ ) < \f(K) n

< ^*(/J +

W

g

n

=

sup

(fci,

P e n t r u fiecare n să p u n e m fe ,..., 2

fe ). tt

SPAŢIILE J>?. FUNCŢII INTEGRABILE

82

CAP. II

F u n c ţ i i l e g a p a r ţ i n l u i Q+, ş i r u l (g ) e s t e c r e s c ă t o r f i e c a r e n. î n p l u s n

şi f

n

l

W

2

<; g

H

n

pentru

J

p e n t r u f i e c a r e n. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u n = 1 , a v e m ^ = ^ şi i n e g a l i t a t e a se s c r i e

< f x * ^ ) + — ; această inegalitate este verificată. Să pre-

s u p u n e m i n e g a l i t a t e a a d e v ă r a t ă p e n t r u u n n o a r e c a r e şi s-o d e m o n s t r ă m pentru n + 1. Să observăm că 5f

w+1

= s u p (g,

fe ),

A

tt+1

> /

w + 1

n

+

1

> /

şi ff

n

>/«

w

deci inf (g , K+i)

>fn-

n

Atunci inf (g , K+i)

s u p (g , h )

+

n

n

n+1

n+x

=g

= g +

K+i-

n

adică inf (g ,

+ g

n

+ h

n

n + 1

.

Deoarece aceste funcţii sînt inferior semicontinue, ) + (JL* (g )

fx* (inf (g, h ) n+1

deducem

= fx* (g ) + fx* ( f e

n+1

n

w+1

)

deci (A* (flWi) = (A* (flr„) + (A* (fe«+i) < x*( f ) + (

<

Aşadar,

fl

^ + ~

+

+

n

e

f

(

1

x*(fe

-

M + 1

=

(A* (inf (fif , K+l)) n

<

)- x*(/ )< (

w

^ +

£

(

x

-

£ r )

•

inegalitatea f i ' ( 0 . ) < «**(/.)

e s t e a d e v ă r a t ă p e n t r u o r i c e w. S ă n o t ă m a c u m g =?= s u p g . F u n c ţ i i l e gr şi g s î n t i n f e r i o r , d e c i \i*(g) = sup[x*(
n

n

D a r / = s u p / „ < gr, d e c i (*'
e fiind a r b i t r a r ,

rezultă ^ ( / X s n p

(x*(/ ) w

semicontinue

§5 şi d e c i 8 U [X* ( / . ) .

fX* ( / ) =

Inegalitatea

fx*(
P

s se

scrie

inf

,*•(*).

acum

ţx*(
e.

n

Deoarece #

f

şi gr ; > / , d e d u c e m (

x*(/) =

Cu a c e a s t a p r o p o z i ţ i a este d e m o n s t r a t ă . Corolarul 1. Dacă funcţia f ] > 0 a r c suportul unui şir (K ) de mulţimi compacte, atunci

conţinut

în

reuniunea

n

(x*(/) =

inf

D a c ă p e n t r u fiecare n l u ă m A

y.*(h).

= U

n

mulţimile

J.

s î n t corn­

n

i i

p a c t e , ş i r u l ( A ) e s t e c r e s c ă t o r , d e c i ş i r u l (fy n

A

a

D e o a r e c e f u n c ţ i i l e fy

u

An

\f(f
Conform

) =

suport compact,

fy . A%

avem

fx*(ft) p e n t r u o r i c e w.

inf

propoziţiei precedente V*(f)

dacă

) este crescător ş i / = sup

avem

atunci

=

a*(fe).

inf

Corolarul 2 . Dacă spaţiul T este numârabil T este compact, atunci avem (**(/) =

la infinit,

în

particular

inf (x*(A) h ^ f

he3^ pentru

orice funcţie f > 0. Observaţie. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( v . p r o p o z i ţ i a 8, § 1 1 ) c ă egali­ t a t e a d i n c o r o l a r r ă m î n e a d e v ă r a t ă şi p e n t r u f u n c ţ i i c a r e se a n u l e a z ă p e c o m p l e m e n t a r a r e u n i u n i i u n u i şir (G ) de m u l ţ i m i deschise cu (ji*(9 ) < + oo p e n t r u f i e c a r e n. V a r e z u l t a a t u n c i c ă d a c ă T e s t e r e u n i u n e a u n u i şir (G ) d e m u l ­ ţ i m i d e s c h i s e c u y.* (

- 0. T e o r e m a 3 . Pentru orice şir crescător (f„) de funcţii > - 0 avem n

Gn

n

Gn

H-* ( s u p f ) n

= sup [x(/J.

p

SPAŢIILE jg .

84

FUNCŢII INTEGRABILE

P e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă K c

iar şirul (/ 9 m

ziţiei

K

av£ni

n

9 y r

.

Conform

= s u p [**(./>*).

A

L u î n d m a r g i n e a s u p e r i o a r ă p e n t r u t o a t e m u l ţ i m i l e c o m p a c t e Kci nem {X* (SUp/ ) = SUp fi.*((SUp/ )9 ) = SUp SUp \L*(f

w

J£

propo-

atunci

[i* ((sup / J 9 0

n

n

T şi o r i c e n a v e m

) e s t e c r e s c ă t o r şi s u p (f„
precedente

CAP.

K

n

«

K

şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţie. D a c ă (/ ) este u n în general, n u m a i inegalitatea

K

n

= SUp SUp JX*(/„9/f) n

şir descrescător

w

T obţi­ =

K

d e f u n c ţ i i > - 0, a v e m ,

^ ( i n f A X i n f <x* (/„). n

Corolar. filtrantă pentru

Pentru relaţia

orice

n

mulţime avem

numărabilă

H de funcţii

pozitive,

[X* (SUp f) = SUp (X* (/). /e ff /e h î n t r - a d e v ă r , s u p / > - / , d e c i [x* ( s u p / ) >- |x* (/) p e n t r u o r i c e /e # / G A de unde H-* ( s u p / ) > s u p (x* ( / ) . fe H f <= H

/efl,

P e n t r u a d e m o n s t r a i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă , fie (/„) ş i r u l f u n c ţ i i l o r d i n H, a r a n j a t e î n t r - o o r d i n e o a r e c a r e . D i n a c e s t şir e x t r a g e m u n s u b ş i r c r e s c ă t o r (f ) î n felul u r m ă t o r : f = f şi p e n t r u o r i c e k a l e g e m f > sup (/ , / ). A t u n c i s u p / ^ = s u p / d e c i njc

ni

Wfc

x

nk+i

t

feU

k

|x* ( s u p / ) = jx* ( s u p / /1= H

k

W f c

) = s u p [x* ( / k

) <

s u p jx* ( / ) . 1 <= ff

Observaţii. 1° C o r o l a r u l n u m a i e s t e , î n g e n e r a l , v a l a b i l d a c ă H n u este n u m ă r abilă. D e e x e m p l u , p e n t r u m ă s u r a L e b e s g u e p e d r e a p t ă şi p e n t r u m u l ţ i ­ m e a filtrantă H a funcţiilor caracteristice 9^ a t u t u r o r părţilor finite AaR a v e m jx* ( 9 ^ ) = 0 , d e c i s u p [x* ( 9 ^ ) == 0 d a r s u p 9 ^ = 1 şi jx ( s u p

A

S5

INTEGRALA SUPERIOARA

P r o p o z i ţ i a 7 . Pentru

Se consideră

orice

şir (f ) n

şirul crescător

85

de funcţii

pozitive

al funcţiilor

g

n

=

avem

£ /

fc

şi se

aplică

fc=i

t e o r e m a 3 ţ i n î n d s e a m a c ă jx* e s t e f i n i t s u b a d i t i v ă : V-* [

t

fn

<

t

I = V-* ( P S U

/* I =

s u p £ !*•(/*)= î

Leina lui Fatou.

Pentru

orice

S U

P ^

/*) <

IÎ

!**(/*)•

şir (f )

de funcţii

n

pozitive

jx* ( l i m i n f / J < l i m inf j x * ( / J n oo w oo w s ă p u n e m g = inf / „ + „ . Ş i r u l (g ) e s t e

P e n t r u orice

n

n

avem

crescător,

deci (sup jfj -

s u p jx* (#„).

Dar s u p g„ = s u p ( i n f / „ + „ ) = l i m i n f / „ , n n p^0 n oo deci jx* (Um inf / J = s u p jx* (# ). tt

n

Pe de altă p a r t e , #

oo

w

p e n t r u p > O, d e c i

w

Atunci jx* ( f f ) < i n f jx* ( / , . , , ) i> ^ o

deci jx* (Um inf / „ ) < s u p jx* (g ) < n

r»

oo

n

s u p (inf jx* ( / „ , „ ) ) = « P > 0

= l i m inf (x* (/„). n

Corolar. Fie (f ) Um / (J) = + oo pentru n

n

n->oo

oo

un şir de funcţii > 0. Dacă jx =f= O s i orice t e T , atunci U m jx* ( / ) = -f o o , n

«

oo

dacdf

SPAŢIILE

86

într-adevăr,

notînd

/

£ . FUNCŢII INTEGRABILE

(t) =

0

CAP. II

p

t

+ oo,

avem

f (t) 0

= lim f

n

(t)

=

n - • oo

= l i m inf f

n

(t) d e c i , c o n f o r m l e m e i l u i F a t o u , y

jx* (/„) < lim inf [x* (/„). «-•00

E ă m î n e d e a r ă t a t c ă jx*(/ ) = + o o . D e o a r e c e jx ^ O, e x i s t ă o f u n c ţ i e g e j £ a s t f e l î n c î t jx (gr) > 0 . D e o a r e c e / > gr, d e d u c e m jx* ( / ) >> jx(gr) > 0 . P e n t r u o r i c e k n a t u r a l a v e m / = kf d e c i jx*(/ ) = &jx*(/ ) ! > & jx (gr), d e u n d e r e z u l t ă c ă jx*(/ ) = + o o . U r m e a z ă c ă l i m inf jx* (f ) = + o o , 0

+

0

0

0

0J

0

0

0

n

«-•00

d e c i ş i r u l (jx* ( / ) ) a r e l i m i t ă şi n

= lim

l i m jx* (/„) «-•00

i n f jx* ( / ) = + o o . n

«-•»

P r o p o z i ţ i a 8 . Dacă atunci :

p şi v sînt

două

măsuri

pozitive

şi

a > O,

1) ({x + v ) * = jx* + v * ; 2) (ajx)* = ajx*; 3) (x*

v* dacă

Pentru/e9

+

jx < > .

avem

(h- + v ) * ( / ) = lim((x + v)

= lim ((x(sr) + v fa) ) =

g^f

=

g^f

l i m jx(gr)

+

lim v ( ) =

^

9

( / ) + v* ( / ) .

D a c ă / > O a r e s u p o r t u l c o m p a c t , e g a l i t a t e a 1) s e d e m o n s t r e a z ă î n a c e ­ l a ş i fel, l u î n d l i m i t a d u p ă m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r g > / , j g 3 , f i l t r a n t ă p e n t r u relaţia > . D a c ă / > O este oarecare, se procedează la f e l : +

(l*

(f) = l i m (jx -f v)* (f ) 9K

= l i m (jx* (f ) + v * (fy )) = 9x

K

=

K

K

lim (x* (fa ) Jl K

+ limv* (/

L a fel s e p r o c e d e a z ă p e n t r u d e m o n s t r a r e a e g a l i t ă ţ i i 2 ) . D a c ă jx < [ v, a t u n c i v = jx + (v — jx) şi v — jx ; > O, d e c i , o r i c e f u n c ţ i e / >> O, a v e m v

* ( / ) ~ K** ( / ) + ( v - J x ) * ( / ) .

D e o a r e c e (v — jx)*(/) > O, r e z u l t ă c ă jx*(/) < v* ( / ) , d e c i jx* < v*. Ou a c e a s t a p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă .

pentru

§ 5

INTEGRALA SUPERIOARA

5 . Măsura

exterioară

a

87

mulţimilor

oarecare

P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e i c T , i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă ţx*(

1) 0 <

jx*( A ) <

2) [i* (A) < 3) Dacă

+ oo.

[L* (B)

(A ) n

dacă

AczB.

este un şir crescător V?([jA )=

s u p jx*

%

\w=l

de părţi

ale lui

T,

atunci

(A ). n

n

)

într-adevăr,

s u p
U A

N

n=l

4) Pentru

orice

şir

(A )

de părţi

n

Vn=l

ale lui

/

T

avem

n=l

I n e g a l i t a t e a p o a t e fi s t r i c t ă , c h i a r d a c ă m u l ţ i m i l e s î n t d i s j u n c t e d o u ă cîte două. 5 ) Pentru orice mulţime AdT conţinută în reuniunea unui şir de mulţimi compacte, avem [L* (A) = inf jx* (G), G

deschisă.

G-DA

F i e 0 < e < 1. D e o a r e c e funcţia y are r e u n i u n e a u n u i şir d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , a v e m

suportul

A

h

( ? J = inf (** W ,

>

9A,

conţinut

în

Ae3 . +

E x i s t ă d e c i o f u n c ţ i e / e 3 + c u y < / $i fx* (A) < jx* (/) < jx* (A) + e. M u l ţ i m e a G ={t \f(t) > 1 •— e } e s t e deschisă, deoarece / este A

semicontinuă

inferior.

A v e m Gz^A

ş i / > > ( 1 — e ) 9^

deci — - — />-9g>

de unde V-* (O) < — — fx* (/) < - i - (fx* (A) + c). 1 — e 1 — e Atunci inf 034

(x*(G) < - J _ 1

(

(

x'(^) £

+

e

).

88

SPAŢIILE J?.

e fiind a r b i t r a r ,

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

obţinem (JL* (A) < ; inf \i*(G), G d e s c h i s ă , GZ)A

de unde ţi* (A) = inf jx* (G), G d e s c h i s ă . G^A P r o p r i e t a t e a 5 ) este, î n p a r t i c u l a r , a d e v ă r a t ă p e n t r u orice m u l ţ i m e relativ compactă AczT. D i n p r o p r i e t a t e a 5 ) r e z u l t ă c ă d a c ă T e s t e număr abil la infinit, î n p a r t i c u l a r d a c ă T e s t e compact, e g a l i t a t e a jx* (A) == inf fi* (G), G d e s c h i s ă , GZ>A e s t e a d e v ă r a t ă p e n t r u orice m u l ţ i m e A CZ T. Observaţie. E g a l i t a t e a e s t e e v i d e n t a d e v ă r a t ă şi d a c ă \i* (A) = + o o . Se v a a r ă t a m a i d e p a r t e că egalitatea r ă m î n e a d e v ă r a t ă p e n t r u orice m u l ţ i m e A c o n ţ i n u t ă î n t r - o m u l ţ i m e d e s c h i s ă G c u jx* (G) < + oo. P o t e x i s t a î n s ă m u l ţ i m i Aci T cu jx* (A) < + oo şi ţx* (G) = + oo p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e d e s c h i s ă Ga A. 6) Pentru orice mulţime relativ compactă AdT avem fx* (A) < + o o . într-adevăr, există o m u l ţ i m e deschisă relativ compactă GZDA. Atunci

y.*(A) < ^(G) < + oo. 7) Pentru

orice mulţime

AdT

avem

[i* (A) = s u p ^ ( A f l l T ) , -BT

compactă.

K

într-adevăr, Observaţie. egalitatea

P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e AdT,

^

(A) — s u p

n u m ă r u l jx, (A) d e f i n i t d e compactă,

(X*(JBT),

KCZA se n u m e ş t e măsura

interioară

a mulţimii A.

A v e m (x^(J-) < ; [x*(J.) ş i i n e g a l i t a t e a p o a t e fi s t r i c t ă . § 6. F U N C Ţ I I

ŞI

MULŢIMI

NEGLIJABILE

1. F u n c ţ i i n e g l i j a b i l e

pozitive

F i e (x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. D e f i n i ţ i a 1. Spunem că o funcţie />-() este neglijabilă măsura fx, sau [L-neglij abilă, dacă ţx*(/) = 0 . Spunem că o mulţime este {x -neglijabilă, dacă funcţia sa caracteristică y este ţx -neglijabilă, A

dacă

\L*(A)

=

0.

pentru AZDT adică

§ 6

FUNCŢII ŞI MULŢIMI NEGLIJABILE

89

Observaţie. N*. B o u r b a k i n u m e ş t e funcţii neglijabile funcţiile / >- 0 p e n t r u c a r e inf (x* (h) = 0, şi f u n c ţ i i local neglijabile, funcţiile / >- 0 p e n t r u c a r e s u p (x* (f

compact.

A'

D a c ă n u e s t e p e r i c o l d e c o n f u z i e a s u p r a m ă s u r i i ţx, î n l o c d e f u n c ţ i e ( r e s p e c t i v m u l ţ i m e ) fx - n e g l i j a b i l ă v o m s p u n e m a i s i m p l u : f u n c ţ i e ( r e s p e c ­ tiv mulţime) neglijabilă. Proprietăţile funcţiilor neglijabile sînt u r m ă t o a r e l e : 1) Dacă f este neglijabilă, OL > - 0 şi dacă 0 < ; g < ; a / , atunci g este neglijabilă. într-adevăr, 0 <

(x* (g) <

a [

x * ( / ) = 0.

î n p a r t i c u l a r , d a c ă / e s t e n e g l i j a b i l ă şi a > - 0, a t u n c i a / e s t e neglijabilă. 2) Dacă (f ) este un şir de funcţii pozitive neglijabile, atunci suma n

00

Yi fn Şi anvelopa

superioară

sup f

n

sînt

neglijabile.

într-adevăr, <

şi

sup /„ <

£

!**(/„) -

o.

5] / „ , d e c i

V? ( s u p /

w

) < ^ | | / . J = 0.

3) O funcţie / > - 0 este neglijabilă, neglijabil oricare ar fi mulţimea compactă într-adevăr, (X* ( / )

=

SUp K

dacă K(Z

şi numai T.

dacă fy

R

este

(fo ).

[L*

K

P r o p o z i ţ i a 1. O funcţie / e 3 este ţx -neglijabilă dacă şi numai dacă f este identic nulă pe suportul lui ţx. F i e 8 s u p o r t u l l u i (x. D a c ă (x* ( / ) = 0, a v e m (x(gr) = 0 p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e g < / d i n JC i a r p e n t r u f u n c ţ i i l e g^J£+ c u (x (g) = 0 a v e m g (t) = 0 p e n t r u t e 8. E e z u l t ă a t u n c i c ă +

+i

f(t)

R e c i p r o c , d a c ă f(t)

s u p # (t) = 0 p e n t r u * e £ .

= 0 p e n t r u orice t e 8

r

atunci

g(t) = 0, p e n t r u

orice

90

SPAŢIILE jg?.

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

te 8 şi o r i c e f u n c ţ i e d i n Z-, i a r p e n t r u f u n c ţ i i l e ge X care sînt n u l e p e 8 a v e m jx (g) = 0. E e z u l t ă a t u n c i c ă jx* (/) = T). P r o p r i e t ă ţ i l e m u l ţ i m i l o r n e g l i j a b i l e se d e d u c d i n cele a l e f u n c ţ i i l o r neglijabile : 1) Orice parte Ba A a unei mulţimi neglijabile A, este neglijabilă. 2) Beuniunea unui şir (A ) de mulţimi neglijabile este o mulţime neglijabilă. 3) O mulţime A este neglijabilă dacă şi numai dacă A f| K este neglijabilă, oricare ar fi mulţimea compactă K a T. P r o p o z i ţ i a 2 . Complementara suportului măsurii jx este cea mai mare mulţime deschisă ;x -neglijabilă. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e d e s c h i s ă G a v e m o e3t . Din propoziţia 1 r e z u l t ă c ă G e s t e jx - n e g l i j a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă G e s t e d i s j u n c t ă d e s u p o r t u l 8 a l m ă s u r i i jx, a d i c ă d a c ă şi n u m a i d a c ă GaC®- C u m C 8 e s t e d e s c h i s ă şi d i s j u n c t ă d e 8, r e z u l t ă c ă C S e s t e jx-neglijabilă, şi a n u m e , c e a m a i m a r e m u l ţ i m e d e s c h i s ă (x - n e g l i j a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 3 . Fie (x şi v două măsuri pozitive. O funcţie f > - 0 este (x + v -neglijabilă dacă şi numai dacă este jx -neglijabilă şi v -negli­ jabilă. într-adevăr, +

n

G

(I* +

v)* ( / ) =

JX* ( / ) +

+

v* ( / ) .

Corolar. 0 mulţime A a T este jx + v -neglijabilă dacă şi numai dacă A este jx -neglijabilă şi v -neglijabilă. P r o p o z i ţ i a 4 . Fie jx şi v două măsuri pozitive. Dacă jx < ; v, atunci orice funcţie / > 0 v -neglijabilă este [i-neglij abilă ; orice mulţime v -neglijabilă A a T este jx -neglijabilă. î n t r - a d e v ă r , d a c ă jx < v , a t u n c i jx* ( / ) < v* (/) şi jx* (A) < ] v * ( J . ) .

2. P r o p r i e t ă ţ i a d e v ă r a t e a p r o a p e p e s t e t o t F i e P(t) o p r o p r i e t a t e d e f i n i t ă p e n t r u o r i c e p u n c t teT, putînd fi f a l s ă p e n t r u u n e l e p u n c t e şi a d e v ă r a t ă p e n t r u a l t e p u n c t e D e f i n i ţ i a 2 . Spunem că proprietatea P (t) este adevărată aproape peste tot în raport cu o măsură pozitivă jx, sau jx -aproape peste tot, dacă mulţimea N a punctelor din T pentru care proprietatea P(t) nu este adevă­ rată, este jx -neglijabilă. D a c ă n u e x i s t ă p e r i c o l d e c o n f u z i e a s u p r a m ă s u r i i jx, î n l o c d e ,,ţx - a p r o a p e p e s t e t o t " v o m s p u n e , m a i s i m p l u , , , a p r o a p e p e s t e t o t " . T e o r e m a 1. O funcţie f^>0 este jx -neglijabilă dacă şi numai dacă f(t) = 0 jx -aproape peste tot. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / e s t e ţx - n e g l i j a b i l ă , a d i c ă jx* ( / ) = 0. S ă n o t ă m N = {t \te T, f(t) =f= 0 }. A v e m cp^ < ; s u p (nf) i a r nf e s t e jx - n e g l i j a b i l ă , p e n t r u o r i c e n. E e z u l t ă c ă

91

FUNCŢII ŞI MULŢIMI NEGLIJABILE

R e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă f(t) = 0, ţx - a p r o a p e p e s t e t o t , a d i c ă [L*(N) = 0. A t u n c i / < ; s u p n 9 , i a r n y e s t e ţx - n e g l i j a b i l ă p e n t r u o r i c e n, d e u n d e r e z u l t ă c ă / e s t e ţx - n e g l i j a b i l ă . A c e a s t ă t e o r e m ă s u g e r e a z ă s ă n u m i m funcţie (x -neglijabilă orice aplicaţie a lui T într-un spaţiu vectorial, nulă fx -aproape peste tot. P r o p o z i ţ i a 5 . Dacă două funcţii / > - 0 şi g > - 0 sînt egale ţx -aproa­ pe peste tot, atunci (x* ( / ) = ţx* (g). S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / < g şi s ă n o t ă m N = {t \teT, JW=fc 9(t)}- M u l ţ i m e a N e s t e (x - n e g l i j a b i l ă . F u n c ţ i a v

N

0

dacă

t&N

+ 00 d a c ă

teN

e s t e (x - n e g l i j a b i l ă , f i i n d n u l ă (x - a p r o a p e p e s t e t o t şi a v e m / < g < / + Atunci H*( / ) < de

(flf) <

H* ( / + *) <

h.

(x* ( / ) + fx* (A) < (x* ( / )

unde

D a c ă f şi g s î n t o a r e c a r e ( e g a l e ţx - a p r o a p e p e s t e t o t ) , a v e m / < s u p ( / , g), i a r / şi s u p (/, g) s î n t e g a l e (x - a p r o a p e p e s t e t o t . D i n prima parte a demonstraţiei rezultă ( / ) = !*• [ B n p ( / ,
gr)]

şi d e c i [x* ( / ) = fx* (g). P r o p o z i ţ i a 6 . Fie f > 0. Z>ac# ţx* ( / ) < ţx -aproape peste tot. T

Fie A = d e c i ţx* (w9 ) < lY

+ 00,

| T, / ( f ) = + ° ° } - P e n t r u (x*(/) < + 00 şi d e c i n

P*

(
R e z u l t ă c ă ţx* (9^) = 0, deci f(t)

A

<

+

atunci

f(t)

orice n a v e m

<

+

00,

n

00.

-f 00, ţx - a p r o a p e p e s t e t o t .

3. Clase d e f u n c ţ i i

echivalente

F i e ţx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T, şi E o m u l ţ i m e o a r e c a r e . S p u n e m c ă d o u ă a p l i c a ţ i i / şi g a l e l u i T î n E s î n t echivalente în raport cu ţx s a u ţx - e c h i v a l e n t e , d a c ă f(t) — g(t), ţx - a p r o a p e p e s t e t o t ; s c r i e m f ~ g.

92

p

SPAŢIILE J> .

FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP. II

E e l a ţ i a / ~ gr a r e u r m ă t o a r e l e p r o p r i e t ă ţ i : ! ) / ~ / o r i c a r e a r fi / : T -> E; 2) f~g=>g~f-, 3) / ~ gr şi g ~ h =} f ~ h. A ş a d a r / ~ gr e s t e o r e l a ţ i e d e e c h i v a l e n ţ ă î n m u l ţ i m e a E a a p l i c a ţ i i l o r l u i T î n E. C l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă a u n e i f u n c ţ i i / v a fi n o t a t ă c u / . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă E e s t e u n spaţiu vectorial. A m numit f u n c ţ i e (x - n e g l i j a b i l ă , o r i c e f u n c ţ i e / : T -> E, n u l ă (x - a p r o a p e p e s t e tot. D a c ă / e s t e (x - n e g l i j a b i l ă şi d a c ă gr ~- / , a t u n c i gr e s t e d e a s e ­ m e n e a (JL - n e g l i j a b i l ă şi / = o . M u l ţ i m e a c l a s e l o r d e e c h i v a l e n ţ ă a l e f u n c ţ i i l o r / : T -> E p o a t e fi o r g a n i z a t ă c a s p a ţ i u v e c t o r i a l , d e f i n i n d s u m a / + 9 şi p r o d u s u l c u s c a l a r i a / c a fiind c l a s e l e d e e c h i v a l e n ţ ă a l e f u n c ţ i i l o r / + gr r e s p e c t i v a/. C l a s e l e / + g şi a / d e p i n d d o a r d e c l a s e l e / şi g şi s î n t i n d e p e n d e n t e d e f u n c ţ i i l e / şi gr. î n t r - a d e v ă r , s e v e r i f i c ă u ş o r c ă d a c ă f ~ f şi 9 ~ g', a t u n c i T

f + 9^f

+ 9'

Şi

* / ~

«/'•

D a c ă f : T -> E şi 9 : T -> R, se d e f i n e ş t e p r o d u s u l 9 • f c a f i i n d c l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă a f u n c ţ i e i 22, se d e f i n e ş t e p r o d u s u l f • g c a fiind c l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă a f u n c ţ i e i f • g. M u l ţ i m e a c l a s e l o r d e e c h i v a l e n ţ ă a l e f u n c ţ i i l o r numerice (finite) d e f i n i t e p e T e s t e u n inel. M u l ţ i m e a c l a s e l o r d e e c h i v a l e n ţ ă a l e f u n c ţ i i l o r f : T -+ E e s t e u n modul p e i n e l u l c l a s e l o r d e e c h i v a l e n ţ ă a l e f u n c ţ i i l o r n u m e r i c e d e f i n i t e p e T. D a c ă E este algebră, m u l ţ i m e a claselor de echivalenţă ale funcţiilor f : T -> E e s t e o algebră. D a c ă E e s t e u n s p a ţ i u n o r m a t , d o u ă a p l i c a ţ i i f, g : T E sînt e c h i v a l e n t e d a c ă şi n u m a i d a c ă f u n c ţ i a n u m e r i c ă |f(t)—g(t)l ^ (jl - n e g l i j a b i l ă . î n t r - a d e v ă r , r e l a ţ i a t(t) = g(t) e s t e e c h i v a l e n t ă c u r e l a ţ i a î(t) — g = = 0, i a r a c e a s t a e s t e e c h i v a l e n t ă c u r e l a ţ i a \t(t) — g (t)\ — 0. P r o p o z i ţ i a 7. Două aplicaţii continue f şi g ale lui T într-un spa­ ţiu topologic separat E sînt ţ* -echivalente dcwă şi numai dacă sînt egale pe suportul lui \x. D e o a r e c e m u l ţ i m e a G = {t\te T,f(t) =j= g(t)} e s t e d e s c h i s ă , e a e s t e (jl - n e g l i j a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă este, d i s j u n c t ă d e s u p o r t u l lui jjl. E e z u l t ă c ă / ^ gr d a c ă şi n u m a i d a c ă f(t) = g(t) p e n t r u o r i c e p u n c t t d i n s u p o r ­ t u l l u i (x. e

4« F u n c ţ i i d e f i n i t e a p r o a p e p e s t e

s

tot

F i e A c T şi f o f u n c ţ i e d e f i n i t ă p e A c u v a l o r i î n t r - o m u l ţ i m e o a r e c a r e E. D a c ă T—A e s t e (x - n e g l i j a b i l ă , s p u n e m c ă f u n c ţ i a / e s t e d e f i n i t ă jx - a p r o a p e p e s t e t o t .

FUNCŢII ŞI MULŢIMI

NEGLIJABILE

93

F i e f şi g d o u ă f u n c ţ i i d e f i n i t e fx - a p r o a p e p e s t e t o t (cu v a l o r i în E). S p u n e m c ă / şi g s î n t fx - e c h i v a l e n t e şi s c r i e m / ~ g, d a c ă m u l ­ ţ i m e a p u n c t e l o r , î n c a r e a m b e l e f u n c ţ i i s î n t d e f i n i t e şi s î n t e g a l e , d i f e r ă d e T p r i n t r - o m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă . î n p a r t i c u l a r , o f u n c ţ i e / d e f i n i t ă (x - a p r o a p e p e s t e t o t e s t e e c h i ­ v a l e n t ă c u o r i c e f u n c ţ i e g, d e f i n i t ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T, e g a l ă c u / p e m u l ţ i m e a d e d e f i n i ţ i e a l u i / , şi c u v a l o r i a r b i t r a r e î n c e l e l a l t e p u n c t e . D o u ă astfel de prelungiri ale lui / la î n t r e g u l s p a ţ i u T sînt, evident, echivalente. V o m n u m i c l a s ă d e e c h i v a l e n ţ ă a u n e i f u n c ţ i i / d e f i n i t e jx - a p r o a p e p e s t e t o t şi o v o m n o t a c u / c l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă a o r i c ă r e i p r e l u n g i r i g a l u i / l a î n t r e g s p a ţ i u l T. C l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă / n u d e p i n d e d e g, ci n u m a i d e / . C u a c e a s t ă n o t a ţ i e , d o u ă f u n c ţ i i f şi g d e f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t s î n t e c h i v a l e n t e d a c ă şi n u m a i d a c ă / = g. D a c ă E e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l , o f u n c ţ i e f d e f i n i t ă [x - a p r o a p e p e s t e t o t (cu v a l o r i î n E) v a fi n u m i t ă î n c ă [x - n e g l i j a b i l ă d a c ă î = 0 . M u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r d e f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t , c u v a l o r i î n E, n u este u n s p a ţ i u v e c t o r i a l şi n i c i c h i a r g r u p a d i t i v , d e o a r e c e f u n c ţ i a i d e n t i c nulă este element n e u t r u p e n t r u a d u n a r e , dar dacă f n u este definită p e s t e t o t , n u e x i s t ă n i c i o f u n c ţ i e g a s t f e l c ă f + S = 0 . M u l ţ i m e a cla­ selor d e e c h i v a l e n ţ ă e s t e î n s ă s p a ţ i u v e c t o r i a l (şi c h i a r a l g e b r ă , d a c ă E este a l g e b r ă ) .

5 . Funcţii c u valori îji R S p u n e m c ă o f u n c ţ i e r e a l ă / d e f i n i t ă [x - a p r o a p e p e s t e t o t p e T , c u valori f i n i t e s a u i n f i n i t e , e s t e finită [x -aproape peste tot d a c ă m u l ţ i m e a p u n c t e l o r teT, î n c a r e t e s t e definită şi finită, are complementara u, - n e g l i j a b i l ă . O f u n c ţ i e / finită [x -aproape peste tot e s t e e c h i v a l e n t ă c u o f u n c ţ i e p e s t e t o t d e f i n i t ă şi f i n i t ă . D e a c e e a se d e f i n e ş t e / c a f i i n d c l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă a u n e i f u n c ţ i i e c h i v a l e n t e c u / , definită şi finită peste tot. î n a c e s t fel se p o a t e d e f i n i s u m a / + g şi p r o d u s u l a / . D a c ă f şi g s î n t d o u ă f u n c ţ i i n u m e r i c e ( c u v a l o r i f i n i t e s a u i n f i n i t e ) definite a p r o a p e p e s t e t o t şi d a c ă f(t) < g(t) a p r o a p e p e s t e t o t , a t u n c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e fi^f şi o r i c e f u n c ţ i e g ~ g a v e m d e a s e m e n e a fi(t)^C 9i(t) a p r o a p e p e s t e t o t . V o m p u t e a scrie d e c i / ^g şi a c e a s t ă r e l a ţ i e este o p r o p r i e t a t e a c l a s e l o r / şi ~g. E e l a ţ i a f ^Cg e s t e o r e l a ţ i e d e o r d i n e p e m u l ţ i m e a c l a s e l o r d e echi­ v a l e n ţ ă a l e f u n c ţ i i l o r n u m e r i c e d e f i n i t e p e T. O f u n c ţ i e f i n i t ă [x - a p r o a p e p e s t e t o t e s t e n u m i t ă , î n c ă , [x - n e g l i j a b i l ă , d a c ă e s t e e c h i v a l e n t ă c u 0. x

94

v

SPAŢIILE Jl .

FUNCŢII

CAP. I I

INTEGRABILE

§ 7. S P A Ţ I I L E 1. I n e g a l i t ă ţ i l e l u i H o l d e r şi M i n k o w s k i Pentru demonstrarea de următoarea lemă : L e m a 1. b ! > 0,

Dacă

acestor importante inegalităţi avem

p > 1,

q > 1 si — + — = 1 p q -

si '

dacă

nevoie

a > 0

si

atunci ab

<

1

p

q

î n t r - a d e v ă r , d a c ă a = 0 s a u 6 = 0, i n e g a l i t a t e a e s t e , e v i d e n t a d e v ă r a t ă . S ă p r e s u p u n e m d e c i a > 0 şi b > 0. P l e c ă m d e l a f u n c ţ i a x x~ (p(x) = 1 d e f i n i t ă p e n t r u x > 0. A c e a s t ă f u n c ţ i e e s t e d e r i p q v a b i l ă şi p

q

1

q x


— x~ -

v

=

x

x~

9' se a n u l e a z ă n u m a i î n p u n c t u l 1 ; d a c ă x < 1 , a t u n c i y'(x) > 0 i a r d a c ă x > 1 , a t u n c i y'(x) < 0 ; a ş a d a r 1 e s t e p u n c t d e m i n i m p e n t r u f u n c ţ i a 9 : ?(*)

= ^ + ^ ! >

( i )

9

=

1

+

1

=

1.

1 Scriind

acum

inegalitatea

obţinută,

1 <

1

»

pentru x =

rezultă 1

<

£l

^

+

a

l

_j_

6p

bQ

6p

d e o a r e c e — = p — 1 şi — = g — 1. î n m u l ţ i n d q p a& < şi l e m a e s t e d e m o n s t r a t ă .

1

~

1

ag

c u ab o b ţ i n e m

—

SPAŢIILE

Jg?

95

F i e c ă r u i n u m ă r p > - 1 i se a t a ş e a z ă u n n u m ă r q a s t f e l q = " —

-f oo d a c ă p = 1, ^

d a c ă p > 1.

N u m e r e l e p şi q a s t f e l a s o c i a t e se n u m e s c conjugate i

+

i

-

i

unul altuia.

Avem

.

P

9 D a c ă 1 < p < 2 , a t u n c i 2 < g < + oo D a c ă p = 2 , a t u n c i g = 2 . Inegalitatea lui Holder. Fie (x o măsură pozitivă, f şi g două funcţii > - 0 definite pe T cu valori finite sau + o o . Dacă p > 1 şi — + — =1, V 9

atunci

î n t r - a d e v ă r , dacă m e m b r u l d r e p t este zero, a t u n c i a veni, de exemplu J fp d{x = 0 ( c h i a r d a c ă ^ gr* dfx = E e z u l t ă c ă f» e s t e n u l ă

+ oo),

adică /"

este

(x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i

[L - a p r o a p e p e s t e t o t , d e u n d e ^

fgd[i

/

(x - n e g l i j a b i l ă .

şi fg

sînt

nule

= 0, şi a s t f e l i n e g a l i t a t e a e s t e verifi­

cată în acest caz. Să p r e s u p u n e m a c u m că integralele din m e m b r u l

drept

s î n t d i f e r i t e d e z e r o . D a c ă u n a d i n a c e s t e i n t e g r a l e e s t e + oo, i n e g a l i t a t e a este de asemenea verificată. E ă m î n e de considerat cazul cînd : p

0<Jj/ d(x<+ooşiO<(j

q

g d\i

V o m p r e s u p u n e m a i î n t î i c ă / şi g s î n t finite a b ab < 1 s ă l u ă m , p e n t r u f i e c a r e t e T, p q v

<

+

oo.

peste tot. î n

inegalitatea

71

(f/Mu)'

(JVdti)»

Atunci

/(*)?(*)

<

/(')'

,

gW_

Luînd integralele superioare ale funcţiilor din aceste inegalităţi obţinem

f/gdţx

<

r/*d|x

,

f

3

ff d(x

=

1

}

1

=

1

96

P

SPAŢIILE J2 . FUNCŢII INTEGRABILE

cap. n

de unde

I n sfîrşit, d a c ă / şi g n u s î n t f i n i t e p e s t e t o t , d i n i n e g a l i t ă ţ i l e j q

şi ^ g dfi. < -f 00 r e z u l t ă c ă f

q

şi g , d e c i f şi g s î n t

/ d(x< +00

f i n i t e (x - a p r o a p e

p e s t e t o t , şi d e c i f i e c a r e e s t e e c h i v a l e n t ă c u o f u n c ţ i e finită respectiv g Atunci

peste tot, /i

lm

q

D a r / f ~ f , flrî ~ g

şi hg^fg,

d e c i ţ * / ? d f x = j * / * dfx, J*fifJdjjL = J* ^ dfx

9* j / i J i d ( ^ = j / - 0 definite pe T, cu valori finite sau + 00 şi 1 Atunci § într-adevăr,

v

(/ + 9) d(*)* < ^ * f dfx) * + ^ dacă

p = 1, a v e m j

g» d|*j * •

(/ -f gr) d ( x <

d e o a r e c e (x* e s t e s u b a d i t i v ă . F i e p > 1 . D a c ă ^ (/ + tatea

este

verificată.

f şi g două. p < + 00.

S ă p r e s u p u n e m d e c i 0 < ^ (/ +

/ d [ x -f ^ g d(x, dfx = 0 i n e g a l i ­ #)

r )

d[x<+oo.

Folosind inegalitatea lui Holder, o b ţ i n e m succesiv :

v

[* (/ + 9) dfx = \ (/ + jf) (/ + g)*-* d(x < ^ f (/ + jr)»-i djx +

+

1

0 ( / + fl^r-

d e o a r e c e q(p -

d^< ^*f d ţ x ( ( /

l ) = p. î m p ă r ţ i n d

1 — A = 1 . obţinem inegalitatea

+ jf)«<*~i> dţxj« +

v

c u | ^ * ( / + g) dfxj"« dorită.

§1 o b s e r v î n d

ca

SPAŢIILE

97

jg*

A rămas de considerat cazul cînd p

* (/ + g)

djx =

+

oo. p

p

V o m a r ă t a c ă î n a c e s t c a z c e l p u ţ i n u n a d i n i n t e g r a l e l e J f djx, J g djx e s t e egală cu + oo. P e n t r u 0 < ! b < ; + 00, a t u n c i

aceasta,

să o b s e r v ă m

p

P

(a + b)

< 2

(a +

că dacă

p

avem

p

p

(a + b) < (b + &)» = 2* 6* < 2* (a T avem

00,

b ).

î n t r - a d e v ă r , p r e s u p u n î n d , d e e x e m p l u , c ă a < b,

P e n t r u f i e c a r e p u n c t te

0 <[ a < ; +

+

p

b ).

atunci

p

(/W + 9(t)r<2

(f(ty

+

g(tn

de unde p

* (/ + g)

P

djx < 2

p

^f

djx + 2*

jr djx.

Din faptul că m e m b r u l strîng este egal cu r e z u l t ă că cel p u ţ i n u n a din integralele din m e m b r u l drept este egală cu + ° ° Dacă,

de

p

exemplu,

p

f djx = + 00, a t u n c i ^ ^J

djxj^ =

+ 00

şi

astfel i n e g a l i t a t e a d o r i t ă este verificată c u e g a l i t a t e . Cu aceasta, i n e g a l i t a t e a lui Minkowski este d e m o n s t r a t ă .

2. S e m i n o r m e l e F i e jx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e complex).

T

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f : T -> E 1 < p < + 0 0 , folosim n o t a ţ i a

N (î, p

şi E

N

V

un spaţiu Banach

şi o r i c e

număr

p

(real

astfel

sau încît

jx) =

C î n d n u e s t e p e r i c o l d e c o n f u z i e a s u p r a m ă s u r i i jx, v o m s c r i e N (f) î n loc d e N (f, jx). P r o p r i e t ă ţ i l e f u n c ţ i o n a l e i N (f) s î n t u r m ă t o a r e l e : 1) 0 < N (f) < + 00 ; N (f) = 0 d a c ă ş i n u m a i d a c ă f e s t e (x-neglijabilă; P

V

P

v

2) N (OLÎ) V

3 ) JSf (t 9

9

=

|a|-BT,(f), a

scalar;

+ g)<# (f) p

4) -^„(f) < ^ ( g ) d a c ă |f| <

+N ( )i p 9

|g| a p r o a p e peste

tot.

p

98

SPAŢIILE j£ .

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

î n t r - a d e v ă r : p r o p r i e t a t e a 1) r e z u l t ă d i n f a p t u l c ă i n t e g r a l a s u p e ­ r i o a r ă e s t e pozitivă ( f i n i t ă s a u +00), şi \î(t)\ = 0 d a c ă şi n u m a i d a c ă f(j) = 0 ; p r o p r i e t a t e a 2) r e z u l t ă d i n f a p t u l c ă i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă \L* e s t e p o z i t i v o m o g e n ă ; p r o p r i e t a t e a 3 ) se d e d u c e d i n i n e g a l i t a t e a l u i M i n k o w s k i , o b s e r v î n d c ă | f + g | < | f | + |g | şi c ă \i* e s t e c r e s c ă t o a r e ; p r o p r i e t a t e a 4) r e z u l t ă t o t d i n f a p t u l c ă \i* e s t e c r e s c ă t o a r e . D i n p r o p r i e t ă ţ i l e d e m a i s u s r e z u l t ă şi i n e g a l i t a t e a p

5) într-adevăr,

\N (t)-N ( )\
p 9

9

l'l = l « - g + 9 l < l * - g l + | g | , deci

N (t)KN

( f - g ) + 2T,(g)

Jr (t)-N

(g)<-y,(f-g).

p

p

de unde 9

9

Schimbînd f cu g obţinem

D i n cele d o u ă i n e g a l i t ă ţ i d e d u c e m

|^,(f)--y,(f)|
compact.

K

K p

p

î n t r - a d e v ă r , a v e m \tcp \

= \i\

K

y, K

deci

| f |» 9 * dfx = J* | Î 9 * \ dfx = N v

p

(f 9* )*

Atunci v

N (î) p

p

= ^ I f l dfx = s u p

| f |* 9* dfx = s u p

(f9*)" = ( s u p N

p

(Î ))% 9K

de unde N (î) p

= svpN (t

K

K

compact.

K

P e n t r u orice funcţie n u m e r i c ă / nite, n o t ă m de asemenea. =

: T -> R, c u v a l o r i f i n i t e s a u infi­

/ I m ­

p r o p r i e t ă ţ i l e d e m a i s u s r ă m î n v a l a b i l e şi p e n t r u f u n c ţ i i l e c u v a l o r i î n JR c u c o n d i ţ i a c a s u m a f + g d i n p r o p r i e t a t e a 3) s a u d i f e r e n ţ a / — g d i n p r o p r i e t a t e a 5) să fie definite pe T. P e n t r u funcţiile / : T -> R a v e m u r m ă t o a r e a p r o p r i e t a t e : 7) Bacă N (f) < + 00 pentru un singur p, 1 < p < + 00, atunci f(t) este finită, aproape peste tot. p

într-adevăr, j t o t ; a t u n c i \f(t)\ Inegalitatea

99

p

SPAŢIILE

j£

p

p

\f(t) \ dfx < + o o , d e c i

| f (t) \ < + oo a p r o a p e p e s t e

d e c i şi f(t) e s t e f i n i t ă a p r o a p e p e s t e t o t . lui Holder se s c r i e a c u m a s t f e l : ^fgd[L
1 p e n t r u 1 < p,

g <

q

i

+ oo,

1

= 1,

o, g^> 0. M a i d e p a r t e se v a

d e f i n i N*, (g). S e v a a r ă t a a t u n c i c ă i n e g a l i t a t e a l u i H o l d e r r ă m î n e v a l a b i l ă şi î n c a z u l c î n d p = 1 i a r q = + oo. L e m a 2 . D a m 0 < ; a < ; + o o , 0 < ! 6 < ; +oo şi 1 < ; p < + oo a^em a

p

+ 6* <

(a

+

D a c ă a + b = 0, a t u n c i a = 0 şi b = 0, d e c i i n e g a l i t a t e a e s t e v e r i ­ ficată cu egalitate. I n e g a l i t a t e a e s t e d e a s e m e n e a v e r i f i c a t ă d a c ă a + b = + oo. S ă p r e s u p u n e m deci 0 < a + 6 < + o o . Atunci

a + 0

a + 0

deci 'a + M

a + 6

l a + 6/

a + 6

Adunînd aceste inegalităţi m e m b r u cu m e m b r u , p

b

^

\a + 6

\a + b)

a

,

a + 6

obţinem

6 a + b

Prin înmulţire cu ( a + 6 ) * obţinem inegalitatea dorită. Din această lemă deducem P r o p o z i ţ i a 1. Bacă fx şi v sînt două măsuri pozitive, funcţie / > 0 şi 1 < ; jp < + oo avem N

p

(/, ( x + v) < #

(/, jx) +

p

p

(/, v) < 2N

p

(/, (x + v).

într-adevăr, ((X

+

V ) *

=

[L* +

V %

deci

de u n d e deci N (f, p

[x+

v)<JT,(/,

(x) +

pentru

v).

orice

SPAŢIILE J>?. FUNCŢII INTEGRABILE

100

Avem

apoi ( A < | ^ + v ş i v < ( A l / l * d{x <

+

CAP.

n

v, d e c i

l/l» d (fx + v) şi

| / | » d v < ^* l / l » d (|A + v)

adică N (f, p

|t)<^,(/,

j i + v) şi # „ ( / , v ) < ^ ( / ,

< x + v)

de unde JST (/, |t) + N (j, P

v ) < 2 ^ (/,<x + v)

r

T e o r e m a 1. (Teorema eonvexităţii numărdbile). Pentru de funcţii > - 0 (finite sau infinite) definite pe T, avem

#,[t

orice

şir

(f ) n

/ . ] < £ JM/«>\ =l

/

n

n=l

D i n p r o p r i e t a t e a 3) d e d u c e m , p r i n

recurenţă,

oo

p e n t r u orice n n a t u r a l . N o t i n d / = / ^ s u p f ] / , n

Ş i r u l ^ ^] / j scrie fc

de unde

prin

/ , n

şi f

=

avem

sup(£/ n

fc=i

V*=i

P

J k

] < /

e s t e c r e s c ă t o r , şi d e c i î n b a z a t e o r e m e i 3 d i n § 5 p u t e m

Bup(S/ )

f d<x = V

fc

d(x = supV

M g / J dji

urmare

(/) = s u p N ( £ / * ] < v

n

U=i

/

S U

P £ ^ * (/*) = S

»

k=i

N

v(h)*

k=i

P r o p o z i ţ i a 2 . .Fie f şi g funcţii definite pe T cu valori un spaţiu Banach E. Bacă f şi g sîwJ echivalente, atunci N (i—g) pentru 1 < < + oo. Reciproc, dacă N (f r - g) = 0 pentru un p ; > 1 . atunci f ş i g sîntf echivalente. î n t r - a d e v ă r , d a c ă f şi g s î n t e c h i v a l e n t e , a t u n c i f (tf) — g (t) (i - a p r o a p e p e s t e t o t şi d e a s e m e n e a | f (t) — g ( * ) l = 0 , ^x - a p r o a p e t o t . E e z u l t ă a t u n c i c ă o r i c a r e a r fi p a s t f e l c a 1 < p < - f o o , v

v

p

- y ( f - ) = U * | f - g r d | i J » = 0. p

8

într= 0 singur = 0, peste avem

SPAŢIILE

JP

101

Eeciproc, dacă JT (f—g) = 0 p e n t r u u n j > 1 , p

atunci

* | f - g | * d(x = 0 . deci | i — g | şi d e c i şi f —g e s t e fx - n e g l i j a b i l ă . E e z u l t ă a t u n c i c ă f (tf)=g (t), (x - a p r o a p e p e s t e t o t . A c e a s t a î n s e a m n ă c ă f şi g s î n t e c h i v a l e n t e , şi propoziţia este d e m o n s t r a t ă . F i e f şi g d o u ă f u n c ţ i i d e f i n i t e p e T c u v a l o r i î n E s a u î n JR. D a c ă f şi g s î n t e c h i v a l e n t e , a t u n c i f u n c ţ i i l e n u m e r i c e | f | » şi | g | * s î n t e c h i v a l e n t e şi d e c i * |f|* d n = p g | * djx de u n d e N (f) = N De aceea, p u n e m p

(g). A ş a d a r , N (f) n u d e p i n d e d e c î t d e c l a s a f a l u i p r i n definiţie

p

9

jy,(î) = Avem proprietăţile

următoare:

1) 0 < N

+ oo, N

v

(!) <

9

2) jy,(
a

f.

jy,(f).

(f) = 0 d a c ă şi n u m a i d a c ă f =

(T;

scalar;

3) N (f + g ) < (î) + (g), d a c ă f + g e s t e d e f i n i t ă p e E. î n p l u s , r e z u l t ă şi i n e g a l i t a t e a u r m ă t o a r e : 4) | N, (F) - N (g) | < N, ( F - g ) . D a c ă , a c u m , f e s t e o f u n c ţ i e c u v a l o r i î n E s a u î n R , d e f i n i t ă jx -aproape peste tot p e 2£, p u n e m N (f) = J T ( 1 ) ; î n a c e s t c a z , N (f) a r e a c e l e a ş i p r o p r i e t ă ţ i c a şi p e n t r u f u n c ţ i i d e f i n i t e p e s t e t o t . p

9

p

Observaţie.

Dacă

P

0 < p < 1,

v

funcţia

mai este s u b a d i t i v ă , adică inegalitatea mai este în general a d e v ă r a t ă .

3. Spaţiile

N

9

(f) =

JV, |f |

p

^ ( f + g ) < JV^ (f) + N

dfxj^nu p

(g)

nu

Cp

F i e [x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi E u n s p a ţ i u B a n a c h ( r e a l s a u c o m ­ plex). N o t ă m c u Cf? ( T , (x) s a u Cp (fx) s a u ( £ | m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r t:T-+E p e n t r u c a r e N (t) < -\- oo. V o m scrie î n l o c d e (J? . A c c e n t u ă m c ă m u l ţ i m e a
E

9

R

9

E

p

*) Restricţia se impune in cazul funcţiilor numerice cu valori infinite.

SPAŢIILE Jg?. FUNCŢII INTEGRABILE

102

cap. n

v

V o m c o n s i d e r a p e s p a ţ i u l Cf t o p o l o g i a d e f i n i t ă d e s e m i n o r m a N, n u m i t ă topologia convergenţei în medie de ordin p. T o p o l o g i a d e f i n i t ă d e s e m i n o r m a N p e s p a ţ i u l (J} e s t e n u m i t ă , m a i s i m p l u , topologia convergenţei în medie, i a r c e a d e f i n i t ă p e s p a ţ i u l (Jz% d e s e m i n o r m a N e s t e n u m i t ă topologia convergenţei în medie pătratică. A d e r e n ţ a l u i 0 î n s p a ţ i u l Cp e s t e s u b s p a ţ i u l HL a l f u n c ţ i i l o r (x-negli­ j a b i l e ( p e n t r u c a r e N (f) = 0 ) . P r o p o z i ţ i a 3 . Dacă (î ) este un şir de funcţii din Cf convergent în medie de ordin p către o funcţie f e (J ^, atunci E

p

x

E

2

E

E

p

n

E

1

l i m N,(t )

=

n

N,(t).

«-•oo

î n t r - a d e v ă r , a s p u n e c ă ( f ) c o n v e r g e c ă t r e i î n m e d i e d e o r d i n p, î n s e a m n ă l i m N (f — f ) = 0 . A f i r m a ţ i a r e z u l t ă a t u n c i d i n i n e g a l i t a t e a n

p

n

n-*oo \K

( U ) - X

P r o p o z i ţ i a 4 . Dacă

(î„)

( 0 I < ^ >

9

este

un şir

(«•-«).

de funcţii

din

(J-

E

astfel

ca

00

£

(t ) < + o o , atunci :

N

9

n

n=l oo

1) seria 2)

î n= l funcţia

(t) este absolut

p

£

f

f» ( 0

dacă

seria

este

(în E), aproape

convergentă

peste

tot]

în t

(t) = 0

aparţine

convergentă

dacă seria

nu este convergenta

in t

v

spaţiului

Cf ; E

00

3) seria orice

număr

i

n

natural

converge n

în medie

de ordin

p către f; mai precis,

pentru

avem

V

/

k>n

într-adevăr, f

l «! ) < î ^ ( U < + <~ ao

deci

Yi l'« (01 < + ° ° j fx-aproape p e s t e t o t , c e e a c e d e m o n s t r e a z ă p u n c t u l 71 = 1 00

1) D e o a r e c e E e s t e c o m p l e t , u r m e a z ă c ă s e r i a £

'n (0

e s

^ c convergentă

SPATIILE

103

[L - a p r o a p e p e s t e t o t . P e n t r u f i e c a r e t e T

(în 2*7),

l«(*)l
avem

\U

de u n d e

d e c i f e Cf, , şi p r i n a c e a s t a p u n c t u l 2) e s t e d e m o n s t r a t . P e n t r u f i e c a r e n natural avem E

|f (t) — Yi M O K

f

Yi l *

a p r o a p e peste

tot.

Atunci C

/

Vfc>n

/

k>n

r

D e o a r e c e s e r i a ^ ] iV (f ) e s t e c o n v e r g e n t ă , p e n t r u o r i c e n u m ă r e > 0 e x i s t ă p

w

u n n u m ă r N ( s), a s t f e l î n c î t o r i c a r e a r fi n > - JV ( s) s ă a v e m 5]-^ şi d e c i JV J f —

£

p

f j<

e. A c e a s t a î n s e a m n ă c ă s e r i a £

k

f

£

P

(îfc)< >

este conver-

w

g e n t ă î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e f, şi p r o p o z i ţ i a e s t e c o m p l e t d e m o n ­ strată. P r o p o z i ţ i a 5 , Din orice şir Cauchy ( f j de funcţii din Cp se poate extrage un sub şir (f„ ) cu următoarele proprietăţi : E

fc

!) i

N

^ h

+

-«..)<+<*>;

1

2) e#istfa o funcţie g >pentru orice Tce N şi orice te D e o a r e c e ( f j e s t e şir e x i s t ă u n n u m ă r n(z) a s t f e l a v e m N (î - ÎJ < e. v

0

0

0 asţfeZ ca (#) < + ţ£ |f (J)| < ; g(t) T. C a u c h y î n Cfc , p e n t r u o r i c e n u m ă r e > 0 î n c î t , o r i c a r e a r fi n^n(z) şi m > n ( s ) , s ă w

E

n

L u î n d s = — şi n, > ni—\ 2 V2 j

avem

1

JTp (f

n

— f ) < i Wl

L u î n d s = — şi n

> n

2

f

('* — n ) < 2

p e n t r u orice n > w ^-i-j-

astfel ca n

2

> % , avem

p e n t r u orice w > w

p

104

SPAŢIILE Jl .

FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP.

II

Şi

Să presupunem

că a m

N

k

(f„ — f„ ) <

p

p e n t r u orice n > w

fc

Luînd s = ^

N

ales n > n ^ - i - j astfel ca

şi n

> n

i + 1

f

v (n -

astfel c a n

< ~

> n,

k + 1

avem

k

, p e n t r u orice n >

«

Şi

(tn ) k

A m d e m o n s t r a t astfel, p r i n r e c u r e n ţ ă , că p u t e m e x t r a g e u n cu p r o p r i e t a t e a u r m ă t o a r e : N

n

in

* (* *+i ~" k)

< ~T> p e n t r u orice

subşir

fceiV.

Atunci fc=l

k=l *

P e n t r u fiecare t e T, să n o t ă m f

*(*)=

f ; i V i W - - » < ' > l

<

+

0 0

-

*;=i

Avem ^P

(*)

=^P

Notînd g = h + N

P

P e de altă

( £

l

f

» ,

+

~

1

f

£

n j ) <

U=l ' Jf^ |, a v e m gr > 0 şi

(9) = N (h

+ |f J) < N

p

n

^ ( f .

-1^)

<

+

OO

(f ) <

+

OO.

k=l

p

(h) + N

p

ni

parte,

g = K + IfnJ = f

I f ^

*?=i

de unde rezultă p e n t r u o r i c e ieN

-

f« | + | f » J > £ fc

IV i

-

*"J +

f

' tl>

*<»

c ă | f » | < j f p e n t r u o r i c e i e J T , a d i c ă \i . (t) \ < 9 (t) şi o r i c e l e f , şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . f

n

p

SPAŢIILE

Jg

105

Observaţie. D a c ă f u n c ţ i i l e ( f ) s î n t continue, a t u n c i funcţia g se p o a t e a l e g e a s t f e l î n c î t s ă fie semicontinuă inferior. într-adevăr, cu notaţiile din demonstraţia propoziţiei 5 , funcţia h este s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r şi d e c i f u n c ţ i a g = h + | f^ | e s t e d e a s e m e n e a semicontinuă inferior. T e o r e m a 2 . Spaţiul Cf% este complet. F i e (f ) u n şir C a u c h y d e f u n c ţ i i d i n (Ji . C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 5 , e x i s t ă u n s u b ş i r (f ) a s t f e l c a n

v

n

E

Wfc

N

t

A K

+

l

~ K ) <

+«»•

fc=l

D i n p r o p o z i ţ i a 4 r e z u l t ă c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e f e CfJ% a s t f e l î n c î t s e r i a

c o n v e r g e c ă t r e f(/), fx-aproape p e s t e t o t , şi î n m e d i e d e o r d i n p : lim N

p

(f -

£ [f

-

f „ J = 0.

k
Dar k
= i + f

%

- f„.

deci l i m J T , (f + î», -

f ) = 0. B<

A c e a s t a î n s e a m n ă c ă s u b ş i r u l (f„.) a l ş i r u l u i C a u c h y (f ) , c o n v e r g e jx-aproap e p e s t e t o t şi î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e f u n c ţ i a f + f e C£? . E e z u l t ă a t u n c i c ă ş i r u l C a u c h y (f„) e o n v e r g e d e a s e m e n e a î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e f + f şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . D i n d e m o n s t r a ţ i a a c e s t e i t e o r e m e şi d i n p r o p o z i ţ i a 5 r e z u l t ă P r o p o z i ţ i a 6 . Pentru orice şir Cauchy (f ) de funcţii din CfJ% există un subşir (f„ ), convergent fx-aproape peste tot şi în medie de ordin p către o funcţie din Cf? , şi o funcţie g > 0 astfel încît N (g) < + oo şi ( ^ ) l ^ 9 (t) pentru orice Ic şi orice te T. P r o p o z i ţ i a 7. Fie ( f j un şir defuncţii din (J? . Bacă toate funcţiile ( f j au suporturile conţinute în aceeaşi mulţime compactă KczT şi dacă şirul ( f j converge uniform către o funcţie f , atunci l^eCf şi (f ) converge către f în medie de ordin p. î n t r - a d e v ă r , fie e > 0 ; e x i s t ă u n i n d i c e n( e), a s t f e l î n c î t p e n t r u orice n > n( e) s ă a v e m n

Hl

E

ni

w

fc

E

P

E

p

0

E

n

0

I'h(0 — M * ) l <

s

> o r i c a r e a r fi te

T.

D e o a r e c e f a u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e î n K, u r m e a z ă c ă şi l i m i t a f s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n K. A ş a d a r p e n t r u t&K a v e m n

\U W-U

(*)l = 0.

0

are

v

SPAŢIILE J> . FUNCŢII INTEGRABILE

106

cap. n

F i e 9 o f u n c ţ i e continuă cu suport compact d e f i n i t ă p e T c u v a l o r i î n [ 0 , 1 ] , a s t f e l c a
f (<) <

p e n t r u te

0

T

şi d e c i ^ ( I h - ' o X

^(9)

<

+oo.

U r m e a z ă p e de o p a r t e că N

(I ) < tf, (f, -

p

f) + N

0

d e c i fo g f^S*, i a r p e d e a l t ă

0

9

(f J <

+ oo

parte

l i m N (U

-

9

f) = 0

0

şi c u a c e a s t a p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţie. P r o p o z i ţ i a a f i r m ă c ă p e m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r f e Cffy c a r e a u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n t r - o a c e e a ş i m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT, topo­ logia convergenţei uniforme este m a i fină decît topologia convergenţei î n m e d i e d e o r d i n p. P r o p o z i ţ i a 8 . Dacă |x şi v sînt două măsuri pozitive şi dacă fx ; > v, atunci Cf? (fx) d Cp ( ) Şi topologia spaţiului Cfeste mai fină decît topologia indusă de spaţiul C£. (v). î n t r - a d e v ă r , fx* > - v*, d e c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f: T -> E avem v

E

E

E

E

p

p

ţj*|f| d|x>ţj*|f| d v de unde N (l, p

v).

L)>N (i,

[

p

D i n a c e a s t ă i n e g a l i t a t e r e z u l t ă c ă Cf ( f x ) C I ( 7 ^ ( v) şi c a p e Cfc% (fx), t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n p p e n t r u m ă s u r a fx e s t e m a i f i n ă d e c î t t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n p p e n t r u v. P r o p o z i ţ i a 9. Dacă \i şi v sînt două măsuri pozitive şi OL > 0, atunci : v

E

1)

&i

Un) =

&i Mi

2) (n(v. + v) - (j» (jx) n ^ £ ( v ) . Propoziţia rezultă din relaţiile N,{ *t) = *N,{t) E

Şi ^ „ (f, (x +

v)< ^

(f, (x) +

tf,

4. S p a ţ i i l e

(f, v) < 2N,

(f, jx + v).

&

F i e (x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi .E u n s p a ţ i u B a n a c h ( r e a l s a u c o m ­ p l e x ) . S p a ţ i u l JC (T) a l a p l i c a ţ i i l o r f: T - k E ? c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t e s t e c o n ţ i n u t î n f i e c a r e s p a ţ i u Cf.\, ( 1 < ; p < + o o ) . E

într-adevăr, şi d e c i

dacă

fe X

E

(T),

107

v

SPAŢIILE

J£

atunci

p

| f | e JC ( T ) , d e c i | f | e ^

(T)

V o m n o t a c u Jl ( T , (x) s a u J2, sau închiderea spaţiului (T) î n s p a ţ i u l Cf? şi c u ( T , (x) s a u i £ (jx) s a u L spaţiul cît a l s p a ţ i u l u i j 2 | p r i n s u b s p a ţ i u l 9 ^ a l f u n c ţ i i l o r [x-neglij a b i l e . î n l o c d e J>% şi i j j v o m s c r i e Jl r e s p e c t i v L . S p a ţ i u l J> e s t e spaţiu vectorial r e a l s a u c o m p l e x d u p ă c u m E e s t e r e a l s a u c o m p l e x . Deoarece funcţia identic egală cu 0 este continuă cu suport compact ( s u p o r t u l e s t e v i d ) , i a r a d e r e n ţ a a c e s t e i f u n c ţ i i î n s p a ţ i u l CŢ e s t e m u l ţ i ­ m e a 7i a f u n c ţ i i l o r n e g l i j a b i l e , r e z u l t ă c ă o r i c e f u n c ţ i e [x-neglijabilă f : T -> E a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i o r i c a r e a r fi p, c u 1 < ! p < + o o . S ă r e m a r c ă m c ă f u n c ţ i i l e d i n Jl ( r e s p e c t i v i£ ) s î n t d e f i n i t e ( r e s p e c ­ t i v d e f i n i t e şi finite) p e întreg spaţiul T. F u n c ţ i i l e d i n J> s î n t n u m i t e funcţii integrabile î n r a p o r t c u (x s a u f u n c ţ i i (x-integrabile. Funcţiile f din s î n t n u m i t e funcţii de putere p integrabilă sau f u n c ţ i i ^ - i n t e g r a b i l e . A c e a s t ă d e n u m i r e v a fi j u s t i f i c a t ă m a i d e p a r t e d e f a p t u l c ă d a c ă f eJl a t u n c i f u n c ţ i a n u m e r i c ă |f \ e s t e i n t e g r a b i l ă (coro­ l a r u l 2 a l t e o r e m e i 6). P r i n e x t e n s i u n e , v o m n u m i funcţie jp-integrabilă, orice funcţie cu v a l o r i î n E ( r e s p e c t i v R) d e f i n i t ă aproape peste tot p e T ( r e s p e c t i v d e f i n i t ă şi finită aproape peste tot p e T) e c h i v a l e n t ă c u o f u n c ţ i e f e JL ( r e s p e c t i v îe£ ). E

E

V

JC

E

E

E

p

v

E

P

E

E

p

p

E

E

p

Ej

V

E

p

Majoritatea rezultatelor de m a i jos, e n u n ţ a t e p e n t r u funcţii din £ ( r e s p e c t i v J2. ) r ă m î n a d e v ă r a t e d a c ă se e n u n ţ ă p e n t r u f u n c ţ i i ^ - i n t e ­ g r a b i l e , d e f i n i t e ( r e s p e c t i v d e f i n i t e şi f i n i t e ) a p r o a p e p e s t e t o t p e T. O r i c e f u n c ţ i e f : T -> E, e c h i v a l e n t ă c u o f u n c ţ i e d i n J2. a p a r ţ i n e d e a s e m e n e a l u i J2 . P r o p o z i ţ i a 10. Spaţiul JC (T) este dens în fiecare spaţiu J? , (l 0 există o funcţie geJC (T) astfel încît N (î — gj < s . T e o r e m a 3 . Spaţiul M este complet. Spaţiul L este un spaţiu Banach. î n t r - a d e v ă r , Jl e s t e î n c h i s î n s p a ţ i u l c o m p l e t CJ- d e c i şi J2 e s t e c o m p l e t . A t u n c i s p a ţ i u l c î t B%\lfL e s t e d e a s e m e n e a c o m p l e t . D e o a r e c e N (f) e s t e o n o r m ă p e L , r e z u l t ă c ă L e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h . î n c o n t i n u a r e , n o r m a N (f) v a fi n o t a t ă d e a s e m e n e a c u ||f|| . P r o p o z i ţ i a 11. Pentru orice şir (l ) de funcţii din X convergent în medie de ordin p către o funcţie f e Jl , există un subşir (t ) convergent \i-aproape peste tot către f, şi o funcţie g > - 0 astfel încît N (g) < + oo şi \î« (l)\ ^ 9(t) pentru orice k şi orice te T. D e o a r e c e ş i r u l (f ) e s t e c o n v e r g e n t ( î n J 2 £ ) , e l e s t e u n şir C a u c h y d e f u n c ţ i i î n Cf-.% C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 5 , e x i s t ă u n s u b ş i r (in ), convergent v

E

E

E

E

E

E

E

p

E

E

p

P

E

E

E

E

P

9

E

E

p

p

n

E

E

n/c

p

k

n

k

108

SPAŢIILE

j£?.

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP.

n

î n m e d i e d e o r d i n p şi a p r o a p e p e s t e t o t c ă t r e o f u n c ţ i e h e (Ji\ şi o f u n c ţ i e g > 0 astfel î n c î t N (g) < + oo şi | f (t) | < g(t) p e n t r u orice k şi orice v

njfc

D a r (î ) c o n v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e f c a subşir al şirului (f ). U r m e a z ă c ă N (t — h) = 0, a d i c ă f u n c ţ i i l e f şi h s î n t e c h i v a l e n t e şi deci (f ) c o n v e r g e ţx-aproape p e s t e t o t c ă t r e f. Corolar. Dacă (t ) este un şir convergent în spaţiul şi dacă (f (t)) are o limită î(t)eE aproape peste tot, atunci funcţia f (definită aproape peste tot) este p-integrabilă iar (î ) converge şi în medie de ordin p către f. î n t r - a d e v ă r , e x i s t ă i m subşir (f ) c o n v e r g e n t a p r o a p e p e s t e t o t şi î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e o f u n c ţ i e h e « £ £ . E e z u l t ă c ă şirul C a u c h y (f ) c o n v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e h . D e o a r e c e (f ) c o n v e r g e a p r o a p e p e s t e t o t c ă t r e f, u r m e a z ă c ă subşirul (tn ) c o n v e r g e c ă t r e f a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i t(t)=h (t), a p r o a p e p e s t e t o t . E e z u l t ă c ă f e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă şi c ă (f ) c o n v e r g e c ă t r e f î n m e d i e d e ordin p. Propoziţia 1 2 . Fie dL o submulţime densă în A . Pentru orice funcţie ie JL%* există un şir (t ) de funcţii din dt, convergent către f în medie de ordin p şi aproape peste tot, şi o funcţie g > - 0 astfel încît N (g) < + oo şi \t (t) | < g(t) pentru orice n şi orice te T. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u orice n n a t u r a l , e x i s t ă o f u n c ţ i e h e al astfel nk

n

9

Wfc

n

n

n

nfc

n

n

k

n

E

n

v

n

n

î n c î t JV" ( h

— f) < — . A t u n c i şirul ( h ) e s t e f o r m a t d i n f u n c ţ i i d i n d n şi c o n v e r g e î n m e d i e d e ordin p c ă t r e f. Conform p r o p o z i ţ i e i 1 1 , şirul ( h ) c o n ţ i n e u n subşir (f ) c o n v e r g e n t a p r o a p e p e s t e t o t şi î n m e d i e d e ordin p c ă t r e f, şi e x i s t ă o f u n c ţ i e g>0 a s t f e l î n c î t N (g) < + oo şi | f ( t ) | < g(t) p e n t r u orice n şi orice i e î . Corolar. Pentru orice funcţie i e Jl% există un şir ( f ) de funcţii din J£ (T), convergent către f în medie de ordin p şi aproape peste tot şi o funcţie semicontinuă inferior g > 0, astfel încît N (g) < + oo şi \ î (t) |< g (t) pentru orice n şi orice t^ T. î n t r - a d e v ă r , JC ( T) e s t e u n s u b s p a ţ i u d e n s î n J2. . F a p t u l c ă f u n c ţ i a g p o a t e fi a l e a s ă astfel î n c î t să fie s e m i c o n t i n u ă inferior r e z u l t ă d i n obser­ v a ţ i a care u r m e a z ă p r o p o z i ţ i e i 5 . Observaţie. M a i d e p a r t e (prop. 2 3 , § 8) v o m a r ă t a c ă f u n c ţ i i l e boreliene e t a j a t e s î n t ^ - i n t e g r a b i l e şi f o r m e a z ă o s u b m u l ţ i m e d e n s ă î n Jg. . V a r e z u l t a a t u n c i că orice f u n c ţ i e d i n J2. se p o a t e a p r o x i m a a p r o a p e p e s t e t o t şi î n m e d i e d e o r d i n p p r i n f u n c ţ i i b o r e l i e n e e t a j a t e . M

n

n

n

9

n

n

E

p

n

E

E

v

E

E

5 . R e l a ţ i i între s p a ţ i i l e £ (\i) E

Propoziţia 1 3 .

Combinaţiile

liniare

£

a

t

şi

(y*)

^

de funcţii

pozitive


4

i=l

continue dens în

cu suport £ . E

compact,

cu coeficienţi

a din E, formează i

un

subspaţiu

SPAŢIILE

109

î n t r - a d e v ă r , orice f u n c ţ i e f G JC (T) p o a t e fi a p r o x i m a t ă u n i f o r m c u f u n c ţ i i d e f o r m a J ] a

{

i?

{

4

+

i

c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n t r - o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă f i x ă a s u p o r t u l u i l u i f. A c e a s t a î n s e a m n ă că f u n c ţ i i l e d e f o r m a £ a c p 9. G j £ ( T ) , G E, f o r m e a z ă {

i?

i

o s u b m u l ţ i m e a l u i 3 ^ ( T ) d e n s ă î n JC ( T ) p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i f o r m e , şi d e c i şi p e n t r u t o p o l o g i a m a i p u ţ i n fină a c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n p; c u m JC (T) e s t e d e n s î n J* p e n t r u u l t i m a t o p o l o g i e , r e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r d e f o r m a £ a ^ e s t e d e n s ă î n <£% p e n t r u această topologie. E

E

E

{

n

Corolar Combinaţiile

liniare

a 9 i

dte funcţii

i

P

pozitive

din JL cu

i= l

coeficienţi

a din E, formează

un subspaţiu

i

dens în

Jl . E

n

Fie fiecare

i

fimcţia există

f = £

a ţ , 9* e ^ , i

a e E,

4

o funcţie

4

^ eJC(T)

astfel

i

şi f i e ca

N

9

e > 0.

Pentru

(94 — ^ ) < — »

n

unde - l > 0 este ales astfel

ca ^]

|aj <

J.. A t u n c i

funcţia

g =

i=l n

=

a

Y %$i a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i JC (T), E

<

t

şi

i « i i ^ ( ? . - * i > < £

4=1

i « « i ~ <

s

» = 1

deci f e ^ J . n p

D e o a r e c e f u n c ţ i i l e £ a 9 , a G U , q> G J ? , c o n ţ i n f u n c ţ i i l e d e aceeaşi t

t

i

4

i=l

f o r m ă , c u ^ e ^ ţ T ) , şi d e o a r e c e a c e s t e a s î n t d e n s e î n Jl , u r m e a z ă c ă şi p r i m e l e s î n t d e n s e î n J> . T e o r e m a 4 . Fie E şi F două spaţii Banach, şi U : E -+F o aplicaţie liniară şi continuă. Pentru orice funcţie le£? , funcţia compusă Uot aparţine spaţiului J> . î n t r - a d e v ă r , fie teJ> şi s > 0; e x i s t ă o f u n c ţ i e geX (T) astfel c a N (g —f) < e . D a r p e n t r u orice te T a v e m | (U o f) (*) - ( u o g) (*) | = | v (f (*)) - U (g (*)) | = I U [f (*) - g (*)] | < E

s

E

F

E

E

9


Cum

Uo îeX (T), F

?7og) <

|| 171| N (î v

r e z u l t ă c ă UoieJC , F

- g ) < e || 17||. şi t e o r e m a

este demonstrată.

110

SPAŢIILE

J?.

FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP.

II

Corolar. Pentru orice funcţie îejg; şi orice element a' eE', funcţia scalară t - > < f (f), a' > aparţine spaţiului J2?sau Jgţ, după cum E este un spaţiu Banach real sau complex. î n t r - a d e v ă r , a' e s t e o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă a l u i E î n B r e s p e c t i v C. Propoziţia 1 4 . Bacă f G atunci \î\ e jg? şi aplicaţia f->|l| este uniform continuă (pentru topologia convergenţei în medie de ordin p). î n t r - a d e v ă r , fie f e j£ şi e > 0 ; e x i s t ă o f u n c ţ i e g e JC (T) a s t f e l c a N (î - g ) < e. A t u n c i |f | e 3 : (T) şi d e o a r e c e 11f | - | g 11 < |f - g | a v e m N (| f | — | g |) < s, d e u n d e d e d u c e m c ă | f | e j£ . F a p t u l c ă a p l i c a ţ i a f -> | f | este uniform continuă, rezultă d i n inegalitatea E

E

E

p

+

p

V

6 . R e l a ţ i i între spaţiile J2% (pi) ş i £

E

Propoziţia 1 5 . Fie \L şi v două măsuri pozitive. < £ (fi.) C J2!E( V ) , 1 < ; p < + o o , şi topologia spaţiului decît topologia indusă pe <£ [[L) de topologia spaţiului D i n i n e g a l i t a t e a fx* > - v* d e d u c e m E

E

(v) Dacă [x v, atunci j£. (fx) este mai fină ~£|(v). E

N, (f, jx) > N, (f, v) D a c ă îej>%

( v ) , e x i s t ă u n ş i r (g„) d e f u n c ţ i i d i n 3 ^ (T) a s t f e l î n c î t s ă a v e m l i m N,{t

- g „ , |x) = 0.

Atunci lim N

p

(f -

g , v) = 0, w

«-•00

d e c i teJSi

(v). A ş a d a r

( j i ) C -£î ( v ) .

Afirmaţia relativă la topologii rezultă t o t din inegalitatea N

(f, jx) > tf„ (f, v ) .

p

Propoziţia 1 6 . Dacă (x este o măsură pozitivă şi a > 0 , jpv (aţx) = J?§ (fx), 1 < ; ^ ) < + o o , s i topologiile celor două spaţii echivalente. într-adevăr, avem E

N (î, p

atunci slînt

« ( i ) = <x2T,(f, (x).

Observaţie. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( p r o p . 5 , § 11) c ă d a c ă (x şi v sînt două măsuri pozitive, atunci

+ v) = 4 w n i H v ) . D i n propoziţia 15 p u t e m deduce doar incluziunea JB&(\L

(deoarece

+

v)cJ?|(n)n^(v)

ţx + v ; > fx şi (x + v > v ) .

111

7. F u n c ţ i i reale ^-integrabile Propoziţia 1 7 . 0 funcţie reală f definită pe T aparţine spaţiului £? dacă şi numai dacă funcţiile f şi f~ aparţin spaţiului Jg . î n t r - a d e v ă r , d a c ă f e Jl, a t u n c i | / | e Jl , şi d e c i f u n c ţ i a / = +

v

v

+

p

= —(1/1 + / )

Şi f u n c ţ i a /"" = — ( | / | — / ) a p a r ţ i n l u i J> . E e c i p r o c , d a c ă

2

2 v

+

v

/*" ş i / " a p a r ţ i n s p a ţ i u l u i Jg , a t u n c i / = / — / " e j£ . Corolar. Anvelopa superioară şi anvelopa inferioară finite de funcţii din Jg , aparţin lui J£ . într-adevăr, p

a unei

familii

v

sup (/, g)=^-(f

+ g+

inf (/, g)=±.tf

\f-g\),

+

g-\f-g\).

Zi p

v

D a c ă / , gejg?, a t u n c i / + g<=J> şi | / — g\ejg de unde rezultă că sup (/, g) şi inf (/, g) a p a r ţ i n d e a s e m e n e a l u i jg*. S e d e m o n s t r e a z ă a p o i prin i n d u c ţ i e c o m p l e t ă c ă a f i r m a ţ i a r ă m î n e a d e v ă r a t ă p e p t r u orice familie finită d e f u n c ţ i i d i n Jg . Propoziţia 1 8 . Fie f o funcţie numerică, finită sau infinită, definită aproape peste tot pe T. Dacă pentru fiecare număr c > 0, există două funcţii p-integrabile g şi h astfel ca g < / <; h, \i-aproape peste tot şi N (h — g) < s, atunci f estep-integrabilâ. î n t r - a d e v ă r , d e o a r e c e g şi h s î n t ^ - i n t e g r a b i l e , s î n t finite a p r o a p e peste t o t ; d i n i n e g a l i t ă ţ i l e g <[ / h r e z u l t ă c ă şi / e s t e finită a p r o a p e peste t o t . Fie f , trei f u n c ţ i i d e f i n i t e şi f i n i t e p e s t e t o t e c h i v a l e n t e respec­ tiv c u / , g, h. U r m e a z ă c ă g şi \ s î n t p - i n t e g r a b i l e , deci g , h ejg . Avem & ( i — 9i) < Şi 9i
v

x

v

±

h

±

1

e

9

1

şi ^ ( A X ^ ^ X

N (fi-9i)
p

1

1

l

1

+ oo.

A ş a d a r / e Cf? şi s e p o a t e a p r o x i m a î n m e d i e d e o r d i n p c u funcţii din Jg . D e o a r e c e Jg e s t e î n c h i s , d e d u c e m c ă f ejg . D i n r e l a ţ i a f^f rezultă c ă / e s t e p - i n t e g r a b i l ă , şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . L e m a 3 . Dacă O^fi^CaL^+ooşi dacă (i este finit, atunci x

v

v

v

XJ

1

a" -

(OL -

p*.

î n t r - a d e v ă r , a — (3 > . 0 şi n o t î n d a = a — p, şi b = deducem

(a-0)* + P

P

p

p

< ( « - P + P) = « ,

de u n d e r e z u l t ă i n e g a l i t a t e a d e d e m o n s t r a t .

p, d i n l e m a 2

112

P

SPAŢIILE

J2. .

Propoziţia 1 9 . Dacă fşi

FUNCŢII

INTEGRABILE

g sînt două funcţii

CAP. II

> 0 din J2* şi dacăf

>

g,

atunci (N

(f -

p

g)Y

< {N

(f)y

v

-

{N

(g)y.

v

p

p

V

D i n l e m a d e m a i s u s d e d u c e m ( / — g) Kf — 9 - D a c ă f şi g s î n t c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t , a t u n c i f u n c ţ i i l e ( / — g) f şi g s î n t d e asemenea continue c u suport compact. D i n faptul că integrala funcţiilor continue cu suport compact este crescătoare, deducem v

p

p

y

v

(f~9)

d

x < ^ d

(

x - J ^ dfx

l

adică (N

(f -

p

p

g)Y < {N

(f))

v

-

(N (g)y. 9

p

S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă / şi g s î n t d o u ă f u n c ţ i i oarecare d i n Jl a s t f e l c a f > 9 > 0. A v e m / — gr > 0 şi / — gr e Jl . E x i s t ă a t u n c i d o u ă şiruri (g ) şi (Ji ) d e f u n c ţ i i > 0, c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t , c o n v e r g e n t e î n m e d i e d e o r d i n p r e s p e c t i v c ă t r e g şi / — g. F u n c ţ i i l e f = 9n + K s î n t > 0, c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t ş i p

n

n

n

lim f

= l i m g + l i m h = g +f - g =/, n-yao n->oo l i m i t a fiind î n s e n s u l c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n p. A v e m d e ase­ m e n e a f >• g p e n t r u orice n. D i n p r i m a p a r t e a d e m o n s t r a ţ i e i r e z u l t ă c ă n

n

n

n->oo

n

n

(N

(f

p

n

-

< (N

g )Y

-

(f )Y

P

n

n

(N

p

g )Y. n

O b s e r v î n d c ă şirul (/«—gr») t i n d e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e / — gr, şi t r e c î n d la limită î n ultima inegalitate, obţinem (N

(f

p

-

p

g))

<

(N

(f)Y

p

-

W

(
9

p

tara

Propoziţia 2 0 . Orice funcţie f >> 0 din J> ( (x) este nulă pe reuniunii unui şir de mulţimi compacte şi a unei mulţimi î n t r - a d e v ă r , fie / > 0 o f u n c ţ i e d i n J2. . A v e m

complemen­ neglijabile.

p

&

9

(/) = «up N

p

(fy ), K

K compact.

K

E x i s t ă d e c i u n şir c r e s c ă t o r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , a s t f e l î n c î t să avem, N (f) = s u p N (ft ) = l i m N (f y ). n

p

v

Kn

n

p

Kn

n-tcc

oo

Notînd A

= [J

K

n

şi / ' = / y , A

avem

n=l

/—/'=/ — ÎVA < / — / ? « ,

9 p e n t r u fiecare n>

deci ^ ( / - / ' ) < ^ p ( / - / ? i r

n

) .

113

SPATIILE j£?

Din propoziţia precedentă

^

deducem

( / - /
p

9 K n

y

de unde l i m N, ( / - / ? « „ )

= 0.

E e z u l t ă a t u n c i c ă N (f—f) = 0 , d e c i f — f e s t e [x-neglijabilă, a d i c ă / şi / ' sînt echivalente. Urmează că / se anulează p e complementara reuniunii lui A c u o m u l ţ i m e neglijabilă. T e o r e m a 5 . Fie (f ) un şir crescător de funcţii din JFsif— sup/ . p

n

Funcţia

n

f este p-integrabilă

dacă

şi numai

dacă

sup N (f ) < + °°. p

n

In

n

acest caz, şirul (f ) converge sînt >> 0 , atunci

către f în medie

n

de ordin

&p ( s u p / „ ) = s u p N (f ) = l i m N 9

n

n

f

n

(f ).

9

n

p. Dacă funcţiile

n

n-*oo

S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă f > - 0 p e n t r u o r i c e neN. D a c ă / e s t e p - i n t e g r a b i l ă , a v e m N (f) < + o o . P e n t r u o r i c e n e N a v e m f < /, d e c i N (f ) < N ( / ) , d e u n d e s u p N (f ) < N ( / ) < + o o . n

9

9

n

n

p

9

n

p

n

E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă s u p N (f ) < + o o . p

n

Deoarece

şirul

n e s

(fn) t e c r e s c ă t o r , i a r s e m i n o r m a N e s t e c r e s c ă t o a r e , r e z u l t ă c ă ş i r u l d e n u m e r e (N (f )) e s t e c r e s c ă t o r ; f i i n d şi m ă r g i n i t , e s t e c o v e r g e n t . A t u n c i ş i r u l p u t e r i l o r (N (f )) este d e asemenea convergent, deci este u n şir C a u c h y d e n u m e r e . P e n t r u o r i c e e > 0 , e x i s t ă d e c i u n n u m ă r n( e), a s t f e l î n c î t , o r i c a r e a r fi n > n( e) ş i Ic > 1 , s ă a v e m p

p

n

p

9

n

N

v

(f )»

-

n+k

N (f )* < s*. 9

n

Din inegalitatea demonstrată în lema 3 : n

(f

9

H+k

- fy

< n

n

9

(f + y n

k

- n

p

(f y, n

deducem că N

(f

v

- fn) < e

n+k

p

a d i c ă ( / J e s t e u n ş i r C a u c h y d e f u n c ţ i i d i n J> . D e o a r e c e J2? e s t e c o m p l e t , ş i r u l (fj c o n v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e o f u n c ţ i e d i n Jl . D a r ş i r u l (fn) e s t e c r e s c ă t o r , d e c i a v e m p

lim/ n->-oo

w

(t) = s u p / ( J ) =f(t) n

p e n t r u o r i c e te T.

n

A ş a d a r şirul C a u c h y ( / ) converge p u n c t u a l către / . E e z u l t ă e s t e p - i n t e g r a b i l ă şi c ă ( / J c o n v e r g e c ă t r e / î n m e d i e d e o r d i n p : n

U m N (f-f ) p

n

= 0.

că /

p

SPAŢIILE J> .

114

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

U r m e a z ă că lim N n-+ao

(f )

p

= N

n

(f) = N

p

(sup /„). n

p

Egalitatea lim N

(f )

p

= sup N

n

(f )

p

n-foo

n

n

r e z u l t ă d i n f a p t u l că şirul d e n u m e r e (N (f )) e s t e c r e s c ă t o r . S ă p r e s u p u n e m a c u m că (f ) e s t e u n şir c r e s c ă t o r oarecare d e f u n c ţ i i d i n JH . P e n t r u fiecare n e N să p u n e m g = f + / f . Funcţiile g sînt > 0, a p a r ţ i n s p a ţ i u l u i Jl , iar şirul (g ) e s t e crescător. D i n p r i m a p a r t e a d e m o n s t r a ţ i e i d e d u c e m că f u n c ţ i a g = s u p g e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă n d a c ă şi n u m a i d a c ă s u p N (g ) < + o o . A v e m n p

n

n

V

n

n

n

v

n

n

p

g -

n

sup g

: sup/,, + / f = / + / f

n

deci gr e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă / e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă . A v e m apoi

*M

= - y , (/• + / r ) < ^ > ( / J + ^

(/r)

P

Şi ^,

(/.)

deci s u p j y ( / ) < p

- / r )<

= *v (0n

te.)

+ ^ > (/r)

+ oo d a c ă şi n u m a i d a c ă s u p N

n

(g ) <

p

+ oo.

n

Din

cele de m a i sus r e z u l t ă c ă / = s u p f e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă n s u p N (f ) < + oo. n

p

n

n

î n acest caz, g = sup g

n

este ^-integrabilă,

deci

şirul

(g ) n

converge

în

m e d i e de ordin p c ă t r e # : lim N

p

(g

g) = 0.

-

n

Dar — fr — (g — fî) = g

fn — f = g

n

n

— g

deci U m 2T, ( / . - / ) = 0 n-foo

adică şirul ( / ) c o n v e r g e î n m e d i e d e ordin p c ă t r e / . Cu a c e a s t a t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolarul 1. Dacă (f ) este un şir descrescător de funcţii >< 0 din <£ , atunci funcţia f — inf f aparţine spaţiului J ? , şirul (f ) converge n în medie de ordin p către f şi avem n

n

p

p

n

N

p

(inf f ) n

= inf N

n

p

(f ) n

= lim N

p

(f ). n

115

SPAŢIILE Jg?

î n t r - a d e v ă r , şirul g şi

= A —/

n

> 0

*

(9n) = *

9

9

(A ~

fn)

<

este crescător, este f o r m a t din funcţii

n

(A) +

N

9

(fn)

<

*

p

(A) + *

v

(A)

deci s u p JT (
Din

p

teorema precedentă rezultă

că funcţia

g = sup g

= A — îiif / „

n

este de p u t e r e ^-integrabilă, iar şirul ( # J converge în medie de ordin p c ă t r e g. S ă o b s e r v ă m c ă f u n c ţ i a inf f e s t e d e f i n i t ă şi f i n i t ă p e s t e t o t p e T , n

n

d e c i şi f u n c ţ i a gr e s t e d e f i n i t ă şi f i n i t ă p e s t e t o t ; f i i n d ^ - i n t e g r a b i l ă , r e z u l t ă c ă gr e J> şi d e c i 9

f = intf =f -g n

e

1

D e o a r e c e ş i r u l ( # ) c o n v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e
n

n

lim

( /

Eezultă atunci că inf 2T, (/„) = l i m

N,

(f ) n

w

- / )

=

= o.

N

p

(f)

=

(inf / . ) .

N

p

7

p

Corolarul 2 . J ^ ( / ) un şir descrescător de funcţii din J£ . Funcţia f = inf f este p-integrabilâ dacă şi numai dacă s u p N (f ) < + 0 0 . în n

n

v

n

n

n

acest caz şirul (f ) converge în medie de ordin p către Şiriil g = —f e s t e c r e s c ă t o r şi N (g ) = N n

n

n

p

n

p

/. ( f ) . Apoi, n

sup g

n

=

n

=

— inf

fii*

E e z u l t ă c ă inf f e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă s u p g n

n

n

n

n

este ^-integrabilă. D a r sup g

n

s u p N (g ) = s u p N 9

n

dacă

şi

numai

dacă

(f ) < + 0 0 . E e z u l t ă c ă inf f e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă d a c ă

p

n

e s t e p-integrabilă,

n

n

n

n

şi n u m a i d a c ă s u p N (f ) < + 0 0 . D a c ă / = inf f e s t e p - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i g = s u p g p

n

n

este

n

n

p-inte-

n

g r a b i l ă , d e c i (g ) c o n v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p . U r m e a z ă c ă / v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e / = — g. Corolarul 3 . Pentru ca anvelopa superioară f = sup f n

n

w

= — # con­ n

a unui

şir

n

(fn)

de funcţii

o funcţie pentru

g^ orice

v

din Jg

să fie p-integrabilă,

0 (nu neapărat

v

din Jl )

este necesar

astfel ca^

şi suficient

să

existe

v

g &[i < + 0 0 şi f

g

n

n.

D a c ă / e s t e ^-integrabilă, a t u n c i / a v e m g > 0, j g» A[i < + 00 şi f

n

4

e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă şi l u î n d g =

/*,

< / < / + , deci / „ < gr p e n t r u o r i c e n.

116

SPAŢIILE

CAP. II

FUNCŢII INTEGRABILE

E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă e x i s t ă gr > 0 c u ^ g ă\i < p

c

^ / « < flf p e n t r u o r i c e n.

Pentru

fiecare n

să

punem

g

+ oo a s t f e l

= sup f

n

<; g.

k

p

Ş i r u l (grj e s t e c r e s c ă t o r şi f o r m a t d i n f u n c ţ i i d i n Jl . F u n c ţ i i l e K=9n+9î s î n t > 0, a p a r ţ i n s p a ţ i u l u i J2. ; ş i r u l (h ) e s t e d e a s e m e n e a c r e s c ă t o r şi p

n

9n + gr < g + gr

deci

<#

(K) = &v (9n + gr) D i n teorema 5 rezultă că sup h

(g + gr) < + oo. e s t e p - i n t e g r a b i l ă şi d e c i şi /

n

9

=

n

= sup f

n

= sup g

n

n

= sup h

n

n

C o r o l a r u l 4. Pentru e

{fn) d funcţii

— gr

este ^-integrabilă.

n

p

din Jl

ea anvelopa

inferioară

să fie p-integrabilă,

f — inf f

a

n

este necesar

unui

şi suficient

să

şir existe

p

o funcţie grg pentru orice n şi ^ \g\ ăţi < + oo. P e n t r u fiecare n să n o t ă m h = — f . A v e m s u p h = — inf f n n D a c ă inf f e s t e p - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i s u p h e s t e p - i n t e g r a b i l ă şi d e c i , n n n

n

n

n

n

conform corolarului 3, există o funcţie h > 0 astfel ca ^ şi h < h p e n t r u n

n

orice

n.

Punînd

g =

— fe, a v e m

Ji d(x <

g < ; 0, f

+ oo

> gr şi

n

p

*lflf| dji < + o o . E e c i p r o c , d a c ă e x i s t ă gr < 0 c u ^ \g\

p

atunci

=

— gr > 0, ^ ft* djx <

H[i <

+ oo a s t f e l c a /

+ oo şi h < fe, d e c i s u p h n

g r a b i l ă . E e z u l t ă a t u n c i c ă inf f

n

=

este

n

— s u p fe e s t e d e a s e m e n e a

w

> gr,

p-inte­ p-inte-

w

n

n

grabilă. C o r o l a r u l 5. Fie A o mulţime număr abilă de indici, pentru o relaţie de ordine <; , şi fie (f ) ^ o familie Jl . Dacă există o funcţie gr > 0 astfel ca N (gr) < + orice a e i , atunci funcţia l i m s u p / este p-integrabilă lim sup ( / J < 2T ( l i m s u p / J . a x

A

p

p

a

ordonată şi filtrantă de funcţii > - 0 din oo şi f < ; gr pentru şi a

p

P e n t r u fiecare indice a e i să c o n s i d e r ă m secţiunea P u t e m c o n s t r u i u n şir descrescător (A ) d e s e c ţ i u n i , a s t f e l î n c î t f i e c a r e sec­ ţ i u n e 8 s ă c o n ţ i n ă o s e c ţ i u n e d i n a c e s t şir. P e n t r u a c e a s t a , s ă a ş e z ă m î n t r - u n şir n

a

î n t r - o o r d i n e o a r e c a r e , t o a t e e l e m e n t e l e m u l ţ i m i i A. L u ă m A = &$ . E x i s t ă u n i n d i c e a , a s t f e l c a <x > p şi <x > ( 3 ; l u ă m J . = şi a v e m x

2

2

x

2

2

2

x

! 7

SPAŢIILE

117

A ZD A , S$ 3 A . P r e s u p u n î n d c ă a m a l e s A = 8d , p u t e m g ă s i u n indice a , a s t f e l c a o c ^ a şi o c > Pn+i ; l u ă m A = /S« şi a v e m A Z ) şi # 3 ^ - ^ n ^ i • Ş i r u l ( J . ) a s t f e l c o n s t r u i t cores­ p u n d e cerinţei de mai sus. P e n t r u fiecare indice n să p u n e m g = s u p / . D i n relaţia A ZDA p e n t r u o r i c e n, r e z u l t ă c ă ş i r u l (g ) e s t e descrescător. Deoarece familia (faUeA e s t e n u m ă r a b i l ă şi d e o a r e c e f ^Cg i a r N (g) < + oo, d i n c o r o ­ larul 2 d e d u c e m că g este p-integrabilă. P e de a l t ă p a r t e , g > f p e n t r u a e l , d e c i N (g ) > N ( / ) p e n t r u a e JL şi d e c i x

2

2

2

n

w + 1

n + 1

n

n

n+1

n

n

n + 1

+

1

n

n

a

n

n+1

n

a

p

n

B

p

n

n

p

a

a

(Qn) >

sup N

(/ ).

p

a

D e o a r e c e şirul (A ) e s t e descrescător, r e z u l t ă că p u n î n d

n

ş i r u l ( < p ) e s t e descrescător, p

a

şi

n

inf ( s u p N

(/ ),

p

(/.)) = lim (sup

2T

P

( / . ) ) = U m inf N

(/.).

p

D e o a r e c e ş i r u l (g ) e s t e d e s c r e s c ă t o r şi e s t e f o r m a t d i n f u n c ţ i i p - i n t e g r a b i l e , d i n c o r o l a r u l 1 r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a inf g e s t e p - i n t e g r a b i l ă şi n

n

n

N

(inf g ) = inf N„ (g„) > (inf s u p N,(f ))

p

n

= l i m inf N

a

p

(/J.

Dar inf g

n

= inf ( s u p f ) a

= U m inf / «

şi deci tf„ (Um inf / „ ) > l i m inf N

v

aEi

(/„).

a64

8. T e o r e m a l u i L e b e s g u e T e o r e m a l u i L e b e s g u e . Dacă

(f ) este un şir de funcţii

din J2, ,

n

E

astfel

încît: 1) şirul

(t (t)) H

2) există

converge

o funcţie

aproape

numerică

peste

tot către

g >- 0

astfel

ca ^

o limită v

î(t)eE;

g djx < + oo

şi

l'n (01 ^ ff(0> aproape peste tot, pentru fiecare n, atunci funcţia f (definită p-aproape peste tot) este p-integrabilă iar şirul (f ) converge în medie de ordin p către t. P e n t r u d e m o n s t r a ţ i e se a p U c ă c o r o l a r u l 3 a l t e o r e m e i 5 , famiUei g .n = | f — f | d e f u n c ţ i i 0, l u î n d m u l ţ i m e a i n d i c i l o r A = {(m, n) \ m,neN }, c u r e l a ţ i a d e o r d i n e (m, n) ^ (m , n') e c h i v a l e n t ă c u m -< m* şi n < n'; A e s t e f i l t r a n t ă p e n t r u a c e a s t ă r e l a ţ i e d e o r d i n e , d e c i f a m i l i a w

m

m

n

f

SPAŢIILE jg?.

118

(gm. )(m,n)<=A e s t e

dirijată.

n

FUNCŢII INTEGRABILE

Avem lim g ,

m n

(t) =

CAP

lim

g ,n{t)

=

m

0

II

aproape

n-t cc p e s t e t o t , şi \g , (t)\ < 2#(tf), a p r o a p e p e s t e Conform corolarului 3 al teoremei 5 a v e m

tot,

m n

lim sup N

(g , )

p

m n

<

N

(lim s u p g , )

p

p

^(2^) <

(0) =

+

oo.

0

(m,n)ZEA

şi d e o a r e c e N (t p

= N

m n

(m,n)€M

iar

— f) >

m

n

0,

rezultă

l i m N (f p

-

m

f) =

0.

B

n ->oc A c e a s t a î n s e a m n ă c ă ( f ) e s t e u n şir C a u c h y î n J!%. D e o a r e c e (f ) a p r o a p e p e s t e t o t c ă t r e f, u r m e a z ă c ă f e s t e ^ - i n t e g r a b i l ă şi c ă n

n

(f„

lim N

p

-

l) =

converge

0

n-foo

a d i c ă ş i r u l (t ) c o n v e r g e c ă t r e f î n m e d i e d e o r d i n p. C o r o l a r . Fie A o mulţime numărabilâ de indici, ordonată şi filtrantă pentru o relaţie de ordine <; şi fie (f ) <=^ o familie defuncţii din spaţiul jg . Bacă : 1) familia ( f (t))*<=A are o limită î(t)eE, aproape peste tot; n

a

a

E

a

2) există

o funcţie

numerică

g >- 0

astfel

caţ

g djx < p

+ oo

şi

j f (t) | < ; g(t), aproape peste tot, pentru fiecare cneA, atunci funcţia î este p-integrabilâ şi familia ( f ) a e ^ converge în medie de ordin p către f. F i e (A ) u n şir d e s c r e s c ă t o r d e s e c ţ i u n i , a s t f e l c a f i e c a r e s e c ţ i u n e = {$\$<=A, p > - a } s ă c o n ţ i n ă o s e c ţ i u n e d i n şir ( v . d e m o n s t r a ţ i a c o r o l a r u l u i 5 a l t e o r e m e i 5). P e n t r u f i e c a r e n s ă a l e g e m u n i n d i c e a e A. Ş i r u l (f ) c o n v e r g e p u n c t u a l c ă t r e f, a p r o a p e p e s t e t o t ; ţ i n î n d s e a m a şi d e i p o t e z a 2 ) , d e d u c e m d i n t e o r e m a l u i L e b e s g u e c ă f u n c ţ i a f e s t e ^ - i n t e ­ g r a b i l ă şi c ă l i m N (f — f) = 0 . E ă m î n e s ă a r ă t ă m c ă l i m N (f — f) = 0. a

a

n

w

a

a

a

Aceasta î n s e a m n ă că p e n t r u orice s > 0 există o secţiune A , astfel ca p e n t r u orice a e i s ă a v e m N ( f — f) < ş. S ă p r e s u p u n e m prin a b s u r d c ă l i m N (f — î) =f= 0. A c e a s t a î n s e a m n ă c ă e x i s t ă u n n u m ă r n

f

p

l

p

a

a

OLELA

e > 0 cu p r o p r i e t a t e a că în orice secţiune A există u n indice a , astfel î n c î t N (f — f) > e . A m f o r m a t a s t f e l u n ş i r (f ) c u a e A pentru f i e c a r e n. D i n p r i m a p a r t e a d e m o n s t r a ţ i e i r e z u l t ă c ă l i m N ( î — f) = 0, 0

n

n

p

0

n

n

P

c e e a ce e s t e î n c o n t r a d i c ţ i e c u i n e g a l i t ă ţ i l e N f i e c a r e n. E e z u l t ă a ş a d a r c ă

p

l i m N, ( / « - / ) =

(f

a

— f) >

a

s > 0, p e n t r u 0

0

şi c o r o l a r u l e s t e d e m o n s t r a t . Observaţie. î n d e m o n s t r a ţ i e n u s-a f o l o s i t f a p t u l c ă m u l ţ i m e a d i r i ­ j a t ă A e s t e n u m ă r a b i l ă , ci d o a r f a p t u l c ă f i l t r u l s e c ţ i u n i l o r a r e o b a z ă n u m ă rabilă. Corolarul r ă m î n e a d e v ă r a t , p e n t r u orice familie A de indici, p e care

119

v

SPAŢIILE

Jd

e x i s t ă u n f i l t r u (Jz c u b a z ă n u m ă r a b i l ă . î n a c e s t c a z c o n v e r g e n ţ a a p r o a p e p e s t e t o t s a u î n m e d i e d e o r d i n p, t r e b u i e î n ţ e l e a s ă d u p ă f i l t r u l (Jz. D a c ă f i l t r u l Cfi n u a r e b a z ă n u m ă r a b i l ă , c o r o l a r u l n u m a i e s t e î n general adevărat.

9. R e l a ţ i i î n t r e s p a ţ i i l e J2. (\L)

şi - £ | (jx)

e

T e o r e m a 6. Fie

1 < ; p < + oo şi 1 ^ q

q <

+ o o . Pentru

ca î e Jl

E

Q

este necesar şi suficient ca \ î \ f e J> . F i e îeJ2. . E x i s t ă u n şir ( h ) d e f u n c ţ i i d i n JC (T) c o n v e r g e n t m e d i e d e o r d i n p c ă t r e f. A c e s t şir c o n ţ i n e u n s u b ş i r (h ) a s t f e l c a E

v

E

n

E

în

nk

N

î

> (K

+1

- K)

<+°°

k=l

şi a s t f e l c a s e r i a

k=l

s ă fie c o n v e r g e n t ă a p r o a p e p e s t e t o t . D a c ă p e n t r u f i e c a r e Ic p u n e m f = h — h şi fj = h , a t u n c i f u n c ţ i i l e (f ) s î n t d i n JC (T) şi a v e m A+1

n

Wfr

%

n

f n=

N

v

(f.)

<

E

+ cx>

l

Şi oo

5] f„ (t) = t(t)j a p r o a p e p e s t e t o t . w= l Să p u n e m

Un = i f r + f , + ... + f . r Funcţiile g

n

i a . +

s î n t d i n JC

E

P

2

T a

| f„ |j

a

2

şi

' + . . . + L\ <

Dacă notăm h = ^ £

3

(T)

(f + f + . . . + u

+ IM + . . . + i t j r < f | IM)*i

, a v e m h > 0 , | g„ | <

(h)« = ^ h« di* =

F

h p e n t r u f i e c a r e n şi

( f I -1)V = [tf, ( £ H . I)]' P

< [ t - y , ( f - ) ] < + ~.

<

=

SPAŢIILE

120

jg?. FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP.

n

Cum Umflat) = l i m | £f w-*oo

q

(t)\

f c

n-foo

fc-^n

Sf («)

=

f c

fc^>

- l

E

(*)

00

S

«

'* O

^

'(')> a p r o a p e peste t o t ,

fc=i -L-i

rezultă că funcţia limită | f | Lebesgue.

Q

î este g-integrabilă, conform teoremei lui v

--i Eeciproc, dacă funcţia g = |f | f este p-integrabilă, atunci î = = 191 9? Şi d i p r i m a p a r t e a d e m o n s t r a ţ i e i r e z u l t ă c ă f e s t e ^ - i n ­ tegrabilă. Q

v

1 1

a

Observaţie. S e p o a t e a r ă t a c ă f - > |f | f este u n omeomorfism al s p a ţ i u l u i J ? | p e s p a ţ i u l Jg . Corolarul 1. Pentru cate Jg% este necesar şi suficient ca \t\ ~ i&Jg . Corolarul 2 . Pentru ca o funcţie / > - 0 să aparţină spaţiului Jg este necesar şi suficient ca f <= Jg . E

p

1

E

v

p

1

p

10. Mulţimi filtrante în

L

î n § 6 , p u n c t u l 5, s-a d e f i n i t o r e l a ţ i e d e o r d i n e / gf î n m u l ţ i m e a Cjz a c l a s e l o r d e e c h i v a l e n ţ ă d e f u n c ţ i i n u m e r i c e d e f i n i t e şi f i n i t e [x—aproape p e s t e t o t p e T. Dacă f f e (Jl, a t u n c i a n v e l o p a s u p e r i o a r ă g = s u p (f f ) şi a n v e ­ l o p a i n f e r i o a r ă h = inf ( / / ) s î n t d e f i n i t e şi f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t şi avem 19

2

19

n

2

2

g = s u p (f

/ ) , % = inf (f ,

19

2

x

/ ), 2

d e c i <7 e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l reticulat ( s p a ţ i u E i e s z ) . C o n f o r m c o r o l a r u l u i p r o p o z i ţ i e i 1 7 , s u b s p a ţ i u l L a l l u i Cfi e s t e d e a s e m e n e a r e t i c u l a t p e n t r u r e l a ţ i a d e o r d i n e / < # şi m a r g i n e a s u p e r o a r ă î n L , a d o u ă e l e m e n t e / , # e L , c o i n c i d e c u m a r g i n e a l o r s u p e r i o a r ă î n CJi. Propoziţia 2 1 . în spaţiul Banach reticulat L , aplicaţia /-> | / | este uniform continuă şi mulţimea P a elementelor f > - 0 este închisă. C o n t i n u i t a t e a u n i f o r m ă a a p l i c a ţ i e i / - > \f | r e z u l t ă d i n i n e g a l i t a t e a p

p

v

p

III/I -

\g\\\,<\\f-gIU

F i e / G P ; e x i s t ă u n ş i r (g ) d e e l e m e n t e d i n P a s t f e l î n c î t g-+f L. D e o a r e c e a p l i c a ţ i a f ->\f | e s t e continKiă, r e z u l t ă c ă \7j \ - > | / | î n L . D a r g r » > 0 , d e c i g = \g \ d e u n d e r e z u l t ă c ă \f | = / . U r m e a z ă c ă / > 0, d e c i / e P şi d e c i P e s t e î n c h i s ă . n

în

p

n

p

n

n 9

121

S P A Ţ I I L E Jg?

v

Teorema 7. Fie H CT L o parte filtrantă pentru relaţia < formată din clase > 0 . Mulţimea H are margine superioară în L , dacă şi numai dacă s u p 11/ || < oo. în acest caz s u p H e s t e limita (în L ) a filtrului secp

v

p

ţiunilor lui H. D a c ă e x i s t ă m a r g i n e a s u p e r i o a r ă Tj = s u p H î n L , deci | | / | | < | | s f | | p e n t r u orice / e f l , deci v

p

atunci /

<;

p

sup

||/|| <|!?||,<+oo p

c ă s u p | | / || < + o o . D e o a r e c e a p l i c a ţ i a Ten / 11/ lip e s t e c r e s c ă t o a r e , r e z u l t ă c ă a c e a s t ă a p l i c a ţ i e a r e l i m i t ă d u p ă fil­ t r u l s e c ţ i u n i l o r l u i JEL ş i Eeciproc, să p r e s u p u n e m

p

lim ||/|!, = snp ? ezi 7 efl

||/1|,.

D i n inegalitatea (propoziţia 19)

(ii/- *ii,r<(ii/n )' —(iixiur #

d e d u c e m că filtrul secţiunilor lui H este u n filtru C a u c h y în spaţiul B a ­ n a c h L° d e c i a r e o l i m i t ă Ij&L . Urmează atunci că g este marginea supe­ r i o a r ă a m u l ţ i m i i f i l t r a n t e H şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolarul 1. Dacă 7j este marginea superioară a lui H în L , atunci 0

9

v

H 3 - | | = l i m 11/1| = s u p 11/11. 1 eff 1 GA #

#

î n t r - a d e v ă r , a p l i c a ţ i a / - > | | / | | e s t e c o n t i n u ă şi c r e s c ă t o a r e . Corolarul 2 . Orice mulţime majorată nevidă AdL are margine superioară în L. p

v

M u l ţ i m e a B a marginilor superioare ale părţilor finite ale lui A e s t e filtrantă pentru relaţia . Fie B şi s e c ţ i u n e a Bh = { / e i ; />^}. M u l ţ i m e a H = Bh — h e s t e f o r m a t ă d i n e l e m e n t e > 0 , e s t e m a j o ­ r a t ă şi f i l t r a n t ă g e n t r u r e l a ţ i a < , d e c i a r e o m a r g i n e s u p e r i o a r ă 7/ î n L . U r m e a z ă c ă gr + h e s t e m a r g i n e a s u p e r i o a r ă a s e c ţ i u n i i Bfr. E e z u l t ă a t u n c i c ă 7/ + h e s t e şi m a r g i n e a s u p e r i o a r ă a m u l ţ i r r i i A. v

Observaţie. C o n c l u z i a t e o r e m e i 7 n u m a i e s t e a d e v ă r a t ă p e n t r u f u n c ţ i i d i n Jl . M CZ Jl* e s t e o m u l ţ i m e f i l t r a n t ă p e n t r u r e l a ţ i a < f o r m a t ă d i n f u n c ţ i i > 0 , a s t f e l î n c î t s u p N (f) < + oo, c l a s a d e e c h i v a l e n ţ ă a a n v e p

Da3ă

/£Af

lopei superioare g = s u p / n u m a i este identică, în general, cu m a r g i n e a v

s u p e r i o a r ă î n L a m u l ţ i m i i {/ ; / e M}. E s t e p o s i b i l c a g s ă n u a p a r ţ i n ă s p a ţ i u l u i J ? , şi c h i a r d a c ă g e J>* e g a l i t a t e a N (g) = s u p N (f) n u e s t e , p

9

în general, adevărată.

SPAŢIILE

122

§8.

FUNCŢII

v

Jl .

FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP.

II

INTEGRABILE

1. D e f i n i ţ i a f u n c ţ i i l o r i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u o m ă s u r ă

majorată

F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h (fiind c o n s i d e r a t e a m b e l e r e a l e s a u a m b e l e c o m p l e x e ) . î n p a r t i c u l a r , u n u l s a u a m b e l e s p a ţ i i E şi F p o t fi e g a l e c u B s a u c u C. F i e m : JC (T) ->F o m ă s u r ă majorată şi fie | m | m o d u l u l l u i m . î n particular, p u t e m avea m = | m | , dacă m este pozitivă. S ă c o n s i d e r ă m s p a ţ i u l Jl\ ( | m | ) , c u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e definită de seminorma E

JMf,|m|)=jj*|f|d ml F u n c ţ i i l e d i n s p a ţ i u l Jg} ( | m | ) se n u m e s c f u n c ţ i i integrabile măsura pozitivă | m | , sau funcţii | m | -integrabile. F u n c ţ i i l e g d i n JC (T) vferifică i n e g a l i t a t e a

în raport

cu

A c e a s t ă i n e g a l i t a t e a r a t ă c ă a p l i c a ţ i a l i n i a r ă g - > ^ g d m a l u i JC

(T)

E

E

|Jgdm|<J|g|d|m|. P e n t r u f u n c ţ i i l e g d i n JC

E

(T) a v e m | g | e JC

+

J*|g|d|m|=

( T ) , deci

J|g|d|m|

şi d e c i

^(9,11111)=

ţ|g|d|m| •J

a s t f e l î n c î t i n e g a l i t a t e a d e m a i s u s se s c r i e adm

s

<*i

(fl, I m | ) .

E

î n F e s t e continuă p e JC (T) pentru topologia convergenţei în medie. C u m s p a ţ i u l JC (T) e s t e d e n s î n s p a ţ i u l JL\ ( | m | ) p e n t r u a c e a s t ă t o p o l o g i e , E

E

a p l i c a ţ i a l i n i a r ă g - > ( j g d m a l u i JC

E

(T)

î n F se p o a t e p r e l u n g i î n m o d

u n i c l a o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă c o n t i n u ă a î n t r e g u l u i s p a ţ i u Jg} ( | m | ) î n F. D e f i n i ţ i a 1. Spunem că o funcţie f : T -> E este integrabilă în raport cu măsura majorată m , sau că este m-integrabilă, dacă este integrabilă în raport cu | m | . Pentru orice funcţie m-integrabilâ f eJg} ( | m | ) , valoarea în E

E

î a prelungirii

prin

continuitate

la JB} ( | m | ) a aplicaţiei E

g - > ^ g d m a lui

§ 8

FUNCŢII INTEGRABILE

JC (T)

în Fj se numeşte

sau

d m sau ^î(t)

E

integrala

123

lui f în raport

cu m şi se notează

m(f)

dm(t).

S p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r m - i n t e g r a b i l e f : T -> E v a fi n o t a t J> ( m ) . A ş a ­ d a r J> ( m ) = J> ( | m | ) . D e a s e m e n e a s p a ţ i u l J> (\m\) a l f u n c ţ i i l o r psumabile f : T E î n r a p o r t c u m ă s u r a | m | v a fi n o t a t , u n e o r i , (m). P r o p o z i ţ i a 1. Pentru orice funcţie l e JL\ ( m ) avem E

E

B

E

fdm

<2T (f, |m|). 1

î n t r - a d e v ă r , fie ( f ) u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n Jt (T), convergent în medie c ă t r e f. D e o a r e c e i n t e g r a l a şi s e m i n o r m a s î n t c o n t i n u e î n a c e a s t ă t o p o ­ l o g i e , c a f u n c ţ i i d e f, a v e m n

E

^ d m - ^ î d m D a r p e n t r u funcţiile f

n

şi N

x

d i n JC

(T)

E

(f , | m | ) - > ^ ( f , | m | ) . n

avem

!„dm ^ ^ ( f . ,

!5

inegalitatea |m|).

Trecînd la limită în această inegalitate, obţinem inegalitatea din enunţ. S e m i n o r m a N (f, | m |) v a fi n o t a t ă d e a s e m e n e a N (f, m ) : x

±

JV\(f, m ) = ţ * | f | d | m | . C u a c e a s t ă n o t a ţ i e , i n e g a l i t a t e a d e m a i sus se scrie fdm

<^i(f,

l

m ) p e n t r u î<=£

(m).

E

2. I n t e g r a r e a î n r a p o r t c u o m ă s u r ă s c a l a r ă F i e [x : JC{ T) -> C o măsură reală ( r e s p e c t i v complexă) şi E u n s p a ­ ţ i u B a n a c h r e a l ( r e s p e c t i v c o m p l e x ) . î n p a r t i c u l a r , fx p o a t e fi o m ă s u r ă p o z i t i v ă , i a r E poate fi spaţiul B al numerelor reale sau spaţiul C al nume­ relor complexe ( c o n s i d e r a t c a s p a ţ i u v e c t o r i a l r e a l s a u c o m p l e x , d u p ă c u m m ă s u r a jx e s t e r e a l ă s a u c o m p l e x ă ) . D u p ă c u m ş t i m ( t e o r e m a 1 , § 2 şi p r o p . 1 0 , § 3 ) , m ă s u r i i ţx îi c o r e s p u n d e o m ă s u r ă m : JC (T) -> E şi n u m a i u n a , c a r e v e r i f i c ă e g a l i ­ tatea E

m(<ţ>x) =

fx(
pentru

M ă s u r a m e s t e m a j o r a t ă şi | m | = | f x | .


şi

x^E.

v

SPAŢIILE Jl .

124

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

P u t e m a p l i c a d e f i n i ţ i a 1 p e n t r u m ă s u r a m . D e o a r e c e | m | = | \L |, avem £ (m)

=

E

= JS>

M.

a

M a i î n a i n t e a m i d e n t i f i c a t m ă s u r i l e m şi \L şi a m s c r i s ^îdjx î n l o c d e ^ f d m p e n t r u f u n c ţ i i l e f d i n JC

E

(T).

Conform acsstei identificări,

^ E v o r iar spaţiul £

l

E

( m ) v a fi n o t a t J£

fi

numite

avem

xeE.

funcţii

fx-integrabile,

(ţx). î n l o c d e ^ f d m v o m s c r i e ^ f dţx

E

şi

v o m s p u n e c ă e s t e i n t e g r a l a f u n c ţ i e i f : T->E î n r a p o r t c u m ă s u r a s c a l a r ă fx. S e m i n o r m a N (f, m ) v a fi n o t a t ă c u N (i, ţi): 1

1

^i(«,l*) = Cu aceste n o t a ţ i i

jjV|d|H

avem l

f djx < ^ ( f ,

ţx), p e n t r u ie£

(JI).

E

Teorema 1. Fie ţx O măsură reală (respcc'iv complexă), E şi F două spaţii Banach reale (respectiv complexe) şi U : E -+F o aplicaţie liniară şi continuă. Pentru orice funcţie ^integrabilă i : T -> E, funcţia U oi : T -> F este ^-integrabilă şi jj 17(I(*)) d ( l ) = 1 7 ^ f ( * ) d p i ( 0 ) • t l

M a i î n a i n t e s-a d e m o n s t r a t ( t e o r e m a 4, § 7) c ă d a c ă f e s t e o f u n c ţ i e - i n t e g r a b i l ă d i n JI (\L), a t u n c i TJ oi eJl ( adică 17 o f este | \L j - i n t e g r a b i l ă . S-a d e m o n s t r a t d e a s e m e n e a c ă e g a l i t a t e a din enunţ e s t e a d e v ă r a t ă p e n t r u f u n c ţ i i l e f e JC (T) ( t e o r e m a 2, § 2). F i e a c u m i o f u n c ţ i e o a r e c a r e d i n JH (ţx) şi fie (i ) u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n JC (T), c o n v e r g e n t î n m e d i e c ă t r e f. A t u n c i : E

F

E

E

n

E

l i m ^ d n ^ f d ţ x , Din

deci lim E r ^ f d x j = t l

l

L^fd^j-

inegalitatea #i(î7of

n

-

l7of |p |) = f

l

<|U|^|f -f|d| x| w

(

=

0

J*|l7 '»-«l*l^l< |J7|^ (f -~f,|tx|), 1

n

FUNCŢII INTEGRABILE

125

obţinem egalitatea din enunţ. Corolarul 1. Fie [L O măsură scalară, E şi F două spaţii Banach. Dacă î : T - > Jl (E, F) este o funcţie ţx -integrabilă şi x<=E, funcţia t -+ î(t)% (definită pe T cu valori în F) este \L -integrabilă şi

S e a p l i c ă t e o r e m a p r e c e d e n t ă , p e n t r u a p l i c a ţ i a l i n i a r ă şi c o n t i n u ă Uz = zx a l u i Jl (E, F) î n F. Corolarul 2 . Fie [i o măsură scalară şi E un spaţiu Banach. Bacă 9 este o funcţie scalară ^.-integrabilă şi XGE, atunci E este ^-inte­ grabilă şi

S e a p l i c ă c o r o l a r u l p r e c e d e n t l u î n d F = E şi c o n s i d e r î n d 9 : -> Jl (E, E), s a u se a p l i c ă t e o r e m a p e n t r u a p l i c a ţ i a l i n i a r ă şi c o n t i n u ă TJOL =

OLX 2b l u i

C (sau

B)

în

E.

Observaţie. C o r o l a r u l 2 a r a t ă c ă se a j u n g e l a a c e l a ş i r e z u l t a t d a c ă , p l e c î n d d e l a o m ă s u r ă s c a l a r ă \L : JC (T) - > C, m a i î n t î i se d e f i n e ş t e m ă s u r a \L : JC (T) -> E p r i n p r e l u n g i r e a e g a l i t ă ţ i i E

[L((?X)

= [L(
p e n t r u ye:JC(T)

şi

X<EE

şi a p o i se e x t i n d e \L l a s p a ţ i u l J2, (\L), s a u m a i î n t î i se e x t i n d e m ă s u r a \L l a s p a ţ i u l J}(\x) şi a p o i se d e f i n e ş t e i n t e g r a l a f u n c ţ i i l o r d i n J2. (\L) prin prelungirea egalităţii e

e


f: T t -><

1

p e n t r u 9 e J ? ( ( x ) şi

xeE.

Corolarul 3 . Fie \L O măsură scalară şi E un spaţiu Banach. E este o funcţie \L -integrabilă şi z' e E', atunci funcţia î(t), z' > este jx -integrabilă şi

Dacă scalară

126

p

SPAŢIILE Jd .

FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP. II

3. Integrarea funcţiilor scalare în raport cu o măsură majorată F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h ( c o n s i d e r a t e a m b e l e r e a l e s a u a m b e l e c o m p l e x e ) , m : JC (T) ->F o m ă s u r ă majorată şi | m | m o d u l u l s ă u . D u p ă c u m ş t i m ( p r o p o z i ţ i a 1 , § 2 ) , m ă s u r i i m îi c o r e s p u n d e o m ă s u r ă ţi.: JC (T) -> Jl (EJ F) şi n u m a i u n a c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a E

ţx ( 9 ) x = m ((?%) p e n t r u cp eJ£(T)

şi

x^E.

M ă s u r a ţx e s t e d e a s e m e n e a m a j o r a t ă şi | ţx ] < | m | d e c i |^?d|i|<ţj|(p|d||i|<J|(p|d|m|,

p e n t r u
M a i d e p a r t e se v a a r ă t a c ă a v e m c h i a r e g a l i t a t e a | ţx | = | m |. D i n i n e g a l i t a t e a | fx | | m | deducem J * l ? | d | | A | < J * l 9 | d | m | , adică ^

( 9 , li* I X ^ 1 ( 9 , | m | ) .

Eezultă 1

1

Jl (\m\)ClJl (\v.\)

1

= j£

1

Funcţiile | m | -integrabile c p e ^ ( | m | ) sînt î n acelaşi t i m p ţx-integrabile. M a i î n a i n t e a m i d e n t i f i c a t m ă s u r i l e m şi ţx şi a m scris ^
dm, p e n t r u 9 e JC( T) şi x e 22

Şi

|^9 d m j < ^ l 9 | d | m | = ^ ( 9 , |m|), p e n t r u 9 e

X(T).

î n c o n f o r m i t a t e c u a c e a s t ă i d e n t i f i c a r e , f u n c ţ i i l e n u m e r i c e (x - i n t e g r a b i l e 9 d i n Jl ( | m | ) v o r fi n u m i t e f u n c ţ i i m - i n t e g r a b i l e , i a r s p a ţ i u l ^ ( | m | ) v a fi 1

1

1

n o t a t Jl ( m ) . P e n t r u f u n c ţ i i l e 9 d i n ^ ( m ) v o m s c r i e ^ ? d m î n l o c d e ^ 9 dţx, şi v o m s p u n e c ă ^ d m e s t e i n t e g r a l a

funcţiei numerice

măsura vectorială m . S e m i n o r m a ^ ( 9 , | m | ) v a fi n o t a t ă c u ^ ( 9 , m ) : JV\(9,m) = (

|
9 în raport cu

FUNCŢII INTEGRABILE

Cu această n o t a ţ i e

127

avem

J^pdm

(9, m ) , p e n t r u

cpei^m).

Observaţie. M a i d e p a r t e , ( t e o r e m a 5 ) , d u p ă c e v a fi d e m o n s t r a t ă e g a l i ­ tatea = | m | , v a r e z u l t a c ă ^ ( m ) =J1 (\L), iar identificarea măsurilor m şi jx v a fi p e r f e c t j u s t i f i c a t ă . P r o p o z i ţ i a 1 D a c ă m : JC - > F este o măsură majorată, atunci pentru orice funcţie numerică m-integrabilă « p e i ( m ) şi orice xeE avem 1

E

1

^ 9 x d m = |^ ^9 d m

j

x.

1

Fie 9 e ^ ( m ) , şi fie ( 9 J u n ; Ş i r d e f u n c ţ i i d i n JC (T) c o n v e r g e n t î n ^ ( m ) c ă t r e 9. P e n t r u f u n c ţ i i l e 9 d i n JC (T) a v e m 1

e

W

m(9 )a? = m(9 â?), n

n

xeE.

D e o a r e c e

9 î n JP- ( m ) , a v e m m ( 9 J - > m (9) î n Jl (E, F) şi d e c i m(

m( 9 î n Jl\m), a v e m

9 x î n JL ( m ) p e n t r u f i e c a r e x e E şi d e c i m (9^ x) -> - > m (94?). T r e c î n d l a l i m i t ă î n e g a l i t a t e a d e m a i s u s , o b ţ i n e m n

n

n

n

E

m(9) x =

m(9#)

adică ^9#dm =

^9dm

Observaţie. A c e a s t ă p r o p o z i ţ i e a r a t ă c ă se a j u n g e l a a c e l a ş i r e z u l t a t d a c ă , p l e c î n d d e l a o m ă s u r ă m a j o r a t ă m : JC {T) ->F, m a i î n t î i se defi­ n e ş t e m ă s u r a m : JC( T) -> Jl (E, F) p r i n e g a l i t a t e a E

m ( 9 ) x = m(9a?), p e n t r u 9«s JC(T) şi

xeE

1

şi a p o i s e e x t i n d e l a Jl ( m ) , s a u m a i î n t î i s e e x t i n d e m ă s u r a m l a Jl şi a p o i se d e f i n e ş t e i n t e g r a l a f u n c ţ i i l o r d i n JS} (| m |) p r i n e g a l i t a t e a

E

(m)

| ^9 d m l x == ^\ 9 # d m . »*/

J

4. F u n c ţ i i i n t e g r a b i l e d e f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t D i n c e l e d e m a i s u s r e z u l t ă c ă o r i c a r e a r fi m ă s u r a m a j o r a t ă m , v e c ­ torială s a u scalară, se p o t i n t e g r a în r a p o r t c u m a t î t funcţii vectoriale c î t şi f u n c ţ i i s c a l a r e . I n t e g r a b i l i t a t e a î n r a p o r t c u m s e r e d u c e l a i n t e g r a bilitatea în raport cu măsura pozitivă | m | . Din inegalitatea

! ţ f d m | < JST^f, m) = r | f | d | m | ,

128

SPAŢIILE Jl*.

CAP. H

FUNCŢII INTEGRABILE

v a l a b i l ă p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e m - i n t e g r a b i l ă f, d e d u c e m c ă , d a c ă f e s t e e s t e | m | - n e g l i j a b i l ă , a v e m ^ f d m = 0. I m p l i c a ţ i a r e c i p r o c ă n u e s t e î n general a d e v ă r a t ă : p u t e m a v e a ^ f d m = 0 fără ca f să se a n u l e z e în v r e u n punct. F u n c ţ i i l e | m | - n e g l i j a b i l e v o r fi n u m i t e d e a s e m e n e a f u n c ţ i i m - n e g l i jabile. Despre proprietăţile care a u loc | m | -aproape peste t o t v o m s p u n e de asemenea că sînt valabile m - a p r o a p e peste tot. D a c ă f şi g s î n t d o u ă f u n c ţ i i e c h i v a l e n t e d i n « ^ ( m ) , a t u n c i ^ ( f — g , m ) = 0, d e c i ,

?

=

\fldm.

E e z u l t ă că integrala ^ f d m n u depinde decît de clasa de echivalenţă 1 a l u i f. D e a c e e a p u n e m , p r i n d e f i n i ţ i e , m(f) = Aplicaţia f - > m ( f )

^fdm,

pentru f

definită p e spaţiul L

E

e i ^ .

este continuă

şi

D a c ă a c u m f e s t e o f u n c ţ i e c u v a l o r i î n E, d e f i n i t ă m - a p r o a p e p e s t e t o t p e T, şi d a c ă f e s t e e c h i v a l e n t ă c u o f u n c ţ i e m - i n t e g r a b i l ă d i n jt ( m ) (defi­ nită peste tot), adică dacă î e L (m), atunci s p u n e m de asemenea că f e s t e m - i n t e g r a b i l ă şi p u n e m p r i n d e f i n i ţ i e E

E

^fdm =

m(î).

( f d m s e n u m e ş t e , î n c ă , i n t e g r a l a l u i f î n r a p o r t c u m şi v e r i f i c ă i n e g a l i t a t e a Şidm


m).

D a c ă / e s t e o f u n c ţ i e numerică, d e f i n i t ă şi f i n i t ă m - a p r o a p e p e s t e t o t p e T , şi d a c ă / e s t e e c h i v a l e n t ă c u o f u n c ţ i e m - i n t e g r a b i l ă d i n £ ( m ) ( d e f i n i t ă şi f i n i t ă p e s t e t o t ) , a d i c ă d a c ă / e ^ ( m ) , s p u n e m şi î n a c e s t c a z c ă / e s t e m - i n t e g r a b i l ă , iar i n t e g r a l a ^ / d m se defineşte p r i n e g a l i t a t e a 1

e

[fdm

=

m(/)

FUNCŢII

şi v e r i f i c ă

INTEGRABILE

129

inegalitatea i/dm

<xr (f,m). 1

M a j o r i t a t e a r e z u l t a t e l o r care u r m e a z ă sînt e n u n ţ a t e p e n t r u funcţii i n t e g r a b i l e d i n J? s a u d i n j g , d a r r ă m î n a d e v ă r a t e ş i p e n t r u f u n c ţ i i i n t e ­ g r a b i l e d e f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t s a u d e f i n i t e şi f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t . l

E

5. Proprietăţile funcţiilor integrabile F i e [x o m ă s u r ă pozitivă,. î n p a r t i c u l a r , ţx p o a t e fi m o d u l u l | m | a l u n e i măsuri majorate m . Propoziţia 2 . Pentru orice funcţie ^integrabilă f > 0 , avem

C/dpi = T/di* = ^(z, ia). F i e (g ) u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n JC (T) c o n v e r g e n t î n m e d i e c ă t r e / : n

l i m i t a , -/,(*) = 0 . Deoarece / !> 0 a v e m | l f l U - f \ = \\9A

-l/l|
şi d e c i lim

2^(10.1

- / , ( x ) = 0.

A ş a d a r , ş i r u l (\g \) d e f u n c ţ i i pozitive d i n JC(T) c o n v e r g e î n m e d i e c ă t r e / ; i n t e g r a l a fiind c o n t i n u ă , d e d u c e m n

limVIsUdfx = \/d[x. n-too J

Seminorma N

x

1

fiind d e a s e m e n e a c o n t i n u ă p e

fx) = 2 T ( / , p i ) .

lim N (\g^

1

x

D a r p e n t r u f u n c ţ i i l e |gr | d i n j K ( T ) a v e m H

+

^nldfx-^lflfjd^x^^dflfjfx). Trecînd la limită în aceste egalităţi, obţinem ^/d x=^/d{x-^ (/, x). t

1

[

avem

p

SPAŢIILE j£ .

130

FUNCŢII

Corolarul 1. Pentru orice funcţie o funcţie ^-integrabilă din -^ ([x) şi

INTEGRABILE

CAP. II

[L-integrabilă

t din ^ ( ( x ) , |f | este

1

f | d x = p f | d x = ^ ( f , jx). [

[

1

F a p t u l c ă d a c ă f e J?i((x), a t u n c i |f | e J^d*.) a f o s t d e j a d e m o n s t r a t ^ p r o p o z i ţ i a 1 4 , § 7). E g a l i t a t e a r e z u l t ă d i n p r o p o z i ţ i a d e m a i s u s . Corolarul 2 . O funcţie i este \L-neglij abilă dacă şi numai dacă este [L-integrabilă

şi ^ \ i | dfx = 0.

î n t r - a d e v ă r , d a c ă f e s t e jx-neglijabilă, a t u n c i f e s t e [x-integrabilă şi i(t) = 0, [x-aproape p e s t e t o t , d e c i \t(t)\ = 0 , [x-aproape p e s t e t o t şi d e c i ^ | f | dfx = 0 ; î n b a z a c o r o l a r u l u i 1 r e z u l t ă ^ | f | dfx = 0. Eeciproc,

dacă

f este

[x-integrabilă

şi d a c ă ^ | f | dfx = 0, a t u n c i

| f | dfx = j | f | dfx d e c i j | f | dfx = 0, a d i c ă | f | e s t e [x-neglijabilă, d e c i şi f e s t e {x-neglijabilă. Corolarul 3 . Pentru ca două funcţii ^-integrabile i şi g din <£ (\L) să fie echivalente, este necesar şi suficient ca E

ţ j | f - g | d | x = 0. î n t r - a d e v ă r , î u n c ţ i i l e f ş i g d i n <£ ([i) e c h i v a l e n t e d a c ă şi n u m a i d a c ă f — g e s t e [x-neglijabilă. Propoziţia 3 . Bacă f este o funcţie din <£ ([i), 1 < p < + oo, atunci | f | este o funcţie [L-integrabilă, din Jl (ţx) şi E

E

p

1

i

JMf,i*) = g|f|'d|ij . 7

î n t r - a d e v ă r , d a c ă f e ^ ( f x ) , a t u n c i ( c o r o l a r u l 1 a l t e o r e m e i 6, § 7) p_1 f u n c ţ i a | f | f a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i J? ([L), a d i c ă e s t e [x-integrabilă. D i n corolarul 1 deducem că funcţia E

1

\t\* = |ur *| e s t e [x-integrabilă ş i

|[ifi dtx = (j*ifrd(x. p

Atunci 7

7

^ , ( f , i i ) - f r i f i ' d ^ = j C n i ' d t i ) -

FUNCŢII INTEGRABILE

C o r o l a r . Pentru orice măsură orice funcţie m-integrabilă f din Jl

majorată m definită pe X (m) sau din J& ( m ) , avem

x

(T) şi

pentru

1

E

|Jfdm|<J|f|d|m|,

131

|J|f | d m | < J | f | d|m|,

şi | f j f d | m |

|<J|f|d|m|.

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e [ f u n c ţ i e f d i n Jl (TXk) s a u d i n J£}(m)

avem

E

f

$

d

<^ (f,m)

^ ^ ( M m l )

1

m

Ifldm

fd|m|

1$

<^ (|f|,m)=^ (f,|m|) 1

1

<^ (f,|m|) 1

iar ^i(*,|m|)=^i«l

funcţia

d|m|.

P r o p o z i ţ i a 4 . Fie \L şi v două măsuri pozitive. Dacă ţx < ; v şi i: T -> E este ^-integrabilă, atunci t este ^.-integrabilă şi

dacă

$iti*»4 f l d v . cz

î n t r - a d e v ă r , d e o a r e c e v > [x, a v e m ^ ( v ) <^i([x), d e c i e s t e v-integrabilă, a t u n c i f e s t e [x-integrabilă. î n a c e s t caz a v e m

dacă f

ţ j | f | d i = ^ | f | d i < ^ | f | d v = Jl*|d [

t

6. T r e c e r e a l a l i m i t ă î n i n t e g r a l e F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h d i s t i n c t e s a u n u şi m : J£ -> F o m ă s u r ă majorată. î n p a r t i c u l a r m p o a t e fi o m ă s u r ă s c a l a r ă şi î n a c e s t c a z m p o a t e fi o m ă s u r ă p o z i t i v ă , m = | i n | . P r o p o z i ţ i a 5 . Fie ( f ) un şir de funcţii m-integrabile din Jl ( m ) (sau din JL ( m ) ) . Dacă toate funcţiile i au suporturile conţinute în aceeaşi mulţime compactă KdT şi dacă şirul (f ) converge uniform pe T către o funcţie f , atunci f este m-integrabilă şi E

n

E

V

n

M

0

0

\ f d m = lim \ t 0

n

dm.

132

p

SPAŢIILE jg .

.FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP. II

î n t r - a d e v ă r , d i n p r o p o z i ţ i a 7, § 7 , r e z u l t ă c ă f e ^ ( | m | ) (sau ! e JS} (| m D) şi c ă ş i r u l ( i ) c o n v e r g e î n m e d i e c ă t r e f . U r m e a z ă a t u n c i c ă 0

0

n

0

lim \ f d m = V f dm. n

0

T e o r e m a 2 . .Fie ( f j t m şir de funcţii m-integrabile din - £ i ( m ) (sau din Jl ( m ) ) . Dacă şirul ( f j converge m-aproape peste tot către o funcţie f, 1

0

si dacă există

o funcţie

9 > 0 definită

pe T astfel încît ţ

9 d| m | <

I M $ ) I ^ ? ( 0 aproape peste tot, pentru fiecare n&N, atunci (definită m-aproape peste tot pe T) este m-integrabilă şi

+ oo

funcţia

şi f

0

V f d m = lim V f d m 0

n

I

n-foo ]

Conform teoremei lui Lebesgue funcţia f este echivalentă cu o f u n c ţ i e d i n i ^ ( | m | ) , d e c i f e s t e m - i n t e g r a b i l ă — i a r ş i r u l (î ) c o n v e r g e în medie către f . U r m e a z ă a t u n c i că 0

0

n

0

lim ^ f d m = ^ f d m n

0

n->oo

C o r o l a r . Fie

(f ) un

şir

n

de funcţii

m-integrabile

din

Jl (m)

(sau

E

00 x

din Jl (m)).

Dacă

f şi dacă există 0

$i I X h(t)\ funcţia

seria

£ f (t) n=>l

o funcţie

<^ 9(l)i

f (definită 0

converge

n

m-aproape

cp ! > O definită

m

! l — aproape m-aproape

peste

tot, pentru

f;

H

(respectiv dacă

anvelopa

inferioară

în

acest caz

fiecare

n e N,

00

atunci

si

n

n

=

£

f. k

un şir crescător (respectiv descrescător) de din « £ ( m ) . Anvelopa superioară / = sup f n 1

n

f — inf f )

s u p ^ / d | m | < + 00 ^respectiv n

funcţie

(f dm.

Se aplică t e o r e m a p r e c e d e n t ă şirului g P r o p o z i ţ i a 6* 2 ^ 6 (f ) numerice m-integrabile

o

pe T astfel încît ^ 9 d| m | < +

peste tot pe T) este m-integrabilă \tdm=

funcţii

peste tot către

n

este m-integrabilă

inf ^ / d | m | > n

avem \ / d m = lim V f

n

dm.

— 00 j .

dacă

şi

numai

FUNCŢII

INTEGRABILE

133

Să presupunem c ă / este m-integrabilă. A v e m atunci sup

N (f \m\)< 1

J

< + o o , fie c ă ş i r u l ( / , ) e s t e c r e s c ă t o r , fie c ă e s t e d e s c r e s c ă t o r ( t e o ­ r e m a 5 şi c o r o l a r u l 2 , § 7). D i n i n e g a l i t a t e a

I J / . d l m l ^ j j l / . l d l m K ^ / , , |m|) rezultă că sup \ / d | m | < sup \ / d | m | w

n

» J

n

|

< sup ^ ( /

J

n

, | m | ) < + oo

n

şi d e a s e m e n e a

infC/d|m|> - sup |C/d| m l n

n

>

— oo.

D i n t e o r e m a 5 şi c o r o l a r u l 2 , § 7, r e z u l t ă c ă î n a c e s t c a z ş i r u l (f ) c o n v e r g e î n m e d i e c ă t r e / şi d e c i H

limv / d m = \ / d m . J J n

E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă ş i r u l ( / ) e s t e c r e s c ă t o r şi c ă s u p £ f d| m | < + o o . n

n

A t u n c i funcţiile g = f şir crescător, i a r n

N (g , x

n

+ f s î n t pozitive,

jjtf.dlml

|m|) =

n

j m | - i n t e g r a b i l e şi f o r m e a z ă u n

x

= J/,d|m|

+ţj/^d[m|.

Urmează că mvN (g , V x

n

| m | ) = s u p \ / | m | + \ £ d | m | < + oo, w

n

J

J

s u p gr = s u p f + / ! = / -f f\ e s t e | m | - i n t e g r a b i l ă . n n D e d u c e m a t u n c i c ă şi f u n c ţ i a f = g — j \ e s t e | m | - i n t e g r a b i l ă . deci

funcţia

# =

n

n

D a c ă (f ) e s t e d e s c r e s c ă t o r şi inf j / d | m | > — oo, f u n c ţ i i l e g = — /„ n

n

n

f o r m e a z ă u n ş i r c r e s c ă t o r şi s u p l g d|m| = — inf l / „ d | m | < + o o . D i n n J nJ c e l e d e m a i s u s r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a g = s u p g = — inf f = — / e s t e | m |-inn

n

n

t e g r a b i l ă şi d e c i şi / = inf f

n

n

n

= — g este | m J -integrabilă.

n

Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . P r o p o z i ţ i a 7. Fie (f ) un şir de funcţii numerice m-integrabile din ^ ( m ) . Pentru ca anvelopa superioară f= s u p / să fie m-integrabilă, n este necesar şi suficient să existe o funcţie g >> 0 astfel ca ^ grdjmj < - f o o Şi f ^9 pentru orice n. î n t r - a d e v ă r , s e i a p = 1 şi [x = | m | î n c o r o l a r u l 3 a l t e o r e m e i 5 , § 7. n

w

n

p

134

SPAŢIILE j£ .

Propoziţia 8 . Fie (f ) ^ ( m ) . Pentru ca anvelopa n

necesar

şi suficient

să existe

FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

un şir de funcţii numerice m-integrabile din inferioară f == int f să fie m-integrabilă, este n o funcţie g 0 astfel ca^ \ g | d | m | < + o o şi n

fn^>3

pentru orice n. S e i a p = 1 şi fx = | m | î n c o r o l a r u l 4 a l t e o r e m e i 5 , § 7. Corolar. Dacă (f ) este un şir de funcţii pozitive m-integrabile din (m), atunci anvelopa inferioară f = inf f este o funcţie m-integrabilă n n

1

Jl

n

din J>} (m). S e i a î n p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă g(t) = 0 .

7. Caracterizarea funcţiilor numerice integrabile F i e [JL o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. î n p a r t i c u l a r , y. p o a t e fi m o d u l u l | m j al unei măsuri scalare sau vectoriale. Propoziţia 9 . Pentru ca o funcţie numerică f > - 0 (finiă sau infi­ nită) semicontinuă inferior să fie ^.-integrabilă este necesar şi suficient caţ

f d[x <

oo.

+

Condiţia j /d(x < + o o este necesară

p e n t r u orice

funcţie

«x-integrabilă. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă j / d [ x < + o o . D i n

/ >

0

f

definiţia

i n t e g r a l e i s u p e r i o a r e ^ / d ( x = ţx*(/) p e n t r u f u n c ţ i i l e / e g+ r e z u l t ă c ă p e n t r u o r i c e e > 0 , e x i s t ă o f u n c ţ i e g > 0, c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , astfel ca g 0 şi s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r , d e c i «*•(/) = v*(g+f-g)

= ifig)

+

-

g)

de unde ^ i ( / -g,v) = -g) = \?U) - M <«. R e z u l t ă c ă / e s t e fx-integrabilă. Corolar. Pentru ca o funcţie finită f > - 0 semicontinuă superior şi cu suport compact să fie ^-integrabilă, este {necesar şi) suficient ca */d[x <

-f-OO.

Dacă ^ /d[x < + o o , există hap

o funcţie

h e 3

+

astfel c a / <

h şi

< + o o . F u n c ţ i a h e s t e f i n i t ă fx- a p r o a p e p e s t e t o t . F u n c ţ i a h — / e s t e

d e f i n i t ă p e s t e t o t , e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r şi a v e m ^ ( A - / ) d ( X <

^ftd(X < + o o

135

FUNCŢII INTEGRABILE

d e c i h — / e s t e ( x - i n t e g r a b i l ă . A v e m a p o i f(t) = h(t) — (h(t) — f(t)), ( x - a p r o a p e p e s t e t o t ; d e o a r e c e h şi h—f s î n t fx-integrabile, r e z u l t ă c ă ş i / e s t e (x-integrabilă. Observaţie. M a i d e p a r t e ( c o r o l a r u l p r o p . 5 , § 1 0 şi t e o r e m a 1 , § 11) se v a a r ă t a că orice f u n c ţ i e / > 0 s e m i c o n t i n u ă superior cu ^ /dţx < + o o , e s t e [x-integrabilă c h i a r d a c ă n u a r e s u p o r t c o m p a c t . T e o r e m a 3 . Pentru ca o funcţie / > 0 r f fie ^integrabilă, este necesar şi suficient ca pentru fiecare număr e > 0 , să existe o funcţie semicontinuă superior g <; /, finită, > - 0 şi cu suport compact, şi o funcţie semicontmuă inferior şi [L-integrabilă >- g, astfel încît să avem f(t)
e.

tot şi ţ (h — g) dfx <

C o n d i ţ i a e s t e s u f i c i e n t ă : h şi g s î n t [ x - i n t e g r a b i l e şi h — / < h — g, d e c i N (h

N {f)

<

+ — / ) < + °°> d e c i / e Cf}. E e z u l t ă d e a s e m e n e a e s t e a d e r e n t ă s p a ţ i u l u i î n c h i s J2 , d e c i / e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă . E e c i p r o c , să p r e s u p u n e m că / e s t e [x-integrabilă. E x i s t ă u n şir

că/

x

-

/)<

N^h

-

g) =ţ(h

-

g) djx <

z.

Eezultă

că

t

1

(K ) n

00

d e m u l ţ i m i c o m p a c t e a s t f e l î n c î t , n o t î n d A ={J /' = /,

K

n

şi /' =f
să a v e m

A

[x-aproape p e s t e t o t . F u n c ţ i a / ' e s t e d e a s e m e n e a

[x-integrabilă

şiţ/'dtx^/dtx. F i e s > 0 . E x i s t ă o f u n c ţ i e 9 e JC+ (T) a s t f e l c a N (f

— 9) < —» 4

%

a d i c ă fx*(|/' —

I / ' — ? l a s t f e l î n c î t fx*(^) < — 2 Avem

Funcţia

— * ( ' ) < /'(*) - ? ( * ) < D e o a r e c e 0,

(?(*) -

pentru t e

[x-inte gra bilă .

T.

deducem

+ (*) < / ' ( * ) < ?(*) + avem

este deci

+ (*)> p e n t r u

<eT

chiar +

+ ( ' ) ) < / ' ( * ) < ? ( ' ) + +(*), pentru t e T . +

F u n c ţ i a # = (9 — ty) e s t e > 0, s e m i c o n t i n u ă s u p e r i o r , f i n i t ă ( d e o a ­ r e c e ^ > 0, d e c i 9 — ^ n u i a v a l o a r e a + 00) şi c u s u p o r t c o m p a c t ( d e o a r e c e d a c ă 9(2) = 0 şi ty(t) > 0, a t u n c i g(t) = 0 ) ; f u n c ţ i a h = 9 + ţ|* e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r şi a v e m gr < / ' < h şi (h -

g) d ( x < ^ [(9 + * ) - ( ? - * ) ] d | * = 2 ţ ^ d t x <

e

.

p

SPAŢIILE j£ ,

136

.FUNCŢII INTEGRABILE

CAP. II

D e o a r e c e f(t)=f'(t) [ x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e d u c e m f(t) < h(t), [x-aproape p e s t e t o t . Ou a c e a s t a t e o r e m a este d e m o n s t r a t ă . Observaţie. Din demonstraţie rezultă că dacă / este majorată de o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r i n t e g r a b i l ă , a t u n c i se p o a t e a l e g e h a s t f e l î n c î t s ă a v e m h(t) ^f(t) peste tot. C o r o l a r . Fie m : JC (T) ->F o măsură majorată. Pentru orice funcţie numerică | m | -integrabilă f > 0, există un şir crescător (g ) de funcţii >- 0, finite, semicontinue superior şi cu suport compact, şi un şir descrescător (h ) de funcţii >- 0 semicontinue inferior \L-integrabile astfel încît: 1) 9n{t) < / W Şi 9n(t) K(l)j pentru orice t e T şi orice w e I , f{t) < h {t), [L-aproape peste tot, pentru fiecare n e N; 2) f(t) = s u p g (t), | m | -aproape peste tot şi E

n

n

n

n

n

f(t)

= inf

h (t), | m | -aproape

peste

n

tot;

u

3) f / d m = l i m \ g d m = l i m f h d m . n

n

P e n t r u o r i c e n e x i s t ă o f u n c ţ i e ty > 0 f i n i t ă , s e m i c o n t i n u ă s u p e r i o r şi c u s u p o r t c o m p a c t şi o f u n c ţ i e

0 s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r şi ţx-integrabilă astfel încît n

n

< />

I m l - a p r o a p e p e s t e t o t


Şi [(?n ) L u ă m p e n t r u fiecare g

n

Funcţiile

-

+.)d|m|

<

ty )

şi

=

n

n,

= sup ( ^ ,

n

K

inf (cp , . . . x

gr» şi h a u p r o p r i e t ă ţ i l e d i n e n u n ţ

şi î n d e p l i n e s c c o n d i ţ i a 1 ) .

n

Fie g + sup g


şi h = inf A . D e o a r e c e s u p ţ < / d | m | < l n n j J + oo, r e z u l t ă c ă g e s t e [ m | - i n t e g r a b i l ă şi n

n

n

/d|m|<

n

<

J ( / - f f J d | m | < J (

?

B

-

^

n

) d | m | < i

deci ( j ( / - ) d | m | = lim t ( / - 0 j d | m | = O . J "-•*> J R e z u l t ă o ă / şi g s î n t e c h i v a l e n t e , a d i c ă e g a l e | m [ - a p r o a p e p e s t e t o t . L a fel se a r a t ă c ă / şi h s î n t e g a l e | m {-aproape p e s t e t o t şi a s t f e l c o n d i ţ i a 2) e s t e î n d e p l i n i t ă . C o n d i ţ i a 3) r e z u l t ă d i n p r o p o z i ţ i a 6 : ^ / d m — ^ gă.m = l i m ( j ^ d m , f f

/dm =

d m = lim ^

h dm n

FUNCŢII INTEGRABILE

137

Observaţie. D a c ă funcţia / este majorată d e o funcţie semicontinuă inferior integrabilă, a t u n c i se p o t alege funcţiile h astfel încît să a v e m f(t) < K(t)> p e n t r u o r i c e te T şi o r i c e n. n

8. M u l ţ i m i i n t e g r a b i l e F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h d i s t i n c t e s a u n u ( c o n s i d e r a t e a m b e l e r e a l e s a u a m b e l e c o m p l e x e ) . î n p a r t i c u l a r u n u l s a u a m b e l e s p a ţ i i E şi F p o t fi e g a l e c u R s a u c u C. F i e m : JC (T) -+F o m ă s u r ă m a j o r a t ă ş i (x = | m | . î n p a r t i c u l a r , m p o a t e fi o m ă s u r ă p o z i t i v ă şi î n a c e s t c a z (x = m . D e f i n i ţ i a 2 . Spunem că o mulţime Aci T este integrabilă în raport cu m , sau m-integrabilă, dacă funcţia sa caracteristică
a

m-integrabilă, în raport

1

din J2 ( m ) .

cu m se numeşte

Integrala măsura

m(A)

^ y d m a funcţiei

caracteristice

A

mulţimii =

^
A şi se notează 4

y

A

m(A) :

dm .

S ă o b s e r v ă m c ă m ă s u r a m(A) a u n e i m u l ţ i m i A m - i n t e g r a b i l e e s t e u n e l e m e n t a l s p a ţ i u l u i J2 (E, F). D a c ă m e s t e o m ă s u r ă s c a l a r ă ( r e a l ă s a u c o m p l e x ă ) , a t u n c i m(A) este u n scalar (număr real, respectiv complex). D a c ă m este o măsură pozitivă, a t u n c i 0 < ; m(A) < + o o . S ă o b s e r v ă m , d e a s e m e n e a , c ă o m ă s u r ă s c a l a r ă m p o a t e fi t o t d e a u n a e x t i n s ă l a s p a ţ i u l JC (T) c u v a l o r i î n E şi d e c i m ă s u r a m(A) p o a t e fi c o n s i ­ d e r a t ă u n e l e m e n t d i n  {E, E), o r i c a r e a r fi s p a ţ i u l B a n a c h E. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e m - i n t e g r a b i l ă A CZ T a v e m B

|m (4)| <

v.(A).

î n t r - a d e v ă r , J ^ y d m J <[ ^

A

A

i a r ţx (A) =

dfi . D a c ă E şi F s î n t s p a ţ i i B a n a c h c u i n v o l u ţ i e şi d a c ă i c T e s t e m - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i A e s t e m - i n t e g r a b i l ă şi a v e m =

^ 9A

m(A) P r o p o z i ţ i a 1 0 , Dacă =

= m(A) .

A este o mulţime

\i-integrabilă,

atunci

[i{A) =

L*(A).

[

într-adevăr,

[i(A)

=

^9 d[i

şi fx* (A)

A

= ţ

9 d[i. A

P e d e a l t ă p a r t e , d a c ă A este ţx-integrabilă, a t u n c i f u n c ţ i a p o z i t i v ă (p e s t e i n t e g r a b i l ă î n r a p o r t c u m ă s u r a p o z i t i v ă (x, d e c i ţ 9A&V> = j 9A dp« A

R e z u l t ă a t u n c i c ă [L(A) =

(A).

138

P

jQ *

SPAŢIILE

CAP.

FUNCŢII INTEGRABILE

H

Corolar. 0 mulţime A este [L-neglij abilă dacă şi numai dacă A este [L-integrabilă şi [L(A) = 0 . î n p a r t i c u l a r , m u l ţ i m e a v i d ă 0 e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă şi ţ x ( 0 ) =0. S ă n o t ă m c u CS(m) m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r m - i n t e g r a b i l e A a T. A v e m (B(m) = C?(|x). V o m a r ă t a c ă (B(m) e s t e u n s e m i t r i b * ) c a r e c o n ţ i n e s e m i t r i b u l (B a l p ă r ţ i l o r b o r e l i e n e r e l a t i v c o m p a c t e . Propoziţia 1 1 . Dacă (A ) este un şir de părţi [L-integrabile, atunci N

ao

intersecţia

O A

n [x*(C) <

N

este

[L-integrabilă.

Dacă

există

o mulţime

C astfel

încît

astfel

încît

= 1

+ oo

(în

particular

dacă

C este

p-integrabilâ)

şi

ao

A dC

pentru

n

orice neN,

atunci

reuniunea

\^)A

este

N

[L-integrabilă.

n= 1

oo

Să n o t ă m m a i

î n t î i A = f | i . A v e m

t

A

A

n

An

A

00

Să n o t ă m a c u m B =

A.

A v e m

N

B

grabile, l atunci

s î n t [x-inte-

A

n

v

n

4w

c

că B este [x-integrabilă. Corolarul 1. Bacă (A ) este un şir de mulţimi N

00

£

,
A

n = 1

[L-integrabile

Rezultă şi

dacă

00

[L(A„)

<

+ o o , atunci

reuniunea

ţ^j A *» 1

n—l

este

N

[L-integrabilă.

n

ao

î n t r - a d e v ă r , l u î n d C = {J A

N

a v e m i c C p e n t r u o r i c e n e N şi n

n= 1

f(C)

= (i* f U

-4.1 <

t

A

V-'l ')<

Din propoziţia precedentă rezultă că Q A n =. 1

N

+

OO .

e s t e [x-integrabilă.

Corolarul 2 . Intersecţia şi reuniunea unei familii de mulţimi [L-integrabile, sînt mulţimi [L-integrabile. într-adevăr, luînd A = A p e n t r u o r i c e p&N, este f o r m a t d i n funcţii [x-integrabile, deci i n t e r s e c ţ i a N+P

N

Tt

i=xl

finite

(A^^^»

şirul (-A.OK,-< •

OO

i=xl

*) Un semitrib este o clasă nevidă de părţi, care conţine diferenţele, reuniunile finite şi intersecţiile numărabile.

§ 8

FUNCŢII INTEGRABILE

l.;9

e s t e o m u l ţ i m e {x-integrabilă. P e d e a l t ă p a r t e , l u î n d A + = 0 p e n t r u o r i c e p^N, e s t e f o r m a t d i n f u n c ţ i i ( x - i n t e g r a b i l e şi n

f ,(A ) }[

V

= f L(A )<

i

L[

şirul (-4. ) 4

1<:i< +

oo

+ oo.

i

Urmează că mulţimea n U

oo i

i

=

U

[x-integrabilă. Propoziţia 1 2 . Dacă A şi B sînt A — B este o mulţime integrabilă. într-adevăr,

A i

este

două

A - B = A -

mulţimi

\i-integr abile,

atunci

{Ap\B)

i a r AQBa A, d e c i

m ( A ) este o funcţie de mulţime n u m ă r abil aditivă. P r o p o z i ţ i a 1 5 . Dacă (A ) este un şir de mulţimi m-integrabile, disA

B

A

A

e s

ANB

e

K

£

0

0

G

n

00

juneţe

două

cîte două,

şi dacă

reuniunea

A

n

i*

m

( L M » | =

este m-integrabilă,

= i

£m(A ). B

atunci

p

SPAŢIILE j£ .

140

FUNCŢII

INTEGRABILE

oo

oo

într-adevăr, dacă A = ( j A,

atunci

n

p e n t r u f i e c a r e neN

şi j

9^dţx = fx(A) <

£

A

0

+

0

*

n 9

^,

£

9^ <

?^

Rezultă atunci din co­

rolarul teoremei 2 că

m(A)

m(i,).

= t

Corolar. D a o # ( A J ^ ^ , , este o familie disjuncte două cîte două, atunci m

finită

de mulţimi

integrabile^

U i i h t m ( i i )

î n t r - a d e v ă r , reuniunea LJ

este

m-integrabilă.

««=1

L u î n d ^ l p = 0 p e n t r u o r i c e p^N, ţimi m-integrabile a cărei reuniune 00 n

U J k ^ + O D e s t e u n şir d e m u l ­

n +

A

U

i = U

A

este m-integrabilă. Rezultă atunci că

m ( U ^i] = M=l

/

atunci

m(A

— B)

într-adevăr, y _ A

t

Ui) = mUi) • 7 i=l i=l A şi B sînt două mulţimi m-integrabile m

= l

Propoziţia 1 6 . Dată AzdB,

A

™ fu ] = E =

m(A)

—

— 9a ~ 9b 1 d e c i ^

B

şi

dacă

m(B). 9 4 - 2

,dm =

9 - i

d m — ^ 9^ d m

de unde m

(A

-

= m (A) -

B)

Propoziţia 17. 2 % ( J . J un şir crescător ao ca reuniunea

A =

A

să fie

N

m (JB). de părţi

m-integrabilă,

ca s u p LA ( A ) < + 00 . In acest caz avem m \ u A \ = lim m

m-integrabile.

este necesar

si

Pentru suficient

N

(A )

N

î n t r - a d e v ă r , 9^ = s u p

şi (9^ ) n

N

.

e s t e u n şir c r e s c ă t o r

de funcţii

n

m-integrabile. Atunci funcţia S U

P \ 9 A d(x < + N

0

0

y

A

e s t e m - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i

şi î n a c e s t c a z a v e m \ 9 d m = lim V 9 -4

4

dm

dacă

Ş 8

FUNCŢII INTEGRABILE

141

E e z u l t ă c ă A e s t e m - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă s u p ţx (A ) n

<

+ oo

n

şi în a c e s t caz

avem m (A) = l i m m

(A ). n

n-*oo

grabile

Propoziţia 1 8 . Pentru avem

orice şir descrescător 00

ml C\A

mează un a t u n c i că

dacă

A — O

şir d e s c r e s c ă t o r

n

de mulţimi

m-inte­

= lim m ( 4 J .

n

într-adevăr,

(A )

A

atunci

n1

de funcţii

< p = inf

4

i a r (9^ ) for-

pozitive m-integrabile.

Eezultă

m (A) = l i m m (A ). n -> 00 Măsurile pozitive au proprietăţi suplimentare. Propoziţia 1 9 . Pentru orice familie (AJ finită sau numărabilă mulţimi \L-integrabile a căror reuniune este [L-integrabilă, avem n

J

într-adevăr, mulţimile A

{

de

i= l

şi 0

JL f i i n d ( x - i n t e g r a b i l e , a v e m i

4=1

|X(^)=ti*(^) Propoziţia rezultă atunci din

şi

(x(U^) =

^ ( U ^ i ) -

inegalitatea

ii*fu^i)<E^(^)Propoziţia 2 0 . Dacă A şi B AczB atunci ţi (A) ţx (B)

sînt

două

mulţimi

integrabile

şi

dacă

f

î n t r - a d e v ă r ,

9^, d e c i ^ 9^ dţx < ^ «Padţx d e u n d e ( x ( 4 ) < fx(2?).

Propoziţia 2 1 . D o e â (A ) este un şir crescător (respectiv descrescător) de mulţimi ^-integrabile a căror reuniune este ^-integrabilă, atunci n

( x f t J A») j respectiv

(x I p | 4

= l i m [i(A ) n

= sup

[i(A ) n

j = l i m [x ( J . J = inf (x (A ) \ •

W

n

î n t r - a d e v ă r , şirul (fx(J. )) e s t e c r e s c ă t o r n

s u p y.(A ) n

n

n-foo

( r e s p e c t i v inf (x ( J . ) = l i m jx ( A ) ) . n

=lim

n

( r e s p e c t i v d e s c r e s c ă t o r ) şi

y.(A ) n

p

SPAŢIILE jg .

142

Teorema 4 . Fie A a

FUNCŢII INTEGRABILE

T o mulţime

astfel

[JL* (A) = inf jx* (
=

[x(G) -

CAP. II

încît deschisă.

dacă pentru orice număr deschisă ^-integrabilă [i(K)<

e> 0 astfel

S.

S ă p r e s u p u n e m m a i întîi că p e n t r u orice e > 0, e x i s t ă o m u l ţ i m e compactă K a A şi o m u l ţ i m e d e s c h i s ă [ x - i n t e g r a b i l ă G Z)A astfel î n c î t [JL(G — A ) < z. A t u n c i

Z

Z

t

Aft

A

G g

de unde

1

R e z u l t ă m a i î n t î i c ă

0 . E x i s t ă A

A

A

o m u l ţ i m e d e s c h i s ă OZDA

a s t f e l c a JJL* (O) < jx ( A ) +

m e a G e s t e j x - i n t e g r a b i l ă şi ţx((r) — \i(A)

< ~

< + 00.

Mulţi­

.

D e o a r e c e 9^ e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă , e x i s t ă o f u n c ţ i e / > - 0

semicontinuă

s u p e r i o r şi c u s u p o r t u l c o m p a c t H, a s t f e l c a / < ;

.

Rezultă că [X(^)<(/d[X +

Fie

8 < 0

astfel

ca

8[L(A)

<-|-

şi

- f.

fie

Jf =

{J|

£T, / ( $ ) >

8} .

M u l ţ i m e a X e s t e î n c h i s ă şi c o n ţ i n u t ă î n JHT, d e c i K e s t e c o m p a c t ă . D e o a r e c e / < 9^, a v e m
~ *

de unde [xUX^/d[x + | < [ x ( Z ) + Rezultă

| .

atunci

[x(<7-iq = [x(©)-[x(£) = [x(G)-[x(^) + şi t e o r e m a e s t e

demonstrată.

-,!(*)< c

FUNCŢII INTEGRABILE

143

C o r o l a r u l 1. Fie A o mulţime conţinută în reuniunea unui şir de mulţimi compacte. Mulţimea A este p-integrabilă dacă şi numai dacă pentru orice e > 0 există o mulţime compactă K şi o mulţime deschisă p-integrabilă G astfel încît KciAciG şi | x ( < ? — K) < e . într-adevăr, în acest caz {x* (A) = inf (JL* ( 0 , există o mulţime compactă K CZ A şi o mulţime deschisă relativ compactă G~Z)A, astfel încît, oricare ar fi mulţimea borelianâ relativ compactă A' cu Kcz A' ClG, să avem \m(A) — m(A')\ < e. î n t r - a d e v ă r , m u l ţ i m e a b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă A e s t e fx-integ r a b i l ă . P e n t r u e > 0 , e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K c z A şi o m u l ţ i m e d e s c h i s ă (x-integrabilă S d I , p e c a r e o p u t e m a l e g e r e l a t i v c o m p a c t ă , astfel încît

\L(G •— K) <

. D a c ă A' e s t e o m u l ţ i m e b o r e l i a n â r e l a t i v

z c o m p a c t ă şi K c z A' CZ G, a v e m \m(A)-m(A')\ = | m ( J . ) —m(K) — (m(A') — m (K)) \ = = | m ( A - J T ) - m ( i l ' - J r ) K \m{A-K) \+ \m(A'-K)\ 0 , există o mulţime compactă K CZ A astfel încît (x* (A — K) < e . D a c ă p e n t r u fiecare e > 0 există o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K c z A cu (x* (JL — K) < s, s e a r ă t ă c a î n t e o r e m a 3 c ă A e s t e [x-integrabilă. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă A e s t e fx-integrabilă şi fie e > 0 . Deoarece [x* (A) = s u p [x* ( J . fi JC c o m p a c t ă , K

există o m u l ţ i m e c o m p a c t ă L astfel încît

^(ix^(ini) + M u l ţ i m e a A fi L e s t e [x-integrabilă şi r e l a t i v c o m p a c t ă , d e c i [x* ( J . fi L) =

inf [x* ( 0 ) , G d e s c h i s ă .

C o n f o r m t e o r e m e i 3 , e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă KdAC\L

şi o m u l ţ i m e g

deschisă J C l

(x-integrabilă

Gz)Af\L

astfel

încît

[L(0 — E) <

şi I I ( a - e )

= ^(i)-|.(i)
<

(i(C?) -

p(K)

+

ţ < * . Z

. Atunci

p

SPAŢIILE J2. .

144

FUNCŢII

INTEGRABILE

CAP. II

(K )

Corolarul 1. Dacă A(Z T este o mulţime integrabilă, există un şir de mulţimi compacte conţinute în A, disjuncte două cîte două, astfel

încît

mulţimea

n

oo

A — [_J K

să fie [L-neglijabilâ.

n

Avem

atunci

n= 1

D e f i n i m ş i r u l (K ) p r i n r e c u r e n ţ ă a s t f e l : a l e g e m K (Z A a s t f e l î n c î t — K ) < 1 ; p e n t r u o r i c e n > 1, a l e g e m K ClA — ^jK astfel încît n

\L(A

X

x

n

i

i< n

n

i
Aceasta înseamnă

că

[x {A — u

Kţ)

< — p e n t r u f i e c a r e n e 2T.

M u l ţ i m i l e J5L a s t f e l a l e s e s î n t d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi w

(JL*

IA

— ţ^j JBT] < i

(x

f JL — u l j <

-

p e n t r u o r i c e w e JV

deci t i * ^ -

y

* « ) = = < > ,

00

a d i c ă m u l ţ i m e a N = JL —

2T e s t e [x-neglijabilă. A t u n c i

e s t e jx-inte-

i

i =1 oo

grabilă, deci m u l ţ i m e a

A — N =

U

2T, e s t e

(x-integrabilă

şi

*= i

v(A)

= (x(4 -

jyj = ( x ( u

=

Corolarul 2 . D a c ă Jl c T este o mulţime crescător (K ) de mulţimi compacte conţinute n

fi

t*(#i)•

[L-integrabilă, în A astfel

există un şir ca mulţimea

ao

A — U K

n

să fie

^-neglijabilă

şi

n =1

y.(A)

= s u p y.(K ) H

= lim j i ţ Z , ) .

n

Dacă A este [L-integrabilă

şi dacă

n (r

«ir descrescător

(G ) N

de mulţimi

oo

[L(A) = inf [L* (O), G deschisă, deschise

[L-integrabile

care

00

astfel

încît

mulţimea

(~}G

N

— A să fie

[L-neglijabilă

n= 1

p(A)

= inf (i(flf„) -

există

un

Di

l i m {!((?,,).

şi

conţin

pe

A,

§ 8

FUNCŢII INTEGRABILE

145

S e a p l i c ă t e o r e m e l e 3 şi 4 p e n t r u s = — : se o b ţ i n e u n şir (H ) n d e m u l ţ i m i c o m p a c t e c o n ţ i n u t e î n A, a s t f e l î n c î t (x(A) — [L(H ) < — , n n

1

n

respectiv

un

şir

ţx(Z7 ) — p(A) n

U Z) A

de

n

mulţimi

< Deducem că l i m \i(H ) = [L(A) şi

deschise

(x-integrabile astfel ca

l i m (x(Z7 ) =

n

y.(A).

w

n -> ao

M

-> oo

n

Pentru

fiecare

n

să

notăm

K

>»

=

U r e s p e c t i v ( ? = Pl U« • •=i « =i M u l ţ i m i l e (2T ) s î n t c o m p a c t e , c o n ţ i n u t e î n A şi f o r m e a z ă u n ş i r c r e s c ă t o r ; m u l ţ i m i l e (G ) s î n t d e s c h i s e , ( x - i n t e g r a b i l e , c o n ţ i n p e A şi f o r m e a z ă u n şir d e s c r e s c ă t o r , şi a v e m ( x ( H ) < [x(JB: ) < [ x ( A ) , r e s p e c t i v ţ x ( A ) < [ x ( G ) < (x (t7 ) deci l i m fx(2JL ) = (X(JL), r e s p e c t i v [i(A) = l i m ( x ( # ) . n

n

n

N

n

W

n

n

n

n

w

n -> oo

oo

E g a l i t ă ţ i l e l i m ţx(2JL ) = s u p n

n -* oo

(x(2rj

şi l i m y.(G )

n

=

N

n -> oo

inf (x((? ) r e z u l t ă n

n

d i n f a p t u l c ă ş i r u l (ţx (2T )) e s t e c r e s c ă t o r , i a r ş i r u l (ţx((7 )) e s t e d e s c r e s c ă t o r . Avem apoi n

[i* IA — U K

n

n

< ; [x ( A — 2T ) < — p e n t r u o r i c e n , n

respectiv 0 0

T \ (x* p | G — A < \n=l ;

1 [x ((? — A ) < ! — , p e n t r u o r i c e n

h

n

n

deci (x* f A — t j ^ n j = O

respectiv

ţx* ^]

G

N

— A^ == O

OO

00

d e u n d e r e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a A — [J K , n

r e s p e c t i v m u l ţ i m e a (~)G

N

n = 1

n= 1

este (x-neglijabilă. C o r o l a r u l 3 . Pentru orice mulţime ^integrabilă Aci ( x ( A ) = s u p (A(J5L), K compactă. K CA

Dacă

A

este

^integrabilă

şi

\i(A)

= inf (x* (G)j G n A

deschisă,

— inf (x((?), G dechisâj

\L-integr

avem \i(A)

G 1> A

abilă.

T

avem

— A,

CAP.

146

II

9. F u n c ţ i i etajate integrabile P r o p o z i ţ i a 2 2 . Fie p O măsură pozitivă. Dacă A este o mulţime p-integrabilă relativ compactă, atunci funcţia

0 ; e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K CZ A şi o m u l ţ i m e d e s ­ c h i s ă (JL - i n t e g r a b i l ă G Z> A a s t f e l î n c î t p(G) — p (K) < z . D e o a r e c e A este relativ c o m p a c t ă , p u t e m alege m u l ţ i m e a G relativ c o m p a c t ă , înlocuind-o, la nevoie, cu intersecţia sa cu o v e c i n ă t a t e deschisă relativ com­ p a c t ă a l u i Ă. E x i s t ă o f u n c ţ i e cp : T - > [ 0 , 1 ] , c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , e g a l ă c u 1 p e K şi n u l ă p e CG. A t u n c i | 9^ (t) — 9 (t) | < 1 p e n t r u o r i c e t e T şi 9(j) = (p (t) p e n t r u t e K şi p e n t r u t e ZG. D e d u c e m c ă |

d e c i A

p

A

A

1

X

p

<

(?A -

[ \ 9G~K

?) =

i 9A W -

W d(xj" -

P

9 W \ d(xj

[p (G -

K)f

P

<

< s.

A ş a d a r 9, se p o a t e a p r o x i m a î n m e d i e d e o r d i n p c u f u n c ţ i i d i n E e z u l t ă c ă 9^ e ((JL). C o r o l a r . Oricare ar fi măsura p şi oricare ar fi p cu 1 < p < 00, spaţiul j2 (p) conţine spaţiul S ( B) al funcţiilor boreliene etajate de n forma 9A X CU A ^ 3 şi X ELE. JC{T).

r

E

£

i=

E

R

Î

1

{

l

î n t r - a d e v ă r , orice m u l ţ i m e borelianâ relativ c o m p a c t ă A este (jL-integrabilă, o r i c a r e a r fi m ă s u r a p o z i t i v ă p. U r m e a z ă c ă p e n t r u A e <2 a v e m 9^. <EJ> (P) şi d e c i p e n t r u x eE a v e m 9^. xeJ> ((JL), d e u n d e i

P

i

£9^.

E

x^^ (p). E

i= 1

L c m a 1. Fie O un clan*) de părţi ale punct £ e T , O conţine un sistem fundamental pentru orice funcţie continuă i :T E cu orice vecinătate U a lui K, există un şir ^
lui T, astfel încît pentru fiecare de vecinătăţi ale lui t. Atunci, suportul compact K, şi pentru de funcţii ^-etajate de forma conţinute în U, uniform conver-

X

gent către i. F i e z > 0. D e o a r e c e f e s t e c o n t i n u ă , p e n t r u o r i c e p u n c t e x i s t ă o v e c i n ă t a t e F e O a l u i t a s t f e l î n c î t V c U şi 0

0

| f (t) — f (t ) | < — p e n t r u o r i c e t e 0

D a c ă t, t' <E V , 0

a t u n c i \i(t)

-

t eK 0

0

î(t')\

<

V. 0

z.

*) Un clan este o clasa nevidă de părţi ale lui T, care conţine diferenţele şi reuniunile finite.

FUNCŢII

INTEGRABILE

147

Deoarece K este c o m p a c t , p u t e m găsi o familie finită V ..., V d e m u l ţ i m i d i n O , c o n ţ i n u t e î n U, a l c ă r o r i n t e r i o r a c o p e r ă p e IT, a s t f e l încît p e n t r u fiecare i să a v e m 19

|f(«) Să n o t ă m A

x

= Y

x

f(*')l <

,

e, d a c ă *, * e 7

r

ş i p e n t r u 1 < k <; n s ă d e f i n i m A

=

k

Mulţimile A două

n

V

k

- \ j A . t

a p a r ţ i n lui O, sînt conţinute în J7, sînt disjuncte două cît

k

*=1

i= l

şi J . C Yi p e n t r u f i e c a r e i , d e c i 4

|f(«) -

f(Ol <

2

d

a

c

ă

h

P e n t r u fiecare i să alegem u n p u n c t S ă d e f i n i m f u n c ţ i a - e t a j a t ă

t'eAt. JL. şi s ă n o t ă m a? = f ( ^ ) . 4

n f

* = Ii

•

i= i

F u n c ţ i a f a r e s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n U şi p e n t r u o r i c e J e T a v e m |f (t) — t (t)\< e. î n t r - a d e v ă r , d a c ă J n u a p a r ţ i n e n i c i u n e i a d i n m u l ţ i m i l e J a v e m f (t) = 0 şi î (t) = 0 ; d a c ă t a p a r ţ i n e u n e i m u l ţ i m i A , a t u n c i e

t

i

?

s

k

».(*)= t W ' )

= =

şi d e c i

- f . ( * ) | = \i(t)-î(t )\ k

Luînd

< £.

e = 1, — , — , . . . o b ţ i n e m u n ş i r (f ) d e f u n c ţ i i e t a 2 n j a t e c u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e î n Î 7 , u n i f o r m c o n v e r g e n t c ă t r e f. Observaţie. Se p o a t e alege O u n clan care conţine t o a t e mulţimile c o m p a c t e . î n a c e s t c a z f u n c ţ i a f p o a t e fi a p r o x i m a t ă u n i f o r m c u f u n c ţ i i 3> - e t a j a t e c u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e t o t î n K. î n t r - a d e v ă r , î n d e m o n s t r a ţ i a d e m a i sus p u t e m alege A = V C\ ^ şi p e n t r u 1 < Jc < ; w, n

x

A

t

=

1

(V r\K)-[jAi' k

M u l ţ i m i l e A p o t fi a l e s e d i f e r e n ţ e d e m u l ţ i m i c o m p a c t e . î n p a r t i c u l a r , O p o a t e fi s e m i t r i b u l
E

P

SPAŢIILE J ? . FUNCŢII

148

INTEGRABILE

CAP. II

S ă r e m a r c ă m m a i î n t î i c ă m u l ţ i m i l e d i n & s î n t b o r e l i e n e şi r e l a t i v c o m p a c t e , d e c i f u n c ţ i i l e d i n £ ( @ ) a p a r ţ i n s p a ţ i u l u i Jl ( t x ) . F i e ÎGJCE(T). E x i s t ă u n şir ( g j d e funcţii & - e t a j a t e , cu s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e î n s u p o r t u l K a l l u i f, u n i f o r m c o n v e r g e n t c ă t r e f. E e z u l t ă c ă ş i r u l g c o n v e r g e î n m e d i e d e o r d i n p c ă t r e f. A ş a d a r s p a ţ i u l 6 (@) e s t e d e n s î n JC (T) p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r ­ g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n p ; c u m JC (T) e s t e d e n s î n J>Z p e n t r u a c e a s t ă t o p o ­ l o g i e , d e d u c e m c ă 6 (&) este dens în Jl . C o r o l a r u l 1. Spaţiul £ ((B) al funcţiilor boreliene etajate este dens în JHE ((X) oricare ar fi măsura pozitivă [L şi oricare ar fi p cu 1 < [ p < o o . C o r o l a r u l 2* Fie m şi n două măsuri majorate. Dacă avem m(K) = = n(K) pentru orice mulţime compactă K ( Z T , atunci m = n . Se verifică uşor că m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r i c î integrabile în raport c u m şi n, p e n t r u c a r e a v e m m(A) = n(A), este u n clan care conţine m u l ţ i m i l e c o m p a c t e , d e c i şi c l a n u l & g e n e r a t d e e l e . U r m e a z ă a t u n c i c ă p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 6 - e t a j a t ă g = 2 9A oo avem £

E

n

E

E

E

E

E

E

L

\gdm =

1 1 1 ( ^ ) 0 , = £ n (A ) x =

Y \< x dm= i

?Ai

i

€

S p a ţ i u l 6 (&) e s t e d e n s î n s p a ţ i u l J> ( | m | + |n|), - ^ ( f , |m| + |n|). A v e m a p o i E

E

i

pentru

t

Wdn. seminorma

J ^ g d m | < ^ | g | | d m | < j j | g | d ( | m | + |n|) = JST^I, |m| + n | ) şi l a fel

iJgdn^^g,

|m| + |n|),

d e c i a p l i c a ţ i i l e ^ g d m şi ^ g d n s î n t c o n t i n u e p e n t r u t o p o l o g i a Jl (|m| + rezultă că l

E

spaţiului

| ix | ) . C u m a c e s t e a p l i c a ţ i i c o i n c i d p e s u b s p a ţ i u l d e n s 6

E

(6),

^ fdm = (j fdn p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f e ^ i ( | m | + |n|), î n p a r t i c u l a r p e n t r u f u n c ţ i i l e i e=JC (T), d e c i m = n . L e m a 2 . Fie 6 un clan. Pentru orice familie finită (AJi^i de părţi din & există o familie finită (JB,-)*eJ de părţi disjuncte din & astfel încît fiecare mulţime A să fie reuniunea unui anumit număr de mulţimi Bj. L u ă m f a m i l i a (B^j ca fiind familia t u t u r o r m u l ţ i m i l o r de forma O u n d e C = A cel p u ţ i n p e n t r u u n i i a r d a c ă G =j=^ A atunci E

i

i

i

i

G = CA . F i e c a r e m u l ţ i m e A pentru care C = A. i

{

k

k

k

i7

este reuniunea acelor dintre mulţimile

A

k

FUNCŢII

INTEGRABILE

L e m a 3. Fie @ un clan. Orice funcţie

I = 2 9^. x se

6 -etajată

f = 2 9B Vn unde Bj sînt

scrie sub forma

149

mulţimi

i

disjuncte

poate

din &.

7

i

F i e (JB,-) o f a m i l i e f i n i t ă d e p ă r ţ i d i s j u n c t e d i n & a s t f e l î n c î t f i e c a r e s ă fie r e u n i u n e a u n u i a n u m i t n u m ă r d e m u l ţ i m i Bj. P e n t r u f i e c a r e m u l ţ i m e B , fie I m u l ţ i m e a a c e l o r i n d i c i i p e n t r u c a r e B aA şi fie y = 2 A t u n c i f = 2

i

k

k

i

k

k

B

jm

«ei*

FEUIJ.

A t u n c i t^A

E x i s t ă o s i n g u r ă m u l ţ i m e B ^t.

{

k

pentru

fiecare

i

i e i * şi J s J L f p e n t r u i&I

deci

kJ

«(*) = Ş

^ = £ ?^(«) ^ = S

9^(1)

L e m a 4 . JPia 6

clan

Yi 9*

X

% = 0 , wwda ^

T

şi m : 6 - >

e g s i a? e 2?,

= Vk = Ş

*** W

(2?, .F) o funcţie

aditivă.

Dacă

atunci

t

J m ( A ) ^ = 0. D a c ă J. = 0 , a v e m m ( J ) = 0 ,deci, fără a micşora generalitatea, p u t e m p r e s u p u n e c ă m u l ţ i m i l e A s î n t n e v i d e . C o n f o r m l e m e i 3, e x i s t ă o f a m i l i e (Bj)^j d e m u l ţ i m i d i s j u n c t e d i n & a s t f e l c a f i e c a r e A s ă fie r e u n i u n e a u n u i a n u m i t n u m ă r d e m u l ţ i m i 2?,. P u t e m i a r ă ş i p r e s u p u n e c ă m u l ţ i m i l e Bj s î n t n e v i d e , î n l ă t u r î n d u - l e p e cele v i d e . 4

i

i

i

P e n t r u fiecare i să n o t ă m cu J Bj c A . Aşadar

i

m u l ţ i m e a acelor indici j p e n t r u care

{

B

= U

^

deci

?<*« = S 9B,. = S a 9,., 4i

u n d e OL J = 1 p e n t r u j e J {

o=S

şi a . = 0 p e n t r u j^J >

4

4j

=

S

i

Aşadar,

{

^ = S (S *«««*) i

i

i

i

d e u n d e d e d u c e m c ă 2 % »j = 0 p e n t r u f i e c a r e j . A t u n c i x

a

4

X m(A)

a? =

£

4

i

Corolar. Dacă

(S i

2

a

i i m

(B,))

* a,,) m ( B , ) = 0. 4

*

>

9 ^ a? = 2 4

i

y,-, unde A , i

S m ( i J x , = Jm(2?,)jf,. i

i

2?, E 6 i a r # , 4

E 25,

V

SPAŢIILE Jl .

150

FUNCŢII

Propoziţia 2 4 . Fie m : JC (T)->F orice mulţime A^(B avem

o măsură

E

Pentru

^(A)

CAP. II

INTEGRABILE

= sup £

majorată

şi fie [i = | m |.

|m(^)|,

i

unde marginea superioară se ia pentru toate familiile finite (AJ de boreliene relativ compacte şi disjuncte două cîte două, conţinute în A. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e m - i n t e g r a b i l ă B CZ T a v e m

mulţimi

|m(B)|0(B). D a c ă (A ) e s t e o f a m i l i e f i n i t ă d e p ă r ţ i d i s j u n c t e d i n (3 a s t f e l {

c a u z e i , i

atunci £

|m(l )|<

£

4

de unde rezultă

^ ( l ^ ^ i K ^ i ) i

i

i

inegalitatea v(4) = sup £

I m t ^ K ^ l ) .

i

F u n c ţ i a d e m u l ţ i m e v ( A ) d e f i n i t ă p e n t r u J . e (B e s t e variaţia funcţiei d e m u l ţ i m e m(A). S e ş t i e * ) c ă v e s t e n u m ă r a b i l a d i t i v ă p e (B. P e n t r u o r i c e n

funcţie scalară etajată

9 = £ i

v( ) 9

9^ a

4

d i n <5 (<2J) s ă p u n e m

-l

=

£

v(A)

o,.

i= l

v(9) n u d e p i n d e d e f o r m a p a t i c u l a r ă î n c a r e 9 se s c r i e c a f u n c ţ i e e t a j a t ă ( c o r o l a r u l l e m e i 4). D a c ă m u l ţ i m i l e A s î n t d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , avem {

|v(?)l<S

v f i J I ^ K J

i(A )\c \

[

i

i

=

i (\ \)=N (?^h

[ i

9

1

A p l i c a ţ i a 9 ~ > v ( 9 ) p o a t e fi p r e l u n g i t ă l a o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă , n o t a t ă t o t c u v, a l u i Jd î n JB. P e n t r u 9 c i ? avem de asemenea 1

1

r

| v ( 9 ) K - » i ( ? i , p) =

n(l?l).

î n particular, această inegalitate are loc p e n t r u funcţiile d o v e d e ş t e c ă v e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă şi v < ; \L. î n acelaşi t i m p , inegalitatea |m(A)| <

v(A),

pentru A

9ej£(T),

şi

e $

*) V. de ex. N. Dinculeanu, Teoria măsurii şi funcţii reale. Ed. didactică şi pedagogică Bucureşti, 1964.

FUNCŢII INTEGRABILE

se e x t i n d e l a

151

inegalitatea jjj f d m

|<J|f|dv

p e n t r u f u n c ţ i i l e e t a j a t e f = 2
((B), c u m u l ţ i m i l e A

E

{

disjuncte

i

două cîte două. C u m a m b i i m e m b r i a i i n e g a l i t ă ţ i i s î n t f u n c ţ i i c o n t i n u e d e f, p e n t r u s e m i n o r m a N^i, (x), r e z u l t ă c ă i n e g a l i t a t e a s e m e n ţ i n e şi p e n t r u f u n c ţ i i l e tej2s([L) î n p a r t i c u l a r p e n t r u f u n c ţ i i l e i^JC (T). A c e a s t a î n s e a m n ă c ă m e s t e m a j o r a t ă d e v. C u m \L = | m |, \L e s t e c e a m a i m i c ă m ă s u r ă p o z i t i v ă c a r e m a j o r e a z ă p e m . E e z u l t ă c ă \L v, şi d e c i \L = v, a d i c ă 9

E

p(A)

= sup £

|m(J )| 4

10. I n t e g r a r e a f u n c ţ i i l o r v e c t o r i a l e î n r a p o r t c u m ă s u r i

vectoriale

T e o r e m a 6 . Fie X, E şi F trei spaţii Banach şi (x, y) -+ x.y o aplicaţie biliniarâ continuă a lui X x E în F. Bacă [L : JC (T) - > X este o măsură majorată, atunci există o măsură majorată m : JC {T) ->F şi numai una care verifică egalitatea E

m(yy)

=

JJL(q>)pentru

cpelfî)

Corespondenţa p. - > m este liniară. Dacă \ x.y \ <; \ x\ \y \ pentru orice

xeX

şi

y^E.

şi y^E,

atunci

|m|<||i|.

Dacă

| x| = s u p | xy \ pentru

orice x&X,

în particular

dacă

X(Z£{E,F),

|v|<:i

atunci | m | = ||*|. n

P e n t r u orice funcţie

e t a j a t ă 9=5] m(9)=

t


{

d i n £ ((B) E

să p u n e m

P W J f

Din corolarul lemei 4 rezultă că m ( g ) n u depinde de forma particulară î n c a r e g se s c r i e c a f u n c ţ i e e t a j a t ă . S e v e r i f i c ă u ş o r c ă a p l i c a ţ i a g - > m ( g ) a l u i £ ((B) î n F e s t e l i n i a r ă . E

n

Orice funcţie etajată g e £

B

astfel încît m u l ţ i m i l e A

i

(<3) s e p o a t e s c r i e s u b f o r m a g =

s ă fie d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă .

Atunci

cp^. y

i

P

SPAŢIILE £ . FUNCŢII INTEGRABILE

152

CAP.

A

Jl

e s t e o f u n c ţ i e e t a j a t ă d i n S((B) şi d a c ă a > 0 e s t e u n n u m ă r a s t f e l î n c î t | xy | < a | x | | y | p e n t r u o r i c e x e X şi y e 2?, a t u n c i Im(9)1 =

V-( i)*i < a

£

A

t

|ti(^ )| | * | < 4

J i-l

i=l

4

J

E e z u l t ă c ă a p l i c a ţ i a g - » m ( g ) a l u i & ((B) î n F e s t e c o n t i n u ă p e n t r u t o p o l o g i a d e f i n i t ă d e s e m i n o r m a JV\ (g, | p. | ) . C u m <5jj (<3) e s t e d e n s î n s p a ţ i u l p e n t r u a c e a s t ă t o p o l o g i e , a p l i c a ţ i a m : £ ( F s e p o a t e p r e lungi în m o d unic la o aplicaţie liniară continuă, n o t a t ă tot m, a spaţiului (| (i |) î n JP, c a r e v e r i f i c ă î n c o n t i n u a r e i n e g a l i t a t e a : E

E

I m M K a ^ f ,

pentru

î n p a r t i c u l a r , p e n t r u f u n c ţ i i l e Î<EJC (T)

fe^i(||i|).

avem

E

|m(f)|
=

J|l|d(a||i|),

d e c i r e s t r i c ţ i a l u i m l a JC (T) este o aplicaţie liniară, majorată de m ă s u r a p o z i t i v ă a | ( i | , d e c i m e s t e o măsură majorată, şi | m | < a | f J L | E

n

F i e a c u m cp =

y

a o f u n c ţ i e b o r e l i a n ă e t a j a t ă s c a l a r ă şi

A

4

yeE.

i=l

Funcţia i

este o funcţie boreliană etajată din £

E

((B) şi a v e m

i

=

i

djtj y = (ţj ? d f i j y = 11(9) jf.

1

D a c ă 9 G ^ ( | ( i | ) , e x i s t ă u n ş i r ( 9 J d e f u n c ţ i i d i n £((B) c o n v e r g e n t c ă t r e 9 p e n t r u s e m i n o r m a ^ ( 9 , ||&|). A t u n c i ş i r u l (y y) converge către yy p e n t r u s e m i n o r m a ^ ( 9 , ||&|). D e o a r e c e m şi \L s î n t c o n t i n u e p e n t r u t o p o logiile d e f i n i t e d e a c e a s t ă s e m i n o r m a r e s p e c t i v p e ^ ( | ( i | ) ş i ^ ( ( i ) , a v e m l i m m ( 9 y ) = m ( 9 y ) şi l i m = (i(?)yn

:

1

<

n

n->oo

n->oo

Deoarece p e n t r u funcţiile

prin trecere la limită

9» a v e m

m(9»Sf) = obţinem

egalitatea M?«)îf>

î n particular, a c e a s t ă egalitate a r e loc p e n t r u orice şi o r i c e yeE.

funcţie

9 G 2 ( T )

§8

FUNCŢII INTEGRABILE

D a c ă m ' : JC (T) -> F asemenea egalitatea

este o măsură

B

m'(
153

majorată

[a(
care verifică

de

yeE,

a t u n c i m ' = m c o n f o r m c o r o l a r u l u i p r o p o z i ţ i e i 9, § 1 . L i n i a r i t a t e a c o r e s p o n d e n ţ e i | i - > m se verifică fără dificultate. D a c ă \x.y\ <[ \x\ \y\ p e n t r u o r i c e xeX şiyeE, atunci luînd a = 1 în d e m o n s t r a ţ i a d e m a i sus, d e d u c e m că | m | < | ţi|. î n sfîrşit, d a c ă p e n t r u f i e c a r e xe X, a v e m | x\ = s u p \xy\, a t u n c i X s e p o a t e s c u f u n d a i z o m e t r i c î n X (E, F). I n acest caz, m : X {T) ->F î i c o r e s p u n d e o m ă s u r ă m a j o r a t ă |i' : X(T)-+£ şi u n a s i n g u r ă , c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a B

=ii/(
şi

măsurii (E, F)

yeE

şi < | m | . U r m e a z ă c ă {i( m e s t e b i u n i v o c ă şi | (i | < ; | m |, d e c i | m | = |ţi |. Observaţie. D a t o r i t ă teoremei 5, p u t e m considera măsurile m a j o r a t e d e f i n i t e n u m a i p e JC(T) şi a p o i „ p r e l u n g i t e " l a JC (T). T e o r e m a 7. Să presupunem că E şi F sînt două spaţii Banach cu involuţie şi fie m : JC(T) - > J2(E, F) o măsură majorată. Avem £ (m) = A ( m ) şi B

E

^ f d m = ^ f d m , pentru

f e Jl

(m).

B

î n t r - a d e v ă r , | m | = 1 m | şi d e c i J> ( m ) = J> ( m ) . F i e a c u m f e £ ( m ) şi fie (t ) u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n JC {T) c o n v e r g e n t î n m e d i e c ă t r e f. A v e m atunci E

n

E

E

B

l i m V f d m = V f d m şi l i m \ f d m = f f d m . n

n+ao

w

J

D a r p e n t r u funcţiile f 8, § 1 ) :

J n

n->oo J

d i n JC

(T)

B

avem

J

(observaţia

de la

propoziţia

(j f d m = ^ f d m n

de unde, prin trecere la limită,

n

deducem

fdm = C fdm.

pe

C o r o l a r . Fie E un spaţiu T. Pentru orice funcţie îeJl

E

Banach cu involuţie (ţ*) avem fdfi.

şi p o măsură

reală

C apitolul

FUNCŢII M Ă S U R A B I L E . SPAŢIUL

§9.

F U N C Ţ I I ŞI M U L Ţ I M I

III

Jt

MASURABILE

1. D e f i n i ţ i a funcţiilor

măsurabile

F i e [L o m ă s u r ă pozitivă p e T şi fie X u n s p a ţ i u t o p o l o g i c o a r e c a r e . D e f i n i ţ i a 1. Spunem că o funcţie f : T -> X este măsurabilă pentru măsura \i, sau jx -măsurabilă, dacă pentru orice mulţime compactă Kd T şi orice e > 0 , există o mulţime compactă K (Z.K astfel încît restricţia lui f la K să fie continuă şi \i (K — K ) < e. D i n această definiţie r e z u l t ă î n p r i m u l r î n d că orice funcţie c o n t i n u ă / : T -> X e s t e jx - m ă s u r a b i l ă o r i c a r e a r fi m ă s u r a p o z i t i v ă (x. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( t e o r e n a 1 , § 1 1 ) c ă o r i c e f u n c ţ i e p - s u m a b i l ă ( p e n t r u m ă s u r a jx) e s t e [JL-mă s u r a b i l ă . D a c ă m e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă , s p u n e m c ă o f u n c ţ i e / : T -> X este m-măsurabilă dacă / este | m | -măsurabilă. P r o p o z i ţ i a 1 . Bacă funcţia f: T -> X exte (x -măsurabilă, atunci pentru orice mulţime (x -integrabilă A ( Z T şi orice e > 0 , există o mulţime compactă î j C l astfel încît restricţia lui f la K să fie continuă si X

x

x

x

F i e A o m u l ţ i m e (i - i n t e g r a b i l ă ş i e > 0 . D e o a r e c e A e s t e y. - i n t e a s t f e l î n c î t (x(A — K) <

g r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczA

D e o a r e c e / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă o m ă s u r ă c o m p a c t ă J K ^ C - K încît restricţia lui / la K

x

s ă fie c o n t i n u ă şi fx(2T — K ) <— !2 x

A — K = (A — K) \J (K — K ) x

x

şi

—

astfel

Atunci:

(A - K) f] (K - KJ =

0

deci (x(A -

K) x

= [L(A - K )

+

IL(K

-

K )< X

z

şi

propoziţia este demonstrată. P r o p o z i ţ i a 2 . Fie funcţia f : T -> X. Bacă pentru orice mulţime compactă K ( Z T şi orice e > 0 există o mulţime y. -integrabilă A (Z K astfel încît restricţia lui f la A să fie continuă şi [L(K — A ) < s , atunci f este jx -măsurabilă. X

x

x

155

F i e K c i T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 ; fie A cz ^ o m u l ţ i m e |x - i n t e g r a b i l ă a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a A s ă fie c o n t i n u ă şi X

X

[L(K — A ) < — • D e o a r e c e A X

X

e s t e (x - i n t e g r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m -

2

pactă K

CZ J - ! a s t f e l î n c î t (x ( J J — K ) < — • A t u n c i K cz K, r e s t r i c ţ i a l u i /

x

x

x

2

la 2 ^ este continuă

şi

(x (K - K ) = (x (K - A ) + (x ( A - K )< x

x

x

e

x

d e c i / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă . Propoziţia 3 . O funcţie f: T X este (x -măsurabilă dacă şi numai dacă, pentru orice mulţime (x -integrabilă AţzT şi orice e > 0 , există o mulţime \L -integrabilă A cA astfel încît restricţia lui f la A să fie continuă şi [L(A— A ) < s. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă . F i e Ac T o m u l ţ i m e (x - i n t e g r a b i l ă şi e > 0 . C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 1 e x i s t ă a t u n c i o m u l ţ i m e c o m ­ p a c t ă Z j C i a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a K s ă fie c o n t i n u ă şi (x(A —K ) < s. L u î n d A =K , condiţia din enunţ este verificată. E e c i p r o c , să p r e s u p u n e m condiţia d i n e n u n ţ verificată p e n t r u orice m u l ţ i m e (x - i n t e g r a b i l ă A(zT. î n p a r t i c u l a r , a c e a s t ă c o n d i ţ i e e s t e v e r i f i c a t ă p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K. C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 2 , f u n c ţ i a / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Propoziţia 4 . O funcţie f: T X este (x -măsurabilă dacă şi numai dacă pentru orice mulţime compactă KczT există o mulţime (x -neglijabilă NczK şi un şir (K ) de mulţimi compacte, disjuncte două cîte două, a căror reuniune este K—N, astfel încît restricţia lui f la fiecare mulţime K să fie continuă. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă . F i e Kcz T o m u l ­ ţ i m e c o m p a c t ă . P u t e m c o n s t r u i , p r i n r e c u r e n ţ ă , u n ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , d i s j u n c t e d o u ă cîte d o u ă , astfel încît restricţia lui / la fiecare m u l ţ i m e K s ă fie c o n t i n u ă şi x

x

X

x

X

x

X

n

n

n

n

p e n t r u f i e c a r e n. î n t r - a d e v ă r , d e o a r e c e / e s t e [x - m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K czK a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a K s ă fie c o n t i n u ă şi \L(K—K ) < 1. P r e s u p u n î n d c ă a m g ă s i t m u l ţ i m i l e c o m p a c t e K , K ,...,K _ conţinute x

x

X

x

2

n

x

n-l

î n K, m u l ţ i m e a K—

ţ^j JC e s t e 4

[x - i n t e g r a b i l ă , d e c i e x i s t ă

o

mulţime

t=

l n-l

c o m p a c t ă K cK— n

[J

2L a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a I u l / l a K 4

n

este continuă

156

FUNCŢII MĂSURABILE.

Mulţimea K

n

e s t e d i s j u n c t ă d e K ,..., x

U ^ i ] - JBT. == Z -

\K -

SPAŢIUL

K^ n

j j JC

lf

1

CAP. III

şi

deci

-

U

00

D a c ă n o t ă m N = K — (j

K, {

avem

pi* ( J V ) = ţx* ^K: — ţ*) jK^J < fx* ^JT — j j i

< i ,

pentru

fiecare

d e c i fx (Jf) = O, a d i c ă e s t e [x - n e g l i j a b i l ă şi p r i m a p a r t e a p r o p o z i ţ i e i este demonstrată. Reciproc, să presupunem condiţia din e n u n ţ verificată. F i e KciT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă ; fie NczK o mulţime neglijabilă şi (E ) u n ş i r d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă a s t f e l î n c î t n

00

restricţia l u i / l a fiecare m u l ţ i m e K

n

s ă fie c o n t i n u ă şi U

K

= K — N.

n

n= l

Avem

e > O ; e x i s t ă u n n u m ă r î n t r e g n a s t f e l î n c î t 5j V-

Fie

<

£

- Mulţimea

i>u

K=K (J K (J ... U K e s t e c o m p a c t ă , r e s t r i c ţ i a l u i / l a H e s t e c o n t i n u ă (deoarece mulţimile K K ) s î n t d i s j u n c t e şi c o m p a c t e i a r r e s t r i c ţ i i l e lui / la J ? ! , . . . , K sînt continue). A v e m apoi r

2

n

±

J

A

n

V

t=l

y

V

i>n

/

i>»

< e.

B e z u l t ă c ă / e s t e [x - m ă s u r a b i l ă ş i p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . E a ţ i o n î n d ca m a i sus se d e m o n s t r e a z ă u r m ă t o a r e l e trei propoziţii. Propoziţia 5 . Bacă funcţia f : T -> X este [x -măsurabilă, atunci pentru orice mulţime [x -integrabilă AczT există o mulţime [x -neglijabilă NczA şi un şir (K ) de mulţimi compacte, disjuncte două cîte două a căror reuniune este N—A şi astfel încît restricţia lui f la fiecare mulţime K să fie continuă. P e n t r u d e m o n s t r a ţ i e se foloseşte p r o p o z i ţ i a 1. Propoziţia 6. Dacă funcţia f : T -> X are proprietatea că pentru orice mulţime compactă Kcz T există o mulţime [x -neglijabilă NczK şi un şir (A ) de mulţimi ţx -integrabile, disjuncte două cîte două, a căror reuniune este N—A şi astfel încît restricţia lui f la fiecare A să fie continuă, atunci f este [x -măsurabilă. S e f o l o s e ş t e p r o p o z i ţ i a 2. Propoziţia 7. O funcţie f : T -> X este [x -măsurabilă dacă şi numai dacă, pentru orice mulţime [x -integrabilă Aa T ,există o mulţime [x -negli­ jabilă NczA şi un şir (A ) de mulţimi ţx -integrabile, disjuncte două cîte n

n

n

n

n

FUNCŢII

ŞI MULŢIMI

MĂSURABILE

157

două, a căror reuniune este A—N, astfel încît restricţia lui f la fiecare mulţime A să fie continuă. Se foloseşte propoziţia 3 . P r o p o z i ţ i a 8 . Fie (x şi v două măsuri pozitive pe T. 0 funcţie f: T X este (JL + v -măsurabilă dacă şi numai dacă este \L -măsurabilă şi v -măsurabilă. P r o p o z i ţ i a r e z u l t ă d i n f a p t u l c ă o m u l ţ i m e N e s t e (x + v -neglija­ b i l ă d a c ă n u n u m a i d a c ă e s t e (x - n e g l i j a b i l ă şi v - n e g l i j a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 9 . Fie [x şi v două măsuri pozitive. Dacă fx < ; v, atunci orice funcţie f : T -> X, jx -măsurabilă este v -măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , o r i c e m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă e s t e v - n e g l i j a b i l ă . n

2. F u n c ţ i i c o m p u s e m ă s u r a b i l e P r o p o z i ţ i a 1 0 . Fie (XJ^i o familie finită sau numărabilă de spaţii topologice. Dacă pentru fiecare a e I , / : T -> X este o funcţie p-măsurabilă, atunci funcţia f(t) = ( / ( ^ ) ) a e i definită pe T cu valori în produsul X — U X este [x -măsurabilă. a

a

a

a

F i e K C T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . P e n t r u f i e c a r e a e I fie n u n n u m ă r > 0 astfel încît a

Hn

«ei

a

< 1.

P e n t r u f i e c a r e <x e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K (zK astfel încît restricţia f u n c ţ i e i / l a K s ă fie c o n t i n u ă şi [i(K—K ) < E \ .Mulţimea K = f i K aer e s t e c o m p a c t ă , c o n ţ i n u t ă î n K, r e s t r i c ţ i i l e t u t u r o r f u n c ţ i i l o r f l a K s î n t c o n t i n u e , d e c i r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i / l a K e s t e c o n t i n u ă , şi a

a

a

a

0

a

a

0

0

fxftf-tfoX^rU

(K-K ))^

£

a

p(K-K )X a

E

E e z u l t ă c ă f u n c ţ i a / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . P r o p o z i ţ i a 1 1 , Fie X şi Y două spaţii topologice. Dacă f : T - > X este o funcţie [x -măsurabilă şi dacă u : X Y este o funcţie continuă, atunci funcţia compusă u o f : T ->Y este [x -măsurabilă. F i e Kd T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K czK a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a K e s t e c o n t i n u ă şi p{K—K ) < z. A t u n c i r e s t r i c ţ i a l u i uof l a K e s t e c o n t i n u ă . U r m e a z ă c ă uof este tx - m ă s u r a b i l ă . C o r o l a r . Fie ( X ) * / o familie finită sau numărabilă de spaţii topolo­ gice, X= H X ş i Y un spaţiu topologic. Dacă pentru fiecare a e I , / : T - > X x

x

x

x

a

G

a

^ste o funcţie atunci funcţia

a

a

[x -măsurabilă şi dacă u : X Y este o funcţie continuă, t - > w [ ( / ( $ ) ) a e / ] definită pe T cu valori în Y este ţx - m a a

î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a t ~>f(t) = ( / ( J ) ) « e / d e f i n i t ă p e T c u î n X e s t e [x - m ă s u r a b i l ă , d e c i f u n c ţ i a uof e s t e fx - m ă s u r a b i l ă . a

valori

158

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

3. F u n c ţ i i v e c t o r i a l e

CAP. III

măsurabile

P r o p o z i ţ i a 1 2 . Fie F, G, E trei spaţii vectoriale topologice. Daca (u, v) -> [u-v] este o aplicaţie continuă a lui F x G în E şi dacă funcţiile i : T -> F şi g : T -> G sînt (x -măsurabile, atunci funcţia [f - g ] : T -> E este [x -măsurabilă. E e z u l t ă i m e d i a t d i n p r o p o z i ţ i a 11 c a u n c a z p a r t i c u l a r . C o r o l a r u l 1. Fie E un spaţiu vectorial topologic. Dacă f, g : T -> E sînt funcţii (x -măsurabile iar 9 este o funcţie scalară fx -măsurabilă, atunci funcţiile f + g şi 9 ! sînt (x -măsurabile. Dacă E este o algebră normată, atunci funcţia fg este \L -măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , a p l i c a ţ i i l e (u, v) -> u + v şi ( a , u) - > OLU a l e l u i E x E î n E r e s p e c t i v R x E ( s a u C x E) î n E s î n t c o n t i n u e . D a c ă E e s t e o a l g e b r ă n o r m a t ă , a p l i c a ţ i a (u, v) -> u-v e s t e c o n t i n u ă . î n p a r t i c u l a r , l u î n d y(t) = a, r e z u l t ă c ă d a c ă f e s t e jx - m ă s u r a b i l ă , f u n c ţ i a af e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . M u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r fx - m ă s u r a b i l e f : T -> E e s t e u n s p a ţ i u v e c t o ­ r i a l şi u n m o d u l p e s p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r s c a l a r e f x - m ă s u r a b i l e . D a c ă E e s t e o a l g e b r ă n o r m a t ă , m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r jx - m ă s u r a b i l e f : T -> E e s t e o algebră. C o r o l a r u l 2 , Fie E un spaţiu vectorial topologic şi E' dualul său. Dacă funcţiile i : T -> E şi g : T -> E' sînt jx -măsurabile, atunci funcţia scalară t -> < i(t), if(t) > este [x -măsurabilă. î n p a r t i c u l a r , f u n c ţ i i l e t - > < f (J), > şi f - > < g(J) > s î n t f x - m ă s u r a b i l e o r i c a r e a r fi z'eE' şi z^E. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i i l e î(t) = z şi g(t) =z' s î n t c o n t i n u e , f i i n d c o n s t a n t e , d e c i \i - m ă s u r a b i l e . P r o p o z i ţ i a 1 3 . Fie E un spaţiu normat. Dacă î: T -> E este o funcţie \L -măsurabilă, atunci funcţia pozitivă | f | este jx -măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a u: E -> R d e f i n i t ă p r i n u(z) = \z\ pentru z&E, e s t e c o n t i n u ă . P r o p o z i ţ i a 1 4 . O funcţie complexă f: T -> C este jx -măsurabilă, dacă şi numai dacă partea reală E e / şi partea imaginară I m / sînt funcţii reale (xmăsurabile. D a c ă / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , a t u n c i f = E e / şi f = I m / s î n t [x - m ă s u ­ r a b i l e d e o a r e c e f u n c ţ i i l e z - > E e z şi 2? -> I m 5? s î n t c o n t i n u e . E e c i p r o c , d a c ă f şi / s î n t (x - m ă s u r a b i l e , a t u n c i f u n c ţ i a / = f + t / e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . x

x

2

2

4. F u n c ţ i i n u m e r i c e

x

2

măsurabile

P r o p o z i ţ i a 1 5 . Anvelopa superioară şi anvelopa inferioară a unei familii finite de funcţii numerice [x -măsurabile (finite sau nu), sînt funcţii jx -măsurabile. î n t r - a d e v ă r , a p l i c a ţ i i l e (u, v) - > s u p (u, v) şi (u, v) - > inf (u, v) ale lui R x K în R sînt continue.

FUNCŢII ŞI MULŢIMI MĂSURABILE

159

P r o p o z i ţ i a 1 6 . Dacă f este o funcţie numerică fx -măsurabilă (finită sau nu), atunci funcţia \f\ este \L -măsurabilă. într-adevăr, aplicaţia x \x\ a l u i R î n JR e s t e c o n t i n u ă . P r o p o z i ţ i a 1 7 . Fie f şi g două funcţii numerice fx -măsurabile (finite s a u n u ) . Dacă

funcţia

f + g ( r e s p e c t i v / — g, fg, — -> fg\ este definită în * 9 ) orice punct t<E T, atunci ea este (x -măsurabilă. D a c ă f + g e s t e d e f i n i t ă p e T, a t u n c i i m a g i n e a A a l u i T p r i n a p l i c a ţ i a t -> (f(t), g(t)) n u c o n ţ i n e p u n c t e l e ( + o o , — oo) şi ( + o o , — o o ) d e c i r e s t r i c ţ i a a p l i c a ţ i e i (u, v) - > u + v l a A e s t e c o n t i n u ă şi d e c i f + g e s t e [x - m ă s u r a b i l ă . L a fel se r a ţ i o n e a z ă şi p e n t r u celelalte funcţii. Corolar. O funcţie numerică f (finită sau nu) este jx -măsurabilă, dacă şi numai dacă f şi /" sînt [x -măsurabile. S ă o b s e r v ă m c ă f u n c ţ i i l e p o z i t i v e / şi / " n u i a u î n a c e l a ş i t i m p v a l o a r e a + o o , d e c i / — / " e s t e d e f i n i t ă î n o r i c e p u n c t d i n T. D a c ă / şi s î n t jx - m ă s u r a b i l e , a t u n c i f u n c ţ i a f — f — f~~ e s t e [x - m ă s u r a b i l ă . E e c i p r o c , d a c ă / e s t e jx - m ă s u r a b i l ă , a t u n c i f u n c ţ i i l e / = s u p ( / , 0) şi /"" = s u p (—/, 0) s î n t jx - m ă s u r a b i l e . +

+

+

+

+

+

5. Mulţimi

măsurabile

F i e (x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. D e f i n i ţ i a 2 . Spunem că o mulţime A c T este [x -măsurabilă dacă funcţia sa caracteristică y este [x -măsurabilă. P r o p o z i ţ i a 1 8 . O mulţime A c T este [x -măsurabilă, dacă şi numai dacă pentru orice mulţime compactă Kc T şi orice e > 0 , există o mulţime compactă Kx(zK astfel încît \L(K—K ) < z şi astfel încît mulţimile Kx f| A şi 2f! fi C A sînt compacte. S ă p r e s u p x m e m m a i î n t î i c ă A e s t e [x - m ă s u r a b i l ă , d e c i c ă 0 . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă KxcK a s t f e l î n c î t \i(K—K ) < z ş i r e s t r i c ţ i a l u i yA l a Kx s ă fie c o n t i n u ă . A t u n c i m u l ţ i m e a K[ = ^ i ^ ) f l ^ i = A fi K e s t e î n c h i s ă , d e c i c o m p a c t ă ş i d e a s e m e n e a m u l ţ i m e a K" = < p 2 ( 0 ) = C^n^iEeciproc, să p r e s u p u n e m condiţia d i n e n u n ţ verificată. A v e m < p ^ ( J ) = l p e n t r u t^K (~)A ş i
X

A

x

1

x

1

t

A

A

t

x

A

x

4

n

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

160

CAP. III

Jl*

P e n t r u d e m o n s t r a ţ i e s e f o l o s e ş t e p r o p o z i ţ i a 4 şi s e ţ i n e s e a m a d e faptul că restricţia funcţiei y la o m u l ţ i m e c o m p a c t ă H este continuă, d a c ă şi n u m a i d a c ă m u l ţ i m i l e Hf)A şi H fi C sînt compacte. Corolar. Orice mulţime (x -integrabilă AaT este (x -măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , fie KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . M u l ţ i m i l e Kf\A şi K fi C = K—A s î n t ( x - i n t e g r a b i l e . E x i s t ă d e c i d o u ă m u l ţ i m i (x-neglijabile, N'aKf)A şi N"aKr\ CA Şi d o u ă ş i r u r i (K ) şi (K ') d e m u l ţ i m i c o m ­ pacte, disjuncte d o u ă cîte două, astfel încît A

A

A

f

n

^'u(u^)

=^dA

şi N"u

n

(u*i')=*n(M.

A t u n c i m u l ţ i m e a N = N'\JN"aK e s t e jx - n e g l i j a b i l ă şi K—N e s t e r e u ­ n i u n e a ş i r u r i l o r (K ) şi (K' ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă astfel încît oricare m u l ţ i m e d i n a c e s t e şiruri este c o n ţ i n u t ă în Kf\A s a u K f| CA. U r m e a z ă c ă A e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . î n p a r t i c u l a r , orice mulţime (x -neglijabilă este (x -măsurabilă. Propoziţia 2 0 . O mulţime AaT este (x -măsurabilă dacă si numai dacă Af\K este jx -integrabilă, oricare ar fi mulţimea compactă KaT. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă A e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . E x i s t ă u n şir d e m u l ţ i m i c o m p a c t e (K ), disjuncte d o u ă c î t e d o u ă şi o m u l ţ i m e (x - n e g l i j a b i l ă N a K f] A a s t f e l î n c î t r

n

n

n

(K n A) — N=

UK . n

1 y.(K )

Avem

= sup £

n

(x(Z,) = sup jx f U K ) < (x(Z) < + o o , {

ao

deci şi i f f|

e s t e jx - i n t e g r a b i l ă . C u m N e s t e d e a s e m e n e a

K

n

=

U

U ^ n h '

71=1

r e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a Kf]A

(x-integrabilă

este de asemenea

/

[x - i n t e g r a b i l ă . R e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă A f| K e s t e jx - i n t e g r a b i l ă , o r i c a r e a r fi mulţimea compactă KaT. F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . M u l ţ i m e a Kf\A f i i n d jx - i n t e g r a b i l ă , m u l ţ i m e a Kf\CA = K—A e s t e d e a s e m e n e a jx - i n t e g r a b i l ă . A t u n c i f i e c a r e d i n m u l ţ i m i l e Kf]A şi Kf\C este reuniunea unei mulţimi (x-neglijabile şi a u n u i şir d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă . R e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a K e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i (x - n e g l i j a b i l e şi a u n u i şir d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , f i e c a r e c o n ţ i n u t ă în Kf\A s a u Kf\CA. A ş a d a r A e s t e (x - m ă s u r a b i l ă şi p r o p o z i ţ i a e s t e demonstrată. Corolarul 1. Orice mulţime jx -măsurabilă, conţinută într-o mulţime [x -integrabilă, este jx -integrabilă. F i e A o m u l ţ i m e jx - m ă s u r a b i l ă şi fie BZ)A o m u l ţ i m e ( x - i n t e g r a b i l ă . E x i s t ă u n şir (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi o m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă N, a c ă r o r r e u n i u n e e s t e B. D e o a r e c e A e s t e A

n

FUNCŢII ŞI MULŢIMI MĂSURABILE

161

ţx- m ă s u r a b i l ă , m u l ţ i m i l e Af]K s î n t fx - i n t e g r a b i l e şi d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , m u l ţ i m e a Af\N e s t e fx - m ă s u r a b i l ă d e c i j x - i n t e g r a b i l ă şi r e u ­ n i u n e a l o r e s t e A. n

oo

Mulţimea

A — N = yj K

este integrabilă,

n

deci

n=l

I;

IL(K )

= J \ j K

n

n=l

n

Vw=l

)

= FL(A - N ) <

+00.

7

Atunci ^ f x ^ n ^ j + ^ ^ n ^ x f ; n=l

Urmează

[L(K )<

+00.

n

n=l

că mulţimea

(Af\N)\J

^ ^ J ( A f] K ) n

^=A

e s t e jx - i n t e g r a b i l ă

şi propoziţia este demonstrată. Corolarul 2 . Mulţimile deschise şi mulţimile închise sînt măsura­ bile pentru orice măsură [X. î n t r - a d e v ă r , d a c ă A e s t e î n c h i s ă s a u d e s c h i s ă şi K e s t e c o m p a c t ă , m u l ţ i m e a Af]K este borelianâ relativ c o m p a c t ă , deci integrabilă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă jx. A t u n c i A e s t e fx - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă fx. î n p a r t i c u l a r , s p a ţ i u l î n t r e g T e s t e m ă s u r a b i l p e n t r u o r i c e m ă s u r ă fx. V o m n o t a cu t clasa mulţimilor boreliene, adică a mulţimilor AcT e a r e a u p r o p r i e t a t e a c ă A f| B ^ $ p e n t r u o r i c e J . e C5. Corolarul 3 . Mulţimile boreliene din "o sînt măsurabile pentru orice măsură jx. î n t r - a d e v ă r , d a c ă J . e ' Z J şi K e s t e c o m p a c t ă , m u l ţ i m e a Af\K este b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă , d e c i i n t e g r a b i l ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă fx. Propoziţa 2 1 . Beuniunea şi intersecţia unui şir (A ) de mulţimi yL-măsurabile sînt mulţimi p-măsur abile. F i e K o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . M u l ţ i m i l e Kf)A s î n t (x-integrabile şi s î n t c o n ţ i n u t e î n m u l ţ i m e a i n t e g r a b i l ă K. E e z u l t ă c ă r e u n i u n e a şi i n t e r ­ s e c ţ i a m u l ţ i m i l o r Kf]A sînt integrabile. D i n relaţia n

n

n

z n ( r u j = n(KnA ) n

rezultă că mulţimea (x-măsurabilă. Din relaţia

Kf]

că

mulţimea

n

este

n

(x-integrabilă,

deci

(LUJ Kf\

fi A

n

este

n

n

Kn rezultă

n (f)A )

n (\JA ) n

=U n este

(KHAJ (x-integrabilă,

deci

n

U A

n

este

n

( x - m ă s u r a b i l ă şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolar. Mulţimea părţilor p-măsurabile este •spaţiul întreg T.

un trib*),

care

conţine

*) Un trib este o clasă nevidă de părţi ale lui T care conţine diferenţele şi reuniunile numărabile. 9

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

162

CAP. III

Jg*

î n t r - a d e v ă r , d a c ă A şi B s î n t ( x - m ă s u r a b i l e , A—B e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă d e o a r e c e q> _ = 9^ — 9^ 9^Propoziţia 2 2 . .Fie X spaţiu toplogic şi funcţia f : T -> X. Baca f este [L-mâsurabilâ, imaginea reciprocă prin f a unei mulţimi deschise sau închise din X, este o submulţime \i-mâsurabilâ a lui T. F i e AaX o m u l ţ i m e î n c h i s ă . F i e KaT o mulţime compactă. Deoa­ r e c e / e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e [j.-neglijabilă NaK şi o p a r t i ţ i e (K ) a l u i K—N, f o r m a t ă din m u l ţ i m i compacte, astfel încît restricţia l u i / l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . I n t e r s e c ţ i a K [ \f~ (A) este imaginea reciprocă a lui A prin restricţia lui / la K . Cum această restricţie este c o n t i n u ă şi A e s t e î n c h i s ă , r e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a K f]f~ (A) este închisă în K deci c o m p a c t ă . A ş a d a r , Kftf' (A) e s t e r e u n i u n e a m u l ţ i m i i [ji-neglijabile ^ f l ^ (A) şi a m u l ţ i m i l o r c o m p a c t e K f)f~ (A), disjuncte d o u ă cîte două. U r m e a z ă c ă / ( J . ) este fx-măsurabilă. D a c ă A este deschisă, atunci B = C A este închisă ş i / ( A ) = C/" (B); d e o a r e c e / " (B) e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă , r e z u l t ă c ă f~ (A) = T — f~ (B) e s t e d e a s e m e n e a fi-mă s u r a b i l ă . Propoziţia 2 3 . Fie X un spaţiu topologic separat şi f : T -> X o funcţie cu mulţimea valorilor finită f(T) = { a a , . . . , a j . Funcţia f este ^-măsurabilă dacă şi numai dacă mulţimile A =f~ (a ) sînt \i-mâsur abile. S e p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă m u l ţ i m i l e Ai s î n t [ x - m ă s u r a b i l e . F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . P e n t r u f i e c a r e i m u l ţ i m e a Kf)A este [ x - i n t e g r a b i l ă ; e x i s t ă d e c i o m u l ţ i m e [x-neglijabilă N^Kf^Ai şi o p a r t i ţ i e (K ) a l u i (Kf^A^ — N formată din mulţimi compacte. Restricţia lui / la fiecare K este c o n s t a n t ă , deci continuă. C u m m u l ţ i ­ m i l e KCiAţ s î n t d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi r e u n i u n e a l o r e s t e K, u r m e a z ă A

B

n

>

n

1

n

n

1

n

n

1

- 1

1

n

_ 1

1

_ 1

1

1

1 ?

x

2

m

1

i

{

i

în nGN

i9

%

m

că m u l ţ i m e a

K

este

m u l ţ i m i i [x-neglijabile

reuniunea

N =

\JN

şi a

i

i =1

familiei n u m ă r a b i l e ( Z ) ^ i ^ . disjuncte d o u ă cîte două, astfel încît restricţia lui / la fiecare K e s t e c o n t i n u ă . A ş a d a r , / e s t e [x-măsurabilă. R e c i p r o c , d a c ă / e s t e [x - m ă s u r a b i l ă , m u l ţ i m i l e A = / ~ ( a ) s î n t ţx-măsurabile d e o a r e c e , X fiind s e p a r a t , m u l ţ i m i l e { a } sînt închise. F u n c ţ i i l e / : T -> X c a r e i a u n u m a i u n n u m ă r f i n i t d e v a l o r i , v o r fi n u m i t e funcţii etajate c a şi î n c a z u l c î n d X e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l . D a c ă m u l ţ i m i l e A = / ~ ( a ) s î n t b o r e l i e n e , / v a fi n u m i t ă funcţie boreliană etajată. E v i d e n t , f u n c ţ i i l e b o l e r i e n e e t a j a t e s î n t m ă s u r a b i l e p e n t r u orice m ă s u r ă . { n

w G

t

m

in

1

t

i

{

1

i

i

6. F u n c ţ i i m ă s u r a b i l e definite pe m u l ţ i m i m ă s u r a b i l e Propoziţia 2 4 . Fie AaT o mulţime ^-măsurabilă şi g : T ->X o funcţie ^.-măsurabilă. Bacă funcţia f : T -> X este egală cu g pe A şi constantă pe Q A, atunci f este \L-măsurabilă. F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . D e o a r e c e A este [x-măsurabilă, m u l ţ i m i l e Kf]A şi Kf] QA s î n t ţx-integrabile. D e o a r e c e g e s t e ţx-măsu-

FUNCŢII

ŞI MULŢIMI

MĂSURABILE

163

r a b i l ă , m u l ţ i m e a fx - i n t e g r a b i l ă K f) A e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i [x-neglijabile N şi a u n u i şir (A ) ^ < + » d e m u l ţ i m i fx-integrabile d i s j u n c t e d o u ă cîte d o u ă astfel încît restricţia lui g la fiecare A s ă fie c o n t i n u ă . D e o a r e c e p e Kf)A, f şi g c o i n c i d , r e z u l t ă c ă r e s t r i c ţ i a l u i / l a f i e c a r e A e s t e c o n t i n u ă . M u l ţ i m e a A = Kf)QA e s t e [x-integrabilă, d i s j u n c t ă d e m u l ţ i m i l e A şi r e s t r i c ţ i a l u i / l a A e s t e c o n s t a n t ă , d e c i c o n t i n u ă . A ş a d a r , K e s t e r e u n i u n e a m u l ţ i m i i fx-neglijabile N şi a ş i r u l u i (A ) ^ + d e m u l ţ i m i [x-integrabile, d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a f i e c a r e A s ă fie c o n t i n u ă . U r m e a z ă c ă / e s t e fx - m ă s u r a b i l ă şi propoziţia este demonstrată. D e f i n i ţ i a 3 . Fie AdT o mulţime p-măsurabilâ. Spunem că o funcţie f : A -> X este p-măsurabilă, dacă prelungind-o la o funcţie J : T-+X constantă pe CA, funcţia f este [i-măsutabilă. D i n propoziţia precedentă rezultă că definiţia este independentă d e v a l o a r e a c o n s t a n t ă p e c a r e o i a p r e l u n g i r e a l u i / p e (J^.P r o p r i e t ă ţ i l e f u n c ţ i i l o r m ă s u r a b i l e d e f i n i t e p e T se p ă s t r e a z ă şi p e n t r u funcţiile m ă s u r a b i l e definite p e o s u b m u l ţ i m e AdT. P r o p o z i ţ i a 2 5 . Dacă f : T -> X este o funcţie p-măsur abilă, iar AdT este o mulţime \i-măsurabilă, atunci restricţia lui f la A este n 1

n

n

n

0

n

0

n 0

n<

n

[x-măsurabilă. S ă n o t ă m c u gr o p r e l u n g i r e l a T, a r e s t r i c ţ i e i l u i / l a A, a s t f e l î n c î t g s ă fie c o n s t a n t ă p e C^î- P e n t r u t&A a v e m g(t) = f(t). E e z u l t ă c ă g e s t e ( i - m ă s u r a b i l ă ( p r o p o z i ţ i a 24) şi d e c i r e s t r i c ţ i a l u i / l a 4 e s t e ţx-măsurabilă. Propoziţia

26.

Dacă f si g sînt două funcţii

fx

numerice

-măsurabile

f (finite

sau nu),

atunci

funcţiile

g

f + g, f — g, fg,—

, f

sînt

[i-mâsurabile

9 pe mulţimile

pe care sînt

definite. 7. P r i n c i p i u l l o c a l i z ă r i i

P r o p o z i ţ i a 2 7 . (Principiul localizării). Dacă funcţia f : T -> X are proprietatea că pentru orice punct s e T există o vecinătate V a lui s şi o aplicaţie p-măsurabilă g : V -> X astfel încît f(t) = g (t), p-aproape peste tot pe V , atunci f este p-măsurabilă. Să o b s e r v ă m m a i întîi că p e n t r u fiecare p u n c t S E Î , există o veci­ n ă t a t e U a l u i s, d e s c h i s ă şi r e l a t i v c o m p a c t ă , c o n ţ i n u t ă î n V ; avem f(t) = g (t), fx-aproape p e s t e t o t p e U. F i e K o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . E x i s t ă u n n u m ă r finit de m u l ţ i m i des­ c h i s e r e l a t i v c o m p a c t e U , U ,... U , c a r e a c o p e r ă p e l T , şi u n n u m ă r f i n i t 9u 9%t ••• 9n d f u n c ţ i i [x-măsurabile, a s t f e l c a p e n t r u f i e c a r e i, l ^ i ^ n , s ă a v e m f(t) == g (t), fx-aproape p e s t e t o t p e 17 . g

s

8

s

8

1

s

8

s

8

1

2

n

e

h

4

n

Să n o t ă m A

i

= jSTn

ţ i m i b o r e l i e n e ş i / ( / ) = g (t), {

A v e m K = [j

A, {

mulţimile A

{

fx-aproape p e s t e t o t p e A . {

sînt m u l -

Există o partiţie

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

164

j£

CAP. III

a l u i K f o r m a t ă d i n t r - u n n u m ă r f i n i t Bj, 1 < ; j < ; m, d e m u l ţ i m i b o r e l i e n e r e l a t i v c o m p a c t e astfel încît fiecare A s ă fie r e u n i u n e a u n u i a n u ­ m i t n u m ă r d e m u l ţ i m i Bj. F i e c ă r e i m u l ţ i m i Bj s ă - i a t a ş ă m î n m o d univoc u n a d i n funcţiile p e n t r u c a r e BjCAi, şi s-o n o t ă m hj. F u n c ţ i i l e hj s î n t { j i - m ă s u r a b i l e şi p e n t r u f i e c a r e j a v e m f(t) = hj (t), j x - a p r o a p e p e s t e t o t p e Bj. F i e N) m u l ţ i m e a (x-neglijabilă d i n Bj a s t f e l î n c î t p e n t r u t^Bj — N] s ă a v e m f(t) = hj(t). F i e c a r e m u l ţ i m e Bj—N) e s t e [x-integ r a b î l ă ; d e o a r e c e hj e s t e m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e (x-neglijabilă N'jCZBj — N) şi u n ş i r (K ) de mulţimi compacte a căror reuniune e s t e Bj—(N'jlJN'j') a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i hj l a f i e c a r e m u l ţ i m e K să fie c o n t i n u ă . Deoarece p e fiecare m u l ţ i m e K f u n c ţ i a / e s t e e g a l ă c u f u n c ţ i a hj, i

nj

neN

n}

nj

m

rezultă că restricţia

lui / la K

e s t e c o n t i n u ă . N o t î n d N={j

nj

(N' U ^ 7 ) > 3= 1

m u l ţ i m e a N e s t e (x-neglijabilă, i a r f a m i l i a n u m ă r a b i l ă (K j) ^N i^j^ de mulţimi compacte, disjuncte două cîte două, constituie o partiţie a l u i K—N, şi r e s t r i c ţ i a l u i / l a f i e c a r e K este continuă. Eezultă atunci c ă / e s t e fx - m ă s u r a b i l ă . C u a c e a s t a p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r u l 1. Dacă funcţia g : T ~> X este (x -măsurabilă, atunci orice funcţie f : T - > X egală cu g, fx -aproape peste tot, este p-măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , m u l ţ i m e a M = {t\te T, f(t) = g(t)} este fx-neglij a b i l ă ; alegînd p e n t r u fiecare p u n c t s e T o v e c i n ă t a t e deschisă relativ compactă V, mulţimea V C\M e s t e fx-neglijabilă, d e c i f(t) = g(t), fx-aproape p e s t e t o t p e V . M u l ţ i m i l e V s î n t fx-integrabile şi l u î n d g = g p e n t r u f i e c a r e s*= T, f u n c ţ i i l e g s î n t f x - m ă s u r a b i l e . D i n p r o p o z i ţ i a p r e c e ­ d e n t ă rezultă a t u n c i că / este [x-măsurabilă. C o r o l a r u l 2 . Bacă funcţia f: T - > X are proprietatea că funcţia fq> este [L-măsurabilâ, oricare ar fi mulţimea compactă KcT, atunci f este [L-măsurabilâ. P e n t r u f i e c a r e p u n c t s e T, fie V o { v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i s şi g = f(p . C o n f o r m i p o t e z e i , g e s t e f x - m ă s u r a b i l ă . D e o a r e c e g (t) =f{t) p e n t r u t e V , r e z u l t ă că / este [x-măsurabilă. n

n

t

m

nj

8

8

8

8

s

8

K

8

s

P8

8

8

8

§ 10. Ş I R U R I D E F U N C Ţ I I

1. Funcţii

MĂSURABILE

c u valori

în spaţii

F i e jx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. T e o r e m a 1. (Egoroff). Fie E un spaţiu metric [x -măsurabile definite pe T cu valori în E. Dacă

metrice

şi (f ) un şir de există Mm f (t)

funcţii =f(t),

n

n

n-+ao

p-aproape peste tot pe T, atunci pentru orice e > 0, există o mulţime şi astfel încît restricţiile funcţiilor uniform pe K către f. x

pentru orice mulţime compactă Ka T şi compactă K dK astfel încît [L(K— K ) < e f la K să fie continue şi să conveargă x

n

x

X

ŞIRURI D E FUNCŢII

F i e Ka

MĂSURABILE

165

T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . D e o a r e c e a p l i c a ţ i a t - > (f

n

a lui T în produsul p a c t ă K0dK 0

0

este

fx-măsurabilă,

există

o mulţime

(t))

com­

< — şi r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i t -> (fn(t)) 2 c o n t i n u ă . A c e a s t a î n s e a m n ă că restricţiile t u t u r o r funcţiilor c o n t i n u e . S ă n o t ă m c u d d i s t a n ţ a p e E. f i e c a r e p e r e c h e (p, q) d e n u m e r e n a t u r a l e şi o r i c e număr notăm astfel ca

l a K s ă fie /„ la K sînt Pentru natural r să

N

E

\L(K—K ) 0

{ ' l '

e

d(f,(t),

^ o ,

/,(!)) >

J-

i

D e o a r e c e r e s t r i c ţ i i l e l u i f şi f l a K s î n t c o n t i n u e , i a r d i s t a n ţ a #)-> d(#, e s t e c o n t i n u ă j>e E x E, r e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a A (r) e s t e î n c h i s ă în K d e c i e s t e c o m p a c t ă . P e n t r u f i e c a r e p e r e c h e (w, r ) d e n u m e r e n a t u ­ rale să n o t ă m v

q

0

pQ

0J

B (r)

=

n

UA (r). PtQ

M u l ţ i m e a B (r) e s t e ( x - i n t e g r a b i l ă , c a r e u n i u n e a u n e i f a m i l i i n u m ă r a b i l e , d e m u l ţ i m i ( x - i n t e g r a b i l e , c o n ţ i n u t e î n m u l ţ i m e a jx - i n t e g r a b i l ă K . U n p u n c t t e K a p a r ţ i n e l u i B (r) d a c ă şi n u m a i d a c ă e x i s t ă # > n n

0

0

n

a s t f e l î n c î t d(fj(t),

şiq>n

f (t)) > — Q

r F i e t^K

0

u n punct în

c a r e f (t)

->/(£)• Există u n număr

n

a s t f e l î n c î t o r i c a r e a r fi p > n şi q > n s ă a v e m d(fp(t), * e 2 ? ( r ) . D e o a r e c e ş i r u l (f (t)) w

n

rezultă că intersecţia O

neJf

f (t)) < —, d e c i Q

c o n v e r g e c ă t r e f(t) a p r o a p e p e s t e t o t p e

B (r) e s t e n

K, 0

[x-neglijabilă, d e o a r e c e n u c o n ţ i n e

n-l

n i c i u n p u n c t d e c o n v e r g e n ţ ă a l ş i r u l u i ( / ) . Ş i r u l (B (r)) cător, deducem l i m {i ( £ . 0 0 ) = 0 . n

fiind descres­

n

n->oo ao

E x i s t ă u n î n t r e g w ( r ) a s t f e l î n c î t ţx ( £ » ( r ) ) < . F i e £ = UJ5« r) (r). M u l ţ i m e a -B e s t e ţx - i n t e g r a b i l ă , c a r e u n i u n e a m u l ţ i m i l o r [ i - i n t e g r a b i l e B (r), c o n ţ i n u t e î n m u l ţ i m e a c o m p a c t ă 2 T , şi a v e m ( r )

(

nir)

0

jx(B)
n

(

r

)

(r))<^.

M u l ţ i m e a C = K — B e s t e [x - i n t e g r a b i l ă şi p e O ş i r u l ( / ) c o n v e r g e uniform c ă t r e / . E x i s t ă a t u n c i o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K C C astfel încît 0

tt

r

ţx(C -

X

x

) < -

. Aşadar, 1 ^ 1 ,

ţ i ( - £ - JT ) = a

9

ţx (JST—JBT ) + ( x ( J T - C ) 0

0

+

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

166

CAP. III

+ p^G—K^ < z, i a r ş i r u l ( / ) c o n v e r g e d e a s e m e n e a u n i f o r m p e K Ou aceasta t e o r e m a este d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Fie E un spaţiu metric şi (f ) un şir de aplicaţii [L-măsurabile ale lui T în E. Dacă şirul (f (t)) are o limită f(t), [L-aproape peste tot pe E, atunci funcţia f (definită [L-aproape peste tot) este [L-măsur abilă. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Ka T şi o r i c e s > 0, e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K aK astfel încît restricţia funcţiilor f la K s ă fie c o n t i n u e , f s ă c o n v e a r g ă u n i f o r m p e K c ă t r e / şi [L(K—-K ) < z. U r m e a z ă că limita / este c o n t i n u ă p e K d e c i / e s t e [L - m ă s u r a b i l ă . T e o r e m a 2 . Fie E un spaţiu metric. O funcţie f : T -> E este [L-măsurabilâ, dacă şi numai dacă, pentru orice mulţime compactă Ka T, există un şir (g ) defuncţii etajate boreliene cu valori în E, care tinde către f, [L-aproape peste tot pe K. D a c ă p e n t r u f i e c a r e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Ka T e x i s t ă u n şir (g ) d e f u n c ţ i i e t a j a t e [L - m ă s u r a b i l e c a r e t i n d e c ă t r e / , [L - a p r o a p e p e s t e t o t p e K, a t u n c i r e s t r i c ţ i a l u i / l a K e s t e [L - m ă s u r a b i l ă . C u m K a f o s t a l e a s ă a r b i ­ t r a r , r e z u l t ă c ă / e s t e [L - m ă s u r a b i l ă . E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă / e s t e [L - m ă s u r a b i l ă . F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e [L - n e g l i j a b i l ă NaK şi o p a r t i ţ i e (K ) ^ a l u i K—N, f o r m a t ă din m u l ţ i m i c o m p a c t e , astfel încît restric­ ţ i a lui / la fiecare K este c o n t i n u ă . P e n t r u fiecare n v o m defini funcţia b o r e l i a n â e t a j a t ă g în felul u r m ă t o r : C o n s i d e r ă m m u l ţ i m i l e K c u i <; n. P e n t r u f i e c a r e m u l ţ i m e K există o p a r t i ţ i e (A ) a s a , f o r m a t ă d i n m u l ţ i m i b o r e l i e n e , a s t f e l î n c î t p e n t r u n

v

n

n

±

n

n

x

x

X

19

n

n

m

m

N

m

n

i

x

{j

V, t'^Atf

s ă a v e m d(f(t'),f(t"))^

o vecinătate d(f(t),

f(h))

deschisă <

p e n t r u t', t"e7 d(f(n

V

a

—-. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u t e= K n astfel încît p e n t r u < E 7 să 0

sa,

—i d e o a r e c e r e s t r i c ţ i a l u i / l a 2n avem

< *(/(*'), /(* )) +

fin)

0

d(f(t ),

K

este

{

/(*"))

0

E x i s t ă u n n u m ă r finit d e m u l ţ i m i deschise V

i

a s t f e l î n c î t p e n t r u t', f € = F , s ă a v e m d(f(f),

t

continuă.

există avem Atunci

< - • n care acoperă pe

f(t"))

K, {

< — • Există atunci n o familie finită A de m u l ţ i m i boreliene, disjuncte d o u ă cîte d o u ă , a căror reuniune este K astfel încît fiecare m u l ţ i m e A este conţinută î n t r - o m u l ţ i m e F . U r m e a z ă c ă p e n t r u t', t" e A a v e m de aseme­ n e a d (f(f), f (f')) < — . î n f i e c a r e m u l ţ i m e A l u ă m u n p u n c t t şi n o t ă m n if

iy

{j

3

i

n

if

a

{j

= / ( f ) e J S . F i e d e a s e m e n e a a^E.

Definim funcţia g

i 3

t+\ _ f 9n\ ) — \ l n

a

in

d

a

c

ă

{j

n

t

A

^ a

(i
l

a,

dacă

t& {JKi

•

astfel:

§ 10

ŞIRURI D E FUNCŢII MĂSURABILE

Avem

atunci

d(g (t),

f (t)) < ! — p e n t r u

n

167

l e U î j .

E e z u l t ă că şirul

(g ) n

ao

converge către / p e mulţimea U K

{

== K—JV,

adică

g

tinde

n

către / ,

i=l

(x-aproape p e s t e t o t p e K. C u a c e a s t a t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţie. D a c ă E este u n s p a ţ i u n o r m a t , l u î n d a = 0 se p o a t e r e a l i z a c a f u n c ţ i i l e g s ă fie c u s u p o r t c o m p a c t . Corolar. Fie E un spaţiu metric. Dacă spaţiul local compact T este numârabil la infinit, orice funcţie ţx -măsurabilă f : T -> E este limita ţx -aproape peste tot pe T , a unui şir (g ) de funcţii boreliene etajate. S p a ţ i u l T e s t e r e u n i u n e a u n u i ş i r (B ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e . M u l ţ i n

n

n

n

m i l e C = U Bi s î n t c o m p a c t e şi f o r m e a z ă u n ş i r c r e s c ă t o r , i a r r e u n i u n e a n

i=l

l o r e s t e T.

Mulţimile 2>! = 0

1 7

B

2

= C — C .., B 2

l v

n

= C — n

C _ ... n

17

s î n t ţ x - i n t e g r a b i l e şi d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă . Deoarece / este ţx-măsurabilă, fiecare m u l ţ i m e B este reuniunea u n e i m u l ţ i m i n e g l i j a b i l e şi a u n u i ş i r d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a f i e c a r e d i n e l e s ă fie c o n t i n u ă . A ş a d a r , s p a ţ i u l î n t r e g T se p o a t e scrie c a o r e u n i u n e a unei m u l ţ i m i ţx-neglijabile N şi a u n u i ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a f i e c a r e m u l ţ i m e K s ă fie c o n t i n u ă . Eaţionamentul continuă apoi ca în propoziţia precedentă. Observaţie. D a c ă E este s p a ţ i u n o r m a t , funcţiile g se p o t alege c u suport compact. T e o r e m a 3 . Fie E un spaţiu metric. O funcţie f: T -> E este [i-mâsurabilâ dacă şi numai dacă verifică următoarele condiţii : a ) pentru orice sferă închisă SaE, mulţimea f~ (8) este ^.-măsurabilă; b ) pentru orice mulţime compactă KaT există o mulţime ^-neglija­ bilă NaK şi o mulţime numârabilă HaE, astfel încît f (K-N)aH. Să p r e s u p u n e m m a i întîi c ă / este ţx-măsurabilă. A t u n c i imaginea r e c i p r o c ă p r i n f u n c ţ i a / a o r i c ă r e i m u l ţ i m i î n c h i s e d i n E, e s t e o m u l ţ i m e ţx - m ă s u r a b i l ă , d e c i c o n d i ţ i a a ) e s t e î n d e p l i n i t ă . F i e KaT o mulţime compactă. Există o mulţime ţx-neglijabilă NaK şi u n ş i r (g ) d e f u n c ţ i i b o r e l i e n e c a r e c o n v e r g e c ă t r e / p e K—N. D a c ă l u ă m H = U g ( T ) , a t u n c i H e s t e n u m ă r a b i l ă şi f(t) = l i m g (t) e H , n

n

n

n

1

n

n

n

p e n t r u o r i c e teK—N, a d i c ă f(K—N)aH şi a s t f e l c o n d i ţ i a b ) e s t e d e asemenea îndeplinită. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă / î n d e p l i n e ş t e c o n d i ţ i i l e a ) şi b ) . F i e KaT o m u l ţ i m e compactă. Conform condiţiei b ) , există o mul­ ţ i m e ţx-neglijabilă NaK ş i q m u l ţ i m e n u m ă r a b i l ă H = {a a , . . . , a , . . . } a E a s t f e l î n c î t f(K — N) a H . V o m l u a î n l o c u l J u n c ţ i e i / o f u n c ţ i e g, e g a l ă c u / p e K—N, a s t f e l î n c î t s ă a v e m g(K)aH. D e exemplu, putem l u a f u n c ţ i a g c o n s t a n t ă p e N, d î n d u - i o v a l o a r e d i n H. F u n c ţ i i l e f şi g 19

2

n

[x-aproape

sînt egale

p e s t e t o t p e K.

n u m e r e n a t u r a l e , să n o t ă m A n%

p

P e n t r u f i e c a r e p e r e c h e (n, p)

= \t\teK,

n

A

CAP. III

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

168

d(g(t),a )

< — 1.

n

de

Aşadar,

e s t e i m a g i n e a r e c i p r o c ă p r i n g a sferei î n c h i s e 8 c u c e n t r u l î n a

n

raza

1

Mulţimea A

n

p

d i f e r ă d e m u l ţ i m e a f~ (8) 1

m ă s u r ă nulă. D a r conform condiţiei a), /

printr-o mulţime de

e s t e fx - m ă s u r a b i l ă .

(S)

şi

Be-

00

zultă că A

n

p

e s t e d e a s e m e n e a fx - m ă s u r a b i l ă . A v e m

A=

K.

np

Pen-

t r u p f i x a t , d e f i n i m ş i r u l (B ) ^ d e m u l ţ i m i jx - m ă s u r a b i l e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a c ă r o r r e u n i u n e e s t e K, î n f e l u l u r m ă t o r : B = A şi pentru n > 1 , HtP n

N

x

p

ltP

i
kt

astfel:

p

ta. d a c ă te B ,

1 <

i%p

=

jfe JBT dacă e

t*[jB

i

i < &, p

.

%
Funcţiile g

kp

s î n t e t a j a t e , m ă s u r a b i l e şi a

dacă t ^ B

n

Funcţia

g (t) p

= lim g

kp

n > 1,

,

(t) e s t e jx - m ă s u r a b i l ă şi

umg.{t) P-koo

p

d a c a £ $ K.

[6

fc-Koo

n

g{t)

= l

(6

e

n

t

r

P pentru

u

<

e

* ' JelT.

E e z u l t ă c ă r e s t r i c ţ i a l u i g l a K e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . C u m f(t) = E este jx -măsurabilă dacă şi numai dacă imaginea reciprocă prin f a oricărei sfere închise SaE este o mulţime jx -măsurabilă. Observaţii. 1°. î n t e o r e m a 3 şi î n c o r o l a r c o n d i ţ i a a ) p o a t e fi î n l o c u i t ă cu c o n d i ţ i a c a i m a g i n e a r e c i p r o c ă p r i n / a oricărei sfere deschise d i n E s ă fie (x - m ă s u r a b i l ă . 2°. C o n d i ţ i a a ) p o a t e fi s l ă b i t ă , c e r î n d c a i m a g i n e a r e c i p r o c ă p r i n / a sferelor d e r a z ă r a ţ i o n a l ă , s ă fie [x - m ă s u r a b i l e . P r o p o z i ţ i a 1 . Dacă E este un spaţiu metric compact, orice funcţie (x -măsurabilă f : T -> E este limita uniformă pe T a unui şir de funcţii etajate (x -măsurabile (nu neapărat boreliene). r

ŞIRURI D E FUNCŢII MĂSURABILE

169-

Deoarece E este c o m p a c t , p e n t r u fiecare n n a t u r a l , există u n n u m ă r f i n i t d e sfere î n c h i s e S

d e r a z ă — c a r e a c o p e r ă p e E. D e o a r e c e / e s t e n \L - m ă s u r a b i l ă , m u l ţ i m i l e A = / - ( # ) s î n t [x - m ă s u r a b i l e şi a c o p e r ă p e T . E x i s t ă a t u n c i u n n u m ă r f i n i t d e m u l ţ i m i jx - m ă s u r a b i l e B c a r e a c o p e r ă p e E, a s t f e l î n c î t B a A p e n t r u f i e c a r e i. î n t r - a d e v ă r , s e i a B = A şi p e n t r u i > 1 , B = A — U B . î n f i e c a r e m u l ţ i m e B s ă l u ă m u n i

1

{

i

i

i

%

i

x

i

f

x

i

p u n c t t şi s ă n o t ă m ^ = / ( t ) e E. S ă d e f i n i m f u n c ţ i a g p r i n e g a l i t a t e a g (t) = ^ d a c ă t e B . Funcţia g este etajată, fx - m ă s u r a b i l ă şi {

i

n

n

i

n

2

d

0« (*)) ^ — p e n t r u o r i c e te T. n R e z u l t ă c ă ş i r u l (g ) c o n v e r g e u n i f o r m p e T c ă t r e / , şi p r o p o z i ţ i a demonstrată. n

este

2. F u n c ţ i i c u v a l o r i î n s p a ţ i i

Banach

T e o r e m a 4 . Fie E un spaţiu Banach. Bacă f : T - > E este o funcţie [x 'măsurabilă, pentru orice mulţime compactă KaT există o mulţime (x -neglijabilă NaK şi un şir de funcţii boreliene etajate g : T - > E, cu su­ portul conţinut înKastfel încît | g ( t ) | < | f ( t ) \ pentru orice te T şi g (t)-+i(t) pentru teK—N. F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . D e o a r e c e f e s t e (x - m ă s u r a b i l ă » e x i s t ă o m u l ţ i m e (x - n e g l i j a b i l ă N a K şi u n ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a c ă r o r r e u n i u n e e s t e K—N şi a s t f e l î n c î t r e s t r i c ­ ţ i a l u i f l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . P e n t r u f i e c a r e n s ă c o n s i d e r ă m m u l ţ i m i l e K c u i
n

w

m

m

%

%

i}

|f(t') - f ( O I F i e t eA i}

şi a

i}

if

= t(t ). if

0, d a c ă 9n(t)

=

< - • n Definim a c u m funcţia g

| a^ | < — [şi t e n

1

M —rr)

» dacă

H

astfel:

A, iS

> — n

şiteA

iiy

0, d a c ă t& U - 1 ^ Atunci g este o funcţie borelianâ etajată, cu suportul conţinut în K lg»(*)l < p e n t r u te T şi l i m g ( * ) = f (t) p e n t r u teK—N. Teorema este astfel d e m o n s t r a t ă . ">°° w

r

n

n

170

FUNCŢII MĂSURABILE.

CAP. III

x

SPAŢIUL

J>

P r o p o z i ţ i a 2 . Bacă E este finit dimensional, orice funcţie \i -măsura­ bilă mărginită f : T - > E este limita uniformă pe T a unui şir ( g ) defuncţii etajate ţx -măsurabile. î n t r - a d e v ă r , f p o a t e fi c o n s i d e r a t ă c u v a l o r i î n s p a ţ i u l c o m p a c t Î(T) ( v . p r o p o z i ţ i a 1.) î n particular, propoziţia este a d e v ă r a t ă p e n t r u funcţii reale sau complexe. T e o r e m a 5 . Fie E şiF două spaţii Banach. O funcţie f : T -> Jl(E,F) este \L -măsurabilă, dacă şi numai dacă sînt verificate următoarele condiţii : a ) pentru orice element x<=E, funcţia t ->î(t) x (cu valori în F) este [L-măsurabilâ; b ) pentru orice mulţime compactă KaT există o mulţime fx -neglija^ bilă NaK şi o mulţime numărabilă Ha~£(E, F) astfel încît î(K—N)aH. D a c ă f e s t e fx - m ă s u r a b i l ă şi x<=E, a t u n c i f u n c ţ i a t -> î(t) x e s t e y. - m ă s u r a b i l ă d e o a r e c e a p l i c a ţ i a u -> ux a l u i <£ (E,F) î n F e s t e c o n t i n u ă ; de asemenea, condiţia b) este verificată, conform teoremei 3. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c o n d i ţ i i l e a ) şi b ) î n d e p l i n i t e . D e o a r e c e Jl(E,F) e s t e u n s p a ţ i u m e t r i c , c o n f o r m t e o r e m e i 3 e s t e s u f i c i e n t s ă a r ă t ă m c ă i m a g i n e a r e c i p r o c ă p r i n f a f i e c ă r e i sfere î n c h i s e 8 a Jl (E, F) e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . F i e 8 o sferă î n c h i s ă c u c e n t r u l î n a şi r a z a > 0 . F i e KaT o mulţime compactă. Conform condiţiei b) există o mulţime jx-neglijabilă NaK şi o m u l ţ i m e n u m ă r a b i l ă HaJ>(E,F) astfel încît î(K-N)aH. Să definim funcţia g : T -> (E, F), e g a l ă c u f p e T-N şi a s t f e l î n c î t $(K)aH ( d e e x e m p l u l u î n d g(<) = k S p e n t r u t<=N). M u l ţ i m e a H\J {a} e s t e n u m ă r a b i l ă . S ă a r a n j ă m î n t r - u n ş i r {a , a ,...,a ,...} e l e m e n t e l e m u l ţ i m i i H\J{a}. P e n t r u f i e c a r e e l e m e n t a şi f i e c a r e n u m ă r natural m există u n element # e 2? c u | x \ = 1 şi n

x

2

n

a

n

m

Ut

m

m Atunci \a

s u p \a x , \. meN F i e V s p a ţ i u l v e c t o r i a l î n c h i s g e n e r a t d e m u l ţ i m e a H\J {a}. P e n t r u o r i c e u*=V a v e m \ u\ = s u p \ux |. n

\ =

n

n m

n>m

n,

m EE A

T

P e n t r u f i e c a r e n şi m, f u n c ţ i a t -> §(t)x — ax e s t e jx - m ă s u r a ­ b i l ă , c o n f o r m i p o t e z e i a ) , d e o a r e c e f = g, \x - a p r o a p e p e s t e t o t . A t u n c i f u n c ţ i a t-> \g(t)x — ax \ e s t e jx - m ă s u r a b i l ă şi d e c i m u l ţ i m e a - 4 * . m = {t\ \g(t)x — ax ^ \< r\x \) n%m

Htm

nm

nm

ntm

n

m

tltn

^ s t e [x - m ă s u r a b i l ă , f i i n d i m a g i n e a r e c i p r o c ă p r i n f u n c ţ i a n u m e r i c ă ^ 19 (l) n, m — n, m I a m u l ţ i m i i î n c h i s e {s \ s | <; r | x |} d e p e d r e a p t ă . Observînd că avem x

ax

)U

| (t) g

a| =

sup

|(g (t) -

a) x

1u

m

m

| p e n t r u t <= K,

ŞIRURI DE FUNCŢII MĂSURABILE

171

rezultă

1

d e c i m u l ţ i m e a KCi^HS) e s t e fx-măsurabilă. A t u n c i m u l ţ i m e a K[) î~ (8) e s t e d e a s e m e n e a fx - m ă s u r a b i l ă d e o a r e c e d i f e r ă d e l ^ f l g ^ ) p r i n t r - o m u l ţ i m e fx - n e g l i j a b i l ă . C o n f o r m p r i n c i p i u l u i l o c a l i z ă r i i , f ( Ă ) este jx - m ă s u r a b i l ă şi a s t f e l c o n d i ţ i a a ) d i n t e o r e m a 3 e s t e v e r i f i c a t ă . C o n f o r m a c e s t e i t e o r e m e , f e s t e jx - m ă s u r a b i l ă şi a s t f e l t e o r e m a e s t e d e m o n ­ strată. C o r o l a r u l 1. Dacă există o mulţime numărabilă H aJ?(E,F) astfel încît î(T)aH (în particular dacă Jţ(E,F) este de tip numârabil), atunci f este [x -măsurabilă dacă şi numai dacă funcţia t -> î(t)x este [x -măsurabilă oricare ar fi xeE. C o r o l a r u l 2 . O funcţie f : T - > E este jx -măsurabilă dacă şi numai dacă sînt îndeplinite următoarele condiţii : a ) pentru orice funcţională z' e E', funcţia numerică t - > < f (t), z' > este jx -măsurabilă; b ) pentru orice mulţime compactă KaT, există o mulţime jx -negli­ jabilă NaK şi o mulţime numărabilă HaE astfel încît î(K — J ) e H . C o r o l a r u l 3 . Fie E un spaţiu Banach de tip numărabil. O funcţie i : T - > E este jx -măsurabilă dacă şi numai dacă funcţia numerică t -> < f(t), z' > este jx -măsurabilă, oricare ar fi z' e E'. - 1

_ 1

3. F u n c ţ i i n u m e i i c e P r o p o z i ţ i a 3 . Dacă (f ) este un şir de funcţii numerice (finite sau nu) [x -măsurabile, atunci funcţiile s u p f , inf f l i m s u p f , l i m inf / „ , sînt [x -măsurabile. -° D r e a p t a încheiată R este omeomorfă — de exemplu — cu segmentul [—1, l ] . J 5 e p o a t e d e f i n i d e c i p e R o d i s t a n ţ ă d(x, y) c o m p a t i b i l ă c u t o p o ­ l o g i a sa. R e s t e a t u n c i u n s p a ţ i u m e t r i c . F u n c ţ i a sup f este limita şirului crescător de funcţii g = v

n

n

n

n

n

n >0

n

n

n

sup .,/,,) c a r e s î n t [x-măsurabile, d e c i s u p / e s t e d e a s e m e n e a (x-măsurabilă. F u n c ţ i a lim sup f este limita şirului descrescător de funcţii h = n

n

n

=

S

U

P / U - P

c

a

r

e

s

î

n t

n

[x-măsurabile conform primei p ă r ţ i a demonstraţiei.

Urmează că lim sup /

e s t e d e a s e m e n e a jx - m ă s u r a b i l ă .

w

n-*oo

A v e m a p o i inf f

n

n

= — s u p ( — / J şi l i m inf f

n

»

n-*oo

=

— lim sup

(-/J

n->oo

d e c i , c o n f o r m d e m o n s t r a ţ i e i d e m a i s u s , şi a c e s t e f u n c ţ i i s î n t jx - m ă s u ­ rabile.

FUNCŢII MĂSURABILE.

172

SPAŢIUL

P r o p o z i ţ i a 4 . Dacă funcţia numerică este \L -măsurabilă, atunci mulţimile 1)

rU",

b] =

2)

f~Ha,

b]=

1

3)

r ^, x

4)

r (a,

CAP. III

(finită

sau

nu)

f : T -> R

{*| a < / ( * ) < & } {t\a
b) =

{t\a*Cf(t)
b) =

{t\a
sînt \L -măsurabile oricare ar fi numerele aşib ,astfel încît — o o < ] a < ; & < ; + o o . î n t r - a d e v ă r , d a c ă / e s t e fx - m ă s u r a b i l ă , m u l ţ i m i l e d e l a p u n c t u l 1) şi 4) s î n t (JL - m ă s u r a b i l e , c a i m a g i n i r e c i p r o c e p r i n / a l e m u l ţ i m i l o r [a, fe] şi (a, b) c a r e s î n t î n c h i s e r e s p e c t i v d e s c h i s e î n R. î n p a r t i c u l a r , p e n t r u o r i c e p u n c t a <= R, m u l ţ i m e a / ( a ) e s t e fx - m ă s u ­ rabilă. M u l ţ i m i l e d e l a p u n c t u l 2) şi 3) s î n t d e a s e m e n e a (x - m ă s u r a b i l e , c a d i f e r e n ţ e d e m u l ţ i m i (x - m ă s u r a b i l e : - 1

F'HA, b] ^ r U " , fe] -FHA), 1

f

[a, b) =t*[a,

fe]

-n(b).

Propoziţia este astfel d e m o n s t r a t ă . î n p a r t i c u l a r , dacă f este (x -măsurabilă, [x -măsurabile : x

5)/- [«,

+00]

6)/-!(«,

+oo] =

7) r U - o o ,

=

{t\f(t)>

&] =

oricare

=

{t\f(t)

a}

{t\f(t)
b}

{
=

{

-°o},

<

+oo},

+oo},

s î n t JX - m ă s u r a b i l e . C o r o l a r . Dacă f şi g sînt două funcţii rabile, atunci mulţimile: {t\f(t)
{t\r

sînt

ar fi numerele a, 6 e S . De exemplu, mulţimile {
sînt

mulţimi

{t\f(t)>a}

8) / " H - o o , 6) = 9)

următoarele

{t\f(t)

numerice

{t\f(t)
W(t)

>

-oo},

<

+00}

(finite =

sau nu) (x g(t)}

(x -măsurabile. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e n u m ă r r a ţ i o n a l r, m u l ţ i m i l e {t\f(t) < g(t)} s î n t (x - m ă s u r a b i l e , d e c i şi m u l ţ i m e a {t\f(t)
U reQ

({t\f(t)


-măsu­

{t\r
<

r),

ŞIRURI D E FUNCŢI7 MĂSURABILE

e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , c a r e u n i u n e E e z u l t ă a t u n c i c ă şi m u l ţ i m e a {t\f(t)

a unui

>9(t)}=

173

şir d e m u l ţ i m i

{t\9(t)

fx - m ă s u r a b i l e .


e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă şi d e c i şi m u l ţ i m i l e {t\f(t)
=

= g(t)} = {t\f(t)

C{t\f(t)>g(t)}

< g(t)} -

{t\f(t)

<

g(t)}

s î n t (JL - m ă s u r a b i l e . P r o p o z i ţ i a 5 . Fie D o mulţime numărabilă peste tot densă în R. Pentru ca o funcţie numerică (finită sau nu)f : T R să fie [i-măsurabilâ, este suficient să fie verificată una din următoarele condiţii : fx -măsurabile,

oricare

sînt

fx -măsurabile,

oricare

= +00}

sînt

(x -măsurabile

oricare

= +00}

sînt

fx -măsurabile

oricare

1)

{t\a ^f(t)
2)

{t\a
{t\f(t)

= +00}

{t\f(t)

{t\a
{t\f(t)

3) 4) 5) 6)

{t\f(t)

> es

7) 8)

şi

Să presupunem <x, p <= 7?, a v e m

sînt

[x -măsurabilă

oricare

ar fi

[x -numărabilă

oricare

ar fi a e D ;

-măsurabilă

oricare

ar fi J G D ;

e

^

<

= +°°}

este

(x -măsurabilă

condiţia

{*|a

1) =

oricare

verificată.

ar fi Pentru

aeD;

k D . orice

numere

n{«i«
Deoarece D este numărabilă, în m e m b r u l drept a v e m intersecţia unei f a m i l i i n u m ă r a b i l e d e m u l ţ i m i (x - m ă s u r a b i l e , d e c i m u l ţ i m e a {tf|a} = U

{ < ! « < / ( < ) < « + n},

n=l

{*| a < / ( < ) < + 0 0 } = u ! ' l «

+ — < / ( ' ) < +«>)• n J { < | a < / ( < ) < + 0 0 } U {t\f(t) =

+00},

< / ( < ) < + 0 0 } U {
+00},

n=l[

{«I « < / ( < ) < {*l« < / ( < ) < + ° o } =

{<| - oo < / ( * ) < p}=C{
174

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

{

J>

CAP.

III

A ş a d a r , o r i c a r e a r fi i n t e r v a l u l î n c h i s [ a , P ] C R , m u l ţ i m e a /-*[«, e s t e [JL - m ă s u r a b i l ă .

P]={*| a

P e spaţiul S , d(x,

y)

=


x

y

x\+l

12/1+1

e s t e o d i s t a n ţ ă c o m p a t i b i l ă c u t o p o l o g i a l u i R i a r sferele î n c h i s e SciR p e n t r u a c e a s t ă d i s t a n ţ ă , s î n t i n t e r v a l e l e î n c h i s e [ a , p]c"R. C u m s p a ţ i u l R c o n ţ i n e o mulţime numărabilă peste t o t densă, deducem din teorema 3 că / este [L - m ă s u r a b i l ă . C a z u r i l e 2 ) , 3) şi 4) s e r e d u c l a c a z u l p r e c e d e n t o b s e r v î n d c ă p e n t r u a, P G R a v e m : {*ia<*
= n o i « < / ( < ) < &} = n O i « < / ( * ) < 6>3

n{*i C a z u r i l e 5)

f e

} =

a^a &^3

«
şi 6) s e r e d u c l a c a z u l 1)

{*!/(*) = +00}

=

şi a p o i , c ă p e n t r u a,

observînd că

n {*!/(*) > a } = O { « } avem

O i / w > « } = n o i / w > «} = n Ol/C) > P } = U

Oi/w

( P + — } •

{«I « < / ( < ) < P} = { « } - { * 1/(0 > P}C a z u r i l e 7) şi 8) s e r e d u c l a c a z u l 1) o b s e r v î n d c ă

{} = n { « i / o > 6>3

{
&>3

1 {'!/(<)<« - —

1-

01a < / ( * ) < P} = {
*) Aplicaţia x

dreptei încheiate R pe segmentul [ — 1, 1] este strict

1*1 + 1 monotonă, deci este un omeomorfism. Distanţa rf{x, y) =

y

|*|+i |y|+i transportînd prin acest omeomorfism, distanţa obişnuită de pe [ — 1, 1 ] .

pe

R se obţine

§ 10

ŞIRURI DE FUNCŢII MĂSURABILE

175

şi a p o i {t\f(t)

<

-

00} =

{t\f(t)

=

+oo}

u

{t\f(t)

= C{t\f(t)

<

<

b} -

u

<

»},

+00}.

Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . Observaţie. î n c o n d i ţ i i l e 1 ) — 4 ) m u l ţ i m e a {t\f(t) = + 0 0 } p o a t e fi î n l o c u i t ă c u m u l ţ i m e a {t\f(t) = — 0 0 } . D a c ă + o o e l ) s a u d a c ă - O O G D , c o n d i ţ i a c a m u l ţ i m e a {t\f(t) = + 0 0 } s ă fie fx - m ă s u r a b i l ă e s t e s u p e r f l u ă . D e a s e m e n e a , a c e a s t ă c o n d i ţ i e e s t e s u p e r f l u ă d a c ă f u n c ţ i a / e s t e finită peste tot. M u l ţ i m e a D p o a t e fi m u l ţ i m e a Q a n u m e r e l o r r a ţ i o n a l e . C o r o l a r . Orice funcţie semicontinuă inferior sau semicontinuă superior este măsurabilă pentru orice măsură fx. î n t r - a d e v ă r , d a c ă / este^semicontinuă inferior, m u l ţ i m e a {t\f(t)^a} este închisă p e n t r u orice a e R ; d a c ă / este semicontinuă superior, mulţi­ m e a {t\f(t) > - a } e s t e î n c h i s ă p e n t r u o r i c e a e f i ; i a r m u l ţ i m i l e î n c h i s e s î n t m ă s u r a b i l e p e n t r u o r i c e m ă s u r ă fx. P r o p o z i ţ i a 6. Dacă funcţia numerică (finită sau nu) f : T -> R este pozitivă şi [x -măsurabilă, atunci pentru orice mulţime compactă Kd T există un şir (f ) de funcţii boreliene etajate pozitive, cu suporturile conţi­ nute în K, astfel ca f (t) -f(t), fi -aproape peste tot pe K. n

n

n

D a c ă / e s t e f i n i t ă p e s t e t o t , / a r e v a l o r i î n s p a ţ i u l B a n a c h R. C o n f o r m t e o r e m e i 4 , p e n t r u f i e c a r e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K e x i s t ă u n şir (g ) d e f u n c ţ i i b o r e l i e n e e t a j a t e , c u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e î n K, a s t f e l î n c î t \g (t)\ -tCf(t) p e n t r u < G T şi g (t) ->f(t), jx - a p r o a p e p e s t e t o t p e K. F u n c ţ i i l e p o z i t i v e f (t) = | g (t) | î n d e p l i n e s c c o n d i ţ i i l e p r o p o z i ţ i e i . x S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă / i a şi v a l o a r e a + 0 0 . A p l i c a ţ i a u(x)= |a?|+l n

n

n

n

a

n

spaţiului

R pe segmentul [—1, 1] este

Aplicaţia sa inversă

s t r i c t c r e s c ă t o a r e şi c o n t i n u ă .

v(y)

= — definită pe [—1, 1] cu valori în R 1 \y\ e s t e d e a s e m e n e a s t r i c t c r e s c ă t o a r e şi c o n t i n u ă . Funcţia h(t) = u(f(t) ) = ^

1/(01+1 e s t e jx - m ă s u r a b i l ă , p o z i t i v ă , c u v a l o r i î n [ 0 , 1 ] . C o n f o r m p r i m e i p ă r ţ i a d e m o n s t r a ţ i e i , e x i s t ă u n ş i r (h ) d e f u n c ţ i i b o r e l i e n e p o z i t i v e e t a j a t e , c u s u p o r t u r i l e î n K, a s t f e l î n c î t h (t) -> h(t), jx - a p r o a p e p e s t e t o t p e K. Funcţiile etajate pozitive n

n

fn(t)

= V(h (t))=

K (

n

1— I îndeplinesc condiţiile

propoziţiei.

*\ K(t)\

CAP. III

(

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

176

j£

P r o p o z i ţ i a 7 . Dacă f : T -> R este o funcţie \L -măsurabilă mărgi­ nită, există un şir (f ) de funcţii [x -măsurabile etajate uniform convergent către f. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a / p o a t e fi c o n s i d e r a t ă c u v a l o r i î n s p a ţ i u l / ( T ) « a r e este c o m p a c t . Se aplică a p o i p r o p o z i ţ i a 1. n

$11. C R I T E R I I D E I N T E G R A B I L I T A T E

1. A d i t i v i t a t e a i n t e g r a l e i

superioare

F i e (x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. S-a a r ă t a t c ă p e n t r u f u n c ţ i i l e s e m i c o n t i n u e i n f e r i o r , i n t e g r a l a s u p e ­ rioară este aditivă. D e asemenea, integrala superioară este aditivă p e n t r u funcţiile i n t e g r a b i l e p o z i t i v e , d e o a r e c e p e n t r u f u n c ţ i i l e i n t e g r a b i l e / >> 0 a v e m /d(x = ^ / d ( x . V o m a r ă t a c ă i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă e s t e a d i t i v ă şi î n a l t e c a z u r i . Propoziţia 1. Dacă f şi g sînt două funcţii >> 0 (finite sau nu), ţx -măsurabile, atunci \f+g)d L

=

[

^fd L+^gă L. [

[

S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / şi g s e a n u l e a z ă î n a f a r a u n e i m u l ţ i m i e o m p a c t e K. D a c ă , d e e x e m p l u , ^ /djx =

+ o o , atunci din

inegalitatea

deducem J * / d n < J * ( / + jr) djx deci (f + g)d[i şi egalitatea este d e m o n s t r a t ă

=

+oo

în acest caz. Să

presupunem

acum

că

/djx < oo şi ^ gă[i < o o . S ă a r ă t ă m c ă / şi g s î n t jx - i n t e g r a b i l e . E x i s t ă u n şir ( / ) d e f u n c ţ i i b o r e l i e n e e t a j a t e p o z i t i v e , c o n v e r g e n t « ă t r e / a p r o a p e p e s t e t o t p e K, a s t f e l î n c î t f < ; / p e n t r u o r i c e n ( p r o p o z i ­ ţ i a 6, §10). D e o a r e c e f u n c ţ i i l e f s î n t (x - i n t e g r a b i l e , a p l i c î n d t e o r e m a l u i n

n

n

§ 11

CRITERII DE INTEGRABILITATE

177

L e b e s g u e d e d u c e m c ă / e s t e ţx - i n t e g r a b i l ă . L a fel s e a r a t ă c ă g e s t e i n t e ­ grabilă. Eezultă atunci că

^ (f+g)

d|t = ^(f+g)

d|t = [jăp. + J gd(x = ^ / d ( x + ^* gd<x.

S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă / şi g s î n t p o z i t i v e şi m ă s u r a b i l e . C o n f o r m p r i m e i p ă r ţ i a d e m o n s t r a ţ i e i , p e n t r u f i e c a r e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT avem

Trecînd la limită după mulţimea filtrantă a părţilor compacte o b ţ i n e m ( o b s e r v a ţ i a d u p ă p r o p o z i ţ i a 5 , §5).

Corolar. D a c a A şi

B sînt

două

mulţimi

ţx -măsurabile

KaT,

disjuncte,

atunci fx* ( 1 | J 5 ) =

(x* (A)

+

(x* ( B ) .

într-adevăr,

V o m a r ă t a c ă i n t e g r a l a s u p e r i o a r ă e s t e a d i t i v ă şi p e n t r u f u n c ţ i i care n u sînt măsurabile. V o m demonstra m a i întîi următoarea : L e m ă . Fie f şi g două funcţii pozitive (finite sau nu). Bacă g este jx -măsurabilă şi cu suport compact, atunci

cînd

Jt parcurge mulţimea Inegalitatea

funcţiilor

ţx -măsurabile

^ / f f d ( x < inf^

r e z u l t ă d i n f a p t u l c ă fg
astfel

încît

Ji >- /.

hgd[

d e c i ^ fg d (x < ^ hgd[i

pentru

orice

f u n c ţ i e h >> /. E e c i p r o c , fie 9 > - fg o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r . S ă c o n s i d e r ă m f u n c ţ i a ţx - m ă s u r a b i l ă h d e f i n i t ă a s t f e l : 0

[ + 00 d a c ă g(t) = 0 s a u g(t) = + 00,

?(*) d a c ă 0 < gf(<) < + 00. U(«) A v e m feoj <

9. D a c ă 0 < g(t) < + 00 *o (*)»(*) =

avem

?(*)>/(*)»(*)

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

178

J£

CAP. III

d e c i h (t)^f(t). A c e a s t ă i n e g a l i t a t e e s t e v e r i f i c a t ă şi p e n t r u c e l e l a l t e v a l o r i a l e l u i t, d e o a r e c e d a c ă g(t) = 0 s a u g(t) = + 0 0 , a v e m h (t) = + 0 0 . Aşadar, h > /. Atunci 0

0

0

C

cpdjA > > (

J

J

Ji gd[i ; > inf [ hgd\i,

h măsurabilă.

0

*>'J

D e o a r e c e f u n c ţ i a s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r 9 > fg a f o s t a l e a s ă a r b i t r a r , i a r fg a r e s u p o r t c o m p a c t , a v e m |j / f f d [ x < i n f Jj hgă[i şi c u a c e a s t a l e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Propoziţia 2 . Fie /, g şi g trei funcţii şi g sînt fx -măsurabile, atunci x

>> 0 (finite

2

sau nu).

Dacă

g

x

2

J f(9x

+ ff )dfx = ^ / J i d ( x + V 2

Avem, în primul rînd, / ( ^ + g ) 2

J / (0i +

=f9i

d(x = J (/& + /flf ) dfx < 2

/ff dfx, 2

+ /ff > d e c i 2

J

dfx + (j / £

2

dfx.

F i e a c u m A > / o f u n c ţ i e fx - m ă s u r a b i l ă şi Z c T o m u l ţ i m e oarecare. A v e m A

J (ffi + f f ) 9 ^ d t x = ^ 2

d e o a r e c e hg y Dar x

R

compactă

Affi9*dfx + jj % 9 ^ d [ x 2

şi ftgr q> s î n t [ x - m ă s u r a b i l e ( p r o p o z i ţ i a 1 ) . 2

K

jj Aflfx 9* d [ x > ^ /ffi 9

£

d[x şi ^ ftff 9 ^ d j x > ^ /ff 2

2

9* djx

deci |j Mffi + ff ) ¥ s dfx > ^ / f f i 9 ^ d [ x + ^ 2

/ff 9*dfx. 2

Luînd în m e m b r u l stîng marginea inferioară p e n t r u [x-măsurabile h >> / , o b ţ i n e m , d i n l e m a p r e c e d e n t ă , ^ /(ffi +

ff )?*dfx>^ 2

/ffi9zd[x+^

toate

/ff 9^d[x 2

deci J /(ffi + 92)
£

funcţiile

CRITERII D E INTEGRABILITATE

Avem

179

apoi /•*

/•«

+ g )
\ /(ffi+ff )d[x = limV f(g 2

2

1

+ Mm^fg (p d[L 2

= Km\

K

fg < 1

= J /ffid[x + ^ /ff djx

K

2

şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolar. D a c a A şi B sînt două mulţimi măsurabile pentru orice funcţie f >- 0 (finită sau nu) avem ^ f
=

(j

d[x +

î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t c a z <$ \j = B

Orice

funcţie

su

e x i s t ă u n ş i r (K ) N

=

p|J

p-integrabile

/dfx <

+

oo

este

unui şir de mulţimi

nulă compacte

compact,

d[A, K

de m u l ţ i m i c o m p a c t e , astfel încît să a v e m ^ fă[i=

Să n o t ă m i

atunci

9B-

reuniunii

Î9K

disjuncte,

d[x.

/ > - 0 cu ^

[i-aproape peste tot pe complementara disjuncte două cîte două. Deoarece ^ fd[i

^

9A+

A

2. S u p o r t u l f u n c ţ i i l o r

Propoziţia 3 .

+

K

= ( j l

n

sup^

/9ir d(x. n

. P e n t r u f i e c a r e n, m u l ţ i m i l e

T—A

şi K

N

sînt

dis-

n=l

j u n e ţ e şi fx - m ă s u r a b i l e , d e c i ^ / d [ x > ^ f9iT_A)[}Km&V.

= J / ? r - ^ d { x + ^ /«p^ dţx

de unde, luînd marginea superioară în membrul drept, ^ fd[i

Deoarece ^ neglijabilă,

> ^ / 9 _ ^ d[x + ^ /dfx. T

< + « , deducem J * / ^ d „ _ », a d i e . / d e c i / ( J ) = /(tf) 9^ (J), fx - a p r o a p e p e s t e

tot.

T r

_. « *

r

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L j2,°°

180

Să n o t ă m A=

K

x

şi p e n t r u f i e c a r e n,

t

A

CAP. III

= K

n

n

— U

K.

Mulţi-

%

i
mile A

n

s î n t i n t e g r a b i l e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi A =

A. n

Fiecare

n=l

m u l ţ i m e J i e s t e r e u n i u n e a u n u i ş i r (K ) de mulţimi compacte, d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , şi a u n e i m u l ţ i m i |x - n e g l i j a b i l e N . Atunci n

nm mGN

n

00

mulţimea N =

N

este

n

fx - n e g l i j a b i l ă ,

deci

funcţia

/

este

nulă

[x-aproape p e s t e t o t î n a f a r a ş i r u l u i d u b l u (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e disjuncte două cîte două. C o r o l a r u l l.Fie t o funcţie definită pe T cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R. Bacă există 1 < ; p < + oo cuN (f) < + o o , atunci î este nulă ţx -aproape peste tot pe complementara unui şir de mulţimi compacte, disjuncte două cîte două. într-adevăr, n

m

p

î N (î)=i^\i\»^y

<

v

+oo

deci *|f| E x i s t ă u n şir (K ) n

p

d[i<

+oo.

d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi o 00

m u l ţ i m e (x-neglijabilă N, a s t f e l î n c î t p e n t r u

o r i c e t m N\J

ljK

n

să a v e m

v

| t(t) \ = O, d e c i î(t) = 0 . C o r o l a r u l 2 . Orice mulţime AdT cu [x* (A) < + oo este conţinută în reuniunea unei mulţimi (x -neglijabile şi a unui şir de mulţimi compacte disjuncte două cîte două. P r o p o z i ţ i a 4 . Fie f o funcţie definită pe T cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R. Bacă f este de putere p-sumabilâ (1 < ! p < + oo), atunci mulţimea A = {t\î(t) =f= 0 } este egală cu reuniunea unei mulţimi (x -neglijabile şi a unui şir de mulţimi compacte disjuncte două cîte două. D e o a r e c e N (f) < + o o , m u l ţ i m e a A e s t e c o n ţ i n u t ă î n r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i ţx - n e g l i j a b i l e N şi a u n u i şir (K ) de mulţimi compacte. D e o a r e c e f e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , m u l ţ i m e a A e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , d e c i m u l ţ i ­ m i l e A f| K s î n t (x - i n t e g r a b i l e . F i e c a r e m u l ţ i m e A fi K s t e reuniunea u n e i m u l ţ i m i (x - n e g l i j a b i l e N şi a u n u i şir (K ) <= de mulţimi compacte p

n

e

n

n

n

nm m

N

d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă . D e o a r e c e A = (A f| JV) U j^U (A fi ^ « ) j » rrmlţ i m e a A e s t e r e u n i u n e a m u l ţ i m i i ţx - n e g l i j a b i l e ( A f) N) U ^ U ^ n j Şi şirului d u b l u

(K ) nm

de mulţimi

compacte

disjuncte

două

cîte

a

două.

CRITERII DE INTEGRABILITATE

181

3 . Criterii de integrabilitate C u a j u t o r u l n o ţ i u n i i d e m ă s u r a b i l i t a t e se p o a t e d a a c u m u r m ă t o r u l criteriu de integrabilitate. T e o r e m a 1. Fie E un spaţiu Banach. O funcţie f : T -> E este p-sumabilă (1 p < + oo) dacă şi numai dacă f este [L-măsurabilă şi N (t) < + o o . D a c ă f e s t e p - s u m a b i l ă , a t u n c i N (t) < + oo şi e x i s t ă u n ş i r (f J d e f u n c ţ i i c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t , c o n v e r g e n t c ă t r e f, fx- a p r o a p e p e s t e t o t . C u m f u n c ţ i i l e f s î n t fx - m ă s u r a b i l e , r e z u l t ă c ă f e s t e d e a s e m e n e a jx - m ă s u r a b i l ă . E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă f e s t e (x - m ă s u r a b i l ă şi c ă N (t) < + oo. E e z u l t ă î n p r i m u l r î n d c ă m u l ţ i m e a A = {t\î(t) 4= 0} e s t e e g a l ă c u r e u n i u ­ n e a u n e i m u l ţ i m i (x - n e g l i j a b i l e I c i şi a u n u i ş i r (<7J d e m u l ţ i m i c o m ­ p a c t e disjuncte d o u ă cîte d o u ă . D e o a r e c e f este m ă s u r a b i l ă , fiecare c o m p a c t C e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i n e g l i j a b i l e N şi a u n u i ş i r d e m u l ţ i m i c o m p a c t e (C ) disjuncte d o u ă cîte d o u ă astfel încît restricţia lui f l a fiecare C s ă fie c o n t i n u ă . S c h i m b î n d n o t a ţ i a d a c ă e s t e n e c e s a r , p u t e m p r e s u p u n e d e l a î n c e p u t că restricţia lui f la fiecare C este continuă. v

p

n

p

n

n

nm m

nm

n

P e n t r u f i e c a r e n, m u l ţ i m e a K

n

este crescător, iar restricţia lui f compacte C ..,(7 sînt disjuncte c o n t i n u ă ) . S ă n o t ă m t = f9^ . Fiecare funcţie f este de o vecinătate compactă a lui K l v

n

=

{j

C

este

i

compactă,

şirul

(K ) n

la K este continuă (deoarece mulţimile i a r r e s t r i c ţ i a l u i f l a fiecare d i n ele este n

n

n

n

p u t e r e p s u m a b i l ă . F i e e > 0 ; fie astfel încît să a v e m

U

n

(ceea ce este posibil, d e o a r e c e m ă s u r a m u l ţ i m i l o r c o m p a c t e este m a r g i n e a i n f e r i o a r ă a m ă s u r i l o r m u l ţ i m i l o r d e s c h i s e c a r e o c o n ţ i n ; i a r ||f || = = s u p | î t) | < + 0 0 d e o a r e c e r e s t r i c ţ i a l u i f l a K e s t e c o n t i n u ă ) . E e s t r i c ţ i a n

n

tt

n

l u i f l a 2iL , f i i n d c o n t i n u ă , s e p o a t e p r e l u n g i l a o f u n c ţ i e g c o n t i n u ă p e î n t r e g s p a ţ i u l , a s t f e l î n c î t ||g || < ||f || + e. î n p l u s p u t e m a l e g e f u n c ţ i a g„ c u s u p o r t u l î n U (înmulţind-o la nevoie cu o funcţie continuă h : T - > [0, 1 ] e g a l ă c u 1 p e K şi n u l ă p e CU ), d e c i g e JC (T). A t u n c i n

n

n

w

n

n

n

n

n

E

1

A ş a d a r f e J>%. P e d e a l t ă p a r t e ş i r u l (f ) c o n v e r g e a p r o a p e p e s t e t o t c ă t r e f şi | î (t) \ < |f(t) \ p e n t r u o r i c e t e T şi o r i c e n e N, i a r N (f) < + 00. î n baza teoremei lui Lebesgue rezultă că f este de putere ^-integrabilă, şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r u l 1. O funcţie / > • 0 semicontinuă inferior sau superior este n

n

n

(x -integrabilă,

9

dacă

şi numai

dacă C / d f x <

00.

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL J£

182

CAP. III

î n t r - a d e v ă r , în acest caz / este m ă s u r a b i l ă (corolarul propoziţiei 5 , §10). C o r o l a r u l 2 . O mulţime A CZ T este fx -integrabilă dacă şi numai dacă este [L -măsurabilă şi fx* (A) < o o . C o r o l a r u l 3 . O mulţime A închisă sau deschisă este fx -integrabilă dacă şi numai dacă fx* (A) < oo. î n t r - a d e v ă r , în acest caz A este m ă s u r a b i l ă (corolarul 2 al propo­ ziţiei 20, § 9). C o r o l a r u l 4 . Pentru orice funcţie p-sumabilâ f : T -> E şi orice mulţime \L -măsurabilă A CZ T, funcţia î

e s t e fx - m ă s u r a b i l ă şi N (î E şi o r i c e m u l ţ i m e | m | - m ă s u r a b i l ă Aci T, v o m folosi n o t a ţ i a

A

A

A

^ Propoziţia 5.

Dacă

p

f d m = ^f

9

dm.

A

fx şi

A

două

măsuri

&i ( m - V ) = ^s(ji) n A \ (v), k

pozitive,

atunci

P < + oo,

şi topologia definită pe spaţiul J2%(\L + v) de seminorma N (f, (x+v) este echivalentă cu topologia definită pe spaţiul Jl ((x) f| Jl% (v) de seminorma N,(t, \L) + Jsr,(t, v). Din inegalităţile p

v

E

N

(f, (i + v) < N

p

p

(f, (x) + N

p

(f, v) < 2N

P

(f,

(x+v)

r e z u l t ă c ă J T ( f , f x + v ) < + oo d a c ă şi n u m a i d a c ă N (f, (x) < + oo şi X (t, v)< +oo. P e d e a l t ă p a r t e , f u n c ţ i a î : T -> E e s t e (x + v - m ă s u r a b i l ă d a c ă ş i n u m a i d a c ă f e s t e [x - m ă s u r a b i l ă şi v - m ă s u r a b i l ă . Aşadar f e (fx + v) d a c ă şi n u m a i d a c ă f e ^ | (jx) ş i f e ~£g(v), adică p

v

9

-2i

+

v)

((x) fi - £ i (v).

Afirmaţia relativă la echivalenţa topologiilor rezultă din inegalităţile dintre seminorme. C o r o l a r . Fie [x s i v două măsuri pozitive. O funcţie f : T -> E este (x + ^-integrabilă dacă şi numai dacă este (x -integrabilă şi v -integrabilă, în acest caz avem f d ( ( x + v) = ^ f d [ x

+ ^

d

v

-

Afirmaţia relativă la integrabilitatea lui f rezultă din propoziţia p r e c e d e n t ă . D a c ă f e s t e [x + v - i n t e g r a b i l ă , e x i s t ă u n şir (f„) d e f u n c ţ i i

CRITERII D E INTEGRABILITATE

d i n JC (T) a s t f e l î n c î t J | f - f | d ( ( j i E

183

+ v ) - > 0 . A t u n c i ^ | f - f J d f i - > O şi

n

j | f - f J d v - > 0. E e z u l t ă c ă

^dji

^ ( j f d f i ^ d v

P e n t r u funcţiile f

^ ţ j f d v ş i ^ f

d i n JC (T)

n

E

n

d ( x + (

v)-^fd(

<X + v ) .

avem

^d(|i + v) = ^fdA | + Jf. d v . H

P r i n trecere la limită, obţinem ^d(fx

+

egalitatea

v) ^ f d f x

+ ^ d v .

P r o p o z i ţ i a 6 . Fie m , n : JC (T) -> F două măsuri funcţia f : T -> E. Dacă f este m-integrabilă şi w-integrabilă, m+n-integrabilă şi

majorate şi atunci f este

E

(jf d ( m + n ) - J f d m

Din inegalitatea ^ ( | m | )

fi

+

(jf d n .

| m + n | <; |m| + |n|, deducem &\

(|n|) =

^ i

(|m|+|D|)

a

JP

(|m+n|)

M

deci, dacă f este m-integrabilă şi n-integrabilă, a t u n c i f este | m | + 1 n | - i n t e g r a b i l ă şi | m + n | - i n t e g r a b i l ă . F i e ( f j u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n JC ( T ) , c o n v e r g e n t î n m e d i e c ă t r e f, p e n t r u m ă s u r a | m | + l l E

n

ll iimm \ \\t | f u, - f | d ( | m | «-•30

+

|n|) =

:

0.

J

Atunci:

lim\|f,-f|

d|m| =

0,

n~+ac J

lim\|f„ -

f | d| n| =

n-+oc ,

{deoarece | m | < [ | m | + | n | şi | n | < | m | + | n | ) şi Km\\i

n

-

f | d | m + n| = 0 .

Deducem lim \ f d r a = n

ao J

\f d m ,

l i m \f

J

w-foo J

n

dn =

\f d n J

şi lim\f d(m n

n-fOO ,)

+

n) =

\fd(m+n). J

0

184

FUNCŢII M Ă S U R A B I L E . S P A Ţ I U L

D a r p e n t r u funcţiile f

d i n JC (T)

n

Jl**

CAP. III

avem

E

^ f d (m + n) = ^ f d m + ^ f d n . n

t t

n

Prin trecere la limită obţinem ^fd(m+n) = J f d m

+^fdn.

4 . Calculul integralei superioare pentru anumite funcţii

există

Propoziţia 7 . Fie/>0o o funcţie semicontinuă

funcţie inferior

{**(/) =

definită pe T (finită sau nu). h >- / cu ţx* (h ) < + o o , 0

0

Dacă atunci

inf

a) S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă jx* (/) = 0 , şi s ă n o t ă m A = {t \f(t)> 0 } şi O = {t\h (t\ > 0 } . Mulţimea O este deschisă iar m u l ţ i m e a A este jx-neglijabilă. F u n c ţ i a h e s t e ( x - i n t e g r a b i l ă , d e c i f u n c ţ i a h —h

0

0

0

G

-

0

0

A =

{t\h (t)

-

0

h (t) (t) 0

>

9A

0

A

0}

e s t e r e u n i u n e a u n u i ş i r c r e s c ă t o r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e şi a u n e i m u l ţ i m i [x-neglijabile N. M u l ţ i m i l e G = O — K s î n t d e s c h i s e , f o r m e a z ă n

n

0

n

00

u n şir d e s c r e s c ă t o r şi i n t e r s e c ţ i a l o r p |

O

= A (j N

n

este

fx-neglijabilă.

n=l

Atunci funcţiile h y cător, 0

Qn

s

î n t s e m i c o n t i n u e inferior, f o r m e a z ă u n şir descres­ K

0 9

= G n

* 0

K

9A>

S

n

şi inf [x* (ft

0

9^ ) <

[x* (ft ) < + o o . U r m e a z ă

că

0

n

inf (A* (&o ?
0

deci inf

6) S ă a r ă t ă m astfel încît

(x*(fe) = 0 =

a p o i c ă d a c ă AdT

V-*(f
ft*(/).

este

o

mulţime

h>f

heQ ,

A

a t u n c i p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT

+

avem

[x-neglijabilă

CRITERII DE INTEGRABILITATE

185

î n t r - a d e v ă r , fie e > 0 . E x i s t ă d o u ă f u n c ţ i i e s e m i c o n t i n u e i n f e r i o r \ Şi A > fy astfel încît să a v e m 2

> f<ţ>

A

K

Şi

Atunci \

+ h

este s e m i c o n t i n u ă inferior, \

2

+ h

*>f
2

şi

KyjA

deci

c) F i e a c u m o f u n c ţ i e o a r e c a r e / > 0 şi o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e ­ r i o r h ^>f c u [L* (h ) < + o o . D e o a r e c e ft e s t e fx - i n t e g r a b i l ă , m u l ţ i m e a ^ = \t\h (t) > 0} este reuniunea unei mulţimi -neglijabile J şi a u n u i ş i r c r e s c ă t o r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e . D e o a r e c e / < p < ft , a v e m 0

0

0

0

n

v

şi d e c i , p e n t r u f i e c a r e V*(f

? x

n

U

0

n

9

A

0 = M

V-*W,

h >

f < ?

K

n

h € 3

.

+

s

Şirul ( / ^

u x

) ® *© c r e s c ă t o r şi s u p /
deducem atunci

că jx*(/) = inf jx*(ft),

* > / ,

Ae3 . +

Propoziţia 8 . Fie / > - 0 o funcţie definită pe T. A == { ^ 1 / ( ^ ) ^ 0 } este conţinută în reuniunea unui şir deschise cu [x* (O ) < + oo pentru fiecare n, atunci

Dacă (G ) de n

mulţimea mulţimi

n

=

inf tx*(fe).

a ) S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă ţx*(/) = 0 şi c ă A e s t e c o n ţ i n u t ă î n t r - o m u l ţ i m e d e s c h i s ă G c u ţx* (G) < + o o . D e o a r e c e n

Q

0 = [L*(n

= inf fx*(A),

C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 6, § 5, a v e m 0 =

[x* ( s u p n

=

Q

G

A>wcp^,

J e 3

+

.

atunci

inf[x*(A),

A>supncp^,

Ae3 , +

00

Jl

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

186

Pentru

fiecare

e >

O există deci o funcţie A e 3

a s t f e l î n c î t fx*(A) <

+

CAP. III

cu

A >» s u p

/

£, d e c i

fx*(/) = inf fx*(A) = 0,

A>/,

ft6

3 . +

6) S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă fx* (/) > - O şi c ă J . e s t e c o n ţ i n u t ă î n t r - o m u l ţ i m e d e s c h i s ă G c u \L* (G) < + o o . D e o a r e c e (? e s t e fx-integrabilă, e x i s t ă u n şir c r e s c ă t o r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e c o n ţ i n u t e î n G, a s t f e l î n c î t n

00

mulţimea

N = G — [J K

e s t e [x-neglijabilă. F u n c ţ i a fy

n

e s t e [x-neglija-

N

bilă şi m u l ţ i m e a p u n c t e l o r î n c a r e e s t e

O e s t e c o n ţ i n u t ă î n (?, d e c i

A t u n c i , ca în d e m o n s t r a ţ i a propoziţiei 5, d e d u c e m că

şi c u m / = s u p / 9 ^ n

u

v

, u r m e a z ă că

n

jx*(/) = inffx*(A),

A>/,

ft6

3 . +

c) D a c ă A e s t e c o n ţ i n u t ă î n r e u n i u n e a u n u i şir (G ) d e m u l ţ i m i d e s c h i s e c u fx*((?J < + o o , p u t e m p r e s u p u n e c ă ş i r u l (G ) e s t e c r e s c ă t o r şi a t u n c i / = s u p /

n

G

n

m a i sus, V-*(f<Pa») = i n f [ x * ( A ) ,

A>/

(x*(/) = i n f fx*(A),

A>/,

9

(

?

n

,

rezultă C o r o l a r . Pentru orice $ir (G ) de mulţimi deschise

Ae3 . +

mulţime AciT, conţinută în reuniunea cu ţx (G ) < + oo pentru fiecare n, avem

n

unui

n

[i*(A)

= inf fx*((?),

G

deschisă.

D a c ă jx* (A) = + o o , a v e m jx* (6r) = + oo p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e d e s ­ c h i s ă GZ)A şi e g a l i t a t e a d i n e n u n ţ e s t e v e r i f i c a t ă . S ă p r e s u p u n e m c ă \i*(A) < + o o . C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i p r e c e d e n t e avem atunci jx*(A) = \i*(
= inf [X*(A),

A > 9^,

AeST.

F i e 0 < s < 1. E x i s t ă o funcţie A G 3 a s t f e l î n c î t 9^ < A şi [x* (A) < fx*( A) < [i*(A) + e. M u l ţ i m e a G = {t| A(tf) > 1 — s } e s t e d e s c h i s ă şi c o n ţ i n e p e J . . D a r A > (1 — 2)9^ d e c i +

jx* (
[x* (A) < — î - ({x* (A) + s ) . 1 — £

187

CRITERII DE INTEGRABILITATE

deci inf ^ ( 6 ) < — ( ^ ( i ) GZ>A

s fiind a r b i t r a r ,

1

—

+ e).

£

obţinem inf ii* (O) <

\i*(A),

G deschisă

[JL*(JL) = inf jx* (G),

G deschisă.


5 . F u n c ţ i i m ă s u r a b i l e definite

local

D e f i n i ţ i a 1. Spunem că o mulţime £ de părţi ale lui T este local numărabilă, dacă pentru orice punct teT, există o vecinătate V a lui t cu proprietatea că mulţimea părţilor A e J2. care intersectează pe V este cel mult numărabilă. D i n această definiţie rezultă că d a c ă «£este local n u m ă r a b i l ă , atunci m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r A<=J> c a r e i n t e r s e c t e a z ă o m u l ţ i m e compactă KaT, e s t e c e l m u l t n u m ă r a b i l ă , d e o a r e c e K p o a t e fi a c o p e r i t ă d e u n n u m ă r finit d e v e c i n ă t ă ţ i V d e felul celor d i n definiţie. P r o p o z i ţ i a 9. Fie fx o măsură pozitivă pe T. Există atunci o mulţime local numărabilă T — U K este

JC de părţi compacte ^-neglijabilă.

nevide

disjuncte

astfel

încît

mulţimea

K^JC

D a c ă (x = 0, l u ă m JC f o r m a t ă d i n t r - o s i n g u r ă m u l ţ i m e c o m p a c t ă n e v i d ă K a T şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă S ă c o n s i d e r ă m m u l ţ i m i l e J2 d e p ă r ţ i c o m p a c t e n e v i d e KaT dis­ j u n c t e d o u ă cîte d o u ă , cu p r o p r i e t a t e a că p e n t r u orice m u l ţ i m e K&J şi o r i c e m u l ţ i m e d e s c h i s ă TJaT c u TJ C\K=f= 0 s ă a v e m \i(TJf]K) > 0 . M u l ţ i m i l e JL f o r m e a z ă o p a r t e Cfc a m u l ţ i m i i (p {fp (T)) p e c a r e o c o n s i d e r ă m ordonată prin incluziune. Mulţimea n u e s t e v i d ă . î n t r - a d e v ă r , d e o a r e c e (x =j= 0, e x i s t ă cel p u ţ i n o m u l ţ i m e c o m p a c t ă HaT c u \i(H) > 0. F i e di m u l ţ i m e a t u t u r o r p ă r ţ i l o r d e s c h i s e TIC: T c a r e i n t e r s e c t e a z ă p e H şi p e n t r u c a r e \i(H f| TJ) = 0 şi fie U = U TJ. M u l ţ i m e a TJ e s t e d e s c h i s ă şi n u i n c l u d e p e H, d e o a r e c e 0

0

d a c ă a m a v e a HaTJ , a t u n c i H a r p u t e a fi a c o p e r i t d e u n n u m ă r f i n i t d e m u l ţ i m i d i n (71 şi a r r e z u l t a c ă (X(JET) = 0. S ă c o n s i d e r ă m m u l ţ i m e a c o m p a c t ă K = H — TJ . A v e m \i(K) > 0. î n t r - a d e v ă r , d a c ă a m a v e a \i(K) = 0, a r e x i s t a o m u l ţ i m e d e s c h i s ă Ga>K c u fx((?) < \i(H); a t u n c i H a r p u t e a fi a c o p e r i t d e G şi d e u n n u m ă r f i n i t d e m u l ţ i m i d i n Ol şi a r r e z u l t a \i(H) = [i(Gf\H) < \i(H). 0

0

188

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

CAP. III

J°°

D a c ă U e s t e o m u l ţ i m e d e s c h i s ă c u KC\ TJ=f= 0 , a t u n c i \i(KC\ U) > 0 . î n t r - a d e v ă r , d a c ă a m a v e a \i(Kf)U) = 0, a t u n c i a r r e z u l t a \i(Hf\ U) = 0 d e c i UaG şi d e c i KC\U = 0 . M u l ţ i m e a Jl f o r m a t ă n u m a i d i n p a r t e a K a p a r ţ i n e l u i (J, d e c i CJ n u este vidă. S e v e r i f i c ă i m e d i a t c ă d a c ă (J2. )a^A e s t e o f a m i l i e t o t a l o r d o n a t ă d e m u l ţ i m i d i n CJ, a t u n c i Jl = \J Jl a p a r ţ i n e d e a s e m e n e a l u i CJ. M u l ţ i m e a 0

a

a

CJ e s t e d e c i o r d o n a t ă i n d u c t i v . C o n f o r m t e o r e m e i l u i Z o r n , (J a r e cel p u ţ i n u n e l e m e n t m a x i m a l . F i e JC u n e l e m e n t m a x i m a l a l l u i CJ. M u l ţ i m e a JC e s t e f o r m a t ă d i n p ă r ţ i c o m p a c t e n e v i d e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e Ke JC şi o r i c e m u l ţ i m e d e s c h i s ă TJaT c u Vţ\K=f=
i(UnK)>0.

[

E ă m î n e d e a r ă t a t c ă m u l ţ i m e a JC a r e şi c e l e l a l t e p r o p r i e t ă ţ i d i n enunţul propoziţiei. F i e te T şi V o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i t. P e n t r u o r i c e f a m i l i e f i n i t ă (K^^i^n d e p ă r ţ i d i n JC, c a r e i n t e r s e c t e a z ă p e V a v e m

d e o a r e c e m u l ţ i m i l e K s î n t d i s j u n c t e . D a c ă n o t ă m c u JC m u l ţ i m i l e p ă r ţ i l o r KeJC c a r e i n t e r s e c t e a z ă p e V, a v e m i

V

£

^ ( x n F x ^ F x o o .

zeJCv D e o a r e c e \i(KC\V) > 0 p e n t r u KeJC , r e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a JC e s t e c e l m u l t n u m ă r a b i l ă , d e c i JC e s t e l o c a l n u m ă r a b i l ă . Să a r ă t ă m a c u m că m u l ţ i m e a N = T — K e s t e fx-neglijabilă. KeJC Să p r e s u p u n e m prin a b s u r d că N n u este neglijabilă. E x i s t ă atunci o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K' a s t f e l î n c î t Nf)K' n u e s t e [x-neglijabilă. E x i s t ă u n ş i r (K ) d e m u l ţ i m i d i n JC c e i n t e r s e c t e a z ă p e K', d e c i v

V

n

npik'

= r

-u^ni) n= l

f

A ş a d a r Nf]K e s t e o m u l ţ i m e b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă , d e c i ţx-integrab i l ă . E x i s t ă a t u n c i c e l p u ţ i n o m u l ţ i m e c o m p a c t ă Ha Nf\K' c u [i(H) > 0. C a m a i s u s s e c o n s t r u i e ş t e o m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaH astfel încît p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e d e s c h i s ă U c u Uf)K 0 s ă a v e m \i(Uf\K) > 0. A t u n c i m u l ţ i m e a JC\J {K} a r a p a r ţ i n e l u i CJ c e e a c e c o n t r a z i c e f a p t u l c ă m u l ţ i m e a JC e s t e e l e m e n t m a x i m a l î n CJ. A ş a d a r m u l ţ i m e a N e s t e (x-neglijabilă şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Propoziţia 1 0 . ( G o d e m e n t . ) Fie E o mulţime, [x o măsură pozitivă pe T, şi pentru fiecare mulţime compactă Ka T, fie o funcţie g : K - > E. Presupunem că pentru fiecare pereche (K, K') de mulţimi compacte funcţiile 9K Şi 9K* î t egale -aproape peste tot pe K f| K'. Există atunci o funcţie f :'T - > E, astfel încît pentru orice mulţime compactă Ka T să avem f(t) = g (t), (x -aproape peste tot pe K. K

s n

K

§ 11

CRITERII

DE INTEGRABILITATE

189

F i e JC o m u l ţ i m e l o c a l n u m ă r a b i l ă d e p ă r ţ i c o m p a c t e n e v i d e KaT, d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a s t f e l î n c î t m u l ţ i m e a N = T — U K s ă fie K^JC {JL - n e g l i j a b i l ă . Definim funcţia / p e T astfel : g

(t),

K

aeB,

d a c ă teK, dacă

şi

KeJC

teN.

F i e a c u m H CZ T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă o a r e c a r e . M u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r K d i n JC ce i n t e r s e c t e a z ă p e H e s t e cel m u l t n u m ă r a b i l ă . F i e (K ) f a m i l i a m u l ţ i m i l o r c a r e i n t e r s e c t e a z ă p e H. D e o a r e c e N\J(\j K) = T, a v e m (H f] B) U ( U (B* PI B) ) = H i a r H f] B e s t e n

ţx-neglijabilă. P e n t r u f i e c a r e n e x i s t ă o m u l ţ i m e fx-neglijabilă N dK (] H a s t f e l î n c î t p e n t r u t<=(K f\ H) — XT s ă a v e m fK (t) = f P e n t r u / e (2T f| J?) — N a v e m a t u n c i / ( t f ) = f (t) = f (t). A ş a d a r a v e m f(t) = f (t) p e n t r u p u n c t e l e t e H c a r e n u a p a r ţ i n m u l ţ i m i i (x-negli­ j a b i l e (Bnx) un B. n

n

n

W

n

n

H

n

Kn

H

B

n

n

Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Fie (U ) eA o acoperire a lui Tformată din mulţimi deschise, şi pentru fiecare a e i fie f o aplicaţie a lui U într-o mulţime G, astfel încît pentru orice pereche de indici ( a , P), să avem f (t) = f$(t), (x -aproape peste tot pe U f| Z7 . Există atunci o funcţie f : T - > 6r, astfel încît pentru orice a e A să avem f(t) = f (t), (x -aproape peste tot pe Z7 . P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kci T a l e g e m o f a m i l i e f i n i t ă TJOL 17a» c a r e a c o p e r ă p e K. F i e m u l ţ i m e a (x - n e g l i j a b i l ă d i n U fi U a s t f e l î n c î t p e n t r u te U f| TJ — N s ă a v e m f . (t) =f ,(t). Mulţimea B = U * - n e g l i j a b i l ă şi o r i c a r e a r fi 1 < ; i, j <; n şi t e J7 f| a a

a

a

a

a

P

a

a

a

X

ai

e s

A

if

a

a

a

e

a

—JV, a v e m / . (t) = / a

(tf). D e f i n i m a t u n c i f u n c ţ i a g :

a

g

K

K

(t) = ( « M ^ ' laeG,

d

a

C

ă

t

(

E

U

« i -

K -+G

astfel:

^>

dacătfeL

S e v e r i f i c ă u ş o r c ă o r i c a r e a r fi a e J . , a v e m gr^ (tf) = f (t), (x - a p r o a p e p e s t e t o t p e K fi I 7 . F u n c ţ i i l e g verifică ipoteza propoziţiei 10, a lui G o d e m e n t . E x i s t ă d e c i o f u n c ţ i e f : T -+G a s t f e l î n c î t p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Z c î s ă a v e m f(t) = g (t), j x - a p r o a p e p e s t e t o t p e K. A t u n c i p e n t r u o r i c e a e l şi o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kci T a v e m / ( t f ) == g (t) = f (t), jx - a p r o a p e p e s t e t o t p e K f| U d e u n d e r e z u l t ă c ă / ( t f ) = f (t), (x - a p r o a p e p e s t e t o t p e Z7 . P r o p o z i ţ i a 1 1 . Fie E, F şi G trei spaţii Banach şi u : E x F o aplicaţie biliniară si continuă, astfel încît \x\ = s u p | w ( # , y)\ pentru a

a

K

K

K

aJ

a

a

a

190

J

fx -măsurabilă f : T -> E şi g : T -+F astfel încît

orice x<=E. Pentru orice funcţie există o funcţie [x -măsurabilă a|f(*)|<

CAP.

l

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

\u(t(t),

g ( f ) ) | yt | g ( f ) |

o < a <

IU

1

>

= 1

(x -aproape peste tot. F i e Ka T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . Să p r e s u p u n e m m a i întîi că restric­ ţ i a l u i f l a K e s t e c o n t i n u ă şi c ă f(t) ^ 0 p e n t r u t e JS\ P e n t r u o r i c e p u n c t t ^K e x i s t ă u n e l e m e n t y e F c u | y | = 1 şi 0

0

0

0

«l*(*o)l < l«(*('o), yo)lDeoarece restricţiile la K ale funcţiilor din această inegalitate sînt con­ t i n u e , e x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a l u i t a s t f e l î n c î t p e n t r u t e F f| K s ă a v e m 0

0

a|f(f)| <

0

| « ( f ( t ) , 2/ )|. 0

D e o a r e c e JBT e s t e o m u l ţ i m e c o m p a c t ă , e x i s t ă o f a m i l i e f i n i t ă V ...,V d e m u l ţ i m i d e s c h i s e c a r e a c o p e r ă p e K şi o f a m i l i e f i n i t ă #i,...,#„ d e e l e ­ m e n t e din F astfel încît p e n t r u fiecare i să a v e m 19

|y,|=l

şi a | f ( t ) | < | f * ( f ( « ) , v

cîte două, cu A a

F

i

t

r

pentru

t^V^K.

d e m u l ţ i m i (x - m ă s u r a b i l e , d i s j u n c t e

S ă a l e g e m o f a m i l i e A ... A

n

p e n t r u f i e c a r e i şi U

A

= if.

{

n

Fxmcţia

două

etajată

t=i

g =

Ai

e

Yi ¥

s

t

e

m

^ - ă s u r a b i l ă şi p e n t r u t e K

|g(f)| = 1

şi a | f ( f ) | < | * ( f ( « ) ,

avem g(*))|.

S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă f e s t e m ă s u r a b i l ă şi fie A ={te K; f(t) = 0 } . Deoarece K — A e s t e jx - i n t e g r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e jx - n e g l i j a b i l ă NaK—A şi u n şir (K ) de mulţimi compacte disjuncte a căror reuniune 0

0

n

e s t e I C — A — N a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i f l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă şi d i f e r i t ă d e 0. P e n t r u f i e c a r e n e x i s t ă o f u n c ţ i e e t a j a t ă jx - m ă s u r a b i l ă g : T -> F c u g (tf) = 0 p e n t r u t& K şi 0

n

n

n

n

|g (t)| = 1

şi a | f ( < ) | <\u(t(t),

n

g»(*))|, pentru I G Z ,

00

F u n c ţ i a g^ =

g

w

+


e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . ,

n=l

a r e o i n f i n i t a t e n u m ă r a b i l ă d e v a l o r i şi p e n t r u teK

— N

avem

\ (t)\ = 1 şi a | f ( * ) | < | * ( f ( * ) , g* (t))\. F i e a c u m j£ o familie local n u m ă r a b i l ă de p ă r ţ i c o m p a c t e , disjuncte d o u ă c î t e d o u ă , a c ă r o r r e u n i u n e d i f e r ă d e T p r i n t r - o m u l ţ i m e jx-neglijab i l ă ( p r o p o z i ţ i a 7). F u n c ţ i a 9 k

e s t e [x - m ă s u r a b i l ă şi î n d e p l i n e ş t e c o n d i ţ i i l e c e r u t e .

CRITERII

DE

INTEGRABILITATE

191

C o r o l a r u l 1. Fie X şi Y două spaţii Banach. Pentru fiecare funcţie [i-măsurabilă U : T-> Jd (X, Y) şi pentru orice o < a < 1 , există o funcţie \i -măsurabilă g : T -> X astfel încît a\U(t)\

<

şi | g ( f ) |

\ U(t)g(t)\

= 1

jx -aproape peste tot. C o r o l a r u l 2 . Fie E un spaţiu Banach, î : T -> E o funcţie \L -măsu­ rabilă şi 0 < a < 1 . Există o funcţie (x -măsurabilă V : T -> E' cu a\î(t)\

<

<î(t),

f(t)

>

şi

|f'(*)|

=1

jx -aproape peste tot. C o r o l a r u l 3 . Fie E un spaţiu Banach, f' : T -> E' o funcţie [x rabilă şi 0 < a < 1 . Există o funcţie [x -măsurabilă f : T - > E cu a\V{t)\ [x -aproape

peste

<

<î(t),

î'(t)

>

şi \î(t)\

-măsu­

=1

tot.

6. F u n c ţ i i b o r e l i e n e A m v ă z u t că funcţiile semicontinue, inferior s a u superior, sînt m ă s u r a b i l e î n r a p o r t cu orice m ă s u r ă . O clasă m a i largă de funcţii c a r e a u această p r o p r i e t a t e sînt funcţiile boreliene. D e f i n i ţ i a 2 . Fie E un spaţiu metric. Vom nota cu (B (T) cea mai mică clasă de funcţii f : T -> E care conţin funcţiile boreliene etajate, şi toate funcţiile care au proprietatea că pentru fiecare mulţime compactă KaT, există un şir (f ) de funcţii din (B (T), convergent către f pe K. S e v e r i f i c ă u ş o r c ă (B (T) e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l şi u n m o d u l p e
n

B

E

B

C

E

P r o p o z i ţ i a 1 2 . Fie ( x > 0 o măsură pe T. Pentru orice funcţie ^-măsu­ rabilă f: T - > E, există o funcţie boreliană ge (B {T) egală cuf, [i-aproape peste tot. P e n t r u f i e c a r e c o m p a c t Ka T, e x i s t ă u n ş i r (g ) d e f u n c ţ i i b o r e l i e n e e t a j a t e c o n v e r g e n t c ă t r e / , [x-aproape p e s t e t o t p e K ( t e o r e m a 2 , § 1 0 ) . D a c ă n o t ă m g (t) = l i m g (t) d a c ă l i m i t a e x i s t ă şi g (t) = 0 î n c a z c o n E

n

K

n

K

n-*oo

t r a r , f u n c ţ i a g e s t e b o r e l i a n ă şi e s t e e g a l ă c u / , (x-aproape p e s t e t o t p e K. C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 1 0 , e x i s t ă o f u n c ţ i e g: T -> E, a s t f e l î n c î t pentru fiecare mulţime c o m p a c t ă KaT s ă a v e m g(t) = g {t) {x-aproape p e s t e t o t . K

K

y

192

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL J£

U r m e a z ă c ă g e s t e b o r e l i a n â şi e s t e e g a l ă c u /

CAP. III

fx-aproape p e s t e t o t .

P r o p o z i ţ i a 1 3 . F i e ( i > 0 o măsură pe T. Pentru orice funcţie ^-mă­ surabilă etajată î : T E există o funcţie borelianâ etajată g : T -+E egală cu f [L-aproape peste tot. F i e I c T o m u l ţ i m e [x-mă s u r a b i l ă . S ă a r ă t ă m c ă e x i s t ă o m u l ţ i m e b o r e l i a n â Ba A a s t f e l î n c î t [L*(A —B) = 0 . F i e (Kj) =j o f a m i l i e l o c a l n u m ă r a b i l ă d e p ă r ţ i c o m p a c t e d i s j u n c t e a s t f e l î n c î t m u l ţ i m e a N = T — U Kj s ă fie fx-neglij a b i l ă . D e o a r e c e A i(

e s t e [jL-măsurabilă, p e n t r u f i e c a r e j e j m u l ţ i m e a Af]Kj e s t e jx-integ r a b i l ă , d e c i e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i n e g l i j a b i l e Nj şi a u n u i ş i r (Cjn)N<=N d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e . M u l ţ i m e a

B,- = U C,- e s t e b o r e ­ n

a l

l i a n ă şi d i f e r ă

d e A f| K

printr-o

j

că mulţimea B = U

m u l ţ i m e fx-neglijabilă.

Să

Bj e s t e b o r e l i a n â şi d i f e r ă d e A p r i n t r - o

arătăm mulţime

neglijabilă. P e n t r u a c e a s t a fie KaT o mulţime compactă oarecare. Fiecare p u n c t t e K a r e o v e c i n ă t a t e V c a r e e s t e i n t e r s e c t a t ă cel m u l t d e o familie n u m ă r a b i l ă d e m u l ţ i m i 2 f . C u m K p o a t e fi a c o p e r i t d e u n n u m ă r f i n i t d e m u l ţ i m i F , r e z u l t ă c ă f a m i l i a m u l ţ i m i l o r Kj c a r e i n t e r s e c t e a z ă p e K e s t e cel m u l t n u m ă r a b i l ă ; s ă l e n o t ă m K K , . . . Acestea acoperă îm­ p r e u n ă c u N p e K. C u m (A — B)f\K e s t e jx-neglijabilă p e n t r u f i e c a r e i, r e z u l t ă c ă (A — B)C\K e s t e [x-neglijabilă, d e c i A — B e s t e [x-neglijabilă. P e d e a l t ă p a r t e , Kjf)B este b o r e l i a n â p e n t r u fiecare i, deci m u l ţ i m e a K^Bţ^K este b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă . A t u n c i m u l ţ i m e a Kf]B = 3

19

2

i

ao

— [j

(Kif) BC\K)

este borelianâ relativ c o m p a c t ă , deci B este o m u l ţ i m e

x=i

borelianâ. F i e a c u m f : T -> E o funcţie e t a j a t ă [x-măsurabilă, cu valorile I9 2J n r e s p e c t i v p e m u l ţ i m i l e jx-măsurabile A A, , A. P e n t r u fiecare i să c o n s i d e r ă m m u l ţ i m e a b o r e l i a n â B care diferă d e A printr-o m u l ţ i m e neglijabilă. A t u n c i funcţia g : T -> E care ia valorile u 2J • • • J n r e s p e c t i v p e m u l ţ i m i l e B , B , . . . , & e s t e b o r e l i a n â e t a ­ j a t ă şi e s t e e g a l ă c u f a p r o a p e p e s t e t o t . C o r o l a r u l 1. Fie E un spaţiu metric compact şi f : T E o funcţie ^-măsurabilă. Există atunci o mulţime ^-neglijabilă NaT şi un şir (g ) de funcţii boreliene etajate care converge uniform pe T—N către f. Se ţine s e a m ă d e propoziţia 1, § 10. X

X

x

±J

2

n

€

x

X

{

x

±

2

n

w

C o r o l a r u l 2 . Dacă E este finit dimensional şi dacă f : T - > E este o funcţie [L-măsurabilâ mărginită, există o mulţime [L-neglijabilă NdT şi un şir (î ) de funcţii boreliene etajate care converge uniform pe T — N vătre f. î n particular, corolarul 2 este a d e v ă r a t p e n t r u funcţii măsurabile mărginite reale sau complexe. n

§ 12

SPAŢIUL

§ 12. S P A Ţ I U L

00

Jd

193

£°°

1.

Seminorma

F i e (JL o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi E u n s p a ţ i u B a n a c h . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f : T -> E v o m n o t a c u ^ « ( f , (JL) s a u ^ « ( f ) , m a r g i n e a i n f e r i o a r ă a m u l ţ i m i i n u m e r e l o r r e a l e a c a r e a u p r o p r i e t a t e a c ă |f (t)\ < a, (x-aproape peste tot. N u m ă r u l ^ « ( f ) se n u m e ş t e maximul în măsură al funcţiei |f|, s a u \i-maximul f u n c ţ i e i |f|. D a c ă f şi g s î n t e g a l e (x-aproape p e s t e t o t , a t u n c i A ao(f) = N<x> (g). P r o p o z i ţ i a 1. Pentru orice funcţie f : T E avem | f ( J ) | < -^«(f)? \i-aproape peste tot. D a c ă ^ « ( f ) = + o o , afirmaţia este, evident, a d e v ă r a t ă . Să presu­ p u n e m că (f) < + oo. F i e a u n şir d e s c r e s c ă t o r a s t f e l î n c î t a > N(t) şi oi - > JV» (f). P e n t r u f i e c a r e n a v e m | f ( J ) | a , (x-apoape p e s t e t o t , d e c i m u l ţ i m e a A ={t\î(t)\ > a } e s t e (x-neglijabilă. A t u n c i m u l ţ i m e a T

w

n

n

n

n

w

(j

este

de

asemenea

A=

{t\\l(t)\>mî

n

(x-neglijabilă.

a } w

Observînd

că

inf a

w

=

lim a

n

=

^«(f)

d e d u c e m c ă | f ( J ) | < ; ^ « ( f ) , (x-aproape p e s t e t o t . P r o p r i e t ă ţ i l e f u n c ţ i e i Boo(î) s î n t u r m ă t o a r e l e : (f) < + o o ;

1) 0 < jabilă;

(f) = 0 d a c ă şi n u m a i d a c ă şi f e s t e (x-negli-

2) NacioLÎ) = \ <x|N<*(t), 3) ^ . ( î

+

a

scalar;

g)<^oc(f)+^oo(g);

4) ^ ( f X J o c t g ) d a c ă

|f|<|g|.

P r i m a p a r t e a p r o p r i e t ă ţ i i 1) e s t e e v i d e n t ă ; d i n i n e g a l i t a t e a |f (t) | < ; A '» (f), (x-aproape p e s t e t o t , d e d u c e m c ă d a c ă JV«»(f) = 0 , a t u n c i f (t) = 0, (x-aproape p e s t e t o t ; r e c i p r o c , d a c ă f (t) = 0, (x-aproape p e s t e t o t , a t u n c i ^ . ( f ) = 2 ^ ( 0 ) = 0. P r o p r i e t a t e a 2) e s t e e v i d e n t a d e v ă r a t ă p e n t r u a = 0, d e o a r e c e a f = 0 şi 0 Nao(i) = 0, c h i a r d a c ă JToo(f) = + ° ° ; d a c ă a ^ 0, s ă o b s e r v ă m 1

că | a f ( $ ) | < ; p ,

(x-aproape

peste

t o t , d a c ă şi n u m a i

(x-aproape p e s t e t o t . A ş a d a r , (3 > ^ « ( a f ) a d i c ă (3 > | a |

d a c ă şi n u m a i

(f). E e z u l t ă a t u n c i e g a l i t a t e a

dacă|f(J)|<;

—» 1*1.

dacă-^-^^(f), 1*1 (af) = | a | -37» (f).

00

Jl

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

194

CAP. III

P r o p r i e t a t e a 3) se o b ţ i n e o b s e r v î n d c ă | f (t)\ < J V . (/) şi | g(J) | < [x-aproape p e s t e t o t , d e c i

I f (0 +

g (*) l < I i (*)I + I g W | < -ar. (f) +

[x-aproape p e s t e t o t , d e

-^oo

^«(g)*

(g),

unde

N„(t

+

g)<-»Tao(f) +

^ao

(g).

P r o p r i e t a t e a 4) e s t e i m e d i a t ă . D i n a c e s t e p r o p r i e t ă ţ i se d e d u c e şi i n e g a l i t a t e a

5) |i*Mf)-7V.(g)| E şi 9 e s t e o f u n c ţ i e s c a l a r ă , a t u n c i

6) 2Mf?)<2Uf) ^ ( 9 ) . î n t r - a d e v ă r , | f (t)] < J V . (f)

şi [9 (t) | < J V » (9),

[x-aproape p e s t e t o t ,

deci

|l(0?(«)| = l«(<)|l?(0l< ^ 0 0 ( 1 ) ^ . ( 9 ) , [x-aproape p e s t e t o t , d e u n d e r e z u l t ă i n e g a l i t a t e a 6). Dacă E este o algebră n o r m a t ă , atunci inegalitatea 7) ^00(19X^.(1)^.(9) e s t e a d e v ă r a t ă p e n t r u o r i c e f u n c ţ i i f, g : T -> E. 8)

r

-S (f) 00

= sup

^«(f

9 -),

K

A

compact.

D a c ă J ^ O O (f) = 0, a t u n c i A oo (f 9A) = 0 şi e g a l i t a t e a e s t e v e r i f i c a t ă . Să presupunem (f) = a > 0 şi fie 0 < a < a. M u l ţ i m e a A = = {t | f (t) | > a } n u e s t e n e g l i j a b i l ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kcz T a s t f e l î n c î t [x* (Af]K) > 0. A t u n c i (f

a d e c i s u p ( 1 > ) = N (f). r

A

A

A

P e n t r u o f u n c ţ i e n u m e r i c ă ( f i n i t ă s a u i n f i n i t ă ) / : T -> R se d e f i ­ n e ş t e Nacif) c a m a i s u s . P r o p o z i ţ i a 1 r ă m î n e a d e v ă r a t ă şi î n a c e s t c a z . E e z u l t ă c ă d a c ă N o o ( f ) < +00, a t u n c i \f(t)\ < + 0 0 , [x-aproape p e s t e t o t . P r o p r i e t ă ţ i l e d e m a i s u s r ă m î n v a l a b i l e şi î n a c e s t c a z , d a c ă s u m a f + g, s a u d i f e r e n ţ a f — g, e s t e d e f i n i t ă p e T. Şi î n a c e s t c a z , p e n t r u d o u ă f u n c ţ i i / şi g e g a l e [x-aproape p e s t e t o t , a v e m A ( / ) = Nooig)Aşadar, p e n t r u funcţiile / definite pe T, cu valori în E sau în R (/) n u d e p i n d e d e c î t d e c l a s a / a f u n c ţ i i l o r e g a l e c u / , [x-aproape p e s t e tot. D e aceea p u n e m prin definiţie r

ao

f

tf. (/) = # . ( / ) . D a c ă f e s t e o f u n c ţ i e c u v a l o r i î n E s a u î n R, d e f i n i t ă [x-aproape p e s t e t o t p e E, p u n e m N o o ( i ) = ^ « ( f ) . î n a c e s t c a z , A ^ (f) a r e a c e l e a ş i p r o p r i e t ă ţ i c a şi p e n t r u f u n c ţ i i l e d e f i n i t e p e s t e t o t . Inegalitatea lui Holder * FG Ă\L
q

f > 0 , 9 > 0

00

Jl

SPAŢIUL

195

a f o s t d e m o n s t r a t ă p e n t r u 1
g < + oo, — - f — = 1 . V o m P 9 a c u m a c e a s t ă i n e g a l i t a t e şi î n c a z u l c î n d p = 1 şi q = + o o . Propoziţia 2 . Pentru orice funcţii pozitive f şi g definite valori finite sau + o o ) , avem \*

demonstra

pe

T (cu

fgd L^N (f)N (g). [

î

00

(g), f x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i

î n t r - a d e v ă r , a v e m g(t) <; /(<)

9(t)
ţx-aproape p e s t e t o t . D e aici \*

ţV^oo (
fg dfx <

\ * / d f x - ^ (gr) = N^f)^

2. Spaţiul

(g).

00

r^

F i e jx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi E u n s p a ţ i u B a n a c h . V o m n o t a c u (JE(T, [L) s a u (JE ([>.) s a u f £ £ m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r f : T -> E c u (f ) < < + o o . M u l ţ i m e a f ^ e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l i a r N (i) este o semi­ norma pe acest spaţiu. D a c ă E e s t e o a l g e b r ă n o r m a t ă , a t u n c i C£E e s t e o a l g e b r ă . O f u n c ţ i e f d i n Cfj^ p o a t e fi c a r a c t e r i z a t ă p r i n f a p t u l c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e mărginită g, e g a l ă c u f, j x - a p r o a p e p e s t e t o t . î n t r - a d e v ă r , p u t e m l u a g (t) = f (t) d a c ă |f (t) | <; (i) şi g (t) = 0 î n caz c o n t r a r . m

î n particular,

(JE

conţine t o a t e funcţiile

constante.

Propoziţia 3 . Un şir (f ) defuncţii din (JE converge către o funcţie i^Cţ^E pentru topologia definită de seminorma N^, dacă şi numai dacă există o mulţime ^-neglijabilă AdT, astfel încît şirul (f J converge uniform către f pe T — A. S ă o b s e r v ă m m a i î n t î i c ă p e n t r u f i e c a r e n e x i s t ă o m u l ţ i m e [x-neglij a b i l ă A d T , a s t f e l î n c î t s ă a v e m | f (t) — f (t) | < J V . (f — f) p e n t r u w

n

w

n

ao

t&A . n

Mulţimea

A =

A

n

e s t e fx-neglijabilă

şi p e n t r u

n= 1

şi o r i c e n<=N

avem

|f(l) - f ( l ) | < ^ ( 1 . - 1 ) . M a i m u l t , p e n t r u o r i c e n<=N

s u p \î (t)-î(t) n

t<=CA

avem

1=^.(1,-!).

orice

t^QA

J2°°

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

1 9 6

CAP. III

D e a i c i r e z u l t ă c ă d a c ă J V . (f — f) - > O, a t u n c i ş i r u l ( f ) c o n v e r g e u n i f o r m c ă t r e f p e m u l ţ i m e a QA, şi r e c i p r o c , d a c ă (f J c o n v e r g e u n i f o r m c ă t r e f p e CA, a t u n c i J T o o ( f — t ) - > 0 Propoziţia 4 . Spaţiul (Jz este complet. F i e (f ) u n şir O a u c h y d e f u n c ţ i i d i n Cf£. P e n t r u o r i c e p e r e c h e (m,n) d e n u m e r e n a t u r a l e , e x i s t ă o m u l ţ i m e (x-neglijabilă J L astfel încît pen­ t r u t&Â s ă a v e m \f (t) — f ( J ) | < JVoo(f» — / ) . D e a s e m e n e a , p e n t r u o r i c e neN, e x i s t ă o m u l ţ i m e (x-neglijabilă B a s t f e l î n c î t p e n t r u t e B s ă a v e m | t (t)\ < N o o ( f ) . R e u n i u n e a A a m u l ţ i m i l o r JL şi este ţx-neglijabilă şi p e n t r u o r i c e t&CA a v e m |f (t) — î (t) | < JV » (f — f ) Şi |f < Nn ( f j , o r i c a r e a r fi n şi m . D e o a r e c e l i m (î —î )= 0, r e z u l t ă n

n

n

E

n

m # n

m%n

n

m

n

n

n

n

m n 7

w

m

n

w

n

w

m

c ă l i m | f ( < ) — t (t)\ = 0, u n i f o r m p e n t r u J e g A . A ş a d a r , p e n t r u te CA n-*oo m->ao ş i r u l (î (t)) e s t e u n şir C a u c h y d e e l e m e n t e d i n s p a ţ i u l B a n a c h E, d e c i are o limită. Să p u n e m m

n

n

l i m f (t),

p e n t r u t & A,

n

f(l) = 0, p e n t r u te Din

A.

inegalitatea (î )

|N

n

m

-

N„

(f J | < 2 T . (f -

r e z u l t ă c ă ş i r u l d e n u m e r e (iVao(f )) v e r g e n t . A v e m , p e n t r u t& A,

este

n

\t(t)\

=

f J

n

lim|f (*)|
un

şir C a u c h y , d e c i e s t e c o n ­

J.(I )<+oo n

deci JooţfXUmJooffJ < n->ao adică

fe

+00

(J: . E

D e o a r e c e (f ) converge uniform către Noo (f — f ) - > 0, şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . w

f

pe

CA,

rezultă

că

w

3. Spaţiul

90

X

P e n t r u 1 < ! p < + o o , s p a ţ i u l Jl se c a r a c t e r i z e a z ă c a f i i n d subspa­ ţiul funcţiilor \L-măsurabile d i n (J- . î n m o d a n a l o g , î n c a z u l p = oo, v o m n o t a c u Jd (T, ţx) s a u j £ (fx) s a u ^ * , mulţimea funcţiilor \L-măsurabile din D e d u c e m i m e d i a t c ă ^ e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l şi c ă JV» e s t e o s e m i n o r m a p e a c e s t s p a ţ i u . S p a ţ i u l Jl c o n ţ i n e c a u n s u b s p a ţ i u v e c t o r i a l mulţimea a f u n c ţ i i l o r fx-neglijabile f : T - > E. S p a ţ i u l c î t ME/TIOO v a fi n o t a t L . F u n c ţ i a A (f) e s t e o n o r m ă p e L . A c e a s t ă n o r m ă se n o t e a z ă d e a s e m e n e a c u II f | | . v

E

V

E

E

E

r

E

E

00

x

197

SPAŢIUL

î n c a z u l c î n d E = B, v o m s c r i e J2™ şi X°° î n l o c d e JIR şi LR . D a c ă m : JC (T) -> F e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă , v o m s c r i e u n e o r i JE ( m ) î n l o c d e JE (] m |), şi (f, m ) î n l o c d e J N ^ f , | m | ) . E

Propoziţia 5 . Spaţiul JE este complet. Spaţiul LE este un spaţiu Banach. F i e (f ) u n şir d e f u n c ţ i i d i n JIE c a r e c o n v e r g e c ă t r e o f u n c ţ i e f e CJE p e n t r u s e m i n o r m a N*>. E x i s t ă o m u l ţ i m e (x-neglijabilă N(Z Tiu a f a r a c ă r e i a ş i r u l (f J c o n v e r g e u n i f o r m c ă t r e f. F u n c ţ i i l e f s î n t (x-măs u r a b i l e , d e c i f u n c ţ i i l e g = f 9c.v s î n t ^ - m ă s u r a b i l e şi c o n v e r g c ă t r e f u n c ţ i a g = f 9C.Y. E e z u l t ă c ă g e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă ; f u n c ţ i a f e s t e d e a s e m e ­ n e a fjL-măsurabilă d e o a r e c e e s t e e g a l ă ( x - a p r o q p e p e s t e t o t c u g. U r m e a z ă c ă f € JE . A ş a d a r j £ e s t e î n c h i s î n s p a ţ i u l c o m p l e t (JE. D e d u c e m c ă şi JBS e s t e c o m p l e t . S p a ţ i u l c î t LE e s t e a t u n c i d e a s e m e n e a c o m p l e t . Propoziţia 6. Orice funcţie f : T -> E borelianâ şi mărginită aparţine spaţiului JIE(\L) oricare ar fi măsura [x. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i i l e b o r e l i e n e s î n t m ă s u r a b i l e p e n t r u o r i c e m ă s u r ă \i. î n p a r t i c u l a r , J>E(V>) c o n ţ i n e f u n c ţ i i l e c o n t i n u e şi m ă r g i n i t e . S ă o b s e r v ă m c ă d a c ă f e s t e c o n t i n u ă şi m ă r g i n i t ă , a v e m w

n

n

w

2 M f ) < | | f | | = snp |f(<)| şi i n e g a l i t a t e a p o a t e fi s t r i c t ă . Propoziţia 7. Pentru ca să avem egalitatea ^«(f) =||f|| pentru orice funcţie t continuă şi mărginită, este necesar şi suficient ca suportul măsurii jx să fie egal cu T. D a c ă s u p o r t u l $((x) a l m ă s u r i i \L e s t e d i f e r i t d e T , m u l ţ i m e a CS(\i) e s t e d e s c h i s ă şi (x-neglijabilă. E x i s t ă o f u n c ţ i e f c o n t i n u ă n e i d e n t i c n u l ă c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n C#((x). A v e m a t u n c i ||f || > 0 şi JVoo(f) = 0. A ş a ­ d a r , d a c ă JVaoff) = || f |l p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f c o n t i n u ă şi m ă r g i n i t ă , a t u n c i S{[L) = T. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă #((x) = T. F i e f : T -> E o f u n c ţ i e c o n t i n u ă şi m ă r g i n i t ă n e i d e n t i c n u l ă ş i f i e 0 < a < || f ||.Mulţimea{tfj|f (t)\ < a } e s t e d e s c h i s ă şi n e v i d ă , d e c i a r e m ă s u r a s t r i c t p o z i t i v ă . U r m e a z ă c ă - ^ « ( f ) > - D e d u c e m a t u n c i c ă ^ / « ( f ) = ||f ||. P r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă D a c ă S(\L) = T , p u t e m s c u f u n d a s p a ţ i u l B a n a c h g * (T) a l f u n c ţ i i l o r f : T E c o n t i n u e şi m ă r g i n i t e , î n s p a ţ i u l J^E (T). S p a ţ i u l j£ (T) nu e s t e s e p a r a t î n g e n e r a l , a s t f e l c ă s p a ţ i u l B a n a c h g * (T) n u e s t e u n s u b s p a ţ i u î n c h i s î n J>%. D a c ă i d e n t i f i c ă m o f u n c ţ i e f e g * ( T ) c u c l a s a î e l " , s p a ţ i u l &E{T) se p o a t e s c u f u n d a i z o m e t r i c î n s p a ţ i u l i * , d e ­ o a r e c e , d a c ă #((x) = T , d o u ă f u n c ţ i i d i f e r i t e f şi g d i n &E (T) aparţin l a c l a s e d i f e r i t e f şi g d i n L - î n a c e s t c a z , @ (T) e s t e u n s u b s p a ţ i u în­ chis al spaţiului B a n a c h i * . S p a ţ i u l g * este diferit, în general, d e Z * , d e o a r e c e p e n t r u o f u n c ţ i e o a r e c a r e f e LE n u e x i s t ă î n g e n e r a l o f u n c ţ i e a

E

E

CAP. III

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

198

g c o n t i n u ă şi m ă r g i n i t ă , e g a l ă ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t c u f. R e z u l t ă d e a i c i c ă s p a ţ i u l JC (T) a l f u n c ţ i i l o r f : T - > E c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t n u este în general dens în d e o a r e c e JC (T)CZ & (T). P r o p o z i ţ i a 8. Orice funcţie [i-măsurabilâ etajată f : T - > E apar­ ţine spaţiului J>Eî n t r - a d e v ă r , o funcţie e t a j a t ă ia u n n u m ă r finit de valori, deci este mărginită. A m v ă z u t că spaţiul funcţiilor boreliene etajate, cu suport compact, este dens în fiecare s p a ţ i u , l^Cp < +00. î n general însă, spaţiul t u t u r o r funcţiilor e t a j a t e ţx-măsurabile (cu s u p o r t oarecare) n u este dens î n JIE, d e o a r e c e o f u n c ţ i e o a r e c a r e f eJl n u este în general limita uni­ f o r m ă , p e c o m p l e m e n t a r a u n e i m u l ţ i m i ţx-neglijabile a u n u i şir d e f u n c ţ i i etajate. Totuşi, p e n t r u funcţii cu valori î n t r - u n s p a ţ i u finit dimensional, avem P r o p o z i ţ i a 9 . Dacă E este finit dimensional, spaţiul funcţiilor eta­ jate boreliene f : T E este dens în spaţiul JIE. î n t r - a d e v ă r , o r i c e f u n c ţ i e f e j££ e s t e e g a l ă a p r o a p e p e s t e t o t c u o funcţie mărginită g e i a r f u n c ţ i a ţ x - m ă s u r a b i l ă şi m ă r g i n i t ă g p o a t e fi a p r o x i m a t ă uniform aproape peste t o t prin funcţii etajate boreliene (corolarul 2 al propoziţiei 13, § 11). C o r o l a r . Spaţiul funcţiilor etajate boreliene reale (respectiv complexe) este dens în spaţiul JP* (respectiv J>c). E

K

E

E

§ 13. P R O P R I E T A T E A

DE

RIDICARE

1. P r o p r i e t a t e a de ridicare a lui F i e ţx o m ă s u r ă pozitivă p e T. P e n t r u d o u ă f u n c ţ i i f şi g d e f i n i t e p e T s c r i e m f ~ g d a c ă f şi g s î n t e g a l e ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t . D e f i n i ţ i a 1. Fie Cfi o algebră defuncţii reale sau complexe definite pe T. O aplicaţie p : Cf-, Cfc se numeşte ridicare a lui (f. dacă îndeplineşte următoarele condiţii : I. p ( / ) ~ / ; I I . / ~ 9 implică p (/) = p (9); I I I . / = c o n s t a n t implică p (/) =

/;

I V . p ( « / + M = a ( / ) + PP( • 0 implică p (/) > 0 ; V I . (fg) = p(/) (g). Dacă Cfc posedă o ridicare p, spunem că (Jz are proprietatea de ridicare. N u o r i c e a l g e b r ă (Ji p o s e d ă o r i d i c a r e . D e e x e m p l u , a l g e b r a t u t u r o r funcţiilor ţx-măsurabile n u p o s e d ă nici o ridicare. P

P

P

§ 13

PROPRIETATEA DE RIDICARE

199

P r o p o z i ţ i a 1. Dacă (x =j= 0 , atunci algebra -£°°((x) are proprietatea ridicare*). O r i d i c a r e p a l u i -£°°((x) a r e , î n c ă , u r m ă t o a r e l e p r o p r i e t ă ţ i : VII. f(t)^Cg (t) (x-aproape p e s t e t o t , i m p l i c ă p ( / ) < ! p (g) p e s t e t o t ; V I I I . p ( / ) (t)| < N„ ( / ) , p e n t r u o r i c e l e T ; IX. p(/)| = p ( | / | ) ;

de

P ( s u p ( / , g)) = s u p ( p ( / ) , p (#)), X P ( i n f ( / , g))=inî

( ( / ) , p (g)). P

Fiecare ridicare p a lui ((x) se e x t i n d e î n m o d u n i c l a o r i d i c a r e a s p a ţ i u l u i -£*((x) n o t a t ă t o t p, p u n î n d p e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e c o m p l e x ă

c u A , / ^

f=fi+if2

0

0

^ ) P(/) = P(/i)

=i?ih)-

Se verifică i m e d i a t că p e ((x), p a r e t o a t e p r o p r i e t ă ţ i l e I — V I şi V I I — X . î n c o n t i n u a r e , o r i c e r i d i c a r e a l u i Jţ (ţx) v a fi c o n s i d e r a t ă î n m o d automat prelungită la (ţx) c a m a i s u s . P e n t r u d o u ă m u l ţ i m i A, B a T s c r i e m A~B d a c ă
A

dacă{x*(J.A^)

B

= 0. 00

F i e p o r i d i c a r e a l u i Jl (ţx). P e n t r u f i e c a r e m u l ţ i m e ( x - m ă s u r a b i l ă AdT, p(
9PU) = P(?^)Aplicaţia p definită p e n t r u mulţimile proprietăţi: I'. (A)~A; I F . A ~ B i m p l i c ă p(A) = ( J B ) ; I I I ' . p ( 0 ) = 0 şi p ( T ) = T ;

(x-măsurabile

are

următoarele

9

P

IV. V.

(A\JB) (Af]B)

9

9

= =

P

P

(i)Up(B); (i)flp(B);

şi d e a s e m e n e a u r m ă t o a r e l e p r o p r i e t ă ţ i c a r e s e d e d u c d i n c e l e p r e c e d e n t e : V I ' . l e f i i m p l i c ă p(A) C p ( J B ) ; V I I ' . Aţ\B = 0 i m p l i c ă ( J L ) n p(-B) = 0 ; V I I I ' . p ( 4 - J B ) = p ( A ) - p(JB). P

A f a r ă d e JH°° (jx), e x i s t ă şi a l t e a l g e b r e c a r e a u p r o p r i e t a t e a d e r i d i c a r e . S ă o b s e r v ă m m a i î n t î i c ă d a c ă p e s t e r i d i c a r e a u n e i a l g e b r e CJ şi d a c ă 0, e s t e o s u b a l g e b r ă a l u i (J c a r e c o n ţ i n e o d a t ă c u o f u n c ţ i e / , t o a t e f u n c ţ i i l e d i n CJ e c h i v a l e n t e c u / , a t u n c i r e s t r i c ţ i a l u i p l a ^ e s t e o r i d i c a r e a lui ^ . V o m n o t a c u <7((x) m u l ţ i m e a f a m i l i i l o r l o c a l n u m ă r a b i l e JC = (K^j d e p ă r ţ i c o m p a c t e n e v i d e d i s j u n c t e , p e n t r u c a r e m u l ţ i m e a T — IJKj este ?e j ţx-neglijabilă. *) Demonstraţia este dată în lucrarea Teoria

Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 1964.

măsurii

şi funcţii

reale

de N . Dinculeanu

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

200

jg°°

CAP.

III

D a c ă JC = (K^i^i e C (ţx) şi JC = (Kj)j^je <7(ţx), a t u n c i f a m i l i a JC f o r m a t ă d i n m u l ţ i m i l e n e v i d e K^K^ c u i e i şi j e J , a p a r ţ i n e l u i C(ţx). A s t f e l , m u l ţ i m e a <7(ţx) e s t e o r d o n a t ă p r i n r e l a ţ i a JC < JC" c a r e î n s e a m n ă c ă f i e c a r e m u l ţ i m e d i n JC e s t e c o n ţ i n u t ă î n t r - o m u l ţ i m e d i n JC" P e n t r u f i e c a r e f a m i l i e JC = (K,) je <7(ţx) s ă n o t ă m c u Jli™ (JC) m u l ţ i m e a funcţiilor complexe / definite pe T, care a u p r o p r i e t a t e a că c p ^ . e ^ ? (ţx), p e n t r u o r i c e j e j . M u l ţ i m e a JH™ (JC) e s t e o a l g e b r ă c a r e c o n ţ i n e p e Jl™ P r o p o z i ţ i a 2 . Pentru fiecare ridicare p a lui Jl* (u) există o ridicare Pj, a lui JUc (JC) astfel încît pentru orice funcţie fe JtLc (JC) şi orice j e j X

2

iE:

să

avem ?(
=

?p<JTy)

Pj^(/)-

F i e p o r i d i c a r e a l u i Jl™ (p) şi -4. o m u l ţ i m e c o m p a c t ă c u \i(A) > 0 . S ă c o n s i d e r ă m s u b a l g e b r a Jl™ (A, ţx) a f u n c ţ i i l o r / e J ? * (ţx) c a r e se a n u l e a z ă î n a f a r a l u i A. F i e x °£c (A, p) C o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă c o n t i n u ă şi m u l t i ­ p l i c a t i v ă c u X(9A) = 1t e o r i a a l g e b r e l o r B a n a c h se ş t i e c ă e x i s t a asemenea aplicaţii. :

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e / e Jtl™ (JC) d e f i n i m f u n c ţ i a p-^ (/) ?jciî)

(*) =

P ( ? * , / ) (*)>

d

a

c

ă

*

e

P^(/)(0=X(/?Jdacă*6TSe verifică 9j/(f)^J^c

imediat

că

c

Mi

Şi & Pjţ

y

pj^(f)

K

i

K

P( >)

U

J

Şi

J^ >

P(*,).

. e p e n t r u

are toate proprietăţile

astfel:

fiecare

j e j

şi

deci

I—VI.

S ă n o t ă m c u JUc m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r / : T -> C c a r e a u p r o p r i e t a t e a c ă fcp e Jl™ (ţx) p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă . JH™ e s t e o s u b a l g e b r a a a l g e b r e i JUc (JC), o r i c a r e a r fi f a m i l i a JC = ( J K ^ , ) l o c a l n u m ă r a b i l ă d e p ă r ţ i c o m p a c t e d i s j u n c t e a s t f e l î n c î t T — \JKj s ă fie ţx-neglijabilă. C o r o l a r . Există o aplicaţie p : JUc -> JUci numită ridicare a lui JH™, care are proprietăţile I—VI. F i e JC = (Kj)iej o familie local n u m ă r a b i l ă d e p ă r ţ i c o m p a c t e dis­ j u n c t e a s t f e l î n c î t T — [jKj s ă fie ţx-neglijabilă. E e s t r i c ţ i a p a l u i p ^ l a K

JeJ

1

2

e s t e o r i d i c a r e a l u i JUc PJC (/) ? * ~ fVx deci

Mc

e

9

j

c

d e o a r e c e p e n t r u feJtlc (f) e jflt?.

şi

compact avem,

O a p l i c a ţ i e i m e d i a t ă a e x i s t e n ţ e i u n e i r i d i c ă r i a s p a ţ i u l u i Jl™ e s t e p r o p o z i ţ i a u r m ă t o a r e , c a r e e x t i n d e t e o r e m a 1, § 5, la cazul f u n c ţ i i l o r măsurabile. P r o p o z i ţ i a 3 . Fie p o ridicare a lui Jff.% şi fie CJi o mulţime filtrantă (pentru relaţia <]) de funcţii f e JH™ astfel încît / > - 0 şi p(f) = / . Atunci anvelopa superioară / » = s u p / este [i-mâsurabilă si

\

s u p / dţx -

J ie(%

sup

i /

leCfc

J

dţx.

PROPRIETATEA DE RIDICARE

201

Să p r e s u p u n e m m a i întîi că / » este m ă r g i n i t ă . F i e K C T o m u l ­ ţime compactă. Atunci / o o (t)
{K)

(t) = s u p / ( J ) y \

(*), p e n t r u o r i c e t<E T.

? K)

D e o a r e c e / » e s t e m ă r g i n i t ă , f i e c a r e f u n c ţ i e f^CJ este mărginită, deci a v e m fy e Jl p e n t r u f i e c a r e / e CJ. E e z u l t ă c ă m u l ţ i m e a CJ = { / ^ z) r / e J P } d e e l e m e n t e d i n i (jx) e s t e f i l t r a n t ă şi s u p H / c p p ^ , l l i < ^ i ( / o c ? A ) < ° ° 1

K

K

P

(

1

1

C o n f o r m t e o r e m e i 7, § 7, CJ are o margine superioară g e X şi c o n v e r g e c ă t r e # î n Z ( ( x ) . P u t e m g ă s i u n şir c r e s c ă t o r d e f u n c ţ i i d i n CJ astfel încît ( / 9 s ă t i n d ă c ă t r e # î n Z ^ ) şi a p r o a p e p e s t e t o t . A t u n c i / o o (t) l i m / (t) 9 (<) = # ( J ) , [jt-aproape p e s t e t o t . U r m e a z ă K

1

1

n

P

(

c ă gre J ?

P ( Z )

n

00

((x). D i n

inegalitatea

9(t)>f p e n t r u fiecare / e f ^ ,

(t) ? (A)

[^-aproape p e s t e

P

tot

deducem

P ( p e n t r u o r i c e < e T ş i f^CJ,

p(/?p <*,)(*)

?p(jr, (')

deci

p(0)(«) > / • ( < ) ? ( « (t) P

A ş a d a r / o o 9 p ^ ) coincide r a b i l ă şi

p e n t r u o r i c e * E T.

9

cu

(

sup

/(*)

=


\/9p(A)d{x =

V gd[i

=

9

p

{ K )

fx-măsu-

dfx.

Deoarece e s t e a r b i t r a r , r e z u l t ă că /«, e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă ; l u î n d în egalitatea p r e c e d e n t ă m a r g i n e a superioară p e n t r u t o a t e m u l ţ i m i l e c o m p a c t e Kcz T, d e d u c e m sup

[

/dfx

=

/erjEJ

(

/oodjx.

J

S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă /<» e s t e o a r e c a r e . P e n t r u f i e c a r e n u m ă r n a t u r a l p, s ă c o n s i d e r ă m f a m i l i a (J = { i n f (/, p); / e f ^ } . M u l ţ i m e a CJ^ e s t e f i l t r a n t ă , f o r m a t ă d i n f u n c ţ i i m ă r g i n i t e şi a v e m v

p ( i n f (/, JI)) = inf ( p ( / ) , p(j>)) =

inf (/,

Şi inf (U,p)

= s u p inf ( / , p) = s u p g ^(J

p)

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

"202

j£

D e o a r e c e inf (/«>, p) e s t e m ă r g i n i t ă , d i n p r i m a d e d u c e m c ă inf (/«,, p) e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă şi *

CAP. III

parte

a

demonstraţiei

r* inf (/oo, p) dfjt == s u p / e ^

\ inf J

(/,;p)dfx.

F ă c î n d a p o i p -> oo, d e d u c e m c ă / « , = s u p (info, (f^p))

/oc dfJL =

SUp V /d{JL.

Ou aceasta propoziţia este

demonstrată.

2. Proprietatea

a

de

ridicare

e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă şi

spaţiilor

de f u n c ţ i i

vectoriale

F i e [L o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T , E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi Z u n s u b s p a ţ i u a l l u i F', normant p e n t r u F, a d i c ă : | y | = sup - — —

» p e n t r u orice

V o m n o t a c u Jl* (E, F) m u l ţ i m e a a p l i c a ţ i i l o r f i e c a r e U e Jl* (E, F) v o m n o t a | U\ =

sup

| < Ux,

y^F.

l i n i a r e U : E ->F.

Pentru

z > | = s u p | f7a?|< + o o .

î * i<: i P e n t r u U : T -> £* (E, F), z: T -> E şi x: T -> Z, v o m n o t a < f u n c ţ i a t-> şi c u | U\ f u n c ţ i a t -> | U(t)\. P e n t r u d o u ă f u n c ţ i i U U :T J2* (E, F) v o m s c r i e TT = 19

<

U x,

z >

x

=

<

2

, p e n t r u o r i c e x <s E şi

2

Observaţii 1°. E e l a ţ i a U = U d e p i n d e n u n u m a i şi F, d a r şi d e s p a ţ i u l Z. 2° D a c ă Z e s t e d e t i p n u m ă r a b i l , a t u n c i a v e m U n u m a i d a c ă U (t)x = U (t)x, fx-aproape p e s t e t o t , p e n t r u î n p a r t i c u l a r , d a c ă F = C, a t u n c i J>* (E C) = E*; p e n t r u d o u ă f u n c ţ i i f, g : T -> E a v e m f = g d a c ă şi n u m a i 2

x

x

2

9

< x, i (t) >

=

< x, g (t) >

, [L-aproape

p e n t r u fiecare x^E. 3° D a c ă E = C, a t u n c i J2*(C, F) = F; f u n c ţ i i f, g : T ->F, r e l a ţ i a f = g î n s e a m n ă
z > = <$(z),

z >

2

dacă

zeZ. de spaţiile

E

= U d a c ă şi fiecare xeE. în acest caz, dacă 2

peste tot,

în acest caz p e n t r u

două

, fx-aproape p e s t e t o t , p e n t r u fiecare

z^Z.

4° D a c ă E şi Z s î n t d e t i p n u m ă r a b i l , a t u n c i U — U d a c ă şi n u m a i U (t) = U (t), [x-aproape p e s t e t o t . 1

dacă

U

1

Î 7 a?, s > x

Uz,x>

1

2

2

PROPRIETATEA DE RIDICARE

203

5° D a c ă F e s t e d e t i p n u m ă r a b i l , a t u n c i e x i s t ă u n s u b s p a ţ i u d e t i p n u m ă r a b i l Z (Z F n o r m a n t p e n t r u F. î n t r - a d e v ă r , fie (y ) u n şir d e n s î n F; p e n t r u f i e c a r e y e x i s t ă z eF' c u \z \ = 1 şi | | = \y \. S p a ţ i u l Z g e n e r a t d e ş i r u l (z ) a r e p r o ­ prietatea de mai sus. Definiţia 2 . Fie Q un spaţiu vectorial de funcţii TJ : T - > £* (E, F). O aplicaţie p : ^ - > Q se numeşte ridicare liniară a lui Q, dacă îndeplineşte următoarele condiţii : f

n

n

n

n

n

n

n

n

I. ?(U)=U; I I . TJ = TJ implică p( TJ^ = p( TJ ); I I I . TJ = c o n s t a n t i m p l i c ă p( TJ) = TJ; V . p ( o c t f + p F ) = ap(f7) + p p ( F ) . Dacă Q. posedă o ridicare liniară spunem că are proprietatea de ridicare liniară. N u orice s p a ţ i u vectorial a r e p r o p r i e t a t e a d e ridicare liniară. Se v a a r ă t a m a i d e p a r t e c ă d a c ă [i =j= 0 şi n u e s t e a t o m i c ă , a t u n c i s p a ţ i u l J2?(\L), 1 < ; p < oo n u p o s e d ă n i c i o r i d i c a r e l i n i a r ă p o z i t i v ă . F i e (Ji o a l g e b r ă d e f u n c ţ i i s c a l a r e , a s t f e l î n c î t / e CJ i m p l i c ă | / | e CJ. V o m n o t a c u Cfc s p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r TJ: T - > J2* (E, F) c a r e a u următoarele două proprietăţi: 1) < TJx, z > eCJ p e n t r u o r i c e xeE şi zeZ\ 2) p e n t r u o r i c e x e E e x i s t ă o f u n c ţ i e 9 e CJ c u | TJ |
2

2

E %F

a

E

X

F

x

E

F

<X>

E

F

Bec (TJ ) < oo p e n t r u X

Pentru înseamnă

s p a ţ i u l JH

EiF

(JC) c u

fiecare

x e E.

JC — (2T,)*=J e G (ţx) p r o p r i e t a t e a

(TJx
2)

şi j e J .

Kj

V o m a r ă t a c ă î n a c e s t e d o u ă c a z u r i , CJ , g- a r e p r o p r i e t a t e a d e r i d i c a r e liniară. P r o p o z i ţ i a 4 . Pentru fiecare ridicare p a lui J2J* (ţx) există o ridicare liniară a lui Jl , ' ((*) notată tot p şi numai una astfel încît să avem E

E Z


=

z >

p ( < TJx, z, >),

pentru

TJejS, ")

ooeE

EyZ

şi

zeZ.

atunci V. VI.

p(£7» =

p(TJ)

7

|p(f )|
p(cp), pentru dacă

TJe£% , E9

TJej2,

-,

Ei

z

cpGi

8

0

Şi 9 ^ ^ ° ° şi

| f 7 | < 9.

F i e p o r i d i c a r e a l u i J ? . P e n t r u f i e c a r e a ? e l ? şi zeZ n e m TJ = p ( < f ^, z > ). P e n t r u f i e c a r e £ e T a p l i c a ţ i a este o funcţională biliniară p e ExZ. Pentru x fixat, 00

7

X%z

şi

să pu­ £7^ (t) aplicaţia

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

204

U (t) : z - > U deoarece x

XtZ

(t) e s t e o f u n c ţ i o n a l ă

)(t)\^N (Ux)\z\ ao

d e c i U (t)^Z' şi | U (t) \ < Nao(U ). E în e s t e l i n i a r ă , d e c i p (U) (t) e x

x

<

A p l i c a ţ i a p(U) (t): (iS7, Z ' ) şi a v e m

x

p (U) (t) x, z >

p e n t r u o r i c e t e T, x <= E şi # <= < p (f7)

x,

z >

CAP. III

l i n i a r ă p e Z. E a e s t e şi c o n t i n u ă

= | p ( < Ux,z>

\UJt)z\

J'

=

p ( < Ux,

x - > U (t) x

a lui

z » ( t )

adică p (<

=

U

XjZ».

D i n a c e a s t ă e g a l i t a t e r e z u l t ă şi u n i c i t a t e a l u i p(U). D i n p r o p r i e t ă ţ i l e r i d i c ă r i i p a l u i .i? se d e d u c u ş o r p r o p r i e t ă ţ i l e d e r i d i c a r e l i n i a r ă a l u i p p e <£E,Z'> c a şi p r o p r i e t ă ţ i l e V şi F I . D e e x e m p l u , p r o p r i e t a t e a V I s e d e d u c e a s t f e l : d a c ă | U\ < ; cp, 00

|< = de

= | p ( < Ux z>)

(U)(t)x,z>\

9

(t)\

9

p ( | < Ux,z>\)(t)< (
\z\)

9

=

p ( ) ( t ) | * | |*|

(t) =

9

unde \p(U)

( * ) l < ?(?)(*).

L u î n d î n p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă E = C, o b ţ i n e m C o r o l a r u l 1. Să notăm cu Jl*^ spaţiul funcţiilor au următoarele două proprietăţi : 1) < f, z > €= Jl°° (jx), pentru orice zeZ; 2) (f) < o o . Pentru orice ridicare p a Zwi J£* există o ridicare notată tot p, şi numai una astfel încît să avem <

p(f), z >

=p(
E e m a r c ă m că relaţia f = < î(t),

z >

=

< g(t),

z >,

z>)

pentru

orice

orice

p ( < x, f > ) , pentru

E e m a r c ă m . că, în acest caz, f = =

< x, g(t) >,

a lui J!%^

( x - a p r o a p e p e s t e t o t , p e n t r u f i e c a r e z <=Z. f : T

E*

care

xeE.

Pentru orice ridicare p a lui Jl**, există o ridicare tot p şi numai una astfel încît sâ avem

< x, f (t) >

care

g înseamnă în acest caz

< x, f > ^J2°° (fx), pentru

=

liniară

~> Z'

zeZ.

L u î n d î n p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă F = C, o b ţ i n e m C o r o l a r u l 2 . Să notăm cu Jl%* spaţiul funcţiilor au următoarea proprietate :

< x, p(f) >

f : T

liniară orice

a lui J^*

notată-

x&E.

g înseamnă

j x - a p r o a p e p e s t e t o t p e n t r u f i e c a r e x <= E.

PROPRIETATEA DE RIDICARE

205

Combinînd rezultatele precedente deducem C o r o l a r u l 3 . Pentru orice ridicare p a lui (fx), extensiunile la spaţiile J£%, > ŞÎ> <£°z' i notate tot cu p, verifică egalitatea z

sale

$

p(U)x pentru

=

p(Ux)

orice U eJl^^ şi xeE. P r o p o z i ţ i a 5 . Fie familia JC = (K,)j eC (fx). Pentru fiecare ridi­ care p a lui Jl (fx), există o ridicare liniară pj^ a spaţiului JHE, > ( ^ ) ? astfel 7/

GJ

00

Z

încît

să

avem <

^pentru fiecare

Pj,(U)x,z>

UeJfL^ ,

9 £.) =

p(<

P(

(JC), x<=E,

z

Ux,z>

zeZşijeJ.

F i e U eJW%^ . (JC)şi j e j . P e n t r u f i e c a r e xeE şi zeZ, să p u n e m f/ , = p ( < Ux,z >

U (t) e s t e o f u n c ţ i o n a l ă b i l i n i a r ă p e ExZ; există deci o aplicaţie liniară Uj (t): E -> Z* c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a z

x 2

Kj

<

U^t),z

:ttZ

>

=

U

(t), p e n t r u xeE

Xte

şi

zeZ.

F u n c ţ i o n a l a l i n i a r ă U$ (t) x e s t e şi c o n t i n u ă p e Z, | < U, (t) x, z > | = | p «Ux,

z »

deoarece

(t)

Kj

Kj

f

d e c i Uj (t) e Jd* (E, Z ). F i e a c u m A o m u l ţ i m e c o m p a c t ă c u fx(JL) > 0, a s t f e l î n c î t s u p \U(t)x\ < oo p e n t r u f i e c a r e xeE. De e x e m p l u , A p o a t e fi l u a t ă teT e g a l ă c u u n a d i n m u l ţ i m i l e K,eJC c a r e n u s î n t jx-neglijabile. P e n t r u f i e c a r e xeE şi zeZ să considerăm funcţionala biliniară (x, z) - > -ţ— p e ExZ.

Există <

atunci U x, 0

[

<

o aplicaţie

z >

= ——

U(t)

[

U

:E ->Z*

<

U(t)

0

(

x , z > d i astfel

x, z >

încît

drx.

Funcţionala liniară U x este continuă pe Z deoarece 0

| < Z x, z >

|

0

deci

s u p | U (t) x | z | te A

U ej2*{E,Z'). Q

Definim

acum funcţia W ) p
pj/(U)

=

UA*)

=

U

0

pe T

astfel:

j Pentru ? € p ( I , )

, p e n t r u teT

-{J ieJ

şi j e p{K ). 9

J,

să a v e m

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

206

S e v e r i f i c ă u ş o r c ă pjţ(U)

J£

CAP. III

e JtL™ . (JC) ş i c ă p ^ e s t e o r i d i c a r e l i n i a r ă iZ

care îndeplineşte condiţiile din e n u n ţ u l propoziţiei. Observaţie. E i d i c a r e a l i n i a r ă pj^ n u e s t e u n i c d e t e r m i n a t ă d e E a depinde, de exemplu, de mulţimea A din cursul demonstraţiei. L u î n d î n p r o p o z i ţ i a 5 E = C, o b ţ i n e m C o r o l a r u l 1. Sâ notam cu Jtl™(JC) spaţiul funcţiilor i : T -> Z' au următoarele două proprietăţi : 1) < f, z > ^ .^J™ (JA), pentru orice zeZ si j e j ; 2) Nao (lcp .) < oo pentru orice j^J.

p.

care

S

K

Pentru

orice

astfel

< pentru

care

p a lui Jl™ există

ridicare

încît

sâ

P^(f), * >

Î<EM™(JC),

o ridicare

liniară

Z&Z

şi

?P(AV> =

Pentru

j^J.

astfel

încît

sâ

orice x^E

Kj

există

o ridicare

şi je

liniară

f e ( J C )

ale spaţiilor

®J ?x

>

O

, X<EE

J. (JC)

E

şi

^ptAV)

=

?(<

x,t>

J<EJ.

JHE,F

(JC) şi JfCr^(JC)

notate

cu

pj,,

ridicările

corespunzătoare

liniare lui

p

r

egalitatea Pj/(U)x

pentru

E

pj/ a lui Jtl *

Combinînd rezultatele precedente deducem C o r o l a r u l 3 . Fie p o ridicare a lui Jl™ ((JL). Atunci verifică

f : T

avem <

pentru

orice ridicare

lui

p ( < f, « > 9*,-)

L u î n d î n p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă F = C, o b ţ i n e m C o r o l a r u l 2. Sâ notăm cu Jfl™*(JC) spaţiul funcţiilor au următoarea proprietate : < x, f >

pj^ a

avem

=

pj/(Ux),

[i-aproape

peste

tot,

orice Ue JHE,W (JC) şi xeE. D e f a p t , p e n t r u f i e c a r e j e J, a v e m Pj4

U)x

9p ',) = (Â

pj^(

Ux)

cp A,.). p(

3 . F u n c ţ i i c u p r o p r i e t a t e a de r i d i c a r e F i e [i o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T, E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi Z s u b s p a ţ i u a l l u i F' normant p e n t r u F. F i e p o r i d i c a r e a l u i Jl™ (\L). D e f i n i ţ i a 3 . Fie funcţia U : T - > JtE, F).

un

PROPRIETATEA DE RIDICARE

<

a ) Vom scrie p(U) Ux, z> e£«> (fx) şi

=

p {<

U,

dacă

Ux,

pentru

z >)

=

<

fiecare Ux,

b ) Vom scrie p[U] = U, dacă există încît pentru fiecare j e j , xeE şi zeZ

astfel şi

p ( < Ux, Z, >
=

K

207

z

xeE

zeZ

avem

>.

o familie să avem<


şi

Z >

JC = (K ) .je C(\x), Ux, z>

Kj


S ă o b s e r v ă m c ă r e l a ţ i i l e p(?7) = U şi p[?7] = U se r e f e r ă l a u n a n u m i t s u b s p a ţ i u ZaF'. S ă o b s e r v ă m d e a s e m e n e a c ă r e l a ţ i a p[U] = = U s e r e f e r ă l a o a n u m i t ă f a m i l i e JC = (K^^e C((x).Dacă o m u l ţ i m e ţx-măsurabilă A este c o n t i n u ă într-o m u l ţ i m e , atunci avem de asemenea p( < în

Ux, z >


<

Ux, z >

9pU),

p e n t r u xeE

şi

zeZ.

adevăr,

p (<

Ux,,z

>

p«Ux,

A

=

<

z >

Ux, z >



9

p{Kj)

d e o a r e c e A cz Kj i m p l i c ă p(A) a E e z u l t ă că d a c ă U , U : T -> = U şi p[U ] = U , p u t e m găsi a s t f e l î n c î t , p e n t r u o r i c e j e J, xeE x

t

2

U x, z >

9^)

x

=

F u n c ţ i i l e c u p(U) = 1) p(î7) = U implică

<

=

p (<

== <

p U )

9A ) p(9 J

Ux, z>

Ux, z >

9

P U )

,

EJ

U x, {

z >

9

P(ff/)

, pentru i =

U şi p[?7] = U a u u r m ă t o a r e l e p [ ? 7 ] = .Î7 (oricare ar fi familia

7

2) d a c a p [ ? 7 ] = L , atunci oricare ar fi xeE şi zeZ; 7

funcţia

<

£>

1,2. proprietăţi; JCeC(\i))-,

este

\L-măsurabilă,

7

3) d a c a C ! = J7 > p(C i) = Şi p(U ) = J7 , atunci U= 4) d a c # C ! = U , p\U^\ = U şi p[Z7 ] = U , atunci U (t) = [L-aproape peste tot; 5) dacă U (t) = U (t), [L-aproape peste tot si p[U ] = U 2

2

2

x

7

2

P[ffi] = U .

x

x

=

V

p(^,). J* (E, F) s î n t d o u ă f u n c ţ i i c u p [ ? 7 i ] = o f a m i l i e c o m u n ă JC = ( 2 C , - ) , 6 ( 7 ( | x ) şizeZ, să a v e m în acelaşi t i m p

2

2

p( <

9J

Kj

2

2

x

2

x

x

U\ U (t) 2

2

9

atunci

2

î n t r - a d e v ă r , fie JC = p (<

U x, x

( 2 T . ) ^ e C((x) a s t f e l î n c î t f

z >

/e

<

U x, x

z >

9 ^) P(

p e n t r u o r i c e j e T, x e E şi z e Z. F i e d e a s e m e n e a m u l ţ i m e a Na T astfel încît U (t) x

=

U (t), 2

pentru

teT

-

(x-neglijabilă

N.

F i e c a r e m u l ţ i m e Kj f) p(&) — & e s t e ( x - i n t e g r a b i l ă , d e c i e s t e r e u n i u n e a u n u i ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e şi a u n e i m u l ţ i m i (x-neglijn

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

208

1

J>

CAP. III

j a b i l e N. Mulţimile K care n u sînt vide formează o familie din i a r U şi U c o i n c i d p e f i e c a r e K şi p e f i e c a r e p(K ), deci f

j

1

jn

p( < =

.adică

x, z >

U

2

<

U

1

C(\i),

n

2

jn


x, z >

9 A'; P (

n )

p ( < U x, z >


x

=

<

U x, 2

=

Kjn

z >

9p£-

( ; w )

p[U ] = U. 6) Dacă p( 17) = 17, a t o c i | ET( T) | < A ^ 17) < oo pentru fiecare t e T . î n t r - a d e v ă r , p e n t r u f i e c a r e o? e E şi 3 e 17 a v e m < Ux, z > e « f i * şi p ( < Î7#, s > ) = < £7#, £ > d e c i p e n t r u o r i c e t e T a v e m 2

2

| <

£T(t)

JV

Q O

( < *7#, * > ) < | a ? |

(17)

d e u n d e | U(t) \ < (U) p e n t r u o r i c e t e T . Observaţie. D a c ă p( Z7) = Î7 şi N^(Ux) < oo p e n t r u f i e c a r e a t u n c i UGJ>E,F; î n a c e s t c a z p(?7) r e p r e z i n t ă v a l o a r e a r i d i c ă r i i & l u i J2E.F" , c o r e s p u n z ă t o a r e r i d i c ă r i i p a l u i J2** ( p r o p o z i ţ i a 4 ) . 7) Dacă p[U] = U relativ la o familie JC = (K^^je C([i), | U(t) | < ; Noo (Ucpiq) < oo, pentru fiecare j e J ş i £ e JST,. Alte proprietăţi sînt d a t e în propoziţiile

x^E^ liniare atunci

următoare.

Propoziţia 6. Fie U : T - > Jl* (E, F) o funcţie astfel încît < Ux, z> este ^măsurabilă, oricare ar fi xeE şi z^Z. a ) Dacă (Ux) < oo pentru orice xeE, atunci există o U' : T ->£* (E, Z') cuU' =U şi p( U') = U'. b ) Dacă există o familie JC = (K^^j e C(\i) astfel încît < oo pentru fiecare x^E si j e J, atunci există o funcţie J2*(E, Z') CUU' =U şi p[Z7 ] = U'.

funcţia funcţie

(Ux

?

î n t r - a d e v ă r , d i n i p o t e z e r e z u l t ă c ă U^J^Zzip) î n p r i m u l c a z şi Ue ME,Z' (p.) î n c a z u l a l d o i l e a . D a c ă p e s t e r i d i c a r e a l i n i a r ă a l u i ME.Zc a r e c o r e s p u n d e r i d i c ă r i i p a l u i -£°°((J.) p r i n p r o p o z i ţ i a 4 , a t u n c i f u n c ­ ţ i a U' = p(U) a r e p r o p r i e t ă ţ i l e c e r u t e î n p r i m u l c a z . D e a s e m e n e a , d a c ă pj, e s t e o r i d i c a r e l i n i a r ă a l u i J%E,Z' c e c o r e s p u n d e l u i p p r i n p r o ­ p o z i ţ i a 5 , a t u n c i U' = p ^ (17) a r e p r o p r i e t ă ţ i l e c e r u t e î n a l d o i l e a c a z . Observaţie.

î n a l d o i l e a c a z , o r i c e f u n c ţ i e e g a l ă c u pj/ (U)

peste tot are proprietăţile

[x-aproape

dorite.

Corolar. Fie f : T -> F o funcţie astfel încît funcţia < î, z > să fie ^-măsurabilă pentru orice z^Z. a ) Dacă (f) < oo, există o funcţie V : T-+Z' cuV = f si p(f') = = V. b ) Dacă există JC = ( 2 T , . ) e C([L) CU N^Î^KJ) < OO pentru fiecare j <= J, atunci există f' : T - > Z ' f' = f ş i p [ f ] = f. /ej

atunci

Propoziţia 7. Fie funcţia funcţia t - > 117(2)1 este

U \ T £*(E, ^-măsurabilă.

F).

Dacă

p[l7] =

17,

PROPRIETATEA DE RIDICARE

Fie

209

0({z) o f a m i l i e a s t f e l î n c î t s ă a v e m P (
p e n t r u orice j e j ,

Ux,

xeE

z >)

=

şi zeZ.


<

9iKj)

TJx,

Să n o t ă m T

z

>

= U

0

p M u l ţ i m e a

T — T e s t e (x-neglijabilă. S ă n o t ă m c u Cfc m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r p o z i t i v e d e f o r m a 0

/ =

9* l <

S

«i>l,

u n d e m u l ţ i m i l e JL s î n t [ x - m ă s u r a b i l e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , p(^. ) = A% ş i f i e c a r e A e s t e c o n ţ i n u t ă î n t r - o m u l ţ i m e p(JBT ), i a r x eE cu | x \ < 1 şi ^ e Z c u | ^ | < ; 1 . î n p a r t i c u l a r , p r i n t r e f u n c ţ i i l e d i n Cf- se a f l ă t o a t e f u n c ţ i i l e d e f o r m a | c u | x \ < ; 1 şi | z \ < ; 1 . Deoarece 4

4

i

f

(

/(<) < S

K

{

;)

9Ai(t) I «7(0 | <

| TJ(t) | ,

p e n t r u te

T

0

î a r p e d e a l t ă p a r t e , p e n t r u f i e c a r e t e T şi p e n t r u j e J a s t f e l î n c î t t e p(ITy), avem 0

| U(t) | =

sup 9 ^ , | <

U(t)x,

z > \ ,

pentru *e

T.

i*ki deducem

că |

=

s u p f(t),

0

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e / = 2 9 * » I < Ux, z > | d i n Cfc a v e m p(/) = / . î n t r - a d e v ă r , d a c ă p e n t r u f i e c a r e i a v e m A (Z p(J^i), a t u n c i %

/ = S

7

I<

t ^, « > |

I<

^»«, « > | = / .

4

i

deci p(/) = S

9M

?PW

i

Să a r ă t ă m că e s t e f i l t r a n t ă . F i e f f e (Ji. S ă r e m a r c ă m c ă d a c ă A e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă şi p(A) = A, a t u n c i

2

A

sup

(A,

/ ) 2

=

95 A

+

9T-B/2>

deducem s u p (A, f ) 2

unde am pus A = 14 - C 3638

= s u p [pCA), p ( / ) ) = 2

p{B),

d e c i p(A) =

A.

p ( s u p (A, / ) ) 2

=

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L J ?

210

Conform propoziţiei 3 rezultă

că

0 0

funcţia / «

CAP.

definită

prin

III

egali­

tatea /oo (t) = s u p f(t),

pentru

teT

este (x-măsurabilă. Deoarece | U(t) | == /oo (t)

pentru t e T

0

i a r T — T e s t e jx-neglijabilă, r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a t - > | 17(2) | e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolar. Bacă p [ Z 7 ] = U, atunci funcţia t - > | U(t)x \ este [L-măsurabilă, oricare ar fi xe E. î n t r - a d e v ă r , a v e m p[Ux] = Ux, p e n t r u o r i c e xeE. î n particular, p r o p o z i ţ i a 7 şi c o r o l a r u l s î n t a d e v ă r a t e d a c ă p( U) = U. Propoziţia 8 . Fie U: T - > J2* (E, F) o funcţie astfel încît funcţia t -> | U(t) | să fie ^.-măsurabilă. Bacă U' = U şi p[U'] = U', atunci 0

I U'{t) | < ! | U(t) | , F i e JC = {KJ^je <

[L-aproape

peste

C([L) O f a m i l i e a s t f e l

U'x, z > ^ ^ « ( ( x ) şi p «Ux',

p e n t r u o r i c e j eJ, xeE Observăm că

şi

? (A-y) I <

U'x,

P

z >

tot.

încît

z >


p(Kj)

zeZ.

z

>

|

=

p(y

K}

| <

Ux,

z

>

|)

Şi
I<

U'x, z > j ~

Ux,

z > |,

Atunci ?p^i, I <

U'x,

z > | =

p

| <

17a?, * > | ) < | « | | * | pOJT,- I 171)

deci ? P ( f , ) | P ' l < p(?*,ICT|) -

?p(wl^f

de unde 7

I E '^) I <

I U(t) | , a p r o a p e p e s t e t o t p e (J p(2f

a d i c ă a p r o a p e p e s t e t o t , şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolar. Fie U : T - > J2*(E, F) astfel încît funcţia fie [L-măsurabilă. Bacă U' = U şi p(U') = U', atunci I U'{t) I <

I U(t) | ,

Propoziţia 9. Fie U : Ux, z > să fie ^.-măsurabilă

[L-aproape

peste

t - > | U(t) \ să

tot.

T Jt(E, F) o funcţie pentru orice xeE şi zeZ.

astfel

încît

RELAŢII

INTRE SPAŢIILE

p

j£

211

a ) Dacă funcţia t -> | U(t)\ este ^.-măsurabilă şi finită [i-aproape tot, atunci există o funcţie TJ' : T - > J£*(E, Z') cu U' = U, p [U'] = I # ' ( 0 I < I U(t) |, p e ^ r w orice b ) Ztocâ | Z 7 | e ^ ° ° (JX), a f t m c i cu U' = U, p( 17') = U' şi I

I^

T.

e # i s M o funcţie

I U(t) |, [L-aproape

peste 17' ş i

peste

TJ' : T ->

£*(E,Z')

tot.

S ă d e m o n s t r ă m p u n c t u l a ) : d e o a r e c e | U | e s t e (x-măsurabilă şi f i n i t ă a p r o a p e p e s t e t o t , p u t e m g ă s i o f a m i l i e JC = (JF^ejeCţfx) a s t f e l încît restricţia lui | U | la fiecare s ă fie f i n i t ă şi c o n t i n u ă , d e c i m ă r g i n i t ă . A t u n c i c u a t î t m a i m u l t N«> (Ux y ) < OO p e n t r u f i e c a r e x^E şi J E J . C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 6 e x i s t ă o f u n c ţ i e U : T -> J>* (E, Z') c u U =U Şi p [ ^ I ] = C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 8 a v e m | U (t) |< | U(t) | a p r o a p e peste tot. Modificînd funcţia U p e o m u l ţ i m e neglijabilă convenabilă, o b ţ i n e m o f u n c ţ i e U' a s t f e l î n c î t \U'(t) | <; | U(t) | p e n t r u o r i c e < e T ; a v e m d e a s e m e n e a TJ' = U şi p [ I 7 ' ] = U'. P u n c t u l b ) se d e m o n s t r e a z ă î n m o d a s e m ă n ă t o r . Observaţie. T o a t e r e z u l t a t e l e p r e c e d e n t e se a p l i c ă î n p a r t i c u l a r f u n c ţ i i l o r f iT -+F, l u î n d E = C, şi f u n c ţ i i l o r f : T -> E*, l u î n d F = C p r e c u m şi f u n c ţ i i l o r s c a l a r e m ă s u r a b i l e . Kj

x

1

x

x

9

§14. R E L A Ţ I I

INTRE

SPAŢIILE

i

1

1 . Inegalitatea lui Holder F i e [i o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. T e o r e m a 1. Fief şi g două funcţii peste

tot pe T. Dacă f este echivalentă

lentă

cu o funcţie

^.-integrabilă

g^JP,

1
numerice

definite

q

şi finite p

cu o funcţie

f e J£ , iar g este x

+ OO, i + -î- = p q

1 , atunci

\i-aproape echiva­ fg

este

şi \^\fg\^
q

(g).

A v e m 2 7 ( / i ) < + OO şi N (g^) < + OO, i a r f şi g s î n t FX-măsurabile. F u n c ţ i a fg e s t e e g a l ă ŢX-aproape p e s t e t o t c u f^. F u n c ţ i a f g e s t e (X-măsur a b i l ă c a p r o d u s a d o u ă f u n c ţ i i [X-măsurabile, şi a v e m p

q

x

x

x

9i I DJT

= Tl/I

I I gi I DJX < N, ( A ) N ( ) q

9l

x

< + OO,

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL jg*

212

deci f g x

CAP.

m

e s t e [ z - i n t e g r a b i l ă . A t u n c i fg e s t e d e a s e m e n e a ( i - i n t e g r a b i l ă şi

x

J \fg I d u

Jl/rfi I du <

=

*V, (A) JST, ( ) = JNT (/) JST fo) 8 l

€

p

şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . P r o p o z i ţ i a 1. Fie E, F, G, H patru spaţii Banach, (x, y) -> u(x, y) o aplicaţie biliniară continuă a lui Ex F înG, astfel încît | u(x, y) \ < \ x | | y | şim : JC(T) -> H o măsură majorată. Bacă f ( | m | ) si g e ^ ( | m | ) ?

(1 ^Cp,

g ^ ; + o o , i 4- i = 1 ) , atunci funcţia p q

u(t, g) este m-integrabilă

|^(f,g)dm|<^(f,g)|d|m|<^(f,

|m|) N

q

si

(g, | m | ) .

î n t r - a d e v ă r , d e o a r e c e f u n c ţ i i l e f: T - > JE? şi g : T ->F sînt |m| - m ă s u r a b i l e , f u n c ţ i a (f, g) : T 2?X-F e s t e |m| - m ă s u r a b i l ă ; f u n c ţ i a u : E x F -+G f i i n d c o n t i n u ă , d e d u c e m c ă f u n c ţ i a c o m p u s ă u(î, g ) : T-+G este |m| - m ă s u r a b i l ă . P e d e a l t ă p a r t e , aplicînd inegalitatetea lui Holder, obţinem

^V(f,g)|d|m|

<J*|f| | g | d | m | < 2 T , ( ! ,

d e c i f u n c ţ i a u(t, g) e s t e m - i n t e g r a b i l ă şi c ă

| J u(t,

g) d m |

|m|) N (g, | m | ) <

+ oo

q

| m | - i n t e g r a b i l ă . E e z u l t ă a t u n c i c ă u(î,

< J |«(f,

g)| d|m| < N

v

g) e s t e

(f, |m|) N (g, |m|). q

Observaţie. P r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă e s t e a d e v ă r a t ă , î n p a r t i c u l a r , d a c ă H = G iar m este o măsură scalară. C o r o l a r u l 1. Fie E o algebră Banach şi m:JC (T) ->E o măsură E

majorată.

Bacă

f e - £ | ( m ) şi g e i j . ( m ) , ( l < p,

q <

+ oo, i

+ i

l atunci

P

=l], a

)

fg e J>} ( m ) s i E

| ^fg d m |

< J |fg| d | m |

într-adevăr, funcţia y ) | < \x\ \ y\. M ă s u r a m p o a t e fi C o r o l a r u l 2 . Fie E o măsură majorată. Bacă

<

(f, m ) <

N

q

(g, m ) .

u(x, y) = # y e s t e b i l i n i a r ă şi c o n t i n u ă p e E x

E

şi

- \ — = 1 1 , atunci f 9 e ^ 3 i

în particular o m ă s u r ă scalară. şi F două spaţii Banach şi m : JC (T) F fe ( m ) si 9 e J ? ( m ) , f l î + oo, — -fV p E

Q

(m) si

213

RELAŢII INTRE SPAŢIILE JS?

| y 9 d m | < ^ |f 9I d | m | <

N

v

(f, m ) N

q

(9, m ) .

î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a U(OL, x) — OLX e s t e b i l i n i a r ă şi c o n t i n u ă p e B X E şi | u ( a , x) \ = | a | \x\. Observaţie. D a c ă 2? e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h c o m p l e x , a t u n c i s e p o a t e lua 9 * = ^ (m). M ă s u r a m p o a t e fi, î n p a r t i c u l a r , o m ă s u r ă s c a l a r ă . C o r o l a r u l 3 . Fie E un spaţiu Banach, E' dualul său si [x o măsură scalară.

Bacă

leJl (fx) E

si g e J^, (ţx), f 1 < p, q <

+ 00,

— + — = 1J» V « ;

V

atunci funcţia

scalară

< f, g >

este [L-integrabilă

şi

| J < i , g > d p t | < J | < f, g > |d|[x| < 2 T , ( 1 , fx) 2T (g, jx). f

î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a u(z) z') = d e f i n i t ă p e E x E' c u v a l o r i s c a l a r e e s t e b i l i n i a r ă şi c o n t i n u ă şi \u(z, z') | <; \z\ \z'\. Observaţie. Corolarul 3 rămîne a d e v ă r a t dacă E = G sau E = B p e n t r u o r i c e m ă s u r ă v e c t o r i a l ă m a j o r a t ă m : J£ (T) -> H, c o n s i d e r a t ă c a f i i n d d e f i n i t ă p e JC (T) c u v a l o r i î n & (G, H). G

2. Calculul s e m i n o r m e l o r Fie

jx o m ă s u r ă

p o z i t i v ă p e T , p şi q d o i e x p o n e n ţ i

l < i > < + o o , l <

x<=E. Pentru

orice funcţie N

v

[L-măsurabilâ

(i) = s u p

\u (f,

conjugaţi:

< + o o , — + — = 1 . p q

2

T e o r e m a 2 . Fie E, F şi G trei spaţii o aplicaţie biliniară şi continuă astfel încît orice

N

Banach şi u : E x F -+G \x\ = s u p \u(x, y) \ pentru

f : T -> E

avem

g) | djx = s u p ^ |t| |g| d|t

pentru $(=£ cu N ($) = 1 , unde £ este spaţiul funcţiilor boreliene eta­ jate g : T ->F cu suportul compact. D i n e g a l i t a t e a \x\ = s u p \u(x, y)\ r e z u l t ă \u(x, y)\ <; \x\ \y\. D i n F

q

F

inegalitatea lui Holder rezultă atunci, p e n t r u f e J?$, sup^V(f,g)|d x<sup^|f| |g|d x<^„(f), (

l

N

q

(g) = 1 .

FUNCŢII MĂSURABILE SPAŢIUL

214

Kămîne de demonstrat N

v

cap.

00

jg

in

inegalitatea

(f) < s u p (j*

| u(t, g) |dfx, g e

£, N F

Q

(g) = 1 .

D a c ă N (f) = 0 , i n e g a l i t a t e a e s t e a d e v ă r a t ă . V o m p r e s u p u n e d e c i c ă (f) > 0 . V o m c o n s i d e r a s u c c e s i v m a i m u l t e c a z u r i . 1) p = 1 , f f u n c ţ i e b o r e l i a n ă e t a j a t ă d i n £ . P u t e m s c r i e f u n c ţ i a f v

E

n

sub forma ' =

£

x

¥^ %

c

u

x

e

%

E Şi

mulţimi boreliene relativ compacn

te

d i n C5, d i s j i m c t e d o u ă c î t e d o u ă . A v e m a t u n c i | f | = £ ^ ( f ) = ^

|i|dii=

£

m^ji^i-

F i e s > 0. P e n t r u fiecare i există u n element y e î n c î t | « ( a > , jr,)| > (1 - e ) | a s | .

cu |y | = 1

{

f

¥ - ^ 1 ^ 1 Şi

s

astfel

t

n

Funcţia g = £ i=

9^.

este boreliană etajată, din 6

şi

E

l

JV„ (g) =

s u p \y \ t

= 1.

Atunci f

* ( > g) =

* fŞ

?^

Vi

S ^ ^ ) j

)

=

S ^< ^ *to>y*) =

i. ?

i Şi

!«('»

«)l = 1 E »

< p ^ « ( « < » ^ ) l = S ?^ « > j ; cp^. ( 1 - c) I x I

y«)l>

{

i

deci g)|d(x > de

(1 - s ) Ş

1 1 ( ^ ) 1 ^ 1 = ( 1-

e)^!(f)

unde s u p ^ |w(f,

g)| d ( x > 3 T ( f ) , g e ^ , 1

A oo (g) = 1 . r

n

2) 1 < p < + 00, f =

^ i= l

9 ^ #1» f u n c ţ i e b o r e l i a n ă e t a j a t ă d i n 6

E

RELAŢII

«14

<ÎU A

d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi N

{

Pentru

fiecare

i

J>

215

(f) = 1 . A v e m d e c i

p

T i e s > 0.

p

INTRE SPAŢIILE

există

z^F

cu

\z \ = 1 şi\u(x t

z^^

i9

v_ Q

I > ( 1 — &)\x

i

|- S ă n o t ă m y = | x \ z . 4

\ \*

= \xtf

9i

i

Avem

x

y,)|>(i -

şi

«)|^|

n

Funcţia g — £

^ » ^»

e s

^

e

r e

b° liană

etajată din

şi

»=i i ( 9 ) =

($ | | i

9

*

9

d ( A

^

=

f

j_ A

(\ % **

12,1

'*

d f l

)'

i_

=

A

(-5

A

i

)

1

=

* >' ) '

1

= ^j; i( 4 )l^l»j = ,

F

J

l

i.

A t u n c i , ca la punctul 1),

i

i

deci ( | « (f, g) | d ţ i > { 1 -

. ) £ ix(A,) | ^ | | » i | = ( 1 -

«)£

i=l

J

= (i -

* 11 * 1 « = 4

4

»-l

= l -

«)t

e

i=l

de

unde s u p J| ^ (f, g) | d ( x > 1 , g e

2T, (g) = 1 .

n

3) 1 < p < + o o , f = ^

^ ^ o

funcţie borelianâ etajată din

S

E

»=i

c u -8T (f) = a > 0 . A t u n c i f u n c ţ i a f = p

N (t )= !P

î

x

— ^ a

— f este a

(f) = 1, d e c i , p e n t r u g e < 5

ţj 11* (f g) f

| dfx = ţju

(ai

19

F

borelianâ

din

c u JT (g) = 1 , a v e m

g) | d{x =

a

u (î

19

g) | dfx

£

E

cu

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

216

jg*

CAP. III

de unde g) | dfx = a = Nv (f),

s u p (j| u (f, g) | d{x = a s u p jj| u {t

19

flec5„

N ($)

= 1.

q

4) 1 < p < + o o , f eJ> o a r e c a r e c u N (f) > 0 . F i e e > 0 . E x i s t ă o funcţie boreliană etajată t e £ c u N (f — f ) < e şi -BF (î ) > 0 . C o n ­ form celor d e m a i s u s , e x i s t ă o funcţie b o r e l i a n ă e t a j a t ă g e & c u (g) = 1 astfel încît E

v

±

B

p

x

P

x

F

g)|d i>2T,(f ) -

\u{t ,

(

t

c>2T,(f)

1

- 2 c .

Dar g)|d|& = ţ | « ( f

>Jl«(li,

g) +

19

^(f-f ,g)|d x> 1

8)1 dfx — J | ^ ( f — f

l

g)|d(i

lf

Şi | t i ( f - f , g) d x < ^ ( f - f ) ^ ( g ) x

[

p

<

1

s

deci J|«(f, g ) | d ( x > ^

p

(f) - 3 c

de unde sup

ţ | « (f, g) |

d(i

(f), g e £F,

>

2T ( g ) = l f

şi d e c i N (i) p

= sup^(f,g)|dfx

= s u p ţ|f|

p e n t r u g e £ c u 2 ^ (g) = 1 . 5) 1 < jp < + o o , f : T - > 2? o f u n c ţ i e JT, (f) > 0 . F i e 0 < a < N (f). D e o a r e c e

Igldp

F

măsurabilă

oarecare

cu

p

N

p

(f) = s u p J T (i
există o mulţime compactă K a

K

K

compact,

T, p e c a r e f n u s e a n u l e a z ă ,

a < N

p

cu

{tff ). K

D e o a r e c e f e s t e m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă u n ş i r c r e s c ă t o r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e n

şi o m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă NaK

a s t f e l î n c î t [jK

n

= K—N

şi r e s t r i c ţ i a

p

RELAŢII INTRE SPAŢIILE

J>

2 1 7

l u i f l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . P e n t r u f i e c a r e n, f u n c ţ i a f . Ş i r u l (| f |
Kn

E

n

K

N

K n

n

(' ? E ) =

N

P

('?*-») = sup ^ „ (19,.). n

E x i s t ă n a s t f e l î n c î t a < N (iy ). Deoarece f ^ e i j , b o r e l i a n â e t a j a t ă r e a l ă 9 c u N (9) = 1 şi v

Kn

există o funcţie

q

<* < ^ I f

I
| 9*n

I dfx.

F i e 0 < a < 1. D e o a r e c e restricţia lui f la K e s t e c o n t i n u ă şi n e n u l ă , e x i s t ă o f u n c ţ i e m ă s u r a b i l ă e t a j a t ă g : T -> F c u n

0

| g ( l ) | = 1 şi a | f (f) | < | « ( f ( « ) , g ( * ) ) l , P e n t r u

teK

0

0

n

şi g ( t ) = 0 p e n t r u t<=K ( d e m o n s t r a ţ i a p r o p o z i ţ i e i 1 1 , § 1 1 ) . A t u n c i g e s t e o f u n c ţ i e e t a j a t ă d i n S c u N ( g 9) = 1 şi 0

n

F

| f I
— [\u\

q

| * ( f , g)|d{x, N

(f,g 9)l d j x < — sup( 0

a J Urmează

a

9

q

(g) =

1.

J

că 1 f* a < — s u p V \u (f, g ) | dfx, A ^ (g) = a J

Făcînd

0

0

a - > 1 şi a - > 2T (f), P

A

T P

l,gec5 . F

deducem

(f) < s u p J*| u (f, g) | d

N

f t

q

(g) = 1 , g e <S

F

şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă î n a c e s t c a z . 6) V = + °°> ' : T E o funcţie m ă s u r a b i l ă oarecare cu F i e a u n n u m ă r astfel încît 0 < a < (f). M u l ţ i m e a

B = {t\t

>

(f)>0-

a}

este - m ă s u r a b i l ă ( d e o a r e c e | f | e s t e (x - m ă s u r a b i l ă ) şi n u e s t e (x - n e g l i ­ j a b i l ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă KciB c a r e n u e s t e [x - n e g l i j a b i l ă : [X(JBT) > 0 . D e o a r e c e f e s t e [x - m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e compactă K dK c u ^(K ) > 0 a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i f l a K s ă fie c o n t i n u ă . F i e s > 0. D e o a r e c e r e s t r i c ţ i a l u i f l a K este continuă, există o f a m i l i e f i n i t ă d e m u l ţ i m i d e s c h i s e r e l a t i v c o m p a c t e (Cr^i^i^» c a r e a c o p e r ă p e K şi a s t f e l î n c î t o s c i l a ţ i a l u i f p e f i e c a r e G C\K e s t e < s . E x i s t ă apoi o partiţie ( A J i ^ ^ n a lui K formată din mulţimi boreliene com­ p a c t e , a s t f e l c a A dG p e n t r u fiecare i, deci oscilaţia lui f p e fiecare A e s t e < s . Cel p u ţ i n u n a d i n m u l ţ i m i l e A a r e m ă s u r a > 0. S ă n o t ă m c u A u n a d i n m u l ţ i m i l e A c u \i(A) > 0. F i e XGÎ(A). D e o a r e c e AdB avem \x\ > a şi \î(t) — x\ < e p e n t r u o r i c e te A. F i e yeF c u \y\ = 1 şi x

x

x

±

x

{

x

i

i

i

x

{

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL <£.'*'

I

u

( > V) I > ( 1 x

—

E

I

X

I- F u n c ţ i a

g =

y

f

y este boreliană etajată,

A

(A)

(X

din &

cap. i n

şi JMg) = Jlg|d|* =

i.

Atunci J I « (f, g) | d(* = 7 ^ 7 7 ^ = — ^ — ( I « ( « , y) 9A

+

I « ( > » I d|* = f

« (' -

f

1

1

* i y) <"

Dar - 7 7 7 ( I * (*» y) I 9A d(x > — i — C ( 1 -

e) |
Şi —!—(| « ( ! - » , y ) | ? ^ d ( x < - ^ — ( | f - x

| | af I 9A d ( x < — 7 7 r ( «
deci J | « ( f , g)|d[x > ( l - « ) | a s | _

e

>

( l - s ) a -

e= « -

e(a+l)

d e unde s u p J | « (f, g) | djx > Deoarece a <

a, g e

JVj (g) = 1 .

(î) e s t e arbitrar, d e d u c e m s u p J 11* (f, g) | dj* >

(!) , g e < 5

y

,^ (g) = t

1

şi deci (f) = s u p ^ \u (f, g ) | d | t = s u p j | f | | g | d|i, p e n t r u g e <5 c u N (%) = 1 şi t e o r e m a e s t e c o m p l e t d e m o n s t r a t ă . O b s e r v a ţ i i . 1°. Pentru orice funcţie [L -măsurabilă t : T -> E pentru 1 <[ p <; + a w » » de asemenea F

x

0

N

p

pentru

g e <5 c « F

0

(f) = s u p ^ ' l « (f, g) | d p = s u p ^ | f | | g | d|x, (g) < 1 (In loc de JT (g) = 1 ) , — + — = p q a

1.

şi

v

RELAŢII INTRE SPAŢIILE

Fie a < N .astfel î n c î t

v

(f) şi O <

g = ( 1 — z) g

x

cu N ( g j = 1 Q

ti (f,t, 9 i ) I d[x.

aparţine lui £ ,

N

F

(j*|u(f, g) | d|& = ( 1 — de

219

e < 1. E x i s t ă o funcţie

a < J | Funcţia

Jg

(g) = 1 — e < 1 ş i

Q

£)^(f,g )|d x>(l-s)a, 1

l

unde s u p ^\u 2°. Pentru

(f, g) | di* >

orice funcţie

(f) , g e ^ , 2 T , ( g ) < l .

(x -măsurabilă

f : T->2£ şi pentru

1 <^
•avem N

v

pentru

ge£

(f) = s u p p t* (f, g) | djx = s u p ^ | f | | g | d^x

cu N

F

Q

3) Pentru

(g) < ; 1 , — 4- —

orice funcţie

= 1.

[x -măsurabilă

i: T -+E şi pentru

1 < ! p < + oo,

altern (f) = s u p J*| ii (f, g) | d(x pentru

Q

î^J2.

F

(în loc deîe£ ) F

cu N

q

snpţj*| f | | g | d[x

(g) = 1 sau N

Q

(g) < 1 sau N (g) < 1 , Q

i + i . i . P r o p o z i ţ i a 2 . jFie E, J P s i (? o aplicaţie biliniară continuă cu \x\

spaţii Banach şi u : E X F ->0 = s u p \u(x, y)\, pentru orice xeE. ivi < i

Fie f : T -> E o funcţie [x -măsurabilă. t -> u(î(t)j y) este [x -neglijabilă, atunci într-adevăr,

pentru

Bacă f este

orice funcţie

t - > w (f (1), g (1)) e s t e [x - n e g l i j a b i l ă ,

g =

pentru orice y^E, [x -neglijabilă. n ][] 9 ^ y d i n

că f este

,

funcţia

deci

JV^ (f) = s u p ^ | ii(f, g) | d[x = 0 , p e n t r u g e ^ c u Eezultă

i

funcţia

(g) < 1 .

[x - n e g l i j a b i l ă .

Corolarul 1. Fie E şi F două spaţii funcţie [x -măsurabilă. Bacă pentru orice (x -neglijabilă, atunci U este [x -neglijabilă.

Banach şi U :T ME, F) o x U(t)x este

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

220

J?*

CAP.

m

C o r o l a r u l 2 . Fie E un spaţiu Banach şi Z un subspaţiu al lui E I I astfel încît \ x \ = s u p - - — pentru orice xeE. Fie f : T - > E o zez \z\ funcţie [i -măsurabilă. Bacă funcţia t - > < f (t), z > este [i -neglijabilă pentru orice zeZ, atunci f este [x -neglijabilă. S e i a F = Z î n p r o p o z i ţ i a 2. î n p a r t i c u l a r , c o r o l a r u l 2 e s t e a d e v ă r a t d a c ă se i a Z = E'. C o r o l a r u l 3 . Fie E un spaţiu Banach, E' dualul său şi V : T - > E o funcţie [i -măsurabilă. Bacă funcţia t - > < x, î'(t) > este [i -neglijabilă pentru orice xeE, atunci V este [i -neglijabilă. P e n t r u o r i c e s p a ţ i u B a n a c h X s ă n o t ă m c u 76 m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r de forma 8 = £ ? cu (T) şi x eE. A v e m *X C I X (T) şi r

x

4

{

X

X

25 este u n subspaţiu bogat al lui X (T) ( d e f i n i ţ i a 1 , § 1 ) . T e o r e m a 3 . Fie E, F şi O trei spaţii Banach şi u : E x F ->
x

xeE.

Pentru

orice funcţie N

v

pentru

g) |

(f) = s u p J*| u (f,

g e 76 (T)

CU N (g)

f

Dacă

[i -măsurabilă

<

q

ge25jr (T)

1

f : T -» E = s u p J*| !

d(i

(sau

c u JV^ (g) < 1 ,

N (g)

(

||g|

=

q

d|i

1), 1 <

p <

+ oo,

avem (f).

^\u(î,g)|d x<^|f|lg|d x<^ , (

avem

J

D a c ă N (f) = 0 , c o n c l u z i a t e o r e m e i e s t e e v i d e n t ă . S ă p r e s u p u n e m c ă N (f) > 0. F i e 0 < a < N (f). P e n t r u f i e c a r e n s ă d e f i n i m f u n c ţ i a f prin egalităţile v

v

v

n

f (t) = (

f (t)

l Funcţia f deci

w

d

>

a

c

ă

l WI< » f

n

0, d a c ă | f (t)\>

n.

e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , ş i r u l ( | f j ) e s t e c r e s c ă t o r şi s u p | f | = | f |, n

N

p

(f) -

s u p tf, ( f ) . n

E x i s t ă deci u n n u m ă r n a t u r a l n cu a < x

(î )-

9

n

k

Există apoi o funcţie etajată h =

£
d

i

n

i^l

c t e , y =^ i

0 şi JV ( h ) < 1 a s t f e l fl

a

< ^

încît |^(f ,h)|d(x. n

^

c

u

m

u

l

t

i

m

i

l

e

A

i diSJUn-

221

V

RELAŢII INTRE SPAŢIILE J2.

Să observăm că funcţia u(î h) e s t e jx - m ă s u r a b i l ă , mărginită (| u (i (t),h(t)) | < ; n | | h | | ) şi c u s u p o r t c o m p a c t ( c o n ţ i n u t î n s u p o r t u l l u i h ) , d e c i e s t e (x - i n t e g r a b i l ă . F i e 73 > 0 u n n u m ă r a s t f e l î n c î t s ă a v e m i n acelaşi t i m p nJ

n

1 tji 1<

1

â^

(fn

n6 * '

h ) 1 ă[L

a

? i

1 Vi ]q < 1

~ ) s^

[ j f a

~

(

w

P e n t r u f i e c a r e i e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K c^A\ c u ^(A^K^ < 73, o m u l ţ i m e deschisă relativ compactă a s t f e l î n c î t ^(E^— JSTJ < YJ şi o funcţie 9 4 : T -> [0, 1 ] , continuă cu suport compact, egală cu 1 p e K şi n u l ă p e U . î n p l u s , d e o a r e c e m u l ţ i m i l e K s î n t d i s j u n c t e , p u t e m a l e g e m u l ţ i m i l e 17 d i s j u n c t e . A v e m x

{

i

{

4

[

V i

d(X < (X (A,) + (X ( Ui-KJ

< (X (A,) + YJ.

Funcţia k

= S ?i

8

2/.

i= l

•este c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , d i n J£ . A v e m g ( t ) = h ( t ) p e n t r u l e K = F

JS^ ş i 19 (1) | < ! I y 1 p e n t r u t e Z7 . A t u n c i , d a c ă # < + 0 0 ,

=rr

4

[^(g])

,

{

= ţ Ig ( * ) l « d | * = ş

|y,|«J? d i< i

f

X>(^,)ly,|«

+

i

d e c i ^ ( f l ) < 1 ; d a c ă g = + 00, a v e m

(g) < s u p | y | = ^ « ( h ) < 1 .

a

4

i

A ş a d a r , p e n t r u orice q a v e m A^(g) < 1. P e d e altă p a r t e , C

h*(f ,h)|d(x
(

x ( A - X ) | ^ | < ^ ( f i

i

n

, h ) | d ( x +

a

•deci

ţj* | « ( f , g ) | d u > ^* | « ( f „ , g ) | d a > (j* | u ( f , g ) d a = ţj B

=

C|«(f„, h)| da

\u(î , n

h)|d|i >

| u ( f „ , h ) | d(x

a.

Urmează că 2T,(f) = s u p ^ | ^ ( f ,

g ) | d(x, g e ^ , J T (g) < 1 . 4

=

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

222

CAP. I I I

S ă a r ă t ă m c ă m a r g i n e a s u p e r i o a r ă p o a t e fi l u a t ă p e n t r u f u n c ţ i i l e g e S B j . c u N (g) = 1. S ă p r e s u p u n e m N (f) > 0 şi fie 0 < a < N (t). Fie h e 3 5 j cu N (h)
p

p

q

a <^|*(f, h) Deducem în primul rînd că N

q

| dfl.

(h) > 0. S ă p u n e m g = — N (g) = 1 . A v e m a p o i

Q

a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i 10 ,

şi N

F

a<JV(f,

Q

h)|d^ =

F u n c ţ i a g: (h)

JBr(h)^|u(f, g)|d|i<^ |«(f,g)|d*i a

de unde rezultă că N

(f) =

p

s u p ^\u(t,

Corolarul 1. J'te E şi F două o funcţie \L -măsurabilă. Avem N (U)

= sup

P

pentru

ge £

•1+1

= 1.

rabilă.

sau

B

Corolarul 2 . Avem N,(t)

pentru

=

9 e <5 sau

2T (g)=l.

g)|d(x, g e ^ , spaţii

f

Banach

| U(t) g («) | d(x(«) = s u p

gt= 2 5

JV (g) < 1 sau

£

.Fie

spaţiu

Banach

U:

T - > Jl (E,

F)

| U (t) \ | g («) | dp(«) N

a

şi

(g) = 1 , 1 < p <

q

şi f : T

E o funcţie

[L

+

oo

r

-măsu­

BupJ*|f(*)?(*)|dti(t) = supj*|f(*)ll?(*)l d(x (*)
cu N (y)

< 1 sau

q

N (
=

1,

l<[p<;+oo

1 + 1 = !. p

q Propoziţia 3 . Fie E un spaţiu Banach şit: T - > E o funcţie rabilă. Bacă pentru orice funcţie yeJC{T) funcţia este \L atunci f este [x -neglijabilă. T e o r e m a 4. Fie E un spaţiu Banach, E' dualul său, 1 si — + — = 1 . Pentru p q N (Î)

= sup

P

c m d f parcurge

^ (f)

=

i).

orice funcţie

l
>d!x

mulţimea

funcţiilor

i^j£

su (|
r

p < ; oo

avem

E

P

\L -măsu­ -neglijabilă

r> |d|x =

sup^|f||r|d|x

sau din 7C> , cu N E

q

(f)

1 (saif

p

§ 14

RELAŢII ÎNTRE SPAŢIILE j£

Pentru N

orice funcţie

F'E^GJ,

22#

avem

(V) = s u p | ^ < f, f' > d[x = s u p ^ | < f, f' > | d[x = s u p J | f 11 f' | djx

q

cînd

f parcurge

mulţimea

funcţiilor

din S

E

sau 76

E

cu N

p

(f) < ; 1

(sau

JY, d e f i n i t ă p e E x E' şi s e o b s e r v ă c ă p e n t r u orice x E E a v e m | x \ = s u p | < y > | şi c ă p e n t r u o r i c e x E i¥i < i

şi o r i c e s > 0 e x i s t ă u n e l e m e n t y E 2?' c u | y | - < 1 a s t f e l î n c î t < x, y > e s t e p o z i t i v şi < o?, y > > - ( 1 — s) | x\. S e u r m ă r e ş t e a p o i p a s c u p a s d e m o n s t r a ţ i a t e o r e m e l o r 2 şi 3 p e n t r u a a r ă t a c ă p e n t r u FEJ?|, a v e m s u p \ < f, g > d[x >N (Î) P

p e n t r u g e £ , s a u g e ^ , c u N (g) < 1 . L a fel s e d e m o n s t r e a z ă a d o u a s e r i e d e e g a l i t ă ţ i . Observaţie. î n p r i m a s e r i e d e e g a l i t ă ţ i s e p o a t e î n l o c u i E' c u u n s u b E

p

spaţiu Z cu proprietatea că | x | = sup zez

! |^ |

Corolar. D a c a f E -^((X), 1 < ; p < ; o o , N (t) 9

c î n d # parcurge (sau

N (g)

mulţimea

funcţiilor

p e n t r u x E i?.

atunci

= sup^|f

din £ ( T ) *aw

DJX j £ ( T ) cu N

q

(g) < ; 1

1),I+ I =

1. p « Propoziţia 4 . .Fie 23 i m spaţiu Banach şi t : T - ^ E o funcţie ^-măsurabilă. Dacă pentru orice mulţime compactă Kd T funcţia t

=

= s u p | J f jfd[X

1

K

[ f

DJX =

0

JK

sau

dacă

^pentru

orice funcţie

CPE^(T), ^ f9

d[X =

funcţia

FCP este [X -integrabilă

şi

0,

atunci

f este (X -neglijabilă. Să p r e s u p u n e m m a i întîi că p e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă f u n c ţ i a iy e s t e (X - i n t e g r a b i l ă şi K

C f

DJX =

6.

KczT

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

224

CAP.

1

Fie i C Î o mulţime boreliană relativ compactă. f
Să a r ă t ă m

m că

^ f dţx = 0 . •A

D e o a r e c e A e s t e [x - i n t e g r a b i l ă , e x i s t ă u n şir c r e s c ă t o r (K ) n

de mul-

00

ţ i m i c o m p a c t e astfel

încît

mulţimea A —

K

s ă fie [x - n e g l i j a b i l ă .

n

»=i

Ş i r u l (ty ) e s t e f o r m a t d i n f u n c ţ i i i n t e g r a b i l e d i n Jl şi t i n d e a p r o a p e p e s t e t o t c ă t r e î

E

A

Kn

Â

\ f 9^d[x = lim \ f y

Kn

U r m e a z ă a t u n c i c ă p e n t r u o r i c e x' e E' < f, x'y

A

d[x = 0 . avem

> dţx = < \ f 9

d[x, x' > = 0

A

d e c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e e t a j a t ă V d i n & , şi o r i c e m u l ţ i m e KaT a v e m ^ Ve£ şi E

K

compactă

EfJ

< f 9 * , r > d[x =

J < f>

d[x = 0 . K

e

D e o a r e c e f 9 i r ^ ( ^ ) , d i n t e o r e m a 4 d e d u c e m c ă ^ (f9j^) = 0 , d e c i f 9 ^ ^ s t e [x - n e g l i j a b i l ă şi d e c i f e s t e (x - n e g l i j a b i l ă . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 e JC (T) a v e m f 9 djx = 0 . P e n t r u o r i c e x'eE'

avem

atunci 1

< f, 90?' > dfx = < ^ f 9 dfx, x deci p e n t r u orice funcţie g = avem g ^ e ^ j ,

£

9»

> = 0

d i n 1C şi o r i c e f u n c ţ i e ^ e j £ ( T ) , E

şi

< f

g > d[x = J < f, <|, g > d(x = 0 .

D e o a r e c e f ^ e ^ ( [ x ) , d i n t e o r e m a 4 d e d u c e m c ă f<J/ e s t e [x-neglijabilă p e n t r u orice tyeJt(T). P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT există o

RELAŢII

INTRE

SPAŢIILE

Jg?

225

f u n c ţ i e ^ e JC (T) c u ty(t) = 1 p e n t r u t e J5C. A t u n c i 1 9 9 | < ! I g
f d[x = 0 , pentru

orice

mulţime

compactă

K

KdT,

dacă f cpdţx = 0 , pentru

orice funcţie

(pel(T),

atunci î este [x -neglijabilă. î n t r - a d e v ă r , d a c ă f e jg , a t u n c i fcp^ şi f9 s î n t [x - i n t e g r a b i l e o r i c a r e a r fi m u l ţ i m e a c o m p a c t ă KdT şi f u n c ţ i a 9 e j £ ( T ) . P r o p o z i ţ i a 5 . Fie E, F şi O trei spaţii Banach şi u : E x F -+G o aplicaţie biliniară continuă cu \x\ = s u p \u{x, y)\ pentru orice xeE. E

Fie

î: T Bacă t -> u (i(t)j

E o funcţie [x -măsurabilă. pentru orice mulţime compactă y) 9^ (t) este [x -integrabilă şi [ u(t(t),

y)&v(t)

KdT

şi

orice

yeF

funcţia

= 0.

.K

sau dacă pentru orice funcţie este [x -integrabilă şi

y&JC(T)

şi orice y^F,

u (f (*), y)
funcţia

1 - > u{i{t),

y)y(t)

0,

atunci

î este [x -neglijabilă. î n t r - a d e v ă r , c o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 4 , f u n c ţ i a t -> u (f (1), y) e s t e [x-neg l i j a b i l ă o r i c a r e a r fi y <EF. C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 2 , f u n c ţ i a f e s t e [x - n e g l i ­ jabilă. C o r o l a r u l 1. Fie E şi F două spaţii Banach şi TJ: T - > ME, F) o funcţie ţx -măsurabilă. Dacă pentru orice xeE şi orice mulţime compactă KdT funcţia t -> TJ (t) x

TJ (t) x d[x =

^

sau dacă pentru bilă şi

orice

xeE

şi orice

9 e JC(T) funcţia

TJ x 9 d[x =

atunci

TJ este [x

-neglijabilă.

0

0,

Uxy

este [x

-integra­

FUNCŢII

226

MĂSURABILE.

SPAŢIUL

CAP.

J?

nr

Corolarul 2 . Fie E un spaţiu Banach, Z un subpsaţiu al lui E' cu I x z I \x\ = s u p | pentru orice x e E ş i t : T -> E o funcţie fx -mă*eZ \z\ surabilă. Bacă pentru orice zeZ si orice mulţime compactă KaT, funcţia < t, z >

^ < t, z > dfx = 0 sau dacă pentru grabilă şi

orice zeZ

şi orice ( p e l ( T), funcţia

< f, z > 9 este fx

-inte­

< t, z > 9 dţx = 0 , atunci

f este fx

-neglijabilă. f

Corolarul 3 . jPie 25 i m spaţiu Banach, E o funcţie (x -măsurabilă. Bacă pentru orice xeE şi orice mulţime < x, V >y este (x -integrabilă şi

dualul

său şi f':

compactă

T

KaT

->E* funcţia

K

^ «dm dacă pentru grabilă şi

orice xeE

< o?, f' > dfx = 0 şi yeJC(T),

funcţia

< x, f' > 9 este (x

-inte­

< x, t' > 9 dfx = 0 , atunci

V este (x -neglijabilă. Teorema 5 . JPîe E, F şi G trei spaţii Banach şi u : E x F ->G o> aplicaţie biliniară continuă cu \x\ = mp \ u (x, y)\ pentru fiecare xeE. O aplicaţie dacă

(x -măsurabilă

si numai

dacă

f : T

pentru

E aparţine orice

spaţiului

((x), 1 < p <; + 0 0 ,

g e ^ J (ţx), — + — = 1 , funcţia p q

t ->

-> u(î (t), $(t)), este (x -integrabilă. D a c ă f e i j , a t u n c i w (f, g ) e j£ , o r i c a r e a r fi f u n c ţ i a g e c h i a r dacă p = 1. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă w (f, g) e ^ o r i c a r e a r fi g e ^ | . D e o a r e c e f e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , p e n t r u a a r ă t a c ă f e ^ | , e s t e s u f i c i e n t s ă a r ă t ă m , că l

G

N

p

(f) = s u p T | u (f, g) |d|i < + 0 0 , N ( g ) < 1 . q

RELAŢII INTRE SPAŢIILE

P

J£

227

S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / e s t e o f u n c ţ i e reală m ă s u r a b i l ă şi că/gr e j ? p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e gej2 . Să presupunem, prin absurd, că

1

q

*

v

( / ) = s u p ^ |/01 dfx =

+ oo, N (g) < 1 ,

gejp

q

q

P e n t r u f i e c a r e n e x i s t ă o f u n c ţ i e g e J> c u JV (gr ) < 1 şi n

[

a

l / S n | d

l

n

X > - ^ .

J

ti

3

Funcţia oo

i

£ = H — 10 J c u v a l o r i f i n i t e s a u + o o , e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă şi **i9)<

£^T^(<7«)< £ - T <

+ o o ,

d e c i gr e s t e f i n i t ă ţx - a p r o a p e p e s t e t o t . M o d i f i c î n d g p e m u l ţ i m e a fx - n e g l i ­ j a b i l ă p e c a r e a r e v a l o a r e a + o o , o b ţ i n e m g <= JP. D e o a r e c e g > —| g | p e n t r u n o r i c e w, a v e m n

2

jVlflfd|'>-^Jl/llff.|d|i = ^ l / f t . | d | t > n d e c i ^ |/|flf djx = -\

oo şi d e c i fg n - a r fi i n t e g r a b i l ă , c e e a c e c o n t r a z i c e

ipoteza. Aşadar, f&JS?. S ă c o n s i d e r ă m a c u m c a z u l g e n e r a l , c î n d f : T - > E e s t e \i - m ă s u r a ­ b i l ă şi p e n t r u orice geJl . F i e O < a < 1 . E x i s t ă o f u n c ţ i e [x - m ă s u r a b i l ă h : T ->F ea F

a\t(t)\


(x - a p r o a p e p e s t e t o t . F i e y^Jl .

h ( * ) ) | şi | h ( * ) | = 1 .

A t u n c i < p h e ^ , deci funcţia

w(f, h
e s t e (x - i n t e g r a b i l ă . D a r

q

d e c i f u n c ţ i a a\ t(t) | | cp(tf) | e s t e ţx - i n t e g r a b i l ă p e n t r u o r i c e

. D i n . p r i m a p a r t e a t e o r e m e i d e d u c e m c ă a\ f | e J?*, d e c i | f | J ? , a d i c ă JV, (f) < < + o o . U r m e a z ă a t u n c i c ă f e ^ j şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . p

Corolarul 1 . Fie E şi F două spaţii Banach. O funcţie ţx -măsura­ bilă U : T -> X = j2 (23, F) aparţine spaţiului J2? > dacă şi numai dacă pentru orice funcţie tej£% funcţia t-+U(t)î(t) este [x -integrabilă. x

9

V

V


)

FUNCŢII MĂSURABILE. SPAŢIUL

228

J2!*

CAP.

în

C o r o l a r u l 2 . Fie E un spaţiu Banach. 0 funcţie ţx -măsurabilă f : T -> E aparţine spaţiului £F , 1 < ; p < ; + o o , dacă şi numai dacă E

pentru

orice

funcţie

reală

yejg?,

— + — = 1, funcţia p q

f 9 este

jx

-inte-

grabilă. C o r o l a r u l 3 . Fie E un spaţiu Banach. O funcţie ţx -măsurabilă i : T -> E aparţine spaţiului £F , 1 < ; p < ; + 00, dacă şi numai dacă E

pentru

orice funcţie

î' ej£%.,

— + — = 1, funcţia p q

[x -integrabilă. C o r o l a r u l 4 . Fie E un l ' : T -> E' aparţine spaţiului

scalară

t->
>

este

pentru

orice funcţie

fe p

este (x -integrabilă. C o r o l a r u l 5 . O funcţie si numai

dacă fgej>}

spaţiu Banach. O funcţie \i -măsurabilă J> ., 1 < ; p < ; + 00, dacă şi numai dacă E

+ — q

= 1, funcţia

reală f aparţine

liniară

ar fi

t ->
p

lui J> , 1 < p <

f'(t)>

+ 00,

dacă

— - f — = 1. P « î n t r - a d e v ă r , / e s t e jx - m ă s u r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă fg e s t e ţx - m ă s u ­ r a b i l ă , o r i c a r e a r fi f u n c ţ i a jx - m ă s u r a b i l ă e t a j a t ă g. P r o p o z i ţ i a 6. Pentru orice funcţie ge , aplicaţia

o funcţională

oricare

scalară

continuă

geJl*,

pe

şi

IICTII = -y (g). f

Liniaritatea aplicaţiei egalitatea J7|| = s u p | 17(1) | =

17 e s t e i m e d i a t ă . C o n t i n u i t a t e a r e z u l t ă

^ ( g ) < o o ,

s u p ^ < f, g > djx

din

N (t)
Observaţie. D i n e g a l i t a t e a || 17|| = N (g) r e z u l t ă c ă d a c ă N (g) = 0 , a t u n c i TJ = 0, d e c i e n t r u d o u ă f u n c ţ i i e c h i v a l e n t e g şi g ' d i n Jl° , c o r e s ­ p u n d e a c e e a ş i f u n c ţ i o n a l ă TJ p e £P . P e d e a l t ă p a r t e , d u a l u l l u i J> se p o a t e i d e n t i f i c a c u d u a l u l l u i L. D i n p r o p o z i ţ i a d e m a i s u s r e z u l t ă c ă s p a ţ i u l JH , se p o a t e s c u f u n d a i z o m e tric în dualul spaţiului L. M a i d e p a r t e se v a a r ă t a c ă f i e c a r e f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă c o n t i n u ă TJ p e s p a ţ i u l Jd c u 1 < ; p < + se p o a t e o b ţ i n e c a m a i s u s d i n t r - o f u n c ţ i e g e i l , . î n a c e s t c a z , d u a l u l s p a ţ i u l u i i | c u l^Cp < + se p o a t e i d e n t i f i c a c u s p a ţ i u l L%,. D u a l u l s p a ţ i u l u i L , n u e s t e î n s ă i z o m o r f c u L\ d e c î t d a c ă m ă s u r a \i a r e s u p o r t u l finit. Q

Q

E

E

E

E

q

E

E

0

0

E

0

E

0

114

RELAŢII INTRE SPAŢIILE

Hilbert

Corolar. Bacă E este un spaţiu pentru produsul scalar < l

Pentru orice funcţională determinată \L -aproape U(t)

g >

=

229

JP

Hilbert,

atunci

^
L\

un

spaţiu

>d L(t). [

liniară şi continuă TJ pe JP există peste tot, astfel încît să avem E

= [ < 1(0, 9 ( 0 > < M 0 ,

este

pentru

o funcţie

g e <£%

y

te£%

Şi 11^11=^2(9). F a p t u l c ă < T, g >

e s t e u n p r o d u s s c a l a r p e L% se v e r i f i c ă

imediat

f ă r ă d i f i c u l t a t e . A v e m a p o i \]t\\ = N {t) = )[ , deci spaţiul B a n a c h L% e s t e u n s p a ţ i u H i l b e r t . _ _ F i e a c u m TJ o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă şi c o n t i n u ă p e j2% . D a c ă f = g a v e m Z7(f) = Z7(g). D e f i n i m f u n c ţ i o n a l a V p e L% p u n î n d 2

2

tJ(î)= Această

funcţională =

este

U(t).

continuă

s u p \ tJ(l) \ =

deoarece

s u p 117(1)1 =

||17||< + o o .

D e o a r e c e L% e s t e u n s p a ţ i u H i l b e r t , e x i s t ă *) u n e l e m e n t g e L% a s t f e l încît să a v e m tJ(î) şi

||tJ\\ = | | g | | . 2

=

< f, g >

Eezultă

atunci

o r i c a r e a r fi î e £ | ca, p e n t r u

o

funcţie

oarecare

geg,

avem 17(1) = ? 1

<î,

g >

=

^
>d(i(0,

pentru

f e ^ |

11^11=^2(9)

3 . Relaţii între spaţiile £

r

şi £*

F i e E u n s p a ţ i u B a n a c h şi \L O m ă s u r ă p o z i t i v ă p e Propoziţia 7. Bacă l ^ r < p < s ^ + o o , atunci

T.

*) Orice spaţiu Hilbert E este izomorf şi izometric cu dualul s ă u : orice funcţională liniară continuă pe E este de forma u(x) = < x, z > , cu z e E şi || u || = || z ||.

Jl*>

FUNCŢII MĂSURABILE. S P A Ţ I U L

230

Să p r e s u p u n e m m a i întîi că s < încît

0 < t < 1 şi p = tr + ( 1 — t)s.

+

0

0

CAP.

in

• E x i s t ă u n n u m ă r t astfel

Să n o t ă m

a = — şi t

$ =

1

A v e m 0 < a, p < t a t e a lui Holder,

lUcl

AT,(f) <

1 T S (- — = 1 şi p = 1 Folosind a p a p p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f: T E avem

— — 1 —t

+ 00,

+ 00 şi N (î) 8

< 00, r e z u l t ă c ă N (t) p

Să presupunem acum 8 =

<

inegali-

+ 00 şi d e c i

+ 00. D a c ă f e f £ j f| ^

0

0

> avem atunci

d e c i f e Cfy . A ş a d a r , i n c l u z i u n e a CJ? f| CZ este valabilă p e n t r u 1 < s < + 00. D a c ă a c u m f e jp f| ^ , a t u n c i f e s t e JJL - m ă s u r a b i l ă şi f e , d e c i f eJl . Propoziţia este astfel d e m o n s t r a t ă . E

E

E

E

C o r o l a r . Pentru orice funcţie f : T -> E, mulţimea I = {p \ 1 < ; p <; < ; -f 00, N (t) < + 00} este sau vidă sau un interval din R. Dacă I nu este vidă (şi nu se reduce la un punct), funcţia l g N (t) este o funcţie convexă t

v

t

p

de — > iar aplicaţia Prima

p -> N (t) p

parte

a

este continuă

corolarului rezultă

pe

I. t

din propoziţia

d e m o n s t r ă m c o n v e x i t a t e a a p l i c a ţ i e i — - > l g N (t). 9

dacă

r , s, p e l

f

şi

cu 0 <

t < 1,

+ (1 -

*) l g 2T.(f).

s atunci l g JT,(f) < I l g N (t) r

Să

Aceasta înseamnă că

dacă

l-t

precedentă.

RELAŢII INTRE SPAŢIILE

231

£ ?

P e n t r u a c e a s t a s ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă + oo m I , d e c i 1 < r < p < < 8 < + oo. r 8 1 1 S ă p u n e m a = — şi (3 = Avem 1 = 1 şi 1 < a , tp {l—t)P a p £ < + oo. Aplicînd inegalitatea lui H o l d e r o b ţ i n e m t

| f |« | f |l djx <

^ | f |* djx = ^ | f |* | f |ci-«» d-x = j_

i

< p

= ($Vr d^' (5*i*r ^jr' * 1

adică de unde N (t)4£N (ty 9

jr |)ci-i)

r

-(

deci

< t lg I M ! ) + (1 -

lg

*) l g 2T.(f).

D a c ă + oo e J şi 8 =

+ o o , şi d a c ă — = — + — p r 8 a t u n c i , ca în p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă , a v e m f

J*|f|» d { x < ^ | f |

r

dp [2^.(1)]»-' <

— = —> 0 < t < r

1,

+oo

adică

jr,(f)»<jr (i)' j r - ( i ) » - ' r

de unde J T , ( i ) < # , ( « ) * J T . t l f ? = N (t)< r

1

Na*® -'

şi d e c i , d e a s e m e n e a , lg ^ P ( * ) < * lg 2T (!) + ( ! - * ) r

lg ^co(f) •

A ş a d a r , f u n c ţ i a l g JV (f) e s t e c o n v e x ă î n r a p o r t cu v a r i a b i l a — » (cînd P p

p p a r c u r g e I , ) . D e aici r e z u l t ă c o n t i n u i t a t e a lui lg N

(f) c a f u n c ţ i e d e — P d e c i şi c a f u n c ţ i e d e p. A t u n c i N (t) = e p este de asemenea funcţie c o n t i n u ă d e p. P r o p o z i ţ i a e s t e a s t f e l d e m o n s t r a t ă . l g N

9

{t)

232

FUNCŢII MĂSURABILE.

SPAŢIUL

Jl°°

CAP.

III

Propoziţia 8. Dacă măsura [x este mărginită şi dacă l < [ r < 5 < ; + o o atunci c Cf? şi <£% CZ J? > i topologia convergenţei în medie de ordin s este mai fină decît topologia convergenţei în medie de ordin p (pe . P r o p o z i ţ i a e s t e e v i d e n t a d e v ă r a t ă d a c ă [x = 0. V o m p r e s u p u n e deci =f= 0, a d i c ă 0 < [x (T) < + o o . F i e p u n n u m ă r a s t f e l î n c î t r

a r

B

E

—- —+— r

Eezultă

s

p

1 Să n o t ă m — = a

că 1 ^ r ^ p < -f-oo.

r 1 — şi — = s (3

1 <

r — p

a, p < ; + o o ş i — + — m 1 . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f: T -> E a p cînd inegalitatea lui Holder o b ţ i n e m :

Avem y

pf|'

d[x = J * | f | '

apli-

ld{x<^ (|fr)^3(l) a

de unde if|r

fi*

d(A


)'

adică r

N (i)
D a c ă s < + oo, a t u n c i a < + oo,

deci

= -ar (i) f

fx(T)H

de unde

A c e a s t ă r e l a ţ i e r ă m î n e a d e v ă r a t ă şi p e n t r u s = + oo, d e o a r e c e î n a c e s t c a z a = + oo, d e c i p = 1 şi

de unde

D i n inegalitatea ji(2T' jy (f)< r

j * ( I f

!

jy,(I)

RELAŢII

INTRE SPAŢIILE

jg}

233

r

r e z u l t ă c ă (J\ d Cf? şi d e a s e m e n e a c ă J£ a JH . D a c ă (f ) e s t e u n şir d e f u n c ţ i i d i n j£ , c o n v e r g e n t î n m e d i e d e o r d i n s c ă t r e o f u n c ţ i e f e Cf* , d i n i n e g a l i t a t e a p r e c e d e n t ă r e z u l t ă c ă (f ) c o n v e r g e c ă t r e f şi î n m e d i e d e o r d i n r , d e c i , p e (J? , t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n s e s t e m a i f i n ă d e c î t t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i î n m e d i e d e o r d i n r. C o r o l a r . Dacă fx este mărginită, şi f : T - > E, mulţimea 1% = {p \ 1 < ; ^CP < ^ + ? -^p(') < + } este sau vidă sau este un interval din R, care conţine punctul 1 . Dacă It nu este vid (şi nu se reduce la un punct). E

E

E

w

E

E

n

E

0

0

0

0

i

funcţia

p - > fx ( T ) » j y (f) este crescătoare pe 1%. P r o p o z i ţ i a 9 . Fie T un spaţiu discret şi fx măsura definită prin masa + 1 în fiecare punct din T. Dacă 1 0 < s « < + o o , atunci (J- d(J^ şi JIECL <£% iar topologia convergenţei în medie de ordin r este mai fină decît topologia convergenţei în medie de ordin s (pe (Jz ). S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă s = + o o , şi s ă a r ă t ă m c ă - ^ « ( f ) ^ < ; -S^f) o r i c a r e a r fi f u n c ţ i a f: T - > E. î n t r - a d e v ă r , d a c ă p

r

E

r

E

a < 2 T . ( f ) = ||f|| = s u p |f(*)| există u n punct

t e T c u | f (t ) | > a. 0

Atunci

0

i

>(|f(*o)|')' = |f(*„)| > a d e u n d e N (f) > JV«,(f). Să presupunem acum l . < r < s < + o o . r

*nI* dpi = C|ir

Atunci

iii*-' d|x<jr (ifr) J M i t r ' ) 1

dar

deci

ni* d < ^ ( i f r ) (1

1

N^itY)—

de unde

adică

2T,(f)<2r (f). f

= ^(1110' =

E

234

FUNCŢII MĂSURABILE.

SPAŢIUL

CAP. III

Aşadar inegalitatea

-ar.(f)<2T (f) f

e s t e v a l a b i l ă o r i c u m a r fi s. D i n a c e a s t ă i n e g a l i t a t e r e z u l t ă de demonstrat. C o r o l a r . Dacă T este discret + 1 în fiecare punct din T, atunci It =zjp \1 ^CP + °°> ^ p ( ' ) < din fî, care conţine punctul + o o . -un punct), funcţia p - > N (t) este p

propoziţia

si dmă [x este măsura definită prin masa pentru orice funcţie f : T - > 2?, mulţimea + } s a w Wdtf sau este un interval Dacă It nu este vidă (şi nu se reduce la descrescătoare pe It. 0

0

PARTEA A DOUA

Capitoiul

IV

MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

§ 15. F U N C Ţ I I LOCAL I N T E G R A B I L E . M Ă S U R I D E F I N I T E P R I N D E N S I T Ă Ţ I

1. Funcţii local integrabile F i e ţx o m ă s u r ă p o z i t i v ă şi E u n s p a ţ i u B a n a c h . D e f i n i ţ i a 1. Spunem că o funcţie f definită pe T cu valori în E sau în R este local integrabilă în raport cu ţx, sau local ţx -integrabilă dacă funcţia f(p este [x -integrabilă oricare ar fi mulţimea compactă K CZ T. A s p u n e c ă f e s t e local [x -integrabilă, î n s e a m n ă c ă f e s t e [x -măsura­ bilă şi c ă K

(

| f | djx < oo,

pentru

oricare mulţime

compactă

K c

T.

.'A V

Exemple. 1°. O r i c e f u n c ţ i e f d i n £ (ţx) c u l < p < o o e s t e l o c a l jx - i n t e g r a b i l ă . î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT funcţia y E

K

a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i J* (jx) c u — - f — = 1 , d e c i f u n c ţ i a ty e s t e ţx-inteP 2 grabilă. 2°. O r i c e fu n c ţ i e (x-măsurabilă şi e s e n ţ i a l m ă r g i n i t ă p e o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă este local integrabilă. K

D a c ă m este o m ă s u r ă m a j o r a t ă , s p u n e m că o funcţie este local m-integrabilă, d a c ă este local | m | -integrabilă. O r i c e f u n c ţ i e e g a l ă a p r o a p e p e s t e t o t c u o f u n c ţ i e l o c a l [x - i n t e g r a ­ b i l ă , e s t e d e a s e m e n e a l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă . O f u n c ţ i e f d e f i n i t ă [x - a p r o a p e p e s t e t o t p e T c u v a l o r i î n E s a u î n R v a fi n u m i t ă , d e a s e m e n e a , f u n c ţ i e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă , d a c ă e s t e e g a l ă [x - a p r o a p e p e s t e t o t c u o f u n c ţ i e f' l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă , d e f i n i t ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T. D a c ă T e s t e c o m p a c t , s a u d a c ă m ă s u r a [x a r e s u p o r t u l c o m p a c t , n o ţ i u n e a d e f u n c ţ i e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă c o i n c i d e c u a c e e a d e f u n c ţ i e [x - i n t e g r a b i l ă . D a c ă f e s t e l o c a l ţx - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i f u n c ţ i a | f | e s t e l o c a l [x - i n t e ­ grabilă. E e c i p r o c , d a c ă f e s t e ţx -măsurabilă şi d a c ă | f | e s t e l o c a l [x - i n t e g r a ­ b i l ă , a t u n c i f e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă . A ş a d a r , a s p u n e c ă f e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă , î n s e a m n ă c ă f e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă şi c ă f u n c ţ i a p o z i t i v ă | f | e s t e l o c a l ţx - i n t e g r a b i l ă .

MASURI DEFINITE PRIN

238

DENSITĂŢI

CAP. IV

Observaţie. D a c ă f u n c ţ i i l e / şi g a u v a l o r i î n R şi s î n t l o c a l (x - i n t e g r a ­ b i l e , a t u n c i ele s î n t f i n i t e a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i s u m a f + g e s t e d e f i n i t ă [i - a p r o a p e p e s t e t o t . P r o p o z i ţ i a 1. O funcţie f definită pe T cu valori în E sau în R este local [L -integrabilă dacă şi numai dacă pentru orice funcţie h^JC(T), funcţia th este fx -integrabilă. S ă p r e s u p u n e m c ă f e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă . F i e h e JC( T) şi fie K s u p o r t u l l u i h. F u n c ţ i a î

J>(E, F) o funcţie local ţx - i n t e g r a b i l ă . Atunci pentru orice funcţie h e JC ( T) funcţia f h : T -> F este [x -integrabilă. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a f e s t e [x - m ă s u r a b i l ă d e c i f u n c ţ i a fh e s t e [x - m ă s u ­ r a b i l ă . P e d e a l t ă p a r t e , f u n c ţ i a | f | e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă şi | h | e JC{ T) d e c i f u n c ţ i a | f | | h | e s t e [x - i n t e g r a b i l ă . A t u n c i K

K

0

0

K

0

K

R

E

C o n f o r m c r i t e r i u l u i d e i n t e g r a b i l i t a t e , r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a fh e s t e ţx - i n t e g r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 3 . Bacă f, g : T -> E sînt local [x -integrabile iar x este un scalar, atunci f + g şi af sînt local [x -integrabile. P r o p r i e t a t e a r e z u l t ă i m e d i a t d i n definiţia 1. î n c a z u l f u n c ţ i i l o r s c a l a r e , a c e a s t ă p r o p r i e t a t e se p r e c i z e a z ă a s t f e l : P r o p o z i ţ i a 4 . O funcţie reală f este local ^.-integrabilă dacă şi numai dacă funcţiile /+ şi f~ sînt local [x -integrabile. Dacă / şi / " s î n t l o c a l [x - i n t e g r a b i l e , a t u n c i f u n c ţ i a / = / + — / " e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă . E e c i p r o c , d a c ă / e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i +

funcţia

| / | e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă ,

d e c i şi f u n c ţ i i l e / + =

— (|/|+/) 2

şi / " = — ( | / | — / ) s î n t l o c a l [x - i n t e g r a b i l e . 2 P r o p o z i ţ i a 5 . O funcţie complexă f = f + if este local ^-integrabilă,, dacă şi numai dacă f şi f sînt local [x -integrabile. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K (Z T a v e m f

x

2

2

K

a r

R

x

K

2

K

FUNCŢII LOCAL INTEGRABILE MASURI DEFINITE PRIN

DENSITĂŢI

239

P r o p o z i ţ i a 7. Fie m şi n două măsuri majorate şi OL un scalar. Dacă funcţia f: T -> E este local integrabilă în raport cu m şi în raport cu n, atunci t este local integrabilă în raport cu m + n şi în raport cu a m . P r o p r i e t a t e a rezultă din relaţiile | m + n | < ; | m | + | n | ş i | a m | = = | a | | m |, f o l o s i n d p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă . î n c a z u l m ă s u r i l o r s c a l a r e , a c e a s t ă p r o p r i e t a t e se p r e c i z e a z ă a s t f e l : P r o p o z i ţ i a 8 . Fie ţx şi v două măsuri pozitive. 0 funcţie f: T -> E este local integrabilă în raport cu ţx + v dacă şi numai dacă t este local inte­ grabilă în raport cu ţx şi în raport cu v. v

v

v

î n t r - a d e v ă r , ţx ţx + şi ^ l * + « P r o p o z i ţ i a 9 . Fie ţx o măsură reală. O funcţie t:T-+E este local [x -integrabilă, dacă şi numai dacă î este local integrabilă în raport cu ţx+ şi în raport cu fx~. î n t r - a d e v ă r , | [x | = fx " + [x~, i a r i n t e g r a b i l i t a t e a l o c a l ă î n r a p o r t c u [x e s t e e c h i v a l e n t ă c u i n t e g r a b i l i t a t e a l o c a l ă î n r a p o r t c u | [x |. P r o p o z i ţ i a 1 0 . Fie [x şi v două măsuri reale. O funcţie î: T -> E este local integrabilă în raport cu măsura complexă ţx + iv dacă şi numai dacă î este local integrabilă în raport cu ţx şi cu v. S e f o l o s e s c r e l a ţ i i l e l n + i v | < ; | | x | + | v | şi | ţ x | < | ţ x + i v | , | v | < < ; | ţx + i v | şi s e a p l i c ă p r o p o z i ţ i a 6. 4

2. Măsuri definite prin densităţi local integrabile F i e X, E şi F t r e i s p a ţ i i B a n a c h . S ă p r e s u p u n e m c ă e x i s t ă o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă (u, v) -> uv a l u i X x E î n F a s t f e l î n c î t | u v | < | u \ \v\ p e n t r u o r i c e u<=X şi veE. Putem Fie m m-integrabilă. Pentru grabilă. Să

a v e a , d e e x e m p l u , X c JHE, F) s a u E c &(X, F). : JC (T) -> X o măsură majorată şi g : T -> E o funcţie

local

o r i c e f u n c ţ i e reală

E e s t e m - i n t e ­ notăm n(

F u n c ţ i a | g | este de asemenea local | m | -integrabilă, deci p e n t r u orice funcţie reală ( p e ^ f T ) , funcţia 9 1 g | este local | m | -integrabilă. Să n o t ă m v ( ? ) = ^
pentru

S e v e r i f i c ă i m e d i a t c ă v e s t e o funcţională d e c i e s t e o măsură pozitivă p e T.


pozitivă

pe

JC(T)

y

MĂSURI DEFINITE P R I N

240

DENSITĂŢI

CAP.

IV

D e a s e m e n e a , a p l i c a ţ i a n : JC (T) -> F e s t e l i n i a r ă şi m a j o r a t ă d e v : | n ( 9 ) | = |^
J| ||g| d|m| = 9

v(| |) ?

d e c i n e s t e o m ă s u r ă v e c t o r i a l ă m a j o r a t ă şi a v e m | n | < [ v . D e f i n i ţ i a 2 . Fie m : JC(T) X o măsură majorată, g : T -> E o funcţie local m -integrabilă şi n : JC (T) -> F măsura definită prin egalitatea n(


Spunem că n este măsura cu densitatea g şi cu baza m , sau că n este produsul măsurii m cu funcţia local m-integrabilă g şi scriem n =

gm.

A v e m deci cpd(gm) =

^

Conform acestei definiţii, m ă s u r a v definită p r i n egalitatea v(?) = ţ j < p | g | d | m | , pentru


e s t e d e b a z ă | m | şi d e n s i t a t e | g | , a d i c ă v = |g| Inegalitatea

|n | <

|m|.

v se scrie a c u m | g m | < |g| |m|.

V o m a r ă t a c ă î n a n u m i t e c a z u r i , a v e m c h i a r e g a l i t a t e a | g m | = | g 11 m |. Anume: 1) D a c ă {JL e s t e o m ă s u r ă scalară şi g : T E e s t e o f u n c ţ i e local ţx -integrabilă, a v e m ( t e o r e m a 4, § 18).

luM = Igl It4 scalară

2) D a c ă m:JC(T)-+E e s t e măsură majorată, local m - i n t e g r a b i l ă , a v e m ( t e o r e m a 5 , § 18) IsH = Observaţie.

\g\|m|.

E g a l i t a t e a n = g m se s c r i e a d e s e a d n ( t ) = g(t)

Am(t).

A t i m c i e g a l i t a t e a v = l g | | m | se s c r i e dv(l) = |g(«)| d | m | ( < ) .

şi g e s t e o

funcţie

§ 15

local

F U N C Ţ I I LOCAL INTEGRABILE. MĂSURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

241

P r o p o z i ţ i a 1 1 . Fie (JL o măsură scalară, g : T - > JL(E, F) o -integrabilă şi gţx : JC( T) - > J>(F, F) măsura produs. Avem

funcţie

fd(gţjL) =

^ f g d(x, pentru

orice

1<=J£ (T). E

O b s e r v ă m m a i î n t î i c ă d a c ă f e JC (T), a t u n c i f u n c ţ i a fg e s t e (JL - i n t e ­ grabilă (propoziţia 2), deci în egalitatea d e m a i sus ambele integrale a u sens. Să p u n e m E

m ( f ) = J f g d(x, p e n t r u

îeX (T). E

S e v e r i f i c ă u ş o r c ă m : JC ( T) ->F e s t e o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă şi m a j o r a t ă d e | g 11 |, d e c i e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă . P e n t r u o r i c e c p e j ^ ( T ) şi x*=E a v e m ( c o r o l a r u l 1 a l t e o r e m e i 1, § 8 ) E

m(
y<=X(T).

E e z u l t ă c ă m = gţx, d e c i t d ( g j i ) = J fg d(x, p e n t r u

fejC,(T)

şi propoziţia este d e m o n s t r a t ă . î n particular, propoziţia este valabilă dacă g este o funcţie l o c a l (JL - i n t e g r a b i l ă .

scalară

3. Funcţii operatoriale simplu măsurabile F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi (JL o m ă s u r ă pozitivă p e T. N o t ă m c u Jl*(E, F) s p a ţ i u l a p l i c a ţ i i l o r l i n i a r e a l e l u i E î n F. D e f i n i ţ i a 3 . Spunem că o funcţie î: T - > Jd*(E, F) este simplu (JL -măsurabilă, dacă pentru orice X<EE funcţia t -> f(t)x (cu valori în F) este (JL -măsurabilă. D a c ă m este o m ă s u r ă majorată, spunem că o funcţie este simplu m -măsurabilă, dacă este simplu | m | -măsurabilă. D a c ă E e s t e m u l ţ i m e a s c a l a r i l o r — a d i c ă d a c ă Jl* (E, F) = F — atunci noţiunea de măsurabilitate simplă este identică cu aceea de măsurabilitate. O r i c e f u n c ţ i e (JL - m ă s u r a b i l ă f : T Jl(E, F) e s t e şi s i m p l u (JL - m ă s u ­ rabilă.

MASURI

242

DEFINITE

PRIN

DENSITĂŢI

CAP.

IV

V o m s p u n e c ă o f u n c ţ i e g d e f i n i t ă ţx - a p r o a p e p e s t e t o t p e T, c u v a l o r i î n J£*(E, F) e s t e s i m p l u ţx - m ă s u r a b i l ă , d a c ă e s t e e g a l ă a p r o a p e e s t e t o t c u o f u n c ţ i e s i m p l u ţx - m ă s u r a b i l ă , d e f i n i t ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T. D a c ă f şi g s î n t s i m p l u ţx - m ă s u r a b i l e i a r a e s t e u n s c a l a r , a t u n c i şi f u n c ţ i i l e f + g ş i af s î n t s i m p l u ţx - m ă s u r a b i l e . P r o p o z i ţ i a 1 2 . Dacă funcţia f : T - > Jl*(E, F) este simplu ţx -măsu­ rabilă, atunci pentru orice funcţie ţx -măsurabilă h : T -> F funcţia t->t(t) h(t) este ţx -măsurabilă. Fie KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . D e o a r e c e h e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , e a p o a t e fi a p r o x i m a t ă p e K p r i n f u n c ţ i i e ţx - m ă s u r a b i l e e t a j a t e d e f o r m a h» = 2 9Ai % > u n d e x e E i a r (A ) e s t e o p a r t i ţ i e f i n i t ă a l u i K î n m u l ţ i m i ţx - m ă s u r a b i l e . A t u n c i f u n c ţ i a f h s e p o a t e a p r o x i m a p e K p r i n f u n c ţ i i l e ţx - m ă s u r a b i l e f h = 2 y f a? . E e z u l t ă c ă f u n c ţ i a fh

J2*(E, F) e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , a t u n c i f u n c ţ i a p o z i t i v ă t -> | î(t) | e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . î n a n u m i t e c o n d i ţ i i a c e a s t ă f u n c ţ i e e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă c h i a r d a c ă f e s t e s i m p l u ţx - m ă s u r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 1 3 . Dacă funcţia t: T - > J>* (E, F) este simplu ţx -măsu­ rabilă, şi dacă pentru fiecare mulţime compactă KaT există o mulţime numărabilă H aE astfel încît să avem \t(t) x\ \î(t)\ = s u p ^ - ^ — - » ţx -aproape peste tot pe K, x

%

n

{

Ai

x^H

i

|

z

X |

atunci

funcţia t - > | f (t) \ este ţx -măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i i l e t -> î(t)x s î n t ţx - m ă s u r a b i l e , d e c i f u n c ţ i i l e If (t) x\ t - > |f (t) x\ şi t -> — L g î n t d e a s e m e n e a ţx - m ă s u r a b i l e . A t u n c i f u n c \x\ ţ i a | f \

J>* (E, F) este simplu ţx -măsurabilă şi dacă E este de tip numărabil, atunci funcţia t -> \ t(t) \ este ţx -măsurabilă. P r o p o z i ţ i a 1 4 . Dacă î: T -> ME, F) este simplu ţx -măsurabilă şi dacă pentru orice mulţime compactă KaT există o mulţime ţx -neglija­ bilă NaK şi o mulţime numărabilă Ha <£(E, F) astfel încît t (K—N) a H> atunci f este ţx -măsurabilă. P e n t r u d e m o n s t r a ţ i e a se v e d e a t e o r e m a 5, § 10. C o r o l a r . Dacă f : T -> Jl(E, F) este simplu ţx -măsurabilă şi dacă există o mulţime numărabilă Ha<£(E, F) astfel încît î(T)aH, atunci t este ţx -măsurabilă. K

4. F u n c ţ i i o p e r a t o r i a l e s i m p l u local integrabile F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi ţx o m ă s u r ă p o z i t i v ă . D e f i n i ţ i a 4 . Spunem că o funcţie f : T -> £*(E, F), este local ţx -integrabilă, dacă i este simplu ţx -măsurabilă şi dacă funcţia jf | este local ţx -integrabilă.

simplu pozitivă

FUNCŢII

LOCAL INTEGRABILE MASURI DEFINITE PRIN

DENSITĂŢI

24$

A c e a s t a î n s e a m n ă c ă p e n t r u o r i c e xeE, f u n c ţ i a t - > t(t)x ( c u v a l o r i î n F) e s t e \L - m ă s u r a b i l ă i a r f u n c ţ i a t -> | f(t) | e s t e \L - m ă s u r a b i l ă şi p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KdT avem ^

|f|

dix
R e z u l t ă c ă \î(t)\ < oo a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i f (t) &Jl(E, F) a p r o a p e peste tot. D a c ă f e s t e s i m p l u l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i f u n c ţ i a î(t)x e s t e l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă , o r i c a r e a r fi xeE. D a c ă m este o m ă s u r ă majorată, v o m spune că o funcţie este simplu local m-integrabilă, d a c ă este simplu local | m | -integrabilă. O r i c e f u n c ţ i e l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă t: T ->J>(E, F) e s t e s i m p l u l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă . î n cazul cînd E este m u l ţ i m e a scalarilor, a spune că funcţia f : T -> jg* (Ej F) e s t e s i m p l u l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă , î n s e a m n ă c ă f u n c ţ i a f : T -+F e s t e l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă . D a c ă f e s t e o f u n c ţ i e d e f i n i t ă \L - a p r o a p e p e s t e t o t p e T c u v a l o r i î n J2*(E, F)J s p u n e m c ă f e s t e s i m p l u l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă d a c ă e s t e e g a l ă [JL - a p r o a p e p e s t e t o t c u o f u n c ţ i e s i m p l u l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă , d e f i n i t ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T. D a c ă f e s t e s i m p l u l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă , i a r a e s t e u n s c a l a r , a t u n c i af e s t e s i m p l u l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă . S u m a f + g a d o u ă f u n c ţ i i s i m p l u l o c a l [JL - i n t e g r a b i l e n u e s t e , î n g e n e r a l , o f u n c ţ i e s i m p l u l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă , d e o a r e c e , d i n f a p t u l c ă | f | şi j g | s î n t [JL - m ă s u r a b i l e , n u r e z u l t ă c ă | f + g | e s t e [JL - m ă s u r a b i l ă . D a c ă 0 < ; [JL < ; v şi d a c ă f e s t e s i m p l u l o c a l v - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i f e s t e s i m p l u l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 1 5 . Bacă funcţia f : T -> J2*{E, F) este simplu local \L -integrabilâ, atunci funcţia fh este \i -integrabilă, oricare ar fi funcţiahe J£ (T). F i e heJ£ (T). D e o a r e c e f u n c ţ i a f e s t e s i m p l u \L - m ă s u r a b i l ă , f u n c ­ ţ i a t -> i(t)h(t) e s t e \i - m ă s u r a b i l ă . D e o a r e c e f u n c ţ i a | f | e s t e l o c a l \L - i n t e ­ grabilă avem B

E

* | f h | d[x <

^*|f

I | h | d[x < o o .

A ş a d a r f u n c ţ i a fh e s t e \L - i n t e g r a b i l ă . Observaţie.

S ă p r e s u p u n e m c ă f u n c ţ i a f : T -> J2*(E, F) e s t e s i m p l u

[JL - m ă s u r a b i l ă şi c ă \ | f | d[x < oo p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kd T. I n g e n e r a l f u n c ţ i a f n u e s t e s i m p l u l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă , d e o a r e c e f u n c ţ i a | f | n u e s t e î n g e n e r a l \L - m ă s u r a b i l ă . î n condiţiile propoziţiei 13 r e z u l t ă că funcţia f este simplu local [x - i n t e g r a b i l ă . î n c o n d i ţ i i l e p r o p o z i ţ i e i 1 4 r e z u l t ă c h i a r c ă f e s t e l o c a l \L - i n t e g r a b i l ă .

244

MĂSURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

CAP. IV

5. M ă s u r i d e f i n i t e p r i n d e n s i t ă ţ i s i m p l u l o c a l i n t e g r a b i l e F i e E, F şi G t r e i s p a ţ i i B a n a c h , m : X(T) -> M(F, G) o măsură majorată ş i g : T -> (E, F) o f u n c ţ i e simplu local m-integrabilă. A t u n c i funcţia | g | este local m-integrabilă, deci se p o a t e considera măsura |g| | m | . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f e JC (T), f u n c ţ i a gf : T ->F e s t e m - i n t e g r a b i l ă . î n p a r t i c u l a r , p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e y<=JC(T) şi xeE a v e m 9a? G 1 ( T ) , d e c i f u n c ţ i a g#9 e s t e m - i n t e g r a b i l ă . S ă p u n e m E

£

11(9)0? =

^ g # 9 d m , p e n t r u 9 e JC(T) şi

Se verifică i m e d i a t c ă p e n t r u fiecare ( p e l ( T ) n(9) x a l u i E î n G e s t e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă :

l*(9)*l<

xeE. aplicaţia

n(9):

\ |g|l*ll?|d|m| = M C | | d(|g| |m|) 9

deci |n(9)l< [ l J> (E, G) e s t e l i n i a r ă şi m a j o r a t ă d e m ă s u r a | g 11 m |, d e c i n e s t e o măsură majorată şi

|n|<|g||m|.

S e c o n s t a t ă c ă d a c ă , d e e x e m p l u , m e s t e o m ă s u r ă scalară i a r g e s t e local m-integrabilă, s a u dacă m este o măsură majorată iar g este o măsură scalară l o c a l m - i n t e g r a b i l ă , m ă s u r a n d e f i n i t ă m a i s u s e s t e e g a l ă c u m ă s u r a produs gm. într-adevăr, grabilă, deci

î n fiecare d i n aceste cazuri, funcţia g 9 este

n(9) x =

m-inte­

^ d m = x ^ g 9dm = x ^ 9 d ( g m )

de unde n = gm. P r i n extensiune, sîntem conduşi l a definiţia u r m ă t o a r e : D e f i n i ţ i a 5 . Fie m: JC (T) A (F, G) o măsură majorată, g : T-> J2* (E, F) o funcţie simplu local m-integrabilă şin:JC{T) -> J>(E,G) măsura definită prin egalitatea 11(9)0? =

^ g # 9 d m , pentru

y<=JC\(T)

şi

x<=E.

Spunem că n este măsura cu densitatea g şi cu baza m, sau că n este produsul dintre măsura m şi funcţia simplu local m-integrabilă g, şi scriem n = gm.

§ 15

FUNCŢTI LOCAL INTEGRABILE. MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

2 4 5

A v e m deci cp d ( g m ) x =

^ g x

I n e g a l i t a t e a | n | < | g | | m | se s c r i e a c u m |gm|<

|g|m|.

î n a n u m i t e c a z u r i a v e m c h i a r e g a l i t a t e a | g m | = | g | | m |. î n c a z u l c î n d g e s t e local m-integrabilă i a r E = R, d e c i <£(E, F) = F, p r o d u s u l g m în sensul definiţiei 5 coincide cu p r o d u s u l g m în sensul defi­ niţiei 2. Observaţie. P e n t r u o r i c e xeE, f u n c ţ i a gx : T ->F e s t e l o c a l m - i n t e ­ g r a b i l ă , d e c i se p o a t e c o n s i d e r a p r o d u s u l (gx) m. A v e m a t u n c i < p d [ ( g # ) m ] = [ < p g # d m = ^ J> (F, G) o măsură g: T - > J>* (E, F) o funcţie simplu local m -integrabilă g m \JL(T) ->£(E,G). Avem atunci f d ( g m ) = J f g d m , pentru

majorată măsura T

si

teJC (T). E

O b s e r v ă m m a i î n t î i c ă p e n t r u îeJC (T), f u n c ţ i a fg : T -*F este m - i n t e g r a b i l ă , d e c i î n e g a l i t a t e a p r e c e d e n t ă a m b e l e i n t e g r a l e a u sens.» P e n t r u o r i c e yeJC(T) şi o r i c e xeE a v e m yxe JC (T). Notînd n = gm, a v e m E

B

n ( < p ) # = n ( < p # ) = ^ <po?gdm. A t u n c i , p e n t r u orice funcţie de forma f =

5J

x

Vi %

c

u

9%^X(T)

şi

x eE t

avem n(f) =

J ffldm.

F i e a c u m f eJC (T) o f u n c ţ i e o a r e c a r e . E x i s t ă a t u n c i u n şir ( f j d e combinaţii liniare de forma precedentă, cu suporturile conţinute într-o a c e e a ş i m u l ţ i m e c o m p a c t ă , şi u n i f o r m c o n v e r g e n t c ă t r e f. A t u n c i E

lim n ( f j n-¥oo

=n(f).

MĂSURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

246

CAP. IV

P e d e a l t ă p a r t e , f u n c ţ i i l e gf şi gf s î n t m - i n t e g r a b i l e , a u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e î n t r - o m u l ţ i m e c o m p a c t ă i a r ş i r u l ( g f j t i n d e u n i f o r m c ă t r e gf, deci n

li Cum

pentru

fiecare

1 1 1

\ f gdm = n

\

f„gdm,

obţinem n(f.) =

şi propoziţia este

fgdm.

avem

n(fj prin trecerea la limită

\

n

jj f g d m , n

demonstrată.

6. F u n c ţ i i o p e r a t o r i a l e s l a b m ă s u r a b i l e F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h , Z u n s u b s p a ţ i u v e c t o r i a l a l l u i I" ş i (x o m ă s u r ă pozitivă p e Ţ. V o m s p u n e c ă Z e s t e o m u l ţ i m e normantâ ( p e n t r u F) d a c ă

I^ V % | y | = sup -——

^ I p e n t r u o r i c e y e F.

D e f i n i ţ i a 6. Spunem că o funcţie u : T -> Jl (E, F) este Z- slab fx- măsurabilă, dacă pentru orice x&E si orice z^Z funcţia scalară t->< n(t)x, t> este [L-mâsurabilă. F u n c ţ i i l e . F ' - s l a b m ă s u r a b i l e v o r fi n u m i t e , m a i s i m p l u , s l a b m ă s u ­ rabile. A s p u n e că f u n c ţ i a u este Z-slab fx-măsurabilă, î n s e a m n ă că p e n t r u o r i c e zeZ f u n c ţ i a c o m p u s ă z6u : T-> Jl (E, C) e s t e s i m p l u fx- m ă s u r a b i l ă . E v i d e n t , o funcţie slab m ă s u r a b i l ă este Z-slab măsurabilă oricare a r fi s u b s p a ţ i u l ZdF'. D a c ă m este o m ă s u r ă majorată, s p u n e m că o funcţie este slab m-măsurabilă, dacă este slab | m| -măsurabilă. D a c ă E este m u l ţ i m e a scalarilor, a s p u n e că funcţia operatorială u : T -> J>{E F) e s t e Z - s l a b f x - m ă s u r a b i l ă î n s e a m n ă c ă f u n c ţ i a v e c t o ­ r i a l ă u : T -> F e s t e Z - s l a b fx - m ă s u r a b i l ă , a d i c ă t < u(t), z > e s t e - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e z<=Z. D a c ă F e s t e m u l ţ i m e a s c a l a r i l o r , a s p u n e c ă f u n c ţ i a u : T -> Jl (E, F) = = W e s t e J5/-slab {x - m ă s u r a b i l ă î n s e a m n ă c ă f u n c ţ i a u e s t e s i m p l u fx-măsur a b i l ă , a d i c ă t -> < x, u (t) > e s t e fx - m ă s u r a b i l ă o r i c a r e a r fi x e E. D a c ă u şi v s î n t Z - s l a b [ x - m ă s u r a b i l e , i a r a e s t e u n s c a l a r , a t u n c i u + v şi a u s î n t Z - s l a b f x - m ă s u r a b i l e . A spune că u : T Jl* (E, F) e s t e Z - s l a b fx - m ă s u r a b i l ă , î n s e a m n ă € ă p e n t r u o r i c e x e E, f u n c ţ i a t -> u(t)x c u v a l o r i î n F, e s t e Z - s l a b fx-măsur a b i l ă. 9

FUNCŢII LOCAL INTEGRABILE M A S U R I DEFINITE PRIN

rabilă, funcţia

247

DENSITĂŢI

P r o p o z i ţ i a 1 7 . Dacă funcţia u : T Jl* (E, F) este Z-slab ţx -măsu­ atunci pentru orice funcţii ^-măsurabile f : T -> E şi h : T - > Z, scalară t - > < u (t) f (t), h(t) > este \i-măsur abilă. F i e xeZ. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e b o r e l i a n ă e t a j a t ă f = £
suport compact,

avem < uf, z > =

£

z>

i9

d e c i f u n c ţ i a < u f , z > e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . S ă p r e s u p u n e m c ă f : T -> E e s t e o f u n c ţ i e ţx - m ă s u r a b i l ă o a r e c a r e . F i e KczT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . E x i s t ă u n şir d e funcţii boreliene eta­ jate f : T E, c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n K, a s t f e l î n c î t f (t) - > f (t), ţx - a p r o a p e p e s t e t o t p e K. A t u n c i n

w


z>-+
n

z>

^ - a p r o a p e p e s t e t o t p e K. D e o a r e c e f u n c ţ i i l e < u f , z > s î n t fx - m ă s u ­ r a b i l e , r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a < uf, z >

y e s t e fx - m ă s u ­ rabilă. Se a r a t ă apoi că funcţia < u f, h > e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , m a i î n t î i p e n t r u f u n c ţ i i e t a j a t e d e f o r m a h = £ ? %i c u A b o r e l i e n e şi z e Z n

K

K

A

i

t

i

şi a p o i p e n t r u f u n c ţ i i f x - m ă s u r a b i l e o a r e c a r e h : T Z. Observaţie. D a c ă f u n c ţ i a u : T - > J2* (E, F) e s t e s l a b ţx - m ă s u r a ­ b i l ă i a r f u n c ţ i a f : T -> E e s t e ţ x - m ă s u r a b i l ă , n u r e z u l t ă c ă f u n c ţ i i l e t - > u (tf) f (t) şi - > | u (tf) f (t) | s î n t ţx - m ă s u r a b i l e . î n a n u m i t e condiţii, u l t i m a funcţie este ţx-măsurabilă. P r o p o z i ţ i a 1 8 . Fie f : T^F o funcţie Z-slab ţx -măsurabilă. Dacă pentru fiecare mulţime compactă K CZ T există o mulţime numărabilă J$ CZ Z astfel încît să avem \i(t)\ atunci

funcţia

= sup I

<

\ t \ este ţx

g

>

1, aproape

pentru

orice

teK,

-măsurabilă.

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u f i e c a r e se 8, f u n c ţ i a t - > < f (tf), s > e s t e ţx-măsu­ rabilă, deci funcţia t

g

1 <

> 1 ^ ^ -măsurabilă. D i n ipoteză re1*1 ^ u l t ă c ă p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT funcţia | f | y este egală a p r o a p e p e s t e t o t c u m a r g i n e a superioară a unei familii n u m ă r a b i l e d e f u n c ţ i i ţ x - m ă s u r a b i l e , d e c i \t\y e s t e ţ x - m ă s u r a b i l ă şi d e c i | f | e s t e ţ x - m ă ­ surabilă. C o r o l a r . Dacă există o mulţime numărabilă SczZ normantâ pentru F şi dacă i : T F este Z -slab ţx -măsurabilă, atunci funcţia | f | este ţx -mă­ surabilă. P r o p o z i ţ i a 1 9 . Să presupunem că există o mulţime numărabilă S CZ Z normantă pentru F. Dacă funcţia u : T -> Jl* (E, F) este Z -slab ^.-măsurabilă, atunci pentru orice funcţie [i-mâsurabilâ f: T -> E funcţia t -> | u(t) f (t) | este [L-măsurabilă. e s

e

K

K

2 4 8

MASURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

CAP.

IV

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e ţx - m ă s u r a b i l ă f : T -> E ş i o r i c e z e Z, f u n c ţ i a t -> < u(t)i (t), z > e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , deci funcţia t - > u (t) î (t) e s t e Z - s l a b [x - m ă s u r a b i l ă şi se a p l i c ă p r o p o z i ţ i a 1 8 . î n particular, condiţiile propoziţiile 19 sînt îndeplinite în u r m ă t o a ­ rele c a z u r i : 1° Z e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h d e t i p n u m ă r a b i l şi F = Z'; 2° F' e s t e d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F ; 3° F e s t e d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F'. î n u l t i m u l caz a v e m m a i m u l t (corolarul 3 al teoremei 5, § 1 0 ) : P r o p o z i ţ i a 2 0 . Dacă F este de tip numărabil, atunci orice funcţie slab ţx -măsurabilă u : T -> Jl* {E, F) este simplu ţx -măsurabilă. î n a n u m i t e c o n d i ţ i i , c h i a r f u n c ţ i a | u | e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 2 1 . Fie u : T -> Jl* (E, F) o funcţie Z -slab ţx -măsurabilă. Să presupunem că Z este normant pentru F. Dacă există o ridicare p a lui ^ ( ţ x ) astfel ca p [ u ] = u , atunci : 1) funcţia t -> | u (t) \ este ţx -măsurabilă; 2) funcţia t | u ( t ) # | este ^.-măsurabilă, oricare ar fi x<=E; 3) dacă, în plus, u are valori în Jl (E, F), funcţia t - > | u (t) f (t) \ este -măsurabilă, oricare ar fi funcţia [x -măsurabilă t : T ^ E . A f i r m a ţ i i l e 1) şi 2 ) r e z u l t ă d i n p r o p o z i ţ i a 7, § 1 3 şi c o r o l a r u l s ă u . A f i r m a ţ i a 3) r e z u l t ă d i n l e m a u r m ă t o a r e : L e m a . Fie u : T - > Jl(E, F) o funcţie astfel încît funcţia t - > | u (t) x \ este (x-măsurabilă pentru orice x^E. Atunci pentru orice funcţie ^-măsu­ rabilă f : T -> E, funcţia t - > | u(tf)f (t) \ este [i-mâsurabilă. f

n

Fie m a i întîi 1 = ^ 9 . ^ 0 P u t e m presupune mulţimile A

i

funcţie

etajată

b o r e l i a n â c u x e E* i

disjuncte. î n acest caz avem

I*(*)!.(*)| = t «=1

^.(*)|n(*)^| *

d e c i | u f | e s t e [x - m ă s u r a b i l ă . F i e a c u m f: T -> E o f u n c ţ i e [x - m ă s u r a b i l ă o a r e c a r e şi Ka T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e jx-neglijabilă NaK şi u n s i r (f > d e f u n c ţ i i b o r e l i e n e e t a j a t e c a r e t i n d e c ă t r e f p e K — N. A t u n c i n

a(t)i (t) n

^u(t)t(t),

p e n t r u t<=K — N

deci \M.(t)î (t)\^\vi(t)î(t)\, n

p e n t r u t<=K — N.

U r m e a z ă c ă f u n c ţ i a | uf | e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 2 2 . Să presupunem că E este de tip numărabil si că există o mulţime numărabilă S aZ normantâ pentru F. Atunci pentru orice funcţie Z -slab [x -măsurabilă u : T -> Jl* (E, F) funcţia \ u | este jx -măsurabilă.

9

§ 15

FUNCŢTI LOCAL INTEGRABILE. MĂSURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

D i n p r o p o z i ţ i a 1 3 r e z u l t ă c ă p e n t r u o r i c e xeE funcţia e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . D a c ă (x ) e s t e u n şir d e n s î n E, a v e m

249

-+\n(t)x\

n

iu(t)i = sup

;

w l

d e c i | u | e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . î n p a r t i c u l a r , condiţiile propoziţiei 22 sînt îndeplinite î n u r m ă t o a r e l e cazuri: 1° E e s t e d e t i p n u m ă r a b i l , Z e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h d e t i p n u m ă ­ r a b i l şi F = Z'; 2° E e s t e d e t i p n u m ă r a b i l , F' e s t e d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F'; 3° E e s t e d e t i p n u m ă r a b i l , F e s t e d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F'* Observaţie. î n condiţiile propoziţiei 22, funcţia \xi(t)î(t)\ este de a s e m e n e a ţx - m ă s u r a b i l ă o r i c a r e a r fi f u n c ţ i a ţx - m ă s u r a b i l ă f : T - > E^ î n c a z u l 3°, f u n c ţ i a u e s t e c h i a r s i m p l u ţx - m ă s u r a b i l ă .

7. F u n c ţ i i o p e r a t o r i a l e s l a b l o c a l i n t e g r a b i l e F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h , Z o F ' u n s p a ţ i u v e c t o r i a l şi ţx o măsură pozitivă. D e f i n i ţ i a 7. Spunem că o funcţie u : T - > J* (E, F) este Z -slab local ^-integrabilă dacă u este Z-slab ţx -măsurabilă şi dacă funcţia t->\u (t) \ este local ţx-integrabilă. D a c ă m este o m ă s u r ă m a j o r a t ă , s p u n e m că funcţia u este Z-slab local m-integrabilă, d a c ă u este Z - s l a b local | m |-integrabilă. D i n definiţia 5 r e z u l t ă că d a c ă u e s t e slab local ţx-integrabilă a v e m |u(tf) | < oo d e c i u(tf) eJl(E, F), ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t . O r i c e f u n c ţ i e s i m p l u l o c a l ţx - i n t e g r a b i l ă e s t e s l a b l o c a l ţx -integrabilă.» Dacă 0 ţx şi d a c ă u e s t e Z - s l a b l o c a l v - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i u e s t e Z - s l a b l o c a l ţx - i n t e g r a b i l ă . S u m a a d o u ă f u n c ţ i i Z - s l a b l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l e p o a t e s ă n u fie Z - s l a b local ţx-integrabilă. P r o p o z i ţ i a 2 3 . Dacă funcţia u : T - > Jl* (E, F) este Z-slab local [L-integrabilă, atunci pentru orice funcţie f e JC (T) şi orice zeZ, funcţia numerică t < u(t)t(t), z > este ţx -integrabilă. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a t -> < u(t)t(t), z > este ţ x - m ă s u r a b i l ă ; d e o a r e c e | u | e s t e l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l ă şi | f | e JL (T) a v e m E

\
z>|dţx<|z'|^

|u|

|f|dţx
C o r o l a r . Dacă u : T - > Jl* (E, F) este Z -slab local ţx -integrabilă atunci pentru orice xeE şi zeZ funcţia t < u (t) x, z > este local \L-integrabilă. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 e JL( T) şi x e E a v e m # e JL ( T).. 9

E

250

MASURI

Observaţie.

DEFINITE

Să presupunem

PRIN

că

DENSITĂŢI

funcţia

CAP.

u : T

j£* (E, F) e s t e

slab

| u | djx < oo p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K c

ţx - m ă s u r a b i l ă şi c ă ^

IV

T.

î n g e n e r a l f u n c ţ i a u n u e s t e slab local [x-integrabilă, d e o a r e c e f u n c ţ i a j u | n u e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . î n c o n d i ţ i i l e p r o p o z i ţ i i l o r 21 şi 22 r e z u l t ă î n s ă c ă u e s t e s l a b l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă . I n c a z u l c î n d E şi F s î n t d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F' r e z u l t ă «chiar c ă u e s t e s i m p l u l o c a l j x - i n t e g r a b i l ă .

8. M ă s u r i d e f i n i t e p r i n d e n s i t ă ţ i s l a b l o c a l i n t e g r a b i l e F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h , Z u n s u b s p a ţ i u v e c t o r i a l a l l u i F' şi jx o m ă s u r ă s c a l a r ă . V o m p r e s u p u n e c ă Z e s t e normant p e n t r u F. P r o p o z i ţ i a 2 4 . Pentru orice funcţie Z -slab local jx -integrabilă u : T -+£*{E, F) există o măsură m : JC(T) -> £(E, Z') astfel încît să avem < m(cp)#, z > pentru

orice

( p e 2 ( T ) , xeE

=

^ < u(t)
şi zeZ.

Măsura

z >

djx(J)

m este majorată

şi

|m|<|u||jx|. Măsura m are valori Jd (E, F) în fiecare din cazurile următoare 1) F = Z'; 2) u este simplu ^-măsurabilă; în particular F este de tip numărabil; 3) pentru orice xeE există o familie local numărabilă (Kj)^ de părţi compacte disjuncte cu T — \JK jx -neglijabilă, astfel încît acoperirea echili­ brată convexă şi închisă (în topologia a(_F, Z)) a mulţimii {u(t)x; JeiC,} să fie compactă pentru topologia G (F, Z). P e n t r u 9 e JC(T), xeE şi zeZ a v e m yx<=JC (T) deci (propoziţia 2 3 ) , f u n c ţ i a t - > < u (t) y{t)x, z > e s t e j x - i n t e g r a b i l ă ; s ă p u n e m 7

E

-M" (9, x, z) =

Z;

^ < U9#, z >

A p l i c a ţ i a M(z, x):z->M(cp, e a e s t e şi c o n t i n u ă : | J f ( , x, z ) | < 9

d e c i .3f(9, x)^Z'

x, z)

(j | u | |

9

este

|

djx.

o funcţională

|-#|\z\|d|(i|

şi IJf(
l u | I9I

l*|d|[x|.

liniară

pe

FUNCŢII LOCAL INTEGRABILE MASURI DEFINITE PRIN

DENSITĂŢI

251

A p l i c a ţ i a 01(9) : x -> J f ( 9 , x) a l u i E î n Z' e s t e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă d e c i m ( 9 ) e ^ ( J 5 7 , Z ' ) şi

A p l i c a ţ i a m : 9 - » m (9) a l u i JC ( T ) î n ^ (25, Z ' ) e s t e l i n i a r ă şi m a j o ­ r a t ă d e m ă s u r a p o z i t i v ă | u | | ţ x | , d e c i m e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă şi | m | < [ | u | | [x|. D i n c e l e d e m a i s u s r e z u l t ă < m (9)

z > =

\ < u 9

z > djx, p e n t r u 9 e j £ ( T ) , xeE

şi

zeZ.

E ă m î n d e c o n s i d e r a t c a z u r i l e î n c a r e m a r e v a l o r i î n Jl(E, F). C a z u l F = Z' e s t e b a n a l . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă u e s t e s i m p l u ( x - m ă s u r a b i l ă şi s ă c o n s i d e r ă m m ă s u r a m : JC (T) - > j£ (E, F) d e f i n i t ă p r i n e g a l i t a t e a { d e f i n i ţ i a 5) 1

m (9)#= 1

\ u # 9 d [ z , p e n t r u yeJC(T)

A t u n c i p e n t r u o r i c e yeJC(T), <m (y)x, 1

z>

= <

xeE

şi

şi zeZ

\ u # 9 djx, z > = \ < u # 9 ,

xeE.

avem z>d(x = <m(9)#,

z>

d e u n d e m = m , şi d e c i m a r e v a l o r i î n Jl(E, F). î n sfîrşit, s ă p r e s u p u n e m î n d e p l i n i t ă c o n d i ţ i a 3 . î n a c e s t c a z , v o m p u t e a d e m o n s t r a c ă m a r e v a l o r i î n Jl(E, F) d u p ă p a r c u r g e r e a p r o p o z i ­ ţ i e i 3 d i n § 1 6 , d a r d e m o n s t r a ţ i a o d ă m a i c i . F i e yeJC(T), xeE, zeZ şi o m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kcz T. S ă a r ă t ă m c ă a v e m 2

<

(pdma?, 2 ; > = \

< U 9 z >

djx.

E x i s t ă u n ş i r ( 9 J d e f u n c ţ i i f i n JC (T) a s t f e l î n c î t s ă a v e m

F u n c ţ i i l e 9 şi 9 9 ^ s î n t i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u o r i c e m ă s u r ă . D e o a r e c e | m | < [ | u 11 [x |, d e d u c e m c ă n

deci

252

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

CAP.

IV

şi d e c i lim < »-*«>

V

= < J

\ 99^ d m x, z J

w

>.

D i n propoziţia 3, § 16, deducem că lim Funcţiile <

U 9

n

ţ

| u || ?

w

- ? ? J d | | i | = 0.

z > şi
# ,

z>

K

|(j < U 9 a ? , « > d | x — ţj < u ( p < p a ; , 0 > d ( x w

s î n t j x - i n t e g r a b i l e şi


z

avem

J I u 11 9 - 9 9 J d | jx | n

deci lim

\ n

djx =

\ < u 99^ a?, 2 >

n->-ac J

djx.

J

C u m p e n t r u fiecare n a v e m <

^ 9 d m a?, 0 >

prin trecere la limită <

=

n

< u 9 x, n

z > djx,

obţinem

^ 99^ d m x, z >

=

< u 99^ a?, 0 >

djx.

F i e a c u m x eE şi fie JC — (Kj) o familie de p ă r ţ i c o m p a c t e dis­ j u n c t e a s t f e l c a T — (J K s ă fie jx - n e g l i j a b i l ă şi a s t f e l î n c î t p e n t r u f i e c a r e j e «7, a c o p e r i r e a e c h i l i b r a t ă c o n v e x ă şi î n c h i s ă A a m u l ţ i m i i ( u (t) x; t e JT,} s ă fie c o m p a c t ă p e n t r u t o p o l o g i a a(F,Z). Fie 9 e J £ (T) cu H 9 I K I A t u n c i u(t)
s

i

F i e (K ) ş i r u l d e m u l ţ i m i d i n f a m i l i a JC, ce i n t e r s e c t e a z ă s u p o r t u l 9. P e n t r u f i e c a r e K m u l ţ i m e a A e s t e c o m p a c t ă şi c o n v e x ă î n d u a l u l a l g e b r i c Z* a l l u i Z, p e n t r u t o p o l o g i a o(Z*, Z). E x i s t ă d e c i o f a m i l i e (2<)<er de elemente din Z astfel încît să a v e m n

lui

n

^

r t

n

= O {y\ •ei

y*Z%

\< , y

^>|
Atunci |
xz i

i

> | < 1 , pentru i e i

U r m e a z ă că p e n t r u orice n

<(

9dm#,z ><( i

şi < e J [ . f t

avem

||d|ji|< 4

|jx|(# ) n

§ 15

FUNCŢJI LOCAL INTEGRABILE.

M Ă S U R I DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

253

deci [

odmxe\a\(K )A CZF. n

n

Urmează apoi că 9
9 dm

xeF

şi c u m xeE e s t e a r b i t r a r , d e d u c e m m(o) eJl(E, F). A c e a s t ă r e l a ţ i e se d e d u c e a p o i p e n t r u o r i c e oeJC(T). Ou a c e a s t a propoziţia este demons­ trată Observaţii. 1° M ă s u r a m d e p i n d e d e s u b s p a ţ i u l Z. D a c ă Z şi Z s î n t d o u ă s u b s p a ţ i i a l e l u i F c u Z c Z şi d a c ă m : JC( T) Jl (E, Z[) şi m : JC (T) -> Jl(E, Z! ) s î n t m ă s u r i l e c o r e s p u n z ă t o a r e , a t u n c i p e n t r u f i e c a r e oeJC (T) şi xeE, f u n c ţ i o n a l a m (o)xeZ[ este restricţia la subspaţiul Z a funcţionalei m (o)xeZ' . 2° E x i s t e n ţ a m ă s u r i i m : JC(T) -> Z') a f o s t d e d u s ă f ă r ă n i c i o i p o t e z ă a s u p r a l u i Z. F a p t u l c ă Z e s t e n o r m a n t a f o s t folosit p e n t r u a p u t e a s c u f u n d a i z o m e t r i c F î n Z' şi a d e d u c e c ă m a r e v a l o r i î n Jl(E, F), î n c a z u r i l e 2) şi 3) D a c ă se p r e s u p u n e d o a r c ă Z s e p a r ă p u n c t e l e l u i F, a t u n c i se p o a t e s c u f u n d a a l g e b r i c F î n Z' şi se p o a t e d e a s e m e n e a d e d u c e c ă m a r e v a l o r i î n Jl(E, F). î n a c e s t c a z î n s ă , m o d u l u l l u i m d i f e r ă d u p ă c u m se c o n s i d e r ă m c u v a l o r i Jl(E, F) s a u î n ME, Z'), d e o a r e c e n o r m e l e p e a c e s t e spaţii sînt diferite. î n continuare v o m p r e s u p u n e t o t d e a u n a că Z este n o r m a n t pen­ tru F. D a c ă u e s t e local jx-integr a b i l ă , a t u n c i m ă s u r a m e s t e p r o d u s u l m ă s u r i i a c u f u n c ţ i a u î n s e n s u l d e f i n i ţ i e i 2 , a d i c ă m = ujx. î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t c a z , p e n t r u o r i c e oeJC(T), f u n c ţ i a U9 e s t e (x-integrabilă şi p e n t r u o r i c e xeE şi zeF avem x

2

f

x

2

î

2

2

1

x

2

< m ( 9 ) x, z > =^

< uox,z>

2

da =

< ^U9#djx,z

> =

<xyioda,z>

deci m(9)

=

oda

a d i c ă m = U[x. D e a s e m e n e a d a c ă u e s t e s i m p l u l o c a l [x-integrabilă, a t u n c i m ă s u r a m e s t e p r o d u s u l m ă s u r i i jx c u f u n c ţ i a u î n s e n s u l d e f i n i ţ i e i 5 , a d i c ă m(9) x = Cu a? oda, d e c i şi î n a c e s t c a z a v e m m = uţx.

p e n t r u oeJC(T)

şi

xeE

MĂSURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

254

CAP.

IV

P r i n extensiune sîntem conduşi la definiţia u r m ă t o a r e : Z-slab prin

D e f i n i ţ i a 8. Fie (x o măsură scalară, u : T -> Jl* (E, F) o local [i-integrabilă şi m : 3£(T) -> Jl (E, Z ) măsura majorată egalitatea

funcţie definită

F

< m ( 9 ) # , 2 > = ^ < u

djx, pentru

yeJC(T),

xeE

şi

Z<EZ.

Spunem că m este măsura cu densitatea u şi baza (x, sau că m este produsul dintre măsura (x şi funcţia Z -slab local \i-integrabilă u, şi scriem m = U[x. A v e m deci

< ^ p e n t r u < p e ^ ( T ) , xeE

şi

= ^ < u yx, z > d[L

z^Z.

I n e g a l i t a t e a | m | < ; | u | | (x | se s c r i e |U(x|<|u||(x|. î n anumite cazuri a v e m chiar V o m a r ă t a m a i d e p a r t e că orice o m ă s u r ă p o z i t i v ă (x şi o f u n c ţ i e s l a b D a c ă f u n c ţ i a u : T -> Jl* (E, atunci avem

e g a l i t a t e a |u(x| = | u | | m ă s u r ă majorată este produsul dintre l o c a l ( x-integra bilă . F) e s t e simplu local \L-integrabilă

x ^9 d (u[x) =

r

|j

u
p e n t r u cp e JC{ T) şi x e E, d e c i ujx c o i n c i d e c u p r o d u s u l d i n t r e u şi (x î n sensul definiţiei 5 . D a c ă f u n c ţ i a u : T -> Jl (E, F) e s t e local \i-integrabila, atunci avem ^9d(ujx) = ^ u 9dfx, p e n t r u

(p6l(T).

d e c i ujx e s t e p r o d u s u l d i n t r e u şi (x şi î n s e n s u l d e f i n i ţ i e i 2. P r o p o z i ţ i i l e 1 1 şi 16 se e x t i n d ' şi p e n t r u f u n c ţ i i l e s l a b l o c a l (x-integr abile. P r o p o z i ţ i a 2 5 . Dacă u : T -> Jl* (E, F) [L-integrabilă, atunci avem

<

^f d(ufx), z > = ^ < u f , z>

este

djx, pentru

o funcţie

teJC (T) E

Z-slab

şi

Z<EZ.

local

S 15

m(yx)

FUNCŢII

LOCAL INTEGRABILE MASURI

DEFINITE PRIN

S ă n o t ă m m = na. P e n t r u yeJC(T) şi xeE = m(
>

DENSITĂŢI

255

a v e m
==^

şi

da.

n

E e z u l t ă că p e n t r u orice funcţie f = £

9, x

c u

i

{

şi

x^E

i=l

avem <m(f),z>

= ^

dpi.

F i e a c u m f e JC( T) o a r e c a r e . E x i s t ă a t u n c i u n ş i r (f ) d e c o m b i n a ţ i i liniare de forma precedentă, cu suporturile conţinute în aceeaşi m u l ţ i m e c o m p a c t ă K şi u n i f o r m c o n v e r g e n t c ă t r e t. A t u n c i tt

limm(f ) = n

m(f).

n-fao

P e d e a l t ă p a r t e , f u n c ţ i i l e < uf , z > a u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e K şi t i n d u n i f o r m c ă t r e < uf, z > , p e n t r u f i e c a r e z eZ, deci n

l i m ^ < u f , z > da = ^ < u f , 2 > w

C u m p e n t r u fiecare n <m(l ),z> n

în

djx.

avem = ^

d(x,

n

prin trecere la limită obţinem egalitatea dorită. Cu aceasta propoziţia este demonstrată. Observaţie. F i e u : T -> Jl* (E, F) o f u n c ţ i e Z-slab local u-integrabilâ, î n r a p o r t c u m ă s u r a U [ x : JC (T) -> Jl (E, Z ) se p o t i n t e g r a f u n c ţ i i v e c t o r i a l e f : T -> E. T o t u ş i n u a v e m , î n g e n e r a l , e g a l i t a t e a f

^ f d ( u f i ) = ^ f u d ( x , pentru d e o a r e c e uf n u e s t e are loc dacă u este D e asemenea, n u avem în general

leX (T), E

(x-măsurabilă. D u p ă c u m a m v ă z u t , această egalitate simplu local (x-integrabilă. î n r a p o r t c u na se p o t i n t e g r a f u n c ţ i i s c a l a r e 9, d a r egalitatea

^9d(u(x) =

^ud{A, pentru


A c e a s t ă egalitate a r e loc d a c ă u este local (x-integrabilă.

256

MASURI DEFINITE P R I N

DENSITĂŢI

CAP. IV

| 1 6 . I N T E G R A R E A ÎN R A P O R T CU O M Ă S U R Ă D E F I N I T Ă P R I N D E N S I T Ă Ţ I

1. F a m i l i i filtrante d e funcţii

măsurabile

D e m o n s t r ă m m a i î n t î i p r o p o z i ţ i a u r m ă t o a r e , c a r e v a fi f o l o s i t ă m a i d e p a r t e . F i e [x o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T . 0

P r o p o z i ţ i a 1. Fie ( / J i e r familie de funcţii^0 (finite sau infinite), filtrantă pentru relaţia Dacă aplicaţia t -> (f (t)) i a lui T în R este [i-măsurabilâ, atunci funcţia s u p f este [L-măsurabilâ, si 1

i

i<E

i

sup/ *e/

4

djx = s u p t ^ d ( x . »e/ J

a) F i e KdT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m ­ p a c t ă K CiK a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l a K a a p l i c a ţ i e i t->(f (t)) s ă fie c o n x

x

{

i(El

g

t i n u ă şi [i(K — K ) < — . A t u n c i , p e n t r u o r i c e i e i , r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i 2 f la K este continuă, deci restricţia la K a funcţiei / = s u p este semi­ x

x

x

x

te/

c o n t i n u ă i n f e r i o r . N o t î n d c u gr o f u n c ţ i e e g a l ă c u / p e K şi c o n s t a n t ă p e T — K , g este [x-măsurabilă. E x i s t ă deci o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K czK x

x

2

a s t f e l î n c î t jx (K

x

< — şi r e s t r i c ţ i a l u i g l a K s ă fie c o n t i n u ă . A c e a s t a 2 î n s e a m n ă c ă r e s t r i c ţ i a l u i / l a K e s t e c o n t i n u ă şi [L(K — K )< e. A ş a d a r f u n c ţ i a / = s u p ^ este [x-măsurabilă. x

— K) 2

2

2

2

ie/

b ) D a c ă m u l ţ i m e a A ={t;

f(t) = + ° ° } n u e s t e [ x - n e g l i j a b i l ă , a t u n c i

/ d [ x = sup (

f

i

d[X =

+ OO.

J î n t r - a d e v ă r , A e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă , d e o a r e c e / e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă , d e c i Af]K e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT. Există atunci o m u l ţ i m e c o m p a c t ă KdA c u \i(K) > 0 , a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i t -> (fi(t))isEi l a K s ă fie c o n t i n u ă . A v e m d e c i l i m ^ (t) = s u p / (t)=f(t) = 4

ie/

=

+ o o

p e n t r u t&K.

ie/

E e s t r i c ţ i i l e f u n c ţ i i l o r g (t) = = — - y — l a {

K sînt d e

asemenea continue = 0 dacă/<(•£) = + funcţiile g formează o f a m i l i e f i l t r a n t ă p e n t r u r e l a ţ i a > şi inf g^t) = l i m g (t) = 0 . C o n f o r m i

t

iei

»e/

t e o r e m e i l u i D i n i , f u n c ţ i i l e g t i n d u n i f o r m c ă t r e 0 p e K. P e n t r u o r i c e n u m ă r a > 0 există u n indice i e i , astfel încît p e n t r u orice funcţie g^g s ă a v e m g,(t) - < — - — p e n t r u l e i Aceasta înseamnă că fj(t)^>a 1 + a x

t

§ 16

257

INTEGRAREA I N RAPORT CU O M Ă S U R A DEFINITA P R I N DENSITĂŢI

p e n t r u teK,

adică f

^

1

K

^

a

o

K

deci

^ // 9K

d

a

l*>

Rezultă că s u p J / ,
de

J

unde sup ^/«djx = *s' J

+ 0 0 = ^ / dfx.

c) S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă A e s t e [/.-neglijabilă, d e c i f(t) < + 0 0 , (x-aproape p e s t e t o t . F i e KczT o mulţime compactă. Există o mulţime [x-neglijabilă NaK, şi u n ş i r c r e s c ă t o r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , a c ă r o r r e u n i u n e e s t e K — N şi a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i i l e f u n c ţ i i l o r t (/< (J))»ei Şi f(t) = s u p / ^ J ) l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u e , i a r f(t) < + 0 0 p e n t r u teK — N. n

n

iei

E e z u l t ă c ă r e s t r i c ţ i a f i e c ă r e i f u n c ţ i i /< l a f i e c a r e m u l ţ i m e K e s t e c o n t i n u ă . Conform t e o r e m e i l u i D i n i , / converge u n i f o r m c ă t r e / p e fiecare K . P e n t r u f i e c a r e K şi f i e c a r e e > 0 , e x i s t ă d e c i u n i n d i c e i a s t f e l î n c î t p e n t r u orice funcţie / , d i n f a m i l i e s ă a v e m \f(t) — fi(t)\ < e pentru teK , a d i c ă l / 9 * - / >
4

n

n

n

n

K%

n

da

< s(x (JBC ). n

Aceasta înseamnă că

Ş i r u l (f
fiecare i e i ,

e s t e c r e s c ă t o r ş i 8vpf
Km

şirul

= fo ^ ; K

d e asemenea, pentru

N

) e s t e c r e s c ă t o r şi »

D i n t e o r e m a d e integrare t e r m e n c u t e r m e n a şirurilor m o n o t o n e d e funcţii pozitive, deducem j /
da,

Kn

ţj

f>
d | i = ^ /i9A-i» d(x = s u p

J

/ « « p ^ d(x-

CAP.

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

258

IV

Atunci

J Î9K df* = sup J fo da = sup sup^ f# En

=

sup sup C / ie/ « J

i

da =

K%

dfx =

9

sup ( / ie/ J

n

i

9

j

r

d(x.

D e aici r e z u l t ă că [ fda J

== s u p ( /

K

fi

= sup sup f iei K J

da

=

[ ^ da,

d[x = s u p ie/ J

u n d e K parcurge m u l ţ i m e a părţilor compacte ale lui Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă .

T.

2. Integrala superioară în raport cu o măsură pozitivă definită prin densităţi F i e a o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T, g > - 0 o f u n c ţ i e l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă şi v = P e n t r u o r i c e fe JC(T), v ( / ) e s t e d e f i n i t ă p r i n e g a l i t a t e a

ga.

da.

^ / d v = \fg

V o m v e d e a c ă a c e a s t ă e g a l i t a t e se p ă s t r e a z ă şi p e n t r u superioare ale unei funcţii / >- 0 oarecare. Lema 1. Dacâf^O este semicontinuă inferior, atunci

da.

/ d v = ^fg

F i e ( f t j a e i f a m i l i a f i l t r a n t ă d e f u n c ţ i i d i n JC (T) P e n t r u fiecare funcţie \ avem +

A d v =^h g a

a

a

a

ae

astfel încît

h ^Cf. a

da.

a

A v e m , d e a s e m e n e a , s u p h = / şi s u p h g (teA aei A p l i c a ţ i a t - > (fe ( % ( t f ) ) . i a l u i T î n v ă r , g fiind (x-măsurabilă, p e n t r u fiecare o r i c e e > 0, e x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă l u i g l a K' e s t e c o n t i n u ă şi a (K — K') < ft g l a X ' s î n t c o n t i n u e , d e c i şi r e s t r i c ţ i a a

integralele

=

fg.

e s t e (x m ă s u r a b i l ă . î n t r - a d e ­ m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT şi K'dK astfel încît restricţia s ; a t u n c i restricţiile funcţiilor a p l i c a ţ i e i t - > (Ji (t) g(t)) &A la a

A

INTEGRAREA I N RAPORT CU O M Ă S U R Ă DEFINITA PRIN DENSITĂŢI

K' e s t e c o n t i n u ă . A c e a s t a î n s e a m n ă c ă f u n c ţ i a ^-măsurabilă. Din propoziţia 1 rezultă atunci că ^ fg d[x = L e m a 2 . Pentru

F i e KdT 1 rezultă

sup^gr

orice

259

t -> (h (t) g(t))*^ a

A

este

dfx = s u p ^ f e d v = ^ / d v . a

funcţie

f >- 0

avem

o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi fie A e 3

jj fedv = ^

+

c u h ^f

Din lema

fg este

p-integrabilă

ftffdfx^/^dfx.

Atunci

( /C/gr
Ae3 J

J

+

de u n d e

si

L e m a 3 . D a c a / > - 0 este ^-integrabilă, avem

atunci

D e o a r e c e / ] > 0 e s t e v - i n t e g r a b i l ă , e x i s t ă u n şir (/„) d e f u n c ţ i i > din ^ ( T ) astfel încît

0

limC|/ - / | d v = 0. K

D e o a r e c e , c o n f o r m l e m e i 2, a v e m

Jl/. - / I

dv = ^ | / « - / l

dv>^|/ -/| rd x = ^ | / r - / | d x w

fl

[

wfl

ff

l

deducem că \f g-fg\d[x

= 0.

n

Dar f

n

g s î n t [x-integrabile, d e c i fg e s t e [x-integrabilă. D i n e g a l i t ă ţ i l e l i m \f

n

«-»oo J

d v = \ / d v , U m \f

n

J

n->oo J

g d[x =

(/gr djx J

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

260

CAP. IV

Şi C/ dv =

^f gdu,

(j/dv

d(i.

n

n

deducem

L e m a 4 . Dacă fg este ^măsurabilă

= ^/flr

f > - 0 este ^măsurabilă şi

şi cu suport

compact,

atunci

D a c ă p e n t r u f i e c a r e n p u n e m f = inf (n,f), f u n c ţ i a f e s t e v - i n t e g r a b i l ă , ş i r u l ( / ) e s t e c r e s c ă t o r şi / = s u p f . D i n l e m a 3 r e z u l t ă c ă f g s î n t n

n

n

n

n

n

^ - i n t e g r a b i l e şi | / » d v = ^fn9

d(x.

Dar

(j/dv=.

supţ/ dv n

şi J / g r d f x = s u p ^ / ^ g r d(x

de unde ţ /dv = ^

d(x.

Funcţiile / gr sînt jx-măsurabile, deoarece sînt = s u p /„af. R e z u l t ă c ă / g r e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă .

(x-integrabile,

n

fg

iar

n

P r o p o z i ţ i a 2 . Pentru

orice funcţie ^/d(

f f t

f > - 0 at?^m

x ) = ^ / 5 f d(x.

S ă n o t ă m v = grţx. V o m d e m o n s t r a m a i î n t î i p r o p o z i ţ i a î n c a z u l c î n d / e s t e c u suport compact K. Deoarece

inegalitatea

|j/dv>^/0

m a 2, r ă m î n e d e d e m o n s t r a t i n e g a l i t a t e a

J7dv<J/«r

djx a

fost

demonstrată

h

du.

le­

contrară

dfx.

P e n t r u aceasta este suficient să a r ă t ă m că d a c ă atunci^/dv

în

fee3+

şifg^h,

INTEGRAREA Î N RAPORT CU O MĂSURA DEFINITĂ PRIN DENSITĂŢI

261

F i e d e c i h e 3 c u /
J / dv <

dv =

( j V g dfx <

J**d|i

şi p r o p o z i ţ i a v a fi d e m o n s t r a t ă . F i e 8 = {t; g(t) =f= 0 } . D e o a r e c e gr e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă , m u l ţ i m e a 8 e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă , d e c i Kf]8 e s t e [x-integrabilă. E x i s t ă a t u n c i o m u l ţ i m e [x-neglijabilă NczKf]8 şi u n şir (K ) de n

00

m u l ţ i m i c o m p a c t e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a s t f e l î n c î t \jK

= (Kf]8)

n

—

n=l

— N şi a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i g l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . F i e 9 e 9 + cu 9 >- /. Definim funcţia / ' p e T p r i n egalitatea n

dacă *e (in 9(t) - / deoarece : p e n t r u * e {Kf\S)

-

N = \j

E

n

a v e m / ' ( * ) £ ( < ) = h(t)

>f(t)g(t),

n=l

i a r g (t) > O ; p e n t r u * e (X—j8f)U-ff a v e m / ' ( * ) =
>f(t);

p e n t r u t<=T — K a v e m / ' ( * ) = /(*) = 0 . F u n c ţ i a / ' este v-măsurabilă deoarece: restricţia lui / ' = — la fiecare K g

n

restricţia lui / '

= 9

este inferior

l a (K — 8)[JN

r e s t r i c ţ i a l u i / ' l a T—K

p e n t r u t^\K(\8)

semicontinuă;

[x-aproape p e s t e t o t , d e o a r e c e

— N a v e m h(t)

p e n t r u t^K—8

a v e m g(t) = — K

Atunci, după cum am

este inferior

este nulă.

D i n d e f i n i ţ i a l u i / ' r e z u l t ă c ă h ^f'g,

p e n t r u t<=T

semicontinuă;

a v e m f'(t)

=f'(t)g(t);

0; =

0.

observat,

^ / d v < J/'dv = J / ' f f d [ x < d [ x

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

262

şi c u m f u n c ţ i a

feeS7

+

CAP. IV

c u fe > - fg e s t e a r b i t r a r ă , d e d u c e m J&v<[f9

dfx

şi d e c i

F i e a c u m / > 0 o funcţie oarecare. P e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kd -T, f u n c ţ i a fo are suportul compact; din prima parte a demonstraţiei rezultă K

L u î n d m a r g i n e a s u p e r i o a r ă p e n t r u t o a t e m u l ţ i m i l e c o m p a c t e Ka obţinem

şi p r o p o z i ţ i a e s t e

T,

demonstrată.

3. I n t e g r a r e a î n r a p o r t c u o m ă s u r ă p o z i t i v ă d e f i n i t ă p r i n

densităţi

F i e [L o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T , g > 0 o f u n c ţ i e l o c a l [/.-integrabilă şi v = g\i. P r o p o z i ţ i a 3 . 0 funcţie f definită pe T cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R este g\i~neglijabilă, dacă si numai dacă tg este ^neglijabilă. într-adevăr,

d e c i v*(|f |) = 0 d a c ă şi n u m a i d a c ă [x*(|f \g) = 0 . Observaţie. S ă n o t ă m S = {t; g(t) ^ 0 } . A s p u n e c ă lg e s t e [/.-negli­ j a b i l ă î n s e a m n ă c ă f e s t e fi-negUjabilă p e m u l ţ i m e a 8 ( a d i c ă f(tf) = 0 a p r o a p e p e n t r u orice teS ). C o r o l a r . O mulţime AaT este gp-neglijabilă dacă şi numai dacă mulţimea Af]8 este ^neglijabilă. P r o p o z i ţ i a 4 . O funcţie f definită pe T cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R este g\L-măsurabilă dacă şi numai dacă tg este [L-mâsurabilă. S ă p r e s u p u n e m c ă f e s t e (/[/.-măsurabilă. F i e KaT o m u l ţ i m e com­ p a c t ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e (/[/.-neglijabilă M dK şi u n şir (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a c ă r o r r e u n i u n e e s t e K—M şi a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i f l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . D e o a r e c e g e s t e g

g

g

g

0

n

0

n

INTEGRAREA Î N RAPORT CU O M Ă S U R Ă DEFINITĂ P R I N DENSITĂŢI

263

^ - m ă s u r a b i l ă , f i e c a r e K e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i [/.-neglijabile N şi a u n u i şir d e m u l ţ i m i c o m p a c t e (K ) disjuncte d o u ă cîte două, astfel încît restricţia lui g la fiecare K s ă fie c o n t i n u ă . S ă n o t ă m 8 = {<; 0 ( * ) # o } . D e o a r e c e M e s t e (/[/.-neglijabilă, m u l ţ i m e a 8f]M e s t e [/.-neglijabilă. D e o a r e c e 8 e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă ş i 8 f| Jif o * p.-neglijabilă, m u l ţ i m e a M —8 e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă şi r e l a t i v c o m p a c t ă , d e c i e s t e [/.-integrabilă. E x i s t ă d e c i o m u l ţ i m e [/.-neglijabilă N dM —8 şi u n şir (K ) ^ de m u l ţ i m i compacte, disjuncte d o u ă cîte două, a căror reuniune este (M -8)-N . E e s t r i c ţ i a lui g la fiecare K este nulă, deci continuă. Atunci muln

n

nm mGN

nm

d

e s

e

0

0

0

0

m m

N

0

0m

00

ţimea N — (l^jN )\JN n

e s t e [/.-neglijabilă, i a r K—N

0

este reuniunea mul­

Ţ I I

ţ i m i l o r c o m p a c t e K ,0<;w
nm

0

n

P e fiecare

K

f = — la g fiecare K e s t e c o n t i n u ă . M u l ţ i m e a N = A [j M e s t e (/[/.-neglijabilă i a r r e u n i u n e a m u l ţ i m i l o r (K ) e s t e e g a l ă c u K—N. E e z u l t ă c ă f e s t e (/[/.-mă­ surabilă. C o r o l a r . O mulţime AdT este g\i-mâsurabilă dacă şi numai dacă A fi S este [L-măsurabilâ. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă A e s t e # [ x - m ă s u r a b i l ă . A t u n c i
avem

g (t)

> O, d e c i

n

restricţia

funcţiei

n

n

g

A

F u n c ţ i a h d e f i n i t ă a s t f e l : h(t) = — - —

d a c ă g(t) =f= O şi

h(t) = O

\9(*)\

d a c ă g(t) = O, e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă , d e c i
g

g

A

4

A

A

s

Sa

MASURI DEFINITE

264

S a n o t ă m v = g\L. D i n

PRIN

DENSITĂŢI

CAP. IV

egalitatea

^|f|dv =

^|f|ffd(x

r e z u l t ă c ă ^* |f | d v < o o d a c ă şi n u m a i d a c ă ^ |f | <jrd[/.< o o . D e a s e m e n e a , f e s t e v - m ă s u r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă îg e s t e [/.-măsu­ rabilă. Conform criteriului d e integrabilitate, rezultă că f este v-integrab i l ă , d a c ă şi n u m a i d a c ă tg e s t e [/.-integrabilă. F i e a c u m f o f u n c ţ i e v - i n t e g r a b i l ă c u v a l o r i î n E ( s a u î n R) ş i (f ) u n şir d e f u n c ţ i i d i n JC {T) ( s a u d i n JC{T)) a s t f e l î n c î t w

E

l i m \ |f J

f | d v = 0. n

n - f oo

Atunci lim\f dv = \fdv. n

n -f

J

oo

J

D a r , p e n t r u f u n c ţ i i l e p o z i t i v e |f — f |,

a v e m (propoziţia 2)

n

Jj|f-f |sfd[x,

^f~f |dv =

n

n

deci l i m \ \tg -

t g |d[x = O, n

n->oo J

de u n d e l i m \ î gd.[i n

n-+cc J

= \

igăy..

J

Deoarece p e n t r u funcţiile f

n

a v e m (propoziţia 1 1 , § 15)

^ f d v = ^ f gfd[x, n

w

prin trecerea la limită deducem f d v = ^ îg d[/..

®A9

C o r o l a r u l 1. O mulţime AaT p-integrabilâ. în acest caz

e s i e

(g[i)(A) C o r o l a r u l 2 . Măsura ^integrabilă. în acest caz

este gp-integrabilă avem

dacă

= ^ grdţx,

g\L este mărginită avem IM

dacă şi numai

= ţ flrdi*-

dacă

şi numai

dacă

g

este

INTEGRAREA Î N RAPORT CU O MĂSURĂ DEFINITA PRIN DENSITĂŢI

î n t r - a d e v ă r , T e s t e
şi n u m a i d a c ă

265»

g =

P r o p o z i ţ i a 5 . Fie [x o măsură pozitivă, ^ > - 0 o funcţie local ^inte­ grabilă şi E un spaţiu Banach. 0 funcţie g : T - > E este local g^-integrabilă, dacă şi numai dacă funcţia g^i ^ local [L-integrabilă. în acest caz avem 2

es

e

9 (9iP) = (920i) 2

S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă g e s t e l o c a l (^ţx-integrabilă. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e oeJC(T), f u n c ţ i a g

e s

2

2

U r m e a z ă c ă g ^ e s t e l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă şi

92

= (92ffl)

(9lV-) R e c i p r o c , d a c ă g ^ e s t e l o c a l [x- i n t e g r a b i l ă , a t u n c i p e n t r u o r i c e c p s 2 ( T ) f u n c ţ i a g ^

- 0 definită pe T avem 2

2

A

A

2) O funcţie f definită pe T cu valori în E sau în R este o [L-neglij abilă dacă şi numai dacă f este ^-neglijabilă pe A; _ 3) O funcţie î definită pe T cu valori în E sau în R este o ^-măsurabilă dacă şi numai dacă restricţia lui f la A este [L-măsurabilă. 4) O funcţie f definită pe T cu valori în E sau în R este o [L-integra­ bilă, dacă şi numai dacă f

A

A

D a c ă d o u ă f u n c ţ i i f şi g d e f i n i t e p e T c u v a l o r i î n E s a u R s î n t e g a l e p e A a t u n c i u n a d i n e l e e s t e y [x-neglijabilă, y [ x - m ă s u r a b i l ă s a u y ţx-inte­ g r a b i l ă , d a c ă şi n u m a i d a c ă şi c e a l a l t ă a r e a c e e a ş i p r o p r i e t a t e . D a c ă s î n t o [x-integrabile, a t u n c i i

A

A

A

A

268

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

CAP. IV

adică V fdjx = V gd[x. IA

. A

F i e a c u m o m u l ţ i ţ a e B ZDA şi f O f u n c ţ i e d e f i n i t ă p e B c u v a l o r i î n E s a u R. V o m s p u n e c ă f e s t e [x-neglijabilă p e A ( r e s p e c t i v [ x - m ă s u r a b i l ă p e A, [x-integrabilă p e A), d a c ă o p r e l u n g i r e o a r e c a r e if l a T a r e s t r i c ţ i e i l u i f l a A e s t e [x-negfijabilă ( r e s p e c t i v [ x - m ă s u r a b i l ă , fx-integrabilă). D a c ă f e s t e i n t e g r a b i l ă p e A, n o t ă m [

f d x = C fd[x =

•U

l

. A

(f<^d[x

J

ş i s p u n e m c ă ^ f dfx e s t e i n t e g r a l a l u i f p e m u l ţ i m e a A.

Se defineşte

de

a s e m e n e a ^ f d(x = ^ f dţx. S p u n e m c ă f u n c ţ i a f e s t e l o c a l [x-integrabilă p e A, d a c ă f e s t e l o c a l

e

4 . I n t e g r a r e a In r a p o r t c u m ă s u r i d e f i n i t e p r i n d e n s i t ă ţ i slab local integrabile F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi Z(ZF' u n s u b s p a ţ i u n o r m a n t p e n t r u F. F i e jx o m ă s u r ă scalară p e T. T e o r e m a 2 . Fie u : T -> J>* (E, F) o funcţie Z-slab local p-integrabilă şi f : T -> E o funcţie. 1) Dacă f este | u | | [x | - neglijabilă, atunci f este np-neglijabilă iar uf este [L-neglijabilâ. 2) Dacă f este | u | | [x | - măsurabilă, atunci f este U[x-mâ$wra6iîâ i a r < uf, z > este [L-măsurabilă pentru orice zeZ. 3) J>ae e s t e p-integrabilă pentru orice z&Z şi < ^ fd(ujx), z > = J < u f , z > d [ x . P r i m a p a r t e a f i e c ă r e i a d i n cele t r e i p r o p o z i ţ i i , r e l a t i v e l a m ă s u r a U[x, r e z u l t ă d i n i n e g a l i t a t e a | u ţ x | < ; | u | |ţx|. Din inegalitatea ^|uf|d||i|
^|f|d(|u||ti|)

Tezultă c ă d a c ă f e s t e | u | | jx | - n e g l i j a b i l ă , a t u n c i uf Dacă C | f | d ( | u | | [ x | ) < o o , atunci (

| uf | d | [x | < o o .

este

[x-neglijabilă.

INTEGRAREA Î N RAPORT CU O MĂSURĂ DEFINITĂ PRIN DENSITĂŢI

267

S ă p r e s u p u n e m c ă f e s t e | u 11 p | - m ă s u r a b i l ă . A t u n c i f u n c ţ i a f | u | e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă . D e o a r e c e f u n c ţ i a | u | e s t e f x - m ă s u r a b i l ă , f u n c ţ i a h : T->E definită prin f

n

h(t) (*)l(*)l = î(t) =

dacă u ( l ) ^ 0

ş i h(t) = 0 d a c ă u(t) = 0 ,

e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă . U r m e a z ă c ă p e n t r u o r i c e zeZ f u n c ţ i a < uh, z > e s t e fx-măsurabilă. D e o a r e c e = u(J)f(t), r e z u l t ă c ă p e n t r u o r i c e zeZ f u n c ţ i a < uf, z > e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă . D i n cele d e m a i s u s r e z u l t ă c ă d a c ă f e s t e | u | | jx | - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i < uf, z > e s t e {x-integrabilă, o r i c a r e a r fi z e Z. S ă p r e s u p u n e m c ă f e s t e | u 11 jx | - i n t e g r a b i l ă . F i e ( f ) u n ş i r d e f u n c ţ i i d i n JC (T) a s t f e l î n c î t

u(/)h(Z)

n

E

Mm Clf—f,|d(|u|l|£|)=0. F u n c ţ i i l e f şi f

M

s î n t ufx-integrabile. D i n i n e g a l i t ă ţ i l e

^ fd ( x ) - ţj f d ( x ) | < [ Ul

n

Ul

|f -

f | d | x| < J n

Ul

|f -

f | d ( |U| |{X| ) n

rezultă că limţf d(ufx) n

=Cfd(u{x) J

n-foo J

şi p e n t r u

orice

Z<EZ

lim < \ f d ( u { x ) , z n

> =
P e d e a l t ă p a r t e , p e n t r u o r i c e zeZ, f u n c ţ i i l e s î n t (x-integrabile. D i n i n e g a l i t ă ţ i l e ^ < U Î , Z > d | l - ( < l l f , *>djl

w

z > şi < uf, z >

< | s | ^ | f _ f | |u|d|ti| =

n

| %.'

< uf,

>.

n

J

•'

= |z|(|f„-î|d(|u| |p|) deducem că lim\ <

uf, n

z > d[x =

n->oo J

D a r p e n t r u funcţiile

\ < uf, z > dfx. J

î ^JC n

E

(T)

avem

: ^ f d ( u [ x ) , z > = ^ < u f , z > d[x. n

n

268

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

CAP. IV

Prin trecerea la limită obţinem : < ^ f d(u[x), z >

=

C o r o l a r . Fie u : T -> £* (E, F) Să presupunem că avem

M

o funcţie

Z-slab

local

p-integrabilâ.

= Iul M .

Fie funcţia f : T -> E. 1) Bacă f e s t e u[L-neglijabilâ, 2) D a c # f este U[L-măsurabilă, rabilă pentru orice zeZ. 3) Bacă t este u[L-integrabilă, grabilă pentru orice zeZ şi < ^ f d(u{x), z >

^ < uf, z > d[x.

atunci uf este ^-neglijabilă. atunci funcţia < uf, 2 > este atunci

funcţia

< uf, z >

este

[L-mâsu[L-inte­

= ^ < uf, z > d[x.

Funcţiile scalare au unele proprietăţi suplimentare, în a n u m i t e c o n d i ţ i i d e n u m ă r a b i l i t a t e p e n t r u E şi Z. P r o p o z i ţ i a 7. Fie u : T - > J?* J P ) o funcţie Z-slab local [L-integra­ bilă şi f o funcţie scalară definită pe T. 1) Bacă f este | u | |[x| -neglijabilă, atunci f este U[L-neglij abilă iar uf este [L-neglijabilâ. 2) Bacă f este | u | |[x {-măsurabilă, atunci f este U[L-măsurabilă iar < u # / , £ > este [L-măsurabilâ pentru orice xeE şi zeZ. 3) Bacă f este |u| \[L\-integrabilă, atunci f este u[L-integrabilă iar < u/a?, z > este [L-integrabilă pentru orice xeE şi zeZ şi avem < ^ / d (u[x)

z >

= ^ < u/a?, z > d[x,

pentru

xeE şi zeZ. Reciproc, să presupunem că E este de tip numărabil şi că există o mulţime numărabilă SdZ normată pentru E. în acest caz : 1') Bacă < ufx, z > este ^-neglijabilă pentru orice xeE şi orice zeZ, atunci f este neglijabilă în raport cu |u| |[x| şi în raport cu uţx. 2') Bacă f este reală şi dacă < ufx, z > este [L-măsurabilâ pentru orice xeE şi zeZ, atunci f este măsurabilă în raport cu |u| |[x| şi în raport CU

U[L.

D a c ă / e s t e |u| \[L\ - n e g l i j a b i l ă ( m ă s u r a b i l ă , i n t e g r a b i l ă ) , d i n i n e g a ­ l i t a t e a |u[x|<; |u| |(A| r e z u l t ă c ă / e s t e u ţ x - n e g l i j a b i l ă ( m ă s u r a b i l ă , i n t e ­ grabilă). D a c ă / e s t e |u| | [L\ - n e g l i j a b i l ă , s e a r a t ă c a î n t e o r e m a 1 c ă uf e s t e [x-neglijabilă şi a s t f e l p r o p r i e t a t e a 1 e s t e d e m o n s t r a t ă . D a c ă / e s t e |u| |[x| - m ă s u r a b i l ă ( i n t e g r a b i l ă ) , a t u n c i p e n t r u o r i c e xeE f u n c ţ i a fx: T -> E e s t e |u| |[x| - m ă s u r a b i l ă ( i n t e g r a b i l ă ) şi d i n

§ 16

INTEGRAREA IN RAPORT CU O MĂSURĂ DEFINITĂ PRIN DENSITĂŢI

209

t e o r e m a 2 d e d u c e m c ă f u n c ţ i a < ufx, z > e s t e ( x - m ă s u r a b i l ă ( i n t e g r a ­ b i l ă ) p e n t r u o r i c e zeZ şi a s t f e l şi p r o p r i e t ă ţ i l e 2) şi 3) s î n t d e m o n s t r a t e . E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă E şi Z a u p r o p r i e t a t e a d e n u m ă r a b i l i t a t e din enunţ. F i e (x ) u n şir d e n s î n E. P e n t r u o r i c e t e T a v e m n

i««)i

= ludwoi =

8 u

\ < * * ) M y * > \ .

P

D i n a c e a s t ă e g a l i t a t e r e z u l t ă c ă d a c ă < ufx, z > e s t e [x-neglija­ b i l ă s a u [ x - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e xeE şi o r i c e z e i ? , a t u n c i | / | | u | e s t e [x-neglijabilă r e s p e c t i v [ x - m ă s u r a b i l ă , d e c i | / | e s t e |u| |[x| - n e g l i j a b i l ă r e s p e c t i v |u| |[x| - m ă s u r a b i l ă . î n a c e s t fel p r o p r i e t a t e a 1') e s t e d e m o n s t r a t ă . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă / e s t e r e a l ă şi c ă < ufx, z > e s t e [x-măsur a b i l ă p e n t r u o r i c e x<=E şi o r i c e zeZ. D i n cele d e m a i s u s r e z u l t ă c ă | / | e s t e |u| |[x| - m ă s u r a b i l ă , i a r d i n p r o p r i e t a t e a 2 d e d u c e m c ă | / | < ux, z > e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e x^E şi z<=Z. D e o a r e c e f u n c ţ i i l e / < ux, z > şi | / | < u,x, z > s î n t [x-măsurabile, funcţiile /+ < ux, z

>

=

(|/|

i

+

/ )

<

VLX, z >

şi

Z

f - < ux, z >

= -lz (|/| - /)< ux,

z >

s î n t [x - m ă s u r a b i l e p e n t r u o r i c e x e E şi z e Z. E e p e t î n d r a ţ i o n a m e n t u l de ma^ sus, cu / şi c u / " î n l o c d e / , d e d u c e m că funcţiile | / | = / şi | / ~ | = / " s î n t |u| |[x| - m ă s u r a b i l e . Atunci funcţia f = f — f~ e s t e | u 11 [x | - m ă s u r a b i l ă şi a s t f e l şi p r o p r i e t a t e a 2') este d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Sâ presupunem câ E este de tip numărabil şi că există o mulţime numărabilă SciZ normantă pentru E. Fie u : T ~> J>* (E, F) o funcţie Z-slab local p-integrabilă astfel încît să avem +

+

+

+

|U[X|

= |u|

|[X| .

1) O funcţie scalară f este up-neglijabilă dacă şi numai < ufx, z > este p-neglijabilă pentru orice xeE şi orice z&Z. 2) O funcţie reală f este up-măsurabilă, dacă şi numai < ufx,z > este p-măsurabilâ pentru orice xeE şi orice zeZ. P r o p o z i ţ i a 8. Sâ presupunem câ există o mulţime numărabilă normantă pentru F. Fie u: T £* (E, F) o funcţie Z-slab local p-integrabilă şi f : o funcţie.

dacă dacă SciZ T-+E

CAP. IV

MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

270

Dacă f este local |u| |[x| -integrabilă, atunci f bilă iar funcţia uf este Z-slab local [L-integrabilă şi f (ujx) =

este local avem

u[L-integra-

(uf)[x.

D i n i n e g a l i t a t e a | u [ x | < ! |u| |[x| r e z u l t ă c ă d a c ă / e s t e l o c a l i n t e g r a ­ b i l ă î n r a p o r t c u |u| j[x|, a t u n c i / e s t e l o c a l i n t e g r a b i l ă şi î n r a p o r t c u ujx. D e o a r e c e / e s t e l o c a l |u| | ţ x | - i n t e g r a b i l ă , f u n c ţ i a / e s t e |u| |[xj - m ă s u ­ r a b i l ă , d e c i p e n t r u o r i c e zeZ funcţia < u/, z > este [x-măsurabilă, a d i c ă uf e s t e Z - s l a b [ x - m ă s u r a b i l ă . A t u n c i f u n c ţ i a | < u / , z > | e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e zeZ. Din egalitatea \u(t)f(t)\ deducem că |u/| KczT avem

= sup ses

este

[x-măsurabilă.

C |n/|dW
1 < "(*)/(*)> * > 1 \s\ Pentru

p

e

n

t

r

u

,

e

T

orice m u l ţ i m e

compactă

l / | d ( | u | |[x|) < o o

|u||/|d|[x|= f

JK

t

K

M

d e c i uf e s t e Z - s l a b l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă . F i e oeJC(T). A t u n c i fo e s t e |u| |[x| - i n t e g r a b i l ă , d e c i e s t e (x-integrabilă p e n t r u o r i c e zeZ şi a v e m < ^/

=

J < u/9,

< uf o, z

>

z > d(x

adică < ţj 9d

[/(ujx)], z > =

< J 9d

/(u(x) =

(/u)[x.

[(u/)(i], z

>

deci

P r o p o z i ţ i a 9 . Fie u : I -> J2* (E, F) o funcţie Z-slab local [L-inte­ şi f o funcţie scalară definită pe T. Dacă f este local \u\ |ţx| -integrabilă, atunci f este local u[L-integrabilă iar uf este Z-slab local [L-integrabilă şi avem

grabilă

/ O m ) = (/U)(A. S ă p r e s u p u n e m c ă / e s t e l o c a l |u| \[L\ - i n t e g r a b i l ă . D i n i n e g a l i t a t e a \U[L \ < |u| d e d u c e m că / este local uţx-integrabilă. D e o a r e c e / e s t e |u| \y] - m ă s u r a b i l ă , r e z u l t ă c ă este [ x - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e xeE şi o r i c e zeZ, a d i c ă uf e s t e Z - s l a b [x-măsurabilă. D e o a r e c e / e s t e l o c a l |u| | [ x | - i n t e g r a b i l ă , f u n c ţ i a | / | e s t e l o c a l | u | | [ x | - i n t e g r a b i l ă , d e c i f u n c ţ i a | u / | = | u | | / | e s t e l o c a l |[x| - i n t e g r a b i l ă . U r m e a z ă c ă uf e s t e Z - s l a b l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă .

INTEGRAREA I N RAPORT CU O MĂSURĂ DEFINITĂ PRIN DENSITĂŢI

271

F i e heJC(T). A t u n c i fh e s t e |u| | p | - i n t e g r a b i l ă d e c i fh e s t e uţx-integ r a b i l ă i a r < ufhx, z > e s t e (x-integrabilă p e n t r u o r i c e xeE şi z<=Z şi a v e m <

t/(u[J.)]#,

z > = < [fhd(uyL)x,

=

z> = [ < ufhx,

<\ţhă[(uf)\i]x,

z

z > dţx

=

>

de unde M [ / ( u x ) ] = ^ d [(u/)[x] (

adică /(U[X) =

(/u)(X.

5. I n t e g r a r e a î n r a p o r t c u m ă s u r i d e f i n i t e p r i n d e n s i t ă ţ i simplu local integrabile F i e E, F şi O t r e i s p a ţ i i B a n a c h . T e o r e m a 3 . Fie m : JC (T) - > Jl (F, G) T-> Jl(E,F) o funcţie simplu local m-integrabilă, - > ^ ( JS, O) şi o funcţie î: T ->E. 1) Bacă f este | g | \ m\-neglijabilă, atunci fg este m-neglijabilă. 2) D a e # f este | g | | m | - m a s u r a b i l ă , atunci fg este m-mâsurabilă. 3 ) D a e d f este | g | \m\-integrabilă, atunci fg este m-integrabilă şi avem fd(gm) =

o

măsură măsura

majorată, g : g m : JC(T) ->

f este qm-neglijabilă

iar

f e#te gm-m
iar

f este ym-integrabilă

iar

^fgdm.

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a t e o r e m e i 2 , f ă r ă a f a c e a p e l l a Z. C o r o l a r . Fie m: JC( T) - > Jl(F, G) o măsură majorată şi g : T -> Jl (E, F) o funcţie simplu local m-integrabilă astfel încît să avem |gm| =

|g|m|.

Bacă o funcţie f : T -> E este gm-neglij abilă (măsurabilă, integra­ atunci fg este m-neglijabilâ (măsurabilă, integrabilă) P e n t r u funcţii scalare a v e m propoziţia u r m ă t o a r e : P r o p o z i ţ i a 1 0 . Fie m : JC (T) -> X (F, G) o măsură majorată, g : T-+Jl(E,F) o funcţie simplu local m-integrabilă, măsura g m : JC(T)-+ Jl(E, G) şi f o funcţie scalară. 1) Bacă f este | g | \m\-neglijabilă, atunci f este gm-neglijabilâ iar fg este m-neglij abilă. bilă),

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

•272

2) Dacă f este \g\ \ m\-măsurabilă, este m-măsurabilă, pentru orice 3) Dacă f este |g| \ m\-integrabilă, fyx este m-integrabilă pentru orice xeE

Jgx

CAP. IV

atunci f este xeE. atunci f este şi avem

fd (gm)x = ^/g# dm,

pentru

gm-măsurabilă

iar

gm-integrabilă

iar

x&E.

Reciproc, să presupunem că E este de tip numărabil. în acest caz: V) Dacă fyx este m-neglijabilâ pentru orice xeE, atunci f este qm-neglijabilă şi |g| \m\-neglijabila. 2 ' ) Dacă f este reală şi dacă fyx este m-măsurabilă pentru orice xeE, atunci f este |g| \m\-măsurabilă şi gm-măsurabilă. D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 7, f ă r ă a m a i folosi Z. Corolar. Fie m : JC(T)^j£(F,G) o măsură majorată şi g : T->J2*(E,F) o funcţie simplu local m-integrabilă. Să presupunem că E este de tip numărabil şi că

\gm\

= |g||m|.

Atunci : 1) O funcţie scalară f este gm-neglijabilă dacă şi numai dacă fyx •este m-neglijabilă pentru orice xeE. 2) 0 funcţie reală f este gm-măsurabilă dacă şi numai dacă fyx este m-măsurabilă pentru orice x<=E. Propoziţia 11 Fie m : JC(T) - > J2(F, G) o măsură majorată, g : T -> -> J£*(E, F) o funcţie simplu local m-integrabilă şi t: T -> E o funcţie. Dacă î este local |g| \m\-integrabilă, atunci t este local gm-integra­ bilă iar fg este local m-integrabilă şi avem

f(g)m = (fg)m. D a c ă f e s t e l o c a l | g | | m | - i n t e g r a b i l ă , d i n i n e g a l i t a t e a |gm| < | g | | m [ r e z u l t ă c ă f e s t e l o c a l g m - i n t e g r a b i l ă . P e d e a l t ă p a r t e , p e n t r u o r i c e 9 e Jt( T) f u n c ţ i a f9 e s t e | g | | m | - i n t e g r a b i l ă , d e c i gf9 e s t e m - i n t e g r a b i l ă ş i a v e m

f9 d(gm) = ^fg9dm. E e z u l t ă c ă fg e s t e l o c a l m - i n t e g r a b i l ă ş i c ă 9

d [f(gm)] = ^ d [(fg)m], 9

pentru

? 6 l ( T )

deci

f(gm) = (fg)m. P e n t r u funcţii scalare, p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă se e n u n ţ ă a s t f e l : Propoziţia 1 2 . Fie m : JC(T) -> J>(F, G) o măsură majorată, g: T -+J>*(E, F) o funcţie simplu local m-integrabilă şi f o funcţie scalară definită pe T.

§ 16

bilâ

INTEGRAREA I N RAPORT CU O M Ă S U R Ă DEFINITĂ PRIN DENSITĂŢI

Bacă f este local \g\\m\-integrabilă, iar fg este simplu local m-integrabilă /(gm) =

atunci f si avem

este local

273

gm-integra-

(/g)m.

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a l a p r o p o z i ţ i a 9 f ă r ă a m a i folosi

6. I n t e g r a r e a î n

Z.

r a p o r t cu m ă s u r i definite p r i n densităţi local integrabile

F i e E, F şi X t r e i s p a ţ i i B a n a c h . V o m c o n s i d e r a t r e i c a z u r i , d u p ă c u m m, g s a u / s î n t s c a l a r e . Să considerăm m a i întîi cazul cînd m este scalară. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( t e o r e m a 4 , § 1 8 ) c ă d a c ă jx e s t e o m ă s u r ă s c a l a r ă şi d a c ă g : T - > X e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă a v e m |g(x| = |g||(x|. T e o r e m e l e 2 şi 3 şi c o r o l a r i i l e l o r se p a r t i c u l a r i z e a z ă a s t f e l : T e o r e m a 4 . Fie ţx o măsură scalară, g : T - > J2(E, F) O funcţie local ^-integrabilă, măsura gjx : JC(T) - > J&E, F) şi o funcţie f : T - > E. Bacă î este \g\ \\i\-neglijabilă (măsurabilă, integrabilă), atunci fg este ^-neglijabilă (măsurabilă, integrabilă). Dacă î este | g | integrabilă, atunci î este gp-integrabilâ şi avem

P r o p o z i ţ i i l e 8 şi 1 1 se p a r t i c u l a r i z e a z ă a s t f e l : P r o p o z i ţ i a 1 3 . Fie ţx o măsură scalară, g: T - > Jl(E, local \L-integrabilă şi î: T - > E o funcţie. Bacă f este local \g\ integrabilă, atunci t este local iar tg este local ^-integrabilă şi avem

F)

o

funcţie

g\L-integrabilă

Să considerăm a c u m cazul cînd g este scalară. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( t e o r e m a 5 , § 1 8 ) c ă d a c ă m : JC(T) X e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă i a r g e s t e o f u n c ţ i e scalară local m-integrabilă, a t u n c i |grm| = | f f | | m | . T e o r e m e l e 3 şi 4 se c o m p l e t e a z ă a s t f e l : T e o r e m a 5 . Fie m: JC(T) -> JH(E, F) o măsură majorată, g o funcţie scalară local m-integrabilă, măsura gm : JC( T) -> Jd(E, F) şi î: T E o funcţie. Funcţia t este \g\ \m\-neglijabilă (măsurabilă, integrabilă) dacă şi numai dacă tg este m-neglijabilă (măsurabilă, integrabilă). Bacă t este \g\ \ m\-integrabilă, atunci t este gm-integrabilă şi avem îă(gm)

=

\ îg d m .

274

MĂSURI DEFINITE PRIN

DENSITĂŢI

CAP. I V

S ă p r e s u p u n e m c ă îg e s t e m - n e g l i j a b i l ă . A t u n c i f u n c ţ i a \îg\ = \î\\g\ e s t e | m | - n e g l i j a b i l ă , d e c i |f| e s t e |g\ \m\-neglijabilă, a d i c ă f e s t e |ffi|m[ -neglijabilă. S ă p r e s u p u n e m c ă îg e s t e m - m ă s u r a b i l ă . F u n c ţ i a s c a l a r ă h d e f i ­ n i t ă p e T astfel : h(t)={

^ d a c ă g(t) 0

g(t)=£0

d a c ă g(t) = 0

e s t e m - m ă s u r a b i l ă şi d e c i f u n c ţ i a î\g\ = îgh e s t e | m | - m ă s u r a b i l ă . E e z u l t ă c ă f e s t e |g\ | m | - m ă s u r a b i l ă . D a c ă îg e s t e m - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i îg e s t e m - m ă s u r a b i l ă i a r f u n c ţ i a

Ifyl = l'llflfl

e s

^ c |m|-integrabilă. Eezultă că f este

\g\ | m | - m ă s u r a b i l ă

i a r |f| e s t e | g | | m | - i n t e g r a b i l ă , d e c i f e s t e \g\ | m | - i n t e g r a b i l ă . C e l e l a l t e a f i r m a ţ i i r e z u l t ă d i n t e o r e m a 4 , c o n s i d e r î n d g : T - > ME, F). P r o p o z i ţ i a 1 4 . Fie m : JC( T) - > Jl(E, F) o măsură majorată, g o funcţie scalară local m-integrabilă şi măsura gm : JC(T) - > Jl(E, F). 1) O funcţie f : T ->• £* (H, E) este simplu local \g\ \ m\-integrabilă dacă şi numai dacă îg este simplu local m-integrabilă. Bacă î este simplu local \g\ \m\-integrabilă, atunci î este simplu local gm-integrabilâ şi avem î(gm)

=

(îg)m.

2) O funcţie î: T - > E este local \g\ \ m\-integrabilă dacă şi dacă îg este local m-integrabilă. Bacă î este local \g \ \m\-integrabilă, î(gm)

=

numai avem

(îg)m.

D a c ă f: T - > jg*(H,E) e s t e s i m p l u l o c a l \g\ \m\ - i n t e g r a b i l ă , d i n i n e g a l i t a t e a |grm| < | f f | | m | r e z u l t ă c ă f e s t e s i m p l u l o c a l « / m - i n t e g r a b i l ă . E e z u l t ă , d e a s e m e n e a , c ă |f| e s t e l o c a l \g\ | m | - i n t e g r a b i l ă i a r îx e s t e \g\ | m | - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e xeH. A t u n c i f u n c ţ i a \îg\ = \î\ \g\ e s t e l o c a l m - i n t e g r a b i l ă i a r îxg e s t e m - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e xeH, deci îg e s t e s i m p l u l o c a l m - i n t e g r a b i l ă . P e n t r u o r i c e 9 e JC( T) şi x e H f u n c ţ i a oxi e s t e <jrm-integrabilă i a r yxîg e s t e m - i n t e g r a b i l ă şi a v e m

de unde

deci î(gm)

=

(îg)m.

D a c ă îg e s t e s i m p l u l o c a l m - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i f u n c ţ i a \îg\ = e s t e l o c a l | m | - i n t e g r a b i l ă şi îgx e s t e | m | - m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e

\î\\g\ xeH.

§ 16

INTEGRAREA ÎN RAPORT CU O M Ă S U R Ă DEFINITĂ P R I N

DENSITĂŢI

275

A t u n c i |f| e s t e l o c a l \g\ \m\-integrabilă i a r îx e s t e \g\ | m | - m ă s u r a b i l ă , d e c i f e s t e s i m p l u l o c a l \g\ | m | - i n t e g r a b i l ă . P a r t e a a d o u a r e z u l t ă d i n p r i m a p a r t e , l u î n d H = R. P r o p o z i ţ i a 1 5 . Fie p o măsură scalară şi g o funcţie scalară p-integrabilă. 0 funcţie î: T -> Jl*(E, F) este Z-slab local \g\ \p\-integrabilă, şi numai dacă îg este Z-slab local p-integrabilă. Bacă î este Z-slab \g\ \p\-integrabilă, atunci î este Z-slab local gp-integrabilă şi avem î(g^) =

local dacă local

(tg)v~

Demonstraţia este asemănătoare cu aceea a propoziţiei S ă c o n s i d e r ă m , î n sfîrşit, c a z u l c î n d / e s t e scalară. P r o p o z i ţ i a 10 se precizează a s t f e l :

14.

T e o r e m a 6 . Fie m : JC(T) -> £(E, F) măsură majorată, g: T E o funcţie local m-integrabilă, măsura produs g m : J£(T)-+Eşifo funcţie scalară definită pe T. 1) Bacă funcţia f este | g | \ m\-neglijabilă, atunci f este gm-neglij abilă iar / g este m-neglij abilă. 1') Bacă / g este m-neglijabilâ, atunci f este \g\\m\-neglijabilă şi gm-neglijabilă. 2) Bacăf este | g | | m | - m ă s u r a b i l ă (integrabilă), atunci f este gm-măsu­ rabilă (integrabilă) iar fg este m-măsurabilă (integrabilă). Bacă f este | g 11 m | -integrabilă, avem

2') Bacă f este reală şi dacă fg este m-măsurabilă (integrabilă), atunci f este măsurabilă (integrabilă) în raport cu | g | | m | şi în raport cu g m . D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 7. C o r o l a r . Fie m: JC(T) - > j£(E,F) o funcţie local m-integrabilă, astfel încît |g||m| =

o măsură sâ avem

majorată

şi

g : T

E

|g||m|.

O funcţie reală f este gm-neglijabilă (măsurabilă, integrabilă), şi numai dacă fg este m-neglijabilă (măsurabilă, integrabilă). P r o p o z i ţ i a 12 se p a r t i c u l a r i z e a z ă a s t f e l :

dacă

P r o p o z i ţ i a 1 6 . Fiem : JC(T)-+£(E, F) o măsură majorată, g : T->E o funcţie local integrabilă şi f o funcţie scalară. Bacă f este local \g \ | m | - i n t e g r a b i l ă , atunci f este local gm-integrabilă iar fg este local m-integrabilă şi avem /(gm) =

(fg)m.

Reciproc, dacă f este reală şi dacă funcţia fg este local m-integrabilă, f este local integrabilă în raport cu \g \ \ m\ şi în raport cu g m .

atunci

276

MĂSURI DEFINITE PRIN

§ 17. P R O P R I E T Ă Ţ I L E

MĂSURILOR

DENSITĂŢI

CAP. IV

DEFIIVITE

PRIN

DENSITĂŢI

1. P r o p r i e t ă ţ i a l g e b r i c e D ă m m a i întîi proprietăţile algebrice ale măsurilor definite prin densităţi. P r o p o z i ţ i a 1. Fie m o măsură majorată, f şi g două funcţii definite pe T şi a un scalar. Dacă măsurile f m , g m şi (f + g) m sînt definite, atunci avem (f + g ) m = f m + g m

şi (<xf)m =

<x(fm).

Demonstraţia este imediată. Observaţie. D a c ă f şi g s î n t , d e e x e m p l u , s i m p l u l o c a l m - i n t e g r a b i l e , n u rezultă că f + g este simplu local m -integrabilă. D e aceea în e n u n ţ u l p r o p o z i ţ i e i s-a i m p u s c o n d i ţ i a c a şi m ă s u r a (f + g ) m s ă fie d e f i n i t ă . P r o p o z i ţ i a 2. Fie m şi n două măsuri majorate, a un scalar şi $ o funcţie definită pe T. Dacă măsurile g m şi g n sînt definite, atunci măsurile g ( m + n ) şi g ( a m ) sînt definite şi avem g ( m + n ) = g m + g n şi g ( a m ) = a ( g m ) . Demonstraţia este imediată.

2. M ă s u r i e u d e n s i t ă ţ i l o c a l i n t e g r a b i l e şi b a z e p o z i t i v e F i e E u n s p a ţ i u B a n a c h şi fx o m ă s u r ă T e o r e m a 1. Pentru orice funcţie local

\m\

pozitivă. \L -integrabilă

g:

T->Eavem

= lfl|p.

S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă | g (t) | = 1 . F i e 9 o f u n c ţ i e > 0 d i n X(T) şi 0 < a < 1 ; fie K s u p o r t u l l u i 9. E x i s t ă o f u n c ţ i e fx - m ă s u r a b i l ă g', d e f i n i t ă p e T, c u v a l o r i î n d u a l u l E' a l l u i E, a s t f e l î n c î t s ă a v e m

«lg(')l<

< g ( « ) , g ' ( ' ) > şi I g ' W I = 1

[x - a p r o a p e p e s t e t o t p e K ( c o r o l a r u l 2 a l p r o p o z i ţ i e i 1 1 , § 1 1 ) . F i e e > 0 . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K'a K a s t f e l î n c î t [x (K—K') < < s şi r e s t r i c ţ i a l u i g ' l a K' s ă fi c o n t i n u ă . E e s t r i c ţ i a l u i g ' l a K' se p o a t e p r e l u n g i l a o f u n c ţ i e continuă f': T -> E', c u s u p o r t c o m p a c t a s t f e l î n c î t P ' l l < (2 - a) | | g ' | | . A v e m , a ş a d a r , i'(t)

= g ' ( J ) , p e n t r u teK

— K'

şi | f' (t) | < (2 — a), p e n t r u t e T.

PROPRIETĂŢILE MASURILOR

DEFINITE

PRIN

DENSITĂŢI

27V

Atunci otx(cp) = a[\g(t)\cp(*)d(x(*)<^
(t), g ' (*) > < p (*) dfx («) =

= |^ ?dfx | < | J + K I


r

9 >d[ji

<8> g ' - î ' > < p d J I

,K—K'

Observînd că

| ^ < g , f ' 9 > d | t | = |^i'9d(g|i)|<J|I'| c d | g i | < ( 2 - a ) J < p d | g x | P

{

(

=

= (2 - a ) | g | t | ( ? )

Şi

IC

< g ,

I JK-K' = i

lg|(lg'l + iri)?d|t =

g'-r> < p d J < ( I

( 1 + | f' |) ?d{i < ( 3 -

JK-K'

a)

||
K') < ( 3 - a ) ||

Jtf-JT

deducem a(x((p) < (2 — a ) i g | x | ( c p ) + ( 3 -

a)||
F ă c î n d a - > 1 şi e - > 0 , o b ţ i n e m M?)
lol

Iwl =

F i e a c u m g : T -> E o f u n c ţ i e l o c a l (x - i n t e g r a b i l ă o a r e c a r e . S ă n o t ă m - dacă g ( * ) ^ 0 , | •0 ((«) ')I x e JE? c u | x 1 = 1 , d a c ă g (J) = 0 . 0

0

A v e m | h (t) \ = 1 ş i h | g | = g . D e o a r e c e g e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , f u n c ţ i a e s t e X = | g |ţx - m ă s u r a b i l ă . D i n p r i m a p a r t e r e z u l t ă c ă | h X | = X. A t u n c i hlfli^ şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă .

= | h X | = X= |g| x (

h

MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

278

CAP. IV

Observaţie. S e v a a r ă t a m a i d e p a r t e ( t e o r e m a 4 , § 18) c ă e g a l i t a t e a 1 I = I 9 I I M r ă m î n e a d e v ă r a t ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă scalară (x şi o r i c e f u n c ţ i e g l o c a l (x - i n t e g r a b i l ă . V a r e z u l t a c ă p r o p o z i ţ i i l e 3 şi 4 r ă m î n v a l a ­ b i l e şi d a c ă (x e s t e o m ă s u r ă scalară. P r o p o z i ţ i a 3. Fie g : T E o funcţie local (x -integrabilă. Avem gţx = 0 dacă şi numai dacă g este fx -neglijabilă. D a c ă g e s t e (x-neglijabilă, a t u n c i p e n t r u o r i c e oeJC(T) funcţia 9 g e s t e (x - n e g l i j a b i l ă d e c i ^9d(gţx) = ^ 9 g d [ x =

0

a d i c ă gţx = 0. E e c i p r o c , d a c ă gfx = 0, a t u n c i | g | | fx | = | gjx | = 0. U r m e a z ă că f u n c ţ i a v e s t e | gfx | - n e g l i j a b i l ă , d e c i | g | | fx | - n e g l i j a b i l ă şi d e c i f u n c ţ i a 9 r I 9 I = I 9 I * n - n e g l i j a b i l ă , a d i c ă g e s t e (x - n e g l i j a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 4 . Fie g g : T -> E două funcţii local [x -integrabile. Avem g [x = g [x dacă şi numai dacă g (t) = g (t), (x -aproape peste tot. D a c ă g = g , [x - a p r o a p e p e s t e t o t , r e z u l t ă i m e d i a t c ă g [x = g fx. E e c i p r o c , d a c ă g [x = g [x, a t u n c i ( g i — g ) fi. = 0 d e c i g — g este [x - n e g l i j a b i l ă şi d e c i g = g , (x - a p r o a p e p e s t e t o t . M ă s u r i l e d e f i n i t e p r i n densităţi reale î n r a p o r t cu baze pozitive au proprietăţi suplimentare. P r o p o z i ţ i a 5. Bacă (x este o măsură pozitivă şi g este o funcţie reală local [x -integrabilă, atunci T

e s

e

1?

x

2

2

x

x

2

2

x

x

2

x

2

2

x

2

2

+

(gy<)

+

= 9 v< fi (gv)'

=

g~v-

într-adevăr, +

(gv<)

= ^ (I gv-1 + gv) = ~ (191 n + gv) = ^ (191 + ?) n = g

+

v

Şi (gv-)" = ^ - ( I gv-1 A

=

(I 011* - ^ ) = -5- (l 91 - ?) 2t

= g~ v-

2t

P r o p o z i ţ i a 6. Fie [x o măsură pozitivă şi g o funcţie reală local ţx -integrabilă. Avem g\L > - 0 dacă şi numai dacă g(t) ; > 0, fx -aproape peste tot. S ă p r e s u p u n e m c ă g\L > 0. A t u n c i | g |(x = | g\L | = grjx, d e c i , c o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 4 , a v e m \g(t)\=g(t) [x-aproape p e s t e t o t , d e c i g(t) > 0 (x-aproape p e s t e t o t . E e c i p r o c , d a c ă g(t)^0 [x-aproape p e s t e t o t , r e z u l t ă i m e d i a t că g\L > 0 . P r o p o z i ţ i a 7. jFie [x o măsură pozitivă, g şi g două funcţii reale local \L-integrabile. Avem ffifi. dacă şi numai dacă g (t) g (t)i ^.-aproape peste tot. x

2

1

2

PROPRIETĂŢILE

MĂSURILOR

DEFINITE

PRIN

DENSITĂŢI

279

î n t r - a d e v ă r , g \x < ; g [i d a c ă şi n u m a i d a c ă (g —9i)v< = 92^ ~~ fl^^-O» d e c i d a c ă şi n u m a i d a c ă g (t) — < 7 i ( £ ) > - 0 , (x - a p r o a p e p e s t e t o t , a d i c ă d a c ă şi n u m a i d a c ă g (t) = g (t), (x - a p r o a p e p e s t e t o t . P r o p o z i ţ i a 8 . Fie (x o măsură pozitivă. Dacă g şi g sînt două funcţii reale local [x -integrabile, atunci funcţiile sup(gr , g ) s i inf (g^, g ) sînt local p-integrabile şi x

2

2

2

±

2

x

1

s u p (g

2

2

2

g ) [x = s u p [g ţx, g ţx),

19

2

x

inf (flfi, g^p

2

g i).

= inf ( ^ ( x ,

2[

S ă n o t ă m / = s u p ( g r , g ) şi g = inî(g , g ). D e o a r e c e g şi g ^ . - m ă s u r a b i l e , f u n c ţ i i l e f şi g s î n t f x - m ă s u r a b i l e . F i e KaT o mulţime compactă. Din inegalitatea | / | <; j ^ l + rezultă 1

r

2

1

ifcidji+r

i/id[x
}

JK

,K

2

±

2

sînt \g \ 2

i ^ i d ^ o o

. K

d e c i / e s t e l o c a l [x - i n t e g r a b i l ă . D i n i n e g a l i t a t e a | g | < | g | + 192 I r e z u l t ă c ă gr e s t e l o c a l j x - i n t e g r a b i l ă Din egalitatea ±

s u p (x, y) = ^-(x Z

+ y + \x

valabilă în orice s p a ţ i u vectorial o r d o n a t , s u p (g

19

=

^

(9i V* + Din

g )v- = \ 2

+ I 9i — 92 I V) =

z

—y\)

deducem

(fc+ft+l

9i~921)H=

(9iV< + 92V* + I ? i ^ — I )

= s u p (^(x, # fx). 2

egalitatea inf (a?, y) =

— s u p (— x,

—y)

deducem inf (9i 92) U- = — s u p ( - g -g ) n = — s u p ( - g^, - g p) = inf (g^, g p). P r o p o z i ţ i a 9 . Fie [x o măsură pozitivă şi (g ) un şir crescător ([i -aproape peste tot) de funcţii reale local [x -integrabile. Pentru ca şirul de măsuri ( # ( x ) sâ fie majorat, este necesar şi suficient ca funcţia sup g 19

2

2

2

n

n

n

n

sâ fie local [x -integrabilă.

în

acest caz

sup(gr [x) = n

n

avem (supgrjţx. n

M o d i f i c î n d f u n c ţ i i l e g p e o m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă , p u t e m p r e s u p u n e c ă ş i r u l (g ) e s t e c r e s c ă t o r p e s t e t o t p e T. S ă p r e s u p u n e m c ă ş i r u l d e m ă s u r i 0 d i n JC+ (T) avem atunci n

n

s u p [fg

n

djx <

X(/) <

+

00.

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

280

E e z u l t ă c ă f u n c ţ i a s u p fg

= /sup g

n

e s t e jx - i n t e g r a b i l ă şi c ă

n

n

CAP. IV

n

^ / s u p J „ d ( x = | sup/flf

Aceasta înseamnă că funcţia

dfx == s u p ||/flf dţx.

n

n

sup g

n

e s t e l o c a l [JL - i n t e g r a b i l ă şi c ă

n

( s u p g») (x = s u p (&, (t). n

»

E e c i p r o c , d a c ă f u n c ţ i a s u p gr e s t e l o c a l (x - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i m ă s n

n

rile

g \i n

sînt

majorate

de măsura

(supgrjţx. n

M ă s u r i l e d e f i n i t e p r i n densităţi pozitive î n r a p o r t c u măsuri reale au următoarele proprietăţi: P r o p o z i ţ i a 1 0 . Fie fx şi v dow# măsuri reale. Dacă fx < ; v s i d a c a gr]>0 este o funcţie local integrabilă în raport cu fx şi cu v, atunci 9V- <

9*.

Demonstraţia este imediată. Observaţie. D i n e g a l i t a t e a | g\L | = | g \ \ \L | c a r e v a fi d e m o n s t r a t ă m a i d e p a r t e ( t e o r e m a 4 , § 1 8 ) v a r e z u l t a c ă d a c ă jx e s t e o m ă s u r ă reală i a r g r > 0 e s t e o f u n c ţ i e l o c a l fx - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i a v e m +

(gv<)

+

= gv

şi (gv)~ = gv<~.

P r o p o z i ţ i a 1 1 . Fie JJI ri v două măsuri reale pe T. Dacă funcţia c j : T - > JE? este ZoeaZ integrabilă pentru măsurile [x s i v, atunci g este ZoeaZ integrabilă pentru măsurile s u p ( [ x , v) s i i n f ([x, v ) . Dacă g este pozitivă avem £(sup([x,

v)) =

gr (inf (jx, v) ) =

SUp(flf[x, flfv), inf (gr[x, grv).

Din egalităţile sup((x, v ) = i ( [ x + v +

I ( x - v | ) , inf((x,

v) =

-

sup(-ţx,

-v),

valabile î n orice s p a ţ i u vectorial o r d o n a t , d e d u c e m |sup((x,

v)|<|n| +

| v | , linftfx,

v)|<|ji| +

|vj

d e c i , d a c ă g e s t e l o c a l i n t e g r a b i l ă p e t r u (x ş i v, a t u n c i g e s t e l o c a l i n t e g r a ­ b i l ă ş i p e n t r u s u p (ţx, v) ş i inf (fx, v ) . D a c ă g este pozitivă, a v e m apoi 0(SUP((X,

V))

=

=

?

\

^ l (

{

x + V +

(9V- +

| X-v|)j=:i(ff X {

l

+ ffV

+ r| X~v|) = S

l

9v + 19V- - 9v |) = s u p (0ţx, grv))

Şi

0(inf(u.,v)) =

flr(-sup(-(i,

- v ) ) = -sup(-^(i, - ^ v ) = i n f g r v ) .

PROPRIETĂŢILE

MĂSURILOR

DEFINITE

3. Măsuri cu densităţi Fie E p e n t r u F. F i e [i F i e u, notaţia u =

PRIN

DENSITĂŢI

operatoriale

şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h î ş i ZaF'

un

subspaţiu

o m ă s u r ă pozitivă p e T. v : T -> <£* {E, F) d o u ă f u n c ţ i i . E e a m i n t i m v d a c ă p e n t r u o r i c e x<= E şi o r i c e z^Z avem


z >

=

< \(t)Xj

z >,

281

că a m

normant

folosit

[x-aproape peste t o t .

Din propoziţia 4 rezultă P r o p o z i ţ i a 1 2 . Fie u, v : T - > (22, .F) dowfc funcţii Z -slab local p -integrabile. Avem uţx = vjx d a c a ş i numai dacă u = v. î n t r - a d e v ă r , d a c ă Ufx = v[x, a t u n c i , p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e < p e ^ ( 2 ) , avem T


z >

= < ^
« >

adică < u # , z > 9d[x = ^ < vx,

z > 9d{x, p e n t r u

(pe2(T)

de u n d e , în b a z a propoziţiei 4, < u(tf)#, z > =

< v(tf)#, 3 > ,

(x-aproape

p e s t e t o t a d i c ă u = v.

E e c i p r o c , d a c ă u = v, a t u n c i u r m î n d r a ţ i o n a m e n t u l i n v e r s , d e d u c e m c ă Ufx = vfx. Observaţie. P u t e m a v e a U(x = vjx şi t o t u ş i n(t)^v(t) p e n t r u orice t
11*11 = ZI*(*)I<«> ier şi F = Z'. S p a ţ i u l F e s t e s p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r r e a l e m ă s u r a b i l e y p e T astfel încît llyll = s u p | # ( * ) | <

definite

oo

Spaţiul E este de tip numărabil dar Z n u este de tip numărabil. Orice funcţie z e Z este n u l ă în afara u n e i m u l ţ i m i n u m ă r a b i l e deci este jx - n e g l i j a b i l ă .

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

282

CAP. IV

1

P e n t r u orice k î s ă c o n s i d e r ă m a p l i c a ţ i a U (t) : E -> F d e f i n i t ă prin u(*)/ = ® f p e n t r u feE. A v e m | | U ( * ) | | = 1 o r i c a r e a r fi te T şi {t)


U (t)f

> = < z, o f

> =

{t}

o r i c a r e a r fi zeZ şi feE. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e x: A t u n c i p e n t r u zeZ avem

9

T^E

< Z, U (t) X (t) >ă[L(t)=^
(r)f(r)

{T}

=

şi o r i c e teT

(t)f

z(t)f(t)

s ă p u n e m x(t)

> d(X (t) =^Z(t)f

t

(t) dfX (t) =

t

=

f,.

0.

P e d e a l t ă p a r t e , p e n t r u V (t) = 0 a v e m d e a s e m e n e a < z, \(t)x(t)

> d[i(t)

= 0

deci
u(t)x(t)

>d[i(t)

=^d[i(t)

p e n t r u o r i c e zeZ şi o r i c e x: T-+Z, d a r u(t)=fcv(t) p e n t r u orice teT. 2) S ă l u ă m T = [ 0 , 1 ] , [X m ă s u r a L e b e s g u e p e T, E s p a ţ i u l f u n c ­ ţ i i l o r / : T-+R c u ll/H = 2 l / W I < °°> = @( )> = ' este spateT ţ i u l m ă s u r i l o r r e a l e p e T. S p a ţ i u l Z e s t e d e t i p n u m ă r a b i l , d a r E n u e s t e de tip numărabil. P e n t r u o r i c e teT să, c o n s i d e r ă m a p l i c a ţ i a u(t):E->F definită p r i n u(t) =f(t)z p e n t r u feE, u n d e z este m ă s u r a definită de m a s a u n i t a t e p l a s a t ă î n p u n c t u l t. A v e m | | u ( £ ) | | = 1 şi < z, U (t) f > = = < J / ( O t > = z (t)f W o r i c a r e a r fi z e Z şi fe E. S e v e r i f i c ă l a fel c a î n e x e m p l u l 1 c ă l u î n d V (t) = 0 a v e m z

t

Z

T

d

e

c

i

F

z

t

z

< z

9

U

(t) x (t) > dy. (t) = ^ < 2 , v (*) a? (*)

>

dfx

(t)

p e n t r u o r i c e zeZ şi x : T E, d a r u ( £ ) =f= \(t) p e n t r u o r i c e te T. D ă m a c u m c o n d i ţ i i s u f i c i e n t e p e n t r u c a UJX — VFX s ă i m p l i c e u (t)=\ (t), [i - a p r o a p e p e s t e t o t . P r o p o z i ţ i a 1 3 . Fie U , V : T ->J>* (E, F) două funcţii Z-slab local \JL -integrabile. Dacă există o ridicare p a lui X ([X) astfel încît să avem p [ u ] = U şi p [ v ] = V şi dacă UFX = VFX, atunci u(t) = v(t), [i-aproape jpeste tot. S ă p r e s u p u n e m c ă U(X = VJX. D i n p r o p o z i ţ i a 12 r e z u l t ă c ă u = V. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KczT, o r i c e xeE şi o r i c e zeZ avem atunci

=

, ^-aproape peste tot r

00

K

K

•deci (

?P /N <

U

z >

=


P ( E )

<

V A?, 0

>.

PROPRIETĂŢILE

(Kj)j(=j s ă fie

MASURILOR

DEFINITE

PRIN

DENSITĂŢI

283

D e o a r e c e p [ u ] = u şi p [ v ] = v, e x i s t ă o f a m i l i e l o c a l n u m ă r a b i l ă d e m u l ţ i m i c o m p a c t e n e v i d e d i s j u n c t e a s t f e l c a m u l ţ i m e a T— [JKj - n e g l i j a b i l ă , şi a s t f e l î n c î t s ă a v e m p (
ua?,

z > ) =

ua?,

z

>

va?,

z

>

Şi P

<

va?,

z>)

=

9

P ( i r

.) <

p e n t r u o r i c e je J, x<=E şi ^ e Z , d e c i 9 p ( i ) < u » , £ > = ? (B:.) < va?, z > , p e n t r u j e j , a ? e i ? şi 0 e Z . f

P

M u l ţ i m e a T' = y p ( Z , - ) b i l ă şi p e n t r u < e f a v e m < u(t)x,

z>

diferă de

= < v(tf)a?, z > ,

Eezultă atunci că pentru f e f

T printr-o

mulţime

(x -neglija­

p e n t r u o r i c e a?eJ57 şi z e Z . avem

u (tf) a? = v (t) a?, p e n t r u o r i c e

x<=E

şi d e c i u(tf) = v(t) p e n t r u te T', a d i c ă [x - a p r o a p e p e s t e t o t . Observaţie. P r o p o z i ţ i a 1 3 e s t e v a l a b i l ă î n p a r t i c u l a r d a c ă u şi v s î n t s i m p l u l o c a l fx - i n t e g r a b i l e . P r o p o z i ţ i a 1 4 . Fie u , v : T - > Jl* (E, F) două funcţii Z -slab local jx -integrabile. Bacă E este de tip numărabil, dacă există o mulţime numă­ rabilă 8(ZZnormantă pentru F şi dacă uţx = vjx, atunci u (t)=v(t), \i-aproape peste tot. D e o a r e c e ujx = vjx, a v e m u = v. F i e XGE şi seS şi fie N(x, s) o m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă a s t f e l î n c î t p e n t r u tmN(x, s) s ă a v e m
s >

= [j N(x,

<

= \{t)x,

s>

s) e s t e [x-neglijabilă

şi p e n t r u

t&N(x)

avem u(t)x F i e (a? ) u n ş i r d e n s î n E. w

=

\(t)x.

Mulţimea

N =[jN(x ) n

e s t e [x -negli-

n

j a b i l ă şi p e n t r u t&N a v e m u(tf) = v(t). î n p a r t i c u l a r , c o n d i ţ i i l e d i n p r o p o z i ţ i a 14 s î n t î n d e p l i n i t e î n u r m ă ­ toarele cazuri : 1) Z e s t e u n s p a ţ i u B a n a c h d e t i p n u m ă r a b i l şi F=Z'; 2) F' e s t e d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F'; 3) F e s t e d e t i p n u m ă r a b i l şi Z = F'. î n u l t i m u l c a z u şi v s î n t s i m p l u l o c a l fx - i n t e g r a b i l e . P e n t r u f u n c ţ i i s i m p l u l o c a l i n t e g r a b i l e se d e d u c u r m ă t o a r e l e p r o ­ prietăţi : P r o p o z i ţ i a 1 5 . Fie f, g : T Jl* (E, F) două funcţii simplu local ţx -integrabile. Avem fjx = gjx dacă şi numai dacă pentru orice xeE avem î(t)x = g(t)x, (x -aproape peste tot.

MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

284

CAP. IV

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 1 2 , f ă r ă a m a i u t i l i z a z. P r o p o z i ţ i a 1 6 . Fie f, g : T Jl* {E, F) două funcţii simplu local \i -integrabile. Dacă E este de tip numărabil şi dacă tp = gjz, atunci f (t)=g (t) p -aproape peste tot. F i e (x ) u n şir d e n s î n E. P e n t r u f i e c a r e n e x i s t ă o m u l ţ i m e \i - n e g l i ­ j a b i l ă N(x ) astfel încît n

n

f (t) x

= g (t) x ,

n

Mulţimea N =

p e n t r u t& N

n

(x ). n

e s t e \i - n e g l i j a b i l ă şi a v e m

N (x ) n

n

$(t) x

= %{t)x ,

n

D e o a r e c e (x ) n

n

e s t e d e n s î n E, t(t) = g(t),

i 18. M A S U R I

p e n t r u t&N

ABSOLUT

şi o r i c e

[L*{A)

=

n

deducem

pentru

t*N.

CONTINUE

1. M ă s u r i pozitive absolut F i e JJL şi Definiţia cu măsura ţx, A spune

x

continue

v d o u ă m ă s u r i p o z i t i v e p e T. 1. Spunem câ măsura v este absolut continuă în raport dacă orice mulţime \i -neglijabilă este v -neglijabilă. c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u \i î n s e a m n ă c ă

0 implică

v*(A)

=

0.

P r o p o z i ţ i a 1. Măsura v este absolut continuă în raport cu \i dacă şi numai dacă orice funcţie JJL -neglijabilă f : T -> E este v -neglijabilă. î n t r - a d e v ă r , a s p u n e c ă f e s t e \L - n e g l i j a b i l ă ( r e s p e c t i v v - n e g l i j a ­ b i l ă ) , î n s e a m n ă c ă m u l ţ i m e a A = {t; f (t) = 0 } e s t e \i - n e g l i j a b i l ă ( r e s p e c ­ t i v v-neglijabilă). P r o p o z i ţ i a 2 . Măsura v este absolut continuă în raport cu p dacă şi numai dacă, pentru orice mulţime compactă KdT şi orice e > 0 , există un număr 8 > 0 astfel încît pentru orice mulţime AaK cu \i*(A) < 8 să avem v* (A) < e. S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u [L şi s ă a r ă t ă m c ă e s t e v e r i f i c a t ă c o n d i ţ i a d i n e n u n ţ . D a c ă , p r i n a b s u r d , a c e a s t ă c o n d i ţ i e n - a r fi v e r i f i c a t ă , a r e x i s t a o m u l ţ i m e c o m p a c t ă I c T şi u n n u m ă r e > 0 , a s t f e l î n c â t , p e n t r u o r i c e n u m ă r n a t u r a l n , s ă e x i s t e 0

0

o m u l ţ i m e A dK n

0

cu

ji ( A ) < n

şi

v* ( A ) > - e . n

0

Deoarece

măsura

exterioară a u n e i m u l ţ i m i r e l a t i v c o m p a c t e e s t e egală c u m a r g i n e a infe­ rioară a măsurilor mulţimilor deschise ce o conţin, p e n t r u fiecare n există o m u l ţ i m e d e s c h i s ă O ZD A a s t f e l î n c î t n

%

^ ( f i

f

j < ^ ( ^ » ) + |

r

< |

r

-

MASURI ABSOLUT CONTINUE

285

Să notăm V =\jG n

şi V

n + v

= f | V „ .

p^O

n=l

Avem

ş i (x* (V) < u * ( F . ) <

- i - .

d e c i (x* ( 7 ) = 0 .

P e d e a l t ă p a r t e , p e n t r u f i e c a r e n a v e m V ZDG ZDA deci v*(F ) > v* (JL ) > s . D e o a r e c e ş i r u l (V ) e s t e d e s c r e s c ă t o r , a v e m n

>

n

0

n

n

n

n

v*(F) = i n f

v*(F )> e . n

0

A ş a d a r , F e s t e (x - n e g l i j a b i l ă d a r n u e s t e v - n e g l i j a b i l ă , c e e a c e c o n t r a ­ z i c e p r e s u p u n e r e a c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u (x. U r m e a z ă c ă d a c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u (x, c o n d i ţ i a din enunţ este îndeplinită. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m a c e a s t ă c o n d i ţ i e î n d e p l i n i t ă şi s ă a r ă t ă m c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u (x. F i e A o m u l ţ i m e [x - n e g l i j a b i l ă ş i KczT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . P e n t r u o r i c e e > 0 a v e m [L*{A f]K) = 0 < 8 d e c i v*(Af)K) < e. E e z u l t ă c ă v*(Af)K) = 0, d e c i v * ( J . ) = 0 , a d i c ă A e s t e v - n e g l i j a b i l ă . A ş a d a r , v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u [x. Cu aceasta propoziţia este d e m o n s t r a t ă . P r o p o z i ţ i a 3 . Măsura v este absolut continuă în raport cu fx, dacă şi numai dacă, pentru orice funcţie / > 0 c t t suport compact ţx -integrabilă şi v -integrabilă şi pentru orice număr s > 0 , există un număr 8 > 0 , astfel încît,

oricare

ar fi funcţia

hcu0^h^.fşi^

A d ( i < $ să avem ^ Adv < s.

S ă p r e s u p u n e m c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx. p r i n a b s u r d , c o n d i ţ i a d i n e n u n ţ n - a r fi v e r i f i c a t ă , a r e x i s t a o f u n c ţ i e c u s u p o r t c o m p a c t , i n t e g r a b i l ă î n r a p o r t c u [x şi c u v, şi n u n u m ă r a s t f e l î n c î t , p e n t r u o r i c e n u m ă r n a t u r a l n, s ă e x i s t e o f u n c ţ i e 0 * 1 f* 9n d[x < — şi \ g d v > s .

Dacă, / > 0 e > 0 g cu 0

0

n

n

n

0

Deoarece funcţiile g

a u s u p o r t u l c o m p a c t , p e n t r u fiecare n există 1 2 o f u n c ţ i e i n f e r i o r s e m i c o n t i n u ă g' >- g c u ţx* (g' ) < ; [x* (g ) H 2 2 A t u n c i f u n c ţ i i l e g' ' = inf ( / , g' ) s î n t i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u [x şi v d e o a ­ r e c e s î n t m ă s u r a b i l e î n r a p o r t c u [x şi v şi n

n

n

n

n

n

n

V*(9n)
0

n

Şi

V*(

f f

;').

n

MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

286

P e n t r u f i e c a r e n s ă p u n e m h = s u p g' ' n

n +p

CAP. IV

şi h = inf h .

Avem

n

Atunci oo

[i* (h) <

[i* (h ) < n

4.

V [L*(g' ' ) *=o n +P

< —pentru 2

orice n, deci

ţx* (fe) =

0.

n

P e de altă parte, h > > g' > g d e c i v* ( f c j > e . Ş i r u l e s t e d e s c r e s c ă t o r şi, e s t e f o r m a t d i n f u n c ţ i i v - i n t e g r a b i l e , d e c i n

n

n

v(fe) = inf v ( / y >

0

(h ) n

s . 0

Aşadar, e s t e fx - n e g l i j a b i l ă d a r n u e s t e v - n e g l i j a b i l ă c e e a c e c o n t r a ­ zice p r e s u p u n e r e a c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u fx. A ş a d a r , d a c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u fx, c o n d i ţ i a d i n enunţul propoziţiei este îndeplinită. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă a c e a s t ă c o n d i ţ i e e s t e î n d e p l i n i t ă şi s ă a r ă t ă m c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u jx. F i e A o m u l ţ i m e jx - n e g l i j a b i l ă şi K o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . L u î n d / = 0 a v e m jx* (h) < { i * ( i f | î ) = 0 < 8 d e c i v*(AC\K) = v*(fe) < e. A ş a d a r , v*(Af)K) = 0 d e c i v (A) = 0, a d i c ă A e s t e v - n e g l i j a b i l ă . E e z u l t ă c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u [x şi c u a c e a s t a p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . P r o p o z i ţ i a 4 . Măsura v este absolut continuă în raport cu jx dacă şi numai dacă orice mulţime compactă jx -neglijabilă este v -neglijabilă. D a c ă v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u jx, o r i c e m u l ţ i m e jx - n e g l i ­ j a b i l ă e s t e v - n e g l i j a b i l ă , î n p a r t i c u l a r o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă jx - n e g l i ­ jabilă este v -neglijabilă. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă jx - n e g l i j a ­ b i l ă e s t e v - n e g l i j a b i l ă . F i e A o m u l ţ i m e jx - n e g l i j a b i l ă şi K o m u l ţ i m e compactă. Deoarece K

AriK

m

IL*(AC[K)

= inf f x * ( # ) = 0, G d e s c h i s ă ,

00 e x i s t ă u n şir (G ) d e m u l ţ i m i d e s c h i s e , a s t f e l î n c î t n o t î n d B = ( p | G )C\ K n

n

n= l

a v e m BzDAf]K şi jx* (B) = 0. Mulţimea B este borelianâ relativ compactă, deci este integrabilă î n r a p o r t c u o r i c e m ă s u r ă , î n p a r t i c u l a r p e n t r u m ă s u r a v. E x i s t ă d e c i o m u l ţ i m e v - n e g l i j a b i l ă NczB şi o p a r t i ţ i e a l u i B—N f o r m a t ă d i n t r - u n ş i r (E ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e . D e o a r e c e K (ZB şi jx* (B) = 0 a v e m jx* (K ) = 0 deci v*(K ) = 0 . E e z u l t ă a t u n c i c ă v*(JB) = 0 , d e c i ^(A^K) = 0 şi deci v* (A) = 0. n

n

n

n

MASURI A B S O L U T CONTINUE

2. T e o r e m a l u i

287

Lebesgue-Nikodym

T e o r e m a 1. ( L e b e s g u e - N i k o d y m ) . Fie fx O măsură pozitivă şi vo măsură scalară. Măsura v este absolut continuă în raport cu fx dacă şi numai dacă v este de bază fx. D a c ă v e s t e d e b a z ă fx, v =
A

A

9r e £ Deoarece

v <

2

1

(X)C X

1

(X) = X

(f*) f i ( v ) . 2

X, p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e

|v(/)|
9 r

2

/e.6 (X) avem / e ^ ( v )

d X = ^ (/,

X)tf ( ,

2

2

9 r

şi

X).

+> 2

E e z u l t ă c ă a p l i c a ţ i a l i n i a r ă / - > v(/) e s t e c o n t i n u ă î n s p a ţ i u l ^ ( X ) . Aplicaţia / - > v ( / ) e s t e a t u n c i o funcţională liniară c o n t i n u ă în spaţiuL H i l b e r t £ ( X ) . E x i s t ă d e c i u n e l e m e n t g e L (X) a s t f e l î n c î t p e n t r u o r i c e / e i ( X ) s ă a v e m v(f) = (f\g). A l e g î n d u n r e p r e z e n t a n t o a r e c a r e geg, avem 2

2

2

2

v(/) = ( / ! ? ) = ( / f f d X , p e n t r u / e J ? ( X ) ,

(1)

adică v ( / ) = n(/jf) + V ( / < / ) , de

unde (2).

2

v ( / ( l - < / ) ) = [x (/
v(fe) = f x ( f t — - — | p e n t r u

rezulta că v este de bază

heJC(T),

de

unde

va

fx, şi a n u m e c ă v = — - — ţx. 1 - 9

P e n t r u aceasta v o m a r ă t a m a i întîi că p u t e m alege funcţia g e g a s t f e l î n c î t s ă a v e m g(t) > - 0 şi g (t) < 1 p e n t r u o r i c e t e T. î n p r i m u l r î n d , . 9(1) > 0 , X - a p r o a p e p e s t e t o t , d e o a r e c e m ă s u r a v = g\ e s t e p o z i t i v ă ^ m o d i f i c î n d f u n c ţ i a g p e o m u l ţ i m e X-neglijabilă ( d e c i [x-neglijabilă şi v - n e g l i j a b i l ă ) p u t e m r e a l i z a g > 0. S ă n o t ă m a p o i A = {t \g(t)^>l}. Mulţimea A este X-măsurabilă. Deoarece X este mărginită, A este integra­ b i l ă , d e c i
A

A

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

288

M
=

V-(9A

î n această egalitate, membrul sting e s t e ! > O, d e c i V(
=

CAP.

IV

9).

e s t e < ; 0 , iar

membrul

drept

ff)=0.

V>(
A ş a d a r ,

0 d i n JC(T), f u n c ţ i a f = h (1 + g + . . . + g*' ) este X - m ă s u r a b i l ă şi m ă r g i n i t ă , d e c i a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i J 2 ( X ) . S c r i i n d e g a l i t a t e a (2) p e n t r u a c e a s t ă f u n c ţ i e , o b ţ i n e m A

9

n

1

2

1

^h(l+g+

. . . + g*- )(l-g)ăv

= ^h(l+g

+

1

...

+flf" )fifdpi,

adică j T ) d v = ^h(g + g*+

... + jT)d i = l

% d ( x + J f t j f « d { x + . . . + ^Jtg

n

=

d(x.

Dar

deci dv < fc=i J n

U r m e a z ă că

f u n c ţ i a V* hg »-i

-f-

O O .

J

= h — - — e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă şi l — g

U — ^ — d | i = l i m C j \ fesr d p = l i m ( h(l fc

1—gr

J

«-fee J

-

n

g)

d\

»-H»J

F C = 1

n

P e d e a l t ă p a r t e , ş i r u l ( 1 — g ) Ji e s t e c r e s c ă t o r ş i n

n

s u p ( 1 — g ) Ji = l i m (1 — g )Ji = h, n

n—oo

deci \ f e d v = s u p u i — 3 )fc d v == l i m W l — n

Urmează

că

n

g )hăv.

MASURI ABSOLUT CONTINUE

289

A c e a s t ă egalitate se m e n ţ i n e p e n t r u orice neapărat >- 0).

funcţie

P u n î n d g = — - — a v e m g > 0, funcţia g 0

0

este

0

heJC(Ţ)

(nu

fx-integrabilă ş i

b) F i e a c u m y. ş i v d o u ă m ă s u r i pozitive o a r e c a r e , v a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u fi. Fie o familie local n u m ă r a b i l ă d e p ă r ţ i compacte, disjuncte a ae d o u ă c î t e d o u ă , a s t f e l î n c î t m u l ţ i m e a N = T —U K e s t e fi-neglija-

(Z ) i

a

bilă. Atunci N este d e asemenea

v-neglijabilă, deci n o t î n d M =

U

ţx=

avem « p ă ţ i ş i v = cp^v. P e n t r u f i e c a r e a e J L m ă s u r i l e [ia=9£a{jL ş i v = 0 a s t f e l î n c î t s ă a v e m v = g' f i . D i n p r o p r i e t a t e a d e a s o c i a t i v i t a t e d e d u c e m c ă f u n c ţ i a g = g'
a

a

a

a

a

a

Va =

a

a

a

Ka

a

a

9a Să definim funcţia g p e T prin egalităţile d

(t) =

ff

[

A

a

c

ă

e J C

' «» d a c ă tm M.

F u n c ţ i a g e s t e > - 0, local (x-integrabilă şi i>entru fiecare a e l a v e m 9* 9 * • ^ ° â p u n e m v ' = grţx, p e n t r u o r i c e a e l a v e m =

9
0

a

a


a

E e z u l t ă o ă 9 ^ v ' = 9 ^ v . D e o a r e c e N = T — M e s t e jx-neglijab i l ă , r e z u l t ă c ă N e s t e v-neglijabilă şi v'-neglijabilă, deci v ' = v şi deci V = 0(X.

e) S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă v e s t e o m ă s u r ă r e a l ă a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u fx. A t u n c i v ş i v~~ s î n t m ă s u r i p o z i t i v e a b s o l u t c o n t i n u e î n r a p o r t c u ţx. E x i s t ă d e c i d o u ă f u n c ţ i i g > - 0 ş i g > 0 l o c a l ix-integrabile astfel încît s ă a v e m +

x

v

Atunci funcţia g = g

x

+

2

= s p şi v - = f f

2

[X.

— g e s t e l o c a l |x-integrabilă, ş i 2

+

v = v — v- = g |x — g |x = (g — gr ) fx = fffx. ±

2

1

2

d) D a c ă v e s t e o m ă s u r ă c o m p l e x ă a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx, şi d a c ă v = v + t v , a t u n c i v ş i v s î n t reale absolut continue î n r a p o r t c u ţx. E x i s t ă d e c i d o u ă f u n c ţ i i l o c a l (x-integrabile g ş i g a s t f e l î n c î t x

2

x

mauri

2

x

v

v

i = Si V

Şi 2 =

V~

2

290

MĂSURI DEFINITE

A t u n c i f u n c ţ i a g = g + ig x

v =

V l

PRIN

DENSITĂŢI

e s t e l o c a l [/.-integrabilă şi

2

+ i v = g p + ig p = (g + ig ) p = 2

x

2

x

2

Cu aceasta teorema este complet demonstrată. P r o p o z i ţ i a 5 . Dacă p este o măsură scalară, scalară

CAP. IV

local p-integrabilă

9 cu | y(t)\

gp.

atunci

= 1 si p = y\p\.

există

Funcţia

o

funcţie

— este

de


asemenea

local

p-integrabilă

si avem \p\ = — p.

î n t r - a d e v ă r , p e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u \p\ d e c i e x i s t ă o f u n c ţ i e s c a l a r ă l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l ă 9 c u p =
?

?

1?

;

Corolar. Dacă p este o funcţie reală, există două mulţimi disjuncte A si B cu A\JB = T astfel încît să avem +

U-

=

9A\V-\

şi


=

p-măsurabile

p~ =

B

C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 5, e x i s t ă o f u n c ţ i e r e a l ă l o c a l ( x - i n t e g r a b i l ă cu , =

Iul = } , i

şi 1 . ( 0 1 - 1 . F u n c ţ i a

* ia n u m a i valorile 1

9 Ş

i

— 1 . S ă n o t ă m A = {t; ?(t) = 1 } şi B = {t; <ţ>(t) = — 1 } . M u l ţ i m i l e A şi B $ î n t ( x - m ă s u r a b i l e , d i s j u n c t e , A \J B = T şi 9 =

A

B

înacestcaz +

V-

=


=

avem j

=

=

cp

A

p

9

=

ŞI p

=


T

B

, \p\

deci =

y

B

| , | =
p

=

—

9

b

unde

p.

3. Măsuri echivalente D e f i n i ţ i a 2* Spunem că două măsuri majorate m , n : JC (T) - > 23 smtf echivalente dacă mulţimile neglijabile sînt aceleaşi pentru m s i n . A s p u n e c ă m şi n s î n t e c h i v a l e n t e , î n s e a m n ă c ă m ă s u r i l e p o z i t i v e | m | şi | n | s î n t e c h i v a l e n t e . E e z u l t ă c ă d a c ă m şi n s î n t e c h i v a l e n t e , f u n c ţ i i l e m ă s u r a b i l e s î n t a c e l e a ş i p e n t r u m şi n .

MĂSURI

ABSOLUT

291

CONTINUE

A s p u n e c ă d o u ă m ă s u r i p o z i t i v e ţx şi v s î n t e c h i v a l e n t e , î n s e a m n ă că fiecare d i n ele este a b s o l u t c o n t i n u ă în r a p o r t cu cealaltă. P r o p o z i ţ i a 6 . Două măsuri pozitive ţx şi v sînt echivalente, dacă şi numai dacă există o funcţie local ^integrabilă g altfel încît să avem v = <7ţx şig(t)

> 0 , ^-aproapepeste

tot. Avem

atunci—

v = ţx.

S ă p r e s u p u n e m c ă ţx şi v s î n t e c h i v a l e n t e . A t u n c i v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx şi ţx e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u v. E x i s t ă d e c i o f u n c ţ i e l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l ă g > - 0 a s t f e l î n c î t v = grţx şi o f u n c ţ i e l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l ă h >> 0 a s t f e l î n c î t ţx = Av. F u n c ţ i a hg e s t e l o c a l ţx-inte­ g r a b i l ă şi ţx = h(gy>) = (hg)[i. E e z u l t ă c ă Ji(t)g(t) = 1 , ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i g(t) > 0 şi h(t) = — ^ — > ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t . 9W E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă v = p gii, u n d e g e s t e l o c a l ţx-integrabilă şi g(t) > 0 , ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t . F u n c ţ i a ^g p e s t e t o t şi e s t e l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l ă ;

este

definită

a t u n c i ^ e s t e l o c a l gfţx =

ţx-aproape v-integra-

b i l ă şi — v (gfţx) = ţx. A ş a d a r , v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx 9 9 şi ţx e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u v, d e c i ţx şi v s î n t e c h i v a l e n t e . P r o p o z i ţ i a 7. Dacă T este numărabil la infinit, pentru orice măsură pozitivă ţx pe T există o funcţie continuăr g pe T astfel încît g (t) > 0 pentru orice te T şi măsura v — #ţx este mărginită. F i e (K ) u n ş i r d e m u l ţ i m i c o m p a c t e a c ă r o r r e u n i u n e e s t e T. P e n t r u f i e c a r e n, fie f : T - > [ 0 , 1 ] o f u n c ţ i e d i n DC(T) a s t f e l î n c î t f (t) = 1 p e n t r u teK . P e n t r u fiecare n să n o t ă m n

n

n

n

W

2 ţx(/ )

dacă

ţ x ( / ) > 1,

dacă

ţx(/ )
n

n

2

Eezultă

«

n

că S > » < £ - < o o n=l

n=l

6

Şi

n=l

Seria £

a

n=l ^

* /»»este u n i f o r m c o n v e r g e n t ă p e T, d e c i s u m a s a g =

7l=»l

e s t e o f u n c ţ i e c o n t i n u ă şi

> 0 p e n t r u f i e e a r e te

T.

a

n

/„

292

Pentru măsura

v = gţj. a v e m

v*(?r) = l * * ( / < P r ) = ^ ( f f ) = t f f f ;

a

n

y ; ) < £ a

ţ x ( / ) < oo,

w

n

d e c i m ă s u r a #ţx e s t e m ă r g i n i t ă . P r o p o z i ţ i a 8 . Pentru orice şir (ţx ) de măsuri pozitive şi mărginite pe T , există o măsură pozitivă şi mărginită ţx pe T, avînd următoarele pro­ prietăţi : 1) orice măsură ţx„ este absolut continuă în raport cu ţx; 2) ţx(A) = 0 dacă şi numai dacă ţx (A) = 0 oricare ar fin; 3) orice măsură pozitivă ţx' pe T cu proprietăţile 1) şi 2) este echivaentă cu ţx. P u t e m p r e s u p u n e [L =£=0 p e n t r u o r i c e n, î n l ă t u r î n d d i n ş i r , l a n e v o i e , m ă s u r i l e n u l e . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 d i n JC(T) a v e m | ţx (9)! < ; < H . ( I ? I ) < H M II9II, d e c i n

n

n

n

00.

cp II <

A i n b r

Să

l

,

,

,

- "

l

<

I . F

punem

211M

S

M
S e v e r i f i c ă u ş o r c ă y. e s t e o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă p o z i t i v ă p e d e c i e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. P e n t r u orice n a v e m

<[

deci a

H

este absolut

JC(T), con-

2° || ^ || tinuă în r a p o r t cu ( i . P e n t r u orice funcţie c p e ^ ( T ) li*

X

»

. - 1 2» || fi.il 9

cu )|
t*» (
avem

HM

IM
de unde n=»l ^

deci

este mărginită. A v e m a p o i ţx* ( J . ) =0 d a c ă ş i n u m a i d a c ă ţx* ( A ) = 0 p e n t r u o r i c e n (a s e v e d e a p r o p . 5 , § 1 9 * ) ) . î n s f î r ş i t , d a c ă ţx' î n d e p l i n e ş t e c o n d i ­ ţ i a 2 ) , a t u n c i m u l ţ i m i l e n e g l i j a b i l e s î n t a c e l e a ş i p e n t r u ţx şi ţx', d e c i ţx şi ţx' sînt echivalente. *) Paragraful 19 poate fi citit independent de paragraful 18.

MASURI

ABSOLUT

293

CONTINUE

4. M ă s u r i vectoriale absolut

continue

D i n p r o p o z i ţ i a 4 d e d u c e m că o m ă s u r ă p o z i t i v ă v e s t e a b s o l u t con­ t i n u ă î n r a p o r t c u o m ă s u r ă p o z i t i v ă p d a c ă şi n u m a i d a c ă o r i c e m u l ţ i m e b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă {x-neglijabilă e s t e v - n e g l i j a b i l ă . P e n t r u m ă s u r i v e c t o r i a l e , a c e a s t ă p r o p r i e t a t e se i a c a d e f i n i ţ i e . D e f i n i ţ i a 3 . Spunem câ o măsură vectorială m este absolut continuă în raport cu o măsură pozitivă JX, dacă pentru orice mulţime borelianâ relativ compactă A cu p (A) == 0 avem m (A) = 0 . P e n t r u m ă s u r i l e m a j o r a t e , s t u d i u l c o n t i n u i t ă ţ i i a b s o l u t e se r e d u c e la acela al măsurilor pozitive. P r o p o z i ţ i a 9 . Q măsură majorată i p este absolut continuă în raport cu o măsură pozitivă p dacă şi numai dacă măsura pozitivă | m | este absolut continuă în raport cu (x. D a c ă | m | e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx, a t u n c i p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă A c u p(A) = 0 a v e m | m | ( J . ) = 0 şi d e c i m ( A) = 0 d e o a r e c e | m ( A ) | < [ | m | ( A ) ; r e z u l t ă c ă m e s t e a b s o l u t c o n ­ t i n u ă î n r a p o r t c u p. Reciproc, să p r e s u p u n e m că m este absolut c o n t i n u ă în r a p o r t cu jx şi fie A o m u l ţ i m e b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă c u p(A) = 0. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e b o r e l i a n â 5 c l a v e m p(B) = 0 d e c i m ( J 5 ) = 0. A t u n c i ( p r o p o ­ z i ţ i a 2 4 , § 8) |m|(A) =

supS

|m(il )|=0, 4

u n d e m a r g i n e a s u p e r i o a r ă s e i a p e n t r u t o a t e p a r t i ţ i i l e f i n i t e (A ) a l e l u i A î n m u l ţ i m i b o r e l i e n e . A ş a d a r | m | e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u p şi propoziţia este demonstrată. D a c ă o m ă s u r ă m e s t e d e f o r m a m — ujx, u n d e ţx e s t e o m ă s u r ă p o z i ­ t i v ă , a t u n c i , e v i d e n t , m e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u [x. Eeciproc, v o m d e m o n s t r a că dacă m este absolut continuă în raport c u jx, a t u n c i m e s t e d e b a z ă p. V o m d e m o n s t r a m a i întîi că orice m ă s u r ă m a j o r a t ă este de bază modulul său. T e o r e m a 2 . Fie X un spaţiu Banach, m : JC (T) -> X o măsură majorată şi p modulul său. Fie E şi F două spaţii Banach cu X CZ £ (E, F) şi fie Z un subspaţiu al lui F' normant pentru F\ Există atunci o funcţie U: T - > J£(E, Z') cu următoarele proprietăţi : 1) I Um(t)\ = 1 , [i-aproape peste tot-, t

m

2) U

m

este Z-slab

< ^ f d m , z> astfel

=

local p-integrabilă

^< U

m

3) dacă p este o ridicare încît să avem p(U ) = m

9 (<

U

m

x, z >)

(t)f(t),

z>

a luij^ip), U adică

şi avem

m =

djx, pentru se poate

U

m

p deci

le^(p) alege

şi

zeZ;

U înmod m

= < U

m

m

x, z > , pentru

orice x<±Eşi

zeZ;

unic

294

CAP. IV

MĂSURI DEFINITE* P R I N D E N S I T Ă Ţ I

4) se poate alege următoarele cazuri : 2L)F

=

U (t)eJ>(E,

F)

m

pentru

orice

teT

în fiecare

din

Z';

b) pentru fiecare xeE, acoperirea convexă şi echilibrată a mulţimii A = ( m ( c p # ) ; ( p e j f f T ) , [ x ( [ c p | ) < ; i } este relativ compactă în F pentru topologia a(F, Z). Demonstraţie. F i e p o r i d i c a r e a l u i ^ ( ţ x ) . P e n t r u o r i c e xeE şi o r i c e zeZ s ă d e f i n i m m ă s u r a s c a l a r ă m prin egalitatea X

Xtz

m

«.»(9) = <m(9»), s > ,

pentru

yeJt(T).

Avem

| m * . . l < l * l \z\ fx. E x i s t ă deci o funcţie scalară g rabilă, astfel încît să a v e m

£%

m

e

r , z = 9 x , z

0

Modificînd funcţia g v

d e f i n i t ă p e T, m ă r g i n i t ă şi (x-măsu-

z

m u l ţ i m e [x-neglijabilă, p u t e m c o n s i d e r a c ă

XtZ

P (9x. z)

Din această deducem că

egalitate

V~

=9x.z-

şi d i n r e l a ţ i i l e X

|m

x > z

19x,z ( 0 1 < I I I U p e n t r u orice Z

| = \g \ XtZ

ţx <

| x\ \z\ fx

teT.

A p l i c a ţ i a (x, z) - > m a l u i ExZ în spaţiul măsurilor scalare este b i l i n i a r ă . D e o a r e c e p(g ) == g , d e d u c e m c ă a p l i c a ţ i a (x, z) - > g & lui ExZ î n s p a ţ i u l f u n c ţ i i l o r s c a l a r e m ă r g i n i t e şi ( x - m ă s u r a b i l e e s t e b i l i ­ n i a r ă , d e c i p e n t r u f i e c a r e teT a p l i c a ţ i a (x, z) - > g (t) e s t e o funcţională biliniară p e E x Z. P e n t r u te T şi xeE f i x a ţ i , a p l i c a ţ i a g (t): z -> g (t) e s t e o f u n c ­ ţ i o n a l ă l i n i a r ă c o n t i n u ă p e Z, d e c i g (t) e E' şi a v e m x

e

x%z

x%%

xz

xz

x

9%z

x

P e n t r u te T f i x a t , a p l i c a ţ i a U (t): x - > g (t) l i n i a r ă şi c o n t i n u ă , d e c i U (t)e Jl {E^Z') şi a v e m m

x

a lui E

î n Z'

este

m

|Cr«(t)|
x, z > = g

x

z

(t), p e n t r u te

F o l o s i n d e g a l i t a t e a p (g ) == g x

z

x

z 1

T, xe

E şi z e Z.

deducem că

?(U )=U . m

Unicitatea lui U 3, § 12.

m

rezultă

m

acum

din proprietatea 3 de la

punctul

295

MASURI A B S O L U T C O N T I N U E

D i n p r o p o z i ţ i a 7, § 1 3 , d e d u c e m c ă f u n c ţ i a t -> | U (t) | e s t e (x-măsur a b i l ă ; f i i n d şi m ă r g i n i t ă , a c e a s t ă f u n c ţ i e e s t e l o c a l ^ i n t e g r a b i l ă , d e c i U e s t e Z - s l a b l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă . P e n t r u
m

< V yx d m , z > = \

x > z

= \yg

Xt

d e c i m = U [x. D a c ă f e ^ ( { j L ) , a t u n c i f ejg} ( t e o r e m a 2, § 16, rezultă a t u n c i că

z

djx = V < U

{t) 9 (t) x, z > dţx,

m

m

\U

B

<\fdm, Luînd f =

z>

= \ <

tf (t)î(*),

117a, |ţx <

*>djx, pentru f e ^ ( ţ x )

m

90? c u 9 e JC (T)

deoarece

m

şi x e E,

ţx. D i n

şiseZ.

deducem

a d i c ă | m | < | U ||x. D e o a r e c e | m | = jx, d e d u c e m c ă | Î7 (^) I > 1, [x-aproap e peste tot, deci m

m

IU

m

(t) I = 1 , ( x - a p r o a p e p e s t e t o t .

î n a c e s t fel, p r i m e l e t r e i p u n c t e a l e t e o r e m e i s î n t d e m o n s t r a t e . S ă d e m o n s t r ă m p u n c t u l 4). Cazul F = Z este b a n a l . Să p r e s u p u n e m a c u m î n d e p l i n i t ă c o n d i ţ i a b ) d e l a p u n c t u l 4) şi fie x e E. S ă n o t ă m e u A î n c h i d e r e a î n t o p o l o g i a <*(F, Z) a a c o p e r i r i i e c h i l i b r a t e şi c o n v e x e a m u l ţ i m i i {m( < 1 } ; c o n f o r m i p o t e z e i b ) , m u l ţ i m e a A e s t e c o m p a c t ă p e n t r u t o p o l o g i a a(F, Z). M u l ţ i m e a A e s t e d e a s e m e n e a c o m p a c t ă î n d u a l u l a l g e ­ b r i c Z* p e n t r u t o p o l o g i a a(Z*, Z) : e x i s t ă d e c i o f a m i l i e (^)<ei d e e l e m e n t e din Z astfel încît 1

||
A = r\{y}yeZ%

4

A t u n c i , p e n t r u o r i c e i e I şi o r i c e 9 e JC (T) c u fx( 9) • < 1 , a v e m

Urmează

că

p r e n t r u o r i c e i e I şi 9 e j K ( T ) c u l |

p e n t r u fiecare t e l . p(| < U X, m

x, Zi>

| < 1, v — a p r o a p e p e s t e t o t

Deoarece Zi>

|)

| p < < U X, m

S<> ) | = | <

U X, m

>

|

296

MASURI

deducem că I < TJ (t)x, deci

Zi>

m

DEFINITE

K

PRIN

DENSITĂŢI

CAP.

1, p e n t r u o r i c e i e i

U (t)xe

A dF,

m

şi o r i c e te

p e n t r u o r i c e te

IV

T,

T.

C u m xeE a f o s t a l e s a r b i t r a r , r e z u l t ă c ă U (t)eJ>(E, F), p e n t r u o r i c e te T. Observaţie. F u n c ţ i a U d e p i n d e a t î t d e s p a ţ i i l e E şi F c î t şi d e s p a ţ i u l Z. D a c ă se i a Z=F', a t u n c i U (t) ej£(Fi, F") p e n t r u f i e c a r e teT. în a c e s t c a z d a c ă Z a F' e s t e u n s u b s p a ţ i u o a r e c a r e n o r m a n t p e n t r u F şi d a c ă U : T -> J>(E, Z[) e s t e f u n c ţ i a c o r e s p u n z ă t o a r e , a t u n c i p e n t r u o r i c e te T şi o r i c e xeE, f u n c ţ i o n a l a TJ (t)xeZ[ este restricţia la Z a f u n c ţ i o n a l e i TJ (t)xeF". Prin abuz de notaţie, v o m însemna funcţia t ^ t o t c u Z7 . P u t e m d a a c u m o generalizare a teoremei lui L e b e s g u e - M k o d y m . T e o r e m a 3 . Fie v o măsură scalară, X un spaţiu Banach, m : JC{ T) -> X o măsură majorată, absolut continuă în raport cu v. Fie E şi F două spaţii Banach cuXd J2(E, F) şi fie Z un subspaţiu al luiF normant pentru F. Există atunci o funcţie V : T - > J2 (E, Z') CU următoarele proprietăţi : 1) Funcţia \ V \ este local p-integrabilă şi avm \ m | = | V \ | v | adică m

m

m

x

t

1

x

m

m

1

m

m

m

9 d| m | = V | V \ 9 d| v |, pentru m

2) Funcţia

V

m

este Z-slab

< | j f d m , z > = ^ < V (t) m

yejg}

local p-integrahilă

(m).

şi avem m = V

m

l (t), z > dv, pentru

fe^i(m)

v,

şi

deci

zeZ.

3) Bacă p este o ridicare a lui J2™ (v), se poate alege V unic v-aproape tot astfel încît să avem p [ F ] = F . Dacă, în plus, există a > 0 c w | m | < [ a | v | , atunci se poate alege V în mod unic astfel ca p(V ) = ^ m , adică m

peste

m

m

m

m

P( <

V x,z m

>)

=

< V x, m

4) Se poate alege V (t)eJ>(E, următoarele cazuri : a ) F = Z'; m

b ) pentru A

x

a(F,

acoperirea

şi

orice teT

convexă

şi echilibrată

fiecare

xeE,

acoperirea

convexă

— | m (90?); 9 e (JCT), ţ | 9 \d\ v | < ; l | este relativ

topologia

zeZ. în fiecare

a penrtu

din

mulţimii topo­

Z);

c) pentru x

xeE,

F) pentru

xeE

= | m (90?); 9 e JC (T), { \ 9 \d \ m | < 1 j este relativ compacta

logia

B

fiecare

z >, pentru

G (F, Z).

şi echilibrată

a

compactă

în F

mulţimii pentru

$18

MĂSURI

ABSOLUT

297

CONTINUE

S ă n o t ă m |x = | m |. D e o a r e c e ţx e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u | v |, e x i s t ă o f u n c ţ i e l o c a l v - i n t e g r a b i l ă # > 0 c u ţx = gr | v | ( t e o r e m a 1 ) . D i n p r o p o z i ţ i a 5 d e d u c e m c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e s c a l a r ă l o c a l v-inte­ g r a b i l ă 9 c u | 9(t) | = 1 , v = 91 v | şi | v | = i

v. F u n c ţ i a g — e s t e cp


atunci

l o c a l v - i n t e g r a b i l ă şi ţx = g — v. 9 Fie U

: T - > J>{E, Z') f u n c ţ i a c a r e c o r e s p u n d e m ă s u r i i m p r i n t e o ­

m

r e m a 2 şi s ă p u n e m V = U g — • D e o a r e c e ! U (t)\ ± = 1 (x-aproape p e s t e ^ 9 t o t , f u n c ţ i a | U | — 1 e s t e [x-neglijabilă, d e c i f u n c ţ i a (\U \ — l)g este v - n e g l i j a b i l ă , d e c i | U (t) \g(t)=g(t) v-aproape peste tot. Urmează atunci cft| "F = g(t) v - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i | V\ e s t e l o c a l v - i n t e g r a b i l ă şi a v e m ţx = | V \ | v |. Luînd V = F , punctul 1 este demonstrat. Deoarece U este Z-slab local ţx-măsurabilă, u r m e a z ă că p e n t r u o r i c e xeE şi o r i c e zeZ f u n c ţ i a < U x, z > e s t e ţ x - m ă s u r a b i l ă ; a t u n c i f u n c ţ i a < U x, z > g e s t e v - m ă s u r a b i l ă , d e c i f u n c ţ i a < Vx, z > = m

m

m

m

m

m

m

m

m

= < U x,

z > g — este v-măsurabilă. Aceasta înseamnă că V este Z-slab 9 v-măsurabilă. Deoarece l V | este local v-integrabilă, rezultă că V este Z-slab local v-integrabilă. P e n t r u o r i c e f ej^s (ţx) şi o r i c e zeZ avem m

< ^ f d m , z>

= ^ <

U

m

f, s > d(x = |j < U

g i f , s > d v = ţj < F f ,

m

s>dv.

L u î n d V = F , p u n c t u l 2) e s t e d e a s e m e n e a d e m o n s t r a t . F i e a c u m p o r i d i c a r e a l u i ^ ° ° ( v ) . D i n p r o p o z i ţ i a 9, § 1 3 , d e d u c e m c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e V : T -> £* (E,Z ) c u p [ F ] = F , < F a?, 2? > = < Yx,z > p e n t r u o r i c e xeE şizeZ ( a d i c ă V = V) şi | V (t) | < | V (t) | p e n t r u o r i c e teT. F u n c ţ i a | V | e s t e v - m ă s u r a b i l ă , şi d e c i d i n i n e g a l i t a t e a | V | < | V j r e z u l t ă c ă \V \ este Z-local v-integrabilă. Din relaţia V = V deducem că V e s t e Z - l o c a l v - i n t e g r a b i l ă şi m

f

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

<^fdm, z >

m

= ţ < V

m

L u î n d ( p e 2 ( T ) , xeE | < m (9) x, deci, luînd | s | < l ,

marginea

f, z >

şi zeZ

dv, p e n t r u f e ^ ( m )

deducem

z>|<J|F | m

superioară

pentru

| < p | l 0 | | ^ | dl v I

xeE

c u | a? | < 1 şi zeZ

| m ( 9 ) I < J | F H 9 | d | v | = ţ | 9 | d(\V r a

Urmează că | m | < | V

m

şizeZ.

m

| | v | < | V\ | v | = |x, d e c i ţx =

\ |v|). |P»||v|.

cu

MASURI DEFINITE PRIN D E N S I T Ă Ţ I

298

CAP. IV

S ă p r e s u p u n e m î n sfîrşit, c ă e x i s t ă a > O c u ţ x < a | v\. A t u n c i , f u n c ­ ţ i a g a p a r ţ i n e s p a ţ i u l u i Jl™ (ţx) ş i d e c i | V \ ej2™ (V). D i n c o r o l a r u l p r o p o ^ z i ţ i e i 8, § 1 3 , r e z u l t ă c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e V : T - > J2*{E, Z') c u p ( F ) = ' = V, V = V şi | V (t) | < | V(t)\, v - a p r o a p e p e s t e t o t . S e d e m o n s t r a z ă a p o i c ă V a r e t o a t e p r o p r i e t ă ţ i l e d e l a p u n c t e l e 1) şi 2 ) , c a şi î n c a z u l 9[V ] = V . î n a c e s t fel p u n c t u l 3) a f o s t d e a s e m e n e a d e m o n s t r a t . D a c ă sînt îndeplinite condiţiile a) s a u b) d e la p u n c t u l 4), a t u n c i U a r e v a l o r i î n Jl (23, F) d e c i şi V a r e v a l o r i î n Jl (23, F). D a c ă e s t e î n d e ­ p l i n i t ă c o n d i ţ i a c ) , s e d e m o n s t r e a z ă c ă V a r e v a l o r i î n Jl (23, F) l a fel c a în teorema 2. Cu aceasta t e o r e m a 3 este complet d e m o n s t r a t ă . Observaţie. F u n c ţ i a V d e p i n d e a t î t d e s p a ţ i i l e E şi F c î t şi d e s p a ţ i u l Z ales. m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

5 . Cazul | g m | = | g j| m | Fiind d a t ă o m ă s u r ă d e f o r m a gm, în general a v e m n u m a i inegali­ tatea |jjm| < |g| | m | . D a c ă însă m ă s u r a m este scalară sau dacă funcţia g este scalară, avem egalitatea | g m | = | g | | m | . Vom considera întîi cazul măsurilor cu baze scalare. F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şiZczF' u n s u b s p a ţ i u n o r m a n t p e n t r u F . T e o r e m a 4 . Fie p o măsură scalară şi g : T -> Jl* (23, F) o funcţie Z-slab local p-integrabilă. Avem

lgp| = IflIIM în fiecare din următoarele cazuri: 1) există o ridicare p a lui Jl™ (ţx) astfel încît p[g] = g ; 2) E este de tip numărabil şi există o mulţime numărabilă SciZ nor­ mantă pentru F; 3) E este un tip numărabil şi g este simplu local p-integrabilă; 4) g este local p-integrabilă. S ă n o t ă m m = gţx. M ă s u r a m a r e v a l o r i î n Jl(E, Z') şi e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u p. C o n f o r m t e o r e m e i 3 e x i s t ă o f u n c ţ i e Z - s l a b l o c a l u - i n t e g r a b i l ă V : T-> Jl (E, Z') a s t f e l î n c î t m = Vp şi | m | = | V\ \ p\. I n p l u s , p e n t r u o r i c e r i d i c a r e p a l u i Jl™ (ţx) p u t e m a l e g e V a s t f e l î n c î t s ă a v e m p[V] = V. A t u n c i a v e m d e a s e m e n e a p [ F # ] = Vx p e n t r u o r i c e xeE. Să p r e s u p u n e m m a i întîi că există o ridicare p a alui ^ ^ ( ţ x ) astfel î n c î t p [ g ] = g ( c o n d i ţ i a 1 ) . A t u n c i a l e g e m V a s t f e l î n c î t p [ F ] = V, D i n e g a l i t a t e a m = Fţx = gţx d e d u c e m a t u n c i ( p r o p . 1 3 , § 17) c ă V(t) = = g (t) ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i | V(t) \ = |g (t)\ ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t şi d e c i |gţx| = | m | = | F | \p\

=

| g | |ţx|.

S ă p r e s u p u n e m apoi că este î n d e p l i n i t ă condiţia 2) d i n e n u n ţ . D i n e g a l i t a t e a m = Vp = gţx d e d u c e m a t u n c i c ă V(t) = g(£) ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t ( p r o p . 1 4 , § 17) şi d e c i lîîţx) = H m | = | F | | ţ x | =

| g | |ţx|.

MĂSURI A B S O L U T

299

CONTINUE

S ă p r e s u p u n e m c ă g e s t e loca! ţx-integrabilă (condiţia 4)). F i e 9 o funcţie scalară local |ţx|-integrabilă astfel încît | < p ( & ) | = l şi ţx =
P e n t r u f u n c ţ i a g 9 a v e m |g
măsura

1(9?) IMI = lg
KgaOM = l 9 * l IMF i e p o r i d i c a r e a l u i ^°°(ţx) şi s ă a l e g e m V a s t f e l î n c î t p [ F ] — V* A t u n c i a v e m d e a s e m e n e a p[V a?] = Vx. F u n c ţ i a Vx e s t e Z - s l a b l o c a l ţ x - i n t e g r a b i l ă d e c i c o n f o r m c a z u l u i 1) deja demonstrat avem r

\(VX) L\ [

zeZ

=

\Va\\ L\. l

A v e m î n s ă (ga?)ţx = (Vx) ţx, d e o a r e c e p e n t r u o r i c e

=

< ^9

= ( < 9 ga?, z > dţx =

< [ yd (gţx) x, z >

=

dm a?, z > = ^ < F a? 9 , z > dţx = < ^ d ( Vx) ţx, z > ,

d e u n d e ^ d (g x) ţx =

^ ? d (Vx) ţx, p e n t r u o r i c e 9 e JC (T) şi d e c i (g a?)ţx =

= (Vx) ţx. A t u n c i

IgaMIM = l ( ^ ) M = \(Vx) ţx| = | F a | |ţx 1 d e c i lg(J) x\ = \ V(t)x\, ţx-aproape p e s t e t o t . F ă c î n d x s ă p a r c u r g ă o m u l ­ ţ i m e n u m ă r a b i l ă d e n s ă î n E, d e d u c e m c ă | $(t) | = | V(t) |, ţx-aproape p e s t e t o t şi d e c i |

g î

x|=|Fţx|

HFI

IM = lgl IM

şi t e o r e m a e s t e c o m p l e t d e m o n s t r a t ă . Observaţie. î n c a z u l 4) n u e s t e n e c e s a r c a f u n c ţ i a g s ă a i b ă v a l o r i o p e r a t o r i . C a z u l 4) s e p o a t e e n u n ţ a a s t f e l : F i e X u n s p a ţ i u B a n a c h o a r e c a r e Dacă ţx este o măsură scalară si dacă g : T -> X este o funcţie local [L-integrabilă, atunci |gţx| = | g j |ţx|.

300

MASURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

Corolar. Fie

p o măsură

reală

CAP.

şi g > 0 o funcţie

local

IV

p-integrabilă.

Atunci

.

( s ^ ) " = gv>

+

(gu>r = g^*

?i

într-adevăr, (?f*)

+

~(l^t + gv-) = ţr{g\v-\ z z

=

+ gv>) = g z

^-(IM + =

Şi

= ~ (1^1*1

r

=-J-(fll^l -

-01*)

9P-) = 9

77 (11*1 -

n) =

^ ^ ^ P r o p o z i ţ i a 1 0 . l^itf fx o măsură scalară şi g g : T -> J>* (E,F) două funcţii Z-slab local p-integrabile. Avem g fx = g ţx
x

1

2

2

2

00

2

2

x

x

2

2

2

2

flf* = flif* — fl ^ = 2

0.

î n f i e c a r e d i n a c e s t e c a z u r i g a r e a c e l e a ş i p r o p r i e t ă ţ i c a şi g şi g . î n t r - a d e v ă r , î n c a z u l 1) a v e m p [ g ] = g î n c a z u l 2) f u n c ţ i a | g | e s t e (x-măsur a b i l ă ( p r o p , 2 2 , § 15) d e c i g e s t e Z - s l a b l o c a l f x - i n t e g r a b i l ă ; î n c a ş u l 3 ) funcţia | g | este [x-măsurabilă (corolarul propoziţiei 13) deci g este s i m p l u l o c a l w - i n t e g r a b i l ă ; î n c a z u l 4) g e s t e l o c a l [ x - i n t e g r a b i l ă . I n fiecare d i n aceste cazuri a v e m deci x

\w\

2

= |g| I M ,

d e u n d e | g 11 p | = 0 . C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 3 , § 1 7 , a v e m | g (t) \ = 0 [ x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i g (t) = 0 ( x - a p r o a p e p e s t e t o t şi d e c i g (t) = g (t) ( x - a p r o a p e peste tot. Implicaţia reciprocă este evidentă. Să considerăm a c u m cazul măsurilor cu baze vectoriale. T e o r e m a 5. Dacă m : JC (T) -> E este o măsură majorată şi g este o funcţie scalară local m-integrabilă, atunci x

\gm\

=

2

|s||m|.

F i e p o r i d i c a r e a l u i J?°°(| m |). E x i s t ă o f u n c ţ i e JS'-slab l o c a l | m | - i n t e g r a b i l ă U : T ->E" = ^(E, E") a s t f e l î n c î t m = U\m\, \U(t)\ = l | m [ - a p r o a p e p e s t e t o t şi p( TJ) = TJ ( t e o r e m a 2 ) . E x i s t ă d e a s e m e n e a ( p r o p . 9, § 13) o f u n c ţ i e s c a l a r ă l o c a l m - i n t e ­ g r a b i l ă g e g a l ă c u g, | m ( - a p r o a p e p e s t e t o t şi c u p{gr'] = g'. U r m e a z ă c ă 9

1

MASURI

ABSOLUT

301

CONTINUE

f u n c ţ i a g' e s t e d e a s e m e n e a l o c a l | m | - i n t e g r a b i l ă , d e c i f u n c ţ i a TJg' e s t e 23'-slab l o c a l | m | - i n t e g r a b i l ă şi a v e m p [ P y ] = TJg' şi ( p r o p . 9 , § 16) gm -

g'm şi g''(U\m\)

=

(g' U) | m | .

P e d e a l t ă p a r t e , d e o a r e c e gm e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u | m |, e x i s t ă o f u n c ţ i e 25'-slab l o c a l | m | - i n t e g r a b i l ă V : T E" c u gm = V\ m j, \gm\ = \ V\ | m | şi p [ P ] = V ( t e o r e m a 3 ) . D e d u c e m c ă (g'U)\m\ = F | m | , d e c i gU = g'TJ = V, | m j - a p r o a p e p e s t e t o t . R e z u l t ă c ă \g\ = \gTJ\ = \ V\, | m | - a p r o a p e p e s t e t o t şi d e c i \gm\

= \V\

|m| =

|0| |m|.

P r o p o z i ţ i a 1 1 . Fie m : JC(T)E o măsurăm majorată, g şi g două funcţii scalare local m-integrabile. Atunci g m = g^m dacă şi numai dacă g (t) — g (t), m-aproape peste tot. S ă p r e s u p u n e m c ă g m — g m, şi s ă n o t ă m g = g — g . A t u n c i g e s t e l o c a l m - i n t e g r a b i l ă şi a v e m x

2

x

x

2

x

2

x

gm = j j i n - g m 2

2

= 0

Şi

|jsn|= \g\ |m|, d e c i | g \ \ m | = 0. C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 3 , § 1 7 , a v e m | g(t) | = 0, m - a p r o a p e peste tot. 6. M ă s u r i s i n g u l a r e * ) D e f i n i ţ i a 4 . Spunem că două măsuri majorate m, n : JC (T) - > F sînt singulare (una in raprt cu cealaltă) dacă inf (| m |, | n |) = 0 . A s p u n e c ă m şi n s î n t s i n g u l a r e , î n s e a m n ă c ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă X > - 0 p e n t r u c a r e X < | m | şi X < | n |, a v e m X = 0 . D e f i n i ţ i a 5 . Spunem că o măsură majorată m este concentrată pe o mulţime M sau că mulţimea M poartă măsuţa m, dacă T—M este m-neglijabilâ. A spune că m este concentrată pe M înseamnă că M este m-măsura­ b i l ă şi c ă m = 9 ^ m . D a c ă ţx e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă c o n c e n t r a t ă p e M, o r i c e m ă s u r ă a b s o ­ l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx e s t e d e a s e m e n e a c o n c e n t r a t ă p e M. Observaţie. Printre mulţimile care poartă o m ă s u r ă majorată m, se a f l ă s u p o r t u l s ă u - S . S u p o r t u l l u i m e s t e c e a m a i m i c ă m u l ţ i m e î n c h i s ă , p e c a r e e s t e c o n c e n t r a t ă m. P o t e x i s t a î n s ă s u b m u l ţ i m i s t r i c t e a l e s u p o r ­ t u l u i S, p e c a r e m s ă fie c o n c e n t r a t ă . î n g e n e r a l , n u e x i s t ă c e a m a i m i c ă m u l ţ i m e c a r e s ă p o a r t e p e m. D e exemplu, suportul măsurii Lebesgue este dreapta întreagă. M ă s u r a L e b e s g u e fx e s t e c o n c e n t r a t ă p e o r i c e m u l ţ i m e c a r e e s t e c o m p l e ­ m e n t a r a u n e i p ă r ţ i f i n i t e a d r e p t e i , d e o a r e c e fx({J}) = 0 p e n t r u o r i c e punct JeJS. *) Măsurile singulare sînt numite de N. Bourbaki măsuri străine.

302

MASURI

DEFINITE

PRIN

CAP.

DENSITĂŢI

IV

P r o p o z i ţ i a 1 2 . Pentru ca două măsuri ni şi n sâ fie singulare, este necesar şi suficient să existe două mulţimi disjuncte M şi N care sâ poarte respectiv pe m şi n . S ă n o t ă m X = | m | + | n |. A v e m | m | = g\ şi | n | = h\, g şi h f i i n d f u n c ţ i i pozitive l o c a l X - i n t e g r a b i l e şi inf ( | m | , | n | ) = inf (g, h) X. M ă s u r i l e | m | şi | n | s î n t s i n g u l a r e , d a c ă şi n u m a i d a c ă inf (g, h) = 0, X - a p r o a p e p e s t e t o t , a d i c ă d a c ă şi n u m a i d a c ă e x i s t ă d o u ă m u l ţ i m i d i s ­ j u n c t e M şi N, X - m ă s u r a b i l e , a s t f e l î n c î t g = < p g şi h = < p , h, X - a p r o a p e peste tot. D a r g =

y

M

M

+

+

+

+

v = ix' + V , unde [L' este o măsură pozitivă absolut continuă în raport cu [x iar v' este o măsură pozitivă singulară în raport cu [x. S ă c o n s i d e r ă m m ă s u r a p o z i t i v ă X = [x + v. D e o a r e c e m ă s u r a v e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u X, e x i s t ă o f u n c ţ i e l o c a l X - i n t e g r a b i l ă h, a s t f e l î n c î t v = AX.

MĂSURI

ABSOLUT

303

CONTINUE

D e o a r e c e 0 < ; v < ; X, a v e m 0 < ; g (t) < ; 1 , X - a p r o a p e p e s t e t o t , şi d e c i 0 < h (t) < ; 1 , v - a p r o a p e p e s t e t o t (şi d e a s e m e n e a ţx-aproape p e s t e t o t , d e o a r e c e ţx < ; X). F u n c ţ i a h e s t e d e a s e m e n e a l o c a l v - i n t e g r a b i l ă şi l o c a l ţx-integra­ b i l ă . D i n e g a l i t a t e a X = ţx + v, r e z u l t ă v = AX = feţx + ftv. Să notăm A = {t; 0 < h(t) < 1 } şi B = {t; h(t) = 1 } . M u l ţ i m i l e A şi B s î n t m ă s u r a b i l e î n r a p o r t c u fiecare d i n m ă s u r i l e ţx, v ş i X. D i n e g a l i t a t e a v = Aţx + ftv, r e z u l t ă ( 1 — A)v == ftţx d e c i (1

— h)

=

^

A
B

dţx,

d e u n d e ţx*(-B) = 0 . D e d u c e m c ă m ă s u r a v' = < p v e s t e s i n g u l a r ă î n r a p o r t c u ţx. î n t r - a d e v ă r , fie p o m ă s u r ă p o z i t i v ă a s t f e l î n c î t p < ; v' şi p < ţx. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e EaT avem B

*(E)

9

<

v'* (37) -

v* (E fi B), şi p*CE) <

ţx* (E).

E e z u l t ă c ă d a c ă Ef\B == 0 a v e m p* (.E) = 0 . A ş a d a r p* (E) = p* (E fi < ţx* (JE7 fi B) = 0 , d e c i p = 0 . A c e a s t a î n s e a m n ă c ă v' şi ţx s î n t s i n g u l a r e . M ă s u r a ţx' =

( 1 — h)


n J B

d v = ^ hcpAHE dţx = 0 .

D a r 1 — h(t) > 0 p e n t r u o r i c e te A f| E. E e z u l t ă a t u n c i c ă v* (Af\E) = 0 , a d i c ă ţx'* (E) = 0 . A ş a d a r ţx' e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx. M ă s u r a v s e s c r i e a c u m v

= {9A + 9B )V = 9A v +


v = ţx' + v'.

D a c ă ţx" e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx i a r v " e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă s i n g u l a r ă î n r a p o r t c u ţx, a s t f e l î n c î t s ă avem V = Jl" + v", a t u n c i ţx" = ţx' ş i v " = v'. î n t r - a d e v ă r , d i n e g a l i t a t e a ţx' + v' = ţx" + v' d e d u c e m ţx' -

ţx"

=

v" -

v'.

D e o a r e c e v' ş i v " s î n t s i n g u l a r e î n r a p o r t c u ţx, e x i s t ă o m u l ţ i m e M c a r e p o a r t ă p e ţx ş i d o u ă m u l ţ i m i J P şi N" c a r e p o a r t ă r e s p e c t i v p e v' şi v " a s t f e l î n c î t M f\N = 0 şi J f f W = 0 . M ă s u r a ţx' - ţx" e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx d e c i e s t e c o n c e n t r a t ă p e M. M ă s u r a v " — v' e s t e c o n c e n t r a t ă p e T — M. E e z u l t ă a t u n c i c ă ţx' — ţx" = v " —- v' = 0, d e c i ţx' = ţx" ş i v' = v " , a d i c ă s c r i e r e a v = ţx' + ţx' e s t e u n i c ă . f

304

M A S U R I DEFINITE P R I N

DENSITĂŢI

CAP. IV

Ou a c e a s t a t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . T e o r e m a 7 . Fie ţx O măsură pozitivă şi m : JC (T) - > 23' o majorată. Atunci m se poate scrie în mod unic sub forma m = m' +

măsură

n'

astfel încît m ' : JC (T) -> 23' este o măsură majorată absolut continuă în raport cu ţx iar n ' : JC ( T ) - > E' este o măsură singulară în raport cu ţx. C o n f o r m t e o r e m e i 6, m ă s u r a p o z i t i v ă | m | se p o a t e s c r i e s u b f o r m a [ m | = ţx' +

v',

u n d e ţx' e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx i a r v' e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă s i n g u l a r ă î n r a p o r t c u ţx. A v e m ţx' < | m | şi v' - < | m | . C o n f o r m t e o r e m e i 2 , e x i s t ă o f u n c ţ i e 23-slab l o c a l | m | - i n t e g r a b i l ă TJ: T E' c u | U(t)\ = 1 , | m | - a p r o a p e p e s t e t o t a s t f e l î n c î t m = = f7jm|. D e o a r e c e ţx' - < | m | şi v' - < | m | , f u n c ţ i a TJ e s t e 23-slab l o c a l i n t e g r a ­ b i l ă î n r a p o r t c u ţx' şi v'. S e p o t d e c i d e f i n i m ă s u r i l e m ' = TJ\L' şi n ' = Î7v' şi a v e m m = m' +

n'.

D i n i n e g a l i t ă ţ i l e | m ' | < | TJ\ ţx' = ţx' şi | n ' | = | TJ\V = v' d e d u ­ c e m c ă m ' e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx' d e c i ş i î n r a p o r t c u ţx i a r u ' e s t e s i n g u l a r ă î n r a p o r t ţx. Avem apoi ţx' +

v' = | m | = | m ' + n ' | < | m ' |

+ | n ' | < ţx' +

v'

d e c i | m | = | m ' | + | n ' | . U r m e a z ă c ă | m ' | = ţx' şi | n ' | = v'. E ă m î n e de a r ă t a t că descompunerea este unică. Să presupunem că a v e m de asemenea m = m " + n", u n d e m " : JC (T)-^E' e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx i a r n " iJC(T) W e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă s i n g u l a r ă î n r a p o r t c u ţx. A t u n c i m ' — m " = n " — n', d e c i | m ' — m " | = I n — n ' | . A v e m d e a s e m e n e a X = = j m ' - m " | < l m ' | + | i n " | şi X = | n " - n ' | < | n " | + | n ' | . D e d u c e m d e a i c i c ă m ă s u r a X e s t e î n a c e l a ş i t i m p a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx şi s i n g u l a r ă î n r a p o r t c u ţx. U r m e a z ă c ă X = 0 a d i c ă | m ' — m " | = | n " — n ' | = 0 , d e c i m ' = m " şi n ' = n " . Cu aceasta teorema este d e m o n s t r a t ă . 7

7. M ă s u r i d i f u z e . M ă s u r i a t o m i c e D e f i n i ţ i a 6. Spunem că o măsură majorată m pe T este difuză dacă orice teT avem | m | ({t}) = 0. A spune că o m ă s u r ă m este difuză î n s e a m n ă că orice m u l ţ i m e a cărei complementară este numărabilă, p o a r t ă p e m .

pentru

MASURI A B S O L U T

CONTINUE

305

D a c ă n este a b s o l u t c o n t i n u ă în r a p o r t cu o m ă s u r ă difuză m , a t u n c i şi n e s t e d i f u z ă . D e f i n i ţ i a 7. Spunem că o măsură dacă există o familie (ţi. ) e^ de măsuri astfel încît a

majorată pozitive

a

m

I l ( ? ) = Yi ^ ( ? )

pentru

m pe T este atomică, punctuale de forma z t


teA

A spune că m este atomică, înseamnă că există o funcţie pozitivă a d e f i n i t ă p e T, a s t f e l î n c î t s ă a v e m |m|(9) = S

«(0 ? ( * ) , P e n t r u


ier

U r m e a z ă c ă p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT

S «(*> <

avem

0 0

tex

d e c i d a c ă n o t ă m N = {t; oc(J) =/= 0 } , m u l ţ i m e a N f| Keste cel m u l t n u m ă ­ r a b i l ă o r i c a r e a r fi m u l ţ i m e a c o m p a c t ă KaT. Deducem de asemenea că m ă s u r a m e s t e c o n c e n t r a t ă p e N. orice

P r o p o z i ţ i a 1 3 . Orice măsură difuză n . Să scriem

măsură

| m | (
=

£

atomică

m este singulară

<x(t) 9 ( 0 , p e n t r u te

în raport

cu

T.

teT

M ă s u r a m e s t e c o n c e n t r a t ă p e m u l ţ i m e a N = {t; <x.(t) =f= 0 } c a r e a r e p r o p r i e t a t e a c ă Nf]K e s t e c e l m u l t n u m ă r a b i l ă o r i c a r e a r fi m u l ţ i m e a c o m p a c t ă K (a se v e d e a e x e m p l u l d e l a p u n c t u l 4 , § 5 ) . U r m e a z ă c ă m u l ţ i m e a Nf\K e s t e n - n e g l i j a b i l ă o r i c a r e a r fi m u l ţ i ­ m e a c o m p a c t ă KaT, deci N este n-neglijabilă, adică n e s t e concentrată p e T — N. A ş a d a r m şi n s î n t s i n g u l a r e . C o r o l a r . Dacă m este în acelaşi

timp

atomică

şi difuză,

atunci

m = 0.

P r o p o z i ţ i a 1 4 . Orice măsură pozitivă \L se poate scrie în mod unic sub forma fx = [L + ţx , unde ţx este o măsură pozitivă atomică iar (x este o măsură pozitivă difuză. P e n t r u o r i c e te T s& p u n e m a (t) = ţx({t}). F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . P e n t r u orice p a r t e finită IaK avem T

2

x

£ 9(0 = teK

2

(I)<[i(K)

deci

S ?(*) <<*>. teT

MĂSURI DEFINITE PRIN

306

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 9 e JC (T)

DENSITĂŢI

CAP. IV

avem a

S * ( * > i ? ( 0 i < E ( < ) I I ? 11 < o o , unde K este suportul lui Să p u n e m

9.

(?) = S *(*) ?(*)S e v e r i f i c ă u ş o r c ă (x e s t e l i n i a r ă şi p o z i t i v ă p e JC(T) d e c i e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă ; jx e s t e o m ă s u r ă a t o m i c ă , d e o a r e c e 2

x

M?) =

£

*(0

M?)-

A v e m , e v i d e n t , jx < ; (x. A t u n c i m ă s u r a ţx = (x — {x e s t e p o z i t i v ă şi d i f u z ă , d e o a r e c e p e n t r u o r i c e teT a v e m (x ( {£}) = (x( {*}) — ^ ( { £ } ) = 0. Unicitatea descompunerii rezultă din faptul că măsurile atomice sînt singulare în r a p o r t cu măsurile difuze. x

2

x

2

m

P r o p o z i ţ i a 1 5 . Fie E un spaţiu Banach. : JC (T) - > E' se poate scrie în mod unic sub m — m

+

2

m

Orice forma

măsură

majorată

2

unde m : JC(T) - > 2 3 ' este o măsură majorată atomică iar m : JC( T) este o măsură majorată difuză. Conform propoziţiei 14, m ă s u r a p o z i t i v ă | m | se p o a t e scrie 1

Im I=

Hi

+

^2-

u n d e [L e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă a t o m i c ă i a r [x e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă M ă s u r a m se p o a t e s c r i e m = U\ m |, u n d e U : T ->E' e s t e o 23-slab l o c a l m - i n t e g r a b i l ă c u | U(t)\ = 1 . D i n i n e g a l i t ă ţ i l e ţx < ; | m | şi jx < | m | d e d u c e m c ă U e s t e l o c a l i n t e g r a b i l ă î n r a p o r t c u ţx şi ţx , d e c i s e p o t d e f i n i m ă s u r i l e m şi m = U\L . A v e m X

difuză. funcţie

2

x

23-slab = 17 ^

2

x

2

E'

2

2

x

2

m = m

x

Pe de altă parte | m | < H-i +

H-2

m

= I

+

m . 2

| U\ fx == ^

şi

2

|m | <

I = Im + m | < |m | + |m 1 x

2

x

| U\[L

e

2

2

<

^

+

=

jx d e c i 2

jx . 2

U r m e a z ă c ă | m | + | m 1 = ^ + ţx d e u n d e | m \ = ^ şi | m 1 = ţx . D e d u c e m d e aici că m este a t o m i c ă iar m este difuză. S ă p r e s u p u n e m c ă m se s c r i e d e a s e m e n e a s u b f o r m a 2

2

x

î

2

2

a

m = m[ +

m , 2

u n d e m i e s t e a t o m i c ă i a r m e s t e d i f u z ă . A t u n c i m — m[ = m — m , d e c i | n i ! — m î | = | m' — m 1 . D i n i n e g a l i t ă ţ i l e ţ x = | m j — m î | < | m | + | m i | 2

2

2

î

2

x

2

307

MĂSURI A B S O L U T CONTINUE

şi (JL = j mg — m 1 <; | m | + | m 1 d e d u c e m c ă ţx e s t e a t o m i c ă şi d i f u z ă , d e c i ţx = 0 , a d i c ă | m[ — m | = | m — m | = 0, d e u n d e m[ = m şi m 2 = m 2 . 2

2

2

2

x

2

1

8. Operaţii liniare pe spaţiul J2?

E

F i e E şiF d o u ă s p a ţ i i B a n a c h ş i ţx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T . S ă c o n s i ­ d e r ă m s p a ţ i u l JL (JX) c u l < p < 00. F i e TJ o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă a s p a ţ i u l u i E

î n JF. S ă

<£ ([L) E

punem

1110111 = s u p 21 U(?

^)|,

Ai

m a r g i n e a superioară fiind considerată p e n t r u t o a t e funcţiile etajate bore­ liene f = £9^. x c u i d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi x e E, a s t f e l î n c î t N (f, ţx) < l . Avem i

(

i

%

v

W\\

<

III 17111 < o o .

într-adevăr, ||17|| = s u p

\U(Y>9M

^ ) | = sup| S

*«)!<

< s n S l f f ( 9 * *,) | = HI 17 P

E e z u l t ă c ă d a c ă ||| U | | | < 00, a t u n c i TJ e s t e c o n t i n u ă . I n e g a l i t a t e a ||171| < ||| Z7||| p o a t e fi s t r i c t ă . Exemplu : S ă c o n s i d e r ă m T — JS, ţx m ă s u r a L e b e s g u e , E = R, 1 < p < 00, .F = L (ţx); şi a p l i c a ţ i a c a n o n i c ă 17 : J2* (ţx) - > I > (ţx) c a r e f a c e s ă c o r e s p u n d ă f i e c ă r e i f u n c ţ i i f eJ2, (\i) clasa sa d e echivalenţă / d i n L (\i). E v i d e n t , a v e m ||17|| = 1 . S ă a r ă t ă m c ă ||| Î7||| =00. P e n t r u f i e c a r e n u m ă r n a t u r a l n s ă a l e g e m n i n t e r v a l e d i s j u n c t e (A^ ^ şi n n u m e r e (x ) ^ ^ astfel încît (i(^i ) = i şi = 1 pentru 1 *Ci^Cn. n p

v

p

lKi

i 1

i

n

n

n

P e n t r u funcţia etajată f = J] 9^

= t >

n

4

a v e m J 7 (f, ţ x ) = l şi £ 117( 9 ^ P

l*«l =

=t

=

( — ^ = ^ ~ ^ d e c i | | | t7|||> V »7 i - i 1 i-I n » . Deoarece 1 — > 0, a v e m l i m n v = 00 şi d e c i ||| TJ\\\ = cx>,

1

t=i

j9

»

n-*oo

î n u n e l e c a z u r i î n s ă a v e m e g a l i t a t e î n t r e ||Z7|| ş i ||| 17|||. P r o p o z i ţ i a 1 6 . în fiecare din următoarele două cazuri : 1) *

=

2) 1 < p < 00 şi F = avem egalitatea

\\U\\ =|||

C,

U\\\, oricare

ar fi aplicaţia

liniară

U: £? (fi)->.F. E

303

MASURI DEFINITE

PRIN

DENSITĂŢI

CAP. IV

Dacă = oo a v e m t o t d e a u n a |||Z7||| = oo, d e c i ||J7|| = ||| 17|||, f ă r ă n i c i o c o n d i ţ i e a s u p r a l u i p ş i F. S ă p r e s u p u n e m d e c i c ă ||17|| < o o . 1) D a c ă p — 1 , p e n t r u fiecare funcţie e t a j a t ă borelianâ f = 2 9^ x c u JMT (f, fi) < ; 1 , a s t f e l î n c î t m u l ţ i m i l e A s ă fie d i s j u n c t e , a v e m i

x

i

2 1^(9^)1 <SIU7H^i(?^«o

P0 = l l f f | l ^ i ( * ,

nXII^II,

d £ u n d e IU TJ\\\ < !| U\\ şi d e c i || U\\ = ||| 2 ) S ă p r e s u p u n e m c ă 1 < p < oo şi F = C. F i e f = 2 ? ^ . f u n c ţ i e b o r e l i a n â e t a j a t ă a s t f e l î n c î t m u l ţ i m i l e Ai s ă fie d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă ş i N (i fx) < 1 . P e n t r u f i e c a r e i e x i s t ă u n n u m ă r c o m p l e x 8^ c u | G J = 1 a s t f e l 0

v

y

i

încît atunci S l f f ( ? ^ * . ) i = ^ ( 2 ? ^ M J < 1 1 ^ 1 1 ^ , ( 2 ^ e,»,, (i) = = 11 W , ( E ? j * 4 , [x)<||Z7|| d e u n d e ||| I7|fl < « U\\ şi d e c i || CT|| = ||| U\\\. Observaţie. M u l ţ i m e a a p l i c a ţ i i l o r l i m a r e U : -£f(fx) - > F c u ||| f7||| < oo e s t e u n s p a ţ i u v e c t o r i a l ş i ||| U\\\ e s t e o n o r m ă p e a c e s t s p a ţ i u . 4

T e o r e m a 8 . Există un izomorfism TJ «-* TJ' între mulţimea aplica­ ţiilor liniare TJ : J>% (fx) - > F cu ||| Z7||| < oo şi mulţimea aplicaţiilor liniare TJ': £* (JJL) - > JH (E, F) cu \\\ TJ '||| < oo, dai de egalitatea U((px) = U'(
p



(p) şi

xeE,

şi avem \\\U\\\ = | | | Î 7 ' | | | . Fie : (ţx) - > -P o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă c u ||| Î7||| < oo. P e n t r u o r i c e < p e i ( ( x ) ş i o r i c e xeE a v e m cpxeX% (p). P e n t r u f i e c a r e (ţi), a p l i c a ţ i a U'( Î7(<pa?) a l u i î n -F e s t e l i n i a r ă ş i c o n t i n u ă : p

p

\U'( )x\ 9

-

î TJ( x)\

< || U\\N,( a>)

9

9

<\x\\\

< oo

U\\N,( ) 9

e

d e c i * 7 ' ( ? ) ^ ( ^ ^ ) Şi

|P'(?)I
A p l i c a ţ i a U :
f

a

7

(fx) î n i? ) e s t e l i n i a r ă şi d e a s e m e n e a ||| U' ||| < [ ||| Ujll.

i ° f ^ c ţ i e e t a j a t ă d i n <£ (\i) v

ţx) < ; L ş i fie e > 0 . P e n t r u f i e c a r e i e x i s t ă x eE {

< Atunci

1^(9^1 + — • n

cu cu

disjuncte = 1 şi

MASURI A B S O L U T CONTINUE

£

I P ' C P ^

* < > I

E

-

<

<

£

^111

I

^

'

* , ( £

^

?4c

K

*

I

«

€

I

=

*

•

)

309

Iuiv^

£

<

III

«

F

* « ) I

<

^111

deci U I W HI < HI U |||. A p l i c a ţ i a TJ -> TJ' a s t f e l d e f i n i t ă e s t e , e v i d e n t , l i n i a r ă . E a e s t e şi biunivocă. î n adevăr, dacă p e n t r u două aplicaţii U^z ->F a v e m TJ^yx)

=

X

U (9 )>

pentru < p e i

2

p

şi # e J E ,

atunci CTI(S?«'*I)

=

t 7

2

( S ? I * < )

p e n t r u orice funcţie de forma f = cu 9 * şi ^ e l Oum funcţiile de forma p r e c e d e n t ă formează o m u l ţ i m e densă în ^ (deoarece c o n ţ i n e f u n c ţ i i l e e t a j a t e ) d e d u c e m c ă TJ = TJ . U r m e a z ă c ă a p l i c a ţ i a TJ -> TJ' e s t e b i u n i v o c ă . E e c i p r o c , fie TJ': £ ({*) - > « £ ( # , .F) o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă c u |[[ TJ' \\\ < 00. 1

2

p

n

P e n t r u fiecare funcţie de f o r m a f = să

^

x

9i i

c n

e

p

j t

9 * - ^ ( l ) Şi

x eB i

punem ff(*)

= £ CT'
D e f i n i ţ i a l u i U(f) e s t e i n d e p e n d e n t ă d e s c r i e r e a l u i f s u b f o r m a de m a i sus. E s t e suficient să d e m o n s t r ă m acest f a p t doar p e n t r u f = 0 n

Să presupunem c ă £

x

9%W i

=

0.

F i e E u n s u b s p a ţ i u n - d i m e n s i o n a l a l l u i -E, c a r e c o n ţ i n e t o ţ i v e c ­ t o r i i x # ,..., x şi fie o b a z ă a l u i U * . F i e c a r e x se scrie x = n

îy

=

2

n

S «i» » i •=1

d

e

c

%

i

i

o =

£

9i«i =

£ f £ ? i « * / V n

D e o a r e c e y .--9Sf» s î n t l i n i a r i n d e p e n d e n ţ i , d e d u c e m £ 19

p e n t r u f i e c a r e j , d e c i 17' | ţ ]

£ i=l

V ( )x 9i

4

=

w

5;

lH

i, j

?

4

M

p f

f

S V%

* = °J

a

=

0

MASURI DEFINITE PRIN

3JQ

DENSITĂŢI

CAP. IV

F i e a c u m f = S 9 ^ # i ° f u n c ţ i e e t a j a t ă d i n Jl

cu A

E

disjuncte.

i

Avem f

1^)1

f

= IS^ (?^il<Sl^ (?^l«il)l<

Ili^'IW).

U r m e a z ă c ă TJ e s t e c o n t i n u ă p e n t r u s e m i n o r m a N pe mulţimea f u n c ţ i i l o r d e f o r m a £ < p x d i n J 2 (ţx). C u m a c e a s t ă m u l ţ i m e e s t e d e n s ă î n -£l(ţx), d e d u c e m c ă TJ s e p o a t e p r e l u n g i l a o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă 99

4i

a l u i £ ([L) E

î n F,

i

e

notată tot

TJ.

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e e t a j a t ă t = S 9 4 ®i d i n jg (ţx) c u A d i s j u n c t e şi N (t, ţ x ) < l , a v e m |f| £ 9 ^ \x \, d e c i -W,(S?^ n ) < 1 Şi E

p

i

t

21^(9^^)1 d e u n d e ||| U | | | <

-Si ^(9^)^il< SI ^ ' ( < P ^ l*«l)l< II #'111,

||| Z7'|||. D i n e g a l i t a t e a

U(y%) =

TJ'(y)x,

pentru

şi

xeE,

|||Z7'|H ^

II 0" II

v

yeJ2. (\i)

şi d i n p r i m a p a r t e a d e m o n s t r a ţ i e i , d e d u c e m

deci

II 0111 = III TJ' |||. C o r o l a r u l 1 . Există un izomorfism TJ ^ TJ' între mulţimea aplica­ ţiilor liniare ţi continue TJ: J> (yi) ->F şi mulţimea aplicaţiilor liniară şi continue TJ*: JP\\L) - > ~£{E, F), dat de egalitatea TJ(yx) = TJ'(y)x, pentru 9eJ? (ţx) si xeE, şi avem \\U\\ = || U ' | | . Se foloseşte p r o p o z i ţ i a 16. C o r o l a r u l 2 . Există un izomorfism TJ -> TJ' între mulţimea funcţiona­ lelor liniare si continue TJ: J> ([L) - > C şi mulţimea aplicaţiilor liniare TJ" :£ (ţL) ->'E' = £(E, O) cu \\\U'[\\ < 00, dat de egalitatea l

E

1

E

p

şi avem

U(yx) — TJ'(y)x, \\ TJ\\ = |||Z7'|||.

pentru

si

v

yeJ> (ţL)

xeE,

Se foloseşte propoziţia 16. Observaţie. î n c o n t i n u a r e v o m i d e n t i f i c a a p l i c a ţ i i l e TJ şi TJ' c a r e s e c o r e s p u n d p r i n e g a l i t a t e a TJ(yx) = TJ'(y)x şi v o m s c r i e TJ î n l o c d e TJ'. Cu această notaţie a v e m TJ(yx) =

TJ(y)x,

v

p e n t r u yeJl (\i.)

şi

xeE.

T e o r e m a 9 . Fie X un spaţiu Banach. Pentru orice aplicaţie liniară TJ: J? (ţx) - > X, l^Cp
|.9|d|m| <

raport

HI U\\\N

P

(9, (x), pentru

eZ{T).

9

Reciproc, orice măsură majorată m : JC( T) -> X absolut cu ţx pentru care există a > 0 astfel încît J9|d|m| <

0 ^ ( 9 , jx),

pentru

orice


continuă

în

MASURI ABSOLUT

poate

fi prelungită

\\\V\\\ < oo. Avem

în mod atunci

tru orice pereche de spaţii

unic

311

CONTINUE

la o operaţie

| m | = #jx cu N^(g

TJ :Jl {\x)

-> X

jx) = |||17|||, — + — = p q

y

Banach E şi F cu XdJl{E,F)

17(1) = ^ f d m ,

v

liniară

pentru

avem

cu

lşipenm

ofiJ({x)C^i( )t

f e^J(jx),

şi | f | d | m | < | | | I 7 | | | ^ ( f , jx),

pentru

fe^J(ji).

a) F i e TJ: o £ ( j x ) -> X o o p e r a ţ i e l i n i a r ă c u ||| < oo şi fie m r e s t r i c ţ i a l u i TJ l a s p a ţ i u l JC(T). S ă a r ă t ă m c ă m e s t e m a j o r a t ă . F i e A o m u l ţ i m e jx - i n t e g r a b i l ă şi (A ) o p a r t i ţ i e f i n i t ă a l u i A î n m u l ţ i m i jx - i n t e g r a b i l e . A v e m cp = 2 ? * . d e c i p

{

A

Z l f f ( ? J I < I I I C T I I l i r , ^ , jx). L u î n d m a r g i n e a superioară p e n t r u t o a t e partiţiile lui A în mulţimi (x - i n t e g r a b i l e o b ţ i n e m v(A) = s u p S 117(9^)1 < III III-2M?-!, Se verifică fără dificultate că funcţia d e m u l ţ i m e v este aditivă p e n t r u m u l ţ i m i l e jx - i n t e g r a b i l e şi c ă d a c ă s ? ^ i S ? B u n d e A c

=

k

s î n t m u l ţ i m i jx - i n t e g r a b i l e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi B s î n t m u l ţ i m i jx - i n t e g r a b i l e d e a s e m e n e a d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a t u n c i j

S

v(A )c i

i

=

Sv(5 )d , i

j

P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e jx - i n t e g r a b i l ă e t a j a t ă se d e f i n e ş t e f ă r ă a m b i g u i t a t e

de forma

9 = £9,.

c

i7

v(
n Fie 9 =

p

£

9 . e o f u n c ţ i e e t a j a t ă d i n ^ ( j x ) c u A disjuncte 4

%

şi fie s > 0 .

i9

formată din mulţimi

i

i= l

P e n t r u f i e c a r e i e x i s t ă o p a r t i ţ i e (B ) jx - i n t e g r a b i l e , a s t f e l î n c î t

a lui A

u

v(^i)

<

21 U(
Mi)

< II i

+

1

D

- v '

|

tJ

I+ —' n

A

C

Ă

°* =t= °>

\n d a c ă c = 0. t

A t u n c i , p e n t r u orice i a v e m v ( i ) K I < SI s

J I |o. 1 + -

= SI

«i) I + —

312

MĂSURI

DEFINITE

PRIN

DENSITĂŢI

CAP.

IV

deci

<

Iii 17||| J T , (2 9b,,. e )

+

ifV

t -

HI 1 7 I U ( S ? ^ ««, {*) +

«.

s fiind arbitrar, r e z u l t ă

P

J> ([L)J

| t > ( 9 ) l < i H Î 7 | l l ^ p ( < P , ix) E e z u l t ă că v se p o a t e prelungi la o funcţională liniară continuă p e n o t a t ă t o t v, care v e r i f i c ă î n c o n t i n u a r e i n e g a l i t a t e a W ? ) l <

IIIBr|||27 (9, p

jx),

pentru

9

6i»(ji).

D a c ă p = 1 , p e n t r u 9 > - 0 d i n ^ ( ţ x ) a v e m 0 ( 9 ) < ; ||| 17||| (1(9), a d i c ă « <

III 17 III li. P e n t r u orice f u n c ţ i e e t a j a t ă 9 = 2?^»

a

< d i n J2?(\L)

cu

avem I

U (

9

)

|< 21

U (

9

A

I

a , ) | < S 1 1 7 ( 9 ^ ) | |a<1 < S v ( ^ ) K | = t > ( 2 ? ^

disjuncte

I « l ) = « ( | ? I).

p

D e o a r e c e a p l i c a ţ i i l e J7 şi t> s î n t c o n t i n u e p e - £ ( ( x ) , i n e g a l i t a t e a 1^(9)1 < « ( l ? l ) r ă m î n e a d e v ă r a t ă p e n t r u orice ( p e i ( ( j i ) . C u m r e s t r i c ţ i a l u i v l a ^ ( T ) e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă , r e z u l t ă c ă restric­ ţ i a m a l u i U l a JC( T ) e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă şi a v e m | m | < v. D i n inegalitatea p

l9ld|m|
\\\U\\\N ( P

9

J

[

L)

r e z u l t ă c ă m e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţi. 6) E e c i p r o c , fie m : X( T ) X o măsură majorată există a > 0 cu | 91 d | m | <

a J 7 ( 9 , ţi), f

pentru

astfel

încît

9 e= JC( T ) .

D e o a r e c e | m | e s t e a b s o l u t c o n t i n u ă î n r a p o r t c u ţx, e x i s t ă o f u n c ţ i e l o c a l jx - i n t e g r a b i l ă g > 0 c u | m | = g\L. P e n t r u orice f u n c ţ i e 9 e JC( T ) avem l9|flfdfx = ţ | 9 | d | m | <

a J V ( 9 , ţx) p

deci &q(9,

| A ) < a < 00,

— + — = 1. p q a t u n c i 9 0 e j ? ^ ) , d e c i 9 e £ ( | m | ) şi

p


Urmează că dacă deci ^((tjc^lml). A v e m l9|d|m| <

1

1

e

atunci

<*N {
}

[x), p e n t r u orice

p

9e^ (ţx).

MASURI

S ă p u n e m U(y)

ABSOLUT

313

CONTINUE

p

= ^ 9dm, p e n t r u

(yi).

A p l i c a ţ i a TJ: -> X e s t e l i n i a r ă şi v o m a r ă t a c ă ||| < oo. 9 = «i o f u n c ţ i e e t a j a t ă c u A m u l ţ i m i d i s j u n c t e d i n
Pie

i

S R ? ^

«Jl =

«idm|<2;^9^aild|mi

= jjs^ l«id|m|=^l9|d|m|
r p

(9,

=

p)

deci

(II 17IU < a < o o . o) F i e a c u m TJ : J> ([L) - > X o a p l i c a ţ i e l i n i a r ă c u l|| I7|ll < oo şi fie m : JC( T) -> X m ă s u r a m a j o r a t ă c o r e s p u n z ă t o a r e . F i e E şi F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h c u I c i ( S , -F). Din prima parte a demonstraţiei deducem P

J | | d | m | < HI 17)11^(9, p),

pentru

9

Din există o
y

0

f l

jx)

a

şi

fejCJ(fx),

atunci

f f

deci VL).

q

Dacă C - f t (m) şi a v e m

jx),

«i)l<jl9|d|mj =^l9lffdpi<^ ( ,

III UHI = N (g,

fflre^ţx),

J|f|d|m| = J|f|jdji<2F,(I,

deci f e ^ ( m ) ,

tfN^g,

jx)<

de

unde«££([z)c

|||17||| N (f p

9

<x).

că |ţidm|<ţ|f|d|m|<

deci

£'(}*).

{

||| 17|||
Urmează

e

q

a

21*7(9^ de unde

9

partea a doua a demonstraţiei, cu a = |||t7|||, deducem că f u n c ţ i e l o c a l ţx - i n t e g r a b i l ă g >» 0 c u | m | = gp şi N (g jx) <; < ° ° . F i e 9 = YiVAi i f u n c ţ i e e t a j a t ă c u A d i s j u n c t e d i n <2? ţx) < 1 . A t u n c i , c a m a i s u s ,

aplicaţia

'dm

U(t)

este

|||l7|||2r,(f, continuă

= J fdm,

jx), p e n t r u fe^(jx),

pe

Deoarece

pentru f e j ^ f T).

J?jg(ţx) r e z u l t ă f e^Kţx),

i a r c e l e d o u ă o p e r a ţ i i TJ ş i ţ f d m s î n t c o n t i n u e p e U(t) = ^ f d m , şi t e o r e m a

este

demonstrată.

avem

p e n t r u orice

că avem

MĂSURI DEFINITE PRIN DENSITĂŢI

314

CAP.

IV

C o r o l a r . Fie X un spaţiu Banach. Dacă TJ: -> X este o apli­ caţie liniară şi continuă, atunci restricţia sa m la JC( T) este o măsură majorată, absolut continuă în raport cu ţx şi astfel încît | m | •< Reciproc, dacă m : JC (T) -> X este o măsura majorată astfel încît | m | < ; a ţ i pentru un a > 0, atunci m se poate prelungi în mod unic la o aplicaţie liniară şi continuă TJ: <£\[L) -> X. Avem atunci \m\ = gy. cu (flS p) l|C| si pentru orice pereche de spvţii Banach E si F cu Xd d-£(E, F) avem l£ (\i)C:£ (m) şi

IIClip.

= =

E

E

TJ(t) =

J fdm,

pentru f e £

E

(fx).

T e o r e m a 1 0 . Fie ţx o măsură scalară, E şi F două spaţii Banach, Z un subspaţiu al lui F[ normant pentru F, şi TJ : J£ ([L) - > F, 1 ^.p < o o , o aplicaţie liniară vu ||| Î7||| < o o . Există atunci o funcţie u : T - > Jl{E, Z) cu următoarele proprietăţi: 1) funcţia | u | aparţie lui JP(\L) şi avem E

N (xi,

[L)

a

2) funcţia <

U(t),

= IHCIII,

u este Z -slab z >

=^

«fkfe—+ — = 1 ;

p q (x -integrabilă şi

local

< u(t)î(t),z

> dţx,

pentru

avem iej2, (\L)şizeZţ E

3) dacă p este o ridicare a lui J?°°((x), se poate alege u în mod unic [x -aproape peste tot, astfel ca p [ u ] = u . Dacă p = 1 , s e # o a t e aZegre u astfel ca p ( u ) = u ; 4) funcţia u are valori în JL(E, F) în fiecare din următoarele cazuri : a ) F = Z'; b ) pentru {TJ(cpx);

fiecare

cpeJC(T),\

xeE,

acoperirea

convexă

| < p | d | ( x | < 1 } este relativ

şi echilibrată

compactă

a

mulţimii

în F pentru

topo­

logia G(E, Z). Fie m r e s t r i c ţ i a l u i TJ l a JC (T). C o n f o r m t e o r e m e i 9 , m e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă şi a v e m | m | = g\y.\ c u N (g, ţx) = ||| Î 7 | | | . D a c ă p = 1 , a t u n c i | m | < ||| Î7||| | (x|. A v e m a p o i « ^ ( f x ) c J ? i ( m ) şi Q

Z7(f) =

Fie V : T -+ £(E, teorema 3. Avem | m | = t o t şi d e c i M

N (V , Q

M

dm,

pentru

I^JB%(\L).

Z') f u n c ţ i a c o r e s p u n z ă t o a r e l u i m şi ţx p r i n | F | | ( x | d e c i \V (t)| = g(t) \i - a p r o a p e p e s t e m

m

jx) =

N

Q

(g,

L) =

[

\\\U\\\.

D a c ă l u ă m u = V , din teorema 3 d e d u c e m că u are t o a t e proprie­ tăţile dorite. C o r o l a r . Pentru orice aplicaţie liniară şi continuă TJ :Jl (\i.)->F există o funcţie u : T ->Jl (E, Z') cu următoarele proprietăţi : 1) | u | e « £ ° ° ( f x ) şi JMu, {x) = | | l 7 | | ; M

E

MASURI A B S O L U T CONTINUE

2) funcţia <

astfel

U(î),

u este Z -slab z>

local

= ^
315

fx -integrabila

z>d[L,

pentru

şi leJ2} (p)

şizeZ;

E

3) dacă p este o ridicare a lui j£°° (ţx), se poate alege u în mod unic ca p(u) = u ; 4) funcţia u are valori în Jl(E, F) în fiecare din cazurile următoare: a) F = ' Z ' ; b ) pentru

fiecare

xeE,

acoperirea

convexă

TJ(
< U{t), în

acest

şi echilibrată

relativ

compactă

a

mulţimii

în F

pentru

Z). u r m ă t o a r e este reciprocă teoremei 10. 11* Fie $ şi F două spaţii Banach, Z un subspaţiu al lui F' F, u : T - > j£* (E, F) o funcţie Z -slab local ţx -integrabilă CU 1 Z' astfel încît să avem 0 0

z>

= ^
caz

z>d[i,

pentru

f e ^ £ ( f x ) şi

zeZ.

avem | | | î 7 | | | < ^ ( u , fx). v

(ii) Avem U(i)eF pentru orice teJ2. (p) în fiecare din următoarele cazuri : 1) F = Z ; 2) u este simplu ţi-măsurabilă; în particular F este de tip numărabil; 3) pentru fiecare xeE există o familie local numărabilă JC = (-E^)?<5* de mulţimi compacte disjuncte cu T — \JE \i -neglijabilă, astfel încît, pentru fiecare j e J, acoperirea echilibrată şi convexă a mulţimii {u (t)x; teKţ} să fie relativ compactă în F pentru topologia a(F, Z). (iii) în fiecare din următoarele cazuri | u | este p-măsurabilă şi avem E

1

i

|||*7|||

\f)'

1) există o ridicare p a lui ^°°({x) astfel încît să avem p [ u ] = u ; 2) E este de tip numărabil şi există un şir (z ) în Z normant pentru 3) E este de tip numărabil şi u este simplu local ţx -măsurabilă, acest caz avem n

U(î) = ^n(t)t(t)dp, 4 ) u este local [x -integrabilă. U(
pentru în acest caz


IeiJ((x); avem 9eiJ((x).

F; în

MASURI D E F I N I T E P R I N DENSITĂŢI

CAP. IV

S ă r e m a r c ă m m a i î n t î i c ă p e n t r u o r i c e f e J?g((x) şi o r i c e zeZ func­ ţia e s t e f x - i n t e g r a b i l ă . î n t r - a d e v ă r , a c e a s t ă f u n c ţ i e e s t e ^ m ă s u r a b i l ă şi *| < u f , Să

«>|d||i|<^|n||f||«|d||i|<|«|-y (u, t

{i)2T (f,

{x)
#

pimem Jf(f,

0) = ^ <

U

f, Z > d ( X .

A p l i c a ţ i a Z7(f): z - > M (f, 0) e s t e o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă este continuă deoarece *)l<Jl|d|ji|<|0|^ (n, f

d e c i U(t)eZ'

p e Z.

Ea

f x ) ^ ( f , (x)

şi |tf(f)|
J i ) ^ ( f , <x). v

A p l i c a ţ i a l i n i a r ă U : t - * î 7 ( f ) a l u i Jl şi a v e m

E

(jx) î n Z' e s t e l i n i a r ă şi c o n t i n u ă

< 17(î), z > = ( j < u f , z > d ţ x , p e n t r u f e ^ ( j x ) ş i

zeZ.

S ă a r ă t ă m c ă ||| Z7||[<; J V ( u , ţx). F i e f = 2 ? ^ ^ o f u n c ţ i e b o r e ­ l i a n â e t a j a t ă c u A d i s j u n c t e ş i N (t, ţ x ) < l . Atunci (prop. 2 , § 1 1 ) i

p

t

p

d e c i | | | Z 7 | | | < ^ ( u , jx). S ă c o n s i d e r ă m c a z u r i l e î n c a r e U a r e v a l o r i î n F. C a z u l F = Z' e s t e b a n a l . S ă p r e s u p u n e m c ă u e s t e s i m p l u (x - m ă s u r a b i l ă . î n a c e s t c a z , p e n t r u o r i c e f e j g g ( f x ) , f u n c ţ i a uf e s t e fx - i n t e g r a b i l ă şi a v e m < Uit), z > = ^ < uf, « > djx = < ^ uf djx, 2? > p e n t r u o r i c e te£%(p)

şi zeZ,

deci

CT(f) = C u ( « ) f ( O d j x e - P ,

pentru

orice

fe^([x).

S ă p r e s u p u n e m a c u m î n d e p l i n i t ă c o n d i ţ i a 3 d e l a p u n c t u l (ii). F i e xeE şi fie JC = (K,)J<=J O familie d e m u l ţ i m i c o m p a c t e disjuncte cu T — U K ţx - n e g l i j a b i l ă , a s t f e l î n c î t î n c h i d e r e a Aj a a c o p e r i r i i c o n v e x e şi e c h i l i b r a t e a m u l ţ i m i i { u ( J ) # ; t e l T J s ă f i e c o m p a c t ă î n JP p e n t r u t o p o ­ l o g i a o(F, Z). J

MASURI A B S O L U T CONTINUE

317

F i e
n

n

n

A =ri{y; n

|
y*Z*,

iei

> | < l } .

Atunci | < u (t) 9 (t) x, z > | < ; 1 , p e n t r u i e i şi i

« e Z

r

U r m e a z ă că p e n t r u orice n a v e m |<

U( x) 99Kn

* < > l < ^

y

|
«^IdlpKlpKJTJ

deci f7(9

9

X n

o;)e|| L|(ir ).JL cF. J

n

t l

Urmează apoi că U(yx)

= £P(9

9^ a?)eF. n

n E e l a ţ i a U(yx)eF s e d e d u c e a p o i p e n t r u o r i c e 9 e j £ ( T ) şi o r i c e xeE. D e a i c i r e z u l t ă c ă a v e m U(î)eF p e n t r u orice c o m b i n a ţ i e liniară 2 < P i # i c u <^ eJC(T) şi x eE şi a p o i , p r i n t r e c e r e l a l i m i t ă , p e n t r u orice îe£ ([L). S ă d e m o n s t r ă m a c u m e g a l i t a t e a ||| U\\\ = N (u jx). D e o a r e c e i n e g a ­ l i t a t e a HI U\\\ < ; ^ „ ( u , \L) a f o s t d e j a d e m o n s t r a t ă , r ă m î n e d e d e m o n s t r a t i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă , î n c a z u r i l e d e l a p u n c t u l (iii). D i n t e o r e m a 1 0 d e d u c e m c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e Z - s l a b l o c a l y. - i n t e g r a ­ b i l ă v : T -> J&E, Z') a s t f e l î n c î t ||| U\\\ = N (v, jx) ş i i

t

E

q

9

Q

< Z7(f), z > = ^ < vf, z > dţx, p e n t r u f G ^ ( J X )

încît

şi

zeZ.

î n p l u s , p e n t r u f i e c a r e r i d i c a r e p a l u i -£°°([x) p u t e m a l e g e v a s t f e l p [ v ] = v. A v e m a t u n c i

< u 90?, z > djx = V < v 9a?, z > d(x, p e n t r u

yeJC(T),

xeE

şi z e Z,

< u(t)x, z > = < v ( J ) # , 5; > ţx - a p r o a p e p e s t e t o t , p e n t r u f i e c a r e şi f i e c a r e zeZ, a d i c ă u = v. V o m a r ă t a c ă î n f i e c a r e d i n c a z u r i l e d e l a p u n c t u l (iii) a v e m | u (t) \ = = \v(t)\ (x - a p r o a p e p e s t e t o t , d e u n d e v a r e z u l t a c ă N (u, y.) = ||| I 7 | | | . D a c ă e x i s t ă o r i d i c a r e p a l u i -£°°([x) a s t f e l î n c î t p [ u ] = u , a t u n c i l u î n d v a s t f e l î n c î t s ă a v e m d e a s e m e n e a p [ v ] = u , d e d u c e m u(t) = \(t) ţx - a p r o a p e p e s t e t o t , d e c i \ u(t)\ = \ v(t)\ [ x - a p r o a p e p e s t e t o t ( a s e v e d e a proprietatea 4 a funcţiilor cu proprietatea d e ridicare, § 14, s a u demons­ t r a ţ i a propoziţiei 1 3 , § 17). deci xeE

q

MĂSURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

318

CAP. IV

D a c ă e s t e î n d e p l i n i t ă c o n d i ţ i a 2) d e l a p u n c t u l (iii), a t u n c i d e a s e m e ­ n e a r e z u l t ă \i(t) = v(t) [ x - a p r o a p e p e s t e t o t (a se v e d e a d e m o n s t r a ţ i a propoziţiei 14, § 17). S ă p r e s u p u n e m a c u m î n d e p l i n i t ă c o n d i ţ i a 3) d e l a p u n c t u l (iii). D e o a r e c e u e s t e s i m p l u jx - m ă s u r a b i l ă , p e n t r u f i e c a r e x e E f u n c ţ i a t - > u (t) x e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . P e n t r u o r i c e xeE şi o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KdT a v e m y xeJl%(\i) d e c i , c o n f o r m c o n d i ţ i e i (i), K

[

d|jx| < o o .

\u(t)x\

.K

E e z u l t ă c ă p e n t r u o r i c e xeE, f u n c ţ i a u(t)x e s t e l o c a l j x - i n t e g r a b i l ă ( d a r u n u e s t e n e a p ă r a t s i m p l u l o c a l jx - i n t e g r a b i l ă , d e o a r e c e p u t e m a v e a V | ii | d | | x | = + oo). S ă a l e g e m v a s t f e l î n c î t s ă a v e m

p[v] = u

pentru

JK

o a n u m i t ă r i d i c a r e p a l u i J?°°(jx). A t u n c i f u n c ţ i a t->\(t)x este de aseme­ n e a Z - s l a b jx - m ă s u r a b i l ă şi p [ v # ] =\x p e n t r u f i e c a r e xeE. Urmează c ă f u n c ţ i a t - > | v ( J ) # | e s t e jx - m ă s u r a b i l ă . D e o a r e c e | v | e s t e l o c a l jx - i n t e ­ grabilă, a v e m f

| v ( 0 * | d H < l * l C

JK

|v(*)|d||i| < o o ,

JK

p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K, l o c a l jx - i n t e g r a b i l ă şi a v e m ^
deci funcţia

z > djx = ^ < x(t)xy(t),

t->x(t)x

este Z

-slab

z > djx.

p e n t r u o r i c e xeE, zeZ şi yejg?(\L), în particular p e n t r u yeJt(T). U r m e a z ă c ă (ux) jx = (vx) jx p e n t r u f i e c a r e xeE. D i n t e o r e m a 4 d e d u c e m c ă |(u#)jx| = | u # | | ( x | şi |(v#)jx| = | v a ? | | j i | , d e c i | u # | | j x | = |va?||jx|; d i n p r o p o z i ţ i a 4 , § 1 7 , d e d u c e m că,\u(t)x\ = = \\(t)x\, jx - a p r o a p e p e s t e t o t p e n t r u f i e c a r e xeE. F ă c î n d x să parcurgă o m u l ţ i m e n u m ă r a b i l ă d e n s ă î n E, d e d u c e m c ă \u(t)\ = \v(t)\ jx - a p r o a p e peste tot. S ă p r e s u p u n e m , î n sfîrşit, c ă u e s t e l o c a l jx - i n t e g r a b i l ă şi s ă a l e g e m v de asemenea astfel încît p[v] = v p e n t r u o a n u m i t ă ridicare p a lui ^ ( j x ) . D i n e g a l i t a t e a u = v d e d u c e m c ă ujx = vjx. C o n f o r m t e o r e m e i 4 a v e m |ujx| = | u j |jx| şi |vjx| = | v | | j x | d e c i | u | |jx| = | v | |jx|, d e u n d e , c o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 4 , § 1 7 , \u(t)\ = \\(t)\ jx - a p r o a p e p e s t e t o t . Cu aceasta teorema este complet d e m o n s t r a t ă Observaţii. 1° D a c ă se c o n s i d e r ă c o n d i ţ i a (i') ^

|u(t)f(t)d|(i|
orice

leJl (\L), E

î n l o c u l c o n d i ţ i e i (i), se d e d u c e c a î n d e m o n s t r a ţ i a t e o r e m e i c ă o e x p l i c a ţ i e l i n i a r ă TJ : -££(jx) -> Z' a s t f e l c a < TJ(i), z > = [ < uf, z>

djx, p e n t r u f e ^ | ( j x ) şi

zeZ,

există

§ 18

M Ă S U R I A B S O L U T CONTINUE

|||î7|||<^(u,

319

n)
O b s e r v ă m c ă (i) i m p l i c ă ( i ' ) . 2° D a c ă a v e m î n d e p l i n i t e c o n d i ţ i a (i') şi u n a d i n c o n d i ţ i i l e d e l a p u n c t u l (iii), a t u n c i ||| Z7||| = J V ( u , fx). î n t r - a d e v ă r , d a c ă | | | t 7 | | | = o o , a t u n c i a v e m JV (u, fx) = o o . D a c ă IU < oo, a t u n c i se r a ţ i o n e a z ă ca în d e m o n s t r a ţ i a teoremei. C o r o l a r . Fie u : T -> jg* (E, F) o funcţie Z -slab local fx -măsurabilă si esenţial mărginită. Există atunci o aplicaţie liniară şi continuă TJ : J2 (jx)-^ U Z' astfel incit || Z 7 | | < ( u , \L) şi a

fl

E

<

t7(f), z > = \ < u f , z > dţx, pentru

îej2} (y)şi

zeZ.

E

Avem || 171| = JVQO(U, JX) în fiecare din următoarele cazuri : 1) există o ridicare p a lui J2?°(\L) CU p (u) = u ; 2 ) E este de tip numărabil şi există o mulţime numărabilă SczZ normantă pentru F; 3) E este de tip numărabil şi u este simplu jx -măsurabilă; 4) u este fx -măsurabilă. Avem TJ{t) eF pentru orice f e Jl (ţx) în fiecare din cazurile următoare : 1) F = Z'; 2) u este simplu fx -măsurabilă; în particular F este de tip numărabil; 3) pentru fiecare xeE există o familie local numărabilă (Kj) de mulţimi compacte disjuncte cu T — (J Kj \L -neglijabilă astfel încît pentru fiecare j , acoperirea convexă şi echilibrată a mulţimii {u(t)x; teK } să fie relativ compacte în F pentru topologia a(F,Z). S î n t e m a c u m în m ă s u r ă să d e m o n s t r ă m că n u există nici o ridicare a s p a ţ i u l u i J> (fx) c u 1 < p < o o , d a c ă [x n u e s t e a t o m i c ă . Să d e m o n s t r ă m întîi propoziţia următoare. P r o p o z i ţ i a 17. Fie ţx o măsură pozitivă şi fie spaţiul Jl (jx) cu 1 < [ p < o o . Orice funcţională liniară şi pozitivă pe J2? (ţx) este continuă. F i e TJ o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă p o z i t i v ă p e - £ ( p ) - S ă p r e s u p u n e m , p r i n a b s u r d , c ă TJ n u e s t e c o n t i n u ă . A t u n c i p e n t r u o r i c e neN există o funcţie / • - £ ( p ) c u J V ( / ) < l , / > 0 şi U(f )>n*. P e n t r u funcţia ţx-măsurabilă E

}

p

v

p

e

p

P

n

n

n

oo

1

avem

d e c i fe^iy.).

Dar u

(f)>~7

adică

# ( / „ ) > n, p e n t r u orice

TJ(f) = + o o , c e e a c e e s t e a b s u r d . A ş a d a r TJ e s t e c o n t i n u ă şi p r o p o z i ţ i a e s t e

n,

demonstrată.

320

MASURI DEFINITE P R I N DENSITĂŢI

CAP. IV

E e a m i n t i m c ă o r i d i c a r e l i n i a r ă a s p a ţ i u l u i <£?(\L) p : J> {p) -+J> (p) care are următoarele p r o p r i e t ă ţ i : 1. p ( / ) s / ; 2. / = g i m p l i c ă p ( / ) = p(g); 3. / > 0 implică p(/) > 0 ; p

4.

nici

este o aplicaţie

p

p ( a / +

pflf) =

ap(/) +

pp(sr).

/ = g î n s e a m n ă f(t) = g(t), ţx - a p r o a p e p e s t e t o t . Propoziţia 18. Fie p=f=Q o măsură neatomică. Atunci o ridicare liniară a spaţiului Jl (jx) cu 1 < ; p < o o .

nu

există

p

p

S ă p r e s u p u n e m p r i n a b s u r d c ă e x i s t ă o r i d i c a r e l i n i a r ă p a l u i J> (ţx). P e n t r u f i e c a r e t €= T , a p l i c a ţ i a / - > p ( / ) (t ) e s t e o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă p o z i ­ 0

Q

p

Q

t i v ă p e J> (jx) d e c i c o n t i n u ă . U r m e a z ă c ă e x i s t ă o f u n c ţ i e g(t ) e J2 , — + P 0

H — = 1 , astfel încît

J/fif « • ) d[x,

P (/) (*o) =

p e n t r u / e jp (|x).

î n a c e s t fel d e f i n i m o a p l i c a ţ i e t -> g(t) a l u i T î n i « ((jt) a s t f e l î n c î t P ( / ) ( 0 = J /fir (<) d[x, p e n t r u / e ^

(jx) şi * e T .

F i e X o m u l ţ i m e ţx - m ă s u r a b i l ă c u 0 < jx(JT) < o o şi s ă n o t ă m a = jx(2£) şi J . = teK, \\g(t)\\ <*C n} p e n t r u f i e c a r e neN. Deoarece < ° ° p e n t r u o r i c e l e T , a v e m K = KJ A , d e c i e x i s t ă u n n u m ă r N

q

n

n' eN

CU jx* ( J . - ) =j= 0 . F i e r u n n u m ă r î n t r e g a s t f e l c a N

p

r>a(n' + l) şi fie B ...,B s u b m u l ţ i m i [ x - m ă s u r a b i l e d i s j u n c t e a l e l u i JSTa c ă r o r r e u n i ­ u n e e s t e K şi a s t f e l c a îy

r

(B )

- . r D e o a r e c e m u l ţ i m i l e B a c o p e r ă p e K, e x i s t ă o m u l ţ i m e , d e e x e m p l u B x , a s t f e l c a ţx*(A - V\B ) =j= 0 . S ă c o n s i d e r ă m a c u m m u l ţ i m e a B\ = = {*; P ( ? B J (*) = 1 } . A t u n c i 5 * == B d e c i [L

1

= ... = L(B ) L

r

=

i

n

X

x

f

P e n t r u f u n c ţ i a / = (n

+ l)
avem

x

*M)

= ( » ' + 1) ^ , ( ? * ) - ( » ' + 1 )

P e d e a l t ă p a r t e , d e o a r e c e jx*(A«- f)B*) D a r d a c ă t e J . - f| ^ * > a t u n c i 0

(f T < °> d e d u c e m A

n

-

N

f

n ' + 1 = p ( ( n + 1)

(
şi a m a j u n s l a o c o n t r a d i c ţ i e . Propoziţia este astfel d e m o n s t r a t ă .

< II9(h) II, < » '

0

C a p i t o l u l SUME DE

MĂSURI.

$ 19. F A M I L I I S U M A B I L E D E

IMAGINI

DE

V

MĂSURI

MĂSURI

1. F a m i l i i s u m a b i l e d e m ă s u r i

pozitive

F i e ( p j . e i o f a m i l i a d e m ă s u r i p o z i t i v e p e T. D e f i n i ţ i a 1. Spunem că familia de măsuri pozitive (fi-Jiei este sumabilă, dacă pentru fiecare funcţie f din JC(T), familia de numere (^(f) )»e/ este sumabilă. * D a c ă f a m i l i a ( ţ i j e s t e s u m a b i l ă şi d a c ă p e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e / e j K ( T ) scriem iei aplicaţia / -> o măsură pozitivă

e s t e o funcţională liniară pozitivă p e JC(T), d e c i este p e T, p e c a r e o n u m i m suma familiei ([i^iei- Scriem iGI

P r o p o z i ţ i a 1. Dacă familia ( [ i j i e i este sumabilă, atunci pentru fiecare funcţie f eJC(T) familia de numere (t* (/) )
£ M/) iei

<

+ o o .

*) O familie ( x i ) j de elemente dintr-un spaţiu Banach X este sumabilă, dacă există xeX cu proprietatea că pentru fiecare e > 0, există o familie finită J CZ/ astfel încît oricare ar fi familia finită JZDJ să avem | ^ xi— x | < e . Spunem că x e s t e suma familiei ( x , ) j şi i e

e

e

i e

ieJ scriem x = ^

X{. Familia ( * i ) j este absolut sumabilă i e

dacă familia de numere pozitive

j

iei •este sumabilă. Orice familie absolut sumabilă este sumabilă. Pentru o familie sumabilă ( a ) de numere pozitive avem ^ * P 5 J » < + ° ° - * c ă familia nu este sumabilă, avem ^ a^ = ţ

a

iei = sup y , a,- = + o o . j c i iei 21. - c. 3638

=

S U

a

»e«/

D

*ei

i e J

322

SUME DE' MASURI. IMAGINI DE MASURI

CAP. V

S ă p r e s u p u n e m că, f a m i l i a (ft)*ei e s t e s u m a b i l ă . D a c ă / eJC(T) a t u n c i | / | eJC(T), d e c i f a m i l i a d e n u m e r e p o z i t i v e ( f t ( | / | este suma­ b i l ă . C u m p e n t r u f i e c a r e i a v e m | f t ( / ) | < ft(|/|)> r e z u l t ă c ă f a m i l i a d e n u m e r e pozitive (|ft(/)|)iei este sumabilă, adică familia d e n u m e r e (ft(/)) i este absolut sumabilă. S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă p e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e p o z i t i v ă / d i n JC{ T) avem r

i G

S>i(/) <

+ 0 0 .

iei D i n p r i m a p a r t e a d e m o n s t r a ţ i e i d e d u c e m c ă p e n t r u orice geJC(T), f a m i l i a (ft(
funcţie şi d e c i

e

£ft(X) < iei

sumabilă să avem 7

+ 0 0 .

S ă p r e s u p u n e m c ă f a m i l i a (ft)»ei e s t e s u m a b i l ă şi fie KciT o mul­ ţ i m e c o m p a c t ă . E x i s t ă o f u n c ţ i e c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t / : T ->- [ 0 , 1 ] e g a l ă c u 1 p e K. A v e m

E #)<SM/) < + 0 0 . Eeciproc, KczT avem

iei să presupunem £ ft(tf) iei

iei că pentru <

fiecare

mulţime

compactă

+00.

F i e / o f u n c ţ i e p o z i t i v ă d i n JC(T) şi fie K s u p o r t u l l u i / . A v e m / < l l / l l ? x d e c i ft(/)< ||/Hft(K) p e n t r u o r i c e i e i . A t u n c i

£ M / ) < £ l l / I I M * ) = 11/11

iei

iei

S

*ei

ftffl

< +

00.

Conform propoziţiei 1, familia (ft).=i este s u m a b i l ă . Exemplu. O r i c e m ă s u r ă a t o m i c ă \i >> 0 e s t e s u m a u n e i f a m i l i i s u m a bile de m ă s u r i pozitive. î n t r - a d e v ă r , fie a o f u n c ţ i e p o z i t i v ă d e f i n i t ă p e T, a s t f e l î n c î t s ă avem

Mf) = ieiS «(*)/(*) <+°° p e n t r u o r i c e feJC(T). P e n t r u f i e c a r e te T s ă n o t ă m c u ft m ă s u r a p r i n m a s a a(tf) p l a s a t ă î n p u n c t u l t: Mf)

= «(*)/(*),

P^tru

feJC(T)

P^tru

feJC(T).

Atunci Mf)

=

5>(/)i teT

definită

FAMILII SUMABILE D E MASURI

323

deci

n - S

v-t-

teT

2. I n t e g r a r e a

în raport

eu s u m a

unei familii

de măsuri

(fxj.ei o f a m i l i e s u m a b i l ă d e m ă s u r i p o z i t i v e şi

Fie

V-

P r o p o z i ţ i a 3 . Pentru

=

Y) iei

orice funcţie

V-r

f >> 0 semicontinuă

inferior

pe

T

avem iei într-adevăr, pentru J G 2 \i*(f)

şi J f i n i t ă

+

sup][](x (?)

= sup x(flf) =

i

(

= s u p s u p ^ ] ( x ( 9 ) = s u p sup5](xi(flf) = i

(/) = £ fx?(X).

= s u p l i m ][] (JL, (jf) = s u p 5] P r o p o z i ţ i a 4 . Pentru

avem

orice funcţie

f > - 0 definită

pe

T

avem

(**(/)> ! > ? ( / ) . *ei î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaT s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r g > /cp^ a v e m iei

şi o r i c e f u n c ţ i e

»ei

de unde ^•(/

9 j r

) =

inf \?ig)>

£

ii? ( / ? , ) .

iei

*e3+ Avem apoi [L*(f)

= s u p ( x * ( / ? ) > s u p s u p Yi ft* ( / ? * ) = s u p s u p ( £ (xj* (/cp*) E

= sup ( £ ^ ' ( / j J

c

l

= sup J < Z I

»eJ

=

5] %eJ

iei

unde =

=

s î n t m u l ţ i m i c o m p a c t e î n T i a r J p ă r ţ i f i n i t e a l e l u i I. Observaţii. P e n t r u o m ă s u r ă atomică pozitivă definită prin \i(f)= Yt / s - a u demonstrat anterior aceste propoziţii, s u b a

e

eer

forma

următoare =

£*(*)/(*) P ter

e

n

t

r

u

e

/ # +

a

P «**(/)> S W / W *er

P

e

n

t

r

u

/ > ° -

SUME

324

într-un

D E MASURI.

IMAGINI

T e o r e m a 1 . Bacă f este o funcţie \i-integrabilă definită pe T cu valori spaţiu Banach E sau în R, atunci, pentru orice i e i , funcţia î este

^-integrabilă,

fdftj

familia

este absolut

(fdn= ţ*i ^

CAP. V

D E MASURI

£

sumabilă

şi

fdft.

J ifcl I n t e g r a b i l i t a t e a l u i f î n r a p o r t c u m ă s u r i l e ft r e z u l t ă d i n i n e g a l i t ă ţ i l e p e n t r u orice i e i . D i n i n e g a l i t ă ţ i l e ( p r o p o z i ţ i a 4) :

E K f d f t | < y ; ( | f | d f t < f | f | d x = r | f | d j < + oo l

I

«e/U

ieiJ

A

J

rezultă c ă familia ^ f d f t j

J

este absolut

sumabilă.

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e cpe J£(T) ş i f i e c a r e xeE

avem

^ 9 0 ^ = ^ 9 dfx ja> = ( S J ? d f t j a ? = £ ^ 9 d f t j #

= x

A t u n c i p e n t r u o r i c e s u m ă f i n i t ă d e f o r m a fl = 5J V* i x eE i

£ ţ ^ d ^ . c

u

e

T

^( )

&

avem tei.'

D e o a r e c e m u l ţ i m e a 16 ( T) a a c e s t o r s u m e f i n i t e e s t e d e n s ă î n Jg} e x i s t ă u n ş i r ( g ) d e f u n c ţ i i d i n J6 (T) c o n v e r g e n t î n m e d i e c ă t r e f: E

E

w

E

lim( I f - g J d ^ O n-M) )

Rezultă, pe de o parte, că l i m \ g djx = \ f dfx w

n

J

J

iar p e d e altă parte, din propoziţia 4 deducem că Um£(jfiei J

S

n

|dft

= 0.

Atunci

£ [f d f t - 5] ( g »eiJ

ieiJ

w

£ ( Ctdft- \ dft

dft | = I i lieiVJ

X ( ( I - g . ) d(x 1 < £ I ((f - g„) 4

ie/J

I

ie/|J

9jl

J < £ i | f-g

M

<e*J

| dtx,

§ 19

FAMILII SUMABILE DE

MASURI

325

deci Um E ( g d i i = £ [ f d i v «-»»ieiJ ie/J C u m p e n t r u fiecare funcţie g a v e m n

n

^9nd[x = trecînd la limită

J^g d(x n

0

obţinem

şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţie. P e n t r u o m ă s u r ă a t o m i c ă , e g a l i t a t e a d i n e n u n ţ se s c r i e fd(x=

£ «(*)!(*). tei boreliană relativ

1

C o r o l a r . Pentru

orice mulţime V{A) =

£ \Li ie/

compactă

AaT

avem

(A).

î n t r - a d e v ă r , A e s t e \L - i n t e g r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 5 . 0 mulţime NaT este \i -neglijabilă, dacă si numai dacă este ^ -neglijabilă oricare ar fi ieI. D i n i n e g a l i t ă ţ i l e \L < \L r e z u l t ă c ă d a c ă N e s t e \L - n e g l i j a b i l ă , a t u n c i N e s t e [x.-neglijabilă o r i c a r e a r fi i e i . E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă \L*(N) = 0 p e n t r u o r i c e ieI. F i e KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi TJ o v e c i n ă t a t e r e l a t i v c o m p a c t ă a l u i K. D i n c o r o l a r u l p r e c e d e n t r e z u l t a t {

£

^(U)

= VL{U) <

+00.

iei

Fie

s > 0 ; e x i s t ă o p a r t e f i n i t ă Jal

astfel încît

*

i&J

F i e n n u m ă r u l d e e l e m e n t e d i n J. P e n t r u f i e c a r e ieJ, \L*(Kf)N) = 0, d e c i e x i s t ă o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă F c TJ a l u i Kf]N încît

avem astfel

4

2n n A t u n c i V = p | V e s t e o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă a l u i J C f | ^ Şi p e n t r u o r i c e t =i i e j a v e m \i (V) < • Atunci i

{

ie/

ieJ r

i&J

^

i£J

d e c i [x*(J5Tn^ ) = 0. E e z u l t ă c ă N e s t e ţx - n e g l i j a b i l ă .

*

^

SUME D E MASURI.

326

Observaţie.

IMAGINI

DE M A S U R I

CAP. V

P e n t r u o m ă s u r ă atomică definită prin

\i(f) =

£a(J)/(tf) teT

p e n t r u / e JC(T), o f u n c ţ i e / e s t e \L - n e g l i j a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă aL(t)f(t)=Q. Propoziţia 6 . 0 funcţie f definită pe T cu valori într-un spaţiu topo­ logic X este [L -măsurabilă dacă şi numai dacă f este [L -măsurabilă, oricare ar fi i e i . D i n i n e g a l i t ă ţ i l e JI (i r e z u l t ă c ă d a c ă / e s t e [L - m ă s u r a b i l ă , a t u n c i / este - m ă s u r a b i l ă , o r i c a r e a r fi i e i . E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă p e n t r u f i e c a r e i^I, funcţia / este ji - m ă s u r a b i l ă . F i e KdT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . D e o a r e c e {

4

4

£ M * ) tei e x i s t ă o p a r t e f i n i t ă Jal

= M * ) < + <~

astfel

încît

i&J

"

F i e n n u m ă r u l e l e m e n t e l o r l u i J. P e n t r u f i e c a r e i e j c o m p a c t ă K^K

a s t f e l î n c î t ^(K—K )

există o mulţime

< — — şi r e s t r i c ţ i a 2n

{

e s t e c o n t i n u ă . M u l ţ i m e a K' = p | JBT e s t e 4

lui / la

K

i

compactă, restricţia lui / la

ieJ

K'

9

e s t e c o n t i n u ă ş i ^(K—K )

<\i (K—K ) i

i

< ——, p e n t r u f i e c a r e 2n

iej.

Atunci V.(K-K')

=

Y

friK-K')

=

iei

Y, KiK-K')

+ Y, V-i(K-K')

ieJ

<

i&J

Urmează că / este p -măsurabilă. Observaţie. P e n t r u o m ă s u r ă a t o m i c ă orice funcţie este m ă s u r a b i l ă . Propoziţia 7 . Dacă funcţia f > • 0 este [L -măsurabilă şi nulă pe complementara reuniunii unui şir (A ) de mulţimi -integrabile, atunci n

J

«e/J

P u t e m p r e s u p u n e c ă şirul (A ) este crescător. P e n t r u fiecare neN f u n c ţ i a f = i n f (n, f

n

A

n

n

n

4

FAMILII STIMABILE D E MASURI

D a r şirul f Atunci

e s t e c r e s c ă t o r şi l i m f (t) -»°°

n

n

327

= s u p f (t)

=

n

n

f(t).

n

d

fd[L = s u p ţ / d { x = s u p Yt ţ / n d f t = s u p s u p £ ţ / * P i = n

*

= s u p s u p [f d n

«

J

n

)

(5] UeJ

n

iei)

= s u p ( fd J

J

C

I

)

UIJ

J

C

I

iejj

[L] = s u p £ ( / d f t = J «6JrJ J c J

£ [

fd^.

ii/J

P r o p o z i ţ i a 8 . Să presupunem câ T este numărabil la infinit. 0 Juncţie f definită pe T cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R este [L -integrabilă dacă şi numai dacă pentru fiecare i e i , funcţia i este ft -inte­ grabilă şi Y \ | * | d f t < + o o . iei J Dacă f este - i n t e g r a b i l ă , d i n t e o r e m a 1 r e z u l t ă c ă f e s t e JJL - i n t e ­ g r a b i l ă p e n t r u fiecare i e i . D i n propoziţia 4 rezultă c ă 4

Ş ^ * | f | d f t < p f | d j x < + oo E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă f e s t e ft - i n t e g r a b i l ă p e n t r u o r i c e i e I şi c ă \ |f|d{x. < + o o . A t u n c i f e s t e ^ - m ă s u r a b i l ă p e n t r u ieiJ deci f este -măsurabilă. D i n propoziţia 7 rezultă că f J Conform

fiecare i e i ,

|f|d{i=£|f|dft<+oo. iei

criteriului de integrabilitate, funcţia

f e s t e [L - i n t e g r a b i l ă .

3 . F a m i l i i s u m a b i l e de m ă s u r i v e c t o r i a l e

(mjiei

F i e X u n s p a ţ i u B a n a c h şi o familie d e m ă s u r i m a j o r a t e p e T c u v a l o r i î n X. S p u n e m că familia d e m ă s u r i vectoriale este sumabilă, d a c ă familia d e m ă s u r i pozitive este sumabilă. E e z u l t ă c ă d a c ă f a m i l i a (mji^i este s u m a b i l ă , a t u n c i p e n t r u orice f u n c ţ i e fe JC(T), f a m i l i a (m^/) d e elemente din X este absolut suma­ bilă. într-adevăr, d a c ă / e j£ (T), atunci

(Im^ei

S |m.(/)KE *ei

K I ( / ) < + ° ° -

iei

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e feJ£(T)

să n o t ă m

m(/)=

£ iei

(mjiei

m.if).

328

SUME

DE MASURI.

IMAGINI

DE

CAP. V

MASURI

A p l i c a ţ i a / - > m ( / ) a l u i JC( T) î n X e s t e l i n i a r ă . E a e s t e m a j o r a t ă d e m ă s u r a p o z i t i v ă ţx = Yi I i I ie/ m

|m(/)|=

:

£

m

i ( / )

< £ | m . ( / ) | < E lm.KI/1) =

ie/

ie/

«e/

d e c i m e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T ş i | m | < ţx. M ă s u r a m se n u î n e ş t e s u m a familiei ( m j i e i d e m ă s u r i vectoriale şi s e n o t e a z ă ie/ I n e g a l i t a t e a | m | < ţx s e s c r i e a c u m £ m J < £ |mj ie/ I ie/ şi i n e g a l i t a t e a e s t e î n g e n e r a l s t r i c t ă , c h i a r p e n t r u o f a m i l i e f i n i t ă d e m ă s u r i T e o r e m a 2 . Fie E şi F două spaţii Banach a&tfel încît să avem Xa dJ>(E, F). Bacă t: T -> E este o funcţie [x 'integrabilă, atunci funcţia t este m -integrabilă

şi m -integrabilă, 4

este absolut sumabilă

oricare

ar fi i e i iar familia

^fdn^j

şi ^fdm =

Din inegalitatea | m |

| ] J f d m.

ţx şi | m 1 < ; ţx r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a f e s t e m - i n t e ­ 4

g r a b i l ă şi m - i n t e g r a b i l ă p e n t r u f i e c a r e i e i . F a p t u l c ă f a m i l i a

d m |

4

este absolut sumabilă rezultă d i n inegalităţile :

Slffdm, < s ( l * | d | m | = ( | f | d i < i

ie/IJ

P e n t r u fiecare funcţie

+cx>.

(

ie/J

J


şi f i e c a r e xeE

avem

9

9

feS

d

m

<

)

•

=

t

e

&\

d

H

9

=

- ( $

9

d

( s

m

<

) )

*

= l i m V9 o?d I V m j = l i m V U a j d m ^ V Vcptfdm,. J VieJ J ^ieJj ie/J J

C

I

D e d u c e m d e aici ^ c p M m = ^ c p d m j # = = | £ ^«pdm^x = £

^
=

FAMILII SUMABILE

DE

MASURI

329

A t u n c i p e n t r u o r i c e s u m ă f i n i t ă d e f o r m a 9 = ^ 9 , . a?, c u eJC(T) 9j

Xj^E

şi

avem ^gdm== F î e (g ) u n

J ^ g d m , .

şir d e s u m e finite d e f o r m a

w

Y

9 i

x

i

cu

eJC(T)

9i

şi

i c o n v e r g e n t î n m e d i e c ă t r e f p e n t r u m ă s u r a JJL :

x e E, j

lim(|f -g |djjL =

0.

w

| m | < ; JJL d e d u c e m

Din inegalitatea

că

l î m C | f - o . | d | m |

=

0

n-+x> J

şi d e c i

lim \ g d m =

\fdm.

n

P e de altă parte deducem că

lim S ( | f - g . | d | m | = 0 . (

Atunci

J£Xfdm -£(g dm i

heiJ

n

= I £ ( (f - g») d m,

i

|«e/J

ie/J

<^K(f-~g )dm n

<

<5](|f-g |d|m |

<

n

i e i IJ

i

ieij

deci ieiJ P e n t r u funcţiile g

n

ieiJ

avem

V g d m = 5 ] Undm,. n

J Trecînd la limită

iei J

obţinem ^fdm

(m^A)

=

Yi

J

f

d

m

i -

C o r o l a r . Pentru orice mulţime borelianâ ) i este absolut sumabilă şi i e

m(A)=

m

S i(^)*ei

relativ

compactă

A,

familia

330

SUME D E MASURI. IMAGINI DE

MASURI

CAP. V

P r o p o z i ţ i a 9 . Bacă o mulţime NdT este m -neglijabilă, oricare ar fi i e i , atunci N este mneglijabilă. î n t r - a d e v ă r , JV e s t e m - n e g l i j a b i l ă p e n t r u f i e c a r e i e i d e c i ( p r o p o ­ z i ţ i a 5) e s t e [L - n e g l i j a b i l ă . D i n i n e g a l i t a t e a |m| < (x r e z u l t ă c ă N e s t e m -neglijabilă. P r o p o z i ţ i a 10. Fie f o funcţie definită pe T cu valori într-un spaţiu topologic E. Dacă f este -măsurabilă, oricare ar fi ieI, atunci f este m -măsurabilă. î n t r - a d e v ă r , / e s t e (x - m ă s u r a b i l ă , d e c i m- m ă s u r a b i l ă . P r o p o z i ţ i a 1 1 . Să presupunem câ T este numărabil la infinit ji fie f o funcţie definită pe T cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R. i

i

Bacă atunci

î este m^ -integrabilă, f este m -integrabilă

oricare

ar fi i e i şi dacă

J]\|f|d|m. | < + o o , iei J

şi

^fdm = J ^ f d m , . î n t r - a d e v ă r , d i n p r o p o z i ţ i a 8 r e z u l t ă c ă f e s t e jx - i n t e g r a b i l ă i a r d i n i n e g a l i t a t e a |m| < ; [x r e z u l t ă c ă f e s t e m - i n t e g r a b i l ă . D i n t e o r e m a 2 d e d u c e m a t u n c i că

Cfdm= £ (fdm,. J iei J § 20. I AI A G I X I D E

MĂSURI

1. D e f i n i ţ i a i m a g i n i l o r d e

măsuri

F i e jx o m ă s u r ă pozitivă p e T, S u n s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t şi o f u n c ţ i e a : T - > S. S e p u n e p r o b l e m a d e f i n i r i i u n e i m ă s u r i v p e S, c u a j u t o r u l f u n c ţ i e i a şi a m ă s u r i i (x d e p e T. E s t e n a t u r a l s ă i m p u n e m c a m ă s u r a v s ă fie a l e a s ă î n a ş a fel î n c î t f u n c ţ i i l e / d e f i n i t e p e S, i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u v s ă fie a c e l e a p e n t r u c a r e fo OL s î n t i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u jx. î n p a r t i c u l a r , p e n t r u f u n c ţ i i l e fe X(S) t r e b u i e c a f u n c ţ i i l e / o a să fie i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u (x. D e f i n i ţ i a 1. Spunem câ o funcţie a : T - > S este proprie pentru măsura jx, sau jx -proprie, dacă : 1) a este (x -măsurabilă-, 2) pentru orice funcţie feJC(S), funcţia fo OL: T - > R este jx -inte­ grabilă. D a c ă m e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T, s p u n e m c ă a e s t e m - p r o p r i e d a c ă OL e s t e | m | - p r o p r i e . Exemple. 1° D a c ă jx e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă m ă r g i n i t ă (în p a r t i ­ c u l a r , d a c ă (x e s t e c u s u p o r t c o m p a c t ) , a t u n c i o r i c e f u n c ţ i e (x - m ă s u r a b i l ă

IMAGINI

DE

MASURI

331

a : T - > 8 e s t e \L - p r o p r i e . î n t r - a d e v ă r , p e n t r u f^JC(8), f u n c ţ i a / o a e s t e ţi - m ă s u r a b i l ă şi

orice funcţie

*!/(«(*) | d ^ ( l ) < H/Hii^T) < +

continuă

oo,

d e c i / o a e s t e (x - i n t e g r a b i l ă 2) D a c ă a : T - > 8 e s t e o f u n c ţ i e continuă proprie ( p e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaS, a (K) e s t e c o m p a c t ă ) , a t u n c i a e s t e p r o p r i e p e n t r u o r i c e m ă s u r ă \L p e T. î n t r - a d e v ă r , a este m ă s u r a b i l ă p e n t r u orice m ă s u r ă [ i p e T ; p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e c o n t i n u ă / e l ( S ) c u s u p o r t u l K, f u n c ţ i a fo a e s t e c o n t i n u ă p e T şi a r e s u p o r t u l c o m p a c t , c o n ţ i n u t î n m u l ţ i m e a c o m p a c t ă a ( 2 L " ) , d e c i fo OL e s t e i n t e g r a b i l ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă \L p e T. F i e X u n s p a ţ i u B a n a c h , m o m ă s u r ă majorată p e T , c u v a l o r i î n X şi oc: T 8 o funcţie m -proprie. P e n t r u orice funcţie / e l ţ i S ) , funcţia reală definită pe T este m -integrabilă. Să p u n e m * - 1

_1

n(f)

=

[f(*(t))dm(t)

Şi v(/)=J/(«(*))d|m|(f). A p l i c a ţ i a / - > v(/) e s t e o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă şi p o z i t i v ă p e 3£(S), d e c i e s t e o măsură pozitivă pe A p l i c a ţ i a / -*• n ( / ) a l u i î n X e s t e liniară şi majorată d e v : |n(/)| =

K/(«(*))dm(*)|<ţ|/(«(f))|d|m|< I •'

I

•)

<^|/|(a(*))d|m| =

v(|/|)

d e c i n e s t e o măsură majorată pe 8 cu valori în X. D e f i n i ţ i a 2 . Fie m o măsură majorată pe T cu valori în X şi OL: T - > 8 o funcţie m -proprie. Măsura majorată n definită pe 8 cu valori în X , prin egalitatea n(/)=|/oadm, .se numeşte imaginea Aşadar, avem

măsurii

m jpri» funcţia

/doc(m) = ţ / o a d m ,

/e^(flf) OL şi se notează

pentru

feJC{8).

a(m).

SUME DE MASURI. IMAGINI DE MASURI

332

M ă s u r a n = oc(m) e s t e m a j o r a t ă d e m ă s u r a d e c i | n | < v, a d i c ă |a(m)|
CAP. V

pozitivă

v =

oc(|m|),

Observaţii. 1° I n e g a l i t a t e a | a ( m ) | < a ( | m | ) p o a t e fi s t r i c t ă . Exemplu. S ă c o n s i d e r ă m T = {0, 1 } , 8 = { 0 } , jx = e — e şi a : T - > 8 s i n g u r a a p l i c a ţ i e p o s i b i l ă a l u i T î n 8. F u n c ţ i a oc e s t e e v i d e n t jx - p r o p r i e . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e 2 ( S ) , f u n c ţ i a / o a e s t e c o n s t a n t ă şi 0

^/doc(jx) = ^ ( / o a ) d j x =

e (/oa) 0

d e c i a(jx) = 0 şi | a(jx)| = 0 . D a r |jx| = e + z şi p e n t r u 0

o r i c e f u n c ţ i e fy^O

t

|J/da(|jx|)=ţ(/oad|jx| =

e ^ / o o c ) = / ( a ( 0 ) ) - / ( a (1)) =

e (/oa) +

d i n JC(8)

=/(«(<>)) + / ( a ( l ) ) =

0

x

0

avem 2/(0)

d e c i a(| jx|) ^ 0 şi d e c i | a(jx) | < a(| jx|). 2° M ă s u r a <x(m) a r e v a l o r i î n a c e l a ş i s p a ţ i u X c a şi m ă s u r a m . D e e x e m p l u , d a c ă jx e s t e p o z i t i v ă , a t u n c i oc(jx) e s t e p o z i t i v ă ; d a c ă jx e s t e r e a l ă , a t u n c i oc(jx) e s t e r e a l ă , i a r d a c ă jx e s t e c o m p l e x ă , a t u n c i a(jx) este complexă.

2. Integrala superioară în raport c u i m a g i n e a u n e i m ă s u r i

pozitive

F i e jx o m ă s u r ă pozitivă pe T, a : T 8 o f u n c ţ i e jx - p r o p r i e şi v = jx(a). A v e m v > - 0. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e feJC(8) avem ţ/(*)dv(«)

=^/(a(*))djx(*).

Vom a r ă t a că această relaţie r ă m î n e a d e v ă r a t ă p e n t r u integralele s u p e r i o a r e , o r i c a r e a r fi f u n c ţ i a / > - 0 d e f i n i t ă p e S. L e m a 1. Dacă f > - 0 este o funcţie semicontinuă inferior definită pe 8, atunci *f(s)dv(s)=^f(*(t))

djx (t).

F i e ( 0 ) i e / f a m i l i a f i l t r a n t ă a t u t u r o r f u n c ţ i i l o r d i n JC(S) c a r e v e r i ­ fică i n e g a l i t a t e a 0 < g < / . A v e m t

i

/ ( * ) = s u p gi (s) iei deci / ( a (t)) = s u p & ( a ( t ) ) iei a d i c ă fo a = s u p g o a. iei {

pentru

te

T

IMAGINI

DE

333

MASURI

1

A p l i c a ţ i a t - > (&( a (f )))<€/ a I n i T î n R 6 s t e ţx - m ă s u r a b i l ă . î n t r a d e v ă r , fie KaT o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m ­ p a c t ă K'dK a s t f e l î n c î t \L(K—K') < e şi a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i a l a K' s ă fie c o n t i n u ă . A t u n c i a p l i c a ţ i a t -> g (cn(t)) e s t e c o n t i n u ă p e K' d e c i şi f u n c ţ i a t - > ( f t ( a ( < ) ) ) i i e s t e c o n t i n u ă p e K'; r e z u l t ă c ă a c e a s t ă a p l i c a ţ i e e s t e [x - m ă s u r a b i l ă . Conform propoziţiei 1, § 1 6 , a v e m {

e

[

fo ocdjx =

s u p f go i

ocdjx.

Dar /dv = sup^&dv

şi

j j & d v = ^ jr,.o a d j *

deci ^ /dv = ^ /oadjx.

L e m a 2 . Pentru

orice funcţie

/ ! > 0 definită

pe 8 cu suportul

compact

avem * / ( « ) d v ( « ) > ^ / ( « ( * ) ) dtf*). Fie > 0 o funcţie s e m i c o n t i n u ă inferior p e 5 astfel încît Din lema 1, rezultă că jj* * ( < ) d v ( t ) = ^

fee3

+

>

/.

k(«(*))d|i(f) > ţ j * / ( a ( * ) ) d | i ( < ) .

Luînd în m e m b r u l stîng marginea inferioară p e n t r u toate (8) c u # > / o b ţ i n e m

funcţiile

(j* / ( « ) d v ( « ) > ţ|* / ( a ( « ) ) d | i ( « ) , deoarece / este cu suport compact. Observaţii. D i n l e m a 2 r e z u l t ă că : 1 ) D a c ă / e s t e v - n e g l i j a b i l ă şi c u s u p o r t c o m p a c t , a t u n c i fo OL e s t e \i - n e g l i j a b i l ă . 2 ) D a c ă NaS e s t e v - n e g l i j a b i l ă şi r e l a t i v c o m p a c t ă , a t u n c i OL~ (N) e s t e jx - n e g l i j a b i l ă . L e m a 3 . Dacă f > 0 este o funcţie v -integrabilă şi cu suport compac definită pe 8, atunci funcţia f o OL este fx -integrabilă şi Î

/(s)dv(s) = F i e ( / J u n şir d e f u n c ţ i i d i n l i m [ \f (s) n

n-*oo J

C/(a(*))d<x(*). astfel încît să a v e m

-/(«)|dv(«)

=0.

334

SUME D E MASURI.

D e o a r e c e f u n c ţ i i l e \f —f\

IMAGINI

DE

MASURI

CAP. V

au suportul compact, din lema 2 rezultă

n

Um C |/.(a(*))-/(a(*))|d^(*) = 0. n-*oo )

F u n c ţ i i l e / o a s î n t [i - i n t e g r a b i l e , d e o a r e c e f ^JC(8). / o a e s t e [i - i n t e g r a b i l ă şi n

n

Urmează că

V / o a d f i . = lim ( / o a d f i . = lim \ / « d v = \ / d v . n

J

J

J

}

Observaţie. D i n l e m a 3 r e z u l t ă c ă d a c ă Aci 8 e s t e r e l a t i v c o m p a c t ă şi v - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i m u l ţ i m e a OL" (A) c T e s t e [L - i n t e g r a b i l ă şi 1

v(A)

î n t r - a d e v ă r ,
1

=

[L(OL- (A)).

9_j

L e m a 4 . D a c # / > • 0 este o funcţie definită pe 8, atunci ^

f(s)ăv(s)

[L -mă&urabilă,

cu suport

compactj

= J * /(«(*))d^(«).

P e n t r u f i e c a r e n u m ă r n a t u r a l n s ă p u n e m f = inf ( n , / ) . F u n c ţ i a f e s t e v - m ă s u r a b i l ă , m ă r g i n i t ă şi c u s u p o r t c o m p a c t , d e c i e s t e v - i n t e ­ grabilă. Conform lemei 3 a v e m n

n

fn°

Ş i r u l (f )

este crescător, / = sup f

n

n

adfi.

şi fo OL= s u p / o a. L u î n d n

n

marginea

n

superioară în ambii m e m b r i ai egalităţii obţinem ^ /dv =

^ / o adj!.

L e m a 5 . Fie H şi K două spaţii compacte şi OL o aplicaţie continuă a lui H pe K. Dacă h ; > 0 este o funcţie semicontinuă inferior pe H, atunci funcţia f'(s) = mîji(t) este semicontinuă inferior pe K. a(t)

= 8

S ă o b s e r v ă m m a i î n t î i c ă p e n t r u f i e c a r e p u n c t s <==. K e x i s t ă u n p u n c t t eH a s t f e l î n c î t o:(t ) = s şif'(s) = h(t ).într-adevăr, {s} e s t e o m u l ţ i m e î n c h i s ă î n K i a r a e s t e c o n t i n u ă p e H, d e c i OL~ (S) e s t e î n c h i s ă î n H şi d e c i c o m p a c t ă . D e o a r e c e h e s t e i n f e r i o r s e m i c o n t i n u ă şi OL~ (S) e s t e c o m p a c t ă , h îşi a t i n g e m a r g i n e a i n f e r i o a r ă p e OL~ (S). E x i s t ă d e c i u n p u n c t t e a ( s ) a s t f e l î n c î t h(t ) = inf h(t), d e c i f'(s) = h(t ). 8

8

8

Î

Î

_ 1

1

8

8

s

CL(t)

=

S

Fie acum a u n n u m ă r real oarecare. Să a r ă t ă m că mulţimea A = = {s \ s e K, f (s) > a} e s t e d e s c h i s ă , d e u n d e v a r e z u l t a c ă / ' e s t e s e m i ­ c o n t i n u ă i n f e r i o r . F i e « e l . A v e m f'(s ) > a d e c i h(t) > a, p e n t r u o r i c e te OL~ (S ). Deoarece h este inferior semicontinuă, exista o v e c i n ă t a t e V a l u i OL~ (S ) a s t f e l î n c î t s ă a v e m h(t) > a p e n t r u o r i c e teV. î n plus, p u t e m 0

Î

Q

1

0 J

0

IMAGINI DE MĂSURI

335*

c o n s i d e r a m u l ţ i m e a V s a t u r a t ă p e n t r u r e l a ţ i a d e e c h i v a l e n ţ ă <x(t) = <x(J'). A t u n c i a (V) e s t e o v e c i n ă t a t e a l u i s . P e n t r u o r i c e « e a ( F ) e x i s t ă t s a (s) a s t f e l î n c î t h(t) =f'(s). A v e m d e c i / ' ( s ) > a p e n t r u orice s e a ( F ) , deci % e s t e u n p u n c t i n t e r i o r a l l u i A şi d e c i A e s t e d e s c h i s ă . U r m e a z ă c ă / ' e s t e s e m i c o n t i n u ă inferior. L e m a 6 . Dacă f ! > 0 este o funcţie cu suport compact definită pe atunci - 1

0

jj*/(«)dv(«) După lema 2

= J*/(«(*)) d|i(«).

avem ^/(•)dv(«)>^/(«(*))d|i(0.

E ă m î n e d e d e m o n s t r a t i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă . F i e KciS suportul l u i / . D e o a r e c e K e s t e o m u l ţ i m e v - i n t e g r a b i l ă şi c o m p a c t ă , m u l ţ i m e a . A = OL~ (K) e s t e [L - i n t e g r a b i l ă . D e o a r e c e a e s t e \i - m ă s u r a b i l ă , A e s t e reuniunea unei mulţimi - n e g l i j a b i l e N şi a u n u i şir (H ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e din T , disjuncte d o u ă cîte d o u ă , astfel încît restricţia lui a l a f i e c a r e H s ă fie c o n t i n u ă . P e n t r u f i e c a r e n, m u l ţ i m e a K — x(H ) e s t e c o m p a c t ă î n S. S ă OO 00 n o t ă m B = U H şi B' = K . Deoarece mulţimile H sînt disjuncte X

n

n

n

n

n

n

n=l

n

n=l

d o u ă cîte două, a v e m

a (B) = £ '

(vezi figura).

A - ^"Vir;

Fig. 1

Deoarece ^ /oad(x = ^

(/oa)cp d(x B

v a fi s u f i c i e n t s ă a r ă t ă m c ă p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r Ti d e f i n i t ă p e T , a s t f e l î n c î t f(oL(t))y (t) <; h(t), avem B

*/(«)dv(«)<(j**(*)d|i'(*) deoarece, luînd în p a r t e a d r e a p t ă marginea inferioară p e n t r u toate func­ ţ i i l e h > ( / o a ) y d i n 3 (T) v a r e z u l t a B

+

^ / d v < ^ (fo a)

336

SUME

DE

MASURI.

IMAGINI

DE

MASURI

CAP.

V

şi deci /dv =

/ o adfx.

P e n t r u aceasta este suficient să a r ă t ă m * > ( / o a ) ? s d i n 3 ( T ) p u t e m găsi o f u n c ţ i e / ' toarele proprietăţi:

că p e n t r u orice funcţie definită pe 8 cu u r m ă ­

+

l ) / < / '

deci

J * / d v < j*/'dv;

i

c*

*

3) / ' o a <

h, jx - a p r o a p e p e s t e

D e aici v a

/ ' d v = i / ' o adfx.

tot, deci j / ' o a d ( x <

fedfx.

rezulta ^*/dv<

ş i l e m a v a fi d e m o n s t r a t ă . F i e deci A > ( / o a ) ^ o funcţie g ! > / d i n 3 ( # ) şi s ă p u n e m

\

Adjx

din

3+

( T ) . Să

luăm

o

funcţie

+

g(s),

dacă s e i f —

inf

dacă s e B ' = U

0,

dacă

K

n

— U

oc(# ). n

s&K.

B ă m î n e să verificăm că / ' î n d e p l i n e ş t e cele t r e i condiţii d e m a i sus : 1) / < / ' . î n t r - a d e v ă r : p e n t r u « e B ' a v e m f(s) = / ( < x ( J ) ) o r i c a r e a r fi te a " ( « ) , d e c i f(s) = - i n f /(a(l))

8

a(t) =

8

p e n t r u seK — B' a v e m f(s) *Cg(s) = f'(s); p e n t r u smK a v e m f(s) = / ' ( « ) = 0. 2) / ' a r e s u p o r t u l c o m p a c t K şi e s t e v - m ă s u r a b i l ă . într-adevăr : / ' e s t e v - m ă s u r a b i l ă p e K—B', fiind egală p e a c e a s t ă m u l ţ i m e f u n c ţ i a s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r g; / ' este v-măsurabilă p e fiecare m u l ţ i m e K , în b a z a lemei 5 , deci e s t e v - m ă s u r a b i l ă p e B'; / ' e s t e v - m ă s u r a b i l ă p e QK, f i i n d n u l ă p e a c e a s t ă m u l ţ i m e . D e o a r e c e m u l ţ i m i l e K — B', B şi QK s î n t v - m ă s u r a b i l e , r e z u l t ă / ' este v-măsurabilă. 3 ) / ' ( « ( < ) ) < *(*) p e n t r u teN. într-adevăr: p e n t r u tmA a v e m a(t) s K d e c i / ' ( a ( t ) ) — 0 < h(t); p e n t r u teB, n o t î n d s = a ( J ) , a v e m t e a " (*), d e c i / ' ( a ( J ) = / ' ( * ) <*(*). Cu aceasta l e m a este d e m o n s t r a t ă . n

1

cu /'

că

<

IMAGINI

Propoziţia 1. Pentru

DE

orice funcţie

337

MASURI

f > - 0 definită

pe 8

avem

^ / W d v ( « ) = J*/(«(*))d|i(*). P e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă K a 8 \

/ ? * dv

=

jj

(f°

a v e m , c o n f o r m l e m e i 6,

°0
jj

fo

a

dţx,

şi deci r*

r* fo a dţx.

E ă m î n e de d e m o n s t r a t inegalitatea contrară. F i e H d T o mulţime com­ p a c t ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e ţx-neglijabilă NciK şi u n ş i r c r e s c ă t o r ( I T J d e m u l ţ i m i c o m p a c t e a c ă r o r r e u n i u n e e s t e jff— # a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i a l a f i e c a r e H s ă fie c o n t i n u ă . A t u n c i m u l ţ i m i l e K = a(jff ) s î n t c o m p a c t e , OL(H — N) e s t e r e u n i u n e a ş i r u l u i c r e s c ă t o r ( J f , ) şi H ci OL' (K ). Deducem n

v

n

1

n

\

( / o a )

= sup (

H

(fo OL)

J

n

n

(f o a )

superioară

pentru

(^)dţx =

}

= sup^ /
n

toate

d/v. mulţimile

c o m p a c t e H CZ T,

^*/°adţx< ^*/dv şi c u a c e a s t a p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Pentru orice mulţime AaS avem ^(A)^^(OL^(A)).

3 . Integrarea în raport cu imaginea unei măsuri pozitive F i e ţx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi a : T 8 o f u n c ţ i e ţx-proprie. Propoziţia 2 . O funcţie î definită pe 8 cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R este a(ţx) -neglijabilă, dacă şi numai dacă funcţia to OL definită pe T este ^.-neglijabilă. î n t r - a d e v ă r , n o t î n d v = a(ţx) a v e m ^ deci v*(|I|) = 0 dacă

|f| d v = ţj* | f | o o c d ţ x = ^

|foa|dţx

şi n u m a i d a c ă j i * ( | / o a | ) = 0 .

SUME D E MASURI. IMAGINI DE MASURI

338

CAP. V

C o r o l a r u l 1. O mulţime A a 8 este v-neglijabilă dacă si numai dacă mulţimea OL' (A) este p-neglij abilă. C o r o l a r u l 2 . Dacă ţx este concentrată pe o mulţime M C T, atunci OL (ţx) este concentrată pe mulţimea OL(M)C1S. S ă n o t ă m N = 8 — OL(M). Atunci a (JV) este disjunctă de M d e c i a ~ ( J T ) e s t e [x-neglijabilă. U r m e a z ă c ă N e s t e <x(ţx) - n e g l i j a b i l ă , d e c i a(fx) e s t e c o n c e n t r a t ă p e a ( J f ) . C o r o l a r u l 3 . Dacă OL este continuă şi dacă 8([L) este suportul lui jx atunci mulţimea OL(8(\L)) este suportul lui a({x) : S(a([x)) = a(S([x)). 1

_ 1

7

1

7

D i n c o r o l a r u l 2 r e z u l t ă c ă a(ţx) e s t e c o n c e n t r a t ă p e <x(#([x)) d e c i şi p e OL(8([L)). S u p o r t u l # ( v ) a l l u i a(ţx) e s t e c e a m a i m i c ă m u l ţ i m e închisă p e c a r e e s t e c o n c e n t r a t ă v = a([x), d e c i S(v) CZ a (#([x)). P e de altă parte, mulţimea a ( ^ — #(v)) este o mulţime deschisă d e o a r e c e a e s t e c o n t i n u ă , şi e s t e ^-neglijabilă, d e o a r e c e 8 — # (v) e s t e v - n e g l i j a b i l ă . U r m e a z ă c ă o T ^ / S - 8( v)) CZ T — #([x) d e c i #([x) C o T ( # ( v)) d e u n d e a (#(ţx)) CZff ( v ) . D e o a r e c e # ( v ) e s t e o m u l ţ i m e î n c h i s ă , a v e m , d e a s e m e n e a , OL(8(fx)) CZ # ( v) şi d e c i # ( v ) = <x(#([x)). P r o p o z i ţ i a 3 . O aplicaţie f a lui 8 într-un spaţiu topologic 6 este OL (^-măsurabilă dacă şi numai dacă funcţia f o OL : T ~>0 este \i-măsurabilă. S ă n o t ă m a(ţx) = v şi s ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă / e s t e v - m ă s u r a ­ bilă. F i e H cz T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . D e o a r e c e a este [x-măsurabilă, există o m u l ţ i m e [x-neglijabilă N CZ H şi u n ş i r (E ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s ­ j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă a c ă r o r r e u n i u n e e s t e H — N, a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i OL l a f i e c a r e H s ă fie c o n t i n u ă . M u l ţ i m i l e K = a (H ) s î n t p ă r ţ i c o m ­ p a c t e a l e l u i S. P e n t r u f i e c a r e n e x i s t ă o m u l ţ i m e v - n e g l i j a b i l ă M CZ K şi u n şir (C ) de mulţimi compacte, disjuncte două cîte două, a căror r e u n i u n e e s t e K — M şi a s t f e l î n c î t r e s t r i c ţ i a l u i / l a f i e c a r e m u l ţ i m e C„ s ă fie c o n t i n u ă . M u l ţ i m i l e OL~ (M ) s î n t a t u n c i [x-neglijabile, m u l ţ i m i l e ~ ( C ' n w ) s î n t [x-integrabile şi r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i fo OL l a f i e c a r e m u l ţ i m e -~ (G ) fi H e s t e c o n t i n u ă . D e o a r e c e H e s t e r e u n i u n e a m u l ţ i m i i [x-neglijabile N [j U a " (M ) _ 1

1

n

n

n

n

N

n

nm m

n

N

m

1

71

a

1

(x

1

nm

n

1

TI

- 1

şi a f a m i l i e i n u m ă r a b i l e ( a (C ) f] H ) , r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a fo OL e s t e [x-măsurabilă. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă / o a e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă . F i e K CZ 8 o m u l ­ ţime compactă. Mulţimea a (K) e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă , d e c i e x i s t ă o m u l ţ i m e [x-neglijabilă N(Z a (K) şi u n ş i r (H ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a c ă r o r r e u n i u n e e s t e a " (K) — N, a s t f e l î n c î t r e s t r i c ­ ţ i i l e f u n c ţ i i l o r fo OL şi a l a f i e c a r e H s ă fie c o n t i n u e . A t u n c i m u l ţ i m i l e K = oL(H ) s î n t c o m p a c t e . E e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i h = / o a e s t e c o n t i n u ă p e H d e c i îşi a t i n g e m a r ­ g i n e a i n f e r i o a r ă p e f i e c a r e m u l ţ i m e c o m p a c t ă a " (s) f\ H c u seK . P e n t r u f i e c a r e seK există t e a (s) f| H a s t f e l î n c î t f'(s) = inîh(t) = h(t ) =/(<*(*.)) =/(«). a (0 = 8 ntfn

n nm

- 1

- 1

n

1

n

n

n

n

1

n

- 1

n

s

n

s

n

|

20

IMAGINI

DE

MASURI

339

D a r , c o n f o r m l e m e i 5 , f u n c ţ i a / ' e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r , deci v-măsurabilă p e fiecare m u l ţ i m e c o m p a c t ă K ; u r m e a z ă că restricţia l u i / l a f i e c a r e m u l ţ i m e K e s t e v - m ă s u r a b i l ă , d e c i / e s t e v - m ă s u r a b i l ă pe U K n

n

Dar

1

1

H C o T (K ), n

H

d e c i o T (K -

n

1

U K)

= a " (K) -

n

n - 1

a ( i C ) — U - f f „ = JT, d e c i K — U n

U oT* (K ) n

C

n

2£ e s t e n

v-neglijabilă.

Urmează

că

/

n

e s t e v - m ă s u r a b i l ă p e K şi d e c i / e s t e v - m ă s u r a b i l ă . Corolar. O mulţime A CI 8 este OL (\L)-măsurabilă dacă şi numai dacă OL' (A) este \L-măsurabilă. Teorema 1. O funcţie t definită pe 8 cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R este OL (^-integrabilă dacă şi numai dacă funcţia f o a este p-inte­ grabilă. în acest caz avem 1

într-adevăr,

f

jj f da(ţz) = ^ f oadfx. este

a((x)-măsurabilă

d a c ă şi n u m a i d a c ă

[x-măsurabilă. D i n egalitatea

rezultă

că ^

f

^ |f|da((x) = ^ | f o a | d ( x |f | da(jx) < + oo a((x)-integrabilă f a([x)-integrabilă.

d a c ă şi n u m a i d a c ă j

foa |f 6

este

<x| d[x < +

Aşadar este d a c ă şi n u m a i d a c ă fo OL e s t e ţx-integrabilă. Să presupunem acum că este E x i s t ă u n şir ( f ) d e f u n c ţ i i d i n JC (T) ( s a u d i n JC(T)) d e f o r m a J ^ cu ^ e l f T ) , n

E

iei

a ? e £ , I finită, astfel încît să a v e m (

lim [ |f-fjda(ix)

= 0

deci Iun | ^ f d a ( n ) - J f . d a ( n )

lim da (fx) - ^f da([x) =0 lim (f da(fx) =Cfda(fx) n

de unde

n

P e de altă

parte

J(|foad[x — ^f o ad[x |
=

n

J|I-f.|oadpi=J|I-t

1 1

|d«(rt

deci

lim \ f o ad[x = V f o adfx. n

n-foo

J

J

SUME D E MĂSURI. IMAGINI DE MASURI

340

P e n t r u cp e JC (8) şi x e E

CAP.

V

avem

^
ţjf da([x) - i j ^ o a d i x . w

Trecînd la limită

obţinem ^ f da([x) = ^ f o a d f i .

Corolar. O mulţime AczS este <X.([L)-integrabilâ mulţimea OL" (A) ( Z T este p-integrabilă. în acest caz

dacă

şi numai

dacă

1

«(|x)

(A)

=

(xfa"

1

{A)).

Propoziţia 4 . Fie [x o măsură pozitivă pe T. O funcţie p-măsurabilâ OL 1 T —> 8 este [L-proprie dacă şi numai dacă pentru orice mulţime compactă KciSj mulţimea OL~ (K)CZ8 este p-integrabilă. D a c ă a e s t e [x-proprie, o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kcz8 e s t e a ([/^-inte­ grabilă, deci a ( X ) este [x-integrabilă. E e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă a " (!£) e s t e p - i n t e g r a b i l ă o r i c a r e a r fi m u l ţ i m e a c o m p a c t ă K a S. F i e f^JC(S) şi fie K s u p o r t u l l u i / . M u l ţ i m e a A = a"" (K) e s t e jx-integrabilă, deci 1

_ 1

1

1

ţj*

|/(a(*))|dpi(f) = < II/II ^

^

\f(0L(t))\q>x(«(0)d|&(<)

<


F u n c ţ i a / o a este d e a s e m e n e a [x-măsurabilă deci este [x-integrabilă. E e z u l t ă c ă a e s t e [x-proprie.

4. I n t e g r a r e a î n r a p o r t c u i m a g i n e a u n e i m ă s u r i

majorate

F i e X u n s p a ţ i u B a n a c h şi m o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T c u v a l o r i î n X. F i e E ş i F d o u ă s p a ţ i i B a n a c h a s t f e l î n c î t X ( Z « £ ( J E , F). F i e 8 u n s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t şi a : T - > 8 o f u n c ţ i e m - p r o p r i e . S ă c o n s i d e r ă m m ă s u r a <x(m) p e 8 c u v a l o r i î n X , d e f i n i t ă p r i n e g a l i t a t e a /da(m) =

V/oadm,

feX{S).

IMAGINI

DE

MĂSURI

T e o r e m a 2 . Fie funcţia f : 8 - > E. 1) Dacă funcţia f o a este m-neglijabilă,

341

atunci funcţia

î este

at.(m)-negli-

jabilâ; 2) Dacă f o a este m-măsurabilă, 3) D a c a f o a este m-integrabilă,

atunci f este a ( m ) - m ă s u r a b i l ă ; atunci f este a (m)-integrabilă şi

= ^foadm.

^fda(in)

A v e m | a ( m ) | < a (| m | ) . D a c ă f o a e s t e m - n e g l i j a b i l ă , a d i c ă | m (-negli­ jabilă, a t u n c i f este a ( | m | ) - n e g l i j a b i l ă , deci f este | a ( m ) |-neglijabilă, a d i c ă a (m)-neglijabilă. L a fel se d e m o n s t r e a z ă c ă d a c ă f o a e s t e m - m ă s u r a b i l ă , a t u n c i f e s t e a (m)-măsurabilă. Din inegalitatea ^ | f | d | a ( m ) | < ^ |f|da(|m|) % > •

|foa|d|m| .

rezultă că dacă f o a este |ml-integrabilă (adică m-integrabilă), a t u n c i funcţia f este | a (m)|-integrabilă, adică a(m)-integrabilă. S ă p r e s u p u n e m c ă f o a este m - i n t e g r a b i l ă , a d i c ă j m [-integrabilă. A t u n c i f e s t e a ( | m | ) - i n t e g r a b i l ă şi a ( m ) - i n t e g r a b i l ă . E x i s t ă u n şir (f„) d e f u n c ţ i i d i n JC (8) d e f o r m a £

t

i

4

i

i

l i m ( |f - f . | d a ( | m | ) = 0 . D e o a r e c e |<x(m) | < [ a ( | m | ) ,

da(m) -

avem

J f » d a ( m ) J = j ^ (f -

f „ ) d a (m)

<

<jj|f-ljd|a(m)|<j|î-f.|da(|m|) deci U m J l „ d a ( m ) = (j f d « ( m ) .

w—• 00

Pe de altă parte

1$

f oadm — [ to n

adml =

^ (f — f » ) o a d m

<^ |f-f.|o«d|m|= J

|f-fjda(|m|)

<

342

SUME DE MASURI. IMAGINI DE MĂSURI

CAP. V

deci lim \ f o a d m = V f o a d m . n

n-*oo J

D a c ă
şi xeE

J

avem

^ cp#da ( m ) = | | j cp d a ( m ) j a? = ^

cp o a d m j x

=

= ^ (cpo a ) # d m = |j (
^ f da(m) = ( f o adm. n

n

P r i n trecere la limită obţinem

jj

f d a (m) = ^ f o a d m .

5. P r o p r i e t ă ţ i l e i m a g i n i l o r d e m ă s u r i P r o p o z i ţ i a 5 . Fie fx şi v două măsuri pozitive pe T. Dacă fx < ! v şi dacă a : T - > 8 este o funcţie v-proprie, atunci a este p-proprie şi *a((x) < a ( v ) . î n t r - a d e v ă r , a este v-măsurabilă deci este (x-măsurabilă; p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e 0, a v e m ^ cpda((x) = |j cpo adfx

(poadv = ^ 9da(v)

adică a([x)
pe T. O dacă este

funcţie proprie

a ( ( x + v) = a((x) + a ( v ) . î n t r - a d e v ă r , a e s t e jx + v - m ă s u r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă e s t e fx-măs u r a b i l ă şi v - m ă s u r a b i l ă . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e l ( S ) , f u n c ţ i a fo a e s t e p + v - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă fo a e s t e (x-integrabilă şi v - i n t e g r a b i l ă . E e z u l t ă c ă a e s t e (x + v - p r o p r i e , d a c ă şi n u m a i d a c ă e s t e (x-proprie şi v - p r o p r i e .

IMAGINI

F i e feX(S).

DE

343

MASURI

Avem

/ d a ( p + v) = ( / o a d ( { i + v) = ( fo a d p + [ fo a d v =

y

/ d a ([L) +

d a (v) =

y

d ( a ( [L) + a (v))

deci a(p +

v) == a ( p ) +

a(v).

P r o p o z i ţ i a 7. .Fie n n i n două măsuri majorate pe T cu valori spaţiu Banach X. Bacă OL: T-> 8 este o funcţie proprie pentru m şi n, atunci OL este proprie pentru m + n şi a ( m + n) = a ( m ) +

a

într-un pentru

(n).

Propoziţia rezultă din inegalitatea |m + n | < ; | m | + |n|. Egalitatea o t ( m + n) = a ( m ) + a ( n ) se d e m o n s t r e a z ă c a î n p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă . P r o p o z i ţ i a 8 . Fie m o măsură majorată pe T şi a un scalar. Bacă a : T - > 8 este m-proprie, atunci OL este am-proprie şi a (am) =

aa(m).

Demonstraţia este imediată. P r o p o z i ţ a 9 . Fie [L o măsură reală pe T. 0 funcţie OL : T - > 8 este ţL-proprie, dacă şi numai dacă este proprie pentru [L şi [L_. în acest caz avem +

a(jx) = a ( j x ) — a(jx_). +

într-adevăr, dacă a este este proprie pentru măsurile

p-proprie, atunci

( i = i ( | ( i | + p) şi ^ = i ( | [ x | +

este

| p | - p r o p r i e , deci

p).

E e c i p r o c , d a c ă a e s t e p r o p r i e p e n t r u ţx şi p _ , a t u n c i e s t e p r o p r i e p e n t r u m ă s u r a | p | = [L + p _ , a d i c ă e s t e p - p r o p r i e . E g a l i t a t e a +

+

a(jx) = ( a j x ) — +

a(pj

r e z u l t ă d i n e g a l i t a t e a [L = p — p _ , f o l o s i n d p r o p o z i ţ i i l e 5 şi 7. Observaţie. M ă s u r i l e OL([L ) şi a((x_) s î n t p o z i t i v e d a r , î n g e n e r a l , s î n t d i f e r i t e d e p a r t e a p o z i t i v ă şi p a r t e a n e g a t i v ă a m ă s u r i i OL([L). într-adevăr, dacă a m avea +

+

( a ( j x ) ) = a ( j x ) şi (a(jx))_ = a(jx_), +

+

atunci ar rezulta | a ( p ) | = |a((i)| < a(|(i|). P r o p o z i ţ i a 1 0 . Fie [L = [L şi p sînt reale. O funcţie este proprie pentru [L şi [L . în x

2

±

2

a(|p|);

dar

s-a

arătat

că

putem

[L + i[L o măsură complexă pe T , OL : T ->8 este [L-proprie, dacă şi numai acest caz avem x

0L([L) =

2

QL([L ) + 2

i*([L ). 2

avea unde dacă

344

CAP.

V

A f i r m a ţ i a r e z u l t ă d i n i n e g a l i t ă ţ i l e | fx | < ; | [L |, | JX | < ; | jx | şi | [L | <; <^ I ^11 + I fa I* E g a l i t a t e a r e z u l t ă f o l o s i n d p r o p o z i ţ i i l e 6 şi 8. P r o p o z i ţ i a 1 1 . Fie jx şi v două măsuri reale pe T. Funcţia OL : T - > 8 este proprie pentru [L şi pentru v dacă şi numai dacă OL este proprie pentru s u p (fx, v) şi pentru inf (ţx, v). în acest caz avem x

2

s u p (<x(jx), < x ( v ) ) < a ( s u p ([x, v)), inf (a([x), <x(v))><x (inf (ţx, v)). Afirmaţia rezultă din

inegalităţile

| [ x | < | s u p ([x, v ) | , | v | < | s u p ([x, v ) | < | [ x | +

I v|,

şi d i n i n e g a l i t ă ţ i l e s i m i l a r e p e n t r u inf (ţx, v). Avem

apoi

s u p (a([x), a ( v ) ) = -i- (rf([x) + a ( v ) + | a(ţx) -

a(v)|)

=

«(|

v|)

Z

= ^ («(^ + Z

v) + | « ( ( x -

v) | ) <

(a((i +

i

v) +

-

=

Z

= « ^

([x + v + I [*. -

v|)J = a ( s u p ( [ x , v))

şi, d e a s e m e n e a , inf (a([x), a ( v ) ) = -

s u p (-<x(jx), -

= - s u p ( a ( - ţx), < x ( - v)) > = a ( - s u p ( - [x, -

-

<x(v)) =

a ( s u p ( - (X, -

v)) =

v)) = a ( i n f (fx, v)).

P r o p o z i ţ i a 1 2 . .Fie T, -B Jrei spaţii local compacte, fx o măsură pe T şi OL: T - > 8 o funcţie ^-proprie. O funcţie p : 8 -> este oi(\i)-proprie dacă şi numai dacă funcţia p o a este aproprie. în acest caz avem

r

( p o a ) ([x) = p(a([x)). î n t r - a d e v ă r , d i n p r o p o z i ţ i a 3 r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a p : 8 - > i2 e s t e a ( ţ x ) - m ă s u r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă p o a e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e JC(R) a v e m ( / d p) o a = / o ( p o a) d e c i / o p e s t e a ( ţ x ) - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă fo (p o a) e s t e ţx-integrab i l ă . E e z u l t ă c ă p e s t e a(ţx)-proprie d a c ă şi n u m a i d a c ă p o a e s t e ţx-proprie.. S ă p r e s u p u n e m c ă p o a e s t e ţx-proprie şi fiefeJC(R). Atunci / d ( P o a ) ([x) = ^ / o ( P o a ) d [ x = | ( / o P ) o d ( i

=

^/opda( x)=ţ/dp(a([x)) l

de unde (Poa)({x) =

P(a(jx)).

=

IMAGINI DE MASURI

345

C o r o l a r u l 1. Fie m o măsură majorată pe T , a : T - > 8 o funcţie m-proprie şi funcţia p : 8 -> R. Dacă funcţia p o a : T -> R este m-proprie, atunci p este oL(m)-proprie şi

(P«a) ( m ) = p ( a ( m ) ) . A f i r m a ţ i a r e z u l t ă d i n i n e g a l i t a t e a | a ( m ) | < ; a ( | m |). D a c ă p^a e s t e m - p r o p r i e , a d i c ă | m | - p r o p r i e , a t u n c i p e s t e a ( | m | ) - p r o p r i e şi d e c i | <x(m) j - p r o p r i e , a d i c ă a ( m ) - p r o p r i e . E g a l i t a t e a r e z u l t ă c a şi î n p r o p o ­ ziţia precedentă. C o r o l a r u l 2 . Fie T şi 8 două spaţii local compacte, m o măsură majo­ rată pe T şi OL o aplicaţie biunivocă a lui T pe 8. Funcţia OL este m-proprie, dacă şi numai dacă funcţia OL" este oL(m)-proprie. în acest caz a ( a (m)) = m . într-adevăr, dacă a este m-proprie, luînd în corolarul 1 p = a ,, f u n c ţ i a p o a e s t e a p l i c a ţ i a i d e n t i c ă a l u i T p e T, d e c i e s t e m - p r o p r i e ; r e z u l t ă a t u n c i c ă şi a " = p e s t e a ( m ) - p r o p r i e , şi 1

- 1

-1

1

1

a" (a(m)) =

p ( a ( m ) ) = (Po a) ( m ) =

m.

1

Eeciproc, d a c ă a" este a(m)-proprie, rezultă ca m a i sus că a este proprie pentru măsura a ( a ( m ) ) = m. C o r o l a r u l 3 . Dacă m este o măsură majorată pe T şi dacă OL: T - > 8 este o aplicaţie biunivocă a lui T pe 8, proprie pentru m , atunci _ 1

|a(m)| =

a(|m|).

într-adevăr, |a(m)|
- 1

e s t e p r o p r i e p e n t r u m ă s u r a a ( m ) , a d i c ă p e n t r u | a(m) | şi

| m | = | a " M a ( m ) ) | < a"* (| a ( m ) | ) . |m|

Atunci şi

a este proprie pentru măsura a(|m|)<

(a-Ml<x(m)|)) =

1

a~ (|a(m)|)

d e c i şi p e n t r u

|«(m)|.

E e z u l t ă deci că |a(m)| =

a(|m|).

C o r o l a r u l 4 . Fie m o măsură majorată pe T cu valori într-un spaţiu Banach X şi OL : T -> 8 o aplicaţie biunivocă a lui T pe S, proprie pentru măsura m . Fie E şi F două spaţii Banach a&tfel încît J c i (E,F) şi fie f o funcţie definită pe 8 cu valori în E. 1) Funcţia f este OL (m)-neglijabilă dacă şi numai dacă îo OL este m-neglijabila 2) Funcţia t este 0L(m)"măsurabilă dacă şi numai dacă f o a este m măsurabilă. 3) Funcţia t este oL(m)-integrabilă dacă şi numai da^că îo OL este m-inte­ grabilă. în acest caz fda (m) = ţ f

o

a dm.

SUME D E MASURI. IMAGINI DE MASURI

346

CAP. V

A f i r m a ţ i i l e r e z u l t ă d i n c o r o l a r u l 3 şi t e o r e m a 1 . î n p a r t i c u l a r , l u î n d E = C şi F = X , c o r o l a r u l r ă m î n e a d e v ă r a t p e n t r u funcţii scalare / . P r o p o z i ţ i a 1 3 . Fie ţx o măsură pozitivă pe T , a : T - > 8 o funcţie \L-proprie şi g : 8 - > C o funcţie scalară astfel încît funcţia scalară goa : T -> G să fie local ^-integrabilă. Funcţia g este local integrabilă pentru a(ţx) dacă şi numai dacă a este proprie pentru măsura (go a)ţx. în acest oaz avem a((ffaa)ix) = g . a(ţx). S ă o b s e r v ă m m a i î n t î i c ă a e s t e m ă s u r a b i l ă p e n t r u ţx, d e c i p e n t r u o r i c e m ă s u r ă d e b a z ă ţx, î n p a r t i c u l a r p e n t r u m ă s u r a (go a)ţx. S ă o b s e r v ă m a p o i c ă , d e o a r e c e go OL e s t e scalară şi | (go OL) JX| = = \go ocj^fx, o f u n c ţ i e h d e f i n i t ă p e T c u v a l o r i î n t r - u n s p a ţ i u B a n a c h E s a u î n R e s t e (ffoa) ^ - i n t e g r a b i l ă , d a c ă şi n u m a i d a c ă f u n c ţ i a h ( j f o a ) e s t e [x-integrabilă. P e n t r u c a f u n c ţ i a g s ă fie l o c a l a ( ţ x ) - i n t e g r a b i l ă e s t e n e c e s a r şi sufi­ c i e n t c a f u n c ţ i a gf s ă fie a ( ţ x ) - i n t e g r a b i l ă , o r i c a r e a r fi f u n c ţ i a feJC(8) ( p r o p o z i ţ i a 1 , § 1 5 ) . P e n t r u a c e a s t a e s t e n e c e s a r şi s u f i c i e n t c a f u n c ţ i a (gf)o OL = (go OL) (fo OL) s ă fie ţx - i n t e g r a b i l ă ( t e o r e m a 1 ) , d e c i ( c o n f o r m o b s e r v a ţ i e i d e m a i s u s ) e s t e n e c e s a r şi s u f i c i e n t c a f u n c ţ i a fo OL s ă fie (g o OL) JX- i n t e g r a b i l ă . D e o a r e c e a e s t e (gr o a) j x - m ă s u r a b i l ă , r e z u l t ă c ă g e s t e l o c a l a ( [ x ) - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă a e s t e (g o OL) ţx-proprie. D a c ă g este local a(ţx)-integrabilă, p e n t r u orice funcţie f<=JC(T) avem

[fag* (fx)

= [fg d a (ţx) = [(fg)

=

y °

a

d

(ff°

a

) V- =

o a dţx=C (fo a) (g o a ) dţx =

y

d

a

( ( 9°

a

) V-)

deci a ((9° a)[x) = intr-un proprie scalară

ff-a([x)

P r o p o z i ţ i a 1 4 . Fie m o măsură majorată definită pe T cu valori spaţiu Banach X, OL : T - > 8 o aplicaţie biunivocă a lui T pe 8, pentru măsura m şi g : 8 - > C o funcţie scalară astfel încît funcţia go OL :T-+Csăfie local m-integrabilă şi deci |(ffoa)

Funcţia a este proprie

m| = |£oa| |m|.

g este local integrabilă pentru pentru măsura (g o a ) m . în a((groa)m) =

măsura a ( m ) dacă şi numai acest caz

dacă

fif-a(m)

D e m o n s t r a ţ i a este aceeaşi ca a-propoziţiei 13, folosindu-se corolarul 4 al propoziţiei 12 î n locul t e o r e m e i 1.

IMAGINI DE MASURI

347

P r o p o z i ţ i a 1 5 . Fie m o măsură majorată definită pe T cu valori spaţiu Banach X, OL : T - > 8 o funcţie m-proprie, EşiF două spaţii astfel încît X (ZJ>(E, F) şi $ : 8 - > J> (E, F) o funcţie astfel încît g o a : T - > 8 să fie local m-integrabilă şi |(goa) m| =

local

Bacă OL este proprie oL(m)-integrabilâ şi

pentru

g-a(m) =

|goa|

măsura

într-un Banach funcţia

|m|.

( g o a ) m , atunci

funcţia

g

este

a((goa)m).

F i e feJC(8). D e o a r e c e a este p r o p r i e p e n t r u m ă s u r a ( g © a ) m, f u n c ţ i a / o a e s t e (g o a ) m - i n t e g r a b i l ă . D i n i p o t e z e l e a s u p r a l u i m şi g o a , i o l o s i n d c o r o l a r u l t e o r e m e i 3 , § 1 6 , r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a ( g o a ) (fo OL) = (gf) o OL este m-integrabilă. Deoarece a este m-proprie, din teorema 2 rezultă că g / este a(m)-integrabilă. D e d u c e m a t u n c i că funcţia g eşte local a(m)-integ r a b i l ă . E g a l i t a t e a g a ( m ) = a ( ( g o a ) m ) se d e m o n s t r e a z ă ca î n p r o ­ poziţia 11. Observaţie. P r o p o z i ţ i i l e 1 4 şi 1 5 s î n t v a l a b i l e î n p a r t i c u l a r d a c ă m •este s c a l a r ă , s a u d a c ă g : 8 - > C e s t e o f u n c ţ i e s c a l a r ă a s t f e l î n c î t f u n c ţ i a $ o OL : T -> C s ă fie l o c a l m - i n t e g r a b i l ă . î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t e c a z u r i r e z u l t ă şi e g a l i t a t e a |(goa)m| =

|goa| |m|.

6. A p l i c a ţ i e . M ă s u r a L e b e s g u e c a i m a g i n e a m ă s u r i l o r

difuze

î n a c e s t p u n c t v o m a r ă t a c ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă difuză \i > 0 p e nin s p a ţ i u compact T , e x i s t ă o a p l i c a ţ i e continuă a a l u i T pe [ 0 , 1 ] a s t f e l î n c î t a((x) s ă fie m ă s u r a L e b e s g u e p e [ 0 , 1 ] . P e n t r u aceasta a v e m nevoie de cîteva noţiuni pregătitoare. F i e T u n s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t şi p o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T. S p u n e m c ă o m u l ţ i m e AdT e s t e car abilă p e n t r u m ă s u r a p , s a u p - c a r a b i l ă , d a c ă f r o n t i e r a sa e s t e [x-neglijabilă. Deoarece m u l ţ i m e a punctelor de discontinuitate ale funcţiei caractex i s t i c e y e s t e m u l ţ i m e a F r J L , r e z u l t ă c ă A e s t e [ x - c a r a b i l ă d a c ă şi n u m a i •dacă

A

A — Â a A

—

=FT

Â

A.

D a c ă A e s t e [x-carabilă, a t u n c i ^(Â) d e o a r e c e A = Â\JFTA

iar

= [x* (A)

[x* (FTA)

=

0.

E e c i p r o c , d a c ă A e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă şi d a c ă tx*(l) =

(X*(Ă),

SUME D E MASURI. IMAGINI D E MASURI

348

CAP. V

a t u n c i A e s t e ţx-carabilă d e o a r e c e [L*(FYA)

=

^(A)

ţi*(Â) = 0.

-

D a c ă A e s t e c a r a b i l ă , jorice m u l ţ i m e B a s t f e l î n c î t ÂczBczĂ este carabilă; în particular şi A s î n t c a r a b i l e . P r o p o z i ţ i a 16. Orice punct din T posedă un sistem fundamental ds vecinătăţi închise carabile. F i e t G T u n p u n c t o a r e c a r e şi TJ o v e c i n ă t a t e i n t e g r a b i l ă d e s c h i s ă a l u i T. T r e b u i e s ă a r ă t ă m c ă e x i s t ă o m u l ţ i m e i n t e g r a b i l ă d e s c h i s ă V astfel încît 0

t eV(ZVC:V

şi

0

\L(V)

=

\L(V).

P e n t r u a c e a s t a fie / : T -> [ 0 , 1 ] o f u n c ţ i e c o n t i n u ă c u f(t ) = 1 şi f(t) = 0 p e n t r u tm TJ. P e n t r u o r i c e n u m ă r a > 0, m u l ţ i m e a F = f (or) e s t e î n c h i s ă şi F c TJ. P e n t r u o r i c e f a m i l i e f i n i t ă ( a j i ^ i ^ d e n u m e r e d i f e r i t e c u 0 < CL < 1 , m u l ţ i m i l e F . s î n t d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă şi 0

1

a

n

a

Î

t

a

F

*( *i)

F

= V ( U « D
+

oo.

4=1

»=1

U r m e a z ă că £

H(F )
+oo

a

0< a < l

adică familia de n u m e r e pozitive ( n ( F ) ) < < i este sumabilă. U r m e a z ă c ă a v e m fx(F ) > 0 c e l m u l t p e n t r u o m u l ţ i m e n u m ă r a b i l ă d e i n d i c i a. E x i s t ă a t u n c i u n n u m ă r p c u 0 < p < 1 şi \i(F^) = 0 . M u l ţ i m e a G$ = = {t\f(t) > P} * c o v e c i n ă t a t e d e s c h i s ă a l u i t c o n ţ i n u t ă î n TJ, d e c i integrabilă, iar mulţimea a

0

a

a

e s

0

» P U ^ =

{*!/(*)>?}

este închisă. U r m e a z ă că G p C f f p [x(G ) <

H(fly <

U -^p CI 17 şi

fx((7ş) + n ( J ? y <

3

<*(
d e u n d e jx(#p) = ţx(Ge) şi d e c i G$ e s t e c a r a b i l ă . L u î n d 7 = 0 3 a v e m t G F c V CZ TJ şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Pentru orice mulţime compactă KCZ T şi orice mulţime des­ chisă TJZDK există o mulţime deschisă, integrabilă şi carabilă V cu 9

K CZ V CZ V CZ TJ. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u f i e c a r e p u n c t teK i n t e g r a b i l ă şi c a r a b i l ă V c u t

teV CZV CZ t

t

TJ.

există o mulţime

deschisă,

349

IMAGINI DE MASURI

E x i s t ă a t u n c i o famiUe finită ( F J i ^ i ^ n ^ e m u l ţ i m i deschise integrabile ş i c a r a b i l e c a r e a c o p e r ă p e K, c u V CZ CZ TJ p e n t r u f i e c a r e i. M u l ţ i m e a i

n

V =

U

V

e s t e d e s c h i s ă i n t e g r a b i l ă şi c a r a b i l ă şi

i

K CZ VCZVCZ

TJ.

Măsurile difuze a u o p r o p r i e t a t e a s e m ă n ă t o a r e cu p r o p r i e t a t e a lui D a r b o u x : m u l ţ i m e a valorilor sale este u n interval. P r o p o z i ţ i a 1 7 . Fie K o mulţime compactă si TJZDK o mulţime deschisă cu p*(TJ) > p(K). Dacă p este difuză, pentru orice număr a cu p(K) < < a •< jx* (TJ) există o mulţime deschisă p-integrabilă G cu a

KciG CZU

şi

a

p(G )

=

a

a.

Deoarece p(K)

=

inf

p(G),

G deschisă,

e x i s t ă m u l ţ i m i d e s c h i s e i n t e g r a b i l e G cu KczGcZ TJ şi p(G) < a. S ă n o t ă m c u ^ m u l ţ i m e a p ă r ţ i l o r d e s c h i s e G c u KCZGCZ TJ şi p* (G) < a . Mulţimea ^ este ordonată inductiv, prin relaţia de incluziune. într-ade­ v ă r , d a c ă (Ga) e s t e o f a m i l i e t o t a l o r d o n a t ă d e p ă r ţ i d i n ^ , atunci m u l ţ i m e a G = (J G e s t e d e s c h i s ă , K CZ G CZ TJ şi a

a

=

^ * ( U G«) = s u p ii*(G )

<

a

a

a

a

d e c i 6 G ^ . F i e G u n e l e m e n t m a x i m a l d i n G. A v e m KCZGQCZTJJGQ este d e s c h i s ă şi p*(G) < ; a. V o m a r ă t a c ă a v e m p* (G ) = a. î n t r - a d e v ă r , d a c ă a m a v e a p*(G ) < a, a t u n c i G =fc TJ; l u î n d t <= TJ — G avem p({t }) = 0 ( d e o a r e c e p e s t e d i f u z ă ) . E x i s t ă a t u n c i o m u l ţ i m e d e s c h i s ă Gx c u {t } CZ G CZ TJ şi p(GJ
0

0

0

0

0

0

0

1

0

A t u n c i KczG \JG CZTJ şi p(G \JG ) < P ( # ) + P ( G y < a deci G^G^Q ş i d e c i (r n - a r m a i fi e l e m e n t m a x i m a l î n ^ . A ş a d a r , l u î n d G = G avem 0

X

0

1

0

0

a

KczG CZ

TJ şi p(G )

A

a

şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . L e m a 7 . _Fie V şi W două mulţimi bile şi a şi b două numere, astfel încît VCZW Dacă

p este difuză

şi

p(V)

există

< a

o mulţime

VCZUCZTJCZW

şi

=

a

deschise
0J

relativ

<

compacte

p(W).

deschisă

p-carabilă

TJ astfel

şi

încît

a
F i e a < a < b. D e o a r e c e V e s t e c o m p a c t ă şi p e s t e d i f u z ă , p r o p o z i ţ i e i 17 e x i s t ă o m u l ţ i m e deschisă G c u VCZGCZW

p-cara-

P(G) = OL.

conform

SUME D E MASURI. IMAGINI D E MASURI

350

CAP. V

Deoarece [L(G)

=

s u p y.{K),

K

compactă,

există o mulţime compactă K cu VCZKCZG

şi

a <

y.(K)

<

\L(G) =

a.

Conform corolarului propoziţiei 16, există o m u l ţ i m e deschisă c a r a ­ b i l ă TJ c u

Jfcf/cucff.

Urmează că V CZ U CZ U CZ W

şi a < [L(K) < [L(U) < [L(G) = a < b. P r o p o z i ţ i a 1 8 . Fie V şi W două [L-carabile şi a un număr astfel încît V

Dacă

CZ W şi

[x este difuză,

există

[i(V)

mulţimi

<

a <

o mulţime

VCZTJCZTJCZW

deschise

compacte

\L(W).

[L-carabilă

deschisă

şi

relativ

jx(f7) =

TJ astfel

încît

a.

F i e ( a ) u n ş i r s t r i c t c r e s c ă t o r ş i (b ) u n ş i r s t r i c t d e s c r e s c ă t o r , a m b e l e c o n v e r g e n t e c ă t r e a, astfel încît n

n

\L(V)

< a < a < b < \L(W), n

p e n t r u o r i c e n.

n

E x i s t ă o m u l ţ i m e d e s c h i s ă jx-carabilă V c u 1

VCZV CZV CZW 1

şi

1

O <\L(V ) 1

< a

1

2

.

E x i s t ă a p o i o m u l ţ i m e d e s c h i s ă jx-carabilă W c u x

şi

V CZW CZW CZW 1

şi W

n

1

1

fxfl^X&i.

6 < 2

Să p r e s u p u n e m că a m găsit două m u l ţ i m i deschise cu

V CZ V CZ V CZ W N

N

CZ W

N

N

CZ W

ş i a < jx( V ) < a n

N

n + 1

< 6

n + 1

P u t e m a t u n c i g ă s i o m u l ţ i m e d e s c h i s ă jx-carabilă F V

N

CZ V

CZ V

N+1

î H

i CZ W

şi

a

n + 1

şi a p o i o m u l ţ i m e d e s c h i s ă jx-carabilă W

n+1

V ^ C F ^ C W ^ C F

< [i(V )

ţx-carabile Y„.

n

<

N+1

< jx( W ) N

+

1

a

< b . n

cu n + 2

cu K
şi

+2

n+î

n+1

A m d e m o n s t r a t astfel p r i n r e c u r e n ţ ă că p u t e m construi d o u ă şiruri (V ) şi (W ) p e m u l ţ i m i d e s c h i s e jx-carabile a s t f e l î n c î t p e n t r u f i e c a r e n să avem N

N

v c z v

n

c z v

n

c z V

n+1

CZ w

n

+

1

CZ w

n

+

1

czw cz n

W CZ n

w

S 2*

IMAGINI

DE MASURI

351

Şl 00 Să n o t ă m cu U = U V .

M u l ţ i m e a 17 e s t e d e s c h i s ă . D e o a r e c e ş i r u l

n

n=l

( F ) este crescător, a v e m n

VL(U)

p(U

=

V)

sup p ( F ) =

=

N

P e de altă parte

lim p ( F ) =

n

n

a.

n

n

n-+ao

avem

u =

u v c n Tr c n n

n

n

n

w

n

n

iar u l t i m a m u l ţ i m e este închisă, deci

uc n

w . n

n

Aşadar M U ) < p ( H W ) = inf p ( W ) = l i m p ( W ) n

n

n

=

a

şi U e s t e p - i n t e g r a b i l ă , d e c i e s t e p - c a r a b i l ă . M u l ţ i m e a U v e r i f i c ă i n c l u ­ ziunile

vc Ucuc w şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . S î n t e m a c u m în m ă s u r ă să d e m o n s t r ă m r e z u l t a t u l a n u n ţ a t la înce­ putul acestui punct. T e o r e m a 3 . Dacă T este compact şi dacă p este o măsură difuză cu p ( T ) = 1 , există o aplicaţie continuă a a lui T pe segmentul [ 0 , 1 ] astfel încît măsura a ( p ) să fie măsura Lebesgue pe [ 0 , 1 ] . S ă n o t ă m 0 ( 0 ) = 0 şi G(l) = T. A c e s t e a s î n t m u l ţ i m i c a r a b i l e şi 0(0)

c

0(1), 0 =

p(0(O))

< p(0(l)) =

1.

C o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 1 8 , e x i s t ă o m u l ţ i m e d e s c h i s ă p - c a r a b i l ă 0^ij

Ic S ă p r e s u p u n e m c ă p e n t r u f i e c a r e n u m ă r d i a d i c — > Tc = 0 , 1 , . . . , 2

cu

— J astfel = 0, 1 , . . . , 2

n

— 1 să a v e m

n

2

n

î n c î t p e n t r u Tc —

r

SUME DE MASURI. IMAGINI DE MASURI

352

CAP. V

21c 4 - 1 n

P e n t r u fiecare n u m ă r diadic d e forma

» k = 0 , 1 , . . . . 2 — 1, e x i s t ă 2»»+l 7 7 7 7 a t u n c i , c o n f o r m p r o p o z i ţ i e i 1 8 , o m u l ţ i m e d e s c h i s ă c a r a b i l ă Gi ^ leu

{2*1

{

)

l

l 2«

[

n + 1

2

)j

+ 1

2

)

\

2"

)

B + 1

A m d e m o n s t r a t astfel prin inducţie completă că fiecărui n u m ă r d i a d i c r e [ 0 , 1 ] îi p u t e m a t a ş a o m u l ţ i m e d e s c h i s ă f i - c a r a b i l ă G(r) c u jx (£(»•)) = r, a s t f e l î n c î t d a c ă r < s, a t u n c i G(r) c # ( « ) . P e n t r u orice n u m ă r real x e [0,1] să p u n e m G(x)

=

UG{r). r^.x

P e n t r u x = r d i a d i c , a v e m G(x) = G(r). D a c ă 0 < x < x' < 1, e x i s t ă d o u ă n u m e r e d i a d i c e s şi s' c u a; < s < s' < x' şi d e c i C G(s) C

de

C

C

unde

M u l ţ i m e a G(x) e s t e d e s c h i s ă , jx-carabilă şi \L(G(X))

=

a?.

într-adevăr, \L(G(X))

Avem

=

[L((JG(V))

=

sup

[L(G(r))

=

sup

r =

#

= inf« =

x

apoi

C

n
deci p ( # ( * ) ) < ix(n

< i n f p(G(s))

S >X

8> X

8>X

deci p(G(x))

şi d e c i G(x) e s t e

=

L(G(X))=X

1

carabilă.

P e n t r u fiecare p u n c t i e T s ă a(J) =

definim inf teG(x)

x.

atunci

IMAGINI DE MASURI

§ 20

353

S ă a r ă t ă m c ă f u n c ţ i a a e s t e c o n t i n u ă . F i e * e T şi e > 0. S ă n o t ă m a = a ( J ) . M u l ţ i m e a V = O (a + z) — G(a — z) e s t e o v e c i n ă t a t e a lui t , d e o a r e c e e s t e d e s c h i s ă şi t eG(a + z) — G(a — z). A i c i a m n o t a t G(a — z) = G(0) d a c ă a — z < 0 şiG(a + e) = 0 ( 1 ) d a c ă a + e > l . P e n t r u o r i c e t e 6? (a + z) — G(a — e) a v e m a — e < ! a(tf) < a + e d e c i | a(J) — a(J ) j < ; s şi d e c i a e s t e c o n t i n u ă î n t . C u m t a f o s t a l e s a r b i t r a r î n T, r e z u l t ă c ă a e s t e c o n t i n u ă p e T. S ă a r ă t ă m c ă *(T) = [ 0 , 1 ] . F i e x e [ 0 , 1 ] . A m v ă z u t c ă d a c ă t e G(x + e) — G(x — s ) , a t u n c i | <x(J) — x\ < z. D a r 0

0

0

0

0

O

0

[G(x + z)

_ ) ] 3 PI C

e>0

0

[(?(H£)-
e>0

d e o a r e c e m u l ţ i m i l e 6?(# + e) — 0 ( # — e) s î n t î n c h i s e şi i n t e r s e c ţ i i l e f i n i t e d e a s t f e l d e m u l ţ i m i s î n t m u l ţ i m i d e a c e l a ş i fel, d e c i n e v i d e . Pentru

t e O

[G(t + z) — G(t — e) ] a v e m | a(J) — x\ <

z oricare

e >0

a r fi e > 0, d e c i a(J) = x. D e o a r e c e a e s t e c o n t i n u ă şi T e s t e c o m p a c t , a e s t e (x-proprie. S ă a r ă t ă m c ă a(jx) e s t e m ă s u r ă L e b e s g u e p e [ 0 , 1 ] - S ă n o t ă m v = a ([x). P e n t r u orice m u l ţ i m e v-integrabil I c [0,1] avem v(A)

î n particular,

pentru A =

=

\L(*T*(A)).

[0, a ] c

[0,1] avem

v ( [ 0 , a]) = i x ( a - M [ 0 , a])). Dar 0(â) C a"M[0, a ] ) C O

0(a?)

a: > a

Şi |i(0(a)) =

(a))

=

a

iar | i ( n t f ( r ) ) = inf v(Q(r))

= inf r =

a

deci (xta-^^a]))

=a

de unde v ( [ 0 , a]) =

a.

U r m e a z ă c ă v e s t e m ă s u r a L e b e s g u e p e [ 0 , 1 ] şi t e o r e m a e s t e d e m o n ­ strată.

354

SUME D E MASURI. IMAGINI DE

§ 21. M Ă S U R I

MASURI

CAP. V

INDUSE

1. D e f i n i ţ i a m ă s u r i l o r

induse

Fie m o m ă s u r ă majorată pe T cu valori într-un spaţiu Banach X T u n s u b s p a ţ i u local compact. Se p u n e p r o b l e m a definirii u n e i m ă s u r i m p e 8 cu a j u t o r u l m ă s u r i i m d e p e T , c a r e s ă fie, î n t r - u n a n u m i t s e n s , restricţia m ă s u r i i m l a 8. E s t e n a t u r a l s ă i m p u n e m m ă s u r i i m s ă fie a l e a s ă î n a ş a fel î n c î t f u n c ţ i i l e / d e f i n i t e p e 8, i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u m . s ă fie a c e l e a c a r e s î n t r e s t r i c ţ i i d e f u n c ţ i i d e f i n i t e p e T şi i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u m , s a u , c e e a c e r e v i n e l a a c e l a ş i l u c r u , a c e l e a c a r e p r e l u n g i t e c u 0 p e CS s ă fie i n t e g r a b i l e î n r a p o r t cu m . î n particular, a c e a s t ă condiţie t r e b u i e i m p u s ă funcţiilor con­ t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t d e f i n i t e p e 8. P e n t r u a c e s t e f u n c ţ i i , c o n d i ţ i a e s t e verificată de la sine. şi 8 a

s

s

6

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e f d e f i n i t ă p e 8, c u v a l o r i î n t r - u n s p a ţ i u B a n a c h E s a u î n R, n o t ă m c u f f u n c ţ i a d e f i n i t ă p e T a s t f e l : f(t), d a c ă

te8,

0, d a c ă

te8.

E e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i V l a 8 e s t e e g a l ă c u f. Se verifică uşor u r m ă t o a r e l e r e l a ţ i i : 1) (« + 9 ) ' = V + g', W = af, a scalar; 2 ) |f|' = |f'|; 3) d a c ă / > 0, a t u n c i / ' > 0 ; / < g d a c ă şi n u m a i d a c ă / ' <

4) ||f'|l = Hf||.

g';

P r o p o z i ţ i a 1. Fie E un spaţiu Banach. Bacă îeJC (S), funcţia V este integrabilă pentru orice măsură pe T. S ă n o t ă m c u Ka8 s u p o r t u l l u i f; K e s t e u n s u b s p a ţ i u c o m p a c t a l l u i 8, d e c i e s t e şi u n s u b s p a ţ i u c o m p a c t a l l u i T. A ş a d a r f' a r e t o t s u p o r ­ t u l c o m p a c t K; d i n e g a l i t a t e a | | f || = ||f || d e d u c e m c ă V e s t e m ă r g i n i t ă . E ă m î n e d e a r ă t a t c ă f' e s t e m ă s u r a b i l ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă p e T. O r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Ha T e s t e r e u n i u n e a m u l ţ i m i l o r d i s j u n c t e H D K şi BL—K. E e s t r i c ţ i a l u i V l a Bf\K este egală cu restricţia lui f la Hf]K deci este continuă, restricţia lui f la H — K este identic nulă, deci e s t e c o n t i n u ă . C u m Hf)K este compactă iar H — K este diferenţa a d o u ă m u l ţ i m i c o m p a c t e , m u l ţ i m i l e Hf]K şi H — K s î n t i n t e g r a b i l e î n r a p o r t c u o r i c e m ă s u r ă , d e c i f u n c ţ i a f' e s t e m ă s u r a b i l ă î n r a p o r t c u o r i c e m ă s u r ă . Deoarece p e n t r u orice m ă s u r ă ( j i > 0 p e T a v e m B

r e z u l t ă c ă f' e s t e i n t e g r a b i l ă î n r a p o r t c u o r i c e m ă s u r ă , şi c u a c e a s t a p r o ­ poziţia este demonstrată.

MASURI

355

INDUSE

P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e / e JC(8)

să p u n e m

n(/) =

J/'dm

v(/) =

J/'d|m|.

Şi

S e v e r i f i c ă u ş o r c ă v e s t e o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă p o z i t i v ă p e JC(8) d e c i v e s t e o măsură pozitivă p e S. S e v e r i f i c ă , d e a s e m e n e a , c ă a p l i c a ţ i a n : JC(8) -> X e s t e l i n i a r ă şi m a j o r a t ă d e v : ! » ( / ) = | j j / ' d m | < J | / ' | d| m | = J | / r d| m | =

v (|/|),

d e c i n e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e 8 c u v a l o r i î n X şi | n | << v. D e f i n i ţ i a 1. Măsura n definită pe 8 se numeşte restricţia măsurii m la subspaţiul local compact 8, sau măsura indusă de m pe 8, şi se notează m : s

m (f) 8

v =

=^/'dm,

feJC{8).

C o n f o r m a c e s t e i d e f i n i ţ i i , v e s t e r e s t r i c ţ i a l a S a m ă s u r i i | m | deci |m \ : s

|m| (/) = ^/'d|mj,

f*JC(8).

s

I n e g a l i t a t e a | n | < ; v se s c r i e a c u m |m |< \ s

m\ . s

V o m a r ă t a m a i d e p a r t e că a v e m t o t d e a u n a \m \

=

s

|m|

s

Observaţii. 1° S u b s p a ţ i u l l o c a l c o m p a c t Sa T e s t e i n t e r s e c ţ i a u n e i m u l ţ i m i d e s c h i s e c u o m u l ţ i m e î n c h i s ă d i n T, d e c i 8 e s t e o m u l ţ i m e m ă s u ­ r a b i l ă î n r a p o r t c u o r i c e m ă s u r ă p e T. 2° D a c ă O e s t e o s u b m u l ţ i m e deschisă a l u i T , G e s t e u n s u b s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t a l l u i T. P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t f :G R funcţia f':T->R e s t e c o n t i n u ă p e T şi a r e a c e l a ş i s u p o r t c o m p a c t c a şi / . S p a ­ ţ i u l JC{G) se p o a t e d e c i i d e n t i f i c a c u s u b s p a ţ i u l JC{T, G) a l l u i JC(T). î n a c e s t c a z m ă s u r a m ^ p e G e s t e r e s t r i c ţ i a m ă s u r i i m d e l a JC (T) l a s u b ­ spaţiul JC(T,G). 3° C o n f o r m c o n v e n ţ i i l o r f ă c u t e , v o m n o t a c u j" / d m i n t e g r a l a ^ / ' d m = [ f y d m . î n acest caz, s

^/dm

s

= (j / d m .

=

SUME DE' MASURI. IMAGINI DE MASURI

356

Vom

nota

de

asemenea j

/d[x

integrala

CAP.

superioară

^ / ' d[x

V

=

/ '

0 d e f i n i t ă p e # , î n r a p o r t c u o m ă s u r ă [x > 0 . s

V o m a r ă t a că p e n t r u orice f u n c ţ i e 0 [L > - 0 a v e m e g a l i t a t e a

d e f i n i t ă p e 8 şi o r i c e m ă s u r ă

4° M ă s u r a i n d u s ă m a r e v a l o r i î n a c e l a ş i s p a ţ i u X c a şi m ă s u r a m . D e e x e m p l u , d a c ă ţx e s t e p o z i t i v ă , \i e s t e p o z i t i v ă , i a r d a c ă [x e s t e reală sau complexă, atunci p este reală respectiv complexă. E s t e î n s ă p o s i b i l , d e e x e m p l u , c a fx s ă fie r e a l ă f ă r ă a fi p o z i t i v ă i a r p să fie p o z i t i v ă ( d e e x e m p l u d a c ă 8 e s t e a s t f e l î n c î t ţx = 9^ fx). s

s

s

s

+

2. Integrala superioară în raport cu o m ă s u r ă indusă pozitivă F i e [i o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi SdT u n subspaţiu local c o m p a c t . L e m a 1. Bacă f > - 0 este o funcţie semicontinuă inferior pe 8 atunci funcţia f este [i-mâsurabilă şi y

F i e (fif )txe^ f a m i l i a f i l t r a n t ă a t u t u r o r f u n c ţ i i l o r j e JC(8) c a r e v e r i ­ fică r e l a ţ i a 0 < ! g f u n c ţ i i l e g' s î n t [ x - m ă s u r a b i l e ( p r o p o z i ţ i a 1) a

x

A

i a r f u n c ţ i a t - > (ff«(0)«e^ & l u i T î n R e s t e f x - m ă s u r a b i l ă . î n t r - a d e v ă r , fie K d T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi e > 0 . M u l ţ i m i l e Kf\8 şi K—8 s î n t b o r e l i e n e şi r e l a t i v c o m p a c t e , d e c i s î n t f x - i n t e g r a b i l e . E x i s t ă o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K dK f| 8 şi o m u l ţ i m e c o m p a c t ă K dK — 8 x

astfel

încît

p((K

f| 8)

-

2

KJ

< — şi ( / . ( ( # _ 0 ) -

JT )< — • 2

2

Atunci

2

e

ţx(2T — ( J S ^ U ^ ) ) < - R e s t r i c ţ i a f i e c ă r e i f u n c ţ i i g' l a i T e s t e e g a l ă c u r e s ­ t r i c ţ i a l u i g l a K ( d e o a r e c e K d K) d e c i e s t e c o n t i n u ă ; r e s t r i c ţ i a l u i g' l a K e s t e i d e n t i c n u l ă ( d e o a r e c e K f]8 = 0 ) deci este continuă. Deoa­ r e c e I^x şi I T s î n t d o u ă m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e , r e s t r i c ţ i a f i e c ă r e i f u n c ţ i i
a

a

x

2

2

2

1

Dar

x

2

t

MASURI

357

INDUSE

deci

L e m a 2 . Pentru

orice funcţie

/ >> O cu suport

compact

definită

pe

8

avem / , d f A

\ /dfa= J

-

F i e i > O o funcţie s e m i c o n t i n u ă inferior p e 8 cu A > / . D i n l e m a 1 deducem J

fcd(x =

,

J

s

fe d(x>

J

/'dfx.

L u î n d m a r g i n e a inferioară p e n t r u t o a t e funcţiile h > / din 3 + (#), obţinem J / d f a >

J

/'dfx.

P e n t r u a d e m o n s t r a i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă fie h o f u n c ţ i e s e m i c o n ­ t i n u ă inferior definită p e T astfel încît \ > /'. E e s t r i c ţ i a A a lui h l a # e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r p e 8 şi a v e m h > / , A' > / ' şi h'. Ţ i n î n d s e a m a d e l e m a 1, d e d u c e m x

x

^ /dţx <^ 5

Ad(x =||

fe'dfx<^

5

h d\i. x

L u î n d î n d r e a p t a m a r g i n e a i n f e r i o a r ă p e n t r u t o a t e f u n c ţ i i l e h > /' d i n 3+(T) şi ţ i n î n d s e a m a d e f a p t u l c ă / ' e s t e c u s u p o r t c o m p a c t , o b ţ i n e m x

D i n cele d o u ă i n e g a l i t ă ţ i d e s e n s c o n t r a r r e z u l t ă e g a l i t a t e a d o r i t ă . P r o p o z i ţ i a 2 . Pentru orice funcţie f !> 0 definită pe 8 avem \ f*PH=\

/'d(x.

D u p ă l e m a 2, p e n t r u orice m u l ţ i m e c o m p a c t ă K a ţjV?irdfa= ^ / >

A

d

(

x < ^

S avem

/'du,

u n d e a m n o t a t c u 9^ f u n c ţ i a c a r a c t e r i s t i c ă a l u i K fie c o n s i d e r a t ă î n 8 fie î n T. L u î n d m a r g i n e a s u p e r i o a r ă p e n t r u t o a t e m u l ţ i m i l e c o m p a c t e , obţinem ^/d[x <^/'d[x. s

SUME D E MĂSURI. IMAGINI D E M Ă S U R I

358

CAP. V

P e n t r u a d e m o n s t r a i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă , f i e K' a T o c o m p a c t ă . A t u n c i K' f| 8 e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă ş i r e l a t i v c o m p a c t ă , ţ x - i n t e g r a b i l ă . E x i s t ă o m u l ţ i m e fx - n e g l i j a b i l ă NaK f)8 şi u n şir (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e a c ă r o r r e u n i u n e s ă fie (K' f| 8) —N. f

n

mulţime deci este crescător Deoarece

/'?jr = / V ' n s deducem

=

s u p ţj / ' ^ „ d ţ x =

Luînd marginea obţinem

superioară

s u p (j / 9

pentru

şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă , C o r o l a r . Pentru orice mulţime

toate

AaS

J

f

|

d^< ^

mulţimile

/d(x . 5

compacte

K'aT

avem

(A) = jx* ( A ) . 3 . I n t e g r a r e a î n raport c u restricţia unei m ă s u r i pozitive F i e jx o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi 8a T u n s u b s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t . P r o p o z i ţ i a 3 . O funcţie f definită pe 8 cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R, este ţx -neglijabilă, dacă şi numai dacâf este (x -neglijabilă. într-adevăr 5

^

l/|dfx,=

^

|/|'d|i=

(jVldfx.

C o r o l a r . O mulţime AaS este [i-neglijabilă dacă şi numai dacă AaT este |x -neglijabilă. P r o p o z i ţ i a 4 . Fie G un spaţiu topologic. O funcţie f: S - > (? este [L -măsurabilă, dacă şi numai dacă o prelungire /' a lui f la T, constantă pe QS, este \L-măsurabilă. Să presupunem m a i întîi c ă / e s t e (x -măsurabilă.FieiCc: T o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . M u l ţ i m i l e Kf)S şi K—8 s î n t b o r e l i e n e r e l a t i v c o m p a c t e , d e c i (x - i n t e g r a b i l e . D e o a r e c e / e s t e \i - m ă s u r a b i l ă , e x i s t ă o m u l ţ i m e [i - n e g l i j a b i l ă NaKf]S şi u n ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă , a c ă r o r r e u n i u n e e s t e (K(]8)—N, astfel încît r e s t r i c ţ i a lui / l a fiecare K să fie c o n t i n u ă . E e s t r i c ţ i a l u i / ' l a m u l ţ i m e a ţx - i n t e g r a b i l ă K = K — S e s t e c o n s t a n t ă , deci c o n t i n u ă . C u m m u l ţ i m e a N e s t e d e a s e m e n e a ţx-neglijabilă, r e z u l t ă c ă a m d e s c o m p u s m u l ţ i m e a c o m p a c t ă Ka T î n t r - o m u l ţ i m e ţx-neg l i j a b i l ă NaK şi a u n u i ş i r (K ) ^ J d e m u l ţ i m i ţx-integrabile, astfel încît restricţia l u i / ' l a fiecare K s ă fie c o n t i n u ă . s

5

s

s

n

n

0

N

n

0

N<

HOO

MASURI

359

INDUSE

E e c i p r o c , d a c ă / ' e s t e ţx - m ă s u r a b i l ă , f i e c a r e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KaS e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i ţx - n e g l i j a b i l e NaK, şi a u n u i ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e disjuncte d o u ă cîte două, astfel încît restricţia lui / ' l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . D a r N este d e a s e m e n e a [x -neglijabilă, i a r restricţia lui / l a K egală c u r e s t r i c ţ i a l u i / » l a K , e s t e c o n t i n u ă . U r m e a z ă c ă / e s t e [x - m ă s u r a b i l ă . C o r o l a r . O mulţime AciS este \x -măsurabilă dacă şi numai dacă AdT este [x măsurabilă. T e o r e m a 1. O funcţie f definită pe S cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R este [i -integrabilă, dacă şi numai dacă funcţia f' este [x -integra­ bilă, în acest caz avem n

n

5

n

n

5

s

s

F u n c ţ i a f e s t e \i - m ă s u r a b i l ă [x - m ă s u r a b i l ă . D i n e g a l i t a t e a s

p f | d ^ =

rezultă că j | f |

dfXg <

+

oo

dacă

şi n u m a i d a c ă f u n c ţ i a f' e s t e

Sj*|f|d{x

d a c ă şi n u m a i d a c ă ^

| f' | d [ x <

- f oo.

Urmează

c ă f e s t e ţx - i n t e g r a b i l ă d a c ă şi n u m a i d a c ă f' e s t e ţ x - i n t e g r a b i l ă . S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă f e s t e (x -integrabilă. E x i s t ă u n şir (f ) d e f u n c ţ i i c a r e s î n t c o m b i n a ţ i i l i n i a r e f i n i t e d e f o r m a Ş 9 ^ c u 9, e JC (8) s

5

n

i şi x^E

(sau xe

B) a s t f e l î n c î t s ă a v e m

t

lim [ | f - f j d ( x

s

- 0 .

»-+"» J

Atunci ^ f d n - ţ j f d|x s

B

s

|= | j|(f-f.)d^|<J

11-f.ldji,

deci lim Avem

^ f.dn„ = V fd

apoi

^f'd,x- C f ^ • «

=

Cdix

< (

ir-f;id x = ^ |f-f,|d|i

de unde lim

( f^dfx =

Crdji.

n->oo

}

J

(

5

360

SUME

DE* M A S U R I .

IMAGINI

DE

CAP. V

MASURI

P e n t r u 9 e JC(S) şi x e E a v e m ^ 9 # d ţ x = x ^ 9 d f j i = x ^ 9'd(i = s

s

^ 9 ' # d ţ x = ^ (9#)'d[x

şi e g a l i t a t e a s e m e n ţ i n e şi p e n t r u o s u m ă f i n i t ă d e f u n c ţ i i d e f o r m a deci p e n t r u fiecare funcţie f a v e m


9

n

^ f«d[x = s

Trecînd la limită,

|j f^dţx.

obţinem ^ fdfx = s

(j f ' d j x

şi t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Corolar. 0 mulţime A(Z8 este ţx -integrabilă este \L -integrabilă. în acest caz avem

dacă şi numai

s

\L (A)

=

S

dacă

AdT

p(A).

4. Proprietăţile măsurilor induse pozitive

tatea

F i e [A o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T ş i / S c T u n s u b s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t . Propoziţia 5 . Aplicaţia canonică j : 8 -> T (definită prin egali­ j(t) = t pentru teS) este \i -proprie şi s

î n t r - a d e v ă r , j e s t e c o n t i n u ă d e c i ţx - m ă s u r a b i l ă . F i e feJC(T). F u n c ţ i a ftj e s t e r e s t r i c ţ i a l u i / l a # , d e c i (foj)' = / 9 . F u n c ţ i a / 9 este [ x - i n t e g r a b i l ă , a d i c ă f u n c ţ i a (foj)' e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă , d e c i ( t e o r e m a 1) foj e s t e (x - i n t e g r a b i l ă . A c e a s t a î n s e a m n ă c ă j e s t e [x - p r o p r i e . P e n t r u feJC(T) avem s

5

S

s

s

^ / d ( ? * | * ) = jj / < p d | x = s

^ (/oj)'d(x= ^ / o j d ^ =

^/dj((x ) s

deci Corolar. Fie T' un spaţiu local compact^ a : T -> T' o funcţie p r i a şi OL : 8 - > T' restricţia lui a la 8. Funcţia OL este \L -proprie şi S

s

s

|x - p r o ­ avem

într-adevăr, avem a = a o j . Deoarece j : 8 T e s t e ţx - p r o p r i e şi a : T->T' e s t e j ( f x j = 9 ţx - p r o p r i e , r e z u l t ă c ă a o j = a : 8 -> T' e s t e ţ x - p r o p r i e ( p r o p o z i ţ i a 1 2 , § 2 0 ) şi 5

5

s

5

5

a

s

(ft») =

(

a

o

5 ) (Hs) =

*U(V*))

=

*

9 21

MASURI I N D U S E

361

încît

P r o p o z i ţ i a 6. Dacă R este un subspaţiu local compact al lui T astfel Ras, atunci restricţia lui [L la R este egală cu restricţia lui \i la R:

te8

F i e feJC(R) — R. A v e m

s

şi f

p r e l u n g i r e a l u i / l a 8 a s t f e l î n c î t f'(t) = 0 p e n t r u

(j / d ( | * , ) * =

J/'d|* . f i

Deoarece / ' este -integrabilă, p r e l u n g i r e a / " a lui / ' l a T astfel î n c î t f"(t) = 0 p e n t r u te T — 8 e s t e [x-integrabilă şi d|i. D a r / " e s t e d e a s e m e n e a p r e l u n g i r e a l u i / l a T a s t f e l î n c î t f\t) p e n t r u te T — R, d e c i J/d|i*=

= 0

^/"d|*.

D i n cele t r e i e g a l i t ă ţ i r e z u l t ă /dji* = ^ / d d i . 5 ^ adică =

peT

(V-S)R-

P r o p o z i ţ i a 7. Dacă g > - 0 este o funcţie şi g este restricţia lui g la 8, atunci funcţia

local [i -integrabilă definită g este local \ L -integrabilă şi

s

s

s

F i e / e JC(8). F u n c ţ i a / ' e s t e i n t e g r a b i l ă p e n t r u o r i c e m ă s u r ă p e T , î n p a r t i c u l a r p e n t r u m ă s u r a g\i şi a v e m ^/d(fl^) = s

A t u n c i f u n c ţ i a fg

e s t e p - i n t e g r a b i l ă şi a v e m jj/'d(j[|i) =

^/'flrdix.

D a r /'gr = fg
(/ffs)'

J/'d(j[|i).

&

s

s

e s

5

J ( / f e ) d | i , = |j
S

J /'flrdtx.

Aşadar

SUME D E MASURI. IMAGINI DE

362

Rezultă că g

s

MASURI

CAP. V

e s t e l o c a l [i - i n t e g r a b i l ă şi s

D i n egalităţile de m a i sus d e d u c e m succesiv

deci

C o r o l a r . Avem [L = ( O p e T astfel încît X = v , a t u n c i p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KdT m u l ţ i m e a Kf]8 este borelianâ relativ c o m p a c t ă î n T , d e c i v - i n t e g r a b i l ă şi d e c i Kf]8 este v = X -integrabilă. R e c i p r o c , s ă p r e s u p u n e m c ă p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă Kd T , m u l ţ i m e a Kf]8 e s t e X - i n t e g r a b i l ă . A t u n c i a p l i c a ţ i a c a n o n i c ă j : S-+T e s t e X - p r o p r i e ( d e o a r e c e (j~ (K) = Kf\S). A t u n c i X e s t e r e s t r i c ţ i a m ă s u r i i v = j (X) d e p e T. î n t r - a d e v ă r , fie feJC(S) F u n c ţ i a / ' e s t e v = j (X) - i n t e g r a b i l ă şi foj = / , deci S

s

s

s

S

s

5

x

Aceasta î n s e a m n ă că X = v . C o r o l a r u l 1. Orice măsură mărginită X > 0 pe S este restricţia unei măsuri pozitive pe T. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă K d T , m u l ţ i m e a K f| 8 e s t e î n c h i s ă î n 8, d e c i e s t e b o r e l i a n â î n 8. D e o a r e c e X e s t e m ă r g i n i t ă , Kf]8 este X-integrabilă. D i n propoziţia 8 rezultă că X este restricţia unei m ă s u r i p e T. C o r o l a r u l 2 . Dacă 8 este o mulţime închisă în T, orice măsură X > - 0 pe 8 este restricţia unei măsuri pozitive pe T. î n t r - a d e v ă r , p e n t r u o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă KdT, mulţimea Kf]S este închisă în T deci c o m p a c t ă , deci X-integrabilă. Se aplică apoi p r o p o z i ţ i a 8. P r o p o z i ţ i a 9 . Dacă măsura ţx este concentrată pe o mulţime MdT, atunci măsura indusă [i este concentrată pe M f\S. î n t r - a d e v ă r , 8 — M ~ 8 C\ £M d e c i s

s

^(8

- M) = tfOSfl CM) = ii* (CM) = 0

d e c i [L e s t e c o n c e n t r a t ă p e S — (8 — M) = S

8(]M.

363

MASURI I N D U S E

P r o p o z i ţ i a 10. Măsura

\i este nulă dacă şi numai s

dacă 8 este p -negii-

jabilâ. într-adevăr,

C o r o l a r . Dacă

S(ţi)

este suportul

lui

[i şi 8(\L )

este suportul

s

lui

avem s i v L s i c s n s i v L ) .

î n t r - a d e v ă r , ţx e s t e c o n c e n t r a t ă p e m u l ţ i m e a î n c h i s ă # ( ţ x ) , d e c i [i e s t e c o n c e n t r a t ă p e m u l ţ i m e a 8C\8([i) c a r e e s t e î n c h i s ă î n 8, i a r 8 ([i ) e s t e c e a m a i m i c ă m u l ţ i m e î n c h i s ă î n S p e c a r e e s t e c o n c e n t r a t ă \L . Observaţie. I n c l u z i u n e a S (\i ) CZ 8 f\8(\L) p o a t e fi s t r i c t ă . D e e x e m p l u , d a c ă ( i ^ O e s t e d i f u z ă şi 8 = { # } , a t u n c i [i = 0, d e c i a r e s u p o r t u l v i d . s

s

S

s

s

5. Integrarea în raport cu restricţia unei m ă s u r i

majorate

Fie m o măsură majorată pe T cu valori într-un spaţiu Banach X şi S c T u n subspaţiu local compact. L e m a 3 . Fie funcţia reală f: T -> R. Dacă funcţia f

s

s

D a c ă f<ţ> e s t e m - i n t e g r a b i l ă , a d i c ă | m | - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i / e s t e | m | - i n t e g r a b i l ă ( t e o r e m a 1) d e o a r e c e (f )' =f
8

£

s

F

i

s

s

s

s

s

e

Atunci f dm n

s

— \fs

dm

ml

s

deci

De

asemenea

<^|/;-/,|d|m|= ^|/ =

w

- / r d | m | < ( | / — / 1 d|inu 5

n

5

Î5

SUME D E MASURI. IMAGINI DE MASURI

364

CAP. V

deci U m [f dm

= [f?

J

'J

n

P e n t r u funcţiile f

n

avem J/«dm

Trecînd la limită

T e o r e m a 2 . Pentru

dm.

s

=

s

jj/;dni.

obţinem

orice

măsură

majorată

m pe

T cu valori

în

X

avem \m \

=

s

\m\ . 8

I n e g a l i t a t e a | m | < ; | m \ a fost deja d e m o n s t r a t ă . P e n t r u a d e m o n s t r a i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă , fie KciT o mulţime compactă. Mulţimea Kf]S e s t e b o r e l i a n â r e l a t i v c o m p a c t ă , d e c i e s t e | m | - i n t e g r a b i l ă , şi d e c i ( c o r o l a r u l t e o r e m e i 1 ) , Kf)S e s t e d e a s e m e n e a \m\ - i n t e g r a b i l ă şi c u a t î t m a i m u l t | m |-integrabilă. Din propoziţia 8 rezultă că m ă s u r a pozitivă |m 1 este restricţia unei m ă s u r i p o z i t i v e v p e T. s

s

s

s

5

\m \

=

8

v,,.

Din corolarul propoziţiei 7 deducem \m\

=(? |m|)

s

5

şi

5

| m|

=

s

v = 5

(

8

D i n l e m a 3 d e d u c e m c ă p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e feJC(T)

avem

Dar j^/,dm |<|j|/, |d|m,| =^|/ |dv 5

5

5

= jj|/;|dv =

J|/hfcdv

şi d e c i I m(/)| =

| J / ? d m +^f
<jjl/l? dv + ^ | / | 5

dm | < | j j / s

T

9

m

s

| + |ţj/?r-«

=ţ||/|d(9*v +

^d|m|

r

ă

dm

9 _ |m|) r

s

R e z u l t ă c ă m ă s u r a p o z i t i v ă 9 v +

|m| <

T

s

m


T

MĂSURI

365

INDUSE

U r m e a z ă c ă 9^ | m | < ; 9^ v şi d e c i ( c o r o l a r u l p r o p o z i ţ i e i 7 ) | m \ < = = | m \. Ţ i n î n d s e a m a d e i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă , d e d u c e m \m\ = \ m\ . T e o r e m a 3 . Fie E şi F două spaţii Banach astfel încît XaJl(E,F) şi funcţia i : S - > E. 1) Funcţia f este m - n e g l i j a b i l ă dacă şi numai dacă V este m-neglijabilă. 2 ) Funcţia t este m -mâsurabilâ dacă şi numai dacă f' este m-măsurabilă. 3) Funcţia f este m -integrabilă dacă şi numai dacă V este m-integra­ bilă. în acest caz avem s

s

s

s

s

s

s

ţjfdm

=

s

^f'dm.

Afirmaţiile rezultă din egalitatea Egalitatea ^ f d m

s

|m | 5

= |m|

= ^ f d m se d e m o n s t r e a z ă

5

ca

şi d i n t e o r e m a în lema

1.

3, luînd

u n şir (f J f o r m a t d i n c o m b i n a ţ i i l i n i a r e f i n i t e d e f o r m a S ? i ®% c u 9» e JC(8) şi x eE şi o b s e r v î n d c ă p e n t r u f u n c ţ i i l e 90? a v e m n

{

^9a?dm = ^ ^ d m ^ j x = | ^ 9 ' d m j x = J y ' x d m — J ( 9 0 ? ) ' d m 5

s

d e c i şi p e n t r u f u n c ţ i i l e

î

n

rezultă (jf dm n

=

s

|jf dm. n

Observaţie. Afirmaţia relativă la măsurabilitate rămîne valabilă p e n t r u orice funcţie definită p e 8 cu valori î n t r - u n s p a ţ i u topologic oarecare.

6. P r o p r i e t ă ţ i l e restricţiilor de m ă s u r i m a j o r a t e F i e X u n spaţiu B a n a c h , m o m ă s u r ă m a j o r a t ă pe T cu valori în X şi 8czT u n s u b s p a ţ i u l o c a l c o m p a c t . T o a t e p r o p r i e t ă ţ i l e r e s t r i c ţ i i l o r d e m ă s u r i p o z i t i v e se m e n ţ i n p e n t r u restricţia de măsuri majorate. P r o p o z i ţ i a 1 1 . Aplicaţia canonică j : 8 - > T este m -proprie şi s

j(m )

=

s

9 m. s

î n t r - a d e v ă r , j e s t e p r o p r i e p e n t r u m ă s u r a p o z i t i v ă | m \ = | m^ | d e c i e s t e p r o p r i e şi p e n t r u m ă s u r a m ( p r o p o z i ţ i a 5 ) . P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e feJC(T) avem s

s

J/d(

d

9 s

m ) = ^/9sdm = ţ j ( / o j ) d m * = ^ / J

deci j (m ) s

=

9 m. 5

m

( s)

SUME DE MASURI. IMAGINI DE MASURI

366

C o r o l a r . Fie T' un spaţiu local compcwt, prie şi a : 8 -> T' restricţia lui a la 8. Funcţia 6

a

m

s(
a

CAP. \T

J

OL : T -> T o funcţie a este m -proprie şi s

m-pro­

s

(?s4

î n t r - a d e v ă r , a e s t e | m | - p r o p r i e d e c i ( c o r o l a r u l p r o p o z i ţ i e i 5 ) , <x e s t e Iml^ = \m | - p r o p r i e , a d i c ă m - p r o p r i e . E g a l i t a t e a a ( m ) = a (

s

5

5

5

5

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 6. P r o p o z i ţ i a 13. Fie E şiF două spaţii Banach astfel încît Xd<£(E, F). Bacă g : T E este (simplu) local m-integrabilă, atunci restricţia g : 8 - > E este (simplu) local m -integrabilă şi s

s

gm s

=

s

(gmfc.

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 7, l u î n d feJC(8) dacă g e s t e l o c a l m - i n t e g r a b i l ă , s a u f JC (8) d a c ă g este simplu local m-inte­ g r a b i l ă şi ţ i n î n d s e a m a d e e g a l i t a t e a | | = |m \ . Corolar. m = (y m)$. P r o p o z i ţ i a 1 4 . O măsură majorată n pe 8 cu valori în X este restricţia unei măsuri pe T, dacă şi numai dacă, mulţimea Kf]8, este n-integrabilâ, oricare ar fi mulţimea compactă Kd T. D e m o n s t r a ţ i a este aceeaşi ca a propoziţiei 8. î n particular, propoziţia este a d e v ă r a t ă dacă măsura n este mărginită s a u d a c ă 8 e s t e u n s u b s p a ţ i u î n c h i s a l l u i T. cz

E

s

3

§22.

PRODUS

DE

s

MASURI

1. D e f i n i ţ i a m ă s u r i l o r p e u n s p a ţ i u p r o d u s F i e T şi 8 d o u ă s p a ţ i i l o c a l c o m p a c t e . S p a ţ i u l p r o d u s T x 8 e s t e d e asemenea local c o m p a c t . D î n d u - s e o m ă s u r ă m p e T şi o m ă s u r ă n p e 8, s e p u n e p r o b l e m a definirii în m o d n a t u r a l a u n e i m ă s u r i p e s p a ţ i u l p r o d u s T x 8 cu a j u t o r u l m ă s u r i l o r m şi n . V o m demonstra mai întîi cîteva leme. L e m a 1. Fie TJ o mulţime deschisă relativ compactă în T, V o mulţime deschisă relativ compactă în 8 şi E un spaţiu Banach. Orice funcţie f e JC (T x 8, TJ x V) poate fi aproximată uniform pe T x 8 prin sume finite de forma () u ¥ ^+ ^) E

s

fi

V).

c

u

a

e

367

PRODUS DE MASURI

8).

S ă n o t ă m c u K ( r e s p e c t i v L) p r o i e c ţ i a s u p o r t u l u i l u i f p e T ( r e s p e c t i v A v e m KczVşi LczV.

F u n c ţ i a f e s t e c o n t i n u ă p e m u l ţ i m e a c o m p a c t ă U x V, d e c i e s t e uniform continuă p e această mulţime. Fie e > 0 . Există o acoperire ( J - J ^ ^ , , a l u i K f o r m a t ă d i n m u l ţ i m i d e s c h i s e c o n ţ i n u t e î n TJ şi o a c o p e r i r e ( - B / ) K , ^ a lui L f o r m a t ă d i n m u l ţ i m i deschise, c o n ţ i n u t e în F , astfel încît oscilaţia funcţiei f p e fiecare m u l ţ i m e A JB, s ă fie < s. F i e ( « p ^ K ^ n ( r e s p e c t i v (Wi^Km) p a r t i ţ i e c o n t i n u ă a u n i t ă ţ i i s u b o r d o n a t ă a c o p e r i r i i (A ) a l u i K ( r e s p e c t i v s u b o r d o n a t ă a c o p e r i r i i (2?,) a l u i L).

W

x

{

0

{

P e n t r u f i e c a r e i f u n c ţ i a < p : T -> [ 0 , 1 ] a r e s u p o r t u l c o n ţ i n u t în p e n t r u fiecare j funcţia : 8 [ 0 , 1 ] a r e s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n JB, si 4

A

i9

n

m

Yi
teK

şi J ] <M«) =

1

pentru

seL.

deci S?i ( 0 +i (*) = ly

şi d e o a r e c e p e n t r u (£, s)&K

p e n t r u (t,

s)eKxL

x X a v e m f(£, s) = 0, u r m e a z ă

f ( M ) = E '(*>«) ?i(0

+j (*), p e n t r u

(t, s)e

că

TxS.

P e n t r u f i e c a r e i s ă a l e g e m u n p u n c t t ^A p e n t r u fiecare j să ale­ g e m u n p u n c t Sj^Bj şi s ă n o t ă m a = f ( ^ , * )eJS?. A v e m i

if

| f (t, s) — a \

<

a

e,

i9

y

pentru

(t, s)eA

x

i

B

i

şi d e c i |f(*, * ) — < M * ) I

<

£

> p e n t r u o r i c e (£, s)eT

x

8.

i.i

Ou a c e a s t a l e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţii. 1° D a c ă f u n c ţ i a / e s t e > 0, a t u n c i a > 0 şi r e n o t î n d , d e e x e m p l u ,

4

i ;

E ?*(*)+*(*) eu

eJC (T,

9k

U) şi

+

ty e:X (S, k

+

V).

k

2° R e n o t î n d g = a 9,., l e m a 1 s e p o a t e f o r m u l a a s t f e l : Orice funcţie f e JC (T x 8, TJ xV)se poate aproxima uniform prin sume finite de forma £ g ( t f ) ty (s) cu ^ ^JC (T, TJ) şi (p (=3£ (8, V). 3° D a c ă E e s t e o a l g e b r ă B a n a c h c u e l e m e n t u n i t a t e , r e n o t î n d 8* = u 9i Şi h* = e <J/, d e d u c e m c ă : k

{i

E

fc

a

k

k

B

k

+

368

SUME

D E MASURI.

IMAGINI

DE

MĂSURI

CAP.

V

Orice funcţie f (=JC (T X 8, TJ X V) se poate aproxima uniform sume finite de forma £ g (t) h (s) cu g e JC (T, TJ) şi h e JC (8, V). E

prin

fc

k

k

E

k

E

L e m a 2 . Fie X, E şi F trei spaţii Banach, (x, y) ->- xy o aplicaţie biliniară continuă a lui X x E în F şi m o măsură majorată pe T cu valori în X. Fie K a T şi L(Z 8 două mulţimi compacte. Pentru

orice funcţie

leJC (T

x 8, K

E

h(s)

=\t(t,

x L),

funcţia

s)dm(t)

aparţine spaţiului JC (8, L). R e a m i n t i m m a i î n t î i c ă , d e o a r e c e m ă s u r a m : JC (T) X este m a j o r a t ă i a r xy e s t e o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă c o n t i n u ă a l u i X x E î n F, m se p o a t e , , p r e l u n g i " î n m o d u n i c l a o m ă s u r ă m : JC (T) F (teo­ r e m a 5, § 8 ) . P e n t r u fiecare p u n c t s e 8 , funcţia p a r ţ i a l ă î definită p e T p r i n e g a l i t a t e a î (t) = t(s,t) e s t e c o n t i n u ă , c u s u p o r t u l c o n ţ i n u t î n K, cu v a l o r i î n E. A p l i c a ţ i a s -> î a l u i 8 î n JC (T, K) e s t e c o n t i n u ă p e n t r u t o p o ­ l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i f o r m e p e JC (T, K). D e o a r e c e m e s t e c o n t i n u ă p e JC (T, K) p e n t r u a c e a s t ă t o p o l o g i e , f u n c ţ i a c o m p u s ă s - > m (î ) defi­ n i t ă p e T c u v a l o r i î n F, e s t e c o n t i n u ă p e 8. D a r F

E

s

9

s

E

n

E

9

m (f.) -

Ji,(<) d m (t) =

(«, s) d m (t) = h (s)

d e c i h e s t e c o n t i n u ă p e 8. P e n t r u s $ L a v e m f (t, s) = 0 o r i c a r e a r fi t e T, d e c i h (s) = 0 şi d e c i heJC (S, L). Observaţii. 1° D a c ă se i a E = C ( s a u E = 22), -P = X şi xy î n m u l ­ ţ i r e a c u s c a l a r i î n X, l e m a 2 se e n u n ţ ă a s t f e l : E

Bacă f&JC(T aparţine spaţiului 2° D a c ă se i a l e m a 2 se e n u n ţ ă Bacăf

x 8, K x L), atunci funcţia li (s) = ţ f (t, s) d m (J) JC (8, L). E = X ' , F = C şi a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă (a?, # ' ) - > <x, x'>, astfel : X

e JC (Tx

8, KxL),

E

atunci funcţia

scalară

h (s) = j f (£, s) d m (/)

este continuă pe 8 cu suportul conţinut în L. 3° D a c ă X e s t e o a l g e b r ă B a n a c h , l u î n d E = F = X şi xy î n m u l ţ i r e a d i n a l g e b r a X , l e m a 2 se e n u n ţ ă a s t f e l : Bacă

teJC (T

x 8,

x

K x L),

atunci

funcţia

h(s)

= £f (t,

s)dm(t)

aparţine spaţiului JC (8, L). 4° D a c ă se d ă d e l a î n c e p u t m ă s u r a m : JC (T) -+F, l e m a 2 r ă m î n e a d e v ă r a t ă chiar d a c ă m n u este m a j o r a t ă . Astfel, în situaţia de la obser­ v a ţ i a 1°, n u e s t e n e c e s a r c a m ă s u r a m s ă fie m a j o r a t ă . T e o r e m a 1. Fie X, T şi Z trei spaţii Banach, (x, y) -> xy o aplicaţie biliniară continuă a lui X x Y în Z, m o măsură majorată pe T cu valori X

E

PRODUS DE

în X şi n o măsură p : X (T x 8) ->Z

369

majorată pe 8 cu valori în Y . Atunci definită prin egalitatea

p(/) =

d m ( « ) ) d n (*), pentru

este o măsură majorată pe T x 8 care verifică ^g(t)h(s) pentru

MĂSURI

pe

T x 8 cu valori egalitatea

d p (l, s) = ^g

orice funcţie geX(T) .Avem de asemenea

(t)

feX(T

x

gfc

k l

(«)

liniară

8)

în Z, şi este singura

dm(t)j

şi orice funcţie

aplicaţia

măsură

dn(*)j

($).

P (/) = ^ J / (*, *) d n («) j d m (I), p e n t n t

feX(TxS).

C o n f o r m l e m e i 2 ( o b s e r v a ţ i a 1°) d a c ă feX(TxS),

atunci funcţia

* - ^ / ( * , *) d m ( « ) definită p e 8 cu valori în X este continuă cu suport compact. Deoarece m ă s u r a n : X (T) - > Y e s t e m a j o r a t ă i a r a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă xy e s t e c o n ­ t i n u ă , p u t e m e x t i n d e m ă s u r a n l a o m ă s u r ă n : X (T) - > Z d e c i a r e s e n s x

P(/)

*) d m ( * ) j d n ( * ) .

A p l i c a ţ i a / - > p (/) a l u i ^ ( T x 8) î n Z e s t e l i n i a r ă . D e asemenea are sens * (/) = ^ / ( « , *) d | m | ( « ) ) d | n | (s), p e n t r u

feX(TxS).

Aplicaţia / - > e s t e o f u n c ţ i o n a l ă l i n i a r ă pozitivă pe l ( T x S ) d e c i e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T x fi. F i e a > 0 u n n u m ă r a s t f e l î n c î t \xy\^a\x\ \y\ p e n t r u o r i c e xeX şi y e Y . A t u n c i lp(/)l = | ^ / ( ^ « ) d m (<)Jdn(*)|l

d|m|(*)Jd|n|(*)=a (|/|) w

d e c i p e s t e o m ă s u r ă m a j o r a t ă d e m ă s u r a p o z i t i v ă a iz. F i e a c u m geX(T) şi heX(S) şi / (*,«) = g(t)h(s). P e n t r u f i e c a r e se8 avem ^g(t)h(s)ăm(t)

= ^ » ( * ) d m ( * ) J * ( « ) = m ($) * ( * )

370

SUME

DE

MĂSURI.

IMAGINI

DE

MASURI

CAP.

V

Şl || m (g) h (s) d n (s) = m (g) ^ h (s) d m (s) = m(g)n

(h)

deci y (t) h(s) d p (t, 8)=p(hg)

= ^g(t)h

= (jm(g) h (8) d n ( s ) = m ( g ) n ( h ) D a c ă p' = JC(T egalitatea

x 8)

^g(t)h(8)

(s) d m (l)J d n (*) =

= ^g

(t) d m (*)J

Z este o măsură

h(s)

care verifică

d p ' ( * , *) = | jjflf (*) d m ( I ) j ^ h ( s )

dn(s)j

de

asemenea

dn(*)j

p e n t r u geJC(T)şih<=JC (S), c o n f o r m l e m e i 1 , a v e m a t u n c i p (/) = p ' (/) p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e ^ ( T x 8), d e c i p = p ' şi a s t f e l u n i c i t a t e a m ă s u r i i p este demonstrată. D a c ă n o t ă m cu q m ă s u r a p e T x 8 definită prin egalitatea q(/) =

*) d n ( s ) ) d m ( * ) , p e n t r u f * J C ( T

x

8),

a t u n c i , c a m a i s u s , se a r a t ă c ă ţj (!) h (s) d q (t, s) = ^ ff

g (t) d m (*) |

h (8) d n (*))

p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e geJC(T) şi o r i c e f u n c ţ i e he JC (8). D i n u n i c i t a t e a m ă s u r i i p r e z u l t ă c ă p = q, d e c i P(/)

=

\i\

f { t j 8 )

ăn(8)

)

dm(t)

P 6 n t r u / e

'

T ( T

X

8 )

şi a s t f e l t e o r e m a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţie. D a c ă se i a d e l a î n c e p u t m ă s u r a n : JC (8) defini X

P < / ) =

\[\

f(ty

8) d m ( < )

(8)

)^ '

P 6 n t r U / e

X

-> E se p o a t e

i8)

f ă r ă a p r e s u p u n e c ă m şi n s î n t m a j o r a t e ; î n a c e s t c a z , p e s t e o măsură ( n u n e a p ă r a t m a j o r a t ă ) p e T x 8, c u v a l o r i î n Z. î n t r - a d e v ă r , fie CczT x 8 o m u l ţ i m e c o m p a c t ă , K p r o i e c ţ i a l u i C p e I şi L p r o i e c ţ i a l u i C p e 8. F i e a şi ft d o u ă n u m e r e c a r e v e r i f i c ă inegalităţile K

L

\m(g)\
\\g\\, p e n t r u g*JC(T,

|n(h)|<6,

!|h||, p e n t r u h€=7C (S,

K

x

K), L).

§ TI

PRODUS DE MASURI

371

Atunci, pentru orice funcţie fe JC (T x 8, C), avem IP(/)I

dm(*)Jdn(«)


P

<

< b a -sup | / ( « , « ) | = b a \\f\\ teT d e c i p e s t e c o n t i n u ă p e ^ ( T x 8, C) p e n t r u t o p o l o g i a c o n v e r g e n ţ e i u n i ­ f o r m e şi d e c i p e s t e o m ă s u r ă p e T x 8. Se verifică d e a s e m e n e a , ca î n d e m o n s t r a ţ i a teoremei, c ă p verifică egalitatea L

â

L

^ (f) h(s) d p ( « , « ) = ( ( < ) d

m

|

K

r

^h (s) d n (s) j

p e n t r u feJC(T) şi heJ£(S) şi c ă p e s t e s i n g u r a m ă s u r ă p e T x 8 c a r e verifică a c e a s t ă egalitate. B a c ă , î n p l u s , m e s t e m a j o r a t ă ( s a u d a c ă m : JC (T) - > Z şi X ~ = Jl ( Y , Z ) , a t u n c i p v e r i f i c ă d e a s e m e n e a e a g a l i t a t e a Y

p ( / ) = ^ / ( * , s) d n ( « ) J d m ( t ) , p e n t r u feJC{T D e f i n i ţ i a 1 . Fie biliniară şi continuă Fiind date două măsura majorată p : produsul măsurilor m î n loc de

x

8).

X, Y şi Z trei spaţii Banach şi (x,y) -> xy o aplicaţie a lui XxT în Z. măsuri majorate m : JC(T) X şi n : JC(8) - > Y , JC(T x 8) ->Z definită în teorema 1 se numeşte şi n s i s e notează m ® n .

J ( J / C » •) dm(*)Jdn(»)

Şi

$ ( $ / « > • > d n ( • ) ) d m (I)

v o m scrie, respectiv, Jdn(*)(j/(*,*)dm(<)

şi

[ d m (t) ţj/(«, «) d n (*)

şi l e v o m n u m i i n t e g r a l e i t e r a t e . P e n t r u integrala î n r a p o r t cu m ® n a unei funcţii / , definită p e T x S, s e folosesc n o t a ţ i i l e

J|j/dmdn

sau

jjjj/dndm

J(j/(M)dm(*)dn(«)

sau

ţj^/C» *)

d

n

sau

(*)

d

m

(*)•

P e n t r u a c e s t e n o t a ţ i i s e f o l o s e ş t e d e n u m i r e a d e integrală în raport cu m şi n .

dublă a

luif

SUME D E MĂSURI. IMAGINI

372

Cu aceste notaţii a v e m

DE

MĂSURI

CAP. V

egalităţile

^ / ( l , s) d m (*) d n (s) = J d m (*)

*) d m (*) = ţj d n (s) (j/(<, 0) d m (!)

p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f&X(T x #). Observaţii. 1° P r o d u s u l m ® n d e p i n d e şi d e a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă c o n t i n u ă xy. D e f i e c a r e d a t ă a c e a s t ă a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă v a fi p r e c i z a t ă , c î n d v a fi v o r b a d e s p r e p r o d u s u l a d o u ă m ă s u r i . D e e x e m p l u , d a c ă m şi n s î n t m ă s u r i s c a l a r e , a d i c ă d a c ă X = Y = = Z = C, xy e s t e p r o d u s u l o b i ş n u i t a l n u m e r e l o r . D a c ă X = 0 şi Y = Z> xy e s t e p r o d u s u l c u s c a l a r i î n Z. 2° M ă s u r a p o z i t i v ă n d e f i n i t ă p r i n e g a l i t a t e a iz(f) = ţ j d | m | ( ^ / ( * , * ) d | n | ( « ) , p e n t r u este produsul măsurilor pozitive TZ =

|m|

şi

f^X(Tx 8)

|n| :

|m| ® | n | .

D a c ă a > 0 e s t e u n n u m ă r c a r e v e r i f i c ă e g a l i t a t e a \xy\ < a\x\ p e n t r u x e X şi y e Y , d i n d e m o n s t r a ţ i a t e o r e m e i 1 r e z u l t ă c ă

\y\

|m ® n | < a |m| ® | n | . D a c ă \xy | <

\x\ \y\ p e n t r u o r i c e x e X şi y e Y, a t u n c i

|m ® n | <

|m| ® | n | .

3° S e v e r i f i c ă f ă r ă g r e u t a t e u r m ă t o a r e l e

egalităţi

a(m ® n ) = ( a m ) ® n = m ® ( a n ) , a s c a l a r ,

m ® (n + n') = m ® n + m ® n', ( m + m') ® n = m ® n

+ m ' ® n.

2. I n t e g r a r e a î n r a p o r t c u p r o d u s u l a d o u ă m ă s u r i F i e \i o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi v o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e 8 I n t e g r a l a d u b l ă î n r a p o r t c u [L şi v e s t e d e f i n i t ă p r i n e g a l i t ă ţ i l e t ) d M f ) d v ( t ) = J d u ( * ) $ / ( * , •)&*(•)

= ţdv(*)ţj/(«,

«)d(i(l)

p e n t r u feZ(T X 8). V o m a r ă t a c ă a c e s t e e g a l i t ă ţ i se p ă s t r e a z ă şi p e n t r u f u n c ţ i i l e s e m i ­ c o n t i n u e i n f e r i o r , d a r p e n t r u f u n c ţ i i / ^> 0 o a r e c a r i se p o t t r a n s f o r m a î n inegalităţi. Lema 3 . Pentru orice funcţie f > - 0 semicontinuă inferior pe T x 8 funcţia 9

PRODUS DE

este semicontinuă

inferior

J (j V Fie A

8)

mulţimea

373

MASURI

pe T si

J* /

(Iţi (t) d v (5) = ^ dfX (|) funcţiilor

heJC(T

x 8)

(t,

S) d V ( « ) .

astfel

încît

0 < f t < / .

Avem

^7(M)d|i(t)dv(«) =

*) dji (<) dv («) =

= s u p \ d(x (tf) \ A (J, s ) d v (s). MEA

J

J

Conform lemei 2, funcţiile

*

*)dv(«)

s î n t c o n t i n u e p e T şi c u s u p o r t c o m p a c t , şi d e c i f u n c ţ i a t - > s u p ( h(t, s) d v ($) = [ s u p A (tf, heA J J

d v (s) = [ f(t,s) J

d v (s)

e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r p e T şi (j djx

s)dv(s)

= (j d|i(<) suP^M*» * ) d v ( « ) =

supţjd(ji(«)^,*)dv(«).

Eezultă atunci că

J ţ j / (*, *) d(i ( t ) d v (5) = J*d|i (!) J / ( * ,

d v (s).

Observaţii. 1° S e d e m o n s t r e a z ă l a fel c ă d a c ă / > 0 e s t e o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r p e T x 8, a t u n c i f u n c ţ i a

/ ( ' , «)dji (*) este semicontinuă inferior p e # ş i ]

(j ^ f (*, t) d|i (<) d v ( ) = J*dv («) 5

t) d|i (*).

2° D a c ă / > 0 e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r p e T x 8 şi d a c ă

/ (*, «) dfi (*) dv (*) < oo,

SUME D E MASURI. IMAGINI DE MĂSURI

374

CAP.

V

atunci mulţimea

{*;

JV(',«)dv(«)#oJ

e s t e e g a l ă c u r e u n i u n e a u n u i şir d e m u l ţ i m i d e s c h i s e (x-integrabile, d e o a r e c e f u n c ţ i a t->^f(t,

s) d v ( s ) e s t e

semicontinuă

inferior ( v . p r o p r i e t a t e a 6,

punctul 3, § 5). 3° L e m a 3 e s t e v a l a b i l ă , î n p a r t i c u l a r , d a c ă f(t, pe T 8.

x

L e m a 4 . Pentru h

inf \^ (h

orice funcţie

f > 0 definită

este

pe T x 8

x

+

s)diL(t)

dv (s)

continuă

avem

* ) d | i ( O d v ( * ) > J * d | i ( < ) J / ( « , *) d v ( s ) , he9 (T

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u orice f u n c ţ i e ^h(t,

s)

8).

s e m i c o n t i n u ă inferior h^f

= ţjV(<) l j * A ( M ) d v W > j V ( ^ V ( < ,

avem

«)dv(«).

L u î n d î n m e m b r u l s t î n g m a r g i n e a inferioară p e n t r u t o a t e f u n c ţ i i l e din X 8), s e o b ţ i n e i n e g a l i t a t e a d i n e n u n ţ . Propoziţia 1. Pentru orice funcţie / > - 0 definită pe T x 8, nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise {x ® ^-integra­ bile, avem %> /

J (j*/(*, *) d[x (t) dv («) > ^d(x (t) ^f(t,

t

Dacă,

în plus,

^

f(t,s)

d v («) este

/(tf, s) d\i(t)

dv(s) <

pe complementara

s) d v (s).

+ oo,

atunci

reuniunii

unui

funcţia şir de

mulţimi

deschise \L-integrabile, din T. î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t caz a v e m ( p r o p o z i ţ i a 8, § 1 1 ) . d

/(<>*) M * ) d v ( » ) = injţjjj**(*> s)dy.(t)dv(s),

h<=3 (T +

x

8),

şi i n e g a l i t a t e a r e z u l t ă d i n l e m a 4. Dacă, în plus, integrala din stînga egalităţii precedente este finită, e x i s t ă o f u n c ţ i e h > / d i n 3 ( T x 8) c u +

^h(t, P e n t r u fiecare t e T ^f(t,

*)d|i(*)dv(«)<

+oo.

avem »)dv(*)<J**(«,

s)dv(s)

$ 22

PRODUS

DE

MASURI

375

C o n f o r m o b s e r v a ţ i e i 2° d u p ă l e m a 3 , f u n c ţ i a

h(t,

s) ăv(s)

este nulă

p e c o m p l e m e n t a r a r e u n i u n i i u n u i şir d e m u l ţ i m i deschise

(x-integrabile

d i n T. D i n u l t i m a i n e g a l i t a t e d e d u c e m c ă şi f u n c ţ i a t

f(t,

s)

ăv(s)

a r e a c e e a ş i p r o p r i e t a t e şi p r o p o z i ţ i a e s t e d e m o n s t r a t ă . Observaţii. 1°. î n condiţiile p r o p o z i ţ i e i a v e m d e a s e m e n e a

J J* / (*, s) d|i (*) d v 2° enunţul 3° u n u i şir

(s) > ^*d v (s)

J* / (*,

5)

d|i (*).

Se v a a r ă t a că dacă, în plus, / este măsurabilă, inegalitatea din propoziţiei se t r a n s f o r m ă î n e g a l i t a t e . D a c ă m u l ţ i m e a {(t,s)\f(t, s) > 0 } n u e s t e c o n ţ i n u t ă î n r e u n i u n e a d e m u l ţ i m i d e s c h i s e [i ® v - i n t e g r a b i l e , e s t e p o s i b i l s ă a v e m

°

=

f(ty

S\*

s ) d [ L { t ) d

< itâ^h(t,s)dy.

*

{ s )

< ^ M ' ) \ 7 ( « , ») d v (8) < d

(t) d v (*) =

+ oo,

fte3 (T +

x

S)

C o r o l a r u l 1. Dacă f este o funcţie (JL ® y-neglijabilâ, definită pe T x 8 cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise [L ® v-integrabile, atunci există o mulţime [L-neglijabilă AaT astfel îndt pentru tmA, funcţia s-+f(t, s) este v-neglijabilă. într-adevăr, 0 Din

= ^ V ( « , »)|d|i(«) dv(«)>ijd|i(*)ţ|*|/(*,

t)|

dv(s).

egalitatea r

\f(t,

rezultă că funcţia pozitivă t o m u l ţ i m e ţ i - n e g l i j a b i l ă AaT,

s)\dv(s)

= 0

\f(t, s) \ dv(s) e s t e (x-neglijabilă, d e c i e x i s t ă a s t f e l î n c î t p e n t r u tmAtâ, \f(t,

s)\dv(s)

=

avem

0.

A c e a s t a î n s e a m n ă c ă p e n t r u t&A, f u n c ţ i a s -+f(t, s) e s t e v-negli­ jabilă. C o r o l a r u l 2 . Dacă NaT x 8 este o mulţime \i ® v-neglijabilă, conţinută în reuniunea unui şir de mulţimi deschise [i ® v-integrabile,

SUME DE MĂSURI. IMAGINI DE MASURI

376

există o mulţime N după t:

[i-neglijabilâ N(t)

AdT, = {s\se

astfel 8,

(t,

încît pentru

CAP. V

tmA,

tăietura

lui

s)eN}

să fie

v-neglijabilă. î n t r - a d e v ă r , f u n c ţ i a s - > (?N(t)(s) e s t e e g a l ă c u f u n c ţ i a s -> f(t, s) este v-măsutabilă. F i e c a r e m u l ţ i m e G e s t e r e u n i u n e a u n e i m u l ţ i m i fx ® v-neglijabile şi a u n u i ş i r d e m u l ţ i m i c o m p a c t e , d i s j u n c t e d o u ă c î t e d o u ă p e c a r e / este continuă. n

n

Există

deci

o

p a r t i ţ i e a l u i T x 8, f o r m a t ă d i n t r - o m u l ţ i m e 00 jx® v - n e g l i j a b i l ă J T c i U ^ n j d i n t r - u n şir (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i s j u n c t e 71=1 00 d o u ă cîte d o u ă , c o n ţ i n u t e în U G astfel încît restricţia lui / la fiecare E n

n

n

»«=i

s ă fie c o n t i n u ă şi d i n m u l ţ i m e a (x ® v - m ă s u r a b i l ă B = T — U G , p e c a r e n

/

este constantă. E x i s t ă a t u n c i o m u l ţ i m e {x-neglijabilă AdT astfel încît p e n t r u tmA t ă i e t u r a N(t) a l u i N d u p ă t s ă fie v-neglijabilă. T ă i e t u r i l e K (t) a l e m u l ţ i ­ m i l o r K , s î n t s u b m u l ţ i m i c o m p a c t e a l e l u i 8, şi p e n t r u f i e c a r e ( e i P , f u n c ţ i a p a r ţ i a l ă s ->f(t, s) e s t e c o n t i n u ă p e f i e c a r e K (t) şi c o n s t a n t ă p e B(t). E e z u l t ă c ă p e n t r u te A f u n c ţ i a s -+f(t, s) e s t e v - m ă s u r a b i l ă , c o n f o r m principiului locafizării. C o r o l a r . Bacă Ea T x 8 este o mulţime fx ® v-măsurabilă conţinută în reuniunea unui şir (G ) de mulţimi deschise (x ® v-integrabile, atunci există o mulţime ^.-neglijabilă AdT astfel încît pentru te A, tăietura E(t) a lui E după t este o submulţime v-măsurabilă a lui 8. T e o r e m a 2 . ( L e b e s g u e - F u b i n i ) . Bacă f este j> funcţie definită pe T x8 cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R, (x® v-integrabilă şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise fx ® v-integrabile, atunci : 1) există o mulţime [L-neglijabilă AdT astfel încît pentru tmA func­ ţia s s) este v-integrabilă; 9

n

%

n

n

2) funcţia ^.-integrabilă

t - > ^f (t, s) dv (s) definită

[L-aproape

peste

şi

f (t, s) dfx (t) dv (s) = Cdjx {t) [t (t, s) dv {s).

tot pe

T

este

PRODUS DE MASURI

E x i s t ă u n şir ( h ) d e f u n c ţ i i d i n JC (T x 8) c o n v e r g e n t ţx ® va p r o a p e p e s t e t o t şi î n m e d i e (în J& (T x 8, ţx ® v)) c ă t r e f şi o f u n c ţ i e g > 0 definită p e T x 8, s e m i c o n t i n u ă inferior şi fx ® v-integrabilă, a s t f e l î n c î t s ă a v e m |h (J, s) | «< g(t s) p e n t r u orice n şi orice (t, s) e T x 8 (corolarul p r o p o z i ţ i e i 1 2 , § 7 ) . î n p l u s , p u t e m p r e s u p u n e c ă fiecare f u n c ţ i e h este o sumă finită de forma
E

l

E

n

y

n

i

{

i d e c i o m u l ţ i m e ţx ® v-neglijabilă NczT x 8, astfel î n c î t p e n t r u (t, s) c mN s ă a v e m l i m h (t, s) = f (£, n

A v e m de asemenea l i m ^ | h — f| dţx d v = 0 şi l i m ^ ^ h dţx d v = n

n

j

^f dţx d v .

D i n ipoteză rezultă că mulţimea N este conţinută în reuniunea unui şir d e m u l ţ i m i d e s c h i s e ţx ® v-integrabile, d e c i e x i s t ă o m u l ţ i m e ţx-neglij a b i l ă A C T, astfel î n c î t , p e n t r u fiecare t £ A să a v e m x

19

l i m h» (t,

8)

= î (t, s)

v-aproape p e n t i u orice 8e8 ( c o r o l a i u l 2 al p r o p o z i ţ i e i 1 ) . P e n t r u fiecare teT f u n c ţ i a s - > jr(J,s) e s t e s e m i c o n t i n u ă p e 8 şi ^ d | x (!) ^

(I,

dv

(#)

= J JV

(h • ) dfx (!) d v ( # ) <

E x i s t ă d e c i o m u l ţ i m e ţx-neglijabilă A cT să a v e m 2

^g(t,

D a c ă n o t ă m A = A \JA avem 1

t&A

8)dv(8)<

2J

+

2

oo.

m u l ţ i m e a A e s t e ţx-neglijabilă şi p e n t r u se8j

n-foo

£ (*, *) d v («) < + o o

Şi \b (t, s)\ n

o+o .

astfel î n c î t p e n t r u t& A

l i m h (tj s) = f (J, «), v-aproape p e n t r u orice

jj

inferior

g (t, * ) , p e n t r u orice n şi orice * e

SUME D E MĂSURI. IMAGINI D E MĂSURI

378

Conform

teoremei

lui Lebesgue,

pentru

t& A

CAP. V

funcţia

e s t e v - i n t e g r a b i l ă . D a c ă p e n t r u te A p u n e m ^f (t, s) ăv(s)

^ d f l (*)

I

ih

n

- JjV (*) | < jjV

(*, S) dv (S) -

(*, * ) ~

(!) jj Ih. (*, « ) - f ( « , « ) | d v (5) <

= 0, a v e m

C f (*, 5) d v (5)

* (*, * ) ] « V (8)

ţj ^* | h (I, tt

s - > t(t, s)

=

<

-

f

s)\ d[x (!) dv (5)

deci

l i m ij'dfx (*) |

(*, s) d v (*) - ijf (*, *) d v (*)

C u m f u n c ţ i i l e t->^i (t,s) n

ăv(s)

sînt

continue

pe T

şi c u

suport

c o m p a c t , r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a t - > ţjf (J, 5) d v (s) e s t e [ x - i n t e g r a b i l ă şi

ţjd(i (f) ţjf (f, 5) d v (5) = l i m ţjdp. (*) ^ h («, *) d v (5). n

P e n t r u f i e c a r e o?e25 şi ( p e l f T

^j#
x #)

— # ^ 9 ( t , s) ă[L(t)ăv(s)

avem = a?^d[x (^^9(5, t)ăv(s)

=

= y i ţ z (t) x^9 (tf, s) d v (5) = (jdţx (tf) jj#9(<, 5) d v (s) deci p e n t r u funcţiile h gh

n

n

avem

(f, *) dji (I) d v (5) = ţjdfx (*) j j h (f, 5) d v (s). n

Trecînd la limită în această egalitate obţinem (*, 5) djx (I) d v (5) = ijdţx («) ^f (*, 5) dv (*). Observaţii. 1° S e d e m o n s t r e a z ă l a fel c ă d a c ă f este [x ® v-integra­ bilă şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise (x ® vintegrabile, atunci : 1') există o mulţime v-neglijabilă B C S astfel încît pentru smB funcţia t - > f (t, s) să fie [L-integrabilă;

379

PRODUS DE MASURI

2 ' ) funcţia v-integrabilă

s ->(jf (t,s)

dţx (tf) definită

v-aproape

peste

tot pe

8

este

şi

g f (t, s) dţx (*) d v (s) = ţjdv (*) (jf (t, S) dţX (*). 2° î n

condiţiile

teoremei,

funcţia

t->^t(t,

s)ăv(s)

este

nulă

pe

c o m p l e m e n t a r a r e u n i u n i i u n u i şir d e m u l ţ i m i d e s c h i s e ţx-integrabile d i n T (propoziţia 1). 3° F i e f (t, s) o f u n c ţ i e d e f i n i t ă p e T x 8 c u v a l o r i î n E s a u Jî. D a c ă f u n c ţ i a s - > f (tf, s) e s t e v - i n t e g r a b i l ă , ţx-aproape p e n t r u o r i c e / şi d a c ă funcţia t

->jjf (t, s ) d v ( s ) d e f i n i t ă ţ x - a p r o a p e p e s t e t o t e s t e ţ x - i n t e g r a b i l ă ,

s p u n e m c ă e x i s t ă i n t e g r a l a i t e r a t ă ^dţx ^f d v . în

mod

asemănător,

dacă

funcţia

t - > f (t, s)

este

ţx-integrabilă,

v - a p r o a p e p e n t r u o r i c e s şi d a c ă f u n c ţ i a s - > ^f (t, s) dfx (t) d e f i n i t ă v - a p r o a p e p e s t e t o t , e s t e v - i n t e g r a b i l ă , s p u n e m c ă e x i s t ă i n t e g r a l a i t e r a t ă ^ d v ^ f djx.

unui

T e o r e m a lui L e b e s q u e - F u b i n i se e n u n ţ ă a c u m a s t f e l : Dacă f este v-integrabilă şi nulă pe complementara reuniunii şir de mulţimi deschise ţx ® v -integrabile, atunci integralele iterate

^dţx^fdv

şi ^ d v ţ j f d(x există

şi avem

j j î d[xdv =

egalitatea

^d|x y d v = jjdv (jf d ţ x .

D a c ă însă u n a sau ambele integrale iterate există, n u rezultă că f e s t e (x ® v - i n t e g r a b i l ă şi n i c i c ă i n t e g r a l e l e i t e r a t e s î n t e g a l e . ( D a c ă f e s t e (x x v m ă s u r a b i l ă , a t u n c i v e z i c o r o l a r u l p r o p o z i ţ i e i 3 ) . C o r o l a r u l 1. Dacă ţx şi v sînt mărginite şi dacă t(t, s) este ţx ® v-inte­ grabilă, atunci există integralele iterate şi ţ ^ f dţx d v =

|jdţx (jf dţx = (jdv (jf dţx .

î n t r - a d e v ă r , d i n l e m a 3 r e z u l t ă c ă ţx ® v e s t e m ă r g i n i t ă d e c i T x 8 e s t e o m u l ţ i m e d e s c h i s ă ţx ® v - i n t e g r a b i l ă . C o r o l a r u l 2 . Dacă f(t, s) este o funcţie > - 0 semicontinuă inferior pe T x 8 şi dacă este ţx ® v-integrabilă, atunci integralele iterate există şi ^ f dţx d v =

ţjdţx ^ f d v =

^ d v ^f dţx.

SUME D E MASURI. IMAGINI DE MASURI

380

CAP. V

î n t r - a d e v ă r , o funcţie s e m i c o n t i n u ă inferior integrabilă, este n u l ă p e c o m p l e m e n t a r a r e u n i u n i i u n u i şir d e m u l ţ i m i d e s c h i s e i n t e g r a b i l e . C o r o l a r u l 3 . Dacă E a T x 8 este o mulţime \L ® v-integrabilă conţinută în reuniunea unui şir de mulţimi deschise \L ® v-integrabile atunci : există o mulţime [L-neglij abilă AaT astfel încît pentru tmA, tăietura E(t)a.S este [L-integrabilă; funcţia t -» v(E(t)) definită [L-aproape peste tot pe T este [L-integrabilă şi y

y

([L®

d[L(t).

V) (E)=^(E(t))

Observaţie. D a c ă E e s t e d e s c h i s ă s a u d a c ă [L şi v s î n t m ă r g i n i t e , c o n d i ţ i a c a E s ă fie c o n ţ i n u t ă î n r e u n i u n e a u n u i ş i r d e m u l ţ i m i d e s c h i s e [L ® v - i n t e g r a b i l e e s t e d e p r i s o s . P r o p o z i ţ i a 1 şi t e o r e m a 1 se p o t p r e c i z a : P r o p o z i ţ i a 3 . Dacă f > - 0 este o funcţie [L ® v-măsurabilă nulă pe complementara reuniunii unui sir (G ) de mulţimi deschise [L ® v-integran

g / ( I, S) &[L (t) d v (S) = ^ d[L(t)

/ ( « , S) d v (S).

P u t e m p r e s u p u n e c ă ş i r u l (G' ) e s t e c r e s c ă t o r . P e n t r u f i e c a r e n s ă n o t ă m f = inf (n, f y ). F i e c a r e f u n c ţ i e f e s t e [L ® v - m ă s u r a b i l ă , m ă r ­ g i n i t ă şi n u l ă î n a f a r a m u l ţ i m i i d e s c h i s e [L ® v - i n t e g r a b i l e G deci f . e s t e [L ® v - i n t e g r a b i l ă şi / = s u p / . P e n t r u f i e c a r e t e T a v e m n ^ /(*, s) dv (*) = ţ| s u p f (t, s) d v (*) = s u p ^ f (*, s) d v (*) n

n

0n

n

nj

ti

n

n

n

C o n f o r m t e o r e m e i 1 , f u n c ţ i a t-+f (t,s) este integrabilă, cu ex­ c e p ţ i a p u n c t e l o r t a p a r ţ i n î n d u n e i m u l ţ i m i fx-neglijabile, i a r f u n c ţ i a t -> n

\^f (t, s ) d v ( s ) , d e f i n i t ă j x - a p r o a p e p e s t e t o t , e s t e y.-integr a b i l ă . n

Eezultă

că funcţia t "> |jVn («,

S)

e s t e e g a l ă fx-aproape p e s t e t o t c u f u n c ţ i a * -> j j / * şi d e c i e s t e j i - m ă s u r a b i l ă . A t u n c i t->^f{t,

dv

(S)

fx-integrabilă

*) d v (s) funcţia s)dv(s).

e s t e [ x - m ă s u r a b i l ă c a a n v e l o p ă s u p e r i o a r ă a u n u i şir d e f u n c ţ i i ( x - m ă s u r a b i l e .

§ 22

PRODUS DE MASURI

381

Deoarece Vf (t, n

S)dv(s)

= [f (t,

S)ăv(s)

n

(x-aproape p e s t e t o t , p e n t r u f i e c a r e n, i a r f u n c ţ i i l e d i n cei d o i m e m b r i a i egalităţii formează d o u ă şiruri crescătoare de funcţii pozitive, a v e m ( ţ * / ( * f *) d(x (t) dv (0) = s u p ^ / = s u p Jdţx (*) ţj /

w

n

(*, «) dţx (I) dv (s)

(*, 0) d v (0) = s u p J dţx (*) ţj /

n

=

«) dv (0)

=

- J*dţx (*) s u p ţj*/* Ci *) dv (0) = ţj*dţx (*) J V ( « , *) dv (0) şi p r o p o z i ţ i a este d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r . Fie_t o funcţie definită pe T x 8 cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R, ţx ® v-măsurabilă şi nulă pe complementara reuniunii •unui şir de mulţimi deschise fx ® v-integrabile. Pentru ca integralele g f («, 0) dţx (t) dv (0), 0â existe

Jdţx (I) J f (*, 0) d v (0),

toate şi să fie egale, este necesar

şi suficient

ca una din

integralele

C'dv (*) ^ |f (*, S)\ d(X (I)

TdfX (*) r |f (t, 8)\ dv («), să fie

J d v (0) (j f (*, 0) dţx (I)

finită. Dacă, de exemplu, J'dţx

(*)J*|f (t., 0)|

dv (0)<

+

00

d i n p r o p o z i ţ i a p r e c e d e n t ă şi d i n c r i t e r i u l d e i n t e g r a b i l i t a t e r e z u l t ă c ă f e s t e ţx ® v - i n t e g r a b i l ă . D i n t e o r e m a 2 r e z u l t ă c ă cele d o u ă i n t e g r a l e i t e r a t e e x i s t ă şi s î n t e g a l e c u i n t e g r a l a l u i f î n r a p o r t c u ţx ® v. E e c i p r o c , d a c ă f e s t e ţx ® v - i n t e g r a b i l ă , a t u n c i | f | e s t e ţx ® v-inte­ grabilă, deci există integralele iterate Jdţx (!) ţj| f (t, 0) | dv (0)

şi J

d v

( 8 )

J | / (t, 0)| dţx (t)

şi d e c i i n t e g r a l e l e s u p e r i o a r e i t e r a t e s î n t f i n i t e . Observaţie. O funcţie f > - 0 semicontinuă inferior pe T x 8 este ţx ® v-integrabilă, dacă şi numai dacă există una din integralele iterate. î n t r - a d e v ă r , / e s t e ţx ® v - m ă s u r a b i l ă , şi d i n l e m a 3 r e z u l t ă / d ţ x dv < 8

00

SUME D E MASURI. IMAGINI D E

382

MASURI

CAP.

V

3 . I n t e g r a r e a f u n c ţ i i l o r s c a l a r e In r a p o r t c u p r o d u s u l a d o u ă m ă s u r i vectoriale Vom considera m a i multe cazuri. a) F i e JT, Y şi Z t r e i s p a ţ i i B a n a c h şi (x, y)-> xy o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă c o n t i n u ă a l u i X x Y î n Z. Fie m o m ă s u r ă m a j o r a t ă definită pe T cu valori în X , n o m ă s u r ă m a j o r a t ă d e f i n i t ă p e 8 c u v a l o r i î n Y şi m ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r m şi n , r e l a t i v l a a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă xy. T e o r e m a 3 . Dacă f este o funcţie scalară definită pe T x 8, integrabilă în raport cu măsura | m | ® | n | şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise | m | ® \n\-integr abile, atunci: 1) funcţia f este m ® n-integrabilă; 2 ) există o mulţime m-neglij abilă AdT astfel încît pentru t&A funcţia s ->f(t, s) este n-integrabilă.

r

3) funcţia m-integrabilă

t - > \f(t,

s) d n (s) definită

m-aproape

peste

tot pe

T

este

şi f(t,

s)dm(t)

dn(s)

=\dm(*)\/(t,

s)dn(s).

F a p t u l că / este m ® n-integrabilă rezultă din inegalitatea | m ® n | < a | m | ® |n|, u n d e a > 0 este u n n u m ă r care verifică inegali­ t a t e a \xy\^a\x\ \y\ p e n t r u x<=X şi yeY. D i n t e o r e m a lui L e b e s g u e - F u b i n i r e z u l t ă că e x i s t ă o m u l ţ i m e |m |-ne­ g l i j a b i l ă , d e c i m - n e g l i j a b i l ă , AaT, a s t f e l î n c î t p e n t r u t&A funcţia s-> f(t, s) e s t e |n | - i n t e g r a b i l ă , d e c i n - i n t e g r a b i l ă . P e n t r u d e m o n s t r a r e a u l t i m u l u i p u n c t , fie ( / ) u n şir d e f u n c ţ i i scalare continue cu suport c o m p a c t definite p e T x 8 convergent | m | ® |n ( - a p r o a p e p e s t e t o t şi î n m e d i e , î n J>l(TxS, | m | x |n|) c ă t r e / . A v e m deci n

Atunci

deci

adică

§ 22

PRODUS

DE

MASURI

383

P e de altă parte ^*d | m | (I) | (j/„ (I, s)ân(s)-^f

= ^d|m|(t)|J

(«, «) d n (*)

[/„(«, « ) - / ( * , * ) ] d n ( * )

|

<j|*d|m|(*)J|/.(«, s) - / ( < ) « ) | d | n | ( « ) = \\f (t,«)-/(*,

«)|d|m|®|n|

n

deci l i m (j*d | m | (*) |

J /.

(t, s) dn(s)

-

(*, «) d n («)

-

0

D e o a r e c e f u n c ţ i i l e J - ^ / „ (<, s) d n (s) s î n t m - i n t e g r a b i l e , r e z u l t ă c ă

tac a ţi

, - ^ / „ . „ d n , , , , definit. M-aproape peste tot pe

g r a b i l ă şi l i m ^ d m (I) ^f

n

P e n t r u funcţiile f

n

jţ/.

(t, *) d n

(*)

= J dm

(I)

J/(t, *) d n

(*).

avem

(*> «) d m (I) d n (*) = ţj d m (t) ^f

n

(I,«) d n (*).

T r e c î n d l a l i m i t ă î n a c e a s t ă e g a l i t a t e , se o b ţ i n e e g a l i t a t e a d i n e n u n ţ u l teoremei. C o r o l a r . Bacă | m ® n | = | j n | ® | n | şi dacă f este o funcţie sca­ lară definită pe T x 8, m ® n-integrabilă, nulă pe complementara reu­ niunii unui şir de mulţimi deschise m®n-integr abile, atunci : 1 ) există o mulţime m-neglijabilă AciT astfel încît pentru t & A, funcţia s-*f(t, s) este n-integrabilă; 2 ) funcţia m-integrabilă

t -^^f(t,s)

d n ( s ) definită

m-aproape

peste

ţj/ («, s)

d n (*).

tot pe T este

şi ţj

/ ( I , s) d m (t) d n (s) = (j d m (t)

6) F i e E, Y şi (? t r e i s p a ţ i i B a n a c h şi (x, y) -> xy o a p l i c a ţ i e n i a r ă c o n t i n u ă a l u i E x Y î n
bili­

SUME D E MASURI.

384

IMAGINI D E

MASURI

CAP. V

F i e ţx o m ă s u r ă s c a l a r ă p e T , n o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e 8 c u v a l o r i î n r şi (JL ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r (x şi n r e l a t i v l a p r o d u s u l c u s c a l a r i î n Y. M ă s u r a ţ x ® n a r e v a l o r i î n Y c a şi m ă s u r a n . T e o r e m a 4 . Bacă f:TxS-+E este o funcţie | (x | ® | n | -integra­ bilă şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise | (x | ® | n {-integrabile, atunci : 1) funcţia î este [i®n-integrabilă; 2) există o mulţime ^.-neglijabilă AdT astfel încît pentru tmA, funcţia s - > f(tf, s) este n-integrabilă; 3) funcţia valori

t - > J f (t, s) d n (s)

în G este \k-integrabilă t(t,s)

definită

[i-aproape

peste

valori

s-+\l(t,

pe

T

cu

şi

djx (t) d n (s) = Jd(x(t) jjf (t, s) d n (s)

D e m o n s t r a ţ i a este aceeaşi ca a teoremei 3. P u n c t e l e 2) şi 3) d i n t e o r e m ă p o t fi î n l o c u i t e c u : 2') există o mulţime n-neglijabilă Bd8 astfel încît funcţia t - > t(t, s) este ^-integrabilă) 3') funcţia

tot

s) d\L(t)

în E este n-integrabilă

definită

n-aproape

peste

pentru tot pe

SGB, 8

cu

şi

f (t, s) dfx (t) d n (s) = ţj d n (s) J f (t, s) djx (t) Observaţie. T e o r e m a e s t e v a l a b i l ă , î n p a r t i c u l a r , d a c ă Y = C, G = E şi n e s t e o m ă s u r ă s c a l a r ă . î n a c e s t c a z , t e o r e m a v a fi p r e c i z a t ă m a i d e p a r t e . c) F i e E o a l g e b r ă B a n a c h , m o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T c u v a l o r i î n E, n o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e 8 c u v a l o r i î n E şi m ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r m şi n r e l a t i v l a p r o d u s u l xy d i n a l g e b r a E. T e o r e m a 5 . Bacă f : T x 8 - > E este o funcţie | m | ® | n | -inte­ grabilă şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise | m | ® | n {-integrabile, atunci : 1) funcţia f este m ® n - i n t e g r a b i l ă ; 2) există o mulţime m-neglijabilă AdT astfel încît pentru t&A, funcţia s -+l(t,s) este n-integrabilă; 3) funcţia valori

t - ^ f ( t f , s) d n (s),

în E este m-integrabilă

definită

m-aproape

peste

şi

ţ|(j f (t, s) d m (t) d n (s) = ţj d m (t) jj f (t, s) d n (s). D e m o n s t r a ţ i a este aceeaşi ca a teoremei 3.

tot pe

T

cu

PRODUS DE

385

MASURI

4. P r o p r i e t ă ţ i l e p r o d u s u l u i d e m ă s u r i a . Proprietăţi

ale integralei

superioare

P i e (JL o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e T şi v o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e 8. L e m a 5. Pentru orice funcţie g > - 0 definită pe T şi orice h ; > 0 definită pe 8, avem*)

J*dji

(*)

(t) h(s)dv

=ţ

(s)

^g (t) d p ( * )

î n t r - a d e v ă r , p e n t r u fiecare l e î ^

(*) h (s) d v («) -

=4-00.

chiar dacă

Avem

JV(*)^(*)*W

j ( J**

(•) d v (*)

funcţie

j.

avem g (t)

(s) d v (*)

apoi

dv(*)-^J**(»)

dv(*)J^(*)dpi(#)

=

= Q**Wdv(«)J^(*)d i(*)J l

chiar d a c ă ^ A(s)dv(s) = Observaţie.

+ 00

Avem de asemenea

v (s) ^ g (t) h (s) d|x (t) = ( J*jr (I) dfx (#)J funcţie

P r o p o z i ţ i a 4 . Pentru orice funcţie h ; > 0 definită pe 8 avem h (S) dţL (t) d V (

§g(t)

* ) =

[ ^flf (|)

g > 0,

d{X ( * )

(s) d v (s)j definită

j I

J**

pe

T

şi

orice

(S) d V ( « ) )

a ) S ă p r e s u p u n e m m a i î n t î i c ă g şi h a u s u p o r t u r i l e c o m p a c t e . A t u n c i f u n c ţ i a (t, s) -> g(t) h(s) a r e s u p o r t c o m p a c t în T x 8. Conform propoziţiei 1 a v e m atunci §g

(t) h (s) d|x (*) d v ( * ) > ^ d f x (t) ^*g («) A (•) d v (#)

deci, conform lemei precedente, §9

(*) * W dft («) d v ( « ) > [ ^g (t) d(i (f)J |

(*) d v (*) j •

*) Dacă în membrul drept unul din factori este 0 iar celălalt este 4- 00, atunci membrul drept este 0, conform convenţiei făcute, 0-oo = 0.

SUME

386

D E MASURI.

IMAGINI

DE

MASURI

CAP. V

b) P e n t r u a d e m o n s t r a i n e g a l i t a t e a c o n t r a r ă s ă p r e s u p u n e m m a i întîi că m e m b r u l d r e p t n u este d e forma 0 • oo. F i e 9' > 9 o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r p e T şi h' >> h o f u n c ţ i e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r p e 8. F u n c ţ i a g' (t) h' (s) e s t e s e m i c o n t i n u ă i n f e r i o r pe T x 8. F o l o s i n d l e m a 3 şi l e m a 5 d e d u c e m ^g

=

(t) h(s) dţx(t) dv (s) < g V ( * ) V(s) dţx (t) d v (s) =

(*)J V ( ' ) V(s) d v (s) = j J V(«) dţx(*)j j Jj V ( « ) d v ( , ) )

L u î n d î n m e m b r u l d r e p t m a r g i n e a i n f e r i o a r ă p e n t r u t o a t e f u n c ţ i i l e g şi fe' > fe, o b ţ i n e m i n e g a l i t a t e a +

(t) dţx (*) |

§*g (t) h (s) dţx (*) d v (s) < [

ţJ \

(0) d v

(«)J

de unde rezultă egalitatea din enunţ, în acest caz. î n a i n t e de a trece m a i departe să observăm că dacă i c î s î n t r e l a t i v c o m p a c t e , l u î n d g =

(ţx® v)* ( J .

x J5)

1

şi

Bcz8

B

= ţx* ( A ) v* ( 5 ) .

î n p a r t i c u l a r , d a c ă AdT e s t e ţx-neglij a b i l ă şi Bci8 e s t e r e l a t i v c o m p a c t ă , a t u n c i AxB este ţx®v-neglijabilă. c) S ă p r e s u p u n e m a c u m c ă m e m b r u l d r e p t e s t e d e f o r m a O o o . D a c ă , d e e x e m p l u , J g(t) dţx(tf) = 0 , a t u n c i m u l ţ i m e a A == {te T\ g {t) =j= =£0} e s t e ţx-neglijabilă, m u l ţ i m e a B = {s<=8\ h (s) =f= 0 } e s t e r e l a t i v c o m p a c t ă , d e c i AxB e s t e ţ x ® v - n e g l i j a b i l ă . D e o a r e c e {(t, s)eTx8\ g(t)%(s)=J=0}c:AxB, r e z u l t ă c ă f u n c ţ i a g(t) h(s) e s t e ţx® v - n e g l i j a b i l ă , deci §g

(*) h (s) dţx (*) d v (s) = ( ^g (t) dţx (*)) | J*7* (0) d v (*) j = 0

d) D a c ă gf şi h n u a u s u p o r t u r i c o m p a c t e , p e n t r u o r i c e c o m p a c t e KczT şi La 8 a v e m

î = (

9 (t)
9L

(<) ? * (*) dţx (*)) |

mulţimi

(*) dţx (t) d v (*) =

(0) * (0) d v («)} • L

C u m o r i c e m u l ţ i m e c o m p a c t ă CcTxS este conţinută într-o mulţime c o m p a c t ă d e f o r m a KxL c u KczT şi LczS, l u î n d m a r g i n e a s u p e r i o a r ă p e n t r u t o a t e m u l ţ i m i l e c o m p a c t e KczT şi Lcz8, o b ţ i n e m e g a l i t a t e a d i n enunţ.

§ 22

PRODUS DE MĂSURI

387

Ou a c e a s t a p r o p o z i ţ i a e s t e c o m p l e t d e m o n s t r a t ă . C o r o l a r u l 1. Dacă jx si v sînt mărginite, atunci si jx® v este şi j | ( x ® v | | =

mărginită

l l ^ l l ||v||.

C o r o l a r u l 2 . Pentru

orice mulţime

(ji®v)*

(JLXJB) =

AaT

şi orice mulţime

(x* (A)

Ba8

avem

v*(JB).

7

C o r o l a r u l 3 . D a c a J - C Z Î este ^.-neglijabilă, atunci AxB este j x ® v -neglijabilă oricare ar fi mulţimea Ba8. î n p a r t i c u l a r , d a c ă A e s t e (x-neglijabilă, a t u n c i Ax8 e s t e (x® v-ne­ g l i j a b i l ă şi r e c i p r o c , d a c ă v ^ O şi J.x# este (x®v-neglijabilă, atunci A e s t e (x-neglijabilă. D e asemenea, d a c ă B este v-neglijabilă, a t u n c i m u l ţ i m e a AxB e s t e j x ® v - n e g l i j a b i l ă o r i c a r e a r fi m u l ţ i m e a AaT.

b . Proprietăţi

ale funcţiilor

măsurabile

F i e X , Y şi Z t r e i s p a ţ i i B a n a c h , y) -> xy o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă c o n t i n u ă a l u i X x Y î n Z şi a > 0 u n n u m ă r a s t f e l î n c î t \xy \ ^ a \ x\ \y\ p e n t r u o r i c e xeX şi y <E Y : F i e m o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T c u v a l o r i î n X, n o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e # c u v a l o r i î n Y şi m ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r m şi n r e l a t i v l a a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă xy. P r o p o z i ţ i a 5 . Dacă AaT este o mulţime m-neglijabilă, atunci AxB este m ® n-neglijabilă oricare ar fi Ba8. î n t r - a d e v ă r , A e s t e | m | - n e g l i j a b i l ă , d e c i AxB este | m | ® | n | — ne­ g l i j a b i l ă . D i n i n e g a l i t a t e a | m ® n | < ; | i n | ® | n | r e z u l t ă c ă AxB este | m ® n |-neglijabilă, adică m ® n-neglijabilă. E e c i p r o c , d a c ă | m ® n | = | m | ® | n | i a r n=^0 şi d a c ă Ax8 este m ® n-neglijabilă, a t u n c i A este m-neglijabilă. C o r o l a r . între suporturile măsurilor m , n şi m ® n avem următoarea relaţie 8{m®n)aS(m)xS(n). Dacă | m ® n | = | m | ® | n | , atunci 8(m®n) = 8(\n) x8 ( n ) . î n t r - a d e v ă r , C 8 ( m ) e s t e d e s c h i s ă şi m - n e g l i j a b i l ă şi C ® ( ) ^ e d e s c h i s ă şi n - n e g l i j a b i l ă , d e c i C8(m)x8 şi TxC^(n) s î n t d e s c h i s e şi m ® n - n e g l i j a b i l e . D e o a r e c e C (8 (m) x 8 (n)) s t e r e u n i u n e a m u l ţ i m i l o r C8(m)xS şi TxC#(n), r e z u l t ă c ă C (8(m) x8(n)) e s t e d e s c h i s ă şi m ® n - n e g l i j a b i l ă . U r m e a z ă c ă S (m®n)aS (m) x S (n). Să presupunem a c u m că | m ® n | = | m | ® | n | . F i e UxVaTxS o m u l ţ i m e deschisă m ® n - n e g l i j a b i l ă , deci | m | ® | n | - n e g l i j a b i l ă . D i n corolarul 2 al propoziţiei 4 deducem că u n a din mulţimile U sau V este neglijabilă, deci n

e

C^(m®n)e(C^(m)x^)U(^xC^(n))

=

C(8(m)x8(n))

e s

CAP. V

d e u n d e 8 (m®n)Z)8

(m)x8

( n ) şi d e c i

#(m®n) =

8(m)x8(n).

P r o p o z i ţ i a 6 . Fie E F şi G trei spaţii topologice şi u ; E x F ->G o funcţie continuă. Dacă g : T -> E este o funcţie m-măsurabilă şi h : 8 - > F este o funcţie n-măsurabilă, atunci funcţia (t, s)->u ($(t), h(s)) definită pe TxS cu valori în G este m® n-măsurabilă. S ă a r ă t ă m m a i î n t î i c ă a p l i c a ţ i a (t, s) -> g(t) a l u i TxS în E este m ® n-măsurabilă. F i e Ca T x 8 o m u l ţ i m e c o m p a c t ă şi fie Ka T şi La8 două mul­ ţ i m i c o m p a c t e a s t f e l î n c î t CaK x L. D e o a r e c e f u n c ţ i a g : T -> E e s t e m-măsurabilă, există o p a r t i ţ i e a lui K f o r m a t ă dintr-o m u l ţ i m e m-negli­ j a b i l ă N şi d i n t r - u n ş i r (K ) d e m u l ţ i m i c o m p a c t e d i n T, a s t f e l î n c î t r e s ­ t r i c ţ i a l u i g l a f i e c a r e K s ă fie c o n t i n u ă . A t u n c i m u l ţ i m e a NxL este m ® n - n e g l i j a b i l ă i a r r e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i (t, s)->$(t) l a fiecare m u l ţ i m e c o m p a c t ă K xL e s t e c o n t i n u ă . M u l ţ i m i l e NxL şi K xL formează o p a r t i ţ i e a l u i KxL, d e c i m u l ţ i m i l e Cf](NxL) şi Cf](K xL) for­ m e a z ă o p a r t i ţ i e a l u i C. C u m m u l ţ i m e a CC\(NxL) este m®n-neglij a b i l ă şi m u l ţ i m i l e CC\(K xL) sînt c o m p a c t e i a r restricţia funcţiei (t, s) -> g(t) l a f i e c a r e m u l ţ i m e Cf](K xL) este c o n t i n u ă , r e z u l t ă că func­ ţ i a (t, s) -> $(t) e s t e m ® n - m ă s u r a b i l ă . î n m o d a s e m ă n ă t o r d e d u c e m c ă a p l i c a ţ i a (t, s) ->h(s) a lui TxS î n F e s t e m ® n - m ă s u r a b i l ă . D e o a r e c e f u n c ţ i a u:ExF->G este con­ t i n u ă , u r m e a z ă c ă a p l i c a ţ i a (t,s) u($(t), h ( s ) ) a l u i TxS î n G e s t e [x®vmăsurabilă. î n particular, propoziţia p r e c e d e n t ă se aplică în u r m ă t o a r e l e cazuri : 1) E e s t e o a l g e b r ă B a n a c h , u(x, y) = xy ( p r o d u s u l d i n a l g e b r a E), g : T -> E şi h : 8 E. 2) E s p a ţ i u B a n a c h , F = C, u(x, y) = xy ( p r o d u s u l c u s c a l a r i î n E), g : T -> E şi h : 8 C. 3) F = W, u (x, y) = <x, y > p e n t r u xeE şi yeE', g : T -> E şih:S->E'. E = F = C, u (x, y) = xy ( p r o d u s u l n u m e r e l o r ) , g : T G şi f

n

n

n

n

n

n

n

h : # -> C. 5) G=ExF. î n a c e s t c a z a p l i c a ţ i a (J, 0) -> (g (t), h (s)) a l u i T x S î n -E/x-F e s t e m ® n - m ă s u r a b i l ă . C o r o l a r . Dacă AaT este o mulţime m-măsurabilă iar BaS este o mulţime n-măsurabilă, atunci mulţimea AxB este m®n-măsurabilă.

c. Proprietăţi

ale funcţiilor

integrabile

în raport

cu măsuri

scalare

P r o p o z i ţ i a 7. Fie \L O măsură scalară pe T şi v o măsură scalară pe 8. Fie E, F şi G trei spaţii Banach şi (x, y) -> xy o aplicaţie biliniară continuă ă lui ExF în G. Dacă g : T -> E este o funcţie p-integrabilă

£22

PRODUS DE MASURI

389

iar h : 8 F este o funcţie v-integrabilă, atunci pe Tx8 cu valori în G este [x® v-integrabilă şi ^ g (t) h (s) d(x (t) d v (s)

«Q

funcţia

g («) d|x (*)

g(t) h(s)

| ţ Jh

(«) dv (,)

definită

J

F u n c ţ i a g (tf) h ( s ) e s t e [L® v - m ă s u r a b i l ă d e o a r e c e g e s t e [x-măsurabilă i a r h este v-măsurabilă. F i e a > 0 u n n u m ă r astfel încît să a v e m \®y \ \®\ \y\ p e n t r u o r i c e xeE şi yeF. Avem a

g | g (*) (<) j g*| («) J

0 ( 0 h (•) I d| j£ | (*) d| v | ( * ) < a = a [ ^\ g (t) | d | jx |

11 h (•) | d|

h (s) | d| v |

| (*) d| v | (•) =

< + oo •

C o n f o r m c r i t e r i u l u i d e i n t e g r a b i l i t a t e r e z u l t ă c ă g(t) h(s) e s t e | [ x | ® | vl-in­ tegrabilă. D i n inegalitatea | [ x ® v | < ; | ( x | ® | v | deducem că g(t)h(s) e s t e | (x® v | - i n t e g r a b i l ă , d e c i (x® v - i n t e g r a b i l ă . E g a l i t a t e a d i n e n u n ţ r e ­ zultă atunci d i n teorema lui Lebesgue-Fubini :

g g (t) h (s) d(x (t) dv («) = Jdţx(«) (j g («) h (,) dv (j) = = ^

g (*) h (s) d v ( , ) ) dfx (t) = ţj g («)

g

h (s) d v

u n d e s-a ţ i n u t s e a m a c ă p e n t r u f i e c a r e te T, g(t)eE c o n t i n u ă a l u i F î n G, i a r ^ h ( s ) d v ( s ) eF

(j)J d p ( * )

-

este o aplicaţie liniară

este o aplicaţie liniară continuă

a l u i E î n (?. C o r o l a r . D a c a i c î este o mulţime [L-integrabilă, iar B(z8 este o mulţime v-integrabilă, atunci mulţimea A xBaTxS este ţx® v-integrabilă şi ( ţ x ® v ) (AXB)

=

[L(A)V(B).

P r o p o z i ţ i a 8 . Fie ţx o măsură scalară pe T şi v o măsură scalară pe 8. Fie E, F şi G trei spaţii Banach şi (x, y) xy o aplicaţie biliniară şi continuă a lui ExF în G. Bacă g : T E este o funcţie local [L-integrabilă iar h : 8 F este o funcţie local v-integrabilă, atunci funcţia $(t) h(s) definită pe TxS cu valori în G este local [L® v-integrabilă şi (g(x)®(hv) = ( g h ) ( ( x ® v ) .

CAP.

SUME DE MASURI. IMAGINI D E MASURI

390

V

D e o a r e c e g este fx-măsurabilă i a r h e s t e v - m ă s u r a b i l ă , f u n c ţ i a g ( £ ) h ( s ) e s t e [i® v - m ă s u r a b i l ă . F i e Ca TxS o m u l ţ i m e c o m p a c t ă . F i e Ka T ş i LaS d o u ă m u l ţ i m i c o m p a c t e a s t f e l î n c î t GaKxL. D e o a r e c e f u n c ţ i a %y e s t e {x-integrabilă, i a r f u n c ţ i a h

L

L

c

^

(t) <j, («)d ((gh) (fi® v)) = ^
?(*) g (*) + («) h («) d u (*)dv(«) = •5(J?Wg(*)dpi(0)( +WiiWciv(«)J =

= (jj?d(g|i)jf J*d(hv)J de unde (gh)((x®v) =

scalară

Corolarul 1. Pentru v pe S avem

orice

(g x)®(hv). (

măsură

l(A®v| =

scalară

(x pe T şi orice

măsură

|(x|®|v|.

E x i s t ă o funcţie s c a l a r ă local | (x|-integrabilă 9 definită p e T astfel | | v | . A t u n c i f u n c ţ i a cp{t) ty(s) e s t e l o c a l | [x! ® | v j - i n t e g r a b i l ă şi a v e m | 9 (t) ^ (s) \ = 1 d e c i

încît

| ( + ) ( | x | ® | v | ) | = |(x|®| v | . 9

Urmează IH®v|

(

că =

|(9J|x|)®(+|v|)| =

|(9+(I|A|®|V|)|

Corolarul 2 . AvemS{[i®v) = Corolarul 3 . Dacă (x este o măsură pe 8, atunci ((X® v )

f

=

(fx® v ) _ =

(X

+

®

S([L)XS{V).

reală pe T şi v este o măsură

V

+

+ (X_® v_,

( X ® V_-f-(X_® v . +

=||X|®|V|.

+

reală

PRODUS DE MASURI

391

într-adevăr, ţi.® V =

( i. (

—

+

(

i

._)®(v

— vJ

+

=

((X ® +

V

+

+

[X_® v j — ( [ X

® V,_ +

+

[X_®V ) +

Şi | p ® v | = |(x|®| =

((X ® V +

+

+

V

| = ( | X

+

(Jl_® V _ ) +

+

|X._)®(v + v J

=

+

((X ® +

V ^ + ( X _ ® V

+

)

de unde ((A® v >

+

( ( X ® v)_

( X ® v | + [ X ® V) =

=

=

—

( | ( X ® V) — ( X ® V) =

(X ® V +

h

+

[X_®V_

[X ® V_+[X__® +

+

V.

Z

P r o p o z i ţ i a 9 . Fie (x o măsură scalară pe T , v o măsură scalară pe 8, E un spaţiu Banach, F şi O două spaţii Banach astfel încît EdJl(F, (?) şi EaG' un subspaţiu vectorial astfel încît < x, z > = 0 pentru orice z' e l ? să implice x = 0. D a c a g : T -> este o funcţie H-slab local ^-integrabilă (respectiv simplu local ^-integrabilă) iar h este o funcţie scalară local v-integrabilă definită pe 8, atunci funcţia g(£) h(s) definită pe TxS cu valori în E este H-slab local (x® v-integrabilă (respectiv simplu local (x® v-integrabilă) şi (flp)®(M=(g*)(|A®v).

î n t r - a d e v ă r , | g | e s t e l o c a l ( x - i n t e g r a b i l ă şi | h | e s t e l o c a l v - i n t e g r a ­ b i l ă , d e c i | g A | = | g | \h\ e s t e l o c a l ( x ® v - i n t e g r a b i l ă . P e d e a l t ă p a r t e , d a c ă g e s t e 17-slab l o c a l ( x - i n t e g r a b i l ă , p e n t r u f i e c a r e x e F şi z' e H, f u n c ţ i a < g (t)x, z' > este (x-măsurabilă, deci funcţia < g(*) h(s), z' > = < g (t)x, z' > h(s) e s t e (x® v - m ă s u r a b i l ă , a d i c ă f u n c ţ i a g(t) h (s) e s t e 27-slab (x® v - m ă s u r a b i l ă şi d e c i i î - s l a b l o c a l (x ® v - i n t e g r a b i l ă . A f i r m a ţ i a r e l a t i v ă l a i n t e g r a b i l i t a t e a l o c a l ă s i m p l ă se d e m o n s t r e a z ă l a fel. Să p r e s u p u n e m că g este Jî-slab local ^-integrabilă. E x i s t ă atunci o m ă s u r ă m a j o r a t ă gţx : JC (T) - > H ' a s t f e l î n c î t s ă a v e m F

< J f d ( x ) , z' > = ^ < g (t) f (*), z' > d(x (t) g(

p e n t r u f e JC (T) şi z' e 27. D e o a r e c e g(tf) este m ă s u r ă (%h) (\L®V);J£ (TXS) F

F

< [ f d ( ( h ) ((x ® v)), z' > 9

p e n t r u îeJC (Tx8) F

şi

z'eiî.

J î - s l a b l o c a l (x® v - i n t e g r a b i l ă , -> H' a s t f e l î n c î t

există

= ( < f (t, s) g (<) A (*), s ' > d(x® v

o

392

SUME D E MASURI. IMAGINI D E MASURI

P e n t r u orice funcţii

ye3C(T),

3£(8),

CAP.

o r i c e xeF,

şi orice

V

z'el?,

avem

< ^9#<j>d((gft)((x® v)), z' >

= ^
ty,z'

>dţx®v =

= § < 9 (*)? ( 0 ^ *' > * (*) + (*) djx (I) dv(«) -

= (jj< «

W

d

*'> n(«) j (jj

= | < J

f e

(*) * ( « )

> )( J +

d v

(*)) =

d(fev)j =

de unde J

9

a? * d ( ( g f c ) ( ţ i ® v ) ) =

p e n t r u o r i c e xeF.

^9a?d

(gn)

Jţ^d(hv)J

Deoarece

^9 x <|* d ((gfc) (jx® v)) = x(j 9 ^ d ((gfe) (ţx® v)) Şi

J9»d(g|x)

=

a^9d(gjt),

urmează

^d((gA)((x®v))==^9d(g(x)j(^d(fev)] p e n t r u orice ( p e 2 ( î )

şi ^ G l ( i 8 ) ,

deci

( g * ) ( j i ® v ) = (g(x)®(fev). C o r o l a r u l 1. J % (x o măsură scalară pe T, v o măsură scalară pe 8, E un spaţiu Banach, F şi O două spaţii Banach astfel încît EdJ>(F, 6) şi ffCff' un subspaţiu normant pentru O. Fie g : T -> E o funcţie H-slab local p-integrabilă şi h : 8 -> C o funcţie scalară local v-integrabilă. Avem |(gix)®(*v)l = l g p l ® l * v | în fiecare din următoarele cazuri : 1) F este de tip numărabil şi există mantă pentru O.

o mulţime

numărabilă

ZaH

nor­

PRODUS

DE

393

MASURI

2 ) F este de tip numărabil şi g este simplu 3) g este local [L-integrabilă.

local

[L-integrabilă.

î n adevăr, în fiecare din aceste cazuri a v e m

(gp)®(M Folosind

teorema

=

(gfe)([x®v).

4, § 18, d e d u c e m

l(gn)®(MI = l(g*)(n®v)| = |g*| in®v| = = (lgll*l)(lix|®|v|) = (|g|||i|)®(|*||v|) = C o r o l a r u l 2 . în fiecare

din cazurile

S(( L)®(hv))

de la color arul 1 avem

=

9L

|gpi|®|*v|.

8( i)xS(hv). 9[

T e o r e m a 6. Fie (x o măsură scalară pe T şi v o măsură scalară pe 8. Dacă f este o funcţie definită pe TxS cu valori într-un spaţiu Banach E sau în R, [L® v-integrabilă şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise [L® v-integrabile, atunci : 1) există o mulţime ^.-neglijabilă AaT astfel încît pentru tmA, funcţia s -> î(t, s) este v-integrabilă; 2) funcţia [L-integrabilă

t - > ^ î ( J , s) dv(s)

definită

[L-aproape

= ţj d[L (t)

J f (t,

peste

tot pe

T este

şi ^ f («, s) dţx (t) d

v (s)

s) d v (s).

î n t r - a d e v ă r , | ţ x ® v | = | ţ x | ® | v | ; s e aplică apoi t e o r e m a 4.

d . Proprietăţi

ale funcţiilor

integrabile

în raport

cu măsuri

vectoriale

F i e X, Y şi Z t r e i s p a ţ i i B a n a c h şi (x, y) -> xy o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă c o n t i n u ă a l u i X x Y î n Z. F i e m o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T c u v a l o r i î n X, n o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e 8 c u v a l o r i î n Y şi m ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r m şi n , r e l a t i v l a a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă xy. P r o p o z i ţ i a 10. Dacă g este o funcţie scalară m-integrabilă definită pe T iar h este o funcţie scalară n-integrabilâ definită pe 8, atunci funcţia scalară g(t)h (s) definită pe TxS este m®n-integrabilâ şi g(t)h(s)dm(t)dm(s)

jf(*)dm(*)J^fc(*)dn(«) j -

D e o a r e c e g este | m |-integrabilă iar h este | n (-integrabilă, d i n pro­ p o z i ţ i a 7 r e z u l t ă c ă g(t) h(s) e s t e | m | ® | n | - i n t e g r a b i l ă . U r m e a z ă c ă g(t) h(s) e s t e | m ® n l - i n t e g r a b i l ă , a d i c ă m ® n - i n t e g r a b i l ă . E g a l i t a t e a d i n e n u n ţ u l propoziţiei r e z u l t ă i m e d i a t , ca în d e m o n s t r a ­ ţ i a p r o p o z i ţ i e i 7.

394

CAP. V

SUME DE MĂSURI. IMAGINI D E MĂSURI

C o r o l a r . Bacă AdT este o mulţime m-integrjabilă iar BczS este o mulţime n-integrabilă, atunci mulţimea AxB este m®n-integrabilă şi

( m ® n ) (AxB)

=

m(A)n(B).

P r o p o z i ţ i a 1 1 . Bacă g este o funcţie scalară local m-integrabilă nită pe T iar h este o funcţie scalară local n-integrabilă definită pe S, funcţia scalară g(t) h(s) definită pe TxS este local m®n-integrabilâ (gm)®(hn)

defi­ atunci şi

= (gh) ( m ® n ) .

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i e a a p r o p o z i ţ i e i 8. C o r o l a r . Bacă | m ® n | = | m | ® | n | , atunci \(gm)®(hn)\ într-adevăr,

folosind

=

\gm\®\hn\.

t e o r e m a 4, § 18, a v e m

\(gh) (m®n)\

=

|sffe||m®n|

şi d e a s e m e n e a \gm\

= \g\\m\

şi |fen| =

|A||n|

Atunci |(flrm)®(fen)l = \(gh)(m®n)\

= \gh\|m®n|

= (| f||fe|)(|m|®|n|) = (| f||m|)®(|A||n|) = â

e. Proprietăţi

â

ale produsului

dintre

o măsură

= | fm|®|An| â

vectorială

şi o

măsură

scalară Fie X u n spaţiu B a n a c h m o m ă s u r ă majorată definită p e T cu v a l o r i î n X şi v o m ă s u r ă s c a l a r ă d e f i n i t ă p e S. F i e F şi G d o u ă s p a ţ i i B a n a c h şi (x, y) xy o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă c o n t i n u ă a l u i XxF î n G. P r o p o z i ţ i a 12. Bacă g este o funcţie scalară m-integrabilă definită pe T, iar h : S ^F este o funcţie v-integrabilă, atunci funcţia g (t) h ( s ) definită pe TxS cu valori în F este m® v-integrabilă şi

g0(t)h(*)dm(*)dv(*)^^ Demonstraţia P r o p o z i ţ i a 13. pe T iar h : S F definită pe TxS cu

e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 7. Bacă g este o funcţie scalară local m-integrabilă este o funcţie local v-integrabilă, atunci funcţia valori în F este local m ® v-integrabilă şi ( g m ) ® (hv) = (gh) (m® v).

D e m o n s t r a ţ i a e s t e a c e e a ş i c a a p r o p o z i ţ i e i 8.

g

definită (t)h(s)

PRODUS DE MASURI

395

P r o p o z i ţ i a 1 4 . Fie X,F şiG trei spaţii Banach astfel încît XaJl(F, G), m : JC (T) -> X o măsură majorată pe T şi v o măsură scalară pe 8. Dacă F este de tip numărabil şi dacă există o mulţime numărabilă ZaG' normantă pentru G, atunci | m ® v | = | m | ® | v|. î n t r - a d e v ă r , n o t î n d ţi. = | m | , e x i s t ă o f u n c ţ i e g : T -> Jl ( F , Z') s l a b l o c a l (x-integrabilă a s t f e l î n c î t m =g\i şi | m | = |g|p ( t e o r e m a 2 , §18). F o l o s i n d c o r o l a r u l 1 a l p r o p o z i ţ i e i 9, d e d u c e m a t u n c i

| m ® v | = |(g|i)®v| = |gji|®| v| = | m | ® | v|. C o r o l a r u l 1. în

condiţiile

propoziţiei

8(m®v) scalară

=

14

avem

S(m)x8(v).

C o r o l a r u l 2 . Fie g o funcţie scalară local m-integrabilă local v-integrabilă. în condiţiile propoziţiei 14 avem |(ârm)®(fcv)| =

şi h o

|ffm|®|fcv|.

î n t r - a d e v ă r , î n a c e s t c a z a v e m | m ® v | = | m | ® | v | , \ gm\ = | hv| = | h 1 1 v | şi |(gh) ( m ® v) | = \gh\\m® v| deci \(gm)®(hv)\

= \(gh)(m®v)\ = (\g\\m\)

= \gh\\m®v\=(\g\\h\)(\m\®\v\) ® (\h\\v\)

= \gm\ ®\hv\

valori

t - > ^ f (t, s)ăv(t)

în F, este m-integrabilă

definită

m-aproape

|gr||m|, =

.

T e o r e m a 7. în condiţiile propoziţiei 1 4 , dacă î: T x 8 ->F funcţie m® v - integrabilă şi nulă pe complementara reuniunii unui mulţimi deschise m®v-integrabile, atunci: 1) există o mulţime m-neglijabilă AaT astfel încît pentru funcţia s->t(t,s) este v-integrabilă; 2) funcţia

funcţie

peste

este o şir de tsA,

tot pe T, cu

şi

K î (t, s) d m (t) d v (*) = C d m (t) ^ f (t, s) d v (*). într-adovăr, | m ® v | = | m | ® |v| . î n c o n d i ţ i i l e t e o r e m e i s î n t v a l a b i l e şi u r m ă t o a r e l e a f i r m a ţ i i : 1') există o mulţime v-neglijabilă BaS astfel încît pentru s&B, funcţia t-*î(t,s) este m-integrabilă; 2 ' ) funcţia valori

în F este

s

f (t, s) ăm(t)

v-integrabilă

definită

v-aproape

peste

şi

^ f (t, s) ăm(t) ăv(s) = Cdv(*)Cf (t, s) ăm(t) .

tot pe 8 cu

396

SUME DE MASURI. IMAGINI DE

f. Proprietăţi

ale măsurilor

CAP.

MASURI

cu valori

într-o

V

algebră

Fie E o algebră Banach, m o m ă s u r ă majorată pe T cu valori în E şi n o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e 8 c u v a l o r i î n E şi m ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r m şi n r e l a t i v l a î n m u l ţ i r e a xy d i n a l g e b r a E. Se demonstrează ca m a i sus următoarele propoziţii : P r o p o z i ţ i a 1 5 . Dacă funcţia g : T - » E este m-integrabilă şi funcţia h : 8 - > E este n-integrabilă, atunci funcţia g h : T x 8 - > E este m ® n integrabilă şi

g

g (I) h («) d m (t) d n ( t ) =

Q

g (t) d m

(l)j

g

h (*) d n (j)

j.

P r o p o z i ţ i a 16. D o o a g : T este local m-integrabilă iar h: 8 este local n-integrabilă, atunci g h : T x S-+E este local m ® n-integrabilă

E şi

(gm) ® (hn) = (gh) ( m ® n ) . T e o r e m a 8. Dacă E este de tip numărabil, dacă una din măsurile m sau n este scalară şi dacă f : T x 8 ~>E este o funcţie m ® n-integrabilă, nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise m ® nintegrabile, atunci : 1) există o mulţime m-integrabilă AciT astfel încît pentru t&A funcţia s -> f (t, s) este n-integrabilă; y

t

f (t, s) dn(t)

^ f (t,

s) d m (t) d n (s)

2) funcţia m-integrabilă

definită

m-aproape

== J d m

(t)

peste

tot pe

T

este

şi

g . Proprietăţi

ale imaginilor

J f (t,

s) d n (<).

şi restricţiilor

de

măsuri

F i e X, Y şi Z t r e i s p a ţ i i B a n a c h , ( # , y) xy o a p l i c a ţ i e b i l i n i a r ă c o n t i n u ă a l u i X x Y î n Z, m o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e î c u v a l o r i î n X, n o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e 8 c u v a l o r i î n Y şi m ® n p r o d u s u l m ă s u r i l o r m şi n r e l a t i v l a a p l i c a ţ i a b i l i n i a r ă xy. P r o p o z i ţ i a 17. Fie T' şi 8' două spaţii local compacte. Dacă OL : T -> T este o funcţie m-proprie iar (3 : 8 -> 8' este o funcţie n-proprie, atunci funcţia a x p : T x 8 - > T' x 8' este m ® n-proprie şi 7

(a

x p) ( m ®

n) =

a (m) ®

p (n).

D e o a r e c e a e s t e m - m ă s u r a b i l ă şi p e s t e n - m ă s u r a b i l ă , a p l i c a ţ i a (t, s) - > ( a (t), p (s)) a l u i T x 8 î n T' x S' e s t e m ® n - m ă s u r a b i l ă , a d i c ă a p l i c a ţ i a (t, s) -> ( a x P) (£, s) e s t e m ® n - m ă s u r a b i l ă .

9 22

PRODUS

DE

MĂSURI

397

1

Fie K' c T' şi L' c 8' două mulţimi compacte. Atunci a"" ^') c T este m-integrabilă şi p " ( i ' 1) C ^ este n-integrabilă, deci mulţimea 1 o T ^ ' ) x P" ^') = ( « X P)"" ^' X L') este m ® n-integrabilă. Urmează că pentru orice mulţime compactă C d T ' x mulţimea ( a X P ) " ( C ) este m ® n-integrabilă, deci a x p este m ® n-proprie. Pentru orice funcţii g'eJL(T') şi i ' e j C f S ' ) avem 1

1

1

^ / ' (*')
=

x p) (m ® n)

=

J

jf' ( p (*)) dm ® n

/ ' ( a (*))

=

( * ( 0 )fif'(P (•)) dm (f) dn (s) = j jj/' (a (*)) dm (l)) ( j ^ ' (p(S)) dn(s)j = =

^/'da(m)j(^'dp(n)j

de unde (a

x

p) (m ® n) = a (m) ® p ( n ) .

Propoziţia 1 8 . Dacă T' este un subspaţiu local compact este un subspaţiu local compact al lui 8, atunci (m ® n ) , s

= m ,®

x 3 r

al lui T iar 8'

n ,.

T

s

Fie g'eJC(T) şi W eJC(S') şi fie g (respectiv h) funcţia obţinută din g' (respectiv h') prelungind-o cu 0 pe T - f (respectiv 8 — S'). Funcţia g este m-integrabilă, funcţia h este n-integrabilă şi ^ g' d m

r

= ^ g dm,

Funcţia obţinută din g'(t)h'(s) este funcţia g(t) h(t), deci

^ h' d n , = ^ h dn . 5

prin prelungire cu 0 pe TxS

— T' xS'

^ g' (t) A ' ( 8 ) d ( m ® n W = ^ ( 0 * (*) d (m ® n ) . Atunci J

= | J jf

gf' (*) A' (s) d (m ® n W

= ^ g (t) h (s) dm (*) dn(s) =

(*) dm (I) j | ( s ) dn (*) j

= ţ^g'(t)

=

h'(s) d n v ( t ) ăn ,(s) s

( J

g' (t) d m (*)) f

f

= ^g (t) W(s) d ( m ® II^) r

de unde (m ® n) , rxs

( J * ' («>

= m ,® n . T

5

(«))

=

398

SUME DE MASURI. IMAGINI D E MASURI

CAP. V

5. I n t e g r a r e a î n r a p o r t e u u n p r o d u s finit d e m ă s u r i 7

F i e ( 2 ) ^ o familie finită d e spaţii local c o m p a c t e şi T = J J T produsul lor. Folosind lema 1 şi principiul inducţiei complete, rezultă că m u l ţ i m e a c o m b i n a ţ i i l o r l i n i a r e d e f u n c ţ i i d e f o r m a (t t . . . ,t ) fi(h)f*(h) •• • •••/n(U> c u fi^JCiTi) p e n t r u f i e c a r e i , e s t e b o g a t ă î n JC(T). F i e (E ) u u ... u o a p l i c a ţ i e m u l t  i n i a r ă şi c o n t i n u ă p e II E c u v a l o r i î n t r - u n s p a ţ i u Banach E . P e n t r u fiecare i fie m o m ă s u r ă m a j o r a t ă p e T c u valori î n E. E x i s t ă a t i m c i o m ă s u r ă m a j o r a t ă m p e T c u v a l o r i î n 2?, şi n u m a i u n a , care verifică egalitatea i

1 < : i

n

i

i

ly

2 J

% x

=

l

n

x

2

n

x

2

n

i

c

m

( n / i ) Vi=l

n

=

J

m

i

i

p e n t r u / < e 2 (T«),

( / i ) >

l < * < n .

i= 1

Unicitatea măsurii rezultă d i n faptul că spaţiul vectorial generat n d e f u n c ţ i i l e H f e s t e b o g a t î n JC (T). E x i s t e n ţ a m ă s u r i i m s e d e m o n s t r e a z ă %

p r i n r e c u r e n ţ ă a s u p r a l u i n,

luînd

m = (m ® m ® . . . ® mn^) ® m . 1

2

n

M ă s u r a m s e n u m e ş t e p r o d u s u l m ă s u r i l o r m < , 1 < ! i <; n şi se n o t e a z ă 9

n

m ®m ®...®m 1

2

n

sau ® m .

Avem

4

In

I

n

® m < ® | in^l. 4

I

|i=l

i= l

Din egalitatea m

( ®

i ] f n / i | = n

V»=i

J »=i /

m

i ( / i )

i=i

rezultă următoarea formulă d e asociativitate a produsului d e m ă s u r i : ® ( ® m 1= ® k=i\i<=i ) i=i 4

k

a

o r i c a r e a r fi p a r t i ţ i a (I )iKk< k

v

n i u l ţ i m i i { 1 , 2 , . . . , n} . n

I n t e g r a l a u n e i f u n c ţ i i feJC(T) se n o t e a z ă ^/dm! dm

2

... dm

n

î n r a p o r t c u m ă s u r a p r o d u s ă ® m^ i

sau ^ . . . ^ / d m

x

dm

2

... dm

sau încă . . . J /(«!, * , . . . , U d m j t y d m ( * ) . . . d m 2

2

2

n

(t ). n

n

=

1

399

P R O D U S DE MASURI

P e n t r u a c e s t e n o t a ţ i i se f o l o s e ş t e d e n u m i r e a d e integrală multiplă de ordinul n. P e n t r u orice p e r m u t a r e a a m u l ţ i m i i { 1 , 2, şi p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e feJC(T) avem egalitatea ^

... ^/dm

x

dm

... dm

2

n

= |j d m

^ dm

o U )

G ( 2 )

... ^ /dm

.

G ( n )

A c e a s t ă e g a l i t a t e r e z u l t ă d i n f o r m u l a d e a s o c i a t i v i t a t e şi d i n p r o p r i e t a t e a de schimbare a ordinei de integrare. R e z u l t a t e l e p r i v i n d p r o d u s u l a d o u ă m ă s u r i se e x t i n d f ă r ă d i f i c u l t a t e la produsul u n u i n u m ă r finit de m ă s u r i . N e m ă r g i n i m s ă e n u n ţ ă m t e o r e m a l u i F u b i n i p e n t r u n = 3 şi m ă s u r i p o z i t i v e ţx. . P r o p o z i ţ i a 1 9 . Dacă f': T -^E este integrabilă pentru \L = ^ ® [L ® [L şi nulă pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise [L-integra­ bile din T , atunci integralele iterate ale lui f există şi avem egalităţile 2

ţjţj

f

(*n *s» h) <*fM*i) d[L (t ) 2

d

ă[L (t )

2

z

^f

= ^ d ^ i ) d[L (t )

s

2

2

fa, t

S

t ) dfx (* ) =

2J

3

3

3

f

= ^ ^ i (*i) jjţj ihi hi h) d[L (t ) ă[L (t ) = [ d[x (* ) ^ d j x ( t ) (j f (* * , * ) djx ( t ) . 2

2

S

3

x

x

2

a

1?

2

3

3

î n t r - a d e v ă r , a p l i c î n d t e o r e m a l u i F u b i n i d e d u c e m c ă f u n c ţ i a (t

t ) ->

XJ

- > ^ f (tj, £ , £ ) d f x ( £ ) 2

3

3

2

este definită [ x ® [x -aproape p e s t e t o t p e

3

x

8

T xT ,

2

x

2

e s t e n u l ă p e c o m p l e m e n t a r a r e u n i u n i i u n u i şir d e m u l ţ i m i d e s c h i s e fjL ® { x - i n t e g r a b i l e d i n T T ( o b s e r v a ţ i a 2° d u p ă t e o r e m a 2 ) , e s t e [L ®[L i n t e g r a b i l a şi a v e m 2

x

x

x

2

T

f ( * ! , * , * ) d { x ( ^ ) d f x ( J ) d [ x ( y = ^ d j i ( t ) d[L (t ) 2

3

x

Aplicînd

2

încă

o

- > ^ f (J , t , t )d[L (t ) x

2

3

z

este definită

^

d[L

T

La

(y

dfX

2

2

3

dată

1

teorema

(

^(hi

2

Fubini

x

2

(t ) a

Jj f

fo,

* , t) 2

s

că funcţia

fo)

d[L

19

J dft

fo)

ţj

2

f

3

2

3

3

d[L

fo).

3

definită

şi

*i> hi h) &V
->

2

şi

este

3

2

t) z

t - > ^ f fo, / , / ) d f x f o ) d f x f o ) 2

^ d[JL

3

h)d[L (t )

21

* , «,)

x

fo)

s

ly

Ţf (t 1

2

d[L (t ).

(t

fo,

3

=

hi h)

funcţiei

^ - a p r o a p e peste tot, este ^-integrabilă

fel r e z u l t ă

f

lui

2

d e d u c e m c ă f u n c ţ i a t -> ^ d[L (t )

s

^ - a p r o a p e peste tot, este ^-integrabilă $

1

2

2

z

2

2

d|i fo) . 3

PARTEA A TREIA

C a p i t o l u l MĂSURI

§23.

MĂSURA

PE

GRUPURI

VI

LOCAL COMPACTE

HAAR

1. Grupuri topologice î n cele ce u r m e a z ă , o p e r a ţ i a d e c o m p u n e r e d i n t r - u n g r u p G v a fi n o t a t ă m u l t i p l i c a t i v , x-y s a u xy, i a r e l e m e n t u l u n i t a t e v a fi n o t a t c u e. D a c ă A ciG, BCZG şi xeG, folosim u r m ă t o a r e l e n o t a ţ i i : AB ={xy

\ x*=A,

yeB},

xA = {xy\y<=A}, 1

A

=

1

{x' \xeA

Ax = {yx\y

e

A},

}.

D e f i n i ţ i a 1. Se numeşte grup topologic, o mulţime G înzestrată cu o structură de grup şi o structură topologică, verificînd următoarele doua condiţii : 1) aplicaţia (x, y) -> xy a lui G x G în G este continuă; 2) aplicaţia x -> x' a lui G în G este continuă. Aceste două condiţii sînt echivalente cu condiţia u r m ă t o a r e : aplicaţia (x, y) -> xy' a lui G X G în G este continuă. C o n d i ţ i i l e 1) şi 2) e x p r i m ă c o m p a t i b i l i t a t e a d i n t r e s t r u c t u r a d e g r u p şi s t r u c t u r a t o p o l o g i c ă p e G. Fie G u n grup topologic. P e n t r u o r i c e e l e m e n t a e f i t r a n s l a ţ i a l a s t î n g a x -> ax, t r a n s l a ţ i a l a d r e a p t a x->xa şi s i m e t r i a x-^x^ s î n t o m e o m o r f i s m e a l e l u i G p e G. E e z u l t ă c ă d a c ă a e G şi A e s t e o m u l ţ i m e d e s c h i s ă ( r e s p e c t i v î n c h i s ă ) d i n G, a t u n c i aA, Aa şi A' sînt deschise (respectiv închise). D a c ă A e s t e o m u l ţ i m e o a r e c a r e d i n G i a r B e s t e deschisă^ a t u n c i AB şi BA s î n t d e s c h i s e . D a c ă î n s ă A şi B s î n t î n c h i s e , n u r e z u l t ă c ă AB e s t e închisă. D a c ă G e s t e s e p a r a t , şi d a c ă A e s t e o m u l ţ i m e c o m p a c t ă î n G, i a r aeG, a t u n c i m u l ţ i m i l e aA, Aa şi A~ sînt c o m p a c t e . D a c ă , în plus, B e s t e o m u l ţ i m e î n c h i s ă , a t u n c i AB e s t e î n c h i s ă , i a r d a c ă B e s t e c o m p a c t ă , a t u n c i AB e s t e c o m p a c t ă . D a c ă
1

1

1

x

MASURI PE GRUPURI LOCALE

404

CAP.

COMPACTE

VI

F i l t r u l -+x-y, x->x~ şi x->axa~ . D a c ă G e s t e c o m u t a t i v , a v e m aVa' = V, d e c i p r o p r i e t a t e a 4) e s t e v e r i f i c a t ă d e l a s i n e c h i a r d a c ă s t r u c t u r a t o p o l o g i c ă n u este compatibilă cu structura de grup. O m u l ţ i m e 01 d e v e c i n ă t ă ţ i a l e l u i e e s t e u n s i s t e m f u n d a m e n t a l d e v e c i n ă t ă ţ i a l e l u i e, d a c ă şi n u m a i d a c ă î n d e p l i n e ş t e u r m ă t o a r e l e condiţii: 1') p e n t r u o r i c e TJeQl e x i s t ă V<=(?1 cu V-VciTJ; 2') p e n t r u o r i c e TJe(R e x i s t ă F e ^ c u VciTI' ; 3') p e n t r u o r i c e TJ eOL a v e m e e J 7 ; 4') p e n t r u o r i c e a e f f şi o r i c e TJeQL e x i s t ă Vell cu VdaTJa' . D a c ă
1

x

x

1

1

1

1

_ 1

1

n

pentru

orice

e > 0 există

| f (x) — t(y)|

o vecinătate

< e, pentru

orice

V a lui e astfel

xeG

şi yeA

încît

cu xy^e

să

avem

V

1

( r e s p e c t i v p e n t r u o r i c e xeA şi yeG c u x~ ye V). S e c o n s t a t ă u ş o r c ă f este uniform continuă la stînga pe A dacă şi numai dacă, pentru orice e > 0, există o vecinătate V a lui e astfel încît \t(sx)

— f(x)\

< e, pentru

orice

xeA

şi orice

şi că î este uniform continuă la dreapta pe A dacă şi numai orice e > 0, există o vecinătate V a lui e astfel încît |f (xs) — f (x) \ < e, pentru

orice

xeA

şi orice

seV dacă,

pentru

seV.

O f u n c ţ i e u n i f o r m c o n t i n u ă (la s t i n g ă , l a d r e a p t a ) p e G v a fi n u m i t ă f u n c ţ i e u n i f o r m c o n t i n u ă (la s t î n g a , l a d r e a p t a ) , f ă r ă a l t ă s p e c i f i c a ţ i e .

405

D a c ă grupul G este comutativ, continuitatea uniformă la stingă este e c h i v a l e n t ă cu c o n t i n u i t a t e a u n i f o r m ă la d r e a p t a . î n acest caz v o m spune, simplu, continuitate uniformă.

2. G r u p u r i l o c a l c o m p a c t e î n cele ce u r m e a z ă v o m n o t a cu G u n g r u p topologic local c o m p a c t . U n g r u p t o p o l o g i c e s t e l o c a l c o m p a c t d a c ă şi n u m a i d a c ă e l e m e n t u l unitate e are o vecinătate compactă. V o m a r ă t a că funcţiile continue cu suport c o m p a c t definite p e G sînt uniform continue. P e n t r u aceasta v o m d e m o n s t r a mai întîi lema următoare. L e m a 1. Fie S, T şi E trei spaţii topologice şi f:8 X T -> E o funcţie continuă. Dacă W este o mulţime deschisă în E iar K este o mulţime compactă în T , atunci mulţimea L =

{s| f(s,

t) e W pentru

orice

teK)

este deschisă în 8. F i e s eL fix. P e n t r u f i e c a r e t<=K, f u n c ţ i a / e s t e c o n t i n u ă î n (s , t) şi a v e m f(s t) e W. E x i s t ă d e c i o m u l ţ i m e d e s c h i s ă TJxV î n 8x T c a r e c o n ţ i n e p e ( s , t) a s t f e l î n c î t 0

0

0J

0

/ ( s , t) e W Dar K

pentru

(s,

t)eUxV.

e s t e c o m p a c t ă . E x i s t ă d e c i o f a m i l i e f i n i t ă (U X V ) i

{

de mulţimi

n

d e s c h i s e , a s t f e l î n c î t s e TJ p e n t r u 1 0

i

i

n , K c (J Vi Şi p e n t r u f i e c a r e i i= l

f(s,

t) e W,

pentru

(*, t) e V X i

n Mulţimea V = Q V este o vecinătate a lui s . {

0

V. i

P e n t r u (s,t)eVxK

avem

i=l

f(s, t) € W d e c i F ( Z L. U r m e a z ă c ă s e s t e p u n c t i n t e r i o r a l l u i L. C u m s a fost ales a r b i t r a r , r e z u l t ă că L este o m u l ţ i m e deschisă. P r o p o z i ţ i a 1. Fie E un spaţiu Banach. Orice funcţie i^JC (G) este uniform continuă la stînga şi la dreapta. F i e f e J£ ((?), fie K s u p o r t u l l u i f şi fie TJ o v e c i n ă t a t e s i m e t r i c ă c o m p a c t ă a l u i e. C o n f o r m l e m e i p r e c e d e n t e , m u l ţ i m e a 0

0

E

E

L =

{y\ \î{yx)

— i(x)\ <

e p e n t r u o r i c e xe

TJK}

e s t e d e s c h i s ă şi c o n ţ i n e p e e. P e d e a l t ă p a r t e , d a c ă y e TJ şi x « TJK a v e m i(x) = 0 şi f(##) = 0 . P u n î n d V — Lf] U, p e n t r u o r i c e V şi o r i c e # e ( 7 avem |f(yor) - t(x)\ < s deci f este uniform c o n t i n u ă la stînga. Luînd 2 / = { i / l |f(a?y) — f ( # ) | < e p e n t r u o r i c e

xeKTJ}

MASURI PE GRUPURI LOCALE

40.6

COMPACTE

şi n o t î n d V = L' f) U> d e d u c e m c ă p e n t r u o r i c e yeV

-

\t(xy)

CAP. VI

şi o r i c e x e G a v e m

t(*)|<«,

d e c i f e s t e u n i f o r m c o n t i n u ă l a d r e a p t a şi p r o p o z i ţ i a

este

demonstrată.

D a c ă f e s t e o f u n c ţ i e d e f i n i t ă p e G c u v a l o r i î n t r - u n s p a ţ i u B a n a c h E, V

v o m n o t a cu i funcţia definită p e G prin egalitatea 1

f(x)

îix' ). 8

D a c ă seG

v o m n o t a c u f şi f f u n c ţ i i l e d e f i n i t e p e G p r i n e g a l i t ă ţ i l e 9

î (x) 8

= î(sx),

1

t*(x) = f

(xs' ).

6

A v e m t = f = f. P e n t r u o r i c e m u l ţ i m e AaG avem D a c ă G e s t e c o m u t a t i v a v e m /* = f - i . e

(9^)„

=

9^ »

9,-M şi (9AY

f

g

V s

D a c ă f e JC (G), a t u n c i f u n c ţ i i l e t , î şi f a p a r ţ i n d e a s e m e n e a l u i JC (G); u r m e a z ă c ă d a c ă jx e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă p e
8

E

V

şi d a c ă f eJC ((?), a t u n c i f u n c ţ i i l e f,, f şi f a p a r ţ i n s p a ţ i u l u i JI (\L). P r o p o z i ţ i a 2 . Dacă ieJC (G), atunci aplicaţiile s->î şi s - > f* ale lui G în JC (G) sînt uniform continue la stînga. F i e s > 0. D e o a r e c e f e s t e u n i f o r m c o n t i n u ă l a s t î n g a , e x i s t ă o v e c i ­ n ă t a t e V a lui e astfel încît să a v e m E

E

E

8

E

~" x

Fie

şi st~ e

£

<

1

dacă

# 2 " e V. 1

1

V. L u î n d y = sx şi z = tx a v e m yz' \î(sx)

= st'

e F deci

- f(to)| < £,

adică

|f (aO - f ( * ) | < « . f

f

Urmează că

||f. - f l! e

sup|f,(a>) - f,(*)] < £

1

d a c ă st'

e F,

d e c i a p l i c a ţ i a s - > f a l u i 6? î n (O) e s t e u n i f o r m c o n t i n u ă l a s t î n g a . Deoarece f este uniform continuă la dreapta, există o vecinătate W a lui e astfel încît g

\i(y) 1

F i e xeG şi st' = s < e F deci

f(«)| <

= V.

Luînd

e,

dacă

f ^ e 1

1

y — xs"

şi z = xt'

_ 1

|f(a»- ) 1

1

tixT )]

<

adică \l°(x) -

t*(x)\ <

TF.

£.

£,

avem

l

y~~ z

=

MĂSURA

HAAR

407

Urmează că ||P - f | | <

e,

dacă

8t~ e x

W,

s

d e c i a p l i c a ţ i a s - > f a l u i G î n JC (G) e s t e u n i f o r m c o n t i n u ă l a d r e a p t a . P r o p o z i ţ i a 3 . Fie E un spaţiu Banach, [i o măsură pozitivă pe G şi 1 < ! p < + o o . Bacă ieJ£ (G), atunci aplicaţiile s - > î şi s - > f* ale lui G în J>%([i) sînt continue în e. F i e K s u p o r t u l l u i f şi U o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i e. M u l ţ i m e a C = UKU e s t e o v e c i n ă t a t e c o m p a c t ă a l u i K. F i e e > 0 şi V o v e c i n ă t a t e s i m e t r i c ă a l u i e, c o n ţ i n u t ă î n U a s t f e l î n c î t s ă a v e m E

E

8

- l

||f, - f j l <

p

£fx(<7)

şi ||P - f|| <

ejji(O)

- JL * dacă

r ^ F .

î n p a r t i c u l a r , l u î n d t — e, a v e m _ JL * şi I l f - f l K

||f.-f||<

_ j_

ejji(0)

* dacă

S G F .

- 1

Fie s e F . Dacă s xeK, a t u n c i xesKaVKaUKU. D e asemenea, d a c ă xs^K, a t u n c i xeKs~ (zKUciUKU. A ş a d a r , d a c ă x& UKU, a t u n c i xmK, s~ xmK şi XSGK, d e c i î(s~ x) = î(x,s) = f(#) = 0. U r m e a z ă c ă f u n c ţ i i l e f , P şi f a u s u p o r t u r i l e c o n ţ i n u t e î n m u l ţ i m e a C = UKU, deci 1

1

x

8

N (î p

3

-

f,

(x)

=g|f (^) 8

-

f(*)|'

d(xji <

||f. - f | | | * ( 0 ) "

i

<s

Şi

JV^P-f,

ji)=Q|P(a?)

-ft^l'daîj^llf-flI^C)»

<s.

A c e a s t a î n s e a m n ă c ă f u n c ţ i i l e * - > f, şi * - > f* s î n t c o n t i n u e î n e.

3. M ă s u r i i n v a r i a n t e . M ă s u r a Haar F i e X u n s p a ţ i u B a n a c h şi m : JC (G) -> X o m ă s u r ă . S p u n e m c ă m ă s u r a m e s t e invariantă la stînga dacă m(F ) S

= m ( / ) , a d i c ă ^F(sx) dm(x)

o r i c a r e a r fi / e JC(G) şi seG. M ă s u r a m e s t e invariantă

la dreapta

= ^/(a?) d m ( # )

dacă

m ( f ) = m ( / ) , a d i c ă ^F(xs) dm(x) o r i c a r e a r fi / e JC(G) şi seG. M ă s u r i l e i n v a r i a n t e , p o z i t i v e şi neidentic Haar.

= ^F(x)

&m(x)

nule v o r fi n u m i t e

măsuri

408

MĂSURI

P E GRUPURI LOCALE COMPACTE

CAP.

VI

D a c ă grupul este c o m u t a t i v , măsurile i n v a r i a n t e la stînga coincid cu măsurile invariante la dreapta. Se v a a r ă t a că această proprietate o a u şi g r u p u r i l e c o m p a c t e . V o m demonstra mai întîi existenţa măsurilor H a a r . V o m a r ă t a apoi c ă orice m ă s u r ă i n v a r i a n t ă cu v a r i a ţ i e finită se o b ţ i n e d i n t r - o m ă s u r ă H a a r prin înmulţire cu o constantă (vectorială). T e o r e m a 1 ( H a a r ) . Există o măsură Haar pozitivă, invariantă la stînga (dreapta) pe O şi —- cu aproximaţia unei constante multiplicative — numai una. V o m f a c e d e m o n s t r a ţ i a î n m a i m u l t e e t a p e şi n u m a i p e n t r u m ă s u r a invariantă la stînga. a) F i e / şi g =f= 0 d o u ă f u n c ţ i i d i n Jt+(G). E x i s t ă o f a m i l i e f i n i t ă d e n u m e r e p o z i t i v e şi o f a m i l i e f i n i t ă (sji^i^n d e e l e m e n t e d i n G, astfel încît să a v e m H x

f( )

c

<

8 x

Yi i9( i )y

pentru

xeG.

î n t r - a d e v ă r , d a c ă f(x) = 0 , l u ă m c = 0 şi a v e m f(x) <; cg(sx) p e n t r u xeG. D a c ă / ^ 0 , există o m u l ţ i m e deschisă relativ c o m p a c t ă V astfel încît p e V f u n c ţ i a / e s t e s t r i c t p o z i t i v ă . Funcţiajgf este m ă r g i n i t ă p e V şi-şi a t i n g e m a r g i n e a i n f e r i o a r ă m p e F . U r m e a z ă c a m > 0 . F i e K s u p o r t u l l u i / . D e o a r e c e p e n t r u o r i c e S<EG m u l ţ i m e a sV e s t e d e s c h i s ă ş i f a m i l i a (s"" F),eo a c o p e r ă p e G d e c i şi p e K, e x i s t ă o f a m i l i e f i n i t ă ( * " F ) i ^ « c a r e a c o p e r ^ p e K. 1

1

i

Fie

M

marginea

superioară

a funcţiei / .

D a c ă f(x)

= 0,

atunci

n

/ (#)

M — V g(s x). D a c ă f(x) =f= 0 , a t u n c i xeK, m i=i i

deci există i cu x e

s^V,

n

n M d e c i m < g(s a ? ) < £ g(s x) d e u n d e / ( # ) < — J ] g(s »=i m <=i M A ş a d a r , l u î n d e = — p e n t r u 1 < ; i < w, a v e m m

de unde ^ e 7

i

t

t

x).

i

n x

e

f( )

8

x

Yi i9( * )i

p e n t r u orice

xeG.

şi î n c a z u l c î n d / =f= 0 . n

S ă n o t ă m c u ( / ; g) m a r g i n e a i n f e r i o a r ă a t u t u r o r s u m e l o r J ] ^ d e i=l f a m i l i i f i n i t e (tfjio^n d e n u m e r e p o z i t i v e , p e n t r u c a r e e x i s t ă f a m i l i i finite ( s j i ^ o d e e l e m e n t e d i n G care verifică i n e g a l i t a t e a n

S Oiflfai^)* p e n t r u o r i c e # e ( ? , i=l D a c ă /(a?) = 0 , a v e m , e v i d e n t , ( / ; g) = 0 . F u n c ţ i a ( / ; g) a r e p r o p r i e t ă ţ i l e u r m ă t o a r e : 1) (/«? ff) = (/> 9) p e n t r u orice x

f( )

<

seG;

MĂSURA

2)

(cf; g) = c(f;

3)

( / ! + / • ; g ) ^ ( A ; *) + ( / • ; ff);

4)

dacă A < /

2

409

HAAR

g)

,

p e n t r u orice n u m ă r o > 0 ;

atunci

; gf) < ( / ; g). 2

A c e s t e p r o p r i e t ă ţ i s e d e d u c i m e d i a t d i n d e f i n i ţ i a f u n c ţ i e i ( / ; gf). 5) ( / ; h)<(f;g)(g;

*) d a c ă h=f=o şi f(x) < 2

într-adevăr, dacă x

f( )

< 2 0. # i

g=/=o.

( s . # ) Şi

< Z ^

atunci

*i#) de unde

ii

( / ; fe)< i n f H ^ 3 , = i n f £ c« inf £ d, = (/; jf)(jf; A). 6) D a c ă M ş i J f s î n t m a r g i n i l e s u p e r i o a r e a l e l u i / şi F

a

(f;g)> într-adevăr,

există

x

0

atunci

-rjf-

e (7 c u /(a? ) = .if,. A t u n c i 0

M M

f

= /(«o) <

S ^iff(^^o) <

(S

^i) M ,

de unde

0

E

c, >

— ^•

î n p a r t i c u l a r , d i n p r o p r i e t a t e a 6) r e z u l t ă c ă dacă f =f= 0 si g =f= 0 , atunci 6) S ă a l e g e m o f u n c ţ i e

Din proprietatea

f =f= 0

0 d i n 3^ ((?) şi s ă n o t ă m +

5) d e d u c e m

o<

( / ; #) > 0 .

c ă d a c ă / =f= 0 , a t u n c i

< /.(/) < ( / ; / „ ) < + oo \J0

>

J)

d e c i p e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e / 4= 0 f i x a t ă , m u l ţ i m e a {/„ ( / ) |

M / . ) = -M/)> omogenă: I (cf) 9

=

d (f), 9

şi s u b a d i t i v ă : -M/1+/2X

+ !,(/,).

MASURI PE GRUPURI LOCALE COMPACTE

410

CAP. VI

c) V o m a r ă t a c ă I? e s t e a p r o a p e a d i t i v ă , p e n t r u f u n c ţ i i 9 =£= 0 cu suportul destul de mic. Mai precis : Pentru orice funcţii f şi f din J£+(G) şi pentru orice e > 0 există o vecinătate V a unităţii astfel încît pentru orice funcţie qx=J£ (G V) să avem x

2

+

h(fi)

+ h(f%)

< M / i +/•) +

7

«-

e

F i e fi Şi e > 0. D a c ă f + f = 0, i n e g a l i t a t e a e s t e verifi­ c a t ă . S ă p r e s u p u n e m a t u n c i c ă f + f =f= 0. S ă a l e g e m o f u n c ţ i e / ' e J£ (G), e g a l ă c u 1 p e s u p o r t u l f u n c ţ i e i f + f . S ă a l e g e m u n n u m ă r e' > 0 a s t f e l încît x

x

2

2

x

+

2

2e'(/i+/t;/o)< V z şi u n n u m ă r $ > 0 a s t f e l î n c î t 8(1 + 2 £ ' ) ( / ' ; / o ) Să n o t ă m / = f

+ f

x

+

2

8f

şi s ă p u n e m p e n t r u i = 1, 2 , Ut)

h (t)

=

t

<

0

d a c ă /(<)

0,

d a c ă /(<) =

0.

F u n c ţ i i l e \ şi ft a p a r ţ i n l u i Deoarece funcţiile A sînt uniform c o n t i n u e , e x i s t ă o v e c i n ă t a t e V a l u i e, a s t f e l î n c î t 2

4

|fe (a?) — h (y)\ 4

Fie

9

0

t

o funcţie

x

<

e' p e n t r u y~ x&

din ^

+

(G, V)

şi

V.

/(a?) < £ c , ? ( s , a?).

Dacă

> r l


<

— *j(*, )| <

unde 1

S o 9(«,a?)A,(»)< £


f

i

e', d e

s']

i

deci

(/.;?)<

E^CM'f ) + 1

«']

şi d e c i ( A ; 9)

+ (/.;*) < E c , ( i

+

2e').

i

p e n t r u c ă h + fe < ; 1 . D e o a r e c e Ş x

c,- p o a t e fi a l e s o r i c î t d e a p r o p i a t d e

2

i

(/;

9),

avem

h i fi) + M / 2 ) < =

+2e')

<

+/,) +

8 I „ ( / ' ) ] (1 + 2 O

( / i + / . ) + 2 e' 7 , ( A + / , ) + 8 ( 1 + 2 . ' ) I „ ( / ' )
+ /.)

+ «•

<

=

MĂSURA HAAR

411

d) P e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f =j= 0 d i n JC (G) +

c

să n o t ă m cu 8

segmentul

f

u

—"— 9 (f; /o)l Şi & spaţiul p r o d u s al spaţiilor c o m p a c t e 8, cînd / (/o;/) J p a r c u r g e 3£+(G). P e n t r u f i e c a r e f u n c ţ i e

9

f

f

v

9

XJ

F

2

U r m e a z ă că intersecţia mulţimilor C cînd V p a r c u r g e filtrul vecină­ t ă ţ i l o r l u i e e s t e n e v i d ă . F i e jx u n p u n c t c a r e a p a r ţ i n e t u t u r o r m u l ţ i m i l o r C. P e n t r u o r i c e V, o r i c e f u n c ţ i i / . . , f d i n JC+(G) şi o r i c e e > 0 , e x i s t ă 0 f u n c ţ i e

v

l v

n

- J — P r e l u n g i n d p e ţx l a prin egalitatea ASi

—h)

0.

t * ( / i ) — p(/B)>

=

[x e s t e o m ă s u r ă p o z i t i v ă i n v a r i a n t ă l a s t î n g a şi n e i d e n t i c n u l ă p e G. U n i c i t a t e a l u i ţx r e z u l t ă d i n u r m ă t o a r e a p r o p o z i ţ i e , m a i g e n e r a l ă . Observaţie. M ă s u r a ţx c o n s t r u i t ă î n d e m o n s t r a ţ i a a c e s t e i t e o r e m e a r e p r o p r i e t a t e a c ă ţx(/) > 0 p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / ^ 0 d i n J£+{G). P r o p o z i ţ i a 4 . Fie v o măsura Haar pozitivă invariantă la stînga. Orice măsură invariantă la stînga este de forma m =

av.

Să p r e s u p u n e m întîi că m este o m ă s u r ă scalară i n v a r i a n t ă la stînga. S ă c o n s i d e r ă m m ă s u r a ţx c o n s t r u i t ă î n d e m o n s t r a ţ i a t e o r e m e i , c u p r o p r i e ­ t a t e a c ă ţx(/) > 0 p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f =f= 0 d i n J£+(G). F i e / > 0 o f u n c ţ i e d i n JC+(G), fie C s u p o r t u l l u i / şi TJ i n t e r i o r u l l u i C. F i e / ' : G - > [ 0 , 1 ] o f u n c ţ i e c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , e g a l ă c u 1 p e C. F i e s > 0 . S ă a l e g e m o v e c i n ă t a t e s i m e t r i c ă V a l u i e, a s t f e l î n c î t să a v e m \f(yx) şi a s t f e l î n c î t CV {JVCCZ

— f(®z~% <

e p e n t r u y, z e V

TJ. D i n a c e a s t ă i n c l u z i u n e

/(«*) = / ( * * ) / ' ( * )

Şi Â9*)

deducem

=fiy*)f(*)

412

MASURI

p e n t r u yeV avem

şi xeG, X

z

— f(y )\

x

< f'( )

pentru

F i e h=j=0 o f u n c ţ i e d i n X+(G, Deducem atunci ^My)ă i(y)

(x(A)w(/) -

COMPACTE

CAP.

VI

şi d e c i , l u î n d î n i n e g a l i t a t e a p r e c e d e n t ă z = y x

\Î( V)

P E GRUPURI LOCALE

şi 1

V) c u h(x) = h(x~ )

• ^f(x)ăm(x)

l

o r i c e yeV

= ^(y)

= ^d{x(y) ^Hy)f(yx)

xeG.

p e n t r u orice x

^My)f(x)dm(x)

eG.

=

ăm(x)

Şi (*(/) = ^h(x)ăm(x)

(j/(t,)d(i(3,) = ^dji(jf) ^h(x)f(y)dm(x)

_ 1

= ^d|i(y) ^(y aj)/(îr)dm(aj) =

-

^ăm(x)

^h(y)f{xy)ăţL(y)

1

^dm(x)^h(x- y)f(y)d .(y)

=

v

= ^djx(y)

=

dw(oj)

deci \y.(h) m ( / ) -

<

<

m(fe)

ţ|d(i(y) ^

- f(xy)\dm(x)

e ^d|*(y) J » ( y ) / ' ( « ) d [ m | ( * ) =

S (

<

i(A)|m|(/').

î n m o d a n a l o g , l u î n d o f u n c ţ i e g 4= 0 d i n JC+(G) şi o f u n c ţ i e g' :G - > [ 0 , 1 ] c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , e g a l ă c u 1 p e s u p o r t u l l u i g, d e d u c e m |fi(fe) m(g) Deoarece

m{h) p(g)\ <

e|x(fe)|m|(0')-

> 0 , fi(7t) > 0 şi (x(flr) > 0 . a v e m m(f)

m(h)

Vif)

l*W

<

e

l™l(f) Af)

Şi »ţ»(flf)

m(A)

\m\(g')

f

V-{9) de unde m(f)

m(g)

VIF)

VIG)

M(f') l

Af)

,

\m\(g')) v-ig)

MĂSURA

HAAR

413

1

i a r / ' şi g n u d e p i n d d e e. D e o a r e c e s e s t e a r b i t r a r , d e d u c e m m(f)

m(g)

=

0.

F i x î n d o f u n c ţ i e g =f= 0 d i n JC (G) şi n o t î n d b = 0

+

Mf)

m

^

obţinem

M A

=

p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e / e X ^ ' ( 6 r ) , d e c i p e n t r u o r i c e f u n c ţ i e f&JC(G). Dedu­ c e m c ă m(f)=f=0 p e n t r u orice funcţie / ^ 0 din JC. (G). E e z u l t ă că p e n t r u m ă s u r a H a a r pozitivă v invariantă la stînga, a v e m v = aţi c u a > 0. A t u n c i b

=

— v deci n o t î n d a = a m =

— avem a

av.

F i e a c u m m : J£ (G) -> X o m ă s u r ă v e c t o r i a l ă i n v a r i a n t ă l a s t î n g a . P e n t r u o r i c e o / e X ' , f u n c ţ i o n a l a m ' d e f i n i t ă p e JC(G) p r i n e g a l i t a t e a X

m ,(/) = x

< m ( / ) , x'

>

este o m ă s u r ă scalară, i n v a r i a n t ă la stînga, deci d u p ă p r i m a p a r t e a demon­ straţiei este de forma mAf)

=

v(/),

feX(0),

u n d e a{x') e s t e u n n u m ă r c e n u d e p i n d e d e / . S e v e r i f i c ă u ş o r c ă a e s t e o funcţională liniară pe X'. L u î n d feJt(G) cu v ( / ) ^ 0 , deducem

|v(/)| deci a este continuă, a e l " .

orice / e ;£((?),

|v(/)|

P e n t r u f i e c a r e / G 2 ( 6 ) şi « ' e l '

< m(/), deci, p e n t r u

^