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Le Fonds F.C.A.C. pour l’aide et le soutien à la recherche a accordé une aide financière pour la rédaction et pour l’édition de cet ouvrage, dans le cadre de sa politique visant à favoriser la publication en langue française de manuels et de traités à l’usage des étudiants de niveau universitaire.
ISBN 2-7605-0293-7 Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés © 1981 Les Presses de l’Université du Québec Dépôt légal — 3e trimestre 1981 Bibliothèque nationale du Québec Bibliothèque nationale du Canada
1981 Les Presses de l’Université du Québec C.P. 250, Sillery, Québec G1T 2R1
AVANT-PROPOS Ce livre est considéré comme un manuel pour un premier cours en analyse fonctionnelle au niveau de la dernière année du premier cycle ou première année de deuxième cycle. Il s’adresse soit aux étudiants en mathématiques (pures, appliquées ou statistiques) soit aux étudiants en sciences et génie. Dans ce but, nous avons illustré le texte avec des exemples variés toutes les fois que nous avons introduit une nouvelle notion ou montré un théorème. De plus nous avons préféré l’approche classique pour qu’un étudiant ayant déjà une bonne maîtrise de l’analyse réelle et complexe et de l’algèbre linéaire puisse facilement suivre ce livre. C’est pourquoi nous ne donnons pas de références. À la fin des chapitres, le lecteur trouve des exercices et des projets. Le but des exercices est de vérifier si l’étudiant a bien compris et assimilé le contenu du texte. Ce sont donc des exemples ou des applications directs de la matière qu’on a vue dans le chapitre et qui sont faciles à résoudre. D’autre part les projets traitent de sujets nouveaux qui sont en relation très proche de la matière du chapitre. Nous procédons par étapes. Au lieu d’expliquer la théorie, c’est le lecteur qui va la découvrir. Nous avons donc trois buts pour les projets : a)
approfondir le contenu du chapitre ;
b) apprendre à l’étudiant à faire un développement mathématique ; c)
élargir un peu le champ des applications de l’analyse fonctionnelle.
Comme le titre de ce livre le mentionne, il s’agit bien d’une introduction à l’analyse fonctionnelle, c.-à-d. qu’on trouvera ici ou bien un outil mathématique qui s’applique directement aux domaines divers ou bien une base pour des études plus profondes et plus récentes de l’analyse fonctionnelle.
Nous ne saurions trop remercier madame Jacqueline Hayes qui a voulu mettre toute son habileté et son expérience à notre disposition pour la dactylographie du texte. La grande quantité de symboles utilisés dans ce livre a sans doute demandé une patience et une persévérance que nous reconnaissons sincèrement.
Walter Hengartner Marcel Lambert Corina Reischer
TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE 1 — PRÉLIMINAIRES 1.1 1.2 1.3
Ensembles ordonnés. Axiome des chaînes maximales ............................................2 Éléments de topologie .............................................................................................6 Mesure et intégration .............................................................................................13
CHAPITRE 2 - ESPACES LINEAIRES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Espaces et sous-espaces linéaires ..........................................................................42 Ensembles linéairement indépendants. Sous-espaces engendrés............................47 Base algébrique. Dimension algébrique ................................................................49 Isomorphisme des espaces linéaires ......................................................................53 Décomposition en somme directe d’un espace linéaire .........................................56 Espaces linéaires quotient. Codimension algébrique .............................................57 Espaces linéaires topologiques ..............................................................................62 EXERCICES .........................................................................................................67 PROJETS ...............................................................................................................73
CHAPITRE 3 - ESPACES MÉTRIQUES 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12
Espace métrique. Définitions. Propriétés générales ........................................... 78 Espace normé. Définitions. Propriétés générales ............................................... 88 Convergence. Espaces métriques complets ........................................................ 96 Une propriété de point fixe dans les espaces métriques complets ............................................................................................................ 111 Complétion des espaces métriques ................................................................... 117 Espaces métriques de première et de deuxième catégorie de Baire ................................................................................................................. 121 Espaces métriques séparables ........................................................................... 126 Espaces métriques compacts ............................................................................ 135 Espaces normés équivalents ............................................................................. 154 Complétion des espaces normés ...................................................................... 159 Espaces normés de dimension algébrique finie ............................................... 161 L’espace produit ou somme directe de deux espaces normés ......................... 167 EXERCICES .................................................................................................... 171 PROJETS .......................................................................................................... 178
CHAPITRE 4 - ESPACES DE HILBERT 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Définitions. Propriétés générales ......................................................................... 186 Orthogonalité. Décompositions orthogonales d’un espace de Hilbert ............................................................................................................ 195 Bases orthonormales d’un espace de Hilbert ...................................................... 204 Isomorphisme des espaces de Hilbert. Dimension hilbertienne ......................... 222 Les séries de Fourier .......................................................................................... 225 Théorème de Müntz et polynômes orthonormaux .............................................. 239 EXERCICES ....................................................................................................... 248 PROJETS ............................................................................................................. 253
CHAPITRE 5 - FONCTIONNELLES LINÉAIRES 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Fonctionnelles linéaires sur un espace linéaire .................................................. 268 Fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé .................................... 274 Fonctionnelles linéaires sur un espace de Hilbert .............................................. 279 Le théorème de Hahn-Banach ............................................................................ 282 L’espace dual topologique d’un espace normé .................................................. 291 Théorème de Banach-Steinhauss ........................................................................ 310 Distributions ....................................................................................................... 313 EXERCICES ....................................................................................................... 326 PROJETS ............................................................................................................. 331
CHAPITRE 6 - OPÉRATEURS LINÉAIRES 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11
Opérations linéaires sur un espace linéaire ....................................................... 336 L’algèbre La(X) ................................................................................................. 341 Opérateurs linéaires continus sur un espace normé ........................................... 343 L’espace normé (L(X,Y), || ||) ........................................................................... 345 L’algèbre de Banach L(X) ................................................................................. 352 Opérateurs linéaires réguliers ............................................................................ 353 Opérateurs linéaires compacts ........................................................................... 358 Convergence dans L(X,Y) ................................................................................. 363 L’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire continu ...................................... 371 Le théorème de Banach-Steinhaus .................................................................... 375 Le principe de l’application ouverte et le théorème du graphe fermé ..................................................................................................... 377 EXERCICES ....................................................................................................... 383 PROJETS ............................................................................................................. 388
CHAPITRE 7 - OPERATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
Formes bilinéaires et formes quadratiques ............................................................400 Opérateur adjoint ..................................................................................................406 Opérateurs auto-adjoints .......................................................................................408 Opérateurs auto-adjoints positifs ...........................................................................413 Projecteurs .............................................................................................................419 Opérateurs normaux ..............................................................................................424 Opérateurs unitaires ..............................................................................................425 Représentation d’un opérateur linéaire continu sur un espace de Hilbert séparable ...............................................................................................430 EXERCICES .........................................................................................................437 PROJETS ...............................................................................................................439
CHAPITRE 9 - FONCTIONS DES OPÉRATEURS LINÉAIRES BORNES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
La décomposition spectrale d’un opérateur compact et autoadjoint .................................................................................................................... 478 Polynômes et fonctions holomorphes d’opérateurs bornés ................................... 481 Fonctions continues d’un opérateur continu et auto-adjoint ................................. 497 Fonctions semi-continues supérieurement d’opérateurs continus et auto-adjoints ...................................................................................................... 503 Décomposition spectrale d’un opérateur linéaire continu et auto-adjoint ............................................................................................................ 507 Fonctions continues et semi-continues d’un opérateur unitaire ........................... 519 Décomposition spectrale d’un opérateur unitaire .................................................. 521 EXERCICES ......................................................................................................... 527 INDEX ALPHABÉTIQUE ................................................................................... 529 LISTE DE NOTATIONS PRINCIPALES.............................................................. 535
CHAPITRE 1 PRÉLIMINAIRES
Le premier chapitre de ce livre est consacré à des sujets qui sont supposés être connus par le lecteur. Nous donnons un court résumé des théorèmes et définitions que nous allons utiliser dans les autres chapitres. Dans le premier paragraphe, nous parlons d’ensembles ordonnés pour arriver à l’axiome des chaînes maximales. Dans le deuxième paragraphe, nous donnons quelques notions de base de topologie générale. Nous avons pourtant préféré ne pas aller trop loin dans la généralisation et ne considérer que le cas des espaces métriques. Le lecteur qui n’est pas familier avec la topologie générale peut donc aussi suivre le livre sans difficulté. Le troisième paragraphe est un résumé de la théorie de la mesure et de l’intégration. La connaissance de ce domaine est indispensable et nous suggérons au lecteur qui n’est pas familier avec ce domaine de bien lire ce paragraphe.
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1.1 ENSEMBLES ORDONNES, AXIOME DES CHAÎNES MAXIMALES Les quelques notions de la théorie des ensembles ordonnés présentées ici sont nécessaires pour énoncer l’axiome des chaînes maximales. Celui-ci sera utilisé dans la démonstration de certains théorèmes fondamentaux de l’analyse fonctionnelle.
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est une fonction semi-continue inférieurement et l’infimum d’un ensemble de fonctions semi-continues supérieurement est une fonction semi-continue supérieurement.
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1.3 MESURE ET INTÉGRATION Dans ce paragraphe, nous donnons un aperçu des définitions et théorèmes de la théorie de la mesure et de l’intégration que nous utiliserons plus tard. De plus nous prouverons les inégalités de Hölder et de Minkowski. L’inégalité de Hölder est une généralisation de l’inégalité de Cauchy qui dit que dans l’espace euclidien le module du produit scalaire de deux vecteurs est plus petit ou égal au produit de ses longueurs. D’autre part, l’inégalité de Minkowski généralise l’inégalité de triangle. Ces deux inégalités sont souvent utilisées dans l’analyse fonctionnelle.
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Autrement dit une mesure complexe µ peut être écrite comme µ = µl + i µ2, où µ1, µ2 sont deux mesures réelles sur M. La variation totale |µ| est, comme avant, la plus petite mesure positive qui majore la valeur absolue de µ sur les ensembles mesurables.
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Notons que φ n’est pas intégrable au sens de Riemann ! Le prochain théorème résume les propriétés élémentaires de l’intégrale d’une fonction simple, mesurable et positive.
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Préliminaires Nous allons étudier cette convergence plus profondément dans le chapitre 3. Pour l’instant ne mentionnons qu’une seule propriété.
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C. LES INÉGALITES DE HOLDER ET DE MINKOWSKI L’inégalité de Hölder est une généralisation de l’inégalité de Cauchy qui dit que dans l’espace euclidien le module du produit scalaire de deux vecteurs est plus petit ou égal au produit de ses longueurs. D’autre part l’inégalité de Minkowski généralise l’inégalité de triangle. Ces deux inégalités sont souvent utilisées dans l’analyse.
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CHAPITRE II ESPACES LINÉAIRES
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2.2 ENSEMBLES LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS , SOUS-ESPACES ENGENDRÉS. Nous donnons dans ce paragraphe la notion d’indépendance linéaire et dépendance linéaire d’un système de vecteurs, ainsi que le sous-espace linéaire engendré par un ensemble de vecteurs. DÉFINITION 2.2.1. Soit X un espace linéaire sur K et xl, x2, ..., xn des éléments de X.
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2.3 BASE ALGÉBRIQUE. DIMENSION ALGÉBRIQUE Nous introduisons la notion de base algébrique et montrons l’existence d’une base algébrique, dans un espace linéaire quelconque en utilisant l’axiome des chaînes maximales. Pour la notion de base algébrique,
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on peut rencontrer dans la littérature, le nom de base de Hamel. Il faut éviter la confusion d’une base algébrique avec la base de Schauder ou avec la base hilbertienne. De même, il faut éviter la confusion entre la dimension algébrique et la dimension hilbertienne. DÉFINITION 2.3.1. Un sous-ensemble B de X s’appelle une base algébrique de l’espace linéaire X si a)
B est un ensemble linéairement indépendant
b)
[B] - X, i.e. le sous-espace linéaire engendré par B est X. L’existence d’une base algébrique dans un espace linéaire est assurée par la proposition suivante.
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2.4 ISOMORPHISME DES ESPACES LINÉAIRES Les propriétés de l’isomorphisme algébrique nous permettront de
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THÉORÈME 2.4.3. Deux espaces linéaires X et Y sur le même corps K sont algébriquement isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension algébrique. DÉMONSTRATION. Soient X et Y algébriquement isomorphes et soit B une base algébrique de X. Alors X et Y ont la même dimension et φ(B) est une base algébrique de Y (φ est un isomorphisme). En effet, φ(B) est linéairement indépendant (voir 2.4.2) et [φ(B)] = Y, car pour tout y Є Y il y a un seul vecteur x E X tel que y = φ(x). Mais
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2.5 DÉCOMPOSITION EN SOMME DIRECTE D’UN ESPACE LINÉAIRE La décomposition d’un espace linéaire en somme directe nous servira dans l’étude des espaces de Hilbert. DÉFINITION 2.5.1. Soit X un espace linéaire et X1, X2 deux sous-espaces de X. X1 et X2 sont une décomposition en somme directe de X, si et seulement si tout x Є X s’écrit de façon unique sous la forme
THÉORÈME 2.5.2. Soit X un espace linéaire et X1 un sous-espace linéaire de X. Il existe toujours des sous-espaces complémentaires de X1 par rapport à X. DÉMONSTRATION. Si X1 = X, le seul sous-espace complémentaire est {o}. Si X1 = {o}, le seul sous-espace complémentaire est X. Soit maintenant X1 ≠ {o} et X1 ≠ X et soit B1 une base algébrique de X1 et B une base algébrique de X contenant B1 (voir 2.3.4).
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2.6 ESPACES LINÉAIRES QUOTIENT. CODIMENSION ALGÉBRIQUE Nous introduisons la notion d’espace linéaire quotient par rapport a un sous-espace linéaire, ainsi que la notion de codimension algébrique qui sera utilisée pour caractériser les sous-espaces linéaires maximaux.
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2.7 ESPACES LINÉAIRES TOPOLOGIQUES Les espaces linéaires topologiques ont une double structure. 1.
Une structure de nature algébrique, l’espace linéaire sur un corps K ;
2.
une structure de nature topologique, l’espace topologique.
Entre ces deux structures on suppose une condition de compatibilité, en demandant que les opérations d’espace linéaire soient continues par rapport à la topologie utilisée. DÉFINITION 2.7.1. Un espace linéaire X sur un corps K est un espace linéaire topologique si on définit une topologie sur X telle que les opérations d’espace linéaire, i.e. l’addition des vecteurs et la multiplication par les scalaires, sont continues.
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couple (α0, x0). On peut se limiter pour chaque point à un système fondamental de voisinages. REMARQUÉ 2.7.3. En général un espace linéaire topologique n’est pas séparé au sens de Hansdorff (voir 1.2.19).
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3. Soit M(n,m,K) l’ensemble des matrices de type (n,m) sur le corps K a)
Montrer que M(n,m,K) est un espace linéaire sur K avec les opérations habituelles des matrices.
b)
Trouver une base algébrique pour M(n,m,K).
c)
Quelle est la dimension algébrique de M(n,m,K) ?
d)
Dans M(n,n,K) l’ensemble des matrices symétriques (A = A* , où A* est la transposée de A) est un sous-espace linéaire.
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23. Dans l’espace linéaire réel des mesures réelles, sur une a-algèbre donnée, l’ensemble des mesures positives est convexe. 24. Toute intersection d’ensembles convexes d’un espace linéaire est un ensemble convexe. 25. La réunion d’une chaîne p.r. à la relation d’inclusion des ensembles convexes d’un espace linéaire est un ensemble convexe.
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30.
Toute intersection (ou réunion) d’ensembles équilibrés d’un espace linéaire est un ensemble équilibré.
31.
Toute intersection finie d’ensembles absorbants d’un espace linéaire est un ensemble absorbant. Toute réunion d’ensembles absorbants d’un espace linéaire est un ensemble absorbant.
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CHAPITRE III ESPACE MÉTRIQUE
Depuis le début du siècle, en analysant des théories sur des sujets apparemment bien différents, on a observé des ressemblances frappantes tant dans le contenu qu’au niveau du développement. Les notions d’espace métrique et d’espace normé en sont des exemples parmi les plus importants. Dans les paragraphes 1 et 2, nous apporterons beaucoup d’exemples d’espaces métriques et d’espaces normés. Nous étudierons la convergence dans le paragraphe 3 pour être amenés ainsi aux espaces métriques complet et aux espaces de Banach. Une première application fondamentale sera le théorème de Picard-Lindelöf si utile pour des théorèmes d’existence et d’unicité ou pour le calcul numérique (paragraphe 4). Ce théorème ne s’appliquant qu’aux espaces complets, il est utile de savoir qu’on peut toujours compléter un espace métrique (paragraphes 5 et 10). Un autre théorème utilisable dans les théorèmes d’unicité est celui de Baire sur les espaces métriques de première et de deuxième catégorie (paragraphe 6). Dans la théorie de l’approximation, les espaces séparables (paragraphe 7) sont très importants. Nous donnerons une première démonstration du théorème d’approximation polynomiale de Weierstrass. La notion d’espace métrique compact, développée au paragraphe 8, a une portée fondamentale dans plusieurs domaines des mathématiques. Nous y verrons en particulier les théorèmes de Dini, de Tietze et d’Arzela-Ascoli. Enfin nous aborderons les espaces normés équivalents (paragraphe 9), les espaces normés de dimension finie (paragraphe 11) et les propriétés d’une somme directe de deux espaces normés (paragraphe 12).
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3.1 ESPACES MÉTRIQUES, DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES Ce paragraphe est consacré à une introduction à l’espace métrique général que nous illustrerons par de nombreux exemples. DÉFINITION 3.1.1. Soit X un ensemble quelconque non vide. Une semi-métrique, ou semi-distance, sur X est une application
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Imposons maintenant une condition plus restrictive à une semimétrique. DÉFINITION 3.1.4. Soit X un ensemble quelconque non vide. Une métrique ou encore une distance sur X est une semi-métrique d : X × X → R, telle que D5. d(x,y) = 0 si et seulement si x = y. L’ensemble X muni d’une métrique d s’appelle espace métrique, noté par (X,d).
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pour tout xl, yl Є X1, s’appelle une isométrie. On dit dans ce cas que les espaces métriques (X1, d1) et (X2, d2) sont isométriques. Une isométrie préserve les distances entre les paires d’éléments correspondants, i.e. elle préserve la métrique de l’espace. Montrons, enfin, qu’on peut construire un espace métrique à partir d’un espace semimétrique.
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3.2 ESPACES NORMES. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES Nous étudions maintenant un cas particulier d’espace métrique, l’espace linéaire normé. Sommairement c’est un espace linéaire où la distance d’un élément quelconque à l’origine satisfait d(λx,o) = |λ|d(x,o) et où la translation est une isométrie. Ces espaces ont donc une structure d’espace linéaire et une structure d’espace métrique reliées entre elles.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle Un espace linéaire X muni d’une norme s’appelle espace normé, noté par (X, || ||) Quand la norme ne doit pas être précisée, on va dénoter, en bref, un espace normé par X.
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métriques induites respectivement par les normes || ||1 et || ||2, sont isométriques (voir 3.1.17). Donc une isométrie d’espaces normés préserve la métrique induite par la norme.
Espace métrique re de la même façon la notion de suite convergente. Dans ce cas la remarque 3.3.2. n’est plus valide.
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Espace métrique et le théorème est établi.
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DÉFINITION 3.3.12. Un espace métrique est complet si chaque suite de Cauchy est convergente. Retournons à quelques exemples déjà vus.
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EXEMPLE 3.3.22. L’espace de fonctions de répartitions définies dans 3.1.10 muni de la métrique dL de Lévy est un espace complet. REMARQUE 3.3.23. Un espace normé (X, || ||) étant en particulier un espace métrique (X, d) où d(x,y) = ||x - y||, tous les résultats précédents restent valides. THÉORÈME 3.3.24. Soient (X, || ||) un espace normé et d la métrique induite
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DÉMONSTRATION. a) Montrons d’abord que B(xo,p) est un ensemble convexe (voir 2.7.12). Soit y1 et y2 dans B(x0 ,o). Alors pour tout λ Є [0,1], nous avons
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REMARQUE 3.3.32. Les opérations d’un espace normé sont continues dans la topologie d’espace normé (voir 3.3.24). L’affirmation reste valide pour un espace semi-normé.
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UNE PROPRIÉTÉ DE POINT FIXE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
Ce paragraphe est consacré au théorème de point fixe de Picard-Lindelöf qui s’applique dans plusieurs problèmes. Il donne aussi des théorèmes d’existence et d’unicité. Nous l’appliquons ici aux équations différentielles et à l’équation de Fredholm, nonhomogène de deuxième espèce.
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La méthode décrite dans la démonstration du théorème est constructive. Pourtant la vitesse de convergence est faible. Cette méthode est donc peu utilisée dans les cas concrets.
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où le noyau k(x,y) et φ(x) satisfont les conditions donnes dans 3.4.5, a une solution unique en h Є C[a,b] pour tout λ. DÉMONSTRATION. Observons d’abord que l’équation de Volterra diffère de l’équation de Fredholm par le fait que la limite supérieure de l’intégrale est une quantité variable x. Cependant, cette équation peut être considérée comme un cas particulier de l’équation de Fredholm si on complète la définition de la fonction k(x,y) par k(x,y) _= 0 pour y > x. Considérons l’application f : C ([a,b]) → C([a,b]) donnée par g(x) = f(h(x)) où
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Observons que l’équation intégrale de Fredholm admet une solution unique seulement pour des valeurs suffisamment petites du paramètre λ, tandis que l’équation intégrale de Volterra admet une solution unique pour tout λ. 3,5 COMPLÉTION DES ESPACES MÉTRIQUES Nous allons montrer que chaque espace métrique qui n’est pas complet peut être considéré comme un sous-espace dense d’un espace métrique complet.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
La relation ~ définie sur C par (1) est une véritable relation d’équivalence, parce que elle est réflexive, symétrique et transitive. Montrons la transitivité. Soient
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P,Q Є P. Alors l’espace métrique (P,d) n’est pas complet. L’espace complété est (C([0,1]), d). EXEMPLE 3.5.5. L’ensemble de solutions d’une équation aux dérivées partielles considéré comme un espace métrique n’est pas complet en général. L’espace complété nous amène aux solutions généralisées au sens de Sobolev. 3.6 ESPACES MÉTRIQUES DE PREMIÈRE ET DE DEUXIÈME CATÉGORIE DE BAIRE Le théorème de catégorie de Baire peut être utilisé pour montrer des théorèmes d’existence. Nous le retrouverons aux §§ 5.6 et 6.10 dans la démonstration du théorème de Banach-Steinhaus.
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4.
F est fermé, parce que l’intersection dénombrable d’ensembles fermés est fermé.
5.
F est rare. Si F contenait un ouvert non-vide, F contiendrait au moins un intervalle ouvert non-vide qui est exclu par la construction
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
où Fi sont des ensembles fermés, alors au moins un des ensembles Fi contient un ensemble ouvert non vide. THÉORÈME 3.6.10. (Baire). Soit (X,d) un espace métrique non vide complet. Alors X est de deuxième catégorie de Baire. DÉMONSTRATION. Supposons que l’espace métrique (X,d) non vide et complet est de première catégorie de Baire. Alors, on peut écrire
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Ai contient un ensemble ouvert non vide, donc les Ai ne sont pas rares. Contradiction.
***
3.7 ESPACES MÉTRIQUES SÉPARABLES Dans ce paragraphe, nous étudierons des espaces métriques qui contiennent des sousensembles dénombrables denses. Ces espaces jouent un grand rôle dans la théorie de l’approximation.
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indépendantes qui prennent la valeur 1 avec probabilité x et la valeur 0 avec probabilité (1 - x), donc Xk sont des variables aléatoires de distribution de Bernoulli.
Soit f Є C([0,1]). Puisque f est continue sur un intervalle fermé, elle est uniformément continue sur [0,1], donc pour tout ε > 0 il existe δ(ε) tel que
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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L’approximation obtenue par la méthode de Bernstein est explicite et simple à construire, mais elle n’est pas pratique parce que la convergence est très lente. Nous allons donner plus tard une deuxième démonstration basée sur la théorie des séries de Fourier (voir 4.5.8). Nous sommes prêts maintenant pour l’énoncé suivant. THÉORÈME 3.7.10. L’espace normé (C([a,b]), || || [a ,b]) est un espace séparable. DÉMONSTRATION. On utilise le théorème de Weierstrass (voir 3.7.9) et comme dans l’exemple 3.7.5 nous ne considérons maintenant que des polynômes à cœfficients rationnels. ***
est séparable. Donnons maintenant une caractérisation d’un espace métrique séparable. THÉORÈME 3.7.11. Un espace métrique (X,d) est séparable si, et seulement
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
si chaque recouvrement d’ouverts {0i ; i Є I} de X contient un sous-recouvrement dénombrable.
Espace métrique
5.8 ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS Nous présentons d’abord deux définitions des espaces métriques compacts, une première définition due à Bolzano-Weierstrass, et une définition différente due à HeineBorel et nous montrons l’équivalence de
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
ces deux définitions. Enfin, on présente le théorème de Tietze, le théorème de Arzela-Ascoli et le théorème de Montel.
DÉFINITION 3.8.2. (Heine-Borel). Un espace métrique (X,d) est compact si chaque recouvrement de X par une famille d’ouverts contient un sous-ensemble fini qui recouvre X. DÉFINITION 3.8.3. Soit (X,d) un espace métrique. Un ε-réseau est un ensemble fini de points
Espace métrique
137
En général, la réciproque du théorème 3.8.5 n’est pas vraie, comme nous le montre l’exemple suivant :
Contradiction. THÉORÈME 3.8.7. Un espace métrique (X,d) est compact au sens de Bolzano-Weierstrass si et seulement s’il est complet et totalement borné.
138
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Mais une telle suite ne possède pas une sous-suite convergente. Contradiction. b) Supposons maintenant que l’espace métrique (X,d) est totalement borné et complet. Montrons que (X,d) est complet dans le sens de 3.8.1.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME 3.8.8. Un espace métrique (X,d) est compact au sens de Bolzano-Weierstrass si et seulement s’il est compact au sens de Heine-Borel.
Espace métrique
Donc, on n’a pas une partie finie de ces boules qui forme un recouvrement de X, d’où (X,d) n’a pas la propriété de Heine-Borel. Contradiction. b) Supposons maintenant que (X,d) est un espace compact au sens de BolzanoWeierstrass. Montrons que (X,d) est un espace compact au sens de Heine-Borel.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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COROLLAIRE 3.8.14. Dans un espace métrique tout ensemble compact est fermé. De plus, l’intersection d’un ensemble fermé et d’un ensemble compact est un ensemble compact.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
i.e. g n’est pas continu sur [0,1]. Puisque la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est une fonction continue, on voit que l’hypothèse du théorème de Dini que g est une fonction continue est nécessaire. De plus la condition fn ≤ fn+l (ou fn+l ≤ fn) est aussi nécessaire.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction l’analyse fonctionnelle
3.9 ESPACES NORMES ÉQUIVALENTS Puisque un espace normé (X, || ||) a un double caractère : 1) algébrique, d’espace linéaire sur un corps K,
Espace métrique 2) topologique, d’espace topologique par la topologie induite sur X par || || , il est naturel d’avoir plusieurs types d’isomorphismes entre deux espaces normés. Ainsi entre deux espaces normés (X1, || ||1) et (X2, || ||2) où X1 et 1 X2 sont des espaces linéaires sur le même corps K, on peut avoir un isomorphisme algébrique d’espaces linéaires X1 et X2 (voir 2.4.1), un homéomorphisme d’espaces topologiques (voir 1.2.25). On peut avoir aussi un isomorphisme entre X1 et X2 qui préserve la norme, i.e. une isométrie (voir 3.2.16). On va introduire maintenant un isomorphisme qui tient compte de la nature topologique d’un espace normé. Ensuite, on va caractériser les normes qui induisent la même topologie sur un espace linéaire.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 3.9.9. Soit (X, || ||) un espace normé tel que X est un espace linéaire sur K de dimension algébrique finie n. Alors (X || ||) est équivalent avec l’espace normé (Kn, || ||1). COROLLAIRE 3.9.10. Deux espaces normés sur le même corps K et de même dimension algébrique finie n sont équivalents. En effet, les deux espaces sont équivalents avec (Kn, || ||1) et l’équivalence entre les espaces normés est une relation d’équivalence,
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c’est-à-dire réflexive, symétrique et transitive. Tout espace normé (X, || ||) de dimension algébrique finie n, a les mêmes propriétés de nature algébrique ou topologique que l’espace normé (Kn, || ||1) 3.10 COMPLÉTION DES ESPACES NORMÉS Nous avons vu (voir 3.3.25) qu’un espace de Banach est un espace normé (X, || ||) complet par rapport à la topologie induite par la norme Dans 3.3. nous avons donné plusieurs exemples d’espaces normés qui sont des espaces de Banach (voir 3.3.14 - 3.3.16, 3.3.18) et d’autres qui ne le sont pas (voir 3.3.13, 3.3.17, 3.3.20). Nous avons vu que chaque espace métrique non-complet peut être considéré comme un sous-espace métrique dense dans un espace métrique complet (voir 3.5.1). Un résultat analogue est valide pour les espaces normés non-complets.
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Introduction à 1’analyse fonctionnelle
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est une norme pour P([a,b]). La convergence dans cette norme coïncide avec la convergence uniforme des polynômes sur l’intervalle fermé L’espace normé (P([a,b]) || ||[a,b]) n’est pas complet. Un espace de Banach qui complète cet espace dans le sens de 3.10.1 est l’espace (C([a,b]), || ||[a,b]) (voir 3.3.18). La démonstration est basée sur le théorème de Weierstrass d’approximation des fonctions continues. (voir 3.7.9). 3.11 ESPACES NORMES DE DIMENSION ALGÉBRIQUE FINIE Nous donnons maintenant une caractérisation pour un espace normé de dimension algébrique finie. Nous avons vu que tout espace normé (X, || ||), où X est un espace linéaire sur le corps K, de dimension algébrique finie n, est équivalent à l’espace normé (Kn, || ||) (voir 3.9.9). Il est donc un espace de Banach. De plus, chaque sous-espace normé de dimension algébrique finie d’un espace normé (X, || ||) est fermé dans X, dans la topologie induite dans X par || ||. EXEMPLE 3.11.1. Soit dans l’espace normé (C([a,b]), || ||[a b]) le sous-espace normé Pn([a,b]), || ||[a,b]) où Pn([a,b]) est l’ensemble des polynômes sur l’intervalle [a,b], de degré au plus n. Alors, puisque l’espace
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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COROLLAIRE 3.11.4. Un espace normé (X, || ||) est de dimension algébrique finie si et seulement si l’ensemble S(0, 1) = {y Є X ; ||y|| = l} est compact dans X. REMARQUE 3.11.5. Le théorème de Riesz, 3.11.3, cesse d’être vrai si X n’est pas un espace normé. L’exemple suivant justifie cette affirmation. EXEMPLE 3.11.6. Dans l’espace métrique (H(D),d) où
Espace métrique Comme une conséquence, on retrouve aussi le résultat que la distance d n’est pas induite par une norme (voir 3.2.14).
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166
Introduction à l’analyse fonctionnelle Dans le prochain chapitre, on va étendre le théorème 3.11.7. (voir 4.2.14).
Soit maintenant dim X0 = n et u1, ...,un une base algébrique pour X0. Alors, tout y Є X0 est une combinaison linéaire sur {u1, ...,un}, donc
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
DÉFINITION 3.12.5. Les applications PX1 et PX2, données par (1) s’appellent les projections de X sur X1, respectivement sur X2. On peut généraliser d’une manière évidente le produit pour un nombre fini d’espaces normés. Tous les résultats précédents restent valides.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
10. Soit (X, || ||) un espace normé et soit d la métrique induite par la norme. Montrez que d est invariante sous les translations, i.e. d(x + z, y + z) = d(x,y) = d(x - z, y - z) pour tout x,y,z Є X.
Espace métrique
173
Prouver que pour connaître la distance entre deux points quelconques de X, il suffit de connaître la distance entre chaque point de X et l’origine, o.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
20.
Soit (X,d) un espace métrique complet et soit A un ensemble non vide de X. Alors (A,d) est complet si et seulement si l’ensemble A est fermé dans la topologie induite par d.
24.
Soit (X, || ||) un espace normé, non trivial, i.e. X ≠ {o}. Montrer que (X, || ||) est un espace de Banach si et seulement si l’ensemble {x Є X ; ||x|| = 1} est complet.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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41. Donnez un exemple de deux espaces métriques homéomorphes tels que l’un est complet tandis que l’autre ne l’est pas. 42. Montrez qu’un espace de Banach est de dimension algébrique finie si et seulement si tout sous-espace est fermé.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
3. Soit (X, || ||) un espace normé. La norme || || est non-archimédienne si on a ||x + y|| ≤ max (||x||, ||y||) pour tout x, y Є X. Montrez que si || || est une norme non-archimédienne, alors a)
||x|| > ||y|| entraîne ||x + y|| ≥ ||x||
b)
la distance induite par || || est une ultramétrique.
Espace métrique
4.
Montrez qu’une para-norme p est une application continue sur X.
5.
Montrez que le noyau d’une para-norme p, i.e. N(p) = {x Є X ; p(x) = 0} est un sous-espace linéaire fermé de X.
III. Soit (X,d) un espace métrique complet.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
V. Soit X un espace linéaire topologique sur le corps K. X est un espace linéaire topologique localement convexe s’il possède un système fondamental de voisinages pour l’origine, qui sont des ensembles convexes et équilibrés. De plus, ils sont des ensembles absorbants puisque tout voisinage de o dans un espace linéaire topologique est un ensemble absorbant. 1.
Soit {pi ; i Є I} une famille de semi-normes sur un espace linéaire X.
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2.
Soit (X,T) un espace linéaire topologique localement convexe, alors il existe une famille {pi ; i Є I} de semi-normes sur X, telle que la topologie localement convexe induite sur X par {pi ; i Є I} coïncide avec T.
3.
Un espace paranormé séparable et complet s’appelle un espace de Fréchet. En particulier un espace semi-normé et complet ou un espace localement convexe et complet est un espace de Fréchet. a)
Montrer que H(D) l’ensemble des fonctions holomorphes sur un domaine D est un espace de Fréchet.
b)
Soit Pn l’ensemble des polynômes de degré plus petit que n ou égal n. Montrer que H(D)/Pn est un espace de Fréchet.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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183
CHAPITRE IV ESPACES DE HILBERT
Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire. Nous allons voir que plusieurs propriétés géométriques de |Rn sont encore valables (voir paragraphes 1 et 2). Une caractéristique des espaces de Hilbert est qu’on peut trouver des bases orthonormales (paragraphe 3) qui nous permettent de calculer simplement les problèmes de meilleure approximation. Dans le paragraphe 4, nous parlons des isomorphismes des espaces de Hilbert pendant qu’au paragraphe 5, nous traitons de la théorie classique des séries de Fourier. Nous terminons le chapitre par le théorème de Müntz et des exemples de polynômes orthonormaux.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
4.1 DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
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EXEMPLE 4.1.5. Soit (X, M, µ) un espace mesuré. Alors dans l’espace linéaire L2(dµ) sur X, l’application
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Cette équation nous montre que deux produits scalaires différents sur X entraînent deux normes induites différentes. THÉORÈME 4.1.14. Tout espace linéaire peut être muni d’un produit scalaire. DÉMONSTRATION. Soit X un espace linéaire et soit B une base algébrique de X. Alors nous définissons
En utilisant 4.1.11 on retrouve le résultat 3.2.5, i.e. tout espace linéaire peut être muni d’une norme. THÉORÈME 4.1.15. Un produit scalaire est une fonction continuée sur X × X, par rapport à la norme induite.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Jusqu’ici nous n’avons pas encore supposé que l’espace linéaire muni d’un produit scalaire était complet. Nous ferons un pas de plus en définissant l’espace de Hilbert. DÉFINITION 4.1.16. Un espace de Hilbert est un espace complet par rapport à la norme induite par un produit scalaire. En d’autres mots, un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire. On peut montrer, comme dans le cas des espaces métriques (voir 3.5.1) et normés (voir 3.10.1) que chaque espace préhilbertien peut être complété. EXEMPLE 4.1.17. Les exemples 4.1.3 à 4.1.5 sont des espaces de Hilbert. EXEMPLE 4.1.18. L’espace préhilbertien de 4.1.6 n’est pas un espace de Hilbert. Dans le prochain théorème, nous allons caractériser les normes qui sont induites par un produit scalaire. THÉORÈME 4.1.19. Soit X un espace de Banach. X est un espace de Hilbert (i.e. sa norme est induite par un produit scalaire) si et seulement si pour tout x, y Є X, on a
DÉMONSTRATION. La condition nécessaire est montrée dans 4.1.13 par les égalités (3) et (4). Supposons donc qu’on ait (5) et soit (x,y) donné par (6). a) Montrons d’abord que ||x|| = (x,x)1/2. En posant x = y dans (6), alors pour tout x Є X,
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THÉORÈME 4.2.20. (Décomposition orthogonale). Si H1 est un sous espace fermé d’un espace de Hilbert H, alors tout x Є H se décompose d’une manière unique ;
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
i.e. E est un ensemble orthogonal dont chaque élément ei possède une norme égale à 1. REMARQUE 4.3.5. Un système orthonormal d’un espace de Hilbert est linéairement indépendant. En effet, si E = {ei ; i Є I} est un système orthonormal dans H, et si
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L’espace ℓ2 étant complet, Hs est complet et donc lui-même un espace de Hilbert. Soit E = {ek ; k Є |N} un système orthonormal d’un espace de Hilbert.
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DÉMONSTRATION. C’est une conséquence directe de la définition de la somme (4) et de l’inégalité de Bessel pour des sommes finies. ***
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Introduction à l’analyse fonctionnelle L’existence des bases orthonormales dans un espace de Hilbert non trivial est
assurée par : THÉORÈME 4.3.20. Dans tout espace de Hilbert non trivial, H # {o}, il y a des bases orthonormales.
Nous allons faire la liaison entre les bases orthonormales et les développements en série de Fourier. Soit E un système orthonormal de H et soit x Є H, x ≠ o, alors la série de Fourier associée à x, i.e.
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217
est une somme finie ou dénombrable si on considère seulement les cœfficients de Fourier ci(x) ≠ o (voir 4.3.15 et 4.3.12). De plus, la série (5) est convergente (voir 4.3.8 et 4.3.12). Il est naturel de se demander si la somme de la série (5) est l’élément x, ou bien un autre élément y Є H, y ≠ x. Dans le théorème suivant, on va répondre à cette question.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
REMARQUE 4.3.23. L’énoncé iii) de 4.3.22 dit aussi qu’une base orthonormale dénombrable est une base de Schauder (voir 3.7.12), qui est aussi appelée base hilbertienne. Mais il ne faut pas confondre une base orthonormale avec une base algébrique d’un espace linéaire (voir 2.3.1). En effet, si B est une base algébrique, alors chaque x Є H s’exprime de façon unique comme une combinaison linéaire finie sur B, tandis que pour une base orthonormale E, chaque x Є H s’exprime de façon unique comme une combinaison linéaire dénombrable sur E.
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Montrons maintenant que dans tout espace de Hilbert, on peut construire des systèmes orthonormaux à partir d’un ensemble de vecteurs linéairement indépendants. La procédure est connue sous le nom de l’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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4.4 ISOMORPHISME DES ESPACES DE HILBERT. DIMENSION HILBERTIENNE Après avoir introduit la dimension hilbertienne d’un espace de Hilbert nous allons montrer que deux espaces de Hilbert sur le même corps qui ont la même dimension hilbertienne sont isomorphes. THÉORÈME 4.4.1. Dans un espace de Hilbert non trivial, H ≠ {o}, toutes les bases orthonormales sont équivalentes, i.e. ont la même cardinalité.
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223
cl ≤ c2, donc cl = c2. On peut donc donner la définition suivante : DÉFINITION 4.4.2. Soit H un espace de Hilbert non trivial, i.e. H # {o}. On appelle dimension hilbertienne de H le nombre cardinal attaché aux bases orthonormales. Par convention la dimension hilbertienne de l’espace de Hilbert trivial H = {o} est zéro.
REMARQUE 4.4.5. Il ne faut pas confondre la dimension hilbertienne d’ut espace de Hilbert H avec la dimension algébrique de H considéré comme espace linéaire (voir 2.3.8). DÉFINITION 4.4.6. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert sur le même corps K. On dit que H1 et H2 sont isomorphes comme espaces de Hilbert si i)
H1 et H2 sont isomorphes comme espaces linéaires, i.e. il existe un isomorphisme algébrique φ : H1 - H2.
ii)
H1 et H2 sont isotones, i.e. le produit scalaire est préservé, (x,y) = (φ(x), φ(y)), pour tout x,y Є H1. On dit que φ est un isomorphisme d’espaces de Hilbert.
THÉORÈME 4.4.7. Deux espaces de Hilbert sur le même corps K et de même dimension hilbertienne sont isomorphes comme espaces de Hilbert. DÉMONSTRATION. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert sur le même corps K et de même dimension hilbertienne. Si H1 = H2 = {o} le théorème est évidemment vrai. Supposons donc H ≠ {o}. Soient E1 = {ei ; i Є I}
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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4.5 LES SÉRIES DE FOURIER Dans ce paragraphe nous donnons une première application de la théorie des espaces de Hilbert. Il s’agit d’un des exemples fondamentaux autour desquels se développait l’analyse fonctionnelle. Dans ce paragraphe, m sera la mesure de Lebesgue normalisée sur la σ -algèbre de Borel de l’intervalle [-π,π], c.-à-d.
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Nous donnons maintenant une deuxième démonstration de théorème de Weierstrass (voir 3.7.9). COROLLAIRE 4.5.8. (Théorème de Weierstrass). La clôture uniforme de polynômes sur un intervalle [a,b] est l’ensemble de fonctions continues sur [a,b]. DÉMONSTRATION. Sans perdre la généralité, on peut supposer que a = 0, b = 1. Soit donc f continue sur [0,1]. Nous montrons qu’on peut approcher f uniformément sur [0,1] par des polynômes. Nous étendons f comme fonction continue à l’intervalle [-π,π] telle que f(-π) = f(π) = 0.
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pour tout g Є L1(dm). III → III’ (voir 4.5.5). IV → IV’. Soit µ une mesure complexe ou réelle sur la σ-algèbre de Borel sur [-π,π). Les cœfficients de Fourier sont définis par
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ce qui entraîne que l’ensemble des polynômes est dense dans l’ensemble des fonctions continues sur [0,1] par rapport à la norme de L2. D’autre part les fonctions continues sur [0,1] sont denses dans L2(dt) sur [0,1], ce qui établit l’énoncé. ***
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Les polynômes de Legendre. D’après le théorème de Weierstrass, nous savons que l’ensemble des polynômes est dense dans C([-1,l]) par rapport à la convergence uniforme. De plus l’inégalité
montre que L2(dt) sur [-1,1] est dans l’adhérence de l’espace linéaire de polynômes par rapport à la norme L2. Le procédé de Gram-Schmidt nous permet d’obtenir une base orthonormale de polynômes pour L2(dt) sur [-1,1]. Il s’agit des polynômes de Legendre (voir 4.3.28) qui sont de la forme
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EXERCICES 1. Montrez que l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont linéairement dépendants.
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19. Soient H un espace de Hilbert et E un système orthonormal de H. Montrez que E est un système orthonormal complet si et seulement si (x,y) (x,z), pour tout x Є E implique y = z.
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251
24. Montrez qu’il existe f Є C([-π,π]) tel que la série de Fourier de f diverge pour tout t Є [-π,π] hors d’un ensemble A de catégorie I dans [-π,π]. 25. Montrez que dans l’espace de Hilbert réel L2(dm) sur [-1,1] l’ensemble des polynômes de Legendre constitue un système orthonormal.
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26. Montrez que dans un espace de Hilbert un système orthonormal est un ensemble fermé, borné mais qu’il n’est pas compact si la dimension est infinie.
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3.
Montrer qu’une fonction presque périodique est bornée et uniformément continue.
4.
Soit f presque périodique et soit cλ(f) = (f, eiλt) Montrer l’inégalité de Bessel :
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c)
Montrer que HP est un ensemble compact et convexe et déterminer les points extrémaux (i.e. les fonctions dans HP qui ne sont pas des combinaisons convexes strictes de deux autres fonctions dans HP).
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
III. Le principe de Dirichlet. Considérons l’espace linéaire C1(|z| ≤ 1) de fonctions à valeurs réelles dont les dérivées partielles d’ordre 1 sont continûment dérivables. Pour u, v Є C1(|z| ≤ 1), l’intégrale de Dirichlet est définie par
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257
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3.
Nous montrons maintenant le théorème de F. et M. Riesz qui est le suivant : Soit µ une mesure complexe sur la σ-algèbre de Borel sur[-π,π). Si
alors µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue i.e. il existe g Є L1 (dt) sur [-π,π) telle que dµ - gdt.
261
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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5. Soit maintenant H un espace de Hilbert qui est un espace fonctionnelle propre (par exemple HL2). DÉFINITION
Une fonction k(s,t) ; s Є E, t Є E, est un noyau reproduisant si
i)
k(s,t) Є H par rapport à s pour tout t fixé dans E.
ii)
pour tout g Є H et tout t Є E on a g(t) = (g(s),k(s,t)).
a)
Vérifier que B(z,z0) est un noyau reproduisant par rapport à HL2.
b)
Montrer que H admet un noyau reproduisant unique.
c)
Si H1 est un espace de Hilbert qui admet un noyau reproduisant, alors H1 est un espace fonctionnelle propre.
265
266 Introduction à l’analyse fonctionnelle
e) Soit {ei ; i Є I} une base orthonormale pour H et k(s,t) le noyau reproduisant par rapport à H. Montrer que
CHAPITRE V FONCTIONNELLES LINÉAIRES
Dans ce chapitre, nous étudierons les applications linéaires définies sur un espace linéaire sur K que nous appelons les fonctionnelles linéaires. Après avoir introduit quelques résultats généraux (paragraphe 1), nous nous limitons dans le paragraphe 2 à l’ensemble X’ des fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé X. On appelle X’ l’espace dual topologique de X et X’ est lui-même un espace de Banach. Dans le cas particulier où X H est un espace de Hilbert (paragraphe 3), H’ est anti-isomorphe à H. Le théorème central de ce chapitre est le théorème de Hahn-Banach (paragraphe 4) (voir aussi le projet I) qui admet de nombreuses applications. Dans le paragraphe 5, nous donnons explicitement l’espace dual topologique de X = c ; X = LP(dµ) ; 1 ≤ p < ∞, et de X = C(K) où K est un espace métrique compact. Après avoir démontré le théorème de Banach-Steinhaus (paragraphe 6), nous finissons ce chapitre par une courte introduction aux distributions (paragraphe 7).
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
5.1 FONCTIONNELLES LINÉAIRES SUR UN ESPACE LINÉAIRE Après avoir donné quelques exemples de fonctionnelles linéaires, nous montrons qu’une fonctionnelle linéaire est caractérisée par son noyau. Soit X un espace linéaire sur le corps K.
DÉFINITION 5.1.2. Une fonctionnelle réelle f, définie sur un espace linéaire réel ou complexe X, s’appelle sous-additive si (1)
f(x + y) ≤ f(x) + f(y), pour tout x,y Є X. La fonctionnelle f s’appelle positive-homogène si
(2)
f(αx) = αf(x), pour tout x Є X et pour tout nombre α ≥ 0 .
Une fonctionnelle sous-additive et positive-homogène s’appelle fonctionnelle sous-linéaire ou encore fonctionnelle convexe. REMARQUE 5.1.3. Une fonctionnelle sous-linéaire f sur l’espace linéaire X a les propriétés suivantes : f(o) = 0 et -f(-x) ≤ f(x). En effet, si on prend dans (2), α = 0, on obtient f(o) = 0. De plus, 0 = f(o) = f(x + (-x)) ≤ f(x) + f(-x). EXEMPLE 5.1.4. Soit (X, || ||) un espace normé. Alors la norme || || est une fonctionnelle convexe sur X. EXEMPLE 5.1.5. Considérons l’espace linéaire réel ℓ∞ (voir 2.1.7).
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DÉFINITION 5.1.6. Une fonctionnelle f : X → K est homogène si f(αx) = αf(x), pour tout α Є K et x Є X. Une fonctionnelle est additive si f(x + y) = f(x) + f(y) pour tout x,y Є X. Une fonctionnelle linéaire est une application f : X → K additive et homogène, en d’autres mots : f(αx + βy) = αf (x) + βf (y) pour tout x,y Є X et pour tout α,β Є K. Nous allons noter l’ensemble de fonctionnelles linéaires sur X par La(X,K) et ses éléments, les fonctionnelles linéaires, par x’,y’,... Remarquons que La(X,K) n’est pas vide parce que x’(x) = 0 pour tout x Є X, notée par x’ = o’, est une fonctionnelle linéaire.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
est une fonctionnelle linéaire. THÉORÈME 5.1.10. Soit X un espace linéaire sur le corps K. Alors l’ensemble La(X,K) est un espace linéaire sur K, par rapport aux opérations habituelles d’addition et de multiplication par un scalaire des applications.
Fonctionnelles linéaires DÉFINITION 5.1.11. L’espace linéaire La(X,K) s’appelle l’espace dual algébrique de X. Puisque La(X,K) est un espace linéaire, on peut parler de son espace dual algébrique, i.e. La(La(X,K), K), qui s’appelle l’espace bidual algébrique de X.
c.à-d. dim La(X,K) = n. Puisque chaque espace linéaire sur le corps K, de dimension algébrique n, est isomorphe à l’espace linéaire Kn (voir 2.4.4), toute
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5.2 FONCTIONNELLES LINÉAIRES CONTINUES SUR UN ESPACE NORME Puisque tout espace normé est un espace linéaire, tous les résultats du paragraphe 5.1 restent valides pour ce cas. De plus, l’existence d’une norme sur l’espace X nous permet de trouver des propriétés intéressantes pour les fonctionnelles linéaires continues.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME 5.2.8. Soit (X, || ||) un espace de Banach et soit x’ une fonctionnelle linéaire sur X. Les quatre énoncés suivants sont équivalents. i) ii) iii) iv)
x’ est bornée. x’ est uniformément continue sur X. x’ est continue à l’origine. ker x’ est fermé.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
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Donc x’ étant borné, il est continu, i.e. x’ Є X’. ***
5.3 FONCTIONNELLES LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT Dans ce paragraphe nous montrons d’abord le théorème de Riesz qui dit qu’une fonctionnelle linéaire continue sur un espace de Hilbert possède une représentation par un produit scalaire ; ce qui entraîne qu’un espace de Hilbert est réflexif (voir 5.5.20).
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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THÉORÈME 5.3.3. Un espace de Hilbert H et son dual topologique H’ sont anti-isomorphes comme espaces normés. Dans un anti-isomorphisme, la condition φ(λx) = λφ(x) d’un isomorphisme est remplacée par φ(λx) -- λφ(x).
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Fonctionnelles linéaires Nous donnons maintenant quelques applications du théorème de Hahn-Banach aux cas des espaces normés.
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5.5 L’ESPACE DUAL TOPOLOGIQUE D’UN ESPACE NORME Dans ce paragraphe, nous donnons d’abord quelques exemples d’espaces duals topologiques.
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Nous donnons maintenant l’espace dual topologique de (C(X),|| ||∞) où X est un espace métrique compact. THÉORÈME 5.5.5. (Riesz). Soit X un espace métrique compact et C(X) l’espace des fonctions continues sur X muni de la topologie uniforme. Alors (C(X))’ est isomorphe à l’ensemble de mesures complexes(régulières) sur la σ-algèbre de Borel sur X. DÉMONSTRATION. Il faut donc montrer que pour une fonctionnelle linéaire continue x’ dans (C(X))’ donnée, il existe une mesure uniquement déterminée µ telle que
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Nous avons déjà vu que l’espace dual topologique d’un espace normé et un espace normé. Le prochain théorème montre qu’il s’agit même d’un espace de Banach. THÉORÈME 5.5.7. Soit (X, || ||) un espace normé. Alors son dual topologique (X’, || ||) est un espace de Banach.
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Considérons un espace normé (X, || ||) et son espace dual topologique (X’, || ||’) qui est lui-même un espace de Banach. Il est donc raisonnable d’étudier l’espace dual topologique de X’ appelé l’espace bidual topologique et qui est noté par X". Une sous-classe importante de X" est l’ensemble de fonctionnelles linéaires continues définies par
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5.6 LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS Le théorème de Banach-Steinhaus dit que si une famille de fonctionnelles linéaires (ou d’opérateurs linéaires, voir 6.10) est localement bornée, alors elle est bornée en norme.
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La condition que (X, || ||) est un espace de Banach est nécessaire. Le théorème de Banach-Steinhauss n’est pas vrai, en général, pour un espace normé non complet. EXEMPLE 5.6.2. Considérons l’espace de polynômes P à cœfficients dans K. Pour un polynôme
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME 5.6.3. Soient (X, || ||) un espace normé et A un sous-ensemble non vide de X. Alors A est borné si et seulement si pour tout x’ Є X’ l’ensemble numérique x’(A) est borné.
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DÉMONSTRATION. a) Si x’ est continue alors le théorème est évident. b) Supposons donc que x’ n’est pas continue. Il existe donc une suite
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Remarquons que l’addition de deux distributions est déjà définie comme addition de deux fonctionnelles linéaires. De plus la multiplication d’une distribution par un scalaire est compatible avec la définition 5.7.7. Nous introduisons maintenant l’opération la plus importante, à savoir la dérivée d’une distribution. DÉFINITION 5.7.8. La dérivée de la distribution x’ est définie par
Fonctionnelles linéaires Il s’agit donc de la distribution engendrée par la dérivée de f. THÉORÈME 5.7.9. Chaque distribution admet une dérivée qui est elle-même une distribution.
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L’endroit où les distributions trouvent les applications les plus fréquentes est dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans plusieurs cas on ne peut pas trouver des solutions classiques, (par exemple, une fonction), mais qu’il existe une solution au sens des distributions.
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20. Soit (X, || ||) un espace normé. Un sous-ensemble A de X est faiblement borné si x’(A) est un sous-ensemble borné dans K pour tout x’ Є X’, i.e. il existe pour tout x’ Є X’ un nombre positif Mx’ tel que pour tout x Є A on ait |x’(x)| < Mx’. Montrez que tout sous-ensemble faiblement borné de X est borné.
22. Montrez que si X est un espace de Banach, alors X est réflexif si et seulement si X’ est réflexif. 23. Montrez qu’un sous-espace fermé d’un espace de Banach réflexif est réflexif. 24. Montrez qu’un espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Donc une autre démonstration pour le théorème 5.5.20 sans utiliser le théorème 5.3.1.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires PROJET I. Le théorème de la séparation de Hahn-Banach. Dans ce projet, soit X un espace linéaire normé ou localement convexe sur K (voir projet V, chap. 3). Nous allons transformer le théorème de Hahn-Banach en une version géométrique connue sous le nom du théorème de la séparation de Hahn-Banach.
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CHAPITRE VI OPÉRATEURS LINÉAIRES
Nous considérons maintenant les applications linéaires (opérateurs linéaires) d’un espace linéaire x dans un espace linéaire Y sur le même corps K. Si en particulier Y = K, nous retrouvons la théorie du chapitre 5. Les paragraphes 1 à 4 et 10 sont des extensions naturelles du chapitre 5. Si Y — X est un espace de Banach, alors l’ensemble d’opérateurs linéaires et continus L(X) est une algèbre de Banach (paragraphe 5), dont les éléments inversibles sont étudiés dans le paragraphe 6. Un autre cas particulier d’opérateurs linéaires est l’ensemble des opérateurs compacts (paragraphe 7) dont la théorie s’est développée autour des équations intégrales de Fredholm et de Volterra. Pour une suite d’opérateurs linéaires d’un espace de Banach dans un autre, nous avons trois genres de convergence : a) en norme, b) ponctuelle, c) faible, que nous étudierons dans le paragraphe 8. Dans le cas particulier des fonctionnelles linéaires, la convergence ponctuelle coïncide avec la convergence faible et aussi avec la convergence étoile faible si X est réflexif. À chaque opérateur linéaire continu d’un espace normé X dans un espace normé Y, nous associons dans le paragraphe 9 un opérateur conjugué de Y’ dans X’. Le chapitre se termine avec le principe de l’application ouverte et le théorème du graphe fermé (paragraphe 11).
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
6.1 OPÉRATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE NORMÉ Dans l’analyse fonctionnelle, la notion d’opérateur linéaire est une notion fondamentale puisque, en grande partie, l’analyse fonctionnelle s’est développée en étudiant des opérateurs linéaires donnés par certaines équations intégrales. Nous donnons ici les définitions et propriétés de base des opérateurs linéaires sur un espace linéaire.
Une application linéaire apparaît aussi sous les noms de transformation linéaire ou opérateur linéaire. Nous utiliserons le nom d’opérateur linéaire. REMARQUE 6.1.2. Dans le cas particulier Y = K, on retrouve les fonctionnelles linéaires (voir 5.1.6). EXEMPLE 6.1.3. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps K, dim X = n et dim Y = m. Soient u1,...,un une base algébrique pour X et v1,...,vm une base algébrique pour Y. Montrons que tout opérateur lit linéaire T : X → Y est déterminé, dans les bases choisies, de façon unique par une matrice de type n × m, A = (αij) où αij Є K, i =1,...,n ; j 1, ... ,n.
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Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps K et T un opérateur linéaire de X dans Y. Puisque TX est un sous-espace linéaire de Y, on peut parler de dim TX, qui peut être finie ou non. Parmi les opérateurs linéaires de X dans Y, on distingue une classe assez riche en propriétés, introduite ainsi. DÉFINITION 6.1.15. Un opérateur linéaire T : X → Y est de rang fini si dim TX < ∞. EXEMPLE 6.1.16. L’opérateur linéaire nul, 0, i.e. 0x = o, pour tout x Є X est de rang fini. En effet 0X = {o} et dim {o} = 0. EXEMPLE 6.1.17. Une fonctionnelle linéaire x’ : X → K est un opérateur linéaire de rang fini. En effet x’(X) = {0} ou bien x’(X) = K, i.e. dim x’(X) < ∞. (voir 5.1.13 5.1.14). EXEMPLE 6.1.18. Si dim X = n, tout opérateur linéaire de X dans Y est de rang fini. En effet dim TX ≤ dim X = n. Si A est la matrice correspondante à T dans des bases choisies pour X et Y (voir 6.1.3), le rang de la matrice A est égal à la dimension de TX. EXEMPLE 6.1.19. Prenons, dans l’exemple 6.1.5,
Opérateurs linéaires
qui joue le rôle d’une multiplication. THÉORÈME 6.2.2. La(X) est une algébre linéaire avec identité sur K. DÉMONSTRATION. On vérifie d’abord aisément que l’opérateur T2 ° T1 est linéaire et que les propriétés de 2.1.13 sont satisfaites. De plus l’identité est l’opérateur T = I défini par
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Montrons que la linéarité de T entraîne l’équivalence de définitions 6.3.1 et 6.3.2. THÉORÈME 6.3.3. L’opérateur linéaire T Є La(X,Y) est continu sur X si et seulement s’il est borné.
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Dans ce qui suit, L(X,Y) signifie l’ensemble des opérateurs linéaires continus de X dans Y qui est un sous-espace linéaire de l’espace linéaire La(X,Y) (voir 6.2.1). Donc L(X,Y) peut être regardé lui-même comme un espace linéaire sur le corps K. Introduisons maintenant une norme pour L(X,Y).
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Donnons maintenant un théorème sur le prolongement des opérateurs linéaires continus en préservant la continuité et la norme.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
6.5 L’ALGÈBRE DE BANACH L(X) Si (X, || ||) est un espace de Banach, alors L(X) = L(X,X) muni de la norme introduite dans 6.4.1 est aussi un espace de Banach. De plus L(X) est une algèbre linéaire avec identité. DÉFINITION 6.5.1. Une algèbre linéaire X munie d’une norme s’appelle une algèbre normée si on a pour tout x,y Є X :
DÉFINITION 6.5.3. Une algèbre de Banach est une algèbre normée qui est complète par rapport à la norme, i.e. un espace de Banach. THÉORÈME 6.5.4. Soit (X, || ||) un espace de Banach. Alors L(X) est une algèbre de Banach.
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6.6 OPÉRATEURS LINÉAIRES RÉGULIERS Dans ce paragraphe, nous étudierons les opérateurs linéaires continus qui sont des homéomorphismes d’un espace de Banach sur lui-même.
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6.7 OPÉRATEURS LINÉAIRES COMPACTS Dans ce paragraphe nous allons étudier une classe d’opérateurs linéaires continus d’un espace normé X dans un espace de Banach Y que l’on rencontre souvent en étudiant des équations intégrales. Soient (X, || ||1) un espace normé et (Y, || ||2) un espace de Banach. DÉFINITION 6.7.1. Un opérateur linéaire T Є La(X,Y) est compact ou complètement continu si l’image de chaque ensemble borné de X est relativement compact dans Y.
Opérateurs linéaires En effet, parce que la fonction k(t,u) est continue sur le carré [0,1] x [0,11, elle est uniformément continue, donc
Soit E un ensemble borné quelconque dans (C([0,1]), || || [0,1]). Alors TE est un ensemble de fonctions équicontinues. D’autre part,
ce qui veut dire que TE est uniformément borné et d’après le théorème 3.8.26 d’Arzela-Ascoli, l’ensemble TE est relativement compact.
Si TE est un ensemble fini, TE est compact. Supposons donc que TE est un ensemble infini de points dans Y = ℓ2 et supposons par l’absurde que TE n’admet aucun point d’accumulation dans Y. Il existe donc
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Opérateurs linéaires
Soit maintenant R(ε/2) = {y1, ...,ym} un ε/2-réseau pour l’ensemble relativement compact Tn0E. Nous montrons que R(ε/2) est un ε-réseau pour l’ensemble TE. En effet, pour x Є E, nous avons pour un certain j Є {1,...,m},
Soit maintenant X = Y un espace de Banach et considérons l’ensemble Lc(X) = Lc(X,Y). Nous avons vu que L(X) forme une algèbre de Banach (voir 6.5.4) et que L0(X) forme un idéal de deux côtés dans l’algèbre linéaire La(X) (voir 6.2.4). Cette dernière propriété est aussi vraie pour Lc(X). THÉORÈME 6.7.8. L’ensemble Lc(X) forme un idéal de deux côtés dans L(X).
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires 6.8 CONVERGENCE DANS L(X,Y) Dans ce paragraphe, nous étudierons trois genres de convergence des suites d’opérateurs linéaires et deux genres de convergence des suites dans un espace normé. Soient (X, || ||1 ) et (Y, || ||2) deux espaces normés et L(X,Y) l’espace normé des opérateurs linéaires et continus de X dans Y.
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Il y a certains cas où les convergences en norme et faibles sont équivalentes. THÉORÈME 6.8.12. Si la dimension algébrique de l’espace normé (X, || ||) et fini, alors la convergence en norme est équivalente à la convergence
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REMARQUE 6.8.18. Le théorème 6.8.17 reste vrai même si l’espace normé (X, || ||) n’est pas séparable (voir G. Bachman and L. Narici : Functional Analysis, Academic Press, New York, 1966, p. 339). Si X est réflexif, alors la boule unité fermée dans X’ est faiblement compacte. 6,9 L’OPÉRATEUR CONJUGUE D’UN OPÉRATEUR LINÉAIRE CONTINU Soient (X, || ||1) et (Y, || ||2) deux espaces normés sur le même corps K et L(X,Y) l’espace normé des opérateurs linéaires et continus de
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6.10 LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS Le théorème de Banach-Steinhaus pour les opérateurs linéaires continus est le même que pour les fonctionnelles linéaires. Nous supposons dans ce paragraphe que X et Y sont deux espaces de Banach.
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Introduction à l’analyce fonctionnelle
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6.11 LE PRINCIPE DE L’APPLICATION OUVERTE ET LE THÉORÈME DU GRAPHE FERMÉ Si X et Y sont deux espaces de Banach, on peut caractériser les opérateurs linéaires continus par leurs graphes. De plus, si T Є L(X,Y) est surjectif, T est aussi une application ouverte. DÉFINITION 6.11.1. Soient X et Y deux espaces normés. Un opérateur T Є L(X,Y) est régulier, si a)
T(X) = Y
b) T-1 existe sur Y et T-1 E L(Y,X). DÉFINITION 6.11.2. Soient X et Y deux espaces normés (ou métriques).
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Opérateurs linéaires
3. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps K, T Є La(X,Y) et A un sousensemble de X. Montrez que a)
Si A est équilibré, alors TA est équilibré
b)
Si A est convexe alors TA est convexe
c)
Si A est absorbante sur X et T est constante sur A, alors T est identiquement zéro.
5. Soit T Є La(X,Y). Montrez que les applications suivantes sont équivalentes :
6.
i)
T Є L(X,Y)
ii)
T est bornée sur la boule unité fermée
iii)
T est bornée sur une boule fermée B(x0 ,ρ)
iv)
T est continue dans un point x Є X
v)
Ker T est fermé.
Soient (X, || ||1 ) et (Y, || ||2 ) deux espaces normés et soit T Є L(X,Y). Montrez que
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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est une métrique sur l’espace X’ et que la convergence étoile faible en X’ implique la convergence dans cette métrique. De plus la boule unité fermée de X’ est compacte dans la topologie induite par la métrique d.
Opérateurs linéaires
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PROJET I. Le théorème de Kuhn-Tucker. Dans ce projet, nous appliquons le théorème de Hahn-Banach et la convergence faible à la programmation convexe.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
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2. Nous montrons maintenant le théorème de Kuhn-Tucker au sens classique pour un espace de Hilbert. THÉORÈME 1. a) Soit f une fonctionnelle convexe sur H. Alors f admet sur chaque ensemble convexe borné et fermé E son minimum.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
5.
395
Considérons deux joueurs A et B. Le joueur A gagne la somme que B perd ; il y en a donc pas des sources ou des puits d’extérieurs. Un tel jeu est appelé un jeu de deux joueurs à la somme zéro. Le joueur A évalue ses gains minimaux pour chaque stratégie x Є E2 du joueur B et va jouer la stratégie u0 Є E1 qui maximise les gains minimaux. Il cherche donc
où G(x,u) est la fonction de gains de A si A joue u et B joue x. Remarquons que G(x,u) < 0 signifie que A paie. De même B évalue ses pertes maximales pour chaque stratégie u Є E1 de A et cherche la stratégie x0 Є E2 qui minimise les pertes maximales. Il cherche donc
THÉORÈME 4 Soient E1 et E2 deux ensembles convexes et fermés dans un espace de Hilbert H et supposons de plus que E1 est borné. Soit G(x,u) la
396
Introduction à l’analyse fonctionnelle
fonction de gains de A qui satisfait a)
G(x,u) est continue de u sur E1 pour tout x Є E2 fixé
b)
G(x,u) est convexe de x Є E2 pour tout u Є E1 fixé
c)
G(x,u) est concave de u Є E1 pour tout x Є E2 fixé .
Opérateurs linéaires
c)
397
Supposons que les conditions du théorème 4 sont satisfaites et supposons de plus que G(x,u) soit continue de x dans E2 et de u dans E1 et que E, soit aussi borné. Montrer que le jeu possède une stratégie optimale qui est un point de selle de G.
CHAPITRE VII OPÉRATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT
Dans ce chapitre, nous étudions plusieurs classes d’opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert. Nous commençons d’abord par étudier les formes bilinéaires et quadratiques sur un espace linéaire. Celles-ci sont à la base de ce chapitre et nous amènent aux opérateurs auto-adjoints qu’on rencontre souvent dans la physique et qui possèdent des propriétés fondamentales que nous allons étudier aux chapitres 8 et 9. De plus, il est possible d’introduire un ordre au sens que T ≥ 0 si (Tx,x) Є 0 pour tout x Є H. Une sous-classe d’opérateurs positifs est l’ensemble de projections orthogonales de H sur un sous-espace fermé. Après avoir introduit les classes normales et unitaires, nous terminons le chapitre par la représentation d’un opérateur linéaire sur un espace de Hilbert séparable par une matrice infinie.
400 7.1
Introduction à l’analyse fonctionnelle FORMES BILINÉAIRES ET FORMES QUADRATIQUES
Considérons d’abord un espace de Hilbert H sur K et T Є La(H). Alors les fonctions f1 et f2 de H × H dans K définies par
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
401
Il est facile a vérifier que l’ensemble de formes bilinéaires forment un espace vectoriel par rapport aux opérations habituelles de fonctions et si X est un espace normé, l’ensemble de formes bilinéaires bornées est un sous-espace que nous pouvons munir d’une norme de la manière suivante :
402
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
403
404
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
405
406
7.2
Introduction à l’analyse fonctionnelle
OPÉRATEUR ADJOINT
Au paragraphe 6.9, nous avons introduit l’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire continu T. Au cas où H est un espace de Hilbert et où T Є L(H), l’opérateur conjugué T’ est appelé l’opérateur adjoin de T et est noté par T*. À cause du théorème de Riesz (voir 5.3.1) nous avons :
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
407
THÉORÈME 7.2.1. Soit H un espace de Hilbert et soit L(H) l’algèbre de Banach des opérateurs linéaires continus T : H → H. Pour tout T Є L(H) il existe un et un seul opérateur T* Є L(H), tel que
408
7.3
Introduction à l’analyse fonctionnelle
OPÉRATEURS AUTO-ADJOINTS Dans ce paragraphe nous allons étudier une classe d’opérateurs
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
409
dans L(H) qui coincident avec leurs adjoints. DÉFINITION 7.3.1. L’opérateur T Є L(H) s’appelle auto-adjoint (ou encore symétrique, hermitien ou auto-conjugué) si T = T . C.-à-d. que T est auto-adjoint si et seulement si (Tx,y) = (x,Ty), pour tout x,y Є H. Notons par A(H) l’ensemble des opérateurs auto-adjoints sur l’espace de Hilbert H.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
7.6 OPÉRATEURS NORMAUX Dans ce paragraphe, nous allons étudier une classe d’opérateurs dans L(H) qui sont commutables avec leurs adjoints. DÉFINITION 7.6.1. Un opérateur T Є L(H) est normal si T ° T* = T* ° T. Le premier théorème est une caractérisation des opérateurs normaux à l’aide d’une décomposition.
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
7.7
OPÉRATEURS UNITAIRES
Dans ce paragraphe, H signifie un espace de Hilbert sur un corps K. Nous allons étudier une classe d’opérateurs dans L(H) qui préservent
425
426
Introduction à l’analyse fonctionnelle
le produit scalaire. DÉFINITION 7.7.1. Soit H un espace de Hilbert. Une application T : H → H est unitaire si i)
TH = H, i.e. T est surjective
ii)
(Tx,Ty) = (x,y), pour tout x,y E H, i.e. T préserve le produit scalaire.
THÉORÈME 7.7.2. Soit T une application unitaire. Alors T Є L(H) et ||T|| = 1.
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
427
EXEMPLE 7.7.5. Considérons H = ℓ2 et TS Є L(H) (voir 6.6.2). Puisque TSH # H, TS n’est pas unitaire, mais nous avons pourtant, pour tout x,y Є H (TSx, TSy) = (x,y). THÉORÈME 7.7.6. Un opérateur unitaire T est régulier. De plus T-1 Є U(H). DÉMONSTRATION. De (1), on déduit que Tx = o si et seulement si x = o, donc l’opérateur T est inversible et T-1 Є L(H). On a d’après 7.7.1 i) que T-1H = H, i.e. T-1 est surjectif. Il nous reste à montrer que T-1 satisfait 7.7.1 ii). En effet, pour tout x,y Є H, (x,y) (T(T-lx), T(T-ly)) = (T-lx, T-ly). Donnons maintenant une caractérisation des opérateurs unitaires. THÉORÈME 7.7.7. Un opérateur T Є L(H) est un opérateur unitaire si et seulement si (2)
T-1 = T*.
428
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
429
Nous allons maintenant affaiblir les conditions pour un opérateur unitaire, c.-à-d. nous ne supposons plus que TH est tout H. DÉFINITION 7.7.11. Un opérateur T Є L(H) est isométrique si pour tout x,y Є H, (Tx, Ty) = (x,y), i.e. T préserve le produit scalaire et donc la métrique. C’est la raison pour laquelle on appelle T une isométrie. Un opérateur unitaire est isométrique mais il y a des opérateurs isométriques qui ne sont pas unitaires. EXEMPLE 7.7.12. L’opérateur TS sur ℓ2 est isométrique mais pas unitaire (voir 7.7.5). Pour un opérateur isométrique, nous avons évidemment ||Tx|| = ||x||, pour tout x Є H, et donc ||T|| = 1. Cette condition d’autre part, caractérise les opérateurs isométriques. THÉORÈME 7.7.13. Un opérateur T Є L(H) est isométrique si et seulement si, pour tout x Є H,
430 (5)
Introduction à l’analyse fonctionnelle ||Tx|| = ||x||.
DÉMONSTRATION. Supposons que T satisfait la relation (5). Alors pour tout x,y Є H, on a (voir (4) du paragraphe 4.1).
7.8
REPRÉSENTATION D’UN OPÉRATEUR LINÉAIRE CONTINU SUR UN ESPACE DE HILBERT SÉPARABLE
Tout espace linéaire X sur K de dim X = n est isomorphe à l’espace Kn, et chaque opérateur linéaire sur X peut être représenté, dans une base choisie pour X, par une matrice d’ordre n. Étant donné qu’un espace de Hilbert séparable est isomorphe à ℓ2 (voir 4.4.8), il est facile de 2 prévoir des propriétés analogues.
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
431
432
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
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Nous avons déjà vu que dans un espace de Hilbert H séparable, à tout T Є L(H) correspond d’une manière unique une matrice infinie, par rapport à une base donnée de H, et réciproquement, étant donnée une matrice infinie qui satisfait à certaines conditions on peut définir de façon unique un opérateur linéaire et continu T Є L(H) (voir 7.8.7). Nous montrons maintenant que cette correspondance préserve les opérations.
440
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
Montrez que la matrice associée à T dans la base e1 ,e2 ,... est une matrice de Toeplitz. d) Montrez le théorème suivant :
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Introduction l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME (Kojima-Schur). On a TA Є La(c) si et seulement si la matrice infinie A satisfait
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
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446
Introduction à l’analyse fonctionnelle c) Soient X, Y deux espaces normés ou localement convexes et f : X → Y une application telle que pour tout y Є X on ait pour un x fixé
CHAPITRE VIII THÉORIE SPECTRALE
448
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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La plus grande partie des théorèmes fondamentaux des variables complexes sont encore valides pour des fonctions analytiques à valeurs appartenant à un espace de Banach. Les démonstrations sont basées sur le théorème de Hahn-Banach.
456
Introduction à l’analyse fonctionnelle x(λ1) = x(λ2),
c.-à-d. x(λ) est constante. ***
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
était vide, φ(λ) serait une fonction entière qui s’annule à l’infini. D’après le théorème de Liouville on a φ(λ) ≡ 0, ce qui contredit que φ(λ0) ≠ 0 ***
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle Le prochain théorème caractérise les valeurs régulières d’un opérateur compact.
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
CHAPITRE IX FONCTIONS D’OPÉRATEURS LINÉAIRES BORNES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE.
Les méthodes et techniques utilisées s’appliquent aux cas plus généraux des algèbres de Banach. Pourtant nous avons préféré rester au cas classique des opérateurs linéaires.
478
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
479
DÉMONSTRATION. Notons que 2) s’ensuit du fait que les espaces propres sont mutuellement orthogonaux et 3) du fait que la dimension de chaque espace propre correspondant à une valeur propre différente de zéro est fini. De plus T est du rang fini. ***
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
481
REMARQUE 9.1.4. Le théorème de la décomposition spectrale reste encore vrai pour les opérateurs compacts et normaux. Évidemment les valeurs propres ne sont plus nécessairement réelles.
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Fonctions d’opérateurs linéaires bronés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Comme cas particulier, nous obtenons la solution générale pour une équation différentielle linéaire d’ordre 1
Nous montrons maintenant le théorème de la transformation spectrale pour les fonctions holomorphes d’opérateurs linéaires continus.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
495
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
les valeurs propres de A sont différentes de zéro. Nous finissons ce paragraphe en étudiant les valeurs propres d’un opérateur T Є L(H).
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle e)
La somme et le produit de deux fonctions s.c.s. sur (a,b) est une fonction s.c.s. sur (a,b).
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
PROPOSITION 9.5.5. Soit T Є A(H) et g une fonction continue sur [mT - t0, MT], t0 > 0, à valeurs réelles. Alors g(T) peut être approché en norme par des combinaisons linéaires de projections orthogonales définies sur H. DÉMONSTRATION. Soit maintenant g une fonction continue sur σ(T) à valeurs réelles. D’après le théorème de Dini, nous pouvons étendre g à une fonction continue sur [mT- t0, MT] où t0 est arbitraire et positif. Puisque la nouvelle fonction g est uniformément continue sur [mT - t0, MT], il existe pour tout ε > 0 donné un δ(ε) > 0 tel que |g(t) - g(s)| < ε si |t - s| < δ et mT - t0 ≤ s, t ≤ MT. Nous choisissons une partition
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
ce qui dit qu’on peut approcher g(T) en norme par des combinaisons linéaires de projections orthogonales et la proposition 9.5.5 est démontrée. ***
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
dit qu’on peut approcher g(T) en norme par un opérateur de rang fini. Donc g(T) est aussi compact. Ce fait ne reste plus vrai si g(0) ≠ 0.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Nous étudions maintenant g(T) où T est unitaire et g une fonction continue sur σ(T). Les démonstrations des théorèmes sont presque exactement celles que nous avons données au paragraphe 9.3.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
9,7 DÉCOMPOSITION SPECTRALE D’UN OPÉRATEUR UNITAIRE, Dans ce paragraphe, nous montrons la décomposition spectrale pour T Є U(H), comme nous l’avons fait dans le paragraphe 9.5 pour T Є A(H). Puisque pour S Є A(H) l’opérateur T = eiS est unitaire (voir 9.3.3 b), nous obtenons par le théorème 9.5.7 e),
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à s’analyse fonctionnelle
si g1 (n) = g2 (n) pour tout η Є σ(T). Il est suffisant que g soit continue sur σ(T). D’après le théorème de Dini (voir 3.8.22), on peut étendre g comme fonction continue sur [0, 2π]. L’opérateur g(T) ne dépend pas de quelle manière l’extension de g est faite.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
527
528 9.
Introduction à l’analyse fonctionnelle Considérons U1(H) l’ensemble d’opérateurs unitaires définis sur H dont λ = 1 n’est pas dans le spectre. Montrer qu’il y a une bijection entre A(H) et U1(H).
INDEX ALPHABÉTIQUE
Addition de distributions, 318 vecteurs, 42 Adhérence, 10 Algèbre linéaire, 46 normé, 352 Angle entre deux vecteurs, 196 Anti-isomorphisme d’espaces de Hilbert, 281 Application additive, 336 affine, 180 analytique, 455 contractive, 179 homogène, 336 linéaire, 336 ouverte, 378 unitaire, 426 Arzelo-Ascoli, théorème de, 150 Axiome de choix, 5 des chaînes maximales, 4 Baire, sous-ensemble de 2e catégorie de, 123 de lère catégorie de, 123 théorème de, 125 Ballon, 65 Banach, algèbre de, 352 espace de, 105 théorème de, 379 Banach-Steinhaus, théorème de, 310, 376 Base algébrique, 50 de voisinages, 8 hilbertienne, 218 orthonormale, 215 Beppo-Levi, inégalité de, 249 Bergman, noyau de, 263 Bessel, inégalité de, 209, 212 Borel, ensemble de, 14 σ-algèbre de, 14 Borélien, 14 Boule fermée de centre x0 et de rayon ρ, 105 ouverte de centre x0 et de rayon ρ, 105
Cantor, ensemble de, 122 théorème de, 142 Carathéodory, lemme de, 75 Cauchy, suite de, 97 théorème de, 456 Cauchy-Schwarz, inégalité de, 188 Cayley, transformation de, 438 Cesaro, moyenne de, 226 Chaîne, 2 Clôture, 10 Codimension algébrique, 60 Cœfficient d’une combinaison linéaire, 47 Combinaison affine, 73 convexe, 75 équilibrée, 334 linéaire finie, 47 non-triviale, 47 Complétion des espaces métriques, 117 normés, 159 fonctionnelle propre, 264 Convergence étoile faible, 367 faible, 363 en norme, 108, 363 ponctuelle, 363 uniforme, 363 Contraction, 111 Cône convexe, 65 dual, 394 positif, 393 Complément orthogonal, 197 Décomposition en somme directe d’un espace linéaire, 56 orthogonale, 203 Dérivée au sens des distributions, 319 d’une distribution, 318 généralisée, 319 Dimension algébrique, 53 hilbertienne, 223 Dini, théorème de, 149 Dirac, mesure de, 16
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Dirichlet, principe de, 256 problème de, 254 Distance, 81 d’un vecteur à un ensemble, 87 Distribution, 316 régulière, 316 Élément majorant, 3 maximal, 3 minimal, 3 minorant, 3 Ensemble absorbant, 65 borné, 65 convexe, 65 dense, 10 équilibré, 65 fermé, 6 fini linéairement dépendant, 48 indépendant, 48 linéairement dépendant, 49 indépendant, 49 majoré, 3 mesurable, 13 minoré, 3 µ-négligeable, 17 ordonné, 2 orthogonal à un ensemble, 197 ouvert, 6 partiellement ordonné, 2 rare, 10 totalement ordonné, 2 Équation intégrale de type Volterra, 116 linéaire non-homogène de Fredholm de deuxième espèce, 115 Erreur d’un meilleur approximé d’ordre n, 166 Espace bidual algébrique, 271 topologique, 275, 308 de probabilité, 17 dual algébrique, 271 topologique, 275 fonctionnelle propre, 264 HP, 260 linéaire, 42
complexe, 43 ordonné, 68 quotient, 59 réel, 43 topologique, 62 localement convexe, 180 mesurable, 13 mesuré, 17 métrique, 81 compact (Bolzano-Weierstrass), 136 (Heine-Borel), 136 complet, 99 localement compact, 143 séparable, 126 totalement borné, 136 normé, 90 réflexif, 309 préhilbertien, 186 probabilisé, 17 produit, 167 propre, 449 semi-métrique, 78 semi-normé, 89 topologique, 6 séparé, 10 ultramétrique, 178 vectoriel, 42 Espaces linéaires algébriquement isomorphes, 54 métriques isométriques, 87 normés équivalents, 155 isométriques, 95 topologiques homéomorphes, 12 ε-réseau, 136 Famille équicontinue, 150 spectrale, 513 tendue, 182 Fatou, lemme de, 22 Fejer, noyau de, 227 théorème de, 229 Fermeture, 10 Fonction caractéristique p.r. à un ensemble, 14 continue, 11 convexe, 71
Index alphabétique
généralisée, 316 intégrable, 24 mesurable, 14 dans la classe LP(dµ), 25 presque-périodique, 253 résolvante, 457 semi-continue inférieurement,11 supérieurement, 11 simple, 20 σ-additive, 15 Fonctionnelle, 268 additive, 269 complexe, 268 convexe, 268 homogène, 269 linéaire, 269 bornée, 274 positive-homogène, 268 réelle, 268 sous-additive, 268 sous-linéaire, 268 Forme bilinéaire, 400 bornée, 400 hermitienne, 400 symétrique, 400 quadratique, 401 positive, 404 strictement positive, 405 Fourier, cœfficient de, 208 série de, 216 transformation de, 337 Fréchet, espace de, 181 Fredholm, théorème de, 466 Fubini, théorème de, 29 Gâteau, dérivée de, 446 Gram, déterminant de, 239 Gram-Schmidt, procédure de, 219 Graphe d’un opérateur linéaire, 380 Hahn-Banach, théorème de, 284, 287 de la séparation de, 331 Hamel, base de, 50 Harnack, principe de, 255 Hausdorff, espace de, 10 Herglotz, théorème de, 255
Hermite, polynômes de, 221, 246 Hilbert, cube de, 176 espace de, 192 relations de, 459 Hilbert-Schmidt, noyau de type de, 385 Hölder, inégalité de, 35 Homéomorphisme, 12 Homothétie de puissance x0, 63 Homomorphisme canonique, 60 Hyperplan, 74 Identité approchée, 227 Image numérique de T, 476 Inégalité de triangle, 78 ultramétrique, 178 Intégrale d’une fonction mesurable, 24 non-négative p.r. à p, 21 simple p.r. à p, 20 Intérieur d’un ensemble, 10 Isométrie d’espaces métriques, 87 normés, 95 Isomorphisme algébrique, 54 d’espaces de Hilbert, 223 Jordan, théorème sur la décomposition de, 19 Kojima-Schur, théorème de, 442 Kuhn-Tucker, théorème de, 388 Laguerre, polynômes de, 221, 244 Laplace, transformation de, 338 Lebesque, mesure de, 16 théorème de la convergence dominante de, 25 monotone de, 22 Legendre, polynômes de, 221, 243 Levy, concentration de, 183 distance de, 85 Limite d’une suite, 11, 96 Loi du cosinus, 197 parallélogramme, 190
531
532
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Markov-Kahutani, théorème du point fixe de, 180 Meilleure approximation, 165 Mesure absolument continue p.r. à µ, 23 complexe, 19 de probabilité, 17 dénombrante, 16 positive, 15 finie, 17 produit, 27 réelle, 18 absolument continue p.r. à µ, 26 σ-finie, 17 Métrique, 81 canonique, 86 de la convergence compacte, 95 localement uniforme, 95 uniforme, 94 discrète, 86 induite, 86 par la norme, 93 Minkowski, fonctionnelle de, 172, 326 inégalité de, 37 Montel, espace de, 153 théorème de, 153 Multiplication d’une distribution par un scalaire, 318 des vecteurs, 46 par les scalaires, 42 Müntz, théorème de, 242, 257 Norme, 89 induite par un produit scalaire, 190 non-archimédienne, 178 Normes équivalentes, 155 Noyau reproduisant, 265 Opérateur adjoint, 373, 406 anti-symétrique, 411 auto-adjoint, 409 auto-conjugué, 409 conjugué, 373
de déplacement, 353 de la projection orthogonale, 201 hermitien, 409 inverse, 339 isométrique, 429 linéaire, 336 avec un graphe fermé, 380 borné, 343 compact, 358 complètement continu, 358 continu, 343 de rang fini, 340 régulier, 353 multilinéaire, 444 borné, 444 symétrique, 444 négatif, 413 normal, 424 positif, 413 régulier, 377 symétrique, 409 unitaire, 426 Parallélipipède fondamental, 176 Para-norme, 178 Parseval, égalité de, 209, 215 Picard-Lindelöf, théorème de, 111 Plus grand élément, 3 petit élément, 4 Point, 6 d’accumulation, 10 d’adhérence, 10 intérieur, 10 isolé, 10 Poisson, noyau de, 228 Principe de l’application ouverte, 378 de l’approximation, 334 de la condensation des singularités, 384 de l’extension, 333 des boules emboîtées, 109 Produit d’une distribution et d’une fonction, 318 scalaire, 186 Prohorov, métrique de, 85 théorème de, 182
Index alphabétique
Projecteur, 420 Projection de X sur X, 170 orthogonale, 201 Prolongement d’une fonctionnelle linéaire, 282 Propriété vraie presque partout p.r. à µ, 18 Pythagore, théorème de, 196 Racine carrée positive d’un opérateur positif, 414 Radom-Nikodym, dérivée de, 26 Relation d’ordre, 2 Résolvante, 452 Riesz, lemme de, 162 théorème de, 163, 279, 294, 299 Riesz-Fisher, théorème de, 237 Runge, théorème de, 488 Schauder, base de, 134 Schwarz, inégalité généralisée de, 417 Semi-distance, 78 Semi-métrique, 78 Semi-norme, 89 Série double, 434 Silverman-Toeplitz, théorème de, 441 Simplexe, 75 Sous-ensemble compact en lui-même, 143 faiblement borné, 329 maigre, 123 non-dense, 122 nulle part-dense, 122 précompact, 143 rare, 122 relativement compact, 143 Sous-espace borné, 87 impropre, 43 linéaire, 43 engendré, 48 maximal, 46 métrique, 86 normé, 93 propre, 43
topologique, 6 trivial, 43 Sous-espaces complémentaires, 56 Spectre, 452 ponctuel, 448 Suite convergente, 10 dans une métrique, 96 des fonctions convergentes dans L1(dµ), 26 de ℓp, 34 de ℓ∞, 34 double, 434 Système fondamental de voisinages, 8 orthogonal, 204 complet, 215 total, 215 σ-algèbre, 13 engendrée, 14 Théorème de graphe fermé, 380 de la moyenne ergodique, 438 de la décomposition spectrale d’un opérateur borné et auto-adjoint, 512 unitaire, 522 Tietze, théorème de, 148 Toeplitz, matrice de, 440 Toeplitz-Hausdorff, théorème de, 476 Tonelli, théorème de, 27 Topologie, 6 d’espace métrique, 108 normé, 108 semi-métrique, 108 induite, 6 moins fine, 12 séparée, 10 Topologies égales, 12 Transformation linéaire, 336 Translation de pas x0, 63 Ultramétrique, 178 Urysohn, lemme de, 146 Valeur propre, 448 régulière, 452
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Variable aléatoire, 14 Variation négative de µ, 19 positive de µ, 19 totale de µ, 19 Variété, 73 engendrée, 73 maximale, 74 Vecteur propre, 448 Vecteurs indépendants au point de vue de l’affinité, 74 orthogonaux, 195 Voisinage, 7 Weierstrass, théorème de, 131, 230 Weyl, lemme de, 325 Zermelo, axiome de, 5 Zorn, lemme de, 5
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Liste de notations principales
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Achevé d’imprimer à Cap St-Ignace aux Ateliers Graphiques Marc Veilleux Inc. en août 1981.
