This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
f(u) du - G (p)F(h (p)).
o
L (g (t, u)) - G (p) e-IIP,
PRIMEDBA. Formulom (l) uop§tena je teorema o konvoluciji. Zaista, ako je h (p) =p, imamo tj .
g(t, u) -
(t>u), (t< u).
+ oo
+ oo
Stoga je
{g(t-u) O
J f(u) g(t, u) dM - j f(u) g(t-u)du, i formula (l) postaje o
o
+ oo
J f(u) g(t-u) du �F(p) G(p).
o
1. Lapla«
1.6.17. Dokazati formulu L(f
+oo
(l)
gde j e
L (f(t)) = F(p).
Rele11je. Kako je
sin 2 y'tii yrc u
o
sin 2 yt =
imamo L (sin 2 yt) =
+2:oo
n=O
+oo
L (- 1 )"
n o -
...,(X
(- l )"
n! p
)
f(u) du = I _ p .yp
n+�
P l
� -
2
-
2z n + t
P
t
( 2 n + l )!
.
-
( - 1 )"
P n= O
2,
n +_!_
---
�-;; +�oo
p(!-) ,
er �-;-
--
n!
l
=-
P
_!_
-e_ P P
.
Prema tome, na osnovu teoreme o sličnosti, važi jednakost
Ako stavimo (2)
G (p) =
imamo
L
(
l
--
n/P
sin 2 ..,;tii \lrr u
)
Prema prethodnom zadatku, stavljajući
P l
,
h (p) = - ,
= G (p) e - uh (p). g (l,
u) =
sin 2 ytu _
yrc u
dobijamo formulu (1).
i koristeći se oznakama (2),
1.6. 18. Dokazati formule
+ oo J e-:; uf(u) du) = F (y'p) .
o
.� Je je L {J(t)) = F(p). ·
, ,, J dt) J dt:z J lu".) dt = r'
1.6.19. Koristeći se LAPLACEovom transformacijom, dokazati formulu
o
o
• • • ,".
o
_
m
o
,
(t- u)"' - ' (m-1)!
f(u) du.
1.6.20. Odrediti jed no partikularno rešenje HERMITEove diferencijalne jednačlne ( l)
y" ( x) - 2 xy' (x)+ 2
ny (x) = O
(n E N).
1.6. Zadaci Rešenje. Da bismo rešili postavljen i problem, koristićemo se generalisanom LAPLACEOvom transformacijom, tj. tražićemo rešenje jednačine ( l) u obliku
y (x)
(2) gde je
= J eux/(u) du, e
kontura u kompleksnoj u-ravni i gde je f nepoznata analiiička funkcija. Pretpostavl�ajući da je dozvoljeno diferenciranje pod znakom integrala, iz (2) dobijamo
e zatvorena
(3)
y' (x)
=
kao i
(4)
y" (x)
J ueux/(u) du
e
= J u2 eux /(u) du. ć
Iz formule (3), primenom parcijalne integracije, nalazimo
J
xy(x) - eux uf (u)
(S)
uEe
- J eux (uf(u))' du.
Zamenjujući (2), (4) i (5) u ( l ) dobijamo
e
-2 eux uf(u) J.,E C + J eux ((u2 + 2 n) /(u)-(-2 uf(u))') du - O.
(6)
e
z oo
o
Da bi jednačina (6) bila ad v ljena , dovoljno je da se oba člana na njen j desnoj strani anuliraju. S druge strane, da bi se integral koji figuriše u (6) anulirao, dovoljno je da funkcija f zadovoljava diferencijalnu jednačinu ·
-(2 uf(u))' = (u2 + 2 n)f(u), koja
se
može napisati u obliku
(uf (u))' uf (u)
n
u
u
2
Direktnom integracijom nalazimo
u2 log uf (u) = ---n log u + K,
4
gde je K proizvoljna konstanta, ili uzmemo li da je
/(u) F
(7)
".. + 1 l
e
K = O,
- ul/4
u-0
ima pol reda je analitička u kompleksnoj -u-ravni, s tim što u tački i kako k kontura e zatvorena, prvi član u (6) jednak je nuli, što znači da (2), gde je f dato sa (7), zadovoljava jednačinu (1). Ih funkcija ne bi bila identički jednaka nuli, dovoljno je uzeti da kontura C obuhvata tačku u = O. Vrednost funkcije y dobijam() na sledeći način: Funkcija
n + l . Kako je taf funkcija uniformna,
y 1 y(x) = {- x (ux - !!__) 4 •
e
Uvodeći smenu
u" + l
e p
r f -1 exp ( -(x-.!:)2 ) w..
du = e 2
"' = x--2 ' nalazimo u
r
e
urr+ l
y (x)- (-2)" J (� -x)rr + t ex2
e - !;2
e'
2
dt; .
Kako kontura e' obuhvata tačku t; - x, na osnovu CAUCHYeve teoreme za izvod regularne funkcije (videti, na primer, D. S. MITRINOVIĆ: Kompleksna analiza, Beograd 1977, str. 1 66) imamo d" e - !;2 -x d � = - (e ).
n! r
2rriC' �
(�-x)" + 1
dx"
Laplaceo\'ll transformacija
Prema tome, funkcija y, definisana sa 2 Tt i (- l)" 1 d" l Y(X) = - -- Č - (e - x ), 211 dx'< n!
jeste jedno rešenje diferencijalne jednačine (1). d" da je funkcija x r-+ (- l )" ex1 -- (e- x1) polinom. Taj polinom se dx" naziva HEJlMITEov polinom i označava H". Dakle, u ovom zadatku je dokazano da je d" HERMITEOV polinom x �--+ H,. (x) (- 1)" Č1 -- (e -x1) jedno rešenje HERMITEove diferencijalne dx" jedn ači ne t l ). PluMEDBA.
Dokazuje
se
=
1.7. L ITERATURA R. V.
CHultcmLL: Modern operational mathemDtics in engineering. New York 1944, 306 pp. in Theories und Anwendung der Laplace-Transformation. BaselStuttgart 1958, 302 S. G. DoETSCH: Handbuch der Laplace-Transformation I. Berlin 1950, 581 S. G. DoETSCH: Handbuch der Laplace-Transformation Il. Berlin 1955, 434 S. G. DoETSCH: HtZNlbuch der Lap/ace-Transformation III. Berlin 1956, 300 S. J. e. JAEGER: An introduction lo the Laplace transformation. London-New York 1951, 1 32 pp. N. W. McLACHLAN and P. HuMBERT: Formu/aire pour le ea/cu/ symbo/ique. Paris 1941, 224 pp. L. A. PIPES: Applied mathematics for engineers and physicists. New York 1946, 62 1 pp. B. VAN DER PoL and H. BREMMI!R: Operational ea/cu/us based on the two-sided Laplace inte gral. London 1950. K. W. WAGNER: Operatorenrechnung und Laplacesche Transformation nebst Anwendungen in Physik und Technik, zweite Auflage. Leipzig 1950, 471 S. D. V. WmoER: The Laplace Transform. Princeton 1 941, 406 pp. e. R. WYLIE: Adllanced engineering mathematics. New York 1951 , . 640 pp. G. Donscu: EirifDlr.rung
:H. r.
B.
r. JI. JIVHQ H JJ. 3. 3m.crom.�: tllyHKU,UU KOMIIAeKCHOZO nepeMeHHOZO, OneJ1D14110HHoe uc'IIIHM I:M e, Teopu ycmou'lUtJocmu. MocEBil 1 968, 416 CTP.
APAMABOBH'I,
e. MAPTBBEJD:O:
P. JI.
WOCT.u:
Onepalf,IIOHHoe UC'lllCAeHIIe. ICBeB 1968, 198 CTp. 0nepal4UOHHOe IICIIICA I eHue. Mocoa 1968, 192 CTP·
2. KONTURNI PROBLEl\R I PROBLEMI SA SOPSTVENIM VREDNOSTIMA
2.1. UVOD 2.1.1. Rami oblici linearnih diferencijalnih jednačina drugog
reda
l o Posmatrajmo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda y" + A (x) y' + B(x) y = O,
(l)
gde su A, B date neprekidne funkcije. Smenom
( � J A (x) dx) , Jt
y = u exp -
xo
jednačina ( l ) postaje
u" + a (x) u = O,
(2)
gde je a=
_
_!_ A2 - ..!.. A' + B. 2
4
Oblik (2) naziva se kanonilni oblik jednačine (l). 2° Pomnožimo sada jednačinu ( l ) sa p (x) = exp
tj
.
(3)
Dobijamo
Jt
j A (x) dx. xo
(p (x) y')' + B(x) p (x) y = O, (p (x)y')' + q (x) y = O.
Oblik (3) naziva se STURM-LIOUVILLEov oblik. 3 ° Specijalno, ako je jednačina ( l ) data u obliku (4)
y" + A (x) y' + (B(x) + l. C (x)) y = O,
gde A. ne zavisi od x i y, tada STURM-LIOUVILLBOV oblik glasi
(5)
{p (x) y')' + (q (x) + A. r(x)) y - 0.
2.
46
Koaturoi problemi i problemi
sa
sopstveofm vrednostima
4° šta više, ako funkcija A irna neprekidan prvi izvod, a funkcija C neprekidan drugi izvod, tada se jednačina (4) smenom u (t) = F (x) y (x),
gde je X
t=J a
..jC(X) dx,
F(x)
4
= v'C (x) exp ( � [ A (x) dx) , X
svodi na tzv. normalni Lrouvnuov oblik (6)
gde je
1- F" (x) . h (t) = B(x) + _..!._2 C' (x) F'F (x) - C(x) F(x
(x) ) U daljem izlaganju često ćemo posmatrati umesto opšte jednačine (l) njene ekvivalentne oblike ( 2) ili (3), ukoliko nam je t o podesnije. Takođe ćemo više puta umesto jednačine (4) posmatrati njene ekvivalentne oblike (5) ili (6).
1.1.2.
(l)
Jedinstvenost rdenja Specijalan slučaj teoreme 3 iz 6.4.3. glasi: Diferencijalna jednačina y" + p (x)y' + q (x) y = O,
gde su p i q neprekidne funkcije na intervalu [a, b] ima na tom intervalu jedno i samo jedno rešenje koje zadovoljava početne CAUCHYeve uslove gde su x0E (a, b], A, B dale konstante. Kao specijalan slučaj gornje teoreme imamo: Ako su p i q neprekidne frmkcije na intervalu [a, b] jedino rešenje jet/nači ne ( l ) koje zadovoljava uslove
(2) je trivijalno rešenje y (x)== O. Zaista, trivijalno rešenje zadovoljava (l) i (2). Kako, prema gornJOJ teoremi postoji samo jedno takvo rešenje, zaključujemo da jednačina ( l ) uz uslove (2) nema drugih rešenja osim y (x) == O. 2.1.3. Kontami problemi i problemi
sa
sopstvenim vrednostima
Diferencijalna jednačina
(l) y" + p (x) y' + q (x) y =f(x), gde su p, q i j neprekidne funkcije na nekom intervalu, ima jedno i samo jedno rešenje koje zadovoljava početne CAUCHYeve uslove (2)
y (x0) = A,
y' (x0) = B.
:z.t.
Uvod
47
Pored početnih uslova tipa (2), uz jednačinu ( l ) mogu se postaviti i op štij i, tzv. konturni uslovi. Najopštiji uslovi tog tipa su
all y (a) + a1 2 y' (a) + bi l y(b) + b1 2 y' (b) = c1 ,
(3)
gde su aiJ , bu , c1 (i, j = l , 2) date konstante. Ako je c1 = Cz = O, tada se konturni uslovi zovu homogeni. Jednačina ( l ) zajedno sa konturnim uslovima (3) naziva se konturni pro blem. Kontur ni problem je homogen ako su i jednačina (l) i uslovi (3) ho mogeni. Konturni problem koji sadrži i parametre koji ne zavise od x i y nazi va se problem sa sopstvenim vrednostima. Specijalni slučajevi konturnih uslova (3)
(4)
y (a) = cl '
y (b) = Cz ,
(5)
y' (a) = c1 ,
y' (b) = c2 ,
(6)
a1 y (a) + az y' (a) = c1 ,
b1 y (b) + bz y' (b) = c2 ,
zajedno sa jedaačinom ( l ) nazivaju se redom konturni problemi prvog, dru gog, odnosno trećeg reda. Specijalno, ako je u (6) c1 = Cz = O, tada se takvi konturni uslovi nazi vaju SroRMovi uslovi. Oni se najčešće posmatraju uz STURM-LioUVILLEo vu jednačinu. CAUCHYev početni problem ima uvek jedno i samo jedno rešenje ako su koeficijenti jed načine ( l ) neprekidne funkcije. Konturni problem mole i�t� samo jedno rešenje, može imati beskonačno mnogo rdenja, a takođe ne mora imati nijedno rešenje. Plmont
1. Neka je dat konturni problem
(7)
y" + )' - o,
y (0) - 0, y(x) - 1 .
(8)
Op§tc re§enje jcdnačine (7) je
(9)
(�),
y - C1 cos x + C2 sin x.
Zamenjujući u (9) uslove
dobijamo
!to je nemogućno. PalMER
2. Lako se proverava da konturni problem y" + y - 0, y(O) - y(x) = O
ima beskooačno mnogo re§enja datih
ade je e proizvoljna konstanta. PluMER
(10)
sa
y - C sin x,
3. Posmatrajmo opet jednačinu (7) sa uslovima
y(0) + 2 y' (O) - O, Kako je opite re§enje jednačine (7) dato
y(x) +y' (x) - 0. sa
(9), iz uslova (JO) dobijamo
odakle slcduje cl - c2 - o. Prema tome, problem (7H10) ima samo jedno rele!Qe y(x) - 0.
2. Konturni problemi l problemi sa sopstvenim vrednostima
48
2.2. GREENOVA FUNKCIJA 2.2.1 . Kontumi problem za jednačine drugog reda kosti
Neka. su na segmentu [a, b] definisani operatori L, A, B pomoću jedna L (y) = ( P (x) y')' +Q (x)y, A (y) = a1 y ( a) + Ozy' ( a), B (y) = b1 y ( b) + bz y' (b) ,
gde su P ( =1= 0) , P', Q neprekidne funkcije na [a, b], dok su al t a2 , bp hz date realne konstante, takve da je a/ + a/ > 0, h/ + bz2 >0. U ovom odeljku rešavamo sledeći konturni problem: Odrediti funkciju y koja ima na segmentu [a, b] neprekidan drugi izvod i koja zadovoljava diferen cijalnu jednačinu L (y) + R (x) = O,
(l}
i uslove A (y) = Cp
(2)
B (y) = Cz •
gde je R data neprekidna funkcija na [a, b], a c1 , Cz su date realne konstante. Metodom varijacije konstanata utvrduje se da se opšte rešenje jednačine ( l ) može predstaviti u obliku
(3)
gde se funkcije e,
y (x) '
=
C1 (x) y1 (x) + Cz (x) Yz (x),
c2 odreduju iz sistema jednačina
C1 ' (x) y1 (x) +Cz' (x) yz (x) = O ,
(4)
C1 ' (x) y1' (x) + Cz' (x)yz' (x) =
= O;
-
R x ( ),
P (x)
a y1 , Yz su dva linearno nezavisna rešenja odgovarajuće homogene jednačine to su, dakle, funkcije za koje važi L (y) _ (5)
i njihov WRONSKijan W je različit od nule, tj. W (x) = y1 (x) Yz ' (x) - y1 ' (x) Yz (x) =l= O.
Iz (5) sleduje tj.
Y1 (Py2" +P'y2' + QYz) - Y2 (Py," +P'y/ + Qy1) = 0 ,
odakle, posle kraćeg računa, dobijamo (PW)' = 0, gde je K0 =F O konstanta.
tj.
l
P (x) W(x) = - , Ko
l.l. Greeaova fimkclja
49
Posle rešavanja sistema jednačina (4), i integraljenja, nalazimo %
C1 (x) = K1 + Ko J Y2 (t) R (t) dt, lJ
%
C2 (x) = K2 - K0 J y1 (t) R (t) dt, lJ
gde su K1 , K2 proizvoljne konstante. Stoga opšte rešenje jednačine ( l ) dobija oblik % lJ
%
- K0 Y2 (y) J y1 (t) R (t) dt, lJ
odakle sleduje
%
y' (x) = K1 y/ {x) + K2 y2' (x) + K0 y/ (x) J y2 (t) R(t) dt
(7)
lJ
%
- K0 y2' (x) J y1 (t) R (t) dt. lJ
Ako sada tražimo da rešenje (6) zadovoljava jući (6) i (7) u (2) nalazimo
i
uslove (2), tada zamenju.
a1 K1 y1 (a) + a1 K2 y2 (a) + a2 K1 y1' (a) + a2 K2 Y2' (a) = c1 h1 K1 y1 (b) + h1 K2 y2 (b) + h2 K1 y1 ' (b) + h2 K2 y2' (b) - J = c2 , ili, posle sređivanja,
(8) gde je
b
K1 A (y1) + K2 A (y2) = c1 0
K1 B (y1) + K2 B (y2) = c2 +J,
J= h1 K0 J Y1 (t)y2 (b) R(t) d t - b1 K0 lJ
+ h2 K0
b J lJ
b
J y1 (b) y2 (t) R(t) dt
lJ
b
y1 (t) y2' (h) R (t) dt - h2 K0 J y1' (b) y2 (t) R (t) dt. lJ
Prema tome, rešenje konturnog problema ( l ) - (2) dato je sa (6), pri čemu konstante K1 , K2 zadovoljavaju sistem jednačina (8). Označimo sa ll. determinantu sistt::ma (8), tj. stavimo i neka r označava rang matrice
(Y1) A (y2) l B(y1) B(yJ c2:1 ll . A
Očigledno je r< 2.
Razlikujemo sledeće slučajeve:
e
l o ll. = O, r = 2. Tada ne postoje konstante K1 i Kz koje zadovoljavaju (8), te stoga problem ( 1 )-(2) nema rešenja.
2. Kontumi problemi i problemi
sa
sopstvenim vrednostima
2 ° A = O, r = l . Tada bar jedan od elemenata determinante A nije jednak nuli, jer bismo u tom slučaju imali a1 y1 (a) + a2 Y/ (a) = O, a, Yz (a) + a2 Y/ (a)= O, odakle, s obzirom da je W(a) # O, izlazi a 1 = a 2 = 0, suprotno uvedenoj pretpo stavci a12 + a / > O.
Dakle, kako je A= O, r = l, i kako bar jedan od elemenata determinante nije jednak nuli, sistem jednačina (8) svodi se na jednu jednačinu, i kontur ni problem ( l )-(2) ima beskonačno mnogo rešenja.
ll.
3 ° !l. #O. Iz (8) dobijamo
A = B(y2)c1 - A (y2) c2 - A (y2) J, K2 A = A (y1 ) c2 - B(Y1) c1 - A (y1) J,
K1
pa na osnovu
(6)
+
zaključujemo da je rešenje problema ( 1 ) - (2) dato sa
� (A (yJyz (x) - A (y2) YI (x)) J
- K0
tj .
J Y1 (t) y2 (x) R (t) dt + K0 J Y1 (x)y2 (t) R (t ) dt JC
JC
a
a
+ J t.. (A (Y2) Y1 (t) -- A (Y1) Yz (t)){ B (y 1) Y2 (x) - B (Y2) Y1 (x)) R (t) dt a
JC
b
+ J t.. (A (Y2)y, (x) - A(y1)Y2(x)) {B(y1) Y2 (t) - B(y2)Y1 ( t ) ) R (t ) dt ili
( 9) I + 11
gde je ( lO) (l l)
G (x, t ) =
(A (y1 ) C2 - B (y1) cJ y2 (x)
b
+ j G (x, t) R ( t) dt , ..
{ t.. {A (yz) YI (t) - A (Yt) Yz (t l , (B(y,)y2 (x) - B(Y2)Y1 (x)) (a< t<x) 'A
(A (Yz)Y1 (x) - A (y1) Y2(l')) (B(y1) Y2 (t) - B(y2)Y1 (t )) (x< t
=
-- = const # O. l
A P(:r)
W(.r)
51
2.2. Greeoova fllllkcija
2.2.2.
Egzistencija i jedinstvenost rešenja konturnih problema
Na osnovu prethodnog odeljka možemo dokazati sledeće teoreme. Teorema t. Homogeni konturni problem
L (y) = O,
( l)
A (y) = O,
(2)
B (y) = O
ima jedinstveno trivijalno rešenje ako i samo ako je tl #: O.
slučaju homogenog problema ( 1 ) - (2) imamo R (x) =O, c1 = c2 = 0. Pretpostavimo prvo da je y (x) :o�, o jedino rešenje problema ( 1 ) - (2). To rešenje mora biti sadržano u opštem rešenju K1 y1 (x) + K2 y2 (x) jednačine ( l ), pa zbog linearne nezavisnosti funkcija y1 , y2 dobijamo jedno jedino rešt nje za konstante K1 , K2 , naime: K1 = K2 � O. Međutim, iz uslova A (y) O, B (y) O, stavljajući y = K1 y1 + K2 y2 , dobijamo
Dokaz. U
�
o�
( 3)
pa, s obzirom da je K1 = K2 = O jedino rešenje ovog sistema jednačina, zaklju čujemo da je !:l ep O. Obrnuto, neka je !:l ep O. Pretpostavimo da funkcija Y zadovoljava jedna čine ( 1 ) - (2). Tada je Y (x) = K1 Y1 (x) + K2 Y2 (x)
(4)
( W (x) ep O)
a konstante K1 , K2 određujemo iz uslova A ( Y) = O, B ( Y) = O, što je ekvivalent no sa sistemom (3). Međutim, s obzirom da je !:l :f: O, iz (3) izlazi K1 = K2 = 0, pa na osnovu (4) zaključujemo: Y (x) "'-' 0. Teorema
2.
Uz uslov !:lepO, nehomogeni konturni problem
L (y) + R (x) = O,
(5)
A (y) = c1,
(6)
B (y) = c2
ima na segmentu [a, b] jedno i samo jedno rešenje definisano formulama (9) - ( 1 0)-( 1 1 ) iz prethodnog odeljka. Dokaz.
Već smo dokazali da rešenje probkma (5) -(6) mora biti oblika (9)
- ( 1 0) -( 1 1 ) iz
2.2.1.
Obrnuto, neposr�dnim diferenciranjem zaključujemo da funkcija defini[ana sa (9) - ( 1 0) -( l l ) iz 2.2.1, zadovoljava jednačinu (5) i uslove (6). Dokažimo sada da je dobijeno rešenje jedinstveno. Pretpostavimo stoga da postoje dva rešenja Y1 • Y2 problema (5) -(6), tj. da postoje dve funkcije Y1 , Y2 takve da važi L ( YJ + R (x) = O,
L (Y2) + R (x) = O,
Međutim, iz ovih jednakosti izlazi
A (Y1) = c1 ,
A ( Y2) = c1 ,
B (Y1) c2 , =
B (Y2) = c2 •
2. Konturni problemi i problemi
51
pa
sa
sopstvenim vrednostima
je funkcija Y1 - Y2 rešenje problema ( 1 )-(2). Kako je, po pretpostavci,
Ai: O, na osnovu teoreme l zaključujemo da je Y1 (x) - Y2(x) =O, tj. Y1 (x)= Yix).
PRIMEDBA 1.
Jednostavno se dokazuje da rešenje problema (5)-(6) neprekidno zavisi od funk
cije R.
Primetimo, na kraju, da konturni problem (sa homogenim uslovima):
L (y) + R (x) = O, A (y) = O, B (y)= O, pod uslovom A i: O, ima jedinstveno rešenje
određeno sa
b
y(x) = j G (x, t ) R (t) dt, a
gde je funkcija G definisana jednakost ima ( l O) i ( l l ) iz prethodnog odeljka.
2.2.3. ( l)
Greenova funkcija i njene osobine
Funkcija G definisana sa
{
(t) ( ( ) (x) - B(y2 )yl (x)) (a:::=:: t ::=:: x) (t) G (x, t) = A (A y2) yl - A yl) y2 ) ( B(yl y2 A (A (y2)y1 (x) - A(y1 ) y2 (x)) (B(y1 ) y2 (t) - B(y2) Y1 (t)) (x::::;- t::::;- b) gde je
(2)
1
K0 = A = -�
�p
1
(.r) W(.r)
const i: O,
naziva se GREENova funkcija homogenog problema
L (Y) = O, B(y) = O. A (y) = O, Pomoću te funkcije, kao što smo videli, izražava se jedinstveno rešenje nehomogenog problema L(y) + R (x) = O,
A (y) = Cp
B(y) = c2 ,
a posebno se jednostavno izražava rešenje problema sa homogenim uslovima L (y) + R (x) = O,
A (y) = O,
B (y) = O,
naravno pod uslovom da ta rešenja postoje (tj. pod uslovom Ai:O). Navedimo neke osobine funkcije G. l o Funkcija G je neprekidna po x i po t kad x, t E [a, h] ; r Funkcija G je simetrična, tj. G (u, v) = G (v, u) ; 3° Izvodi G"', G,, Gxx • Gx" G" su neprekidne funkcije za x, t E [a, b], osim za x = t; 4° Za x i= t funkcija G je rešenje (i po x i po t ) homogene jednačine L(y) = O, a takođe zadovoljava i konturne uslove A(y) = O, B(Y) = O; 5° Kako je
Gx (u + O, u) - Gx(u - 0, u) = A (A (Y2)Y1 (u) - A(y1 ) y2 (u) ) (B(y1) y2' (u)-B (Y2) Y/ (u) ) - A (A (y2)y1' (u) - A (y1) yz' (u)) (B(y1) Y2 (u) - B(y2)y1 (u) ) ,
.
2.2. Greenow fiUikcija
zaključujemo da izvod Gx ima za x = t prekid prve vrste za koji važi Gx (u -t- 0, u) - GAu � O . u) = _1_ , P (u)
a takođe je G, (u, u + O) - G, (u, u - 0) =
l P (u)
�.
Primetimo još da GREENova funkcija G ima oblik , � Y1 ( t ) Y2 (x) G (x t ) Y1 (x) Y2 (t)
(a � t � x)
{
.
(x � t � b)
gde su Y1 , Y2 linearno nezz.visna rešenja homogene jednačine L (y) = O . Zai sta, kako su y1 , y2 , po pretpostavci, l i near no nezav isna rešenja jed načine L (y) = O, neposredno se zaključuje da su i funkcije Y1 , Y2 , definisane se Y1 (x) = A (A (y2)Y1 (x) - A ( y 1 ) Y2 (x) ) ,
Y2 (x) = B ( Y1) Y2 (x) - B ( y2) y1 (x),
takođe rešenja te jednačine; štaviše, ta su rešenj a linearno Y1 (x) Yz ' (x) - Y1 ' (x) Y2 (x)
=
-
), � W (x) =
nez2.vi�n2.,
J
jf:r
je
_ • _ _ _
P (x)
Kada se pođe od proizvoljnih linearno nezavisnih reše:nj2. y 1 , y2 jcdnači ne L (y) = O, onda se, kao što smo videl i , dolazi do GREENove funkcije ( l ) -(2). Međutim, ako se za y1 , y2 uzmu neka specijalna rešenja jednačine L (y) �� O, onda GREENova funkcija može dobiti jednostavniji oblik. Neka, na primer, rešenje y, zadovoljava konturni uslov A (y1) = O, a neka rešenje y2 zadovoljava konturn i uslov B (y2) = O. Tad a se ( l ) --(2) svodi na
(a� t � x) (x s; t -:s; b)
gde je A = - --- P (x) W (x) l
PRIMER J . Kori ; teći se GREE Novom funkcijom reši ćemo konturni problem
(3)
" y - Y -= X,
(4)
y (O) =y f i ) =O.
Funkcija x .-.. yt <x) = sh x zadovoljava homogenu jednačinu y"-y = O i uslov y (O) = O, dok funkcija x t->- y2 (x) = � h (x- 1 ) takođe zadovoljava istu homogenu jednačinu i u lov y ( 1 ) = 0. Dalje, imamo W (x) = sh l , pa kako j e, u ovom dučaju, P (x)=l, zaključujemo da GREENova funkcija homogenog problema y (O) =Y ( \ ) = 0 glasi
(5)
sh r s h (x- 1 ) sh l
sh x sh (t - 1 ) sh 1
(x :Ct� l )
54
2.
Kontuml problemi i problemi
sa
sopstveoim vrednostima
" Prema tome, rešenje problema (3)-(4) dato je
y (x) gde j e G
=- J G (x, t) t
o
sa t dt,
e fi ni ano �a (5). Odatle �Jeduje
d s
l tshxsh(t-l) � tsh(x-l) J �+ Y OO - J sh sh X
t sh
l
0
l
X
l sh(x-1) J tshtdt+ shx Jtsh(tshx -x. l )dt =�sh sh X
l
0
l
sh l
X
2.2.4. Neki komentari
U udžbeničkoj literaturi uobičajeno je da se GREENova funkcija prvo de finiše pomoću osobina l o - 5° (vjdeti str. 52), a zatim se pokazuje da pod određenim uslovima takva funkcija postoji (tj. konstruiše se), i najzad, pomoću nje se rešava postavljeni konturni problem. Ovde je usvojen drukčiji pristup. Naime, rešavali smo kontumi problem L (y) + R (x) = O, A (y) = c" B (y) = c2 direktno, i prilikom rešavanja problema prirodno se pojavila GREENova funkcija, čije se osobine 1 o- 5° jednostavno utvrduju. PRIMEDBA l. Takav pristup za konturni problem L (y) + R (x) = O, y (a) = Y (b) = O izložen je, BRAND: Di/ferential and difference equations. New York-Sydney 1 966, str. 1 1 2-1 1 6. Odeljci 2.2.1 i 2.2.2 izrađeni su prema �lanku M. P. ARSENOVIĆ: Granični problem za diferencijalne jednačine drugog reda. Mat. Vesni k 3 ( 1 6) ( 3 1 ) (1 979), 255-261 . na primer, u knjizi L.
Primetimo još da j e konturne probleme z a jednačine drugog reda po pravilu poder.nije rešavati bez upotrebe GREENove funkcije. Da bismo to ilu f>trovali, posmatrajmo opet problem (l)
y" - y = x,
y (O) = y ( l ) = O,
koj i smo rešavali u Primeru l iz 2.2.3. Opšte rešenje jednačine y" - y = x glasi y (x) = e, ch X + c2 sh X - X' gde su cl i c2 proizvoljne konstante . Uslov y (O) = O daje C1 = O , a uslov y ( l ) = O daje C2 sh l - l = O, tj. C2 = lfsh l . Stoga je rešenje problema ( l ) dato sa (2)
sh x
y (x) = - - x.
sh
l
Treba primetiti da smo upotrebom GREENove funkcije došli do rešenja (2) problema ( l ) posle znatno dužeg računa. Medutim, GREENova funkcija je od teorijskog značaja, jer je veoma korisno znati jednostavni oblik rešenja b
y (x) = J G (x, t) R (t) dt u
l.l. GreeaoYa funkcija
problema
(3)
L (y) + R (x) =� O ,
A (y) = O ,
što ćemo u daljem izlaganj u više puta koristiti
B (y) = O, (videti 2.5.4. i 4.1.5).
GREENova funkcija više promenljivih je takođe značajna za rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina (v i det i 5.7.6). Na osnovu teorema l i 2 iz 2.2.2. zaključujemo da nehomogeni problem samo jedno rešenje pod uslovom da odgovarajući homogeni problem
(3) ima jedno
A (y) = O,
L (y) = O,
(4)
B (y) = O
Ima samo trivijalno rešenje. Međutim, ako homogeni problem (4) ima, pored trivijalnog, i netrivijalno rešenje, tada nehomogeni problem (3) ima rešenje pod određenim uslovima, tj. samo za neke funkcije R. Ti su uslovi određeni sledećom teoremom. l. Neka je Y netrivijalno rešenje homogenog problema (4). Tada neho mogeni problem (3) ima rešenje ako i samo ako važi jednakost
Teorema
b
J Y (x) R (x) d x = O.
(5) Dokaz.
Neka je
y
"
rešenje problema (3). Tada je b
b
b
J Y (x) R (x) dx = - J Y(x) L (y) dx = J (y (x) L (Y) - Y (x) L (y)) dx "
"
"
= P (x) (Y(x) y' (x) -y (x) Y' (x)) 1:
� o.
Time smo dokazali da je uslov {5) potreban . Da je taj uslov i dovoljan, do kazuje se na taj način što se efektivno konstruiše rešenje problema (3). Ta konstrukcija se vrši pomoću tzv. generalisane GREENove funkcije, na kojoj liC nećemo zadržavati. PJUMER l. Po;matrajmo nehomogeni problem (6)
y"+y=COS
Odgovarajući homogeni problem
X,
y'' +y=O, ima netrivijalno rešenje Y definisano, na njen uslov
y (O)=y (7<)=0. y (O) =y (7<)=0 primer, sa Y (x) = sin x.
Međutim, kako je
11:
J sin X cos X dx = O,
o
i problem (6) ima rešenja. Sva rešenja su data formulom
y=C sin x+-2l
JC
sin x (C proizvoljna konstanta)
ispu
2. Konturni problemi i problemi
56
sa
sopstvenim
vrednostima
2.3. NULE RESENJA 2.3.1. Osnovne teoreme Teorema 1. Netrivijalno rešenje y = Y (x) jednačine (l)
gde
su
Dolcllz.
y
"
+ p (x) y' + q (x) y = O,
p i q neprekidne funkcije, mofe imati samo proste nule. Pretpostavimo da je x = x0 jedna višestruka nula netrivijalnog rešenja k (k� 2). Tada je1
y = Y (x) i to reda
Y (x0) = O, Y'(x0) = O, . . . , y
Međutim, na osnovu 2.1.2. jedino rešenje jednačine ( l ) koje zadovoljava uslov Y(x0) = O, Y'(x0) = O je trivijalno rešenje, što je suprotno pretpostavci. Teorema 2. Nule netrivijalnog rešenja jednačine ( l ) ne mogu imati tačku nago mUavanja, tj. te nule su izolovane. Neka su xn (n = l, 2, . . . ) nule netrivijalnog rešenja y = Y (x) jednačine ( l ), i neka je x0 njihova tačka nagomilavanja. Tada je
Dokaz.
te je takođe
Y (xJ = O
(n = l, 2, . . . )
n ---++ oo
lim Y (xn) = O.
Međutim, zbog neprekidnosti funkcije Y, imamo
n---++ �
lim Y (xn) = Y ( lim xn) = Y (x0) , n�+�
odakle zaključujemo da je Y (x0) = O. Na osnovu RoLLEove teoreme i funkcija x � Y' (x) imaće nule, čija je tačka nagomilavanja opet x0 • Zbog neprekidnosti funkcije Y' zaključujemo da je Y' (x0) = O. Međutim, jedino rešeaje jednačine ( l ) koje zadovoljava uslove Y (x0) = = Y' (x0) = O je trivijalno rešenje, što je suprotno pretpostavci. Teorema 3. Dva linearno nezavisna rešenja jednačine (l) ne mogu imati zajed
ničku nulu.
·Neka s u Y1 i Y2 dva linearno nezavisna rešenja sa zajedničkom nulom x0 • Tada, kako je Y1 (x0) = Y2 (x0) = O, imamo
Dokaz.
W (x0) = Y/ (x0) Yix0) - Yz' (x0) Y1 (x0) = O, što znači da su rešenja zavisna, suprotno pretpostavci. Teorema 4. Neka je Y1 jedno rešenje jednačine ( l ) koje ima u intervalu [a, b] bar dve nule, i neka su x1 , x2 (x1 < x2) dve uzastopne nule tog rešenja. Tada svako drugo rešenje Y2 jednačine ( l ), koje je linearno nezavisno sa Y1 , ima u intervalu (x1 , x2) jednu i samo jednu nulu x3 •
57
Do�. Posmatrajmo količnik �Y, i pretpostavimo da se Y2 ne anulira ni za
y2 jednu vrednost između x1 i x2 , što je suprotno tvrđenju teoreme. Tada je
(l) Izvod funkcije
Yz, Y
je
yzz
Y/ Y2- Y/ Y, Yz2
W(Y, , Y2)
i na osnovu ( l ) i ROLLEove teoreme, ovaj i�vod se anulira bar jednom u intervalu (a, b), što je nemogućno zbog linearne nezavisnosti funkcija Y1 i Y2 • Dakle, Y2 ima bar jednu nulu u intervalu (x1 , x2). Dokažimo da je ta nula jedina. Kada bi Y2 imalo dve nule u intervalu (x1 , x2), na primer x3 i x4 , tada se Y1 ne bi anuliralo ni za jednu vrednost iz intervala (x3 , x4), što je, prema pretbodnom, nemogućno. Teorema je dokazana. Teorema 4 može se iskazati i u sledećem obliku: Nule dva linearno nezavisna rešenja jednačine ( l ) međusobno se razdvajaju.
2.3.2. Oscilovanje relenja
Posmatrajmo sada linearnu homogenu jednačinu drugog reda u STURM -LIOUVILLE.ovom obliku (K(x) y')' - G (x) y = O, i pretpostavimo da je K(x) > O
za
x E [a, b].
Teorema 1. Ako je K(x) > O i G1 (x) � G2 (x) za x E [a, b], gde su sve pomenute funkcije, kao i funkcija K', neprekidne na [a, b], toda se izmttlu dve uzastoJ111e nule rešenja U jednačine (K(x) u')' - G1 (x) u= O
(l)
nalazi bar jedna nula rešenja V jednačine (K (x) v')
(2)
'
-
G2 (x) v = O.
Dokaz. Kako su U i V rešenja jednačine ( l ), odnosno (2), imamo (K(x) U')' - G1 (x) U =- O, odakle sleduje i posle integracije Xz
(K(x) V ')' - G2 (x) V = O, U (KV ')' - V (KU')' ... (G2 - G1) UV, XJ
J (U(KV')' - V(KU')') dx = J (G2 - G1) UV dx
(x1 , x2 E [a, b]),
l. Kooturoi problemi i problemi
tj.
sa
sopstvenim vrednostima
,...l ...2 (K(UV' - U'V))i = J (G2 - G1) U V dx.
(3)
I Xt
x1
Neka su x1 i x2 dve uzastopne nule funkcije U, i pretpostavimo suprot no tvrđenju teoreme, da se V ne anulira između x1 i x2 • To znači da funkcije U i V ne menj1ju znak u intervalu (x1 , x2). Jednakost (3) postaje ""2
K(x2) U'(x2) V (x2) - K (x1) U'(x1) V(x1) = J (G1 - G2) UV dx.
(4) Je
Ako je U (x) > O, tada je U' (x1) > 0, U' (x2) < 0, U' (x1) <0, U' (x2) >0 (videti sliku).
a ako je
U(x) < O,
tada
Razlikujemo sledeće četiri mogućnosti:
lo
zo
3o 4o
U (x) > O, U (x) ::> O, U(x) < O, U (x) < O,
V(x) > O; V(x) < O; V(x) > O; V(x) < O.
u
U slučaj u 1 °, na osnovu uvedenih
·
�0i--x -'�--<----
u
0
("'X2\ .)(
pretpostavki, imamo da je izraz na desnoj strani jednačine (4) nenegativan, dok je izraz na levoj negativan, što je nemogućno. U slučaju 2° izraz na desnoj strani jednakosti (4) je nepozitivan, a na levoj pozitivan. Isto važi i za slučaj 3°. U slučaju 4° izraz m. desnoj strani (4) je nenegativan, a na levoj nega tivan, što je nemogućno. Dakle, u sva četiri slučaja dolazi se do kontradikcije, čime je teorema dokazana. Radi lakšeg izražavanja uvodimo sledeće definicije:
Definicija l. Ako relenie jednaćine (5)
y" + p(x)y' + q (x) y = O
ima bar dve nule na intervalu [a, b], kale se aa je ono oscilatorno na tom inter valu.
Definicija l. Ako relenje U jednaćine (S) ima dve uzastopne nule x1 i x2 , i ako relenje V iste jednaćine takvo da je V (x1) =- O ima bar jednu nulu izmedu x1 i kale se da V osci/uje brie od U na tom intervalu. Stavljajući u teoremi l da je V (x1) = O, i koristeći se definicijom 2, do bijamo sledeći zaključak: Ako je K invarijantna pozitivna funkcija, tada umanjivanje koeficijenta G po većava brzinu oscilovanja relenja jednaćine
x2
(K(x) y')' - G (x) y = O.
Teorema l. Neko je data di/ertmcijalna jednaćina
(6)
(K (x) y')' - G (x)Y = O,
59
1.3. Nule releoja
gde je K(x) f> O za xE[a, b], na kom intervalu funkcije K, K', G neprekidne Smanjivanje unkcija K i G povećava brzinu oscilovanja re§enja jednačine (6). Neka je U rešenje jednačine (K! ll)' - Gl U= o, a V rešenje jednačine (K2 v')' - G2 gde je G12G1, K1> K1 >0. su
Dokaz.
v=
O,
Dokažimo prvo tzv. PICONEovu formulu:
(7)
d:(� (K1 U'V -K1 UV'))= (G1 - G1) Ul+ (K1 -K1) (U')1 +K1 (U' - U�r
Kao i u prethodnoj teoremi, imamo prvo
V (K1 U')' - U(K2 V')' = (G1 - G1) UV,
tj. odakle sleduje
tj.
u (K U'V-K UV') '- u (K -K ) U'V'=(G - G ) U1 y
l
v
l
l
l
l
l
� ( � (K1 U'V - K1 UV')) - (� - � V' ) (K1 U'V - K1 UV')
'
= (G1 - G1) U1 + u U'V' (K1 -K2) , što posle sređivanja dovo�li do jednakosti {2). Neka su x1 i x2 (x1 x2) dve uzastopne nule rešenja U. Integraleći jed v
<
nakost (7) od x1 do x1 imamo
( � (K1 U'V - K1 UV'))/:: = l((G1 - G1) U1 + (K1 -K2) (U')2+K1(U'- U �n dx ... o, jer je U (x2) = U (x1) = O. Ako pretpostavimo da V nema nula izmedu x1 i x2 , tada su na intervalu (x1 , x1) funkcije U i V stalnog znaka, i (8) izražava jednakost broja O i jed (8)
XJ
nog pozitivnog broja, što je nemogućno.
2.3.3. Raspored nola re§enja Teorema 1.
Neka date jednačine su
y" + g (x) y = O , {l) (2) z" + h (x) z= O, gde je h (x) >g (x) za x ;:::.x0, y (x0) =- z (x0) = A, z{x)>O. Tada je y (x) > z (x) za x > x0 •
y'(x0) = z'(x0) = B, y(x) > O,
1. Koatumi problemi i problemi
Doleti:.
Iz
jednačina ( l )
i
sa
sopstvenim vrednostima
(2) dobijamo
y"z - z"y = (h - g) yz,
odakle sleduje
J"
(y'z - yz') = J (h - g)yz dx.
(3)
"o
xoJC
Na osnovu pretpostavki teoreme, desna strana jednakosti (3) je pozitivna, pa je i Stoga je
y' z-yz' > O.
y'z-yz' zZ
što znači da je funkcija .!... rastuća. Kako je
y((x0o) z x)
= (.!...z )' >O,
l , zaključujemo da y (x) > z (x), čime je teorema dokazana. z
=
(videti sliku) imamo sledeći rezultat:
Kao neposrednu posledicu teoreme
Teorema l. Nula funkcije nule funkcije y.
l
Y, Z
z nalazi se ispred
Neka su date diferencijalne jetbulline (l) i (2), gde su funkcije g, h neprekidne i takve da je Neka su Y, Z re!enja jednačine (1 ), odnosno (2), za koja -vali Teorema 3.
A
h (x)>g(x) za
x�x0•
Y
(x0) = Z (x0) = A,
Y' (x0) = Z' (x0) = B
JI
(A2 + B2> 0).
Ako n-tu nulu fimkcije Y označimo sa 1),., a n-tu nulu funkcije Z tada -vali nejednakost
8tl
t,.,
(4)
Dob:. Za n = l , teorema je tačna, jer �e svodi na teoremu 2. Pretpoatavimo da važi nejednakost
t,._ l < "l..- 1 . Neka je. Y1 jedno rešenje - jednačine (l) koje zadovoljava uslove
i neka je
a
Y1(t,._1) = O,
Y1'(t,._1) ... Z'(t,._1), prva 'Jledeća nula funkcije Y1 •
(S)
Očigledno je
(6)
Iz nejednakosti (5) i (6), dobijamo (4), čime je teorema dob,..
t,.
S druge strane, kako su Y i Y1 linearno nezavisna relenja jc:arbW!iac (1), njihove nule se razdvajaju, odakle sleduje
Teoreaa 4. Ako je O<m< g (x) <M za x E [a, b] i ako x1 , x2E [a, b]) uzastopne nule jednog relenja jednačine (7)
y" + g (x) y - O,
su
x1 , � Cxa� ;
1.4. Sopstftae mdaostJ J IO)IItMie f'llllkdje
61
gde je funkcija g neprekidna na intervalu x E [a, b] tada je
..;M < x2 - xl < Vm . 'lt
(8) Dob:.
Neka su Y i
'lt
Z rešenja jednačina y" + g (x) y = O,
odnosno
takva da je
z" + Mz = O,
Z' (x1) - Y' (x1) = A.
Z (x1) = O,
Neposredno zaključujemo da je
Z (x) ""'
)M
sin (x - x1) VIJ.
Na osnovu teoreme 2, kako je g (x) < M, nula funkcije Z nalazi se ispred nule funkcije Y. Prva nula funkcije Y koja je veća od x 1 je x2 , a prva nula funkcije Z
koja je veća od x1 je x1 +
.iM
Stoga je
.
xl + .[M <x2 , 'lt
odakle sleduje prva neje4nakost u (8). Slično, polazeći od jednačine (7) i jednačine
u" + mu = O,
i njihovih rešenja Y, U koja ispunjavaju uslove
U (x1) = O,
dolazimo do desne nejednakosti
U'
(8).
(x1) = Y' (x1) =A,
2.4. SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENE FUNKCIJE 2.4.1. OsaoYDe definicije Posmatrajmo jednačinu u STUR.M-LIOUVILLEovom obliku ( l)
(P(x)y')' + Q (x) y + >. R (x) y - 0,
gde su P, P', Q, R neprekidne funkcije u [a, b], sa STURMovim konturnim uslovima
(2)
A0y (a) + B0y' (a) = O, A1 y (b) + B1y'(b) = 0.
l. Koatumi problemi i problemi
6l
(l)
Opšte r'šcnje jednačine
sa
sopstvenim vrednostima
je oblika
{3 ) y = C1 {;A..) y1 (x, A) + C2 {:A) Y2 (x, A), gde su C1 , C2 proizvoljne funkcije od A, a y1 , y2 predstavljaju fundamentalan sistem rešenja jednačine ( l ). Konturni uslovi (2) daju
C1 (:A) (A0y1 (a , :A) + B0y/ (a, A)) + C2 (A) (A 0Y2 (a , A) + B0y2' (a , :A) ) -= O, CdA) (A1 y1 (b, A) + B1 y1' (b, A)) + C2 (:A) (A1 Y2 (b, i.) + B, y2' ( b, A)) = O.
(4)
l
Uvedimo oznaku
\
A0y2 (a , :A) + B0y2' (a , A ) � (A) = A0y1 (a , :A) + B0y1 ' (a , A) A1 Y1 (b, :A) + B, Y/ (b, A) A 1 y2 (b, A) + B, y2' (b, /,) Ako je � ( A) :;60, sistem jednačina (4) ima samo trivijalno rešenje C1 = C2 = O, pa s obzirom na (3) i prob lem ( l )-(2) ima samo trivijalno rešenje. Ako je � (A) = O, tada osim trivijalnog postoje i druga rešenja sistema jed načina (4), pa stoga i problem ( l )-(2) ima netrivijalnih rešenja. Definicija l. Vrednosti :A koje je � (A) = O zovu se sopstvene (ka rakteristićne) vrednosti problema ( l )-(2). OdgOYarajuća netriv ija/na rešenja zovu se sopstvene (ka rakteristične) funkcije . Def'inicija 2. Skup sopstv enih vrednosti naziva se spekta r problema (1 )-(2). za
hJMER. Posmatrajmo problem sa sopstvenim vrednostima y" + A y - O,
(5)
(6)
{e, e, Tada
y (O> - Y
Op§te reknje jednačine (S) dato je sa
G)
- o.
ch M x + C2 sh M x
(A< O), (A - 0),
y (x) - C, x + C2
t• Neka je A
cos VAX + c2 sin ..;i-X
(A >O).
r
iz opšteg e§enja, na osnovu (6) dobijamo
c, - o,
1 2- .
odakle dobijamo .C - C 0 Znači problem (S)-(6) sopstveDih vredDosti.
Dema
r Za
3" Za
tj.
A-0
A>O
7t -" " 2 O, sin v
problem (.5H6)
A
re§enje,
tj.
takođe nema sopstvenih vrednosti .
iz oplteg reknja dobijamo
-
za
C, cos -J): - + C2 sin y'): - - o,
7t
7t
2
2
odakle sleduje VA - 2 k (k = 1, 2 ,
=
. . •
).
Dakle, sopstvene vrednosti problema (S)-(6) su Ak - 4k2 (k = l , 2, sopstvene funkcije su JC �-+ Y�c (x) - sin 2 kx (k l , 2, ) • • .
.
.
. . ), a odgovarajuće
63
2.4. Sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije
2.4.2. Osobine sopstvenih vrednosti i sopstvenih funkcija
Teorema Dokaz.
l. Sopstvene vrednosti su realni brojevi.
Posmatrajmo jed načinu (l) iz 2.4.1. u LIOUVILLEovom normalnom obliku
y" + (t. + q (x)) y = O, sa uslovima y (a) = y (b) = O. Pret postavimo da postoji kompleksna sopstvena vrednoc;t 1.. = oc + i � {IX, () realni b rojev i i � :;t 0), i da njoj o'd govara sopstvena funkcija x � u (x) + iv ( x). Tada je (l )
� (u + iv) + ((IX + i [3) + q (x) ) (u + iv) = O,
d-1:2
tj.
u" + (oc u - f3 v) + q (x) u = O,
{2 )
v" + ([3 u + oc 1') + q (x) v = O.
( 3)
Ako jednačinu (2) pomnožimo sa v, a jednačinu (3) sa u, ih, dobijamo vu" - uv" = f3 (u2 + v2),
oduzmemo
lb Jb
odakle integracijom od a do b nalazimo
(4 )
vu' - uv'
= f3 (u2 + v2) dx.
Međutim, kako je y (a) = y (b) = O, imamo
pa iz (4) sleduje
ll
ll
u (a) = u (b) = v (a) = v (b) = O, b
f3 J (ul + vl) dx = o,
tj. kako j e f3 :;t O,
što je nemogućno.
Teorema 2. Ako su y1 i y2 sopstvene funkcije SroRM-LIOUVILLEOvog problema ( l ) i (5)
koje odgovaraju jednoj sopstvenoj vrednosti, tada je y1 (x) = Ch (x), gde je stanta. Dokaz.
Neka j e B1 :;t O. Stavimo
y/ (a) = e. yz' (a)
e
kon
Yt
J'
(a� = e. Iz uslova (5) sleduje da je i z (a)
Međutim, početne uslove y1 (a) = cy2 (a), 11. (a) = cy2' (a) zadovoljava fu� kcija X t+ y1 (x) - cy2 (x), i na osnovu jedin osti rešenja linearnih diferencijaln th jednačina to je jedina t akva funkcija. Odatle sledu je da je y1 (x) = Ch (x). '
2. Konturni problemi i problemi
sa
sopstvenim vrednostima
Ako je B1 = O, tada je y 1 (a) = y2 (a) = O. Stavljajući
-�:(a) = e, Y2 (a)
opet dola
zimo do istog zaključka. Znači, jednoj sopstvenoj vrednosti odgovara jedna sopstvena funkcija sa tačnošću do jedne multiplikativne konstante. Teorema 3.
Postoji beskonačan niz sopstvenih vrednosti.
Dokaz. Posmatrajmo jednačinu y"
(6)
(q (x) > O)
+ (1. + q (x)) y = O
sa uslovima
y (O) = y (e) = O. Za fiksno, ali proizvoljno J. neka je y (x, /..) netrivijalno rešenje jedna čine (6) sa osobinom y (0, J.) = O. Očigledno ako J.< O i ako je l J. l dovoljno veliki broj, tada je y (x, t.) :;eO za xE (O, e). Zaista, J. možemo tako izabrati da bude J. + q (x)< O za xE [0, e]. Dalje, jasno je da za pozitivno i dovoljno veliko J. rešenje y (x, 1.) ima pozitivnu nulu. (7)
U
x,.
teoriji diferencijalnih jednačina dokazuje se da je svaka pozitivna nula
(:h) rešenja
y
(x, :h)
neprekidna funkcija promenljive
J..
Tada iz STURMove teoreme (videti teoremu l iz 2.3.2.) sleduje da opada kad J. raste i da je lim x,. (J.) = O. A -++ oo
x,.
(J.)
Izaberimo J. tako da prva pozitivna nula x1 (J.) rešenja y (x, J.) leži desno od e. Kad J. raste, x1 (t.} opada i tačno za jednu vrednost J., recimo 1.1 , imamo x1 - e. Prema tome, ).. 1 je sopst·�ena vrednost prob le m a (6)-(7), i to prva (i najmanja) . Kada J. dalje raste, nula x1 pripada intervalu (0, e), a druga pozitivna nula x2 (J.) rešenja y (x, :A) kreće se ka e i postaje jednaka e za J. = 1.2 ( > 1.1). Znači 1.2 je druga sopstvena vrednost problema (6)-(7). Jasno je da se ovaj postupak može dalje nastaviti, tako da dobijamo beskonačan niz sopstvenih vrednosti 1.1 < 1.2 < sa osobinom lim J." = + oo. ·
·
·
,._.....+ oo
Teorema je dokazana. 2.4.3. Ortonormiranost niza sopstvenih funkcija
Definicija l. Za dve funkcije f, g koje su integrabilne na intervalu [a b] kafemo da su ortogonalne na tom intervalu ako je ispunjen uslov ,
b
J f(x) g (x) dx = O.
Definicija l. Neka je p pozitivna integrabilna funkcija na [a, b] i neka su J, g integrabilne funkcije na istom intervalu. Kafemo da su funkcije J, g ortogonalne sa tefinom p, ako vafi b
Jp (x)f(x} g (x} dx = O.
2.4. Sopstftne vrednosti l sopstveae funkdje
(l)
Posmatrajmo opet STURM-LIOUVILLEov konturni problem
( P (x)y')' + Q (x)y + J. R (x)y= O,
A 0y (a) + B0y' (a) = O, A1 y (b) + B1 y' (b) = O,
(2) gde su funkcije
intervalu [a, b].
Teorema
težinom
P, P',
R
Q neprekidne i
je pozitivna neprekid na funkcija na
l. Dve različite sopstvene funkcije problema ( 1 )-(2)
R.
su
ortogonalne sa
). � > 1.2 dve različite sopstvene vrednosti problema (1)-(2) i odgovarajuće sopstvene funkcije. Iz jednačina
Dokaz. Neka su
neka su
y i ' y2
(Py1') ' + Qy1 + 1..1 Ry1 = O , (Py2')' + Qy2 + J.2RY2 = O
dobijamo (3)
Međutim, kako je b
(4)
J (y2 (Py1 ')' - y1 (Py/)') dx
b
..
b
= Py/ Y2 1: .- Py2' y , l : - J Py/ y2' dx + J Py2' y1' dx = O, a
iz (3) i (4) dobijamo
"
b
(1..2 - 1..1) J R y1 y2 dx = O, ..
tj.
b
J R (x)y1 (x) y2 (x) dx = O,
(5)
..
jer je, po pretpostavci, 1..1 :;ć l..2 • Time je teorema dokazana. Videli smo u teoremi 2 iz 2.4.2. da jednoj sopstvenoj vrednosti odgovara sopstvena funkcija y sa tačnošću do jedne multipJikativne konstante. Tu kon stantu određujemo iz uslova b
J R (x)y (x)2 dx= l .
(6)
..
Jednakosti (5) i (6) zajedno mogu se predstaviti
J R (x) y1 (x)y, (x) dx = {o1 b
(7)
R.
(y,.)
obliku
(i :;ćj), (i=J).
..
Definicija 3. Za niz funkcija sa telinom
u
sa osobinom 7) kalemo da je ortonormiran
(
66
2.
Konturni problemi i problemi
sa
sopstvenim vrednostima
PRIMER l . Niz funkcija
X 1-+ V2-7t ' X 1-+
cos x
1
�'it
X
'
V1t
sin x f-+
'
X
cos 2 x
f-+
V1t
'
X 1-+
V1t '
sin 2 x
obrazuje na intervalu [-Tt, + Tt] ortonormiran sistem sa težinom l . PluMER 2. Niz LBGENDREOVih polinoma
X f-+
P"
/n + 2l "\j (x) = -
--
211n!
d" - (x'- 1 )11 dx"
(n = 0, l, 2, . . )
.
obrazuje o_rtonormiran sistem sa težinom l na intervalu [- l , l ]. PRIMER 3. Niz LAGUERREOVih funkcija l
x r+ l,. (x) = - e n!
2 L,. (x)
X --
(n = O, l, 2, . . . ),
gde je L,. LAGUERREov polinom definisan sa
L,. (x) = eX
d"
--
dx"
(xn e - "'")
(videti 1.5.5.) obrazuje ortonormiran sistem sa težinom l na intervalu [0, + oo ).
�.s. RAZVIJANJE U RED PO SOPSTVENIM
STURM-LIOUVILLEOVOG PROBLEMA
FUNKCIJAMA
2.5.1. Uvod
..
Fun kCIJe X �--+ ----;;=:-
blen1a
sin nx r 7t
(n = l , 2
,
. . . ) su sopstvene funkCIJe . . k onturnog pro-
y " + n2 y = O, y (O) = y (27t) = O.
Te funkcije obrazuju ortonormiran niz sa težinon1 l . Kao što je poznato, neprekidna funkcija f n1ože se razviti u FoURIEROV red f(x)
=
L b,. sin nx,
+ oo
n-l
koji konvergira ka toj funkciji. Stoga se postavlja pitanje da li se može neprekidna funkcija f razviti u red po sopstvenim funkcijama opšteg STURM-LIOUVILLEovog problema koji konvergira ka toj funkciji. ortonormiran niz sopstvenih funkcija STURM-LIOUVIL Neka je y 1 , y2 , LEovog problema •
•
•
(Py')' + Qy + A. Ry = O, A 0 y (a) + B0y' (a) = O , A 1 y ( b) + B1y' (b) = O,
2.S. Razvijanje u red po sopstvenim funkcijama Sturm-Liouvilleovog problema
67
neka je f data neprekidna funkcija. Stavimo f(x )
(l)
=
2:
+ oo 11 = 1
c" y" (x),
gde koeficijente e" (n = l , 2 , . . . ) treba odrediti. Pomnožimo obe strane jednačine ( l ) sa R (x) yk (x) ( l < k < + oo ) gralima dobijenu jednakost od do b . Kako je a
j R(x) y" (x) ydx) dx = {o1 b
neposredno dobijamo
inte
(n 7"' k), (n = k),
b
e"= J R (x)f(x)y"(x) dx.
(2)
a
Prema tome, svakoj neprekidnoj funkciji f može se formalno pridružiti tzv. FOURIEROV red (3)
gde su y" (n = ] , 2, . . . ) '>opstvene funkcije STURM-LIOUVILLEOVog problema, a koeficijenti e" , koje ćemo zvati FouRtERovi koeficijenti, su odredeni formulom (2). Pitanje da li red (3) konvergira i ako konvergira da li konvergira ka funkciji f razmatraćemo u narednim odeljcima.
2.5.2.
Konvergencija
u
sredn!em
Neka je y" niz integrabilni h funkcija. Reći ćemo da niz funkcija y" kon u srednjem ka funkciji y u intervalu [a, b] ako va!i jednakost
vergira (l)
rim
"_.... + ao
b
J R (x) (y" (x) - y (x)}� dx = O,
tl
gde je R data pozitivna integrabilna funkcija. Jednakost ( l ) se često piše u obliku I.i.m. y" (x) =y (x), ,......, + oo
.
gde je l.i.m. skraćenica za latinski izraz za konvergenciju u in medio).
Teorema l .
Pojmovi lim y,. (x) = y (x) i l.i.m. y" (x) = y (x) su �+m
.. + m
srednjem (limes
neuporedM.
2. Koatuml problemi l problemi
18
sopstvenim vrednostima
Dolulz. Dokažimo prvo da iz obične konvergencije ne sleduje konvergencija u
{
srednjem. Neka je dat sledeći niz funkcija ylt
(o <x< Jn)·
n
ylt (x) =
(x = O i Jn- :s:x:s: I ) .
O
Očigledno je lim ylt (x) = O za svako x E [O , 1] . .-+ oo
Međutim,
l
t/Vi
J (ylt{x))2 dx =
J n2 dx = n /2-+ + oo 3
o
o
kad n -+ + oo .
Da bismo dokazali da iz konvergencije u srednjem ne sleduje obična konvergencija, definišimo sledeće funkcije u;:
uk'(x}
=
{J
(� < x< �) . m
.
m
O (za ostale tačke iz [0, l ]) .
Neka je niz funkcija ylt definisan sa l
Niz y,.
2
3 3 2 3 y1 = Ut , y2 = Ut , y3 = U2, y4 = Ut . Y5 = U2 , Y6 = U3 , očigledno konvergira u srednjem ka O. Međutim, z a svako x0
koje pripada [0, l) postoji m i k (O< k:S:m - l ) tako da x0 pripada [! , k:l
Tada je, prema definiciji, u k'(x0) = l . Prema tome, u nizu ylt (x0) postoji bes konačno mnogo jedinica te ovaj niz ne konvergira nuli. Prema tome, ni za jedno x0 E {0, l ) ne važi y,. (x0) -+0, n -+ + oo . 2.5.3. Besselon nejednakost Teorema 1. Neka je y" y2 , • • • , ylt jedan ortonormiran niz sopstvenih funkcija SruRM-LrouvrLLEovog problema i neka su c1 , • • • , e,. FouRIEROVi koeficijenti nepre kidne funkcije f u odnosu na dati niz funkcija. Tada je
lt
�
(l) Dolulz. Očigledno je
(2)
k -1 b
e,/ S:
J R (x)
,.
b
J R (x) f(xf dx.
ll
( f(x)
-
lt
)2
� c" y" dx� O.
"_,
2.5.
Razvijanje u red
po
69
sopstvenim funkcijama Stunn-Liouvilleovog problema
Međutim,
b
"
b
= J R (x)f(x)2 dx - 2 L ck J R (x)f(x) yk (x) dx k� l a a b " b + L Ck2J R (x)yk (x)l dx + 2 L c1 c1 J R (x) y;(x)y1 (x) dx. k- l a I :S; I< ) :S; II Zbog ortonormiranosti niza Yk imam_o a
b
..
J R(x) y1y1 dx = O,
a takođe važi
•
b
J R (x)f(x)yk (x) dx = ck .
Tako dobijamo
a
[ R (x) ( f (x) - k�l ck yk )2dx= [ R(x)f(x)2 dx- k�l ck2, b
"
b
ll
što zajedno sa (2) daje nejednakost { l ) . Time je dokaz završen. Puštajući u ( l ) da n - + oo , dobijamo BESsEwvu + oo
b
nejednakost
L ck2� J R (x)f(x)2 dx. k -l Kako su R i f2 integrabilne funkcije, i kako je c/�0 (k = l , 2, . . ) iz + oo BESSELove nejednakosti neposredno zaključujemo da je red kL ck2 apsolutno -l konvergentan.
.
a
2.5.4. Konvergencija u srednjem Fourierovog reda U ovom odeljku dokazaćemo da FoURIEROv red neprekidne funkcij e f konvergira u srednjem ka funkciji f. Pri tome ćemo pretpostaviti da je u jednakosti ( l ) iz 2.5.2 R (x) = l, čime se ne umanjuje opštost (videti 2. 1. 1.). Koristeći se istim oznakama kao u prethodnim odeljcima, stavimo s,. (x) =
"
c k x) k -l k Y ( . L
:z.
70
na osnovu čega
Koatuml problemi i problemi
sopstvenim vrednostima
zaključujemo da j e b
J (sm (x) - sn (x)f dx< e:
(l)
(m > n > N),
"
jer je niz (Sn) cija
sa
konvergentan. Treba da doh.ž·!mo da iz formule ( l ) izlazi da postoji integrabilna funk
t3:kva da je
s,
b
lim J (sn (x) - s (x))2 dx = 0,
(2)
rt -+ + oo
tj. S
.obzirom je
takav da
a
Li. m. s,. (x) = s (x).
n-+ +
da b
oo
( l ) važi, p ostoji niz prirodnih brojeva
J (sm (x) - sn (x))2 dx<2-21
za
n1
(i E N, n1 > n1_ 1 )
m > n > n1•
"
To znači da za podniz (�n; (x)) važi b
J (snt + l (x) - sn1 (x))l dx< 2-ZI
Stavimo
"
k
(i = l , 2, . . . ). +•
Xk (x) = 2: jsn1 + /X) - sn1 (x) j , X(x) = 2: j sn1 + 1 (x) - sn1 (x) l . 1-1 1-1 Na osnovu MtNKOWSKieve nejednakosti dobijamo
J k b J k 2 (x) ( J xk 2 dx) � 1=12: ( J (snl+1 (x) - sn, (x))2dx)2 < 12:-J 2-1 < l . b
a
Stoga je i
a
"
To znači da je funkcija X2 integrabilna, te je stoga X (x) < + oo b], odakle sleduje da je red
x E [a,
za
+•
Sn1 (x) + 2: (sni+ ! (x) - Sn1 (x)) 1-1 apsolutno konvergentan na intervalu [a, b]. Neka j e x �s (x) Dokazaćemo da je s2 integ rabilna funkcija i da važi (2).
njegova suma.
2.5.
Razvijanje u
Kako važi
red po sopstvenim funkcijama Stunn-UCMrrileo l ,-og problema
71
za svako E > O postoji prirodan broj N takav da je za
( l ),
n > N, m > N
b
J (sm (x) - s" (x))2 dx < E
a
U
imamo
podnizu
izaberimo indeks
(n;)
i0
tako da bude
b
za
n; > N
i > i0 •
Tada
b
J (sm (x) - s (x))2 dx< lim J (sm (x) - s"; (xW dx
a
Međutim, kako je, na osnovu
1-++ oo a
.
( l ),
b
J (sm (X) - Sn/x))2 dX <
a
E,
iz poslednje dve nejednakosti sleduje
{ 3)
b
j" (sm (x) - s (x))2 dx < E za
a
m > N.
Odavde, koristeći se MINKOWSKievom ncjednakošću nalazimo l
b
l
b
b
( J s (x)2 dx)2 s.( J (s (x) - s;" (x)l dx)2" + ( J sm (x)2 dx? a
a
a
l
"
<+
ao ,
što znači da je funkcija s2 integrabilna, a takođe formula (3) povlači (2), što je i trebalo dokazati. Time smo dokazali da red 2: ck yk (x) konvergira u srednjem ka nekoj k =l funkciji x � s (x). Dokažimo sada da taj red konvergira baš ka funkciji f. Pretpostavimo stoga da je f(x) :f=.t(x) i stavimo F(x) =f(x) - s (x). Tada imamo + aa
b
b
b
J F (x) yk (x) dx = Jf(x) yk (x) dx - J s (x) ydx) dx a
a
a
b
= ck - ck J Yk (x)2 dx = ck - ck = O, a
što znači da je funkcija F ortogonalna na svim sopstvenim funkcijama Yk · Dokažimo da je F (x) = O. U odeljku 2.2.4. videli smo da je rešenje konturnog problema y (a) = y (b) = O (Py')' + Qy + R = O, dato sa b
y (x) = J G (x, t) R (t) dt, gde je
G
a
odgovarajuća GREENova funkcija.
Odatle sleduje da se rešenje STURM-LIOUVILLEove jednačine ·može izraziti
u
(Py')' + Qy +"Ay= O
obliku
y(x) = ).
(4)
b
J G (x, t) y (t) dt,
a
tj. jednom integralnom jednačinom, jer nepoznata funkcija y učestvuje pod znakom integrala. Dokažimo sada da je svaka funkcija. h koja je ortogonalna na funkciju G iz (4) identički jednaka nuli.' Pretpostavimo suprotno da postoji jedna fun kcija h za koju je h (t) t= O i b
J G (x, t) h (t) dt = O. a
Međutim, funkcija y definisana b
sa
y (x) = J G (x, t)h (t) dt a
je rešenje jednačine (5)
(Py'Y + Qy + h = O,
što znači da funkcija y treba da bude rešenje nehomogene jednačine ( S) i da bude jedna]ca nuli, što je nemogt.ć.1o. Iz ove činjenice, s obzirom na konstrukciju GREENove funkcije (videti 2.2.3) zaklj·..�ujemo da ako je neka funkcija ortogonalna na sve sopstveo.e funkcije STURM-LIOUVILLEovog pre blema, onda je ona ortogonalna i na GREENOVU funkciju G, pa je identički jed.Laka nuli. Funkcija F je ortogonalna na sve sopstvene funkcije Yln pa je, prema prethodnom, F (x) = O, tj. l(x) = s (x). Drugim rečima, dokazali smo da FouRIERov red funkcije 1 konvergira u srednjem ka samoj funkciji J, tj. ll
l.i.m. L
lc-l
Jt-++ oo
l(x).
cic Y1c (x) =
2.5.5. Panevalona jedaakost
Iz konvergencije u srednjem FoURIERov.og reda proizvoljne funkcije l ka samoj toj fuiilcciji neposredno sleduje PARsEYALOVa jednakost b
+ oo
� C�c2 = J l(x)2 dx.
k- 1
Zaista, imamo redom b
(
a
b + oo
J l(x)2 dx = J
)2
� C�cY�c (x) dx = � e/.
k-1
+ oo
k-1
Primetimo da PARSEVALova jednakost precizira BESSELovu nejednakost. a
a
1.5. Ramjuje
a
red po
IO(IItMdla fnnlreljema Stanll-LiotBD�eoYot problema
73
2.5.6. Uniformna konvergencija Fourierovog reda
Ovde ćemo dokazati glavnu teoremu izlo!ene teorije, tj. da FouRIERov red funkcije J, koja ima neprekidan drugi izvod, uniformno konvergira ka f. Kako FOURIERov red funkcije J konvergira u srednjem ka J, ukoliko on unifor.mno konvergira, on takođe mora konvergirati ka istoj funkciji f. Ostaje nam dakle još da doka!emo da FOURJERov red funkcije J uniformno konvergira. Stavimo (P/')' + Qf
+"A/= - h (x).
Tada funkciju
f mo!emo predstaviti b
u obliku
f(x) = J G (x, t) h (t) dt. ll
f' , f "
Funkcija h je zbog neprekidnosti funkcija P, P', Q, J, neprekidna. Oznat\imo sa njen FouRIERov koeficijent, tj. stavimo
ck
ck
Ako su sa
fk
=
takođe
b
J h (x) Yk (x) dx.
označeni FoURIERovi koeficijenti funkcije f, tada imamo· ll
b
b
b
lk = Jf(x)yk (x) dx = J (J G (x, t) h (t) dt) yk (x) dx ll
b
b
ll
ll
= J ( J G (t,x) Yk (x) dx) h (t) dt, ll
ll
jer je GREENova funkcija simetrična. Kako su funkcije sopstvene funkcije STURM-LioUVJLLEovog problema.. imamo
Yk
b
Yk (x) = Ak J G (x, t) Yk (t) dt, odakle, posle mno!enja sa. h (x) i integraljenja, dobijamo ck = Ak/k . Prema tome, FouRIERov red funkcije f glasi + oo c + oo ' k L fk Yk (XJ � kL - yk (x). k=t -t Ak ll
Na osnovu CAUCHYeve nejednakosti imamo (l)
BESSELova nejednakost za funkciju
G
daje
i (yk.(x) r:::;; j G (x, t)2 dt -s;;. M,
k -n+l Ak
11
l. Koatuml problemi l
74
problemi
aa
�
jer je funkcija G neprekidna. Odatle i iz (l) sleduje
Ak k (x)l < .JMJk-n+� k-n+� ��Y red ! k-1 l
pa kako j e
+ oo
YniiDostlma
(m > n > N) ,
e/ l
ck2 konvergentan (videti 2.5.3.) konvergentan je
Y" l
e,.
red
Yk(x)l ·
k -l >.,. Dokazane re.zultate možemo iskazati u obliku sledeće teoreme: FUIJkcija f koja ima neprekidan drugi izvod mofe se razviti u FouRIEROV red po sopstvenim funkcijama SruRM-LioUYJLLEovog problema koji apsolutno i uni formno konvergira ka f. PluMEDBA. Može se dokazati opltiji rezultat, koji glasi: Ako je l neprekid1111 funkcija, ona se nwže razviti u FOUR/EROV red po sopstvenim funkci jama SroRM-LIOUYILLEOVOg problema koji uniformno konvergira ka funkciji lpod istim uslovima koji obezbeđuJu uniformtr�� konvergenciju FouRrEROvog trigonometrijskog reda. 2.6.
ZADACI
2.6.1. Napisati jednačinu
xz y" + xy' +
O>
u kanoničnom i STUR.M-LIOUVILLEovom obliku.
ReleJ4}e. Napilimo jednačinu (l) u obliku }'
"
(2)
i u
(2) izvdimo smenu
+ -:;- JI +�y-0 l
y - u exp
, 2u'x-u Y = l x,/2
'
Tada (2) postaje
,
r-n2
!._ , (-.!.2 J.!. dx)-...! ,_{X
"
Y -
X
(2u" x + u') 2 x- 3 (2 u' x-u)
tlo je kanonični oblik jednačine (1).
4x'Jz
J : dx - x, dobijamo
Ako pomnožimo jednačinu (2) sa exp
"
,
xy + y +
xZ-nz X
--
y - 0,
a to je STURM-LIOUVILU!Ov oblik.
2.6.2. Napisati jedn ačine
1° y" + (cot.� x) y' + y = O, 2° (l x2) y" 2 xy' + n (n + l) y = O, --
3o
-
y" + p (x) y = O
u kano � ičnom i STURM-LIOUVILLEovom obliku. .
o
•
2.6. Zadaci
2.6.3. Odrediti GREENovu funkciju konturnog problema
(l)
x2 y" + xy' - y = O,
(2)
y (x) je ograničeno kad x - O,
(3)
y ( l ) = O.
Rele11je. Očigledno je y = x jedno partikularno rešenje jednačine (1). Uvedimo IUllcnu y • :JCII, gde je u nova nepomata funkcija. Imamo
y' - u + xu', y" - 2 u' + xu"
i jednačina (l ) postaje
xu" + 3 u' = O.
Njeno opšte rešenje je
e u - - + D.
{:
,xl
Stoga je opšte rešenje jednačine (l) dato sa y Stavimo
a - + bx
G (z, t) =
e
+ Dx.
%
(0<x.$ t ), (t�x� 1).
- + Bx X
Zbog neprekidnosti GJtEENove funkcije u tački x = t imamo
A a - + bt - - + Bt. t t
(4) Konturni uslovi (2) i (3) daju
(S)
a - O i A + B - 0.
Najzad, skok prvog izvoda G:x: jednak je - . Odatle izlazi l
t
(6)
Iz (4), (S)
i (6) dobijamo
a�o
•
a A . -- + Bl + --bt - l. t t
b = _ .!._ 2
(.!.. - t) t
•
t l A · - -, B - - . 2
2
Prema tome, GJtEENova funkcija problema ( l)-(2H3) slui
(0.$X.$1), (ts;xs; 1 ).
1.6.4. Odrediti GREENovu funkciju sledećih kontumih problema
1 ° xl y" + xy' - nl y= O, y (O) je konač n o, y ( l ) = 0; 2° (( l - x2) y')' = O, y (O) = O, y (l ) je konačno; 3o xl (log x - l ) y" - xy' + y = O, y (O) je konačQo , y (l ) ... O.
problemi
2. K:ootaml problemi l
76
sa
sopstvenim vreclaostima
2.6.5. Koristeći se GREENovom funkcijom, rešiti konturne probleme: ' }0 y" + ?tzy == COS X, y (O) =y ( l), y (O) = y' ( l ) ; r xy" +y' = x, y (l ) = y (/) = O; ",; o. 30 y"·+ y = r, _y (O) = Y R.-tat; l" y 20 y -
cost-l
2 (-r.-- 1) -2
� 4
(
(;)
COS ft X
x2- l +
sinl .
2 n ("-- l)
SID 71:
-2
t -l2 logx); log l
3• y -
COU;
l
-=-"-- t 2 sx (2-nJ)sinx+x2-2.
X+
+
co
4
2.6.6. Dokazati da se između dve uzastopne nule funkcije x 1-+ y (x) = sin x nalazi jedna nula funkcije x 1-+ z (x) = sin x + cos x.
RiiĐV•·
Posmatrajmo jednačinu i su relenja jednačine ( 1 ). vile, kako je s in + � 1 - _ 1 , l y' z 1-1 oossin cos x-sm x relenjanulei funkcija su linearnosinne:mvisna. STURMove teoreme zaključujemo i t-+ sinPrema+ costome, na y" + y - 0.
(l)
Funlccije y
da
y
se
z
Sta
z
y
x t-+
2.6.7. Dokazati da
razdvajaju.
se
x
x
z'
x
x
x
x
osnovu
x razdvajaju.
x
nule funkcija x 1-+ sin x + v'2 cos x i x 1-+ sin x - cos x
2.6.8. primer diferencijalne jednačin u STURM-LIOUVILLEovom obliku koja je takva da nijedno njeno netrivijalno rešenje nema više od jedne pule.
Konstruisati
e
Rda}e. Takva
jednačina je, na primer, d PRIMEDBA. Ovo znači postoje diferencijalne koje ne mole primeniti SniRMOva teorema. je načine SniRM.:_LioUVILLI!Ovog oblika na y" - 0.
da
se
2.6.9. Dokazati da razdvaj .ju.
se
nule funkcija x 1-+ sin log x i x 1-+ cos log x međusobno
2.6.10. Dokazati da je potreban i dovoljan uslov da jednačina (P {x) y')' + Q (x) y = O {l)
ima linearno nezavisna rešenja oblika x 1-+ sin v (x) i x 1-+ cos v (x) dat sa P (x) Q (x) = l .
Rdaje. Neka jednačina (l) ima linearno nezavisna re n a -sin Tada je njeno op§te relenje (x) Eliminilimo ko iz jednakosti (2) i njeni Dobijamo O, tj. dato sa
" (x).
(2)
+ C2 Y2 (x).
Y - C, Ya
nstante C1 , C2
y' - Ca Yt' + Cz yz', ' y
(3)
l
y'
le j
J
.� v"
y'Z
y' + v' y - 0.
i
h izvodni h jednakosti
Y" - Ca Ya " + Cz yz''.
y'' -v'' y' + v' l y -
- "''-
x�-+y1 (x) - con (x)
x�-+y2 (x)
%.6. Za.WI
Jednačini (3) može
se
."
dati STURM-LJOUVILLBov oblik
a za nju je očigledno P (x) Q (x) -
e, ,,)' ...!._ v' - 1 .
+ V' y - 0.
v'
Obrnuto, neka za jednačinu (l) važi P (x) Q (x) - l. Tada ona glasi
+-1 J -1-dx+ J -1 - dx.
(P (x) y')'
(4) i njeno opšte rešenje je
-J-1-dx.
y - e, cos
- y - 0, P (x) e2 sin
P (x)
P (x)
To znači da jednačina (4) ima linearno nezavisna re§enja x f-+o cos v (x) i x f-+- sin l' (x),
gde je v (x)
P (x)
2.6.11. Odrediti sopstvene vrednosti A" i odgovarajuće sopstvene funkcije y" homogenog kontumog problema l o y" + Ay =- O,
{ � ) = y (� ) =
y -
o;
r y" +y' + Ay = O,
3o y" + Ay = O, ReUtlt11t.
1°
3• >." = n2 7t2,
y (O) = Y (1t} = 0; y (O) ""' Y ( l ) = O.
{ �);
>." - n2 , y11 (x) - sin n x + y11 (x) - sin n7tx
(nEN).
2.6.12. Odrediti sopstvene vrednosti
sopstvene funkcije problema l
( l)
(xy')' + l. - y = O,
(2)
y ( l ) = y (e"') = O.
X
Remve. Jednačina (l) je jednačina EULBRovog tipa
( 3)
r y" + xy' + >. y - 0.
Smenom t - log x jednačina (3) svodi se na jednačinu sa konstantnim Jtoeficijentilna y'' + ). y - o, čije opšte re§enje glasi y - e, cos y'): l + e2 sin y'): t (). >0). Stoga je opšte re§enje jednačine (1) u slučaju 1>0 dato sa
(4)
y - e, cos (y'): log x) + e2 sin. (� log x) .
Zamenjivanjem uslova (2) u (4) dobijamo e, - o,
e2 sin y'): 7t - o.
( 1 H2) ( 1)-(2)
Dakle, sopstvene vrednosti problema funkcije su X f-+- Y11 (x) - sin (n log x) (nE N). Citaocu se prepulta da dokaže da problem
su >.,. - n2 (nE N). Odgovarajuće sopstvene nema sopstvenih vrednosti D ).< 0.
2.6.13. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije kontumog problema (r y')' + >- ..!.. y .... o, r
y (l) =- y (2) = 0.
l. Kootumi problemi i probl�i
78
sa
1.6.14. Razviti funkciju x � _!_ na intervalu xl cijama STURM-LIOUVILLEovog problema (xy')' + ). _!_ y = O,
{l)
sopstvenim vrednostima
(l,
en) u red po sopstvenim funk-
y (l) = y (e") = O.
X
Reh•}e. Sopstvene funkcije problema ( l ) su y" (x) C" sin (n log x) ( vi deti zadatak 2.6.12.). Konstantu C odredićemo iz uslova da je skup sopstvenih funkcija ortonormiran, tj. iz uslova =
�n J e" l
ili
Cn -
l
l -;
y" (x) l dx = l ,
/ �ft 'V J�X Yn (X)1 dx l
Izračunajmo
i li ,
�n integral I= J � y" (x)2 dx. l X �n
l = J _!_ sin1 (n log x) dx, l X
posle smene log x - u,
ft
I-J o
Imamo
sin1 nu du - ..!.. 2
ft
J
o
( l - cos 2 nu) du = � 2 .
Prema tome,
pa je niz funkcija
x ortonormiran
(
f-+
��
sin (n log x)
s a težinom R, gde je R (x) =
:)
(n E N)
.
1 Stoga se funkcija X f-+ - može predstaviti redom xl 1
gde je
(2)
+ oo
a r-2 n n- I
a" -
�
:;-sin (n log x) ,
..
J �2 . ...:
l
1 3 X
- s m (n Jog x) dx 1t
•
2.6.
79
Zadaci
lzračunajmo koeficijent a" . Integral (2) posle s mene
1t
J.
7t
-
a" =
·
e _ 2u sm nu du =
o
�z
u =
log x postaje
- -- ( 1 - ( - l ) " e - 2") 1t
n 4 + n2
•
Prema tome, traženi razvoj glasi l
-=
x2
n 2 - -( l - ( - l}" e - 2") sin (n log x) .
+oo 2
11 =1
4 + n>
n-
2.6.15. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije problema nim vrednostima. trećeg reda (l)
y"' + t.y = o,
(2)
y (a) = y' (a) = y (b) = O.
Reler�je. Opšte rešenje diferencijalne jednačine ( l }
sa
sopstve
"A - k3 dato je u obliku
za
(3) Konturni uslovi (2), imajući u vidu (3}, postaju
(
..!. ka l -c1 e - ka + - c2 e 2
2
(4)
y'3
y'3
)
cos -- ka - -J3 sin -- ka
� kb
c1 e - kb + e -
_
2
(
2
y'3
-J3
)
c2 cos -- kb + e3 sin -- kb = 0. 2 2
Da bismo imali i druga rešenja po e1 (i = l, 2, 3) osim trivijalnog c1 = e, = c3 = O, treba determinantu sistema izjednačiti sa nulom, tj. e
2
- 2e
- � ka 2
y'3
y'3
_!_ ka
y'3
cos -- ka 2
y'3
v'3
cos -- ka - y') sin -- ka 2 2
sin -- ka+ -J3 cos -- ka 2 2
cos -- kb 2
sm -- kb 2
y'3
odakle se dobija transcendentna jednačina ( S)
-J3
sin -- ka 2
y'J
.
y'J
cos -- k (b - a) -v'J sm -- k (b- a) = e 2 2
. v'J
•.
-� k(b-a) ·
lc.oja daje sopstvene vrednosti problema sa sopstvenim vrednostima OH2).
- O,
80
1.
Kootuml problemi i problemi
sa
Približne vrednosti re§enja jednačine (S) po 3.66606 6.80678 9.94837 13.08996
( �) . n+
gd� je n prirodan broj i
e
sopstyenlm
V:
vrednostima
k (b-a) jesu
4968 1, 029 1 6, 67527, 93898,
Tr + e (n),
(n)< I0 - 12 (n >4)
•
Iz prve dve jednačine iz (4) mogu se odrediti vrednosti C1 i e2 tj
-----.Jj v'J .J3 --.! ka
c, - �
el
cos
pa
su sopstvene funkcije, Yn
(
ka-sin
2
2
ka
VJ ka y'3 ka + cos -VJ sin -2 2 e, - -e, y'3 , 3 y' .J3 cos ka-sin 2 ka
-2
sa
tačnošću do jednog konstantnog faktora, date
_!_ kx _!_ k (x - a) + (x) - e 2 e 2 _
--
VJ sin
-v'J
2- k (x - a)
- -VJ cos
sa
- k (x-a) 2
)
•
LITERATURA D. PERČINKOVA: Konturni problemi i problemi siz sopstvenim vrednostima obilnih dife rencijalnih jedntifina. Matematička biblioteka, sv. 41 ( 1969), 1 1 3-1 33.
2.7. LITERATURA S. AuANČIĆ: Uvod u realnu i funkcionalnu ana/izu. Beograd 1968, 327 str. L. BI:EBERBACH: Theorie der Di/ferentialgleichungen, Vorlesungen aus dem Gesamtgebeit der gewohnlichen und der partie/len Differentialgleichungen. Berlin 1930, 399 S. CH. BLANC: Les equations diffirentielles de la technique. Neuchatel 1947, 314 pp . M. El'6cHER: Lefons sur les mithodes de Sturm. Par.is 1917. J. C. BuRKILL: The .theory of differential equations. Edinburgh 1962. L. CoLLATZ: Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung. Leipzig 1945. L. CoLLATZ: Numerische Behondlung von Differentialgleichungen. Berlin 195 1 . J. HoRN: Gewohnliche Differentialgleichungen. Berlin 1948, 237 S. E. L. INCE: Ordinary differential equations. New York 1927, SS8 pp. E. KAMKE: Differentialgleichungen - LiJsungsmethoden und LiJsungen. Leipzig 1959, 642 S. W. LmomoN: An introduction to the theory of differential equations. New York 1952, 174 pp. E. PlcARD: Lefons sur quelques probl�mes aux limites de la theorie des iquations di/firentielles. Paris 1930. G. VAURON: /!quations fonctionelles; applications. Paris 1945, 605 pp. M. llETPOBH11.: /egan glli/Je�'"'"}aAHu a.uopUiiaM u H>ezotle ilpuMe�. .6eo� 1936, 23 5 CTp.
3 . VARIJACIONI RACUN
3.1. UVOD
Definicija
l.
funkcionela. U
funkcija.
Preslikavanje f proizvoljnog skupa S u neki skup brojeva naziva se
specijalnom slučaju kada je i
S
skup brojeva, f se naziva numerička
PRIMER l. Preslikavanje /, definisano sa /(x) - &', kojim se skup svih realnih brojeva presli na skup pozitivnih realnih brojeva predstavlja jednu numeričku funkciju.
�ava
PRIMER 2. Ako je S skup funkcija koje su integrabilne na intervalu [a, b], tada je preslika vanje /, definisano sa /(.)') -
..
funkcionela.
Neka je problema
b
J y(x) dx,
y � Cl> (y)
jedna funkcionela. Deo analize koji se bavi rešavanjem
(l)
Odrediti ekstremne vredMsti funkcionele Cl>
(2)
Oarediti ekstremne vrednosti funkcije x �
naziva se varijacioni račun. Specijalno, ako je y realna funkcija realne promenljive x, tada je zada tak varijacionog računa da se odredi ona funkcija (kriva) za koju funkcionela
Rešenje problema
(2)
x = x0 • U varijacionom
dato je u obliku .
računu se umesto date fun kcije posmatra data funkcionela, a umesto ne poznatog broja traži nepoznata funkcija. Na probleme tipa ( l ) često se nailazi i u elementarnom diferencijalnom i integralnom računu. Na primer, neka je y pozitivna realna fun kcija realne promenljive x (x1 < x<x2). Problemi 6 1ednačine matematičke fizike
Sl
y
o
B
e
x,
D
Xz
.IC
3. Varijadonl rabin
a
1 o Odrediti funkciju y za koju je površina krivolinijskog trapeza ACDB m�ksimalna (minimalna) (videti sliku na str. 8 1); zo Odrediti funkciju y za koju je dužina luka AB maksimalna ili minimalna; 3 ° Odrediti funkciju y za koju je površina obrtnog tela T koje se dobija rotacijom luka AB oko x-ose maksimalna ili minimalna; 4° Odrediti funkciju y za koju je zapremina tela T maksimalna odnosno minimalna; predstavljaju, u stvari, određivanje ekstremnih vrednosti sledećih funkcionela cl>, (y) =
b
J ydx,
Cl
cl>J (y) = 2 1t uz
cl>l (y)
b
J y v' l + (y')2 dx,
..
=
b
J v'l + (y')2 dx,
Cl
b
cl>4 {y) = 1t J y2 dx Cl
granične uslove da tražena funkcija y prolazi kroz tačke A, B.
3.2. NAJJEDNOSTAVNIJI PROBLEM VARIJACIONOG RACUNA
Najjednostavniji problem varijacionog računa je da se odredi ekstremum funkcionele
(l)
b
J F (x, y, y') dx,
Cl
gde je F data funkcija promenljivih x, y, y', a y je proizvoljna (nepoznata) funkcija za koju integral u ( l ) ima smisla. Pri tome zahtevamo da su zado voljeni granični uslovi
y (a) = A,
y (b) = B,
gde su A, B date konstante.
Definicija l. Funkcija y kojoj odgovara ekstremna vrednost integrala ( l ) naziva se ekstrema/a. Pretpostavimo da je y =f (x) ekstremala funkcionele ( l ). Znači f(a) = A, f(b) = B. Bilo koju drugu krivu koja prolazi kroz tačke (a, A) i (b, B) možemo predstaviti u obliku
(2)
Y = /(x) + 71 g (x) ,
gde je 71 parametar koji ne zavisi od x, i gde je g (a) = g (b) = O. Specijalno, za 71 = O, (2) postaje ekstremala. Tada imamo (3)
b
J F (x, J+ 71 g, !' + 71g') dx.
..
3.2. Najjednostavniji problem varijadooog rabma
lJ = O. To znači da stavljajući lJ = O, nalazimo
Integral (3) ima ekstremnu vrednost za Diferencirajući jednakost (3 ) i
dill d 71 /
Međutim, kako je
= "ll -o
b oFg + oF g' dx . ) /
J (ay ay'
tJ
je
d f!� l d l)
11-0
....
O.
"ll - o
b b g' oF dx g oF lb g� o F = dx= - g� oF dx J ay' ay' J ay' J ay' ' jer je g (a) = g (b) = O, imamo oF d o l dfll = Jbg (4) 0=(ay - dx oy'� dx . d 71 l tJ
,.
11 - o
b
tJ
dx
tJ
dx
11-o
tJ
Da bi integral koji figuriše u ( 4) bio jednak nuli potrebno je i dovoljno da bude (5)
oF - � oF =O. ay ay'
(6)
oF -�� y' - olF y" - � = 0, ay ay ay' oy'1 ox ay'
za
svaku funkciju fp
dx
Jednačina (5), koja se naziva EuUK-LAUJt.ANGEOVa jednačina, predstavlja neophodan uslov za ekstremum funkcio nele ( l ). To znači da ekstremala fu.u kcionele ( l ) mora da zadovolji jedna�inu ( 5) . Diferencijalna jednačina (5) u razvijenom obliku glasi
i ona predstavlja, u opštem slučaju, diferencijalnu jed.načinu drugog reda po nepoznatoj funkciji y. Njeno rešenje sadrži dve proizvoljne konstante, .koje određujemo iz konturnih uslova y A, y (b) = B. Navešćemo ovde tri jednostavna oblika funkcije F za ·koju se EULER LAGRANGEova jednačina može integraliti pomoću kvadratura. l o F ne zavisi od y', tj. F (x, y, y') = G (x, y) . U ovom slučaju EULER-LAGRANGEova jed.načina glasi
(a) =
(7)
oG -- o ay '
i ona nije diferencijalna, već obična jednačina po y. Kako njeno relenje ne sadrži proizvoljne konstante, samo će u nekim specijalnim slučajevima postojati rešenje postavljenog problema, i to u slučaju kada rešenje jednačine (7) zado voljava uslove y (a) = A, y (b) = B. r F ne zavisi od y, tj. F (x, y, y') = H (x, y') . U ovom slučaju jednačina (5) glasi
odakle sleduje
� oF =O ay' ' dx
3. Varijacionl
račun
gde je C1 proizvoljna konstanta. Ponovnom integracijom dobijamo
Y=
f A (x, C1) dx + C2 ,
gde je i c2 proizvoljna konstanta. JO F ne zavisi od x, tj . F (x, y, y') = K (y, Y1). EULER-LAGRANGEova jednačina glasi
.
Kako Je
dK=- oayK
-
oK _ o2K 1 Y oy oy oy'
_ 02K Y" ". O oyz
•
( )
( )
oK oK y oK l . l . oK đ =y d - , Imamo dy + - dy , 1 - dY =- d - ay oy o y' dx o y' oK o y'
K = -- yl + el >
odakle sleduje
1 Y =A
(y, C1) ,
gde je C1 proizvoljna konstanta. Ponovnom integracijom dobijamo
PaJMn
X=
1. R.elimo
1o
,
r l
A (y, C1}
dy + Cz.
ava četiri geometrijska problema koje smo naveli u b
Za f'unkcionelu
3.1.
411 (y) - J y dx, EULER-LAORANOEova jednačina glasi l - O, što znači
da ne postoji ekstremum te funkcionele. Geometrijski je ovo očigledno. 2°
..
U slučaju određivanja ekstremuma funkcionele Cll3 , definisane sa Cl»z (y) -
b
J v'l + (y')3 dx,
..
jasno je da maksimum ne postoji, jer se može konstruisati niz krivih linija y,. za koje je
{
lim Cll2 (y,.) - + oo . ll-++ DD
Takav niz bi bio, na primer, ..4 + 2
Y" (x) -
n-A --
b-a
(x-a)
(
)
a+b x< ' 2
n-B
B + 2 -- (x-b) a-b
X
Potražimo stoga minimum funkcionele Cll3 • EULER-LAo:RANOEova jednačina glasi
odakle sleduje
(8)
y' ------- - e,
-
Vl+ (y')l
3.2.
Najjednostamiji problem varijaciooog
računa
85
gde je C konstanta. Rešavajući jednačinu (8) po y', nalazimo da je Y -
e
,
yl -C2
- e� .
Ponovnom integracijom dobijamo y - cl X + D. Konstante C1 i D lako se određuju iz uslova da tražena kriva prolazi kroz tačke (a, A) i (b, B). Time smo dokazali jednu od osnovnih činjenica geomet rije : Najkraće rastojanje između dve tačke je prava. 3°
Kao i u prethodnom slučaju, jasno je da funkcionela 111, . defi n isana sa t%13 (y) - 2 7t
b
J y yl + (y')2 dx,
a
ne može imati maksimum. EULBR•LAGilANOEOVa jednačina glasi:
Integraleći ovu jednačinu dobijamo y' gde je e konstanta, tj.
yy' yl + (y')1
yy'1 + CY')2 - e,
y
(9)
yl + (y')2
- - C.
Rešavajući jednačinu (9) po y' nalazimo l y = - e _v� r - c •, •
a to je jednačina u kojoj
se
promenljive mogu razdvojiti: dy
(lO)
yyl- c l
- -e: · dx
Integracija jednačine (10) dovodi do log {y + v'r-C2)
x+D
= -- ,
-C
odakle dobijamo (l l) gde je C1 - -C, D1 - D-C1 log Cl ' Takođe imamo
(1.2)
(13)
·-
y-yy1-C12 - C1 exp Najzad, iz ( l l ) i (12), nalazimo
(-e;-) x + D1
( -- ( --))
x + D1 x + D1 C1 + exp y - - exp C1 C1 2
·
- C1 ch
-x + D1 cl
.
Prema tome, re§enje postavljenog problema dato je krivom (13) koja
lllllanica. l Konstante C1 i D1 lako se određuju iz početnih uslova.
ac
naziva
3. Varljadoal račun
86
4" sane sa
( 1 4)
I u ovom slučaju je očigledno da ne postoji maksimum funkcionele 1114 , defini-
ll
EuuR-LAGRANGEova jednačina glasi
.)1 = 0,
tako da postavljeni problem ima rešenje samo ako je A = B = O. To rešenje je onda dato sa (14).
PRIMER 2. Rešićemo još tzv. problem brahistohrone. Rešenje tog problema (koji je postavio GAULI!I) iz 1696. godine koje potiče od J. BERNOULua uzima se kao dan rođenja varijacio nog računa. Problem glasi: Neka su date dve tačke A, B koje ne leže na vertikalnoj liniji. Odrediti krivu koja prolazi k roz tačke A, B i koja je takva da materijalna tačka, krećući se po toj krivoj samo pod uticajem zemljine teže, stiže od � X A do B za najkraće vreme. Izaberimo koordinatni sistem kao na slici. Pri kretanju materijalne tačke sa masom m po traženoj krivoj y M koja prolazi kroz tačke A � (O, 0) i B = (x•• y0) (.Y0 >0) u po B ložaju M= (.x, y) sila teže p roi zvod i će rad mgy koji mora y biti jednak kinetičkoj energiji tačke, tj. -----------�-
mgy - 2 mv2,
l
gde je
(15)
v
brzina tačke. Odatle sleduje V = ..j2 gy. .
Ako dužinu puta označ.Irno sa s, tada je
ds
v--
dt .
pa iz jednačine ( 1 5) dobijamo
ds ..j l + (y'f l dt = -- = -- --- dx.
,;2ii
(16)
Vi
..j2 g
Integraleći (16) od O do x0 dobijamo
T (y) - ---=l
..j2 g
xo
J
..j J + (y')2
o
Vi
dx.
Prema tome, zadatak je sveden na određivanje minimuma funkcionele T. EULER-LAGRANGEOVa jednačina glasi
2 yy" + (/)2 + l - o.
(17)
Ako uvedemo smenu y' = p , y'' -p
dp dy
, jed načina ( 1 7) postaje
2 .YP - + P 2 + 1 � o, tj.. dp
odakle dobijamo ade je e. konstanta, tj. (18)
�
--- dp = -- ,
2p
dy
�+ l
.Y
log(p2 + l) + Iogy = log C1 ,
17
3.3. Ekstremum funkclonele vile promenljivib Iz jednačine ( 1 8) sleduje dx = Ako stavimo ( 19)
Y \JJ 2 e, -y
dy.
Y = e, ( l -cos t ),
tada je
dx = e, ( l -cos t ) d t ,
tj. (20)
X = e, (t-sin t ) + e, .
Jednačine ( 1 9) i (20) daju traženu krivu u parametarskom obliku. Odredimo još konstante e, i e, . Za t = O kriva prolazi kroz (0, 0). Qjatle izlazi e, = O.
Konstanta e, lako se može odrediti iz uslova da kriva prolazi i kroz tačku (x0 , y0). Prema tome, rešenje· problema brahistohrone je dato sa
y a ( l - cos t) =
x = a (t-sin t), tj . rešenje je cikloida.
( i t 1 < 2 n),
3.3. EKSTREMUM FUNKCIONELE VISE PROMENLJIVIH
Postavimo sledeći problem: Odrediti potrebne uslove za ekstremum funkcionele
(l)
. • •
cl>, d efin isan e
sa
b
, y") = J F (x, y" . . . , y,. , y/, . . . , y,.') dx,
sa graničnim uslovima
(i = l,
(2)
.
..,
n).
D;·ugim rečima, kada je dat integral ( l ), treba odrediti onaj skup krivih Y I > . . . , y" koje zadovoljavaju uslove (2) , za koji integral (l) ima ekstremnu vrednost. U ovom problemu smatrajmo da su funkcije Y1 , , Yk-1 , Yk + 1 , • • • , y" fiksirane, a da je samo Yk promenljiva. Kao i u prethodnom odeljku dola zimo do potrebnog uslova za ekstremum u obliku EULER-LAGRANGEove jednačine • . •
(3 )
oF -� � O = o >'k dx o >'k'
( 1 s;ksn).
Kako za Yk možemo uzeti bilo koju funkciju iz skupa y 1 0 • • • , y" , vidimo da (3) predstavlja sistem jednačina EuLER-LAGRANGEovog tipa. Taj sistem je potreban uslov za ekstremum funkcionele
(4)
Gl (y,
z) =
n/2
J ( (}")2
o
+
)
(z') 2 + 2 yz dx,
ll sa
3. VariJacloal uslovima y (0) - 0,
(S)
y(�)�l,
nmm
z (O) = O,
Sistem EULER-LAGRANOEovih jednačina glasi (6)
y"-z - 0,
(7)
z"-y - 0.
z(�)--1.
Diferencirajući jednačinu (6) dva puta i sabirajući je sa jednačinom (7), imamo y<•> -y - 0,
odakle sleduje
y - C1 � + C2 e - � + C3 cos x + C4 sin x.
Koristeći se jednačinom (6), imamo z-
Konturni uslovi (S) daju
C1 e" + C2 e-z-e, cos x-C4 sin x. c, - c. - c. - o.
pa su elcstremale funkcionele (4) date sa
y - sin x,
e. - •.
z - -sin x.
3.4. EKSTREMUM FUNKCIONELE KOJA SADRŽI IZVODE
VISEG REDA JEDNE NEPOZNATE FUNKCIJE
Odredimo potrebne uslove za egzistenciju ekstremuma funkcionele definisane sa
Cl>,
b
Cl> (y) = J F (x, y, y', . . . , y
(l)
(a) = A0, y (b) = B0 , y
(2)
• • • • • •
, y<,.__l) (a) = Aw-1 ,
, yCn-1) (b) = Bw-P
gde je funkcija diferencijabilna 2 puta u odnosu na sve argumente. Pretpostavimo da je y ekstremala funkcionele ( l). Tada
n+
F
=f(x) f(a) = Ag , . . . , J<,.__l) (a) = Aw-1, f(b) = B0,
• • •
,
Jf-l) (b) = Bw-1 •
Bilo koju drugu krivu koja zadovoljava uslove (2) možemo napisati u obliku
Y =f(x) + 1J g (x),
(3)
gde je "'l parametar koji ne zavisi od x; i gde je
=tn-n = o.
Tada imamo
(4)
b
g (a) = g (b) = O,
• • •
,
Cl> (f(x) + "'l K (x)) = J F (x,f+"'lg./' +"'lg', . . . , J<"> +"'Jr>) dx. G
g<--t> (a)
Integral (4) ima ekstremnu vrednost za 11 = O. To znači da je Diferencirajući jednakost (4) i stavljajući 11 = O, nalazimo
d�� = Jb (�F g + �F g' + . . . + d "''
(4)
11 ..0
Imamo redom
" � , � ,·
�;y{lt) gfil>) dx l ..!..!_
d� d "''
l
11..0
..,
o.
11 ..0
.
b oF �F - b g -d -dx oF ib - b g -d -dx�F g =-dx g J" �y' �,, " "J �y' J �y' ' b " �F , �F b b � � ��F Jg �"� dx= g o 1'1 �" - J g �", dx b d �F dz � F � F lb + b g � F lb - g -d =g --dx� y" " � y" " J � y'' "Jg � y'l dx 1
dx
•
dx
•
1
dx
"
dx
.
z
dx1
dx1
b �F �F lb � d i}F lb + . . . )_ 1 -dx=g{l-> gfil �,w " �,w " J" �,w oF lb +(- 1)" bg---dx d"-1 dil (}F +(- 1)"-1go y&r> " J dx" iJ Jh> dx" b d11 �F - ( - 1)11 g - --dx, "J � y&r> -
'l) _ dx
-
-l
..
dx"
jer je g (a) - g (b) = . . . -t"-O (a) = g(-ll (b) = O . Stoga integral (4) postaje
(5)
d� l
b (�F d � F �F ) gdx, . J 1)"+(. . -+ --... 0=d "'' �p) � , �y' 11 ..0
dt'
dx"
dx
odakle, s obzirom da jednakost (5 ) mora da vali za svaku funkciju EuLER-PoiSSONOYa jednačina
tzv.
(6)
�F �F �F d -+ --�y �y' . . . + (- 1)"- �,w dx
dt'
dx"
--
g, sleduje
0,
koja predstavlja potreban uslov z a ekstremum funkcionele ( 1). Jednačina (6) je diferencijalna jednačina 2 n-tog reda i lijeno opšte re letije sadrži 2 n proizvoljnih konstanata, koje se određuju iz graničnih uslova (2).
3 VarQitdoal •.
rK181
PRIMER. Odredićemo mogućnu ekstremalu funkcionele 111, definisane sa 111 (Y) -
2 ft
J ((Y'')2-r + or)
o
dx,
koja zadovoljava uslove y (O) � l, y' (O) = O, y (;) - o, y' (; ) - - 1 . EULER·POISSONOVa jednačina glasi dl
-2 y + - (2 y") - O, tj. y(•>-y - 0. d.r
Opite re§enje ove jednatine dato je sa
y - e, e" + e2 e - " + e, cos X + e. sin x. Početni uslovi daju ..
odakle sleduje
ft
e, e2 + e, e-2 + e4 - 0,
ft
ft
e, e2- e2 e-2- e, - - 1 , e, - 1.
e, - e2 - e. - o.
Prema tome, ekstremum može biti dostignut samo za y - cos x.
3.§. EKSTREMUM FUNKCIONELE PROMENLJIVE
Posmatrajmo sledeći problem: Odrediti ekstremum funk.cionele (l)
· F data funkCIJa, gde Je "
KOJA ZAVISI OD FUNKCIJE DVE
Cl>,
sa
definisane
Cl> (u) = JJ F(x, y, u, p, q) dxdy u
)'
· proiZVo · Je JDa tr D
(
aže
-
,
u , pod u , q=na) fUUACIJa, p = '-
"
/)
l)
l)x
l)y
uslovom da je vrednost funkcije poznata na konturi e koja je granica oblasti D. Bilo koju drugu funkciju Pretpostavimo da je u ekstremala funkcionele koja zadovoljava isti konturni uslov kao funkcija u možemo napisati u obliku u + ll gde je ll parametar koji ne zavisi od x, Tada je (x, = O za (x, E e. Posmatrajmo izraz
u
Cl>.
y.
v,
( 2)
v y)
Cl> (u + ll v) = j'J F (x, y, u + ll v, l)l)xu + lli)xv , ,
l)
D
Integral koji figuriše u (2) imaće ekstremum
za
+ ll i) v) dx dy.
11-0
D
7
l) y
ll = O. Stoga je dd ���1J �
ll = O, dobijamo , =ff (I) Fv + dF'V"' + d Fv )dx dy. du ;,p dq
Diferencirajući (2), i stavljajući d ill . d 1J
l) u
I)X
y)
11-o
=-
O.
3.6. Rltzot direldu metod
tl
S druge strane, imamo
JJ (v� �= + vY �=) dx dy D
d d = JJ (!_ (v F) + !_ (v F)) dx dy - JJ (!_ d F ,_!._ d � v dx dy. D D
ox op dy oq
ox op oy oq}
Međutim, kako je na osnovu GREENove formule
o ox op oy oq
= oop ooq )
F =O • JJ (!_ (v o F) + !_ (v F)) dx dy J ( dy - F dx v D e
jer je v = O za (x, y) E e, nalazimo da je d� d l)
, = (o F_ !___ o F_ !___ o F) ou ox op oy d q JJ D 11- o
v dx dy'
odakle, kao i u ranijim slučajevima zaključujemo da je potreban uslov ekstremum dat u obliku EuLER-0STROGRADSJCJeve jednafine
za
d F_ !.._ d F _ !.._ d F= O. ou
the dp
PRIMn. Neka je funkcionela � data sa
(3)
i neka je
-u(x, y)=f(x, y)
dy dq
y. (e:)\(�;ndxd D oblasti D.
� (u) - JJ
na granici Jednačina EULER-0snOORADSKia glasi
(4) tj. dobija se LAPLACEOVa jednačina. Da bismo odredili mogućnu ekstremalu funkcionele (3) treba da relimo jednačinu (4) Ovaj problem, koji sc nAZiva DIIUCHLE'Trlr za sa uslovom da je ravni, razmatraćemo u 5.7.3. i 5.7.8. problem
u
u(x, y) -/(%, y) (%, y)Eo(D).
3.6. RITZOV DIREKTAN METOD U prethodnim paragrafima svodili smo probleme varijacionog računa na integraciju jedne ili više običnih ili parcijalnih jednačina. Postoje, međutim, tzv. direktni metodi, koji se ne koriste diferencijalnim jednačinama. Ovde ćemo u glavnim crtama izložiti metod W. RITZa za funkcionelu oblika
(l )
"
I = tl> (y) = j F(x, y, y') dx. •
Potražimo približnu vrednost y,. funkcije y u obliku
y,. (x) -
(2)
2. c1f, (x), •
l-l
gde su J, ( l S:: IS:: n) date funkcije, a konstante e, ( l S: IS:n) treba odrediti. Najjed nostavnije je uzeti da su funkcije !, stepeni od x, ili trigonometrijski polinomi. Zamenimo funkciju y,. , dcfinisanu sa (2), u integral (l). Posle izvr!ene integracije dobijamo integral {l) kao funkciju konstanata c1 , , e,., tj. ]
...
G (e. , . . . ,
e,.).
Da bi integral l imao ekstremnu vrednost, konstante %adovoljavati sistem jednačina �G
- - 0, t> ea
(l)
• • •
e" . . . , e,.
moraju
tl G
...,
- =- 0.
«,.
Funkcija y,. , definisana sa (2), gde su konstante e" . . . , e,. određene kao rele!Va sistema jednačina (3), predstavlja približno rešenje postavljenog problema. Kad n - + oo , funkcija y,. teli t.čnom rešenju varijacionog problema.
Konvergenciju izloženog postupka dokatao je KRILOV.
Paaa.a lzloleni metod primenitcmo na određivanje ekstremale funkcionele cĐ, definisane
" J(! 2
(4)
1 - cĐ (y) -
aa pOOrltlil m 111lovima y (0) - y
{; )
o
(y')l-
- O.
! y3+q)IU,
Uze6emo da je pribli!Do relenje y dato sa Iz
odakle jo
(5)
y (x) - c1 + c2 cos x + c2 sin x.
početnih uslova dobijamo e, - c1 - -e1 - -e.
Prema tome, funkcija y ima oblik
Zamenimo sada y iz (5) I-
"
y (x) - e t l -cos x-sin x).
u
(4). Dobijamo
J (2 c2 (- 1 + 2 cos x + 2 sin x-4 sin x cos x) + a (sin x-cos x)) IU 2
1
o
Da bismo odredili konstantu e stavimo oclakle Dalazimo
� ( ;) - 2-
e-
-l.
(c+ l ) - 0,
sa
3.7. Zadaci
(6)
Prema tome, ekstremala mof.e biti samo funkcija y definisana y (x) - - l + cos x + sin x.
PluMEoBA. EuLEaova jednačina
za
aa
funkcionelu (4) glasi y" + Y + 1 - 0,
odakle izlazi
y - e1 cos x + e2 sin x- 1. Iz početnih uslova imamo e, - e� - l. Prema tome, relenje (6) nije pnbližno, već je tačno relenje postavljenog problema.
3.7. ZADACI
3.7.1. Odrediti ekstremale funkcionele <Đ__, definisane b
sa
CZ,(y) = J � dx. tl
Re:;,rdtflt. (x-C)2 +r - DZ, gde su C i .D proizvoljne konstante.
3. 7.1. Data je funkcionela CZ, pomoću
(l)
. sa
(2)
cz, {y) = J (,yl + xl y') dx l
početnim uslovima
o
y ( I ) =a.
y (O) = 0,
Ispitati da li problem { 1)-(2) mole imati ekstremalu.
Relnt}e. EULEaova jednačina glasi {3)
y - x.
Kriva y, definisana sa (3), zadovoljava prvi pOčetni uslov, ali druai uslov je zadovo ljen samo ako je a - l. Prema tome, za a:#: 1, problem (1H2) nema ebtremalu. a za a - 1 -ekstremala mof.e biti samo y- x.
3.7.3. Rešiti varijacioni problem b
CZ, {y) = J (y + xy') dx,
y (a) = A,
y (b) -B.
tl
Rd.,.je. EUI.ERova jednačina glasi 1 - 1. Integralid je totalni diferencijal od puta. U stvari, imamo � (y) bez obzira po
nel'lla smisla.
kojoj
sc
b
stop
no zavisi
J d(xy) - bB-aA, tl
krivoj vrli integracija.
Stoga postavljeni varijacioni problem
3.7.4. Odrediti krive koje mogu biti ekstremale funkcionele CZ,,. definisane b
<Đ {y) = J ((y"')2 + y2 - 2 yxl) dx. ..
•
3. Vuijadoal nlml
M
3.7.5.
Napisati Osri.OGRADSX:Ie\ u jednačinu za funkcionelu
Rftlllttl.l 3.7.6.
videti
3.7.7.
u
()Z �:r �r
-u ;p" - ()Z � �r i
5.5.1.
� = - o.
JJ((�:f - (�:n dx dy.
datu sa
D
Ovo je tzv. }tdnollM fi� lco}a treperi.
Odrediti ekstremale funkcionele e�>
O njenom relavanj11
Cl>, definisane sa
6
(y, z) = J (2yz- 2.r + (y')2 - (z')2) dx. •
Dokazati da Os'rROGRADSx:teva jednačina za funkcionele oblika
�
(u (x1 ,
glasi
..
�,
x,.)) =
JJ · · · J F (x., . . . , x", � , . , !!!_) dx1 �x1
D
�F _ " � � = 0 � �� 1�1 � x � (�) . �x ,
3.7.9.
Cl>,
D
. ;p " + - -l (x, y) (PoJSSONova JCdnač'rna).
5.3.1.
3.7.8.
datu sa
C!> (u) = JJ((�:f + (�:f + 2uf (x, y)) dxdy.
Napisati Osnt.ooRADsx:tevu jednačinu za funkcionelu
R•flllt.tll
Cl>,
Dokazati da Osnt.ooRADSKieva jednačina ,
�ll ..... (u(x,y)) = JJ F(x,y, u,-, �X �)l w
D
�
za
()211
-, �· or
..
� x11
• •
· dx,.
funkcionele oblika
-�X�)' -) dxdy ()2 ll
,
()2 ll
{jy2
3.8. LITERATURA the etllCllllu of Wlrilltlou. Chicqo 1904, 271 pp. Metltotb of mathemt#ict1l pllylic.r l. New York 19S3, S61�pp. DoNna: Tlleorle btwulantwe dil ct�lcul de8 wuilltloru. Paris 193S, 230 pp. L. EuooLTs: Dlf/ertllltilll eq1111tlort8 and the ctJ/CIIIIU of wulat/oru. Moscow 1970, 440 pp. S. F'IIMPL: Elementi wu(}acio110g ral111111. Beograd 196S, 120 str. A. ll. FollSY'111 : Calculii.J of wuilltioru: London 1927, 6S6 pp. J. IIADAM.UD: � 111r le ct�kiiJ de8 variattoru. Paris 1910.
O. Bor.v.: L«tllrl8
ll. CouuNr and
T. DB
011
D. Hn.IIDT:
4. INTEGRALNE
JEDNACINE
4.1. FREDHOLMOVE INTEGRALNE JEDNACINE 4.1.1. Uvod
Integralna jednačina je jednačina u kojoj se nepoznata funkcija nalazi pod znakom integrala. Rešenje integralne jednačine je takva funkcija koja kad se zameni u jednačini svodi datu jednačinu na identitet. U ovoj glavi posmatraćemo dva najvažnija tipa linearnih intesralnih jed načina, tj. jednačine F'IlEDHoLMovog i VOLTERRAovog tipa. Jednačina (l )
6
f(x)-=g(x) + A. f K (x, y)f(y) dy, •
gde su K, g date neprekidne funkcije za xE [a, b], y E [a, b], A je parametar koji ne zavisi od x i y, a f je nepoznata funkcija, naziva se FREDHOLNOVD in
tegralna jednatina druge vrste. Ako je g (x) = O, jednačina (l) je homogena, a ako je g (x):FO ona je;
nehomogena. Funkcija K naziva se jezgro integralne jednačine (1). Integralna jednačina u kojoj nepoznata funkcija figuriše samo pod znakom integrala •
J K (x, y)/(y) dy - g (x)
•
naziva se FREDHOLMOVa integralna jednačino prve vrste. Homogena FltEDHO�Mova jednačina druge vrste (2)
•
J
/(x) == A K (x, y) /(y) dy •
uvek i:ina rešenje /(x)...:.. O, tzv. trivijalno relenje. Međutim, ona može imati i netrivijalna rešenja. Ona vrednost parametra za koju postoje netrivijalna rešenja naziva se sopstvena vrednost jednačine (2). 95
"
4.1.2. Ji'redbolmoft jedaa&la
s.-
degeaerisanim jezgrom
Ako je jezgro F'REDHOLMove integralne jednačine oblika ll
� a" (x) b" (y), k-1
K (x, y) -
(l )
, b,. linearno nezavisni, ka!emo da , a,. i b1 , gde su skupovi funkcija a1 , je odgovarajuća jednačina jednalina sa degeneri.sanim jezgrom. U ovom odeljku posmatra.čemo nehomogenu i homogenu F'REDHOLMovu integralnu jednačinu druge vrste • • •
• • •
b
/(x) =g (x) + >. J K (x, y)/{y) dy,
(2)
b
(3)
•
f(x) ... >. J K (x, y)/(y) dy, •
gde je f tražena funkcija, a jezgro K je degenerisano, tj. Napišimo jedna!inu (2) u obliku
( l ).
tl
(4)
ll
f(x) "" g (x) + ). k-1 � e" a" (x),
gde je stavljeno
(k - 1 , tl
Da bismo odredili konstante je od a do b. Nalazimo
integralima
b
b
tl
uvodeći oznake
b1 imamo
b
•
. . . , n).
e" , pomno!imo jedna!inu
J b} (x)f(x) dx= J b} (x) g(x) dx + >. tl
J b1 (x) g (x) dx,
b
ll
b
tl
a1" = J a" (x) b1 (x) dx, tl
tl
ll
U= l, . . . , n).
C1=b1 + >. L C" aJ" k-l
( S) može se napisati u obliku (l - A a11) C1 - A a12 C2 - A a111 C,. b1, - :Aa21 C1 + ( l - :A a22) C2 - :A a2 ,. e,. - b2• •
·
•
·
(4)
� e" J a" (x) b} (x) dx, k- 1
Sistem jednačina (6)
sa
/(x) .... g (x) + >. k-1 � a" (x) J b" (y)f(y) dy,
tj.
( 5)
je
b
ll
ili,
dato
•
·
-=
sa
b1 (x) i
4.1. FredbolmoYe lntegralue )edaa�
Neka je
A (A) = l - >. a,.,.
Na osnovu poznatih rezultata iz linearne algebre, zaključujemo: Ako je sistem jednačina 6) ima samo jedno rešenje po
}o
e" . . . , e,. .
A (A) :# O, A (A) == O,
( jednačina (6)
2° Ako je sistem u kome je b1 • • • o ima netrivijalna rešenja. Stoga imamo: jednačina (2) ima rešenje (4) gde se konstante Ck l ) Ako je A određuju iz sistema jcdnačina (6). 2) Ako je A A) O homogena jednačina (3) ima samo trivijalno rešenje
(A):#O, ( :# , f(x)==.O. 3) Ako je A (A) = O , jed.načina (3) ima netrivijalno rešenje. 4) Ako je A (A) '"" O, nehomogena jed.načina (2) ima rešenje b ako je J bi (x) g (x) dx .. O (j = l , . . . , n) . •
= b,. =
=
ako i samo
Tvrđenja l , 2, 3 sleđuju direktno iz ] 0 i 2°. Dokažimo tvrđenje 4. Neka l , 2, . . . , n). Tada sistem jednačina (6) ima netrivijalna i b1 =- 0 je rešenja po C1 , • • • , C,.. Tako određene vrednosti daj u rešenje jedna�ine (2). Pretpostavimo, obrnuto da je A (A) - i da jednačina (2) ima rešenja. Tada mora postojati linearna zavisnost između nekih koeficijenata h, l , . . . , n) u sistemu jed.načina (6). Zbog linean:te nezavisnosti funkcija x �-+ b1 (x) zaključujemo da je to mogućno samo ako je h1 "" (i = l , . . . , n). Tvrđenja l i 3 mogu se i ovako - iskazati:
A (I..) = O
(i=
O
(i =
O
Ili nehomogena jednačina (2) ima samo jedno relenje, ili odgovarajuća homogena jednačina (3) ima bar jedno netrivijalno re!enje. Gornji iskaz se naziva FfiEDHOLMova alternativa. Videćemo docnije da ona vali i za integralne jednačine kod kojih jezgro nije degenerisano.
hlMEDBA. Kao i u slučaju graničnih problema difcrcncijalnih jcdnačina, i ovde sc one vred nosti parametra ). za koje homogena jednačina (3) ima nctrivijalna rešenja nazivaju 6op61HM llredllostl. Neposredno utvrđujemo da au u slučaju jednačina aa dcgcncrisanim jcqrom SOP
stvene vrcdriosti rešenja algcbaralcc jcdnačinc t:.. (>.) - O.
Metod koji smo primenili na rešavanje F'REDHOLMovih jednačina druge vrste sa degenerisanim jezgrom uspešno se može primeniti i na jednu važnu klasu nelinearnih jednačina. To su jednačine HAMMERSTEINovog tipa i imaju oblik b
f(x) = J K (x, y) F(y, f(y)) dy,
(7)
f
gde je nepoznata funkcija, F je data funkcija, a jezgro K je degenerisano. Napišimo jednačinu (7) u obliku b
f(x) = kL- l ak (x) J bk (y) F(y, f(y)) dy, ll
•
tj.
" f(x) = kL-l Ck ak (x),
(8)
gde je stavljeno (9)
Iz
(8)
b
Ck = J bk (y) F(y, f(y)) dy.
i (9) dobijamo
i
(
C11 = bk (y) F y, k� Ck ak (Y)) dy (k = l, . . . , n). l Sistem (lO) predstavlja sistem od n jednačina sa n nepoznatih Cp . . . , C,. . U opUem slučaju taj sistem jednačina nije algebarski, tako da nije uvek mogućno eksplicitno odrediti konstante Ck . Međutim, kada se konstante mogu odrediti, tada (8) predstavlja traženo rešenje jednačine (7).
(10)
4.1.3. Metod sakeesl'YIIib
aproksimacija
Potražimo rdenje FllEDHOLMove jednačine druge vrste b
( l)
f(x) =g(x) + 'A f K(x, y)f{y) dy
u obliku potencijalnog
reda po
(2}
'A:
•
/{x) =-/0 (x) +/1 (x) 'A + · · · +/,. (x) 'A" + · ·· · Zamenjujući (2) u {i), integrJl].eći red član po član,
dobijamo sledeće
x
jednakosti
(x) = g( ), (n = l , 2, . . .). f,. (x) = J K(x,y)/,._1 (y) dy
(3)
..
(4)
fo
b
Integralenje član po član opravdano je samo ako je red (2) uniformno konvergentan za svako x E [a, b]. Ispitajmo stoga kada je red (2) koJ;Ivergentan. Kako su funkcije g i K neprekidne one su i ograničene, tj. imamo da je i g(x) i� m, iK (x,y) i �M za xE[a, b], yE[a, b]. Na osnovu (3) dobijamo l /0 (x),l<m. Dokažimo da važi nejednakost ( 5)
,
1 /,. (x) l� mM" (b - a)"
Za ona je .tačna. Pietpostavimo OSnO\ U (4) dobijamo
n= O
b
(n = O , l, . . .) da je b
tačna
.
za
neko n.
If��+ (x)l = l J K (x,y)f,. (y) dy j $; J IK (x, y) l l/,. {y) ) dy t
..
..
b
..
� MmM" (b - a)" J dy=mM" + l (b - a)"+l
.
Tada,
na
"
Prema tome, na osnovu principa matematičke indukcije zaključujemo da je formula (5) tačna. Stoga je
1/,. (x) A" l�mM" IAI" (b - a)".
+•
L
Brojni red
(M IAI (b - a))" je konvergcntan ako je M IAI (b - a) < 1 .
•-0
Odatle nalazimo da je potencijalni red (2) apsolutno i uniformno konvergentan za l
I AI <
(6)
M(b-a)
•
Zbir tog ređa predstavlja neprekidno rckDje jednačine (1). Dobijeno rešenje (2) predstavićcmo u jednom drugom obliku. Uvcđimo sledeće oznake 6
J
K1 (x, y) =K(x, y),
K,. (x, y) = K,._1 (x, z) K(z,y) dz
(11 = 2, 3,
• . .
•
)
•
Odatle neposredno dobijamo da je (7)
K,. (x, y) =
6
6 6
JJ . · · J K (i, Z1) K (z1 , za) · · · K (z.-1 , y) đz1 dza
•
·
•
Kako je I K (x, y) !:S:M, iz (7) izlazi da je •
• •
dz.-1 •
I K,. (x,y) ! � M"(b - a)-1. Stoga red njen
u slov
+•
L K., (x, y) A.,_t
apsolutno i uniformno konvergira ako je ispu-
(6). Označimo zbir tog reda .,_
l
R (x,y; A) =
(8) PIUMBDBA..
Funkcije K,. (11 - l, 2,
R (x,y; A), tj. stavimo
+•
L K.,(x, y) A.,._1•
.,_,
IC lterinllttl
) nazivaju
• • •
sa
Jezll'a iatearaiDe .ieda•čine (1).
S druge strane, na osnow (3) i (4) dobijamo 6
J
/1 (x) ... K1 (x, y)g (y) đy, •
6
J
J; (x) = K(x, y)fdy) đy = •
6 6
JJ K(x, z) K (z, y) g (y) đy đz
• •
6
J
= Ka (x,y)g (y) đy, i dalje,
6
•
/,. (x) = K,. (x, y) g (y) đy
J
•
(11 =- l, 2, . . . )
•
JOI
4. Iotqp'81De Jedoa&e
Prema tome, formulu (2) možemo napisati u obliku
f(x) - g(x) + A
(9)
•
b
+ oo
z JKv (x, y) A�l g(y) dy . v-l a
Kako je red koji figuriše u (9) uniformno konvergentan, pod uslovom (6), možemo ga integraliti član po član i, koristeći se oznakama (8), dobijamo re!ienje jednačine (l) u obliku b
(10)
f(x) = g (x) + A J R(x,y; A) g(y) dy. a
F�nkcija R
nazi va se rezolventa jednačine (1). Neposredno se dokazuje da rezolventa zadovoljava sledeće integralne jednačine, pod uslovom da važi nejednakost (6): b
R (x,y; A) =K(x,y) +A j K (x, z) R (z, y; A) dz,
( l l)
a
b
R (x,y; A) =K(x, y) + A J K (z, y) R (x, z; A) dz. a
Mi ćemo dokazati samo prvu od ovih jednakosti. Pomno!imo (8) sa dobijenu jednakost. Imamo
K (z, x) i integralimo po b
x
+•
b
J R (x,y; A)K(z,x) dx= v-l z A-1 J Kv (x,y)K(z, x) dx
a
+•
a
... v-l 2: A�1 Kv +1 (z, y). Dalje, množeći obe strane gornje jednakosti sa A, nalazimo b
+ ao
+•
A J R (x,y; A)K(z,x) dx= v-l z A"KY+1 (z,y) = z A-tKv (z, y) v-2 a
=R(z, y; A) - K(z,y). poslednjoj jednakosti permutujemo x i z,
Ako u dolazimo do jednakosti koju je trebalo dokazati. Dokažimo sada direktnom proverom da je formulom ( 1 0) zaista dato rešenje jednačine ( 1 ). Zamenjujući ( 1 0) u ( 1), dobijamo b
b
b
g (x) + A f R(x,y; A) g (y) dy =g(x) +A JK(x,y) (g(y) +A J R (y, z; A) g (z) dz) dy, •
tj.
•
b
b
•
b b
J R (x, y; A) g(y) dy= j K(x, y) g (y) dy + A jJ K(x, y) R (y, z; A) g (z) dy dz "
a
a a
101
Ito se može napisati u obliku b
b
J (R (x, y; A) -K(x, y) - A J K(x, z) R (z, y; A) dz) g(y) dy -= O. G
G
Na osnovu dokazane formule ( l l ) zaključujemo da je gornja formula zaista tačna. Time je dokazano da formula { 10) predstavlja rešenje jednačine (1). PIUMEDBA. U 6.4.3. biće dokazano da uz uslov (6) jednačina (l) ima samo jedno relenje. S obzirom na prethodno izlaganje, to relenje dato je sa (10).
4.1.4. Fredholmova alternativa Cilj teorije koju ćemo sada izložiti je da d i potpun odgovor na pitanje rešivosti homogene i nehomogene FREDHOLMove jednačine druge vrste za svaki parametar { ) koja je takva da je Prvi korak je konstrukcija cele funkcije funkcija (A) takođe cela. Odatle sleduje da je rezolventa R količnik dve cele funkcije, tj. da je rezolventa meromorfna funkcija promen l ve j e da se u datoj jednačini Metod konstruisanja funkcije
A. A � D R (x, y; A)
A�D A ,
ji A.
D
b
f(x) =g(x) + A J K (x, y)f(y) dy
(l)
integral zameni konačnom sumom koja ga aprokaimira. Uvedimo ZAto olede6e oznake kl, xe=
a+
lk =f(xk), gk = g (xk), K1k =K (x1, xt>•
gde je interval [a, b] podeljen na n jednakih delova duline
b-a = l . ll
Zamenjujući integral u jednačini { l) odgovarajućom RIEMANNovom sumom, dobijamo tl
f(x) =g(x) + A k2-l K (x, xk)fk l. Zamenimo zatim promenljivu sistem jednačina
(2)
x
sa
x1 U= l, . . . , n).
Jj = g1 + A k2-1 K1k fk l U = l, . . . , n). "
Determinanta sistema (2) glasi
D,. (A) -
1 ->. K11 1 ->. K21 1
- >. K12 1 1->.K221
->. Klal ->.K211 1
->.K,.1 l
->.K112 1
1 ->. K.,. l
Dobijamo sledeći
4. Integralne jednai!lne
102 1
ona se može napisati u obliku
( 3)
"
'
+ · · · + ( - 1 )" "-:''
n! · '• ·
Uvedimo oznaku
x(Xu Xz, ... , X") = .. y" y,,
"
Y,.
.,
"
l
�"
...
�
l :
••
K (x 1 , y,.)
K (x1 , yJ
K(x� ' Yt) K(
' in == l
y.)
K (x", y1)
K (x2 , y,)
K (x2 , y,.)
K (x,., Y2)
K (x,. , y,.)
posmatrajmo koeficijente uz stepene od A. u jednakosti (3).
Zbir �
K11 11 l =
,. _ ,
l
.L K (x; . x,) l predstavlja RIEMANNovu sumu
za integral
,_ ,
ll
Dalje, zbir
Ktz lz
b b
J J j,
predstavlja RIEMANNOVU sumu za integral
a
itd.
1
Kt1 12 [2
Stoga, puštajući d a
n- + oo
a
K (y. Yt) K (y. , Yt) •
K (Yu .vJ
K (.v2 , Yz)
u formuli
(3),
l dy d l
v2 ,
•
dobijamo
(4)
gde je
b b
d" = JJ
( S)
·
·
·
b
JK
"
D G
(
zu z2 ,
..
• • •
, z,.)
•
•
dz1 dz2 dz,.. . konvergentan za svako J.., tj. da je funk
Zu z2 '
' z,.
•
Dokažimo sada da je red (4) cela. Kako je, po pretpostavci I K (x, y) l =:;;; M, na osnovu HADAMARDove nejed nakosti za determinante (videti 6.3.) imamo z,. z. , T =:;;;n M",
cija
D
l ( K
Z2 , • • •
z1 , z2 , •
• •
, )!
, z,.
4.1. Fredholmove integralne jednačine
103
odakle sleduje n
Prema tome, opšti član reda (4) može se majorirati brojnim redom (6) Ispitajmo konvergenciju reda (6). Koristeći se mom, dobijamo l t.
Ak + • m --
_
k-> + oo
Ak
1 t. m
k->+ oo
( l )�
l J. i M (b - a) l
-----
\/k + l
o'ALEMBERTovim
+ -
k
=
kriteriju
O'
što znači da red (6) konvergira za svako A. Drugim rečima , funkcija D, defi nisana sa (4 ), je cela funkcija Sada ćemo dokazati da je i funkcija A � D (A) R (x, y ; A) cela f·,..m kcija promenlji 1e A. Red koji defiP.iše rezolventu R konvergira za l A [ < 1 (videti 4. 1.4.). .
M(b-a)
Red (4 ) konvergira za svako A. Prema tome, oba reda konvergiraju ako je l , pa i njihov proizvod takođe kon·. ergira za takvo J.. . Označimo l J.. l <
taj
(7 )
M(b-a)
proizvod sa
(8)
D (x,y; A)=K (x , y) + Množeći obe strane jednakosti
n!
b
(l l)
u 4. 1.3.) sa
a
D (J..) ,
dobijamo b
D (x, y; A) = K (x , Y) D (A) + A j K (x,
(9 )
z) D ( z, y; A) dz,
a
y ( - l)" d" (�, y) A" =K (x, y) + y ( - l )" d� K (x , y) J.." + A j K (x, z) ( K ( z, y) + Y ( - 1 )" d1, (z; y) A") dz,
K (x, y) +
n.
"�t
n.
"_J
��� l
a
odakle, izjednačavanjem ·koeficijenata
( l O)
n
R (x, y; J..) =K (x, y) + J.. J K (x , z) R (z, y; A) d z
( videti jednakost tj.
y= l (- I)n d" (x, y) A".
b
uz
jednake
n.
stepene od
d" (x , y ) = K (x, y) d" - n J K (x, z) d"_1 ( z, y) d z
Pri tome
A , nalazimo
( n=l , 2, . . . ) .
uzimamo d0 (x, y) =K (x , y). a
PluMEDBA. Treba obratiti pažnju da se veličine od n, a druga funkcija od n, x,
y.
d" i d" (x, y)
razlikuju, jer je prva funkcija
4. Integralne jednačine
104
Dokažimo formulu
JJ J K (x,z1,z1, Z11) dz1 dz y, zt ,z2 , . . . , z,. b b
(l l)
d11 (x, y) =
b
• • •
· · ·
,
2
a
a a
•
•
•
dz" .
Stavimo u ( l O) n = l . Dobijamo b
J K (z, z) dz - J K (x, z) K (z, y) dz
d1 (x, y) = K (x, y)
x, z) l x z J l KK((zx,, y)y) K( K (z, z) dz = J xf\y z)dz. Q
Q
b
=
b
Q
b
Q
Označimo sada desnu stranu formule (l l ) sa 811 (x, y) i dokažimo da je dll (x, y) = a" (x, y). može se napisati u Determinanta K
(xy. z, · z") ,zJ, . . .
obliku
· · · ·
' Zn
lntegraleći obe strane gornje jednakosti po z1 ,
JJ J K (x, z1) K e" b
b b
( 1 2) tj.
811 (x, y) = K (x,y) d11 - n
·
·
a a
•
•
•
, z11 , dobijamo
)
z2 , . . . , z11 dz1 . . . dz11 , ' z2 , z"
·
a
• • • '
J K (x, z) 8"-1 (z, y) dz. b
8" (x, y) = K (x, y) d11 - n
Q
Iz formula ( l O) i ( l l) vidimo da d11 (x, y) i 8" (x, y) zadovoljavaju istu rekurentnu vezu. Kako je d1 (x, y) = 81 (x, y), zaključujemo da je d (x, y) " = 8" (x, y) za svako n. Odatle sleduje formula (10). Ako primenimo HADAMARoovu nejednakost za. determinante na ( l l ), dobijamo
! d11 (x, y) j � (n
n+ l
+ 1)2 M"+ l (b - a)",
odakle, isto kao u slučaju reda (3), zaključujemo da je red (7) za svako ).. apsolutno i uniformno konvergentan za x, y E [a, b], tj. red {7) predstavlja celu funkciju promenljive ).. Najzad, kako je { 1 3)
D R (x, y,. ).) =
(x, y;
D (A)
:A)
'
vidimo da je rezolventa meromorfna funkcija promenljive ).. Dokažimo sada formulu
( 1 4)
D' ().) =
b
-J D (x, x; ).) dx. Q
4.1. Freclholmove IDtegralne jednačlne
Prvo, iz
(S)
105
i ( l l ) direktno dobijamo b
d"+ 1 = J d" (x, x) dx.
( l S)
..
Ako u (7) stavimo y = x, i integralimo po x, koristeći se jednakošću (l S), dobijamo b
).ll
dn + ! = - D' (A), J D (x, x; A) dx = d1 + n2- I ( - l )"! n. .. + oo
čime je dokazana formula ( 1 4). U odeljku 4.1.3. direktnom proverom dokazali smo da je rešenje jedna čine ( l ) dato sa ( 1 6)
b
f (x) = g (x) + A J R (x, y; A) g (y) dy. ..
Prilikom provere korišćena je formula (8), koja važi za I A I < M (b-a) l
( 1 7)
pa stoga ( 1 6) predstavlja rešenje jednačine ( l ) pod uslovom ( 1 7). Posmatrajmo jednakost (9). Ona se dobija množenjem jednakosti (8) sa D (A) i stoga važi pod uslovom ( 1 7). Međutim, na osnovu osnovnog principa analitičkog produženja, ako su dve cele funkcije jednake u nekom krugu, one su jednake i u celoj ravni. Prema tome, jednakost (9) važi za svako A. Ako podelimo (9) sa D (A) dolazimo do jednakosti (8) koja sada važi ne samo za one vrednosti A koje zadovoljavaju (1 7), već za svako A za koje je D (A) ::;60. Time dolazimo do sledećeg rezultata: Ako A nije koren jednačine D (A) = O, tada jednačina { l ) za pro izvo ljnu neprekidnu funkciju g ima rešenje koje je dato sa ( 16). Razmotrimo sada slučaj kada je ).. koren jednačine D ()..) = O. Označimo tu vrednost sa Ac, . Dokažimo prvo da je Ac, pol rezolvente R (x, y; A). Zaista, ako je D (Aa ) = O, tada je
(k ";Z. l, D1 (Ac,) ::;6 0) . Ako je D (x, y; Ac,) ::;60, tada s obzirom na ( 1 3) direktno zaključujemo da je Ao pol rezolvente R. Pretpostavimo stoga da je i D (x, y; Ac,) = O, tj.
D (A) = (A - Ac,)k D1 (A)
D (x, y ; A) = (A - Ao)m D1 (x, y; A).
Na osnovu formule ( 1 4) imamo ( 1 8)
D' (A) =
- (A - Ac,)m
b
J D1 (x, x; A) dx.
Međutim, Ac, je koren .
m'5:,.k - l
Ito znači da i kada je D (x, y; Ac,) = O, ipak je čine. Prema tome, Ac, je pol rezolvente R .
Ac,
koren nižeg reda te jedna
4. Integralne jeclnačine
106
Neka je Ao pol reda n rezolvente R . Rezolventa se tada mofe predstaviti LAURENTovim redom . + A _ l (x, y) + y AJ (x, y) (A - Ao)i, { 1 9) R (x, y ; A) = A - n (x, y) + (A-Ao)n
.
.
A-Ao
i =O
gde je A _" (x, y) =;6 0. Zamenjujući ( 1 9) u ( 8), množeći dobijenu jednakost sa (A - A0)n zatim :;tavijajući A = A0 , dobijamo b J A _ n (x, y) = A0 K (x, z) A _" (z, y) dz. a
To znači da je funkcija A_ n netrivijalno rešenje homogene jednačine b
f(x) = A0 J K (x, y) f(y) dy.
(20)
a
Time smo dol(li do sledećih rezultata:
Ako je Ao koren jednačine D (A) = O, tada homogena jednačina (20) ima netrivijalno rešenje. Sopstvene vrednosti integralne jednačine b
f(x) = A J K (x, y) f(y) dy
(2 1 )
a
su nule funkcije A f-+ D (A). Prethodne rezultate možemo ovako sumirati: l o Ako je D (A) :;6 0, nehomogena jednačina ( l ) ima rešenje koje je dato
formulom ( 1 6), a homogena jednačina ima samo trivijalno rešenje. 2° Ako je D (A) = O, tada homogena jednačina ima netrivijalno rešenje. Dokažimo da je rešenje nehomogene jednačine u slučaju D (A) :;6 0 jedin
stveno. Kada bi postojala dva različita rešenja te jednačine, tada bi njihova razlika predstavljala netrivijalno rešenje homogene jednačine, što je nemogućno. Na osnovu prethodnog možemo formulisati tzv . FREDHOLMovu alternativu:
Ili nehomogena jednačina ima jedinstveno rešenje za svaku funkciju g (i ho mogena jednačina ima samo trivijalno rešenje), ili homogena jednačina (2 1 ) ima netrivija/no rešenje (i nehomogena jednačina { l ) nema rešenja za svaku funkciju g). PRIMEDBA. Može se doka2ati da u slučaju D (A) = O nehomogena jednačina ima rešenje ako i samo ako je ispunjen uslov b
J g (x) h (x) dx = O, a
gde je h bilo koje netrivijalno rešenje jednačine
h (x) = A
b
J K (y, x) h (y) dy.
a
Doka2 ove činjenice može se naći, na primer, u [l}.
LITERATIJRA
l. E. GoURSAT: Cours d'analyse mathimatique III. Paris 1942, pp. 380-382. <
4.2. Volterraove integralne jednačlne
107
4. 1.5. Sturm-Liouvilleov problem i integralne jednačine
Videli smo da je rešenje konturnog problema
(P (x) y')' - Q (x) y +f(x) = O, (l ) dato sa
y (x) =
( 2)
b
J G (x, t)f(t) dt,
ll
gde je G GREENova funkcija odgovarajuće homogene jednačine
(P (x) y')' - Q (x) y = O. Pokdimo sada kako se STURM-LIOUVILLEov problem sa sopstvenim vrednostima (3) (P (x) y')' + ( A R (x) - Q (x)) y = O zajedno sa uslovima ( l ) svodi na FREDHOLMovu integralnu jednačinu. Zaista, ako jednačinu (3 ) napišemo u obliku
(P (x) y')' - Q (x) y = - A R (x) y, na osnovu formule (2) zaključujemo da je rešenje problema dato sa b
y (x) = "A
J G (x, t) R (t) y (t) dt,
ll
a to je FREDHOLMova jednačina druge vrste. Slično, u slučaju nehomogenog STURM-LIOUVILLEovog problema
(P (x) y')' + ("A R (x) - Q (x)) y = F (x),
sa uslovima ( 1 ), dobijamo sledeću nehomogenu FREDHOLMovu jedna�inu druge vrste
y (x) = g (x) + J..
b
f G (x, t) R (t) y (t) dt
ll
gde je
g (x) =
b
- J G (x_. t) F (t) dt. ll
4.2. VOLTERRAOVE INTEGRALNE JEDNACINE 4.2.1. Uvod
Integralna jednačina
f(x)
= g (x) + A J K (x, y)f(y) đy, ll
4. IJitegralne jednaliDe
108
gde su K, g date funkcije, :A parametar koji ne zavisi od x, y a J nepoznata funkcija, naziva se VoLTERRAOVa integralna jednačina druge vrste. Za g (x) = O jednačina je homogena, a za g (x) :#= O ona je nehomogena. VoLTERRAova integralna jednačina prve vrste glasi
g (x) = :A f K (x, y)f(y) dy. a
Ostali pojmovi u vezi sa VoLTERRAovim jednačinama definišu se slično kao i za FREDHOLMove jednačine. U stvari, VoLTERRAove jednačine su specijalni slučajevi FREDHOLMovih jednačina, jer možemo uzeti u FREDHOLMovoj jednačini da je K (x, y) = O za x
jednačina.
I ovde ćemo pretpostaviti da su funkcija g i jezgro K neprekidne funkcije. Takođe. bez smanjenja opštosti možemo uzeti da je u navedenim VOL TERRAovim jednačinama a = O.
4.2.2. Primena Laplaceove transformacije VoLTERRAove integralne jednačine prvog i drugog reda
{l)
J K (x -y)J{y) dy = g (x),
odnosno
(2)
o
f(x) = g (x) + J K (x - y)J(y) dy, o
gde su K, g date neprekidne funkcije, i J je tražena funkcija, mogu se rešiti . pnmenom LAPLACEove transformacije.
Neka �e L (K (x)) =:.K (p). � (J (x)) =: F.(p), L (g (x)) = G (p). Tada , na osnovu pravda konvoluciJe (videti 1.2.4.), IZ Jednačine ( l ) dobijamo tj.
K(p) F (p) = G (p), F (p) = � (P) K (p)
(K (p) #O) .
Prema tome, rešenje jednačine (l) dato je sa
{ )
J(x) = L-1 � (P ) ·
tj.
Slično, iz jednačine (2) nalazimo
K (p)
F (p) = G (p) + K (p) F (p),
F (p) = G (p)
l -K (p)
(K (p) # l ) .
l.,
4.l. Volterraon Integralne � sa
Stoga je rešenje jednačine (2) dato
Takođe
se
G (p) ) · /(x) = L-1 ( -K(p) 1
i sledeći tip nelinearnih jednačina
( 3)
f(x) =g (x) + 'A ff(y)f (x-y) dy o
se
može rešiti pom�u LAPLACEove transformacije. Koristeći kao ranije, imamo
F (p)
pa je rešenje jednačine (3) dato
l ± vfl-4/. G (p)
-
2 ).
sa
,
f(x) = L-1 (.! ± vfl -;-� J. G (p) ) .
LAPLACEova transformacija može se takođe primeniti i cijalne jednačine određenog tipa. PRIMER. Treba odrediti funkciju
Primenjujući
vom
l.APLACBOVU
/(0) - o, dobijamo
tj.
na
integrodiferen
l koja zadovoljava jednakosti t
/(t) +l' (t) - l + J sin (t- u)/(u) du,
(4)
istim oznakama
o
/(0) -·o. iz
transformaciju na prvu jednačinu
l l F(p) , F(p) .+pF(p) --+2 p p +1
(4), i koristeći se uslo
l +p2 l l p+l F (p> - .r ( l +P+P2> - --p+ .r+ r +p+l .
Kako je
Vl p+ �l 2 l p+l +, ---:-' ---:2 1 y'1 1 1 3 1 p +p + P + + + l 1 + 43 p l 4 uključujemo da je tražena funkcija f data sa
( )
( ) l
f(t) - - l + t +e-2 '
cos
1
3 " t. vv'1 , + -1- e-1' sin 2 2 v'1 J7j
4.2.3. Metod sukcesimih aproksimacija Neka je data VoLTERRAova integralna jednačina drugog reda
f(x) = g (x) + 'A f K (x, y)f(y) dy,
(l)
K neprekidna O�x�a.
gde je za
o
funkcija za
O� x�a, O�t�x i g
neprekidina funkcija
4. Integralne jednačine
no
Potražimo rešenje jednačine
(l)
u obliku beskonačnog reda po A:
f (x) =
(2 )
+ ac
L
k=O
Ak fk (x) .
Zamenjujući (2) u ( 1 ), dobijamo + aa
L
k=O
).k fk (x) = g (x) + A
+ oo
X
L ).k fk (y) dy. J K (x, y) k=O
o
Ako je red (2) uniformno konvergentan, on se može integraliti član po član. Prctpostavimo za momenat da je takva integracija dozvoljena. Tada, iz jednačavanjem koeficijenata uz jednake stepene od A, imamo
fo (x) = g (x) ,
X
J
fn (x) = K (x, y) fn- 1 ( y) dy
(n =
l , 2, . .
.
)
.
o
Ako stavimo
X
J
K 1 (x, y) = K (x, y) ,
Kn + ! ( x, y) = K (x, z) Kn (z, y) dz o
kao i u slučaj u odgovarajuće FREDHOLMove jednačine (videti jemo da j e
4.1.3.),
zaključu
(n = l , 2, . . . ) .
X
J
fn (x) = Kn (x, y) g ( y) dy o
Dokažimo sada da red (2) konvergira apsolutno i uniformno za svako ).. svako x E [0, a]. Kako su funkcije g i K neprekidne, one su i ograničene. tj. imamo I K (x , y) J < M. l g (x) l < m , Dokažimo da važi nejednakost Mn xn . (3) lfn (x) J ::;; m --
n!
Za n = O imamo lio (x) l< m, što je tačno, jer je /0 = g. Pretpostavimo da je formula (3) tačna za neko n. Tada je lfn + i (x) [
X
X
= l oJ K (x, Y) fn ( Y) dy / ::;; oJ [ K (x, Y) fn ( Y) [ dy Mn ::;; Mm n!
X
J
yn dy = m
o
Mn+ t xn+ t (n + l ) !
.
Prema tome, na osnovu principa matematičke indukcije zaključujemo da formula (3) važi za svako n = O, l , . . Dalje, kako je xn ::;; an, vidimo da opšti član reda (2) nije po modulu veći od .
(4)
a kako je red čiji je opšti član ( 4 ) konvergentan, zaključujemo da red (2) konvergira apsolutno i uniformno za svako A i svako x E [O, a].
4.2. Volterraove Integralne jeclna&le
Uvedimo sada funkciju
R
pomoću
R (x, y; 1.) =
(5)
JJI
z ).k K (x, y). k-O k + + oo
1
Funkcija R naziva se rezolventa jednačine ( 1 ). Neposredno se proverava da rezolventa R zadovoljava integralnu jed.načinu
R (x, y; 1.) = K (x, y) + ). J K(x, z) R (z, y; ).) dz. y
Kako se red (2) može napisati u obliku x
f(x) = g (x) + L ).k J Kk (x, y) g (y) dy, k=! + oo
(6)
.
na osnovu (5) i (6) zaključujemo da formule
se
o
rešenje jednačine ( l ) dobija pomoću.
f(x) = g (x) + ). J R (x,y; l.) g (y) dy. o
4.2.4. Volterraove jednačine prve
vrste
Neka je data VoLTERRAova integralna jednačina prve vrste
J K (x, y) f (y) dy = g (x),
(l)
o
gde je f nepoznata funkcija, a K i g su date funkcije. Pretpostavimo da su funkcije K, Kx , j, f' neprekidne za O<x
K (x, x)f(x) + J K;c (x, y)f(y) dy = g' (x).
(2)
o
Ako je u obliku
K(x, x) =I O
za
svako
x E [O, a],
jednačinu (2) možemo napisati
)C
' (x) - J Kx (x, y)f(y) dy, f(x) = Kg(x, x)
(3)
o
K (x, x)
a to je VoLTERRAova integralna jednačina druge vrste po nepoznatoj funkciji f.. PluMEDBA
(4)
l.
Ako je K (x, x) =O, tada (2) glasi
J Kx (x, y)f(y) dy = g' (x).
o
4. Iotegraloe jeduačine
1.11
Diferencirajući (4) po x dobijamo KJC (x, x)/(x) +
%
{ Kxx (x, y) f (y) dy - g'' (x).
o
Ako je Kx (x, x) � O za svako x E [O, a], tada (S) predstavlja VOLTElllO lA VU integralnu jednačinu druge vrste. Ako je KJC (x, x) =O, tada jednačinu (5) treba opet diferencirati, itd.
PluMEDBA 2. Ako je K (x, x) - O za neko xE [0, a], tada se dolazi do tzv. singularnih inte gralnih jednalina. Jednačine tog tipa PICARD je nazivao jednal{ne trete vrste.
4.2.5. Linearne diferencijalne jednačine i Volterraove jednačine
Linearna diferencijalna jednačina
+ a1 (x) y
(l)
y<•>
•
==
·
·
integralnu jednačinu druge vrste. Zaista, stavimo
d"y
=f(x). dx"
Tada je (videti 1.6.19.)
dll-1 Y dx"-l
-- =
x/(t) dt + C..-tt J
o
- J (x-t}ll-1f (t) dt + C,._1 � + y =-1 (n- 1 ! (n- 1)1 %
)
·
·
·
+C0 •
o
Zamenjujući ove vrednosti u jednačinu ( l ), imamo
f(x) + J a1 (x)f (t) dt + C,._1 dx) + %
a
o
·
(2)
·
+
J
Je
o
+ tj.
·
a (x) ,. (n- 1 )!
c,._ , a,. (x) x"- 1 (n- 1 ) 1
(x - t)n-1 f (t) dt
+
·
•
·
+C a (x) = F (x) °
11
- t)" -' a,. (x) ) f(t) dt f(x) + J(al (x) +(x-t) � (x) + · · · + (x(n1) ! %
o
=
F (X)
-
ll-l al (X) - •
e
•
•
-
C11� 1 a11 (x) x" - l (n- 1 ) !
--=-�=-'--'--
·
·
·
- C0 a,. (x).
'
113
4.2. Volterraove Integralne j�člbe
Stavimo li
-K (x, t)=a1 (x) + (x - t)a2 (x) + g (X) = F(X) - e11_1 a1 (X) -
•
•
•
-
·
·
·
-J + (x-1}" a,.(x), (11-1) 1
c" _ J a" (x) X" - 1
(11 - 1)!
·
·
·
- C0 a" (x),
jednačina (2) postaje
f(x) =g(x) + J K (x, t)/(t) dt, o
a to je VoLTERRAova integralna jednačina druge vrste. PRIMER. Odredimo integralnu jednačinu koja je ekvivalentna sJedećoj diferencijalnoj jednačini y"'- 2 xy - 0,
(3) sa početnim uslovima
Y (O) - 2 ,
l
y' (O) - y'' (O) - I.
Ako stavimo y'" -/(x), imamo redom y'' -
J f(t ) dt + l,
o
y-
o
X
J (x- t ) f(t) dt + x + l,
o
(X-1)1
X
J
y' -
r l -- f(t) dt + - + X + - . 2 2 2
_zatnenjujući ove vrednosti u ( 3) , data diferencijalna jednačina postaje /(xJ-2 x
X
J
o
tj.
(x
-1
x -2 r-x - o
)1 -- f(t) dt- ' 2
,
/(x) - x (x + l)1 + J x (x-1)1/(t) dt. %
o
4.2.6. Singularne Integralne jednačine Integralna jednačina prve vrste X
g (x) =>- J K(x - t)f(x) dx,
(l)
o
f
tf-+ K(t)
gde je nepoznata funkcija naziva se singularna ako jezgro nije konačno u jednoj ili više tačaka posmatranog intervala. Ako uvedemo oznake L (g F (p) tada integralnoj jednačini (l) G (p), ... K (p) i L odgovara transformisana jednačina
(t)) -
(2)
L (K (t))
(/(t))=
F (p) -
;
i. (p)
· G (p).
4. Integralne jednačine
114
Međutim, funkcija
l p � ::::.-
K (p)
pod navedenim pretpostavkama ne mora biti slika
nekog o riginala pri LAPLACEovoj transformaciji. S druge strane , u nekim spe cijalnim slučajevima jed načina ( l ) m ože biti rešena upotrebom LAPLACEove transformacije. Jedan takav slučaj j e jed načina ( l ) sa jezgrom K koje postaje beskonačno za t = O i gde je funkcija t � K (t) nediferencijabilna (u slučaju kada je funk cija t � K (t) diferencijabilna mogućno je jed način u ( l ) svesti na integralnu jednačinu druge vrste). Ako uvedemo oznaku X
h (x) = J f(t) dt =f(x) • I , o
tada je
( 3)
L (h (t)) = H (p) = _l_p F (p) .
Transformisana jednačina (2) postaje
G (p) , H( p) = �� 'A pK (p)
Kako važi
lim pK (p) = lim
p -->oo
t-
K
(t) =
oo
na osnovu gornje pretpostavke za K (videti zadatak 1.6.6.) možemo pisati l
lo1m
---=- ·
� =
pK (p)
p-+oo
na osnovu čega sleduje da je funkcija
p
f-+
O,
__
J__
pK (p)
slika nekog o riginala pn
LAPLACEovoj transformaciji. Tako iz jednakosti ( 3 ) možemo od red iti inverznu sliku od H (p) a iz uslova f ( t ) = h ( t ) traženo rešenj e jednačine ( l ). '
PRIMER. Odrediti rešenje s ingularne i n tegralne jednači ne g (l) =
J log (1-x) /(x) dx.
o
Jezgro K (l ) = log 1 n ije d i ferencijabil no u tač k i t = O. Kako je L (log 1 ) to na osnovu formule (3) i mamo H (p) �
-
l log (p eY)
=
-l
p
log ( p eY),
G (p).
Primeni mo li na poslednju jednakost i n verznu LAPLACEOvu transformaciju, dobijamo
h (t) = -
'{ ' J J l
o
\
+ oo
xa e · Y a
o
a+l
)
d a g ( t - x) dx.
Koristeći se jednakošću /(t ) = h' (t ) dobijamo rešenje date jedn ači ne u obl iku f (t ) = -
l
J
o
(r
+ «>
,
o
xa e · Y a a+l
---
)
da g' (t � x) dx -g (O)
+ ao
j,.. xa e · Y a da. o
a+ l
---
4.3. Zadaci
ll5
4.3. ZADACI 4.3.1 . Za razne vrednosti parametra :A ispitati rešivost integralne jednačine l
f(x) - :t.. J xe'f(t) dt = x. -l
Rele11je. Imamo
/(x) - 'Ax
l
J el f(t) d t -t- x.
-l
Smenom
e-
(l ) data jednačina postaje (2)
l
J
-l
e1 /(t) dt
f(x) - C A X + X = (A C + l ) x. Zamenom (2) u (l) dobijamo
l
J1 tet dt - (A C + l) -2 ,
C = (A C + l)
e
-
što se može napisati u obliku (3)
e
Za A#- data integralna jednačina ima jedinstveno rešenje. 2 e Ako je A = - jednačina (3) postaje 2 jcdnačina nema rešenja.
O · C = - što je nemogućno, pa data integralna 2
e
4.3.2. Ispitati rešivost integralne jednačine
f(x) - :A J K(x, t)/(t) dt= l , l
o
gde je
K (x, t) = za razne vrednosti parametra A.
{ch x sh t (O�x
3 Rez.llltat. Za A# -- jednačina ima jedinstveno rešenje. 4 3 Za A - -- jednačina nema rešenja. 4
4.3.3. Za razne vrednosti parametra 'lt
A.
ispitati rešivost integralne jednačine
f(x) - A J cos2 xf(t) dt = l . o
4. Integralne jednačine
116
Rele11)e. Imamo
"'
f(x) = :A cos1 x
J !(t) dt + 1 .
o
Oznakom
e-
(l)
J f(t) dt
o
data integralna jednačina postaje
(2) Smenom funkcije
f iz (2) u (l) dobijamo
"'
"'
C = C :A J cos2 t dt + J dt. o o Ako u poslednjoj jednakosti izračunamo integrale na desnoj strani, jednačina se moZe napisati u obliku
(3)
Ako je Ako je
rešenja.
:1.#3_,
e (2-:A 7t) - 2 7t.
data integralna jednačina ima jedinstveno rešenje.
7t
2 A - -, jed načina (3)
se
7t
svodi na O - 2 1t, pa data integralna jednačina nema
Ispitati rešivost integralne jednačine
4.3.4.
l
f (x) - A J (x2 - 2 xt)f(t) dt = xl - x za
-l
razne vrednosti parametra A.
Rele11}e. Data jednačina se može napisati u obliku l
što
-1
oznaku
uz
(l )
-1
1
J f(t) dt,
cl -
cz -
-1
postaje
l
J f(t) dt-2 :A x J tf(t) dt + x3-x,
/(x) - ). x2
1
J tf(t) dt
-1
/ (x) - C1 ). x2-2 C2 ). x + x3-x.
(2) Zamenom
(2) u (l) dobijamo CI = CI A
1
-1
C = C1 :�. 1
l
l
J t 2 dt-2 C2 A J t dt + J (t3-t) dt, 1
J
-1
-1
t 3 dt-2 C :�. 2
l
J
-1
-1
t 1 dt +
l
J (t 4-t 2) dt.
-1
Ako izračunamo integrale u poslednjim jednakostima, dobijamo sistem linearnih jednačina po nepoznatim konstantama cl i cl
(3)
cl (3-2 >..) - o,
S C2 (3 + 4 :A) - -4.
117
4.3. Zadad
Deterrninanta ovog sistema je D (A) - S (3 -2 A) (3 + 4 A).
Ako je ).� 2
3 .
1
).� -4, data integralna jednačina irna jedinstveno relenje. 3
Ako je 1. - 2, sistem (3) postaje O · C1 - 0, 4S Cz - - 4 tako da data integralna �3
čina irna rešenje koje sadrži jednu proizvoljnu konstantu. 3
o, o.
Za A - --, SIStem (3) postaje e. nema rešenja.
.
4
4.3.5. Odrediti sopstvene vrednosti načine sa degenerisanim jezgrom
Cz - - 4, pa data integralna jednačina
sopstvene funkcije sledeće integralne jed-
1
/(x) - 'A J (S xt3 + 4 x2 t)/ (t) dt = O. -l
Relelfle, Data jednačina se može napisati u obliku
l
1
J t/(t) dt.
/(x) - H x J t Jf(t) dt + 4 A x2 -
Ako uvedemo omake e. -
(l)
data jednačina dobija oblik (2)
-1
1
l
J ,, /(t) dr,
-l
Cz -
1
J t/(t) dt,
-l
/(x) - S C1 A x + 4 Cz A r,
gde su C1 i Cz nepoznate konstante. Srnenorn (2) u (l) dobijamo l C1 - S C1 A
J
-
1
l
t4 dt + 4 Cz A
-1
l C2 - S C1 A
J
-1
J t5 dt,
t 2 dt + 4 Cz A
l
J t, dt.
-1
Ako izračunamo integrale u poslednjern sistemu, posle sređivanja imamo (3)
1
o !-o,
Sopstvene vrednosti date integralne jednač!ne dobijamo
l
1 -2 A 10 :>..
iz
jednačine
-3
čije je rešenje ). - - . 2
Za A � � data integralna jednačina irna jedinstveno (trivij alno) rešenje. 2 l Za A - - sistem (3) postaje O · C1 - O, S C1 - 3 Cz - O. Rešenje ovog sistema jo 2
C2
=
� C1 , gde je 3
C1 proizvoljan broj. Dakle, rešenje (2) integralne jednačine ima oblik
4. Integralne jednll čine
'118 0
/(x) - _:_ cl X + 1 cl x2. Ako izaberemo cl - l , tada je jedna sopstvena funkcija date integralne 3
2
jednačine da ta sa x �-+
s
T
1 xzx+3 0
4.3.6. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije integralne jednačine "
f (x) - :A J (cos2 x cos 2 t + cos 3 x cos3 t)/ (t) dt = O. o
Rderl}e. Datu jedna�inu možemo napisati u / (x) = 1.. cos2 x Ako uvedemo oznaku
C1 =
(l)
(2) Smenom
C1 i C2 :
(
(3) -C1
o
o
f(t) cos 2 t d t ,
(2) u (l) dobijamo C1 1 -1..
"
"
J f(t) cos 2 t dt + 1.. cos 3 x J f (t ) cos' t dt.
"
J
o
dobijamo
obliku
Cz =
J ! (t ) cos' t dt,
o
sistem linearnih jednačina
"
po nepoznatim ko nst antam a
J cosz r cos 2 t dt ) -Cz 1.. j cos 3 t cos 2 t dt = O,
o
o
"
"
(
A J cos• t dt + C2 1 -1.. J o
cos'
o
)
t cos Jr dt = O.
Izračunavanjem gornjih integrala, sistem (3) postaje (4) Sopstvene vrednosti date integralne jednačine dobijamo iz uslova A7t o 1 -4 = 0. A7t 1 -o 8 Relenja poslednje jednačine su A1 Ak
4
� -
7t
8
i A
2
= - .
7t
1 4 . . · o Je A -· -, s i ste m (4) postaJe O- C1 - O, - Cz - O. Neposred no se v1· d 1· d a J· e e o 7t 2 i da C1 može biti proizvoljan broj. Dakle, na osnovu (2) sleduje da je rešenje date integralne 4 4 jednačine oblika /(x) - - C1 cosz x. Ako C1 izaberemo tako da je C1 - = l , jedna sopstvena
z
7t
=
7t
funkcija date jednačine je x �-+ cosz x. 8 Ako je A - -, sistem (4) se može napisati u obliku C1 - O, 0- C2 - O, što znači da je .
7t
cl - o i da je c2 proizvoljan broj. u ovom slučaju rešenje date integralne jednačine je
/(:x) - c2 !. cos 3 :x, što znači da ako c2 izaberemo tako da je Cz _!_ = l , tada je
funkcija
7t date integralne jednačine oblika x �-+ cos 3 x.
7t
sopstvena
4.3. Zadaci
119
Rešiti singularnu integralnu jednačinu
4.3.7.
(O < a < 1 ).
(l)
Reie11je.
Jezgro je K
(t)= ta [ -1-
�
t= O
+ ac. r (I-a) K ( p ) --- . pl - a
Slika jezgra LAPLACEovom transformacijom je
_
=
Koristeći se jednačinom (3) iz 4.2.6, imamo
l
H (p) � _- G (p) = P pK (p
gde je
G (p)
ar(l -a)'
) L (g (t))= G (p). a---1-- • g(t) = 1 j'xa-' g (t-x) dx, ' h(t) =-r(a) r ( 1 -a) r (a) r ( 1 -a) L (h (t))=H(p) /(t) =h' (t). t f(t) = r(a) r( l -a) ( Jx«-1 g'(t-x) dx+g (O) ta-l) . (l) ABELova integralna jednačina. Inverznom LAPLACEovom transformacijom dobijamo t
gde je
o
i
Diferenciranjem gornje jednakosti po t
1
PRIMEDBA. Jednačina
o
naziva se
Odrediti rešenje HAMMERSTElNove integralne jednačine
4.3.8.
1° f(x) =
l
J (xt + x2 t2)f(t)2 dt ;
-l
l
2o J(x) = J
Rezllltat. 4.3.9.
I o !,
-l
t d;. x_ _ +/(t)2
l
(x) =O, 2 ' /(x) =O.
Dokazati da integralna jednačina f(x) =
gde je
a (x) > O
Rele11je.
Ako uvedemo oznaku
l
� J a (x) a (t) ( l +/(t)2 ) dt, o
za x E [0, l ] nema realna rešenja ako je
(l) tada data jednačina postaje
(2)
imamo
l
C= J a (t) ( t +/(t)2) dt, o
f(x)
l 2
� -
Ca (x),
l
J a (x)2 dx > I .
o
uo
4. Integralne jednačfDe
gde je konstanta e nepoznata. Zamenom (2)
�J
l
2
e-
(3)
u
(l) imamo
J
l
a (t)l dt +
l
l
Diskriminanta jednačine (3) je 1 -
J a (t) dt J a (t)l dt. Na osnovu CAUCHYeve nejed· o
o
nakosti imamo
l
l
l
a (t) dt.
o
o
J a (t) dt- j a (t)l dt> (J a (t)2 dt t > l, o
o
o
Ito znači da jednačina (3) ima po e samo konjugovano kompleksna re§c:nja. Dakle, s obzirom na (2). integralna jednačina ne može pod datim pretpostavkama imati za re§c:nje realnu funkciju.
4.3.10. Rešiti integralnu jednačinu ,.
f(x) ,_ ). J
2
(l)
o
f(t) sin x cos t dt +
sin x.
Rdell}•. Data jednačina se može napisati u obliku
/(x) - >. sin x
,. 2
J f(t) cos t dl + sin x.
o
Ako uvedemo oznaku
2 ,.
e-
(2)
J f(t) cos t dt, o
imamo
/(x) - ). e sin X + Sin x- (>. e+ l) sin x.
(3)
Smenom (3) u (2) imamo
e- (>. e + I)
,. 2
J
sin t cos t dt -
o
�
(>. e + 1).
Tako dobijamo sledeću jednačinu po nepoznatoj konstanti e
( �) �
e tMogu nastupiti dva slučaja:
-
·
t• :>.*2. Tada iz dobijene jednačine imamo e -
gralne jednačine dato sa l (x) -
-2
2-:-:A
-l
2-:A
sin x.
2• Ako je ). - 2, integralna jednačina nema rešenja. PRlMEDBA. Uočimo jednačinu
(4)
/(x) - 2
,. 2
J f(t) sin x cos t dt,
o
pa je jedinstveno re§enje inte-
4.3. Zadaci
Ill
koja se dobija iz (l) za ). - 2 ako se iz (l) ukloni sabirak sin x, tj. odgovarajuću homogenu jednačinu. Uvedemo li smenu (2), dobijamo
( 5)
/ (x) - 2 e sin x,
što zamenom u (2) daje e- e. Dakle, (5) je re!enje jednačine (4) za proizvoljnu realnu konstantu e. Jednačine (4) i ( l ) predstavljaju jedan primer za FREoHOLMOVU alternativu.
4.3. 1 1. Rešiti integralnu jednačinu
f (x) - A
J (x cos t + t2 sin2 x + cos x sin t) f (t ) dt = x.
-n
Reielf.ie. Iz date jednačine dobijamo / (x) - :f. x
-n
-n
Uvedimo oznake (l)
e, �
n
n
n
J /(t) cos t dt + :f. sin2 x J t 2 / (t ) dt + :f. cos x J /(t) sin t dt + x. n
J f (t) cos t dt,
e, �
n
J t 1 /(t) dt,
e. -
-n
-n
Data jednačina postaje (2)
-n
n
J /(t) sin t dt.
-n
f (x) - ). e1 x + :f. e, sin1 X + A e, COS X + X. Smenom (2) u (l) imamo
(
e, t - :f.
n
J
-n
- e, :f.
t cos t dt
n
):- e, :f. J sin t cos t dt- e, :f. J cos1 t dt -n
-n
J t 3 dt + e2 ( 1 -:f. J t 1 sin t dr ) -e, :f. J r ' co T(
-n
- C1 ).
n
n
T(
-n
'R'
Tt
J t sin t đt - C2 A. J sin2 t đt + -n
e,
(
1 - ;>.
Tt
J
-n
s
cos
n
J t cos t dt,
r đr -
J r ' d t, T(
-n
t sin t dt
)
-
J t sin t dt. 'R'
-n
Ako izračunamo integrale koji se pojavljuju u poslednjem sistemu jednačina, dobijam� . e, + 4 :!.rt e, - o, e1-:f.1t e, - o, -2 :!.rt e, -:f.rt e, + e, - 2 1t. Determinanta gornjeg sistema je D (:!.) - l + 2 :f.1 rt2 ;6 0. Rešenja tog sistema su 2 1t što znači da rešenje date i ntegralne jednačine možemo napisati / (x) =
2 rt:!. 1 + 2 A2 7t2
. (:f.rt x - 4 :f.rt sm x + cos x) + x.
4.3.12. Rešiti integralnu jednačinu 2n
f(x) = A J 1 7t - t l sin xf (t) dt + x. Rezultat. /(x) = :f.rt3 sin x + x.
o
u obliku
4. Integralne jednačine
122
4.3.13. Odrediti rešenje integralne jednačine f (x) - "A Rezultat. f (x)
=
J( l o g +r l
(p > - 1 ).
f(t) dt = l
o
l
1 - A r( p + l)
·
4.3. 14. Rešiti integralnu jednačinu f(x) -
� J( � l
-l
15
x-
}
)
(3 t2 - l ) + - t ( 3 x2 - l ) f(t) dt = l .
5
Rezultat. f (x) = - (x + 1) 2 + - . 16
32
4.3.15. Odrediti rešenje integralne jednačine
.f(x) -
Rezultat. f (x) = tg x.
l
J e•rcsin x f(t) dt = tg x.
-l
4.3.16. Ako je jezgro Izvesne integralne jednačine dato sa
K (x, t) = sin (x - 2 t)
odrediti rezolventu te integralne jednačine.
Rezultat. R (x, t; A) = sin (x- 2 1 ) .
4.3.17. Odrediti iterirana jezgra za dato jezgro (O < x < l, O < t< 1).
K (x, t) = X - t
Rdenje. Izaberi mo K1 (x, t ) = K (x, t ) . Integracijom dobijamo d a je K2 (x, t ) =
l
J
o
K3 (x, t ) =
- xt
)
l -3 ,
J
1 x+t l s- t (x-s) - - ds = -- --xt - 12 12 2 3
J
J r
J
o
K6 (x, t ) =
2
(x-s)
o
K, (x' t) =
(
X+t
--
J
l
o K4 (x' t ) =
(x-s) (s- t ) ds =
•
o
J
s+t
--
2
-s t -
(
l
3
x-t ds = -1 2,
)
(
(
)
( )
(
st I S+t x- t (x-s) - + --- ds = 1 2 36 . 24 144
)
•
s-t l l x+t (x-s) - ds = - - - xt -1 44 144 2 3
)
.
•
4.3. Zadaci
l23
Nastavljajući ovim metodom, imamo da je
K, !< - t (x, t ) =
gde je
(- l )k
-
�k�
12 - l
(x- t ) ,
k -:= N .
4.3. 18. Dokazati da homogena integralna jednačina f(x) - A
l
J (3 X - 2) t j (t ) dt = 0
o
nema sopstvenih vrednosti i sopstvenih funkcija. Rešenje. Data jednačina se može napisati
f (x)
u
= A (3 x
obli k u -
2)
o
Uvodeći oznaku
(l)
e=
l
J t f(t) dt,
o
dobijamo {2)
l
J t [(t) dt .
f (x) = e
Ako zamenimo (2) u ( l ) imamo
A (3 x-2) .
(t-A J (3 t 2 - 2 t) dt ) e = O. l
Yre � nost integra la koj ! se pojavlj �je u poslednjoj jednakosti je O. Stoga iz te jedna _ (2) Imamo da je / (x) = 0, ŠtO pO definiciji znači da data integralna kosti. Sled uje e = 0, tj . IZ jcdnačina nema sopstvenih vrednosti i funkcija. o
4.3. 19. Dokazati da integralna jed načina l
f(x) - "A J ( v'x t - v'Tx ) f (t) dt = o o
nema realne sopstvene vrednosti i funkcije. Rešenje. Data jcdnačina se može napisati u obliku
/(x) = e, A .,jx- e, h,
( I)
l
gde je
e,= J Vtf(t) dt.
( 2)
o
Smenom (2) u ( l ) imamo, posle sređivanja, sistem linearnih jednačina po nepoznatim konstantama e, i e,
(3)
(1- � ) � A e, +
C2 = 0,
-� ( � ) e, + l +
A e, = O.
A' Determinanta sistema (3) je D (A) = l + - . Za realne vrednosti parametra A je D (A) ;tO 1 50 sistem (3) ima jedinstvena rešenja e, = e, = o, pa je jedinstveno rešenje date integralne jed načine f (x) = O. Odatle po definiciji sleduje da data integralna jednačina nema realnih sopstve nih vrednosti i sopstvenih funkcija.
4. Integralne jeciDa&e
4.3.20. Rešiti sledeće integralne jednačine
1° f(t) -= t + 2 - 2 cos t - J (t - u)f(u) du; o
r
2° f(t) = sin 2 t - J e'-"f(u) du; o
3° f(t) 4°
R1uJtat.
f(t) t•
... + : Jf(u) sh 4(t - u) du; t
el'
o
t
e'l ' + cos 3 t +
=
/(t) - (l + t) sin t;
3• /(t) -
l
80
J /(u) sin (t - u) du.
o
l
2• /(t ) - - (cos 2 t + 2 sin 2 t- l); 2
(3.5 e3 1 + 4.5 ch .5 t + 27 sh .5 t);
4• /(t) -
l
36
(4.5 el ' + 32 cos 3 t- 1 8 t-.5).
4.3.21. Rešiti integralne jednačine , l • sin t = f(u) cos (t - u) du;
J
o
t4 -
2°
t
J (2 t3 - 3 t 2 u + u3)f(u) du;
o
t
3 ° l - cos t = / f(u) ch (t - u) du. o
Rez;llltat. t• /(t) - l;
2• /(t) -
J 4
;
J• /(t ) - 2 sin t-t.
4.3.22. Primenom FREDHOLMove determinante odrediti rezolventu sledećih jezgara
K (x, t) = 2 x - t (O::::;; x::::;; l , O::::;; t ::::;; l ); 2• K (x, t) = sin x cos t (O::::;; x ::::;; 2 n, O::::;; t ::::;; 2 n); 3° K(x, t) = sin x - sin t (O::::;; x::::;; 2 n, O::::;; t ::::;; 2 n). 1•
Rez;llltat. t• 2" J•
-
(
2 x-t + x + t-2 xt-
+)
).Z ). 1 -- + 6 2 R (x, t; ).) = sin x cos t; sinx-sin t-71" (l + 2 sin x sin t)). R (x, t; ).) 1 + 2 71"z Az
R (x, t; ).)
4.3.23. Primenom FREDHOLMove determinante odrediti rezolventu jezgra
K (x, t) = xel (O<x::::;; l, O
125
4.3. Zadaci Reienje. lzaberimo R0 (x, t) - xe'. Dalje imamo R , (x, t ) -
l l
R, (x, t ) -
JJ
o
Jl l
o
o
xel
x&
se1
s&
l
ds - O,
xel
x& xeP
sei
s&
seP ds dp - 0.
pe1 p& peP
Sličnim postupkom dobijamo R,. (x, t ) = O. Stoga na osnovu formule D (x, t; A) - K (x, t ) +
+ .., (- 1)"
L -- R,. (x, t ) A" n-1 n!
dobijamo da je D (x, t; A) = xe'. Koristeći se formulom
s
+ oo ( l )" D (A) - l + L, "' -=-- dn A"' '
n- 1
obzirom da je
d, �
n.
J
J K (s, s) ds - 1 ,
o
nalazimo da je d,. - O (n ... 3, 4, . . . ), tj. dobijamo da je D (A) - 1 -A. Prema tome, rezo l ven ta za dato jezgro glasi D (x, t; A) xe' --. R (x, t; A) 1 -A D (A)
4.3.24.
Rešiti sled eće sisteme integralnih jed načina;
lo
x (t) = 2 t - J (t - u) x (u) du + J y (u) du, o
l
y (t ) = - 2 - 4
o
J x (u) du + 3 J (t - u) y (u) du; o
o l
2°
x (t ) = 2 +
J y (u) du,
o
y (t) = 9 t - t2 - t4 +
z (t ) = l S + Rez;ultat. t• 2"
l
'
J z (u) du,
o
J x (u) du.
o
x (t ) - ( V3/2 ) sin V3t-(3/2) sh t, y (t) = cos V3t - 3 ch t ;
x (t) - 2 (1 + 6 12), y (t) - 24 1, z (t ) - 1 S + 2 t (1 + 2 t2).
4. Integralne jednačine
4.3.25. Metodom iteriranih jezgara odrediti rezolventu integralne jednačine l
f(x) - "A j xtf( t) dt = g (x) . o
Koristeći se dobijenim rezultatom u slučaju kada je integralnu jednačinu.
Re/enje. Jezgro date jednačine je K(x, t)=xt (O:s;x::;!, O::;t K1(x, t)=xt, K, (x, t)- J (xs)(st)ds= + xt,
:s; l )
.
g (x) = x,
rešiti datu
d
Imamo re om
l
o
l
l K3 (x, t ) = -3l r (xs)(st)ds=-xt, 32 o •
xl Kn (X, t)= -Jn - l . Stoga rezolventu date d ač +oo 3xt R(x, t; J.)= n2: Kn (x, tpn - ' -xt n+Lool ()._)n-1 3 = _).. ' 3 -1 = l J xt g(t)dt, f(x)=g(x)+"- f 31 3x za g (x) - x svodl na /(x) = -je n
ine možemo napisati u obliku
gde je l :>.. l < ]. Relenje date integralne jed načine možemo napisati u obliku
!to se
o
.
3 -1
.
4.4. LITERATURA
R. CouRANT and D.
HlLBERT: Methods o/ mathematical physics 1 9 5 3 , 561 1 942, 702 Cours d'ana/yse mathimatique, t. 3, Ein/uhrung in Lehre und Gebrauch. Berlin 1 942, 1 66 /nlegra/gleichungen; einer al/gemeinen Theorie der Linearen Integralg/eichungen. Grundzuge 1953. F. and B. Sz.-NAGY: Functional Analysis. York 1955, 468 V. VoLTEllRA: Theory o/ functiona/s and of integral and integrodifferential equations. Lo don 1930, 226 o, A. Koiiil!nEs, M. A. MHxnHH, JI. Cri!ItEHB:o: Hnmei!pCliii>Hble ypa6HeHUR. MocKsa 1968, 448 ReiCu,uu no unmei!PCliii>HblM YP06HeHUJIM. MocKsa 195 1 , 1 27 B. CMHP&os: Kypc ewcUJeu MameMamuKu, 4, MocKsa 1 953, 804 I. New York cinquieme edition. Paris
E. GOUilSAT: G. HAMEL: D. HlLBEI!.T: RlEsz
n. n. 3AsPEb B.
New
pp.
H. r. nETPO:aalll, H.
pp. pp. S. Ne\'( York
pp.
n
H.
KPACHOCEJibCKKll: , e. r.
T.
cTp,
cTp.
JI. e. PAKosw:HH
CTp.
5.
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE
5.1. UVOD 5.1. Definicije
oznake
Neka je u funkcija promen/jivih x1 , , xk , čiji svi parcijal ni izvodi n-tog reda postoje. Bilo koja veza izmedu promen/jivih x1 , , xk , funkcije u, i njenih parcijal nih izvoda
Definicija l.
(l)
•
•
•
•
F(x�' . . . , xk, u, � , . . . , � .
()
�2 � '
{j xk
(j x1
2u
i)x1 {)x2
ux1
•
•
, . . . ,
iJm
u
i)xk"'
)= O
naziva se parcijal na diferencijal na jednačina. Ako je najveći izvod reda m (m� n ), tada se pomenuta jednačina naziva parcijal na diferencijal na jednačina reda PRIMER
l . Neka je F funkcija od 2 k + ·
(2)
(
m.
l promenljivih. Jednačina
F x, , . . . , xk , u, � , . (j x 1
)
. . ,� =o {) xk
je opšta parcijalna jednačina prvog reda. Ako je funkcija F l inearna u odnosu na promenljive u,
-(j u
i) x1
,. . . ,
-(j u
i) xk
, tada se jednačina (2) zove l inearna parcijalna jednačina prvog reda.
. , xk,
Definicija 2. Bilo koja funkcija u, promenjivih . . čiji parcijal ni izvodi potreb nog reda postoje, koja zajedno sa svojim parcijalnim izvodima idencićki zadovoljava jednačinu ( l ), naziva se rešenj e parcijalne diferencijalne jednačine ( l ). Xp
PRIMER 2 . Funkcije
u = x + y,
su rešenja jed načine Uxy = O.
u = eX + log xy
u = x2 + sin y,
U 5.2. daćemo kratak pregled teorije parcijalnih jednačina prvog reda, a u 5.3.-5.7. posmatraćemo uglavnom parcijalne diferencijalne jednačine drugog reda u kojima nepoznata funkcija u zavisi od dve promenljive x i y . U tom slučaju upotrebljavaćemo sledeće oznake {) u q=u =y' r = uxx koje se nazivaju
(j2 u
= -- ,
i) x2
Y
s = u".y =
MoNGEove oznake. 127
-- , (j2 u
i)x i)y
(j
(j2 u ( = Uyy = -, y (j 2
S.
ll8
Parcijalne diferencijalne jednačlne
U tim oznakama opšta parcijalna jednačina prvog reda glasi a
F (x, y, u, p , q ) = O,
drugog .
F (x, y, u, p, q,
r, s,
t) = O.
5.1.2. Formiranje parcijalnih jednačina U ovom odeljku daćemo više prirnera koji pokazuju kako se formiraju parcijalne jednačine prvog i drugog reda eliminacijom proizvoljnih elemenata iz date . jednakosti i njen ih izvodnih jednakosti. PRIMER l . Skup svih obrtnih površina, koje su dobijene obrtanjem neke krive oko u-ose u DESCARTEsovom pravouglom sistemu Oxyu, dat je formulom (l)
u�
f(xz + yz),
gde je f proi2.voljna funkcija. Pretpostavićemo da je rajući (l) po x, a zatim po y, nalazimo
(2f
p - 2xf',
Eliminacijom proizvoljne funkcije jednačine obrtnih površina
f
f
diferencijabilna funkcija. Diferenci
q = 2yf'.
iz (l) i (2) dolazimo do parcijalne diferencijalne
yp -xq = O.
PRIMER 2. Neka je dat skup funkcija
u - F (x, y.f(g (x, y))) ,
( 3)
gde su F i g date funkcije od tri, odnosno dve, promenljive, a f je proizvoljna diferencija bilna funkcija. Diferencirajući jednakost (3) po x i y, dobijamo
oF oF og p = - + - f' - , o x of o x
(4) Eliminacijom
f'
oF o F og q - - + - 1' - . o y of o y
i z jednačina (4), nalazimo
o F og o F o g og og - -. - p-- q - o x oy oy o x ox oy PRIMER 3. Diferencirajući po x i y jednakost u - ax + by +f(a, b), (6) gde su a i b proizvoljne konstante, a f data funkcija, nalazimo p = a, q - b. (7) Eliminacija konstanata a i b iz jednačina (6), (7) dovodi do tzv. u = xp + yq + /(p, q). (8) --
(5)
CLAIRAUTove jednačine
Treba primetiti da jednačina (6), iako na izgled jednostavnija od jednačine (3) (jer sadrži dve proizvoljne konstante, dok ( 3) sadrži proizvoljnu funkciju) dovodi do kompliko vanije jednačine (8) koja nije linearna u odnosu na izvode p i q .
PluMEil 4. Pođimo od jednakosti
u =f(x + ayj + g (x-ay), (9) p su !. g proizvoljne dva puta diferencijabilne funkcije · i a je data konstanta. Izvodne
�načine glase
(lO)
p -f' + g', q - af'-ag', , _," + g s - af" -ag'', ",
5.1. Uvod
129
t
Stoga j e - = a', tj . eliminacija proizvoljnih funkcija !. g iz (9) r
jednačine žice koja treperi PRIMER 5.
( lO) dovodi do tzv.
a 2 r = t.
Kao opštiji primer uzmimo da je
( l l)
u
=/(X + Y) + g (X- Y),
gde s u J. g definisani kao u primeru 4, a X, Y su date dva puta diferencijabilne fu nkcije od x, odnosno y. Imamo redom
( 1 2)
P = X ' (J' -i- g'),
r
odakle sleduje
q = Y' (/' -g' ) ,
X" -X'
Y' (!' ' - g"),
Y" l = -, q -,- ( Y ')' (/" , g"),
X" r = - p -i- (X')' (/" + g"), X' r
X'
t = Y" (!'-g') -i- ( Y')2 (/" + g")
= X" ( {' -i- g') + (X')l (/" + g") ,
tj.
s=
y
p
Y" t - --y;- q
(X')' ( Y ')'
Prema tome, rezultat eliminacije proizvoljnih funkcija J. g iz ( l l ) i ( 1 2) je parcijalna diferencijalna jednačina l l X" Y" = r q, (X')' - (X')l ( Y')'
t - (y)l
p
Za X = x, Y = ay, imamo primer 4; za X = x', Y = y' dobijamo jednači n u r
p
q
PRIMER 6. Jednačina proizvoljne razvojne površine može se napisati u obliku sistema jednačina u = cx +f(e) y + g (e),
( 1 3)
x + f' (e) y + g ' (e) = O,
gde su /, g proizvoljne diferencijabilne funkcije, a e je parametar. Na osnovu druge jed načine ( 1 3) e je funkcija od x, y. Stoga, diferencirajući prvu jednačinu ( 1 3) po x i y dobijamo p - e + (x + f' (e) y + g ' (e)) e,. ,
( 1 4)
q =f(e) + (x +f' (e) y + g ' (c))
Zamenjujući drugu jednačinu ( 1 3) u ( 1 4), nalazimo p = e,
Cy .
q =f(e),
odakle sleduje
q =f(p).
Jednačina ( 1 5) je parcijalna jednačina prvog reda, � li . o� a još uvek sadrži je� nu proizvoljnu funkciju J, koju ćemo sada eliminisati. DiferenciraJUĆI ( 1 5) po x 1. y, nalaz1mo
( 1 5)
odakle najzad dobijamo
s =f' ( p) r,
t =f' (p) s,
(16)
Jednačina ( 16) je parcijalna jednačina razvojnih površina. Ona se takođe naziva MONOE-AMPEREova jednačina. PluMER 7. Neka je
u - A + Bx + Cy + Dx2 + Exy + Da' y!,
i
130
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
gde su A, B, e, D, E proizvoljne konstante, i a je data konstanta. Izvodne jednačine prvog i drugog reda glase p � B + 2 Dx + Ey,
q � e T Ex + 2 Da' y,
s � E,
t � 2 Da2,
odakle eliminacijom proizvoljnih konstanata dobijamo jednačinu a2 r- t � O.
tj. poznatu jednačinu žice koja treperi . PRIMER 8. Neka je sada
u � A' x' + 2 ABxy + B' y1 - ex -;- Dy + E, ( 1 7) gde su A, B, e, D, E proizvoljne konstante. El iminacija tih konstanata iz jednač ine ( 1 7) i izvodnih jednačina
p=
2 A 2 x + 2 ABy + e, r � 2 A',
q
�
s � 2 AB,
2 ABx + 2 B' y + D, t � 2 B',
dovodi do parcijalne diferencijalne jednači ne razvojnih površina (MONGE-AMPEREove jednačine) rt-s' � O.
5.1.3. O vrstama rešenja parcijalnih diferencijalnih jednačina
Iz primera koje smo razmatrali u prethodnom odeljku v ideli smo da se parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda mogu formirati eliminacijom jedne proizvoljne funkcije ili eliminacijom dve proizvoljne konstante. Jasno je da polazne jednakosti (pomoću kojih je v ršena eliminacija) zadovoljavaju for miranu parcijalnu jednačinu prvog reda. Ta rešenja se razlikuju po svojoj strukturi. Stoga imamo, po LAGRANGEU, sledeće definicije rešenja parcijalnih j ednačina prvog reda. Definicija l. Ono rešenje parcijalne diferencijalne jednačine
(l)
F (x, y,
u, p, q) = O
koje sadrži dve proizvoljne konstante, čijom se eliminacijom iz rešenja i njegovih izvodnih jednačina prvog reda dolazi samo do parcijalne jednačine ( l ), naziva se potpuno rešenje (potpuni integral). Definicija 2. Rešenje jednačine ( l ) koje sadrži jednu proizvolj"nu funkciju čijom
se eliminacijom iz rešenja i izvodnih jednačina prvog reda dolazi samo do polazne jednačine ( l ) , naziva se opšte rešenje (opšti integral). Kod parcijalnih jednačina drugog reda situacija je složenija. Precizno je definisan potpuni integral (LAGRANGE): ·
Definicija 3. Potpuno rešenje parcijalne diferencijalne jednačine drugog reda
(2)
F (x, y,
u, p, q , r, s, t) = O
je ono njeno rešenje koje sadrži pet proizvoljnih konstanata, čijom se eliminacijom iz rešenja i izvodnih jednačina dolazi samo do jednačine (2). Postoji više definicija opšteg rešenja.
131
5.1 . Uvod
Definicija 4. (LAGRANGE, vi d eti [l) ) Opšte rešenje jednaćine (2) je ono koje sadr::.i dre proizl'oljne funkcije ćija e lim inacija doradi samo do polazne jednaćine . Definicija 5. ( A:>-! PERE,
videt i [2] ) Opšte rešenje parcijalne jednačine drugog reda izraz koji sadr::.i proizroljne funk cije, čijom se elim inac ijom dobija samo data parcijalna jednačina i sve jednačinc rišeg reda do heskonačnosti koje se dobijaju dife ren ciranje m date jednac'ine drugog reda.
je
Definicija 6. ( DARBOUX, videti [3] ) !!Ifegral je opšti ako sadrži proizvoljne funkcije ili konstante u neograničenom broju tako da se mo::.c naći rešenje čije postojanje dokazuju eAuCHYei'C teoreme, tj . tako da nepoznata jimk clja i jedan njen prri izrod dobijaju vrednosti koje se menjaju po ma kom unapred darom zakonu za
Sl'e ta(ke jedne krive. N ij ed n a od o \ ih definicija nije uniY erzalno ni primen ljiva ni prihvcćena. N a\ ešćemo nek o l i k o interesantnih primer a . Citirajući da izraz (videti [4] ) ( 3)
u =
k oji zavisi samo od
jed načine
jedne
J
e-t'
o
F (x -'- 2 t ..JY ) dt,
p ro i z v o ljn e
fu nkcije
F,
p:ed sta·. ljil
o p š te rešenje
r = q.
E. GouRSAT
u knjizi [3], str. 32, kaž,�: Za prepo::naranje da li je nek o rešenje dovoljno prebrojati proizvoljne funk cije koje se u njemu poja vljuju. Međutim, čak ni fu nkcija F koja fig u r i š e u ( 3 ) nij e proizvoljna ( videti [2] ). Dalje, A. R. FoRSYTH [5] navodi da izraz
op iJte nije
u = - kx3' 2 + F (y - k 2 x), 4
( 4)
3
je k proizvoljna konstanta , a F proizvoljna funkcija, predstavlja opšti integral AMPEREove jednačine
gd e
(S)
( 5) ( 6)
st + X ( rt - s2)2 � 0 .
Međutim, eliminacija proizvoljnih elemenata iz rešenja ( 4) dO\ o d i pored do jednačine 2 x (rt - s2) = pt - qs. Dakle,
(4) predstavlja rešenje sistema ( 5)-(6).
N. SALTI KOV je primetio (videti [l], str. 78) da rešenje (4) dopunjeno članom ex, gde je e proizvoljna konstanta , tj. u = _i_ kx312 + 3
F (y
- k2 x) + Cx
predstavlja rešenje samo jednačine ( 5). Za takva rešenja , tj. rešenja koja sadrže jednu proizvoljnu funkciju i dve proizvoljne konstante, N. SALTIKOV je uveo pojam mešoviti opšti integral. Slično se za sistem parcijalnih jednačina drugog reda definiše mešoviti opšti integral kao onaj koj i sadrži jednu p r oizvolj nu fu nkcij u i jednu p ro iz . voljnu konstantu čija eliminacija dovodi samo do polaznog s1stema. O vezama između navedenih vrsta integrala za sistem parcijalnih jednačina drugog reda videti [6] i [7].
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
132
Mi ćemo u daljem tekstu prihvatiti LAGRANGEove d efin ic ij e , tj . definicije
l, 2, 3, 4.
Tako, na pr i m er , na osnovu pri m e r a 4 i koja treperi ima potpuni integra l
u =
A
Bx +
7,
Cy + Dx1 +- Exy + Da2 yz ,
gde su A , B, e, D, E proizvoljne konstante , dok gde su J,
u=
g
n ala z i m o da
f(x -+- ay) + g (x - ay) ,
j ed načina
njen o pšti i n te g ra l
žice
glasi
dve pro izvoljne d v a p u t a d i ferenc ijabilne fu n kc ij e .
LITERATURA l.
H. CAnTHKOB: Teopuja uapu,uja!IHUX je,qHa'lUHa gpyfof pega . .6eorpaJ( 1952. des equarions diffirentie!les aux dirivies partie/les du second ordre. Acad. Roy. Serbe. Bul l . Acad. Sci . Math. N a t . Sci. Math.
2. e . 0RLOF--F: Sur rintegrale generale
Phys. 6 ( 1 939), 1 9 1 -1 98. 3. E. GOURSAT: Le{:ons sur {'integration des equations aux derivees partie/les du second ordre, l. Paris 1 896. 4. A.-M. AMPERE : Journal de l'Ecole polytechnique, XVII• cahier, p. 43. 5. A . R. FoRSYTH: Theory of different/al equations, vol. Vl. Cambridge 1 906. 6. B. RAšAJSKI: O vezama između različitih vrsta integrala za sisteme parcijalnih jedna čina Il reda u involuctji Darboux-Liea. Vesn i k Društva Mat. Fiz. NRS 9 ( 1 957), 67-80.
7.
B. RAŠAJSKI: O mešovitom opštem integralu sistema parctjalnih jednačina II reda. Vesnik Društva Mat. Fiz. NRS 13 ( 1 96 1 ), 1 69-1 72.
5.2. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE PRVOG REDA 5.2.1. Linearna homogena jednačina
Posmatrajm o linearnu homogenu jednačinu iJ u
+
+
iJ u
X11 -- = 0, O Xn gde su X" . . , X11 date funkcije promenlj i v ih x" . . . , xn , a u je nepoznata
(l)
funkcija, i
( 2)
X1
-
O X1
·
·
·
ajedn o s njom sledeći sistem običnih diferencijalnih j e dnačina .
z
dx1
-xl
=
.
.
·
dx"
= -
Xn
Neka je F (x 1 , , x") = e, gde je e konstanta, jedan prvi integral sistema jednačina (2). Dokažimo da j e tada u = F jedno rešenje jednačine ( l ). Zaista, d iferencirajući jednačinu F= e, dobijamo •
tj., s obzirom na (2),
•
•
·
iJ F
x, - + iJ xl
. .
.
iJ F
+ -- dx" = O, o x,.
iJ F . + X,. = 0.
ox"
5.2. Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda
Obrnuto, neka j e u = J j e dno
Jf + X1 J x1
r eše nj e ·
·
·
·
·
·
133
jed načine ( l ), tj. nek a je
of = 0. + X" J x11
S obzirom na (2), ima m o of dx1 + J x1
+ - Jf -- dx" = O, J x"
tj . df= O, o d ak l e sleduj e d a je j= C j ed an integral sistema jednačina (2). Time s mo dokazali sled eći rezultat: l.
Integracija jednaćine ( l ) i integracija sistema jednačina (2) su dva problema. Dokažimo sada sled eću važ,w teore m u :
Teorema
ekrira/cntna
Teorema 2 . Nek a s u /1 , , fk k rešenja jednačine ( I ) i neka je n proizvoljna dife ren cijabilna funkcija od k promenljirih. Tada je n Ur ' . . . ' fd takođe rešenje •
•
.
jednačine ( l ) .
Dokaz. Kako su /1 ,
.
•
•
,
fk rešenja jed načine ( l ), i mamo
(i = l , odakle sleduje
( 3)
. . .
' k),
v [; ) o n o/; + · · · + X" (X - = 0. . 1 o x! J x" iJ[;
Jednačina (3 ) može sc napisati u obliku on X1 - + o x1 čime je teorema d okazana.
·
·
on · + X" - = 0, o x"
Teorema 3. Neka su fl ' . . . , /,._ 1 raz ličiti integrali jednačine ( 1 ) , proiz voljna diferenc ijab ilna funk cija od n - l promenljivih. Rešenje
neka je
n
(4) sadrži sva rešenja jednačine ( 1 ). Drugim rečima, ( 4) je opšte rešenje jednačine ( l ). Na osnovu teoreme 2, (4) jeste rešenje jednačine ( l ). Dokažimo sada da je to rešenje opšte. Pretpostavimo da je
Dokaz.
lJ ci>
ox.
(5)
lJ ci>
o x,.
X1 - + · · · + X" - = 0. Međutim, kako su /1 ,
•
•
, /"_ 1 rešenja jednačine ( J }, imamo
•
o[; + · · · + X" J[; = X1 O o x,. o x.
(6)
(i = l , . . . , n - 1 ) .
Kako sve fu nkcije X1 , , X" nisu jednake nuli (jer u tom slučaju ne bi ni postojala jednačina ( l )), funkcionalna determinanta sistema jednačina ( 5) (6) mora biti jed naka nuli, što znači da su funkcije
•
•
•
•
•
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
1 34
Prema tome, uzimajući u rešenj u (4) da je II = cx, vidimo da (4) sadrži rešenje
.
.
•
•
•
,
5.2.2. Kvazilioearoa jednačioa
Parcijalna diferecijalna jednačina prvog reda Ju
--
X1
(l)
d x1
+ · · · · + X"
ou
= U,
--
d xn
gde su Xl > . . . , X" , U date funkcije promenlj i v i h x1 , x" . u, nata funkcija, naziva se kvazilinear_na jed načina. Potražimo funkciju z takvu da fu nkcija u, defi11isana sa •
•
•
,
a
u
JC
nepor
(2)
bude rešenje jednačine ( l ). Dife�enciranj�;m jednakosti (2) dobijamo
(3)
X1
oz
--
o x1
+ · ·
·
+ Xn - --- -1
ilz
ox"
oz
U - = 0. ou
Jednačina (3) j e linearna homogena jednačina, te na nju možemo prt meniti razmatranja iz prethodnog odeljka. Koristeći se teoremom 4 iz 5.2. 1 . i relacijom (2) dobijamo sledeću teoremu Teorema l. Neka je J; = C; (i = l , . , n) opšte rešenje sistema diferencijalni/z .
jednačina
�= X,
.
. .
.
=
dxn
=
� u
Jednakost II (/1 , f") = O, gde je n proizvoljna diferencijabilna funkcija je opšte rešenje kvazi!inearne jednačine ( l ) . •
•
•
,
5.2.3. Caucbyevo rešenje kvazilinearoe jedoačioe Neka j e data kvazilinearna jednačina ou
X1 - + · ·
(l )
O X!
·
ou
+ X" - = 0. o x"
Rešenj e jednačine ( l ) koje zadovoljava i sledeće uslove
A (u, xt o
(2) gde su A,
B
.
.
.
, x") = O,
B (u, x1 ,
•
•
•
,
x") = O,
date funkcije, naziva se CAUCHYevo rešenje jednačine ( l ).
5 . 2. Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda
Jednakosti (2) dozvoljavaj u da se u, x1 (n - l ) parametara 1 1 , , 1"_ 1 : •
•
•
•
•
•
(3)
•
,
x"
135
tzraze kao funkcije od
(i = ! , . . . , n )
PRIMEDBA. Jednakosti (2), ( 3 ) , predstavljaju jednačinu (n - 1 )-dimenzionalne (n -;- 1)-di menzionalnom prostor u . S pecijalno, za 11 2 i mamo jednačinu krive zionalnom prostoru. =
površine u trodimen
u
Neka j e opšte rešenje j e d načine ( l ) dato sa n (/1 , , fn ) = O , gde n imaj u isto z na č en j e kao u prethodnom odeljku. CAUCHYeV problem ' ln . !:se. S<.S. toj i U Određivanj u funkcije n tako da r eš e nj e zadovoljava uslove ( 2 ) . Stavi m o •
.
l , . . n.__ E l i m i n acija p a r a me ta r a d o je d11 ak o s t i n ( F 1 • F2 , F"l = O . za
•
.
.
i=
.
.
•
.
.
.
'" . . . . tn - l
i z g o r njih jednačina d o v o d i
Tada n (fl ' . . . , fn ) = o predstavlja traže no CAUCHYevo rešenje j e d načine ( l ) , tj . ono njeno rešenje koje pored jednačine ( l ) za d ov o l j av a i ·u slove (2).
5.2.4. Lagrangeova teorija integrala Neka je data opšta parcijaln a difere ncijalna jednači na prvog reda
F (x, y, u, p, q) = O
( l)
i n te g r al dat sa
i neka j e njen potpuni
V (x, y, u, a , b) = O ,
(2)
gde su a, b proizvolj ne konstante.
LAGRANGE j e dokazao da se iz rešenja ( 2) mogu odrediti sva rešenja jed načine ( l ). Izložićemo ovde tu t e orij u . Pretpostavimo da su a i b fu nkc ij e promenlj i v i h x i y . Dife renciraj ući jednakost (2) po x i po y, nalazimo oV
0 ./C
+
oV ou
p+
oV
�
oa OX
+
� ..!!!!_ = O, d b ox
o v -oV o a -i- ov + o v q + -oy
Kako
je
ou
oa
o b = 0. o b ay
oy
j ednačina ( l ) formirana elimi nacijom a i b i z jednačina V = O,
Vx + V., p = O i Vy + V., q = O, moramo uzeti � � + � � = 0, oa ox
ob ox
JV o a
oV
da o y
ob
- -+-
�-� - O oy
.
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
136
Mogu nastupiti tri slu čaja : 1
o
. . ob ob oa oa . je . d nač m e ( l ) - = - = - = - = 0 . Tada su a 1 b k onstan te ; rešenje o�
oy
ox
() y
je dato sa (2). Takvo rešenj e , k ao što znamo, naziva se potpuno rešenje ( pot puni integral). . (2 . oV . .. oV . . oV oV ) 1 jed nac1;1a - = O, -- = O , d o2° - = - = 0 . Ehmmacija a 1 b 1z ·
v ·
vodi d o rešenja jed n ač i ne ( l ) koje n e sadrži proizv olj ne elemente. Takvo rešenje LAGR ANGE je nazvao singularn(l rešenje. oa
el a
ob
t:l b
( ) D a, b = O , što zn ači da su a i b zavisne D (x, y) + funkcije , tj. b = g (a). Eliminacija a, b iz j e dn ačina (2), b = g (a) i Va Vb g' (a) = O, dov odi do rešenja koje sadrži proizv oljnu funkciju g. Takvo rešenje se naziva, po LAGRANGEU, opšte rešenje.
3°
� :;i: O. Tada je �+[� l� ob oa
5.2.5. Lagrange- Cbarpitov metod
U p re th od nom odeljku smo videli da je p o znav anje potpunog integrala opšte parcijalne diferencijalne jednačine prv og reda F (x, y, u, p , q) = O
( l)
kvivalentno p oznavanju svi h nj enih i n tegra l a.
Stoga ćemo sada dati j ed an metod za odr eđivanje potpunog i ntegrala jed načine ( l ). Taj metod potiče od LAGRANGEa, a razvio ga je CHARPIT. Metod se sastoji u sledećem: Pridrlžimo jednačini ( l ) jednačinu e
(2)
G (x, y, u, p , q) = O.
R e šav anjem sistema jed načina ( l ) , (2) po p i q, dobijamo p = p (x, y, u), Da bi jednačina
dz = p dx
( 3)
q = q (x, y, u). +
q dy
bila totalni diferencijal, potrebno j e i dov olJno da bude
( 4)
op + op !..!!.... + !..!!.... . q= p oy du ox ou
Smatrajući p, q kao funkcije nezavisno promen ljivih x , y, x i y, nalazimo
rajući jednačine ( l ) i (2) po
u,
o F + o F !..!!_ + o F � = O, ox op o x o q o x
o G + o G op + o G � = O, ox op ox o q ox .
o F + -oF -···uy op
o G + o G op + o G o q = O, dy op oy o q oy
op oy
_
_L
o F -oq = 0 , dq dy
___ _
diferenc i
5.2.
odakle sleđuju jednakosti: D (F, G) D (F, G ) D (x, p)
D (u, q)
. oF Stav1mo
( 4)
ox '> q
+ p_(F,_0_ +
,
� = O, ox
_?_(_F, G) jJ_[J_ = O , D (q, p)
D (p, q) J u
oF X =
=
oy
y
,
oF
--
Ju
0P 0P 0q . .h . - , - , - , - - DJI ovim oy
ou
,) x
Ju
da zadovolj i jednačinu ( 5) z=
oz P+Q
Jz
- --
ox
oy
137
Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda
=
U
,
D (F, G) + p_(F._(;1_
D (u, p)
_(J__q_ = O ,
D (q, p) o u
E C�G')_ f- D (F._G)_ � O . = D (� � D (p, � J y
J F _ P,
v rcd noshma. .
llz
-
. .. =
Q
.
zamemmo u jednačini
1.
N a1 a Z.i m o da funkcija G treba ,) z
+ (Pp + Qq) - - - ( X + p U) - - ( Y + q U) ou
op
oz -
Jq
= 0.
Jedno rešenje jednačine (5) j e z = F (x, y, u, p, q). Neka jr: fu n k c ij a G (x, y, u, p, q) neko drugo rešenje te jednačine . Tad a jednačine
F (x, y, u, p , q ) = , G (x, y , u , p , q ) = a, gde je a proizvoljna konstanta, o dređuju fun kcije p , q p romenljivih x, y, u, za koje je jednačina (3) totalni diferencijal. lntegralenjem jednačine (3) uvodi se još jedna proizvoljna konstanta b, što znači da kao rezultat dobijamo potpuni integral jednačine ( l ). Jednačina (5 ) je linearna homogena jednačina i nju smo razmatrali ranije. O
5.2.6. Charpitov sistem jednačina Sledeći
sistem parsijalnih diferencijalnih jednačina X
(l)
1
o u, + . . . + X O X1
O Ut
n O Xn
= Ul
prvog
red a
(i = l , . . . , m)
gde su u 1 , :X" , a X1 , X" , , um nepoznate funkcije promenljivih x1 , , Xn , Up . . . , Um , naziva Se Ul ' . , Um SU date funkcije promenJjivih Xp CH/...�PTTOV sistem jednačina. Sistem jednačina ( l ) uveo je 1 794. CHARPIT, ali j e taj njegov neobjav ljen rad pronađen tek 1 928. U međuvremenu je navedeni sistem takođe pro našao JACOB!. Sistem j ednačina ( l ) predstavlja jedan kvazilinearan sistem sa sledećim osobinama: l o Broj jed načina jednak je broju nepoznatih funkcija. 2° Svaka parcijalna jed načina iz ( l ) je kvazi linearna u odnosu na izvode samo jedne nepoznate funkcije. 3° U svakoj jednačini koeficijenti uz izvode po istim nezavisnim pro menljivama su jednaki . Pretpostavimo da je rešenje sistema jednačina ( l ) vdređeno sa •
.
(2)
.
•
•
•
•
•
•
•
,
•
(k = l ,
..
. , m).
•
•
•
,
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
138
Diferencirajući jednakosti (2), nalazimo (J;)
ofk + oA o u, + . . . o x; o u, o x;
+
�A !!_u!'!_ = 0 o x;
O Um
Množenjem jednačine (J;) sa
i = l do i = n, dobijamo X ofk + 1
d x1
X; ,
(k = l , . . . , m; i = l , . . . , n).
sabiranjem dobijenih jednačina od
(
. . . + X ofk + i}f"- x o u, + . . . + X o u, n O X11 n O Xn o u 1 1 O X1
) (k = l , . . . , m).
tj .. s obzirom na polazni sistem ( l ), ( 3)
X ofk
1 o x1
oA + . . . + u '!/k = 0 m + . . . + Xn'}fk + u1 Ou1 O Um O Xn
(k = l, . . . , m).
To znači da funkcije fk (k = l, . . . , m) predstavljaju integrale linearne parcijalne jednačine prvog reda ( 4)
Dokažimo i obrnuto tvrđenje da svaki sistem od k različitih rešenja jed načine (4) određuje rešenje sistema jednačina ( 1 ). Zaista, iz jednačine (2) dobijamo jednačine (J;), koje na osnova ( 3) postaju (5)
+ !A O Um
(x d um + . . . + 1 O X1
)
Xn IJ_tl�"'- - Um = 0 O Xn
Ako pretpostavimo da je funkcionalna determinanta dobijamo
(k = l , . . . , m) . D (!, , . . , /m) ::;E O, D (u u . . , Um) .
.
iz (5)
(i = l , . . . , m),
čime je dokazano da jednačine (2) određuju rešenja CHARPITovog sistema ( l ) . Na osnovu teoreme 4 iz 5.2.1, gornji rezultati mogu se formulisati na sledeći način: Teorema l. Sistem jednačina
ndJ; , J2 ,
, fn + m - ) = 0 ( k = l , . . . , m) , 1 , In + m - l različiti integrali jednačine ( 4 ) a n 1 . . , nm su proiz gde su !1 , voljne diferencijabilne funkcije, p redstavUa opšte rešenje CHARPITovog sistema par cijalnih diferencijalnih jednačina ( 1 ). •
•
•
.
.
.
,
.
.
CHARPITovi sistemi i maju važnu ulogu u integracij i parcijalnih c' i-erenci jalnih jednačina. Detaljniji podaci o njihovim primenama mogu se �� .;i u [1]. LITERATURA 1. B. RAŠAJSKI: O primenama Charpitovih sistema. Neki nerešeni problemi
Matematička biblioteka, sv. 25, 1963, str. 1 1 3- 1 27.
u
matematici.
5.3. Opšti metodi u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda
1 39
5.3. OPŠTI METODI U TEORIJI PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA DRUGOG REDA 5.3.1. Jednačina žice koja treperi
Jednačina žice koja treperi (l )
je verovatno p rva jednačina koja se pojavila u matematičkoj fizici . Do o >'e jednačine dolazi se eliminacijom proizvoljnih konstanata u 1zrazu (2) u = IX + �x + yy + ox2 + e:xy + o a2 y2, i eliminacijom proizvoljnih funkcija iz jednakosti
u =f(x + ay) + g (x - ay) .
(3)
Stoga je potpuni integral jednačine ( l ) dat sa (2), a opšti sa (3). Formulu (3 ) dobili su 1 747. o'ALEMBERT i EULER. O vde ćemo navesti postupak kojim se iz opšteg rešenja (3) jed načine ( l ) dobija o:.o rešenje koje zado :oljava početne ( CAUCHYeve) uslove uy (x, O) = B (x) (x E R), u (x, O) = A (x), (4) gde su A, B date funkcije. Stavimo u (3) y = O. Dobijamo (5)
(6)
f(x) + g (x) = A (x) . Diferencirajući jednačinu (3) po y, nalazimo q = (x, y ) = a f ' (x + ay) - ag'(x - ay) . Ako u ( 6) s tavirno y = O, imamo af' (x) - ag' (x) = B (x) , uy
odakle integracijom dobijamo
af(x) - ag (x) =
(7)
X
J B (t) dt.
xo
Rešavajući sistem jednačina (5)-(7), imamo l f(x) = -l A (x) + -
2a
2
X
J
B (t) dt ,
Zamenjujući o :e vrednosti za (8)
l g (x) = -l A ( x) - -
2
f i g, rešenje
2a
(3)
u (x, y ) = -L (A (x + ay) + A (x - ay)) + 1 2
2a
X
J
B (t ) dt.
xo
postaje
J B(t) dt.
x+ay
x-ay
Formula (8) predstavlja rešenje jednačine ( l ) koje zadovoljava i uslove Ona se naziva o 'ALEMBERTova formula.
(4).
PRIMEDBA. Posmatrajmo jednačinu ( l) i njeno rešenje (8), bez obzira na uslov (4). Rešenje (8) sadrži dve proizvoljne funkcije A i B, stoga se može smatrati opštim rešenjem jednačine (1).
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
140
5.3.2. Eulerova jednačina
Posmatrajmo sada jednačinu
Ar + 2 Bs + Ct = O,
(l)
gde su A , B, e konstante. Ova jednačina se ponekad naziva EuLERova čina. Jednačina ( l ) je očigledno opštija od jed načine žice koja trep e r i .
Izvršimo smenu nezavisno
p romen ljivih
jedna·
cx + dy = "Y),
(2)
gde s·11 a, b, e, d konstante koje ćemo naknadno odrediti. Redom dobijamo iJ u iJ u + c P=a' o f,
iJ
iJ
u, u + dq=be) f,
0 1)
0 1)
�u �u �u &u s = ab + bc -+ ad -+ cd -
o�2
o� 01J
o� 01)
01)2 '
2 t = b2 02�u + 2 bd � + d 2 ° u o� 01)
o 2
01)2
stoga jednačina ( l ) postaje
(3)
0 (Aa2 + 2 Bab + Cb2) {)2 u2 + 2 (Aac + B(bc + ad) + Cbd) �
�
0 1:, 0 1)
02 u = .
+ (Ac2 + 2 Bed + Cd2) 1) iJ 2
O
Kako su a, b, e, d neodređene konstante, uzmimo da je a = e = l , i da s·11 b, d koreni jednačine A + 2 Bt + Ct 2 = O Tada se jednačina (3) svodi na jednačinu .
odakle neposredno imamo
U = f(�) + g ("Y) ) ,
gde su J, g dva puta diferencijabilne funkcije. S obzirom na smenu (2), 1mamo da je opšte rešenje jednačine ( l ) dato sa
(4)
u (x, y) = f(x + by) + g (x + dy),
gde su b, d koreni jednačine A + 2Bt + Ct2 = O Ovde smo prećutno pretpostaviti da je b =f. d. Ako je b = d, tada rešenje možemo dobiti na ovaj način (videti [l]). Rešenje jednačine ( l ) je .
u =f(x + by) + g (x + dy).
5.3. Opšti metodi
Stoga je i ( 5)
u
teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda
u =f(x + by) + g (x + dy) - g (x + by) .
d-b
141
(d =Fb)
rešenje jednačine ( 1 ) . Ako u ( 5) pustimo da d - b, imamo u =f (x + by) + lim g (x + dy) - g (x + by) d-->b
d-b
=f(x + by) + yg'(x + by),
'
gde su f, g proizvoljne dva puta diferencijabilne funkcije . Stavljajući g' = h, dobijamo najzad da je U= f(x + by) + yh (x + by) rešenje jednačine ( l ) u slučaju kada jednačina A + 2 Bt + Ct2 � O ima dvostruki koren. Izvedimo sada formulu analognu n'ALEMBERTovoj pomoću koje se dobija CAUCHYevo rešenje jednačine ( l ), tj. rešenje koje pored jednačine ( l ) zadovo ljava i uslove u (x, O) = M (x), uY (x, O) = N (x), gd e su M, N date funkcije. Stavimo y = O u (4) i u izvodnu jednačinu uY (x, y) = bf' (x + by) + dg' (x + dy) . Dobijamo (6)
f(x) + g (x) = M (x)
(7)
bf' (x) + dg ' (x) = N (x),
odakle i ntegracijom jednačine (7) nalazimo bf(x) + dg (x) =
(8)
X
J N (t) dt.
xo
Rešenja algebarskog sistema jednačina (6)-(8) data su sa d d-b
d-b
b
l
b-d
b-d
l
f(x) = - M (x) - -
g (x) = - M (x) - -
X
J N (t) dt, X
J N (t) dt.
xo
Prema tome, traženo CAUCHYevo rešenje je
1 u (x, y) = -- (dM (x + by) - bM (x + dy)) + -1-
d-b
LITERATIJRA
b-d
x+dy
J
N (t) dt.
x+by
1. D. S. MrrRINovrć: Sur une equation liniaire aux derivees partie/les constants. Math. Gaz. 41 (1957), 4 1-43.
d
coefficlenu
142
S. Parcijalne diferencijalne jednačioe
5.3.3. Klasifikacija parcijalnih jednačina drugog reda Neka je d ata parcijal na d iferencijalna
(l)
gde su
A , 8,
Ar+ 2 Bs + Ct+ F(x, C date funkcije od x i y.
jednačina
y,
u,
p , q) = O,
Definicija l. Ako je u nekoj oblasti ispunjen uslov načina ( l ) u toj oblasti hiperboličkog tipa.
B2>AC, kažemo da je jed Definicija 2. Ako je u nekoj oblasti ispunjen uslov B2 = AC, kažemo da je jedna ćina ( I ) u toj oblasti paraboličkog tipa. Definicija 3. Ako je u nekoj oblasti ispunjen uslov B2
Mi
5.3.4. Svođenje jednačina . na kanonični oblik
Neka je data parcijalna jednačina
Ar+ 2 Bs+ Ct + F(x, y, u, p, q) = O, gde su A, B, e funkcij e od (AoFO). Umesto promenljivih
(l)
nove promenljive �.
ll
X, y
pomoću j edn ak osti
X, y
'J vedimo
� = f(x, y), 'tJ = g(x, y) , gde su f, g dva puta neprekidno diferencijabilne funkcije za koje je J, gy -r. gx oF o. Na osnovu imamo (2 )
(2 ) ou og , ou of +ou og , q = ou of + p=o� oy O'IJ oy o� ox O'IJ ox • � 1 o2 u { o )2 2 � o1 o g o2 u {�)2 + o J � oz g , r= o/;2 ox o!;ch] ox ox ch]2 ox o� ox2 O'IJ đx2 o' u of of + o' u of og of og o2 u đg og ou o2/ ou o• g S= o/;2 h a; o�o'IJ (h a; + a; -;;) o7J2 a-; ox + � ox đy + � oxoy ' t= o2u ( of)2 + Z � of � + �� (� 2 + � olf + � OZ.l!. . 0�2 oy o!; o o y o y o rj' o y J o!; o y2 o-� o y2 +
+
+
+
'lJ
Stoga jednač inu ( l ) možemo nap i sati u obliku
( 3)
(A { oxof)2 + 2 B oxof oyof + e( oyo/)2) �-o/;2u
of o og of ) �_!4_+Z (A oxof � ox + B ox _oy_'!_ + B !_ol_y ox + C oy � oy o/;o'IJ og -�- c ( og )2) o' u + F� (�. u, _ou ' ��-) = 0, + (A (� ox )2 -!- 2 B ox � oy oy ch]' o!; 'tJ,
u .•
143
5.3. Opšti metodi u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda
gde je stavljeno
F(x, y, u, p, q) = F1 (1;, "fl, u, t>c>�; , �) . d lj
Jer s e x, y mogu odrediti u funkciji od 1; , "fl iz jednač ina (2). Primetimo da ako je funkcija F linearna u odnosu na u , p, q , tada će i funkcija F1 biti linearna u odnos·u na u, !!_lt_ , !!_lt_ . Drugim rečima, transford� d 1) macija (2 ) n e menja l inearnost. U daljim razmatranjima osnovno mesto zauzima jednačina
( )
( )
A � 2 + 2 B � !_l!_ + c � 2 = O.
(4)
dx dy
ox
dy
1 ° Neka je jednačina ( l ) hiperboličkog tipa, tj. neka je se jednačina ( 4) raspada na dve jed načine (5)
A � = ( - B - yB2 - AC) � ,
(6)
A � = ( - B + �AC) � .
dx
dy
dX
dy
Neka su h = h1 (x, y) , h = h2 (x , y) rešenja redom . d h, dh2 d h2 d h, -+ Q tak va da J e - - - - - ., . d x dy
dx
B2 > AC. Tada
j e d načina
(5) i
(6)
dy
Stavimo f= hl ' g = h2 u j ednakosti (2) . Tada s u u jednačini (3) koefic i. . dl u dl u . dl u " raz ! ICit mora b Ih Jenti uz -- , - Jednak"1 nu l 1.' Koer·ICIJent uz ' V ' o d m.1 l e, � �2 �� jer bi u protivnom prelaz sa koordinata (x, y) na koordinate "tJ ) smanji·•ao red jednačine, što je nemogućno. Ako podelimo jednačinu (3) sa tim koeficijentom, dobijamo jednačinu . .
(7)
i>�2;7J = F2 (1;,
.
--
�. u,
(1;,
·
;� , ;� ) .
Jednačina (7) predstavlja kanonični oblik hiperboličke jednačine. Ako uvedemo nove promenljive IX , � pomoću jednakosti 1; = IX + �'
jedna.:'ina (7) postaje (8)
�=
IX
-
�'
Oblik ( l ) je takođe kanonični oblik h iperboličke jednačine. Ako je funkcija F linearna u odnosu na u, p, q, tada su i funkcije . du du , du du h near ne u odnosu na u, , - , o dnosno u, -
d�
- ,
d oc
d 7J
F2 , F",
-- . •
d�
·
PRIMEDBA. U 5.3.2. rešili smp EULERovu jednačinu svodeći je smenom koja odgovara trans
formaciji (2) na kanonični oblik
dz u
--
d � d 1)
= O.
2 ° Neka j e j ednačina ( l ) paraboličkog tipa, tj. neka j e je jed nači na ( 4) ekvivalentna linearnoj homogenoj jed načini (9)
A � + B � = O� Jx
dy
Bz = AC. Tada
5. Parcijalne diferencijalne jednačlne
144
Neka je x, y da bude ( l O)
h = h1
o h , o h,
(Na primer, ako je Stavimo
u
dh
d x oy
, dx
h2 takva funkcija od
rešenje jednačine (9) i neka je
(x, y)
_
i> h, o h,
d x oy
> 0, možemo uzeti
(2 ) f= h l '
g=
hz .
=i= O .
hz
Tada j e
).
(x, y) = y u
jed načini
.. (3) koe f.ICIJent
uz
o' u
o�'
dh dh . . k ako Iz Je d nač'm e A - + B - O z bog uslova parabolič' Je . dnak nu l'1. DalJe, dx đy . đ' u dh dh . . . .. uz -- , t) . . l azt Je d nac ma B - + C - = O , k oef'ICIJent nost t Bz = AC Iz ox oy đ� ch] =
·
v·
(
A
oh, + dx
B dđyh,) odh,x + (B doxh, + c ođyh,) ađh,y
� je
takođe Je jednak nuli. S druge strane, zbog uslova ( 1 0) koeficijent uz različit o d nule . Podelimo jednačinu (3) s a tim koeficijentom. Dobijamo đ' u - + F2 iJ 7]'
(
�.
1) ,
ou
(j�
što predstavlja kanonični oblik parcijalne f'RIMEDBA. Ako je ou odnosu na u, - , a�
)
= 0,
jednačine paraboličkog tipa.
F linearna funkcija u odnosu na u, p, q. tada je i funkcija F, linearna u ou
- , tj. imamo jednačinu a "IJ iJ u
đ' u
(l l) gde
ou
(j 7]
u, - , -
iJ u
- = A, - + B, - + C1 u + D1 1 0 71 aE d 11'
su
A " B" C" D1 funkcije o d � . 7] . Jednačina ( l l ) može s e dalje uprostiti. Uvedimo smenu 2I
u = Ue
Tada jednačina (l l ) postaje
I
B, (�. 7J)d1l
.
(j u
d2 u
iJ �
- = A1 - + C2 U + D, . d 7] '
3° Ostaje nam još da analizujemo slučaj B2< AC, kada je jed načina ( l ) eliptičkog tipa. Tada su koeficijenti jednačina (5) i (6) kompleksne funkcije. Neka je h (x, y) = h1 (x, y) + ih2 (x, y) rešenje jedne od jed načina (5) i (6), recimo jednačine (5). Tada je h (x , y) = h2 (x, y) + i h1 (x, y) rešenje druge jed načine, u našem slučaju jednačine (6). Stavimo u (2) f= h1 , g = hz . Rastavljajući realni i imaginarni deo u jednačini
( )
A !..1!_ 2 + ox
gde je
h = h1 + ih2 = f + A
( )
( )2
!..!!_ + c !..l!_ dx oy oy
2 B !..!!_
ig, dobijamo
( ) ( ) ( đg + of og ) + c
= O,
( )
o df of + of 2 + 2 2 C f 2 = A � z + 2 B� � + C � • B ox d x oy đy ox ox iJy oy A
df a g + đf B ox oy
d x ox
oy ox
df og_ oy o y
= O.
S,j, Opšti metodi u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda •
To znači da je u jednačini (3) koeficijent
uz
� Ur) jednak nuli, dok
sa
G-rJ'
tim koeficijentima. Dobijamo o' u o' u = F , + Ur)' 2 �. 0�
(
"1),
su
o�
u koeficijenti uz 02 i 02 u jednaki i ra:>:ličiti od nule. Podelimo jednačinu o�'
145
(3 )
)
ou ou u, � , �,
koja predstavlja kanonični oblik parcijalne jednačine eliptičkog tipa. I u ovom slučaju imamo, da ako je funkcija F linearna u odnosu na promenljive u, p, q, tada je i funkcija F2 linearna u odnosu na promenljive ou ou u' � ' 1J • o
0
5.3.5. Laplaceova teorija
Neka je data opšta parcijalna jednačina drugog reda hiperboličkog tipa kanoničnom obliku
u
s + Ap + Bq + Cu + D = O,
(l)
gde su A, B, C, D funkcije promenljivih x, y. Jednačina ( l ) može se napisati u obliku (2)
o
- (q + A u) + B (q + Au) + D = hu, OX
gde je stavljeno Ako j e h == O, tada je jedna.:::i na (2) obična linearna diferencijalna jedna čina u odnosu na nepoznatu funkciju q + Au, i njeno rešenje je (3)
q + Au = e
- JBdx
( y - J neJsdxdx) ,
gde je Y proizvolj'<1a funkcija od y. Sada je jednačina (3) obična liaearna diferencijalna jednačina u odnosu na nepo :.>:natu u, te imamo (4) gde je X proizvoljna funkcija promenljive x. Formula (4) predstavlja opšte rešenje jednačine ( l ) u slučaju Jednačinu ( l ) možemo napisati i na ovaj način gde je k = By + AB - C.
o oy
- (p
+ Bu) + A ( p + Bu) + D = ku,
h:= O.
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
146
raniJe, dolazimo
Pretpostavljajući da je k � O, istim postupkom kao
do for mule
( 5)
gde X i Y imaju isto značenje kao u formuli (4), koja predstavlja opšt<� rešenje jed načine ( l ) pod uslovom k = O. Rešenja (4) i (S) pod odgovarajućim uslovima potiču još od EULERa. LAPLACE je, međutim, 1 77 1 . dao metod kojim je mogućno odrediti opšte rc šenje jednačine ( l ) i u nekim slučajevima kada nije ispunjen nijedan od uslo·, a h = O, ks O. Stoga se jednačina ( l ) često naziva LAPLACEova jednačina, a postu pak koji ćemo sada izložiti LAPLACEova teorija. Primetimo da je tu teoriju uopštio i razradio DARBOUX [l]. LAPLACEov metod je utoliko važniji jer je DARBOUX docnije dokazao da su k i h invarijante jed načine ( l ) u odnosu na punktualne transformacije, što znači da se punktualnom transformacijom ne može preći sa neintegrabilnog na i ntegrabilni oblik jednačine ( l ). Umesto jednačine { l ) posmatraćemo jednačinu s + Ap + Bq + Cu = O,
(6)
na koj u se uvek može preći sa { 1 ) , ako je poznato jedno partikularno rešenje jednačine ( l ). Jednačina {6) može se predstaviti u obliku
d
- (q + Au) + B (q + Au) = hu, OX
(7)
gde je h = Ax + AB - C. Uvedimo novu funkciju u1 pomoću jednakosti q + Au = u1 •
(8)
Jednačina {7) tada postaje (9) Diferencirajući (9) po
y,
o' u, ox ay
dobijamo
-- + B
( J O)
o u,
---
oy
+ BY u1 = hq + h u. Y
Eliminacija q i u iz jednačina (8), (9) i ( 1 0) dovodi do jednačine (ll)
(
_d� + A - _!_ h
ox ay
h
tj. do jednačine
)
Y
o u, ox
+B
ou , oy
(
)
-+ C - Ax + BY _ !!_ h u1 = 0, Y h
{ 1 2)
gde je stavljeno
d2 u1 ox oy
A-
l
h
= Sl , -;; = p l , = qp -;; ou1
hy = Ap B = Bp
ou,
B hJI = C1 • C -- Ax + By - h
5.3. Opšti metodi
u
teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda
147
Jed načina ( 1 2) je opet jednačina LAPLACEovog tipa. lzračunajmo njenu invarijantu h1 koja odgovara invarijanti h jednačine ( 1 ). Imamo h1 =
J A,
+
dx
..
-�
A 1 B1 - C 1 = h + A - BY · dx Jy
(log h).
Ako je h1 =:. 0, tada se može odrediti opšte rešenje jednačine ( 1 2), a za tim i opšte reše nj e jed načine ( 1 ). Prema tome, ako je h -=!= O, h1 = O, imamo da j e opšte rešenje jed načine ( l ) dato sa u = (Be - JA dy
+
+ d�- ( he- JA dy)) (X + J h Yei Ady- JBdx ) cly
y + e- JA d (X' + j Y
d Jx
(he J A dy - J B dx) dy) .
Pretpostavimo sada da je h -=/= O i h1 -=!= O. Tada možemo primeniti isti postupak na jednačinu ( 1 2), čime dobijamo novu LAPLACEovu jednačinu ( 1 3)
gde je
a
Sz , pz , qz
ez = el -
JA , dx
+ J B, - Bl __!!__ (log hl ), dy dy
su parcijal ni izvodi nove nepoznate funkcije u2 uvedene formulom q, + A l ul = Uz .
Ako je
..
= h i + A - By -
J2
Jx dy
( Iog hh1) ==: 0,
tada se jednačina ( 1 3) može i ntegraliti. Time nalazimo funkciju u2 , p omoću nje f..:nkciju ul > i najzad funkciju u koja predstavlja opšte rešenje jednačine ( l ) u slučaju h -=/=0, h1 -=/= 0, h2 = O. Ovaj postupak se može nastaviti. Ako primenimo k uzastopnih transfor macija na jednačinu (6), dolazimo do jednačine 1 4) gde je
( 1 5)
Bk = lik.- l '
.
JBk - 1 - B1<-- o (log hk-1) • J Ak - t + � C - Ck- i - � 1� k -
sk , Pk • qk označavaju parcijalne izvode nove nepoznate funkcije uk defini sane sa qk-l + Ak_ 1 uk_1 = uk .
a
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
148
Invarijanta
hk
jednačine ( 1 4) izražena je formulom
( l og hk-1 ) hk -- hk-1 + o Ak - • _ oBk - • - � ox oy ox oy Sabiraj ući sve formule ( 1 5) od O do k (A0 = A, h0 = h) nalazimo o Ak = A - � oy log (hh 1 hk_1 ), smenjujt.ći ove vrednosti u ( 1 6) dolazimo do konačne formule hk = hk-l + Ax - By - 02 l og (hh 1 • hk _1) ox dy
( 1 6)
·
•
•
•
-�
•
•
koja izražava k-t'J i nvarijantu pomoć·J p rvih k - l i nvarijanata.
Postupak se nastavlja sve dok se ne dođe do neke jednačine LAPLACEovog tipa čija se invarijanta anulira. Tada se jednači na (6) m ože integraliti. Naravno, to ne znači da se za svaku jednačinu (6) uzastopnim transformacijama opi sanog tipa može doći d o integrabilne jednači ne istog tipa . PRIMEDBA. Parcijalnu jednačinu eliptičkog tipa u kanoničnom obliku r
( 1 7)
+t
+
posmatrao je u radu [2] P. BuRGATTI.
načine ( 1 7) date sa
ap + bq + cu + d= O
On
je dokazao da su odgovarajuće
i nvarijante jed
l l + B2 K= -2 Ax + -By + A2 -�-C ' 4 2
i da je jednačina ( 1 7) integrabilna ako je istovremeno O. H � O. N. SALn Kov [31 je zatim izveo za jednačinu ( 1 7) teoriju koja je analogna LAPLACEOvoj teoriji za 'jednačinu (6). Međutim, J. D. KEČKIĆ [4] je dokazao da se iednačina (6) i njene invarijante h i svode određenom smenom na jednačinu ( 1 7) i njene invarijante i H, tako da su navedeni rezul tati LAPLACEa i BURGATTI-SALTIKOVa posledica jedan drugog.
K=
k
K
LITERATURA l. G. DARBoux: Lef:ons sur la theorie de surfaces, IV. Paris 1 894. 2. P. BURGATTI: Sul/'equazioni lineari alle derivate parziali del 2. ordine (tipo e/litt ico) e sopra una classificazione dei sistemi di linee ortogonali che si possono tracciare sopra una superficie. Ann. mat. pura appl. 23 ( 1 895), 225-267. 3. N. SALTIKOV: lnvariants des equations lineaires aux derivees partie/les du second ordre. Acad. Roy. Serbe. Bull. Acad. Sci. Math. Nat. Sci. Math. Phys. S (1 939), 109-1 19. o
4. J.
KEČKIĆ: lnvariants of partial differential equations of elliptic and hyperbolic type. Univ. Beograd. Pu bl. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. .Nll 302 - .Nll 319 ( 1 970), 95-98.
D.
5.3.6. Opšta linearna parcijalna jednačina drugog reda
Neka je data jednačina (l)
Ar + 2Bs + Ct + 2 Dp + 2 Eq + Fu + G = O,
gde su A, B, C, D, E, F, G (A =t O) date funkcije od x i matrati jednačine neparaboličkog i paraboličkog tipa.
y.
Posebno ćemo raz
5.3.. O�ti metodi u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda
l o Jednačine neparaboličkog tipa Jed načina ( l ) može se napisati u obliku
(2)
o
o
ox
oy
149
- (Ap + Kq + Lu) + M - (Ap + Kq + Lu) + N (Ap + Kq + Lu) + G = 8u,
gde je K + AM= 2B, KM= C, L + AN = 2D - Ax - MA, , ML + KN = 2E - Kx - MK, , 8 = LN - F+ Lx + ML, . Kako je po pretpostavci B2 - AC:;i= O, imamo K = B ± 'I/B2 �AC, AM= B "'f 'I/B2 - AC,
(
L = __:__
K D-
8 = --l
B'-Ae
_!__ Ax-_!__ MA, 2
2
) (
_ _ _ _ _
-A
E-
)
_!_ K.. _!_ MKy _
2
2
:____:_______
l
l
A
B
D -- Ax-- MA1
B
e
E-- Kx-- MK,
l
l
2
2
D - - Ax-- MA1
2
l
l
2
2
E-- Kx- - MK1
2
.
l
l
2
2
F-Lx- ML1
Jednačinu (2) možeMo zameniti sistemom jednačina ou
ou
ox
oy
(3)
A - + K- + Lu = z,
(4)
oz - + M+ Nz + G = 8 u.
oz
ox
oy
Ako je 8 = O, jed načina ( 4) je linearna homogena jed načina prvog reda i ona se može integraliti. Funkcij u z, k0ju dobijamo iz jed načine ( 4) zamenimo u jednačinu (3), koja se ta:�
A
(5)
B
e
l
l
2
2
D - - Ax-- MA1
l
l
2
2
1
l
2
2
D-- Ax- - MA y
E-- Kx-- MK1
= 0,
l
E-- Kx- MK1
2
jednačina ( l ), koja nije para bo ličkog tipa, može se integraliti.
·
ISO
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
PRIMEDBA
l . Ako su A, B, C, D, E. F konstante. uslov (5) dobija simetričan oblik A
B D
B
e
E � o.
D
E
F
PRIMEDBA 2. Ako je B2 > AC, jednačina ( l ) se može svesti na kanon ični oblik hiper bo ličke jednačine. i na novu jednačinu možemo primeniti LAPLACEovu teoriju koju smo izložili u prethodnom odeljku. Slično važi i za slučaj eliptičke jednačine (videti primedbu u prethod nom odeljku). Mi smo ovde izveli uslov (5) (koji odgovara anuliranju invarijanata h, k u LAPLACEovoj teoriji), da bi se izbeglo svođenje na kanonični oblik onih jednačina za koje je ispunjen uslov (5). Ako taj uslov nije ispunjen (što znači da su invarijante h, k različite od nule) jednačinu ( l ) treba svesti na kanonični oblik i na nju primeniti LAPLACEovu teoriju.
Jednačine paraboličkog tipa Ako je jed načina ( l ) paraboličkog tipa, tj. ako Je s z = AC, tada se ona može napisati u obliku 2°
(6)
A2 r + 2A Ss + s z t + 2 ADp + 2 AEq -i- AFu + AG = O,
ili _!____ _!_ (7) A � X (Ap + Bq) + B � (Ap + Sq) + z n - A.._ - R AY (Ap + Sq) + A (Fu + G) y
(
= 2 2 BD - BAx -
(8 )
Ako je ispunjen uslov
�
(
A
)
Ay - 2 AE + AS_. + SSY
)
q.
stavljajući Ap + Sq = z, jed n ačina (7) svodi se na CHARPITov sistem jed nači n a A oz
oz
�
(
dx
.L S '
� cl y
_,
=B
)
A - + S - = - 2 D - Ax - - Ay z - A (Fu + G) , ox
oy
\
A
koji se može integraliti ( videti 5.2.6.). Stoga je parabolička jednačina ( l ) uslov (8) integrabilna.
uz
�
PRIMEDBA 3. Ako su A, B konstante, uslov (8) glasi rBD AE. Uslov (8) potiče od e. R!QVIERa [1], koji ga je dobio metodom koji se razlikuje od izloženog. Ovaj metod dao je N. SALTIKOV [2]. J. D. KEČKIĆ [3] je dokazao da se za paraboličku jednačinu ( l ) uz uslov (8) može iz opšteg rešenja dobiti partikularno rešenje koje zadovoljava početne uslove u (x, h (x)) � IX (x), u,. (x, h (x) ) - � (x), gde su h, IX, � date funkcije. LITERATURA
l.
e. R!QUIER: Sur la recherche des eas d'integrabiliti complete ou incomplete de /'equation aux dirivees partie/les du second ordre a deux variables indipendanres.
Bull. Soc. Math. France S6 ( 192 8) , 1 74-2 14. 2. H. eAJITHKoa: Teopuja iiapu,ujaAHUX jegHa'IUHa gpyioi pega. Eeorpa.z:� 1952. 3. J. D. KEČKIĆ: Sur le probleme de Cauchy pour une classe d'iquations paraboliques. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. ,N"g 320-.Mt 328 ( 1970),
3 9-42.
5.3. Opšti metodi u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda
151
5.3.7. Linearna jednačina sa konstantnim koeficijentima
Za parcijalnu diferencijal nu jednačinu
Ar + 2Bs + Ct + 2 Dp + 2 Eq + Fu = O,
(l )
gde S"J A B, e, D, E, F konstante, navešćemo jedan formalni post"J pak za njeno integralenje. Pretpostavimo da jednači na (l) ima rešenje u obliku u = eu+fl y ( oc , (3 ko nstante) . Zamenjujući ovu vred nost u ( l ), dobijamo
(2)
A oc2 + 2 B oc� + C �2 + 2 D oc + 2 E � + F = 0.
Dozvolićemo da a. uzima samo vrednosti O, l , 2, . . . , Jednačina (2), rešena po � glasi
pisaće mo oc = k.
� = ak + b ± ·)ck2 + dr+7. gde su a, b, e, d, J funkcije od A, B, C, D, E, F. Očigledno je ck2 + dk + f-=1- O (k = O, l , 2, . . . ) . Prema tome, za svako k dobijamo dva rešenja jed načine ( l ): exp (kx + (ak + b - ..J�-k Z + dk + J) y) .
e xp (kx + (ak + b + ycP + dk + J) y) Prema tome, ako su Ck , Dk (k = O, jamo sledeće rešenje jednačine ( l )
l , 2, . . . ) proizvolj ne konstante, dobi
+ "'
2 ck exp (kx + (ak + b + yck2 + dk + f) y)
(3)
k=O
+ + "'
+ "'
kL�ODk exp (kx �
(ak + b - ..Jck2 + dk +J) y) .
L treba shvatiti fo rmalno, jer se ne vrše nikakva ispi k=O tivanja konvergencije redova koji se javljaju u (3). Razlikovaćemo dva slučaja: Pri tome, simbol
l d2 - 4 cf= O. U tom slučaj u imamo ck2 + dk + f= (mk + n)2, (3) postaje o
rešenje
+ "'
+ "'
2 C exp (kx + (a + m) ky + (b + n) y) +:,2�oDk exp (kx + (a - m) ky + (b - n) y) , k =o k tj .
+� +� e(b+ n)y L Ck exp (k (x + (a + m ) y) ) + e(b-n)y L Dk e x p (k (x + (a - m) y)) . k=O k=O Kako S"J ck i 'Dk proizvoljne konstante, možemo staviti
2: ck l(x +(a +m)y)
+ "'
k =O
+ "'
2 Dk k-0
=
f(x + (a + m) y) , ·
ek (x+(a- m)y ) = g (x + (a - m) y) '
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
gde s·u f i
proizvoljne fu nkcije.
g
proizvoljne, dva puta diferencijabilne fu nkcije.
u (x, y) = e
(4 ) gde su f i
Prema tome, o pšt e
rešenje jednačine ( l ) glasi
g
PluMEDBA 1. Rešenje (4) jednačine ( l ) dobijeno je formalnim putem. Međutim, polazeći od (4) i zarncnjujući tu vrednost funkcije u, kao i izvode prvog i drugog reda koji se dobijaju diferen ciranjem jednakosti (4), utvrđujemo da (4) stvarno zadovoljava jednačinu (l). Kako (4) sadrži dve proizvoljne funkcije, na osnovu definicije opšteg rešenja koju smo prihvatili, zaključujemo da je (4) zaista opšte rešenje jednačine (1). PluMEDBA 2. Treba primetiti da je uslov d 2 -4cf� O ekvivalentan uslovu (5) iz 5.3.6. i da rešenje (4) može dobiti metodom koji je u tom ode)jku izložen.
se
PluMmBA 3. Rešenje (4) može
(S)
predstaviti u obliku
se
gde su
oc1 , oc2 , 13, , 132 podesno izabrane konstante i F, G proizvoljne funkcije. Polazeći od reSenja (5), ne p os redno se može odrediti partikularno rešenje koje zadovoljava CAUCHYeve
početne uslove
(6)
u (x,
O) � M (x),
Uy (x, O) � N (x) ,
gde su M, N date funkcije. Problem se svodi na rešavanje sistema jednačina
e"1x F (x) + ea.2 x G (x) � M (x), �1 e"1 x F' (x) + �2 ea.2x G' {x) � N (x).
2o Neka je d 2 - 4 cf=j= O. Opšte rešenje jednačine ( l ) tada se ne može dobiti ni metodom iz 5.3.6. niti metodom koji smo ovde izložili. Međutim, rešenje (3) se može iskoristiti za određivanje CAUCHYevog rešenja jednačine ( l ) koje zadovoljava uslo-.·e ( 6), pod uslovom da se funkcije t � M (log t), t � N (log t) mogu razviti u TA YLOROV red. Zaista, ako je + oo + oo M (log t) = 2: ak tk , N (Iog t) = ,2 bk tk , tj.
iz
k �o
M (x) =
(3 )
+ oo
k �O
2: ak ekx,
k =O
+ oo
N (x) =
2: b ekx, k �o k
( 6) dobijamo
+ oo
+ oo
,2 (Ck + Dk) ekx = ,2 ak ekx, k=O k�o + oo
+ oo
L ((ak + b + -JCF+ dk + /) Ck + (ak + b - ..JcF + dk + /) Dk ) ekx = _2 bk ekx , k =O
k=O
odakle nalazimo sledeći algebarski siste.m jednačina
Ck + Dk = ak , (ak + b + ..Jck2 + dk + J) Ck + (ak + b - ..Jck2 + dk + J ) Dk = bk ,
pomoću koga određ·ujemo nepoznate koeficijente Ck , Dk . Ovaj metod je naročito koristan ako su M i N poli nomi po
eX.
5.3. Opšti metodi u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda PRIMER. Posmatrajmo jednačinu sa početnim uslovima
153
2 r + 2 s - t + p + u � O, u (x , O) � e'x,
Uy (x, 0) � e-'x.
Na osnovu gornjeg metoda imamo
u (x, y) � u (x, 0)
�
Uy (x, O) � tj.
+ oo
2
k �O + oo
Ck exp (kx + (k + y13 k' + k + l ) y) +
2 (Ck + Dk ) ekx
k �O + oo
2
k �O
�
+ oo
2
k�O
Dk exp (kx + (k - J3k' + k + l ) y)
e'x,
((k + VJk'+ k + I ) Ck + (k- J3 k' + k + l) Dk ) ek x � e'x,
C, + D, � I , (2 + ·J5T) C, + (2- JTI) D, � O, C3 + D3 � 0, (3 !- J3) ) C3 + (3 - y'3J) D , = I , Ck + Dk = O, (k + V3 k1 + k + l ) Ck + (k- -J3 k' + k + l ) Dk � O
(k #- 2
i
k #- 3 ) ,
od akle dobijamo
C, =
l Yi5 + 2 l yfiS - 2 , CJ = -- , D = --- D J = , 2 y'31 ' 2 -Jl5 ' 2 -Jl5 2 y'31
---
--
Prema tome, traženo rešenje dato je sa
- �-2
" �- e2x + (2 + v_ u (x, y) = _ 2 -Jl5
v-
1 5) y
+
l
__
2 y'31
v --
3 l )y 3 e x +(3+
LITERATURA
J. D. KEČJCIĆ:
cients.
On integration of linear partial different iai equations with constam coeffi l ( 1 971), 1 34- 1 39.
Mathematica Balkanica
5.3.8. Primena Laplaceove transformacije Posmatrajmo parcijalnu diferencijal nu jed n ač i n u drugog reda oblika (l)
A
gde j e
u
O < x s s.
{)l u c1x2
du dx
d2 u c1t 2
du e} t
(x) - + C (x) - + D (x) - + E (x) - + F (x) U = O ,
n ep oz nata
funkcija, a
A , C,
D,
E, F
su
neprekid n e
fu nkcij e
za
Postavimo zadatak da odredimo partikularno rešenje jed načine ( l ) za oo , koje zadovoljava sledeće uslove
Osxss, O s t < +
u (x, O) = g (x), (2)
u (0, t ) =J (t),
a
c} u (s, t) dX
+b
c} u (s, t ) dt
= c u (s, t ) ,
5. Parcijalne diferencijalne jedaačine
154
gde su a , b, e realn i brojevi. Postavlje n i zadatak može se rešiti primenom LAPLACEove transformacije. Neka su
t f--'3>
fu nkcij e
mo oznaku
u(
x,
t), t f--'3>
U (x, p) = tj .
L u (x, t)) =
U (x, p).
(
J
o
dx
u
(x,
,
il ' u (x, t )
t f--'3>
1lx2
originali. Uvedi-
t) e-Pt d t,
Neposredno se proverava da je
(
) j
L d u (x. t) = Jx
��
o
=
d a je
+ oo
d u (x, t )
' d u (x, t ) e - t d = � P t dx Jx -
d -
Jx
) f
(
L J' u (x, t ) = Jx'
+�
o
L ( u (x , t) )
=
f u (x, +� o
d U (x, p) -�--
dx
r
+�
d' u (x, t ) - ' e P dt = � d x2 J x' ,
= � L (u (x, Jx '
t) e-P' dt
o
u
(x , t) e-P' d t
d' V (x, p ) t)) = . dx'
Koristeći se teoremom o diferenciranj u originala i uslovima (2), imamo L
( 3)
(-iJt-) =p U (x, p) - u (x, O) =pU (x, p) - g (x). d u (x, t )
Na sličan način takođe dobijamo
(-
) -p2 U (X, p -- pu (X,
t) l u (x-', -'L (_'__:__
( 4)
()( 2
)
) r, (:..._', -0-'O ) - v-_ x
() l
= p 2 U (x, p) - p g (x) - h (x) .
Ako na jednačim.1. ( l ) p r i m e n imo LAPLACEovu transformaciju , dolazimo do (5)
A
__:_e...:_:_ + e
d ' U (x, p )
_
dx'
(p
2
U (X,
p) - p U ( O) - d u (x, O) X,
dt
)
d U (x , p ) , D -----
T
dx
+ E (p U (x, p) - u (x, O)) + F U (x, p) = O . Na osnovu uslova (2) , posle sređivanja nalazimo
(6)
(7 )
A
d' U (x, dx'
p)
+D
d U (x, dx
p ) + (Cp 2 +
Ep + F ) U (x, p )
= Cp g (x)+ Ch (x) -f Eg (x).
Poslednj a dva uslova u (2) primeno m LAPLACEove t ra ns form ac ije postaju
(a
U (x,
d U (x ,
gde je L (/(t)) = F ( p) .
dx
p) lx=
O =
F (p) ,
P) + (bp - e) U (x, p) - bg (x)
)\
= O, x=•
5.4. Parcijalne diferencijalne jednačine matematičke fizike
155
Na taj način pr imenom LAPLACEove transformac ije prelazi mo sa jed na č i ne ( l ) i u sl ova (2) na obi č n u diferencijalnu j<�dnačinu drugog reda (6) i na TIJ O ) odgo v araju ć e uslove ( 7 ) gde je p parametar. Rešavanjem jednačine (6) uz uslove ( 7) inverznom LAPLACEovom transformacijom možemo dobiti rešenje postavljenog zadatka . 5.4. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE MATEMATIČKE FIZIKE
5.4.1 . Osobine linearnih jednačina Parcijalne d iferencijalne jednačine koje ćemo posmatr ati u naredni m odeljcima jesu tzv . jednačine klasične matematičke fizike. One su l inearne i koeficijenti su im konstantn i . Za neke od njih (kao, na primer, za jednači n u žice koja t reperi) mogućno je odrediti opšte rešenje, mada u opštem slučaju to nije mogućno (na primer, u slučaju jednačine provođenja toplote). Međutim, uz jednačine matematičke fizike postav ljaj a se dopunski (početni i konturni) uslovi i t r aži se ono rešenje date jednačine koje zadovoljava i dat e dopunske uslove . Stoga se nećemo koristiti opštim reše nj ima , već ćemo d irektno tr ažit i ona part i L l larna rešenja koja su potrebna. Važnu ulogu pri određivanju takvih rešenja imaju sledeće dve osobine linear nih homogenih j e d načina: 1 ° Ako su uk (k = l , 2, . . . ) rešenja l inearne homogene jednačine (l) tad a j e funkcija u, defi n isana redom u ex. y) = .L k=
+ oo
l
uk ex, y)
ck
( ck proizvolj ne konstante)
koj i je ko n vergenta n i koj i se može dif�rencirati član p o član, ta:'
b, b 2
u (x, y) = J J
rešenje jedn ačine ( l ) .
•
•
•
•
•
b
. J U (x, y , <Xi ' . . . , <Xn) d<Xl . . . d <Xn ' un
n
Obe n avedene osobine se neposredno proverav aju. O ne važe i u slučaju l i nearne ho mogene jednačine sa više p ro me nlj i vih . U dalj e m ćemo a v ti
princip linearne superpozicije.
ih n .zi a
5.4.2. Fourierov metod razdvajanja promenljivih Jedan o d najkorisnijih metoda za određivanje traženih partikularnih re šenja (tj. onih rešenja koja zadovoljavaju date početne i (ili) konturne uslove)
jednačina matematičke fizike je FouRIERov metod razdvajanja promenljivih. ćemo dati u opšti m crtama p r ika?: tog metoda, svodeći ga na STURM -LIOUVILLEOVU teo r iju .
Ovde
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
156
Strogo zasnivanje FouRIERovog metoda prvi je dao V. A. STEKLOV [1].
Još
dva načina za strogo zasnivanje FoURIERovog metoda mogu se naći u
knj izi [2]. FouRIERov metod može se primen iti na jednačine oblika
A (x) r + C(y) t + D (x) p + E ( y) q + (F1 (x) + F2 ( y) ) u = 0 ,
(l)
sa početnim uslovima
(2)
uY (x, O) = g (x) ,
u(x, O) = f(x),
i konturnim uslovima
(3) �de su f, g date fu nkcije i a1 , a2 , b1 , b 2 , l su date konstante . Pretpostavimo da j e rešenje problema ( l )-(2)-(3) oblika
( 4)
u (x, y) = X (x) Y (y).
Ako postoji rešenje oblika (4), tada je neophodno d a bude
A (x) X" Y + C ( y) XY" + D (x) X' Y + E (y) XY' + (F1 (x) + F2 (y) ) XY = O, tj.
(5)
A (x)
X" (x)
--
X(x)
Y " (y Y(y)
Y' (y Y (y)
-1- D (x) - + F1 ( x) = - C(y) --) - E (y) ---) - F, (y) . X'(x) X (x)
-
Leva strana jednačine (5) zavisi samo od x , a desna samo od y . Kako su x i y nezav isni, obe strane moraju biti jednake nekoj is toj konstanti, tj . imamo X'
Y"
Y'
X" A - + D - + Fl = - C y - Ey - Fz = - ·A, X
X
gde j e J.. konstanta. Tako dobijamo dve obične diferencijalne jednačine (6)
A (x) X" + D (x) X' + F1 (x) X+ J.. X= O,
(7)
C (y) Y " + E(y) Y' + F2 (y) Y - J.. Y = O. Da bi rešenje zadovoljavalo uslove
(3), mora b iti a 1 X(O) + a2 X' ( O) = O, b1 X(l) + b2 X' (l) = O.
(8)
. Na problem (6)-(8) možemo primeniti STVRM-L!OUVILLEovu teoriju, na osnovu koje zaklju Čujemo da postoji beskonačno mnogo sopstvenih vred nosti J.. 1 , J..2 , za koje postoje netrivijalna rešenja tog problema. Neka su sa X,. (n = l , 2, . ) označene odgovaraj uće sopstvene fu nkcije. Označimo opšte rešenje jednačine (7) koje odgo·•ara vrednosti J.. = J..,. sa Y,. . To rešenje je oblika •
•
•
.
,
.
gde su A,., B" (n = l , 2, . . . ) proizvoljne konstante, a Y,., Y,. linearno neza visna partikularna rešenja jednačine (7) za J.. = J..,. (n = l , 2, . . . ) .
5.5. Jednačine biperboličkog tipa
157
Odredimo još funkcije Yn , Yn tako da su ispunjeni sledeći uslovi
(9) Na os novu principa l inearne superpozicije, dobijamo sledeće rešenje jed načine ( l ) koje zadovoljava uslove (3 ) : + oo
( l O)
u (x, y) = 2 Xn (x) (An Yn (Y) + Bn Yn (y)). n =l
Da bi ( l O) zadovoljavalo i početne uslove (2), na osnovu (9) za!djuču jemo da je neophod no da bude + oo
2 A Xn (x) = f(x) n
n=l
+ oo
2 Bn Xn (x) = g (x),
n= l
cime j e problem sveden na razvijanje funkcija J, g u red po sopstvenim funk cijama X Taj problem razmatrali smo detaljno u 2.5. n .
LITERATURA
l. B. A. CTEKJIOB:
2.
0cH06Hbte 3aj)arm MameMamuqecJWU
M. r. DETPOBCKHit: JleKU,UU JleHHHrpaA 1 950.
oo
ypa6/leHUIIX
e
l/JU3UKU, nerepliypr 1 922.
'lacmHblMU
npOU360iJHblMU,
MocKBa
5.5. JEDNAČINE HIPERBOLIČKOG TIPA U o •om ode ljku posmatraćemo više hiperboličkih jed načina i rešavaćemo ih različitim metodima. Prvo ćemo početni i konturni problem za jednačinu žice koja treperi (čije smo opšte rešenje odredili u 5.3. 1.) rešiti metodom razdvajanja promenljivih. Zatim ćemo izložiti RIEMANNov metod (i posebno ga primeniti na telegrafsku jednačinu) i opštiji VoLTERRAov metod za h iperboličke jednačine . Najzad, metodom sukcesivnih aproksimacija rešićemo GoURSATov p roblem za opštu hiperboličku jednačinu.
5.5. 1. Jednačina žice koja treperi
Data je jednačina iJ' u
(l) gde je
u nepoznata
iJ y'
--
iJ' u
=0 - a2 -x' iJ
(O<x
funkcija promenljivih x, y, zajed no sa konturnim uslovima
u (O, y) = u (l, y) = O
(2)
_
(y� O),
gde je l data konstanta, kao i početnim uslovima
u (x, O) =f(x), uY (x, O) = g (x)
(3 ) gde su J,
g
date funkcije.
(O<x
5. Parcijalne diferencijalne jeanacme
158
Stavlj aj·L:ći
(x, y) = X (x)
u
Y (y),
imamo
XY" - a2 X" Y X"
tj . {4)
l
- = -
X
gde je A konstanta. Iz {4) dobijamo dve jednačine
a
2
Y" Y
-- �, -
1 o Neka j e J.. < O. Stavimo "A = data su sa X (x) C1 ch kx + C2 sh kx,
O
,
"A '
Y" + a2 "A Y= O.
X" + J.. X= O,
{5)
=
-
k2•
Opšta rešenja gornjih jednačina
Y ( y) = C3 ch aky + C4 sh aky,
=
gde su Cp C2 , C3 , C4 , proizvoljne ko n sta n te. Konturni uslov {2) daje C1 (C3 ch aky -i- C4 sh aky) = O, {6) (C1 ch k! + C2 sh k!) (C3 ch aky + C4 sh aky) = O,
odakle dobijamo cl = c2 = o. Ako je "A = O, tada je i k = O, i jednačine {6) pos taj u C1 C3 = O.
Na osnovu prethodnog zaključuj emo da za J..::;; O dobijamo samo trivi jalno rešenje problema ( 1 )-(2)-0), tj. u (x, y) = O.
(7)
2° Neka je "A > O. Tada je X (x)
= C1 cos y-:;:x + C2 sin y-:;:x.
Zamenjujući konturne uslove {2)
u
(7) nalazimo
cl cos vi l + c2 sin
odakle sleduje
-v-:;: l = o, (n = l , 2, . . . ) .
Prema tome, ko nstanta A može uzeti bilo koju od vrednosti "A" koje su definisane sa (n = l , 2, . . . ) .
"A" = -2 2 n rc
l'
Zamenjujući ove vrednosti za A u dngu jednačinu (5), imamo Y" (Y) = A" cos
-1- y + B" sin -1-y, .
na rr:
na rr:
gde su A " , B" proizvoljne konstante. Prema tome, svaka funkcija u" defin isana sa
(
)
narr: . narr: . n rr: " (x, y) = sin - x A" cos - y + B" sin - y ,
l
u
·
l
l
zadovoljava jed nakosti ( l ) i (2), pa stoga, na osnovu p r i nc ipa linearne super pozicije, i fu nkcij a u, definisana sa (8)
. nrr: u (x, y) = Loo sin -x
+
n= l
predstavlja rešenje problema
l
(A" cos -y + B" sin - y) ,
( I )-(2).
na rr: /
.
narr: l
5.5. Jednačine hiperboličkog tipa
An, Dn
Odredimo sada konstante Zamenj ujući (3) u (8), nalazimo +oo
n rr
x) =
f(x) = L An sin -x, l
(8) zadovoljava i uslove (3 ).
da
tako
159
� L..
+ oo
.
n rr
sm -x, l n= l čime je problem određivanja proizvoljnih konstanata An, Dn sveden na razvi janje funkcija f, u FouRIERove redove. Sa tako određenim koeficijentima An, Dn, (l O) predstavlja rešenja prob g(
na rr
Bn l n= l
-
g
lema ( 1 )-(2)--(3).
5.5.2. Riemanoov metod
Neka je data hiperbolička jednačina ou ou o2 u a(x,y)-+b(x,y)-+ c(x,y)u= O, (u)=--+ ox :ox oy oy gde su funkcije a, b, e, zajedno sa svojim prvim izvodima neprekidne u nekoj
L
oblasti D. Operator L definišemo pomoću -
L
Tada imamo gde je
o o o2 u (au) - - (bu) + cu. (u)=---oy ox oy ox oM oN vL (u) -uL- (v) =-+-, Ox i)y l
o
2
OX
l
(uv) - uP (v) , M= auv + -2 (vuy - uvy) = -2 oy N= buv+ .!2. (vu -uv )=.!. � (uv) - uQ (v), P (v) = vY - av, Q (v) = v bv. X
X
x -
Neka je e zatvorena kontura koja leži unutar oblasti D i neka je G = int e, neka su ispunjeni uslovi pod kojima važi GREENova formula. Tada je
JJ(�:+ �;) dx dy = Jj (vL(u) - uL(v)) dx dy = J M dy - N dx. G
G
YA, AX, koje
Neka je kriva e sastavljena od duži odnosno x-osi, i krive r koja prolazi kroz tačke X, (videti sliku). Pretpostavimo da je L i Tada je
Y
(u)= O L (v) = O. J M dy -Ndx= O
J Ndx- J M dy = J M dy -Ndx YA
r
0
paralelne
y-osi.
y
A
e
pa dobijamo AX
y
su
~
X X
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
1 60
S druge strane , imamo
J N dx = � (uv lx - uv (A) - J u Q (v) AX AX -J M dy = � (uv l y - uv !A ) + I uP(v) dy.
Stoga j e
YA
YA
uv (A = __!_ (uv l x + uv ( y) +
(l)
dx,
2
J M dy - N dx r
+ J uP(v) dy- J uQ(v) dx. AX
YA
Pretpostavimo sada da je fu nkcija v određena tako da je P (v) = O na duži A Y i Q (v) = O na d u ž i AX, i da su vrednosti te funkcije poznate na kri v oj C. Iz ( I ) dobijamo 1
uv ( A = - (uv (x + uv ( y) + 2
J M dy - N dx
r
što se može napisati u obliku
uv lA =
(2) su
� (uv lx + uv [y) + J (IM +
mN) ds.
r
m = cos (n, y) kosi nusi pravca spoljašnje normale na krivu r. U integralu koji se pojavljuje u (2) figu rišu izrazi u, ux , uy . Međ u t i m , ako s u nam poznate vrednosti funkcije u n a k rivoj r i vrednosti izvoda fu n k cije u u p ravcu normale na r, mož e mo odrediti v rednosti izvoda u , u na x krivoj r. Zaista, ako su poznate vrednosti fu nkcije u za (x , y ) e r, tada je poznat i tangencijalni izvod te funkcije duž krive r, pa se izvodi ux i uy mogu gde
l = cos (n, x) ,
izraziti pameću tangencijalnog i normal nog izvoda. Prema tome, dolazimo do sledećeg zaključka:
Problem rešavanja jednačine L (u) = O, pri čemu su njenog izvoda po normali � na krivoj r date, svodi se na an
vrednosti funkcije u i određivanje funkcije
v
sa osobinama:
L (v) = O,
P (v) = O za (x, y) E A Y,
Q (v ) = O za (x, y) C_ AX.
Funkcija v naziva se GREEN- RIEMANNova fu nkcij a postavljenog problema, a izloženi metod RIEMANNov metod . Navedeni metod primeniće mo u sledećem odeljku na rešavanje CAUCHY evog p roblema za telegrafsku jednačinu . Treba primetiti da zbog specifično�i početnih uslova kriva r postaje duž, kao i da je nepotrebn o uvesti operator L . 5.5.3. Riemannov metod za telegrafsku jednačinu Jed načina
(l) gde su A , B, C pozitivn e konstante, a u j e nepoznata fu nkcija promenlj ivih E;, naziva se telegrafska jednačina.
-r
5.5. Jednačine hiperboličkog tipa
161
Da bismo uprostili jednačinu ( l ) stavimo
(2)
T = !J. T,
!; = ).. X,
gde su ).., � konstante koje ćemo naknadno odrediti. Na osnovu (2) imamo ou 1 ou = � � ox
o' u o�'
'
i jednačina ( l ) postaje
Jednačina
1 o' u "A' ox' '
� o' u
(3)
ou = l ou -h
fi.
fi.
oT
o' u 1 o' u = o'' � oT ' '
oT
� - e o' u
+ 28
[.1.2 oT'
fJ.
Izaberimo )..
=
= 0.
"A' t1X2
ta:·w da bude
= "A' =� f_ A B e
(3) tada postaje 02 u ou o' u + 2=0. t1T2 oX' oT
(4)
Uvedimo novu funkciju
U
pomoću jednakosti
u (X, T) = e-T U (X, T) . Imamo
o' u o2 u = e-T ox' ' oX'
--
pa jednačina (4) postaje
(5)
Izvršimo naj�ad smenu promenljivih
X= I mamo ou -
oX
y-x
y+x
,f'i
,
T = .,j2
l ou l ou =2 -+- ..;
o' u -
oX'
ox
...[2 oy
'
'
. X- T tj . X = ...j2
,
y
+T . = X...j2
ou l ou l ou = -- -+ - .J2 o x ...[2 oy ' oT
-
1 o' u 1 o' u 1 o' u 1 o' u = - - + - -- + - -- + - - , 2 or 2 ox oy 2 ox oy 2 or
o' U 1 o' U 1 o' u 1 o' U 1 o' U -- = - - - - -- - - -- + - -- , t1 T2
2
ox'
pa jednačina (5) dobija oblik tj .
f6)
2 iJx oy
2 ox oy
o' U - 2 -- - U = O, ox oy
o' u -+ -1 U= O. ox oy
2
2
oy2
s. Parcijalne diferencijalne jednačine
162
N eka je za jednačinu ( l ) postavljen sledeći CAUCHYev problem: Odrediti rešenj e jednačine ( l ) koje zadovoljava uslove u (�, O) = (.( (�),
(7)
u, (�, O) = � (�).
Za jednačinu (4) početni uslovi (7) glase a za
jednačinu (5)
U (X, O) = (.( 1 (X),
tj .
ur (X, O) = � 1 (X),
u (X, O) = (.(1 (X ),
- U(X, O) + Ur (X, O) = �1 (X),
Najzad, za jednačinu (6) uslovi (7) glase
iJ U _ iJ U /
U \ =x=f(x), y
{)y
dX y=x
= g (x).
Stoga ćemo rešiti sledeći problem: Odrediti funkciju U koja zadovoljava jednačinu
iJ2 iJx
(6) početne uslove U \ =x f(x), y
u
oy
-l
ou '
=
()y
iJ2 U
+ _!_ U = O, 2
j y=x
= g (x), gde
su
f i g date funkcije.
Uvedimo oznaku L ( U) = -- + - U. Tada je l
2
dx oy
VL ( U) - UL (V) = V � - U
gde
je
iJx
iJ M = u v, N = v iJ u. iJx
oy
02V iJN - iJM' iJx = iJx ()y
()y
dy
Neka je e zatvorena kontura koja ograničava oblast D. Na osnovu GREENove formule, imamo
JJ (VL (U) - UL (V)) dx dy = JJ (iJ:: - 0:) dx dy = J Mdx + N dy. D
D
Pretpostavimo da su U i V rešenja jednači ne (6). Tada je L (U) = L ( V) = O, i dobijamo (8)
y
e
J Mdx + N dy = O. e
Neka je P = (x0 , y0) neka tačka u ravni neka je e trougao ABP, gde je A (y0 , y0) B = (x0 , x0) . Kako n a pravoj PB važ i dx = O , a na pravoj AP imamo dy = O, i ntegral (8) postaje =
(9)
o
J M d x + J N dy + J Mdx + N dy = O.
AP
PB
BA
X
5.5. Jednačine hiperboličkog tipa
1 63
Međutim, imamo
r JPB N dy = PB V -- dy =PBJ - ( UV) dy -PBJ U- dy ou oy
e
Stoga (9) postaje
tj. imamo
APJ
M dx + UV
o oy
ov oy
/P - UV /B - J u:; dy + J M dx + N dy = 0, �
�
lP
IB + j uooyv dy - j uooxv dx - j M dx + N dy. PB AP BA Pretpostavimo sada da nam je fu nkcija V poznata celoj ravni i to tako . -ooyV = 0 u svak . t ačk"1 duz1 PB, . da Je. -d-V = 0 u sva OJ tač duz1 AP. d a Je uv = UV OJ
v•
u
1
k .
ox
Tada dobijamo formulu
k 1"
v·
VV /p = VV /B -BAj Mdx + Ndy,
tj. ( l O)
Kako je, po pretpostavci, funkcija V poznata, a uslovom zadatka date o su vred nosti za U i U na duži BA, zaključujemo da se iz formule ( 1 0) dobija oy
dV dU ) dx+ Vdy , U(x0 , Y0) = V (x0, y0) ( U (x0, X0) V(x0, X0)- ,r Uox oy BA čime je funkcija U određena u proiz\'oljnoj tački (x0 , y0) . O>taje još da se konstruiše funkcija V koja iri1a tražene osobine. �l
Pretpostavimo da je
(ll)
Iz
V ( l l ) nalazimo
(x, Y) = W((x - x0) (y - y0)) = W(z).
o v = (y - y0) W'(z), ox
o2
V = -ox oy
W'(z) + z W"(z).
Kako V mora biti rešenje jednačine (6), imamo ( 1 2)
l
z W"(z) + W'(z) + - W (z) 2
= O.
5. Parc:ijalue diferenc:ijalne jednačine
164 S menom
r_
=
..j2z,
dW
tj .
r2
=
l dW
2 z, dobijamo
d' W l d' W l d W dz' = � d�' - � df '
dz = � � ·
te jed načina ( 1 2) postaje
_!_ �2 w + _I_ d w + 2 d�'
tj.
2� d �
2
dW � d' W + + � W = O. d�' d �
( 1 3)
o
_!_ w = ,
Jednačina ( 1 3) j e specijalan slučaj BESSELove diferencijalne jednačine t2 W" + � W' + (�2 - n2) W = O za n = O. Jedno njeno rešenje dato je BESSELovom
funkcijom prve vrste
lo (�)
=
+ oo ( - l)k
k�o
(k !)'
( �)2k 2
.
To znači da je W = J0 (-J2 z) rešenje diferencijalne jednačine ( 1 2), tj. funkcija v ima oblik
( 1 4)
Iz
( 1 4) nalazimo
ov ox
oV ox
- =
V (x,
y) J0 ( y2 (x - x0) ( y - Y0)) . =
Y-Yo yZ(x-xo) (Y-Yo)
0 ,'
J
oV oy
AP je y = y0 , a n a duži PB j e x = x0 • Stoga na duži AP važi oV = . 0. O , a na duzi PB Je Na
duži
v·
oy
V (x, y)
Prema tome,
=
J0 ( y 2 (x - x0) (y - Y0))
je tražena funkcija V, po m oć u koje dobijamo rešenje CAUCHYevog problema za telegrafsku jednačinu.
5.5.4.
VoJterraov metod
U ovom odeljku rešićemo jednačinu o' u o' u o' u - + - - - -f(x ox' oy2 oz' '
y z)
'
'
gde je fu nkcij_a u, zajed no sa svojim izvodima prvog reda data na nekoj površini S. Metod rešavanja dao je V. VoLTERRA i o n predstavlja proširenje RIEMANNOvog metoda. Prvo ćemo izvesti jednu i ntegral nu formulu koja će nam u daljem biti od koristi. o' u o' u o' Ne ka Je . L (u) = - + - - --u . Tada Je . oc1gled no ox'
(l)
oy 2
o
clz'
v .
cl
i)
vL (u) - uL (v) = --- (vu - uv"' ) + - - ( vuY - uvY ) - (vuz - uvz) . {) z x oy ox
165
5 . 5. Jednačine hiperboličkog tipa
u v,
Ako su funkcije i zajedno sa svojim izvodima prvog i drugog reda neprekidne u oblasti V koja je ograničena površinom S, tada iz for mule ( l ) neposredno s leduje
(2 )
JJJ (vL (u) - uL (v)) dx dy dz = J J (I'U_. - uvx) dy dz + (vuy -uvy) dz dx - (vu. - uv.) dx dy v
s
Neka su oc , �. y uglovi između spoljašnje normale na površinu zitivnih pravaca koordinatnih osa. Tada je
.
S
po
JJ (vux - uvx) dy dz+ (vuY - uvy) dz dx - (vu. - uv.) dx dy O_!!_ cos + � cos � - � cos ) dS = JJ v ( ox oz oy - JJ u(�ox- cos + � cos � - � cos ) dS. oy oz s
s
oc
oc
r
r
Pravu N čiji je pravac određen vektorom (cos oc, cos �. - cos y) nazivamo (2) može se predstaviti u obliku s
konom'lala. Formula
JJJ CvL (u) - uL (v))dxdy dz= JJ(v :� - u:�) ds,
(3)
v
ou . .. gde je sa - označen IZVo d funkCIJe oN
s
u u pravcu N.
Pređimo sada na rešavanje postavlje nog problema. Konstruišimo kružni konus K sa temenom u tački P = (x1 , tako da je osa konusa paralelna sa z-asom i tako da je ugao kod temena P prav. Za oblast V uzećemo onaj deo prostora koji je ograničen konusom K i površinom S. Neka je funkcija definisana sa
y1 , z1 ),
v Y t - Y) z - x)z _ (::... ;:::(x�:= t = z� - z) z_ (� v (,x, y, z) -- log _z,_t-_z_+_,v'_,y(xt-x)2 ==:::::::; :':::::;:� ,__:...:c..... (Yt-y)2
Očigledno na konusu K i važi Pretpostavimo da je u rešenje postavljenog proble ma. Na fun kcije i i ob last V ne može se direktno primeniti formula (3), jer je funkcija prekidna duž ose konusa K, i njeni izvodi su prekidn i n a konusu K. Stoga ćemo izdvoj iti osu konusa pomoću kružnog c i l indra e sa poluprečnikom YJ , čija se osa poklapa sa osom konusa, a konus K za menićemo konusom K' čije
L (v) = O v = O.
u v
v
z
+
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
166
je teme u tački P, osa mu se poklapa sa osom ko nusa K
poluugao rp kod
Tt"
temena P dat je sa rp = -�- - E. 4
Pomoću tako uvedenih površina formirajmo oblast V' koja se sastoji iz onog dela oblasti V koja je u nutar ko n usa K' a izvan cili ndra e. Oblast V' ograničena je delom površine S koji se nalazi unutar K', u oznaci S'. cilindrom e i konuso m K'. Na fu nkcije u i v i oblast V' može se primeniti formula (3) koja sada glasi (4)
J J J vf(x, y, z) dx dy dz V'
L
jer je L (v) = O ,
( u) = f(x, y, z) .
U proizvoljnoj tački ko nusa K', na odst•Jjanju l od temena P vrednosti funkcija
v
dv
i - date su sa oN
v = log (cotg ?
Prema tome, kad
E -
+
-Jcotg2 rp - l ) , � = - _l__ ! cos 2
O, tj . kad
?
-
l
sin
_Tt_ , imamo 4
ov
" -- = O . l.Im V = l Im
E ->{)
E->{)
oN
. JJ (v - - u -) dS = O.
Stoga je
hm
E->{)
ou
oN
K'
ov
oN
I ntegral po cilindru e ne možemo izračunati, jer nam nisu poznate
vrednosti fu nkcija
u
i !...'!_ na C. Međutim, može se naći granična v rednost oN
tog i ntegrala kad "fl - O. Zaista, za element površine cilindra e možemo uzeti d S = w d "fl dz, gde ugao w varira od O do 2 TC. Na e imamo i) v l = () N 7j -
-
1i �-====-+ --====--==-�--'-
Prema tome, važi
y(z-z1 )2-7j2 (z1 -z + y(z, -z)'-7)')
. l Im
stoga je
'�_,.o
"fl · -
eJ v
- = l,
oN
lim JJ (v � - u �) ds = - 2 j�1u (x1 , y1 , 11->{)
e
oN
JN
TC
�
gde je z0 tačka u kojoj osa cilindra prodire površinu S.
z) dz,
167 .
. Jednačine hiperboličkog tipa
Kako je lim •-->() "!)-->()
JJJ vf(x, y, z) dx dy d.z = JJJ vf(x, y, z) dx dy dz , V'
puštaj ući u ( 4) da
e: -+
V
1J -+
O i
O, dobijamo
JJJ vf(x, y, z) dx dy dz = JJ (v t; - u :;) .
s
v
dS - 2 1t
odakle, posle diferenciranja, nalazimo (5)
u (xi ' yi ' zi)
'•
J u (x1 , y1 , z) d.z, �
- _!__ _!_(ff r f(x, y, z) dx dy dz - J [(v !!..!!._ -u�) ds) . ·
=
2 ,. o z,
.
v
.
oN
oN
Kako je funkcija . v poznata, funkcija f data, i vrednosti u i !!..!!._ na povr v
s
oN
si m S date, formula (5 ) daje vrednost funkcije u u proizvoljnoj tački (x1 , y 1 , z 1 ), čime j e postavljeni problem rešen . Bibliografska be/eška Metod za rešavanje CAUCHYevog problema za hiperboličke jednačine sa dve pramen ljive potiče, kao što je rečeno, od B. RIEMANNa [l]. Mada ga je RIEMANN dao za neke spe cijalne jednačine, on se u stvari neposredno proširuje i na najopštije hiperboličke l i nearne jednačine sa dve promen)jive. V. VoLTERRA [2 1 (videti t k ođ e [3]) proširio je RIEMANNOV metod, ali samo za jednačinu
a
<J' u -- +
ox'
Pre VoLTERRAovih radova četiri promenljive o' u
--
ox'
+
G.
----o' u
o' u
oy'
oz'
=
/(x, y, z).
KIRCHHOFF [4] rešio je isti problem za jednačinu sa
o2 u
--
Oy2
+
o' u
02 U
oz '
ot 2
-- - --
=f (x' y' z' t )
'
a zatim je O. TEDONE [5) dao rešenje CAUCHYevog problema za jednačinu sa n promenljivih d2 u
-- +
dx,'
d2 u o' u . . . + -- --- = 0. 0Xn2 OXn - 12
Sva navedena proširenja RIEMANNovog metoda odnose se na pojedine specijalne jed načine hiperboličkog tipa sa više promenljivih. Međutim, J. HADAMARD [6) i [7) rešio je CAUCHYev problem za proizvoljnu hiperboličku jednačinu sa n promenljivih. Njegova knjiga [7] isključivo je posvećena tom problemu i sadrži, pored ostalog, iscrpan istorijski pregled problema. LITERATURA
1. B. RIEMANN: On the propagation of aerial waves of finite amplitude. G ott. Abhand. I l l ( 1 860). 2. v. V OLTE RRA: Sur ·les vibrations des corps e/astiques isotopes. Acta Math. 18 ( 1 894),
1 6 1 -232. J. V. VOLTERRA: Le�ons sur /'integration des equations differentiel/es aux derivees par tie/les. Upsa! 1 906. 4. G. K!RCHHOFF: Zur Theorie des Lichtstrahlen. Sitzungsber. der K. Ak. der Wiss., 1 882, 641-669. m d2 tp 0 2 tp 5. O. TEDONE: Sull'integrazione de//'equazione "' -- = O. Anna) i di Matematica
-- f
ot'
(3) l ( 1 898), 1-23.
i o x;'
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
168
6. J. HADAMARD: Recherches sur les solutions fondamentales et l'intigration des /qua tions lineaires aux dirivees parie//es. Annales Scient. Ec. Norm. Sup. (3) 22 (1905), 1 0 1- 1 4 1.
7. J. HADAMARo: Lectures on Cauchy's problem in linear partial differentia/ equations.
New York 1952 (prvo izdanje 1923).
5.5.5. Reš.!lnnje
Goursatovog problema metodom
sukcesivinih aproksimacija
Kao što je poznato, hiperbolička jednačina može se, pomoću određenih transformacija, predstaviti u obliku (I) y P.'!šenje jednačine ( l ) koje u oblasti l O � x
ux =a (x, y) ux +b (x, y) uY + e (x, y) u+ f(x, y) . {(x, y) uslove (2) u (x, O) = A (x) , u (0 , y) B (y), gde su A i B date funkcije takve da je A (O) = B (O) , naziva se GoURSATovo rešenje, dok m problem ( 1 )-(2) GoURSATov problem. U sl j a= b = e= O, rešenje problema ( l )-(2) mogućno je odrediti u konačnom obliku . Zaista, iz u f(x, y) , posle integracije po x, dobijamo =
se
uč a u
sa
naziva
xy =
X
(3) o
y imamo u (x, y) = u (x, O) + u (0, y) - u (0, O) + J d'tj J /(�, 'tj) d�,
integracijom ( 3) po
X
y
tj.
o
o
u (x, y) =A (x) + B (y)- A (O) + J J J(�, '1J) d � dYj . y
o o
X
Posmatrajmo sada opštu jednačinu ( l ). Problem ( l )-(2) možemo zame niti sledećim ekvivalentnim problemom. Rešimo integro-diferencijalnu jednačinu y
X
u (x, y) = J J (a (�. 'tj) u�+ b (�, 'fj) � + c (�, 'tj) u) d� d'tj
(4)
o o
+ A (x) + B (y) - A (O) + J J f(�, '1J) d� d'tj. y X
o o
j ednačinu (4) primenićemo metod sukcesivnih aproksimacija. Definišimo u tom cilju niz funkcija pomoću Na
(u") u1 (x, y) = A (x) + B (y) - A (O) + J J /(�, '1J) d� dYj , y ·x
o o
( 5)
U11 (x, y) u1 (x, y)
=
+ JJ (a (�, '1J) 0:11t + b (�, 'tj) 0:�- t + e (�, 'tj) u"_1) d�d'tj, y
o o
X
5.5. Jednačine hiperboličkog tipa
gde j e
n = 2, 3, . . . Tada je iJun = iJ u_t + c (x, "YJ) Un - l ) d 'Y), iJ u1 + (a (x, 7))-nu- + b (x, "YJ) _n _ 01) J .
y
ox
(6)
169
o un iJ y
ox
=
iJ
o
_
_,
ox
iJ u1 + (a (�, y) !un - + b (�, y) oun -t + e (� , Y) un-J ) d � J iJ� X
iJ y
_1_
o
iJ y
-
(un), ( ��) , ( �� ) u niformno kon vergentni. Kako su funkcije a, b, e neprekidne, to postoji konstanta M, takva da je la (x, y) I<M, l b (x, y)I<M, l e (x, y)I <M. Takođe postoji k on tan H takva da je \ u1 (x, y)J
s
y
J
X
o o
Možemo neposred no proveriti z
O n= ox
da je
J(a (x, ) -iJ Zn -t + b (x, ) --+ iJ zn -t e (x, ) (x, ) d 7), 01) iJ� J(a (� . Y) b (�. y) + e (f., y) zn -l (f,, y)) d � . y
o
O Zn = iJ y
ta
o
X
7J
7J
oz
n�- · +
iJ .,
7J zn - t
iJ z
"YJ)
n-1
0 1)
Iz gornjih jednakosti izlazi (x + y)2 ,
jz1 (x, y) I < 3HMxy<3HM ��� \ <3HMy< 3 HM(x+y), ��z; \ < 3HMx<3HM (x+y) ,
2!
s obzirom da je O<x
l zn (x, Y)I<3HMn Kn-1
n x ( + y) + l ' (n + l)!
O Zn < 3 HMn Kn-1 r(x y)n + ' ox n!
I i I i <3HMn K O Zn iJ y
n-l
n
(x + y)
nl
'
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
170
gde je konstanta K = N + 2 > 2 . Za
n+
l z" . q i < 3 HMn+ I Kn-1
l imamo
(x +y)n+2 ( x +y + 2 ) M)n + z < 3 HMn + K" (x + y)n + z (x+y)n+l ( x + y + 2 ) n-1 +1 HM" K •i<3 lilz.,+ ox < 3 HMn + I Kn Jx + y n+ t < 3 HM" + I Kn-l (x +y)n+l ( x +y + 2 ) lilz" +I\< \ < 3 HMn + I Kn (x+ y)n+ • l
(n + 2)!
n+ 3
<-3H
(n + l )! )
(n + !)!
(n + ! ) !
(n + l ) !
N a desnoj
n+2
3 H (2 KNM)" + t
K
(n + l)!
n+2
< 3 H (2 KNM)n + •
(n + l ) !
K
strani gornjih nejednakosti javljaju
multiplikativne konstante) članovi razvoja e 2 KNM_ Dokazane nejednakosti pokazuju da nizovi (u" ) ,
l asti
u n i formno u (x ,
konvergiraju ka
y) = l im
u,.
(x, y),
u
(5) i (6) n-+- +
n-. + IXI
Uzmemo li da
)' u (x, y )
(7)
=
funkcijama,
v (x, y)
X
u1 (x, y ) + J J (a (� , o o
d v (x, y) = u, + dx w (x, y) = ? u1 + dy
=
se (sa tačnošću do jedne
(:�), (��) u datoj
ob
koje ćemo označiti sa
. d u" l 1m
� ,
n-+ + 00 dx
oo ,
•
(n + 2)!
K2 M
(n + 2)!
il y
(2 KN
w
(x, y) =
" lim d u .
n-+ + oo d y
imamo
lJ ) v + b (�, lJ ) w + e ( �, lJ) u) d� dl) ,
j
(a (x, "YJ) v + b (x, lJ) W + e (x, l)) u) d l) ,
J
(a (�, y) v + b (�, y)
)'
o
X
o
w
+ e (�, y) u) d � .
Iz (7) dobijamo v = ux , w = uy , odakle zaključujemo da tražena funkcija u zadovoljava integro-diferencijalnu jednačinu (8)
u (x, y) = A (x) + B (y) - A
)'
X
+ J J (a (�, o o
)'
X
(O) + J JJ(� . lJ) d� dlJ o o
l)) U�; + b ( � , lJ) U11 + e (�, l)) U) d� dlJ .
Da svako rešenje j ed načine ( 8 ) zadovoljava ( l ) i ( 2 ) proverava se nepo sredno diferenciranjem. Dokažimo još da postavljeni GoURSATov problem ima jedinstveno rešenje.
5.6. Jednačine paraboličkog tipa
171
Neka nasuprot tome postoje dva neidentična rešenja (x, y) �--+ U1 (x, y )
(i = l , 2) postavljenog zadatka. Uočimo funkciju
(x, y)
�--+ U (x, Y) = U1 (x, Y) - U2 (x, y) .
Ta funkc ija zadovoljava integro-diferencijalnu jednačinu _v
X
U (x, y) = J J (aUx + b UY + cU) d� d"IJ. o
o
Ova jednačina je homogena. Neka je Q > O takva konstanta da je
[ Uy (x, y)[ < Q
I U., (x , y ) [ < Q,
[ U ( x , y) i < Q,
za 0 -:::;, x-:::;, N, 0-:::;, y -:::;, N . Na osnovu ocene koju smo izveli za niz (zn ), imamo + n l < _2g__ _Q_KNM)n + l l ( x, y) [ < 3 QMn+ l Kn (x y) + (n + 2)! (n + 2)! Kl M
U
za svako
n.
Odatle sleduje, nasuprot pretpostavci , da je
U (x, y) ==O,
tj .
U1 (x, y) U2 (x, y). ==
Ustanovljena kontradikcija dokazuje jedinstvenost rešenja GoURSATovog problema.
5.6. JED N AtiNE PARABOLitKOG TIPA
U ovom odeljku posmatraćemo razne v ar ijante jed načina prov ođe nj a toplote, i dati njihova rešenja u obliku reda ili integrala kada su zajedno sa jednačinom dati početni i konturni uslovi. Sve jednačine ovog 'tipa rešavaju se metodom razdvajanja promenljivih. Mi ćemo u našem izlaganju malo odstupiti od uobičajenog metoda jer ćemo često p retpostaviti da su funkcije T i X u rešenju (x, t) T(t) X (x) datog oblika, uglavnom eksponencijalnog ili trigonometrijskog.
U
=
5.6. 1. Jednačina provođenja toplote u neograničenom štapu
l o U oblasti D = {(x, t ) / x E R, t >O} data je jednačina (l)
:� = 0�;, ,
( (x, t ) E int D),
uz početni uslov (x, O) =f(x) , gde je f data funkcija Potražimo rešenje jednačine ( l ) u obliku
U
(2)
u (x, t) = eat+ bx,
za
x E R.
!.
17l
gde su
( 3)
a, b
Parcijalne diferendjalDe jeclnačlne
konstante. Imamo
ou =bU, ox
ou = aU, ot
odakle zamenj ujući vrednosti (3) u ( l ) dobijamo Rešenje (2) postaje
U (x, t)= ef>2t+bx ( 4) stavimo b= in, a
(4)
a= b2•
(b proizvoljna konstanta).
Ako u zatim b = - in, gde je i imaginarna jedinica, dobijamo sledeća dva rešenja jednačine ( l ):
u = e -n2t+nlx '
u = e - n2t-nlx,
Koristeći se principom linearne superpozicije, zaključujemo da je i
u = e,. e - n2t+ntx + D,. e - n2t-ntx,
( 5)
gde su C11 , D,. proizvoljne konstante, rešenje jednačine ( 1 ). Rešenje (S) se očigledno može napisati u obliku U = e-"21 (A11 cos nx + B,.
sin nx),
i ako uzmemo da je n = O, l , 2, . . . , i opet primenimo princip linearne super pozicije, dobijamo novo rešenje jednačine ( l } u obliku formalnog reda + oo
U (x, t)= L
(6)
n=O
e -" 21 (A"
cos nx + B,. sin nx),
gde su A ,. , B,. (n = O, l , . . . ) proizvoljne konstante. Početni uslov U (x, O)=f(x) daje + oo
f(x)= ,L (A" cosnx + B" sin nx). n-0
Time je problem rešavanja jednačine ( l ) uz dati početni uslov sveden na razvijanje funkcije f u FoURIERov red. Ako se funkcija f može razviti u FoURIERov red, možemo odrediti proizvoljne konstante u rešenju (6). 2° Posmatrajmo nešto opštiju jednačinu provođenja toplote u neogra ničenom štapu
((x, t)E int D),
(7) uz
(8)
početni uslov
U(x, O)=f(x)
(x ER).
Rešenje jednačine (7) tražimo u obliku
U(x, t) T(t) cosb(x- a), a, b konstante, i T je privremeno neodređena funkcija od t. ou= 0 u_ = T' (t) cos b(x- a), T(t)b sinb(x - a), =
gde su
(9)
ot
o2 U or
- =
OX
-
T(t)b2cosb(x- a).
Imamo
1 73
5.6. Jednačine paraboUč.kog tipa u
Zamenjujuć i (9)
(7) , dobijamo T' (t)
odakle sleduje
=
- k2b 2 T(t),
T(t) = e- k ' b' r,
pri čemu smo uzeli da je integraciona konstanta jednaka jedinici . Dakle, dobili smo da je rešenje jednačine (7) oblika U = e - k 'b' r cos b (x - a). Na
osnovu principa linearne superpozicije imamo da je +oo
+ oo
J J
U=
( lO)
F(a, b) e- k ' b'' cos b (x - a) da db ,
rešenje jednačine (7), gde je F proizvoljna funkcija. Pretpostavimo da je F (a, b) = G (a). Tada se ( l O) svodi na
U= tj.
+ oo
J
- oo
U=
( l l)
G (a) da
+ oo
.{ e -k'b' r cos b (x - a) db,
- ao
G (a) exp ( - (x-a)' ) J 4 k' t b/t vrt
+ oo
da.
- oo
Pri tome smo se koristili rezultatom (videti 6. 1 .)
). J e-k'b'r cos b (x - a) db = k,.,fitVt exp ( - (x4-a)' k2 t + oo
Stavimo (12)
- oo
x a-,.ji
2k
=
�
u
U (x, t) = 2 ...j
Ako tražimo da
Formula ( l l ) postaje
( l l).
+ "'
1r:
J
- oo
G (x + l k � ...jt) e-t• d�.
(12) zadovoljava uslov f (x) = 2 ...j 1r:
odakle izlazi
+ oo
J
- oo
(8), dobijamo
G (x) e-�' d�,
l G (x) = -f(x), 2 1t
jer je
+ oo
J
- oo
e-�' d� = ...j
1r: .
Prema tome, rešenje problema (7)-(8) dato j e s a
U (x, t) =
)rt
+ oo
J f (x + 2k� ...jl)e -�' d�.
- oo
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
174
5.6.2. Jednačina provođ�nja toplote u poluograničenom štapu
Neka je u oblasti
D = {(x, t ) J x>O, t > O} data jednačina ou = k2 02 u ((x, t ) E int D) ,
(l) sa početnim uslovom
ot
ox2
(2)
U(x, O) =f(x)
gde je J data funkcija,
konturnim uslovom
(x> O) ,
U (O, t) = O .
(3)
Rešenje ćemo tražiti u obliku
(4) gde su
(5)
a, b
U (x, t) = e - bl sin ax,
konstante. Diferencirajući jednakost
d U = - be-b1 sin ax '
(4) nalazimo
{) U = ae -b1 cos ax, -
ot
ox
i stav ljajući u ( l ) izraze ( 5 ) dobijamo
b = a2 P. Dakle, rešenje jednačine ( l ) oblika (4) je
U (x, t) = e - a2 k21 sin ax.
Na osnovu pri ncipa linearne superpozicije, rešenje jednačine ( l ) biće + oo
U(x, t) = J F(a) e-a'k21 sin ax da,
(6)
o
gde je F proizvoljna funkcija. Primetimo da rešenje (6) zadovoljava i konturni uslov Zamenjujući (6) u (2) dobijamo
(3 ).
+ oo
f(x) = J F(a) sin ax da, o
odakle sleduje (videti, na primer, [l] )
F(a) =
(7)
� J /(x) sin ax dx. + oo
o
Prema tome, rešenje problema ( 1 )-(2)-(3) dato je sa (6), gde je funkcija
F određena sa (7). LITERATURA
l. r. M. Cl>HXTEHrOJihU: Kypc
MameMamu �eCKOćO 01/(/. /1/ JU
lli
M o c i< S . 1 5> GS>,
CTD
. .n s .
5.6. Jednačine paraboličkog tipa
5.6.3. Jednačina provođenja toplote
u
175
neograničenoj trodimenzionalnoj sredini
Postavimo sada sledeći problem: Odrediti ono rešenje parcijalne jednačine
(
f1 u f1' u f1' u f1' u = k2 +-+ ot ox' or oz'
(l)
)
(x, y, z E R , t> O),
koje zadovoljava početni uslov U (x, y, z, O) = f(x, y,
(2 )
z)
(x, y, z E R),
gde je f data funkcija. Rešenje jed načine ( l ) tražimo u obliku U = e-rt cos a (x - ct) cos b (y - �) cos e (z - y).
(3)
Iz (3) dobijamo (4)
i zamenjujući vrednosti (4)
u
(l)
-r=
nalazimo
- k2 (a2 + b2 + c2).
Dakle, rešenje jednačine ( l ) oblika (3) je u = e - k'(a'+b' + c') t cos a (x - ct) cos b (y - �) cos c (z - r). pa je, na osnovu principa linearne superpozicije, + cc + cc
U=
-r ee
+ cc + cc + cc
j j j j j j oo oo oo oo
-oo
- oo
-
-
x
-
-
F (a, b , e, ct, �. y) e-k'
cos a (x - ct) cos b (y - �) cos e (z - r) da db dc doc d� dr
takođe rešenje jednačine ( 1), gde je F proizvolj na funkcija. Pretpostavimo da je F(a, b, + cc
J
- cc
e - k' a' 1 cos a (x
e, ex,
�. r) = G (oc, �. y). Kako je
+ cc e-k' b' t co s b (y - �) db =
!
_ 00
+ "'
J
- cc
(
- a:) da = _v_'-'"'"- exp - (-"-"')'
e-k' c' t C08 c (z - "() dc =
k y't
..j; ex p k ..jt
4 k2 1
,
(-
(y-W ,
(
4k' t
4k' t
v'1t exp - -(z -r)' -k Jt
)
)
)
•
176
5. Parcijalne diferencija lne jednačioe
imamo
+ oo +oo + oo +oo +oo + oo J J J J J J G ( o: , �. y) e -k'(a' +h2+c2) t - oo -oo -oo -oo cos a(x- o:) cos b(y - �) cos c(z - y) da dbdc do: d�dy
- co
- co
x
J G ( o: , � . y) do: d � dy J e -k' a't cos a (x - o:) da - oo - oo
+ oo + oo + oo
J - oo + oo x
J
- co
+ oo
+ oo
J e - k'b'1 cos b(y - �) db - ooJ e -k'c't cos c (z - y) dc +oo +oo oo G ( o: � , y) exp ( - (x- a)' + (Y-W + (z - y)' ) dcx d � dy. l l/Z
- oo
=� j' J J +
k t
- co
- co
'
- co
. -x Uved1mo s mene a
zbj r
-- =
8 k3 t312 d� d1J d� i
poslednji
., , �
4 k' t
�-y
. = 1J,
2 k. vlt
integral
postaje
y-z
2 k vl. t
= �. Tada imamo dcx d(3 dy =
+ oo + oo + oo - co
Stavljajući
odakle je
- co
- co
početni uslov -co
-oa
X
e -
(2) u (5), nalazimo
- co
l G (x, y, z) = -f(x, y, z) ,
8 7tl
jer je
+oo +oo +ou J J J e - <E:' +'l'H' J d� d1J d� = 1t3l2• -oo -oo -oo Prema tome, rešenje problema ( l )-(2) dato j e sa
+oo +oo +oo
U(x, y, z, t) = -1- J J J ,.J fl
- co
-co
f (x + 2 k � yt, y + 2 k 1] yt,
- oa
5.6.4. Jedna jednačina koja
se
svodi na jednačinu provođenja toplote
Posmatraćemo još parcijalnu jednačinu (l)
z + 2 k � ..[i)
ov
o'V
2 ov
ot
;or'
r or
-=-+- -,
5.6. Jednačine paraboličkog tipa
177
sa početnim u�lovom (2 )
V
i konturnim uslovom (3)
oV tl r
(0, r) = F (r),
[
+ hV :
= 0, r=1
gde j e F data funkcija i h c/- l data ko nstanta. Uvedimo novu funkciju U promenlj ivih t,
r
pomoću jednakosti
(4) D ifere nc i raj ući jednakost ( 4 ) , nalazimo l ou ov �� _l_ u + _l_ o u ' --;;; = -; --;;; ' o r r' r or =
(5)
-
-- .
02 v 2 2 il u l tl' u =U - - -- + or'
r3
tl r
r'
r
Or2
Na os novu (5) jed načina ( l ) postaje ou
(6)
ot
Uslovi (2) (7) (8)
(
o r2
(3) redom postaju l
- U (O , r
r) = F (r),
l l ou h - ---; U + - - + - U r
o' u
r
tl r
r
)[
tj .
= O, r=l
U (O ,
tj .
(
r) = rF ( r),
ou Or
+ (h - l )
u
,
)[
= 0. r=l
Rešenje jed načine (6) tražićemo u obliku U = eat + l gde s u a i b kon stante. Kao i u slučaju provođenja t oplote u neograničenom štapu dobijamo da su (a proizvoljna konstanta) U = e- a 'r s i n ar, U = e-a'r cos ar rešenja jednačine (6). Dajući razne vrednosti pozicije, zaključujemo da je i u (t, r ) =
(9 )
+ oo
L
n =O
konstanti
a,
n a osnovu principa l inearne super
(en e-an' 1 sin an r + Dn e-an' t an r)
rešenje jednačine (6), gde su en , Dn (n = O, l , . . . ) proizvoljne ko n sta n te . Odredimo konstante en , Dn , an tako da rešenje (9) zadovoljava uslove (7) i (8 ) . Stavljaj ući t = O u (9), imamo + oo
L
( l O)
n =O
Ako
(en s i n an r + Dn cos an r)
je r = O regularna tačka fu nkcije
=
r F (r).
F, stavljajući r = O u
( l O)
dobijamo
178
5. Parcijalne diferencijalne jednaline
Stoga ćemo uzeti da je D,. = O (n = O, l , . . . ). Rešenje (9) tada postaje U (t, r) =
(ll)
+ oo
L
fi = O
Konturni uslov (8) za rešenje
C" e - an ' 1 sin a,. r .
U = e-a' t sin ar
glasi
ae-a' t cos a + ( h - l ) e-a't sin a � O.
Kako je h =1= l , dobijamo
a tg a = .
( 1 2)
l-h
Može s e dokazati d a transcendentna jednačina ( 1 2) nema kompleksnih rešenja. Očigledno je, s druge strane, da ona ima beskonačno mnogo realnih rešenja (videti sliku ) . Uzmimo da su konstante a,. (n = O, l , . . . ) (a0 = 0) koje figurišu u ( l l ) rešenja jednačine ( 1 2). Tada ( l l ) zadovoljava jednačinu (6) i konturni uslov ( 8). fraJ
tg o
Da bi bio ispunjen
početni uslov (7), treba da bude + oo
L C,. sin a" r = rF (r).
( 1 3)
fi=O
Dokažimo da ako su a,. rešenja jednačine (1 2), tada važi J
J sin a" r sin am r dr = O
( 1 4)
o
(m =l= n).
Nije teško dokazati da je
J
S
tn px S tn qX ·
·
dx
= .o.___::___c.__--"--"-----0-p cospx sin qx-q sinpx cos qx q' -p '
Stavimo li p = a" , q = am , x = r, imamo
( p =l= q).
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
179
odakle sleduje
Međutim, an
am su rešenja jednačine ( 1 2), tj . tg an =
a"
---
Prema tome, l
t
'
1-h
Um g am = -.
. an r sm am r dr = cos n cos am .r sm .
1 -h
an am an - - am -1-h
o
�-�
l -h
=
O.
Pomno:limo jed nakost ( 1 3) sa s i n an r i integralima je od O do l . S obzi rom na ( 1 4), imamo Cn
j sin2 anr dr = J r F(r) sin anr dr, l
l
o
tj. kako je
o
nalazimo
l
4 an en
J e sa
J rF(r) sin an r dr
_ = _ _ _ _ _ _ _
o
2 an-sin 2 an
Prema tome, rešenje jednačine (6) koje zadovoljava uslove (7)
U (t, r) =
+ oc
4 an
L
n =O
(8) dato
l
J rF(r) sin an r dr
0
2 a11 - sin 2an
e - an2 1 s i n an r ,
gde SU an koFeni jednačine ( 1 2).
5.7. JEDNACINE ELIPTICKOG TIPA 5.7.1. Greenova formula Teorema l. Neka je S zatvorena povrfina koja ograničava deo prostora V.
su P, Q funkcije promen/jivih x, y, z. Tada je (I)
J JJ ( P.l Q - Q .l P) d V = J J (P grad Q - Q grad P) dS -
v
s
gde je dS orijentisani element površine S.
Neka
180
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
Dokaz.
OsTROGRADSKieve
?ođimo od
formule
-+
i stavimo a = P · grad Q.
Kako je ---+
div a = div (P grad Q) = P div grad Q + grad Q · grad P = P � Q -+- grad Q · grad P,
imamo
{2) (3)
J JJ (P � Q + grad Q grad P) d V = J J (P grad Q) dS. Permutacija funkcija P i Q dovodi do formule J J J (Q �p + grad P grad Q) d V = J J (Q grad P) dS. v
s
v
s
Oduzimajući
(3) od (2), -+
-
dob ijamo
oa
formulu ( 1 ), čime je dokaz završen. _,.
-+
Stavimo li dS = dS · e i dn = grad a · e , gde je e jedinični vektor normale na površinu S uperen napolje, formula ( l ) dobija oblik
JJJ (P � Q - Q � P) d V = J j (P grad Q - Q grad P) ; dS v
s
( :� - Q O:: ) dS.
= jJ P s
5.7.2. Harmonijske funkcije Definicija l. Svaka funkcija U : R3 --+- R koja je neprekidna i ima neprekidne izvode prvog i drugog reda i koja zadovoljava L.fPLA CEOVU parcijalnu diferenci jalnu jednačinu � U = o' U + o' U + o' U = O ,
naziva se harmonijska funkcija.
ox'
oy2
OZ2
Teorema l. Ako je S zatvorena površina i ako su P i
tada je
Dokaz.
teoreme
Kako je,
l
Q
harmonijske funkcije,
JJ (P grad Q ) dS = J J (Q grad P) dS. po pretpostavci, � P = � Q = O , teorema
iz 5.7.1.
s
s
sled uje direktno iz
Teorema 2. Ako je S zatvorena površina koja ograničava deo prostora V , i ako ie U harmonijska funkcija, tada je
(l)
181
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
Stavimo P= l , fu nkcija. Tada je
Q = uz u teoremu l iz 5.7.1, gde je U harmonijska ll' Q = 2 (ll U )2 + 2 U ll' U ' ll' Q = 2 ( ll U )2 + 2 U ll' U ' ll' Q = 2 (d u )2 2 u lly' llz' dz dx2 dx' ox dz2 lly' oy Dokaz.
+
(fl u '
te je stoga
� Q = 2 ((��r � (��r + (:�n + 2 U � U = 2 ((:�r + (:�r + e�r) · jer je, po pretpostavci, � U = O. Neposredno dobijamo
odakle direktno sleduje for mula ( 1 ) . Teorema 3. Svaka harmonijska funkcija koja se anulira u svim tačkama zatvorene površine S koja ograničava oblast V, anulira se u svakoj tački oblasti V. Dokaz. Kako je po pretpostavci U (x, y, z) = O za (x, y, z) E S, formula ( l ) postaje
ll U = O, ll U = O, U = O, tj. U = e, gde je e konstanta. Međutim, dy dx dz zbog neprekid nosti funkcije U zaključujemo da je e = O . Teorema 4. Ako je funkcija U harmonijska u oblasti V i ako je ll U = O svadn koj tački površine S koja ograničava V, tada je U= e (e konstanta) svim odakle sleduje
ll
u
u
tačkama oblasti V.
Dokaz je potpuno analogan dokazu prethodne teoreme.
5. 7 .3. Dirichletov unutrašnji problem
Sledeći problem: Odrediti fu nkciju
U koja je harmonijska u oblasti V, U
i
n a površini S koja ograničava ovu oblast ima datu vrednost, tj. (x, y, z) = f(x, y, z) za (x, y, z) E S, gde je f data fu nkcija, naziva se DIRicHLETOV unu trašnji problem.
Teorema l.
D!R!CHLETOV unutrašnji problem može imati samo jedno rešenje.
Dokaz. Pretpostavimo da DIRICHLETov u n utrašnji p roblem ima dva
U1 i Uz. Tada je
(x,
y,
z)E S ,
rešenja
te je, na osnovu teoreme 3 iz 5.7.2. O i za (x, y, z) E V, što znači da je za sve tačke oblasti V, tj . postoji najviše jedno rešenje.
U1 == Uz
U1 - Uz =
5. Parcijaloe diferencijalne jednačine
182
Pristupimo sada rešavanju postavljenog problema. Neka je (a, b, e) jedna tačka oblasti V i neka je � = {(x, y, z) i (x - a)2 + + (y - b)2�+ (z - c)2 < R2}. gde je R tako određeno da bude � c V. Neka je cr granica oblasti �Neka su i dve harmonijske funkcije u oblasti V. Na osnovu teo reme l iz S.7.2, imamo
U U1
JJ ( U00�' - U1 :�) dS= o.
sua
(l)
. u r
y(x-a)2 + Formula ( l ) postaje Stav1mo
1
=
l
-
l
======= : = ---;:=
(y-b)Z
(z-c) 2
J'J (u �n __!_r - _!_r donU)dS=O, sua iJ
odakle sleduje
Jf (u � �U ) dS +jj (-_!_r2 U - _!__r oU d n ) dS = O. r _!_t} r on
(2)
S
Na sferi
on
cr
je
r
=
a
R, pa je
ff( _!_r2 U _!_r iJU) iJn d S= "
Neka
jer
+
_
R -+ O.
_
Tada
_
_!_ R2
Jf ud S- -!__R Jf oonU d S. "
"
-�zjJ ud S -+ - 41t U(a, "
U (x, y, z) /
(x, y, z) E a
b, e),
-+U (a, b, e)
S druge strane, na površini je (x, y, z) = f(x, y, z), gde je f data funkcija. Prema tome, iz formule (2), puštajući da R -+ O dobijamo a
(3)
S
U
d U(x, y, z) ) dS. U(a, b, e) = 1 JJ (t(x, y, z) iJn-iJ -r1 - -r1 --dn -
4 7\'
s
Formula (3) ne daje neposredno rešenje DIRICHLETovog unutrašnjeg pro blema, jer se pod znakom dvojnog integrala nalazi pored poznate veličine J, i nepoznata veličina 0 Da bi se dobilo rešenje problema treba eliminisati
iJnu .
iJU . Mi ćemo to prvo učiniti u nekim specijalnim dil preći na opšti slučaj.
slučajevima, a zatim ćemo
183
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
PRIMEDBA. D.!finicije i zaključci iz prethodnih odeljaka ostaju u važnosti ako posmatrane funkcije zavise samo od dve promenljive. Treba jednostavno zameni ti reč "prostor" sa "ravan", "površina" sa "kriva", trostruki i ntegral dvo3trukim, i površinski krivolinijskim. Specijalno, a nalogon formule (3) glasi l U(a, b) = -
(4)
gde je ds element krive C.
2 7t
J
e
(
o l l o U(x, f(x, y) - on r r on -
-
y))
d s,
5.7.4. Dirichletov problem za krug
Problem se sastoj i u sledećem: Odrediti funkciju U koja unutar kruga e= {(x, y) 1 xz + yz = Rz} zadovoljava LAPLACEOVU jednačinu
(l) i koja na krugu e ima datu vrednost. Ovaj problem rešavaćemo u polarnim koordinatama (r, 6), definisa n im sa X = r cos e, Y = r sin e. Jednačina ( l ) u polarnim koordinatama glasi (2) Pretpostavimo da jednačina (2) ima rešenje oblika U = F(r) G (6).
Dobijamo
,z F"(r) G (6) + rF'(r) G (6) + F(r) G"(6) = O,
tj.
G"(6) = G (6)
- r2 F"(r) + r F'(r) F(r)
= - kZ,
gde je k konstanta. Odatle sleduje
( 3)
G" (6) + k z G (6 ) = O,
(4)
,z F"(r) + rF'(r) - kz F(r) = O. Opšte rešenje jednačine (3) za k ;f:- 0 dato je sa
G (6) = A cos k 6 + B sin k 6 , a jednačine ( 4 ), koja je EULERovog tipa, sa F(r) = erk + Drk , gde su A, B, e, D proizvoljne konstante. Ako je k = O, tada je rešenje jednačine (3) a jednačine (4)
G (6) = A + B6, F(r) = e + D log r.
5. Parcijalne diferencijalne jednačlne
184
Prema tome, imamo sledeća (partikularna) rešenja jednačine ( l ): U�
(S)
(6)
(A cos k S + B sin k S) (Crk + Dr-k) U � (A + BfJ) ( C + D log r)
(k * O),
(k = 0),
gde su A, B, C, D, k proizvoljne konstante. Odredimo sada te konstante tako da dobijemo rešenje postavljenog pro blema. Dodavanje broja 2TI p rom enljivoj e odgovara obilasku oko kruga. Pri tome funkcija (r, 6) f-+ U (r, 6) mora imati istu v red nost, što znači da je U periodična funkcija s period om 2 TI. Da bi ovo bilo postignuto, moramo uzeti u ( 5 ) da je k ceo broj ± l , ± 2, . . . , a u (6) da je B= O. Međutim, ista re šenja dobijamo ako ograničimo k da bude prirodan broj . Time smo dobili sledeća rešenja U0 = A0 (C0 + D0 log r),
U,. = (A,. cos n6 + B,. sin n S) (C,. r" + D,. r-")
1 u
(n = l , 2,
.
. .) .
Dalje, funkcija U mora biti neprek idna u svakoj tački oblasti int C, pa r = O. Sloga je D0 = D,. = O (n = 1 , 2, . . . ). Uvedimo oznake a0 = 2 A0 C0 , a,. = A,. C,. , b,. = B,. C,. . Na osnovu prethod
tačk i
nog, i mamo sledeće rešenje
U0 ( r , 6)
=
a0/2,
(n = l, 2,
U,. (r, 6) = (a,. cos n6 + b,. sin n fJ) r"
. . .)
i, koristeći se principom li nearne superpozicije, dobijamo rešenje + oo a (7) U (r, 6) = ----"- + 2 (a,. cos n fJ + b,. sin n fJ) r" . 2 n= l Dato je da funkcija U u zima na krugu C p ropisanu vrednost. Uzmimo da je U (R, 6) J(6), gde je J data funkcija. Primenjujući taj uslov na (7) do bijamo + oo a J(6) = -"- + 2 (a,. cos n 6 + b,. sin n 8) R", 2 n=l odakle sleduje + rt +rt 1 1 a,. = -(8) J(t) cos nt d t, b,. = -J (t) sin nt dt. 7t Rn rr R" -rt -rt To znači da (7), gde su koeficij enti a,. , b,. dati sa (8), p redstavlja reše nje postavljenog DIRICHLETovog problema. =
j
(7)
J
integra/a). Zamenjujući (8) u (7) nalazimo + rt PRIMEDBA. Rešenje
može se predstaviti i u obliku određenog integrala (tzv. l
U(r, 6) = 2 rr tj.
(9)
J
- 1t
1 U(r, 6) = 2 rr
+ oo l /(t) dt + 2 · n = l 7t
+ rt
J-
r" /(t) cos n (t-6) dt, R11
- 1t
J ( }:: (� ) +n
-1t
1 +2
"
)
cos n (t-6) /(t) dt.
POISSONovog
5.7. Jednačine ellptlčkog tipa
185
Međutim, kako je + oc
l +2 (9) postaje
C" cos mp �
n�l L
U (r, 6)
l -c'
---
+ rt
l
J /(t)
= -
2 71"
(O.:S:c< l),
c' - 2 c cOS ijl + l
R2-r2
R2 - 2 rR cos (t-6) + r2
dt.
- Tt
S. 7.5. Dirichletov uoutrašnji problem za sferu
Neka je S sfera, A = (a, b, e) jedna tačka koja pripada unutrašnjosti A1 = (a1 , b1 , c1) jedna tačka izvan sfere, O centar sfere, i M= (x, y, z) E S. Uvedimo oznake r = MA , r1 MA1 , l = OA, 11 = OA 1 • Jz sličnosti trouglova dobijamo
sfere,
=
r
(l)
Na osnovu formule (3) iz 5.7.3, imamo (2)
U (a
, b, c) = _!_ JJ (t<x, y, z) �on _!_r
_
4 71"
s
_!_ o U (x, y, z) ) d s . r on
Kako je funkcija _.!__ harmonijska u oblasti ograničenom sferom S, na osnovu teoreme l
r,
iz 5.7.2,
imamo
_ ou) dS = O, JJ(u�_!_-_.!_ on r, on
tj. kako je U =! z a (x, y, z) E S, s
tj . (3)
JJ (f(x, s
_li_ 4n/
z) � _.!__ - _.!__ 0 U(x , y, z) ) d S = O,
y,
on r,
JJ (t(x,
PRIMEDBA. Teorema l iz
r,
y,
s
on
r,
o z) � __!._ - _.!__ U (x, y, z) ) d S = O. on on r1 r1
5.7.2. ne može se primeniti na funkciju - jer ona ima prekid u 1
tački (a, b, c)Eint S, dok funkcija
1
r•
ima preki d
r
u
tačld (a 1 , b" c1)Ef int S.
Oduzimanjem formula (2) i (3) i koristeći se odnosom ( l ) , dobijamo rešenje (4)
U ( a, b,
t
e) = - JJf(x, 4 71"
s
)
y, z) (- - - - - - dS. o i on r
R o t l
on r,
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
186
Formula ( 4) može se napisati u obliku 'U(a, b, e) = _!_ . 4 7t
JJ!(x, y, z) oo nG dS, s
gde je funkcija G definisana sa G (x, y, z, a, b, e) = - - - l
R l
r
l r,
R
-}(x-a)2
+
2 1)::;=c::;o -= z= )2;:+= b,7. :: (:= ===;= =;: +=:= 2= , );:; -=a=: x== -;(:= V (y l -
(y-W + (z- c)2
Funkcija G ima sledeće osobine: l o G je harmonijska funkcija u odnosu na x, y, z unutar sfere S, osi m u tački (a, b, e). 2° G je harmonijska funkcija u odnosu na a, b, e unutar sfere S, osim u tački (x, y, z). r Razlika G - � je harmonijska funkcija u svim tačkama oblasti int S. r
4° Funkcija G se anulira na sferi S. Funkcija G se naziva GREENova funkcija u odnosu na tačku A = (a, b, e) sfere S. Ona je funkcija šest promenljivih x, y, z, a, b, e ili dve tačke M i A .
5 .7.6. Greenova funkcija
lnspirišući se slučajem sfere, dolazimo do sledećeg. Pretpostavimo da nam je poznata funkcija promenljivih x, y, z, a, b, e, gde je A = (a, b, e) fiksirana tačka oblasti V, i M = (x, y, z ) promenljiva tačka je funkcija tačaka M i A), i da funkcija H ima sledeće osobine: te oblasti (tj. je harmonijska funkcija u odnosu na x, y, z. lo 2° je harmonijska funkcija u odnosu na a, b, e.
H
H H
3°
H
Na površini S,
H uzima vrednost _!_ , gde je r rastojanje tačaka r
M
i A , tj. r = y(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2• Neka je U rešenje DIRICHLETovog unutrašnjeg problema. Na osnovu teoreme l iz 5.7.1, i mamo
ili, s obzirom na 3°, (l)
JJ.(! ooH_n - .!... ooun ) dS = o. r
s
Upoređujući ( l ) sa (3) iz 5.7.3, nalazimo (2)
U (a, b, e) =
-1 JJ 4 7t
s
!(x, y, z)
� (.!.-H) dS. on r
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
187
Prema tome, formula (2) daje rešenje DIRICHLETovog problema, ako je poznata funkcija H. Funkcija G, definisana sa G=�-H (3) r naziva se GREENova funkcija za oblast V ograničenu površinom S u odnosu na tačku (a, b, e) . Na osnovu (3) i osobina funkcije H zaključujemo da: l o Funkcija G je harmonijska u oblasti V u odnosu na x, y, z osim u tački (a, b, e) . 2° Funkcija G je harmonijska u oblasti V u odnosu na a, b, e, osim u tački (x, y, z) . 3 ° Funkcija G - ..!_ je harmonijska u svi m tačkama oblasti V. r 4 ° Na površini S funkcija G se anulira.
5. 7.7. Neumannov problem u ravni
Neka je u ravni data oblast S, ograničena krivom C. Na krivoj C defi nisana je funkcija s �f(s), s E C. Sledeći problem: Odrediti funkciju U koja je u oblasti S harmonijska, i čiji je izvod u pravcu normale jednak datoj funkciji f na krivoj C, tj.
oU on
U= on f(s) (s E C), naziva se NEUMANNOV problem, ili drugi konturni problem.
0
Teorema l. Da bi postojalo rešenje NEUMANNovog problema, potrebno je da se
integral funkcije J po krivoj
Dokaz.
e
anulira.
Kako je funkcija U harmonijska, imamo
o2U alU JJ ( ox> oy2 ) dx dy = O. -+-
s
Međutim, važi jednakost (videti teoremu l iz 5.7.1. i primedbu iz 5.7.3.)
o2 u o2U JJ ( ox2 dy2 ) dxdy = J -ouon ds = Jf(s) ds, -+-
odakle sleduje
e
s
e
Jf(s)ds= O.
e
Teorema 2. Dva resenJa NEUMANNovog problema mogu se razlikovati samo za proizvo/jnu konstantu. Dokaz.
Dovolj no je dokazati ovu teoremu za slučaj J (s) = O.
5. Parcijalne diferencijalne jednač;ne
188
Pretpostavimo da je f(s) = O. Tada je U = O rešenje odgovaraj ućeg NEU MANNovog problema . Neka je u = u neko drugo rešenje istog problema. Kako je u harmonijska funkcija, imarr.o
J'u + -d'u) JJ u (--dx' dy' dx dy = O. s
Međutim kako je
JJ u �� dx dy = J u �: dy - Jf ( �:r dxdy, J r u d'udy' dx dy J u dud y dx - ff (du)' d y dx dy, u - rJ ( ( d u ) 2 + ( d u ) 2) dx dy. d' u + d' u) dx dy J u --ds JJ u (y •
Imamo
=
e
s
1
-
J
dn
e
. . Među hm, po pretpostavci. Je
s
a
=
dx' c! '
s
s
e
s
Ju on
+
s
. . . oda kl e, zb og neprek d nost• Izvo d a - , -- sI ed uJe
du du dx o y u konstanta. Time je teorema do a ana. k
dy
. u = O , -- = O , pa Je stoga
A Ll
JJ ( (1�r ( :;r) dxdy
. 1
-
dx
s
z
= 0,
du c!u = O , vsto znaciv · da Je. dy
-= OX
Pokažimo sada kako se NEUMANNov problem u ravni svodi na odgova rajući DIRICHLETOV problem. Neka je U rešenje NEUMANNovog problema. Kako je U harmonijska fu nkcija, može se odrediti sa tačnošću do jedne konstante fu nkcija V tako da j e fu nkcija (x, y) � U (x, y) + iV (x, y ) analitička funkcija kompleksne promenljive z = x + iy. Pri tome je V takođe harmon ijska fu nkcija. Funkcije U, V vezane su CAUCHY RIEMANNovim uslovima:
dU oy
JU dV Jy
(l)
OX
dV Jx
Neka je ; = (n 1 , n2) = n1 i + n2 f Stavimo E = 11 i + t2j, gde Je E jedinični vektor tangente. Koristeći se uslovima ( l ), dobijamo "Jn = grad U
o
u
oV oy
·
e
o u -->j = (J-;}Xu -->i + � JV dx
oV ,) x
) · (� i - j ) --> e
=
,)V
,) v -->
,)
v
Jx
�
·
JV Jy dt
-· •
e
= n l - - n 2 -- = ll - -+- tz - = - ,
ov ot
· · V u pra\ cu tansente . · - •zv · od fu n kCIJe gde Je
Neka je A fiksirana tačka krive C, a B promenlj iva
(2)
B
B
B
tačka
oU ds = f ') V ds = V (B) - V (A). Jj(s) ds = J Jn ot
A
A
A
te krive. Imamo
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
Kako je
189
J f(s) ds = O. jednačina (2) jednoznačno definiše funkciju V
e
u
tački B, tj. fu nkcija V je definisana na krivoj C. Kako je V harmonijska funkcija, rešavanjcm DIRICHLETovog problema za V, dobijamo vrednosti funk cije V u bilo kojoj tački oblasti S. Tada, pomoću jednakosti ( l ) određujemo funkciju U (sa tačnošću do jedne proizvolj ne konstante, što je u saglasnosti se teoremom 2). PRIMEDBA. U slučaju trodimenzionalne oblasti, NEUMANNov problem ne može se svesti na odgovarajući DIRICHLETOV problem. On se tada rešava pomoću integralnih jednačin a .
5.7.8. Primena kompleksnih funkcija
Neka je f analitička fu nkcija u oblasti G i neka je K = gl i� - z0[ R} C G, gde je z0 fiksirana tačka oblasti G . Na osnovu CAUCHYeve formule imamo =
(l)
Međutim, na krugu
K
važi � = z0 + Rei6, pa iz ( l ) dobijamo
1
f(z0) = 2 rr
J
2 1<
o
ili (2)
f(z0)
=
f(z0 + Rei 6) d6,
-1 - J!(�) ds, 2 rr R K
gde je ds R d9 element l u ka kruga K. Iz formule (2), koja se zove formula o srednjoj vrednosti analitičke funkcije, neposredno izlazi formula =
gde je K = {(�, "YJ) [ (� - x0)2 + ("YJ - y0)2 R2}, i gde je oblasti G. Dokažimo sada sledeći rezultat. =
u
harmonijska funkcija u
Teorema l. Neka je data kompleksna funkc(ia
(3)
Z = X + iy � � =f(z) = � (x, y) + i l) (x, y),
kOja . pres!"k 1 ava oblast Gz z-ravm u oblast G� "c,-ravm, pn cemu je .
.
.
v
•
D (� . 7J ) D ( x, y)
--- ·
-+ O. .,....
Ako je preslikavanje realizovano funkcijom (3) konformno prve ili druge vrste (konformno ili antikonformno), tada LAPLACEova jednačina � u = za funkciju u prelazi u LAPLACEovu jednačinu za funkciju: (�, "YJ) � u (x (�, "YJ), y (�, "YJ)) = U (�, l)).
O
190
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
Dokaz. Zbog uslova
D (�, 7J) :;to O D (x, y)
y = y ( 1;, YJ ) . Tada imamo
iz
1; = 1; (x, y), '7j = '7) ( x , y) sleduje X = x (l;, "f)),
uxx = u'f.'f. �/ + 2 u'f.Ti �X "'lx + i jed načina
(4)
uyy = uF.F. 1;/ + 2 uF.n �y 'Yly +
�u=
O postaje
UTiTi
'Y)/ + uf. �xx +
U7171 'Yl/ +
UTi "'lxx •
uF. �YY + U71 'Ylyy •
2u u (1; 2 ()2� u ( 1;x2 + 1;2 ()2 d1) ) + 2 i)� y x 'Ylx + ;y 'Y)y) + () ( 'Ylx2 + "f)y ) 2 d7) 2 () ou au ( 'Ylxx + 'Ylyy) = O . +� ( �xx + 1;yy) + O lJ o
Medutim, ako je p re s likav a nje l konformno, tada važe CAUCHY-RIEMANNove jed načine pa je (5)
�/ + 1;/ = 'Y)/ + '7J/• i (4) se svodi na
1;x 'Ylx + �y "f)y = 0,
�xx + �yy = O,
'Ylxx + 1Jyy = 0,
02 u 0z u = 0. + 07) 2
.:)1', 2
(6 )
Slično, ako je preslikavanje l konformno druge v rste (antikonformno), tada va7e jednakosti l;x = -: 'Y)y 1;Y = "'lx • odakle opet sleđuju jednakosti ( 5), što znači da se (4 ) i u tom slučaju svodi na (6). Teorema je dokazana. •
U 5.7.4. rešavali smo DIRICHLETov problem za krug pomoću razdvajanja promenljivih. Taj metod, mada nas je doveo do rezultata u slučaju kružne oblasti, prilično je ograničenog dejstva, i može se primeniti samo na specijalne oblasti, koje imaju jednostavnu granicu. Metod koj i ćemo sada izložiti mož :: se primenti na znatno širu klasu oblasti. Ponovo ćemo rešiti DIRICHLETov problem za kru g tj. odredićemo fu nkciju u koja zado voljava L A P LACEo v u jed n ači n u u disku D = {(x, y ) j x2 + y2 < R 2 } i koja na krugu K = {(x, y) : x 2 + y2 R 2} dobija unapred zadatu vrednost, tj . u = a za (x, y) E K. U vedimo polarni koordinatni s i stem r, e i konstruišimo konformno pre s likavanje diska D na disk D1 {w! [ w [ < l } u w-ravni, pri čemu se data tačka (r0 , e0) E D preslikava u centar d iska Dl ' tj . u tačku w = O. Kao što je poznato iz kompleksne analize takvo preslikavanje dato je sledećom bil inearnom trans formacijom ,
� �
=
,
(7)
W=
R 'o
l (z) = - e i
l.
z - r0 e
R2
i Oo
z- � e 'o
;a 0
•
gde je 'A proizvoljan realan broj. Preslikavanjem (7) funkcija ( r. O ) e-+ u (r. O) prelazi u fu nkciju (p, rp) f-+ u (p, rp) = u ( r ( p , cp). e ( p , rp) ) gde s u p . !fl polarne koordinate w-rav ni. Pri tome se data fu nkcija e f-+ a ( e ) preslikava u fu n kc ij u t;? f-+ A (rp) = a ( e ( l rp)). ,
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
191
Kako je preslikavanje J konformno, funkcija U je harmonijska važi formula i
U! w=O
l =2 1't
2>t J A (cp) dcp.
za nju
o
Međutim, kako je u ! w = O = u (ro ' Bo), imamo
1 u (r0 , 60) = -
(8)
2 1't
Treba još da izrazimo funkciju dobijamo
2>t J A (cp) dcp.
o
A pomoću funkcije
a. Iz formule (7)
odakle sleduje
dcp =
R2 - ro2
R2
r02-2 Rr0 cos (6 - 60)
+
d 6.
Prema tome, integral (8) postaje
tj. rešenje DIRICHLETovog problema za krug dobijamo u istom obliku (POISSONOV integral) kao i u 5.7.4. Metod kompleksnih funkcija omogućuje nam da rešimo DJRJCHLETov problem za bilo koju oblast G koja se može konform no preslikati na disk { w l l w l < l} w-ravni. Zaista, pri konformnom preslikavanju LAPLACEova jedna čina ostaje invarijantna, a rešenje za krug nam je poznato. Da bismo ilustrovali taj metod, ovde ćemo rešiti DIRICHLETov problem za poluravan, tj . odredićerno funkciju u koja je harmonijska u oblasti { (x, y) 1 y > O} i koja zadovoljava uslov u (x, O) = a (x) , gde je a data funkcija. Kao što je poznato iz kompleksne analize, bilinearna transformacija (9)
rz-zo
w = f(z) = z-� ·
preslikava oblast G. = {z l lm z > O} na oblast G,., = {w l i w! < l }, pri čemu se data tačka z0 = x0 + iy0 (y0 > 0) preslikava u tačku w = O. Iz formule (9) vi dimo da za granične tačke oblasti G z i G ,., važi jednakost
( lO)
e; �
_
x-z0
- ----=-
x-z0
,
i funkcija x � a (x) preslikava se u funkciju cp � A (cp) = a (x (cp)), gde j e funk cija cp � x (cp) određena iz ( 1 0). I z jednakosti ( 1 0), posle diferenciranja, dobijamo
(l l )
d cp =
2Y0 (x-x0)2 + Yo 2
dX.
1 92
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
Vrednost funkcije
osnovu formula ( lO) i
u
u
tački
(x0 , y0)
( l l ) dobijamo
+ oo
određena je integralom (8). Na
Yo dx. (x-x0)2 + Y02
u (x0 , y0) = _!_ Jr a (x) T': - oo
5.7.9. Bibarmonijska jednačina
Jed načina
Ll (Ll u) "", LlZ u """, -- + 2 d4 u
(l)
dx'
-o• u
-+
dt2 dy2
d4 U
�
dy'
=0
naziva se biharmonijska jednačina, a njena rešenja nazivaju se biharmonijske funkcije. Konturni problem za jednačinu ( l ) glasi: Odrediti funkciju u koja zadovoljava· jed načinu ( l ) unutar zatvorene oblasti s tako da su vrednosti funkcije u i njenog izvoda � na granici e dn
oblasti S date.
Teorema l. Konturni problem za jednačinu ( l ) može imati samo jedno rešenje.
Dokaz. Pretpostavimo da postoje dva rešenja u1 i u2 i posmatrajmo funkcij u
v = u 1 - Uz . Funkc ija v zadovoljava jed načinu ( J ) i uslove
i
v c = 0,
� � = 0. dn 1c
Primenjujući GREENovu formulu
J J (F Ll G - G Ll F) dS = J na
funkcije v
e
s
Ll v, dobijamo
(F - - G --) ds iJG
iJ F
dn
. dn,
J J (Ll v) z dS = O, s
odakle izlazi Ll v = O. Kako je v lc = O, zaključujemo da je v (x, y) ;;O, odakle sleduje u1 = uz , čime je dokaz završen. Teorema 2. Ako su u1 Uz harmonijske funkcije u nekoj oblasti S, tada je funkcija u definisana sa u (x, y) = x u1 (x, y) + Uz (x, y)
(2) biharmonijska u toj oblasti.
Dokaz. Primenjujući operator Ll na (2) dobijamo
� u = � (xu1) + � Uz = � (xu, )
jer jo, po pretpostavci, � Uz = O.
,
5.7. Jednačine eliptičkog tipa
S
193
druge strane imamo
pa je
( �: ) = o,
�2 u = 2 �
što znači da je funkcija u biharmonijska. Teorema 3. Ako je u oblasti S data biharmomjska funkcija u, tada postoje har monijske funkcije u1 i � takve da je
u (x, y) = xu1 (x, y) + u2 (x, y).
Dokaz. Dovoljno je dokazati da se može odrediti funkcija u1 koja zadovo
ljava uslove
(3) (4) Iz (4) sleduje ( 5)
Jednačinu ( 5) zadovoljava funkcija u1 • definisana sa }
-
X
u1 (x, y) = "2 j � u (�, y) d�.
Kako je
a
A-
xo
h u u, = �
ox
o �,
t
= 2 �2 u = 0,
zaključujemo da � u1 zavisi samo od y, tj. imamo � � = v (y). =
Definišimo funkciju y f-+ u1 (y) sa stavimo Takva funkcija u1 .zadovoljava oba uslova (3) i (4). Teorema 4. Svaka biharmonijska funkcija u može se predstaviti pomoću dve har
monijske funkcije u1 i u2 u obliku (6)
gde je a konstanta.
194
!).
Dt>ka:.. Iz
(6)
t'arCI.Jlllne diterencijalne jednatine
imamo redom
ou
Ll u = 2 u1 + 4 (x + y) -' ,
ox
čime je dokaz završen. Neka je K krug {(x, y) i x2 + y2 = a2}. Odredićemo biharmonijsku funkciju o u na krugu K unapred u takvu da su njene vred nosti kao i vrednosti izvoda on
date, tj. u =f i !!!_ = g za (x, y) EK.
on
Na osnovu teoreme 4 traženu funkciju možemo predstaviti u obliku u (x, y) = (x2 "i- y2 - a2) u1 (x, y) + Uz (x, y), (7) u2 harmonijske fu nkcije. Konturni uslov gde su u1 u =f za (x, Y) E K
postaje
u2 =/ z a (x, y) E K. Prema tome, funkcija Uz je rešenje DIRICHLETovog problema za krug LAPLACEove jednačine i može se prikazati u obliku POISSONovog integrala (videti 5.7.4.)
(8) Drugi konturni uslov daje
ou or
2 au1 + -, = g za (x, y) E K.
Funkcija (x, y) � 2 au1 (x, y) + _!__ a
o u, (x, y) or
zadovoljava LAPLACEovu jedna-
činu , kao što s e može neposredno proveriti. Stoga· s e i o na može prikazati u obliku POISSONOYOg integrala (9)
o
u' = 2 au1 + - r
a or
l
2 lt
2 rc
J g (t)
o
a2 - r2 r2 - 2 ar co< {t - 6) + a2
Diferencirajući (8) po r i zamenjujući izraz
o u, or
dt
.
u (9), dobijamo u1 • Stav
ljajući u (7) tako dobijene vrednosti za u 1 i u2 , nalazimo rešenje postavljenog problema
(
l u (x, y) = - (r2 - a2)2 - 2 lt a
l
2
2rc
J
o
g (t ) +
2 rc
l dt r'- 2 ar cos t - 6) + a2
(
a-r J f(t) (r2-2ar
o
cos (t-6) + a2)2
PRJMEDBA. Opšte rešenje bi harmonijske i�dnačine LV
u(x, y) = (x + iy)J; (x- iy) +/2 (x-iy)
gde su /,. , / , g1 , g, proizvoljne funkcije. 2
+
cos (t-6)
u- O
,
dato je
sa
(x - iy) g (x + iy) + g2 (x + iy),
).
dt
195
5.8. Zadaci
Može se; dokazati da realni i imaginarni deo GouRSATovih bianalitičkih funkcija z �--+ "il(z) + g (z), gde su l i g analitičke funkcije, zadovoljavaju biharmonijsku jednačinu. Opštija jednačina �" u � O (n E N) naziva se poliharmonijska jednačina. Njeno opšte
rešenje da to je sa
u (x, y)
�
n-1
L
k�O
(x + iy)k .fk (x - iy) +
n-1
L
k �O
(x- iy)k gk (x + iy),
gde su lk , gk (k � O, . . . , n - 1 ) proizvoljne funkcije. Takođe se dokazuje da realni i imaginarni z �--+
n- 1
L
k� O
deo
kom pleksne
funkcije
oblika
"ik A (z) , gde su lk analitičke funkcije, zadovoljavaju poliharmonijsku jednačinu �" u � O.
5.8. ZADACI
5.8. 1. Eliminisati proizvoljne konstante iz sledećih jednakosti: 5.8.2. Eliminisati proizvoljne funkcije iz sledećih jednakosti: lo
U = xy +f(x2 + y2);
2o U =f
3°
J(x2 + y2 + u2, u2 - 2 xy) = 0;
4o
5°
( :) x
;
u =f(x2 - y) + g (x2 + y);
U = .}__f(y - x) + f' (y - x). X
5.8.3. Odrediti opšte rešenje parcijalne diferencijalne jednačine
(l) Reienje. Da bismo odredili opšte rešenje jednačine (l), potrebno j e
---
dx dy - -- xl yl (x + y) u du
(2)
Iz prve jednačine sistema �2) dobijamo (3 ) gde je e, proizvoljna konstanta. S druge strane, iz (2) sleduje
tj.
odakle dobijamo
(4) gde je e, proizvoljna konstanta.
l 1 --- - e, . X y
-- ---
du dx -dy � X2-y2 (x +y) u ' dx-đy du x-y
u
u -- = e. , x-y
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
196
Iz (3) i (4) zaključujemo da je opšte rešenje jednačine
(l) dato sa
gde je f prcizvoljna diferencijabilna funkcija.
5.8.4. Odrediti opšta rešenja sledećih parcijaln ih jednačina:
u (xp - yq) = Y2 - x2 ;
1°
2° px(x + y) = qy (x + y) - (x - y) (2x + 2 y + u); 3 a (y + ux)p - (x + yu) q = x2 - y2•
ReVI/tat. l o r + y2 + u2 =/(xy);
ZO (x + y) (x + y + u) = /(xy);
3° f(x2 + y2-u2, xy + u) = 0.
5.8.5. Odrediti ono rešenje kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednačine (l)
koje zadovoljava uslov x + y = O, u = l . Rdeflje. Polazeći Qd sistema jednačina dx
d .v
x (y' + u)
y (x2 + u)
dolazimo do sledećih prvih integrala
(2)
gde su e,
xyu = e, ' '
cl proizvoljne konstante. Početni uslov posmatraćemo u obliku
(3)
x - t,
du
(x1 - y1 ) u '
x' + y ' - 2 u = e, ,
y = - t,
u - 1.
Zamenjujući (3) u (2), nalazimo - t ' = C, ,
2 t ' - 2 = C, ,
odakle, eliminacijom t, sleduje
(4)
2 e, + e, + 2 = o.
Stavljajući u (4) vrednosti konstanata e, i e, iz (2), zaključujemo da je traženo reše nje jednačine ( l ) dato sa x1 + y1 + 2 xyu-2 u + 2 = O.
5.8.6. Rešiti sledeće jednačine sa datim početnim uslovima:
1 ° 2y(u - 3)p + (2x - u) q = y (2 x - 3), x2 + y2 = 2 x , u = O;
r (x - y)y2p + (y - x) x2 q = (x2 + y2) u, xu = a3, Y = O; 3° (x - y)p + (y - x - u) q = u, x2 + y2 = 1 , u = l . Ru.llltat.
1 ° x2 + y' -2 x � u' -4 u; 3° (x-y + u)2 + u4 (x + y + u)'- 2 u' (x-y + u) - 2 u4 (x + y+ u) = O.
5.8.7. Metodom LAGRANGE-CHARPITa odrediti potpuni integral parcijalne dife rencijalne jednačine
( l)
197
5.8. Zadaci Rele11je. Jednačini ( l ) odgovara sistem diferencijalnih jednačina dx
odakle sleduje (2)
du
dy
dp
p 2 dx + 2 px dp
q' dy + 2 qy dq
p' x
q'y
Jednačina (2) može se direktno integraliti. Dobijamo
p' x = e, q' y ,
(3)
gde je e, proizvoljna konstanta. Rešavanjem sistema jednačina ( 1 )-(3) po p, q, nalazimo
odakle,
( 4)
s
obzirom da je du = p dx + qdy, imamo
jl + e, - du = \j� --;- dx + \jfT y dy. v u
Integracijom jednačine (4) dobijamo potpuni integral jednačine ( l ) u obliku
v/(1 + e,) u = y'c, x + v!Y"+ e, ,
gde su e, i e, proizvoljne konstante.
5.8.8. Koristeći se LAGRANGE-CHARPITovim m etodom odrediti potpuni integral jednačina
sledećih
lo
2 ° u 2 =pqxy;
(p2 + q2) y = qu ;
3° px5 - 4 q3x2 + 6 x2 u - 2 = 0; Rezultat.
4 ° 2 (u + xp + yq) = yp2. e, e,
l a (x + e1 )2 + y2 = e2 u2 ;
2 0 U = e1 X y
�
2 � l l 3° U = - {y + e1) 2 + - + + C, e"' ; 3 9 3 x2 --
5.8.9. Odrediti opšte rešenje jednačine (l)
Rele11}e. Invarijante h i k za jednačinu ( l ) glase
l
h - k � - -- .
(x-y)'
Uvedimo funkciju U pomoću smene
Dobijamo jednačinu
(2)
u � uy +
u
--
x-y
.
l u U:xy --- U:x + Uy + - 0, (x-y)' x -y --
za koju je in varijanta H � O. Napišimo jednačinu (2) u obliku zx-
l
--
z = O,
x-y
u
x -y
z - Uy - -- .
l
;
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
198 Ta.da.
je
u
tj.
x-y Y(y) (x-y), 2(X(x)+ Y(y)) +2 Y'(y) + (x-y)Y "(y), x-y (x,y) =(x-y) ( Y'(y)-X' (x)) + 2 X(x) + 2 Y(y), U
odakle sleduje
1
X Y
gde su
u
z=
=
Uy - - =
proizvoljne funkcije.
5.8.10. Odrediti opšta rešenja sledećih jed načina
lo
uxy + xyux + yu = O;
3 ° u_.y + u_. + uy + u = O ; 5.8. 1 1 .
2° uxy + yuy + u = O;
4° u_.. + xyu_. - 2 yu = 0 ;
Odrediti opšta rešenja sledećih jednačina
1° x2 uxx - 2 xyuxy + y2 uyy + xux + yuy = O; 2° (x - y) uxy - ux + Uy = O; 30
iJ iJx ( 2
-
X
U_.
)
= X
2
•
U YY '
4° x2 uxx y2 UYY - 2 yuy = O; 5° Uxy + Yllx + Xlly + xyu = o.
-
5.8.12. Dokazati da je opšte rešenje jed načine
oblika
l -2 1111 a
x2 -- ll x -2
= Uxx � - llx
n (n + l )
(n E N )
( iJ )n (F(x-at ) +G(x+ at ) )
U (X ' y) = Xn - l
X
OX
X
'
gde su F i G proizvolj ne fu nkcije . 5.8.13. Dokazati da opšte rešenje jednačine
ima oblik
(m, n E N )
u (x, y) = (y - x)m + n + l
gde su X i Y proizvoljne funkcije .
iJm + nm (X(x)-Y(y) ) • iJxniJy x-y
5.8.14. Odrediti rešenje jednačine
( l)
Ux_., + 2 u..,y - 3 Uyy = 0 koje zadovoljava početne uslove uy (x, O) = O .
Up11t1tro. Koristiti se opštim rešenjem jednačine ( l ), koje glasi u gde su f i K proizvoljne funkcije.
(x. y) f(x + y) + g x-y), =
(3
199
5.8. Zadaci 'YJ,
5.8.15. Neka su �.
i neka j e
�. -r funkcije promenljivih rl , �, y za koje važi �2 + 'Yl2 + �2 + 1"2 = l ,
X = 't' X - � y + 'Yl
z - � t + u,
Z = - "YJ X + � Y + -r z - � t + w, T = � X + "YJ Y + � z + -r t + s.
Dokazati da funkcija U definisana sa U (x,y, z, t, u , v, w, s) =
gde je
n
JJJ f(X, Y, Z, T, rl, �. y) drl d� dy , n
podesno izabrana oblast, zadovoljava parcijalnu jednačinu o' U o' U o' U OJ U o' U o' U o' U o' U + -- + - + - = - + - + -- + - . ox'
oy'
oz'
ou'
iJt '
ov'
ow'
os'
5.8.16. Neka je
U = F(A, B, C, D, E)
( l)
rešenje jednačine
o' u
o'U
o' u
o' U
o'U
oA'
oB'
oc'
oD'
oE'
-- + - + - + �- = - .
Ako je
A = 2 (xs + yw - zv - tu),
B = 2 (ys + zu - xw - tv), C = 2 (zs + xv - yu - tw), D = 2 (ts + xu + yv + zw), E = x z + y z + z Z + t z + u z + v z + wz + s z ,
dokazati da ( l ) predstavlja rešenje jed načine
o' u o' u o' u o' u o' u o' u o' u o' u ++-++=+-+-. ox'
oy'
oz2
ot 2
ou2
ov'
ow'
os2
5.8. 17. Dokazati da funkcije U1 , U2 , ,definisane sa
ul (x, t) = 4
+ oo
J (cos xs - sin xs)
o
e-xs-4 ts4
. pre dstav lJaJu resenJa Je d nacme .
v
•
•
._ .
ou
()v U o xv
U2 (x, t) =
or
j
+ oo
0
o• u
-=-.
5.8.18. A ko je U re šenje jednačine
1°
ds,
..
(•' ") ds,
vst exp - + 4 t 4s
ox<
oU
OI< U
iii = o xk
(k > 1), koje ispunjava uslove:
je ograničeno za x = O (v = O, l , . . . , k - l );
2 ° lim xm � = O (m = n - k, . . . , n; uX X -+ + ()v U
co
dokazati d a funkcije
Yn •
defi nisane sa
Yn
v = O, l , . . . , k - 1 ), (t) = (1/n!)
J xn U (x, t ) dx
+ oo
o
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
100
predstavljaju rešenje sistema jednačina
Yn'
(t) = ( - I )k Yn- k (t )
(n > k - 1 ).
5.8. 19. N eka je F = g (x, t, Cl ' . . . , C" ) opšte rešenje obične diferencijalne jed načine H(x, tx, F, xF, . . . , x" p
, (x, : , J; ( : )• , !"( �))· •
=g
.
•
(x�!...
•
ox
.
.
)
oy
gde s u J; , . . . , /" pro izvoljne funkcije.
. .
PRIMEDBA. Ovo je rezultat J. HAAGa [1], koji je uopštio jednu teoremu D. S. MITRINOVIĆa
(2]. Opštiji rezultat može se naći
[3].
u
LITERATURA 1. J. HAAG: Sur certaines equations aux derivees par1ielles. C. R. Acad. Sci. Paris 111 ( 194 1 ) , 259-260. 2. D. s. MJTRINOVITCH: Sur /'integration d'une equation /ineaire aux derivees partie/les. C. R. Acad. Sci. Paris 210 ( 1940), 76 3-785 . 3. J. D. KEČKIĆ: Sur certaines equations aux derivees partie/les. C. R. Acad. Sci. Paris 273 ( 1 971), 393-394.
5.8.20. Rešiti
(O < x < l ; t > O) ,
(l) pod uslovima
u (x, 0) = 0, u,(x, 0) = 0, u (O, t) = O, u(l, t) = O .
( 2)
Rele11je. Ako stavimo u (x, t) = v (x) + w (x, 1),
(3) jednačina
(l)
--
postaje
t)l w 0/ 2
Uslovi (2) postaju
t)l w = a2 -- + a2 v" + b sh x. Ox2 v (O) + w (O, t) = O,
v (x) + w (x, 0) = 0,
v (/) + w (l, 1) = O.
w, (x, O) = 0,
S obzirom na gornje jednakosti, rešenje problema (1)-(2) tražićemo u obliku (3), gde funkcija v zadovoljava diferencijalnu jednačinu
(4)
a2 v" (x) + b sh x.= O,
i konturne uslove
(5)
v (O) = v (/) = O,
a funkcija w zadovolj ava jednačinu (6)
J/ 2
w(x, O) = -v (x) ,
oxl
w1 (x, 0) = 0,
Iz (4) i ( 5) dobijamo
(8)
t)lw
- = a2 - ,
sa uslovima
(7)
t)l w
v (x) =
�
az
(
w (O, t ) = O,
)
-=- sh /-sh x . l
w (l, t) = O.
201
5.8. Zađaci
S druge strane, rešenje problema (6)-(7) dato je sa (videti 5.5.1.) (9)
w (x ' t ) =
na rr n rr A n sin-- x cos --- t '
+ ..
L
l
n� l
gde su koeficijenti A" određeni sa Y (x) = OstaJe nam, dakle, da funkciju Kako je
J !!__ ( a2
)
v,
+ oo
rr
n=l
l
n x. L A n sin -
definisanu sa (8), razvijemo u FouRIERov red.
_!J__
x n rr x dx = sh l _ _ sh 1-sh x sin l a' l l
posle kraćeg računanja, nalazimo
r
e
x sin
n rr
l
x dx-
!!__
a'
J
sh x sin
nrr l
x dx,
2 b (- J )n 2 b rr sh l ( - l ) " n A = ,. a 2 rr -;;- n 2 rr2 + F a2
( l O) Iz
l
(3), (8), (9) i ( lO) zaključujemo da je rešenje problema ( 1 )--{2) dato sa
n rr x 2 b + oo (- 1)" nrrat b x u (x, t ) = - - sh l-sh x + - L -- sin -- cos - � a2 l a' rr n = 1 n l l
)
(
5.8.21. Rešiti jednačinu
(l)
sa početnim uslovima (2)
u (x,
u1 (x, y, O ) = g (x, y),
y, O) =f(x, y),
i konturnim uslovima (3) gde je
K
za (x, y) E K, pravougaonik koji obrazuju prave x = O, x = /, y = O y = m. u (x, y, t) = O
,
Reltude. Rešenje problema (1)-(2)--(3) tražićemo u obliku
u (x, y, t) - (A cos w t + B sin w t ) U(x, y).
(4)
Zamenjujući (4) u (l) nalazimo - w2(A cos w t + B sin w t ) U(x, y) = a' (Uxx + Uyy) (A cos w t + B (sin w t ), ,
odakle, stavljajući w2 = k' a2 dobijamo sledeću jednačinu za U: o' u
o' u
ox'
oy2
-- + -- + k' U� O.
(5)
Pretpostavimo da je rešenje jednačine (5) oblika U(x, y) - X(x) Y (y). Tada nalazimo X" (x) Y " (Y) + k' Y (y) -- = - ------ � -)..',
X (x)
tj. ( 6)
gde je f-1-2
=
k'-A2•
Y(y)
S. Parcijalne diferencijalne jednatine
202 l:z: jednneina (6) izlazi
Y(Y) = C3 sin iJ.X + C4 co� lJ. X.
X(x) = C, sin A.x + Cz cos A. x,
(7)
Iz
uslova (3)
U (x, y) = O za (x, y) E K, a taj uslov se raspada na sledeće uslove
sleduje
X(O) = X(/) = 0,
{ 8)
Y (O) = Y ( m) = O.
Primenjujući uslove ( 8 ) na jednačine (7), dobijamo tj.
); .
Odatle izlazi
j rt IJ.j = m
i rt
= --- '
l
(
(i, j = O, l , 2 , . . . ).
" ·z = 1t z i_ _ _;_ _ J_ klJ.. Z = )..1·Z + r J w;/ = az k;/ = az rtz
·z
[2
·z
·
( � .!:._) 1z
+
mZ
)
(i, j = 1 , 2, . . . ) ( i, j = l, 2, . . . ).
mz
Prema tome, svaka funkcija oblika
. . i rr x . j rr y (X, y, l ) f-+ (Aij WS Wij l + B;j Si n Wij l ) Sin -- Sin -1 m
(i, j= l, 2, . . . ), gde su Ai], Bij proizvo1jne konstante, predstavlja rešenje problema ( 1 ) - (3). Stoga je i + oo . i rt x . j rr y . (Aij COS Wij i + Bij Sin W;j i ) Sin -- Sin -u (x, y, t ) � (9) l m i, j = l rešenje tog problema.
2:
Koeficijente Aii i Bu odredićemo tako da (9) zadovoljava i početne uslove (2) . Imamo
i rr x j rr y Aij sin -- sin -- , m l i. i � I
� + oo
u (x, y, 0) =/(x, y)
=
( l O) u , (x, y, O) = g (x , y)
2
+ oo
�-
2:
. i rr x . j rt y Bu wii s m --- s m -- . l m i. i = l
Formule ( 1 0) predstavljaju razvoje funkcija f i g u dvostruke FouRIERove redove. Stoga zaključujemo da je rešenje problema ( 1 )-(2)-(3) dato sa (9), gde je
A ij = -
m
l
4 ff
lm
o
B;i = --
o
i rt� j rrTJ /( �, "l) ) sin - sin - d � d"l), m l
l
m
4 ff
w; -lm J
o
irr�
j1t"l)
g (!;, "l)) sin - si n - d� d"l) .
o
l
m
5.8.22. Odrediti ono rešenje jednačine oz u
=
Ol z
az
koje zadovoljava uslove
( �) oz u + oxz
u (x, y, O) = f(x, y ) ,
gde su f i
g
date funkcije .
oyz
(x, y E R;
u, (x, y, O) = g (x, y)
t > O),
(x, y E R),
203
5.8. Zadaci Rezultat.
u (x, y , t ) = -1-
2n-a
gde je
/(�, 7J) g (�, 7J) d � d 7J + � JJ (ff y'a2 1 2-(�-x)27)-y)2 ot y'a2 t2-(�-x)2-( 7J-Y)2 ( K
K
K = {(�, 7J) I (�- x)2 + (7J- Y)2 � a2 12}.
5.8.23. Rešiti jed načinu
sa uslovima
u, (x, O) = g (x)
u (x, O) =f(x), u ( O, t l = O,
gde su f i
g
date funkcije
i a
(O <x
u (a, t l = O
(t �O),
je data konstanta.
R ezulta t.
gde je p =
l
--
2+c
,
k n "J..k = - , a
2 k n-p P Ak = -; r e t -p) a-
a
( ) J/(x) sin krrx -- dx. a o
a
( ) f g (x) sin k n-a x
2 k n-p -p Bk = -;; r ( l + P) a-
--
dx
.
o
5.8.24. Rešiti hiperboličku jednačinu sa konstantnim koeficijentima
{l) uz uslove
(xE R, t > O),
(2)
u (x, O) = O,
gde je
g
u1 (x, O) = g (x)
data funkcija.
Rešenje. Uvedimo novu nepoznatu funkciju u
(3 ) gde
su o: i (3
U
(xE R),
pomoću jednakosti
(x, t) = e"' 1 + f>x U(x, t ),
konstante. I z (3) izlazi iJ u
- �
OX
iJ u
U
iJ r.l e"'t+f>x U(x t ) + e"'1+r>x _ ox
t"
•
.
iJ U
- = o: e"''+f>x U(x, t ) + e"'1+r>x iJ t ot ' �u
__
OX2
o• u
= r.l2 .,cxt + f>x U(x t"
'
t ) + 2 r.l e"'t+r>x t"
ou
_
OX
+ e"''+f>x
�u
__
iJr '
ou o• u -- = o:• e"'t+S x u(x, t) + 2 o: e"'t+f>x + e"'t+f>x -012 or • or
d � d "l
)'
S. Parcijalne diferencijalne jednačlne
204 i
zamenjujud ove v rednosti
(4)
(1) dobijamo
u
o• u ou o2 U ou -- - a2 � + (a1 + 2 a2 �) - + (a -2Cl) -+ (a3 + a2 W + a1 � + a Cl-Cl2 ) U = O. 2 2 uX OX Ot Ot2
Za konstante Cl i � uzećemo
Uz
Cl = 2 •
Jednačina ( 4) tada dobija oblik
o2 U 1P U -- = a 2 + cU, ox2 ot 2 --
(5) i uslovi (2) postaju (6) gde je f(x) - e-'.l x g(x).
(xE R),
U1 (x, 0) =/(x)
U (x. 0) - 0,
Prema tome, treba da re§imo problem (5)--(6). Umesto tog problema rešićemo sledeći
problem
( 7)
r)lv = al
ot 2
( 8)
(
o•v
OX2
o2 v
+
oy2
Na osnovu zadatka 5.8.22. imamo 1
--
2 7t a
(V: ) (V: )
v1 (x, y, O) =f(x) ex p
v (x, y, 0) - 0,
v (x, y, t ) -
).
JJ
/ (Cl) e x p
y .
�
yaz t z- (Cl - x) , - ( � - y) z
dCl d� .
gde je K- {(Cl, (3) \ (ot-x)2 (�-y)2:;; a2 t 2}. Ako umesto promenljivih rx, � uvedemo nove promenljive �. 'lJ pomoću +
dobijamo
�
K
-
a - x,
1J - � -y,
(9) gde je K1 - {(�, 'lJ) / �2 + 'IJ2:;; a 2 t 2 }, tj . imamo
( lO) gde je
( l l)
v (x y t ) = ex p ,
,
l
U (x, l ) - -2 7t a
(V: )
y U (x l ), ,
Vc ff --- 0 /(� + x) exp
K1
-Ja2 t 2 - �2
-
'lJ
- d� d1J. 1J 2
Dokažimo da funkcija U, definisana sa (l l), predstavlja reknje problema (5)-(6). Kako funkcija v zadovoljava jednačinu (7), zamenjujući (lO) u (7) dobijamo jednačinu (5), što znači da je ( l l) reknje te jednačine. Funkcija v takođe zadovoljava uslove (8). Stoga iz tlO) dobijamo v (x, y, O) = ex p
odakle sleduje (6).
v1 (x, y, 0) = exp
(V: )
(v'}. )
y U (x , O) - O,
y U1 (x, O) =f(x) ex p
(V: )
y ,
205
5.8. Zadaci
Prema tome, na osnovu (3) zaključujemo da je rešenje problema (1)--{2) dato sa
5.8.25. Odrediti rešenje j ed nači n e l
02U
o 2u
-- -- = x --
(l)
ot2
a2
ox'
+
ou
(O < x < l ; t E R),
-
ot
koje za t E R zadovoljava uslove u
(2) (3 )
(l, t ) = O u
(l data konstanta),
(0, t) je ograničeno.
Reienje. Stavimo u (x, t ) = f(x) g (t). Dobijamo
l
(4)
-
a2
Iz (4) sleduje
g (t ) = A cos A at + B sin A at, x/"(x) +/'(x) + A2 /(x) = O.
(5)
(6)
g " ( t ) x/"(x) +/'(x) -- = = - A2• g (t ) f(x)
Jednačina (5) p os l e transformacije 4 'A' x = y2, f(x) = F(y), postaje y F"(y) + F'(y) + y F(y) = O.
Jedino rešenje jednačine (6) koje je ograničeno za y - o je F(y) = 10 (y), gde je Jo BESSELova funkcija prve vrste. Prema tome, rešenje jednačine (5) koje je ograničeno za x = O je dato sa
f(x) = J0 (2 'A yx) .
Stoga je rešenje problema ( 1 )-(3) dato sa
u (x, t) = 10 (2 A vx) (A cos A at +B sin A at). (7)
J. (2 'A y/) = 0.
Uslov (2) daje BESSELova funkcija
Tada iz (7) dobijamo
J0 ima beskonačno
mnogo pozitivnih nula. Označimo ih sa b , , b,, . . .
i traženo rešenje jednačine ( l ) dato je sa
u (x, t ) =
� L., J0
11 = 1
( Vx) ( b,.
--
Vl
b,. b,. - at + B" sin -;= at A" cos --_ 2y l 2yl
gde su An , Bn proizvoljne konstante.
5.8.26. Naći rešenje sistema jed načina (l)
ou
- =
o' v
, a -ot '
ox koje zadovoljava uslove
ou
u (x, O, t ) = O, 2 n: t
v (o , y, t ) = A cos -- , T
gde su a, k, h, A,
_
o' w
U-k
= o y a ot ' '
T konstante.
w (x,
(
ov
-
ox
+
ow
-
oy
)
h, t ) = O,
lim u (x, y, 1) = 0,
,x_... + oo
)
,
206
S. Parcijalne diferencijalne jednačine
Uputstro. Eliminacijom funkcije u iz jednačina ( l ) dobija se sistem jednačim (2)
02 V a o2 v o2 w -= - -OX2 + -ox oy k ot '
o2 w a -02 w o2 v + -- = . -ox oy oy2 k ot2
•
Rešenje sistema jednačina (2) treba tražiti u obliku
v (x, y, t ) = cos
+
n 1'Cy 2 TC t oo -,2 an (x) sin -, 2h
T n= l
2 1'C t + 00 n 1'C y bn (x) cos -- . w (x, y, t ) = cos -2h T n=l
2
5.8.27. Naći rešenje jednačine (l)
ou
(a > O; O < x < + oo ; t > O),
o2 u
iH
- = a2 - o x'
sa uslovima u (x, O) = O (x > O), u (0, t ) = u0 (t :;;:::: 0), koje je ograničeno kada x- + oo . Relenje. Stavimo L (u (x, t)) = U (x, p). Tada je
L
( ��)
= p U( �. p)-u(x, O) = p U(x, p),
L
( ) o' U ox'
=
d' U (x, p) dx2
.
Primenjujući LAPLACEovu transformaciju na jednačinu ( 1), dobijamo
�-- a2 U (x, p) = O, d'U(x, p)
odakle integracijom nalazimo
U (x, p) = e, exp
p
{- '/!' ) { '/!'). ( '!!' ) x
x
+ e, exp
Da bi ovo rešenje bilo ograničeno potrebno je da bude e, - O. Tada imamo
x
U (x, p) = e, e x p Konturni uslov u (0, t ) - Uo daje u (0, p) = Drugim rečima, imamo
Uo
p
·
' što znači da je . e, -
; ( 'f!' )
x U (x, p) = • exp -
Uo
p
•
.
odakle, primenom inverzne LAPLACEove transformacij e , nalazimo rešenje postavljenog prob lema u obliku
u (x, t ) = u0 Erf
5.8.28. Data je parabolička jednačina
(l)
( Fr). 2a
u = az - +f(x, t), ot oxl o
o2 u
gde j e f data funkcija. l o Dokazati da je reienje jednačine dato sa
(l)
koje ima osobi nu u (x, O) = O
u (x, t) = J u0 (x, t, -r) d-r, t
o .
207
5.8. Zadaci
gd e je u0 rešenje homogene jednačine ou ot
-
=a
2
o2 u ox2
--
,
koje za t = 't' postaje f(x, ·t). 2° Odrediti rešenje jed načine ( l ) koje ima osobinu u (x, O) = A (x), gde je A data funkcija. Relenje. l o Neka je
u0 (x, t, -r)
rešenje homogene jednačine
( 2) sa
osobinom u0 (x, -r, -r) = / (x, -r). Posrnatrajrno funkciju
u
datu sa
t
u (x, l ) = J u0 (x, t, -r) d-r.
(3) Zbog neprekidnosti funkcije
ou - = u0 (x, t, t ) +
(4)
�
Takođe imamo
(5)
J o u0(x, t, -r) d-r - f(x, t) + J o u0(x, t, -r) d-r. t
(4)
t
�
o
a2
Iz
o
imamo
u0
02 U
--
or
-
t
J o
02 U0 (.�, f, T) a2 d-r.
ox2
t ou u (ou0 (x, t, -r) -az Tt- al or -f(x, t ) + J ot
i (5) dobijamo 02
jer je, po pretpostavci,
u0
o
rešenje jednačine (2).
Neposredno zaključujemo da je anulira za t = O dato je sa (3).
�
o
u (x, ()) - 0.
2 u0 (x, t, -r)
0
or
) d-r -/(x, t),
Prema torne, rešenje jednačine (l) koje se
2° Označimo rešenje (3) sa U0• Neka je u traženo rešenje jednačine ( l ) sa osobinom u (x, O) - A (x). Tada je u-U0 rešenje homogene jednačine (2). Sta više, u (x, 0)- U0 (x, O) = A (x). Prema torne, imamo + oo ( u (x, t) - U0 (x, t ) + A (y) exp - x- y)2 ) dy, gde je
2a
t t + oo f fJ U0 (x, t) = u0 (x, t, -r) d -r O
O - oo
5.8.29. Odred iti rešenje jednačine (I)
ou ox
ou ot
-+u-=a
2
(
�n t J - oo
l f(y, -r) exp 7t(t--r)
. �
2av
o2u ox2
4� t
(
(O < x
koje zadovoljava uslove
(2)
u (0, t) = o,
u (l, t) = o
u (x. 0) = f(x)
-
(t > O),
(O < x < l).
(x-y)z
4 a2 (t--r)
) dyd-r.
S. Parcijalne diferencijal:!e jednac ...
208 Relenje. Neka je
(x, t ) ,_.. U (x, t)
�
reSenje jed načine
iJU
(3)
ot
u
' =a
i'J2 U i'Jx2
Tada je (x, t ) 1--7- -2a2-=. rešenje jednačine ( l ). u
Stoga ćemo uvesti smenu
u (x t ) � - 2 a •
(4 ) odakle sleduje
gde je
e
u ' X
,
2
t)
o
proizvolj n a funkcija. Za t = O formula (5) daje
Iz uslova (2) (6)
Ux --
( � J:u (x, dx),
U (x, t ) = c (t ) e x p -
( 5)
2
X
( �J
U (x, O) = c (O) exp -
(4) dobijamo
,
2
o
)
/(x) dx = F(x).
Ux (l, t ) = O.
Ux (O, t ) = O,
.
•
Prema tome, treba rešiti problem {3 )-(6) Rešenje jednačine (3) potražimo u ubliku U(x, t ) = AeBt cos Cx,
gde su A, B, C konstante. Zamenom u j ednačinu (3) dobijamo ABeBt Los Cx = - C 2 a2 AeBt cos Cx, odakle sleduje B = -a' C'.
Prema tome, funkcija (x, t ) ,_.. U (x. t ) = Ae-a' C ' t' cos Cx gde su A s tante, zadovoljava jednačinu (3). Kako je Ux (x, t ) = ACe-a'C' t sin Cx, iz uslova (6) dobijamo -ACe-a ' C' t sin Cl = O, tj. n rr C = -- · � Dakle, funkcija U definisana s a
U. (x, t ) =
(
+ cc
C proizvoljne kon
)
n rr a2 n2 rr2 An exp --- t cos - x l l' n=O
L
zadovoljava (3) i (6). Konstante An odredićemo iz uslova U(x, O) = F(x) =
+cc
n -:-c Ancos - x. l 11 = 0
L
Na osnovu (4) zaključujemo da je rešenje pdstavljenog problema dato sa
) (
u (x, t ) = -.1 - ------� cc n rr x a2 n2 rr2 2 t A0 + L An cos -- exp l l n- l 2 a2 rr
�de je
(
n rr a2 n2 rr2 L nAn exp - --2- t sin - x l l n= l + oo
2 A" - l
l
J
o
n rr x F(x) cos -- dx. l
-
)
209
�.8. Zadaci
5.8.30. Odrediti ono reše nj e jednačine
(l)
(O < x < l ; t > O),
koje zadovoljava sledeće uslove: ( 2) (3)
u (0, t)
je
(t ;;::: O),
ogra n ičeno
(0 :-s;; x :-s;; l ),
u (x, 0) =J(x)
u, (l, t ) + Hu (l, t) = O (t > O), (4 ) gde su l i H date konstante, a J je data funkcija. Re/enje. Potražimo rešenje u obliku u (x, t ) � X(x) T(t). Iz ( l) dobijamo T(t ) � e-a'k' t ,
(5)
x X"(x) + X'(x) +
k 2 xX(x) � O,
k konstanta. Jednačina (5) smenom kx � y postaje y X"(y) X'(y) yX (y) = O.
gde je (6)
+
+
Jedino ograničeno rešenje za y � O jed načine (6) je 10 (y), gde je 10 BESSELOVa funkcija prve vrste. Stoga je rešenje jednačine (5) koje je ograničeno za = O dato sa
X(y)
=
X(x) = l0(kx). Iz
uslova (4) dobijamo
Neka je (7) fL, • IL>
x
!L
rešenje jednačine
fL
lo' (!L) + HIJ0 (!L) = 0.
Može se dokazati da jednači na (7) i ma beskonačno mnogo rešenja. Označimo ih
•
• • •
Tada je rešenje proble ma (1)-(2)-(4) dato sa
( 8)
u (x,
t) · t ) - Y Cnlo (fLnl x) exp ( -a> !L;/ l n=l
ZamenjujUĆi (3) u ( 8 ) dobijamo
/(x} -
:g Cnlo(�"x).
Konstante en su, prema tome, koeficijenti FOUiliEROVOg reda funkcije l u odnosu na
sistem funkcija x 1-+ /0 mogućan.
(�" x) .
Kako su te funkcije ortogonal ne sa težinom x, takav razvoj je
5.8.31. Odrediti ono rešenje jednačine (O < x < l ; t < O),
{l ) koje zadovoljava uslove (2)
(3 )
u (O, t ) = u. ,
u (l, t) = u2
u (x, O) =J(x)
(t � O) ,
(0 :-s;; x < l) ,
gde su l, u1 , � date konstante, a J je data funkcija.
5. Parcijalne diferencijalne jednačine
210
Ri!li!,Yi!. Potražimo rešenje jednačine ( l ) u obliku
u (x, t ) = v (x, t ) + w (x).
(4)
Tada možemo uzeti da je w rešenje problema
w (O) = Up
(5) i
w (l) = u2 ,
da je v rešenje problema
(6)
(7)
v
(8) Iz jednačina (S) sleduje
(x, O) = f (x)- w (x), v
(0, t ) = v (l, t ) = o.
l w (x) = --
(9)
bl
sh a
(
2
u
sh
bx --u
a
1 sh
b (x-l) a
)
.
S druge strane, primenjujući metod razdvajanja promenljivih zaključujemo da je rešenje problema (6)-(8) dato sa
(lO) b2
n' rr2
a'
l'
gde je kn' = - --� - . Iz
uslova (7) dobijamo f(x)-w (x) =
+ oo
2:
"_ ,
odakle sleduje 2
e,. - -
(ll)
l
e" sin
--
l
J
o
(/ (x)-w (x)) sin .
n rr x l
'
-n rr x l
dx.
Prema tome, rešenje problema ( 1 )-(2)-(3) dato je sa (4), gde je w određeno sa (9),
a v sa ( 1 0) i
( l l).
5.8.32. Naći funkcij u u koja zadovoljava PoiSSONovu jednačinu �U= - 4 u
disku D = {(x, y) l x2 � y2 < a2}, i koja zadovoljava uslov u (x, y) = O za (x, y) E OD.
UputstPo. Uvesti polarne koordinate.
Rezultat. u (x,
y)
=
a'- (x2 +
y2).
5.8.33. Naći rešenje PoiSSONove jednačine (l) u
� u = - xy
disku D = {(x, y) l x2 + y2 < R2} sa uslovom u (x, y) = O ZCl lX, y) E OD.
211
5.8. Zadaci Uputstro. Rešenje treba tražiti u obliku u (x, y) = v (x, y) + w (x, y), gde je
(x, y) �--->- v (x, y) =
l xy (x2 + y2) -12
jedno partikularno rešenje jednačine (l), a w je rešenje LAPLACEove jednačine � w = O, zadovoljava uslov w (x, y) = - v (x, y) za (x, y) E oD. Rezultat.
R• l u (r, 6) = -- r• sin 2 6 + 48 7t 24
7t
-- J sin 2 t R2- 2 RrR2-r2 dt. cos (t-6) + r2 - 7t
5.9. LITERATURA
H. BATEMA N: Partial dzfferential equations of mathematical physics. Cambridge 1959, 522 pp. L. BIEBERBACH: Theorie der Differentia/g/eichungen, Vorlesungen aus dem Gesamtgebeit der Gewon//ichen und der Partie/len Differentialg/eichungen. Berlin 1930, 399 S. R. CouRANT: Dirich/et's princip/e, conforma/ mapping and minimal surfaces. New York 1950, 330 pp. R. CouRANT and D. HILBE RT : Methods of mathematical physics l l . New York-London 1962, 842 pp. H. T. DAvis : The equations of mathematical physics and methods for their solution. Evanston 1949. A. DuscHEK: Vor/esungen iiber hOhere Mathematik. Wien 1960. A. R. FoRsYTH: Theory of differentia/ equations, v. 5, 6. New York 1959. M. GHERMANESCU: Ecuatii/e fizicii matematice. Bucure�ti 1961, 414 pp. E. GOURSAT: Cours d'analyse mathematique, t. l, cinquieme edition. Paris 1943. E. GouRSAT: Cours d 'analyse mathematique, t. 3, cinquieme edition, Paris 1 942, 702 pp. J. HADAMARD: Le probleme de Cauchy et les iquations aux dirivies partie/les /iniaires hyper boliques. Paris 1932. F. H. MILLER: Partial dif ferentia/ equations. New York 1941, 259 pp. E. PICARD: Lerons sur quelques types simples d'equations aux derivees partie/les avec dell applications a la Physique mathematique. Paris 1 950, 2 1 4 pp. l. N . SNEDDON: Elements of partial differential equa tions. New York-Toronto-London 19S7. G. VALIRON : Equations fonctione/les; applications. Paris 1945, 605 pp. 11. r. APAMAHOBH'I H B. I1.-JIEBHH: Ypa6HeHUR MameMamu'leCKOU f/JUJUKU. MocKBa 1 969, 288 crp. A. H. KPHJIOB: O ueKUM gurjJepeu1JujaAHUM jegHO'IUHaMa iii eXHll'
3
-
6. DODATAK
6. 1. NESVOJSTVENI INTEGRAL! SA PARAMETROM
Ovde ćemo navesti pet teorema koje se odnose na nesvojstveni integral sa parametrom + oo
J f(x, y) dx.
(l)
y E l = [IX, �].
a
Dokazi tih teorema mogu se naći u standardnim udžbenicima iz analize. Teorema l. Neka je funkcija J integrabilna intervalu [a, A] (A > a) i za y E /, i neka u
u odnosu na x na svakom konačnom svakom takvom integralu funkcija J konvergira uniformno u odnosu na x kad y --+ y0 • Ako je integral { l ) uniformno konvergentan u odnosu na y, imamo + oo
lim
Y -+- Yo
+ oo
J
f(x, y) dx =
J
( J im f (x, y)) dx. y-+-yo
a
a
Teorema 2. Neka je funkcija J neprekidna za x�a i y E !. Ako integral ( I )
uniformno konvergira u odnosu na y E J, tada on predstavlja neprekidnu funkciju promen/jive y na intervalu l.
oyof neprekidne za x � a i y E_ /. y konvergira za svako y E integral J of(x, ) dx konvergira yo odnosu na y, tada za svako y E / važi formula y !_J f(x, y) dx = J of(x, ) dx. oy oy
Teorema
3. Neka su funkcije f i
Ako integral
+ oo
(l)
J, i
uniformno u
a
Teorema
+ .,
+ .,
a
a
4, Ako su ispunjene pretpostavke teoreme 2, važi formula 13
+ .,
J dy J Teorema ( 2) .
ex
f(x, y) dx =
a
�
+ .,
J dx J f(x, y) dy. a
ex
5. Neka je funkcija f neprekidna za x�a, y > IX , i neka integrali
J a
f(x, y) dx, 212
J ex
f(x, Y) dy
6.2. Definicije i osobine nekih specijalnih funkcija
213
uniformno konvergiraju u bilo kom konačnom intervalu. Ako bar jedan od dvo strukih integrala
J
( 3)
dy J l f(x, y) l dx, + oo
postoji, tada integrali J
+ oo
dy J a
"
ki su. PRIMER
x = ut (u >0),
dobijam o
Ako pomnožimo jednačinu
J
o
tj.
J J
ili
PRIMEDBA.
o
l f(x, y) l dy
+ ex�
+ oo
J
dx
a
J
+ oo
e - u' t' dt.
J
o
+ oo
f(x, y) dy postoje i jedna-
J
o
o
je od
O do + oo , nalazimo
+ oo e -u' u du
+ oo
dt
Promcna re d os l e d a
e - x ' dx.
(4) sa e-u' i i ntegralima
e -u2 du = J2 =
+ cc
P=
dx J
J
o
J=u
(4)
J
a
+ oo
+ oo J=
+ oo
J
f(x, y) dx
Izračunajmo integral
Stavljaj uči
+ ex�
J
o
e-u't2 dt,
21 J -1+ oo
e - ( l + t')u' u du =
� 1=-· z
o
l + 12
dt = � 4
•
i n tegracije učinjena je na osnovu teo r e me 5.
6.2. DEFINICIJE I OSOBINE NEKIH SPECI.JALNIH FUNKCIJA
l o Funkcija
1
definisana sa
r (z) = J
e-1 t z-1 dt,
o
gde z E C, t(:: R + , Re z > O, naziva se gama funkcija. Za gama funkciju važ sledeće formule r{n) = {n - 1)! (n E N) ,
r(z + l ) = z r(z) r(z) r( l - z) =
. --
7t
r (n + _!_) (Z n-l)!! y;;r ( � ) = v7t. 2
=
sm 7t z
zn
(zEC), (zE C), (n EN),
6. Dodatak
214
2° Ovde ćemo navesti samo definicije nekih specijalnih funkcija kojima smo se u knjizi koristili, a koje nisu bile eksplicitno definisane .
. st (t) = -
+ oo
J
-u- đu,
J
co u
t
ci (t) = -
+�
s h·t c t)
�
d u,
Jn
=
sh u -- du, u
o
+ oo
t
li (t) = Ei (log t),
t
J Ei(t)= - J : du,
sin u
(t) =
+oo
2 ( l )k k �O
-
t
tn_+ k n2 + 2 k! _(2n + k)!
_ _
ber,. (t) + i bei,. (t) = J,. (i y'tt) (n E N ) .
(n E N),
6.3. HADAMARDOVA NEJEDNAKOST Teorema l. Neka je data determinanta
�= a""
n n �2 ::::;; IT 2 a,kz·
Tada važi nejednakost ( l)
i= l k � l
Dokaz, Neka je tt
2 a1k2 = s1 k =l
(2)
(i = l , . . . , n).
Brojeve s, smatraćemo datim pozitivnim brojevima, a brojeve a1k realnim promenljivama, koje su vezane uslovima (2). Iz (2) neposredno sleduje ( 3)
j a1k l ::s::
�k±= la,/ = ys1
( i = l . . . , n). ,
Pos matraj m o determinantu �2 kao funkcij u promenljivih a1k (i, k = l , . . , n). očigledno neprekidna funkcija tih promenlj ivih. Kako je na osnovu ( 3) oblast definisanosti funkcije �2 zatvorena i ograničena, na osnovu WEIERSTRASS ove teoreme zaklj učujemo da u toj oblasti neprekidna funkcija �2 dostiže svoj maksimum. Neka je taj maksimum dostignut za a1k a ?k i neka je vrednost funkcije �2 za taj maksimum ��. Neka je dalje A ?k algebarski kofaktor ele menta a ?k u determinanti � . Jednu vrstu, recimo i = m, determinante ostavimo promenljivom, ali takvom .
A.2 je
=
da je
2: am 2 = sm , a u svim ostalim vrstama zamenimo a11, sa a ?k · Determinan k- t n
k
tu A možemo napisati u obliku
0
A u = am1 A mt +
·
·
·
0
+ am,. A m" ,
6.3. Hadamardova nejednakost
i
liS
na osnovu CAUCHYeve nejednakosti imamo n
n
n
�2=s:; k=l L amk2 L A mk2 = Sm L Amk2• k=l k=l gd'ajednakost važi ako i samo ako su amk i A � proporcionalni, u kom slu čaju · se dobij a baš �o. Drugim rečima, o a omk = Pm Amk (k = l , . . . , n), (4) gde je Pm koeficijent proporcionalnosti. Izračunaj mo sada determinantu �o. Njen kvadrat se može ovako izraziti
gde je
cik = L. a/jaki · ]= l "'
o
n
o
Međutim, s obzirom na (4), imamo (5)
Iz jednakosti (5), koristeći se jednim od osnovnih svojstava determinanata, dobijamo
Stoga je
�=
(6)
1
O
Sz
O
O
s,.
Iz jednakosti (6), s obzirom na (2), neposredno sleduje ( 1 ) .
Teorema 2 .
Ako je
u determinanti
�= ann
l a1k / :S: M
(i, k = l , . . . , n), tada važi nejednakost n
(7) Dokaz.
Ako u nejednakost
(l) 11
stavimo J a1k / :S: M, dobijamo redom.
nM2 = n11 M2n, �2:S: i-f11 kL-1 M2 =' 1fi =1
odak1e neposredno sleduje (7).
n
11
216
6. Dodatak
6.4. BANACHOV STAV O NEPOKRETNOJ TACKI. EGZISTENCIJA REŠENJA INTEGRALNIH I DIFERENCIJALNIM JEDNACINA
6.4. 1. Metrički pro:>tor Neka je E proizvoljan skup. Skup svih uređen ih k-to rki (x1 , , xk), gde su , xk elementi skupa E, označavaćemo sa Ek (k prirodan broj). D rugim x1 , rečima, Ek {(x1 , , xk) [ x 1 , , xk E E}. Fu n k cij u d koja p r es l i kav a E 2 u s ku p real nih brojeva zvaćemo funkcija rastojanja (metrika) skupa E ako su z adovo lj en i u s l ov i : l ) d (x, y ) = O ako i samo ako je X = y, •
•
•
•
•
•
=
•
•
•
•
•
.
2) . d (x, y) d (y, x), 3) d (x, z) S: d (x, y) + d (y, z). �e
PRIMEDBA.
Stavljajući x � z u 3) i koristeći 2) odmah dobijamo d (x, y) � 0.
Ureden par (E, d) zove se metrički prostor. U mesto sa (E, d) metrički prostor · često označavamo samo oznakom
s kupa, pod l azu mevajući da znamo u ved enu metriku.
PRIMER l . Skup realnih brojeva sa
funkcijom rastojanja koja je definisana sa d (x, y)
je metrički prostor.
�
fx y[ -
PRIMER 2. Skup svi h funkcija ne prekidnih na zatvorenom intervalu [a, b) gde je metrika uvedena sledećom defin icijom d (x (t), y ( t ) ) � max ! x (t )-y (t ) [
a -s t � b
je metrički prostor. Uobičajena oznaka za ovaj metrički prostor je C [a, b).
PRIMER 3. Skup svih funkcija neprekidnih na zatvorenom intervalu [a, b] sa metrikom
d (x, y)
=
{J X b
a
l (t)- y (t ) ! P dt
r) l
je metrički prostor. Ovaj prostor se često označava sa Cp [a, b]. PRIMER 4. Skup svih nizova realnih brojeva sa metrikom
(x � (�, ,
�' '
. .
.), y � ('1), . 1), ,
. . .) )
'
je metrički prostor. PRIMER 5. Primetimo da jedan određen skup E može da generiše razne metričke prostore u zavisnosti od raznih definicija funkcije rastojanja. Tako, pored primera 2 i 3, imamo i sledeći primer. Ako je E2 EuKunska ravan, onda bilo koji od izraza
2 y(x1-y1 )2 + (x2-y2) ,
[ x1-y1 [ + [ x2- y2 [ ,
ma x { [ x1 - y 1 [ , [ x2 -Y2 [ }
može da se uzme za definiciju rastojanja između tača ka x = (x1 , x2 ) i y
=
(y, . y2).
Za jedan n iz (xn) elemenata skupa E reći ćemo da konvergira ka ele mentu x tog skupa ako d (xn , x) --+ O, kad n --+ + oo . Drugim rečima x je granica niza (x") ako je niz realnih brojeva (d (x" , x)) nula-niz. Koristićemo uobiča jene oznake: lim x" x, ili x" --+ x, n --+ + oo da naznačimo da niz (x") kon ver=
n .....,.. + oo
gira ka elementu x.
6.4 Bannchov stav o nepokretnoj tački. Egzistencija rdenja
Neka niz voljava uslov
(xn)
. • •
217
elemenata jednog proizvolj nog mctričkog prostora zad.o d (xm , xn) < e
za m � n > N (e).
Takav niz naziva se CAUCHYev niz. ' .! Očigledno, svaki konvergentan ntz je CAUCHYev. Zaista, ako ima granicu x , onda kako je
n tz
(x" )
d (xm , xn) ::;;, d (xm , X) -t- d (x, xn)
O, d (x, xn ) � O to sledu je da i d (xm , xn) -+ O kad n -+ -t- oo . Obrnuto ne važi, kao što s e vidi iz sledećeg primera. U skupu Q racio nalnih brojeva, sa metrikom d (x, y) = l x -- y l uzmimo jedan CAUCHYev niz (qn ) · Takav niz može konvergirati ka nekom iracionalnom broju, tj. ne mora kon vergirati u skupu Q. Metrički prostor E u kome svaki CAUCHYev niz konvergira naztva sc kompletan. Metrički prostori opisani u prim erima l , 2 i 4 su kompletni, dok pro stor iz primcra 3 nije kompletan (videti, na primer, [ 1]). i d (xm , x) -+
LITERATURA
l. S. ALJANČIĆ: Uvod u realnu i funkcionalnu anali;u. Beograd 1968.
6.4.2. Banacbov stav o nepokretnoj tački Pođimo od sistema n linearnih jednačina sa n nepoznatih. Posle određe nih transformacija taj sistem uvek može da se napiše u obliku (i = l , . . . , n).
(l)
Da bismo objasnili jedan nov metod rešavanja pitanja egzistencije i jedi nosti rešenja ovog sistema, zamenimo ga za trenutak sledećim sistemom: (i = l , . . . , n). Tj1 = a11 � 1 + · · · + ain �n + h1 Jednačinama (2) definisano je jedno preslikavanje f n-dimenzionalnog EuKLIDskog prostora, En , u samog sebe, jer je svakoj n-torki brojeva (�p . . . , �n) , tj. elementu prostora En , dodeljena odgovarajuća n-torka {TJ" . . . , "tln), tj. opet element prostora En . Prema tome, rešiti sistem ( l ) znači odrediti nepokretnu tačku preslika vanja f, tj. takvu tačku x E En za koju je X =f(x) (x = (�p . . . , �n)). Ovaj metod nepokretne tačke našao je veliku primenu u teoriji diferen cijalnih i integralnih jednačina, u sistemima takvih jednačina, kao i u mnr·gim drugim oblastima analize. Sledeći stav, tzv. HANACHov stav o nepokretnoj tački daje dovc·Jj "e uslove za egzistenciju jedinstvene nepokretne tačke preslikavanja J, kojim sc i nslika·;a jedan kompletan metrički prostor u samog sebe.
{2 )
Teorema l. Neka je E kompletan metrički prostor i neka mog sebe. Ako je ispunjen uslov
d (f(x), f {y)) � q d (x, y)
f
(O
preslikava E
u
sa
218
fi. Dodatak
x* tog prostora za koju važi f(x*) = x* .
tada postoji jedna i samo jedna tačka
Dokaz. Pođimo od proizvoljne tačke x0 prostora
Ovaj
mz
E,
i zatim konstruišimo niz
(x,.) :
x,. + 1 =f(xn)
(n = O, l , . . . ). Je CAUCHYev . Zaista, za n> l d (x,. + i ' x,.) = d (f(x,.) , f(x,.-1 )) < qd (x,. , x"_1).
Odavde sleduje da je d (x,. + 1 , x,.)< aq" Ako je m > n, tada je
d (xm , x) $;, d (x" , x" + 1 ) + $;, aq" + aqn + l + .
·
·
·
.
.
+ d (xm_l ' xm )
+
aqm-1 <
aqn 1 -q
i kad n -+ + oo , tada d (xm , x") -+ O , što znači da je (x,.) CAUCHYev mz. Međutim, s obzirom da je E kompletan metrički prostor, ovo znači da postoji
lim
(3)
x" = x*.
Dokažimo da je x* nepokretna tačka . Imamo tj. ili
d (xn + 1 , /( x*)} = d (J(x,.), f(x* )) ::;; qd ( x,. , x*), lim d (x" + l ' f(x* ) } = O,
n-+ + ctJ
lim x,. f(x*), =
n->+ oo
što s obzirom na (3) daje x* = f(x*). Ovim je utvrđena egzistencija nepokretne tačke. Dokažimo da je ova tačka jedina. U tom cilju pretpostavimo da postoje dve nepokretne tačke x* i x**. Tada je d (x*, x** ) = d (f(x*), f(x**)} < qd (x* , x **) što je nemogućno jer je d (x *, x** ) > O i O < q < l .
6.4.3. Egzistencija i jedinstvenost rešenja integralnih i diferencijalnih jedm.tčina Primenićemo sada BANACHov stav na utvrđivanje egzistencije i jedinstve nosti rešenja integralnih i diferencijalnih jednačina. Teorema l. FREDHOLMova integralna jednačina (l)
b
f(x) = g (x) + "A j K (x, y)f (y) dy "
6.4. Banachov stav o nepokretnoj tački. Egzistencija rdenja
• • •
219
gde su g i K neprekidne funkcije za x E [a, b], Y E [a, b], ima jedno i samo jedno neprekidno rešenje pod uslovom I A I < 1 /M (b - a),
(2)
(M =
m" X
x, y E [a, b)
/ K (x, y l ).
Dokaz. Defini šimo preslikavanje F : C [a, b] -)- C [a, b] sa
F(f) = g (x) + A
b
j K (x, y) f(y) dy.
a
Tada je 'b
b
l F (f) - F ( !1) / = / A i l J K (x, Y) (J; (y) -J; (y)) dy l < / A / M J l fl( y) -f2 (y) l dy a
a
b
< j A / M max / f1 ( y) -J; (y) / ] dy = / A / M (b - a) max l f1 (y) -J; (y) l, [a, b]
a
[a, b)
odakle izlazi d (F (ft), F (J;)) -;;, j A l M (b - a) d (ft , J; ) (videti pr:imer 2 iz 6.4.1.). Prema tome, ako je / A / M (b - a) < 1 , s obzirom da je · prostor C [a, b] kompletan, zaključujemo da postoji jedna i samo jedna neprekidna funkcija f takva da je F (f) =f Funkcija f koja zadovoljava poslednju jednačinu je jedin stveno rešenje FREDHOLMove integralne jednačine ( 1 ). Y E
Y E
Na sličan način možemo dokazati i sledeći rezultat. Teorema 2. VoLTERRAova
integralna jednačina X
f(x) =g (x) + A J K (x, y)f(y) dy,
(3)
a
gde su funkcije g i K neprekidne za a
PRIMEDBA.
Kada smo rešavali jednačinu ( l ) metodom sukcesivnih aproksimacija takođe smo došli do uslova (2). Videti formulu (6) u 4.1.3. S druge strane, u 4.2.3. dokazana je egzistencija rešenja jednačine (3) bez ikakvih ograničenja za 1..
Na osnovu veze koja postoji između linearnih diferencijalnih jednačina sa datim početnim uslovima i VoLTERRAovih integralnih jednačina (videti 4.2.5.) iz teoreme 2 dobija se sledeći rezultat: Teorema 3. Linearna diferencijalna jednačina y
•
•
•
·
·
=
7. DOPUNE ZA DRUGO IZDANJE
7.1. NEKE INTEGRALNE TRANSFORMACIJE I NJIHOVE PRIMENE
7.1.1. Uvod
LAPLACEova transformacija koju smo detaljno proučavali u prvoj glavi je jedna specijalna integralna transformacija. Opšta integralna transformacija T kompleksne funkcije f realne promenljive t definiše se sa: b
(l)
T (f(t)) = F (p) = j K (p, t )f(t) dt, a pod uslovom da gornji integral postoji, gde je K data kompleksna funkcija, p kompleksna promenljiva, i a, b su realni brojevi , pri čemu a može biti - oo , a b može biti + oo . Svaka integralna transformacija T, definisana sa ( 1 ), je linearna, jer za proizvoljne konstante c1 i c2 važi:
T (cd1 (t) + cd2 (t)) = c1 T {!1 (t)) + c2 T (J; \t)). Kada se u ( l ) fiksira funkcija K i granice integracije a i b, dolazi se do jedne specijalne integralne transformacije. Integralne transformacije koje se najčešće koriste su: l o LAPLACEova transformacija L, za koju je K (p, t) =rP', a = O, b = + oo ; eiPt, a = - oo ' r FoURIERova transformacija F, za koju je K (p, t) =
vl
b = + oo ;
2 rt
3° MELLINova transformacija M, za koju je K (p, t) = tp-t, a = O, b = + oo ; 4° HANKELova transformacija H" , za koju je K (p, t) = tl" (pt), gde je J" BESSELova funkcija reda n, a = O, b = + oo . Navešćemo, bez dokaza, neka osnovna svojstva FoURIERove, MELLINove, i HANKELove transformacije, a zatim ćemo, na nekim primerima, pokazati
kako se te transformacije primenjuju na rešavanje jednačina matematičke fizike.
7.1.2. Osnovne osobine Fourierove transformacije
Teorema 1. FouRIF.Rova transformacija F ima sledeće osobine:
lo F (f(t + a)) = e'aP F (f(t))
r F (e1a'f( t )) = F ( p + a)
(aE R); (a E R) ; 220
lll
7.1. Neke integralne transformacije l njihove prlmeoe
3 ° Ako je lim l f(t) l = lim l f(t) l = O, imamo t-+ + oo
t-+- oo
F (J' (t )) = - ip F (f(t)) + oo e-ipt F (p) dp; 4° F-1 (F (p)) =f( t ) = V 1t - oo + oo 5 ° F - 1 (F (p) G (p)) = V f (t - u) g (u) d u , 1t - oo
� J
� J
gde je F (p) = F ( f( t )), G (p) = F (g ( t )) . Navod i mo kratku tablicu FouRIERovih slika nekih elementarnih funkcija. F ( !(t))
/(1)
(
/ 7t �- _1!_- a _!_ 2 \ 2 p t a, :p-a
sin at
-
l
V� ( ::) ( �-�) Vf(l ( ) � 2 , ,t -a .J!f : p;
exp ( -at2)
a
-1- cos
cos at2
112 a
- ·p
(O
7t
-- ct + t2) - 1
,
4
p 2 7t 4a +4
sm
'
-
4a
o
l
sin at2 i l J -a
exp
)
I' ( l -a)
a . 7t sm 2
e-
7.1.3. Osnovne osobine Mellinove transformacije Teorema l. MELLINOI'a
transformacija M ima sledeće osobine:
l o M ( !(at)) = a -P F (p)
2 o M (taf(t)) = F (p + a)
(a > O);
(a E R);
(+ ! (+)) = F ( l - p); (a> O); 4o M (!(ta)) = : F (:) 3o M
5°
M {J(t) log" t ) = p< nl (p)
(n E N) ;
6° Ako je lim tp- n + k j
t-'> +
(k = l ,
. . .
, n - 1 ),
222
7. Dopune
za
drugo izdanje
tada je M ( J
(p - l )! (p-n- l )!
F ( p - n) ;
7° Ako je lim tPf (t) = lim tPf(t ) = O, tada je t-->0
t-+ oo
( ( t :1 rf(t ) ) ( go M - 1 (F (p)) =/(t ) = � r t -p F (p) dp; M
=
c
2rrt
9o M-1 (F (p) G (p)) =
gde je
p)n F (p);
+ ioo •
c-ioo
f � f(t) g (�) du, + oo
o
F (p) = M (f(t )), G (p) = M (g (t )).
Navodimo kratku tablicu MELLINovi h
slika nekih elementarnih funkcij a .
f(t)
M (!(t))
e-t
r < P>
cos t
1tp r (p) cos 2
s in t
1tp r (p) s in 2 2 --
(l + t)- 1
s in 1t p
l - log (l + t) t
7t
(1 -p) s in rt p 7t
( l + t 2) - 1f2
1tp 2 si n 2
� ( �)
e-t1
r
7 .1.4. Osnovne osobine Hankelove transformacije Teorema l. HANXELOVa transformacija H11 ima sledeće osobine: 1 ° Hn
(+ f(t)) = :n (
)
"ll- l { /(t)) + Hn + i ( J(t)) ;
(
)
2° H11 (/' (t)) = - !..._
7.1. Neke Integralne transformacije l njibove primene
(
113
) - p2 H" (J(t)) ;
3° H" f" (t) + � f'(t ) - nz f(t) = tZ
t
+ "'
4o H;1 (F (p)) =f(t ) = j pJ" (pt) F (p) dp. o
Navodimo kratku tablicu HANKELovih slika nekih elementarnih funkcija.
-lt
-pl
si n at -t - e - at
l
t
-t
t" e a Z (aZ -t Z) - l JZ
o
!
H" (/(t))
/ (t)
(aZ -p Z) - l j Z
> -l (O
o
(p> a)
p - ll (pZ + aZ) - lJZ ((pZ + aZ)l JZ-a) "
(a> O)
( r ( )
l
(a> O)
p
2a 2a
exp -
1 - cos ap
(O < t
n
ap
pZ 4a
=0
>-l
�o =l
7 .1.5. Primeri primene integralnih transformacija
Primer
l: Jednačina provođenja toplote sa početnim uslovom
Posmatrajmo jednačinu
( l)
(k = const)
u oblasti {(x, t) J xER, t ER+}, sa početnim uslovom
(2)
u (x, O) =f(x).
Stavimo U (p, t) = F (u (x, t)), tj.
V�n J e1Px + "'
U (p, t) =
u
(x, t) dx.
Primenom FouRIERove �ransformacije F na problem ( 1 )-(2), na osnovu for mule 3° iz 7.1.2. dolazimo do problema (3) ( 4)
U (p, O) = F (p)
( = F (f(x)) ) .
Rešenje problema (3)-(4) dato je sa
U (p, t) = F (p) e - kpz , ,
7. Dopune za drugo Izdanje
pa rešenje postavljenog problema ( l }-(2} glasi + oo e-(ipx + kp2tl F(p) dp. u (x, t) = F- 1 ( F(p) e -kp2t) = V,(5) 1t'
� J - oo
U nekim slučajevima integral n a desnoj strani (5} može se i zraziti u konačnom obliku. Na primer, ako je f(x} = Ae - Bx2 (A, B > O), i mamo F (p) = = (A/Viii) exp ( - p2/4 B) , i dobijamo
(6) PRIMEDDA. Problem ( 1 )-(2) posmatran je u 5.6.1., str. 1 72- 1 7 3 . Uporediti rešenje tog prob lema za f(x) Ae - nxz sa rešenjem (6). =
Primer 2: Partikularna rešenja Lap/aceove jednačine Posmatrajmo LAPLACEovu jednačinu oz u oz u oz u - + - + - = 0. o xz o yz o z2
(7)
Ako sa Dekartovih koordinata (x, y , z) pređemo na ci lindrične koordinate (r, a, z) , gde je X = r COS a, y r sin a, Z = Z , jednačina (7) postaje (8)
Oz U
=
l 0U
)
02 U
02 U
- + - -- + - - + - = 0. o ,z r o r ,z o ez o z2
Pretpostavimo da jednačina (8) i ma rešenje oblika (9)
u (r, 6 , z) = v (r, z) t!'; o.
Zamenjujući (9) u (8) nalazimo ( l O)
oz v l ov n' o2 v -- + - -- - - v + - = 0. o r2 r o r r2 o z2
Neka je V (p, z) = Hn (v (r, z)), tj. neka je
V ( p, z) = J rln (rp) .v (r, z) dr. + oo
o
Primenjujući HANKELovu transformaciju Hn na jed načinu ( l O) formulom 3° iz 7.1.4. dobijamo ( l l)
oz v - p2 o z2
koristeći se
V - 0.
Neka je V * jedno reše::1je jednačine ( l l ). Odgovarajuće rešenje LAPLACEove jednačine (8) tada glasi 1 u (r, 6 , z) = t!'1o H; ( V* (p, z) ) ,
7.1. Neke integralne transformacije i njiho;e primene
tj.
225
+ oo
u (r, 6, z) = e"i 6 J pJn ( pr) v• (p, z) dp . o
Napomenimo da se jednačina ( l I ) može integraliti u zatvorenom obhku.
Primer 3: Partikularna rešenja jednačine provođenja toplote
Primenjujući postupak iz Primera 2 dokazati da se integracija jednačine o2 u o2 u o2 u � + � + � = k ou
o x2
o y2
O z2
(k = const)
ot
može svesti na integraciju jednačine
Primer 4: Dirichletov problem za ugao Posmatrajmo sledeći DIRICHLETov problem za ugao u ravni: Odrediti ono rešenje LAPLACEove jednačine 02 -U
( 1 2)
o r2
r or
r2 o 62
lim u (r, 6) = O ( j 6 j < IX) i
koje zadovoljava uslove:
( I 3)
l OU l 02 U � = 0, --++-
,_..+ oo
u (r, IX) = f(r),
u (r, - IX) = g (r).
Ako stavimo U (p, 6) = M ( u (r, 6) ), tj. + oo
U (p, 6) = J rp-1 u (r, 6) dr , o
i primenimo MELLINovu transformaciju na problem ( 1 2)-( 1 3), dolazimo do problema o2U
� + p2 U = 0,
( 1 4)
o 62
u (p, IX) = F (p), u (p, - IX) = G (p),
( 1 5)
gde je stavljeno F (p) = M (f(t) ) , G (p) = M (g (t)). Neposredno se proverava da je jedno rešenje problema ( 1 4)-( 1 5) dato sa
U (p, 6) =
s in (ct + 6) p ct s F (p) + in.( - 6) p G (p). . sm 2 ct p sm 2 ct p
Prema tome, rešenje postavljenog problema glasi u (r, 6) = M-1 ( U(p, 6)), ili
u (r, 6) =
1
2 rt l
J (
c+ioo
. _ _
c- i oo
,-p
s in. (ct + 6) p sm 2 ct p
F (p) +
s in (ct- 6) p s in 2 ct p
)
G (p) dp .
226
7. Dopune
za
drugo izdanje
Primer 5: Jednačina provođenja toplote sa dopunskim uslovima Posmatrajmo sledeći problem: Odrediti rešenje jednačine
(k = const),
( 1 6) uz dopunske uslove:
lim z-++ oo
u
(r,
z,
t ) = O, i
u (r, O, t) = f(r, t),
( 1 7) Ako primenimo
jed načinu
HANKE.Lovu
transformacij u
()z v () zZ
( 1 8)
u (r, z, O) = O. H0
na
jednačinu ( 1 6) dobijamo
- p V = k t>it ' v
2
gde je stavljeno v (p,
z,
( 1 9)
v (p, O, t) = F(p, t),
t) = H0 (u (r, z, t)). Uslov ( 1 7) postaje v
gde je F (p, t) = H0 (J(r, t)).
(p, z, O) = O,
Da bismo rešiti problem ( 1 8)-( 1 9), primenimo LAPLACEovu transforma ciju. Ako stavimo U (p, z, s) = L {v (p, z, t)), dobijamo jednačinu (20) uz uslov
(
U (p, O , s) = A (p, s)
(2 1 )
=
)
L (F (p, t)) .
Rešenje problema ( 20)-(2 1 ) glasi
U (p, z, s) = A (p, s) e -z Ypz + ks, pa je rešenje problema ( 1 6)-( 1 7) dato sa
(
)
u (r, z, t) = H0 1 L -1 (U (p , z, s)) , tj.
u (r , z, t ) =
+ oo
c-ioo
O
c-i�
J pJ0 (pr) ( z� i J ' A ( p, s) r z Vpz kl ds) dp . e'
+
7 .1 .6. Literatura G. F. CARRIER,
M. KROOK, C. E. PEARSON: Functions of a complex variable: theory and technique. New York 1 966, 438 pp. S. CoLOMBO: Les transformations de Me/lin et de Hankel. Paris 1 959, 100 pp. L. SCHWARTZ: Methodes mathimatiques pour les c•dences physique. Paris 1 965, 329 pp.
7.'1.. Schriidlogerova jednai!lna
'1.'1.7
7.2. SCHRODINGEROVA JEDNACINA 7.2.1. Uvod
U kvantnoj mehanici važnu ulogu ima ScHRODINGERova jednačina
(E - U) 'Y = O, gde je masa čestice, PLANCKova konstanta, E totalna energija čestice U njen potencijal. Nepoznata funkcija 'Y naziva se talasna funkcija. Na osnovu fizičkih rasuđivanja zaključuje se da je 'Y2 dV = l , gde se integracija vrši po A
!-L
li
'Y
+
2 1L
/j2
i
I
celom prostoru.
7.2.2. Harmonijski oscilator
'Y
U slučaju harmonijskog oscilatora je funkcija samo jedne promenljive x, i U = (!.f.w02) x2f2, gde je w0 sopstvena frekvencija oscilatora. U tom slučaju ScHRODINGERova jednačina postaje dZ 'Y
(l)
dx2
+
� /jZ
uz uslov
(E - IJ.Woz r) 'Y = 2
+ oo
J
(2)
- oo
0
°
'Y2 dx = l .
Ako stavimo x = x0 �. jednakosti (l ) i (2) postaju - oo
+ oo
J
(4)
'F2 dF_ =
�IL:• ,
- oo
gde je, radi pojednostavljenja, stavljeno ). = 2 1L
Xo2 E
JiZ
'
PRIMEDBA l . Uslov (4) ima ulogu konturnog uslova. Kao što ćemo videti, pomoću njega je mogućno odrediti one vrednosti l. - sopstvene vrednosti problema - za koje postoji re�enje jednačine (3) uz uslov (4).
Uvedimo novu nepoznatu funkciju z pomoću jednakosti 'Y = e-F,m z. Jed načina (3) postaje
( 5)
� ''
- 2 � z' + (>. - l ) z = O.
7. Dopune
za
drugo izdanje
Potražimo rešenje jednačine (5} u obliku potencijalnog reda koji j e konvergentan za svako �. Dobijamo + co
+ co
z=
L a �k k�O k + co
+ co
L k (k - 1 ) ak �k -z _ 2 L kak �k t (A - I ) L ak �k = O , k� l k�O k =2
tj .
+ co
odakle izlazi
L ((k + l) (k + 2) ak + z - 2 kak + (A - l ) akgk = O,
k=O
>.-(2 k + l )
(6}
(k = 0, 1 , . . . ) .
ak + z - a - (k + l ) (k + 2) k
Može se dokazati da je rešenje z ograničeno na R (odakle izlazi integra bilnost funkcije 'Y2 na R) samo u slučaju kad je z polinom. Međutim, na osnovu jednakosti (6) zaključujemo da je z polinom samo u slučaju kad je A neparan broj, tj. i, = 2 n + l (n E N0). Međutim, tada jednačina (5} postaje z
(7}
"
- 2 � z' + 2 n z = O
i to HERMITEova diferencijalna jednačina. Jedno partikularno rešenje jednačine (7) glasi � � H., (�). gde je H., (e ) HERMlTEov polinom (videti zadatak 1.6.20.), tj. H., (�} = ( - l )" e�' � n -�' . d�
Dakle, funkcija z,. definisana sa z,. = A,. H,. (�) zadovoljava jednačinu (7}. Kons tantu A11 odredićemo iz uslova (3), tj. iz uslova
J 'Y.,z d � = J + co
odakle dobijamo
- oo
+ co
(e- �'12
z,.) Z
- oo
A" =
2 "'' V n! Vrr
d�=
J fLWo \j ii
�
fL;• ,
•
Prema tome, sopstvene funkcije problema ( 1 )-(3) su
X� 'f'11 (X) = ifLXo e( V.Wo/2/i )x' ( - J )" � (e-(V.Wo/li) x2 ) , V li 2"/ ' Vn! V rr dx"
tj .
(
)
l X � 'Y (x} = lfLXo e -(v.wo/2 /i) H Vl fLliWo x ' " V li " 2"/2 Vn! jlrr
gde je H,. HERMITEov poli nom , a odgovarajuće sopstvene vrednosti su A,. = = 2 n + l (n E N0). PRIMEDBA = li w0
2. S
( �) n+
obzirom na vezu između E i ). nalazimo sopstvene vrednosti energije, E,. = . Prirodan broj
n naziva se kvantni broj.
7.'1.. Schrodingerova Jednačlna
229
7.2.3. Kretanje elektrona u Coulombovom polju ScHRODINGERova jednačina primenjuje se u atomskoj teoriji pri izučavanju kretanja elektrona u polju sa potencijalom U = - e2 fr, gde je r = V x2 + y2 + zi , e je naelektrisanje elektrona. ScHRODINGERova jednačina tada glasi on i"
on y
o'
(
tJ. E + 'Y - + -' + +li ' Vx' + y' + z2 o z2 oy o x'
(l) uz uslov
2
e
) 'Y =O,
(2)
(3)
Jednačina ( l ) u sfernim koordinatama glasi e' o o' 'Y + _!_ o' 'Y o' 'J:_ + 3_ o 'Y l 2 1 + + __ 'Y + tJ. E + 'f = o . r
or'
or
r 2 si n2 6 o cp2
r ' o 62
r2 tg 6 o 6
li'
(
r
)
Ako potražimo rešenje problema (3)-(2) u obliku 'f (r, 6, rp) = R (r) F (a, rp), dobijamo
[i ( R " + � R' ) +
2 tJ. 2 Ii'
( E+ :' )] + [ � �; + � �'; + � �=J= O . 2
F s n2 6
Ft 6
Kako je izraz u prvoj uglastoj zagradi funkcija promenljive r, a izraz u drugoj uglastoj zagradi ne zavisi od r, oba ova izraza moraju biti konstantna. Dakle imamo r2
R
(4)
l
( R" + -; R' ) + -li- (E + -;) = n (n + l ) , 2 tJ. r2
2
o 'F
l o'F
e'
l
iJ F
--- - + - - + -- - = - n (n + l ) '
( 5)
F sin2 6 o cp2
F o 62
F tg 6 o 6
gde je proizvoljna konstanta napisana u specijalnom obliku n (n + 1 ). Potražimo sada rešenje jednačine ( 5) u obliku F (a, rp) = P (6)
P"
P'
- + (sin2 6) - + (sin 6 cos 6) - + n (n + l) sin2 a = o,
p
odakle zaključujemo da je
(6)
(7)
p
O,
(sin2 6) P" + (sin 6 cos 6) P' + (n (n + l ) sin2 6 - m') P = O,
gde je m proizvoljna konstanta. Opšte rešenje jednačine (6) glasi
gde su C1 i C2 proizvoljne konstante. Pri tome, da bi funkcija
(
)
( l - x2) P"(x) - 2 x P '(x) + n (n + 1 ) - � P (x) = O. 1 -x'
7. Dopune za drugo Izdanje
Opšte rešenje jednačine (8) je
P (x) = Cl P'; (x) + C4 Q'; (x), SU
gde su Cl i C4 proizvoljne konstante, a P'; i Q'; funkcije prve i druge vrste, definisane sa
pridružene
LEGENDREOVe
gde su P" LEGENDREovi polinomi, a Q" LEGENDREove funkcije druge vrste: "
P" (x) = - - (x2 - l)", l
2" n!
d
dx"
(Z n) ! ! (2 n) !
Q" (x) = ( - l )"
(
X
Prema tome, dobijamo rešenje jednačine (5) u obliku F(6, cp) = (C1 cos m cp + C2 sin m cp)
o
1 ( J -t 2)"+ •
)
dt .
(Cl P'; (cos 6) + C4 Q';(cos 6)).
Da bi ovo rešenje bilo neprekidno unutar sfere sa centrom u koordinatnom početku mora biti C4 = O. Dakle, za fiksirano n imamo tačno 2 n + l rešenja jednačine ( 5):
P" (cos 6),
(9) za
P': (cos 6) cos m cp,
P': (cos 6) sin m cp
(m = l , . . . , n),
koja se može dokazati da su linearno nezavisna.
Definicija l. Proizvoljna linearna kombinacija rešenja (9) jednačine ( 5) naziva se sferna funkcija reda n i označava se Y" . Drugim rečima, " Y" (6, cp) = a"0 P" (cos 6) + L: (a"m cos mcp + b"m sin mcp) P'; (cos 6), m= l
gde
SU 0110 , Onm ,
bnm (m = l , . . . , n) proizvoljne konstante.
Prema tome, dokazali smo da sferna funkcija reda n zadovoljava jednačinu l jj Y" l jj2 Y" jj2 Y" -- -- + - + - - = - n (n + l ) y" . sin2 6 jj rp2
tg 6 jj 6
jj 62
Ostaje još da rešimo jednačinu (4), tj. jednačinu
( 1 0)
( (
)
R" + 3_ R ' + �� E + e2 r
h2
r
n (n + l) ) R = O. r
2
Uvedimo oznake h2/!J. e2 = a, e2f2 a E = - /..2 i smenu � = 2 rfa 'A. Jednačina ( 1 0) postaje d 2 R -� d R + + - _!_ + � - n (n + l) R = O , d �2 � d� 4 � �2 a posle smene y = v-� R ,
(l l)
gde je stavljeno
s= 2 n+
(
)
(
)
' � Y" + y' - l + � y + 'A y = O, 4 4�
l.
7.3. O re§enjima pan:Qalnlb difereoeijalnlb jednai!ina
Ako najzad uvedemo smenu
z" + (s + l
( 1 2)
y = �·l2 e -F.I2 z,
131
jednačina ( l l ) postaje
-�) z' -( s ; 1 - J. ) z =
O,
a to je diferencijalna jednačina generalisanih LAGUERREovih polinoma, pod ·
+l uslovom s _ J. E N0 , tj. 2
1. = 1 + s + l (1E N0), 2
tj. A = l + n + l (/E N0). Jednačinu
( 1 2) zadovoljavaju generalisani LAGUERREovi polinomi
Li(�) = �-6eF. :�,(�1 +� e-F.), to pomnoženi proizvoljnom konstantom A 1 • r,
Prema tome, vraćajući se na promenljive sopstvene funkcije problema (3)-(2): T '·
n�
m, ll
A1
(r, a' cp)
L:, definisani sa
a, cp zaključujemo da su
2 r) = A (-a).2 r1. )" e L2n+1 (a).1. -r/a Al
l
l
( Y,. a • cp) '
gde se konstante odreduju iz uslova (2). Odgovarajuće sopstvene vrednosti su 1.1 = 1 + n + l (/E N0) .
7.3. O
REŠENJIMA PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAl':INA
7 .3.1. Udcaj oblasti na rešenja parcijalnih diferencijalnih jednačina
Kada smo rešavali parcijalne diferencijalne jednačine sa početnim i kon tumim uslovima uvek smo prilikolll postavljanja problema isticali oblast u kojoj se problem posmatra. llustrovaćemo na nekim primerima koliko oblast može da utiče na rešenje. PRIMER l. Posmatrajmo sledeći' 0IRICHLETOV problem za krug. Rešiti LAPLACEOVU jednačinu
uz uslove: lo r
u
je neprekidna funkcija u oblasti D = {(x, y)
na
krugu o D = {(x, y)
l x2 + y2 = l}
funkcija
u
l x2 + y2 $ 1 };
ima vrednost
O.
Postavljeni problem ima samo trivijalno rešenje u (x, y)=O. Medutim, ako iz posmatrane oblasti isključimo tačku (l,. 0), tj. ako uslove l • i r zamenimo uslovima
t '•
2'"
u
Je neprekidna funkcija u oblasti D' = {(x, y)
na liniji o D' = {(x, y)
l x2 + y2
=
l
,
x< l}
l x2 + y2$ 1, x < l}; u ima vrednost O,
funkcija
tada ovaj novi problem ima i netrivijalna rešenja, na primer:
u(x, y)
1 -xz-yz 1 -2 x + x2 + y2
Slično, ako iz oblasti D isključimo tačku (0,
O),
tj. ako uslove I • i r zamen'mo uslovima
l ". u je neprekidna funkcija u oblasti D" - {(x, y)
( O <x2 + y2 $ 1 };
7. Dopune za drugo izdanje
232
2"0 na krugu {(x. y) l x' + y> = l} funkcija u ima vre:lnost O , tada ovaj problem ima beskonačno mnogo netrivijalnih rešenja. Jedno od njih dato je sa
u (x, Y) =
(x' + Y' - l ) x x'
,_
y>
.
PRIMEDHA. Ovaj primer izrađen je na osnovu članaka [l] i [2]. PRIMER 2. U 5.3.1 . i _5.5.1. posmatrali smo jdnač'nu ž!ce koja treperi, i to u prvom slučaju . sa C� UCHY���m usl?v1ma u (x, �) = A (�), uy (x, O) = B(x); a u drugom slučaju su CAUCHYevim uslovima bih do:lati u konturm uslovi u (0, y) = u (l, y) = O. Kada se ne bi vodilo računa o oblastima, rešenja navedenih problema bila bi u kontradikciji. Zaista, posmatr2jmo sledeća dva problema: Problem
l.
Rešiti
jednačinu uxx-Uyy = O sa uslovima u (x, O)
=
l,
uy (x, O) = O.
Problem 2. Rešiti jednačinu uxx-Uyy = O sa uslovima
u (x, O) = l ,
(3)
uy (x, O) = O,
u (O, y) = u (l , y) = O. Jedinstveno rešenje Problema
dato je sa
u (x, Y) = l .
(4)
Međutim, tada zaključujemo d a Problem 2 nema rešenja, jer funkcija u definisana s a (4) ne može zadovoljavati uslove (3). Naravno, ova "protivrečnost" jednostavno se otklanja ako se Problemi l i 2 rešavaju u ispravno definisanim oblastima. Naime, rešenje Problema l treba tražiti u oblasti D, = {(x y) l y2:0}, a rešenje Problema 2 u oblasti D, = {(x, y) / O .S x .S l, y2:0}. Tada i Problem 2 ima rešenje i ono glasi ==
,
+ oo u (x, y) =
2
4
k = l (2 k - l ) 7t
sin (2 k- l ) rt x cos (2 k - l ) rty.
LITERATURA
l. A. BROMAN: On patho/ogical properties of partial differential equations. Nordisk Mat. -
.
Tidskrift 20 ( 1 97 2) , 25 33 2. J. D. KEČKIĆ: A note on an incorrect/y posed problem for the Laplace equation. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. .Nll 412-.Nll 460 ( 1 973), 83-94.
7 .3.2. Korektno postavljen problem matematičke fizike Problemi matematičke fizike često se svode na određivanje nepoznate funkcije iz jedne, ili više, parcijalnih diferencijalnih jednačina i iz jednog, ili više, dopunskih uslova. Kao i svaki drugi problem, i problem matematičke fizike može imati samo jedno rešenje, može imati više rešenja, ili može nemati nijedno rešenje. Dok se u "čistoj" matematici problemi sa jednim, više ili nijednim reše njem razmatraju sa jednakom pažnjom, u matematičkoj fizici posebna pažnja se poklanja problemima koji imaju jedinstveno rešenje, jer su ti problemi, tj. matematički modeli, i formulisani tako da opisuju samo jednu fizičku pojavu. Za praksu je važno još i da rešenje postavljenog problema bude nepre kidno u odnosu na dopunske uslove, tj. da mala promena u dopunskim uslo vima prouzrokuje samo malu promenu u rešenju. Ovaj zahtev nametnula je
7.3. O rdeojlma parcijalnih dlferencijalnlb jednačioa
133
praksa. Zaista, diferencijalna jednačina koja odgovara izvesnoj pojavi obično se izvodi teorijski (uz potrebne aproksimacije, pomoću kojih se dolazi do što jednostavnije jednačine), dok se dopunski uslovi određuju uglavnom eksperimen talno, što znači da propisane vrednosti za nepoznatu funkciju nisu tačne, već približno tačne. Zbog toga je važno da rešenje bude neprekidno u odnosu na dopunske uslove, jer bi u suprotnom mala nepreciznost u merenju mogla dovesti do velike greške u rezultatu. Definicija l. Problem matematičke fizike je korektno postavljen lo 2° 3°
ako postoji rešenje p roblema; ako je rešenje jedinstveno; ako je rešenje neprekidno u odnosu na dopunske uslove.
Navešćemo primere korektno i nekorektno postavljenih problema. PRIMER. l . CAUCHYev problem za jednačinu žice koja treperi, tj. problem
(l)
(a = cons t)
(2)
u
je korektno postavljen. Zaista,
(videti 5.3.1.)
jedinstveno
( 3)
u
(x, y)
rešenje l
= -
2
(x, 0) = A (x),
Uy (x, O) = B (x)
problema ( 1 )-(2) dato je o'ALEMBERTovom formulom
x+ay
( A (x + ay) + A (x-c1y)) +
J
l
-
2a
B (t) dt.
x-ay
Dokažimo još da je rešenje (3) neprekidno u odnosu na početne uslove (2). U tom cilju zajedno sa problemom ( 1 )-(2) posmatrajmo i j ednačinu (l ) sa uslovima
u (x, O) = A • (x),
(4)
uy (x, O) = B• (x).
Neka je u• rešenje problema ( 1 )-(4), tj. neka je
x+ay l
l
u• (x, y) = - (A• (x + ay) + A• (x-ay)) + 2a 2
J
B• (t) dt.
x-ay
Treba d okazati da za svako & > 0 i svako YE [O, y0] postoji 8 (&, y0) takvo da iz
(x E R)
(5) izlazi
l u (x, y)-u• (x, Y) 1 < €
(6)
(x E R, Y E [O, yJ).
Zaista, imamo
l l u ( x, y)-u• (x, y) l < - 1 A (x + ay)-A• (x + ay) l
- z
l l + - 1 A (x-ay)-A• (x-ay) l + 2 Za l
x + ay
J
I B (t ) - B • (t ) l dt
< - 8 + - 8 + - 8 (x + ay-x + ay) = 8 ( 1 + y) :s; 8 ( 1 + y0). - 2 2 2a l
l
Prema tome, ako stavimo 8 < E/(1 + y0), zaključujemo da iz (5) izlazi (6).
7. Dopune •
PRIMER 2. Problem
llrvlo bdaDJe
,)l u
u - + ,)l - - 0,
t);t3 e) y3
u je neprekidna funktija u oblasti D - {(x, y) : x3 + yl s; l, x <
l },
(x, y)f: o D
u (x, y) - 0 kada
n'je korektno postavljen, .ier postoji v iše od jdnog rešenja tog problema (videti Primer :! u 7.3.1.). PRIMER 3. Problem
(7)
uy (�. O) -
•
u (�. O) - O,
(8)
u oblasti
cosnx n
(� ER, li E N)
-
D - {(x, y) J xER, yER+} nije korektno postavljen.
Mcdc
se
dokazati da je jedinstveno rešenje problema (7)-(8) dato u (x, y) -
(9) Međutim.
----
tos 11x sh 11y
sa
11:
rešenje (9) nije nep1�kidno u odnosu na poče tne uslove (8). Da bismo to dokazali, iz jedna�ine (7) i uslova
posma tl'l\imo u oblasti D problem koji se sastoji
u (x, 0) = 0,
( l O)
Jedinstveno rešenje problema (7)-(1 0)
( l l)
Kako funkcionalni n iz
(
:
) ( 1 0) ,, co IIX
dato je
u (x, y) - 0.
.
(x t:: R)
uJ. (x, 0) = 0 sa
uniformno konvergira ka O, postoji 110 E N takvo da se
11 > n0 kont urni uslovi (8) i veoma malo razlikuju. Medutim, razlika odgovaf'l\iućih rešenja (9) i ( l l ) ne teži nuli. Dovoljno je pokazati da njihova razlika ne teži O u jednoj tački, recimo u tački (0, 1). Ako u (x y) oznaćava rešenje (9), a u z (x, y) rešenje ( l l ) dobijamo
za
u1 (0, 1)-u z (O, l ) = k;vja n -+ +
oo .
- --sh 11 nz
=
e"- e - 11
2 11z
-+ +
oo
PIUMEDBA.
Ovaj primer dao je HADAMARD (videti, na primer, ( 1)). HADAMARD, međutim, ističe da fizički problemi koji se opisuju LAPlACEovom jednačinom obično dovode do kon turnih uslova (na primer DIRICHLETovih), a ne CAUCHYevih početnih uslova tipa (8). S druge strane, CouRANT (l) navodi da se jedan važan problem stabilnosti svodi baš na nekorektno postavljen CAUCHYeV problem za LAPLACEOVU jednačinu.
vata i
Definicija l , koja potiče od HADAMARDa, može se uopštiti tako da obuh druge prob leme, a ne samo jednačine
matematičke
fizi k e sa dopunsk i m
uslovima. Naime, ako su
(E1 , d1) i (E2, d2)
metrički
prostori,
pretpostavimo
da
je
jednakošću
y = f(x)
( 12)
gde su
J : E1 -+ E2 i x 'C_ E1
rešenje kažemo da je takvo da i z
stvari znači ljive y, ako
d1 (x1 , .\·) < e
rešenje nekog problema. Za to (E1 , E2) ako za svako e > O postoji a (e) > O d2 (y1, y2) < a. gde je y1 f (x;). i = l , 2 . To u
poznat i , definisano
stabilno
na
sleduje
=
da mala promena promen ljive x dovodi do male promene su x i
y
vezani jednakošću
( 1 2).
pramen
7.3. O re§enjima parcijalnib diferencijalnib jednai!lna
235
Definicija 2. Za problem se kaže da je korektno postavljen
1 ° ako za svako x E E1 postoji rešenje f(x) = YE E2; 2° ako je rešenje jedinstveno; 3° ako je rešenje stabilno na (E1 , E2 ).
U suprotnom slučaju kaže se da je problem nekorektno postavljen.
Jednostavno se utvrđuje da je problem iz Primera l korektno, a problem 1z Primera 3 nekorektno postavljen i u odnosu na ovu definiciju, gde u oba slu CaJa uzimamo da su d1 i d2 metrike prostora neprekidnih funkcija (videti Pri mer 2 iz 6.4. 1). Navedimo neke primere nekorektno postavljenih problema koji se ne odnose na diferencijalne jednačine. PRIMER 4. Razmotrimo problem određivanja izvoda diferencij abilne funkcij e. Za funkcij e x1, definisane sa x2 (t ) = t sin k t x1 (t) ""O,
x,
u odnosu na metriku prostora neprekidnih funkcija imamo d (x1, x2) = max l. e: sin k t l = l e:
dok za njihove izvode u odnosu na istu metriku važi
1.
d (x1', x/) = max J e: k cos k t l = l e: k ! Prema tome, za dovoljno veliko k izraz d (x1', x2') može biti proizvoljno veliki, što znači da je problem nekorektno postavljen. Upravo se zbog toga nailazi na velike teškoće prilikom približnog određivanja izvoda. PRIMER 5 . Posmatrajmo sistem linearnih j ednačina po x, y: ( 1 3)
5 5 x + 89 y = 1 44,
89
X+
( 1 44 -f-t) )' = 233.
Rešenj e sistema ( 1 3) za t = 0 - 0 1 8 j e (x, y) = ( - 1 59 · 2 , 1 00), a za t = 0 - 02 je (x, y) = (1 8 · 8 - 1 0). Vidimo da mala promena u koeficijentima sistema ( 1 3) dovodi d o velike promene u rešenju, pa je sistem ( 1 3 ) , odnosno sistem ( 1 4)
55
X+
89 )'= 1 44,
89 x + 1 44 y = 233,
čije j e rešenje (x, y) = ( l , I ), nekorektno postavljen. Ovo je primer tzv. slabo-us/ov/jenih sistema l inearnih jednačina. PRIMEOBA. FIBONACCiev niz broj eva ('Pn) definisan j e sa
(n = l , 2, . . .) .
Tada sistem ( 1 4) dobija oblik Može : e dokazati da što je n wći prirodni broj, sistem jednačina postaje sve slabije uslovljen . PRIMER 6. Posmatraj mo FREDHOLMovu integralnu jednačinu prve vr,te ( 1 5)
J K (x, t) f (t ) dt=g (x), b
gde je K data neprekidna funkc ij a na kvadratu [a, b)', a g je data neprekidna funkcija na . egmentu [a, b). Ako /E C [a, b), i ako g f: C, [a, b] (videti Primer 3 u 6.4. 1 ) , tada . e može dokazati da problem rešavanja jednačine ( 1 5) nije korektn o postavlj en . a
136
Dopune
7.
za
dn1go izdanje
PRIMEJt 7 . Označimo sa /2 skup realnih nizova a = (an) takvih d a j e red tan. Taj skup u odnosu na metriku
d, definisanu
sa
k=l
+ oo
2
ak
k=!
tno postavljen. Zaista, ako stavimo +
cos kt,
2
k= J
čini metričkLprostor. Problem sumiranja FoURIERovog reda oblika
/, (t} = 2oo ak
+ oo
+ oo
/, {t ) = 2
k=J
bk cos
ak '
konvergen-
cos kt nije korek
kt ,
gde j e bn = an + - (n = l , 2 , . . .) , tada z a nizove a = (an) i b = (bn) u pro.; toru /2 imamo E
n
i za dovoljno malo t ovaj izraz se može učiniti proizvoljno malim. Međutim, ako uzmemo da /1 i Iz pripadaju prostoru neprekidnih funkcija, tada j e
l
[ h {t) - /2 ( t) [ = [ t [ L oo
k+� l
l
1 - co s kt ;
k
ovaj izraz možemo učiniti pro izvolj no vel ikim (n a primer, za t=O po; lednji red j e divergentan).
Nekorektno postavljeni p roblemi prirodno se pojavljuju kako u teoriji tako i u primenama, pa se njihovom rešavanju posvećuje sve veća pažnja. Tako, na primer, knj iga [3] , iz koje su uzeti primeri 4, 6, 7 odnosi se na približne metode rešavanja nekorektno postavljenih problema. Pomenimo da je u ovoj knjizi dat spisak od 22 1 reference, za koji autori kažu da nije potpun, i čitaoca upućuju na l iteraturu navedenu u knjizi [4] . LITERATURA
1. J. HADAMARD: Divers types de cond:tions difinies et d'iquations aux derivees partie/ln Encyclopćdie Fran�aise, troisi�me partie: La Mathematique, Paris 1937, p. l · 82- 8 .
2. P. KvPAHT: YpaBIIt'IIU!I
e
14QCmllbiMu npauJs(H}IIJJIMU. Moc11:aa 1 964, CTp. 233.
3. A. H. THXOHOB, B. JI. APCEHHH: MemodN peiUeiiUJf lltKoppeKmiiNX Ja()a'lax. lhllaHHe BTopoe. MoćJC Ba 1979.
4. B. A.
MOPOJOB: Jlu11eimwe u lleAUIIeimwe lleKoppeKmiiNe Jat)o'IU.
M ocJCBa 1 973.
8. DOPUNE Z� TREĆE IZDANJE
8.1. DELTA-FUNKCIJA 8.1.1. Uvod U raznim problemima fizike i tehnike ispostavilo se da je klasičan pojam funkcije nedovoljan za njihovo rešavanje. Tako, na primer, pojava tačkastog naelektrisanja dovodi do pojma delta-funkcije (o-funkcije), dok pojam dipola nameće potrebu da se uvede izvod o-funkcije. Navodimo prvo definiciju delta-funkcije koju je 1 930. godine dao DIRAC [ 1 ] : "Možemo reći da j e o ( p - q) neprava funkcija promenljive p, koja uzima vrednost nula za sve vrednosti p, osim q , a beskonačnu vrednost za p = q, no tako da je njen integral jednak jedinici". Drugim rečima, o j e "funkcija" definisana na R pomoću jednakosti 0 (x) =
(l) pri čemu je
{O
+ oo
J
(2)
+ oo
(x:;t': O) (x = O)
o (x) dx = l .
- oo
Jasno je da n e postoji funkcija ( u običnom smislu reči) sa osobinama ( l ) i (2). Stoga DIRAC u pomenutoj knjizi piše: "Uvođenje o-funkcije neće dovesti do smanjivanja rigoroznosti u teoriji, jer se sveka jednačina u kojoj učestvuje o-funkcija može zameniti ekvivalentnom, ali po pravilu složenijom jednačinom u kojoj nema o-funkcije. Stoga je o-funkcija sa:no podesna oznaka" . U narednom tekstu uvešćerno prvo o-funkciju na klasičan, DIRACovski način. Međutim, kasnije ćemo videti da je ona jedna posebna uopštena funk cija, tj. da je o-funkcija sasvim legitiman matematički objekt, a ne samo po desna oznaka. 8.1 .2. Iglaste funkcije Definicija l . Neprekidna (ili deo po deo neprekidna) funkcija o realne pramen ljive x, koja zavisi i od parametra A, sa osobinama:
Io
o (x, A) = O za l x l > A,
2°
o (x, A) > O za l x l < A,
3°
+ oo
J - oo
o (x, A) dx
naziva se iglasta funkcija.
=
l.
J o (x,
- i,
1.) dx = l ,
237
8. Dopune
238
za
treće izdanje
Iglaste funkcije postoje. Navodimo dva jednostavna primera. PRIMER l . Neka je funkcija a definisana sa (videti sliku l }
za za Tada je
J 13 (x, ).) dx = T · 2 A ·):"" =l. jer je A
l
l
l x ! ::::: A, l x i
. .
reč o površm• trougla.
-A
o
Sl. l
o.
Sl. 2
PRIMER 2. Funkcija 13 definisana sa (videti sliku 2) 8
(x, A) =
{
...
I
za
' za 2A jeste iglasta funkcija, što se jednostavno proverava. _ _
l x i >A
Oblik grafika funkcije iz primera l opravdava naziv iglasta funkcija, što se ne bi moglo reći za oblik grafika funkcije iz primera 2. Međutim, bez ob zira što iglaste funkcije mogu imati grafike koji nimalo ne liče jedan na drugi, za sve takve funkcije važe sledeće jednakosti lim a (x, A) = O,
A--->0
što sleduje direktno iz definicije l .
lim
A
J a (x, A) dx = l ,
f..---+ 0 l.
8.1 .3. Pojam a-funkcije i osnovne osobine Neka je f neprekidna funkcija na segmentu [a, b] , cija. Izračunajmo izraz
neka je a iglasta funk
b
lim Jf(x) o (x, A) dx.
(l)
1.--->0 a
Razlikujemo dva slučaja. Neka prvo O E (a, b) , tj . neka je a < O < b, i neka je A :s:;; min ( l a : , b) . Na osnovu definicije iglaste funkcije i teoreme o sred njoj vrednosti imamo b
(2)
A
A
J f(x) a (x, A) dx = J f(x) a (x, A) dx =/(t ) J a (x, A) dx =J( t) , a
-A
-A
239
8.1. Delta-funkcija
A, A).StogaKadiz A-O i t-O, pa zbog neprekidnosti funkcije f imamo limf(t)tE (-f(O). (2) sleduje lim J f(x) 8 (x, A) dx= f(O). Ako sada pretpostavimo da OEE(a, b), tj. a
=
).-to()
b
/.--toO a
b
J
o
f(x) (x, A) dx= O,
a
pa je stoga
b
lim J
f(x) 8 (x, A)dx = O.
/.--toO a
Dokazali smo, dakle, da je .
b
{f(O), ako OE(a, b) f(x) 8(x, A) dx = ' ako OEf(a, b). a Uvedimo sada oznaku: lim J f(x) 8 (x, A) dx= J f(x) 8 (x) dx. (4) a a Jednakost ( 4) uzimamo definiciju tzv. delta-funkcije, ili ?l-funkcije. Treba primetiti da objekt 8 (x) koji se pojavljuje u (4) nema, sam za sebe, nikakav smisao. To svakako nije vrednost neke funkcije 8 u tački x, jer je J f(x) 8 (x) dx samo kraći zapis za lim J f(x) 8 (x, 1.) dx, pa (x) ima smisao samo kad se a hm J
0
1. --toO
b
b
/.-to()
za
b
b
o
J.--->()
a
pojavljuje pod znakom integrala. Međutim, na osnovu jednakosti (3) i (4) možemo izvesti neka svojstva ?l-funkcije, tako da u praksi možemo sa njom "da radimo" kao da je u pita nju prava funkcija. Tako, na primer, imamo b
kad OE(a , b), [f(x)8(x)dx = {f(O), O, kad O Ef (a, b) ; f(t), kad tE(a, b), Jf(x) 8(x t)dx -- { kad tEf(a, b) ; a interval (a, b) uzmemo realnu pravu, dob;jamo J f(x) 8 (x) dx =J(O) , J f(x) 8 (x - t) dx =f(t), b
a ako
za
+ oo
- oo
_
_
· o,
+ oo
- oo
treće izdanje
8. Dopune za
240
odakle, u slučaju kad je J konstantna funkcija definisana sa J(x) = l , izlazi + oo
+ oo
J 3 (x) dx = l ,
J 3 (x - t ) dx = l .
- oo
- oo
Za o-funkciju kažemo da j e parna, i pišemo 3 (x) b
b
=
3 ( - x), jer je
JJ(x) 3 (x) dx = JJ(x) o ( - x) dx,
( 5)
a
a
za svaku funkciju J koja je neprekidna na [a, b] . Zaista, i mamo b
J
a
J(x) 3 ( - x) dx = l i m
b
JJ(x) 3 ( - x,
).___,.(l a
ako uvedemo smenu x = b
·-
1-) dx,
y, dobijamo
J J(x) 3 ( - x) dx = lim :>.......o
-b
J J( - y) 3 (y,
-a
1-) dy =
J J( - y) 3 (y) dy .
-b
Ako je a < O < b, tada je - b < O < - a, pa na osnovu (3) imamo a
-a
-a
J J( - y) o (y) dy =J(O).
-b
Međutim, u tom slučaju je i
b
JJ(x) 3 (x) dx =J(O),
a
odakle sleduje (5). Slično se dokazuje jednakost b
b
JJ(x) o (x - t) dx = JJ(x) 8 (t - x) dx, a
koju kraće zapisujemo u obliku: 3 (x - t) = o (t - x). Dalje, polazeći od jednakosti + oo
J J(x) O (x - t) dx =J(t),
zaključujemo + oo
- oo
+ oo
+ oo
J J(x) 3 (x - t ) dx =J(t) · l =J(t) J 3 (x - t ) dx = J J(t) o (x - t) dx,
- oo
što kraće zapisujemo
-
- oo
J(x) 3 (x - t ) =J(t ) o (x - t) ,
odakle za x :::j::. t sleduje: 3 (x - t) = O. Specijalno, za t = O dobijamo J(x) o (x) =J(O) o (x), pa takođe zaključujemo da je 3 (x) = 0 za x :::j::. O.
8.1. Delta-funkcija
241
Izvedimo još jednu osobinu 8-funkcije. Ako je a > O (a = cons t), tada je, posle uvođenja s mene ax = u, + oo
+ oo
J f(x) 8 (ax) dx = J � J - oo
- oo
Slično, za a < O dobijamo
( : ) 8 (u) du = ! /(0).
+ oo
J f(x) 8 (ax)dx
-/ )
�
=
- <Xl
pa je, za a -=/= 0,
+ oo
J f(x) 8 (ax) dx =/(O) lal
- oo
Međutim,
.
J f(x) 8 (x) dx =f(O), - <Xl
pa je
+ oo
+ oo
J
_ ""
f(x) 8 (ax) d x = - _!_ J f(x) 8 (x) d x , l a l - oo
što kraće pišemo u obliku
8 (ax) = l)--(-
x)
lal
(a i= O).
8.1 .4. Neodređeni integral i izvodi 8-funkcije Prekidna funkcija U definisana sa (l)
U (x) =
(x > O), 0 (x < O),
{l
naziva se jedinična funkcija. Kao što se vidi iz ( I ), fun kcija U nije definisana za x = O. Dajuć i joj razne v rednosti za x � O, do laz: mo do raznih jediničnih funkcija, od koj ih je najpoznatija tzv. H EAVISIDEova fun kcija UH definisana sa
(x> O),
(x = 0), (x < O). Izvešće mo s::>.da jednu važnu formulu koja povezuje jediničnu funkciju U sa 8-funkcijom . Naime, posmatrajmo integral
J
-oo
8 (t) dt.
242
8. Dopune za treće izdanje
Ako je
x> O,
O Ef: ( - oo ,
x < O, tada
tada O E ( - oo
x), pa je X
J o (t) dt = l .
, x), pa Je x
J
(2)
J o (t ) dt = O . X
druge strane, ako Je
S
Iz ovih jednakosti sleduje
fl
(x> O) O (x< O ) = U(x), l
o (t) dt =
- oo
što znači da je jedinična funkcija neodređeni integral o-funkcije . Jedinična funkcija ima izvod (koji je jednak nuli) u svakoj tački, osim u tački x = O. Međutim, ako jednakost (2) formalno diferenciramo, dobijamo
(3)
U ' (x)=o (x).
Jednakost (3) uzimamo za definiciju uopštenog izvoda jedinične funkcije U. Kako je o (x) = O za x#O, zaključujemo da se ovaj uopšteni izvod za x#O poklapa sa običnim izvodom. Pređimo sada na definisanje izvoda o-funkcije. S obzirom da smo sve b
I J<x) o (x) dx, postu-
osobine o-funkcije izvodi ti na osnovu osobina integrata
a
pićemo i sada tako. Naime, posmatrajmo izraz b
!� Jf(x)
(4)
8
�
(x + h - 8 (x)
a
dx,
gde sada pretpostavljamo da je funkcija f diferencijabi lna u intervalu (a, b), da se segment [ - h , h] · sadrži u tom intervalu, tj. da O E (a, b). Kako je b
J f(x)
8
a
t
(x + h) - B (x) dx = _!_ . h h
b
b
(Jf (x) o (x + h) dx - Jf(x) o (x) dx) a
= _!_ (f( - h) -f(O)) = h
mamo
b
lim J f(x) 8 (x + h) - B (x) dx = lim
h-->0
Ako
J
O 'f (a,
h
h-+0
(-
b), tada je izrr.z ( 4) jednak b
a
f (O) -f ( - h) , h
/ ( 0) -/ ( - h ) h
)
�
O. Uvedemo li oznaku b
lim JJ(x) S (x + h) - B (x) dx = Jf(x) o' (x) dx,
imamo (5) i stoga
{6)
h -
b
h
a
Jf(x) o' {x) dx = a
+ a:>
a
{ -j' (0), O,
ako ako
O E (a, OEf (a,
J f(x) o' (x) dx = -f' (O).
- a:>
-f' (0).
b), b),
8.1. Delta·fuokcija
243
Produžujući ovaj postupak, vidimo da se n-ti izvod o-funkcije definiše sa
b {( - l)nJ
a
ako ako
gde je f proizvoljna n puta diferencijabilna funkcija
O E (a, b) OEE ( a, b) na (a , b).
PRIMEDBA l . Treba primetiti da /).funkcija, kao ; njeni izvodi, nisu funkcij e u običnom · miJu reči, jer između o·. talog, n e znamo vrednosti ll (x), ll' (x), . . . za �vako x E R. Međutim, i po red toga, ipak znamo da izračunamo integrale
b b J f (x) ll (x) dx, J f (x) ll' (x) dx, . . . a
a
za proizvoljn u neprekidnu, diferencijabilnu, . . . funkciju f Ova činjenica će nam poslužiti prilikom definisanj a uopštenih funkcija u odeljku 8.2.
8.1 .5. Primeri primene o-funkcije Navešćemo neke primere iz kojih se vidi kako se upotrebom o-funkcije razni problemi mogu rešiti, ili bar jednostavnije formulisati. PRIMER l .
problema
Kao što je poznato (videti 2.2), GREENova funkcija (x, t )
(
)
d dy - P (x) - + Q (x) y + R (x) = O dx
(l)
dx
.......
G (x, t ) konturnog
(a< x < b)
y (a) =y (b) = O
(2) određena je us lovima:
J O G je neprekidna funkcija po x, i zadovoljava odgovarajuću homogenu j ednačinu i konturne u�Iove, o, im za X = t; 2° Izvodi G..
G" ima skok:
G.u ' u neprekidne funkcije o' im za x = t, pri čemu u tački G., (t + O, t ) - G" (t-0, t ) = -
-l
p (t )
x=t
izvod
.
U � tvari, oba ova us lova mogu se >ažeti u jedan; naime, G treba da bude rešenje ne homogene jednačine d
( oG)
- P (x) - + Q (x) G + I> (x-t) = O,
dx
Ox
u kojoj učestvuje ll-funkcija. S obzirom da se funkcija R m ože izraziti pomcću ll-funkcije: R (x) =
b J R (t ) l> (x- t ) dl,
a
na osnovu lim:arno.. ti jednačine ( l ) i principa superpozicije (videti 5.4.1 ) , neposredno zaklju čujemo da je rešenje problema ( 1 ) - (2) dato sa ( 3)
y (x)
=
b
J G (x, t) R (t) dt.
a
8. Dopune za treće izdanje
244 PRJMER
2 . Neka su a, b , j neprekidne funkcije na
·
egmentu [a, b]. Diferencijalna jednačina
y" + a (x) y' + b (x) y = f (x)
(4) sa početnim mlovima (5)
gde je x0 E (a, b) dat realan broj, obično se rešava direktno; naime, odredi 'e o ošte rešenje opštem rešenju određuju iz uslova �5). Međutim, tom rešenju može se dati oblik analogan obliku (3) rešenja konturnog problema ( 1 ) - (2). Naime, ako je (x, t ) !-+ K (x, t) rešenje (u odn osu na x) diferencijalne jednačine jednačine (4), a zatim ce proizvoljne konstante koje figurišu u tom
y" +a (x) y' +b (x) y = o (x- t ) ,
ako je K (x, t ) = O za x < t, tada je za x > x0 rešenje problema (4) -(5) dato sa y (x) =
X
J K (x, t) f (t) dt.
xo
PRIMER 3 . Kao što je poznato (videti 2.4. i 2.5.) za niz f., /2, kažemo da je ortonormiran ako je b
J
a
fm (t ) f" (t) dt=
{�
Na o movu te mobine dokazuje [e da �e koeficij enti F (x) =
( 6)
+ oo
L
k = - CXJ
• • •
neprekidni h funkcija na [a, b]
(m = n) (m #- n) Ck
u razvoju
ck fk (x)
određuju pomoću formule Ck =
b
J F (t) fk (t) dt
a
(k E Z).
Međutim, u primenama se pojavljuju i neprebroj ivi sistemi ortonorm iranih funkcija Naročito su poznati sistemi oblika { ik l k E R} ; dakle, skup indeksa je (neprebrojivi) skup svih realnih brojeva. U tom slučaju se ortonormiranost izražava pomoću delta-funkcije, naime b
J fm (t) /" (t) dt = 8 (m - n)
(m, n E R) .
a
Tada, umesto razvoja (6) imamo razvoj F (x) =
+ oo
J c1 /, (x) d t,
- oo
gde s e koeficijenti c1 određuju i z jednakosti c1 =
b
J F (x) /, (x) dx a
(tE R).
PRIMER 4. Za uopšteni izvod jedinične funkcije U uzeli smo S-funkciju (videti formulu (3) u 8.1.4). Na sličan način možemo definisati uopšteni izvod bilo koje deo po deo neprekid· ne i glatke funkcije.
8.1. Delta-funkcija
245
Pretpostavim o prvo da je funkcija /, koja ima prekid u tački X =X0, definisana sa / (x) =
{
J.. (x) J; (x)
{
/ ' (x) , J;' (x)
gde su J.. i /2 diferencijabilne funkcije. Tada za x # x0 funkcija J ima izvod / ' , pri čemu je
j, (x) =
(7)
Međutim, funkciju f možemo napisati u obliku / (x) =/1 (x) + ( /2 (x) -/, (x)) U (x- x0) ,
odakle, formalnim diferenciranjem dobijamo f' (x) =f, ' (x) + (J;' (x) -/1' (x)) U (x - x0) + ( J; (x) -J.. (x)) ll (x - x0).
Međutim, izraz
J,' (x) + ( /2' (x) -/1 ' (x) ) U (x-x0)
se poklapa sa (7), a s druge strane, na osnovu osobine ll-funkcije imamo (12 (x) -f, (x)) ll (x-x0) = ( /2 (x0)-/, (x0)) ll (x-x0) = ( / (x0 + 0) -/(x0-0)) ll (x-x0).
Stoga, ako fo' označava običan a fu' uopšteni izvod funkcije /, dobijamo fu' (x)=fo' (x) + ( / (x0 + 0) -/ (x0-0)) ll ( x-x0).
Slično, ako funkcija f ima prekide u tačkama x , , . . . , Xn, tada j e fu' (x) =fo' (x) +
n
L
k� l
(/ (xd O) -/ (xk-0)) ll (x-xk)·
PRIMER 5. Sledeći fizički problem prirodno dovodi do uvođenja ll-funkcije. Električno polje između dve paralelne ravni x = ± e, koje nastaje od negativno naelektrisane beskonačno tanke ploče u ravni x = O, iznosi
E= - Ps/( 2 �0) (za x > O),
gde je p, površinska gustina naelektrisanj a i E0 dielektrična konstanta vakuuma. Ako uzmemo da je potencijal V (O) ravni x = O jednak nuli, imamo V (x) = -
;r
j.
o
p ' x (x > O) ; E dx = 2 Eo
V (x) = -
;r
J o
pE dx = - · x (x < O). 2 Eo
Prema tome, V (x) = � i x 1 . 2 E0
Pomoću dobijene raspodele potencijala možemo izračunati ekvivalentnu zapreminsku gustinu naelektrisanja p (x) . Potencijal V (x) i gus tina naelektrisanja povezani su PotssoN ovom jednačinom. U našem slučaju to je jednodimenziona jednačina
Kako je imamo
d' V p (x) -- = - -E0 dx '
=:>
d' V p (x) = - E0 -- . dx'
d V p, p, - = - sgn x = - (2 U (x) - 1 ), d x 2 E0 2 E0
d' V Ps = - ll (x) dx2 e:0
--
=:>
p
(x)= - p,
8 (x).
8. Dopune
za
tl'fte Izdanje
PRIMER 6. Posmatr�jmo dve bliske ravne ploče u x = - a/2 i x = a/2, naelektrisane tako da su njihove površinske gustine naelektrisanja redom L p,/a i - L p,/a, gde je L konstanta . Na osnovu prethodnog primera, dobijamo ekvivalentnu zapreminsku gustinu naelek\risanja
a
Ako a -->- O, ploče se približavaju i dobija se jedna ploča. Dve strane ove ploče sa drže ista ali po znaku suprotna naelektrisanja i to tako da proizvod površinske gustine na elektrisanja i međusobnog rastoj anja, tj. mcment, ost2je konstant2 n. Prema teme, ravan x = O naelektrisana je dipolima čiji su momenti po jedinici p.wršine jednaki L p,.. Zapremin ska gustina naelektrisanja ovih dipola iznosi p (x) = L Ps li m
a--+oO
( ;) ( ;)
a x+
-a xa
L Ps 8' (x).
Kao što se vidi, p (x) je proporcionalno i zvodu B-funkcije.
PRIMEDBA 1 . Primere S i 6 redigovao je D. Đ. Tošić prema [4].
8.2. UOPŠTENE FUNKCIJE 8.2.1 . Uvod Označimo sa S skup svih realnih funkcija koje w integrabilne na svakom konačnom segmentu [a, b]. Takve funkcije nazivamo običnim funkcijama, pa je dakle, S skup svih običnih funkcija. Obične funkcije mogu se sabirati i množiti realnim brojem, tako da S čini linearan vektorski prostor. Postoje i razne druge operacije koje se mogu definisati na skupu S. Na primer, ako niz običnih funkcija /1 , /2 , konver gira ka nekoj funkcij i J, i ako za svako n E N važi l/" (x) l ::;J0 (x), gde je /0 neka određena obična funkcija, tada je i granična funkcija J integrabilna na svakom segmentu, tj. i granična funkcija f je obična funkcija. Međutim, jedna od najvažnijih operacija analize, diferenciranje, ne može se primeniti na sve obične funkcije. Zai;;ta, kao što je poznato, postoje neprekidne funkcije kao, na primer, WEIERSTRAssova funkcija J definisana sa •
(
•
•
f(x) = +.J. b" cos (a" 1t x), gde je a ceo neparan broj, O < b < l , ab > l + n=O
� 1t2)
koje nemaju izvod ni u jednoj tački ; a takođe postoje obične funkcije koje imaju izvod, ali taj izvod nije obična funkcija . Postoje i druge teškcće u vezi sa diferenciranjem. Naime, ako postoji izvod j' kao obična funkcija, kada se taj izvod integrali ne mora se ponovo doći do funkcije J, jer jednakost f(x) =f(a) +
X
J j' (t) dt
a
važi samo u slučaju kad je f apsolutno neprekidna funkcija. Sve pomenute teškoće mogu se izbeći na dva načina. Prvi je da se u radu koriste samo analitičke funkcije, ali je skup analitičkih funkcija suviše uzan za primene.
8.2.
247
Uopiteae funkcije
Stoga se pribegava drugom načinu, a to je da se proširi skup S običnih funkcija do jednog šireg skupa T u okviru koga se može definisati diferenci ranje, tako da ta operacija ima razna svojstva podesna za primene, i da se uz to, diferenciranje može primeniti na svaku funkciju iz skupa S. Pre nego što pređemo na definisanje skupa T, primetimo sledeće. Neka je cp integrabilna funkcija na segmentu [a, b] i neka je cp (x) =: O za x >b ili x < a. Takve funkcije nazivamo finitnim funkcijama. Svakoj običnoj funkciji f možemo pridružiti broj (/, tp) definisan sa (f,
(l)
?) = J f(x) cp (x) dx. - oo
Ako je funkcija J apsolutno neprekidna i ima običan izvod formirati izraz
f',
tada možemo
+ oo
(f' , tp) = J f' (x) cp (x) dx. - oo
Pretpostavimo sada da je i funkcija rp apsolutno neprekidna i da ima integra bilan izvod tp'. Tada, primenom parcijalne integracije, nalazimo +oo
+oo
(!', tp) =f( x) ? (x) !�: - J f(x) cp' (x) dx = - J f(x) cp' (x) dx, jer je
cp
- oo
- oo
finitna funkcija . Prema tome, pod navedenim pretpostavkama imamo U',
+oo
J f(x) cp' (x) dx =
- (J,
cp' ) . +oo
Međutim, i u slučaju kad izvod f' ne postoji, izraz
J f(x) cp' (x) dx
ima
smisla za svaku finit nu i ntegrabilnu funkciju cp sa integrabilnim izvodom cp'. Prema tome, i kad izvod f' ne postoji, i pak možemo da "izračunamo" integral - oo
+ oo
J f' (x) cp (x) dx, gde je cp integrabilna fin itna funkcija sa integrabilnim izvodom, isto tako kao kad bi izvod f' postojao, jer je (2)
+ oo
J f' (x) q� (x) dx = - J f(x) cp' (x) dx.
Na osnovu ovog zapažanja možemo proširiti skup svih običnih funkcija. Naime, vrednosti obične funkcije f znamo u svim tačkama u kojima je ona definisana. Ako, međutim, umesto toga znamo samo vrednosti i ntegrala (2) za razne integrabilne finitne funkcije cp , kažemo da je time definisana jedna uop Primetimo još da je formulom ( I ) definisana jedna linearna funkcionela, tj. preslikavanje koje elemente skupa S (obične funkcije) preslikava u elemente �kupa R (realne brojeve). Naravno, postoje i druge linearne funkcionele, i to će biti osnov za preciznu definiciju uopštene funkcije. šteno funkcija.
248
8. Dopune
za
treće izdanje
8.2.2. Uopštene funkcije i operacije sa njima
Svaku realnu finitnu funkciju �. definisanu na R, koja je neprekidna i ima izvode proizvoljnog reda, nazivaćemo u buduće osnovnom funkcijom, a skup svih osnovnih funkcija označavaćemo sa K. U odnosu na sabiranje i množenje brojem skup K čini linearan vektorski prostor. U prostoru K standardno se definiše operacija množenja funkcija, a operaciju konvergencija uvodimo na sledtći način. Niz osnovnih funkcija �" �2, konvergira u prostoru K ka nuli ako su sve funkcije jednake nuli izvan jednog istog segmenta [a, b] , i ako taj niz, zajedno sa izvodima proizvoljnog reda, uni formno konvergira ka nuli. Za niz osnovnih funkcija � P �2, kažemo da kon vergira u prostoru K k a funkciji tp, ako rp E K i ako niz �1 - �. �2 - � kon vergira ka nuli u K. Dajemo sada definiciju uopštene funkcije. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Definicija 1. Uopštena funkcija je proizvoljna linearna neprekidna funkcionela na prostoru K. Drugim rečima, uopšteno funkcija J preslikava skup K u skup R, i ima sledeća svojstva:
l o f (a � 1 + b �2) = af(� 1 ) + bf(�2)
2° Ako niz �1, �2,
•
•
•
(a, b = const; � 1 , �2 E K)
komwgira ka nuli u K, tada je lim f(�n) = O.
Uobičajeno jer da se broj u koji funkcionela f preslikava funkciju � označa va sa (/, � ) , pa svojstva l i 2o dobijaju oblik: o
(/, a � 1 + b �2) = a (f, � 1 ) + b U: �2). Ako niz � P �2, konvergira ka nuli u K, tada je lim (/, �n) = O . n-++ ex> •
•
•
Specijalno, ako se funkcionela f može predstaviti u obliku + co
(/, �) = J g (x) � (x) dx, . - co
gde j e g obična funkcija, tada kažemo da je J rl!gularna uopštena funkcija, dok sc u suprotnom slučaju kaže da je f singularna uopštena funkcija. Svakoj običnoj funkciji g odgovara jedna regularna uopštena funkcija /, definisana sa ( /, � )
=
+ co
J g (xh (x) dx.
Tako, na primer, konstantnoj funkciji g definisanoj sa g (x) =. 1 , odgovara tzv . uopštena jedinična funkcija. To je funkcionela koja osnovnu funkciju � preslikava u broj
+ co
J
- co
� (x) dx .
Prema tome, skup svih običnih funkcija S možemo smatrati podskupom skupa svih uopštenih funkcija koji ćemo označavati sa T. Kao što je poznato, u skupu S definisane su razne algebarske operacije, kao i operacija diferenciranje, s tim što je ova poslednja operacija uslovna. Pre nego što prenesemo ove operacije i na skup uopštenih funkcija T, prvo defini šema pojam jednako:?ti u tom skupu .
8.2. Uop§tene funkcije
249
Za d1·e uopštene funkcije J., i /2 kažemo da su jednake ako je (f., , cp) = (/2 , cp) za svaku osnol'nu funkciju cp . To znači da su dve uopštene funkcije f1 i f2 različite ako postoji jedna osnovna funkcija cp0 taha da je (..� , cp0) =f {f2, cp0) . Može se dokazati da ako su g 1 i g2 dve različite obične funkcije, tada su i odgovarajuće uopštene funkcije takođe različite, tj . da je tada =
+ oo
J
+ oo
J g2 (x) cp0 (x) dx
za neku osnovnu funkciju cp0 • To znači da je uvedena definicija jednakosti u skupu T u saglasnosti sa uobičajenom defini cijom jednakosti u skupu S . Navešćemo sada definicije raznih operacija u skupu T. Ako su J., i /2 dve uopštene fun kcije, tada je njihov zbir, u oznaci J., +f2 , definisan sa (fl + Iz , cp) = {fp cp } + (/2 , cp) ; g1 (x) cp0 (x) dx =f
- oo
- oo
to je, dakle, funkcionela koja osnovnu funkciju cp presli kava u broj (/P cp) + (/2 , cp). Slično se definiše proizvod realnog broja a i uopštene funkcije f. To je uopštena funkcija af, definisana sa (af, cp} = a (f, cp). Dalje, ako je f uopštena funkcija, i ako je g funkcija koja ima izvode proizvoljnog reda, tada je njihov proizvod definisan kao uopštena funkcija, tj. fun kcionela koja osnovnu fun kciju cp preslikava u broj ( f, g · cp). Ako g nema izvode proizvoljnog reda, tada se p roizvod funkcije g i uopštene funkcije f ne definiše. U skladu sa izlaganjem navedenim u 8.2.1 , izvod f' uopštene funkcije f definisan je sa (J', cp) = (J, - cp '); to je dakle, funkcionela koja osnovnu funk ciju cp preslikava u broj (f, - cp ' ). Prema tome, svaka uopštena funkcija ima izvod koji je takođe uopštena funkcija. Kako se ovaj postupak može ponavljati, zaključujemo da svaka uop štena fun kcija ima izvod proizvolj nog reda, pri čemu važi jednakost Osnovna pravila za diferenciranje, kao na primer (I)
(a, b = const) (q,� + bfz)' = af., ' + b/2 ' ' ' ' (gf ) gf + g f =
ostaj u u važnosti i u skupu T. Pri mera radi, izvodimo jednakost ( I ), naravno pod pretpostavkom da funkcija g ima izvode proizvoljnog reda (jer u protiv nom proizvod gf nije definisan). Imamo ((gf) ' , cp) = (gf, - cp' ) = (f, - g cp' ) = (f, - (g cp)') + ( f, g' cp) = (J', g cp) + (g ' f, cp)
odakle izlazi (I).
= (gf' ' cp) + (g' f, rp) ' = (gf ' + g J, cp),
250
8. Dopune
trKe Izdanje
za
8.2.3. Delta-funkcija kao uopštena funkcija
Delta-funkcija, u oznaci 8, je uopštena funkcija definisana �a ( 8, rp) = rp (O) ; to je, dakle, funkcionela koja osnovnu funkciju rp preslikava u broj rp (O). Ta �opštena funkcija je singularna. Zaista, pretpostavimo da postoji obič . f takva da za svaku osnovnu funkciju rp važi na funkciJa + oo
J f(x) rp (x) dx = (8, rp) = rp (O).
- oo
Specijalno, uzmi mo
( exp (- --!----,) (l x l < a), (l x l > a), lo a -x
rp (x) = � i
dobijamo
(l)
+ oo
J f(x) rp (x) dx = rp (O) = _!_ . e
- oo
Međutim, kad a -+0, tada i
+ oo
J f(x) rp (x) dx-+0,
što je u suprotnosti sa
- oo
( J ).
U odeljku 8.1 .4. (videti formulu (3) tog odeljka) definisali smo tzv. uopš teni izvod jedinične funkcije U kao 8-funkciju. Sada ćemo dokazati da je 8-funk cija zaista izvod funkcije U, definisane sa
U (X) =
{l
(x > O) O (x < O).
Za bilo koju osnovnu funkciju rp, na osnovu definicije diferenciranja, imamo (U ' , rp) = (U, - rp ' ) = -
+ oo
J rp' (x) dx = rp (0) = (8, rp),
o
odakle izlazi U' = rp . Time je opravdana jednakost U ' = 8 , koju smo koristili ranije. Naravno, ovde je rLč o izvodu kako je definisan za uopštene funkcije, jer je izvod fun kcije U u običnom smislu jednak O za X oF O, dok za x = O ne postoji. Kako je 8-funkcija uopštena funkcija, ona ima izvode proizvoljnog reda. Zaista, imamo (o', rp) = (a, - rp') = - rp' (O), pa je izvod o' funkcionela koja osnovnu funkciju rp preslikava u broj - rp' (O). Neposredno se izvodi jednakost (n E N)
kojom je definisan n-ti izvod o-funkcije.
8.3. Iz istorije 8-funkcije i uop§tenih funkcija
251
8.3. IZ ISTORIJE S-FUNKCIJE I UOPSTENIH FUNKCIJA U članku [2] Š EJNIN je utvrdio da je S-funkciju koristio još LAPLACE u svom ranom radu iz verovatnoće [3] . Naime, LAPLACE je jedan zakon raspodele verovatnoće pisao u obliku ) (tx x = O) y = cp (tx X = O (tx x o;i: O)
{q
gde
q-+ + oo , kad tx-+0, pri čemu je + oo
J
cp (t) dt = const
( = l , na primer).
- oo
U svojim kasnijim radovima LAPLACE se nije vraćao na 8-funkciju, p a se njeno pojavlj ivanje u matematičkoj literaturi obično Vf:zuje za CAUCHYa i PmssoNa, kao što je, na primer, navedeno u knjizi [4] . U stvari, obojica su 1 8 1 5 . godine, prilikom izvođenja FouRIERove integralne teoreme, upotrebljavali funkciju J de finisanu sa
koja se od 8-funkcije razlikuje samo za multiplikativnu konstantu. Kasnije , 1 8 82. godine, KIRCHHOFF je formulisao HUYGENSOV princip talasnoj teoriji svetlo$ti uz pomcć funkcije J, definisane sa
U
J(x) _!:____ e- /..2 x2, v'1t =
pri čemu J.. -+ + oo , a ta granična vrednost je upravo 8-funkcija. Delta-funkciju je koristio i HEAYISIDE u svojoj knjizi [5], i za nju je re kao: "Ova funkcija izdvaja jednu određenu vrednost proizvoljne funkcije, zbog svoje impulsivnosti" . U novije vreme 8-funkcija je posebno postala značajna zbog primena u kvantnoj mehanici, kojima se naročito bavio DIRAC [ 1 ] , i stoga se ona često Z0ve DIRAcova funkcija. Ka') što smo istakli ranije, 8-funkcija, uvedena kao oznaka, nije funkcija u običnom smislu reči . Međutim, pokazalo se da se sa njom može raditi kao sa običnom funkcijc·m, pri čemu se dolazi do tačnih rezultata. Ova činjenica navela je matematičare da pokušaju da striktno zasnuj u o- funkc ij u , i pojam uopštene funkcije je rezultat tih pokušaja. Ali i nezavisno od 8-funkcije, u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina pojavila se potreba za uopštenjem pojma rešenja (tj. funkcije i izvoda funkcije). Tako, na primer, opšte rešenje jednačine žice koja treperi (l) dato je sa (2)
u (x, y) =J(x + y) + g (x - y),
gde su J i g proizvoljne dva puta d iferencijabilne funkcije. Međutim, u mnogim problem ima, na primer u problemima prekidnog talasnog kretanja, korisno je smatrati da je (2) rešenje jednačine ( l) i kad funkcije J i � nisu dva puta di-
8. Dopune
za
� Izdanje
ferencijabilne, što dovodi do pojma uopštenog rešenja. Takva rešenja se pojav ljuju na primer u radovima LERAYa [6], BocHNERa [7] i u CoURANTovoj knjizi [8], pod imenom " slaba rešenja" . U vezi sa tim treba primetiti da se može definisati uopšteno rešenje u jednačine ( l ), a da se pri tom ne definišu izrazi uu i u> posebno. S druge strane, SoBOLJEV [9] je i spitivao "uopštene izvode" Y pn likom rešavanja CAUCHYevog problema za l inearne hiperboličke jednačine. Sve ove i mnoge druge okolnosti dovele su do pojma uopštenih funkcija. Teoriju uopštenih funkcija (distribucija) u današnjem obliku .razradio je ScHWARTZ u svojoj monografij i [ 1 0] . Nekoliko važnih monografija o uopštenim funkcijama ([ l l ], [ 1 2] , [ 1 3]) napisali su sovjetski matematičari. PRlMEDBA l . MtKUSINSKI
i
Postoji i drukčiji, više algebarski, pristup uopštenim funkcijama koji ' u za novali StKORSKI (videti, npr. [14)
PRIMEDBA 2. Nedavno je objavljena knjiga [1 5j koja j.:: posvećena istoriji uopštenih funkcija. U prikazu [ 1 6] ove knjige DIEUDONNE tvrdi da je autor razmatrao neke radove koji nisu u vezi sa počecima ove teorije, dok je prevideo mnoge radove koji �u za tu teoriju važni.
8.4. LITERATURA l . P. A. M. DIRAC: The princip/es of quantum mechanics. Oxford 1 930. lliEAHHH: o nĐRtiAeHUU OeAbma-c/JyHKU,UU t(upaKa 8 mpyi)ax n. e. JlanAaca. HcTo· pHKO·MaT. HCCJlep;oBaHHll 20 (1975), 303-308. 3. P. S. LAPLACE: Memoire sur les probabilites. Oeuvres completes, t. 9. Paris 1 893, pp.
2. o. fi.
383-485.
4.
B. VAN DER PoL, H. BREMMER:
5. O.
6. J. 7.
Operational ea/cu/us based on the two-sided Laplace integral.
Cambridge 1 950. HEAVISIDE:
1 922. LERAY :
Electromagnetic Theory, vol. II. London 1 893 ; ponovljeno izdanje: London
Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace. Acta Math. 63 (1934),
193-248.
S. BOCHNER:
Linear partial di/ferential equations, with constant coefficients. Ann. of Math.
47 ( 1 946), 202-2 12.
8 . R . CoURANT, D. HlLBERT : Methoden der Mathematischen Physik. t.
2. Berlin 1 937. Ruski YpaBHeHUR o 'lacmHblMu npouJBOUHblMU. Mocxaa 1 964. s. L. SoaOLEV: Mithode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperbo/iques norma/es. Matem. Sb . 1 (43) (1936), 39-72. L. ScHWARTZ: Theorie des distributions 1-//. Paris 1 950-1951. H . M . rE.Jlb4> AH)l;, r . E. lliHJIOB: 06o6UJeHHble l)JyHKU,UU u i)eucmBUR Hai) HUMU, MocKBa 1 959. H. M. rEJib4>AH)l;, r. E. lliHJIOB: llpocmpaHCmBa OCHOBHblX u OOOOUJeHHblX l)JyHKU,UU. MocKBa prevod: P.
9. 1 0. Il.
1 2.
KYPAHT:
1 958.
rEJlb4>AH)l;, r. E. lliHJIOB: HeKomopble Bonpocbl meopuu i)uljJl)JepeHu,uaAbHbiX ypaBHeHuU. Mocxaa 1 958. 14. J. MIKUSINSKI, R. SIKORSKI : The elementary theory of distributions, 1-//. Rozprawy Mat. ll (1957), 1-54 i 25 (196 1 ), 1 -47. 1 5. J. LOTZEN : The prehistory of the theory of distributions. New York-Heidelberg-Berlin 1 982· 1 6. J. DIEUDONNE: Review. Amer. Math. Monthly 91 (1 984), 374-379.
1 3 . H . M.
INDEKS IMENA
ABEL, N.H. ( 1 802-1 829) 1 1 9 ALEMBERT, J.R. D' ( 1 7 1 7-1783)
233
AUANČIĆ, S. ( 1922) 80, 2 1 8 AMPERE, A . M . ( 1 775-1 836) ARAMANOVIČ, I .G. 44, 21 1 )uRSENIN, V. JA. 236 )uRsENović, M. P. ( 1 930) 54
FIHTENGOUC, G. M.
( 1768-1 830) V, 24, 66-69, 72-74, 1 SS-1 S6, 1 S9, 1 72, 209, 220, 221 236, 2Sl FREDHOLM, J . ( 1 866-1927) V, 9S-98, 101, 1 06-108, l i O, 121' 1 24, 2 1 8 235 FRESN EL, A. ( 1 788-1 827) 1 7
1 29- 1 3 1
BIEBERBACH. L. ( 1 886-1 982) 80, BLANC, CH. 80 B6cHER, M. (1 867- 1 9 1 8) 80 BocHNER, s·. (1 899- 1 982) 252 BOLZA, 0. 94 BREMMER, H. 44, 252 BRAND, L. 54 BROMAN, A. 232 BURGATTI, P. 148 BURKILL, J. C. ( 1 900)
211
GALILEI, G . ( I S64-1 642) 86 GELJFAND, I. M. ( 1 9 1 3 ) 2S2 GHERMANESCU, M. 21 1 GoURSAT, E. ( l 8S8-1936) 106,
72-73.
1 26, 1 3 1 - 1 32, 1 S7, 1 68, 1 70- 1 7 1 , 1 95, 21 1 GREEN, G. ( 1 793- 1 841) V, 48-S4, ss, 71-73, 7S-76, 91, 107, 1 S9-1 60, 1 79, 186-l !l7, 192 243
21 1
S. (1865-1963 ) 94; 102, 1 04, 1 67-168, 2 1 1 , 2 1 4, 234, 23o HAMEL, G. ( 1 877-1954) 1 26 HAMMERSTEIN 97, 1 1 9 HANKEL, H . ( 1 839-1 873) 220. 222-224. 226 HEAVISIDE, 0. ( 1 850-1 92S) 241 , 25 1 , 2S2 HERMITE, CH. (1 822-1901) 42, 44, 228 HILBERT, D. (1862-1943) 94, 1 26, 21 1 , 2S2 HoRN, J. ( 1 867) 80 HUMBERT, P. 44 HAAG, J. 200 HADAMARD, J.
80
CARIUER, G. F. 226 CAUCHY, A . L . (1 789-1857)
44, 46--47, 73, 1 20 1 3 1 , 1 34, 1 39, 1 4 1 , 1 50, 1 52, 1 60, 1 64: 1 67- 1 68, 188-190, 2 1 1 , 2 1 5, 2 1 7-21 8. 232, 233, 234 ' 25 l ' 252 CHARPIT, P. 1 36-138, 1 96-197 CHURCHILL, R . V . 44 CLAIRAUT, A.C. ( 1 7 1 3-1765) 1 28 COLLATZ, L. ( 1 9 1 0) 80 COLOMBO, S. 226 COURANT, R. ( 1 888--1 972) 94, 1 26, 2 1 1 , 234 236, 251
INCE, E . L . ( 1 89 1 - 1 94 1 ) 80 JACOB!, K.G.J. ( 1 804-1 8S1) JAEGER, J.C. 44
KAMKE, E. (1890-1961 ) 80 ( 1 945} v. 148, I SO, 1 53, 200
232
KIRCHHOFF, U . R. (1 824-1 887) 1 67, Ko�ELEV, A . l . 1 26 KRASNOSEUSKI, M. A . (1920) 126 KRiwv, A . N . (1 863-1 94S) 92, 21 1 KROOK , M. 226
DIRICHLET, P.G. LEJEUNE-
( 1 805-1 859) 24, 91, 1 8 1-191, 194, 225. 23 1 , 234 DoETSCH , G. (1 892) 44 DoNDER, T. DE 94 DuSCHEK, A. 2 1 1
LAG RANGE , J.L.
2SJ
(1 736-1 8 1 3) 83-88, 1 30-1 32, 1 35-1 36, 196-197 LAGUERRE, E. ( 1 834-1886) 35, 66, 231 LAPLACE, P.S. (1 749-1827) V , l , 3-5, 7, 16, 18, 20, 24-2S, 28-30, 32, 34, 36--37, 42--43, 9 1 , 108, 1 14, 1 1 9 , 1 45--1 48. 1 50, 1 S3-1 55, 1 80, 1 83, 1 89- 1 9 1 , 194, 206, 2 1 1 , 220, 224-226, 23 1 , 234, 2S1, 2S2 LAURENT, P.A. ( 1 !: 1 3- 1 8S4) 106 LEGENDRE, A.M. (17S2-1 833) 66, 1 35-1 36, 1 96-197. 230 LERAY, J. (1 906) 2S2
E . (1 909- 1967) 44, 94
EuJWD (365?-300?) 2 1 7 EULER,
L . (1707-1783) 1 7, 77, 83-91, 93, 1 39-140, 143, 146, 1 83
FEMPL, S. (1903) 94 FIBONACCl, L. (oko
1 37
KEč K IĆ , J.D.
DARBOUX, G . ( 1 842-1917) 1 3 1-1 32, 1 46 DAVIS, H.T. 2 1 1 DIRAC, P. A. M. ( 1 902-1 984) 237, 251 , 252
ELSGOLC, L .
( 1 888-1 9S9) 1 74
A. R. ( 1 8S8-1 942) 94, 1 31 - 1 32,
FouRIER, J.B.J.
BANACH, S. ( 1 892-1945) 2 1 6-21 8 BATEMAN, H . ( 1 882- 1 946) 21 1 BERNOULLI, J. ( 1 654-1705) 86 BESSEL, F.W. (1 784-1846) 20, 4 1 , 69,
1 64, 209
FORSYTH,
1 03, 1 39, 141,
1 1 70-oko 1 228) 235 253
Indeks imellll
254. ( 1 909) 2 1 1
LIE, s. ( 1 842- 1 899) 1 32 LIOUVILLE, J. ( 1 809- 1 8 8 1 ) V, 45-47, 57, 6 1 , LI:YIN, Y . l .
63--68, 72-74, 76--7 8, 1 07, 1 5 5
LuNe, G.L. 44
1 50, 2 1 1
( 1 854- 1 933) 24, 220-222, 225 MIHLIN, S .G. 1 26, 21 l MIKUSINSKI, J. 252 R.
MILLER, F.H. 21 l MINKOWSKI, H. ( 1 864- 1 909) 70-7 1 MITRINOVIĆ, D.S . ( 1 908) V-V J , 44 , 1 4 1 , 200
G.
MoRozov, V. A. 236
MoNGE,
( 1 746- 1 8 1 8)
1 27,
1 29-- 1 30
NAGY, B.Sz.- ( 1 9 1 3) 1 2 6 NEUMANN, K. G. ( 1 832- 1 925) 1 87-1 89
ouoFF, e. ( 1 907) 1 32 0STROGRADSKI, M. V. ( 1 80 1 -1 8 6 1 ) 9 1 , 94, 1 80
PARSEVAL, M. A. ( 1 755- 1 836) 72 PEARSON, e. E. 226
PERČINKOVA, D. (1925) 80 PETROVIĆ, M. ( 1 868-1943) 80 PETROVSKI, l. G. ( 1 90 1 - 1 973) 1 26, 1 57 , 2 1 1 PlCARD, E . ( 1 856- 1 94 1 ) 80, 2 1 1 PICONE, M . ( 1 885-1 977) 5 9 PIPES, L.A. 44
PLANCK, M. K. E. L. ( 1 858-1 947) 227 POISSON, S.-D. ( 1 78 1 - -1 840) 89-90, 9 1 , 1 84 .
1 9 1 , 1 94 , 2 10,
POL,
B. VAN DER
251 ( 1 889-1 959) 43, 252
RA KOVŠČIN, L.S. 1 26
B. (I 9 1 7) 1 32, 1 38 RrEMA N N , B. ( 1 826-- 1 866) v. 24. 101-1 02. 1 57, 1 60, 1 64, 1 67, 1 88, 1 90
RAŠAJSK I ,
RlQUIER, C. ( 1 853-1 929) 1 50 RITZ, w. ( 1 878-1 909) 9 1 ROLLE, M . ( 1 652- 1 7 1 9) 56---57 SALTI KOV,
MARTINENKO, V.S. 44 McLACHLAN, N.W. 44
MELLIN,
RIESZ, F. ( 1 880-- 1 956) 1 26
N. (1 872- 1 96 1 ) 1 3 1 -1 32, 1 48,
SAMARSKI, A . A. ( 1 9 1 9) 2 1 1 SCHRODINGER, E. ( 1 887- 1 961 ) 227, 228, 229 SCHWARTZ, L. ( 1 91 5) 226, 252 ŠEJNIN, o. B. 2 5 1 , 252 SIKORSKI, R. 252
ŠILOV, G. E. ( 1 9 1 7- 1 975) 2 5 2 SMIR 'IOV, M . M. 2 1 1 SMIRNOV, V. J. ( 1 887- 1 974) 126, 2 1 1 S N FDDON, LN. 2 1 1 SOBOLEV, S.L. ( I 'J08) 2 1 1 , 252 SosTAK, R. JA. 44 STECENKO, V. JA. 1 26 STEKLOV, V.A. ( 1 863-1 926) 1 56- 1 57 STURM , J. CH. F. ( 1 803-1 855) V, 45, 47, 57, 6 1 , 63-68, 72-74, 76--7 8, 107, 1 55 TEDONE, 0. 1 67 TAYLOR, B. ( 1 685-1 73 1 ) 1 52 TIHONOV, A.N. ( 1 906) 2 1 1 , 236 TOŠIĆ, D.Đ. ( 1 932) 246
VALIRON, G . ( 1 884-1959) 80, 2 1 1 VOLTERRA, V. ( 1 860-1 940) V, 95, 107--1 09,
1 1 1 - 1 1 3,
1 26,
1 57. 1 64, 167, 2 1 9
WAGNFR, K.W. 44 WEIERSTRASS, K . l . ( 1 8 1 5-1 897) 214, 246 WIDDER, D.V. ( 1 898) 44 WRONSKI, J . M . HOENE- ( 1 778-1 853) 5 1 WYLIE , C.R. 44 ZABREIKO, P.P.
1 26
PREDMETNI INDEKS
ABELova integralna jednačina 1 19 o'ALEMBERTOV kriterijum 103 o'ALEMBERTova formula 1 39, 141 AMPEREova jednačina 1 3 1
finitna funkcija 247 FREDHOLMova alternativa 97, 101-106, 121 FREDHOLMova integralna jednačina 95-106,
108, 1 10, 21 9-220
- druge vrste 95, 98-107 - i STURM-LIOUVILLEOv problem 107 - metod sukcesivnih aproksimacija 98-101 - prve vrste 95 - sa degenerisanim jezgrom 96-98 FOURIEROV integral 24 - kompleksan oblik 24 FOURIEROV metod razdvajanja promenljivih
BANACHov stav o nepokretnoj tački 217-219 BESSELova funkcija prve vrste 1 64, 209, 220 BESSELova jednačina 1 64 BESSELova nejednakost 68-69, 72-73 beta funkcija 37 biharmonijske funkcije 192 biharmonijska jednačina 192-195 bilinearna transformacija 190, 191 brahistohrona 86--87
155-157
FOURIEROV red 67, 74, 1 72, 209 - dvostruki 202 - konvergencija u srednjem 69-72 - uniformna konvergencija 73-74 FouRIERova transformacija 220-221, 223 FOURIERovi koeficijenti 67-68 funkcija rastojanja 217 funkcionela 81
CAUCHYev niz 218 CAUCHYev problem 1 50, 1 60, 164, 167-168 CAUCHYeva formula 1 89 CAUCHYeva nejednakost 73, 216 CAUCHYevi uslovi 46 CAUCHYevo rešeQje kvazilinearne jednačine
Gama funkcija 4, 214 GouRSATov problem 1 57, 1 68-171 GouRSATove bianalitičke funkcije 195 GoURSATOVO rešenje 1 68 GREENova formula 91 , 1 59, 179-180 GREENova funkcija 48, 72, 107, 1 86-- 1 87 - definicija 50 - konstrukcija 5 1 -52, 75-76 - uopštena 5 5 - Ul obične diferencijalne jednačine 50 - za parcijalne diferencijalne jednačine
1 34-1 35
CAUCHY-RIEMANNOVe jednačine (uslovi) 1 88,
1 90
CHARPITOV sistem jednačina 1 37-1 38 cikloida 87 CLAIRAUTova jednačina 128 Delta-funkcija 237-246, 250--2 52 diferencijalno-diferencne jednačine 33 DIRICHLETOV problem 1 8 1 , 1 88-1 92 - unutrašnji 1 81 -1 83 - unutrašnji za sferu 1 85-186 - za krug 1 83-1 85, 1 90-1 91 , 194 - za poluravan 191 DIRICHLETOVi uslovi 24, 37 drugi konturni problem 187
1 86- 1 8 7
GREEN-RIEMANNova
funkcija
1 60
HADAMARoova nejednakost 102, 104, 215-216 HAMMERSTEINOVa integralna jednačina 97, 1 19 HANKELova transformacija 220, 222-224,
226
HEAVISIDEOVa funkcija 241
harmonijske funkcije 1 80-181
HERMITEOV polinom 44, 228 HERMITEova diferencijalna jednačina 42-44,
diferenciEgzistencija rešenja integralnih jalnih jednačina 219 ekstremala 82 ekstremum funkcionele 81, 87-88, 91 - koja sadrži izvode višeg reda jedne ne poznate funkcije 88-90 - koja zavisi od funkcije dve promenljive
228
Iglasta funkcija 237-238 integra lna jednačina 95-126 - FREDHOLMOVa 95-108, 1 10, 219-220 - FREDHOLMova sa degenerisanim je:o�:grom
90-91
- više promenljivih 87-88 EULERova jednačina 93, 140-141 , 143 EULERova konstanta 17 EULER-LAGRANGEOVa jednačina 83--88 EULER-0STROGRADSKieva jednačina 91 EULER-POISSONOVa jednačina 89-90
96--98
- HAMMERSTEINova 97, 1 1 9 - homogena 95, 97, 106 - iterirana jezgra 99 255
156
Predmetni indeks
- nehomogena 95, 97, 106 - singularna 1 1 2-1 14 - YoLTERRAova 95 - YoLTERRAOva prve vrste 1 1 1-1 12 Integralna transformacija 220 integralni kosinus 17 integralni sinus ·17 integralni kosinus FRESNELa 17 integralni sinus FRESNELa 1 7 integro-diferencijalne jednačine 168 mvarijante - eliptičke jednačine 1 48 - hiperboličke jednačine 1 46 inverzna LAPLACEova transformacija 24-28 - tablica 26-2 8 Jedinična funkcija 241 - uopšteni izvod 242 jednačina, - ABELova integralna 1 1 9 - biharmonijska 1 92- 1 9 5 - BESSELova 1 64 - CLAIRAUTova 1 28 - diferencijalna 28-33, 34-35 , 40-4 1 ,
42-44, 45-80,83-89, 1 07, 1 1 2-1 1 3, 22 1 - diferencijalno-diferencna 3 3 -- eliptičkog tipa 1 79-1 95 - EULERova 93, 1 40-14 1 , 1 43 - EULER-LAGRANGEova 83-88 - EuLER-0STROGRADSKieva 9 1 - EULER-POISSONova 89-90 - FREDHOLMOVa 95- 1 08 , I J O, 2 1 9--220 - HAMMERSTEINova integralna 97 , 1 1 9 - hiperboličkog tipa 1 57-1 7 1 - integralna 95-126, 2 1 9-220 - integro-diferencijalna 1 68, 1 70--1 7 1 - LAGUERREOVa 35 - LAPLACEOVa 9 1 , 1 47--148, 1 80, 1 89-1 92.
194, 224, 225, 231 MONGE-AMPEREOva 1 29- 1 30 paraboličkog tipa 1 50, 1 7 1 - 1 79 parcijalna 1 27-2 1 1 poliharmonijska 1 95 PoissoNova 2 1 0 provođenja toplote 171-179, 223, 2 26 u n'!ograničenoj trodimenzionalnoj oblasti 1 75-176 - u neograničenom štapu 1 7 1 -1 73 - u poluograničenom štapu 1 74 - sa pomerenim agumentorn 33 - telegrafska 1 60- 1 64 - žice koja treperi 94, 1 32, 1 39, 157-1 59, 232, 233 jezgro integralne jednačine 95
-
Kanonični oblik 45, 1 42- 1 45 karakteristične funkcije 62 karakteristične vrednosti 62 konformno preslikavanje 1 89- 1 9 1 konormala 165 konturni problemi 47 - homogeni 47 konturni uslovi 47 konvergencija u srednjem 67-74 konvolucija 1 1 - 1 3, 1 08
korektno postavljen problem matematičke fizike 232-234 kvazi linearna Jednačma 1 34-1 35 LAGRANGE-CHARPITOV 1 96-1 97
metod
1 36-1 37,
LAGRANGEOva teorij:� integrala 1 35-1 36 LAOtJERREov polinom 66 - generalisani 231 LAOUERREOVa funkcija 66 LACiUERREova jednačina 35 la nčanica 85
LAPLACEOV integral )
- ko · vergcncija 1 -4 - - uniformna ko nve r ge nc ij a 3 LAPLACEova jednačina 9 1 , 1 47 - 1 48, 1 80, 1 89 - -1 92, 194, 224, 225. 2 3 1 LAPLACEova teorija 1 45-148, 1 50 LAPLACEo va transformacija 1 -43, 1 08-1 09, 1 1 4, l l 9, 220, 226 - d i ferenciranj e 7 - cks ponencijalnc fu r� k c ij e 4-5 - funkcije koje nisu defini�ane jednim ana l i t ičkim i z ra zo m 1 3- 1 5 - generalisana 4 3 - i ntegraljcnje 8 - i nverzna 24--28 - o d ređi vanje 1 6-23 - osnovna svojstva 5- 7 - period ične funkcije 7 -- potencijalne fun kc ije 4-5 - pri m:!ne 28-42, 1 53-1 55 - tabl ica 20-23 LAURENTOV red 1 06 LEGENDREOV pol i no m 66, 230 LEOENDREOVC funkcije 230 l i nearna superpozicija t 55 l i n�ar na parcijalna jednačina -- homogena prvog reda 1 32-1 34 - opšta drugog reda 1 48-1 50 - osobine 1 55 - sa konstantni m koefic ijent i ma 1 5 1 -- 1 53
MELLINova transformacija 220-222, 225 Mesovi t i opšti i ntegral 1 3 1 metod s ukces i v n i h aproksi macija 1 09-1 1 1 , 1 68- 1 70 metrički prostor 2 1 7-21 8 - kompletan 2 1 8 MtNKOWSKieva nejednakost 70--7 1 MONOE-AMPEREOva jednačina 1 29-1 30 MONOEove oznake 1 27
Nepotpuna gama funkcija 36 nesvojstveni integrali sa parametrom 2 1 3-2 1 4 NEUMANNOV problem 1 87-1 89 - u ravni 1 87 - u prostoru 1 89 nule rešenja 56-6 1 numerička funkcija 8 1 Opšte rešenje 1 30-1 34, 1 36, 1 38 original LAPLACEOve transformacije l , 9-10, 1 2- 1 3
ortogonalne sopstvene funkcije 65, 7 1
Predmetni indeks ortonormi rane funkcije 65, 68 oscilovanje rešenja 57-59 oscilatomo rešenje 58 osnovna funkcija 248 0STROGRADSKJeva formula 94, 1 80
Parcijalna diferencijalna jednačina 1 27-271 -- · drugog reda 1 30--1 32, 1 48-1 50 - formiranje 1 28- 1 30 - klasifikacija 1 27, 1 42 - opšti metodi 1 39- 1 55 - prvog reda 1 30--1 38 - reda m 1 27
- rešenje 1 27, 1 30-- 1 32 - vrste rešenja 1 30- 1 32 PARs::vALova jednakost 72 PotssoNov i ntegral 1 94 PotssoNova jednačina 94, 210 poliharmonijsk.a jednačina 195
poli nom - LAGUERREOV 66 - LEGENDREOV 66 potpuno rešenje (integral) 1 30--1 32, 1 36 primena LAPLACEOve transformacije, na linearne diferencijalne jednačine sa kon stantnim koeficijentima 28-30, 3 1 -33 - diferencijalno-diferencne jednačine 33-34 - linearne diferencijalne jednačine sa promenljivim koeficijentima 34-35 - sisteme linearnih difencijalnih jednačina sa promenljivim koeficijentima 30-31 problem i s a sopstvenim vrednostima 47 Raspored nula rešenja 59-6 1 rezolventa 1 00 RIEMANN-MELLINova teorema 24-25 RlEMANNOV metod 1 59-167 RlEMANNOVa suma 1 0 1-102 Rnzov direktan metod 91-93 -
SCHRODtNGERova jednal!ina 227 232 - za harmonijski oscilator 227-228 - za kretanje elektrona 229-23 1 sferna funkcija 230
257
Smgularno rešenje 1 36 �lika LAPLACEove transformacije l . 9-- 10 sopstvene funkcije 6 1 -62 - osobine 63-66 - razvijanje u red 66--74
sopstvene vrednosti 62-64, 95, 97 spec ij alne funkcije 214-21 5 spektar 62
STURM-LIOUVILLEov oblik diferencijalne jednačine 45 SruRM-LIOUVILLEov problem 63, 65 - i FREDHOLMova jednačina l 07 STURM- LJOUVILLE ova jednačina 45 STURMova teorema 76 STURMovi uslovi 47
Telegrafska jednačina 1 60-1 64 teorema o diferenciranju originala 7 - o diferenciranju slik.e 8 - o integraljenju originala 8 - o integraljenju slike 8-9 - o konvoluciji 1 2-13 - o linearnosti 5 - o slično�ti 6 U opštena funk cija 246-252 - regularna 248 - singularna 248
Varijacioni raču n 81-94 VOLTERRaOV metod 1 64-168 VOLTERRAova integralna jednačina 107-1 14,
220-221
- druge vrste 1 08, 1 1 1-1 13 - primena LAPLACEove transformacije 108-
-109
- prve vrste 1 08, 1 1 1 -1 1 2 - treće v rs te 1 1 2 WEIERSTRASSOVa teorema 215 WRONSKian 51
