Knotenorientierte Verfahren der Netzberechnung

Knoten orientierte Verfahren der Netzberechnung von Dr.-lng. habil. Bernd R. Oswald Professor an der Universität Hannover Zweite, erweiterte Auflage der Erstausgabe 1999

1

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Leipziger Universitätsverlag 2000

1

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1

j){L (Ö.21.

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Einführung

5

1/!92f Teil 1: Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände Gleichungen der Betriebsmittel

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Oswald, B. R.: Knotenorientierte Verfahren der Netzberechnung/ von Bernd R. Oswald. 2., erw. Aufl. - Leipzig: Leipziger Univ.-Verl., 2000 ISBN 3-934565-51-4

2

Knotenspannungs-Zweigstrom-Analyse (KZA)

3

Modifiziertes Knotenpunktverfahren (MKPV)

4

Knotenpunktverfahren (KPV)

5

Dreipolige Darstellung

6

Nachbildung von Kurzschlüssen und Unterbrechungen

9

10 11 12 14 14

Teil 2: Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Druck: APRESYS GmbH, Leipzig ISBN 3-934565-51-4

1 2 3

Modifiziertes Knotenpunktverfahren (MKPV)

4

Erweiterung auf das Dreileitersystem

5 6

Fehlernachbildung im EKPV

7 8 9 10

Gleichungen der Synchronmaschine für das EKPV

Gleichungen der Betriebsmittel

Erweitertes Knotenpunktverfahren (EKPV)

Berechnung von Netzeigenwerten nach dem EKPV

Gleichungen der Transformatoren für das EKPV Power-System-Descriptor (PSD) Differenzenverfahren

Literatur

27 28 30 40 42 52 60 68 86 91

106

1

Einführung Bei der Berechnung eines allgemeinen Netzwerkes mit n unabhängigen Knoten und m Zweigen treten 2m Unbekannte, nämlich m Zweigspannungen und m Zweigströme auf. Das Prinzip der knotenorientierten Netzberechnung (KON) besteht darin, Netzgleichungssysteme ausschließlich auf der Grundlage der Knotenpunktsätze zu formulieren. Die Knotenpunktsätze sind ein Sonderfall einer fundamentalen Schnittmenge, die zu einem fiktiven trivialen Baum, einem Knotenbaum gehört. Ein Knotenbaum ist ein Baum, der vom Bezugsknoten zu jedem Knoten führt. Wenn zwischen einem Knoten und dem Bezugsknoten kein Zweig vorhanden ist, wird ein Nullzweig angenommen, der später ohnehin wieder herausfällt. Oie Knotenpunktsätze werden mit Hilfe der Knoten-Zweig-/nzidenzmatrix K in der Form K i = O geschrieben. Die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix enthält die Information über die Struktur (Topologie) des Netzes und läßt sich leicht aus einer Knoten-Zweig-Liste aufstellen. Praktisch ist damit für die Formulierung der Knotenpunktsätze kein Baum erforderlich, so daß man völlig ohne solche topologische Hilfsmittel auskommt, worin der wesentliche Vorteil der knotenorientierten Netzberechnung besteht. Bei der knotenorientierten Netzberechnung treten im Vektor der Unbekannten die Knotenspannungen UK an die Stelle der Zweigspannungen, worin ein weiterer Vorteil der knotenorientierten Netzberechnung zu sehen ist, da sich der Netzberechner vordergründig für die Knotenspannungen interessiert (Berechnung der Spannungsabfälle, Leistungsberechnung u.a.). Die Zweigspannungen können jederzeit aus der trivialen Beziehung der Netzwerktheorie u = KT UK erhalten werden, wobei KT die transponierte Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix ist. Als grundlegende Verfahren der knotenorientierten Netzberechnung sind die Knotenspannungs-Zweigstrom-Analyse (KZA), das Knotenpunktverfahren (KPV) und das modifizierte Knotenpunktverfahren (MKPV) bekannt. Für die Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände in Elektroenergiesystemen lassen sich die Differentialgleichungen der speicherbehafteten Netzzweige (Lund C-Zweige) in Zeigergleichungen überführen. Diese können entweder als Stromoder als Spannungsgleichungen formuliert werden. Auf die Zeigergleichungen sind alle drei oben genannten Verfahren der knotenorientierten Netzberechnung anwendbar. Gewöhnlich wird jedoch das Knotenpunktverfahren bevorzugt, weil es ein Netzgleichungssystem geringster Ordnung erzeugt. Unter einem Netzgleichungssystem soll i.f. der Teil des gesamten Gleichungssystems verstanden werden, der die Verknüpfung der Netzzweige in Form von Beziehungen zwischen den Knotenspannungen enthält, in dem also die Knotenspannungen als Unbekannte vorkommen. Den größten Rechenaufwand verursacht immer die Lösung des Netzgleichungssystems. Der Rest des Gleichungssystems besteht lediglich aus Zweiggleichungen, deren Lösung wesentlich weniger aufwendig ist. Das Netzgleichungssystem des Knotenpunktverfahrens hat die Ordnung n (Anzahl der unabhängigen Knoten) und enthält als Unbekannte lediglich die Knotenspannungen. Das KPV hat damit das minimale Netzgleichungssystem aller drei genannten Verfahren. Da sich aus den Knotenspannungen alle Zweiggrößen relativ einfach ergeben, bezeichnet man den Vektor der Knotenspannungen auch als Zustandsvektor (nicht zu verwechseln mit einem Zustandsvektor bei der Berechnung nichtstationärer Vorgänge). Außerdem ist nur beim KPV die Koeffizientenmatrix, von einigen Ausnahmen abgesehen, symmetrisch. Da die Koeffizientenmatrix wie auch bei den

J

6

Einführung

beiden anderen Verfahren schwach besetzt ist, ist das KPV äußerst effizient. Hinzu kommt noch, daß für viele Untersuchungsziele (z.B. Untersuchung des Spannungsprofils) die Zweiggrößen nicht oder nur teilweise interessieren, so daß der Aufwand für die Auswertung der Zweiggleichungen ganz oder teilweise entfällt. Die beiden anderen Verfahren der knotenorientierten Netzberechnung (KZA und MKPV) haben im Netzgleichungssystem neben den Knotenspannungen noch Zweigströme als Unbekannte. Bei der Knotenspannungs-Zweigstrom-Analyse sind alle Zweigströme im Vektor der Unbekannten des Netzgleichungssystems vertreten, womit dieses auch die maximale Ordnung m+n hat. Dafür sind aber keine zusätzlichen Zweiggleichungen zu lösen. Beim modifizierten Knotenpunktverfahren kommen neben den Knotenspannungen nur ein Teil der Zweigströme im Vektor der Unbekannten des Netzgleichungssystems vor. Es handelt sich dabei um Ströme von Zweigen, deren Gleichungen sich nicht nach den Strömen auflösen lassen (nichtlineare Zweige) oder um Ströme von idealen Spannungsquellen, die nicht zwischen einem Knoten und dem Bezugsknoten liegen, oder um Ströme von stromgesteuerten Stromquellen sowie um die Ströme von Kurzschlußzweigen. Das modifizierte Knotenpunktverfahren wurde in den 70er Jahren für die Simulation von elektronischen Schaltungen, bei denen diese Sonderfälle auftreten, entwickelt. In der Energietechnik fand das modifizierte Knotenpunktverfahren bisher wenig Beachtung. Für die Berechnung nichtstationärer Vorgänge besteht eine Möglichkeit der Netzmodellierung darin, die Differentialgleichungen der L- und C-Netzzweige durch Diskretisierungsansätze in reelle algebraische Differenzengleichungen zu überführen. Von dieser Möglichkeit wird bisher hauptsächlich Gebrauch gemacht. Die Differenzengleichungen können dann wie bei der Berechnung stationärer und quasistation ärer Zustände wieder in die Form von Spannungs- oder Stromgleichungen gebracht werden. Damit lassen sich alle drei Verfahren der knotenorientierten Netzberechnung auch für die Berechnung nichtstationärer Vorgänge anwenden. Man erhält so reelle Differenzengleichungssysteme, deren allgemeine Form das Zustandsdifferenzengleichungssystem ist. Zustandsdifferenzengleichungen lassen sich einfach durch rekursive Verfahren oder analytische Lösungsansätze, die denen der Zustandsdifferentialgleichungen ähnlich sind, lösen. Im Gegensatz zur Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände, bei der einzelne Zweige uninteressant sein können, müssen bei der zeitschrittweisen Lösung der Differenzengleichungen in jedem Zeitschritt stets alle Zweigspannungen und Zweigströme für die Aktualisierung der in den Gleichungen vorkommenden Vergangenheitswerte berechnet werden. Wenn keine ungewöhnlichen Netzzweige vorliegen, ist aber auch hier das Knotenpunktverfahren angebracht, weil es aufgrund des kleinsten Netzgleichungssystems die höchste Effizienz verspricht. Die sich der Berechnung der Knotenspannungen anschließende Auswertung der Zweiggleichungen ist dagegen mit relativ geringem Aufwand verbunden. Das Ende der 60er Jahre von DOMMEL entwickelte Differenzenleitwertverfahren (DLV) beruht auf der Lösung der Differenzengleichungen nach dem Knotenpunktverfahren und hat durch seine Analogie zum Knotenpunktverfahren bei der Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände eine hohe Akzeptanz erreicht. Weitere, bisher weniger genutzte interessante Möglichkeiten zur knotenorientierten Netzmodellierung für die Berechnung nichtstationärerVorgänge sind das modifizierte Knotenpunktverfahren (MKPV), das erweiterte Knotenpunktverfahren (EKPV) sowie der sog. Power-System-Descriptor (PSD). Alle drei Formen der Netzmodellierung gehen direkt von den Differentialgleichungen der Netzzweige aus, setzen also im Gegensatz zu den Differenzengleichungen keine a priori Diskretisierung der Zweig-

Einführung

7

gleichungen voraus. Außerdem lassen sich Nichtlinearitäten einfacher als in das DLV einbeziehen. Die Anwendung des modifizierten Knotenpunktverfahrens auf die Differentialgleichungen der Netzzweige liefert als Netzgleichungssystem ein Algebro-Differentialgleichungssystem mit den (reellen) Knotenspannungen und (reellen) Strömen der LZweige als Unbekannte, ganz analog zur Berechnung stationärer Zustände. Für die Berechnung der anderen Zweigströme sind zusätzlich deren Zweiggleichungen auszuwerten. Das mit dem üblichen MKPV gebildete Algebro-Differentialgleichungssystem hat aber den Nachteil, daß sein algebraischerTeil nicht unabhängig von den Differentialgleichungen gelöst werden kann. Beide Gleichungsteile müssen stets simultan gelöst werden, wobei man sich auf ein bestimmtes Diskretisierungsverfahren für die Differentialgleichungen festlegen muß. Dieser Nachteil ist beim erweiterten (modifizierten) Knotenpunktverfahren (EKPV) behoben. Das algebraische Gleichungssystem des MKPV ist so erweitert, daß es in jedem Zeitschritt unabhängig von den Differentialgleichungen gelöst werden kann. Damit ist es möglich, wie beim DLV zunächst die Knotenspannungen zu berechnen und dann die Differentialgleichungen zu integrieren. Dabei ist man in der Wahl des Integrationsverfahrens völlig frei und kann dieses den unterschiedlichen dynamischen Eigenschaften der induktiven Zweige anpassen. Ein weiterer Vorteil des EKPV besteht darin, daß sich die algebraischen Gleichungen aus dem Algebro-Differentialgleichungssystem eliminieren lassen, wodurch dieses in ein explizites Zustandsdifferentialgleichungssystem mit den Spannungen der kapazitiven Knoten und den Strömen der L-Zweige als Zustandsvariablen überführt werden kann. Dieses Zustanddifferentialgleichungssystem befindet sich zwar nicht in jedem Fall in der Minimalform, d.h. es bestehen u.U. noch algebraische Abhängigkeiten zwischen den Zustandsvariablen, die sich aber lediglich in Nulleigenwerten äußern. Eine zusammenfassende Übersicht über die wichtigsten knotenorientierten Berechnungsverfahren gibt die Tabelle 1. T;a. b 1: Üb ers1c . ht u"ber die w1c . htiasten knotenorientierten Netzberechnunasverfahren

nichtstationär

stationär und quasistationär KnotenpunktVerfahren (KPV)

modifiziertes DifferenzenKnotenpunkt- gleichungen (DG) verfahren (MKPV)

lineares komplexes algebraisches Gleichungssystem

modifiziertes Knotenpunktverfahren (MKPV)

erweitertes Knotenpunktverfahren (EKPV)

PowerSystemDescriptor (PSD)

linearisiertes reelles nichtlineares Algebro-Differentialgleichungssystem reelles algebraisches Gleichungssystem

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände 1

Gleichungen der Betriebsmittel

Zur Beschreibung stationärer und quasistationärer Betriebszustände können die Betriebsmittel durch Ersatzschaltungen mit konzentrierten Elementen dargestellt werden. Die Ersatzschaltungen bestehen aus Längs- und Querzweigen in Impedanzoder Admittanzform (Z- oder V-Form), deren allgemeine Form mit Spannungs- und Stromquelle wie folgt lautet:

U=Zl+llq

(1.1)

l=Y.U+ fq

(1.2)

Beide Formen sind ineinander überführbar. Löst man beispielsweise GI. (1.1) nach dem Strom auf, so erhält man: (1.3)

Der Vergleich mit GI. (1.2) zeigt, daß

Y.= z:1

(1.4)

und

(1.5) gilt. Für die weiteren Ausführungen werden alle zu:

Z.1

11

!i.q1

12

Ui2

11 Zmz

mz lmpedanzzweige zusammengefaßt

1mz

+

Uq1

(1.6a)

lJ.qmZ

und in kompakter Form: (1.6b)

Mz = Z.lz + !lqz Ebenso werden alle

1T1y

Admittanzzweige zusammengefaßt zu:

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

10

11 b

Y1

!l.1 !l.2

Y2

y,

11

lmv

!l.;

Ymv ll.nv

li1

Beispiel 1 nach Bild 2.1

lq2

+

lq;

Z1

(1.7a)

3

~ i11

limv

lv =!Yv+!qv

(1. 7b) Bild 2.1. Beispielnetz mit n = 3, mz = 1 und Für das Beispiel in Bild system:

Knotenspannungs-Zweigstrom-Analyse (KZA)

2

Die Verknüpfung der Netzzweige (bzw. der Betriebsmittel) erfolgt, wie vereinbart, ausschließlich mit den Knotenpunktsätzen. Diese werden in Matrizenschreibweise mit Hilfe der Knoten-Zweig-/nzidenzmatrix K formuliert. Vom Knoten wegfließende Ströme sollen positiv in die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix eingehen. Entsprechend der in Kapitel 1 vorgenommenen Unterteilung der Zweigströme in Impedanz- und Admittanzströme lauten dann die Knotensätze:

0 Q

Die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix hat bei n unabhängigen Knoten n Zeilen und bei insgesamt m = mz + mv Zweigen m Spalten. Die Zweigspannungen lassen sich durch die Knotenspannungen bekanntlich wie folgt ausdrücken:

(2.2) Die Gin. (1.6) (1.7) und (2.1) bilden zusammen mit GI. (2.2) das KnotenspannungsZweigstrom-Gleichungssystem, das zugleich das Netzgleichungssystem ist:

0

Kz

l.

-X.K~

0

[

l

Kv][YK] 0 0 ~z = [~Yqz E

-Y

lqy

0 0 0

Q ···~1········ö

0 1 0 0 0 . 0

l1 !-1 i0

:::r~·„···r~„„„.„ö.„T

o -Ya Y3 ! o j o o -Y4 i o i 3

mv = 3

2.1 lautet das der GI. (2.3) entsprechende Netzgleichungs0 0 1 0 -1 1

....... „.ö„„r:z;·r·a·····a····ö . ö.T„r„.„„„„„

(2.1)

-KI

11

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

fl.K1 fl.K2 fl.K3

11 12

0 0 0

-:.Y.~.1.

13

0 0

14

[q4

(2.4)

Modifiziertes Knotenpunktverfahren (MKPV)

Interessieren nicht vordergründig alle Zweigströme, so ist es zweckmäßig, die uninteressanten Zweigströme aus dem Knotenspannungs-Zweigstrom-Gleichungssystem zu eliminieren, womit die Ordnung des zu lösenden Netzgleichungssystems entsprechend verringert wird. Im folgenden sollen beispielhaft die Admittanzströme eliminiert werden (Admittanzströme lassen sich immer eliminieren). Dazu wird GI. (2.1) wie folgt geschrieben: (3.1)

Nach Einsetzen der GI. (1.7) ergibt sich: (2.3)

Das Netzgleichungssystem hat die Ordnung n + m, entsprechend den n unbekannten Knotenspannungen und m Zweigströmen. Es läßt sich ohne topologische Hilfsmittel direkt aus dem Netzplan aufbauen. In der ersten Zeile steht die komplette Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix, geordnet nach Impedanz- und Admittanzzweigen. Die Matrix Eist eine Einheitsmatrix der Ordnung mv.

(3.2) und nach Einführung der Knotenspannungen: (3.3)

Zusammen mit den Gleichungen der lmpedanzzweige, GI. (1.6), bildet die GI. (3.3) das Netzgleichungssystem des modifizierten Knotenpunktverfahrens: (3.4)

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

12

Es wird ergänzt um die Gleichungen der eliminierten Admittanzzweige:

13

erhält man als Netzgleichungssystem:

(3.5)

!v = YK~Ytc + iqv

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

Anhand des folgenden Gleichungssystems für das Beispiel in Bild 2.1 wird deutlich, daß das Netzgleichungssystem des modifizierten Knotenpunktverfahrens bereits wesentlich kompakter als das der Knotenspannungs-Zweigstrom-Analyse ist.

KYKTYK =-Klq

(4.4)

Es wird ergänzt durch die Gleichungen für die eliminierten Zweigströme:

i=YKT!!.K+iq

(4.5)

Nach der Einführung von Abkürzungen für die Knotenadmittanzmatrix: (3.6) 1".:KK

=K.!".:KT

(4.6)

und den Knotenstromvektor. Mit einem Z-Zweig lassen sich noch zwei wichtige Sonderfälle, die ideale Spannungsquelle und ein Kurzschluß nachbilden. Für die ideale Spannungsquelle ist = 0 zu setzen. Im Kurzschlußzweig ist Z = O und Jl.q =0 und damit 1l. =0 bei 1 0.

z

*

4

Knotenpunktverfahren (KPV)

Das Knotenpunktverfahren ist das Standardverfahren zur Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände in Elektroenergiesystemen. Es liefert von allen knotenorientierten Verfahren ein Netzgleichungssystem geringster Ordnung mit einer in der Regel symmetrischen und schwach besetzten Koeffizientenmatrix, der Knotenadmittanzmatrix. Die Ordnung des Netzgleichungssystems entspricht der Anzahl n der unabhängigen Knoten. Beim KPV werden alle Zweige in Admittanzform dargestellt. Es ist also Bedingung, daß sich die Zweiggleichungen nach den Strömen auflösen lassen. Alle m Zweiggleichungen werden wieder in einer Matrizengleichung zusammengefaßt:

11 12 11 lm

g Y.2

Y1 Y2 y,

Y.1

Ym Y.m

lq1 lq2 +

lq1

(4.1a)

lqm

(4.7) schreibt sich GI. (4.4) kürzer in der gewohnten Form:

Die Knotenadmittanzmatrix und der Knotenstromvektor können nach folgenden Regeln direkt aus der Schaltung abgelesen werden. • Auf den Nichtdiagonalplätzen steht die negative Summe aller Zweigadmittanzen, die zwischen den beiden entsprechenden Knoten i und k liegen. • Auf den Diagonalplätzen steht die positive Summe aller zwischen dem entsprechenden Knoten i und dem Bezugsknoten liegenden Zweigimpedanzen sowie die negative Zeilen- oder Spaltensumme der entsprechenden Nichtdiagonalelemente. • Das J.te Element des Knotenstromvektors ergibt sich aus der Summe aller am Hen Knoten angreifenden Quellenströme, wobei nach der Vorzeichenvereinbarung in Kapitel 2 vom Knoten wegfließende Ströme negativ in den Knotenstromvektor eingehen (Minuszeichen in GI. (4.4)). Gelegentlich, insbesondere im deutschen Schrifttum, werden die Knotenadmittanzmatrix und der Knotenstromvektor auch mit umgekehrtem Vorzeichen definiert. Ausgehend vom modifizierten Knotenpunktverfahren erhält man das Knotenspannungs-Gleichungssystem des Knotenpunktverfahrens durch Elimination der noch im Vektor der Unbekannten enthaltenen Zweigströme. In GI. (3.4) sind dazu zunächst die Gleichungen der lmpedanzzweige in der 2. Zeile in die Admittanzform zu überführen. Falls die Inverse zu ,?existiert, erhält man:

(4.8)

(4.1b) und nach Einsetzen der 2. Zeile in die 1. Zeile:

Mit den Knotensätzen in der Form:

Ki=O

(4.2)

(4.9)

(4.3)

Diese Gleichung ist, abgesehen von der noch vorhandenen Partitionierung der Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix und des Knotenstromvektors, mit der GI. (4.4) identisch.

und dem Zusammenhang zwischen den Zweig- und Knotenspannungen:

1

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

14

Für das Beispiel aus Bild 2.1 lautet die GI. (4.4} mit

Jq, =-~ 1,lq, =-)'.'.,.!,!q,:

Dreipolige Darstellung

Der Übergang von der einpoligen zur dreipoligen Darstellung ist mit der symbolischen Matrizenschreibweise einfach zu vollziehen. An die Stelle der Zeiger ß treten halbfett und klein geschriebene komplexe Vektoren g und an Stelle der komplexen Parameter M halbfett und groß geschriebene komplexe Matrizen M entsprechend Tabelle 5.1. Tab. 5.1: Uberaana von der einohasi1 en zur dreioolioen Darstelluna dreipolig einpolig natürliche Koordinaten Variable/Vektoren

ß

Parameter/Matrizen

M

ß:t Mm, [Mm M.= Mba Mbb ~] Mbc f!.=[ß. Qb

Moa Meb Mec

modale Koordinaten

fl.M

=

[Q1 Q2 Q3f

[M'

0

~= ~ M2 0

ll

netze an der Fehlerstelle entsprechend der Fehlerart geschaltet werden. Bei den unsymmetrischen Fehlern entsteht so eine Kopplung in Form einer Reihen- oder Parallelschaltung der Komponentennetze an der Fehlerstelle. Die Nachbildung von Mehrfachfehlern wird kompliziert und unübersichtlich, weil in der Regel komplexe Übertrager in den Verbindungen an der Fehlerstelle vorgesehen werden müssen. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, wird i. f. der Weg über die natürlichen Koo rdinaten eingeschlagen. In natürlichen Koordinaten lassen sich die Bedingungen für die Spannungen und Ströme an der Fehlerstelle, die sog. Fehlerbedingungen, für jede Art von Fehlern oder Fehlerkombinationen und damit auch der gesamte Algorithmus zur Fehlernachbildung am einfachsten formulieren. Der so gewonnene Algorithmus kann dann formal leicht auf die symmetrischen Komponenten oder andere modalen Komponenten übertragen werden.

Fehlerfreies Netz in natürlichen Koordinaten Die dreipoligen Ersatzschaltungen der Betriebsmittel in natürlichen Koordinatensetzen sich aus den in Bild 6.1 angegebenen Grundtypen von Netzzweigen zusammen. Aktive Querzweige kommen nur in den Ersatzschaltungen der Generatoren, Motoren und Ersatznetze vor.

a

Die einfachste Art der Nachbildung von Kurzschlüssen und Unterbrechungen sind Impedanz- oder Admittanzzweige mit sehr kleinen Impedanzen oder Admittanzen. Diese triviale Art der Fehlernachbildung genügt aber nicht den Anforderungen an ein anspruchsvolles mathematisches Modell. Es wird deshalb ein exaktes Verfahren für die Nachbildung von beliebigen Kurzschlüssen und Unterbrechungen an der Knotenadmittanzmatrix sowohl in natürlichen als auch in modalen Koordinaten entwickelt. Das Verfahren zeichnet sich gegenüber anderen, aus der Literatur bekannten Verfahren dadurch aus, daß die Knotenadmittanzmatrix ihre Ordnung und, falls gegeben, auch ihre Symmetrie beibehält und daß keine Elemente der Knotenimpedanzmatrix für die Fehlernachbildung benötigt werden. Für die Untersuchung unsymmetrischer Fehler werden gewöhnlich die symmetrischen Komponenten herangezogen, wobei zur Erzielung der erwünschten Entkopplung der Komponentennetze des ungestörten Netzes symmetrisch aufgebaute Betriebsmittel vorausgesetzt werden müssen. Die Nachbildung von Einfachfehlern gestaltet sich in symmetrischen Koordinaten sehr einfach, indem die Komponen1en-

---fcit---'

'

0

c

o---k::J-l----. l------1

:

b)

c::J1-1i---o

b

''

''

~

IL 11

E------c)

Nachbildung von Kurzschlüssen und Unterbrechungen

~

a)

Die symbolische Matrizenschreibweise steht sowohl für die Darstellung in natürlichen Koordinaten als auch in modalen Koordinaten. In Hinblick auf die dreipolige Darstellung wurden in den einphasigen Gleichungen bereits Divisionen vermieden 1 und dafür der Ausdruck (... )" in der richtigen Reihenfolge verwendet, so daß auch an diesen Stellen die Einführung von Matrizen formal erfolgen kann.

6

15

1

(4.10}

5

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

a

<>-----~,___

_ _.,

b o-------+----<>

r:

d)

bo----...-1------1

-: l!l..,

: l; -'

E----~o---Bild 6.1: Grundtypen der dreipoligen Netzzweige (i = a, b, c) a) passiver Längszweig b) aktiver Querzweig mit Spannungsquellen und Sternpunkterdung c) passiver Querzweig d) aktiver Querzweig mit Stromquellen Die Gleichungen der Längs- und Querzweige können ineinander überführt werden und die passiven Zweige können als Sonderfälle der aktiven Zweige angesehen

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

16

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

werden. Es genügt deshalb die Formulierung der Gleichungen für den kompliziertesten Zweig aus Bild 6.1, den aktiven Längszweig in Bild 6.1 b. Unter der Voraussetzung der Symmetrie erhält man aus Bild 6.1 b:

(6.1)

17

(6.7)

y

Zn

(Z Z)(Z+2Z) =m -= =m =

"-"=

1( 1 -3z -1

1

Z+3Z ~

-0

)- 1 (Y1

0 --3- - -y')

(6.8)

und den Quellenströmen: Die Mittelpunkt-Erde-Spannung jJ,, kann noch mit Hilfe der Beziehung

~

(6.9a) (6.2)

=lMfu =lM(f.a +lb+lc)

(6.9b)

eliminiert werden. Man erhält:

(6.9c) (6.3a)

Ist der Sternpunkt frei, so ist an den Gin. (6.7) und (6.8) der Grenzübergang vorzunehmen, womit diese übergehen in:

(6.3b)

Ym =aY1=3z-=3 z -Z

2

!!.= l.i.+!!.q

bzw.:

2 1

2

-1

1

-·

z.

und

(6.10)

(6.11)

Zn =Z:9+ Z:M

sind. Wegen

Die Selbst- und Gegenimpedanzen haben folgende Beziehungen zu den Impedanzen der symmetrischen Komponenten:

z. =31 (Zo+2Z1)

(6.4)

1

(6.5)

Ze =a(Zo-Z1)

Für den Aufbau des Knotenspannungs-Gleichungssystems werden die Stromgleichungen der Netzzweige benötigt. Die Auflösung der GI. (6.1) nach den Strömen ist ohne weiteres möglich. Solange lM endlich, der Sternpunkt also nicht frei ist, läßt sich auch GI. (6.3) nach den Strömen auflösen. Man erhält formal:

[l[Y.

rl

[~•]

Yn Y, ~b + [qb ~ - Yn rm ~" lc rn rn -m -c lqc

bzw.:

i.=X:Y.+lq

mit den Matrixelementen:

oo

-9

wobei die Matrixelemente

Zm = + lM

~ ~

(6.6a)

(6.6b)

Ym = -21'.

0

ist die Zeilen- und Spaltensumme der V-Matrix in GI. (6.6) für

den Fall des freien Sternpunktes Null und damit die V-Matrix singulär. In der Singularität der V-Matrix kommt die Bedingung 1a + ~ + 10 = 0 des freien Sternpunktes zum Ausdruck. Prinzipiell könnte diese Bedingung an die Stelle einer beliebigen Zeile der GI. (6.6) treten. Zur Wahrung der Symmetrie empfiehlt es sich jedoch, die GI. (6.6) auch bei freiem Sternpunkt in der oben angegebenen Form zu verwenden. Mit Ym und Yn nach den Gin. (6.10) und (6.11) stellt sich die Strombedingung f.a + lb +lc = o von selbst ein. Die GI. (6.6) ist die allgemeine Stromgleichung der Netzzweige in der dreipoligen Darstellung. Sie ist das dreipolige Pendant zur GI. (1.2). Zu ihr gehört die Ersatzschaltung in Bild 6.1d. Für passive Zweige entfallen die Stromquellen. Das dreipolige Knotenspannungs-Gleichungssystem des fehlerfreien Netzes wird analog zum einpoligen Fall aufgebaut (s. Kapitel 4 und 5) und hat die Form:

r11 r12 r21 L2

r1, 1'.:21

r1n !!.K1 r2n !!.K2

fK1 i.K2

1'.:11 1'.:12

r11

r„

!!.K/

i.KI

Yn1 Yn2

X:n1

rnn !!.Kn

i.Kn

bzw.:

rKK!!.K =f.K

(6.12a)

(6.12b)

~-----1

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

18

In natürlichen Koordinaten besteht die Knotenadmittanzmatrix X:KK aus 3x3-Unter-

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

19

bzw.:

(6.15b)

matrizen X:ik• die unter Zugrundelegung symmetrischer Betriebsmittel diagonal-zyk-

lisch symmetrisch sind, also jeweils gleiche Diagonal- und Nichtdiagonalelemente aufweisen. Die Knotenadmittanzmatrix ist dann stets symmetrisch, auch wenn die Schaltgruppendrehung der Transformatoren berücksichtigt wird.

Nachbildung von Kurzschlüssen Kurzschlüsse sind, wie vereinbart, widerstandslose Verbindungen zwischen den Leitern und Erde (Erdkurzschlüsse) oder zwischen den Leitern (Kurzschlüsse ohne Erdberührung). Das Bild 6.2 zeigt eine Kurzschlußstelle (Knoten 1) mit den Zählpfeilen für die Knotenspannungen und die Fehlerströme.

Ist ein Knoten fehlerfrei, so ist sein Fehlerstromvektor iFi Null zu setzen. Im Vektor der Quellenströme la sind die an den Knoten angreifenden Ströme der Stromquellen vorzeichenbehaftet zusammengefaßt (die vom Knoten wegführenden Quellenströme gehen mit negativem Vorzeichen ein. Siehe auch GI. (4.4)). Der Vektor der Quellenströme ist bis auf das Vorzeichen mit dem Knotenstromvektor des fehlerfreien Netzes identisch. Die Fehlerbedingungen werden für alle Kurzschlüsse einheitlich mit Hilfe einer 3x3Fehlermatrix Fund der 3x3-Einheitsmatrix Ewie folgt formuliert:

(6.16)

ao---e--------o b o---'----....-----0

c

1 1

und

1 1

u..'l u..f ~--1! fFal

lFbl :

fFci

(6.17)

1

1 _ E _ _..._ _ _11...__ _ 1 1

Bild 6.2: Zur Beschreibung der Erdkurzschlüsse am Knoten i

Die Matrizen E und E - FT sind lnzidenzmatrizen. Als Beispiel für ihren Aufbau sei der 1-polige Erdkurzschluß im Leiter a angeführt. Die Fehlerbedingungen !l.Ka = O

Es werden formal drei Fehlerströme 1Fa1• 1Fb1 und lFcieingeführt und zu einem Feh-

und lFb = lFc = 0 lauten in Form der Gin. (6.16) und (6.17):

lerstromvektor zusammengefaßt: (6.13) Ebenso werden die drei Knotenspannungen zu einem Vektor zusammengefaßt: (6.14) Das Knotenspannungs-Gleichungssystem des fehlerfreien Netzes, GI. (6.12), wird auf der rechten Seite um einen Knotenfehlerstromvektor, der die Fehlerstromvektoren aller Knoten enthält, erweitert. Auf diese Weise lassen sich beliebige Einfachund Mehrfach-Kurzschlüsse nachbilden.

In den Tabellen 6.1 und 6.2 sind die Fehlerbedingungen und Fehlermatrizen für alle Kurzschlüsse und den fehlerfreien Fall zusammengestellt. Betrifft der Fehler andere Leiter als die in den Tabellen angegebenen, so sind die Matrizenelemente entsprechend zu vertauschen. Tab. 6.1: Fehlerbedinaunaen für die Kurzschlüsse IEKS und KSl 1-pol. EKS 2-pol. EKS a-E a-b-E

3-pol. EKS a-b-c-E

r11

r12

l1;

r1n

MK1

lK1

la1

lF1

!l.Ka = 0

!l.Ka = 0

!l.Ka = 0

r21

r22

r21

r2n

MK2

!K2

la2

lF2

fFb =0

!!.Kb= 0

!!.Kb = 0

fFc =0

r11

l'.:;2

r,,

r„

MKi

lKI

io;

iFi

l'.:n1

ln2

L1

Ln

MKn

iKn

lan

lFn

lFa =0

fFc =0 2-pol. KS a-b !l.Ka - !!.Kb = 0

lFb =O

fFa+fFb=O

!l.Kc - !!.Kb = 0

lFc =0

fFc =0

fFa+fFb+fFc=O

(6.15a)

fehlerfrei

!l.Kc = 0 3-pol. KS a-b-c !l.Ka - !!.Kb = 0

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

20

Tab. 6.2: Fehlermatrizen Ffürdie Kurzschlüsse IEKS und KSl 1-pol. EKS 2-pol. EKS 3-pol. EKS a-E a-b-E a-b-c-E

GI. (6.20) wird noch von links mit LK multipliziert und von GI. (6.19) subtrahiert. Das Ergebnis ist:

[~ ~]

[~ ~]

[~ ~] 0

oder kürzer:

fehlerfrei

2-pol. KS a-b

3-pol. KS a-b-c

Y -KK!!K =!K

0

0

0

0

1

0

0

0

[~ ~]

[!

0

1 0

(6.21a)

0

0

0 1

21

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

;]

[!

1 0

F

.F

(6.21b)

li< LK - YKK + LK Fk kann als gestörte Knotenadmittanzmatrix !~ = -li< fo als gestörter Knotenstromvektor interpretiert werden.

Die Matrix Y~K =

!]

und der Vektor

Die einzelnen Fehlermatrizen für alle n Knoten werden in einer blockdiagonalen Knoten-Fehlermatrix angeordnet:

(6.18)

Beide können leicht durch Matrizenoperationen aus der ungestörten Knotenadmittanzmatrix YKK und dem Quellenstromvektor la erhalten werden. Wegen der Symmetrie der Knotenadmittanzmatrix gilt

.r!1 = Yik

(k-:/: 1) und damit

Also ist auch die gestörte Knotenadmittanzmatrix Y~K symmetrisch. Außerdem ist bei regulärer Knotenadmittanzmatrix auch die Matrix Y~K regulär, so daß sich GI.

Für die fehlerfreien Knoten werden die entsprechenden Untermatrizen F; zur 3x3Einheitsmatrix (s. Tabelle 6.2). Die Berücksichtigung der ersten Fehlerbedingung (GI. (6.16)) an allen Knoten erfolgt durch Multiplikation der GI. (6.15) von links mit der Fehlermatrix wobei der Fet\lerstromvektor verschwindet: (6.19) GI. (6.19) ist nicht nach den Knotenspannungen auflösbar, da seine Admittanzmatrix singulär ist. Es muß erst noch die zweite, durch GI. (6.17) gegebene Fehlerbedingung eingearbeitet werden. Die Erweiterung der GI. (6.17) auf alle Knoten ergibt:

E

MK1 MK2

E

E E

bzw.:

(6.20a)

MK1

1

F_T

n

(6.22)

Nachbildung von Unterbrechungen Die Unterbrechungsstellen mit den Spannungen t:..!J.1 werden den Betriebsmitteln zugeordnet (Bild 6.3). Hilfsknoten sind damit nicht erforderlich.

b

=0

t=,T

(6.21) nach den gesuchten Knotenspannungen auflösen läßt. Mit den bekannten Knotenspannungen können anschließend über die Gleichungen der Netzzweige die Zweigströme und über die umgestellte GI. (6.15) die Fehlerströme berechnet werden:

-

tli1

MKn

(6.20b)

Bild 6.3: Zuordnung der Unterbrechungsstellen zum Betriebsmittel ( i =a,b,c)

22

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

Es genügt wieder nur den aktiven Zweig nach Bild 6.1 b zu betrachten, der den passive Zweig als Sonderfall einschließt. Die GI. (6.1} wird um einen Spannungsvektor für die Spannungen li.Jl.; über den Unterbrechungsstellen erweitert:

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände Tab. 6.3: Fehlermatrizen Ffür die Unterbrechun en UB 1-pol. UB 2-pol. UB 3-pol. UB ....__Leiter a Leiter a und b

(6.23b}

[ H ~] [~ !~] [~ !;] --

(6.24a}

Die GI. (6.24) wird noch etwas umgeordnet:

(6.23a}

23

fehlerfrei

bzw.:

!!. =l.l + !!.q + Ll!!.

1--

Zur Berechnung der Ströme erhält man daraus:

[~ Hl

(6.27) bzw.:

(6.24b}

mit den Ausdrücken für .Ym und .Yn nach den Gin. (6.7) und (6.8) oder den Gin. (6.1 O) und (6.11 ), wenn der Sternpunkt nicht geerdet ist. Die Fehlerbedingungen für die Unterbrechungen werden analog zu denen der Kurzschlüsse wieder mit 3x3-Fehlermatrizen formuliert:

Nun sieht man schon, daß die Einarbeitung der Fehlerbedingungen in die GI. (6.27) völlig analog zur Einarbeitung der Fehlerbedingungen in das KnotenspannungsGleichungssystem bei den Kurzschlüssen erfolgen kann. Im ersten Schritt wird GI. (6.27) von links mit F multipliziert, wodurch die Ströme auf der rechten Seite verschwinden: (6.28)

F

Ja] [~: =0

(6.25)

Im zweiten Schritt wird GI. (6.26) von links mit

Y

multipliziert: (6.29)

und

und schließlich von GI. (6.28) abgezogen: (6.26)

(FX:.-E+ X:.FT)Ll!!. = FX:.(!!.-!!.q)

(6.30)

Aus dieser Gleichung können bei gegebenen !!. und !!.q die Spannungen über den Die Fehlermatrizen F sind in Tabelle 6.3 für die einzelnen Arten der Unterbrechung und den unterbrechungsfreien Fall zusammengestellt. Da die Fehlerbedingungen für die Unterbrechungen bei gleicher Fehlerlage bezüglich der Leiter dual zu denen der Erdkurzschlüsse sind, entsprechen die Fehlermatrizen F bei den Unterbrechungen den Matrizen E - FT bei den Erdkurzschlüssen und umgekehrt. Für die Kurzschlüsse ohne Erdberührung gibt es bei den Unterbrechungen keine Entsprechung, weshalb in der Tabelle 6.3, die wie Tabelle 6.2 angeordnet ist, zwei Felder leer sind. Weiterhin sieht man ausTabelle 6.3, daß für die Unterbrechungen stets FT = Fgilt.

Unterbrechungsstellen berechnet werden: (6.31) Wegen yT = Y (symmetrische Betriebsmittel vorausgesetzt) gilt auch:

wobei bei den Unterbrechungen, wie bereits erwähnt, stets FT =F ist. Die Elemente der Matrix MF sind aus Tabelle 6.4 ersichtlich. Ohne Unterbrechungen ist selbstverständlich Ll!!. = 0. Für die dreipolige Unterbrechung wird Lly_ = !!.-!!.q.

r j

24

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

Betrifft der Fehler andere Leiter als die in der Tabelle 6.3 angegebenen, so sind die Matrizenelemente entsprechend zu vertauschen. Mit den bekannten Knotenspannungen und Spannungen über den Unterbrechungsstellen ergeben sich die Ströme aus GI. {6.24):

Tab. 6.4: Matrizenausdrücke der Gin. (6.31 > und /6.33) UB

MF =(Fr-r +rFr1Fr

{6.33) Die Unterbrechung ist jetzt in Form einer gestörten Admittanzmatrix

IF und

Leiter a

Leiter a und b

eines

gen. Die GI. {6.33) hat die gleiche Form wie die GI. (6.6) für die ungestörten Netzzweige und wird deshalb genauso wie die der gesunden Zweige in das Knotenspa nnungs-Gleichungssystem eingebaut. Die Matrizen E - MF und rF sind für die einzelnen Unterbrechungsarten aus den Tabellen 6.4 {mit Sternpunkterdung) und 6.5 {mit freiem Sternpunkt) ersichtlich. Für die in IF vorkommenden Matrizenelemente in Tabelle 6.4 ergeben sich mit Hilfe der Gin. {6.7) und {6.8) die Ausdrücke:

Yi= =!JE-Ms:) Yn Ym Yn Yn Yn Yn

[i] _Yn _Yn Ym Ym

Yn Ym

Yn Ym

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0 ~

0

0

1

~

0

0

0

0

Ym+Yn Ym+Yn

0

-~ Ym+Yn 0 -~ Ym+Yn 0

0

~1

[~Yn

1

--

gestörten Quellenstromvektor !~ in die Stromgleichung des Netzzweiges eingegan-

E-Ms:

[~]

ohne (6.32)

Man könnte nun die ungestörte Admittanzmatrix I der Netzzweige wie üblich in die Knotenadmittanzmatrix einbauen und den Störanteil auf der rechten Seite des Knotenspannungs-Gleichungssystem berücksichtigen. Der Vorteil bestünde in einer gegenüber dem fehlerfreien Fall unveränderten Knotenadmittanzmatrix. Da der Störanteil aber von den Knotenspannungen abhängt, müßte die Berücksichtigung des Störanteils auf der rechten Seite iterativ erfolgen, was gegen diese Vorgehensweise spricht. Besser ist es, den Ausdruck für die L1y aus GI. {6.31) in GI. {6.32) einzusetzen:

25

Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände

1

0

0

0 2

y _Xn y

-'-IT1

[i]

Ym

-m 2 2 y _Yn y _Xn -n Ym -'-IT1 Ym

0

0

0

0

0

0

0

0

y -'-IT1

Leiter a,b und c

2

y _Xn .!..O

2)'.'.~ Ym+Yn

[~]

[~]

Tab. 6.5: Matrizenausdrücke der Gin. /6.31 l und 16.33) bei freiem Sternpunkt UB ohne

Leiter a

MF =(Fr-r+rFt1Fr

E-Ms:

IF=X:{E-MF)

[~] -t -·i

[i]

3 -r1 2r1 -Y1

[ 01

0 Leiter a und b

Leiter a,b und c

0 0

0 0

["0 t1 0'] 0 0 1

[~]

[*H]

[i]

[~]

1

[2Y,-

- l'., - l'.,

l

-r1 -Y1 2Y1

'[° -~,] [~] [~]

0 -0 Y1 2· 0 -r1

Y1

J

Berechnung nichtstationärer Vorgänge 1

Gleichungen der Betriebsmittel

Die Ersatzschaltungen der Betriebsmittel enthalten jetzt auch speicherbehaftete Zweige. Für die Beschreibung der Kopplungen der einzelnen BM interessiert nur ihr Klemmenverhalten. Nach ihrem Klemmenverhalten werden die BM unterteilt in Induktive oder L-BM, kapazitive oder C-BM und resistive oder R-BM. Es sollen zunächst wieder einphasige Ersatzschaltungen vorrausgesetzt werden. Die Ersatzschaltungen der induktiven Betriebsmittel beginnen an den Klemmen mit Induktivitäten. Demzufolge sind die Klemmenströme Zustandsgrößen und die Klemmenspannungen Eingangsgrößen. Die Wirkung weiterer, innerer Zustandsgrößen wird in Spannungsquellen zusammengefaßt. Für das Klemmenverhalten eines L-BM ergibt sich somit folgende Spannungsgleichung:

(1.1) Die Ersatzschaltungen der kapazitiven Betriebsmittel beginnen an den Klemmen mit Kapazitäten. Die Klemmenspannungen sind Zustandsgrößen und die Klemmenströme Eingangsgrößen. Die Wirkung innerer Zustandgrößen wird durch Stromquellen ausgedrückt. Für das Klemmenverhalten ergibt sich folgende Stromgleichung:

(1.2) Als zweckmäßige Abkürzung wurde der "Quellenstrom" i~c

=iqc + C üc

eingeführt.

Die Ersatzschaltungen der resistiven Betriebsmittel beginnen an den Klemmen mit Leitwerten. Keine der Klemmengrößen ist Zustandsgröße. Die Klemmenströme sollen i.f. Eingangsgrößen, die Klemmenspannungen Ausgangsgrößen sein. Innere Zustandsgrößen bilden dann Stromquellen. Das Klemmenverhalten wird damit durch folgende algebraische Stromgleichung beschrieben:

(1.3) Für die weiteren Ausführungen werden die mL Stromgleichungen der induktiven Betriebsmittel zusammengefaßt zu:

ebenso die mA resistiven Betriebsmittel:

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

28

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

29

werden die Klemmenspannungen der R- und C-BM und die zeitlichen Ableitungen der Klemmenspannungen der C-BM durch die Knotenspannungen ersetzt. Damit wird aus GI. (2.2): (2.4) Zusammen mit den Gin. (1.4) der L-BM, in denen noch uL = K~ uK gesetzt wird, bildet GI. (2.4) ein Netzgleichungssystem in Form eines Algebro-Differentia/gleichungssystems zur Berechnung der Knotenspannungen und Ströme der LBetriebsmittel:

und die mc kapazitiven Betriebsmittel:

ic=Gcuc+iqc+Cüc =Gcuc+i~c

Die Ströme der R- und C-Betriebsmittel werden aus ihren Zweiggleichungen erhalten: (1.6a)

(2.5b)

Für den stationären Zustand gehen die Gleichungen der R- und C-Betriebsmittel in die Admittanzform (V-Form) und die der L-Betriebsmittel in die lmpedanzform (ZForm) über (s.Teil 1, Gin. (1.6) und (1.7)).

2

(2.5c)

Beispiel 1 nach Bild 2.1

Modifiziertes Knotenpunktverfahren (MKPV)

Die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix wird wie der Vektor der Betriebsmittelströme nach Betriebsmitteltypen geordnet:

(2.1)

Nun bietet es sich zunächst an, analog zum MKPV für die Berechnung stationärer Zustände zu verfahren, und die Stromgleichungen Gin. (1.5) und (1.6) für die R-BM und C-BM in GI. (2.1) einzusetzen. Die Ströme der L-BM bleiben in GI. (2.1) stehen, da sie sich nicht in "Admittanzform" befinden. Man erhält:

i~

RL3'

2

G0 ,C

iL1

1 Uc ic

L3

u,_„ '~

3

~1 t' R

/R

Bild 2.1: R-L-C-Beispielnetz

Das 3-Knoten-Beispielnetz in Bild 2.1 besteht aus 3 L-BM, einem R- und einem CBM. Die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix in der Partitionierung von GI. (2.1) lautet:

(2.2) Mit Hilfe der Beziehung:

[KL i KR 1 Kc] (2.3)

Rl2' L2

RL1'L1

·[i

!,~CL = [100

iu

o·o·ol ~L2

-1 1 0 1 'La =0 0 -1 1 0 iR

Das Algebro-Differentialgleichungssystem nach GI. (2.5) hat folgenden Aufbau:

(2.6)

30

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

0

0

Oj

0

c

0

o o oi

0 0 0 0 J 0 Ge 0 0 -1 0 .. „ ..0„ ... „.„ ~... ;„ j ...0„.„.„.„0 .. „.„„-1... ..fii
l

!

ÜK2

y~~

~

-1 1 0 -1

;L3

0

UK2

UK3

1,

RL3

0 0 0

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

31

Um formal wieder einen Strom zu erhalten, wird GI. (3.1) durch die konstante Kreisfrequenz der Grundschwingung
(3.2)

-UqL1

0 0

Nach Einführung der folgenden Abkürzungen:

Zur numerischen Lösung des Algebra-Differentialgleichungssystems werden die Differentialquotienten der Knotenspannungen und induktiven Ströme durch Näherungsausdrücke ersetzt. Das Gleichungssystem geht damit in ein reines algebraisches Gleichungssystem über, das der GI. (2.15a) aus dem Teil 1 "Berechnung stationärer und quasistationärer Zustände" ähnlich ist. Zerlegt man das Algebra-Differentialgleichungssystem in seine Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen, so wird ein genereller Nachteil des AlgebroDifferentialgleichungssystems, GI. (2.5a), deutlich. Die GI. (2.7) für das Beispiel enthält vier Differentialgleichungen 1. Ordnung (2„ 4., 5. und 6. Zeile:

jq L =-.i/:I U L. cuo'4..q•

nimmt GI. (3.2) die "Admittanzform" der Gin. (1.5) und (1.6) für die R- und LBetriebsmittel an: (3.3) Im erweiterten Quellenstrom

i:L = f\'. iL + iqL

kommen nur die tatsächliche Quellen-

größe und die Zustandsgröße A. vor. Beide Größen sind bei der Verknüpfung der BM eindeutig bestimmt. Die neuen Stromgleichungen aller~ L-BM werden zusammengefaßt zu:

und zwei algebraische Gleichungen (1. und 3. Zeile):

[ 00

][UK1] = -[1 ~ UK3 0 0

J[:~i .

1 0 0 -1

(2.9)

/L3

Zur Lösung der Differentialgleichungen werden die Spannungen an den Knoten 1 und 3 benötigt. Aus den algebraischen Gleichungen, GI. (2.9), kann in einem Zeitschritt mit bekannten Werten für die induktiven Ströme (Zustandsgrößen) nur die Spannung 1JK3 berechnet werden. Die Spannung am Knoten 1, an dem nur L-BM angeschlossen sind, läßt siclJ aus der GI. (2.9) nicht berechnen, da auf dem entsprechenden Diagonalplatz der Koeffizientenmatrix eine Null steht. Das gilt ganz allgemein für alle Knoten, an denen nur L-BM angeschlossen sind. Diese Knoten werden i.f. als induktive Knoten bezeichnet.

Um eine vollständige algebraische Gleichung zur Berechnung der Knotenspannungen als Funktion der Zustandsgrößen zu erhalten, werden die Gleichungen der LBM, GI. (1.1 ), für die Verknüpfung wie folgt umgestellt: /L= 'l

(3.4b)

Zur GI. (3.3) läßt sich die Stromquellen-Ersatzschaltung in Bild 3.1 a angeben. Die Gin. (1.5) und (1.6) für die R- und C-BM bleiben unverändert. Zu ihnen gehören die Ersatzschaltungen in Bild 3.1 b und 3.1 c. b)

Erweitertes Knotenpunktverfahren (EKPV) 1l

3

:

i(_ =~UL +iqL +~ /L =~UL +i:L

L.:.-1 1..\.- L:.-1RL/L. L.:.-1 UqL=....,_L..\.+rt.it..-....,_UqL i::i .ll • i::i

(3.1)

Bild 3.1: a) Stromquellen-Ersatzschaltung der L-BM b) Stromquellen-Ersatzschaltung der R-BM c) Stromquellen-Ersatzschaltung der C-BM

auch als erweitertes modifiziertes Knotenpunktverfahren (EMKPV) bezeichnet

[ 1

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

32

Berechnung nichtstatlonärer Vorgänge

Die Stromgleichungen, Gin. (3.4) (1.5) und (1.6), der BM lassen sich nun zusammenfassen zu: [

KLL 0 0

0 KRR KcR

00 Kcc

]['~] !!:i = - [ 0 lc

l

KRL /L KcL

33

(3.8)

(3.5) Die GI. (2.3) erhält die Form: Die Netzknotenpunkte werden, da sie sich - wie das Beispiel 1 in Kapitel 2 gezeigt hat - unterschiedlich verhalten, ebenfalls unterteilt in induktive oder L-Knoten, kapazitive oder C-Knoten und resistive oder R-Knoten. Ihre Definition geht aus Tabelle 3.1 hervor. An einem induktiven Knoten sind ausschließlich induktive BM angeschlossen. An einem resistiven Knoten ist mindestens ein resistives BM vorhanden. Daneben können auch Induktive BM, aber keine kapazitiven BM vorkommen. An einem kapazitiven Knoten ist mindestens ein kapazitives BM vorhanden. Zusäzlich können resistive und induktive BM angeschlossen sein. Tab. 3.1: Knotensoezifikation Betriebsmittel C-BM L-BM R-BM i ® L-Knoten ® R-Knoten ® C-Knoten ® am Knoten notwendiges Betriebsmittel EB zusätzlich mögliches Beriebsmittel

e e

(3.9)

Nach Einsetzen der BM-Gleichungen, GI. (3.5), in GI. (3.8) und Ersetzen der Klemmenspannungen der BM durch die Knotenspannungen mit GI. (3.9) ergibt sich:

[~ Q

~R

~

Gi.c][UKL] ~C !-'KR =- [KLL Q

0

GcR

Gcc

lli
(3.10)

0

mit der LeitwertmatrfX'.

e

Die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix K wird nach Knoten- und Betriebsmitteltypen entspechend derTabelle 3.1 geordnet: L·BM

R·BM

C-BM

(3.6)

Die Null-Matrizen In der 1. Zeile ergeben sich daraus, daß an einem L-Knoten per definitionem kein R- und kein C-BM angeschlossen sein kann und die der 2. Zeile daraus, daß an einem R-Knoten kein C-BM angeschlossen sein kann (s. die leeren Felder in Tabelle 3.1 ). GI. (3.6) wird wie folgt umgestellt:

[

KLL 0

0 KRR

0

KcR

0 l( 00 ][;Ll -~ = - [ KRL Kcc

'c

(3.7)

Setzt man in GI. (3.10) noch die Ausdrücke für die in GI. (3.4) und (1.6) eingeführten Quellenströme:

/~L =lqL + A(_ /L und /~c =lqc + Cüc ein, so geht diese mit Uc = K"Jc UKc über in:

[~ 0 0

~R

Gi.R

Gi.c][UKL] [KLL ~C UKR = - 0

GcR

Gcc

lli
(3.11)

0

KcL Die Matrix:

Nun ist es möglich, die 1. Zeile von GI. (3.7) zu differenzieren, ohne daß die beiden anderen Zeilen davon betroffen sind. Da die Ströme der L-BM stetig sind, sind sie auch differenzierbar. Nach Division mit üb treten so im Stromvektor die mit GI. (3.4) eingeführten Ströme ( an die Stelle von l:

!;K = Kcc C K"Jc

(3.12)

ist die Knotenkapazitätsmatrix. Sie wird analog zur Knotenadmittanzmatrix des KPV gebildet (s. die Regeln in Teil 1, Kapitel 4).

r

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

34

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

35

Zusammen mit den Zustandsgleichungen für alle induktiven BM (GI. (1.4)), in denen UL =K~L UKL + K~L UKR + KJL UKc gesetzt wird, bildet die GI. (3.11) ebenfalls ein Algebro-Differentialgleichungssystem des Netzes:

Kw~.'.

Gi_L

Gi.R

0 0

~R

~c

KRL

GcR

Gcc

KcL

-K;i_ -K~L

Gi.c

-KJL

RL

lf~H

-KLLGL

0

0 0

KcR

E

0

KRR

R-BM

0 0

Kcc 0 (3.13a)

ZDGLL-BM

Jdt

Für die Berechnung der Ströme der R- und C-BM stehen deren Zweiggleichungen zur Verfügung: (3.13b) /{,T

•

'c ="'C cc UKc + lqc + •

r,!_

CK.T

.

cc UKc

(3.13c)

Die Zerlegung der GI. (3.13a) an den durchgezogenen Linien ergibt die folgenden algebraischen Gleichungen:

algebraische Knotenspannungs-Gleichung

- --------------------ZDGL der C-Knoten

(3.14)

und die Differentialgleichungen:

Bild 3.2: Struktur des Algebro-Differentialgleichungssystems nach dem EKPV

Formaler Aufbau des Algebro-Differentialgleichungssystems (3.15) Aus der algebraischen Gleichung, GI. (3.14), werden nun auch die Spannungen an den L-Knoten in Abhängigkeit von den Zustandsgrößen UKc und ii. und den Quellengrößen erhalten. Mit den bekannten Knotenspannungen UKL und UKR können die Differentialgleichungen GI. (3.15) für einen weiteren Zeitschritt gelöst werden, wobei man in der Wahl des Lösungsverfahrens völlig frei ist. Die Gin. (3.14) und (3.15) lassen sich somit vorteilhaft wechselseitig mit unabhängig voneinander lösen, worin ein wesentlicher Vorteil des EKPV liegt. Bild 3.2 zeigt die Struktur des Algebra-Differentialgleichungssystems. Der Signalfluß in Bild 3.2 enthält keine algebraischen Schleifen, so daß die Lösung auch bei nichtlinearen L-BM ohne Iterationen auskommt, solange keine impliziten Integrationsverfahren angewendet werden. Eine weitere vorteilhafte Besonderheit des Gleichungssystems besteht darin, daß die Gleichungen aller R- und aller L-BM parallel (in Bild 3.2 jeweils nur durch einen Block vertreten) angeordnet sind. Dies ermöglicht einen objektorientierten Rechenprogrammaufbau und eine weitgehende parallele Verarbeitung.

Der Aufbau des Knotenspannungs-Gleichungssystems des EMKPV unterscheidet sich von dem des DLV (abgesehen von den unterschiedlichen Leitwerten Gm), dadurch, daß die Leitwertmatrix des EKPV unsymmetrisch ist. Die Unsymmetrie entsteht dadurch, daß an den R- und C-Knoten die induktiven BM durch ihre Ströme auf der rechten Seite des Knotenspannungs-Gleichungssystems wie Quellenströme eingehen (die induktiven Ströme sind Zustandsgrößen). Diese Unsymmetrie ist durchaus kein Nachteil, da die Nullelemente unterhalb der Hauptdiagonale die Leitwertmatrix der angestrebten oberen Dreiecksmatrix bereits näher bringen. Der obere Teil der Leitwertmatrix und die rechte Seite des KnotenspannungsGleichungssystems werden ganz analog zuni KPV gebildet. Stallt man die BM durch ihre Ersatzschaltungen nach Bild 3.1 dar, so kann das KnotenspannungsGleichungssystem wie beim KPV direkt aus dem Netzbild abgelesen werden. Das Bild 3.3 veranschaulicht die formale Bildung des Gleichungssystems in drei Schritten. Ausgangspunkt ist die GI. (3.10) mit den Quellenströmen, nicht die GI. (3.11 ).

Berechnung nichtstatlonärer Vorgänge

36

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

37

dargestellt. Von den L-BM Interessieren in diesem Schritt nur die Ströme. Man erhält die zweite Zelle der GI. (3.10):

L-Knoten

R-Knoten

C-Knoten

Auf den Nichtdiagonalplätzen der Untermatrizen ~R und ~ stehen die Leitwerte zwischen den Knoten mit negativem Vorzeichen und auf den Dlagonalplätzen die Leitwerte vom jeweiligen Knoten zum Bezugsknoten mit positivem Vorzeichen plus die negative Summe der Nicht-Dlagonalelemente einer Zeile. Auf der rechte Seite werden In einer Zeile alle am betreffenden Knoten angreifenden Quellenströme der R-BM und die Ströme der L-BM vorzeichenbehaft aufaddiert, wobei vom Knoten wegführende Ströme mit negativem Vorzeichen In die rechte Seite eingehen. Im 2. Schritt (Bild 3.3b) werden nur die L-Knoten und die davon abgehenden L-BM, jetzt mit ihrer Ersatzschaltung nach Bild 3.1 c betrachtet. Man erhält die 1. Zeile der GI. (3.10):

[#][~]=-[~f'] Die Matrizen Gu., fu und Gi.c werden aus den Gu und die rechte Seite aus den Quellenströmen i~u nach der gleichen Regel wie unter Schritt 1 aufsummiert. L-Knoten

R-Knoten

C-Knoten

---··--------··-------·---f--·------------·--·

Im 3. Schritt (Bild 3.3c)) werden nur die C-Knoten betrachtet. Nur die C-BM werden durch Ihre Ersatzschaltung nach Bild 3.1 a dargestellt. Alle R- und L-BM werden nur durch ihre Ströme berücksichtigt. Man erhält die dritte Zeile der GI. (3.10) nach den gleichen Regeln wie unter Schritt 1:

[· · l· · · · · l· · · · ][u~ -1 {····l··········l···········][J~~J-[„„„.l/L „ ..

······· =

J··········I········

i GcR i Gcc

····t··········t···········

i KcR i KccR

UKc

·····

i~

···•••·

KoL

Beispiel 2 nach Bild 3.4 RL1 ,L 1 L-Knoten

R-Knoten

C-Knoten

Bild 3.3 a) b) c): Schrittweise Bildung des Knotenspannungs-Gieichungssystems für das erweiterte Knotenpunktverfahren Im 1. Schritt werden nur die R-Knoten und die Verbindungen zu den C-Knoten betrachtet (Bild 3.3a). Die R-BM werden durch ihre Ersatzschaltung nach Bild 3.1 b

"~·J

~ 1

RL2' L2

i~'

Bild 3.4: R-L-C-Beispielnetz (wie Bild 2.1)

RL3' L3

2

G0 ,C

3

t' "~l t fc

R

/R

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

38

Das bereits im Beispiel 1 betrachtete 3-Knoten-Netz besteht aus 3 L-BM, je einem R- und C-BM, einem L-Knoten (Knoten 1), einem C-Knoten (Knoten 2) und einem RKnoten (Knoten 3). Betriebsmittelgleichungen entsprechend GI. (3.5): •/

[~]=

1L1 •/

/L2 •/

!!:!. jR

ic

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

39

algebraischen Gleichungen unterscheiden. Der Unterschied besteht darin, daß in der 1. Zeile von GI. (2.9) der Knotensatz für den induktiven Knoten (Knoten 1) steht, während beim EMKPV in der 1. Zeile der algebraischen Gleichung der Knotensatz am Knoten 1 für die Ströme i~1 und i~, also für die Differentialquotienten der induktiven Ströme vorkommt.

•/

q1

UL1 UL2 UL3 UR

q2 q3 ~

Ge

1qL1 •/

/qL2

Stationärer Fall

•/

+ /qL3 0

-.,-

Uc

'qc

Im stationären Zustand können Zeiger g anstelle der Momentanwerte g treten. Für die zeitlichen Ableitungen g einer Größe gilt dann jmfl. Damit geht GI. (3.13), die hier nochmals angegeben sei

Knotensätze entsprechend GI. (3.6) (ein vom Knoten wegführender BM-Strom geht mit +1 in die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix ein):

0 0

;]

jL1 jL2 jL3 =0 jR

ic Knotenspannungs-Gleichungssystem entsprechend GI. (3.10):

~L 0 0

~R GRR GcR

~c GRc Gcc

-K;j_ -K~L -KJL

KLLA{_ KRL KcL RL

ll~j=-l ~.

0

0

]lt]

über in folgende komplexe Gleichung: ~

~R ~R GcR

0 0 -KJ_ -K~L

[

Gi.c ~c Gcc + jm '1
KLLA{_

-KJL

RL + jmL

KRL KcL

fäH

-KLLGL 0 0 E

0 KRR

0 0

KcR 0

Kcc 0

j[t]

(3.16)

Anstelle der ersten Zeile tritt der Knotensatz für die L-Knoten, an denen vereinbarungsgemäß nur L-BM angeschlossen sind: Algebraische Gleichung entsprechend GI. (3.14):

0 0 0

0

0

~R GcR

GRc Gcc + jm '1
-K~L -K~L

Differentialgleichungen entsprechend GI. (3.15) mit iqR und iqc = 0:

-KJL

KLL KRL KcL

!!KL [0 0 , 00 j[UqL] !!KR 0 , KRR :;:--/qR MKc 0 KcR Kcc --i E 0 0 lqc RL + jmL -L

l[

(3.17)

nach der Einführung von Admittanzen und Impedanzen hat GI. (3.17) die Form von GI. (2.15a) in Abschnitt 3, Teil 1:

0

0

0

0

rRR lcR -K~L

X.Re lcc

KLL KRL KcL

-KJL

Z,L

0 -KJ.

o·

fäH

0 0 KRR 0 KcR E 0

0 0

Kcc 0

(3.17a)

Vergleicht man diese Gleichungen mit den Gin. (2.8) und (2.9) des üblichen MKPV, so stellt man fest, daß die Differentialgleichungen übereinstimmen und sich nur die

r i

40

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Beispiel 3: GI. (3.17) für das R-L-C-Netz nach Bild 3.4 0 0 0

0

~ 0 -1 0 -1 0 1 0

0 0

1

0

1J.K1 1J.K3

Ge+ jcoC

-1

0

Ru+ jco~

0

1

0 0

RL2 + jco~

0 0

0

RL3 + jrol:i

-1

0

-1

0 0

u.K2

=-

lu ll2 1L3

-

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

41

In der dreipoligen Darstellung stellt bei den induktiven Elementen der freie Sternpunkt eine Besonderheit dar. Aus Bild 4.1 a folgt bei vollständiger induktiver Verkettung:

0 0 0

(4.1)

1J.qL1

0 0 und wenn der Sternpunkt geerdet ist:

4

!+,, = ~ jM + 4,, ~ = ~(iLa + jLb + iLc)+ 4,,(iLa + iLb + iLc)

Erweiterung auf das Dreileitersystem

Der Übergang von der einpoligen zur dreipoligen Darstellung läßt sich ":'ie in Teil 1 in der symbolischen Matrizenschreibweise wieder einfach vollziehen, indem man anstelle der Variablen g halbfett und klein geschriebene Vektoren g und anstelle der Parameter M halbfett und groß geschriebene Matrizen M nach Tabelle 4.1 setzt.

(4.2)

GI. (4.2) in GI. (4.1) eingesetzt ergibt:

(4.3a) Tab. 4.1: Überaana zur dreiohasiaen Darstelluna drei polig

einpolig

natürliche Koordinaten VariableNektoren

g

Parameter/Matrizen

M

g=[ga gb

[M•

M= Mba Mca

Mab Mbb Mcb

gs

M~l Mbc Mcc

modale Koordinaten

9M =[g1

[~

~= ~

bzw.:

g2 g3f 0 M2 0

mit:

ll

In Hinblick auf die dreipolige Darstellung wurde in den einpoligen Gleichungen (mit Ausnahme der Endgleichungen der Beispiele) bereits Divisionen vermieden und 1 dafür der Ausdruck (.... )" in der richtigen Reihenfolge verwendet.

a)

(4.3b)

Zu GI. (4.3) gehört die Ersatzschaltung in Bild 4.1 b. Sie entspricht der GI. (1.1) in dreipoliger Darstellung (nicht zu verwechseln mit der gleichlautenden GI. (1.4a)). Für die Auflösung der GI. (4.4) in ihre explizite Form, wird der Sternpunkt zunächst geerdet angenommen. Die lnduktivitätsmatrix ist damit regulär und man erhält:

b)

iLa iLb

uL

ULa

;Lc

Rm, Rn

'-.,,, '-n

ULb

ULb

(4.4a)

UqLai ULc

Bild 4.1: Ersatzschaltungen der induktiven BM a) mit Sternpunkt-Erde-Zweig b) mit eingearbeitetem Sternpunkt-Erde-Zweig

oder in komprimierter Schreibweise: ULc

iL

= L-

1

uL -

c 1 RL ;L -

L-

1

uqL

= sL uL +Ai. ;L

-

Bi. uqL

(4.4b)

Dies ist die GI. (3.3) in dreipoliger Darstellung (nicht zu verwechseln mit der gleichlautenden GI. (3.4a)). Für die Diagona/e/emente von Bi. ergibt sich:

42

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

und für die Nichtdiagonalelemente:

Die Elemente der A-Matrix werden: 2

.t\n = ~ R,,, +2ft Rn =-~( ~ + ~) )\, = ~ ~ +EtR,,, +EtR, =..:!_(R1 _ Ro) 3 L. La Dabei sind:

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

43

lige Unterbrechung übergeht, zu behandeln. Bei der Abschaltung kurzschlußbehafteter Netzteile sind immer Kurzschlüsse mit Unterbrechungen kombiniert, so daß man es mit Mehrfachfehlern zu tun hat. Im folgenden wird ein zum EKPV passendes Verfahren, das sich weitgehend an die in Kapitel 6, Teil 1 beschriebene Methode anlehnt, beschrieben. Das Verfahren wird In natürlichen Koordinaten hergeleitet, kann aber genauso in die Beschreibung mit modalen Koordinaten übernommen werden .

Fehlerfreies Netz in natürlichen Koordinaten Die Erweiterung der Gin. (3.3), (1.2) und (1.3) zu den Gleichungen für die dreipoli1 gen symmetrischen Betriebsmittel ergeben folgende Klemmengleichungen >. Für die induktiven Betriebsmittel (L-BM):

L. = l,,, - '-n = /, - 4.i

und

Ist der Sternpunkt nicht geerdet, so wird erst nach der Inversion der L-Matrix der Grenzübergang La~ oo vollzogen, womit sich ergibt:

2

1 B=--

~=-

3L.

n

3L.

sowie: (5.1b)

.t\n = -2-Ai3

'-t

mit den Abkürzungen:

Bei nicht geerdetem Sternpunkt werden somit die A- und B-Matrix wie die L-Matrix singulär (in der L-Matrix werden alle Elemente gleich (unendlich groß) und in der Aund B-Matrix werden die Zeilen- und Spaltensummen Null). In der Singularität kommt die algebraische Abhängigkeit der Ströme bzw. der Stromdifferentiale zum Ausdruck, denn am nichtgerdeten Sternpunkt gilt L + ii.b + A.c = O. In der sich in der expliziten Form befindlichen GI. (4.4) stört diese Singularität nicht mehr, sie führt lediglich zu einem Null-Eigenwert (s. Kapitel 6). Es ist also wichtig, nicht geerdete Sternpunkte erst in der expliziten Form zu berücksichtigen. Andererseits wird es so überhaupt erst möglich, die explizite Form der GI. (4.4) zu erhalten. Für die resistiven Betriebsmittel (R-BM) lauten die dreipoligen Klemmengleichungen:

5

Fehlernachbildung im EKPV

Hier soll wie in Kapitel 6, Teil 1 wieder nur auf die problematischen Quer- und Längsfehler ohne Fehlerwiderstände, also satte Kurzschlüsse und vollständige Leiterunterbrechungen eingegangen werden. Fehler mit Fehlerwiderständen werden wie unsymmetrische Netzzweige behandelt und bedürfen keiner besonderen Betrachtung. 1 Im Zeitbereich ist das unbeeinflußte Abschalten > der Betriebsmittel wie eine unsymmetrische Unterbrechung, die im erstlöschenden Pol beginnt und in eine dreipo'l Beim unbeeinflußten Abschalten verlöschen die Ströme ohne Lichtbogen in ihren Nulldurchgängen.

(5.2a)

(5.2b) und für die kapazitiven Betriebsmittel (C-BM):

1

l Die vorausgesetzte Symmetrie ist nicht Bedingung, vereinfacht aber die Schreibweise

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

44

[il[~ leb -

Gen

icc

Gen

Gcm

~ Gen ][~] Ucb + [;~] ~qCb + [c. Cn

cm

Gen

Gern

cn

Gen

Ucc

lqec

Cn

~ Cn c.][~] Ucb = cm

=[~ Gen Gern Gen Gen

Gen

(5.3a)

~ ][~] ['~] ~~Cb Ucb + Ucc lqcc

ic =Ge Uc + lqc + Cüc =Ge Uc + l~c

bzw.:

(5.3b)

In Bild 5.1 ist das Klemmenverhalten der BM anschaulich durch Ersatzschaltungen dargestellt.

;:,----------------------: 1

·----------------------~

i:

:

1 1

" l

u

1 1 1

'

l;q;

"

·-""

Anstelle der Elemente+ 1, 0 oder -1 der lnzidenzmatrizen in der einpoligen Darstellung treten in der dreipoligen Darstellung lediglich die entsprechenden 3x3-Untermatrizen:

[' J [o

0

ol

Mec

r-1 -1 -1l

1 1 1 1

1

"

(5.7) und (5.8)

Man erhält ein zu GI. (3.14) analoges algebraisches Gleichungssystem1>:

1 1

1

1.

45

mit den lnzidenzmatrizen:

Ücc

Gen Gcm

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

1 1

(5.9a)

liqc~

1 1

G

bzw.:

Ge C

Bild 5.1: Dreipolige Ersatzschaltung der induktiven und resistiven BM (links) und der kapazi· tiven BM (rechts) Die Klemmengleichungen der BM werden ergänzt durch zusätzliche Gleichungen für die Beschreibung des inneren Modellverhaltens. Diese werden zweckmäßigerweise in Form von Zustandsgleichungen aufgestellt. Im EKPV dürfen die Zustandsglei· chungen ohne weiteres auch nichtlinear sein. Sie haben deshalb die allgemeine Form:

z= f(z,u,i,x)

(5.4)

q=g(z,x)

(5.5)

(5.6)

= -iaLR

(5.9b)

und ein zu GI. (3.15) analoges Differentialgleichungssytem:

bzw.: Die Abkürzung

Die Ausgabegrößen q sind die Quellengrößen /q bzw. Uq in den Klemmengleichungen. Im Vektor x sind die Eingangsgrößen des Systems (Turbinenleistungen und Erregergrößen oder bei Berücksichtigung der Turbinen· und Erregerregelung die entsprechenden Reglersollwerte) zusammengefaßt. Die Struktur der Gleichungen wird Beispiel der Gleichungen für den Generator und die Transformatoren in Kapitel 7 und 8 deutlich gemacht. Der Aufbau des dreipoligen Gleichungssystems erfolgt analog zu dem des einpoligen Gleichungssystems in Kapitel 3:

Gi
(5.1 Oa) und (5.1 Ob) iaLR

in GI. (5.9b) bringt zum Ausdruck, daß auf ihrer rechten Seite

für einen Lösungsschritt gegebene Größen, die wie Quellen aufgefaßt werden können stehen. Durch diese Schreibweise wird auch die Analogie zu dem Knotenspannungs-Gleichungssystem in Kapitel 4 deutlich.

Fehlerbedingungen in natürlichen Koordinaten Ausgangspunkt der Fehlernachbildung ist wie in Kapitel 6, Teil 1 die einheitliche Formulierung der Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit 3x3 Fehlermatrizen in natürlichen Koordinaten. Um die Darstellung gegenüber Ka· pitel 6, Teil 1 noch weiter zu systematisieren, sollen vordergründig die Hauptfehlet> Unter den Hauptfehlern versteht man die Fehlerkonstellationen, die symmetrisch zum Leiter a angeordnet sind. betrachtet werden. 1 J beide Gleichungssysteme lauten formal gleich, da auf eine besondere Kennzeichnung der dreipolieen Form verzichtet wurde Unter den Hauptfehlern versteht man die Fehlerkonstellationen, die symmetrisch zum Leiter a angeordnet sind.

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

46

a----o- _':~a..>.

b~~~---4~-4~~~~-

b - - - -~

c---- -~~"->

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

11ab. 5.2: Fehlermatrizen Ffür die Kurzschlüsse und Unterbrechunaen IHauotfehler

) i.

1-pol. EKS a- E 2-ool. UB b und c

ib je

2-pol. EKS b-c-E 1-ool. UB Letter a

2-pol. KS b-c

[~ ~]

[~ ~]

3-pol. EKS a-b-c-E ohne Unterbrechuna

ohne KS 3-ool. UB

3-pol. KS a-b-c

[~ ~]

[~ ~]

[~ ~]

[~

0

1

0

0 0

;]

0

0

0 0

Bild 5.2: Ströme und Spannungen an einer Kurzschluß- und Unterbrechungsstelle Mit den Bezeichnungen nach Bild 5.2 ergeben sich für die Hauptfehler die in Tabelle 5.1. geordneten Fehlerbedingungen. Tab. 5.1: Fehlerbedinaunaen für die Kurzschlüsse und Unterbrechun Jen IHauotfehlerl 2-pol. KS 2-pol. UB 2-pol. EKS 1-pol. UB 1-pol. EKS Leiter a b-c a-E b und c b-c-E jFa =0 L1ub =0 jFa =0 ia =0 UKa =0 1

;Fb =0

;b =0

UKb =0

L1ub =0

iFe =0 3-pol. EKS a-b-c-E UKa =0

ie =0

UKe =0

L1ue = 0

UKb =0

4
=0

1 1

jFb + jFe

1

0

0

0

1

0

1

0 0

Nachbildung von Kurzschlüssen Die drei Fehlerströme ;Fal• iFb1 und ;Fe/ an einem Fehlerknoten i (s Bild 5.2) werden wieder zu einem Fehlerstromvektor zusammengefaßt:

=0 (5.15)

UKb-UKe=O

ohne UB

ohne KS

3-pol. UB

L1U8 =0

jFa =0

ia =0

3-pol. KS a-b-c iFa+iFb+iFc=O

L1ub =0

;Fb =0

;b =0

UKa -UKb =0

L1u0 =0

;Fe =0

ie =0

UKb-UKe=O

1

47

und alle Fehlerstromvektoren und Fehlermatrizen aller n Knoten (an jedem Knoten kann ein Kurzschluß vorkommen) in der Reihenfolge L-, R- und C-Knoten werden weiter zusammengefaßt zu:

l/i

In der angestrebten Matrizentorm lauten die Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse: ;Fa]

F[

~=

(5.16)

(5.17)

(5.11 )(5.12)

=0

Das Knotenspannungs-Gleichungssystem des ungestörten Netzes GI. (5.9) wird um den Knoten-Fehlerstromvektor ;FLR für die L- und R-Knoten erweitert:

und für die Unterbrechungen: (5.18) (5.13)(5.14)

Durch Multiplizieren der GI. (5.18) von links mit der Fehlermatrix Fi
Die Fehlermatrizen für die Hauptfehler sind in Tabelle 5.2 zusammengestellt. Die in Tabelle 5.1 nebeneinander stehenden, durch gestrichelte Linien getrennte Fehlerarten können aufgrund der Ähnlichkeit der Fehlerbedingungen zusammengefaßt werden, so daß man mit insgesamt 6 Fehlermatrizen für die Hauptfehler auskommt. Betrifft der Fehler andere Leiter als die in Tabelle 5.2 angegebenen, so sind die Matrizenelemente entsprechend zu vertauschen.

Die auf alle L- und R-Knoten ausgedehnte GI. (5.12) (zweite Fehlerbedingung) (EKLR -Filt_R)UKLR

=0

wird von links mit Cii
48

Berechnung nichtstationärer Vorgänge (5.20a)

oder kürzer: (5.20b)

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

49

achten, daß Unterbrechungen an L-BM und am letzten R-BM eines R-Knotens unbeeinflußt nur im Nulldurchgang des jeweiligen Stromes eingeleitet werden dürfen. Unterbrechungen von C-BM führen immer zu einem neuen C-Knoten und machen deshalb den einmaligen Neuaufbau des Gleichungssystems erforderlich. Im Gegensatz zu den L- und R-BM wird dabei das C-BM aber nicht verändert (gestört). Das Beispiel in Bild 5.3 erläutert die Vorgehensweise.

GI. (5.20) läßt sich nach den gesuchten Knotenspannungen auflösen. Mit den Knotenspannungen werden anschließend über die Gleichungen der Netzzweige die Zweigströme berechnet. Schließlich sind noch die Fehlerströme zu ermitteln. Dazu dient die GI. (5.18) in der Form: (5.21) Die Behandlung der Kurzschlüsse an den Gleichungen für die kapazitiven Knoten erfolgt analog.

Nachbildung von Unterbrechungen Den L- und R- BM wird eine dreipolige Unterbrechungsstelle zugeordnet. Damit gehen ihre Gleichungen (s. GI. (5.1) und (5.2)) über in: (5.22)

Bild 5.3: Unterbrechung am C-Betriebsmittel

(5.23) Die weitere Vorgehensweise wird am Beispiel der L-BM erläutert. Die GI. (5.22) wird wie folgt umgestellt. (5.24) Wegen der Ähnlichkeit der GI. (5.24) mit der GI. (5.18) und der einheitlichen Schreibweise der Fehlerbedingungen kann von GI. (5.20) sofort das folgende Ergebnis für die Berechnung der Spannungen an den Unterbrechungsstellen übernommen werden (bei den Unterbrechungen gilt stets FT = F):

l

Vor der Unterbrechung liegt ein C-Knoten vor. Die K-Matrix lautet: .1

=[E 1E1 E]

1

(5.28)

1 Ist beispielsweise der Leiter a des zweiten C-BM unterbrochen, so tritt an Stelle von GI. (5.28): 0

KF

=[~L 1 ~c]=

- ---1-----1---1 O O 0

(5.25)

0 0

=[·Eo 1 Eo 1 EF-F]

(5.29)

0 0

0

Eingesetzt in GI. (5.22) ergibt sich für das L-BM mit Unterbrechungen:

( =(E-Cl(ClF-Cl +ClF)-1 F)(ClL1t. +i~d=G[ L1t. +i:L

(5.26)

Die hinzugekommene zweite Zeile gehört zu dem neu entstehenden C-Knoten 2. Der Neuaufbau des Gleichungssystems entsprechend GI. (5.6) jedoch mit:

(5.27)

KF

Für Unterbrechungen an R-BM erhält man analog:

/R=~UR+i:R

Die so „gestörten" Gleichungen der L- und C-BM werden bei der Aufstellung der Netzgleichungen wie die „gesunden" Gleichungen behandelt. Damit ist die Nachbildung von Unterbrechungen an L- und C-BM denkbar einfach. Es ist nur noch zu be-

'=[~E-F] 0101 F

liefert:

und

KT

=[fü]

50

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

außerdem gilt noch (zweite Fehlerbedingung):

(E -F)L1UKc =(E -

F)

UKC2 -(E -F) UKc1

=0

(5.31)

Die Gl.(5.31) wird mit -Ci! multipliziert und auf der rechten Seite und nach Differentiation (die Spannungen der C-Knoten sind Zustandsvariable) auch auf der linken Seite von GI. (5.30 ) hinzugefügt. Man erhält so schließlich:

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

51

Bei dreipoliger Unterbrechung (F = E) ist der R-Knoten vollständig in einen LKnoten übergegangen. Beim Abschalten des letzten C-BM an einem C-Knoten entsteht ein neuer R- oder LKnoten. Das einfache Beispiel in Bild 5.5 zeigt die Entstehung des neuen L-Knotens. Die Entstehung eines neuen R-Knotens erfolgt analog.

/L

LlUK

~

je

-----i;.-...o

[C2(i-F) (~2--~2~2F][~:::J= F) +F F

Gc1 - [ Gc2(E-F)

(E Gc2 ][UKC1] [;qC1 + ( E - F) ;qC2] [;L] F Gc2 -G02 Gc 2 UKc2 F i902 - 0

Als Sonderfälle sind noch das Abschalten des letzten R-BM an einem R-Knoten und das Abschalten des letzten C-BM an einem C-Knoten zu betrachten. Im ersteren Fall wird aus dem R-Knoten, an dem das R-BM angeschlossen ist, ein L-Knoten. Das einfache Beispiel in Bild 5.4 veranschaulichtden Vorgang.

Bild 5.5: Abschalten des letzten C-BM an einem C-Knoten

Vor der Abtrennung liegt ein C-Knoten vor und es gilt: K=[KcL j Kcc]=[E j E] Mit der Unterbrechung lautet die K-Matrix mit dem hinzugekommenen L-Knoten (1. Zeile): 1

[KEi_

KF = KbL

~] [ F ~] 1 Kcc = E - F 1 E

Der Neuaufbau des Gleichungssystems entsprechend GI. (5.6) mit K~ und Bild 5.4: Abschalten des letzten R-BM an einem R-Knoten Es ist zunächst nur ein R-Knoten vorhanden. Die K-Matrix lautet:

sowie KbL = E - F für KcL auf der rechten Seite liefert zunächst: Wird nun das R-BM abgeschaltet, so ändern sich die K-Matrix nicht, da die Unterbrechung schon in das R-BM eingearbeitet ist. Die modifizierte K-Matrix, mit der das Gleichungssystem immer aufgebaut wird, nimmt folgende Form an:

(5.25)

Außerdem ist noch die Bedingung (zweite Fehlerbedingung) an der Trennstelle: Mit K~ und

K

sowie ~L = E - F (weil der Knoten geteilt wird) für KRL auf der

rechten Seite von GI. (14) ergibt der Neuaufbau des Gleichungssystems:

(E-F)L1UK

=(E-F)uKC -(E-F)uKL =0

52

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

zu berücksichtigen. Sie wird von links mit gezogen:

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Gi. multipliziert und von der GI. (5.25) ab-

53

mit den folgenden speziellen Ausdrücken für die Untermatrizen:

Fee = -Gce + GeRGfi~~e FeL = -KeL + GeRGfi~KRL zusammenfassend ist festzustellen, daß alle Fehlerarten und beliebige Fehlerkombinationen durch einfache Manipulationen mit einer Fehlermatrix an den Betriebsmittelgleichungen oder Knotenspannungsgleichungen berücksichtigt werden können. Dabei bleibt die Dreileiterstruktur der Gleichungen erhalten und es sind keine zusätzlichen Gleichungen erforderlich.

11.e = KJL -KJ.Gi:"~GLe +K~LG~~G;i~~e -K~L G~~GRe 11.L =-~ -K~LGL°~KLL~ + KJ.Gi:"~~RGfi~KRL - K~LGfi~KRL Hee =-Kee

Nachbildung von Kurzschlüssen und Unterbrechungen in modalen Koordinaten Die Verknüpfung der BM und die Nachbildung von Fehlern kann auf gleiche Weise, wie hier dargestellt, auch in modalen Koordinaten erfolgen. Anstelle der Fehlermatrizen Fund F sind dann lediglich die transformierten Fehlermatrizen

Em =Li1 Fim

und

zu verwenden. Damit bleibt die endgültige Festlegung des Koordinatensystems für die Untersuchung des zweckmäßigsten Lösungsverfahrens offen.

HeR =-KeR +GcRGR~KRR HLR = K~L Gi:"~GLR GÄ~ KRR - K~L GÄ~ KRR HLL = -E + KJ. Gü'. KLL GL Diese Matrizenausdrücke sehen zwar kompliziert aus, setzen sich aber nur aus den Betriebsmittelleitwerten und den Untermatrizen der Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix zusammen. Sie können somit ebenfalls ohne topologische Hilfsmittel aufgestellt werden. Die GI. (6.2) läßt sich ohne weiteres nach den zeitlichen Ableitungen der Zustandsgrößen auflösen, da die Matrizen L und ~K regulär sind (bezüglich der dreipoligen Darstellung s. Kapitel 4):

6 Berechnung der Netzeigenwerte nach dem EKPV Das EMKPV erlaubt auch die Berechnung der Netzeigenwerte. Dazu wird das Algebro-Differentialgleichungsystem in eine ZDGL überführt, indem die algebraische Knotenspannungsgleichung GI. (3.14) in die Differentialgleichungen GI. (3.15) eingearbeitet wird. Dieser Schritt ist beim ursprünglichen MKPV nicht möglich. Zunächst wird die GI. (3.14) nach den Knotenspannungen aufgelöst:

(6.3)

Die Eigenwerte der Systemmatrix der GI. (6.3) (6.1)

A=

[~~·-1-1~~]

ergeben sich unter Voraussetzung der Linearität (oder nach Linearisierung) bekanntlich aus: Mit GI. (6.1) können in GI. (3.15) die Knotenspannungen den. Man erhält formal:

UKL

und

UKR

eliminiert wer-

det(A.E-A)=O Für ein Netz, das keine L-Knoten enthält, ist die ZDGL GI. (6.3) in Minimalform. Es treten keine Nulleigenwerte auf. Enthält das Netz L-Knoten, so ist die ZDGL nicht in Minimalform1>, da jeder L-Knoten

(6.2) 1

> Streng genommen ist nur die Minimalform der GI. (6.3) eine Zustandsdifferentialgleichung. Um die GI. (6.3) nicht unterschiedlich ansprechen zu müssen, soll sie auch als Zustandsgleichung bezeichnet werden, wenn sie sich nicht in Minimalform befindet. Ebenfalls sollen die Unbekannten der GI. (6.3) stets als Zustandsgrößen bezeichnet werden.

54

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

eine algebraische Abhängigkeit zwischen den induktiven Strömen bedeutet. Mit jedem L-Knoten entsteht somit ein Nulleigenwert. Die restlichen Eigenwerte werden exakt erhalten. Die Gesamtzahl der Nicht-Nulleigenwerte eines Netzes läßt sich anhand der vorgenommenen Klassifizierung der BM und Netzknoten leicht angeben. Sie ergibt sich bei einpoligen Netzen mit m. induktiven BM, f1t. induktiven Knoten und nc kapazitiven Knoten aus der folgenden Bilanz: Anzahl der NN-EW = (mi.. - f1t. + nc) + Anzahl der inneren EW. Die Anzahl der zu den inneren Zustandsvariablen der BM gehörenden inneren Eigenwerte (EW) ist aus den Modellen der BM bekannt. Im folgenden sollen noch einige Sonderfälle diskutiert werden.

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

.

c·1

UKc = - KK

G

(6.6)

Die Matrix Gcc entartet zur Knotenleitwertmatrixder C-Knoten:

die genauso wie die Knotenkapazitätsmatrix nach GI. (3.12) gebildet wird. Die Systemmatrix Ace von GI. (6.6) hat nc negativ reelle Eigenwerte (Zeitkonstanten). Nulleigenwerte treten bei nichtverschwindenden Leitwerten nicht auf. Die Knotenpunktspannungen bilden im C-Netz bekanntlich einen vollständigen Zustandsvektor.

C-R-Netz Aus GI. (6.3) wird:

Ein L-Netz besteht nur aus induktiven BM und hat demzufolge auch nur L-Knoten. Dieser Fall tritt bei der Vernachlässigung aller Netzkapazitäten, wovon man bei der Kurzschlußberechnung Gebrauch macht, auf. Die Eigenwerte eines L-Netzes sind negativ reell. Ihre Beträge sind die Reziprokwerte der Gleichstromzeitkonstanten, die den Verlauf der Gleichglieder in den Kurzschlußströmen bestimmen. GI. (6.3) reduziert sich auf:

ÜKc

Der erste Term in der Systemmatrix ALL liefert die Kurzschlußeigenwerte (Zeitkonstanten) der BM, wenn alle BM an ihren Klemmen kurzgeschlossen sind. Der zweite Term verschiebt die Kurzschlußeigenwerte entsprechend der Kopplung der BM. Die Anzahl der EW ist EW = mL - flt.. Sie stimmt damit mit der Anzahl der unabhängigen Maschen des L-Netzes überein. Bekanntlich bilden die Maschenströme im L-Netz einen vollständigen Zustandsvektor. Die Systemmatrix ALL von GI. (6.4) hat die Dimension m. x m. und liefert somit neben den exakten Eigenwerten noch f1t. Nulleigenwerte.

,..-_1,,, .

cc UKc - ""KK "'CC lqc

L-Netz

(6.4)

55

=-Ci
Die Anzahl der EW ändert sich gegenüber dem reinen C-Netz nicht. Die R-BM bewirken lediglich eine Verschiebung der Eigenwerte (Zeitkonstanten).

Beispiel 4: L-Netz nach Bild 6.1

~

~ lu

u

l

K

~ il2

~

Bild 6.1: L-Netz mit einem Knoten und zwei Betriebsmitteln

L-R-Netz Aus der zweiten Zeile von GI. (6.3) folgt mit uKc = 0 und iqc = 0 : 1 ( =-L- (RL +K~LGL~KLL..( -KJ,~Gi_RGR°~KRL +KriLGR°~KRdiL­

-L-1(E-K~LGLCKLLGduqL + L- 1 (KJ.GL~GLRGÄ~KRR -KriLGÄ~KRR)iqR

(6.5)

Die Anzahl der EW wird durch die R-BM nicht verändert. Die resistiven BM bewirken eine weitere Verschiebung der EW (Zeitkonstanten).

C-Netz Ein C-Netz besteht nur aus C-BM und folglich nur aus C-Knoten. Dieser Fall kommt in Energieversorgungsnetzen kaum vor. GI. (6.3) würde sich reduzieren auf:

(6.7)

Berechnung nichtstatlonärer Vorgänge

56

Berechnung nlchtstationärer Vorgänge

57

Die Matrix Gu_ kann nach den Regeln des Knotenpunktverfahrens auch sofort aus der Schaltung abgelesen werden.

ii_ =-L-1(1\ + Kil_~Ki.iA'.H. -C 1 (E-Kil_~Ku_fl)uqL =

l r-1 __1

Ri.1 Ru [;~]= -~:Lz -~ [t]- _Li+1Lz

r

Li+4

Li+4

Li+4

Li:Lz Li+4

. T G-1 V /L = -L-1 (RL - KRL RRnRL ) ,L- -

L-1

uqL --

J[~~ ]

Für die beiden Eigenwerte ergibt sich:

Das Netz hat zwei reelle Eigenwerte:

(A.+~)(2+.J:lL) _ __!k__&_=A.2+,t(~+.fh,)=0

Li+Lz

~

"1

=0•.

~

"2

Li+Lz

Li+Lzli+Lz

Li+Lz

= RuLi+Lz + Ru

„+~

Beispiel 6: L-C-Netz nach Biid 6.3

Der Nulleigenwert entsteht durch den L-Knoten.

Beispiel 5: L-R-Netz nach Bild 6.2

Bild 6.3: L-C-Netz mit zwei L-BM und einem C-Knoten

Bild 6.2: L-R-Netz mit zwei L-BM und einem R-Knoten

Gcc =Ge

CKK =C

r

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

58

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

59

-c;kKcL ][UKc] 1 i- (-Ri_ -K~Gi:(KLLA,'..-K~LGR~KRd +

T

-[i-1(E-K~ct~~~JJuqL = Das Netz ist regulär (hat keinen L-Knoten) und damit auch keinen Nulleigenwert. Die drei Eigenwerte ergeben sich aus: /:l_

'.L1 =

[ ~~

Li + 4

! l, + 4

L,+4!'-1+4

4

RL2,L2

RL3,L 3

2

Gc,C

1

Uc "c,olu fc

i

0

0

Li+4

0-~

1 ~1 _ l, UqL1 f[2 0 iu 0

4

Wegen des L-Knotens entsteht ein Nulleigenwert.

3

"~l

___,,.,__

l, + 4 - -1- i __&__ _ _ik_

J..10

Beispiel 7: R-L-C-Netz nach Bild 6.4

l

~.f.. . .r.„.„.~· ;· · · · ·J.~.„.........~.~····· [4<2] .„„. l.„. O„ .

4<2] ...- - :--'-'L

··:···

Ge

1 /:l_ 1 1 /:l. 1 (A. +.'...Y)(A. +.'..Y.)(A.+-)--(A. + .'...Y.)- --(A. +.'..ll)- = 0 L, 4 c Li 4 c 4 Li c /:l.

Beispiel 8: Dreipollges L-Netz nach Biid 6.5

R

/R

1"" 42

Bild 6.4: Beispielnetz aus Bild 2.1

•/

'u

['L]-

q,1

~

/R - ~ lc /R ie

iqL1 ~1iL1 0 ul2 ~(1 Ui.a + ~iL3 + 0 Ui.1

Gi.z

Gi.:i :

:

.... „ ..•................... r·~··y······

............................•........ „ .......

i

i Ge

L4i

0

Ue

Ci.Je iL1

[K"

0

KRL KAR KOL KeR

J,.

.

0 ]["][' /R = 0 0 Kec le 0 -1

0 0 -1 1 1 0

il2

;]

iL3 =0 iR

ie

[!

Gi.R ~R GaR

~] [~,+~ ~e = 0 Gae

0

0

~ 0

!]

0 0

41

Bild6.5: L-Netz mit 25-Knoten und 42 gleichen dreipoligen R-L-Zweigen mit je R1 = L1 = L2 = 0,01 H und Lo"" 0,02 H

Rz „ Ro = O, 1 n,

Im Gegensatz zu den vorangegangenen Beispielen soll das Netzbild in Bild 6.5 ein dreipoliges Netz darstellen. Für dreipolige Netze Fall ergibt sich die Anzahl der Nicht-Nulleigenwerte allgemein aus: NN-EW = 3x(m. Eigenwerte

Q

+ nc) - Anzahl der L-BM mit freiem SP + Anzahl der inneren

Im Beispiel ist 17c = O, m. = 42 und Q = 25. Innere Eigenwerte treten aufgrund der Passivität der Zweige nicht auf. Wenn die Sternpunkte der beiden Querzweige geerdet sind, ergeben sich 3x (42 - 25) = 51 Nicht-Nulleigenwerte. Die (unvollständige) Zustandsdifferentialgleichung des L-Netzes hat die Ordnung 3x m., also 126 und damit auch 126 Eigenwerte, von denen 126 - 51 = 75 Nulleigenwerte sein müssen. Die Eigenwerte sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. 17 Eigenwerte haben den Wert -Rollo = - 5 s· 1 (Nullsystem-Eigenwerte) und 2x17 Eigenwerte den Wert -R,IL1 = -10 s·1 (Mit- und Gegensystem-Eigenwerte).

r

_6_0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _B_e_r_ech_nung nichtstationärer Vorgänge

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Tab. 6.1: Eigenwerte des Netzes nach Bild 6.5 A/sec_, No. A/sec· 1 No. No. A/sec·1 1 -10 2 -10 3 -5 4 -10 5 -10 -5 6 -10 7 8 -10 -5 9 11 12 10 -10 -10 -5 -10 14 13 15 -10 -5 17 18 16 -10 -10 -5 19 -10 20 -10 21 -5 23 -10 22 -10 24 -5 25 -10 26 -10 27 -5 28 -10 29 -10 30 -5 31 -10 32 -10 33 -5 -10 -10 36 -5 34 35 37 -10 38 -10 39 -5 -10 41 -10 42 40 -5 -10 44 45 43 -10 -5 46 -10 47 48 -5 -10 -10 50 51 -5 49 -10 52 0 0 53 0 54 124

0

125

0

126

nur v~n Zustandsvarlablen z und Eingangsgrößen x abhängig. Dieser Zusammenhang ist entsprechend GI. (5.5) zu formulieren als: fr:ß

=g(z,x)

(7.2)

Zur Aktualisierung des Quellenstromvektors ist in jedem Zeitschritt eine zustandsdifferenüalgleichung zu lösen. Diese ist nach GI. (5.4) in die Form (7.3) zu bringen. Bei der Wahl der Zustandsvariablen z ist man keinen Zwängen hinsichtlich der Kopplung mit anderen Betriebsmitteln ausgesetzt, da die Zustandsvariablen nicht unmittelbar an der Kopplung beteiligt sind, sondern lediglich in den Quellenstromvektor eingehen. Es kann deshalb die zweckmäßige Zustandsdarstellung in dqOKoordlnaten verwendet werden und speziell auf die bewährte Darstellung mit den Ankerströmen in dqO-Koordinaten und den um die Koppelfaktoren erweiterten Läuferflußverkettungen zurückgegriffen werden. Es wäre aber auch denkbar, anstelle der Ankerströme beispielsweise die Ankerflußverkettungen als Zustandsvariable zu verwenden.

0

Zustandsglelchungen In Impliziter Form

Ist der Sternpunkt eines der beiden Querzweige nicht geerdet, so wird ein Nullsystemeigenwert zu einem Nulleigenwert. Die Anzahl der Nicht-Nulleigenwerte von reinen L-Netzen entspricht bekanntlich der Anzahl der Maschenströrne, die einen Satz unabhängiger Zustandsgrößen bilden. Das Netz aus Bild 6.5 hat 3x17 unabhängige Maschen (16 drelpolige Fenstermaschen und ein dreipoliger Maschenurnlauf über die beiden Querzweige bei geerdeten Sternpunkten) und folglich in Übereinstimmung mit der obigen Bilanz 51 NichtNullelgenwerte.

7

61

Das grundlegende Gleichungssystem der Synchronmaschine beruht auf dem Zweiachsenmodell nach PARK. Durch Elimination der Läuferströme erhält man folgende Zustandsdifferentialgleichung mit den dqO-Komponenten der Ankerströme, dem Nullstrom und den mit Koppelfaktoren erweiterten Läuferflußverkettungen als Zustandsvariablen. Sämtliche Läufergrößen sind auf die Ankerwicklung umgerechnet:

Gleichungen der Synchronmaschine für das EKPV

Ausgehend vorn PARKsehen Zweiachsenmodell werden die für das erweiterte Knotenpunktverfahren benötigte Stromgleichung für die Klemmengrößen (Ankergrößen) und die Zustandsgleichungen in dqO-Koordinaten mit den Ankerstromkomponenten und den um die Koppelfaktoren erweiterten Läuferflußverkettungen hergeleitet. Nach der Klassifizierung der BM Im EKPV gehört der Generator (ohne Berücksichtigung von Stoßkapazitäten) zu der Klasse der induktiven Betriebsmittel. Die induktiven Betriebsmittel werden bekanntlich durch eine Klemmengleichung der Form (s. GI. (3.3) 1l):

r:i

0

0 0 0 0 0

r:i

0 0

0 ;d 0 0 1 iq ;o ~ 0 0 0 0 1 0 0 kFIJiF 0 0 0 kolJio 0 0 0 kolJia

0 0 0 0

R.

-mt:i_

0

-(J)

;d

Ud

R,.

0 0

0

mi!{i

(J)

(J)

0

0

R,J

0

0

0 0

Uq Uo

0

0

HFF

HFo

0

0

HoF 0

Hoo 0

0

lq lo kFl/fF kol/fo ko'l'a

+-J4RF

0 -~Ro 0 -~Ra

0

Haa

~UF

0 0 (7.4a)

oder in kompakter Form mit dem Index P für die PARK-transformierten Ankergrößen 11 (Index P):

(7.1)

[';

beschrieben. Darin sind /~ die modifizierten Klemmenströme und uG die Klemmenspannungen jeweils in natürlichen Leiterkordinaten. Der Quellenstromvektor lqG ist

KJ[~P J+[Rp+ll~ E

ZL

Die Matrix

1 > Es werden die dreipoligen Gleichungen hergeleitet, deshalb die halbfette Schreibweise. Außerdem wird i.f. anstelle des Index L für L-BM der Index G für Generator verwendet und der Strich an den Quellenströmen weggelassen. Der Index L wird für die Läufergrößen benötigt.

1

>

n

-1\i_

~~][~]=[~]

enthält die elektrische Winkelgeschwindigkeit m als Elemente:

Der Anker wird im Ständer befindlich angenommen.

------------

--------------------..... .3

i &z.

(7.4b)

r

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

62

o -w ol !l=W 0 0 [0 0 0

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

63

R

(7.5)

i,_

=

J '-clF

(7.8)

(1)

wobei p die Polpaarzahl, J das Massenträgheitsmoment, Tm die elektromechanische Zeitkonstante, 8rG die Generator-Bemessungsscheinleistung und Pr die Turbinenleistung sind.

Die Koppelfaktoren sind wie folgt definiert:

"0

m,,, = p....I...

4,d ·

Zustandsgleichungen in expliziter Form

l2 •

Für die Auflösung der GI. (7.4) in ihre explizite Form wird zunächst die 2. Zeile von GI. (7.4) mit Kmultipliziert und dann von der 1. Zeile subtrahiert:

mit

(7.9) Die Elemente der Matrix

Hu. lauten: Nun braucht die 1. Zeile von GI. (7.9) nur noch von links mit der Inversen der lndu ktivitätsmatrix

multipliziert zu werden, wobei zunächst vorausgesetzt ist, daß LM endlich, der Sternpunkt also geerdet ist: Der Strich an den Nullsystemgrößen Lfi und f1ci verweist darauf, daß sie auch die Induktivität und den Widerstand einer möglichen Sternpunkt-Erde-Verbindung enthalten:

[i: ]=-[~(Rp+KRLL +!l~) Zi.

(7.6)

K-KHLd][ip J+[~(Up -Kud] HLL

ZL

(7.10a)

UL

und ausführlich: id

Für die Berechnung der elektrischen Winkelgeschwindigkeit und des Läuferwinkels ß zwischen der Strangachse a und der Läuferachse d ist GI. (7.4) noch um die Bewegungsgleichung zu ergänzen:

~(!l

-RLL

iq

io

Rdtt::.i -w~ I t::.i wt::.it~ Rqtr:,_ 0 0

0 0 R~ I l.fi

kFlfiF

-k~RF

0

0

kolfio

-k~R0

0

0

kolfio

0

-k6Ra

0

HdFtt::.i w/ r:,_ 0

id

0

-wtt::.i HqQ /~ 0

kF'f//F

Hdolt::.i (1)/

r:..

iq

io

HFF

HFo

0

HoF

Hoo

0

kol/fo

Haa

kal/fa

0

0

+

(7.10b)

(urkFuF)tt::.i

mit:

Uq/~ +

Uof l.fi

Das elektrische Drehmoment berechnet sich aus der Beziehung:

(7.7) Für das mechanische Drehmoment gilt im Generatorbetrieb:

mit den Abkürzungen:

Rd =Ra+ k~RF + k~Ro;

Rq =Ra+ k6Ra Hqa=-Haa 1

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

64

Zusammen mit der GI. (7.6) bildet die GI. (7.10) die Zustandsgleichung GI. (7.3). Sie ist durch die Drehzahlabhängigkeit der Matrizenelemente und der Produktbildung im Ausdruck für das Drehmoment nichtlnear. Bei Verwendung eines expliziten Integrationsverfahrens für die Lösung der GI. (7.10) ist es zweckmäßig zuerst die rechte Seite für die Änderungen der Läuferflußverkettungen zu berechnen und diese bei der Berechnung der Änderungen der Ankerströme zu übernehmen, die Gl.(7.10) also wie folgt umzuordnen: (7.11 a)

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

65

Klemmengleichungen

*

Die modifizierte Stromgleichung für die Klemmengrößen (Ankergrößen) ergibt sich auf beiden Seiten: aus GI. (7.12) durch Multiplikation mit (7.15) und mit Gp = ~ ~:

J/. = Gp l/p -Gp (1'> + .Q J!/,) /p -Gp u(; =Gp Up + lqp

(7.16a)

Ausgeschrieben lauten die beiden Gleichungen: Ausführlich lautet die Gin. (7.16a):

Hi=o (7.11b)

Hoo 0

~ ][::]-[~d ~ ~ ][~] =

[fr[!

~/%

i0

(7.12b)

0

=

0

(7.13a)

l

zu:

~ = [o [d.:l 0 0

(1)

0 -(!)][ kolflo ~lflF [1 1 o][ ~'i'F +

(1)

0

0 0

kalfla

l

0 0 1 ko~o = 0 0 0 kalfla

[-(!)(~lflF kalfla + (kF'i'F + kolJio )] + kolflo) + kalJia (1)

(7.13b)

0

0

[~ ~ ~ ][~:] [~=] 0

Die Komponenten der in GI. (7.12) eingeführten subtransienten Spannungen ergeben sich aus

~

0

~

+

Uo

lcfJ

~ =-1-=_1_=---

mit:

(t)o

'-fi

X(,

X0 +3XM

Die Rücktransformation der Klemmengleichung in die natürlichen Koordinaten wird nur unvollständig vorgenommen, so daß u~ und /p erhalten bleiben. Sie können gleichzeitig für die Berechnung der rechten Seite der Zustandsgleichung und des elektrischen Drehmomentes verwendet werden. Da sich hinter /~ die zeitliche Ableitung der Stromkomponenten verbirgt, muß man wegen der Zeitabhängigkeit der PARK-Transformation (s. Anhang zu diesem Kapitel) bei der Rücktransformation die Produktregel beachten. Mit: und

Setzt man in GI. (7.13) die Änderungen der Läuferflußverkettungen aus GI. (7.11) ein, so findet man:

folgt aus GI. (7.16): (7.14a) (7.17) und

u:Il [~~] [~Ri: + ~Ro [~0 = 00 + 00

0

kÖRa 0

H:][~::] 0

Der letzte Term ist durch die Zeitabhängigkeit der PARK-Transformation entstanden. Mit:

ka'l'a

(7.14b)

folgt weiter:

f~ = ~UG + Tp (lqP-*.QTfp) = ~ UG + fqG

(7.18)

r

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

66

Die GI. (7.18) entspricht der GI. (7.1 ). Der in GI. (7.18) enthaltene Quellenstromvektor ;qP kann auch für die Berechnung der rechten Seite der GI. (7.12) genutzt werden, denn es gilt (s. GI. (7.16)):

u:;1 =Wo lqp

-~ [(Rp + n L!f,)lp +

67

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

~=

1 X0 +3XM einfach Null zu setzen. Damit entfällt der 2. Term in der GI. (7.21) für die G-Matrix. Die beiden restlichen Terme sind singulär und lassen deshalb keinen Nullstrom zu. Der Ausdruck für den Quellenstromvektor in natürlichen Koordinaten

Damit wird die rechte Seite von GI. (7.12):

(7.22a)

RS= Wo (Gp Up + lqp) =Wo/~

(7.19) läßt sich mit

L1t!.' = ~ -

~ noch zusammenfassen zu:

Die G-Matrlx von GI. (7.18) ist wie folgt aufgebaut: (7.22b)

Für

Gq * ~

d.h. ~

* ~ werden die Elemente von Ga drehwinkelabhä.ngfg. Um den

drehwinkelabhängigen Teil für eine eventuelle Vernachlässigung abzuspalten, wird die G-Matrlx vor der Rücktransformation mit den Ausdrücken ~ -

X 11 +X11 d

q

'"'1-2Xd11 X"q

und

Die GI. (7.22) entspricht der nichtlinearen algebraischen GI. (7.2).

Anhang: Matrizen und Matrlzenprodukte

X"-X~

L1G=

2~"d xnq

1]

COSI\

Tp = cost?i, -sintJi, 1

-sint?i,

cost?2 [

wie folgt aufgeteilt:

+

-sint?2

cost?0

-sint?0

[! ~ lH! ; lH! ~l

.1

1

2

-sintJi, -cost?i,

0

tp1Tp =

Die Rücktransformation ergibt dann mit ~ = f(~ +2Gi) und q, = f(~ -Gi):

-slnr>. cosr>. -slnl\COSl\-slnß0 cosß0

2 3 [

2

L1G...,l

(7.20)

=

li)

Li~

2

2

-COS ß8 -COS 1\-COS ß0

=-W

0

2

2

2

sln r>. + sln l\ + sln ß0 -cosr>. sinß0 -COSl\Sin~ -cosß0 sinß0 0

O~l

o ol

1 -1 0 0 = ÜT

[0

0 0

L1G.:,, ••

"a

oder mit Gi =~-q, und~ =~+2q,:

~

2 = Gi -1 3[ -1

-1 -1] 2 -1 + -1 2

[1 1 1] [cos2t?a ~ 1 1 1 +~L1G cos2t?c 1 1 1 cos 21\

cos2t?c cos2t?b

cos2t?i,l cos2t?a

cos2t?a

cos2t?c

•• •Cl

= "•

"b

=··- 21t, .Q ··+ 21t •• " 3 "c = " 3 "a

="• .Q

.Cl

"b

=··- 21t, t9: =t?+ 21t " 3 c 3

(7.21)

Ist der Sternpunkt nicht geerdet, so Ist

r

68

8

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

69

ren für das Mit- und Gegensystem, die stets gleiche Parameter haben. Das Gleichungssystem für die natürlichen Größen wird durch Rücktransformation erhalten.

Gleichungen der Transformatoren für das EKPV

Ausgehend von den Gleichungen des Einphasentransformators werden die modifizierte Stromgleichung und die Zustandsdifferentialgleichungen der DrehstromZweiwicklungstransformatoren mit den Schaltgruppen YyO, Yd5 und Dy5 hergeleitet. Dreiwicklungstransformatoren lassen sich analog behandeln. Nach der Klassifikation der Betriebsmittel beim EKPV gehört der Transformator zu den induktiven Betriebsmitteln. Jedes induktive Betriebsmittel wird durch eine modifizierte Stromgleichung für die Klemmengrößen und durch eine explizite Zustandsdifferentialgleichung beschrieben. Bei den Transformatoren können zwei Darstellungsformen für die Klemmengleichungen gewählt werden. In der ersten Form {Form 1) sind die beiden Seiten A und B eines Zweiwicklungstransformators zu einer gekoppelten Stromgleichung zusammengefaßt:

Gleichungssystem des Einphasentransformators Es wird darauf orientiert, Gleichungen für die Originalgrößen auf jeder Wicklungsseite herzuleiten. Wählt man die Originalströme der beiden Wicklungsseiten A und B als Zustandsgrößen, so erhält man ausgehend von Bild 8.1 folgende Zustandsglei-

chung: (8.3)

Es bedeuten: (8.1)

n= WNWs Lh

·Die zweite Form (Form 2) besteht aus drei untereinander nicht gekoppelten Stromgleichungen {mit anderer Bedeutung der uA, u6 , iqA und iqs) und hat einen Knoten

L,,.

mehr im Netzgleichungssystem zur Folge:

iJ.. =GA UA +iqA j~ = Ge Us + jqB

(8.2)

= LT/2

R = RT/2

A

das Übersetzungsverhältnis die Hauptinduktivität, umgerechnet auf die Seite A die Streuinduktivität einer Wicklungsseite, umgerechnet auf die Seite A der Wicklungswiderstand einer Wicklungsseite, umgerechnet auf die Seite A

R,LC'i

R',L~

n:1

B

i~ = ~ Ui, + ;qm Die modifizierte Stromgleichung dient zur Verknüpfung mit anderen Betriebsmitteln und geht entsprechend dem Knotensatz in die algebraische Gleichung für die Berechnung der Knotenspannungen ein. Die Quellenstromvektoren iq 1 hängen nur von den Zustandsgrößen ab. Ausgangspunkt der folgenden systematischen Herleitung der Gleichungen für alle Schaltgruppen sind die Beziehungen zwischen den Wicklungsgrößen, die allen Schaltgruppen gemeinsam zugrunde liegen. Sie werden aus der Modellvorstellung der Drehstrombank, die aus drei gleichen Einphasentransformatoren besteht, entwickelt. Die Gleichungen des Einphasentransformators bilden deshalb die Grundlage des Modells. Die Drehstromtransformatoren mit Fünfschenkelkern haben bei Vernachlässigung der magnetischen Unsymmetrie durch die unterschiedlichen Längen des Eisenkreises für den mittleren und die äußeren Schenkel das gleiche magnetische Verhalten wie die Drehstrombank. Drehstromtransformatoren mit Dreischenkelkern verhalten sich hinsichtlich der Magnetisierung durch ein Nullsystem bekanntlich unnatürlich, weil sich der Nullfluß nicht auf dem normalen Eisenweg schließen kann. Um dieses Verhalten zu berücksichtigen wird die Modellvorstellung von der Drehstrombank dahingehend erweitert, daß die drei Einphasentransformatoren nicht die natürlichen Größen, sondern drei entkoppelte modale Komponenten repräsentieren, von denen eine immer ein Nullsystem ist. Im Falle des Dreischenkeltransformators unterscheiden sich die Magnetisierungsparameter des Einphasentransformators, der das Nullsystem nachbildet, von den Parametern der beiden anderen Einphasentransformato-

Bild 8.1: Ersatzschaltung des Zweiwicklungstransformators Es ist also angenommen, daß die gesamte Streuinduktivität und der gesamte Widerstand, die sich aus der Kurzschlußspannung ergeben, gleichmäßig auf die beiden Wicklungen A und B aufgeteilt sind. Solange die Hauptinduktivität endlich ist, der Magnetisierungsstrom also nicht vernachlässigt wird, kann die GI. {8.3) ohne weiteres nach den Änderungen der Ströme aufgelöst werden:

Zieht man in GI. (8.4) im Zähler und Nenner der Elemente der inversen L-Matrix noch Lh heraus und führt die Abkürzung E = L,,.I 4 ein, so schreibt sich GI. (8.4):

(8.5)

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

70

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

71

oder kürzer:

(8.11) (8.6)

und: 1

Der Quotient e stellt eine kleine Größe dar. Sie wird Null, wenn der Magnetisierungsstrom vernachlässigt wird. Für diesen Fall erhält man aus Gl.(8.5):

-~J{[UA]-[RA0

=-1 [ 1 [ 1'.A] 21_,, -n n 8

U8

0

R8

J[~A]}

(8.7)

1 8

Wenn kein Magnetisierungsstrom auftritt, heben sich die Durchflutungen der beiden Wicklungen auf. Es muß also i 8 =-niA gelten, was durch die GI. (8.7) auch zum Ausdruck kommt. Schreibt man GI. (8.7) zeilenweise, so wird dieser Zusammenhang noch besser sichtbar: 1.) R.,A /A: =1- (UA-nu ) - R - (.,A __ ,B =1- (UA-nu ) __ 2/_,,

B

2/_,,

n

2/_,,

B

Bei Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes entfällt somit eine Zustandsgleichung. Es ist nur noch der Strom einer Wicklungsseite Zustandsgröße. Der andere Strom ergibt sich aus dem Durchflutungsgleichgewicht. Man kann ihn aber auch durch Integration der zweiten Zustandsgleichung berechnen, wobei sich das Durchflutungsgleichgewicht einstellt. Durch Erweitern der GI. (8.6) mit 1/co0 auf beiden Seiten geht diese in die Klemmengleichung über: (8.8)

oder:

.

1

.

(8.12)

Wegen d~s ein?eutigen Zusammenhanges zwischen den Hauptfeldspannungen llhA und Utie einerseits und den Magnetisierungsströmen imA und ims andererseits werden i.f. nur. die Hauptfeldspannung und der Magnetisierungsstrom der Seite A, für die auch die Parameter bereitgestellt sind, weiter mitgenommen. Der Index A wird weggelassen, womit uh = uhA und im = imA als vereinbart gilt. Die Gin. (8.1 O) und (8.11) bilden jetzt eine entkoppelte Zustandsdifferentialgleichung 3. Ordnung, deren explizite Form wie folgt lautet:

R --

1

0

0

La

[iJ

/_,,

1 ( 2 ) R (' .) 1 ( ) R. /B: = 21_,, -nuA + n UB - 21_,, /B -n!A = n 21_,, -UA + nuB - La /B

R

0

--

0

0

La

La

: [;:]+

0

0

n2 La

0

0

La

[~]

n

La 1

(8.13)

4,

Die zugehörigen Klemmengleichungen ergeben sich wieder durch Erweitern mit 1/ co0 auf beiden Seiten und Umordnen:

n •/

1

R

0

X" :

;1 =Wo [i·J ;: =

0 0

n2 xcr 0

X" n Xcr 1

Xcr

[::]+

0

0

0

R

:[;:j

X" 0

0

xh

und in der Schreibweise von GI. (8.2): (8.9)

. /A., =GAUA + /qA

/~

GI. (8.9) ist die Klemmengleichung in Form der GI. (8.1 ). Die zweite, der GI. (8.2) entsprechende Form erhält man durch Einführung der Hauptfeldspannungen und des Magnetisierungsstromes in GI. (8.3): (8.10)

mit:

.

llt,s = 24,(niA + iB) =1-4 jmB =-UhA n n n

=~Us +iqB i~ =q, Ur,

(8.14)

Die in GI. (8.14) zusammengefaßten Gleichungen sind die Stromgleichungen der drei induktiven Zweige der Ersatzschaltung in Bild 8.1. Man beachte, daß die Spannungen uA und u6 in GI. (8.14) für die Zweigspannungen uA uhA und u6 - uhe stehen. Der induktive Knoten m der Ersatzschaltung geht bei dieser Form des Gleichungssystems als zusätzlicher Knoten in das Netzgleichungssystem ein. Das ist ein gewisser Nachteil, weil sich so die Ordnung des Netzgleichungssystems erhöht. Andererseits ist das Gleichungssystem durch die Entkopplung der drei Gleichungen übersichtlicher. Die Elemente GA und Ge sind unabhängig von der Hauptfeldreak-

72

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

tanz. Bei Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes ist einfach Gi, zen.

= O zu set-

Gleichungssysteme der Dreiphasentransformatoren Die Herleitung der Gleichungen für den Dreiphasentransformator erfolgt im Bereich der modalen Komponenten. Als modale Komponenten kommen beispielsweise die aßO-Komponenten oder die Raumzeigerkomponenten in Frage. Jeder modalen Komponente wird ein Einphasentransformator zugeordnet. Für die Wicklungsgrößen dieser drei Einphasentransformatoren gelten die oben angegebenen Gleichungssysteme. Zusätzlich sind die Gleichungen für die Zusammenschaltung der Einphasentransformatoren auf jeder Wicklungsseite entsprechend der Schaltgruppe aufzustellen, wobei bei Sternschaltung einer Wlcklungsseite zwischen geerdetem und ungeerdetem Sternpunkt zu unterscheiden Ist. Zwei der Einphasentransformatoren repräsentieren das Dreiphasensystem ohne Nullsystem. Man nennt ein Dreiphasensystem ohne Nullsystem ein bisymmetrisches System. Da ein bisymmetrisches System die Transformatoren stets natürlich magnetisiert, entsprechen die Parameter der beiden Einphasentransformatoren für das bisymmetrische System exakt den Mitsystemparametern der Drehstromtransformatoren. Der dritte Einphasentransformator berücksichtigt das Nullsystem. Seine Parameter entsprechen denen des Nullsystems des Dreiphasentransformators. Der Unterschied zwischen den Parametern des Mit- und Nullsystems beschränkt sich dabei auf die für die Magnetisierung maßgebende Hauptinduktivität.

Gleichungssystem für die Schaltgruppe Yd5 Das Bild 8.2 zeigt die Schaltung der Schaltgruppe YyO mit den Zählpfeilen für die Wicklungs- und Klemmengrößen. Die Seite A ist die Oberspannungsseite. Beide Sternpunkte seien zunächst über eine Reihenschaltung aus RM>C und Lwc geerdet (X =A,B).

Berechnung nichtstationä.rer Vorgänge

73

Gleichungssystem mit den Wicklungsströmen als Zustandsgrößen. Es gilt für alle Schaltgruppen:

;1;,1

Ln1 + L,, Ln1 + L,,

7; Ln1 4.o + L,, t(Ln1 + /_,,)

*l;,1 ;1;,1

t(Ln1 + /_,,)

;4.o (8.15a)

R1

1-:a

0

R1

-w

0

'All

Ro + 0

0

7R1

·W

lea

tR1

0

-w

/Ao

0

-w

'Bll

tRo

·W

'eo

und abgekürzt mit dem Index m für die modalen Größen:

LABm][~~] + [RAAm [LAAm l.eAm Leem lem 0

0 Reem

]['~] = [u~] I Uem

(8.15b)

Am

Aus den Maschensätzen auf der Seite A folgt für den Zusammenhang zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen:

(8.16)

Die Sternpunkt-Erde-Spannung ergibt sich aus:

(8.17)

Bild 8.2: Schaltgruppe YyO ( i = a,b,c) Durch Zusammenfassung der drei Gleichungen für die Einphasentransformatoren mit dem Index a und ß für die Komponenten des bisymmetrischen Systems und dem Index O für das Nullsystem entsteht folgendes implizites Zustandsdifferential-

Nach Einsetzen der GI. (8.17) in GI. (8.16) geht diese über in:

(8.18)

74

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Die Transformation in a~O-Koordinaten liefert:

0

R1

0

Ai (8.19)

Ro+3RrM

+ 0

[~~]=[~=]-[~ ~ ~ ][~]-[~ ~ ~ l[~] Uso

0 0 3F\48

1:,

0 0 34, 8

(8.20)

1-:ii

,wAa. ,wAß •W /AD

:w

UAa. UAß

= UAO

'ea

Uea

-;l(Ro +31".e) ~

Ueo

-;lRi 0

bzw.:

LJ::i

0

-J"R1

0

Für die Seite B gelten analoge Beziehungen, also:

75

~

(8.23b)

Llep

Die Sternpunkt-Erde-Elemente der Seite B sind in Gl.(8.23) wie alle Parameter der Seite B mit dem Quadrat des Wicklungsübersetzungsverhältnisses auf die Seite A umgerechnet und deshalb mit einem Strich versehen. Unter der zunächst erforderlichen Voraussetzung endlicher Sternpunkt-ErdeInduktivitäten ergibt die Auflösung der GI. (8.23) nach den Stromänderungen das

explizite Zustandsdifferentialgleichungssystem: (8.24a)

Die Stenpunkt-Erde-lnduktivitäten und -Widerstände gehen bekanntlich nur in das Nullsystem und zwar mit ihrem dreifachen Wert ein. Die Wicklungs- und Klemmenströme sind nach den Knotensätzen gleich. Demzufolge sind auch die Ströme der aj)O-Komponenten gleich: 'Ba

und

lau

;Wl [" ] [:~ = ::

(8.21) und (8.22)

Mit und

wurden Abkürzungen eingeführt, an denen das Sternchen darauf verweist, daß die Matrizen möglicherweise Widerstände der Sternpunkt-Erde-Verbindungen enthält. Ausgeschrieben lautet die GI. (8.24a):

Mit den Gin. (8.19) und (8.20) lassen sich in der allgemeinen Gleichung für die Wicklungsgrößen, GI (8.15), die Wicklungsspannungen durch die Klemmenspannungen ersetzen:

Rasm +O~Bm J[''fm]-[UAm] /'fm - Uam (8.23a) und ausführlich:

41 +'-a

'W

*41

41 +'-a

'Aa.

*41

4.o + L,, +34.v. 7(41 + l.,,)

i41

-;l(41 +!,,)

;1.n1 *4.o

:w

1Aß

.l,;4.o

'W /AD

'W +

'afWa 'Bp

7(4.o +La+ 34,,a) :w

'so

Rßam = ~ + l\ism

mit den Elementen (s. GI. (8.5)):

B

_J__ 1+e1

AA1 -

l,, 2 +Ej

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

76

B

-

MO -

1+eo+f11e 4(2+Eo +mA +fTle)+ 4o(mA +111e + mAfTle)

Berechnung nichtstatlonärer Vorgänge •/

/Aa.

GAA1

GAB1 GAA1

'Aß

GAB1

•/

·-:r 'ea. •/

'Bfl

n2(1+ea+mA) Beeo = 4(2+Eo +mA+ fTle)+ 4o(mA +fTle + mAfTle)

l'BO

und den Abkürzungen:

jqAa.

;qAa

GAAo GeA1

GABO

UAß

jqAa.

UAO

Gee1

+~

GeA1

Gee1

~o

Geeo

llea.

/qBa.

Ue~

jqB~

Ueo

jqBO

(8.26b)

·W

GM1RA1

fqAa.

e0 =~

~

4o

und

UAa.

•/

/Ao

und

77

jqBa.

3~ 31 .. _ 111e=~=n2~

4.o

GM1RA1 GMoRAo

Die Klemmengleichung ergibt sich aus der Zustandsdifferentialgleichung nach Erdurch iAm und iBm entsprechend den Gin. setzen der Stromänderungen i'fm und (8.21) und (8.22) durch beidseitige Multiplikation mit 1/ m0 :

i:.,

]['~](8.25) RBBm 1Bm 0

oder mit den üblichen Bezeichnungen des EKPV:

~1RA1

·W

(8.27b)

'ea. Gea1 Ra1

Geeo~

GeAo RAo

/~

t-:0

11ab. 8.1: Sdrlllf "ht aee rd ete Stemoun kt e on e ä e ür mc beide SP starr geerdet

mAcf71ecQ

Rw.=flmicO

SP A nicht geerdet

mA~oo

BAAO = BABO = 8aAO = 0

,

rf

1ao

me~=

Baeo = BABO „ 8aAO = 0

BAAO=--

4o + '-a

beide SP nicht geerdet

n2 Ra = f..w + t_,, U80 - 4,o + t_,, feo

E!iao = Lw + '-a 1

(8.26a)

1:,,

t'fo

Sämtliche Sonderfälle, Vernachlässigung des Magnetlsierungsstromes im Mitsystem oder/und Nullsystem, starre Sternpunkterdung oder freier Sternpunkt einer oder beider Wicklungsseiten gehen nur durch Änderung der Elemente der B- bzw. G-Matrix in die Zustands- und Klemmengleichung ein (s. Tabelle 8.1 ). Die Ordnung der Gleichungssysteme ändert sich nicht.

SP B nicht geerdet

Die Quellenströme hängen nur von den Zustandsgrößen ab. Um diese Abhängigkeit auf der rechten Seite stehen deutlich zu machen, wurden die Ströme i'fm und gelassen, obwohl sie nach den Gin. (8.21) und (8.22) den Klemmenströmen gleich sind.

GAeoReo Gee1 Re1

/qBO

RAO =Ra +3"'1A

1·W Ap

GAa1 Re1

~1RA1

;qBß

4.o

/Aa.

GAB1 Ra1

mA

und me

~ oo

IAo

= 4o:'-a UAo -

4o~'-a IAo

BAAO = BAAO = BABO = 8aAO = 0

Die Sternpunkt-Erde-Spannungen sind Ausgabegrößen. Bei starrer Sternpunkterdung ist die entsprechende Sternpunk-Erde-Spannung Null. Bei freiem Sternpunkt gilt für die betreffende Seite (X"' A,B): (8.28)

Ausführlich lauten die Gin. (8.26) und (8.27):

Ansonsten sind die Gin. (8.19) und (8.20) für die Berechnung der Sternpunkt-ErdeSpannungen heranzuziehen, wobei die Ableitungen der Ströme aus der rechten Seite der Zustandsdifferentialgleichung übernommen werden können.

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

78

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Gleichungssystem für die Schaltgruppe Vd5

79

Die Transformation der Gin. (8.31) und (8.32) in modale Koordinaten ergibt (s. Anhang zu diesem Kapitel):

Die Schaltung der Wicklungsgrößen und die Drehung der Spannungszeiger der Klemmengrößen im stationären Betrieb (Mitsystem) ist in Bild 8.3 zu sehen.

(8.33)

b)

a)

(8.34)

B

A

a

U.ea !Lee

Mit den Gin. (8.29) und (8.33) können in der allgemeinen Gleichung für die Wicklungsgrößen, GI. (8.15), die Wicklungsspannungen wieder durch die Klemmenspannungen ersetzt werden:

------~

LJW

b

1

\

!:!.Ba

\

n-

\

-UA a

c LMA RMA

tl

'

!Laa

I I

+ 4.t.Am LAamJ[:~] + [RAAm +~Am 0 ][~~] = [ UAm ] [ LAAml.aAm Laem lam 0 Reem fern Ksm Uem

(8.35)

I I I

U BI

GI. (8.35) ist die Zustandsdifferentialgleichung für die Schaltgruppe Yd5 in impliziter Form. Unter der Bedingung, daß LMA zunächst endlich ist, kann auch die explizite Form angegeben werden:

I

f

llsb

[ lern~~m]=[BAAm BeAm

Bild 8.3: Schaltgruppe Yd5 (i = a, b, c) a) Schaltung b) Zeigerbild für das Mitsystem

8ABmJ{[ UAm J-[R*AAm~~m]} Beam Ksm Uem Reem fam

(8.36)

Für die Seite A (Oberspannungsseite) folgt aus Bild 8.3 für den Zusammenhang zwischen den modalen Wicklungs- und Klemmengrößen wie für die Schaltgruppe YyO (s. GI. (8.19)): (8.29)

Um die Klemmengleichung zu erhalten, wird in GI. (8.36)

iX:m

durch

beiden Stromvektoren sind gleich) und die 2. Zeile von links mit

iAm

ersetzt (die

KJm

multipliziert

(die Wicklungsströme der Seite B lassen sich nicht durch die Klemmenströme ersetzen, da GI. (8.34) ist nicht nach den Wicklungsströmen auflösbar ist):

und (8.30) Auf der Seite B gilt:

ur..] u:i, =[-11 [u:, 0 bzw.:

-10

1][Ueal

0 u8b -1 Uab

u'f: = K5 Ua

(8.31a)

(8.31 b)

die für die Verknüpfung mit anderen Elementen erforderliche Klemmengleichung:

Für die Ströme liefern die Knotensätze die Beziehungen:

[ ~=]=[-~ -~ -~l[~] lac

bzw.:

1

0

ia =

(8.32a)

1,Bc

K: i:

In GI. (8.37) ist die bei Uam stehende Matrix Ksm noch in die B-Matrix hineingezogen worden. Nach Multiplikation mit 1/ OJo auf beiden Seiten ergibt sich dann schließlich

(8.32b)

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

80 oder in der üblichen Schreibweise:

=[GAAm [ ~~m] lern Ge.Am

= i:bAo =

81

Auf der Seite A (Oberspannungsseite) besteht nach Bild 8.4 folgender Zusammenhang zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen:

[~qAm]

(8.39)

GABm][UAmJ+ 1qBm Geem Uem

Für die Elemente mit dem Index 1 der B-Matrix gelten weiterhin die unter GI. (8.24b) angegebenen Ausdrücke. Die Elemente des Nullsystems ändern sich aber. Für LMA endlich, also geerdeten Sternpunkt auf der Seite A, erhält man die Elemente des Nullsystems, indem man in den allgemeinen Ausdrücken unter GI. (8.24b) me = O setzt:

BAso

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

[~~]=[-~ ~][~:] u'f,,

jAal [~Ab

n

-1 1 0 -1

"'

/Ab

l..,,(2+ Eo+ mA)+ 4.omA

(8.40)

UAb

[-1 0 1l[i'f.l '.'tt, 1 -1

Q

(8.41)

0

-1

i"f!.c

und in modalen Koordinaten (s. Anhang zu diesem Kapitel): Ist der Sternpunkt A nicht geerdet, so folgt aus dem Grenzübergang mA ~ 00 und

(8.42) :

(8.43)

,r &!so = 4.o + L,,

·

Die Unterspannungsseite B ist jetzt im Stern geschaltet, so daß unter Berücksichtigung einer zunächst wieder endlichen Stenpunkt-Erde-lmpedanz LMB gilt:

Gleichungssystem für die Schaltgruppe Dy5

(8.44)

Die Schaltung der Wicklungsgrößen und die Drehung der Spannungszeiger des Mitsystems im stationären Zustand zeigt Bild 8.4.

(8.45)

a)

Nach Einsetzen der Gin. (8.42) und (8.44) in die allgemeine Gleichung für die Wicklungsgrößen, GI. (8.15), erhält man:

b) W •W

u~

B

[L

Mm '-sAm

ll.~

''

''

''

'W] [RAAm

LABm /Am + '-ssm + ~Bm ][

i:.,

0

0 J[·W] = [J(.T

RBBm + RMBm

/Am ;:.,

5 UA Ue

]

(8.46)

und aufgelöst nach den Stromänderungen:

A»--..---ll.Aa (8.47) I

W

ll.Aa ,'

I

- --- __ ,..,

ll.Aa ll.sb

Bild 8.4: Schaltgruppe Dy5 (i = a, b, c) a) Schaltung b) Zeigerbild für das Mitsystem

mit

lfssm

=Ras + RBM .

Gin. (8.47) ist die Zustandsdifferentialgleichung für die Schaltgruppe Dy5. Sie dient bei gegebenen Anfangswerten und bekannten Klemmenspannungen zur Berechnung der Wicklungsströme.

82

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Die Klemmengleichung für die Kopplung mit anderen Elementen entsteht aus GI. (8.47) durch Multiplikation der 1. Zeile der von links mit Ks und beidseitige Multiplikation mit 1/ % . Für wird noch iem gesetzt (beide Stromvektoren sind gleich)

ir.,,

und die bei uAm stehende Matrix gebnis ist:

Klm

wird in die B-Matrix hineingezogen. Das Er-

~em][~~]

Ksm BABm Beem Reem

lern (8.48)

GABm][UAm]+[~qAm] Geem

Uem

[Kim ~ ][~~] [ ~Am]= Bm 0 Kern lem

(8.51)

Erweitert man die allgemeine GI. (8.15) für die Wicklungsgrößen formal um die Sternpunkt-Erde-Matrizen RMA, RMB, LMA und LMB (die wenn eine Seite nicht im Stern geschaltet ist, Null gesetzt werden können) und ersetzt die Wicklungsspannungen mit GI. (8.50) durch die Klemmenspannungen, so erhält man als allgemeine Zustandsgleichung für alle Schaltgruppen in der impliziten Form:

[

LAAm+'-r,.iAm leAm

LABm Leem + '-r..iem

J[~~]+[RAAm+~Am 0

lern

0

Reem + ~Bm

][;~] =[KAm UAm](8.52) i 8m

Kern Uem

(8.53)

(8.49)

lqBm

wobei die Elemente der G-Matrix und die Quellenströme natürlich eine andere Bedeutung als bei den beiden anderen Schaltgruppen haben. Für LMe endlich, d.h. geerdetem Sternpunkt auf der Seite B gilt jetzt (mA= 0):

B

83

und in der expliziten Form:

oder in der üblichen Schreibweise: = [GAAm [ ~~m] lern GeAm

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

mit:

Rßem = Raem + ~Bm

und

R'AAm = RAAm + RMAm

und:

-

1+eo+me 'MO - l.,, (2 + eo + f11e) + 4o f11e

o o sowie

~Bm

n BABO = l..,,( 2 +Eo + 171e) + 40 l11e = E\iAo

=0 [0

0

0

Die Bedeutung der Matrizen KA und Ke sowie die Bedingungen für die in den Matrizenelementen vorkommenden mA, ms und RMA und f\'., 8 für die einzelnen Schaltgruppen gehen aus Tabelle 8.2 hervor. Tab. 8.2: Charakteristische Größen für die Schaltoruooen Ist der Sternpunkt B nicht geerdet, so folgt aus dem Grenzübergang 171e

1

und

BAAo=--4o+L"

-7

oo :

~BO = ~AO = BABO = 0.

Schaltgruppe

KA

Ke

mA

ms

RMA

R~s

YyO

E

E

mA

me

RMA

~B

Yd5

E

Ks

mA

0

RMA

0

Dy5

KsT

E

0

ms

0

~B

zusammengefasste Darstellung für alle Schaltgruppen Der zusammenhänge zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen können in modalen Koordinaten allgemein formuliert werden als:

U~] = [KAm [ Uem 0

0 ][UAm]

Kem

Aus GI. (8.53) folgt die allgemeine Klemmengleichung in modalen Koordinaten:

(8.50)

Uem

1

1

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

84 oder:

85

Berechnung nichtstationärer Vorgänge Die Untermatrizen in den Zustands- und Klemmengleichungen haben die Form:

= [GMm [ /~] I~ GeAJn

['qArn]

(8.55)

GABm][uAm] + Gaem Uem lqem

Die Produkte der modalen 8- und R*-Matrlzen in GI. (8.54) sind wieder Dlagonalmatrizen, deren ersten beiden Elemente jeweils wieder gleich sind. Die Rücktransformation der GI. (8.55) in die natürlichen Koordinaten wird zweckmässigerweise nur unvollständig durchgeführt, so daß die Vektoren der Quellenströme in modalen Koordinaten erhalten bleiben:

1 [iA ]=[TmGAAm 7; ie Tm GeAJn r,;;1

TmGABm J;:][UA ]+[Tm/qAm] Tm Gaem T,;; Ue Tm /qBm

•/

•/

/Ac

!.' Ba •/

/Bb

GMm GAAn GAAn

GAAn GAAn GABm GABn GAAm GAAn GABn GABm GAAn GAAm GABn GABn

GABn GABn GABm

~ ~

~ ~m

~

~

•/

/Be

~An ~g

~Bm ~Bn

~Bn ~Bm

~n ~Bn

~

~Bn

~Bn

~Bm

~][M

-~

iqAa iqAb

UAa UAb

UAc + k lqea Uea iqBb Lieb iqBc Uec

M

_r

]= J32 Mr~0

N

-1

(8.56)

oder in ausführlicher Schreibweise:

/Aa •/ /Ab

damit ergibt sich:

M

;. ~i 0

0

J~Mr~ ~

(8.57)

3M

Ja{ .]

Die Rücktransformation der Untermatrizen in natürliche Koordinaten ergibt:

Anhang Matrlzenprodukte und Transformatlonsbezlehungen Mit Tm = T0 sen:

Ta=

[ 1

,

der Transformationsmatrix der Diagonalkomponenten und ihrer Invar-

0

-f Jj. _.1 2

- ./3 2

~]

-1 1 70 =- [2 0 3 1 1

J3

2M+N N-M N-M] Tm Mm 7;1 = N-M 2M+N N-M [ N-M N-M 2M+N

~]

ergibt sich:

K,. =r,'K, T0 =-'[~ 3 1

-1

J3

1 Ksm =70 K5 Ta =s [2~ 1 T

0

-1

:/i. 2

-1

-1 T

~n f1 0

J3

./3 - i -2 2

~in l~ 1 -1

0 -1

-.1 2

0

:/i. 2 _:/i. 2

i ~]

'~J =""rÄ

'] [_Ä

~ ="" -}

_i 2

_:/i. 2

0

.1 2

./3 -2

0

~]

Für Schaltgruppen mit einer Dreieckschaltung auf einer Wicklungsseite werden die entsprechenden Untermatrizen singulär, womit kein Nullstrom übertragen und kein Nullstrom von der betreffenden Seite zur Erde fließen kann.

r

86

9

Berechnung nichtstationarer Vorgänge

Power-System-Describtor (PSD)

Die grundlegende Idee des PSD besteht darin, einen allgemeinen Netzzweig (einpolig oder dreipollg) zu definieren, der alle Grundschaltelemente enthält. Das Bild 9.1 zeigt die Schaltung des allgemeinen Netzzweiges, den man sich aus der Hintereinanderschaltung eines L-Zweiges mit Widerstand und eine C-Zweiges mit Leitwert entstanden denken kann. Durch Modifikation des Zweiges kann dieser zu einem C-Zweig, L-Zweig oder RZweig entarten.

Sind L und/oder C nicht vorhanden, so läßt sich die GI. (9.3) nicht in ihre explizite Form auflösen. Für das weitere Vorgehen wird eine komprimierte Schreibweise für dle allgemeinen Zweige eingeführt. Sie lautet für den i-ten Zweig: (9.4) mit:

F,

G

~1-1„L._-+~~~~---lC

87

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

z=[i']·

=[~ ~J

1

Uc1 ,

Alle noch ungekoppelten m Zweige werden in einer Matrlzengleichung zusammengefaßt:

ui

(9.5a)

Bild 9.1: Allgemeiner R-L-C-Zweig ~enn alle Schaltelemente im Zweig vorhanden sind, gilt folgende Zustandsdifferentialgleichung:

oder kürzer: (9.5b)

Fz+Hz-x=O (9.1)

Die Knoten-Zweig-lnzidenzmatrlx wird um Nullspalten erweitert, so daß sich die Knotenpunktsätze wie folgt formulieren lassen: Sind R ~nd/oder L nicht vorhanden, so werden diese einfach Null gesetzt. Ebenso lassen sich G oder C Nullsetzen, wenn sie nicht vorkommen. Problematisch wird es, wenn C und G nicht Bestandteil des Zweiges sind. In diesem Fall ändert sich die Gleichung in:

0 X 0 K1 [X K2 X 0 X 0

1

•••

X

:

(9.2) Kn

Zusätzlich können wieder L oder R Null gesetzt werden. Die Gin. (9.1) und (9.2) können zusammengefaßt werden zu:

0

•••

X

0

Im

.

(9.6a)

-il
Für die mit x gekennzeichneten Elemente der erweiterten Knoten-Zweig-lnzidenzmatrlx Kgllt:

+1 wenn der Zweigzählpfeil vom Knoten weg gerichtet ist

x=

für C-:t:O, Gbeliebig

K=O } für C=G=O

M=1

X

=

Ucm

mit:

K=-1 }

0

X

U02

1

-/K2

bzw.: (9.3)

M=G

0]0 ~: [-~ ]

l

0 wenn der Zweig nicht am Knoten angeschlossen ist

-1 wenn der Zweigzählpfeil zum Knoten hin gerichtet ist

Im Vektor lt< sind mögliche Quellenströme, die an den Knoten angreifen, berücksichtigt. Die negativen Vorzeichen ergeben sich aus der Festlegung, daß der Zählpfeil der Quellenströme vom Knoten weg gerichtet ist.

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

88

Der Störvektor x in GI. (9.5) enthält die Zweigspannungen. Es besteht folgende Beziehung zu den Knotenspannungen: ~

X

X

0

0

0

bzw.:

... ... ...

X

X

0

0

...

X

X

.„

0

0

X=

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

89

Beispiel 10: Bestimmung derTorimpedanz im Frequenzbereich

X

0 X

0 X

b(s)

[~]

,------------------------------~

1

:

1 1 1 1 1 1

(9.7a)

R

UKn

;q

0

Lp 1 1 1

l

UK

RL

: 1 1

L

C

(9.7b)

KT UK

! 1 1 1 1

1

Nach Einsetzen der GI. (9.7) in GI. (9.5) und Hinzunahme der GI. (9.6) entsteht schließlich als Netzgleichungssystem das Algebro-Differentialg/eichungssystem: (9.8) Das Gleichungssystem ist dem des MKPV (s. Kapitel 2, Teil 2) ähnlich. Zu sei~er Lösung ist eine Diskretisierung oder beispielsweise die LAPLACE-Transformation erforderlich.

Gleichungssystem im LAPLACE-Bildbereich Die LAPLACE-Transformation der GI. (9.8) ergibt:

0 [ -KT

K ][UK(s)]=[-iK(s)] H+sF z(s) 0

(9.9)

und aufgelöst nach den Knotenspannungen und den Zustandsgrößen: 1

UK(s)]=[ 0 K ]- [-iK(s)] [ z(s) -KT H+sF 0

(9.10)

Für die Knotenspannungen erhält man daraus:

(9.11)

Bild 9.2: Beispielnetz zur Ermittlung der Torimpedanz

Das Gleichungssystem GI. (9.9), hat die Form:

0 1 0 1 0 1 0 -1 RL 1 0 0 1 -1 R+sL 1 1 0 0 -1 s4 1 01 1 -1 sC

UK

i, Uc1

;, Uc2

;, Uc3

:!s

0 0 0 0 0 0

Für die Knotenpunktspannung ergibt sich daraus:

1 0 1 0 0 1 -1 RL 1 0 0 1 4< = -[1 1 0 0 1 0 0 1 0 O] -1 R+sL 1 0 0 1 -1 s4 -1 0

0

1 sC

-1

1 0 0 ·0 iq 0 0 0

-

Die Torimpedanzen entsprechen den ersten n (Anzahl der Knoten) Diagonalelementen der Matrix

o

1

K ][-KT H+sF

Eine Möglichkeit der Berechnung besteht in:

90

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Z;(S)= det

10

i = 1... n

[ O T

-K

wobei im Nenner die i-te Adjunkte, die sich durch Streichen der i-ten Zeile und Spalte der vollständigen Matrix ergibt, steht. Im Beispiel ist

91

Differenzenverfahren

Ausgangspunkt für die Herleitung der Differenzengleichungen sind die zeitkontinuierlichen Gleichungen der speicherbehafteten Betriebsmittel in Differentialform (s. Kapitel 1) oder in lntegra/form (Tabelle 10.1 ). Es sollen zunächst wieder einphasige Anordnungen betrachtet werden.

..

11a. b 10 1 Ze1"tkon tinwer . r1che GIe1c . hunaen der Bet.nebsm1"tt e1

n = 1 und damit:

Spannungsgleichung

RL 1 . 0 1 det

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Stromgleichung t

4..(t) =L((t) + RL iL(t) + UqL(t)

idf) =f{.t\.Ur)+fl[t..\..(i-)-UqL(i-)J}d..+l 0

R+sl 1 0 1

t

Uc(t) =f{A: Uc('t")+ ßc:[ic('t")-iqc('t")]}d..+ Uc

ic(t) =Cüc(t) +Ge Uc(t)+ iqc(t)

0

sf,, 1 -1 sC 0 1 0

_ Zählerpolynom ins

1 0 1 0 - Nennerpolynom in s -1 RL 1 0 0 1 det -1 R+sl 1 0 1 0 -1 sf,, 1 -1 sC 0

LJr.i (t) = RR iR (t) + UqR (t)

iR(t) =~ LJr.i(t) + iqR(t)

Die Gleichungen der L-BM und die der C-BM sind dual zueinander. Die Spannung sgleichung der L-BM (Stromgleichungen der C-BM) sind Differentialgleichungen, die Stromgleichungen der L-BM (Spannungsgleichungen der C-BM) sind Integralgleichungen. Die R-BM können als Sonderfall der L- oder C-BM angesehen werden (C oder L = O). Die Differentialgleichungen in Tabelle 10.1 sind in der impliziten Zustandsform angegeben. Die allgemeine Form für die L- und C-BM lautet:

x(t) = Fz(t) + H z(t)

(10.1)

Für die Überführung der Differentialgleichungen in die Integralgleichungen wird GI. (10.1) nach z(t) aufgelöst:

z(t) =-P-1 Hz(t)+ P-1 x(t) = Az(t)+ Bx(t)

(10.2)

GI. (10.2) ist die allgemeine explizite Form der Zustandsdifferentialgleichung. Ihre Integration ergibt die Integralgleichungen in Tabelle 10.1. Zwischen den Koeffizienten der L- und C-BM bestehen die folgenden Beziehungen: ~=L-1

)\_ = -C1RL =-~Ai_

Be:= c-1

A;; = -C-1Gc = -Be: Ge

~=RP,1

Diskretisierungsverfahren Die zeitdiskreten Gleichungen oder Differenzengleichungen der BM werden durch Diskretisierung der zeitkontinuierlichen Gleichungen erhalten. Die Diskretisierung kann ausgehend von der Differential- oder der lntegralform erfolgen. Im ersten Fall

92

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

ist der Differentialquotient von z und im zweiten Fall das lntegal über die Ableitung von z geeignet zu approximieren. Die Formeln, die den Differentialquotient approximieren heißen Differentiator, die die das Integral annähern Integrator. Um einen zeitgleichen Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen und ihren Ableitungen zu erhalten, muß man für die Diskretisierung auf implizite Verfahren zurückgreifen. Der einfachste Differentiator bzw. Integrator ergibt sich nach dem impliziten EULERVerfahren. Der Differentialquotient wird durch die rückwärtsgenommene Differenz im Zeitpunkt fi<+1 = (k + 1)L1t angenähert (i.f. wird die Kurzschreibweise k+ 1 für (k + 1)L1t verwendet): z(k+1)= L1z(k+ 1) =_!_z(k+1)-_!_z(k) L1t L1t L1 t

(10.3)

Der entspechende Integrator ergibt sich durch folgende stufenförmige Approximation des Integranden: L1z(k+1)=z(k+1)-z(k)=

At

tlt

0

0

93

f

1

1 L1z(k+1) = z(k+1)-z(k) = J'z(-r)d-r = + [z(k)+ z(k+ )-z(k) -r]d-r

o

M

o

=~[z(k+1)+z(k)J 2

Aufgelöst nach z(k+1) ergibt sich: z(k+1) =

~t z(k+1)+ ~t z(k)+z(k)

(10.6)

Wie man sieht, sind die Gleichungen für den Differentiator und Integrator jeweils ineinander überführbar. Einen weiteren Weg zur Gewinnung von Differenzengleichungen eröffnet die sog. Anstückelungsmethode. Sie geht von der Lösung der expliziten Zustandsdifferentialgleichung in der bekannten Form: t+At

z(t+ LH) = eM 1z(t) +

JeA(t+At-•>ax(-r)d-r

(10.7)

1

f z(-r)d-r= fz(k+1)d-r=L1tz(k+1)

aus. Durch die Substitution t- -r= -.?.. wird GI. (10.7) überführt in: At

und aufgelöst nach z(k+1):

J

z(t+ LH) = eM 1z(t)+ eA(ilt-.t>ax(t+ A.)d.?.. (10.4)

z(k + 1) = L1t z(k + 1) + z(k)

Gewöhnlich wird zur Diskretisierung die Trapezrege/ herangezogen. Bei der Trapezregel als Differentiator wird der Differentialquotient durch die Summe der vorwärtsgenommenen Differenz im Zeitpunkt tk =Mt:

(10.8)

0

Die Integrale in GI. (10.7) und (10.8) hängen nicht mehr von zab. Nähert man in GI. (10.8) die Eingangsgröße im Zeitstreifen Llt linear an, so ergibt sich: At

J

At

J

z(t+ LH) = eM 1z(t) + eA" 1 (e-A.td.?..)Bx(t)+_!_eAAr (e-A.t .Ad.?..) B[x(t+ L1t)-x(t)](10.9) 0 Llt 0

z(k) = Llz(k) = z(k+ 1)- z(k)

L1t

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

L1t Das Ergebnis ist folgender Integrator, der auch wieder in einen Differentiator umgerechnet werden kann (s. Anhang):

und der rückwärtsgenommenen Differenz im Zeitpunkt tk+1 = (k + 1)L1 t: Z(k+ 1) = L1z(k+1) = z(k+1)-z(k) L1 t L1t

(10.10) Alle hier hergeleiteten Integratoren und Differentiatoren und allgemein die aus impliziten Mehrschrittverfahren hergeleiteten Integratoren und Differentiatoren lassen sich in den folgenden beiden Gleichungen zusammenfassen.

angenähert: z(k+1)+z(k) =_g_[z(k+1)

L1t

z(k)]

Aufgelöst nach z( k + 1) erhält man: (10.5) Die Trapezregel als Integrator approximiert den Zuwachs von z während eines Zeitschrittes, wie der Name sagt, durch ein flächenähnliches Trapez:

Integratoren:

z(k+ 1) = .f.r1 z(k+1)+ v

(10.11)

Differentiatoren:

z(k+ 1) = .az(k+ 1)-.a v

(10.12)

Die speziellen Ausdrücke für .a und v für die hier beschriebenen Diskretisierungsverfahren sind in Tabelle 10.2 zusammengestellt.

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

94

Tab. 10.2: Kennarößen und Veraanaenheitswerte verschiedener Diskretisierunasverfahren Verfahren

.a

EULER implizit

-

1 Llt 2 Llt

Trapezregel Anstückelungsmethode

Vergangenheitswerte

v

z(k)

und als Stromgleichung die einheitliche Form (V-Form): 1

i{k+ 1) = Z-1u{k+1)- Z-1 Uq{k+1)- Z- Uv = Yu(k+ 1) + iq(k+ 1) + iv

(10.18a)

In beiden Gleichungen kann zur Vereinfachung der Schreibweise noch die Kennzeichnung des Zeitpunktes weggelassen werden:

.a-1z(k) + z(k)

[A-1 - L1 t(eA.1' -1r1r1

95

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

(M-.a-1)z(k) + z(k)

{10.17b) (10.18b)

Differenzengleichungen der Betriebsmittel

Beide Gleichungen sind unter Beachtung von

Die Anwendung der GI. (10.12) (Differentiator) auf GI. (10.1) liefert: (10.13)

x(k+1) = (H+ F.Q)z(k+1)-F.Qv

ineinander überführbar. In Tabelle 10.4 sind die speziellen Audrücke für Z, Yund die Vergangenheitsgrößen zusammengestellt. Die ursprünglichen Größen sind eingerahmt. Es sei nochmals betont, daß Zund Yreelle Größen darstellen.

und umgestellt nach z(k+ 1): z(k+1) = (H+ F.ar1x(k+1)+ (H+ .aF.ar F.av 1

(10.14) . bsmitte1 Tab. 10.4: Parameter und Quellenarößen der L- un dC- Betne

Andererseits folgt aus der GI. (5.11) (Integrator): 1 z(k+1) =-(A-.ar1ax(k+1)-(A-.ar .av

(10.15)

und:

x(k + 1) =-S-1(A- .a )z(k + 1)- a-1.a v

z

Uq

Uv

y

iq

iv

L-BM

fl +.QL

~

1-L..avd

41

-Yi_ UqL

-YL U.,L

C-BM

Yö1

-Zciqc

-Zc ivc

Gc+.QC

~

1-c.avcl

(10.16)

Mit (H+F!2)=-S-1(A-.Q) gehen GI. (10.13) in GI. (10.16) und GI. (10.14) in GI. (10.15) über. Entsprechend erhält man die in Tabelle 10.3 zusammengestellten Differenzengleichungen.

Aus der GI. (10.17) folgt die Spannungsquellen-Ersatzschaltung in Bild 10.1 a während zu der GI. (10.18) die Stromquellen-Ersatzschaltung in Bild 10.1 b gehört.

z

Tab. 10.3: Differenzenaleichunaen der Betriebsmittel Stromgleichung

Spannungsgleichung 4_{k+1)=

Hk+1) =-CJ\-.Q}- ~1.t(k+1)+

= (RL + L..a)idk+1)+ Uqdk+1)- L..avL

+(.t\.-.ar1 ~UqL(k+1)-(.t\.-.a)- .avL

1

1

Bild 10.1a: Spannungsquellen-Ersatzschaltung der BM

Uc
ic(k+1)=

1 1 +(Ac-.ar &: iqc(k+ 1)-(Ac -.ar .avc

=(Ge+ C.Q)uc(k+ 1) + iqc(k+ 1)-C.Qvc

~(k+1) = RR ~(k+1)+UqR(k+1)

iR(k + 1) = Q:i ~(k + 1) + iqR (k + 1)

Bild 10.1b: Stromquellen-Ersatzschaltung der BM

Die Differenzengleichungen aus Tabelle 10.3 haben für alle Betriebsmittel als Spannungsgleichung die einheitliche Form (Z-Form):

u(k+ 1) =Zi{k + 1) + Uq(k+ 1) + U.,

(10.17a)

r i

96

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Knotenspannungs-Zweigstrom-Differenzengleichungssystem Im allgemeinen Fall kann ein Teil der BM durch Spannungs-Differenzengleichungen vom Typ der GI. (10.17) und der Rest durch Strom-Differenzengleichungen vom Typ der GI. (10.18) modelliert sein. Es bietet sich aber an, gleichartige BM einheitlich zu modellieren. Für die weiteren Ausführungen sollen die L-BM durch Spannungsgleichungen (Z-Form)und die C-BM durch Stromgleichungen (V-Form) beschrieben werden. Die R-BM werden nicht besonders ausgewiesen. Sie können als Sonderfall bei den L- oder C-BM stehen. Die weitere Vorgehensweise ist analog zu Kapitel 2 in Teil 1. Alle m Spannungs- und alle n Stromgleichungen werden separat zusammengefaßt und geordnet zu:

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

97

Ein Vergleich mit GI. (2.3) aus Teil 1 zeigt den analogen Aufbau beider Gleichungssysteme. GI. (10.23) ist jedoch reell und gilt für die Momentanwerte. Außerdem sind die Vergangenheitswerte hinzugekommen. Sie wirken in einem Zeitschritt auf der rechten Seite wie Quellengrößen und müssen anschließend für den nächsten Zeitschritt aktualisiert werden. Sind alle BM durch Spannungsgleichungen nachgebildet, so reduziert sich GI. (10.23) auf: (10.24)

Werden dagegen alle BM durch Stromgleichungen nachgebildet, so ändert sich GI. (10.23) zu: (10.19a) (10.25)

(10.20a)

Nach dem modifizierten Knotenpunktverfahren läßt sich sinngemäß zu Kapitel 3 aus Teil 1 ein zu GI. (3.4) analoges Netzgleichungssystem aufbauen, wenn man die Ströme der C-BM in GI. (10.23) eliminiert:

[~:!~[9.·-f ·i~-J[~~-] :~z:~?.]+[:~z:~~J =[

oder in abgekürzter Schreibweise: (10.19b) (10.20b) Die Knotenpunktsätze werden wie folgt geordnet:

(10.26a)

GI. (10.26a) entspricht dem diskretisierten Gleichungssystem GI. (2.5a), das aus den Differentialgleichungen mit Hilfe des üblichen MKPV hergeleitet wurde. In GI. (10.26) fehlen allerdings die von den R-BM herrührenden Anteile, weil die R-BM bei der Herleitung von GI. (10.23) nicht gesondert mitgenommen wurden. Zusätzlich zu GI. (10.26a) sind die Gleichungen für die Ströme der C-BM zu lösen: (10.26b)

(10.21)

Für den Zusammenhang zwischen den Klemmenspannungen der BM und den Knotenspannungen gilt dann:

Knotenspannungs-Differenzengleichungssystem Alle Strom-Differenzengleichungen der BM von der Form der GI. (10.18) werden wie in GI. (10.20a) zu einer Matrizengleichung zusammengefaßt:

(10.22)

i= Yu+iq + iv In GI. (10.19) wird Ui. und in GI. (10.20) uc mit Hilfe von GI. (10.22) ersetzt. Zusammen mit der GI. (10.19) ergibt sich so das gesuchte Knotenspannungs-ZweigstromG/eichungssystem:

(10.27)

Nach Multiplikation mit der Knoten-Zweig-lnzidenzmatrix von links und Substitution der Klemmenspannungen durch die Knotenspannungen erhält man eine zu GI. (4.4) in Teil 1 analoge reelle Gleichung: (10.28a)

(10.23) Die Matrix YKK = KY KT ist die Knotenleitwertmatrix. Sie kann ähnlich wie die Knotenadmittanzmatrix des Knotenpunktverfahrens direkt aus dem Netzersatzschaltbild

98

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

ermittelt werden, in das alle BM mit ihren Stromquellen-Ersatzschaltungen nach Bild 10.1 b eingehen. In der Knotenleitwertmatrix spiegelt sich die Netztopologie wider. Sie ist symmetrisch und wie die Knotenadmittanzmatrix schwach besetzt, was bei der Lösung der Gleichungssysteme ausgenutzt wird. Neben GI. (10.28a) sind noch die Zweiggleichungen zu lösen:

99

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

ivc(k) = Y~ uc(k)- ic(k) + iqc(k) Damit ergibt sich aus GI. (10.23) folgende Zustandsdifferenzengleichung:

(10.28b) Gl.(10.28a) kann man auch aus GI. (10.25) oder GI. (10.26a) herleiten. Im ersten Schritt wird die zweite Zeile von GI. (5.25) von links mit Y = Z-1 multipliziert, was der Umrechnung der SM-Gleichungen in Stromgleichungen entspricht. GI. (10.25) geht damit in GI. (10.26a) über:

[

0

Beispiel 9 nach Bild 10.2 Nach Multiplikation der zweiten Zeile von GI. (10.26a) mit Kund Vorzeichenumkehr wird GI. (10.28a) erhalten.

Das bereits für die anderen Beispiele herangezogene Netz in Bild 10.2 besteht aus drei L-BM, einem C-BM und einem R-BM. Die Betriebsmittel werden durchgängig numeriert, so daß die Indizes L und C weggelassen werden können.

Die Schreibweise der Differenzengleichungen mit den Vergangenheitswerten auf der rechten Seite ist noch allgemeingültig für Diskretisierungsansätze auf der Basis impliziter Mehrschrittverfahren. Sie ist auch besonders übersichtlich bei der numerischen Auswertung der Gleichungen durch rekursive Lösung. Ersetzt man in der GI. (10.23) auf der rechten Seite die Vergangenheitswerte durch konkrete Ausdrücke, wobei man sich für ein Diskretisierungsverfahren entscheiden muß, so erhält man ein Zustandsdifferenzengleichungssystem. Der Aufbau und die Eigenschaften der Zustandsdifferenzengleichungen sind somit vom Diskretisierungsverfahren abhängig. Für die Diskretisierung mit der Trapezregel gilt nach Tabelle 10.2: u,,dk) =-L.QvL =-LQ(.!T1 ({k)+l(k)] =(RL -LQ)l(k)-1.\_(k)+UqL(k)

oder kürzer mit

=-Cn[n-1 ilc(k) + Uc(k)] =(~ - C.c.!)Uc(k)- ic(k) + iqc(k) ZL. = RL -

LQ und Y~ = ~ -

U,,dk) = Zl_ l(k)- !.\_(k)+ !lqL(k) ivc(k) = Yc; uc(k)- ic(k) + iqc(k)

r

u,,!

1~,

1

R3,Ls

2

r

U3,i3

G4,C4

14

3

~i t''s Rs

Bild 10.2: Beispielnetz aus Bild 2.1 Die L-BM sollen wie vereinbart durch Spannungsgleichungen und die C- und das RBM durch Stromgleichungen nachgebildet werden.

[~lf ~ J~H1}[~l

und ivc(k) =-Cnvc

R2,L2

R1,L1

Zustandsdifferenzengleichungen

[~:J=[Y4 Ys][~:J+[~]+[~::J

cn : (10.29) (10.30)

["

0 -1 0

Die Vergangenheitswerte aller L-BM und aller C-BM werden in je einem Vektor zusammengefaßt:

0

0

0

1 -1 0

~]

i1 i2 i3 =0 i4

is SM-Strom-Knotenspannungsgleichungssystem entsprechend GI. (10.23):

100

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

0 0 0

0 0 0

0:1 0 0 0 !0

-1 0

1 -1

0 -1

i

o:oo

UK1

-1 0

1 1 0 -1i0

Z2

l0

Lli<2 Lli
i :::1······a········ö····r·z;···················r·ö····ö

l

i

Za

0 i0 0

0

0

-vs i 0

0

0

i0

-Uq1 -Uv1 + 0 -Uv2 0 -Uva .. „ ....

i3 i4 is

···························}························}········· 0 -Y4 1 j 0 0 0 i1 0

1

0 0

Die eliminierten Zweigströme berechnen sich anschließend aus:

iv4 ivs

(10.32b)

Knotenspannungsgleichungssystem entsprechend GI. (10.22):

Eliminiert man noch die it.(k+ 1), so reduziert sich GI. (10.32) weiter zu (vgl. mit GI. (4.6) in Teil 1): 1 (Kc Y0 KJ +KL Zl.1K~)uK(k+1) =-(Kc Y~ KJ +KLZL. K~)uK(k)+ 1 + KL ZL. Uqdk+1)- Kc iqc (k + 1) + (10.33a) 1 + KL ZL. (Uqdk) + z~ idk))- Kc Uqc (k) - /c(k))

Zustandsdifferenzengleichung entsprechend GI. (10.31 ): 0 . 1

0 0

0 0

0

0

1 -1

0 -1 -1

0 0

0 0

0

0

0

1 -1

0 -1

0

-Y.i

1

0

0

0

-Ys

0

0

0 0

UK1

1 -1

1 0

UK2

Za

0 1 UK3 0 0 i1 0 0 i2 0 0 _i_

0

0

1 0

0

0

0 1

.z; 22

Neben der GI. (10.32b) sind nun noch die Gleichungen für die L-Zweige auszuwerten. Beide Gleichungen zusammengefaßt lauten: 1 [ZLYc KJ K~] UK(k+1)+ [ZL K~] [;:: _J_~J[-u9 L(k+1)] y~ K'J, UK(k)+ .<>TE . iqc(k+1 1

0 0

1 Lo][;L(k)]+[zc 1 lc(k)

-[:ZLOIE Zt'.

is (k+1) 0

1

1

idk+1)] [ ic(k+1) =

i4

0

101

0 0 0

0 0 0

i2

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

0

0 0

1 0

1 -1

0

0

0

0

-1

0

0

z;

-1

1

0

0

-1

-1

0

-Y.;

1

0

0

0

-Ys*

0

0 1 -1

0 0 1 0 0 1

UK3 i1 0 i2 0 i3 0 i4 1 is

z

0

z;

0

0

0

1

0

0

0

Zum gleichen Ergebnis kommt man natürlich auch, wenn man die Vergangenheitswerte in GI. (10.28a) einsetzt, wobei man dann auch die Unterscheidung zwischen L- und C-BM wie hier vornehmen muß.

0 0 0 -Uq1 + 0

0 0

(k)

0 0 0

OTEoJ[-~qdk)J ,qc(k)

(10.33b)

Einbeziehung von Leitungsmodellen mit Laufzeitgliedern In die Differenzengleichungssysteme lassen sich Leitungsmodelle mit Laufzeitgliedern (Totzeitgliedern) einfach einbeziehen. Für die verlustlose Leitung gilt an den Klemmen A und B bekanntlich: (k+1)

Die Zustandsdifferenzengleichung, GI. (10.33), hat mit UK, it. und ic den größten Zustandsvektor, stellt also das größte Netzgleichungssystem dar. Durch schrittweise Elimination der kapazitiven und induktiven Zweigströme kann das Netzgleichungssystem auf eine Zustandsdifferenzengleichung für die Knotenspannungen, wie es das KPV liefert, reduziert werden. Als Zwischenstufe erhält man nach Elimination der ic(k+1) das Netzgleichungssystem des MKPV (vgl. mit GI. (3.4) in Teil 1):

iA (t + M) = G,, UA (t + Lit) + ivA (t + M- 1:)

(10.34)

i6 (t + L1 t) = G,, Us(t + M) + ivsU + M- -r)

(10.35)

mit den Vergangenheitswerten:

-Gw Us(t+ L1t--r)- is(t+ L1t--r)

(10.36)

iv 6 (t+ M--r) = -G,, UA (t+ M--r)- iA (t+ M--r)

(10.37)

;VA (t+ L1t--r) =

102

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

sowie dem Wellenleitwert und der Laufzeit (10.38)

(10.39) Zu den Gin. (10.38) und (10.39) läßt sich die Klemmen-Ersatzschaltung in Bild 10.3 angeben.

A

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

103

Für die Diskretisierung der Gin. (10.34) und (10.35) soll vorausgesetzt werden, daß sich die Laufzeit ohne Rest aus m Zeitschritten zusammensetzt. Das ist bei einer einzigen Leitung immer möglich, kann aber bei mehreren Leitungen verschiedener Länge nicht immer erfüllt werden, es sei denn, man wählt extrem kleine Zeitschritte oder korrigiert die Leitungslängen geringfügig. Mit:

t + L1t = (k+ 1)L1t,

k= 1, 2 ...

und: -r= mL1t

B

gehen die Gin. (10.34) und (10.35) in Kurzschreibweise (ohne L1t) über in :

!l Bild 10.3: Stromquellen-Ersatzschaltung der verlustlosen Leitung Da der Leitwert der verlustlosen Leitung reell ist, und keine Speicherelemente in Erscheinung treten, gehört das Leitungsmodell zu den resistiven Betriebsmitteln. Die Verluste können dadurch genähert berücksichtigt werden, daß man den Leitungswiderstand R je zur Hälfte wie in Bild 10.4 den Eingangsklemmen vorschaltet.

R

R

2

2

iA(k+1) = G,, uA(k+1)+ivA(k+1-m)

(10.43)

i8 (k+ 1) =G,, u8 (k+ 1) + iv8 (k+ 1- m)

(10.44)

Die Vergangenheitswerte liegen m Zeitschritte zurück. Nur bei m = 1, also L1 t =-r liegen sie genau einen Zeitschritt zurück. Für m > 1 laufen nach einer Einschwingphase an jedem Leitungsende auch in jedem Zeitschritt neue Vergangenheitswerte ein, so daß an jedem Leitungsende insgesamt m Vegangenheitswerte aktuell zu halten sind, von denen der erste einen Zeitschritt und der letzte m Zeitschritte zurückliegt. Durch die Einführung zusätzlicher Zustandsgrößen lassen sich die Gin. (10.34) und (10.35) auch in der für Zustandsdifferenzengleichungen üblichen Form mit nur um einen Zeitschritt zurückliegenden Vergangenheitswerten schreiben: (10.45)

ll

Dabei gilt für die zusätzlichen Zustandsgrößen an der Klemme A (und für die Klemme B analog):

Bild 10.4: Ersatzschaltung der verlustbehafteten Leitung Die Form der Gin. (10.34) und (10.35) ändert sich durch die Hinzunahme von R nicht. Es ändern sich lediglich der Wellenleitwert in: (10.40) und die Ausdrücke für die Vergangenheitsströme in:

i~A(t+Lit--r) = -G;._ LJs{t+ M--r)-G;._(Zw -fR)i8 (t+.M--r)

(10.41)

-f R)iA (t+ M- -r)

(10.42)

i~e(t+ Lit--r) =-G;. uA(t+ L1 t--r)-G;.,(Z,,

(10.46)

is(k+ 1) = G,, LJs(k + 1) + ivBm-1(k)

ivA1(k+1)

0 0 0

0 0

jvA1(k)

jvA(k)

ivA2(k+1)

1 0 0

0 0

ivA2(k)

0

ivA3(k+ 1)

0

0

0 0

ivA3(k)

ivAm·2 ( k + 1)

0 0 0

0 0

ivAm-2(k)

0

ivAm-1(k+1)

0 0 0

0

ivAm·1(k)

0

+

0

(10.47)

104

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

Berechnung nichtstationärer Vorgänge

105

Anhang: Diskretisierung nach der Anstückelungsmethode Ausgangspunkt ist die Lösung der expliziten ZDGL während eines Zeitschrittes in der Form: t+ßt

z(t+ M) = eM 1z(t) +

und: V=

JeA
(Ll t- .lT1) Z(k) + z(k)

1

t - i-

wird substituiert durch - A.: M

z(t+ L1 t)

=eM 1z(t) + JeA<M-.<>Bx(t+ A.)dA. 0

Für die Eingangsgröße können nun verschiedene Näherungsansätze, die zu einer geschlossenen Lösung des Integrals führen, gemacht werden. Mit der linearen Näherung: x(t+ A.)

= x(t) +__!._[x(t+ L1 t)- x(t)]A. L1t

ergibt sich: M

J

1

M

J

z(t+ M) = eM 1z(t)+ eMt e-A-'dA. Bx(t)+-eM 1 e-A-'A.dA. B[x(t+M)-x(t)] 0 L1t 0

der erste lntegralausdruck hat die Lösung ( eM' und A- 1 dürfen vertauscht werden):

Für den zweiten lntegralausdruck lautet die Lösung: /2

=___!._eM 1K 1[Me-M 1 + A-1(e-M 1 -1)]B[x(t+ M)-x(t)] = L1t

=-K1[1+ __!_K1(1-eM 1)]B[x(t+ L1t)- x(t)] L1t

Damit ergibt sich: z(t+ L1 t) = eM 1z(t) +

+K1[J__(eMI -1)-A]K1 Bx(t+L1t)-K1[J__(eMI -1)-AeM 1]K1 Bx(t) L1t L1t Mit Bx(t+L1t)=.i(t+L1t)-Az(t+L1t) und Bx(t)=z(t)-Az(t) und der abgekürzten Schreibweise k+ 1 für t +L1t = (k+ 1)Li t und k für t = k L1t (k = 0, 1, 2„„) folgt schließlich:

mit:

J

Literatur Schmidt, H. H.: Digitale Nachbildung umfangreicher dynamischer Systeme am Beispiel eines Netzmodells mit Drehstrom- und Gleichstromübertragung. Dissertation TU Braunschweig 1973 Mutschler, P.: Die Verwendung von Programmen für Teilnetze Simulationsprogramm. ETZ-A ~ (1974) Heft 12, S. 677-680

in

einem

Henderson, A.: Electrical Networks. Edward Arnold, London Melbourne Auckland, 1990 Oswald, B.: Netzberechnung. Berechnung stationärer und quasistationärer Betriebszustände in Elektroenergieversorgungsnetzen. VDE-Verlag GmbH, Berlin Offenbach, 1992 Tuttas, C.: Dynamische Netzberechnung mit dem Zeitkonstantenverfahren. Electrical Engineering, Springer-Verlag~ (1995) S. 417-423 Linnert, U.: Berechnung von Ausgleichsvorgängen in Elektroenergiesystemen unter Verwendung größtmöglicher Schrittweiten. Dissertation Universität ErlangenNümberg 1995 -Oswald, B. R.: Netzberechnung 2. Berechnung transienter Vorgänge in Elektroenergieversorgungsnetzen. VDE-Verlag GmbH, Berlin Offenbach, 1996 Oswald, B. R.: Berechnung von transienten Vorgängen in Elektroenergiesystemen nach dem modifizierten Knotenpunktverfahren. ELEKTRIE, Berlin fil! (1996) H. 12, S. 468-479 Oswald, B. R.: Computation of Power System Transient by Using Sets of Algebraic and State Space Equations. Proceedings of IPST'97 - International Conference on Power Systems Transients, Seattle, June 22-26, 1997, pp. 35-40 Oswald, B. R.; Pöller, M. A.: Modeling Power Systems with General Difference Equations - A Systematic Formulation. Proceedings of IPST'99 - International Conference on Power Systems Transients, Budapest, June 20-24, 1999, pp. 81-86 Oswald, B. R.: Computation of Power Systems Eigenvalues Using the Modified Nodal Approach. European Transactions on Electrical Power (ETEP), Vol. 10, No. 1, January/February 2000, pp. 7-12 Oswald, B. R.: Generalized Method for Fault Simulations in Power Systems. European Transactions on Electrical Power (ETEP), Vol. 10, No. 1, January/February 2000, pp. 59-62