Kombinatoryka dla programistów

m

p o wykonaniu PERM(m) Dla przykładu, jeśli początkowo zmienne P [ 1 ] , to łatwo się przekonać, że p o wykonaniu PERM(4) Oznacza to, że c> jest cyklem [1 2 3 4 ] .

P [4] zawierają ciąg 1 2 3 4, ciąg ten zmienia się n a 4 1 2 3.

4

Pokażemy teraz poprawność algorytmu 1.11; dokładniej, udowodnimy dla każdego m > 1 następujący w a r u n e k : Warunek W : Wykonanie PERM(m) powoduje wygenerowanie wszystkich permutacji elementów P [ 1 ] , P [m], przy czym

1) oraz cyklem [1 2 ... m] jeśli m parzyste. m

m

D o w ó d przebiega przez indukcję względem m, j a k zwykle w przypadku d o ­ wodu poprawności algorytmów rekurencyjnych. Łatwo się bezpośrednio prze­ konać, że warunki W j , W są prawdziwe niech więc m > 3 . Wykażemy W przy założeniu prawdziwości W _ i . D o w ó d rozbijemy n a dwa przypadki, w za­ leżności od tego, czy m jest parzyste czy nieparzyste. 2

m

m

m nieparzyste. N a mocy założenia indukcyjnego wykonanie PERM(m—l) w wierszu 14 powoduje za każdym razem przesunięcie zawartości P [ l ] , P [m — 1] wzdłuż cyklu [l 2 ... m — l]. Transpozycja P [ni] -.= •.P [m-1] w wier­ szu 15 wybiera więc za każdym razem inny element do P [m]. Jeśli początkowo P [z] = ( i „ K i < m , t o w P [m] są umieszczane kolejno elementy a , a _, « m - 3 , •••> Ou m-i-PERM(m) generuje więc wszystkie permutacje elementów P[l],...,P[m]. Zauważmy, że przesunięcie P [ 1 ] , P [m — l ] wzdłuż cyklu [1 2 ... m— 1], a na­ stępnie dokonanie transpozycji P [m] ••= •• P [m — 1] jest równoważne przesunięciu P [I], ...,P [m] wzdłuż cyklu [1 2 ... m-3 m-2 m m-1] długości m. Gdyby transpozycja w wierszu 15 była dokonywana dla każdego i < m, t o wykonanie pętli 13 spowodowałoby sprowadzenie wszystkich elementów n a swoje początko­ we miejsca. W rzeczywistości natomiast ostatnia transpozycja, dla i = n, nie jest wykonywana. Zatem

m

2

a

m

m parzyste. Prześledźmy zawartość tablicy P w czasie wykonywania PERM(m). Zmiany, jakim podlega t a zawartość, przedstawiono w tablicy 1.1.

^ t t u c A 1.1 Zmiana zawartości zmiennych P [ 1 ] , . . . , P [m] w czasie wykonywania pro­ cedury PERM {m), m parzyste.

Łkaba wykonanych

p

[

1

]

p

i> [ m - 3 ] P [ m - 2 ] i» [ m - 1 ]

[ 2 ]

P [m]

iteracji pętli 13 0 1 2

m-3 m-2 m-1 m

Ol

a a„ m

-

o o

Om-3

Om-2

0

2

Om_3

Om-1

Om-2

Ol

Ol

Om-3

O

_2

Om-1

02

2

m

m

- l

Om

Om

Ol

Om-*

Om-1

O/n-2

O

Om

Oi

Om-4

Om-3

Om-1

Om-2

Om

Ol

Om-4

Om-2

Om-3

Om-3

Om

Ol

Om-4

Om-3

Om-2

O

m

m

-3

- i

Z tablicy tej wynika, że każdy element pojawia się w P [ni] — a więc PERM{m) generuje wszystkie permutacje — oraz że ę jest cyklem [ 1 2 ... ni]. Dowód poprawności algorytmu jest tym samym zakończony. m

Algorytm 1.11 m a pewną własność, która może być bardzo pożyteczna w niektórych zastosowaniach. Wyobraźmy sobie, że poszukujemy permutacji spełniającej określone warunki. W sytuacji takiej, jeśli dla pewnego m warto­ ści P [ / w + l ] , ...,P [n] nie spełniają żądanych ograniczeń, nie m a potrzeby wywoływania PERM (ni) i przechodzenia przez wszystkie m! permutacji elemen­ tów P [ 1 ] , P [ni]. Permutacje te możemy opuścić przez dokonanie permutacji elementów P[l], ...,P[m] określonej przez ę . Zauważmy, że permutacje q> mają w naszym przypadku bardzo prostą postać. m

m

Ostatni algorytm generowania permutacji, który przedstawimy, konstruuje ciąg, w którym różnice między kolejnymi permutacjami są jeszcze mniejsze: katda następna powstaje z poprzedniej przez pojedynczą transpozycję sąsiednich elementów. Algorytm ten jest przypisywany zwykle Johnsonowi [38] i Trottetowi [ 6 8 ] . Jego ideę najlepiej zilustrować n a przykładzie. Załóżmy, że skon­ struowaliśmy j u ż ciąg permutacji elementów 2, 3 , n o tej własności, np. 2 3, 3 2 < 8 | » = 3. Wtedy żądany ciąg permutacji elementów 1, 2 , . . . , n otrzymujemy wsta^ j ą c element 1 na wszystkie możliwe sposoby do każdej permutacji elemen­ t y 2, 3 , n . W naszym przypadku otrzymujemy 12 3 2 13 2 3 1 >

3 2 1 3 1 2

Ogólnie element 1 przesuwany jest między pierwszą a ostatnią pozycją, na prze­ mian w przód i w tył (w — 1)! razy. N a podstawie tej konstrukcji możemy łatwo otrzymać algorytm rekurencyjny generujący żądany ciąg permutacji dla dowolnego n. Jednakże metoda t a zastosowana bezpośrednio ma tę wadę, że konstruuje ciąg permutacji „w całości", i dopiero p o zakończeniu całej konstrukcji m o ż n a go odczytać. Oczywiście roz­ wiązanie tego typu wymagałoby na ogół olbrzymiej zajętości pamięci. Dlatego też pokażemy teraz wersję nierekurencyjną tego algorytmu. W wersji tej dla każdego i, 1 < / < n, zmienna boolowska PR [z] zawiera informację o tym, czy element i jest przesuwany do p r z o d u (Pi? [ i ] = true), czy też do tyłu (PR [ z ] = = false), zmienna C[i~] wskazuje natomiast, którą z możliwych n — i+l pozycji element z zajmuje względem elementów i + l , . . . , « na swej drodze w przód lub w tył. Pozycję elementu i w tablicy P wyznaczamy na podstawie jego pozycji w bloku zawierającym i, i+l, n, oraz liczby elementów spośród 1, 2, ... / — 1 , które znajdują się na lewo od tego bloku. Liczba ta, będąca wartością zmiennej x, obliczana jest j a k o liczba elementów j < i, które poruszając się do tyłu osiągnęły swe skrajne lewe położenie ( C = n—j+l, PR [ y ] = false). Każda nowa per­ mutacją powstaje przez transpozycję najmniejszego spośród elementów j , które nie znajdują się w skrajnym położeniu (tzn. C [ y ] < n—j+l) z jego lewym lub prawym sąsiadem. Realizuje t o poniższy algorytm — dokładny dowód jego p o ­ prawności pozostawiamy Czytelnikowi. ALGORYTM 1.12 (Generowanie wszystkich permutacji przez minimalną transpozycji sąsiednich elementów) Dane:

liczbę

n

Wyniki: Ciąg permutacji zbioru {1, . . . , « } , w którym każda następna powstaje przez dokonanie pojedynczej transpozycji sąsiednich elementów.

1 2

3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

begin for i — 1 to n do begin P [ i ] •.= i; C [z] := 1; PR [z] — true end; C [ « ] == 0 ; (* tak, by C [ z ] ^ n - z + 1 w wierszu 10 dla i = n *) write ( P [ l ] , . . . , P [ n ] ) ; i := 1;

while i < n do begin i ••= 1; x ••= 0 ; while C [z] = n — i+l do begin PR [z] ••= not PR [ z ] ; C [z] •.= 1; if PR [z] then x-.= x+l; i •= i+ 1

end,

if i <*then begin (* dokonanie transpozycji if PR [ i ] then k ••= C [i~\+x else := n — j ' + 1 - C [ / ] + ; < ; ; P [*]:=:/»[*+!];

1 7

jg. 1 9

20 21 22 23 24

*)

write ( P [ l ] , . . . , / » [ « ] ) ; C[*]:=C[«] + 1 e

n

d

end end

Zauważmy, że algorytm ten, podobnie j a k oba poprzednie, nie korzysta w żad­ nym stopniu z zawartości zmiennych P [ 1 ] , ...,P [ « ] . Jest to oczywiste, gdyż zmienne te występują jedynie w wierszu 19 (jeśli nie liczyć inicjalizacji w wierszu 3 i wyprowadzania wyników). N a rysunku 1.4 przedstawiono ciągi permutacji wygenerowane dla n = 4 przez algorytmy 1.10, 1.11 i 1.12.

a)

b)

c)

12 3 4 2 13 4 13 2 4 3 1* 2 4 2 3 1 4 3 2 14 12 4 3 2 14 3 14 2 3 4 12 3 2 4 13 4 2 1 3 1 3 4 2 3 t t 2 14 3 2 4 1 » 2 3 4 12 4 3 12 2 3 4 1 3 2 4 1 2 4 3 1 * 2 3 1 3 4 2 1 * 3 2 1

12 3 4 2 13 4 2 3 14 3 2 14 3 12 4 13 2 4 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 1 4 13 2 14 3 2 13 4 2 3 1 4 2 3 4 12 4 3 12 4 2 13 2 4 13 2 14 3 12 4 3 14 2 3 4 12 3

1 2 2 2 3 3 3 1 1 3 3 3 4 4 4 1 1 4

4 4

2 2 2 1

2 1 3 3 2 2 1 3 3 1 4

4 3 3 1 4

4 1 2 2 4 4 1 2

3 3 1 4 4 1 2 2 4 4 1 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 1 4 4

4

4 1 1 4 4 4

2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 3 3 3

RYS. 1.4 Ciągi permutacji wygenerowane przez (a) algorytm 1 . 1 0 (b) algorytm 1.11 (c) algorytm 1 . 1 2

Pokażemy jeszcze na zakończenie pewną ciekawą interpretację ciągu wyge* ° w a n e g o przez algorytm 1.12. Rozważmy w tym celu graf G„, którego wierzcljpHa odpowiadają wszystkim permutacjom zbioru {1, . . . , n } , i w którym dwa **J&lichołki odpowiadające permutacjom / , g połączone są krawędzią wtedy i tylT Ł w t e d y , gdy g powstaje z / przez pojedynczą transpozycję sąsiednich elementów ne

4321

RYS. 1.5 Interpretacja ciągu permutacji wygenerowanego przez algorytm 1.12

(tak więc każdy wierzchołek połączony jest z dokładnie n— 1 innymi wierzchoł­ kami). Nietrudno zauważyć, że ciąg permutacji wygenerowany przez algorytm 1.12 odpowiada drodze Hamiltona w G„ tzn. drodze zawierającej każdy wierzchołek grafu dokładnie raz. Przedstawiono to, dla n = 3 i n = 4, n a rysunku 1.5.

Każdy zbiór n-elementowy X = {x x } m a dokładnie 2" podzbiorów. A b y się o tym przekonać wystarczy każdemu podzbiorowi Y ^ X przyporządkować ciąg binarny (tzn. o wyrazach 0 lub 1) b b ...b„ określony następująco: u

n

t

2

jeśli x
jeśli x e Y t

Otrzymujemy w ten sposób wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy elementami zbioru ^ ( X) wszystkich podzbiorów zbioru X a wszystkimi ciągami binarnymi długości n. Ciągów takich jest oczywiście 2", a więc, na mocy naszej odpowiedniości, również \0> (X)\ = 2". Określony przez nas ciąg b b •••b stanowi również wygodną reprezentację maszynową podzbioru Y, szczególnie w sytuacji, gdy liczność zbioru X jest nie­ wielka i ciąg b b ... b„ może być zakodowany w jednym słowie maszynowym. Reprezentacja taka sugeruje prostą metodę generowania wszystkich podzbiorów. Wystarczy zauważyć, że każdy ciąg binarny b„- b _ ... b odpowiada wzajemnie jednoznacznie pewnej liczbie z przedziału 0 < r < 2" — l , a mianowicie liczbie r — x

x

2

n

2

1

n

2

0

— £ b 2', której 6 _ ... b jest reprezentacją binarną. Liczbę tę ozna­ 1=0 czać będziemy przez [ 6 _ ! 6 „ _ ... 6 ] . Tak więc możemy wygenerować kolejno t

n

n

2

0

2

0

1.5/31

HORY ZBIORU, ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI

^ggfstkie

liczby r z przedziału 0 < r < 2" — 1 (na przykład zaczynając od 0 i dodając 1 w każdym kroku), a ich reprezentacje binarne określą wszystkie podzbiory zbioru u-elementowego. Metoda ta jest szczególnie wygodna dla realizacji w ję­ zyku wewnętrznym maszyny. , —W niektórych sytuacjach zależy n a m n a tym, by każdy następny wygenenyf/upy podzbiór j a k najmniej różnił się od poprzedniego. Motywacja przy­ datności algorytmu o tego typu własności jest analogiczna j a k w przypadku algorytmów 1.11 i 1.12 generowania permutacji: przy dokonywaniu pewnych obli­ czał związanych z każdym wygenerowanym podzbiorem istnieje możliwość wy­ korzystania wyników częściowych uzyskanych dla poprzedniego podzbioru. Zauważmy, że w przypadku opisanego przez nas algorytmu opartego na repre­ zentacji binarnej liczby, kolejne wygenerowane podzbiory mogą się znacznie od siebie różnić: n a przykład p o zbiorze (n — l)-elementowym odpowiadają­ cym 0 1 1 ... 1 następuje jednoelementowy zbiór odpowiadający 1 0 0 . . . 0. Opiszemy teraz inną metodę, w której każdy następny podzbiór powstaje z poprzedniego przez dodanie lub odjęcie jednego elementu. Opiera się on n a następującej prostej obserwacji. Jeśli ciąg C C , C zawiera wszystkie m — 2 ciągów binarnych długości k, przy czym C, różni się od C n a dokładnie jednej współrzędnej (/ = 1, ...,m — 1), to ciąg k

u

2

m

i+1

C 0,C 0,...,C 0,C l,C„. l,...,C l

2

m

m

1

l

1

zawiera wszystkie ciągi binarne długości k+1, przy czym każde dwa sąsiednie ciągi różnią się na dokładnie jednej współrzędnej. Określa to bezpośrednio pewien algorytm rekurencyjny konstruowania ciągu wszystkich podzbiorów. Otrzymany w ten sposób ciąg C , C „ , nazywamy binarnym kodem Grey'a rzędu n. Podamy teraz wersję nierekurencyjną tego algorytmu. ±

2

ALGORYTM 1 . 1 3 (Generowanie wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego) Dane:

n

Wjjjgaki: Ciąg wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego, w którym każdy następny podzbiór powstaje z poprzedniego przez dodanie lub odjęcie pojedynczego elementu. Każdy podzbiór reprezentowany jest przez ciąg binarny J 3 [ l ] , B[n\. 1

2 3 * f 6

tegin for i:= 1 to n do B\f] : = 0 ; (* zbiór pusty *) i : = 0; (* j = liczba dotychczas wygenerowanych podzbiorów *) repeat write (JB[1], . . . , * [ # ! ] ) ; i ••= i+l; p-.= 1; j•= i; while j mod 2 = 0 do begin (* J2"' = i *) j-=jl2; p--=p+l end; (* p = 2 ( 0 + 1 * ) 1

11

if p < n then B[p~] ••= 1— B[p]

12

(* zmiana na pozycji p

*)

until p > n end

13

Udowodnimy teraz, że opisany algorytm istotnie generuje wszystkie ciągi bi­ narne długości n. Niech Q (i) oznacza najwyższą potęgę dwójki, która dzieli i. Jeśli przedstawimy i w postaci binarnej j a k o i = \b b„- ... to m a m y oczy­ wiście Q (i) +1 = min {j: b = 1}. Pokażemy najpierw, że p o wyjściu z wewnętrz­ nej pętli 7 mamy p = Q(i) + \. W tym celu zauważmy, że przy wejściu do pę­ tli j2'~ = i (gdyż p = 1,7 = /) oraz każda iteracja pętli nie narusza tej równości (jako że (y/2) 2 = y ' 2 ) . Przy wyjściu z pętli j jest nieparzyste, a więc Q (i) = ^ - 1 , czyli istotnie = g (/) + 1 . Załóżmy teraz, żele < n oraz że w pierw­ szych 2* iteracjach pętli 3 wygenerowane zostały wszystkie 2* ciągi binarne b b ••• b takie, że b = ... = b = 0 (jest to oczywiście prawdą dla k = 0). W ostatniej spośród tych 2 iteracji zmienna / przybiera wartość 2* (wiersz 7). Daje to p = Q (2 ) + 1 = k +1, i w konsekwencji następuje zmiana wartości zmiennej 5 [ A : + l ] z 0 na 1. Przyjrzyjmy się teraz ciągowi n

1

}

1

( J , + 1 ) _ 1

x

2

n

p _ 1

k + 1

n

k

k

+1

G ( 2 * + l) + l, G ( 2 * + 2) + l, ...,f2(2* ) + l

(1.9) k

wartości zmiennej p wygenerowanych w następnych 2 iteracjach pętli 3. Zauważ­ my, że Q(2 +m) = Q (2 -m) dla 0 < m < 2 — 1 (fakt ten jest szczególnie jasno widoczny, jeśli rozważyć dodawanie liczb 2 +m i 2 —m zapisanych w postaci binarnej). Ciąg (1.9) jest więc lustrzanym odbiciem ciągu wartości zmiennej p generowanych przez pierwsze 2 iteracji pętli 3. Stąd wynika, że również cią­ gi J 3 [ l ] , J 3 [ 2 ] , uzyskiwane w pierwszych 2 iteracjach pojawiają się, w odwrotnej kolejności, w następnych 2 iteracjach. Daje to wszystkie ciągi bi­ narne b b ••• b takie, że b = ... = b = 0, wygenerowane w pierwszych 2 iteracjach. Teraz jasne już jest, że nasz algorytm generuje wszystkie ciągi binarne długości n w takiej samej kolejności j a k opisany poprzednio algorytm rekurencyjny. k

k

k

k

k

k

k

k

k + i

1

2

n

k + 1

n

Ciąg podzbiorów generowanych przez algorytm dla n = 4 przedstawiono n a rys. 1.6.

oooo 1 0

0

1 1 0

0 0

oi o o 0 1 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1

l i i i 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1

0 0 0 1

R Y S . 1.6 Ciąg podzbiorów wygenerowany przez algorytm 1 . 1 3 dla n = 4

3RY ZBIORU, ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI

i M o ż n a pokazać, ze średnia liczba kroków potrzebna d o wygenerowania " go następnego podzbioru (nie licząc wypisania tego podzbioru) jest ogra­ b i a przez stałą niezależną od n (por. zad. 1.21). Ciąg podzbiorów generowany algorytm 1.13 można — podobnie j a k to uczyniliśmy dla ciągu permutacji generowanego przez algorytm 1.12 — zilustrować na grafie, którego wierzchołki odpowiadają wszystkim ciągom binarnym długości n, a dwa wierzchołki połączone są krawędzią, jeśli odpowiadające ciągi różnią się na dokładnie jednej pozycji- G r a f taki nazywamy (binarną) kostką n-wymiarową. Oczywiście ciąg wygenerowany przez nasz algorytm odpowiada drodze Hamiltona w tym grafie. Przedstawiono to dla n = 1,2, 3,4 n a rys. 1.7.

n"1

1111

Ona, > 1011

101

001;

000'

100

n=4

n«3

0100

0000

r

1000

RYS. 1.7 Drogi Hamiltona w kostkach n-wymiarowych

W niektórych zastosowaniach pojęciem naturalniejszym od zbioru jest zbiór powtórzeniami. Każdy element zbioru z powtórzeniami może występować tya^zbiorze kilkakrotnie, przy czym liczba tych wystąpień, zwana krotnością ' * i ^ w zbiorze, jest istotna. Zbiór z powtórzeniami zawierający, dla przy­ kłada, element a o krotności 2, element b o krotności 3 oraz element c o krotności 1 °zna|zać będziemy przez (a, a, b, b, b, c), lub (2*a, 3*b, 1 *c). Kolejność ele­ mentów jest nieistotna:

z

w

e

e

(a, a, b, b, b, c) = (b, a, b, a, c, b) = ... w

a ż n a jest jedynie krotność każdego elementu («. a, b, b, b,c) / (a,

w

**feóżnieniu od równości zbiorów ;

'ifi,a,b,b,

3

b,c)

jj^*

b < n a t o r y k a

b,c]

= {a, b,c]

mamy

Jeśli krotność każdego elementu w pewnym zbiorze z powtórzeniami jest równa jedności, to oczywiście możemy go identyfikować ze zwykłym zbiorem. Niech A, B będą dwoma zbiorami z powtórzeniami. Powiemy, że A jest podzbiorem B (co oznaczamy A £ B), jeśli krotność każdego elementu w A jest nie większa od krotności tego elementu w B. Niech X będzie zbiorem z powtórzeniami zawiera­ jącym r różnych elementów x ,...,x o krotnościach odpowiednio k ...,k . Liczbę \X\ = k + ... +k nazywamy Ucznością X. Każdemu podzbiorowi A s X odpowiada jednoznacznie ciąg 1

y

<m

m >,

1 ;

r

u

r

r

O^nti

r

0<m
(1.10)

r

gdzie m oznacza krotność elementu x w A. Stąd natychmiastowy wniosek, że wszystkich podzbiorów A £ X jest t

t

( ^ + 1 ) ^ + 1)... (fe +l)

(1.11)

r

Podzbiory te — ściślej, odpowiadające im ciągi (1.10) — można wygenerować w sposób podobny d o użytego w algorytmie 1.13. Wystarczy w tym celu zauwa­ żyć, że jeśli ciąg C C , C zawiera wszystkie p = (&x + l) ... (k +l) cią­ gów m , , m,0 < m < k 0 < m < k , to ciąg u

2

s

Ci 0, C 0, 2

m

x

s

u

s

s

C 0, C 1, C p _ 1 , C i p

p

Ł

1, Ci 2, C 2,

C 2, C 3, ...

2

p

p

(1.12) długości p(k i + l) zawiera wszystkie ciągi <«j . . . , » i i > , 0 ^m 0 <m < f c . Oczywiście ciąg podzbiorów uzyskany za pomocą tej konstruk­ cji m a tę własność, że każdy następny podzbiór powstaje z poprzedniego przez dodanie lub odjęcie jednego elementu. Pozostawiamy Czytelnikowi wyelimino­ wanie rekursji z tego algorytmu (zad. 1.22), zilustrujemy go jedynie n a rys. 1.8 przez drogę Hamiltona w pewnym grafie. Interpretacja tego rysunku jest taka sama j a k rysunku 1.7. s+

J + 1

1;

s +

y

s + 1

RYS. 1.8 Droga Hamiltona w grafie od­ powiadającym podzbiorom zbioru z po­ wtórzeniami (Xi, x,, x , x 3, x ) 2

3

3< ™<j

1.6/35

[ORY Jf-ELEMENTOWE

ffodzbiory ^-elementowe, współczynnik d^umienny

1.6

j j c z b ę wszystkich podzbiorów A>elementowych zbioru n-elementowego oznaczać będziemy przez ^j. du P

a

Symbol ^

zwany jest współczynnikiem

następujący wzór na n-tą potęgę dwumianu

(x+

:

dwumiennym ze wzglę­

x+y:

y >" = Ż^k) ~ >

xiyn

i

( L 1 3 )

Aby się przekonać o prawdziwości tego wzoru wystarczy zauważyć, że współczyn­ nik przy x' y~ jest równy liczbie sposobów, w jaki spośród n czynników iloczy­ nu (x+y) ... (x+y) można wybrać k czynników j a k o te, z których wybieramy składnik x. l

Oczywiście

= 0 dla k>n.

W a r t o wspomnieć, że podzbiory £-elemen-

towe zbioru n-elementowego nazywa się też w starszej literaturze kombinatorycznej kombinacjami k-wyrazowymi ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń. Ze współczynnikami dwumiennymi związanych jest wiele ciekawych toż­ samości. Oto niektóre z nich.

(1.14) I-O

x

'

Wzór ten wynika stąd, że suma p o lewej stronie wyraża liczbę wszystkich pod­ zbiorów zbioru n-elementowego.

1

ni"1= 0

V

-/

' -V ' \ • V

, ,i •

•'• •-\-X'\

(1.15)

7

Dla dowodu utwórzmy listę zawierającą kolejno wszystkie podzbiory zbioru n-elementowego X. Lista ta zawiera (^j podzbiorów /-elementowych dla i = =

1 ; . . . , » , tak więc jej długość (tzn. liczba wystąpień elementów zbioru X) wyraża się sumą p o lewej stronie wzoru (1.15). Z drugiej strony każdy element * 6 X występuje n a liście 2 " razy, gdyż taka jest liczba podzbiorów zawierają­ cych x (jest ich tyle, ile wszystkich podzbiorów zbioru A " \ { x } ) . Długość naszej listy jest więc równa n2"~ . Dowód jest tym samym zakończony. - 1

l

6) • (:"*) t o bezpośrednia konsekwencja faktu, iż każdemu podzbiorowi

(116) fc-elemen-

towemu r " c Z odpowiada wzajemnie jednoznacznie (n — fc)-elementowy pod­ zbiór X\Y zbioru X.

- frK:!)

•

^

Wzór ten otrzymujemy przez następujące rozumowanie. Ustalmy pewien ele­ ment x zbioru n-elementowego X. Zbiór wszystkich podzbiorów

fc-elementowych

zbioru X rozpada się na dwie rozłączne klasy: tych podzbiorów, które nie za­ wierają elementu x, oraz tych, które x zawierają. Liczność pierwszej klasy wy­ nosi

drugiej zaś Q

^ , tyle ile jest podzbiorów

(k-l)-elementowych

zbioru Tożsamość (1.17) wiąże się ściśle z następującym trójkątem

Pascala:

1 1

1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Jeśli ponumerować kolejne wiersze tego trójkąta liczbami 0, 1,2, zawiera liczby

to i-ty wiersz

oo i: N a mocy wzoru (1.17) każdą z tych liczb — oprócz skrajnych, równych jed­ ności — można otrzymać j a k o sumę występujących n a d nią liczb w poprzednim wierszu. Daje to prostą metodę generowania trójkąta Pascala, a tym samym znajdowania współczynników rozwinięcia (x+y)' — dane są one przez /-ty wiersz trójkąta (por. (1.13)). Udowodnimy jeszcze jedną tożsamość związaną ze współczynnikami dwumiennymi, a mianowicie następującą tożsamość Cauchfego: m + n\

VH

/m\

(

n

\ (L18)

k ) - 2 (,)(*-,)

W tym celu wyobraźmy sobie, że z grupy złożonej z m mężczyzn i n kobiet chcemy wybrać k osób. Możemy to uczynić na ('"^

sposobów (lewa strona). Wszystkie

podzbiory A>elementowe naszego zbioru osób możemy sklasyfikować ze względu n a liczbę mężczyzn w podzbiorze. Podzbiór fc-elementowy zawierający s mężczyzn możemy otrzymać wybierając najpierw ^ mężczyzn — na jeden z

możliwych

^i§obów 3 t

|fc

p

J sposobów. Wszy-

— a następnie k—s kobiet, na jeden spośród

możliwych podzbiorów k osób, w tym s mężczyzn, jest zatem

^ "J •

jeacośrednio stąd wynika już wzór (1.18). Zauważmy, że dla m = k = n wzór ten przybiera postać

(1.19)

© - i o " Ostatnią tożsamością, którą udowodnimy jest

C)C)=C)(r-r) Dla dowodu policzmy liczbę par podzbiorów zbioru n-elementowego X, takich że AT s M, \K\ = k,\M\ brać na ^1

= m. Z jednej strony podzbiór K możemy wy­

sposobów, a podzbiór M £ K n a

sposobów, co daje

j

m o | i w y c h p a r (lewa strona ( 1 . 2 0 ) ) . Z drugiej strony, dla każdego z ^ podzbiorów M z X możemy wybrać n a sposobów podzbiór K E S Af, gdyż taki podzbiór AT wyznaczony jest jednoznacznie przez podzbiór (n—ifc)-ełementowy X\K zbioru («—»i)-elementowego X\M. Szukana liczba par <Jf, My jest więc równa QJ

(H-T) ( P

r a w a

strona ( 1 . 2 0 ) ) .

Podamy teraz bezpośredni wzór pozwalający na obliczanie

^j.

TWIERDZENIE 1 . 1 4

C) k/

[n]

w! n ( n - l ) . . . ( n - f e + l) fel(n-fe)! 1 - 2 - ... -fe

t

fe!

{ 1

'

2 1 )

DoW!6d

Ka$$j? spośród [«],( ciągów różnowartościowych długości k wyznacza podzbiór fe-etementowy złożony z elementów występujących w tym ciągu, przy czym ten D$?©dzbiór S otrzymujemy z dokładnie kl ciągów, odpowiadających wszystkim sa

PermWacjom zbioru S. Stąd Q

= [«]*/£!. Wystarczy teraz skorzystać z twier-

toma*. 1.2.

B

Zauważmy, że twierdzenie to pozwala łatwo udowodnić wszystkie tożsamorozważane w tym punkcie. N a przykład dla (1.17) m a m y

5 0 1

n

!

(\ W !

" k\(n-k)l _

(n-1)!

fel(n-l-fe)!

n l

_ ~

n

fe!(n-fe)! +

k

(~ \ n

(n-1)!

(fe-l)l(n-fe)!

+

n) _

Ji\_ ~

fn-l\

\ k

^

(n-l

) ^

\k-\

/

tego typu „algebraiczny" dowód polegający na mechanicznym prze-

kształcaniu wyrażeń jest znacznie mniej przejrzysty od dowodu „kombinatorycznego" pokazanego poprzednio. Z drugiej strony wzór ( 1 . 2 1 ) pozwala łatwo udowodnić następującą własność współczynników dwumiennych:

(ó) (") K

K

- U) "

( w » )

" (r»/a

-i)

n—i

n (n — l ) . . . (n — i + l )

l)

i+ l

K

+

. )

=• - * ( » )

(

L

2

2

)

(n > 1 ) . Wystarczy zauważyć, że n

) i ++ 1l)/ ~

" ( " - ! ) — ("• 1 - 2 - ... -i(i + +

1-2-

... -i

n-i i+ l M a m y ( n - i ) / ( i + l ) > 1 dla i < ( n - l ) / 2 , tzn. dla i < Ln/2J, podobnie ( n - i ) / ( i + l ) < l dla i > ( « - l ) / 2 , tzn. dla i > fn/21, oraz (n-Ln/2J)/(ln/2J + l) = = fn/21/fn/21 = 1, jeśli n nieparzyste (dla parzystego n m a m y Ln/2J = fn/21 i środ­ kowa równość w ( 1 . 2 2 ) oczywiście zachodzi). Zajmiemy się teraz znalezieniem liczby A>elementowych podzbiorów zbioru z powtórzeniami (k*x , k*x„). Pytamy, innymi słowy, na ile sposobów można utworzyć A>elementowy zbiór z powtórzeniami mając do dyspozycji n różnych elementów, powiedzmy 1, . . . , n , z których każdy możemy użyć dowolną ilość razy. W a r t o zauważyć, że liczba ta jest równa liczbie ciągów niemalejących dłu­ gości k o elementach ze zbioru { 1 , n}. Wynika to z faktu, że elementy każdego podzbioru dają się jednoznacznie ustawić w ciąg niemalejący. Oczywiście pod­ zbiorem bez powtórzeń odpowiadają ciągi rosnące. 1

TWIERDZENIE 1 . 1 5

Liczba A>elementowych podzbiorów zbioru (k*x

u

...,k*x„)

er)

jest równa (1.23)

DOWÓD

M a m y wyznaczyć liczbę ciągów niemalejących < c , ...,a } o elementach ze zbioru { 1 , n } . Każdy taki ciąg można podzielić na n sekcji, gdzie i-ta sekcja zawiera pewną — być może zerową — liczbę następujących p o sobie elementów i. Jeśli sekcje te oddzielimy od siebie n — 1 zerami użytymi w charakterze separato­ rów, to otrzymamy ciąg długości k+n—l. N a przykład dla n = 5, k = 4 cią­ gowi < 2 , 2 , 4 , 5 > odpowiada ciąg < 0 , 2 , 2 , 0 , 0 , 4 , 0 , 5 > . Ten ostatni ciąg jest jednoznacznie wyznaczony przez rozmieszczenie występujących w nim n — 1 zer. Istotnie, możemy go odtworzyć wypełniając sekcję do pierwszego zera wystą­ pieniami elementu 1, sekcję od pierwszego do drugiego zera wystąpieniami ele­ mentu 2 itd. Lecz liczba rozmieszczeń n—l na k + n— 1 pozycjach jest równa x

/k + n - l \ \

n-1

)

(

n + k-l

\

V(n + / c - l ) - n - l j

/n + =

V

k-V k

k

Znalezioną przez nas liczbę podzbiorów z powtórzeniami można zapisać nieco inaczej: ^n + k - l ^

n(n + l)...(n +

=

fc-l)

[k^_

=

( 1

2

4

)

pokażemy interpretację kombinatoryczną tej równości. Przypomnijmy w tym celo, ze [n]* jest liczbą rozmieszczeń uporządkowanych k elementów x , ...,x n pudełkach. Zauważmy, że każdemu takiemu rozmieszczeniu zawierającemu r elementów w /-tym pudełku odpowiada ^-elementowy podzbiór ( > i * J i , r *y„) zbioru z powtórzeniami (k*y , k*y„). W tym przyporządkowaniu istotna jest jedynie liczba elementów w każdym z pudełek. A więc na przykład roz­ mieszczeniom x

k

w

t

n

x

pudełko

1

pudełko 2

pudełko 3

jc X

*S l

X* Xi

x x

3

x

2

2

x

i

x

3

5

odpowiada ten sam podzbiór ( 2 * j 3 * j ) . Jasne jest, że każde dwa rozmieszcze­ nia odpowiadające temu samemu podzbiorowi różnią się permutacją obiek­ tów x x . W konsekwencji liczba wszystkich A>elementowych podzbiorów zbioru z powtórzeniami (k*y k*y ) jest równa [ri] /k\. Oczywiście rozumo­ wanie to wraz ze wzorem (1.24) stanowi inny dowód twierdzenia 1.15. 1 (

t

3

k

k

u

n

Generowanie podzbiorów ^-elementowych Pokażemy teraz dwa algorytmy generowania wszystkich fc-elementowych pod­ zbiorów zbioru n-elementowego X. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że X = { 1 , n } . Każdemu fc-elementowemu podzbiorowi odpowiada wtedy wzajemnie jednoznacznie ciąg rosnący długości k o elementach z X: na przykład podzbiorowi {3, 5, 1} odpowiada ciąg <1, 3, 5>. Można łatwo pokazać algorytm generujący wszystkie takie ciągi w porządku leksykogrąficznym. Wystarczy w tym celu zauważyć, że w porządku tym, ciągiem bezpośrednio następującym p o < a ...,«*> jest 1 ;

<&i>

b} =
a „ _ i , a + l, a + 2,

1 ;

p

p

a„ +

k-p+l}

gdzie P = max {i: a < n - f c + 1} t

^ ° więcej, ciągiem bezpośrednio następującym p o
u

:
u

c} k

= <&!,

bjf-u

jeśli b = n k

jeśli b < n k

V

+

1

> b > + 2, p

b y jest

b r + k-p' p

k

+ 1>

(zakładamy, że ciągi < a a * > i < 6 , ...,£>*> są różne od < n - f c + 1 , n>, ostatniego ciągu w naszym porządku). Prowadzi to do następującego prostego algorytmu: l

r

Ł

ALGORYTM 1 . 1 6 (Generowanie wszystkich ^-elementowych podzbiorów

zbio­

r u { 1 , . . . , « } w porządku leksykograficznvm) Dane:

n, k.

Wyniki: Ciąg wszystkich podzbiorów

fc-elementowych

zbioru { 1 , . . . , « } w p o ­

rządku leksykograficznym. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

begin for i ••= 1 to k do ^4 [ i ] := i ; (* pierwszy podzbiór * ) p-.= k; while p < 1 do begin w i r e (A [ l ] , / I [A:]); if A [£] = n then /> ~ / > - 1 else p •.= k; if p ^ 1 then for i s= k downto p Ao A [ i ] := A [/>] + /—/J + 1 end end

10

Ciąg wszystkich podzbiorów 4-elementowych zbioru { 1 , . . . , 6 } przez ten algorytm przedstawiono na rys. 1.9.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3

2 2

3 3 2 3 2 4 2 4 2 5 3 4 3 4 3 3 4 5 3 4 3 4 3 5 4 5 4

5

4 5 & 5 6 6 5 6 6 6 5 6 6 6 6

RYS. 1.9 Ciąg podzbiorów 4-elementowych struowany przez algorytm 1 . 1 6

zbioru

wygenerowany

{ 1 , 6 } skon-

Drugi algorytm, który teraz opiszemy generuje wszystkie fe-elementowe podzbiory w taki sposób, że każdy następny podzbiór powstaje z poprzedniego przez usunięcie pewnego elementu i dodanie innego. Algorytm ten przedstawimy w postaci rekurencyjnej. Oznaczmy w tym celu przez G (n, k) listę (tzn. ciąg) zawierającą wszystkie fc-elementowe podzbiory zbioru { 1 , . . . , « } , której pierw­ szym podzbiorem jest { 1 , ...,k}, ostatnim { 1 , 2 , k— 1, n} i każdy następny podzbiór powstaje z poprzedniego przez usunięcie pewnego elementu i dodanie

jJj§|go. Zauważmy, że jeśli skonstruowaliśmy już G(n—\,k) ^ 0 ( « , f c ) możemy określić następująco:

i G(n-l,fc-l),

to

* G(n, k) — G (n-1,

k), G*(n-1,

k-1)

u {n}

(1.25)

gjgUk G*(n—\,k-\) u {n\ oznacza listę powstałą z G ( n - 1 , A : - 1 ) przez od^(^oeoie jej kolejności, a następnie dodanie elementu n d o każdego zbioru, jstl&ie G ( n - l , f c ) zawiera wszystkie podzbiory fc-elementowe zbioru {1, . . . , n } nie zawierające n, G*(n — \,k—l) u {n} wszystkie podzbiory Ar-elementowe za­ wierające n, przy czym ostatnim podzbiorem na liście G (n — 1, k) jest { 1 , 2 , . . . , k— 1,*—1}» natomiast pierwszym podzbiorem na liście G*(n— 1, k— 1) u {«} jest {!» 2 , f c — 1. «}• N a rysunku 1.10 pokazano konstrukcję listy G(4, 2). 4

GU,2)

G«,»

G*(2,1)u{3}

G(1,0)u{2,3}

{1,2}

.

{2,3}

G(2,0)u{3,4}

G*<2,1)u{4}

G*(1,1)u{3}

G(1,0)u{2,4}

{1,3}

{^}

G(1,1)u{4}

(W

Rys. 1.10 Konstrukcja listy G ( 4 , 2 )

RYS. 1.11 Droga Hamiltona w grafie odpo­ wiadającym wszystkim podzbiorom dwuelementowym zbioru {1, 2, 3, 4 }

^ L i ś c i e G(n,k) możemy — podobnie j a k w przypadku generowania wszy­ podzbiorów - przyporządkować pewną drogę Hamiltona w grafie, które i P Wierzchołki odpowiadają podzbiorom dwuelementowym zbioru {1, 2, 3, 4}, P^jTczym wierzchołki odpowiadające podzbiorom A, B są połączone krawędzią ^ I f y i tylko wtedy, gdy \A n B\ = k1 = 1. Przedstawiono to na rysunku 1.11. Pozostawiamy Czytelnikowi pozbycie się rekursji w opisanym przez nas (ue (por. zad. 1.29). stkich

Podziały zbioru Przez podział zbioru «-elementowego X na fe bloków rozumieć będziemy dowolną rodzinę n = {B , B ] taką, że B u ... u B = X, B n B = 0 dla 1 < z < < y < A:, oraz B ^ 0 dla 1 < / < fe. Podzbiory 2?i, B nazywamy blokami podziału it. Zbiór wszystkich podziałów zbioru A'na fe bloków oznaczać będziemy przez Il (X), natomiast zbiór wszystkich podziałów przez II (X). Oczywiście 77 (X) = n (X) u ... u II„(X) (co więcej, {JT^Z), J7„(Z)} jest podziałem zbioru 77 (X)). Ściśle związane z podziałami jest pojęcie relacji równoważności. Każdemu podziałowi n możemy przyporządkować relację równoważności 1

k

t

k

t

t

s

k

k

x

E(n)

= \J(BxB)

(1.26)

flełt

(elementy jc, ye X są w relacji 7}(JI) wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego bloku podziału n). N a odwrót, każdej relacji równoważności E na zbio­ rze X możemy przyporządkować podział XjE = {xjE: xeX} gdzie x/E oznacza klasę abstrakcji będących w relacji E z x:

(1.27) elementu x, tzn. zbiór wszystkich elementów

x(E = {yeX:xEy}

(1.28)

Nietrudno zauważyć, że wzory (1.26) i (1.27) określają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między podziałami a relacjami równoważności na zbiorze X. Jeśli jr, a e 77 (X) i każdy blok B s (X) uporządkowanego przez zawieranie. Pokażemy teraz jedną z takich własności. Zbiór częściowo uporządkowany {A, < > nazywamy kratą, jeśli dla dowol­ nych elementów x,ye A istnieją elementy a, be A takie, że (a) a < x, a < j oraz dla dowolnego elementu c takiego, że c c < j mamy c < a, (b) b > x, b > y oraz dla dowolnego elementu c takiego, że c > x, c > y mamy c > b. Elementy takie — jeśli istnieją — są jednoznacznie wyznaczone przez x i y. Istotnie, dla dowolnych elementów a a spełniających warunek (a) mamy a < a l 5

2

2

x

l/42

1.8/43

^ p S A Ł Y ZBIORU

1 8 ol?N °

l

2

C Z j r

fll

=

2

0 (

m e

a

E

e

m

e

n

t

a

^ ° ' ^ ° ' P *°k ^ l nazywamy kresem doly0 elementów A:, y i oznaczamy przez A A y, element b natomiast nazywamy u esęm górnym i oznaczamy przez x v y.

n

r

Tprzykładem kraty jest (&(X),

£ > . W tym przypadku mamy

oczywi­

ś c i e A A B = A n B oraz A v B = A u 5 . TWIERDZENIE

1.17

Zbiór 77 ( X ) uporządkowany przez relację rozdrobnienia < tworzy kratę, przy czyss

HA

a = {Ac\B:(Aen)

A (Bea)

A (A n B * 0 ) }

(1.29)

tzn. £ ( j t A

a)

=

(1.30)

£ ( 7 t ) n £ ( « j )

podział u v ff jest natomiast określony następująco: {x, y} eE(n

v er) <*• istnieje fc > 1 oraz ciąg x , x taki, że x = x y = x* oraz <x , x i > e e E ( 7 t ) lub <x,, x > £ £ (er) dla i — = 1,2,fe-1. x

u

(1.31)

t

(

i +

( + 1

DoWto Zauważmy przede wszystkim, że prostym wnioskiem z definicji relacji równo­ ważności jest fakt, iż przecięcie dwóch relacji równoważności jest relacją rów­ noważności. T a k więc E(n) r\ E (er) jest relacją równoważności, która z kolei wyznacza jednoznacznie pewien podział a taki, że E(n) n E (er) = E (a) (por. (1.27)). Oczywiście £ (a) £ £ (7t), £ (a) £ £ (er), a więc a < jr, a < er. C o więcej, dla każdego podziału a' takiego, że a' < n, a' < o- mamy £ (a') £ E(n),E(ot') £ £ £( £ («") wtedy i tylko wtedy, gdy x, y należą d o tego samego bloku podziału 7r i tego samego bloku podziału er, tzn. x, y e A n B, gdzie A en, Be a. Dowodzi to wzoru (1.29). n a ł ó ż m y teraz, że R jest relacją binarną określoną przez prawą stronę równoważności (1.31). Nietrudno sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Istotnie, xRx (wystarczy przyjąć k = 1), xRy pociąga za sobą yRx (wystarczy rozważyć ciąg x , x _ , . . . , X i ) oraz xRy,yRz pociąga za sobą xRz (wystarczy rozważyć konkatenację odpowiednich ciągów). Relacja R wyznacza jednoznacznie Podział 0 taki, że £ (fi) = R. Oczywiście £ (71) < R = £ (fi) i £ (e £ ( 7 t ) u £(er) £ E(fi'), 1 < i < k. Wobec przechodniości relacji v ) mamy <x, y} e E (fi'). Udowodniliśmy w ten sposób, że' P
2 0

fc

1

7 1

u

x

2

Liczby Stirlinga drugiego i pierwszego rodzaju Liczbę Stirlinga drugiego rodzaju S (n, k) definiujemy j a k o liczbę podziałów zbio­ r u n-elementowego na k b l o k ó w : S(n,

k) = |J7 (A-)|

gdzie \X\ = n

t

(1.32)

Dla przykładu S (4, 2) = 7, gdyż istnieje dokładnie 7 podziałów zbioru { 1 , 4 } na dwa b l o k i : {{1.2, 3}, {4}} {{1.2, 4 } , {3}} {{1.3, 4 } , {2}} {{1.2}, {3,4}} {{1.3}, {2, 4}} {{1.4}, {2, 3}} {{1}.{2,3,4}} Oczywiście S (n, k) — 0 dla k > n. Przyjmujemy również S (0,0) = 1, gdyż pusta rodzina bloków jest — zgodnie z definicją — podziałem zbioru pustego. Z liczbami Stirlinga drugiego rodzaju związane jest — podobnie j a k ze współ­ czynnikami dwumiennymi — wiele ciekawych tożsamości. Pokażemy najpierw tożsamość przypominającą nieco wzór (1.17) związany z trójkątem Pascala: S(n,k)

= S(n-l,

k-l)

+ kS(n-l,

k)

dla 0 < k < n

(1.33)

S(n,n)

= 1

dla n ^ 0

(1.34)

S(n,0)

= 0

dla n > 0

(1.35)

Wzory (1.34) i (1.35) są oczywiste. Dla dowodu wzoru (1.33) rozważmy zbiór wszystkich podziałów zbioru {1, . . . , « } na k bloków. Zbiór ten rozpada się na dwie rozłączne klasy: tych podziałów, które zawierają blok jednoelementowy {n}, oraz tych podziałów, dla których n jest elementem większego (co najmniej dwuelementowego) bloku. Liczność pierwszej klasy jest równa S(n—l, k—l), tyle ile jest podziałów zbioru {1, ...,n— 1} n a fc— 1 bloków. Liczność drugiej klasy wynosi kS (n— 1, k), gdyż każdemu podziałowi zbioru {1, . . . , « — 1} na fc bloków odpowiada w tej klasie dokładnie k podziałów powstałych przez dodanie ele­ mentu n kolejno d o każdego z bloków. Wzory (1.33), (1.34) i (1.35) umożliwiają łatwe wyznaczanie wartości S (n, k), nawet dla dużych wartości n i k. Liczby S (n, k) dla 0 < n, k < 10 przedstawiono w tabl. 1.2. Zauważmy, że tablicę tę można traktować j a k o „trójkąt Stirlinga", w którym każdą wartość — oprócz skrajnych, równych jedności — można otrzymać j a k o sumę liczb występujących nad nią, dokładniej liczby występującej dokładnie nad nią pomnożonej przez k, oraz liczby nad nią p o lewej stronie.

|Y STIRLINGA

1.2 Liczby Stirlinga drugiego rodzaju

t «

2

3

0 0 1 3 7 15 31 63 127 25S 311

0 0 0 1

i 25 90 301 966 3025 9330

S(n,k) 6

7

8

9

10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 1 65 15 . 1 21 350 140 266 1701 1050 7770 6951 2646 34105 42525 22827

0 0 0 0 0 0 0 1 28 462 5880

0 0 0 0 0 0 0 0 1 36 750

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 43

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

5

4

%Jtp przykład innej zależności rekurencyjnej związanej z liczbami Stirlinga * ib rodzaju: =

^

".

)S(i,

fc-1)

dla fe > 2

(1.36)

D l c j p w o d u rozważmy zbiór wszystkich S (n, fe) podziałów zbioru X = {1, «}. Zbi#Men rozpada się na rozłączne klasy odpowiadające różnym podzbiorom zbiorą X będącym blokiem zawierającym element n. Zauważmy, że dla każdego 6-dtottentowego podzbioru B £ X zawierającego element n istnieje dokład­ ni©JĘĄn—b, fe— 1) podziałów zbioru X na fe bloków zawierających B w charaktera* ;feloku. Istotnie, każdy taki podzia} odpowiada jednoznacznie podziałowi z b k p j X\B na fe — 1 bloków. Zbiór 6-elementowy B £ X zawierający element n moiieay wybrać na

T F E F C ) -

sposobów, tak więc

J£

r_ J5(«-fc,fe-l)= 1

] ?

r_ )s(n~b,k-l) b

=

n-1

*

=

(" ^

i=k-l

)S(i,k-l)

Ęjczbę Bella B definiujemy j a k o liczbę wszystkich podziałów zbioru w-eleo n

* . = |J7(X)|,

gdzie \X\ = n

(1.37)

słowy B,=

]?S(n,k)

(1.38)

4=0

^ l l f c o d n i m y teraz następującą prostą zależność rekurencyjną związaną z licz« * Bella: b

n

a = y( ) + 1

Bi

(1.39)

(przyjmujemy B = 1). D o w ó d przebiega podobnie j a k w przypadku zależ­ ności (1.36). Zbiór wszystkich podziałów zbioru X — {1, n+ 1} możemy roz­ łożyć na rozłączne klasy w zależności od bloku B zawierającego element n + 1 , lub — równoważnie — w zależności od zbioru X\B. Dla zbioru X\B s £ {1, n} istnieje dokładnie \II (X\B)\ = B\ podziałów zbioru Xzawiera­ jących B w charakterze bloku. Grupując nasze klasy w zależności od liczności zbioru X\B otrzymujemy wzór (1.39). 0

X B]

Liczby B„ dla 0 < n < 2 0 przedstawiono w tabl. 1.3.

TABLICA 1.3 Liczby Bella B„ N

B N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

I 1 2 5 15 52 203 877 4140 21147 115975 678570 4213597 27644437 190899322 1382958545 10480142147 82864869804 682076806159 5832742205057 51724158235372

Istnieje ścisły związek między liczbami S (n, k) a liczbą wszystkich funkcji ze zbioru n-elementowego n a zbiór fc-elementowy, tzn. f u n k c j i / : X -* Y,f(X) = = Y dla |JSf| = n, \ Y\ = k. Każdej takiej funkcji / możemy przyporządkować następujący podział zbioru X na k b o k ó w : N(f)

= {f-\y):yeY}

(1.40) 1

zwany jądrem f u n k c j i / (warunek f(X) = Y gwarantuje, że podzbiory f~ (y) są niepuste). Z drugiej strony nietrudno zauważyć, że każdemu podziałowi n e e II (X) odpowiada dokładnie kl funkcji z X na Y takich, że N (/) = n. Każda taka funkcja odpowiada wzajemnie jednoznacznie przyporządkowaniu blokom podziału n elementów zbioru Y. Oznaczając przez s„ liczbę funkcji z X na Y otrzymujemy więc k

ik

s ,k = k\ n

S(n,k)

(1.41)

V STIRLINGA

w ^ r r y s t a i a c z tego wzoru możemy udowodnić jeszcze jedną własność liczb StJrjinga drugiego rodzaju, k t ó r a dotyczy związku między wielomianami x* •wielomianami a

[ x ] . = x ( x - l ) . . . ( x - f c + l)

(1.42)

Dowolny wielomian P (x) zmiennej x stopnia n możemy jednoznacznie przęd­ LI

stawie j a k o P (x) = J £ a [x] . k-0 k

k

Jest

to

szczególny

przypadek

oczywistego

ii 1

faktu, iz istnieje jednoznaczny rozkład P (x) = JT a p (x) k

fi

k

dla

dowolnego

k= 0

ciąga wielomianów p (x), p^ipc), ... takiego, że p (x) jest stopnia k dla każde­ go k ^ 0. Innymi słowy każdy taki ciąg stanowi bazę w przestrzeni liniowej wielfomianów. Okazuje się, że liczby Stirlinga drugiego rodzaju są równe dokład­ nie współczynnikom przejścia z bazy \,x, x , ... d o bazy 1, [x] [x~] , ••• 0

k

2

u

**

2

5

TWpUłZENIE

1.18

Dla każdego n > 0 - x » = 2? ^ ( » , & ) [ * ] . t=o

(1-43)

DOWÓD

Załóżmy najpierw, że x jest nieujemną liczbą całkowitą. Policzymy n a dwa sposoby liczbę wszystkich funkcji / : A -* B, gdzie \A\ = n, \B\ = x. Z jednej strony jest o n a równa x" (p. twierdzenie 1.1). Z drugiej strony zbiór takich funk­ cji /jftożemy sklasyfikować ze względu n a zbiór f(A). Oczywiście każda funkcja / jest odwzorowaniem zbioru A n a zbiór / (A), tak więc dla dowolnego podzbio­ ru Y S B, gdzie \ Y\ = k, liczba wszystkich f u n k c j i / : A ->• B takich, że f(A) = Y jest równa s„ , czyli, zgodnie ze wzorem (1.41), k\ S(n, k). Biorąc pod uwagę tk

fakt, że podzbiór Y o liczności k możemy wybrać na

sposobów otrzymujemy

ostatecznie

-id

k\S(n,k)

= ^[>],S(n,/c)

(1.44)

*=0 (górny wskaźnik sumowania mogliśmy zamienić z x na n, gdyż 5 (n, A:) = 0 > n, oraz [ x ] = 0 dla k > x). Skoro równość wielomianów zachodzi dla dowolnego całkowitego x ^ 0, wielomiany te są tożsamościowo równe (gdyż ich różnica jest albo tożsamościowo równa zeru, albo m a skończoną liczbę zer* • fc

Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju s («, k) definiujemy j a k o współczynniki Prsy kolejnych potęgach zmiennej x w wielomianie [x] : k

n " W . = *1-

k

y (n,k)x 0 S

K=

(1.45)

Innymi słowy liczby s (n, fe) spełniają rolę odwrotną w stosunku d o liczb S (n, k) — pozwalają przejść z bazy 1, [pc]i, [x] > ••• do bazy 1, x, x , ... Oczywiście s (n, k) = = 0 dła k > n. Liczby s (n, k) wygodnie jest wyznaczać korzystając z następu­ jących zależności rekurencyjnych: 2

2

s(n,k)

= s(n-l,k-l)-(n-l)s(n-l,k)

dla 0 < fe < n

(1.46)

s(«,n) = l

d i a n 3*0

(1.47)

s(n,0) = 0

dla n > 0

(1.48)

Wzory (1.47) i (1.48) są oczywiste, natomiast (1.46) otrzymujemy porównując współczynniki przy x* p o obu stronach równości W .

=

[*]„-1 ( * - »

+ »

d-49)

M a m y mianowicie n

n-1

2s(n,k)x«

k

= (x-n

+ l ) £ s(n-l,k)x *=o

t=o

=

n-1

n— 1 k+l

^ Ą * f

= £ s(n-\,k)x -(n-l) *=o

£ s(n, fe)x* = *=o

n- 1

= £

(s ( n - 1 ,

fc-l)-(n-l)s

( n - 1 , *;))** +

*= i B

+ s(n-l, n-l)x -(n-l)s(n-l,0) W tablicy 1.4 przedstawiono liczby s(n, fe) dla 0 < « , fe < 10. TABLICA

\

1.4 Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju

k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -1 2 -6 24 -120 720 -3040 40320 -362880

s(n,k)

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 1 0 -3 1 11 -4 35 -50 274 -225 -1744 1624 13060 -13132 -109584 118124 1026576 -1172700

0 0 0 0 1 -10 85 -735 6769 -67284 723680

0 0 0 0 0 1 -15 175 -1960 22449 -269325

0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -36 870

0 0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0 1 -21 322 -4536 63273

0 0 0 0 1 -28 546 -9450

0 0 1

-15

Generowanie podziałów zbioru Opiszemy teraz algorytm generowania wszystkich podziałów zbioru. Ideę tego algorytmu najłatwiej wyjaśnić formułując go najpierw w postaci rekurencyjnej. Zauważmy najpierw, że każdy podział JI zbioru {1, n} wyznacza jednoznacznie podział it -i zbioru {1, n — 1} powstały z JI przez usunięcie elementu n z od­ powiedniego bloku (i usunięcie powstałego pustego bloku, jeśli element n twon

i/4$1

f2

HOWANIE P O D Z I A Ł Ó W Z B I O R U

l.lo/49

y J blok jednoelementowy). N a odwrót, mając dany podział a = {B , v

B} k

zbiom {l, . . . , « - l } łatwo znaleźć wszystkie podziały n zbioru {1, . . , « } takie, że ffn-i

=

ff

* ^

ą

t

o

By u { n } , 5 , 2

Bi,B

m

i

a n o w

c

e

i i

podziały

...,B

k

u {«}.

2

:

(1.50)

Bi,B ,...,B u{n} 2

k

B ,B ,...,B ,{n} x

2

(1.51)

k

Sugeruje to następującą prostą metodę rekurencyjną generowania wszystkich podziałów: Mając daną listę L„_ wszystkich podziałów zbioru ( 1 , . . . , « — 1} tworzymy listę L wszystkich podziałów zbioru {1, «} przez zamianę każdego podziału a na liście L _y odpowiadającym m u ciągiem (1.50). Zauważmy, że możemy przy tym zagwarantować, by kolejne podziały mało się od siebie róż­ niły — dokładniej mówiąc możemy zakładać, że każdy następny podział na liście powstaje z poprzedniego przez usunięcie pewnego elementu z pewnego bloku (może to spowodować usunięcie bloku jednoelementowego) i dodanie go d o innego bloku lub też utworzenie z niego bloku jednoelementowego. Istotnie, kolejne podziały ciągu (1.50) spełniają ten warunek. Jeśli odwrócić kolejność ciągu (1.50) dla co drugiego podziału listy L - to element n porusza się na zmia­ nę do przodu i d o tyłu, i podziały „ n a styku" ciągów utworzonych z kolejnych podziałów listy Z,„_! mało się od siebie różnią (przy założenu, że kolejne podziały listy £,„_! mało się od siebie różnią). N a rysunku 1.12 pokazano konstrukcję listy L , dla n = 1, 2, 3 (podziały przedstawiono w nieco uproszczonym zapisie, np. (12) (3) oznacza {{1,2}, {3}}). x

n

n

n

<1 2 3) R v

C1 2) (3)

s - 1.12 Konstrukcja list

(1K2M3)

( 1 K 2 3)

l t

(1 3) (2)

L ,L ,L t

2

3

Podamy teraz realizację nierekurencyjną tego algorytmu (jest to zmodyfij algorytmu opisanego w [39]). Podział zbioru {1, n} reprezen­ tować będziemy przez ciąg bloków uporządkowany według rosnącego najmniej­ szego elementu w bloku. Ten najmniejszy element bloku nazywać będziemy *nbrem bloku. Zauważmy, że numery kolejnych bloków nie są na ogół kolej­ A M I liczbami naturalnymi. W algorytmie używać będziemy zmiennych POPRZ[f\, ™ L ' ] > 1 < i ^ n zawierających odpowiednio numer poprzedniego i następ« o bloku dla bloku o numerze i (NAST[i\ = 0, jeśli blok numer i jest ostatnim

lakowana

w

e

r

s

a

nu

n e

4

lc

*nbinatoryka

blokiem podziału). Dla każdego elementu /, 1 < i < n numer bloku zawierają­ cego element i pamiętany będzie w zmiennej BLOK[f], kierunek w jakim „ p o ­ rusza" się element i zakodowany będzie natomiast w zmiennej boolowskiej PR[f\ (PR[i^ = true, jeśli i porusza się d o przodu; zauważmy pewne podobieństwo d o algorytmu 1.12). ALGORYTM 1.19 (Generowanie wszystkich podziałów zbioru {1, n}) Dane: n Wyniki: Ciąg wszystkich podziałów zbioru {1, n}, w którym każdy następny podział powstaje z poprzedniego przez przeniesienie pojedynczego ele­ mentu d o innego bloku. 1 2

begin for i ••= 1 to n do (* umieść / w pierwszym bloku *)

3

begin BLOK\f\

4

end;

5

NASTll]

6

wypisz podział;

7

j •= n; (* j = element aktywny *)

8

while j > 1 do

9 10

••= 1; PR[f]

== 0;

begin k ••=

BLOK[j\,

U PR[_f] then (* j porusza się d o przodu * )

11

begin

12

if NAST\_k~\ = 0 then (* k jest ostatnim blokiem

13

begin NAST\]c\

14

end;

15

if NAST[fc]

16 18

••= k; NAST[j~\

•.= AMSTffc]

:= j ; NAST^k]

== j

end; BLOK[j~\

20

i=

NASTlk]

end else (* j porusza się d o tyłu * ) begin BLOK[j~\

23

:=

POPRZ[k~];

if k = j then(* / t w o r z y ł blok jednoelementowy *)

24

if NAST[k]

25

else begin NAST[POPRZ[kJ]

26

= 0 then NAST[POPRZ[k]]

POPRZ[NAST[kJ]

27 28

:=k; NAST[j~\

> j then (* j utworzy nowy blok *)

POPRZ[NAST[j]]

19

22

•.= j ; POPRZ[f]

begin POPRZ\j\

17

21

-.- true

end E

N

A

;

••=

••=

••= 0

NAST[k];

POPRZ[k]

*) :== 0

LOWANIE PODZIAŁÓW ZBIORU

2$>

wypisz podział;

30

J > while (J > O ((PR[j] and (BLOK[y] = 7 ) ) <>r ( n o t y ] and ( £ 1 , 0 begin PR[j'] ••= not PSy]; j-=j-1 end

: =

n

e n d

3 2

33 34 35 end 36 end

= 1)))do

Algorytm ten konstruuje najpierw podział {{1, «}} (pętla 2) — zauważmy, że jest tó pierwszy podział na liście L utworzonej przez opisaną przez nas konstruk­ cję rekurencyjną. Zadaniem głównej pętli 8 jest przesunięcie „aktywnego" ele­ mentu j do sąsiedniego bloku — poprzedniego lub następnego (w tym ostatnim przypadku mo*e zajść potrzeba utworzenia nowego bloku postaci {/}), a na­ stępnie wyznaczenie aktywnego elementu w nowo powstałym podziale. Z opi­ sanej konstrukcji rekurencyjnej wynika, że dany element przesuwany jest tylko wtedy, gdy wszystkie elementy od niego większe osiągają swe skrajne lewe lub prawe położenie; dokładniej, element aktywny j * jest najmniejszym elementem takim, że dla każdego większego elementu j jest spełniony jeden z następujących dwu warunków: n

(\)PR[f\ and {BLOK[f\ = j), tzn. e l e m e n t / p o r u s z a się do przodu i osiągnął swe skrajne położenie n a prawo (oczywiście j nie może być elementem bloku 0 najmniejszym elemencie większym niż j), (2) not PR[j] and (BLOK[j~\ = 1), tzn. element j porusza się do tyłu 1 osiągnął swe skrajne położenie na lewo (w bloku pierwszym). Zasada ta jest zrealizowana w wierszach 30-f- 34. Przy okazji jest zmieniany kierunek poruszania się elementów j > j * . Dodatkowym warunkiem w pętli 31 jest j > 1, gdyż z samej reprezentacji podziału wynika, że j = 1 nie może być elementem aktywnym (element 1 jest oczywiście zawsze elementem bloku nu­ mer 1). Jeśli każdy z elementów j > 1 spełnia warunek (1) lub ( 2 ) , to łatwo się przekonać, że wszystkie podziały zostały już wygenerowane. W takim przypadku Po wyjściu z pętli 31 mamy j - 1 i następuje wyjście z głównej pętli 8, tzn. zakończeńfcj działania algorytmu. Z konstrukcji rekurencyjnej wynika też łatwo, że elementem aktywnym dla pierwszego podziału listy L , tzn. dla { { 1 , « } } jest element n. T a k a też wartość przypisywana jest zmiennej j przed wejściem do PetE 8 (wiersz 7 ) . n

Przeanalizujmy teraz proces przesuwania elementu aktywnego (wiersze 5~-28). Najpierw znajduje się numer k bloku zawierającego element aktywny. Jeśfi element ten porusza się d o przodu, to wystarczy przesunąć go do bloku o Bmerze NAST\k~\ (p. wiersz 19), lecz w dwóch pozostałych przypadkach zmien. \łfAST[k~\ należy najpierw zmodyfikować. Pierwszy przypadek zachodzi ^łJfAST[lć] = 0, tzn. gdy k jest numerem ostatniego bloku podziału. Wtedy j !

n

n a

utworzy blok jednoelementowy — wystarczy przyjąć NAST[k~\ •.= j i odpowied­ nio zaktualizować wartość zmiennych NAST[f] i POPRZ[j~\ (p. wiersz 13). Podobny jest drugi przypadek, w którym NAST[k] > j . Warunek ten oznacza, że wszystkie bloki na prawo od bloku numer k zawierają elementy większe od j (wszystkie te elementy zajmują swe skrajne prawe położenie, w przeciwnym razie / nie byłoby elementem aktywnym). Z konstrukcji rekurencyjnej łatwo wy­ nika, że w przypadku tym należy utworzyć blok jednoelementowy zawierający j . Dokonywane jest to w bloku 16 (jedyną różnicą w stosunku do przypadku pierw­ szego jest to, że tym razem utworzony blok nie jest ostatnim blokiem podziału). W sytuacji gdy element j porusza się do tyłu (p. wiersz 21) wystarczy prze­ sunąć go d o poprzedniego bloku (p. wiersz 22) i dokonać odpowiedniej aktuali­ zacji tablic POPRZ i NAST, jeśli j tworzył blok jednoelementowy — ma to miejsce dokładnie wtedy, gdy BLOK\j\ = k = j , gdyż każdy element m > j bloku nu­ mer j zostałby wybrany elementem aktywnym w pętli 31. 12 3 4) 1 2 3 1 ( 4 1 1 2 X 3 X 4 ) 1 2 X 3 4 ) 12 4 X 3 ) 1 4 X 2 X 3 ) 1 X 2 4 X 3 ) 1 X 2 X 3 4 ) 1 X 2 X 3 X 4 ) 1 X 2 3 X 4 ) 1 X 2 3 4 ) 1 4 X 2 '3 > Y S -

1 3 ) ^2 4 ) 1 3 )< 2 X 4 )

8

^ ^ P°działów przez algorytm 1.19

zbioru

{1,2,3,4}

wygenerowany

N a rysunku 1.13 przedstawiono wszystkie podziały zbioru {1, . . . , 4 } skon­ struowane przez algorytm. M o ż n a pokazać, że średnia liczba kroków potrzebna do skonstruowania każdego następnego podziału jest ograniczona przez stałą niezależną od n (por. zad. 1.38; nie liczymy tu oczywiście liczby kroków p o ­ trzebnych do wypisania podziału).

Podziały liczby Zajmiemy się teraz następującym problemem: N a ile sposobów można daną licz­ bę naturalną n zapisać w postaci sumy 11 =

0

,

-

1

-

.

.

.

(

1

.

5

1

)

gdzie k, b , b > 0. Będziemy przy tym uważali sumy (1.51) za równoważne, jeśli różnią się jedynie kolejnością składników. Klasę równoważnych sum p o ­ staci (1.51) możemy jednoznacznie reprezentować przez ciąg a ...,a , gdzie i s > ••• ^ a oraz liczby a a są liczbami b b posortowanymi według x

p

u

a

k

u

k

u

k

k

l/53

ZIAŁY LICZBY

j ^ i j s n ą c e j wielkości (w podobny sposób reprezentowaliśmy podzbiory zbioru przez ciągi rosnące i podzbiory zbioru z powtórzeniami przez ciągi niemalejące). Każdy taki ciąg a a będziemy nazywać podziałem liczby n na k składników. Liczbę podziałów liczby n na k składników będziemy oznaczać przez P (n, k), natomiast liczbę wszystkich podziałów liczby n (na dowolną liczbę składników) prgez P (")• Oczywiście l 5

P(n)

k

= JjP(n,k),

n >0

(1.52)

k= 1

(przyjmujemy P (0, 0) = P (0) = 1). Dla przakładu P (J) = 15 i wszystkie po­ działy liczby 7 przedstawiono na rys. 1.14.

7 ó

1

5 •2 5 1 4 3 4 2 3 3

3 2

1

1 3 2 2 1 2 2

R y s . 1.14 Ciąg p o d z i a ł ó w liczby 7 skonstruowany

2

1

1

l

rytm

1

przez

algo­

1.22

Wiele ciekawych własności liczb P (n) można udowodnić używając bardzo przejrzystego sposobu reprezentowania podziału liczby zwanego diagramem Ferrersa. Diagram Ferrersa dla podziału n = aj 4 - . . . + ^ składa się z k wierszy odpowiadających składnikom podziału, przy czym i-ty wiersz zawiera ciąg a punktów (rys. 1.15). Każdemu podziałowi liczby n odpowiada jednoznacznie podział sprzężony J liczby, który otrzymujemy przez transpozycję (zamianę roli wierszy i kolumn) diagramu Ferrersa (por. zad. 1.15). Łatwo zauważyć, że transpozycja diagramu

te

11

• • • • • •

• • •

16= 16=4+4+3+3+1+1 RYS,

I |E 5

tv -Uiagram

Ferrersa

dla

podziału

liczby

i

podziału

do

niego

sprężonego

Ferrersa określa wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między podziałami liczby n na k składników a podziałami liczby n o największym składniku równym k. Odnotujmy ten fakt: TWIERDZENIE

1.20

Liczba podziałów liczby n na k składników jest równa liczbie podziałów liczby n o największym składniku równym k. • Udowodnimy jeszcze jedno twierdzenie tego typu. TWIERDZENIE

1.21

Liczba podziałów liczby n na parami różne składniki jest równa liczbie podziałów liczby n na nieparzyste składniki. DOWÓD

Pokażemy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między podziałami, o których mowa w twierdzeniu. Rozważmy podział liczby n n a nieparzyste składniki b ...,b„, gdzie składnik b występuje w podziale r razy, 1 < i < / > . Niech u

t

2

r = 2 « ' + 2 * + ... t

t

(«x > 92 > •••)

będzie przedstawieniem binarnym liczby /•,. Dokonujemy teraz zamiany r skład­ ników b na parami różne składniki t

t

ą

bt 2 " , b 2 \ t

...

(zamiana ta zachowuje oczywiście sumę składników podziału). Powtarzając te operacje dla każdego /', 1 < i < p i porządkując składniki według nierosnącej wielkości otrzymujemy w rezultacie podział liczby n na parami różne składniki. Wynika to z faktu, iż każdą liczbę naturalną można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczby nieparzystej przez potęgę dwójki. Dla przykładu p o ­ każemy opisaną transformację dla podziału 26 = 7 + 5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1: 1

1

1

7 + 5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 7-2° + 5 - 2 + 3 - 2 + l ( 2 + 2 ° ) = = 7 + 10 + 6 + 2 + 1 = 10 + 7 + 6 + 2 + 1 Łatwo zauważyć, że transformacji odwrotnej można dokonać, dla dowolnego podziału na parami różne składniki, przedstawiając każdy składnik j a k o p2*, gdzie p nieparzyste, grupując następnie składniki według „czynnika nieparzy­ stego" p i każdą taką grupę p2 ,p2 \ ... zamieniając na r = 2 + 2 + . . . składników równych p. Tak więc opisana transformacja określa wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy podziałami n a składniki nieparzyste a podziałami na składniki parami różne. • Vl

q

9 l

, 2

Inne tego typu twierdzenia sformułowano w zadaniach 1.39 + 1.41. Pokażemy teraz prosty algorytm generowania wszystkich podziałów liczby. Będzie on generować podziały w porządku odwrotnym do leksykograficznego, tzn. podział n = Cj_+

...

+c

t

(1.53)

I

1

AjDZIAŁY LICZBY

5cdzic wygenerowany — niekoniecznie bezpośrednio — p o podziale n =

— +a

(1.54)

K

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wskaźnik p < min (k, l) taki, że c < a oraz c = a,, dla 1 < p (por. rys. 1.14). Oczywiście pierwszym podziałem w tym uporządkowaniu jest podział na jeden składnik równy n, ostatnim natomiast podział n a n składników równych jedności. Zastanówmy się, j a k wygląda podział bezpośrednio następujący p o podziale (1.54). Poszukujemy podziału, który m a jak największą liczbę początkowych składników równych początkowym składni­ kom, podziału (1.54) — oznaczmy te składniki przez a ...,a _i — i którego pozostałe składniki określone są przez podział bezpośrednio następujący p o podzi&le j = a,+a, + + a . Łatwo zauważyć, że warunki te określają jedno­ znacznie p

u

+ x

f = max {i:

p

m

t

k

a > 1} t

Problem sprowadza się więc do znalezienia bezpośredniego następnika podziału 5

= flf + 1 + ... + 1 , fl

r

> 1

k — t razy

Nietllldno zauważyć, że podział taki ma postać V=s / + ... +l+(s

mod ł)

IM/U razy

gdzie / =

a,-\.

W algorytmie, który teraz opiszemy podział reprezentowany będzie przez zmienne S [ 1 ] , S \d~\ zawierające parami różne składniki podziału (S [1] > ... > S [ d ] ) oraz przez zmienne R [/], R [ 0). Pozwala to n a znalezienie każdego następnego podziału w liczbie kroków ograniczonej przez pewną stałą niezależną od n. Algorytm 1.22 (Znajdowanie wszystkich podziałów liczby) Dane;

n

Wyniki: Ciąg podziałów liczby n w porządku odwrotnym do Ieksykograficznego 1 2 3 4 5 6 7 8

begin 5 [ l ] := n; R [ l ] — 1; d ••= 1; (* pierwszy podział *) wypisz podział; while S\\~\ > 1 do (* znajdź następny podział *) begin sum ••= 0; (* sum = suma usuniętych składników *) if = 1 then (* usuń składniki równe jedności *) begin sum sum + R [d]; d •.= d—l end;

9 10 11

sum := sum + S [cl]; R [ d ] == R [ d ] - 1 ; / == S [ d ] - 1 ; if R [d] > 0 then d == d+ 1; S [d] / ; R [ d ] ••= sum div / ;

12

/ : = sum niod / ;

13 14 15 16 17 18

if / # 0 then ( * dodaj ostatni składnik równy / *) begin d ••= d+1; S [J] := /; R [d~]•.=1 end; wypisz podział end end

Funkcje tworzące W zagadnieniach kombinatorycznych polegających na policzeniu liczby obiektów spełniających pewne ograniczenia szukanym rozwiązaniem jest często ciąg a , au 2 , •••> gdzie a jest liczbą poszukiwanych obiektów „wymiaru" k. Dla przy­ kładu, jeśli poszukujemy liczby podziałów liczby, to możemy przyjąć a = P (k), jeśli poszukujemy liczby podzbiorów pewnego ustalonego zbioru w-elementowego, 0

a

k

k

to a =

itd. W takim przypadku wygodnie jest przyporządkować ciągo­

k

wi a ,a ,a , 0

1

... szereg formalny CO

2

A (x) = £

«* **

(1-55)

k=0

zwany funkcją tworzącą dla tego ciągu. Nazwa „szereg formalny" oznacza, że (1.55) traktujemy jedynie jako wygodny zapis naszego ciągu — nie jest tu istotne dla jakich rzeczywistych (lub zespolonych) wartości zmiennej x jest on zbieżny. Nie będziemy bowiem nigdy obliczać wartości takiego szeregu dla konkretnej war­ tości zmiennej x, będziemy jedynie dokonywać na takich szeregach pewnych operacji, a następnie wyznaczać współczynniki przy poszczególnych potęgach 00

zmiennej

x.

Dla

dowolnych

szeregów

CO k

A (x) = £ a x , k

k=Q

definiujemy operację

k

B (x) = £ b x k

k=0

dodawania: OO

A(x)+B(x)=

k

£(a lk = 0

+ b )x

(1.56)

operację mnożenia przez liczbę (rzeczywistą lub zespoloną): CO A(x) = 2pa x lk = 0 oraz iloczynu Cauch^ego ( k r ó t k o : iloczynu):

(1.57)

k

k

k

P

k

00

A(x)-B(x)

= 2c x k

k

(1.58)

)(S|FKCJE TWORZĄCE

1.12/57

c = a b +a k

0

k

fe -!+

t

... +a

k

k

b

0

= £

a

(1.59)

t

Jeśli 0* = 0 dla k > n, to szereg (1.55) utożsamiać będziemy z wielomianem

Z analizy matematycznej wiadomo (por. np. [41]), że jeśli szereg (1.55) jest zbieżny w pewnym otoczeniu zera, to jego suma A (x) jest funkcją analitycz­ ną V t y otoczeniu oraz 111

o = A«X0)jk\,

fc

k

= 0 , l , 2 , ...

(1.60)

(ĄFtiP) oznacza wartość fc-tej pochodnej funkcji A (x) dla x = 0; szereg (1.55) to nic innego j a k szereg Maclaurina funkcji A (x)). Co więcej, jeśli A (x), B(x) są funkcjami analitycznymi w otoczeniu zera, to wzory (1.56)-=-(1.59) pozostają w mocy, jeśli A (x) i B (x) traktować j a k o wartości funkcji A i B w punkcie x, a szeregi rozumieć w zwykłym sensie, tzn. tak j a k w analizie matematycznej. Ta zachowująca działania, wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między sze­ regami zbieżnymi w otoczeniu zera i funkcjami analitycznymi w otoczeniu zera pozwala na utożsamienie szeregu formalnego (1.55) z definiowaną przez niego funkcją analityczną, w przypadku szeregów zbieżnych w otoczeniu zera (mimo że szeregi traktować będziemy zawsze j a k o szeregi formalne, tzn. j a k o jedynie formalny zapis ich współczynników). Tak więc pisać będziemy na przykład

fc

2'x = ( l - x ) -

1

Ii-

t =

0

itd.

Znajdziemy teraz funkcje tworzące dla kilku prostych ciągów. Zgodnie z (1.13) xk

S{k)

xk

V

*=0 a

S{ )

=

k

7

k= 0

V

= il +

^

7

więc ustalonego n funkcją tworzącą ciągu

Mamy «J

co k

^2 x

k

= 2(2x?

0-61)

= (l-2x)"

,

, ^ ' j , ... jest (l+.x)".

1

a więc funkcją tworzącą ciągu 1, 2, 4, 8, 2", ... jest (1 — 2x)~ . Korzystając z faktu, że funkcję analityczną można różniczkować wyraz za wyrazem możemy napisać 00

00

k=0

00

k=0

k=0 2

a więc funkcją tworzącą dla ciągu O, 1,2, 3, ... jest x(l— x)~ . Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi (1.61). Każdy z czynników ( l + x ) możemy traktować j a k o odpowiadający pewnemu elementowi a zbioru X = {a a„} i reprezentujący dwie możliwe liczby wystąpień tego elementu w podzbiorze: zero razy (składnik x° = 1) oraz jeden raz (składnik x = x). Oczywiście każdy podzbiór zbioru X określony jest jednoznacznie przez podanie liczby wystąpień w nim każdego z elementów, tzn. wybranie jednego ze składników z każdego czynnika iloczynu (1 +x) ... (1 +x). T a k wyznaczony składnik rozwinięcia tego iloczynu ma swój udział równy jedności we współczynniku przy x , gdzie k jest licznością naszego podzbioru. Rozumowanie to przenosi się w naturalny sposób na sytuację, w której liczba wystąpień elementu może być większa od jedności, tzn. na zbiory z powtórzeniami. Załóżmy na przykład, że X = (2*a 3*a , l*a , 4 * a ) i oznaczmy przez c liczbę podzbiorów fc-elementowych tego zbioru z powtórzeniami. N a mocy analogicznego rozumowania j a k poprzednio, funkcja tworząca dla ciągu c , c c , ...jest równa t

u

l

k

u

3

4

2

k

0

u

2

00 k

cx k

2

2

3

2

3

4

= (l + x + x ) ( l + x + x + x ) ( l + x ) ( l + x + x + x + x ) =

t=0 2

3

4

5

6

7

8

9

= l + 4 x + 9 x + 15x + 2 0 x + 2 2 x + 2 0 x + 15x + 9 x + 4 x + x

1 0

N a liczbę wystąpień elementu a można nakładać dowolne ograniczenia przez odpowiedni dobór /-tego czynnika. N a przykład czynnik ten ma postać 1 + x + x , jeśli /-ty element może występować O, 3 lub 7 razy, l + x + x + ... = ( 1 — x ) , jeśli element ten może występować dowolną parzystą liczbę razy itd. W szcze­ gólności jeśli nie nakładamy żadnych ograniczeń na liczbę wystąpień elemen­ tu a l < i < n, to funkcja tworząca ma postać t

3

2

4

7

2

it

2

2

( l + x + x + ...) ... ( l + x + x + ...) = ( l - x ) ~

1

... ( l - x ) - » = ( l - x ) " "

Jeśli zauważymy, że k-ta pochodna funkcji (1— x)~" jest równa ^ ( l - x ) - " = ( —n)( — . . .

( —n — +

r

(1 — J C ) — * (

= j>]*(l-x)-"-* n

i rozwiniemy (1— x)~

k=0

w szereg Maclaurina, to otrzymamy

k=0

N

co stanowi jeszcze jeden niezależny dowód twierdzenia 1.15.

— !)*

=

- 1

*8

J p J K C J E TWORZĄCE

1.12/59

Funkcje tworzące są również wygodnym narzędziem dla dowodu tożsamości gflfjązanych ze współczynnikami dwumiennymi. N a przykład (1.18) otrzymujemy przez porównanie współczynników p o o b u stronach równości

2

V

m +n , k

(l+x)

t

m + B

m

= (l + x) (l+x)'* = m+n

i=0

'

v

x

J= 0

'

k

y~i /m\

\i Jt = 0

1

i=0

n k—s)

(skorzystaliśmy t u ze wzoru na współczynniki iloczynu Cauchy'ego dwóch szere­ gów, a właściwie w tym przypadku wielomianów). Pokażemy teraz j a k funkcje tworzące można zastosować w pewnych za­ gadnieniach związanych z podziałami liczby. Zauważmy najpierw, że każdy podział n — a + ... + - m o ż n a reprezentować jednoznacznie przez ciąg
1(

t

£

t

1

iA, = n

1= 1

oraz każdy ciąg < / A„> (X A„ > 0) spełniający ten warunek określa jednoznacznie podział liczby n zawierający l składników równych i, 1 < / < n. Oznaczmy przez P (ri) liczbę podziałów liczby « na składniki nie przekra­ czające h. 1 (

u

t

h

TWIERDZENIE

1.23

Funkcja tworząca dla ciągu P (0), P (l), h

2

3

P (2), ... jest równa

h

2

4

h

6

2

3

( l + x + x + x + . . . ) ( l + x + x + x + . . . ) . . . ( l + x + x * + x " + ...) = 1

2

= (l-x)- (l~x )-

1

... ( l - x " ) -

1

DOWÓD

Zgodnie z definicją iloczyn h szeregów p o prawej stronie jest sumą składników 2X

h>h

postaci x*i x *... x (A, jest numerem wyrazu wybranego z /-tego szeregu). Współczynnik przy x" jest więc równy liczbie ciągów takich, że 1;

fc

k

£ iA, = n, a więc, zgodnie z naszymi poprzednimi uwagami, jest on rów»y W

•

.

W analogiczny sposób dowodzimy następującego twierdzenia: T

WIER£>

Z E N

,

1.24

E

Funkcja tworząca dla ciągu P(0), P(1),P(2), 2

3

2

4

6

... jest równa 2

3

( l + x + x + x + ...) ( l + x + x + x + . . . ) . . . ( l + x " + x * + x * + . . . ) . . . = 00

= /Ja-*") h=i

1

(1.62) •

Uwaga: W tym miejscu należałoby ściśle zdefiniować szereg określony przez nieskończony iloczyn szeregów F (x)-F (x). . . . Oznaczmy przez I„(x) „iloczyn częściowy" F (x)-F (x)...-F (x), oraz przez p najmniejszą niezerową potęgę o niezerowym współczynniku w F (x) (dla iloczynu (1.62) mamy p = ri). Załóżmy, że współczynnik przy zerowej potędze w każdym z szeregów F (x) jest równy jedności, oraz że lim p„ = oo (oba te założenia są spełnione dla iloczynu (1.62)). 1

1

2

2

n

n

n

n

n

Współczynnik przy x" w I (x) jest wtedy taki sam dla wszystkich m większych od pewnej liczby m„ (takiej, że p > n dla m > m„). Ten właśnie współczynnik przyjmujemy j a k o współczynnik przy x" w szeregu określonym przez iloczyn nie­ skończony F (x)-F (x).... Technika funkcji tworzących pozwala na prosty dowód niektórych własności podziałów liczby. Podamy dla przykładu inny dowód twierdzenia 1.21. Zauważ­ my w tym celu, że funkcja tworząca dla podziałów na parami różne składniki (tzn. dla ciągu r r , gdzie r jest liczbą podziałów liczby n na parami różne składniki) jest równa m

m

1

2

u

2

H

2

R(x)

3

= ( l + x ) ( l + x ) ( l + x ) ... ( l + x * ) ...

natomiast funkcja tworząca dla podziałów na nieparzyste składniki jest równa 1

N(x)

3

= (l-x)' (t-x )-

1

k

n

W

_

J - x ^

~

I^JC*

l-x

' l-x

2

1

1

...

2k

Korzystając z zależności l+x „

2k

... (l-x ~ )-

k

= (1 — x )/(l l-x

6

' l-x

—x)

_ 3

mamy

_ 1 _ _

""

_1_

l-x

l-x

1 3

' l-x

_ 5

.

•••~

i V

W

Podamy jeszcze dwa przykłady zastosowania funkcji tworzących. Pierwszy z nich dotyczy tzw. liczb Fibonacciego F . Liczby te są rozwiązaniem równania rekurencyjnego n

F„+i = F„ + F _ , n

n > l

1

(1.63)

z warunkami początkowymi f

0

= F , = l

(1.64)

Funkcja tworząca F(x)

dla ciągu F , F 0

00 F(x)

F , • •• spełnia równanie 2

00 k

= JJF x

= l+x+ £

k

00 = l+x

u

2

F , x - +x k 2

k=2

k

x

=

00 k 2

+x £

(F^+Ft-J

]?F -

k 1

X"-

1

=

k=2

2

2

= l+x+x F(x) + x(F(x)-l) = l+(x + x )F(x) Stąd otrzymujemy funkcję tworzącą dla liczb Fibonacciego F(x)

=

2

1

(l-x-x )-

2

znajdując pierwiastki równania 1 — x — x ^.(l~ax) (\-bx) gdzie /

=(l+ 5)/2,

fl

2

= 0 otrzymujemy rozkład 1 —x — x

=

6=(l-V5)/2

v

zastosujemy teraz metodę współczynników nieoznaczonych, aby znaleźć przed­ stawienie

!•

1 (l-ax){l-bx)

_

A l-ax

,.

J5 l-bx

_ A+B-(Ab + Ba)x {l-ax){l-bx)

porównując współczynniki w liczniku otrzymujemy A + B = 1, tzn. B — l — A, a zaiem J46 + (1 —^4) a = 0, co daje A = afca — b), B = —bj(a—b). T a k więc F{x)

1

1

= A(l-ax)- +B(l-bx)-

= N*+l

k

= A ^

k

ax

+B ^ b W

k=0

=

fc=0

i ostatecznie l

+

v

[l-y/S

M

t

,

(

L

6

5

)

Metoda ta przenosi się n a dowolne liniowe równania rekurencyjne o stałych współczynnikach (por. zad. 1.46). Jako ostatni przykład zastosowania funkcji tworzących wyznaczamy liczbę drzew binarnych o n wierzchołkach. Przez drzewo binarne o n wierzchołkach rozsuniemy drzewo puste T - 0 , jeśli n = 0 lub trójkę T = <[L, r, P}, gdzie r jest wierzchołkiem zwanym korzeniem drzewa, L {lewe poddrzewo) jest drzewem binarnym o / wierzchołkach, P {prawe poddrzewo) jest drzewem binarnym o p wierzchołkach i l+p +1 = n. Mówimy, że drzewa binarne 7 \ i T są izomorficzne, co oznaczamy 7 \ « T , jeśli 7 \ = 7/ = 0, lub T = (L ,r ,P^, T = ^ (£a> r , P > gdzie I , « L i » P - Oznaczmy przez c liczbę nieizomorficznych drzew binarnych o k wierzchołkach (por. rys. 1.16). Z podanych defi2

2

2

2

2

2

2

V 1

1.16 Drzewa binarne o k wierzchołkach, k = 1, 2, 3

x

x

k

x

2

nicji rekurencyjnych wynika, że c *= 1 oraz jeśli 0 < s < k, to istnieje dokład­ nie c c _inieizormoficznych drzew binarnych postaci <[L, r,P}, gdzie L jest drzewem binarnym o s wierzchołkach. Liczba s może przybierać każdą z wartości między 0 a k—l, a więc 0

s

k

s

c = c c _ +c k

0

k

l

c * _ + ... +c _

l

2

k

t

c,

k>0

0

(1.66)

Nieizomorficzne drzewa binarne dla k = 0, 1, 2, 3 przedstawiono na rys. 1.16. Rozważmy funkcję tworzącą C(x)

= J £ c x*. Równość (1.66) przypomina s

fc =

0 2

bardzo wzór na współczynniki iloczynu Cauchy'ego C (x) C (x) = C (x), kładniej mówiąc spełnione jest równanie 2

C(x)

= xC (x)

do­

+l

czyli

€> 2

xC (x)-C(x) + l = 0

(1.67)

Pokażemy teraz, że istnieje funkcja C (x) analityczna w otoczeniu zera spełnia­ jąca to równanie. N a mocy wspomnianej j u ż zachowującej działania wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości między szeregami a funkcjami analitycznymi współczynniki tego rozwiązania określą szereg formalny spełniający równa-J nie°(1.67). Traktując (1.67) j a k o równanie kwadratowe o niewiadomej C(x) (wartości poszukiwanej funkcji analitycznej w punkcie x) otrzymujemy, dla x # 0, C(x)=

(1.68)

i 2

Rozwińmy Vi — 4x = (1— 4x) 2

-^Q.-4x)

w szereg Maclaurina. Dla k > 0 mamy i

l ' fi A l i A ll = — • f — - 1 1 _ - 2 ... \ — -k+1

) (l-4xy 1

= 2 * ( - l ) l - 3 - 5 - ... • ( 2 f c - 3 ) ( l - 4 * )

2

-Jk

*

a więc

N

I

«x

^

k l

V

Za

2*-(2fc--2)! * _ « _ , V fc!-2-4- ... -(2fc-2) * Z ;

vi i *=1

X

/2fc-2 N

(2k-2)! fc!(/<-!)!

(-4)* =

/6f

1.12/63

CCJE TWORZĄCE

stąd, że aby otrzymać rozwiązanie o dodatnich współczynnikach należy ^Ijfbrać znak minus w (1.68). M a m y więc

Otrzymujemy stąd ostatecznie •' r

_ _ J _

(2k

(1.69)

c

> * ~ fc+l V fc

jjflpłiy c* zwane są liczbami Catalana i występują w kontekście szeregu innych prdMemów kombinatorycznych (por. zad. 1.47, 1.48).

Zlsada włączania-wyłączania

1.13

Podstawowe twierdzenie, które udowodnimy w tym paragrafie jest uogólnieniem oczywistego wzoru . \AuB\

= \A\ +

\B]-]AnB\

który zachodzi dla dowolnych zbiorów A, B (rys. 1.17).

| a u b | = | a | + | b | - I A n b|

|AwBuC| = | A | + | | B

+

| | - |A0B| - | B n | - |AnC| C

C

m ^Y* 1.17 Proste przypadki szczególne zasady

+

An Bn cl

włączania-wylączania

Załóżmy, że dane są podzbiory A A„ (niekoniecznie rozłączne) pewnego zbioru skończonego X, i poszukujemy liczności ich sumy A u ... u A . Jako PMPHsze „przybliżenie" tej liczności możemy przyjąć 1}

x

-

+

n

(1.70)

Jednakże liczba ta jest na ogół za duża, gdyż jeśli A n Aj # 0 , to elementy Przecięcia A u Aj liczone są podwójnie. Spróbujmy sytuację poprawić odejod (1.70) sumę t

t

E

\A n Aj\ t

(1.71)

^

Wtedy jednak otrzymamy liczbę na ogół za małą, gdyż jeśli A n Aj n A ^ 0 , to elementy przecięcia A, n Aj n A liczone są w (1.71) trzykrotnie. Kolejnym krokiem może być dodanie sumy £ M n A , - n A J , lecz dla przyczyn p o i

k

k

(

KI<J
dobnych j a k poprzednio otrzymana liczba będzie na ogół za duża. Okazuje się jednak, że p o n krokach otrzymamy zawsze poprawny wynik. Zachodzi miano­ wicie następujące twierdzenie: TWIERDZENIE 1 . 2 5 {Zasada

wlączania-wylączania)

n-i

\(jA \

= ^ \ A

t

'=

1

\ -

l

£

1=1

\A nAj\+ t

1
£

\A nAjnA \t

... +

k

K K j < K n

1

+ ( - l ) " - S ^ l n ... n / ! „ j 1

DOWÓD

Zastosujemy indukcję względem n. Dla n = 1 twierdzenie jest oczywiście praw­ dziwe. Załóżmy, że dla dowolnych podzbiorów A ...,A ^y lr

\U

A,\ => £

\A \-

£

t

\A nAj\+ t

...

n

+ ( - l ) -

2

M

1

n . . . n A _

1

|

Stosując ten wzór do sumy n-1

{A

y

u ... u A„_y) nA„=

( J (Ai n A„)

otrzymujemy n - 1

| U

" ~

^

A„\ = ^

n

l

1/1, n A„\ 2

+ ( - l ) " - M

1

£

\A, n Aj n A„\ + ... +

...nA„\

n

a stąd ILMil

=

I O M I ) u /U

=

|"u

+

I M . r> AJ

=

n

= ^ ^ • 1 -

2

\A nAj\+ t

1

... +(~ir~ \A n...nA \ l

n

•

Pokażemy teraz parę zastosowań zasady włączania-wyłączania. TWIERDZENIE

1.26

Jeśli \X\ = n, | F | = m, to liczba wszystkich funkcji z Z n a 7 (tzn. funkcji f: X -* -* Y takich, że / ( X ) = Y) jest równa m-

**.m = 2j

1

(

_ 1

M

l;

m

K -')"

0-72)

3A W Ł Ą C Z A N I A — W Y Ł Ą C Z A N I A

j§ph Y = {>>!, ych y $f (X).

y ). Oznaczmy przez A zbiór tych funkcji / : X-> Y, dla Wtedy oczywiście m

t

I

/(^)

t

y < > / 6

*

u

A, 1

ty, że wszystkich f u n k c j i / : Z - > 7 jest m" (twierdzenie 1.1), wystarczy więc czyć liczność sumy A u ... u A^. Zauważmy najpierw, że dla dowolnego x

l ^Pi

< ... < Pt ^ m przecięcie A

pi

i / : Z - > 7 takich, że j> , .-,y

Pi

i (m—p)", f

i

, y

p

]

i

n ... n A jest zbiorem wszystkich p (

$f(X),

a więc liczność tego przecięcia

tyle ile jest funkcji f:X->

Y\{y >

£ y możemy wybrać na

sposobów, a więc zgodnie z zasadą

Pi

•••>y ,}- Zbiór

i-elemento-

p

aia-wyłączania

m . « = ">"-! U A\ = m " - > t

'"°

f

&

(-1)'-

1

.

W

(m-i)" =

m-1

.fe'

I;

=^

< - i y (7)('"-0"

•

W i | t o zauważyć, że n a mocy wzoru (1.41) twierdzenie to dostarcza prostego w 4 t t t n a liczby Stirlinga drugiego rodzaju: \,

k-l S ( n

'

k )

(

iy

'kT "- T\\I! ~ { s

=

k=z

(

i

L

7

3

)

Itsaym zastosowaniem zasady włączania-wyłączania jest wyznaczenie liczby pod­ zbiorów ^-elementowych zbioru z powtórzeniami X = (k *a , 1

zie -wiemy tylko, że podzbiorów tych jest 7»+l-l\ \

^

gdy k

1

x

... ,k *a ) n

n

^na ra­

= ...= k = 1, oraz n

\ I gdy k

k„ > k\ . Zauważmy, że problem ten jest równoważny

u

znalezieniu liczby rozwiązań całkowitych układu X i + ... + x „ = k O < X( < k dla i = 1, n ;

Metodę rozwiązania tego problemu zilustrujemy n a przykładzie. ( 4 * a 3*a , 7 * a ) , k = 11. Utwórzmy zbiory A = zbiór wszystkich podzbiorów A:-elementowych zbioru niami (Jc*a k*a , k*a ), A = zbiór tych Ye A, które zawierają więcej niż 4 wystąpienia A — zbiór tych Ye A, które zawierają więcej niż 3 wystąpienia A = zbiór tych Ye A, które zawierają więcej niż 7 wystąpień

Niech X =

8 8

1;

2

3

u

x

2

3

Ombinatoryka

2

z powtórze­

3

elementu a elementu a , elementu a . u

2

3

/n + k-l\ /3 + l l - l \ /13\ M a m y \A\ = I ^ I= I \ — 1 1 = 78,

oraz

jest

oczywiste,

że

l ^ i l wynosi tyle, ile jest 6-elementowych (A;—5 = 6) podzbiorów zbioru z pow­ tórzeniami \A \ 2

=

(

3

(ll+au +

_

^

1

)

zauważyć, że

=

ll*a ,

ll*a ),

2

tzn. ^

3

= 36, | A | = (

Q

3 +

3

\A n A \ = ^ x

3 +

2

^

3

3+

1

^

~ ) =

3

*)~ (2)

=

^'

*j = ^

= 28,

= 10.

(3)

Łatwo

e

^

podobnie również

2-elementowych

(A:— 5 — 4 = 2) podzbiorów zbioru z powtórzeniami ( l l * a

1 ;

ll*a , 2

ll*a ), 3

oraz A n A = A r\ A = 0. Podzbiór Ye A jest podzbiorem zbioru z powtórzeniami X wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy d o A A ani A , a zatem, zgodnie z zasadą włączania-wyłączania, szukana liczba podzbiorów A>elementowych zbioru z powtórzeniami X jest równa 2

3

t

3

lf

\A\ -\A \

2

3

- \ A \ - \ A \ + \A n A \ + \A n A \ + \A n A \- 1 ^ n A n A | = = 7 8 - 2 8 - 3 6 - 1 0 + 6 + 0 + 0 - 0 = 10

X

2

3

t

2

2

3

X

3

2

3

Ostatnim zastosowaniem zasady włączania-wyłączania, które pokażemy, jest wyznaczenie liczby nieporządków n a zbiorze n-elementowym. Przez nieporządek n a zbiorze {1, . . . , « } rozumiemy dowolną p e r m u t a c j ę / t e g o zbioru taką, ż e / ( / ) # / dla 1 < 1 < n. Oznaczmy przez D„ zbiór wszystkich nieporządków n a zbiorze (1, ń] oraz A

t

= {feS :

f(i)~i},

n

i»l,...,n

(przypomnijmy, że S„ oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , « } ) . Permutacją / j e s t nieporządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy d o żadnego ze zbiorów A , a zatem, w myśl zasady włączania-wyłączania t

RT

Z

IA.I = \S \n

(=1

1

\4nAj\-...

+ ( - l ) " - i ^ i n ... nA„\

KKJ<1

Lecz dla dowolnego ciągu 1 < p < ... < p przecięcie A ^ n ... n A jest zbiorem tych p e r m u t a c j i / dla których f(pj) = Pj dla 1 < y < /, a więc n ... ... n A J = ( « - / ) ! . Zważywszy, że ciąg 1 < _ p < ... < p < n możemy wybrać x

t

p

x

na

pi

t

sposobów, otrzymujemy ostatecznie

V

i=0

n

=

!

(

1

_ J

r

7

i=0

_ L _ J + r

+

. . . + ( - 1 ) ^ )

W a r t o zauważyć, że suma w nawiasie równa jest początkowym

składnikom

00

szeregu e

- 1

(

= J ^ ( — l) Tf-

Oznacza

t o , że nieporządki stanowią

1=0

tycznie e

_ 1

= 0.36788 ... wszystkich permutacji.

asympto-

..u/67

udania

1.14

p W zawodach bierze udział 8 zawodników. N a ile sposobów mogą zostać rozdzielone medale (złoty, srebrny i brązowy)? Udowodnij, że liczba sposobów w jaki można rozsadzić n spośród m osób W przy okrągłym stole jest równa \m\Jn. (Rozsadzenia różniące się jedynie cyklicznym przesunięciem osób wokół stołu uważamy za równe). §|!'Ile spośród liczb pomiędzy 1000 i 10000 składa się z nieparzystych cyfr, 'ile z różnych cyfr? Ile jest możliwych rezultatów, którymi mogą się zakończyć zawody, w któ­ rych startuje 10 osób w trzech konkurencjach, jeśli każda osoba startuje f'w jednej, dowolnie przez siebie wybranej konkurencji? (Przez rezultat za­ r o d ó w rozumiemy zestawienie kolejności wszystkich zawodników startu­ j ą c y c h w każdej z konkurencji). lj£ Ile palindromów długości n można utworzyć używając 26 liter alfabetu? mPalindromem nazywamy dowolny wyraz, który brzmi tak samo czytany pr przód j a k i wspak, np. anna). lJŁ Udowodnij, że rząd (tzn. liczność) dowolnej grupy G £ S jest dzielnikiem gdu S„. (Wskazówka: Pokazać, że zbiory postaci fG = {fg: g e G,f eS„}, mówią podział grupy S„ na rozłączne bloki | G | -elementowe). j J R f d o w o d n i j , że liczba permutacji f e S typu l '2 '... n równa jest n

x

x

Xn

n

A

|*!/(i '...«'-;.,!...;.„!). l ^ J . U d o w o d n i j , że permutacje f ge S„ są tego samego typu wtedy i tylko wte­ dy, gdy istnieje permutacją heS taka, że g — hfh' . Permutacje fe S nazywamy inwolucją, jeśli ff — e. Udowodnij, że fe S f> jest inwolucją wtedy i tylko wtedy gdy jest typu 1^2* (X + 2), = n) oraz te dowolna permutacją jest złożeniem dwóch inwolucji. 1

n

n

n

3

l

2

l>la permutacji ( d ^ a„y definiujemy wektor inwersyjny jako ^d , ...,d y, gdzie d = |{/ < i: aj > a,}\. Udowodnij, że wektor inwersyjny wyznacza permutacje jednoznacznie. x

n

t

•

Udowodnij, że zbiór wszystkich permutacji parzystych tworzy grupę. '42 ^

Udowodnij, że algorytm 1.10 generuje wszystkie permutacje (w nieco innej kolejności), jeśli usunąć instrukcję P [ / ] : = : P\jn\ w wierszu 15. Niech / i > / 2 > •••»/.! będzie ciągiem permutacji generowanym przez tak zmodyfi­ kowany algorytm. Udowodnij, że ciąg n\ elementów / ^ ' ( O s / j " (')> ••• /~ jest dla każdego i (1 < / < n) taki sam z dokładnością d o cyklicz­ nego przesunięcia (por. [45]). 1

•

Udowodnij, że asymptotyczna wartość (dla n -* oo) średniej liczby transpozycji przypadających na każdą permutacje wygenerowaną przez algoOO 2k

rytm 1.10 jest równa cosh 1 = 1.543 ... (cosh x = £ x j(2k)\), k=0

w przypadku

1

algorytmu zmodyfikowanego tak j a k w poprzednim zadaniu wartość ta 00

wynosi natomiast sinh

2k+i

1 = 1.175 ... (sinh x =

x l(2k

+1)!).

k= 0

1.14 Udowodnij, że każdą z liczb O, ...,nl— 1 można jednoznacznie przedstawić n -1

w postaci j ~

d kl, gdzie O < d < /, przy czym ciągi d k

t

k

_

u

d

od-

x

powiadające kolejnym liczbom pojawiają się w porządku leksykograficznym. Podaj algorytm konstruowania ciągu {d ^. , d,y odpowiadają­ cego liczbie j . k

1

1.15 Wyeliminuj rekursję z algorytmu 1.11. Opisz taką realizację, w której liczba kroków potrzebnych do skonstruowania każdej następnej permutacji (nie tylko średnia wartość liczby kroków!) jest ograniczona przez stałą niezale­ żną od n. (Wskazówka: Rozważmy uporządkowaną leksykograficznie listę L„ wszystkich ciągów (c„, c >, gdzie 1 < c ^ /. Udowodnij, żej-ta trans­ pozycja dokonana przez algorytm 1.11 ma postać P\B[p, cj] ••=-P[p\, gdzie p = min [i: c < i}, a jest ./-tym ciągiem na liście L„. Kolejne ciągi na liście L„ można generować efektywnie reprezentując ciąg < c „ , c > przez ciąg < c „ , c > , gdzie c, = 1, jeśli c = i a c = c , w przeciwnym przypadku, oraz iiżywając stosu, którego aktualną zawarto­ ścią jest zawsze ciąg a b a , b , a , b taki, że 2

f

t

2

2

2

lt

ly

2

2

t

s

t

s

s

U {'•• a < / < b^} = {/: Ci < i} q

8= 1

Szczytowy

element stosu określa wspomniany poprzednio wskaźnik

p.

1.16 Napisz program realizujący „zwyczajną" wersję nierekurencyjną algoryt­ mu 1.11 oraz wersję sugerowaną w poprzednim zadaniu. Sprawdź empirycz­ nie przez wykonanie programu, czy ta ostatnia jest szybsza, jeśli idzie o śred­ ni czas potrzebny do skonstruowania każdej następnej permutacji. 1.17 Załóżmy, że dla każdego nieparzystego m mamy B \m, 1] = ... = = B [m, m — 1] = b°"\ oraz że dla dowolnego parzystego m > 4 ciąg B [ni, l ] , B [m, m — 1] spełnia jeden z następujących dwóch w a r u n k ó w : (i) Każdy spośród elementów 1, ..., m — 1 występuje w nim dokładnie raz, przy czym odległość między pozycjami zawierającymi m—l i o jest parzysta (odległość między pozycjami /, j rozumiemy j a k o \i—j\). (ii) Każdy spośród elementów zbioru {1, m — l}\{m— 1, wystę­ puje w nim dokładnie raz oraz element m—l lub ft występuje dwu­ krotnie, przy czym odległość między tymi wystąpieniami jest nieparzysta. Udowodnij, że procedura PERMiii) generuje wtedy wszystkie permu­ tacje elementów P [ l ] , P [ « ] , przy czym q>„ (p. dowód poprawności al­ gorytmu 1.11) jest transpozycją dla każdego nieparzystego « > 3 i cyklem długości n dla każdego parzystego n (por. poz. [44]). ( m - 1 )

(m_1)

JADANIA

j.18 Korzystając z poprzedniego zadania udowodnij, że następujące wersje procedury B(m, i) w algorytmie 1.11 prowadzą do poprawnego algorytmu generowania wszystkich permutacji: (1)

(2)

(3) (4) (5)

if (w mod 2 = 0) and (m > 2) then if / > 1 then B ••= m — i else B ••= m — 2 else B ••= m—l if m mod 2 = 0 then if (/ = 1) or (i — m — 1) then B ••= m — i else B := i else B ••= 1 if (m mod 2 = 0) and (/ > 2) then B ••= m—i else B-.= m-1 (*Wells [ 7 1 ] * ) if m mod 2 = 0 then B ••= i else B := 1 ( * H e a p [ 3 2 ] * ) if m mod 2 = 0 then B -.= i else B := m — 2

Jaką postać ma permutacją

1.19

1.20 1.21

1-22 1-23

u

n

a

1-24 Udowodnij tożsamości

s

dwoma sposobami: przez wielekrotne stosowanie wzoru (1.17), oraz przez nadanie prawej stronie pewnej interpretacji kombinatorycznej (np. dla pierwszej

tożsamości

Q_^

jest

A £ {0, n} takich, że min {i: i$A) 1.25 Udowodnij tożsamość

liczbą

podzbiorów

Ar-elementowych

~ j).

4XD przez zliczenie na dwa sposoby par , gdzie aeK i AT jest fc-elementowym podzbiorem ustalonego zbioru n-elementowego X. Użyj tej tożsamości d o wyprowadzenia wzoru (1.21). 1.26 Udowodnij, że iloczyn dowolnych kolejnych k liczb naturalnych dzieli się przez k\ ^Wskazówka: Rozważyć współczynnik dwumienny 1.27 Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych p, q, n

[> + <*]„ =

(£)[>]*[«]«-*

k=0

(Wskazówka: W przypadku pierwszej tożsamości policz na dwa sposoby liczbę wszystkich funkcji r ó ż n o w a r t o ś c i o w y c h / : I - » P u 2 , gdzie \X\ = n, \P\ = p, \Q\ = q, P n Q = 0 . Dla drugiej tożsamości znajdź podobną interpretację w terminach rozmieszczeń uporządkowanych w p + q pu­ dełkach). 1.28 Udowodnij, że (x +x + i

2

gdzie {

...

"

+x

) = n\j(n \n \ l

2

... n \). Podać interpretację kombinatoryczp

ną współczynników. Czemu jest równe

i^ _^ kn

1.29 Podaj nierekurencyjną wersję generowania podzbiorów ^-elementowych opartą na wzorze (1.25). Pokaż, że zależność rekurencyjna G(n,k)

= G ( n - l , f c ) , G ( n - 2 , f c - 2 ) u { n - 1 , n}, G * ( n - 2 , fc-1) u {«}

określa również pewną listę podzbiorów ^-elementowych, w której są­ siednie podzbiory mało się od siebie różnią. Podaj algorytm nierekurencyjny oparty na tej zależności. 1.30 Pokaż, że krata podziałów nie jest rozdzielna, tzn. że na ogół u a (p v fi) ^ ¥= (n a a) v (71 a fi). Wskaż odpowiednie podziały iz, a, fi.

«/70

^ADANJA

...4/71

"

^j.31 Udowodnij, że liczba ciągów długości n o elementach ze zbioru A>elemenT towego, zawierających każdy element tego zbioru co najmniej raz jest równa k\ S (n, k). 1,32 Podział n zbioru n-elementowego Z jest typu 1 >2 *... n^ (gdzie X + 2X + ... +nX„ = ń), jeśli zawiera on X bloków /-elementowych, dla i = 1, . . . , « . Udowodnij, że liczba podziałów typu l >2 >... n jest równa n\/(X \ ... X

X

x

2

t

x

x

Xn

1

!

...A„!(1!)V..(«!/-). Oznaczmy dla każdego k ^ 0
=

- £ - 0 ( * ) ,

=

ax

ay

y=»(x>

Udowodnij, że

dx"

n

d

W )

Za

J

J =0

*, + *, + . . . + k„=J * + 2)[,+ ...+n*„ = n t ,*,,...,t„>0

W

fc ! 1

...fc„!(u !)*»

(1

1

1

Pokaż, że suma współczynników przy wszystkich składnikach postaci / (^ )* ••• (g T jest równa liczbie Bella B . 1.34 Udowodnij, że dla każdego m ^ 0 macierz liczb Stirlinga pierwszego r o ­ dzaju [s(n, A:)] ,(c<m jest odwrotnością macierzy liczb Stirlinga drugiego rodzaju [S(n, A : ) ] l J$5 Udowodnij, że U)

<1)

1

w

n

n

0
0<

r

'

M " = 2'|s(n fc)|x

k

)

1.36 Udowodnij, że \s («, £)| jest liczbą tych permutacji zbioru n-elementowego, które mają w rozkładzie na cykle dokładnie k cykli. 1.37 Rozważmy następujący p r o g r a m : min := oo ; for i ••= 1 to n do if P [/] < min then nz/n := P [ i ] ; Udowodnij, że prawdopodobieństwo, iż dla losowo wybranej permu­ tacji P [ l ] , . . . , P [ « ] instrukcja min ••= P [ i ] będzie wykonywana dokład­ nie k razy wynosi |s («, k)\/n\ (Wskazówka: Skorzystaj z poprzedniego za­ dania oraz znajdź wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między permutacjami mającymi k cykli w rozkładzie kanonicznym a permutacjami, dla których instrukcja ta jest wykonywana k razy). Udowodnij, że średnia liczba wykonań powyżej instrukcji dla losowo wybranej permutacji "

jest O(log ri), dokładnie wynosi wszystkich n\ permutacjach).

1

— (Wskazówka: Policz liczbę cykli we

1.38 Udowodnij, że średnia liczba k r o k ó w potrzebna do skonstruowania każdego następnego podziału przez algorytm 1.19 jest ograniczona przez stałą nie­ zależną od n. Podaj modyfikację algorytmu gwarantującą, by liczba ta była ograniczona przez stałą dla każdego wygenerowanego podziału (por. zad. 1.15). 1.39 Udowodnij, że liczba podziałów liczby n, w których żaden ze składników nie przekracza k, jest równa liczbie podziałów liczby n + k na dokładnie k składników, tzn. P(n + k, k). 1.40 Udowodnij, że liczba podziałów samosprzężonych liczby n (tzn. równych podziałowi sprzężonemu) równa jest liczbie podziałów liczby n na parami różne składniki nieparzyste. 1.41 Oznaczamy przez E(ń) i O («) odpowiednio liczbę podziałów liczby n n a parami różne składniki parzyste oraz na parami różne składniki nieparzyste. Udowodnij, że (—1)* jeśli n jest postaci 0

2

(3k ±k)j2

w przeciwnym przypadku

1.42 Podaj algorytm generowania wszystkich P(n,k) podziałów liczby n n a k składników w porządku odwrotnym do leksykograficznego, taki, że liczba kroków potrzebna do skonstruowania każdego następnego podziału jest ograniczona przez stałą niezależną od n. 1.43 Szereg

nazywamy eksponencjalną funkcją tworzącą dla ciągu c , c . . . . Niech c będzie liczbą różnych ciągów długości k o elementach ze zbioru Y = = {^IJ •••>y }^ w których liczba wystąpień elementu y należy do zbio­ ru {m , m , •••} (ni < m < . . . ) . Udowodnij, że eksponencjalną funkcja tworząca dla ciągu c , c c , ••• jest równa 0

n

n

u

t

t

n

n

i2

0

u

2

1.44 Udowodnij, że n

,

„.

V"t/n-A:+l\ f

-

= 2 (

L(n+1)/2J

.

\H

. . .

fn-k+l\

J= 2 { k k=0 ' k=Q ' 1.45 Udowodnij, że liczba ciągów binarnych długości n nie zawierających wy­ stąpień jedynki na żadnych dwóch sąsiednich pozycjach jest równa liczbie Fibonacciego F . k

s

S

n+L

/72

1.14/73

^ P A N I A

j 46 Opisz metodę rozwiązywania równań rekurencyjnych postaci Co <

*

„

.

.

.

+C G„_ R

R

= 0

(z warunkami początkowymi określającymi wartości a , a ff _i) za pomocą funkcji tworzących, analogiczną do metody użytej d o znalezienia wzoru (1.65) określającego liczby Fibonacciego. j 47 Niech /?„ będzie liczbą możliwych rozmieszczeń nawiasów w iloczynie x ••• x (np. p = 2, gdyż mamy następujące 2 sposoby rozmieszczenia nawiasów: ((x x )x ), (x (x x ))). Udowodnij, że p„ równa się liczbie Catalana c„. * 1.48 Udowodnij, że liczba sposobów, w jaki ( « + 2 ) - k ą t wypukły na płaszczyźnie . można podzielić na rozłączne trójkąty za pomocą n— 1 przekątnych nie'** przecinających się wewnątrz tego (n + 2)-kąta jest równa liczbie Catalana c„. 1.49 Oznaczmy przez n (x) ilość liczb pierwszych nie przekraczających x. U d o ­ wodnij, że 0

0

n

u

r

2

0

1

2

0

1

2

r

rt (n) — n(yjn)

= n-i —

I

v-I

n

+ 1 « < *

+f

+ I bVj " - ->

n Pi Vi ••• Pk

gdzie k = n Qn). 1.5&" Oznaczmy przez (p («) ilość liczb naturalnych nie przekraczających n i względ­ nie pierwszych z n (tzn. nie mających wspólnego dzielnika większego o d jedności). Udowodnij, że 1 - y

••»(»)=n

1^ i< m

~+

y 1< t

. . . + ( - i r —

1

— ) =

< j < m

i= 1

gdzie q ,...,q l

m

są wszystkimi różnymi dzielnikami pierwszymi liczby n.

Algorytmy grafowe

Reprezentacja maszynowa grafu Oczywiście sposób reprezentacji grafu najbardziej przejrzysty i użyteczny dla człowieka — tzn. przez rysunek punktów i łączących je linii na płaszczyźnie — jest całkowicie bezużyteczny, jeśli chcemy problemy związane z grafami rozwią­ zywać za pomocą komputera. Wybór odpowiedniej struktury danych d o repre­ zentacji grafu ma zasadniczy wpływ na efektywność algorytmów, i dlatego zaj­ miemy się teraz tym zagadnieniem nieco bliżej. Pokażemy kilka różnych sposobów reprezentacji i omówimy pokrótce ich podstawowe wady i zalety. Będziemy rozważać zarówno grafy zorientowane, j a k i niezorientowane. Graf oznaczać będziemy zawsze przez G = (V, E}, gdzie F jest zbiorem wierz­ chołków, a E zbiorem krawędzi, przy czym E £ V x V dla grafu zorientowane­ go i E £ {{x, y}: x, y e V A x # y} dla grafu niezorientowanego. Będziemy rów­ nież konsekwentnie używać oznaczeń \V\ = n i \E\ = m. W teorii grafów klasycznym sposobem reprezentacji grafu jest macierz incydencji. Jest to macierz A o n wierszach odpowiadających wierzchołkom i m kolumnach odpowiadających krawędziom. Dla grafu zorientowanego kolum­ n a odpowiadająca krawędzi <x, y} e E zawiera — 1 w wierszu odpowiadającym wierzchołkowi x, 1 w wierszu odpowiadającym wierzchołkowi y i zera we wszy­ stkich pozostałych wierszach (pętle, tzn. krawędzie postaci <x, x} wygodnie jest reprezentować przez inną wartość, n p . 2, w wierszu x). W przypadku grafu nie­ zorientowanego kolumna odpowiadająca krawędzi {x, y) zawiera 1 w wierszach odpowiadających x i y oraz zera w pozostałych wierszach. Zilustrowano to n a rys. 2.1. Z algorytmicznego p u n k t u widzenia macierz incydencji jest bardzo nieoszczędnym sposobem reprezentacji grafu. Po pierwsze wymaga aż nm miejsc pamięci, przy czym olbrzymia większość tych miejsc jest na ogół wypełniona ze­ rami. Również dostęp d o informacji jest bardzo niewygodny. Odpowiedź na ele­ mentarne pytania typu „czy istnieje krawędź <x, y} ?", „ d o jakich wierzchołków prowadzą krawędzie z x ? " wymaga w najgorszym przypadku przeszukiwania wszystkich kolumn macierzy, a więc m kroków. Bardziej efektywnym sposobem reprezentacji grafu jest macierz sąsiedztwa wierzchołków, określona j a k o macierz B = [Z> ] wymiaru nxn gdzie b = 1, u

u

A OJ

A

A A A

-1

V

V

RY*l2.1 .* fi?

-

A

A

V

V

KI OJ -J O LA V V V V V V T~ Kł Kł LA LA O

V

- 1 0

V

0

1

0

o

1 - 1 -1

V

0 0

1 0

o

0

0

o

0

0

0

o

0

0

0

1

(a) Graf zorientowany i jego macierz incydencji (b) Graf niezorientowany i jego macierz incydencji

jeslfjlstnieje krawędź prowadząca od /-tego do /-tego wierzchołka, oraz b = 0 w plseciwnym przypadku. Rozumiemy tu, że krawędź {x, y) grafu niezorientowanefJB prowadzi zarówno o d x do y,ja.k i od ydox, tak że macierz sąsiedztwa wwfechołków takiego grafu jest zawsze symetryczna (bu = b ). Zilustrowano to aa rys. 2.2. u

Jt

a)

b) 2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

D

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

2

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1 0

0

3

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

5

1

1

0

1

0

1

_0

0

0

0

1

0

6

0

0

0

1

1

°_

v s

^ - 2.2

—

Macierze sąsiedztwa wierzchołków dla grafów z rys. 2.1

Główną zaletą macierzy sąsiedztwa wierzchołków jest fakt, iż możemy * jednym kroku otrzymać odpowiedz na pytanie „czy istnieje krawędź od x doyi" Wadą jest jednak fakt, że niezależnie od liczby krawędzi, zajętość pamięci ? osi n . W praktyce efekt tej niedogodności można czasami zmniejszyć przez P^ouetanie całego wiersza (kolumny) macierzy w jednym słowie maszynowym — * to możliwe dla małych n. Vv

J e

f,1

2

Jako argument przeciwko korzystaniu z macierzy sąsiedztwa wierzchołków przytoczymy jeszcze pewne twierdzenie dotyczące liczby kroków, jaką musi wykonać algorytm testujący pewną własność grafu na podstawie macierzy są­ siedztwa wierzchołków. Niech P oznacza pewną własność grafów (P (G) = 0 lub P (G) = 1 w za­ leżności od tego czy G ma, czy też nie ma naszej własności). Załóżmy, że cecha P spełnia następujące trzy warunki: (a) P(G) = P(G'), jeśli grafy G, G ' są izomorficzne; (b) P (G) = 0 dla dowolnego grafu pustego < F , 0 > oraz P (G) = 1 dla d o ­ wolnego grafu pełnego (V,P (V)} o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków; (c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P, tzn. P(G) ^P(G') dla dowolnych grafów G = , G' = < F , E'} takich, że E £ E'. Przykładem takiej własności P jest istnienie cyklu (w grafie o co najmniej trzech wierzchołkach). 2

TWIERDZENIE

2.1

Jeśli P jest własnością grafu spełniającą warunki (a), (b), (c), to każdy algorytm testujący własność P (tzn. obliczający wartość P(G) dla danego grafu G) na podstawie macierzy sąsiedztwa wierzchołków wykonuje, w najgorszym przy­ padku, Q (n ) kroków, gdzie n jest liczbą wierzchołków grafu. • Twierdzenie to pozostaje prawdziwe również dla grafów zorientowanych i własności niezależnych od pętli grafu, tzn. spełniających dodatkowo warunek (d) P(G) =P(G') dla dowolnych grafów zorientowanych G = {V, E}, G ' = (V, Eu(v, v}},veV. D o w ó d twierdzenia Czytelnik może znaleźć w pracach [5] i [59]. Oszczędniejsza jeśli idzie o zajętość pamięci — szczególnie w przypadku grafów „rzadkich", gdy m jest dużo mniejsze od n — jest metoda reprezentacji grafu przez listę par odpowiadających jego krawędziom. Para <x, y} odpowiada krawędzi (x, y), jeśli graf jest zorientowany i krawędzi {x, y} w przypadku grafu niezorientowanego (rys. 2.3). Zajętość pamięci wynosi w tym przypadku oczy­ wiście 2m. Niedogodnością jest duża liczba kroków — rzędu m w najgorszym przy2

2

a) 1

b) 2

1

1

3

1

3

2

1

3

4

2

-

5

4

2

5

6

3

h :

6

5

4

5

4

A

5

6

i

R Y S . 2.3

Listy krawędzi o d p o w i a d a j ą c e g r a f o m z rys 2.1

I

t/77

PREZENTACJA MASZYNOWA G R A F U

pBdJsu — potrzebna dó uzyskania zbioru wierzchołków, do którego prowadzą gawędzie z danego wierzchołka. Sytuację można znacznie poprawić przez uporządkowanie zbioru par lefcgykograficznie ; stosowanie przeszukiwania binarnego, lecz najlepszym rozwią­ zaniem w wielu przypadkach okazuje się struktura danych, którą nazywać bęjgetay Ustami incydencji. Zawiera ona dla każdego wierzchołka veV listę ^fjjjrzchołków u takich, że v -> u (lub v — u w przypadku grafu niezorientowajAo). Dokładniej, każdy element takiej listy jest rekordem r zawierającym ^jprzchołek r. wierzch i wskaźnik r. nast do następnego rekordu na liście (r. nast — aJpl dla ostatniego rekordu listy). Początek każdej z list pamiętany jest w ta^jęj POCZ; dokładniej, POCZ \y\ jest wskaźnikiem d o początku listy zawieej wierzchołki ze zbioru {u: v -» w} ({«: v — u] dla grafu niezorientowanego), taką listę będziemy zwykle nieformalnie oznaczać przez ZA [v], a pętlę onującą pewną akcję dla każdego elementu u tej listy — w dowolnej, ale mistycznie ustalonej kolejności, odpowiadającej kolejności elementów na — będziemy zapisywać j a k o „for u e ZA \y\ do ...". Zauważmy, że w przypadku niezorientowanym każda krawędź {u, v) jest rejfcezentowana dwukrotnie: przez wierzchołek v na liście ZA [w] i przez wierz­ chołek u n a liście ZA [v\. W wielu algorytmach struktura grafu jest dynamicznie nKJdyfikowana przez dodawanie i usuwanie krawędzi. W takich przypadkach za­ klejamy, że w naszych listach incydencji element listy ZA [w] zawierający wierz­ chołek v jest zaopatrzony we wskaźnik do elementu listy ZA [v~\ zawierającego wiirzchołek w, oraz że każdy element listy zawiera wskaźnik nie tylko d o na­ stępnego, lecz również do poprzedniego elementu listy. Wtedy usuwając pewien element z listy możemy łatwo — w liczbie kroków ograniczonej przez stałą — usnnąć drugi element reprezentujący tę samą krawędź, bez konieczności przeszu­ kiwania listy zawierającej ten element (por. zad. 2.3). W analogiczny sposób określamy, dla każdego wierzchołka v grafu nie­ zorientowanego, listę PRZED zawierającą wierzchołki ze zbioru {u: u -» v}. Liczba miejsc pamięci potrzebna do reprezentacji grafu przez listy incy­ dencji jest oczywiście rzędu m + n. Listy incydencji odpowiadające grafom z rys. 2-1 przedstawiono na rys. 2.4. b) POCZ

2|

*-+-H ^1 "iM

-H2 ,

3|

TT

*~}~H ó

| ni t

3

3|

-

'1

-

~H

H-H i 1

5

5 |nłl 5

ni L

6

nil ni L

-a-j 4 | »-|—>|7TnU~) 2.4

I I

Listy incydencji ZA [«], ve

V o d p o w i a d a j ą c e g r a f o m z rys.

2.1

Przeszukiwanie grafu w głąb Istnieje wiele algorytmów grafowych, których ogólny szkielet polega na syste­ matycznym przeszukiwaniu wierzchołków grafu tak, by każdy wierzchołek był odwiedzony dokładnie raz. Dlatego też ważnym problemem jest znalezienie dobrych metod przeszukiwania grafu. Mówiąc najogólniej, metoda przeszuki­ wania jest „ d o b r a " jeśli (a) sującego (b) zmienia

pozwala na łatwe „zanurzenie" w niej algorytmu rozwiązywania intere­ nas problemu oraz każda krawędź grafu analizowana jest co najwyżej raz (lub, co nie istotnie sytuacji, liczbę razy ograniczoną przez stałą).

Opiszemy teraz tego typu metodę przeszukiwania grafu niezorientowane­ go, będącą jedną z fundamentalnych technik projektowania algorytmów grafo­ wych. Metodę tę nazywamy przeszukiwaniem w głąb (ang. depth first search [66]) dla przyczyn, które — mamy nadzieję — wkrótce staną się jasne. Ogólna idea tej metody jest następująca. Przeszukiwanie zaczynamy od pewnego ustalonego wierzchołka v . Następnie wybieramy dowolny wierzcho­ łek u sąsiadujący z v i rozpoczynamy nasz proces od u. Ogólnie, przypuśćmy, że znajdujemy się przy wierzchołku v. Jeśli istnieje nowy (jeszcze nie odwiedzony) wierzchołek u, v—u, to odwiedzamy ten wierzchołek (przestaje on być nowy), i zaczynając od niego kontynuujemy przeszukiwanie. Jeśli natomiast nie istnieje żaden nowy wierzchołek sąsiadujący z v, to mówimy, że wierzchołek v został wykorzystany, cofamy się d o wierzchołka, z którego doszliśmy d o v, i proces kontynuujemy (jeśli v = v , to przeszukiwanie jest zakończone). Innymi słowy, przeszukiwanie w głąb z wierzchołka v polega na przeszukiwaniu w głąb ze wszy­ stkich nowych wierzchołków sąsiadujących z v. 0

0

0

Można to łatwo zapisać za pomocą następującej procedury rekurencyjnej: 1

2 3 4 5

procedurę WG(v); (* przeszukiwanie w głąb z wierzchołka v; zmienne NOWY, ZA są globalne *) begin odwiedź v; NOWY\y~\ ••= false; for ueZA\v\ do if NOWY[u] then WG (u) end (* wierzchołek v został wykorzystany *)

Przeszukiwanie w głąb dowolnego, niekoniecznie spójnego grafu odbywa się zgodnie z następującym algorytmem: 1 2 3 4 5

begin for v e V do NOWY\p\ •.= true; (* inicjalizacja *) for v e V io if NOWY[ti] then WG (ii) end

2

/78^

t E S Z U K I W A N I E

G

R

A

F

U

W GŁĄB

emy teraz, że algorytm ten odwiedza każdy wierzchołek dokładnie raz, jego złożoność jest O (n+m). Zauważmy najpierw, że wywołanie WG (v) jJŁoduje odwiedzenie wszystkich wierzchołków składowej spójnej grafu za^Jprającej v (jeśli NOWY [u] = true dla każdego wierzchołka u tej składowej), ^ i j p k a t o bezpośrednio ze struktury procedury WG: p o odwiedzeniu wierzchoł^ p w i e r s z 2) następuje wywołanie procedury WG dla wszystkich jego nowych i d ó w (wiersz 3), a tym samym odwiedzenie wszystkich poprzednio nieodwieftych sąsiadów. Zauważmy jeszcze, że każdy wierzchołek jest odwiedzany co yżej raz, gdyż odwiedzony może być jedynie wierzchołek v, dla którego Y\v\ = true, natomiast natychmiast p o odwiedzeniu tego wierzchołka p m y w a n a jest instrukcja NOWY\y\ := false (wiersz 2). r

j | N a s z algorytm rozpoczyna przeszukiwanie kolejno od każdego jeszcze nieizonego wierzchołka, a zatem odwiedzane są wszystkie wierzchołki grafu jfoniecznie spójnego). H.'Aby oszacować złożoność obliczeniową algorytmu zauważmy najpierw, że licSa kroków w obu pętlach (wiersze 2 i 3) jest rzędu n, nie licząc kroków wy­ konywanych przez wywołania procedury WG. Procedura ta wywoływana jest co nalftyżej « razy w drugiej pętli, oraz p o odwiedzeniu każdego z wierzchołków, dlfffcażdego z jego nowych sąsiadów, w sumie O (n+m) razy. Całkowita liczba krjpów wykonywanych przez pętlę w wierszu 3 procedury WG (nie licząc kroków wjjlMiywanych przez WG («)), dla wszystkich wywołań tej procedury, jest rzędąpi, liczby krawędzi. Daje t o całkowitą złożoność algorytmu O (n + m). A" Zauważmy, że algorytm przeszukiwania w głąb dowolnego grafu można łatwo ziajsdyfikować tak, by wyznaczał on składowe spójne tego grafu. Odnotujmy ten fagi: WNIOSEK 2.2 SJtpdowe spójne dowolnego grafu reprezentowanego przez listy incydencji-można wjtoaczyć w czasie O (n + m). • Ze względu n a dużą rolę przeszukiwania w głąb w projektowaniu algorytmów Stpbwych podamy jeszcze nierekurencyjną wersję procedury WG. Rekursję hWnujemy w standardowy sposób, przez użycie stosu (por. n p . [1]). Każdy od*>6ozany wierzchołek jest kładziony n a stos oraz zdejmowany ze stosu, gdy zoJ C wykorzystany. s

e

S T A

1

procedurę

WGl(v);

(* przeszukiwanie grafu w głąb z wierzchołka v — wersja nierekurencyjną procedury WG; zakładamy, że na początku procesu przeszukiwania P [ « ] = wskaźnik d o pierwszego rekordu listy ZA[u] dla każdego wierz­ chołka w; tablice P , NOWY są globalne * ) fcegiu STOS 0 ; STOS <= v; odwiedź i>; NOWY[v] == false; % while STOS # 0 do

2

2.2/79

4

begin t — top(STOS); (* t = szczytowy element stosu *) (* znajdź pierwszy nowy wierzchołek na liście ZA\f\ *) if P [ r ] = nil then b •.- false else b — not J V t W y [ P [r]T.wVrzcn]; while i do

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

begin P [ < ] := P [ r ] t « a ^ ; if = nil then b ••= false else b := not NOWY[P[t~\ '[.wierzch] end; if # nil then (* nowy wierzchołek znaleziony *) begin t ••= i>[r] \.wierzch; STOS <= t; odwiedź t; NOWY[t] ••= false end else (* wierzchołek t został wykorzystany *) r <= STOS (* zdejmij szczytowy element stosu *) end end

Poprawność tej procedury można pokazać przez łatwą modyfikację analizy p r o ­ cedury WG — pozostawiamy to Czytelnikowi. N a rysunku 2.5 pokazano graf, którego wierzchołki ponumerowano zgodnie z kolejnością, w jakiej są one od­ wiedzane w procesie przeszukiwania w głąb (utożsamiamy tu wierzchołki z licz­ bami 1, 10 i przyjmujemy, że na liście ZA [u] wierzchołki uszeregowane są rosnąco).

RYS. 2.5

N u m e r a c j a w i e r z c h o ł k ó w gra­

fa z rys. 2.5 dająca

wiedzane 10(12)

w

g

}

ą

(w

kolejności, w

nawiasach) w jakiej są

procesie

odpowia­ one

od­

przeszukiwania

b

Technika przeszukiwania w głąb przenosi się w oczywisty sposób na grafy zorientowane. Nietrudno sprawdzić, że efektem wywołania procedury WG (v) jak również WGl (v), jest w przypadku zorientowanym odwiedzenie w O (n + m) krokach wszystkich wierzchołków u takich, że istnieje droga z v do u (por. zad. 2.11).

OSZUKIWANIE G R A F U WSZERZ

przeszukiwanie grafu wszerz pałamy teraz

•^ą

nieco inną metodę przeszukiwania grafu, zwaną przeszukiwaniem y0erz (ang. breadth first search). Zanim ją opiszemy zauważmy, że przy przejjjj^iwaniu w głąb, im wierzchołek zostaje później odwiedzony, tym zostaje ^jjjKeśniej wykorzystany — ściślej, jest t a k przy założeniu, że ten drugi wierzchołek jgjjji odwiedzony przed wykorzystaniem pierwszego. Jest to natychmiastowy ^gjosek z faktu, iż wierzchołki odwiedzone, lecz jeszcze nie wykorzystane, są gromadzone na stosie. Przeszukiwanie wszerz polega, z grubsza mówiąc, na za­ gajeniu stosu przez kolejkę. P o takiej modyfikacji, im wcześniej wierzchołek odwiedzony (umieszczony w kolejce), tym wcześniej jest wykorzystany (ujjpjnjęty z kolejki). Wykorzystanie wierzchołka odbywa się przez odwiedzenie o & a z u wszystkich jeszcze nieodwiedzonych sąsiadów tego wierzchołka. Całą pnfbedurę przedstawiono poniżej. 1* procedurę WS(v); ( * przeszukiwanie grafu wszerz z wierzchołka v; zmienne NOWY, ZA są globalne * ) 2 begin 3 " KOLEJKA := 0 ; KOLEJKA <= v; NOWY[v] := false; 4"* while KOLEJKA # 0 do 5" begin p <= KOLEJKA; odwiedź p; 6 for w e do 7 if NOWY[u] then 8 begin KOLEJKA <= u; NOWY[u] false 9 end 10 end 11 end W analogiczny sposób j a k dla przeszukiwania w głąb można łatwo poka­ zać, że wywołanie WS (v) powoduje odwiedzenie wszystkich wierzchołków skła­ dowej spójnej grafu zawierającej wierzchołek v, przy czym każdy wierzchołek jest odwiedzany dokładnie raz. Złożoność obliczeniowa przeszukiwania wszerz Jest również rzędu m + n, gdyż każdy wierzchołek jest umieszczany w kolejce "Suwany z kolejki dokładnie raz, a liczba wszystkich iteracji pętli 6 jest oczy*>fcie rzędu liczby krawędzi grafu. 1

Oba typy przeszukiwania grafu — w głąb i wszerz — mogą być użyte do ^ j d o w a n i a drogi między ustalonymi wierzchołkami v i u. Wystarczy przeszu^ graf z wierzchołka v aż do momentu odwiedzenia wierzchołka u. Zaletą Przeszukiwania w głąb jest fakt, że w momencie odwiedzania wierzchołka u f*o« zawiera ciąg wierzchołków określający drogę z v do u. Staje się t o oczywiste 4K zauważyć, że każdy wierzchołek kładziony na stosie jest sąsiadem szczyto­ wo elementu stosu. Wadą przeszukiwania w głąb jest jednak to, że otrzymana nie jest na ogół najkrótszą drogą z v do u.

Je

toryka

Wady tej nie m a metoda znajdowania drogi oparta na przeszukiwaniu wszerz. Zmodyfikujmy procedurę WS przez zmianę wierszy 7 - 4 - 9 if NOWY[u] then begin KOLEJKA <= u; NOWY[u] end

. = false; POPRZ[ii]

.= p

Po zakończeniu działania t a k zmodyfikowanej procedury tablica POPRZ za­ wiera, dla każdego odwiedzonego wierzchołka u, wierzchołek POPRZ [u], z któ­ rego doszliśmy do u. Zauważmy, że najkrótsza droga z w d o u jest wyznaczana przez ciąg wierzchołków u = u u , u = v, gdzie u = POPRZ [ M ] dla 1 < i < k, oraz k jest pierwszym wskaźnikiem /, dla którego u, = v. Istotnie, w kolejce umieszczane są najpierw wierzchołki znajdujące się w odległości 0 od v (tzn. sam wierzchołek v), następnie kolejno wszystkie nowe wierzchołki osiągalne z v, tzn. wierzchołki znajdujące się w odległości 1 od c itd. Przez odle­ głość rozumiemy tu oczywiście długość najkrótszej drogi. Ogólnie, przyjmijmy za­ łożenie indukcyjne, że odwiedziliśmy już wszystkie wierzchołki znajdujące się w odległości od v nie przekraczającej r, że kolejka zawiera wszystkie wierzchołki znajdujące się w odległości r od v, i tylko te wierzchołki, oraz że tablica POPRZ określa poprawnie najkrótszą drogę z każdego już odwiedzonego wierzchołka do v, w sposób opisany poprzednio. Wykorzystując każdy wierzchołek p znajdujący się w kolejce, nasza procedura odwiedza pewne nowe wierzchołki, i każdy taki n o ­ wy wierzchołek u znajduje się oczywiście w odległości r + 1 o d c, przy czym okre­ ślając POPRZ [«] := p przedłużamy najkrótszą drogę zp do v do najkrótszej drogi z u do v. Po wykorzystaniu wszystkich wierzchołków z kolejki, znajdujących się w odległości r od v, zawiera ona oczywiście zbiór wierzchołków znajdujących się w odległości r + 1 od D , i łatwo zauważyć, że spełniony jest warunek indukcyjny dla odległości r + 1 . u

2

k

i + l

(

N a rysunku 2.6 przedstawiono graf, którego wierzchołki ponumerowano zgo­ dnie z kolejnością, w jakiej są one odwiedzane w procesie przeszukiwania wszerz. Podobnie jak w przypadku przeszukiwania w głąb, procedura WS może być użyta bez żadnych modyfikacji, gdy listy incydencji ZA [»], v e V reprezen­ tują pewien graf zorientowany. Oczywiście odwiedzone zostają jedynie te wierz­ chołki, d o których istnieje droga z wierzchołka, z którego rozpoczynamy prze­ szukiwanie (por. zad. 2.12).

'8(13)

K u

łoś)

RYS. 2.6 Numeracja wierzchołków grafu z rys. 2.5 (w nawiasach) odpo­ wiadająca kolejności, w jakiej są one odwiedzane w procesie przeszukiwa­ ma wszerz

DRZEWA ROZPINAJĄCE

rzewa rozpinające zewem nazywamy dowolny niezorientowany graf spójny bez cykli. Dla d o spójnego grafu niezorientowanego G = (V, E) każde drzewo (V, T), a e T E E, nazywamy drzewem rozpinającym grafu G. Krawędzie takiego drzenazywamy gałęziami, a wszystkie pozostałe krawędzie grafu G nazywamy hęciwami (oczywiście o gałęziach i cięciwach w grafie możemy mówić tylko I kontekście ustalonego drzewa rozpinającego). Zauważmy, że każde drzewo o n wierzchołkach zawiera n—l krawędzi. ; ten można w prosty sposób udowodnić przez indukcję względem n. Jest on ńście prawdziwy dla n = 1. Jeśli n > 1, to zauważmy najpierw, że w każdym ewie o n wierzchołkach istnieje wierzchołek „wiszący", tzn. wierzchołek pnia 1. Istotnie, rozważmy w takim drzewie dowolną drogę v — v — ••• — v {•maksymalnej długości (v ^ v dla / ^ j). Wierzchołki v v są „wiszące", nie może od żadnego z nich prowadzić druga krawędź do żadnego spośród zchołków v v (drzewo nie zawiera cykli) ani do żadnego innego wierz ka (droga jest maksymalna). Usuwając z naszego drzewa wierzchołek v rawędź {v -. v } (albo też wierzchołek v i krawędź {v v }) otrzymujemy yiście drzewo o n— 1 wierzchołkach, które — na mocy założenia indukcyj— m a n — 2 krawędzie. Zatem nasze pierwotne drzewo miało n — 2+l = ĄH—l krawędzi. 1

t

u

}

lt

2

k

k

k

k

k

u

k

x

u

2

f* Procedury przeszukiwania grafu w głąb i wszerz mogą być w prosty sposób aptosowane do znajdowania drzew rozpinających. W obu przypadkach osiągnię­ cie nowego wierzchołka u z wierzchołka v powoduje włączenie krawędzi {v, u} do drzewa JLGOB 3 R Y T M 2 . 3 (Znajdowanie Przeszukiwania w głąb).

Oane: 1

drzewa

rozpinającego

grafu

spójnego

metodą

/

Spójny graf t? = <J , E} reprezentowany przez listy incydencji ZA \_v], veV.

Wyniki: Drzewo rozpinające
procedurę WGD(v); (* przeszukiwanie w głąb połączone ze znajdowaniem krawędzi drzewa; zmienne NOWY, ZA, T są globalne *)

2

begin NOWY[v]

3 4

for u e ZA[v]

3

6

== false; do

if NOWY\u\

then (* {v, u} jest nową gałęzią *)

begin T := T u {v, u}; end end; (* WGD

*)

WGD(ii)

8 9 10 11 12

begin (* program główny *) for u e V do NOWY[ii] ••= true; (* inicjalizacja *) T~ 0 ; (* T = zbiór dotychczas znalezionych gałęzi *) WGD(r) (* r jest dowolnym wierzchołkiem grafu *) end

Aby udowodnić, że algorytm 2.3 poprawnie konstruuje drzewo rozpinające do­ wolnego grafu spójnego wystarczy zauważyć następujące trzy fakty. P o pierwsze, w momencie dodawania do zbioru Tnowej gałęzi {v, u} (wiersz 5) istnieje w < V, T} droga z r do v (fakt ten dowodzimy przez indukcję). T a k więc algorytm konstruu­ je graf spójny. Po drugie, każda nowa gałąź {v, u] dodawana do zbioru T łączy odwiedzony już wierzchołek v (tzn. NOWY\_v\ = false) z nowym wierzchoł­ kiem u. Wynika stąd, że skonstruowany graf < V, T} nie zawiera cykli. Istotnie, ostatnia krawędź „zamykająca" cykl musiałaby łączyć dwa odwiedzone już wierz­ chołki. Wreszcie p o trzecie, z własności przeszukiwania w głąb wynika, że p r o ­ cedura WGD odwiedza wszystkie wierzchołki grafu spójnego. Graf < V, T} skonstruowany przez nasz algorytm jest zatem drzewem rozpinającym grafu G. Złożoność obliczeniowa algorytmu jest oczywiście O (n + m), tzn. jest tego sa­ mego rzędu co przeszukiwania w głąb. Przykład drzewa rozpinającego skonstruo­ wanego przez algorytm 2.3 przedstawiono na rysunku 2.7a. Każde drzewo roz­ pinające wyznaczone przez ten algorytm ma pewną ciekawą własność, którą teraz opiszemy. Nazwijmy wierzchołek r, od którego rozpoczynamy przeszukiwanie grafu korzeniem drzewa rozpinającego
b) 9

1 R Y S . 2.7

8

9

1

D r z e w o rozpinające s k o n s t r u o w a n e przez

(a) a l g o r y t m 2.3 o r a z (b) a l g o r y t m 2.5

Dla dwóch różnych wierzchołków v, u drzewa < V, T} powiemy, że u jest potomkiem wierzchołka v, jeśli v leży na drodze (w drzewie < F , Ty) z u do k o ­ rzenia. Jeśli przy tym v — u, to mówimy, że u jest synem wierzchołka v, a v jest ojcem wierzchołka u.

IRZEWA ROZPINAJĄCE

SIERDZENIE

2.4

Jiech (V,Ty będzie drzewem rozpinającym grafu spójnego G =
n a ł ó ż m y , bez zmniejszenia ogólności, że wierzchołek v zostaje odwiedzony wcze*$niej niż u. Rozważmy proces przeszukiwania w głąb z wierzchołka v. Oczywiście ^pojego zakończeniu musi być NO WY [w] = false, j a k o że v — ti. Lecz to oznacza, krawędzie dodane do zbioru T w czasie tego procesu zawierają drogę z v u, a co za tym idzie v leży na drodze z w do korzenia. • | W podobny sposób można skonstruować drzewo rozpinające używając techniki przeszukiwania wszerz.

E

ALGORYTM 2.5 (Znajdowanie drzewa rozpinającego grafu spójnego metodą przeszukiwania wszerz). t)ane: Spójny graf G —
begin for ueV Ao NOWY[u] ••= true; (* inicjalizacja *) T ••= 0 ; (* T = zbiór dotychczas znalezionych gałęzi *) KOLEJKA == 0 ; KOLEJKA <= r; NOWY[_r~] ••= false; (* r = korzeń drzewa rozpinającego *) while KOLEJKA ^ 0 do begin v <= KOLEJKA; for u e ZA\v\ do if NOWY[u] theu (* {v, u} jest nową gałęzią *) begin KOLEJKA <= u; NOWY\u\ -.= false; T ••= T u {v, u} end end end

W podobny sposób j a k w przypadku algorytmu 2.3 dowodzimy, że powyższy ^gorytm poprawnie konstruuje drzewo rozpinające dowolnego grafu spójnego, * O (n + m) krokach. Przykład drzewa rozpinającego skonstruowanego przez ten algorytm przed­ stawiono na rys. 2.7b. Rozważania z punktu 2.3 prowadzą bezpośrednio do następującego twier­ dzenia: TWIERDZENIE

2.6

Niech (y, Ty będzie drzewem rozpinającym grafu spójnego G =
Nieco ogólniejsze zagadnienie znajdowania najkrótszych dróg w grafie, którego krawędziom przypisano „długości", niekoniecznie równe jedności, omó­ wiono szczegółowo w rozdziale 3. Rozważania tego p u n k t u przenoszą się łatwo na dowolne grafy, niekoniecz­ nie spójne. Maksymalny podgraf bez cykli dowolnego grafu G nazywamy lasem rozpinającym grafu G. Jest oczywiste, że las rozpinający grafu o k składowych spójnych jest określony przez drzewa rozpinające tych składowych, a zatem zawiera n — k krawędzi.

Znajdowanie fundamentalnego zbioru cykli w grafie Ściśle związane z problemem znajdowania drzewa rozpinającego jest zagadnienie konstrukcji fundamentalnego zbioru cykli. Jeśli d o drzewa rozpinającego (V, T} grafu G — (V, £ > dodamy dowolną cięciwę e s E\T, to nietrudno zauważyć, że powstały podgraf ( F , T u {e}> zawiera dokładnie jeden cykl*, oznaczmy go przez C . Oczywiście C zawiera krawędź e. Zbiór # = { C : eeE\T} nazywa­ my fundamentalnym zbiorem cykli grafu G (względem drzewa rozpinającego < V, r». Poniżej udowodnimy, że każdy cykl grafu G można w pewien naturalny sposób otrzymać z cykli zbioru €. e

e

e

(

Oznaczmy, dla dowolnych zbiorów A, B A@B — (Au

B)\(A

n B)

Zbiór A@B nazywamy różnicą symetryczną zbiorów A, B. Zauważmy, że różnica symetryczna zbiorów A A zawiera — niezależ­ nie od rozmieszczenia nawiasów — dokładnie te elementy, które występują w nieparzystej liczbie zbiorów A . Istotnie, nietrudno to wykazać przez indukcję względem k. Dla k = 1 i k — 2 jest to oczywiście prawdą. Dla k > 2 nasza róż­ nica symetryczna ma postać A © B, gdzie A jest różnicą symetryczną zbiorów A , ...,A , B natomiast jest różnicą symetryczną zbiorów A , ...,A , przy czym p, q < k i p + q = k. Zbiór A ® B zawiera dokładnie te elementy, które występują tylko w jednym ze zbiorów A, B. Korzystając z założenia indukcyj­ nego wnioskujemy, że A © B jest zbiorem tych elementów, które występują w nie­ parzystej liczbie zbiorów spośród A i parzystej liczbie spośród A , ... A , lub też nieparzystej liczbie zbiorów spośród A , A i parzystej spośród Ax,...,A . Jest to dokładnie zbiór tych elementów, które występują w nieparzystej liczbie zbiorów spośród A ...,A . Z udowodnionej powyżej własności wynika, że możemy pomijać nawiasy w różnicy symetrycznej dowolnej liczby zbiorów i pisać A © A ® ... © A . Zbiór C krawędzi grafu nazywamy pseudocyklem, jeśli każdy wierzchołek grafu < F , C> ma stopień parzysty. Przykładem pseudocyklu jest zbiór pusty i dowolny cykl grafu. u

k

t

y

P

p+l

p+i

p

p

p+1

+ t

p+t

p

+ i

p

u

k

1

2

* W p u n k c i e t y m przez cykl b ę d z i e m y zawsze r o z u m i e ć cykl elementarny.

k

łAT 2.7 Różnica symetryczna dowolnej liczby pseudocykli jest pseudocyklem. 3WÓD

Wystarczy oczywiście rozważyć przypadek dwóch pseudocykli, C i C . Dla ^wolnego wierzchołka v oznaczmy przez S (v) i S (f) zbiór krawędzi odpoMgńmo z C i C incydentnych z v. Zbiory S (v) i S (v) są parzystej liczności, Jprzysta jest więc również liczność zbioru krawędzi z C © C incydentnych JJ, j a k o że \S (») © S (»)| = |^ (»)| + \S (v)\-2 \S (») n S (»)|. • Możemy teraz udowodnić zapowiedziane już twierdzenie dotyczące fundaatalnego zbioru cykli. x

x

y

2

2

x

2

x

X

2

2

2

X

2

2

ERDZENIE 2.8

Ifiech G 4tzewem wić j a k o ifewolny 1

C =

= < F , £ > będzie spójnym grafem niezorientowanym, a < F , T> jego rozpinającym. Dowolny cykl grafu G można jednoznacznie przedsta­ różnicę symetryczną pewnej liczby cykli fundamentalnych. Ogólniej, pseudocykl C grafu G wyraża się jednoznacznie j a k o ©

C

(2.1)

e

eeC\T DOWÓD

Różnica symetryczna

©

C , będąca pseudocyklem na mocy poprzedniego lee

*=C\T

matu, składa się ze zbioru cięciw C \ T i pewnych gałęzi. Wynika t o z faktu, iż każda cięciwa e e C \ 2 " należy d o dokładnie jednego cyklu fundamentalnego, mianowicie do C . Zbiór e

C©

©

C

(2.2)

e

eeC\T

j&t — znów na mocy poprzedniego lematu — pseudocyklem, przy czym może on zawierać tylko gałęzie. Żaden niepusty pseudocykl nie może być jednak za­ warty w T, j a k o że każdy niepusty podgraf bez cykli zawiera wierzchołek stopnia 1 (•.wiszący"). Stąd wniosek, że zbiór (2.2) jest pusty, co jest równoważne równo­ ści (2.1). Jednoznaczność przedstawienia (2.1) wynika łatwo z faktu, iż cykl C,. jest jedynym cyklem fundamentalnym zawierającym cięciwę e (e e E\T). • Twierdzenie, które udowodniliśmy m a bardzo prostą interpretację w ter­ e n a c h przestrzeni liniowych. Niech E = {e ,...,e } i przyporządkujmy każ­ demu pseudocyklowi C wektor < a . . . , a > , gdzie 1

l5

(1 '

jeśli

m

m

e eC t

(O w przeciwnym przypadku

Sumie takich wektorów, przy założeniu, że współrzędne obliczane są modulo 2, odpowiada różnica symetryczna odpowiednich pseudocykli. Lemat 2.7 orzeka, wektory odpowiadające pseudocyklom tworzą podprzestrzeń m-wymiarowej Przestrzeni liniowej nad ciałem dwuelementowym (złożonym z 0 , 1 , z operacją dodawania modulo 2 i mnożenia). Zauważmy, że dowolna kombinacja liniowa

w przestrzeni nad ciałem dwuelementowym odpowiada różnicy symetrycznej — jako że jedynym niezerowym współczynnikiem może być 1. Z kolei twierdze­ nie 2.8 mówi, że cykle fundamentalne określają bazę naszej podprzestrzeni. Znalezienie fundamentalnego zbioru cykli m a istotne znaczenie przy ana­ lizie obwodów elektrycznych. Mówiąc dokładniej, każdemu cyklowi fundamen­ talnemu w grafie odpowiadającym danemu układowi elektrycznemu możemy przyporządkować równanie wyrażające prawo Kirchhoffa dla napięć (por. np. poz. [61]): suma spadków napięć wzdłuż cyklu jest równa zeru. Wtedy żadne z tych równań nie jest zależne od pozostałych, natomiast jest od nich zależne dowolne równanie wyrażające prawo Kirchhoffa dla dowolnego cyklu grafu. Opiszmy teraz prosty algorytm znajdowania zbioru cykli fundamentalnych. Algorytm ten oparty jest na przeszukiwaniu w głąb i ma strukturę podobną do rekurencyjnego algorytmu znajdowania drzewa rozpinającego (algorytm 2.3). Każdy nowy wierzchołek napotykany w procesie przeszukiwania umieszczany jest na stosie — reprezentowanym przez tablicę STOS — i zdejmowany ze stosu po wykorzystaniu. Oczywiście stos zawiera zawsze ciąg wierzchołków z aktualnie odwiedzanego wierzchołka v do korzenia. Dlatego też, jeśli analizowana przez nas krawędź {v, u} zamyka cykl (tzn. WGN \v~\ > WGN [u] > 0 i u nie znajduje się bezpośrednio pod elementem szczytowym stosu), t o wierzchołek u — na mocy twierdzenia 2.4 — znajduje się n a stosie i cykl zamknięty przez krawędź {v, u} reprezentowany jest przez szczytową partię stosu, aż do wierzchołka u. ALGORYTM 2.9 (Znajdowanie zbioru cykli fundamentalnych grafu) D a n e : G r a f G = < F , E} reprezentowany przez listy incydencji ZA [v], ve V. Wyniki: Zbiór cykli fundamentalnych grafu G. 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

procedurę CYKLE (v); (* znajdowanie fundamentalnego zbioru cykli dla składowej zawierającej wierzchołek v; zmienne d, num, STOS, ZA, WGN są globalne *) begin d := d+1; STOS^ v; num ••= num+1; WGN[v] = num; for u e ZA\y\ do if WGN[u] = 0 then CYKLE(u) else if (u ^ STOS[d-\~\) and (WGN\v\ > WGN\u~\) then (* {v, u} zamyka nowy cykl *) wypisz cykl o wierzchołkach STOS [d], STOS \d-1],..., STOS [ c ] , gdzie STOS [c] = u; d-=d—l (* wykorzystany wierzchołek i; jest zdejmowany ze stosu *) end; (* CYKLE *) begin (* program główny *) for v e V do WGN[v] 0; num ••= 0; (* inicjalizacja *) d := 0; STOS[0] ••= 0; (* d = liczba elementów na stosie *) for v e V do if WGN\v\ = 0 then CYKLE(v) end

szacujemy teraz złożoność obliczeniową tego algorytmu. Zauważmy najpierw, całkowita liczba kroków, nie licząc wypisywania cykli (wiersze 6, 7) jest — tak we wszystkich algorytmach opartych na przeszukiwaniu w głąb — O (n + m). jjD tego należy dodać sumaryczną długość wszystkich cykli. Długość ta nie przekracza (m—n+\)n, co daje całkowitą złożoność algorytmu 0(nm + ri) (lub Q(flm), jeśli odrzucimy zdegenerowany przypadek m = 0).

znajdowanie składowych dwuspójnych wierzchołek a grafu niezorientowanego G = < F , E} nazywamy punktem arlykulacji, jeśli usunięcie tego wierzchołka i wszystkich incydentnych z nim kra­ wędzi powoduje zwiększenie liczby składowych spójnych grafu. Równoważnie jańżemy powiedzieć, że a jest punktem artykulacji, jeśli istnieją wierzchołki u, v f<j|tae od a takie, że każda droga z u do v — a zakładamy, że istnieje co najmniej jedna taka droga — przechodzi przez wierzchołek a. Graf niezorientowany na­ zywamy dwuspójnym, jeśli jest on spójny i nie zawiera punktów artykulacji. Dowolny maksymalny podgraf dwuspójny grafu G nazywamy składową dwuspójną, albo blokiem tego grafu. W niektórych zastosowaniach dwuspójność grafu jest cechą bardzo pożą­ daną. Wyobraźmy sobie na przykład, że wierzchołki grafu reprezentują węzły pewnej sieci informacyjnej, a krawędzie odpowiadają liniom przesyłowym. Jeśli nasz graf jest dwuspójny, to awaria pojedynczego węzła w nie powoduje nigdy utraty połączenia między żadnymi dwoma węzłami różnymi od iv. Znajomość bloków grafu jest też ważna ze względu na fakt, że wiele zagadnień grafowych — talach jak znalezienie wszystkich cykli elementarnych lub też stwierdzenie czy graf jest płaski (tzn. daje się narysować na płaszczyźnie tak, by żadne dwie kra­ wędzie się nie przecinały) — sprowadza się w naturalny sposób do analogicz­ nych problemów dla bloków danego grafu. Zauważmy, że jeśli < F B }, (V , B } są dwoma różnymi blokami grafu G, V n V = 0 albo V n V = {a}, gdzie a jest punktem artykulacji grafu G. Istotnie, rozważmy podgraf (V u V , B u B }. Gdyby \Vn V \ > 2, to pod8raf ten byłby dwuspójny, wbrew założeniu o maksymalności < V , B ) i < V , B }. Również przypadek V n V = {a}, gdzie a nie jest punktem artykulacji grafu G, Jest niemożliwy. Wtedy bowiem istnieje w G droga między wierzchołkami w e V a oraz v e V , v # a, nie zawierająca wierzchołka a. Nietrudno zauważyć, & podgraf powstały z < F u V , B u B } przez dodanie wierzchołków i kra­ wędzi tej drogi jest dwuspójny, wbrew założeniu o maksymalności < F B,} (^2, B }. Przykład grafu, jego punktów artykulacji i bloków przedstawiono y s . 2.8. Znajdowanie punktów artykulacji i bloków grafu jest klasycznym proble. który można efektywnie rozwiązać przez zanurzenie w procedurze prze­ r w a n i a w głąb (p. Tarjan [66]). Zanim podamy szczegółowy algorytm, P^Zynimy najpierw parę wstępnych obserwacji. l 5

x

2

2

t o

x

2

t

2

t

2

x

2

2

{

x

L

2

2

2

u

u

2

X

2

t

2

l 3

1

2

n a

r

1 > l e i n

TWIERDZENIE

2.10

Niech D = < V, T} będzie drzewem rozpinającym o korzeniu r, spójnego gra­ fu G =
Rozważmy najpierw przypadek v — r. Jeśli wierzchołek v ma tylko jednego syna (albo jest wierzchołkiem izolowanym), to jego usunięcie nie zwiększa liczby skła­ dowych spójnych, j a k o że nie narusza to spójności drzewa. Jeśli natomiast ma on co najmniej dwóch synów, to p o usunięciu wierzchołka v synowie ci leżą w róż­ nych składowych spójnych. Istotnie, z twierdzenia 2.4 wynika, że każda droga pomiędzy dwoma różnymi synami musi przechodzić przez korzeń — w prze­ ciwnym przypadku zawierałaby cięciwę {u, ?}, gdzie ani u nie jest potomkiem t, ani też t nie jest potomkiem u. Podobnie jest w przypadku v ^ r. Jeśli p o usunię­ ciu wierzchołka v istnieje droga od jego syna w do korzenia, to tak jak poprzednio z twierdzenia 2.4 wnioskujemy, że droga ta musi zawierać krawędź łączącą w lub pewnego p o t o m k a wierzchołka w z pewnym przodkiem wierzchołka v. • Idea algorytmu jest następująca: Przeszukujemy graf w głąb z pewnego wierzchołka r, obliczając dla każdego wierzchołka v dwa parametry: I W N f i / ] i L [ u ] . Pierwszy z nich, to p o prostu numer wierzchołka v w kolejności, w jakiej wierzchołki odwiedzane są przy przeszukiwaniu w głąb poczynając od wierz­ chołka r. P o oznaczeniu przez D ~ (V,Ty drzewa odpowiadającego naszemu procesowi przeszukiwania w głąb, drugi parametr określa minimalną wartość WGN [ii], gdzie u = v lub wierzchołek u jest połączony cięciwą z wierzchoł­ kiem v lub dowolnym jego potomkiem w D. Parametr L [v\ łatwo obliczyć

JOWANIE SKŁADOWYCH DWUSPÓJNYCH

2.ó/91

cyjnie względem drzewa D — jeśli znamy L [w] dla wszystkich synów w ihołka v, to oznaczając A = min { L [ w ] : w jest synem wierzchołka v} J

1

B

=

min {WGN [u]: {u, v} e

E\T}

L[p] = "»'" {WGN [v], A, B\ m wnioskiem z twierdzenia 2.10 jest fakt, że v jest p u n k t e m artykulacji :orzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy L [w] ^ WGN [v~\ dla pewnego syna w shołka v (zakładamy n > 1). IYTM 2.11 (Znajdowanie składowych dwuspójnych grafu) Graf G = (V, E}

f

bez wierzchołków izolowanych,

reprezentowany

przez listy incydencji ZA [»], ve V.

Wyniki: Zbiory krawędzi wszystkich składowych dwuspójnych. 1 ' procedurę DWUSP(v,p); (* przeszukuj w głąb z wierzchołka v zakładając, że p jest ojcem wierz­ chołka v w t y m procesie, oraz wypisz krawędzie znalezionych składowych dwuspójnych; zmienne num, L, WGN, STOS są globalne * ) 2 * begin num ••= num+1; WGN[v~\ ••— num; 3 £ [ » ] := WGN\y\; 4 for ueZA[v\ do 5 if JFC/V[w] = 0 then (* wierzchołek w jest nowy, {v, u} jest gałęzią *) 6 begin STOS <= {v, u)} DWUSP{u, »); 7 L\v\ min{L[v~\,L[u~\); 8 if L[u] > WGN[v~\ then (* v jest korzeniem lub p u n k t e m artykulacji, a szczytowa partia stosu, aż d o {v, u} włącznie, zawiera składową dwuspójną * ) 9 begin ( * wypisz krawędzie składowej dwuspójnej * ) repeat e<=STOS; write{e)

1 0

'1

until e = {v, u};

'2

write (';') (* znak końca składowej dwuspójnej * )

1 3

1 4

l

$

1 6

1 7

1

8

"

end end else (* WGN[u] > 0, tzn. u był j u ż odwiedzony *) if (w # p) and (WGN\u~\ < WGN\v\) then (* krawędź {v, u} jest cięciwą i nie występuje n a stosie * ) begin STOS <= {v, u}, L[v\

end

== min ( L [ » ] ,

FFGJV[H])

-V

20

end; (* DWUSP

*)

21

begin (* program główny *)

22

for ue V do WGN[ii]

23

STOS := 0 ; num ••= 0;

24

for u e V do

25 26

••= 0; (* inicjalizacja *)

if FTCrJV[«] = 0 then DWUSP (u, 0) end

Pokażemy teraz, że wywołanie procedury DWUSP (v, 0) (wiersz 25) dla jeszcze nie odwiedzonego wierzchołka v powoduje wyodrębnienie i wypisanie wszy­ stkich bloków składowej spójnej grafu zawierającej wierzchołek v. Dowód prze­ biega przez indukcję względem liczby bloków tej składowej. Jeśli składowa ta nie zawiera punktów artykulacji, to nietrudno zauważyć, że wywołanie DWUSP (v, 0) powoduje umieszczenie wszystkich krawędzi tej składowej na stosie, a następnie (por. pętla 10) wypisanie tych krawędzi. Załóżmy teraz, że nasza składowa zawiera Ar > 1 bloków, i że algorytm działa poprawnie dla do­ wolnej składowej zawierającej mniej niż k bloków. Rozpatrzmy pierwszą napot­ kaną krawędź {v, u} taką, że L [u] ^ WGN [v] w wierszu 8. Zgodnie z naszymi poprzednimi rozważaniami nierówność ta oznacza, że v jest korzeniem lub punktem artykulacji. Żaden z p o t o m k ó w wierzchołka v (w drzewie odpowia­ dającym przeszukiwaniu w głąb realizowanemu przez algorytm) nie jest punktem artykulacji, i w konsekwencji krawędzie szczytowej części stosu, aż d o {v, u} włącznie — będące krawędziami grafu łączącymi potomków wierzchołka v, łącznie z samym v — tworzą blok, który jest wypisywany w pętli 10. Zmodyfi­ kujmy teraz naszą składową przez usunięcie powyższego bloku (bez usuwania wierzchołka v). Tak zmodyfikowana składowa ma Ar—1 bloków, i wykonanie dla niej procedury D WUSP(v, 0) powoduje — na mocy założenia indukcyjne­ go — poprawne wypisanie tych bloków. Działanie algorytmu dla zmodyfikowa­ nej składowej różni się od przypadku oryginalnej składowej jedynie tym, że dla pierwszego napotkanego punktu artykulacji (oryginalnej składowej) v pętla 4 nie jest wykonywana dla wierzchołków u należących do usuniętego bloku. Stąd łatwy wniosek, że DWUSP(v, 0) poprawnie wyznacza wszystkie k bloków naszej składowej, a tym samym cały algorytm poprawnie wyznacza wszystkie bloki grafu. Oszacujmy teraz złożoność obliczeniową algorytmu. Pętle 22 i 25 wyko­ nują 0 ( « ) kroków, przy czym w przypadku drugiej pętli nie liczymy kroków wykonanych przez wywołanie DWUSP(u, 0) dla każdego nieodwiedzonego jesz­ cze wierzchołka. Wywołanie takie, dla składowej spójnej o n wierzchołkach i m krawędziach, wykonuje 0 ( t t j + /n,) kroków — nie licząc kroków w pętli 10 — j a k o że procedura t a k a przeszukuje składową w głąb wykonując liczbę kroków ograniczoną przez stałą dla każdej analizowanej krawędzi. Każda krawędź jest zdejmowana ze stosu i wypisywana dokładnie raz, co daje w sumie O (m) kroków t

t

konywanych przez pętlę 10 w czasie wykonywania całego algorytmu. Sumując ystkie powyższe składniki otrzymujemy ostatecznie całkowitą złożoność altmu równą O (n + m).

fogi

Eulera

2.7

tą Eulera w grafie G — (V, E) nazywamy dowolną drogę przechodzącą przez krawędź grafu dokładnie raz, tzn. drogę v v taką, że każda kraeeE występuje w ciągu v v dokładnie raz j a k o e = {v , v } iwnego i. Jeśli v — v , to drogę taką nazywamy cyklem Eulera. Zagadjie istnienia drogi Eulera w danym grafie było p o raz pierwszy rozważane piUz Eulera w roku 1736, i podany przez niego warunek konieczny i dostateczy"istnienia takiej drogi (por. twierdzenie 2.12) uważany jest za historycznie pidfiwsze twierdzenie teorii grafów. u

u

x

m + 1

m + l

t

l+1

m+1

n

TtfjJERDZENIE

2.12

Dfiga Eulera w grafie istnieje wtedy i tylko wtedy gdy graf jest spójny i zawiera co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego. DOWÓD DoWód dostateczności warunku podanego w twierdzeniu otrzymamy j a k o wniosek z analizy algorytmu znajdowania drogi Eulera, który opiszemy w tym punkcie. Konieczność warunku jest oczywista, gdyż jeśli wierzchołek v różny od**! i v występuje w drodze Eulera v v k razy, to oznacza to, iż stopień tego wierzchołka w grafie wynosi 2k. Wynika stąd, że wierzchołki stop­ nia nieparzystego, jeśli istnieją, są końcami drogi Eulera. W a r t o tu zauważyć, że nie istnieje graf o tylko jednym wierzchołku stopnia nieparzystego. Istotnie, oznaczając stopień wierzchołka v przez d(v) mamy m+1

£

u

m+1

d(v) = 2m

Jako że w powyższej sumie każda krawędź {u, v} liczona jest dwukrotnie: raz d (u) i raz w d (v). Wynika stąd, że liczba wierzchołków stopnia nieparzystego Jest zawsze parzysta. • w

Jeśli w grafie spójnym nie ma wierzchołków stopnia nieparzystego, to każda droga Eulera jest cyklem, gdyż końce drogi Eulera nie będącej cyklem są zawsze wierzchołkami stopnia nieparzystego. Załóżmy, że u, v są jedynymi wierzchołkami p n i a nieparzystego grafu spójnego G = < F , £ > , i utwórzmy graf G* przez dodanie dodatkowego wierzchołka t i krawędzi {u, t}, {v, t} (lub p o p r o {«, v) jeśli {u, v}£E). Wtedy G* jest grafem spójnym bez wierzchołków Ropnia nieparzystego, a drogi Eulera w G są w oczywistej wzajemnie jednoz n e j odpowiedniości z cyklami Eulera w G*. Z tego względu w pozostałej C? ^ c i tego punktu zajmować się będziemy wyłącznie cyklami Eulera. sto

S t u

Z n a c

ALGORYTM 2 . 1 3 (Znajdowanie cyklu Eulera) Dane:

Graf spójny G = < V, 2s> bez wierzchołków stopnia reprezentowany przez listy incydencji ZA [ u ] , ve V.

nieparzystego,

Wyniki: Cykl Eulera reprezentowany przez ciąg wierzchołków na stosie CE

1 2 3 4 5 6

begin STOS-.= 0 ; C £ . = 0 ; v := dowolny wierzchołek grafu; STOS <= »; while STOS ^ 0 do begin v top(STOS); (* v — szczytowy element stosu * )

7

if ZA[v] # 0 then

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

begin u := pierwszy wierzchołek listy ZA\v\; STOS <= u ; (* usuń krawędź {v, u] z grafu * ) ZA[v] == Z^[M] ~ ZA[u]\{v}; »:=«

end else (* Z4[i>] = 0 begin u <= STOS;

*) CE<=v

end end end

Zasadę działania algorytmu można wyjaśnić w następujący sposób: Niech v będzie wierzchołkiem wybranym w wierszu 3. Pętla 5 zaczyna konstruować drogę o początku w v , przy czym wierzchołki tej drogi kładzione są na STOS, a jej krawędzie usuwane są z grafu. Postępowanie t o jest kontynuowane aż do m o ­ mentu gdy nie jest możliwe rozszerzenie drogi o nowy wierzchołek, tzn. gdy ZA [ u ] = 0 w wierszu 7. Zauważmy, że musi być wtedy v = v , gdyż w każdym innym przypadku oznaczałoby t o , że stopień wierzchołka v jest nieparzysty. T a k więc z naszego grafu został usunięty cykl, a wierzchołki tego cyklu zostały umieszczone na stosie STOS. Zauważmy, że stopień dowolnego wierzchołka w tak zmodyfikowanym grafie pozostaje parzysty. Wierzchołek v = v jest teraz przenoszony ze stosu STOS do stosu CE, a „bieżącym" wierzchołkiem v staje się szczytowy element stosu STOS. Z wierzchołka tego powtarzany jest analogiczny proces (jeśli ZA [y] # 0 ) , który wobec parzystości stopni wszystkich wierzchoł­ ków znajduje — i kładzie n a STOS - pewien cykl przechodzący przez wierz­ chołek v. Wierzchołek ten jest następnie przenoszony do stosu CE. Postępowanie to jest kontynuowane aż do momentu, gdy STOS staje się pusty. Jest oczywiste, że wierzchołki umieszczane na stosie CE tworzą pewną drogę, przy czym wierz­ chołek v przenoszony jest n a stos CE dopiero wtedy, gdy ZA = 0 , tzn. gdy wszystkie krawędzie incydentne z tym wierzchołkiem reprezentowane są (przez 0

0

0

0

2.7/95

sąsiednich wierzchołków) na jednym ze stosów. Stąd j u ż łatwo wynika, że zakończeniu działania algorytmu stos CE zawiera cykl Eulera. Oszacujemy teraz złożoność obliczeniową naszego algorytmu. W tym celu Ijrważmy, że każda iteracja głównej pętli (wiersz 5) albo umieszcza wierzchołek \ stosie STOS i usuwa krawędź z grafu, albo przenosi wierzchołek ze stosu STOS stosu CE. T a k więc liczba iteracji tej pętli jest O (m). Z kolei liczba kroków [każdej iteracji jest ograniczona przez stałą. Zakładamy tu, że każda z list irdencji ZA [ » ] , ve V jest zrealizowana w ten sposób, że każdy wierzchołek tej liście zawiera wskaźnik do poprzedniego i następnego wierzchołka oraz zchołek u na liście ZA [u] zawiera wskaźnik d o wierzchołka v na liście

Vi Z,

3 , 4 , 5 , 6 , 7,

2 , 8, 6, 9, 7, 8, 5, 3 , 1

RYS. 2.9 Graf i cykl Eulera w tym grafie znaleziony przez algorytm 2.13

Zś [ « ] . Umożliwia to usunięcie krawędzi {v, u} (wiersz 10) w czasie ograni­ czonym przez stałą (por. p . 2.1). Z powyższych rozważań wnioskujemy, że cał­ kowita złożoność algorytmu jest O (m). Oczywiście algorytm ten jest optymftlny, j a k o że samo wypisanie cyklu Eulera wymaga Q (w) kroków. N a rysunku 2.9 przedstawiono graf i pewien cykl Eulera znaleziony przez 1

algorytm 2.13.

Algorytmy z powracaniem

2.8

Rozważmy teraz problem podobny d o rozwiązanego w poprzednim paragrafie, tą jednak różnicą, źe tym razem interesować nas będą drogi przechodzące dokładnie raz przez każdy wierzchołek — a nie każdą krawędź — danego grafu. Ta niewielka, zdawać by się mogło, modyfikacja powoduje, j a k się przekonamy, baczną zmianę charakteru problemu. Przypomnijmy, że drogę o powyższej wła­ sności nazywamy drogą Hamiltona (cykl Hamiltona definiujemy w oczywisty sposób). Przykład drogi Hamiltona w grafie oraz grafu, w którym taka droga e istnieje pokazano na rys. 2.10. z

n ,

a) R Y S . 2.10 (a) Droga Hamiltona w grafie (b) Graf, w którym nie istnieje droga Hamiltona

W przeciwieństwie d o dróg Eulera, nie jest znany żaden prosty warunek konieczny i dostateczny dla istnienia drogi Hamiltona — mimo iż problem ten jest jednym z centralnych zagadnień teorii grafów. Nie jest również znany żaden algorytm, który sprawdzałby istnienie drogi Hamiltona w dowolnym grafie używając liczby kroków ograniczonej przez wielomian zmiennej n (liczby wierz­ chołków grafu). Są pewne podstawy — lecz brak dowodu matematycznego — na t o , by przypuszczać, że ten stan rzeczy jest spowodowany nie tyle naszą nie­ wiedzą, co p o prostu faktem, że taki algorytm nie istnieje. Problem istnienia drogi Hamiltona należy bowiem do klasy tzw. problemów NP-zupelnych [27]. Szczegółowe omówienie tych problemów wykracza poza ramy tej książki. Wspom­ nimy tu tylko, że jest to szeroka klasa problemów — często fundamentalnych dla teorii grafów, logiki, teorii liczb, optymalizacji dyskretnej i innych dzie­ dzin — dla żadnego z których nie jest znany algorytm wielomianowy (tzn. o licz­ bie kroków ograniczonej przez pewien wielomian od wymiaru problemu), przy czym istnienie algorytmu wielomianowego dla chociaż jednego z nich pociągałoby automatycznie istnienie algorytmów wielomianowych dla wszystkich tycłi p r o ­ blemów. Właśnie fakt fundamentalności wielu problemów 7VP-zupełnych w róż­ nych dziedzinach i to, że mimo niezależnych wysiłków specjalistów w tych dzie­ dzinach nie udało się znaleźć algorytmu wielomianowego dla żadnego z tych problemów skłania do przypuszczenia, że taki algorytm nie istnieje. Powróćmy do konkretnego problemu istnienia drogi Hamiltona. Oczywisty algorytm, który możemy zastosować, to „pełny przegląd wszystkich możliwości": generujemy wszystkie n\ różnowartościowych ciągów wierzchołków, i dla każdego z nich sprawdzamy, czy określa drogę Hamiltona. Postępowanie takie wymaga co najmniej n! n kroków, która to funkcja rośnie szybciej niż dowolny wielomian, a nawet szybciej niż dowolna funkcja eksponencjalną postaci a ,a > 1, j a k o że n

nln

> ln/2Ji"/

2J

=

1

2110

2

a "' *^"! *

Opiszemy teraz ogólną technikę pozwalającą na znaczną redukcję liczby kroków w algorytmach typu pełnego przeglądu wszystkich możliwości. Aby tę technikę zastosować szukane rozwiązanie musi mieć postać ciągu < x , ..., x„>. Główna idea metody polega n a tym, że nasze rozwiązanie konstruujemy stopniowo, rozpo­ czynając od ciągu pustego E (długości 0). Ogólnie, mając dane rozwiązanie czę­ ściowe (x . . . , X ( > staramy się znaleźć dopuszczalną wartość x , co do której nie możemy od razu wykluczyć, że < X i , x , x } daje się rozszerzyć do pew­ nego rozwiązania (lub już nim jest). Jeśli taka dopuszczalna, jeszcze nie wyko­ rzystana wartość x istnieje, to dodajemy ją do naszego rozwiązania częścio­ wego i kontynuujemy nasz proces dla ciągu < x x , x }. Jeśli nie, to powra­ camy do rozwiązania częściowego {x , . . . , * ; _ ! > i kontynuujemy nasz proces poszukując nowej jeszcze nie wykorzystanej dopuszczalnej wartości x\ — stąd nazwa „algorytm z powracaniem" (ang. backtracking). x

lt

t

t

+

l

i + 1

t + 1

1 ;

t

i+1

x

Mówiąc dokładniej zakładamy, że dla każdego k > 0 jest dany pewien usta­ lony zbiór A , z którego wybierać będziemy kandydatów na A;-tą współrzędną k

• z w i ą z a n i a częściowego. Oczywiście zbiory A muszą być tak określone, by dla •kżdego rozwiązania całkowitego < x ...,x„> naszego problemu oraz dla każmgo k < « zbiór A zawierał element x (w praktyce nie możemy na ogół wy­ l i c z y ć sytuacji, w której zbiór A zawiera pewne „ z b ę d n e " elementy, nie wyJJfcpujące n a fc-tej współrzędnej żadnego rozwiązania całkowitego). Zakładamy • w n i e ż istnienie pewnej prostej funkcji, która dowolnemu rozwiązaniu częścioimu <Xi, ..., Xi) przyporządkowuje wartość P ( x •••,x ) (true lub false) tak, jeśli P (x Xi) = false, to ciągu (x x > na pewno nie da się rozszerzyć i rozwiązania. Jeśli ..., Xi) = true, to mówimy, że wartość Xj jest dok

1 ;

k

k

k

1 ;

u

1;

i

(

szczalna (dla rozwiązania częściowego (x •••,x _ y) — nie oznacza to byjmniej, że < x x _ ! > na pewno rozszerza się do pełnego rozwiązania, oces ten możemy zapisać w postaci następującego schematu: u

1 ;

i

i

(

begin fc:=l; i

| I 6 | $ 9 10 11 t

while k > 0 do if istnieje jeszcze niewykorzystany element y e A taki, że P(X[l],X\k-l\,y) then begin X[k] ••= y; (* element y został wykorzystany *) if (X [ 1 ] , X [k]} jest rozwiązaniem całkowitym then write ( ^ [ 1 ] , X[k]); k-.= k+l end else (* powrót do krótszego rozwiązania częściowego; wszystkie elementy zbioru A stają się znowu niewykorzystane *) *:=fc-l end k

k

12 13

Algorytm ten znajduje wszystkie rozwiązania, jeśli tylko założyć, że zbiory A s | skończone i istnieje n takie, że P ( x , x„) = false dla wszystkich x e sA , x e A (ten ostatni warunek oznacza, że wszystkie rozwiązania są długości mniejszej od n). Pokażemy nieco ogólniejszą własność: k

x

x

n

x

n

Niech s > 0 i niech < x . . . , x _ ! > będzie pewnym rozwiązaniem częścio­ wym skonstruowanym przez algorytm. Rozważmy pierwszą iterację pętli 3, dJa której k = s, X[i~] = x 1 i s. Począwszy od tej iteracji algorytm ge­ neruje wszystkie rozwiązania całkowite będące rozszerzeniem ciągu < x , x _ > dochodzi do stanu, w którym k = s—l. 1;

s

h

Ł

s

Ł

1

Oczywiście dla s = 1 własność powyższa wyraża p o prostu poprawność ^gorytmu. Ogólnej postaci tej własności dowodzimy przez indukcję („wstecz") Względem s. Jest ona prawdziwa dla s = n, gdyż nie istnieją żadne elementy do­ puszczalne dla x _ > , i wykonuje się od razu drugi człon instrukcji wa^ n k o w e j w wierszu 11, tzn. zmienna k przybiera wartość s—l. Załóżmy teraz Prawdziwość naszej własności dla pewnego s > 1. Pokażemy jej prawdziwość dla J — 1 . Niech < x x - > będzie dowolnym rozwiązaniem częściowym skons

u

1

ł

Komblnatoryka

1

3

2

struowanym przez algorytm i rozważmy pierwszą iterację pętli 3 , dla której k = = s—l, X\f] = x , 1 1. Jeśli istnieje element y dopuszczalny dla <x , Xj_ >, to konstruowane jest rozwiązanie częściowe (x , . v _ , y} (wiersz 6 ) i zmienna k przybiera wartość s (wiersz 9 ) . Następnie, zgodnie z na­ szym założeniem indukcyjnym, następuje wygenerowanie wszystkich rozwiązań będących rozszerzeniem ciągu < x , . . . , x _ , y} i dochodzimy d o stanu, w któ­ rym k = s—l, p o czym proces powtarzany jest dla następnego niewykorzysta­ nego elementu y dopuszczalnego dla < x x _ > , aż d o momentu wyczerpania wszystkich takich elementów (sytuacja taka może wystąpić od razu na samym początku). Zmienna k zmniejszana jest wtedy o 1 i osiąga wartość s—2 (wiersz 12). Z powyższych rozważań wynika, że algorytm poprawnie generuje wszystkie rozwiązania będące rozszerzeniem ciągu (x x _ > , co kończy dowód kroku indukcyjnego. Udowodniona przez nas własność bezpośrednio prowadzi d o następującej prostej i przejrzystej wersji rekurencyjnej schematu algorytmu z powracaniem: t

t

2

L

x

s

s

2

u

2 3 4 5 6 7 8 9

2

2

1 (

1

s

s

2

procedurę AP(k); (* generowanie wszystkich rozwiązań będących rozszerzeniem ciągu X [ l \ , X \ k - l \ ; tablica X jest globalna *) begin for yeA takich, że P(X[l~\,X[k-l\y) do begin X[k~] ~ y; if ^ [ 1 ] , X [ k ] jest rozwiązaniem całkowitym then write (X[l],X[k]); AP(k+l) end end k

Wygenerowanie wszystkich rozwiązań całkowitych możemy spowodować przez wywołanie AP ( 1 ) . Prezentację algorytmu z powracaniem rozpoczęliśmy od nieco bardziej skomplikowanej nierekurencyjnej wersji jedynie dlatego, że w wersji rekurencyjnej „powracanie" nie występuje w jawnej postaci, będąc częścią im­ plementacji mechanizmu rekursji. Zastosujemy teraz algorytm z powracaniem do znajdowania cykli Hamil­ tona w grafie G = {V, £ > . Każdy taki cykl możemy reprezentować przez ciąg (x , x , x ,>, przy czym A-, = x„ = v , gdzie v jest pewnym ustalo­ nym wierzchołkiem grafu, x , - — d l a 1 < / < n, oraz .r,- ¥= Xj dla 1 < i < < j < n. Zgodnie z tymi warunkami możemy przyjąć: L

2

n+

+1

0

0

=V

A

k

P(x

u

. . . , x . „ ) » ) o j e Z X O t - j ] A y Ć{x,, ••••A-, t

.I

ALGORYTM 2 . 1 4 (Znajdowanie wszystkich cykli Hamiltona w grafie) Dane:

Graf G = (V, E) reprezentowany przez listy incydencji ZA [t>], v e V.

Wyniki: Lista wszystkich cykli Hamiltona grafu G.

2

/98

LGORYTMY Z POWRACANIEM

I i. i M

^

2.s/99

procedurę HAMTLT(k); ( * generowanie wszystkich cykli Hamiltona będących rozszerzeniem ciągu <X[1], * [ / t - l ] > ; tablica X jest globalna * ) D E

8'

N

?

|> 4 5 $ i %

for yeZA[X[k-lJ] do if (k = n + 1) and O = rO) then w / t e ( ^ [ l ] , X [ i i ] , v0) else if DOP[y] then begin X[k] -.= y; DOP[y] ••= false; HAMILT(k+\); ~DOP[y] := true M.\ end ] | , end; (* HAMILT *) tV begin ( * p r o g r a m główny * ) ]g for D e F do DOP\y~\ ••= true; ( * inicjalizacja * ) 13 - ^ [ 1 ] — ^0; ( * ^0 = dowolny ustalony wierzchołek grafu * ) 14' DOP[v$\ == false; 15' HAMILT(2) lj|j end :

-i Opalanie tego, j a k również dowolnego algorytmu z powracaniem, można zilWftrować j a k o proces przeszukiwania pewnego drzewa. Każdy wierzchołek 4$$wa odpowiada w naturalny sposób pewnemu ciągowi (x , x >, przy czym fljjirzchołki odpowiadające ciągom postaci < x x , y} są synami tego wierzchi#ka (korzeń odpowiada ciągowi pustemu e). Rozważmy „pełne" drzewo D z l ^ o n e ze wszystkich możliwych ciągów postaci < x ...,x }, gdzie 0 < k < n i J£ e A dla 1 ^ i «C k, oraz załóżmy chwilowo, że każdy element y e A jest dopuszczalny dla < r jeśli A: < /z, oraz żaden element nie jest dopusz­ czalny dla < x ...,.\'i_]>, jeśli k > n; innymi słowy t

1 ;

fe

k

j 5

t

k

k

! ;

1 ;

Jtruc P(x ,...,X l

k

U

X ) k

=

J

F

A

,

S

E

jeśli J

E

Ś

L

;

k ;|

(*ie /l; dla 1 < /' < k). Nietrudno wtedy zauważyć, że wywołanie AP(l) spowo­ duje przeszukanie w głąb całego drzewa D (poczynając od korzenia e). W przy­ padku mniej trywialnej funkcji P określającej dopuszczalność wierzchołków pro­ ces przeszukiwania „opuszcza" rozpatrywanie wierzchołków poddrzewa o k o ­ rceniu w każdym napotkanym wierzchołku „niedopuszczalnym" (tzn. odpowia­ dającym ciągowi x ), dla którego P (x , x ) = false). N a tym właśnie Polega efektywność algorytmu z powracaniem w stosunku do pełnego przeglądu ^'Szystkich możliwości. Zilustrowano t o , dla algorytmu 2.14, n a rysunku 2.11. k

t

k

Należy zaznaczyć, że w większości zastosowań liczba kroków algorytmu Powracaniem, choć mniejsza n a ogół niż dla pełnego przeglądu, rośnie jednak * najgorszym przypadku wykładniczo ze wzrostem wymiaru problemu. Tak jest "•wet w przypadku, gdy poszukujemy tylko jednego, a nie wszystkich rozwiązań z

R Y S . 2.11 Graf i drzewo ilustrujące a l g o r y t m z p o w r a c a n i e m z n a j d o w a n i a wszystkich cykli H a m i l t o n a w t y m grafie

(wtedy p o prostu przerywamy wykonywanie algorytmu p o osiągnięciu pierwszego rozwiązania; zauważmy, że gdy problem nie ma żadnych rozwiązań, modyfi­ kacja ta nie ma wpływu na przebieg wykonywania algorytmu).

Zadania 2.1

Udowodnij, że dla dowolnego grafu niezorientowanego macierz sąsiedztwa wierzchołków B wyraża się przez macierz incydencji A w następujący sposób: B = AA — diag [d d„] gdzie A jest macierzą transponowaną względem A, d jest stopniem /-tego wierzchołka, diag \d d ] zaś jest macierzą wymiaru n xn o elementach d ...,d„ na głównej przekątnej i zerach poza główną przekątną. Określmy dla dowolnego grafu niezorientowanego macierz sąsiedztwa kra­ wędzi C = [c ], gdzie Cu = 1, jeśli /-ta i y-ta krawędź są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem, lub c = 0 w przeciwnym przypadku (przyjmujemy c = 0). Jak można wyrazić macierz C przez macierz incydencji? Czy ma­ cierz sąsiedztwa krawędzi wyznacza graf z dokładnością do izomorfizmu? T

1;

T

t

u

n

u

2.2

u

tj

u

2.3

Podaj szczegółową realizację list incydencji i procedur usuwania i dodawania krawędzi w czasie ograniczonym przez stalą (należy pamiętać, że przy usu­ waniu krawędzi {w, v) trzeba usunąć odpowiednie elementy z obu list ZA [ii] i ZA [v] — zakładamy, że wskaźnik do jednego z tych elementów jest dany j a k o parametr procedury).

2.4

Napisz procedury przejścia pomiędzy każdą parą sposobów reprezentacji grafu opisanych w punkcie 2.1 oraz oszacuj złożoność obliczeniową za­ proponowanych procedur. Niektóre algorytmy grafowe używają jedynie 0 ( n ) , lub przynajmniej

2.5

00

2.9/101

•ANIA

2

0(n + m), spośród n elementów macierzy sąsiedztwa wierzchołków B. Jednakże na początku algorytmu zwykle następuje inicjalizacja wszystkich elementów macierzy B, przez co złożoność algorytmu jest automatycz­ nie Q (ń ). Podaj sposób uniknięcia tej kosztownej inicjalizacji. (Wskazówka: Dla każdego elementu b użytego p o raz pierwszy przez algorytm umiesz­ czamy na stosie wskaźnik do tego elementu, oraz umieszczamy przy b wskaźnik do w ten sposób nowo utworzonego elementu stosu. Aby spraw­ dzić, czy dany element b był już inicjalizowany wystarczy zbadać, czy wskaźnik przy b prowadzi do wskaźnika na stosie określającego powrót 2

u

u

u

u

do b ) [1]. 2.6 Podaj algorytm o złożoności 0 ( « ) badania czy dany graf zorientowany reprezentowany przez macierz sąsiedztwa wierzchołków zawiera wierz­ chołek, do którego dochodzą krawędzie ze wszystkich pozostałych n - 1 wierzchołków, i od którego nie odchodzi żadna krawędź (algorytm taki pokazuje, że warunek (c) jest istotny w twierdzeniu 2.1). 2.7 Zbadaj technikę różniącą się od przeszukiwania wszerz jedynie tym, że nowo osiągnięte wierzchołki umieszczane są na stosie (algorytm taki opi­ sany jest dokładnie przez procedurę WS, w której KOLEJKA została za­ stąpiona przez STOS) [35]. 2.8 Zbadaj technikę przeszukiwania grafu, w której odwiedzone, lecz jeszcze niewykorzystane wierzchołki gromadzone są w kolejce, i którą dokładniej opisać można w następujący sposób: Badamy ostatni (najpóźniej umiesz­ czony) wierzchołek v kolejki (początkowo jest nim dowolny wierzchołek grafu). Jeśli istnieje nowy wierzchołek ueZA [i>], to umieszczamy go na końcu kolejki i powtarzamy powyższy proces aż do momentu gdy umiesz­ czony w kolejce wierzchołek nie ma nowych sąsiadów (fragment ten przy­ pomina przeszukiwanie w głąb). Następnie badamy pierwszy (najwcześniej umieszczony) wierzchołek kolejki. Jeśli istnieje nowy sąsiad tego wierz­ chołka, to umieszczamy go na końcu kolejki i powtarzamy dla niego opi­ sany powyżej proces typu przeszukiwania w głąb. W przeciwnym przypadku pierwszy wierzchołek kolejki jest wykorzystany i usuwamy go z kolejki, a na­ stępnie rozpatrujemy następny znajdujący się za nim wierzchołek. Cały proces kontynuowany jest aż do momentu, gdy kolejka staje się pusta. Podaj szczegółową implementację tej techniki. tJ

2-9

Udowodnij, że poniższa procedura odwiedza każdy wierzchołek spójnego dokładnie raz. procedurę PRZESZUKIWANIE^); (* początkowo STATUS\v\ — nowy dla każdego r e V *) begin odwiedź r; STATUS[r~\ ••= odwiedzony; while istnieje w V wierzchołek odwiedzony do begin v ••= dowolny wierzchołek odwiedzony; if istnieje nowy u e ZA [ r ] then

grafu

begin u ••= pierwszy nowy wierzchołek listy odwiedź u; STATUS[it] •.= odwiedzony

ZA[y];

end else STATUS[v]

—

wykorzystany

end end Pokaż, że przeszukiwanie w głąb i wszerz j a k również techniki opisane w za­ daniach 2.7 i 2.8 można opisać j a k o szczególne przypadki tej procedury. 2.10 Niech D — jest dwudzielny, jeśli istnieje podział V=AuB, Ar\B = — 0 taki, że każda krawędź e e E jest postaci e = {a, b], ae A, be B. Udowodnij, że graf jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera

2.9/103

•ANIA

02

cykli elementarnych nieparzystej długości. Podaj dwa algorytmy testujące czy dany graf jest dwudzielny w czasie O (m + n) — jeden oparty na prze­ szukiwaniu w głąb, a drugi na przeszukiwaniu wszerz. Podaj algorytm testujący w czasie O (m + ń) acykliczność danego grafu zorientowanego. Graf zorientowany nazywamy silnie spójnym, jeśli dla każdej pary wierz­ chołków u, v istnieje droga z u do v. Przez składową silnie spójną rozumiemy dowolny maksymalny podgraf silnie spójny. Pokaż, że składowe silnie spójne określają podział zbioru wierzchołków na rozłączne niepuste pod­ zbiory. Podaj algorytm znajdowania składowych silnie spójnych w cza­ sie O (m + n). (Wskazówka: Zastosować przeszukiwanie w głąb). [6 Podaj algorytm znajdowania w czasie O (c(m + n)) wszystkich cykli ele­ mentarnych grafu zorientowanego, gdzie c jest liczbą cykli. (Wskazówka: Zastosuj przeszukiwanie w głąb).

•

Podaj warunek konieczny i dostateczny na istnienie cyklu Eulera w grafie zorientowanym (definiujemy go w identyczny sposób j a k dla grafów nie­ zorientowanych). Pokaż, że algorytm 2.13 (po usunięciu wiersza 9) popraw­ nie konstruuje cykl Eulera w przypadku zorientowanym. Cyklem de Bruijna rzędu n nazywamy cykliczny ciąg binarny długości 2", w którym każdy z 2" ciągów binarnych długości n występuje j a k o podciąg n kolejnych wyrazów. Udowodnij istnienie cyklu de Bruijna rzędu n dla każdego n > 1. (Wskazówka: Rozważ graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym długości n — l, krawędź natomiast każda odpowiada ciągowi binarnemu długości n, przy czym krawędź b ... b prowadzi zb ... b„_ dob ... b . Udowodnij istnienie drogi Eulera w takim grafie) [ 8 ] . x

t

1

2

n

n

2.21 Zmodyfikuj podany w punkcie 2.8 schemat algorytmu z powracaniem tak, by wyznaczał on jedno rozwiązanie zamiast wszystkich. 2.22 Udowodnij, poprzez wskazanie odpowiednich grafów, że liczba kroków wykonywanych (w najgorszym przypadku) przez algorytm 2.14 rośnie wy­ kładniczo ze wzrostem n. 2.23 Zastosuj algorytm z powracaniem do rozwiązania następujących problemów: (a) Znalezienie rozmieszczenia 8 wzajemnie nieatakujących się hetmanów na szachownicy. (^b)J)Znalezienie kliki o maksymalnej liczności w grafie niezorientowanym. (Kliką nazywamy dowolny podzbiór wierzchołków, w którym każda para różnych wierzchołków połączona jest krawędzią grafu). (c) Znalezienie pokolorowania wierzchołków grafu minimalną liczbą ko­ lorów tak, by żadna krawędź nie łączyła dwóch wierzchołków tego sa­ mego koloru. (d) Dla danych liczb całkowitych a ...,a,„b znalezienie zbioru indek­ sów {1, . . . , « } takiego, że £cij — b, jeśli taki zbiór / istnieje. u

(e) Stwierdzenie czy dane dwa grafy są izomorficzne.

Znajdowanie najkrótszych dróg w grafie

Pojęcia wstępne W rozdziale tym będziemy rozważać grafy zorientowane G = < V, E} o krawę­ dziach z wagami. Oznacza to, że każdej krawędzi <w, i>> e E jest przyporządkowa­ na pewna liczba rzeczywista a (u, v) zwana wagą tej krawędzi. Przyjmujemy dodatkowo a (u, v) = co, jeśli u •+-> v. Jeśli ciąg wierzchołków v , v ,..., 0

L

v

p

(3.1)

określa drogę w G, to jej długość definiujemy j a k o p

=i (Zauważmy, że przyjmując w dowolnym grafie wagę każdej krawędzi równą jedności otrzymujemy zwykłą definicję długości drogi w sensie liczby krawędzi; podobnie j a k poprzednio przyjmujemy, że długość drogi wynosi 0 dla p = 0). Interesować nas będzie znalezienie najkrótszej drogi między ustalonymi wierz­ chołkami s,teV. Długość takiej najkrótszej drogi będziemy oznaczać przez d (s, t) i będziemy nazywać odległością od s do t (tak określona odległość może być ujemna). Jeśli nie istnieje żadna droga od s do t, to przyjmujemy d (s, t) = co. Zauważmy, że jeśli każdy cykl naszego grafu m a dodatnią długość, to najkrótsza droga jest zawsze drogą elementarną, tzn. w ciągu (3.1) nie ma powtórzeń. Z dru­ giej strony, jeśli istnieje w grafie cykl ujemnej długości, to odległość pomiędzy niektórymi parami wierzchołków jest nieokreślona, gdyż obchodząc ten cykl dostateczną liczbę razy możemy wskazać drogę pomiędzy tymi wierzchołkami o długości mniejszej od dowolnej liczby rzeczywistej. W takim przypadku można by pytać o długość najkrótszej drogi elementarnej, jednak tak postawiony problem jest prawdopodobnie znacznie trudniejszy, gdyż zawiera w sobie między innymi zagadnienie istnienia cyklu Hamiltona (por. zad. 3.1). Można podać wiele interpretacji praktycznych problemu najkrótszych dróg. Wierzchołki mogą na przykład odpowiadać miastom, zaś każda krawędź pewnej drodze, której długość dana jest przez wagę tej krawędzi. Szukamy wtedy naj-

3.1/105

[CIA W S T Ę P N E

tszego połączenia między miastami. Waga krawędzi może też odpowiadać ;owi (lub czasowi) przesłania informacji między wierzchołkami. W takim adku szukamy najtańszej (lub najszybszej) drogi przesłania informacji, ze inną sytuację otrzymujemy, gdy waga krawędzi <w, v) jest równa prawdobieństwu p (u, v) bezawaryjnej pracy kanału przesyłania informacji. Jeśli my, że awarie kanałów są od siebie niezależne, to prawdopodobieństwo iwności drogi przesyłania informacji jest równe iloczynowi prawdopodostw odpowiadających jej krawędziom. Problem znajdowania najbardziej wodnej drogi można łatwo sprowadzić d o zagadnienia najkrótszych dróg, zamianę wag p (u, v) na a (u, v) = -logp(u,

v)

jjjjpjze jedno zastosowanie znajdowania najkrótszych dróg poznamy w punk| W rozdziale tym podawać będziemy algorytmy znajdowania odległości ni|fdzy wierzchołkami, a nie samych dróg. Mając jednak odległość możemy, pfljy założeniu dodatniej długości wszystkich cykli, łatwo wyznaczyć najkrótsze dtpgi. Wystarczy w tym celu zauważyć, że dla dowolnych s, te V(s =ć t) istnieje wierzchołek v taki, że d(s, t) = d(s, v)+a(v,

t)

Istotnie, własność taką ma przedostatni wierzchołek dowolnej najkrótszej dro­ gi z s do r. Z kolei możemy znaleźć wierzchołek u taki, że d (s, v) = d (s, u) + +a (u, v) itd. Z dodatniości długości wszystkich cykli łatwo wynika, że tak utworzony ciąg t, v,u,... nie zawiera powtórzeń i kończy się na wierzchołku s. Oczywiście określa on (po odwróceniu kolejności) najkrótszą drogę z s d o t. Otrzymujemy więc następujący algorytm: ALGORYTM 3.1 (Znajdowanie najkrótszej drogi) Dane:

Odległości D \y\ od ustalonego wierzchołka s do wszystkich pozosta­ łych wierzchołków ve V, ustalony wierzchołek t, macierz wag krawędzi A [u, v\,u,ve V.

Wyniki: STOS zawiera ciąg wierzchołków określający najkrótszą drogę z s do t. 1 2 3 4 5 6

begin STOS := 0 ; STOS <= t; v ••= t; while v i= s do begin u ~ wierzchołek, dla którego D\y\ STOS <= u;

7 8

5

end end

= D[u\+A\u,

v\;

Niech
Zauważmy, że w przypadku dodatnich wag krawędzi problem najkrótszych dróg w grafie niezorientowanym łatwo sprowadzić d o analogicznego problemu dla pewnego grafu zorientowanego. Wystarczy w tym celu każdą krawędź {w, v} zastąpić przez dwie krawędzie <w, i>>, (v, w>, każda o takiej samej wadze j a k {w, v}. Jednakże w przypadku wag niedodatnich prowadzi to do powstania cykli o niedodatniej długości. W rozdziale tym będziemy zawsze zakładać, że G = < V, Ey jest grafem zorientowanym, n = \ V\, m = \E\. Dla uproszczenia i uniknięcia zdegenerowanych przypadków przy szacowaniu złożoności algorytmów przyjmować będzie­ my, że m = Q (ń) (tzn. n = O (/w)). Wyklucza to sytuacje, w których „większość" wierzchołków jest izolowanych. Będziemy również zakładać, że wagi krawędzi są pamiętane w tablicy A [w, v\, u, v e V (A [w, v] zawiera wagę a (u, v)).

Najkrótsze drogi z ustalonego wierzchołka

3

Większość znanych algorytmów znajdowania odległości między dwoma ustalo­ nymi wierzchołkami s, t jest oparta na postępowaniu, które w ogólnym zarysie można przedstawić następująco: Mając daną macierz wag krawędzi A [w, v\, u, v e V obliczamy pewne ograniczenia górne D \y~\ na odległość od s do wszy­ stkich wierzchołków v e V. Za każdym razem, gdy stwierdzamy, że D[u~] + A[u,

»] < D[v~]

(3.2)

oszacowanie D [v\ polepszamy: D [v\ — D [u~] + A [u, v\. Postępowanie przerywamy, gdy nie jest możliwa dalsza poprawa żadnego z ograniczeń D [v\. Można łatwo pokazać, że wartość każdej ze zmiennych D \y~\ jest wtedy równa d (s, v), odległości od s do v. Zauważmy, że aby wyznaczyć odległość od s do t obliczamy tu odległości od s do wszystkich wierzchołków grafu. Nie jest znany żaden algorytm znajdowania odległości między dwoma ustalonymi wierzchołkami, który byłby w istotny sposób efektywniejszy od znanych algorytmów wyznaczania odległości od ustalonego wierzchołka do wszystkich pozostałych. Opisany przez nas ogólny schemat postępowania jest niepełny, gdyż nie określa kolejności w jakiej wybierane są wierzchołki u, v do sprawdzania warun­ ku (3.2). Kolejność ta ma — jak się okaże — bardzo istotny wpływ na efektyw­ ność algorytmu. Opiszemy teraz bardziej szczegółowo metody znajdowania od­ ległości z ustalonego wierzchołka zwanego źródłem — oznaczać go będziemy zawsze przez s — do wszystkich pozostałych wierzchołków grafu.

3.l/107

KRÓTSZE DROGI Z USTALONEGO WIERZCHOŁKA

P o d a m y najpierw algorytm dla ogólnego przypadku, w którym zakładamy ynie b r a k cykli o ujemnej długości. Z algorytmem tym wiąże się zwykle najska L. R. F o r d a [22] i R. E. Bellmana [ 3 ] . jGORYTM 3.2 (Znajdowanie odległości od źródła do wszystkich pozostałych •zchołków — metoda Forda-Bellmana) G r a f zorientowany < V, 2?> o n wierzchołkach z wyróżnionym źród­ łem s e V, macierz wag krawędzi A [u, v\, u, v e V (graf nie zawiera cykli ujemnych długości), miki: Odległości od źródła do wszystkich wierzchołków grafu: D [v~\ = — d (s, v), veV. begin for v e V do D[v] == A[s, v\; D\s] — 0 ; for k := 1 to n-2 do for v e V\{s} do for ue V do D[v~] min(D[v], D[u] + A[u, v]) end (m

wodnimy poprawność tego algorytmu. W tym celu oznaczmy przez d \v) igość najkrótszej spośród dróg z s do v zawierających co najwyżej m krawę(d \v) = co, jeśli nie istnieje żadna taka droga). M a m y wtedy lm

(m+

d

=

m

i

n

r^co^)

+

a

(

W ;

): eV},veV

v

(3.3)

tl

im

+ 1

im)

tnie, dla każdego ue V mamy oczywiście d \v) < d (u) + a (w, v), przy równość występuje, gdy u jest przedostatnim wierzchołkiem dowolnej jjkrótszej drogi z s do v. Pokażemy teraz, że jeśli przy wejściu do kolejnej iteracji pętli 3 im

d (s, v) < D [u] < d \v),

dla wszystkich veV,

(3.4)

t£ p o zakończeniu tej iteracji

F im+1

** d (s, v) < D [u] < d \v), dla wszystkich v e V (3.5) litotnie, zakładając spełnienie warunku (3.4) i analizując działanie instrukcji W wierszu 5 widzimy, że p o zakończeniu naszej iteracji pętli 3 m a m y (m

d (s, v) < Z) [ U ] < min {d \u)

+ a ( U , v):ue

V}

*> po uwzględnieniu równości (3.3) daje warunek (3.5). Zauważmy, że przy wejściu do pętli 3 mamy D [ r ] = d (v), v e V, z a t e m Po wykonaniu n-2 iteracji tej pętli d(s, v) < D [u] < d ~ (v), v e V. Wystar­ czy teraz pokazać, że d "' (v) = d(s,v). Tak jest w istocie, gdyż każda droga ©więcej niż n—l krawędziach zawiera cykl, którego usunięcie nie zwiększa dłu•Dści drogi (założyliśmy bowiem brak cykli ujemnej długości). Dowód popraw­ ności algorytmu jest tym samym zakończony. (l)

in

(

1)

u

3

Oczywiste jest, że złożoność czasowa algorytmu jest O (« ). Obliczenia możemy oczywiście zakończyć, gdy wykonanie pętli 4 nie powoduje zmia­ ny żadnej spośród zmiennych D \y\, veV. Może to nastąpić dla k < n — 2, jednak taka modyfikacja algorytmu nie zmienia w istotny sposób jego złożoności. W przypadku grafów rzadkich (m n ) wygodnie jest reprezentować graf przez listy incydencji PRZED\y~\, v e V. Po zamianie wiersza 5 na 2

for u e PRZED\y]

do D [v] := min(D[v],

D\ii\ + A[u, v~])

otrzymujemy algorytm o złożoności O (mn).

•]

. k

D[3]

D[4]

0

1

oo

oo

0

1

4

4

2

0

1

3

0

1

1

R Y S . 3.1

D[I]

D[2]

4

OO

oo c o

3

o°

co

3

3

g

oo

oo

oo

1

-5

OO

OO

2

OO

OO

OO

OO

OO

4

OO

D[5]

3 -1

3

-1

3

-1

Działanie algorytmu Forda-Bellmana

Działanie algorytmu Forda-Bellmana zilustrowano na rys. 3.1 (V = = { 1 , 5 } , wagi krawędzi są podane w nawiasach, pętle 4 oraz 5 są wykonywane w kolejności wzrastających numerów wierzchołków).

Przypadek meujemnych wag—algorytm Dijkstry W dwóch ważnych przypadkach, a mianowicie gdy wagi wszystkich krawędzi są nieujemne lub graf jest acykliczny, znane są efektywniejsze algorytmy. Opiszemy najpierw algorytm dla pierwszego przypadku pochodzący od Dijkstry [ 1 1 ] . Drugim przypadkiem zajmiemy się w następnym punkcie. ALGORYTM 3.3 (Znajdowanie odległości od źródła do wszystkich pozostałych wierzchołków w grafie o nieujemnych wagach krawędzi — metoda Dane:

Dijkstry)

Graf zorientowany < F , E} o wyróżnionym źródle se V, macierz wag krawędzi A [u, v~], u, v e V (wszystkie wagi są nieujemne)

3/109

kGORYTM DIJKSTRY

ids

lyniki: Odległość o d źródła do wszystkich = d (s, v), v e V. begin for v e V do D[v]

wierzchołków

grafu:

D [y~\ —

A[s, vj; D[s] == 0;

T~ V\W; while T # 0 do begin u == dowolny wierzchołek reT D\f\ for D e T do D[v\ •= min(D[y], end

taki, że = mi«{Z)|>]:/»6r}; D[u]+A[u,v\)

end zrozumieć działanie algorytmu pokażemy, że następujący warunek jest zmiennikiem pętli 4 : dla każdego v e V\T dla każdego v e T

D [i>] = d (s, v), D [v] = długość najkrótszej spośród tych dróg z s d o v, dla których przedostatni wierzchołek należy d o zbioru V\T.

(3.6)

t

tnie, w wierszu 6 znajdujemy wierzchołek u e T taki, że wartość D [u] jest imalną (spośród wszystkich) wartością D [ ? ] , dla teT. Pokażemy, że D [w] = [s, ii). T a k jest w istocie, gdyż jeśli najkrótsza droga z s d o u ma długość iBtiiejszą od D [w], to na mocy drugiej części warunku (3.6) jej przedostatni

R Y S . 3.2

Uzasadnienie Dijkstry

algorytmu

Wierzchołek należy d o zbioru T. Niech t będzie pierwszym wierzchołkiem drogi ^leżącym do zbioru T. Odcinek początkowy z s do t naszej drogi stanowi naj­ gorszą drogę z s do t, przy czym jej przedostatni wierzchołek nie należy do bioru T. Wobec drugiej części warunku (3.6) mamy D [/] = d (s, t). korzystając z założenia o nieujemności wag otrzymujemy

2

D [>] = d(s, t) < d{s, u) <

D[H]

^°rew zasadzie, zgodnie z którą został wybrany wierzchołek u.

T a k więc D [w] = d (s, u) i możemy, w wierszu 7, usunąć u ze zbioru T bez naruszenia pierwszej części warunku (3.6). Aby zapewnić spełnienie również drugiej części tego warunku, należy jeszcze sprawdzić drogi z s do veT, których przedostatnim wierzchołkiem jest u, i dokonać odpowiedniej aktualizacji zmien­ nych D [v], v e T. Tego właśnie dokonuje pętla 8. Warunek (3.6) jest oczywiście spełniony przy wejściu do pętli 4. Po zakoń­ czeniu działania algorytmu mamy T = 0 , a więc zgodnie z warunkiem (3.6), D [ 0 ] = d (s, v), v e V. Przechodzimy teraz do oszacowania złożoności algorytmu Dijkstry. Pętla 4 jest wykonywana n — 1 razy, przy czym każde jej wykonanie wymaga O (n) kro­ k ó w : O («) kroków dla znalezienia wierzchołka u w wierszu 6 (zakładamy że zbiór 7" jest reprezentowany j a k o lista) oraz O (n) kroków dla wykonania pętli 8. Złożoność algorytmu jest więc O ( n ) . 2

Przez staranniejszy dobór struktur danych można otrzymać wersję o zło­ żoności O (m log n). Należy w tym celu zbiór T reprezentować przez drzewo bi­ narne o wysokości O (log n) i tej własności że dla dowolnych jego wierzchoł­ ków u, v jeśli u jest synem v, to D [w] < D [ 0 ]

(3.7)

(podobną strukturę danych stosuje się w algorytmie sortowania Heapsort, por. poz. [21], [ l ] ) . Wierzchołek u, dla którego wartość D [w] jest minimalna, jest wtedy korzeniem drzewa. Korzeń ten możemy usunąć w O (log ri) krokach za­ chowując własność zmniejszania się wartości D [7] na każdej drodze d o k o ­ rzenia. Wystarczy przesunąć n a miejsce korzenia jego syna s o większej (lub równej) wartości D [ 7 ] , następnie na powstałe miejsce p o s przesunąć syna o więk­ szej wartości D\_j~\ itd. Jeśli graf reprezentować przez listy ZA[u], ueV, to wiersz 8 możemy zamienić na for v e ZA[u] do if D[u]+A[u,v\ < D[v\ then begin D\v\ -.= D\u\+A\u,v\; przesuń wierzchołek v drzewie w kierunku korzenia tak, by zachować warunek (3.7) end Jeśli założymy istnienie tablicy wskaźników do wierzchołków naszego drzewa, to przesunięcie wierzchołka v, o którym mowa w tym fragmencie może być d o ­ konane w 0 ( l o g « ) krokach. Wystarczy zamienić kolejno v z wierzchołkami znajdującymi się bezpośrednio nad nim. Przy takim zmodyfikowanym algorytmie każda krawędź grafu jest analizo­ wana dokładnie raz, przy czym związane jest z tym O (log n) kroków na prze­ sunięcie odpowiedniego wierzchołka w drzewie reprezentującym zbiór T. Daje

DRYTM DIJKSTRY

3.3/111

| w sumie O (m log «)-kroków. D o tego dochodzi O (w log n) kroków potrzebph dla zbudowania naszego drzewa i dla usunięcia z niego n — 1 razy korzenia. Icowita złożoność algorytmu O (m log «) (por. zad. 3.6). Nie wiadomo, czy istnieje algorytm, o złożoności O (m) znajdowania od­ od ustalonego wierzchołka d o wszystkich pozostałych wierzchołków o nieujemnych wagach wszystkich krawędzi. Można pokazać, że istnieje C taka, że zagadnienie to może dla dowolnego k > 0 być rozwiązane w czaiCk(m+n ' ) (por. poz. [37]).

ysei

1

+ 1 k

D[1]

. 3.3

0[2]

D[3]

©

0

0

e

0

1

®

0

1

0

1

© A

3

0

1

4

3

3

D[5]

D[ć]

© ©

© ®

© © © © © 5

Działanie algorytmu Dijkstry

Działanie algorytmu Dijkstry zilustrowano na rys. 3.3 (V = {1, 6}, wagi pyędzi są podane w nawiasach, wartości D [ y ] , veT są oznaczone kółkami, iimalna z nich kółkiem podwójnym).

rogi w grafie acyklicznym

3.4

imiemy się teraz drugim przypadkiem, w którym jest znany algorytm znajdoa odległości od ustalonego wierzchołka w czasie O (n ) — a mianowicie padkiem, gdy graf jest acykliczny (wagi krawędzi mogą być dowolne). U d o Bnimy najpierw następujący lemat: 2

1|MAT 3.4

W dowolnym grafie acyklicznym możemy tak ponumerować wierzchołki, by Nżda krawędź była postaci , gdzie i < j . • i Przykład takiej numeracji pokazano na rys. 3.4. ; Dla dowodu pokażemy algorytm, który taką numerację konstruuje. f

ALGORYTM 3.5 (Numerowanie wierzchołków grafu acyklicznego) ne:

Graf zorientowany acykliczny określony przez listy incyden­ cji ZA [ y ] , v e V.

Wyniki: Dla każdego wierzchołka v e V numer NR [ f ] taki, że dla dowolnej krawędzi <w, v} e E zachodzi NR [w] < NR [?>].

1

begin

2 3 4

for v e V do LIDO\v\ — 0; for u e V do for u e ZA[u] do Z/Z>0|>] — LIDO[v] +1; (* LIDO[v] = liczba krawędzi dochodzących d o v *) STOS — 0 ; for r e V do if LIDO[v] = 0 then S T O S <= v; nwm := 0 ; while S T O S # 0 do begin u <= STOS; nwm := num+1; NR[ti] : = HM/K; for veZA[u] do begin LIDO[v] — ZJZ>0|>] - 1 ; if LIDO[v] = 0 then STOS <= v

5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17

end end end

Algorytm jest oparty na następującym prostym fakcie: W dowolnym (niepustym) grafie acyklicznym istnieje wierzchołek, d o którego nie dochodzi żadna krawędź. Aby się o tym przekonać wybierzmy dowolny wierzchołek grafu, następnie pewien wierzchołek w taki, że w -> w następnie wierzchołek w taki, że w -* -> w itd. Po skończonej liczbie kroków musimy w ten sposób dojść do pewnego wierzchołka w , d o którego nie dochodzi żadna krawędź, j a k o że na mocy acykliczności żaden wierzchołek nie może się powtarzać w ciągu w ,w ,w , ... . 2

2

1 ;

3

3

2

t

1

2

3

W naszym algorytmie wierzchołki, do których nie dochodzi żadna krawędź, są gromadzone na stosie. Wybierany jest, w wierszu 10, szczytowy element u stosu (mógłby t o być dowolny spośród elementów znajdujących się na stosie) i wierzchołkowi temu nadawany jest najmniejszy spośród niewykorzystanych jeszcze numerów. W ten sposób gwarantujemy, że wszystkie krawędzie odcho­ dzące od tego wierzchołka będą prowadziły do wierzchołków o większych nu­ merach. Następnie wierzchołek u, wraz z odchodzącymi od niego krawędziami jest usuwany z grafu. Powoduje to zmniejszenie się o jeden liczby krawędzi d o ­ chodzących do każdego wierzchołka v takiego, że u -* v — liczba t a pamiętana jest w LIDO [w]. Jeśli dla któregoś z wierzchołków v liczba t a zostaje zreduko­ wana d o zera, to v jest kładziony na stos. N a mocy acykliczności grafu i naszych poprzednich uwag całkowite opróżnienie stosu, powodujące zakończenie wy­ konywania algorytmu (por. pętla 9) następuje nie wcześniej niż p o nadaniu nu­ merów wszystkim wierzchołkom grafu. Łatwo zauważyć, że każda krawędź jest analizowana przez algorytm raz w wierszu 4 i raz w wierszu 12. Złożoność algorytmu jest więc O (tri) (przypom-

>GI W GRAFIE ACYKLICZNYM

ay, że w mocy pozostaje założenie m = Q («) — w przeciwnym razie naleb y napisać O (m + n)).

0

Wobec algorytmu 3.5 przy opisie algorytmu znajdowania dróg w grafie ^klicznym możemy zakładać, że każda krawędź prowadzi od wierzchołka nniejszym numerze do wierzchołka o większym numerze. 3RYTM 3.6 (Znajdowanie odległości od źródła do wszystkich wierzchołków fgrafie acyklicznym) ae:

Graf zorientowany
u

v ) i dla dowolnej kra­ n

wędzi (v , Vj} e E mamy i < /. Graf ten określony jest przez listy in­ t

cydencji PRZED

[v~], ve V.

niki: Odległości od v do wszystkich wierzchołków grafu: D [ p , ] = d (v 1

i = 1,

u

v ), t

n.

begin 2>|>i] == o , for j ••= 2 to n do D\vj\ -.= O O ; for j ••— 2 to n do for v, £ PRZED^j] do D[vj] end

min(D[vj~\,

D\vĄ+A\v Vj~\) h

i d n o pokazać, przez indukcję względem j , że p o wykonaniu pętli 4 dla pewwartości j m a m y D [yj] = d(v , Vj), i = 1,2, Wystarczy skorzystać tu, iż wszystkie wierzchołki pośrednie najkrótszej drogi z v do Vj mają nery mniejsze od j . Złożoność algorytmu jest oczywiście O (w), gdyż każda krawędź ,-, Vj~) St analizowana w wierszu 5 dokładnie raz. t

±

Algorytmy 3.5 i 3.6 mogą mieć zastosowanie przy metodzie planowania Przedsięwzięć zwanej PERT (Project Evaluation and Reyiew Techniąue) lub CPM (Critical P a t h Method). Metoda ta polega na skonstruowaniu grafu (tzw. siePERT lub sieci CPM), którego krawędzie odpowiadają pewnym elementarnym * daniom, z których składa się przedsięwzięcie, a ich wagi wskazują na czas Potrzebny n a wykonanie poszczególnych zadań. Zakładamy p o n a d t o , że dla dowolnych krawędzi <w, v}, , t > tego grafu, zadanie reprezentowane przez <M, u> ""usi być zakończone przed rozpoczęciem zadania reprezentowanego przez a

' Komblnatoryka

. Łatwo zauważyć, że taki graf musi być acykliczny. Naszym zadaniem jest znalezienie najdłuższej drogi z wierzchołka s odpowiadającego rozpoczęciu przedsięwzięcia do wierzchołka t odpowiadającego jego zakończeniu (por. rys. 3.4). Drogę taką nazywamy ścieżką krytyczną. Jej długość określa czas potrze­ bny na wykonanie całego przedsięwzięcia. Oczywiście zagadnienie to sprowadza się d o problemu najkrótszej drogi przez zamianę znaku każdej wagi a (w, t>), gdzie u -> v.

Najkrótsze drogi między wszystkimi parami wierzchołków, domknięcie przechodnie relacji Zagadnienie wyznaczania odległości między wszystkimi parami wierzchołków można oczywiście rozwiązać stosując n razy — kolejno dla każdego z wierzchoł­ ków — jedną z opisanych poprzednio metod znajdowania odległości od ustalo­ nego wierzchołka. Otrzymujemy w ten sposób algorytm o złożoności O (« ) (przy wykorzystaniu metody Forda-Bellmana) lub też O (n ) dla grafów acyklicz­ nych lub nieujemnych wag. Okazuje się jednak, że w ogólnym przypadku 72-krotne zastosowanie metody Forda-Bellmana nie jest najlepszą metodą. Pokażemy teraz dwie efektywniejsze metody. 4

3

Rozpatrzmy w tym celu graf zorientowany G = (V,E}, gdzie V — = {v v } i załóżmy, że A = [a J] jest macierzą wag (a = a(v Vj)). Ozna­ czając przez dff długość najkrótszej drogi z v do Vj o co najwyżej m krawędziach otrzymujemy następujące oczywiste równania (por. (3.3)): u

n

(

u

it

t

_

JO

JEŚLI

i

=j

(00

JEŚLI

i #

(3.8) j

+ 1)

in {d^

+a : kJ

1 < fe < '"}

(3-9)

Zauważmy, że równanie (3.9) wykazuje pewne podobieństwo d o definicji ilo­ czynu dwóch macierzy kwadratowych — jeśli operację min traktować j a k o „ s u m ę " , operację „ + " zaś j a k o „iloczyn", to macierz jest „iloczynem" macierzy i A — Oznaczmy taki „iloczyn" dwóch macierzy A i B t przez A*B, oraz zauważmy, że elementem jednostkowym przy tej operacji jest macierz

\a J\.

[d^f]

U

co ...

0

00

00

0

00 . . . 00

co

00

0

00

00

00 ... 0

00

... 00

[równań (3.8) i (3.9) wynika teraz łatwo, że [ d ? ^ ] = U oraz dfi* =* ((...«A*A)*A)

...)*A)

(m>\)

(3.10)

m razy

DŻe zajść jeden z dwu następujących przypadków: (1)

= dlfi w konsekwencji dff oczywiście d\"~ = d(v , Vj);

=

dla każdego w > «. Wtedy

n

t

(2)

#

Oznacza to, iż istnieje cykl ujemnej długości. 3

czyn A*B dwóch macierzy wymiaru n x n możemy wyznaczyć w czasie O (n ) [.dodawań i n — 1 porównań na każdy spośród « elementów iloczynu A*B). |cierz [ ^ , ' " ] , a tym samym odległości między wszystkimi parami wierzchołmożemy zatem obliczyć w czasie O ( « ) . 2

_1)

4

Złożoność takiego algorytmu jest na razie taka sama, j a k w przypadku rotnego użycia algorytmu Forda-Bellmana. Możemy ją jednak obniżyć, jeśli yażymy, że działanie * jest łączne (tzn. (A*B)*C = A*(B*C), por. zad. 3.8). ten pozwala na obliczenie iloczynu (3.10) poprzez kolejne podnoszenie ma' A do kwadratu i tym samym zastąpienie n — l mnożeń macierzy przez [log n\ łożeń. Otrzymujemy w ten sposób algorytm o złożoności O ( « log «) znajduodległości między wszystkimi parami wierzchołków w grafie bez cykli ujemdługości. 3

Jeszcze bardziej efektywny algorytm pochodzi od Warshalla [70] i Floy[20]. Idea tego algorytmu jest następująca: Oznaczmy przez dffl długości rótszej spośród dróg z v do v o wierzchołkach pośrednich w zbiorze t

s

famy wtedy następujące r ó w n a n i a : {

*

du = a (

£

(3.11)

u

+ x )

dJ

= mind\f,

+ €+2j

dla IM = 0,1,

1

(3.12)

Uzasadnienie drugiego równania jest proste. Rozważmy najkrótszą spośród
m

m + 1

+

m + 1

<

t

m + i

m+1

+ 1 >

j

Vj

ALGORYTM 3.7 (Wyznaczanie odległości między wszystkimi parami wierzchoł­ ków — metoda Floyda) ^ane:

Macierz wag krawędzi A

1 «C Uj ^ n grafu zorientowanego bez

cykli o ujemnej długości. Wyniki: Odległości między wszystkimi parami wierzchołków: D

= d(v

h

Vjy.

1 2 3 4

5 6

7 8 9

begin for i := 1 to n do for for ft j 1 to n do D\j,j~\ A\_i,j~]; for / ••= 1 to n do D[i, i~\ — 0; for m ••= 1 to n do f< for / := 1 to n do for y := 1 to « do Z>[i,y] := /«/«(£>[/,y], / ) [ / , w ] + £>[m, y])

end

Uzasadnienie poprawności algorytmu pozostawiamy Czytelnikowi. Złożoność tego algorytmu jest oczywiście O ( « ) . W a r t o zauważyć, że taką samą złożoność miał algorytm Forda-Bellmana znajdowania odległości od usta­ lonego wierzchołka do wszystkich pozostałych. Ciekawe, że w ogólnym przypad­ ku (tzn. bez założenia o nieujemności wag lub o acykliczności grafu) nie jest znany żaden algorytm znajdowania odległości między jedną ustaloną parą wierz­ chołków, który byłby istotnie efektywniejszy od algorytmu znajdowania Odle­ głości między wszystkimi parami. Ściśle związane z problemem obliczania najkrótszych dróg w grafie jest za­ gadnienie domknięcia przechodniego relacji binarnej. Przypomnijmy, że przez relację binarną na zbiorze V rozumiemy dowolny podzbiór E c V x V. Relacja taka jest przechodnia jeśli spełnia warunek 3

jeśli <x, y} e E i

z> e E, to (x, z> e E

dla dowolnych x,y,ze E. Zauważmy, że relację binarną E £ V x V można re­ prezentować jednoznacznie przez graf zorientowany G =
O , , Vj) e E * o D [«,y] < oo W przypadku obliczania domknięcia przechodniego wygodnie jest przyjąć (3.13) Wiersz 7 algorytmu 3.7 możemy wówczas zmienić na D [/,y] : = D [ i , y ] v (D [ i , m] A D

[m,j])

(AJKRÓTSZE DROGI MIĘDZY PARAMI WIERZCHOŁKÓW

są z w y k ł y m i działaniami b o o l o w s k i m i :

zie v V

0 1

3.5/117

0 0 1

0 1 o| 0 0 1 0 1

1 1 1

A

1 wykonaniu tak zmodyfikowanego algorytmu (pochodzi on od Warshalla [70]) amy oczywiście

DUJ]

1

jeśli e E*

0

jeśli

(

{v Vj} h

$E*

Starto tu zaznaczyć, że jest znany algorytm znajdowania domknięcia przechodego efektywniejszy od algorytmu Warshalla (por. [53]). Wykorzystuje on wiązek tego problemu z mnożeniem macierzy omówiony na początku tego unktu, który dla macierzy A określonej przez (3.13) prowadzi do zwykłego aożenia macierzy boolowskich zgodnie ze wzorem

V

k=

(a A ik

1

Icazuje się (por. poz. [64]), że takiego mnożenia można d o k o n a ć w czasie |(w'° )*, co daje algorytm znajdowania domknięcia przechodniego o złożoŚści O ( « log/z). Algorytm taki m a znaczenie raczej teoretyczne, gdyż metomnożenia macierzy w czasie O ( n ' ° ) jest dość skomplikowana, i w konseyencji ujawnia swą wyższość nad zwykłą „szkolną" metodą dopiero przy bardużych wartościach n. W praktyce najefektywniejszy okazuje się zwykle 97

l 0 9 7

97

Wpowiednio zaprogramowany algorytm Warshalla (por. poz. [65] oraz zad. 3.9).

\ Innym sposobem znajdowania domknięcia przechodniego relacji E jest Wstosowanie przeszukiwania w głąb (lub wszerz) grafu . Sposób ten jest Szczególnie korzystny, gdy relacja E jest symetryczna — domknięcie przechodnie jest wtedy oczywiście wyznaczone przez podział na składowe spójne, w grafie niezorientowanym wyznaczonym przez E, i może być otrzymane w czasie O (m + n). Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi (por. zad. 3.12).

Zadania 3.1

Niech G = {V, E} będzie dowolnym grafem zorientowanym. Ustalmy pe­ wien wierzchołek s e V, dodajmy nowy wierzchołek t, zamieńmy każdą kra­ wędź
* W y k ł a d n i k log 7 m o ż e być jeszcze trochę zmniejszony (patrz p o z . [55]).

3.6

3.2

3.3

Zmodyfikuj algorytm 3.1 tak, by wyznaczał on (a) najkrótszą drogę elementarną z s d o t; (b) wszystkie najkrótsze drogi elementarne z s do t, przy założeniu, iż graf nie zawiera cykli o długości ujemnej (może zawierać cykle zerowej długości). Przeprowadź analizę zaproponowanych algorytmów. Zmodyfikuj algorytmy 3.2, 3.3 i 3.6 w taki sposób, by wyznaczały one naj­ krótsze drogi z s do wszystkich pozostałych wierzchołków, bez wykorzystania algorytmu 3.1. Wskazówka: Należy dla każdego wierzchołka veVpamiętać i uaktualniać w czasie działania algorytmu wierzchołek PRE[v] taki, że D [>] = D {PRE [y]]+A

3.4

Czy można warunki (3.4) i (3.5) zastąpić równościami im

D [v] = d \v), 3.5

[PRE [v], v~]

D [v] = d

( m + 1>

0>)?

Udowodnij, że w grafie bez cykli o niedodatniej długości, równania d (s, s) =

0

d (s, v) = min {d (s, u) + a (w, v):ue

3.6 3.7 3.8

V\{v}}

wyznaczają jednoznacznie odległości d (s, v), v e V. Pokaż przykład grafu o cyklu długości 0 , dla którego ten układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. Uzupełnij szczegóły opisu i analizy wersji algorytmu Dijkstry o złożo­ ności O (m log ri). Wyznacz najkrótszą drogę z 5 do t dla grafu z rys. 3.4. Udowodnij, że działanie * określone na macierzach kwadratowych A = = [ a ] , B = [bij] wymiaru n x n wzorem A * B = [ c ] , gdzie c = = min {a + b : 1 < k < «} jest łączne. Udowodnij, że następująca modyfikacja algorytmu Warshalla wyznacza domknięcie przechodnie relacji [ 6 5 ] : f J

0

ik

3.9

1 2 3

4 5 6

u

kJ

begin (* relacja E określona przez macierz A, por. (3.13) *) for m ••= 1 to n do for z — 1 to n do

if A[i, ni] = 1 then for j ••= 1 to n do ^ [ ' , . / ] == ^[*>./] v A[m, /] end (* ^ [ / , y ] = 1 o <*•',-, ('.;> e E* *)

Załóżmy, że wiersz macierzy A mieści się w słowie maszynowym, i że pętlę 5 traktujemy j a k o jedną operację elementarną (dodanie logiczne w-tego wier­ sza do /-tego). Jaka jest wtedy złożoność algorytmu? 3.10 Zmodyfikuj algorytm Floyda tak, by oprócz odległości D \j,j] wyznaczał macierz M \j,j], gdzie M [i,j] jest maksymalnym numerem wierzchołka

D A N I A

^ Ł

3.6/119

pewnej najkrótszej drogi z v do Vj (M [/,/] = 0, jeśli ta droga nie zawiera wierzchołków pośrednich). Udowodnij, że procedura rekurencyjna t

l

procedurę PISZDROGE(i,j); begin if M [ / , y ] = 0 then if i = j then write(i) else write(i,j) else begin PISZDROGE{i, M[i,j]); PISZDROGE(M[i,j],j) end end

wypisuje najkrótszą drogę z v do Vj w czasie O («). Podaj wersję niereku­ rencyjną tej procedury. 1 Przez przepustowość drogi rozumiemy minimalną wagę krawędzi tej drogi. Podaj algorytm wyznaczający maksymalne przepustowości dróg między: (a) ustaloną parą wierzchołków; (b) wszystkimi parami wierzchołków. 2 N a podstawie techniki przeszukiwania w głąb podaj algorytm znajdujący domknięcie przechodnie dowolnej relacji E £ V x V w czasie 0(n +nm) oraz algorytm o złożoności O (n ) dla relacji symetrycznych. t

2

2

Przepływy w sieciach i zagadnienia pokrewne

Maksymalny przepływ w sieci Przez sieć rozumieć będziemy parę S grafem zorientowanym, a c: E R przyporządkowuje nieujemną liczbę tej krawędzi. Zbiory V, E nazywamy rem krawędzi sieci S. Dla dowolnej funkcji

= <(7, c), gdzie G = (V, E) jest dowolnym jest funkcją, która każdej krawędzi (u, v} rzeczywistą c (u, v) zwaną przepustowością odpowiednio zbiorem wierzchołków i zbio­

(4.1)

f:E-*R i dowolnego wierzchołka v sieci S rozważmy wielkość

J e ś l i / ( w , u) interpretujemy j a k o przepływ z w do v, to wielkość Div (y) określa „ilość przepływu n e t t o " wypływającego z wierzchołka v. Wielkość ta może być dodatnia (jeśli z wierzchołka v więcej wypływa niż do niego wpływa), ujemna (jeśli więcej do wierzchołka wpływa niż z niego wypływa, tzn. następuje „akumu­ lacja" przpływu w wierzchołku v) lub równa zeru. Ten ostatni przypadek będzie nas najbardziej interesować. Wyróżnijmy w naszej sieci dwa wierzchołki, źródło s i ujście t (s T£ t). Przez przepływ z s do t w sieci S będziemy rozumieć dowolną funkcję postaci (4.1) spełniającą warunki f

0 < / ( H , V) < c (u, v)

dla każdego <», i;> £ E

(4.2)

oraz Div (v)

= 0

f

dla każdego i; e K \ { s , t)

Wielkość W(f)

=

Diojis)

nazywamy wartością przepływu

f.

(4.3)

KSYMALN Y PRZEPŁYW W SIECI

Zgodnie z poprzednio opisanymi intuicjami mamy tu do czynienia z przeływem, który nie powstaje ani nie jest akumulowany w żadnym z wierzchołków ńżnym od s, t, oraz spełnia warunek mówiący, iż przez krawędź (u, v~) możemy rzesłać co najwyżej c (u, v) jednostek przepływu. Przepływ taki może opisywać ichowanie się gazu lub cieczy w rurociągu, strumieni samochodów w sieci jtostrad, przesyłanie towarów drogą kolejową (bez magazynowania ich na acjach pośrednich), przesyłanie informacji w sieci informacyjnej itp. < Interesować nas będzie głównie znalezienie maksymalnego przepływu za. przepływu o maksymalnej wartości) w danej sieci. Udowodnimy najpierw arę prostych i intuicyjnie oczywistych faktów. Przez przekrój P (A) sieci 5" odowiadający podzbiorowi A £ V {A ^ 0 , A ^ V) rozumiemy zbiór krawęp <«, i>> e E takich, że u e A i v e V\A, tzn. :

P(A)

= E n

(Ax(V\A))

la dowolnego przepływu / w sieci 5", przepływ przez przekrój P (A) definiujemy naturalny sposób: f(A,

V\A)

Zm

=

•

eeP(A)

EMAT

4.1

śli s e A, te V\A, W(f)

= f(A,

to dla dowolnego przepływu / z s do / V\A)-f(V\A,

A)

(4.4)

OWÓD

gumujmy równania Div (v) = 0 (por. ( 4 . 3 ) ) dla wszystkich v e A. Suma ta i a d a się z pewnej liczby składników / ( « , v), opatrzonych znakiem plus lub inus, gdzie co najmniej jeden z wierzchołków u, v należy do zbioru A. Jeśli oba ierzchołki należą d o A, to f(u, v) występuje ze znakiem plus w Div (u) i ze znaiem minus w Div (v) (i nie występuje w wyrażeniu Div (r) dla żadnego r różego od u i v), co w sumie daje 0 . Każdy ze składników / ( « , v), u e A, ve V\A ffystępuje dokładnie raz — ze znakiem plus — w Div (u), co daje w sumie f{A, V\A). Podobnie składniki / ( « , v), ue V\A, veA odpowiedzialne są za fkładnik — / (V\A, A) w ( 4 . 4 ) . Z drugiej strony nasza suma jest równa Div (s) = W(/)J J ko Div (v) = 0 dla każdego v e • Przyjmując A = V\{t}, z lematu 4 . 1 otrzymujemy w szczególności Div (s) = W(f) = f(V\{t}, {/})-/({*}, V\{t}) = f

I

f

f

f

f

f

TE

a

z e

f

f

= -(/({'}> V\{t})-f{V\{t}, {t})) = -Div (t) Co wyraża intuicyjny fakt, iż d o ujścia wpływa dokładnie tyle przepływu, ile Wypływa ze źródła. Ogólnie, lemat 4.1 mówi, że globalną ilość przepływu możemy mierzyć w dowolnym przekroju oddzielającym s od t. Zdefiniujmy przepustowość przekroju P (A) następująco: f

c (A, V\A)

=

2

eeP(A)

c(e)

Przez minimalny przekrój między s i / będziemy rozumieć dowolny przekrój P (A), seA, te V\A o minimalnej przepustowości. Jednym z podstawowych faktów teorii przepływu w sieciach jest klasyczne twierdzenie o maksymalnym przepływie i minimalnym przekroju. TWIERDZENIE 4.2 (Ford i Fulkerson[23]). Wartość każdego przepływu z s d o / nie przekracza przepustowości minimalnego przekroju między s i /, przy czym istnieje przepływ osiągający tę wartość. DOWÓD

Niech P (A) będzie minimalnym przekrojem. N a mocy lematu 4.1 dla dowolnego przepływu / m a m y W(f)

= f(A,

V\A)-f(V\A,

=Z

W

ecP(.A)

Z

<

A) < f(A, c

e

(> =

c

A

(>

F

V\A)

=

V0

(4.5)

e£PU)

Istnienie przepływu, dla którego powyższa nierówność przechodzi w równość (przepływ taki jest oczywiście maksymalny) jest faktem nieco głębszym. Otrzy­ mamy go j a k o wniosek z analizy algorytmu przedstawionego w następnym punkcie. • Wszystkie znane algorytmy znajdowania maksymalnego przepływu polegają na kolejnym zwiększaniu przepływu, przy czym modyfikacja przepływu zwiększa­ jąca jego wartość opiera się najczęściej na tzw. technice ścieżek rozszerzających. Powiemy, że krawędź e sieci 5 jest użyteczna z u do v względem przepływu / , jeśli e = i f(e) i / ( e ) > 0 (4.7) W zależności od tego, czy spełniony jest pierwszy czy drugi z powyższych warun­ ków, mówimy odpowiednio o zgodnej lub przeciwnej krawędzi użytecznej z w do v. Ścieżką rozszerzającą (d/ugości l) dla danego przepływu / z s do t nazywamy dowolny naprzemienny ciąg (parami różnych) wierzchołków i krawędzi v, e 0

taki, że v

l 5

0

v, e, v L

2

2

, e „

v,

(4.8)

= s, v = t oraz dla każdego / < / krawędź e, jest użyteczna z t

do v względem przepływu / . Znajomość ścieżki rozszerzającej postaci (4,8) pozwala na łatwe zwiększenie wartości przepływu / o wielkość 3 = min {A (e,): 1 < i < /} t

gdzie | c ( e ) - / (e ) f

^ ^

e

l /( i)

f

jeśli krawędź e jest zgodna t

e

J śli krawędź e jest przeciwna t

Wystarczy w tym celu zwiększyć o 5 przepływ w każdej zgodnej krawędzi e : t

f'(e ) t

=/(*,)+ 5

4.l/123

MAKSYMALNY P R Z E P Ł Y W W SIECI

a z zmniejszyć przepływ o 8 w każdej przeciwnej krawędzi e,: •

f'(e )=f(e )-5 i

i

Je określona funkcja / ' (przyjmijmy f'(e) = /(e) dla krawędzi e nie należących t ścieżki (4.8)) jest przepływem. Istotnie, modyfikacja wartości Biv (vi), 1 < i < / — 1 polega na zwiększeniu jej o wartość 5 związaną ze zmianą przepłyiw e oraz zmniejszeniu o wartość 5 związaną ze zmianą przepływu w e , lt tak niezależnie od typu krawędzi e e . W sumie te zmiany kompensują i w rezultacie DiVf(v ) = Div (vi) = 0 (1 < i < / — 1). Spełniony jest również irunek 0 < / ' ( e ) < c ( e ) dla każdej krawędzi e. Wartość przepływu zwiększa j natomiast o 5: f

i + 1

it

t

W(f)

i + 1

f

= Div >(s) = DivAs) + 8 = W (f) + 8 f

oces zwiększania przepływu wzdłuż ścieżki rozszerzającej pokazano na rys. 4.1. zy każdej krawędzi e p o d a n o przepływ w tej krawędzi / ( e ) oraz — w nawiasie — zepustowość c(e). Nasza ścieżka rozszerzająca ma postać «

Vi,

<»i» »3>,

v , (v ,y y, 3

2

3

v, 2

<« , 5

v >, v , <j} , v }, v , 2

s

5

6

6

, 7

v }, v , 6

7

daje zwiększenie przepływu o 5 = A (v , v ) = 1, z 10 d o 11. s

6

6(6)

v,

^Vs.

4.1

iecio:

Z w i ę k s z a n i e p r z e p ł y w u wzdłuż ścieżki n a p r z e m i e n n e j :

t a ) przed modyfikacją {b) p o

modyfikacji

, 7

v y, 8

v

8

TWIERDZENIE

4.3

Następujące trzy warunki są równoważne: (a) Przepływ z s do t jest maksymalny. (b) Nie istnieje ścieżka rozszerzająca dla / . (c) W(J)

= c(A,

V\A)

dla pewnego A £ V takiego, że seA,

t$A.

DOWÓD

(a)=> (b) Jeśli przepływ jest maksymalny, to oczywiście nie istnieje dla niego ścieżka rozszerzająca, j a k o że istnienie takiej ścieżki umożliwiałoby zwiększenie przepływu. (b) => (c) Przypuśćmy, że dla pewnego przepływu / nie istnieje ścieżka roz­ szerzająca. Określmy zbiór A £ V j a k o zbiór tych wierzchołków v, dla których istnieje ścieżka v, e 0

u

v

e, v,

u

2

v_

2

k

u

e, v k

k

taka, że k > 0, v ~ s, v = v, oraz e jest krawędzią użyteczną z v _ do v , 1 < i < k. Oczywiście se A, natomiast t 4 A, gdyż oznaczałoby to istnienie ścież­ ki rozszerzającej dla / . Rozważmy przekrój P (A). Dla każdej krawędzi e e P (A) musi być f(e) = c(e), zgodnie z definicją zbioru A (por. warunek (4.6)), tak więc f(A, V\A) = c (A, V\A). Korzystając znów z definicji zbioru A, otrzymu­ jemy w podobny s p o s ó b / ( K \ ^ , A) = 0 (por. warunek (4.7)). N a mocy lematu 4.1 wnioskujemy stąd, że 0

W (/) = f(A,

k

V\A)-f(V\A,

t

A) = c (A,

i

1

t

V\A)

(c) => (a) wynika z udowodnionego już faktu, iż wartość dowolnego prze­ pływu nie przekracza c (A, V\.A), por. (4.5). • Nietrudno sprawdzić, że przepływ z rysunku 4. Ib jest maksymalny. Przekrój „nasycony" P (A) występujący w dowodzie twierdzenia 4.3 jest wyznaczony przez A = {v v , v , v }. u

2

3

5

D o wywnioskowania twierdzenia o maksymalnym przepływie i minimalnym przekroju z twierdzenia 4.3 brakuje nam jeszcze pewnego, dość subtelnego szczegółu. (Zachęcamy Czytelnika do zastanowienia się jakiego, przed przystą­ pieniem do dalszego czytania). Otóż brakującym faktem jest po prostu istnienie przepływu maksymalnego w dowolnej sieci. Innymi słowy należy pokazać, że nie jest możliwa sytuacja, w której na przykład istnieje dla każdego e > 0 prze­ pływ o wartości przekraczającej 7 — s, lecz nie istnieje przepływ o wartości rów­ nej 7 (warto zauważyć, że podobny problem dla minimalnego przekroju nie istnieje — liczba różnych przekrojów, w odróżnieniu od liczby różnych przepły­ wów, jest skończona). Ten prosty fakt — będący w gruncie rzeczy wnioskiem z nieostrości nierówności w warunku (4.2) — można udowodnić na wiele spo­ sobów. My udowodnimy go w następnym punkcie przez rozważenie pewnego algorytmu znajdowania maksymalnego przepływu.

lgorytm znajdowania maksymalnego rzepływu

4.2

jzważania z poprzedniego paragrafu sugerują ideę następującego prostego p r y t m u znajdowania maksymalnego przepływu: Startując od dowolnego zepływu (np. f(e) = 0 dla każdej krawędzi ee E) poszukujemy ścieżek rozRrzających i zwiększamy wzdłuż nich aktualny przepływ. Powstają tu jednak dwa pytania. P o pierwsze, czy taki algorytm zakończy oje działanie p o skończonej liczbie kroków, oraz p o drugie, czy otrzymany zepływ będzie maksymalny. Odpowiedź na drugie pytanie — przy założeniu, że ;orytm p o skończonej liczbie kroków zatrzyma się z braku dalszych ścieżek zszerzających — jest twierdząca, co wynika bezpośrednio z twierdzenia 4.3. itomiast Ford i Fulkerson w pracy [23] dali, w pewnym sensie, negatywną odpoedź na pierwsze pytanie. Pokazali oni mianowicie przykład sieci, w której jżna tak „złośliwie" dobierać kolejne rozważane ścieżki rozszerzające, że oces nigdy się nie kończy, co więcej, wartość przepływu jest przez cały czas aiejsza od jednej czwartej wartości przepływu maksymalnego. Edmonds i K a r p (por. poz. [17]) pokazali, że jeśli aktualny przepływ zwiękimy zawsze wzdłuż najkrótszej ścieżki rozszerzającej, to maksymalny przepływ iągany jest p o użyciu co najwyżej mn/2 ścieżek (jak zwykle n = \V\, m = \E\). alezienie najkrótszej ścieżki łatwo zrealizować przez algorytm analogiczny do zeszukiwania wszerz (por. p . 2.3). Mówiąc dokładniej, startując ze źródła s zeszukujemy wszerz graf G złożony z krawędzi takich, że istnieje w nasj sieci krawędź użyteczna z u d o o względem aktualnego przepływu / , aż do omentu osiągnięcia ujścia t. Znaleziona przez ten proces najkrótsza droga z s t odpowiada oczywiście najkrótszej ścieżce rozszerzającej z j d o / w naszej sieci, orąc pod uwagę fakt, że procesu przeszukiwania wszerz możemy dokonać czasie O (m + ń), złożoność całego algorytmu znajdowania maksymalnego przeu możemy oszacować j a k o O {mn (m + ń)). Nie będziemy się tu bliżej zajwać tym algorytmem, jako że w dalszej części tego paragrafu pokażemy efekwniejszą metodę, o złożoności O ( « ) . f

3

Ciekawą technikę zastosował do znajdowania maksymalnego przepływu tinic w pracy [13]. Polega ona na konstruowaniu pewnej pomocniczej sieci Acyklicznej (tzn. o grafie nie zawierającym cykli), której struktura dokładnie odfwierciedla wszystkie najkrótsze ścieżki rozszerzające z s do t względem aktual­ nego przepływu / . Sieć taką - oznaczmy ją przez S - konstruujemy przez przeszukiwanie wszerz wspomnianego już grafu G o krawędziach określonych Przez istnienie w naszej sieci użytecznych krawędzi względem przepływu / . Sieć S Sawiera źródło s, ujście t, oraz krawędzie grafu G postaci <«, D>, gdzie u znajduje 'C w odległości d, a v w odległości d+1 od s, przy czym 0 < d < l, a / jest dłu­ gością sieci S , tzn. odległością od s do t w grafie G . Przepustowość c (u, v) Określamy j a k o c(u, v) -/(«, v) lub / ( u , u), w zależności od tego, czy krawędź f

f

f

f

8

f

f

f

<«, v} reprezentuje krawędź zgodną czy przeciwną (lub sumę tych wartości, jeśli istnieje jednocześnie zgodna i przeciwna krawędź użyteczna z u do v). Poniżej przedstawiono procedurę PSA konstruującą sieć S . Oryginalna sieć S jest dana przez listy incydencji ZA [r>], PRZED [r>], v e V, oraz przez tablicę przepustowości krawędzi C [u, v\, u, ve V, natomiast aktualny przepływ f okre­ ślony jest przez tablicę F\u, v\, u, v e V. Zmienne odnoszące się do konstruowa­ nej sieci pomocniczej S odróżnione są od zmiennych odnoszących się do ory­ ginalnej sieci S przez pierwszą literę X: mamy zbiór wierzchołków XV, listy incydencji XZA [w], XPRZED \y\, v e XV, oraz tablice przepustowości i prze­ pływów XC i XE. Odległość wierzchołka od źródła w sieci S pamiętana jest w tablicy O DL. Struktura procedury PSA jest następująca: P o inicjalizacji w wier­ szach 3 H - 7 następuje przeszukiwanie wszerz grafu G , poczynając od źródła s (p. główna pętla w wierszu 9). Kolejno odwiedzane w procesie przeszukiwania wierzchołki v są umieszczane w kolejce (p. wiersze 13 i 21), każdy wierzchołek u pobierany z kolejki (wiersz 10) wykorzystywany jest natomiast w dwóch pętlach (p. wiersze 11 i 19). Pierwsza z nich przeszukuje zgodne krawędzie użyteczne <«, v}, druga zaś przeciwne krawędzie użyteczne (v, «>. Zauważmy, że sieć może za­ wierać jednocześnie zgodną krawędź użyteczną <«, v~> oraz przeciwną krawędź użyteczną (v, u). Krawędź <«, v} włączana do S m a wtedy przepustowość równą sumie przepustowości wnoszonych przez te krawędzie (por. wiersze 23 i 27). f

f

f

f

f

A 1

procedurę PSA; ( * konstruowanie pomocniczej sieci acyklicznej S ; zmienne V, XV, PRZED, ZA, XPRZED, XZA, O DL, C, F, XC, XE, s, t są globalne *)

2

begin

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

f

for u e begin for for

V do (* ODL\u\ ve V do v e V do

inicjalizacja * ) = = OO; XPRZED[u] •.= 0 ; XZA[u] ••= 0 ; XC[u,v] 0; XF[u, v] ••= 0 ( * inicjalizacja przepływu zerowego *)

end; KOLEJKA := 0 ; X V 0 ; ODL[s] •= 0; (* przeszukiwanie wszerz rozpoczynając od źródła s * ) KOLEJKA <= s; while KOLEJKA ^ 0 do begin u <= KOLEJKA; XV •.= XV u {u}; for veZA\u\ do ( * przeszukiwanie krawędzi zgodnych *) if (ODL[u] < ODL[v} < ODL\t~\) and (F\u,v\ < C[u,v]) then begin if ODL[ii] = OO then KOLEJKA <=v; (* v nowy * ) ODL[v\ := ODL[ii] + 1; (* dodaj <w, u> do sieci S *) XZA[u] XZA[u] u {v}; XPRZED[v] •.= XPRZED\p\ u {u}; XC[u, v] == C[u, v\-F[u, v\ f

16 17 18

end; for v e PRZED\u] do (* przeszukiwanie krawędzi przeciwnych *) if (ODL\u\ < ODL\y\ < ODL\t\) and (F[v,«] > 0) then begin if ODL\v\ = OO then KOLEJKA <= v; (* nowy *) ODL[v] == ODL[u] +1; if XC\u, v\ = 0 then (* dodaj {u, y> do sieci S *) begin XZA[u] -.= XZA[ii] u {v}; XPRZED[v] ••= XPRZED\y\ u {u} end; ZC[w, i?] == XC[u, v] + F[v, w] end end f

end liech po zakończeniu działania procedury, O DL [ f ] = /. Jeśli / = OO, to oznacza ę, iż w naszym procesie nie osiągnęliśmy ujścia t, tzn. nie istnieje w naszej sieci pieżka rozszerzająca z s do t. N a mocy twierdzenia 4.3 aktualny przepływ w sieS jest maksymalny. Jeśli / < OO, to najkrótsza ścieżka rozszerzająca z s do t |ia długość /, co więcej, łatwo zauważyć, że drogi z s d o t w sieci pomocniczej ipowiadają wzajemnie jednoznacznie ścieżkom rozszerzającym długości / oryginalnej sieci (ściśle rzecz biorąc, niektóre z tych „ścieżek rozszerzających" |logą używać jednocześnie zgodnej i przeciwnej krawędzi użytecznej z u d o v). farto zauważyć, że p o osiągnięciu ujścia, gdy O DL [ f ] < co, nowo napotkane ierzchołki nie są już rozważane w procedurze PSA (p. warunki w wierszach 13 i 21) — żaden taki wierzchołek, znajdując się w odległości / od s, nie może | y ć wierzchołkiem drogi długości / z s do t. Nietrudno oszacować złożoność procedury PSA. Każdy wierzchołek v est umieszczany w kolejce i zdejmowany z niej co najwyżej raz. Każda krawędź ttcydentna z v jest analizowana dokładnie raz (w pętli 12 lub 20), przy czym czba kroków dla każdej takiej krawędzi jest ograniczona przez stałą. Całkowita liczba kroków jest więc rzędu n + m, co jest zdominowane przez n kroków iniĘjalizacji tablic XC i XF (wiersze 5, 6). Pomocniczą sieć acykliczną można ięc skonstruować w czasie O (n ) (kosztownej inicjalizacji tablic XC i XF lożna by uniknąć, lecz zastosowanie takiej zmodyfikowanej procedury o złosności O (n + m) nie zmieniłoby oszacowania O (n ) dla całego algorytmu znajiowania maksymalnego przepływu). 2

2

3

j. Istota pomysłu Dinica polega na rozbiciu procesu zwiększania przepływu ^Wzdłuż ścieżek rozszerzających na fazy, odpowiadające wykorzystaniu naj^ ó t s z y c h ścieżek określonej długości. Faza rozpoczyna się skonstruowaniem .pomocniczej sieci acyklicznej, następnie w sieci pomocniczej jest znajdowany |tzw. przepływ pseudomaksymalny. Przez przepływ pseudomaksymalny w sieci S długości /, nazywamy dowolny p r z e p ł y w / * w S taki, że nie istnieje w S ścieżka f

f

f

rozszerzająca długości / względem przepływu / * ; innymi słowy, dla dowolnej drogi z s do t w S , określonej przez ciąg wierzchołków f

v, v Q

u

...,v

Oo = s, v' = t)

t

istnieje krawędź , 0 < i < l taka, że / * (v , v ) = c (v , v ). Prze­ pływ pseudomaksymalny jest następnie „przenoszony" z sieci pomocniczej do sieci oryginalnej: przepływ / * ( « , v) dodawany jest d o / ( u , v), a jeśli powoduje to przekroczenie przepustowości c (u, v) — ta „nadwyżka" jest likwidowana oraz uwzględniana przez odpowiednie zmniejszenie przepływu / ( t \ u) (w taki sposób efektem naszej modyfikacji jest zawsze zwiększenie Div (u) o f*(u, v) i zmniej­ szenie Div (v) o / * ( « , v)). Nietrudno sprawdzić, że taka modyfikacja przepływu/, dokonana dla wszystkich krawędzi <w, u> sieci pomocniczej, określa pewien nowy przepływ / ' taki, że W(f') = W(f)+W(f*). Fazę uważamy za zakończoną. Metoda Dinica polega na wykonywaniu kolejnych faz, rozpoczynając od prze­ pływu zerowego, aż do momentu, gdy przepływ w naszej sieci jest maksymalny. Pokazano to na rysunku 4.2 (jak zwykłe, przy każdej krawędzi pokazano przepływ w tej krawędzi oraz, w nawiasie, jej przepustowość). Startując od prze­ pływu zerowego f w sieci S, otrzymujemy pomocniczą sieć acykliczną S7 (rys. 4.2b). Znajdujemy w niej przepływ pseudomaksymalny (metoda efektywnego (

i+ 1

t

i+1

f

t

i+1

f

f

0

a)

0

v

2

b)

RYS. 4.2 (a) Sieć 5 i przepływ maksymalny w tej sieci. (b), (c) Pomocnicze sieci acykliczne odpowiadające kolejnym fazom algorytmu Dinica, wraz z zaznaczonymi przepływami pseudomaksymalnymi w każdej z nich.

dowania takiego przepływu będzie omówiona w dalszym ciągu), i przenosimy o sieci S, otrzymując przepływ f . Z kolei konstruujemy sieć S (rys. 4.2c) leziony w niej przepływ pseudomaksymalny przenosimy d o sieci S, co daje ływ f%. W ostatniej fazie konstruujemy sieć S (rys. 4.2d). P o przeniesieniu ływu pseudomaksymalnego w S d o S otrzymujemy w S przepływ / (poy na rys. 4.2a), który jest maksymalny, jako że W(/) = 4 = c ({s}, V\{s}) i, twierdzenie 4.3). Rysunek 4.2c dobrze ilustruje fakt, że przepływ pseudolymalny nie musi być maksymalny. Istotnie, pokazany na tym rysunku pływ pseudomaksymalny możemy powiększyć wzdłuż następującej ścieżki zerzającej długości 5: t

fi

f

f

vi, (v

u

v y, v , (v , v y, v , s

s

s

4

4

v y, v , (v , v y, v ,


4

3

3

3

ważmy jeszcze, że krawędź <Ł' , I; > sieci S siwnie skierowanych krawędzi sieci S. 4

3

6

6

<X,

v y,

v

7

7

(por. rys. 4.2d) powstała z dwóch

f

Podstawowym faktem odpowiedzialnym za efektywność metody Dinica jest se niezależnie od przepustowości krawędzi liczba faz nie przekracza n. Dla odu tego faktu oznaczmy przez S pomocniczą sieć acykliczną zbudowaną •tej fazie, przez l zaś długość tej sieci. (Uwaga: Ostatnie wywołanie proce' PSA, w którym nie jest osiągane ujście, nie jest liczone j a k o faza). k

k

4.4

[AT

liczba faz przekracza k, to l <

l

k

k+1

.

von I aczmy przez d (v) odległość w S od s d o v. M a m y udowodnić, że d (t) > - (t). Rozważmy w S dowolną drogę v , v , v z s = v do t = v . Załóżmy, że dla pewnego p ^ l i wszystkie wierzchołki v 0 < i < p żą d o sieci S . Pokażemy najpierw, że wtedy k

k

k

k+1

k+1

0

k

1

t

0

+

t

it

k

1 )
+ l,

i

0 < i < p

(4.9)

uśćmy, że tak nie jest, tzn. że d (v ) > d (Vi) + l dla pewnego i. Zgodnie nstrukcją sieci S oznacza to, że S nie zawiera krawędzi (ani też iście krawędzi < r , r , ) ) . W czasie fc-tej fazy nie jest więc modyfikowany ani przepływ z v d o v , ani też z v d o v . Przeczy to jednak istnieniu oczątku (fc-ł-l)-szej fazy krawędzi w S użytecznej z v d o v , której nie na początku fc-tej fazy. Sprzeczność ta dowodzi nierówności (4.9). Z nierów­ ni tych, wobec d (v ) = 0, wnioskujemy przez indukcję względem /, że k

k

i

+ 1

k

k

i + 1

i + 1

L

l + 1

i + l

t

t

k

f

d (v ) k

t

i + 1

0

< i = d !(«,),

0 < i < p

k+

(4.10)

wszystkie wierzchołki drogi v , v , v należą d o sieci S , to otrzymu^ly stąd w szczególności d (t) < d (t). Równość d (t) — d (t) byłaby m o a jedynie gdy d (v ) — d (Vi), 0 < (' < l , lecz łatwo zauważyć, że pow­ ażenie się drogi v , v v^ w S i S przeczyłoby pseudomaksymalności opływu znalezionego w S . Musi więc być d (t) > d (t). 0

k

k

0

t

k +

1}

{

k

k

k+1

k+1

1

k

k

Ombinatoryka

x

k+1

k+1

k+1

k

Rozważmy teraz przypadek, w którym istnieje wierzchołek drogi v , v f, nie należący d o S . Niech v będzie pierwszym takim wierzchołkiem (oczywiście 1 < / ? + l < l — 1). Stosując podobne rozumowanie jak poprzed­ nio wnioskujemy, że pojawienie się w S krawędzi (v , v y, której nie było w S możemy przypisać tylko temu, iż d (v„) = d (t) - 1, i do wierzchołka v dochodzimy już p o osiągnięciu ujścia t (tak, że nie jest on włączany do S ). Wobec (4.10) i faktu, że wierzchołki v , v v„_ należą d o sieci S otrzy­ mujemy 0

k+i

k

u

p+l

k + l

k+l

k

p

k

p+1

k

p+l

k

0

l = d (t) = d (v„)+l k

k

k

< d (v„)+l k+l

u

l

= p+\ < l

k

k + l

•

Uwzględniając fakt, że /, > 1 oraz l < n — 1 dla dowolnego k, otrzy­ mujemy k

WNIOSEK 4.5

Liczba faz w metodzie Dinica nie przekracza n—l. Pozostało n a m teraz podać efektywny algorytm znajdowania przepływu pseudomaksymalnego w pomocniczej sieci acyklicznej. Metoda, którą podamy pochodzi od Malhotry, K u m a r a i Maheshwari [48] i jest zrealizowana przez procedurę MAXPSA poniżej. Aby ją opisać, wprowadzimy najpierw pojęcie potencjału wierzchołka sieci, tzn. maksymalnej ilości przepływu, który można „przepuścić" przez ten wierzchołek. Definiujemy go jako minimum z dwóch wielkości: maksymalnego możliwego przepływu d o wierzchołka v (potencjał wejściowy) oraz maksymalnego możliwego przepływu z wierzchołka v (potencjał wyjściowy). Dokładniej, potencjał wierzchołka v dowolnej sieci S = o źródle ^ i ujściu t równy jest Pot (v) = min {Potwe (v), Potwy (v)} gdzie Z Potwe (v) =

oraz

c

v

(wJ )

e

J śli v ¥= s

u:u-* v

co

jeśli v = s

Potwy (v) = Z W: v-m

c(v, u)

jeśli c # t

Procedura MAXPSA co oblicza najpierw wszystkich wierzchołków w p o ­ jeślipotencjały r =s mocniczej sieci acyklicznej (wiersze 3 H- 12), umieszczając wierzchołki o zerowym potencjale na stosie STOS. Jest oczywiste, że wierzchołek o zerowym potencjale może być usunięty z sieci, wraz ze wszystkimi incydentnymi z nim krawędziami, bez żadnego wpływu na jakikolwiek przepływ w tej sieci. Usunięcie takiego wierz­ chołka, a ściślej incydentnych z nim krawędzi, może spowodować wyzerowanie potencjałów pewnych sąsiednich wierzchołków, których usunięcie zeruje p o -

yały dalszych wierzchołków itd. Proces ten jest realizowany przez pętlę 17. wyjściu z tej pętli (gdy STOS = 0 ) , zbiór XN zawiera wierzchołki pomccnisieci acyklicznej o niezerowym potencjale (obliczanym w sieci zmodyfikolej przez kolejne usuwanie wierzchołków o zerowym potencjale). Jeśli XN / 0 , lastępuje ważny m o m e n t : znajdowany jest w XN wierzchołek r o minimalnym incjale, p = POT[r] (wiersze 38 -r- 41). Następnie znajdujemy w naszej sieci :licznej przepływ z /• do t o wartości p (wiersze 42 •¥ 65) oraz przepływ z s \r o wartości p (wiersze 66 -H 91) — w sumie przepływ z s do t o wartości p. izemy pierwszą część (przepływ z r do t) — druga jest w pełni analogiczna. :pływ nasz będzie używać jedynie zgodnych (w pomocniczej sieci acyklicznej) rędzi użytecznych, a metodę jego wyznaczania intuicyjnie najlepiej wyjaśnić lastępujący sposób. Wyobraźmy sobie, że w wierzchołku r umieściliśmy lunek" o wielkości Q [ r ] == p, i chcemy ten ładunek „przepchnąć" do ujścia t by ilość ładunku przeniesiona przez żadną krawędź nie przekraczała jej przetowości. W tym celu przeszukujemy naszą sieć wszerz, startując z wierzchołJak zwykle przy przeszukiwaniu wszerz osiągnięte już, lecz jeszcze niewy'stane wierzchołki pamiętane są w kolejce. Każdy pobierany z kolejki wierzłek v (wiersz 43) nie będący ujściem jest „rozładowywany" (wiersze 49-7-64). :ga to na przeniesieniu ładunku Q [v\ do wierzchołków u, do których prowa[krawędź z v. Ładunek ten jest przenoszony do kilku pierwszych wierzchołków liście XZA [v], przy czym ładunek przeniesiony do każdego takiego wierzchoł\u, z wyjątkiem być może ostatniego, jest równy przepustowości XC \v, u]. ten sposób we wszystkich użytych krawędziach
1

procedurę MAXPSA; ( * wyznaczanie przepływu pseudomaksymalnego w pomocniczej sieci acyklicznej metodą Malhotry, K u m a r a i Maheshwari; zmienne XV, XC, XF, XPRZED, XZA, s, t są globalne *)

2

begin

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16

STOS ••= 0 ; ( * STOS zawierać będzie wierzchołki o zerowym potencjale * ) for v e XV do ( * wyznaczanie potencjału wierzchołka v *) begin POTWE\y\ •.= 0 ; POTWY\y] ••= 0; if v = s then POTWE\v] •.= co else for u e XPRZED[v] do POTWE\y] == POTWE\y] + XC [u, v]; if v = t then POTWY\v\ co else for u e XZA[v\ do POTWY[v] POTfVY[v\ + XC[v, u]; POT[v] ~ min(POTWE[v],POTWY\v\); if POT[v] = 0 then STOS=> v

end; for ve XV do Q [v\ ••= 0 ( * inicjalizacja ładunków wierzchołków * ) XN-.= XV;(*XN zawierać będzie wierzchołki o niezerowym potencjale*) while XN # 0 do (* główna pętla * )

begin (* wyeliminowanie wierzchołków o zerowym potencjale *)

17 18

while STOS # 0 do begin v <= STOS; XN ••= XN\{v}; (* usuwanie krawędzi dochodzących do v *)

19 20

for ueXPRZED[v] begin POTWY\u\

do (* usuń krawędź > * ) == POTWY[ii]-(XC[u, v\-XF[u,

21

XZA[ii] := XPRZED[v]

22 23 24 25 26

if P C » r [ ] # 0 then ( * zmodyfikuj POT[u] *) begin POT[u] == w / « ( P 0 7 1 F £ [ w ] , P 0 7 ^ y [ M ] ) ; if POT[u~] = 0 then STOS <= w

i;]);

XZA[u~]\{v}; := XPRZED[v\\{u};

M

end end (* usuwanie krawędzi wychodzących z v *)

27 28 29

for w e XZA[y] do (# usuń krawędź , w> *) begin POTWE[u] POTWE[ii\ - (XC[v, ii] - XF[v, u]); XPRZED\u] := XPRZED[u]\{v}; XZA\y] •.= XZA[v]\{u};

30 31 32 33 34 35

if POT{ii] # 0 then (* zmodyfikuj POT[u] *) begin POT[u] ••= min(POTWE[u],POTWY[n]); if POT[u] = 0 then STOS <= M

end end

end;

(* XN jest 'zbiorem wierzchołków o niezerowym potencjale *) if XN 7^ 0 then (* przepływ nie jest jeszcze maksymalny *) begin (* znalezienie wierzchołka r o minimalnym potencjale *) p := 00; for v e VN do if POT[v\ < p then begin r -.= v; p -.= POT[r~] end; (* znalezienie przepływu o wartości p z r do t *) KOLEJKA == 0 ; KOLEJKA <=r;Q[r~\— p; repeat v <= KOLEJKA; POTWE\v\ := POTWE\v\-Q [>]; P<97TF7[V] = = P O r W 7 [ i ; ] - g [ U ] ; p o r | > ] :=

?or[»]-e[»];

if P O r [ V ] = 0 then STOS <= U; if z? = / then else begin (* rozładowanie wierzchołka v *) u := pierwszy wierzchołek na liście XZA[v~\; while Q [v\ > 0 do begin if g [H] = 0 then KOLEJKA <= u; delta := min(Q [>], XC[v, u] - XF[v, u]); XF[v, u] ••= XF[v, u] + delta;

GM ••= fi[»]-&/te; :

f

fi[«] = Q[ti] +delta; if w] = X C [ i ? , w] then (* usuń w) *) begin XZA[y~\ •.= XZA[v]\{u}; XPRZED[u\ == XPRZED[ii]\{v} end; if g [ U ] > 0 then w := następny p o w wierzchołek listy XZA\v\ end end (* koniec rozładowania wierzchołka v *) until v = t; (* przepływ z r d o ( znaleziony *) (* znalezienie przepływu o wartości p r j d o r *) KOLEJKA == 0 ; KOLEJKA <=r; £?[>]:=/>; repeat i> <= KOLEJKA; if v r then (* P 0 r [ Y ] jeszcze nie zmniejszony *) begin POTWE[v] POTWE[v]-Q[v]; POTWY\v\ := POTWY[v~\-Q\v\; P<9r[>] := POT[v]-Q\y\; if P 0 r [ > ] = 0 then STOS <= v end;

75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

if v = s then Q [v\ 0 else begin (* rozładowanie wierzchołka v *) u ••= pierwszy wierzchołek na liście PRZED\v\; while Q [v] > 0 do begin if Q [u] = 0 then KOLEJKA u; delta := min(Q [v\, XC[u, v~\ - XF[u, v]); XF[u, v] == XF[u, v\ + delta; ;

2[»] =S[f]-^a; Q[u]:= Q[it] +delta; if ATfw, y] = I C [ « , » ] then (* usuń <w, v} *) begin XPRZED[v] ••= XPRZED[vJ\ {u}; XZA[u] := X Z ^ [ w ] \ { t ; } end; if Q 0 ] > 0 then u ;= następny po w wierzchołek listy XPRZED[v\ end end (* koniec rozładowania wierzchołka v *) until v = s (* przepływ z ,v do r znaleziony *) end (* koniec zwiększania przepływu wzdłuż pojedynczej wielościeżki *) 95 end (* koniec głównej pętli *) 96 end (* koniec procedury MAXPSA *)

Oszacujemy teraz liczbę kroków wykonywanych przez procedurę MAXPSA. Wyznaczenie potencjałów (wiersze 3 4- 12) wymaga O (n + m) kroków, jako że każda krawędź (u, v} jest analizowana co najwyżej dwa razy: przy oblicza­ niu POTWY [w] i POTWE \y\. Całkowita liczba kroków we wszystkich iteracjach głównej pętli, wykonana przez fragment procedury eliminujący wierzchołki o zerowym potencjale (wiersze 17 -ł- 35) jest również O (n + m), gdyż każdy wierz­ chołek kładziony jest na STOS dokładnie raz, a przy zdejmowaniu tego wierzchołka ze stosu są usuwane wszystkie incydentne z nim krawędzie (pętle 19 i 27) tak, że każda krawędź jest usuwana co najwyżej raz. Każda iteracja głównej pętli powoduje wyzerowanie potencjału co najmniej jednego wierzchoł­ ka, mianowicie wierzchołka r. Liczba iteracji tej pętli nie przekracza zatem n. Każda iteracja, oprócz zanalizowanego już procesu eleminacji wierzchołków o zerowych potencjałach, zawiera dwie części będące zasadniczo procesami przeszukiwania wszerz — z r do t, oraz z s do r. Złożoność tych części jest rzędu liczby analizowanych krawędzi. Analizowanie krawędzi może być „niszczące" — gdy analizowana krawędź jest nasycana przepływem i usuwana z sieci, lub „nie­ niszczące", gdy krawędź pozostaje w sieci i może być analizowana w dalszych iteracjach głównej pętli. Oczywiście w czasie wszystkich iteracji głównej pętli

lizujemy w sposób 'niszczący O (w) krawędzi, natomiast w czasie każdej jcji analizujemy w sposób nieniszczący co najwyżej n krawędzi, p o jednej każdy odwiedzony wierzchołek. W sumie daje to liczbę kroków we wszystkich gejach głównej pętli m + n , tzn. O (n ). Wnioskujemy stąd, że całkowita jność obliczeniowa procedury MAXPSA jest O ( « ) . Zakładaliśmy w czasie naszej analizy, że usunięcia krawędzi z naszej sieci rsze 19, 27, 58 i 85) można dokonać w czasie ograniczonym przez stałą. Jest aożliwe, jeśli wystąpienie wierzchołka v na liście XZA [u] i wierzchołka ;/ liście XPRZED [v\ są wzajemnie powiązane wskaźnikami, oraz każdy ele­ kt listy zawiera wskaźnik zarówno do poprzedniego, jak do następnego elejitu listy. 2

2

2

Możemy teraz zebrać opisane już procedury PSA i MAXPSA prytm znajdowania maksymalnego przepływu.

w kompletny

DRYTM 4.6 (Znajdowanie maksymalnego przepływu w sieci), ae:

Sieć dana przez listy incydencji PRZED wości C\u,

v\, u, ve V, źródło seV

liki: Maksymalny przepływ F[u, v\, u,

\y\, ZA \y\,

v e V, przepusto­

oraz ujście te V. veV.

begin for u e V do for v e V do F\u, v\ ••= 0; (* zerowy przepływ początkowy *) repeat PSA; (* skonstruuj pomocniczą sieć acykliczną *) if ODL[t~\ # OO then (* przepływ F nie jest maksymalny *) begin MAXPSA; (* znajdź maksymalny przepływ w sieci pomocniczej *) (* przenieś przepływ z sieci pomocniczej do głównej *) for u e ^ F d o (* XV = zbiór wierzchołków sieci pomocniczej *) for v e XV do begin F\u, v\ — F[u, v\ + XF\u, v\; if F\u, V\ > C [ M , V\ then begin F\y, u] ••= F\v, u] - (F\u, v\ - C[u, v\); F[ii, v~\••=C\u, v~\ end end end (* koniec fazy *) until ODL\t\ = OO (* przepływ F jest maksymalny *) end Z przeprowadzonej już analizy procedur PSA i MAXPSA, ba faz nie przekracza n (por. wniosek 4.5) otrzymujemy NIOSEK

oraz z faktu, iż

4.7 3

orytm 4.6 poprawnie konstruuje maksymalny przepływ w czasie O (n ).

B

Zauważmy, że przez analizę tego algorytmu wykazaliśmy istnienie przepły­ wu maksymalnego w dowolnej sieci, a tym samym dostarczyliśmy brakującego fragmentu do dowodu fundamentalnego twierdzenia o maksymalnym przepływie i minimalnym przekroju (twierdzenie 4.2). W a r t o zauważyć, że choć algorytm 4.6 nie podpada bezpośrednio pod sche­ mat kolejnego zwiększania przepływu wzdłuż ścieżek rozszerzających, to jednak metoda użyta w tym algorytmie może być uważana za uogólnienie techniki ście­ żek rozszerzających. Zwiększenie przepływu (o wartość równą minimalnemu potencjałowi) odbywa się wzdłuż nieco ogólniejszej struktury niż pojedyncza ścieżka rozszerzająca z s do t. Strukturę tę można nazwać „wielościeżką roz­ szerzającą" z s do t, przechodzącą przez wierzchołek r (o minimalnym poten­ cjale). Wykorzystanie takiej wielościeżki powoduje wyeliminowanie co najmniej jednego wierzchołka — a nie, tak jak w przypadku pojedynczej ścieżki rozsze­ rzającej, jednej krawędzi — stąd mniejsza liczba iteracji i tym samym lepsze oszacowanie złożoności algorytmu. Odnotujmy na zakończenie następującą algorytmu 4.6: TWIERDZENIE

oczywistą lecz ważną własność

4.7

Jeśli wszystkie przepustowości krawędzi są liczbami całkowitymi, to maksy­ malny p r z e p ł y w / z n a l e z i o n y przez algorytm 4.6 jest całkowitoliczbowy, tzn. / ( e ) jest liczbą całkowitą dla każdej krawędzi e. •

Skojarzenia o maksymalnej liczności w grafach dwudzielnych Skojarzeniem w grafie niezorientowanym G = (V, E} nazywamy dowolny zbiór krawędzi M £ E taki, że żadne dwie krawędzie ze zbioru M nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Innymi słowy, M j e s t skojarzeniem, jeśli dla każdych dwóch krawędzi e , e eM mamy e = e lub e n e = 0 . Dla każdej kra­ wędzi {u, v} e M mówimy, że M kojarzy u z v, natomiast każdy wierzchołek, który nie jest incydentny z żadną krawędzią skojarzenia będziemy nazywać wolnym. Szczególnie interesujące są problemy związane ze skojarzeniami w grafie dwudzielnym, tzn. grafie niezorientowanym G = (_V,Ey takim, że zbiór wierz­ chołków można rozbić na dwa rozłączne zbiory, V = j f u Y, X n Y = 0 takie, że każda krawędź eeEma postać e = {x,y), gdzie xe X, y e F ( p o r . zad. 4.15). Graf taki oznaczać będziemy zwykle przez
2

t

2

x

2

W punkcie tym zajmiemy się problemem znalezienia w danym grafie dwu­ dzielnym skojarzenia o maksymalnej liczności. To klasyczne zagadnienie kombinatoryczne znane jest również pod nazwą „problemu małżeństw". Nazwa ta

ochodzi od następującej interpretacji: Niech Xi Y będą odpowiednio zbiorem hłopców i dziewcząt, i niech {x, y] e E oznacza, że chłopiec x zna dziewczynę y. tedy każde skojarzenie M odpowiada możliwemu zbiorowi par małżeńskich, którym każda p a r a utworzona została z chłopca i dziewczyny, którzy się znają, rzy czym każda z osób uczestniczy w co najwyżej jednej parze. Okazuje się, że problem znajdowania skojarzenia o maksymalnej liczności grafie dwudzielnym daje się w prosty sposób sprowadzić do wyznaczania masymalnego przepływu w pewnej sieci. Niech H = (X, Y, £ > będzie dowolnym afem dwudzielnym. Utwórzmy sieć S (H) o źródle s, ujściu t (s # t i s, t $ l u Y),'zbiorze wierzchołków V* = {s, t} u X u Y biorze krawędzi £* = {{s,xy:xeX}u v

y}'- x e X

{{y,t}:yeY} A

yeY

A

{x, y} e E)

przepustowości c (w, v) = 1 dla każdej krawędzi <«, r> e E*. N a rysunku 4.3 p o k a z a n o konstrukcję sieci S (H) dla pewnego grafu dwuzielnego.

H RYS. 4.3

SCH) Konstrukcja sieci S (H)

dla grafu d w u d z i e l n e g o H oraz przepływ z e r o j e d y n k o w y

o d p o w i a d a j ą c y skojarzeniu M =

{ { A : ! , } ^ } , {x , 2

y }, 5

{x

u

.v }} 3

Zauważmy, że wobec twierdzenia 4.7 istnieje w S (H) maksymalny przepływ zerojedynkowy, tzn. przepływ maksymalny / taki, że f(e) = 0 lub f(e) = 1 dla każdej krawędzi e e E. TWIERDZENIE

4.8

Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy skojarzeniami w H i przepływami zerojedynkowymi w IS" (H), przy której skojarzeniu M =

x

= {{*i> yi}> •••> { k, yk}} o liczności k (x, e X, y e Y dla 1 < / < k) odpowiada przepływ f o wartości k określony następująco: t

M

fn(s,

x,) = f ( ,

y ) = f (y„

M Xi

t

0 = 1,

M

1 < / < k

(4.11)

oraz f (e) = 0 dla pozostałych krawędzi e sieci S (H); przepływowi / o wartości k odpowiada natomiast skojarzenie M , \M \ = k określone następująco: M

f

M

= {{x,y}:xeXA

f

ye

f

Y A f(x,

y) = 1}

(4.12)

DOWÓD

•

Jeśli M = {{xi, j i } , {x , y }} jest skojarzeniem o liczności k, to wierzchoł­ ki Xi, x , jak również y y , są parami różne. Wynika stąd natychmiast, że Div ^(Xi) = Div (yi) = 0, 1 tzn. funkcja f określona przez (4.11) k

k

k

u

f

k

f

M

jest przepływem z s do t w & (H). Łatwo również zauważyć, że różnym skojarze­ niom M odpowiadają różne przepływy / . Z drugiej strony, jeśli / jest przepły­ wem zerojedynkowym w S(H), to ilość przepływu wpływającego do (a więc i wypływającego z) każdego wierzchołka xe X nie. przekracza jedności (jedyną krawędzią dochodzącą d o x jest krawędź (s, x)> o przepustowości równej 1). Wynika stąd, że w zbiorze M określonym przez (4.12) nie ma krawędzi posta­ ci {x,y }, {x,y }, yi ¥= y - Dla podobnych przyczyn nie ma w M krawędzi postaci y}, {x , }'}, x # x . Tak więc M jest skojarzeniem w H. Nietrudno też zauważyć, że o d w z o r o w a n i e / -> M , jest odwrotnością odwzorowania M^>f , tzn./ =/i M = M. • M

f

1

2

2

2

f

t

2

f

f

M /

M

fM

Twierdzenie 4.8 pozwala użyć do wyznaczenia skojarzenia o maksymalnej liczności dowolnego algorytmu znajdowania maksymalnego przepływu (całkowitoliczbowego). Jeśli skorzystamy z algorytmu 4.6, to skojarzenie o maksymalnej liczności znajdziemy w O (n ) krokach. Okazuje się jednak, że szczególna postać sieci S (H) pozwala na bardziej efektywny algorytm. Algorytm ten, pochodzący od Hopcrofta i K a r p a [33] stosuje ogólny schemat Dinica, tzn. składa się z faz odpowiadających zwiększaniu przepływu wzdłuż najkrótszych ścieżek rozsze­ rzających określonej długości. Jednakże szczególna postać sieci pozwala zarówno na lepsze ograniczenie na liczbę faz, j a k i efektywniejszy algorytm znajdowania przepływu pseudomaksymalnego w każdej fazie. 3

Zauważmy na początek, że każda ścieżka rozszerzająca w S (H) parzystej długości i składa się, p o odrzuceniu pierwszej i ostatniej z ciągu na przemian występujących krawędzi zgodnych i przeciwnych jącego i kończącego się krawędzią zgodną). Dla danego skojarzenia M, ścieżką naprzemienną (długości / = 2k+ 1, z X do Y) względem M zbiór krawędzi P £ E postaci P = {{*O,

{>i, Xi), {x

u

y },

\y ,

2

x }, {x , y }}

k

k

k

jest nie­ krawędzi, (zaczyna­ nazwijmy dowolny (4.13)

k+i

gdzie k > 0 , wszystkie wierzchołki x , ...,x ,yi, ...,y i są różne, x jest wol­ nym wierzchołkiem w X, y jest wolnym wierzchołkiem w Y, oraz co druga krawędź należy do M, tzn. 0

k

k+

k + l

P

N

M = {{y

lt

XI},

{y , 2

x }, 2

{y , k

x }} k

0

ieżkę naprzemienną'można oczywiście jednoznacznie określić podając ciąg x , ,Xi,y , •••,>'*, x ,y . Jest jasne, że przy opisanej w twierdzeniu 4.8 odpoiedniości między skojarzeniami w H a przepływami zerojedynkowymi w sieS(H) ścieżka naprzemienna (4.13) w naturalny sposób odpowiada pewnej 'eżce rozszerzającej względem przepływu f w S(H), mianowicie ścieżce 0

2

k

k+1

M

s, <s, x > , x , < x , yt}, y 0

•

0

0

lt

yu, <x , y y, k

k

x, k

(x

yO, x

u

u

<x , y k

k + 1

}, y

<x k + 1

1 ;

y ~>, y , ••• 2

, <.y +i, k

2

O, t

zy czym zwiększenie przepływu f wzdłuż tej ścieżki daje przepływ odpowiający skojarzeniu określonemu przez różnicę symetryczną M@P. Zilustrowano na rysunku 4.4. M

RYS. 4.4

Powiększanie skojarzenia M wzdłuż ścieżki naprze­ miennej P

Z powyższych rozważań bezpośrednio wynika następujące WIERDZENIE 4.9

twierdzenie:

(Berge)

kojarzenie M w grafie dwudzielnym H ma maksymalną liczność wtedy i tylko tedy, gdy nie istnieje w H ścieżka naprzemienna względem M • Przyjrzyjmy się teraz jak wygląda przepływ pseudomaksymalny w p o m o niczej sieci acyklicznej skonstruowanej dla sieci S(H) i pewnego przepływu ałkowitoliczbowego — a więc zerojedynkowego — w tej sieci. Potencjał każego wierzchołka różnego od s i t wynosi 0 lub 1, gdyż potencjał wejściowy ażdego wierzchołka l e i i potencjał wyjściowy każdego wierzchołka yeY sieci pomocniczej jest równy jedności. Nietrudno zauważyć, że „wielościeżka rozszerzająca" znaleziona przez każdą iterację głównej pętli procedury MAXPSA (por. poprzedni punkt) ma postać pojedynczej ścieżki rozszerzającej. Co więcej, Wszystkie wierzchołki pośrednie (tzn. różne od s i t) takiej ścieżki mają potencjał równy jedności, a więc p o zwiększeniu przepływu wzdłuż tej ścieżki ich potencjał spada do zera i są one usuwane z sieci. Jasne jest teraz, że przepływ w pomocni­ czej sieci acyklicznej długości / + 2 odbywa się wzdłuż maksymalnego zbioru dróg długości 1+2 z s do ł o parami rozłącznych zbiorach wierzchołków pośrednich. Odpowiada mu w naturalny sposób maksymalny zbiór ścieżek naprzemiennych długości / o parami rozłącznych zbiorach wierzchołków (przez „maksymalny" rozumiemy taki, który nie daje się powiększyć o dodatkową ścieżkę naprzemienną długości / o zbiorze wierzchołków nie zawierających żadnego wierzchołka dotych­ czasowych ścieżek).

Algorytm Hopcrofta-Karpa jest opisany szczegółowo poniżej j a k o al­ gorytm 4.10. W algorytmie tym pomocnicza sieć acykliczna — a właściwie p o ­ mocniczy graf acykliczny, j a k o że przepustowości wszystkich krawędzi są równe jedności — jest konstruowany przez procedurę PGA. Aby objaśnić jej działanie dla danego grafu dwudzielnego H = {X, Y, £ > i skojarzenia M w H, wygodnie jest wprowadzić graf zorientowany H przez zorientowanie wszystkich krawę­ dzi e e M z Y do X, oraz wszystkich krawędzi e e E\M z X do Y (drogi w H z wolnego wierzchołka w X do wolnego wierzchołka w Y odpowiadają dokładnie ścieżkom naprzemiennym względem M). Procedura PGA konstruuje najpierw krawędzie ze źródła s do wszystkich wolnych wierzchołków x e X (wiersze 6 -f- 10). Następnie jest przeszukiwany wszerz graf H , poczynając od wolnych wierzchoł­ ków w X. P o znalezieniu każdego wolnego wierzchołka yeY dodajemy do p o ­ mocniczego grafu acyklicznego krawędź (y, t} (wiersze 14 -f- 17), przy czym od momentu dodania pierwszej takiej krawędzi nie rozpatrujemy już w procesie przeszukiwania wierzchołków znajdujących się w większej lub równej odległości od s niż t (p. warunek w wierszu 20). Powiększanie aktualnego skojarzenia wzdłuż maksymalnego zbioru najkrótszych ścieżek rozszerzających o parami rozłącznych zbiorach wierzchołków jest realizowane przez procedurę FAZA. Przeszukuje ona pomocniczy graf acykliczny w głąb, poczynając od s. Główna pętla w wierszu 40 przypomina nierekurencyjną procedurę przeszukiwania w głąb WG1 (por. p . 2.2). Za każdym razem, gdy w naszym procesie osiągamy ujście t (p. wiersz 50), za­ wartością stosu STOS jest ciąg wierzchołków reprezentujący pewną ścieżkę na­ przemienną (zauważmy, że ujście t nie jest kładzione na STOS, a tym samym przez cały czas NOWY \t~\ = trne i może ono być odwiedzane wielokrotnie). Pętla 52 dokonuje modyfikacji tablicy SKOJ odpowiadającej zwiększeniu skojarzenia wzdłuż takiej ścieżki. Zauważmy, że jeśli w trakcie wykonywania naszej proce­ dury pewnemu wierzchołkowi veV przypisywana jest wartość NOWY [i>] := := false, to procedura ta albo znajduje potem ścieżkę naprzemienną przecho­ dzącą przez ten wierzchołek, albo też stwierdza, że nie istnieje żadna ścieżka przechodząca przez ten wierzchołek i nie przecinająca żadnej z uprzednio zna­ lezionych ścieżek. Stąd łatwy wniosek, że procedura FAZA znajduje maksymalny zbiór nieprzecinających się najkrótszych ścieżek naprzemiennych. Poprawność całego algorytmu wynika więc z analizy metody Dinica przeprowadzonej w p o ­ przednim punkcie. M

M

M

ALGORYTM 4.10 (Znajdowanie Hopcrofta-Karpa) Dane:

skojarzenia

o maksymalnej

liczności

metodą

Graf dwudzielny H = {X, Y, £ > reprezentowany przez listy incyden­ cji ZA [xj, x e X.

Wyniki: Skojarzenie o maksymalnej liczności reprezentowane przez tablicę SKOJ (SKOJ jest wierzchołkiem skojarzonym z v lub zerem jeśli v jest wolny).

1

procedurę PGA; (* konstruowanie pomocniczego grafu acyklicznego; zmienne V, XV, X, Y, SKOJ, ZA, XZA, s, ł są globalne *) begin for w e F u {s, t} do (# inicjalizacja #) begin ODL[u] : = OO; XZA[u] -.= 0 end; (* umieść wolne wierzchołki xe X w kolejce i na liście XZA\s\ *) ,6 KOLEJKA .= 0 ; XV ••= {s}; ODL[s] == 0; 7 for x e X do *8 if SKOJ[x~] = 0 then (* x wolny * ) 9 begin KOLEJKA <= x; XZA[s] •.= XZA[s] u {x}; ODL\x\ := 1 0 end; (* przeszukiwanie wszerz poczynaj ąc od wolnych wierzchołków w X *) 1 while KOLEJKA / 0 do 2 begin u <= KOLEJKA; XV •.= XV u {u}; 3 if u e Y then 4 if SKOJ[u] = 0 then (* u wolny, dodaj krawędź <M, / > * ) 5 begin XZA[u] XZA[u] u {/}; XV -.= XV u {/}; 6 ODL[t] == ODL[u] + l 7 end 8 else (* SKOJ[ii] / 0 *) 9 begin x SKOJ[u]; 0 if ODL\t] = OO then (* dodaj krawędź {u, x} *) 1 begin KOLEJKA <= x ; XZA\u\ := Z Z ^ [ w ] u {x}; 2 <9Z>Z,[x] — O D L [ « ] + l 3 end 4 end 5 else (* « e l *) 6 for j e ZA\it\ do 7 if OZ>L[w] < ODL[y] then (* = ODL[u] +1 lub OO * ) 28 begin if ODL[y] = OO then KOLEJKA <= y; (* y nowy *) 29 XZA\u~\ -.= XZA\iĄ u {y}; ODL[y] ••= ODL[u\ +1 30 end 31 end 32 end; (* PGA *) 33 procedurę FAZA; (* zwiększenie aktualnego skojarzenia wzdłuż maksymalnego zbioru dróg z s do f o parami rozłącznych zbiorach wierzchołków pośrednich w p o m o ­ cniczym grafie acyklicznym; zmienne XV, POCZ XZA, SKOJ, s, t są globalne *) 34 begin 35 for ue XV do (* inicjalizacja *)

36 37

38

39 40 41 42 43

44

begin NO WY [u]

true;

P[u] == POCZ[u] (* POCZ[u] = wskaźnik do początku listy XZA\u];P\u] = wskaźnik do aktualnie analizowanego ele­ mentu listy XZA[u] *)

end; (* przeszukiwanie w głąb pomocniczego grafu acyklicznego poczynając od źródła s *) STOS — 0 ; STOS <= s; NOWY[s] •.= false; while STOS # 0 do (* główna pętla *) begin u •.= top(STOS); (* u = szczytowy element stosu *) (* znajdź pierwszy nowy wierzchołek na liście XZA[u] *) if P[u] = nil then b ~ false else b ••= not NOWY[P[u] wierzch];

while b do

45

begin P[u] ••= P\u]

\.nast;

46

if P[u] = nil then b — false

47 48 49 50 51

else b == not NOWY[P[u]

52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66

67 68

\.wierzch]

end; if P[u] # nil then (* nowy wierzchołek znaleziony * ) if P\u] \.wierzch = t then ( * znaleziona ścieżka naprzemienna *) ( * zwiększenie aktualnego skojarzenia wzdłuż ścieżki naprzemien­ nej reprezentowanej na stosie *) while top(STOS) / i d o begin y <= STOS; x STOS; SKOJ[x] := y; SKOĄy] x end ( * na stosie pozostaje jedynie źródło s *) else (* P\u] '[.wierzch # t *) begin v — P[u] \.wierzch; STOS <= v; NOWY[v] == false

end else (* P[u] = nil, tzn. nie ma już nowych wierzchołków na liście XZA[u] *) u <= STOS (* zdejmij szczytowy element stosu *)

end end; (* FAZA *) begin ( * program główny * ) for v G V do SKOJ[v] •.= 0 ; (* inicjalizacja: skojarzenie puste *) PGA; (* skonstruuj pomocniczy graf acykliczny *) repeat FAZA; PGA

until not XV[t] end

Podstawowym faktem odpowiedzialnym za dużą efektywność algorytmu Hopcrofta-Karpa jest t o , że liczba faz jest rzędu y/n. D o dowodu ograniczenia na liczbę faz potrzebny nam będzie następujący lemat:

EMAT

4.11

liech M i N będą dwoma skojarzeniami w grafie dwudzielnym H = <X, Y, E} tniech \M\ = r < s = |JV|. Różnica symetryczna M@N zawiera wtedy co najiniej s — r ścieżek naprzemiennych względem M, o parami rozłącznych zbiorach lierzchołków. )WÓD

rozważmy graf H* = {X, Y, M@N}, oraz oznaczmy przez C,, C składowe pójne tego grafu. Każdy wierzchołek grafu H* jest incydentny z co najwyżej Iną krawędzią z M\N i z co najwyżej jedną krawędzią z N\M (gdyż M i A/ skojarzeniami). Wynika stąd łatwo, że każda składowa C, ma jedną z nastęujących trzech postaci: p

(1) izolowany wierzchołek; (2) cykl parzystej długości o krawędziach na przemian w M\N i N'\M; (3) droga o krawędziach na przemian w M\NiN\M (nie musi to być ścież­ ka naprzemienna: oba jej końce mogą należeć do X, lub oba do Y). Oznaczmy przez E zbiór krawędzi składowej C, i rozważmy wielkość (5, = \Ej n N\ — \E n M\. M a m y d e {—1, 0, 1}, przy czym (5; = 1 wtedy i tylko ytedy, gdy C jest ścieżką naprzemienną względem M. Co więcej (5,- = 1 dla co liajmniej s — r wskaźników, j a k o że t

t

t

t

i=l

i'=l

i'=l

i= 1

= )N\M\-\M\N\

= \N] ~|M\

=

s-r

)owód lematu jest tym samym zakończony.

•

Możemy teraz przystąpić do dowodu zapowiedzianego już ograniczenia na [liczbę faz algorytmu WIERDZENIE

Hopcrofta-Karpa.

4.12

Liczba faz algorytmu Hopcrofta-Karpa nie przekracza 2 [ / j ' ] + l, gdzie s jest maksymalną licznością skojarzenia w danym grafie. v

DOWÓD

Oznaczmy przez P ,P ,...,P _ kolejne ścieżki naprzemienne konstruowane przez algorytm, oraz zdefiniujmy M = 0 , M = M , _ © / , _ dla 1 Zgodnie z algorytmem, P jest ścieżką naprzemienną względem M„ i wiemy już że \P \ < \Pi\ < ... < \P -i\ (por. lemat 4.4). Liczba faz to nic innego jak ilość is\ i niech r* będzie \P - ,|. Oznaczmy r różnych liczb w ciągu \P najmniejszym indeksem takim, że \P *\ = \P \. Zgodnie z konstrukcją pomocni­ czego grafu acyklicznego, P , jest najkrótszą ścieżką naprzemienną względem M (w istocie P jest najkrótszą ścieżką naprzemienną względem M dla każdego /, lecz fakt ten wymagałby dowodu, por. zad. 4.11). Wobec lematu 4.11 istnieje co 0

l

s

l

>

0

{

1

1

t

0

s

S

0

r

r

r

t

rt

t

najmniej \M \ — lM^I = s — r* rozłącznych ścieżek naprzemiennych względem M „ zatem najkrótsza ścieżka naprzemienna względem zawiera co najwyżej r*j(s — r*) krawędzi skojarzenia M^. Stąd S

r

^2-Js

-1 <21

VsJ +

l

Długość każdej ścieżki jest nieparzysta, a więc ciąg | P | , \P \ zawiera co naj­ wyżej I ^ / J J + 1 różnych liczb. Ciąg | P | , \P -x\ może zawierać co najwy­ żej ( 5 — 1 ) — ( r + 1 ) + 1 = s — r — 1 = f^/sl —1 < [y/s\ dalszych liczb, co w sumie daje żądane ograniczenie 2 L ^ / s J + l . • Łatwo j u ż teraz oszacować złożoność całego algorytmu 4.10. Zarówno przeszukiwanie wszerz w procedurze PGA, j a k i przeszukiwanie w głąb w proce­ durze FAZA wymaga O (m + n) kroków, co przy liczbie faz rzędu y/n daje cał­ kowitą złożoność O ((m + n) y/ń) lub, używając jedynie liczby wierzchołków j a k o wymiaru problemu, O (n ). Warto wspomnieć, że znany jest algorytm o złożoności O (n ) znajdowania skojarzenia o maksymalnej liczności w dowolnym, niekoniecznie dwudzielnym grafie (por. poz. [19]). Algorytm ten jest jednak bez porównania bardziej skom­ plikowany. Inny od przytoczonego tu, algorytm dla przypadku grafu dwudziel­ nego podał Galii w pracy [26]. 0

P + 1

r

s

5/2

5/2

Systemy różnych reprezentantów Niech <[A , A„y będzie dowolnym ciągiem zbiorów (niekoniecznie rozłącznych i niekoniecznie różnych). Systemem różnych reprezentantów dla (A , ...,A y na­ zywamy dowolny ciąg < a a„} taki, że a e A 1 < i < n o r a z a # aj dla 1 ¥= j . Mówimy, że w takim systemie różnych reprezentantów element a reprezentuje zbiór A^ Problem istnienia i konstrukcji systemu różnych reprezentantów znany jest w wielu nieformalnych sformułowaniach. Jednym z nich jest tzw. „problem komisji": M a m y n komisji, przy czym A jest zbiorem osób należących do i-tej komisji. Należy wybrać w każdej komisji przewodniczącego tak, by żadna osoba nie przewodniczyła więcej niż jednej komisji. 1

x

1;

t

h

n

;

t

t

Nietrudno zauważyć, że problem komisji sprowadza się do szczególnego przypadku problemu małżeństw. Istotnie, utwórzmy zbiory x = A, u ... u A, Y

=

=

(4.14)

s{yuy 's

(4.15)

n

(elementy x , ...,x ,y x

m

lt

...,y

n

E = {{x , yj}: 1 < i < m t

są parami różne), oraz A

1 < j < n

A

x e Aj} t

(4.16)

4.4/145

YSTEMY RÓŻNYCH REPREZENTANTÓW

czywiście każdy system różnych reprezentantów < a , a ~) odpowiada jednonacznie skojarzeniu o liczności n w grafie dwudzielnym H = (X, Y, £ > , miaowicie skojarzeniu { { a y }, {a„, y„}}. x

1;

n

t

n

Biorąc pod uwagę fakt, że graf Hma m + n wierzchołków i £

\Aj\ krawędzi,

j= i

trzymujemy "NIOSEK

4.13

la danego ciągu zbiorów (A , ...,A y możemy znaleźć system różnych reprentantów lub też stwierdzić, że żaden taki system nie istnieje, w czasie x

n

(V« 1 Myl)-

B

OWÓD

iczba faz w algorytmie Hopcrofta-Karpa zastosowanym do grafu H nie przeacza lijnł + l (por. twierdzenie 4.12). Stąd liczba kroków algorytmu jest n

(yjn (n+

^

\Aj\y).

Możemy zakładać, że wszystkie zbiory Aj są niepuste,

j= i

przeciwnym razie system różnych reprezentantów oczywiście nie istnieje. n

n

rzy takim założeniu n+

£ \Aj\ < 2 ^ \A \, co daje żądane oszacowanie złoj=i j=i oności algorytmu. B Udowodnimy teraz klasyczne twierdzenie Ph. Halla [30] dające warunek onieczny i dostateczny istnienia systemu różnych reprezentantów dla danego iągu zbiorów. TWIERDZENIE

}

4.14

System różnych reprezentantów dla ciągu (A , wtedy, gdy

A„} istnieje wtedy i tylko

x

\\JAj\

>\J\,

dla każdego J <= {1,

n}

(4.17)

jej DOWÓD

Jeśli istnieje system różnych reprezentantów

, to mamy dla każdego /

IU Aj\ > |U {aj}\ = \J\ Jej

jej

Załóżmy teraz, że nie istnieje system różnych reprezentantów dla (A , ...,A„}, i rozważmy skojarzenie M o maksymalnej liczności w grafie H = (X, Y, E), odpowiadającym ciągowi {A , ...,A„} (por. ze wzorami (4.14), (4.15), (4.16)). Oczywiście \M\ < n, a więc istnieje w Y wierzchołek wolny, powiedzmy b . Oznaczmy przez X zbiór tych wierzchołków x e X, d o których istnieje „częścio­ wa ścieżka naprzemienna" z b postaci ±

1

0

0

0

b, a 0

u

b,

b _i,

x

k

a

k

gdzie k > 1, a = x, {a b(} e M dla 1 < i < k—l, oraz a,} e E\Af dla X nie zawiera oczywiście wierzchołków wolnych, jako że taki k

h

0

10 KOMOINATORYKA

wierzchołek odpowiadałby ścieżce naprzemiennej, wbrew założeniu, że M ma maksymalną liczność. Niech Y będzie zbiorem wierzchołków skojarzonych przez M z wierzchołkami z X . Oznaczmy J ~ {j: 1 <_/ < n A y e Y u {b }}. Nietrudno zauważyć, że 0

0

}

0

0

U Aj = X

0

a więc \\JAj\

= \X \ 0

= \Y \=\J\-1< 0

|J|

JCJ

tzn. warunek (4.17) nie jest spełniony.

•

Oczywiście twierdzenie Halla nie ma większego znaczenia z algorytmicznego p u n k t u widzenia, gdyż sprawdzenie warunku (4.17) wymaga rozważenia wszy­ stkich 2" możliwych zbiorów / £ {1, . . . , « } . Udowodnimy jeszcze jedno twierdzenie związane ze skojarzeniami w grafie dwudzielnym. Nazwijmy pokryciem wierzchołkowym w grafie G = < V, E} d o ­ wolny zbiór P £ V taki, że każda krawędź e e E jest incydentna z pewnym wierzchołkiem ze zbioru P. Zauważmy, że P jest pokryciem wierzchołkowym wtedy i tylko wtedy, gdy V\P jest niezależnym zbiorem wierzchołków, tzn. zbio­ rem wierzchołków, z których żadne dwa nie są połączone krawędzią. W dalszym ciągu będą nas interesować pokrycia wierzchołkowe o minimalnej liczności w grafach dwudzielnych. Niech M będzie skojarzeniem o maksymalnej liczności w grafie dwudziel­ nym H = {X, Y, E}, i niech A będzie zbiorem wierzchołków a e X u Y osią­ galnych z wolnych wierzchołków w X przez „częściowe ścieżki naprzemienne", analogicznie do określonych w dowodzie twierdzenia Halla. LEMAT

4.15

Jeśli graf H nie zawiera izolowanych wierzchołków, to P = (X \A) VJ (Y n A) jest pokryciem wierzchołkowym o minimalnej liczności, natomiast N = (X n A) u u ( y \ y ł ) jest niezależnym zbiorem wierzchołków o maksymalnej liczności. DOWÓD

Pokażemy najpierw, że P jest pokryciem wierzchołkowym. Przypuśćmy, że pewna krawędź {x, y} e E, x e X, y e Y nie jest incydentna z żadnym z wierzchoł­ ków w P. Oznacza to, iż x e A i y $ A. Nie może być {x, y) e M, gdyż w takim przypadku wierzchołek x może być osiągnięty jedynie przez ścieżkę przechodzącą przez y, co pociągałoby ye A. Lecz sytuacja, w której {x, y} e E \ M jest również niemożliwa, gdyż ścieżkę prowadzącą do x można by powiększyć o krawędź [x, y}, co znów pociągałoby y e A. Otrzymana sprzeczność dowodzi, iż i jest pokryciem wierzchołkowym. Zauważmy, że żaden wierzchołek w P nie jest wolny. Dla wierz­ chołków z X\A wynika to bezpośrednio z definicji zbioru A, natomiast dla wierzchołków z YnA stąd, iż wolny wierzchołek w Yn A odpowiadałby 3

1

YSTEMY RÓŻNYCH REPREZENTANTÓW

pieżce naprzemiennej w z g l ę d e m M, w b r e w n a s z e m u z a ł o ż e n i u o m a k s y m a l n o ;i \M\.

W p o d o b n y s p o s ó b d o w o d z i m y , ż e c o najwyżej j e d e n w i e r z c h o ł e k d o -

olnej krawędzi {x, y] e M należy d o z b i o r u P: Jeśli ye m y m x£P.

Stąd w n i o s e k , ż e \P\ < \M\.

Y n A, to x e A, i t y m

Lecz k a ż d e p o k r y c i e w i e r z c h o ł k o w e

iusi z definicji z a w i e r a ć c o najmniej j e d e n w i e r z c h o ł e k każdej krawędzi, a dla •awędzi skojarzenia wierzchołki te są o c z y w i ś c i e p a r a m i r ó ż n e . M u s i więc b y ć ,wsze | P | 2& \M\,

c o d o w o d z i , że nasze p o k r y c i e w i e r z c h o ł k o w e m a m i n i m a l n ą

a n o ś ć , i ż e | P | = \M\. D r a g a część l e m a t u w y n i k a z pierwszej n a m o c y n a s z y c h jprzednich u w a g i t e g o , iż N = (X u Y)\P. Odnotujmy

wniosek

z powyższego

B

dowodu

(zauważmy,

że

wierzchołki

olowane nie mają ż a d n e g o w p ł y w u ani n a skojarzenia, ani n a p o k r y c i a wierz-

ołkowe). NIOSEK

4.16

d o w o l n y m grafie d w u d z i e l n y m m i n i m a l n a l i c z n o ś ć p o k r y c i a w i e r z c h o ł k o w e g o it r ó w n a m a k s y m a l n e j liczności skojarzenia.

®

W a r t o p o d a ć t u inne r ó w n o w a ż n e s f o r m u ł o w a n i e p o w y ż s z e g o faktu w ter­ m a c h m a c i e r z y z e r o j e d y n k o w y c h . Przez linię takiej m a c i e r z y b ę d z i e m y r o z u m i e ć wiersz lub k o l u m n ę . P o n i ż s z e twierdzenie z w a n e jest c z ę s t o

„twierdzeniem

ggierskim". WIERDZENIE 4.17 ( K ó n i g i Egervary). la d o w o l n e j macierzy z e r o j e d y n k o w e j m a k s y m a l n a l i c z n o ś ć z b i o r u (wystąpień) dynek, z k t ó r y c h ż a d n e d w i e nic leżą NA jednej linii jest r ó w n a minimalnej licz:e linii, k t ó r y m i m o ż n a p o k r y ć wszystkie j e d y n k i . OWÓD

•la danej m a c i e r z y z e r o j e d y n k o w e j A = [ a j (-/

twórzmy FC

graf

{.VI, • • • , > ' , „ }

dwudzielny

H — (X,

Y, £ > ,

o n wierszach i m gdzie

X ~ {x

u

kolumnach x„},

Y =

oraz

-atwo z a u w a ż y ć , że zbiory j e d y n e k w A, z k t ó r y c h ż a d n e d w i e nie leżą n a tej Umej linii odpowiadają d o k ł a d n i e s k o j a r z e n i o m w H, n a t o m i a s t k a ż d y z b i ó r li­ ii w A p o k r y w a j ą c y c h w s z y s t k i e j e d y n k i reprezentuje p o k r y c i e w i e r z c h o ł k o w e t H. N a s z e twierdzenie jest więc P O p r o s t u innym s f o r m u ł o w a n i e m

wniosku

.16.

B N a rysunku 4.5 p r z e d s t a w i o n o graf d w u d z i e l n y w r a z zc skojarzeniem o m a -

s y m a l n e j liczności i p o k r y c i e m wierzch o r k o w y m o M I N I M A L N E J liczności, odpowiadającą macierz z e r c j e d y n k o w ą ilustrującą T W I E R D Z E N I E W Ę G I E R S K I E .

Zauważmy, że zbiór A w y s t ę p u j ą c y w sie

O (\X\ + | Y\ + \E\)

LEMACIE

stosując p r z e s z u k i w a n i e w

ORAZ

4.15 m o ż n a z n a l e ź ć w c z a ­

GŁĄB

(lub

WSZERZ).

Jeśli

SKORZY­

stam]' z a l g o r y t m u H o p c r o f t a - K a r p a i z a u w a ż y m y , że k a ż d y w i e r z c h o ł e k i z o l o -

wany może być usunięty z dowolnego pokrycia wierzchołkowego i może być dodany d o każdego niezależnego zbioru wierzchołków, to otrzymamy nastę­ pujący wniosek: WNIOSEK 4 . 1 8

Zarówno pokrycie wierzchołkowe o minimalnej liczności, j a k i niezależny zbiór wierzchołków o maksymalnej liczaości w dowolnym grafie dwudzielnym H = = {X, Y, E} mogą być znalezione w czasie O ((m + n) Jn), gdzie n = \X \J Y\, m = \E\. B

RYS. 4.5

Ilustracja twier­ dzenia węgier­ skiego

W a r t o wspomnieć, że dla powyższych problemów nie jest znany żaden al­ gorytm wielomianowy w przypadku dowolnych grafów, niekoniecznie dwu­ dzielnych. N a zakończenie tego p u n k t u zajmiemy się jeszcze problemem istnienia wspólnego systemu różnych reprezentantów dla dwóch ciągów z b i o r ó w , < ^ 4 , A „ ) i (i?!, ...,-#„>. Rozumienie takiego systemu j a k o p o prostu systemu różnych reprezentantów zarówno dla pierwszego, jak i drugiego ciągu nie prowadzi d o niczego ciekawego: sytuacja sprowadza się po prostu do rozpatrywania cią­ gu n B, A„ n B }. Dlatego też zdefiniujemy wspólny system różnych reprezentantów dla naszych ciągów jako dowolny ciąg (a a } o tej własności, że istnieje permutacją a zbioru { 1 , n} taka, że (a , a„} jest systemem róż­ nych reprezentantów dla (A -..,A„} i dla C B , ...,B y. Problem istnienia i konstrukcji takiego systemu łatwo sprowadzić (por. poz. [23]) do znajdowania. Pokażemy teraz zastosowanie powyższego twierdzenia do teorii sieci k o ­ mutacyjnych stosowanych w telefonii. Załóżmy, że dane są dwa zbiory „abo­ nentów" Xi Y, oraz niech \ X\ = | Y\ = N. Naszym zadaniem jest zaprojektować urządzenie, składające się z pojedynczych zestyków, które byłoby w stanie zrea­ lizować układ połączeń określony przez dowolne, wzajemnie jednoznaczne od­ wzorowanie (p: X -* Y. Urządzenie takie nazywać będziemy siecią przestrajalną wymiaru N x N. Zakładamy, że każdy zestyk może się znajdować w jednym z dwóch stanów: zwarty i rozwarty. Najprostszym rozwiązaniem, lecz wymagającym aż N zestyków, jest zastosowanie oddzielnego zestyku między każdą parą abonenL

n

lt

n

Y

u

ffU)

ain)

2

148

r

STEMY RÓŻNYCH REPREZENTANTÓW

4

5w j > e X x Y. Realizacja odwzorowania , x e X oraz rozwarciu wszystkich pozostałych. Urządzenie takie azywamy komutatorem wymiaru N x N. Zauważmy, że każda sieć przestrajalna będąc w stanie zrealizować wszykie N\ (wzajemnie jednoznacznych) odwzorowań z X na Y, musi mieć co najiniej NI możliwych stanów. Skoro stan jest określony przez kombinację stanów [(szczególnych (dwustanowych) zestyków, to łiczba zestyków musi być równa co ymniej log NI = Q (Nlog N). Poniżej pokażemy, że istnieje sieć przestrajalna iwierająca O (N log N) zestyków. Załóżmy, że N = nk, gdzie n i k są liczbami całkowitymi, większymi od dności. Trójsekcyjną sieć Ciosa (por. poz. [ 4 ] , [ 7 ] , [50]) typu p o k a z a n o na rysunku 4.6. Sekcja 1

IYS. 4.6

Sekcja 2

Sekcja 3

Trójsekcyjną sieć Ciosa typu < 3 , 2>

RWIERDZENIE

4.20.

(Slepian [62], Diguid [10]).

Trójsekcyjną sieć Ciosa jest siecią przestrajalna. OWÓD

^iech (p będzie dowolnym wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem X na Y. ^Oznaczmy przez A zbiór wejść i-tego komutatora sekcji pierwszej, przez Q tbiór wyjść ('-tego komutatora sekcji trzeciej, oraz t

B = {x e X: