Kommutative Algebra 002

Skript Kommutative Algebra WS 2003/04 Tim R¨omer FB Mathematik/Informatik, Universit¨ at Osnabr¨ uck

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Algebra und Geometrie 1. Polynomringe 2. Affine algebraische Mengen 3. Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes 4. Grundbegriffe der Modultheorie 5. Ganze Ringerweiterungen 6. Endlich erzeugte K¨orpererweiterungen 7. Irreduzible Komponenten einer algebraischen Menge 8. Zusammenfassung

5 5 9 18 23 27 31 33 37

Kapitel 2. Dimensionstheorie 1. Das Spektrum eines Rings 2. Die Krulldimension von topologischen R¨aumen und Ringen 3. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen 4. Transzendente K¨orpererweiterungen 5. Dimension affiner K-Algebren

39 39 47 50 55 58

Kapitel 3. Modultheorie 1. Lokalisation 2. Der Tr¨ager und die assoziierte Primideale eines Moduls 3. Prim¨arzerlegung 4. Kompositionsreihen von Moduln

67 67 72 77 81

Literaturverzeichnis

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KAPITEL 1

Algebra und Geometrie Grundlage f¨ ur die Inhalte dieses Kapitels sind die entsprechenden Abschnitte der B¨ ucher von Cox, Little, O’Shea [2] und Kunz [4]. R sei stets ein kommutativer Ring mit Einselement. 1. Polynomringe Mit K bezeichnen wir immer einen K¨orper (etwas Q, R, C). Aus den Anf¨angervorlesungen sind uns Polynomringe bekannt. In diesem Kapitel werden wir uns vor allem mit diesen Ringen besch¨aftigen. In den Anf¨angervorlesungen wird der Polynomring in einer Unbestimmten konstruiert. Dieses Verfahren kann wiederholt werden um Polynomringe in mehreren Variablen zu konstruieren. Wir werden in diesem Abschnitt einen anderen geeigneteren Zugang zu dieser Konstruktion pr¨asentieren und zeigen, dass er dasselbe Ergebnis liefert. Zun¨achst wiederholen wir den Begriff der Ringadjunktion. Definition 1.1. Sei R ⊆ S eine Ringerweiterung und {ai }i∈I eine Teilmenge von S. Der Ring R[{ai }i∈I ] ist der kleinste Unterring P ⊆ S mit den Eigenschaften (i) R ⊆ P , (ii) f¨ ur i ∈ I gilt ai ∈ P . Ist I = {1, . . . , n} endlich, dann schreiben wir R[a1 , . . . , an ]. Man sagt auch, dass R[{ai }i∈I ] aus R durch Adjunktion der Elemente {ai }i∈I von S entsteht. Dieser Ring l¨asst sich auf folgende Arten charakterisieren. Satz 1.2. Sei R ⊆ S eine Ringerweiterung und a1 , . . . , an ∈ S. Dann gilt: (i) R[{ai }i∈I ] = ∩R0 ⊆S Ring, a1 ,...,an ∈R0 R0 , (ii) X R[a1 , . . . , an ] = {a ∈ S : a = c(u1 ,...,un ) au1 1 · · · aunn mit c(u1 ,...,un ) ∈ R (u1 ,...,un )∈Nn

und fast alle c(u1 ,...,un ) = 0}. Beweis. Die Beschreibung (i) folgt direkt aus der Definition. Sei X P = {a ∈ S : a = c(u1 ,...,un ) au1 1 · · · aunn mit c(u1 ,...,un ) ∈ R (u1 ,...,un )∈Nn

und fast alle c(u1 ,...,un ) = 0}. Dann ist P ein Unterring von S, der a1 , . . . , an enth¨alt. Ist P 0 ein weiterer Unterring von S mit dieser Eigenschaft, so gilt P ⊆ P 0 . Dies zeigt die Behauptung (ii). 

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Beispiel 1.3. Betrachte: (i) S = C[X][Y ], R = C, I = {1} und a1 = X. Dann ist R[X] ⊆ S ein Polynomring. (ii) S = C, R = R, I = {1} und a1 = i. Dann ist R[i] = S kein Polynomring, da i2 + 1 = 0 gilt. Konstruktion 1.4. Sei R ein Ring und R[X1 , . . . , Xn ] = {(c(u1 ,...,un ) )(u1 ,...,un )∈Nn : c(u1 ,...,un ) ∈ R, fast alle c(u1 ,...,un ) = 0}. Definiere die Addition (b(u1 ,...,un ) ) + (c(u1 ,...,un ) ) = (b(u1 ,...,un ) + c(u1 ,...,un ) ) und die Multiplikation (a(u1 ,...,un ) )(b(u1 ,...,un ) ) = (c(u1 ,...,un ) ) mit X

c(u1 ,...,un ) =

a(s1 ,...,sn ) b(t1 ,...,tn ) .

(s1 ,...,sn )+(t1 ,...,tn )=(u1 ,...,un )

Sei e(u1 ,...,un )

( 1 (u1 , . . . , un ) = (0, . . . , 0), = 0 sonst.

Man rechnet nun nach, dass R[X1 , . . . , Xn ] ein Ring mit 1 = (e(u1 ,...,un ) ) und 0 = (0) ist. Man nennt R[X1 , . . . , Xn ] den Polynomring in n Unbestimmten (Variablen) u ¨ber R. F¨ ur n = 1 ist R[X] = {(cu )u∈N : cu ∈ R, fast alle cu = 0} der u ¨bliche Polynomring in einer Unbestimmten. Satz 1.5. Sei R ein Ring. Dann entsteht der Ring S = R[X1 , . . . , Xn ] aus dem Ring R∼ ur (u1 , . . . , un ) 6= (0, . . . , 0), c(0,...,0) ∈ R} = {(c(u ,...,u ) : c(u ,...,u ) = 0 f¨ 1

n

1

n

i durch Adjunktion der Elemente δ i = (δ(u ) mit 1 ,...,un ) ( 1 falls (u1 , . . . , un ) = εi , i δ(u = 1 ,...,un ) 0 sonst.

Wir bezeichnen dann δ i mit Xi . Beweis. Nachrechnen.



Bemerkung 1.6. Wir fassen nun die Ergebnisse zusammen. Jedes Element f ∈ R[X1 , . . . , Xn ] besitzt eine eindeutige Darstellung als Polynom X c(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun . f= (u1 ,...,un )

1. POLYNOMRINGE

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Dies wird auch als eine formale Summe der Unbestimmten X1 , . . . , Xn bezeichnet. Also ist R[X1 , . . . , Xn ] X ={ c(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun : c(u1 ,...,un ) ∈ R, fast alle c(u1 ,...,un ) = 0}. (u1 ,...,un )∈Nn

Dies ist ein kommutativer Ring mit 1 verm¨oge der Addition X X d(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun c(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun + (u1 ,...,un )∈Nn

(u1 ,...,un )∈Nn

X

=

(c(u1 ,...,un ) + d(u1 ,...,un ) )X1u1 · · · Xnun

(u1 ,...,un )∈Nn

und der Multiplikation X ( c(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun ) · (

X

d(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun )

(u1 ,...,un )∈Nn

(u1 ,...,un )∈Nn

X

=

f(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun )

(u1 ,...,un )∈Nn

X

mit f(u1 ,...,un ) = (s1 ,...,sn ),(t1 ,...,tn

)∈Nn ,

c(s1 ,...,sn ) d(t1 ,...,tn ) .

(s1 ,...,sn )+(t1 ,...,tn )=(u1 ,...,un )

Ist n ≤ 3 so schreiben wir f¨ ur den Polynomring auch oft K[X], K[X, Y ] bzw. K[X, Y, Z]. Beispiel 1.7. Zum Beispiel ist X13 X24 + X12 X29 ∈ R[X1 , X2 ]. Satz 1.8. Seien R, S Ringe, ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus und a1 , . . . , an ∈ S. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus Φ : R[X1 , . . . , Xn ] → S mit (i) Φ|R = ϕ, (ii) Φ(Xi ) = ai f¨ ur i = 1, . . . , n. Ist insbesondere S = R[a1 , . . . , an ], so ist Φ ein Epimorphismus. Beweis. Eindeutigkeit: Existiert Φ und ist X f= c(u1 ,...,un ) X1u1 · · · Xnun ∈ R[X1 , . . . , Xn ], (u1 ,...,un )∈Nn

so gilt Φ(f ) =

X

Φ(c(u1 ,...,un ) )Φ(X1 )u1 · · · Φ(Xn )un

(u1 ,...,un )∈Nn

=

X (u1 ,...,un )∈Nn

ϕ(c(u1 ,...,un ) )au1 1 · · · aunn .

8

1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Existenz: Sei Φ(f ) =

X

ϕ(a(u1 ,...,un ) )au1 1 · · · aunn .

(u1 ,...,un )∈Nn

Man zeigt nun, dass Φ ein Homomorphismus ist (dies folgt im Wesentlichen daraus, dass ϕ ein Homomorphismus ist).  Korollar 1.9. Sei n ∈ N und R ein Ring. Dann gilt R[X1 , . . . , Xn ][Xn+1 ] ∼ = R[X1 , . . . , Xn+1 ]. Beweis. Sei S = R[X1 , . . . , Xn+1 ]. Betrachte den Monomorphismus (Einbettung) ϕ : R → S,

a 7→ a.

Wir definieren a1 = X1 , . . . , an = Xn . Dann existiert nach 1.8 ein eindeutiger Homomorphismus Φ : R[X1 , . . . , Xn ] → S mit (i) Φ|R = ϕ, (ii) Φ(Xi ) = ai f¨ ur i = 1, . . . , n. Man beachte, dass Φ injektiv ist. Nun betrachtet man den Homomorphismus ϕ0 = Φ : R[X1 , . . . , Xn ] → S und definiert a01 = Xn+1 . Wieder nach 1.8 existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus Φ0 : R[X1 , . . . , Xn ][Xn+1 ] → S mit (i) Φ0|R[X1 ,...,Xn ] = ϕ0 = Φ, (ii) Φ(Xn+1 ) = a01 = Xn+1 . ¨ Φ0 ist der gesuchte Isomorphismus. (Ubungsaufgabe: Zeige, dass Φ0 wirklich ein Isomorphismus ist.)  Definition 1.10. Sei R ein Ring und S = R[X1 , . . . , Xn ]. (i) Sei u = (u1 , . . . , un ) ∈ Nn . Ein Element X u = X1u1 · · · Xnun ∈ S heißt ein Monom. Man nennt u den Multigrad und |u| = u1 + · · · + un den Totalgrad von X u . F¨ ur u = (0, . . . , 0) gilt X u = 1. Ist a ∈ K, so nennt man a · X u einen Term. P (ii) Sei f = u∈Nn cu X u ∈ S beliebig. Definiere ( max{|u| : cu 6= 0} f 6= 0, grad(f ) = −∞ f = 0. Dann heißt grad(f ) der (Total-) Grad von Pf . Ist insbesondere n = 1 und 0 6= f = u∈N cu X u . Dann gilt grad(f ) = max{u : cu 6= 0}. Das Element cgrad(f ) = Leit(f ) heißt dann in diesem Fall der Leitkoeffizientvon f . Das Polynom f heißt normiert, wenn Leit(f ) = 1. Bemerkung 1.11. Seien f, g ∈ R[X], grad(f ) = m, grad(g) = n, cm = Leit(f ) und dn = Leit(g). Dann gilt: (i) grad(f + g) ≤ max{grad(f ), grad(g)}. Es gilt Gleichheit genau dann, wenn (a) grad(f ) 6= grad(g), (b) oder f = g = 0,

2. AFFINE ALGEBRAISCHE MENGEN

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(c) oder grad(f ) = grad(g) und cm + dn 6= 0. (ii) grad(f · g) ≤ grad(f ) + grad(g). Es gilt Gleichheit genau dann, wenn (a) f = 0 oder g = 0, (b) oder f 6= 0, g 6= 0 und cm · dn 6= 0 (z.B. in einem Integrit¨atsbereich). Satz 1.12. Sei R ein Integrit¨atsbereich. Dann gilt: (i) R ist genau dann ein Integrit¨atsbereich, wenn R[X1 , . . . , Xn ] ein Integrit¨atsbereich ist. (ii) R ist genau dann ein faktorieller Ring, wenn R[X1 , . . . , Xn ] ein faktorieller Ring ist. (iii) Die Einheitengruppe R[X1 , . . . , Xn ]∗ ist R∗ . Beweis. Wir beweisen alle Aussagen durch eine Induktion nach n. Zu (i): Sei n = 1. Ist R[X] ein Integrit¨atsbereich, dann ist R als Unterring von R[X] auch ein Integrit¨atsbereich. Sei nun R ein Integrit¨atsbereich und 0 6= f, g ∈ R[X]. Dann gilt nach 1.11, dass grad(f g) = grad(f ) grad(g) 6= 0 und daher f g 6= 0. Also ist R[X] ein Integrit¨atsbereich. F¨ ur n > 1 folgt die Aussage aus 1.9 und der Induktionsannahme wegen R[X1 , . . . , Xn ] ∼ = R[X1 , . . . , Xn−1 ][Xn ]. Zu (ii) und (iii): In der Vorlesung “Einf¨ uhrung in die Algebra” wurde bewiesen, dass R genau dann ein faktorieller Ring ist, wenn R[X] ein faktorieller Ring ist (Satz von Gauß). Ferner wurde gezeigt, dass R[X]∗ = R∗ gilt. Mit Hilfe dieser Aussagen beweist man (ii) und (iii) analog zu (i).  Bemerkung 1.13. Sei K ein K¨orper. Dann ist K[X] zusammen mit der Abbildung grad und mit Hilfe der Division mit Rest ein euklidischer Ring (siehe Vorlesung Einf¨ uhrung in die Algebra). Insbesondere ist K[X] ein Hauptidealbereich. Diese Eigenschaften lassen sich nicht auf beliebige Polynomringe verallgemeinern. Zum Beispiel ist K[X, Y ] schon kein Hauptidealbereich mehr, da das Ideal (X, Y ) kein Hauptideal ist. Es l¨asst sich aber die Division mit Rest geeignet verallgemeinern. Dies ist ein Gegenstand der Vorlesung Computeralgebra und wird in dieser Vorlesung nicht behandelt. 2. Affine algebraische Mengen In diesem Abschnitt werden die grundlegenden geometrischen Objekte definiert, die wir mit Hilfe der Algebra untersuchen werden. Definition 2.1. Sei K ein K¨orper und n ∈ N, n > 0. Die Menge AnK = {(a1 , . . . , an ) : a1 , . . . , an ∈ K} heißt der n-dimensionale affine Raum. Ein Element (a1 , . . . , an ) ∈ AnK heißt ein Punkt und ai die Koordinaten des Punktes. A1K heißt auch die affine Gerade und A2K die affine Ebene.

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Dieser Raum ist aus der “Linearen Algebra” wohlbekannt. Eine geometrische Anschauung gewinnt man, indem man als K¨orper z. B. R w¨ahlt. Jedes Polynom f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] definiert eine Abbildung f : AnK → K, (a1 , . . . , an ) 7→ f (a1 , . . . , an ). Diese Abbildung ist aber nur dann eindeutig durch f bestimmt, wenn K unend¨ lich viele Elemente besitzt (siehe Ubung). Ein Punkt (a1 , . . . , an ) ∈ AnK heißt eine Nullstelle von f , wenn f (a1 , . . . , an ) = 0 gilt. Definition 2.2. Eine Teilmenge V ⊆ AnK heißt eine (affine) algebraische Menge, wenn es eine Teilmenge T ⊆ K[X1 , . . . , Xn ] gibt, so dass V = {(a1 , . . . , an ) ∈ AnK : f (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur alle f ∈ T }. Wir schreiben auch V = V (T ). Algebraische Mengen sind also die Nullstellenmengen von einer gegebenen Menge von Polynomen. Beispiel 2.3. (i) In der linearen Algebra werden L¨osungsmengen linearer Gleichungssysteme studiert: c11 X1 + · · · + c1n Xn = b1 c21 X1 + · · · + c2n Xn = b2 .. .. .. . . . cm1 X1 + · · · + cmn Xn = bm Hierbei sind die Koeffizienten alle in einem K¨orper K gew¨ ahlt. Ist V die P L¨osungsmenge dieses Gleichungssystems, so gilt mit fi = nj=1 cij Xj − bi f¨ ur i = 1, . . . , m, dass V = {(a1 , . . . , an ) ∈ AnK : fi (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur i = 1, . . . , m}. Daher ist V eine algebraische Menge. In der linearen Algebra werden schon eine Reihe von interessanten Fragen zu diesem System untersucht. Zum Beispiel wann solch ein System l¨osbar ist, wie man die L¨osungen berechnen kann, usw. Ist der Rang der Matrix (cij ) gleich r, so nennt man V eine lineare Variet¨at der Dimension n − r. Nulldimensionale lineare Variet¨aten sind gerade die Punkte aus AnK . Die 1-dimensionalen linearen Variet¨aten heißen auch Geraden und die n − 1-dimensionalen werden Hyperebenen genannt. (ii) AnK ist die L¨osungsmenge von der leeren Menge ∅ ⊆ K[X1 , . . . , Xn ], also insbesondere eine algebraische Menge. ∅ ist als L¨osungsmenge der 1 ∈ K[X1 , . . . , Xn ] auch eine algebraische Menge. (iii) Die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms heißt eine affine Hyperfl¨ache. Im Falle n = 2 spricht man auch von einer ebenen Kurve. Zum Beispiel ist V (X 2 +Y 2 −1) ⊂ A2R der Kreis und V ((X 2 +Y 2 )3 −4X 2 Y 2 ) ⊂ A2R ein vierbl¨attriges Kleeblatt.

2. AFFINE ALGEBRAISCHE MENGEN

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(iv) Wie man aber an dem Beispiel V (X 2 +1) ⊂ A1K sieht, ist die L¨osungsmenge vom K¨orper abh¨angig, da hier im Falle K = R die L¨osungsmenge ∅ und nicht wie im Falle K = C gleich {i, −i} ist. (v) Z.B. ist V (X 2 ) = V (X) ⊂ A1K . Algebraische Mengen k¨onnen somit als Nullstellenmenge von unterschiedlichen Polynomen realisiert werden. Satz 2.4. Sei V (T ) ⊆ AnK eine algebraische Menge mit T ⊆ K[X1 , . . . , Xn ]. Sei I ⊆ K[X1 , . . . , Xn ] das von T erzeugte Ideal in K[X1 , . . . , Xn ], d.h. m X I = {f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] : f = gi hi mit hi ∈ T, gi ∈ K[X1 , . . . , Xn ]}. i=1

Dann gilt ur alle f ∈ I}. V = {(a1 , . . . , an ) ∈ AnK : f (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ Algebraische Mengen sind also Nullstellenmengen von Idealen von K[X1 , . . . , Xn ]. Man schreibt dann auch V = V (I) und nennt dies die Nullstellenmenge von I. Beweis. Sei W = {(a1 , . . . , an ) ∈ AnK : f (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur alle f ∈ I}. Es gilt trivialerweise V ⊇ W , da T ⊆ I. Sei nun (a1 , . . . , an ) ∈ V und f ∈ I beliebig. Dann ist m X f= gi hi mit hi ∈ T, gi ∈ K[X1 , . . . , Xn ]. i=1

Daher f (a1 , . . . , an ) =

m X

gi (a1 , . . . , an )hi (a1 , . . . , an ) =

i=1

m X

gi (a1 , . . . , an )0 = 0.

i=1

Also x ∈ W . Somit gilt V = W und dies war zu zeigen.



Es ist immer noch unbefriedigend, dass sich eine algebraische Menge bisher nur als Nullstellenmenge von evtl. unendlich vielen Polynomen darstellen l¨asst. Wir werden zeigen, dass eine algebraische Menge immer eine Nullstellenmenge von endlich vielen Polynomen ist. Definition 2.5. Sei R ein kommutativer Ring. (i) Ein Ideal I ⊆ R heißt endlich erzeugt, wenn Elemente a1 , . . . , an ∈ R existieren mit n X I={ bi ai : bi ∈ R}. i=1

Wir schreiben dann I = (a1 , . . . , an ). Das Ideal heißt ein Hauptideal, wenn I = (a) f¨ ur ein a ∈ R gilt. (ii) Ein Ring R heißt ein Hauptidealring, wenn jedes Ideal von R ein Hauptideal ist. Ist R zus¨atzlich ein Integrit¨atsbereich, so heißt R ein Hauptidealbereich. (iii) Ein Ring R heißt ein noetherscher Ring, wenn jedes Ideal von R endlich erzeugt ist.

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Beispiel 2.6. Aus den Anf¨angervorlesungen ist bekannt, dass Z und f¨ ur einen K¨orper K auch K[X] Hauptidealbereiche sind. Jeder Hauptidealbereich ist trivialerweise ein noetherscher Ring. Eine erste Klasse von noetherschen Ringen wird wie folgt gewonnen. Satz 2.7. Sei R ein noetherscher Ring, I ⊆ R ein Ideal. Dann ist auch R/I ein noetherscher Ring. Beweis. Sei ϕ : R → R/I, a 7→ a der nat¨ urliche Restklassenhomomorphismus. Sei nun J ⊆ R/I ein Ideal und L = −1 ϕ (J). Dann ist L ein Ideal von R. Da R noethersch ist, existieren a1 , . . . , an mit L = (a1 , . . . , an ). Daher ist J = ϕ(L) = (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) auch endlich erzeugt. Somit ist R/I noethersch.



Zun¨achst werden wir die Eigenschaft “noethersch” charakterisieren. Satz 2.8. Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: (i) R ist ein noetherscher Ring. (ii) In R gilt der Teilerkettensatz: Jede aufsteigende Kette von Idealen I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · wird station¨ar, d.h. es existiert ein k0 ∈ N mit Ik+1 = Ik f¨ ur k ≥ k0 . (iii) In R gilt die Maximalbedingung f¨ ur Ideale: Jede nichtleere Menge von Idealen aus R enth¨alt ein maximales Element bzgl. der Inklusion. Beweis. (i)S⇒ (ii): Sei R noethersch und eine Teilerkette wie in (ii) gegeben. Dann ist I = k≥1 Ik ein Ideal. Wegen der Voraussetzung ist I endlich erzeugt und daher existieren Elemente a1 , . . . , an ∈ R mit I = (a1 , . . . , an ). Da ai ∈ I existiert ein ki mit ai ∈ Iki . W¨ahle k0 = max{k1 , . . . , kn }. Dann ist ai ∈ Ik0 f¨ ur alle i. F¨ ur k ≥ k0 gilt nun I = (a1 , . . . , an ) ⊆ Ik0 ⊆ Ik ⊆ I = (a1 , . . . , an ). Es muss u ur k ≥ k0 . Dies beweist den ¨berall Gleichheit gelten und es folgt Ik = Ik0 f¨ Teilerkettensatz. (ii) ⇒ (iii): Angenommen es g¨abe eine nichtleer Menge M von Idealen von R ohne ein maximales Element. Wir zeigen durch eine Induktion nach n, dass wir eine Kette von Idealen I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In finden mit Ij ∈ M und Ij 6= Ij+1 . Dies ist dann ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass in R der Teilerkettensatz gilt. F¨ ur n = 1 w¨ahlen wir I1 ∈ M beliebig. Sei nun I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In mit Ij ∈ M und Ij 6= Ij+1 bereits gefunden. Da M kein maximales Element besitzt, existiert ein Ideal In+1 ∈ M mit In ⊂ In+1 und In 6= In+1 . Dies zeigt die Behauptung.

2. AFFINE ALGEBRAISCHE MENGEN

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(iii) ⇒ (i): Sei I ein Ideal von R und M die Menge aller endlich erzeugten Ideale von R, die in I enthalten sind. Sei (a1 , . . . , an ) ein maximales Element von M. Dann ist I = (a1 , . . . , an ), da sonst ein an+1 ∈ I \ (a1 , . . . , an ) existieren w¨ urde und es w¨are (a1 , . . . , an ) ⊂ (a1 , . . . , an+1 ) ⊆ I mit (a1 , . . . , an ) 6= (a1 , . . . , an+1 ) im Widerspruch zur Wahl von (a1 , . . . , an ).  Nun gilt: Satz 2.9 (Hilbertscher Basissatz). Ist R ein noetherscher Ring, dann ist auch der Polynomring R[X] ein noetherscher Ring. Beweis. Wir nehmen an, dass R[X] nicht noethersch ist. Sei I ⊂ R[X] ein Ideal, welches nicht endlich erzeugt ist. Sei f1 ∈ I ein Polynom kleinsten Grades. Ist f¨ ur k ≥ 1 ein Polynom fk ∈ I gew¨ahlt, so sei fk+1 ein Polynom kleinsten Grades aus I \ (f1 , . . . , fk ). Sei nk = grad(fk ) der Grad und ak = Leit(fk ) der Leitkoeffizient von fk f¨ ur k ≥ 1. Es gilt n1 ≤ n2 ≤ . . . und (a1 ) ⊂ (a1 , a2 ) ⊂ (a1 , a2 , a3 ) ⊂ . . . ist eine aufsteigende Idealkette von Idealen in R. Angenommen es gilt (a1 , . . . , ak ) = (a1 , . . . , ak+1 ) f¨ ur ein k. Dann existiert eine Gleichung ak+1 =

k X

bi ai , bi ∈ R.

i=1

Betrachte g = fk+1 −

k X

bi X nk+1 −ni fi .

i=1

Dann ist g ∈ I \ (f1 , . . . , fk ) und grad(g) < grad(fk ). Dies ist ein Widerspruch zur Wahl von fk+1 und daher folgt (a1 , . . . , ak ) 6= (a1 , . . . , ak+1 ). Dann haben wir aber eine Idealkette in R konstruiert, die nicht station¨ar wird. Dies ist erneut ein Widerspruch. Daher muss R[X] noethersch sein.  Korollar 2.10. Sei K ein K¨orper. Dann ist der Polynomring K[X1 , . . . , Xn ] ein noetherscher Ring. Beweis. Wir zeigen dies durch eine Induktion nach n. F¨ ur n = 1 folgt dies aus 2.9. Sei n > 0 und bereits gezeigt, dass R[X1 , . . . , Xn ] ein noetherscher Ring ist. Aus 1.9 und 2.9 folgt Dann, dass auch R[X1 , . . . , Xn+1 ] ∼ = R[X1 , . . . , Xn ][Xn+1 ] ein noetherscher Ring ist. Dies hat f¨ ur algebraische Mengen Konsequenzen.



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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Korollar 2.11. Sei V (I) ⊆ AnK eine algebraische Menge mit definierendem Ideal I ⊆ K[X1 , . . . , Xn ]. Dann existieren endlich viele Polynome f1 , . . . , fm ∈ K[X1 , . . . , Xn ] mit I = (f1 , . . . , fm ) und V (I) = V (f1 , . . . , fm ). Insbesondere ist jede algebraische Menge Durchschnitt von endlich vielen Hyperfl¨achen. Beweis. Es gilt V (I) = V (f1 , . . . , fm ) =

m \

V (fi ).

i=1

 Die bisherig Diskussion zeigt, dass eine surjektive Abbildung V : {Ideale von K[X1 , . . . , Xn ]} → {Algebraische Menge in AnK }, I 7→ V (I) existiert. Ferner sind die Ideale alle endlich erzeugt. Diese Abbildung ist nicht inur k ≥ 1 zeigt. jektiv, wie das Beispiel V (X1 ) = V (X1k ) f¨ Wir untersuchen die Abbildung V genauer. Satz 2.12. Es gilt: (i) V (0) = AnK und V (K[X1 , . . . , Xn ]) = ∅. (ii) I ⊂ J Ideale in K[X1 , . . . , Xn ], dann gilt V (I) ⊃ V (J). (iii) Seien I, J ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] Ideale. Dann gilt: V (I) ∪ V (J) = V (I ∩ J). Insbesondere sind endliche Vereinigungen algebraischer Mengen wieder algebraische Mengen. (iv) Sei Λ eine Indexmenge und seien Iλ ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] f¨ ur λ ∈ Λ Ideale. Dann gilt: \ X V (Iλ ) = V ( Iλ ). λ∈Λ

λ∈Λ

Insbesondere sind beliebige Durchschnitte algebraischer Mengen wieder algebraische Mengen. Beweis. (i) und (ii) sind trivial. (iii) Sei a = (a1 , . . . , an ) ∈ V (I) ∪ V (J). Wir nehmen ohne Einschr¨ankung an, dass a ∈ V (I) gilt. Sei nun g ∈ I ∩ J. Dann ist g(a) = 0 und daher a ∈ V (I ∩ J). Sei umgekehrt a = (a1 , . . . , an ) ∈ V (I ∩ J). Ist a ∈ V (I), dann ist nichts zu zeigen. Sei a 6∈ V (I). Dann existiert ein f ∈ I mit f (a) 6= 0. F¨ ur ein beliebiges g ∈ J gilt f · g ∈ I ∩ J und daher f (a)g(a) = 0. Wegen f (a) 6= 0 folgt g(a) = 0. Daher gilt a ∈ V (J). Dies zeigt die Behauptung. ¨ (iv) Dies zeigt man durch eine ¨ahnliche Rechnung wie in (iii) (Ubungsaufgabe). 

2. AFFINE ALGEBRAISCHE MENGEN

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Bemerkung 2.13. Sei V das System der algebraischen Mengen von AnK . Dann zeigt 2.12, dass V eine Topologie auf AnK definiert. Sie heißt die Zariski Topologie von AnK . Eine Teilmenge von AnK heißt dann Zariski-offen, wenn sie das Komplement einer algebraischen Menge ist. Die Zariski Topologie ist sehr verschieden von der gewohnten Topologie aus der Analysis auf K n (etwa f¨ ur K = C). Sie ist zum Beispiel nicht Hausdorffsch, d.h. je zwei Punkte lassen sich nicht durch disjunkte Umgebungen trennen. Wir betrachten den Fall A1K f¨ ur K = C. Die leere Menge und A1K sind offen und abgeschlossen. Jedes echte Ideal 0 6= I ⊂ K[X] ist ein Hauptideal und hat die Form I = ((X − a1 ) · · · (X − an )) f¨ ur a1 , . . . , an ∈ K. Daher ist jede abgeschlossene 1 Menge von AK eine endliche Punktmenge. Dies sind genau die abgeschlossenen Mengen ungleich ∅ und A1K , da sich immer ein geeignetes Ideal zu a1 , . . . , an ∈ K konstruieren l¨asst. Daher ist jede nichtleere offene Teilmenge von A1K dicht in A1K und A1K kann nicht Hausdorffsch sein. Nun gehen wir den umgekehrten Weg und ordnen Untermengen von AnK Ideale zu. Definition 2.14. Sei W ⊆ AnK eine beliebige Teilmenge. Das Ideal I(W ) = {f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] : f (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur alle (a1 , . . . , an ) ∈ W } heißt das Verschwindungsideal von W . Lemma 2.15. Sei W ⊆ AnK eine beliebige Teilmenge. Dann ist I(W ) ein Ideal von K[X1 , . . . , Xn ]. Insbesondere existiert eine Abbildung I : {Teilmengen von AnK } → {Ideale von K[X1 , . . . , Xn ]}, W 7→ I(W ). Beweis. Sei f, g ∈ I(W ). Dann gilt f − g ∈ I(W ), da (f − g)(a1 , . . . , an ) = f (a1 , . . . , an ) − g(a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur (a1 , . . . , an ) ∈ W. Analog folgt f¨ ur f ∈ I(W ) und g ∈ K[X1 , . . . , Xn ], dass f · g ∈ I(W ). Wir schließen hieraus, dass I(W ) ein Ideal ist.  Bemerkung 2.16. Die Abbildung I ist weder injektiv noch surjektiv. Zum Beispiel ur n ≥ 2 liegen gilt f¨ ur A1K , dass I(Z) = I(A1K ) = (0). Ideale von der Form X n f¨ nicht im Bild der Abbildung. Satz 2.17. Es gilt: (i) W ⊆ W 0 ⊆ AnK , dann gilt I(W ) ⊇ I(W 0 ). (ii) Ist J ⊆ K[X1 , . . . , Xn ] ein Ideal, so gilt J ⊆ I(V (J)). (iii) F¨ ur jede Teilmenge W ⊆ AnK gilt W ⊆ V (I(W )). Gleichheit gilt genau dann, wenn W eine algebraische Menge ist. Beweis. (i) und (ii) sind trivial. (iii) W ⊆ V (I(W )) ist ebenfalls einfach einzusehen. Gilt hier Gleichheit, so ist W per Definition eine algebraische Menge. Sei nun umgekehrt W = V (J) eine algebraische Menge f¨ ur ein Ideal J ⊆ K[X1 , . . . , Xn ]. Dann gilt J ⊆ I(W ) und daher W = V (J) ⊇ V (I(W )) ⊇ W.

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

 Bemerkung 2.18. Im Allgemeinen ist auch J ⊂ I(V (J)) eine echte Inklusion, wie das Beispiel J = (X1k ) f¨ ur k ≥ 2 zeigt, da dann I(V (J)) = (X1 ) gilt. Ideale, die Verschwindungsideale sind, haben eine besondere Eigenschaft, wie folgendes Lemma zeigt. Lemma 2.19. Sei W ⊆ AnK . Sei f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] und m ≥ 1 mit f m ∈ I(W ), dann gilt bereits f ∈ I(W ). Beweis. Sei f m ∈ I(W ). Dann gilt f m (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur alle (a1 , . . . , an ) ∈ W. Daraus folgt [f (a1 , . . . , an )]m = 0 f¨ ur alle (a1 , . . . , an ) ∈ W und schliesslich f (a1 , . . . , an ) = 0 f¨ ur alle (a1 , . . . , an ) ∈ W, da K nullteilerfrei ist. Also ist f ∈ I(W ).



Ideale von dem Typ aus 2.19 haben einen besonderen Namen. Definition 2.20. Sei R ein Ring und I ⊆ R ein Ideal. Dann heißt √ I = {a ∈ R : es existiert ein m ≥ 1 mit am ∈ I} √ das Radikal von I. Das Ideal I heißt ein Radikalideal, wenn I = I gilt. Ein p p Element a ∈ R heißt nilpotent, wenn a ∈ (0). Der Ring R heißt reduziert, wenn (0) = (0) gilt, d.h. R besitzt keine nilpotenten Elemente. Lemma 2.21. Sei R ein Ring und I ⊆ R ein Ideal. Dann gilt: √ √ (i) I ist ein Ideal mit I ⊆ I. (ii) I ist genau dann ein Radikalideal, wenn der Ring R/I reduziert ist. √ Beweis. (i) √ Es folgt direkt aus der Definition, dass I ⊆ I gilt und es bleibt zu zeigen, dass√ I ein Ideal ist. Sei a ∈ I und b ∈ R. Es existiert ein m√≥ 1 mit am ∈ I. Daher folgt (ab)m = am bm ∈ I, da I ein Ideal ist. Somit gilt ab ∈ I. Sei nun a, b ∈ I und n, m ∈ N, n ≥ m ≥ 1 mit an , bm ∈ I. Nun folgt n+m X n + m  n+m (−1)n+m−i ai bn+m−i . (a − b) = i i=0 √ n+m Wir sehen,√dass (a + b) ∈ I gilt, also folgt, dass √ a − b ∈ I. Insgesamt sieht man, dass I ein Ideal ist. Trivialerweise ist I ⊆ I. (ii) Sei I ein Radikalideal, a ∈ R mit am = 0 in R/I f¨ ur ein m ≥ 1. (Hierbei bezeichnet a die Restklasse von a in R/I.) Es folgt, dass am ∈ I gilt. Da I ein Radikalideal ist, gilt a ∈ I und daher a = 0 in R/I. Also ist R/I reduziert. Ist umgekehrt R/I reduziert, so zeigt man durch eine analoge Rechnung, dass I ein Radikalideal ist. 

2. AFFINE ALGEBRAISCHE MENGEN

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Beispiel 2.22. (i) Wir haben in 2.19 schon gesehen, dass das Verschwindungsideal I(W ) f¨ ur n eine Teilmenge W ⊆ AK ein Radikalideal ist. (ii) Wir wiederholen die Definition eines Primideals. Ein Ideal P ⊆ R heißt ein Primideal, wenn P 6= R und wenn f¨ ur alle a, b ∈ R mit ab ∈ P folgt, dass a ∈ P oder b ∈ P gilt. Man kann sich leicht u ¨berlegen, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind: P ist genau dann ein Primideal, wenn R/P ein Integrit¨atsbereich ist. (d.h. R/P ist ein kommutativer, nullteilerfreier Ring ungleich 0.) Nun folgt direkt, dass jedes Primideal ein Radikalideal ist. (iii) Sei I = (X1 , . . . , Xn ) ⊂ K[X1 , . . . , Xn ]. Dann ist I m = (Alle Monome vom Grad m) und es gilt

√

¨ I m = I. (Ubungsaufgabe.)

Wir haben nun wegen 2.17 eine injektive inklusionsumkehrende Abbildung I : {algebraische Teilmengen in AnK } → {Radikalideale von K[X1 , . . . , Xn ]}, W 7→ I(W ). Die Frage ist nun, ob diese Abbildung bijektiv ist, d.h. ob algebraische Mengen bijektiv den Radikalidealen entsprechen. Im Allgemeinen ist dies falsch, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel 2.23. Ein Element 0 6= a ∈ R \ R∗ in einem Ring R heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn f¨ ur b, c ∈ R mit a = bc stets b ∈ R∗ oder c ∈ R∗ gilt. Sei nun f = X 2 +1 ∈ R[X]. Dann gilt V (f ) = ∅. Es ist J = (f ) ein Primideal, da ¨ f irreduzibel ist (Ubungsaufgabe), also insbesondere ein Radikalideal. Angenommen J = I(W ) f¨ ur eine algebraische Menge V . Dann folgt W = V (I(W )) = V (J) = V (f ) = ∅. Also ist J = I(W ) = I(∅) = R[X]. Dies ist ein Widerspruch. Somit ist die Abbildung I(·) nicht bijektiv. Zur Wiederholung: Definition 2.24. Ein K¨orper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom f ∈ K[X] mit grad(f ) > 0 eine Nullstelle in K besitzt. Zum Beispiel ist der K¨orper C algebraisch abgeschlossen. Definition 2.25. Sei R ein Ring. Ein Ideal M ⊆ R heißt ein maximales Ideal, wenn M 6= R und f¨ ur alle Ideale I ⊆ R mit M ⊆ I folgt, dass I = M oder I = R gilt. Bemerkung 2.26. Es folgt leicht aus dieser Definition, dass M genau dann ein maximales Ideal ist, wenn R/M ein K¨orper ist. Der folgende Satz liefert eine Antwort auf die vor dem Beispiel 2.23 gestellte Frage.

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Satz 2.27 (Hilbertscher Nullstellensatz). Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Dann gilt: (i) Jedes maximale Ideal M ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] ist von der Form M = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) = I(a1 , . . . , an ) f¨ ur einen Punkt (a1 , . . . , an ) ∈ AnK . (ii) F¨ ur ein Ideal J ⊆ K[X1 , . . . , Xn ] gilt V (J) 6= ∅ genau dann, wenn J 6= K[X1 , . . . , Xn ]. √ (iii) F¨ ur jedes Ideal J ⊆ K[X1 , . . . , Xn ] gilt I(V (J)) = J. Das folgende Korollar sagt aus, dass algebraische Mengen bijektiv den Radikalidealen entsprechen. Somit k¨onnen Fragen mit Hilfe der entsprechenden Abbildungen u ¨bersetzt werden. Aus 2.17 und 2.27 folgt nun: Korollar 2.28. Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Dann sind die Abbildungen V,I

{Radikalideale in S} ←→ {algebraische Mengen von AnK } Inklusions umkehrende Bijektionen, die invers zueinander sind. Beispiel 2.29. Ein affine Hyperfl¨ache in AnK ist eine algebraische Menge, die durch eine Gleichung definiert wird: V (f ) = {(a1 , . . . , an ) ∈ AnK : f (a1 , . . . , an ) = 0}, f¨ ur ein 0 6= f ∈ S. √ am Ist f = f1a1 · · · fm mit Primelementen fi ∈ K[X1 , . . . , Xn ], so gilt f = f1 · · · fm . Das Element f definiert ein Radikalideal, wenn f¨ ur alle ai = 1 gilt. f ist genau dann irreduzibel, wenn m = 1 und a1 = 1 gilt. In diesem Falle ist (f ) ein Primideal. Wir werden uns sp¨ater mit der Frage besch¨aftigen, welche algebraische Mengen Primidealen entsprechen. 3. Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes Der Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes verl¨auft in zwei Teilen. (i) Die Aussagen von 2.27 sind alle ¨aquivalent. (ii) Dann werden wir zum eigentlichen Beweis u ¨bergehen. Beweis: (2.27, Teil 1). (i) ⇒ (ii): Sei J ⊂ S ein Ideal mit J 6= S. Dann gibt es, da S ein noetherscher Ring ist, ein maximales Ideal M ⊂ R mit J ⊆ M . Nach (i) gilt M = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) = I(a1 , . . . , an ) f¨ ur einen Punkt (a1 , . . . , an ) ∈ AnK . Daraus folgt (a1 , . . . , an ) ∈ V (M ) ⊆ V (J). Somit ist V (J) 6= ∅. Gilt umgekehrt (a1 , . . . , an ) ∈ V (J) mit (a1 , . . . , an ) ∈ AnK , dann folgt J 6= S. Denn sonst w¨are 1S ∈ V (J) und 1S (a1 , . . . , an ) = 1K 6= 0.

3. BEWEIS DES HILBERTSCHEN NULLSTELLENSATZES

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√ (ii) ⇒ (iii) Sei f ∈ J. Dann existiert ein m ≥ 1 mit f m ∈ J. Daher gilt f m ∈ I(V (J)). Nach 2.19 ist I(V (J)) ein Radikalideal. Daher ist f ∈ I(V (J)) und es folgt √ I(V (J)) ⊇ J. Sei umgekehrt f ∈ √I(V (J)). Wir zeigen mit Hilfe des so genannten Trick von Rabinowitsch, dass f ∈ J gilt. Hierf¨ ur betrachten wir den Polynomring K[X1 , . . . , Xn , t] mit einer zus¨atzlichen Unbestimmten t und das Ideal Jf = J + (f t − 1) ⊆ K[X1 , . . . , Xn , t]. Nun gilt n+1 V (Jf ) = {(a1 , . . . , an , b) ∈ AK : bf (a1 , . . . , an ) = 1, (a1 , . . . , an ) ∈ V (J)}.

Angenommen es existiert ein (a1 , . . . , an , b) ∈ V (Jf ). Dann folgt f (a1 , . . . , an ) = 0 wegen f ∈ I(V (J)). Ferner gilt 1 = f (a1 , . . . , an )b = 0. Dies ist ein Widerspruch und es folgt, dass V (Jf ) = ∅. Wegen (ii) gilt nun 1 ∈ Jf . Also existiert eine Gleichung X 1= gi · fi + g0 · (f t − 1) i

mit fi ∈ J, gi , g0 ∈ K[X1 , . . . , Xn , t]. Betrachten den Ringhomomorphismus 1 Φ : K[X1 , . . . , Xn , t] → K(X1 , . . . , Xn ), Xi 7→ Xi und t 7→ . f Dann folgt die Gleichung X X 1 1 = Φ(1) = Φ(gi )fi + Φ(g0 )(f · − 1) = Φ(gi )fi . f i i P War gi = j gij tj mit gij ∈ K[X1 , . . . , Xn ], so folgt X 1 g0 Φ(gi ) = gij ( )j = ic f fi j mit geeignetem gi0 ∈ K[X1 , . . . , Xn ] und ci ∈ N. Sei c = maxi {ci }. Dann folgt aus obiger Gleichung X fc = gi0 f c−ci fi ∈ J. Daher gilt f ∈

√

i

J. Es folgt insgesamt I(V (J)) =

√ J.

(iii) ⇒ (i) Wir stellen zun¨achst fest, dass f¨ ur ein (a1 , . . . , an ) ∈ AnK das Ideal (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ⊂ S maximal ist. Denn es ist der Kern der Auswertungsabbildung ϕ : K[X1 , . . . , Xn ] → K, f 7→ f (a1 , . . . , an )

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

und nach dem Isomorphiesatz ist dann K[X1 , . . . , Xn ]/(X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ∼ =K ein K¨orper und daher (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) maximal. Somit gilt V (a1 , . . . , an ) = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ). Sei nun M ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] ein beliebiges maximales Ideal. Wegen (iii) ist √ M = M = I(V (M )). Daher ist V (M ) 6= ∅ und es existiert ein (a1 , . . . , an ) ∈ V (M ). Dann folgt M = I(V (M )) ⊆ I(a1 , . . . an ) = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ). Da M ein maximales Ideal ist, folgt M = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ). Dies war zu zeigen.



Zur Erinnerung: Definition 3.1. Sei A ein Ring und B ⊂ A ein Teilring. (i) A heißt endlich erzeugt u ¨ber B (endlich erzeugte B-Algebra), wenn endlich viele Elemente a1 , . . . , an ∈ A existieren mit A = B[a1 , . . . , an ]. (ii) A heißt eine endliche B-Algebra, wenn endlich viele Elemente a1 , . . . , an ∈ A existieren mit A = Ba1 + · · · + Ban . Beispiel 3.2. K[X1 , . . . , Xn ] ist eine endlich erzeugte K-Algebra, die nicht endlich ist. Bemerkung 3.3. Zur Wiederholung: (i) Sei L ein K¨orper und K ein Teilk¨orper. Dann heißt das Paar K ⊆ L eine K¨orpererweiterung. Man schreibt hierf¨ ur L/K. Die K-Vektorraumdimension dimK L = [L : K] heißt der Grad von L u ¨ber K. Die K¨orpererweiterung heißt endlich oder unendlich, je nachdem ob [L : K] endlich oder unendlich ist. (ii) Sei L/K eine K¨orpererweiterung. Ein Element a ∈ L heißt algebraisch u ¨ber K, wenn ein 0 6= f ∈ K[X] existiert mit f (a) = 0. Falls a nicht algebraisch ist, so heißt a transzendent u ¨ber K. Die K¨orpererweiterung L/K heißt algebraisch, wenn jedes Element a ∈ L algebraisch u ¨ber K ist. Zum Beispiel ist jede endliche K¨orpererweiterung algebraisch. Der Nullstellensatz folgt aus folgendem Resultat: Satz 3.4 (Ko ¨rpertheoretische Form des Hilbertschen Nullstellensatz). Sei K ein K¨orper und L = K[y1 , . . . , yn ] eine endlich erzeugte K-Algebra. Wenn L ein K¨orper ist, so ist L u ¨ber K algebraisch.

3. BEWEIS DES HILBERTSCHEN NULLSTELLENSATZES

21

Um diesen Satz beweisen zu k¨onnen und zu zeigen, dass er den Nullstellensatz impliziert, brauchen wir Hilfsmittel aus der K¨orpertheorie. Wir k¨onnen algebraische Elemente auf verschiedene Weisen charakterisieren. Aus den Anf¨angervorlesungen ist uns folgende Charakterisierung algebraischer Elemente bekannt: Satz 3.5. Sei L/K eine K¨orpererweiterung, a ∈ L und ϕ : K[X] → L, g 7→ g(a) der Einsetzungshomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) a ist algebraisch u ¨ber K. (ii) ϕ ist nicht injektiv. (iii) K[a] ist ein K¨orper. (iv) K[a] = K(a). (v) Ker(ϕ) wird von einem irreduziblen normierten Polynom fa ∈ K[X] erzeugt und dieses ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades mit f (a) = 0. Dies f¨ uhrt zu der Definition eines Minimalpolynoms. Definition 3.6. Sei L/K eine K¨orpererweiterung und a ∈ L algebraisch u ¨ber K. Das Polynom fa aus 3.5 heißt das Minimalpolynom von a u ¨ber K. Beispiel 3.7. Betrachte: (i) X 2 + 1 ist das Minimalpolynom von i√∈ C u ¨ber R. 2 (ii) X − 3 ist das Minimalpolynom von 3 ∈ R u ¨ber Q. (iii) Ist f ∈ K[X] irreduzibel, L = K[X]/(f ), dann ist f das Minimalpolynom von der Restklasse von X in L (siehe 3.8). Zu einem gegebenen Polynom kann immer ein K¨orper gefunden werden, indem es eine Nullstelle besitzt. Satz 3.8. Sei K ein K¨orper und 0 6= f ∈ K[X] mit grad(f ) > 0 (d.h. f ist nicht konstant). Dann gibt es eine K¨orpererweiterung L/K und ein a ∈ L mit f (a) = 0. Ist f irreduzibel, so kann L = K[X]/(f ) gew¨ahlt werden. Beweis. Ist f nicht irreduzibel, so w¨ahle einen irreduziblen Faktor von f . Also kann o.E. angenommen werden, dass f irreduzibel ist. Dann ist (f ) ein maximales Ideal, da K[X] ein Hauptidealbereich ist, und L = K[X]/(f ) ein K¨orper. Man bilde die Komposition von Abbildungen ε

K ,→ K[X] → K[X]/(f ) = L, wobei ε der kanonische Epimorphismus ist. Die resultierende Abbildung K → L ist injektiv und wir k¨onnen L als Erweiterungsk¨orper von K auffassen, wir K Pn indem i mit seinem Bild in L identifizieren. Sei nun a = ε(X). Ist f = i=0 bi X ∈ K[X], dann gilt n n X X f (a) = bi ai = ε( bi X i ) = ε(f ) = 0. i=0

D.h. a ist Nullstelle von f in L.

i=0



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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Mit Hilfe der bisherigen Resultate kann der algebraische Abschluss eines K¨orpers charakterisiert werden. Satz 3.9. Sei K ein K¨orper. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) (ii) (iii) (iv)

K ist algebraisch abgeschlossen. Jedes Polynom f ∈ K[X] mit grad(f ) > 0 zerf¨allt in Linearfaktoren. Falls f ∈ K[X] irreduzibel ist, dann folgt grad(f ) = 1. Ist L/K algebraisch, so folgt L = K.

Beweis. (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii): Trivial. (iii) ⇒ (iv): Sei a ∈ L. Da a algebraisch u ¨ber K ist, existiert das Minimalpolynom f ∈ K[X] mit f (a) = 0. Nun ist f irreduzibel, hat also nach Voraussetzung den Grad 1. Somit ist f = X + b mit b ∈ K. Dann gilt 0 = f (a) = a + b ⇔ a = −b ∈ K. Insgesamt folgt L = K. (iv) ⇒ (i): Sei f ∈ K[X] mit grad(f ) > 0. Nach 3.8 existiert ein K¨orper L und ein a ∈ L mit f (a) = 0. Nun ist K(a)/K algebraisch, also K(a) = K und insbesondere a ∈ K.  Wir stellen zun¨achst fest, dass der Nullstellensatz 2.27 aus 3.4 folgt: 3.4 ⇒ 2.27. Wir zeigen 2.27 (i): Sei M ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] ein maximales Ideal. Dann ist L = K[X1 , . . . , Xn ]/M ein K¨orper, der eine endlich erzeugte K-Algebra ist (Erzeuger sind die Restklassen von Xi ). Nach 3.4 folgt nun, dass L/K algebraisch ist. Da K algebraisch abgeschlossen ist, folgt, dass L = K gilt. Daher ist der nat¨ urliche Homomorphismus ϕ : K → K[X1 , . . . , Xn ] → K[X1 , . . . , Xn ]/M = L ein Isomorphismus. Sei bi = Xi mod M und ai = ϕ−1 (bi ). Dann ist Xi −ai ∈ Ker(ε). Also (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ⊆ Ker(ε) = M. Wir haben uns schon einmal u ¨berlegt, dass (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ein maximales Ideal ist. Also folgt (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) = M und dies war zu zeigen.



Bemerkung 3.10. Es l¨asst sich zeigen, dass 2.27 und 3.4 a¨quivalent sind. Dies ist f¨ ur uns hier aber nicht von Bedeutung. Um den Nullstellensatz zu beweisen, m¨ ussen wir nun den Satz 3.4 beweisen. Daf¨ ur ben¨otigen wir weitere Hilfsmittel aus der Algebra.

4. GRUNDBEGRIFFE DER MODULTHEORIE

23

4. Grundbegriffe der Modultheorie Zun¨achst verallgemeinern wir den Begriff eines Vektorraums u ¨ber K¨orpern. Definition 4.1. Sei R ein Ring. Eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einer Multiplikation · : R × M → M, (a, m) 7→ a · m heißt ein R-Modul, wenn folgendes f¨ ur alle a, b ∈ R und m, n ∈ M gilt: (i) a · (m + n) = a · m + a · n, (ii) (a + b) · m = a · m + b · m, (iii) a · (b · m) = (a · b) · m, (iv) 1 · m = m. Uns sind schon sehr viele Moduln in der Mathematik begegnet: Beispiel 4.2. (i) Sei K ein K¨orper und V ein K-Vektorraum. Dann ist V ein K-Modul. Die Theorie der Moduln verallgemeinert den Begriff eines Vektorraumes. Man kann weitgehend mit Moduln analog wie mit Vektorr¨aumen rechnen. Vorsicht ist aber dann geboten, wenn mit inversen Elementen bzgl. der Multiplikation gerechnet werden m¨ usste. Zum Beispiel folgt aus a · m = 0 nicht immer m = 0 f¨ ur 0 6= a ∈ R und m ∈ M . Betrachte etwa M = K[X]/(X 2 ). Dann ist M ein K[X]-Modul und es gilt X · X = 0. (Hierbei wird X ∈ K[X] und X ∈ M gew¨ahlt.) (ii) Jede abelsche Gruppe (G, +) ist ein Z-Modul durch (P z z ≥ 0, i=1 g P z·g = −z − i=1 g z < 0. (Jeder Z-Modul ist auch eine abelsche Gruppe, indem man die Multiplikation vergisst.) (iii) Jedes Ideal I eines Rings R ist ein R-Modul. Auch R/I ist mittels der nat¨ urlichen Restklassenabbildung ein R-Modul. (iv) Sind B ⊂ A Ringe (A ist eine B-Algebra). Dann ist A insbesondere auch ein B-Modul. Definition 4.3. Seien M, N zwei R-Moduln. Eine Abbildung ϕ: M → N heißt ein R-Modulhomomorphismus/Homomorphismus, wenn f¨ ur alle a ∈ R und m, n ∈ M gilt ϕ(a · m) = a · ϕ(m) und ϕ(m + n) = ϕ(m) + ϕ(n). Nun kann man wieder Epi-, Mono- und Isomorphismen in gewohnter Weise definieren. Definition 4.4. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Eine Menge ∅ 6= N ⊆ M heißt ein Untermodul von M , wenn N mit der Addition und R-Multiplikation von M wieder ein R-Modul ist. (Insbesondere ist (N, +) eine Untergruppe von (M, +).)

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Beispiel 4.5. Seien M, N zwei R-Moduln und ϕ : M → N ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern von ϕ Ker(ϕ) = {m ∈ M : ϕ(m) = 0} ein Untermodul von M . Analog zu schon oft behandelten Konstruktionen beweist man: Satz 4.6. Sei M ein R-Modul. (i) N ⊆ M ist genau dann ein Untermodul von M , wenn N 6= ∅ und f¨ ur alle a ∈ R und m, n ∈ N gilt a · m, m + n ∈ N . (ii) Ist N ⊆ M ein Untermodul, dann wird durch die Multiplikation · : R × M/N → M/N, (a, m) 7→ a · m eine R-Modulstruktur auf M/N definiert. Die Abbildung ε : M → M/N ist ein R-Modulhomomorphismus. (iii) Sei N ein Untermodul von M , N 0 ein weiterer R-Modul und ϕ : M → N 0 ein R-Modulhomomorphismus mit N ⊆ Ker(ϕ). Dann existiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ0 : M/N → N 0 mit ϕ = ϕ0 ◦ ε. Es gilt Im(ϕ0 ) = Im(ϕ) und Ker(ϕ0 ) = Ker(ϕ)/N ⊆ M/N . Beweis. Die Beweise verlaufen vollkommen analog zu den entsprechenden Bewei¨ sen in der Ringtheorie der Anf¨angervorlesungen und werden dem Leser als Ubung u  ¨berlassen. Satz 4.7. Sei R ein Ring und {Mi : i ∈ I} eine Familie von R-Moduln. (i) Das Produkt Y Mi = {(mi ) : mi ∈ Mi } i∈I

ist mit der komponentenweise Addition und Multiplikation a·(mi ) = (a·mi ) Q f¨ ur a ∈ R und (mi ) ∈ i∈I Mi ein R-Modul. Dieser Modul heißt das direkte Produkt der Mi . (ii) Die Teilmenge M Y Mi = {(mi ) : mi ∈ Mi , fast alle mi = 0} ⊆ Mi i∈I

i∈I

ist ein Untermodul von

Q

i∈I

Mi und heißt die direkte Summe der Mi .

Beweis. Man u uft die Behauptungen durch direktes Verifizieren der gefor¨berpr¨ derten Eigenschaften in der Definition eines Moduls bzw. Untermoduls.  Satz 4.8. Sei M ein R-Modul und Mi ⊆ M, i ∈ I ein Familie von Untermoduln. Dann ist X X Mi = { mi : mi ∈ Mi , fast alle mi = 0} i∈I

i∈I

ein Untermodul von M . Dieser heißt die Summe der Mi .

4. GRUNDBEGRIFFE DER MODULTHEORIE

25

Definition 4.9. Sei M ein von UntermoP R-Modul und Mi ⊆ M, i ∈ I ein Familie 0 0 duln. Die Summe M = i∈I Mi heißt direkt, wenn jedes m ∈ M eine Darstellung P i∈I mi mit eindeutig bestimmten Elementen mi ∈ Mi besitzt. Satz 4.10. Sei M ein R-Modul und Mi ⊆ M, i ∈ I ein Familie von Untermoduln. Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: P (i) Die Summe i∈I Mi ist direkt. (ii) Der Homomorphismus M X X Mi → Mi , (mi )i∈I 7→ mi i∈I

i∈I

i∈I

ist ein Isomorphismus. (iii) F¨ ur alle i ∈ I gilt: X

Mi ∩ (

Mj ) = {0}.

j∈I,j6=i

P ¨ Wir bezeichnen wegen dieser Aquivalenzen auch eine Summe i∈I Mi , die direkt L ist, mit i∈I Mi und sprechen in beiden F¨allen von einer direkten Summe. Beweis. (i) ⇒ (ii): Die Homomorphismen X X M mi Mi , (mi )i∈I 7→ Mi → ϕ: i∈I

i∈I

i∈I

und ϕ0 :

X

Mi →

M i∈I

i∈I

Mi ,

X

mi 7→ (mi )i∈I

i∈I

sind invers zu einander (d.h. ϕ ◦ ϕ0 = idPi∈I Mi und ϕ0 ◦ ϕ = idLi∈I Mi ) und daher ist ϕ ein Isomorphismus. Beachte, dass ϕ0 nur wegen (i) wohldefiniert ist. (ii) ⇒ (i): Dies ist wegen dem gegebenen Isomorphismus ϕ einfach einzusehen. (i) ⇒ (iii): Sei X m ∈ Mi ∩ ( Mj ), j∈I,j6=i

also m = mi ∈ Mi und m =

P

mj . Es folgt X 0 = mi − mj

j∈I,j6=i

j∈I,j6=i

und wegen (i) dann mi = 0 und mj = 0 f¨ ur alle j ∈ I \ {i}. Somit ist m = 0 und es folgt die Behauptung. P (iii) ⇒ (i): Sei m ∈ i∈I Mi . Angenommen X X m= mi = m0i i∈I

i∈I

mit mi , m0i ∈ Mi (fast alle 0). Dann folgt f¨ ur alle i wegen (iii) und X X mj − m0j ∈ Mi ∩ ( Mj ) = {0}, mi − m0i = j∈I,j6=i

j∈I,j6=i

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

dass mi = m0i . Dies zeigt (i).



Satz 4.11. Sei M ein R-Modul und T ⊆ M eine Teilmenge. Dann existiert ein kleinster R-(Unter) Modul hT i von M , der T enth¨alt. Es gilt: X hT i = { rt · t : rt ∈ R, fast alle rt = 0}. t∈T

T heißt dann ein Erzeugendensystem f¨ ur den Modul hT i. Beweis. Der Modul \

N

T ⊆N ⊆M Untermodul

erf¨ ullt die gew¨ unschten Eigenschaften und ist daher hT i. Nun zeigt man, dass auch X hT i = { rt · t : rt ∈ R, fast alle rt = 0}. t∈T

der kleinster R-Untermodul von M ist, der T enth¨alt. Dies zeigt die zweite Behauptung des Satzes.  Bemerkung 4.12. F¨ ur ein Element m ∈ M bezeichnen wir mit R · m den von m erzeugten Untermodul hmi von M . Ist nun T ⊆ M eine Teilmenge, so sehen wir, dass X R·m hT i = m∈T

gilt. Definition 4.13. Sei M ein R-Modul. Eine Teilmenge T ⊆ M heißt ein Erzeugendensystem f¨ ur M , wenn M = hT i gilt. M heißt endlich erzeugt, wenn die Menge T endlich ist. Analog zu den entsprechenden Begriffen bei Vektorr¨aumen definiert man: Definition 4.14. Sei M ein R-Modul. Eine Teilmenge T ⊆ M heißt linear unabh¨angig oder frei, wenn aus jeder Darstellung X 0= am · m mit am ∈ R und fast alle am = 0 m∈T

folgt, dass f¨ ur alle m ∈ T gilt am = 0. Ein linear unabh¨angiges Erzeugendensystem von M heißt eine Basis von M . Satz 4.15. Sei M ein R-Modul. Eine Teilmenge T ⊆ M ist genau dann eine Basis, wenn sich jedes Element n ∈ M eindeutig darstellen l¨asst als X n= am · m mit am ∈ R und fast alle am = 0. m∈T

Beweis. “⇒”: Ist T eine Basis, dann ist T per Definition ein Erzeugendensystem von M und f¨ ur alle n ∈ M existiert eine Darstellung X n= am · m mit am ∈ R und fast alle am = 0. m∈T

5. GANZE RINGERWEITERUNGEN

27

G¨abe es eine zweite Darstellung X n= a0m · m mit a0m ∈ R und fast alle a0m = 0. m∈T

so w¨are 0=n−n=

X

(am − a0m ) · m.

m∈T

ur alle m ∈ T gilt. Dies war zu Da T linear unabh¨angig ist, folgt, dass am = a0m f¨ zeigen. “⇐”: T ist nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem. Dieses ist linear unabh¨angig, da es sonst zwei Darstellungen der 0 geben w¨ urde.  L Beispiel 4.16. Sei R ein Ring, T eine beliebige Menge und M = t∈T Rt mit Rt = R f¨ ur alle t ∈ T . Dann hat M die Basis {1t : t ∈ T }. Hierbei ist 1t ∈ Rt das Einselement und a · 1t wird mit dem Element (ct0 ) ∈ M mit ( a · 1t f¨ ur t = t0 ct0 = 0 sonst identifiziert. Man u ¨berlegt sich leicht: Bemerkung 4.17. Sei M ein R-Modul. Besitzt M eine Basis T , dann gilt M Rt . M∼ = t∈T

Definition 4.18. Ein R-Modul M heißt frei, wenn er eine Basis besitzt. Beispiel 4.19. Der Modul Z ist ein freier Z-Modul. Aber nicht jeder Modul ist frei. Zum Beispiel hat f¨ ur m ∈ Z der Z-Modul Z/(m) keine Basis, ist also nicht frei. 5. Ganze Ringerweiterungen Um die k¨orpertheoretische Form des Nullstellensatzes beweisen zu k¨onnen, wird der Begriff einer ganzen Ringerweiterungen eingef¨ uhrt. In diesem Kapitel ist stets eine Ringerweiterung S/R gegeben, d.h. S ist ein Ring und R ⊆ S ein Unterring. Definition 5.1. Sei Element a ∈ S heißt ganz u ¨ber R, wenn es ein normiertes Polynom f ∈ R[X] gibt, so dass f (a) = 0 ist. f (a) = 0 (bzw. f ) heißt dann eine “Ganzheitsgleichung” f¨ ur a. Die Ringerweiterung S/R heißt eine ganze Ringerweiterung, wenn jedes a ∈ S ganz u ¨ber R ist. Beispiel 5.2. (i) Betrachte C/Z. Dann ist i wegen der Gleichung i2 + 1 = 0 ganz u ¨ber Z. Nicht alle Elemente aus C sind ganz u ¨ber Z. (Geben Sie ein Beispiel an.) (ii) Ist S/R sogar eine K¨orpererweiterung, dann ist ein Element a ∈ S genau dann ganz u ¨ber R, wenn es algebraisch u ¨ber R ist. Daher ist dann S/R genau dann ganz, wenn S/R algebraisch ist.

28

1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Zu einem gegebenen normierten Polynom l¨asst sich eine Nullstelle konstruieren, wie folgender Satz zeigt: Satz 5.3. Sei R ein Ring, f ∈ R[X] ein normiertes Polynom mit grad(f ) = n > 0, S = R[X]/(f ) und a = X + (f ) die Restklasse von X in S. Sei ε : R[X] → S der kanonische Epimorphismus. Dann gilt: (i) Die Abbildung ε ϕ : R → R[X] → S ist injektiv und daher kann S als Ringerweiterung von R aufgefasst werden. (ii) a ist eine Nullstelle von f . (iii) a ist ganz u ¨ber R und 1, a, . . . , an−1 ist eine Basis von S als R-Modul: S = R ⊕ Ra ⊕ · · · ⊕ Ran−1 . Beweis. (i): Sei b ∈ R. Die Restklasse b + (f ) ist genau dann 0 in S, wenn dass Element b von f in R[X] geteilt wird, d.h. b ∈ (f ). Da aber grad(f ) > 0 gilt und f normiert ist, ist dies nur f¨ ur b = 0 m¨oglich. Daher ist ϕ injektiv. (ii): Wir fassen R als Unterring von S auf. Dann gilt f (a) = f (ε(X)) = ε(f (X)) = f + (f ) = 0. Also ist a eine Nullstelle von f . (iii): f ist normiert und a eine Nullstelle von f . Daher ist a ganz u ¨ber R. Nun ist jedes Element in S die Restklasse eines Polynoms g ∈ R[X]. Teilen wir das Polynom g durch das normierte Polynom f mit Rest, so erhalten wir g = q · f + r mit q, r ∈ R[X], grad(r) < grad(f ) = n. Die Restklasse von g in S ist dann eine Gleichung g=r=

n−1 X

bi ai mit bi ∈ R.

i=0 n−1

Somit ist 1, a, . . . , a chung

ein Erzeugendensystem von S als R-Modul. Aus einer Glein−1 X

bi ai = 0 in S mit bi ∈ R.

i=0

P i folgt, dass das Polynom h = n−1 i=0 bi X ∈ R[X] ein Element von Ker(ε) = f ist. Dann wird h von f geteilt, d.h. es existiert ein q ∈ R[X] mit f · q = h. Nun ist grad(h) < n = grad(f ). Daraus folgt q = 0 und somit h = 0. Also bi = 0 f¨ ur alle i. Daher sind 1, a, . . . , an−1 linear unabh¨angig in S und bilden eine Basis von S.  Korollar 5.4. Sei S/R eine Ringerweiterung und a ∈ S ganz u ¨ber R mit f ∈ R[X], grad(f ) > 0 und f (a) = 0. Dann existiert ein R-Modulepimorphismus ϕ : R[X]/(f ) → R[a], X + (f ) 7→ a.

5. GANZE RINGERWEITERUNGEN

29

Ferner ist R[a] = R + Ra + · · · + Ran−1 , d.h. R[a] wird als R-Modul von 1, a, . . . , an−1 erzeugt. Beweis. f ist ein Element im Kern des Epimorphismus R[X] → R[a], X 7→ a. Nach dem Homomorphiesatz wird ein Epimorphismus ϕ : R[X]/(f ) → R[a] induziert mit ϕ|R = idR . Dies ist also auch ein R-Modulepimorphismus. Wegen 5.3 bilden die Restklassen von 1, X, . . . , X n−1 eine Basis von R[X]/(f ) als R-Modul. Daher ist 1, a, . . . , an−1 ein Erzeugendensystem von R[a], da ϕ surjektiv ist.  Wir k¨onnen nun die Eigenschaft “ganz” charakterisieren. Satz 5.5. Sei S/R eine Ringerweiterung und a ∈ S. Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: (i) a ist ganz u ¨ber R. (ii) R[a] ist als R-Modul endlich erzeugt. (iii) Es gibt einen Unterring S 0 ⊆ S mit R[a] ⊆ S 0 , so dass S 0 als R-Modul endlich erzeugt ist. Beweis. (i) ⇒ (ii): Dies folgt aus 5.4. (ii) ⇒ (iii): W¨ahle S 0 = R[a]. (iii) ⇒ (i): Sei S 0 der endlich erzeugte R-Modul mit einem Erzeugendensystem w1 , . . . , wm . Es existieren Gleichungen a · wj =

m X

bij wi mit bij ∈ R f¨ ur j = 1, . . . , m.

i=1

Dies ist ¨aquivalent zu 0=

m X

(a · δij − bij )wi f¨ ur j = 1, . . . , m.

i=1

(Hierbei ist δij = 0 f¨ ur j 6= i und δii = 1.) Auch f¨ ur R-Moduln ist die Cramersche Regel g¨ ultig. Diese bedeutet in dieser Situation, dass wj · det(a · δij − bij ) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , m. Ferner existiert in S 0 eine Gleichung 1=

m X

cj · wj .

j=1

Wir erhalten det(a · δij − bij ) = 1 · det(a · δij − bij ) =

m X j=1

cj · wj · det(a · δij − bij ) = 0.

30

1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Die Determinante (das charakteristische Polynom der Matrix (bij ))   X − b11 −b12 ... −b1m   −b21 X − b22 . . . −b2m  ∈ R[X] det(X · δij − bij ) = det  . . . .   .. .. .. .. −bm1 −bm2 . . . X − bmm ist ein normiertes Polynom vom Grad m mit Nullstelle a. Daher ist a ganz u ¨ber R.  Korollar 5.6. Sei S ein endlich erzeugter R-Modul. Dann ist S/R eine ganze Ringerweiterung. Korollar 5.7. Sei S/R eine Ringerweiterung und a1 , . . . , an ∈ S ganz u ¨ber R. Dann ist R[a1 , . . . , an ] ein endlich erzeugter R-Modul. Insbesondere ist R[a1 , . . . , an ]/R eine ganze Ringerweiterung. Beweis. Wir beweisen die Aussage durch eine Induktion nach n. F¨ ur n = 1 wurde die Aussage in 5.5 bewiesen. Sei nun n > 1. Es gilt R[a1 , . . . , an ] = R[a1 , . . . , an−1 ][an ]. Nach der Induktionsannahme ist R[a1 , . . . , an−1 ] ein endlich erzeugter R-Modul. an ist ganz u ¨ber R, also erst recht ganz u ¨ber R[a1 , . . . , an−1 ]. Somit ist ebenfalls nach der Induktionsannahme R[a1 , . . . , an ] ein endlich erzeugter R[a1 , . . . , an−1 ]-Modul. Ist nun w1 , . . . , wk ein Erzeugendensystem von dem R-Modul R[a1 , . . . , an−1 ] und t1 , . . . , tl ein Erzeugendensystem von dem R[a1 , . . . , an−1 ]-Modul R[a1 , . . . , an ], so ist wi · tj (i = 1, . . . , k und j = 1, . . . , l) ein R-Modul Erzeugendensystem von R[a1 , . . . , an ].  Satz 5.8 (Transitivit¨ at der Ganzheit). Seien S/R und T /S ganze Ringerweiterungen, dann ist T /R eine ganze Ringerweiterung. Beweis. Sei a ∈ T . Da T /S ganz ist, existiert eine Ganzheitsgleichung an + bn−1 · an−1 + · · · + b0 = 0 mit bi ∈ S. Da bi ∈ S ganz u ¨ber R sind, ist R[b0 , . . . , bn−1 ] ein endlich erzeugter R-Modul. Wegen der obigen Ganzheitsgleichung ist a ganz u ¨ber R[b0 , . . . , bn−1 ]. Daher ist R[b0 , . . . , bn−1 , a] ein endlich erzeugter R[b0 , . . . , bn−1 ]-Modul. Dann ist R[b0 , . . . , bn−1 , a] ein endlich erzeugter R-Modul. Somit ist insbesondere a ganz u  ¨ber R. Korollar 5.9. Sei S/R eine Ringerweiterung. Die Menge R aller ganzen Elemente in S ist ein Unterring von S mit R ⊆ R. Der Ring R heißt die ganz abgeschlossene H¨ ulle von R in S. Beweis. F¨ ur a, b ∈ R ist R[a, b] ein endlich erzeugter R-Modul. Dann ist auch  R[a, b] ⊆ R und daher a ± b, ab ∈ R. Es folgt, dass R ein Unterring von S ist. Definition 5.10. R heißt ganz abgeschlossen in S, wenn R = R gilt.

¨ 6. ENDLICH ERZEUGTE KORPERERWEITERUNGEN

31

Bemerkung 5.11. Wie zu Beginn des Abschnittes erw¨ahnt, bedeutet f¨ ur K¨orpererweiterungen der Begriff “ganz” dasselbe, wie “algebraisch”. Dann lassen sich dementsprechende Resultate f¨ ur K¨orpererweiterungen formulieren. Dies ist dem Leser u ¨berlassen. (Z.B. ist die Eigenschaft algebraisch transitiv unter K¨orpererweiterungen.) 6. Endlich erzeugte K¨ orpererweiterungen Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des Satzes 3.4. Analog zu endlich erzeugten Ringerweiterungen wird der Begriff einer endlich erzeugten K¨orpererweiterung definiert. Definition 6.1. Eine K¨orpererweiterung L/K heißt endlich erzeugt, wenn a1 , . . . , an existieren mit L = K(a1 , . . . , an ). F¨ ur endlich erzeugte K¨orpererweiterungen haben algebraische K¨orpererweiterungen eine ganz bestimmte Form. In der Vorlesung Einf¨ uhrung in die Algebra wurde folgender Satz in vereinfachter Form bewiesen. Satz 6.2. Sei L/K eine K¨orpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) L/K ist algebraisch und L/K ist endlich erzeugt, (ii) [L : K] < ∞ (d.h. L/K ist endlich). In diesem Falle gilt L = K[a1 , . . . , an ], d.h. L entsteht aus K durch Ringadjunktion der Elemente a1 , . . . , an . Beweis. (ii) ⇒ (i): Ist [L : K] < ∞, so existieren a1 , . . . , an ∈ L mit L = Ka1 + · · · + Kan . Es folgt, dass L = K(a1 , . . . , an ) = K[a1 , . . . , an ] gilt. Insbesondere ist L ein endlich erzeugter K-Modul, also ist L/K ganz nach 5.6. Daher ist L/K algebraisch. (i) ⇒ (ii): Sei L = K(a1 , . . . , an ), wobei a1 , . . . , an ∈ L u ¨ber K algebraische Elemente sind. Wir zeigen durch eine Induktion nach n, dass L = K[a1 , . . . , an ] gilt. Da ai auch ganz u ¨ber K ist, folgt dann aus 5.7, dass L ein endlich erzeugter K-Modul ist. Mithin ist [L : K] < ∞. F¨ ur n = 1 folgt dies aus 3.5. Sei nun n > 1. Dann ist L/K[a1 ] auch algebraisch und endlich erzeugt und es ist L = K(a1 )(a2 , . . . , an ) = K[a1 ](a2 , . . . , an ). Dann folgt aus der Induktionsannahme L = K[a1 ][a2 , . . . , an ] = K[a1 , . . . , an ]. 

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Die k¨orpertheoretische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes 3.4 ist nun eine Umkehrung des vorherigen Satzes und folgt aus folgendem Satz (bzw. ist hiervon eine Umformulierung): Satz 6.3. Sei L/K eine K¨orpererweiterung. Existieren Elemente a1 , . . . , an ∈ L mit L = K[a1 , . . . , an ], dann ist L/K algebraisch und endlich erzeugt. Insbesondere gilt [L : K] < ∞. Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass L/K algebraisch ist. Die restlichen Aussagen folgen dann aus 6.2. Wir beweisen den Satz durch eine Induktion nach n. Sei n = 1. Dann folgt L = K[a1 ] ⊆ K(a1 ) ⊆ L. Also L = K[a1 ] = K(a1 ). Dann ist a1 algebraisch u ¨ber K wegen 3.5. Dann folgt auch, dass L algebraisch u ¨ber K ist (siehe 5.5 und 5.6). Sei nun n > 1. Es gilt L = K[a1 , . . . , an ] = K(a1 )[a2 , . . . , an ] und es folgt aus der Induktionsannahme, dass L/K(a1 ) algebraisch ist. Wir zeigen, dass a1 algebraisch u ¨ber K ist. Dann folgt aus der Transitivit¨at der Eigenschaft “algebraisch”, dass L/K algebraisch ist. Angenommen, dass Element a1 ist transzendent u ¨ber K. Dann ist K[a1 ] isomorph zu dem Polynomring K[X]. Wir wissen bereits, dass a2 , . . . , an algebraisch u ¨ber K, also auch u ur i = 2, . . . , n Gleichungen der Form ¨ber K(a1 ) sind. Daher existieren f¨ bi ani i + ci1 aini −1 + · · · + cini = 0 mit bi , cij ∈ K(a1 ) mit bi 6= 0. Da Q K(a1 ) ∼ = K(X) = Q(K[X]) gilt, k¨onnen wir sogar bi , cij ∈ K[a1 ] annehmen. Sei b = nj=2 bj . Nun zeigen die Gleichungen Q Q ci1 nj=2,j6=i bj ni −1 cini nj=2,j6=i bj ni ai + ai + ··· + = 0, b b dass die ai ganz u ¨ber K[b−1 , a1 ] sind. Da K[a1 ] ∼ = K[X] unendlich viele paarweise nichtassoziierte Primpolynome besitzt (beweist man analog zu dem Sachverhalt, dass Z unendlich viele Primzahlen besitzt), existiert ein irreduzibles Polynom p ∈ K[a1 ], welches b nicht teilt. Wegen 5.7 ist L ganz u ugt p1 einer ¨ber K[b−1 , a1 ]. Daher gen¨ Ganzheitsgleichung 1 1 ( )m + d1 ( )m−1 + · · · + dm = 0 p p −1 mit m > 0, di ∈ K[b , a1 ]. Multipliziert man die Gleichung mit pm und einer geeigneten Potenz von b, so dass die Nenner der di beseitigt werden, erh¨alt man eine Gleichung bN + d01 p + · · · + d0m pm = 0. Es folgt, dass p|b oder p|1 im Widerspruch zur Wahl von p. Daher muss a1 algebraisch u  ¨ber K sein.

7. IRREDUZIBLE KOMPONENTEN EINER ALGEBRAISCHEN MENGE

33

7. Irreduzible Komponenten einer algebraischen Menge In diesem Abschnitt werden wir zun¨achst topologische R¨aume studieren und dann die Ergebnisse auf algebraische Mengen anwenden. Bemerkung 7.1. Zur Erinnerung wird der Begriff eines topologischen Raums wiederholt. Ein System von Teilmengen O von einer Menge X heißt eine Topologie auf X, wenn folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: (i) Jede Vereinigung von Mengen aus O geh¨ort zu O, d.h. gilt Oi ∈ O, i ∈ I, dann ist ∪i∈I Oi ∈ O. (ii) Jeder Durchschnitt von endlich vielen Menge aus O geh¨ort zu O, d.h. gilt O1 , . . . , On ∈ O, dann ist ∩ni=1 Oi ∈ O. (iii) ∅, X ∈ O. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O), wobei X eine Menge und O eine Topologie auf X ist. Die Elemente von O heißen die offenen Mengen von X, ihre Komplemente die abgeschlossenen Mengen. ¨ Aquivalent hierzu kann ein topologischer Raum auch u ¨ber die abgeschlossenen Mengen definiert werden: Ist A ein System von Teilmengen von einer Menge X mit: (i) Jeder Durchschnitt von Mengen aus A geh¨ort zu A, d.h. gilt Ai ∈ A, i ∈ I, dann ist ∩i∈I Ai ∈ A. (ii) Jede Vereinigung von endlich vielen Menge aus A geh¨ort zu A, d.h. gilt A1 , . . . , An ∈ A, dann ist ∪ni=1 Ai ∈ A. (iii) ∅, X ∈ A. Dann gibt es genau eine Topologie O auf X, in der A das System der abgeschlossenen Mengen ist. Nun kann man wie in der Analysis behandelt Begriffe wie abgeschlossene H¨ ulle X 0 zu einer Teilmenge X 0 ⊆ X, usw. einf¨ uhren. Beispiel 7.2. In 2.13 wurde erl¨autert, dass die algebraischen Mengen eine Topologie auf AnK definieren, die Zariskitopologie. Im Folgenden sei X zun¨achst ein beliebiger topologischer Raum. Definition 7.3. Ein topologischer Raum X heißt irreduzibel, wenn gilt: Ist X = A1 ∪ A2 mit abgeschlossenen Teilmengen Ai ⊆ X, dann ist X = A1 oder X = A2 . Eine Teilmenge X 0 ⊆ X heißt irreduzibel, wenn sie als topologischer Raum mit der induzierten Topologie irreduzibel ist. (Bei der induzierten Topologie sind die offenen/abgeschlossenen Mengen von X 0 die Schnitte von X 0 mit offenen/abgeschlossenen Mengen von X.) Beispiel 7.4. Wenn man die Definition auf algebraische Mengen anwendet, so heißt eine algebraische Menge V ⊆ AnK irreduzibel, wenn keine Zerlegung V = V1 ∪ V2 mit zwei echten algebraischen Teilmenge V1 , V2 ⊂ V existiert. Ansonsten heißt V reduzibel. Betrachte etwa: (i) Die Teilmenge V (X · Y ) ist reduzibel, da V (X · Y ) = V (X) ∪ V (Y ) gilt.

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

(ii) Ein Punkt in AnK ist irreduzibel. F¨ ur einen topologischen Raum gilt nun: Satz 7.5. Sei X ein topologischer Raum. Dann sind ¨aquivalent: (i) X ist irreduzibel. (ii) Sind O1 , O2 offene Mengen von X mit Oi 6= ∅, so ist O1 ∩ O2 6= ∅. (iii) Jede nichtleere offene Teilmenge O von X ist dicht in X, d.h. O = X. Beweis. (i) ⇒ (ii): Angenommen O1 ∩ O2 = ∅. Dann ist X = (X \ O1 ) ∪ (X \ O2 ) eine echte Zerlegung in abgeschlossene Mengen im Widerspruch zur Irreduzibilit¨at von X. (ii) ⇒ (i): Sei X = A1 ∪ A2 eine Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. Dann ist ∅ = X \ X = X \ (A1 ∪ A2 ) = (X \ A1 ) ∩ (X \ A2 ). Wegen der Voraussetzung muss X \A1 = ∅ oder X \A2 = ∅ gelten. Daher ist X = A1 oder X = A2 . (ii) ⇒ (iii): F¨ ur eine offene Menge O 6= ∅ folgt aus (X \ O) ∩ O = ∅ wegen (ii), dass X \ O = ∅. Dies ist ¨aquivalent zu X = O. (iii) ⇒ (ii): Seien O1 , O2 offene nichtleere Teilmengen von X. Angenommen O1 ∩ O2 = ∅. Dann ist O1 ⊆ (X \ O2 ). Hieraus folgt der Widerspruch O1 ⊆ X \ O2 6= X.  Korollar 7.6. Sei X ein topologischer Raum und X 0 ⊆ X. Dann sind ¨aquivalent: (i) X 0 ist irreduzibel. (ii) Sind O1 , O2 offene Mengen von X mit Oi ∩X 0 6= ∅, so ist O1 ∩O2 ∩X 0 6= ∅. (iii) Die abgeschlossene H¨ ulle X 0 von X 0 (in X) ist irreduzibel. Beweis. Dies folgt aus 7.5. F¨ ur (ii) ⇔ (iii) beachte man die Tatsache, dass eine 0 offene Menge genau dann X trifft, wenn sie X 0 trifft.  Definition 7.7. Sei X ein topologischer Raum. Eine irreduzible Komponente von X ist eine maximale irreduzible Teilmenge von X bzgl. der Inklusion. Bemerkung 7.8. (i) Wegen 7.6 (iii) muss eine irreduzible Komponente abgeschlossen sein. (ii) Sei V ⊆ AnK eine algebraische Menge. Dann ist eine irreduzible Komponente von V eine maximale irreduzible algebraische Teilmenge von V . Definition 7.9. Eine irreduzible algebraische Menge heißt eine (affine) Variet¨at. Im Folgenden werden wir das Lemma von Zorn ben¨otigen. Diese Lemma ist von axiomatischem Charakter, da es ¨aquivalent zum sogenannten Auswahlaxiom ist. Lemma 7.10. (Zorn) Sei M = 6 ∅ eine partiell geordnete Menge. Besitzt jede total geordnete Teilmenge von M eine obere Schranke in M, dann besitzt M ein maximales Element.

7. IRREDUZIBLE KOMPONENTEN EINER ALGEBRAISCHEN MENGE

35

Satz 7.11. Sei X ein topologischer Raum. Dann gilt: (i) Jede irreduzible Teilmenge von X ist in einer irreduziblen Komponente von X enthalten. (ii) X ist die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten. Beweis. (i) Wir wenden das Lemma von Zorn an. Sei X 0 ⊆ X eine irreduzible Menge und M die Menge der X 0 umfassenden irreduziblen Teilmengen von X mit der Inklusion als partielle Ordnung. Sei {Xi }i∈I eine vollst¨andig geordnete Familie von Elementen aus M und Y = ∪i∈I Xi . Dann ist Y ∈ M. Denn seien O1 , O2 ⊂ X offene Mengen mit Oi ∩ Y 6= ∅. Dann gibt es i, j mit O1 ∩ Xi 6= ∅ und O2 ∩ Xj 6= ∅. Sei etwa Xi ⊆ Xj , so ist Xj ∩ O1 ∩ O2 6= ∅ wegen der Irreduzibilit¨at von Xj . Daher folgt Y ∩ O1 ∩ O2 6= ∅ und somit ist Y irreduzibel. Aus dem Zornschen Lemma folgt, dass M ein maximales Element besitzt. Dieses Element ist eine X 0 umfassende irreduzible Komponente. (ii) Ist y ∈ X. Dann ist {y} eine irreduzible Menge und wegen (i) in einer irreduziblen Komponente enthalten. Hieraus folgt die Behauptung.  Definition 7.12. Ein topologischer Raum X heißt noethersch, wenn jede absteigende Kette A1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ . . . von abgeschlossenen Mengen Ai ⊆ X station¨ar wird. Direkt aus der Definition folgt: Lemma 7.13. Sei X ein topologischer Raum. Dann sind ¨aquivalent: (i) X ist noethersch. (ii) Jede aufsteigende Kette O1 ⊆ O2 ⊆ O3 ⊆ . . . von offenen Menge Oi ⊆ X wird station¨ar. (iii) Es gilt die Maximalbedingung f¨ ur offene Mengen. (iv) Es gilt die Minimalbedingung f¨ ur abgeschlossene Mengen. Beispiel 7.14. Jede algebraische Menge V ⊆ AnK ist noethersch. Eine abgeschlossene Menge von V ist eine algebraische Menge W ⊆ AnK mit W ⊆ V . Sei V ⊇ W1 ⊇ W2 ⊇ W3 ⊇ . . . eine absteigende Kette von algebraischen Mengen. Betrachte die aufsteigende Kette von Idealen in K[X1 , . . . , Xn ] I(W1 ) ⊆ I(W2 ) ⊆ I(W3 ) ⊆ . . . Da K[X1 , . . . , Xn ] ein noetherscher Ring ist, wird diese Kette station¨ar. Also existiert ein i mit I(Wj ) = I(Wj+1 ) f¨ ur j ≥ i. Da Wk = V (I(Wk )) gilt, folgt dann Wj = Wj+1 f¨ ur j ≥ i. Satz 7.15. Sei X ein noetherscher topologischer Raum. Dann besitzt X nur endlich viele irreduzible Komponenten. Keine Komponente ist in der Vereinigung der u ¨brigen enthalten.

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1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Beweis. Sei M die Menge aller abgeschlossenen Mengen von X, die sich nicht als endliche Vereinigung irreduzibler Teilmengen von X schreiben lassen. W¨are M nichtleer, so g¨abe es wegen der Minimalbedingung ein minimales Element Y ∈ M. Es kann Y nicht irreduzibel sein. Daher existieren abgeschlossene Mengen A1 , A2 mit Y = A1 ∪ A2 und Ai 6= Y . Wegen der Minimalit¨at von Y ist Ai endliche Vereinigung irreduzibler Teilmengen von X, also auch Y . Dies ist ein Widerspruch und M = ∅. Insbesondere ist X endliche Vereinigung irreduzibler Teilmengen. Jede dieser Teilmengen ist wegen 7.11 in einer irreduziblen Komponente enthalten. Daher ist X = X1 ∪ · · · ∪ Xm mit irreduziblen Komponenten Xi von X und es kann Xi 6= Xj f¨ ur i 6= j angenommen werden. Sei Y eine beliebige irreduzible Komponente von X. Dann folgt aus m [ Y = Y ∩ Xi , i=1

dass Y = Xi f¨ ur ein i gilt. Somit besitzt X nur endlich viele irreduzible Komponenten S und diese kommen alle unter den Xi vor. Analog zeigt man, dass nicht Xi ⊆ j6=i Xj gilt.  Korollar 7.16. Sei K ein K¨orper. und V ⊆ AnK eine algebraische Menge. Dann besitzt V eine (bis auf Reihenfolge) eindeutig bestimmte Darstellung V = V1 ∪ · · · ∪ Vr , wobei die Vi die irreduziblen Komponenten von V sind und Vi 6= Vj f¨ ur i 6= j gilt. Die Verschwindungsideale, die irreduziblen algebraischen Mengen (Variet¨aten) entsprechen, lassen sich einfach charakterisieren. Satz 7.17. Sei ∅ 6= V ⊆ AnK eine algebraische Teilmenge mit Verschwindungsideal I(V ). Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) V ist irreduzibel, (ii) I(V ) ist ein Primideal. Beweis. Sei V reduzibel mit Zerlegung V = V1 ∪ V2 , wobei Vi ⊂ V algebraische Mengen mit Vi 6= V sind. Dann existieren Polynome f ∈ I(V1 ) \ I(V ) und g ∈ I(V2 ) \ I(V ). Nun verschwindet f · g auf V1 ∪ V2 = V , ist also ein Element von I(V ). Daher kann I(V ) kein Primideal sein. Sei nun V irreduzibel. Angenommen I(V ) ist kein Primideal. Dann existieren Polynome f, g ∈ K[X1 , . . . , Xn ] mit f, g 6∈ I(V ) und f · g ∈ I(V ). Betrachte J1 = I(V ) + (f ) und J2 = I(V ) + (g). Dann gilt V1 = V (J1 ) ⊂ V , V1 6= V und V2 = V (J2 ) ⊆ V , V2 6= V . Ist nun a ∈ V , so gilt f · g(a) = 0, also f (a) = 0 oder g(a) = 0. Also ist a ∈ V1 oder a ∈ V2 . Insgesamt erhalten wir eine Zerlegung V = V1 ∪ V2 im Widerspruch zur Irreduzibilit¨at von V .  Satz 7.18. Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Dann entsprechen die nichtleeren irreduziblen algebraischen Mengen in AnK unter der Zuordnung V 7→ I(V ) eineindeutig den Primidealen von K[X1 , . . . , Xn ]. Insbesondere entsprechen die

8. ZUSAMMENFASSUNG

37

irreduziblen Komponenten von einer algebraischen Menge V genau den minimalen Primidealen von I. (Hierbei ist ein minimales Primideal ein Primideal P mit I ⊆ P und P ist minimal mit dieser Eigenschaft bzgl. der Inklusion.) Beweis. Dieser Satz ist eine direkte Folgerung aus dem Hilbertschen Nullstellensatz und der Tatsache, dass Primideale Radikalideale sind.  Jeder algebraischen Menge kann ein Ring zugeordnet werden, der in der Geometrie von Bedeutung ist. Definition 7.19. Sei K ein K¨orper und W ⊆ AnK eine algebraische Menge. Der Ring K[W ] = K[X1 , . . . , Xn ]/I(W ) heißt der Koordinatenring von W . Die Elemente dieses Ringes lassen sich als Funktionen auf W auffassen. F¨ ur f = f + I(W ) ∈ K[W ] und (a1 , . . . , an ) ∈ W definiert man f (a1 , . . . , an ) = f (a1 , . . . , an ). Diese Definition ist unabh¨angig von der Wahl der Repr¨asentanten f und ist daher eine wohldefinierte Funktion von W → K. Weitere Aspekte sind Gegenstand einer Vorlesung zur algebraischen Geometrie. Aus den Definitionen und dem bisher bewiesenen folgt direkt: Satz 7.20. Sei K ein K¨orper und W ⊆ AnK eine algebraische Menge. Dann gilt: (i) K[W ] ist reduziert. (ii) K[W ] ist genau dann ein Integrit¨atsbereich, wenn W eine Variet¨at ist.

8. Zusammenfassung Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Wir fassen die bisher in der Vor¨ ¨ lesung und in den Ubungsaufgaben gelernte Ubersetzung von geometrischen und algebraischen Sachverhalten in folgender Tabelle zusammen (Tabelle entnommen aus dem Buch von Cox, Little und O’Shea [2], Kapitel 4):

38

1. ALGEBRA UND GEOMETRIE

Algebra Radikalideale J I(W ) Addition von Idealen p I +J I(V ) + I(W ) Produkte von Idealen p I ·J I(V ) · I(W ) Durchschnitte von Idealen p I ∩J I(V ) ∩ I(W ) Primideale Maximale Ideale aufsteigende Kette von Idealen

Geometrie → ← → ← → ← → ←

Algebraische Mengen V (J) W Durchschnitte von algebraischen Mengen V (I) ∩ V (J) V ∩W Vereinigung von algebraischen Mengen V (I) ∪ V (J) V ∪W Vereinigung von algebraischen Mengen V (I) ∪ V (J) V ∪W Irreduzible algebraische Mengen Punkte in AnK absteigende Kette von algebraischen Mengen

KAPITEL 2

Dimensionstheorie Grundlage f¨ ur die Inhalte dieses Kapitels sind die entsprechenden Abschnitte des Buches von Kunz [4]. 1. Das Spektrum eines Rings R sei stets ein kommutativer Ring mit 1. Definition 1.1. Spec(R) = {P : P ⊂ R Primideal} heißt das Spektrum von R. Das erste Ziel ist es auf Spec(R) eine Topologie zu definieren. Hierf¨ ur werden die abgeschlossenen Mengen definiert. Definition 1.2. Sei I ⊆ R ein Ideal. Dann heißt V(I) = {P ∈ Spec(R) : P ⊇ I} die Nullstellenmenge von I in Spec(R). Die Elemente P ∈ V(I) heißen auch die Primideale von I. Zum Beispiel ist V(6Z) = {2Z, 3Z} in dem Ring Z. Satz 1.3. Es gilt: (i) V(0) = Spec(R) und V(R) = ∅. (ii) Seien I, J ⊂ S Ideale. Dann gilt: V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J). Insbesondere sind endliche Vereinigungen von Nullstellenmengen wieder Nullstellenmengen. (iii) Seien {Iλ ⊂ S f¨ ur λ ∈ Λ} eine Familie von Ideale von R. Dann gilt: \ X V(Iλ ) = V( Iλ ). λ∈Λ

λ∈Λ

Insbesondere sind beliebige Durchschnitte von Nullstellenmengen wieder Nullstellenmengen. Durch die Nullstellenmengen wird daher eine Topologie auf Spec(R) definiert. Diese Topologie heißt die Zariskitopologie auf Spec(R). Eine Nullstellenmenge V(I) heißt dann auch eine abgeschlossene Menge.

40

2. DIMENSIONSTHEORIE

Beweis. (i) Dies ist trivial. (ii) Sei P ∈ Spec(R) ein Primideal mit I ∩ J ⊆ P . Gilt I ⊆ P , so ist P ∈ V(I). Sonst existiert ein a ∈ I \ P . Sei b ∈ J beliebig. Dann ist ab ∈ I · J ⊆ I ∩ J ⊆ P . Daher ist J ⊆ P und somit P ∈ V(J). Umgekehrt gilt f¨ ur jedes Primideal P ∈ Spec(R) mit P ∈ V(I) oder P ∈ V(J), dass P ∈ V(I ∩ J), da I ∩ J ⊆ I, J. P (iii) Ist P ∈ Spec(R) ein Primideal mit λ∈ΛT Iλ ⊆ P , dann folgt, dass f¨ ur alle λ gilt Iλ ⊆ P und daher P ∈ V(Iλ ). Somit P ∈ λ∈Λ V(Iλ ). Die andere Inklusion ¨ u und daher folgt die Behauptung. ¨berlegt man sich durch eine ¨ahnliche Uberlegung  Definition 1.4. F¨ ur eine beliebige Teilmenge A ⊆ Spec(R) heißt I(A) = ∩P ∈A P das Verschwindungsideal von A. Die Operationen V und I verhalten sich ¨ahnlich wie die Operationen V (·) und I(·), die wir im ersten Kapitel betrachtet haben. Satz 1.5. (i) F¨ ur A ⊆ Spec(R) ist V(I(A)) = A die abgeschlossene H¨ ulle von A bzgl. der Zariskitopologie, d.h. dies ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A umfasst. (ii) F¨ ur P ∈ Spec(R) gilt {P } = {P } genau dann, wenn P ein maximales Ideal ist. Somit entsprechen die maximalen Ideale den abgeschlossenen Punkten in Spec(R). Beweis. (i) Aus den Definitionen folgt direkt A ⊆ V(I(A)) und daher gilt A ⊆ V(I(A)), da V(I(A)) abgeschlossen ist. Ist nun V(J) T ⊇ A eine beliebige abgeschlossene Menge, so gilt P ⊇ J f¨ ur alle P ∈ A. Somit J ⊆ P ∈A P = I(A) und daher V(J) ⊇ V(I(A)). Daraus folgt die Behauptung V(I(A)) = A. (ii) Sei P ∈ Spec(R). Wegen I(P ) = P folgt {P } = V(I({P })) = V(P ) und daraus die Behauptung.  Bemerkung 1.6. Der Satz besagt also, dass f¨ ur eine abgeschlossene Menge A ⊆ Spec(R) gilt V(I(A)) = A. Nun stellt sich die Frage, wie I(V(I)) f¨ ur ein Ideal I ⊂ R aussieht. Hierf¨ ur werden Hilfsmittel aus der Algebra ben¨otigt. Lemma 1.7 (Krull). Sei I ⊂ R ein Ideal, I 6= R, S ⊆ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge (d.h. 1 ∈ S und aus a, b ∈ S folgt a · b ∈ S) mit I ∩ S = ∅. Dann besitzt die Menge M aller Ideale J mit I ⊆ J und J ∩ S = ∅ ein maximales Element und dieses ist ein Primideal. Beweis. Die Existenz eines maximalen Elements P in M folgt aus dem Lemma von Zorn. Zu zeigen bleibt, dass dieses ein Primideal ist. Angenommen es gibt Elemente a, b ∈ R \ P mit a · b ∈ P . Da a, b 6∈ P ist P + (a), P + (b) 6∈ M. Wegen

1. DAS SPEKTRUM EINES RINGS

41

I ⊆ P + (a) und I ⊆ P + (b) muss (P + (a)) ∩ S 6= ∅ und (P + (b)) ∩ S 6= ∅ gelten. Sei sa , sb ∈ S mit sa = pa + ra a, sb = pb + rb b mit pa , pb ∈ P und ra , rb ∈ R. Dann folgt S 3 sa sb = (pa + ra a)(pb + rb b) = pa pb + ra apb + rb bpa + ra rb ab ∈ P. Es folgt P ∩ S 6= ∅ im Widerspruch zur Wahl von P . Hieraus folgt die Behauptung.  Satz 1.8. Sei I ⊂ R, I 6= R ein Ideal. Dann gilt: \ √ I= P. I⊆P,P Primideal

Beweis. Trivialerweise gilt

√

I⊆

\

P.

I⊆P,P Primideal

√ Sei nun a ∈ I⊆P,P Primideal P . Angenommen es gilt a 6∈ I. Betrachte die multiplikativ abgeschlossene Menge S = {1, a, a2 , . . . }. √ Dann gilt S ∩ √I = ∅ wegen der Wahl von a. Wegen T dem Lemma von Krull existiert ein Primideal I ⊆ Q mit Q∩S = ∅. Da aber a ∈ I⊆P,P Primideal P , folgt a ∈ Q∩S. Dies ist ein Widerspruch.  √ Korollar 1.9. Sei R ein Ring. F¨ ur jedes Ideal I ⊆ R gilt I(V(I)) = I. Insbesondere entsprechen die abgeschlossenen Teilmengen von Spec(R) eineindeutig den Radikalidealen von R. T

Beweis. Aus 1.8 folgt I(V(I)) =

\

√ P =

I.

I⊆P,P Primideal

Ist I ein Radikalideal, so folgt I(V(I)) = I. F¨ ur eine abgeschlossene Menge A ⊆ Spec(R) gilt V(I(A)) = A. Dies zeigt die Behauptung.  Bemerkung 1.10. Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Die Radikalideale von R = K[X1 , . . . , Xn ] entsprechen gerade den algebraischen Mengen von AnK . Daher entspricht der topologische Raum Spec(R) dem topologischen Raum AnK bzgl. der Zariskitopologien. Nun kann man (analog zur geometrischen Situation im Kapitel 1) die irreduziblen abgeschlossenen Mengen charakterisieren. Es gilt: Satz 1.11. Sei ∅ = 6 A eine abgeschlossene Teilmenge von Spec(R). Dann sind ¨aquivalent: (i) A ist irreduzibel, (ii) I(A) ∈ Spec(R).

42

2. DIMENSIONSTHEORIE

Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei A irreduzibel und f, g ∈ R mit f · g ∈ I(A) = ∩P ∈A P . Sei P ∈ A. Dann gilt f · g ∈ P und daher f ∈ P oder g ∈ P . Es folgt: A = (A ∩ V(f )) ∪ (A ∩ V(g)). Da A irreduzibel ist, muss A = (A ∩ V(f )) ⊆ V(f ) oder A = (A ∩ V(g)) ⊆ V(g) gelten. Daher ist f ∈ I(V(f )) ⊆ I(A) oder g ∈ I(V(f )) ⊆ I(A). Somit ist I(A) ein Primideal. (ii) ⇒ (i): Sei nun I(A) ∈ Spec(R) und A = A1 ∪ A2 ein Zerlegung von A in abgeschlossene Teilmengen A1 und A2 . Es folgt I(A) ⊆ I(Ai ) f¨ ur i = 1, 2 und I(A) = I(A1 ∪ A2 ) = I(A1 ) ∩ I(A2 ). Entweder ist I(A1 ) ⊆ I(A) und daher I(A1 ) = I(A), oder es existiert ein f ∈ I(A1 ) \ I(A). Dann gilt f¨ ur g ∈ I(A2 ), dass f · g ∈ I(A1 ) ∩ I(A2 ) = I(A). Da I(A) ein Primideal ist, folgt g ∈ I(A). Daher ist dann I(A2 ) ⊆ I(A). Somit I(A1 ) = I(A) oder I(A2 ) = I(A). Insgesamt folgt A1 = V(I(A1 )) = V(I(A)) = A oder A2 = V(I(A2 )) = V(I(A)) = A. Dies war zu zeigen.



Beispiel 1.12. (i) F¨ ur einen Integrit¨atsbereich ist Spec(R) irreduzibel. (ii) Betrachte f¨ ur einen K¨orper K den Ring R = K[X]/(X 2 ). Man u ¨berlegt sich, dass Spec(R) nur aus dem Primideal (X) besteht. Daher ist Spec(R) irreduzibel. Aber Spec(R) ist kein Integrit¨atsbereich. Da Spec(R) ein topologischer Raum ist, k¨onnen die Resultate aus dem 1. Kapitel u ¨ber topologische R¨aume angewendet werden. Wir erhalten: Satz 1.13. Sei R ein Ring. Dann gilt: (i) Die minimalen Primideale von einem Ideal I ⊂ R entsprechen eineindeutig den irreduziblen Komponenten von V(I). Insbesondere besitzt jedes Ideal I 6= R minimale Primideale. (ii) R besitzt minimale Primideale. (Dies sind die minimalen Primideale von (0).) (iii) Jedes Primideal P ∈ Spec(R) enth¨alt ein minimales Primideal. (iv) Ist Spec(R) ein noetherscher topologischer Raum (z.B. R noethersch), dann besitzt R nur endlich viele minimale Primideale und jedes Ideal I 6= R nur endlich viele minimale Primideale. √ Sind Tminsbesondere P1 , . . . , Pm die minimalen Primideale von I, so ist I = i=1 Pi . Beweis. F¨ ur eine abgeschlossene Menge ∅ = 6 A ⊂ Spec(R) gilt V(I(A)) = A und A ist irreduzibel ur ein Ideal I ⊂ R √ genau dann, wenn I(A) ein Primideal ist. F¨ gilt I(V(I)) = I. Ferner gilt f¨ ur ein Primideal P ⊂ R genau dann I ⊆ P , wenn

1. DAS SPEKTRUM EINES RINGS

43

√

I ⊆ P . Daher entsprechen die minimalen Primideale eines Ideals eineindeutig den irreduziblen Komponenten von V(I). Die restlichen Aussagen folgen aus den Ergebnissen 7.11 und 7.15 im Kapitel 1.  Es lassen sich erste Resultate u ¨ber die Nullteiler von noetherschen Ringen gewinnen. Satz 1.14. Sei R ein noetherscher Ring mit paarweise verschiedenen minimalen Primidealen P1 , . . . , Ps . Dann gilt: p T S (i) (0) = si=1 Pi und si=1 Pi besteht von R. Ts aus lauterSNullteilern s (ii) Ist R reduziert, dann ist (0) = i=1 Pi und i=1 Pi ist die Menge aller Nullteiler von R. p Beweis. Die Aussagen u ¨ber (0) in (i) bzw. (0) in (ii) folgt aus 1.8. Sei nun 0 6= a ∈ Pi f¨ ur ein i = 1, . . Q . , s. Da die Pj minimale T Primideale sind, existiert ein bj ∈ Pj \ Pi . Definiere b = j6=i bj . Dann ist b ∈ sj6=i Pj mit b 6∈ Pi . Nun ist s \ p a·b∈ Pi = (0). i=1

Daher existiert ein n ∈ N mit (a · b)n = 0. Wegen b 6∈ Pi ist bn 6= 0. Nun existiert ein 0 ≤ m ≤ n mit am · bn 6= 0 und a(am · bn ) = am+1 · bn = 0. Daher ist a ein Nullteiler von R.T Sei nun R reduziert, (0) = si=1 Pi und a ein beliebiger Nullteiler von R. Es existiert ein 0 6= b ∈ R mit a · b = 0. Es muss ein i ∈ {1, . . . , s} existieren mit b 6∈ Pi . Aus a · b = 0 ∈ Pi folgt dann a ∈ Pi und somit die Behauptung.  Definition 1.15. Seien X, Y topologische R¨aume. Eine Abbildung α : X → Y heißt stetig, wenn die Urbilder von offenen Mengen von Y offen in X sind. (D.h. O ⊆ Y offen, dann ist α−1 (O) ⊆ X offen.) ¨ Aquivalent zu der Definition von Stetigkeit ist, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Satz 1.16. Seien R, S Ringe und ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann ist Spec(ϕ) : Spec(S) → Spec(R), P 7→ ϕ−1 (P ) stetig. F¨ ur ein Ideal I ⊂ R gilt Spec(ϕ)−1 (V(I)) = V(IS), wobei IS das von ϕ(I) erzeugte Ideal in S ist. Beweis. Spec(ϕ) ist wohldefiniert, da f¨ ur ein Primideal P ∈ Spec(S) auch ϕ−1 (P ) ein Primideal von R ist. Sei nun V(I) ⊆ Spec(R) eine abgeschlossene Menge f¨ ur ein Ideal I ⊂ R. Dann ist Spec(ϕ)−1 (V(I)) = {P ∈ Spec(S) : I ⊆ ϕ−1 (P )} = {P ∈ Spec(S) : IS ⊆ P } = V(IS) abgeschlossen in Spec(S).



44

2. DIMENSIONSTHEORIE

Beispiel 1.17. Betrachte R = Z, S = Z/12Z und ϕ : Z → Z/12Z. Es ist bekannt, dass Spec(Z) = {(0)} ∪ {(p) : p ist eine Primzahl} und Spec(Z/12Z) = {(2), (3)}. Die Abbildung Spec(ϕ) : Spec(Z/12Z) → Spec(Z), P 7→ ϕ−1 (P ) ist wohldefiniert. Dann gilt z.B. Spec(ϕ)−1 (V((2))) = V((2)) = {(2)}, Spec(ϕ)−1 (V((0))) = V((0)) = {(2), (3)}. Im Falle eines Restklassenrings kann die Situation genauer beschrieben werden. Satz 1.18. Sei R ein Ring, I ⊂ R ein Ideal und ϕ : R → R/I der kanonische Epimorphismus. Dann ist Spec(ϕ) : Spec(R/I) → Spec(R), P 7→ ϕ−1 (P ) eine bijektive (stetige) Abbildung von Spec(R/I) auf V(I). Beweis. Aus den Anf¨angervorlesungen ist bekannt, dass die Primideale von R/I den Primidealen von R, welche I umfassen, eineindeutig entsprechen. Daher ist Spec(ϕ) bijektiv und nach 1.16 stetig.  Bemerkung 1.19. Es l¨asst sich leicht zeigen, dass Spec(ϕ) eine stetige und abgeschlossene Abbildung, also ein “Hom¨oomorphismus” von Spec(R/I) auf V(I) ist. p Korollar 1.20. Sei R ein Ring und Rred = R/ (0). Dann gilt: (i) Rred ist reduziert und heißt der assoziierte reduzierte Ring zu R. (ii) Der kanonische Epimorphismus ϕ : R → Rred induziert eine bijektive (stetige) Abbildung Spec(ϕ) : Spec(Rred ) → Spec(R). p Beweis. F¨ ur ein Primideal P ∈ Spec(R) gilt genau dann (0) ⊆ P , wenn (0) ⊆ P . Daher ist Spec(ϕ) bijektiv und die Behauptung folgt aus 1.18.  Zu einem Integrit¨atsbereich kann der Quotientenk¨orper konstruiert werden. Eine analoge Konstruktion ist f¨ ur einen beliebigen Ring m¨oglich. Konstruktion 1.21. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge T von R heißt multiplikativ abgeschlossen, wenn 1 ∈ T und f¨ ur alle a, b ∈ T auch a · b ∈ T gilt. Sei nun T eine multiplikativ abgeschlossene Menge von R. Wir definieren auf der Menge ¨ {(a, b) : a ∈ R, b ∈ T } die Aquivalenzrelation: (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) ⇔ Es gibt ein s ∈ T mit a1 b2 s = a2 b1 s. ¨ ¨ Die Aquivalenzklasse von (a, b) wird mit ab und die Menge der Aquivalenzklassen mit RT bezeichnet. Definiere eine Addition und Multiplikation auf RT wie folgt: a1 a2 . = a1 a2 und a1 + a2 = a1 b2 + a2 b1 . b1 b2 b1 b2 b1 b2 b1 b2 Es gilt:

1. DAS SPEKTRUM EINES RINGS

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¨ (i) ∼ ist wirklich eine Aquivalenzrelation und RT ist mit den definierten Verkn¨ upfungen ein kommutativer Ring. Dieser Ring heißt der Quotientenring (Lokalisation) von R bzgl. T . (ii) Die Abbildung ιT : R → RT , a 7→ a1 ist ein Ringhomomorphismus mit Ker(ιT ) = {a ∈ R : es gibt ein t ∈ T mit at = 0}. Daher ist ιT genau dann injektiv, wenn T keine Nullteiler enth¨alt. ιT wird der kanonische Homomorphismus von R nach RT genannt. Beispiel 1.22. Sei R ein Ring. (i) Ist R ein Integrit¨atsbereich und T = R \ {0}, dann ist RT der Quotientenk¨orper von R. (ii) Sei a ∈ R, dann ist T = {an : n ∈ N} eine multiplikativ abgeschlossene Menge und b RT = { n : b ∈ R, n ∈ N}. a (iii) Ist P ∈ Spec(R) ein Primideal, dann ist T = R \ P multiplikativ abgeschlossen. Man setzt (inkonsequenterweise) dann RP = RT . Lemma 1.23. Sei R ein Ring, T ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Menge und ιT : R → RT der kanonische Homomorphismus. Die von RT verschiedenen Idealen von RT sind von der Form a IRT = { : a ∈ I, t ∈ T }, t wobei I ⊂ R ein Ideal mit I ∩ T = ∅ ist. Beweis. Sei J ⊂ RT ein Ideal mit J 6= RT und I = ι−1 T (J). Dann ist I ein Ideal von R mit I 6= R. Trivialerweise ist IRT ⊆ J. Sei nun at ∈ J mit a ∈ R und t ∈ T . Dann ist auch a1 = 1t · at ∈ J. Nun ist a ∈ I und daher at ∈ IRT . Dies zeigt die Behauptung. W¨are t ∈ I ∩ T , so w¨ urde 1 1 t 1 = = · ∈ IRT 1 t 1 und somit J = IRT = RT im Widerspruch zur Wahl von J folgen.  Satz 1.24. Sei R ein Ring, T ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Menge und ιT : R → RT der kanonische Homomorphismus. Dann ist Spec(ιT ) : Spec(RT ) → Spec(R) eine bijektive Abbildung von Spec(RT ) auf Im(Spec(ιT )) = {P ∈ Spec(R) : P ∩ T = ∅}. Insbesondere gilt: (i) Sei Q ∈ Spec(RT ). Dann ist P = ι−1 T (Q) ∈ Spec(R) und Q = P RT = { at : a ∈ P, t ∈ T }. (ii) Ist P ∈ Spec(R). Dann ist P RT = RT , wenn P ∩ T 6= ∅ und P RT ∈ Spec(RT ), wenn P ∩ T = ∅.

46

2. DIMENSIONSTHEORIE

(iii) F¨ ur eine abgeschlossene Menge V(IRT ) von Spec(RT ) gilt Spec(ιT )(V(IRT )) = V(I) ∩ Im(Spec(ιT )). Beweis. Wegen 1.23 sind die von RT verschiedenen Ideale von RT von der Form IRT f¨ ur ein Ideal I ⊂ R mit I ∩ T = ∅. Sei nun Q ∈ Spec(RT ). Dann gilt P = ι−1 T (Q) ∈ Spec(R), P ∩ T = ∅ und 0 0 Q = P RT . G¨abe es ein weiteres Q ∈ Spec(RT ) mit P = ι−1 urde Q = T (Q ), so w¨ P RT = Q0 folgen. Daher ist Spec(ιT ) injektiv. Somit ist Im(Spec(ιT )) ⊆ {P ∈ Spec(R) : P ∩ T = ∅}. Sei P ∈ Spec(R) mit P ∩ T = ∅. Wir m¨ ussen zeigen, dass P RT 6= RT , P RT ∈ −1 Spec(RT ) und P = ιT (P RT ) gilt. ur ein a ∈ P und ein t ∈ T . Dann Angenommen P RT = RT . Da ist 11 = at f¨ existiert ein s ∈ T mit st = sa ∈ P ∩ T = ∅. Dies ist ein Widerspruch und es gilt P RT 6= RT . Sei nun a b c · = ∈ P RT mit a, b ∈ R, s, t, u ∈ T und c ∈ P. s t u Dann existiert ein v ∈ T mit abuv = stcv ∈ P. Wegen uv 6∈ P ist ab ∈ P und daher a ∈ P oder b ∈ P . Somit b a ∈ P RT oder ∈ P RT . s t Also ist P RT ∈ Spec(RT ). Trivialerweise gilt P = ι−1 T (P RT ) und daher ist Im(Spec(ιT )) = {P ∈ Spec(R) : P ∩ T = ∅}. F¨ ur eine abgeschlossene Menge V(IT ) von Spec(RT ) gilt Spec(ιT )(V(IRT )) = V(I) ∩ Im(Spec(ιT )), wie man leicht verifiziert.



Es wurde auch wieder gezeigt, dass Spec(ιT ) eine abgeschlossenen Abbildung und daher ein Hom¨oomorphismus auf sein Bild ist. Definition 1.25. Ein noetherscher Ring R heißt lokal, wenn R genau ein maximales Ideal besitzt. Korollar 1.26. Sei R ein noetherscher Ring und P ∈ Spec(R). Dann ist RP ein lokaler Ring mit maximalem Ideal P RP . Beweis. Sei T = R \ P . Da P ∩ T = ∅ ist P RP ∈ Spec(RP ). Sei Q ∈ Spec(RP ) beliebig. Dann ist Q = P 0 RT f¨ ur ein P 0 ∈ Spec(R) mit P 0 ∩ T = ∅. Es ist P 0 ⊆ P und daher Q ⊆ P RP . 

¨ 2. DIE KRULLDIMENSION VON TOPOLOGISCHEN RAUMEN UND RINGEN

47

Beispiel 1.27. Sei R = Z und P = (p) ∈ Spec(Z) f¨ ur eine Primzahl p. Dann ist a Z(p) = { : a ∈ Z, p - b} ⊆ Q. b Die einzig m¨oglichen Primideale sind a (p)Z(p) = { : a ∈ Z, p - b, p|a} ⊆ Q., (0)Z(p) = {0} b Also ist Spec(Z(p) ) = {(p)Z(p) , (0)Z(p) }. Sei R ein Ring, T eine multiplikativ abgeschlossene Menge und ε : R → R/I. Dann sei (R/I)T = (R/I)ε(T ) , wobei ε(T ) eine multiplikativ abgeschlossene Menge von R/I ist. Lokalisieren und Restklassenbildung ist wie folgt vertauschbar: Satz 1.28. Sei R ein Ring, I ⊂ R ein Ideal und T ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Menge von R. Dann gilt: (R/I)T ∼ = RT /IRT Beweis. Definiere den Ringhomomorphismus a a εT : RT → (R/I)T , 7→ . t t Es ist leicht zu sehen, dass εT ein Epimorphismus ist. Behauptung: Ker(εT ) = IRT = { at : a ∈ I, t ∈ T }. Dann folgt aus dem Isomorphiesatz der gew¨ unschte Isomorphismus. Sei at ∈ Ker(εT ). Dann ist a 0 = . t 1 Daher existiert ein s ∈ T mit sa = 0 und somit sa = b ∈ I. Also ist a1 = sb und schließlich a b = ∈ IRT . t st Sei umgekehrt at ∈ IRT mit a ∈ I und t ∈ T . Dann gilt at = 0t , also at ∈ Ker(εT ). Dies zeigt die Behauptung.  2. Die Krulldimension von topologischen R¨ aumen und Ringen Das Ziel dieses Abschnitts ist es eine Dimensionstheorie f¨ ur topologische R¨aume zu definieren um diese speziell auf Ringe anwenden zu k¨onnen. Definition 2.1. Sei X 6= ∅ ein topologischer Raum. (i) Die Krulldimension dim X von X ist das Supremum der L¨angen n aller Ketten ∅= 6 X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn ⊆ X von nichtleeren abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen Xi ⊆ X mit Xi 6= Xi+1 . Ferner ist dim ∅ = −1.

48

2. DIMENSIONSTHEORIE

(ii) Ist ∅ = 6 Y ⊂ X eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge, so ist die Kodimension codimX Y von Y in X das Supremum der L¨ange aller Ketten aus (i) mit X0 = Y . Ist ∅ = 6 A ⊆ X eine beliebige abgeschlossene Menge, so ist codimX A das Infimum der Kodimension aller irreduzibler Komponenten von A. Ferner ist codimX ∅ = ∞. Bemerkung 2.2. (i) Die Dimension ist ∞ oder eine ganze Zahl ≥ −1. Die Kodimension ist ∞ oder eine ganze Zahl ≥ 0. (ii) AnK ist ein topologischer Raum bzgl. der Zariskitopologie. Die Dimension eines Punktes in AnK ist 0. (iii) Es gilt dim A1K = 1. Erste Rechenregeln: Lemma 2.3. Sei X ein topologischer Raum. (i) Sind {Xi }i∈I die irreduziblen Komponenten von X, so gilt dim X = sup{dim Xi }. i∈I

(ii) Sind ∅ = 6 Y ⊆ X, so ist dim Y + codimX Y ≤ dim X. (iii) Ist X irreduzibel mit dim X < ∞ und ∅ = 6 Y ⊆ X. Dann gilt Y 6= X genau dann, wenn dim Y < dim X. Beweis. Die Beweise folgen direkt aus der Definition.



Nun wurde ein Dimensionsbegriff f¨ ur topologische R¨aume definiert, den man z.B. auf algebraische Mengen anwenden kann. Aber man kann noch keine Dimension einer algebraischen Menge ausrechnen. Es ist noch nicht einmal gezeigt, dass die Dimension einer algebraischen Menge endlich ist. Selbst die Tatsache, dass dim AnK = n gelten sollte, kann noch nicht bewiesen werden. Sei nun X = Spec(R) eines Ringes R. Wegen 1.9 und 1.11 entsprechen die Ketten irreduzibler Teilmengen von X eineindeutig den Ketten P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ P n von Primidealen Pi ∈ Spec(R) mit Pi 6= Pi+1 . Definition 2.4. Sei R ein Ring. (i) Die Krulldimension dim R von R ist das Supremum der L¨angen n aller Ketten P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ P n von Primidealen Pi ∈ Spec(R) mit Pi 6= Pi+1 . (ii) F¨ ur P ∈ Spec(R) ist die H¨ohe h(P ) von P definiert als das Supremum aller Ketten aus (i) mit Pn = P . F¨ ur ein Ideal I 6= R ist die H¨ohe von I definiert als h(I) = inf{h(P ) : P minimales Primideal von I}.

¨ 2. DIE KRULLDIMENSION VON TOPOLOGISCHEN RAUMEN UND RINGEN

49

Somit erhalten wir direkt aus den Definitionen: Satz 2.5. Sie R ein Ring und I ⊂ R ein Ideal. Dann gilt: (i) dim R = dim Spec(R). (ii) h(I) = codimSpec(R) V(I). (iii) F¨ ur P ∈ Spec(R) gilt h(P ) = dim RP . (iv) F¨ ur P ∈ Spec(R) gilt dim R ≥ dim R/P + dim RP . (v) dim R = sup{dim RP : P ∈ Spec(R)}. (vi) dim R = dim Rred . Beweis. Die Aussagen folgen aus den Definitionen. Z.B. (iv): Ist Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qn ein Kette von Primidealen von R/P . Dann existieren Primideale P ⊆ Pi mit Qi = P i . Somit ist P ⊆ P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn eine Kette von Primidealen von R. Ist analog Q00 ⊂ Q01 ⊂ · · · ⊂ Q0m ein Kette von Primidealen von RP . Dann existieren Primideale Pi0 ⊆ P mit Q0i = Pi0 RP und P00 ⊂ P10 ⊂ · · · ⊂ Pm0 ⊆ P eine Kette von Primidealen von R. Man erh¨alt ein Kette von Primidealen P00 ⊂ P10 ⊂ · · · ⊂ Pm0 ⊆ P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn und es folgt dim(R) ≥ m + n. Daher folgert man dim R ≥ dim R/P + dim RP .  Beispiel 2.6. (i) Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper und W ⊂ AnK eine algebraische Menge. Die irreduziblen Untermengen von W entsprechen eineindeutig den Primidealen von R, die das Verschwindungsideal I(W ) umfassen. Daher entsprechen sie eineindeutig den Primidealen von dem Koordinatenring K[W ]. Daher ist dim W = dim K[W ]. (ii) Es existiert im Polynomring K[X1 , . . . , Xn ] eine Primidealkette (0) ⊂ (X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ . . . ⊂ (X1 , . . . , Xn ) der L¨ange n. Daher ist dim AnK = dim K[X1 , . . . , Xn ] ≥ n. Ein wichtiges Ziel ist es nun zu zeigen, dass hier Gleichheit gilt.

50

2. DIMENSIONSTHEORIE

(iii) Ein Integrit¨atsbereich ist genau dann 0-dimensional, wenn er ein K¨orper ist. 3. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen Ziel dieses Abschnitts ist es, die L¨ange von Primidealketten unter ganzen Ringerweiterungen zu untersuchen. Zur Wiederholung, ist eine Ringerweiterung S/R gegeben, dann heißt ein Element a ∈ S ganz u ¨ber R, wenn es ein normiertes Polynom f ∈ R[X] gibt, so dass f (a) = 0 ist. f (a) = 0 heißt dann eine Ganzheitsgleichung f¨ ur a. Die Erweiterung S/R heißt eine ganze Ringerweiterung, wenn jedes a ∈ S ganz u ¨ber R ist. Lemma 3.1. Sei S/R eine ganze Ringerweiterung, J ⊂ S ein Ideal und I = J ∩ R. Dann gilt: (i) R/I kann als ein Unterring von S/J aufgefasst werden und S/J ist ganz u ¨ber R/I. (ii) Existiert ein Nichtnullteiler a ∈ S mit a ∈ J, dann ist I 6= (0). Beweis. (i): Betrachte die Abbildung R/I → S/J. Diese ist wegen I = J ∩ R wohldefiniert und ein injektiver Ringhomomorphismus. Dann kann man R/I als Unterring von S/J auffassen. Ist a ∈ S/J. Da P S/R ganz ist, existiert ein normiertes Polynom f ∈ R[X] mit f (a) = 0. Ist f = ni=0 bi X i P mit bi ∈ R und bn = 1, so betrachte f = ni=0 bi X i ∈ R/I[X]. Dann ist f 6= 0 und f (a) = 0. (ii): Sei a ∈ J ein Nichtnullteiler mit Ganzheitsgleichung an + r1 an−1 + · · · + rn = 0 mit ri ∈ R. Man kann rn 6= 0 annehmen, da sonst a “gek¨ urzt” werden kann, weil a ein Nichtnullteiler ist. Dann ist rn ∈ J ∩ R = I.  Lemma 3.2. Sei S/R eine ganze Ringerweiterung, I ⊆ R ein Ideal und a ∈ IS. Dann existiert ein f ∈ R[X] von der Form f = X n + r1 X n−1 + · · · + rn mit ri ∈ I f¨ ur i = 1, . . . , n und f (a) = 0. Beweis. Da a ∈ IS, existiert eine Darstellung a=

m X

pi si mit pi ∈ I und si ∈ S.

i=1 0

Definiere S = R[s1 , . . . , sm ]. Da die si ganz u ¨ber R sind, ist S 0 ein endlich erzeugter R-Modul (siehe Kapitel 1, Abschnitt 5) und aS 0 ⊆ IS 0 . Sei w1 , . . . , wn ein R-Modulerzeugendensystem von S 0 als R-Modul. Betrachte a · wi =

n X k=1

qik wk mit qik ∈ I.

3. PRIMIDEALKETTEN UND GANZE RINGERWEITERUNGEN

51

Dies ist ¨aquivalent zu 0=

n X

(aδik − qik )wk

k=1

Dann ist nach der Cramerschen Regel det(aδik − qik ) · wj = 0 f¨ ur j = 1, . . . , n. Pn Ferner existiert eine Gleichung 1 = i=1 ri wi mit ri ∈ R. Hieraus folgt det(aδik − qik ) =

n X

ri det(aδik − qik )wi = 0.

i=1

Somit ist f = det(aδik − qik ) ein Polynom mit den gew¨ unschten Eigenschaften.



Satz 3.3 (“Lying Over”). Sei S/R eine ganze Ringerweiterung und ψ : Spec(S) → Spec(R) die zur Inklusion R ⊆ S geh¨orende Abbildung mit ψ(Q) = Q∩R f¨ ur ein Q ∈ Spec(S). Dann gilt: (i) ψ ist surjektiv, d.h. f¨ ur jedes Primideal P ∈ Spec(R) existiert ein Q ∈ Spec(S) mit P = Q ∩ R. (ii) F¨ ur ein Ideal J ⊂ S ist ψ(V(J)) = V(J ∩R) (d.h. ψ ist eine abgeschlossene Abbildung). (iii) F¨ ur Q1 , Q2 ∈ Spec(S) mit Q1 ⊆ Q2 und ψ(Q1 ) = ψ(Q2 ) gilt Q1 = Q2 . Beweis. (i): Sei P ∈ Spec(R) und T = R \ P . Wegen 3.2 besitzt jedes Element aus a ∈ P S einer Gleichung an + r1 an−1 + · · · + r0 = 0 mit ri ∈ P . Angenommen es w¨ urde a ∈ P S ∩ T gelten. Dann w¨are a ∈ R mit an ∈ P ein Widerspruch zu a ∈ T = R \ P . Somit gilt P S ∩ T = ∅. Nach dem Lemma von Krull existiert ein Q ∈ Spec(S) mit P S ⊆ Q und Q ∩ T = ∅. Nun ist P ⊆ Q ∩ R ⊆ P ∩ R = P. Also ist Q das erw¨ unschte Primideal. (ii): Sei J ⊂ S ein Ideal und I = J ∩ R. Wegen 3.1 (i) ist S/J ganz u ¨ber R/I. Aus (i) folgt, dass die Abbildung Spec(S/J) → Spec(R/I) surjektiv ist. Betrachte das kommutative Diagramm: Spec(S/J) −−−→ Spec(S)     y y Spec(R/I) −−−→ Spec(R) Man kann Spec(S/J) mit V(J) und Spec(R/I) mit V(I) identifizieren. Daher wird V(J) auf V(I) abgebildet. (iii): Sei P = Q1 ∩ R = Q2 ∩ R. Wegen 3.1 (i) ist S/Q1 ganz u ¨ber R/P und Q2 /Q1 ∈ Spec(S/Q1 ). Nach Wahl von P gilt (Q2 /Q1 ) ∩ (R/P ) = (0). Angenommen es existiert ein a ∈ Q2 \ Q1 . Dann ist 0 6= a ∈ Q2 /Q1 ⊆ S/Q1 .

52

2. DIMENSIONSTHEORIE

S/Q1 ist ein Integrit¨atsbereich und daher a ein Nichtnullteiler. Dann folgt aus 3.1 (ii), dass (0) 6= Q2 /Q1 ∩ R/P. Dies ist ein Widerspruch. Es folgt Q1 = Q2 .



Eine Primidealkette soll stets eine Kette Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qn von Primidealen mit Qi 6= Qi+1 sein. Korollar 3.4. Sei S/R eine ganze Ringerweiterung und Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qn eine Primidealkette von S und Pi = Qi ∩ R. Dann ist P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn eine Primidealkette von R. Satz 3.5 (“Going-up”). Sei S/R eine ganze Ringerweiterung. Zu jeder Primidealkette P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn von R und zu jedem Q0 ∈ Spec(S) mit Q0 ∩ R = P0 existiert eine Primidealkette Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qn von S mit Pi = Qi ∩ R. Beweis. Die Aussage wird durch eine Induktion nach i bewiesen. F¨ ur i = 0 ist dies die Voraussetzung. Sei nun i > 0 und die Kette Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qi mit Pj = Qj ∩ R f¨ ur j = 1, . . . i konstruiert. Dann ist S/Qi ganz u ¨ber R/Pi . In S/Qi liegt u ¨ber Pi+1 /Pi ∈ Spec(R/Pi ) ein Primideal Qi+1 /Qi mit Qi+1 ∈ Spec(S) und (Qi+1 /Qi ) ∩ (R/Pi ) = Pi+1 /Pi . Es folgt Qi+1 ∩ R = Pi+1 und Qi+1 6= Qi .



Korollar 3.6. Sei S/R eine ganze Ringerweiterung. Dann gilt: (i) dim S = dim R. (ii) Sei Q ∈ Spec(S) und P = Q ∩ R. Dann ist dim SQ = h(Q) ≤ h(P ) = dim RP und dim S/Q = dim R/P . Beweis. (i) folgt aus 3.4 und 3.5. (ii) ergibt sich aus 3.4 und der Definition der H¨ohe.  Beispiel 3.7. Da Z[i] ganz u ¨ber Z ist, folgt dim Z[i] = dim Z = 1. Korollar 3.8. Sei S/R eine ganze Ringerweiterung. Ist Spec(S) noethersch, dann ist die Abbildung ψ : Spec(S) → Spec(R) endlich, d.h. f¨ ur jedes Primideal P ∈ Spec(R) existieren nur endlich viele Primideale Q ∈ Spec(S) mit P = Q ∩ R. Beweis. Ist Q ∈ Spec(S) mit P = Q ∩ R, dann gilt P S ⊆ Q. Aus 3.3 (iii) folgt, dass Q ein minimales Primideal von P S ist. Da Spec(S) noethersch ist, existieren wegen 1.13 nur endlich viele minimalen Primideale u ¨ber P S. Dies zeigt die Behauptung.  Die bisherigen Aussagen lassen sich noch versch¨arfen unter der Voraussetzung, dass R, S Integrit¨atsbereiche sind und R ganzabgeschlossen in seinem Quotientenk¨orper ist. Zun¨achst einige Hilfsaussagen:

3. PRIMIDEALKETTEN UND GANZE RINGERWEITERUNGEN

53

Definition 3.9. Sei S/R eine Ringerweiterung und I ⊆ R ein Ideal. Ein Element a ∈ S heißt ganz u ¨ber I, wenn eine Ganzheitsgleichung an + r1 an−1 + · · · + rn = 0 mit ri ∈ I f¨ ur i = 1, . . . , n existiert. Der bisherige Ganzheitsbegriff ist dann der Speziallfall f¨ ur I = R. Lemma 3.10. Sei S/R eine Ringerweiterung, R der ganze Abschluss von R in S und ¨ber I ganzen Elemente in S das Ideal √ I ⊆ R ein Ideal. Dann ist die Menge der u IR. Beweis. Sei a ∈ S ganz u ¨ber I. Dann ist a ∈ R. Ferner existiert eine Gleichung an + r1 an−1 + · · · + rn = 0 mit ri ∈ I f¨ ur i = 1, . . . , n. √ Daher ist an ∈ IR und √ somit a ∈ IR. Sei umgekehrt a ∈ IR. Dann existiert ein n ∈ N mit an ∈ IR. Aus 3.2 folgt, dass eine Gleichung (an )m + r1 (an )m−1 + · · · + rn = 0 mit ri ∈ I f¨ ur i = 1, . . . , m existiert. Daher ist a ganz u ¨ber I.



Sei K ein K¨orper. Ein K¨orper K heißt algebraischer Abschluss von K, wenn gilt: (i) K/K ist algebraisch, (ii) K ist algebraisch abgeschlossen. Zum Beispiel ist der K¨orper der komplexen Zahlen C der algebraische Abschluss von R. In den nachfolgenden Resultaten wird die Tatsache aus einer Vorlesung Algebra 1 ben¨otigt, dass jeder K¨orper K einen algebraischen Abschluss besitzt und dieser eindeutig bestimmt ist. Lemma 3.11. Sei K ein K¨orper. Ist L/K eine K¨orpererweiterung, a ∈ L algebraisch u ¨ber K mit Minimalpolynom f ∈ K[X] und b eine Nullstelle von f in K. Dann existiert ein Homomorphismus ϕ : K(a) → K mit ϕ(a) = b und ϕ|K = idK . Beweis. Sei ε : K[X] → K(a), g(X) 7→ g(a) der Einsetzungshomomorphismus. Da a algebraisch u ¨ber K ist, folgt K(a) = K[a] und daher ist ε surjektiv. Da f irreduzibel ist, folgt Ker(ε) = (f ). Nach dem Isomorphiesatz induziert ε einen Isomorphismus ϕ1 : K[X]/(f ) → K(a),

g(X) + (f (X)) 7→ g(a).

Analog gibt es einen Isomorphismus ϕ2 : K[X]/(f ) → K(b),

g(X) + (f (X)) 7→ g(b),

wobei K(b) ⊆ K gebildet ist. Definiere den Isomorphismus ϕ3 = ϕ2 ◦ ϕ−1 1 : K(a) → K(b). Da ϕ1|K = id|K und ϕ2|K = id|K

54

2. DIMENSIONSTHEORIE

gilt, folgt ϕ3|K = id|K . Ferner ϕ3 (a) = ϕ2 ◦ ϕ−1 1 (a) = ϕ2 (X + (f )) = b. Definiere nun ϕ : K(a) → K als die Komposition von ϕ3

K(a) → K(b) → K  Lemma 3.12. Seien R, S Integrit¨atsbereiche, R ganzabgeschlossen in seinem Quotientenk¨orper K = Q(R), P ∈ Spec(R) oder P = R, und a ∈ S ganz u ¨ber P . Dann hat das Minimalpolynom f ∈ K[X] von a u ¨ber K die Gestalt f = X n + r1 X n−1 + · · · + rn mit ri ∈ P f¨ ur i = 1, . . . , n. Beweis. Sei K der algebraische Abschluss von K und a1 , . . . , am ∈ K alle Nullstellen von f mit Wiederholung gez¨ahlt. Dann gibt es nach 3.11 Homomorphismen ϕi : K(a) → K mit ϕ(a) = ai und ϕi|K = idK . Sei g = X n + s1 X n−1 + · · · + sn mit si ∈ P f¨ ur i = 1, . . . , n gegeben mit g(a) = 0. Dann sind die ai ebenfalls Nullstellen von g, da g(ai ) = g(ϕi (ai )) = ϕi (g(a)) = 0 gilt. Daher sind die ai ganz u ¨ber P . Es ist m Y f= (X − ai ) ∈ K[X]. i=1

Die Koeffizienten ri von f sind Polynome in den ai (einfach ausmultiplizieren) und daher wegen 3.10 ebenfalls ganz u ¨ber P . Da R ganzabgeschlossen in K ist und ri ∈ K ganz u ¨ber P , also insbesondere u ¨ber R, folgt ri ∈ R. Nun besitzt ri eine Ganzheitsgleichung rin + p1 rin−1 + · · · + pn = 0 mit pj ∈ P. und daher gilt rin ∈ P , also ri ∈ P . Dies zeigt die Behauptung.



Satz 3.13 (“Going-Down”). Seien R, S Integrit¨atsbereiche, R ganzabgeschlossen in seinem Quotientenk¨orper K = Q(R). Sei P0 ⊂ P1 eine Primidealkette in R und Q1 ∈ Spec(S) mit P1 = Q1 ∩ R. Dann existiert ein Q0 ∈ Spec(S) mit Q0 ⊂ Q1 und P0 = Q0 ∩ R. Beweis. Die Mengen T0 = R \ P0 und T1 = S \ Q1 sind multiplikativ abgeschlossen. Dann ist ebenfalls die Menge T = T0 ·T1 = {t0 ·t1 : t0 ∈ T0 , t1 ∈ T1 } multiplikativ abgeschlossen in S und es gilt T0 , T1 ⊆ T . Behauptung: P0 S ∩ T = ∅. Dann existiert nach dem Lemma von Krull ein Q0 ∈ Spec(S) mit P0 S ⊆ Q0 und Q0 ∩ T = ∅. Wegen Q0 ∩ T1 = ∅ folgt Q0 ⊂ Q1 und wegen Q0 ∩ T0 = ∅ folgt Q0 ∩ R = P0 .

¨ 4. TRANSZENDENTE KORPERERWEITERUNGEN

55

Es bleibt die Behauptung zu zeigen. Angenommen a ∈ P0 S ∩ T . Dann ist a ganz u ¨ber P0 . Aus 3.12 folgt, dass das Minimalpolynom von a die Gestalt f = X n + r1 X n−1 + · · · + rn mit ri ∈ P0 f¨ ur i = 1, . . . , n. hat. Wegen a ∈ T ist a = b · c mit b ∈ T0 und c ∈ T1 . Somit hat ab = c ∈ K = Q(R) das Minimalpolynom r1 rn g = X n + X n−1 + · · · + n b b und seine Koeffizienten liegen wegen 3.12 in R (in 3.12 P = R setzen). Daher existieren si ∈ R mit si = rbii , also ri = bi · si . Wegen ri ∈ P0 und b 6∈ P0 folgt, dass si ∈ P0 f¨ ur alle i. Die Gleichung cn + s1 cn−1 + · · · + sn = 0 liefert cn ∈ P0 S ⊆ Q1 . Dies ist ein Widerspruch, da c ∈ T1 = S \ Q1 gew¨ahlt worden war. Daher ist P0 S ∩ T = ∅.  Es folgt eine sch¨arfere Version von 3.6: Korollar 3.14. Es gelten die Voraussetzungen von 3.13. Sei Q ∈ Spec(S) und P = Q ∩ R. Dann ist dim SQ = h(Q) = h(P ) = dim RP . Beweis. In 3.6 wurde bereits dim SQ = h(Q) ≤ h(P ) = dim RP bewiesen. Sei nun P0 ⊂ P 1 ⊂ · · · ⊂ Pn = P eine Primidealkette in R. Aus 3.13 folgt durch eine geeignete Induktion, dass eine Primidealkette Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qn = Q in S mit Qi ∩ R = Pi existiert. Daher folgt dim SQ = h(Q) ≥ h(P ) = dim RP und somit Gleichheit.



4. Transzendente K¨ orpererweiterungen Bevor wir weiter die Dimension von Ringen untersuchen, muss der Begriff eines transzendente Elements unter K¨orpererweiterungen geeignet verallgemeinert werden. Definition 4.1. Sei L/K eine K¨orpererweiterung. a1 , . . . , an ∈ L heißen algebraisch unabh¨angig u ¨ber K, wenn der Homomorphismus: ϕ : K[X1 , . . . , Xn ] → L, Xi 7→ ai , ϕ|K = idK injektiv ist. Ein System T beliebig vieler Elemente aus L heißt algebraisch unabh¨angig u ¨ber K, wenn jedes endliche Teilsystem von T algebraisch unabh¨angig u ber K ist. ¨

56

2. DIMENSIONSTHEORIE

D.h. es existiert keine algebraische Gleichung der Elemente a1 , . . . , an u ¨ber K. Beispiel 4.2. Sei L/K immer eine K¨orpererweiterung. (i) Sei L = K(X1 , . . . , Xn ) = Q(K[X1 , . . . , Xn ]) der Quotientenk¨orper des Polynomrings. Dann sind X1 , . . . , Xn algebraisch unabh¨angig u ¨ber K. (ii) Ein Element a ∈ L ist genau dann algebraisch unabh¨angig u ¨ber K, wenn es transzendent u ¨ber K ist. Algebraisch unabh¨angige Elemente verhalten sich wie Unbestimmte in einem Polynomring, wie folgender Satz zeigt. Satz 4.3. Sei L/K eine K¨orpererweiterung und a1 , . . . , an ⊆ L algebraisch unabh¨angig u ¨ber K. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Isomorphismus ψ : K[X1 , . . . , Xn ] → K[a1 , . . . , an ], Xi 7→ ai , ψ|K = idK , der sich zu einem Isomorphismus der Quotientenk¨orper Ψ : K(X1 , . . . , Xn ) → K(a1 , . . . , an ), Xi 7→ ai , Ψ|K = idK , erweitern l¨asst. Beweis. Wegen Kapitel 1, 1.8 existiert ψ, ist eindeutig bestimmt und surjektiv. ψ ist injektiv, da a1 , . . . , an ⊆ L algebraisch unabh¨angig u ¨ber K sind. Somit folgt, dass ψ ein Isomorphismus mit ψK = idK ist. Dieser l¨asst sich wegen der universellen Eigenschaft des Quotientenk¨orpers auf die beschriebene Weise fortsetzen.  Definition 4.4. Sei L/K eine K¨orpererweiterung und T ein System algebraisch unabh¨angiger Elemente aus L. (i) Man nennt T eine Transzendenzbasis von L/K, wenn L u ¨ber K(T ) algebraisch ist. (ii) Die K¨orpererweiterung L/K heißt rein transzendent, wenn L = K(T ) gilt. Satz 4.5. Sei L/K eine K¨orpererweiterung und T ein System von Elementen aus L. Dann ist T genau dann eine Transzendenzbasis von L/K, wenn T ein (bzgl. der Inklusion) maximales u ¨ber K algebraisch unabh¨angiges System in L ist. Insbesondere besitzt jede K¨orpererweiterung L/K eine Transzendenzbasis. Beweis. Sei zun¨achst T ein maximal u ¨ber K algebraisch unabh¨angiges System in L. Wir zeigen, dass T eine Transzendenzbasis von L/K ist. Sei a ∈ L. Wir m¨ ussen zeigen, dass a algebraisch u / ¨ber K(T ) ist. Wir k¨onnen o.E. annehmen, dass a ∈ K(T ) gilt. Dann ist wegen der Maximalit¨at von T das System welches aus T und a entsteht nicht mehr algebraisch unabh¨angig u ¨ber K. Es existieren also a1 , . . . , an ∈ T und ein Polynom 0 6= f ∈ K[X1 , . . . , Xn+1 ] mit f (a1 , . . . , an , a) = 0. Da a1 , . . . , an algebraisch unabh¨angig sind, muss die Unbestimmte Xn+1 in f “vorkommen” und es gilt f (a1 , . . . , an , Xn+1 ) 6= 0. Es folgt, dass a algebraisch u ¨ber K(a1 , . . . , an ) ist und somit auch u ¨ber K(T ). Daher ist L/K(T ) algebraisch und es folgt, dass T eine Transzendenzbasis von L/K ist.

¨ 4. TRANSZENDENTE KORPERERWEITERUNGEN

57

Ist umgekehrt T algebraisch unabh¨angig u ¨ber K und L/K(T ) algebraisch, dann ist T notwendigerweise ein maximales u ¨ber K algebraisch unabh¨angiges System in L. Aufgrund des Zornschen Lemmas existiert immer ein maximales u ¨ber K algebraisch unabh¨angiges System in L. Somit existiert auch stets eine Transzendenzbasis.  Satz 4.6. Sei L/K eine endlich erzeugte K¨orpererweiterung mit L = K(a1 , . . . , an ). Dann gilt: (i) Sei T = {ai1 , . . . , aik } eine maximale u ¨ber K algebraisch unabh¨angige Teilmenge von {a1 , . . . , an }. Dann ist T eine Transzendenzbasis von L/K. (ii) Alle Transzendenzbasen von L/K haben die gleiche L¨ange. Beweis. Zu (i): Sei o.E. {a1 , . . . , ak } eine maximale u ¨ber K algebraisch unabh¨angige Teilmenge von {a1 , . . . , an }. F¨ ur i > k gibt es dann ein Polynom, 0 6= f ∈ K[X1 , . . . , Xk , Xi ] mit f (a1 , . . . , ak , ai ) = 0. Die Variable Xi muss in f “vorkommen” und es folgt analog zum vorherigen Beweis, dass ai algebraisch u ¨ber K(a1 , . . . , ak ) ist. Daher ist L = K(a1 , . . . , ak )(ak+1 , . . . , an ) algebraisch u ur ¨ber K(a1 , . . . , ak ). Somit ist {a1 , . . . , ak } eine Transzendenzbasis f¨ L/K. Zu (ii): W¨ahle k und die Transzendenzbasis a1 , . . . , ak wie in (i). Seien b1 , . . . , bm algebraisch unabh¨angig u ¨ber K. Wir behaupten, dass m ≤ k gilt. Aus Symmetriegr¨ unden folgt analog k ≤ m, falls b1 , . . . , bm eine Transzendenzbasis ist, und dann m = k. (Erg¨anze b1 , . . . , bm zu einer Basis und dann Schluss andersherum.) Angenommen m > k. Insbesondere ist damit m ≥ 1. Wegen der Voraussetzung ist L/K(a1 , . . . , ak ) algebraisch. Daher existiert ein Polynom 0 6= f˜ ∈ K(a1 , . . . , ak )[Xk+1 ] mit f˜(b1 ) = 0. Sei f=

X

i gi Xk+1 mit gi =

i

Wenn man f durch f ·

Q

i

hi , hi , ki ∈ K[X1 , . . . , Xk ] und f (a1 , . . . , ak , Xk+1 ) = f˜. ki ki ersetzt, k¨onnen wir annehmen, dass gilt:

0 6= f ∈ K[X1 , . . . , Xk , Xk+1 ] mit f (a1 , . . . , ak , b1 ) = 0. Ist f (a1 , . . . , aj−1 , Xj , aj+1 , . . . , ak , b1 ) = 0 f¨ ur ein j, so kann das Polynom f durch ein Polynom ersetzt werden, in dem die Variable Xj kein Monom teilt. In f muss nun ein Xi mit i ≤ k “vorkommen”, da sonst b1 algebraisch u ¨ber K w¨are. O.E. sei i = 1. Es gilt dann f (X1 , a2 , . . . , ak , b1 ) 6= 0 und es folgt, dass a1 algebraisch u ¨ber K(b1 , a2 , . . . , ak ) ist. Wir erhalten, dass L u ¨ber K(b1 , a2 , . . . , ak ) algebraisch ist. Durch eine geeignete Induktion k¨onnen nun b1 , . . . , bk ausgew¨ahlt und gegen a1 . . . , ak ausgetauscht werden, so dass L/K(b1 , . . . , bk ) algebraisch ist. Dies ergibt einen Widerspruch, da bk+1 ∈ L transzendent u  ¨ber K(b1 , . . . , bk ) ist.

58

2. DIMENSIONSTHEORIE

Definition 4.7. Sei L/K eine endlich erzeugte K¨orpererweiterung. Die eindeutig definierte endliche L¨ange einer Transzendenzbasis von L/K wird mit Transzendenzgrad transdegK (L) bezeichnet. Beispiel 4.8. Sei L/K eine endlich erzeugte K¨orpererweiterung. (i) Ist L u ¨ber K algebraisch, so ist transdegK (L) = 0. (ii) transdegK K(X1 , . . . , Xn ) = n. (iii) Sind L/L0 und L0 /K endlich erzeugt und L/L0 algebraisch. Dann ist transdegK (L) = transdegK (L0 ). 5. Dimension affiner K-Algebren Sei K ein K¨orper und K[X1 , . . . , Xn ] der Polynomring in n Unbestimmten. Eine affine K-Algebra ist ein Ring der Gestalt A = K[X1 , . . . , Xn ]/J f¨ ur ein Ideal J ⊂ K[X1 , . . . , Xn ]. Ist zum Beispiel W ⊆ AnK eine algebraische Menge, so ist der Koordinatenring K[W ] = K[X1 , . . . , Xn ]/I(W ) eine affine K-Algebra. Ist K algebraisch abgeschlossen, dann gilt dim W = dim K[W ]. Daher ist es von Bedeutung, die Dimension von K[W ] ausrechnen zu k¨onnen. Der entscheidene Satz ist nun: Satz 5.1 (Noetherscher Normalisierungssatz). Sei A eine affine K-Algebra und I ⊂ A ein Ideal mit I 6= A. Dann existieren nat¨ urliche Zahlen 0 ≤ δ ≤ d und Elemente Y1 , . . . , Yd ∈ A, so dass gilt: (i) {Y1 , . . . , Yd } sind algebraisch unabh¨angig u ¨ber K. (ii) A ist ein endlich erzeugter K[Y1 , . . . , Yd ]-Modul. Insbesondere ist A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yd ]. (iii) I ∩ K[Y1 , . . . , Yd ] = (Yδ+1 , . . . , Yd ). (iv) Ist |K| Pn= ∞ und A = K[a1 , . . . , an ], so kann man die Yi in der Form ur i = 1, . . . , δ w¨ahlen. Yi = k=1 bik ai mit bik ∈ K f¨ Folgendes Lemma wird f¨ ur den Beweis ben¨otigt. Lemma 5.2. Sei 0 6= f ∈ K[X1 , . . . , Xn ]. (i) F¨ ur i = 1, . . . , n − 1 existieren ri ∈ N, ri > 0, m > 0, so dass f¨ ur eine ri Substitution Xi = Yi + Xn das Polynom f u uhrt wird in ¨berf¨ aXnm + g1 Xnm−1 + · · · + gm mit a ∈ K ∗ , gi ∈ K[Y1 , . . . , Yn−1 ]. (ii) Gilt |K| = ∞, so kann das Ergebnis in (i) durch eine Substitution Xi = Yi + ai Xn mit ai ∈ K f¨ ur i = 1, . . . , n − 1 erreicht werden. Beweis. Sei f=

X

a(i1 ,...,in ) X1i1 · · · Xnin .

In (i) geht f u ¨ber in ein Polynom der Gestalt: X a(i1 ,...,in ) (X1r1 + Y1 )i1 · · · (Xnrn−1 + Yn−1 )in−1 · Xnin X = a(i1 ,...,in ) Xnin +r1 i1 +···+rn−1 in−1 + . . . (Terme kleineren Xn -Grades).

5. DIMENSION AFFINER K-ALGEBREN

59

Es k¨onnten sich Terme gleichen Xn -Grades wegheben. Man w¨ahlt nun k mit k − 1 ≥ ij f¨ ur ai1 ...in 6= 0 und ri = k i f¨ ur i = 1, . . . , n − 1. Die Zahlen in + r1 i1 + · · · + rn−1 in−1 = in + ki1 + · · · + k n−1 in−1 mit ai1 ...in 6= 0 sind dann paarweise verschieden (wegen der eindeutigen k-adischen Entwicklung der Zahlen). Sei nun m die gr¨oßte dieser Zahlen, dann ist f nach der Substitution von der Gestalt a(i1 ,...,in ) X m + . . . F¨ ur (ii) schreibt man f = f0 + f1 + . . . + fm , wobei fd die homogenen Komponenten von f sind, d.h. X fd = a(i1 ,...,in ) X1i1 · · · Xnin i1 +···+in =d

Nun ist fd (. . . , Yi + ai Xn , . . . ) i1 in−1 in Xn i1 +···+in =d a(i1 ,...,in ) (Y1 + a1 Xn ) · · · (Yn−1 + an−1 Xn )

P

= = =

i

P

i1 +···+in =d

P

=

n−1 a(i1 ,...,in ) ai11 · · · an−1 Xni1 +···+in + (Terme kleineren Xn -Grades).

i

i1 +···+in =d

n−1 a(i1 ,...,in ) ai11 · · · an−1 Xnd + (Terme kleineren Xn -Grades)

fd (a1 , . . . , an−1 , 1)Xnd + (Terme kleineren Xn -Grades)

Sei nun d = m. Da fm 6= 0 und homogen, ist fm (X1 , . . . , Xn−1 , 1) 6= 0. Da |K| = ∞ ¨ existieren a1 , . . . , an−1 mit fm (a1 , . . . , an−1 , 1) 6= 0 (siehe 2. Ubung). Daher hat f nach der Substitution von (ii) dann die Gestalt fm (a1 , . . . , an−1 , 1)Xnm + (Terme kleineren Xn -Grades) und a = fm (a1 , . . . , an−1 , 1) 6= 0.



(Beweis 5.1). Der Beweis erfolgt durch folgende Fallunterscheidung: (a) A = K[X1 , . . . , Xn ] und I = (f ) ein Hauptideal f¨ ur ein f 6= 0. (b) A = K[X1 , . . . , Xn ] und I ⊂ A ein beliebiges Ideal. (c) Allgemeiner Fall. Zu (a): W¨ahle die Yi f¨ ur i = 1, . . . , n − 1, wie in 5.2 und definiere Yn = f . Dann gilt A = K[X1 , . . . , Xn ] = K[Y1 , . . . , Yn−1 , Yn ][Xn ] und wegen 0 = f −Yn = aXnm +g1 Xnm−1 +· · ·+gm−1 Xn +gm −Yn mit a ∈ K ∗ , gi ∈ K[Y1 , . . . , Yn−1 ] ist Xn ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yn ]. Daher ist A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yn ] und somit ein endlich erzeugter K[Y1 , . . . , Yn ]-Modul. Der K¨orper K(X1 , . . . , Xn ) ist wegen der Ganzheitsgleichung von Xn algebraisch u ¨ber K(Y1 , . . . , Yn ). Daher ist n = transdegK (K(X1 , . . . , Xn )) = transdegK (K(Y1 , . . . , Yn )).

60

2. DIMENSIONSTHEORIE

Somit m¨ ussen die Elemente Y1 , . . . , Yn algebraisch unabh¨angig sein. Es bleibt nun noch mit δ = n − 1 I ∩ K[Y1 , . . . , Yn ] = (Yn ) zu zeigen, da (iv) wegen 5.2 gilt. Sei h ∈ I ∩K[Y1 , . . . , Yn ]. Dann ist h = f ·g = Yn ·g, mit g ∈ K[X1 , . . . , Xn ] und h ∈ K[Y1 , . . . , Yn ]. Da A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yn ] ist, gen¨ ugt g einer Ganzheitsgleichung g s + a1 g s−1 + · · · + as = 0 mit s > 0, ai ∈ K[Y1 , . . . , Yn ]. Nach einer Multiplikation mit Yns erh¨alt man hs + a1 Yn hs−1 + · · · + as Yns = 0. Daher ist hs durch Yn in K[Y1 , . . . , Yn ] teilbar. Da K[Y1 , . . . , Yn ] ein Polynomring und daher faktoriell ist, ist h durch Yn teilbar und es folgt h ∈ (Yn ). Somit ist I ∩ K[Y1 , . . . , Yn ] = (Yn ). Zu (b): F¨ ur I = (0) ist nichts zu zeigen, also sei I 6= (0) und 0 6= f ∈ I. Wegen I 6= A ist grad(f ) > 0. Im Fall n = 1 ist A = K[X1 ] ein Hauptidealbereich und dieser ist nach (a) bereits bewiesen. Daher kann man n > 1 annehmen. Wende Fall (a) f¨ ur A und f an, also K[Y1 , . . . , Yn ] und Yn = f . Durch eine Induktion nach n k¨onnen wir annehmen, dass der Satz f¨ ur das Ideal I 0 = I ∩ K[Y1 , . . . , Yn−1 ] schon bewiesen ist. D.h. es existieren algebraisch unabh¨angige Elemente T1 , . . . , Td−1 ∈ K[Y1 , . . . , Yn−1 ], so dass K[Y1 , . . . , Yn−1 ] ein endlich erzeugter K[T1 , . . . , Td−1 ]-Modul ist und I ∩ K[T1 , . . . , Td−1 ] = I 0 ∩ K[T1 , . . . , Td−1 ] = (Tδ+1 , . . . , Td−1 ) f¨ ur ein δ < d. Nun ist K[Y1 , . . . , Yn ] ein endlich erzeugter K[T1 , . . . , Td−1 , Yn ]-Modul und A ein endlich erzeugter K[Y1 , . . . , Yn ]-Modul. Somit ist A ein endlich erzeugter K[T1 , . . . , Td−1 , Yn ]-Modul. Da transdegK (A) = n ist, muss d = n gelten und T1 , . . . , Td−1 , Yn sind algebraisch unabh¨angig u ur |K| = ∞ kann man die Ti ¨ber K. F¨ als Linearkombination der Yj f¨ ur j = 1, . . . , n − 1 w¨ahlen. Folglich auch als Linearkombination der Xk . Sei nun h ∈ I ∩ K[T1 , . . . , Tn−1 , Yn ]. Dann ist h = h∗ + gYn mit h∗ ∈ I ∩ K[T1 , . . . , Tn−1 ] = (Tδ+1 , . . . , Tn−1 ) und g ∈ K[T1 , . . . , Tn−1 , Yn ]. Somit I ∩ K[T1 , . . . , Tn−1 , Yn ] = (Tδ+1 , . . . , Tn−1 , Yn ). Dies beweist die Behauptung im Fall (b). Zu (c): Es ist A = K[X1 , . . . , Xn ]/J f¨ ur ein Ideal J ⊂ K[X1 , . . . , Xn ]. Nach (b) existieren algebraisch unabh¨angige Elemente Y1 , . . . , Yn ∈ K[X1 , . . . , Xn ], so dass K[X1 , . . . , Xn ] ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yn ] ist und J ∩ K[Y1 , . . . , Yn ] = (Yd+1 , . . . , Yn ),

5. DIMENSION AFFINER K-ALGEBREN

61

wobei die Yi als K-Linearkombination der Xk gew¨ahlt sind, wenn |K| = ∞. Betrachte ε : K[Y1 , . . . , Yn ] → A = K[X1 , . . . , Xn ]/J. Es ist Ker(ε) = K[Y1 , . . . , Yn ] ∩ J = (Yd+1 , . . . , Yn ) und daher K[Y1 , . . . , Yd ] ∼ = K[Y1 , . . . , Yn ]/(Yd+1 , . . . , Yn ) = K[Y1 , . . . , Yn ]/ Ker(ε) ∼ = Im(ε) ⊂ A. Identifiziere K[Y1 , . . . , Yd ] mit Im(ε). Wegen 3.1 ist A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yd ], also ein endlich erzeugter K[Y1 , . . . , Yd ]-Modul. Die Elemente Y1 , . . . , Yd sind algebraisch unabh¨angig. Betrachte das Ideal I 0 = I ∩ K[Y1 , . . . , Yd ]. Da K[Y1 , . . . , Yd ] ein Polynomring ist, k¨onnen wir erneut Fall (b) anwenden. Es gibt einen Polynomring K[T1 , . . . , Td ] u ¨ber dem K[Y1 , . . . , Yd ] endlich erzeugt ist und I ∩ K[T1 , . . . , Td ] = I 0 ∩ K[T1 , . . . , Td ] = (Tδ+1 , . . . , Td ) mit einem δ ≤ d. Ferner k¨onnen im Falle |K| = ∞ die Tj als K-Linearkombinationen der Yj gew¨ahlt werden, also auch als K-Linearkombinationen der (Bilder der) Xj ∈ A. Da A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yd ] ist, ist A ganz u ¨ber K[T1 , . . . , Td ] und der Satz ist bewiesen.  Definition 5.3. Sei A eine affine K-Algebra. Eine Unteralgebra K[Y1 , . . . , Yd ] ⊆ A heißt Noethersche Normalisierung von A, wenn Y1 , . . . , Yd algebraisch unabh¨angig sind und A ein endlich erzeugter K[Y1 , . . . , Yd ]-Modul ist. Satz 5.4. Sei K[Y1 , . . . , Yd ] eine Noethersche Normalisierung einer affinen K-Algebra A. Dann gilt: (i) dim A = d. (ii) Ist A ein Integrit¨atsbereich, so haben alle maximalen Primidealketten von A die L¨ange d. Beweis. Zu (i): Da A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yd ] ist, folgt aus 3.6 (i), dass dim A = dim K[Y1 , . . . , Yd ] ≥ d. Durch eine Induktion nach d wird bewiesen, dass jede Primidealkette Q0 ⊂ Q1 ⊂ Q2 ⊂ · · · ⊂ Qm eine L¨ange m ≤ d besitzt. Hieraus folgt dann dim A = d. Sei Pi = Qi ∩K[Y1 , . . . , Yd ]. Aus 3.4 folgt, dass P0 ⊂ P1 ⊂ P 2 ⊂ · · · ⊂ Pm eine Primidealkette in K[Y1 , . . . , Yd ] ist. F¨ ur d = 0 ist die Aussage trivial, also sei d > 0. Wir k¨onnen dann auch m > 0 annehmen. W¨ahle nun eine Noethersche Normalisierung (siehe Beweis 5.1, Fall (b)) K[T1 , . . . , Td ] ⊆ K[Y1 , . . . , Yd ] mit P1 ∩ K[T1 , . . . , Td ] = (Tδ+1 , . . . , Td )

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2. DIMENSIONSTHEORIE

f¨ ur ein 0 ≤ δ ≤ d. Da P1 6= 0 folgt aus 3.1, dass δ < d gelten muss. Es ist nun K[T1 , . . . , Tδ ] ∼ = K[T1 , . . . , Td ]/(Tδ+1 , . . . , Td ) ⊂ K[Y1 , . . . , Yd ]/P1 wegen 3.1 eine ganze Ringerweiterung, also K[T1 , . . . , Tδ ] eine Noethersche Normalisierung von K[Y1 , . . . , Yd ]/P1 . Nach der Induktionsvoraussetzung besitzt die Primidealkette (0) = P1 /P1 ⊂ P2 /P1 ⊂ · · · ⊂ Pm /P1 die L¨ange m − 1 ≤ δ < d. Daher gilt m ≤ d und dies war zu zeigen. Zu (ii): Sei nun A ein Integrit¨atsbereich und Q0 ⊂ · · · ⊂ Qm eine beliebige maximale Primidealkette. Dann muss gelten: Q0 = (0) und Qm ist ein maximales Ideal. Sei wieder Pi = Qi ∩ K[Y1 , . . . , Yd ]. Behauptung: P0 ⊂ · · · ⊂ Pm ist eine maximale Primidealkette in K[Y1 , . . . , Yd ]. Es gilt P0 = (0). Ferner ist Pm ein maximales Ideal, denn K[Y1 , . . . , Ym ]/Pm ⊂ A/Qm ist ganz, A/Qm ist ein K¨orper und u ¨ber jedem Primideal P von K[Y1 , . . . , Ym ]/Pm liegt wegen “Lying over” ein Primideal Q ∈ Spec(A/Qm ) = {(0)}. Daher muss P = (0) gelten und K[Y1 , . . . , Ym ]/Pm muss ein K¨orper sein. Mithin ist Pm ein maximales Ideal. Angenommen man k¨onnte in K[Y1 , . . . , Yd ] zwischen Pi und Pi+1 noch ein Primideal P mit Pi ⊂ P ⊂ Pi+1 , P 6= Pi , P 6= Pi+1 schieben. W¨ahle in diesem Falle eine Noethersche Normalisierung K[T1 , . . . , Td ] von K[Y1 , . . . , Yd ] mit Pi ∩ K[T1 , . . . , Td ] = (Tδ+1 , . . . , Td ), δ ≤ d. Dann ist auch K[T1 , . . . , Tδ ] = K[T1 , . . . , Td ]/(Tδ+1 , . . . , Td ) ⊂ K[Y1 , . . . , Yd ]/Pi (wieder wegen 3.1) eine Noethersche Normalisierung. Daher gilt in K[Y1 , . . . , Yd ]/Pi (0) = Pi /Pi ⊂ P/Pi ⊂ Pi+1 /Pi . Wegen 3.4 existiert dann eine Primidealkette (0) ⊂ P˜ ⊂ P˜i+1 in K[T1 , . . . , Tδ ]. Da A/Qi ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yd ]/Pi und K[Y1 , . . . , Yd ]/Pi ganz u ¨ber K[T1 , . . . , Tδ ] ist, ist auch A/Qi ganz u ¨ber K[T1 , . . . , Tδ ]. Somit ist K[T1 , . . . , Tδ ] auch eine Noethersche Normalisierung von A/Qi . Nun ist A/Qi ein Integrit¨atsbereich, K[T1 , . . . , Tδ ] ein Integrit¨atsbereich der ganzabgeschlossen ist in seinem Quotientenk¨orper (dies gilt allgemein f¨ ur faktori¨ elle Ringe, siehe Ubung 5), und A/Qi eine Ringerweiterung von K[T1 , . . . , Tδ ]. Daher k¨onnen wir “Going-Down” auf obige Primidealkette (0) ⊂ P˜ ⊂ P˜i+1 anwenden und erhalten ein Primideal zwischen (0) = Qi /Qi und Qi+1 /Qi . Daher existiert auch ein Primideal zwischen Qi und Qi+1 . Dies ist ein Widerspruch, da die Kette Q0 ⊂ · · · ⊂ Qm maximal war. Also existiert in K[Y1 , . . . , Yd ] eine maximale Primidealkette P0 ⊂ · · · ⊂ Pm .

5. DIMENSION AFFINER K-ALGEBREN

63

Nun zeigt man durch eine Induktion nach d, dass m = d gelten muss. F¨ ur d = 0 ist nichts zu zeigen, also sei d > 0. W¨ahle eine Noethersche Normalisierung K[T1 , . . . , Td ] ⊆ K[Y1 , . . . , Yd ] mit P1 ∩ K[T1 , . . . , Td ] = (Tδ+1 , . . . , Td ), 0 ≤ δ ≤ d. Aus 3.14 folgt, dass das Ideal P1 ∩ K[T1 , . . . , Td ] die H¨ohe 1 hat und dieses muss somit ein Hauptideal sein. Also δ = d − 1. Nun ist (0) = P1 /P1 ⊂ · · · ⊂ P2 /P1 ⊂ Pm /P1 eine maximale Primidealkette in K[Y1 , . . . , Yd ]/P1 und K[T1 , . . . , Td−1 ] ∼ = K[T1 , . . . , Td ]/(Td ) ⊂ K[Y1 , . . . , Yd ]/P1 eine Noethersche Normalisierung. Also gilt nach der Induktionsannahme m − 1 = d − 1 und somit m = d.  Korollar 5.5. Es ist dim K[X1 , . . . , Xn ] = n. Beweis. Dies folgt aus 5.4 und der Tatsache, dass der Polynomring u ¨ber sich selber eine Noethersche Normalisierung ist.  Korollar 5.6. Sei K algebraisch abgeschlossen und W ⊆ AnK eine algebraische Menge, dann ist dim W < ∞. Beweis. Da dim W = dim K[W ], wobei K[W ] der Koordinatenring von W ist, folgt die Aussage aus 5.4 indem wir eine Noethersche Normalisierung von K[W ] w¨ahlen.  Korollar 5.7. Sei A eine affine K-Algebra, P, Q ∈ Spec(A) mit P ⊂ Q. Dann haben alle maximalen Primidealketten, die mit P beginnen und mit Q enden, die gleiche L¨ange, n¨amlich dim A/P − dim A/Q. Beweis. Sei P = Q0 ⊂ · · · ⊂ Qm = Q eine solche Kette. Erweitere die Kette (0) = Q0 /P ⊂ · · · ⊂ Qm /P = Q/P zu einer maximalen Kette von A/P der L¨ange dim A/P . Der mit Q/P beginnende Teil der verl¨angerten Kette entspricht einer maximalen Kette von A/Q. Daher gilt dim A/P = m + dim A/Q und hieraus folgt die Behauptung.



Korollar 5.8. Sei A eine affine K-Algebra, P1 , . . . , Ps seien die minimalen Primideale von A und Li = Q(A/Pi ). Dann gilt: (i) dim A = max{transdegK (Li ) : i = 1, . . . , s}. Ist insbesondere A ein Integrit¨atsbereich, so folgt dim A = transdegK (Q(A)).

64

2. DIMENSIONSTHEORIE

(ii) Ist A ¨aquidimensional, d.h. dim A = dim A/Pi f¨ ur alle i, so gilt f¨ ur alle P ∈ Spec(A) dim A = dim AP + dim A/P. Beweis. Zu (i) Da jede maximale Primidealkette in A mit einem Pi beginnen muss, folgt dim A = max{dim A/Pi : i = 1, . . . , s}. Daher kann o.E. angenommen werden, dass A ein Integrit¨atsbereich ist. W¨ahle eine Noethersche Normalisierung K[Y1 , . . . , Yd ] von A. Dann ist d = dim A. Dies ist aber auch der Transzendenzgrad von Q(A)/K. Zu (ii): Wir k¨onnen wieder ohne Einschr¨ankung annehmen, dass A ein Integrit¨atsbereich ist. Sei m = h(P ) = dim AP . Dies ist die L¨ange einer maximalen Primidealkette (0) = P0 ⊂ · · · ⊂ Pm = P, die mit P endet. Sei n = dim A/P . Dies ist die L¨ange einer maximalen Primidealkette P = Q0 ⊂ · · · ⊂ Qn , die mit P beginnt. Dann ist (0) = P0 ⊂ · · · ⊂ Pm = Q0 ⊂ · · · ⊂ Qm . eine maximale Primidealkette in A. Diese hat nach 5.4 die L¨ange dim A. Daher ist dim A = dim AP + dim A/P = h(P ) + dim A/P.  Korollar 5.9. Sei A eine affine K-Algebra. Dann ist dim A gleich der Maximalzahl K-algebraisch unabh¨angiger Elemente von A. Ist B ⊂ A eine weitere affine KAlgebra, so folgt dim B ≤ dim A. Beweis. Sei d = dim A. Nach dem Noetherschen Normalisierungssatz existieren d u ¨ber K algebraisch unabh¨angige Elemente. Seien umgekehrt Z1 , . . . , Zm ∈ A algebraisch unabh¨angige Elemente u ¨ber K. Seien ferner P1 , . . . , Pm die minimalen Primideale von A. Es ist s s \ \ p (Pi ∩ K[Z1 , . . . , Zm ]) = ( Pi ) ∩ K[Z1 , . . . , Zm ] = (0) ∩ K[Z1 , . . . , Zm ] = (0), i=1

i=1

da K[Z1 , . . . , Zm ] reduziert ist. Daher existiert ein i mit Pi ∩ K[Z1 , . . . , Zm ] = (0). Es ist K[Z1 , . . . , Zm ] = K[Z1 , . . . , Zm ]/(Pi ∩ K[Z1 , . . . , Zm ]) ⊂ A/Pi . Aus 5.8 folgt m ≤ transdegK (Q(A/Pi )) ≤ d. Die zweiter Behauptung ist eine leichte Folgerung der ersten.



5. DIMENSION AFFINER K-ALGEBREN

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Beispiel 5.10. Es lassen sich nun bereits komplexere Beispiele berechnen. Sei R = K[X 2 , XY, Y 2 ] ⊂ K[X, Y ]. Dann erhalten wir sofort dim R ≤ 2 wegen 5.9. Nun kann man sich z.B. u ¨berlegen, dass X Q(R) = K(X 2 , ) Y 2 X gilt. Da X , Y algebraisch unabh¨angig sind, folgt dim R = 2. Man h¨atte auch die Noethersche Normalisierung K[X 2 , Y 2 ] ⊂ R wegen der Ganzheitsgleichung (XY )2 − X 2 Y 2 = 0 w¨ahlen k¨onnen, um dim R = 2 zu erhalten. Satz 5.11. Sei A eine affine K-Algebra. Dann sind ¨aquivalent: (i) dim A = 0. (ii) dimK A < ∞, d.h. A ist ein endlich dimensionaler K-VR. (iii) Spec(A) ist endlich. (iv) A besitzt nur endlich viele maximale Ideale. Beweis. (i) ⇒ (ii): Ist dim A = 0, dann ist K eine Noethersche Normalisierung von A. Dann ist A ein endlich erzeugter K-Modul, also dimK A < ∞. (ii) ⇒ (i): W¨ahle eine Noethersche Normalisierung K[Y1 , . . . , Yd ] von A. W¨are d > 0, so w¨ urde dimK A ≥ dimK K[Y1 , . . . , Yd ] = ∞ folgen. Dies ist ein Widerspruch. Also dim A = 0. (i) ⇒ (iii): Alle Primideale P von A liegen minimal u ¨ber (0). Da u ¨ber dem Nullideal nur endlich viele Primideale liegen, ist Spec(A) endlich. (iii) ⇒ (iv): Trivial. (iv) ⇒ (i): Angenommen dim A = d > 0. W¨ahle eine Noethersche Normalisierung K[Y1 , . . . , Yd ] von A. In K[Yd ] existieren unendlich viele irreduzible Polynome. Sei f ∈ K[Yd ] irreduzibel. Dann ist (Y1 , . . . , Yd−1 , f ) maximal, da K[Y1 , . . . , Yd ]/(Y1 , . . . , Yd−1 , f ) ∼ = K[Yd ]/(f ) ein K¨orper ist. Also existieren in K[Y1 , . . . , Yd ] unendlich viele maximale Ideale. Da A ganz u ¨ber K[Y1 , . . . , Yd ] ist, liegt u ¨ber dem maximalen Ideal (Y1 , . . . , Yd−1 , f ) ein maximales Ideal Qf von A. Diese sind paarweise verschieden, also hat auch A unendlich viele maximale Ideale. Dies ist ein Widerspruch, also ist dim A = 0. 

KAPITEL 3

Modultheorie Die Inhalte dieses Kapitels sind den B¨ uchern von Br¨ uske, Ischebeck und Vogel [1] und Kunz [4] entnommen. F¨ ur weiterf¨ uhrende Themen wird auf diese B¨ ucher verwiesen. 1. Lokalisation Die bekannte Lokalisation von Ringen l¨asst sich analog f¨ ur Moduln durchf¨ uhren. Konstruktion 1.1. Sei R ein Ring, S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge und M ein R-Modul. Auf der Menge M × S = {(m, s) : m ∈ M, s ∈ S} ¨ definieren wir die Aquivalenzrelation: (m, s) ∼ (m0 , s0 ) genau dann, wenn ein t ∈ S existiert mit tms0 = tm0 s. Sei MS = M × S/ ∼. Definiere auf MS die Multiplikation am a m · = f¨ ur a ∈ R, m ∈ M, s, t ∈ S s t st und die Addition tm + sn m n + = f¨ ur m, n ∈ M, s, t ∈ S. s t st Sei ιM : M → MS , m 7→ m1 . Satz 1.2. Sei R ein Ring, S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge und M ein R-Modul. Dann ist MS ein RS -Modul. Er heißt der Quotientenmodul oder Lokalisation von M bzgl. S. Beweis. Die Behauptung wird analog zur Ringsituation bewiesen und in den ¨ Ubungen behandelt.  Beispiel 1.3. (i) Sei P ⊂ R ein Primideal und M ein R-Modul. F¨ ur S = R \ P wird MS mit MP bezeichnet. Im 1.2 wurde bewiesen, dass MP ein RP -Modul ist. (ii) Wir betrachten M = Zn als Z-Modul. Definiert man S = Z \ {0}, so wird im nachfolgenden Satz gezeigt, dass MS = (Zn )S ∼ = (ZS )n ∼ = Qn gilt. Dies ist also der bekannte Q-Modul (bzw. Q-Vektorraum) Qn . Ist etwa T = Z \ (2), so gilt analog MT ∼ = (Z(2) )n . Man kann sich nun u ¨berlegen, dass MT als Teilmenge (bzw. als RT -Modul) in MS enthalten ist.

68

3. MODULTHEORIE

Lemma 1.4. Sei R ein Ring, S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge und M ein R-Modul. Dann gilt: (i) MS ist mittels der Abbildung R → RS ein R-Modul. Insbesondere ist ιM : M → MS ein R-Modulhomomorphismus. (ii) (⊕ Mi )S ∼ = ⊕(Mi )S als RS -Moduln. Beweis. (i) ist leicht zu verifizieren. F¨ ur (ii) betrachtet man die Abbildungen P X mi i mi ϕ : (⊕ Mi )S → ⊕(Mi )S , 7→ t t i und ψ : ⊕(Mi )S → (⊕ Mi )S ,

P Q tj mi i Qj6=i 7→ . ti j tj

X mi i

Hierbei setzt man ti = 1, wenn mi = 0 gilt. ϕ und ψ sind RS -Modulhomomorphismen und zueinander invers. Hieraus folgt die Behauptung.  Satz 1.5. Sei ϕ : M → N ein R-Modulhomomorphismus, S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen. Dann gibt es genau ein RS -Modulhomomorphismus ϕS : MS → NS mit ιN ◦ ϕ = ϕS ◦ ιM , d.h. folgendes Diagramm ist kommutativ: ϕ

M −−−→   ιM y

N  ιN y

ϕ

S MS −−− → NS

Beweis. Eindeutigkeit: Sei

m s

∈ MS . Dann gilt f¨ ur m ∈ M und s ∈ S

m 1 m 1 m 1 ) = ϕS ( · ) = ϕS ( ) = ϕS (ιM (m)) s s 1 s 1 s 1 ϕ(m) ϕ(m) 1 = . = ιN (ϕ(m)) = s s 1 s Existenz: Definiere f¨ ur m ∈ M und s ∈ S: m ϕ(m) ϕS ( ) = . s s 0 Ist ms = ms0 , so existiert ein t ∈ T mit ts0 m = tm0 s. Dann ist ts0 ϕ(m) = tsϕ(m0 ), also ϕ(m0 ) ϕ(m) = . s s0 Daher ist ϕS wohldefiniert. Wegen a m am ϕ(am) aϕ(m) a ϕ(m) a m ϕS ( · ) = ϕS ( )= = = = ϕS ( ) s t st st st s t s t und m m0 s0 m + sm0 ϕ(s0 m + sm0 ) ϕS ( + 0 ) = ϕS ( ) = s s ss0 ss0 0 0 0 s ϕ(m) + sϕ(m ) ϕ(m) ϕ(m ) m m0 = = + = ϕ ( ) + ϕ ( ) S S ss0 s s0 s s0 ϕS (

1. LOKALISATION

69

ist ϕS ein RS -Modulhomomorphismus. Schliesslich ist ϕS ◦ ιM (m) = ϕS (

m ϕ(m) )= = ιN (ϕ(m)) = ιN ◦ ϕ(m). 1 1 

Bemerkung 1.6. Folgendes l¨asst sich leicht verifizieren: (i) (idM )S = idMS . (ii) F¨ ur R-Modulhomomorphismen ϕ, ψ gilt ϕS ◦ ψS = (ϕ ◦ ψ)S . Daher definiert die Abbildung “S”, die einem R-Modul M den RS -Modul MS und einem R- Modulhomomorphismus ϕ : M → N den RS -Modulhomomorphismus ϕS : MS → NS zuordnet, einen sogenannten “Funktor”. Dies wird in dieser Vorlesung jedoch nicht weiter behandelt. Definition 1.7. Sei ϕn

ϕn+1

· · · → Mn → Mn+1 → Mn+2 → · · · eine endliche oder unendliche Folge von R-Modulhomomorphismen. Sie heißt exakt, wenn Im(ϕn ) = Ker(ϕn+1 ) f¨ ur alle n gilt, die vorkommen. Insbesondere gilt dann, dass ϕn+1 ◦ ϕn die Nullabbildung ist. Beispiel 1.8. 0 sei stets der Nullmodul. Dann gilt: ϕ

(i) 0 → M → N ist genau dann exakt, wenn ϕ injektiv ist. ϕ (ii) M → N → 0 ist genau dann exakt, wenn ϕ surjektiv ist. ϕ (iii) 0 → M → N → 0 ist genau dann exakt, wenn ϕ ein Isomorphismus ist. ϕ

ψ

(iv) 0 → M 0 → M → M 00 → 0 ist genau dann exakt, wenn ϕ injektiv ist, ψ surjektiv ist und Im(ϕ) = Ker(ψ) gilt. Dann induziert ψ einen Isomorphismus von M/ϕ(M 0 ) mit M 00 . Ist umgekehrt U ⊂ M ein Untermodul von ϕ

ψ

M , so ist 0 → U → M → M/U → 0 exakt. Satz 1.9 (Lokalisieren ist exakt). Sei S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene ϕ

ψ

ϕ

ψ

Teilmenge. Ist M 0 → M → M 00 exakt, dann ist auch MS0 →S MS →S MS00 exakt, d.h. ist Ker(ψ) = Im(ϕ), so gilt Ker(ψS ) = Im(ϕS ). Beweis. Es gilt ψS ◦ ϕS = (ψ ◦ ϕ)S = (0)S = 0 und daher folgt Im(ϕS ) ⊆ Ker(ψS ). Sei nun ms ∈ Ker(ψS ). Dann ist ψ(m) = 0, also s existiert ein t ∈ S mit 0 = tψ(m) = ψ(tm). Wegen der Voraussetzung existiert ein n ∈ M 0 mit ϕ(n) = tm. Dann ist ϕS ( Dies zeigt die Behauptung.

n ϕ(n) tm m )= = = . st st st s 

70

3. MODULTHEORIE

Korollar 1.10. Sei N ⊆ M ein R-Untermodul von einem R-Modul M und S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann kann NS als ein RS -Untermodul von dem RS -Modul MS aufgefasst werden. Es existiert ein kanonischer Isomorphismus (M/N )S ∼ = MS /NS . Zum Beispiel gilt also f¨ ur ein Ideal I in dem Ring R, dass (R/I)S ∼ = RS /IS . Lemma 1.11. Ist M ein endlich erzeugter R-Modul und S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist der RS -Modul MS endlich erzeugt. Beweis. Ist m1 , . . . , mt ein Erzeugendensystem von M als R-Modul, dann ist ein Erzeugendensystem von MS als RS -Modul. 

m1 , . . . , m1t 1

Satz 1.12. Sei M ein endlich erzeugter R-Modul und S ⊂ R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Jeder RS -Untermodul von MS ist von der Form NS f¨ ur einen R-Untermodul N ⊂ M . Beweis. Sei U ein RS -Untermodul von MS . Definiere N = ι−1 M (U ). Hierbei ist m ur ein n ∈ N ist n1 ∈ U und ιM : M → MS , m 7→ 1 die kanonische Abbildung. F¨ n daher s ∈ U f¨ ur alle s ∈ S. Somit ist NS ⊆ U . Sei umgekehrt ns ∈ U . Dann ist n = 1s ns ∈ U . Dann folgt, dass n ∈ N und somit ns ∈ NS . Daher NS = U .  1 Definition 1.13. Ein R-Modul M heißt noethersch, wenn jeder Untermodul von M endlich erzeugt ist. F¨ ur einen Ring stimmt diese Definition mit der schon bekannten Definition f¨ ur ¨ noethersche Ringe u wurde bereits behandelt, dass dies f¨ ur ¨berein. In den Ubungen einen Modul M u ¨ber einem noetherschen Ring ¨aquivalent dazu ist, dass M endlich erzeugt ist. Korollar 1.14. Ist M ein noetherscher R-Modul, dann ist MS ein noetherscher RS -Modul Beweis. Die Behauptung folgt aus 1.12.



Definition 1.15. Ein Element a ∈ R heißt ein Nichtnullteiler f¨ ur einen R-Modul M , wenn a · m 6= 0 f¨ ur alle 0 6= m ∈ M gilt. Lemma 1.16. Folgende Situation ist f¨ ur uns von besonderem Interesse. Besteht eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge S ⊂ R aus lauter Nichtnullteilern von einem R-Modul M, dann ist die Abbildung ιM : M → MS injektiv. Beweis. Dies folgt leicht aus der Definition von MS . Folgender Satz ist ein Beispiel f¨ ur das Lokal-Global-Prinzip. Satz 1.17. Sei M ein R-Modul. Dann sind ¨aquivalent: (i) M = 0, (ii) MP = 0 f¨ ur alle Primideale P von R, (iii) Mm = 0 f¨ ur alle maximalen Ideale m von R.



1. LOKALISATION

71

Beweis. (i) ⇒ (ii) und (ii) ⇒ (iii) sind trivial. Es gelte nun (iii). Angenommen M 6= 0 und sei 0 6= m ∈ M . Definiere den Untermodul N = R · m ⊆ M . Dann ist nach dem Isomorphiesatz N ∼ ur ein = R/I f¨ Ideal I ⊂ R. Sei m ⊂ R ein maximales Ideal mit I ⊆ m. Betrachte den surjektiven Homomorphismus ϕ: N ∼ = R/I → R/m =: E. Aus 1.9 folgt, dass Nm → Em → 0 ebenfalls surjektiv ist. Ist Em 6= 0, dann ist auch Nm 6= 0 und dann wieder wegen 1.9 und des injektiven Homomorphismus 0 → Nm → Mm auch Mm 6= 0. Dies zeigt die Behauptung. Also bleibt zu zeigen, dass Em 6= 0. Da E = R/m ein K¨orper ist, sind alle Elemente aus R \ m Nichtnullteiler f¨ ur E. Daher ist die Abbildung ιE : E → Em nach 1.16 injektiv und aus E 6= 0 folgt Em 6= 0.  Satz 1.18. Sei ϕ : M → N ein R-Modulhomomorphismus von R-Moduln M, N. Dann sind ¨aquivalent: (i) ϕ ist injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv, bzw. Null), (ii) ϕm ist ist injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv, bzw. Null) f¨ ur alle maximalen Ideale m ⊂ R. Hierbei ist ϕm = ϕS f¨ ur S = R \ m. Beweis. (i) ⇒ (ii): Dies ergibt sich aus 1.9. Hierbei ist zu beachten, dass genau ϕ id dann ϕ = 0, wenn M → N → N exakt ist. (ii) ⇒ (i): Injektivit¨at: Sei K = Ker(ϕ). Aus der exakten Sequenz ϕ

0→K→M →N folgt aus 1.9 die exakte Sequenz ϕm

0 → Km → M m → N m f¨ ur alle maximalen Ideale m ⊂ R. Ist nun ϕm injektiv f¨ ur alle maximalen Ideale m, so folgt Km = 0 f¨ ur alle maximalen Ideale m. Daher ist wegen 1.17 dann K = 0 und mithin ϕ injektiv. Surjektivit¨at: Sei nun C = N/ Im(ϕ) der “Kokern” von ϕ. Aus der exakten Sequenz ϕ M →N →C→0 folgt aus 1.9 die exakte Sequenz ϕm

Mm → Nm → Cm → 0. Ist ϕm surjektiv, so folgt Cm = 0. Gilt dies f¨ ur alle maximalen Ideale m ⊂ R, so folgt C = 0 und daher ist ϕ surjektiv. Nullabbildung: Sei wieder K = Ker(ϕ) und betrachte die exakte Sequenz ϕm

0 → Km → M m → N m f¨ ur alle maximalen Ideale m ⊂ R. Ist ϕm die Nullabbildung, so folgt Km = Mm . Somit (M/K)m ∼ ur alle maximalen Ideale gilt, folgt M/K = 0 und = Mm /Km = 0. Da dies f¨ daher M = K = Ker(ϕ). Es folgt, dass ϕ die Nullabbildung sein muss. 

72

3. MODULTHEORIE

Korollar 1.19. Sei N ⊂ M ein R-Untermodul von einem R-Modul M und a ∈ M . Dann ist a ∈ N genau dann, wenn ιM,m (a) ∈ Nm f¨ ur alle maximalen Ideale m ⊂ R. Hierbei ist ιM,m : M → Mm der kanonische Homomorphismus. Beweis. Betrachte den Homomorphismus ϕ : R → M/N, der durch 1 7→ a induziert wird. Nun gilt genau dann a ∈ N, wenn ϕ = 0 ist. Die Behauptung folgt nun aus 1.18.  Korollar 1.20. Sei R ein Integrit¨atsbereich, K = Q(R) sein Quotientenk¨orper. Dann gilt \ R= Rm . m⊂R maximales Ideal

Beweis. Beachte, dass K die Lokalisation von R nach T = R \ {0} ist. F¨ ur ein maximales Ideal m ist Rm die Lokalisation von R nach S = R \ m. Es gilt S ⊆ T und man kann Rm als Unterring von K mittels der injektiven Abbildung Rm → K, as 7→ as auffassen. Ferner ist R ein Unterring von Rm mittels der injektiven Abbildung R → Rm , a 7→ a1 . Dann gilt trivialerweise \ Rm ⊆ K. R⊆ m⊂R maximales Ideal

T

Sei nun x ∈ m⊂R maximales Ideal Rm . Betrachte K als R-Modul und R als Untermodul von K. Beachte, dass Km ∼ ur ein = K und ιK,m als idK aufgefasst werden kann f¨ maximales Ideal von R. Nun ist ιK,m (x) = x ∈ Rm f¨ ur alle maximalen Ideale m. Daher folgt aus 1.19, dass x ∈ R gelten muss. Dies beweist die Behauptung.  2. Der Tr¨ ager und die assoziierte Primideale eines Moduls Definition 2.1. Sei M ein R-Modul. Dann heißt AnnR (M ) = {a ∈ R : a · m = 0 f¨ ur alle m ∈ M } der Annulator von M . F¨ ur m ∈ M heißt AnnR (m) = {a ∈ R : a · m = 0} der Annulator von m. Bemerkung 2.2. Die Menge S aller Nichtnullteiler eines Rings R besteht somit gerade aus den Elementen R \ 06=m∈M AnnR (m). Zum Beispiel gilt f¨ ur M = Z/(12): AnnZ (M ) = (12) und AnnZ (4) = (3). Lemma (i) (ii) (iii)

2.3. Sei M ein R-Modul. F¨ ur m ∈ M ist AnnR (m) ein Ideal von R. AnnR (M ) ein Ideal von R. Maximale Elemente der Menge {AnnR (m) : 0 6= m ∈ M } bzgl. der Inklusion sind Primideale.

¨ 2. DER TRAGER UND DIE ASSOZIIERTE PRIMIDEALE EINES MODULS

73

Beweis. (i) und (i) sind leicht zu verifizieren. (iii): Sei P = AnnR (m) ein maximales Element in der angegebenen Menge f¨ ur ein m ∈ M . Seien ferner a, b ∈ R mit ab ∈ P und b ∈ / P gegeben. Da b ∈ / P muss bm 6= 0 gelten. Sei nun Q = AnnR (bm). F¨ ur ein c ∈ P gilt c(bm) = b(cm) = 0, daher ist P ⊆ Q. Wegen der Wahl von P muss P = Q gelten. Nun ist a(bm) = (ab)m = 0. Es folgt a ∈ Q = P und somit ist P ein Primideal.  Definition 2.4. Sei M ein R-Modul und AssR (M ) = {P ∈ Spec(R) : Es existiert ein m ∈ M mit P = AnnR (m)}. Die Elemente von AssR (M ) heißen die zu M assoziierten Primideale. Lemma 2.5. Ein Primideal P ⊂ R ist genau dann ein Element von AssR (M ), wenn ein injektiver R-Modulhomomorphismus A/P → M existiert. Beweis. Sei m ∈ M . Dann gilt stets R · m ∼ = R/ AnnR (m). Aus dieser Tatsache folgt die Behauptung.  Beispiel 2.6. (i) Sei P ein Primideal von R. Dann ist AssR (R/P ) = {P }. (ii) Es gilt AssZ (Z/(6)) = {(2), (3)}. Somit entsprechen die assoziierten Primideale in diesem Falle den Primfaktoren von 6. Satz 2.7. Sei R ein noetherscher Ring und M ein R-Modul. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) M = 0, (ii) AssR (M ) = ∅. Beweis. Ist M = 0, so gilt trivialerweise AssR (M ) = ∅. Sei nun M 6= 0. Dann ist die Menge {AnnR (m) : 0 6= m ∈ M } von Idealen von R nichtleer und besitzt ein maximales Element, da R noethersch ist. Dieses ist wegen 2.3 ein Primideal und daher ein Element von AssR (M ). Dies zeigt die Behauptung.  Die Nullteiler von einem Modul u ¨ber einem noetherschen Ring lassen sich durch die assoziierten Primideale des Moduls charakterisieren. Satz 2.8. Sei R ein noetherscher Ring und M ein R-Modul. Dann sind ¨aquivalent: (i) a ∈ R ur M, S ist ein Nullteiler f¨ (ii) a ∈ P ∈AssR (M ) P . Die Vereinigung der assoziierten Primideale ist die Menge aller Nullteiler f¨ ur M. Beweis. Sei P ∈ AssR (M ) mit P = AssR (m) und a ∈ P . Dann gilt am = 0, also ist a ein Nullteiler f¨ ur M . Ist a ∈ R ein beliebiger Nullteiler, dann existiert ein 0 6= m ∈ M mit am = 0. Wegen 2.3 gibt es ein P ∈ AssR (M ) mit a ∈ P .  Wir ben¨otigen Charakterisierungen f¨ ur die Eigenschaft “noethersch” f¨ ur Moduln analog zur Ringsituation.

74

3. MODULTHEORIE

Satz 2.9. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann sind ¨aquivalent: (i) M ist ein noetherscher Modul. (ii) Jede aufsteigende Kette M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mn ⊆ · · · von Untermoduln von M wird station¨ar. (iii) Jede nichtleere Menge von Untermoduln von M enth¨alt ein maximales Element bzgl. der Inklusion. Beweis. Der Beweis folgt analog zu dem Beweis von 2.8, Kapitel 1.



Definition 2.10. F¨ ur einen Modul M heißt eine Kette 0 = M0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ M n = M von Untermoduln von M eine Normalreihe von M . Die Zahl n heißt die L¨ange der Normalreihe. Satz 2.11. Sei R ein noetherscher Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann existiert eine Normalreihe 0 = M0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ M n = M ur gewisse Primideale Pi von R. mit Mi /Mi−1 ∼ = R/Pi f¨ Beweis. O.E. sei M 6= 0. Dann existiert wegen 2.7 ein Primideal P1 ∈ AssR (M ) mit P1 = AnnR (m) f¨ ur ein m ∈ M . Definiere M1 = R · m ∼ = R/P1 . Ist M 6= M1 , so betrachtet man M/M1 6= 0. Man findet analog einen Untermodul M2 von M , so ur ein Primideal P2 dass M2 /M1 ein Untermodul von M/M1 mit M2 /M1 ∼ = R/P2 f¨ von R ist. Dieses Verfahren wird nun fortgef¨ uhrt. Da M ein noetherscher Modul ist, folgt aus 2.9, dass dieses Verfahren abbrechen muss und daher ein n existiert mit M = Mn .  Beispiel 2.12. Die Normalreihen aus 2.11 sind i.a. nicht eindeutig bestimmt, wie folgende Beispiele zeigen: (i) (0) ⊂ (6) ⊂ (3) ⊂ Z, (ii) (0) ⊂ Z. Satz 2.13. Seien N ⊂ M zwei R-Moduln. Dann gilt: AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (N ) ∪ AssR (M/N ). Beweis. Aus der Definition von assoziierten Primidealen folgt, dass AssR (N ) ⊆ AssR (M ) gilt. Sei nun P ∈ AssR (M ) mit P = AnnR (m) f¨ ur ein 0 6= m ∈ M . Betrachte den ∼ Untermodul E = R · m = R/P von M . Ist E ∩ N 6= {0}, dann folgt aus 2.6 {P } = AssR (E ∩ N ) ⊆ AssR (N ). Ist andererseits E ∩ N = {0}, dann ist E = E/E ∩ N ∼ = (E + N )/N ⊆ M/N. Also ist {P } = AssR (E) ⊆ AssR (M/N ) und dies war zu zeigen.



¨ 2. DER TRAGER UND DIE ASSOZIIERTE PRIMIDEALE EINES MODULS

75

Korollar 2.14. Sei M ein R-Modul mit einer Normalreihe 0 = M0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ M n = M mit Mi /Mi−1 ∼ ur gewisse Primideale Pi von R. Dann gilt = R/Pi f¨ AssR (M ) ⊆ {P1 , . . . , Pn }. Insbesondere ist AssR (M ) endlich, wenn R ein noetherscher Ring und M endlich erzeugt ist. Beweis. Wir zeigen die Behauptung durch eine Induktion nach n. F¨ ur n = 1 folgt die Behauptung aus 2.6. Sei nun n > 1. Dann gilt wegen 2.6, 2.13 und der Induktionsannahme AssR (M ) ⊆ AssR (Mn−1 ) ∪ AssR (M/Mn−1 ) = AssR (Mn−1 ) ∪ {Pn } ⊆ {P1 , . . . , Pn }. Ist R noethersch und M endlich erzeugt, so folgt aus 2.11, dass M eine Normalreihe mit den gew¨ unschten Eigenschaften besitzt und daher AssR (M ) endlich ist.  Die assoziierten Primideale einer Lokalisierung eines Moduls lassen sich einfach bestimmen. Satz 2.15. Sei R ein noetherscher Ring, S ⊂ R multiplikativ abgeschlossen und M ein R-Modul. Dann gilt AssRS (MS ) = {P RS : P ∈ AssR (M ), P ∩ S = ∅}. Beweis. Sei P ∈ AssR (M ) mit P = AnnR (m) f¨ ur ein m ∈ M und P ∩ S = ∅. a am 0 F¨ ur ein s ∈ RS gilt s 1 = 1 genau dann, wenn ein t ∈ S existiert mit tam = 0. Dies ist ¨aquivalent zu ta ∈ P . Wegen t 6∈ P folgt, dass a ∈ P gelten muss. Somit ist a ∈ P RS . Also ist P RS = AnnRS ( m1 ). s Sei nun Q ∈ AssRS (MS ) mit Q = AnnRS ( ms ). Es ist aus Kapitel 2 bekannt, dass Q = P RS f¨ ur ein P ∈ Spec(R) mit P ∩ S = ∅. Da R ein noetherscher Ring ist, existieren p1 , . . . , pr ∈ R mit P = (p1 , . . . , pr ). Wegen 0 pi m = 1 s 1 Q existiert f¨ ur i = 1, . . . , r ein ti mit ti pi m = 0 in R. Definiere t = ri=1 ti ∈ S. Dann folgt tpi m = 0 f¨ ur i = 1, . . . , r. Somit P = (p1 , . . . , pr ) ⊆ AnnR (tm). Ist a ∈ AnnR (tm), dann gilt atm = 0 und daher a1 ms = 10 , also a1 ∈ Q = PS . Daher existiert eine Darstellung a1 = sp0 mit p ∈ P und s0 ∈ S. Es existiert ein s00 ∈ S mit s00 s0 a = s00 p ∈ P . Aus P ∩ S = ∅ folgt a ∈ P . Insgesamt erhalten wir P = AnnR (tm) und dies zeigt die Behauptung.  Definition 2.16. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Die Menge SuppR (M ) = {P ∈ Spec(R) : MP 6= 0} heißt der Tr¨ager von M . Beispiel 2.17. Es ist SuppR (R) = SpecR (R), da f¨ ur jedes Primideal P von R der Ring RP das maximale Ideal P RP 6= RP besitzt und daher RP 6= 0 gilt.

76

3. MODULTHEORIE

Satz 2.18. Sei R ein Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann gilt SuppR (M ) = {P ∈ Spec(R) : AnnR (M ) ⊆ P } = V(AnnR (M )). Beweis. Sei P ∈ SuppR (M ). Angenommen AnnR (M ) 6⊆ P . Seien t ∈ AnnR (M )\ P und ms ∈ MP beliebig. Dann gilt m mt 0 0 = = = , s st s 1 also MP = 0. Dies ist ein Widerspruch zur Wahl von P . Daher gilt AnnR (M ) ⊆ P . Sei umgekehrt P AnnR (M ) ⊆ P . Da M endlich erzeugt ist, existieren m1 , . . . , mt ∈ M mit M = ti=1 R · mi . Dann gilt r Y

AnnR (mi ) ⊆

i=1

r \

AnnR (mi ) = AnnR (M ) ⊆ P.

i=1

Da P ein Primideal ist, existiert ein i mit AnnR (mi ) ⊆ P . Dann folgt aus 2.17, dass (R/ AnnR (mi ))P ∼ = (R/ AnnR (mi ))P/ Ann (m ) 6= 0. R

i

Nun ist 0 6= (R/ AnnR (mi ))P ∼ = (R · mi )P ⊆ MP wegen 1.14 und daher MP 6= 0.  Satz 2.19. Sei R ein noetherscher Ring und M ein R-Modul mit einer Normalreihe 0 = M 0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ M n = M mit Mi /Mi−1 ∼ ur gewisse Primideale Pi von R. Dann gilt = R/Pi f¨ AssR (M ) ⊆ {P1 , . . . , Pn } ⊆ SuppR (M ) und die minimalen Primideale der drei Mengen stimmen u ¨berein. Beweis. Wegen 2.14 ist AssR (M ) ⊆ {P1 , . . . , Pn }. Sei Pi ∈ {P1 , . . . , Pn }. Dann gilt 0 6= (R/Pi )Pi ∼ = (Mi /Mi+1 )Pi ∼ = (Mi )Pi /(Mi+1 )Pi . ¨ Die letzte Aquivalenz folgt aus 1.10. Somit (Mi )Pi 6= 0 und daher MPi 6= 0. Wir erhalten, dass Pi ∈ SuppR (M ). Nun muss noch gezeigt werden, dass die minimalen Primideale von SuppR (M ) in AssR (M ) liegen. Sei P ∈ SuppR (M ) minimal. F¨ ur ein Primideal Q ⊆ P ist ∼ MQ = (MP )QRP und aus der Wahl von P folgt SuppRP (MP ) = {P RP }. Da AssRP (MP ) 6= ∅ muss SuppRP (MP ) = AssRP (MP ) gelten. Aus 2.15 folgt dann P ∈ AssR (M ).  Beispiel 2.20. Sei R ein noetherscher Ring. Betrachte das Beispiel M = R/I f¨ ur ein Ideal I ⊂ R. Dann gilt SuppR (R/I) = V(I) = {P ∈ Spec(R) : I ⊆ P }.

¨ 3. PRIMARZERLEGUNG

77

Die minimalen Primideale in AssR (R/I) sind gerade die minimalen Primoberideale von I. Beachte, dass i.a. AssR (M ) mehr als nur die minimalen Primideale von SuppR (M ) enth¨alt. Wir erhalten die folgende uns schon bekannte Tatsache: Korollar 2.21. Sei R ein noetherscher Ring. Dann besitzt R nur endlich viele minimale Primideale. Beweis. Dies folgt aus SuppR (R) = SpecR (R) und der Tatsache, dass AssR (R) endlich ist.  3. Prim¨ arzerlegung Q Q Sei f ∈ Z mit einer Primfaktorzerlegung f = ± i pri i . Dann gilt (f ) = i (pi )ri . Die Primfaktoren pi entsprechen den Primoberidealen pi von (f ). Nun ist die Frage, welche Bedeutung die Ideale (pi )ri f¨ ur das Ideal (f ) haben. Dies ist eine Motivation f¨ ur den Begriff eines Prim¨arideals, wie er nun eingef¨ uhrt wird. Definition 3.1. Sei R ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und N ⊂ M ein Untermodul. N heißt prim¨ar in M, wenn AssR (M/N ) aus genau einem Element besteht. Ist AssR (M/N ) = {P }, so heißt N P -prim¨ar in M. Prim¨are Untermoduln von R heißen Prim¨arideale. Bemerkung 3.2. Sei R ein noetherscher Ring. (i) Ist P ein Primideal von R, dann ist P ein P -prim¨arer Untermodul von R, da AssR (R/P ) = {P }. (ii) Sei I ⊂ R ein Ideal. Ist I ein P -prim¨ares Ideal, so existiert ein n mit P n ⊆ I ⊆ P . Denn AssR (R/I) = {P } impliziert, √ dass I ⊆ P das einzige minimale Primoberideal von I ist. Dann gilt I = P . Da R noethersch und daher P endlich erzeugt ist, folgt, dass ein n ∈ N existiert mit P n ⊆ I. (Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch.) Satz 3.3. Sei R ein noetherscher Ring und m ⊂ R ein maximales Ideal. Dann ist ein Ideal I ⊂ R genau dann m-prim¨ar, wenn ein n ∈ N mit mn ⊆ I ⊆ m existiert. Beweis. Es gelte mn ⊆ I ⊆ m. Sei I ⊆ Q ein Primideal, dann folgt mn ⊆ Q. Da R noethersch ist, folgt m ⊆ Q und somit m = Q. Somit SuppR (R/I) = {m} und daher AssR (R/I) = {m}. Ist I m-prim¨ar, so gilt wegen 3.2, dass mn ⊆ I ⊆ m f¨ ur ein n ∈ N gilt.  Beispiel 3.4. (i) Sei m ein maximales Ideal von R. Dann ist mn ein m-prim¨ares Ideal von R. (ii) Sei R ein Hauptidealbereich und 0 6= I ⊂ R ein ur ein Q Ideal. Ist I = (f ) f¨ f ∈ R mit einer Primfaktorzerlegung f = ε · i pri i Q , wobei pi irreduzibel sind und ε eine Einheit ist. In diesem Falle gilt I = i (pi )ri und (pi )ri ist (pi )-prim¨ar, da (pi ) maximal ist. Eine Zerlegung wie im Beispiel f¨ uhrt zu dem Begriff einer Prim¨arzerlegung.

78

3. MODULTHEORIE

Definition 3.5. Sei R ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und N ⊆ M ein Untermodul. Eine endliche Familie {Ni }i∈I von Untermoduln von M heißt eine Prim¨arzerlegung von N in M , wenn gilt: (i) Ni istTprim¨ar f¨ ur i ∈ I, (ii) N = i∈I Ni . Die Frage ist nun, ob so eine Zerlegung existiert und ob sie in diesem Falle eindeutig ist. Satz 3.6. Sei R ein noetherscher Ring, M ein R-Modul und N ⊆ AssR (M ) eine Teilmenge. Dann existiert ein Untermodul N von M mit AssR (M/N ) = N und AssR (N ) = AssR (M ) \ N . Beweis. Sei M = {E : E ⊆ M Untermodul, AssR (E) ⊆ AssR (M ) \ N }. Ist E1 ⊂ E2 ⊂ . . . S eine vollst¨andig geordnete Kette von Untermoduln in M. Dann ist E = i Ei ein Untermodul von M . Sei P ∈ AssR (E) mit P = AnnR (m) f¨ ur ein 0 6= m ∈ E. Dann folgt m ∈ Ei f¨ ur ein i und daher P ∈ AssR (Ei ) ⊆ AssR (M ) \ N . Somit ist E ∈ M. Wegen (0) ∈ M ist M = 6 ∅. Also existiert nach dem Zornschen Lemma in M ein maximales Element N . Ist AssR (M/N ) ⊆ N gezeigt, dann folgt aus AssR (M ) ⊆ AssR (N ) ∪ AssR (M/N ) ⊆ AssR (N ) ∪ N ⊆ AssR (M ) der Satz. Sei also P ∈ AssR (M/N ) mit P = AnnR (m) f¨ ur ein m ∈ M \ N . Sei 0 0 ∼ N = R · m + N . Dann ist R/P = N /N und daher AssR (N 0 /N ) = {P }. Aus 2.13 folgt AssR (N 0 ) ⊆ AssR (N ) ∪ AssR (N 0 /N ) = AssR (N ) ∪ {P }. Wegen der Wahl von N muss AssR (N 0 ) ∩ N = 6 ∅ gelten. Also ist P ∈ AssR (N 0 ) ⊆ AssR (M ) und es folgt P ∈ N . Dies zeigt die Behauptung.  Zun¨achst zeigen wir, dass solch eine Zerlegung existiert. Satz 3.7. Sei R ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und N ⊆ M ein Untermodul. Dann existieren Untermoduln N1 , . . . , Nr von M mit (i) Die Moduln Ni sind Pi -prim¨ar f¨ ur paarweise verschiedene Primideale Pi . Tr (ii) N = i=1 Ni . (iii) AssR (M/N ) = {P1 , . . . , Pr }. Tr Beweis. N = arzerlegung von N in M , wenn i=1 Ni ist genau dann eine Prim¨ Tr 0 = i=1 Ni /N eine Prim¨arzerlegung von 0 in M/N ist. Daher k¨onnen wir o.E. annehmen, dass N = 0 gilt. Sei AssR (M ) = {P1 , . . . , Pr }. Wegen 3.6 existieren R-Moduln Ni mit AssR (M/Ni ) = {Pi } und AssR (Ni ) = {P1 , . . . , Pi−1 , Pi+1 , . . . , Pr } f¨ ur i = 1, . . . , r.

¨ 3. PRIMARZERLEGUNG

79

T Es folgt aus der Definition, dass Ni Pi -prim¨ar in M ist. Definiere U = ri=1 Ni . Es ist AssR (U ) ⊆ AssR (Ni ) ⊆ AssR (M ). Aus Pi ∈ AssR (U ) w¨ urde Pi ∈ AssR (Ni ) folgen. Dies ist ein Widerspruch. Also gilt AssR (U ) = ∅ und aus 2.7 folgt U = 0. Somit ist der Satz bewiesen.  Satz 3.8. Sei R ein noetherscher T Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und N ⊆ M ein Untermodul. Ist N = ri=1 Ni eine Prim¨arzerlegung von N in M mit Ni Pi -prim¨ar, dann gilt AssR (M/N ) ⊆ {P1 , . . . , Pr }. Beweis. Eine Induktion nach r zeigt AssR (⊕ri=1 M/Ni ) ⊆

r [

AssR (M/Ni ) = {P1 , . . . , Pr }.

i=1

Der Homomorphismus ist wegen N =

ϕ : M/N → ⊕ri=1 M/Ni i=1 Ni injektiv. Daher folgt aus 2.13, dass

Tr

AssR (M/N ) ⊆ AssR (⊕ri=1 M/Ni ) ⊆ {P1 , . . . , Pr }.  Bemerkung 3.9. (i) Ist I = Q1 ∩ · · · ∩ Qr eine Prim¨arzerlegung von einem Ideal I ⊂ R und I ⊆ m ein maximales Ideal von R. Dann ist I = Q1 ∩ · · · ∩ Qr ∩ m ebenfalls eine Prim¨arzerlegung von I in R. Daher ist eine Prim¨arzerlegung im Allgemeinen nicht eindeutig. (ii) Ist R ein noetherscher T Ring und sind N1 , . . . , Nr in M P -prim¨are Unterr moduln. Dann ist Tr auch i=1 rNi P -prim¨ar in M. Denn wegen der injektiven Abbildung M/ i=1 Ni → ⊕i=1 M/Ni gilt AssR (M/

r \ i=1

Ni ) ⊆

r [

AssR (M/Ni ) = {P }.

i=1

Definition 3.10. Sei R ein noetherscherTRing, M ein R-Modul und N ⊆ M ein Untermodul. Eine Prim¨arzerlegung N = ri=1 Ni von N in M heißt unverk¨ urzbar, wenn gilt: T (i) Es existiert kein i mit j6=i Nj ⊆ Ni . (ii) Ist AssR (M/Ni ) = {Pi }, so sind die Pi paarweise verschiedene Primideale. Satz 3.11. Sei R ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul Tr und N ⊆ M ein Untermodul mit einer unverk¨ urzbaren Prim¨arzerlegung N = i=1 Ni von N in M . Ist f¨ ur i = 1, . . . , r der Modul Ni Pi -prim¨ar, dann gilt: S (i) AssR (M/N ) = Sri=1 {Pi }. (ii) AssR (Ni /N ) = j6=i {Pj }.

80

3. MODULTHEORIE

Beweis. (i): Aus 3.8 folgt AssR (M/N ) ⊆

r [

AssR (M/Ni ).

i=1

Definiere Ei = Es folgt

T

j6=i

Nj . Dann gilt Ei ∩ Ni = N und Ei 6= N nach Voraussetzung.

0 6= Ei /N ⊆ (Ei + Ni )/Ni ⊆ M/Ni . Somit AssR (Ei /N ) ⊆ AssR (M/Ni ) = {Pi }, also AssR (Ei /N ) = {Pi }. Aus Ei /N ⊆ M/N folgt dann Pi ∈TAssR (M/N ) und hieraus (i). (ii): Wegen N = j6=i Ni ∩ Nj ist die Abbildung ϕ : Ni /N → ⊕j6=i Ni /(Ni ∩ Nj ) injektiv und es folgt AssR (Ni /N ) ⊆

[

AssR (Ni /(Ni ∩ Nj )).

j6=i

Ausserdem ist Ni /(Ni ∩ Nj ) ∼ = (Ni + Nj )/Nj ⊆ M/Nj . Daher gilt [ [ AssR (M/Nj ) = {Pj }. AssR (Ni /N ) ⊆ j6=i

j6=i

Wegen (i) ist r [ {Pj } = AssR (M/N ) ⊆ AssR (Ni /N ) ∪ AssR (M/Ni ) = AssR (Ni /N ) ∪ {Pi }. j=1

Hieraus folgt AssR (Ni /N ) =

[

{Pj }.

j6=i

 Korollar 3.12. Sei R ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und urzbare Prim¨arzerlegung N = Tr N ⊆ M ein Untermodul. Es existiert eine unverk¨ ar, so gilt i=1 Ni von N in M . Ist Ni Pi -prim¨ {P1 , . . . , Pr } = AssR (M/N ) und daher sind diese Primideale eindeutig bestimmt. Im Allgemeinen sind die Untermoduln Ni nicht eindeutig bestimmt. Es gilt jedoch: Satz 3.13. Sei R ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und Tr N ⊆ M ein Untermodul mit einer unverk¨ urzbare Prim¨arzerlegung N = i=1 Ni von N in M . Sei P minimal in AssR (M/N ) und Nj sei P -prim¨ar. Dann ist Nj = ι−1 P (NP ), wobei ιP : M → MP der nat¨ urliche Homomorphismus ist. Daher sind die zu den minimalen Primidealen in AssR (M/N ) geh¨orenden Moduln Nj eindeutig bestimmt.

4. KOMPOSITIONSREIHEN VON MODULN

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Beweis. Man kann wieder o.E. annehmen, dass N = 0 gilt. Dann ist Nj = ι−1 P (0) zu zeigen. Es gilt wegen 2.15 AssRP ((Nj )P ) = {QRP : Q ∈ AssR (Nj ), Q ⊆ P } = ∅, da P ∈ AssR (M ) minimal und aus Q ∈ AssR (Nj ) wegen 3.11 folgt, dass Q = Pj f¨ ur −1 ein j 6= i mit {Pj } = AssR (M/Nj ) ist. Daher folgt (Nj )P = 0 und somit Nj ⊆ ιP (0). Sei U = ι−1 P (0). Angenommen U 6= Nj . Es ist (U/Nj )P = 0. Aber aus ∅= 6 AssR (U/Nj ) ⊆ AssR (M/Nj ) = {P } folgt AssR (U/Nj ) = {P }. Dann ist AssRP ((U/Nj )P ) 6= ∅ und somit (U/Nj ) 6= 0. Dies ist ein Widerspruch und es folgt die Behauptung.  4. Kompositionsreihen von Moduln Zun¨achst werden Normalreihen von Moduln untersucht. Die zentrale Frage ist zu untersuchen, unter welchen Bedingungen solche Normalreihen “eindeutig” und dann von endlicher L¨ange sind. Definition 4.1. Sei M ein R-Modul. Seien M : {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr = M und N : {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Ns = M zwei Normalreihen von M . (i) Die Normalreihen heißen ¨aquivalent, wenn r = s und eine Permutation σ von 1, . . . , r existiert mit Mi /Mi−1 ∼ = Nσ(i) /Nσ(i)−1 . (ii) N heißt eine Verfeinerung von M. wenn M1 , . . . , Mr unter N1 , . . . , Ns vorkommen. Satz 4.2. Sei M ein R-Modul. Dann haben zwei Normalreihen von M zueinander ¨aquivalente Verfeinerungen. F¨ ur den Beweis dieses Satzes werden einige Hilfsaussagen ben¨otigt. Lemma 4.3. Sei M ein R-Modul und E, F, U Untermoduln von M mit F ⊂ E. Dann gilt: F ⊆ (E ∩ U ) + F = E ∩ (U + F ) ⊆ E. (E ∩ U ) + F heißt dann auch eine Einschiebung von U zwischen F und E. Beweis. Trivialerweise gilt (E ∩ U ) + F ⊂ E ∩ (U + F ). Sei nun x ∈ E ∩ (U + F ). Daher ist x = u + f mit x ∈ E, u ∈ U und f ∈ F . Dann ist u = x − f ∈ E und somit u ∈ E ∩ U . Somit x ∈ (E ∩ U ) + F . Hieraus folgt die Behauptung. 

82

3. MODULTHEORIE

Lemma 4.4. Sei M ein R-Modul und seien E, F, F 0 , E 0 Untermoduln von M mit F ⊂ E und F 0 ⊂ E 0 . Dann gilt: ((E ∩ E 0 ) + F )/((E ∩ F 0 ) + F ) ∼ = ((E 0 ∩ E) + F 0 )/((E 0 ∩ F ) + F 0 ). Die Einschiebungen von E 0 und F 0 zwischen E, F haben bis auf Isomorphie denselben Quotienten wie die Einschiebung von E und F zwischen E 0 , F 0 . Beweis. Wir zeigen ((E ∩ E 0 ) + F )/((E ∩ F 0 ) + F ) (E ∩ E 0 )/((E ∩ F 0 ) + (E 0 ∩ F )) ((E 0 ∩ E) + F 0 )/((E 0 ∩ F ) + F 0 ).

∼ = ∼ =

Aus Symmetriegr¨ unden reichte es die erste Isomorphie zu beweisen. Aus E ∩ F 0 ⊆ 0 E ∩ E folgt (E ∩ E 0 ) + ((E ∩ F 0 ) + F ) = (E ∩ E 0 ) + F. Wegen F ⊆ E gilt E 0 ∩ F = E ∩ E 0 ∩ F und daher folgt aus 4.3 (E ∩ E 0 ) ∩ (F + (E ∩ F 0 )) = (E 0 ∩ F ) + (E ∩ F 0 ). Insgesamt erh¨alt man = ∼ = =

((E ∩ E 0 ) + F )/((E ∩ F 0 ) + F ) (E ∩ E 0 ) + ((E ∩ F 0 ) + F )/((E ∩ F 0 ) + F ) (E ∩ E 0 )/(E ∩ E 0 ) ∩ (F + (E ∩ F 0 )) (E ∩ E 0 )/(E 0 ∩ F ) + (E ∩ F 0 ).

Dies zeigt die Behauptung.



Nun zum Beweis von 4.2 Beweis 4.2. Seien 0 = M 0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ M r = M und 0 = N 0 ⊂ N 1 ⊂ · · · ⊂ Ns = M zwei Normalreihen von M. F¨ ur i = 1, . . . , r und j = 0, . . . , s sei Pij = Mi−1 + (Nj ∩ Mi ). Dann ist Pi0 = Mi−1 und Pis = Mi und man erh¨alt eine Verfeinerung 0 = M0 = P10 ⊂ P11 ⊂ · · · ⊂ P1s = M1 = P20 ⊂ · · · ⊂ Prs = Mr = M der ersten Normalreihe, die durch eine Einschiebung von Nj zwischen Mi−1 und Mi entstanden ist. Analog definieren wir Qji = Nj−1 + (Mi ∩ Nj )

4. KOMPOSITIONSREIHEN VON MODULN

83

f¨ ur j = 1, . . . , s und i = 0, . . . , r und man erh¨alt eine Verfeinerung der zweiten Normalreihe. Aus 4.4 folgt = ∼ = ∼ =

Pij /Pij−1 Mi−1 + (Nj ∩ Mi )/Mi−1 + (Nj−1 ∩ Mi ) Nj−1 + (Nj ∩ Mi )/Nj−1 + (Nj ∩ Mi−1 ) Qji /Qji−1 .

Die Verfeinerungen haben beide rs+1 viele Elemente und dies zeigt die Behauptung.  Das n¨achste Ziel ist nun Normalreihen mit m¨oglichst einfachen Quotienten zu betrachten. Definition 4.5. Sei M ein R-Modul. M heißt einfach, wenn (i) M 6= {0}, (ii) {0} und M sind die einzigen Untermoduln von M . Lemma 4.6. {0} = 6 M ist genau dann einfach, wenn ein maximales Ideal m ⊂ R ∼ existiert mit M = R/m. Beweis. Ist m ein maximales Ideal von R, so ist R/m einfach, da dies ein K¨orper ist. Sei nun umgekehrt M ein einfacher R-Modul. Sei 0 6= n ∈ M . Da R · n ein Untermodul von M ist, folgt M = R · n ∼ ur das Ideal m = AnnR (n) ⊂ = R/m f¨ R. W¨are m nicht maximal, so g¨abe es ein echtes Ideal von R/m. Dies ist aber auch ein Untermodul, was nach der Voraussetzung nicht geht. Hieraus folgt die Behauptung.  Definition 4.7. Sei M ein R-Modul. (i) Eine Normalreihe {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr = M heißt eine Kompositionsreihe (Jordan-H¨older-Reihe), wenn alle Quotienten Mi /Mi−1 einfach sind. Die Zahl r heißt die L¨ange der Kompositionsreihe. (ii) M heißt von endlicher L¨ange, wenn M eine Kompositionsreihe wie in (i) besitzt. Satz 4.8. Sei M ein R-Modul von endlicher L¨ange. Dann l¨asst sich jede Normalreihe zu einer Kompositionsreihe verfeinern. Je zwei Kompositionsreihen sind ¨aquivalent und besitzen daher dieselbe L¨ange. Beweis. Nach Voraussetzung existiert eine Kompositionsreihe M : {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr = M von M . Sei nun N : {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Ns = M eine beliebige Normalreihe von M . Wegen 4.2 existieren zueinander ¨aquivalente Verfeinerungen M0 und N 0 der beiden Reihen.

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3. MODULTHEORIE

Eine Kompositionsreihe kann nur trivial verfeinert werden indem man gewisse Terme wiederholt. Hierbei entstehen Quotienten, die entweder 0 oder einfach sind. Die gilt f¨ ur M0 und daher auch f¨ ur die ¨aquivalente Reihe N 0 . Wir streichen die u ussigen Terme heraus und erhalten auf der einen Seite ¨berfl¨ eine Verfeinerung von N , die auch wieder mit N 0 bezeichnet wird, die eine Kompositionsreihe ist. Auf der anderen Seite erhalten wir M zur¨ uck. Ferner sind N 0 und M ¨aquivalent. War bei diesem Verfahren N selber eine Kompositionsreihe, so gilt N 0 = N . Hieraus folgt die Behauptung.  Definition 4.9. Sei M ein R-Modul. Ist M von endlicher L¨ange, so heißt die gemeinsame L¨ange aller Kompositionsreihen von M die L¨ange von M und wird mit lR (M ) bezeichnet. Besitzt M keine Kompositionsreihe, so setzt man lR (M ) = ∞. Satz 4.10. Ist 0→N →M →W →0 ein exakte Sequenz von R-Moduln, dann gilt lR (M ) = lR (N ) + lR (W ). Beweis. Man kann o.E. annehmen, dass N ein Untermodul von M ist und W = M/N gilt. Betrachte die Normalreihe {0} = M0 ⊂ M1 = N ⊂ M2 = M. Ist M von endlicher L¨ange, so kann wegen 4.8 diese Reihe zu einer Kompositionsreihe {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nr = N = W0 ⊂ · · · ⊂ Ws = M von M verfeinert werden. Es ist {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nr = N eine Kompositionsreihe von N und mit W i = Wi /N f¨ ur i = 0, . . . , r ist W0 ⊂ ··· ⊂ Ws = W eine Kompositionsreihe von W , da W i /W i−1 ∼ = Wi /Wi−1 einfach ist. Daher folgt im Falle lR (M ) < ∞, dass lR (M ) = lR (N ) + lR (W ). Sei nun lR (N ) = r < ∞ und lR (W ) = s < ∞. Seien {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nr = N und {0} = W 0 ⊂ W 1 ⊂ · · · ⊂ W s = W Kompositionsreihen von N und W . Definiere Wi = ϕ−1 (W i ) mit ϕ : M → W = M/N . Dann ist Wi /Wi−1 ∼ = (Wi /N )/(Wi−1 /N ) ∼ = W i /W i−1 einfach und {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nr = N = W0 ⊂ · · · ⊂ Ws = M ist eine Kompositionsreihe von M . Hieraus folgt ebenfalls lR (M ) = lR (N ) + lR (W ) und daher die Behauptung (auch im Falle, dass eine der Gr¨oßen ∞ ist). 

4. KOMPOSITIONSREIHEN VON MODULN

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Satz 4.11. Sei M ein R-Modul. Dann sind ¨aquivalent: (i) lR (M ) < ∞, (ii) Jede aufsteigende und jede absteigende Kette von Untermoduln von M wird station¨ar. Beweis. Gilt lR (M ) < ∞, so hat jede aufsteigende bzw. absteigende Kette von Untermoduln h¨ochstens lR (M ) + 1 viele echt verschiedene Glieder und muss daher station¨ar werden. Gelte nun, dass jede aufsteigende und jede absteigende Kette von Untermoduln von M station¨ar wird. Da jede aufsteigende Kette von Untermoduln von M station¨ar wird, existiert in M ein maximaler echter Untermodul M1 von M . In M1 existiert ein maximaler echter Untermodul M2 von M1 . F¨ uhre dieses Verfahren fort. Da aber absteigende Ketten station¨ar werden, muss die Folge M ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ . . . abbrechen, und daher existiert ein s mit Ms = {0}. Diese Kette ist nicht mehr verfeinerbar und es folgt lR (M ) = s < ∞.  Definition 4.12. Ein R-Modul M heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette von Untermoduln station¨ar wird. Der Ring R heißt artinsch, wenn er als R-Modul artinsch ist, d.h. jede absteigende Kette von Idealen wird station¨ar. Satz 4.13. Sei R ein artinscher Ring. Dann gilt dim R = 0, d.h. jedes Primideal von R ist maximal. Beweis. Sei P ⊂ R ein Primideal. Dann ist S = R/P ein artinscher Ring und ein Integrit¨atsbereich. Sei 0 6= a ∈ S. Wegen · · · ⊃ (an ) ⊃ (an+1 ) ⊃ . . . existiert ein n mit an = b · an+1 . Nach K¨ urzen erh¨alt man 1 = ba. Also ist S ein K¨orper und daher P ein maximales Ideal.  Satz 4.14. Sei R ein Ring. Dann sind ¨aquivalent: (i) R ist noethersch und dim R = 0. (ii) R ist noethersch und artinsch. (iii) Jeder endlich erzeugte R-Modul ist noethersch und artinsch (d.h. von endlicher L¨ange). (iv) Es gibt einen R-Modul M von endlicher L¨ange mit AnnR (M ) = (0). Beweis. (i) ⇒ (iii): Dies folgt aus 2.11. (iii) ⇒ (ii): Trivial, da (ii) ein Spezialfall von (iii) ist. (ii) ⇒ (i): Siehe 4.13. (ii) ⇒ (iv): M = R hat die gew¨ unschten Eigenschaften. (iv) ⇒ (ii): M ist noethersch, also insbesondere endlich erzeugt. Sei M = hm1 , . . . , mn i. Der R-Modulhomomorphismus R → M n , a 7→ (am1 , . . . , amn ) ist wegen AnnR (M ) = (0) injektiv. Daher ist R als Untermodul von M wegen 4.10 von endlicher L¨ange. 

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3. MODULTHEORIE

Korollar 4.15. Sei R ein Integrit¨atsbereich. Dann sind ¨aquivalent: (i) R ist noethersch und jedes Primideal P 6= (0) ist maximal. (ii) F¨ ur jedes Ideal (0) 6= I ⊂ R hat R/I endliche L¨ange. ¨ Beweis. Die Aussagen folgen aus 4.14 (Ubungsaufgabe).



Literaturverzeichnis [1] R. Br¨ uske, F. Ischebeck und F. Vogel, Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag (1989). [2] D. Cox, J. Little und D. O’Shea, Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer (1996). [3] D. Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150, Springer (1995). [4] E. Kunz, Einf¨ uhrung in die algebraische Geometrie. Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik 87, Vieweg (1997). [5] H. Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press (1989). [6] R. Y. Sharp, Steps in commutative algebra. London Mathematical Society Student Texts 51, Cambridge University Press (2000).

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