Les trois livres de porismes d'Euclide

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ntodct'ttc! (~Ut't'juc!)<\<'xtpt(";tM« wUff
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)i'H).~t.)V

biabtcsdt- thwtèttM's/w/t cw~/e~, qui '.ontdcvcritabh"; ~/MWM'.c)oa )m;ot)et'ptiond'Euc)idf.iuoMt:uapp(tt'cuc< !) <«ust'(tcs ditH'tcan-sdt' &ty)< du moins par la xatnn' ntom; de ta pt'opmitiou oà /'OM
)'tt cottStatatH [:t<)i'.tin<'ti")t')u Km'tittf-tvait (''tahnucnu'c

(5r

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~-s fheot~tnes proj)f<«tpt))diti.Mt<<w<-w<~ <'oM
(M) f de tel potm varmbtc t-.tt une action conique. Ce sont dont; des /ctM, 'ousequfnxnent aussi des Po~<.(w<).La dernière de ces propositions contient la propriété 'h- i.t û/fc<
Det utititedM t'orientespour la t-eajttttMtt des )M'ohtc)ws.

Pappus dit que les PonsmM d'Euctide étaient ueeMsait'cs pour la résolution des probièmes. ~uus avons dëji) vu (§11) qn a raisondes mauercs qui formaient te sujet des trois livres de Porismes, cet ouvrage devait être extrêmement utile pour ies progrès généraux de la Geontett'ie; mais il s'agit ici d une utilité spéciale pour !a resohuion des probtem''s. Voici comment nous concevons cette utitite. C'est que la recherche d'un lieu géométtique <)<'tcrnn))e par t'ertaines conditions exigeait le secours de quelque l'orisme. Car il fallait concturc de ces conditions une autre expression du lieu qui fût déjà connue, et qui par tooscqnent ut f'onnaitrc la nature du tieu, sujt-t de la question. Or c'est te pa~aged'une expression du )i<'uAtxn- amx- c\un t~'t ism'' pt't'ssion qui f\in't

(~ 1 1. '1 dentande-t-on le /<e« «M

Par exempte, ~OfM<~0~~ /<*< ~«tMMMM H
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<;est-H-direqu ette est unetonst~ucm't' de) hypothèse. qu it (autdéternnnet'. L'énoncé est susceptibte d'un autre sens. On peut supdes deux poserqueit's origines se~nent;, soutdcux puim.s donnes de fait. et que les donnée!. virtm'ttes, c'est-à-dire tes
tft.'t} ` Po)i!!))X'S.T')Utc<')i-. h~projtrit'tt")'())<)')<)<

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Le Porismf'qui constittx' )(' t" ~t'ttt' <-[dont )a dcsctiptio))cst'inn)santm''ut<'()tt))))t')('.j)<'mt';t)cn'uducn))n!)'' um' ('sj
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\m~=.) 'M~' :1m,J'lit' 1 l, /"=: J'" 1'" t\ i~niiiiu)~h<)m<)ap)))<)m'u'Lu\ ft.Aw tftoites. U~isiun!)hu)nt)j.!t.tpim)U), X.J'M<.tt«'=="-t-}' Nt))U)M'tirohc. Xi. Ktmn'c i)Komp!<'t. ~'Jt~a, C//< Aw+~.B'w' 'C'M'

p., ~L~==, L'w' 1/1' ¡J.,

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=1)., !J.

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.M.H' t )' sur SUI' A, DtVtstous IYISIOUS honMgraptuqUM loulograp 1I1(UeS C ~––.–=A. \.oll/,nnr' <)t'uxdroitesou sur urx' st'utc. X\!l.

XXHI. w~r == M. Divisions homographiXXIV.Aw.J'w'=:u.A'w'. ffttcs sut' deux droites ott sur uneseute. XXV. OM'=~.D~. -~i~r rt. i XX\i.
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1

\X\U1tttj)t)ihtd"up:')1<')ttdt'tt\d)~))t's~att.tb)
r <7-~ Poristnesdt)ttstesqtn)'.tt.'sdt't)\ti~nt'sqm-.<mt<'t)taj) port constant, p:uteut 'te deux poixtt un d'un sent dans dt-sditf'ctions variables: par exemp)t',t<-seront,daustt; m"f.rvrp,dcMX droites qui aboutissextathaquepoint d'unetirconferencedecerete. )«. – ttttMs(~))Mn m-«: tmuo'ot}).)!. <)!)Ht )Mfomt))<;s d't.uttitte. <)Ui ~ioas venons de voir (pc !a ptupart des n'iation!. de scgmentsqui fout le sujet d'un grand nombre de3 t'orisnics d'EucUdc cxptiutent que deux séries de points sur deux droitM, ou sur une seule, forment deux divisions homographiqucs. U existe plusieurs autres rftation!; par lescluellcson n'p) Hscntutcs mûmes divisions ctqui par conséquentauraient pu st: trouver dans l'ouvrage grec. D'abord t'equatiou <)-A.AM B'Mf dans iaque!)e

.~U 1 ttm'm'~n)'d)<)itt',)t()))tn(-!in'ti)tut'hst'~)n''nt
<Mm'"

fol,

Ces diverses ouations donneraient )!<'u.si If" vonhfit, ;t dus Poristues qui, par ia nature des matières, ft'raient suit< aux trois JJvrt's d Eucttdc. Tous ct'.s PoisttK's sont ttfs.pcopt't's o faix' te sujet d'cxct'cif't'spour tes jeunes gcotnetrt's, d'autant pins qui! appâttif)t))<;nt aux tht!uticsqui forment les Last'sdf;ta geomcttic moderne. KucHdt;n'a traite que de la ti~oe dmit)' et du <'e«;t('; mais )a p)upa< t desesPoti'itnc:. s'etexdcnt uvc la mt'me facilite a )a t))M'rie des scctiuns toniqm's (<) et :'< des specutations ultérieures. On ue peut se refuser, je crois, 0 rt'connaitrc !
(74) 1 trois tat~otiM '.<.t sontrotatif!; a ttc). ngurcstc'titi~nt's, y M!rattactn nt au rapport hartMoniuufdt! tjuatrc points, '-t S coocurtn'nt le ft'n )< D''sa3t.('nnn';srt:tatits.'tdcsn~))rcsrcttitiguc!f)ont pouroLjft le qnattn)att;tc coupu p!))'u))eu.n'svt')satc; <) l'égalité des ~<
ttt))< position')H''h<'m)m'tt.(
} r.ippusest unfdcs équations il six sej;tt)ct)tspar h'~qut'ttfs ou exprime t'invotution de six points. Soient «, «'; <'t < e', tes points dans !t'squets)a tranavets.iie renconttf if~couptes de cotes &pposuset. ~MdMt;uuatcsdu quadriiatun. L.t tMh)(!<'tt est M&.t'C t~ J'&A<< Les t.tittttocs j, tt, t't \i sont (tes cas pa))i'-u)Icr.s de cette ptOjxxition ~ncfaif. Dans )t'j' et h: 11', la t)'a)tsvt'tsa)cest pa)a))e!t; à un côte du t)u:t
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<)ff'c\));nd(u\n.t)t~Yt')'t)t'!))nL'tt''t's.ttmtitu))tt')ttt) t')t)qu
tungk Pc. «&, t un)t)tf)f t'ectan~k P
))t.h'utt<'dt'su'u))i.\('tsa)cs(~t));t)!)))c)f.t)u)tt'')' 't"'ih'<'tit~)uatt"))dt;\)c))t 11 t''< ti

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0))p''utu'i)d.)ns)''t.tnttn'H!(n)//<'«~/«f//t~ oonstruitdans un triant;. iPappust'tnptoicdan~ia dînons. t).ni«t))t'~t.t')"'sX,\it't\\f. L''f.t')N)t)t'XXXïr (pr')p').s!ti'«t )M) cont't'rtx;
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tution sf réduit il faix.' voir <}u''la tangente au pointC reuoontrc la <'ord(jAHfn un uuint D, pout )N]m:tOt)a UA M"

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Le Lcmm'' X\\ (j~toj"~h!t)tt t5f)) d~ttifjnu' <jut-ics dt'st'xt)Mn)t''s d'une corde à un poiot de ia droites tm'))MCi; divist'nt hat'ntf'ttiqut'tnettt Ic diamfU'f pf' <'i)t'o))~r<'t«'<' ))<'t)di(u)M)n:nct'H<:

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CuruUMcsdt'(.<-tMtMt")tt)<'(\t.

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(S.~ ;v ~t.'tisi<"i''t'g'n''u''i
tiondonm'dooc c~Ucqu il s'a~hdedenMt'ttCf. Corollaire ]L Q<MMf/yMH//e droites SA, SU, SC, SJ) en «H /H
«MM,e/<<ecesf/e«.r ~'<M ~/e~o/M~ la ~
·

Ma)s,acauscucspi))'a!tetcs.

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.\ons avons dit (~tït't Xt)(juc )a ptttparKh-sPutisnx's )rans)))is par Pappus cxpfitm'nt dt's rctationsde sf~tnt'otA su) dt'ux tjtu se r.tppnrtt'ttt aux ~/
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Aptf~;tt«t)n-t~ttttt)«'<.(t':t<:t('t(.t-t<~t.d,)t0t)st'um'sa il s'oottL'tttt'chaque euo))~
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(M) positions qoc t'on pût regarder comme hmitiércs à Ructidc. Nous avions sans doute a craindre d'entreprendre un travail qui oc fut pas sans diiïicuttes. Mais tn'ureusctnent les Lemmes de Papptx, qui déjà dans l'origine avaient servi puissamment a nous dévuiler )ecarat;te)t' des Porismft d'KueUde, o<~usont encoff été ici d'un grand seroucs. i\on-suntt-m['nt 'hafjuo t.fmme nous a fourni le sujet d'un ou de plusieurs Poristnes qui s'en pouvaifttt conctut'csan.sautre démonstration,maisnous avons reconnu dans plusieurs de ces propositions des etëments de démonstrations propres à presque tous les autres Porismt's. Il nousa suf1id'ajouter aux ttente-huit Letnmt's de Pappus lus trois (oroHah-es qui terminent le paragraphe précèdent. Sans autre secours que ces trente-huit Lemmes et t'es trois ('oroUaircs, et en nous rf'nfermnot su-ictement dans les XXIX genres décrits par Pappus, lions avons obtenu deux cents et quctqucs Porismes, dont le tr&s-grandno)nbre, sinon tous, pou\aientet)trer dans l'ouvrage d'Euc)ide. JSousnous proposions d'abord d'en écarter une quarantaine, pour en réduire le nombre aux t~t annonces par Pappus. Mais nous avons éprouve quelque embarras quand il s'est agi (le faire cette cxt-tusion, et nous avons préfère en !aisser ic soin aux géomètres qui nous th-ont, nous réservant de pro(it<'rd<*tcurjugf'ment. Qu'on ôte, ou non, de (es propositions, nous espérons qu'on rcconnaitra (nu;les démonstrations d<: toutes ne s'ccartent pas des etements rontt'nus dans tf'st.emtnt's de Pappus. et nedépassent pas les connaissances qu'Euctide pouvait supposer à ses lecteurs.ous devons pt-evenit'toutefois que quetqut's Porisntes seront présentes sous un énonce plus gênera) que celui qui devait probablement se trouver dans rouvrag<'t,rc' Caro)) conçoit qxc pour evit<-rcertainesdi)'-

1 des s<'{;ftcuttM,prwnaHt p
Il. Lcmmc pour le dcuxtcmf Pois)))' Soit /~««' AB(~DEr(~H <}'<«' AF ~f)///M/7
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(~ -i~ ,< I .1. ~<~f Br XXXUt. Soit MMcc~t/C et «MC~p~<' )JË /M'~fHf/t(«/M/c
EH.EK==KC'.

XXXÏY. Si fo/< (entre /M ~Ma
aura les trois <'g«/«fM ~«e /*<Mt BA.BC==BE.BD. EB.ED==EC~ M.DE=DA.DC; XXXV. Cela étant, soit MHcercle et une ~'ot'
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Ka cfi'ct, d'aptes )c t~'ttum- (jnopositio)) !.<)). h'stroi'. points o. S, w stmt sur uoc n)')<)cdruin', c'Mt-i't-dirpquf te point w 't situe sur ia druitc~S dooncc de pnsitiot). c. Q. F. o. f/<'«Jf/0/
ies droitesmcMeesdes extrenutés de la base auxdeux points de section des côtes, se tcncoHtrentsut-ta droite toetteedu sommet au milieu de la base. M.!e/w<<<(; (juet~uc shnptt- ft ~)éu~utam:q(tesuitt:t; ca.~particuttt-<,il o'y a ~as de raison do nuire (ju'i! ne (!gurait pas daos i'ouvrMgod'EucJid< puisque Pappusa jugea it proposde donner uo Lemme nott moins simple, (lui t-Hest i'cxpressioMt'vidMOtc. î)<'plus, i! <-stil considutMrt~t'au tctttp:, d'Euciide ûa txt<;gardaitpas deux droitM parMttètcticonnne présentant un cas partieulifrdt'deux dr")tt-t;ot)Murat)tt'senunut)int,nt 'omme donHaot lieu, daus une proposition de Géométrie, aux t)tCtnes<;ot)SM}UftMes que t-esdernierM. I!fa)tait toujuuts une d<')MuM$t)-atiun ~péciate,(jui pomaitdiffërer de ia demoxstratio))du cas des droih's coheourante! et c'est ce ')tuaiieudat)!i ce Purisme. H parait que '-e fut DesargHes. ({ui, vers le prooier tiers du xvu' siècle, introduisit, a cet égard, dans la GeoméH-ie des idées de ~'tteraiisation si heureuses et si conforme:!A i'<'spritde:iMa.thetnatiques(t). PoKisMEMl. – /)cM;c<«M SA, St; ~oH
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(pt'op0!)itio)tt M), (! «ptfstt'tjttci lu (ttuitc Sw citt pat.tHctt' atabascA! ~VoM.Les kUt-cs S, A, i;, P, a, <<,Mdf la p~MMtc iigurt! sont i'\ A, D, C, B, E, H et G dans Pa~pus. OA~~va~/OM.ËH s'appuyant sur la recipro~oe ttc <(; t~tnme YH, on en cunctutait le Potisme suivant. A(~H<
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d?.–f. f'Mli

An_Q. ,u! "n.. r,

t'tdj J

Am-.)ta t'rnh~ Sw piKSftoujours pat tut tt~tttf point tt 'tt'tcrotitte p:)r ct'ttc ptu~utti'ot, et )< poim m nuu~' ~m UHOdroite donnée dt: ~sition. c. Q. t. u. ~«/'<'w
AD

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DC

Httc répond, )etKt- pourlettre, !'t):) prct;c<)('ntcrt-tn<-Mt'tBA Hji AR Q~' t'0)USMtil\. – ~<M
(fiantes scmt'htMcs, {¡ a S SA wR _Q~ i·t ~SS~ ~A A~

).<~j)).Uif'tt)'it'ccdMntCt)('ti<')tt<(t)tn t'A (~ S& G Ph'SA'A.

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t'R Qh

PA A.'

Ainsi If point ft <"t donné. c'est-à-dire qm' s.t position est fixée par les eouditious sentes de Fcnuttce ce qm
Ch.t)n).;tr)tit~n'
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Ledeuxicmc ntcmbtf de ct'tt<;chante c:
t\))')i
("") i tisuM'd<:la druite de;. po!e'. avo- l'un des cutë~ ou t'un'- <)< 'tiagoHah'sduquadritatèt't-. rrois Poiisnx's <.<'rappottt't)) ans fh')t< autn's po-iitiun~ !nuh(uees. Dans le Porii-tnnV, la thoitcdcs j)6)es contit-ot à ta fois tf point df concours dos deux diagonales Sm, «& <.tc<-)ui 'tfi. deux cûtM S«, ~M; il en résulte que la dtum- tit'n du point m, passepat' )t; point o, en m~n<; tctMpsque t<'pnint Qt!Kïncidoavt;t')('j)<)it)). Dans iePoistne \1\ la (troln; des p6)c.s passepat-ics points de eoncoms des
(" ieHt's .tutt)tt. truis espètct de positions «tnises jxtt t\)tde cette omission. ttide.~oitiiesfaisuns Pour ta pretnicre espèce, la démonstration estabsotumeot la même que pom'te cas gênerai ( Porisme 1\ ) cart'c~uatiot) it &i\scgtucmssm t.~ut'ttt't'epost; )a't<~not)sh'ati()n,sut)S)''tt' t'ntn' h's six Hx'ox", ~fgmeMth,fjn~od la ttaosvo'satp ()))i «)U))ct<jt})ta(t)ita(fx' passe pa) un point d<'eottcom's. soit 't<' dettx tôtcs oppost's, soit dt's deux diugonatps. Aussi ~motts.MOUsque Pappus a (ompt-is et' cas pat'ticutict' dah-, .son Lt'nuut- J\, 0) )t' n'prcM'ntattt pat' une '!fs huit
\tttt,~t!~H'4's,tcrt'Utsn«t\

~tta)

}

paraissent t~justitit-r, se pouvaient pr~oi) <)'après certain. passage!. de Pappus, notammeut celui dans !<'qnetil dit <"t'Euctidelie donne jtuuaisqu'unedétuonstrationde~cttoses que renferme son ouvrage; ce qui veut dire qu'Euctide ntdonne jamais deux fois la même démonstration. Car c'est dans ce sens que nous devons entendre ce passage « Bien que chacune de ces propositions soit susceptible d'un c<'ttain nombre de démonstrations, comme nous je faisons von-, Euctide n en donne qu'une, qui est Hmjnu~ la plus <')aire. Pappus dit, a comm'' nous le faisons voit M, paccc (lue daus plusieurs Lctnmfs il donne les ligures qui se rapporit tent des cas d'une même proposition dont les dinM-enees ne dépendent que des positions relatives des diverses parties de la figure. C'est ne faisait pas. t-cqu'Euctide 11est a rroire que les propositions que ces Kgéomètres peu expérimentes .), dont parte Pappus, ont ajoutées à cette:, d'Eudide, étaient du nombre df ces ras partieutiers omis à dessein par t'ameurdf'sPorismes, comme susceptiblesde la même démonstration qu'une proposition déjà démontrée. A ce sujet, nous ajouterons que, si, conformément au langage et aux doctrines de la Géométrie moderne, nous avons parte des dix Porismes des quatre droites commede dix ras d'une même proposition, ce n'est pas ainsi qu'Eu. ctide <'t Pappus )<;<:considéraient. Dans plusieurs de ces propositions des points disparaissaient en passant à l'infini, ce qui constituait, ait temps d'Euclide, des proposi. tions distinctes, et toutes, par suite, demandaient une démonstration différente c'est ce qu'on peut remarquer dans les L'-nunes de Pappus. Aussi cet auteur en annonçant a ces dix Porismes qu'il rcconnuqutpcuvent être ~niermés dans un sent énonce, ne dit pas que ce sont dix cas d'mxmfmc propositi")). mais bien dix Potismcs analoguesentre eux, ou de mem.- c.spt.cc. Et, <'n effet, pour les renferme)

(~) ¡ ainsi dans ux u! cnottce, il a du feunir deux hypothèses diffoentcs, l'une où Sgurent trois points, et n'He ou il n'vv en a plus que deux et une condition de parallélisme. Notre restitution des dix Porismcs d'Ëucfide diffère il beaucoup d'égards de celle de Simson. La cause principale du désaccord nous parait provenir de ce que ce géomètre, dans sou travail, n'a pas pris pour base les Lcmmes d<Pappus, t't par conséquent n'a pas (hen'he a faire choix des propositions qui se pouvax'ttt con
tf~3

(" Ur \\
)') t.t droite t'))cr<'))e(! A'X'retx'ontrcnt)aba.«'

("S) 1) PO sont deux points honoto~ues dans les dt'ux ditisiottS ')' tes droites; donc .7~==~'


grandeur. ïi suffit dès lors d huo'ife dans J'angle des deux droites PQ et Q

On a de m<mf', !) !'t~ar
<-)")')«.

)..s:t. 8.

('«') droite A'X' et ~<«n?~f; ~fM/e le /<w/<(A', ~e WMW~-c oM' le ~egHtf'MtA')M'/W< /W la ~0/«' ~t<) ~Mt .t<M «M.!CgW<'M< AMt~Mt ~< tHMOH Quepar te point A <'<)mendia droite Aa parat~h' aux obUttttt:!abaissées sur AX, et par h' point « où cuttc droite rencontre LM, la droiu: ~Q. Le p~htt A' sera si)uc sur cette droite. Que par !c point Q ou mène la droite QG' parallèle aux obliques, qui roncontre AX en C, et que dans l'angle «QG' 00 inscrive la droite A'G' paratiete à LM et egate à AG. Cette droite et son point A'situé sur ~Q satisferont Ala qm-stion. En effet, on :t, par les triangles semblables, A~f~* AG jr Potx

et

A'/M'_<7M A~' 'Hg"

AM A'w' A'G' A'w' Â. AG=A~ ~Anr=~Donc, etc PoRtSME XIII. – & /'o~ fait /OM//
("7) ;tn'Ut«;t' cAteest pat'aHèteàtadtoim AX,et t}uet-<'tted)'"ttt< A'«' s"it t~gateA ~.A~. <~ettt'droite et le point A'satisf' tont ft la quc~HoM. Hn t'ttet, tes deux triangtt's AOw et A'Ow' sont setxblables; tit de nM'meles dt:ux AOa, A'0f< Pat conse<;uem A w A'M'1 na A'm' A'a' A
w< we~e – Q«aM
ait ""– = qu on ait qu'on ;iABenR;ona Il

rox-OMtx' non m mène!a !Je a droite ralte.mCw(JUI qui rcllcontl'I! Qn'on AR RB"
Ainsi le point R est fixe, et par conséquent !a droite Cw est ttétet minéede position. Ce qui démontre te Porisme. PotusMEXV. Q««H~ MH«MHg~' abc a ses deux ao..M droites a.r ca ct: b Mr deux SB MWHM'«a, 1. SA, M /'OMCO/<M<< f/OMMCM <&?/'('H<
("H) 1 u soit fe puim «ut.Hen-ncohuc1ta 'hoite SA t~ Jeux tt ia
<)'

1

C~tn' proposition c'it une «msMtuonc df tcttc dt's uu~ht* droites <-xprin)dcd'une mantex.' gotet'ah' pur )t: Punsm<'t\ Ko etïet, d'une p~ft, d'ajocs cf Pot is
('~)


(.2.) Ce Ponstne est une seconde interpretatiomiut.emtneiX, rar si l'on mène la droite Sw, et par le point P une parallèle aux droites ab, laquelle rencontre les quatre droites issues du point S, en A, t), C t't M, on a, d'après le Lcmme, i'egatitc PA.PM==PC.PB. (~e(jui prouve que la droite Sw est detenoinee déposition. Donc, etc. /~<MM<«e. Cette ef}uatiot!, cotxme nous l'avons dit dans l'analyse des Lemmes d<'Pappus (ci-dessus, p. y8), exprime qui! tes deux couples de points A, M et B, C et le point P ibt'meut une unolution dans laquelle le point P est !e point 'entra!, ou, eu d'autres termes, dans laquelle le conjugua du point P est à l'inCm (t). Si on <~e/<M'me PoKtSMEXXI. MM ~Mc<<7<e en fai. jM(;«/o««!er ses quatre cj/e~
~t)W.'M/]'t~'t

1'.Sn. e.

( '~) ttuut d ap< Mte L
W~t

n<-u~.Me,tes trois <)roit..sSA, SC, SQ <;uu~<)~ar ks~~ PMtPA,dot)m-m ?P f"

CP QP CA'QA

<-ttes tt-(.:s droite~,SM, SB, SO coupas i fpar ). dt-ux PA, PB.

Uo<)t:

ou

– ~&H!QJR'

Q''

CP QP MP QP ÇA QA MB QB* MP_CP.QA MB" CA.QB

Ce qui promc ({ue tt. point M est
la /
(r~) ~atitc ~) 4B'€B tttt&Ufa jt<M~ ~.<M«

~A.CU <,B ÇA

Or. d'acres !t' i.cmtue,qua~d < t'nc t~atite a tifn, t.) droite Cw ~a~- j)Ntte point de euncouts dt".deux A«. A~, 'cstA-dire par <<'p<'
AR'

i)om AR PR

t Q fQ

Donc le point H t'st
(~4) uwatu des t~uan'edroites, celui où t'UMed~dt-oitMdoMMCM SA, SBsa'' lesquelles se t'oupent tes drohes toumantes est «t'htCnt. PoRtiiMBXXIV. – ~«/~ ~oMM~un <wg~ A$Bet <&M /
.SA Sa'

a"

SA'

&

So.<
SF~

Et rpciproquenn'nt, d'après le Lemme X, quand cette équation a lieu, les trois droites ab,
t'~t

1

t
t< f/e~c«;t~ow~ P, Q, << /
ft~) ''<")

)

L'c(jttittiundnCo)t))):)it(.tt)~i(.t)tt)ut)< Sa.« «' S<< So'.a'S~7~ On en conclut que Si /'OH pfcft
S". «"<* _S~ '< · sn'' -¡;-¡ gcl~ S<<"a'S~~<< v r("d', /~<M,~«e ~e f/e<M'po
/~
PoHtSMEXXV. – ~M/OM/'f/e<~«.t'0
')

i

t-)«,<. M'< M)' MM' _D~ · iM MM" D~ < <'t')<'n)6tue. pour les trois points/ DM' MM~_DA' M' Mf~MM'D~M' Dox rr':· an" ti h" GG"~ t)7/~M"UA"~& D (It-ttt'c(~ta)i"))j))onY<()'aj))<s)<'tf')o))ai)'cUIduP< t'ittnc ))ttic<:
< ') Me<

/'o/< ~f<'M~ M/ AA' ~'«.r ~o<M~t'f
A'H'

_8'=À¡,8/<' 8/t

x'tation

le point <&t~eMcoM~em f/M ~e«~' droites Pn, Qn' M<~«e t<«' une droite donnée ~e position. Ë)t efret, qu'où prenne deux points B, B' ayant cnttc eux la AB_. A'B' stf~'sx'

on eo conclut, en la rappto'))!
<

On a parciXpment «' ~'C'

t'/t'M A'C''"«E

A'M FK'

!)ot)f ~/< A/t
CA./M C~?

C't'a C' ~'A''

Donc lepoint d'intersection des deux droites P/~ Q~ (tecrit une droite (PorismeXXJ~ ). Cette droite est évidemment<&. Car si !e point fnifncidc ave<'A, M'
ft~t se

1

t't)u\esnF)af)toitc,tit-mhtpnit)t
tué)Mt'dupUtt)t«'.

Ainsi le PoxSMtCest ttctttUOttt'. jP//
(<X) ) ttMnn!t ettoncéde la proposition, cm (~ – t) p'jints -tppartiennentn une tnenie droite tournante, pat' ''xemptc )\<ette qui tourne antour du point p. Ators il est <~idf:ntque la propusttion m' dit rien de plus qnf ffitc d'Hudi<)< PassûM~dotx' an cas geoëtat. ou it't. (« – t) poiHts ttui ~tissent hur les dtohes Cx< sont ptis d'une manière qut')/< –' ))<' 1 nombtftota) dt's points d Httcr''ftnque pann) –– scction dt's droites tomnantes, pout'tn toutefois que chaque droite ait toujours au moins und'' ses points df concouM avec les autres (boites ntobitcs, sur une des droites iixcs. Concevons, !t)dép<')tdfttn!ncntdes droites tom'nantcs et des droites fixes, un ax<'Lnn:n6 a)'bitrai)'cn)ent,etqui rencontre la droite des po!cs en un point S. Considérons deux droites tournantes, dont le point decont-om's soit sur une des droites
(r.)

)

Ptt)L'i))etm'nt,<e!te-'idete))nint'<eJpf~itiunsst)tte:<shes d'uue troisième qu'ettc rencontre sur une des droites (i\cs, paroxcmpttide cetto (jui tourne autour du point Q; soient c, c', c'~les points dans tcMpu'tscette droite, dans les trois positions qu'elle prend, rencontt't' t axeL; on a)))!),comme Ct-dfMUS, –L S
<<

S?

S
<(/

S~'

~<

l! existe donc autant d'équations n)')in!iune que df droites tournantes. Or, on voit <{))etous ies membres de ce'. a noe équations sont cgaus cuHe eux. Pat conséquent, ou t. équation semMabte entre tes points marques sur t'axe exempar deux quetconques des droite!, tournante! par pte t'équatiou

S« n"f< S
drote tourretativement la pn'miet-cct.a~quatrième nante. Mais cette équation prouve. <)'aptes le Corollaire !JI du Porisme XXJ.\ que les point', d'intersection des deux droi. tes tournantes considéréesdan:; leurs trois positions respectives sont en ligne droite. Ce qui detnontre le Poi-isme. Deuxdroitcs tournantes, dont te point Plus &<w~eM
lUi-

<

t

nantis quetcoxqut; ttun ~on~ëcutt~)), ~out aussi hornugraphifjUt's fnne eux, et ont deux rayuns twmotogues coïncideMU) suivant la dt'oitf des p6tfs. Par coosequent le de ces deux th'uhcs dc
tic tcH*: druH<; n U'Ut: t~Mt)*' (txtitt'

~1 d~ntx-.

PotusMEXXXI. – A<
«M ~K

A'<' 'A'E~'

D'UM Am AK A'm' "'A~' DotX'Ctt. !'t'C~nm.'M~tWt"'

~4)

Po~MKX\t.

– ~~e<~M~wM~t~
RM Mt'

DutX SM S~

S/M' 'S?'

S/M Sa S~~SA'

Le second mcmhx' est constant. Ce qui démontre le Porisme. <jf))ft'. de tMUfthuitcit tettea)MciM<' Mtttuon)'. tMppxtt PoRtsMïXXXflï. – Si <&* chaque point M d'une droite LE un abaisse «~e «M~e rAïo~eAX des oM<~«<M Mm, M m' .
(') «M/MW
/f./<<W

Kw = i~otts~. –,=t'))ts). /«m (;<'j)oi)it Kt-st celui où ta droite H\ «'ttcontn' AX. F.t) t;fft't, d'un pnim M,fjut avec tf point E detennine ta droite LE. menons les obixjues B~, M~ On a par les tnaogh's smftbiahtes Hw 1~7

M w wm' HT '&

Donc Ew _J-:A1) ~t' M'' Ce qui dcntontte )cP"t')sn)o. PoBtSMB XXXiV. – .~«!M
FI' Qi' FK QH'

Donc, etc. f/~ ~CM.T PoMSMt!XXXV. – &~M/OW ~0/M' 't.t'M P, Q ~'f)<~ f'M/~<( t0t«7tcr <7eM;<: ~'0/t
(.~) ~OHMCC ~/<-/;OM//o/tLE, et M'~CO/t~CM< «/<e «M~Cdroite ~w
sembtabtKS == wm PQ

V' Cmfe. Te))<} Jroitcestdontx-fde jXMJtn't). PoKtSME XXXVI. – «MtOMT~'<W~o/M

"~7) Promeus que cette egatite a lieu sur tome droite AA.' parallèle p S, quelle uue soit la longueur du segmeut ct~. On a dans le triangte Aaa coupe pat ë&P S_A Aa Px_ tA' Pô"' Or, a causedes H'ian~h".sonHabtes, S_~ PS &A'"SA

pR Pft P~ ~~7~

par conséquent PS 4R_ S& 'pH De mente P.S S A' "6V

R

Donc t« s<6x.p

Alaison a dans le triang)eS<M'.coupe par ~& (io A'M' <'S c~ ~S Donc 6ef==6'x'. Ct'que nous nous proposions de prouver. Donc etc. ~M
(.38) 1 1 t'QtUtMK XX.XVH. – Qt«tM~<
EM «M EF xT

et H~_EM ttF"EF

«M ~F'

Donc Aw~B/n' AF'" BF~

Am AF BM'"BF'

(Je qui démontre )e Porismc. POX)SM)! XXXVIÏÏ. – ~/« r/O/MM
('~) tW
è.

En efH't, si pat les points donnes A et M on mène des parallèles aux obliques abaisséessur AX et BY respectivement, et que ces paratfetes se rencontt'cnt en D; qu'on prenne le poiat M arbitrairentent, et le point m', déter)nine par ia relation ..–,==: puis, que par tes points w, Hm n/ on mène les obliques, qui se rencontrent en un point M la droite DM satisfaità la question. C'est-à-dire que ai d'un point ? de cette droite on abaisse les obliques KM, K', on aura Art B~ Car, il est étident que A/<_DN f~'a' A<M'"DM"Bm' Loù An A w = J" i.. B~ '"B~ Donc, etc. \t* (jpntt'.

)e))cdroite)
('~) ¡ htt t'ttct, un a par les tfiaxgtM st:mbt)tMn:ti, R~ RP tU: wM'fQ'"ËK'' t~0tt< RP PQ RK'"Kt': t)oMcle point R est détermine. DOM
L'

~.t. J' 1

))


('~t f PoKtSMB XtJ!. – A'
~M~'et/~<M~ f/oM~MP, Q «MMc/?e/M ~ro//
('4~)
M'S M B

Qu'on tM&nePA(lui t'fnconx't' S\' ett< et pa)' te po!Ht Q une parante
A'~

Ou a de tn~mc,a l'égard des tmis (h'oit<'s<)< (~A. << m<*n(!fspa)'le pointQ, B'm' T~

A/< ~M &S aS'

0. S A w B'S AS "M'w'' don< ~S S b'S A/t.oS~&'n'.a'S' Ce <}())prouve, d'après h' Lcntmf XM, (juc les )ro!). droites M~t',A~' et MM'p.)MCt)tpar un KM'nin point. Dttt)' Ct< PotttSMEXLIV. – 7)'oMdroites SA, SM et SC, ~.WM ~'«M M
f.'4.U <~

/~<M/f A, B <'t C, ~-cAa~Me /M«t< M ./<-/« ,~
a'«Mc/M<«M~o
– ~M/!<~O~MM
< '45) ~n''
n1 1:1

~M _A' ~f A'R'

Uotx t'w'~A'K'' ï)«tH't'. PoRiSMK XL\L – .S<~f {'/t~«C ~0<Mt~'
ctt'.

PoKtSMR XLMI. –&
('.)<'tr ~<-7WW~ /<w(

:w. f'

,,< ~«C OM«(«~ ~/M~ Aw -'––=a: A/«

P.')-J(-[)oi)tK)oftneAonmn<)<')Uh~at-attftcaux oh)i(~)cs abaissccs sm AX,t't ?<))')<'point
« M A'w' nK '"A'K'

!))))))' Aw _AK A'w' A'tC Q. F. )).

Pon~tt! XLVHÏ. ~< ~M g~ S);, A ~owt ~«-/« /~<'M«MY. e< “,<~ow< 0 /<0~~,/f. t.~ ~0< 0,! ~W-~ ~WW~- < "t,'««;rw.to/< f~e n, w
Il

( 147)l sut )<"id<'t)X dt'oitt's, inït~tc «Ua' fotn~ par «'s deux popcttdi
10.

('~) 1 satinait at.t <)Ut' pt-ndi
À

et, <)o))t-,etc. ~A.<e~oM. <~uandHutlide dit qu'
('4~) t.-n<\ <-)!

!tthu)t(;<J<))i)it;(.J.~ttt.tj(u)tttt-()X,OY )'fspe(tivft)n't)tt.

(~)tcn('p:t<)<'p
o.f.)).

!Cent'c. )e)ft'ct!)~i)t!!)))<)mj)(;uftt)t)))))<'
('~)

¡

Otpat'mU'iMjtMttttMpUttiot) ( 1)


Qu'un apptûthe i'one des droite!)de autre pout- faite coïncidertesdeux points f<, soit atot's S !e point de concours des deux droites M', CC'; il résulte de t'equation (<)que la droite Mw' passera toujours par ce point, d'après )e Poismt' XiJIÏ (ou, si l'ou veut, d'après !c Letnme XVI de Pappus). Si maintenant ou mené la droite SI parallèle Ala deuxiftnc droite a'& tMtaura, d'aptes le Loumc XIV, les deux équations «t .
"t_ ~t'

t~ ~ri't'~

ce qui détermine le point t. J.a dcuxi&tncequaHons'ë
tw.C'M' t«.C'
f'c qui est t'etjuatio))qn Ufattait obn'nif. La voit'm' f'her<'hc<' dc~cstdon''
()<'m"n)r(\

(tJt}
C~

J' ctam to point détcDnioë par t'M~atiun Cat st == !w mt'n'-ta t)toln'SJ'pa)at~'tf:)
&'f<'

&«.

&'M'

!&'< <'Ht.K

~.& ~.x

~r K

<
(')

~Wtf, /0 ~U<M(A' S«t ÏCCOMf/C, <'( MH<'MtifO~A,
A'w' · °'~ ou <w. = ,\w-=-t.

t. o. < PoRtSME LHi. – De <W~«<'~OW<~1 «/
('~

t1


– f

A~' A m.K

JJ sotte (jue l'tes points A et De

ï1 et ta l raison

A'J' == – a

resotvcnt la question. En euet, ics quatre droites PA. Pw, PI et P~ coupées par tesdeux AX et LM donnent n./ j tw A w
A'.t' )w A'w' – .1'; c~u I)U Aw A'w'

.l',

t

)

Ktpiucot~c~n-Mt tw.A'w'

Aw.x

A'J

x

PotusMeUV. A7f<«
r<~Matiut. dcut.t.t

<~ nui tMntontt'c)e Pot'isnx-. ()<- ht droite ~AA'0 j'on vent Quant a ta (-onst)ut-tion point invofpx.. )
('M; i p et paraih'tctUt'ot :t SAma; droite tjui tcnt.onm'ta SA' en .t';p)tisot)p)end)'a)t'pointA',tt;),<]uui'Oitait A'J'=A.«.. LcpointAs'Mnsnivra. La d~nonsn-ution <<<; «'ttc foostrm tion )csu!t<*cm'ot'cdt) LcntmcXt. En <'ttet,toncevotts qu'une dt'oitt; mt'ttKea)bitt-aitt')H''))( par)<*point S n'ocottttf h's trois iignes pA, ~t et ~J' aux points «, i (;t/: 0)) aura, en consido'attttes nuis lignes coupées par SA et S~, SA Sn. ij == T–' Te tS <S.o/

tLettnnc vr. Xi.)

Et, p:u'cii)<'mc))t,0) (-oxsidërant ces trois tnOnt's ti~nct ''oupcf: par SA', Sa, SA' _SMj/ A'8. Donc SA SA' i tS"A'J'*

ou

SA M~ SA'" A'

.Maison a pt'i)i A'J' =:?.)!, i) tient ttoix: SA sr"

tS x.

C.Q.t'.t). OAten~OM. On pent donne) ton des doux puiotsA, A'. ft dcntandct'd
('M)

XX'e< «/<(../<~<}M,

~H'~

~<~<w\

tWt7/t* CM rm K.«et,

({Ut-par les uon.ts P, 0 un n~nc Mla dt<.Ht. XX'de'.pMMticiMquitcoconttCtO LMcaH ftS; t~dcuxdtHtH.s PS ''t QR coupent XX' en deux points I''tJ'.L<'pt<-tu!f)Mt!Gpohndetu:)t)()t\ct)e',<'{;nn'tH('J't-stta Iii;nt-dt'ntatt<)M't;"t'st-('(-dit<'qm' j'ona11 ty/t.tW' = t! fw

C<'iarcsuhfdu Porismc LU, dans ieqnc) ou suppose qu
'fls m, m' //M /~w/Mre/
'7 Mf~M-He~t't; fM ~0<M
<

'~)

d<)t')t\tt'tt!U)g)t"tJ{.MW/c(Iw.J'M/:ain'.i. Jt'w.I~~J'LMm't~J~f.).

i

M.tt''tan*t!rttt)ndottMt'<'s'c<'rhnns!! tw(J'w'-J'<-)==(te–fw)~, on Jw.JW==Ic.cJ. f)0))<: J'w. t w' -= t e. J'f +.M.w~t' (<). )t!.))nitdc
J'm.tot' .MMégal ~.tnm'. Menons par!<; point P, paraOctont-nt 't ))(:, )a <))oitcPJ qui rcoconHc AC et) I: ft pa<'a))~)t'mftttà AC, la th-oitcPK (fui rencontre HC en K: puis, pat' le point K ptnatteh'ntent a A)!la droite K.f qui rott'ontrc ic < ùtfAC o) J': les points

())C''tto<)')!)tionM)atj Mettedonnent)t<'M(juaH'e))"t))t<')')(')''«tt')"
('~} 1 ut y st't
~.j, (;

'~) )
ai

-)'w.h
t.t M==J'j.

Ct'quidMnontrctePotisme. ~~c/y/b~. La figure prc«'ntc If {joint .~Jsur )c <)«'tongemettt du côto t)C aud(')f) du point C: tïtais il p')t)t);tit ~'ttf pris aussi sur !c pt'oiongt'mcnt au <)f'ta<)ct!. lieu..si h' point M L'équation d~tm'ntw autait <'))
ti tu.

{t6«} A/M-t- )LH/« C'w' AM+f.M'w' -–y–=:u. Cw

tY. AH<+
BA

.sf)nM==–, 1a l')'t'!ati(m.'n)t''n)f)ntr('t'
))A

on Aw.))f:+CA.);w==HA.Cw. Kt'tivous Aw(Cw –Hm)-t-

Hw(Aw–t;M<) =Cw (A w–

t~f)

t'C') t.
()~) ) Kt)<'<)t't,.tpjM'tt)))s(~h'p«int<~ttt)a)ts)ajtn')ni(')'(ivi'iion cuttfspottdt'a au p«ihf <))<'«'))t' Cttc ta sMo)t<)c')ivi'.io)). et «fit x h-j)'!tp[)m-tde
M.

Ht)('tti't))('taj)[)0)'n)ctten\partif'siu))))()jt~u'i.s)tt)
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0~tWMj!~M.i.<({t)atiut)f<)<)'j)t))('.tO)nnn't;nt)sc<juc))
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)-nt-~H),M)i<'))tA')t'i"t')"tsu)')asM'()nt)cd)'«in-c"t)('s~o)t')!U)t)o")tAt)M)~prMn)t'rc, et a: )<-rapport onx' ) t.

(.().,} 1 ')<'ux)i,;)tc'.h")n'
x\'w'-t/.H'w'–

;(;'<«':

"nti

A'w'h'w'==~.C'w'. x x \hus la tftatmtt tk'jà si~Mt~t; t'ntrc t<:st'ccmnutt-.dcs n)t'))t';f(n')))~pa)()uattt'points ()on)HX"!)(:

– )~C'7'

)..(p)t'tn)t:t<'dt'<(")('uxM{natim)sfaH('o))na!n<')ap')si).)\ahtU()<' m)))')<)p"iutC,t;n')ts)titc)asc<;o)x)t'donne la t-nsoti M, dans ic cHstôt )<;[toiut w' doit ~trc p(is f-nUf A' et H', de mutne<)u<'dans le cas on ce p'tiot doit ftt't; pris t'o t.)ch"r!'du ~'gtuMtt A')!. t) est cluir<[Ut'ie pt)it)t Hqui fixe tu!!të};io))sdu po!))t m sur ta proniet'cdrnitt' Am
)'))<'
f )Ô:t

)))it[t')')'"id':u\tu)')t't'tv.j).u)''scx)t)f'sh)tjtts C' M'A' '='-H'< 'B'<\'t't;tin)t'{)()ittt<)tU)0)t<))u)tt).snt)a.st'«))tdt'<.i)oitt'.)t) ()uitt(<)Mtttc.ttt't;tpn't)i!c)t'.t~'(jui'<)n)t<;
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satisf.tisant o Ja condition c'==

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On.tUt.tttotx A//<-<-<.H''H ==~ '(t:.Q.). )). Pu)t)SM)! iA\JH. – A~/ft7M~Me/~0//<<W"~t)
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1

<Mf/eAo/~r
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LMst)<)ispuittts'/<,Mt',w"divisct)tevidt')))ntMnt)fsttoii dto!t''s <'t) pmt!s p)'ojMt't!ttt)t'<'s par <;o))sMm'nt,la pt'opositiox se detnof)t)t;t'oMHttfJe' Pot i<mt;LX\ Ji. f/u/<MM~f)H ~o/
==

j))ctàt'fuuu\<'auPo)'i<M«': A, n'. PontSMt!!~XX1. – /~
i ();) 'tWMW~CMW/~Wti ~M~ /'«M~/(.'A&H, ~««M~/Mf//W/<' pC" (-.
“

\m* 'n)t'. )."triitttijte f))))a pourtumututUt)puintdootx:
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t))trmi(HMMM t<;pomt au t!fu de < eu t'vnnttacaut <'<«' daos le pr<'mi<'rH.'r)nc,ft pat (f~M'- «<) (Mt-(&–A't.') daus )c ttoisionc: un obtiott, u~)us les t'cductimts,
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~'7'~ .rr~' mr ulu°la lm:~itiuuIlm:yrmulle·lteritlt tu 1 r. y. t ")?'')i){)))ti)i)t))q))''p)t-)t'j)ej~itftw<j))a)fd Car )ate)ati«ndunnet' w'tsuppftst'itt)i))in)em''joigne. i'! Ii

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('~u i LfS pMtUSM, Mt''t<'VK)tttMittùUUit du ttH'!n
1.

L:K~monstrntionse fera pnric )m''nteraisonnement, dans le cas où te point A s<'r:tpris cnu'f R ft F. Si A coïofidc avec un de <'csdoux de)nict's, le r''ct:'nj{tcv sera nul OvIdcmntCttt,
.<)<)

~M'«/
t<83~ ¡ OMf«MV< aussi ~/
*.< 1

*.< +)

Kn effet, que i'ott mène par ic point w', et dans ttoc dircction <jue)t onqne,une droite M<*0 cg.dt' :)w'/ puis, p:tt' !c poittt c um; p:u'a)tc)t'Mcem: druitt', et pm' ic point 0 )<'s droites Ow, U~' qui rcncontn'nt ''<'tt<:par:)t)c)c <*«<et 1' L<'Lctntnu XI donne, en cottsidct'attt )<'s trois droites (.)/, Owct OMt'coupéespar!s deux < ci' <'m r~
i ~'w. = t·t. /MW'

-M.tisonaoxoxj <'< i <*«) CMt ')'' /<(/ '/w' P.o'cuuscntu'nt, :)cause <)(')cquatio)) (<), t-'

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Ct'(~)tf.tt):tint(?tMuunc):. DotK,~t<

tU'ftM)'<)uo)t-.<jm');tpt)'iitit)ttdttp()i))ttdcu'tt
~)t P"nsmcffX,tidt't)thc 'f on

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Lc<)uaUutt~K){M',M't)t'vit-))tduof f-M< ./Mt' == M<Mt'. <~– ) MM ~
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(~;i'o)ist)u't'stnn<'«)t).sMtj))<'n<;('(tut.<'f)tt)tt'J()))<)t" sitit'tt)<~),');'p't'~t<'qm'it)'stjuatn'(ftCtitt's\[t.t~)(~. MK,<<))pct'sp:)y)'i')ct)\\X<'t).t't't)tt'!)i)tC)tt)~qtt.)tio)t '«j-t')~_t'H.C)-: wm' t'w' )'Q G~ (~m'i'0)tt))t')tt'p:n'it'))<)iht(~mu')':)
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l',l.

suffit dt')xjst;)M== Kl. t'at'c«t)!ic<)U('))t,i) !)f)n<<'t<. P"MtSM):t.\XX)\.–.S<«'«M/"W<
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<)8~ Ea cftt't, hs <)<'u\(hoitf-. )'<~ Pf smtt. k-. tussfttt-tt.cs (tot'i))~tt'wP~/<'tt)L-s(m'.u~))
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Mf~t'

Dot)C,t;K'.

XVtH'-Uenrc. tft t'C<'tan)j)c:HitntpOHt'<;&)<")):) SOH)t))
u. ta (hoin' .\C~par

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f s:aisfot)t aux condittous du

~m~LXX\ni~r~niM~a\M~i~sw, wjat'f)atton'"nst:n)t<' K/M.t//<' Mf/M' Mais,')Gp)us.)<;poi))tKG.t)<;)n)ti''u<)fAH:<)')t)<' “.ru Am+Bm ?. Kt patcith'mt'nt. te poixt F est)<' tni!icu de B'C' ainsi j.=~ Lc(p)utiond<'vict)tdt's)ot's 'AM+Hw(C'+n'm'; –––––––––––– WM

El. t.t).

PontSMK].XXX\ L – ~M/oMff/ <w/~o//<<0 /M .t< f
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~.t).st)ttsaitf)t)i)L'xi'!)t'<-))t)t')).'s(}ua(t('poi)tts)',w, tt,)a)'t')a)io)t <'w.t;==AF.);w-T.i')!.Aw "tf t'A,FB, 'i-+;u~
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“ (' I m').))' I'

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P:))'t'x<'n)p)c.on ?''))'suppose)''())(')<'Sf)t't)X)'ni<,o))s/.<-)'/ s'jic))t<)f)))t)r<'s ainsi <ju''tes tt<)i'.p'))))thA.<):"tt')~t<')* mux').) )a)i~)'t'x')'t'"X))"i))t!i!io)))'.

t'~) On hit'n<'tt«'f'. si tt)n ()«))))('htt'ai'ionA et ta tigtx'tnvcc j(S)M(:tufspoints, un dcKjmtioct-a h' ratsott ''t !e:t
a et a o« <
(0~–TnO)

== –. tKO'-+. m0(0 &+ 0 &') – 0/). C& Ajoutant ces équations ntentbn' Mtnonbtt:, ayant égard à r~gatitc qni sert a d~tcnninM'te puint 0, etobscyvantquc St x et ë sont ics tniHcux des sc~ocots wt', && ilen résulte

U<(-+()<==a0xt-t 0/+-0&'=205: on obtient W/ W~'+ M(~ M< ==HM( ) (( ) X-+-()6) == W0. C(~

f"~ «u

W
“ KC-

C.<)). 0~e~«<w~. Ot) ttïifif .usc)n<;)tt<)Ufla x')ation tjui constintc te Pot'ison'. et !<;Poti.tt)«'n)'mf, pat'consc
m0

en donua)ttd<'s f.i~tK'saux sc~mcttts (toit- 7/<)e f/e 6~0Mf;f/
))t.

"'<

/<< /'<«;' r/;f;< /;<«y/f)/t f/f ff'~< ~'f;w
<'t)4t1 ~O/Ï
A'; parco))sequ
v"!)'fjuc AMt.B'w'=HM<-M/A'. Ku <'ttct, les <)uatredt'oin's qui pattcnt du point P fout sm tt'sdt'ux transversatesS! Si.' dt's sf'{;)ncnt
(t-outuc \). )

«u bien, pu!s<)m'A!-= tH par cousit )«)iot), A~t M'A' )fw B'w'~ oucntih Am.HW=--))M.~A'. <(.

F.)'.

f)o)X,<')<

LEMME.– Q«wt
«'m' t' Mt'

("~ l <MM/f'

si

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P, <)4(«'/« /C/W't-<' ~MW~W~YWM n < < tt J

f, tt' y<« M<Mf/
f~~e~ telle,

«~f

<'o/M/<'

M,

~H OM«M
f'm' ~f~'

f.:t\a)''t"'t''
<M–nf/ a' de Htanicif En cttct, qu'un )~ate tes deux droin's les quatre (h'MtMM', <m)')esdt'MXttohn~a, M'concidt'ttt, <'t', fM' et 'n'H' cot)com<'nten un n~mcpMot. Cru' on a, ~ar hypothèse,
Dottf-

f<'<

W_.

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~'Mt'

A*

~«f
Cf qui prouve (L<'mmcXVI) que tes trois dt'o!(cs~6\ tp' t't w/M'coM'om'ptttCMmt )n<m)'point. Rt )<'mcox' rttisooocf))Cttts':tppti<juen!mttnit(' D'apms ce)a, H existe etttn' les deux sys)cmM ()e quat)'<M (!))tme HI ou Letume w et M', c'. c. points X~ï),tt'f!!)ti0)t fw


r'm

<w"f/'<


.<«~«'\ f/«*f/'<ï/

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~t ~.=~

n''r< )3.

(~ J'en )L&(.M't/==ac.

==
Ï'areit!ement (ÂM–<~)<==H<<.
tt'c' ~c y<7'0t<7–

ae a't'' t
~c-t-fff

Et, pat' coMscqueut, CM ~<

~tc + fM

<'W' ~c-t-r~ m' ).&~ – (?
t.

n.

Co<'0~
n' H/

dontte tu'tt n cctte'fi
On peut prendn; ic point que l'cquatiott (tcvicnnc «//< M' /Nf/ f/' W'

df: manterc

En effet, il SH~it()<*)':)!t<' ..M-~=='' ~=)..(~)-

1

~=~.M~/=~

– t

Cette dt;tnn;n' f'xptTssifjn fait f'fxnMitrc ):) (lositio!) du pomt f/. Jt fxiste un<' ~mr<''f~terminatio)) t«'s..simph' dp ce poi~t.

(~7) S«it t ht pusitiot) que pfcod )'' point w quand w' est A i'iniini; positiunfju'und~nnittcpur l'équation ~.==. i. &t Lc(}()utiot) «M a' /W/f/'M' th'ti''))t rrI ~=

“

.“=.

Ainsi )e point 1 t;st Jo milieu cttt)-<')cs deux points a et < et ccttt' <'onsiderati«nst'tta d~tc)Mnn<;tle point d. PoKtSMBXC. – ()M
~«'cc~to~Mco~rat'nM, et si les segmcnts b'm'ct d'm'~OMt
1 )'.
~.((.
-(- M
== ~<


– f<W f/

Introduisons m) point <'n tcmp)at:aut dat):.Je secotut membre WMpar (gw – ga), t't f~c par (Mtg –
i

t'cquation devient MM<. &'M/-)- C
~'tw~ <"?)

Il s'agit de démontrer t'egatite Aw_&+CM.))' 'Gw' Qu on mette à la droite LM, par le point P une parattete qui «'htontx'ra la d)oi)
“ (I.clluuc XI.) (~L)

on A~ ~M wC~"<~M' puisque AI = IC. Or, a ( ausedes parattctcs «A', M~

c(~


A'm'· C/

D'après cela, la démonstration dn t'otistne précédent s'apptitjucau Porisme actuel. !)on<,ctc. de J
(9<W) 1 "M~/W<<0«r/«'r ~Ctt.f f~O/fM~CCOM/~tf~ /t)H/MM/~<«o~c ~'o«(! f/ofufce f/c/~o'!f«o« Ht, f'~ n'~t-oM~ït~x'.yct.~t'c. We/t/, CMt(t e
/~0
+ Bw.( 'M' Bm

Qx'on tnèttc a la droite (7w' par )e point Q mx' para)te)<'t)tn rext'mttx' tu <))oitcLM en < la droite Pi coupt'ta Aw en t et en prenant M = iA, ic point H $cra <)ct<;)'mme. Qu on m&nt'PU qui rf'n'outrc J.M eu &; Ja droitt; Q& dctcrtnmcra sur C'tM' )<:puint !V. Eutin, qu'on nn:tn: PA et Q~ qui )f)n-ont)c C'w' en A'; <{uit'encontt'e L~t en c) qoon proux' a==(/A'. !f faut donc dcmontx't' que AM.R' M'+ n 'H. (/ mr' =C'A'. ))//<
C'~+M/A'.

Par tt)nse<(wnt, ii )'-6tcst'u~'tn
(') J'j)<*t!<'t.')()"<* p.u't)t"i).f'g<)Mttt'i<{))t')t".(j)t:ttt'(h'om'-i PA,PH,Pw,Pjfot)(-ttt'A)!ti.~t""tcntn't-)tx,d'H)')('4 tMCo
-\w. ,“ )j w==<<.

;.) wA

t:.
('.«Ht) <'t)p'ttt))t''f
~M.&'w <«.A< Aw.fjr'w'"Ar.H'f'' t OU f<w.&c_n'm'.&'c' ~M.~c<)'n'< Supposons quon p!acc les dt'ux dt'oitcs df Htanit'n'um' tes deux points «, «'cottu itk-nt tu:)deux (t)oit<.s <-
« larr J' ne'· ]~F~'

ult

Ecrhons .t'~ – J'/M'

t~fn ta

"r'

Cette ~gtdite se réduit il tw _.)'
îw.JW==J~JV Et!c]'oris))n. cst d~nmotn'. P:tt tOtts~nott = t~.J' Acw/!ry«c. La position du point i .sed
r'&'

( «~) <)U t~(/ fA

t« f'«' fA t'&'

<«.< tA.f'tt'

J,

0)t:)(h')n~))n' )'n'

i'0)t!SME X(~\ At!CD.

t F<

–

~
M du t'J/C 0/~MC CD, t A<«/<M' /~0<M< ~< fAo
(~4) i ~t~M y~'o~cy

tilde /'e~co~
biablus tjut;

Aw _CQ A)'CM'

At'_< ~ar

))tn<'ot)SM}ucnt Am _L~ AX~Cw'' Ott Aw.<w'=A~.C. C.Q. F.)). PotttSMEXC\t. – 6<
t'~t

Quat)ta).tCOt)St.)))tt'
h'poit)tdt.'r<'t<(t)t)t«'dt'

~tt'.J'JHfautptouyctdts)ur~t}tn; iw.J'~=if-J~ Or cela resuitt', '-ans dittifuttc, du t.t'totm XI (prop<~itiont3y).Knt'(!<,d'Ut'c()a)t,cuf'")t!
~~CF'DV' <-t,d'antre p:'rt, ot f'onsid~rant h's quatre droitt's QM. Q< <~)C,QU coupccspar !csd
<)<):)))' s\)<-n)t'
droites

(M(t) 1 inc!inc<} entre eues sous t'angte donm'. t)au.s ie pruntio ))-s deux droites système tencontrent, n'i.pectivemcnt, têt deux droites données t'n a et d; (tans je deuxième système, eu w et m'; dan&hitrotMMMosystème, !:)(tfMte mcnp<' par ic point Q est (~<[)araUc!eA)'m)t.dt-sdeux dmites donnes, ut la dtoht' tn~-uM'par h- point P x'ncwtttc !'aut)f droite dot))tM'au point t, (-u(i)t, dan!, le (juattieme système, la dt-oito issue du poittt P est Pi pa
t -~i ¡1 Pt))t)SOt:\
<2U8) ¡ 'ho!t<'t.t.t))('t)t'fp:))tt'n)f)nt'pnm)P.Rtt\)t).<(tM JM<w'=: t'ottiit.==y. !.a Jetuoustrauun o'ofCtc aumttt' (fittx'nht!, tt'imn's ce ~uip)(~c
PK_P«J-'H t'nt'"t~~Ft' On a don
t'H PM'*

nu Pw.Pw'r= !'f).t').. Ce qui demuntn' !c Po)'ism< PoRtSMECï. – j&<< f/OW/CMfA-f~' f/0/OA,OL, c~<w/w/~Aw/M/'rem/('Cj.t/ ;W(.'f'/)o~)<))tftttw
(~9)
Aw

~ni se déduit des tnémes triangles semblables. Ku d!t't, Ow'~OM' 0~ A~"MM~ A w'"MM'' t)'on Ales OM Ow Ow' Am' OM'' Mais A m MM OM A~ AM' OM'' Donc r,y OM Aw 0~ On a aussi cette aatrc rctatton Aw = aAtt.Ow, étant te miUcude mnt~. 14

(ttot 1 <')
Aw MM UM'"OM~ ftttm'ttcn)))'. ~– Aw

~M' -«M UM "t)M'

"'Aw '"0\t

t)<.n. AMf__Aw'-Aw Umf Aw

T~/ 'A~'

on \y/<-=<()w

))'n'!)n'f' i'OKtSM)! (Jf. – ~
)'«')))
f~') ) (~I! P«)U<M)!

– ~/<
u,

(~)

)

nue itjtittite d'autres poiots ()f')a d)-"it<-\t,~t, satisferont aussi ittem; équation. PuRtSMt:C\ – 7'f0~ //r0
<'t,
<~3) ew~Pont'.M)!C\ L- Q«HM~~<-«;raH~fM f/c~n<Mf
(~4) Donc f<m. <w. ~&~ Ce qui pfome<{ue tes deux poin~w., Wt œtum)cm, c'està-dire
==

si ~'OH~CM~

~M/'cAf«/«e~'o
ü.

ma'

de ntëntc

– f't' /M't''

u.

t)on< r'x

C~'

f'S

f'K_

F~'

f~

<

a "ause Mais lllSIl ause 'te:' 1)011'3 e ,!S(/«, IC. <'< -– == p;uai)èiei' «! /;ë. <6 l' =<< Donc 'f< (~ 'A'

M

(~ .1 Cfqui ptMm'f{u<'iadroite WM/uu fc' ~t du ou)t)brc d<*s droites fM', M' (lui dhxt'ttt les dons I~A, t.'A'cn }Mrtn' ))t ojtottiouMpUcii. Or )Mt le jmiut w ou ne pt'ot mettet ~'uuc tcHc dtultc (t). Duttc les pomt&
Uf.tKtf )<;<<))'–––M

«'A' «<

St' St Huttf; ;––– Sr ')<

M!)isc<'tt''pr"j'"rtit't~j!t'))))H')')t'dt'uxdn'ite'.tt',<'c''i<))))).!)r!t)h't(" <'c'jMi
<~<') ) uuedtstaucc w~ = -wy.. ()r le peint y. est sur tun' droite detertninecdc position, qui est une des droites wW~ (Poristne précèdent). Et tu poiot fait sm' t-cttc droitt' des dtvisioos pfop"rtiomtcHes aux divisioutqut'tc point M/(ait sur L' (Cot'ottau'epreccdettt), ''t, par coxsMpu.'nt,pt'opottionnelles aux divisions que le poiut m hit sm' Uonc !c point g' qui divise la droite w Mdans un rapport donne, est situe sur une droite d~tenuin~e déposition. c. o. r. u. PontSMECIX. – <&
<~X.

–

(~M/

f/e«j'

a<M

~<M.c

APA',

««<; AQA' M«~-
(~7~ i iuoa

a A~'4

Aw

A'm ==eoust. ==-A a devtetH PC Kn e~ift, qttand t<*cote PA tfcfaKgk MM~bi!t' patitUèJcMJa droite QA, j autre c&tcPA' devient en mf)))C t<;m)MPC'{)ara)tf)ca Q.V. Les quatre droites PA, P~, Pw et PC ont tcut's Mttgtfse~aux, t<'spft'ttvct)n'nt, à ceux des dt-u)h-sPA', ?< P~ et PC'. App<-JonsA", w", C" les points où ces diUttcAt'cucontrcnt QA. Ces points ft les trois A,
Ajf A~

C"«" C"

<)o a, pa)'ei)tcm<'n(,extt'e les (juatt'ctncmc.s poittts A", a" M<

C"

et

tes

trois

A',

«/,

A'w'

C"~

A"«"

A'

A'C"w"

f)ou<:

Aw

A'w'

A<'

A'«'

un A~ -,–; AM

A =

-–; A«'

==

l;UllSt. coust.

Aiosi tM dcnxdroitMQA, (,)A' sont divisées cti pat'ties ]inopt))-tiot)))t'ttcs pat'!csc<)t'dcsw<m'.DAs tors, d'après tu Pot'ismf CMÎ, t'Huede ct's cordes, par exctnptcAA', divise aussi toutes t<Mautt'cs en pat'tit's pt'opot'tionnettt's. Si donc c:et Msenties points où !cs deux cordes a
f~tst

Ÿ

\t't)!Ci. PoHHMt:CXt – ~f<M<
t~)

.)

detct'tttinc deux dtuit.cs aau&tai~'tt a i t-<()mti''tt{Hupt)!)t:f, (t)u)t:.m(tcdtt)it<')))(')tce)ta)'i''m)wt't<)"it'L'r'}t'cUmiv v !iatisf)TuitU'isi. PofUSMt!: CXIH. – ~<<
Pat

(2:m) t'oinscqucm, M(h cnu'e R't ucux systèmes uf qu.mf ponm <J, «, H', A ut C, <<)! (d'après le (~roUau~m du Lf
_AM

A~p

_AR

A~'

A'E'_

nK '
on

(:Utlfit.

t)om: If pontPcst lixe. Donc,etc. PontsMECXVI. – Q<M/!
(Mt ) i t'j)<'t)<jLun.ta '~– Ht Ut)))':

P r~t K'w'K'Q · tP F)f )q Kw _Kt\t:'Q · K' FP 'FQ'

~)a)'i).)droi)<:WM/)<'ncf)ntrautPQt*!)&.mta
Ce Bp ÇA BA

Et pan'iHcment, At'e~ard des trois droites ma, MA,wc <'oupcespar ies deux ntëtnes, r~ A~ C~ Q~ <~ A
?A~ t:A.Q)'

1

(~,

<)'n')''H'tmi)n)~pt)siu<.))')))?()!))< ~<')r)t<)t'OtK't~. Ce f[[))t)t;tituntn'!ePu)ist)tt'. PoHtSME < H!. Si sur ~«t~ ~0/7~ SA, SU t/OMtles ~<~<
t)w* -–et)'

~w.=-=AS.HS.

Doxct'tc. \t'<.<-nr.- t. PontSME CXIX. – ~/
Il.

('ti

t'.n<'ttt'(.sm)i'M t)t«'t)t'u\t('ttn;j)U!,it)f)ttJt')ad)t)i)t' tomu:)))[t' < <')<
S~' A'n' SA' A''A''

.\)nis,
A~

S<.

A'A

H~ t~M

)'')'f<*ttX'ttX; S
KS' E'w''

))0)tL Kw i'

i':w'

uu

Km )'~·i K~~M' <<.).).)).

vm'<))«-t. Pf'KtSME (~\X. Si f/o
.):~t)r)f)tnj()ct-dct't'tlt'nr'j')~tt

(~4 ) <~t
A~'

A' t.' A<M'J
ou, pat'<'cque !C ==M, t
A'C' AC c.

y. n. CXXÏ. – A7
f~~5) } /
/M~W~/'<-j~M/<' t/M.A' A~

Qu'on Htètn'])ar tes points P et Q les parattetes a la dt~ite .\X, ()ui rencontrent la droite LM cu~ et i, puis les droites P<et (,)/ qui dct
.,“

t\n ct!ct, les quatt'f droites meneesdu point 1', savoi) PA, t'~1, P< et P~ coupées par LM et AX en «, M, <, et A, w, I, donocut (d'après te Corottaire HduLotuneXt) ïw 'M. AM< « A! < Otta. pa)ci)teuM't)t,t-ntrctespoiutsa, A'
M,
A', m',J',

c. q. t-. n. ~~
<5

t-~6)

))
M

~U~tSMt: CX\n. – .S
~tais )e'.droites OA, Ow, 01, OG, coupéespar AX t.) (r;n)SYC)M)ewdo<)))t't)t(Coro))air<'n,p.83) ~/< in Aw 'f"

<~7~ t-t tcj <)t"ttps OA\ O~t', OG, OJ', <:oMpee!t pat' les deux m~t!)('
A'M*

un

!A')' Am

== A J

Don'<;)< X'f!nro~. ¡, l'ORtSMt:CXX!ÏI. – ~tt«)Mr~'«M~O/M
.5.

(M8) Qu ou dett') toiuf!(".points A', t <'t. tmmif ax P
(Pot-isnx'CXXn.)

t'~nvons: Am.(BW–lVJ')=A'w'.AÎ, Am.B'w'= A/M.B'J'+A'M'. AÏ, AM.);'M/=MA.J'b'+(A'A–A)AI. OtJ'~=AH)ont Aw.~w' == (m A – w'A) Aï-<- A'A.AI, UHCMtiu A M. H;«' = AI. A' A+ AI. Mm'. C.Q.t.

C.

(~)

1

nr nvRRDESponîs~KS. Papnusdit: « Dans if JJi' Livre, k plus grand noM~M'; H(tt's hvpottfses < Ottcoucm)f <)<'tni-t.<'t'ctc, quc)<jucA.unes Pou))f'. choses cht't'thcf's, ht ')tct'crtt<'('tt<'ss~mt'nts. pt)n)attf['sst'n)Uu))tauxptc"<.h'))tc!i.Ityae)tOt)(r'' ~'ccHcs-t'i.u1) Ainsi ouf nous !'avo))s tait pour le 11''Livx', j)ousdon))< jofts d'a))")d )<:sPot'isnx's qui forment hjs huit Goucs spc
()M
m et m';

(~") Mr(.\ o~/)e)~ ~CM.T/w
LM en
wA.w'R'~GA.O'B' "GB.G'A''

En eUet,tes droites PE, PM,P«, P&coupëespa) iesdenx LM, GX., donnent, d'aptes !<;CoroU. IduLemmeilt, p. 8t, MH En /MA M~ ~H~w~~ n .n P~Hement

°'

M<' H~' ~=~

mA GA w B GB

"A'

G GB' C'A'

M'A' (~A' w' B' G' B~

PontSMKCXXVÏ.

"'AL" ~J~ w'B~J/A~ GB~ c. Q. F. n. – 0<M/<~ «M t'en /0 /)«MO M< <0<.t

~o/t A, H, C, -M
<) 1 )

)!<)', to)~t'tHn:)'H~)t:snu'm('sa))gtMfjt)
M'

K~. t.-w' t-1)'.EU K~')-'w'"H)7K))''

SiKi.mtpa)a))ctt'aHC,o))t'utH('ato)'i<[
DR ))'

Ccs)'c!atio))s,qu) s'appliquent aux scctioos <«)mjm's,<'(mstitut'nt )t: theorètuc de Desargues sur r
(~)

1

on a, entre les dcnx séries df quatre points c, w, H, S et S, A, t'cquation Am'.Sm

A~&e

S<M'.Mm"S<)<<* D'0))C,<:t<. r PottSMKCXX\tU. – Q«<<MCC/C/C
~C ~U &C

(~;) <J'«*f'M~M~.<~hamt)tttdt"idt'uxt~ nations !:nitant''s satisfait aussi f)t'ctton'~du\XJt'(
)<'t''))!))t)'.

(~

)

M.tc
i..

t.es tangentes au (-en te menéespat tes deux point.! dounjs A et )), ttincootreot le côté SC' en A' et H'qui sont les duux 1'°llltS( deux ta r:1IS1I1I raisuo égale points demandes; emantcs; et la est egateila

JUC.AC C'. EnutU't, soicxt M, M' jcs points de contât (les cotes SC. SC', n le point de t-ontat de la tangente AA', et 0 )<'<eMtt
°"il

A U' m' BmTA~'

AC.n' C' UC.T~?'

(~5t i A.t'.}.at)~m')HsnaUf')tfait si te pointdotXM A<'t)mt'idf:nc<')(')mintd''<
ponts lataiMn

eu cette donnée

<7o/<wMrle ~o.t7/< ~o/<< <' gC/«M /<«/
)('n(

tans
entre

h's

~H));H°'(-I)t;suttt'')u';)<)nt)

trots

~utx's

)!, <

U:

a

x'J'.C'/


x'/ < x~

(~())

1

ou

m.6f/ x~.M W
L'o/'o~/M/rc. Cf Pot iouc, tnit sous ta fornif des [tteot'cnn's (n~ioant's. ~tcnd CML énonce /<)c f
<

ou

nr.&f< f;'c'.t'<<' ,<j'~< ~p'

Cem.' pt-oposittnno<)')'L' une d'-s propt iun~ ftu ( f)'<)t' )cx ptns importantes d.to.stat.~on~ttie )tt0t(<'rnc. PoRtSMECXXXtt. – Q
'w' f"

'S 4 SC

')m
SMt.C'm' S~.S(.' Cm <.t'm' f. (.s

< P"P)St)f!<XXt)t.

)

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Kn.i''u' <*
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/~o/~< /<'r<;P, ~tw f!«t/e/«M.t f/« cc/'c/e, OM/MC~~les ~'o
K)t<e(, s<'i) AA'tf))';jM'siti~))d<*Jatat)gf)ttf foobiJc/w~ la tat~cntc PE t'f'nt'ouU't'SA, SA' en
nu

~M))'~t.)''M )'~t'.)-'M)-t'H

Ce qui d<'m"nt)' ]<'Porisnx- ~xotx-c. PutosMKC.\ \\H .–<~f/<7 M//~M/c AtiCe.~w.<er//
t-.<3Si i x) /<'

An/.Rf o~f.&f AfHM'ac.A/M Doue «M.&C –,– == À== fonst.
tu.u.

Ainsi le Porismecsnh'monttc. PoKtsME CXXX\ – Qt
'<()

A«;JLh/
.'it)s!,ti'.tj))~f.<.)is)Mc<J\X\i. _1ne 13ae _«A) G11 u 11 .~M A~,)t/M A)7 nu Ld M'

).t))')Ht's)nt'))t?t"«h))
Aw'.Mw' · AD" Mty

iJotx' Aw H//< A//<' !}M' Af)'bu'*At7~t)'[?' ~uu AM-Bm' ttM.AM'

AD.BD' BD.AI?'

(~'<jui(t<'tU"nt)'<:IcP(Jtj!itUC. \X)tt''(jpt)r(. ).('
Penns~KCXX\\J.

– ~H~< r/o/tHM«~ ee~'e/c
«/<
tt.~) t t'a
etparconsfqucnt A/t=:/<w.MW'. (~'th't'Mt;)tiu<),duprt'st(;J.t'nt())L-\XJH,d'~)
·~ AM –– == = xAU. pliti C.Q. )'.U.

(-)

y

<M~<MM<«OM. Si tcp'~ut Asc trouvattixtencm n !:)tir. (oofercnt'f vatiahi<'MC~ ce serait !cLc<)tme XX.\<mc t'mtiuvoquemit. XXfV°(jt'nre. eutxtruit«'Ft'i))' droitesestégalau t't<;(ttn(j)e t.o )'<'ct:tt<)j)" qui a poMt «ttMt)ttedfutt<dottoee)'t furtue)
t6

(~~

1

Umu Aw .w' -T- ~T~– Jw

\"<==

1 \1 Vw.At.

r.t.o. )'Ott)SME CX\XJ\ Q«MMf/«MM'~C/C<< t'
AM.3'=~.A' Qu'on mène PA qui rencontre !a < ircoxfërcnce0) < et parauett'ttx'nt it AX, l't qui ren<'«ntr<j)a t'ircotderence en Lcsdfuiu'sQM, Q~'détcrmint'nt sm A'X' les point! cherches A' Pom- !&tigne U sunH th: ntftM't'a A'X~)a para))è!cQ< qu! tcnœntt'e !a fit'confcrox c pti puis Pi qui rencontre AX P" I. Ott prendra M=AL En cHot, tes t)U!Hrcdroifs Pa, PM, P/, Pj fout cntneih'
0~er)'
<j.

t'.

n.

pf'uvcnt s<'(-on-

<

PoRtSMEC\L.

)1

– <~w<Mt/~Mc~<.7e<MHge/~a~/eMJ ~o«M SX, S'X, si l'on wcMcK7!c
Les deux tangentes menées, une par le poiut A et l'aune pattJiètement it SX, rencontrent SX' dans les deux points demandés A'et J'. Quant à ta ligne jj~ e!te se détermine par ia tangente para!Jc!e à SX, qui coupe SX en t: on aura fi = AI. En ettct, tes quatre dt'oit<'smenéesdu ccntx; 0 du ccrcic aux trois points A, H<,t, et paraUe!e)n<'nt;)SX, font t'nt.tt' elles des at)g!cs égaux à ceux des quatre droites menées du centfc, les deux p)'c
,< AT K < 9)tl A<M.Jw=-ALAw. ou c. < r. n. XXV t.M~

~t 'T,Ht.mt'ectMht! Hth*
f/<-W
(944) ~c cercleOMn&«we«Me~M'~eM~/CK~M emp f
le
me~'e AB J'«M demi-cercle, on MMCM/
(.45)
C. Q. F. D. 1PoMSMECXU\ – ~an<~OHMee~~<'«.)!'JeM<-c/eoMdont /<Mcen~rM Jë/'OMce~ C, C' e< les basos AB, A'))' M/ sur MMCm~MC droite, si de chaque ~o<M~ m de ~'«Meon
<) (les ecHttM C, C' OM ~f~cM~t't~tK/e mp ~Mf/<î~~e /WMWt ~OM~ w cette ~-o~e <w ~OM«0, <
Ow.OM'==0<0~.

wa.w& = aMtO.aë) 9<,6 étant les milieux des cuntes ww~ ab, Car Oo==ma–MO. 0&==w&–~u, Oa.0& = wa.w& – w0 (w~ + M~) + m0' == Ow.Ow', Donc m<ïMt/) == MtO(MM+ W&– ~0 + M'O) = – -t- w& rnrra') (114a (MM-E-rnL O, ~MH')MmU, ou wa.~ =~0.(awS– 2Mft) =aMO.(M<6–MK)= :w0.a6. Or, en vertu des triangles semblables, Ox Op c~==oc'='c~'

«S.OM==o~.CC'.

De là wa.MA == ~O/CC'. Mais ma, ~)&= n«

Donc en(!)) -.1 ~L o rr' ~-9.

Ce (lui
1

(-~7) es on con!)iSi au lieu de
<~v//«tW.

<m m<

–=a(.L, ~V

"'<

.fCC'

––.TT==4',7,F' "'?'J~

y

2

c'est-a.dire 'jue le M/7'e f/c la M~ge~/c tut e~< ~<e /~CC'\ MMC « tAOM ) ~MM~/CKmi'' ~«Mt ~OMMec

f/«

Ce 'fti tbrtne un Pô) isme. On en canttnt cette réciproque < ~Po«:cpoints e<<
(~8) Par cona~HeHtencore ~eMjr/]'o/M~ ~w~ ~c~MM ~Mf«H ~'«/<point /e/, que lu carré ~/e/ot~~geM~c ce~c/c, /<
Two puinb itt a circte ))c)))j;eitfn (bnt tmt in one dhtot'tcr), «no(tj )her firch- tfmy be d<~<'fitm),suc)), thut i) from an;- j'otitt there~f).) Iho ;:). teH points itmijjht )))«- he dmwn, t!tt<):) tine tou<')
(~) on M !=ED.EM. Don' etc. PoxtMtBCXtAt. – ~
~–'

(CoroUaireHduLemn)e XI, p. 83.)

KtpareiUcment, les quatre droites qui partent du point M, coupéespar les deux mêmes CD, MH, donnent Cw _B& .MG C~B«"M~' Donc Cw Cai .rr"' L<M==L.U.Lw. on -–.–=n, Ct) C'M r~ Uont;jt == CD. Dont', <'tc. XX~T(j!<'t)x'. tteuxdruitt".rt «octf~itfen Tctn'ctanHtt'.tjuiit ()our
– Si ~(M~ r/c
(~c)

')


Bw)~.F<M'-II. /«/«'

Qu'on mène la corde Q/ paratl~te a KF, t't !'< t~ti ft'ncontt'e EF en 1 puis, <~u'onpt-ennc EA == Kl, KH=EA, et ~t==BA, ou aura (Aw+Hw)~.?~' w~'

“.

En eHct, d'après le Purisme CXXVÏ, ut) :) Kw.t- _M EM'.tw "'n* Ht par conséquent, d'après !e Porisme LX\Xit, Rw.FM' = '~<' Or, EA == EB; et, par suite, E~==~-t~.

',6

·

Donc t~M + Bw)Fw' MM~~

p.

ou ~==~.M~BA. ww

2"

J

f c.Q.t.n

17,

(~

)

XXVH'(jt;n)t:. )t ctbtc Ht) pfiot te), que dee Jt~ite~ ntCMt'eido ce {«jittt <*o)<)ptC)t))ttH ut' h'Mmtit"'iutm
0',

CXLM!i.

–

~'<
MM
f/eM.)['
~OHfC< f(M point

S,
at<
le ~MMg/eSec' soitf/OMKe pec«f<*weM~, <e~fce. C'est-à-dire,puisqueFangtecS
(~5«) r Donc S
_:}<-

8
c" ~'c" 0'
!)onc lcs deux triangles Oac et (y~c" sont scmMaMes, comme ayant un angle égal (.-otBprhentre côtés propot-tionnet$. Mais dans !c prenue~ 0
(-~J) OA~wt//u«. th's dfMXctJxtfnt~ qui constituent JM
gueurssontdans une raisonconstante. Soienta, &deuxpointsde SA < &'les deuxpointshode SA'. ConcevonslesdeuxcirconférencesdecerBto!ogues cle
(~.4.)

1

t
(~~) Soit S le pttitttde n'tttontf des dfttx )avons ÇA.
– ~<
(~Mi

1

tion KA_AU M"b
f

f-t5~t

Qu<'t'artu)nihmdt'tfn))oitt-00',<}mjoim)t'.<.et)tn-s ')<)dt'u\t'en'!t's,on)uènciapetpendicuiaireaeetteJ
1

f

i .~) S)'!t'n\(n.tn~f.tt-))itisi~)(mt(t.u)t.).)nb<"t)t)itk)ttt')t S, {..tint <)~ runœottc des t~.ux druitt" tt.mt-titf.s (h«in. w~' !.out liai-allèles eu'rf ci)t's; ct'!aest cyi.)
~)

1

~c
(~)

~"onmenct~ritttett::tAX.,t-tQ(.cot)c!ipundantt a PC:, c'fst-à-dite laisant t'axée C égal a t'angh- donne; t.) droite ehenhet. A'X' sera paraHetea QC. Qu'on mené Q« e~rt~spondittnc a PA pnint ehcrrhé A' sera situé sur <~< Supposots ()ttfdcux droites P~ Q&, fa)s:))tt!'a))g!c P&Q c~at a rao~tc ttoot)~, cunpt-nt, !a ptutuifre la droitt- AX en un point U, t;t tadcuxietnciadtoitt'chercheM A'X'cn ))'.0)) Ali B j..AU doit ttott = (lede softc avoir atotf %oi-teqmri-latioii détermine 1 '1 )a 1.1 cltie cette rotation iongnon' du sc~ncnt A'M'.H suffit donc d'inscrire dans l'an{;)<'dos deux droites Q~, (~A une droite <~a)t'a ct-m-tongm-Ut t-t parallèle à QC Ce scr.t la drmtccm.)<'
tel A,w, C,w, ATa. 'cTt~' ,C' A' B' A~ C~

Mais, ():)pn's ).; Corottairein (p. 8<;), les seconds monbres de ces équations sont égaux, nom. AjM A'M' AB"A'H'~

AM AB V À. A~An!'=~-

~'<<-MC/ f.t's cotes <)u ttiangtePAw sont egatenn-nt

(~H)1 inctittMsm <cuxdt) Uiaxgtt- QA'w'. et. j':
Ali A'B''

Douc,<;t(;. PutUSMECHX. – ~/«M/ f/U/<MM«Mf ~0
et telle (pu- –

=~?.. <:<-tte( ord''A~/

sera la droitf fher< hee A' Cela est ttn<' consMjucme ttu Pnrismc XL\HJ, <) après )
– f~ tY~< r/ w
(.~)

I

MMC
résulte

tmmcdiatcttK-nt auuu..yaw.CHa1'114

(tu lIN

Lemme XX\HI (proposition t54) quand le point P est au dehors du ccrde; et du Lcmme XXX\ (proposition t6<) ce est quand dans t'iutërieur du corde. point Dans te premier cas la droite lieu du point est la cot-de V n1

dl!

contact

des

deux

tangentes

ait

n

cercle,

v

mencfs

par

te

point P. ~«/<eme~. Soit M)<;milieu du la fordca&. On a, d'après le Lemme XXXIV,1 Pf<.PA==PM.PM. Soit de plus MD pcrpfndicutairc sur le diamètre ABP. Les deux triangles rectangles CnP, mDP sont semblaMcs, parce qu'ils ont t'an~e P f-ommnn, et donnent ta proportion P/t PD ,==p~'

t~.Pw=P(.PD.

Dont' PC.Pn==P~.PA=:pA.PH. Ce qui démontre clue t.. point n est (tonne; et, par conséquent. quête pnint m est sur une droite donnée de position. 0~-t~b/<. Cettedmite lieu du point w .'app.-Hc, dans );tC<:ot))et)iemoderne~ ta/w~'r du point P: et .-(; poi,,) ''
t~) W<~t .\t f/t)/<
– ~)«MW/«~ Cf/~f; Ct/ /
<4) g)'- «O~ L'ttn~)..SOS', <ju)a pour ntt-surt- moitié det arc '~7~, est s..pp!em.-ntair<-de t'a.~e o0< Jt resuhc de ta,
S'«' i~T

M'a' VI;'

Suivant te Cutdtait- Il du PonsmeXXIV, ~uen.ii.tio,, dëmo..t,-c que les points dans testas 1~ trois droites Sa, SL', S~' rencontrent)<s druitesS'< S'M, S'U, rcspectivoncttt, Mvo:r: les points m, M, sont en Hgne droite. C. Q. F. D. C~-o~c. Cunsiderant ).. ({uadriiatÈrt-S< on conclut du Pori<M)t<: Kfthéorème Q<MM~H~ ~'<<e est c//<.o/~cn< M M~ ccy-e/e, les co~v/M~<« ;'o/~e~ les ~o<M~ ~c< ~M cd/M ~~Me~t ~ar ~OM<,/e <-e~coM<~ ~;c ~a~OMM/M. Pc~ME CLXI! f~ <.<M eta~t ~~M, f/'«M ~o~~ tangentes WCMCtM Mces cerc/M MM< cga/e~ ce point M<~«~M/!
w

un

satisfai-

~uint

à ta question,

et

mO

ta

~mtku~u,e.ba;ss~su,-).d,.oit..tjuijo;nti~ccutrcBC, C (ks d.ux cc.ct.s. On a, .“ appeja. n h. ,.ay<,n
= (~c -t-1{ +

'<'

==wO\+.f)A.O({

) (~c

H) = ,MC'

= wb'+ fOC

tt

R.

) (OC + R

.t!~) Par<'ii)mn''ttt w<=,0'-t-'OA'.OB'. Or~f=?wf',p!t''hypothe'«'.D<~c < OA.O)<==OA'.OH'. t~ouattùnqutdeto'mint' ta posit!on du point 0, et par conse({ttcnt,)a position de la droite Oî) p<'t'pendicu!aircaCC',sut' setrouv chaque point M satisfaisant à la ~UMtion. )a<)ue!)(' D")tC,Ut' PotUSMECLXIV. – cercle est W~<<
cn/Y/pnh, on ~
(-.(?)y SA, SU deux divisions st'ttthtat'tfs: donc, tt.tpt'~kPt)tistne C\H, le lieu du point m, qui divise la
.
AU DM

les droites wew~'t'
-De Ah

sorn'nuit

Etant<)uttt0)ttt'('r({ue MD Ai) ~E~AR C('!at;stu)x'
))H AK'

Q. F. n. OA~e/v<
(~7) Maison peut ue donner quun()<' ces points, puisf{U itt;xi~t< u)te!'t').ttio
ME MD"~ Qu'ott p)'<'nt)cCE==~.CA, et Ct)==-'CA:

tt's deux

points H, D ftiHxidctcrfMtncssatisferont a la aufition. En (.'ftct,i! )-~su)t<' <)clà que ÇA'==€!).CE: ''t 'onsetjuonment, d'après le Lcnum' XXX! KA_EM A))"];U' D'oit !'ott cot)' Jut. en wt'tu du Lemme XXX. <jm'):t
(~ffS) i Hx.'ittcdMtcttttMttttt'tfjtH' At:

Or ~ua)i<.t) CA'= CD.CE s'ë(;)it Uooc CE-CA ÇA

ÇA ==0)

AK At) (:A=Ct)'

(;A_-0) CD"

ou AK~CA

A))"C{/ CD~ ÇA AD' c.Q.t.r.. On p<.utcneorecot.cture ccUc egatité d~ t.cmatf XXVH. Cat- par J;. t~ipr.jquc .:vi()cntc de <:c i~mtnc, t'H~nat.on ÇA == CD. CE cntt'aioc t-ciie-o CE_AH' AD'' Uais larmumcMtuatmt) s'~n-it aussi

= CA

Donc ~==~, CA AD''

,.t ~~l ~=~

0), pa) Or, 7.:clonn dotx' par (onsn'oction, –=:).: <
7..

(~M)

M.Wt'~<
t~.) natMtc du )~u Mtumnm- M)donnef, et la t-h~sc tn'uvn ''st!iententettttapt)!iitioudecetteu(n;tta~)&U)ouia~ttique nccesstitt'tncnt la grandeur). CetH<<'omofdan<em'Mttte t}t)t' tetto 6t.<;t tufn (
(~

i

K~t~b)('nm)t!ana)utedu//t;«,<.e~uist-u)'unsntmh'titr.htt:re<)uett«u''avons fait tt"i!M)ttit'. Simson,t')netatjtiMant tes //c«.E~/M~ dApuHouius, a cuititcuc rij~om'eu~etnent.la tonne des énoncestransniise j)ar Papous. A!.)isit st'mHc, dans un pasMi~ede son 't'raitt des Pofistttcs, n'a\uit p:)s'))St))));uc..tutntnt' il le ('tttlai). ta t)!))t''tft)(-t'<j'n fxistt' eoU'f le /«'« ''t t'M~/<'wf local. /o~ I) tf )'a) h; pasi'onMcnt.'ntcmdn/~oM' «'()t'n'tant un peut. 'Toitt'tjn'it I<;t'om})n't
(-~)

I

~<M/.Ktn
teste,

N-tjucnous

eroy~tts

(-u-c

unt.

inadvo-tan<-<'dc

Sttuson est tout n fait sa))cons~m.neM tthericure dans !e déve!oppcmt.mde sus idées sur la question des Poristnes; t't quand il cite, aussitôt après, deux prop-Mitiousde ~'MM-,il pt-eud doux propositions confonMesaux coonces d'ApoUotUMS,o'est-a-du-edans lesquelles la oatmcdu lieu fait parne de rhypothese. PontSMECLX\ ï!ï.- Q<«,M~
~M'«/te

< OH~f ces

<«/~c/<<e f~~M

d, c les ~<M<e<M f/c ces ~o/M~ f<«ce~e <<<<*~M (laits M/<e~MMOM <7[)/

~c/<-

/~0//<~

~M c'erc/e sont

Cette raisott est cgate a T)e sut te (~t'it faut demott` Ah ttCt- ((UC C./ At)1) C< AK' Qu'on mette la tangottc CM/ la conte ww' pnsst't-!)pa)le point n. Ci')' si ron t'oonait la droite c-D <'t qu'on dc-

ts)gucpar~<<'tU,,h'spt)it)
g

D// Donc le poiut 0,
m.)is ~cAH Donc C~_ AD C~- AÉ' C.t~.t.U. PotttSMECLXIX. –A«K~OMMCM~/eM.C~cm<-C~O/<eA a <««f~cel (.r<eM~ /'««~ et <70M<
t~.t)

)

eMtn et m': les fA.~f<M<-M
d<' OU'

<'t C,

C'

h",

<'<'iUn;s

des

deux

dfMti-ectctt.-s,

f)n i)

OM'

–

u'w'

y oc''

y o'

En t'(!ut, 0 <-t0' divisent ttat'nioni([UCtnt'nt)t' di:ttt)en'' AH t''t'st-a-ditc que OA C'A OB ~OT~ et, pat' suite, CO.CO'=CA'. Il résuht-dt'cette que

(Lemmc XXXIV.)

Mpation, d'après le Pot'ismt'CXfJH, OM'=aOC.D/

Pan'mcnM'nt Donc

Ow''=~.OC'.D~. OC 0~' 0_m OC o~"oc''

et

0/M /OC ü_nr o~-Voc'' /OC

La démonstration est ta mOnf pour le point 0'. Donc, etc. \f:enn'.

V~h' )3t'

PotttSMECI~XX. – 6< W~OMf<«/< /)0< P OMy
(<'<'< /~M~M~f'<wf~«'<


)'<'

O.A'A==PA.D.n.. !'w ~w PM'M' Ce qui prou\L- (P")ismfsCLX t't ci-aptes <~X\\HJfjm' ia droi(<'u~\ est c<'H<;<)))<'i'on.tpj'c!t<')ajj)«);tit<'titf()Mi)tt P. <'t,par co)tsc<;m'))t.est (iu)ux''t't)epositim). La <))'«it<'A~ t)ui )ui est para!!c!c et f)une distance sf)us-
f/<WM<'<: f/C g/'
/<ï~e/ yKe/
.8.

(~(!) t<« e<
ou f/ft

~==~. 0/ ~
Et, par suite, o -t-;t
Ot~

« ta 0;Jt A

? M' tf~'

Cela pose, je dis que ocf==~< Ousaitenectivcmt'!)) que te triangle ASA' coupe par ta droite ~MM', donm' RA M'A' MS_ RA' 'Vs' ~A ou, parce tjueSM==&/S,MA = AP et M'A'== AT. RA_ PA RA' t'A''

(

¡

t.t si <;)) mnsidctctes ttois
~M M/

)T'.t RM
\t.ti)ttt'hann'ttapj
!'a)'conse<jucm, t'<'<)uauon

(~8; l ()natttun')n')m).(d)!){;o)t:dt'M', t'A _A6F: P&' C?'' La dwitc e/' est detcnnitw par les dt'ux j'oixts a, 5 Mais, dapn's ieLmnn~ XXViJi, t~iand le {x'int P est au ')t.'horsdu
<

1

~v~~<< \J Lfta tt'smtt'ttu t.f'nunf (proposmon t~y), u aptfs h'qudia~t'tpt'Mdictttaitt:) MM'
PA.Pn==A\t.HM' PontSMECt~XX\. – Si ~«
(.8u~ ristnc pr codent (lui a en est <ju un cas particulier, ( ciuiou t'attgtotMoUtt:est droit. t~'ptt'ntms, en t-
t~8.) dt'")te uA <[Utt:ttt a~<'<)<'rayon <~t)
<J x-))ttfMMtcqut:d.)(u't)e h-Pt)r:)))('(:LX,
~t

,n f~L\.)

Le puim~'dutcnuinësut'QM

pat- !'<'t)uatiot)

QM~M Qw' f<'w'' le point R, sut la Mtntc df <-o))t!x;tdr~ t'xt, (!(; tnt'-m<-(}ue taogcotes nx'n~s p~t- h' point Q (Potismt. CJ,X). (;<-tn'ttt-tfc, t)';
i~M) ) ).(~dt'
Pft ttt '<

i)
.,“

t'p-

t~4) ¡ Dut)):tadt'oihJUK'HM'dnpt)it)<M <jH
(~-3)

poin)
Sm. ~s~

!)~A'ft' ~w'.s«''

Or cette c~uatiott pt-ou~t', <)'ap)è.s)c L<'m"u' X ou X\i, dusdcu\ que fa<)t'oitcmM/paM(')'a)-it' point t!'i"teMCftiun tttoitcs aa', & Donc, etc. PomsMECi.XXXH. –
PQ.PS RQ.RS

~8
H R''

P:)t-c0))st't[m'ttt)fs deux c<:n)essotH<]cux tigurcs~ouhta bit's dont te <'c/<<<'e ~/f ~<w<7/«~/c est en S. t) est <')air que les tattgcntfs aux deux cctctcs, en tcurs p')!nts homologuusMM/sont paratièlcs, puistjuc les t'ayons 0<M,OtK'sontpatanètes. Dans !a ngun-, )<'sdt:u\ rayons paraUMesOw, OM/ ont ta monc dht'ction. S'Hs avaient dt". d)t'Ct'hf)nscontt'ait'cs, la druitf ww' passera)),t'ncnrcpar un point Hxc,<)it)ct'<'nt de S. Ainsi deux co'f-tf'sont deux t'entres dcsimHitudc. \'U''<«')))'<(\'n))'p.).i. Pon~Mti(1LXXXIV. –~<~« f/oM~/«M ~MM~/c A!~C, .
( ~y) I
DC KC'

Donc, etc. PomsMR(~.XXX\

– <~<M/
(.S8~
ervs,

f~

ll4i(Y4!

lG

I.rVIIIL

1~

SA'. La t'aisnn <st ega!c a AB En enet, le faisceau de quatre droites PA, PH, Pm et PR, a ses angles égaux à f-nuxdes quatre (boites QA', QR', QMt' et QR. Il s'ensuit, cotntne il a et~ demonttë pou) le Porismt' CX, qu')) t-xiste entre les deux systèmes de M' Ja relation points A, w et A', Am A'm' rm AB"'A'H'

A/M A8 · r~'T1F'

!)one, et' )X'Ucorf.( Voirp. t ~<). PoKtSMECLXXX\ !I.–A /'<w /~y<«V.wrM/tef/o
(~9)i fMMfle <-<<e

OM<.Ow'soit égal
Cc!a rcsuttcdu

En effet, puisque Ow.0~/ == a' == OE il B'cnsuit, d'aprés ce Lcmtnc, qac E M. RM/= OE (Em + Ew'). ou Ew.Ew' ––-–. = OE, == aEy<

et ct

Ew.EM' aOE –– ==M. “– == p., A &.E/!

Si le point E, au lieu d'être p!a<-ecommedans la Cgure,
")

(~) t'.nt')tt'<.soi<')tt(,f,(:;)t.spur:)nek"tt)\
"n )')t'n

Aw.J'm' A'M' x

.\tI T*

i~l:– ° :11. A'w' Kn pHt-t,les quatre droitM PA. P/K, PI et Pi font cntxd)<;s<)Mangles <:gauxa ceux des droites QA', Qw', Q/, QJ'. Si l'oit concoi) <)ne ces ttroites issm'sdu point Q reoctn)trent une ttansvt-tsaie en des points A", w". t". J" en tfnnparant ces points d'abord aux trois A.w. 1, puis axx trois

1 f~' A~M<M))ubtit'n<)t.ttt"tt'')mn'))s A"
A~ '~T'

A"M".J"w" A"l" J°l"

A' JW'

0-. L<'n!tnc< III <:t“, XI, p. 83.)

Donc A M A'm' ~T"'F~'

ou °"

Am.J'w' A~P"' c.ç.F.n.

X'Ct'nrc. Voir)).'?. PotusME CXC. – 0~ a «Mce~'c/e
(~)

Ot)t~tiatt~)c~Awt,~t'tU',sunt~t)tLLL)cs.)Juttt: tm M' ..=,,–<

J' otthit'n

1 J, 1 AI l'J! twJ'M/==:ALt!J.

K) .ommc AI -= );J'= tK = J

il t-n r~tin:

tw.JW=tK.J'K. UotM,CtC. OA.!cn'~
=tE.J'E.

Elle repondt-ait donc à un Pô) ismc exprimé par la for))tu!e I~.J'M

+ ~.MW/ = V.

Mais cette formule nt' se trouve pas dans tes énonces d<' Pappus. X<)nsen dirons plus loin la ra):ion(a la suhcdn PunstucCXCIX). PontSMECXCI.

t//t <M/~ZCP'Q)

est
Mt/MMe
(~ 'tfttt))ut-it;pt)i
!I..fi

(~4< S 'J

Qu'on prenne sur l'arc ACtt, qui comptete ta eircontorcncc du cercle, !e point C détermine par le rapport == ce tpt'on fait par le L<'mmcXXIX puis ~== on aura A..+~.B.< C~

BC'

En effet, les quatre points A, H, C, M sont les somtHt't!. d'un quadrifat~-c inscrit au cercle, dans lecluel,d'aprus ic theor~ne connu des Anciens et qui fait la buse de )eur tri. gonométrie, le produit des diagooates est égal n la somme des produits des côtés opposés; c'cst-a-dire
-1-

~AH

AC 8^

C/M

BC'

C. Q. t. M. OAyc~
t' ft XXI. m < 't <;t'ta n-suhc des Lcmmcs nue )K)sitiottJe tu tttohc MM'. ).<
f)

d "n 0b Ulr J.c


''t

0(s. 0 li

Uaa

est cf~tttt)), (}m'i tjm- soit h jmmt fi

t-apttOtt otis sur OA. Le tc<-tat)~)''0~.()< ft pa) <-(mscqttt'))t U/M.OM/,t)u! lui est égal, est dont'd~x'rmittc. Ct- qui démontre te Porisn" < P sur ~'M< CXCÏ\ – POK!SME wc~c AH n!'<w
.);w'=PA.Ph.

CXC\ .–A' PofttSME ~<" /'OM~<' OM/< /M< f/0/~ /<'MW«ert<M CO
('~}V- l1 Soient!) tu pu!)ttdotHtt*su* tpdtutMètrcA'i~, <'tt)~K une poxtttuo de l'augle mobile. <~tton «tÊxu A'X faisant ran~c XA'D cg.)! &DKK,YpM~AA~~p~! pa)' le point D mf perpfnditutaitc Mces droites, (lui !cs rcocontfe en A t't B. Le côté ~K de t'angte i\ tait sur ces droites les aegtueuts Aw, n'wduttt )e rectangte est 6ga! a DA.DB. Ccta rMsuth'd~ Putisme pt'ec~dctH, car si l'ott tncueOM pKt-pfttdicuIait'csur te eôt~ I\K. dt; )'aMg)cmobit' t'- puiot ;Msera Mt' !<:ccrc!c décrit su)- AH comme diautètre (ce qu'on démontre par !e ra!sottnenM:ntdéjà emptoye auPot'istnc CLXXVÏ). Dun(, d'aptes !ePot'isn)c pr~ecdent) A~.Mw'=DA.Db. C. Q. F. n. PoosM!! CXC\I.–&
'~7~ 1 ~M~<MMe/ Sans ittvoquct le t.t'nxocXX\\ i, tus tmdt' KF, KF' sont ega!cs, comme parat!ètM e~a)t'tMet)té!t)}goe<:i) du centre; et connue h; diamètre qui jcut est pct'pcndtcufaire passe pa)- leurs oottcux, GR==GE~: donc EE' est parallèle à Cr(. et J'angleDEE~est droit. Dotu, etc. PoKtSMECXC\ÏÏ.–<M~ donné MM~W/-CC/'e/CACB. une <<M~'eM<<* mtn'~
(~) i 'feux à deux, des aog~'s t~aux a ceux des drom'i. C: Cw CtctCJ'. Ou eu con~tut pMt le ta)St)))Hem~Ht cotptoyc pom la dé* uiuasn-aUo)niu Ponstue XC\ii, qu'iiuxutteetm'~tcs deux systctncs de points U, M<,f, et A, M/,J' la ttitation 1tel .11,1 ou Ji~j'=n).~A. J' 1 Il> J'A ~=~. C. Q. f. D. ~<«/'<'we/«. Les deux triattgh's !CM<,J'm'C Stmt scutbtabics, parct: <jUHles côtés JC, CM<,M<Jdu ))«-)uit't sont f~dt'mcnt ittcjincs sttt' les eûtes t'Kspfftifs J'M/, w'C, CJ'du st-cond. Un a (toxc )a ptopot'tiut) 1ru t'J' c.t iwj'=ic.cj'==i(j'. 1 ~=~: Ams) h't'ectang!c lw.w'

est dottnc.

K. < )'. t). Cette seconde u'
& w<
('~9' vv t/o/< Aw.M'j-y_ ~w* (~u'on mène P/et QfparaHètes à EF; puis t' Q/ ({M' rexeontrcnt t'en t<'tJ~. Qu'on prenne J M'==Ai; M'ti<'
(1)'

l'XXJX )

~ui':nn'ai)te, cotnnMau PorisotcLXXViH, la ~mau"' Aw.B'w'+A!.AA' ww L<' Porisn~
ww'

_p.,

C est te ca~ prévu dans t'cnonctj dn X\ Cenrc. OA.!e~
~-At-MW'.

P"ur h". p
(')tt' pcf'ttd

(:~)

)t))t't)oi'.iet)B'(ur)nt;

Aw. h'Mt'+ At.M'M/== AL AA. Ainsi la circonférenu' est divine en six.ncs, K«, ~&,&i' i' < Deux de ces arcs, «&,< qui sont opposes, se correspondent; des quatre autres, ceux «ni su cortcspottd<'nt somduKe part ttR, &t'\ <~n ~ntruHtign~tt
<~
t

Onrt:ton)).(itimt)tedii)tet))e))td!m~t
~}

}

)iv< des points ''t des ht;ne'<. a dt'tnaxdé :) Aj)ottoniu< S? cas: celui dt; la section df te&paee8.~ et cetui de lit s<'< d' obstacles )nuttiondétettnincc83,onduitenet')trayé tiptiés qu'a du teneontrct- Huctidc en introduisant ttant la les équations a trois et t) quutte tt't'mcs qui ibnt ~<:OH)cU')e le sujet d'un grande partie dcaCeures indiquespar Pappus. Sans doute la itature et le vaste cnsftnbte des propottittous ya)iecit auxquc)!('s s appthfucnt ces eo,uatio))squi sf rattachent il um' théotie unique, CfUcdfs division)*homogt'aphiqucs, fot'tne))t le nn~'itf primipa) dt' touvrago 'rEnt'Udc. Maison peut croiff que la nouvcaut<5 hardie quf urMfntaicnt tes Pu
CXC,CXClctCXCIX). Cette abstention s'explique natureticmeot; car <'cttt* équation répond précisément aux positions des points w, ni qui ne satisfont pas aux deux autres équations. Il aura donc suffi à Kuclidcd'en faix' )a retnarque dans quelque scolie, pour éviter de nudtiplier inutitetncnttcs exemptes dt; Porismes. Une réserve de ce ~cnre Mt hicn dans l'csprit du ~rand géomètre et dans !(' caractère de soit ouvrage, où U o'a vonht donoer qnf des principM et tes germes d'unc
t

f:M) \\f)'tn'm-t'.

)'Q)t)S\!E<~C.

–

.S/HM/OW

Vm) )!.)?}' Í'
~OW<~

P,

Q

<7'«M

t'cn.7~o/
Aw' .–=;.–. wl A~

)':<)'soin'; Aw' AI A~'– Aw At – wt A'M'_ At mm'Am PoBtSMnCCL –

AwAw' o
F.o. e. QM< «M <'e<'c/~
(~4.) .1 li- fet'fM/t' CHt.
CN/C/eC<MHO~0<<e DE e/
(:~) 1 Soit AU !f diamètre du st't'on't 'o'ctt'; AM Je tayoo du {))''tt)i''r.0t):' :1 Aw.A~=A)LA~. Hn<'ttt;t,lesdeux ttiangK'stectan;;)<jsÂMb, A.Yiw' sont semblables, parce que les deux angles ABw et A w'M soat cgattx com)n';étant t'uu <-t!'auHf supptetttents dct'angtewM/A. Pa)'co))sëtjuc"t, M, Aw.Aw'=AH.AM. m, nt = i. :1. ~'==.= i ut\ ÀAB J ÀA~ Donc,etc. POKMME CCÏV. – J9eMJ" 0, A étant ~OMHM~«F' ~0<M<~ MKCa/0<M, <0/<~Md ~«~' d'un H<«' c~<e cette <~<'o/
A.v<

/c ree
r~) t,t')t't't;Htg~'cs)~.)t;))tt;u)-ctturaytt!)thttt't<)t-. )'~)(<)t;t,SOH'))t~t;\)', )t"iptti))t')t''fMtt."tt)t"
< ~Mjrcwwct~, A.'<~'MM~/MM(~ M'< <«Mjf eM t«//M~«.tf AU /<«'<'«MMfMj~/c A<~H CM~w'/M ~~(.w
0 w

"u

j)~.nw'==nh\

Co qui dejnontt'c )e Poristnc. CMw~
~=~.

Suit 0 )(' mi!ieu ()'' MM': CO est paraUetc n A]~, et les tt'ianKtf'ss<mbta))!osaiosi (ormMdonnent ÇA CM

OA Ow

ct CK (~

OM OX

Donc OA 0/M 0-–=-– m Ot<

ou

,.“ <)fM==OA.O){.

(~'He équation) fn vertu dn i~emnicXXXIV dont on p<'u) '*0.

(3'~ t)n'Mj[u<'tt;<)<'tiptutjm',('tt(t.u)x'
rrrrr =

('«.

Corollaire.)) CXXXI, Corotta.re.

(~

et d autre, part, )t!A ÇA m'
,)., ~<

(~(

1 P- a~-)<

Donc Mtft~fft m'n'~C'ft' w&w~'T~'

uu

M)M.fM*&'C«.C' wA.w'a' ~t&.f'ft''

f/if.f); i
il

Pout'dotc)'))tine)'<.t'spoints,on fait d'abutdpassct p.u(c point P, pat'aHeiotM'ntM GH, un<'dt-uitc (lui t-fticontre Kl ''n';tat:t
.t)~Ht)'.<'cP"t't'.tt)CXtjHtH~HX''4't'tt"tttt'p
la

(~

1

Eu e~tet, soient h's trois cordes p MM pAA', ~CC\ dont la troisième est menée (te manière que PCsoit )':tt'a!tcte M DX. Soit P* te point oit la droite pP rencontre la t itt'oniereuce. Les quatre drohes PM, PA, PC, PC~ rencontrent respectivement les quatre P'M', l~A', P~C, PC en tjuatrc points fJt, 6<, y, y) situés sur une m~m' Jfoitt' (Po)'ismc CLXXH). Resignons par m, «, 0, les points oit tes trois droi K'sP~t, J*A,PC coupunt DX; il existe t'nttu ces points et les quatt'cf<, et, y,a relation U ;[ Om 7!" 7)!* vt ) –==ii(LemmcXl.) 0 M yt: 'y,K «', y, les points où tc~ A)'t'e)ous parci!!emcnt quatre droites qui partent du point P' coupent DX il t'xistt' t'ncort' cntrt: ces points et les quatre et, y, y, la t'etation ~==T-x

7~' 7.~

(Co.-on.ïduLcmtneIÏI,p.8a.)

Enun les quatre droites PM', PA', PC', PC font entre eHes!es mêmes angles
0< OM

ou

.t

ft ~t

C'' qui ttemontrf le Porisme. f~ rcnA. r.~ <M'<'o//«r< «~ /~M~ Pf)tus\)HCCX. f/f
(.~t

) ~«
J,

n ~Tr 'Lp.84.)

Mais d'âpres le Co)'"))airt'Il (p. 83), )e premier membre J' t~ e t)e(!l:eUe cette C(\UIIUon 'st (:51 a –i et le second SI'(~OIl( a
uu on

< iM<) w = t/f t << <

t~-qu i) faH:)itde<))')t)Ue) Si )<'sp.«:)!tch'i.:tA\et <«;rt'~<<.

A X\ ntettersp.))

(3~) les points P t;t Q. se coupaieut :!U)la circonfet unce, le Pot'isrMCn'aurait pas )icu, pane que les deux points!1 et J' n'existeraiettt plus; les droites qui tes dëtenninent xc trouvau t atut-sp~ritttute! t <;apcctive(H<'at, ~uxdroi tes AX, A' X'. Ct* qu'on expt'itnu dans ia (~cornétnc modetuc en disant que les points t <'tJ'sont :')l'infini. Ce cas a 6t6 h; sujet du PonsnM-CLXXXM. XX)t'Uft))e.tVou p. PuKMME CCXÏ. – ~'tM/tt ~0/<MMf/e«.C~'0/<M SX, SX~ ~M< MOM ~ec
(3~) f En enet, tes fardes d<'contact des tangentes menées par les trois points A, H, Met tediametre perpcndu utai) ila SX, <{u'onpeut regit'det comtne ia corde de contact dt's tangentes paraMètesa SX, pa~aent pat MMmême point (Potisnn: CLXX\ÏÏ). Or ces droites sont perpendientaires respectivetnent aux droites menées du t'entre du cercle aux points A, B, m, t't parattMh'mcnt il SX. C)t a donc deux faisceaux de quatre droites, dont les quatre deruiètes (bntcntt'ceHe'i, 'teux .<deux, les mêmes angles que les prenuèrcs. Ccsdcux taisccaux sont coupes, respecthonent, par les deuxdroites SX, SX', eu des points qui, d'après les Corollaires du Lcmmcïll, p. 83, ont entre eux la relation A M_A'nt' Am A'm' A'J' A'J' B//
J AM.BW_B'J' J' A'J'' B~.À'M'

Ainsi le Porisme est d6montr
(3.4) 1 <\r<~e~'f< <w fAwtc f/o~/<M'f/c/~M~/o~, ~
Cultst.

_A~.A~' ~/<*

f'u An< M/m A~*M'/<

A/<w<* Am'm'

Si d u)) point tt'~nt)~0 ou tncncdosdrottt's aux
Mt

MM=:y~

tt tautttonc mst'rtredans l'angle w()w' ma'
(:~) ¡ ('<' M< «« «~e t~«' <w/
( .~i)

d<:qu~Uf d)f)ites, dont les dcrnicrcs qui p:n t~m du t cuttu du cc'tctc font fntx- elles, deux a deux, d~s angtt's c~aux a ceux des prfm!6res. Pot eo))XM{uent,t;cs deux iatseeanx df qu~U-cdroini:. t'eucoMU-cut,t-otpecHYfm'm., ks deux dn4t~ SC' et SC en deux systcmM')<'<)ttat)c points w'. A', ))', S et w. A, H, S, eutn: tcstptei! a lieu t'Ajuation stuvann' A SA' m'A' SA ~A SB ~B== SB' ~B''

,“ (~

r. ~.)

On
~f«M
1 puittt (Potistuf (~[.XX\ t!},<'t rfttconttem S\' <'))A', M/, S'. M;tish";droites Hn'oecs du œtttt't'du cercjc auxpoiMts A. w, S ~uttt pt-rpen'tn utahes Mct's cordes, «'specHvement. On a dont' d
C.

0.

F.

H.

)X''Gt'nn'. Voir);,tijf).. – Si de eAa~Mc~<M~ m /~M sur le /~o«wj<'wcn< <M~e co~/e EF d'MMee~'e/e on we/<e t/cMX/aMles ~o
et pat <;f)))se(juent, <)'apn's )<;sceond. Ew. R~' == )' Ki*, ou Hw. Km' F;l· K/< Uun',t'tc.

(3tf
I

\X)X't'nrt't'n)).<

P<m)9MR CCXVH. – P('«-t f/tO<M
t( ~)

1

t'"i points ~t.tft'st-tontm'spatt.tn-hnion S/t S// /n<"VM~ pnistptu tu point /<est siux: sur ):<cut'dc de contât t t)<;stan ~<'))tt'S)t)t'ttM".p:u')<'pf)ttttM'. 'M)!t'f)tH, tt'.sjtoiMttattajf'gucs !<Mt't om' :tU))'' jM
~o)

y

COMMWCM~ftM~e/~<M<MM'«Me
f.~t)

1

!))tt'.«)' C< X\ *– ~/< A< ~~)'~t< m< //M// Mo/M/ 0 M«;rf/~v~.t /'t)/M/.t droite L. OM <'M/«/f
(:~t ,1 /<:~<-<.Mt/(-t-. (.~~M/u<
(

!.3)

¡

"MfSSt<)\.

\xm*<:('n)'c.fvofr['3t).f t'ofHMt!:CXXX~ i /'M. – /A~ eefc~et /~a~MM~ ~a< «/< <7«MMC M
m~'

==!tPQ.

En <'j!et, puiwjucPw est <~a! &la taogcnn' meoee du point P, on a P~'== PQ. P~ = (Pw' + w'Q} (PM'

w'Q)

=P~'–Q~ ou P~7'=Pw'+Q~' Ur, d'après le Lenunc XXII (pt'opoi.ition t~a) u.ms )a!Mslettres A,C, 1), li cot'rcspondcnt « P, w, Mt',Q), <)Hc))o on cotx'htt de cct)c équation, <jm' ~PQ. wM' C. <j. t. 1). la tangent'' rencontrait h' Si te 'o't'tc a<)fj)t< ")t )n<')K-))ro]om;:t'meutdf PQ. auque) ras tf jotint w' s<'rait m)9sisur

f~/ 1 (('[)t")"))~<'))tf))).tt.st :)-()))(':n)<)<')~')))t)"i)'t
A/f~/y. t'!)(;u
aMttt-dt.'otit'n' Hf!t~;n« /<«

tf~.

~i–~L~,lll~ /,< .Ul~ A<M< !\(.

~(.

-j.