M-Untergruppen von Restklassengruppen

-Untergruppen v o n R e s t k l a s s e n g r u p p e n

Von

Wilfried NSbauer, Wien (Eingelangt am 23. Mlirz 1956)

Einleitung: Die nachfolgenden Untersuchungen sind zum Teil eine

Fortsetzung meiner Arbeit ,, Gruppen von Restklassen nach Restpolynomidealen in mehreren Unbestimmten" [Monatsh. Math. 59, 118--145 (1955)]. Sic ruben auf den grundlegenden Definitionen und Siitzen dieser Arbeit - - die im folgenden stets als [1] zitiert wird m u n d schlieBen auch in der Bezeichnungsweise ganz an sie an. In [1] wurde der Begriff der ,,natiirlichen Untergruppe" eingefiihrt. Wir haben dort am Beginn yon w2 gesagt, dal~ wit als natiirliche Untergruppe eine Untergruppe yon @~ bezeichnen, deren Elemente sich alle dutch Polynomvektoren von ganz bestimmter Gestalt repriisentieren lassen. Als Beispiele soleher Untergruppen haben wir die Gruppen ~| (ab w 2), die Gruppen z ~ (in w 14) und die Gruppen l ~ (in w 15) betrachtet. In dieser Arbeit hier son nun der vielleieht etwas unseharf umrissene Begriff der natiirlichen Untergruppe ersetzt werden dureh den der ~-Untergruppe. Dieser Begriff wird zun~ichst so allgemein wie mSglich gefaBt, im Laufe der Untersuehungen werden wit dann abet verschiedene Spezialisierungen vornehmen. SehlieBlich werden wit auch noeh einige neue Beispiele yon ~-Untergruppen betrachten und die erhaltenen allgemeinen Satze und Methoden darauf anwenden. w 1. Es sei k ~ 1 eine feste natfirliche Zahl. Jeder natiirlichen Zahl n sei eine Menge yon Polynomvektoren ~(n) aus _Fk eindeutig zugeordnet. Mit !8~ bezeichnen wir die Menge aller Elemente yon T'k I A~, die einen Vertreter in ~rj~(n) haben. Weiter setzen wir =

n

(1)

Wit erhalten dutch (1) zu jeder Gruppe @~ (n----l, 2, . . . ) einen (eventuell auch leeren) Komplex 1I~ c (~. ~[onatshefte fiir Mathematik, Bd. 60/4,

19

270

W. NSbauer:

Es sei {n} die Menge aller n, fiir welche 1I~ eine Untergruppe yon | ist - - diese Menge kann aueh leer sein; wir bezeichnen {n} als Erkl/irungsbereieh der ~fJ~-Untergruppe 1I~ und 1I~ selbst als ~D~-Untergruppe; 1I~ ist also nicht eine einzelne Gruppe, sondern eine Menge yon Gruppen, deren Elemente den ZaMen yon {n} eineindeutig zugeordnet sind. Natiixlieh h/ingen {n} und 1I~ ab yon den Mengen ~J~(n), yon denen man ausgeht. Wit bezeichnen im folgenden einen Polynomvektor yon ~Yj~(n)stets als n-Normalvektor und einen Vertreter eines Elementes E yon F k I A~, der zu ~ ( n ) gehSrt, als lqormalvertreter yon iV. Die Zahlen m C {n} werden eharakterisiert dutch folgenden Satz, dessen Riehtigkeit unmittelbar einzusehen ist: Dann und nur dann gilt m G {n}, wenn zu je zwei Normalvertretern ~(;) und g(;) fiir 1I~ ein m-Normalvektor D(;) mit

~(~)_~ I(~(~)) rood A~

(2)

vorhanden ist. Daraus folgt sogleich: Es gilt m e{n}, wenn zu je zwei m-Normalvektoren ~(~) und ~(~) ein m-Normalvektor ~)(~) vorhanden ist, weleher (2) erfiillt. Darans wieder ergibt sich folgender Satz 1: Die natiirliche Zahl m gehgrt zum Erklgrungsbereich der ~ UntergruTpe 1I~, wenn mit ~(~) und ~(~) stets auch ~(~(~)) sin m-Normalvektor ist. Wit nehmea im folgenden stets die Giiltigkeit folgender Voraussetzung fiir 1I~ an: V 1: Der Erkli~rungsbereich yon 11~ bestehe aus allen nati~rlichen Zahlen. w 2. I~un untersuehen wir, wie die Struktur yon Xt~nmit dem multiplikativen Aufbau yon n zusammenh/ingt.Wir fiihren zua/iehst folgende Voraussetzung ein: V 2: Wenn m I n, so gilt ~/~(n) c. ~J~(m). Nun beweisen wit die Giiltigkeit yon Satz 2: Gilt V 2, dann ist ]iir n : ab mit (a, b) : 1 stets 1I~ eine Untergruppe des direkten Produktes 11~ • 1I~. Man betrachte niimlich die naeh [1], w 4 stets mSgliche Zerlegung yon ~ in das direkte Produkt | • | Wie dort gezeigt wurde, erfolgt diese Zerlegung, indem iedem P C (~n das 1)aar P~, F b aus ~ bzw. (~ zugeordaet wird, das irgendein Vertretervektor I(~) yon E repr~sentiert. Gilt nun F ~ 1I~, so kann ~(~) aus ~(n) gewi~hlt werden, wegea

~3~-Untergruppen yon l~estklassengruppen

271

V 2 gilt daher ~(~)G~J~(a) und [(~)C ~(b), daher gilt F~ C lI~ und Wir beweisen nun zunachst: Ist V 2 erfiillt und n = ab mit (a, b) = 1, so gilt dann und nur dann die Beziehung

wenn zu jedem Paar f~(~), fb(~) yon ~Tormslvertretern aus ~ bzw. 1~ ein n-Normalve~tor ~n(~) existiert, der die Kongruenz ufa(~ ) ~- vfb(~) _= f~(~) rood A~

(4)

erfiillt, u und v sind dabei die in [1], w 4 eingefiihrten Zahlen. Ist n~mlich f~(~), fb(~) so ein Paar, das die Elemente F~ C 1I~ und F b C 1I~ vertreten mSge, so wird das eindeutig bestimmte Element yon ~ , dem das Paar F~, F b zugeordnet ist, nach [1], w 4 vertreten dutch den PolYnomvektor

ufo(~) + v~b(~) Gilt nun (3), so gehSr~ dieses Elemen~ zu 1~, besitzt also einen n-Normalvektor ais Vertreter, so da~ (4) gilt. Da~ umgekehrt (3) aus (4) folgt, ergibt sich unter Beachtung yon Satz 2 ganz/~hnlich. Wir bezeichnen eine ~Pj~-Untergruppe 1I~ als multiphkativ, wenn f'fir n =- ab mit (a, b) -~ 1 stets (3) erfiillt ist. Aus dem oben bewiesenen Satz ergibt sich nun sogleich folgender Satz 3: Die ~D~-Untergruppe 1I~ ist multiplikativ, wenn V 2 erfiillt ist und ]igr n ~ ab mit (a, b) = 1 stets z~ ]edem Paar

f~(~) 6 ~(~)

f~(~) e ~(b)

ein [~(~) C ~J~(n) existiert, so daft gilt:

~(~) _--ufa(~) + v~(~) rood A~ Daraus ergibt sich welter sogleich folgender, fiir die praktische Anwendung niitzlieher Satz ~: Die ~)~-Untergruppe 1I~ ist sicher multipl@ativ, wenn ~J~(n) ~ ~J~ yon n unabhiingig und als Teilmenge des Velctorraumes N~ ein Modul ist.

Welter gilt folgender Satz 5: Ist V 2 er/igUt, so ist ]iir qn In stets eine Homomorphie yon

Beweis: Ist F ~ 1I~ und ~(~) Normalvertreter yon F, so gilt:

~(~) e ~(n) ~ ~(~-)

272

W. NSb~uer:

~(~) erzeugt ein volles Vektorsystem rood n, daher auch ein volles Vektorsystem mod m, vertritt also ein Element _~ von 1I~, das wit dem ~v als Bild zuordnen. Da ein Restpolynomvektor rood n auch Restpolynomvektor mod m i s t , ist dieses 2' eindeutig bestimmt. Ist G ein weiteres Element yon lI~ mit dem l~ormalvertreter ~(~), so wird FG vertreten durch I(~(~)); das Bild _FG yon FG wird daher aueh dutch ~(g(~)) vertreten, ist also gleieh F G. Wit bezeichnen eine ~-Untergruppe 1I~ als teilertreu, wenn fiir ] n stets 1I~ homomorphes Bild yon 1I~ ist. Aus satz 5 ergibt sieh sogleich Satz 6: Bei Er/iilltsein yon V 2 ist eine hinreichende Bedingung da]i~r, daft die ~-Untergruppe 11~ teilertreu ist: Wenn m In und ~(~) ein gegebener Normalvertreter yon 1I~ ist, so gibt es stets einen Normalvertreter [(5) yon 11~, so daft --

rood

Satz 7: Ist V 2 er]iillt, 1I~ multiplil~ativ und gilt ~ ( p ~ ) : ~(p) tier ]edes r ~ 1 un4 ]ede Primzahl T, so ist 1I~ dann und nur dann teitertreu, wenn ]iir ~ede Primzahl p das 11~ homomorThes Bild yon 1I~ ist. Beweis: Dal~ die Bedingung des Satzes notwendig ist, ist klar. Dalt sie abet auch hinreichend ist, sieht man folgendermal]en: Zunachst ist aueh fiir e > 2 stets 11~-1 homomorphes Bild yon 1I~. Ist n~mlich ~11~-1 und ~(~) Normalvertreter fiir _~, so erzeugt ~(~) ein volles Vektorsystem mod p *-1 und liegt in ~(p), erzeugt daher nach [1], Hilfssatz 2a auch ein volles Vektorsystem rood p~ und liegt naeh Voraussetzung in ~(p~), vertritt also ein Element F C U~e, alas bei der Homomorphie von Satz 5 auf F abgebildet wird. Es ist deshalb unter den Voraussetzungen yon Satz 7 stets 1I~-~ homomorphes Bild yon 1I~. Ist nun

so gilt nach Voraussetzung und dem bisher bewiesenen, wenn Wir zu Vereinfachung vo~iibergehend setzen 11~ = | und homomorphe Abbildung dutch einen Pfeil ausdriicken: @(n) =

H

= @(m)

w3. Wir nehmen an, dal] die Voraussetzung V 2 erffillt sei. Nach Satz 5 ist dann stets eine Homomorphie yon ~I~ in 1I~~-1 mSglich. Wit wollen zu gegebenem F ~ 11~~-1 alle Elemente von 1I~ ermitteln, die bei dieser Homomorphie auf F abgebildet werden.

~-Untergruppen yon Restklassengruppen

273

Um hier praktiseh anwendbare Ergebnisse zu erha]t, en. hat man wieder gewisse einsehriinkende Voraussetzungen zu maehen. Wir fiihren also ein die Voraussetzung V 3: Ist ~(p~, p~-l) die Menge aller Polynomvektoren der Gestalt ~(~) - - f(~)

~(~) e ~(p~), [(~) e ~(p~-l)

so gilt stets: 1)(~) + b(~) G ~(p~), wenn ~(~) e ~(p~-~) und b(~) e ~)(p~, p*-~) Wir bezeiehnen nun mit ~ die Gesamtheit der Restklassen nach A ( , welche einen Vertreter in ~(p~, p~-l) haben und setzen (in der Bezeichnungsweise yon [1], w 9)

n0 ( ist also die Gesamtheit der Restklassen yon ~, deren Polynomvektoren Restpolynomvektoren rood p~-I sind. Unter einem Normalv~rtreter yon verstehen wit einen Vertreter eines Elementes yon ~, der ill ~(p~, p~-l) liegt. Nun beweisen wir: Satz 8: Man erh~ilt bei Gi~ltigkeit yon V 3 ein genaues Normalvertretersystem der Elemente yon 1I~, die bei der Homomorphie yon _.p~ll _.~;n--p]lk~-Iau[ ein bestimmtes Element F G 1I~-1 abgebildet werden, wenn man mit einem Normalvertreter ~(~) [i~r F die Gesamtheit der Polynomvektoren ~(~) = f(~) + b(~)

(5)

bildet, wobei b(~) im Falle e > 2 alIe Vektoren eines genauen Normalvertretersystems ]iir ~ durchlgu]t, im Falle e -~ 2 alle ]ene Vektoren eines genauen NormaIvertretersystemes [iir ~, bei welchen die Bedingung D([(~) + b(~)) ~ 0 mod p

(6)

]itr ]eden ganzzahligen Velctor ~ er]iillt ist (D bedeutet wie in [1] Bildung der Funktionaldeterminante). Beweis: Ist G ein Element yon 1I~, das auf F abgebildet wird, und 9(~) ein Normalvertreter fiir G, so ist fi(~) aueh Vertreter yon Y. Daher ist ~(~) - - ~(~) Restpolynomvektor rood p~-~ und Vektor aus ~(p*, p~-l), also Vertreter einer Restklasse aus ~. In dem gegebenen Normalvertretersystem fiir ~ gibt es also einen Vektor b(~), so dab g(g) - - f(~) _=b(~) rood A~~ also ~(~) _--~(~) + b(~) rood A ( Im Falle e ----- 2 folgt daraus, dab 6(~) und daher auch [(~) + b(~) ein

274

W. N5bauer:

volles Vektorsystem mod p~ erzeugt, nach [1], Hilfssatz 2 das Erfiilltsein y o n (6).

Jeder der Vektoren (5) gehSrt wegen V 3 zu ~J~(~*)und erzeugt ein volles Vektorsystem rood p ~ - i b(~) ist ja stets Restpolynomvektor mod p ~ - 1 - daher aueh ein volles Vektorsystem mod p e nach [1], Hilfssatz 2a bzw. im Falle e = 2 naeh [1], Hilfssatz 2. Daher ist er Normalvertreter eines Elementes yon 11~* und dieses Element hat ersiehtlieh F zum Bild. Wiirden zwei Polynomvel~toren (5) dasselbe Element yon l~e vertreten, so ware ihre Differenz Restpolynomvektor mod p*, also wgre unter den b(~) eine Restklasse naeh A ( mindestens zweimal vertreten. Wit werden Satz 8 sparer bei der Untersuehung einiger spezieller Beispiele yon ~)~-Untergruppen anwenden. Fiir diese Anwendungen niitzlich ist folgender Satz 9: Es ist V 3 er]iillt, wenn ~X(~~) ---- ~7~(p~-1) und ein Modul ist. Dann gilt niimlieh ~(p~, ~-1) ~ ~ ( ~ ) (7) und damit V 3. Bei praktischer Anwendung yon Satz 8 hat man nun folgenderma~en vorzugehen: 1. Man ermittelt ~)(p~, p,-1). Dies ist sehr leieht, weml die Voraussetzungen yon Satz 9 erfiillt sind; dann gilt ntimlieh (7), wie wit schon festgestellt haben; da aber in diesem Falle ~(p~) auch den Nullvektor enthiilt, gilt auch: ~(pe) := ~(p~, p~-~) also haben wit ~(p', p'-~) = ~(p') 2. Man sucht sich ein genaues Normalvertretersystem fiir s Dies geschieht am besten, indem man alle Vektoren aus ~)(p~, p~-l) aufsueht, welche Restpolynomvektoren rood p~-x sind, und daraus ein genaues System rood A~~ inkongruenter Vektoren auswiihlt. 3. Ist nun e > 2, so braueht man blo$ mit diesem Vertretersystem noch alle Vektoren (5) zu bilden. Im Falle e = 2 hat man die Vektoren (5) zu bilden und daraus alle die auszuwahlen, welehe (6) erfiillen. w 4. In den bisherigen Oberlegungen war k stets eine festgehaltene Zahl. Wir nehmen nun abet an, dal~ auch k, ebenso wie n, alle natiirlichen Zahlen durehlaufe. Es sei also nun jedem Zahlenpaar (n, k) eine Menge YJ~(n,k) yon Polynomvektoren aus F~ eindeutig zugeordnet. Wir

~ - U n t e r g r u p p e a von Restklussengruppen

275

definieren wieder 1I~ durch (1); der Erkl~rungsbereieh von lI~ wird dann eine Menge yon Zahlenpaaren (n, k). Wit nehmen auch wieder die Gfiltigkeit von V 1 ffir 1I~ an: V 1: Der Erkliirungsbereich yon !I~ besteht aus allen Paaren yon natiirlichen Zahlen. Will man allgemeine Aussagen fiber H~ maehen, so mull man wieder einsehrgnkende Voraussetzungen fiber ~)~(n, k) einfiihren: Es sei ira folgenden stets ~ = ( x l , xz ... xk) und k > 1. Wit streichen in sgmtlichen Polynomvektoren yon ~ ( n , k) die k-re Komponente. So erhalten wir eine Menge ~ft'(n, k)yon (k--1)-dimensionalen Polynomvektoren fiber F[~k]. Wit ffihren nun folgende Voraussetzung ein: V 4: Es soll stets gelten ~Jt'(n, k) c_.~.9~(n,k--l). Nun beweisen wit folgenden Satz 10: Ist V 4 erfiillt, so liiflt sieh H~ stets homomorph abbiIden in k--1 1I n .

Ist namlieh F ff 1I~ gegeben und [(~) Normalvertreter daffir, also ein Vektor aus ~ ( n , k), so entfernen wit die k-re Komponente des ~(~) und erhalten einen Vektor ~(~) C ~(n, k--l). Dieser erzeugt ein volles Vektorsystem rood n. Es ist ja doch ~(~) ~ t rood n

(8)

ffir jeden g~nzzahligen Vektor t 15sbar, Mso aueh dana, wenn die ersten k--1 Komponenten yon t einen gegebenen Vektor t bilden. Ist ttk ein LSsungsvektor yon (8) und uk_ 1 der daraus dureh Streiehen der k-ten Komponente entstandene Vektor, so gilt: ~(uk_l) - t rood n

denn wegen V 4 kommt xk nur in der k-ten Komponente yon ~(~) vor. k--1 , d a s wit dem 2' ~ls Bild zui(~) vertritt also ein Element _F aus 1I~ ordnen. Dal~ dieses Bild F eindeutig bestimmt ist, ist sehr leieht einzusehen: Geht man yon einem anderen Normalvertreter g(~) ffir F aus, so ist ~(~)--g(~) Restpolynomvektor rood n, daher aueh i(~)--g(~) Restpolynomvektor mod n. Es seien nun iv, G zwei Elemente aus 1I~ mit den Normalvertretern ~(~), g(~). Es sei t)(~) NormMvertreter yon FG; d~nn gilt " ~)(~) - [(fl(~)) rood A~ Um Normalvertreter fiir die Bilder F, G und ~

zu erhalten, brauehe

276

W. NSb~uer:

ieh in den Vektoren f(~), g(~), ~)(~) bloI~ die k-ten Komponenten zu entfernen. Bei der Bildung yon [(g(~)) werden in [(~) alle x~ durch die entsprechenden Komponenten g~(~) von g(~) ersetzt. Da nun die ersten k---1 Komponenten yon [(5) wegen V 4 das x, nicht enthalten, wird in sic nut fl(~) ... g,-l(~) eingesetzt; daraus erkennt man, dab gilt: f(~(~)) = ~(g(~)) also haben wir ~(~) - f(g(~)) = f(g(~)) mod A;_ 1 das heigt: FG =- F G. Wir fragen uns nun, under welchen weiteren Voraussetzungen die Homomorphie yon Satz 10 ein Homomorphismus ist. Von den Voraussetzungen, aus denen dies gefolgert werden kann, betrachten wir nut die einfache Voraussetzung V 5: Zu ]edem Polynomvektor ~(~) C ~(.a, k--l) soll der daraus durch Anhgngen yon x~ als letzte Komponente entstehende Polynomvektor (-~(~),x~) in ~(n, k) liegen. Wir beweisen nun Satz 11: Gilt g I und V 5, so ist 1I~- 1 homomorphes Bild yon 1I~. Ist n~tmlich F C 1I~-1 und ~(~) Normalvertreter fiir F, also ein Polynomvektor aus ~ ( n , k--l), so bilden wir den Vektor =

e

k).

Wie man leieht einsieht, erzeugt ~(~) ein volles Vektorsystem rood n, ist also Normalvertreter eines Elementes yon 1I~, welches bei der Homomorphie yon Satz 10 das gegebene Element F a u s 1I~-1 zum Bild hat. Nach Satz 10 ist bei Erfiilltsein yon V 4 stets eine I-Iomomorphie yon 1I~ in 1I~-1 mSglich, also ein Homomorphismus yon tt~ auf eine Unterk--1 gruppe !8~-1 r 1I~ . Alle die Elemente yon 1I~, die dabei auf das Einheitselement E abgebildet werden, bilden einen Normalteiler ~ c 1I~. Uber diesen Normalteiler beweisen wit nun Satz 12: Der Normalteiler ~ c ]J~ besteht genau aus den Elementen yon 1I~, die einen Vertretervektor der Gestalt (~-1, g(~)) besitzen, es gilt also: =

(9)

Ist n~imllch V C ~ und t~(~) Normalvertreter yon V, so bilden wir daraus durch Enffernen der k-~en Komponente den Vektor ~(~); dieser ist Vertreter des Bildelementes yon V in 11~ ~-~, also yon E, es gilt daher: ~(~) = ~_~ rood A~_~ daher besitzt V einen Vertretervek~or der Gestalt (~_1, g(~)). Besitzt

~JbUntergruppen yon l~estklassengruppen

277

umgekehrt V C 1I~ einen Vertretervektor dieser Gestalt, so besitzt das Bildelement V yon V als Vertreter den Vektor ~-a, ist also E. Es gilt also in der Bezeiehnungsweise yon [1], w2:

Gilt umgekehrt V C 11~und V 6"~_1q6~,so gilt auch V C ~ , so dab also (9) richtig is~. Die Gruppe 11~ ist bei Erfiilltsein yon V 4 jedenfalls Erweiterung von ~ durch ~ k-1., ist aueh V 5 erfiillt, so ist sie sogar eine Erweiterung yon ~ dutch 11~ k-1 . DarEber hinaus gilt Satz 13: Gilt V 4 und V 5, so ist lI~ eine zerlallende Erweiterung yon ~ d u r c h lI~k-1. Beweis: Wit haben zu zeigen, da$1I~ eine Untergruppe als Vertretersystem naeh ~ entMlt. Nun besteht aber jede Nebenklasse yon 1I~ nach ~ aus allen Elementen yon 1I~, die auf ein bestimmtes Element H C 1I~-1 abgebildet werden. Ist ~(~) Normalvertreter dieses Elementes, so gilt e

daher gehSrt der Vektor (~(~), xk) zu ~ ( n , k) und ist also Normalvertreter eines Elementes K C 1I~; dieses K wird tats/~chlich auf H abgebildet. Wit bilden nun die Gesamtheit der Vektoren 00)

wobei ~(~) ein Normalvertretersystem von 1I~-~ durchlguft; die dadurch vertretenen Elemente yon 1I~ bilden ein Vertretersystem fiir 1I~ I ~ . Sind nun F, G zwei Elemente dieses Vertretersystemes, deren Vektoren der Form (10) gegeben seien dureh =

=

so wird FG vertreten dutch =

k--1 Nun vertritt abet ~(~(~)) ein Element yon II~ ; dieses Element besitzt auch einen Vertreter ~(g) in dam Normalvergretersystem, das yon ~(g) durehlaufen wird, also gilt

f(~(~)) _=~(~) rood A~_~ also auch ~(~(~)) z (~(~'), x~) mod A~ es liegt also aueh FG in unserem Ver~retersystem, dieses bildet also tats/~chlich eine Gruppe.

278

W. NSbauer:

w 5 Wit betrachten nun fiinf spezielle, einfache Beispiele yon ~ Untergruppen und wollen darauf die bisher abgeleiteten allgemeinen Satze anwenden. Wit werden dabei nicht jede der Untergruppen fiir sieh untersuchen, sondern die einzeinen Schritte immer fiir alle Untergruppen zugleieh vornehmen, au~erdem werden wit uns manchmal ziemlieh kurz fassen. Wit setzen wie bisher ~v = (xl, x2 ... xv) fiir v ~ 1; ein Symbol g(~0) soll stets eine beliebige Konstante bedeuten, ebenso die Symbole a~ und a. Fiir !~J~(n,k) nehmen wit der Reihe naeh die Menge aller k-dimensionalen Polynomvektoren von folgender, dutch Angabe ihrer v-ten Komponente festgelegten Gestalt: ~

2. 3. 4. 5.

~(~) = ( ~ ( ~ ) ) ~(~) = ( ~ ~ ( ~ - 1 ) + h~(~_0)

~(~) = (x~ a~ + h~(~_~)) ~(~)= ( ~ a + h~(~_J) ~(~) = (x~ ~- hv(~v_l) ) Alle diese ~rj~(n,k) sind also yon n unabhangig; wit werden dahe~ ~(k) dafiir schreiben. Man erkennt nun durch eine ganz einfache Reehnung in jedem der fiinf Falle: Ist ~(;) G ~(/s) und ~(~) C ~(k), dann gilt aueh ~($(~)) ~(k). Nach Satz 1 ist daher die Voraussetzung V 1 in der erweiterten Form yon w4 erfiillt. Selbstverstandlich gilt auch die Voraussetzung V 2 in allen Fallen. Wie man sehr leicht einsieht, ist ~(k) in den Fallen 1, 2, 3, 4 ein Modul. Also ist die ~-Untergruppe in diesen Fallen nach Satz 4 multiplikativ. Dies ist sie aber auch im Fall 5; das folgt aus Satz 3, denn es ist ja doch u(x~ + t~(~-1)) + v(z~ + g~(~-l)) = -~ ((u + v) x~ + u/~(~,-1) + v g~(~-l)) = (x~ + h~(~_l) ) rood A~ nach Definition der Zahlen u und v in ~1], w4. Wit werden nun zeigen, daI~ die ~fJ~-Untergruppe in allen fiinf Fallen aueh teilertreu ist. Dazu werden wir folgenden Weg einsehlagen: Nach Satz 9 ist die Voraussetzung V 3 erfiillt in den Fallen 1, 2, 3, 4 und wie man direkt sofort erkennt, auch im Fall 5. Daher kann man in jedem Fall Satz 8 anwenden; es wird sieh dabei zeigen, dab iedes Element k aus lip,-1 Bild mindestens eines Elementes aus 1I~ ist, so dal] also stets

~-Untergruppen yon l~estklassengruppen

279

eine homomorphe Abbildung yon 1 ~ auf 1I~-1 mSglich ist. Aus Satz 7 folgt dann sofort, da~ die ~t~-Untergrulope in jedem der fiinf Fitlle teilertreu ist. Wit erhalten dutch dieses Verfahren abet gleichzeitig aueh Rekursionsformeln fiir die Ordnungen der 1Irks,die wir abet nicht explizit anschreiben werden. Wit wenden also nun die Methode yon w 3 auf die fiinf Fiille der Reihe nach an: 1. Es gilt ~(p~, p , - 1 ) = ~(k) nach einem allgemeinen Satz yon w 3. Welter haben wir: Satz 14: Man erhiilt ein genaues Normalvertretersystem ]iir ~, wenn man in dem Vektor b(~) = (lv(~v)) (11) jede der Komponenten /v(~v) ein 9enaues Vertretersystem ]i~r das Ideal ~P~ yon [1], w9 in den Unbestimmten ~v durchlau/en l~iflt. Beweis: Naeh Definition yon s besitzt jades Element F C ~ einen Vertretervektor f(~) = (ajar)) in dem alle av(~v ) Elemente yon 9~p~ in den Unbestimmten ~v vertreten. Ersetze ieh hier die Komponenten av(~v ) durch dazu nach A p~kongruente Polynome, so erhalte ieh wieder einen Vertreter fiir E; daher besitzt iv auch einen Vertreter in (11). Umgekehrt ist jeder Polynomvektor yon (11) Vertreter eines Elementes yon ~ und eines Elementes yon 09~~, also Vertreter eines Elementes yon 2, und zwar Normalvertreter. DaB je zwei Vektoren (11) verschiedene Elemente yon ~ vertreten, ist klar. Im Falle e = 2 folgt aus dem soeben bewiesenen Satz 14 dutch Anwendung yon [1], Hilfssatz 10 sogleich Satz 14a: Man erhSlt ein genaues Normalvertretersystem ]iir ~ bei e -~ 2, wenn man in dem Ausdruck

t>(~) = |

~(~) + p t(;)

(12)

das ~(~) aUe Matrizen aces Potynomen tier Normal]otto rood ?9von /olgender Gestalt [ 811(~1)

|

. . . . .

0

] s~(~) s~(~) . . . .

0

o

---=

(13) ._

I s~(~)

s~(~) ..... s~(~)

280

W. N6bauer:

und das t(~) alle Vektoren aus Polynomen der Normal]otto rood p yon [olgender Gestalt durchlau/en liiflt: t(:) = (t:(::),t~(~) .,. t~(~))

(1~)

Nach nnserer allgemeinen Methode miissen wi~ nun yon den Vektoren (12) noch alle die heraussuchen, welche zu einem gegebenen Normalvertreter ~(~) fiir ein Element zv von 1I~ die Bedingung (6) erfifllen. Dies leistet uns folgender Satz 15: Ein Polynomvektor b(~) yon Satz 14a er/i211t gerade dann die Bedingung (6), wenn ]i~r alle seine sa(~,) gilt:

~s s,,(:) ~ 0 rood p

a xi

(15)

/iir ~ectes ganze ~. Beweis: Sei ~(~)-~ (]v(~v)), dann haben wit I(~)+ b(~)-~ (gv(~v)), wobei fiir die Komponenten dieses Vektors gilt y

g,(~) = 1~(~) + ~ s ~ ( ~ ) ( ~ - - x~) + p t~(~) also haben wir fiir # G ~:

0 g~(~) _ ~ t,(~,) + _~s~,(~____ a 2) a xl, 0 x~ ~=: a % (x~--x~)+s~(:~) (p x~-:---1)+p ~ ax~t~(:~) und flit ,u ~ ~: 0

a~ Daraus ergibt sich unschwer:

D(f(~) + b(~)) :.:

a x,

womit der Satz bewiesen ist. Um nun festzustellen, wie viele Elemente yon lI~e auf das gegebene Element F yon 11~,-1 abgebildet werden, brauche ich im Falle e > 2 bloB die Anzahl der Vektoren (11) abzuz~hlen, wi~hrend ich fiir e-~ 2 die Anzahl der Vektoren (12) zu zahlen babe, welehe (15) erfiillen. Im ersten Fall erhalte ich bei Verwendung der Bezeichnungsweise yon [1], w 12 flit die gesuchte Anzahl Z: den Ausdruck k Zl =//Uev y~I

((DO) = pW,

k W 1 = ~ •: (oo) Y=I

~-Untergruppen yon Restklassengruppen

281

Im zweiten Fall ergibt sich die gesuchte Anzahl T1 folgendermal3en: Ich habe in (13) und (14) an MSghchkeiten der Wahl ffir die s~j(~) mit ] < i je p~ fiir die si~(~) mit Riicksicht auf (15) je (p--l) pi (man beachte n~tmlich, dal] nach [1], Hiffssatz 8 die Polynome der Norrnalform rood p in i Unbestimmten umkehrbar eindeutig den eindeutigen Abbildungen des ~-dimensiona]en Vektorraumes fiber dem PrimkSrper H rood p auf//entspreehen) fiir die t~(~) je pd Also gilt k

T1 ~- H p ~ (p--l) pi -= I I [pi(p--1)]P~ i=l

i=l

2. Auch hier gilt ~D(pe, pe-1) _-- ~(k) nach dem allgemeinen Satz yon w 3. Wit haben bier: Satz 16: Man erhiilt ein genaues NoTmalvertretersystem /iir ~, wenn man in dem Vektor b(~) = (x~ g~(~-l) + h~(~_l)) (16) sowohl die gv(~v-1) als auch die hv(~v_l) ]e ein genaues Vertretersystem /iir das Ideal 91/ in den Unbestimmten ~v-1 durchlau/en liifit. Beweis: gedes Element F 6 2 besitzt einen Vertretervektor ~(~) yon folgender Gestalt

f(~) = (x~ ~(~=~) + h~(~.-1)) in dem jede Komponente Restpolynom r o o d / - 1 ist. Durch Einsetzen des Vektors (~'-1, 0) erkennt man, daI] h~(~,-1) und daher auch g~(~-l) Restpolynom rood p~-i ist. Daraus ergibt sich sogleich, dal] F einen Vertreter (16)besitzt. Man sieht leicht, dal] umgekehrt jeder Vektor (16) Normalvertreter eines Elementes yon 2 ist. DaI~ je zwei Vektoren (16) verschiedene Elemente yon ~ vertreten, erkennt man, wenn man die Differenz zweier solcher Vektoren betrachtet und darin den Vektor (~-1, 0) einsetzt. Einen entsprechenden Satz fiir den Fall e----2 erh~lt man wieder dutch Anwendung yon [1], Hilfssatz 10: Satz 16a: Man erltiilt ein genaues Normalvertretersystem ]iir ~ bei e = 2, wenn man in dem Vektor

b(~)= {[x~~(~_~) + ~(~-i)] o(~_~) + p[x~ t(~_~) + t(~_~)]}

(17)

282

W. NSbauer:

das ~(~-1) und ~(~--1) i e alle (v--1)-dimensionalen Polynomvektoren aus Polynomen der Normal/otto mod p in ~--1 Unbestimmten und das t(~_l) und t(~_ 1) ]e nile Polynome der Normal]otto qnod T in r--1 Unbestimmten durchlau]en liiflt. Wit haben nun wieder zu ermitteln, welche von den Vektoren (17) zu einem gegebenen Normalvertreter f(~) fiir ein Element von 1I~ die Bedingung (6) efffillen. Dazu benStigen wir zun~ichst einen Satz fiber f(~), niimlich: Satz 17: Der Polynomvektor f(~) = (x~ g~(~-l) + hJg-1))

(18)

erzeugt nut dann ein roUes Vektorsystem ~nodp, wenn ]iir ]edes v gilt: g~(~-l) ~ 0 mod p/i~r alle ganzzahligen ~,-z. Beweis: Ware ffir irgendein v und einen ganzen Vektor ~ - 1 dann wfirde der Polynomvektor f(~) ffir alle pk-~+l Vektoren mod p yon der Gestalt (~,-1, i) - - wobei also i ein k - - ~ + l dimensionaler, ganzzahliger Yektor ist - - einen Vektor der Gestalt (t), u) ergeben, wo t) ein fester v-dimensionaler Vektor ist und u ein k--v-dimensionaler Vektor. Es wi~ren also die Werte yon f(~) fiir Tk-~+l Vektoren mod p unter pk-~ u mod p zu suchen, daher mfil]ten mindestens zwei dieser Vektoren denselben Weft rood p ergeben und ~(~) wiirde kein volles Vektorsystem rood p erzeugen. Mit Hiffe von Satz 17 erhalten wit Satz 18: Die Bedingung (6) wird stets yon allen Polynomvektoren b(~) aus (17) er]iillt. Man kann n~mlich setzen f(~)+ b ( ~ ) : (h~(~,~)) und hat dann ersichtlich D(f(~')

+ t)(~)) =

H

a h~(~)

Nun ergibt sich aber aus (17) und (18)

h~(~) = x~ g~(~_~) + h~(~_~) + ~ (x~ sAg_~) + i~J~_~)) (x~'x3 + i=l

+ p(x~ t(~_~) + i(g_~)) also

woraus Satz 18 folgt.

~J~-Un~ergruppenyon Restklassengruppen

283

Um wieder zu ermitteln, wieviele Elemente yon lI~e auf das gegebene k Element F yon 1I~)~-1 abgebildet werden, brauche ich also hier blo$ die Vektoren (16) bzw. (17) zu zahlen. Fiir die dabei auftretenden Zahlen , fiir die wir analoge Bezeichnungen wie beim Fall 1 wahlen, ergibt sich: k

k--1

z2 = (//u~ -1 (~))2 = p~.

~ (~)

w2 = z

(dabei ist ~0 (~) _-- 1 zu setzen). k

k

T2 _.~ 171f (ppv-1)2(,~,-1) p2p ~-1 __~ ( / - / p v p U - 1 ) 2

~__

p2v,

k V2 ~-- X v p~,-1

3. Aueh in diesem Fall haben wir ~(p*, pe-~) = ~(k). Es gelten hier folgende Satze: Man erh/~lt ein genaues Normalvertretersystem fiir ~, wenn man in b(~) = (p~-~ a, x~ + h~(~_~)) jedes der a~ die Zahlen 0, 1 ... p--1 und jedes der h,(;~_l) ein genaues Vertretersystem fiir das Ideal 9Ap*in den Unbestimmten ~ - 1 durchlaufen last. Man erhalt im Falle e ~-- 2 ein genaues Normalvertretersystem fiir ~, wenn man in dem Vektor b(~) : (p a. x~ ~- ~(~_~) ~(~_~) + p t(~._~)) (19) jedes der a~, die Zahlen 0, 1 ... p - - l , jedes der ~(~_~) alte (v--1)-dimensionalen Polynomvektoren aus Polynomen der Normalform mod p und jedes der t(~_l) alle Polynome der Normalform rood p durehlaufen la]t. Der Beweis geht genau so wie in den vorhergehenden Fallen. Welter erkennt man durch Ausrechnen von D(~(~) -]- b(~)) zu gegebenem Normalvertreter ~(~) fiir 1I3 unter Beachtung von Satz 17 leicht, da~ die Bedingang (6) fiir jeden Vektor (19) erftillt ist. Fiir die Zahlen Z, T erhalt man daher ahnlieh wie in den vorhergehenden Fallen: k

z~ =

k--I

p ' 119~ ..... ~ (oo)----p~' k

T~ = pk H p,P ~'-1 = pr, ~=1

w. = ~ + 2

~ (~)

k

Va = k + X ~, p~-~ ~,=1

284

W. N6bauer:

4. Wieder ist ~)(pe, p~-l) ~-. TJ~(k). Wie in den vorhergehenden Fallen ergeben sieh wieder folgende Satze: Man erhalt ein genaues Normalvertretersystem fiir ~, wenn man in b(~) = (p'-~ a x~ + h~(~_~)) das a die Zahlen 0, 1 ... p--1 und jedes der hJ;,_~) ein genaues Vertretersystem fiir das Ideal ~P~ in den Unbestimmten ~v-1 durchlaufen last. Man erhalt im Falle e ----2 ein genaues Normalvertretersystem fiir ~, wenn man in dem Vektor b(~) = (p a z~ + ~(~_~) ~(~_~) + p t(~_~))

(20)

das a die Zahlen 0, 1 ... p--l, jedes der ~(;~-1) alle (v~l)-dimensionalen Polynomvektoren aus Polynomen der Normalform rood p und jedes der t(~,_~) alle Polynome der Normalform mod p durchlaufen laBt, und zu gegebenem Normalvertreter [(~) fiir 11~ erfiillen alle Vektoren (20) die Bedingung (6). Man erhalt daher fiir die Zahlen Z und T: k

k--I

z ~ = p I I U ~ - ~ ( ~ ) = p ~,

w~ = 1 + x ~ ( ~ )

V~I

~=0 k

Ta = P//pvp,-1 -----pv,

g 4 : 1 ~- 2: v p,-1

5. In diesem Fall ist ~Y~kein Modul. Die Ermittlung yon ~(pe, pe-1) macht aber auch hier keine Schwierigkeiten, man sieht namlich gleich, dab dies die Menge aller Vektoren der Gestalt ~(~) = (I~(~_1)) ist. Es gelten dann folgende Satze: Man erhalt ein genaues Normalvertretersystem fiir ~, wenn man in

b(~) = (h~(~_l)) jedes der h,(~_l) ein genaues Vertretersystem fiir dab Ideal 9Ive in den Unbestimmten ~,-1 durehlaufen l~l~t. Man erhalt ein genaues No~malvertretersystem fiir ~ im Falle e --~ 2, wenn man in b(~) = (~(~_~) o(~_1) + p t(~_~)) jedes der ~(~-1) alle (v--1)-dimensionalen Vektoren aus Polynomen der Normalform mod p und jedes der t(~_l) alle Polynome der Normal-

~-Untergruppen yon Restklassengruppen

285

form rood p durchlaufen l~l~t, und zu gegebenem Normalvertreter f(~) fiir 1I~ erftillen alle diese Vektoren die Bedingung (6). Wit erhalten daher Z5 = pw.

W5 = W 4 - 1

=pvo

=

w 6. Nachdem wir gezeigt haben, daft jede der ffinf betrachteten ~-Untergruppen multiplikativ und teilertreu ist und Formeln gefunden haben, mit deren Hilfe die Ordnung yon 1I~, aus der yon 1I~-1 berechnet werden kann, wollen wit zam Abschlul] noch die allgemeinen ~berlegungen yon w 4 auf diese fiinf Gruppen anwenden; wir werden uns dabei jedoch hauptsi~chtich darauf besehriinken, die Ordnungen der 1I~ auszurechnen. Wie wit bereits festgestellt haben, ist die Voraussetzung V 1 stets erfiillt. Man erkennt sofort, dal] auch V 4 stets gilt, also kann man H~ stets homomorph abbilden in 1I~-1. Die Voraussetzung V5 ist erftillt in den Fitllen 1, 2, 3 und 5, nicht jedoch im Fall 4. In den ersteren Fallen ist die Homomorphie yon H~ in 1I~-1 also ein Homomorphismus und ll~ zerfallende Erweiterung yon 92~ dutch 1I~-1 - - 92~ ist dabei die Menge der Elemente von H~, die einen Vertretervektor der Gestalt (~k-1, g(~)) besitzen. Es gilt dann fiir die Ordnung o(1I~) der Gruppe H~: o(1I~) = o(1I~-~) o(~)

(21)

Urn o(1I~) zu erhalten, braucht man also bloB o(~) und o(1I~) zu kennen. Wit fiihren die Rechnung nun der Reihe nach fiir die einzelnen Falle dutch: 1. In diesem Falle gilt ~ = k-l| Denn jedes G e92~pist ein Element yon 1I~ mit einem Vertretervektor (~k-~, g(~)), gehSrt also zu k-l| und umgekehrt gehSrt jedes Element dieser Gruppe zu 92~. Naeh [1], Satz V gilt also =

Welter gilt ersichtlich noch: o(ll~) ~ p! Wir erhalten also: k--1

k 27P~ o(U~) = o(U~)//o(~p = (p!)~ = (p!)~b denn bekanntlieh gilt fiir den Exponenten e(pk), zu dem p in der Primzahlzerlegung yon pk! enthalten ist, die Beziehung M:on~tshefte for Mathematik. Bd. 60/4.

20

286

W. N~ibauer: a(P~) _ pk __ 1 p--1

2. Wit zeigen zun/ichst: Man erh/~lt in diesem Fall ein genaues Vertretersystem fiir ~$, wenn man in I)(~) = (;~-1, xk g(~-~) -~ h(~k-~)) (22) das h(~k_l) alle 1)olynome der Normalform rood p und das g(~k-1) a11e die Polynome der Normalform rood p durchlaufen 1/iI]t, bei denen gilt: g(~-l) ~ 0 mod p fiir jedes ganze ~k-1

(23)

Liegt namlich G in ~ , so besitzt es einen Vertretervektor der Gestalt (~k-1, g(~)), aber auch eiaen Vertretervektor der Gestalt (x~ g~(~-i) -t- h~(~_l)), daher einen Vertretervektor =

+

und man kann darin ~(~,_~), h(~,_~) dutch Polynome der Normalform rood p ersetzen, erhiilt also einen Vektor (22). Da dieser ein volles Vektorsystem rood p erzeugt, erzeugt seine letzte Komponente bei festem ~,_l als Polynom in x, ein volles Restsystem mod p, daher ist (23) erfiillt. Umgekehrt vertritt jeder Polynomvektor (22), bei dem (23) gilt, ein Element yon llv* - - er erzeugt ja ein volles Vektorsystem mod p - - und ein Element yon ~_1| also ein Element yon 1I~ n ~ _ 1 ( ~ - - ~ ; verschiedene Vektoren (22) vertreten auch vel?sehiedene Elemente yon ~v~. Durch Abz~thlen der Vektoren {22) erhalten wir: o ( ~ ) = pp~-I (p__l)p~-z = [(p--l) p]p~-I Welter gilt: o(U~) -----p(p--1), so dab wir erhalten: o(1I~) ---- [p(p--1)] e(r 3. Man erh/ilt in diesem Fall ein genaues Vertretersystem fiir ~ , wenn man alle Polynomvektoren yon folgender Gestalt bildet: ~)(~) ---- (~k-z, a x~ -4- hCg,_i)) wobei gilt 1--< a < p--1 und h(~k_l) ein Polynom der Normafform rood p ist. Der Beweis geht genau so wie ira Fall 2 und es ergibt sich dann:

o(m ) = (p--l) Welter gilt o(llv1) ----p(p--l), so dab wir erhalten :

~)~-Untergruppen yon l~estklassengruppen

o(U ) =

287

k

5. Dieser Fall l~tl]t sich genau so behandeln wie der Fall 3, und man erhttlt dabei o ( ~ ) -= ppk-1 sowie o(1I~) = p, also:

4. Dieser Fall nimmt, wie gesagt, eine Sonderstellung ein, da bier V 5 nicht erfiillt ist. Es l~il~t sich abet dennoch auch in diesem Fall sehr leicht beweisen, daI~ die Homomorphie yon 11~ in 11~-1 ein Homomorphismus ist: Ist niimlich zV C 1I~-1 und f(~) ~-- (a x~ + h~(~_l) ) ein Normalvertreter ffir F, so braucht man an f(~) als k-re Komponente blol3 a x k anzuhiingen und erhalt so den Vertreter eines Elementes yon 1I~, das auf F abgebildet wird. Man kann auch hier wie beim Beweis yon Satz 13 zeigen, dab 1I~ zerfallende Erweiterung yon ~ dutch 1I~-1 ist. Eine leichte ~berlegung ergibt, dal] ~ hier identisch ist mit dem gt~ yon Fall 5, jedo,6h gilt hier o(1I~) = p(p--1); so erhalten wir o(U ) = ( p - - l )

20'*