G. Agostinelli ( E d.)
Magnetofluidodinamica Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, September 28-October 6, 1962
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10997-3 e-ISBN: 978-3-642-10999-7 DOI:10.1007/978-3-642-10999-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1962 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, September 28-October 6, 1962
MAGNETOFLUIDODINAMICA
C. Agostinelli:
Problemi speciali di magnetofluidodinamica .......................
1
G. Carini:
Sul concetto di pressione in magnetofluidodinamica e nel caso di un fluido dielettrico in presenza di un campo elettrico ............................................................ 79
V. C. A. Ferraro:
Magneto-idrodinamica ......................................................... 89
R. Nardini:
Su un caso particolare di onde magnetoacustiche ................ 171 Su un particolare campo magnetofluidodinamico sinusoidale in un mezzo viscoso........................................... 179
A. G. Pacholczyk: Sulla Instabilità gravitazionale e magnetogravitazionale di sistemi compressibili ................ 197 A. M. Pratelli:
Analogia tra “viscosità magnetica” e “conducibilità termica” nelle piccole perturbazioni di fluidi comprimibili ..................................... 267
U. Schmidt:
Wave propagation in M.F.D. ................................................ 287
T. Zeuli:
Su moti stazionari in magnetofluidodinamica ..................... 317
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTI (C.I. M.E. )
C. AGOSTINELLI
PROBLEMI SPECIALI DI MAGNETOFLUIDODIN
ROMA - Istituto Matematico dell'Univers:
1
PROBLEMI SPECIALI DI MAGNETOFLUIDODINAMICA C, Agostinelli
SULL 'EQUILIBRIO ADIABATICO MAGNETODINAMICO DI MASSE FLUIDE GASSOSE ELETTRICAMENTE CONDUTTRICI UNIFORMEMENTE ROTANTI E GRA VITANTI.
1. INTRODUZIONE, In questa lezione ci occuperemo dell'equilibrio adiabatico di una massa gassosa di grande conducibilita elettrica, tale da pote,!: la ritenere infinita, uniformemente rotante intorno ad un suo asse baric entrale, soggetta alIa mutua attrazione newtoniana delle particelle. fluide, e nell'ipotesi che per
E'~fetto
delle correnti di conduzione si generi in essa un
campo magnetico, La questione ha ovviamente interesse per 10 studio dell equilibrio delle masse gassose stellari ad elevatissima temperatura, e quindi di alta conduttivita elettrica, rotanti e gravitanti. Ma la sua considerazione pub essere utile non solo in problemi di astrofisica rna anche in tutte quelIe applicazioni in cui si ha da trattare con masse fluide rotanti, elettricamente conduttrici, sotto l'azione di campi magnetici, Nelle ipotesi ammesse vedremo come il campo e gli elementi del moto devono essere necessariamente simmetrici rispetto all'asse di rotazione e che la questione si riduce all'integrazione di due equazioni differenziali aIle derivate parziali in cui sono incognite quella che si pub chiamare la funzione del campo e la densita del fluido, Nel caso particolare in cui
~
nulla la componente trasversa del
campo magnetico, da quelle equazioni si pub eliminare la funzione del campo riducendo la questione alIa risoluziOI1e di un 'equazione aIle derivate parziali del
l
ordine in cui ~ incognita la sola densita , Supponendo in fine che si tratti di un plasma soggetto a intensi
cf'.mpi magnetici, in cui Ie forze di mutua attrazione newtoniana sono tra3
- 2C. Agostinelli scurabili in confronto delle azioni elettromagnetiche, la questione si riduce all'integrazione di un 'equazione differenziale del 2 ordine in cui e ancora I)
incognita la sola dens ita . 2. EQUAZIONI DEL MOTO E DEL CAMPO.
Cib premesso, ricordiamo che Ie equazioni del moto di una massa gassosa elettricamente conduttrice, in cui si gened un campo magnetico, nell'ipotesi che la viscosita sia trascurabile, in forma euleriana sono ~v
:t'"
f (Tt + rot v
(1)
aP "1t"
(2)
+
d'IV (
1
" V + "2
..,
2-+ grad V ) = I " B - grad p
+pgrad U
f"V) = 0,
la seconda delle quali e l'equazione di continuita, e dove
f
velocita delle particelle fluide,
Veil vettore
la densita, p la pressione, U il ~
..
potenziale delle forze newtoniane di mutua attrazicine, I la corr'ente di c'onduzibne e B il vettore induzione magnetica. Se supponiamo che il gas ~i
evolva adiabaticamente avremo inoltre.
(3)
con
p
C costante e
y
=
Cf
y
pure costante, uguale al rapporto tra il calore
specifico a pressione costante e quello a volume costante. AIle precedenti equazioni vanno associate quelle maxwelliane del campo che nell'ipotesi di conducibilita elettrica infinita, nella metrolo gia gaussiana razionalizzata si scrivono
4
- 3 -
C. Agostinelli
-
~
rot B = I
(4)
-+
4 + 'd B + rot (B A. v) = 0
(5 )
9t
...,
div B = 0
(6)
Trattandosi di una massa fluida uniformemente rotante con velociU angol!, re costante
~, int~rn~ ad un asse baricentrale Oz, in equilibrio rela-
tivo magnetico dinamico, gli elementi del mote e del campo saranno indipe,!! ~ di una particella fluida
denti dal tempo, la velocita
...v
(7)
sara data da
~
w 1\ (P - 0)
e Ie equazioni (I)
e
(8)
grad p
(9)
grad
dove si
P
(2) si ridurranno alle seguenti
=
rot
13
/I
B+
...
f
x k" (P - 0)
e indicata con
r
+
w2 f grad r2 + f grad U
= 0
la distanza di un punto P
dalPasse
z, e
-+
k
e versore di questlasse. Con riferimento a coordinate cilindriche
r,
'f
,z la (9)
equivale alla (9 1)
gp
alf
= 0 •
Percib la dens ita ranno funzioni di
~
,e quindi anche la pressione
r, z soltanto.
Le equazioni (5) (10)
p
.,.
rot (B II v)
=
0,
e
(6) diventano ora (II)
5
...
div B
=
0
p, sa-
·4·
C. Agostinelli dalle quali, se indichiamo con Br , B", ' Bz Ie componenti cilindriche: del campo magnetico, si deduce che sarl anche
Queste relazioni mostrano che il campo
~
simmetrico rispetto all'asse z.
La (11) diventa allora (11 ')
-
e
1 -;s- (r B ) + r C1 r r
= 0
e da questa segue che esisterl una funzione B r
(12)
1
~ V
= ·r~
B
z
V (r, z) per cui si pub porre =
1.-1.!.. r
ar
Avremo percib (13)
~ = .1. ..iY grad r +1.. ...a! grad z + rH' 1 grad,'Ir dZ r 3r ,.= grad V 1\ grad f
(14)
~
rotB
=. ~ az
dove per semplicitl si (15)
essendo
V
2
V
=r
V2
~
+ r B., . grad'r
e
~(rH
posto
1
llV
9r r
'ar
II
1
V2 V grad'f + r
gradr.
_"1;/_(_ _ ll_)
+
1\2 V
2V
1
flV
~2V
= ~ • - -!L.. + -1L....r ~- 'a r oli r ~r 'az oli Q
1\
I 'operatore differenziale del 2° ordine associato al
1i Laplace, nel caso della simmetria assiale.
6
4
2
- 5C, Agostinelli
3,
CONDIZIONI DI INTEGRABILITA' E RIDUZIONE DELLA QUESTIONE. Cib premesso, consideriamo Ie condizioni di integrabilita del
Ia (8), Prendendo per questa il rotore di ambo i membri si ha (16)
.. ... 1 2 2 rot (rot B A B) +2" w gradf" gradr + gradr A grad U Da questa, essendo anche
(17)
...
..
(18)
...,
...,
tp
e
(14)
'0 z
9z
l
r
dr
9 (rB'f ) _
'0
z
~ 'd r Tr(rB
J
oV
'0
7
'0 r
9r
9(rB w )1 radUl _ g ~ r 1
e quindi Ie equazioni (17) diventano
_~_ ~ J.. [~V
il versore secondo
ez
=
0,
si ricava
() V V2 V =- [ ~ --;r +
'() z
az
IQ z
~(rB\f) _n
+J..[ eV r 9r
If
+ w2 r.!t. + ~ Qu _.1L ~
..
rot (rot B A B) x a'f
...... rot B A. B
= r grad
,si ha
Ora, dalle (13) (19)
rot (rot B 1\ B)xgradz = 0,
...a~
Indicando inoltre con
= U (r, z), si deduce
... ...
= 0,
rot (rot B 1\ B)xgradr
cui cresce I'anomalia
U
0,
z.
ar:
1f
)11 J
f )
]
gradr +
r9V, v2v +B
l''O z
7
= 0
~B!flgradz
~ 9z
- 6C. Agostinelli
da cui segue l'integrale (20)
...!. r
[.l.Y. 'Or
a(rBC(!) _ .1.Y. ';}z ';lz
9 (rB" )] or
:; cost.
Ma dalla (8), moltiplicando ambo i membri scalarmente per si ottiene
perciO la costante dp! secondo membro della (20) deve essere nulla e quindi (20')
.l!
av oz
g (rB.,) _
~r
~z
Questa mostra che
rB'f
sar~
'a (rB",
)
'dr
funzione di V.
= 0 •
n modo piil.
semplice di
soddisfarla si ha ponendo (21)
= kV
rB'f
con k costante. Cos't facendo la (19) porge .... 1 2 rot B A B = - .,- (V 2 V + k V) gradV. r
Sostituendo nella (8), dividendo quindi per
r
e tenendo con-
to della (3), si ottiene CY (22) grad [ "(-1
f
,(-1
1 2 2
-2'111
]
r. -U
1 2 +-2-(V 2 V+k V)gradV = 0
rf
Rimane da considerare l'equazione (18), che esplicitata tenendo conto della (21), dopo facili semplificazioni si riduca alIa seguente
8
- 7-
C. Agostinelli (23)
(a v
1
7
'10"2 V ) _
gV2 V _ Gv
gz
'dr
OZ
9r
av (V v + k 2 V) +
2
7'dZ
2
= 0 Osserviamo ora che dalla (8), moltiplicando scalarmente per
B
si de-
duce 2
I)p (.JLt:.. -
W
'c)r
r
p -
I
p -
eU
J
0 r
)
B
't)n
+ (....:..L.. 9z
r
f - aU ) Bz = 0, '£)z
-
cioe, per Ie (12) ~U 9n p-) - dV _ (---lU:..
~n. (....:w:.. _
dZ
0z
8r
Qr
_ W2 r
(J
P- oU ) -~V = 0
-
'Or
1
3z
Esistera quindi un fattore integrante ~ (r, Z,), per cui
'a V =
Tr
Poiche per la (3) la pressione p e funzione della dens ita
p ,prendendo
) =
hi P
,con h costante arbitraria e tenendo conto
della stessa (3), si riconosce subito che Ie equazioni precedenti sono integrabili e si ottiene, a meno di una costante inessenziaIe, C
(24)
V
y
= h(f-T
1- 1
1 2 2 r - U).
P -2"w
Eliminando quindi dalla (23) il potenziale U, servendosi della (24), si ha (23')
1 (
;J
~V ~z
gV2V _
gr
9v
aV2V) _ 2 ?
Tr 'Oz
~V (V 9z
V+k2V)+J..(1
2
_k
gz
9
h gr
9V)
;)r
=
0
~ I()z
_
- 8-
C. Agostinelli
Questa
~
identicamente soddisfatta prendendo 212
(25)
VV+kV=--r" 2 h I
e aHora la (22) diventa C r y-1 1 2 2 1 grad ( - F - - w r - U - - V)
r-1
2
h
=
0
che porge 1'integrale " -1
nr-1 f' - J..2 i
r2 - U -
J.. h
= cost.
V
Ma volendo eliminare il potenziale
Udelle forze di mutua
attrazione newtoniana prendiamo il laplaciano di ambo i membri. Tenendo conto dell 'equazione di Poisson
Aa U = -
4 It f f
I
essendo
f la costante
di attrazione universale, si ottiene (26) La questione
cost ridotta a determinare la funzione
~
campo magnetico e la dens itA
soddisfacenti aIle equazioni differenziali
(25)
e
(21)
forniscono Ie componenti del campo magnetico e Ia
sione (27)
(26)
p
e ad assegnate condizioni ai limiti. Dopo cib la (12)
p. Ponendo
r
Ie equazioni (25)
1
= 1
+y
e
(26)
V del
.P =
~
u
si possono scrivere anche
(25 ')
10
(13)
e la
dA Ia pres-
- 9-
c.
t12 u + 4 7t f u)/ - 2 w2 ]
Ll2 V = h [ C (V + 1)
(26')
Agostinelli
e si pub dimostrare che ci si pub ridurre alIa determinazione della sola incognita u. Nel caso particolare in cui si pone k (21),
Elf
=
0, la (25')
(28)
=
0, e quindi, per la
diventa
Ll2 V
1
= -h"r
2
II
u
e tenendo conto dell'identita A
~2(
IJ
2 d
2 V - V2V) - ~
ar
(V 2V)
= 0
ci si riduce all 'equazione differenziale alle derivate parziali del 4" ordine
in cui (30)
~
incognita la sola funzione (i,
2
= C 4(yIt +f 1)
u, e nella quale si
~
2
~
posto
1
= h2 C ('i + 1)
Le equazioni ottenute, associate alle condizioni che al contorno sia nulla la densita, sono utili per 10 studio dell 'equilibrio adiabatico di una massa gassosa stellare in cui per 1'alta conducibilita elettrica si generanD delle correnti di conduzione e quindi dei campi magnetici. Sotto questo punta di vista esse sono state da me applicate al caso di una massa gassosa sferoidale, uniformemente rotante e gravitante, nell'ipotesi di un cal!! po magnetico sufficientemente debole e con la condizione che la dens ita si annulli in superficie.
11
- 10 C. Agostinelli
Se supponiamo invece che si tratti di un plasma soggetto a intensi campi magnetici, in cui Ie forze di mutua attrazione sono trascurabiIi in confronto delle azioni elettromagnetiche, ponendo
U = 0, l'equazio-
ne (23') risulta ancora soddisfatta mediante la posizione (25), che per Ie (27) assume la forma (25'). InoUre la (24) si riduce alla (31)
V
=h
[ C ( \I
+ 1)
u-
2"1 w2r 2J
Sostituendo nella (25') si ha
V2 u + k
(32) che
=
2 u
+ ~
i
k2 2 2 2 Y r u = 2C ( V + 1) r
~
l'equazione differenziale alla quale deve soddisfare la funzione
f
.1. Y
u
=
nel caso considerato. Se piil semplicemente si pone
k
= 0,
cio~
B'f'
=
0, la (32)
diventa
V2 u+
(33)
p2 r 2 u » =
0
che si pub considerare una generalizzazione dell'equazione di Emden. Determinata la
u, la (31) fornisce senz'altro la funzione
del campo, la quale, nel caso dell'equilibrio statico porzionale alIa
4.
V
(w = 0), risulta pro-
u.
CASO IN CUI IL CAMPO MAGNETICO E' TUTTO TRASVERSALE. Se supponiamo che i1 campo magnetico sia completamente tra-
sversale, tale
cio~
che
Br
=
Bz
=
0,
12
B~ ; 0
- 11 -
C. Agostinelli
abbiamo ...
-+
grad f '
B = r Bcp
-"
rot B
rot B = grad (r B,. ) A grad ....
/I
B
tp
BI.fI
= - -;- grad (r Bcp )
e per Ie equazioni (3), (8) otteniamo (34)
Cr
'( -1 1 2 2 BIf r u - -2 w r ) + rrf
grad (-1
grad (r B",)
= O.
I
Da questa, prendendo il rotore di ambo i membri, si deduce grad
TrrBp
II grad (r BIf ) = 0
cioe grad (r
2
f )A
Questa mostra che semplice
grad (r BIf)
r B!.f
=0
e funzione di
r
2
f . n caso piu
e quello in cui si assume
(35)
con (36)
'-0
costante. In tal caso la relazione (34) diventa
C'Y grad (.:::...L.
1- 1 f
y-
1
1
2 2 r +
2 2
- U - -2 w
A0r )P
)
= 0
da cui si ha l'integrale (37)
~ (_ 1
f'v-1 . U - - 21
22
w r +
",2
"0
2 r
0 )
= cost.
Prendendo la divergenza di ambo i membri della (36), e consi derando l'equazione di Poisson, otteniamo
13
- 12C. Agostinelli 2 2 v ,12 [ C ( Y + 1) u + A0 r u
(38)
in cui e incognita la sola funzione
-"21 w2 r 2J + 6 Jt
fu
v
u. Quando questa funzione e
=0 determin~
ta con assegnata condizione in superficie, abbiamo subito
BIf =
(39)
Se Ie forze non elettromagnetiche sono trascurabili (U = 0), la (37) definisce senz 'altro la densiU
BIf
=
f
0
nulle
,e si ha quindi
"orf' MASSE FLUIDE IN ROTAZIONE NON UNIFORME
5.
POSIZIONE DEL PROBLEMA E SIMMETRIA DEL CAMPO.
PoiChe nel caso delle masse gassose stellari, come quella del sole, l'ipotesi della rotazione uniforme non rispecchia esattamente la realta, rna, come mostrano Ie osservazioni, essa varia sia colla latitudine e sia con la distanza dall'asse, vogliamo ora indagare come nel caso della rotazi.£ ne non uniforme si modificano Ie equazioni dell'equilibrio relativo di una
ma~
sa gassosa nelle stesse condizioni considerate prima. Supponendo che la velocita angolare di rotazione non dipenda dall'angolo di rotazione
If,
si riconosce anche in questa caso come Ia di·
stribuzione del campo magnetico, della densita e della pressione e necessariamente a simmetria assiale • .Invero, la velocita? delle particelle fluide e ora della forma (40)
~
v
= r 2 wgrad <.p
14
- 13 C. Agostinelli
dove la velocita. angolare
it
e da considerare funzione delle coordinate
V = 0, e pertanto l'equadiv ( r v) = 0, porge
r, z. Dalla. (40) segue allora
cilindriche
zione di continuita, che si riduce alla
div
o• cioe la densita malia
f
,e quindi la pressione
p, sono indipendenti dall'ano-
If . Dall'equazione (10) si ha inoltre che esiste una funzione
~
tale che (41) con ~
=
... 2 .....l v " Bar w gradlf" B gradlfl
-'t
necessariamente indipendente da ~
(grad ~
x grad ~ = 0).
Dalla (41) si ricava (41')
rwB
z =
9~
ar
da cui segue che Ie componenti indipendenti dall'anomalia
rwB r
'
Br , Bz
=
.~
del campo magnetico 80no anche
'f .
Osserviamo che dalla (41) si ha grad ~
... = 0,
grad ~
xB
x~
=0
e quindi Ie linee di forza magnetic a giacciono sulle superficie e queste sono anche Ie superficie fluide.
~
Eliminando la funzione
(42)
aid r
(r wB ) +
r
:
.... z
15
dalle (41') s10ttiene (r wB )
z
:c
0
~ = cost,
- 14 C. Agostinelli
... = 0, si ha
mentre dall'equazione
div B
_S_(r B ) + ~(r B ) + 9r r 9z z
(43)
~ =0 ~~
Moltiplicando ambo i membri della (43) per
w, e sottraen-
do quindi dalla (42), si ha ancora r B
(44)
w > Br>
Ma la componente dente da
6.
~
f) w + r B r ~r z
B'f' che
~ 9z
-w
~ ~~
Bz> sono indipendenti da
dovr~
tp , percib
essere una funzione uniforme,
anche
sar~ indipe~
•
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA. Le equazioni (43) +(r B )
(43')
r +
qr
rB
(44')
e
(44) si riducono ora alle seguenti
~uZ (r Bz)
0w
r
--+rB ~r
= 0
t:\w
z
~=O
9z
Dalla (43') si ha, anche qui, che V (r, z) (45)
=0
tale che
B r
= . .l. 'dv r
'J z '
e pertanto la (44') diventa
16
dovr~
esistere una funzione
- 15 C. Agostinelli
la Quale mostra che la velocita angolare
w sara funzione di V,
w = w (V)
(46)
In base ai risultati ottenuti si ha .. B
rot
tdV
1
1
= - -; Tz grad r + -;
B = - V2 V gradtp + grad (r Blf ) ... .. rot B 1\ B
(47)
V2V
gradcp
A grad Cf 1
= - - 2 - grad V - --:-r grad (r B«f) r
_J.. r
dove
i3V -rr grad z + r Blf
[g J BIf'). r (r
2r
?V _ 9(r B., ~z 'a z
2
-
)-1..YJ ~ r
dCD gra T
V2V hal1espressione (15). Ora l'equazione del moto assume ancora la forma (8). Sosti-
tuendo in questa la (47), ed osservando che
If' '
dall'anomalia
e quindi
r B If
(48)
'
p
ed
U sono indipendenti
si deduce che deve essere
COSl
sara funzione di
cQme
WJ
r B~
= F (V)
Dividendo allora per
r
V:
ambo i membri della (8), e tenendo
conto della (3), si ottiene C y- 1 1 ("1-1 f -11) = - r2p y
(49)
grad
1 d F2 2 (V 2V + 2" dV ) grad V + r w grad r
17
.. 16 ..
C. Agostinelli Essendo w funzione di V si pu6 scrivere anche (49') grad
(r-C 11 f Y- 1- U -""21 w2 r 2) = .. [1 7P (V2V +""21
e questa
integrabile se la quantitA fra parentesl quadra
~
1 2 dw21
d F2
J
dV') + 2"r dV grad V
~
una funzione di
V, che indichiamo con dG/ dV, cio~ dG dV
(50)
In quest') caso dalla (49 ') si ottiene 1'integrale -
(51)
Cr
t- 1 I0
Se U
.~
,(-1
_
U _-
1 2 2 w r + G (V) = cost 2 •
il potenziale delle forze di mutua attrazione newto-
liana delle particelle fluide, applicando il
t!J 2 di Laplace ad ambo i mel!:
Jri della (51) e ricordando 1'equazione di Poisson, si ha A
~2
52)
[cr-y rr1
1
1
"""2
2 2
w r
]
+ G (V)
Fissate epportunamenta Ie fundoni 50)
+ 4 If.
f
f
=0
wtV), F (V), G (V), Ie
e (52) risulteranno due equazioni differenziali alle derivate parziali
le1 2 0 ordine in cui sonG incognite la funzione a densitA
V del campo magnetico e
f . Nel caso particolarmente import ante in cui w ed
ongono funzioni lineari di V, e cost pure la G (V), ponendo
w=
Wo (1
F :: r B If
+ '" 0
= kV,
18
G
V)
= ~0 V
rH
si su£
- 17 C, Agostinelli
con wo ' rJ,. 0 ' k,
~
0'
costanti, la (50) e la (52) diventano
V2V+k2v+r2F[w!rX/or2(1+~oV)-PoJ
(53)
(54)
L12
cr j (-1 -2"w 122 [1o r (1+ 1
Ie quali, per do -
~
IX 0 = 0,
cio~
~ 0'
al posto di
per
2
tio V) + PoV
=0
J+4Jtfj
=0
w = Wo (rotazione uniforme) e scriven-
si riducono alle equazioni (25) e (26) ottenu-
te precedentemente.
7,
CASO IN CUI IL CAMPO MAGNETICO E' DIRETTO TRASVERSAL MENTE , Consideriamo ora il caso in cui il campo magnetico
trasversalmente rispetto all'asse di rotazione, sia
B
cio~
r
~
= B
z
diretto = 0,
e quindi
B=
(55)
rBf grad If
.
rotIr = grad (rB If ) 1\ grad \f
Segue
...... 1 2 rotB " B = - - 2 - grad (rBU) ) 2r 1
e I 'equazione del moto porge (56)
& 'v-I - U)
grad (",_ 1 f I
1 2122 = - - 2 - grad(rBcp ) + 2" w gradr 2r F
dalla quale seguono le due equazioni scalari (57)
c"( r - 1 -9~ r (r - U) '(- 1
=-
1 -::-r 2r p
19
1\ ( B '0 r If
~r
)2
+ rw
2
- 18 -
C, Agostinelli
Pr- 1 _U)
_~_(C7 ~z 1
(57)
r-
=
_+p 2r
9 (rB )2 ct ~ z
Per I'integrabilita di questa equazione deve essere verificata Ia condizione (58)
{9
1 "21 Tr= (-,:-) r
f
Nel caso in cui w
~
funzione di r
te, questa condizione richiede che
rBcr
w non costante porremo
Per
rB'r
(59)
soltanto, oppure costaE, 2 sia una funzione di r f
= F (r
2
f ),
g (r) + h (r).
con F 'funz!one per ora arbitraria di r2p , e g, h funzioni pure a,!: bitrarie della sola (60)
I'l '0
1
2(r2
r, Sostituendo nella (58) si ha (r
~
p )2
2 ' 2] e) [ F2..!!L2, + iF ~+ ~ +r z dr' dr dr
2
2
?z
Se per semplicita si pone (61)
~ (r2f)
't'p
=
1o
F 2(,)
~ ) '0/ (r 2f ) j
==
Ia (60) si pub scrivere 1
a [~ ~
"2 Q'i"
dr
+ 2 't
~ __1_ dr
dh 2 r2f dr
J + r 'd9 zw2 = 0
da cui si ricava (62)
2 w = X(r)
- _1
2r
[~~ + "I' ~ dr ' dr Tr 2
20
1
2
dh dr
J
=0
- 19 -
e. X(r)
essendo
Agostinelli
un'altra funzione arbitraria di r.
Sostituendo nelle (57) in luogo di
e, di
rB"
2
w, rispetti-
vamente i valori espressi dalle (59) e (62), e ponendo ancora 2
(63)
M (r
F2
A-
f ) = -2-
f
r
+ "P ,
N (r
2
F p) = 2"":""
f
r
+
!\II
1
,
esse diventano
-9dr
[.£1. 1- r
tq 9z
ley 1 2 ] r- 1 f y-l - U +2"(Mg + 2Ngh)
(-1
1
- U + - 21
f
2 (Mg + 2Ngh) -
r X(r) dr ]
"0
o
=0
dalle quali segue l'integrale (64)
e r 1- 1
t- 1 P)
-
1 2 - U+-(Mg + 2Ngh) 8
Prendendo al solito i1 pub eliminare i1 potenziale la sola dens ita (65)
42
D.
t'
J
r:X (r) dr = cost.
o
2 di Laplace di ambo i membri si
U e ridursi a un 'equazione in cui
e t y-l [y:-i f
h
1 2 + 2" (Mg + 2Ngh) -
1o t'
r X(r) dr] + 4 11 f P= 0
=
0,
F = r2y
si ha rB,
incognita
9 ; cio~
Se in particolare poniamo
(66)
~"
2
= r p g (r) ,
2
w = 1. (r) - r
21
f g g'
- 20 -
c.
Agostinelli
e l'equazione (65) in p diventa CY
~2 [ y_ I' f
y-l
+r
22ft
rg
-
0
che al solito si pub trasformare ponendo
r
X(r) dr
J+ 4 n f f
r = 1 + 1/.;
• e
=0 = u~
f
Se pib. in particolare si pone g = k (costante). ci si riduce al caso in cui la velocitl angolare
!oJ
~
funzione soltanto di r,
rittura ~ costante, se anche X si pone eguale a costante.
22
0
addi-
- 21 -
C. Agostinelli SULLA ST ABILIT AI DEI MOTI MAGNETOFLUIDODINAMICI STAZIONARI
1.
Il problema della stabilita in magnetofluidodinamica, che inizialmente
attir~
l'attenzione dei fisici nucleari in relazione alIa questione del contenl
mento del plasma ad alta temperatura negli apparecchi termonucleari, successivamente, per la sua importanza anche nelle applicazioni alla dinamica cosmica e a quella stellare,
e stato oggetto di numerose ricerche special-
mente da parte di Chandrasekhar 1) e dei suoi allievi, che hanno studiato la stabilita di vari casi di equilibrio. Piu recentemente, in una memoria scrit ta in collaborazione da J. B. Bernstein, E. A. Friman, M. A. Kruskal, R. M. Kulsrud 2)
e stata effettuata una indagine molto estesa della stabilita
statica di un plasma altamente conduttore e completamente ionizzato, app!!:. cando il principio di energia secondo l'idea originaria di Lord Rayleigh 3), principio che era giastato utilizzato da Lundquist 4). Noi in questa lezione ci occuperemo dell'estensione di questo principio al caso della
stabilit~
di un gene"rico m:oto magnetofluidodinamico,
considerando un fluido barotropico di alta conduttivita elettricl!- il quale si muove in un campo limitato da una parete rigid a perfettamente conduttrice. Supposto di conoscere un moto permanente del fluido, soddisfacente alle dovute condizioni in superficie, considereremo un moto pertuE. bato, assumendo come incognita 10 spostamento ~
che riceve una parti-
cella fluida rispetto alIa simultanea posizione che occuperebbe se il moto non "fosse perturbato, spostamento che deve soddisfare aHa condizione di essere tangente in superficie. Considerando d'altra parte il movimento generale dal punto di
23
- 22 C. Agostinelli vista lagrangiano, determineremo la dens itA e la pressione in funzione delle analoghe quantita che si hanno nel mota permanente e della spostamento
....
! '
qualunque sia la grandezza di questa spostamento. Stabiliremo quindi im'eqU! zione differenziale per il campo magnetico analoga aU'equazione di Helmholtz per i vortici. L'integrale di detta equazione, che
~
conforme all'equazione
di Cauchy dell'idrodinamica, fornisce l'intensita del campo magnetico in fUE. zione dei dati iniziali e quindi in furizione del corrispondente campo magnet ico che si ha nel mota permanente e dello spostamento. Supponendo poi che detto spostamento ~
~
~
• sia infinitesimo e
tale da poter trascurare i termini di ordine" superiore al primo rispetto ad esso e sue derivate, dedurremo l'equazione differenziale delle piccole
osc~
n.
lazioni e quindi un'equazione di secondo grado completa nella pulsazione
Osservando che l'esistenza di uno spostamento che rende immaginaria 1a fr! quenza di oscillazione,
0
la pulsazione,
d~ luogo
ad instabilita, stabiliremo
una diseguaglianza che consente di ricavare un limite di instabilita per que..! Ie oscillazioni. Quella diseguaglianza esprime una generalizzazione del
prin~
pio di energia che si ha nel caso statico, al quale si riduce quando il moto permanente si annulla. Dimostreremo ancora che i valori estremi della sazione
n
p~
appartengono all'insieme degli autovaloti di essa. Se percio
n ammette un massimo 0 un minimo, ciascuno di questi valori puo servire per stabilire un limite di 'instabilita per Ie frequenze di oscillazione. Considereremo infine il caso dei motirotatori uniformi
int~rn~
ad un asse, che hanno particolare importanza nella dinamica stellare, nel quale caso, come si sa dovra sussfstere la simmetTia assfale'~). In questo caso la relazione di instabiliU potra cons entire di studiare nei vari casi
24
- 23 -
C. Agostinelli l'influenza delle azioni centrifughe. 2.
Con riferimento ad un fluido di alta conduttiviU elettrica, come un pla-
sma completamente ionizzato, costituito di elettroni e di ioni positivi, Ie equazioni macroscopiche che ne reggono.il movimento, scritte nelle uniU gaussiane razionalizzate sono, come sappiamo d~
~
f dt = - gradp + J
(1)
~~
(2)
p
(3)
~ f\ B -
+ div ( r~) =
r -y =
Fgrad 4>
0
cost.
(4) (5 )
rot
E
(6)
rot
It = J
(7)
div B = 0
dove
c!>
.
rappresenta 1'energia potenziale esterna riferita all 'unit a di ma~
sa. Nel caso dei moti stazionari, indicando con P la particella fluida, queste equazioni si riducono aIle seguenti: (8) (9)
f
d~
d;
div (
v = - grad p
r v)
..
+ rot B
= 0
25
..
A B-
f
grad
- 24 C. Agostinelli
= cost •
(10)
..
(11)
rot (~ " B)
(12)
div B
...
=
= 0
0
Supposta nota una soluzione di queste equazioni, con assegnate condizioni ai limiti, corrispondente a un dato mota magnetofluidodinamico stazionario, consideriamo un mota perturbato nelliintorno di esso e
contra~
segnamo con un apicf' gli elementi del campo e del moto in questo moto perturbato. Essendo ziale, P
Po la posizione della particella tluida alliistante
quella alliistante t
nel moto stazionario considerato, e
pi
i~
Ia
simultanea posizione della stessa particella nel moto perturbato, poniamo (13)
dove
.
J
...
+~
pi = P ~
uno spostamento, funzione di P
e di t, che va ritenuto infi-
nitesimo. -i>
Si ricava aHora per la
-;1
(14)
=
!!...
~ +.
Vi
velocit~
...
=
del punto
pi
il vaIore
...
~ +~ ~ +~ v dP IJ t
Osserviamo ora che se si considera il moto daI punto di vista lagrangiano e quindi si suppone la posizione ziale
PO' e COSl pure
pi
P
funzione della posizione iui
funzione di PO' introducendo Ie omografit
vettoriali (15)
~
dpi ';'1 = dP ,
a=
t'
o
26
dpi dP
=1 + ~ dP
- 25 C. Agostinelli
si ha =
Essendo allora 13
0(, I
=
dP'
rA~ .
dP dP o
rtl
(16)
dP
llinvariante terzo dell'omografia ri-
(0 se si vuole 16jacoliianodelle coordinate
le coordinate xo ' Yo' Zo
di
Xl, yl, Zl
di P'
I
rispetto aI-
Po), dall'equazione lagrangiana di conti·
nuita nel mote stazionario e nel mote perturbato, si ha
f'
f
o/13rY.,'
-- f / 13 (1 + K dP
(17)
La pressione (18)
dove
=
p' C
~
=C
p'
)
in virtu della (4) sara data da
f r I
una costante. In quanto all'intensita
...B'
del campo magnetico, dalle equa-
zioni (3) e (5) si ha .....
~B'
~
cio~,
essendo div
P'
B'
.:t..,
+ rot pi (Jj'
= 0
'
.si ha ancora
Ma
"t,
' dIVp,V
1\
..!.~ f' dt
27
v') = 0
- 26 -
C. Agostinelli sostituendo nell'equazione precedente, e dividendo quindi ambo i membri per si ottiene facilmente (19) che II analoga all' equazione di Helmholtz cui soddisfa il vettore vortice. Ora risulta d~' dP o = -dP' -dPo
grafia
doe' - 1 0(.' dt
Applicando allora a sinistra di ambo i membri delle (19) l'om.£ -1 d~' J -1 doj,.,-1 oG' e osservando che do' (it a.' = - ~ j si ricava - 1
H' Td ( ~ ,- 1 7) da cui, integrando e osservando che per
f' = f
0'
= 0
t = 0 II
si ha
(20)
0('
- 1
B' --=
f'
che II la corrispondente dell'equazione di Cauchy per il vortice. Analogamente nel moto stazionario non perturbato dalla (11) si deduce
0('
- 1
~
B
f
=
dal confronto con la (20), tenendo conto della (17), segue (21)
-.
B'
=
28
- 27 C. Agostinelli
Nell'ipotesi fatta in cui 10 spostamento
-+
~
..
sia infinitesimo,
trascurando i termini di ordine superiore al primo rispetto a ~
e sue de-
rivate, dalle equazioni (17), (18) e (21) si ottiene
=
P (1
~
(22)
f'
~
)
(23)
p' = P (1 - '( div
S
- div
-to
B' = (1 - div
(24)
-?
.
)
dB ...
B= B + dP f j +~) dP
+ rot
..
(!
~
"B)
Ie quali esprimono la dens ita , la pressione e l ' intensita del campo magneti-
r.
co nel moto perturbato, in funzione degli analoghi elementi nel dato mote st! zionario, e per mezzo delle spostamento
¢
L 'energia potenziale
¢' =
q, (PI)
=
I
sara data infine da (P
+
I )
e con la stessa approssimazione
<\>' =
(25) 3.
4>
~
(P) + grad 4> X ~ •
Per ricavare ora dalla (I) l'equazione differenziale cui deve soddisfa-
re 10 spostamento
...~
nel mote perturbato occorre calcolare ancora i va-
lori di grad p' 'p' ,
....,...
JI 1\ B'
=
..,.
...
rot pl B' /I. B' ,
grad p'
4>
I.
Indicando col simbolo KIa coniugata (0 ~ trasposta) di una 0" mografia vettoriale, si ha gra dpI p I -- Kf3 t- -1 gra dP p I e ricordando la (15) e la (23), nell'approssimazione considerata si ha
29
- 28 C. Agostinelli
grad pi pi = grad p - ~ grad(pdiv
(26)
J) - K dJ dP
.-+
~
grad p .
...
Analogamente (27)
gra
d
~ + J..
't'
a>
grad (grad
x
'i )- K ~1
grad ¢ =
+ dgrad cP dP
e
f' gradp ' d>'
(27')
fia
= (1 - div?) grad
¢> +
r
dgr;; cb
f
Poich~ rot p ,:81 ~ uguale al doppio vettore 6) dell 'omogradB', - 1 "'dP' = "dP ~ , tenendo conto della (24) si ricava .... ..... ~:t ::t dB ~ dB d$ rotp' tl' = roUS + rot rot ( ? A tl) + rot (dP'! ) - 2V ("dP dP) ... dB'
~
Ma risulta [lOCO citato in 6), p. 177 (4'); e p. 213, (31)
J'
percio, nell 'approssimazione considerata, si ha (28)
~ A rotp,B'
::t
./j'
= rotB- A[~!!..i B + (dP +
(29)
d~~ B
Infine si ha ... .... 2 -t dv' = ~ .. +£L dt dP v dt 2 '
i]
A
...... ] r
... div j)B + rot rot(!-+ 1\ B) +
~ ..
(29')
f'
dv' -dt =
...,.
f
Sostituendo nell 'equazione del mota (30)
30
2'+
-.>
dv d ~ dv ~ . '3 (+ - ) -.0 V.dlV.$ dP dt~ ) dP
- 29 C. Agostinelli
e tenendo conto che per il mota stazionario
~
verificata la (8), si ottiene
1'equazione 2~
(31 )
~
d ! -2-
dt
=
df r grad (pdiv ......, ) - div! • gradp + K dP gradp ~
... d ;... [ d'" drot·B ~1 ~ + rotB "~B + rotrot(l /rB) +--;u;- ~J A B La (31)
+ d gradCP ..,
f dP
dunque l'equazione alIa quale deve soddisfare 10
~
spostamento nel moto perturbato.
In quanta aile condizioni ai limiti, se ci limitiamo a considera re il caso di un tluido contenuto in un recipiente fisso con parete metallica perfettamente conduttrice, esse sono
..,
vx n
...
Bxn=O,
(32)
= 0
dove If ~ il versore della normale alIa superficie. Esse devono essere verificate anche nel mota stazionario e per il mota perturbato dovra essere -t
(32')
4.
~
...
x n = 0
E' utile osservare come in generale il sistema di equazioni (1)-(7) nel
caso in cui 1'energia potenziale
4>
del campo di forze esterne (non elet-
tromagnetiche), non dipende esplicitamente dal tempo, ammette l'integrale dell'energia. Invero, tnoltiplicando scalarmente ambo i membri della (1) per il vettore velociU
1,
e integrando Bopra tutto il volume "t
to dal fluido, si ha
31
OCCUp!
!.
- 30· C. Agostinelli
i
(33)
grad p x
~d~
-
't
J rot B....,.., ,. B x v,d"t' + ~
-
't'
J f grad ~ x V. d
= 0
1;'
't'
Ora, tenendo conto dell'equazione di continuia, risulta
~
.., _ 1
dv
dv 2 _ 1 [ d
~xv-2Pdt-2"
Tt(r v
2
~
)-dt
2]
v
1 [ '0 2 v )+ =--(f 2 9t
, ( f v.2-+] + dlV v) Integrando, applicando il teorema della divergenza e tenendo canto della seconda delle (32), si ha dv... 1 r x v, d 't ="2 f f Tt 't:
'd ( f 'ft
2
v )d~
1
't
,+
si ottiene
1
D
DD
f
.£L.
dt
grad p x ;. dt
da cui
t
if +
dp 1 = -1 -dt =-~. ( .'6
=
~
..
1
grad.p x ~.tltl =,
*
t
'-+"'J = div rB A(BAv) ot
d"t •
d't
e of
grad p x v)
[1 +J ! J~ ~
l
~
~
-
1
grad p x f. d't:
.dt t: ~. Osserviamo inoItre che per le (3) e (5) si ha .. ... ~. --+ ~ -+ [ ..... rot B /\ B X v = rot B x (B/\ v) - B x rot(B/\ v) t
2
~
Analogamente, poich~ grad p x ~ = div(p~) - P div
- P dlV V =.£.
1
d =-;it ..,. 2" f v .
dB]
+~ 0
=
2
8B .......... 2.... J dB B x Tt = div(B xv:B -' B • v) -"2d't
-+
32
C. Agostinelli Infine si ha grad ~ x
v=div( ~ f
e se la funzione
~) - ~
div( P1)
= div( ~
r "t) + d>
~f t
~ non contiene esplicitamente il tempo si ottiene
( r grad ~ x v.d,;
[~ ~.d't:
=
J-v
fd
't
Sostituendo nella (33) si ottiene subito (34)
Lr (21 f v2
T
yP-1 + 21
B
2
+
P
j,
qJ
)
d 't' = cost.
-,;
che e il noto integrale dell'energia. Esso
sussister~
anche nel moto pertuE.
bato considerato, sempre nell'ipotesi che l'energia potenziale
~,
non con
tenga esplicitamente il tempo. Essendo d,;' l'elemento di volume del campo perturbato, in cui, si e trasformato l'elemento quazione di continuit~ risulta
d'1; del campo stazionario, poiche dall'e-
·f' dt' :.fdr,
e quindi d
'"C'
=
13 ~ ,d"t
, ri-
cordando Ie (17), (18), e (21), il corrispondente dell'integrale' (34), relativO al campo ,;', si trasforma nel seguente: (35)
5.
Ritornando ora all'equazione (31) del moto perturbato, se poniamo
til = r grad(p div i )+ (K ~ - div 1 )grad p + rot BA ~; B+ ~
(36)
F
+ [ rot rot(
i " g) + ~;ot B j]" B_f d ~r;d cf> {
33
~
- 32 -
C. Agostinelli dove
F II un operatore differenziale vettoriale (line are ), essa si pub scrl,
vere pitt semplicemente (37)
L 'operatore
F II come si suol dire autoaggiunto, cioll, se
f ~ t! un altro spostamento,. soddisfacente anch!esso alla condizione Y* x Ii = 0
sopra la superficie che limita il campo
occupato dal
1;'
fluido, sussiste la relazione (38)
Infatti si ha "1 ... ,. .., grad(p div > ) x 1 = div(p div !
~:lI-'"
"')1
. S - P div ~
•
~
) + grad(p div
....
~
e quindi (39)
Lgrad(PdiV~)xl*.d't =-
f-c
=
It
=
grad(pdiv {"')xl.d't
p div? • div ~JI- • d"'t; •
Si ha inoltre
(K~ - div i ) gradp x ~* = gradp x (~! = grad p x [rot( = div
[(fA ft)
~ A i~ + (~!*
-
-
div
i )f,)(..
iJ
div
i* )
A gradP ] + gradp x
(~t*
34
=
=
-
div
i*)i
'*
)x
.... ~
- 33 -
C. Agostinelli
da cui integrando si ottiene (40)
d;' J (K~ de*" - div~*) grad p x .f,) .dT . - div f) grad p x f"d-C = 1(Kit ~
~
Osserviamo ora che sussiste la relazione facile da dimostrare
~
...,
grad (rot B x B II
-'f
t
B.... .... ... )f
~ d rot )x ~ = dP
r x B II ~
-
d(B I..
+ rot B x dP
lit )~~ ,
da cui si ha ~
d rot B..., ~ ~ dP ~ x B II ~
*" = grad(rot B... x B.... /I. s-l~;J )x 3
- .... ....1/-...
= div (rot B x B A J
.. *
.., -
. ~ )- rot B x B ,,~
.. . div!
....
~*
~ d(B" ~ ) t - rot B x dP $ =
::} .., d.l::S.., "'~..... - rot B x (dP ~ II ~ +B II
~
¥-
df ~ dP . ~ ).
Si ricava quindi d rot ( dP
~
B..,:t ~
d
1\
.I::S
t
+ rot
~. d .lj
......
S. . .
....,........It
-if
A dP B) x ~ = div (rot B x B II ~
-if
dIJ..,
+ rot B 1\ (dP - div ! ) B x \ - rot B x (dP"~ Tenendo conto che
div
B = 0,
It.
s + B /I
-it....
~
6 . ~ )+
dt* ..... dP ~ ).
e applicando note formule che
danno la divergenza del prodotto vettoriale di due vettori, si ottiene ~
d rot B.., ~ ., ( dP $ It. B + rot B
+ div [( d ~~
r
/I
B)
... ""
- (d'P - div ~
A(
... ll'"
~
A dP B) x
f~ A
rot
~...,.., ) rot B;' B x $
* = div (rot B x -+B "
~
-+
..
B) J+ ~;ot B f~ II 13 x ~ d
lli' (rot "':t. ~ B" .I::S) x ~
- K dP
35
..., ~ B . ~ )+
- 34 C. Agostinelli
Ma per una nota formula di calcolo vettoriale (loco citato in 6), p. 68), la somma degli ultimi due termini del secondo membro (presi col segno -), ~~
vale
rot
B" ::
J
(41)
Bx
f ' percib integrando si ha ..
~
::t d j" 7~ (dP~" B+rottsA dP B)x;S .d"'C = d rot B....
~
1(:;otB
=
~~lfB)x-i
{/fA B+rotB II
.d"t
~
Si ha ancora rot rot (
I ,.
B)
II
nx 1* = - div [ rot ( i Q
- rot ( >A
A
B) II (f"" B) J -
~
~
-1f
B) x rot (~ " B)
e .pertanto
, -B) A:Bx . . . ~tIIt .d"t J rotrot( .j:"
(42)
...
~
~" B) x rot
.. * ~ (t' A B). d-r
1;
"Ii
Infine
~
ovviamente
f () d grad 4>
(43)
J rot(
--
\dP
~
. . If d
~x~.""t=
1()
d grad~ ) dP
l~ :: d sx~."'t.
1:.
~
Le relazioni (39), (40), (41), (42) e (43) dimostrano la propriet~
espressa dalla (38), che
cio~
1'operatore
F
~
autoaggiunto.
6.
Passiamo ora a considerare la stabilita del dato moto stazionario. Poi
ch~
risulta ...
...
dt·
~t
...
2"',..:).;1
& =.1.L +~ ... ~ =_·o_~_ . dP v, dt2
..
...,
+ 2..L( d~ ) .. +~ (i!... -.) .. ;:) t2 dP d t v dP dP v v
36
C. Agostinelli
e poiche il tempo non figura esplicitamente nell'equazione (37), possiamo cercare soluzioni della forma ....
(44)
~
=
e
iOt
'~1. (P)
•
L 'equazione del moto (37) porge aHora (45)
=
...
Questa equazione, dove -t
ma
!
=
....
i
F
tfJ
e un vettore complesso della for-
~
...,
~ 2'
1 + i
equivale ad un sistema di sei equazioni dif~
renziali scalari fra quantita reali,in cui la pulsazione
0
figura come un
parametro. La natura fisica del problema fa prevedere l'esistenza di autovalori del parametro
0
e di autosoluzioni
disfacenti alIa condizione tovalori reali diO
i.
x it
...
~
dell 'equazione (45), sod-
= 0 sopra la superficie limite, Ad a~
corrisponderanno oscillazioni stabili, mentre autova-
lori complessi daranno luogo ad instabilita , Per avere ora una condizione che assicuri la stabilita, molti-
r
plichiamo scalarmente ambo i membri della (45) per il vettore - i
2 ' coniugato di
¥ e integriamo rispetto al volume
"t'
-t
!
=
Ponendo A
=
J fIx I d-e ; T
B
=- i
j f ~ v x f d'C l'
- ff
C - -
1i
si ottiene (47)
37
~
1-
occupato
dal fluido.
(46)
...,
;
T
d i.L.~v) -+v x .... dP (dP ~ d~
•
- 36 -
C. Agostinelli
n coefficiente A
~
evidentemente reale e positiv~; cosl pure
" di B, e facendo la sono reali B e C. Invero, prendendo i1 coniugato B differenza, si ha
=- i
f-r [diV (i' xi· f t) - i xJ .div ( f 1-) ] d ~ • Ma div (f 1) = 0, e l' f div ( ! x f . f -;) d"V , ~
nullo, poich~ in superficie ~
vx Ii
l'
= 0, ne segue che ~
1\
B = B, e qui~
di B 'e reale. Analogamente, in virttl d
~
&~
... - _
dell'identit~
dP (dP' v) v x ~ - grad
...,
.,.,.!.t .. & ..
~
~
dl ..
('dP v x!) x v -
~
dP v x dP v,
si ottiene
e quindi i1 coefficiente
C
~
reale e
positiv~.
n secondo membro della
(47)
sce subito ricordando che l'operatore
Se percH) poniamo ancora (49)
si ha
38
F
~ ~
pure reale, come si riconoautoaggiunto e quindi
- 37 C. Agostinelli
A 0. 2 + 2B 0.
(50)
ed
+ C + D = 0,
risultera reale se
0.
+
B2 _ A (C
(51)
D) > 0
cioe
-
t B2 1 - -(C 2 A 2
i
Dunque se esiste uno spostamento zione (45) e alIa condizione in superficie
i
+
D) :> 0
soddisfacente all'equa-
x Ii = 0, per cui il primo
membro delle (51) e negativo, allora il moto stazionario considerato e in stabile. Osserviamo che dalla (14) si ba che la velocita di trascinamento che si ha nel punto te
t, per effetto del mota permanente, e che
..,v +.tl dP 'fJ
rappresenta
i
,all'istan
P' = P +
~ft
rappresenta invece
~a
velocitm-elativa dovuta alIa perturbazione. Segue aHora daHa (37) che la variazione nell'unita di tempo dell'energia potenziale in detto moto relativo, vale
...,
'dS -t f [F i ~J ~~ + Fin ~f )d~ =-t i [FE] x-+ 'dt +Fi1+I fJd~ =-t L~t [ Fit] i JdT
.
x
x
~
x
x
e quindi (52)
cSW = •
-+ D = - -+ LF Fl x f .d1;
•
rappresenta l'energia potenziale nel mota perturbato relativo. La quantita
39
- 38 -
C. Agostinelli si pub dire invece che rappresenta l'energia di deformazione nel moto di
t {2, che e positiv~, rappresenta anche una
trascinamento. 11 rapporto
energia dipendente pure dal mote di trascinamento
0
se si vuole dalle forze
di Coriolis. La (51) mostra aHora che affincM vi sia ma algebrica
-
-f (C + D)
la som-
instabilit~,
dell'energia di deformazione e dell'energia po-
tenziale deve essere necessariamente negativa. Il teorema inverso evidentemente non
~
pub essere verificata anche con - (C + D) < 0, se
vero,
poich~
la (51)
B2 ~ sufficientemen
te grande. Nel caso in cui si parte da una configurazione di equilibrio tico, poicM allora di
instabilit~
e 1
= 0, e quindi
s~
B = 0, C = 0, la condizione
si riduce a quella ben nota [cfr. Memoria citata in (2)] 1 --D
2
=
rW <0
0
'
che cioe la variazione di energia potenziale sia negativa, e questa condizi.£ ne in tal caso
~
necessaria e sufficiente.
Vogliamo ora far vedere, applicando i noti metodi del calcolo delle va-
7.
riazioni, come i valori estremi di Infatti, sia ~ {
n sono autovalori dell'equazione (45).,
un Htcremento arbitrario delle spostamento
t ' assoggettato alla sola condizione di essere tangente alla superficie ~ mite
to
del campo -t
occupato dal fluido, e indichiamo con
sf
il suo
coniugato. Prendendo aUora la variazione di ambo i membri della (50), e ponendo quindi (55)
&n = 0, si ottiene
n2 ~ A + 2 n b B + S C + .5 D
40
= 0
- 39 -
C, Agostinelli Ora risulta ~..,..,
=
SB
=- i
Ma
+ 1 x S!
1:"
...
(
dJ..
L rS(CiP =
J P ( d~ x i
SA
v )x
~
S d 1"
) d:c
=
1:
if
Sf x ~ )XV,dl;
grad(
-
't:
poicM per il teorema della divergenza e per I 'equazione di continuitail pr.! mo integrale del terzo membro O'B = ..
~
nullo, ne segue
iff (~ ~ x S~ - ~ vx &f )d 't ,;
,
Analogamente dalla (48) si ha
~C=
J
(dSr PdP
1 x di
dP
1:
v + ddPI -vX db f v) d dP
=
~ f [ grad ( Jf x ~l v) x\?+ grad ( 6f
-
1p [ 1:
"'I
d d t "'... dP (dP v) v X
x
1::
=
:$
v) x
~]
d"l:
...
.rtJd + ddP (ddPt ~)... v v x u1
("'if'
0 $
1;',
Ma anche qui il primo integrale del secondo membro
~
nullo,
percic>
(
() C = -
I. f [ddP (dP d i .., ~ ~., d v) v x 0 C + dP
dI (dP
.... ~ r"] v) v x o! d"t
,
l'
Infine per la proprieta autoaggiunta dell'operatore
41
F, si ha
- 40 -
C. Agostinelli
gD=
.rL[F{~fJ xf +Fttl x SfJdT= 1. r FGl x sf + +F
1IJ x f~ ]
r
dt
dA, LB, () C, b D,
Sostituendo nella (53) in luogo di
S
ri trovati, per l'arbitrarieta di
~
e del suo coniugato
f
i valo-
,si dedu-
ce proprio l'equazione (45) e quella che si ha prendendo i coniugati di ambo i membri. Ne segue che se esiste uno spostamento ma (0 massimo) il "alore di
n
-'> ~
che rende mini-
definito dalla (50), questo valore minima
(0 massimo) rappresentera un limite di instabilita per la frequenza di osc!!
lazione.
8,
Osserviamo infine come nel caso particolarmente importante in cui il
mota permanente si riduce a una rotazione intorno a un asse tii. angolare costante
W,
Lf
indicando can
z
con velocj,
l'angolo d1 rotazione, l'equazi£
ne (45) diventa (54)
f (n 2 ?>
+ 2iwn
,,"
{.L <:r'f
+
2
;}2;;-'
~ ) =
w~
In questo caso, posto
C = 1
si ha
e l.a condizione di stabilita (51) porge
42
x
dL'
- 41 -
C. Agostinelli
da cui si pub dedurre l'influenza che Ie azioni centrifughe hanno sulla stabi•
lit~
Considerando uno spostamento ...,
(55)
= e
~
con n
intero ed "
i (nt - n
)
1
della forma
'~1 (r, z) ~
vettore Ie cui componenti cilindriche
dipendono soltanto da dell'asse
to
r
r
e da
it
z, e indicando con
"1 f '
r'
il versore
z, siha . ..,..., - 2m k II ~
...
+ (k"
r
2~
)
La (54) porge allora
e se indichiamo con spostamento
....
t
~ r'
3If
' 1
Z
Ie componenti cilindriche della
,risulta
2-t;! (k A ) ~ x ~ = - ( Dimodoch~
to
....
.... ~
~
~
se la componente trasversale
~'r
tr
1\
A
$ r + ~~ ~~).
dello spostamen-
nulla, moltiplicando ambo i membri della (56) scalarmente per
,e integrando rispetto al campo -c (0 - nw)
21~pix i
d 1"
=-
i
,si deduce
2 r! i d r r
w
'to
In questo caso se
43
'C
-
f fnxI t'
F
d -r
.
- 42 -
C. Agostinelli si avranno autovalori positivi di
(S1 - n W)2
e Ie corrispondenti oscilla-
zioni saranno stabili. I1limite di instabilita in questa caso si otterra mizzando I'espressione di
(S1 - n w)2
mi~
che si ricava dana (57).
Giova osservare come in quest 'ultimo caso considerato due a.:! tosoIuzioni distinte
i.
.~ ~. deU'equazione (56) soddisfano ana condi-
zione di ortogonalita
fp; x ~ 't
44
It
d 'C
= O.
- 43 C. Agostinelli
RIFERIMENTI 1) S. Chandrasekhar, On the inhibition of connection by a magnetic fluid, "Phil. Mag ."
7
,43, 501-32 (1952); Idem, The stability of viscous
flow between rotating cylinders in the presence of a magnetic field, "Proc .
.
Roy. Soc. ", A 216, 293-309 (1953); Idem, The instability of a Layer of fluid heated below and subject to Coriolis forces, "Proc. Roy. Soc." A 257, 3d-27 (1953). Idem, The gravitational instability of an infinite homogeneous medium when Coriolis force is acting and a magnetic field is present, " Astrophys. J." 119, 7-9 (1954). Idem, Hydrodinamic and Hydromagnetic Stabilit:y, "Oxford at the Clare don Presse ", 1961. 2)
J. B. Bernstein, E. A. Frieman, M. D. Kruskal and R. M. Kulsrud,
An energy principle for hydromagnetic stability problems, "Proc. Roy. Soc. London", A 244, 14-40 (1958). 3) Lord Rayleigh, The theorie of sound, 1877. 4) S. Lundquist
On the stability of magneto-hydrostatic fields, "Phys. Rev. "
[2] , 83, 307-311 (1951),' 5)
C. Agostinelli, Sulle equazioni dell' equilibrio adiabatico magneto- dina~
co di una massa gassosa uniformemente rotante e gravitante, "Rendiconti delPAccad. Naz. dei Lincei", serie VIII, vol. XXVI, fasc. 5, Maggio 1959; Idem, SuII 'equilibrio adiabatico magnetodinamico di una massa fluida gas sosa gravitante, in rotazione non uniforme, ibidem, serie VIII, vol. XXVIII, fasc. 3, Marzo 1960. 6)
C. Burali-Forti e R. Martolango, Analisi vettoriale generale, Trasfor-
mazioni lineari, Cap. II, § 2 (Zanichelli, Bologna 1929).
45
- 45 C. Agostinelli
dette condizioni e in cib consiste la parte pili difficile del problema. Un caso particolare, di notevole interesse,
e quello in cui Ie
linee di corrente e Ie linee vorticose sono sempre rette, in generale non
p~
rallele, nel quale la corrente di conduzione e il vortice dipendano solo dal tempo e non dal punto. In questo caso, supposto che il recipiente in cui si muove il fluido sia un ellissoide a tre assi, mobile di moto traslatorio, e che i valori assegnati in superficie della componente normale del campo magnetico siano gli stessi di quelli che determinerebbe un dipolo magnetico posta nel centro, dimostro come il problema si risolve con quadrature, mettendo in evidenza il seguente notevole teorema di equivalenza: Esiste un movimento magnetoidrodinamico di un fluido elettricamente conduttore incomprimibile, in un recipiente ellissoidale, dotato di mota traslatorio in cui Ie linee di corrente e Ie linee vorticose sono rette; questo movimento, che si determina coh quadrature,
e equivalente,
dal punto di vista
analitico, a quello di un solido con un punto fisso, Ie cui mole cole sono attratte da un piano nsso con forze proporzionali alIa distanza (Problema di De Brun 2) ). Particolarmente importante ce ad una sfera nel quale il vortice
e il caso in cui l'ellissoide si ridu-
e anche
costante rispetto al tempo e il
mota interno della massa fluida si riduce ad una rotazione rigida uniforme. In tal caso si hanno per Ie componenti della corrente di conduzione valori variabiH periodicamente col tempo, con 10 stesso periodo di rotazione della massa fluida, mentre Ie componenti del momenta magnetico del dipolo valente al campo
intern~,
risultano funzioni oscillanti del tempo, in
Ie non periodiche.
48
eq~
gener~
- 44 C. Agostinelli SUL MOTO DI UN FLUmO ELETTRICAMENTE CONDUTTORE PER DATE CONDIZIONI DI DISTRIBUZIONE DELLE CORRENTI DI CONDUZIONE E DEI VORTICr.
1. INTRODUZIONE. Uno dei modi con cui pub essere affrontato il problema del mota di una massa fluida elettricamente conduttrice, in cui si genera un campo magnetico,
~
quello di supporre assegnato in ogni punto del cam-
po in cui si muove il fluido, e in ogni istante, la dens ita di corrente di conduzione e il vettore vortice. Questo modo di saggiare i problemi magneto fluidodinamici ~ stato da me recentemente considerato in alcuni lavori 1) suggerito dal problema c1assico della determinazione del mota di un fluido essendo data la distribuzione dei vortici. Senonch~
qui la questione diventa pi'll complicata per l'intera-
zione tra il moto del fluido e il campo magnetico e la presenza delle correnti di conduzione. In ogni modo, limitandomi per ora a considerare il fluido come . incompressibile, mobile in un recipiente qualsiasi, semplicemente connesso, nell'ipotesi che sia assegnata la componente normale del campo magnetico in superficie, dimostro come la questione si riduce alIa risoluzione di problemi di Neumann per Ie funzioni armoniche e che inoItre il problema idro magnetico si pub ricondurre alle quadrature quando il vortice e la corrente di conduzione verificano due condizioni che consistono in due equazioni diff,!:. renziali vettoriali alle derivate parziali e che derivano, l'una dalle equazioni maxwelliane del·campO,' l'altra da:n '~quazione euleriana del moto. La corrente di conduzione e il vortice, che sono stati supp
47
- 46C. Agostinelli
Ma se la traslazione d linsieme
e uniforme e non e ortogonale
all1asse di rotazione della massa fluida, si presenta la circostanza notevoIe di un fenomeno di risonanza in cui l'ampiezza delle oscillazioni del momento magnetico del dipolo va crescendo indefinitamente col tempo. Ne gue che una traslazione molto pros sima al mota uniforme
dar~
s~
luogo ad un
momento magnetico del dipolo quasi periodico rispetto al tempo, rna di
a~
piezza molto grande. Questo risultato pub spiegare come risulta dalle osservazioni, l'esistenza di stelle con campi magnetici variabili e di forte tensit~
• Se poi la
velocit~
di traslazione, oltre ad essere costante,
ortogonale all'asse di rotazione, equivalente
2.
i~
0
e
nulla, il momenta magnetico del dipolo
e pure costante in grandezza e direzione.
POSIZIONE DEL PROBLEMA E UNICITA' DELLA SOLUZIONE.
Se ci riferiamo a un fluido elettricamente conduttore, che si comporti come incomprimibile, e supponiamo che si possa trascurare la corrente di spostamento in confronto della corrente di conduzione, Ie equazioni idromagnetiche da considerare, col solito significato dei simboli, sono:
.....
~
~~ ... 1.... ~ 1 1 2 (5) '2Jt +rotv/lv=T 1 I\B- grad(-V p - U +2'v)
(1) rot B = I
~
(2) rot ~
(3) I
E =--'dt ~B
= G"' ...,.
(4) div B
- v"
(E
+
=
0 ,
(6) div -: =
o.
-"
B)
Supposto inoltre che il fluido si muova in un recipiente che occupa un volu-
49
- 47 C. Agostinelli me semplicemente connesso t~
';]0
"'t'
,
dotato di mota di traslazione con veloci-
e che sulla superficie sia assegnata la componente normale
Bn
del campo magnetico, Ie condizioni ai limiti sono
...
..,.
= Bn '
(7)
Bxn
dove
It e il versore della normale (interna) alIa parete t
del recipeinte.
II problema considerato consiste nel determinare il vettore
f!
del campo magnetico in ogni punto interne e in ogni istante, essendo as-+
asegnata la corrente 1i conduzione I
in ogni punto del campo e in ogni i-
stante in modo che sulla superficie limite! tratter~ inoItre di determinare la velocit~
~
sia verificata la (7). Si delle particelle fluide esse~
do data la distribuzione del vortice W, tale cioe che sia rot
(9)
V=
e che sulla superficie limite ~
..,I
I vettori
ed
... w,
2w
sia verificata Ia condizione (8) • in virti:l della (1) e della (9), devono ov
viamente verificare Ie condizioni (10)
div
I =
0
,
div i!
(10')
=
0 •
Si riconosce facilmente, coi soliti procedimenti, che il probl! ma non pub ammettere che una sola soluzione. Infatti, se esistessero due soluzioni (HI' rot
v1),
(H2,
'1'2)' per Ie (1) e (9) si avrebbe
(8'1 - B2l = 0 ,
....
rot (v 1
e cos! pure, per Ie (4) e (6), div (B 1
...
div (v 1
50
- 48 -
C. Agostinelli
In conseguenza dovrebbero esistere due funzioni armoniche
If' 1"
per cui
Sulla superficie ~ si avrebbe allora
Ne segue che Ie funzioni
Lf
"f
e
non possono essere che costanti e
quindi Ie due soluzioni devono coincidere. 3.
-
CONDIZIONI PER L'ESISTENZA DELLA SOLUZIONE. Osserviamo che la corrente di conduzione 1 e i1 vortice
~ w
non possono essere assegnati del tutto ad arbitrio, pur tenendo conto delle condizioni (10) e (10'); rna devono essere verificate ancora delle ulteriori condizioni che seguano dalle equazioni di Maxwell e di Eulero che reggono i1 fenomeno idromagnetico.
..
Invero, prendendo il rotore di ambo i membri della (3), ed
e~
minando il rot E per mezzo della (2), si ha l'equazione di condizione
....
Tt + rot (B II v) ~B
(11)
....,
'+
~
1
+ rot (; = 0 •
Inoltre, prendendo i1 rotore di ambo i membri dell 'equazione euleriana (5) del moto, e ponendo rot V = 2 (12)
.
at;!
tr,
si ha ancora
....,..
1
....
at + rot (w 1\ v) = 'if rot (I " B). ~
~
1 vettori B, V, che saranno determinati in funzione di I e di
51
...,.
w, dovran
- 49 C. Agostinelli
no dunque ana fine soddisfare aIle equazioni (11) e (12). 4.
DETERMINAZIONE DEL CAMPO MAGNETICO •
...
Per determinare il campo magnetico
B incominciamo a con
entro il volume ~ la cui derivata
siderare una funzione armonica
1\1
normale assuma sulla superficie
L.
.., .,.
i valori di (13 1)
dq,
I x n, tale cioe che
....
...
(13)
= 0, in 't
Questa funzione
4> si determina, come si sa, risolvendo un problema di
Neumann, e la condizione
J~ ~
t d~
dn
= I xn,
sopra
L .
= 0, risulta verificata, poiche in
virtu del teorema della divergenza e della (10) si ha
f. - ..
1~d! !
= 'Z.
dn
I x n. d ~
Dopo cib consideriamo un vettore (14) Di vettori
...,.
Bl
rot
Bl
..
Bl
~ -LdivI.d"t:' ...,
o•
tale che
= grad ~
che soddisfino alla (14) ne esistono ovviamente infiniti, e
si pub sempre fare in modo che sia (15)
Supposto di averne determinato uno, per la (13 1) ~
-,
~...,
risulter~
sopra ~
rot B1 x n = I x n , Se allora poniamo ~...,
(16)
£
J
..,..
= I - rot B1 = I - grad
52
,.t.
'¥
- 50 C, Agostinelli
con
~
J
vettore che possiamo ritenere noto, abbiamo ~
div J
(17)
=
...J x n
~
in 'T
0,
(17 ')
= 0,
sopra! ,
Ponendo inoltre (18)
. - ..
risulta
""¥ div B = div B ~lt
rot B
=
div Bl
~
:81
rot
rot B
=
0
--
=I
~
rot Bl
~
=J
e per la (7) ""
-+
B*'x n
La questione
~
..... ..,.
= Bxn
sopra
in tal modo ridotta a determinare il vettore
L
-* B soddisfa-
cente alle condizioni
""'. = 1,
rot B
(19)
essendo
...
"t'
= 0 sopra Z
.B. .* =
(20) con
...J x n
in
F
Per questa poniamo ancora
..,
rot S
+
S
funzione incognita ed
div S
(21) Sostituendo nella (19) si ha
grad F vettore da determinare con la condizione
= 0,
....
~
rot rot S = J, e quindi per la (21),
....
...,
lJ. 2 S = - J
53
,
- 51 -
C. Agostinelli
Allora, se
r
..,
~
S, da un punta
P in cui si considera il vettore
la distanza del punto
M variabile nel volume -.; ,per noti risultati della teo-
i
ria del potenziale newtoniano, si deduce
~S ::: - 1
(22)
4Jt.
j
'"t
(M)
r
e si riconosce facilmente che
::: - 1
d't ~
4)'t
1 ".
~ ) d't - 1 (I~ - rot B r 1
verificata la (21).
Invero si ha successivamente
L
grad M
J
= - _1_ 4tt 1
div
1;
I ..l 2
M
JIM) dt' + _1_ r 4i\:
JIM) x
r
il cui ultimo membro
~
t. dL.
~ x ~(M)d't
J ..l div M 1 (M) d"'C 't
r
:::
:::
1 (..l div J (M) d1;" + -4 M
rr )1:
r
identicamente nullo in virtu delle (17) e (17 IJ.
Per determinare ora la funzione
F, prendiamo la divergenza di ambu i
membri della (20); si ha cosi
A2
(23)
Inoltre sulla superficie (23 1)
dF ~ = grad F x n dn
-
La questione
~
L
F ::: O.
si ha
'""'* -
= (B
""t...,
rot S) x n
= Bn
~...,
.....
~
- B x n - rot S x n 1
dunque in definitiva ridotta a determinare la funzione
armonica nel volume 't'
F,
,della quale sono noti i valori della derivata nor-
male sulla superficie limite ~
• Essa si ottiene risolvendo, con uno dei
metodi noti, un nuovo problema di Neumann. Dopo cio, per la (18) e la (20), si ha
54
- 52 C. Agostinelli
..
con
...
B = B1 + rot S + grad F
(24)
S dato dalla
(22).
E' opportuno osservare come dalla (22) si ricava
=-
1
4i"
cio~
..........;0 n A (I - rot B1) d! +_1 4l1"
r
II cui secondo membro
~
J 't'
la somma di un potenziale vettore di strato sem-
plice e di un potenziale vettore di volume. L 'espressione trovata del vettore lori supposti assegnati della densita di corrente
..
~
B non dipende che dai vaI, dalla forma del volu-
me 't , e dai dati in superficie; essa soddisfa a tutte Ie condizioni richieste dal problema, e sebbene vi figura i1 vettore
~
Bl
che non
~
univocamen
te determinato, rna contiene degli elementi arbitrari, poicM la soluzione del problema
~
unica, si pub disporre dell'arbitrarieta del vettore
per rendere pili semplici i calcoli.
-
Una maggiore semplificazione si pub ottenere se della conosciamo una soluzione particolare che indichiamo con che rot
~
b
~
= I •
55
b
...,.
B1 (1)
,tale cio~
- 53 C. Agostinelli
Avremo allora .....
....
rot (B -
""!>
b ) = 0,
B=
.,.
b + grad F
A2 F = - div
,
....
b
e sulla superficie
-
....
Dunque, ogni qualvolta della (l) si conosce una soluzione particolare la determinazione del vettore
5.
del campo magnetico si riduce alIa deteE,
F tale
minazione della funzione
~2 F
B
b
..,
= - div b ,
in 't" ;
£'=B-b dn n
..,
x n , sopra
2. .
DETERMINAZIONE DELLA VELOCITA'.
Con procedimento analogo a quello del nO precedente, se
e una funzione armonica, E i valori di 2iJ x it, =0,
(25)
la cui derivata normale assume sulla superficie essendo in "t
e determiniamo un vettore
...
rot v 1
si ha per la
velocit~
(27)
-+
v =
~ i1 vettore vortice, tale cioe che grad
tf
-t
.......
x n = 2 wx n ,
..,.
v 1 per cui
v
= grad If
(26)
div l = 0
un'espressione della forma
~ ~ -;+ v 1 + rot s + grad f 0
con (28)
~
s =
1 47i
If
J 't
, - rot ... - l .(2. w v l) d 1: , r
56
sopra
L ,
- 54 -
C. Agostinelli
ed f funzione armonica la cui derivata normale assume sulla superficie i valori
df
...,
...
~
-dn = - (v 1 + rot s) x n
(29)
Anche qui
~
da osservare che dalla (28) si ricava che
~
div s = 0,
~
e
si deduce inoltre
L
1
rot S =
gradp
4'1t
..
...
-+ "{2ir ..
n" (2w - rot vI) d Z + _1_ ~ ----r--.......; 2JT
1 = 4Jt
J.
Concludendo, una volta determinata l'intensitA
B
1
'S,
rot W d'""C r
"t
del campo magnetico in
funzione della corrente di conduzione lela velocitA fluide in funzione del vortice
=
1
delle particelle
con Ie condizioni assegnate in superficie,
il problema considerato di moto magnetoidradinamico risulterA risolto se ~
i vettori I ed
...w
Dopo
verificano Ie condizioni (11) e (12).
cio
la (3), risoluta rispetto ad
E,
fornirA senz'altro
il campo elettrico, e dalla (5) si avrA la pressione con quadrature.
6.
CASO IN CUI LE LINEE DI CORRENTE E LE LINEE VORTICOSE SONO RETTE. Nel caso particolare in cui Ie linee di corrente e Ie linee vor-
-
ticose sono sempre rette, in generale non parallele, si ha che la corrente di conduzione
I e i1 vortice
w devono essere funzioni soltanto del tempo.
Infatti, l'equazione differenziale delle linee di corrente, sotto forma vettoriale risulta
..,
IAdP=O.
57
.. 55 -
C. Agostinelli
AffincM si abbiano delle rette essa deve essere soddisfatta assumendo P = 0 + m 'it, essendo
0 un punto fisso,
-; un vettore costante arbi-
trario, ed m un parametro qualunqtie. Segue che sar~ di
i
zione
= n 1 con
div
numero r~Aale funzione di P
ri
r = 0, porge
grad n x it
= 0,
r" "it = 0, e qu~
e di t. Ma la condi-
che deve essere verificata qU!
lunque sia il vettore ~; percio sar~ grad n = 0, e quindi n sar~ indi~
pendente dal punta P, e cos! pure 1. Nello stesso modo si dimostra che il vortice -+ w sara. indipe,!! te dal punto e
solo dal temp.o.
dipende!'~
Cio premesso, osserviamo che, nel caso considerato, dell'equazione (1) abbiamo la soluzione particolare ~
(30)
Bl =
1
"2
che verifica la condizione div
~
I II (P - 0)
HI
= O.
Ponendo allora (31)
i" (P - 0) + grad F + grad F = ..!... 2
B = Bl
si ricava
..,.
div B
= div grad F = L\
2F
e quindi per la (4) si ha (32)
A2F
Sul contorno ~
...Bxn...
=
0
deve essere per la (7) =
l..2 7"
(P - 0) x n + grad F x It = B
n
58
- 56 -
C. Agostinelli
e quindi 1 ...
- "2 I
dF
-dn = Bn
(33) La F
~
~
A (P - 0) x n •
dunque una funzione armonica la cui derivata normale ha sulla su-
perficie limite i valori definiti dalla (33). Determinata la funzione (31) da senz'altro il vettore
B
del campo.
In modo analogo si determina la velocita fiuide. Essendo
...v
(34)
rot .. v = 2"" W,
...,
= v + o
...W "
F, la
~
v delle particelle
Sl'ha
(P - 0)
+ grad f
con
42 f
(35)
= 0,
in
'"Ii
,
e (35')
-
df =dn
W 1\ (P -
~
0) x n,
sopra:r .
Nel caso in esame Ie condizioni (11) e (12) si riducooo aIle seguenti (36)
;
~
+
9'W
Tt -
(37)
.,.
e percio i vettori I ed
:~ v-
:.! B
=0
d~ ~+_1_ dB1 =
dP
.... W
W
2~
0,
d P
devono essere fissati in funzione del tempo in
modo che siano verificate identicamente Ie condizioni (36) e (37).
7.
MOTO MAGNETOIDRODINAMICO IN UN ELLISSOIDE A TRE ASSI. Come applicazione dei risultati del nD precedente supponiamo
che l'involucro in cui si muove il fiuido conduttore sia di forma ellissoidale disemiassi
a, b, t
(a>b>c).
59
- 57 -
C. Agostinelli
L'equazione del contorno, con riferimento agli assi dell 'ellissoide,
~
dunque
2 2 2 _ x L z If (x, y, z) .:: -, + 2 + ,. - 1 = 0 abc
........
-
e, se indichiamo con i, j, k i versori degli assi, si ha grad
'f =
.L'" z .... + 2 J + 2' k) ; mad grad abc
X":' 2(,. 1
'f = 26
con
.1 = Inoltre il versore (38)
Ii della normale all1ellissoide risulta
.. n = gra d (01
/
mo d gra d \0I
Supponiamo che la componente- normale
=...!. A B
n
(...!. a2 i
+ b2" I "'J' +.!.. c2 k)
del campo magnetico, asse-
gnata in superficie, sia della forma (39)
Bn =
Lr1
(K 1 x + K2y + K3 z).
Come ho mostrato in una nota lincea 1) questi valori corrispondono a quelli che determinerebbe un dipolo magnetico posto nel centro dell1ellissoide il cui momento magnetico ha componenti proporzionali a K1, K2 , K3 • n caso in esame ha quindi importanza per spiegare llesistenza del campo magnetico terrestre e quello generale delle stelle, in cui un nucleo centrale di forma ellissoidale,
0
sferica,
~
nelle condizioni che qui co!:
sideriamo. In base alIa (31) il campo magnetico in un punta interno all'e..!
lissoide sad della forma
60
- 58 C, Agostinelli ...
(40) con
B
F
1-+
= 2 I (t
)" (P - 0) + grad F ,
funzione armonica la cui derivata normale dovra assumere al con
torno i valori dF = B dn n
(41)
1~
21
..
II (P - 0) x n
Poicbe _d_F = grad F x dn
n = ..!.. (...!.2 l! + :L2 !J.
dx
a
b
'c) F + ..!. g F) d Y c2 ¢ z
e
dove
11' 12, 13
sono Ie componenti del vettore
-+
I, sostituendo nella
(41), la condizione al contorno diventa: (41')
...!.
a2
....a..! + :L 2...! + 2.. ~ F = ~ x b2 d Y e 2 Tz
Kl x + K2 Y + K3 z -
[ -1 11 1-"2) 1 1, - 21(2' 2')ll'Yz +("21 -,)I 2,zx + (2' 3 c
b
a
Se proviamo a porre la funzione armonica grado in x, y, z,
b
c
F
a
xy
J
uguale a una funzione di 2~
della forma
F = Ayz + Bzx + Cxy + Dz + Ex + Gy, sostituendo nella (41') si ha
x
:L
z
,(Bz + Cy + E)+ 2(Az + CxtG)+2'(Ay a b c
61
+ Bx + D) =
- 59 -
C, Agostinelli
Questa risulta identicamente verificata, al variare del punta sulla superfi-
!
cie
dell'ellissoide, per
2
2
1 c - a B = -2 c 2 + a 2 12 ' E
=
K a 1
2
Si ha pertanto (42)
2 2 2 2 2 2 Ib-c c-a a-b F = - '2 (b 2 + c 2 I1,yz + c2 + a 2 I2,zx + a 2 + b 2 I3,xy) +
+
K1 a2 x
+ K 2 b2 y + K 3 c 2 z
e per la (40) Ie componenti B1, B2, B3
del campo magnetico, secon-
do gli assi dell'ellissoide, risultano 2 12 13 z - - y + K 1) Bl = a (2- c + a2 a 2 + b2 (43)
2 13 II - z + K 2) B2 = b (2- -2x - a +b b 2 + c2
Analogamente, essendo
1
..
w(t) il vettore vortice, il vettore della
velocit~
delle particelle fluide sar~ della forma ~
~
v = vo +
(44)
... A (P - 0) + grad f, W
con f funzione armonica, Sulla superficie ~ ellissoidale
sar~
che limita l'involucro
nulla la componente normale della
62
velocit~
..,. .,
relativa v - vo
- 60 -
Co Agostinelli Si deduce che in superficie deve essere verificata la relazione df ~ ~ ; - w A (P - 0) x n dn ' cio~
of
x
af.L
OX a 2 + 'dy b2 + Ponendo
f
Jf
dZ
Z
x
[
z]
.L
c2 ; - (w2z-"'3 Y) a 2 +("'3 X -"'I Z )b2 +("'I Y-"'2 x) c2
uguale a una funzione armonica di 2D grado in x, y, z,
con calcol0 analogo a quello con cui si
~
determinata la funzione
F, si
trova 2 2 2 2 2 2 b-c c-a a-b f ; - (-2--2 "'loYz +~ "'2°:Z:X +-2- 2 "'3° xy ), b +c c +a a +b e quindi, in virtu della (44), Ie componenti vI' v2' v3 di una particella fluida risultano vI = vol (45)
+
della velociU
2 "'2 "'3 2a (c 2 + a 2 z - a 2 + b2 y)
2 "'3 wI v2 = v 02 + 2b (-2--2 x - 2 2 z) a +b b +c 2 "'1 "'2 v3 = vo3 + 2c (-2-2 Y --2-2 x), b +c c +a
dove v 0 l' v 02' v 03
sono Ie componenti della traslazione
~
v0
Dobbiamo ora considerare Ie condizioni (36) e (37), Ie quali danno luogo aIle seguenti eq\lazioni scalari (46)
63
- 61 -
C•. Agostinelli (47)
d. ~ e"h 0 Vh + W eVh ) + _1_ (1 ~ Bh + I 0 Bh + d t - (wI TX + w2 'fY 3 'J z 2 f 1 0 x 2 'C) Y +I
..fi)
3 ~ Z
Sostituendo nelle (46) in Iuogo delle
= 0,
(h
= 1,
2, 3).
Bh e vh i valori espressi dalle
(43) e (45), si ottengono delle equazioni Iineari in x, y, z. Poiche esse devono essere verificate identicamente, uguagliando a zero i coefficienti si hanno Ie seguenti equazioni
(48)
I' 1
2 " 1 (w2 13 - w3 12)
I' = 2
rt 2 (w 3 11 - wI 13)
2
2 I' = ~ 3 (wI 12 - w2 11) , 3 nelle quali gli apici indicano derivazionerispetto al tempo, e dove per semplicita si e posto
2 2 2 ~2 = 2a (b + c ) 1
(c 2+a 2)(a 2+b 2)
e si ha inoltre
64
- 62 -
c.
Agostinelli
(49)
Analogamente daUe (47) si deducano Ie seguenti equazioni 2
2
2
2
c _b + tX,2 -2--2 (w 2 w3 - 1 12 13) = 0 1 1 c +b 4f
WI
+ ri.J2 a - c 2 2 2 a + c2
(50)
WI
(W 3
wI -
2 b2 _ a 2
+ (wI w2 2 ~ 3 -2--2 b +a
WI
1 4f
4T1
13 11)
=0
11 12)
=
O.
Le equazioni dei due sistemi (48) e (50), che definiscono Ie componenti 11' 12, 13
-
del vettore corrente di conduzione
..,
I e Ie componenti wI'
w2' w3 del vortice w in funzione del tempo, ammettono i seguenti quattro integrali primi quadratici fra lorD indipendenti: 2 2 2 11 12 13 (51) ++= cost. IX. 2 OC 2 ri.2 1
2
3
(52)
(53)
65
- 63 C. Agostinelli
Essi si ottengono facilmente nel modo seguente:
U primo si ricava dalla (48) moltiplicandone ambo i membri rispettivame~ 222 te per 11/ Ci.J l' 12/ ~ 2' lsi 0(,3' e sommando quindl membro a me~ bro. Per ricavare il secondo moltiplichiamo ambo i membri di ciascuna delle equazioni (50), rispettivamente per
222 ~3
(a +b )W3/
'
e sommiamo membro a membro; si ha cosi
cio~,
tenendo conto delle (48), si ha ancora
da cui segue subito 1'integrale (52). Moltiplicando invece ambo i membri di ciascuna delle (48) . 2 2 2 2 2 2.2 2 rispettlvamente per (b + c ) w1/ d. l' (c + a ) W2/ ct 2' (a + b ).
waf. ~ ~;
ambo i membri di ciascuna delle (50) rispettivamente per
66
- 64 -
c.
Agostinelli
22 222 222 2 (b + c ) 1/ eX 1' (c + a ) 12/ ~2' (a + b ) 13/ tX.. 3' b 2+ 2
~(1l ~1
e sommando, si ha
a2+b2 c 2+a 2 wI + II wI) + --:2(1 2w2 + 12 ( 2) + --:2 (13 w3 + 13 ( 3) = 0, d2 !t3
che fornisc.e l'integrale (53).
11 quarto integrale si ottiene infine moltiplicando Ie equazioni (50) rispetHvamente per (c
2
22
2
+ a) w2/ ~2'
(a 2 + b 2)2 w3 / r:i.,23'
e sommando; si ha cos!
=0,
e, avendo riguardo alle (48), si ha senz'altro l'integrale (54). Si riconosce facilmente come i quattro integrali trovati sono sufficienti per ridurre alle quadrature l'integrazione del sistema di equazioni (48) e (50). Invero, ponehdo B =c
2
+a
2
,
C=a 2 +b 2
w=-d,r 3 3 (55)
't =
(j.
1 ot 2 D'3 t ,
67
- 65 C. Agostinelli
dove
2 10
e la costante del secondo membro dell'integrale
(51), Ie equazi£
ni (48) e (50) diventano
d;; che sono Ie equazioni di Poisson e di Eulero relative al moto di un corpo rigido intorno a un punto fisso
0, Ie cui molecole sono attratte da un piano
fisso con forze proporzionali alle distanze da questa piano ( Problema di De Brun). In esse
Yl'
r 2' r3
sono i coseni direttori della norm~
Ie condotta dal punto fisso al piano attirante, mentre
p, q, r
sono Ie
componenti del vettore velocita angolare di rotazione secondo gli assi principali d'inerzia relativi al punto fisso, ed A, B,
C rappresentano i mo-
menti principali d'inerzia relativi aHo stesso punto. II problema di moto magnetbidrodinamico considerato
e dunque,
dal punto di vista analitico, equivalente al problema meccanico di De Brun. Ma questo problema si risolve come si sa mediante quadrature, percio al-
...wedel vettore den-
trettanto avviene del problema magnetoidrodinamico considerato, almena per quanto riguarda la determinazione del vettore vortice sita di corrente
-'r
I, in funzione del tempo.
In virtu delle posizioni (55) i quattro integrali primi, precedentemente ottenuti, diventano (51')
68
- 66 C. Agostinelli
(52')
2 2 2~ 22 '12 Ap +Bq +Cr +4f (A1 1 +B{2+ C '3)=h(cost.)
(53')
Ap
(54')
2 2 2 2 2 2 1~ 2 A P +B q +C r -4f(BC 1'1 + CA
Y1 + Bq
il primo dei quali
~
r2 + Cr "'3
= Ko
(cost.)
Y22 + AB 43)2 = e (cost.),
1'integrale dei coseni direttori, il secondo 1'integrale
delllenergia, il terzo 1'integrale del momento della quantita di moto. L 'esistenza del quarto integrale consente, COrnIe noto, di integrare il sistema (48'), (50') mediantt: quadrature, e quindi anche il sistema (48), (50). Determinati cosl in funzione del tempo Ie componenti dei vettori
i
ed
it,
rimangono da considerare Ie equazioni (49), in cui sono
da ritenere assegnate in funzione del tempo Ie componenti vOl' v02' v0 3 della ve10cita di traslazione dell 'ellissoide. Esse costituiscono allora un si sterna di tre equazioni differenziali ordinarie, lineari, del primo ordine e non omogenee, che definiscono in funzione del tempo Ie quantita K3
K1, K2,
da cui dipende il campo magnetico in superficie. Risulta cosl dimostrata 1'esistenza nell'interno dell 'ellissoide
di un mota magnetoidrodinamico vorticoso che da luogo ad un campo
magn~
tieo la cui componente norma1e in superficie assume gli stessi valori di que..! la che determinerebbe un dipo10 magnetico posto nel centro. EI opportuno osservare come Ie equazioni (49) ammettano un integrale primo che si ottiene facilmente moltiplicandole rispettivamente per (a 2 + b 2)( c 2 + a 2) I l'
(b 2 + c 2)(a 2 + b 2) 12,
(c
222 + a)(b
2
+ c ) 13,
sommandole quindi membro a membro e tenendo conto delle (48). Si ottiene cosl
69
- 67 -
C, Agostinelli
(56) che
~
l'integrale richiesto, Se Ia traslazione
~
nulla Ie equazioni (49) ammettono Ia solu-
zione
essendo Ko una costante arbitraria, come si verifica facilmente avendo riguardo alle (48), Giova osservare ancora che dividendo Ie equazioni (49) rispe.! tivamente per
ri l'
r:I. 2'
Dt 3 , tenendo conto delle posizioni (55), e
ponendo ancora
il detto sistema assume Ia forma pitt semplice dH1
~ + H3q - H2r = w2 (3 (49')
e I'integrale (56) diventa (56')
70
W3
t2
- 68 C. Agostinelli
chE! si otWme facilmente daUe (49').
8.
CASO SFERICO. Nel caso in cui 1'ellissoide si riduce ad una sfera, e quindi
a
= b = c, Ie equazioni (50) mostrano subito che Ie componenti wI' w2'
w3
del vortice sono anche costanti rispetto al tempo e il mota interno del-
la massa fluida si riduce ad una rotazione rigida uniforme di periodo = 2 Tt/w, essendo
T
=
w l'intensitA costante del vortice.
In questo caso Ie equazioni (48) diventano pii:! semplicemente
(58)
l' 1
= w2 13 - w3 12
l'
= w3 II - wI 13
l'
= wI 12 - w2 II
2
3
che equivalgono all'equazione vettoriale (58') Sussistono in questo caso gli integrali
121 + 122 + 123 = 120 (cost~., )
dai quali risulta che il vettore densita. di corrente
-
I ha modulo costante
10
e forma un angolo costante con la direzione del vortice. La costante
J II
rappresenta la proiezione di
i
nella direzione di tj. 11 vettore
i
ha dunque un mota di rotazione uniforme intorno aUa direzione del vettore costante
"J. Derivando ambo i membri deUa prima delle (58) rispetto al
71
- 69 -
C, Agostinelli
2, 13,
tempo ed eliminando 1 mente, per l'incognita I"I
e analogamente per 13
servendosi delle altre due, si ottiene facil-
II' l'equazione
+
2 II
W
= wI
J
W 0
12 e 13' Si deducano allora facilmente per
II' 12,
i seguenti valori
dove
CI , C2 sono altre due costanti arbitrarie oltre
Jo '
Le equazioni (49) diventano ora
(60)
i cui secondi membri sono noti, mentre i primi, uguagliati a zero, danno delle equazioni identiche aIle (58), di cui conosciamo gli integrali. I secon di membri svaniscono se
e nulla la velocitA -.
Indicando con
di traslazione
K il vettore di componenti
72
....
v~
K1, K2, K3,
- 70 -
C. Agostinelli
Ie (60) si sintetizzano nell'equazione vettoriale
..,.
1 ~ ~ dK ... ~ - - w A K = -2- v /I I. dt 2a 0
(60')
~
Da questa, moltipIicando ambo i membri scalarmente per I, e tenendo con to della (58'), si deduce l'integrale
che non
~
altro che l'integrale (56) per a = b = c. Analogamente, moltiplicando ambo i membri della (60') sca-
i;t
larmente per (62)
si ricava l'altro integrale
Kx w+ 2:2 (~(t) xi -
t
i v'
(t) x
1. d t]
= W Ko (costante).
Per integrare ora il sistema (60), i cui secondi membri Ii supponiamo non tutti nulli, e quindi non nulla la velocita di traslazione ~, riferiamoci al l'equazione vettoriale (60'). Derivando ambo i membri rispetto al tempo e tenendo conto della (58') e dell'integrale (62), si deduce facilmente I 'equazione ->
~
(63)
....,
cP (t)
dove con (64)
..,
~
si
(t),
e indicato il vettore definito dalla relazione 4
1
~
1~
......
1""t
-,
(t) = W K. w + -2- w J • v - - v x w. I + --v' 1\ I + v 2a '0 a 2 00 2a2 0
t
~ +_1_ Jr...v~ (t) x. .I, d t. w •
2a 2
o
73
- 71 C. Agostinelli
Prescindendo allora dall'integrale generale dell'equazione omogenea
associ~
ta alla (63), Ie cui componenti sono della forma delle (59), si ha in fine (65)
1 K (t) = - - coswt.
~
w
J..
1 ~ (t) sen wt. d t + (;; sen wt.
K
che fornisce in funzione del tempo il vettore
f~
-+
(t) cos wt. tLt,
da cui dipende la compo-
nente normale del campo magnetico in superficie, none he il momento magnetico del dipolo equivalente. Se la velocita di traslazione
~
v
o
e periodica (come nel caso
in cui il centro della sfera si muove di mota circolare uniforme), di periodo diverso di quello di rotazione della massa fluida, si riconosce facilmente che il vettore
"'*'
~ (t), e quindi anche il vettore
~
K,
risuUa una funzione
0-
scillante del tempo che si mantiene sempre finita. Un caso particolare notevole si ha quando la traslazione e uniforme e quindi la velocita (66)
'1
~
e costante.
In questa caso si ha dalla (64)
..
1 ~ 1..,_~ 'I' (t) " w Ko w + --2 w {, • vo - 2' vo x w. I 2a a
il cui secondo membro e in generale periodico di pulsazione
w, e pertanto
la (65) da luogo ad integrali oscillanti di ampiezza crescente
indefinitame~
te col tempo. Si ha cioe un fenomeno di risonanza in cui Ie ampiezze delle oscillazioni del momento magnetico del dipolo equivalente vanno esaltandosi col tempo. Una traslazione molto prossima al mota uniforme dara allora luogo ad oscillazioni di ampiezza molto grande. Questo risultato puo re, come risulta dalle osservazioni, l'esistenza di stelle con campi
spieg~
magne~
ci variabili di forte intensita . Se infine la velocita di traslazione
74
Va'
oUre ad essere costan
- 72 -
c. te,
e ortogonale alIa rotazione ~
Agostinelli
della massa fluida, il vettore
~
ri-
sulta costante:
~
(67)
=
e dalla (65) si ha che il vettore del dipolo equivalente
~
...
K, che definisce il momento magnetico
e pure costante e parallelo a
I\> • Esso ha allora
una componente secondo l'asse di rotazione ed una nel senso della traslazi.£ ne. Se la velocita di traslazione
e piccola in confronto della velo-
cita angolare di rotazione, l'asse del dipolo equivalente sara di poco inclinato all'asse di rotazione. E' quello che avviene appunto nel caso della Terra e del Sole.
75
C. Agostinelli RIFERIMENTI 1)
C. Agostinelli, Sul mota masnetoidrodinamico di un fiuido elettricamente conduttore
~ontenuto
in un recipiente fisso a pareti conduttrici,
essendo assegnata la distribuzione della corrente di conduziotle e dei vortici (In
cor~o
di pubblicazione nell' "International Journal of En-
gineering Science".) Idem, Su un notevole teorema di equivalenza in magnetoidrodinamica ("Bollettino della Unione Matematica Italiana", marzo 1962). Idem, . Su una spiegazione magnetoidrodinamica dell'esistenza del
ca~
po magnetico terrestre e d'i quallo' generale dene'stelle {"Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei", ferie estive 1962). 2)
p. Appell,
Trait~
de
M~canique
Rationnelle, T. II, Chap. XXV,
n~ 499 (Paris, Gauthier - Villars, 1931).
77
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C. 1. M. E. }
GIOVANNI CARINI
SUL CONCETTO DI PRESSIONE IN MAGNETOFLUmODINAMICA E NEL CASO DI UN FLUmO DIELETTRICO IN PRESENZA DI UN CAMPO ELETTRICO
ROMA - Istituto Matematico dell 'Universitl
79
SUL CONCETTO DI PRESSIONE IN MAGNETOFL UIDODINAMICA E NEL CASO DI UN FLUIDO DIELETTRICO IN PRESENZA DI UN CAMPO ELETTRICO Giovanni
Carini
Nella ordinaria magnetofluidodinamica la forza unitaria di volume che interviene nell'equazione indefinita del mota si pensa decomposta in varie parti, di cui una ha origine elettromaj!'netica. Come hanno rilevato il Prof. Ferraro; nella sua bella introduzione dei principi di Magneto-fluidodinamica, nel terzo cicIo di lezioni organizzato dal C.1. M. E .. Varenna - 1962, ed altri Autori, quali ad es. Alfv~n,
Cowling, codesta forza elettromagnetica, la cui espressione
~
pub essere espressa, in parte, come gradiente di una pressione conformemente alla formula
1!I. f
(1)
H2 H =-grad ( ""81t ) + div
essendo
.!.
la
densit~
gnetico,
f'
la
permeabilit~
di corrente elettrica,
!!
JA-!!!! 4.7t'
),
l'intensitA del campo ma-
magnetic a del mezzo (supposta costante ) e
indicando l'ultimo termine del secondo membro della (1) la divergenza di un diade. Se si esce dalla magnetofluidodinamica pura e sf considera un fluido conduttore mobile in un campo impresso elettromagnetico gene .. rale, nasce la questione di ricercare un'espressione completa per la pressione totale.
81
- 2G. Carini Per quanto io sappia, tale questione
~
stato oggetto di ricer-
ca da parte di uno studioso cinese BOA-TEH-CHU. Questi ha proposto, in un lavoro inserito in "The Physics of Fluids" ( 1959), alcuni principi termodinamici per il trattamento di problemi relativi al caso generale. La teoria proposta ~ fondata sulla seguente espressione della pressione totale p =p(m) +_1_ (ED + HB.) __1_ P E2 ~
(2)
8n;
di cui l'Autore non t~
d~
--
--
Sf
87t.)
_.l f aIt
sufficiente giustificazione. Nella (2)
elettrica del campo, Q l'induzione elettrica, & =
e.
~ ~
r="
Poich~
p
e dalla temperatura assoluta T,
(f'
sono fuori
T)
~
!!
~
1>,. sf
l'intensi-
(p, T )
costante dielettrica del mezzo, dipendente ( in generale) dalla di massa
H2
~
la
densit~
llinduzione magnetica,
la permeabi1it~ magnetica del mezzo.
discu~sione
Ie relazioni su cui si deve fondare la ter -
modinamica di un fluidb dielettrico immerso in un campo elettrostatico , come risulta dal volume di Landau-Lifschitz "Electrodynamics of Continuous Media
(21)
II,
lto particolarizzato la (2) nella
p=p
(m)
1 8n
1
2 'd E.
81r
;)1'
+ - E D · - 9E --
ed ho rilevato che tale espressione non conduce alle suddette relazioni riportate nel volume di Landau-Lifschitz.
A tali relazioni si giunge agevolmente se si completa la (2') con un termine di pressione di origine elettrica.
82
- 3G. Carini
Per vedere come nasce questo nuovo termine di pressione, consideriamo un fluido dielettrico in equilibrio rispetto ad un sistema inerziale di riferimento K e sia E la dens ita. di forza non elettrica agente suI fluido. Com'e noto, gli sforzi di origine maccanica sono norm ali agli elementi siIperficiali su cui agiscono; hanno carattere di pressione e possiedono, nel generico punta
P del
mezzo, la stessa intensita p(m} ,
qualunque sia l'orientazione dell'elemento superficiale per P. Questa intensita p(m), che rappresenta la forza per unit a di superficie, viene chiamata la pressione idrostatica in
P.
Se il fluido e immerso in un campo elettrostatico, in generaIe, non uniforme, si devono considerare, accanto agli sforzi di origine meccanica, gU sforzi di origine elettrica. Ricordiamo, che secondo la teoria di campo di Faraday-Maxwell, non esistono azioni a distanza. Se una superficie qualunque 6'" divide in due parti V e V' , un sistema in equilibrio elettrico, Faraday conce .. pisce che la forza totale che V' esercita su V deve attraversare r5
•
lVlaxwell completa la concezione di Faraday mostrando che la forza totale di origine elettrica che si esercita su V pub rappresentarsi con un sistema
di forze superficiali distribuite su
e-- •
Nasce cost il concetto di sforzo elettrico ¢ (e) -
al gene rico punto P e all'elemento f: per P;
n
~ relativo
'-n II e 10 sforzo specifico di
urigine elettrica, dipendente dall'intensita del campo in P e dall'orientazione di d6' rispetto ana direzione del campo, mentre n e la normale
d6", esterna all'elemento fluido che subisce l'azione.
83
- 4 G. Carini Lo sforzo
~ (e) si calcola mediante il tens ore - n
T (e) di Max-
well con Ie seguenti formule:
4> (e)
(3)
(i
= 1,
2, 3 ),
ni
essendo
T,(e) 11<
=- ~
()( l'
(' -to per ifk )
c· rr
( 1 E + Io'k; (O'k C'k +-4I' Dk - - ~ c)'k
ex
In.
2'
0(. 3'
1
i coseni direttori di
IIi
i=k
'Yl.. •
Si puo constatare con Ie (3) che 10 sforzo di origine elettrica, relativo alllelemento superficiale
d ~ , non
~
in generale normale a dG'; esso puo
essere decomposto nel componente normale e nel componente tangenziale a d 6"'. Cos! se nel gene rico punto P, si considerano i tre sforzi specifici (e), J t (e), ",(e) 'P relativi alle direzioni per P, parallele agli assi !l ~2 -3 (e)
coordinati Ox 1, Ox 2, OX 3 si rileva che i tre sforzi normali
11
(e)
¢
¢
in generale non
9J
no uguali fra loro.
33
84
(e)
¢' 22
- 5-
G. Carini Dunque non possiamo parlare di pressione gine elettrica, come si
~ fate~
0
trazione di ori-
nel car-:o degli sfcrzi di origine meccanica
in cui abbiamo potuto introdurre il ('oncetto til pressione idraulica. Ma 1'equazione di state e Ie altl'e equazioni termodinamiche richiedono l'esistenza di una pression" totale P. eg'uale per tutte Ie direzioni spiccate dal generico punta P del mr-zzo. Tale pressione totale
~
da pensarsi come composta della pressione di o-rigine meeeanica p(m) e di una pressione
0
trazione di origine elettrka.
Ma,come si pub introdurre quesi;'ultima grandezza? Ritengo ehe si possa giungere alIo seopo osservando ehe il tens ore di Maxwell
T(~~ ~
la somma del tensore isotropo -
r ~ ik
e del tensore "G ik
e che Ie due quantiUl
sono invarianti rispetto aIle rotazioni degli assi coordinati per P. Quindi la pressione ( 0 trazione ) di origine elettrica dev'essere legata aIle due suddette quantita. Per stabilire tale legame e per ealcolare, quindi, la pressione totale p consideriamo dapprima la forza unit aria di volume di origine elettrica. Essa
(4)
~
: ::: - grad} + div
85
~;:
- 6 -
G. Carini Dalla (4) si deduce che
t
contribuisce alIa pressione di origine elettrica;
mostriamo ora che un alt ro termine di pressione (trazione) proverra da div (;' .
= ~!? - E2 D2 - E3 D3 per Ia com-
Infatti, essendo El Dl
ponente di div t secondo I 'asse x, , si ha: 1
(5)
4'C (diV'C)1 =
~. ~ (E1D,) = 4-- (E D) + El div D tI oX{ 1 oXl --
Ma, se si tiene conto che i vettori elettrici
~
-
,!?
nel dielettrico soddi-
J
1 4n
sfano aile equazioni rot
E
=
0
div
D
=
0
(6)
dalla (5) siricava , (dlV t)1 =
1 '41t
r grad
(~Q) 1 -
'dQ
~. ~
1
Dopo cib, tenendo conto che espressioni analoghe valgono per Ie altre due componenti di div't,
Ia (4) si scrive nella forma;
86
G,
(41)
l
dove.!. k
~
( )
e = - grad (
ED
1
Carini
3
J . -==-) - - - 2:. 41'. 41': Ii(
il versore dell'asse Ox k ,
AHora llequazione indefinita dell'equilibrio del fluido rispetto a K
(7)
~.P
)
).TI:
da cui si deduce,
(8)
1
«)!:_grad(p(m)+ «) --4-)--4-
p=p
ess~ndo D·~
(m)
J'C
2:31~
(E. -
r. E, che la pressione totale
ED __ (m) +-\?=--=p .> 4 it
-
~
QD /),- )l~ =0 d Xk ~
E2
8J!'
A me sembra aHora, che la (8) mostri che la (21) dev1essere completata con un termine di pressione di origine elettrica, ed in cia sono confortato dalla circostanza che la (8), come rilevo in un lavoro in corso di pubblicazione, conduce alle relazioni su cui dev1essere fondata la termodinamica di un fluido dielettrico immerso in un campo elettrico.
87
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
( .c. I. M. E.
)
V. C. A. FERRARO
MAGNETO-IDRODINAMICA
ROMA - Istituto Matematico dell'Universita
89
MAGNETO - IDRODINAMICA di V. C. A. Ferraro
1. -
Cenno storico Le origini della magneto-idrodinamica possono essere rintracciate
nelle speculazioni di certi scienziati suI magnetismo dei corpi celesti, in certi studi teorici suI moto di un gas ionizzato immerso in un campo magnetico,eseguiti per formulare una teoria delle tempeste magnetiche. Cosi Bigelow nel 1899 suggeriva che il sole e una grande calamita
dalla somiglianza d(ile piume coronali, viste durante un eclisse totale, col Ie linee di forza di una sfera uniformemente magnetizzata. Schuster supponeva che ogni corpo celeste in rotazione doveva essere una grande calamita e Ie ricerche di Hale nel campo magnetico solare furono ispirate da queste prime speculazioni. Nel 1908 Hale scopri , per mezzo dell'effetto
Zeeman, che Ie rna£.
chie solari possedevano campi magnetici dell 'ordine di migliaia di gauss. Questa scoperta apr! un nuovo campo nella studio dell'astrofisica e fu indirettamente responsabile dello sviluppo della magneto-idrodinamica; poiche, per quanto i principi fisici necessari per tale nuova scienza erano ti gia dal tempo di Maxwell,
conosci~
e da rilevare che i fenomeni della magneto-
idrodinamica non si manifestano che quando si tratta di un fenomeno a
gra~
de scala, come quelli dei corpi celesti. Questi nuovi fenomeni si possono solo riprodurre in laboratorio con grande difficolta. Nel 1919 Larmor propose una teoria del sostegno del campo magnetico delle macchie solari nella quale lui supponeva che
n moto dei gas io-
nizzati solari in un debole campo magnetico l'avrebbe amplificato e sostenuto, come avviene in una dinamo montata da se. Le circostanze previste da Larmor riguardavano la simmetria intorno all'asse della macchia. Ma
91
- 2-
V. Ferraro
Cowling nel teorema"anti-dinamo" dimostrava che un campo magnetico aven do simmetria intorno ad un asse, non poteva essere sostenuto da un moto con simmetria intorno allo stesso asse. Cowling aggiunse alIa sua critica della teoria di Larmor l'ipotesi che i campi magnetici delle macchie potrebbero risultare dalla convezione di un campo magnetico profondo prodotta da correnti vertic ali e che una cop pia di macchie apparirebbe ogni qual volta questo campo rompesse la super ficie solare. Nell'ipotesi del Cowling si aveva per la prima volta l'importante concetto di un campo magnetico "accollato" ad un gas ionizzato ad alta conducibilita. Kiepenheuer nel 1935, in una teoria della corona solare, proponeva che i gas espulsi dalla corona potrebbero trasportare con loro dei pezzi dei campi magnetici superficiali del sole.
Due anni dopo dimostrai
che in una stella in rotazione non uniforme, la velocita. angolare doveva essere costante sulla superficie tracciata da una linea di forza girando intorno all'asse della stella. Se questa
COSl
detta "legge di isorotazione" non ve-
nisse soddisfatta, Ie linee di forza sarebbero trascinate longitudinal mente secondo i1 principio dell' accollamento. Nel 1942 Alfv{!n affermava per la prima volta il teorema che porta i1 suo nome, cioe che in un gas ionizzato
0
in un liquido di alta conducibilita.
elettrica, ogni moto perpendicolare al campo magnetico e proibito, cosicche la materia del gas
0
del liquido e accollata aIle linee di forza.
Questo teorema si deriva immediatamente applicando la legge di Faraday, ad un fluido di infinita conducibilita, cioe che la forza elettromotrice in un circuito chiuso che si muove con il fluido
e evanescente,
altrimen-
ti ne risulterebbero correnti infinite. Nella stessa memoria in cui egli annunciava il suo teorema, Alfven
92
- 3 -
V. Ferraro diede anche un esempio dell'effetto di accoppiamento tra Ie forze meccaniche in un fluido di grande conducibilita e Ie forze magnetic he. Alfven dim£ stro che questa interazione dava luogo ad una nuova specie di onda, detta onda magnetoidrodinamica. Difatti, essendo la materia accollata ·alle linee di forza, e poicM esse si trovano sotto tensione, ogni linea di forza si comporta come una corda tesa; cosicche quando l'equilibrio
~
perturbato,
Ie linee di forza vibrano in senso trasversale, come avviene per una corda di violino quando essa
~
pizzicata. Le onde si propagano lungo Ie linee di
forza con una velocita che
~
direttamente proporzionale all'intensita del
campo magnetico e, inversamente proporzionale alIa radice quadrata della dens ita del fluido. Alfven introdusse import anti innovazioni nel trattamento di moto di una particella elettrizzata in un campo magnetico. Nel 1940 introdusse i1 concetto del "centro guidato" per discutere il moto di una particella che gira in un campo magnetico. Questo concetto, che ha avuto importanti applicazioni nella cintura di Van Allen, ha introdotto grandi semplificazioni nel calcolo del mota generale delle particelle elettrizzate. Ad esempio, questa calcolo dimostra che una tale particella, girando intorno ad una linea di forza, ha tendenza ad una repulsione delle regioni di campo magnetico crescente, - cosiddette "punti specchi". Nel1949 Alfven raccolse ed amplifico Ie sue memorie in un libro che pubblico col titolo di "Cosrn,ical Electrodynamics". Dappoi l'interesse nello studio della magneidrodinamica
~
cresciuto rapidamente e molti lavo-
ri sono stati pubblicati. E' difficile prevedere i1 futuro sviluppo della magnetoidrodinamica.
93
-4-
V. Ferraro I risultati ottenuti con i razzi Russi ed Americani hanno
gi~
posta
diversi nuovi problemi, ed hanno anche portato a molte conclusioni inaspettate. Nel campo dell'ingegneria nucleare i problemi si moltiplicano sempre, e sembra che siamo ancora al principio di questa nuova scienza.
94
- 5-
V. Ferraro
PRINCIPI FONDAMENT ALI
2. - Le equazioni della magnetoidrodinamica La magnetoidrodinamica, oppure la idromagnetica, e basata sulle equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico, sulle equazioni dell'idrodinamica, nelle quali si includono Ie forze elettromagnetiche,
suU'equ~
zione di continuit8o e l'equazione del calore. Percio i problemi della magnetoidrodinamica sono molto complessi e si avranno tutti i fenomeni associati con la non-linearit8o delle equazioni dell'idrodinamica, cioe turbolenze, onde d'urto, ecc·. L'accoppiamento tra Ie forze elettromagnetiche e queUe meccaniche ha due rapporti; il moto del flusso attraverso il campo magnetico genera delle correnti elettriche e percio anche un campo magnetico. Questo a sua volta reagisce a mezzo delle forze elettromagnetiche, suI moto del fluido e 10 influenza.
Le grandi dimensioni dei corpi celesti rendono importante
I' effetto dell'induzione elettromagnetica di Self, e si ha 10 stato vero idromagnetico. Discuteremo prima Ie equazioni di Maxwell in vari sistemi di riferimento in moto, e Ie approssimazioni adatte all'idromagnetica. In un dato sistema di riferimento Ie equazioni di Maxwell sono:
V·
r; . H
E =4JlY
= 0
4;t. v x H= - - J
\7
,
ove sono indicati con
E
e
~
-
C
(1 )
"E d-+1- c
ot
(2)
l'intensita del campo elettrico e del cam-
po magnetico, con V la dens ita della carica elettrica, con t80 di corrente elettrica.
95
1
la densi-
- 6-
v.
Ferraro
Come eben noto, queste equazioni si trasformano in un sistema di riferimento avente una velocitl\ ! EI
1 +-v x = P (E c-
HI = -
dove
~' ,
ft
~)
(3)
(H - - v x ~) - c-
(4)
1
V' = fo
(y -
l' = I0
U-
f3 = I
-
(1
H' , V',
relativa al primo sistema, se si scrive
l'
-v· -j ) ~
(5)
V !)
(6)
1 -_.
v2 c
--=-z)
3
(7)
denotano 1'intensitl\ elettrica e magnetica, la den-
sitl\ della carica elettrica e la densitA di corrente nel sistema "in moto", Siccome non si avranno da considerare velociU che si avvicinano al 2 la velocita della luce, si potranno trascurare i termini dell'ordine -;Cosicche si pub scrivere approssimativamente
;3
=
c
1.
Inoltre anticiperemo un risultato fondamentale, cioe, che il campo elettrico in un sistema di riferimento in mota e quasi nullo, cosicche si pub scrl vere: 1 E' = E + v x H c -
Qui !
:!;:'
0
(8)
pub essere considerata come la velocitl\ dellielemento del fluido; v x E
tenendo conto di questa relazione approssimata, i1 valore di v2 H c nella (4) e delliordine di - - - e percib trascurabile in confronto ad 2 c H, e dunque HI
1\,.'
H
(9)
e si pub parlare di un campo magnetic 0 senza esservi bisogno di specifica-
96
- 7V. Ferraro re il sistema di riferimento. Ma il campo elettrico non e invariato, e si trasforma secondo la (8), approssimativamente. Sia Luna lunghezza caratteristica della scala di variazione delle grandezze, si ha allora dall'equazione (1) e dalla (8): v x H
V -::::: -
\7 'I .
rvy-~
4rc c
c 4rc L
-
La corrente elettrica di convezione, dovuta a questa densita di carl ca, ha una dens ita cH 4 It L
e poiche
IV x
!! \
~
/V
questa relazione si pub anche scrivere:
Cvx!J1 4n:
I
Cib vuol dire che nella (6) si pub trascurare la corrente di conve:zione nel calcolo della corrente elettrica, e si pub anche trascurare la co!:, rente di spostamento di Maxwell; la corrente e quasi interamente una corrente di conduzione prodotta dal moto degli elettroni. Si pub all or a scrivere:
4rrl
= c
7 x !!
(10)
Nel caso dei gas ionizzati, se si denota con
n la dens ita degli
elettroni e con e la carica di uno di essi, si ha:
v H
-c-
ne
v
....L
~ ne
4rc neL
97
v .
v
c
c
-8-
V. Ferraro dove V denota la velocita degli elettroni relativa al gas. Poiche tanto v come V sono inferiori aila c, si ha
nVe 4:: 1 cioe, nel caso non
relativistico, si pub trascurare 10 spostamento relativo aile cariche di segno opposto. Infine consideriamo la condizione necessaria per trascurare la corrente di spostamento. Sia T un periodo di tempo caratteristico delle
v~
riazioni temporali delle grandezze; si avra: 1 I ~~ \. I ~I -C !~ ~-;r
La (8) ci da immediatamente:
L
v c
T~
c
(11)
Perc he si possa trascurare la corrente di spostamento, e necessatio che
T
sia maggiore dell'intervallo di tempo nel quale un'onda elettr£
magnetic a descriva la lunghezza L; la (11) e certamente soddisfatta se si tratta di frequenze piccole in confronto alla frequenza delle onde lumin£ se. Le equazioni di Maxwell approssimate della teoria sono dunque Ie seguenti:
'iI.
E
=
4n:v
(12)
\}. H = 0
(13)
Vx
(14)
H
=~ c
Vx E = -
dH
1
c at
e queste sono invarianti nella trasformazione Galileiana.
98
(15)
- 9 -
V. Ferraro
'!..' purche
E
=
'!.. - '!.. t,
t' = t
(16)
e H si trasformino secondo Ie equazioni: 1
E' = E + c
(17)
H' = H
v x H
e, dalla (5) e (6) yI=
1'.'!.. \i - -"2'-c
l' =1
(18)
Si ha da notare, in particolare, che generalmente non si pub trascurare il termine dez'za di Y
". j c2
nella (18), che e dello stesso or dine di gran-
Questo e tutto cib che ci rimane delle teorie relativistiche
nell' approssimazione newtoniana. 3. - La legge di Ohm In un conduttore a riposo, si ha la legge di Ohm
1
= C;. E
(19)
per determinare la corrente rispetto al campo elettrico in un conduttore in movimento, la conducibilita
deve riferirsi ad un sistema locale cioe
rJ
uno che ha la velocita totale del fluido. Si avra allora:
l'
=
c
~'
e, dalla (18) (20)
Le equazioni (15) e (20) ci fanno notare che da
E
per la prima delle equazioni (2), ad un dato istante la corrente e
poi determinata dall'equazione di Ampere
!!
H e determinata
determina
1
e non
namico (perche in realta
1
determina E' c:: 0).
99
4![ j = c -
IJ x -H.
Si vede che
H nel regime magnetico idrodi-
- 10 V. Ferraro 4. - L'accoppiamento della Legge (Ii Ohm e delle equazioni di Maxwell. Se si elimina il campo elettrico tra la (14), (15) e (20) si ha c2 4 ?t: b
'iJ
x(
9H
'iJ
x!!) = - 'Q
t
+
'i/
x (! x !!)
".!!=o,
oppure, tenendo conto dell' equazione
dH ---=- = dove si suppone che
~
(21)
(22) sia una costante; sia
1=
c2
(23)
47tG"
e Luna lunghezza caratteristica della scala della variazione delle variabili e V
una velocita. caratteristica.
L 'ordine di grandezza del primo e secondo termine a destra della (22)
e ~ L
e
--l.!L L2
nolds
VL
-YJ..-
Illoro rapporto
si dice numero magnetico di Rey-
Rm , per analogia col numero di Reynolds comune. Se questa numero e piccolo in confronto all'unita, il primo termine
a destra della (22) pub essere
tra~~)l1'ato,
e si ha approssimativamente (24)
Questa e l'equazione della diffusione del campo magnetico.in un conduttore a riposo; essa da inoltre 10 smorzamento del campo. E' chiaro, da considerazioni dimensionali, che i1 periodo di declino L2 41t; 6' L2 del campo e dell'ordine di cioe c2
T'
Se
Rm
e grande in confronto all'unita, i1 primo termine a destra
dell'equazione (22) predomina, e l'equazione si riduce effettivamente a:
100
- 11-
V. Ferraro
3H = at
x (~ x !!)
iJ
(25)
Quest'equazione, come eben noto, implica che Ie linee di forza siano accollate al fluido, benche il fluido puc scorrere senza effetti elettrodinamici Iungo Ie linee di forza.
Una prova indipendente del teorema
e la s~
guente:
5. - Teorema di Alfven Se si ha, un fluido di conducibilita elettrica infinita in moto in un cam po magneticQ qualsiasi, il flusso magnetico attraverso una superficie composta di particelle del fluido e costante. Difatti, sia
2.
una superficie e C il suo contorno, ambedue
composte di particelle del fluido. Il flusso
2.
perficie
e
dove
1
!! .
dS
e un elemento orientato della
Z
F =
I
dS
F
di H attraverso la su-
. La variazione
della F nell 'unita di tempo dovuta al movimento della superficie
dF
~
!
e del
suo contorno e la somma di due parti, cioe, la parte locale della variazione,
~:
' e la variazione di F dovuta al moto del contorrto G. In un inte'r-
vallo ditempo
~
t, un elemento dsdel contorno C subisceuno spostamen-
to ~ h t, e descrive la superficie ~s x ! ~ t. Il flusso di
-H
ds
J( ~
-H
(ds
x
!!
attraverso questo elemento di superficie e
St, e la variazione nell'unita di tempo e percie ~) = -(~
x !!) .
~s.
Facendo l'integrazione intorno a C si ha che la variazione del flus so di H attraverso
~
e dovuto al moto di C e -
101
Pc (y X !!).
ds =
- 12 V. Ferraro
-J
vx (:'::. x !!) dF :: 'dF
or
dt
. ~
per il teorema di Stokes. Coslcche:
-19 )( (y )( 8). dS :: J (;~ - V)( (y
I
i:
L
e percib, tenendo conto della (25) , si ha
dF
dt
=0
X
!1). ~
e ne segue che
F
e una costante.
11
Questo teorema ci fa notare che i1 fluido pub scorrere liberamente lungo Ie linee di forza rna il moto perpendicolare al campo di forza trascina Ie linee di forza con esso. Lo stesso teorema e valido se i1 campo elettrico e un campo di polarizzazione. Un'interessante conseguenza del teorema di Alfven, notato da
Wal~n,
e che in un fluido l'intensita del campo magnetico pub essere aumentata per un movimento del fluido tale che Ie linee di forza siano allungate. Difatti, si considera un tubo di forza la cui sezione normale ha una superficie
dS
e consideriamo un tronco del tubo di lunghezza
teorema di Alfven richiede che
HdS
dl.
Il
sia costante durante il moto del tron
co e poiche questa e composto di particelle del fluido si ha anche che la
p dSdl e costante (.r essendo la densita del fluido). Dunque il rapporto -p ~ e costante e se f e anche costante (come massa del tronco
nel caso di un liquido) avremo
HOC dl,
di Walen.
102
cib che dimostra il risultato
- 13 V. Ferraro
6. - Energia magnetica
L'energia totale del campo magnetico, W m
=
_1_ 8~
J
Wm ,
~
H 2d't'
(26)
ove l'integrazione si fa per i1 volume occupato dal campo magnetico H. Ora
f
J !!.
dB
-at dr
e adoperando la (22) si ha
datWm = _1_ r{H 'V 41t J -'
x (_v x _H)
+
l)
(
H.
iJ 2_H
1
d-c
(27)
Consideriamo i due termini a destra separatamente, si ha:
1 4n
'il 2!! dr = - "1 = -
J !!. Ii x j d:; =
1 r{V . (ix !!) + (V
= ~ c2
J
--f de
x!!). j
poicli~
1
d't =
V • !! = 0 (28)
'2
essendo i1 primo termine a destra della (2&) ·nullo, i1 che risulta evidente quando si trasforma questa integrale in un . integrale di superficie per mezzo del teorema di Green. Cosicche il secondo termine a destra della (27) rappresenta la conversicine di parte dell'energia magnetic a in forma di calore Joule, nel raE. porto di
-f '2
per l'unit8. di volume.
II primo termine a destra della (27) ci dB.:
103
- 14 -
V. Ferraro
perche il primo termine a sinistra
~
nullo, come
~
evidente dopo una tra-
sformazione dell'integrale di volume per la formula di Green. Dunque il primo termine rappresenta illavoro fatto dal fluido contro la forza magnetica J
x H durante il moto.
7. - Gli effetti meccanici - Tensioni magnetiche.
L'equazione meccanica del flusso di dv ..P-==dt
= -
'if
p+
f
1
a+l' XH+_oy 3 I
l:I.
'VV.
dove abbiamo trascilrata la corrente di convezione :z;ione dovuta a forze di gravitazione,
Y la
f
densit~
si pub scrivere: v+
V!;
viscosit~
(:)v'iJ
2
v (29)
-)-
g
~ l'acceler~
cinematica, e p
la pressione. A quest'equazione bisogna aggiungere l'equazione di contin"!!.
ta:
if+ pO. d tV Poich~
la corrente
1.
~
v=O
(30)
-
determinata dal campo magnetico, la (29) si pub
scrivere:
Il terzo termine a destra di quest'equazione rappresenta la forza meccanica magnetica. Essa si pub
~sprimere
anche per mezzo delle tensioni di Max-
well. Difatti si ha:
( 'ij
X
!!)
X
!! = -
1
\J
y -2 H
L'ultimo termine di quest'equazione
~
2
+
V . !!!! .
(32)
la divergenza del tensore del secondo
104
- 15 V. Ferraro
ordine
Ht¥ Ha . Dunque la forza magnetic a per unit a di volume equivale
,., H2 H2 t,
ad una tensione 4J[; lungo Ie linee di forza e ad una pressione idrostatica uguale a 8J(
ne
Queste tensioni equivalgono aIle tensioni di Maxwell cioe una tensio 2 8~ lungo Ie linee di forza ed una pressione uguale ad essa diretta no!.
malmente aIle linee di forza.
Ma la prima interpretazione e piu utile alIa
H2
li
magnetoidrodinamica, perche si puo bilanciare la pressione magnetic a per mezzo della pressione idrostatica. v2
f r::--
Poiche I'ordine di grandezza delle forze d'inerzia
'
dv
f dt
e
il rapporto fra Ie forze magnetic he e quelle d'inerzia e uguale a
S
H2 41(
f
(33)
v2
Questo e anche il rapporto tra l'energia magnetic a e l'energia cinematica, ed e percio un indice dell'importanza relativa del campo magnetico quando esso e accollato aIle linee di forza. Come per l'idrodinamica, l'importanza relativa delle forze d'inerzia e delle forze viscose e dato dal numero di Reynolds, cioe
R = V;, men
tre il rapporto tra Ie forze magnetiche e quelle viscose e
RS.
H2L
h'p \I V Nell'Astrofisica questo rapporto e molto superiore all'unita e percio le for.-
ze dovute alIa viscosita del fluido si possono trascurare in confronto a quelIe magnetiche. Torniamo ora a considerare il caso in cui la resistenza e importanteo In questo caso la corrente elettrica non e piu determinata dall'equazione (14) ma dalla (20).
Percio si ha per la forza meccanica dovuta all'azi,£
ne del campo magnetico sulla corrente,
105
- 16 V. Ferraro
dove
-1 J. l( H c -
-.£
e
denot~no
~t
~t
+
(E
c
-
Ie componenti di
~
e
~
perpendicolari al
campo magnetico. L'equazione del moto sara quindi:
(33a)
dove
P
rappresep~a
caso in cui .!,>
e
~t
la somma delle altre forze; per unita di volume. Nel sono trascurabili l'equazione (33a) dimostra che
il moto perpendicolare al campo magnetico e diminuito, a causa degli effet-
ti d'induzione, in un periodo uguale a: (33b) Questo periodo di tempo puo essere brevissimo anche per
esperime~
ti di laboratorio, cosicche la resistenza dovuta all'induzione puo considera!:. si come una "viscosita" che tende a distuggere il moto. Considerando Ie dimensioni delle forze viscose magnetiche ed idrodinamiche, Ie prime sono dell'ordine di ne di
p
y V
~
dove
H,
H2V e Ie seconde dell'ordi c2 V sono quantita che rappresentano l'ordine di
grandezza delle variazioni di
!!
e
~t
L
ed
L l'ordine della lunghezza
delle loro variazioni spaziali. Le forze viscose magnetiche domineranno il regime se il rapporto
M = HL (
(j
pV c
2) 1/2
e grande in confronto al-
I 'unita. Questo e il numero di Hartmann. Nel caso in cui .!,> ed
~t
non sono trascurabili, la discussione
dell'equazione (33a) e pili semplicemente fatta se si introduce la "velocita
106
- 17 -
V. Ferraro
delle linee di forza".
Questo concetto e esatto solo nel caso in cui Ie linee
di forza sono accollate al fluido, cioe di infinita conducibilita elettrica,
qua~
do si ha:
E + e percio
v X H
o
c
(33c)
Si pub generalizzare quest'equazione con la definizione
~ = ~t.
della velocita delle linee di forza
'!!. perpendicolare al campo
!!
e tale
che
E +
W )( H
o
c
cioe (33d)
w
Se si ha 1;
f
= 0,
la (33a) dimostra che in un periodo di tempo uguale a
della (33b), la velocita '!..
si avvicina al valore
'!!...
della (33d);
cioe, gli effetti meccanici tendono sempre a distruggere il mota trasversaIe del fluido relativo alle linee di forza.
Ora, benche la velocita si mutera
~
sensibilemte in un periodo di tempo uguale a tivo alle linee di forza persistera se
N =
L
V't
e persino il moto relaL 6' H2 e inferioV p c2
re all'unita. Se
PrO,
il moto relativo attraverso Ie linee di forza non e di-
strutto, rna tende al valore:
~t - w
107
- 18 -
V. Ferraro MAGNETOIDROSTATICA E MOTI STAZIONARI 8. - In certi casi Ie forze magnetic he
lanciare con la pressione del fluido,
0
si annullano oppure si possono bi-
cosicch~
il fluido
~
in equilibrio. Cog
sideriamo Ie condizioni necessarie per questo equilibrio e la stabiliU. delle configurazioni d' equilibrio. 9. - Le equazioni dell'idrostatica. In un fluido a riposo si ha v = 0 e Ie equazioll.i si riducono a:
V.
!! = 0,
'V p
=
f
(34)
1
(35)
g + "4Jt ('V)( !!) X !!
11 secondo membro della (35) rappresenta Ie forze magnetiche ed i problemi della magnetoidrostatiea 8i pos'sono dividel'ein due ~as8~ secondo che questa forza magnetic a si annulla 0 non si annulla. 11 primo caso resse speciale, perche in questo caso l'equilibrio statico
~
~
di inte-
10 stesso che nel
caso quando non ci sono campi magnetici. La condizione che Ie forze tiche si annullano
e che
( V x !!) e a meno che
\l
magn~
x!!,
cio~
1,
x H = 0
(36)
sia nulla (e allora non vi saranno corre:!!
ti elettriche nel fluido), 1a condizione (36) implica che la corrente scorre parallelamente al campo magnetico. Tali campi magnetici si dicono "privi di forza" (force-free). Se la forza magnetica non si annulla si ha il caso delle cosiddette configurazioni bilanciate da pressioni, perche in questo caso la pressione
109
- 19 -
V. Ferraro idrostatica sopporta Ie forze magnetiche e di gravitazione. Se queste ultime derivano da un potenziale di gravitazione.Q
si ha g = - V.n.
e
Ia (35) si puo scrivere, per un liquido,
if (p +
p.Q) = _1_( 4Tr
V x -H) x -H = 1 x -H
(37)
Da questa equazione risulta immediatamente che Ie linee di forza del campo magnetico e Ie linee di corrente elettrica appartengono aIle superficie
p+
f.n. = costante.
L'equazione (37) puo anche scriversi come segur:!: (H . \J ) H -
41<
-
=
V
1
(p
2
+ f Q. + 8Jt H)
(38)
cio dimostra che Ie linee di forza agiscono come corde elastiche sotto tenH2 r. 1 2 sione "'4Tt e che la pressione idrostatica totale e p + f..Jt. + "iiJt H , cioe, alIa pressione idrostatica deve essere aggiunta la pressione magnetiH2 ca ""B'Tt La condizione necessaria per l'equilibrio statico si deduce dalla (35); difatti, eliminando la pressione idrostatica si ha (39)
e se il fluido e incompressibile, costcche
Vf
= 0, questa condizione si
riduce a: (40)
Le condizioni al contorno sono Ie seguenti, la continuita della pressione toH2 tale p + 8 1t e della componente normale Hn del campo magnetico.
110
- 20 -
V. Ferraro 10. - Campi magnetici privi di forza. In un campo privo di forza, la (35) richiede che,:
V x!! ove Ii
~ !!
=
(41)
denota una funziene della posizione e del. tempo. Da questa equa-
zione si ha:
o=V
\!.
pokh~
(~!!) =
Vll!. !!
(42)
H = 3. In pit!
Vx ('I x!!)
= V x (at !!) =Ii V x!! +
V(j. x!! = ~ 2 !! + V~ x H
e tenendo conto della (34) !li' ha
, 1
(43)
n campo magnetico ~ continuamente privo di forza,
!! dove
!!o
~
=
se si ha
!!o f (t)
(44)
un ca:tnpo magnetico Pfivo di forza. Sostituendo nelle equazio-
ni (41), (42), e (43) si trova che
?(,
deve essere indipendente da t
in pit!
!!O. '1(1, e dunque ,j.,
~
= 0
una costante. L'equazione (43) si riduce a: (45)
donde la soluzione
~
t 't'
111
(46)
ed
- 21 V. Ferraro
e chiaro che il tempo di dedino '"t e dell' ordine di ~ 2 .c( Questo risultato perb e solo esatto nel caso in cui si considera un sistema isolato. Se la conducibilita. del fluido
e infinita, at
non
e pure necessaria-
mente costante. In ogni modo, pub dimostrarsi che i campi magnetici privi di forza per cui
D(/
e costante,
rappresentano stati di energia magneti-
Difatti questi sono i soli campi magnetici privi di forze stabi-
ca minima.
li che declinano senza cagionare il movimento del fluido. Percib ci limiteremo allo studio di questi campi con
~
costante.
11. - C ondizioni al contorno. II contorno pub essere dis continuo; Ie condizioni al contorno riehiedono che la componente normale della corrente elettrica e del campo tieo siano continui. Si denotanocon gli indici
1 e
magn~
2 Ie varie quantiU da.!.
Ie due parti di una superficie di contorno che separa due fluidi, con
n
un versore lungo la normale alla superficie. AHora si ha: n
(47) n
If x !!.
Poiche
4 J[ 1 = ex.!!.,
!!.2 - n Ie (47) si riducono alla relazione
o e poiche
rx 1 f (X
2'
si ha
(48)
n . H = O. Le linee di forza del campo
percib sono poste sulle superfici di contorno. Se non esistono correnti elettriche superficiali, un'altra condizione al contorno
e
112
- 22 -
v.
Ferraro
(49)
12. - Soluzione
dellrequa:ilion~
nel caso
at = costante.
Dalla (41) e (46) si ottiene immediatamente: (50) La soluzione de11a (41) si trova fra Ie soluzioni della (50), ma non tutte Ie soluzioni dell.! (50) soddisfano la (41), cio~ Sia
't'
'V
x!!o =
De!!o.
una funzione che soddisfa I requazione (51)
Si puo dimostrare c,he tre soluzioni indipendenti dalla equazione (50) sono:
S = dove
a
e un versore costante.
1
(52)
0(,
Allora
Percio si ha che
'iJ x (! +E)
= ~ 2 + r/, 1:. = ~(! + ~)
(54)
e dunque, salvo i1 fattore temporale, la soluzione generale della (41) !! =
V x (! r )+""i 'V x ('i/ 1
X! l'
)
e
(55)
Si ha dunql1e i1 seguente risuItato, dato un qualsiasi campo toroidale che soddisfa la (50), si puo sempre trovare un campo poloidale
113
2,
tale
- 23 -
V. Ferraro che T + S rappresenti un campo privo di forza. (i)
Esempi
Se la soluzione di (51) dipende da una sola variabile x,
che ammette la soluzione pure a = (0,0,1) H dove che
~
(0, -
l
si ha
= A cos oG x (A = costante). Se si sceglie
dalla (58) abbiamo
~~
!!o e una costante.
, :x
t)
=
!!o
(0, senctx,
cosot~)
(59)
Si ha allora un campo magnetico privo di forza
e uniforme in qualsiasi piano
x = costante, ma la cui direzione varia
per i diversi piani. (ii)
Considerando ora una soluzione simmetrica rispetto ad un asse, se
denota la distanza daU'asse, si ha per la (51)
~
1
(60)
c:,
La soluzione regolare per dove C
dove Ho
e costante.
~,
Se si adopera !
e una costante.
= 0 (sull'asse) ~
e 4>' =
(0,0,1), la (55)
d~
CJ o (~~ ) la soluzione
Le linee di forza di questa campo sono eliche ci£
colari, illoro passo va diminuendo verso zero quando si recede dall'asse, poi aumenta di nuovo e cosi via. Questo campo si pub aggiungere ad un
114
ca~
- 24 -
V. Ferraro po nel vuoto, se suI cilindro ~ = a, 51 ha ov soddisfa all'equazione J0
( '"
a) = O. 11 campo esterno suI cilindro e allota
!!
a
ft
0
a Ho
'~
J
(AI ) 0 1 \A.a,
J
All'interno del cilindro, l'asse coincide con una linea di forza,
me~
tre Ie altre linee di forza sono spirali di cui il passo diminuisce verso zero sulla superficie del cilindro. I campi magnetici privi di forza furono postillati da LUst e SchlUter nel 1952 per ovviare la
dif~icolta
nella quale sarebbe altrimenti difficile
dell'equilibrio dell'atmosfera solare, 0
impossibile bilanciare la pressio-
ne magnetic a con la poca pressione del gas. 13. - Configurazioni d'equilibrio bilanciate da pressioni idrostatiche. Contenere un plasma, cioe un gas completamente ionizzato, per mezzo di un campo magnetico e di grande interesse per il problema della costruzione di mac chine a fusione termonucleare. Generalmente non vi e una soluzione generale del problema di eq,!! librio. Per il caso di un liquido di conducibilita irifinita in un campo
magn~
tico avente simmetria rispetto ad un asse, il campo magnetico e soggetto a condizioni restrittive.
115
- 25 V. Ferraro
Per esempio, se il campo ~ poloidale, esiste in questo caso una IIfu~ zione di corrente ll magnetic a lindriche con l'asse
Oz
'f '
U. Siano r,
z coordinate polari
cl
coincidente con l'asse di simmetria. Allora Ie com
ponenti del campo magnetico possono esprimersi come segue: H
z
= 1... r
9u ar
(61)
L'equazione (40) si riduce alia condizione: ')
(r
(J
d ove
L\ U
-2
!1 u, U) = 0
(62)
(r, z)
~) (1 ~ U) ,,2 U = r - - - - - +~ dr ror Oz2
(63)
Segue immediatamente dalla (62) che: (64)
ove
f
e una funzione ausiliaria.
Generalmente
f
sar~
determinata dal-
Ie condizioni al contorno. Se il campo magnetico
~
toroidale, la sola componente del campo
e
quell a trasversale Hif' In questo caso la (40) si rirluce alIa condizione 1 r
~
az
= 0
E' chiaro da quest'equazione che non vi
(65)
e equilibrio semplice in un
toro, per esempio, se Ie linee di forza sono cerchi col centro sulI'asse di
e possibile l'equilibrio se non quando r = ox. , oppure se non dipende da z. Per· evitare questo e necessario aggiustare la
simmetria, non H l{>
116
- 26 V. Ferraro geometria del toro, come sl fa nel "stellerator", per ottenere l'equilibrio. 11 caso r = OC , corrisponde ad un plasma cilindrico contenuto in un cilindro Infinito, da un campo magnetico longitudinale all'esterno del plasma. Questa configurazione
'"
H
H
11 campo magnetico
~
causato da una corren-
te solenoidale coassiale al plasma, ed
/' C ..... i'-. ....V
-
delta Thetatron.
~
me,
costcch~
se i1 plasma
~
~
unifo.!,'
privo di campi
magnetici, una corrente solenoidale uguale ed opposta a quella che produce il campo magnetico nel vuoto scorre sulla superficie del plasma. Si ha quindi il caso di un fluido conduttore privo di campo magnetico separato da questa da una corrente superficiale. La condizione per l'equilibrio
~
che la pressione totale (magnetic a + fluidal deve essere continua
sulla superficie, percio se p
~
la pressione uniforme nel plasma e H
il campo magnetico, cosicche la pressione magnetic a sill plasma
~
8~2 ,
per l'equilibrio si ha: (66)
p =
Quest'equilibrio
~
neutro per qualsiasi deformazione della superficie
del plasma. Come altro esempio, consideriamo il caso di un globo liquido in eq'!! librio sotto l'azione del suo campo di gravitazione e delle forze magnetic he prodotte da un sistema di correnti elettriche. Si suppone che la superficie della massa liquida sia quasi sferica, e
117
- 27 V. Ferraro
piil esattamente sferoidale, i1 cui asse po magnetico.
e anche asse di simmetria del cam-
Per l'equilibrio la funzione
del campo magnetico deve
V
soddisfare all'equazione (64) che in coordinate polari sferiche (r, @
o
e con
4v
come asse di simmetria
2 dV sen ~ --2 + - 2 r r
a
0
I)a\
orJ
''f )
e
1 senl]
eV
(---r ~) cHI
2
= (r senv
(tl.
)f(V)
(67)
Se si cerca una soluzione che si congiunga con un campo magnetico esterno del tipo di
U·:l
dipolo, si deve avere
k
oC sen 2 @
(j V ex; sen 2 9 , f (V)
in questa caso, essendo te,
V
al contorno e
risulta essere costan-
diciamo. Scriviamo ora V = F (r) sen
2
fi)
(68)
e sostituendo nella (67) si ha: r
La soluzione che
2
d2 F
- - - 2F
e regolare per V = (Cr
dove
C
2
r = 0
e
k
4
+ 10 r ) sen
cui la soluzione tale che
V
9
soddisfa all'equazione
V c( sen 2 ~
D r
D
2
(70)
e una costante arbitraria.
All'esterno del fluido,
dove
(69)
d r2
~V = 0
di
e (71)
e un'altra costante arbitraria.
Le condizioni al contorno si riducono alIa continuita del campo ma-
118
- 28 -
V. Ferraro gnetico
e poicM
U e Ue Bono quantitA infinitesimali, Ie condizioni si
riducono a
9u -w per r = a,
dUe
=
-w-
a essendo.fi raggio medio dello sferoide. Queste condi-
zioni determinano C e D e quindi la soluzione. Questa pub esprime£ si in modo convincente adoperando i1 campo magnetico al polo,
Hp.
Allora si trcya: U = ~2 (3 r 4 - 5a 2 r2) sen2 cg. 4a
_
Ue - -
~
2r
3
a sen
2
e
L'equazione della superficie si ottiene dalla condizione al contorno p = o. Dalla (37) si ha all'interno della massa liquida
~ (p +
on )+ 4JtA~u2 dU = 0 1
(73)
e dopo un'integrazione ne risulta dalla condiz.ione al contorno p = o che
f nS +--4ft kUs
dove l'indice s
= cost
(74)
denota valore sulla superficie. 8i ha approssimativame!!.
te 1
2
(75)
e per uno sferoide (76)
119
- 29 -
V. Ferraro ove
l:o
z = r cos 9-
= r sen ~
2
4
2
Yo = 3" +15 e
~o
e dove si denota l'eccentricita delle sferoide con e. Sostituendo (75) e (76) nella (74) si ha facilmente: e
2
(77)
Dunque l'effetto del campo magnetico
e di appiattire la sfera ai poli
in uno sferoide. Il sistema di corrente
e illustrato nella figura.
APPLICAZIONI AL MOTO DEI FLUIDI
14. - Moto laminare stazionario. Il moto rettilineo di un fluido che
e un buon conduttore
elettrico in
un canale uniforme sotto l'azione di un campo magnetico trasversale e uniforme
e d'interesse nella costruzione di certi strumenti come i misuratori
di flusso. Questi si adoperano estensivamente per determinare i1 flusso dei fluidi; come il sangue, i1 sodio ed i1 mare, misurando la differenza del
120
- 30 -
V. Ferraro potenziale elettrico indotto in questi fluidi dalloro mota nel campo magnetico trasversale. Consideriamo i1 caso di un liquido costretto a scorrere orizzontalmente tra due pareti orizzontali estese all'ip.finito. Sia 0 (x y z) un sistema di riferimento tale che Ie equazioni delle pareti siano z = ± L. Sia y la velocita del fluido, con componenti (0, 0, H). A causa del movimento del fluido, Ie linee di forza verranno stese nel senso del moto,
cio~
il caxnpo magnetico !! avra una compone!,!
te h nella direzione dell'asse 0 x. Si potra scrivere !! = !!o + .!!. ~H 8t
Nel caso del moto stazionario
= 0, e si hanno Ie equazioni
del campo
c
V.!!=o,
2
4J1;6"
V2 !!
+ \/ x (y x!!) = 0
(78)
ed anche Ie equazioni del mota
f (y. ove p
~
V ) y = - 'I
1
p + 4rr. (
la pressione del fluido e
\J
x!!) x!! + f V
p
2
V y+ri
(79)
la sua densita.
Le equazioni (78) si riducono a
~ 9x cos~ccM
h
~
c
=0
2
4 It 6'
d
2
h +H
~
~
o~z
=0
(80)
una fundone solo di z. La (79) allora ci da: _.ll+_l_H lj
x
4 Jt
0
~ 9x
121
+fY
2
~ = 9 z2
0
(81)
- 31 V. Ferraro "I n 1 ah _..a..L..+_ h - 0z' 4rc CJz
pg= 0
(82)
L'integrazione della (82) dB.
h2
- P +~ dove
Po
~
f
g z = - po(x)
x soltanto. Sostituendo nella (81) si ha
una funzione di
+ _ 0 _Cl_h + f'l/
_ a Po
H
9x
(83)
'I
gz·
4](
.)2 _,_. _v_
az 2
=0
(84)
Da quest'equazione segue immediatamente che P,
stante, diciamo
cosi:cch~
ne nella direiione del moto
~
-
~ ~o
~ una co
nel moto laminare i1 gradiente della pressi£
costante, come nell'assenza del campo ma-
gnetico. L'integrazione della (80) ci da immediatamente che (85)
dove
A
~
una costante arbitraria.
sita di corrente
1
e del campo elettrico j
Y
= _c_
e quindi da (86) si ha A
4n:
!:
= 4 ~ G Eo. Poich~
pendicolare alIa parete non
e polarizzato.
Dalla (20) Ie componenti della den-
~ 'iJ z
= IC (E
! Y
(0, Eo' 0), ove
i1 campo elettrico
e nulla,
soddisfano aIle equazioni _ v Ho) , jz = 0 = 6'E z (86)
c
Eo
~
una costante, tale che
e uniforme e la componente peE.
non esistono cariche elettriche ed i1 fiusso
Sostituendo nella (81) si ha (88)
122
- 32 -
V. Ferraro
Una delle condizioni al contorno e che ! = 0 Bulla parete, cioe v = 0 per
z =
t
L; In piu, se Ie pareti sono isolatori, si ha. jz = 0
sulle pareti, una condizione che dalle (86) e evideritemente soddisfatta. La soluzione della (88) che soddisfa Ie condizioni al contorno e (P +
v =
ove
({Eo Ho Mz c ) (cosh M - cosh T) (89)
M e il numero di Hartmann, M
=H L ( o
f
b
Y c2
)1/2
(90)
L
Jjy dz =0, cie
Se la corrente media nel fiuido e nulla, si ha
-L
che determina il campo elettrico: Eo ;:
Pc o-Ho
Percie
(M cosh M - 1)
(91)
Mz cosh M - cosh -,;;-
v =
senh M L
e se
vo
e la
velocit~
J vdz 2L
media, cioe
sitrova
-L
M[coshM - COSh¥] M cosh M ~ senh M finalmente dalla (85) si ha i1 campo magnetico dovuto al fiusso:
123
(92)
- 33 -
V. Ferraro
Mz z ] 4 JC PL ~ senh --,::;- - L senh M Ho senh M
h=
(93)
poiche H deve essere una funzione continua al contorno, h = 0 per z =
= + L. La forma del diagramma della velocitA e illustrata nella figura per vari valori di M. L'effetto del campo magnetico trasversale e di ritardare Ie regioni centrali del canale e accelerare il moto verso la parete, schiacciando la fOrIl'll parabolica del profilo del moto privo di campo magnetico. Nel caso M <<. 1, Ie forze viscose sono dominanti in confronto a quelle magnetic he e la (92) si riduce a: v
=
(94)
come per il caso Ho = O. Se per M»
1 cioe se il canale e molto
largo oppure il campo magnetico molto intenso, l'equazione (92) ci da:
v = vo La velocita
sar~
(95)
percio quasi costante salvo per uno strato al con-
torno dello spessore dell'ordine
L
l\r'
Benche questo risultato indica che il gradiente della velocita e molto elevato in valore, e si dovrebbe avere instabilita del moto laminare vicino aIle pareti in questo caso, questo non si osserva negli esperimenti fa.!. ti.
Difatti i1 campo magnetico tende ad impedire I' apparenza del moto
124
- 34 -
V. Ferraro turbolento.
r. : 1++-+-+---" 'Ii -L
15. - Moto di Stokes. E' di un cert) interesse considerare un esempio dove si uniscono Ie due discipline della meccanica del fluido e della teoria
dell'elettromagn~
tismo. Consideriamo dU'atti l'effetto· di un campo magnetico suI problema classico del mota di un fluido intorno ad un corpo rigido per valoripiccoli del numero di Reynolds R. Se si suppone che R <'< 1, generalmente si avra anche i1 numero di Reynolds magnetico, Rm« 1, e difatti per il mercurio Rm / R ~ 10- 6. Perci?> Ie equazioni del campo elettromagn~ tico non dipenderanno dalla velocita del fluido. Si suppone di avere un campo magnetico uniforme diretto parallelamente a Ox
cosicc~
!! = H1.,
dove
1.
~
un versore lungo l'asse Ox.
Si suppone anche che il solido, come il fluido, sia di una permeabilita Ie all'unita, cosicche,
ugu~
H = H1. ovunque. Supponiamo pure che il solido
.sia simmetrico rispetto a Ox, e che abbia una velocita
U1.; allora Ie
linee di corrente e Ie Hnee vorticose saranno circuiti chiusi intorno all'asse
Ox e la corrente e la vorticita saranno evanescenti sulla superficie
del corpo poiche v e H sono paralleli sulla superficie .
•
o
125
- 35 V. Ferraro
Nel moto uniforme i1 campo elettrico dove
E
e nullo,
poiche si ha
e perpendicolare al piano meridiano. 1
V
xE
Percio
(5'vxH c
=
0
(96)
e l'equazione del moto uniforme di un liquido per valori piccoli del numero di Reynolds
e o
IJ
= -
p
+
f V \7 2 ! +1 x !! c
(97)
Scriviamo v
dove
L
v
p
u
e una distanza tipica; dall'equazione O =-
dove
M
r
r
'iJ -p+
L
(98)
(96) e (97), si ricava
n 2-
v!+ M2 (!X2') X2,
(99)
e i1 numero di Hartmann,
Resta da risolvere l'equazione (99) insieme all'equazione di continuita
\J.
v
o
(100)
con Ie condizioni al contorno, Le equazioni (99)
e
(100) si possono soddisfare ponendo:
Mx 11
e Mx
p = Me
-Mx V\f1+ e
dlf 1
---Me 'd x
126
(101)
V lf2 -Mx
1l\' 2 ~
(102)
- 36 V. Ferraro
dove
~1 e
~ 2 sono soluzioni delle equazioni (103)
(104) Consideriamo i due casi,
M« 1 ed
1.
M >?
(0 - M« 1 Questo caso e stato illustrato da Chester per i1 moto uniforme interno ad una sfera. Le solutioni della (103)
- 1..2 Mx
~ 1 = ..c;,.e_-:1r
4' 2 =
e
2
1 -Mx 2
1 rT
2
n
A K n
n
•
+1
~ n Bn Kn +i
e
(104) sono:
1 Mr) P (cos(j)) (-2 n
1
Tenendo conto della simmetria si deve avere per esempio, la componente sull'asse fimzione pari di
~)
1 Mr) P (cos (-2 n
Ox
B
n
(105)
(106)
= (-1 )n+ 1 A
n
della velocita deve essere una
x. Sipossono ottenere soluzioni in serie che non dare-
mo in esteso' cib che interessa sistenza di Stockes
cio~
Ds
~
la modificazione della formula per la re-
= 6 1t f
v LU,
dove
L
e il raggio della
sfera. Al posta di questa si ha: D = D [1 + 2 M + 7 s 8 960
127
M2 + 0 (M 3)
J
(107)
- 37 -
V. Ferraro
(ii) - M»
1
In questa caso si puo scrivere: .!. tl(m 2 +n 2 )2 +mJlxd Js (nr)coS,5/t
lP1 = e
(108)
1
[- i(m 2 + n2{
- m)
I xl]
J s (nr) coss&
~2 = e
(109)
e
dove (x, r,
m =
~.
Ora, riferendoci alle equazioni (101) e (102) si vede che, fissato x, il contributo a y e
e positiv~ ed
m
-lr
della funzione
di grande valore. In piu, il contributo di
ad essere indipendente da x. Se x che si devono scambiare
\f 1
Se
tende
Percio si ha che .:!::
~ ~ ugu~
Ox nelle vicinanze del solido. Si ha
x > 0; il segno - se
v e indipendente da
f '
x
0, si ha la stessa cosa, eccetto
~
If 2'
e
Ie alIa componente di y sull'asse i1 segno + se
e trascurabile se
LP 2
x<
o.
x, avra 11 valore
(1, 0, 0)
nell'interno
del cilindro che circoscrive il solido. Cosicche il moto tende ad essere indipendente dalla forma del solido nella direzione Si vede percil) che vicino al solido,
-t
Ox.
e asintoticamente zero
fuori del cilindro che circoscrive il solido. All'interno del cilindro
y
~ ± 1 secondo che sia x > 0, oppure x
<:
O.
Da queste osservazioni si puo dedurre che la resistenza mente uguale 2M pvU L
x superficie proiettata
Si nota pure che per la sfera
D - Ds
MDs
128
1 .in ques t 0 caso. = '3
e asintotic~
- 38 V. Ferraro
ONDE MAGNETO-IDRODINAMICHE 16. - Onde in un fluido di conduttivita infinita. Si e dimostraro che in un fluido di infinita conduttivita Ie linee di for za del campo magnetico sono accollate aIle particelle del fluido, cosicche i tubi di forza debbono considerarsi come aventi una massa per unita di lunghezza uguale alIa densita del fluido tieo
~o
D'altra parte in un campo magne 2gli sforzi magnetici equivalgono ad una tension~ 4~0 lungo Ie l\
J
•
~.
linee di forza ed una pressione idrostatica uguale a
Quest 'ultima 8Jt pub essere bilanciata da una diminuzione della pressione del fluido, cib che dimostra che i tubi di forza sono effettivamente corde tese sotto tensione 2
Ho ,e per analogia con queste, si vede che in un fluido di conducibilita 4Jt infinita perturbato dal suo stato di riposo, i tuM di forza vibreranno trasversalmente e la velocita delle onde 'sara data dalla formula (tensione / dens ita- ) cioe
H
t .'
----':. Questa e detta velocita delle onde di Alfven.
~ 4Jt f'
E' cll.iaro che sipossono anche manifestare delle onde longitudinali. Difatti, se la velocita delle particelle e la direzione di propagazione delle onde sono parallele al campo magnetico, queste onde saranno Ie onde acusll che usuali che si propagano con velocita del suono
c, dato che il mota non
produrra ness'Una perturbazione nel campo magnetico. D'altra parte, se la velocita delle particelle e la direzione di propagazione delle onde e perpendicolare al campo magnetico, un nuovo tipo d'onda acustica sf manifestera, dato che in questa caso alla pressione del gas bisogna aggiungere la pressione magnetica. In questa caso la pressione totale effettiva p
e dunque
*'
p = p +
129
- 39 V. Ferraro e
poich~
Ie linee di forza sono accollate aIle particelle, durante Ie oscilla-
zioni si ha H OC
dove VA
~
r.
La velocita delle onde
la velocita delle onde di
~
quindi
Alfv~n.
Se il campo magnetico il inclinato sulla direzione di propagazione, Ie onde sono molto complesse, ed hanno carattere somigliante ad ambedue Ie onde di
Alfv~n
17. - Onde di
trasversali e longitudinali. Alfv~n.
n caso piu semplice di onde magneto idrodinamiche ~ queUo che fu scoperto da
Alfv~n,
al quale abbiamo gia accennato,
velocita di propagazione
~
cio~
onde neUe quali la
lungo Ie linee di forza, e la velocita del fluido peE.
pendicolare ad esse. Consideriamo un liquido non-viscoso, di perfetta conducibilita, ed un campo magnetico ambiente Ho uniforme. Durante Ie oscillazioni sia h la perturbazione del campo magnetico
!!
= ~o +
cosicch~
si ha:
!!
(110)
Le equazioni di continuitA e del mota sono (si trascura la forza di gravita)
". ! = 0 , Prendendo l'asse
dv ~--'=- = ) dt
V p + -41('1
(
'V
xh) x H -
Ox lungo il campo magnetico uniforme
(111)
!!o
limitandosi aUe piccole oscillazioni, la (111) si riduce a: (112)
130
e
- 40 -
v. Poiche
h = 0, s1 ha dalla (111)
II.
Ferraro
e (112)
Ho· h
'V2 (p +
-
41\:
-) = 0
Ho· g p + -41t" e una soluzione dell'equazione di Laplace, e se il fluido si Ho. h estende all'infinito, p + 411: - = costante. Percio la (112) si riduce a:
cioe
(113) In piu, i1 teorema di Alfven ci da approssimativamente:
'Og
~ t = \I x (~ x !!o)
cioe
'd g =
dt
Eliminando g
~
0
(114)
£
H 0
2z
da queste ultime due equazioni si ottiene l'equazione
delle onde di Alfven, doe '()2
(at 2 ove
H
~
VA =
ridurre in due
i-
2 - VA 'd z2) (g,~)
(115)
e la velocita di Alfven. Ogni perturbazione si potra
i!~tf di onde,
za nel senso di !!o
=0
uno dei quali propagandosi lungo Ie linee di for-
con la velocita di Alfven, l'altro con la stessa veloci-
ta ma nel senso opposto. Poiche si ha (116)
ove go
e
~o
sono vettori costanti, e chiaro che
131
- 41 -
V. Ferraro e sostituendo nella (114) si ha
i = +(4 Jt F)l.
(~17)
V
h2
In questo caso l'energia magnetica dell'onda BIt. e uguale alPenergia cinetica i (.) v2 delliquido, risultato che si deve a Wal~n. :l,1-
18. - Onde magnetoidrodinamiche in un fluido compressibile. Sempre limitandoci al caso di
conducibilit~
infinita, considereremo
pill dettagliatamente un'onda magnetoidrodinamica in. un fluido, propagata trasvarsamente a un campo magnetico. Si suppone che l'onda si propaghi secondo l'asse Ox in un fluido nel quale vi
e un campo magnetico uniforme !!o
che per convenienza si
suppone parallelo al piano x = 0 ed inclinato in un angolo ~
all'asse
Ox.
11
Si denotano con
df '
~ p Ie variazioni della densita e della pre!
sione dallo stato di equilibrio e, come prima con
~
la perturbazione del
campo magnetico. L'equazione linearizzata per il moto del fluido si riduce allora a: (118.)
132
- 42 -
V. Ferraro
Nel regime adiabatico si ha inoltre (119)
dove
t
e i1 rapporto dei calori specifici del fluido e C la velocita del
suono. Finalmente Ie equazioni di continuita e conservazione del flusso magnetico sono:
~ IJt
+ f
V. Y =
'd h
9
0 •
t - V x (y x !!oj = 0
Si supporra che tutte Ie variabili siano funzioni di
V.!!
tanto. L'equazione
= 0
(120)
z e di t sol
allora richiede che hz = 0,
Dalle equazioni (118)-(120) si deduce i1 seguente sistema di equazioni per
Sr
e Ie componenti di
!!
:a h
cioe
o~ = '0 t
rl hx avx -rt = (HocosG)~.
~ = (Ho cose )
e y. J
Ho cosa Jhx 4l(
~
(121)
d 'dvz --tf-(Ho sen9 ) ~ V
.!Q.l = 110 cos& ~ f()t
41t
~z
P ~ vz + c 2 3 (6 e) + Ho sen9 ~ = 0
'dz
at
'd ( Sf) + dt
(J.l.2 J
'Oz
41{
(122)
9z
= 0
E' chiaro che questa sistema si scompone in due sistemi indipenden-
133
- 43 -
V. Ferraro ti. Le prime due equazioni, Ie (121), sono difatti analoghe aIle (113) e (114) e percio rappresentano un'onda di Alfv~n che si propaga con velocita Hocos9" VAz = ,~ • Questo risultato e evidente poiche la componente ~41tf
H sen~ parallela all'asse Ox non influisce sul moto parallelo a Ox. o Per esaminare il secondo sistema (122) si considera un'onda armonica at e i ('" t - kz) cosicche k e il numero d'onda. Sostituendo nella (122) ed eliminando ilrapporto
vf vz: hy:~p' si ottiene l'equazione della frequenza:
(~)4 _ (VA2 + c 2) (-~-} + V 2 c 2 = 0, Az k k
(123)
Ho W e VAz si e gia definita. Poiche -kVA = .~ 4Jtj' senta la velociU di fase dell'onda, U diciamo, si ha dove
U
4
2
- (VA
11 caso
2
2
2
+ c ) U + VA c
Yf
2
2r.t cO!il 'tf
= 0
rappr~
(124)
= 0 corrisponde a due onde, cioe un'onda di Alfven
che si ha gia dalla (121) e un'onda acustica, considerata prima. Se =
t
11:
, si ha
U =
~
~
=
VA 2 + c 2 , cioe una onda acustica che si pro-
paga perpendicolarmente al campo magnetico e che si e gia considerata sopra. Questa e la sola onda in questo caso. Nel caso generale si hanno tre onde diverse: l'onda di Alfven data dal primo sistema, e due altre, una delle quali ha velociU maggiore della piu grande delle due velociU c e VA' che si chiama onda rapida, mentre la velociU dell'altra e inferiore alIa minore delle velocita c a VA; si ha allora l'onda lenta. Questo puo essere messo in evidenza osservando la figura dovuta a K. O. Friedrichs.
134
- 44 -
V. Ferraro
La
velocit~
delle tre onde in una data direzione n e data dal
punta di intersezione con la curva corrispondente; c = velocita del suono, VA = velocita di
Alfv~n.
Figura di Friedrichs
135
- 45 -
V. Ferraro
19. - Riflessione e rifrazione delle onde di Alfven. Consideriamo la riflessione e rifrazlone di un treno d'onde di Alfven normalmente incidenti sulla superficie piana che separa due liquidi nei Ii vi
~
qu~
un campo magnetico uniforme d'intensita Ho perpendicolare al de.!
to piano. Si suppone l'asse v parallela all'asse
Oz
perpendicolare a questo piano e la velocita
Oy. In questo caso la
turbazione del campo magnetico h
~
(114)
dimostra che la per-
anche parallela a Oy e si ha dalla
(113) e (114): ~h
'~
--= H
Idt
f~=
v
dz
0
Ho b:
0t
+)
~
(124)
()z
iv:> (t± Per onde armoniche, :x; e l l , si ha all or a
h
=
z.) it..J (t + - V
a e
-
1\
1
+ - - - - ae
il-tJ (t
~
dove
a
~
+~) - VA
una costante eVA la velocita di Alfven. Consideriamo un'on
f '
da che si propaga nelIiquido di dens ita
nella regione
z
< O.
Se
si denotano Ie variabili che corrispondono all'onda incidente, riflessa e rifratta con gli indici due liquidi di densita
i, r, t, fIe
e con VIe
f' 2
V2 la velocita di Alfven nei
rispettivamente,
si ha
136
cio~
- 46 -
V. Ferraro
v
h = a e r r
z ) iU> (t + -V.
1
.
= - ,-;==== a e ~41tfl i
v =
I
r
1
f1
cosiccM nelliquido
iGJ (t +
1
ae
V41tP 2 t
iW (t -
v,
+) Y,
(125)
+) Yz.
il campo magnetico e la velocita sono uguali a
hI = h. + h
vI = v. + V
r
1
a e
~1 r
v=t
iW (t -~)
r
1
ht,
e nel secondo liquido h2 =
v2 = Vt.
Le condizioni al contorno sono la continuita del campo magnetico e anche la continuitA del campo elettrico parallelo al piano; cosiccM se ~
k
un versore perpendicolare al piano
per
z = 0
PoicM E
e poicM
=
(!. !!oj
-
H
-c
vx
~ 0,
la seconda condizione ci da:
si ha Y.l = !2
nella (126) si ricava a. + a 1
r
=
a
t
~
fJ
)'1
-1 (a - a,) r 1
137
per
z
= O. Sostituendo
- 47 -
V. Ferraro da cui
a. ,
a = r
1
a = t
2a i
V
f
2
(127)
{f;+ ~
che danno Ie ampiezze delle onde riflesse e rifratte in funzione dell'ampie~ za dell'onda incidente. Per una superficie libera, si pone
F2
= 0, nella (127) e si
a r = -ai' at = 0, cioe I'onda e riflessa totalmente. In piu
h = 0
alla superficie mentre la velocita si raddoppia. Nel caso di una superficie rigida, ma infinitamente conduttrice, si ha a r = ai
f
2
00
e ne segue che
at = 2ai' In questa caso si ha vI = 0 e i1 campo magneti-
co h si raddoppia. Nel primo caso i1 campo magnetico, ma non la velocita, cambia di fase. Nel secondo caso si ha l'opposto. 20. - Smorzamento e dissipazione delle onde magnetoidrodinamiche.
Si consideri un'onda magnetoidrodinamica di piccola ampiezza, in un liquido conduttore di dens ita !!o' Denotiamo con
.f Y
f
in un
~ampo
magnetico uniforme
la viscosita delliquido e con
(} la condut1l
vita elettrica. Linearizzando Ie equazioni, si ha, nell'assenza di ogni fo!: za esterna:
'Ov
vt
:;; t
ove
=-
VI f + - T\f 14 ('1 x h) x Ho + Y V 2 v --
(128) (129)
4nG
h e la parte variabile del campo magnetico. Se !!o e diretto nel-
138
- 48 V. Ferraro
10 stesso senso dell'asse
av
~t
Ho
Oz, si ha
'0 h
f1
Tz -
= 4i1"F
'V
(;t -4l1"~
1 (p + 41l"
2
!!o'~) + v V ~
tV 2) ~ = Ho
Come prima, si dimostra che
~;
(131)
h
p + !!o
(130)
e una costante in
un liquido infinitamente esteso, cosicche il secondo termine a destra della (130)
e evanescente
h .,..
Eliminando
0
v fra questa nuova equazione
e
la (131) si trova finalmente
a - 4rnrc rl'y ) (V0 (Tt - y\l 2) (~,~) 2
dove
VA
H
2
'd 2
= VA ~(~,~)
(132)
e la velocita di Alfven.
= ~ 4. p
n rapporto aei due termini rappresentanti la conduttivita sita
e la visco ed e chiaro che se questa e grande in con-
c2
e dell'ordine
4 IT 6" 'II
fronto all'unita, si potrs. trascurare la viscosita delliquido. In questo caso la (132) si riduce a
'd 2 c2 (-2 - - 4 dt
IT 6"
\7
2
_
'd
2 ~ 2
-;;-t) (h, v) - VA - - 2 (h, v) Q
-
-
gz
--
(133)
Consideriamo ora un'onda piana della forma (~,~)
dove
h
-0
e
= (h
::0
v
-0
,vo
)
e
i (Ix + J y + nz - tV t)
sono vettori costanti e 1, m, n,
(134) costanti. Sostituen
do nell'equazione (133) si ha
iVJk 2 c 2 4rqr
(135)
139
- 49 -
V. Ferraro
dove: k 2 = 12 + m 2 + n2 Si pub discutere la (135) in due modi: se si suppone che si abbia un'onda di una data lunghezza d'onda, l'equazione determina i1 periodo e 10 smorz! mento dell'onda. Se si suppone che si abbia un'onda di una data frequenza, l'equazione ci indica l'attenuazione dell'onda.Se si denota con "t" la quan4n () 2 tit~ --2A , ove k ~ = 2 'It si ha risolvendo la (135)
c
IN
Ora l' VA
= -2
Jr
2 i
~
2 2
± (VA
4 1('4
n - -2-)
!
1:'
e dell'ordine del periodo di declino del campo magnetico,
In I 1:' ~> 1,
e se
la (133) rappresenta l'equazionedi onde progressive che
si propagano in una direzione inclinata dell'angolo9' = cos -1 (~ ) sulla dire·done del camp0!:!o Ie quali vengono man mano diffuse D'altra parte, se si suppone che
fA)
sia un numero reale l'equazi.2,
ne (135) si pub scrivere: 2 2 2 2 i l.Vk 2 c 2 LV + - VA K cos 9"
= 0
4JtEi
e se si suppone che
c2 ,,->2
41r~
«
vl
1, l'onda
sar~
una distanza dell'ordine di 3 3(\
=
') l
V1C c (
140
oJ
2
ammortizzata da
- 50 -
V. Ferraro
ONDE D'DRTO
21. - Onde d'urto. Come
e noto,
un'onda di compressione di grande ampiezza in un
fluido diviene sempre piu erta fino a che Ie soluzioni delle equazioni idrodi namiche diventano multiformi e cosf praticamente senza significato. Questo si evita tenendo conto della conduzione del calore e della viscosita, i cui effetti diventano sempre piu importanti durante l'erta dell'onda, sf che
e un bilancio tra gli effetti non-lineari e quelli vi$cosi. Lo strato tran~ torio, nel quale avviene il bilancio, e della spes sore dell'ordine di un pervi
corso libero medio del gas, cosicche non si pub distinguere da una
super~
cie di discontinuita. Tale superficie e detta onda d'urto. In un plasma
0
gas conduttore di elettricita, la presenza di un cam-
po magnetico modifica il carattere di un'onda d'urto. Se il campo magnet..! co e parallelo alla velocita del fluido, e chiaro che non vi saranno correnti elettriche indotte, e percib, in tal caso, il campo magnetico non influenza l'onda d'urto. D'altra parte, se il campo magnetico e perpendicolare alla velocita del gas, Ie correnti indotte modificheranno sia la quantita di moto, sia l'energia del fluido. Giacche la pressione magnetic a si deve aggiungere alIa pressione del fluido, un'onda di urto in generale non si manifestera in questo caso, se la velocita del fluido non supera la velocita delle onde acustiche magne tiche, cioe
~
c 2 + VA2
ove
c
e la velocita del suono eVA
la-
velocita di Alfven. 22. - Onde d'urto 'piane. Nel caso di moto stazionario, Ie equazioni apposite del campo e del
141
- 51 V. Ferraro moto sono
V·
Vx ~ = - Vx (!
H = 0
~'r!
= 0
(!.
~
ed
!!
!!)
=0
1 1 \j x !!) x !! V )! = T Vp + 4"]r (
(!.V) S = 0 Qui
x
p = p(
r' S)
(136) (137) (138)
denotano i1 campo elettrico ed 11 campo magnetico; p, f
Ia densita e la prese:one del gas, !
Ia velocita del gas, ed S l'entropia.
Sia !! 11 versore perpendicolare al fronte d'urto e indichiamo con [Q] i1 saIto Q1 - QO
dei valori Q1 e QO di una quantita Q sui
lati opposti del fronte, secondo la figura. La (136) ci da allora:
o x
~Hn 'f;"
=0
cio~
[
1 HnL = 0
(139)
e la seconda
n fronte mehtre Ie altre equazioni ci d~nno Ia conservazione della massa, della qua!! tita di moto e dell'energia,
cio~
fV n
= m
H2
Hn
= costante
I
H [PVn -v + (p + -8 -Jr ) -n - -41t- -.'
= 0
(141) (142) (143)
142
- 52 -
V. Ferraro
dove
t
e l'energia interna. Se vi e un salto nel valore del campo magn~
tico, parallelo al piano d'onda, la corrente superficiale e data da:
i
x [!!1
4!!r&
=
(144)
E' evidente, nella seconda delle equazioni (140) che se
rallelo ad H
v e pa-
da un lato dell'onda, 10 sara pure dall'altro lato.
Se si considera il caso in cui gli assi si muovano assieme all'onda d'urto, e si denota con V la velocita dell'onda Ie equazioni (139) - (143) saranno:
[Hnl=
(145)
0
[(vn - V)!! - ! Hn
[(Vn - V) r ! + (p + 8~2 ) !! - 4~
~vn - V) r]
=0
f
oppure
J=
0
Hn!!
J
(146)
(147)
= 0
(vn - V) = m flusso di massa
(148)
(149)
Se il fluido attraversa il fronte d'onda, cioe vn -V
r 0,
si ha
un'onda di urto. Se invece si ha vn - V = 0 (il fluido non attraversa il fronte)
si ha una discontinuita di contatto. Se si introduce il volume specifico
"t' =
1 l'
e si denota con Q
il valore medio della quantita Q 1 e Q2' cioe
Q
=
~
(Q1 + Qo)
143
(150)
- 53 -
V. Ferraro s1 possono ridurre Ie equazioni di cui sopra. Difatti si ha I'identita
Dalla (145) si ha che
T [!!] +
m m
Hn
e costante e Ie equazioni
!! [ n]- H\,l~J= V
(144) - (145) ci d~nno:
0
(151)
h1+ [pJ !! + 4~ !! f!I. [!!J J- 4 ~
Hn
r!!] = 0
(15 2)
(153) Siano
1.,~,!!
una terna di versor!, poiche
0, Ia (151)
[Hnl
e Ia (153) si riducono a
1
(i) (ii)
(iii)
+ HI [vn ) +m.:t (Hl1
- Hn [v1
- Hn [v m] + Hm [vnJ
+ m i [Hm]
0
Hn i I - 4lHlj
m[ v1l
(iv)
0
0
_ :n [HmJ
m[vmJ
1
0
1
[p] Hm - [H (m 2 + - ) Vn +HI- H + 4" 1 4~ m [1: ]
t
(v)
Per avere una soluzione non banale di questo sistema,
= 0
e necessario
che
la quale
e un'equazione per determinare il flusso
m, oppure dalla (148)
un'equazione per determinare la velocita dell'onda d'urto (155)
144
- 54 -
V. Ferraro
Prima di discutere quest'equazione
e d'interesse ottenere la velo-
cita caratteristica c, per Ie onde di piccola ampiezza, gia trattare nel paragrafo 18 v. s., e poniamo vn + c la velocita di propagazione delle perturbazioni. Ora, si ha allimite
ove
a
e la velocita del s. uono,
if ... H
em"::: -+ ~ = c ~
La (154) all or a si riduce
f
(siconfronti con la (124) col terzo fat
tore della (156)): (156)
Si nota che tutte Ie radici di quest'equazione sono positive e si
den~
tano con c rapl'd' a ci enta' ct rasversa (cf' cS ' Ct ). Se l'espressione entro Ie parentesi storte della (156) si scrive sotto la forma (c
2
2
- a )
(f
2
c -
2
Hn
4/t)
2 H2 = c (_. 4rr
in modo che si hanno Ie disuguaglianze: (157)
ove b n =
H \~ ~ 4",: f
e la velocitA di Alfven.
I segni d'uguagUanza percio
occorreranno solo se H = Hn.!!' In questo caso una velocita a
e uguale ad
e l'altra a bn . (Vedi Paragrafo 16). Se Hn = 0, si ha c
f
=
H2 d (~ ) df + 411: f
145
t
(158)
- 55 V. Ferraro
cosicche b
~
Ia veIocitA di
Dalla (136)
Alfv~n.
chiaro che vi sono tre tipi di onde d'urto, ra-
~ percit~
pide, Iente e traverse (o intermediarie,
0
di
Alfv~n).
23. - Onde d'urto rapide e Iente. Ritorniamo ora all'equazione (154); Ie radici sono m = 0,
ove
m = mt, m = ms ' m = mf H2 mt = ( 411: ~ -) ed m s ' mf sono Ie radici de11a equazione bJ.
quadratic a che risulta dal terzo fattore della (154). Se questa si scrive sotto forma:
iI2 )
m2 (m2f
- 4""n
= _ [p] (m 2
[1:1
-c _4)tH~)
(159)
si vede anaIogalmente alla (157) che [p) ~
['I:] 2
ms 2
mt
~
~
si vede
Poiche m t = radice
H2 _n_ 4Tl::r
2 mf (160)
~
2 mf
perch~
I'onda d'urto che corrisponde a11a
detta intermediaria.
Se si sostituiscono Ie soluzioni mf ricavano i salti di
!!,
!, 1:
[!!1
[!]
ms
neUe (151) - (153) si
,cio~
km
2 -
{!! -
Hn !!)
Hn H 4 2-
-
2 2Hn --) 41C
= km (--=- - t m n)
r 1 = -k 1
0
(m
1:
146
(l61)
- 56 V. Ferraro
ove
k
e una costante determinata da uno dei due valori dell'onda d'urto.
24. - Onde d'urto parallele. In questa caso si ha H = Hn
~
e il sistema di riferimento pub
e~
sere scelto in modo che v e H abbiano la stessa direzione nei due lati dell'onda.
Dalla (146) si ha che
[!!]
= 0
e
!!
=
Hn~'
La velocita dell'onda ha un sol valore come si vede dall'equazione precedente (154), notando che HI = 0 = Hm e percib (162)
_ _ [p J ['t1
Ora, dalla (161) si ha
Come e gia stato detto, i1 campo magnetico non influisce sull'onda,
l't1 non dipendono da
cosicche sia [~1 che
H.
25. - Onde d'urto perpendicolari. In questa caso si ha
Hn = 0 e
!!
e parallel: al piano dell'onda.
In questa caso non e possibile trovare un sistema di riferimento per il quaIe
~
e paralleia a !!
scegliere in modo che
(vedere operazioni iii e iv p. 53) ~
siaperpendicolarea
!!
ma 10 si pub
davanti all'onda, e per-
cib dalla (146) anche dietro all'onda. Dalla (154) si vede che non esiste che una velocita d'onda, doe
m
2
(163)
che e un'onda rapida. L'altra velocita, m = 0, non si pub applicare alIa (161), ma si ricava da questa che i1 salta di [v] no dell'onda.
147
e perpendicolare al pia-
- 57 -
V. Ferraro
26. - Onde d'urto oblique. Salvo per i due casi considerati prima, tutte Ie altre onde di urto si chiamano oblique. Come si di riferimento per i1 quale
e gia visto, si puo sempre trovare un sistema ! e parallela al !:! da i due lati dell' onda.
E' chiaro dalla (146) che si avra allora: 1
(164)
v = (v - V) H Hn n -
da un lato e percio la stessa operazione sara valida dall' altro lato. (140) si ha immediatamente che i1 campo elettrico
E
e nullo,
Dalla
essendo
proporzionale a -(v x!:!). 11 salta del valore assoluto del campo magnetico si ricava dalla (161) perche
e, eliminando
k, usando l'ultima equazione della (161)
-
1m
(165)
2
Come per la teoria delle onde d'urto nei gas, si puo dimostrare che se l'entropia aumenta attraverso i1 fronte dell'onda, la pressione e la densita anche aumenteranno. Poiche la direzione di l'onda, ne segue che
[-t J(0,
e positiv~ per un'onda rapida,
e nel senso nel quale il gas
~
e dalla ultima della (161) si ha che
k
e negativo per un'onda lenta.
Dalla (165) si vede che l'onda se questa
attraversa
e un'onda rapida,
[!:!
J
aumentaattraversando i1 fronte del
e diminuisce attraverso il fronte di un'on
148
- 58 V. Ferraro da lenta. Poiche la componente Hn ~ continua attraverso l'onda, ne segue che la componente del campo magnetico paraUela al fronte, aumenta attraverso il fronte per un'onda rapida e diminuisce per un'onda lenta. Dalla conda delle equazioni (161) risulta che
~
s~
anche 10 stesso per la componen-
te della velocita parallela al fronte. E' da ricordare che nel caso di un gas, solo questa componente ~ continua. Cosicche per uri'onda d'urto rapida il vettQre
!!
viene deviato verso il fronte (poiche Hn
~
continua) mentre
per un'onda lenta devia verso la perpendicolare. In quest'ultimo caso, la componente del campo magnetico pub anche cambiare di senso,
cio~
cambia
re di segno.
Le onde d'urto oblique pongono la domanda; si potrebbe produrre una componente del campo magnetico parallela al fronte a mezzo di un'onda di urto se essa non esiste davanti all'onda, oppure eliminarla dietro l'onda se esiste all'innanzi? Sembra che la risposta sia affermativa. Nel primo caso
149
- 59 -
v.
Ferraro
l'onda si dice switch-on (cioe di attacco) e nel secondo switch-off (cioe di distacco). 27. - Onde d'urto di attacco e di distacco. E' chiaro che quando si e detto che per un'onda d'urto d'attacco il campo magnetico e rivolto verso il fronte e si ha percio un'onda rapida, mentre per un'onda di distacco e rivolto verso la perpendicolare al fronte, e si ha percio un'onda lenta.
!l !J.
Si puo dimostrare che un'onda d'urto di attacco esiste soltanto se la
velocit~
sita
di Alfven e supersonic a, all'innanzi dell'onda, e solo se l'inte,!!
--RL Po
dell'onda supera un valore critico. A misura che
aumenta, la componente parallela al campo
!!
l'intensit~
aumenta, poi diminuisce
annullandosi al valore critico. L'onda di distacco esiste solo se la velocita di Alfven dietro l'onda e subsonica e l'intensitA supera il valore critico. Si nota anche che Hn non si puo annullare per Ie onde di distacco o di attacco. Come per Ie onde di urto in un gas privo di campi magnetici,
COS!
qui pure e usuale riferire Ie caratteristiche da una parte dell'onda d'urto mediante Ie caratteristiche dell' altra parte.
150
- 60 -
v.
Ferraro
Abbiamo invece usato qui la media dei valori delle quantita. Q dalle due parti dell fonda per ottenere pill rapidamente Ie caratteristiche de.! Ie onde d'urto. Su questa argomento si fa notare che la componente del campo magnetico parallela al fronte non pua essere scelta arbitrariamente. 28. - Onde intermediarie
0
trasverse.
L'unica radice della (154),
cio~
H 2
n
=
4n. 'i
corrisponde ad un'onda d'urto trasversale. Le sole discontinuita. sono que.! Ie delle componenti parallele al fronte di v e H. Se si sostituisce nella (151)-(153) si trova: kmHxn (166)
['tJ
= 0
La equazione (153) dimostra che in questo caso [vnl = 0 e I" (166) mettono sotto forma concreta cia che si
~
gia. detto sulla discontinui-
ta. delle componenti parallele al fronte dei vettori y. e non vi
~
!!. Poich~ ['t'J= 0,
alternazione nei valori della pressione ed entropia attraverso il
fronte. La velocita. dell'onda rispetto al fluido
151
~
- 61 V. Ferraro
doe la stessa della velocita delle caratteristiche trasverse. Sembra improbabile che vi sia un"onda di Mtevole intensita poiche il meccanismo solito manca. Ludford difatti, nel suo studio delle struttu-
re di un'onda di urto, dimostro che non esiste una soluzione per onde trasversali; se quest'onda esiste, l'intensita rimane la stessa, dato che dalla prima della (166) si ha:
(H2]
=
0
ma la direzione di H puo essere cambiata di 180 0 e si ha allora un caso particolare di un'onda di urto lenta. IL PROBLEMA DELLA DINAMO 29. -
n problema di spiegare l'esistenza di campi magnetici della
terra,
del sole, e delle stelle, non e state ancora risolto soddisfacentemente. Si deve scartare l'ipotesi del magnetismo permanente, date Ie alte temperature all'interno di questi corpi. Effetti termoelettrici sono stati trattati, ma almena per Ie stelle ed il sole, il magnetismo prodotto da tali effetti e trascurabile. L 'unica teoria che sembra poter sostenere i campi
osserv~
ti e la deoria della dinamo, la quale attribuisce i1 s.ostenimento del campo magnetico al moto della materia conduttrice attraverso Ie linee di forza, come in una dinamo eccitata da se. 30. - 11 problema della dinamo. In un conduttore i1 campo magnetico declina a causa della resistenza Ohmica e esso si puo sostenere solo se gli si fornisce energia da una fonte esterna. Ora" in un conduttore fluido, in moto, l'energia che si for-
152
- 62 -
V. Ferraro nisce al campo, se i1 moto
~
causato da forze non magnetiche,
~
uguale a
. H 1 x . v per unitA di tempo. Nel problema della dinamo eccitata da s~ c
-
si cercano condizioni, per avere una sorgente di forza viva, che possano sostenere il campo magnetico contro perdite dovute alla resistenza elettrica. Cib vuol dire che si ricercano soluzioni delliequazione
gt
=
per il campo magnet:co
!!,
V x (_v dove
(167)
1
~
~ 411"6"'
la resistivita, uguale a
che si suppone costante. II fiusso della materia attraverso il campo
magn~
tico crea delle correnti elettriche che sostengono il'campo H secondo Ie leggi di
Amp~re.
Come fa notare Mestel, a prima vista il problema sembra banale, difatti gli ordini di grandezza dei due termini a destra della (167) debbono essere comparabili, Qui v
cio~,
i1 numero Raynolds magnetico
una velocita caratteristica del fiuido ed L
~
scala di variazione dt}l ca,mpo.
cio~,
vL -"l-
rv
1.
la lunghezza della
la distanza entro la quale, sia la
dir~
zione, che llintensita del campo cambiano sostanzialmente. Cib che non evidente
che L
~
~
non sarebbe sempre limitato in tutti i punti del campo.
Difatti, si consideri un campo magnetico con simmetria rispetto ad un asse. AHora, per soddisfare alliequazione cilindriche
(~,
H
W dove
P
~
'Y.
H = 0
If ,z) si pub scrivere: = __1_dP ~
'az
H
z
una funzione tale che P = cost ante'
di forza del campo. Ora il fiusso totale di piano z ;: cost"
in coordinate polari
!!
~
11 equazione di una linea
attraverso un cerchio nel
col centro sulliasse di simmetria' (~ = 0) ~ uguale a:
153
- 63 -
V. Ferraro
=2lt P(~,z),
se si ammette che
(168)
P = 0 sull'asse, come e lecito.
Se i1 campo e di natura locale, cioe non esistono correnti aU'infinito, i1li mite di questa flusso quando ~ ~ 00
e nullo, cosicche la linea di forza
P = 0 consiste dell'asse di simmetria e di due semicerchi all'infinito. Ne segue che Ie altre linee di forza sono circuit! chiusi
0
lacci, situati al-
l'intorno della linea di forza P = 0, e pereto essl circonderanno almeno un punta neutro N cosiddetto, di tipo O. Nel caso che esse circondina piu di un tale punta neutro Ie linee difarza saranno della forma del numero otto, e vi sara un punta neutro di forma X.
Nelle vicinanze di N, e chiaro che i1 campo magnetico cambia la sua direzione in una distanza che puo essere arbitrariamente piccola; se la conduttivita
0'
e limitata, non esiste
disfare alIa condizione
v~L
'\i
veloc1t~
limitata che possa sod-
1; percio i1 termine dell' equazione
(167) dovuto alIa resistenza, domina nei dintorni di N. In piu non e possibile limitare la zona del decline a una piccola regione circondante N; poiche questa richiederebbe un grande gradiante dell'intensita del campo e percio estenderebbe la zona dove L e piccola. Difatti, nel caso che
154
- 64 -
V. Ferraro
consideriamo,
1 e perpendicolare a
H e la legge di Ohm si puc scrive-
re: E
+
v' x H c
dove: c
v' = v +
G"
1
(169)
° x H
(170)
H2
cic che implica che il campo magnetico si muova attraverso il fluido con velocita
v'.
Se v
=
0, il campo declina in modo che Ie linee di forza a Iaccio
scompariscano nel punta N; se
1 e limitato vicino a
relativa al fluido delle linee di forza
e infinita,
N, la velocit9.
e soltanto una sorgente di
fluido situata nel punto N puc evitare questo declino, creando tante linee di forza quante ne vengano distrutte dalla resistenza. Questo teorema fu dimostrato da Cowling nel 1932 e si chiama i1 teorema anti-dinamo di Cowling. Si credette per diversi anni che questa teorema si potesse generalizzare per qualsiasi campo magnetico. Ma
qu~
sto fu dimostrato falso dalle ricerche fatte dal Bullard e da Herzenberg.
n teorema di Cowling si puc difatti estendere a certi casi particol~ ri per la dinamo stazionaria. Difatti, in questo caso si ha la legge di Ohm 1 c -
+-v x H dove
(171)
If e il potenziale elettrostatico. n teorema e valida per campi ma-
gnetici nei quali si ha come limite una curva chiusa C, tale che Ie linee di forza nelle vicinanze di C sono della forma di spirali Nel caso generale
C
e anche una linea di forza;
155
int~rn~
a C.
nel caso degenerato nel
- 65 -
V. Ferraro quale Ie linee di forza sono lacci, la curva C e una curva di punti neutri. Dalla (171) si ha, facendo l'integrale lungo la curva C,
l..L·dS
rc. sia perche
!! =
G'
-
v x H
=
dS =
c
0, oppure perche
~
x H
°
e perpendicolare ad
(172) H.
Ma, dalla legge di Ampere, Ie correnti che sostengono i1 campo nelle vic..! nanze di C, se esse non sono nulle, debbono scorrere in un senso unico int~rn~
a C, coskche il primo membro della (172) non si annulla, e si
ha/ dunque una contraddizione. COSl si dimostra che un campo magnetico toroidale (ma simmetrico rispetto all'asse) non pub essere sostenuto a mezzo di azione della dinamo, perche si pub sempre trovare una curva C, che interseca l'asse
" a
± 00
oppure in punti consecutivi, dove i1 sen-
so dei lacci prossimi pub essere invertito. Anche in questo caso i1 declino del campo pub essere considerato come dovuto aHa scomparsa dei lacci toroidali sull'asse di simmetria, che nessuna velocita limitata non pub impedire. Perche si possa avere una dinamo, e quindi necessario considerare dei campi magnetici piu complessi di queHi gia considerati. Soprattutto si d! vono evitare tutti quei campi che hanno una curva chiusa singolare del tipo C considerata prima. Topologicamente, si devono scegliere quei moti che convertono Ie linee di forza del campo in modo che la parte bipola del campo poloidale sia rigenerata. I1 meccanismo della dinamo non crea nuove linee di forza nel campo, ma piuttosto fa uso piu efficace delle stesse linee di forza. Vi e una certa "asimmetria topologica" come d~ce Elsasser, tra un
156
- 66 -
V. Ferraro campo poloidale ed un campo toroidale, che hanno simmetria rispetto ad un asse. Difatti la
rota~ione
non-uniforme genera un campo toroidale se-
condo il teorema di Alfven, mentre non esiste nessuna circolazione
simm~
trica rispetto ad un asse che generi un campo poloidale da un campo toroidale. Lasciando percio l'ipotesi della simmetria assiale,
e possibile co-
struire del campi di velocita che sembrano capaci di generare un campo poloidale. Bullard, in seguito allavoro di Elsasser, ha sviluppato un metodo nUmerico, usando calcolatrici elettroniche per trattare i1 problema. Bullard considera un moto fiuido laminare, dovuto a convezione termica, e la rotazione non-uniforme che ne risulta. La sola giustificazione per i1 modello del moto adottato
e che esso e capace di sostenere un campo magne-
tico con una grande componente tipo bipolo. 8i ha un certo appoggio per questa ipotesi dallavoro di Parker che ha dimostrato che Ie forze di Cori£ lis che agiscono sulle correnti di convezione, sono capaci di torcere la componente toroidale del campo - prodotta dalla rotazione non uniforme per generare cosl un campo poloidale che agisce nel senso giusto per
accr~
scere 11 campo poloidale iniziale. 31. -
n nuovo metodo Elsesser-Bullard si puo esporre come segue.
Consideriamo un campo magnetico in una sfera liquida di conduttivita 6" . All'interno della sfera sono valide Ie equazioni: 41tj
V'x!! = - c
v
x E = - 1. 9!! c dt '
l' = S
(_E
1 ! x _H) (173) + -c
A queste equazioni si puo sostituire una sola equazione integrale. Difatti,
157
- 67 V. Ferraro sia
!!'
un secondo campo e
l'
l'intensit~
di corrente che 10 produce.
Allora si ha:
~ J l' l' d~
=
f (~ +
y x !!) . l'
+
d~
(174)
dove l'integrazione si puo estendere a tutto 10 spazio poicM
l'
= 0 fuo-
ri dalla sfera. Consideriamo l'integra1e 41[
J~ . l' d,; = ~ J~. =c
V x !!' d't' =
f V . (!!' x ~) d~ +
Il primo integra1e a destra
~
C
f
!!' .
V x ~ d't'
nullo; come si vede, dopo ave rIo trasformato,
col teorema di Green. Percio si ha:
4()Tr
{i' l' dr = 4;
I
(y x
!!).1' d~ - J !!,'. V x ~ d"C
(175)
che equivale alIa (173), Ora introduciamo i campi normali di declino. Questi soddisfano alIa (173) posta y = 0 e declinano secondo la legge esponenziale,
- Art = !!r e
H =
Esiste una serie di tali campi ognuno dei quali corrisponde
ad un auto valore
~r .
I valori iniziali dei campi
!!r,
e Ie correnti corrispondenti ad es-
si, soddisfano alle relazioni ortogonali:
J-rH . H
:::;s
dT
=0
(r
,
Per dimostrare questo, si pone H = !!r; !!' =
158
r
!!s'
s)
(176) v = 0
nella
- 68 V. Ferraro
~~
(175). AHora, dato che
4;
f lr . is d't'
=
= - ) r!!r
Ar
si ha:
J!!r . !!s d't
(177)
Per la simmetria di questlequazione, Ia stessa operazione ). s
che sostituisce
A r'
~
valida con
Dunque ne seguono Ie (176). Se si normaliz
zano i campi in modo che H r
2
d"t
= 1
(178)
si ha (179) Ora i campi !!r formano un insieme completo, e percib
H
si
pub scrivere sotto la forma (180) Cio~, i1 campo
!! nelle equazioni (174), con y
rie (180) nella quale i coefficienti
~ r
r
0, ~ dato dalla se-
sono funzioni del tempo.
Poicbe
s1 ha anche che (181) Sostituendo (180) e (181) nella (175), ponendo (176), (178), (179) si ottiene llequazione
159
}II
H e usanda pure
- 69 -
V. Ferraro
~= -AsP,s+~rd. dt r rs i~ r dove 0(
rs
I
= 4'1t'
(v x H ) l'
-
-r
I
s
(182)
(183)
d-r
Per stabilire l'esistenza di una dinamo stazionaria, si potrebbe proseguire cost Nella (182) poniamo
~ dt
=
0,
cosicche si ha un campo
st~
~! invece di v nella (183); allora si ha i1 si-
zionario, e si scriva stema di equazioni
~~ ~ - ~r
!3 rJ.. rs I r
(184)
un sistema infinito di equazioni algebriche, per Ie quali esistono auto valori cM
<e
n'
0\ rs
Ma la matrice del determinante infinito non
f
~ sr
e simmetrica,
per-
cosicche non si puo dire se i valori caratteristici
siano reali. Difatti, per i1 caso di certi campi magnetici con simmetria, si ha 0<: rs = - 0(, sr
e in questa caso i valori di 11- ~
sono immaginari.
Percio Bullard ha cercato di dare un metodo per trovare gli auto valori che sembrano convergere rapidamente ad un valore reale. Ma certo non pretende di aver dimostrato un teorema d'esistenza. Un tale teorema
e stato dimostrato da Herzenberg per un modeno
molto pi)) semplice. Questo consiste di due sfere velocit~
angolare
':d 1+
'
~I!l
int~rn~
A
e B ruotanti con
a due assi inclinati sempre ecce!!
tricamente nell'interno di una grande sfera conduttrice di raggio centro
O. La sfera A gira nel campo magnetico che
R e
e prodotto da co!:
rente indotta nella sfera B e viceversa. La prova del teorema di esi-
160
- 70 V. Ferraro stenza dipende dalla condizione che i raggi delle sfere A e B siano piccoli in confronto alIa lora distanza da to ad R,
affinch~
0, e questa piccola in confron-
ne risulti la prova della convergenza, poiche in questa
caso basta tener conto solo delle parti del campo di ogni sfera che sono simmetriche rispetto ad un asse, e di questa basta trattare sbltanto quelIe parti che diminuiscono lentamente con la distanza. Herzen berg ha dimostratQ che per diverse orientazioni relative agli assi delle sfere si puo trovare un valore di
~~
x
~S
capare di
sostenere i1 campo magnetico. Si puo pens are che Ie due sfere simulino dei vortici idrodinamici. In quanta si
~
detto sinora si
v sia dato. Una volta che si
~
~
supposto che i1 campo della velocita
sicuri del sostegno del campo stazionario
si deve considerare i1 problema dinamico. Ad esempio, se si aumenta la velocita sino ache la dinamo riproduca piii energia di quella che
~ distr~
ta, cosicche il campo cresce, questo deve reagire suI moto. Bullard ha fatto un calcolo approssimativo del campo magnetico nel centro della terra uguagliando la componente media del campo magnetico toroidale alIa forza di Coriolis media. Ha ottenuto il valore di 4 gauss per la componente poloidale e 400 gauss per la componente toroidale. II problema
~
certamente molto complicato: nonostante cio, una vol
ta determinato il campo di velocita delle perturbazioni magnetiche e centri fughe suI mota termale del fluido, il cicIo sara questa: (i) circolazione meridionale;
(ii) rotazione non - uniforme;
dale generato dal campo poloidale;
(iii) campo magnetico toroi
(iv) rinforzo del campo poloidale dal
campo toroidale.
161
- 71 -
V. Ferraro MAGNETISMO E TURBOLENZA
32. - Trasferimento e declino dell'energia nel mota turbolento.
Nella turbolenza, il mota e caratterizzato dalla presenza di eleme!! ti di fluido distinti in uno stato di rotazione, che si chiamano vortici. L'energia
e usualmente fornita ai vortici piu grandi e poi trasferi-
ta ai vortici piu piccoli. Questi a lora volta trasferiscono la lora energia a vortici ancora piu piccoli, fino ache l'energia del mota viene distrutta so.! to forma di calore causate dalla viscositA, percM gli sforzi usuali sana maggiori per i vortici piu piccoli. 33. - L'effetto di un moto turbolento suI declino magnetico.
Consideriamo dapprima il caso di un fluido di conduttivitA infinita. In questa caso si ha:
\7 x (~ x !!) = (!! . V )~ - (~ . 'V )!! - !! (V .!) perche
V
(185)
H = O. La derivata rispetto al t~mpo, cioe la derivata con-
vettiva, e
1/ ) H = (H' V )v+
d!! = ()!! + (v' dt '3 t -
-
--
!! jl
~ dt
(186)
perche dall'equazione di continuitA si ha d
Il
...:.:...L-
dt
'4~. = ~ + (v' V- ) f = -
2t
-
0 J
V . _v ;
(187)
dalla (186) si ha immediatamente che l'intensitA del campo magnetico aumenta nel caso che i1 fluido sia compresso oppure Ie linee di forza si este!!
162
V. Ferraro done. (Abbiamo
gi~
fatto notare questa ultimo d.so prima,paragrafo 6).
Se si ha un mota turbolento,
~
chiaro che due particelle del fluido
ehe sono inizialmente l'una aceanto all'altra saranno separate di molto durante i1 moto. Percib la linea di forza sulla quale si trovano Ie due particelle verrl estes a e se si ha inizialmente un debole campo magnetico,
e
chiaro che la turbolenza cagionerl un aumentQ dell' energia del campo. Simultaneamente, la struttura del campo cambierl radicalmente, poicM Ie linee
d~
forza saranno attoreigliate.
Elsasser e Sweet hanno creduto che questo effetto accelerasse i1
d~
elino naturale del campo. Essi facevano not are che.1' attorcigliamento della linea di forza ha per conseguenza la continua diminuzione della grandezza dei lacci del cartlpo magnetico. Ora, se due segmenti della stessa linea di forza per i quali i1 campo magnetico
~
oriEmtato in sensi opposti si avvicinano a causa della loro turbolenza, avverrl una rapida di:! fusione Ohmlca in modo che i1laccio si staeeherl.
n campo magne~
tico percib si trasformerl in un gran numero di piccoli laeei per i quali i1 declino si
~
~
pit) rapido dato che, come
gil dimostrato, i1 periodo di de-
elino del eampo edell' ordine 41\:' 6' L2 ....;:....:~2r--' dove ro e la condutc
tivitl elettriea ed L la dimensione dellaeeio.
163
- 73 -
V. Ferraro Quest'argomento pera non tiene
CO!!
to della possibilita che il campo
m~
gnetico pua essere rigenerato dallo effetto della dinamo. Ma se si limi ta la turb<;llenza al caso di simmetria rispetto ad un asse, cioe vortici intorno alIa direzione azimutale, l'attorcigliamento del campo accelerera il declino nella regione interna del fluido; Sembra che il periodo di declino del campo non sia modificato di molto. 34. - Dinamo a base di turbolenza. Si
e dinibstrato chein un fluido di alta conduttivita la turbolenza pua
far crescere un campo magnetico inizialmente debole. Cia che si e detto riguardo alIa dinamo magnetoidronamica ci fa pens are che non sia impossibile l'esistenza della dinamo a base della turbolenza. Ci limitiamo al caso incompressibile e alla turbolenza isotropica e omogenea. Consideriamo ora un campo magnetico molto debole, ma di grande estensione. Un'aliquota dell'energia sara fornita nella turbolenza ai vortici di grande lunghezza d'onda nella spettro e poi ceduta ai vortici di lunghezza d'onda sempre piu piccola come si e detto, sino ache essi sono distrutti da:na viscosita. Benche non vi e dubbio che al principio il campo magnetico aumented., non e stato ancora precisato se il campo magnetico sara ultimamente aumentato; Certo
e che quando il campo magnetico si fara troppo grande,
164
- 74 -
V. Ferraro esso limiter~ l'estensione. Difatti certi autori come Biermann e Schl~ter asseriscono che alIa fine
visar~
equipartizione fra l'energia cinetica e
l'~
nergia magnetica, mentre altri asseriscono che questa equipartizione viene limitata ai vortici di piccola lunghezza d'onda. Elsasser ha cercato di dimostrare l'equipartizione delI'energia nel modo seguente. Se si pone
-H
P = v +
g = v-
f4if
1 k1 = 2"r(v+'l.), dove
e
H
(187)
~hf
1 k2 =2r('v-~)
sono i numeri di Reynolds viscoso e magnetico, Ie equ!!:.
"1
zioni del moto di un liquido e Ie equazioni idromagnetiche si possono scrivere in due forme molto simili e
I() P
f(d t
+ g.
f( ~~
V~)
=-
+!'. vg)=-
cio~:
2
'i/ (p+ 8: )+k 1 V 2!'+k2 V 2g
V (p+ 8~
2 )+k 1 V2g+k2
(188)
V2~
La simmetria dl queste due equazioni rispetto a P e g
(189)
e, la loro so-
miglianza all'equazione del mote
'0 v f(gt dimostrano che
+y. Vy)=- \/p+Y ~
e g
V 2y
si comportano come y.
Data la definizione di
P e g , cib vuol dire che
si comporta in modo analogo a y.
165
(190)
H
- 75 V. Ferraro
Se questi vettori si comportano similmente, allora in equilibrio si avr~
H
IyI
N
~ 411"f Cio~,
1 -2-
r v2
H2 I\;
(191)
8li
e pero non esclusi: YO, dato che non e lecito dedurre il comportamento di !! e v separatamente, dal comportamento di f e ~. Difatti, se f ~ si ha !! = O. In piu, Batchelor ritiene piuttosto che la vorticit~ eN = \! x y , o bene, l'equipartiz::one di energia. Questo argomento,
anzich~
come Si
y;
~ gi~
si comporta come.!!. L'argomento va cost.
dimostrato che
'OH
V ove questa equazione
=
'iJ
!!
soddisfa all' equazione
x (y x
x W )
-
-
!!
(192)
-
2
+ 'Y 'iJ IN
H che y, soddisfano aU'equaziQne
e da questa analogia, Batchelor deduce che ~
2
e analoga all'equazione soddisfatta dalla vorticit~ ~ ,
\J x (vIn piu, sia
~ tj
!!) +
!!
piuttosto che come y; ed infatti tanto
(193)
".!.
= 0,
debba comportarsi come
!!,
quanta
~
, sono
trasportate con il fiuido eccetto che per i1 grado di diffusione che dipende dai parametri
,
e
v .
A causa della somiglianza delle equazioni (192) e (193) Batchelor crede che, dato un campo magnetico inizialmente debole, esso
166
sar~ rapid~
- 76 -
V. Ferraro
mente trasformato in un campo avente una struttura analoga al campo di vorticita, cioe
~
e !! saranno vettori quasi proporzionali. Concesso
questa ne segue che i due campi crescono colla medesima rapidita. Ora, nel caso stazionario, si ha
'deN
~
t
= 0,
e se il termine
dovuto all' in-
duzione}nella (192) domina l'equazione, cosicche il campo magnetico aumenta, s1 deve avere,
1 < Y,
cioe
>-
1
Se questa condizione e soddisfatta si vuol sapere quale sara 10 stato raggiunto alla fine dal campo magnetico. Poiche
We!! si comportano similmente ne segue che 10 spe.!
tro magnetico sara simile a quello della vorticita. Poiche la vorticita e concentrata nei piccoli vortici, mentre i vortici grandi hanno maggiore ene!:. gia, ne segue che vi sara equipartizione fra l'energia cinetica e l'energia magnetic a per i vortici di piccola lunghezza d'onda. L'energia totale magnetica, pero, e inferiore a quella meccanica. Ma anche l'argomento di Batchelor si puo intaccare. Per esempio, e difficile giustificare l'ipotesi che !! e Cd acquistano rap1damente Ie stesse caratteristiche statistiche ed in pili l'analogia tra
~
e H e imperfetta, dato che,
W
=
\J
x v mentre
H non di
pende da v. In pift, come ha concluso Mestel, nella turbolenza ordinaria, I' ene!:. gia e la vorticita sono fornite ai vortici pili grandi e poi saranno trasferiti a cascata ai vortici pift piccoli quando saranno distrutti dalla vis cos ita. Se si accetta l'analogia tra
~
e !! all or a si dovrebbe supporre che non so-
lo l'energia meccanica, ma anche quella magnetica, dovrebbe essere forni
167
- 77 -
V. Ferraro ta ai vortici grandi. Cio vuol dire che si dovrebbero avere delle pile voltaiche per fornire continuamente quest'energia magnetica. In mancanza di queste pile, il campo declina ed il periodo di declino sarA accelerato dalla turbolenza. Cio non vuol dire che la dinamo a base della turbolenza non sia
po~
sibile; ma piuttosto che l'analogia di Batchelor puc indurci in errore. Moffatt ha fatto notare che vi possono essere dei vortici magnetici. Difatti, se si ha
1 < v,
Ie cascate di energia e l'attorcigliamento del-
le linee di forza prosegue sino ache la cascata si arresta a causa della vi Cic avviene quando
scosit~.
vL
y
numero di Reynolds
cio~ i1
~
(194)
1
IV
dell'ordine
dell'unit~.
L'equazione (194)
d~
termina la grandezza dei vortici pill piccoli per la turbolenza idrodinamica.
n numero di Reynolds magnetico ~ superiore al1'unit~,
dato che
1 <. v .
Dunque si hanno cosi i "vortici magnetici". Poiche il periodo di
ky
declino
k,
dei vortici pill piccoli
~
inferiore al periodo di declino
per un vortice magnetico a simmetria assiale delle stesse dimen-
sioni,
s~
possono avere vortici magnetici con un campo magnetico quasi pe!.
manente che dura per i1 periodo di declino Cic che non si
~
~
stato dimostrato
~
~2
dei pill piccoli vortici.
questa: una volta che un vortice magnetico
distrutto, hanno i nuovi vortici magnetici un campo magnetico rigene-
rato? I vortici magnetici di Moffatt hanno simmetria rispetto ad un asse e percio sono soggetti al teorema anti-dinamo di Cowling. completa non
~
stata ancora fatta, i1lavoro di Moffatt
~
Bench~
una teoria
un primo saggio
verso una teoria dettagliata della struttura dello stato caotico del campo magnetico.
168
CENTRO INTERNAZIONALE MA TEMA TICO ESTIVO ( C. I. M. E. )
RENATO
1.
NARDINI
SU UN CASO PARTICOLARE DI ONDE MAGNETOACUSTICHE.
2.
SU UN PARTICOLARE CAMPO MAGNETOFLUIDODINAMICO SINUSOIDALE IN UN MEZZO VISCOSO.
ROMA - Istituto Matematico dell'UniversitA
169
R.
NARDINI
I
Confetenza
SU UN CASO PARTICOLARE DI ONDE MAGNETOACUSTICHE 1)
1. Equazioni del problema. Le onde magnetoacustiche
COrnIe
noto, si possono presentare
in fluidi compressibili ed elettricamente conduttori, soggetti a campi
magn~
ticL Supponendo il fluido omogeneo, non viscoso e dotato di conducibiliU elettrica tanto grande da pater essere considerata infinita, Ie equazioni che reggono il fenomeno sonq2): la prima equazione di Maxwell (1)
in cui si
..
..
rot H = J ,
e tras curata la corrente di
spostamento; 3)
1) n caso e stato studiato per esteso nella nota "Sulla mutua azione fra fenomeni acustici e idrodinamici" Journal of Mathematics and Mechanics 1., 1958, 1-16. 2) I simboli sono quelli usuali e il sistema
e quello
M. K. S.
3) Dal punta di vista mate matico non presenterebbe nessuna difficolta conservare la detta corrente e, come risulta nella nota citata in (1), si ag.giungerebbero , termini dell lordine di w2 / c2 (w e la velocita delle onde di ALFVEN, c la velocita della luce), ossia praticamente trascurabili. Come pero mi ha fatto osservare, durante uno scambio di idee, il prof. A. PRATELLI, il trascurare la corrente di spostamento porta anche il notevole vantaggio concettuale che tutte Ie equazioni della magnetofluidodinamica risultano invarianti rispetto alIa trasformazione di GALILEO.
171
- 2-
R. Nardini
la conseguenza della legge di Ohm per un mezzo perfettamente conduttore:
.....
~
E=-vxB;
(2)
la seconda equazione di Maxwell, in cui si tiene conto della (2),
"'*' H -;P = rot (v x H) ,. d
(3)
.....
la condizione aggiuntiva
....
= 0;
div H
(4)
Ie equazioni del moto del fluido, in cui si tiene conto della (1),
~~
(5)
+ div ( j> 1) =
dv
P'
dt
f
- - =-
(6)
in cui U
~
0
..,. 1 J x H - grad U - - grad p
~
~'
il potenziale delle forze esterne di natura non elettromagneti-
ca; e infine l'equazione complementare (7)
2.
= f ( P ).
P
Calcolo di una soluzione particolare. Per introdurre il caso particolare che desidero esporre, riferiamo
il moto del fluido a un sistema di coordinate cilindriche
r, 9,
poniamo preesistente un campo magnetico stazionario toroidale sia dipendente solo dalla r
z e sup-
Ho ' che
ed abbia componente solo parallelamente alle
linee 9. Potremo aHora porre neUe equazioni precedenti
..
..
....
H = Ho
...
+ h,
172
- 3R. Nardini
...
con
div Ho = 0, dove con
Ii si e indicato il campo magnetico indotto. Come caso particolare il campo magnetico
-
Ho
puo essere
real1zzato facilmente mediante una corrente continua stazionaria di intensi
ta
i
costante, che percorre un filo illimitato disposto secondo 1'asse
e, in tale caso, come
z
e nato, e i 21tr
H
(8)
o
r > 0, soddisfa all'equazione
Quest'ultimo campo magnetico, per rot
+
Ho = 0,
cio che permette di semplificare alcuni calcoli: tenuto canto di cib ci riferi remo in seguito, per semplicita, a tale caso particolare 1). Ci limiteremo ad effetti del primo ordine; seguendo il procedimento mediante il quale nella studio dei piccoli moti dei fluidi compressibiIi si linearizzano Ie relative equazioni, introdurremo la concentrazione
s
espressa da
s dove
Po
e la dens ita
= f -
fo
fo
del fluido in condizioni di quiete; partendo dalla
(7) si porra
u
2
(..iE...) d"p
r = Yo
1) Si rimanda ana nota citata in (1) per Ie equazioni che si avrebbero can .....
Ho
irrotazionale.
173
- 4-
R. Nardini e ci si
servir~
delle abituali approssimazioni 1
P
1- s
1
= .fo{1 + s)
fa
grad p .::.. u2 grad p = u
2
~o
grad s ;
trascureremo inoItre Ie forze esterne di natura non elettromagnetica ed infineconsidereremo valori molto piccoli per Ie grandezze incognite Ii, j, v ed
E,
s, trascurando i termini di grado superiore al primo nelle dette
grandezze. Con cio Ie equazioni di prima approssimazione dedotte dalle (1), (2), (3), (4),
(5 ), (6), (7)
~h
sono
= rot (v x Ho)
(9)
~
(lO)
div h = 0
0-;
(11)
at
.J!.
(12)
9t
=
fA' rot h x Ho - u2 grad s
To
+ div v = O.
Delle dette equazioni consideriamo \Ina soluzione particolare che soddisfi aIle due uIteriori condizioni: (a) la
velocit~
v abbia solo componente vz' lungo l'asse
z, men-
tre il campo magnetico indotto abbia solo componente h9 lungo Ie linee 9; (b) tutte Ie incognite scalari e dalla variabile spaziale 9
cio~
vz' h9' ed s
(cio~
siano indipendenti
i1 fenomeno abbia simmetria assiale)
174
·5-
R. Nardini
e dipendano quindi solo dal tempo t e dalle variabili spaziali z ed r. Segue immediatamente che 1'equazione (10) Se ora si proietta l'equazione (9) sulle linee se
~
soddisfatta.
e,
l'equazione (11)
sull'a~
z e si considera l'equazione (12) sotto forma scalare, si ottiene nel-
l'ordine
= - Ho
J"z az
.1.. H dhe
(13)
fo
0
az
2
dS
-u - -
9z
9s
at mentre, proiettando l'equazione (11) sulle linee
r
si ha l'equazione 1)
(14)
Consideriamo per ora il sistema (13): se ne deriviamo.1a seconda equazione rispetto al tempo t
i hoi d t g z
e
a2s/ d t az
e vi sostituiamo i termini con Ie relative espressioni ricavate
dalle altre equazioni, si ottiene l'equazione nella sola incognita v (w 2
(15)
z
JA. H2) = fo o'
Posto (16)
1) Rileviamo che la proiezione dell'equazione (9) sulle linee r e z e dell'equazione (11) sulle linee e da luogo a delle identita.
175
- 6-
R. Nardini I'integrale generale dell'equazione (15) sipub scrivere sotto Ia forma (17)
v z (t, r, z) : F 1 (t -
dove Ie funzioni
z
V'
z r) + F 2 (t + V' r) ,
FIe F 2 non sono arbitrarie ma soggette, come si ve-
dra, ad una relazione in conseguenza dell'equazione (14); esse; comunque, rappresentano, nell'ordine, un'onda progressiva ed un'onda regressiva, e,!! trambe Iongitudinali nella direzione
z.' di tipo acustico, in generale non
omogenee per Ia dipendenza da
r, con 'Velocita di propagazione
dipendente da
e, in ogni caso, maggiore della velocita
r
tramite
Ho
pure
V
delle comuni onde sonore e tanto maggiore di essa quanto maggiore
~
il
campo magnetico primario. Introducendo il valore fornito per
v z dalla (17) nell 'equa-
zione (13 1) e (13 2) e integrando rispetto al tempo si ottiene
he:
~o
{F1 {t- ; , r)-F 2 {t+ ; , rJj +
~(r,z)
{
(IS)
s:~ dove Ie funzioni
f
{F 1 (t - ; , r) - F 2 ( t + ; , r)
J+ '0/ (r, z)
e '/' danno Iuogo ad un campo stazionario da cui,
d 'ora innanzi, prescinderemo; 1'espressione che da s completa i due tipi di onde longitudinali forniti dalla (17), mentre I'espressione che da
he
fornisce una perturbazione magnetic a indotta, che si propaga trasversalmente, sempre con velocita V superiore alIa velocita w delle onde di
,
ALFVEN. Introducendo i valori (IS) nell 'equazione (14) si ha la te relazione
176
segue~
- 7-
,.H., or
-
'>0
t
~)
R. Nardini
11
r
a
I
z r)-F (t+z. r)J' +u 2 -)- -1 ,"F (t-z r)-r Ho IF (t-V I 1 V' 2 V ' · r -v 1 V'
~r
- F 2(t +
~ , r) ] ] = 0
che, soprattutto nei riguardi della dipendenza da r, limita la delle funzioni
F1 e
I
arbitrariet~
F 2' Purtroppo tale relazione appare abbastanza
complicata. Si pub perb considerare i1 caso concreto in cui, essendo pre
Ho fornito da una corrente continua che percorre 1'asse delle
se~
z,
i1 fluido considerato sia contenuto in uno strato compreso fra due superfici
cilindriche circolari illimitate, che abbiano come asse comune l'asse delle z; se 10 spessore della strato
~
piccolo in confronto del raggio, pratica,.
mente si pub considerare costante denza da
r
delle grandezze in questione e quindi 1'apporto dell 'equazione
(14), Allora Ie funzioni t
+z /
Ho (e percib V) e trascurare la dipe,!!
F 1 e F 2' che contengono il solo argomento
V, si possono considerare arbitrarie,
Si ottengono cosi delle formule particolarmente semplici, sopratutto se si considera una sola delle due onde. E' utile anche notare che tanto la
velocit~
quanta il campo ma-
gnetico (primario e indotto) risultano tangenti alle due superfici cilindriche che formano i1 contorno della strato, mentre i1 campo elettrico E
= - ,-; x Ho
~ ad esse normale: di conseguenza Ie dette superfici si
possono immaginare costituite praticamente di materiale da consider are come perfettamente conduttore, dal punto di vista elettrico, e come rigido, dal punta di vista meccanico.
177
- 8-
R. Nardini 3. Sulla possibilita di un controlle sperimentale. Per avere una valutazione sull'ordine di grandezza degli addendi che compaiono sotto radice nella (16) si pub, riferendoci ad un mezzo costituito da un gas biatomico, assumere
u
2
Po
=1 4--
,
f0
Si ha allora
fi1,4
~ ).
Ora ponendo
f= ed esprimendo
Ib
41t'10
-7
-1 ohm. sec. m
per mezzo della formula (8), in cui si faccia (1) i = 2.000 ampere
r = 0,01 m,
e facile
riscontrare che l'addendo (
t
/1,4)
H~
risulta circa 1/100 del-
l'ordinaria pressione atmosferica, per cui, in linea di massima, non
e da
escludere la possibilita di un controllo sperimentale.
(1) Eventualmente, per evitare il riscaldamento del filo percorso da corrente, si potra sperimentare a bassa tePlperatura.
178
R.
NARDINI
II
Conferenza
SU UN PARTICOLARE CAMPO MAGNETOFLUIDODINAMICO SINUSOIDALE IN UN MEZZO VISCOSO
1.
Introduzione. In questa seconda conferenza mi occuperb di particolari
fenomeni magnetoidrodinamici piani, pitl. precisamente di fenomeni che dipendono in modo gene rico da una sola coordinata, per esempio la z, e in modo sinusoidale dal tempo; Ie grandezze scalari del problema sono 'wt (l) cio~ di tipo e1 f(z) . Affinche la detta posizione sia utile occorre che Ie equazioni del problema siano lineari e cib sarlt ottenuto senza introdurre approssimazioni. La detta posizione presenta infatti il vantaggio di eliminare dalIe equazioni la variabile t, riducendo il problema matematico ad equazioni alle derivate ordinarie nella sola variabile indipendente z. Nel caso particolare che tratterb, si avrA poi un secondo vantaggio, che
~
quello di po-
ter facilmente eliminare dalle equazioni la velocitA delle particelle fluide, ottenendo equazioni nelle sole grandezze elettromagnetiche; trasformando opportunamente tali equazioni, s1 dA loro una forma tale da poterle interpretare come equazioni di Maxwell valide per un campo (1) Questo punta di partenza ~ un po' pill generale di quello gilt introdotto in qualche problema trattato da prof. Ferraro, dal prof. Pacholczyk e dal dott. Schmidt, che hanno supposto tutte Ie grandezze del problema proporzionali all 'espressione e1 (w t + k z) ,: dico subito perb che la dipendenza della z attraverso 1'esponziale e1 k z scaturirlt in seguito come unica possibilifa. per la f (z) .
179
- 2 R.
Nardini
elettromagnetico nel mezzo in quiete, purcM perb 8i attribuiscano al mezzo una costante dielettrica
£1 e una conducibilitA elettrica
diverse da quelle effettive t e
r.
Y1
fittizie,
Si ha cost il modo di utilizzare pro-
cedimenti giA noti in elettromagnetismo e di poter con facilitA calcolare esplicitamente Ie grandezze del problema.
2.
Equazioni vettoriali del problema. Il caso ('he sottopongo(l)
omogeneo, dotato di
viscosit~
~ queUo di un fluido incompressibile,
non trascurabile e di conducibilitA elettri-
ca tanto grande da poter essere considerata infinita. Con i sImbali usuali e in unit A M. K. S. Ie equazioni che reggono il comportamento del detto
fluido sono
(1)
1
)J-
.. = J
rot B
..
(2)
(2)
(1) Tale caso ~ state studiato nella nota "Su particolari campi alter nativi nella magnetodinamica di un flus so viscoso ", Atti del Seminari;;Matematico e Fisico dell 'UniversitA di Modena lL 1960 .. 61, 145-157. w
(2) A proposito della corrente di spostamento sono valide Ie considerazioni svolte nella prima conferenza.
180
3
~
~
R. Nardini
(4)
div
(5)
div ~ = 0
fe
...
~
(v)(B)
rot
at
(6)
dove
a~
(3)
B= 0
dV dt
e la densit
=
1
(M grad p +
~
t
........
rot BxB
spaziale di carica elettrica e
»
~ +'11 Ll" + ~e E) v, l
~ il coefficien-
te cinematico di viscosita. Per Ie equazioni suddette consideriamo soluzioni particolari dipendenti dal tempo e dalla sola z. Ora se disfa a tale condizione,
e rot 'it
dove
it
t e un vettore che sod,-
eil versore dell'asse
...
=k x z.
La proiezione di (3) suI detto asse ci dfJ. allora ~B
z
~t
= 0,
mentre la (4) diventa 'c)B
z
az
=
0;
segue che Bz risulta costante e rappresenta un campo statico Bo
..
che
supporremo preesistente ed assegnato e, per opportuno orientamento dell'asse z, posit ivo. Indicheremo co n Boil vettore di tale induzione m\l.-
181
- 4-
R. Nardini gnetica preesistente e faremo la posizione
.
dove b ~ 1'ind:uzione magnetica indotta dal moto. Inoltre dalla (5) si ha dVZ
-=0,
az
per cui V z in un dato istante risulta identica in tutto illiquido; nell'ambito di soluzioni particolari di cui qui ci si occupa , possiamo limitarci al caso in cui ~ sempre
(8)
V
z =0,
cib che, per esempio, sarebbe d'obbligo s upporre quando il dominic occupato dal fluido fosse limitato da una superficie rigida piana normale all 'asse z ; dalla (8) si ha all or a d~
(9)
---
dt
t:
Per semplificare la trattazione supporremo inoltre me sia (1) (10)
Ez
= O.
(1) Tale ipotesi ~ necessaria per linearizzare Ie equazioni senza introdurre approssimazioni.
182
- 5-
R.
Nardini
Dalla (10) segue .....
=0,
p = E.- div E =
)e
cio~
per queste soluzioni particolari l'assenza di carica elettrica spazia-
Ie corrisponde ad un dato esatto (e non approssimato ). Proiettando la (2) sull'asse delle z ne consegue inoltre in base ana (10),
...
(11)
~
- Ez = (v I( B)z = v B - v B xy
yx
= v b - v b = O' xy yx'
questa relazione rappresenta una condizione di compatibiliU dell'ipotesi (H)) con i risultati ottenuti in seguito e da essi
dovr~
essere soddisfatta .
" "'1' Dato che per la (8) Ie componenti del vettore ... v "b sono
fornite dalla matrice
o
o , dalla (11) si deduce che
~
; cio~
X
h
in queste particolari soluzioni la
magnetica indotta
ti.
= 0, velocit~
~
parallela all'induzione
Ne segue, in particolare, che la (2) diventa
(12)
183
- 6 -
R.
Nardini
e quindi i1 campo elettrico risulta normale alIa velocitlt e all'induzione
....
magnetic a b. Tenendo conto della (7) e delle precedenti considerazioni si ottiene dalla (6)
(13)
a1
1
~t
~
1......._ rot b X B ) + V 6. v,
- - =- - ( - grad p + -
jJ-
mentre, sempre in base aHa (12), la (3) diventa
(14)
-
9h <:l t
...
= rot (v
~
X B ). 0
3. Equazioni scalari del problema. Proiettando Ie (13) e (14) sull 'asse
X
e ponendo
2
Bo
(15)
si ha il sistema line are nelle incognite bx e Vx
0vx
~bx - - - = Bo ~ t
3z
(16)
8\ 'd t
B =
0
f-f
9bx 'ch
+ 'Y
g'l.vx
dZ 2
milntre analoga proiezione sull 'asse y dA l'identico sistema (1) nelle in(1) Si ricordi che i sistemi (16) e (17) vanno risolti tenendo conto della condizione di compatibilitA (11)
184
- 7 R.
Nardini
cognite by e v-y
(17)
t
B
o
B
o ::--
z
~
ff
Flroiettando infine la (13) suH'asse z si ottiene I 'equazione
(18)
che
~
immediatamente integrabile e fornisce la pressione sotto la forma
(19)
_1_ (b 2
P
2f
dove, noti b
e b , f (t) x y punto determinato.
4.
~
x
+
nota se p
b2 ) Y
~
+ f (t),
assegnata in ogni istante in un
Cal colo di una soluzione di tipo sinusoidale. Vogliamo ora giungere a soluzioni particolari del sistema
(16) che rispetto al tempo siano sinusoidali di pwsazione assegnata
Sostituiamo aHora Ie incognite b
x
e v
x
rispetHvamente con Ie espres-
sioni
e
iwt
. b(z) ,
e iwt v() z ;
185
w.
- 8 -
R. Nardini i valori efettivi di bx e
vx saranno naturalmente forniti da
(20)
dove il simbolo
"'R. indica la parte reale.
Da (16) si ottiene allora il sistema
(21 )
dz t'Wb" Bo ~ B
iWV
0 = - - ~+
f-f
dz
d2v
)I
d z2
,
in cui figurano come incognite b e v, che possiamo chiamare nilmeri complessi rappresentativi di Ox e vx; eliminando v si ottiene I 'equazione
che, dopo facili passaggi, si pub scrivere anche nella forma = - w2
(22)
(Ci - iU )b i W
con
(23)
2
wy r,=----
E, =
)J.( ora la (22)
~
V4+ w2
v2 )
I 'equazione che abitualmente si ottiene nella sola incognita
complessa b (rappresentativa della componente b
x
186
della induzione magne-
- 9R. Nardini tica) nel caso di un campo puramente elettromagnetico, ancora sinusoidale rispetto al tempo e dipendente dalla sola coordinata spaziale z, esistente in un mezzo conduttore in quiete, dotato di costante dielettrica conducibilita elettrica
r~
£, e di
finita. II problema magnetoidrodinamico
diventa quindi un comune problema elettromagnetico,
purch~
si attribui-
scano al mezzo una costante dielettrica e una conducibilitA elettrica fittizie. Seguendo un procedimento abituale nel caso in questione poniamo (24)
ed essendo
con
si tratta di risolvere il sistema
(25)
a2 - A2 V2
{""r" 2
2.o
2
=A
wV
187
- 10 -
R. Nardini che da
(26)
Se supponiamo di studiare i fenomeni nel semispazio z e se scegliamo per che
~
~ il
~ ~
valore positivo (di conseguenza, per la (25 2), an-
tale), "enendo conto che, per ragioni fisiche, il campo de-
sar~
ve essere convergente per, z -+ +
cO ,
nella soluzione dovremo considerare
i termini in cui 1'esponente reale nella z sia negativo.
so~o
Avremo allora
(27)
non
~
b = N e -~,. z
e
-iw~z
(con N = cost.);
restrittivo scegliere -1 'origine dei tempi in modo che la fase di bx
sia nulla per t = 0,
z = 0; allora la costante N ~ reale.
Per'ricavare l'incognita complessa v, basta servirsi della (21'2) sostituendovi
~:
mediante la (21 1) e valendosi della formula
db dz
= - i
W (1)>-
i ~ )b ;
si ottiene 1
v = - - B - (V o
188
2
+i w y
) ( '" - i
P ) b.
- 11 -
R. Nardini Ora E! facile vedere che. in base ane (15). (23) e (24). 1
~
=
per cui si ha
(28)
v
ot-+i~
=-
Cerchiamo ora una soluzione di tipo sinusoidale rispetto al tempo anche per il sistema (17) e indichiamo con b l e rappresentativi di by e vy. Con procedimento tiene che b l e
VI
(29)
VI
i numeri complessi
analo~o
al precedente si ot-
soddisfano ad un sistema identico a (21) e quindi bl
= NI
e - w~z
~
e-i,,*~.
dove. se <W ~ la differenza di fase fra b e b • ~ x y
con N" reale. Per ricavare il campo elettrico basta servirsi della (12) deducendone
e
= - B v o Y
(30)
y
=B v
ox'
189
- 12 R. Nardini Vediamo ora di precisare Ie limitazioni imposte dalla (ll) alla soluzione rappresentata dai numeri complessi (27), (28) e (29). Passando ai valori effettivi delle incognite b , b, v, v e trascurando per
x
semplicit~
y
x
y
fattori certamente reali, la (ll) si traduce nella relazione
Svolgendo i relativi calcoli si trova che tale relazione
(31)
psen'it
d~
=0
da cui, essendo cert.amente ~ F 0, si ha sen 11 = O. Condizione neces,saria e sufficente per :La
validit~
della (ll)
~
quindi che Ie componenti
e b dell'induzione magnetica siano in fase 0 in opposizione di fase y .... e quinpi il vettore b sia polarizzato rettilineamente ed abbia direzione co-
b
x
stantej altrettanto si pub dire del vettore?, ad esso parallelo, e del vettore
~
E, norm/lIe ad entrambi. e appartenente al piano xy. Se all or a, come supporremo d'ora in avanti, si sceglie lIas-
se x parallelo alIa comune direzione di -: e di b, il solo sistema (16) basta a descrivere il fenomenoj per Ie (30) il campo elettrico ha solo la componente parallela all 'asse y.
190
~
13 R, Nardini
5,
Considerazioni energetiche. Nel caso della particolare soluzione considerata si possono
ricavare alcune relazioni energetiche che forse non sono prive di interesse, a) Dimostriamo anzitutto che il valore medio del calore fittizio di Joule (quello cioe calcolato mediante la conducibilitti fittizia '01 ), sviluppato nell 'unitti di volume in un periodo T
=
21[' ,
w
e uguale al mo-
dulo del valore medio in un periodo del lavoro compiuto nell 'unitti di volume dalle forze dovute alIa viscositti . Riferendosi al solo sistema (16), indicando con E il numero complesso rappresentativo di Ey e ricordando la (232) e la (302)' si ottiene (1)
fr T
1 T
1
E~
1 dt = - 2
r1 EE
=
v~ ,,
,If-
o
Identica espressione col segno cambiato si ricava se si va a calcolare il corrispondente valore del detto lavoro, che in base aIle (27) e (28), e
(1) Se a e b sono numeri complessi indipendenti da t vale infatti la la formula 1 T
1 2
=-
o
dove b'* ~ il complesso coniugato di b,
191
- 14 R. Nardini espresso da 1 T
A
W )I
2 applicando Ie (26)
f ~
i.'-
v',
facile verificare I' asserto.
b) Si puo ricavare un'altra formula prendendo i valori medi in un periodo dei termir.i che compaiono nella (19); si ha
o
( P + _1_ b 2 ) dt "2 x
f
= cost.
da qui si vede che la diminuzione del valore medio della dens itA di energia magnetica, che si verifica al crescere di z e cM, come appare dalla (27), ~
dovuta alIa attenuazione dell'induzione magnetica b , viene compensata
x
da un aumento del valor medio della pressione. 6.
VelocitA media dell'energia e velocita di fase. E' noto che per velocitA media dell 'energia Ve in campi e-
lettromagnetici di tipo sinusoidale si intende il rapporto fra il valore me.... ... dio in un periodo del flusso del vettore energetico E X H attraverso una superficie unitaria (;'
u
normale ana direzione dipropagazione della fase e il
valor medio in un periodo della dens itA di energia elettromagnetica. Per estendere tale concetto alIa magnetofluidodinamica sembra opportuno affiancare all 'energia elettromagnetica quella cinetica e al
192
- 15 -
R. Nardini 2
.., .. vettore elettromagnetico E X H il vettore meccanico
v .. f-2 v,
che puo
dare luogo al passaggio attraverso G" di energia cinetica. Nel nostro cau
so particolare pero 1'apporto del detto vettore
~
nullo, in quanta risulta,
con~, normale all 'asse z, direzione di propagazione della fase, e quindi dotato di flusso nullo attraverso qualunque posizione occupata da a
.
u n flusso di EX H attraverso 6"', normale qui all 'asse z, di u ~ cui sia k il versore, ~ rappresentato da ""r
-
..
E X
Ey
0
H
0
H
0
0
1
0
... H ."
-.
=
x
0
11 suo valore medio in un periodo, per la (30 2) e la (28), (32)
=- E
~
H
Y x
dato da
1 -2
+ +f +
D'altra parte il valore medio in un periodo della densit
re 1at"1V1 ca1col'1 Sl't rova (33)
1
4f
~
E.
EE~t
bb* t
f
v
v~
svolgendo
.l y 4 t w2 2 ( 1 t -,\l~--.:;;~Y:.-) b b~ . y4
Facendo il rapporto fra l'espressione (32) e l'espressione (33) si ha infine, tenendo conto della (26),
(34)
y
e
=
193
- 16 -
R. Nardini
e poicM
~
rappresenta la
velocit~ Vf
di propagazione della fase, si
conclude con la formula
(35)
la quale mostra che, in presenza di delllenergia 7.
~
viscosit~,
la
velocit~
di propagazione
minore di quell a di propagazione della fase.
Velocit1t di grup"o.
Abitualmente in uncampo elettromagnetico di tipo sinusoidale, che sia dispersivo (1) e in cui sia Vf = a~w) , si chiama velocit~ di g ruppo, intesa come
velocit~
con cui si sposta il massimo di un impulso tra-
smesso su una banda ristretta nell'intorno di una determinata pulsazione
w0 ' l'espressione (36)
V = ( d (otw) )-1 g dw 0'
dove l'indice zero significa che l'espressione E! calcolata per il valore w o della pulsazione.
(1) Ricordiamo che un campo siffatto si dice dispersivo quando la velocit1t di fase dipende dalla pulsazione w.
194
- 17 R. Nardini Nel nostro caso, tenendo presente la (26), si ricava
d (ctw) =IH IV ~
dw
dw
=<:Iv
ossia
(37)
Vg= [ 1 -
w2 \>2 4 2 2 (1 2 (V + IV V
+ ~
se ne deduce che in presenza di viscosita ne ~ V
g
>V
e
. Per
4
V2
V + IV
~
'II = 0 ~ invece V = V g e
Vg
2 ~
2
J- 1 Vf
2) +V
; (1)
> Vf; a maggior ragio-
= V
f' Notiamo infine che non si pud parlare di velocitA di propa-
gazione di fronte d'onda in quanto
~
stato dimostrato(2) che in presenza
di viscositA non possono sussistere fronti d'onda.
(1)
Con qllalche calcolo si pud ottenere la formula
(37')
Vg =
(2) R. Nardini, Sui fronti d fonda in magnetoidrodinamica, Riv. matem. dell'Univ. di Parma, 7, 1956, 3 - 32.
195
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C. I. M. E. )
A. G. PACHOLCZYK
SULLA INST ABILITA' GRAVIT AZIONALE E MAGNETOGRAVITAZIONALE
D~
SISTEMI
COMPRESSIBILI
Roma, Istituto Matematico dell'Universita
197
SULLA INSTABILITA' GRAVITAZIONALE E MAGNETOGRAVITAZIONALE DI SISTEMI COMPRESSIBILI A. G. Pacholczyk
(
Universit~
di Varsavia, Osservatorio Atomico ed Acca-
demia Polacca delle Scienze, Istituto di Astronomia )
1. IL FENOMENO DELL'INSTABILITA' GRAVITAZIONALE 1.
Introduzione. Sessanta anni sono
gi~
passati dal momento, nel quale Sir
James Jeans enuncib la sua celebre condizione dell 'instabilit~ gravitazioIe di un mezzo indefinito ed omogeneo. Da quel tempo il problema dell 'instabilit~
gravitazionale avendo acquistato molta importanza in varie que-
stioni astrofisiche e cosmogoniche, ha interessato numerosi scienziati, come Chandrasekhar, Fermi, Ledoux, Schatzman, Severny, Spitzer ed altri.
Ora, fra Ie varie questioni che sono nate dalla considerazione di
questo problema ha particolare interesse quella che riguarda 1'effetto stabilizzatore del campo magnetico esterno sull 'instabilit~ gravitazionaIe di mezzi compressibili di alta
conduttivit~
elettrica.
Di cib intendo
occuparmi in queste lezioni, in armonia e nel quadro del programma di questa corso, proponendomi di dare una rassegna brevis sima del problema dell'instabilitA gravitazionale e magnetogravitazionale
di mezzi continui
compressibili, con particolare riferimento ai lavori recenti effettuati a Varsavia da miei collaboratori e da me stesso.
Lasciando perdere i
complicati calcoli teorici in queste brevissime lezioni vorrei soprattutto
199
- 2 -
A. G. Pacholczyk sottolineare il senso fisico del fenomeno dell 'instabilit~ gravitazionale come pure indicare alcuni interessanti applicazioni cosmogoniche, riguardanti 1'effetto del campo magnetico galattico sulla formazione delle! braccia spirali e sulla
stabi1it~
di queste braccia spirali nei sistemi galat-
ticL
2.
n metodo. La: fluttuazione di
densit~
di.i un mezzo compressibile da una
parte causa l'aumento locale nell'energiadi compressione del mezzo, daE.. I 'altra parte fa diminuire l'energia gravitazionale; Ie grandezze di quelle variazioni dipendono dalle dimensioni della fluttuazione stessa. Se la variazione dell 'energia compressionale sorpassa quella dell energia gravitazionale, l'incremento totale dell 'energia potenziale viene trasferito nell'energia del mota ondoso, essendo poi dissipato a causa di quando i1 sistema considerato non
~
viscosit~
conservativo. In caso contrario,
se l'incremento totale dell 'energia potenziale del mezzo
~
cio~
negativo, i1
mezzo diventa gravitazionalmenfe instabile disgregandosi in separati condensamentL La distanza tra questi condensamenti viene determinata dalla: lunghezza c!'itica della perturbazione di
densit~,
per la quale entrampe
Ie variazioni nelle energiesono uguali una all'altra. Questo fenomeno della disentegrazione di un mezzo gravitante viene chiamato 1'instabi1it~ gravitazionale.
n fenomeno
dell'instabi1it~
gravitazionale, manifestandosi
solo nei sistemi con dimensioni molto superiori a questi disponibili in laboratorio,
~
un fenomeno puramente astronomico. Esistono due metodi di esame dell 'instabilit~ gravltazionale
oppure magnetogravitazionale.
n primo metodo, quello di piccole oscil-
200
- 3 -
A. G. Pacholczyk lazioni, consiste nella soluzione delleequazioni linearizzate per Ie piccole deviazioni dallo stato di equilibrio del sistema. Se esistono Ie soluzioni crescenti indefinitivamente col tempo,
cio~
rendenti immaginaria
la frequenza di oscillazzione, il sistema pub essere considerato come instabile.
Applicando il metodo delle piccole oscillazioni alia questione
dell'instabilita si considera una generica perturbazione come sviluppata in serie di autofunzioni delle equazioni linearizzate per i valori perturbati. Sic come nel caso di un mezzo indefinito e omogeneo Ie autofunzioni sono proprio Ie funzioni trigometriche, in questo caso si supponga la perturbazione sviluppata in serie di Fourier rispetto agli argomenti
t
e t.
dove
~ la dens ita spettrale della perturbazione S~ della dens ita ~ del mezzo. In tale modo la questione
siriduce all'esame dell'effetto
dell'instabilit~
di un solo componente della spettro di Fourier. Un procedimento matematico conduce alIa relazione del tipo
(1 •.3)
/(1
6"'.,)
= 0,
la quale pub essere ottenuta formalrnente
201
attra'Verso l'iutroduzione nel-le equa-
- 4 -
A. G. Pacholczyk zioni del proplema del componente della spettrodella perturbazione. Siccome perb la rappresentazione con una serie
~
stata scelta in tale modo,
che i componenti della serie rappresentano Ie autosoluzioni delle equazioni del problema, il problema stesso si riduce alIa ricerca degli autovalori corrispondenti.. Se esistono i valori ~ tali, che
G"t diventa immagina-
rio, il mezzo instabile per tutte Ie perturbazioni caratterizzate dallo stesso
it. Per i sistemi non uniformi gli autovalori sono determinati
dalla simmetria del F'istema come pure dalIe condizioni al contorno. questi casi la perturbazione di
densit~
pub essere rappresentata
J
In
nella
forma
(1. 4)
quindi la questione
dell'instabilit~:
~
ridotta al problema per gli autovalori.
n metodo di energia consiste invece nella
ricerca di tali per-
turbazioni, Ie quali danno luogo ai negativi incrementi dell'energia del sistema. E' possibile dimostrare, che l'incremento dell'energia del siste· rna conservativo pub essere negativo solo nel caso in cui almena uno degli autovalori
6'1 rimane immaginario, e viceversa. In tale senso il metodo
di piccole oscillazioni e quello di energia sono equivalenti.
3.
L'equazione per i valori perturbati. Considerando il problema
dell'instabilit~
di un mezzo isoter-
male rotante nel quadro del metodo di piccole oscillazioni si parte dal· Ie seguenti equazioni scritte in approssimazione idromagnetica per un
202
- 5 -
A. G. Pacholczyk mezzo non viscoso, infiilitamente conduttore : I ~I
J v +~
(1. 5)
I ~I
2
.. ,
,
(v grad) v = - Vs gradj' - (4Jt)
H" :t/
-+,
~
rot H + pi F c +
~I = rot (V' A ~),
(1. 6)
(1. 7)
H'
div
f
(1.8)
,+
.
dlV
f
=0 ,
,~
Vi
=
(1.9
divgrad"l"+4JtGr
(1. 10)
div grad <1>' + 4 It G
Nelle equazioni qui $opra ce~erazione sit~
-1
centrifuga, •
0 ,
= 0,
f't
=0 .
Fc denota 1'accelerazione di Coriolis, F0 1'ace U potenziale gravitazionale causato dalla den-
de11a massa del componente, U quale non t! influenzato dalla pertur-
bazione
(densit~
delle stelle) . Le altre notazioni sono usuali. Come abbia~
mo gia detto, consideriamo il problema linearizzato. Quindi se -;, H,
203
- 6 -
A. G. Pacholczyk
f ,t
sono i valori di equilibrio, e
Lt , l, &J' ' &'f
signifi-
cano Ie piccole fluttuazioni dovute alla perturbazione considerata, possiamo scrivere il sistema di equazioni linearizzate per i valori perturbati
(1. 11)
.:..,.
2
r
f ~ = - V s grad Df -
ir
(1. 12)
(4 rc;
= rot
"1-
div h
(1. 13)
5P +
(1.14)
div
div grad
(1. 15)
-t -1.., h" rot H - (47C" ) H II rot h +
-1~
)
(;r"
H),
0,
P;
=0 ,
d'1j' + 4 Tt
G
Sf
=0 ,
come pure i sistemi di equazioni per i valori stazionari nell'equilibrio reIativo
(1. 16)
(1. 17)
2
o = - Vs
grad f
- (4 r; ) -1'"H"
div grad
"t'
~
+ 4 rc G f
204
~
rot H + pF 0 +
=0,
f
grad (''1' +
- 7 A, G, Pacholczyk (1. 18)
div grad
+ 4~ G
cP
f
Le equazioni (1.11) - (1.15) danno i valori
t =0 .
it , h ,$'f '
....
a't'
ti dalla perturbazione consicte'rata se i valori di equilibrio H ,
¢
origina-
f ' "t' '
sono quelli definiti dalle (1.16) - (1. 18) , Sotto l'ipotesi, .che la forza gravitazionale sia bilanciata in
ciascun punto dalla forza centrifuga
(1'
- grad
(1. 19)
-
+ ) = f F 0
'
1'equazione (1. 11) si riduce a
Prendendo la divergenza della (1. 20) e sostituendo la (1. 15) otteniamo
(1.21)
...,.
~
~
div(IN-Fc)=div~(4~)
-1
f
-1
~
'?
....
~
(rotHAh+rothAH).-
Differenziando (1. 21) rispetto al tempo otteniamo dopo la sostituzione di (1.12) e (1.14)
(1. 22)
div
(a -~) = div {
(41t'j)-1 [rot
~ ~ ~] 2 rot rot ( IN A. ti)" H + Vs
205
if" rot (W A it) +
f -1 grad div (f ... ~I? + div 4 n:: G!U., tAl
-P
- 8 A. G. Pacholczyk Allora
:+
!,. -1 [ . . ... ~ ~ - F c = (4 'If P) rot H " rot (""" H)
(1. 23)
2
+ VS
... ~
dove A
~
-1
grad div
(r ...
4A. )
+ rot rot
..,
.....
+ 4 rt G f 1A. + rot A,
un certo vettore, il quale in alcuni casi pub essere determinato
dalla equazione
(1. 24)
....;.-1'] II H +
(~ J.. H)
grad
cfi
=4 7t
G
f.u,
+
rot
A
questa equazione segue direttamente dalle (1.11) e (1. 23) .
206
- 9A. G. Pacho1czyk II.
IL MEZZO OMOGENEO
4. La condizione di Jeans fI Fin qui non abbianto fatto nessuna assunzione riguardante 1a geometria del sistema, l'instabilita. del quale vogliamo esaminare. Ora tratteremo il caso semplicissimo in cui il mezzo continuo indefinito e omogeneo non rotante si trova sotto l'influsso di una perturbazione piana. Questo
.~
proprio il
~aso
esaminato da Sir James Jeans sessanta
anni fa. Nel caso in esame 8i ricaya dalla (1.23) (2.1)
2
..
...
..
if = ~ grad div u + 4 11i G P u + rot A 'f
Supponendo, che la perturbazione si. propaghi nella direzione dell'as$e Oz e tenendo conto della (1. 24) si pub ridurre la (2.1) alla forma seguente (2.2)
..
= 0,
(2.3)
.u
=0,
..
2
(2.4)
u x
y
u =V u +4It'Gfu. z s z, zz z
Cercando la soluzione delle (2.2) - (2.4) nella forma
(2.5)
ti
= it~exp (i 6"'t) exp (ikz)
p08siamo ricavare dalla (2.4)
207
- 10A. G. Pacholczyk
2
(2.6)
2
2
- 6' =- Vs k +4 1t Gf '
dove k e la lunghezza d'onda oX della perturbazione sono relati tra loro nel modo seguente
(2. 7)
n valora
6"2 negativo indica l'instabilitA del sistema, quindi i1 mezzo II
instabile per Ie perturbazioni caratterizzate dalla lunghezza d'onda /\ tale, che sia
(2.8)
La (2. 8)
Cl
permette di enunciare il seguente Teorema 1. Se la lunghezza d'onda re al suo valore critico
A della perturbazione piana ~
superio-
A~ ,dato da
il mezzo gassoso indefinito e omogeneo pub essere considerato come gravita:iionalmente instabile.
208
- 11 -
A. G.
Pacholczyk
Questo teorema celebre, enunciato per la prima volta da Sir James Jeans nel 1902, viene facilmente generalizzato per il caso in cui il mezzo si'trova sotto Ie condizioni del mota turbolento, omogeneo e isotropo. In questo nel numeratore della del quadrato medio di
velocit~
(a. 8) bisogna aggiungere un terzo
dei moti turbolenti.
Anche Ie forze di Coriolis fanno stabilizzare il mezzo, prima di tutto per prolungare il tempo necessario per 10 sviluppo dell'instabilita. In un caso solo, quando il componente della
velocit~
angolare 0 della
rotazione, parallelo lla direzione di propagazione della perturbazione non esiste pifl, la condizione dell'instabi1it~ viene modificata dalla presen .. za del termine - 0 2 in denominatore della condizione stessa. Se il mezzo ~
caratterizzato dal coefficiente di
locit~
conduttivit~ termica
non nullo, la ve-
del suono occorente nella condizione d 'instabilit~ deve essere con-
siderata come isoterma, quindi in caso contrario - adiabatica. 5.
L 'effetto del campo magnetico. Passando ora a considerare I 'effetto stabHizzatore del campo
magnetico supponiamo che il mezzo considerato sia immerso in un campo magnetico uniforme di
intensit~
(a.9)
H=[0 , Hy, Hz] ,
H, avente la direzione determinata dalla
come pure che la perturbazione si propaghi nella direzione dell 'asse 0 z. Allora I 'equazione (1. 23). la Quale si riduce ora alla seguente:
209
- 12 A.
(2.10)
G.
Pacholczyk
!4 -1 ",,:t'" 2 ... ... ... u = (41Cf) rot rot (u" ti) A H + Vs grad div u + 4 'It'Gf u + rotA
pub essere proiettata sugli assi cartesiani ortogonFlli nel modo seguente
(2.11)
(2.12)
(2. 13)
•• -1 2 u=(41tp) H u
x
)
z x, zz
II
u =(hf~) y J
" u = (4
z
It
co) >
-1
+4teGfu -A X
';/ 'Z
,
2 -1 . H U -(4TTJ) HHu +4ltGou+A Z y, zz y z z, zz ) y x, z
-1 2 -1 2 . H u - (4",p) HH u +V u +4lt G YU z y z, zz ) y z y, ZZ 8 Z, zz
I componenti secondoeli assi x e y della (1. 24) sono invece
(2.14)
(2. 15)
Introducendo Jeequazioni (2 . 14) e (2.15) nelle (2.11) e (2.12) otteniamo
(2.16)
(2.17)
IS .
~
2
+(
4 TT
f) -1 Hz2k21
*'
~ =0
Ux
I
....2 + (4 'If )-1 H2 k21 u - (4 IT P) -1 H H k 2 u
210
- 13 A. G. Pachole:zyk
siccome la soluzione ha la forma
(2. 19)
...u = ...,.* u exp (is-t)
exp (ikz).
L 'equazione (2. 16) essendo indipendente dallE; equazioni (2. 17) e (2. 18) descrive l'onda di Alfven. Le equazioni(2. 17)
f
(2.18) hanno Ie soluzioni
non nulle solo nel caso in cui
- 6'2 +
n! '
(2.20)
=
dove
(2.21)
(2.22)
(2.23)
211
0',
- 14 -
A. G. PachoIczyk
La (2. 20) diventlJ.
(2.24)
Siccome pert!
- 21 + _ 2 = Q 2
(2.25)
6"~
n
U
2 +n 2 + A '4 B
n
u
2 J '
come pure
dove
~ e
(;"'2 sono Ie soIuzioni della (2.24), una delle soluzioni deve
essere immaginaria se
(2.27)
• n 2 1 flg"U(' = -
Tenendo conto della (2.23) possiamo scrivere la condizione data dalla (2.27) nella forma
(.2.28)
dove (2.29)
212
d'instabilit~
- 15 -
A. G. Pacholczyk Le considerazioni precedenti si intendono fatte per
(2. 30)
Se invece (2.31)
cio~
se il componente del campo magnetico parallelo alIa direzione di pro-
pagazione della perturbazione si annulla, la condizione di la forma seguente (2.32) siccome llequazione (2. 24) si riduce alIa (2.33)
fI'=
Quindi dalle (2.32), (2.23) e (2.29) segue la condizione
(2.34)
dove
H,
(2. 35)
213
instabilit~
ha
- 16 -
A. G. Pacholczyk
~
la
velocit~
dell'onda di
Alv~n
.
In tale modo abbiamo verificato il seguente Teorema 2 Se il componente del campo magnetico esterno, paralIelo alIa direzione di propagazione della perturbazione si annulla, la condizione
gravitazionale di un mezzo omo-
dell'instabilit~
geneo e indefinito non viene alterata dalla presenza di un cam1po magnetico uniforme. Se invece quel nullo, la condizione
dell'instabi1it~a
componente non 'e
la forma
"* (
Comparando Ie condizioni dell'instabilitri (2. 28) e (2. 34) si pub osservare a prima vista una certa "discontinuitri" nella funzione quando
=l ~
nA .. 0 .
\.=
H) ,
PerO se faremo i1 cal colo delle relazioni tJ2 mod -1 0 =
(k), potremo vedere chiaramente che questa discontinuitA apparente
inesistente in realtri .
Nelle figure 1, 2, 3,
~. rappresentata la relazione
v! / v!.
per diversi valori del coefficiente lC 2 =
8' 2 mod- 1 6'
In esse
'f'
= ~ (k) rappre-
senta l'angolo tra Ie linee di forza magnetica e la direzione di propagazione della perturbazione.
214
- 17 -
A. G. Pacholczyk
Fig. 1
X 2 = 0,5
to' JI'ISTA8ILITV
3
Fig. 1
215
- 18 -
A. G. Pacholczyk 2
Fig. 2
)(. =1.0
3
STABILITY
O~~~
__+-__r-__~__~____________~q_=~9~~ INSTABILITY
3
Fig. 2
216
- 19 A. G. Pacho1czyk Fig. 3
6TA81L1TY
IH6TA81LITY
·l~~~~
__~________~__________~~
o Fig. 3
DaIle figure 1, 2, 3 segue ancora una conc1usione importante : i1 campo magnetico fa stabilizzare il mezzo soprattutto per pr01ungare il tempo necessario per 10 sviluppo dell'instabilitA.
217
- 20 -
A. G. Pacholczyk III.
6.
I SISTEMI NON UNIFORMI
II sistema in rotazione non uniforme. Passando ora a considerare 1'instabilit1lmagneto- gravitazio-
nale di sitemi non uniformi cominciamo dall 'esame dell'instabilitll di un mezzo indefinito avente la simmetria assiale rispetto all 'asse della rotazione, la quale rotazione
~
supposta non uniforme.
Siccome il mezzo considerato ha la simmetria assiale, tutti i vaiori di equi~
If
librio sono indipendenti dalla coordinata
nel sistema delle coordinate
cilindriche. Sotto l'assunzione che anche la perturbazione abbia la
medesi~
ma simmetria, tutti i valori perturbati saranno indipendenti dalla stessa coordinata. Consideriamo il
probl~ma
piano, cib che implica la indipen .-
denza di tutti i valori dalla coordinata z. 11 campo magnetico
~
supposto
trasversale (esiste solo la componente Hf del campo magnetico). In questo caso l'equazione di equilibrio (1. 16) si riduce ad una sola equazio.ne scalare che si pub scrivere nel modo seguente
La soluzione di questa equazione
~
dove D t:un~ costante arbitrarfa. Sotto l'ipotesi (1. 19) che la forza gravitazionale sia bilanciata in ciascun punto dalla forza centrifuga, dalla equazione3.2 segue !l campo magnetico
~
219
dato dalla formula:
- 21 A. G.
Pacholc~yk
(3.3)
Supponiamo ora, che il valore assoluto del campo magnetico sia
propor~ionale
alIa radice della densittl del mezzo
(3.4)
Questa de
rela~ione
tra il campo magnetico e la densittl del
me~~o
corrispon-
alIa propor~ionalittl della pressione magnetica e quella gassodinami-
ca..Sostituendo 1a (3.4) nella (3.1) otteniamo la seguente equazione per la densitl del mezzo:
(3.5)
~r = - vr
-1
f
dove
(3.6)
La soluzione deU'equazione (3. 5) (3. 7)
f=
~
f
r
-v
220
- 22 -
A. G. Pacholczyk
dove ~ ~una costante. Avendo trovato la soluzione delle equazioni di equilibrio. tor .. niamo ora alIa considerazione delle equazioni per i valori perturbati. Nell'ipotesi ammessa della simmetria assiale e della indipendenza di tutt i i valori dalla coordinata z, nella equazione per la componente secondo ~
1"
della (1. 23), il termine (rot A) si annulla. Cosl 1'equazione per la com ... r
ponente u del vettore iT ~ r
••u
r
•
F
cr
(3.8)
11 vettore della forza di Coriolis
~
(3.9)
dove
n~
(3. 10)
la velocitA angolare della rotazione, e
F = - (nr)
I
r
221
- n .
- 23 A. G. Pacholczyk
Le equazioni (1. 12) e (1. 13) permettono di porre h
r
=0
, e cps! la secon-
da componente della equazione vettoriale (1. 11) dA
= ur
ulf
(3.11)
F
I
che sostituito in (3. 8) da 1'equazione per la perturbazione u , nella forma r
ur - 2nFu
= (41t~) -1[r -1 1
(rH LD ) (u H,,) 1 Jr r 1 Jr
+Her r -1[r (ur HID) ] ?+ T Ir IrJ
(3.12)
Sostituendo la (3.4) nella (.3.12) e assumendo
(3.13)
u
r
=
u'" exp r
(i Ert) ,
otteniamo dopo alcuni calcoli la seguente equazione per la perturbazione
+ -3 r 2
~r
J
u... + ruif- + -1.;c. ru + V2 r,l' f r,rr 2 r Pr,rr s
222
~ u-II- + uJ(- + f r, r r ~ r
- 24 A. G. Pacholczyk Tenendo conto della (3.7) possiamo trasformare la (3.14) in
(3.15)
J.
t
3 y -2) r -'I u + - 1 Y (yt1) - Y r V -1 u~ - (-2 2 r r, r
*'
1
*
+ V 2 13 { r- Y +1 u s I~ Ij rr
-'I
- (2 Y -1) r
che si pub anche scrivere:
(V 2 + V 2) u'f
A
s
~rr
- r -1
1(3
-2 V -2)
(3.16)
dove
(3.17)
223
v+ 2A
(ay -1)
v~} u'*' + s r/r
- 25 A. G. Pacholczyk La equazione della perturbazione (3.16) deve essere considerata assieme alla condizione (3. 6) che prende la forma
(3.18)
Per
~
= 1 l'equazione (3.16) si riduce ana forma semplicissima:
(3, 19)
Se prendiamo in considerazione la soluzione esponenziale di forPla
(3,21))
u~ r
= u It • exp r
(i { r)
valida ad una certa distanza del cantro del sistema otteniamo la seguenI
te condizione di instabilitA
(3.21)
Per
y = 2 la soluzione dell'equazione (3,16) non ha senso; in questa ca-
2 so dalla (3.6) segue V = 0 .
s
Ora torniamo alIa forma generale (3.16) dell'equazione della perturbazione. Supponendo che nelle regioni situate ad una distanza
224
ro
- 26 A. G. Pacholczyk
dal centro del sistema la soluzione abbia una forma esponenziale (3.20), otteniamo
2 + V 2-1[ [\I3 .2 + -1(VA ) - r -..2(... ... 2) VA + (:2 V ... 2
s
0
2
-1) V 2J2
s
+
(3.22)
+ ('J
2. . 1)V!)]
1
1
2
Considerando la soluzione oscillante possiamo ignorare il primo termine deH'espressione per {, . L!equazione (3. 22) prende aHora la forma:
225
- 27 A. G. Pacholczyk
~2,
Questa f! un'equazione per
da essa si pub dedurre la condizione di
instabilitl. La Quale f!:
(3.24)
sign.
G"2
= -
1,
Allora
sign.
S 4 ~2 (V 2 + V2)2 + r LAs
-2 0
f{~ y ~2
• 2) V2 + (2 V-I) A
Se consideriamo regioni per Ie quali
(3.26)
r
»)./
o
2n.
dove )f! Ia lunghezza d'onda della perturbazione considerata, la condizione presente assume Ia forma
(3.27)
sign.
t~
2
(v! + v! )-
f - 20F}
41(. G
226
= • 1.
v2}_ s.
- 28 -
A. G. Pacholczyk
Introducendo la lunghezza d'onda otteniamo per l'instabilittt locale del mezzo non uniforme la seguente condizione:
(3. 28)
In tale modo abbiamo dimostrato i1 seguente
Teorema 3
A
Se la lunghezza d'onda
de11a perturbazione avente la
simmetria assiale intorno all'asse de11a rotazione del sistema ~ superiore al suo valore critico
~1t
rE
J
dato da
2+V2
'\ ",'f= Jr \
A
.
-
s
,
1
l 1rG.p + "2 nF il sistema gassoso, dotato da un campo maglletico trasver-
sale rispetto all 'aa-sf: della r.otazione
227
~
earatierizzato dalla
- 29 -
A. G. Pacholczyk distribuzione di densitfl dato da
dove
pe
Y sono eostantipositlve., pub essere eensiderato
come gravitazionalmente instablle.
7.
n mezzo stratificato . La sezione presente contiene 10 studio del problema di insta-
bilitfl magnetogravitazionale di un mezzo stratificato,
ciol! di un mezzo
con densitfl variabile rispetto ana coordinata z = x3 . Siccome la soluzio ... ne di questo problema nella forma generale
~
piuttosto complicata, ci 11-
miteremo qui al caso di un mezzo non rotante, considerando il problema di instabilitfl nelle coordinate rettangolari x, y, z, supponendo che il campo campo magnetico, avente solo la componente Hy ' sia proporazionale alla radice della dens itA del mezzo 1 (3.29)
Iii ( f )I rv f'2 ,
dol!
(3.3f))
Iii I
=
dove VA l! costante, e che la perturbazione si propaghi nella direzione di x.
228
- 30 A. G.
Pacholczyk
Le equazioni che reggono il fenomeno considerato sono quel Ie relative ai valori stazionaI'i nell'equilibrio isotermale:
(3.31)
2
Vs grad
(3.32)
f' + (41t)
div grad
-1 ....
...
H " rot H-j grad
't "0,
t
(questi valori dipendono solo dalla coordinata z), come pure Ie equazioni per i valori perturbati
(3.33) -(4n:f)
:t ~ 2-1:'! .,. ~ h!\rotH+ uf(4Ttf) HArotH+grado'r
-1 .....
•
(3. :t4)
h
(3.35)
Sf = -
(3.36)
...
= rot
•
div grad
f ti ,
div
Q",
...
(u "H) ,
= - 4 Tt G
229
dp .
u
- 31 -
A. G. Pacholczyk
L'equazione (3.31) sotto l'ipotesi (3.30) diventa
(3.37)
poich~
(3.38)
Le equazioni (3,37) e (3.32) si sintetizzano nell'unica equazione :
(3. 39)
div grad
kf
la quale ha la soluzione seguente
(3.40)
dove
(3.41)
JtG ~o /2 V2+ 1 s 2
v2
230
A
- 32 A. G. Pacholczyk L'equazione (3.33) per 10 stato critico (il =0) si riduce alIa
grad
('
(ur
(3.42) - (4 It)
-1
D -1 -2 -+ -I,':V) + (4ft) f d"fH II rot H +.
r
-1
il
~ h
dove
(3.43)
-+]
~ A rot ~ti + H Arot h = 0
@=
Siccome nel caso considerato dalla (3.34) segue
(3.44)
l'equazione (3.42), (3.44), (3.30) e (3.37) danno
dove
(3.46)
231
,
- 33-
A. G. Pacholczyk
Dalla
(3.45) segue
come pure
(3.48)
1.I Z+!.2 V- s2 vA2 'l:J 9 (~ ) _ (4 f, z lr
)-l,.t(1-l h \ = 0 .
f
l Y}iZ
Integrando la (3.47) e sostituendo nella (3.48) si ha
(3.49)
r,z + 1-2 V-2s VA2
t;4\ ( ~ 0) 'V »)
Allora
(3.50)
Dalle (3.46) e (3.51)) segue
(3.51)
232
- f) z)
-1
(lOX) J ,z = 0 .
- 34 -
A. G. Pacholczyk dove
(3.52)
Sostituendo (3.51) nella (3,36) si ha l'equazione per la
'" ®
N
(3.53)
div grad
9
=-
cio~
2) 9
(3.54)
dove
(3.55)
- K
f
IV*-=0,
(z) II dato da11a (3.40) e
9,., (x,z)
'" ,x.
=
® (z)
exp
ikx.
Dopo la sostituzione della (3.40) nella (3.54) 'si ha l'equazione per i polinomi associati di Legendre
233
- 35 A. G. Pacholczyk (3.56)
dove
(3.57)
2~z.
9=th
e (3.58)
y= -
k
l(){
La soluzione deU'equazione (3.56), simmetria rispetto al piano z ~
l'autofunzione corrispondente all'autovalore
y = 1
(3.59)
cio~
(3.61))
I
k
= 2
G §' /2
\1 -v2"-+""'l";':~2~
Allora la hmghezza critica
Ie
s
2 A
)..If della perturbazione ~ uguale a
234
=0
,
'" 36
~
A. G. Pacholczyk
(3,61)
Ora possiarno formulare il seguente Teorema 4 Sa la lunghezza d'onda pagantesi nella
dire~ione
A della perturbazione piana,
pro-
perpendicolare ane linee di forza
magnetica ed al gradiente di
den8it~
del mezzo,
~
superio..
re al suo valore critico ~ It' dato da
il mezzo stratificato, dotato da un campo magnetico con Ie
linee di forza perpendicolari al gradiente di
densit~
e con
1'intensitil proporzionale alIa radice di densitA del mezzo, pub essere considerate> come instabile gravitazionalmente.
235
- 37 -
A. G. 8.
Pacholczyk
II sistema cilindrico. Ora fisseremo la nostra attenzione verso il problema den'in-
sta bilit~ di un cilindro compressibile indefinito, dotato di un campo magnetico con Ie linee di forza parallele all'asse della simmetria. Come al solito, supporremo che porzionale ana radice della
del campo magnetico sia pro-
l'intensit~
densit~
del cilindro. Nel caso in esame ab-
biamo
(4 7t)
-1 .... .. -1 [ 2 H A rot H = (8.7t) (Hz);r' 0,
rJ '12 VA2 f'T CLl, 0, OJ.1
(3.62)
la quale dopo la sostituzione nella (3.31) conduce alla :
grad
l'
2 t = Vs grad"\Nl,.f
1 2
+2' VA grad
D WII
f
(3. 63) 2 1 2 = (Vs + 2' VA) grad
k,
f .
Sostituendo (3. 63) nella (3. 32) si ha l'equazione di equilibrio
(3.64)
236
=
- S8 A. G.
Pacholczyk
la soluzione della quale II
f = fo
(3.65)
{~ r2
+
1
J
,.'-2
,
sotto Ie condizioni
(3. 66)
e
(3. 67)
La costante fiJ
viene determinata dalla
(3. 68)
Una perturbazione propagantesi nella direzione dell'asse del cilindro causa Ie variazioni del campo magnetico date dalla formula
(3. 69)
~
= [ h ,O,h
r
237
z
1
I
~
39 -
A. G. Pacholczyk
18. qUdlt:' Begue dalla (3. 34). L~ equazioni (3.42), (3.69), (3.30) e (3.62) ne}
CciSO
considerato danno
gra d
® H grad
X +-1·2 V V2 2 8 A
D m. p
1
(3.70)
~ (4lC J) -1 fs.... z,r -
s JL
Sr,zz ,0, - ("" H) Z ,r r,z
0,
dove
(3.71)
s r,z
(3.72)
S
e).: ,
= H h z r
'"
Z
H h z Z
sono date dalle (3.46) e (3.43) •
Dalh (3. :1)) segue
come
(3.74)
1
y
(3.73)
'\
Ir
2
-2
+····V V 2 A s
11
(I;'~.~l)
-(4rp)
\ ,r
-1 j
..!
IS z,r ..
PtJ"C'1:'
-1 X' ;~(41'\f') z.
0
(w.-H)
238
Z
,r
S
r ,Z
1= 0
S r,zz
=0,
_ 40 _
A. G.
Pacholczyk
cio~
(3.75)
41t'
j'X ,. - (e.,..,
H) z Jr
S, r
Tenendo conto delle (3.71). (3.72) e (1. 7) si ha
(3,76)
Introducendo
(3.77)
-(.ewH)
z Ir
5r
5+r-1 (r r
S
5
) + =0. r ,r z
daUa (S. 75) nella (3.76) si ricava:
5z = - 4 It' r X
t
+ r -1 } 4 7t «> r
Dopo la sostituzione nella (3. 73) di
Sr
(3.77), si ha:
(3.78)
239
Y
x,[( ~ Hz )'/r] -1 l
dalla (3. 74) e di
)/r
52
dalla
.
• 41 _
A. G.
Pacho!c2yk
cio~
div grad X, + [
1 2r - 2l.~JIr J \
(3.79)
Dalle.(3. 27} e (3.30) seguono:
(3.8'1)
f
- r -1 { r
t:) )
( l.. H) z )r
(3.81)
(3. 82)
240
1 Ir
= 0,
t
- 42 -
A. G. Pacholczyk Sostituendo Ie (3.80), (3.81) e (3.82) nella (3.79) si ricava:
Tenendo conto delle (3.46), (3.43) e (3.36) si ha
(3.84)
div grad
X
+ div grad
®
Combinando (3.83) e (3.84) si pub scrivere
(3.85)
j;:'\
div grad 0
+ {4 1t ~G f V"" s
21
2 V- 2 j ( , )] ,~ ,,-1 X + !4 VA s ' -v...., ~ , iJI = - i;r L "r J Jr
cio~
div grad
~ ,f4l\"GP 1 div grad 10 + ~-yr s
241
2 V-2'. ' 2 (~,,+ " + or't1 VA i( ~'VII Il}} s ~ J·r ...J
- 49 A. G.
Introducendo la nuova variabile
S data aIla
s= ~
(3.87)
Pacholczyk
F,
dove:
(3.88)
e tenendo conto. della
(3.89)
si ha:
div grad,s
r.:. tS div grads~+
(3.90)
+ 2 s·l
~ 2 -2 L8 (S + 1)
1
4}( 2 S 2 (S 2 + 1) -2
dove:
(3.91)
v .. 1 A s
')-t = V
242
2
2
-11tii\
1
+ 41'( (S + 1) J-&j +
®],s
=0 ,
_ 44 •
A. G. Pacholczyk
e
(3.92)
div grad
S
f
"S
·01
(sf IS) IS
.2
10
f•
con
(3.93)
(3.94)
f - funzione arbitraria. Dunque:
(3,95)
~*'=
2
)t'
{
t ( J(2) ]
1 -
T
d
-1
Sostituendo ora nella (3.95) gli autovalori mas simi della equaziolle (3,8.)). calcolati col metodo di Rayleigh - Ritz, si ha:
P,96)
\=
3.94
243
.. 45 -
A. G.
Pacholczyk
dove
e
(3. 97)
(0)
~ (~)
.
la funzione decrescente del coefficiente ')t2 • caratterizzata dalle relazioni:
(3.98)
9 ( ;c, 2 ) fV
(3.99)
liIf
2 -1 2 (n) per?( ~
~ (')( 2)
}(. .. 0
~
data dalla Tabella I •
244
K2
= 0.69,
ao
- 46 A. G.
TABELLA
Pacholczyk
I
q(X 2 )
Valor! della !Unzione
a
1.00
0.1
0.93
0.3
0.78
1
0.51
3
0.70
10
0.74
10 3
0.70
00
0.69
Lll tale modo abbiamo dimostrato il seguellte
Teorema 5 Se la li.lnghezza d'onda
) della p6rturbazione propagantE-:;,;i
nella direzione dell'asse del eilindro
245
e superiore al suo Va-
.47 A. G.
Pacholczyk
lore critico, dato da
il cilindro compressibile, dotato di un campo magnetico parallelo all'asse del cilindro, con l'inteni:lita proporzionale alIa rarice di densita del mezzo, pUG 8ssere considerato come instabile gravitazionalmente. Bisogna osservare qui che la lunghezza critica della perturbazione diminui see quando l'intensita del campo magnetico cresce, poicM
«.
-1
~
deter-
minata dalle dimensioni del cilindro, essendouguale al raggio del cilindro contenente la meta della massa totale.
246
6
- 48 A. G. Pacholczyk IV. ALCUNE
APPLICAZIONI ASTROFISICHE
9, La distribuzione delle masse di stelle. La condizione di Jeans (2.8) mostra che la contrazione cauuta dalla propria gravitl pub avere luogo solo quando Ie dimensioni della ~
perturbazione sorpassano il valore critico
V s
(4. 1)
Cosl Ie stelle formate da questa pili grande di
*data da:
me~canismo
non possono avere la massa
~
1 )3
(4.2)
f~
2 = 6. 6. 10- 10 V!
f
1 2
dove Ie unita ammesse sono: massa solare, velocita: 1 chilometro per sec" densita: 1 g/cm 3•
Dalla (4.2) segue che la distribuzione delle
masse di stelle possiede un taglio presso il valore
~
dipendente dana
densita e dalla velocitA del suono, Si pub determinare questa distribuzione delle masse di stelle assumendo che Ia dens ita d'el mezzo indefinito e omogeneo viene perturbata dalla perturbazione avente 10 spettro indipendente dalla frequenza
y.
(4.3)
247
.. 49 ..
A. G.
Pacholczyk
Soitanto Ie perturbazioni caratterizzate dalle frequenze inferiori a
y~
•
dove:
(4.4)
provocano l'instabUit~. la distllibuzione iniziale delle masse di stelle ha la forma seguent£.
@ Or~) d ~~ =
(4.5)
+
~n; 2
exp ( .. 'Ill) d m
,
dove:
(4.6)
e
(4.7)
La funzione della m
G) ('611:) viene rappresentata nella fig. 4 per il val ore
uguale a 0.07 mo • Nella stessa fig. 4Ia funzione
G( 0f(; )
viene comparata con Ia distribuzione delle masse di stelle osservata nel-
248
- 50 -
A. G. Pacholr;z.yk la vicinanza del Sole.
o \ \ \
-J
\ \ \
\ I
,,
-2
,
o
+2
Fig. 4. La distribuzione delle masse di stelle, data daUa (4. 5) (curva a tratto continuo) e osservata nella vicinanza del Sole (punteggiato),
La dist-dbuzione teorica differisce da quella osservata solo per 1e sifJll.' cor. m
> 1.00 me'
con m
,~
Ie quali in generalenon sono stabili, come
0'1 m 0 , in questo ultimo caso 1a differenza pub
daUa deviazione nella massa minima mo' 249
pur~ p~T
1<3
s:,~nf!
esser~, ~1lrH.,'U.1
- 51 -
A. G. Pacholczyk 10.
Illimite superiore dell'intensita del campo m
magnetico generale galattico, con Ie linee di forza dirette lungo Ie braccia spirali, aventi il quadro generale presentato nella fig. 5.
Fig. 5. Distribuzione dell'idrogeno neutro nella 250
- 52 -
A. G. Pacholczyk Fra questi argomenti i1 piu import ante
e quello della polarizzazione della ma-
teria interstellare. Accertando cos! 1'esistenza nella Ga.lassia di un campo magnetico e assumendo che i1 meccanismo di instabilita rnagneto-gravitazionale sia responsabile della formazione delle braccia spirali, si puo determinare il valore massimo dell'intensita di questo campo. 5e l'intensita di questo campo
e piu grande del valore critico risultante dalla condizione di insta-
bilita, Ie braccia spirali di dimensioni date non possono essere formate da
questa meccanismo di instabilita. Combinando Ie condizioni dell'instabilita (3. 28) e (3.61) si puo scrivere per un modello della galassia rotante 2 1tG
(4. 8)
dove
n.
4 1t 2 y2 s
e la velocita
,,2 ..
,..~
4 2 y2
1 7t A l"d fo =- - - +- - - + 20 -dr (12
2
'lIi
ango1are di rotazione, r
r) +:1L
e la coordinata perpe!ldico··
lare all 'asse di simmetria. Yolendo ora l'interpretazione meccanica dei tel'mini dell'equazione (4.8) osserviamo intanto che i1 termine proporzionale a1 2 Tt G ~ 0 rappresenta chiaramente la forza gravitazionale agente su un
eh~
mento di gas scostato dalla posi]i0?:r di equilibri~ pe.f effetto della perturba4 1! Ys 1 4 It YA zione. In quanta ai termini 2 e 2' 2 osserviamo che es~i sono proporzionali aIle forze : mine 2 Jl (:r (.Q. r)
+nJ
c~pressionale e zta*gnetica,
siccome il ter-
e proporzionale alIa f<;>rza causata dalla ro-
tazione non uniforme del sistema. Dunque l'equazione (4.8) rappresenta la somma delle forze agenti su un elemento di gas scostato dalla posizione di 'quilibrio per effetto della perturbazione. La condizione (t 8) puo essen' applicata ana determinazione del limite superiore del campo magnetico in un modello dena protogalassia stratificata, rotante non uniformemente e dotata di un campo magnetico trasversale. Nella Tabella II, come pure nella fig. 6, sono rappresentati i valori del campo magnetico, risultanti dall 'equazione (4.8) per diversi valori della densita e della lunghezza d'onda critica.
251
- 53 A, G.
TABELLA
Pacholczyk
II
Valori del campo magn,otico H (10- 6 gauss) dati dalla (4.8) come la funzione della densita
~;
(10
-24
g
em
-3
) e del-
la lunghezza d fonda critic a coeffici.ente 2
n
:\ It' ( hpc ), per il valore del -30 -2 F uguale a - l' 5.10 S e (' e della
ve16cita del suorro ugua~e a 2, 3 km / sec.
;Z:!i
0.5
1.0
2.0
3.0
4.0
0.0
0.0
1.8
3.8
5.5
0.0
0.0
3,3
5.5
7,6
4.10
0.0
0.7
4.3
6.9
9.4
4.27
0,0
1.5
i 5.1
8,1
11.1
4,44
0.0
2.1
5.9
4,61
0.0
4,78
0.0
., Po
\
I
3,76 3.93
I I
Il
9.3
12,6 !
2.5
I 6.7
10.4
14.0
2.9
I
7.2
11. 2
15,0
J I I.
252
- 54 -
A. G. Pacholczyk
A. = 4 Kpe ~tII = 3 K~e
8
6
4'2
4'6
)(
Jt'8
iO·JIj~, (111- a
~
Hg,6, II campo magnetico H (10- 6 gauss) come la funzione -24 -3 della densita f (10 g. cm ) e della lunghezza d'onda critica )
(kpc), per il valore del coefficiente 2 SlF uguale a ~ -30 -2 -1. 5 10 sec e per la velocita del suono uguale a 2,3 km/sec.
253
- 55A. G. Pacholczyk Per Ie dimensioni osservate delle braccia spirali dell 'ordine di 1 kpc e per Ie densita del gas della protogalassia in vicinanza del Sole dell 'or·24 -3 dine di 4,2. 10 g. em questa limite superiore del campo magnetico della protogalassia
e uguale a
(4.9)
H
= 4,8. 10 -6 gauss
Ora bisoglla fare qualche osservazione sul carattere di questo limite superiore del campo mag-l1etico.
1. La forma della condizione di instabilita (3.61), (4.8), dipendente in generale dalla relazione tra il campo magnetico e la densita. del mezzo,
e
stata ottenuta nel caso della relazione H "" fn con n = 1/2, la quale corrisponde alla proporzionalita. della pressione magnetic a e della pressione gassosa.
n valore massimo del campo magnetico nel caso
11
=1
e uguale allo
stesso valore. 2. Le dimensioni dei condensamenti formati da parte della instabilita dipendono soprattutto daUo spettro di Fourier della perturbazione e dal tipo della fum:ione caraiterizzante il tempo di sviluppo dei condensamenti stessi. Siccome la hmghezza critica ).
It
e la pit corta lunghezza d'onda,
cagionare l'instabilita, si puo aspettare che galassia 3.
capace di
n campo magnetico nella proto-
e piu piccolo di queUe dato dalla (4. 9). n valore
(4.9) si rivolge ad un modello della protogalassia gassosa
nella quale Ie braccia spirali si formano da partE della instabilita. magnetogravitaziol:ale.
1,0
sviluppo delle braccia spirali gassosi puo condurre ad un
certo aUffi",n':o del campo magnei:ico, stringpndo Ie linN' di forza magnetic a "congelate" nel gas. Le investigazioni radioastro!1omiche eseguite recentemente a Jodcell Bank mostrano che il campo magnetico galattico non sorpas-
254
- 56 A. G. Pacholczyk sa
attllalm",~.t,·
il valore di 5. 10
lh.l~.'l:~~~~~~tl1
-6
gauss.
delle braccia spirali galattkhe
DaUa (;ondizione
di un cilindro (3.96) segue che pH il -24 -3 uguale a 1,80. 10 g. em Ie dimen-
dell'instabilit~
valo:cc dlllla d&nsita centrale
fo
sioni sono queUe date nella 'fabella III.
TABELLA III Valori deUa lunghezza critica d'onda nel eilindro eompressibilt', data daUa (3. 96) per il valore della dens ita -24 -3 1,80. 10 g. cm .
I
AJ\
Ho -6 (10 gauss)
(kpc)
0.0
2. 2
1.0
2.2
2.0
1.9
2.5
1.8
3.0
1.6
S.5
1.3
4.0
1.0
4.5
0.73
5.0
0.28
255
centl'al~
tiguale a
57 -
A. G. Pacholczyk I valori rappresentati nella Tabella III corrispondono ai valori delle dimensioni dei condensamenti osservati nelle braccia spirali della Galassla (vedi p. es. fig. 5). Quindi questi condensamenti stessi hanno potuto eSsere formati da partedell'instabilita gra-
vitazionale delle braccia spirali.
256
- 58 A. G. Pacholczyk
OSSERVAZIONJ BIBLIOGRAFICHE
I.
n re:noJrneno
dell'instabilitA gravitazionale.
1. L'idtii del fenomeno dell'instabilitAg:cavitazionale pruviene da Newton.
1.
I. Newton, Letter to Bentley dated December 10, 1962 (vede: J. H. Jeans, The universe around us , New York· Cambridge, 1931; pp 191 - 192).
La fOl'mulazione matematica
2.
~i
questo problema
~
stata fatta da:
J. H. Jeans, "The stability of a spherical nebula", Trans. Roy. Soc.
(london),
~
~
1 - 53 (1902).
Le rassegne. dedicate esclusivamente all'instabiliU. gravitazionale e magnetogravitazionale sono state scritte da:
3.
A. G. Pacholczyk, "Problemy grawitacyjI).ej niestabilnoSd o§rodk6w
~ci~liwych".
Postepy Astronomii,
!Q... 113-124
(1962). 4.
A. G, Pacholczyk, "Problems of gravitational in.stability of eompressible systems"', Prace Wroc1a'Nskiego Towarzystwa Naukowego (in corso di stampa) •
5.
A. G. Pacholczyk, "Problemi dell'instabiliU gravitazio nale dei sistemi compressibili " (in russo), in eoreo di I>:,ullpa.
Alcuni problemi dell'instabiliU. gravitazionale sono stat I discussi neUe rassegnE: dedicate ai fenomeni della stabilitA idrodiuamica e idromagnetiea piu generali:
257
- 59 A. G. Pacholczyk
6.
S. Chandrasekhar, "Problems of stability in hydrodynamics and hydromagnetic", George Darwin Lecture delivered on 1953 November 13, Mon. Not. Roy, Astr. Soc" 113, 667-618 (1953).
7.
S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford. At the Clarendon Press, 1962.
2. Per il metodo dell'esame di problemi dell'iristabilitl gravitazionale e magnetogravitazionale vede p, es. 8.
P. Ledoux, "Stellar stability", Encyclopedia of physics!
g, 9.
605 .. &88 (1958).
K. Hain, R. Litst , A. Schluter, "Zur Stabilit1rt eines Plasmas", Z. f. Naturforschung, 12a, 833 - 841 (1957)
10.
I, IJ. Bernestein, E. A. Frieman, M. D. Kruskal and R. M, Kulsrud,
'I An
energy principle for hydromagnetic stability
problems ", Proc, Roy. Soc, (London). A 244, 17 ...40 (1958), 3.
Per Ie equazioni della magnetofiuidodinamica vede p. es. 11.
H. Alfv6n, Cosmical Electrodynamics, International Series of Monographs on PhYSics, Oxford, England, 1950.
12.
T. G. Cowling, Magnetohydrodynamics, Interscience Tracts on Physics and Astronomy, No 4, IntersciencePublishers, Inc., New York, 1957.
258
- 60 A. G.
13.
Pacholczyk
J. W. Dungey, Cosmical Electrodynamicis, Cambridge, At the University Press, 1958.
14.
A. G. Pacholczyk. "Wybrane zagadnienia magnetohydrody .. namiki ruchu laminarnego". Postepy Astronomii,
~,
127-
-140 (1958), idemj:1. 3 - 19 (1959), idem,:1. 67 - 109 (1959). 15.
S, B. Pickelner, "Fondamenti dell'elettrodinamica cosmica" Ediz.
Statali di Letteratura Fisico-Matematica, Mo-
sca. 1961. (in russo).
II. II mezzo omogeneo. 4.
La condizione di Jeans 16.
e stata ottenuta nellavoro (2).
Vede anche:
J. H. Jeans, Astronomy and Cosmogony, Cambridge, England, 1929.
Teorema 1 e stato enunciato da J. H. Jeans. L 'effetto di turbolenza 17.
e stato esaminato da
S. Chandrasekhar, "The gravitational instability of an infinite homogeneous turbolent medium", Pro. Roy. Soc. (London),
18.
~
210, 26 - 29 (1951) •
E. N. Parker, "Gravitational instability of a turbulent medium", Nature, 170, 1030 (1952).
259
- 61 A. G.
L 'effetto di rotazione 19.
~
Pacholczyk
stato considerato da:
S. Chandrasekhar, "The gravitational instability of an infite homogeneous medium when a Coriolis acceleration is acting ", Vistas in Astronomy,
20.
1.,
344· 347 (1955) •
N. Bel and E. Sehatzman, "On the gravitational instability of a medium in nonuniform r;t>tation ", Revs Mod. Phys. , 30, lOll) - 1016 (1958)
= Centro Inst. Astrophys. Paris
No B 174. L'effetto della conduttivita termale finita 21.
e stato esaminato
da:
S. Kato and S. S. Kumar, "On gravitational instability. I", Publs. Astron. Soc. Japan, Q, 290 - 292 (1960).
5.
L'effetto stabilizzatore del campo magnetico uniforme
~
stato conside-
rato da: 22.
S. Chandrasekhar and E. Fermi, "Problems of gravitational stability in the presence of a magnetic field", Astrophys. J. 118, 116 - 141 (19"53).
23.
A. B. Severny, Intervento alla 2a riunione sui problemi delle cosmologie
a
(19-20 maggio 1952). "Atti della 2 riu-
nione sui problemi delle cosmologie" editi dalla Acc. Sc. URSS, Mosca 1953, pp. 363-369, (in russo) • Teorema 2 ~ stato dimostrato da S. Chandrasekhar, E. Fermi ed A. B. Severny.
260
- 62 A. G. Pacholczyk
I diagrammi rappresentati I1€lle fig. 1, 2 e 3 sono stati ottenuti prima nellavoro: 24.
A. G. Pacholczyk and J. S. Stod6lkiewicz, "On the gravitational instability of some magnetohydrodynamical systems of astrophysical interest ll , Acta Astronomica, 10, 1 - 29 (1960)
= Warsaw University Observatory Reprint No 98.
L 'instabilita magneto-gravitazionale nella presenza delle forze di Coriolis
e stata esaminata nellavoro (24) come pure nei lavori: 25.
S. Chandrasekhar, "The gravitational instability of an infinite homogeneous medium when Coriolls force is acting and a magnetic field is present ", Astrophys ~ J.,.!.!1, 7 - 9 (1954).
26.
A. G. Pacholczyk and J. S. Stod61kiewicz, "The magnetog'l':'V'itational instability of a medium in nonuniform rotation", Bulletin de 1'Aoademie Polonaise des Sciences, S~rie des sci. math., astr. etphys., 1,503 - 507 (1959) = Warsaw University Observatory Reprint No 90,
Gli effetti dissipativi (viscosita, conduttivita elettrica finita)
SOIW
stati
cC)fj-
siderati nellavoro (24) eome pure nei layori seguenti: 27.
A. G. Pacholczyk and J. S. Stod6lkiewicz, "The mage.dogravitational instability of an infinite homogeneous rm'dium when a Coriolis force is acting and viscosity is taken into
261
ar:~-
- 53 -
A. G. Pacholczyk count", Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, serie des sci. Math., astr, et Phys., 7, 429 - 434 (1959) :: Warsaw University Observatory Reprint No 89. 28.
A. G. Pacholczyk and J. S. Stod6lkiewicz, "The magnetograV'itational instability of the medium of finite electrical conductivity" , Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, serie des sci. math. astr. et phys., 7, 681 - 685 (1959) = Warsaw University Observatory Reprint No 91.
29.
K. Kossacki, "On the magnetogravitational instability of a homogeneous, infinite viscous and rotating medium with finite eletrical conductivity" , Acta Astronomica,
.!..!.,
83 -
- 85 (1961) = Warsaw University Observatory Reprint No 115.
III. I sistemi non utliformi. 6.
L'instabiliU magneto-gravitazionale del sistema in rotazione non u-
niforme
~
30.
stata considerata da: A. G.
Pacholc~yk,
"Sulla instabilita magneto-gravitazionale
di un mezzo compressibile non uniforme con rotazione anche non uniforme",
Atti della Accademia Nazionale dei Lincei,
Rend. della Classe di Seienze fis., mat. e nat., ser. VIII, 28, 357 - 363 (1960) = Warsaw University Observatory Re -
print No 95.
262
- 64 _
A. G. Pacholczyk
Le considerazioni nella sezione 6 seguono Teorema 3 7.
e stato dimostrato da A.
n lavoro
(30).
G. Pacholczyk.
L linstabilita gravitazionale di un mezzo stratificato
e stata esarnirra-
ta da: 31.
p. Ledoux,"Sur,la
stabil1t~
gravItationnelle d lune n;:;bu-
leuse isotherme", Ann. dlAstrophys., 14,: 438 - 447 (1')[;1), come pure nel caso di un campo magnetico da;. 32.
A. G. Pacholczyk, "Sulla instabilita magneto-gravitaz.io!:aIe di un mezzo stratificato", Atti della Accademia
Na~ione.
Ie dei Lincei, Rend. della Classe di Scienze fis., mat. e nat. , ser. VIII 30, 738 - 743 (1961). = Warsaw University Observatory Reprint No 121. 33,
. A.. G. Pacholczyk, "On the gravitational instability of sam"
magnetohydrodynamical systems of astrophysical interest", Part II , Acta Astronomica
,~
(1962), nel corso di stampa.
Le considerazione nella sezione 7 seguono illavoro (33). Teorema 4
e stato dimostrato
da A. G. Pacholczyk.
8. Llinstabilita magneto-gravitazionale di una configurazione eiIindc:'...
e stata considerata da: 34.
J. S. Stod6lkiewicz,
II
The gravitational instability of
to
self-
-gravitating gaseous cylinder in the presence of magnetk
263
- 65 A. G. Pacholczyk field parallel to the axis of the cylinder ", Bulletin de l' A· cad~mie
Polonaise des Sciences,
S~rie
des sci. math. astr.
et phys., 10, 159-164 (1962) = Warsaw University Obser" vatory Reprint No 128. 35.
J. S. Stod6lkiewicz, "On the gravitational instability of so.-
me magnetohydrodynamical systems of astrophysical inte .. rest", ?art III, Acta Astronomica ,(in corso di stampa) . Le considerazioni nella sezione 8 seguono illavoro (35) • Teorema 5
IV. 9.
~
stato dlmostrato da J. S. Stod6lkiewicz.
Alcune applica:zioni astrofisiche. La distribuzione delle masse di stelle (4. 5) 36.
~
stata ottenuta da:
A. Kruszewski, "Expected shape of the mass spectrum for stars formed by gravitational contraction", Acta Astronomics, 11, 199 - 203 (1961) = Warsaw University Obsevatory Reprint No 124.
La distribuzione iniziale delle masse .di stelle osservata nella vicinanza del Sole
~
31.
stata compilata da D. N. Limber, "The universality of the initial luminosity function ", Astrophys. J. ,131, 168 - 201 (1960).
Le considerazioni nella sezione 9 seguono il lavoro (36).
264
- 66 A. G. Pacholczyk 10.
n valore massimo del
campo magnetico galattico
stato determi-
~
nato da: 38.
A. G. Pacholczyk, "Sul limite Sllperiore dell'intensita del campo magnetico in una protogalaSsia II, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rend: Classe di sci. fis. math. e nat., (8) 30, 889 - ·891 (1961)
=Warsaw University Obser-
vatory Reprint No 122. 39.
A. G. Pacholcz1k," On the upper limit of the galactic magnetic field" Annales d'Astrophysp 24, 326 - 327 (1961)
= Warsaw University Observatiry Reprint 40.
No 123.
A. G. Pacholczyk, "Powstawanie ramion spiralnych w Galaktyce a mechanizm magnetograwitacyjnej
niestabilno~ci",
Postepy Astronomii, 9, 147 - 155 (1961) • Le considerazioni nella sezione 10 seguono illavoro (38). La fig. 5 41.
~
stata presa dallavoro di F. J. Kerr, "Galactic velocity models and the interpretation of 21-cm surveys ", Mon. Not. Roy. Astr. Soc., 123 , 327 - 345 (1962) •
11.
L'instabilita delle braccia spirali della .Galassia 42.
J. S. Stod6lkiewicz,
1.1
S~r.
stata esaniinata da:
The gravit"ational instability of gaseous
spiral arms of the galaxy", Bulletin de des Sciences,
~
l'Acad~mie
Polonaise
des sci. math. astr. et phys., , 10, 285-
-286 (1962) = Warsaw University Observatory Reprint No 129.
265
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )
ALDO M. PRATELLI
ANALOGIA TRA "VISCOSITAI MAGNETICA" E "CONDUCIBILITA' TERMICA" NELLE PICCOLE PERTURBAZIONI DI FLUIDI COMPRIMIBILI
Roma, Istituto Matematico dell'Universita
267
ANALOGIA TRA "VISCOSITA' MAGNETICA" E "CONDUCIBILITA' TERMICA" NELLE PICCOLE PERTURBAZIONI DI FLUIDI COMPRIMIBILI. di Aldo M. Pratelli Quando ci troviamo di fronte a un problema nuovo, quando, (in teE. mini piu precisi) dobbiamo risolvere un sistema di equazioni un po complicato, ma
gi~
~
umano cere are di sfruttare la rassomiglianza con qualche siste-
risolto,
gi~
integrato.
I sistemi di equazioni che si incontrano in Magnetofluidodinamica non si possono dire semplici, almeno in generale. allorch~
Sar~
utile precis are che
un sistema di equazioni della m. f. d. puo farsi coincidere con un
sistema di equazioni della ordinaria meccanica dei fluidi, il problema si dice "riducibile", e si sfrutta la fortunata circostanza. Sono numerosi gli esempi di "riduzione", ma nella quasi totalita si riferiscono a fluidi
ideal~
senza dissipazioni: si vedano ad es. gli articoli di GRAD e IMAI nel volume "Magnetofluiddynamicas" (Atti del Simposio tenuto a Washington nel 1960). Qualora si vogUa tener conto della dissipazione, i1 procedimento di riduzione i! piu arduo. Ricordo che tutte Ie volte che fenomeni in campi diversi obbediscono allo stesso sistema di equazioni indefinite e di condizioni al contorno, si ha una "analogia" e si pub costruire un "modello analogico". Qui pero, piuttosto che presentare il progetto di un nuovo modello, voglio richiamare l'attenzione sul fatto che ancor prima della nascita della m. f. d. era stato costruito (in un certo senso) almeno. un "modello analogico" che ci mostra quale influenza abbia la
viscosit~
magnetic a sulla propagazione del
su~
no. Soprattutto vorrei dare, un'idea del come risultati ormai classici ri-
269
- 2Aldo M. Pratelli guardanti la propagazione del suono fn un gas viscoso e termicamente conduttore possano venire utilizzati,
0
quanta meno possano offrire
10
spunto,
per 10 studio della propagazione del suono in un gas viscoso ionizzato e di conducibilita elettrica limitata. Non ho intenzione di presentare (anche per la ristrettezza del tempo) l'analogia nella sua formulazione pin vasta, nl! mi preoccupo di distinguere i casi in cui, invece di vera analogia, si tratta di "quasi-analogia lt
0
i casi in cui si tratta di "analogia generalizzata"; rinuncio a dare un elenco completo dei risultati ottenuti
0
di quelli in programma. Vorrei solo cerca-
re di rendere 10 spirito , 1'idea schematic a della analogia. 1. 11 Sistema di Kirchhoff. Esperimenti fatti da KUNDT nel 1867 (riguardanti la propagazione del suono in un tubo) offrirono a KIRCHHOFF (1868) l'occasione per stabilire e risolvere un sistema di 5 equazioni lineari aIle derivate parziali aventi per incognite la concentrazione s, la variazione di temperatura e Ie 3 componenti della velocita. Si suppongono costanti (ipotesi non essenziale) i coefficienti che esprimono Ie caratteristiche fisiche del gas: la viscosita cinematica II , la conducibilita termica costante,
Cv
0
interna k, i calori specifici (cp a pressione
a volume costante, mentre
l" = cp/ Cv indica i1loro rap
porto). E' tradizione che Ie grandezze adimensionali si distinguono con asterischi: qui dovrei us arne troppi, cosiccbe materiale con
fo fJ
pr~ferisco
indicare la dens ita
,la pressione con PoP, la temperatura assoluta
con ToT, la velociU. con aof = a o (u1 --i + u2 ..,j + W -tk),
Ie coordinate
cartesiane ortogonali con lox, loY, loz, i1 tempo con tlo/a o;
270
1'0 ,
- 3Aldo M. Pratelli Po' To, ao' 10 sono grandezze caratteristiche aventi dimensioni fisiche; tutte Ie funzioni incognite dipendono dal posto e dal tempo. Le equazioni della gasdinamica sono, se supponiamo che la pressi,2. ne obbedisca alIa legge dei gas perfetti: (la)
(lb)
p =
do
df- + o
(lc)
r
Po
f
div 1 = 0
d~ + ~ Po dt ~ ao
1 . A) v~ -3- grad dlV + u.
grad p = -1-11
(
0 ao
d(cV T) dt
(ld)
ove gli operatori grad, div rot, A .. divgrad sono anch'essi adimensionali; nella equazione della quantita di moto (Ic) sono state trascurate Ie forze di massa; nell'equazione della energia (Id) non sono stati presi in considerazione gli scambi di calore per irraggiamento, e D indica la dissipazione dovuta alla viscosita cinematica. Si tratta ora di scegliere opportunamente i valori delle grandezze caratteristiche: se To'
fo' Po'
sono quelli corrispondenti allo stato imperturbatOj i1 numero
(c p - cv )
90 To/po
e uguale ad 1. Se sce1go come velocita caratterist..!
ca 1a ce1erita del fronte d'onda sonoro quale si avrebbe in assenza di qualsiasi dissipazione. cioe se pongo a o
=V '(/' pol Po'
allora i1 numero
pol fo a~ diventa 1/'1'" . Con queste premesse Ie variabili di KIRCHHOFF zione = "condensation") e
e
risultano definite da
271
s (concentra-
-4 -
Aldo M. Pratelli
f
s
e~(T
-1
-1)/( ?0" - 1)
Trattando Ie perturbazioni come infinitesime (come II nella tradizi2, ne per Ie pertl,lrbazioni acustiche) della (la) segue (2a)
p
=
1
+ s + 9 ( i"' - 1).
*
La (lb) (conservazione della massa) diventa (2b)
t
+ div
= 0
Se indichiamo cQn Uo un particolare valore del modulo della velocita adimensionale del fluido, i1 numero
esprime i1 rapporto tra i1 numero di REYNOLDS e i1 numero di MACH. Per brevita 10 indico con Re (numero di REYNOLDS riferito alIa celerita del suono). La (lc) diventa allora (2c)
elf
~ +
r1
t'-1
grad s + -y:- grad
1
~
1
8 = ~ (-3- grad di v + ~ )v
Al secondo membro deU'equazione dell'energia (ld), dopo aver divisa la stessa per
Cv
f0
( 'If' -1)
To' troviamo i1 reciproco del nume-
ro cp ~
Po
aolo ':10 )J
k
-.L = Uo
Pr Re
r
Pe
:--
r
(Pr indica i1 numer di PRANDTL, Pe i1 numero di pfCHLET): 10 dico brevemente con Ki (numero di KIRCHHOFF). Cosicch~ l'equa-
272
- 5Aido M. Pratelli
zione (ld), sempre trascurando gli infinitesimi di or dine superiore, diven ta
'de
(2d)
dt
+ div -: = _1_ AS ki
Le (2b) (2c) (2d) costituiscono un sistema di cinque equazioni nel Ie cinque funzioni incognite ul = Ul (x, y, z, t),
s = s (x, y, z, t),
u2 = u2 (x, y, z, t),
w
8=
(j (x, y, z, t),
= w (x, y, z, t). Super-
fluo aggiungere che implicitamente KIRCHHOFF tratta come infinitesimi della stesso or dine Ie variazioni (qui rese adimensionali) della velocita della dens ita, della temperatura.
2.
Perturbazioni in un gas ionizzato.
Consideriamo un gas ionizzato in cui si possa trascurare la conducibilita termica.
Supporremo costanti i coefficienti che esprimono Ie cara..!
teristiche fisiche del gas: sia
la viscosita cinematica,
)J
cibilita elettrica e .f4o'e.1a permeabilita magnetica.
~
la condu-
Le grandezze elettro-
magnetiche vengono misurate nel sistema GIORGI (M. K. S. Q.), cosiccM Ie dimensioni fisiche di
coincidono con quelle di
)II
1/ cr ~ .
Supponiamo 11 gas ionizzato in condizioni barotropiche; i valori caratteristici, distinti con llindice I, siano quelli corrispondenti alle condizioni di quiete.
La pressione
PI p e la dens ita
fl,P
si~no
legati dal
11 equazione complementare, finita, (3a)
f (PI p,
f>1
9)
= 0
La celerita del fronte dlonda sonoro, quale si avrebbe in assenza di viscosita e in assenza di campo magnetico,
273
e data da
- 6-
Aldo M. Pratelli
Calcolando la derivata i1+ corrispondenza a
p=
1 e p = 1, si
ottiene (come ha dimostrato i1 prof. NARDINI nella sua la lezione) il valore approssimato
In condizioni di quiete, supponiamo che i1 campo magpetico esterno sia uniforme e perpe'ldicolare al piano (xy); cio~ sia dato da Bl tl
A.
In corrispondenza alle perturbazioni acustiche, anche l'induzione magnetic a si discostera dal valore costante e sara espressa in generale da Bl -+
B
it
ove
def
Posto b1 = Bl1 (
.ft
~
,
la celerita effettiva del fronte d'on-
da sonoro nel gas ionizzato non viscoso e perfettamente conduttore dell'ele.! tricita
~
data (a meno di infinitesimi) da
come si deduce facilmente da quanta il prof. FERRARO ha esposto nella 5a e 6a lezione. Scelgo questa a e come velociU caratteristica; scelgo poi una lunghezza caratteristica 11' e un tempo caratteristico tl tale che tl ae = = 11. L'equazione vettoriale della quantita di moto, presentata nella 2a
zione
~el
l~
prof. FERRARO (in cui trascuro Ie forze di massa che non sono
di natura elettromagnetica)
~
invece
274
- 7Aldo M. Pratelli
(Sc)
C)
}
-
dv + - n PI - (~) grad p .PI dp 1 J dt
a:
=
11 )jae
- 2
2 Bl
~
-+
ae ~1 )Ie
rot B" B =
(1 -S- gra d ~iv +1l)1
Valendosi del numero Na = b1 / al
(numero di m, lIe J. NAZE)
i rapporti adimensionali nel 2° e nel SO addendo possono scriversi PI
PI a~
~
_
( d P )1 -
al2
_
T -
1 . 2 1 + Na '
B21
a~ J'1)Ai :
b12
T
Na 2 = 1 + Na 2
Sempre trascurando gIi infinitesimi d'ordine superiore, i1 prodotto vettoriale pub scriversi
Posta infine Rtf : 11 ae / ~
(numero di REYNOLDS riferito al-
Ia celeritA effettiva del suono) la (Sc) diventa (5c)
~ + 1 2 . d t. 1 + Na
grad s +
{(+ - 1q, )1+ (2tL ...;£")jJ= ~
2 Na 2 1 +Natl x
1
:--
Rtf
v ",.
y
""
~ ~rad div + A } ~
L 'ereditA delle equazioni di MAXWELL e della legge di OHM, come sill visto nella 2a lezione del prof.
FERRARO, tenuto conto del diverso si-
stema di unit A di misura e ricorrendo alIa forma adimensionale, diventa
275
-8Aldo M. Pratelli
~~
(3d)
(B 1\ 1)
+ rot
=
con la condizione (3f)
div
n numero
Rm = cr ~ 11 a e
~
il numero di REYNOLDS
magn~
tico riferito aUa celeritA effettiva del suono. La (3f)
~
sostituita da
r;) ;31
(4f)
'd
x
i;e
+
mentre la (3d) si proietta in
+*
= 0,
(i
(4g)
~ I"dTt·
(5d)
+
?/31
~
+
'}(32 ---r;ry
= I, 2)
= _ 1 6A Rm f '"
Nelle eliminazioni fatte sopra ho supposto tacitamente che Ie variazioni adimensionali della velocitA, del campo magnetico, della concentrazione, siano infinitesimi dello stesso ordine.
3. Analogia nel caso piano. Dal confronto tra il sistema (2c) (2d) e il sistema (5c) (5d) si
conclude che questi coincidono quando tutte Ie grandezze sono funzioni soltanto di (Ga)
x, y, t e a condizione che siano soddisfatte Ie eguagUanze
e =r ; (6b)
d'= 1 + Na 2;
(6c) Re = Re; (Gd) Ki
276
=RPl.
- 9Aldo M. Pratelli Nel seguito supporro che la cio~
velocit~
sia parallela al piano (x y),
mi limiterb a studiare l'analogia nel caso piano. Avevo avvertito che l'analogia
~
completa se sono coincidenti anche
Ie condizioni al contorno: in particolare, trattandosi di fluido viscoso nell'uno e
ne~l'altro
caso, la
velocit~
del fluido·e quella della parete dovranno
coincidere suI contorno. Per la condizione riguardante
(;
e quella ri-
guardante (JJ si dovr~ tener conto della conducibilit~ termica di una parete e della r~
conducibilit~
elettrica della corrispondente parete, e qui bisogn!
distinguere caso per caso. Le incognite
(4f) (4g) esistano
(3i intervengono solo nelle
e non nelle rimanenti. E' indifferente, ai fini dell'analogia, che 0
meno aUre soluzioni oUre alla soluzione banale
Le equazioni (6b). (6e), (6d) sono tra tenga conto del fatto che nei gas
lor~
A
= cost.
compatibili. Ove si
)ole praticamente coincide col valore
nel vuoto. e che ordinariamente per l'aria Re Ol 10 9 (se scegliamo 10:: = 20 m).
Ki ci Re / 2,
(j41. 1, 4 si comprende come non sia agevole
per uno sperimentatore costruire eon un gas ionizzato un modello analogico per 10 studio della propagazione del suono in un gas ordinario. teniamo presente ehe il sistema di equazione di KIRCHHOFF
~
Ma se
collegato
con un certo numero di esperimenti, possiamo dire che ognuno di questi costituisce un "modello analogico" della propagazione del suono in un gas ionizzato. Guardando l'analogia con occhio matematico, avverto che la soluzuine "generale" data da KIRCHHOFF nel 1868 e ripresa da lord RAYLEIGH nel 1896 pub adattarsi al gas ionizzato; 10 studio di RAYLEIGH del 1901 (propagazione del suono tra piani paralleli) rende anch'esso uti li servigi allo studio della propagazione del
277
~uono
tra piani paralleli in un
- 10 -
Aldo M. Pratelli gas ionizzato! L'eliminazione della s tra la (2b) e Ie rimanenti non presenta difficoltl: si ottiene 11 sistema di KIRCHHOFF (7) a
V~ f - 'r1
gra
d d' ..... v+ IV
~- 1
~
gra
d
9&
~
1 <J 1 . .. He ~ (-s-grad dlV +
¥
(7b) = (2d)
l/
t
=
A )~
+ div"1 = _I_AU Ki
e altrettanto per 11 sistema che riguarda la m. f. d. E' interessante studiare separatamente 1'ufficio della conducibilitl termica e quello della viscositA. Se supponiamo (con STOKES) che la conducibUitA termica sia trascurabile di fronte alia vis.cositl, dovremo porre Ki .. 00 ; nel gas ionizzato dovremo allora porre Rm = 00 cio~
,
la vlscositl magnetica sarl trascurab11e di fronte alla viscositl cin!
matica. Dalla (7b) = (2d) in cui si ponga Kl .. CQ segue div ~ =
- - , 9 I~; (8)
sostituendo nella (7a) troviamo 1tunica equazione vettoriale
~2 ~ 1 'iT 1 ~ t 2 - grad div ~ = ~ ~ (3 grad div + tl ) t Essa costituisce l'estensione al piano deli'equazione monodimensio-
nale di STOKES. SI osservi che per far coincidere 11 sistema di equazioni di KIRCHHOFF col sistema di equazioni cui obbediscono Ie perturbazioni di m. f. d., occorre siano soddisfatte Ie tre eguaglianze: (6b) (6c) (6d).
278
- 11 -
Aldo M. Pratelli Se invece Ki = Rm = bedire solo alla (6c)
00
,
la (6d) e ancora soddisfatta, dobbiamo ob-
Re = Re, mentre della (6b) non troviamo piu tra£
cia. La costruzione di un modello analogico (con la dovuta attenzione per Ie condizioni al contorno) Se Ki = Rm
e sensibilmente facilitata.
e finito,
e =fi
l'eliminazione di
e possibile,
anche se piu riposta. Si trova cos! la seguente equazione vettoriale del 50 ordine, con termini tutti cinematici,
(9)
~3 t
~ +
-
~i
d
~2
-gt grad div "! - ~
6 grad div
(1
I I ) l (Re" + Ki ) A + 3 Re grad div ~ +
it (
~ - Re ~i
A grad div + AA )
oppure la (9) con la solita sostituzione Na 2 =
'Y - 1,
t
Rm = Ki,
Re = Re.
La (9) non si integra certo piu facilmente del sistema di provenienza; ma oltre a tranquillizzarci sul contributo inessenziale recato dalle ~i' permette di vedere di colpo la presenza
l'assenza di superfici di discon-
0
tinuita (fronti d'onda). Distinguiamo 4 casi: I)
Re = Re finito;
Ki = Rm finito: nessun fronte d'onda che si
ghi con celerita finita, perche l'equazione II)
Re = Re finito;
Ki = Rm = ():)
e parabolica del
: I' equazione
prop~
50 ordine.
e del
40 or dine ; rna
anche qui niente varieta caratteristiche reali, niente fronti d'onda che si propaghino con celerita finita. III)
Re = Re = ~ : Ki = Rm finito: l'equazione e ancora del 4°
279
- 12 Aldo M. Pratelli ordine; ma questa volta Ie varietl caratteristiche sono reali e cosi si ha propagazione ondosa, con celeritl adimensionale
I/f?"
;I
II VI +Na 2 •
Ciol!, se ricordiamo la scelta tatta per Ie unitl di misura, nel caso del gas ordinario la celeritll! ao/{y caso del gas ionizzato la celeritll!
C·)
= V Pol po (DUHEM, 1903) e nel
ael Y 1 + Na 2 = al
(NARDINI,
1956, con procedimento diverso). IV)
Re = Re = 00
Ki = Rm = co : l'equazione scende dal 3 0 or-
;
dine (e si riduce immediatamente al 2 0
);
V Pol '0
Ie caratteristiche sono reali,
'
la celeritl adimensionale del fronte d'onda l! 1. Nel caso del gas ordinario la celeritl l! quindi ao =
nel caso del gas ionizzato
l! invece ae = " af + br 4. Analogie nelle pice ole perturbazioni dipendenti da una sola coordinata.
Un cenno su questo argomento l! indispensabile, anche perchl! la maggior copia dei risultati (utilizzabUi
0
estendibili alla m. t. d.) l! stata
ottenuta quando le incognite delle equazioni di KIRCHHOFF e di STOKES sono tunzioni di x e di t. D'altra parte taluni risultati recentemente ottenuti in m. f. d. sono trasferibili ai gas viscosi ordinari. Nel gas ordinario, chiamata u = u (x, t) la componente della velocitl parallela all'asse delle x, 11 sistema di KIRCHHOFF diventa (lOa)
0 s + 7X~u "Tt
(lOb)
dU 1 ~s t"-l ~+rdT+~
(lOc)
-ct crx- -
_~~ + ~U-
0
__ 1
Ki
~e
"ldTC02~
4 3 Re
V
C') 11 Quale perb 8UpPODeY& 11 1l1li in cOlldizioni i80te1'llle.
280
=0
- 13 -
Aldo M. Pratelli L'eliminazione di
(f ed s
dA luogo all'unica equazione del 5°
or dine
~u
(11)
4 CZ)4 u 1 - (Ki + 3 Re ) gx 2 9t2 +
d3 u - ~x2~t
CV't 3
9}4 u
1 + (Ki
Nel caso Ki = 9J2u 2
(l2)
%"t
-
4 3 Re Ki
8'x4
CVSu
~x4 ~
= O.
si trova l'equazione di STOKES
C)CI
~2u ca: x2
4 3 Re
~3 u
CVx 2 It
=
o.
Per 10 studio delle perturbazioni nel gas ionizzato, conviene disti!! guere due casi: 1 ) La direzione di propagazione delle x)
~
(cio~
quella dell'asse
perpendicolare alla direzione del campo magnetico esterno
(quella dell'asse delle z);
2 ) la djrezione di propagazione
~
parallela
alIa direzione del campo magnetico esterno (quella dell'asse delle 1° CASO)
z).
Se l'asse della z ~ scelto parallelo al campo magne~
co esterno, si constata che
nposta del sistema
so qal sistema, che chiamo (,rna), (lOb), (lOc)
(lOa), (lOb), (lOc)
~ pr!
anche senza scriverl0
per esteso, costruito tramite Ie sostituzioni (6a), (6b), (6c), (6d). Parimenti i1 postb dell'equazione del 5C1 ordine (11) ~ preso da un'equazione, che chiamo (IT), costruita mediante Ie citate sostituzioni. Infine, il posto dell'equazione di STOKES (12)
~
preso da
un'equ~
zione, che chiamo (U), costruita mediante la sola sostituzione di Re con Re. Le componenti
~i
delle perturbazioni magnetiche obbediscono
281
- 14 -
Aldo M. Pratelli invece al sistema (i
= 1, 2)
(13)
=0
(donde
~
= cost)
Anche qui Ie (l3) non interferiscono con Ie (16) e non hanno alcun interesse ai fini dell 'analogia. 2° CASO) 11 campo esterno sia parallelo all'asse delle
z e tut -
te Ie grandezze variabili dipendono dalla z oltre che dal tempo. Mentre nell'analogia studiata precedentemente (l" caso) venivano messi in relazione fra lora piccoli moti paralleli all'asse della coordinata libera (moti od onde di compressione e rarefazione), questo 2°caso mette in relazione un piccolo mota parallelo all'asse della coordinata libera (vibrazione longitudinale) con uno perpendicolare all'asse della coordinata libera (vibrazione trasversale). Se
l
1
= ;f (z, t) = u1 T+ u2 + w it indica la velocitA adimensio
nale, l'equa.zione di conservazione della massa diventa
'if s
~
(14b)
+
g..w
~=O.
Essa coincide con la (lOa) con la ovvia sostituzione di u CQn w e di x con z. Scelte come grandezze caratteristiche i valori di B1'
Pl'
P1'
che corrispondono allo stato di quiete, come velocitA caratteristica la vel£ citA di ALFVEfN b 1 = Bl /
V PI
~
282
COIJle lunghezza caratteristica
- 15 Aldo M. Pratelli
una 12 , e come tempo
t2 = 12
I b1 ,
il numero di REYNOLDS magn~ I
tico, (anzi il numero di REYNOLDS diviso per il numero di ALFVEN) sara dato da
R&.
= cr ~ 12 b i
mentre il numero di REYNOLDS ordiI
nario (anch'esso diviso per il numero di ALFVEN)
sara
R@
= 12 bll ii.
L'equazione (3c) della quantita di moto, si proietta in (14c)
(i = 1, 2)
(15c)
D'altra parte la (3d) equivale aIle
»-~
(14d)
~-
9-13
(15d)
~
=
&-Ui
'tz
1 = ~
~ z2
~2 s
1
9" z2
R&
mentre la condizione (3f) (il campo magnetico
E1(3 I
8'-z = 0 che insieme alIa (15d) da L'eliminazione di
s
e solenoidale) f' = cost.
da luogo a
tra (14b) e (15c) da luogo alIa
4
1
(16)
(i = 1, 2)
-
Na 2
3 REf
= 0
Da1 confronto della (16) con llequazione di STOKES (12) si rileva che esse coincidono (tenuto conto delle unita scelte) se =
V
Na
I 12 b 1 =
1.J
I 12 al
1I I 10 a o =
(si tratta quindi di consueta similitudine
dinamica, come se il campo magnetico fosse assente). DaIle (14c), (14d), mediante semplici derivazioni e sostituzioni
283
- 16 -
Aldo M. Pratelli otteniamo:
~ui
&x 2
(17)
1
-
9'3 ui
1
1
(liB + Ri"") B'2t.2 9t + R!Rl (i = 1, 2).
5i osservi che si passa dalle (14c) alle (14d) scambiando ui con
~i e RB con R&; si deduce che Ie
t!i obbediscono anch'es-
se all'equazione (17). 11 confronto della (17) con la (11) e la (12) permette di concludere che Ie due sole analogie possibili sono dovute alIa coincidenza dell'equazione (12) con una delle due seguenti, Ie quali si deducono dalla (17) ponendo RIB =00 (18) (19)
oppure RB "co
CO2 ui ~2
~ ui lf~2
~ui
92 ui
~t2
EJ z2
1
@3 ui
1
3 ui
- Rr B-t2
- RT
~z2
~
Bt
=0
(i = 1, 2)
" 0
(i
" 1, 2)
In altre parole si possono stabilire due analogie: quando 3Re/4 " RB se ne stabilisce una tra i piccoli moti (longitudinali) di un gas ordinario viscoso in cui si possa trascurare la conducibiliU terml ca e i piccoli
mot~
(trasversali) di un gas ionizzato non viscoso e imperfe.!
to conduttore della elettriciU; quando
3Re/4 = Rib se ne stabilisce un'al
tra tra gli stessi piccoli moti (longitudinali) e quelli (trasversali) di un gas ionizzato viscoso e perfetto conduttore
dell'elettricit~.
5enza venir meno aUa promessa di non dare un elenco completo dei risultati, non posso astenermi dal segnalare che i1 sistema di KIRCHHOFF
284
- 17 AIdo M. Pratelli (7a) (7b) oppure (10a) (lOb) (10c) el'equazione di STOKES (12) sono stati studiati dagli stessi, da RAYLEIGH, da ROY (che ha introdottonel 1913 i1 concetto di "quasi-onda") da CAGNIARD (1937) da POSSIO (che ha sostltuito nel 1943 11 concetto di "strato" a queUo di "quasi-onda") da WU (1956): tutti risultati che sono utilizzabili, con qualche precauzione, per Ie equazioni interessanti la m. f. d. D'altra parte Ie equazioni (18) e (19) non son nuove in m. f. d. : esse erano state ottenute e studiate nell'ipotesi che il fiuido fosse incomprl mibile e la perturbazione finita. Cil> ricordato, possiamo trasferire all'equazione dl STOKES (14), oltre che aUe (18) e (19), alcuni del risultati ottenuti da NARDINI (1953 e 1961) daUa Sig. na MARRA (1957) da
KAUTZLEBEN (1958) e da OLIVIERI (1959).
285
- 18 -
AIdo M. Pratelli
n testo completo verrA pubblicato nei Rendiconti dell'Istituto Lombardo, Classe di Scienze (A), (seduta del 15 novembre 1962 e successi vel in N.ote dai titoli: 1) Analogia tra "viscositA magnetica" e "conducibUit&. termica" nelle pi£. cole perturbazioni di fiuidi comprimibUi (Nota I e Nota II). 2) Sulla propagazione per onde piane delle piccole perturbazioni in un gas ionizzato, viscoso, termicamente conduttore. I lavori sono eseguiti neU'ambito deU'attibitA dei gruppi di ricerca matematici del C. N. R.
286
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C. I. M. E.
)
U. SCHMIDT
WAVE PROPAGATION IN M. F.. D.
Roroa - Istituto Materoatico dell'UniversitA
287
WAVE PROPAGATION IN M. F. D.
U; Schmidt
I. The basic equations and their generalisation. The basic equations of Magnetonuiddynamics are: (1)
1
d ..
~
~
fdtv= - c j x B - grad p
(2)
1-,. ~ 1 . . . . - J = E+-vxB
(3)
-Q
(4)
- - 1:1 = c ~t
(5)
-
c
fi
at
f
1 'a
41\: c
.... = - dlV fV
.
:t
...
.
-
d
dt
(p
Q
1
-'I )
=0
curlE ~
-If
J = curl 1:1 •
...
-
....
They contain 14 scalar variables: 4 vector v. j, E, B i. e. velocity, current density, electric and magnetic field, and 2 scalars p, f i. e. pressure and mass density. ( G" is the electric conductivity,
l'
the
ratio of the specific heats, and c the velocity of light; heat conduction and viscosity is neglected). Even following for the fact, that we may elimihate from the equations as they stand
E, I
and p there are 7 scalar time derivatives left.
This then means we deal with a system of high order which should possess many modes of wave type solutions. Furthermore the fact that the time derivatives of the electric current and the electric field don't appear in the equations of M. F. D. is by no means trivial. M. F. D. as it stands is just a very useful simplifical method to handle the whole range of slowes phenomena in an ionized gas, fOr which there time derivatives may be neglected.
289
- 2U. Schmidt
But dealing with waves it is useful to include there derivatives and some other terms in the discussion for two reasons. Such a discussion furnishes the actual conditions, for which the M. F. D. approximation holds and it gives a more realistic picture of the possible wave modes. Therefore we will in the following discussion include the effects of Maxwelts displacement current and of the generalized Ohm's law, which is furnished by the two model. This model is another fluiddynamical
ap-
proach which handles the positively and the negatively charged components of an ionized gas separately. It so furnishes an reliable equation for the relative flow of the two components, i. e. for the electric current, whereas in M. F. D. Ohm's law is written without reguard to electromotoric forces other than the electric field in a comoving system. We assume the two fluids to consist of protons and electrons of equal number density N [cm -3]. so that the fluid is quasineutral and we use indices p and e respectively. The concept of quasineutrality is applicable as long as N - N ¢ N + N . pep e
...
...
:t.J......
(6)
~ mpme -+ -+ N m dt v = Ne (.I!,; + x B) - grad p -N Y (v - v ) p e P P c p mp+me
(7)
e N me -dt
d
Ve
m m
-l
-
= - Ne (E + -
ve 4 p e x B) - grad p + N v c e m+m p
e
(vp --+ve ).
The two substan~ia1 time derivatives are different, since they have to be formed with the velocity of the respective fluid:
-it-d·
8
=
~t
+ (Vi grad)
...
~
The two equations are coupled electrodynamic ally by E and B
290
- 3 -
U. Schmidt and further by a friction term opposing relative motions ficient
vp - ve . The coef-
v is an average collision frequency between the e and p particles.
Addition of (6) and (7) often gives the normal equation of motion in M. F. D. (1), if we use the proper averages
....
~
(8)
v
~
m v tm v p pee m tm p e
~ = N ev (~ -v -+) J
p
e'
and that means ... me-;f' v =vt- J
~
(9)
ep
p
Also the substantial derivatives combine to the proper substantial derivatives taken with the average velocity
v,
if we neglect terms of
me 2 dn~n de~e dV the order ( mp j ) , mp t me ~ = (m p tme) dt +
dt
mpme tm p e
+m
(1:.. Ne
~ grad) Ne
We get Ohm's law if we take a weighted difference of the two equations, i. e.
(10)
[(6) me - (7). mp]'
(i) [~ dt Ne
t
N (1 ) e mptme
..... ~ ~] = E Ne
....v
t-
c
+
~
x B m grad p - m gradp pee p
ey
Here we have written the friction term to the left hand side. The derivative turns out to be : 291
- 4U. Schmidt
ta ..., (-!,) = 9t iCitid'
(lOa)
i- + ("te- grad)~ ~
+ (v grad)
~
We may now introduce some characteristic frequencies: the Plasmefrequency '" p ,the Gyrationfrequencies W gp • fJ.J ge of the p .and e particles and a quantity 6" which terms out to be scalar conductivity : 2
C!)2 p
=
41tNe 2 (m +m) m m p e' p e
w
gp
GU r;;= ~
eB =--
4rr""
With these quantities we riwrite Ohm's law: (11)
d' dt
tP + EjJ=E+-Zvx 1 ~ ~ 1 ~ B -
c 1 .... ~ P - (- J x B-grad-) B c 2
me Here we have assumed p = p and - - terms are neglected. p c mp The additional term on the left hand of the generalised Ohm's law (10) or (11) is due to those parts of the mass of the fluids, which oppose changes in relative motion, and the terms on the right hand side describe the net electromotoric forces due to the fact that Lorentz force and pressure gradent cause different accelerations of the two opposite charged fluids. Further the electric conductivity is determined in this model by the plasma frequency fJ and the frequency y of collision between particles of oppop s.lte charge as a scalar quantity. Some numerical values should be given at this point : r -11 4. 7 plasma frequency: cUp Lsec j:!: 10
collission frequency: y • sec -lJ ~ 10 1. 4
l
(for proton acceleration) 292
- 5-
U. Schmidt conductivity : ff [ sec -1 ]
10
.!.
T I. rL.]( K for proton acceleration)
7.0
gyrofrequency :
J
10 4.
J
10 7. 2 B
of protons
CU gp [sec- 1
of electrons
Wge [sec -1
B [GaupJ
lGa~J
The conditions for which the M. F. D. approximation becomes in-
...
valid, may now be discussed.
1 oE
a) Obviously in (5) the displacement current
c
9t
may not be neglec-
ted, if electromagnetic waves i. e. transverse waves with relativistic velocities are to be described. Further it may not be neglected for frequencies in the range of the plasme
c.vp and above, because in this range the iner-
frequency
tia term in Ohm's law may control the electric field and the displacement will then be of the same order as the conduction current : 41t ()J2
d
J
4ft
~
-dt
IV
p
-
CJ
1 ",E
1
~ N
p
-
w
(.\
at
..lL-
p
....
E
b) In order to judge the relative importance of the different terms in Ohm's law (10, 11) we linearize the equations around an equilibrium state with constant p, fJ, Band o 10 ..., 0 ~ PI' ~1' B1, E 1, J1, vl'
...
...
E0
=
10 = V0 = 0
and solve for the distribution
Further we describe the solutions in terms of plane Waves with a phase factor (r.iJ frequency,
e
i(e..) t - IG)
K wave vector, t
293
space coordinate vector).
- 6U. Schmidt
This means
...
grad a = - ika
a= - ik. ~ ... ... ... curl a = - iK x a div
...a... ~t
a = iwa
and therewith we get from (1) - (5) and (11) including
(iw + y)
41C ~....,
cd._I-'
wr1 - )0
jl
....... 0
kv
1
~
1...
=El + -c vI x ~o -
+
47rW~e c (..c}p
-
.,
~~
1~
in (5)
..., ...
(-j x B Bo c 1 0
iK PI
+- - I 2
=0
(12)
~B =i~xE 1 c 1
We use the equation of motion, to get an estimate of vI in terms of j , infering a parameter
P for the ratio of the disturbed pressure gra-
dient and the disturbed Lorentz force :
~
-; 'j1
r
x
0
B01 !::: 'ikP11 ; P::'lsIC :~ 0()
294
for transverse wave for longitudinal
1 B0
for longitudinal 1/ B o
- 7U. Schmidt vI = (1
c2
1e
Wun
41CrJ
+13 ) -='w
r
1 + ...
. -
(- J x B
B~
c.Jp
c
)
0
So we get the following estimates :
dumping
inestice
term
term
~ 4]t'
induction electromotoric
~ 47t'
W2 j
Wp
L2 COp
term
j ~ (1
electromotorfc
Hall-term
+P ) 4lt
wf.)
Sp 2 ge
j
wpW
pressure term
t
(,J
~ (1 + 2 ) 41t' ~ j (,..)p
The following scheme runs up the comparison between the different terms: inertia with respect to indice
1'+p
Hall
pressure
2
~
Wge CJgp
~( t.)
Wge
I.AI ge
2
JI
w
---.L.
.!(1+f)~
f
!.Vge
!
Vge
~ tJge
r
eN
1+~
(1+f3)~
w
pressure
c.Jge W
1
1
IA)
ge gp
1
W
v>'L
wr
W
Wge
cJ, ge gp
W W
1
l+p
l.J
Hall
(I+P) ge gE
1
7
~2
(1+,)
W
W
1
induction
"(
1
damping
induction
dumping
1P 1
2.
7f:
c.Jge 2 W
2.
y
1_1~ 2 It tVgp
~ 2
1
The scheme may be used to find out what neglections in the generalised Ohm's law are allowed in certain case e. g. we see that for frequencies small compared to the Gyrofrequency of the protons we may generally neglect the added non M. F. D. terms. 295
-sU. Schmidt
II.
Waves with small amplitudes.
1. - Hydromagnetic waves 3) We will esclude dissipation effects throughout the following diw CM scussion, i. e. g~ gp . Then the unchanged M. F. D. equations al-
t«
low elimination of
E,
j, and the magnetic field is completely froozen into
the fluid. This then means, that a discussion of the material velocity
V1 '
must reveal all essential effects. Further we know, that the only restoring forces left are the pressure gradient and the magnetic stresses i. e. the pressure BS 2 on surfaces across 1t
lines and the drawing stress -
2
:1t
B, which opposes compression of fieldalong fieldlines, opposing bending in the
fieldlines. Successive elimination of ~, (1) 41('"
2
f oVI
B1, E1,
P1 and f1 furnish:
2 ........ ~ ::!t.. ~.., - ,..... ..... ~.... -+.. 2~ = (b(p +B )(k.v 1)k-(J:S v 1)(B k)k-(kv 1)(B k)B +(B .k) VI 00 00 000.
We see, that Hydromagnetic waves show no dispersion at all, consistent to the fact, that the M. F. D. equations dont't allow for resonance oscillation. The determinant of the system (1) must vanish and give the pos2 Bl sible phasevelocity v terms of the two characteristic velocities vA = ~ p ~fo
~lfv~nv~ocity-) and
v! =
Y~:
(sound velocity) and the angle" between
Band K:
o
2 2 2 [4 2 2 2 2 2 2£'1J (vp-vAcos&) vp-(vs+vA)vp+vsvAcOSV
(2)
=0
There are always three rootes for v 2 the first describing the pu,... ... .., p GIl.. rely transerve Alfv~n wa~s (leV1) = (B 0 vI) = 0 with k = vA cos~ , moving B0 (gradk W = ±vA ...- ...
-..
r!-), the two other describing mixed modes with 0
(k, v l' B0) being coplanar. For the latter one can derive from (1) a very
296
- 9.... .., simple relation between the angles t (B , vI) and
9
o
... -+ (B ,K)
U. Schmidt
0
v2 tg 1" = P tg ~ 2 2 vp-vA
(3)
which furnishes the complete information about the nature of movements in these modes. (Diagram on next side).
v; = (4)
tVA cosS-
+2 • 2 2 (v) ~ MaxIIDum(vA,v )
v 2 +v 2 A s
p
+ is the velocity of the socalled fast waves,
v
p
v
p
s
(vp-1 2~ M"mlmUm(2 vA,vs2)
2
is the velocity of the socalled slow waves.
deale:
I
___
I
I
'l1'~---
II
I I
I
297
- 10 U. Schmidt -"
.
~
The 2 Koplanar modes of Hydromagnetic waves (v r k x B = 0)
+
0
Polar Diagramm of phase velocities v- and corresponding directions of map terial displacements and velocities
vI
v2 Parameter:
(v
s
-2~2-
v s +vA v - (slow mode) p
+
v (fast mode) p
s
= sound velocity)
(vA = Alfvlm velocity)
The direction of the radiusvector from the
I
0-
origin to these waves Is always parallel to the direction of K
these curves are tangential to ~1 for the corresponding vp' They are determined by equation II (3).
-
NOTE : The red curve vp for the parameter valve 1 gives the phase veloo city v of the purely transverse Alfv~n wave. ~
p
298
- 11 -
U. Schmidt
2. - Electrostatic waves (1) In a twofluid composite we espect two different kinds of longitudinal waves. In the previous section we got one sound mode in which the fluids move essentially together, so that we don't find a large
f
disturbation
So the other mode should show such a relative movement of the two fluids. But we will only describe it correctly; if we include the inertia term in Ohm's law and the displacement current. If we may neglect the magnetic field (B=O) the temperature (P = 0) and the damping we simply get
o
-+
4rr ., 1 ~E -J = - - c
c ;;)t
~
-'l
with a purely oscillating solution E
IV
iJ '" e
i~t
. Of corse we have to al-
low for a finite pressure of both fluids in order to describe propagating longitudinal waves. So we add into the picture the pressure gradient of both fluids. From equations I, (1) - (5), (10) :
P
Po
4'1t'
.!L -+
~
,,;2 CIt j1 = E1 j) U
1
+P
JO e
m ~ divrv'l - -=::E.. j 1) eo e!o ~
o = - curIEl -+
c)t +
P
eo
grad(m p - m p ) p e1 e P1
'Y p
1 0'E1
=
47'" 7J --zJ1 = 0
299
Po
"'2
- 12 -
U. Schmidt
plane wave analysis and elimination furnishes in this case a dispersion relation (5)
4 2 2 2 l4.I~ ~~ 2 me 2 2 2 v - v (v + v + -'=-2 ) + 2 (v + v ) +v v =0 p p sp se K K sp ~ se sp se
with
so that the quadratic equations has two solutions since the sqare 9f second coefficient is large compared to last coefficient.
The approximate solutions are therefore : w2 2
(6)
+ v
2
se
v
K + vse .- 2 = v 2 23-
p
sp
w2
2 ~+v K2 se
is the Oebye shielding distance 2 v d2=~
lCV~
i e. the distance over which tb~
electrostatic interaction
of single particles is acting.
vs ~{2.vsp
300
- 13 U. Schmidt
These solutions may be generalized for different undisturbed pressures,
a' and of course the mode splitting effects of a magnetic field
:8o. Now we will discuss briefly the effects of it'0 upon the transverse elec-
tromagnetic waves where we ought to final a connection with the transverse hydromagnetic waves. For this propose we neglect the temperature effects,
(f
i. e. the pressure gradients
= 0) and as before the damping, but we al-
low for vortices in the electromagnetic fields.
3. - Electromagnetic waves.
From the equations I (12) and with the assumption we get:
. poVl
lU)
4~
= -l~"'B J, x c 1 0
iWW'211 P
1 ~
..
_
E+-vxB1
c
1
0
41t"W ge
Q2 p
i{,,)~= c
1
...
~
.. Bo By successive elimination, and using b = B o
(7)
0
'
o+k = ~ K
(;>2 1 -1 =-0.12 1 2 p
1-~
v2 P
...,
~
For jl x b0
=
0 we get the plasma oscillation for vanishing pressure, which
we found before. We will not discuss this equation extensively for an the possible 301
- 14 -
U. Schmidt
..... =
modes, but restrict ourselves to the transverse mode along the field
kxb
o
~..,..
j.
K
= 0;
( 1 _ GoIge'iF 2
This equation implies circulary polarized waves : ~ ~ ordinary J1 = .! i J1 x bo for extraordinary
~
waves
and the dispersion relation (8)
c
2
v2 P
c,v2
= n2 = 1 _ ....::.e.. G.)2
For all
frequen~ies
Eccle relation: n2 = 1 -
W
G)
W
( 1 + ~ _ ge gp )-1 CO
-
w2
high above the gyrofrequencies we get the
~2
*) in the intermediate ranges WN CA) we W g get resonance effects (at wand even G\) if (.) is small compared x) ge gp p to ,the frequencies At very law frequencies V« G
= 1 +~ v2
A
i. e. transverse waves with Alfven speed as long as it is small compared to
the spead of light. Since they don't have a dispersion their phase velocity must be always smaller than c. x)
x)
See diagram on next side. 302
- 15 U. Schmidt
"
Ii
\
I
\
I \ I 1I I
1. Eccle-relation for
W» Wge(»Wgp )
2. Example of intermediate region:
W -
p
c' -- -- ---,
3. Dispersion free case for
303
w«w ,w gp
p
0.2 w ge
- 16 D. Schmidt
III. Alfven waves with finite amplitudes. The equations of M. F. D. contain nonlinear terms and we expect interesting effects in wave type solutions from this fact E.g .. as in ordinary fluid mechanism sound waves should steepen up into shock waves since the velocity of longitudinal waves v (or ~ v 2 +vA2 across the field) in a compress s sed region is higher than in an expanded region. But things are more complicated now. In ordinary fluidmechanics we know that the thickness of a shochwave may not fall beyond the length of a mean free path due to the effects of viscosity. In M. F D. there exist two move characteristic path lengths. i. e.
If-v
besides the mean free path =! ~and these are the mean gyroradius vs y; vs ry IN ~ r g and the Debye length f wp = d which we have used earlies. So tIle most interesting and still unsettled question is what happens if these other path length's are smaller than the mean free path.
1. Further, since we have found in M. F. D. tranverse waves due to the restoring forces of bended fieldlines we may be interested in the question, what happens to these Alfven waves if they possess finite amplitude. For incomprensibility this question is answered by several authors and we will discuss it here using the equations in a form, where (1)
'd
fat \f + f
j are eliminated:
1..,.
~
(V' grad)v = 4rc rot B x B - grad p
~...
'd t B div
E,
7J 4
div B
-
~ = rot (v x B)
0 0
We look for stationary solutions, i. e. 304
- 17 -
U. Schmidt
r
(2)
.., .., rot vx v +
r grad 2v2
.,
We try
....
~
~
= 4r: rot B x B - grad p
....
rot (v x B) = 0
...
vxB=O, and find
-
...
+ ,,--
B=-Y4Tif v
grad ( ~
(3)
v
T
2
+ p)
= 0
This means, that we may choose any source force vector field
~ or
B as a solution.
(3b) is Bernoulli's equation for whirl free flow in
classical hydrodynamics, but here are many have even arbitrary whirls in the flow. From this class of stationary solutions we get more general time dependent solutions by Gali1ei:..transformations. We assure as boundary condition, that
v and B become homogeneous fields at large distances
-
...
lim B = B ~ .. ..,
,00
=-+ ~~ 41T (0 V = cost. I OCI
For the deviations from these fields we may write :
In the coordinate systems, which moves with the fluid at infinity, 1. e. with the velocity yt'0I these solutions transform to
(4)
~, =~ - ~co -+
B'
...
B
- .....
1
-- .. .... t')
= v1 (r' + v..0 t') =+--= B1 (r' + v - {4 7r f
...
Q(J
....,. =B0cI + B1 (-+, r + .... VOu t')
-
which are now an instationary solutions, which become static at infinity. At finite distance (4) describes finite amplitude disturbations ~ vI' Bl of the sta, 305
- 18 -
U. Schmidt
BOo
tic solution
...,
= 0, These disturbations move along the observer
, vOd
without any change in shape and witha constant velocity, 1. e. the Alfven velocity:
=
VO(,)
1
B....
So even with finite jimplitude the Alfven waves don't show any dispersion. 2. - Stability of finite amplitude Alfven waves 5), Finally we will consider the question whether Alfven waves with finite amplitude are stable solutions. Stability would mean neighbourhood solutions tend to stay in the neighbourhood of the solution in question when time goes on. Only such a stable solution has a change to exist in nature. We use a transformation originally found by Lundquist -+ 1 B P . =. v +-....----
(5)
kR'f
-....
1
Q = v-_
\~ 41T'r
B
.-, 1-+~ v =- (P + Q)
2
~
B 1 -- ... ; - = - (P-Q)
f4'1ff ~
...
...,)
The Alfven waves are characterized by either P = 0 or Q = O. The equation (1) can be written in components as : 1
B2
'IT =-(P+-j
f
~
- - B =0' gXk k '
306
811"
- 19 -
U. Schmidt The transformation yields
(7)
and other multiplying by P. and Q. 1
1
(8)
2 2 4 Since P + Q =
T (f
+ 8'ir ) 2
+
B2
represents the energy density the last
equation is a conservation law of energy. The Alfven waves are represented in these variables by
lr = const. and either or
4
P
QQ.
= 0 and ~ = 0
-+
Q = 0 and
'd Pi
~=
0 .
....
We choose P = 0 and look for the changes in a neighbourhood .......
so~
-+
lution PI with P 1 ~ 0 but PI = 0 at the boarder of, and outside a finite Volume V. The conservation law for p2 then gives: (10)
so that the disturbation PI should stay to be small as time goes on, unless local singularities are built up. 307
- 20 -
U. Schmidt
IV. Compression waves with finite amplitudes 6) We turn now to a class of stationary longitudinal waves with finite amplitudes, which can exist in a dissipation free magnetic fluid. Such waves are of interest, since we get don't know a shock wave looks like in a rarified plasma with a large mean free path compared to, say the Gyration radius of the individual particles. Such waves, which exist even for the case of infinite mean free path might give us some hints to the structure of shock layers in a rarified plasma. We assume stationarity and besides the damping we include all terms of the generalized Ohm's law since we want to discuss all gyration effects at
WN(J
g
:
...
f (;' grad) ~ =;- x B- grad p
tr
(1)
4Tt-
(v grad)
p J c.J~
....... I I
...L
f
...
'\
........
~ mp:-:me \ . v -+ + (-II... grad)(v _ ...tL)= - x B _ mp+me Ne ~ c
f
-
~ W ...£.. { ; x it - grad .E,l w2 ge B c 2J p
div (
r ~) = 0
~. grad p 41t
~
=
t -;.
y
grad
f
~
~ (
curl B
o
curl E
....
the current may be eliminated immediately. We look for plane waves:
'U
ry'
t()
~;:
.. ~ 0, B: B z ,and get
scalar equations for ·B = B , j = j , v = v)(' E = E , f ' p. We disregard z y y the x component of ohm's low, since we don't need E , which can't make x 308
- 21 -
U. Schmidt
-
contributions to curl E .
r
dv
B..@.. _ ..9?.
1
vdx
= - 4Jr
dx
dx
4rt c () d 1 dB 1 - 6)2 v 4 n: ) ~ (~ ~) = E - ~ v B P (2)
-
d dx
( (0
>
=0
v)
d (l) = 0
.-y
dx
)'
~E dx
=0
4 of these equations may be immediately integrated to conservation laws for the flow of mass and momentum, for the entropy, and for the perpendicular electric field :
fV
= F
const.
B2 Fv + P + art
const.
(3)
l = S = const.
fr'
const.
E
The only differential equation left is Ohm's law, which must describe the energy conservation law. We may write it as (4)
_.....£... ~ ( v dB) = E t..J2 dx dx P
_1.. c
vB
(v ddx is the substantial time derivative for stationary conditions)
2 We have to consider, too; that cV p depends on
2 __ 4Jre 2 (0 ) me mpme
,.,2 __ 4)!:Ne
""
p
309
2
4 Jre F
1
mpme
v
f
and we get :
- 22 U. Schmidt
-
(5)
c m me d d I P v - (v B) = E - - vB. 4 7t. e 2F dx dx c In order to get an energy conservation law we have to multiply
this equation of electromotoric forces by the current which is driven by these forces:
and further 2 c d d B2 c 2 IDpme d I d (-) -(-(v-B) )+-E-B - v - - - = 0 4 7L e F dx 2 dx 4 7t" dx dx 81t
The last term on the left hand side also terms out to be integrable if we use the equations of motion, of state and F = pv _ vJL~= dx 8~
+v~+FJL~ dx
'(
dx
d
2
d
v2
= - - --pv+F-y -1 dx dx 2 ' d
since -pv dx
dn dv =v-=-+pdx dx
dn dx
=v(-=-~p
d~r )
dx
dn 1 =v-=-(l-.y) dx CI So we have the result : flow of energy stored in currents, Poynting vector all material energy flow (6)
J
v- B ../ ~ d c 2 mm e dx c I '\)' d )2 +-E.B+-pv+F-~--) ~ ( dx L\ 4~e F 2 4'1t' '1-1 2.
310
=0
- 23 -
U. Schmidt
i. e. the energy conservation with the constant flux of Energy: (7)
d --r 2 m me V -dxB ) 2 c c v v2 ( +E. B + - - pv+F-= const W = (--) ~ 41Ce F 2 .!Ill (-1 2 .
We infer two observations for the content of the first and for the sums of the other three contributions to W
~ = 4: 't' 'I.
'( v2 E B + - - pv + F y-1
2
(8)
and an another abbreviation for the substantial time derivative
d =vdx""'
With these symbols we get : 0=(0:
and, if we think of
2 B2
2
-+~) = 0( BB+ 2
as being a function of B , not of x:
(9)
This is the equation for an ankarmonic oscillator with a potential
~
- 2 (B). ~
We have now to evaluate the potential
ct>
in terms of B. Using
(8) and (3) : (10)
The connection between v and B is given by the conservation laws (3), too: (11)
F v + S v -"a + - 1
8n:
B 2 =1T" II
311
- 24 -
U. Schmidt
These equations are solved numerically for the case
y = 2 and
different values of S. Here we will just discuss the general features of these solutions for the case S = 0 , i. e. for negligible temperatures. For this case we may eliminate v immediately: I I
I
I
I
.1 (22) IP
o
c 1 = -EB+-( 41t
2F
IT - -B2) 2 8ll
I
I I /
I
I
I
/
'" '"
B
Since v must not be negative, B must be less then
{8ft if
. Allowing
for this condition we find a limited range of potential troughs, which can giv ve rise to oscillatory solutions for B (x). With growing electrical field E the slopes will gradually fall until the condition for B becomes unimmax portant. Then the solutions are limited by a solitary wave starts right at the west of the potentia1. The slopes will determine the 2 derivative v
d~
(v :x B) and
therefore the wavelength in space. The steepest slopes originate from the term
1
2F
B2 2 (s;) in the potential, so that a characteristic length will be
given by:
so L is apprOXimately given by geometrical average over the radii of gyration of electrons and protons. The minimum fieldstrenght that can be reached without collapse t6 a vanishing field give maximum velocities
312
v
- 25 -
U. Schmidt twice as large as the Alfven velocity. This tells us, that in a strong magnetic field, where the gyration radii are small compared to the mean free path which determines the thickness of a shock front, this front will have a time structure of a oscillations with caracteristic dimensions given by the gyration of the particles. But unless we infer a damping mechanism with a comparable characteristic length, the shock front as a whole can't contract into these small dimensions.
B
1'11( 1['
1. v(B) ~= 2, Parameter S (in units
~: )
_-1' I
I I
I
Be
2.
~(B) E = const.,
'0 = 2,
parameter S
313
- 26 -
U. Schmidt
3. Examples of solutions for S = 0, M maximum v2
M2 =~ < 22 ·2Bmm . 4]'1 min
314
- 27 U. Schmidt
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79, 183 (1950)
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General treatment of small amplitude wave modes using BOLTZMANN Equations:
R. L. LIBOFF Inst. of Math. Sc., NYO Rpt. NYO 9762 (1961) (to appear in Physics of Fluids)
315
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C. 1. M. E. )
TINO ZEULI
SU MOTI STAZIONARI IN MAGNETOFLUIDODINAMICA
ROMA - Isituto Matematico dell 'UniversitA
317
SU MOTI STAZIONARI IN MAGNETOFLUIDODINAMICA Tino
Zeuli
I. - E' noto 1'interesse che in tutta la Fisica Matematica presentano Ie soluzioni " stazionarie ", sia per i risultati particolari che esse offrono, sia
perch~
esse Sono punto di partenza per 10 studio delle picco-
Ie oscillazioni e, quindi, quello di questioni relative alIa lore stabilitli
0
meno, Cos! nella Magnetofluidodinamica presentano particolare interesse Ie soluzioni stazionarie, in cui gli elementi del campo e del moto dipendono solo dalla posizione delle particelle fluide e non dal tempo; e di particolare importanza per 10 studio del mote di masse stellari ~ il caso in clii si tram di moti rotatori assiali di masse fluide ad alta conduttivita ele'ttrica, in condizioni adiabatiche. II.
Nell'ipotesi di un fluido perfetto, omogeneo, di condutti-
-
viU elettrica infinita, in cui si generi un campo magnetico, Ie equazioni da considerare, 001 ben noto significato dei simboli, sono: ..
(I)
.p
(2)
dlV
(3)
p
(4)
rot
(5)
..... div B = 0 ,
(rot
.
VA \t
1
-+
+ 2' grad v) =
f1
.... .., rot BAB - grad p + grad U •
r
(f ....v) = 0 ,
=C
l .
(ih \t) =0,
Considerando i moti simmetrici attorno ad un asse, che assumeremo come asse z di un sistema di coordinate cilindriche (r,
319
- 2 -
T. Zeuli la (5) porge
_8_ ( rB ) +-.L ( rB ) =0 9r
r
'ez
z
e precisa, cost, che dovrA esistere una funzione scalare V (r, z), che diremo funzione del campo magnetico, tale che
(6)
B
r
=_.!...k r
'dz
'
B =_1
z
r
.-a..L .
ar
In modo del tutto analogo la (2) precisa l'esistenza di un'altra funzione
W (r, z), che diremo funzione di corrente, tale che (7)
La (4), poi, mostra che dovrA esistere una funzione scalare F (r, z) tale che (8)
....
~
BA. v ,. grad F
Da questa segue, anzitutto, che grad F X it' =0: quindi Ie
--
linee di forza magnetica giaceranno sulle superfici F = cost. . Si ha
inoltre grad F X ~ = 0 e quindi Ie superfici F = cost. sono anche superfici fluide. La (4), poi, prendendone Ie componenti secondo Ie direzioni tangenti aIle linee cordinate, porge Ie relazioni - vB
'f z
vB
z r
- v B r ~
320
gF
::--
dr
o gF =--
=
3z
- 3 T, Zeuli La 2a delle (8 1), tenendo presente Ie (6) e Ie (7), porge
'dV ~ =0 d Z 'Or '
(9)
ossia
d(V, W) d(r, z )
=0 ,
che precisa una dipendenza funzionale fra V e W: la funzione di corrente, W,
sar~
quindi una funzione della funzione del campo, V:
W = W (V)
(10)
a
a
Con questo la 1 e la 3 delle (8 1) diventano
~V
ar
_1_
(rf
dW B _ ~ dV I.f r )
= 'r) F
ar
'
(11)
-a V ~
z
_1_ (
rf
dW
~F dz
v'f r
B£D--)=~
dV
T
da cui, posto (12)
_1_ dW
rp
v~
B
dV
!P
=
r
¢
segue, eliminando Ia F fra Ie (11) , d(q"V) d (r, z) ossia anche la funzione
¢ ~
=0
una funzione,
del campo, V, E dalle (11) segue che F =
321
~ = 4> (V), della funzione
J~ dV ,
• 4 -
T. Zeuli Concludendo abbiamo B = __1_
L
r
(13)
r
= __1_ dW
r
rp
v~
(14)
dV
P1
=
av
dz
1
1
'dV
Tz"""
v =-
z
1
dW
(iV B't'
rp
J.
-
r IV (V)
in cui W e ~ sono funzioni, per ora arbitrarie, di V • 3. divisa per
Prendiamo ora in considerazione l'equazione, (1), del mota ~
1
notando che, per la (3) risulta
1
-~- gradp
Cr
=0
grad f
r-1 .
Proiettando sulle direzioni tangenti alle linee coordinate
ottenia~
Ie se-
guenti equazioni scalari
_!L v 2 + v 2 ) + -E..!.... 01'-1. uJ ar [_1_( 2 r z r- 1 )
322
1
·5T.
I(j vr
·Vr
'Cl vz
_
1
(~ -. 9r) - -
gB r
Br ( ~ -
r-f
_~[l..(V2+v2)+ dZ
2
r
Z
'dB z
Zeuli
BY'
gr) - f-r p C'Y
'd
~ (r Bc:p)
or-I_v]
,,(-1)
Notiamo anzitutto che, per Ie (13), la (172 ) si pub scrivere
che, posto
(18)
rv'f
dW dV
_1 rB
t
If
=
r
porge
d ('\f, V) d ( r , z) ossia anche la funzione'Y
=0
e una funzione, l' ='\jI (V),
campo, V.
323
della funzione del
-
- 6 •
T.
(19)
1T
=~fr·1
IN, 2
r-1
[(
Zeuli
~ rV )2 + ( ~ V a
oZ
)21. U,
J
W,·dW dV'
per Ie {13) si possono scrivere
(20)
_1_ W' 9V r~ 'd z __1_
~V
rfp.. gz
[l(_1_ ~r
[.1...
rf
W' '(jV ) ~r
+..t (_1_ w,.1.Y.. )]_ dz
.l. 'a V +L
cr( r ar)
_1
rr
~V)
gz( rp ~z
() z
By
~
'aTT
-f-rj dZ(rB'f)
::-
'd z '
Il sistema di equazioni (20), (18) e (I4) costituisce un sistema di quattro equazioni nelle quattro funzioniincognite V,
?,
B'P' Y'P
in cui compa:iono Ie
funzioni arbitrarie di V : W(V),
-.e, Ie (14) e (18) permettono di esprimere subito Ie componenti trasversali vf ' B'P della velocita e del campo magnetico in funzione della densita
? e del-
la funzione V. Sostituendole, poi, nelle (20) ci si riduce alla considerazione di due sole equazioni nelle due incognite V e
p.
Possiamo quindi avere una estesa varieta di problemi stazionari di magnetofluidodinamica, che vanno risolti tenendo ancora conto di assegnate condizioni ai limitL
324
- 7T. Zeuli
4. - Ponendo per semplicitll
(21)
v.2 V
(22)
( "iJ 2
l
=r - ~ ~ r
1 -'dV (-) r gr
J
'd (1- --) 'd V + ---(lZ r dZ
'
~ I 'operatore differenziale di Beltrami associato al ~ 2 di Lapla-
ce) Ie (20) si possono scrivere
(20')
_1_ 2 r
fw, D(V' )D) _f'_1 V2 V] lY. +._1 v. 2 ~ 2-(rB )_ ~1f . ~·r r 'f - p.-r~ 'd r If - 8 r '
f -
- 1 [ W'D(Vp)r2f '}
-1\ I }J-
eliminando fra esse la funzione
1r
2
a
] ~V -B'f 1T . V - ('dr B ) = _ ";) z prf z If ~z '
a
si ottiene la seguente condizione di
compatihilitll :
1
Laz {~ r W' D(V f) - _1 V v1 'OV.~ f_1_[W' D(V,P)2t:) 2 'j ~ r '" r 2 L
r )
(23)
r
1 V --
V
'
jA.
r ~
I
111\V
2 -'
_0-
~z
2
r9
'd vII 1 '0- (-)....1 ~ +1- - +r
'd z
f
2
'iJ 1 -17 (r2f
325
r
9
r2p
~z
2J
) ~ ( rBf )
2 (rR.)'f
=0 •
- 8 -
T. Zeuli Concludendo: " per l'esistenza di moti magnetofluidodinamici stazionari, simmetrici rispetto all'asse z della massa fluida considerata, la funzione, V , del campo e Ie componenti travers ali, B If e v If
' del campo magneti-
co e della velocitadevono verificare Ie (14), (18) e (23) dove W, ,
"Y
sono in generale funzioni arbitrarie di V".
5.
Per presentare qualche risultato concreto consideriamo il ca-
so in cui Ie particelle fluide hanno velocita di rotazione intorno all'asse z, v'f ' nulla e quindi si muovono in piani meridiani: essendo ora Ie superfici fluide i piani meridiani e contenendo esse ( n. 2) Ie linee di forza magnetica, ne segue B\f'
= 0;
cp = 0, 1 ... lora, come legame fra v e B , la relazione questo caso corrisponde quindi a
= O. Le (13) p;recisano al-
~
~
= - W'
~
B ,
-
ossia, in questa caso, in ogni punta del piano meridiana i vettori v e ~ B stanno nel piano e sono paralleli fra loro. La condizione di compatibilitli (23), posto
(24)
porge d (K, V) d (r, z)
326
=0
- 9 T. Zeuli e precis a che anche la funzione K e una funzione K = K(V) , della funzione del campo, V • Le equazioni del moto (20') divengono ora K( V)
'd V = 9 1f , ~r
~
OV
K(V) ~=
'(lIT
az
e quindi porgono l'integrale
If
=
J
K (V) dV,
ossia, ricordando n valore (19) di
C
t (- 1 f
(25 )
y-l
1T ,
+
(grad V)2 - U
=
J
K (V) dV.
La (24), poi, riCordandol'espressione (21) di D(V,
~),
si pub
scrivere
(26)
(WI2 _ --1:...)
P
f'
II
2
V
+r 'Or 'd V ~ (~ ) +roV ~ (WI )J WI = 'Or) oz oz f !!
n problema e cosi ne del campo, V, e della
r
2
f
K (V).
ridotto alIa determinazione della funzio-
densit~,
y ,in modo che siano verificate
Ie
(25) e (26), nelle quali WI e K sono funzioni arbitrarie di V, mentre il
e una funzione assegnata del punto. semplice e ovviamente quello in cui siano WI =h o
potenziale Udelle forze esterne
n caso e K =k
o
con h e k 0
pili 0
costanti. In questa caso Ie equazioni (25) e (26)
327
- 10 -
T.
Zeuli
diventano
(27)
(28)
Cl
-- p 1 J
r-
y- 1 +
2
- 2 2 (grad V) - U - ko V =0 . 2r f
Nel caso di masse fluide soggette alIa propria gravitazione, applicando ad ambo i membri della (28) il,62 di Laplace e ricordando l'equazione di Poisson,
42 U = - 4 Tt fJ'
essendo f la costante gravitazionale, si pub
eliminare il potenziale Udelle forze newtoniane e si ottiene dalla (28)
328
