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0 = 360° · Núm. de vueltas La tangente del ángulo (>.)y la función de distribución real F(x), cuando p. O y a 2 1, está dada por
11 representa la aceleración a .
1
Cinemática Movimiento oscilatorio OSCILACIONES ARMONICAS RECTILINEAS El movimiento de un cuerpo suspendido de un resorte helicoidal es una oscilación de esta clase. Las funciones del tiempos, v, a en este movimiento son iguales a las proyecciones sobre un diámetro fijo, de las cantidades s, v y a. correspondientes al movimiento circular uniforme de un punto material. Movimiento circular uniforme
Oscilaciones armónicas
Desplazamiento
m /29
= o> t
+
1 /30 Aceleración
v'
a=O: an = -=r t.J~
/31
dv
a =
dt = -
Aw' sen (wt
' Ecuación diferencial de una oscilación armónica 132
+
q,,¡
d' s
a=-- = - (l)~ s
dt' Posición angular cuando t = o rp Posición angular al tiempo t a. Aceleración centrfpeta L Radio (vector) de posición B. C Límites de la oscilación 4>,,
s A
b
Desplazamiento lineal Amplitud (despl. máx.) Radio de la trayectoria circular Arco de trayectoria
Cinemática
La
Caída libre y tiro CAlDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
-
Magnitud a calcular
Caída libre
Tiro {hacia arriba vertical hacia abajo
v.. = O
o
Nivel de
EU
Nivel de partida
partida
+h
(v. > O) (v. < O)
1 33
h=
g v v' -t' = -1 = -
g v. + v v. 1 - 212 = --2-1
cm
134
V=
gl =3!_=Viih
v. - gl = vv.'-2gh
m/s km/h
/35
1=
2
2
2
1
2h g
2h V
V
g
m
2h V. + V
v,.- v
g
S
min
TIRO HORIZONTAL E INCLINADO Tiro {hacia arriba (a > O) inclinado hacia abajo (a< Ol V, > 0
Tiro horizontal Magnitud a calcular
a =O V,> 0 o .- o
S
~r-~
m
.jff
136
S=
lii /37
h=
.!!_,,
138
V=
yv,?+ g' t'
v, l = v..
~
¡-s .L. o
....., r
l.A\ <1
o ~;;;.~~
IHI~;.
•ni/Ht
~
1
S
L
m cm
v.t cosa v.t sen a -
2
EU
f
m cm
1'
yv..' - 2gh
mis km/s
ALCANCE L Y ALTURA SUPERIOR H EN EL TIRO OBLICUO
139
140
Va lores cualesquiera
v,? g V,
l, = g
cuando a
1 41
Valores máximos
v,,'.!.
L =--sen2a
sena
=
45"
Lmti.r = ~::,
IH
S
m in
cuando a == 90°
2
g
a
m cm
Hmdx= ~
g
1''"'·' = v.. V'F
1 42
H = - - sen:: a 2g V, sena IH = g
fH mñx
v..
= g
Angula de tiro (respecto a la horizontal) Tiempo para la altura H 1 1, Tiempo para el alcance L
m cm S
m in
Cinemática Movimiento en el plano Inclinado DESLIZAMIENTO
i143i
sin
Magnitud a calcular
gsena
8=
g(sena - ¡.< cosa) o bien. g sen (a - .PI cos.p
144 ( 45
V=
1 46
S=
con
1
fricción
at = ~t = V2a5 8!2
V
2
O.
a
t
V'
2
2a
. a*
..... a*
RODAMIENTO sin
Magnitud a calcular
m
sen a - - f cosa r
g r:!
--sena
1 41
148 ( 49
con
1
fricción
r' + r;'
g
r' - - - - - -
-------t------------~~~----''_'~+r~f----4i como en /45 como en 1 46
S=
150
o •••
a
(I IIUÍZ
a ,.;,.:
tana.,;,.
,, + r,'
1 51
ié:_ .
=-
f
r
tan a = p.---..-r ¡-
Cono macizo
2
r,'= s''
152
Cilindro macizo
Tubo de pared delgada ( ¡'.!
=
T¡ 'l
+ f z2
9!! f ':!
2
a* Angula de volteo (centro de gravedad Cg verticalmente sobre la arista de volteo) ¡.<
,... 153 154
.p .p. f
,,
Coeficiente de fricción dinámica (ver Z 20) Coeficiente de fricción estética (ver Z 20) Angula de fricción dinámica (J.t = tan
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
Dinámica Conceptos generales Definición La dinámica estudia las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento y los conceotos afines de trabajo, energía y potencia. Principales cantidades de la dinámica y sus unidades Masa m (es una cantidad fundamental ; ver las Explicaciones generales) Unidades: g, kg, Mg (=tl 1 Kg es la masa de un prototipo internacional. En una balanza común se mide la masa de un cuerpo y no su peso.
m
m 2
Fuerza F y peso G El vector fuerza es igual al producto de la masa por el vector aceleración. En términos de su magnitud, la fuerza Fes igual al producto de la masa m y la aceleración a. F = ma
El peso G es el efecto de la aceleración de la gravedad g sobre la masa m . G = mg Con una balanza de resorte se mide directamente el peso como una fuerza . Unidades: N, kgf 1 N es la fuerza que imparte a un cuerpo con una masa de 1 kg (o sea. 1 N· s' · m-•¡ una aceleración de 1 m/ s2 . 1 kgf (= 9.81 N) se define como la fuerza que el campo gravltacional terrestre ejerce sobre una masa de 1 kg en una localización estándar donde g = 9.81 m/ s'. Trabajo W El trabajo (mecánico) es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. Si la fuerza es constante y se ejerce sobre un cuerpo con movimiento rectilíneo en la dirección de la fuerza. W Fs. Unidades: joule (J) = N · m = W · s; kgf ·m ; kcal; cv · h; hp · h Si una fuerza de 1 N se ejerce a lo largo de una trayectoria de 1 m. efectúa un trabajo (energía) de 1 N · 1 m = 1 J.
=
Potencia P La potencia P es la rapidez de variación del trabajo. Si el trabajo (energía) es uniformemente creciente o decreciente, la potencia será el cociente de trabajo y tiempo (P = W lt) . Unidades: watt (W) = J/s; kgf · m/s; kcal/h; cv ; hp 1 W es la potencia constante en el tiempo que corresponde a una transformación o transferencia de energía igual a 1 J/s.
1 W= 1 J/s
1
Dinámica Masa y momento de inercia de masa DEFINICION DEL MOMENTO DE INERCIA DE MASA J El momento de inercia de la masa de un cuerpo con respecto a un eje que pase por e es la suma de los productos de los elementos de masa y el cuadrado de su distancia al eje de rotación C.
m 3
J
=
::¡ r' t>m
= Sr' dm
kg. m'. utm · m'
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos (ver también 1 9) SI el momento de inercia de una masa con respecto a un eje que pasa por su CentrO de gravedad C eS J C o entOnCeS el momento de inercia J con respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por O, situado a una distancia 1"' es
m 4
kg · m', utm · m'
J=J c+ mlc'
Radio de inercia (o radio de giro) r, El radio de inercia r, es el radio de un cilindro ideal infinitesimalmente delgado, en el cual se puede suponer concentrada toda la masa del cuerpo y que tiene el momento de inercia J con respecto a su eje.
m 5
de donde
Electo de inercia (o de volante}
m 6 m 7
Efecto de inercia
m 11
m 13 m 14
N·m'. kgf·m'
G d.' = 4 g J
(para cuerpos que ruedan)
J
m 8
m 12
m. cm
(Ver fórmulas en M 3)
Masa reducida
m 9 m 10
'· =A
m,.,:fl
= ;;-
Fórmulas básicas Movimiento rectilíneo Fórmula Unidades N, kgf F =m a W = FS (F = const.) J. kgf ·m 1 E. = mv'
2
kg, utm Movimiento circular Fórmula Unidades N · m, kgf · m M =Ja W =M (M cta) J. kgf ·m 1 E. =2Jw'
., = 21rn (rps) E, = Gh 1 1 E, = Mt>p E, = -F t>l 2 dW dW p =--=Mw p = - - = Fv W, kW. cv di dt Para los símbolos de las fórmulas ver M 4
2
rps. rpm
J . kgf ·m W. kW, cv
1
Dinámica Momentos de inercia de masa Con respecto al eje b-b eje a-a (que pasa por el (de revolución) centro de masa C)
im i15 m 16
m m17
m 18
im i19 m 20
im i21 m 22
im i23 m 24
m
J
= m f .!
d,' = 4r' J
d¡"J
J
1
== -mf.!.
2
= 2 r2 =
1
2
m(R'+ r' )
J
J
m = -(3r' + h' ) 12
=
3 == -m r2 10
J
== 5'2
=
d,' =
4
== -mf1
J
10
d¡'l
J
m 26
d,'
= 4R 2 + 3r 2
d,' =
m 28
12
2
.
m(d + 4f')
4
J
=
d,' =
*Si d , e << l . J
(m / 31/'
=
3 3
00
(3 " ' + 3 , . + h' ) m(4 r' + h' )
3
20 (4 , , +
= m
3/'
d,'
+ 3 r' + h' )
h' )
1
2
3
1
T"
Cilindro hueco
,¡.... é,¡_
-+ . ~ ~-~~ . ·_ ""' '
T
1- --ll!._ Q
Cono
~ '-
-
.(_
2
Toro )a
8
(4 R2 + 5 r' )
m
1
$t ¡(
'-
4R + 5r
i2 (d'
Cil indro
"'"'_o~ ·r--o
2
3 = m(R'+ - r 2 ) 4
= -
i2 (3 R'
=s '2
J
J
m
8
=s'2
1
(3 ,. + h' )
4 = -mr 2 10
m 25
im i27
2
1
8
d?
2
d,' =
6
d t2
= 2r
J
d,' = 2 (R' + r' ) J
'-~--·
d¡'J
3
Cuerpos
'2
== -m
d,' =
3
Aro circular
1
J
1
M
1
+ e' )
E~ RJ r
""'~J' h -
(á' + e
2
)
.k_
o
1
Dinámica Rotación Energía cinét ica total de un cuerpo
m 29
E, =
1
2
m v2
+
1
2
J . kgl·m
J, ,,,2
Energía cinética de un cuerpo que rueda sin resbalar
1 E.= "2 (m + m,.,) v"
m30
J . kgl · m m/s
v = wr
m 31
Momento de rotación
p M = - =
m32
bl
p
N·m , kgf · m
21rn (rps)
P(kW)
P (cv)
n (rpm)
n (rpm)
= 973.4 - - - kgf · m = 716
kgf · m
Relaciones de transmisión Elemento impulsor
Relación de transmisión .
m33
1
d:! z:! n1 ()J¡ =- = - = - = di Z1 n:! tr)..!
1
Relación de momentos m34
Momento aplicado
M.
Momento resistente
M•
Eficiencia m
Potencia de salida
35
r¡ = Potencia de entrada Eficiencia global de varias transmisiones
Elemento Impulsado
r¡=r¡1 ·rt"'"t.• '
m36
m"' (Ver m 8) v F M
E. E. E,
Al AfJ
Velocidad del centro de masa (traslación) Fuerza aplicada Momento de fuerza en rotación Energía cinética Energía potencial Energía elástica de un resone helicoidal Deformación longitudinal del resone Deformación angular de un resone espiral
mis N, kgf N ·m, kgf · m J , kgf · m J , kgf · m J. kgf·m m. cm rad
Dinámica Fuerza centrífuga y esfuerzos
M5
FUERZA CENTRIFUGA
il
m 37
F ctg.
F.,..
mv' = mw2 r=--
m38
= 471' 2 m n2 r
m39
V
= 27TT n
m40
w
= 27Tn
N, kgf
'
N, kgf m/s, km/h
V
rps, rpm
ESFUERZOS POR EFECTO CENTRIFUGO EN CUERPOS ROTATORIOS
Disco w2 r 2p
v' p
"• = -3 - = -3-
m 41
N/m 2 , kgf / cm' Anillo rr,
m42
oJ2p
=- 3
(r 1'
+ r, r, + r
2' )
'·{ }}·· F..,..
N/ m'. kgf/cm'
1,
e f
a,
T
Distancia del centro de gravedad m. cm . mm m. cm. mm Elongación máxima del péndulo Elongación del péndulo m. cm . mm N, kgf Fuerza centrífuga Momento de inercia de masa con respecto a O kg · m'. utm · m' Momento de Inercia de masa con respecto a C kg · m'. utm · m' Momento al girar un resorte espiral un ángulo t> cp = 1 rad N · m. kgf · m Esfuerzo de tensión N/m'. kgf/cm'. kgf/mm' Periodo de oscilación (tiempo del movimiento de 8 a 8 ' y a 8) s. min m/s, cm1s Velocidad en E m/s, cm/s Velocidad en F Energfa cinética en E J. kgf · m
1
Dinámica
Ms
Oscilaciones armónicas OSCILACIONES MECANICAS (Ver también l 4 y l 7) Generalidades
lii m
Periodo
m 44
Constante de resorte e
m 45
Frecuencia
m 46
Frecuencia angular
43
T G Al
1
=T
(ver l 1 J
., = 27rf =
jf
rad/s
Velocidad crítica (por flexión) de un eje de transmisión, n,
E 2.,...¡-;;:;
n, = 2_
m 47
m
48
= 300
, (kgl/cm) ----rpm m (kg)
Constante de carga elástica con 2 soportes
1
e, para ejes con soporte movible r... ""\ '"
---~--'"'"\. --' =--=.::;.-.;;;...__
'[._______¡ 48 E 1
m 49
Ct
==---¡;-
t>l Deflexión , o bien. distensión de un resorte
1
Momento de inercia de la sección transversal de un eje (o árbol)
m
Masa. Al determinar la velocidad crítica se considera la masa (por ejemplo. In de una polea) concentrada en un punto. la masa del eje o árbol se toma en cuenta aumentando la anterior.
e,
Constante de resorte para oscilaciones elásticas transversales
Dinámica Oscilaciones armónicas MOVIMIENTO PENDULAR (Ver también L 4)
lii m 50
Péndulo cónico (o centrífugo)
T = 211" J!f=211" ~
m 51
m 52
s. min
r
f(JJ 2
tana = - - = g h w
=
Jf
g
1 h=
m. cm
lu~-----""/
Péndulo simple Masa oscilante concentrada en un punto . Brazo del péndulo con masa cero
im i53
T
m 54
v, = e J f
= 21r
j!¡
s. min v, = J7-(e 2 - f 2 )
m 55
lii m 56 m 57 m 58
m/ s J
Péndulo físico
T
=211"
¡¡;¡
J, = Jc+ mlc' J" = GI "
e
T' _ _!!_ l ) __ ( 411"' g
kg
· m'
kg
·m'
Si un cuerpo con centro de gravedad en
C a una distancia l e de O. se suspende de O y se pone a oscilar. su periodo de oscilación T se determina experimentalmente. y con la fórmula m 58 se puede calcular su momento de inercia Jc con relación a C.
im i59
Péndulo de torsión T
= 211"
~
vM.
]~ s, min ~ A-i--:'
Vea el significado de los simbolos en M 5
1
Dinámica
Ma
Choques CHOQUE O IMPACTO m 60
m 61
Si dos cuerpos con masas m, y m, y velocidades v 11 y v,. chocan entre sí, la cantidad total de movimiento p = mv permanece constante durante el choque (las velocidades cambian a v,, y vd :
p
= m, · v
11
+ m, - v,.
= m, - v., +
m, · v,.,
Tipos de choques Velocidades paralelas a las Directo y normales al área de choque central Oblicuo y central Oblicuo y no central
Velocidades en direcciones cua lesquiera
Las normales pasan por los centros de masa de los cuerpos Normales en posiciones cualesquiera
Clases de choques Elástico*
ii m62 m63
m64
Velocida des relativas Velocida des después del choque si es directo y central Coeficiente de restitución
Plástico
Son de igual magnitud antes y después del choque Vu V 12 =
Son nulas después del choque
(m 1 - m,) + 2m,· v,. m , + m,
m1 · Vn Vu:! =
v,. (m, - m.) + 2m, V:!:! =
· Vu
+ m2 ·
V2 1
m1 + m2
m,+ m, <= 1
<= 0
Coeficiente de restitución < M ide en qué grado varían las velocidades relativas antes (v., ) y después del choque (v, 2 ) : m65
* En el choque elástico oblicuo y central , el vector velocidad se descompone en sus componentes normal y tangencial . La componente normal v., ocasiona un choque directo, pero la componente tangencial v, no influye en el choque.
1
Hidráulica Conceptos generales - Hldrostátlca
N1
GENERALIDADES
La hidráulica estudia el comportamiento de los líquidos. Estas sustancias pueden considerarse como incompresibles en la mayor parte de los casos; es decir, sus cambios de densidad , al variar la presión, son despreciables. Magnitudes
Presión p. Ver O 1 Densidad p. Ver O 1 Viscosidad dinámica r¡. (EU : Pa · s = kg · m- • · s-• ¡ La viscosidad dinámica es una característica de los fluidos para la cual se cumple que:
n
r¡ = l(p, t)
1
Con frecuencia puede despreciarse la dependencia de la presión. en cuyo caso n
2
r¡
=
l(t)
(los valores numéricos) pueden verse en Z 16)
Viscosidad cinemática ''· (EU : m'/s) La viscosidad cinemática es la relación entre la viscosidad dinámica r¡ y la densidad p: n
3 HIDROSTATICA
g
Distribución de la presión en un líquido
n
4
Pt=Pu+ gph,
n
5
p, =p, + g 1, (h , - hd
=P• + gpt>h
1
Hidráulica Hldrostática Presión de un líquido sobre una superficie plana
Por fuerza de presión hidrostática F de un líquido sobre una superficie.se entiende la fuerza que ejerce el líquido exclusivamente. es decir. sin tomar en cuenta la presión p 0 •
11m6 n
F = gpyc Acosa = gphc A
n 7
Yn= - - = Yc +--; Yc A Yc A
(.:
Ir ,
lo
Xn= - -
Yc A
Presión de un líquido sobre una superficie curva
La fuerza de presión que ejerce un lfquido sobre la superficie curva 1-2, se descompone en una componente horizontal F, y otra verti cal F, .. La componente F,. es igual al peso del liquido contenido en el volumen V en (a) o en (b) . La línea de acción pasa por el centroide del volumen .
n 8
1
N, kN
IFvl =gpV
La componente F 11 es la fuerza debida a la presión dellfquldo sobre la proyección de la superficie 1-2 sobre el plano perpendicular a F,. Los cálculos se realizan mediante las relaciones n 6 y n 7.
e D Ir le Ir ,
Centroide de la superficie A Centro de presión (punto de aplicación de F) Momento de inercia de A con respecto al eje x Momento de inercia de A con respecto a un eje por paralelo al eje x (ver 110 y P 3) Producto de inercia de A con respecto a los ejes x y y (ver 110)
e
Hidráulica
Na
Hidrostática EMPUJE ASCENSIONAL
in i9
El empuje hidrostático ascensional F 1 es numéricamente igual a la suma de los pesos de los líquidos desplazados por el cuerpo sumergido, y cuyas densidades son p y p ', respectivamente . FA
= g p V + g p' V'
Si el lluido con densidad p' es un gas puede considerarse que
n 10
FA ""' gpV
Si p, es la densidad del cuerpo sumergido resulta que si :
p > p,, el cuerpo flot_a . } p = p,. el cuerpo esta suspend odo 1' < p,. el cuerpo se hunde
n 11 n 12 n 13
en el líquido más denso
Determinación de la densidad p de cuerpos sólidos y líquidos
-
Para sólidos con densidad 1 menor mayor que el líquido empleado
n 14
Para líquidos se considera primero F ' y m con un cuerpo cualquiera dentro de un líquido de densidad conocida p~ F 1--mg
1
1iill n 15
I'= PL--F-
n16
1 - -mg
p = pL
F. - F
P = P'--F,-
1+--
1 - -mg
mg
m
Masa del cuerpo suspendido en el líquido
F
Fuerza de equilibrio
F.
Fuerza de equilibrio en el experimento con el cuerpo auxiliar
PL
Densidad del líquido en que se pesa
1
Hidráulica Hidrodinámica FLUJO ESTACIONARIO
Teorema de continuidad (Principio de conservación de la masa) Ecuación de continuidad:
Flujo de masa :
m = VP
n 18
kg / s, g/s
Flujo de volumen (gasto) :
V = Av = ll
n 19
m' l s, cm' / s Teorema de Bernoul/i (Principio de conservación de la energía) Flujo ideal (sin fricción): n 20
Pt
Vt
2
P
V
2
Pz
Vz
p
J/kg
energía de presión por unidad de masa
p g
z energía potencial por unidad de masa
v'
energía cinética unidad de masa
2
0P·
M
~2:llt
por
Flujo real (en el que hay rozamiento) n 21
1
2
p + g z, + 2 = p + g z + 2 = p + g z, + 2
P1
Vt
-p + gz , + -2
W¡
1, 2
2
= -Pzp -+
gz2
Vz
2
+-2 + w¡,,.
pérdida de energía por fr icción desde 1 hasta 2
J/kg
Hidráulica
Ns
Hlc:lrodlnámiCII Potencia de una máquina hidráulica
W. kgf · m/s. cv
n22
mm
Trabajo de conversión por unidad de masa :
n 23
w, 1_2
=¡;1 (p,- p,) + g (z,- Zz) + '21 (v, 2 -
v, 2)
n 24
para méquinas generatrices (o impulsoras)
n 25
para méquinas motrices
- w1 , _,
w"·' > O w"·' < O
Teorema del momentum (o impetu) En el caso de un fluido (incompresible) que circula por un " volumen de control " fijo en el espacio se cumple la siguiente ecuación vectorial : N. kgf
n26 l
F
son las fuerzas que actúan sobre el fluioo en el volumen de control. Pueden ser fuerzas de volumen (por ejemplo. el peso) fuerzas de presión fuerzas de fricción .
v;
Velocidad de salida del fluido del volumen de control
v;
Velocidad de entrada del fluido al volumen de control
Teorema de la cantidad de momento angular
mm
Sobre un fluido (incompresible) que circula a través de un volumen de control fijo se ejerce el momento rotacional M :
n 27
N · m, kgf · m
v,_., y v, _., son.
respectivamente, las componentes tangenciales de las velocidades de salida y de entrada del fluido en el volumen de control .
r, y r, son. respectivamente, los radios correspondientes a v, y v 1.
1
Hidráulica
Ns
Hidrodinámica
PERDIDA DE ENERGIA POR FRICCION EN EL FLUJO A TRAVES DE UN TUBO
n 28 n 29
Pérdida de energia por } unidad de masa Pérd ida de presión
~ ~.. =l('a
v•
2) .
de donde
APv =PW¡ 1,2
Determinación del factor de resistencia fricciona/ ' y del factor de forma a:
g
lii n 30
Tubos de sección circular
Tubos de sección no circular
n 31
Re= vdp TJ SI Re < 2320. 31 flujo es laminar
n 32
Si Re
>
Re= vdhp TJ
2320. el flujo es turbulento
Flujo laminar
in33i
Flujo turbulento*
laminar
k ' = f(Re.d)
n34
1 a = - en tubos rectos d
n 35
a
=
1
turbulento* k '=f(Re,-) dh
1
a = - en tubos rectos d,
1
en conexiones
Determinación del factor cf>
n 36 Dld n 37
n38
Para secciones rectangulares
1'
Diámetro interior libre del tubo Longitud del tubo (= 4 AIPM) Diámetro hldréulico Re Número de Reynolds Sección transversal perpendicular a la dirección del flujo Perimetro mojado (y k l d , ) Rugosidad relativa k Altura media de todas las asperezas (ver Z 16) * El valor de 1 se obtiene del diagrama en Z 15
d d ,, A PM kld
Hidráulica Hidrodinámica SALIDA DE LIOUIOOS EN RECIPIENTES
mm
Con orificio en el fondo
v = cf>V2iH V = cf> EA-../2iH = !!J
n 39 n 40
in l41
Con orificio lateral pequeño
= cf>V2iH
V
n 42
S = 2VHh
n 43
V = cf>EA.J29R = !!J
n 44
F = pVv
mm
i ~-J¡~~ -- - -
::t
Con orificio la teral grande
n 45
tf~~ --..:.
111 n 46
V = cp
.
n 47
in l
~'
Con presión inte rior (p,) sobre la superficie libre
V=
)2
cpEA
(g
H+ ~)
j2
(g
1
p, H+ p)
Con presión interior sobre la descarga
48
v = cf>n
0
V = cf>EA -r p-
n 49
v p,
cp F
li b
g
-"!;:_-=-_:_JA ----p,
--
-
_:
V
Velocidad de descarga m/s Presión interior (mayor que la externa) Coeficiente de fricción del líquido (para el agua cp = 0.97) Coeficiente de contracción (E = 0.62 para orificios con bordes agudos: E= 0.97 para orificios con bordes redondeados) Fuerza de reacción Flujo volumétrico (gasto. !!J) m' /s, m'/h, lit/min Ancho de orificio mm , cm
Térmica Variables termodinámicas de estado Variables de estado son la presión p, la temperatura absoluta T y la densidad p. o bien, el volumen especifico v.
Presión p (EU: N/m2 = Pa. bar. kgf/cm2 ) La presión es la relación de la fuerza F al flrea de la superficie, A:
o 1
F
P=¡¡: La presión absoluta de un fluido puede interpretarse como la fuerza total que ejercen las moléculas al chocar contra las paredes del recipiente. La presión p' medida con un manómetro es la diferencia entre la presión absoluta y la presión exterior o atmosférica p.; cuando p' > O se denomina "presión efectiva". o simplemente " presión" . Si p' < O se llama entonces "vacío" o "depresión " . De ahí se obtiene que la presión absoluta p es:
o 2
p=p. +p'
Temperatura T. t (Magnitud básica; ver Explicaciones generales) La unidad de temperatura absoluta T. el kelvln (o anteriormente. grado Kelvin) K. se define por:
o 3
o 4
1K==~ 273.16
donde T,, es la temperatura (absoluta) del punto triple del agua pura. Ademfls de la escala Kelvin se emplea también la escala Celslus; la temperatura Celsius t se define internacionalmente como: t = T - 273.15
Densidad p (EU : kg/m3 ) La densidad es la relación de la masa m al volumen V:
o 5
m
P= yVolumen específico v (EU : m"/kg) El volumen específico es la relación del volumen V a la masa m :
o 8
V
1
V=-m =-p Volumen molar VM (EU : m3 /mol) El volumen molar es la relación del volumen a la cantidad de sustancia (1 mol) contenida en él:
o 7
VM = ~ n
Cantidad de sustancia (moles) n (Magnitud bflsica ; ver Explicaciones generales)
1
Térmica Calentamiento de cuerpos sólidos y líquidos CALENTAMIENTO DE SOLIDOS Y UOUIDOS
Calor Q (EU : J. kcal) Calor es la energia que se transmite a través de la frontera de sistemas que están a diferente temperatura. cuando se ponen en contacto por medio de paredes diatérmicas Calor por unidad de masa q (EU : J/kg, kcal/kg) El calor q referido a la unidad de masa es la relación de la cantidad total de calor Q a la masa m del cuerpo considerado. Q q=-
o 8
m
Calor especifico e [EU: J/(kg ·K). kcal/(kg · C)] El calor especifico (o capacidad térmica especifica) e es el calor Q que hay que suministrar o sustraer de una masa m para cambiar su temperatura en ll.t.
Q
q
mll.t
t>.t
C=-- = -
o 9
El calor especifico es función de la temperatura. (Ver valores numéricos en Z 5 a Z 9.) Calor de transformación {por unidad de masa} 1 (EU : J/kg. Valores numéricos en Z 12.) El calor de transformación (o "latente" ) es aquel que al ser suministrado o sustraido de un cuerpo cambia su fase sin que cambie la temperatura. Se distinguen los siguientes calores "latentes".
Calor de fusión
o 10
..
a; <1J
E
.,
o 11
.
"O "O "O
"E
:::1
o 12
,,
o
~
Calor de vaporización Es el calor necesario para transformar Calor de sublimación
un cuerpo sólido en uno líquido, a la temperatura de fusión un líquido a la temperatura de vaporización (dependiente de la pre- sin que slón). en vapor satucambie rado su temun cuerpo sólido a la pera. temperatura de subli- tura mación (dependiente de la presión) directamente en vapor saturado. (Temperatura Inferiar a la del punto triple.)
1
Térmica
Oa
Dilatación de cuerpos sólidos y líquidos
m o
Dilatación térmica de sólidos Un cuerpo sólido cambia sus dimensiones al variar su temperatura. Utilizando el coeficiente a de dilatación longitudinal (o lineal), que es dependiente de la temperatura (ver sus valores en Z 11 ). se tiene que:
13
longitud:
12 = 11 [1
o 14
im
o 15
Area:
o 16
t,)]
2 -
A, ""' A 1 [1
+ 2a(t
A2
2 -
o17
Volumen:
o 18
V2
""
V, [1
t. V = V2
-
+ 3a(t, -
,---------~-1
t , )]
I1A = A, - A 1 "" A , 2a(t 2
m
lii
+ a(t
111= 12 - 1, = 1, a(t, - t 1 )
-
t 1)
1 A,
L__ J
t,))
V , "" V, 3a(t, - t,)
Dilatación térmica de liquidas Con p. el coeficiente de dilatación volumétrica (o cúbica) -dependiente también de la temperatura- se tiene:
o 19
V2
o20
=
V, [1
t. V = V2
-
+ fJ (t
2 -
t , )]
V, = V, p (t2
-
t,)
Def/exión térmica 11 Una deflexlón térmica se presenta en elementos bimetállcos. los cuales se flexionan por calentamiento hacia la cara donde está el metal con menor coeficiente de dilatación. Designando con ¡¡ la "deflexlón térmica especffica" (pueden verse sus valores en la norma DIN 1715) se obtiene para la deflexión térmica total t.:
m o
L---¡
----~w
21
S
1, l. V, V, S
longitud a t, longitud a t 2 Volumen a t , Volumen a t, Espesor
A, Area a t, A, Area a t 2 t, t, lit
Temperatura Inicial Temperatura final Incremento de temperatura
1
Térmica Estados y cambios de estado de gases y vapores
lii o 22
Ecuación de estado para gases ideales El estado de un gas se determina por dos variables termodinámicas, de manera que la tercera puede calcularse empleando la ecuación de estado. En el caso de gases ideales es válida la ecuación siguiente, en la que la constante de gas R depende del tipo de sustancia (ver Z 12) : p v
= R T o bien.
p V = m R T o bien,
Si se refiere la constante del gas a la cantidad de sustancia (1 mol) entonces se cumple para todos los gases ideales, con R 11 = 8314.3 J/(kmol ·K) como constante universal de los gases (ideales). que
o 23
pV.,
= R,T
Si M es la masa molar (ver Z 12) se tiene :
o 24
R, = MR Estado de gases no ideales y vapores El estado termodinámico de gases reales y vapores se determina empleando ecuaciones o diagramas especiales. Cambios de estado o procesos Los cambios de estado en un sistema son inducidos por sus interacciones con el medio que lo rodea. Dichas interacciones se calculan empleando la primera y la segunda leyes de la termodinámica. Segunda ley en Primera ley en el caso de un el caso de sistema cualquier cerrado abierto sistema
o 25 o 26 o 27
Q1.2 -
Wct . 2
== hz- h, +áe
Qu
C"
= .,1 Tds
En estas fórmulas se emplean los símbolos con el significado que se indica. y referidos a la unidad de masa .
h
u
w,.2
w" ·'
s
entalpía específica energía interna específica trabajo (discontinuo. proceso con cambio de volumen) (ver O 7) trabajo (continuo. proceso en régimen permanente) (ver O 7) entropía específica cambios en energía cinética o potencial
1
Térmica Cambios de estado en gases y vapores
o 28
1o 5
Procesos en gases ideales Las relaciones deducidas de las fórmulas o 25 a o 27 para diferentes cambios de estado se muest ran en la tabla de la página O 6. A esta tabla corresponden las siguientes explicaciones. Cada proceso puede representarse en la forma siguiente: pv"= const. En la primera columna se Indican la magnitud constante y el valor del exponente politrópico n. Las capacidades térmicas (e, y c.) a presión constante y a volumen constante, respectivamen te. se consideran por lo general en su valor medio entre las temperaturas t 1 y t 2. Son válidas las sigu ientes relaciones (los valores de e, (óc..,) pueden verse en la pág ina Z 13):
= (Cpm }tl ,
o29
Cv
030
Ce =
o 31
k
(Cvm)t1 ,
= (km)t¡.
t2
t
'2
2
= =
(c.,. lo.
C• -
12 •
t, - (c..,)o. n · t, t2- ft
R
= c,l c v
El cambio de entropía asociado al cambio de estado está dado por:
o32
s 2 -s 1 =c. ln(f,)
- Rin(~)
=c. In
(f.)+ Rln(~)
Cambios de estado de gases reales y vapores La tabla que sigue muestra las relaciones para diversos procesos deducidos de las fórmulas o 25 a o 27. Las variables de estado básicas p, v. T y las variables de estado energéticas u, h. s se relacionan con los diagramas apropiados.
Proceso (magnitud constante) lsométrlco
Cantidades por unidad de masa Trabajo (discontinuo) Trabajo (continuo)
w, .2 =J' pdv
u,
o
v(p, - p., )
P= (v 2 - v 1)
o
033
v = const.
034
p =const.
o35
Isotérmico T = const.
036
lsentrópico U t - U2 = s = const. (h.- fl., ) - (p,v, - p,v2l
Isobárico
Calor
w,I.2 =-J:'vdp
u,_ (h, - h.)
v(p,- p.) h2-hl
T(s 2 - s.) - (u, - u.) = T(s, - s.)- (h 2 - h.) T(s2- s,) T(s 2 - s.) - (h 2 - h,) + (p., v, - p 1 v,)
h, - h,
o
1
(o 40)
(o 41)
Pol itrópico (cualquiera) n == const.
n=k
lsentrópico s == const.
Isotérmico T == const. n =: 1 (O 39)
Isobárico p == const. n =: O (o 38)
(o 37)
v == const. n= oo
lsom~trico
Proceso (magn . const .) (expon. (polltr . )
T,
v,
V :!
p,
IP't
V¡
~= (~) ~ Tz
p,
~= (!!Y; T,
72
.. (::)"
p,
v,
~ =(~Y·
P,
~ = (f) r, A
p,
~~ (~) '
v,
p.,
- =-
T,
v,
-=-
T,
T,
p,
p,
-=-
Relación entre los estados 1y2
RT
In(~)
R(T, - T,)
u ,_,..,c.,( T, - T2 )
1
:~RT, t-~)7]
n- 1
- - R (T¡ - Ttl
=~RT, ~- ~r]
U::~. -
= RTin(~)
==
p(v, - v,)
o
r
-
7 2)
n- 1
p,
=~RT, [-(~/]
n - - R (T, - Ttl n- 1
=~R T.f -(;,)7]
h: - h t ::: Cp( T1
w1 .2
o
== R(T 1 - T2 )
v(p , - p, )
1
f
Trabajo d' . (p/ unid . masa) continuo oscont1nuo Wct.:! =vdp W c 1. 2== pdv
"' CD• $
2
"'
$
i'
O)
o
S)---
Indefinido
[S_. [l
S
-· "' "'ii n m
ID
$ ::11
1 ~..lb . • rnés incl.
..
~ ~
$
/ '. 3 • ~. ~ ~
r~
l frqu~ Ioom.
e
Diagrama T- s
ILL..lt¿. l
Diagrama p- v
n -_ k (T -T.) c, _ Indefinido 2 n- 1
o
W 1.2
e, (T, - Td
c , (T, - T.J
q l. :l
Calor (p/ unid. masa)
Térmica Cambios de estado de gases ideales Diagrama p- v En procesos reversibles, el área entre la curva de cambio de estado y el eje v representa el trabajo por variación de volumen o discontinuo (por unidad de masa) , y el área entre la curva y el eje p representa el trabajo continuo (por unidad de masa) .
p
11
Diagrama T- s En procesos reversibles, el área entre la curva y el eje s representa el calor transmitido (por unidad de masa).
Calor total transmitido El calor total transmitido (entrante o saliente), una sola vez,entre un sistema cerrado y los alrededores está dado por:
J
o 42
El calor total transmitido continuamente (flujo de calor) entre un sistema abierto y los alrededores está dado por:
w.
o43 donde
J/s
mes el flujo de masa (EU : kg/s).
Traba¡o total realizado El trabajo total realizado (entrante o saliente), una sola vez, entre un sistema cerrado y los alrededores es: 044
J Potencia La potencia total suministrada o cedida continuamente entre un sistema abierto y los alrededores es:
o 45
W. J/s
1
Térmica
Os
Mezclas de gases Masa m de una mezcla con componentes m, , m,,. l:;;. n
o 46
m= m, + m,+ ... + m. = ¡ m, ~=1
Proporción o fracción de masa
o 47
~'
m,
~.
en una mezcla
l:;;. n
=m -V •=t k~• = 1
Número de moles n en una mezcla con componentes n,, n,,.
o 48
n = n, + n, + . .. + n. =
~ n, C;:;t
Proporción o fracción molar .¡,, en una mezcla
Masa molar (peso molecular en un idades de masa) aparente M de una mezcla Para la masa molar se tiene que
oSO
m,
m
n
n
M,=- V M = -
donde M es la masa molar aparente de la mezcla . El valor de M se calcula como sigue:
o 51
M=
·=·k (M,· .¡,,) o bien.- = ·k(_.:.) =· ~ 1
C:;;. t
M
(:;;. l
M,
Cálculo de la fracción de masa a partir de la fracción molar
o 52
~.
M,
= ¡;;'f•
Presión total p de la mezcla
v presión parcial p, de cada componente
C:;::;n
o 53
p=
k p, de donde
1::: 1
p, = .¡,, · p
1
Térmica
Qg
Mezclas de gases Proporción o fracción volumétrica r, en una mezcla
o 54 Se llama volumen parcial V, al volumen que un solo componente ocuparía a la temperatura T y a la presión total p de la mezcla. Para gases ideales se tiene:
o 55
m, R, T
n, RJI T
p
p
V,== - - - == - - - y
'=" ¡v, == V
·=·
Variables termodinámicas energéticas de una mezcla
o 56
u ==
¡'=" ( ~,- u, );
h ==
-
¡
-
( ~. h,)
I;;; J
1;;; 1
A partir de estas fórmulas puede determinarse la temperatura de la mezcla . Para gases y vapores reales. de diagramas. y en el caso de gases ideales por las relaciones siguientes :
o 57
Sistema
mi osa
adiabático
cerrado
1==
C v ·m
Cp,
abierto
t,
m1+ Cp:! t 2 m 2 + .. . + e,,. t. m.
Las capacidades térmicas específicas (medias) de la mezcla se determinan como sigue :
o 59
e,. == c. - R
060
c. ==
f;;; n
¡ '=1
·
( ~, c.,)
1
Térmica Transmisión de calor Debido a la diferencia da temperatura entre dos puntos fluye calor del de mayor temperatura al de menor. Se distinguen las siguientes formas de transmisión de calor:
mm o
Conducción térmica (en superficies sólidas) en paredes planas:
61
<1> = Ó = "A t,., - tw, S
lii1 o 62
en paredes de tubos: <1>
= Ó =" A.
1,.,- l w2
--s--
t,.2:'&::d:::::::'::F
El área media logaritmica es: A...
063
= 1Tdm L; por lo tanto d.,. = - - -; In
mi 064
111 o65
- - -en pared plana --en tubo L longitud de tubo
d, - d;
(t)
Convección térmica (transmisión en pelicula de fluido) Esta transmisión consiste en el traspaso de calor de un fluido a una pared sólida o viceversa . las moléculas. como elementos de masa. transportan la energia debido a su flujo. SI la corriente ~ de fluido se forma por si sola (como en el ascenso del aire en la atmósfera) se habla A de convección libre. en tanto que si el flujo es forzado, la convección se deno1 mina forzada. 1,. = Ó = aA{t - t,.) Radiación térmica Este tipo de transmisión de calor no está ligado a la presencia de masa (por ejemplo, en la transmisión de calor radiante del Sol a la Tierra a través del vacio) . los cálculos se realizan como en o 64. Transmisión total de calor Con esta expresión se designa la totalidad de los procesos que participan en un proceso de transmisión de calor:
1
t,
•1>= Ó = UA(t, - t, ) Considerando el coeficiente total de transmisión de calor U se tiene que (sus valores aproximados se pueden ver en Z 13) :
i066l io i67
1
en paredes planas en paredes de tubos
UA
" a
1
t:•
S
t: l
K
1
-u = -a , + ¡ (-) + -a::! '=• (S) - 1 = - 1 +¡ - +- 1 a , A,
1= 1
t
KAm
a !! A:!
Conductividad térmica (ver sus valores en Z 5 a Z 10) Coeficiente de convección térmica (para su cálculo ver O 12)
Térmica Transmisión de calor
m
Cambiadores de calor Los cambiadores (o intercambiadores) de calor sirven para efectuar el paso de calor de un fluido a otro. El flujo de calor es:
o68
<1>
= Ó = k A ~t ..
donde M ,. es la diferencia media logarítmica de temperaturas. En el caso de aparatos con flujos (o corrientes de fluido) en igual sentido. o bien. a contracorriente. se tiene: Afmayor
069
ln-Afmenor
.¡.
..
,,.
· . . ·.· .· ·.·: 1,
Corrientes paralelas
--
'-:--?-c.-:-.~..,-: .~. ..,.. -._,..,.~.-....... ; '' 1,'
A
En cambiadores que trabajan a contracorriente pueden encontrarse (~t ...,...). o bien (M....~) . en otros sitios del dispositivo. Simbolos para las fórmulas de O 12: Superficie del cuerpo menor Superficie del cuerpo mayor Diámetro interior de tubo Diámetro exterior de tubo Altura de placa Longitud de tubo e,. e, Constantes de radiación de superficJes que intercambian calor por radiación (sus valores pueden verse en Z 14) K. "' 5.67 X 10'8 W/ (m' ·K') . constante de radiación del cuerpo negro. Pr Número de Prandti , Pr = (>¡e, )/.: ~t ¡t,.- t. 1. diferencia de temperaturas entre la pared y el liquido (o el gas) . en la región no afectada térmicamente t. Temperatura del medio no alterado v Velocidad '~"•· Viscosidad dinámica a la temperatura media del liquido r¡,. Viscosidad dinámica a la temperatura de la pared K Conductividad térmica del fluido (los valores pueden verse en Z 5 a Z 10) fJ Coeficiente de dilatación volumétrica (ver z 11 y o n) p• Factor de temperatura A,
A,
d D H L
o 70
1
Térmica Transmisión de calor (cont.) CALCULO DEL COEFICIENTE DE CONVECCION TERMICA
mi o 71 lii o
72
o 73
iil
o 74 o 75
En convección libre (según Grigull) en una placa vertical
Nu •
m= -,:¡-
Nu = 0.55 ,YGr Pr
SI
Nu =0.13 V Gr Pr
si
1700
gp~tH,
Gr = - - -
,. =
•'
en un
tubo horizontal
1• =
< Gr Pr < 1()8 GrPr > 1()8
Nu = 0.41~
N~•
viscosidad cinemática ('1/P)
GrPr < 1()5
si
gptJ.tD 3
Gr = - - -
•'
Los valores de los materiales deben referirse a la temperatura de
o 76
referencia t.
l w +C ..,
= - -- -
2 En el caso de los gases se cumple para el coeficiente de dilatación :
o77
P.., =11T . En convección forzada en tuberías (según Hausen) NUK
o 78
lii o 79 d si 10'1 > Re Pr-
oSO
Id o
> 10·1•
vdp donde Re = -
' L Flujo 1 - - - - t - -- - - -- - -;-----:-7 - - - -14: - : - - - - -
81
turbulento N u Re
>
=:
0.116 (Re "'- 125) Pr'ls [1
2320 si 2320 < Re < 10 6 ; 0.6 1
<
Pr
+( <
f)"']('~.,~· Y
500;
Con excepción de>¡w todos los valores de los materiales se refieren a la temperatura media del líquido. En gases no se emplea el factor (r¡ 11q./>¡w)"·" En la radiación (coeficiente de transmisión por radiación : r)
1'=/J· c..,
o82
ii1 o 83 Entre
084
Rl1 o 85
paralelas
f, 4- f z4 super- ~ p• = -T,---T, 1-------------ficies
ve ntes
C' ·' ""' 71 -----;A-',('--:1-7"1 )
~ + Az
c; - K.:
Las explicaciones de los símbolos de las fórmulas se dan en O 11
1
Resistencia de materiales¡ Conceptos básicos
p
_
1
GENERALIDADES
Esfuerzo El esfuerzo en un cuerpo con carga es el cociente de la fuerza interna (de tensión, compresión o cortante) y el área considerada en el cuerpo.
F
EU: N/m 2 ; kgflcm 2 , kgflmm'
tr=-
A
Diagrama esfuerzo-deformación en el caso de acero dúctil Lfmite de propor<:ionalidad Lfmite de elasticidad Esfuerzo de fluencia
~:~: : : f:~u;:~~a e~n aa
tensiónl
compresión Resisteocla última Esfuerzo de ruptura
b
1
"--o "
..._.......-+----L--.L.j-16 -e Diagrama para tensión
Esfuerzo pennlslble a ..~. Debe ser Inferior al limite de elasticidad. Se determina como sigue:
p 1
tT¡~erm .
av
n
"u
=n
Resistencia última del material Factor de seguridad que es siempre mayor que 1. Su magnitud depende del tipo de carga
Clases de carga Clase
Tipo de variación constante
(
ll A0
11
pulsan te
111
alternante
Deformación (por unidad) Elongación (a la ruptura) Area transversal Inicial ( ( = 0)
Diagrama de variación
~t V
-
t
~fP~ -t
1
Resistencia de materiales Tensión y compresión Esfuerzos de tensión o de compresión cr,, " • F
P
2
fT¡
=A~
UJ
(perm.)
Módulo de elasticidad (axial) E p
4
fT
E = -
<
Módulo de deformación (axial) D p
5
1 ( D = -=-
E
"
Deformación axial total Al p
6
AI = I .. D
Tensión
Compresión
Deformación axial (por tensión o compresión) p
7
Al ( = -=Dtr 1..
ll
Elongación (a la ruptura)
p
8
Al·100 cr /l = - - - % =-100% = Dcr100% t. E
o para l. = 5 d, 0
10
5
1
para 1. = 10 d)
Elemento de compresión de esfuerzo constante (incluyendo su propio peso) A una distancia cualquiera x desde su parte superior. el área necesaria A se obtiene como sigue: p
9
F A = - - - e x p [f'gl~r, , ..= .>lx fTc (perm . )
"" ·~•m . ,
Esfuerzo permisible de tensión
cr,, ..= .> Esfuerzo permisible de compresión
(Ver valores en Z 18) (Ver valores en Z 18)
Resistencia de materiale
Pa
Flexión ACCION FLEXIONANTE
Módulo de sección (resistente¡ S S = -
p 10
1
e
Esfuerzo por flexión rr1
Me
p 11
fT¡ = -
p 12
lT¡
-
;=áfT¡I penn. l
1 En caso de que e = e, = e,, eje neutro = eje de simetria M
p 13
ip i14
=S
Momento flexionante máximo M M = FI Momentos axiales de inercia de áreas. módulos de sección y esfuerzos máx imos por flexión Esfuerzo Módulo de Momento de máximo por área sección flexión 1 S fT¡ (máx.)
b h"
mm
p 15
7rd;t
32
64
7r
¡¡;¡ (0
p 16
mm
4
-
5yJs'
-144-
p 17
ip 18i mi p 19
__ ,
--
m
7TQ;¡
b
-4-
-b h'
6
7rd'
d4)
7r
_
cf'
10
D' - d'
·-D 32 5yJs"
__ , ___ ,
10M
d"
10M O
D' - d 4
1ra ' b 4
1
e
Aa'
4M
7ra'b
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
188
~
24VSM
--5 s"
72
188 = 1 +
~ ~ ~ 1
6M
bh'
-12
Forma de la sección transversal
~
E1e ~
neutro
Momento de inercia con respecto al eje 88 Momento de inercia con respecto al eje centroidal (neutro) paralelo al eje 88 (ver 1 11) Distancia de la fibra superficial al eje neutro
1--- fJ_ - .~
Resistencia de materiales 1 Vigas
p4
VIGAS DE SECCION TRANSVERSAL UNIFORME
Momento flexionan te Deflexión máxima Momento máximo en A f Mrná s
Reacciones Fuerza en A
en B
F
-
ip 20i
Fl
Fl
F/ 3
-
3EI
ip 21i
F
-2
F
-
-
2
1 -FI 4
Ft•
48E 1
Tipo de carga
A
~ ~
rrd A~ A
mm
Fb
p 22
l
ip 23i
11 -F 16
Fa
-
iil p 24
w
-
m
w
w
2
2
5 -W 8
3 -W 8
p 25
ip 26i
F
w
F a" b" 3 E 11
3 -FI 16
3 -FI 16
--
2_WI 2
1 -WI 2
-BE 1
-
2_WI 8
384 E 1
1 -WI 8
1 -WI 8
Wl' 185 E 1
'
5 -F 16
Fab
--
-
'
7Ft'
768E 1
Wf'
5Wf'
Carga concentrada Carga uniformemente distribuida (W = wl)
8
~ ~ ~ ~ A
W
8 ._
1
Resistencia de materiales Vigas
Ps
VIGAS DE IGUAL RESISTENCIA
Dimensión máxima de la sección
il p 27
"~
b=
ip29l
h= _[3WI
6FI
~
bu¡¡perm .)
bE
(!._)" h
6Fx
~
(!..)" h
bE
"~
Forma de la viga
3W bE
ip30l
ii p 31
f
6Fx
h= · [6FI
mil p 28
Deflexión máxima
Ordenada V
3WI
3Wx"
tflo¡(perm.)
h 2 1 a ¡¡pcrm.)
_(3W/ ~
h =~ F W u1"'"'m.>
3WI
4b u¡¡perm.>
(
4x")
l - --¡:;--
1
Wl' 64EI
Carga concentrada Carga uniformemente repartida 1W Esfuerzo permisible por flexión
= w/) (Ver Z 18)
Resistencia de materiales
Ps
Cortante
mil p32
ACCION DE CORTE O CIZALLAMIENTO Esfuerzo cortante F =A ~
T
Tpenn.
Módulo de elasticidad angular G
p33
G =.!.. = 0.385E
y
Módulo de deformación angular 8
Deformación angular (ángulo de deslizamiento)
Y=8T
8 =2. =1.. G T
p34
Esfuerzo cortante último Tu
F"""'
p 35
Tu = - ¡ - = 0.8UU( tcns. )
Esfuerzo cortante permisible
T,.~.
constante pulsante alternante
Clase de carga (ver P 1)
J
Tl"nn. ""
u,/1.5
la;.;/2.2 1
u.,/3.0
Fuerza de corte F
mm mm
Herramienta de corte (punzonado. etc.)
Guillotina o cizalla
p 36
F "" 1.1Tu PS
F"" 1.1Tu iS
Esfuerzos cortantes en la práctica Los esfuerzos de corte se presentan siempre en combinación con los esfuerzos por flexión. En la fórmula p 32, por lo tanto, siempre aparece un coeficiente. de acuerdo con la forma de la sección. (Solamente en vigas muy cortas es posible despreciar los esfuerzos por flexión). Forma de la sección transversal Esfuerzo cortante
p 37 Tpcnn.
F (
3 F
~F
2 A
3 A
~ T
Esfuerzo cortante permisible Fuerza de corte 1 F""" Longitud de corte p
4
• F 2A
(Ver valores en Z 18) Fuerza máxima o de ruptura Perlmetro de corte
1
Resistencia de materiales Torsión GENERALIDADES
Esfuerzo de torsión
T1
M
p38
Tt
= s; ~ Tt lpenn. l
F
T t ( máx)
Momento torsionante T
p
p39
p
T =- = - - = Fa 21rn
(J)
Módulo de sección en torsión S 1
S,=!!:_
p40
a
i i41
T t(máx)
a
Distancia entre la fibra extrema
v el
centroide
e
Angula de torsión
TI "' =,.---a p
p
Características de elementos en torsión
s,
lp
ip 42i ip 43i
.,el'
.-d'
32
16
.!_ (04
32
ip 44i
-
Esfuerzo cortante máximo
Módulo polar de sección
Momento polar de inercia
d' )
.
ft lllláx )
T
!>! 5.1 d" 1 T "" 5.1 - · - D'' 1 - ó'
D' - d'
· -D- 16 2 en 1 -bh' 9 2 en 2 - b' h 9
lmll p 45 Tabla de valores de ó p 46
D
1 - ó' T¡ (perm.)
p
en 1 en 2
9T 2 b h'
9T 2 b' h
para secciones anulares
d
=-
Forma v dimensiones de la sección
1
~
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95
1.0667
1.1489
1.3159
1.6194
2.9136
5.3908
Esfuerzo cortante permisible en torsión (Ver valores en Z 18) Potencia transmitida por rotación
Resistencia de materiales
Ps
Pandeo de columnas Tipos de soportes
i
p 47
iil
t-r
~
l 1 lJ 1. = 0.51
1.. = 0.71
Dimensionamiento preliminar Primero se supone que para el caso de pandeo es aplicable la fórmula de Euler v se calcula el momento de inercia del área transversal :
I = FI ..'
p 48
m
~
F
n,
,...:.: E
Después se determina la forma de la sección provisionales según P 3. Dimensionamiento final
p 49
Relación de esbeltez
A
v las
dimensiones
a,
= 1.. ~
Esfuerzo por pandeo. Se obtiene el límite de la siguiente tabla : Si A está P 50
abajo de entre de
los límites se calcula u, o bien . ~r, por la fórmula
Fórmula de Tetmajer:
a Acero SI 37 Acero St 52 Hierro fundido GG 14 Madera (pino) Madera (encino)
p 51
Fórmula de Euler: En caso de que
P 50 p 51
...¡.<:..L..<...<.~->-+<""'-''-'"'-
u, = a - bA+ e A'=
Material
Di
~3
289 589 776
30 37
b N/ mm' 0.818 3.818 12.000 0.20 0.25
e
o o 0.054 o o
Límites de A 60-100 60-100 5 - 80 2-100 0-100
w' E/
F / ,:!. A == O'c(perm.) n E~ An E
Up =
F
u, < A""·
repetir el dimensionamiento final con
medidas más grandes.
u, u,,.,.~.,
n,
Esfuerzo efectivo por pandeo 1 F Carga efectiva Esfuerzo permisible de compresión (Ver valores en Z 18) Factor de seguridad (intervalo de Tetmajer): 3-5 Factor de seguridad (intervalo de Euler) para máquinas pequeñas: 6-8 para máquinas grandes: 4-6
1
Resistencia de materiales Esfuerzos combinados COMBINACION DE ESFUERZOS NORMALES
Por el principio de superposición, los esfuerzos normales axial y por flexión se suman algebraicamente para obtener el esfuerzo resultante. Los esfuerzos de tensión son positivos y los de compresión, negativos. Punto de esfuerzo
Esfuerzo resultante a..,"" Tensión y flexión Compresión y flexión
te 1
F,
F
F,
F1 te,
1 +A - -1
p52
+A+ --1-
p53
A,
p54
F, =Fcosa
~
O't ¡peml . )
~ fTtt penn . )
F1 = Fsena
F, = Feos a
Por desplazamiento del eje neutro. o sea. variando la sección transversal. pueden obtenerse en A 1 y A2 esfuerzos de tensión o de compresión de Igual magnitud (es decir, con e 1 e2) . En el caso de barras largas conviene revisar por pandeo.
"*
Sección límite (núcleo central) para esfuerzos de igual naturaleza SI actúa una fuerza axial (tensión o compresión) dentro del área del núcleo central (marcada con puntos). habrá en toda la sección transversal un esfuerzo de la misma clase (tensión o compresión) . De otra manera se producirán simultáneamente esfuerzos por flexión. esto es. de tensión y de compresión .
j b ---j ~~ - ¡--o-~ .> 01 ,. ._, ,;.... ~~ ·.·
ii p55
8
X= -
6
ti
,.!'-
-
.........
·: ·
d T=-
8
~o '-
D r=8
··:.
...•
b
1
Resistencia de materiales Esfuerzos combinados COMBINACION DE ESFUERZOS CORTANTES Por el principio de superposición . los esfuerzos tangenciales de corte directo y por torsión se suman algebraicamente para obtener el esfuerzo resultante. Esfuerzo resultante en el punto A
T.....,
Distribución en la sección
r
m~
5.1T
p 56
d"
+
1.7F
T
cf'
A
-z; •
F
r
íl p 57
5.1TO
0' - d'
2.55F
+ 0" - cf'
~
Tllpcnn.)
T
4.5 T b'h
r.,P"='·' T T,
T F
+
1.5F bh
z; A
(>'
-z; •
ip58i
r¡
F
1 ~
Tttpenn. )
Esfuerzo cortante permisible Esfuerzo cortante directo Esfuerzo cortante por torsión Momento torsionante Fuerza de corte directo
(Ver Z 18)
Resistencia de materiales Esfuerzos combinados
p 11
COMBINACION DE ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES Cuando se presentan simultáneamente esfuerzos normales y tangenciales se determinan para los cálculos el esfuerzo equivalente
a,
o el momento equivalente
M,
El primero (llamado también esfuerzo Ideal por flexión) es aquel esfuerzo flexiona! que produce el mismo efecto -por ejemplo. ruptura- que los dos esfuerzos aplicados. es decir. por flexión y torsión combinadas. Para el momento equivalente es válido el mismo comentario . Ejes o árboles p 59
Esfuerzo equivalente
Ue
~ Uf(perm. ) (penn. )
p60 p 61
Momento equivalente
a, =
.,Ja¡' +
M, =
.j M/ +
3(a .. T,)'
0.75 (ii.. M) 2
Para el dimensionamiento de elementos estructurales debe calcularse primero el módulo resistente de la sección :
S =~
p 62
ff¡ ( perrn. )
Después de la selección de la sección transversal se obtienen las dimensiones según P 3. rr¡
Esfuerzo real por flexión
r,
Esfuerzo real por torsión
M
Momento flexionante real
T
Momento torsionante real
a.
Relación de esfuerzos. donde
a .""
1
a."" 0.7
en casos en que la torsión y la flexión correspondan al mismo tipo de carga cuando la torsión es constante o pulsante y la flexión es alternante.
1
Resistencia de materiales Barras curvas
p 12
ESFUERZOS EN UNA BARRA EN HERRADURA En esta barra curva , la sección de máximo esfuerzo es la A, en el caso de las cargas F indicadas; los momentos M son los debidos a dichas cargas F. Los esfuerzos en la superficie a , y rr2 se calculan con las fórmulas p 63 y p 64. Dependiendo de las direcciones los valores de F y M se considerarán positivos o negativos.
ip63i
F
(T)
e,
Mr
M
=-+-+ -- ·A Ar r + e,
~
( JI ( penn . l
K
p64
F
M
A
A
Mr
e,
U 2 = - + - - - - - · - - ~ CTI(pem!. ) r K r- 2
Fórmulas para
e
calcular~<: 2
p65
~< = 37
p66
1 (e' ' 1 (e) ' 5 (e) " ~< = -¡---;-)+a---;+s¡' + --·
p 67
/( =
1(e)
1(e) ' 1(e) " +57 +77 +-
(a::)h H
b+
'+ e, -
In
a~b
(a - b)
r- e2
1-
I
1
(r+e,) ]-
1
(Para la ubicación del centroide C. ver la sección K 7) Valores calculados de /(
e r
p68 p69 p 70
/(
/(
0.1
0.3
0.5
0.7
0.8
0.9
0.95
~
0.0033
0.0317
0.0986
0.239
0.373
0.636
0.928
~
0.0025
0.0236
0.0718
0.167
0.250
0.393
0.524
M= F ·/; Esfuerzo permisible de tensión (ver valores en Z 18)
Resistencia de materiales Círculo de Mohr CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS
T
Esfuerzos principales p 71
O't , O'" :l
+uy = u, -2 -±
j(u,- u,)'+r" 2
Esfuerzo cortante máximo
p 72
T,.""
J( u, -u, ) "+T" -2-
=±
Orientación de los planos principales*
p 73
2T
tan2<1> = - Ur
-
(TI/
Se debe tener siempre que Orientación del plano del esfuerzo
p 74
2<1>
< so•
T,..,.
2T
cot2<1> = - -
u"- (Tz
los esfuerzos cortantes son nulos en los planos principales (donde se presentan los esfuerzos rr, y
1
Elementos de máquinas Engranes cilíndricos rectos DIENTES CON PERFIL DE EVOLVENTE (0 INVOLUTA)
Cálculo por resistencia . Dimensiones básicas Paso
Q
15P
1 =
fr¡ cpenu. )
q
2
= 407 t'icpem L I
{Jzn
pn
(mm)
(P en cv; "!',.."'"' en kgf / mm' ; n en rpm)
q
3
q
4
q
5
Módulo
m = -
q
6
Diám . de paso
d = mz
q
7
Altura de diente
h = 2.166m
q
8
Adendo
h.= m
q
9
Dedendo
hd =1 .166m
q 10
Diám. de adendo
d.= m(z
Q 11
Diám. de dedendo
dd = m(z -
Ancho axial
b = PI
Dimensiones principales de un engranaje de dos elementos Trd
Paso
t = mTr = - z t d = -
"'
z
+ 2) 2.)
+
3
z1 z2 = m--
q 12
Dist . entre ejes
a
q 13
Grueso de diente
s = 0.4875 t Espacio entre dientes f = 0.5125 t
2
q 14
Diám. del eje (o árbol) d = E ,
q 15
Diám. ex t. del cubo
D = 1.8 d
q 16
Largo del cubo (o mamelón)
1 ;;:; 1.5 d
q 17
Número de brazos
Q 18
Grueso de la corona
z
T«..-=., P
i
= 0.166
+ 20 mm Vñ1i
0.5 t
Número de dientes T Momento de rotación (ver P 7) Esfuerzo cortante permisible por torsión (ver valores en Z 18) Factor de diseño: para dientes sin acabado, 2- 2.5 para dientes con acabado. 2.5 - 3 para dientes pulidos, 3- 5
1
Elementos de máquinas Engranes cilíndricos rectos ENGRANAJES DE EVOLVENTE DE DOS ELEMENTOS
Procesado sin con 1 herramienta especial e interferencia
Angulo de presión Núm. mínimo de dientes
15"
20"
15"
20"
q 19
en un engrane
14
11
20
13
q 20
en el par de engranes
38
27
50
30
Estudio por interferencia Como los puntos de contacto E, y E, quedan fuera de los puntos de tangencia G, y G,. existe interferencia. la cual puede evitarse con el uso de dientes en V. Relación de contacto • q 21
Distancia de acción
E, E,
Paso reducido
t sen (90" - a)
>1
Dientes en V según Fólmer Se obtienen con herramientas normales para Límites de los números de dientes:
Piñón. z,
z, ¡;; 8
y
a= 15" z, ¡;; 26
Dimensiones de Rueda , z2
= (z, + 3) m
q 22
Diám . circ. adendo
d. ,
q 23
Diám. circ. dedendo
dd, = (z,- 1.134) m
q 24
Grueso de diente
s, = 1.89m
q 25
Dist . entre ejes
z,
+ z"
d.,= (z, + 1.8) m dd, = (z, - 2.334) m s, = 1.57m )
a = ( - 2-+" m
UJfftrrlllll~¡: 1·
S
4o 6o Bo 1o o 2o Grueso de diente (ver figura en a 1)
14o
Sumo de dientes en el
engranaje (por de engranes)
1
Elementos de máquinas
Qa
Engranes cónicos rectos ENGRANAJE CONICO DE DOS ELEMENTOS
,F,.,
Determinación de los ángulos de paso.¡, , y
.p.,
Piñón z,
z,
z. z,
-+coso¡, q 26 q 27
.¡, = 90·
-+coso¡.
z.
cot 1 = - - - sen .¡.
cot 2 = - = - - - sen .¡.
cot c/J 1 = ::_ z,
cot
.¡,., =
:_:
z,
Dimensiones de los dientes
m
q 28
El éngulo de adendo y se obtiene de
tany = A
q29
El éngulo de dedendo ¡¡ se obtiene de
• 1.166m tano = - - A
q30
Longitud de cono
A =~=~ 2 sen, Dimensiones
medias
q 31
Paso
q 32
Módulo
q33 q 34
Ancho de diente Diém. circ. paso
q 35 q 36
Fuerza axial y rad ial Fuerza ax ial Fuerza radial
q 37
t,. =
b., = d.,=
Fuerza sobre los flancos
exteriores
Como las fórmu las para t en a 1. q 10
l
2 sen 2
t.,
b sen <1>
= t .. + - - - 1 r
z
b sen <1>
m = m.. + - - z
¡3 t .,
b = f3 t
d - bsen
d
F" = Ftana · sen
21rT
a Angulo de presión (ver a 2) Los demés símbolos pueden verse en
a
1
= mz
1
Elementos de máquinas Engranale de tomillo sin fin SISTEMA DE SINFIN Y RUEDA
Relación de transmisión
q38
i
n, z, Número de dientes de la rueda = - = - = -..,..,..,----,--..,,-----...,--,--,-n, z, Número de filetes del sinfin
Cálculo del sinfín (o gusano) por resistencia
q39
Paso
,/
p
= 407 V~f
t
(P en cv. cr¡ ,p.,m.J en kgf/mm•. n, en rpm, t en mm]
307rT,e_ = , ,___
q 40
U¡(pe rm.)
p 41
=
q 42
Arco en la rueda
~ 3
ni
1/t Z t
15P
= .¡, t
b
Dimensiones del sinfín y la rueda Rueda (o corona)
Sinfin (o gusano)
q43
Módulo
q44 q 45 q46 q 47 q48 q49
Dlám. de paso Diám exterior Dlám . de fondo Longitud Fuerza axial Fuerza radial
q50
Eficiencia
q 51
Factor t< para el caso más favorable de conexión
q52 q53
D
z..,
=mz, D, =m (z, +2) 0 1 = m (z, - 2.33) D
d = 2t<m d,= d+2m d1 = d - 2.33m 1 F
= 2mb./Z. + 1) = 2 T,/0 1
F'
=
F tan (/3
tan f3 • '1> = tan (/3 + ')
1
•r¡, =
Número de filetes z Factor t<
q 55
/3
Angulo de avance
(se obtiene de tan /3 =
q q q q
Angulo de fricción deslizante
(tan = p.)
tan ¡3 ~
p.'
tan (/3 - ' ) tan f3
~
Condición de autoafianzamiento
p. Coef. de fricción deslizante (ver valores en Z 20) p.' Coef. de fricción total (p.' "' 1.034,. = tan') .¡, Para hierro fundido. bronce fosforado. aluminio: 2.5 • >¡,, si el elemento impulsor es el sinfín elemento impulsor es la corona Para los símbolos restantes de las fórmula s ver Q 1
• '1•· si el
+
F, = Ftana.
q54
56 57 58 59
t
.,
m= - = -
Zt
2;.)
1
Elementos de máquinas
Q
Engranajes epicíclicos
5
TRENES DE ENGRANES PLANETARIOS CON DOS O MAS ELEMENTOS RELACIONES DE VELOCIDADES
q60
n. == O
Q 61
n,
q62
n,== 1 +--¡;
q63 q64
n. ==O n, == 1
(a es lijo)
q66
n. ==O
(a es lijo)
Q 67
n
q68
n,==
1---¡;
q69
n, ==
1
Q 70 Q 71
n. ==O
Q 72
n, =n•=
Q 73
n,==1--
Q 74 Q 75
n. ==O
q65
== 1
a
a n,== 1 ---¡;
11
ns
=1
a
a
+e (a es lijo)
=1 1
a
+e
ad eb
(a es lijo)
n ~~ =l
q77
a n• = 1 +d a n,== 1 +--¡;
Q 78 Q 79
n. = O n, == 1
q80
n.==
1
Q 81
n, ==
1---¡;
Q 76
,&i:J. ®.
(a es fijo)
d
+-a d
'-ID a
(des fijo)
n. == O n. :
~
n~> - -
b
(d es fijo)
( b- d) -a+d
a
n, = - -
a+d
d
1
Elementos de máquinas Cálculo de pasadores
tornillos
Qs
UNION DE CUÑA TRANSVERSAL
Margen de seguridad para la fuerza F Debido al esforzamiento adicional en la cuña cuando se aprieta en su alojamiento, en las fórmulas se ha considerado un aumento de 25%. Cálculo por aplastamiento o presión p Presión de contacto entre Barra de tracción y cuña
m q82
P=
Ojo de paso y cuña
1.25F
'b7J' ~
p'
O"a (pe rm. )
1.25F
= --- ~
b(D-d)-
(f0 ( pe rm. )
Cálculo por flexión
lii q83
h = 0.87
q84
m
0.825 F(D
+ d)
b f'T¡ ( pcrm . )
h1
= h = (0.5 a 0.75) h
T
== -¡;¡:; ~ T perm.
2
Cálculo por cortante 1.5F
q85
Fuerza F, para introducir la cuña (Para el cálculo vea K 8)
1
UNION POR TORNILLOS
Diámetro del núcleo de la barra roscada , d. después del apriete
í4F
d .. =__¡~ 7r
F
a.,., . ..,. a,, ..... ..,. T< ponn.¡
durante el apriete
d .. =
);
4F
W(0.75) <1q
pum.)
Fuerza de tracción o carga a transmitir Esfuerzos permisibles (ver Z 18)
Elementos de máquinas Resortes RESORTE O MUELLE DE HOJA RECTA
iq 87i
Sin carga y deflexión inic iales (car¡¡a F)
2/ 2 a j (p erm.)
= -----'== 3hE
Deflexíón máx . perm.
fm,x
q88
Carga máx . perm.
F m,x=
q89
Deflexión
q90 q 91
iq 92i
b h 2 fTj
(perm .)
61 413 F
bh 3 E Con carga y deflexión iniciales (F, , 1,) Para f máx , F máx y f son válidas las mismas fórmulas que antes. Además, F Deflexión 1 1, 1, 1, - - F - F,
= + =
F, 11 = 12- F - F,
Deflexión inicial (levantamiento)
Muelle de hojas rectas apiladas Deflexión máx . perm.
q 93
Carga máx. perm.
q94
Deflexión
f'
fm•x =-h-E N b h 'l (f¡
F m•x=
~ ·
/
______,
~ ~' ~§§i¡:J~F=:;:,¡'
(perm .)
61 61 3 F bh 3 NE
> >
:!
~
Para la forma teórica de una hoja ver p 20 y p 28
i 95i iq96i i97i iil q98 q
q
Resorte helicoidal de torsión (El ángulo de torsión a se debe expresar en grados) (57.3) f
S ¡
Torsión máx . perm .
O máx
Carga máx . perm.
F máx =__:__...:._ _
Torsión (desplaz. angular)
Longitud de una espira
lE S¡
(T¡ (perm .)
a a
(57.3) F al
lE alE (57.3) Fa
Ver en Q 8 la explicación de los sfmbolos
1
Elementos de máquinas Resortes
mm99
q
ili1
q 100
lii
RESORTE ESPIRAL (ANGULO a EN GRADOS) 114.6 l u¡ (pomo.) Clm áx = hE
Desplazam. ang. perm . Mom. de torsión perm.
T máx
bh' S
a /l per m .)
- ---
a
q 102
Momento de torsión
T
q 103
Empotramiento en H
F,
q 104
Articulación en H
F,
q 105
Distancia entre espiras
a
q 106
Número de espiras
N
111
=
687.6 T 1
Desplazam. angular
q 101
Qs
Ebh' aE bh'
687.61 T
'·T 2 '·
(rl -
f ¡:: }7r
longitud media de espira
Resorte de impulso
il
En general , se supone conocido el diámetro interior 0 1, de la caja del resorte y se corrige después según los resultados de los cálculos.
q 107
Diámetro del núcleo
q 108
Grueso del resorte
h
.,
__ D,.
100
(redondear h a valores normalizados) q 109
Longitud del elemento
q 110
Número de vueltas
mm
¡¡¡¡¡¡j q
111
¡¡¡¡¡¡ q 112
il
D,, + d
= N t Tr--2 nmáx = N::- NI
Estado del resorte
Número de espiras
Suelto
0 1, - d N, = - - 2h
Esforzado
d - d ,. N .. = - 2h
1
Momento de la fuerza*
Ebh' 7r Tmin"" - - , - 3 6 E b h' 7r T"'""" - -- - (N, - N,+ 3) 61
* Descontar de 10 % a 30% por fricc ión
F Empuje de trabajo T Momento de la fuerza S1 Módulo de sección
" l '''"'"'·' Esfuerzo permisible por flexión E
Módulo de elasticidad
(ver Z 19) (ver Z 19)
Elementos de máquinas Resortes
Qg
RESORTES HELICOIDALES DE TENSION O COMPRESION Sin deformación inicial
q 113
Relación entre diámetros
O..
~ O - d ~ 6d
Ca libre del alambre
d
= J
ijj q 114
F80 .. 7r T t t perm.l
ii ii q 116 ii q 117
Número de vueltas
q 115
td' G
N
80..' F
Carga máxima permisible
F , _ 7rd 3 T ttperm.l mox-
Cambio de longitud
80 8N O..' F
7T'N
d' G
D :! T t l perm.l
dG
Con deformación inicial Emplear las mismas fórmulas anteriores. Cambio de longitud
q 118
= '·
+ '· + '· ~_1_---=:::.--... F
q 119 q 120
= f. - F - F, F, = f, - -
Predeformación
F - F,
Fuerza de predeformación F.
q 121
=
F f -
(f,
+ fzJ
f
'·G HD
Resorte de barra de torsión
57.3/ SpTttperm.l
q 122
Torsión máx . permisible
q 123
Momento máx. permisible
q 124
Torsión (ángulo en grados) a
q 125
Momento torsionante f0
1•
s.
T"•""'·'
= S aT ..máx "=
T
=
p T t t perm 1
57.3 T 1
A
----¡;:aai.G 5731
C(
L,
1
-/~r
Deformación total inicial producida al enrollar el resorte Momento polar de inercia del área transversal A Módulo polar de sección del área transversal A Esfuerzo cortante perm . por torsión (Ver valores en Z 19)
1
Elementos de máquinas Ejes de transmisión EJES, ARBOLES O FLECHAS Según el tipo de carga los ejes se calculan considerando: Esfuerzo permisible del material 5.1 T
En torsión simple :
q 126
Tt
= ----¡ji\
T t (perm.)
En torsión y flexión combinadas : Ver P 7 y P 11 Cambio de forma por flexión Se presenta por efecto de la tensión en bandas de transmisión , por presión de dientes de engranes y por acción electromagnética en máquinas eléctricas. Si la variación de forma es fuerte se presenta trabamiento en los cojinetes o chumaceras y una disminución irregular (unilateral) del entrehierro en máquinas eléctricas. El cálculo por flexión se verifica según P 4. Cambio de forma por torsión Para obtener una marcha uniforme , sobre todo en el caso de cigüeñales, el ángulo de torsión con carga no debe ser demasiado grande.
q 127
IT
= - - (en radianes) G 1,
~
~-
Velocidad angular (frecuencia) critica n, para vibraciones torsionales Se presenta en ejes de gran longitud, grandes distancias entre apoyos y altas velocidades de rotación (rpm). La frecuencia crítica nk se calcula según M 6
q 128
Velocidad angular de trabajo
q 129
Carga simétrica
nk'
q 130
Carga no simétrica
"" = 1637
d 1 1
'·E G F
(k
= 0.80 a
0.90)
1
= 6550 y rTíT ¡:-;;-¡¡ rpm
Diámetro del eje (mm) Longitud del eje (mm) (ver P 3) Momento de inercia del área (transversal) (mm') (ver P 7) Momento polar de inercia del área (mm•) (ver Z 18 y Z 19) Módulo de elasticidad axial (kgf/ mm' ) (ver Módulo de elasticidad angular (kgf/mm' ) Z 19) Carga flexionante (kgf)
Elementos de máquinas Guías-Acoplamientos GUIA
lii
En el caso de uno de estos elementos se tiene
q 131
lii q 132
tan a
1
<
(2h+tlp.
. o bien
la relación de longitudes
.!._=!>. > h
2p.tana 1 -p. lana
SI no se tienen las condiciones anteriores para tan a. se presentaré trabamiento o efecto de abrazadera.
ACOPLAMIENTOS DE FRICCION
Copie simple de discos p.F 0 3 -d" T¡,. = -3- . D' - á'
q 133 q 134
"" p.F r
q 135
=--
D+d 4
Copie múltiple de discos q 136
T¡,.
q 137
p.FN
D"- d"
= -3- .
D' - á'
1
!>
Copie cónico q 138
p.Fr T¡•. = - sena
Para que no haya agarre excesivo se debe tener tan a E; p. T1,.
Momento de fricción Radio medio
p. N
Coef. de fricción (ver Z 201 Núm. de zonas de contacto
Elementos de máquinas Recipientes de presión TAMBOR CILINDRICO
q 139
q 140
Espesor de pared en el caso de junta: pON Remachada s "' 1 mm 2 V O'ttperm. l pON _ __ Soldada 0.3 O'uperm. l
+
S
~
-.;___
Dimensiones del remachado (d
= V5QSiñrñ- 4 mm
q 141
d
q 142 q 143
t =3d+ 5mm e = 0.8 t
= dlám. remache) t-d
v
1
1 e, =
O6
t
Esfuerzos de !ansión en: Junta circunferencial q 144
q 145
Ut =
.,.O' p
_ _ __: _ _
45(71"0 - nd)
Junta longitudinal Opt
Ut = - - - -
2(1 - d)S
Revisión de la placa (o lámina): (t - d)s a"•""'·' ;o: 0.5 O p t
N
-
Revisión de las remachaduras por
.,.
2-d 2 T n
q 146 cortante simple q 147
4
.,.
3-d 2 T n 4
~
0.50pt
q 148
cortante doble
q 149
q 150
q 151 q 152
Valores permisibles de'"· en N/mm' (C. Bach) Cortante simple Cortante doble Remachadura 60-70 1 fila 100-120 2 filas 55-65 95-115 50-60 3 filas 90-110 n Número de agujeros en una línea circunferencial N Factor de seguridad dependiente de la temperatura : N "' 2 para una temperatura de pared t = 250' C N "' 5 para una temperatura de pared t = 250'C p Presión interna (manométrica) del recipiente a 11P""'·' Esfuerzo permisible de tensión (Ver valores en Z 18) v Coeficiente de debilitamiento "' 0.8
1
Elementos de máquinas Anillo de contracción
13
ANILLO (0 ZUNCHO) DE CONTRACCION
En el caso de un elemento de esta clase que debe mantener fija una parte de una máquina rotatoria , por ejemplo, un volante o el devanado de un motor.la fuerza de contracción F, deberá ser al menos el doble de la fuerza centrífuga F;:
F,
q 153
Fuerza centrífuga ,
~
2F;
F:
q 154
(n en rps)
q 155
r,
q 156
m
2R
G g
Area transversal del anillo. A F,
A=---
q 157
2 Uar perm. l
Grado de contracción A Es el grado en que debe ser menor el diámetro interior del anillo. que el diámetro exterior del elemento a fijar. 1
q 158
A
=E D
CTt( pcrm.)
Ancho s de un anillo delgado Dat(pcrm.)
q 159
S 2Ut(perm.)
R O G "•(•""'·' u,(P""'·'
Radio medio Diámetro medio Peso de medio anillo Esfuerzo permisible de aplastamiento (Ver valores en Z 18) Esfuerzo permisible de tensión (Ver valores en Z 18)
1
M áqu i nas-herramienta Escalonamiento de velocidades DIAGRAMA PARA LAS VELOCIDADES DE ROTACION
Construcción del diagrama en "diente de sierra ". Para cada '\ n, velocidad de giro n dada (en L rpm) se traza la gráfica de la velocidad periférica v de la herramienta o de la pieza trabajada. en función del diámetro d . según la relación v=TJ'nd Lo anterior da un haz de rectas que parten del origen. Se traza luego una recta horizontal L correspondiente a una v determinada. De sus puntos de intersección con las lineas de velocidad se trazan segmentos verticales hasta cada una de éstas. Cuanto más uniforme sea su longitud tanto mejor será el escalonamiento de velocidades. Escalonamiento. Los mejores intervalos de velocidad de giro (revoluciones) se obtienen cuando. como se ve en la figura. todas las longitudes .1v son iguales. La anterior condición se satisface con una serie geométrica de valores de velocidad :
r
1
Cada velocidad se calcula como sigue etc.
r
2
r
3
Número de pasos
r
4
Factor de la serie
1 <)>
=
~
Valores estándares de <1> :
n, Velocidad mlnlma (rpm) n. Velocidad máxima (rpm)
1.06- 1.12- 1.26 1.41- 1.56-2.00
Máquinas-herramienta Escalonamiento de velocidades CALCULO DE ESCALONAMIENTOS
Poleas escalonadas Para emplear una misma banda de transmisión, los diámetros de los pasos o escalones deben ser los mismos, pero en orden Inverso. en las poleas impulsora e impulsada. Hay que elegir primero el diámetro mayor d 1 • En el caso de tornos. su valor lo determina el volteo o altura de puntos.
r
5
r
6
d, : d2 =
d,: d, =
,¡;¡;;-: 1
d, : d , =
y;¡; : 1
m
#: 1
d,
r 7
dt
8 r 9 r
d, : d, = ,,, : 1 d,+d,
r 10
d, = - -- 2
d, : d, = <1> 2
:
d,:d, = ,,,
:1
® d,
r 11
d,y;j; 2#- 1 1
d,+d , d ,= - - 2
d,+d,
d,= - - 2 - -
~ d,
á4
d,
~
~ ds d, d,
Poleas escalonadas con impulsión de engranes (/ = relación de transmisión) Para engranajes se emplea la fórmula d,
=F,2.
T... ,,
r 12
r 13
= <J)k/3 =
--
;1
r 15
Zt ZG Í2=
z, = z4
r 18
F, k
1
Z4 ZG
r 14
Z3 Zs
(valores seleccionados)
Tensión máx. en la banda Número de pasos (ver R 1)
T..,,,_ <1>
Mom. máx. de rotación Factor de la serie
Máquinas-herramienta
R3
Fórmulas diversas Impulsión de una máquina-herramienta Potencia del motor
p
21rrn F
=---
r17
"
vF
,
r 18 Diámetro del eje o árbol
d
r 20
=~
T tlperm.)
r 19 Momento de rotación en el eje de trabajo
D
T =F2
Fuerza de cor1e (presión de viruta) F En tornos
F =AK
En fresadoras
F
Carga sobre el árbol de fresado
F'
=
K
= BtrH
r 21
bt fK V
r 22 r 23
1.4F
Resistencia específica del acero. K
r 24 Resistencia a la tensión u. en N/ mm 2
1000
a r 25
3.2
Transmisión por banda
r 28
r29
p
d
v,
F,
= -- = -
Velocidad de la banda
vb
== Ttd 1n
Relación para el ancho B de una banda (N / mm)
Fb
= B "'
r 26 r 27
2T
Tensión en la banda
Anchura B en mm Esfuerzo permisible de tensión u, en N/ mm" Ver en R 4 la explicación de los símbolos.
1
(por unidad de grueso) 150 16
Máquinas-herramienta Potencias necesarias
¡R 4
CALCULO APROXIMADO DE LA POTENCIA
Potencia aproximada en kW (1 kW = 1.34 hp = 1.36 cv)
Tipo de máquina
r30
r 31
ligero Torno
0.030
X
Volteo (mm)
pesado
0.045
X
Volteo (mm)
ligero
0.080
X
Alimentación de material (mm)
pesado
0.120
X
Alimentación de material (mm)
r32
r33 r34
Torno revólver
un husillo
r35 Torno r36
automático varios husillos
r39
Taladro
Igual que en el torno revólver (de torreta Igual que en el torno revólver, multipl icando por el núm. de husillos de trabajo.
normal
0.080 x Diámetro de barreno (mm)
alta potencia
0.150 x Diámetro de barreno (mm)
r 37 r38
0.015 x Volteo (altura de puntos) (mm)
mediano
Fresadora
r40
ligera
0.001 x Area de mesa (cm' )
pesada
0.002 x Area de mesa (cm' )
Cepillo de codo
0.010
X
Carrera máxima (mm)
r 42
Cepilladora (de mesa)
0.006
X
Anchura de corte (mm)
r43
Rectificadora redonda
0.018
X
Diámetro de disco (mm)
r44
Rectificadora plana
0.012
X
Diámetro de disco (mm)
r 41
Simbolos de R 3: A b f d, D
u,
t V
"n
T l( penn . )
Area transversal de viruta Anchura de fresa Avance o alimentación Diámetro de polea principal Diámetro del material en tornos Diámetro del cortador en fresadoras Esfuerzo máx. permisible en bandas Profundidad del corte Velocidad de corte Eficiencia mecánica entre el motor y el husillo de trabajo Esfuerzo cortante permisible por torsión Velocidad de giro (rps o rpm)
1
Electrotecnia Conceptos generales MAGNITUDES PRINCIPALES Y SUS UNIDADES s
1
Empleo de mayúsculas y minúsculas en símbolos En electrotecnia se emplean letras mayúsculas para designar cantidades constantes. y las correspondientes letras minúsculas ---{) las mayúsculas con el subíndice t - para designar cantidades que varían en el tiempo. Ejemplos: Excepciones:
Fórmulas s 8, s 9, s 13 f, "'· 1m. u... P••IO• etc.
Trabajo eléctrico W El trabajo eléctrico equivale al trabajo mecánico definido en M 1. Al transformar energía. sin embargo, se presentan pérdidas. Unidades: W · s (watt-segundo) . kW · h, MW · h 1 W · s = 1 joule (J) = 1 N · m Con las defin iciones dadas en S 1 y S 2 se cumple que S
u•
2
W = IUt=-t=FRt
R
Potencia eléctrica P La potencia eléctrica equivale a la potencia mecánica definida en M 1. Sin embargo, al transformar potencia se presentan pérdidas. Unidades: W (watt). kW, MW
J
N·m
s
S
1W = 1 - = 1 - -
Con las definiciones dadas en S 1 y S 2 se cumple que S
3 Frecuencia f Período T
Ver L 1
Ver L 1
Frecuencia angular "' Ver L 1 Intensidad de corriente eléctrica 1 Es una cantidad fundamental. Ver Explicaciones generales Unidades: A (ampere). mA , kA La intensidad de corriente de 1 A se define en función de la fuerza de atracción entre dos conductores paralelos por los que circula corriente en uno y otro sentidos.
1
Electrotecnia Conceptos generales Densidad de corriente eléctrica J S
1 J =A
4
Esta fórmula es válida solamente si la corriente 1 está distribuida uniformemente en el área A . Unidades: A/ m 2 • A/ mm 2 Tensión eléctrica U lo bien VI S
5
p
U = 1
Unidades: V (volt). mV. kV 1 V es igual a la diferencia de potencial o tensión entre dos puntos de un circuito donde una corriente (directa o continua) de 1 A desarrolla una potencia de 1 W. W 1V =
1
A
J N·m = 1 - - = 1A ·II = 1 - s·A s·A
Resistencia eléctrica R S
6
R
= /u
(ley de Ohm)
Unidades: 11 (ohm). ku . Mil 1 11 es la resistencia eléctrica de un conductor por el que pasa una corriente de 1 A cuando se le aplica una tensión de 1 V. V W J N·m 111 = 1 - = 1 - = 1 - - = 1 - A A2 s · A2 s · A2 Conductancia eléctrica G la conductancia eléctrica es el recíproco de la resistencia: S
1
7
G= R
Unidades: 1 S (siemens) (anteriormente. mho) Carga eléctrica Q S
Q = fidt
8
Si la corriente es constante i es igual a /, S
9
(ver s 1)
v entonces:
Q=lt
Q es también proporcional al número de electrones que posee un cuerpo en exceso a los que le corresponden en estado neutro. Unidades: C (Coulomb). mC, 1' C, pC ; A · h 1C
= 1 A •s 1
A • h = 3.6 KC
1
Electrotecnia Conceptos generales
Sa
Capacitancia eléctrica e la capacitancia (o capacidad) eléctrica e de un condensador o capacitor es la relación de su carga Q a la diferencia de potencial U entre sus placas.
e
S 10
Q
u
Unidades: F (farad) . ¡tF. nF, pF 1 F es la capacitancia de un condensador que adquiere una carga de 1 C al aplicarle una diferencia de potencial de 1 V.
C A·s A'· s A' · S 2 A2 • S 2 1F = 1 - = 1 - = 1 - - = 1 - - = 1 - V V W J N·m Flujo magnético <1>
S 11
=~
Jedt
(ver s 1)
donde N es el número de vueltas o espiras de una bobina y e la tensión autoinducida (fuerza electromotriz) que se produce. si varfa en el tiempo el flujo
=
=
1 Wb es el flujo magnético que al disminuir uniformemente a cero en 1 s induce en la bobina de una espira que lo concatena una tensión de 1 V. Densidad de flujo magnético (o Inducción magnética) B Para una densidad de flujo B en una érea A se tiene:
S 12
B
=~ A
donde A es el érea atravesada perpendicularmente por el flujo unlforme <J> Unidades:
T (teslaj, ¡tT, nT. V· s/m 2 ; Gs (gauss)
V·s
V·s
Mx 1 T = 1 - - = 1
1
Electrotecnia Conceptos generales (Auto) lnductancia electromagnética L S
13
L
= N~ = N~ i
1
(ver s 1)
donde 1 es la corriente que pasa por un inductor o bobina de N vueltas concatenada con un flu jo magnético
8
H = -p. .. p. ,
Unidades: A/ m. A/ cm. A/ mm (anteriormente ampere-vueita/metro, etc.). Fuerza magnetomotriz § S
15
§= NI Unidades: A. kA. mA (anteriormente ampere-vuelta. etc.). Tensión magnética últ En el i-ésimo tramo de un circuito magnético:
S
16
ó/_1¡
=
H ¡ · /¡
donde 1, es el recorrido del flujo magnético en dicho tramo.
s17
¡ últ , = g;
(ley de la fuerza magnetomotriz)
i :l
Reluctancia magnética [1lt En un circuito magnético uniforme:
g;
S 18
[1/t= (ley de Ohm para el circuito magnético) <1>
Unidades: 1/H = AIV · s Permeancia magnética g> En un circuito magnético uniforme : S
19
1
g>
<1>
= -¡¡¡- = -¡¡
Unidades: H = V · sl a Ver el significado de los símbolos de las fórmulas en S 16.
1
Electrotecnia
I Ss
Circuitos eléctñcos
LEYES BASICAS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS Marcas de polaridad y llechas de sentido Polaridad de terminales y sentido positivo de la corriente en s 20
Fuente :
S 21
Carga :
- + +- -
Polaridad de tensión y sentido positivo de caída de potencial
+- -
s22
Polaridad de tensión y sentido de corriente Si el cálculo da un resultado con valor
Caracterfsticas de una fuente de energía o una carga conocidas
indicar (como se señaló antes)
desconocidas
suponer
S 23 S 24
positivo negativo entonces las marcas de polaridad de la tensión y el senti· do de la corriente son
Polaridad de tensión y sentido de corriente
1 correctos
1
los contrarios
Recomendación adicional : En el ~aso de una caída de potencial en un resistor hay que señalar igual sentido para la corriente y la tensión (R > 0) . Ley de Ohm Corriente en un resistor S
1=
25
(ver también s 6)
Resistencia de un conductor
il26
p -1 1 R= - = A yA
S
mm
u
R
¡,, 1-:-1
l
..
-
u
Resistencia de un conductor a una temperatura 9
R
s 27
= R,. [1 + a (9 -
20°C))
Calentamiento eléctrico de una masa m
S 28
1
UI!>J = Cmll.9 a )'
p e t R ,o ll.9
Coeficiente de temperatura de la resistencia Conductividad eléctrica Resistividad eléctrica Capacidad térmica o calor específico Tiempo Resistencia a 9 = 2o•c Incremento de temperatura rt Eficiencia
(ver (ver (ver (ver o 9 y
Z Z Z Z
1) 1) 1) 5)
Electrotecnia
Ss
Circuitos eléctricos 1a. Ley de Kirchhoff (regla de las corrientes)* En un noao de una rea. la suma algebraica de todas las corrientes es nula. S
:i.I = O
29 donde
corrientes que llegan son positivas
las--------~----~----~----~
corrientes que salen son negativas
Relaciones entre corrientes (conexión en paralelo) En una conexión en paralelo de resistores. la corriente total y las corrientes de las ramas guardan entre st la misma relación que el recíproco de la resistencia equivalente y los recíprocos de las resistencias conectadas. 1
S
30
i i31 S
1 : 1, : 1,: "' =
1
R,
1
R :R, .R.; .R,
División de la corriente En dos resistores conectados en paralelo:
l~lr R, 1
G, R, 1, = 1 - - - - - = 1 - - - - -
l
G, + G,
zl!;
Rz
R, + R,
2a . Ley de Kirchhoff (regla de las tensiones) * En un circuito cerrado o malla de una red. la suma algebraica de todas las ten siones es nula . S 32
donde las tensiones cuyo sentido corresponde al sentido de recorrido son positivas. y las de sentido contrario son negativas.
u1 +U01 -u2
u;: u, -u
+U3
+U~¡,
02 •
O
Relaciones entre tensiones (conexión en serie) En una conexión en serie de reslstores, las caldas de tensión en las resisten cias guardan entre sí la misma relación que las resistencias conectadas.
s33
is34i
1
U, :U,: U,= R, : R 2 : R, División de la tensión En dos resistores conectados en serie:
G, R, U, =U---- = U----G, +G 2 R, +R2 * Ver otras observaciones en la página S 8
u,
Uz
C?3J
Electrotecnia Conexiones de resistores Conexión en serie* Resistencia equivalente R,
(ver también s 33)
En general. S 35
R, = R,
S
36
--d-66 ----
+ R, + R, +
•
n resistencias iguales R se tiene
Con
----cJ--
R, = nR
Rs
Conexión en paralelo* Resistencia equivalente R.
(ver también s 30)
En general.
1
1
1
1
S 37
R. =R.+ R, +'R: +
s38
G. = G,
con n resisten· cias Iguales R
con2 1 con3 resistencias diferentes
m m
R , R2 R. = - - -
s39
8
+ G, + G, + ...
R1+R2
40
R, R 2 R, R. = - - - - - - - R, R, + R, R, + R, R,
R Rv = -
n nG
G, +G 2 Conexión en serie-paralelo*
Una conexión mixta en serie-paralelo de resistencias conocidas se descompone de dentro hacia afuera en conexiones simples en para· lelo y en serie. Estas se transforman individualmente y se vuelven a componer después. Por ejemplo:
lii 8 41 ii il1 843
S 42
_ _ _R_._+_R_'-:--:- U = G, !G2 + G, ) U R 1 R2 + R1 R, + R2 R, G 1 + G, + G, ls
-------R-= 2
:----:::-::-
R 1 R2 + R, R,
+R
2
R,
R R, u. = -----..,.=...,.:.-,--,=R, R + R,R, + R. R, 2
2
U= U --
G, G,
G 1 + G2 + G,
U
G, U G 1 + G2 + G,
* Ver la observación en la página S 8
u
1
Electrotecnia
Sa
Conexiones de resistores TRANSFORMACION DE CONEXIONES Estrella (Y) a delta (A) y viceversa *
R,z
-
3
3
R uJ__ ' R:..'O.....:__-:::-_.....:_ + R10 ' Rsu + _ R '.!_ u· R ao_ R, .. = _ _
im S 44
~
lil45
=
R
lii1 S
R ao
R tu ·
R:w
+ RuJ· R :to +
13
Di 1mB 46
R:!u · R 3 u
R~u
R, · R, R"u= - - - - - -
R"" + R.,+ R,.
RIU ' R 'Ju + R10 ' R :iu + R :!n ' R :tu R, = - - - - - - , - - - - -- - -
S
R tu
Divisor de tensión (potenciómetro) Este dispositivo permite subdividir una tensión dada.
MI S
47
Si en aplicaciones de metrología es necesario tener una proporcionalidad aproximada entre U, y s entonces:
s 48
R, s
~ 10 (R 1
+ R")
Desplazamiento desde O del contacto deslizante (cursor)
* Nota: En todas las fórmulas de las páginas S6 a S9 puede sustituirse la resistencia R por la impedancia Z. y la conductancla G por la admitancia Y.
1
Electrotecnia Conexiones de reslstores APLICACIONES EN METROLOGIA *
i 49i Amp~:::.7::.,::) 00 mod
U Valor deseado } Intervalo final U" Valor disponible de medición R" Resistencia Interna del instrumento
is50i
u;;-
[jf]
Ampllaclón del intervalo de medición de un amperímetro
R -R p-
1 Valor
_f.,_,/_
l_
M/
des:a~~
1" Valor disponlblt>
} Intervalo final de medición
R,
Puente de Wheatstone para medir una resistencia Rx Se emplea para determinar una resistencia entre 0.1 y 106 o . La resistencia calibrada para el contacto deslizante tiene una escala con los valores a/( 1 - a). U Se mueve el contacto hasta R Rx que sea cero la corriente del puente 11•• Entonces
S 51
ii S 52
Rx R
a 1- a
de donde 8
Rx =R l-a Puente de Wheatstone como comparador de un valor medido Se emplea el puente para evaluar diferencias de potencial representativas en gran número de Instrumentos de medición. + R, Resistencia que varia U según la cantidad x por /;\ = R2+L1R R'2 medir (por ejemplo. temperatura. desplazamien to. ángulo de giro. etc) . R 2 Valor base de R, Aproximadamente se cum- U"'~ pie que 'o+-------,
s53
UM~ A.R s=!!: X
* Ver la nota en la página S 8
1
Electrotecnia Campo eléctrico Capacitancia
lii s54
e
{ 0
de un capacitor
f. r
A
e = -aCa rga eléctrica Q (ver s 8) Energía almacenada en un campo eléctrico E,
S
E, = _!_eU"
55
2
Conexión en paralelo de capacitores La capacitancia total o equivalente aumenta a S
e = e, + e"+ e,.
56
Conexión en serie de capacitores La capacitancia equivalente disminuye a 1
1
1
1
e
e,
e"
e,.
- =- +- +-
S 57
Capacitancia de dos conductores cilíndricos coaxiales
lii s58
e
<, <.. s 59
A
a r, '"
1
{
= 27T< u <,-( ., In-=r,
Coeficiente dieléctrico Permisividad dieléctrica del vacío (o aire) Area de una placa (una cara) Espesor del aislamiento Radio del cilindro interno Radio del cilindro externo Longitud de los cilindros
1 (< ..
= 8.85 x 1ct-12 A-s/V-m)
Electrotecnia Relaciones electromagnéticas y mecánicas
S
11
REGLAS
s60
S
61
Movimiento de una aguja magnetizada El polo norte (N) de la aguja es atraido por un polo magnético sur (S) y repelido por un polo magnético norte (N) . Con el polo sur sucederá Jo contrario. Conductores y bobinas fijos Campo alrededor de un conductor recto con corriente Si se supone que un tirabuzón en el eje del conductor avanza en el sentido de la corriente , su movimiento de giro indicará el sentido de las líneas de flujo circulares concéntricas.
s62
Campo en el interior de una espira o bobina con corriente Si se considera que un tirabuzón está coloca do perpendicularmente al plano de una espira o en el eje de una bobina . y su giro de avance corresponde al sentido de la corriente , su desplazamiento dará la dirección del campo magnético. En el lado o extremo de salida del flujo estará un polo N, y en el opuesto un polo S. Conductores y bobinas movibles
s63
Conductores paralelos Dos conductores paralelos que conducen corrientes constantes en el mismo sentido. se atraen. y en sentido contrario, se repelen .
s64
Bobinas alineadas Si por dos bobinas colocadas de frente pasan corrientes en el mismo sentido, las bobinas se atraen ; si las corrientes tienen sentidos contrarios. las bobinas se repelen . Máquinas
s65
Reglas de los tres dedos perpendiculares : De la mano derecha (para generadores) Si el índice apunta en la dirección del flujo magnético y el pulgar en el sentido de rotación , el cordial (o medio) indicará el sentido de la tensión generada (FEM) o de la corriente.
s66
De la mano izquierda (para motores) Si el índice apunta en la dirección del flujo magnético y el cordial (o medio) en el sentido de la corriente, el pulgar indicará el sentido de la rotación .
~
f
- '-=--'--
= ,'
-_!.-
--¡--~
N
,.--,-._
S
~(-
11:
11: ~ f=?1 ~ 1?1
1
Electrotecnia Campo magnético
S
67
s68
MAGNITUDES EN CIRCUITOS MAGNETICOS Flujo magnético <1> :!T NI <1> = - = -
(ver s 11)
Densidad de flujo magnético (inducción) 8 <1>
(ver s 12)
IYt
flt
B=A = p.,p...H = p.H
lnductancia L
s69
<1>
N"
/
IYt
(ver s 13)
L = N- = N" fl' = -
Para el cálculo de L ver también s 140 a s 146 Intensidad de campo magnético H S
70
H = !!_ =~ p.
(ver s 14)
(¡
Fuerza magnetomotriz .<17
S 71
:JT = N 1 =
¡
(ver s 15)
ólt ,
i= l
s 72
S
73
S
74
S
75
Tensión magnét ica lflt, en la i-ésima porción de un circuito magnético lflt, = H;l, (ver s 16) Reluctanc ia magnética IYt de un circuito uniforme :JT 1
IY't = - = - -
(ver s 18)
<1> p.A Permeancia magnética f/' de un circuito uniforme
fi'= 2_ = ~ = ~ = ~L IYt
:!T
1
(ver s 19)
N"
Energía magnética (almacenada en un campo) Em 1 1 Em = 2NI <1> = 2L F Flujo magnético disperso
S 76 S 77
(l>a
Coeficiente de dispersión 8 = <1> Flujo total
= + •l>a = (1 + 8) •1>
La explicación de los símbolos puede verse en S 16
(0.1 a 0.3)
1
Electrotecnia Campo magnético FUERZAS MAGNETICAS
lii S
78
i i79 S
m sao
S 81
s82
iil ii il
Fuerza entre dos polos magnéticos En la dirección del flujo magnético se produce una luerza de atracción F. dada por
8'A
1 F. == - · - - , o bien , F. "" 2 ¡.< o
A., )N 40 (8)' -T (-cm·
Fuerza sobre un conductor con corriente Sobre un conductor que lleva una corriente/, el campo magnético ejerce en una longitud (del conductor que lo atraviesa , una fuerza transversal Fl: F, == BII, obien,F,
== (~)(~)(~)N
*
En una armadura o inducido de máquina de corriente continua (CC) se produce el momento de rotación interno 1 1 p M; == - - <1>1-z 2 71' a • B= A 1 o bien. M, == - !!._, N · m 2 71' V·s A a Conductor Tensión inducida (ley de la inducción de Faraday) Si una bobina (con N espiras y resistenc ia interna R,) enlaza o concatena un flujo magnético <1> variable en el tiempo, se induce en ella una tensión o fuerza electromotriz (FEM)
J..
(...±...) (.!...)
(ver s 11) que hace circular corriente por su , ' . . . ._ circuito conectado. ' '> Tensión inducida por ~(t) el movimiento de un rotación de una espira 1 rotación de la armaconductor normal a o ele una Dobina dura de un generador un flujo magnético en un campo magnético
s83
s 85
1 Tensión o FEM de autoinducción : Ver la explicación de la página S 16
e = L di l dt Ver símbolos en la página S 16
Electrotecnia Corriente alterna CONCEPTOS GENERALES Fa sor Un fa sor es un segmento representativo de una magnitud alterna que gira en sentido contrario al del reloj . Angulos en igual sentido se consideran positivos. y en sentido contrario. negativos. Ejemplo :
\
S 86 S
4- --
Rotación positiva
\
'(>, -
'{1 1
87
'1'> = 360° equivale a rp 2
=o
Amplitud o valor máximo (ver s 1) Una magnitud alterna (corriente. i, o tensión. u) varía periódicamente. en general , en forma de onda senoidal. Los vale- Diagrama Variación en el tiempo res máximos 1,. y U,. reciben fasorial Periodo T= 111 el nombre de amplitud . Con una frecuencia angular "' = 2 1r t. el ángulo descrito en un tiempo t está dado por:
s88
a = .,t = 27rft
y en este momento los valores instantáneos son :
s 89
de la corriente
i = 1,. sen o>t = 1,. sena
s 90
de la tensión
u = U,. sen"' t = U,. sen a (cuando = 0)
Valor eficaz (o r.c.m .. raíz del cuadrado medio) Estos valores son los que se emplean en la práctica y los que indican generalmente los instrumentos de medición . En general S
91
S
92
I = I,¡= A 0
Para ondas armónicas 1,. 1 = 1,¡ = "'72
1,.
U = U,¡ =
'1./2
Con estos valores se tiene también en circuitos de corriente alterna: S
93
(en el caso de ces= 1, ver s 105)
1
Electrotecnia Corriente alterna CONCEPTOS GENERALES
Defasamiento. ángulo de fase cf> En presencia de impedancias de diversos tipos (resistiva . inductiva o capacitiva) en un circuito de corriente alterna ocurre un desplazamiento en fase o defasamiento. cf>. entre la corriente y la tensión. El ángulo de fase cp se mide en el diagrama fasorial de la corriente a la tensión. y en el diagrama de variación en el tiempo, de la tensión a la corriente. Variación en el tiempo
s94
u= U m seno>t
i
=
1m sen (wt -
cp)
Factor de calidad a . factor de pérdidas tan 8 y ángulo de pérdidas 8 El factor a de un circuito se define como S
a = 27TEm1Wp
95
donde Em es el valor máximo de la energía almacenada en el circuito y wp la pérdida de energía en un periodo. El recíproco del factor de calidad se conoce como factor de pérdidas.
s96
tan8
= 1/a
(8 es el ángulo de pérdidas)
Para un circuito de resistencia e inductancia (s 115 y s 118) y un circuito de resistencia y capacitancia (s 116 y s 119) se obtienen de esta definición las siguientes relaciones sencillas: 97 s98 s99 S
Q
= ltancf>l
= oo•- 14>1
1 tan 8
= 1/a = 1/ltan cp 1
= =
U niUx (en la conexión en serie) l nllx {en la conexión en paralelo)
Pueden verse fórmulas de tan 8 en S 17 y S 18. Para el caso de circuitos resonantes se tienen las fórmulas más complicadas s 128 y s 129.
1
Electrotecnia Corriente alterna Ecuaciones básicas para circuitos monofásicos
z
S 1()6
Impedancia Admitancia Tensión en una impedancia Corriente en una impedancia Potencia aparente Reactancia Potencia activa Potencia reactiva
X P P,
S 107
Factor de potencia
cos
Factor reactivo
sencp = - - = U/ P.
S 100 S 101 S 102
S 103 S
104
S 105
s 108
S
109
Flujo alterno a través de una bobina
(Ver S 16 y S 17)
y
= 1/l
u
= ll
1
= -
P.
= = Z sencp
u
z u 1 = VP' + P,'
= /2 z
= U 1 cos cp = / R 2
= U 1 sen cp = /2 X
cp
= ___.!:__ = U/ P,
p P. P,
(J) m
4.44 N f
Permeabilidad magnética del vacío (¡¡. .. = 4 1r x 1D-' V · s/A ·m) Coeficiente magnético (permeabilidad relativa) : para el vacío, gases. líquidos y la mayor parte de los sólidos se tiene¡¡. , = 1; para los materiales magnéticos ver la página Z 3 Número de pasos en paralelo en el devanado longitud de la trayectoria del flujo magnético Número de espiras en una bobina o devanado Número de pares de polos Número de conductores
¡¡... ¡¡. ,
a 1 N p
z Rs R1•
Ls Ll'
serie Resistencia en t------i paralelo En los circuitos de impedancias en S 17 y S 18 serie lnductancia en 1------1 paralelo
Explicación para la página S 13 (FEM de autoinducción) Ley de Lenz. Si a través de una bobina pasa una corriente i que varía en el tiempo, entonces varía también el campo magnético producido por la corriente. Se induce así en la bobina una tensión instantánea e. que tiene siempre una polaridad tal que contrarresta magnéticamente la variación de la corriente.
1
Inductiva
en se ri e
capacitiva
Resistiva + inductiva +
-
1
., e
01Ln< -
ca pac itar (o condensador)
Capacitiva
inductor (o bobina) ideal
i l 115
S
S
+
en serie (Reactor real)
inductiva
Resistiva
(Reactor real 1 con capa cito wLn> wC 114 en serie)
i l 113
S
i l 11 2
S
i l 111
S
S resistor común o 110 anti ·inductivo; lámpara
Resistiva {óhmica)
Tipos de componentes 1
1
•
1
u. 1
u,L
-
Diagrama fasorial
Xc
--u. u,
XLs
1
--¡¡¡¡-
u,-
-
1
1
u
XL s
1
~h ~u,
u
~-
~
Rs
Uo
Uc
-C::J--·U-...-.
Rs
Ue
--i~ J~//
Xe
U¿
x,
-
u. -
R
--g---
Conexión
u
00 < 4> < 90"
- 90°< o/> < 0
<1> = - 900
= goo
<1> = 00
Detasa miento
de 90°
1 atrás de U menos 0°< 4> < sif
1 atrás de U
de
1 adelante
1 a 90° adelante de Uc
u,
1 9 goo atrás de
1y u en fase
Relación de fases
1
.,~)'
Rs
wLs Rs
-
1
wC
wLs- -
_.,
"'
o
tan cj>=
Continuación en S 18
Z = .JRs' + lwLsl'
l = }Rs'+ (wLs-
wC
l =Xt· = - -
Z =X L= wL
l =R
Fórmula
e
-... ... o !!!. ¡; CD . n :;:,
m .
-·
m
en
-
:::11
111
CD
..l. o ....,.
m
::a l» .....
l»
,
::a iñ <
m
z
Ul
m
Ul
m
oz
><
m
oz
o
<
Ul
o
~ ti" ;; :::11
l!l oo CD n
,¡:
m
Ul
-1
!
S
121
'(:
1
Rp
u
!k
¡
R
/4.-
~~
u.
Diagrama fa sori al
u
le
IP
J
fe -..::¡¡;;:
u
~ ~r
/L ' -
/~ x,.
u
~ '1liif'L r!' r,=
IR
~
~
R,
Cone xión
Detasa miento
0° <>/>< 90°
en para lelo de reac tores y c apa c itares se recomie nd a usar lo s valore s del c1rc u ito equivalente en paral elo (ve r s 118). Las can t idades R,. y L,., dependientes de la frecuencia , de este circ uito se calculan a partir de Rs y Ls empleando las fórmulas :
cvencia, en el circu ito equ iv alen te en serie (ver s 115) . En conexiones
1
1
u1 2
ls
R.~ L,.:::::: Ls+ - -
R,
( ,,. Ls) :J
)(~)' + ("'el'
l=
Z=; cR,. + "' L,.
1
1•
1
z
(')
oz ~ ¡;· -i
(')
- Rr'" C
w L1,
R,
--
-CDnm ... o l>
....
en
-
l>
z
G)
"O
m
::S
-· m
CID
.....
CJ)
:::1
oz ![ CD e 111 n
:::1 . , L,. _,,,e¡ el> i (') !!.
(
R s"'C
1
=
- --
tan q,
r R,. -
r(r
r
1
l= )(Rr 2_ + (__2__ _,,e wL
l = J R,' + ( ,,,e 2_ )'
Fórmu la
R,. = Rs+ - -
1 ade lan te - 90o < < Oo de U
u
1 at rás de
o atrás de U según - 90°< < 90 ras campenen tes
f adel an te
f ad elante de U - 90o <
Rela ción de fases
Para un reactor (o bo bina de rea ctan c ia ) los valo res dados de R y L son por lo g eneral las can tida des Rs y Ls. independientes de la fre -
en pa ral elo
capacitiva
Resistiva+
en pa ralelo
inductiva
Resistiva +
en par alelo
inductiva
Resistiva +
en ser ie
capacitiva
Resistiva +
Tipos d e componen tes
Electrotecnia Corriente alterna CIRCUITO RESONANTE
Diagramas de conexiones y fasoriales
en serie
en paralelo
Ver s 113
Ver s 117
Diagrama faserial en caso de resonancia
u-uR u~ )L
Condiciones de resonancia
U~.=
u1Ic
~
1 S 122 S
123
1,.= 1,. 1 - - -w, C = O
Uc 1
t.J),. Lu - - - = 0
w, L,.
S
124
!lis 125 mi S 126 S
127
S
128
S 129
S
S
Frecuencia de resonancia
"'·' L,.C = 1 1 '· = 27rV4C'
"'-" L,C = 1 1 1, = 27rVC:C
[Cuando f (free. de línea) = t .. ocurre la resonancia} Corriente en la resonancia
Factor
a
Factor de pérdidas
130
Lonaitud de onda
131
Periodo en la resonancia
R.cu u 1,= - = - R,. Ln f.=IL - Ic= O
u 1, = Rn U, = UL - Uc= O =0 1 (d,. LR O n= - - = - - -
"'
RR
1 tan Bu = -
a,. =
w,.CRR
On
Rn
e R,. = -R" td,.
= -- • (I),LR
<1),.
1
Lp
1
tan s,. = - - = - - Or "+ C R,
e 300 x 10" m/ s A= - = f,
T, = 2.,.,[L;C
t,
T,= 2.,.yr;:c
Filtro . Un circuito resonante en paralelo tiene impedancia máxima l m;. a su frecuencia de resonancia. De modo que puede actuar como filtro eliminando corrientes de esa frecuencia . S
y además
132
u
1= --
Zm••
Ver los símbolos en S 16
1
Electrotecnia Corriente alterna PUENTE DE MEDICION PARA CORRIENTE ALTERNA Se emplea para determinar la capacitancia de condensadores y la inductancia de bobinas. Para hacerlo deben ajustarse el capacitar variable y el resistor R, , hasta que la señal en el audffono K haya alcanzado un mfnimo o desaparecido. Los circuitos mostrados no dependen de la frecuencia.
e,
Medición de inductancias
il lim 133
R,
ex =-e, Rs
S S
134
tan llx
137
S
138
R, R, R,
1 = - -- -
tan l>x =
Rxw Cx
.!!..:__
w L_,.
Determinación de una impedancia desconocida. Se obtiene midiendo la calda de tensión en esa impedancia y una resistencia auxiliar: R ¡
~-w-w
S 136 S
= e , R, R,
Rx= - - -
R x = ¡¡;R,
S 135
mi
Lx
R,
P,=
A~
2R
P, cos
u,
Z = -
1 La resistencia aux1liar debe seleccionarse de manera que
u, "" ¡u,¡.
s 139
e_,
Capacitancia desconocida 1
Lx
lnductancia desconocida Resistencia desconocida Capacitancias calibradas Impedancia desconocida
o
Angula de pérdidas (ver S 15) R2 , R,. R, Resistencias conocidas del capacitar o del inductor ajustables (inductiva o capacitiva) r
1
Electrotecnia Corriente alterna INDUCTANCIA L DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE Cálculo de L a partir de la impedancia y la resistencia. s 140
S
Se hace pasar una densidad de corriente (J = 11 A "' 3 A/ mm') y se mide la tensión terminal U, la corriente 1 y la potencia activa P.
141
Impedancia Z
mm
S
u
p
= -
Resistencia R
1
= -
/'
142
a;
Cálculo de L para una bobina toroidal (de anillo) L
S 143
= f.'-.. h N ' In !::. 27r
'·
Cálculo de L para una bobina de disco con sección rectangular
o u
lnductancia
i144 i
< 1
S
145
> 1
L = 105(~)N'J(~)'p.H L = 105(~)N'Jmf.LH
S
146
~
Los valores ya no son aceptables
S
3
V· s 1p.H = 10-"A
a
a
Ancho radial de la bobina Area transversal del conductor Grueso axial de la bobina Diámetro exterior del conductor con aislamiento Diámetro medio de la bobina Longitud del contorno interior del hueco Longitud media del enrollamiento (fm = rra) Número de espiras o vueltas Perímetro de la sección transversal de la bobina Relación a : b
f3
Grado de aflojamiento en la bobina
A b
m
S
147
m
S
148
de
O 1, fm
N p
r, +
(/3 = !..!:__) N di
1
Electrotecnia Corriente alterna CALCULO DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE PARA UNA INDUCTANCIA DADA Bobinas de alta frecuenc ia
~
~1
S 149
m
S
150
S
151
S
152
Fórmula O
~ JS (~)
(-;;} N'"
(m-0)"·
d
1
3.5
N "' ""
donde: 1.s
(d L
1(d;;) · (L) 5s H"
u
, X
10 14
X
10 14
do=TV'Ñ
2
=d,(1 + a)./Ia
Bobinas de baja frecuen cia Suponiendo que
=1
13
y
O
= u,
entonces
N ~ 975~
i153 i
a=~
S
u
b=- - a
(u :±: vu, - 16Nd.' ) ;
2
Cálculo del número de espiras de una bobina
lil
S 154
i155 i
S
S 156
A partir de la sección transversal de la bobina :
ab
N ~
d
2
A partir de la resistencia : RA
N ~
-· - · - · -\
~·-· (
i
--
i
·, ,
.
1 i
.
p fm lm lo Mediante una bobina patrón o de referencia . Se coloca la bobina con el número desconocido de espiras N x y la bobina con número conocido de vueltas N 0 , lo más cerca posible una de otra sobre un marco de acero, como se indica. El sistema se energiza o excita con una bobina magnetizante N. de CA. a la que se aplica la tensión u•. Se miden las tensiones U x y U 0 con voltímetro de alta impedancia . De manera que N , = N0
.
Ux
u.
-
Ver símbolos en página S 21 .
1
Electrotecnia Corriente alterna HISTERESIS MAGNETICA Inducción magnética remanente 8 , Magnetismo que permanece en el material (hierro o acero) cuando desaparece la intensidad magnética externa aplicada H.
H
Intensidad magnética coercitiva H, Campo que debe aplicarse para anular la inducción magnética 8,.. Trabajo de magnetización Wn (energía disipada por histéresis) Al describir una sola vez el ciclo de histéresis se disipa una energía W n igual al producto del área del ciclo de histéresis wn y el volumen de la muestra de hierro. v,..:
S 157
Wn = WnV Fe
Potencia de magnetización P 11 (potencia disipada por histéresis) S
Pn = Wnf = wnV,., f
158
Corrientes parásitas o de Foucault Por la inducción electromagnética debida al cambio de flujo también se originan tensiones alternas en el hierro que, dependiendo de la conductividad eléctrica del material , producen unas corrientes turbulentas llamadas parásitas o de Foucault. La construcción laminar de los núcleos y las armaduras (con láminas de acero de 0.3 a 1 mm de espesor y aisladas entre sf) las reduce en alto grado. Pérdidas magnéticas (en el hierro) Potencia disipada en el hierro por unidad de masa
p,.,
Comprende las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas. Se mide con una amplitud de la inducción 8 ,. = 1 T = 10 kGs , o bien, 1.5 T = 15 kGs. a una frecuencia de 50 Hz, lo que da las cantidades p,.,10 o p,.,,. respectivamente. Los valores pueden verse en Z 4.
i159 i
Potencia total de pérdidas en el hierro
P,.. = P,.,10
S
m,..
[(T8)
Masa del material magnético (hierro)
P,..
(SO fHz) ] '
x
m,.. (1 + x)
Aumento por rebordes del troquelado, etc . (0.1 a 1.0)
1
Electrotecnia Corriente alterna REACTOR O BOBINA DE REACTANCIA
Impedancia reductora de tensión Se emplea un reactor en el circuito de una carga puramente re sistiva Re para reducir la tensión de entrada de un valor U a un
¡~"· ~·' z,
fu S 160 S
161
ii S 162
Impedancia del
¡
R,o¡U,=R,I
reactor circuito total
lnductancia requerida
Mu,
~
Z, = ..jR,c + (o>L, )'
z
= v!R, + R,)' + !•·•Cl'
L,
=-
1J¡(UR)' - ' u('
(R,+ R, )'
(rj
m
S
163
Para un cálculo aproximado de L, se puede despreciar la resistencia aún desconocida R, del reactor. Una vez diseñada la bobi na. se conocerá R, y podrá calcularse Z con precisión . Luego se revisa U, empleando la fórmula
UR,
U,= z
Eventualmente se requerirá un segundo cálculo con el valor modificado de la inductancia requerida . Reactor sin núcleo de hierro y con inductancia constante El diseño se efectúa según S 21 . Se suponen inicialmente los valores de r, , r, (bobina toroidal) , o de D. u (bobina de disco) . Si el espacio disponible para las bobinas resulta insuficiente o se obtiene un número inadecuado de espiras o un calibre impropio, deben repetirse los cálculos con otras dimensiones. Finalmente se calcula la resistencia de la bobina mediante s 26. Reactor con núcleo de hierro e inductancia constante El núcleo de hierro sirve fun damentalmente para confinar el flujo magnético y debe teJ, ner el mayor número posible de entrehierros simples. s, . Estos deben llenarse con aislante y su espesor total no debe ser mayor que 1 cm. La fuerza mag~etomotriz (FMM) requerida por el hierro puede despreciarse. Los cálculos se realizan con los valores máximos de H y de B. (Continúa en S 25)
1
Electrotecnia Corriente alterna
1
S 25
Una medida de la variación de la inductancia L, es la máxima variación relativa de la inductancia dependiente de la corriente:
mm
g. =
S 164
m
IL••••. - L,l L,
;
1
AFe B,..u.~el 8
g.
H,..~ ~·.. , /Fe 1-'o AE
- =
+ 1
Si g. > fh ,,... 1 repítase el diseño aumentando A,., y disminuyendo 8 ,.. n·e1• pero manteniendo constante el producto A ..., a .. ,.... ,. Dimensionamiento. Dados: L1 " f. obtienen las siguientes:
9L II"fQ . I• UL 1et. 1
o
1,,_entonces
se
Dimensiones provisionales S
165
Sección efectiva del núcleo de hierro
S 166 S
167
S S
Area de entre. hierro Longi tud del
169
1
~f'e i::;
170
1
donde 1et
l
172
= 2ll'"f U LN Let.
.
N=
A•• (obtener de OIN 41 302) U ~ r.
4.44/ B....... A~··
A,/ = ab +(S cm) (a+ bi A 8 = a b + 5 (a + b) a, N'.! IJ.oA B'
total
a· =
---r;-
individual
!,' -
3'1n < 1cm
d' =
2~
Diámetro del con ductor A.-rea tran sversal del bobinaao Longitud de las columna s del núcleo
S 171 S
A F: = .JK /d . U L et.
Número de espiras
S 166
definitivas
'= a,
a bn N' l'v
n L,
SN' I'o(a
+ b)
3/n < 1 cm d al valor estándar siguiente d. in c luye el aislamiento
=
A B = 1.12d,? N
Determínese l e a partir de las dimensiones del núcleo y de Aa.
Bobina de reactancla con núcleo de hierro e lnductancia dependiente de la corriente. Esta bobina cuenta con un núcleo de acero. pero no llene entrehierro. Sólo se emplea para fines especiales, por etemplo, como ampl ificador magnético. K
Coefic iente de potencia de la bobina : S!! 0.24 c m"'VA para bobinas comunes (en aire) } Ver S 24 pa~a la for"!a de .9!! 0.15 cm 4 / VA para bobinas en aceite secc1ón del nucleo para la forma de sección del núcleo ro=g] aplicar valores 75% mayores J' Densidad provisional de corriente : para bobinas comunes J' = 2 A / mm 2 para bobinas en aceite J' lii3l 3 a 4 A / mm 2 tll'e) Inducción en el hierro (alrededor de 1 a 1.2 T) H• I Fe) Intensidad de campo en el hierro para B ... n ·e). Según el tipo de hierro debe obtenerse de Z 3. n Número de entrehierros. Su aumento reduce el flujo de ,jispersión Resistencia del bobinado (según s 26) Re. R, Resistencia de la bobina. incluyendo pérdidas en el hierro
a..
'··
(R,.., 1.3Reo) Longitud media de la trayectoria de flujo en el núcleo de hierro
1
Electrotecnia Corriente alterna TRANSFORMADOR
Designación de los bobinados Clasificación según la función en el circuito (sentido de la transmisión de energía) Bobinado que
la tensión nominal Bobinado con tensión nominal mayor menor Alto
1
recibe
entrega
energía
Bajo voltaje
Primario
Secundario
(lndice 1)
(lndice 2)
Datos nominales (índice N) S
173
S 174
Capacidad (V A) Relación de transformación
n
= U"IU"' = l.sfl"
Como tensión nominal secundaria U" no se toma la correspondiente a carga nominal sino la de vacio. es decir. U" = U 20 • Pérdidas en el hierro
P., y prueba de vacío (circuito abierto) u
¡u,"
V
N, Nz
u
u,N
lli~.
Uzo / R ( !-'1•)
Las pérdidas en el hierro P., dependen sólo de la tensión primaria U, y de la frecuencia 1, pero no de la carga.
S 175
Pw
= PFe
Dichas pérdidas en el hierro, así como la relación nominal de transformación n, se determinan mediante una prueba de vacío. (Ver el diagrama de conexiones, secundario abierto, datos con de la corriente primaria el índice 0). La componente activa corresponde a las pérdidas en el hierro; la componente reactiva es la corriente de magnetización 1, . Las pérdidas en el cobre son despreciables. Las pérdidas en el hierro P,., se utilizan para calcular las pérdidas en operación normal y la eficiencia.
1.,..,.
1
Electrotecnia Corriente alterna TRANSFORMADOR
Pérdidas en el cobre Pe .. y prueba de corto circuito Diagrama fasorial
_.___~l"·_ 'l)l''" _
V El valor de Pe.. sólo depende de la corriente primaria / 1 y se determina mediante una prueba de cortocircuito (ver el diagrama de conexiones, datos con el índice K). En esta prueba con el secundario en corto se ajusta la tensión primaria U 1 al valor K , con el cual se hacen circular por los bobinados sus corrientes nominales; u,. es tan pequeña que pueden despreciarse los valores de '" ""' e 1,. La potencia primaria de cortocircuito resulta entonces igual a la pérdida nominal total en los dos bobinados, Pe.. N . a las corrientes nominales. Ese valor se emplea en el cálculo de las pérdidas de operación y de la eficiencia .
u,
P,.
S 176
S
177
S 178
P 1K = P euN
Con los valores medidos se determina la relación de cortocircuito. que se indica a veces en la placa de transformadores grandes. rK = 100 (U 1K/ U 1N ) %. Del diagrama fasorial se obtienen : Rcu = Un!/ I N
;
L=
U 1./(111 1N ;
COS
Comportamiento en operación Para determinar la tensión secundaria de trabajo U, para cada caso de carga , se refieren primero todas las cantidades secundarias a las de un transformador de igual capacidad. pero con una relación de transformac ión n = 1 : 1 (valores con la marca ' ) S 179
U{= n U2;
/{
= 12'/n ;
R{
=
180
S 181
Diagrama fasorial
Circuito equivalente simplificado /1 R. L J,'
M·
u,
1 =
n' R2
Cambio AU de U{ dependiente de la carga (Aproximación para r K = 4%) S
P euN
rKP aN
AU"" u, K (cos 1K cos
q,.,) /2/ / 2N
Electrotecnia
S 28
Corriente alterna CONEXIONES TRIFASICAS Estrella (YJ
S
182
S
183
u = UFVJ 1 = 1,.
R S
u.,
T
S
184
S
185
(~1
U= U,. 1 = 1, ../3
-
1
u
+Uv
R S
1
u., _
N
Delta
-
u
~ ¡u
T Medición de potencia trifásica
Cargas simétricas (equilibradas) Conexión sin neutro (sistema de 3 hilos)
S
186
Potencia total
P = 3P, = VJUicos
Cargas asimétricas (desequilibradas). Método de Aron . Con dos wattímetros. Línea Carga De aplicación general y para redes con neutro y sin neutro. Potencia total
S 187
P = P 1 + P2
---:1 Pz ~
Corriente de fase U,. Tensión de fase Corriente de linea U Tensión entre lineas R, S , T Conductores principales de línea (o bien : l 1 , l 2 ,l , ) N Hilo de neutro (o punto común) P ,. Potencia de fase (activa)
1,
1
1
Electrotecnia Corriente alterna CALCULO DE POTENCIAS TRIFASICAS
liiJ
Para cargas simétricas :
S 188
Potencia reactiva
P.= VJUisencp
S 189
Potencia activa
P = VJUicoscp
S 190
Factor de potencia
p
cos
= VJUI
Corrección del factor de potencia (FP) (en el caso de cargas inductivas) Generalidades Para reducir las pérdidas y el costo de la energía consumida puede mejorarse el FP hasta un valor de 95% aproximadamente. En el caso de cargas grandes la corrección debe hacerse directamente en cada carga . Tratándose de cargas pequeñas la corrección se hará en la subestación o centro de distribución. Cálculo de la potencia capacitiva (en VAr) necesaria
mm
S 191 S 192
El FP se calcula por medio de s 107 o s 190. La potencia se determina con wattímetros (ver las conexiones en S 28) o con un watthorímetro.
P, = (tan 1 -
Potencia capacitiva necesaria Pérdidas en el equipo corrector de FP
tan
p , ""' 0.003 P,
Tabla de valores para la corrección del FP cos
tan
0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60
2.161 2.041 1.931 1.827 1.732 1.643 1.559 1.479 1.405 1.333
cos 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80
tan 1.265 1.201 1.138 1.078 1.020 0.964 0.909 0.855 0.802 750
o
cos tan 0.724 0.81 0.82 0.698 0.672 0.83 0.84 0.646 0.85 0.620 0.86 0.593 0.87 0.567 0.88 0.540 0.512 0.89 0.484 0.90
cos 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1
tan 0.455 0.426 0.395 0.363 0.329 0.292 0.251 0.203 0.142 0.000
Los valores de tan 1 y tan 2 se obtienen correlativamente de la tabla anterior donde cos 2 es el FP deseado y cos cp, es el FP real de la carga .
1
Electrotecnia
Sao
Máquinas LA MAQUINA DE CORRIENTE CONTINUA Dínamo ¡motor o generador)
ti! 193
Generalidades Constante del momento de rotación
S
pz CM= - 2 ?Ta
liil S lill S liil S
194
Tensión inducida en la armadura (FEM) 8 .
195
Momento de rotación
M =C" I.
196
Corriente de armadura
'·
lill s
197
Tensión terminal
U = ~a:!:: la Ra
= C" '''"'= 21r C"
g s
198
Velocidad de rotación (rpsl
n
lill S
199
Potencia interior
P; = recibida por el generador
s200 Potencia mecánica
S 201
± (U -
*
8. )
R.
*
U + l aRa
**
27TC,,,<J> M;(IJ=
~a la
1
Pe =-Uitat. 71
entregada por el motor
Motor con excitación " shunt" (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Buen arranque, la velocidad permanece casi constante con carga, y dentro de ciertos límites, puede ajustarse con facilidad. Motor con excitación en serie (Ver el diagrama de conexiones en S 311 Buen arranque con alto par inicial. La velocidad depende de la carga . Sin carga, existe el peligro de desbocar la máquina . Motor con excitación "compound" (Ver el diagrama de conexiones en S 311 Trabaja aproximadamente como un motor "shunt". El bobinado serie garantiza un alto par de arranque.
a
Número de pasos en paralelo en la armadura p Número de pares de polos <1> Flujo magnético
*
+
El signo corresponde a un motor El signo - corresponde a un generador
z
Número de conductores
R.
Resistencia de la armadura
**
El signo - corresponde a un motor El signo corresponde a un generador
+
1
Electrotecnia Máquinas
S a1
MAOUINAS DE CC CON POLOS DE CONMUTACION Motores 1 Generadores
~
l!l
o cr:
s202
1~
E ::;¡
.:;;;
:"' e
-o ·¡; !!! ·¡; X w
s203
-
.,
·~
(/)
.,e e
-o ·¡; !!!
o X
w
S 204
'o e
::;¡
o c. E o
,o e
-o ·¡; !!! ·¡; X w
A la A lAizquierda la ,A lAderecha la A derecha J!i!Y W fj!Y
A
Ala Izquierda fj!Y'
Electrotecnia Máquinas MOTORES DE CA TRIFASICOS
Velocidad de sincronismo Según el número p de pares de polos y la frecuencia 1 (en Hz). se tiene
s205
Velocidad de sincronismo n,
601 = -p1 = -(en rpm) p
Conexión Si todas las terminales del devanado del estator se llevan al tablero de conexiones. entonces el motor puede conectarse en delta o en estrella. Tensión por fase en estrella en delta
s206 Un motor con la designación 660/380 V opera con sus valores nominales de corriente. par y potencia conectado a una tensión ~;
S 207
U= 380Ven
s208
u= 660Ven Y;
entonces
u,= 380 V
entonces U,
u
660
= -;:¡:j = -;:;'3 = 380 V
Conexión delta-estrella Los motores de altas potencias operan generalmente en delta. Para evitar corrientes excesivas de arranque, en redes de baja potencia se les arranca conectados en estrella, y posteriormente se operan en delta. Si, por ejemplo. un motor con tensión nominal de 660/380 V se arranca en estrella conectado a una red de 380/ 220 V, entonces se le aplica por fase 1/v':fde su tensión nominal. Motor asfncrono (o de inducción) En el devanado del rotor se Inducen tensiones y corrientes por el campo magnético giratorio producido por la corriente en el estator. por lo cual se le denomina también motor de inducción. La velocidad de operación es aproximadamente de 3% a 5% (deslizamiento) menor que la del campo giratorio (velocidad de sincronismo) . Con carga su velocidad permanece constante. Motor sfncrono Requiere corriente continua para su excitación. Se arranca con ayuda de su devanado amortiguador (de jaula) hasta alcanzar la velocidad de sincronismo. Puede funcionar también reversiblemente como generador sfncrono o alternador.
1
Electrotecnia
S 33
Transformadores GRUPOS DE CONEXIONES Designación
Fases
Conexiones Relació:~
lndice
Grupo
AV
BV
AV
(ratio)
BV
u,: u,
Transformadores trifásicos
o
S 209 S
210
S
211
S
212
d
o
o~
o
z
o
S
216
S
U
V
W
u
r
w
U
V W
u
r
w
[J¿]¿J ~ u r w [J¿]¿J v r w
L1J r w
u
S 214
215
urw
LU LLI
S 213
S
UVW
[JLI¿J [!¿J¿J
u_j
o
d
6
y y
6
217
o
z
6
S
218
oy
11
S
219
6
11
w [~¿]¿) u r
u r w
'
y d 11
U
V
u
~
W
[~¿)¿)
u
' _ji
rL1J w Wtü
w~
y z 11
S 220
rT1 ' w
u_j
wy
Transformadores monofásicos
u S
221
1 AV BV
Alto voltaje Bajo voltaje
~~~Delta
i 1
1
¡ '
~ 1 Estrella ~~~Zigzag
El índice sirve para calcular el defasamiento ( 4> = lndice x Jo•¡ entre la conexión de AV y la de BV. Por ejemplo. el defasamiento para el grupo O y 5 es q, = 5 x 30• = 150•. Nota:
Los grupos enmarcados son preferibles.
1
Construcción
Bobina móvil en el campo radial uni Bobina móvil forme de un imánpermanente; dos resortes espirales o de torsión como Bobina móvil conexiones v para el contramomento con rectili torsional cador Bobinas perpendiculares, rigidamente Bobinas en unidas, en el campo no uniforme de un imán permanente ; dos conexiones cruz sin contrapar o ,contra momento El alambre calefactor del termopar, Bobina móvil soldado o en estrecho contacto. La con termopar tensión termoeléctrica al imenta la bobina móvil Dos piezas de hierro dulce, una móvil Hierro dulce v una lija ; bobina fija v resortes espira les para el contra momento Bobina móvil, bobina lija v dos resorElectrodlná- tes espirales o de torsión para el contramo mento y la conexión ; pantalla mico magnética
Tipo de dispositivo
' ·
o
1, cos
Valor eficaz
Valor eficaz
-1,
-
-....•. '"
-
-
'"
-
-
para 1 y U ; lineal para 121 p
( :.! 1
No lineal -"' <.;Uadrática
Casi cua. drática
No lineal
"" Lineal
Valor continuo (rectificador) /,
Lineal
Escala
Valor continuo (media aritmé. tica)
Cantidad primaria medida
y cos
l. U. P
1V U
1V U
-1'·,
1V U
1V U
Para medir
'"
una placa lija y una móvil en el cortU(desde ElectrostáNo lineal 121 100 V) Valor eficaz tico densador t 11 '"También para cantidades alternas no senoldales ' Sólo para cantidades alternas senoidales t < 500Hz '" También para altas frecuencias
$
~
~
o
Q
~
o
o
Símbolo
.. ....... o
m (1)
Q.
111
o
....
... n
>
"D 111 111
1/l
m
-1
z
)lo
-1
o"'::0
~
1/l
)lo
S:
1/l
-· e»
:S
n
~
w
en
-
::::1
0:
ñ
!.
o CD3 (1)
z -1
m
S:
e:
z 1/l -1 ::0
Optica e Iluminación Iluminación. Fotometria CANTIDADES BASICAS EN LUMINOTECNIA Magmtud
Símbolos y relaciones
Intensidad luminosa t
2
1,
,¡
t
t
3
4
5
Flujo lumínico (potencia lumínica) Cantidad de luz (energía lumínica)
1, es una magnitud fun damental. Ver Explica ciones generales . !l es la relación del area A, de la superficie esférica interceptada . al cua drado del radio de la esfera r,. Para un ángulo sólido completo se tiene !l= 41l'sr = 12.56 sr <1>, es el producto del ángulo sólido la intensidad luminosa/,
1m'
sr = - -
1 m'
lumen
O, =
Iluminac ión
E,
r' 6
candela cd
lm = cd · sr
l v COSa
t
Explicación
estereorra . dián
Angulo sólido
A,
t
Unidad
lumen. segundo lm · s lux lm lx=--
m'
L,
Luminosidad (brillo)
cd 1,
m'
A, cos <
ny
O, es el producto del flujo lumínico y el intervalo de tiempo t E, es el cociente del flujo lumínico incidente y la superficie iluminada A = A, /cos a L, es la relación de la intensidad luminosa 1, a la proyección de la superficie iluminada sobre un plano perpendicular a la dirección a los rayos.
Flujo lumínico requerido para la iluminación (Ver valores en Z 21) Una superficie A sobre la que hay una iluminación E, requiere un flujo lumínico t
7
A E,
"1 Equivalente fotométrico de la radiación t
B
1 watt = 680 lm a una longitud de onda de 0.555 p.m Definición de la unidad fundamental candela Un radiador perfecto (cuerpo negro) con una superficie de 1/(6 x 1()-' ) m' tiene a una temperatura de 2 043 K una intensidad luminosa de 1 candela. Ver los símbolos en T 2
1
Optica e Iluminación Iluminación. Refracción LEY DE LA ILUMINACION La iluminación de una superficie es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la fuente de luz: t
E.,
9
A,
Para igual iluminación de una superficie las intensidades de dos fuentes de luz están en relación directa al cuadrado de sus distancias a la superficie: t 10
Refracción de la luz t 11
n.
sen fJ
= constante para todo ángulo 12 13
cuando sen
p ~ ~. hay reflexión total n,
Indicas de refracción {para luz amarilla de sodio, >. Sólidos 1 Líquidos (con relación al aire) Plexiglass Cuarzo Vidrio (crown) Diamante
1.49 1.54 1.56 2.41
Agua Alcohol Glicerina Benzol
= 589.3 nm)
Gases (con relación al vaclo)
1.33 1.36 1.47 1.50
Hidrógeno Oxígeno Aire Nitrógeno
1.000139 1.000271 1.000292 1.000297
Superficie iluminada Superficie luminosa Angulo entre el rayo incidente y la perpendicular a la superficie iluminada A Angulo entre el rayo emitido y la perpendicular a la superficie luminosa A , n. lndice de refracción del medio menos denso n, Indica de refracción del medio más denso r Distancia entre la fuente luminosa y la superficie Iluminada r¡ Eficiencia de la iluminación (Ver tabla Z 21) e 20 3 x 10" m/ s (velocidad de la luz)
A A, a
1
Optica e Iluminación
Ta
Longitudes de onda. Espejos LONGITUD DE ONDA EN AIRE ATMOSFERICO
Longitud de onda A
Tipo de radiación t
14
Rayos X
t
15
Luz v adyacentes
0.0057 0.080 2.0 100 280 315 380 420 490 530 650
duros suaves ultrasuaves ultravioleta. corta ultravioleta , larga violeta azul verde amarilla roja 1nfrarro¡a
t
16
Longitud de onda A=
-
-
-
-
-
0.08 nm nm 2.0 37.5 nm 280 nm 380 nm 380 nm 420 nm 490 nm 530 nm 650 nm 780 nm
e
f
Espejos Espejo plano La imagen es virtual. derecha v está a una distancia (d' ) numéricamente igual a la del objeto (d) :
t17
d = - d' Espejo cóncavo
t 18
1
1
1
,=--¡¡+-¡; La imagen será real o virtual dependiendo de la distanc ia del objeto:
d
1
> 21 21 21>d> 1 1 <1
Imagen
d'
1
negativa Espe¡o convexo Sólo produce imágenes virtuales. derechas v menores. Similar al espejo cóncavo con 1 =- .!... 2 Ver símbo los en T4
puntiforme
real . invertida. menor real . invertida . igual tamaño real. invertida. mayor nula virtual . derecha. mayor
~
o
' -
1
Optica e Iluminación Lentes LEYES DE LAS LENTES Potencia (o poder refractivo) 6 de una lente
1
t 19
it 20i
1 Unidad : dioptría (dpt) = m
~-=-
1
~órmula
1
de las lentes delgadas
1
1
,=e¡+-;¡
·. : .~
G t 21
= (n - 1) (
2.. + 2_) r1 r::
F
d' h' m=-=h d
t 22
-d
Si dos lentes con distancias focales 11 y 1, están inmediatamente una a continuación de la otra, la distancia focal total es
1
1
1
,=,+--¡;
t 23
Lupa o lente de aumento En general
con el objeto en el foco S
m=-
t 24
1
Microscopio Ampliación total
El 25
tS m=---
t
1,1,
=mlm:!
t 26
Macrofotografía t 27
Extensión de cámara
t 28
Distancia del objeto F 1
d d' h h'
a = 1 (m + 1) a 1 C=-=1(1 + -) m m
Foco (o punto focal) 1 stancia focal Distancia del objeto Distancia de la Imagen Tamaño del objeto Tamaño de la imagen
n m
s
lndice de refracción (ver T 21 Radio de curvatura Longitud óptica de tubo Amplificación o aumento Distancia visual normal (= 25 cm en el ojo normal)
1
Química Elementos
1
u1
Masa Masa atómica atómica Nombre Símbolo (en urna) (en urna) Mn 54.9381 Aluminio 26.9815 Manganeso Al Mercurio Hg 200.59 Antimonio 121 .75 Sb 95.94 Molibdeno M o Argón 39.948 Ar Nd 144.240 Arsénico 74.9216 Neodimio As 20.183 Ne As tato Neón Al 210 Nb 92.906 Niobio 32 .064 Azufre S Níquel Ni 58.71 Bario 137.34 Ba N 14.0067 Berilio Be 9.0122 Nitrógeno Au 196.967 Bismuto Oro Bi 208.980 Osmio Os 190.2 Boro 10.811 B 15.9994 Oxígeno Bromo o Br 79.909 Pd Paladio 106.4 112.40 Cadmio Cd Plata Ag 107.870 Calcio 40.08 Ca California Platino P1 195.09 251 Cf Carbono Pb 207.19 12.0112 Plomo e Plutonio Pu 242 Cerio 140.12 Ce Potasio K 39.102 132.905 Cesio Cs Praseodimio Cloro Pr 140.907 35.453 Cl Ra 58.9332 Radio 226.04 Cobalto Co Renio Re Cobre 186.2 Cu 63.54 Cromo Rad io Rh Cr 51 .996 102.905 Einsteinio Rubidio Rb 85.47 Es 254 Ru Erbio Rutenio 101.07 Er 167.26 Samario Escandia 44.956 Sm 150.35 Se Selenio Estaño 118.69 Se Sn 78.96 Estroncio Silicio Si Sr 87.62 28.086 Europio Sodio 151 .96 Na Eu 22.9898 TI Flúor Fe 18.9984 Talio 204 .37 p Fósforo Ta 30.9738 Tantalio 180.948 Gadolinio Telurio Te Gd 157.25 127.60 Galio Titanio 69.72 Ti Ga 47.90 Germanio Torio 72 .59 Th Ge 232.038 Helio Tm 4.0026 Tulio 168.934 He Hidrógeno Tungsteno H 1.008 w 183.85 Hierro Uranio Fe 55.847 u 238.03 Indio Vanadio 114.82 V In 50.942 Iridio Ir 192.2 Xenón Xe 131.30 Kriptón Yodo Kr 83 .80 1 126.9044 lantano Yterbio Yb la 138.91 173.04 y litio Y trio li 6.939 88.905 lutecio 174.970 Zinc lu Zn 65.37 Magnesio 24.312 Zirconio Mg Zr 91.22 urna, u = Unidad de masa atómica (igual a 1/12 de la masa de un átomo del isótopo 12 del carbono. 12 C) 1 urna= 1.66 x 10-21 k g) Nombre
Símbolo
1
Química Productos químicos NOMBRE
común Acetileno Acetona Acido cianhídrico Acido clorhídrico Acido fluorhídrico Acido fosfórico Acido nítrico Acido sulfhídrico Acido sulfúrico Agua Alcohol etílico Alcohol metílico Amoníaco Anilina Bauxita Bórax Bromuro de plata Bromuro de potasio Cal viva Cal apagada Carbonato de calcio Carbonato de plomo Carbonato de sodio Carbono Carburo de calcio Carburo de silicio Cianuro de potasio Clorato de potasio Cloruro de amonio Cloruro de calcio Cloruro de estaño Cloruro de hierro Cloruro de potasio Cloruro de sodio Cloruro de zinc Cromato de potasio Dicromato de potasio Dióxido de carbono Dióxido de manganeso Eter etílico
específico o comercial (sólo cuando difieran) dimetilcetona ácido prúsico ácido ortofosfórico
Fórmula C., H. (CHah · CO HCN HCI HF H3 PO, HNO,
H.s
aceite de vitriolo etanol metano! aminobenzol óxido de aluminio tetraborato de sodio óxido de calcio hidróxido de calcio caliza plomo blanco carburo carburundum sal amoníaco cloruro ferroso sal común
H2 SO, H, O C2 H5 0H CH 3 0H NH 3 CoHs · NH, AJ, o ,• Na, B, o ,• AgBr KBr Ca O Ca(OH), CaCO, 2PbC0 3 • Pb(OH), Na, co,•
e cae.
SiC KCN KCIOa NH, CI CaCI, SnCJ,* FeCJ,* KCI NaCI ZnCJ•*
K2 Cr0, anhídrico carbónico pirolusita éter
•Normalmente en solución acuosa
K,cr, o , co, MnO. (C 2 H, ),O
Química
Ua
Productos químicos
común
NOMBRE específico o comercial (sólo cua ndo difieran)
Fenal Ferri cianuro de potasio Ferroc ianuro de potasio Gl ice rina Glicol Grafito Hidróxido de amonio Hipoclo rito de ca lcio Magn esia Metano Minio (plomo roía) Nitrato de calcio Nitrato de plata Nitrato de plomo Oxido de esta ño Oxido de plomo Oxido de mangan eso Oxido de nitrógeno Oxido de zinc Potasa Potasa caús tica Propano Sosa (soda) Sosa caús tica Sulfato de cadmio Sulfato de ca lcio Sulfato de cobre Sulfato de hierro Sulfato de magn es io Sulfato de sod io Sulfato de zin c Sulfuro de hierro Sulfuro de merc urio Sulfuro de plomo Sulfuro de zin c Tetracloroe til eno Tiosulfalo de sodio Tric lo roe tileno Urea Yoduro de pot asio
ácido carbólico
trihidroxipropa no
Fórmula C,;H,,OH Ka[Fe(CN )6 ] K, [Fe(CN) u] C,.H,-,(OH):. CH"OH -CH 2 0H
e polvo de blanquear óxido de magnesio gas de los pantanos óxido plumboso-plúmbico
óxido estannoso óxido plumboso dióxido manganoso gas hilarante blanco de zinc carbonato de potasio hidróxido de potasio óxido de sodio hidróxido de sodio
vitriolo azu l vitriolo verde sal de Glauber vitriolo blanco sulfuro ferroso cinabrio sulfuro plumboso blenda
carbamida
*Normalmente en solución acuosa
NH,OH CaOCI, MgO CH, Pb,.O, Ca(NO,.J, AgNO,. Pb(NO,.), S nO" PbO M nO" N"O ZnO K"CO,. KOH C:1Hs Na"O Na OH CdSO, caso.· CuSO/ Feso.,• MgSO.* Na"SO.* ZnSO.* FeS HgS PbS ZnS C"CI, Na"s "o ,. • C"HCb CO(NH"b Kl
1
Química Valores pH. Indicadores VALOR pH
El logaritmo decimal con signo negativo de la concentración de iones hidrógeno c 8 • es el valor pH de una sustancia : pH = - log, 0 e H+
1
1(}-'
1(}-2
pH
o
1
2
u
CH+
. .. -
1(}-'
...
7
ácida
neutra
1(}-12 12
'"!j 13
14
alcalina
Indicadores ácido-base Indicador
Intervalo del pH
Az ul de timol 4 -dimetilaminoazobenzol A zul de bromofenol Rojo congo A naranjado de metilo
1.2. 2.8 2.9·4.0 3.0 · 4.6 3.0 . 5.2 3.1. 4.4
rojo· amarillo rojo · amarillo naranja amarillo • rojo violeta azul violeta • rojo naranja rojo • amarillo naranja
Verde de bromocreosol Ro jo de metilo
3.8. 5.4 4.4. 6.2 5.0. 8.0 5.2. 6.8 5.2 · 6.8
amarillo . azul rojo • amarillo anaranjado rojo . azul amarillo . púrpura anaranjado amarillo • púrpura
6.0 · 7.6 6.4 . 8.2 6.4· 8.0 7.0 . 8.8 7.4. 9.0
amarillo • azul amarillo . rojo azul roj izo · anaranjado amarillo amarillo • púrpura amarillo • púrpura
T ornasol p úrpura de bromocreosol Rojo de bromofenol
Az ul de bromotimol Rojo de fenol Rojo neutro Rojo de creosol m -creosolpúrpura A zul de timol
Fenolftalefna A marlllo de alizarina GG
8.0. 9.6 8.2 . 9.8 10.0 · 12.1
Cambio de color
amarillo • azul sin color • rojo violeta amarillo claro . castaño amarillento
Reactivos.
Produ~~~~~!~!zclas
frigoríficas !
u5
REACTIVOS Clase de sustancia u u u
2 3 4
u u u
5 6
u
8
Acido
Base
7
u 9 u 10 u 11
Ozono Acido sulfhídrico Solución de amoniaco Dióxido de carbono
Indicador o reactivo
Cambio de color o efecto
papel tornasol azul fenolftaleína roja anaranjado de metilo amarillo
rojo incoloro
papel tornasol rojo fenolftaleína incolora anaranjado de metilo rojo
azul rojo
papel con yoduro de potasio papel plomo ácido clorhídrico hidróxido de calcio
rojo
amarillo azul- negro castaño- negro vapores blancos sedimentación
Obtención de productos químicos Producto a obtener
Reacción
u u u u u u u u
12 13 14 15 16 17 18 19
Acido carbónico Acido sulfhídrico Amoniaco Cloro Cloruro de amonio Hidrógeno Hidróxido de amonio Hidróxido de sodio
CaCO,. FeS CO(NH,) ' CaO Cl, NH,OH H,SO, NH,. Na, O
u u u u
20 21 22 23
Oxígeno
2KCI0 3
Sulfuro de cadmio Sulfuro de plomo Sulfuro de zinc
CdSO, Pb(NO,.), ZnSO,
+ 2HCI --> H2CO, + CaCI, + 2HCI--> H, S + FeCI + H 0 --> 2NH,. + co, + 2HCI--> Cl, + CaCI + H20 + HCI--> NH,CI + H,O + Zn --> H, + ZnSO, + H, O --> NH,OH --> 2NaOH + H-,0 ~30, + 2KCI + H, S .... CdS + H, SO, + H,S --> PbS + 2HN0 + H,S --> ZnS + H.SO, 2
2
2
3
Preparación de mezclas frigoríficas Reducción de temperatura (' C) u u u u u u
24 25 26
27 28 29
u30
+10 10 8
o o o
- 12 -15 - 24 -21 -39 - 55
+15
-77
+ +
Mezcla (los números indican proporciones en peso)
+ + +
4 H, O 1 KCI 1 H, O 1 NH,NO,. 1 H,O 1 NaNO,. 1 NH, CI 3.0 Hielo picado 1 NaCI 1.2 Hielo picado 2 CaCI, · 6H 20 1.4 Hielo picado 2 CaCI, · 6H, O 1 Metanol CO, sólido (hielo seco)
+
+ + +
+
1
u6
1
Humedeclmlent~~!d~e~ ~r~
Dureza del agua
ESTABLECIMIENTO DE HUMEDAD CONSTANTE EN EL AIRE DE RECIPIENTES CERRADOS Humedad relativa a 20' C (por encima de la superficie de la solución)
Solución acuosa saturada
92% 86 80 76
u 31 u 32 u33 u 34 u 35 u 36 u 37 u 38
Na"CO" · 10 H"O KCI (NH,)"SO, NaCI NH,NO" Ca(NO"b · 4 H"O K"CO" · 2 H"O Ca Cl"· 6 H"O
63 55 45 35
Elementos secantes para desecadores Agua residual después del secado a 25' C. mg/lit (aire)
Elemento secante Nombre Sulfato de cobre. anhidro Cloruro de zinc. fundido Cloruro de calcio. granulado Hidróxido de sodio Oxido de magnesio Sulfato de calcio. anhidro Oxido de aluminio Hidróxido de potasio Oxido de silicio (Kieselgel) Pentóxido de fósforo
1.4
0.8 0.14-0.25 0.16 0.008 0.005 0.003 0.002 0.001 0.000025
Fórmula
cuso. ZnCI" CaCI" Na OH MgO CaSO, Al" O" KOH (SiO"), P"O'
u u u u u u u u u u
39 40 41 42 43 44 45 46
47 48
Dureza del agua 1' en la escala alemana ldeutsche Hart e. dH) = 10 mg (CaO) / Iitro !agua) Intervalos de dureza (en dH)
O' - 4' muy blanda 4' - 8' blanda 8' - 12' medio blanda
12' · 18' algo dura 18'- 30' dura má s de 30' muy dura
lntercambiadores de iones para suav1zar el agua Zeolita : Permutita : Wofatita:
silicatos naturales de sodio y aluminio silicatos artificiales de sodio y aluminio resinas orgánicas sintéticas
u 49 u 50 u 51
Tablas Propiedades eléctricas RESISTIVIDAD p Y CONDUCTIVIDAD y DE CONDUCTORES (A 20' C)
p Material Acero dulce Aluminio Antimonio Cadmio Carbón Cobre (eléc.) Constantan Cromo-Ni-Fe Estaño Hierro fundido Hierro (puro) Grafito Latón Ms 58
n · mm'/m 0.13 0.0278 0.417 0.076 40 0.0175 0.48 0.10 0.12
1 0.10 8.00 0.059
1
y= ¡;
Material
7.7 36 2.4 13.1 0.025 57
Latón Ms 63 Magnesio Manganina Mercurio Níquel Niquelina Oro Plata Plata alemana Platino Plomo Tungsteno Zinc
208 10 8.3 1
10 0.125 17
p n · mm'l m 0.071 0.0435 0.423 0.941 0.087 0.5 0.0222 0.016 0.369 0.111 0.208 0.059 0.061
Y=¡;
.
14 23 2.37
1.063 11 .5 2.0 45 62 .5 2.71 9 4.8
17
16.5
RESISTIVIDAD p DE AISLANTES Material
-------+ Aceite de parafin a Agua de mar Agua destilada Ambar comprimido Baquelita Caucho (hule) duro Mármol
n · cm 10" 1O" 10' 10" 10" 101" 10 ~<>
n ·cm
Material
1017 1018
Mica Parafina (pura) Plex iglás Polistireno Porcelana Tierra húmeda Vidrio
10 1''
1018 10"
10" 10 1"
COEFICIENTE TERMICO DE RESISTENCIA ac, (A 20' C) Material
(' C-1, K- 1)
Material
(' C-1, K- 1)
Acero dulce Aluminio Carbón Cobre Constantan Estaño Grafito Latón
+ 0.00660 + 0.00390 - 0.00030 + 0.00380 - 0.00003 + 0.00420 - 0.00020 + 0.00150
Manganina M ercurio Níquel Niquelina Plata Plata alemana Platino Zinc
+ 0.00090 + 0.00400 + 0.00023 + 0.00377 + 000070 + 0.00390 + 0.00370
± 0.00001
1
z2
Tablas Propiedades eléctricas
1
CONSTANTE DIELECTRICA E, Material aislante E, Aceite de oliva 3 Aceite de parafina 2.2 4.7 Aceite de ricino Aceite mineral pltransf. 2.2 Aceite vegetal pltransf. 2.5 Agua 80 t Aire Aislam. plcable alta 4.2 tensión Aislam. plcable 1.5 telefónico Araldita 3.6 3.6 Baquelita Cartón comprimido 4
Material aislante Caucho (hule) duro Caucho (hule) suave Compuesto (compounrf) Cuarzo Ebonita Esteatita Fibra vulcanizada Gutapercha Laca (shellac) Mármol Mica Micanita Papel Papel impregnado.
E,
4 2.5 2.5 4.5 2.5 6 2.5 4 3.5 8 6 5 2.3 5
Material aislante Papel Kraft Papel pescado Parafina Petróleo Pizarra Plexiglás Poliamida Polistireno Porcelana Resina fenólica Tetlón Tela Trementina (aguarrás) Vidrio
E,
4.5 4 2.2 2.2 4 3.2 5 3 4.4 8 2 4 2.2 5
SERIE DE POTENCIALES ELECTROQUIMICOS Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno Material Aluminio Berilio Cadmio Calcio Cobalto Cobre Cromo Estaño
Volts - t .66 -t .85 -0.40 -2.87 -0.28 +0.34 -0.74 -0.14
Material Hidrógeno Hierro Magnesio Manganeso Mercurio Niquel Oro Plata
Volts 0.00 -0.41 - 2.37 - 1.19 +0.85 -0.23 +1 .50 +0.80
Material Platino Plomo Potasio Sodio Tungsteno Zinc
Volts +1 .20 -0.13 -2.93 -2.71 -0.58 -0.76
Números estandarizados mediante una razón progresiva de acuerdo con la serie E (Ejemplo para E 6 a E 24) Serie E 6 (• 2.2
1.0
1.5
10
3.3
22 etc.
!Jlo) 4.7
6.8
47
Serie E 12 (• ~) 1.0 2.2 4.7 1
1.2
2.7
5.6
1.5
3.3
6.8
1.8
3.9
8.2
10
22 etc.
47
Serie E 24 (• ~) 1.0 2.2 4.7 1.1 2.4 5.1 1.2 2.7 5.6 1.3 3.0 6.2 1.5 3.3 6.8 1.6 3.6 7.5 1.8 3.9 8.2 4.3 9.1 2.0 10 22 47 etc. 2
IZ3
Tablas Propiedades magnéticas
INTENSIDAD DE CAMPO H Y PERMEABILIDAD RELATIVA ¡.c., EN FUNCION DE LA INDUCCION MAGNETICA B DESEADA Inducción o densidad de flujo
Hierro fundido
Acero fundido y lámina tipo "dynamo" PFol O
B
H
tesla gauss (T =V·s 1m 2 ) (Gs)
,. . ,
A/ m
= 3.6 W/ kg ¡.c.,
H
A/ m
lámina de acero aleado P F• I O
= 1.3 W/ kg
H
,. . ,
A/ m
0.1 0.2 0.3
1000 2 000 3000
440 740 980
181 215 243
30 60 80
2 650 2 650 2 980
8.5 25 40
9390 6350 5 970
0.4 0.5 0.6
4 000 5 000 6000
1 250 1 650 2100
254 241 227
100 120 140
4180 3310 3 410
65 90 125
4900 4 420 3810
0.7 0.8 0.9
7 000 8000 9000
3 600 5 300 7 400
154 120 97
170 190 230
3280 3 350 3110
170 220 280
3280 2900 2 550
1.0 1.1 1.2
10000 10300 11000 14000 12 000 19 500
77 63 49
295 370 520
2 690 2360 1 830
355 460 660
2 240 1 900 1 445
1.3 1.4 1.5
13 000 29 000 14 000 42 000 15 000 65 000
36 26 18
750 1 250 2000
1 380 890 600
820 2 250 4 500
1 260 495 265
1.6 1.7 1.8
16 000 17 000 18000
3 500 7900 12000
363 171 119
8 500 13100 21 500
150 103 67
1.9 2.0 2.1
19000 20000 21000
19100 30500 50 700
79 52 33
39 000 115 000
39 14
2.2 2.3
22 000 23 000
130 000 218 000
13 4
- - - límite práctico
1
z4
Tablas Propiedades magnéticas
1
VALORES PARA LAMINA TIPO "DYNAMO" (DE LA NORMA DIN 46 400) Lámina de aleación Clase
Lámina normal
baja
mediana
alta
Tipo
13.6
113.0
1112.3
IV 1.5 IV 1.3
Tamaño mm x mm
1000 X 2000
750 X 1500
Espesor, mm
0.5
0.35
Densidad , kg/dm'
7.8
7.75
7.65
Valor máximo de las pérdidas, W/kg
Pt'
3.6
3.0
2.3
1.5
1.3
P Ft- 10
8.6
7.2
5.6
3.7
3.3
B,.
tes la gauss
1.53 15 300
1.50 15000
1.47 14 700
1.43 14 300
B,..,
tesla gauss
1.63 16300
1.60 16 000
1.57 15 700
1.55 15 500
81 00
tes la gauss
1.73 17 300
1.71 17100
1.69 16900
1.65 16500
B avo
tesla gauss
1.98 19 800
1.95 19 500
1.93 19300
1.85 18 500
Valor mínimo de la inducción
7.6
Explicaciones
8 20
=
1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mfnima de 1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25 A/cm. Para una línea de flujo de. p. ej .. 5 cm. se necesitarán pues: 125 A. 5 X 25
=
~ 5
pérdidas magnéticas por unidad de masa con las inducciones de
110
=
000 Gs 1.0 tesla J15 000 Gs _ 1.5tesla
Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos 1
z5
Los valore s corresponden a las siguientes condiciones *: Densidad a r 15•c
=
=
Temperaturas (o puntos) de fu sión y de ebullición para p 1.0132 bar 760 Torr Los valores entre paréntesis indican sublimación. o sea. ca mbio directo del estado sólido al gaseoso
=
Conductividad térm ica a 2o•c Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de temperaturas o < r < 10o•c
Sustancia
Puntos de Densidad fu sión ebulli!soldf .l ción 1' kg / dm"
Aceite Aceite Aceite Aceite Aceite
·e
·e
Conduct. térmica
Calor específico
1(
e
W/ (m ·K) ' " KJ / (kg·K) "'
de colza de linaza para calefacción para máquinas para tran sforms.
0.91 "' 0.94 "'' 0.92 ''" 0.91 0.87
-
3.5 20 5 5 5
300 316 175-350 380-400 170
0.17 0.15 0.12 0.126 0.15
1.67 1.84
Acero Acero colado Acero dulce Acero de alta velocidad Acetona
7.85 7.8 7.85 8.4-9.0 0.79 ""
-1350 -1350 -1400 -1650
2500
47-58 52.3 46.5 25.6
0.46 0.502 0.461 0.498
Acido Acido Acido Acido Acido
acético cianhídrico clorhídrico 10 % clorhídrico 40% fluorhíd rico
1.08 0.7 1.05 1.20 0.99
16.8 - 15 - 14
118 27 102
0.50
3.14
- 92 .5
19.5
Acido Acido Acido Acido A gata
nítrico sulfúrico sulfúrico 50 % sulfúrico cene.
1.56 (41 -
0.53
2.72 1.34
0.5 11 .20
1.38 0.80
Agua Alcohol Alcohol etílico 95% Alcohol metílico
2500 2600 56.1
1.3 86 - 10 1.49 "' - 73 1.40 1.84 1o-
0.79
o - 130
0.82 131
- 90
100 78.4 78
0 .8
- 98
66
* Ver las notas en la página Z 9
0.58 0.17-0.23 0.16
1.97
4.183 2.42 2.51
1
z6
Tablas 1
Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Sustancia
Puntos de Densidad fusión ebullilsoldfl ción 1' kg / dm"
"C
"C
Conduct. térmica 1(
Calor específico
e
W/ (m·K) <•> kJ / (kg·K) m
Aluminio fundido Aluminio laminado Ambar Antimonio Arcilla
2.6 2.7 1.0 6.67 1.8·2.6
658 - 2200 658 - 2200 - 300 14.40 630 2980 -1600
209.3 209.3 22.53 0.84
0.21 0.92
Arena seca Arenisca Arsénico Asbesto Asfalto (chapopote)
1.2-1 .6 1.9-2.6 5.72 - 2.5 1.2
-1550 -1500 815
0.33 1.3-1.7
0.80 0.92 0.348 0.816
-
2600 2600 (633)
15
300
1.96 3.6 0.89 0.7 1.85
113 700 5.4 - 150 1279
445 1537 80 50-200
Bismuto Bórax Brea (alquitrán) Bromo Bronce
9.8 1.72 1.08 3.14 -8.0
271 741
1480
7.3 900
63 2300
Bronce fosforado Bronce de aluminio Cadmio Calcio Caliza
8.8 7.7 8.64 1.55 1.8-2.8
Carbón mineral Carbón vegetal Carburo de silicio Caucho (hule) crudo Caucho (hule) duro
1.2-1 .5 0.3-0.5 3.12 0.95 1.2-1.8
Azufre cristalizado Bario Benceno (benzol) Bencina
Berilio
-
900 1040 - 2300 321 778 800 851
0.17 0.19 0.27 0.137 0.16 167.5 10.5
125
Cera Cloroformo Cobalto Cobre Cobre fundido
0.96 1.53 8.8 8.93 8.8
64 - 70 1490 1083 1083
65-70 61 3168 2310 2310
Cobre laminado Colofonia Concreto armado
8.9 1.07 2 .4
1083 100-130
2310
0.75 0.29 1.80 -2.1 1.880 0.13 0.996
116-186
0.360
105-116 127.9 92 .1
0.364 0.435 0.234 0.63 0.909
0.15-0.23 (3540)
0.904 0.904
0.16 0.08 15.2 0.20-0.34 0.17 0.084
1.30 0.84 0.67
3.43
69.8 372 .1 372 .1
0.435 0.394 0.394
372 .1 0.317 0.8-1 .7
0.394 1.88 0.88
Tablas Propiedades de materiales sólidos y liquldos
Sustancia
Puntos de Densidad fu sión ebulll· (soldf 1 eIón p kg/dm•
·e
·e
Constan tan Coque Corcho Corindón Cromo
8.89 -1600 -2400 1.4 0.2·0.3 2050 2980 4.0 6.7 -1800 2200
Cuarzo Cuero Diamante Diesel (combustible) Duraluminio
-2.6 -1550 0.9·1.0 3.5 0.88 - 5 2.8 650
Elektron Esmeril Estaño fundido Estaño laminado Estroncio
1.8 4.0 7.2 7.3-7.5 2.54
Esteatita Eter etfllco Fibra de vidrio Fibra vulcanizada Fibracel
2.6·2.7 1650 0.73 -117 0.1·0.2 1.28 1.5
Fósforo Gasóleo (gas oil) Gis Glicerina Grafito
1.83 0.86 1.8·2.6 1.27'" -2.1
44.2 287.3 -30 200·350
Grasas Gutapercha Hielo Hierro (fierro) Hierro de 1a. fusión
0.93 -0.98 0.9 7.86 7.0·7.8
30-175 -300 148 180 o 100 1530 -3000 1560 2500
Hierro de soldadura Hierro forjado Hierro fund ido Hollín Incrustación (calderas) Iridio Ladrillo Ladrillo refractario
2590 (3540) 175 2000
650
1500
2200 232 232 797
3000
-20
2200 2200 1388 35
290 (3540)
IZ7
Calor Conduct. térmica especfflco /(
e
W/(m·K) '" kJ/(kg ·K) <21 23.3 0.183 0.30 0.7
0.410 0.84 2.05 0.96 0.452
1.09 0.17 8.4 0.13 129.1
0.80 1.495 0.3329
162.8 11 .6 64.0 64.0
1.00 0.96 0.25 0.25 0.230
2.7·2.8 0.14 0.03·0.07 0.21
0.92
1.05 2.26 0.84 1.26 1.357 0.80
0.15 0.9-1 .2 0.29 5.02 0.21
0.84 2.43 0.825 0.63·0.76
1.7 47-58 52.3
2.09 0.458 0.54
7.8 1600 2500 7.8 - 1200 7.25 -1200 2500 1.6-1.7 (3540) 2.5 1200 2800
54.7 47-58 48.8 0.07 1.2-3.0
0.515 0.461 0.532 0.84 0.80
22.4 2450 1.4-1.6 1.8-2.2 -2000
59.3 0.8 0.47
0.134 0.92 0.88
4800
2900
1
z8
Tablas 1
Propiedades de materiales sólidos y liquldos
Puntos de Sustancia
Densidad fusión (soldfl p
•e
kg / dm' Latón fundido Latón laminado Litio Madera. abedul alerce
ebull~
ción
·e
Conduct. térmica /(
Calor especifico
e
W/ lm·K) '" kJ/(kg·K)<21
8.4-8.7 900-980 -2300 8.5-8.6 900-980 -2300 186 1336 0.53 0.5-0.8 0.5-0.8
81-105 87-116 301 .2 0.142 0.12
0.385 0.385 0.360 1.88 1.30
0.6-0.9 0.4-0.7 0.7-1 .0 0.6-0.9 0.6-0.8
0.3-0.5 0.152 0.21 0.3-0.5 0.143
1.59 1.42 2.39 1.59 1.34
haya roja pino blanco pino rojo "pock" Magnesia
0.7-0.9 0.5-0.8 0.5-0.8 1.28 3.2-3.6
0.143 0.16 0.1 -0.2 0.19
1.34 1.30 1.47 2.51
Magnesio Magnesio de aleación Manganeso Mármol Mercurio
1.74 1.8 7.3 2.0-2.8 13.6
650 650 1260 1290 38.9
1120 1500 1900 2870 357
157.0 70-145 2.1-3.5 8.4
1.05 1.00 0.46 0.88 0.138
Metal Babbitt Metal Delta Metal rojo Mica Minio
7.5-10 300-400 8.6 950 8.8 950 -3.0 -1300 8.6-9.1 900
2100 2300
35-70 104.7 127.9 0.35 0.7
0.146 0.384 0.381 0.88 0.25
52 .3 308.2
arce chopo encino (roble) fresno haya blanca
Molibdeno Nieve Níquel Oro Osmio Oxido de cromo Oxido de hierro Paladio Papel Parafina Percloroetileno Petroéter Petróleo
10.2 0.1 8.8 19.33 22.48
-2500
1452 1064 2500
3560 100 2400 2610 5300
5.21 5.1 11 .5 0.7-1 .1 0.9
-2200 1565 1549
2200
0.42 0.58 70.9
52
300
0.21
0.75 0.67 0.247 1.338 3.26
0.14 0.159
0.904 1.76 2.09
1.62 0.67 0.80
o
-
20 119 -160 40-70 - 70 150-300
0.272 4.187 0.461 0.130 0.130
Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos Puntos de Sustancia
Den sidad fu sión p (soldfl
ebull~
ción
kg / dm"
·e
Pizarra Plata Plata alem . (alpaca) Platino Plomo
2.6-2.7 10.5 8.4-8.7 21.4 11 .34
-2000 960 -1050 1764 327
Porcelana Potasio Radio Renio Rodio
2.2-2.5 0.86 5 21.4 12.3
1670 63 700 3170 1960
Rubidio Sebo Selenio Silicio Sodio
1.52 39 696 0.9-1 .0 40-50 350 4.3·4.8 220 690 2.34 -1415 2400 0.98 97 .5 880
Tantalio Telurio Trementina (aguarrás) Titanio Tolueno (toluol)
16.6 6.25 0.87 4.5 0.88
3030 455 -10 1800 -94 .5
Torio Tricloroetileno Tumbaga Tungsteno (wolframio) Turba
11 .3 1.47 8.65 19.1 0.64
1845 -86 900 -3350
Uranio Vanadio Vidrio plano Yodo Zinc extruido
18.7 5.6 2.5 4.95 6.8
Zinc fundido Zinc laminado
6.86 7.15
"' (:! 1
'" '" ~~~
'"
= =
2000 3800 1525
419 419
Calor Conduct . térmi ca específico K
2500
0.42 418.7 29.1 69.8 35.0
0.758 0.234 0.398 0.130 0.130
0.8-1.0
0.92 0.080
88.3
0.147 0.2.43
133.7
0.33 0.88 0.352 0.80 1.26
73.3 1390 160
0.10
110
0.14
87 2300 4850
920 920
e
W/ (m ·K) Ul kJ / (kg ·K) '"
762.2
1850 1715 700 113.5 (184) 1000 393
1 W/ (m ·K) 0.8598 kcal / (h ·m · C) 1 kJ / (kg · K) 0.2388 kcal / (kg · C) Para t 2o•c Para t o•c Para t 20•c Para t 4°C
= = ==
·e
lz 9
0.16 93-116 11 .9 0.06-1.2
0.138 0.201 1.80 0.611 1.59 0.113 1.30 0.381 0.155 1.88
139.6
0.117 0.50 0.84 0.218 0.38
110.5 105.8
0.38 0.38
0.6-1.0
= 102 kgf · m/ (kg · C)
1
Tablas Propiedades de materiales gaseosos Los valores corresponden a las siguientes condiciones .
Densidad a r = 15"C y p = 1.0132 bar= 760 Torr Temperaturas de fusión y evaporación a p = 1.0132 bar Conductividad térmica a r = 20"C y p = 1.0132 bar Calor específico a r = 20"C y p = 1.0132 bar Punto de Sustancia
Densidad fusión ebul lip l soldf.l ción kg l m'
"C
"C
eond uctividad térmica
A W/ (m·K)
Calor específico
e,
1
e,
kJ / {kg ·K) <1 >
Acetileno Acido clorhídrico Acido su lfhídrico Aire {atmosférico) Amoniaco
1.18 1.64 1.54 1.293 0.77
- 84 - 81 0.017017 - 114 - 85 - 83 - 60.3 -1 95 0.0221 - 220 - 78.3 - 33.7 0.01989
1.67 0.80
1.34 0.59
100 2.22
0.71 1.72
Argón Azufre Butano. isoButano . nCloro
1.78 3.41 2.67 2.70 3.22
- 190 112 - 145 - 135 - 100
-1 86 46 10 1 - 34
0.015912 0.006188
0.54 0.67
0.33 0.54
0.014365
0.50
0.29
Dióxido de azufre Dióxido de carbono Etileno Gas de alumbrado Gas de altos hornos
2.93 1.96 1.26 0.55 1.28
- 73 - 57 - 169 -230 -210
-
10 78.5 -102 -210 -170
0.015912 0.01326 0.034034 0.05525 0.01989
0.83 0.84 1.55 2.14 1.05
0.50 0.83 1.21 1.55 0.75
Gas pobre Helio Hidrógeno Kriptón Metano
1.22 0.18 0.09 3.7 0.72
-210 -272 -258 - 157 - 184
-170 -268.8 -253 -152 -164
0.01989 0.143 0.161993 0.00878 0.028067
1.05 5.23 14.28 0.25 2.22
·0.75 3.18 10.13 0.17 1.72
Monóxido de carbono Neón Nitrógeno Oxígeno Ozono
1.25 0.9 1.25 1.43 2.14
-211 - 249 - 210.5 - 219 - 251
-190 -246 -195.7 -183 -112
0.020995 0.043758 0.0221 0.022321
1.05 1.05 1.05 0.92
0.75 0.63 0.75 0.67
Propano Propileno Vapor de agua ' " Xenón
2.02 1.91 0.81 5.8
-
190
1.47
111
0.016575 0.0051
1.93
-
" > 1 kJ / {kg
o
·K) = 0.2388 kcal / (kg · K)
-
-
45 50 100 -106
''' A t = 100"C
z 11
Tablas Propiedades térmicas de materiales
COEFICIENTE DE DILATACION LONGITUDINAL o: EN (10-6 ) (K- 1 ) (para t de a 1
o oo·c)
Sustancia
Sustancia
0:
Acero dulce Acero níquel (= lnvar con 36% Ni) Aluminio Bismuto Bronce Cadmio Cobre Constantan Cuarzo Estaño Esteatita
12.0 1.5 23.8 13.5 17.5 30.0 16.5 15.2 0.5 23 .0 8.5
0:
10.5 18.5 5.2 13.0 14.2 19.7 18.0 9.0 29.0 40 4.5 300
Hierro fundido Latón Molibdeno Níquel Oro Plata Plata alemana (alpaca) Platino Plomo Porcelana Tungsteno (wolframio) Zinc
COEFICIENTE DE DILATACION VOLUMETRICA fJ EN K- 1 (para t = 15. C) Sustancia Agua Alcohol Bencina (gasolina) Eter Glicerina
Sustanoia
f3 0.00018 0.0011 0.001 0.0016 0.0005
f3
Mercurio Petróleo Trementina (aguarrás) Tolueno (toluol)
0.00018 0.001 0.001 0.00108
COEFICIENTE DE TRANSMISION DE CALOR k EN W(m' · K) * Material de pared Caliza Concreto armado Concreto de escoria Concreto de grava Madera Ladrillo Vidrio
0.3
1
Espesor en centímetros 2 5 12 25 38 4.3
3.8 5.8
4.1 2.4
3.1 3.5 2.7 3.4 1.7 2.9
51
2.2
1.7
1.4
1.7 2.3
1.4
1o
2.0
1.5
1.3
5.3
Ventanas Vidrio sencillo. amasillado (con mástique) Vidrio doble. 2 cm de separación . amasillaóo Vidrio doble, 12 cm de separación. amasillado Techo de tejas. sin y con material para juntas
5.8 2.9 2.3 11 .6 y 5.8. respectivamente
* Valor aproximado para aire con movimiento ligero en ambos lados de la pared
1
z 12
Tablas 1
Propiedades térmicas de materiales
CALOR DE FUSION (POR UNIDAD DE MASA) 11 Sustancia
kJ / kgO l
Acero Aluminio Antimonio Azufre Cadmio Cobalto Cobre Cromo Estaño Eter etílico Fenal Glicerina Hielo Hierro colado
205 377 164 38 46 243 172 134 59 113 109 176 335 126
Sustancia
kJ / kg
Latón Manganeso Mercurio Metal (aleación) Wood Naftalina Níquel Oro Parafina Plata Platino Plomo Potasio Zinc
168 155 11 .7 33.5 151 234 67 147 109 113 23 59 117
CALOR DE VAPORIZACION (POR UNIDAD DE MASA) 1, (a 1.0132 bar = 760 Torr) Sustancia Agua Alcohol Amoniaco Cloro Clorometilo Dióxido de azufre
CONSTANTE DE GAS Sustancia Acetileno Aire Amoniaco Dióxido de azufre Dióxido de carbono
kJ / kg 2250 880 1410 293 406 402
Sustancia
kJ / kg
Dióxido de carbono Hidrógeno Mercurio Nitrógeno Oxígeno Tolueno (toluol)
R'' ' EN J(kg · K)Y
595 503 281 201 214 365
MASA MOLAR M (EN Kg / kmo l)
R
M
Sustancia
R
M
319 287 488 130 189
26 29 17 64 44
Hidrógeno Monóxido de carbono Nitrógeno Oxígeno
4124 297 297 260
2 28 28 32
" ' 1 kJ / kg = 0.2388 kc al/ kg
"' 1 J / lkg ·KJ = 0.102 kgf ·m/ kg ··c)
z 13
Tablas Propiedades térmicas de materiales
CAPACIDAD TERMICA ESPECIFICA (MEDIA) e, DE GASES IDEALES EN kJ/(kg ·K) EN FUNCION DE LA TEMPERATURA t
co
co,
N,
N2
H,
H, O
puro
atm.
o,
so,
Aire
1.039 1.041 1.046 1.054 1.064
0.8205 0.8689 0.9122 0.9510 0.9852
14.38 14.40 14.42 14.45 14.48
1.858 1.874 1.894 1.918 1.946
1.039 1.041 1.044 1.049 1.057
1.026 1.031 1.035 1.041 1.048
0.9084 0.9218 0.9355 0.9500 0.9646
0.607 0.637 0.663 0.687 0.707
1.004 1.031 1.013 1.020 1.029
900
1.075 1.087 1.099 1.110 1.121
1.016 1.043 1.067 1.089 1.109
14.51 14.55 14.59 14.64 14.71
1.976 1.068 2.008 1.076 2.041 1.087 2.074 1.098 2.108 1.108
1.057 1.067 1.078 1.088 1.099
0.9791 0.9926 1.005 1.016 1.026
0.724 0.740 0.754 0.765 0.776
1.039 1.050 0.061 1.072 1.082
1000 1100 1200 1300 1400
1.131 1.141 1.150 1.158 1.166
1.126 1.143 1.157 1.170 1.183
14.78 14.85 14.94 15.03 15.12
2.142 2.175 2.208 2.240 2.271
1.118 1.108 1.035 1.128 1.117 1.043 1.137 1.126 1.051 1.145 1.134 1.058 1.153 1.142 1.065
0.784 0.791 0.798 0.804 0.810
1.092 1.100 1.109 1.117 1.124
1500 1600 1700 1800 1900
1.173 1.160 1.186 1.193 1.198
1.195 1.206 1.216 1.225 1.233
15.21 15.30 15.39 15.48 15.56
2.302 1.160 1.150 1.071 2.331 1.168 1.157 1.077 2.359 1.174 1.163 1.083 2.386 1.181 1.169 1.089 2.412 1.186 1.175 1.094
0.815 0.820 0.824 0.829 0.834
1.132 1.138 1.145 1.151 1.156
2000 2100 2200 2300 2400
1.204 1.209 1.214 1.218 1.222
1.241 1.249 1.256 1.263 1.269
15.65 15.74 15.82 15.91 15.99
2.437 2.461 2.485 2.508 2.530
1.192 1.197 1.202 1.207 1.211
1.180 1.186 1.191 1.195 1.200
1.099 1.104 1.109 1.114 1.118
0.837
1.162 1.167 1.172 1.176 1.181
2500 2600 2700 2800 2900 3000
1.226 1.230 1.234 1.237 1.240 1.243
1.275 1.281 1.286 1.292 1.296 1.301
16.07 16.14 16.22 16.28 16.35 16.42
2.552 2.573 2.594 2.614 2.633 2.652
1.215 1.219 1.223 1.227 1.230 1.233
1.204 1.207 1.211 1.215 1.218 1.221
1.123 1.127 1.131 1.135 1.139 1.143
t (' C)
o 100 200 300 400 500 600 700 800
Calculada a partir de datos en E. Schmidt. Einführung in die Technische Thermodynamik, 9a . edición. Springer, 1962, Berlin / Góttingen/ Heidelberg .
1.185 1.189 1.193 1.196 1.200 1.203
1
Tablas Propiedades térmicas de materiales CONSTANTE DE RADIACION
Material Acero mate Acero pulido Agua Aluminio mate Aluminio pulido Cobre oxidado Cobre pulido Estaño pulido Hielo Hollín Ladrillo
e
EN (10-') W 1m 2 · K' ) A 20' C
e
Material
e
5.40 0.34 3.70 0.40 0.23 3.60 0.28 0.34 3.60 5.30 5.30
Latón mate Latón pulido Madera cepillada Níquel pulido Plata pul ida Porcelana vidriada Vidrio liso Zinc mate Zinc pulido Superficie del cuerpo negro (radiador absoluto)
1.25 0.28 4.40 0.40 0.17 5.22 5.30 5.30 0.28 5.67
COLORES DE INCANDESCENCIA DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES
Tono rojo rojo rojo rojo rojo rojo
oscuro cereza oscuro cereza medio cereza claro claro muy claro
t (' C)
Tono
680
rojo amarillento amarillo amarillo claro blanco
740 770 800 850
t (' C)
950 1000 1100 1300 o más
900
COLORES DE ESTIRADO DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES
Tono
amarillo pálido amarilla paja castaño (café) púrpura violeta
t ('C) 200 220 240 260 280
Tono
azul plúmbago azul claro gris azul gris
t ('C) 300 320 350 400
.
t;fJ
r·~·21oo[ffl +
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112
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Nota: Para tubos de sección no circular
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J
' -
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•
2
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debe sustituirse por
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111
,
z 16 1
Tablas Propiedades hidrodinámicas RUGOSIDAD k (De Richter. Rohrhydraulik)
Material y clase de tubería
Estado
k en mm
Tubo de acero sin costura . laminado o extruido (cali dad comercial) , nuevo
de laminado típico decapado galvanizado por inmersión galvanizado comercial
0.02-0.06 0.03-0.04 0.07 - o 10 0.10-0.16
Tubo de acero. usado
con oxidación uniforme normal con oxidación moderada e incrustación ligera incrustación mediana incrustación intensa limpiado después de uso prolongado
Tubo de hierro fundido
de fundido típico. nuevo embetunado, nuevo oxidado con incrustación limpiado después de uso prolongado de tipo medio en instalaciones urbanas muy oxidado
Tubo de lámina de acero soldada o remachada
aprox. 0.15 0.15 - 0.4 aprox . 1.5 2-4 0.15-0.20 0.2-0.6 0.1-0.13 1 - 1.5 1.5-4 0.3 - 1.5 1.2 4.5 aprox . 0.15
soldado. nuevo remachado. nuevo con costura ligera con costura fuerte limpiado. de 25 años de uso. severamente incrustado
aprox . 1 hasta 9
12.5
VISCOSIDAD DINAMICA r¡ EN kg / (m · s) (Valores aproximados)
Agua
r en •c X 10
Aceites para motores SAE X 1Q-3
o 5
40 65
50 55
60 47
70 41
80 36
100 28
45 29 10 310 120 79 52 95 20 720 320 170 30 1530 600 310 150 86 40 2610 950 430 220 120 50 3820 1530 630 310 160
20 33 61 72 97
13 22 34 45 59
10 16 24 31 41
6 12 17 22 28
5 7 10 12 15
179
10 20 131 100
30 80
30 20-5
5
50 80-95
0-0.1 7
16-8 9
Plata alemana (alpaca) Tumbaga
0-6 9
43-36
0-1
10 10-18
30 82 -86 70
85
Metal Monel Metal rojo Metal rojo duro
80-73
8
2-18
Al
5 5-9 55-63
0.1
2-1
95
1
20-17 7-11
Sb
0-1.5
0.5
4
Fe
20
70
-0.06
10
50-30 0.5 15
Ni
-0.01
-0.8
p
Proporciones en peso en % (promedios) Sn
Metal antifricción Metal Babbitt (o blanco) Metal Delta
32 39.4
20-43 38-43
16.5
Pb
80
80-57 60-56
Estaño-plata Latón Latón duro
60 50
50-70 82 79
Bronce de níquel Bronce para chumaceras Cuproníquel
0-4
Zn
Latón de aluminio Latón de níquel Magnalio
80-83 86-90 98-82
Cu
Bronce Bronce fosforado Bronce de aluminio
Aleación
Mn : -
Mg: 20
Ag: 5
Mn : 2
Otros
1
N
90 000
110 000
-
100 000
220 000
210 000
210 000
Módulo elástico E
*Ver explicaciones en P 1
CuSn6 F56
Bronce fosforado
D-Cu F20
Cob re lammado
GTW -35
Hie rro maleabl e
GG-14
Hierro fur.dtdo
GS -38
Acero fundido
St 50-11
Acero dulce
St 37 -11
Acero dulce
Material
1
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
Clase de carga*
50- 75 33- 50 17- 25
35- 50 23- 50 12- 17
50- 80 33- 53 17- 27
60- 90 40- 60 20- 30
40- 54 27 - 36 13- 18
45- 70 30- 47 15- 23
35- 45 27- 37 20- 30
-
-
60-120 40- 80 20- 40
140-210 90-135 65- 95
100-150 65- 95 45- 70
171( pe rm. )
Esfuerzo de tensión
80-100 53- 67 27- 33
100-150 70-100 36- 50
80-120 50- 70 27- 33
a a (penn.)
Esfuerzo de aplasla miento
60- 90 -
40- 54 27- 36
-
60- 90 40- 60
85-115 55- 75 20- 30
90-150 60-100
140-210 90-135 65- 95
100-150 65- 95 45- 70
f7c (pe rm. )
Esfuerzo de compresión
60- 90 40- 60 20- 30
40- 54 27- 36 13- 18
45- 70 30- 47 15- 23
40- 55 25- 40 20- 25
90-120 60- 80 30- 40
150-220 100-150 70 -105
45- 70 30- 47 15- 23
-
45 - 70 30- 47 15- 23
-
-
30- 40 20- 27 10- 13
30 - 45 20- 30 15- 20
36- 48 24- 32 12- 16
85-125 55- 85 40- 60
65- 95 40- 60 30- 45
Tf (perm.)
Esfuerzo por torsión
-
35 - 50 25 - 35 20- 25
72 - 95 48- 64 24- 32
96-144 64- 96 32 - 48
72-100 48- 75 35- 50
T (pe rm.)
a¡(pcrm.)
110-165 70-105 50- 75
Esfuerzo cortante
Esfuerzo por flexión
C/1
c.
C»'
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o
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VI
l
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111 m c. lQ
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N
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(X)
N
A: B: C:
117 000
110000
142 000
110000
210 000
E
Módulo elástico axial
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
1 11 111
Clase de carga *
300 220 150
200 150 100
300 250 200
200 150 100
1000 750 500
A
150 110 80
100 80 50
150 120 100
50
80
100
500 350 250
B
U/(perm.)
50 40 30
40 30 20
50 40 30
40 30 20
80
150 120
e
Esfuerzo por flexión
Para resortes sencillos (factor de seguridad FS "" 1.5) Para resortes curvos y enrollados (FS "" 3) Para resortes sin efecto secundario (FS "" 10)
* Ver explicaciones en P 1
CuSn8 HV190
Bronce
CuSn6 Zn HV190
Bronce
CuNi18 Zn20 HV160
Plata alemana
CuZn37 HV150
latón
Acero para resortes C75, templado y reven ido
Material
45 000
42 000
55 000
42 000
80 000
Módulo elástico angular G
200 180 150
80
120 100
200 180 150
80
120 100
350
650 500
T r(perm .)
Esfuerzo por torsión
r-o -e o.zo
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z 20
Tablas Fricción y rodamiento
COEFICIENTES PARA FRICCION CINETICA (¡.t) Y FRICCION ESTATICA (p. ..) ¡.t
Material en contacto
o u en eQ) Q)
sobre
bronce h. fund . acero
0.20 0.1 8 0.18
Encino
encino 11 encino =!=
0.50 030
Hierro fundido(grisl
h. fund . acero
0.18
Caucho (hu le)
asfalto concreto
0.50 0.60
Cuerda de cáñamo
madera (común)
Banda de cuero
encino h. fund .
0.40 0.40
Acero
encino hielo acero
0.014 0.10
Bronce
"' ::J
Cl
"'
e o u
0.10
Q)
e u e: "' ·¡;:
o .o u.=1
0.06 0.08 0.07
"'" o u Q) en e Q)
"'Cl ::J
"'oe u
Q)
e "'u e: ·¡;:
o .o u.=1
0.11 0.19 0.60 0.50
0.31
0.10
0.16 0.33
0.30 050
0.20 0.30 0.50
0.40 0.08
0.20
0.50 0.40
0.26 0.10
0.50
0.25
0.65
0.30
0.027 0.15
0.12
RESISTENCIA AL RODAMIENTO
Materiales en contacto Caucho sobre asfalto Caucho sobre concreto Madera lignum vitae sobre madera /. vitae Acero sobre acero (duro : cojinetes) Acero sobre acero (suave) Olmo sobre madera /. vitae
Factor f en mm *
1.0 1.5 5.0 0.05 0.5 8.0
11 Movimiento en la dirección de las fibras de ambos cuerpos =!= Movimiento perpendicular a las fibras * Brazo de palanca de la fuerza resistente.
Tablas Luminotecnia ILUMINACION MEDIA E, (lux) Sólo para alumbrado general
Tipo de instalación Talleres, de acuerdo con la clase de trabajo
rudo normal preciso muy preciso
80 160 300 600
Habitaciones. en que el alumbrado es
débil moderado brillante
40 80 150
Alumbrado público, en sitios con tránsito
escaso mediano intenso muy intenso
5 10 20 40
Patios de fábricas. con tránsito
ligero pesado
5 20
Alumbrado general y localizado General Localizado
100 400 1000 4000
20 40 80 300
EFICACIA DE ILUMINACION r¡ Tono de claro
Tipo de alumbrado Directo Indirecto
col~r
0.50 0.35
en la superfi lcie iluminada 1 mediano oscuro
1
0.40 0.20
1
0.30 0.05
l
Con reflector amplio 1 0.40 1 0.45 ' FLUJO LUMINICO <1>, (kllolúmenes, klm) profundo
Público
Lámparas incandescentes, de tipo normal (al voltaje de 220 V) Lámparas fluorescentes. tubulares de 38 mm de diámetro. Para tipos "blanco claro" v " luz de día " Lámparas de vapor de mercurio, alta presión P e!.
P e!.
<1> , P el.
w
15 25 40 60 75 100 0.12 0.23 0.43 0.73 0.96 1.38 w 150 200 300 500 1000 2000 klm 2.22 3.15 5.0 8.4 18.8 40.0
klm
Po~.
w
<Jlv
klm
Pe~.
w
cf1 v
klm
Potencia eléctrica (en watts)
alto 0.35
15 0.59
20 25 1.22 1.71
40 65 2.98 4.78
125 5.6
250 12
700 1000 2000 37 52 125
400 21
1
z 22 o
<
1
SENO 10 '
20'
30'
40'
so·
60'
1 2 3 4
0·0000 0·0175 0 · 0349 O· 0523 O· 0698
0•0029 0·0204 O· 0378 O· 0552 O· 0727
0 · 0058 0·0233 O· 0407 0·0581 0·0756
O· 0087 O· 0262 O· 0436 0·0610 o. 0785
0·0116 0·029 1 0 ·0465 0·0640 0·0814
0·0 145 O· 0320 O· 0494 0 · 0669 0·0843
O· 0175 0·0349 O· 0523 O· 0698 o. 0872
89 88 87 86 85
5 6 7 8 9
0 · 0872 0·1045 O· 1219 O· 1392 O· 1564
0·0901 O· 1074 0·1249 0 · 1421 O· 1593
O• 0929 0·1103 o. 1276 0· 1449 O· 1622
0·0958 0·1132 0 · 1305 0·1478 O· 1650
0·0987 0· 1161 O• 1334 0· 1507 O· 1679
0·1016 0·1190 0·1363 0·1536 0•1708
0·1045 0·1219 0·1392 0·1564 O· 1736
84 83 82 81 80
10 11 12 13 14
O· 1736 0·1908 0 · 2079 o. 2250 0·2419
O· 1765 0·1937 0·2108 o. 2278 0·2447
0·1794 0·1965 0·2136 o. 2 306 o ·2476
0·1822 o. 1851 0·1880 0 · 1908 o · 1994 o ·2022 o ·2051 o ·2079
79 78 77 76 75
15 16 17 18 19
o ·2588
0·2616
o · 2644
0·3118 o. 3283
0·2812 0 ·2 979 o. 3145 0·3311
"'"'o
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
o•
Tablas Funciones trigonométricas
0·2756 o ·2924 o. 3090 o. 3256
o ·2784 o. 2952
o. 3420 o. 3584 o. 3746 o. 3907 o ·4067 o ·4226 o ·4384
o. 3448 0 · 3611 o. 3773 o. 3934 o ·4094
0·4540 o · 4695 o ·4848
o ·5000 o ·5150 o ·5299 o. 5446 o ·5592
o ·4253 o ·4410 o ·4566 o · 4720 o ·4874 o ·5025
o. 3475 o. 3638 o. 3800 o. 3961 o · 4120 o ·4279 o ·4436 o ·4592 o ·4746 o ·4899 0 · 5050
0·5175 0 ·532 4 0 ·5471 0·5616
o ·5200 o. 5348 o. 5495 o ·5640
o ·5760 0 ·5901 0·6041 0 · 6180 0·6316
0·5783 o ·5925 o · 6065 o ·6202 o · 6338
0 · 6691 o ·6820 o ·6 947
0 ·6450 0 · 6583 0·6713 0 ·6841 o ·6967
o ·6472 o ·6604 o ·6734 o ·6862 o ·6988
60'
50'
40 '
0·5736
o · 5878 o ·6018 o ·6157 o · 6293 o ·6428 o ·6561
0 ·2 164 o ·2 334 o · 25 04
0·2193 0 · 2363 0·2532
0 · 2672
0 · 2700
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30'
COSENO
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"' "'"'
IZ23
Tablas Funciones trigonométricas
... "'"' o
,
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COSENO 10 '
20 '
30'
40'
50'
60'
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O· O· O· O· O·
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50'
40'
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30'
SENO
20'
10'
O'
.. o
"'"'
1
z 24 ~
"'o 1 2
3 4 5 6 7 8 9
,
10
o·
Tablas Funciones trigonométricas
1
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20'
30'
40 '
50'
60'
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20 21 22 23 24
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o. ,
39
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50 '
40'
30'
20'
COTANGENTE
10 '
1 ·0000
o·
74
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~
"'
Tablas Funciones trigonométricas
.."'
1
COTANGENTE
o
"' o 1 2
o· 00
z 25
10 '
20'
30'
40'
50'
60.
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20 21 22 23 24
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2. 6511 2·5172 2. 3945 2 ·2817 2·1775
2. 6279 2 . 4960 2. 3750 2·2637 2· 1609
2 . 605 1 2 · 4751 2. 3558 2. 2460 2 . 1445
69 68 67 66 65
25 26 27 28 29
2. 1445 2·0503 1 . 9626 1 ·8807 1• 8040
2. 1283 2·0353 1 9486 1. 8676 1 •7917
2 ·11 23 2 •0204 1. 9347 1. 8546 1 •7796
2. 0965 2•0057 1· 9210 1 · 8418 1. 7675
2 · 0809 1. 9912 1 ·9074 1 • 8291 1. 7556
2. 0655 1 · 9768 1 · 8940 1 •8165 1•7438
2·0503 1 . 9626 1 ·8807 1·8040 1 • 7320
64 63 62 61 60
30 31 32 33 34
1. 7320 1 . 66 4 3 1 ·6003 1 . 5399 1. 4826
1· 7205 1 . 6534 1. 5900 1 ·530 1 1·4733
1 ·7090 1. 6426 1·5798 1 ·5204 1 · 4641
1. 6977 1·6318 1. 5697 1· 5108 1·4550
1 . 6864 1. 62 12 1 . 5597 1 . 5013 1 . 4460
1. 6753 1 ·61 07 1· 5497 1 · 4919 1 · 4 370
1·6643 1 ·6003 1 . 5399 1 . 4826 1· 4281
59 58 57 56 55
35 36 37 38 39
1·4281 1. 3764 1. 3270 1·2799 1. 2349
1 . 4193 1 . 3680 1. 3190 1. 2723 1 . 2276
1· 4106 1. 3597 1 . 3 111 1 . 2647 1 ·2203
1 . 4019 1 . 3514 1 . 3032 1. 2572 1 ·2 131
1 · 3934 1. 34 32 1. 295 4 1. 2497 1. 2059
1· 3848 1 . 3351 1. 2876 1 . 2423 1·1988
1 . 3764 1. 3270 1. 2 799 1. 2349 1· 1918
54 53 52 51 50
40 41 42 43 44
1 · 19 18 1.1504
1.1847 1. 1436
1 . 1106
1 · 1041
1. 072 4 1. 0355
1 · 0661 1 · 0295
1· 1778 1 · 1369 1 ·0977 1 ·0599 1 ·0235
1·1708 1 . 1303 1 · 0913 1 · 0538 1·0 176
1. 1640 1.1237 1·0850 1 ·0477 1 ·0 117
1. 1571 1 . 1171 1 · 0786 1 ·0416 1 . 0058
1 . 1504 1 . 1106 1·0724 1 ·0355 1 ·0000
49 48 47 46 45
60.
50'
40'
30.
20'
10'
3
TANGEN E
o·
83 82 81 80
~
"'
1
PARTE 11 APLICACIONES AVANZADAS
Análisis vectorial
1
Magnitud, dirección y componentes de vectores Vector: Representación de una cantidad fisica con magnitud y dirección Coordenadas del punto inicial A del vector Coordenadas del punto final 8 del vector
a:
a:
x 1• y1,
Z1
x 2 • y2 , z 2
Vectores unitarios sobre los ejes OX, OY, OZ: 7. } . k Componentes escalares a' 1
Bx,
a y,
=
a'2
Bx
a' 3
ay ;
Bz
~ O
X2- X 1
v.-y ,
·-
a '4
IIQY
Componentes vectoriales a'5
a ; /i;+a 1 +Bz
a' 6
a ;
-
Bx i +
-
ay j +
Bz
-
-k o.,
- - - - -=-.;.=-::..:.:p:.· -
a;
'i ~ax 171
Magnitud de un vector: a'7
1}1
=
lkl
la l (o bien , a)
(!al siempre 2: O)
a '9
Cosenos directores de un vector: cosa, cos {3, cos Y a, {3 , y son los ángulos entre el vector y los ejes OX, OY y OZ. (a , {3. y = 0° ... 180°). a, az cosP; ~ · cosa = --::;-- ; ¡-a¡' cos y ; tal 1 al con cos 2 a + cos 2 p + cos 2 y ;
a' 101
Cálculo de las componentes. Si se conocen 1 al. a , {3, y a, ; l'al·cos a ; a,; lal·cos P ; a2 ; rBlcos y
a
a'8
Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos, se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes OX, OY y OZ.
Análisis vectorial
1
Adición y sustracción de vectores
--
Suma vectorial a' 11
S
s de dos vectores libres a y 5
-
-
S
- - - - - - -.,#7
= 8 + b = Sx · i + S y · j + S z. · k
... ...
1
......
a' 12
1
...
1 1
a' 13
lsl=
1
Vs; + s/ + sl s de dos vectores libres a y 5
4
Diferencia vectorial a' 14
S
=
a' 15
Sx
=
_,.
&. P':-.._ _ _ _,.".., '
Bx -
bx;
Sy
:=
By -
by;
Sz
=
Bz -
1 '
bz
1 '
1
'
a' 16
ls l=
-
-b
-1
'$1
Valores importantes ls l para 2 vectores
a' 17 a' 18
Suma vectorial
S de
vectores libres
ra-IV2
a, b, -e, etc .:
=-; + b--; + . , .=Sx·-¡ + Sy·J+ Sz·k
a' 19
S
a'20
Sx =a x+bx- Cx+ .. . ;Sy=By+by-Cy + ...
a'21
1 '
---~---- ~/
Sz = Bz + bz -C z + ...
lsl = Vs; + sy' + s/ Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección . El producto del escalar k con el vector
a'22
e =
a'23
e,= 1<. · a, ;
1<. • -;
Si k >
k <
( 1<.
e,
o. entonces
e ii a, por lo que
o. entonces e l t
m >O; ")El símbolo contrario.
~ O)
= 1<. · ay ; e, = 1<. • a,
Ejemplo: Fuerza = masa a'24
ada el vector c.
~ ft ;;
e = k · lB!
....e
(e
~
O)
..... a
a. por lo que
x aceleración F;;= m ·; ;
F = m· a
F, =m · a
T1 significa que los vectores ( -b ) y F son paralelos y de sentido
Análisis vectorial
A' a 1
Productos de dos vectores librea El producto escalar de dos vectores librea
a y oda el escalar k.
Sfmbolo del producto escalar: punto " · " a'25
k
./
-- ¡b / =a ·b = b · a = a · b · e os 'P : 1a 1· b l·cos~ = a, · bx + ay·by + Bz•bz (k < O) .0 = COS - 1 a. · b , + By-by+ az·bz b COS'/1 a ¡';í-lbí
a'26
k
a'27
'P
a'28
Valores 270° impor- ~~~----~~~~+-----~r-~~=+------ tantes o Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F' en el desplazamiento s
a'29
W
Fuerza x Desplazamiento =
a'30
W
FSCOS'P
-¡: ;
(W~O ; F, s~O)
El producto vectorial de dos vectores libres
a'31 a'32
a'35 a'36
a'37
./
GhJ~ a c. y
b
da el vector
; = -;. -; = -(b • -;)
ICJ= J..
a b senw =¡;¡ ¡-;¡sen 'P a y -; j_b"
(e
~O)
.
.
- b, a'34
S/
0 Sfmbolo del producto vectorial: cruz "x" -~·o __ _180o ..... e b
e
a'33
-
.0
a
e forman una tríada derecha a' c. = By b, - llz by ey = llz b, - a, b, e, = a, by ay b,
-
¡-;¡ = importantas
_¡-;¡.¡-;¡
Ejemplo: Momento M de una fuerza F respecto a un punto 0 : a'38
-M
= Radio vector x fuerza = r
a'39
M
= r
lf g
Linea de acción
>/
"<1>
--F' = - ( F--r) e
F' · sen 'P
(M
f
x
O;
~
r, F ~ O ) ~
j
~1
Funciones racionales Función de fracciones racionales. Descomposición
1
Función de fracciones racionales () P(x) _ ao+a,x+a,x1 + .. . +amx m n> m IJ x = "Q\xT - b o + b 1 x + b 1 x 1 + ... + b , x " n y m enteros Los coeficientes a., b, pueden ser reales o complejos. Si n1 son las raíces de O(x), se obtiene la forma factorizada: b' 1
P(x) y(x) =
P(x)
Q\xT = a(x-n,)"·(x-n,)' 1 .. . (x-n, )'•
En esta expresión pueden presentarse raíces de multiplicidad k,, k 2 . ... •o de O(x), las que pueden ser reales o complejas; a es un factor constante.
Descomposición en fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de y(x) - por ejemplo, para su integraciónes conveniente descomponer y(x) en fracciones parciales: b'2
y(x)
=Q(""XT P(x) = ~ + x-n,
A11 A, ., ~ + . · .+ ~ +
+~+ ~ x-n ( x-ntl'
+ .• • +
2
+
b '3
XA~~.
~ ( x-n ) "
+ (
x~~ ,)'
+ ••. +
1
1
+' ' '+
(
XA~~:)•o
Si los coeficientes de O(x) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en b' t , n2 = n, (compleja conjugada de n 1 ,) y debido a su aparición por parejas k 1 = k2 = k, entonces las fracciones parciales de b'2 con las constantes A 11 . . . A2k 2 pueden agruparse en las siguientes fracciones parciales: B , ,x + Cn + B12x+Cu + + Blkx+Clk x 2 + ax + b (x'+ax + b)' (x 1 + ax + b)' Las constantes A11 . . . Aq.q, 8 11 . . . 8 1, y C 11 •• . se determinan igualando los coeficientes de igual potencia en x en ambos miembros de la ecuación, después de que en la parte derecha, descompuesta ésta en fracciones parciales, se toma el común denominador O(x). Ejemplo: (x)= 2x-1 =2x-1 = 8 11 x+e,+~+~ !/ (.r+1-2iJ(.r+1+2i) (.r+1Jl Q{X) X2+2X+5 H1 {H1) 1
C,,
2x-1 8,x(x+1)'+e, (.r+I)'+A.,( .r+1) (x'+2.r+5 )+A 9, (x1+2.r+5)
QTXT-
Q(x)
2x-1= (A , ,+ 8,)x 3 + (3A,, +A, + 28, + e,)x2 + + (7 A, , + 2A,, + 8, + 2e,)x + 5A, , + 5A,, + e, Al igualar los coeficientes de las partes izquierda y derecha se obtiene:
8, = -1/2;
e,
= 1/4;
A, ,= 1/2;
A, 1 = -3/4 .
Cuando se tienen rafees sencillas n1, las constantes A 11 , A 2 1 , ecuación b'2 pueden calcularse como sigue: b'4
A,= P(n , )IQ' (n,); A21 = P(n 1 )/Q ' (n 2 );
•••
... ,
A 01 de la
A,= P(n, )/Q ' (n,)
Transformadas de funciones Transformada de Fourier Generalidades Con la transformada de Fourier F{s(t)} se lleva a cabo, con ayuda de la Integral de Fourier, un desarrollo de la función tiempo s(t) en un espectro continuo (densidad espectral) S(w), en el cual la frecuencia corresponde a la densidad del espectro: s(t) debe tener las siguientes propiedades: a) ser divisible en un número finito de intervalos en los cuales s(t) sea continua y monótona. b) poseer valores definidos en las discontinuidades s(t +O) y s(t-0) de modo que pueda expresarse
c'1
c'2
s(t) -
'h[s(t + 0)
+ s(t) + O)]
e) ser tal que_., Íls(l) 1 d t converja. La transformada inversa F-'{S(w)} conduce a la función tiempo.
Definiciones +CO
= S(w) =
Js(t)
1
=F
1 Js(w) e i~ r · dw; 2.lt-co
1
=F
c'3
F{s(t)}
c'4
F-'{S(w)} = s(t) = -
c'5
..,
1 ·~
+00
Jis
Energfa} espectral
-oo
=
Jis<wW · dw
2 ,. -oo
Reglas de operación c '6 c '7
Oesplazamientoentiempo F{s(t-r)} = S(w)·e- i"''; Convolución
s,(t) .. s.(t)
c'8 c'9
i
=P
•"'
= Js 1(r) · s 2( t - r ) · dr
..,
= Js2(r) · s 1 (t -r)·dr
_.,
F{s 1(t)
* s2(t)}
{se t >}
c' 10
F
c'11
F{s(at)}
c'12
F{s 1(t) + s 2(t)}
= S 1 ( w )·S2 (w) = S(w) = 1~1 scflsiempre que a >
o
St(w) + S2(w) (continúa en C'2)
1
Transformadas de funciones Transformadas de Fourier (continuación de C' 1) n seguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas mportantes funciones del tiempo.
c'13
S(w); ¡""s(t}·e· ;wt ·di
, , ..,. , ¡~
Función tiempo s(t) Función rectángulo A • R , ( t )
~f 1
(
T
- oo
Densidad espectral S(
.
w
t
Función impulso de Dirac A • ó ( t )
~'
S(w) ;
A 6ft)
c'1 4
unción rectán-1 A. R ( t ~T 12 )~ 71 1 ulo con cambio de signo ~A ·Rw ( t +T 12 ) s(t)
S(w)
c' 15
A
(Densidad espectral constante sobre w )
~j
sen 2 .!!!....!_ 2 2 A T · --.,-T=--
2
sen (wT) S(w); 4AT·cos(2wT)-wr-
c' 16 - JT
-T
A·Rw;(w) ( Función ) s lwl rectángulo
(continúa en C'3)
1
Transformadas de Funciones Transformadas de Fourier
C'a
(continuación de C'2) Función tiempo s(/) Densidad espectrai S(w)
c' 18
Función triángulo
"'
A D, ( t )
$
(sen (
-
c' 19 c'20
(\{J\J
_,V c'21 c'22
Impulso
2
2
}(
wo =r.=a ·T
p ]j~flr(tl 0
s( t)
V~',
S(w) = A · sen T(w + w0 w •w0 + A · sen T ( w- w0 w- "-'o
d~ Gauss s(tl A e- • ' • '
..
-w'
S(w) =
aA ·Vii'·e-
. ,..,:l"--7R) ...' t
c'23 c'24
2/[
~ -\
c'25 c'26
c'27 c'28
. Ar
1 --,,. ,""' 1 ,.~t-T-'l~..,,'"' 1 T~--w -r-T
t
Jl
1
y
~
.
1
Rectángulo modulado AR , .( t) c os(w0 t)
aK rw~~~
S (• ) •
~~
rw/ 2)
\
S (w) =
t
S(w)=
A r -¡- ·
Impulso exponencial S(w) = -. - A-
J w +a
4
''
)
)
+
Transformadas de funciones 1C' 4 Transformada de Laplace
1
Generalidades: Con la transformada de Laplace L {j(t)} se representa (o transforma) la función f(/), con ayuda de la integral
c'29
F(p) =
J"'
1
f(t)·e-p ·dt
o en una función imagen; f(t) debe ser nula para t < O y para 1 2: Odebe estar totalmente definida; e- Pt es un factor de amortiguación que hace que la integral converja para un gran número de funciones del tiempo. Se tiene que p = a + iw (a 2: O) es una variable compleja de operación. En este dominio de la imagen pueden resolverse ecuaciones diferenciales y analizarse procesos no periódicos (por ejemplo, vibraciones). El comportamiento de la función tiempo se obtiene por medio de la transformada inversa (véase la tabla C'6).
Definiciones c'30
L { f (t)} = F(P)
c ' 31
a.•;oo
=oJi(t)
e-ptdt L-'{F(p)}=f(t) 1
= 2 ~J:(p)ePt.dp o
Representación abreviada:
Representación abreviada:
f(t)o-----oF(p)
F(p).----<>f( t)
Reglas de operación c '32
Linealidad
L{f, ( t) +t.( t)}
L{c ·f 1 (t)}
c'33 c'34
Teorema de traslación
c '35
Teorema de convolución
L{!(t-
al}
F,(p) + F,(p) c · F1 (p) e -•P · F(p) t
¡,( t)
*
f>( t)
= Jf,(t-r)·f>(r} · dr t
= [t,(r) · t.(t-r) · dr ¡,(t)• f•(t) ~ F1 (p) · F.(p)
c ' 36 c '37
Cambio de variable
c'38
Diferenciación
c '39 c '40
LH
t(~)}
F(a · p)
L { /'( t)}
p-F(p)- f{O+)
L { f"( t ) }
p ·F(pJ -P · t
L{f"(t)}
p" · F(p)-
2
n ·\
L
k =O
c '41
Integración
L { / f ( t) · dt} 0
= ..!.._ F(p) p
-no·>
¡ lhi (O•)pn-k-1
1
Transformadas de funciones Transformada de Laplace
C's
Empleo de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales Esquema de operación
c'42
:--- - Oo"miñiO de 1- - --- -:
Operación de
r---:,..--=----=- - - - , '
cálculo
Ec. dif. para y(r) +
condiciones iniciales
:- -- - OQ~¡ñt()
di P-- -·¡
Véase reglas de ,L------,.-- - ----' derivación
e· 43
Resunaoo de la
r_:-:>'~~n_de~~ _ecs: difs~ _: e' 44
Transformada inversa según C'6
El problema de resolver las ecuaciones diferenciales se reduce al de hallar una transformada inversa; esta operación se simplifica expresando Y(p) en fracciones parciales ( •éast 8 '1), o en funciones cuyas transformadas inversas al dominio del tiempo puedan encontrarse ya tabuladas (véase la tabla en C'6).
I
2y' + !/ = f( t);
Ejemplo:
f( t) es la función de excitación y( O') = 2, es la condición inicial
·~~ ~:!~}
2p·Y(p)-2y(O•)+Y(p) = F'(p) (t)<>----eY( )=F'(p)+2y(0')=1/p+2y(O') !/ p 1 + 2p 1 + 2p Según sea f (t) .,_____.. F (p) se obtienen diferentes soluciones para y (1). (Supongamos que 1(1) sea la función escalón . Según C '50 es en tonces F(p) = 1/p).
~ c'43
1 SeúnB'1}r( )= +2y(0')=..!_ _ _ 2_+2y(O') g p(1+2p) 1+2p p 1+2p 1+2p
t
y según C'6,
6
!/ ( t ) = 1 - 2
1 -Y, 2e
+ 2·2
1 - Yz
2e
= 1 +e
-~z
Aplicación del teorema de convolución de la transformada de Laplace a redes lineales Una función de excitación f 1(1) se transforma a través de una red en una respuesta y(l). La red se caracteriza por la función de transferencia F2 (p); F2 (p) tiene la transformada inversa f 2 (1).
c'45 c'46
Dominio de 1
Dominio de p
~
r-:::::-l y ( ~) ~
=
F', ( p ~
=
ll(t) f 1(t)*f>(t)-Y(p) F'1 (p) · F'2 (p) La respuesta y(l), para una red dada, depende de 11(1); y(l) puede calcularse según el esquema después de obtener Y( p). La transformada inversa en el dominio de 1 puede obtenerse en forma cerrada si F2 (p) está dada como una función racional de p y la transformada F 1(p) puede obtenerse de la tabla en C'6.
1
Transformadas de funciones
C's
Transformada de Laplace Tabla de correspondencia
c'47
f' (p)
= "' f(
J
-pt
t) ·e
V0 +ioo
!( t) = _ 1_.
. dt ;
2Jr l
o con
G0 - ioo
p = i w = i 2 Jr
Función imag Función del tiempo Flpi [1/i
c'48 c'49 c'50 c'51 c'52 c'53
c'54 c'55 c'56 c'57 c'58 c'59 c'60 c'61 c'62 c'63 c'64 c'65
1 1 /p
1 para t >o¡ ~~ O para t
1l p2
t
!;
i
=
y:T
Función imagen Flpi
Función del tiempo f/ 1)
rl
1 sen ( kt) + 2k t + 2 cos( kt )
2 2 2 (P + k )
rl
1 l(p - a)
("- 1 )! ex p ( a t )
~t·
-
1 (p-a)(p -b )
-
e o s ( kt )
(p' + k') '
t n -1
sen (k t )
2 para b
* a:
eb t _ ed t
b - a
1 /{p - a) 2 a p ( p- a) __1__ 1 + 1'· p
t e xp { a l ) exp{a t ) -1
1 (p + a) 2 + k 2 1
--;;r7 _k_ p' + k'
yp
cosh{a t )
PyP' n P+ b
¡r;-¡;!
c'72
1 (p'• k') ·
c'73
p + a
sen ( k t) e os( k t ) 1
2'kl
sen (k t ) -
1 - k , t co s (kt) 2 p ( p' +k' )'
l
1 21\sen ( kt )
t an-• ( alp )
· sen ( kt ) 1
y¡t7
1
senh (a t )
p
c'70 c'71
¡;e
2
PE
p
c'68 c'69
-··
1
'(P
1 -:¡exp(- t /1')
a p' - a'
c'66 c'67
c'74/ c'75
6 ( t ) ~ Dirac e: e:
1l p "
Jf'(p)· e pt . dp
F" -
-1 /{2 v;t'·t 3tz)
3/( 4y¡t' ·t'11) t
1 ( -• t -b t) e - e
1/ t · sen ( a t )
para a> O:
e -•VP
-•'
-¡;-¡
_ a_ _ 2 ty¡¡T e
para a~O:
1 p
- e - •fP 1
YP2 + k 2
erf c
2
'fy
J 0 ( kt ) {Función de Bessel
1
Ecuaciones diferenciales Conceptos generales Concepto de ecuación diferencial (ED) Una ED es una ecuación que contiene funciones , derivadas (o diferenciales) de estas funciones y además variables independientes . Hay que distinguir entre: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), en las que las func iones buscadas dependen sólo de una variable independiente; por ejemplo .:
d' 1
y= [ !x)
y " + 2x2y = sen x
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en las que las funciones buscadas dependen de diversas variables independientes ; por ej .:
a zx
d'2
ou·ov
= x2·v·w ~ . ~
ou ov
X=
f( u ,
V, IV)
Las EDP no se exponen aquí en forma separada , ya que los métod os de las EDO pueden aplicarse a ellas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias d'3
d '4
Forma: F (x, y(x) , y'(x), ... y i•J(x)) = O. En esta expresión y (x) es la función buscada; y' ... y '" ' son la primera y sucesivas derivadas hasta de orden n, con x como variable independiente . Ejemplo: y"' (x) + m (x} ·y' (x)
+ n (x)y2(x) +
p (x)y = q ( x ).
d '5
Orden: es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ED. En el ejemplo anterior, el orden de la ED es 3.
d'6
Grado: es el exponente de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación al expresar ésta en forma polinomial , o sea, al racionalizarla.
d '7
ED lineal (EDL): es una ED en la que las funciones desconocidas y sus derivadas aparecen sólo elevadas a la primera potencia; las ED lineales son siempre de primer grado.
d 'S
ED homogénea: en ésta la función forzante o de perturbación q(x) es igual a O; es decir, q(x) = O.
d'9 d ' 10
ED no homogénea; en ésta, q(x)
* O.
Solución: es una función, y - y(x), que junto con sus derivadas satisface idénticamente la ED. La integración de una ecuación diferencial es el proceso de encontrar soluciones. Integral general de una ED es el conjunto total de sus soluciones. La integral general de una ED de orden n contienen constantes arbitrarias: C 1, C2 , .. ., Tales constantes adquieren valores definidos cuando se especifican las condiciones iniciales y(x 0) = y 0 ; y'(x 0 ) • y ' 0 ... y ln - •1 (x 0 ) y l• - 11.
c•.
d ' 11
La integral particular de una ecuación diferencial es una solución especifica de la ecuación.
1
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Métodos para resolver una ED 1. Transformando y ordenando la ecuación de manera que pueda identificarse con un cierto tipo de ecuación para la cual existan soluciones (Véase o ·s . 0 '8, ... , 0 '12). 2. Empleo de una sustitución especial (Véase 0 '8) Efectuando tal sustitución , la ED con frecuencia puede reducirse a una de menor orden o grado para la que exista una solución conocida (Véase 0 '9, .... 0 '12). 3. Empleo del método de los operadores. en especial de la transformada de 6). Laplace (Véase C' 4 ...
e·
Ecuaciones diferenciales lineales (EDL) d ' 12
Forma: En esta ecuación , y = y(x) es la función buscada; y ' ... yn son la primera y sucesivas derivadas hasta la de orden n de y(x) ; p 1 (x) ... Pn(X), son funciones de x. Solución general de la EOL no homogénea
d' 13 Solución de la ED homogénea: Yhom · La Yhom se obtiene resolviendo la ED no homogénea en la que se hace q(x) - O. Toda ED lineal homogénea de orden n posee n soluciones independientes YJ, y 2 • . .. , Yn con n constantes arbitrarias independientes C, ... , Cn. d ' 14 (En 0 '9 ... 0 ' 12 se dan las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo órdenes). Solución particular de la ED no homogénea: Ypart· La Ypart se obtiene para q(x ) *O. En 0 '3, 0 '6 y 0 '7 se indican procedimientos para encontrar estas soluciones; en 0 '9 y 0 '12 se dan algunas soluciones para la Ypart de ED lineales de primero y segundo órdenes.
1
Ecuaciones diferenciales
D'a
Ecuaciones diferenciales lineales Solución particular
Obtención con el método de la variación de parámetros Si se conoce la Y11om de una EDL de orden n (véase 0 '2, 0 ' 6) , la siguiente sustitución conduce siempre a una solución particular:
d' 15
= C1(x) ·y 1 +
Ypart
C2(x) ·y2 + ... + C.(x)·y •.
Método para la determinación de C 1(x), C 2 (x), ... ,C.(x): Fórmese el sistema de ecuaciones simultáneas:
d' 16
Cj(x)·y 1 + Cí(x) ·y 2 + .. . + C~(x) ·y. =O Cj(x) ·y 1 + Cí(x)·y2 + .. . + C~(x)·y~ =O Cj(x)·y 11•-2J + Cí(x)·yi•- 21 + ... + C~(x) ·y.l•-2! = O Cj(x)·y 11•-!J + q(x) ·y21•-lJ + ... + C~(x) ·y.f• -l) = q(x)
n del sistema anterior de ecua·
d' 17
Determínense las C¡'(x) para i ciones simultáneas.
d' 18
Intégrense las C¡'(x) para i - 1, 2 , .. . n a fin de obtener las C¡(x) de la sustitución hecha para y . Ejemplo: Encontrar la Yparl de la ED:
d' 19
y"
+ ..!... y' X
d' 20
Según d'111
Yhom
1, 2, ...
2x. =
d' 21
Jc1e-f}dz.dx +C2 =
C 1 · 1nlxl+~
= C 1 • y¡(x) + C2 · Y2(x)
en donde y 1(x) = lnlxl y y 2(x) = 1
d'22
Sustitución :
d' 23
Sistema de ecuaciones simultáneas Indicado en d'16
d'24
Ypa"
= C 1(x}y 1 + C2(x) ·y 2
{ Cj(x) ·lnlxl + Cí(x) · 1 = O Cj(xJ·} + q(x) . o = 2x
Resolviendo el sistema se obtiene: Cj(x) = 2x2; q(x) = -2x2· 1nlxl Integrando Cj (x) y Cí(x)
d' 25 d' 26
C¡(x)
=
íx3;
C2(x) = -
%x3 (lnlxl
~: :~:~~i:;sbusycada = 1x3 · lnlxl -1x3 (lnlxl • part 3 3
- }
.!.) ·1 3
J 2
= 9x
3
Solución general:
d'27
2 Y = Yhom + Ypa" = C¡ · lnlxl + C2 + 9x3 • Comprobación:
y"+
y' = C¡ + lx2 x 3
L x
- x2 C¡
y• = - C¡ + x2
+ ix +· 9. + 1_ x = 2x
3
x2
3
.±3 x
1
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Ecuación diferencial lineal de primer orden d'28
Forma: y' + p (x)y = q(x). La forma corresponde a la dada en 0 '2, d'12 paran = 1; la derivada de mayor orden que aparece es y '. En 0 '2 y 0 '9 se dan soluciones para y, Y11om, Ypart ·
d'29
Ejemplo:
f
y' +
y =
= sen X
Según d' 100, p(x) = :}
d'30
Yhom + Y pon
q(x) =sen x.
Según d'99, la solución homogénea es: d '31
Y hom = C¡"e
- lnl.rl e = C¡·e = :/
·J.! dx x
C1~ 0 .
con
Según d '100, la solución particular se calcula con la expresión: d'32
-J.!x dx
fsen x· e J ·dx ·e J(sen x·eln lxl) dx·e- ln lxl = J(sen x • x )dx·i .! dx x
Ypan
1 ¡sen x - cos x 1
d'33
Y = Y hom + Ypart = ¡(C¡ +sen x ) -
Comprobación : y '
y' + 1. X
cos
X.
- xzC1 + x cos xx -sen x + sen x 2
sen x
d'34
C 1 ~ O; C1 adquiere un valor definido, si por ejemplo <
d'35
y(xoJ = 1 para x 0 =
d'36 d'37
entonces
1=
por lo que C 1
..!...(c 1 +sen lt/2
=
lt
2
lt
2
-
.!!.¡ - cos.!!..
2
2
l.
Ecuación diferencial lineal de segundo orden d'38
Forma: y" + p 1(x)f + p 2 (x)·y = q(x) La forma corresponde a la dada en 0 '2, d '12 para n - 2; la mayor derivada que aparece es y ". En 0 '11 y d '12 se dan las soluciones para y, Y 11om Ypart·
1
Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales
D's
Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes Debido a la gran importancia que tiene este tipo de ED en los problemas de vibraciones, se presentan a continuación varios casos especiales de ella.
y• + 2ay' + b2·y = q(x). a y b con constantes,
d' 39 Forma:
q(x) es la función de perturbación.
lución general: Según 0 '2 y d'15 d '40
Y = Yhom
d'41
Caso aperiódico:
d '42
Yhom
d'43
Ypart
+ Ypa" k2 = a2 - b2 > O
+
C¡·e(-a+k)x
f
c2.e(-a-k)x
e (-a+k).r _ _ _ . e(a-k)x. q(x)·dx 2k
f
e(-a-k)x - _2_k__ . e!a+k)x.q(x)·dx
d '44
•)
Caso aperiódico límite:
d '45
Yhom
C 1·e -ax+ C2·x· e -ax
d '46
Ypart
-e-ax x·eax·q(x)·dx + x·e-ax eax · q(x)·dx
d' 47 d' 48
J
J
k2 = a2 - b2 < O
Caso periódico:
Yhom = e -ax [C 1·sen(wx) + C2 ·cos (wx)] con
d '49
w
=
yb 2 -a2
J e-ax · c~s(wx) -f eax. sen(wx) ·q(x)·dx •) e-ax·s:(wx) · eax· cos(wx) ·q(x)·dx -
Ypart
-
*) Observación : Para el caso especial en que q(x) -
se obtiene: Ypart =
d '50 d ' 51
en donde
A=
A·sen(w0 x-y), Ao y(b2-wo2)2 + 4a2wo2
d '52
*)
Y también
y
col - , b2 -w2o 2a W 0
A0 sen (w0 x),
1
Ecuaciones diferenciales
1
Ecuaciones diferenciales lineales
0'6
Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes d'53
Forma:
a. ·ylnl + a._ 1.yln-!¡ + ... + a 1y' + aoY = q(x). n con coeficientes constantes,
d'54
Solución de la EDL homogénea de orden q(x) • 0).
d'55
Sustitución: y = e" ;
y' = r ·e";
.. ylnl = r" ·e"
Sustituyendo estas expresiones en la ED homogénea dada en d' 53, se obtiene la ecuación algebraica
a.r" + a._ ¡r"- 1+ ... + a¡r + ao
d'56
=o.
De esta ecuación pueden obtenerse las raíces r, , r2 , ... , '•· Dependiendo del tipo de las mismas, se obtienen diferentes soluciones para la Y~~am : Caso a): Todas las
r, , r2 ,
. .. ,
'"son reales y diferentes entre si:
Yhom = Cre'•·.r + C2· e'2·x + ... + C,.· e ·r,.·x • J
d'57
Caso b): Aparecen raíces múltiples y sencillas: 'J '2 = ··· = rm ; 'm+l • ' m•2• · · r,..
d'58
Yhom
= C1·e'•·• + C2·x·e'•·• + Cy:2·e'•·• + ... +
+
Cm· x m-l. e r¡ ·.t
+
cm+t"e'm-+-1
+ ... + C,.·e'"'Z
*)
d'59 Caso e): Aparecen rafees complejas conjugadas: r 1 = a + if3; r 2 = a - i/3 = r¡.
d'60
Y hom
= C¡·e r¡·..r
+
C 2·e'l ·x
= eax· (A ·cos f3x
A = C1
+ C2 ; B
Solución particular de la EO no constantes
d'61
Y part = g¡(X)
+
•J
B· sen {Jx)
= i (C 1 -C~
homog~nea
de orden n con coeficientes
+ K2(x) + ··· + Kk(x).
Para encontrar soluciones particulares se utilizan expresiones que dependen de la forma de q(x). En 0'7 se dan algunas de estas expresiones. Una vez determinada la expresión correspondiente para Ypart• se obtienen Ypart• y 'part • etc., y se sustituyen en la ED por resolver. Igualando coeficientes similares, pueden determinarse las incógnitas "' y P. (Véase el ejemplo en 0 '7).
•¡ e,
c•. .... c. son constantes arbitrarias.
1
EcE~!~¡~~~~~e~!!~~~~~n~!~~es D'7 1
Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes Forma de q(x) d' 62 d'63 d'64 d'65
d'66 d'67 d'68 d'69 d'70 d'71
Expresión por sustituir para la
Ypart =
A
a
xm
ao + a¡X + a:¡X2 + .. . + a,xm a 0 + a 1 + a:¡X2 + ... + a,xm
A 0 + A 1x + A:¡X2 + .. . + A,xm
A ·eM
a·eM
A · cos mx B · sen mx A · cos mx + B·sen mx
a ·cos mx + {J · senmx
+ + a · cosh mx + {J ·senh mx
A · cosh mx
8· senh mx A · cosh mx + B · senh mx
+ +
d'72 a ·el-x eos mx + f3eA-' sen mx A· eA<·cos mx d'73 B·eM·senmx + d'74 A ·eM·cos mx + B·eM·sen mx + d'75 Ejemplo : y " - y • cos 2x; según 0 '6, d'55: d'76 y = e''; y ' = r·e"'; y"=r2·e"' Sustituyendo en la ED homogénea correspondiente (d'75) r 2-1 = 0 ; r2=1; r 1 =1; r 2 = -1 d'77 d'78 Y hom = C¡ · e'~ ·x + C2·e'l·• = C¡ ·e' + C2·e-•. La expresión por sustituir es de la forma: d'79 yP•" a· cos 2x + {J ·sen 2x d'SO y'P•" = -2a · sen2x + 2{J ·cos 2x d'81 y"P•" = -4a · cos 2x- 4{J · sen2x ;. Sustituyendo las expresiones dadas end'79 y d'81 en la ED, d'75, se obtiene: -5a · cos 2x - 5{3 ·sen 2x = cos 2x. d'82 Al igualar coeficientes similares resulta: 1
1
d'83
fJ
d'84
Solución general: 1 y = Y hom + Yp•rt = C1 ·e• + C2·e-• -Seos 2x
= O; a= -
Comprobación:
5
por lo que
yP•" = -
5 cos 2x
y' =C 1 · e• - C2 ·e- • +~ sen 2x · 2
y"= C 1 · e• +C2 · e-x+~ · 4 · cos 2x y"- y =C 1 · ex +C2 · e-x +~ · 4 · cos 2x-C1 · ex - c 2 . e -x +
~cos 2x
= cos 2x
1
~éase
ejemplo A)
y(n) =/(y, y',·... y(n-l!) x no está contenida explicita mente
Suposición Reducción del orden n aln-1
y' = P = .91
y' - p • = ~ Y dx
dy
y"=p'=~·p
dx
Observación
Sustitución
d'95
y no está contenida
=
_ e
2 . 1
e2 . 9 -cx ·2 = O
y·y"- y'2 = e¡ ·e-C• . el . e2. e-ex-
-e1 · e-Cx · e y"= e 1 ·C2·e-C•
Comprobación : y'
y = e 1·e- JC·d.r= e 1·e-C·x
y(n) = f(x, y', ... y(n-lJ)
-
x + e2 = ~ y= f(-% ·e-2z+x2 -x+e:z)dx+e3 1 x3 x2 Y = ;¡e1-e-2z + e2·x + 3- 2 + C3
y'= - t ·e-2z + x 2
e
S
Reducción del d'86 orden n explícitamente al n-1 '87 ~-(-J--~(---(.-------<---)~las--~~-~-das--d~orde~~---y~(.-+~l)~=~p------~-----=~~----~ d y n = ¡, x, y.+!), ... y n-l) -··" e n • 1 hasta la de orden k, d Reducción del orden n al n-k Y(k+2J = p' = !!E. ~----~-é_a_s_e_e_ie_m_p_lo__ ~____J-n_o__ es_tá_n_p~r_e_se_n_te_s~------------~dx~~--------------~ Ejemplo A: Ejemplo 8: y·y" - y'2 = O; y"' + 2y" - 4x = O. d'88 d'89 Sustitución.·· y' = p,· y" = p ~dv dn p' Sustitución : y" = p; y"' = =dx= d d d y·p·!!E.- pz = o· !!E. = ~ d'90 dy ' p y p' + 2p - 4x = O, según d'100 d'91 lnlpl = lnlyl + In e p = e ·e-2z + 2x _ 1 = J!.. -y' = y • 1 ln lp l = In e -y = .91 = y' dx d'92 dx p = e-y = y' y'= (e1·e-2z + 2x - 1) dx + e 2 d'93 y' - e -y = O d'94
d'85
Forma de la ED
!:
~::::1
-en-· e CD
1»
(")
~::::1
~
...oCD C.(l)
Q. ! ! . -·
=c.
o: en
gCD
::D -· CDO
(")
1»
e:
m (")
jiJ
111
!
o)"'
i§- 1---
~ ID :J ~.
o a. Q.CD CD <
g. g:
m ;::;: e eo
-- 1.0 -
§ :g
CD ...
~~
eo ~ -· CD o- ~
!!. 2. o
"" Cl.
~
0:
g
e
:O
~
Forma
De varia-
ax + {3y + y= u
Expresión por sustituir
t!f)
ED lineal
ED lineal homogénea y'+ p(x)-y = O de orden 1
y'=
= Yh om + Yport
y = e(x)-e·fp (x)dx
Y
=u
y' =u+ x·du dx
X
l
ED implícita de or- y = f(y') den 1, stn term . en x
o,
~
de orden 1
0
a. -C(x) ·p(x) · . e·fp(x)dx
y' = p
P
no f e; homogénea y'+ p(x)-y = q(x) y;= e (x)·e· p(x)dx
ffi
a.
ED similar
du = a + {3y' o, bies no di- y'= f(ax + {3y +y) dx ~ rectamente y ' = .!_ (du _a) separables {3 dx
91:
De ~ variables y'= = 11!2 "' separables dx g(y)
Tipo
J
+ q(x)·efp(xldx.dx]
f~+ C
Jq(x)-efp(x)dx,dx ·e- jp(x)dx
en donde
y = f(p)
X=
+e
+ e
= C.e-f p(x)·dx = Yhom
du f(u)- u
= e·fp(xld•{ c
Yp =
y
Y
dx-
fx- f
f dx = Jf3f(u~u+ a
f g(y)-dy = f f(x)·dx + e
Solución
m
m O
IR - •
3(') CD - • "'O)
~::S
CD(¡J
~(1)
Ci~
~tn ¡¡¡· Q.
¡;(1)
;::::::s
c.
CD(')
:~m
s·C
in
o
Eliminando p se obtiene la solución de la representación paramétrica
co""
e
i"tn
Yhom• véase d'99 o""(1) Obtención de la sol. part. por variación de las cons_ __ tantes; véase 0 '2 y 0 '3 _ ::::1
Y= Yhom
<{->
Revisar si la ED es transformable en 1
Después de integrar es necesario resustituir
Las variables x así como y pueden separarse por el signo igual
Observación
~
X= f(y')
Forma
~
a,
-
~
~
i
~
1
y = x ·y' + f(y ') f (y') = f(p)
y' =p
y'= p
y' = p
Expresión por sustituir
ED de Rlcattl de orden 1 y grado 2
y ' +p (x)y+q(x)}' 2=r(x)
p- g(p)
p- g(p)
y =
....L. zl-n
Vz
= _1_
·ef(l ·nJp!•J·d.rdx]
= e·f n-nJp!•J· d.r [c-(1- n).J q(x )·
1 - - z ' + p(x)· z = -q(x) 1- n
X = -f'(p) y = - p f'(p) + f(p)
( Integral general: familia de rectas)
con
C1 =y': y= x·C1 + f(C 1)
dp
z(x ) = U(x)
1
y(x) es una sol. part. conocida
1
1 + e•IIP!•J+2q!•J·y¡(>J ¡
Observación
ED no homogénea en z; sol. según 0 '9. Al menos una sol. part . debe ser conocida
Reducción a una ED de orden 1 en z; sol. según 0 '9 , d'100
Repr. paramétrica de x y y. Integral sing . (envolvente) por elim . de p
Eliminando p se obtiene la sol. de la repr. paramétri ca
(C+ fq (x) ·e-flp!>J+2q!•J·yd•Jid.r dx]
y(x) = y 1(X)
y(x) = u(x)+y 1(x) z' - (p(x) + 2q(x)·y 1(x) ]·z = q(x)
1-n
X = f(p) y = f pf'(p) ·dp +e
Solución
dx = ....K.leLx + ...1'JEj_
z = y l ~n EDde y'+ p(x)y+q(x)y" = O z Bernoulli y= zr=n de orden 1 con n * O; n* 1 y grado n y' =1 -· zl~n·z'
ED de Clairaut
c.> de orden
o. ED de dAiam·¡ . ~ bert, lmplfcita y = x ·g(y' ) + f(y ' )
"'
o
ED impHcita de orden 1, sin term. en y
Tipo
::::S
O
-·
m
(')
(')
o
e_.
....
-:S - -
~tn
... (1)
ID - ·
-.m o-
3
"C(I) ~- ::S
ID'""
~~~a.CD
¡- - ·
¡¡¡-c.
(')
~tn
!!l(l)
a. :O:
:S ID 111
o
!lC
gtm
iin
~
~
"'
o
~
"'
ID
o
"'
O>
o
"'
o
"'....,
Forma
y = e r.t
Expresión por sustituir
+ "oY = q(x) Y= Yhom + Ypa"
EDL homogénea de orden y• 2; sin y explicita
+
p 1(x)f =
o
y' = u y • =du dx
Solución
Yhom
e, y c 2 son constantes arbitrarias A= C1 + ~ B = i (C¡- C2)
Empezar el cálculo con la integral interna
Observación
y{x) C¡ X' l
y
=f
*
s
= Yhom
a - i (J
C 1·e - f p¡(xJdx.Cix + C2
+ i(J y (2
xa [A ·cos ({J·t nlxl) + + B ·sen{{J·In lxiJ]
'2 1-b¡ +J(b¡ - 1)2 - b 2 4 o
+ C2 ·xn ; r¡
(si r1*r2, véase d' 110) o
-
Cz) Sol. por reducción primero a una de orden 1
B = i(C1
A= C1 + C2
y C2 son constantes arbitrarias
e,
Ypart depende de q (x). Cálculo: véase 0 '6 , 0 '.7 y(x) = e"'(A ·cos {Jx + B·sen{Jx) + Ypa" y Observación d '110 ( si r 1 = a+ i{J; r2 = a- i{J = i'j)
con r, = a
+ ifJ; ' 2 = a - i{J = ; 1 y{x)= C 1 ·e'u + C2· enx + Ypa"
+ Ja¡2 - a con '1.2 = - ~ 2 4 o o bien y(x) = eax (A· e os {Jx + B · sen {Jx)
y(x) - C 1 · e'1x + C2·e"'
y = C 1 + ~ x + f [Jf(x)· dx ]·dx
ED de con ' 1.2 = y =X' Euler, lineal x2 ·y'+ b xy'+ b y = O y' = r ·xr-1 1 0 o bien y(x) = homogénea, y• = r(r- !)x'- 2 de orden 2 para r 1 • a
EDL no homogénea de orden y'+ a¡y ' 2 con coefs. consts.
y" :; : ; ,2. 8 rx
+ a1y' + a0 y = O y ' = r·e'x
y" = f(x)
EDL homogénea de orden y' 2 concoefs . constantes
no están presentes
y así como y'
Tipo
...
...... -·
c.
en
(1)
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....
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a.
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c. (1)
¡¡¡· iD (11
n
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;;
(11
e o::1 m ID 52. c.
n
m
m e (") DI
n
Forma =
>~
ED de
sin y
EDde orden 2, sin x
EDL
0:
"'
~
a.
GD
,
y" = f(y,y')
= f(y')
'(
f(y)
y • + p¡(x) f + de orden + p 2(x)· y = o
2
_¡ homogénea
-
=
Y - J, x, y)
•
y•
~ si~r~e; ~en y•
~
O de orden 2, siny'
sin y
_¡
~
~ ED ~ de orden 2,
a.
u
'(
Solució~
)
du
=
+ -
du
J
X= f(u) +
du
u(y) y=yW y ¡(X)
- d (~) - dx y¡(X)
v'(x) = w
v(x) =~
U=
1 Observación
uM
J...EL_
+
e
1
·du e¡.. y = fuf (u) + e2
dx por u
y'• ~
Al final se sust.
Después de eliminar u se obtiene la solución
J
v[x)
y 1(x), como sol. y,(x)·w +[2y j(x) + p 1(x)·y¡(x)]w =o part., debe ser y=y. conocida. Reduci r 1 _ luego a una lín. Y= y1(x) C1- 1- ·e fp,(x}·dx.dx+C2 homog. de orden 1. Y1 2(x) ~ Para y1(x), véase 0 '9
=
Internas
Ju(x)· dx + e Suele ser irresoluble
Después de transformarla en:
X
+e2
y 2ff(y)· dy + C1
dy
f u·dx + e2
J
=
f ( )d e - Pi x · x + 1
du dx = f(x,u); y =
x
y
du
Jf (u)
y - dx = J' y, u = udy u dy = f(y, u)
. _ du
y· = u' f(y ') = f( u) y u
y'
y -u(x )
y' u(y) y"- ( ) du - u Y · dy ,
1
m
¡!ln
gm -·
e
::1
~CD g.C/)
Q. - · oC»
:CD ca::::s §n
ID-.
Q.(D
en:¡;
ID-
Si"-
¡;:en
;CD
ID ::::S
(11
g;o
IDn
Y =}[efPli•Jdx. (e 1 +Jq(x)· efPli•Jdx.dx)]dx+e2 cá~~r;~~n~~s o· e :¡O) Yp = r. lef p,(xi dx . (J q(x)f p,(xi dx . dx)] dx integrales
Expresión por sustituir
de orden 2, u..< + Yp inyexpHcita y = Yn EDL • homogénea y'= u ·. y• du ::: de orden 2. y"+ p ¡(x)-f(y') =O = dx c.> illvexoHcita [(y' )- f(u)
¡;;
~ ho~c!g~~ea y"+p 1(x)y' =q(x)
Tipo
Análisis estadístico Conceptos generales de probabilidad Axiomas de probabilidad Probabilidad del evento (o suceso) A
PI A¡
e' 1
Número de eventos en que ocurre A Número de eventos posibles
e'2
1
frecuencia relativa O, el suceso A es imposible
e'3
PI A !
e'4
l I' I A; I
e'S
P! A u 8¡ * )
1, la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos A1 tiene el valor 1.
;
PI A ! + P!8J- P(An 8 ¡* )
Caso especial para eventos mutuamente excluyentes:
e'6 e'7
!'! A l+ P(8 ) /'IA/8)
P!An8¡ 1P( 8 ¡* l , probabilidad condicional de A (Probabi· lidad de A dada la probabilidad de 8)
Caso especial para eventos independientes, con P(8) o bien P!A J *O:
e'8 e'9 e' 10 e' 11
P!A/ 8 ) /'( A) 1'18/A ) = P! 8 J P(A n 8 ) Pl A n A¡
P!A ) ·/'( 8 ¡ para eventos independientes P!A !· P!A! =O. eventos mutuamente excluyentes.
*) Diagramas de Venn para la representación de eventos El rectángulo representa la totalidad de los eventos A;: Círculo mayor : evento A Círculo menor: evento 8
'º' 1A ,¡ 'º' 1A,¡
La superficie sombreada indica cada caso:
A
Av8
(no A)
(A " o" 8)
A"8
(A "y" 8)
A" 8
(no A "y" 8)
Análisis estadístico Conceptos especiales de probabilidad Variable aleatoria A La variable aleatoria A puede tomar diversos valores x1 ; cada valor x1 es un evento o suceso aleatorio. Se diferencia entre valores discretos y valores continuos de una variable aleatoria. Función de distribución F(x). La función de distribución F(x) indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A sea menor que el valor correspondiente de la abscisa x. la función F(x) es monótona creciente y
lím
e' 12
F(co)
F(x)
F(- oo )
e'13
O; F(.r) crece de O a 1. F(x) para valores continuos de una variable aleatoria
F(x) para valores discretos e una variable aleatoria
F!xJ
F(x)
---------- -
---------~-
...-0,5
o
)
lo
5
6 7
8
Función de densidad P1, o bien f(x). P; para valores discretos de una variable aleatoria P¡
f(x) para valores continuos de una variable aleatoria f(x)
O. l
o la función de densidad de una variable aleatoria A está dada por p 1 o por f(x); su relación con la función de distribución es: r
e'14/ 15
F(.r) ;
L.
F( .r ) ;
P;
f f(.r)
d.r
-X
El área de la superficie sombreada de la función de densidad indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A se encuentre en el intervalo de x 1 a x2 (sin incluir a x 2 ) .
r,
e' 16 e'17
P ( .r 1 ~ A < .r 2 )
;
;
f f( x ) · d.r r, F(.r 2 )
-
F(x,)
P(A < .r, ) -P(A < .r 1 )
1
Análisis estadístico
E'3
Conceptos especiales de probabilidad Media
m
x y valor esperado Jl
Variable aleatoria A discreta
e' t8 e' t 9 e'20
Variable aleatoria A constante •oo
~ = J x ·f( x ) · dx
¿ X¡ p ¡
en donde p , y 1(x) son valores discretos y continuos , respectivamente, de la densidad de probabilidad . Variancia a 2
Variable aleatori a A discreta e'21 e'22 e'23 e'24 e'25
2
G =
( x 1 -x ) +.
.
2
.
p1
i<x,-x )'·
f
•
+ ( Xn - X )
(
2
x 2 -x ) ·
2
Vari able aleatoria A constante ·
p2
•
Pn
G
•oo
2
J< x- ~)
:
2
· f( x ) · dx
p,
x/ . p¡ -X 2
en donde p1 y l (x ) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad . e'26
a =
V(variancia) es la desviación estándar.
Teorema del limite central (Ley de la adición). Si A 1 son variables aleatorias independientes distribuidas cada una arbi· trariamente con media (x 1), o bien con un valor esperado p., y variancia o12 , entonces e'27
la variable aleatoria
e'28
el valor esperado (o media
e'29
la variancia
x)
A
¿ A,
~
¿ ~·
G'
i
tiene
(x
¿ :;e, )
G,'
y además A tiene aproximadamente una distribución normal (véase e'48 y e'54), o sea : p(A
e'3Q
~ X) = ~ ( X ~ ~ )
Ejemplo: El histograma de 1O mediciones, cada una de las cuales muestra una desviación estándar o = ± 0.03 ¡; m (micrómetros), tiene en· toncas en conjunto una desviación estándar o 9
úy'
= 10ú
2 ;
Gg
= ~ú VlO
"' ~0 . 095 ~m
1
binomi al
hipergeométrica
Ecuación de definición
discreta
continua
( ~)
"'
Valor esperado 1' Media X
(~ )
(p:w~~~p))
'"
¿
,.,
F (x) = L P, i~ ,
rt · p
¿r, -p,-
F (r )~Jf(r )dr Jx_~:~~dr
Función de distribución acumulada
npN-n (l-p) N-1
i~ ,
-2
" 2 LX, ·p, -X
_¡r -J (:r) ·dr-¡./
"' 2
Variancia u2
i< <X
X
(")1< p' (1 -p)"" x(")p '(l - p )"' rt·p
"
p(l-p )
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k de ellas resulten defectuosas.
P(l< )
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras de un total de N, exactamente k resulten defectuosas.
" 1<
(pN)(N (~- p))
P( i< ) = 1<
p,
f (r )
Densidad de probabilidad
'l .
Plki
1
11
n•ZO
•O
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N~loo
0,2' 01
O.l
'
1
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~·..'·', ··....
o
0.1 ,1
Ol0.2 ~' "'\p • O,l -O S \ .••.P- ,
o
' \ 0, . l \\
P ""0,1 1 t'..cP"'O.l
"~·" o. ,, ·•
P(k)
Observaciones. Ambito de aplicación
•
n-~;p-o
-
grande del muestreo y número peque~o de fallas, const. n ·p
Tama~o
• Hipótesis:
Población sumamente grande. Durante el muestreo se mantiene la colección
• Hipótesis:
N: Tama~o de la población pN: partes defectuosas en N Cálculo exacto pero laborioso
k: Número de fallas n: Tama~o de muestra x1 : Valor discreto de var. aleat. p : Probabilidad de falla
Forma de la furlción de densidad
. (Continúa en E'S) o
de ellas resulten defectuosas. Aplicación: Curvas para la evaluación de muestreos , véase E' 11 .
k <X
P( l< ) - -( rt p)'· e-"P I L -( ~k~-p)'- ·e-"PI n. · p 1 n · p "'w k ! de "'.. Poisson P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras. exactamente k
..
'i"'
..
"'w w
1\)
"'w
"'~
Tipo de distribución
-·
o
n
-· ~
m...
r--
111 Q.
C" 111
CD "C
Q.
:::1
CD 111
-
a. C»· -· e en o s· en -· (1) en .o ,.. e» c. g en e: ,.. ¡;:
)> :S e
expo -
...
~
"'o
...
"'w
r
Función de distribución ac umulada
x
Valor esperad o ¡;. Media
o'
Variancia
:
o o
a -e
.
.,
¿ i<:: x
p,
1 - e -dx
discreta F (x ) •
-1a
f.r, . p, i: l
7
1
i.r,' -p, -
1:1
i 2
'
---¡;¡--
f(.r)• aV21' e
1
- (x- u/ 1
1
x
~
b
·dt
-(t ·•J' ~
--e - ~ a 1'21t
Í /-i
G'
a ~
Se emplea como modelo cuando sólo se conocen valores máximos y mínimos, y no se tiene información sobre la distribución interm edia .
nos al intervalo
'
o
o
•
l1:
1'
1
/ --¡;'-:;
f (x )
-2 -1
-::::::'7
0,1
2 X
o· z l
b
: X
X
~
,
•1
~ 0,5
EJ1
f(x )
0, 5
'
'~
0, 5
La vari able aleatoria x puede tomar valores sólo en el intervalo a, b . Ahí todo val or es igualmente probable .
n- oo ; p = 0.5 = con st.
Caso especial de la distribución bi nomial.
n- ~; p-o
Observaciones. Ambito de aplicación
-· tn
C1l
....
o
-·
-· tn
r+ (')
o.
Q)
r+
(1)
tn
m
Q.
g; e: 111
C" 111
o
.
"'C
a·
. --· tn
!:
)> :::::J e Q).
n : Tamaño del muestreo X;: Valor discreto de una variable aleatoria p : Probabilidad de falla 6' e Caso especial de () la distribución ::::1 de Poisson para 111 1/) x = O. Pregunta 0, 5 sobre la probabi- Q. 111 lidad sin falla. ~
Forma de la función de densidad
Aplicación en la teoría de la confiabilidad . Sustitución de a · x por la tasa de fallas ~ mu ltiplicada por el tiempo de pru eba t (véase E' 12). o
a > .r ~
f (.r)
P;
- ~
f ( .r) continua F(.r) · _[! ( .r) · d.r _[.rt(.r) d.r j '?.¡(.r) · d.r -¡./
Densidad de probabilidad
Aplicación frecuente en la prácti ca, pues muchos valores medidos muestran una distribución con lorm a de campana alrededor de un valor medio. 1 f(x) • b -a para F(x ): O para - oo< x < a ( b- a) 2 a +b a ~X ( b -12 - • .r- a para 2 O para = uniforme b- a valores de x exter-
normal
nen cial
"'<»w
...
nición
w ....
m
"'w Ecuación m de deli-
Tipo de distri bución
Análisis estadístico Determinación de Determinación de
a
E's
a
para valores discretos dados
Método de cálculo Según la ecuación e'23 se tiene: e'41
v'=
e'42
f (r• - i) · Pi ,.f,. , r!- p; - .r• 2
i '"- 1
en donde X; : P¡:
con
i
,.,f , r , -p,
1
valores medidos de la variable aleatoria A probabilidad asociada a su ocurrencia .
Método gráfico Si se supone que los valores medidos x; de la variable aleatoria A están distribuidos normalmente, u puede determinarse fácilmente con ayuda del papel para probabilidades. En este papel se escogen las divisiones de las escalas de manera que se obtenga una línea recta para una distribución normal. Desarrollo: El total de los valores medidos de la variable aleatoria A se fija igual a 100%. Para cada uno de los valores x ; se calcula la frecuencia porcentual. De estos i valores se escogen, por ejemplo , 4, 2 en los bordes, y 2 a la mitad del espectro; en el dibujo son x, , x 6 , x 7 y x 9 . Para cada uno de estos 4 valores se calcula qué % de los valores medidos son menores que los considerados en cada caso, y este valor porcentual se inscribe en la red (1 O% para x, , 38% para x6 , etc.). Por estos puntos se traza una recta que corta a las frecuencias acumuladas de 16% y 84%. A estas abscisas corresponde un valor 2 u. El valor medio se encuentra en el 50%.
x9
.. .,
'{
:0 -~
x, X6
x,
>
.
.!!! "O
o
<ü
>
s 10 16 zo Jj) •o SO oo 10 eo 81, (Distribución acumulada) % menor que X; -
90
95 "
"
Análisis estadístico
E'1
Distribución normal de Gauss Distribución normal de Gauss (Densidad de probabilidad) La ecuación e'39 da para a2 = 1 y 1' = O la densidad de probabilidad normalizada con medida en >. = O.
e'43
rp().)
1
ep(},¡ puede leerse en las Tablas Z'5 y Z'6 para valores O S ). S 1.99 o también calcularse directamente con la ecuación e'43. La relación entre la densidad normal izada epi).¡ y la densidad re al l(x). cuando¡.; O y a 2 1. está dada por
*
e '44
*
según
- (x· u J2
_e za ?
_1_
f ( r) = rp(A)
ú
ú
'{2ii
Para calcularla , se busca en tablas un valor determinado de >., el valor correspondiente de la densidad normalizada epi).¡, y se encuentra después de dividir entre a. el valor de tal densidad l(x) asociada a x. Los valores de p. y a pueden obtenerse con las ecuaciones e'26 y e'58. En E'6 se muestra un método gráfico sencillo para determinar l(x) . Distribución de Gauss normalizada
<1> 1).¡
(Función de distribución)
La ecuación e'39 da para a 2 = 1 y p. = O, la función de distribución normalizada de la distribución de Gauss.
rp(t)
e'45
Como lim
*
*
X
e'47/48
.ol según F (r)
1 = {¡(..1) = - ú
f
-{'-pJ '
e l a'
0'1(2i[_"'
·dt
Análisis estadístico
E' a
Integral de probabilidad Integral de probabilidad de Gauss La integral de probabilidad se basa en la distribución normalizada de Gauss (e'45) con a 2 = 1 y¡;. = O, representa el área de la superficie entre - x y + x de la función simétrica de densidad( , ). e'49
~o ( X)
~(
1
' _, bf e
=
2
-dt
+X
-X
o
e' 50
t )
En las tablas Z '5 y Z'6 se dan valores de
'
e'51
erf (x)
= ~0 (x · ~) =...?..._ Je-'' · dt '{if' ,
Z'6
f
2_ -e_,,. 2" VJC n•O 1 · 3- ... ·(2n+1)
=
e'52
'X
2n-+1
En las tablas Z'5 y Z '6 se dan los valores de erf (x para O ,; x ,; 1.99. Para x ~ 2 puede calcularse erf (x) con la serie anterior o también con la siguiente expresión aproximada: e'53
erf (x) =
, _ _a_
El área restante bajo la curva de campana es igual a: e' 54
a = 0,515 para 2 ,; x ,; 3 a = 0,535 para 3 :Sx::S 4 a = 0,545 para 4 ::sx::s 7 a = 0,56 para 7 ::S X
con
x · ex'
2
erfc ( x ) = 1 - erf ( x ) = '(ii
f"' _,, e
·d t
X
~(
e' 55
X
±a ± 2a ± 2.58 a ± 3a
68 .26 95.44 99 99.73 99.9
± 3.29 a
31 .74 4.56 1 0 .27 0 .1
-za
-a
t )
(j
ZG
Análisis estadístico Muestreo -
Distribuciones
E'g
Muestreo: Por razones de economía se renuncia a menudo a una revisión en 100% de todos los elementos de una población. En vez de esto se efectúan muestreos. Para que los elementos sean representativos del total, deben ser arbitrarios y tener la misma probabilidad de ser escogidos (ejemplo, por medio de un buen mezclado). Objetivo del muestreo: Estimación de la posibilidad de la proporción verdadera de elementos defectuosos de una población, con base en el número de defectuosos o fallas detectadas en una muestra. Distribución hlpergeométrlca: La probabilidad P(k) de encontrar exactamente k elementos defectuosos en una muestra de tamafio n tomada de una población N, se calcula con la expresión .
e'56
P(l<.)
pN: número entero
en donde p es la probabilidad supuesta de tener un elemento defectuoso y pN es, por consiguiente, el número de defectuosos en N. La probabilidad de encontrar como máximo k defectuosos, o sea O, 1, 2, ... , k, puede calcularse con la distribución hipergeométrica acumulativa:
e'57
XP ( I<. ) x =O
pN: número entero
Ejemplo: En una población N de 300 tornillos, pueden como máximo ser desechablesp - 3%, oseapN- 3. Setomanmuestra§_den - 20.¿Cuántos defectuosos son permisibles, si la probabilidad l P(k) es " 900ti>? X
P(
o
0.508 0.391 0.094 0.007
[~ ~ ~ 2 3
X)
fP(x)
'"'0.508 -----~~~n 0.993 1.000
El cálculo muestra que se tiene sólo 1 defectuoso. Otras distribuciones especiales: Además de la distribución hipergeométrica, la cual exige una gran cantidad de trabajo de cálculo, se han obtenido otras distribuciones especiales para determinadas hipótesis y condiciones de frontera. En E'4 y E' S se muestran, además de la hipergeométrica, algunas de dichas distribuciones junto con sus características principales.
1
Análisis estadístico Seguridad de un muestreo - Curvas de aceptación Seguridad de un muestreo: En una muestra de tama~o n tomada de una población de magnitud N se encuentran k elementos defectuosos. Sea p la probabilidad de tener un defectuoso en la población. La probabilidad de encontrar más de k defectuosos en la muestra se obtiene con la ecuación e'57:
e' 58
P(x>J<.);P(I<•l)•P(I<+2)+ ... +P(n)= iP(x)
1
X=k+1
En el supuesto de que N es muy grande y {J < O. 1. - lo cual ocurre en un gran número de procesos industriales - puede efectuarse este cálculo (ver E'?) con ayuda de la distribución de Poisson:
e'59
P(:<>i<);
<~n
¿
X• k+1
<~> { 11 p )'
(np)' -np -·e
Esta probabilidad, para valores la siguiente ecuación:
- np
- ¿ -- , - -e
-X1 •
X• O
peque~os
X .
de k, se calcula fácilmente con
2
e'60
( ) >(np)' -np l-e-•P[l+rtp+(rtp) + __ +("!' ) ' ] Px>/<.=1-¿-r-,-_--e = Z!. "1 1, X=O
PI x> k) se denomina también seguridad del muestreo. Con ayuda de la ecuación e'60 puede determinarse con qué seguridad P!x > k), con una muestra de tamaño n y k defectuosos en ella, el porcentaje de partes defectuosas en la población total toma el valor p = kln, o bien cuán grande debe ser la muestran para que con k defectuosos aceptables y una cierta seguridad deseada, la probabilidad de fallas sea igual a p.
e'61
e"62 e'63
Curva característica de aceptación: Un usuario se pregunta si una población de objetos que recibe satisface sus requisitos de calidad, o bien si el fabricante ha entregado dicha población con la calidad convenida. Una prueba de 100% de la población es m uy costosa y no siempre es posible efectuar ensayos no destructivos. Si se supone una probabilidad de fallas f' "' l'o en la población, hay que determinar si se acepta tal población cuando al efectuar un muestreo de tamaño n se encuentran hasta k = e partes defectuosas. La probabilidad de aceptación Llp. e¡ 2e: 1 -a. en donde a es el riesgo del fabricante. puede calcularse en función de la probabilidad simple P(k) dada por la ecuación e'57. (También se conoce esta curva como "CO".) L(p,c) "P(O) • P( t)
•
•P(i<"c)
( rtp )'
2!+
.• (rtp)'] C!
(Continúa en E'1 1)
Análisis estadístico Curvas de aceptación -
Valor AQL
(Conlinuaclon de E'10) Con esta fórmula pueden calcularse las diferentes curvas características de aceptación L(p,c) en función del porcentaje de partes defectuosas p en lapoblación. Se distingue principalmente entre dos tipos de curvas: Tipo A Tipo B llp,d
n
Up .c)
1
2
3
e:=
-~--~~~~~~
4
Defects. en pobl. -
1
2
3
4
Defects. en pobl. Observación: Cuanto más inclinaObservación: Cuanto menor sea el número máximo de defectuosos e da es la curva de aceptación, tanto mayor es el tamano de la muestra. en la muestra, tanto más se acerca Como curva límite se obtiene un recla curva de aceptación al porcentaje tángulo cuando n es el tamano de de defectuosos 4> en la población; la población. Cuanto más inclinada e debe ser :5 n. es la curva de aceptación, tanto más estricta es la prueba; n debe ser "= c. Valor AQL (Acceptable quality level = Nivel aceptable de calidad): El acuerdo entre el fabricante y el comprador implica fijar la posición del valor AOL sobre la curva de aceptación. Ese punto indica el porcentaje de defectuosos Po de una población para el cual ésta es aún aceptable con base en una muestra cuya probabilidad sea (usualmente) de 90% (como L(p, e) "= 1- a, es en este caso igual a 0.1 , o sea 10%). Con referencia a la curva de aceptación tipo A, esto significa que, por ejemplo, en una muestra de tamaño n, c 2 partes defectuosas serán aceptables como máximo. Para recibir menos par- L!p.cJ 99% tes rechazadas, el fabricante mantiene su calidad (0A> de defectuosos :',. de la población) muy por debajo del valor AQL prometido por él, Po·, en donde sólo se permiten e, defece: .. ' ' tuosos, lo que referido a la curva original corresponde a una probabi- :g !:! lidad de aceptación de aproximadag. ', mente 99%. En la práctica se exige n :;l con frecuencia un valor AQL con ~ Po ~ O.sso,t,. L_p_,,",_..,p,_,...,D,..e"""'f-ec_t_s_._e_n_p_o-:b-:1-.__ __Jp~. p%
,,'
161l :g fr.
n: Tamano de la muestra e: Número máximo de defectuosos aceptable
'" '~',,
1
Análisis estadístico Confiabilidad -
Definiciones
Definiciones generales
'
e'65
-f.l.(T} · dT
Confiabilidad
R(t)
e'66
Probabilidad de fallas
r(t)
e'67
Densidad de fallas
f(t)
e, 1- R(t) dR
- df
' -JA(T} • dr
A ( t) ·e
e'68
Tasa de fallas o función de riesgo A ( t )
0
f( t) 1 dR = RTtf = - "RTil dT
MTTF (mean time to failure, o tiempo medio a la falla) es el tiempo promedio que transcurre hasta que ocurre una falla e'69
MTTF
K
ft(t)·t·dt = JR(t) · dt p r o
En sistemas capaces de reparación se emplea en vez del MTTF, el MTBF, (mean time between failures), que es el promedio entre dos fallas, o sea MTBF = m. El MTTF y el MTBF tienen iguales valores numéricos. 00
e'70
MTTF = MTBF = m =
f R ( t) · d t o
Teorema del producto de confiabilidades. SiR,. R2 , ••• , Rn son las confiabilidades de los elementos 1, ... , n, la confiabilidad del sislema total está dada por
e'71 e'72
' •A -J[A,/r}
i=-1 1
(r).
,
Án /rJ]·dT
e' Observación: Como modelos para la función de confiabilidad R(t) pueden considerarse las funciones de distribución F(><) dadas en E'4 y E' S (cálculo según e"66). la distribución exponencial, de sencillo manejo matemático, cumple en general de manera satisfactoria los requisitos (A = const.). n(t) : condición en el tiempo t considerado n0 : condición inicial
1
1
2
Matemáticas financieras Conceptos principales 1. Tasas de interés
Tasa de interés :
Monto que se paga en un intervalo de tiem po unitario por unidad de capital invertido.
Tasa efectiva de interés :
Tasa actual de incremento por un idad invertida durante el periodo contratado.
Tasa nominal de interés :
Tasa del interés total que se paga en un año sobre una unidad invertida al principio del año, considerando que cualquier interés percibido durante el año no se reinvierte.
Fuerza de interés :
Tasa de crecimiento continuo según una cierta operación de interés.
Notación
i:
¡ tm> :
ó:
Tasa efectiva de interés anual. Tasa nominal de interés por año, pagadera m veces al año. Fuerza de interés por año.
Relaciones entre i, i tm> y ó : 1'1
e ó - (1 + i) = (1 +
e
)m
2. Acumulación a interés compuesto
Interés compuesto :
Si el tiempo total de inversión se divide en varios periodos y al final de cada uno el interés generado se incrementa al capital para ser invertido a la misma tasa, se tiene una inversión a interés compuesto.
n:
número de periodos de inversión.
P:
valor presente o principal de un capital invertido al inicio de los n periodos de inversión.
S:
Valor futuro o monto del capital después de n periodos de inversión .
Notación
Relación entre S, P y n. 1'2
S
1'3
S
para tasa efectiva de interés i
p (1 + i)" · (m) p (1 +
-
1'4
S =Pe"
1'5
p
-
S v" si
7n->""'
para tasa nominal de interés pagadera m veces al año ;tml para fuerza de interés ó
V
-
(1 + ¡¡-•
1
Matemáticas financieras Conceptos principales 3. Tasas de descuento Tasa de descuento :
Cuando se hacen los pagos de interés por anticipado, corresponde a la cantidad pagada por anticipado, respecto a la cantidad que se debe éntregar al final del periodo contratado.
Tasa efectiva de descuento :
Tasa actual de decrecimiento por unidad adeudada durante el periodo contratado.
Tasa nominal de descuento :
Descuento total efectuado en un año sobre una cantidad comprometida para pago al final del periodo, considerando que el descuento se aplica en m exhibiciones.
Fuerza de descuento :
Tasa de decrecimiento continuo bajo una operación de descuento.
Notación d: d<m!:
6:
Tasa efectiva de descuento anual. Tasa nominal de descuento por año, efectuado en m exhibiciones iguales. Fuerza de descuento
Relaciones entre d , d(m! y 6 : d (m)
S
(1 - d) = (1 -
m
¡m
1
Matemáticas financieras Relaciones diversas
F'a
4. Relación entre Interés y descuento
Interés y descuento son dos puntos de vista diferentes respecto a un mismo problema. A cada tasa de interés corresponde una tasa de descuento, y vi· ceversa. Un pago de i al final de un año correspcnde a un pago d al principio del mismo, esto es: d (t + i)
1'6 de donde,
f7
=
i, o bien i (1 - d)
=
d
- d = __ 1_ 1 + i
1
Relaciones entre tasas de interés y de descuento:
1'8
Fuerza de interés o descuento
1'9
Tasa efectiva de interés
1'10
Tasa nominal de interés
1'11
Tasa efectiva de descuento
1'12
Tasa nominal de descuento
f'13
•)
V
Monto de una unidad al fin den años
Valor presente de una unidad antes de n años
e"'
e"'
( 1 + ;)" (1 +
¡(m))mn "(jf"
(1 -
dt"
d(m))-mn
(1 -m
V"
•)
( 1 + ~) - mn ( 1 - d)" (1 - m d(m)tn
= (1 + ¡¡- 1 Ecuación de valor :
Consiste en dos series de obligaciones vinculadas por un signo de igualdad y valuadas en una misma fecha, llamada "fecha de valuación" .
Ejemplo :
Una persona adeuda $30 000 000, pagaderos dentro de 5 años y $25 000 000 pagaderos en 8 años. Desea cam· biar estas deudas haciendo dos pagos iguales al cabo de 1 y 2 años, a partir de ahora. De cuánto serán los pagos recueridos si el interés es del 9% anual conver· tibie semestralmente?
Solución :
Sea x la cantidad a pagar al final del primero y segundo año; i = 0.09 . Se puede tomar como periodo fundamental el semestre y trabajar entonces con una tasa efectiva semestral i = 0.045. La ecuación de valor obtenida tomando como fecha de valuación el fin del segundo año es : 30 000 000 V6 + 25 000 000 V' 2 = X + X (1.045)2 30 000 000 (0 .767896) + 25 000 000 (0 .589664) = X + (1.092025) X de donde X $1805833104
Matemáticas Financieras Anualidades y amortización 5. Anualidades
Anualidad :
Seria da pagos periódicos. da sumas generalmente igualas. qua se efectúan durante la existencia da una si· tuación dada.
Anualidad cierta :
Serie da pagos periódicos que deben efectuarse con cer· taza e independientemente de cualquier evento o suceso fortuito durante un cierto tiempo.
Anualidad contingente :
Serie de pagos periódicos que se efectúan sujetos a algún avento.
Anualidad ordinaria :
Seria da pagos unitarios efectuados un periodo después da su contratación y pagaderos durante n allos.
aíil:
Valor presenta de una anualidad ordinaria pagadera du· rante n periodos.
A:
Valor presenta da una anualidad con serie de pagos igualas a R.
Síil:
Monto da una anualidad ordinaria pagadero durante n periodos.
S:
Monto de una anualidad con serie de pagos iguales a R.
Notación
Relacionas entra aíil• A, Síil y S.
1'14
an
1'15
A
1-vn
R
arn
(1 + i)" -1
1'16
síil
1'17
S
R síil
1'18
síil
(1 + ;¡n aíil
1'19
añl
V" síil
Ejemplo : Una persona desea disponer de un capital de $1 000 000 000 dentro de 10 anos. formado mediante depósitos mensuales en un banco que le ofrece el 9% da interés anual convertible mensualmente ¿Da cuánto debe ser el aporte o renta mensual para lograr su objetivo? (Continúa en f"5)
1
Matemáticas Financieras
F's
Anualidades y amortización
(Continuación de F' 4) Solución: El depósito mensual debe ser Ra, con p- 12, de donde aplican-
do la fórmula del monto se tiene : S
~ p
=
R, •
s,,.
P
0.09
1
""12
•
SP
1
Siffifl r
R, • 12 000 000 000 R, • y la renta mensual:
Si2lllo.oo1s 12 000 000 000 193.514281 -
$6
2 010 900
R,
l2 - $5166 741 .66
6. Amortización: Amortización :
Método para extinguir una deuda mediante pagos p&riódicos, generalmente iguales, en los que se incluyen tanto intereses como capital.
Tabla de amortización :
Registro del destino a intereses y capital del pago p&riódico de una amortización.
Capital insoluto :
Capital que se adeuda en cada periodo.
TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA ANUALIDAD ORDINARIA PAGADERA DURANTE n PERIODOS
Distribución del pago Número del pago
Capital insoluto al principio del periodo
Intereses contenidos en el pago 1 - V"
1
a"'
2
añ=ll
3
añ=21
an - (t- 1)1
n
a,
= V
_
yn-1
- vn - 2
1
_
yn - (t - 1)
1 -V
Capital contenido en el pago
V" vn - 1
yn - 2
yn - (t- 1)
V
Matemáticas Financieras Casos especiales
F's
7. Casos especiales de anualidades
Anualidad anticipada :
Anualidad en la cual el primer pago se electúa al prin· cipio del periodo.
Anualidad diferida :
Anualidad ordinaria en la que se establece que el pri· mer pago se efectuará después de un cierto número de periodos.
Perpetuidad :
Anualidad en la que se estipula efectuar pagos en forma indefinida.
Anualidad creciente :
Anualidad en la que el monto de los pagos crece periodo a periodo.
Anualidad decreciente :
Anualidad en la que el monto de los pagos decrece periodo a periodo.
Notación
a'"
Valor presente de una anualidad unitaria anticipada.
Srn
Monto de una anualidad unitaria anticipada pagadera durante n periodos. Valor presente de una anualidad unitaria diferida m periodos. Valor presente de una perpetuidad unitaria. Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago unitario y que crece aritméticamente 1 unidad por periodo.
(Ja)ñl (Da)ñl
Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago
aiPl ñl
n y que decrece aritméticamente 1 unidad por periodo. Valor presente de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.
SIPl ñl
Monto de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.
Relaciones entre diferentes tipos de anualidades.
1'20 1'21 1'22
a'" arn sñl
(1 + i) a'" + (1
añ=ll
+ i)Sñl
sñl
1'23
s'"
v
1'24
sñl
sñ+11 -
1'25
mla m
vmañl
1'26
m/añl
8iñ+1fl -
1'27
Boo
a"" (Continúa en F7)
1
Matemáticas Financieras Anualidades y amortización
1'28
an - 1
(la),.
(Continuación de F'6) + 1 - n vn
1'29
(Oa)nl
1'30
a iPJ
~ an para tasa efectiva anual i
1'31
S I PI
_j_ S para ta sa efectiva anual i ¡ (P) n
1'32
a /PI
+añfñl; ·
1'33
S IP)
1'34
a l PI
ñ'
F'1
1
ñ'
ñ'
1
ñ'
m
¡ ·(k)
1'35
S IP)
1
i' ¡'(k) a mñl¡ ·
1'36
a l PI
j (ml
---m
para tasa nominal de interés ¡ lm J con m = p .
{
ñ'
En lo si gu ie nte: i '
{
para tasa nominal de interés m < p , y p = mk para k ent ero.
¡ cm! con
1'37
m
ñ'
ñ'
~
1 a pSkl; · iññ1
~ So;¡;¡ - -
S IP) ñ'
P.:>ii1 ;·
para tasa nominal de interés con m > p y m = kp para k entero.
¡·
¡ /mi
{
mn ,
· (m) ) - mn
1 - ( 1+ ~
1'38
a l PI ñ1
p
¡ /m) )m/p [( 1+ --,¡;-- (m)
(
1'39
1+ ~
)mn
1
1
para tasa nominal de interés i , en el cual no coinciden la frecuencia de los pagos con la convertibilidad de la tasa de interés.
- 1
S
Ejemplo:
Encontrar el valor presente de 4 pagos anuales iguales de $5 000 000; el primero de ellos se efectúa inmediatamente y la tasa de interés efectivo anual es de 8%.
Solución:
Se desea determinar el valor presente de una cantidad anticipada a 4 años; A = 5 000 000 áñl- Esto es:
A
5 000 000 áñl
=
5 000 000 [(1 + i) añ!J
5 000 000 [(1 .08) añlo oa l $17 885 502
= 5 000 000 (1 .08) (3.31213)
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado DEFINICION DE UNA ECUACION ALGEBRAICA
Una ecuación algebraica tiene la forma: g'1
fn(x) = BnX" +
Bn-1
x<>- 1 + ... + a2x2 + a,x +
ao.
Todos los términos cuyos coeficientes a" son iguales a O cuando ¡;. < n se pueden omitir. La solución de una ecuación algebraica implica la determinación de los ce· ros (las ralees) de la ecuación, para los cuales f0 (x) =O. Característ ic as
1. La ecuación algebraica fn(x) = O de grado n tiene exactamente n ceros (raíces) . 2. Si todos los coeficientes a. son reales, sólo existen ceros reales o com· piejos conjugados como soluciones. 3 . Si todos los coeficientes a. son 2: O, no hay soluciones cuya parte real sea> O. 4. Sin es impar, cuando menos un cero es real, suponiendo que todos los coeficientes a. son reales. 5. Las relaciones entre los ceros y los coeficientes son:
x"
g'2
l:x¡
g'3
l:X¡•XI
g'4
l:X¡• X¡· Xn
= - Bn_ 1 1Bn
=-
para
Bn-21B n- 1
para donde
Bn - 3/an-2
para donde
1 = 1, 2,
n
l, j = 1, 2, i = j
n
1, j, k = 1, 2, 1= j - k
n
6. La cantidad de raíces reales positivas de la ecuación en cuestión es igual a la cantidad de cambios de signo de la serie de coeficientes g'6 o este valor menos un número QM (teorema de Descartes). g'7
Ejemplo: h(x) = 2x3- 15x2 + 16x + 12 =O tiene los signos
+
+
+
y debido a los 2 cambios de signo tiene 2 o O raíces reales positivas. (Continúa en G'2)
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado (continuación de G'1) 7. La cantidad de raíces reales negativas de la ecuación en cuestión se determina mediante la sustitución x = - z: g'8
En este caso la cantidad de cambios de signo en la serie de coeficientes an·. an. 1", an. 2" , ... • a2 " , a,· , ao· es igual a la cantidad de raíces reales negativas, o a este valor menos un número~- Aplicado al ejemplo en G'1, punto 6:
f3(z) = -2il- 1sz2- 16z + 12-
g'9
o
tiene los signos + y por consiguiente la ecuación g' 7 únicamente tiene una raíz real negativa. debido a que tiene!,!!! solo cambio de signo. Solución general Si x 1 es una rafz de una ecuación algebraica de grado n,Jn(x ) =O, el grado defn(x) se puede reducir en una unidad afn- 1(x) =O cuandofn(x) se divide entre (x - x 1). Si se conoce también otra raíz x 2 , la ecuación se puede reducir un grado más al dividirla entre (x - x 2 ) , y así sucesivamente. g'10 g'11 g'12
g'13
anx" + an-1 x"- 1 + an-2x"- 2 + ... + ~x2 + a,x + 8¡¡ fn-1 (x)- an' x"- 1 + an-1' x"- 2 + ... + a2' x + a1' fn-1/(x-x2l = fn-2 (x)- an" x"- 2 + an-2"x"- 3 + . .. + a2"x +a," fn(X)
=
fnl(x-x,)
=
fn-2/(x-x3)
=
f11(X-Xn)
,;, fo(x) - an(n).
... etc.
Hay un caso especial en el que las rafees son complejos conjugados; después de la división , el grado de la ecuación se reduce en 2 unidades. La división de la ecuación algebraicafn(x) entre (x- x") se puede llevar a cabo fácilmente aplicando el método de Horner que se describe en G'3. METODO DE HORNEA El método de Horner es un algoritmo que se puede aplicar al polinomio P de n-ésimo grado
Pn(X)- an x" + an-1 ·x"- 1 + · · · +a, ·X+ ao
g'14
para resolver los siguientes problemas:
=
Cálculo del valor de Pn(x) para x x 0 . Cálculo de los valores de las derivadas Pn'(x), Pn"(x), etc . hasta p.n>(XJ para x
n
=x0 .
Reducción del grado de Pn(x) si hay raíces conocidas. Determinación de los ceros (las raíces). (Continúa en G'3)
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado
G'a
Método de Horner (ver el esquema abajo) : Se igualan los coeficientes a, a a,IO) y se escriben los coeficientes del polinomio Pn(x) -comenzando con el que se relaciona con el exponente máximo- en el primer renglón . Las posiciones donde no hay exponentes ~ tienen el elemento O. Esquema :::¡
g'16 g'17
3
g'18
4
Bo111 • bo •
a, l'lJ • b1 • 1/1 !·P,(.r0)
g'19
g'20 g'21
g'22 g'23 g'24
g'25
1 la,l•l =a,= b,
=
1/n!. p,l•l (.to)
Ejemplo 1 del método de Horner: Cálculo de los valores de Pn(x) , P"'(x), Pn"(x) y Pn"'(x) para x = xo;xo = 4: g'26
g'27 g'28 g'29 g'30 g'31 g'32 g'33 g'J4
Pn(.to)
.to ~'<- .to a, 121 / .to a,_,l2l .to Bn_ 212l .. . .to a¡l2l .to &¿l'lJ
P 0 (x)
=
x3
83(0)
- 6x 8210)
2
+11x- 6 81 (0)
8o(O)
1
x0
•
- 6 11 -6 4 ~ 4 _; 8 ./ 12 '1 ~2':;::2- - 3 / 1 6 = P 0 (4) 4 -..._ A B . ·1>'"" - 2 / 11 = P 0 '(4)
f
4,
· 1....--
f 64
= P 0 "(4) · 1/21; P 0 "(4) = 1 · 2 · 6
12
1
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado Explicación del método de Horner Se va a calcular el valor de un polinomio y de sus derivada s en un punto fijo x = xo. Los resultados de las multiplicaciones de x0 por los factores a 0 (11, a 0 • 1 (1 1, etc ., indicadas por las lineas se escriben en el segundo renglón (por ejemplo, xo· a 0 (1) = xoan(11) . El renglón 3 muestra los resultados de la suma de los renglones 1 y 2. g'36 g'37
Por ejemplo
8n _1(1) • 8n-2( 1) •
8 n-I(O) + Xo • 8 n( 1) ; 8n- 2(0) + Xo • 8n-1( 1)
donde 8n(1)
•
8 n(O)
1
Particularmente
ao(11
g'38
-
8 0 (0 1 + x 0 • 81(1) - bo- Pn(Xo)
significa el valor del polinomio en el punto x = x0 . Usando el mismo esquema, partiendo del renglón 3, por medio de mul· tiplicaciones y adiciones se llega al renglón 5 con g'39
8 1(2)-
b1
-
Pn' (x 0 )
que es el valor de la primera derivada de Pn(~) en el punto x = x 0 . Este procedimiento se puede repetir n veces, puesto que un polinomio de grado n tiene exactamente n derivadas. Estos cálculos dan como resultado: g'40
g'41
P 0 (x)
-
ao'11
(x-x 0 ) + 8 2 ' 31 (x-x0 ) 2 + ... 1 + ... + Bn- 1'"1 (x-xo)"- + 8n'"1 (x-xo)" +
8 1{2)
- Pn(x0) + 1111 · Pn'(x0 ) • (x-x0) + 1/21 · Pn"(x0) • (x-xd + . .. + ... 1/(n-1)1 · Pn("- 11 (Xo) • (.t-xo)"- 1 + 1/n! · Pn'"1(xo) · (x-xo)" Ejemplo 2 del método de Horner: Reducción del grado si hay un cero (raíz) conocido x0 , es decir, determinar ? 0 . 1 (x) usando :
g'42 g'43
Datos:
g'44
Esquema :
g'45 g'46 g'47 g'48
Pn (x)/Cx-xo) -
Pn_,(x).
Pn(x) - ~ -
+ 11x- 6
8 31°1
6x2 82 (0)
a, (O)
con la raíz
1 -6 11 -6 x 0 - ~1--~----~1~___ - 75 __-.~6=-
-5
6
x0
- 1.
llo (O)
1
O
=
Pn (1).
Resultado : P0 (1) =O indica que x0 = 1 es una raíz de P0 (x) . Entonces Pn- 1 (~) = 1x2- 5x + 6. Las raíces de esta última ecuación (x 1 = 2 y x 2 = 3) pueden ser determinadas fácilmente utilizando d 41 .
Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación
G's
PROCEDIMIENTO GENERAL Dado que la determinación analítica de los ceros (raíces) de las ecuaciones algebraicas e incluso de las ecuaciones trascendentes sólo es posible con restricciones, en G'6 a G'B se presentarán los siguientes métodos para obtener soluciones aproximadas: Método de Newton Método de la secante Método de la interpolación lineal , falsa posición o regula falsi Comenzando con un valor inicial aproximado, se puede lograr cualquier grado de exactitud mediante iteración . Ejemplo de una ecuación algebraica (polinomial):
x4
g'49
-
3 x2 + 7x - 5 ~ O.
Ejemplo de una ecuación trascendente :
x · lg (x) - 1
g'SO
~
O.
Procedimiento • Determinación gráfica de la aproximación inicial trazando la curva a partir de una tabla de valores conocidos. • Seleccionar uno de los tres métodos señalados anteriormente . Obsérvese que la interpolación lineal siempre es convergente . Para los demás métodos, la convergencia sólo se garantiza bajo las condiciones citadas en G'6 y G'7. La desventaja de este examen adicional será compensada generalmente por una convergencia bastante más rápida. • Con frecuencia se puede obtener una mejor convergencia comenzando con un método y con tinuando con otro; en especial cuando después de varias iteraciones ya no se observa un mejoramiento en los resultados.
1
Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación
G's
METO DO DE APROXIMACION DE NEWTON
El valor x0 es la primera aproximación de la raíz no de la ecuaciónf{x) =O. Se traza la tangente en j{x0 ) ; la intersección de la tangente con el eje x es un mejor valor que el punto de partida .r0 . El cálculo de x 1 se hace como sigue: g'51
x1
=
Y
X
x a - f (xo)l !' (Xo)·
Se calcula el valor mejorado x2 usando x 1 en fo rma semejante : g'52
x2
= x, - f(x,) l f' (x 1)
etcétera .
La repetición múltiple de este método conduce a los resultados de cual quier precisión que se desee.
Regla general k= 0, 1, 2, . ..
g'53
Condiciones para la convergencia en este método:
• no es un cero sencillo {no múltiple) • entre x0 y no no debe haber máximos o mínimos de la función f(x) . Convergencia: Localmente convergente. Comentario: Los valoresf{.rk) y f'{x~) que son necesarios en el método de Newton se pueden calcular muy fácilmente mediante el método de Horner descrito en G'3. g'54 g'55
Ejemplo: j{x) = x • log x- 1. El valor inicial para obtener un cero que satisfagaj{x) =O puede ser xo = 3. 1•• paso: g' 51 requiere el cálculo de la derivadaf'{x0 ) : f' (x) = lg(x) + lg(e) = lg (x) + 0.434294 .
g'56 g'57
2• paso:
Determinación de un valor mejorado .r 1 : De acuerdo con g'51 , los valores .ro= 3 , f (xo) = 0.431364 y f'{.ro) = 0.911415 proporcionan el valor .r 1 = 2.52671 O.
g'58
3•• paso: Determinación de un valor mejorado .r2: Usando los valores .r 1 = 2.52671 O, f{.r 1) = 0.017141 y f'{.r,) = 0 .836849, a partir de la ecuación g'52 se obtiene x 2 = 2.506227; error+ 0.000036. Con .r2 el cero tiene un error de 0.000036 .
g'59
4• paso:
Si la exactitud de .r2 no es suficiente, se deben efectuar más iteraciones.
1
Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación METODO DE APROXIMACION DE LA SECANTE
Se sustituye la derivadaf'(x) del método de Newton por el cociente diferencial: dos puntos adyacentes, f{x 0 ) y f{x 1) , se unen por medio de una recta. Debe determinarse el valor x2 en la intersección de esa recta con el eje x ; x2 es la primera aproximación al cero no requerido. g'60
X2
=
X
x, - f(x,) f(x,)x -x_ f(xo) 1
0
En el siguiente paso se unef{x1) conf{x2) . La intersección de esta recta con el eje x es la siguiente aproximación. Regla general de iteración:
k= 1, 2, .. f(xk) f(xk-1)
g'61
*
Comentario: Con frecuencia se puede obtener una convergencia especialmente rápida cuando se usan alternadamente los métodos de la secante y de Newlon. Convergencia : Localmente convergente. g'62 g'63
Ejemplo:f(x) = x · lg x - 1; x 0 = 4; x 1 = 3. f(x 0) = 1.406240;
f(x 1 ) = 0.431364.
11 aproximación : x2 = 3- 0.431364(3-4)/(0.431364-1.406240) = 2 .558425.
g'64
Error 21
f(x2) = 0.043 768
aproximación calculada con x 1 , x 2 , f(x 1)
y f(;J:2) :
- 2.556 425 - 0.043 768 (2 .556 425 - 3) 1(0 .043 766-0.431 364)
g'65
x3
g'66
Error
2 .508 562 f(x 3 ) = 0.001 962.
En lugar de continuar con el método de la secante, se puede aplicar ahora el método de Newton: g'67 g'68
Por esta razón se debe calcular f'(x2 ):f'(x) =lag x +lag (e) f' (x2 ) = lg(2.558 425) + 0.434 294 = 0 .842 267
g'69
x 3• = x 2 -
g'?O
/(;1:2) 1f' (x2) =
2.556 425 - 0.043 766/0.642 267 = 2.506 460.
Error: f{.< 3 ') = 0.000230. x 3' produce un error menor que x 3 , el cual se determinó usando sólo el método de la secante.
1
Teoría de ecuaciones
G'a
Solución aproximada de cualquier ecuación
METO DO DE APROXIMACION POR INTERPOLACION LINEAL. REGLA FALSA O REGULA FALSI Se escogen dos valores. x0 y x 1• de tal y modo que j(x0) y j(x 1) tengan signos distintos. Entre esos dos puntos debe existir cuando menos un cero n0 . La intersección de la recta que pasa por j(x0 ) y j(x 1) con el eje x es la primera aproximación x2 . Para determinar el valor mejorado x3, se x, X traza una recta por j(x 2) y uno de los puntos que se usaron antes.J(x0 ) oj(x 1), y se calcula la intersección de esta recta con el eje x . ¡Siempre se debe usar el último de los puntos anteriores que tenga signo distinto al de j(x 2)! g71 g72
Se debe cumplir que j(x2) • j(x 1) < O o bien j(x2) • j(x0) < O. Regla general:
Xk- XI xk+1 - xk- f(xk) • f(xk) _ f(x¡)
k- 1, 2, .. o~ j ~ k-1 f(x.J f(x¡)
*
Aquí,) es el valor máximo menor que k para el que es válido J(x2) • J(x1) < O. Convergencia: Siempre convergente.
=x • log x -
=
g73
Ejemplo: j(x )
g74
en este caso se cumple quej(x0 ) • J(x 1) < O.
g75 g76 g77 g78 g79
g'80 g'81
1; elección de x0 1, con j(x0) x 1 = 3 conj(x 1) = +0.431364
x,-xo
x 2 - x 1 - f(x1) f(x,) _ f(JCo)- 3 - 0.431364
=-1 y
3-1 + - 2.397 269; _ 0 431 364 1
j(x2) = 2.397269 • log 2.397269-1 =- 0.089717. Este valor representa la exactitud con la que x2 se aproxima al cero. Puesto quej(x2) • j(x,)
x~ - x3 - f (x3)· ff;c3l- J(;c, ) - 2.505947 f(x~ )
- - 0 .000 19 7 5.
Para obtener una mayor exactitud, se tiene que calcular la intersección de la recta que pasa por f(x 4 ) y f(x 1) con el eje x. Dado que j(x4) • j(x3) > O y j(x4) • j(x 2) >O, no se pueden usar los valores dej(x3) y j(x2).
•
Q'1
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente ENGRANES CON DIENTES DE EVOLVENTE
Geometría de engranes cilíndricos rectos
u=~
o'1
Razón de engrane
o'2
Coeficiente de transmisión
z, w. ro¡,
!!Ji. nb
=
=
-
~ z8
Coeficiente de transmisión de engranes múltiples o'3 o'4
itot = i1 · iu · im · .. . ·in inva = tana
-a
Función de evolvente
Esquema de la trayectoria transversal de contacto (Véase 150/R 1122)
1
Area del flanco activo del
L2,A~~-
/
7"~-.±A&.::-::¡ ~
Si A y E no quedan entre T1 y T2 , habrá interferencia y se deberán usar engranes "modificados" como los de 0'3.
_I Q~~:/ 7
1) Negativo para engranes externos porque la rotación es opuesta. Positivo para engranes internos. En general se puede omitir el signo.
1 ,"- Area del 1 • flanco activ
,' del engrane
l:o2
2
'
Engranes normales de acuerdo con DIN 867 rectos helicoidales o' S o'6
paso normal
o'l
paso circular
p
módulo normal
o'11
adendo
h.
o'12
de den do
h,
o'13
claro en el fondo
m
m · :n;
z
o' S o'9 o' 10
módulo circular
Pn
!!.:!!.
p,
E.
z
lt
e
=
mo · n m0 · n cos {3
= 4 mn= 2n :n; z . cos {3 m,
h.p
m
htp
m+ e
d mn cos {3 =
z
(0 .1 .. . 0.4) m= 0.2 · m (Continúa en 0 '2)
Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0 '9
Elementos de máquinas
1
Eng ra nes con dientes de evolvente
0'2
Engranes normales rectos
o'14/ 15
diámetro de paso
d
d = mn·Z cos f3
o'16
diámetro de adendo
da
o'17
diámetro de dedendo
d,
o'1B
ángulo de presión
a
helicoidales
1
m ·z
~
~
~
d + 2 · ha
~
d- 2 · h, t
o'22
diámetro de la base
~
db
d · cos
m 1 ·z
an = ap
an~a. ~ ap
o'19 o'20/21
~
a
tan an an a, ~ cos f3
db
Núm. equivalente de dientes
d · COS a 1
~
Zn
z
~
1 cos 2f3b · cos f3
ver tabla en DIN 3960
z
o'23
~ cos 3 f3 Núm. mín . de dientes
o'24
Para evitar
teoría
socavamiento
o'25/26 o'27
producido por herramienta de talla práctica
z9 ~
2 "' 17 sen2 a + para ap ~ 20°
17 · cos 3 {J
z gs' ""
Zg'"" 1 4 - - L
= 14 · cos 3 {J
Zgs'
extensión
g~
~
b · tan 1 f3
1
Tren de engrane s norm al recto s he licoidales
f
o'2B/29 o'30
distancia entre centros
ad ~
longitud del arco de contacto (longitud total)
ga
~
t!L!..!!z 2 = m~ 2
~ [vda, 2 -
a
d
~~ = m~ 2
n 2 · cos{J
db , 2·+ vdal - db2 2 ._
- (db , + db 2) · tan a,) ] ___fls,_ p·cosa
o'31/32
razón de contacto transversal
o'33
razón de traslape
E~
o'34
razón de con tacto
Ey
Ea
~
Ea
~
~
~
p 1 ·cos a 1 b· sen l {:!l mn · Jt
~
Ea + E~
(Continúa en 0 '3) Véanse los subinclices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
•
Q'a
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Engranes modificados 1 helicoidales rectos p, Pn• Pt• Z, m, m 0 , m,. d, o'35/36 o'37/38
Zn db
ver engranes normales x·m
desplazamiento del pertil
z ·sen2 a Xmln = - --2-- +
.,
'E a.
para evitar interterencia
Qj
.,"O
.. c.
o'41
.,"'
"O
14 -z
para evitar interterencia 1 1
X
"" 1 7
para obtener determinada distancia entre centros (total)
.x,
+
N
z · sen2 at +
mon 2 · COS {3 + hao · f'ao (1 -sen Un) mn puede ser hasta 0.17 mm
~e:
.S .~
UE .!!!.,
= _
+hao. eao~- sena)
"0_9
o'39/40
x · mn x .
x2
=
_ 14- (z/cos3l!) X 17
(z 1 + Zz) · ( ev ~~- ev a 1) 2 · tanan
(Zt + z~)·m 1 · cosa 1 2·a = ev a¡ + 2 · !1...±....!2 • tan a z, + z2 n
o'42
awt calculado de
COSUwt =
o'43
o bien
ev Uwt
o'44
distancia entre centros
o'45
coeficiente de modificación de adendo
k* ·mn= a - ~ - mn ·
o'46
adendo
o'47
dedendo
ha= h 8 p + x·mn + k* · mn h, - h,p - x·m 0
o'48
diámetro externo
da= d + 2. h.
o'49
diámetro de dedendo
d, = d- 2·h,
o' 50
longitud del arco de contacto
9a
o'51/52
razón de contacto transversal
Ea = gal(p ·cosa) Ea = gal(p 1 ·cosa¡)
o' 53
razón de traslape
o' 54
a = a . cos at d cos llwt
=
~[yd.t 2 -db/
\Xt + x2) 2)
2 + vd.l-db2 -
- (db 1 + db 2) · tanawt]
E~
= b · senlf31/(mn · "
Ey - Ea+ Ep razón de contacto 1 1 So se desconocen datos de la herramoenta, supóngase ap = 20°. 21 Observe el signo. Con engranes externos, k x mn < 01 Cuando k < 0.1 se puede evitar la modificación del adendo. Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0 '9
•
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Q'4
DISEÑO DE ENGRANES CILINDRICOS RECTOS Las dimensiones dependen de la capacidad de carga del dedendo del diente la capacidad de carga del flanco del diente que se deben cumplir en forma independiente. El diseño del engrane se comprueba de acuerdo con DIN 3990. Mediante conversión y agrupación de varios factores, es posible obtener algunas fórmulas aproximadas a partir de la norma DIN 3990.
-
Capacidad de carga del diente (cálculo aproximado)
o'55
mi o'56
Factor de seguridad F
~
para el caso de falla del pie del diente por fatiga:
0Fifm · Ysr · YNr · Y6reiT " YRreiT · Yx
~ · KA·Kv · KFa · KF~-~·Y, · Y~
1
~~.
- YFs Se suponen las siguientes simplificaciones: (KFa·Y,·Y~) = 1 ; Ysr = 2; (Y6reiT" YRreiT " Yx) = 1
YNT
YFs: factor de forma del diente para engrane externo (ver diagrama) o'57
KA • Kv = 1 ... 3, normal-
mente (considerando choque externo e irregularidades que sobrepasen al par nominal , fuerzas dinámicas internas adicionales causadas por errores de dientes y la velocidad circunferencial) . 4.2
15
o'58 o' 59
20
SFmln = 1.7 (valor gula) a Flfm : ver tabla de valores gula en 0'5 Véanse los subfndices en 0 '6 y los sfmbolos en 0 '9
30 zo
40 50 60
80 100
Zn
(Continúa en 0 '5)
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Q's
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado)
mm o'60
Factor de seguridad S.. en el caso de corrosión :
SH -
~
UHiim·ZNT o(ZL · Zv · ZR)·Zw·Zx
Y"~
1
ob
SHmin
:~,o ZH · ZE · ZE oZp ·VKA oKv · K Ha · KHp
En los metales, el factor de elasticidad ZE se simplifica a:
ZE
o'61
=
yo.175 ·E
donde
E = 2 ·E,·Ez E 1 + E2
_,
Por consiguiente, se obtiene la siguiente fórmula aproximada:
iil o'62
~
d
1
~ 1 l?.:.IJ. . ~ 0 17S·E·cosP· ZwZtoy¡;;;. ..¡¡c;:x;....;KH; . SHmin Vb u · (ZL ·Zv · ZR) o(ZNT · Zw ·Zx) U..1rm
-
Valores aproximados de resistencia (Diagramas en OIN 3990, parte 5) Espedficadón
Malerial
Grado
OF iim
~ lim
Nlmm 2
A48·50 B 80 ASTM A536-20-90-02 230
es
A572 Gr.65
1064 SAE
AS ASCH
4140
3240
2.s .....:::----.:...--~-.----,
200 220 290
360 560
400
620 670 500 1630
Cl: hierro colado CS: acero al carbón AS: acero aleado ASCH: acero aleado cementado O"
(Continúa en0'6)
ro-
3(r
KA Kv: ver capacidad de carga del dedendo del diente (0°57) SHmln • 102 (valor guia) cr Hllm: ver tablas de valores aproximados ZH: factor de zona (ver diagrama) (ZL Zv ZR) • 0.85 para dientes tallados o desbastados - 0 .92 para dientes rectificados o tallad os con altura promedio de cresta a valle Rz 100 ,; 4 ~m . Véanse los subfndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9 o
o'63 o'64 o'65 o'66
10"
o
o
.o·
ángulo entre ejes para engranes } ~-> helicoidales (cilindro de paso)
1
Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
Q's
En o'56, o'60 y o'62 se deben conocer b o by d. Las razones siguientes son estimativas y se deben usar en cálculos preliminares:
Dimensiones del piñón
o'67 o'68
O bien: Ya sea: d eje1 a partir de la relación de -------------+-==:.:...-!engrane iy una distancia piñón con eje integral 1.2 ... 1.5 a especificada entre canpiñón de rotación libre sobre el eje 2 tros (ver 0'2 8-29-44)
Razones de ancho de diente Calidad de dientes y cojinetes
-b
m
b
d1
o'69
dientes bien colados o cortados con soplete
o70
dientes maquinados; cojinetes a cada lado, en construcción de acero, o piñón en voladizo
o71
dientes bien maquinados; cojinetes soportados a cada lado en la caja del engrane
15 . . 25
o72
dientes con talla de precisión ; buenos cojinetes a ambos lados y lubricación en la caja del engrane: n 1 :5 50 s·1
20 .. . 40
o73
engrane en voladizo
,
o74
totalmente soportado
:5 1.5
6 ... 10 (6) ... 10 . .. 15
Subfndices para 0 '1 a 0 '8 a : engrane conductor b : engrane conducido m : mitad de diente en engranes cónicos n : normal o : herramienta t : tangencial v: en cono posterior (o engrane cilíndrico virtual) 1 : engrane menor o piñón 2 : engrane mayor Véanse los símbolos en 0 '9
0.7
1
Elementos de máquinas Engranes cónicos
0'7
ENGRANES CONICOS
Geometria de engranes cónicos Se aplican las ecuaciones o'1 a o'3, y también:
io'75i 0'76 o'77
ángulo ¡; del cono: sen I: cosl:+u
tan {j1 -
( I: -
so• =
tan 61 -
2
sen I: tan 62= cos I: + 1/u;
o'78
(I:
o'79
ángulo entre e1es
lii o'BO
~)
1
= 90° =tan {j2 = u)
¡
distancia del ¡
cono
I: = ¡;, + ¡;2
Re=
__d_e_ 2 ·sen¡;
Sólo se muestran las fuerzas axiales y radiales que actúan sobre el piñón 1
'f
Del desarrollo del cono posterior para examinar las condiciones de engrane y para determinar la capacidad de carga se obtiene el engrane cilfndrico virtual (subfndice "v" =virtual) con los valores:
io'81l
engrane cónico recto 1 Zv -
co~ ('j
Uy 1
Zv2 Zv1
-
Las fórmulas o'7 y o'10 a o'15 también se pueden aplicar a la superficie del cono posterior (subíndice "e").
Diseño de engranes cónicos El diseño se basa en el PUNTO MEDIO DEL ANCHO b (subíndice "m") con los valores: o'82/83 o'84/85
z
2· T
-;¡;;:
(Continúa en 0 '8)
Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0 '9
Elementos de máquinas Engranes cónicos
O'a
Fuerzas axial y radial en el engrane o'86
fuerza axial
Fa= Fmt • tan a • sen o
o'87
fuerza radial
Fr = Fm1 • tan a • coso
mm
Capacidad de carga de la raíz del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad S. respecto a falla de la raíz del diente !JOr fatiga: arum · Ysr Y¡¡ rel r
o'88
YRreiT' Yx
_...:...!m!!.1'--- · Yrs · YE · YK ·(KA· Kv· Kra • Krj!}
~ SFmín
bef·mmn
io'89l
Con excepción de Ysr. se determinan los factores Y para engranajes rec· tos virtuales (subindice "v") . Resulta la fórmula aproximada: ver , 0 94
lnrm "'=
Fmt beF
G:ir6 o'90
io'91i
......--.
-·Yrs · YE · KFa'YK·(KA · Kv)Kr~· '---v-"
'-v-'
- t
= 1
2
= 1
YFs: Sustituir la cantidad de dientes del engrane recto complementario Zv. Asi, la gráfica para engranes rectos de la página 0 '4 también se puede aplicar a engranes cónicos. Ver todos los demás datos en o'57 a o'59 .
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad 5H en el caso de corrosión de la superficie del diente. SH _
aH nm • (ZL • Zv • ZR} · Zx
~~ Fmt
u.,+1
VtJ,--,-.-b-eH · - ... -
mi o'92
SFtim Ysr · (YbreiT' YRreiT Yx)· UF iím
· ZwZe·ZE · ZK ·
,¡
"' SH min
vK" · K.·KHa ·KH~
'
Para los metales, el factor Ze se simplifica como sigue : Ze=V0 .175E
con
E - 2 E,·E 2 E 1 +E2
Obteniéndose la fórmula aproximada:
io'93l o'94
o'95
ver o'95 ::= 1 ~--------- ,.....;-. ,.....;-..
dmt
2:
== 1
_..,_,
ver o'94
...----.
,/2 · Tt ·cosÓ,. u.,+ 1. 0, 1?S · E· ZwZK · z,VKH:· ,¡x;:K;·'I/KHi·SHmin ! V beH Uy (ZL · z•.ZR)· Zx· UHJim ~ ~0.85 · b ver o'66 = 1
=
1.65 para piñón y engrane totalmente soportados = 1.88 para un elemento totalmente soportado y otro en voladizo = 2.25 para piñón y engrane en voladizo ZH: ver diagrama para ZH (página 0 '5) ; sólo es válido para (Xt + X2)(Zt + z2) con ~ = ~ m. ZH = 2.495 para a = 20• y engranes normales o modificados. Véanse todos los demás datos en o'63 a o'66 Véase los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0'9 KH~
= KFp
1
Elementos de máquinas Q'g Engranes, trenes de engranes Notación para páginas 0'1 a 0'8 (ver subíndices en 0'6) a distancia entre centros(~: distancia normal entre centros) b ancho de flanco b0 pb0 H : ancho efectivo de cara (base/flanco) para engranes cónicos hao adendo de la herramienta de corte h0 p adendo del perfil de referencia (por ejemplo DIN 867) flrp dedendo del perfil de referencia k• cambio del factor de adendo z número de dientes F1 fuerza periférica sobre el cilindro de paso (sección recta) KA factor de aplicación Kv factor dinámico (respecto a fuerzas dinámicas adicionales originadas por desviaciones del engrane y vibración por fleldón de diente) KFaiKF~ : factor de carga transversaVcarga en el flanco (esfuerzo en la rafz) KH
1
Análisis de esfuerzos
P1
Acciones combinadas
Estado de esfuerzo en tres dimensiones La configuración general de los esfuerzos puede sustituirse por los:
Esfuerzos principales "" a2 , o3 que son las soluciones de la ecuación Gz
p'1
p'2
6
3
-
o
2
R 6 + S ·6 - T
donde
R
::z:
Ó.-
+ Ó; +
Óz
T,,'- t,z'- Tu'
p'3
S
p'4
T = 6 , 6 y6z + 2 T, 1 T,,Tzx- 6, T1,'- 6, Tzx2-ó 1 T,J
6, · 6 1 + 6r · 6, + 6z · ó, -
La ecuación cúbica se resuelve como sigue:
La fórmula p' 1 se iguala a y (en vez de a 0), y asf y - [(o) se grafica. Los puntos de intersección con el eje o linea cero dan la solución.Tales valores se sustituyen en p' 1 y se obtienen valores más exactos por en· sayo e interpolación. El caso en que a, > a 2 > a 3 da el esfuerzo cortante máximo p'S
Tmax
= 0 .5
[01 -
OJ).
Flexión y torsión en ejes o árboles de sección circular Según la teoria de la energía máxima de deformación :
p'6
Esfuerzo equivalente: Momento equivalente:
ó. yó,'. =
lf. =
3(ao.
r,>" ~
~ 75(ao · T)
Ór(pe<m.)
2
Para determinar el diámetro del eje se calcula el módulo de sección rio a partir de
p'7
S
o1 Tt
M
T a0
esfuerzo flexional de tensión esfuerzo cortante torsional momento flexionante (o flector) momento torsionante (o torsor) se calcula según P'2
s necesa-
1
T
o,> O:
O vN = 0 3
= Ómln
OvN = o , = Oma. :
=
Fractura seca
Tensión, flexión, torsión de materiales frág iles: hierro fundido, vidrio, piedra
ao
=
Ó perm . 1, 11, 111 ( perm.l, 11, 111 Orrm. 1, 11 , 111 T rrm.l, 11 , 111
ao = 1
2 ·Trrm.1, 11 , 111
2 ·Tpe"".l, 11 , 111 Orrm. l, 11 , 111
Operm.l, 11, 111
ao = 1
2 t max z o, - o,
Vo,' + o ,' -
o , ·o, '
Operm. l, 11 , 111 1. 73 ·Tperm.1, 11 , 111 Orrm. 1, 11 , 111 = 1 . 73 · Trrm.1, 11 , 111 ao =
ao = 1
= V o z'+O/- Oz0y+3{ ao-t"/
o. =
+(o, - o3l ' •< o3 - o, >'l'
o .= Vo,5 [< o, - o, >'+
-en-·
1»·
Q,
"'
111
111
tT
ID
s· :::1
""'1
(1)
e:
-· en c. "'o (1) n 3 (1) s· en ..... )>
n n
)> :S
ia, deformación acentuada.
1
a,. a2 , a3 véase P'1
Fractura seca, con desgarre, separación permanente:
1\)'
-e
oen
N
Compresión de materia· Todo esfuerzo de materiales dúctiles: les frágiles y dúctiles. acero fundido , Tensión , flexión y tor· forjado y laminado; sión de acero con punto aluminio, bronce de fluencia bien definido ----
=
ao =
=
r~actura con desgarre, !luan
r>']
OvN = O, = Omrn
=0.5 [
Compr. o , < 0 :
2 imax =0,-03
V(0,-0y),+4(ao · n,.
OvS
OvN = 0 1 = Omax 2 =0.5 [
Tens .
Falla esperada 1
material
y
Tipo de acción
desi· guates
o. > 0 :
Compr. 0 3 < 0 :
Tens.
• loan la mejor concordancia con los resultados de prueba a11m. Trrm son valores típicos para los materiales.
Aplica· ción
y
Cargas 1, 11,111 para o
iguales
Estado de esfuerzo bidimensional
Estado de esfuerzo tridimensional
Según la energía máxima de deformación para esfuerzo normal esfuerzo cortante esfuerzo equ ivalente
Análisis de esfuerzos Datos de secciones transversales
P3
Momentos de inercia 1 y módulos de sección S Para la posición del centroide C (y el eje neutro) véase K 7, Parte 1
//( e ly (valores minimos)
il
lil
S, y Sy (valores minimos)
b ·h'
p8
S,
- 6-
p'9
Sy
-6-
p 10
S,
h ·b1
S
y
7r·d 3
32
i i p1 1 ii
p' 12
S,
I,
=
Iy
.,. ( 4 = 64 D -d ')
1r
S, = = Sy = =
0. 5412 ·R'
p' 13
i i p'14 p' 15
1T · a · b I x = - 4-
Iy =
1T · a 3 · b
~
D' -d 4
""'iQD
·-~ t y
0.12 0 3 - s' 0.6250 ·R' 0.1042 · s 3 0. 5 413-R'
- ,.-,.1T · a · b
s,
- ,.-
d3 ~ 10
Sy
11"-d 4
j2 . - D-
I , = I y = 0 .0 6014 s•
Sección tra nsversal (área A)
1r ·a 1 · b
Sy
~ ,r
x -~
i i p'16
p' 17 1 x p' 19
p'20
=K . (a+b) +2 a b
~ máx
36
a+ b h 2a + b
h a+ 2b
fl m /n
h1
3'~ =
12 ·
(
a+b ) 1 + 2 ab 2a + b
3' ~
Teorema de Stelner: (Para valores de 1con respecto a dos ejes paralelos ; uno es centroidal, x)
i i p'21
,~J&A 8
le-e = I, + A· a1
-f -WfiJ- --e IY
1
Análisis de esfuerzos Vigas -Cargas y deflexiones
P4
Viga de sección transversal uniforme Ecuación de la curva elástica Lo siguiente se aplica a cada tramo de la viga:
= "( )
2
d y (z)
E · I,· ~¡"(z)
Mb!zl _ -E · I, - Mb !zl
p'24
E·I,· ¡¡' (z)
-
p'25
E · I, · y (z)
- f!Mb !zldz · dz +e,. z +e,
p'22
dz '
p'23
¡¡z
v p'26
f Mb!Zidz
y +
z
e,
: Radio de curvatura de la elástica en el sitio z = tan '11 ( z) : Pendiente de la tangente a la elástica en el
¡¡'( z)
sitio z. y ( z) Dellexión de la viga en el sitio z y son constantes de integración a determinar por factores conocidos P. ej .: ¡¡ (z) O. En el apoyo. ¡¡ (z ) ; y{z ) ;. ,. En la unión entre los tramos i e (i + 1)
e, c2
=
y ' ( z)
y ' (z) ;
O. En el empotramiento de una viga en voladizo y en punto medio de una viga con carga simétrica. ¡¡ ' ( z ) ;. 1 . En la unión entre los tramos i e (i + 1)
Energla de deformación U a la flexión
Para una viga de longitud 1 l"' 1
p'27
u, •
_!_!Mb'!z l dz 2 E · I, z
~o
Para una viga continua : (n tramos)
p'28
1
A
B ,
Nota: o< b
F
~ t:-CSJ
Tipo de carga
Acciones
en los apoyos
l
,.E..E. {C)
(J1
...
, w "' Mom . máx. n el punto(.
Definícienes
Yc· en C Ym· máx.
Las expresiones para y y Ym no consideran el efecto del cortante
Elástica y deflexi n ---- - -Pendieñta: tañ ; - y,... - - - -
ti'
........
Conversión a lsostática - cálculo de reacciones Una viga hiperestática (o indeterminada estáticamente) (Fig . t) se convierte en una isostástica o determinada (Fig . 2) sustituyendo un apoyo por su reacción (Re. en la Fig . 2).
/
Fig. 7
Al '
1 1 1
!Ji
7
U
w
la
Fig. 2
La isostática se considera formada por dos subsistemas componentes ( 1 y 11) . Se calculan las deflexiones en el punto o apoyo de hiperestaticidad (véase P'4 a P'6) para cada subsistema. en lunción de Re . Como no puede ocurrir deflexión real en el apoyo C.
lvCII = lvnl
p'37
Subsistema 11 A 'l(
--- -- e,~e'_ Fe -
' 'f{ 8
Se evalúa entonces Re y luego las demás reacciones en los apoyos . Resolución de vigas hlperestáticas, simples Sistema hiperestático
Sistema isostático
Subsistema 1
l> A A
~F, e "
lF¡
A
h 8 ii A
l
f : Reacciones y momentos en apoyos hiperestáticos.
Subsistema 11
1
Maquinaria y elementos Ejes y árboles Ejes y árboles (cálculo aproximado) Estabilidad
Mód. de secc. a la flexión requerido (S,)
Ejes
llil q"1
s,
6,M_ _
=
=V
tO · N ' Ótpenn
Mód . de secc. a la torsión requerido (S,) (polar)
Torsión pura
s,
Torsión Flexión
=
T
--rtperm.
Presión de contacto (aplastamiento) (p) q'7
d
rotatorios
Arboles
illl q'4 !mil q'5 llil q'6
6
3
fijos' 1
liill q'2
llil q'3
Esfuerzo permisible a la flexión21
Diámetro de eje macizo circular (Sr • d 3/10)
Enel} Pm muñón
..
,
6 •• 6, ..~~ ~ Esfuerzo permisible a la tensión21
Diámetro de árbol macizo (S, d 3/5)
-
d
r.
...
=V 5·<tpenn. T
~
6b Sch
~~~
-~
~-
o ... 5)
T. e ...~.
(10.•. 15)
Simplifi· cado
=....L d ·b < = p- · ~ Pm
j ;
Tt ScL_
t
Real
: Pmá•
(véase Z'4) Cortante debido a carga transversal : Cálculo innecesario cuando Para elementos de sección circular (rotatorios) f > d/4 Para elementos de sección rectangular (barras fijas) f > 0.325 h. Deformación por flexión véase P' 5 por torsión véase P 7 (Parte 1) Vibraciones. véase M 6 (Parte 1) ' 1 Para las clases de carga constante (1) y pulsante (11) (véase P 1, Parte 1) y perfiles simples (1, O). 21 ., _ _ y Tr.,~. consideran los factores de concentración, rugosidad, tamaño, seguridad y combinación de acciones. En T1 . .~ ., además el momento flexionante . : distancia de la fuerza F
M, T : momento flexionante , momento torsionante Pm : esfuerzo de contacto o aplastamiento (para Ppenn. véase Z"4) Pma• . · véase q' 17; para otros casos véase Z'4.
puls : condición pulsante (véase P 1, Parte 1) alt ·condición alternante (véase P 1, Parte 1).
1
Maquinaria y elementos Uniones de ejes Uniones de pasador Unión da abrazadera
~
{j--t
ii q'B
F'n
Fn Junta ideal sin
demasiada rigidez
Unión de cono q'9
am
q ' 10 q' 11
conicidad 1 : x
=
(D -
d) :
1
Fórmula aproximada para la fuerza axial sobra la tuerca (FA):
iA dm
2· T .V ¡J · dm D + d
tan(f + v)
--2-
Uniones ranuradas De cuña plana (cálculo aproximado) El cálculo se basa en la presión de contacto o aplastamiento sobre la cara de la cuña (o chaveta) en el material de menor resistencia. Tomando en cuenta la curvatura del eje o árbol y el redondeo r, la altura efectiva del elemento puada considerarse aproximadamente como te.
iq ' 12l
2· T d · fe· Pperm.
(continúa en 0 '3) El significado de los símbolos está en 0 '3.
Maquinaria y elementos Q'a Uniones de ejes (Continuación de 0 '2) De rebordes múltiples
iq' 13l
Cubo para eje
Reborde ele eje
~\
~ ¡ ~
2T0
q' 14
dm a
D _d_m-; ·
h_:
q' 15
h
0-d - g - k
'-•
¡~
\
2
D-d
1 1
- 2-
La carga no se reparte equitativamente entre las ranuras y los rebordes, de modo que hay que aplicar un factor de ajuste 1: Elemento Reborde en eje Ranura en cubo
0.75 0.9
1
Dimensiones del cubo Se utiliza el diagrama de configuración de uniones ranuradas de 0 '4. Ejemplo: Determinar la longitud L y el espesor radial s de un cubo para eje que transmitirá un momento de rotación de 3 000 N · m, hecho de acero colado y con ranura para cu~a plana. 1. Se elige el intervalo apropiado según el tipo de unión "long . cubo L, ACIAN: grupo e" y se siguen las líneas de "e" hasta cortar la vertical en el punto base de 3 000 N · m. Resultado: L - (11 O ... 140 mm), leido en la escala de L, s. 2. Se selecciona el intervalo apropiado según el tipo de unión "esp. radial s, AC, AN : grupo 1" , y se siguen las líneas de "/" hasta que se logre cortar la vertical en el punto base de 3 000 N · m. Resultado: s • (43 ... 56) mm. leído en la escala de L, s.
Fn : Fuerza normal en la superficie de contacto Longitud efectiva de la unión n Número de ranuras ~ Coeficiente de fricción (o rozamiento) deslizante v Factor de seguridad cp Angula de fricción (cp = tan- • 14) Ppe,m. : Presión de contacto (aplastamiento) permisible. Para cálculo aproximado: 1
Material HC (hierro colado) (gris) AC (acero colado), AN (acero común)
Pperm .
N/mm2
40 ... 50} 90 ... 100
(en casos especiales, se usan valores mayores)
10
20
20
so
1
.,j
"
S 1QO
e e
200
so o
so
100
200
Con montaje a contracción por interferencia, con cu~a cónica, con abrazadera o empalme ranurado
Tipo de unión
1000
Ten N·m
so o
e
f
2000
5000
1
10000
¡ Ejemplo de 0 '3
Cubo o pieza de unión Espesor s L AC,AN HC HC AC, AN k d a 9 1 e h b Longltu~
e
.
...
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~" .,o
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~'""'&5:
[§~
te. ~<
Maquinaria y elementos Cojinetes de deslizamiento
Q's
Cojinete de deslizamiento (chumacera) Lubricación hidrodinámica entre el muñón y el cojinete La operación correcta es a temperaturas no excesivas y sin un desgaste notable . Es decir, con la separación permanente por película de aceite lubricante entre muñón y cojinete.
pmáx Distribución transversal y longitudinal de la presión
Relación anchura a diámetro BID
0, 5
--:-1,""5----B/ D 2,0
1,0
1
1
Motores de automóvil o avión
Bombas máquinas herramienta, engranajes
Equipos y dispositivos
1
Lubricación con grasa
marinos,
turbinas de vapor
Propiedades generales Chumaceras cortas
Chumaceras largas
Gran caída de presión en cada extremo; por tanto, enfriamiento eficaz ; con flujo de aceite adecuado. Excelente para altas velocidades de rotación . Baja capacidad de carga con bajas velocidades rotacionales .
Baja caída de presión en cada extremo; por tanto, alta capacidad de carga, con velocidades de rotación no elevadas . Enfriamiento deficiente. Exceso posible de carga en bordes. (continúa en 0 '6)
1
Maquinaria y elementos
Q's
Cojinetes de deslizamiento (Continuación de 0 '5) Presión de contacto (aplastamiento) P. Pmo.. q' 16
media
q'17
máxima
Presión de contacto
p
= _f__ D•B
32
Pma'x $
~ 7
ÓdF
-~
ó
Q.
La presión máxima depende principalmente del espesor relativo de la capa de lubricante .
a
1
El diagrama muestra la razón de la presión máxima a la presión media (Pma./ p) en función del espesor relativo de la película lubricante.
1
= oo
0, 1
0. 2
Holgura absoluta s y relativa q' 18
s=D-d;
w en
1
[) "1
!=
""' 0. 3
0.4
0.5
ó
la chumacera
V' = s/D
w es básicamente la holgura que se produce durante el funcionamiento (incluyendo la dilatación térmica y la deformación elástica). q'19
Valores típicos 1/J = (0.3 ... 1 ... 3) 10- 3 Criterios para la selección de
Viscosidad: Velocidad periférica: Presión de contacto: Relación ancho/diám: Apoyo: q'20 q'21 q'22
>
w Valor inferior
Características Material del cojinete:
1
suave (p. ej. metal blanco) relativamente baja relativamente baja relativamente alta BID S 0,8 autoalineante
Valores mínimos para plásticos metales sinterizados 11 Para chumaceras lubricadas con grasa
Valor superior duro (p. ej . bronce fosforado) relativamente alta relativamente alta relativamente baja BID 2 0,8 rígido "' 2 < 3 ... 4) 1o-3 "' 2 (1,5 ... 2) 10_3
"' = ( 2
. 3) 1o- 3
1
Maquinaria y elementos Embragues
Q'7
Guía para elemento deslizante
ii q'23
a
q'24
La guia funciona suavemente sólo cuando
l tan a < ( 2 ·h + 1 )·¡¡.
o bien
la siguiente relación
>
_i_ = ,¡ h
2 IJ. tan a 1 -¡¡. tan a
Si las condiciones anteriores para tan " no se satisfacen hay peligro de desviación y trabamiento.
Embragues de fricción Pérdida de energía y tiempo de deslizamiento Embrague
Elemento impulsor (motor)
Elemento impulsado (carga)
Ts
L-_J_,_,__r_M_,__w_,~~------~~~~------~L--J_,_,__r_<_•__w_,~
iq'25i q'26
Un modelo simploficado con las soguientes condiciones basta para un cálculo aproximado: Aceleración del elemento impulsado de w2 = O a "'2 = w,. w, = const.; TL = const.; Ts = const. > TL· Entonces por operación:
+
Pérdida de energía
TL ) Ts- TL
Tiempo de deslizamiento ~lculo
de la superficie de fricción Embragues de placas planas
Una
1
Dos
Supe~icie(s)
-1-- -t--
Embragues Acción múltiple
cónico
cilíndrico
-· - -F -±-1
1111 111 11
El número y el área de las superficies de fricción dependen de la presión de contacto permisible Poerm . y de la capacidad térmica permisible por unidad de área (conducción de calor) Qperm· (continúa en 0 '8). Significado de los símbolos en 0'9
1
(Continuación de 0'7)
Qllculo para presión de contacto p Para todos los tipos de superficies de fricción:
q'27
iq'28l
i ·A ~
planas
Superficies de fricción q'29
Pperm. l'din · Rm
donde
r.
Fuerza axial
cónicas
r. =A
= A ·p
R;
q'31
Para un eje :
tan a > llstat , Ra = R; = Rm
0.6 ... 0.8
R.
p sen a
Condición
para embragues de placas múltiples
q'30
cilíndricas
si no, habrá trabamiento
Tu = T. . l' est s
1-'din
Calentamiento permisible: Para arranque con carga pesada la temperatura máxima se alcanza en una operación . Depende de la pérdida de energía. tiempo de deslizamiento. calor de conducción, calor especifico y enfriamiento. Estas cantidades no pueden incorporarse en una fórmula general. En el caso de operación continua la temperatura constante se establece sólo después de varias operaciones. Hay valores empíricos de la conducción térmica permisible por unidad de área. q.,...m. en la operación continua.
q'32 q'33
Potencia fricciona!: Condición:
P,
Wv· z
i ·A
w• . z
~
Significado de los símbolos en 0 '9.
Q perm .
1
Maquinaria y elementos Frenos y embragues
Q'g
Frenos de fricción Todos los embragues de fricción pueden corresponder a frenos de acción por rozamiento. (Véase también 0'7 y 0'8) F.
Frenos de disco Con elementos auxiliares. Momento de frenado, T8 :
Frenos de zapatas Se ilustra un dispositivo de acción simplex, indicando las fuerzas actuantes.
de entrada
il q '35
fn1
= a-J.J !L..i_ ·e
de salida fnl
Tambor del freno (sentido de rotación)
=~ a+JJ · e
(Servoacción) Momento de frenado
Ts=
q'36
(rn,+rn, )·!" · R
(Para la acción de frenado de banda o cinta véase K 13, Parte 1.) Símbolos para embragues y frenos de fricción Area de la superficie de fricción Momento de frenado Momento de la carga T" Momento del motor Ts Momento de operación del embrague T" Momento de transferencia del embrague R Radio de la superficie de fricción Rm, R,, R, Radios medio, exterior o interior de la superficie Pérdida de energía por operación Número de superficies de fricción Número de elementos para disco Frecuencia de operación (EU : s- 1 : h- 1¡ 1! , lidin, l'est Coeficiente de fricción , estática y dinámica Velocidad de rotación (angular)
A T8
Te
w,
1
Diseno de máquinas-herramienta : Consideraciones generales. Las componentes de máquinas que estarán sometidos a esfuerzos (elementos con superficies guías, piezas deslizantes, correderas husillos con cojinetes) se disenan de modo que conserven una elevada exactitud o ajuste durante largo tiempo. Cuentan con amplias áreas de contacto o apoyo y son necesarios dispositivos para reemplazar las superficies desgastadas . la deformación máxima permisible en el filo o borde cortante (punta de formación de la viruta) es de aproximadamente 0.03 mm. la fórmula r'4 da la fuerza de corte. Están disponibles elementos impulsores con velocidad de corte v = const. en todo el alcance de trabajo (diámetros máximo y mínimo de la herramienta o de la pieza) con velocidades de rotación (en rpm, r/min), en una gama que va en progresión geométrica:
~~
n,
r'1
pk- 1
la razón progresiva p para las velocidades de rotación n 1 locidades se evalúa por
i j l r'2
=
p
...
n,, para
k ve-
k-w. ~ n,
Valores de p estandarizados: 1.12, 1.25, 1.4, 1.6, 2.0. Serie básica A,. de velocidades con p =~ -
1.12:
100, 112, 125, 140, 160, 180, 200, 224, 250, 280, 315, 355, 400, 450, 550, 630, 710, 800, 900, 1000, . .. r/min. Dispositivos de corte: Se designan por el número de ejes y las velocidades de salida. Ejemplo: Un equipo 111/6 tiene 3 ejes y 6 velocidades. Se ilustra como sigue (para k - 6, p - 1.4, n 1 - 180, n, - 1000). - - - Diagrama de escalas (simétricas) - - Diagrama de velocidades
o
"
o o o
'
e~
Los simbo/os se explican en R'5.
1
'
i
1
"O
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-
analoga a r ·s
r'6 orn . inter
r' 10
-
r'9
o
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()
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2
9
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1
1/////A V~
-
le { 1 ~¡¡r:~ !8
Tala· drado r'S Y abocardado
~ ~
1.2
~a
1·2 HSS
1.1 HM
1 HSS
0,85 HM
1.1 HM 12 HSS
1 HM + HSS
Torneado r'S (exterior longitu· dinal
Cepillado r'7 (común y de mesa)
K =
Croquis
No. Operación
'""
a
8
=
· sen ~
D tp, Sz
2a
Sz = 0.5
Sz
s -sen 9
h
S
2
· """"i": s, · sen
'
9
( cos tp1 - cos tp )
.
D- d j2san ~
l se~ 9
b = =
'Ps z , 360°
-
11
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~. ll!f[i
_
calculan en el sentido de rotación
2
'"q> y q> 'se
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cos 'Ps -
CD
CD
o Q :1
CD
C"
.,:
.,--i ,.,e ¡¡; ¡:¡ ., a. a. .,< o
d = O (en ~ (para taladrado) "O broca o = 11s• ¡¡; espiral) (para acero)
1
Zc
Ooserva eiones
llll
r-
ii
0
Rectificado
Acción de corte (redondo)
Rectificado redondo
Rectificado plano
"' 1"'
:0
1-
E
"' "'
oc:
o
'O
a;
40 60 80 120 150 180
h en mm
14 de extremo
r
iiil
13
" iiiil ":Il"' r
.,
r )( >!. 12 ¡;·
V> V>
o iiil
O' o 11
3'
r
o No. Operación
V> V>
ext~nor
:4,_
%
/
c~-«z
"' ¡
a
•0:
4.3 3.9 3.6 3.0 2.8 2.6
4.0 3.5 3.2 2.8 2.6 2.4
Factor de corrección
5.1 4.5 4.0 3.4 3.2 3.0
.
.
.
3.6 3.2 3.0 2.5 2.3 2.2
"'
"'
1-
:0
N
$1i]
/
j
0.001\ 0.002\ 0.003 10.004
a
\~·· ·. s.-::
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- bw
~---º--:· ~
.
: : ·1:-.·
a~i
Croquis
a
bw
b=
40 60 80 ftiO E e 120 ~ 150 l-01 180
.
oc:
o
'O
a;
a en mm
1
Tab.
K=
dw
_]__)'
•
1
2T;
D 'Ps
Ze
= 4
!
D/ cfw)
Alisado
El ángulo 'PI según r'10
+exterior -interior
VD(1
cp,
= 1 - 2a/D
(COS 'PI
Observaciones
24 32 40 53 56 58
14 23 31 44 48 50
9 15 24 37 40 42
39 47 60 64 66
38 46 59 63 65
37 45 58 62 64
36 44 57 61 63
0 .01 1 0.021 0.03 0.003 1 0.004 1 0.005 1 0.006 Distancia electiva del grano fK
Desbastado
'Ps
.-.!.~
(COS cp, - cos cp2)
+ exterior -interior
~Va(~. u D -
~~·Uw -.,15
h=
...
m
~
e
m """" (")
e
:S
w'
::D
o(/)
(/)
CD
~o S'(')
ª--.
III"'C
i'< ~
<
o
Q.
:r 111
e
SJ
111
i:
3: m
Impulsión Valores en progresión geométrica con q; = 1.12 - 1.25 - 1.4- 1.6 - 2.0. Avances (alimentaciones) Operación
Velocidad de avance
Observaciones
r'15
Torneado (long., exterior e interior)
u =
r' 16
Taladrado
u = n . sz . zs
r' 17 r' 18
~;epmado
]Común y de mesa) Fresado, plano y de extremo
rt·S
u =
V
u -
Sz ·
Para brocas espirales ze = zs = 2 Sz = 0.5 S
n . Zs
Tiempos de corte le r'19
le - J.¡_ . u '
donde
z,
=
z + z'.
Al calcular los tiempos de ciclo y maquinado para cada pieza trabajada, deben considerarse los movimientos de avance o alimentación y los recorridos libres (o un corte), divididos entre las velocidades correspondientes. Potencia y fuerza de avance
Pv
u(r8 + rv>
Fuerza de avance
f'v
0.2 Fc
Rozamiento (fricción)
FR
"' b' g . ¡.J
r'20
Potencia de avance
r'21 r'22
~-.
~
....
(re según r'4)
donde m0 es la masa de la pieza en movimiento; por ejemplo, en el caso de fresadoras, la suma de las masas de la pieza y de la mesa.
mm
Hay que determinar si la potencia calculada con r'20 es suficiente para acelerar las partes móviles hasta la velocidad de movimiento rápido u.. , dentro de un tiempo dado 10 , (en las máquinas de producción u" • 0.2 m/s). De esta manera , se explica lo siguiente .
u., '" b(~-'
r'23
los simbolos se explican en A' S.
g +
~) ...,..--'.,-tb 11mec · TJeléc
1
Manu!:~!a~!~ hYrrfm~e~t~esos R' 5 1
Explicación de la simbología (R ' 1
a b bw
8 8 1,
8s d dw
D FA Fe Fv g
h k
a R '4)
profundidad ancho de viruta ancho efectivo desbastado bw = 8 5 /1.4 alisado bw = IJ 5 /3 ancho de fresado 8 2 : ancho de fresado medido desde el centro de la herramienta ancho del disco diámetro del barreno diámetro de la pieza, exterior o interior diámetro de la herramienta rozamiento (o fricción) fuerza de corte fuerza de avance aceleración debida a la gravedad grosor de la viruta número de velocidades de salida
kc1 ·1: fuerza de corte básica en relación
'" Me
n n, n2 Pe Pv S
s, lo
te
u u,..
Ze
Es
"1 elée ~mee
9
con el área
K
,, !'
z,
factor de la operación (de maquinado) recorrido de corte recorrido de la pieza sobrerrecorrido en uno u otro extremos con velocidad de avance u : número de filos o bordes cortantes por herramienta
~
a p
HM HSS
distancia de grano efectiva , segun la Tabla 2 momento de la fuerza de corte velocidad de rotación (r/min) velocidad minima de salida velocidad máxima de salida potencia de corte potencia de avance (alimentación) avance avance por filo tiempo de aceleración tiempo de corte velocidad de avance velocidad de avance alta (movimiento rápido) velocidad de corte número de filos en acción relación de esbeltez ( = als) eficiencia eléctrica eficiencia mecánica posición angular (ángulo de presentación) coeficiente de rozamiento (fricción) ángulo en la punta de la broca razón progresiva ángulo de ataque (en fresado o rectificado) punta de carburo punta de acero rápida
1
Manufactura y procesos
R's
Embutido y herramienta
Labrado de lámina en frío - Embutido profundo Diámetro inicial de la pieza base r' 24
D =
·¡
v~11 ·EA m'·
A m~ son las áreas superficiales de las piezas terminadas que pueden determinarse con las fórmulas de las secciones By C (Parte 1): b 30, e 12, e 16, e 21 , e 25, e 27 y e 30. Las áreas según los radios de transición para las operaciones de embutido y estampado se calculan como sigue :
ir'25i
¡¡¡¡
Id r'26
Ejemplo (Considérese que r,
= r, =
r)
1
1
D = Vd / +d. - d,'+4 d, h +2 11r( d 1+ d.) +4llr 2 '
Primera y segunda etapas 1er. paso
2o. paso
ffiJ
p, =~
r'27
i i r'29 Id r'30 r'31 r'32 (33
~, oo+0. 1 -( ~' -o.oot) 2
mi r'28
P>má• =
9',
lln vo.6
1 r,, = r,,2 + lldzs l
{3 , -
0 .4
9'2 =
/ln vo.6p,'- 0 . 4¡
recocido intermedio
1<
1m2
= i
ktmz=~ 9'2
(Continúa en R'7)
(Continuación de R'6) El trabajo especifico de deformación (referido a la unidad de volumen) y la resistencia (o esfuerzo) de fluencia k, se obtiene a partir de las curvas de deformación para el valor apropiado de la relación de deformación logarítmica 6. Fuerzas de sujeción de la pieza base F NI y F N 2 lar. Paso
2o. paso
2
Rm 1,( ,.N, = (D <.. d, ')n ¡¡ 400
d'] L.B,-1 )'•s-
r'34
Rm f.( )' ,.N,= (d,-d,')n ¡¡ 400l'P.-1
d2J •s-
El desgarre en el fondo ocurre si Rm •
r'35
Fz , + 0.1 FN,
RmE Fz 2 + 0.1 FN2
n d1 s
n d2 s
r'36 Condiciones máximas de embutido, (J y Rm Material Aceros: St 10 USt 12 USt 13 USt 14 St37 Acero inox . (18% Cr, 9°Al Ni) Al Mg Si (suave)
(JI()()
Con Sin 1 recocido intermedio
Rm N/mm 2
fl 2máx
fJ 2máx
1.7 1.8 1.9 2.0 1.7
1.2 1.2 1.25 1.3
1.5 1.6 1.65 1.7
-
390 360 350 340 410
2.0 2.05
1.2 1.4
1.8 1.9
600 150
-
Explicación de la simbología (R'6, R'7)
Am~
área de la superficie fuerzas de embutición, ter. y 2o. pasos . resistencia de fluencia media, lar. paso k fm1 resistencia de fluencia media, 2o. paso k fm2 F12 : resistencia de fluencia según 61 y 62 r radio radio del dado de estampado radio del dado de embutido r, trab. de deformación w trab. de deformación específico = vol. del elem . deformado {1 1 • {12 relaciones de embutición , lar . y 2o. pasos fJHlO máximas relaciones de embutición paras = 1 mm y d = 100 mm /J, m,x , /J 2 mox : máximas relaciones de embutición, lar. y 2o. pasos ~" • ~F 2 : eficacias del proceso de deformación. 1er. y 2o. pasos . 61 • 62 relaciones de deformación logarítm icas. 1er. y 2o. pasos
FZI • Fz2
K., .
'•
1
Manufactura y procesos \R' 8 Extrusión
Extrusión (empuje de conformado en matriz)
m
r' 37
Fuerza de extrusión
11m
r'38
Trabajo de extrusión
r'39
Resistencia de fluencia media
,
1
A • l< tm
9'. -;¡;;-
V • l
"·--;;;
F
1
.:!!._
l
"•
Extrusión directa Cuerpo sólido Cuerpo hueco
Extrusión inversa
1 11m
r'40
mm
r' 41
'~'• = ln ~
Id
r' 42
V =
r' 43
"• =
A = .!!_ do' 4
d'
4"
.
ll o· d o
o. 7. .. •,o . 8
1[
(
2
2
d o - d1
)
A =
9'. = ln~
9'.=
A =
V
4
" =-¡
d. - d.
11 0 ( d 0•
-
d ,2)
TJF= 0.6,. · .,0 . 7
V =
> do
4JI
d'
.
ln ~d dr
4"
o-
1
d o ·!lo
TJF= 0.5, .. .,0.6
Relación de deformación logarítmica máxima óAm>• Material
Extrusión directa inversa
Aceros Al99.5 AIMgSi C<0.1% C<0.15% C>0.15% suave 3.9 4.5
3.0 4.0
1.4 1.2
1.2 1.1
0.9 1.1
baja aleación
aleación
0.8 0.95
0.7 0.8
A : área utilizada •• : relación de deformación logarítmica ~F : eficacia del proceso de deformación V : volumen del elemento deformado w : trabajo de deformación especifico (por unidad de volumen) t;h : penetración (carrera del empujador)
Sistemas eléctricos Circuitos y redes Resolución de redes lineales Generalidades: Existen métodos especiales que permiten el cálculo de tensiones y corrientes en una red eléctrica, de manera más fácil que por el análisis de nodos y mallas. Teorema de superposición: En una red general se consideran aplicadas sucesivamente en aquélla todas las fuentes de tensión'' y de corriente 2l, y se determinan en cada caso las diferencias de potencial y las intensidades de corriente originadas por cada fuente actuando individualmente. Se cumplen las siguientes condiciones : (a) las fuentes de tensión restantes se ponen en cortocircu ito. (b) las fuentes de corriente restantes se ponen en circuito abierto. La solución final es la suma total de las soluciones parciales. El procedimiento general para evaluar V, en una red general con tensiones de fuente V0 , . . . , V v y corrientes de fuentes 10, ... , lw s' 1
V,= a 0 · Vo+a 1· V1 + ... +av· Vv
+b 0 ·10 +b 1 ·11 + Vxao+ Vxo1 + + Vxbo+ Vxb1 +
s'2
.. +
lo!
b~-1~
A
1,
jA
· · · + Vxov · · + Vxb~
Cálculo de las soluciones parciales:
s'3 s'4
O, con Vq O, con l q
V = vxoq donde V o ... vv v , = v ,bq donde l o ... 1~
•
Ejemplo :
R,
s'S
¡v.
* O,O, *
V, =
o o
y lo ... 1~ y Vo . .. Vv
a0 · V0 + a 1 V1 +b 0 · / 0 V xoo + V xo1 + V xbo
Redes equivalentes para el cálculo de cada solución parcial:
s '6
V0 * O; V1= O; / 0 = O V0 = 0 ; V1 * O; / 0 = O V 0 = O; V1 = O; / 0 * O
R
s'7
s'B
V xao -- ~ R . - - 1- - Vxa1 1 1 1 1 -+-+R, R2 R Tensión requerida Vx V x (véaseS'S) ' '· 2l Explicaciones en S'2
-- R v, ·-, -,-1 1 2
('!..J,+
R1
-+-+R, R2 R
v, + 1) 0
Jf;¿
Vxbo
1
la · - - - 1 1 -1 +-+R1 R2 R 1
. 1/ R 1 + 1 / R2 + 1 / R (continúa en S'2)
1
Sistemas eléctricos Circuitos y redes Teorema de Thévenin: Considérese una red general que contiene fuentes de tensión'' y de corriente 2' . Se requiere calcular la tensión V, en la resistencia R de la rama AA'. Para ello se reemplaza el resto de la red por una fuente de tensión equivalente v. y el resistor R 1 (de la resi stencia interna).
Para determinar v. y R 1 se elimina la rama AA' en la red , y se le sustituye por el sistema formado por V• y R1 en serie; R1 corresponde a la resistencia real entre A y A' , y Ve es la diferencia de potencial existente entre AyA'. Si R 1 se conoce, entonces v. • V, se calcula por Ve - R1 lec· donde lec es la corriente de conocircuito (ce) que fluye al unir A con A'. Por tanto,
1
s'9
fcc1 1R¡+ 1 / R Ejemplo Cálculo de R1
Cálculo de Ice
njvx Circuito equivalente R1 .4
s'10
-
lec-
~
v,
R, + R 2 + lo
Por consiguiente:
v. = fcc· R,
1
Sistemas eléctricos 1
Instalaciones
S' a
Corriente Nominal 1 Aislamiento de PVC, conductores de cobre no bajo tierra, con medio de protección contra sobrecarga a una temperatura ambiente de 3o•c•1 Area transversal nominal , mm2
1
1.5 2.5
4
6
10
16
45 35
73 63
83 103 61 50 63 80 82 108 135 63 80 100 98 129 158 80 100 125
Grupo 1
I en A In en A
11 6
15 10
20 16
25 20
Grupo 2
I en A In en A
15 10
18 26 1021 20
34 25
33 25 44 35
Grupo 3
I en A In en A
19 20
24 20
42 35
54 50
32 25
61 50
25
35
50 132 100 168 125 198 160
Diám . nom. de 1.1 1.4 1.8 2.3 2.8 3.6 Cables alambre de Cu, mm. (aprox.) Grupo 1 : Uno o más conductores sencillos en tubo conduit Grupo 2 : Conductores múltiples (incluyendo los de cinta) Grupo 3 : Conductores sencillos en aire (al descubierto), con espaciamiento de por lo menos un diámetro 11 El valor de I disminuye (o bien , aumenta) en 7% (aprox.) por cada incremento (o bien, decremento) de temperatura de s•c. NOTA: No se debe exceder 50"C. 21 En el caso de conductores con sólo dos hilos activos, se debe utilizar un dispositivo de protección contra sobrecarga, con In - 16 A. Simple 2 Cargas 1 Posición
Interruptores-Conexiones utilizadas Conmutativo con cruzamiento Conmutativo 1 carga 1 Carga 3 Posiciones •) 2 Posiciones
PE-·....- ·--. -- - ·-
N
L1
~ ~r; ~
L
[
·----,
L---- - .1
-
· - ·- · -
·- - -·--,·-
44
J C.: ..1
!\. \i
-- -.. .,. . --
-
r•-,
L . .l
L.:.'J
· ~.JL .~ L.t:!_ . .J · ~~
L_
i i 1 - -- - i L _ _j ¡__ _ ___ .
i
i
In : Corriente nominal para fusibles o interruptores automáticos (disyuntores)
1 : Corriente nominal de conductor. También la corriente máxima permisible de dispositivos de protección contra sobrecarga (cuando In :s I) N: Conductor neutro PE: Puesta a tierra
L, : Conductor de fase
• l Cada posición adicional requiere un cruzamiento extra.
1
Radiaciones Definiciones y unidades Radiación lonizante Esta radiación es la consistente en partículas que produce la ionización directa o indirecta (excitación) de un gas (permanente).
t'1 t'2
t'3
t'4
Intensidad en el tiempo
Cantidad total
Unidades
Exposición ( radiexposisión)1>
1~ = 1 _g_
.
J = ...2..
Absorción (radiabsorción) D = ¡ ·¡
kg
kg
=1 = 258 ~
1 roentgen [1 R
R ]
kg
1 gray
,A
Intensidad de exposición
J
kg
,B S =
=..!... =.!... t
..
= 1 Gy
~
258 kg
= 8 . 2~ [1B a kg 1
Intensidad de absorción
w
Unidades
fu = S
= 31 .56
1 _!'{_ kg 106 _ J _ kg a
- D p D=-=t .. 1 r.!!_d = 10 mw S kg
l Absorción equivalente2l
t'5
H = Dq = q · D
t'6
= q ·f ·J
1 sievert = 1 Sv • 1 VAs = 1 Ws
k9
[100 rem
k9
=
1 J
=
1 SvJ
kg
l
= 0.01
1
fu S
Intensidad de absorción equivalente
H = óq =!!.J.... t
= q . ¡j
1 rem = 10 mWJ S kg [ 1 rem = 317rt:!Y. a kg
Corriente de Ionización / : Rujo de moléculas de aire ionizadas por radiación que se produce al aplicar una tensión eléctrica o voltaje (en una cámara de ionización). Carga de Ionización 0: Cuando circula una corriente de ionización 1 durante un tiempo t se manifiesta una carga total 0 :
t'7
o -
1· t Las unidades destacadas entre corchetes [ ) son las de uso anterior. 1>Valor medido 2 > Valor teórico (Continúa en T'2)
1
Radiaciones Radiactividad
IT'2
Energía de ionización W, : Energía de radiación que produce la ionización . Cada par de iones en la molécula de aire requiere 33.7 eV W;(alre) • t'S 1.602 x 10-• 9 e: 1 e 1 A · s) (carga del electrón (e) : 1 e t'9 ( electronvolt (e V) : 1 eV = 1.602 X 10 - 19 A · S X 1 V 1.602 X 10 - 19 J) t'10 Radiabsorción 0 : Es la energía absorbida (dosis de radiación) por unidad de masa. (La radiexposición J está referida también a la masa: J = Q/m. ) t'1 1 RADIACTIVIDAD. Actividad A : Número de átomos de una sustancia radiactiva que se desintegran por unidad de tiempo: A=-dNidt =l.· N
-
1'12
t'13
t'14 t'15 1'16
!'17 t'18 t'19
--
Unidades: becquerel (Bq). Corresponde a una actividad de 1 átomo por segundo [curia (Ci) : 1 Ci = 37 x 109 Bq) Constante de actividad (o declinación) J. : J. =en 21T, 12 Semlvlda (o ''vida media" ) T112 : Tiempo en el que una actividad dada se reduce o declina hasta la mitad . Unidades : s- •. min- •, h- 1• d- 1, a- •. Semividas de algunos isótopos naturales y artificiales Número Número atómiNúmero atómiNúmero Semivkja Semivida coll Elemento de masa 2 l co' 1 Elemento de masa 2 l 12 a 134 2.1 a 1 riho 3 55 ~esio 40 1.3 to• a esio 137 19 Potasio 55 30a 19 Potasio 42 12.4 h 226 1600 a 88 Radio 14 109 a 27 f-Oobalto 5.3 a 90 orio 232 60 4.5 · 10' a 29 a 92 Uranio 238 38 Estronck 90 94 24 000 a 131 8.0 d Plutoni 239 53 Yodo Explicación de los símbolos m : masa (cantidad base) N : cantidad de sustancia rad iactiva (núm. de átomos) q : factor de calidad para radiaciones p- , 1', X q = 1 para otras radiaciones q- 1 ... 20 f : constante de ionización para los tejidos f -= fa• re para los huesos f = (f .. 4) '·· · constante de ionización para el aire fa,..e -= Wa.re/9 • 33.7 V)
t,.,. :
Símbolos de las unidades (1 a = 31 .56 · 106 s) A : amperel C : coulomb 1J : joule 1 a: ano Absorción equivalente- Observación: En el ano de 1982, la persona media en Alemania (R . Fed.) tuvo los siguientes valores de exposición equ ivalente a la radiación : H en Tip o (mrem) mSv De origen natural Por razones médicas Por causas diversas Valor limite permitido por la ley l)
Núm . p r ot6 ni co (Z)
2l
1.1 0 .5 < 0. 1 " 0 .3
110 50 < 10 "30
Núm . nucleónico de p ratones + neutrones) (A)
1
Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control CONTROL El control es un proceso mediante el cual se registra una cantidad llamada variable controlada (la cantidad que se debe controlar). Entonces, esta variable controlada se compara con otra cantidad, la variable de referencia. A continuación la variable controlada es afectada de tal manera que sea igual a la variable de referencia. La característica principal del control es el circuito de acción cerrado, en el que la variable controlada influye conti· nuamente sobre sí misma (ver más adelante el diagrama de flujo de control) . Nota preliminar : Los nombres y definiciones de los términos siguientes se apegan a los de la norma OIN 1926, versión 211994 . Funciones, cantidades y símbolos que describen el comportamiento de los elementos y sistemas de transferencia Variable de entrada u La variable de entrada u es una cantidad que actúa sobre el sistema considerado sin ser inlluida por él. Variable de salida v Es una cantidad de un sistema que sólo puede ser inlluida por ella misma o por sus variables de entrada. Tiempo de retraso T, constante de tíempo T El elemento P· T" que es el elemento de retraso de primer orden, es una unidad luncional que presenta el comportamiento de translerencia: v(t) +
u'1
Tv (t)
-
Kp u(t)
donde Tes el tiempo de retraso, que también se llama constante de tiempo. (Ver la solución de esta ecuación dilerencial en 0 '4, O' 9.) Frecuencia angular característica Wo. razón de amortiguamiento tJ El elemento P· T2 , que es el elemento de retraso de segundo orden, es una unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia: v(t) + (2t'J/w 0) v(t) + (1/w 0 ) 2 v(t) - Kpu(t)
u'2
En este caso Wo es la frecuencia angular característica y tJ es la relación de amortiguamiento. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en O' 5, 0 ' 11).
Frecuencia angular propia ro.. La lrecuencia angular propia, o eigenlrecuencia angular ro.. se deline con la siguiente lórmula, en la que intervienen la frecuencia angular característica w 0 y la relación de amortiguamiento tJ. u'3
wd-
w 0 ·~
Ver explicación de los símbolos en U'35
1
Ingeniería de control Terminologfa de ingenierfa de control Respuesta escalón La respuesta escalón es la variación , respecto al tiempo, de la variable de salida de un elemento de translerencia, cuando la variable de entrada es una función escalón (ver figura 1)
Banda de
Sobre modulación
tolerancia
Tiempo muerto equivalente Tu El tiempo muerto equivalente, Tu, se define como el tiempo transcurrido entre to y el Flg. 1 punto de intersección Respuesta escalón de la primera inflexión de un elemento de transferencia de la respuesta escalón con el eje x (ver la figura 1). Tiempo de transición Tg El tiempo de transición, Tg. se define como el tiempo que transcurre entre el punto de interseccion de la primera inflexión de la respuesta escalón con el eje x, y el punto donde esta primera inflexión alcanza el valor de estado estable. Sobrepaso Vm Es la máxima desviación de la respuesta escalón respecto del valor de estado estable. Respuesta rampa La respuesta rampa es el desarrollo, en el tiempo, de la variable de salida cuando una función rampa, con determinada rapidez de cambio, se usa como variable de entrada (generación de rampa).
"b
Uo:1
o
u,{l) •
Flg. 2
U.T.o r(t) r 1
• Uo Je {1) d t • Uo te (t)
~~
~.
Generación de rampa
~
u'4
u'5
T, es el tiempo de rampa, E (1) es la generación de escalón unitario: E {t) •
{ O cuando t 1 cuando
t
Respuesta escalón unitario Una respuesta escalón relacionada con la amplitud escalón de la variable de entrada origina la respuesta escalón relacionada, llamada respuesta escalón unitario h(t). (Continúa en U'3)
u'6
Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control
U'a
h(r) caracteriza el comportamiento dinámico del elemento de transferencia. Ver las respuestas escalón unitario de los elementos más importantes de transferencia en U'14 a U'17. Función de transferencia F(s) Es la relación entre la transformada de laplace v(s) de la variable de salida, y la transformada de laplace u(s) de la variable de entrada de un elemento de transferencia. Ver las funciones de transferencia de los elementos de transferencia más importantes, en U'14 a U'17. Respuesta en frecuencia FUcp) Es la razón de los valores de las variables senoidales de salida y las de entrada del elemento de transferencia en su comportamiento periódico estable, en función de w o de f. Amplitud de la respuesta FUw) Es la magnitud de la respuesta en frecuencia, Füw). en función de la frecuencia angular w. Fase de la respuesta arco FUw) Es el arco del argumento Füw) de la respuesta en frecuencia Fü w) en función de la frecuencia angular w. Caracteristlcas de respuesta en frecuencia, diagrama de Bode las caracterfsticas de la respuesta en frecuencia (diagrama de Bode) se obtienen cuando el valor absoluto (logaritmico o en dB) y la respuesta en fase (proporcional) se grafican juntas en función de w o de la frecuencia angular normalizada w/w 1• Frecuencia angular de vértice Wn la frecuencia angular de vértice Wn (n = 1, 2. 3, ... ) es la frecuencia angular w en la que la asintota del valor absoluto en el diagrama de Bode cambia de dirección (hacia arriba o hacia abajo) en un múltiplo entero de 20 dB por década. El diagrama de control Este diagrama es la ilustración simbólica de todas las operaciones en un sistema determinado. Elementos del diagrama de control Estos elementos son la linea de acción , el bloque de función, la suma y el punto de ramificación .
+• u-•~F.r--•~-
19 3
- - -- u-CJ-v u7
Línea de acción
Bloque de función
u, U1t u2: estímulos de entrada
u1
Punto de ramificación
v:
resultado de salida
1
Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control Estructuras básicas del diagrama de control Las estructuras básicas de este diagrama son las estructuras en serie, en paralelo y circulares. Regla para sumar en un diagrama de control Una suma tiene una sola lfnea de acción que sale (variable de salida). Reglas para representar un sistema mediante un diagrama de control Cada ecuación del sistema sólo aparece una vez en el diagrama. Una negación (cambio de signo, inversión de polaridad) debe indicarse en un punto de suma existente o adicional. No es válido esconderla en el coeficiente de un bloque. En el diagrama de acción de un sistema pasivo no hay retroalimentación positiva. Para tener una idea clara del aspecto final de un diagrama de control, el camino más corto (hacia adelante) entre la variable de entrada (lado superior izquierdo) y la variable de salida (lado superior derecho) debe ser una recta horizontal. Deben evitarse los elementos derivados. Para lograrlo, deben reordenarse las ecuaciones del circuito cerrado. Componentes del circuito de control y sus cantidades La figura 4 muestra un diagrama de control típico de un sistema de control de circuito cerrado, incluyendo sus unidades funcionales.
Diagrama de acción característico de un sistema de control de circuito cerrado
Sistema controlado Es aquella parte del circuito cerrado de control sobre la cual se va a influir.
Ingeniería de control Terminología de ingeniería de control
U's
Punto de medición de la variable controlada ; variable controlada x El punto de med ición de la variable controlada es el luga r, en el siste ma controlado, donde se obtiene el valor de esa variable (figu ra 4 ). La variable controlada x es la variable del sistema controlado que se registra para su control , y que se integra al sistema de con trol a través del equipo de medición . x es la variable de salida del sistema controlado y la variable de entrada del equipo de medición. Formación de la variable controlada final ; variable controlada final XA La va riable controlada fi nal, XA, es una cantidad sobre la que el circuito cerrado de control debe influir. Cuando es fáci l de obtener por medición, x A es idéntica a la variable cont rolada x y se ret roalimenta al elemento de comparación a través del equ ipo de medición. Sólo cuando no es posible obtener XA, o sólo es posi ble con grandes dificultades, ésta existirá como cantidad independiente además de la vari able con trolada x. En la figura 4 (el diagrama de flujo característico de un sistema de cont rol de circuito cerrado) . la formación de la variable controlada fina l xA se hace con la variable controlada x , por lo general agregándola al sistema con trolado. En este caso, la va riable controlada final aparece fuera del circuito de control , y no es posible controlar las variables perturbantes que infl uyen durante la formación. Ejemplo: Variable fina l con trolada: Temperatura del con tenido de un recipiente. Variable con trolada : Temperatura de la parrilla. La variable controlada fina l, XA, también puede encontrarse dentro del sistema controlado, esto es, de ntro del circuito cerrado de con trol. En este caso. la variable controlada se forma a través de la variable controlada final; las variables perturbadoras que influyen se puede n controlar. Ejemplo: Variable controlada fi nal: Variable controlada:
Relación de mezcla de dos líquidos. Resistencia específica.
Equipo de med ición , variable r retroalimentada El equipo de medición es la suma total de los elementos funcionales para registrar, transfe rir, adaptar y distribui r las variables (ver figura 4) . La variable retroalimentada res la que resulta de la medición de la variable controlada x . Ajustador de variable de referencia, variable de referencia w El ajustador de variable de referencia es una unidad fu ncional que produce una variable de referencia w que se deriva de una variable objetivo w·, definida por el usuario (ve r figura 4). La variable de referencia w no está influ ida por el circu ito cerrado de control con el que se relaciona; la variable de salida del circuito cerrado de control debe seg uir a la va riable de referencia con la depende ncia especificada. Nota: Con mucha frecuencia, el objetivo y la variable de referencia son idénticos .
1
U's
Ingeniería de control Terminología de la Ingeniería de control
Dispositivo de conformación de la variable de referencia; variable objetivo w· El dispositivo de conformación de la variable de referencia produce, a partir de una variable objetivo w• -aplicada a la entrada- una variable de referencia w de salida. Este proceso de conformación asegura que la variable de referencia w, o sus derivadas respecto al tiempo, no rebasarán los valores críticos (ver figura 4). La variable objetivo w· se define externamente y no está influida por el sistema de circuito cerrado que se tiene en consideración; la variable controlada final w del sistema de circuito cerrado debe seguir, con la dependencia especificada, a la variable objetivo. Comparador, variable de error e El comparador produce la variable de error e en función de la variable de referencia w y la variable retroalimentada r (ver figura 4) .
e= w- r. Elemento de control, controlador, variable de salida YR del controlador El elemento de control, o elemento controlador, produce la variable de salida y A del controlador utilizando la variable de error e del comparador. El proceso asegura que la variable controlada x del circuito de control siga a la variable de referencia w tan rápida y precisamente como sea posible, aun cuando haya variables perturbadoras presentes. El controlador está formado por el comparador y el elemento de control (ver figura 4) . Actuador Es una unidad funcional que usa la variable de salida del controlador, YA· para formar y. La variable y es necesaria para modular el elemento de control final (ver figura 4) . Elemento de control final, variable reguladora y El elemento de control final está en la entrada del sistema controlado e influye sobre el flujo de energía. Su variable de entrada es la variable reguladora y (ver figura 4) . Esta señal transmite el resultado de control del sistema al sistema controlado. Equipo de control final El equipo de control final está formado por el actuador y el elemento de control final. Sistema de control Es aquella parte del diagrama de control que debe influir sobre el sistema controlado, a través del elemento de control final. Punto de regulación Es el punto de aplicación de la variable reguladora y . Punto de perturbación, variable de perturbación z Es el punto donde la variable de perturbación z, aplicada externamente, ejerce la influencia que se pretende en el control de circuito cerrado (ver figura4) .
u'B
Ingeniería de control Cantidades y funciones Cantidades y funciones que describen el comportamiento dinámico de circuitos de control Función de transferencia de circuito abierto Fo(s ) Es el producto de todas las funciones de transferencia en serie de un circuito o un circuito de control. Ejemplo: u'9
Ganancia de circuito abierto V 0 Es el valor de la función de transferencia de circuito abierto, Fo(s ), cuando la variable de Laplace es s = O. Este término sólo se aplica a circuitos y circuitos de control sin comportamiento l. Mientras mayor sea la ganancia de circuito abie rto, más preciso será el control de circuito cerrado. Factor de control RF(O) Este factor se define por la ecuación u'10
Frecuencia angular de cruce de ganancia Es la frecuencia, de circuito abierto, en la que el valor absoluto (amplitud) del circuito de control abie rto es ig ual a 1.
wo
1
Frecuencia angular de cruce de fase w, Es la frecuencia de ci rcuito abierto que existe cuando la fa se de la respuesta de l circ uito de control abierto es -1eo•.
o
Margen de fase Es la diferencia angular entre la fase de la re spuesta del circuito de control abierto, en la frecuencia angular de cruce de ganancia wo. y -tao•. El cambio de signo necesario en el circuito de con trol no se toma en cuenta.
-180'
00o: Frecuencia angular de cruce de ganancia ~:
Frecuencia angular de cruce de fase
Flg. 5 Diagrama de valor absoluto y fase de la respuesta (no logaritmica) de un circ uito de control abierto
U'a
Ingeniería de control Cantidades y funciones
Margen de ganancia E Es el recíproco del valor absoluto (amplitud) del circuito de control abierto en la frecuencia angular de cruce de fase ro,. Tiempo para alcanzar la tolerancia inferior, T1ntclo Es el intervalo de tiempo que comienza cuando el valor de la variable controlada x- después de aplicar una función escalón de la variable de referencia w, o una función escalón de la variable de perturbación z sale de determinado campo de tolerancia de la variable controlada, y termina cuando entra por primera vez a este campo (ver figura s 6 y 7).
Variación en el tiempo de la variable controlada, después de aplicar una función escalón de la vartable de referencia w
Tj, tiempo muerto
Una función escalón de la variable de referencia también produce un escalón en el campo de tolerancia de la variable controlada . Sobrepaso .rm de la variable controlada El sobrepaso .rm de la variable controlada x es la desviación máxima (momentánea) respecto al valor deseado durante la transición de un· estado estable a otro. al aplicar una función escalón de la variable de referencia w o de una variable de perturbación z (ver figura 7).
Flg. 7
Valor deseado de desviaSobrepaso ción en estado estable Respuesta escalón
Variación en el tiempo de la va riable controlada después de una función escalón de la variable de perturbación z
Tiempó para alcanzar el estado estable, Tun Tt;n es el tiempo que comienza cuando el valor de la variable controlada x -después de aplicar una función escalón de la variable de referencia w, o de la variable de perturbación z - sale de determinado campo de tolerancia de la variable controlada, y termina cuando entra en ese campo permanentemente (ver figuras 6 y 7) .
Ingeniería de control Reglas
U'g
REGLAS PARA DETERMINAR LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL CIRCUITO DE CONTROL TOTAL La !unción de transferencia completa se forma usando cada elemento de transferencia individual. Combinación en serie
F(s) - F 1 (s) · F 2 (s)
u' 11
Combinación en paralelo
u'12
Regla de retroalimentación u(s)
v(s)
F(s) -
u' 13
F, (s) 1 + F, (s) · F 2 (s)
1 Nota: El signo del denominador de F(s) es el contrario del signo en el punto de suma del diagrama de control. Un signo "+" en el punto de suma indica retroalimentación positiva Un signo •.· en el punto de suma indica retroalimentación negativa Si F 1(s) y/o F2 (s) contienen cambios de signo, entonces habrá retroalimentación negativa (positiva) cuando la cantidad de cambios de signo en todo el circuito sea impar (par) . Caso especial: F 2 (s) = 1 (retroalimentación directa) .
.
v(s)
u' 14
F(s) - ~
1 + F,(s)
Ingeniería de control Reglas Regla ampliada de retroalimentación Si no hay puntos de suma entre las ramas de un diagrama de control , la función de transferencia se puede determinar con facilidad mediante la siguiente fórmula : u'15
F,.. (s) -
.!1.tl - Fv,~s
fi Fvk
u(s)
• -1
(s) donde Fv,05 (s) 1 + IFo¡(s) 1-1
Fo;(s) indica la función de transferencia F,e 5 (s) del circuito o circuitos únicos de control en el diagrama aplicado de control; téngase en cuenta que en circuitos de retroalimentación positiva, Fo; se escribe con signo negativo en la suma del denominador de Fres· m
u'16
Fv res (s)- ll FVk es el producto de todas las funciones de transferencia k-1
de los elementos de transferencia que están en la trayectoria más directa. El traslape de las líneas de acción no afecta la aplicación de la regla ampliada de retroalimentación. Ejemplo: u(s)
---e>--~ Fv, (s)
1 u'17
Determinación de la función de transferencia con el método de anotación hacia atrás Para usar este método se comienza en la salida v(s) y se sigue el diagrama de control en la dirección de la variable de entrada o del punto B de suma de referencia. Se determina y se anota la transformada de Laplace de cada función de tiempo correspondiente antes y después de cada elemento de transferencia. Por último, en el punto B de suma de referencia se puede determinar la función de transfe rencia F,05(s) usando la transformada de Laplace que se conoce en este sitio.
Ingeniería de control Reglas Ejemplo: Para describir el método de anotación hacia atrás se determinan las transformadas de Laplace de las respectivas funciones de tiempo en los puntos 1 a 6 del ejemplo siguiente: u'18
u'20
x ®(s)- x ill (s) + x
[~ + Fv,] · v(s); rv2 · FV3
Fv3
1 x ill (s)- - -· v(s) Fv2 · Fv3
(s)] ( )
1 1 FA1 X<5> ( S) • X®(S) • - - [ + Fv 1 Fv 1 (s) Fv 2 (s) · Fv3 (s) Fv 3 (s)
·V S
En el punto B de suma de referencia se tiene la siguiente relación:
u (s) - x il> (s) - x <5> (s) ; para X<§> (s) y x <5> (s) usar los valores que se obtuvieron anteriormente :
u'21
u (s) - FA2 . v(s) - _1_ [
u'22
Fv, (s)
1 Fv2 (s) · Fva (s)
+ FA, (s)J . v(s) Fva (s)
La solución F,05(s) de esta ecuación es la misma que se determinó en u'17: u'23
F re s
( ) _ !1.,U _ Fv, (s) · Fv2 (s) · Fva (s) s u (s) 1 + Fv 2 (s) · FA 1 (s) + Fv 1 (s) · Fv2 (s) · Fva (s) · FA2 (s)
Reglas para la forma normalizada de la función de transferencia F(s ) Si se usa la forma normalizada de la función de transferencia, se podrán ver con facilidad el tipo y las características del elemento de transferencia . Para transformar una función de transferencia en su forma nor-
1
Ingeniería de control Reglas matizada, son necesarios un desarrollo bien fundado y la eliminación y combinación de paréntesis para asegurar que el numerador y denominador de la función de transferencia sean polinomios de la variable de Laplace s, o productos de polinomios des en los que : a) no haya potencias negativas de s (es decir, que ni el numerador ni el denominador de la función de transferencia puedan contener una fracción en la que el denominador contenga s) . b) la potencia mínima de s tenga coeficiente 1, y e) no haya factor común del polinomio. Ejemplo: u'24
F () till 1 s =u(s)~
80
(1 +a,s+a2s2+ .. . ) (1 +c 1s+ c2 s2+ ... ) ( ... )
(1+b 1 s+b 2 s2 + ... )(1+d,s+d2?+ ... )( .. . )
Excepción: Si se encuentra un factor PI o PID, otra forma en la que se conserva este factor [1/(Tns) + 1 en el ejemplo] es una forma normalizada aceptable. Ejemplo: u'25
F (s) _ till 2 u (s)
.
K P
1 /(Tns)+ 1 1 + Ts
= Kp . 1 + Tns Tns
1 + Ts
A partir de la tabla de los elementos de transferencia más importantes , se puede determ inar el siguiente tipo para esta ecuación : (PI)- T, --> 1- (PD)- T 1. La siguiente tabla muestra distintos tipos de forma normalizada: Tipo de forma normalizada
Representación
Aplicación
Denominador y Diagrama de Bode y Producto de forma numerador están en estabilización en serie normalizada forma factorizada de circuitos de control Denominador y Suma de forma numerador están Criterio de Hurwitz normalizada expresados como suma Denominador dividido en Determinación de las Mezcla de forma factore s, hasta donde respuestas escalón y sea pos ible. Numerador normal izada rampa en forma de suma La forma normalizada de producto tiene precedencia sobre las demás representaciones, ya que éstas se pueden determinar multiplicando los factores individuale s de la forma normalizada del producto. Para que sea posible hacer reducciones posteriores, se debe posponer lo más posible la multiplicación de los términos entre paréntesis, si es que acaso se multiplican .
1
Ingeniería de control
U'1a
Reglas
Ejemplo de la determinación de la forma normalizada de una función de transferencia Se debe determinar la relación: u'26
F(s)- b(s)/Fk(s) para el siguiente diagrama de control B
B
u'27 u'28 u'29 u'30 u'31
u'32
Paso a paso se determinan:
entonces
F(s) = B + F2 (s) + F3 (s)
F, (s) _ Fns (s) _ 1/(nB) _ rms 2 bqR(s) 1+1/(nB)·1/(rms2 ) 1+nrmB~ F (s) . bgR(S) • 1/(qRs) • 1 • 1 2 Fk (s) 1 + _1_F1 (s) qRs + F 1 (s) Rs + rms2 qRs q 1 + nrmBs2
1 +nrmB~
u'33
qRs[1+nrmB~+ rms/(qR)j _ _,_1'-''(.:..:_m_,_,s"-)_ 1 +R!(ms)
u'34
u'35
F 1 (s) - Fna (s) 1 bqR (s) F2 (s) - bqR (s) 1 Fk (s) y Fa(s)- bR(s)/Fk(s)
F(s)
~
B +
. _l_ _ 1 s Rs[1+ms!R) 2
1 + ----::-----'-1-'+-'-'n"'-r"'m""B'-'s'-- - - Rs[1+ms/R] qRs·[t+rmsl(qR)+nrmB~)
Esta descripción de F(>) muestra que el sistema que conduce a este diagrama de control es una combinación en paralelo, formada a partir de un elemento P (8) , un elemento 1- T 1 (primera fracción) y un elemento 1(PO)- T 2 (segunda fracción) .
1
E'Jemplos de estructura
p Kp.
V=
u Elemento proporcional
v=K¡judt t
=
K¡J u dt+ v(O)
v =K¡ . u Elemento integral
V= K o
D
.u
Jv dt = Ko. u Elemento derivativo
v(t)
= u(t- T,)
Elemento de tiempo muerto
v+ T Kp
v
=
Kp. u
T
~ Ver la
explicació~n~d~e~l~o;-;s~·;;~;-:~::-:--j__ Slmbolos en U'35
Ingeniería de control Elementos primitivos de transferencia Elemento de retraso de primer orden Función de transferencia F(s) =
Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) = diag rama
----------------- _F;_~ ------ - - - - - - -- - - - -Kp
)
h(t)lzJ/
.. t
--------------- _F;_L~ !------------------t[h]
00
O O [h]IK¡ t -fri ([h] = Unidad de h) ~ ~--~~~~~~~---r-----------K~~-~ó~(7.t)~--------~
0
V
- --- - --- - - ------ - -- - ----- - - ------------
-" K0
·s ..
t
..
t
--- -------- -- ~-d! :-_~ ~~~~ ~ -- -- - ---- -----
HJ
~=
0.95Kp 0.63Kp
/
1
o
O T
3T
mm ..
t
Ver la expl icación de los simbolos en U'35
1
Ingeniería de control Elemento de retraso de segundo orden Elemento PI de combinación en paralelo Identificador ················ ····· Símb. en el dia· arama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
1--------lv+
Ejemplos de estructura
2$0 v + (Jo)2 ¡; =1--+--------------l ~
<\l
V
"'
' ::¡
V=
K¡
1u
d t + Kp
·u
PI
donde Tn = Kp 1K 1 Kp !Tn
1
Tn
~ Ver la explicación de los símbolos en U'35
Ingeniería de control
U'1s
Elemento de retraso de segundo orden Elemento PI de combinación en paralelo Función de tran sferencia F(s) =
Respuesta escalón unitario, ecuación h(n = ···················-················------------------------ ---- diagrama
0 1 Kp[1 -1J: e- ""' · cos (wd t-e)Jwd- w0
~
B- Arcsen {} -- ----- --------- ----- -- --- 9--::: _(!--:::- ~º~ - h(t)
Kp
1+2~o s + ( ~J2 ·l O < O
Kp(1 +e·JT tan e¡
e=
.--_e \
V 1-fr -~
o g/
o
Kp [
Kp
"' ':;¡
(1 +
r, s) (1
+ T2 s)
1 - - 1-
,
2
5lr+2e
~ ~ r
1
( T1 e- T, - T2
eT, )]
----------- !~::-_!2_ -------- ----- --- -----· .~,
h(t)
T,
1
O)Qltid
1t+2$
' :;¡
--··-
~}.
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"'" 3•+2@
Ol
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·~ --~ -- $< !
6.
Kp Arcsen 9
O< 19 <90•
Kp(1 + ~e-.9"bl)
---.__.,_.._
~ _1 _ (0 ± ~) Wo
8 > 1
~·í···--·7"'""'"'
_!_ Kp ....................
Kp (1 -(<+1 )K'- K)
V1
o
{} > 1 .. =
r.;r2
o
,-•· 1
T In•
1
T
.l!ll. +T1 + T.2
1 K·
1
-
1 K 1t + Kp K p (1 +T.) --- ---- ------- --- -------- -- -~ --- - - - ---K,++ Kp Kp [ r: -s + 1)
~(1 + 7;, · S
~
Tn ·s)
1 •
Tn
y o
.
1
Ver la explicación de los símbolos en U'35
1
Ingeniería de control Elementos PO, PID de combinación en paralelo Elementos 1-T 1 y D-T 1 de combinación en serie Identificador Símb. en el diagrama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
v ~ Kp ·u + K0
Ejemplos de estructura
· Ú
PO ~
Kp (u + Tv · u )
T. ~ Ko V Kp
PIO T. ~ Ko V
Kp
K¡
I-T 1 K¡
v+ T
v~
K1
fudt
T
~
1
T
~
~ K0
1
T
~ O- T 1
v +Tv~
K 0 ·ú
Ver la explicación de los símbolos en U'35
~
Ingeniería de control
U'1s
Elementos PD, PID de combinación en paralelo Elementos 1-T 1 y D-T 1 de combinación en serie Función de transferencia F(s) =
Respuesta escalón unitari o, ecuación h( () = ---- -----····· ··· ·· ··· ········ ··· ···---- --------- ----- ------ ----diagrama
________ ___ __-~e-~ -~º §_1..!1 _________ _____ i
]
Kp + Ko ·s Kp (1 + Tv ·S)
1
s + Kp + K o · s
K1
1 Kp [ - - + 1 + r.-s] Tn ·s
..
o
K 1 t + Kp + K 0 6 ( t )
K¡
r.
Kpd- 1- + 1) (1 + Tv k · S) Tn k, S
[t
+ 1 + r. 6( t) ]
[t T~:
+ Tvk + Tnk · Tvk 6
+
h(l)
K¡
~ 1
Kp
T., IT'n)
- trn(1-V1-4Ty / 1'n)
(t)]
------ -- --------- ----- -- ---- -- ---- ---- -
-¡-( 1 +Tn k · s)(1 +T., k· s)
T.. k
Kp
para O < Tn < "' ,
O <~
Tnk • t Tn (1 + V1-4
~
t
---· .----·
-~-/
o
Tr
Tv <
c:r;:,
t
o
·Tn
Kpk - K¡ , Tnk
--- --'- --' -~d ~ -: :~ _+_!_·_e_-_'~~ 1_-'- ---' --' h(ll
K1
s (1 + T · s)
K¡ T
o 37 Ki ¡:
/
o' o
....... .... _.
~ 1 + T ·s
--
l
T
~-0- ~~ !_1_'
!<
t
11 . .. __ - -- - __ _ __
~~
0 37K~
o
O
T
-
•
t
Ver la explicación de los si m bolos en U'35
1
Ingeniería de control Elemento de combinación en serie Elementos (PD)-T1 y (PID)-T1 de combinación en grupo Identificador Símb. en el diagrama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
Ejemplos de estructura
U~~
~ V
u~v ~
+ 2 =
so V
+(
V
~o) 2 ¡; -
·u
K0
N
o
v+ T (PD)-T 1
v= =
Kp · u + K 0
u
' :;:¡
..,"'
"'
Kp [u +T, · u]
' :;:¡
Ko Kp
Kp Tn .Tv
v + T v = K fu dt + 1
+ (PID)-T 1
=
u ~ ·~•
--u::::__f
T. -
Kp· u+ K0 ·u
Kp [;)udt + +u+T. ·u] Ka
Kp
Ver la explicación de los símbolos en U'35
1
T
~
Ingeniería de control Elemento de combinación en serie Elementos (PD)-T 1 y (PIO)-T1 de combinación en grupo Función de transferencia F(s) =
Respuesta escalón unitario, ecuación h(f)
=
diagrama Wa 2 -~ w t K o - · e 0 ·sen aJ,j t
wd
=
W0
' ¡ - -2 y 1 - ff
~d-- - ·- -------- ---------------------/)<\ i
---
K o ·S
h(t)
e= Arcsen 8
Kp+Ko · s 1 + T·s
K P
Kp
KpT,! T
1 + Tv · s 1 + T ·s
+
o
(Tv- T) · s
Kp~
KpT, IT
Tv - T = Tv *
1
K1 1 S + Kp + Ko · S 1 + T ·s K 11 (Tn · s) + 1 + Tv · s P 1 + T·s 1
Tn*
Tn · s
Tn
Kp [ - - + -
+ Tn Tv - TTn* Tn(1+T·s) Tn
+
[
K 1 T- K p +K 0
T1]
_J_ 1
e
--- ~-[ ~ ~_{._ -~ k_~_(;__--~-~f )_~:J- --h(t)
s]
= Kp!K;; Tv =
Kp-K 1T+K 11 +
KoiKp
Tn*=Tn-T
Ver la explicación de los símbolos en U'35
Ingeniería de control Métodos para determinar la estabilidad Estabilidad del circuito de control y cálculo para un c ontrolador (para ci rcuitos lineales de conlrol) Definición de estab ilidad La eslabilidad se alcanza después de la alteración de la variable de referencia o de la aparición de una variable de pe rturbación , cuand o la va riable controlada alcanza un valor estable . Comentario: El factor de con trol RF(O) es el que reduce una pe rtu rbación ap licada entre la salida del elemento con trolador y el punto de med ición. Con un elemento cont rolador P no se compensan totalmente las perturbaciones como en el caso de un elemento controlado r PT. Métodos para comprobar la estabilidad de un circuito de control Suposiciones: Se conocen la función de referencia o la de transferencia de la perturbación del circuito cerrado de control, o la función escalón unitario. Se conoce la fun ción de transferencia de ci rcu ito abierto. 1. Criterio de Hurwitz La estabi lidad sólo se puede determ inar mediante el crite ri o de Hurwitz cuando se conoce la func ión de referencia o la de transferencia de perturbación del circuito ce rrado de control, en forma de polin omio. La estabilidad se alcanza cuando los coeficientes de la ecuaci ón característica (cuando el polinomio del denominador de la funci ón de tran sferencia= O) u' 11 8 sati sfacen las siguientes cond iciones : • Todos los coeficientes a, deben ser > O (ver también G' t ) • Los coe fi cientes mism os deben cumplir dependenc ias especiale s. Condiciones pa ra ecuaciones hasta el grado 5: Ecuación t er grado 2do grado 3er grado 4to grado 5to grado
con d iciones de los coef icientes
a 0 y a, > O a 0, a, , a 2 > O a , a 2 - a3ao2> O 2 a, a2 a3 - a3 ao - a, a4 > O 2 2 2 A- a, a 2a 3 a4 + a 0a 1a4 a 5 - a, a 22 a5 - a 12 a 42 > O B ~ a 0a 1a 4 as + a 0 a2 a 3as - a0a 3 a4 - a0 as > O Dn-1
~ A
-B > O
Pa ra polinom ios de mayor grado ver "Ebel, Tja rk, Rege lungstechnik, 6' edición , Stuttgart Teubner 1991 , pág . 38 y ss." (Continúa en U'19)
1
Ingeniería de control Métodos para determinar la estabilidad Ventaja: Este método conduce a una definición rápida y exacta acerca de la estabilidad de determinado circuito de control. Desventaja: No proporciona información acerca de la resiliencia de un circuito de control a la inestabilidad, del resultado de cambios de sus características ni de su comportamiento dinámico; por estas razones generalmente se prefieren otros métodos. 2. Reducción a polinomios únicos Se transforma la función de transferencia de referencia o de perturbación en una suma de polinomios únicos de 2o. orden como máximo (ver el desarrollo en fracciones parciales en 8'1 ): En un circuito de control estable sólo hay elementos de transferencia estables. Estos son generalmente elementos puros Po retrasados P y elementos retrasados PD. Si hay un elemento 1, I-T 1 o 1-(PD) el circuito de control se volverá inestable . Ventajas: En los casos estable e inestable, la evaluación de la referencia transformada o de la función de transferencia de perturbación conduce a una conclusión acerca del grado de estabilidad o inestabilidad del circuito de control. Para obtener esta información, deben sobreponerse las funciones de transferencia de todos los elementos sencillos. Desventajas: No es posible observar el efecto de la introducción de un elemento de control definido ni saber cuál de las características se debe cambiar para obtener el comportamiento requerido de un circuito de control. Después de cada cambio al elemento de control se debe hacer un nuevo cálculo de la transición aritmética del circuito de control abierto al circuito de control cerrado. 3. Criterio de Nyguist Este criterio establece que el circuito (cerrado) de control es estable cuando el lugar geométrico de la respuesta en frecuen cia F 0 üw) del circuito de control abierto - en el sentido de los valores mayores de la fre cuencia angular w - siempre tiene a su izquierda el punto crítico -1 en el plano complejo. Mientras mayor sea la distancia entre el lugar geométrico de respuesta en frecuencia y el punto crítico -1 . más robusto será el circuito de control respecto a los efectos de variaciones inesperadas en los datos característicos. Una medida de qué tanto se acerca el sistema a la inestabilidad se expresa con dos valores característicos :
(Continúa en U'20)
1
Ingeniería de control Estabilidad Elección del tipo de elemento de control Margen de fase li (ve r U7) y margen de ganancia La determinación de los valores reales de ambas características y la obtención de sus valores req ueridos mediante la inserción de un elemento adecuado de control se logran a través del diagrama de Bode.
E
U'20
(ver U'B)
Flg. 8 Valores recomendados para el margen de fase : de 30° a 60° E : de 8 a 16 dB Valores recomendados para el margen de ganancia (corresponde a los factores 2.5 a 6.3) Ventajas : El examen de la función de transferencia F0 (.•·) del circuito de control abierto- especialmente la respues ta en frecuencia relacionada F0 Uw) (sustitución des por jw)- conduce con mucha facilidad a un criterio de estabilidad y muestra la resiliencia a la inestabilidad - en especia l cuando hay cambios inesperados en las características del circuito de control. También se pueden obse rvar con mucha lacilidad los efectos de cambios en el tipo y en las características del elemento de control - usando una inse rción en serie sencilla en el circuitú de control - al igual que el compor tamiento dinámico resultante del circui to de con trol.
Elección del tipo de elemento de control General En la mayor parte de los circuitos de control, el sistema con trolado y el eq ui po de medición son, en conjunto. del tipo (PO)-Tn. lo que indica una conexión en serie de varios elementos PO y de elementos de retraso. Los tiempos de acción derivaoa Tv = Ko/Kp de los elementos PO siempre son esencialmente menores que los tiempos de retraso de los elementos de re traso; en los sistemas reales en un factor mayor que 1O. Los elementos de control más importantes En los circui tos lineales de control sólo los elementos P. PI . (PO)- T 1 y (PIO)-T 1 son verdade ramente importantes. Características de un ci rcuito de control con un elemento de control Po (PD)-T, Cuando hay una influencia de las variables de perturba c1ón apl1cadas entre el elemento de conPun to tro l y el punto de medide med iCión ción sólo es posible una exactitud finita . Esa exactitud está expresada por el va lor del factor de control RF(O) . (Continúa en U '2 1)
1
Ingeniería de control Determinación gráfica de un controlador Característ icas de un c ircuito de control con un elemento de control PI o (PID)-T t Es posible compensar totalmente la influencia de las variables de perturbación aplicadas entre el elemento de control y el punto de medición. Si el sistema controlado contiene un elemento 1sin variables de perturbación con retroalimentación negativa aplicadas entre la salida del elemento 1 en el sistema controlado y el punto de medición, habrá compensación completa aunque no haya factor l. Nota: Nunca se pueden compensar las variables de perturbación aplicadas entre el punto de medición y la salida del elemento controlador.
Determinación gráfica de un controlador lineal basada en el criterio de Nyquist General El procedimiento se lleva a cabo por medio del diagrama de Bode. Para este diagrama son necesarias tanto la construcción de la conexión en serie del sistema controlado como el equipo de medición, al igual que la construcción del elemento de control. El diagrama de Bode de todo el circuito se determina sumando (multiplicando) la amplitud y la fase de la respuesta de los elementos de transferencia en serie sencilla (ver U'22 y U'23) . Esto es posible debido a la naturaleza logarítmica de la amplitud de la respuesta, después de la conversión a dB. Para el trazo gráfico se debe usar papel semilogarítmico con 4 décadas en el eje r. Procedim iento : Determinar el área de la frecuencia angular w para la cual se debe trazar el diagrama de Bode ; graficar todos los puntos de cruce de interés. Sólo se permiten factores de re spuesta en frecuencia del tipo 1, P. D, Tt, P-Tt , PD y P-T2, con atenuación il < 1 (ver U'22 y U'23) Después de extraer el factor 1, los elementos PI se convierten a una estructura 1-PD y los elementos PID con T nfT v > 4 se convierten a una estructura 1-PD-PD. Todos los coeficientes de acción en serie, el Integral- (Ki), el Proporcional - (KP) o el Derivado (Ko) se resumen en un coeficiente de acción .
Se repre senta la amplitud de la respuesta. Se representa la fase de la respuesta. Se termina mediante el elemento de control. Las tablas de las páginas U'22 y U'23 muestran los diagramas de Bode para elementos P, 1, D, T1, P-T, P-T 2 y PD. Estos diagramas se utilizan para determinar la amplitud y la fase de la respue sta .
1
Ingeniería de control
U'22 Si m· bolo
Diagramas de Bode para elementos básicos y elementos P-T1
Amplitud de la resp. F(w) =
Fase de la resp. Are F(jw) = cp =
Diagrama (Ampl.logaritm.) Kp
Diagrama (fase lineal)
Flds P
~
<
o
n < + ~ . entero
Kp¡~os+--------
rp 11 •
10" 10"' 1 10"' 2 10n+ 3 10"'4 {0~}
o
20
-90
o
- oo <
----------- !-..~: _1!_~--------Flds - ~ < n < +~. entero
40
" < 2 0 dB/década
20
o
{tu}
10" 10"' 1 Hl';~_'to"' 3 10"' 4
n<
entero
rp/1•
10" 10"' 1 10"' 2 10"' 3 10°' 4 {4>)
o
-90+------- oo <
K¡_ ="'o
n < +oo , entero +90°
rp ¡ o - oo < 1
n<
+ oo ,
entero
90+--------
D
40
20
~0+-~~-~--~~~T¡,ru 10· 2 10' 1 10 °
10 1
10 2
· 180
_______ !!:.f'.~Y-~-::_(!:IJJl_-- - -Fids P-T 1
+ oo ,
- 90°
3.J
~o KpldBI---;;;;=:±: 20 Kf'~o dB/dt!c. O
1
'(.
Tw
~,_,o~-2~t+o~.,~,~o~ 0 ~to~1~,~,o~2~
-1 80
Ingeniería de control Diagramas de Bode para elementos P-T2 y PO Si mbolo
Amplitu d de la resp. F(w)
=
U'23
Fase de la res p.- Are F(jw) =
Di agrama (Am pl. logaritm.)
Kp
O
w>O
P-T2
VK/ =
+ (K 0 · w)2'
Kp
V1+ (Tvw )2
donde Tv
PO
tan · 1 Tv
w
= K 0 ! Kp
--- - - - -- - - ---------------
· -------- -------- -- - - - -- --
40 20 10· 2 -90
w'
1
Ingeniería de control Diagramas de Bode para los elementos (PD)-T1 y(PID)-T1 Simbolo
Amplit ud de la resp. F(w) =
Fase de la resp. Are F(jw)
Diagrama (Ampl.logaritm .)
=qJ =
Diagrama (fase lineal)
Kp2 + (Kow)2 1 + (Tw) 2
Arctan (T.w) - Arctan (Tw)
1 + (T.w) 2 1 + (Tw) 2
(PD)-T1
o·2 io·1
10°
r. ; r
!,.'
Kp T
dB
10 1
-f'\c---f-7"'"'-- - -
10 2
T< Ty 20dB/dec.
Kp +(K 0 w - K 1 / w )2 1 + (T w) 2
1 + [T.w- 1 /(Tnwl) 1 + (Tw)2
2
1 Arctan[r.IJJ - - -j - Arctan(TIJJ)
TnW O < Tn!Tv
- Arcsen
o 10-2 -45
1
K1 {-;;:;-
1 Tvk(l)'*
1 Tw-
w > O
1/ (Tn w)
•
!"!. ~ _":_ ____li!_? E
45
1
IJJ -
Y1 + [T,IJJ ·11(T. w)j2 - Arctan (TIJJ) ~ _<_ ~n~
Tnk~ Ko(l,..
T> Tv
-1
10
Ingeniería de control Amplitud de la respuesta
U'25
Método para representar la amplitud de la respuesta del circuito completo Nota preliminar: los puntos de quiebre de la amplitud de la respuesta se marcan con llechas en la parte superior de la gráfica. Una flecha con una punta hacia abajo caracteriza una pendiente de -20 dB/década que se obtiene mediante un factor P-T 1 (ver U'14) en el punto 1/T. Una flecha con dos puntas hacia abajo caracteriza una pendiente de -40 dB/década que se obtiene mediante un factor P-T2 (ver U'15) , con ó < 1; los factores P-T2 con ó > 1 se dividen en dos factores P-T 1. Los factores PO (+20 dB/década en el punto 1 /7~) con pendiente positiva se caracterizan con puntas de flechas hacia arriba . Después de estimar la variación de la amplitud de la respuesta dentro de las 4 décadas de la frecuencia angular w, se debe escoger la escala de tal modo que la zona de interés aparezca con la máxima resolución posible; el .origen será definido por el valor máximo esperado de la amplitud de la respuesta . A continuación se determina el valor de la amplitud de la respuesta en el margen izquierdo del dibujo. Si la conexión en serie por representar contiene un factor 1 o O, el valor y la pendiente iniciales se determinan por 1 o O; en cualquier otro caso, por el factor P. El valor inicial se determina usando Flde = 20 log(Kofw) (factor 1), Flde = 20 log Kow (factor O) o Flde = 20 log K p (factor P) ; véase U'22 y U'23. Comentario: Se deben omitir aquí las unidades físicas de K, , K o o Kp, para añadirlas después al hacer la evaluación . El gradiente de la amplitud de la respuesta hasta el primer quiebre es -20 dB/década (factor 1), +20 dB/déc. (factor O) o O (factor P) . La curva asintótica de la amplitud de la respuesta se traza de un punto de quiebre al siguiente ; para ello se deben considerar los cambios anteriores, que corresponden a las llechas indicadas. El factor T1 no influye sobre la amplitud de la respuesta. Por último, se hacen correcciones en los puntos de quiebre : cuando se usa el factor P-T 1, la curva asintótica se corrige en los puntos WE/2 y 2wE en -1 dB, y en la frecuencia angular de quiebre WE en -3 dB. Cuando se usa el factor PO (inverso del factor P-T 1), se deten hacer las correcciones correspondientes en el punto de quiebre "'E= 1/ Tv. de abajo hacia arriba, (es decir,+ 3 dB) . Cerca del punto de quiebre de un factor P-T2 con 11 < 1, la curva asintótica se corrige en -1 O log (1 -( w/wo)2 + 2 ( ó w/w 0 )2).
1
Ingeniería de control Fase de la respuesta
U'26
Representación de la fase de la respuesta La fase de la respuesta del circuito completo se determina sumando las fa ses de las re spuestas individuales de los elementos de tran sferen cia conectados en se rie, o de los factores de respuesta en frecuencia . Los factore s individuales contribuyen con los siguie ntes valores (ver también U'22 y U'23) : Factor
Fase de la respuesta
p
O"
1
- 90" + 90"
D T,
- 1fw
P-T 1 PD
-tan·' T w + tan-1 Tv w
P-T 2 con ti < 1
tan ·' 1-(w/Wof2- 90" 20 w lw 0
PI= 1- PO
- 90" + tan· 1 Tn w
Tabla A
Comentario : mientras que el factor P no tiene efecto alguno, la contribución del factor T1 es muy importante y aumenta con w. Nota: Después de agrupar los factores constitutivos en una suma, a continuación se determinan los valores de la fase de la respuesta, por ejemplo, usando la memoria de una calculadora de bolsillo. En general , la fase de la respuesta del factor T 1 se debe sustituir con el factor 180"/n para obtener un resultado en grados. Por último, se deben elegir la escala y el origen de la gráfica de la fase de la respuesta de tal manera que la zona de mayor interés aparezca con la máxima resolución posible. La fase de la respuesta se traza en el mismo diagrama que el de la amplitud de la respuesta . La escala del eje y se muestra en el margen derecho del dibujo. Determinación del elemento de control Problema : El resultado debe ser tal que se satisfagan los requisitos del margen de fa se oy del margen ' de ganancia Considerando la figura 8 de U'20, esto quiere decir que el indicador de respuesta en la fre cuencia del circuito abierto de control final cerca del punto critico -1 debe satisfacer dos requisitos : en frecuencia angul:'lr con amplitud 1 (frecuencia angular de cruce de ganancia) la distancia de fase en la parte negativa del eje real debe ser cuando menos ó, y a la frecuencia angular donde la fase es -180" (la frecuencia angular de cruce de fase) , la amplitud debe de ser como máximo. 1h. (Continúa en U'27)
1
Ingeniería de control Fase de la respuesta
U'21
Procedimiento
Elegir las razones entre los tiempos característicos inherentes al elemento de control y la frecuencia angular de quiebre la frecuencia angular de cruce de ganancia w0 (realización de la instrucción del margen de fase) o la frecuencia angular de cruce de fase w, (realización de la instrucción del margen de ganancia).
"'E·
Comentario: Debido al eje w con escala logarítmica , se obtienen distancias definidas entre los puntos de quiebre de la amplitud de la respuesta y las frecuencias angulares elegidas para la determinación. En la práctica se aconsejan los siguientes valores :
Tabla B Tipo del elemento de control
Tnwo res p. Tn001f
Tvooo res p. TvW ,
TvkWD
Tnk!Tvk
1/ (Two)
res p.
resp.
T vkWrr.
1/ (Tw, )
4 . .. 10
8 . . 20 8 . .. 20
p PI (PD)-T, (PID)-T,
4 ... 10 4 . . . 10 2 . . 10
Los valores reales de los tiempos caracteristicos del elemento de control no se conocen sin calcularlos. Después de elegir la razón, se lijan las formas de la amplitud y de la lase de la respuesta. La posición final de la amplitud y de la fase de la respuesta se determinan mediante el siguiente procedimiento : Se hace un corrimiento en la dirección del eje x determinando la frecuencia angular de cruce de ganancia w0 , o la frecuencia angular de cruce de fase w ,. Se hace un corrimiento en la dirección del eje y (sólo en la curva de amplitud de la respuesta) determinando la ganancia proporcional KpR' o el coeficiente de acción integral K 1R' del elemento de control.
Q)
Además se conocen la fase R' (wo) para el margen de fase y WR' (w , ) para la determinación del margen de ganancia [en este caso R' (w 0 ) = wR' (w , )] . Estas son las fases que tiene el elemento de control en la frecuencia angular de cruce de ganancia w0 , hasta ahora desconocida , y en la frecuenc ia angular de cruce de fase w ,, respectivamente. El valor de la fase se determina calculándolo (ver la tabla A en U'26) , o con valores demostrados que ya contengan la elección de las razones que describimos arriba . El subíndice A representa valores que pertenecen al elemento de control. O Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33 .
1
Ingeniería de control Condición de margen de fase
U'2a
Obtención de la condición de margen de fase
®
El margen de fase li y la fase-
=
Comentario: Mientras más negativa es la fase
0
La frecuencia angular con fase $0 se debe determinar en la fase de la respuesta $y(w)' de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición . Esta frecuencia angular debe convertirse en la frecuencia angular de cruce de ganancia w00 . A esta frecuencia, la amplitud de la respuesta Foo del circuito abierto de control final determinado debe pasar por la línea de O dB.
0
Este requisito se satisface cuando la amplitud inversa de la rtlspuesta del equipo de control se grafica de tal modo que corte la respuesta Fy(w)' de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición en WDS·
La construcción de la amplitud inversa de la respuesta, FR(w)·' ', del elemento de control se lleva a cabo segun U'25; la inversión se alcanza mediante la anulación de los valores de la pendiente, mientras permanecen fijos los puntos de quiebre. La curva se traza hacia ambos lados a partir de la frecuencia angular de cruce de ganancia w0 .
®
La posición de los puntos de quiebre se determina cuando se aplican las razones que se eligieron inicialmente a la frecuencia angular de cruce de ganancia w00 determinada a partir del diagrama. La pendiente de las secciones de la curva asintótica de la amplitud de la respuesta FR(w)·' ' se trasladá por desplazamiento paralelo de dos líneas auxiliares que se han graficado antes en una parte desocupada del diagrama de Bode. Sólo se necesitan correcciones cuando la intersección queda dentro de su área.
®
A partir de la amplitud de la respuesta inversa determinada FR(w)· •' del elemento de control , se puede leer el (KpR' ) proporcional- o el coeficiente de acción de integración (K1R' ) del elemento de control. Con estos valores se pueden determinar elementos de control de los tipos P, PI y (PD)-T 1. Se pueden determinar los coeficientes de acción de qonexión en serie KpK, Tnk y Tvk para el elemento de control (PID)-T 1. Estos se transforman en los coeficientes de acción de conexión en paralelo KpR'· Tn y Tv mediante las siguientes relaciones. Para valores grandes de las razones T0 ,¡Tvk (Tn,¡J ~k > 1O) se puede omitir la conversión . KpR
= TKPk. (Tnk + nk
Tvk);
Tn = Tnk + Tvk;
K¡R
= KTPkR; Tv _ TTnk . TTvk nk
nk
+
vk
El subíndice R (subíndice y) caracteriza valores pertenecientes al ele· mento de control (sistema controlado) . O Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33) .
1
Ingeniería de control Condición de margen de ganancia
U'29
Obtención de la condición de margen de ganancia La determinación es muy parecida a la de la condición de margen de fase:
@
- Determinar la fase, =- A' - t 80°.
®
- Dete rminar la frecuencia angular de cruce de fase, w,., donde se alcanza la fase 4>, en la fase de la resp uesta <jly(w)' de la conexión en serie del sistema controlado y el eq uipo de medición; a esta frec uencia la fase de la respuesta <jl(w) del circuito abierto de control final determinado pasa a través de la linea de - 180°. - Determinar la ubicación de los pu ntos de quiebre cuando se aplican las razones arriba mencionadas al valor de la frecuencia angular de cruce de fase determinada en el diagrama.
@
®
- Determinar la pendiente mF de la amp litud de la respues ta inversa FA(w)·''del elemento de control cerca de la frecuencia angular de cruce de fase w,. Se traza una sección asintótica con esta pendiente , a través del punto del valor de amplit ud de la respuesta de Fy(<ú)'del sistema controlado y el equipo de medición en la frecuencia angu lar de cruce de fase w11 [ .
®
- La amplitud inversa de la respuesta FA(w) ·' del elemento de control se grafica y se evalúa en la distancia CtdB (arriba de esta sección asintótica) de la misma fo rma que se hizo antes para obtener el margen de fase .
®
- En el caso de un elemento de con trol (PID)-T 1 , se sigue el mismo método que en ® .
®
Nota: Se recomienda , además, determinar la frecuencia angular de cruce de ganancia wo,. Esa frecuencia está en el punto de intersección de Fy(w)' de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición , y la amplitud inversa de la respues ta FA,( w)·'' del elemento de control. Elección de uno de los dos elementos de control que se determ inaron No sólo la obtención de la condición de margen de fase, sino también la del margen de ganancia , conduce a la determinación de un elemento de control. Se escoge el elemento con el menor coeficiente de acción proporcional - o integral. Salvo algunas raras excepciones, con esta elección el elemento de control también cumple el otro requisito de la deterrninactón . Comparación entre elementos de control determ inados por medio de la elección de di stintas razones Con la elección de distintas razones se obtiene el mejor comportam ien to del elemento de control determinado para el elemento con el valor máxt· mo de la frecuencia angular de cruce de gananc ia w0 . Esta frecue ncia angular- determinada para el circuito abierto de control -es una cantt· dad que indica la rapidez con la que se llega al valor fin al en el etrcut to cerrado de control. • Ver la explicación de los subindices R y y en la nota al pie de la página U'28.
1
-60
-50
-40
-30
-20
-10
o
+ 5
+10
+15
4
! s e 1 10o
3
4
----~
5 e 1 101
Diagrama de Boda del ej emplo 1
3
Ver expll~ción de tos sfmbolos e~ lJ'3S
¡,,_
40
-240
-200
-160
- 120
-
o
:J
......o
o
(")
CD
Q.
Ingeniería de control Ejemplos
U'a1
Ejemplo 1: Determinación de un elemento de control PI o P Problema: Determinar un elemento de control PI con Tn = 1O/w 0 y Tn = 10/w, para un circuito de control con la conexión en seri e de sistema controlado y equipo de medición de comportamiento P-T 3 (P-T 1-T 2). El margen de fase 8 debe ser 40° mínimo, el margen E de ganancia 3. 16 mínimo (corresponde a 1O dB)
F(s) -
ti& -
y (s)
4 (1 +10sec ·s) [1 +0.8/(5sec)s+1/(25sec2)1]
Solución: De acuerd o con U'13 a U'17, se leen primero los datos carac terísticos Kpy = 4, T = 10 seg , w 0 = 5 seg·1, en la función de transferencia F(s) de la conexión en serie. A continuación, según U'22, se deben trazar la amplitud de la respuesta Fy y la fase de la respuesta y de la conexión en serie. Los siguientes pasos de la determinación están numerados dentro de un circulo en el margen izquie rd o de las páginas U'27 a U'29 . Esos números también se muestran en el diag rama de Bode de U'30 en sus lugares corre spondientes. En esos pasos se dete rminan los siguiente s result ados:
2 'PR (w 0 ) =
(Continúa en U'33)
1
¡Fia
10- 2
-60
-50
-40
-30
-20
-10
o
+ 5
+10
+15
3
•
5 6 7
10-1 Diagrama de Bode del ejemplo 2
seC ·(I)
80
40
-240
-200
- 160
- - 120
-
-
o
3
oUl
"C
~
o
-1
.... :S
o
(")
a. (D
m
-\
-1
(D
-· :S
:S
ca (D
fd"'
e:
Ingeniería de control Ejemplos
U'33
1
18 co 0. - 1.3 sec21 KPR• < KPR6-+ KpR • 3.16; V0 • KpR · KPy • 3.16· 4 • 12.6-+ RF (O) • 1/(1 + V0 ) • 7.3o/o . Los pasos 1, 2, 5, 6, 9, 13 y 14 no son aplicables en la determinación. !Los pasos 7 y 15 sólo se llevan a cabo dentro del diagrama de Bode! Comentario: El factor de control RF(O) es aquel con el que se reduce una perturbación aplicada entre la salida del elemento de control y el punto de medición . Con un elemento de control P las perturbaciones no se compensan por completo, como es el caso de un elemento de control PI. Ejemplo 2: Determinación de un elemento de control (PID)-T 1 Problema: Para un circuito de control con la misma conexión en serie que la del ejemplo 1, determinar un elemento de control (PI O)-T 1 para los siguientes valores: 1/Tnk6 •COo6/12 1/Tnk• -co,../12 Los márgenes de fase y de ganancia aeben tener los mtsmos valores que en el ejemplo 1. Solución: La amplitud y la fase de la respuesta se pueden tomar del ejemplo 1. Se deben llevar a cabo los pasos numerados (en círculos) en el margen izquierdo de las páginas U'27 a U'29; esos números también se muestran en la gráfica de U'32. Los resultados de los pasos respectivos son: 2 cpR 6 - -90° + Arctan (12 coofco 0) + Arctan (4 coofco 0) - Arctan [(1/6) - (co~¡lcoo>J a 62° 3 Ql6 = -180° +O- QlR a -180° + 40°-62 • -202° 1 4 co 06 - 6.0 sec5 1/Tnk6 a Wo6/12 a 6/(12 sec) a 0 .5 sec- 1 ; Tnk6 • 2 sec; 1/Tvkb - coof4 - 6/(4 sec) = 1 ,5 sec- 1; Tvkb - 0 .67 sec; 1/T6 - 6 coo - 36 sec- 1 -+ T6 - 28 msec 8 KPkRb en dB • 12-+ KPkR6 • 4 g KPR6 • (4/2) - 2 .67 • 5 .34 Tn 6 = (2 + 0.67) sec - 2.67 sec; Tv 6 - 2 · 0.67 sec/2.67 - 0.5 sec 11 cp. - - 180° - %1 - - 242° 12 co,.. = 10 sec - 1 1 13 1/Tnk< - co,.,/12- 10/12 sec- - 0.83 sec-\ Tnke - 1.2 sec. 1 1/Tvke - co,.,l4 - 10/4 sec- a 2.5 sec- 1; Tvk< - 0 .4 sec; 1 1/T, - 6 co,.,- 60 sec- ; T, - 17 msec 14 mF = -20 dB/Dek. 16 KPkRe en dB = 17-+ KpkRE = 7.1 17 KPRe = 7.1/1.2 · (1 .2 + 0.4) =9 .47; Tn, - (1.2 + 0.4) sec - 1.6 sec; Tv, = 1.2 · 0.4/(1 .2 + 0.4) sec- 0.3 sec. 18 co 0 , = 6 . 2 sec - 1 21 KPR6 < KPRe-+ KpR • 5.34 (Continúa en U'34)
1
Ingeniería de control 1
Reglas para ajustes
U'34
Continuación de U'33 El elemento de control (PID)-T 1 adecuado tiene los datos caracteristicos: KPR = 5.34, Th = 2.67 seg, T = 0.5 seg . La rapidez con que el circuito de control adecuado llega al valor final se caracteriza por w0 = 6.0 seg·t. Reglas empíricas para ajustar elementos de control P, PI y PID Para sistemas controlados con un elemento de retraso de primer orden y un elemento de tiempo muerto- esto es, sistemas controlados sin la parte 1o factores 1- Z/EGLER y NICHOLS recomiendan los siguientes datos característicos para los tipos de elementos de control arriba citados. Se conocen Kpy. Ty y
T 1y del
sistema controlado:
TablaC contralador
p
PI
PIO
Tn
KpR
7'v
____It_ Kpy • Tti
____It_
0 .9 K
Py .
T.ti
____It_
1.2 K Py . T.ti
3 .3 T1y 2 T 1y
0.5 T 1y
Se desconocen los datos característicos del sistema controlado :
1
Tabla O contralador
KpR
p
0 .5 KPRcrit *
PI
0 .45 KPRcrit *
0 .83 Tcrit **
0.6 KPRcrit *
0 .5 Tcrit **
PID
* **
KPRcrít: Tcrít
Tn
T,
0.1 ?5 Tcrit **
Valor de KPR cuando hay oscilación permanente en el circuito de control. Periodo de oscilación, cuando hay oscilación permanente .
Ingeniería de control Abreviaturas y fórmulas
U'as
Tipos de elementos de transferencia 0: Elemento derivado 0-T1: Elemento derivado con retraso de 1er orden D- Ti Elemento derivado con retraso de 2'1 orden 1: Elemento integral 1-T 1: Elemento integral con retraso de ter orden P: Elemento proporcional PO: Elemento derivado proporcional
PI: Elemento integral proporcional PIO: Elemento derivado integral proporcional P-T 1: Elemento de retraso de ter orden P-T2: Elemento de retraso de 2'1 orden (PO)· T1: Elemento PO con retraso de 1er orden (PIO)-T1: Elemento PIO con retraso de 1er orden T1: elemento de tiempo muerto
Símbolos usados para términos de ingeniería de control
e
Variable de error lnf: Pendiente de la amplitud de la respuesta en el diagrama de Bode Variable de retroalimentación Variable de entrada Variable de salida Vm : Sobrepaso de la función escalón unitario de un elemento de transferencia w Variable de referencia w Variable objetivo X Variable controlada Variable controlada final XA Xm Sobretiro de la variable controlada Variable reguladora y z Variable de perturbación F(jw): Frecuencia de la respuesta Función de transferencia Rs) Amplitud de la respuesta Rw) F,uw) : Frecuencia de la respuesta del circuito abierto de control F,(s) : Función de transferencia del circuito abierto de control F0 (w): Amplitud de la respuesta del circuito abierto de control FA(w) : Amplitud de la respuesta del elemento de control F,(w) : Amplitud de la respuesta de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición Ko : Coeficiente de acción derivada l 4 Tv : Coeficiente de acción integral del K1A(w) elemento controlado Coeficiente de acción proporcional del KpA elemento controlado T Tiempo de retraso Tiempo de crecimiento Período de vida media Tiempo de restablecimiento T,
~
r"" Tiempo para alcanzar el estado estable Tinicio : Tiempo para alcanzar la tolerancia inferior Tiempo muerto equivalente T, Tiempo de derivada T, Tnk.(Tvk): Tiempo de restablecimiento {tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PIO con Tn > 4 Tv. Tnk6· (Tv!W):Tiempo de restablecimiento {tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PID con Tn > 4 Tv. determinado según el requisito de la fase Tl'lkl:• { Tm):Tiempo de restablecimiento (tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PID con Tn > 4Tv. determinado según el requisito del margen de ganancia Margen de ganancia Margen de fase
1
Tablas 1
Propiedades térmicas de líquidos
Llquldos
l
(>
cP
K11
1Q6r¡2l
Pr3l
oc
~
kJ kg K
w
Pa-s
-
o
Agua
Z'1
20 50 100 200
m3
m
K
999,8 998,3 988,1 958,1 864,7
4,217 4,182 4,181 4,215 4,494
0,5620 0,5996 0,6405 0,6803 0,6685
1791,8 1002,6 547,1 281,7 134,6
13,44 6,99 3,57 1,75 0,90
738 719
2,064 2,131
0,144 0,137
1020 714
14,62 11 ,11
2,093 2,232 2,395 2,801 3,454
0,183 0,177 0,173 0,165 0,152
3241 1786 1201 701 326
37,07 22,52 16,63 11,90 7,41
Octano C8 H, 8
-25
Etanol C2H5 0H
-25
-
20 50 100
806 789 763 716
Benceno (o benzol) CsHs
20 50 100 200
879 847 793 661
1,729 1,821 1,968
-
0,144 0,134 0,127 0,108
649 436 261 113
7,79 5,93 4,04 -
o
885 867 839 793 672
1,612 1,717 1,800 1,968 2,617
0,144 0,141 0,136 0,128 0,108
773 586 419 269 133
8,65 7,14 5,55 4,14 3,22
1435 1383 1296
1,33 1,37 1,48
0,212 0,199 0,177
368 304 234
2,31 2,09 1,96
20 50
695 636 609 561
4,45 4,61 4,74 5,08
0,547 0,540 0,521 0,477
317 169 138 103
2,58 1,44 1,26 1,10
20 50 100
871 852 820
1,85 2,06 2,19
0,144 0,143 0,139
13060 5490 2000
168 79 32
20 60 100
866 842 818
2,29 2,29
-
0,124 0,122 0,119
31609 7325 3108
482 125 60
13546
0,139
9,304
1558
0,02
1260
2,366
0,286
15·106 1,24·10 11
o
o
Tolueno (o toluol) C7HB
Dióxido de azufre
so 2
-50
o
Aceite lubricante Aceite para transformador
o
Mercurio Hg Glicerina C3H8 0 3 > ConductiVIdad
o 20 50
Amoniaco NH 3
1
20 50 100 200
20
térm.
2> V1scos1dad (dm.)
3l
Num. Prandtl
1
Z'2 l
Tablas Propiedades térmicas de gases
Gases (a 1000 mbar)
Aire (seco)
t
(!
Cp
oc
~
kJ kg K
-20
o
20 100 200 400
Dióxido de carbono
co 2
Cloro Cl Amoniaco NH 3 Oxigeno
02
Dióxido de azufre
802 Nitrógeno N2
Hidrógeno H2
Vapor de agua (saturado)
'. 1) Conduct1V1dad térm.
-30
o
25 100 200
o 25 100
o 25 100 200 -50
o
25 100 200
o 25 100
o 25 100 200 - 50
o
25 100 200
mJ
•''
w mK
1061)2) Pr 3)
Pa· S
-
1.377 1.275 1,188 0 ,933 0 ,736 0,517
1.006 1,006 1,007 1,012 1,026 1,069
0.023 0.025 0,026 0,032 0,039 0,053
16.15 17.10 17,98 21,60 25.70 32 ,55
0,71 0.70 0,70 0,69 0,68 0,66
2.199 1,951 1,784 1,422 1,120
0,800 0,013 0,827 0,015 0,850 0,016 0,919 0,022 0,997 0,030
12,28 13,75 14,98 18,59 26,02
0,78 0 ,78 0,78 0,77 0,76
3,13 2,87 2,29
0,473 0.0081 0,477 0,0093 0,494 0,012
12,3 13,4 16,8
0,72 0,69 0,69
0,76 0 ,70 0 ,56 0,44
2,056 0,022 2.093 0,024 2,219 0,033 2,366 0,047
9,30 10,0 12,8 16.5
0,87 0,87 0,86 0,83
1,73 1,41 1,29 1,03 0 ,81
0,903 0,909 0,024 0,913 0,026 0,934 0,032 0,963 0,039
16,3 19,2 20,3 24,3 28,8
0,73 0,71 0,71 0,71
0,586 0,607 0,662
0,0086 0,0099 0,014
0,80 0,78 0,77
1,038 1,038 1,0S8 1,047
0,024 0,026 0,031 0,037
11 ,7 12,8 16.3 16,6 17,8 20,9 24,7
0,1 41 0,171 0,181 0,211 0,249
7,34 8,41 8,92 10,4 12,2
0,70 0,69 0,71 0,71 0,71
9,22 10,62 12,28 15,78 19,74 Prandtl
1,041 0,999 1,007 1,163 1,688
2,88 2,64 2,11 1,23 1,13 0,90 0,71 0,11 0 ,09 0 ,08 0 ,07 0,05
13,50 14,05 14,34 14,41 14, 41
o 0,0049 1,864 1,907 50 0 ,0830 100 0,5974 2,034 200 7,865 2,883 300 46,255 6.144 2) V1SCOS1dad (dm .)
0,0165 0,0203 0,0248 0,0391 0,0718 3> Num.
-
0,72 0,71 0,70 0,70
Tablas
1
Esfuerzos permisibles- Maquinado
1
Z'a
Esfuerzos permisibles por flexión o torsión, y módulos E y G para materiales elásticos, en N/mm 2 Mód . Mód . elást. elást. Of(perm. ¡ ang . Tt(perm Tipo de Malerial axial ¡; carga'' A B E Acero para resor1000 500 150 1 650 tes SAE 1078 tem210000 11 750 350 120 80000 500 piado y revenido 111 500 250 80 350 Laten amarme 1 40 120 200 100 150 ASTM -B 134 (274) 110000 11 80 30 42000 100 111 100 50 20 80 HV 150; DIN 17222 Plata alemana 1 200 300 150 50 142000 11 250 120 40 55000 180 ASTM-B 122 (752); 111 150 200 100 30 65-18 HV 160 40 Bronce común 1 200 100 120 150 110000 11 80 30 42000 100 CDA-419 111 100 50 20 80 HV 190 1 200 300 150 50 Bronce fosforado 40 45000 180 117000 11 220 110 CDA-529 HV 190 111 150 150 80 30 A : para resortes simples (faclor de seguridad ~ 1.5) B: para resortes conformados (fac1or de seguridad ~ 3) 10) C : para resortes sin efecto de his1éresis (fac10r de seguridad 'i Véase el significado en P 1. Parte l.
e
~
Cantidades características para el maquinado (para torneado exterior longitudinal) Material Aceros:
Resistencia o dureza (en N/mm 21 )
me
1 - me
kc 1. 1 N/mm 2
ASTM A572 1990 0.26 0.74 520 UNS- K04600 720 0.30 0.70 2260 SAE- 1045 0.14 0.86 2220 670 SAE 1060 770 2130 0.18 0.82 2100 770 0.26 0.74 SAE- 5120 0.30 0.70 2260 630 SAE- 3140 2240 600 0.21 0.79 SAE- 4135 730 0.74 2500 0.26 SAE- 4140 0.74 2220 600 0.26 SAE- 6150 :;At - L6 (recocido) 1740 940 0.24 0.76 SAE - L6 (revenido) ASTME18-74-HRD54 0.24 1920 0.76 o 74 1270 Mehanite A 360 0.26 Hierro colado c/enfr. ASTME18-74·HRD60 0. 19 0.81 2060 ASTM - A48-40B 0.74 11 60 ASTME18-74-HRD33 0.26 Los valores especificados se aplican directamente al torneado con herramienta con punta de carburo. Velocidad de corte v = 90, ... . 125 m/min . Grosor de la viruta h : 0.05 mm:s h:s 2.5 mm . Angula lateral normal normal y - 6 • para acero, y = 2" para hierro colad o Relación de esbeltez , E 4.
1
Z'4 1
Tablas Presiones de contacto permisibles Valores de Pct ...... J en
N/mm•
Características de munones, cojinetes y placas de apoyo: Material Acero 37
Carga H Carga HZ
1 Pe 1 1 ~~ 1Acero
52
Material Carga H Carga HZ
1
Pe
1 ~~~
Lubricación : Véanse manuales o textos (acción hidrodinámica) Acción con lubricación mixta, eje o muMn templado y rectificado 1121 Material
~S
Hierro colado gris Latón rojo ( 836) Bronce común (938 Hierro sinterizado Hierro sinterizado con cobre Bronce sinterizado Bronce común grafitado Metal DEVA)
1 0.3 ... 1 <1 3 <1 3 <1 3 5 <1
Pe
Material
V
--¡¡¡rs-
Pe
5 ~ronce colado COA 90< 8 ... 12 Lubricación con grasa < 0 .03 4 ... 12 20"1 ~inetes de alta calidac <1 60 ~o 15 1531 PA 66 (Poliamida) en seco 1 0,09 0,35 1 6 lubricación con grasa•l ~o 2 ... 4 1 HDPE ( Polietileno de alta 8 densidad 1 0.02 3 12 PTFE (Pol~etra· ~o 30 fluoroetileno, 6 encubierto) 1 0.06 4 80 .. 20 PTFE + plomo < 0.005 140'} + bronce 4 } Cojinete DU 0.5 ... 5 <1
90
Superficies no deslizantes, de tipo general : Valores máximos hasta el punto de fluencia o cadencia a la compresión del material son posibles de usar. Los valores normales para una Pe aceptable son inferiores. Materiales ACero
Hierro colado Hierro maleable Bronce Metal para cal\ón
estable
80 ... 150 70 .. 80 50 .. 80 30 .. 40 25 .. 35
Valores normalies de Pe para carga pulsante de choque
60 ... 100 45 ... 55 30 .. 55 20 .. 30 15 .. 25
30 ... 50 20 ... 30 20 ... 30 10 ... 15 8 ... 12
1l El producto (p · u)'*"'· está estrechamente relacionado con la disipación de calor, carga, presión de contacto y tipo de lubricación. 21Con lubricación hidrodinámica es posible una mayor ~apacidad de carga (para lodos los metales de cojinetes).
31Duración lim~ada de las parles en desgaste. ' 1Casos extremos (metales especiales). 5l p ara espesor de casqu il lo de 1 mm.
Tablas Valores estadísticos 1
_ .!._2
,(x) = V2i(' e ' ; ~.(x) ~ X
0.00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0.18 0,19 0,20 0.21 0,22 0,23 0,24 0.25 0,26 0.27 0,28 0,29 0,30 0.31 0,32 0,33 0,34 0.35 0.36 0.37 0.38 0,39 0,40 0.41 0,42 0.43 0,44 0,45 0.46 0,47 0.48 0.49
cp (x) 0.398 942 0,398 922 0,398 862 0,398 763 0,398 623 0,398 444 0,398 225 0,397 966 0,397 668 0,397 330 0,396 953 0,396536 0,396 080 0,395 585 0,395 052 0,394 479 0,393 868 0,393 219 0,392 531 0,391 806 0,391 043 0,390 242 0.389 404 0,388 529 0 ,387 617 0,386 668 0,385 683 0,384 663 0,383 606 0,382 515 0,381 388 0,380 226 0.379 031 0,377 801 0.376 537 0,375 240 0,373 911 0.372 548 0.371 154 0,369 728 0.368 270 0,366 782 0,365 263 0.363 714 0.362 135 0.360 527 0,358 890 0.357 225 0.355 533 0.353 81 2
m2
f -f ,
e
1 2
Z's J
Función de error , 2 2 e -t · dt erf(x) = "{íC
· dt;
o
erf (x)
X
0.000000 0,011 283 0,022 565 0,033 841 0,045111 0,056 372 0,067 622 O,Q78 858 0,090078 0,101 281 0,112 463 0,123623 0,134 758 0,145867 0,156 947 0,167 996 0,179 012 0,189 992 0,200 936 0,211 840 0,222 702 0,233 522 0,244 296 0,255 022 0.265 700 0.276 326 0,286 900 0.297 418 0,307 880 0,318 283 0.328 627 0.338 908 0,349126 0,359 279 0,369 365 0.379 382 0.389 330 0.399 206 0.409 009 0.418 739 0.428 392 0.437 969 0.447 468 0.456 887 0.466 225 0,475 482 0.484 656 0.493 745 0.502 750 0.511 668
0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0.80 0,81 0.82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0 .99
o cp (x) 0,352065 0,350 292 0,348493 0,348668 0,344 818 0,342 944 0,341 046 0,339124 0,337180 0,335 213 0,333 225 0,331 215 0,329 184 0,327133 0,325 062 0,322 972 0,320864 0,318 737 0,316 593 0,314 432 0,312 254 0,310 060 0,307 851 0,305 627 0,303 389 0,301 137 0.298 872 0,296 595 0.294 305 0,292 004 0,289692 0,287 369 0.285 036 0.282 694 0,280344 0,277 985 0,275 618 0,273 244 0.270 864 0.268 477 0.266 085 0.263 688 0.261 286 0.258 881 0.256 471 0.254 059 0 ,251 644 0.249 228 0.246 809 0,244 390
erf (x) 0,520 500 0,529244 0,537 899 0,546464 0,554 939 0,563 323 0,571 616 0,579816 0,587 923 0,595 937 0,603 856 0,611681 0,619 412 0,627 047 0,634 586 0,642029 0,549 377 0,656 628 0,663 782 0,670840 0,677 801 0,684 66ó 0,691 433 0.698104 0,704 678 0.711156 0 .717 537 0.723822 0.730 010 0.736 103 o 742 101 0,748 003 0,753 811 0.759 524 0,765143 0.770 668 0.776 100 0,781 440 0,786 687 0.791 843 0.796 908 0,801 883 0.806 768 0.811 563 0.816 271 0.820 891 0,825 424 0.829 870 0.834 231 0.838 508
1
Z's l 9'(X):
m1
Tablas
,.
--
e 1 ;
Valores estadísticos '
,2
2 ~(x):V2'/tJ e T
Función de error [. 2 2 -t erf(x) e · dt
· dt;
=w
o
o
X
q; (x)
erf (x)
X
rp (x)
erf (x)
1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1.34 1.35 1,36 1.37 1.38 1,39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1,45 1.46 1.47 1.48 1.49
0,241 971 0,239 551 0,237 132 0,234 714 0,232 297 0,229 882 0,227 470 0,225 060 0,222 653 0,220 251 0,217 852 0,215 458 0,213 069 0,210 686 0,208 308 0,205 936 0,203 571 0,201 214 0,198 863 0,196 520 0,194186 0,191 860 0,189 543 O, 187 235 0.184937 O, 182 649 0,180 371 O, 178 104 0,175 847 0,173602 0,171 369 0,169147 0,166 937 0.164 740 0,162555 0.160383 O, 158 225 0.156 080 0.153 948 0,151 831 0,149 727 O, 147 639 0.145 564 0.143 505 O, 141 460 0.139431 0,137417 0.135 418 0.133 435 0.131468
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