Matematiksel Elyazmaları

u\=
ui - u =

l)'deki farktan şuna ulaşılın y ı - y _ A *1 ) - Â u ) . u\-u Uı ~u

dy _ < m . du du

bununla birlikte, df(u) = f'( u ) d u olduğu için, dy_ _ f ' ( u ) d u du du sonuç olarak

3) & = f ' ( u ) . du

32

.

2)'deki farktan şu çıkan u^u x\-x

_
du _ d
dx

ve d
£ dx

=

3) ve 4) denklemlerini çarpıyoruz; dolayısıyla 31

9 ?du • :dxr vc?a ^ dx

e .£ .ö .

[Quod erat demonstrandum (kanıtlanması gereken şey), -ç.) N. III. Bu ikinci bölümün sonucu, M üze'de John Landen'e başvur­ duğumda çıkıverecek.32

33

"DİFERANSİYEL ÜSTÜNE ” 33 ADLI ÇALIŞMAYLA İLGİLİ TASLAKLAR VE EKLER

BÎRÎNCl TASLAK34

Gerek u, gerek z değişkenlerinin x fonksiyonu olduğu f(u , z) [= uz] farklılaştırmasına varır varmaz -yalnız bir tek bağımlı değişkeni (yani, y) olan bundan önceki durumların tersine- iki yanda da aşağıdaki diferansiyel anlatımları elde ederiz: Birinci örnekle dy_ _ z du_ dx dx İkincide, indirgenmiş biçimi dy = zdu + udz ki, sonuncunun da bir bağımlı değişkeni olan biçimdekinden, örneğin dy = max” ' 1 d x ' tekinden farklı bir biçimi vardır; çünkü burada, dy = zdu + udz'de kesinlikle böyle olmayan durumu, f ( x ) = maxm' 1 diferansiyel sembollerinden

'i veriverir. Bir bağımlı değişkeni dx olan denklem ler, durumunda, türetilmiş x ['li fonksiyonların] fonksiyonlannın gerçek farklılaşurma yoluyla [farkları olarak] nasıl elde edil­ diğini ve onların sonraki kısaltmalarını ve aynı zam anda türetilmiş fonksıyon ıçm ilk ve son kez gösterdi.

= X hep 0 = 0 . ^ 'a vardığından, ilkel (wal-

dursprünglichen) biçiminde 2 . = herhangi bir nicelik olduğu için, burada —= ^ kullanımı valnız verinde dcüil. zorunlu bile eörünür. Bununla bir-

eşit, = m xm •

görünür;

2 .'m kendisi de bu değerin, x m 'den türetildiği

37

işlemin sembolik sonucudur; İ L 'le böyle bir sonuç gibi anlatılır. Nitedx kim ^ ( = — I , kökeninden, dx \ 0 /

İ L sembolünün aracılığıyla elde edilmiş dx

f ' ( x ) ' in değil, tersine önceden türetilmiş f ' ( x ) 'in sembolik değeri veya diferansiyel anlaumı olarak saptanmış biçimdir. Ne var ki, aynı zamanda, bu sonuca ulaşır ve bundan ötürü diferan­ siyel hesap tabanında (Boden) işlem yapar olduğumuzda, [süreci] tersine çevirebiliriz; örneğin, *■ = f(x ) = y farklılaştınlacaksa, dy = m x f ‘ 1 dx veya İ L = m x " '1 dx olduğunu öteden beri (von vornherein) biliyoruz. Nitekim burada sembolle başlarız; o artık x fonksiyonundan bir tü­ revin sonucu gibi görünmez; tersine, şimdiden, İ L 'jn , yani f ' ( x ) ' m gerdx çek değerini elde etmek için/fxj üzerinde hangi işlemler yapılacağını gös­ teren bir sembolik anlatım35 gibi görünür. Birinci durum da/ ' W i n sem­ bolik eşdeğeri olarak — veya İ L elde edilir; bu da, İ L kökenini açığa 0 dx dx dy

vurmak için zorunlu başlangıçtır; ikinci durumda ^

sembolünün gerçek

değeri o la ra k /' (x) elde edilir. Ama sonra, İ L , ^ L sembollerinin dife* dx2 ransiyel hesap işlem formülleri (Operationsformelnft6 oldukları durumda, en basil örnek d y - f ( x ) d x ’te önceden olduğu gibi, denklemin sağ yanında

38

da böyle form üller olarak ortaya çıkabilirler. Böyle bir denklem, son biçi­ minde, bu durum da olduğu gibi, bize

- f (x), vb. verivermezse, o dx zaman bu, tanımlanmış (bestimmten) denklem lere uygulamada hangi iş­ lemler yapılacağını basitçe anlatan bir denklem olduğunun kanıtıdır. u ve z, ikisi de, aynı üçüncü değişkenin, yani x 'in fonksiyonları iken değişken de oldukları yerde, d(uz) 'deki durum -ve olanaklı en basil durum- da budur.37

u ve z, ikisi de, x 'e bağımlı değişkenler durum unda iken, fark­ lılaştırılacak f(x ) veya y = uz verilmiş, ö y ley se, y ı = «i 2ı ve yı - y = Uı Z\

uz.

Böylece: y\-y

« ı* ı

uz

X\-X

X\ - X

Xı-JC

veya Ay = U j Z j - u z Ax

Xi-x

Ama u, z, - uz = Z] (uı - u) + u(z\ - z); 39

çünkü bu şununla eşdeğer Z\ U\ - Z\ U + UZ\ - UZ = Zı

- uz.

Bundan dolayı: U\Z\ - UZ U\-U - i —!--------- = Z j— X\-X

Zı - z + u —-—

X^-X

X\-X

Şimdi her iki yanda X\ - x = 0, veya X\ = x olursa, Uj - u = 0, demek ki Uj = u ve zt - z = 0, demek ki zj = z olur; bundan ötürü & = z ^ dx dx

+ u * dx

dolayısıyla da rffuzj veya dy = zdu + udz elde ederiz. Bu noktada, bu uz farklılaşm asında, yalnız bir bağımlı değişkeni olan daha önceki durumlardan ay n olarak, burada denklemin her iki yanın­ da diferansiyel semboller buluverdiğimiz göze çarpabilir. Şöyle ki: Birinci örnekle dx

dx

dx

İkincide d(uz) veya dy = zdu + udz ki, bunun da bir bağımsız değişkeni olan biçimden, örneğin dy = f'(x ) d x ' ten farklı bir biçimi vardır; çünkü burada dx 'e bölme, herhangi bir x, f ( x ) fonksiyonundan türetilm iş sembolik katsayılardan kurtulmuş özel değeri (Spezialwert) içeren ^ - = f ' (x)dx 'i veriverir: dy - zdu + udz dx durumunda ise hiçbir anlamda böyle değildir. Yalnız bir bağımsız değişkenli fonksiyonlarda, bir x fonksiyonun­ dan, örneğin f (x) = z ^ 'd e n , ikinci bir x fonksiyonu f ' ( x ) 'in veya verilen 40

durumda mx” ' 1 'in, yalnız gerçek farklılaştırm a v e sonraki kısaltm a ile nasıl çıkarılabildiği ve aynı zamanda, bu işlemden denklem in sol yanında, türetilmiş fonksiyon için

— = İ L sem bolik eşdeğerinin nasıl çıktığı 0 dx

gösterildi. Bundan başka, — = İ L konması burada yalnız yerinde değil, ma0 dx tematiksel olarak zorunlu idi. jj- kendi ilkel biçim inde asla her büyüklü­ ğü alamadığından, jj- = X hep 0 = 0 verir. Bununla birlikte, burada jj- , yukarıdaki örneğin n vin ' 1 gibi, tümüyle tanım lanm ış bir gerçek değerin sembolik eşdeğeri olarak görünür ve kendisi bu değerin x ” 'den türetilmesini sağlayan işlemlerin sonucudur; böyle bir sonuç olarak, İ L biçiminde dx kesinlikle saptanmıştır (festgehalten). Bundan ölürü, burada İ L |= 2 . J >ın kendi kökeninde saptandığı yerde, İ L sembolü kullanılarak f ' ( x ) asla bulunmaz; tersine İ L didx dx feransiyel anlatımı, önceden türetilmiş x fonksiyonunun sembolik eşdeğe­ ri olarak [ortaya çıkar]. N e var ki, bu sonucu bir kez elde edince, tersine ilerleyebiliriz. Farklılaştırılacak birf(x), örneğin jc"\ verilmişse, o zaman önce dy değeridy m~^ ni arar ve dy = mx” ■1 dx. böylccc de - f- = m x buluruz. Sembolik andx laüm burada çıkış noktası olarak görünür (fıgurierı). Böylece (so) diferansiyel hesap tabanında işlem yapıyoruzdur; yani,

dy

vb. x fonksiyonuna

bilinen hangi işlemler uygulanacağım gösteren form üller gibi görev yapıdy I 0 \ yorlar. Birinci durumda — 1- ğ I , f ' ( x )'in sembolik eşdeğeri olarak elde

41

edildi, İk in c id e /'(x) arandı ve

t dx

, vb. sembollerin gerçek değeri ^2

olarak elde edildi. Bu semboller önceden diferansiyel hesap işlemsel formülleri (Operationşformeln) gibi iş görmekteydiler, öyleyse en basit durumda, dy = / ' (x)'\c, önceden olduğu gibi, denklemin sağ yanında da onaya çıkabilirler. Böyle bir denklem, son biçiminde, anılan durumda olduğu g ib i,^ - = / ’(x) dx 'e, yani bir gerçek değere doğrudan doğruya indirgenebilir değilse, o zaman bu, onun tanımlanmış fonksiyonlar tanımlanmamış [sembollerinin] yeri­ ne ele alınır alınmaz hangi işlemlerin kullanılacağını yalnızca sembolik olarak anlatan bir denklem olduğunun kanıtıdır. Bunun vardığı en basit durum, u ve z ikisi de değişken, am a aynı zamanda aynı 3'üncü değişkenin, örneğin x 'in fonksiyonları olduğu d(uz) durumudur. Burada farklılaştırma işlemi (Differenzierungsprozess) ile dy 'İL dx

dıı + u — dz =x — dx dx

elde etliysek (Bunun başlangıcı için I. Bölüme bakınız; bu bölümün 10. sayfasında* yinelenmiştir.) o zaman unutmamalıyız ki burada u ve z ikisi de x 'e bağımlı değişkendir; bundan ötürü y, u 'ya ve z 'ye bağımlı olduğu için, yalnız x 'e bağımlıdır. Bir bağımlı değişkeni olan durumda sembolik yandaydı, şimdi iki değişken, u ve z, sağ yandadır, ikisi d e y 'ye göre ba­ ğımsız, ama ikisi de x 'e bağım lıdır ve x 'e bağımlı değişkenler [olarak] du dz onların karakteri, her birinin sem bolik katsayıları olan ve — 'te görünür. Sağ yanda bağım lı değişkenlerle iş görürsek, o yanda zorunlu olarak diferansiyel katsayılarıyla iş görmemiz de gerekir. dy — dx

dıı dz =z— + u — dx dx

* Bu k itabın 39. sayfasına bakınız.

42

denkleminden şu çıkan d(uz) veya dy - zdu + udz. Bununla birlikte, bu denklem , yalnızca, u ve z tanım lanm ış fonksiyonlar olarak verildiği zaman (sobald) yapılacak işlemleri gösterir. En basit olanaklı durum, örneğin şu olur: u = ax

,

2 — bx

Öyleyse d(uz) veya dy - b x . a d x + a x . b d x . İki yanı da dx 'e bölüyoruz; Dolayısıyla dx

= abx + box = 2abx

ve = ab + ba = 2ab. d x2 Bununla birlikte, çarpımı ta başlangıçtan alırsak, y veya uz = a x . b x = abı?, öyleyse uz veya y - abx1 ,

^ = 2abx ,

= 2ab.

* Böylcce, örneğin [û) =] z ^

gibi bir formül elde eder etmez, bel­

lidir ki genel bir işlemsel denklem "diycbildiğimiz"* denklem, yapılacak diferansiyel işlemin bir anlatımadır]. Örneğin, y ’nin ordinat ve jc'in apsis

* Asıl metinde İngilizcedir. -Trans.

43

olduğu y — anlatımını ele alırsak, o zaman bu keyfi bir eğrinin teğctaldy tına uygun genel sembolik anlatım dır (tıpkı kendileri bir üçüncüye b a­ ğımlı iki değişkenin çarpımının farklılaşunlmasma d(uz) = zdu + udz 'nin olduğu gibi). Bununla birlikte, dx 'e uygun anlamlı gösterim, yani apsi­ sin diferansiyeli ve dy 'ye uygun anlamlı gösterim, yani ordinatın diferan­ siyeli elimizde ise de, anlatım ı olduğu gibi bıraktığımız sürece, bundan başka hiçbir sonuç çıkmaz.. Olumlu herhangi bir sonuç elde etmek için, bize y 'ye karşılık ve dolayısıyla dx 'e de karşılık x 'li belirli bir değer veren bir eğrinin denkle­ mini, örneğin bayağı parabolün denklemini, y2 = ax, almalıyız; o zaman, farklılaştırma aracılığı ile 2ydy = adx; bundan da dx =

elde ederiz. a

Bu belirli değeri teğctaltma uygun genel formül y — 'de dx'in yerine kody yarsak, y

M l. a

_ y . 2ydy _ 2 y ^

dy

ady

a

elde ederiz ve y2 = ax olduğu için, [bu] = 2^ = 2* , a bayağı parabolün teğetallınm değeridir, yani = 2x apsis'ür. Bununla birlikJy te, teğetallına t dersek, genel denklem, y — = t ve ydx = rdy’ye varır. dy Bundan ötürü, diferansiyel hesap bakımından, sorun (Lagrange ayrı tutu­ lursa) şöyle konur: ^ için gerçek değeri bulmak. dx Orijinal biçim — 'ı vb. yerine koyarsak güçlük belli olur. 0 dx dy — dx 44

du , dz = z— + u— dx dx

olarak ortaya çıkar. Bu, doğru ama hiçbir yere (zu nichts) varmayan bir denklemdir, en azından böyledir, çünkü üç jj- , farklı [üretimleri (deriva­ tion) artık görünm eyen farklı diferansiyel katsayılarından gelmektedir. Ama şöyle düşününüz: 1)

B ir bağım sız değişkenle birinci gösterim de (exposition) bile

önce 0

veya — = f ' ( x ) ; demek k i dy = / ' (x)dx dx

elde ederiz. Ama, madem ki ^ =— , dx 0 ^

dy = 0 ve dx = 0 , demek ki 0 = 0.

yerine gene onun belirsiz anlatımı

jj- koydu isek de, burada

kesin bir yanlış yapm ış değilizdir; çünkü jj- , burada yalnız f ‘(x) gerçek değerinin sembolik eşdeğeri, bu sıfatla da & anlatımında, dolayısıyla da dx dy = f ‘(x)dx 'te saptanmış olarak bulunur. 2)

u\-u xı-x

fa 0 , — veya — olur; çünkü x değişkeni = x, veya x, - x = 0 dx 0

«ı - u 0 olur; böylece -------- için hemen 0 değil, tersine —elde ederiz; bununla xı-x Q 0 birlikte,genelde biliyoruz ki, ^ her değeri alabilir ve özel bir durumda tanımlanmış bir x fonksiyonu u yerine yazılır yazılmaz özel değeri (Spezialwert) vardır; dolayısıyla, — yerine — koyarken yalnız doğru değiliz0 dr dir, böyle davranm amız da gerekir;çünkü — ile birlikte — , burada dx dx

yalnız yapılacak diferansiyel işlemlere uygun semboller olarak ortaya çı­ kar.

İL

=

dx

z âL

+

u±

dx

dx

sonucunda kaldığımız sürece dy = zdu + udz , öyleyse — , ~ , du vq dz de, tıpkı herhangi bir değer alabilen dx dx gibi, belirsiz değerler olarak kalırlar. 3)

Alışılmış cebirde

2

— 0

gerçek bir değeri olan anlatımlara uygun

bir biçim olarak ortaya çıkar; 2 . herhangi bir nicelik için bir sembol bile 2

2

olabilir, ö rn eğ in x ' a Gerilmiş, x - a x - a

öyleyse x - a ~ 0 ve x2 = a2,

dolayısıyla da z2 - a 2 = 0 koyarız. Böylece

,,

x 2 - a2 _ 0 x - a 0 elde ederiz; sonuç, şimdiye dek doğrudur; ama 2 . 'm herhangi bir değeri 2

2

olabildiği için, x . ~ . —'nm gerçek değeri olmadığını hiçbir biçimde kax - a nıtlamaz. x 2 = a2 'yi çarpanlarına ayırırsak, = (x + a) ( x - a) olur; dolayısıy­ la x 2 - o2 = _ (x + d) . x - a = x + a ; x - a x-a böylece, x - a - 0 ise, o zaman x - a , dolayısıyla x + a = a + a = 2a .38

46

P( x - a) terimi bayağı bir cebirsel denklemde bulunsaydı, o zaman x = a ise, x ~ a = 0, öyleyse zorunlu olarak P(x - a) - P . 0 = 0; tıpkı aynı varsayımlar altında P (x* - a 2) = 0 gibi, x 2 - d 2 'nin (x + a) (x - a) çarpanlarına ayrılması bunu hiç değiştirmezdi; çünkü P(x + a) ( x - a ) = P (x + a) . 0 = 0. Bununla birlikte, P . jjjj terimi x - a koym akla gelişti ise, bun­ dan ötürü değeri ister istemez = 0 olur sonucu asla çıkmaz. t

— 'ın herhangi bir değeri olabilir; çünkü — = X her zaman şuna varır: 0 = X . 0 = 0; am a

0 ® — herhangi bir değeri alabildiği içindir ki,

değeri ister istem ez 0 olmak gerekmez; ve kökeni biliniyorsa, ardında saklı bir gerçek değeri de ortaya çıkarabiliriz. 2

2

Öyleyse, öm eğin P . - ~a , x = a , x - a = 0 ve gene x 2 = a2, x -a x 2 - a 2 = 0 ise; böylcce Pmx ± l = p ' 0 x -a 0 Bu sonucu matematiksel bakımdan tümüyle doğru bir tarzda elde ettiysek de, P . jj- = 0 olduğuna sessizce karar vermek matematiksel ba­ kımdan gene de yanlış olur; çünkü böyle bir varsayım,

'm ister iste­

mez O’dan başka bir değeri olamayacağı demektir; şöyle ki p . T*l = p . 0 . 0 x 2 - a2 'yi (x + a) (x - a) çarpanlarına ayırmaktan başka bir sonuç çıkıp çıkmadığını incelemek daha uygun olur; gerçekte bu, anlatımı 47

p . (x + a) .

= P . (x + a ) . 1 'e x -a

ve x = a olduğunda P . 2a veya 2Pa 'ya. dönüştürür. Bundan ötürü, de­ ğişkenlerle işlem yaptığımız (rechnen) zam an,39 , — ,vb. difcransiP dx dx yel sembollerini kullanarak — 'in kökenini kesinlikle saplamak (festzuhalten), o sembollerin belirli bir farklılaştırma işleminden geçmiş değiş­ kenlerin türetilm iş fonksiyonlarının sembolik eşdeğerleri olarak onaya çıktıklannı önceden (ursprûnglich) kanıtladığımız için, yalnız daha uygun değil, gerçeklen yerindedir. Onlar bu bakımdan kökensel olarak (ursprünglich) böyle bir farklılaştırma işleminin sonucu iseler, o nedenle değişken­ ler üzerinde henüz yapılacak bir işlemin tersine çevrilm iş (umgekehrt) sembolleri, dolayısıyla sonuçlar olmaktan çok çıkış noktaları olarak görü­ nen işlemsel semboller (Operationssymbolcn) olurlar, onların diferansiyel hesapta asıl kullanımı (Dienst) da budur. Onlar, böyle işlemsel semboller olarak, farklı değişkenler arasındaki denklemlerin içeriklerini bile anlatabi­ lirler (örtük (implicit) fonksiyonlarda 0, ta başlangıçtan [denklemin] sağ yanında, gerek bağımlı, gerek bağımsız değişkenler ise, katsayıları ile bir­ likte, sol yanında bulunur). Böylcce elde ettiğimiz denklemde d(nz) dx

d y _ z d u i udz dx dx dx

Daha önce söylenenden dolayı, bağımlı x , z \ e u fonksiyonlarının burada gene u ve z gibi değişmemiş göründükleri gözlenebilir, am a on­ ların her biri, öbürünün sembolik diferansiyel katsayısının çarpanı ile do­ natılmıştır (ausgestaıtet). Bundan ötürü, denklem in tek değeri, u ve z, anıldıkları sırayla, bağımsız değişkenler, tanım lanm ış iki x fonksiyonu olarak verilince, semboller aracılığıyla hangi işlemler yapılacağını gösteren genel bir denk­ lemin değeridir.

48

Ancak elim izde u ve z için belirlenmiş [jc] fonksiyonları olunca

J c

( =

§

)

v e

d c

( =

)

o la l5 İ lir

v e

d o l a y ı s * y I a

^

( =

5 " )

d a

0

o l u r ;

>yle ki jj- = 0 değeri kestirilemez; tersine, tanım lanm ış denklemin kendi­ sinden çıkarılması gerekir. Örneğin, u = x 3 + ax2 olsun; öyleyse 10 j _

du _

1 0 ,1 "

dx

f o '\

_ d*u

>0

3 x 2+ 2 a x ,

=

6x+ 2 a ,

=

6v

=

0v »

dx2 tPu

f o '\

i

ı0 ,

f o 1| iO ,

_

ctu

İ3 ~ d z4

demek ki, bu durumda —= 0. 0 Sözün kısası, burada, farklılaştırm anın kendisi aracılığıyla, bir sonuç olarak sembolik biçimleriyle diferansiyel katsayılarını, diferansiyel denklemde, yani d(uz) dv dı dz veya OL = z :— + u — dx dx dx dx denkleminde

dx

değeri olarak elde ederiz.

49

Bununla birlikte, şim di biliyoruz ki, u = a tanım lanm ış x fonksiyonu, diyelim ki f(x ). Dolayısıyla,

U\ - u, ---------, kendi dileransiyel semboX\ - x

lü olan — ' t e , / ' (x)'&, ilk türetilmiş f(x) fonksiyonuna eşittir. Tıpkı didx yelim ki z =
’in,

yani diyelim ki ilk tü retilm iş/M fonksiyonunun yerini tutan gerçek değe­ rin bulunması; ve o değerin
y \ = y + Q -h + vb. dx Ama, sonuç olarak, bunlar da ancak genel, sembolik işlemsel denk­ lemlerdir. uz farklılaştırılm ası durumunda ilginçlik, bu durumun -x ba­ ğımsız değişkeninin yalnız b iry bağımlı değişkeni olduğu durumların ge­ lişimine ters olarak- orijinal yöntemin kendisi uygulandığı için diferansi­ yel sembollerin denklemin sağ yanına da konduğu (onun gelişmiş anlatı­ mı), öyle ki, onların aynı zamanda işlemsel sem boller olarak işe karıştığı, böylelikle de denklemin kendisinin içerikleri olduğu en basit durum ol­ ması olgusundadır (fact). Onların yapılacak işlemleri gösterdiği, bundan ötürü de çıkış nok­ tası olarak iş gördüğü bu rol, onların şimdiden kendi tabanında işleyen (sich bewegenden) bir diferansiyel hesaptaki karakteristik rolüdür; ama şu kesin (sicher) dir ki, bu tersine dönmeyi, rollerin bu tersine çevrilmesini, hiçbir m atem atikçi hesaba katm am ıştır; tüm üyle basit bir diferansiyel denklem kullanarak bunu göstermek gerekliğini ise hiç mi hiç hesaba kat­ mamıştır. Gerçekte yalnızca şu söylenmiş oldu: Diferansiyel hesabı bulan­ lar ve onları izleyenlerin büyük çoğunluğu diferansiyel sembolleri hesap için çıkış noktası yaparlarken, Lagrange, tersine, bağımsız değişkenli ger­ çek (w irklichen)40 fonksiyonların cebirsel türetimini önceden türetilmiş fonksiyonların yalnızca sembolik anlatımlarına çıkış noktası ve diferan­ siyel semboller yapar. d(uz) 'ye bir kez daha dönersek, sonra x x - x = 0 koymanın sonucu (Produkl) olarak, diferansiyel işlemin kendisinin sonucu olarak, şunu elde ettik: dv du dz ^- = z — + U— , dx dx dx Burada ortak bir payda bulunduğu için, indirgenmiş bir anlatım ola­ rak

dy = zdu + udz

51

elde ederiz. Bu, yalnız bir bağım lı değişkeni olan durum da, türetilm iş x fo n k siy o n u n u n ,/'fa /in (örneğin, ax” = f(x ) isQ , f ' ( x ) olan m axm l ’in) sembolü olarak

'i sol yanda onun sembolik anlatımı gibi elde etm edx mize benzer (entspricht) T- = / 'W dx ki, bunun birinci sonucu dy = f '( x ) d x 'lir (örneğin,

dx

= m a x m A \ y fonksiyonunun diferansiyeli olan dy= m axm 1

dx) (ki onu, sonunda, aynı ölçüde,

- m axm' he yeniden dönüştürebilidx

riz.) Ama dy = zdu + udz durumu, du ve dz diferansiyellerinin burada işlemsel semboller olarak sağ yanda bulunması ve dy ’nin ancak onların gösterdiği işlemlerin bitirilm e­ sinden sonra tanımlanması olgusundan ötürü bir kez daha ayırt ediliyor. u ~ f ( x ) , 2 =
dz =
52

Bundan ötürü: d y =

Dolayısıyla ilk durumda önce

^ dx

=

f

' M

katsayısı ve sonra dy= f(x)dx diferansiyeli bulunur. İkinci durum da ise, önce dy diferansiyeli, sonra da ^

diferansiyel

katsayısı [bulunur, -ç]. Diferansiyel sembollerin kendilerinin önce f(x ) ile yapılan işlemlerden türetildiği birinci durumda, önce türetilmiş fonksiyon, gerçek (wirkliche) diferansiyel katsayısı bulunm ak gerekir; İ L , onun dx sembolik anlatımı olarak ona karşıt (gegenûbertrete) durur; ve ancak o bu­ lunduktan sonra diferansiyel (das Differential) dy = f ' ( x ) dx türetilebilir. dy = zdu + udz 'de ise döndürülmüştür (ımgekehrt). du ve dz burada işlem sel sem boller olarak göründükleri ve nasıl yapılacaklarım diferansiyel hesaptan, önceden bildiğimiz işlemleri gösterdv dikleri için, — 'in gerçek değenni bulmak am acıyla, her somut durumda u yerine x 'li değerini, dy =
53

bulmak için de z yerine aynını -onun x 'li değerini- koymalıyız; o zaman d x ’e bölmek, ilk kez,

Ş .

dv

'in gerçek değerini verir.

= < f ( x ) f ' ( x ) + f(x)
ax

~ r • ~ r » T" * — dx

dx

dx

, 2 dx

vb. için doğru olan, d ife ra n siy el se m b o lle -

rin kendilerinin genel sembolik işlemsel denklemler içinde göründükleri

bülün karmaşık formüller için doğrudur.

54

ÎKİNCÎ TASLAK41 [I]

f ' ( x ) cebirsel liircıiminin (derivation) sembolik diferansiyel anla­ tımları ^ veya £ÖL-i de aynı zam anda belirlemek için, f ' ( x ) cebirsel lü0 dx retimiyle işe başlar ve bu yolla onun anlamını da ortaya çıkarırız. Sonra, ayrı ayn ^

^

katsayılarının yerini tutan gerçek e ş d e ğ e rle r i:/'^ ) .

(p'(x)’i bulmak için, verilmiş biçim ler olarak bu sembolik diferansiyel kat­ sayıları ile işe başlayarak onu döndürmemiz gerekir. Gerçekten de, diferan­ siyel hesabı karşıt kutuplardan başlayarak konu etmenin bu farklı yolları ve farklı iki tarihsel okul- burada öznel yöntemimizdeki değişikliklerden değil, gereği yerine getirilecek uz fonksiyonunun doğasından ortaya çıkar. Sağ kutuplan başlayarak ve onunla cebirsel işlem yaparak, onun gereğini de bir tek bağımlı değişkeni olan x fonksiyonlarmınki gibi yerine getiri­ riz. Herhangi bir matematikçinin bu birinci (tarihsel olarak ikinci) cebirsel türelim yönteminden ileri gelen bu zorunlu tersine çevirmeyi, gerek uz gibi pek basil bir fonksiyon, gerek herhangi bir başkası için, değil, sına­ dığına, ona dikkat ettiğine bile inanmıyorum. Gerçekten, 0 — 0

dv veya =*- = dx

du dz z— + u — dx dx

denkleminde,

sağda bulunan türevden, gene tümüyle aynı biçimde, uz dx ile birlikle, tıpkı bir tek bağımlı değişkeni olan x fonksiyonlarıyla birlik­ te olduğu gibi, çıkıverir; ama, öte yandan, — , — de dx

diferansiyel sembol­ 55

Jeri f ' (x ) ’te veya ilk uz türevinde gene birleşmişlerdir; bundan ötürü de -a.. eşdeğerinin öğelerini (element) biçimlendirirler. Sembolik diferansiyel katsayıları, böylcce diferansiyel işlemin tü­ müyle sem bolik sonucu olarak (als symbolisctıes Resulıat derselben), önceki gibi belirtmek yerine, kendileri onun nesnesi (object) veya içeriği olurlar. Bu iki noktayla birlikte, birincisi, türevin kalıcı öğeleri olan dife­ ransiyel katsayılarının da, değişkenlerin de diferansiyel işlem (Differentialoperation) nesneleri olması; İkincisi, sorunun gerçek diferansiyel katsayısı f ' ( x ) için sem bolik anlatım bulm aktan, onun sembolik anlatımı için gerçek diferansiyel katsayıyı bulmaya değişmesi — bu iki noktayla birlikte üçüncüsü, x gerçek fonksiyonu üzerinde önceki farklılaştırma işle­ minin sembolik sonucu olarak ortaya çıkmak yerine, sembolik diferan­ siyel anlatımların şimdi, tersine (umgekehrt), x gerçek fonksiyonu üzerin­ de henüz yapılacak farklılaştırma işlemlerini gösteren sem boller rolünü oynamaları, böylcce işlemsel semboller olmaları, belirlenir. Artık, *L = z * L + u * dx dx dx örneğimizde, yalnız z 'nin de,iz 'nun da x fonksiyonu olduğunu değil, ama, tıpkı y = x"1 ile olduğu gibi, ııv e z için verilen, örneğin u = fx

,

z = * 3+ 2a x2

gibi x 'li gerçek değerler olduğunu da bilmedikçe, işlem yapamayız. Öyleyse, bu tarzda, — , — , gerçekte, « v e z yerine konan herdx dx hangi bir keyfi x fonksiyonu için işleyişi (AusfUhrungsweise) iyi bili­ niyor varsayılan işlem göstergeleri olarak durur. 56

c) Bulunan denklem yalnız bir sembolik işlemsel denklem (Operalionsgleichung) değildir, ama aynı zam anda, basit olarak, hazırlayıcı bir sembolik işlemsel denklemdir. [D ]

^ dx

dx

+ a * 'te dx

dx paydası iki yandaki bütün terimlerde bulunduğu için, denklemin indir­ genmiş anlatımı şöyledir: II)

dy veya d(uz) = zdu + udz.

Bu denklem dosdoğru der ki, keyfi iki değişkenin bir çarpımı (ki bu, keyfi bir sayıdaki değişkenlerin çarpımına yapılacak ek uygulamalarla genelleştirilebilir) farklılaştınlacağı zaman, iki çarpanın her biri öbürünün diferansiyeli ile çarpılır ve böylelikle elde edilen çarpımlar toplanır. Birinci işlemsel denklem dv = z dit dz 'dî. — + u— dx dx dx böylece, iki keyfi değişkenin çarpımı farklılaştırılacaksa, kendi amacına, yani genel bir sem bolik işlemsel form ülünkine hizm et ettikten sonra, doğrudan doğruya ereğe götüren gereksiz bir hazırlayıcı denklem olur. V e burada, orijinal cebirsel türelim işleminin gene kendi karşıüna döndüğü söylenebilir. Orada, ikisi de alışılmış cebirsel anlatımlar olan f ( x ı ) -f(x ) (çünkü f (x) v e / t a ) tanımlanmış cebirsel x fonksiyonları ola­ rak verildi) için, onların yerini tutan sembol olarak Ay = yı - y

elde etlik. Sonra

yerine X\ - x

ilk türetilm iş f(x ) fonksiyonu-

kondu; bunun üzerine f ( x ) Air

& oldu ve sonunda, diferansiyel kaldx

sayısının son denkleminden, 57

^ =f' (x) . dx dy = f ' ( x ) d x diferansiyeli elde edildi. Bununla birlikte, yukarıdaki denklem*, çıkış noktalan (Ausgangspunkle) olarak dy, du, dz diferansiyellerini verir. Böylccc, gerçekte keyfi olarak tanımlanmış x fonksiyonları, yalnız u = f(x) ve z =
= cp(x)f'(x) +f (x )c p' (x) .

Diferansiyelin hazır bir işlemsel sembol rolünü şimdiden oynadığı burada, diferansiyel katsayısını bundan ölürü ondan türetiriz; oysa orijinal cebirsel geliştirmede diferansiyel, tersine, diferansiyel katsayısına uygun denklemden türetildi.

(*) Denklem D). -Trans.

58

D iferansiyelin kendisini, onu geliştirdiğim iz en basil biçimiyle, yani, diferansiyeli dy = adx olan

birinci dereceli fonksiyondan geliştirdiğimiz gibi alalım. Bu diferansiyelin denklemi, kendisinden türediği 0 dy — veya — = a 0 dx diferansiyel katsayısınınkinden çok daha anlamlı görünür. dy = 0 ve dx = 0 olduğu için, dy = adx, 0 = O'a özdeştir. Ancak, sıfıra eşiüenm iş -am a, ortadan kalkmaları sırasında bu semboller aracılığı ile saptanmış- yj - y ve x ı - x farkları yerine dy ve dx kullanm akta tü­ müyle doğruyuzdur. dy = adx veya, genelde dy = f ' ( x ) dx anlatımı ile kaldığımız sürece, bu yukarıdaki durum da, kendisinden onu dönüştürmeyi sürdürebileceğimiz a 'ya eşit olan

T dx

=

f

' ( x )

olgusunun yeniden anlatımından başka bir şey değildir. Ama bu dönüştü­ rülme yeteneği onu şimdiden bir işlemsel sembol (O peralionssym bole) yapar. Birdenbire görüyoruz ki, farklılaştırma sürecinin bir sonucu olarak d y = f ( x ) dx bulsaydık,

= / * (x) yani, diferansiyel katsayısını buldx mak için iki yanı da dx ile yalnızca bölmemiz gerekirdi. 59

B öylecc,örneğin y2 = ax't& d ( f ) = d(ax) ,

2ydy = adx.

Diferansiyellerle ilgili son denklem, bize diferansiyel katsayılarıyla ilgili iki denklem sağlan & = JL dx 2y

ve — = dy a

.

öx Ama 2ydy = adx de, bize dx için, örneğin leğeialtı y — yenne dy genel formüle giren ve sonunda, bayağı parabolün tcğctalunın değeri ola­ rak, apsisin iki katım, 2x 'i belirlemede yardım eden

rı

değerini sağ­

layıverir.

II

Şimdi, bu sembolik anlatımların önce hazır (fertiğe) işlemsel for­ müller olarak hesaba yaradığı, öyle ki sembolik katsayının gerçek değeri­ nin de bulunduğu ve sonra tersine çevrilmiş cebirsel gösterimin (exposi­ tion) izlenebildiği bir örnek vermek istiyoruz.

1) Bağımlı değişken y ve bağımsız değişken x bir tek denk birleşmemiştir, ama öyle bir tarzda ki, y bir birinci denklemde değişken u 'nun bir doğrudan fonksiyonu ve sonra u bir ikinci denklemde değişken x 'in bir doğrudan fonksiyonu olarak ortaya çıkıyor. Görev: Sembolik diferansiyel katsayısı

'in gerçek değerini bulmak. a ) y = f(u) ,

olsun. 60

b) u =
Sonra, 1) y - f(u) şunları verir: dy_ _ dRuf _ / *(u)du _ , ' (u) âı du du 2)

du = dx

= f(x.)d < = f . (x) dx

dx

Dolayısıyla ^ âı

^ = f ’ (u) . (P'(x). dx

Ama

İL

du - dy

du

dx

dx

Dolayısıyla İ l = f ' ( u )
= 6u ( = f ' ( u ) ) ; du

ama denklem b) u = x3 + ax? diyor. Bu değeri 6u ’da u yerine koyar,sak, İ l = 6 (x 3 + a x 2) du

(=f'(u))

Bundan başka: İ L = 3 x 2 + 2ax

(= ç ' (x)) .

dx Şöyle ki İl . — du

dx

veya

İl

=

6 (jc 3+ û x 2)

(3jc2 +

2 ax)

( = f ' ( u ) . (p'(x)) .

dx

61

2) Şimdi, son örnekteki denklemleri, bu kez onları birinci, ceb sel, yöntemle geliştirmek için ele alalım, a)

y = 3u2 ,

b) u = x 3 + ax2 .

y = 3 v ? olduğu için, yj = 3 u \ , ve ? ı - y = 3 (« î - u 2) = 3 («! - u) (k, + «). Bundan ötürü,

>ı - y = 3 («i + u). I lı - il

Şimdi ux - u - 0

olursa, o zaman u x = u

ve 3(ut + u) böylece

3 (u + u) = 6u ’ya dönüşür. b)

denkleminde u yerine değerini koyarız, şöyle ki & = 6 Oc3 + a r 2) . du

Bundan başka, 3

2

u = x 3 + ax? olduğundan, « ı = X\ + a z j ; dolayısıyla U\ - u = ( j c ı + a r ı ) - (r 3+ ax2) = (z3-je3) + a(jcJ-je2) , 2 2 u ı - u = ( x ı - x ) (xı + Xı X + x ) + a ( x ı ~ x ) (xı + x ) ; böylece U'

U = (*? + x

+ * 2) + <*(*ı + j c ) .

Şimdi Xj - x = 0 olursa, Xj = x, dolayısıyla + x ı x + x 2 = 3jc2

62

ve a (x\ + x) = 2ax. Böylece: — = 3jt2 + 2 a x . dx Şimdi iki denklemi çarparsak, sağ yanda 6(y? + (V?) (3y? + 2ax) elde ederiz ki, bu da, tıpkı önceki gibi, sol yana, dy du

du _ dy dx dx

karşılık olur. . Tiiretimlcrdeki (derivation) farkı belirtm ek için, değişkenlerin ta­ nımlanmış fonksiyonlarım sol yana ve onlara bağım lı fonksiyonları sağ yana koyacağız; çünkü sağ yanda yalnız 0 bulunan genel denklemleri ör­ nek alarak inisiyatifin sol yanda olduğunu düşünm eye alışılmıştır. Böyleee: a) 3 u

- y ;

b) x3 + ax2 = u .

Mademki 3u 2 = y ,

3«ı = y i ,

öyleyse 3 (ıı? - m2) = y : - y veya 3 ( ı i j - ı ı ) («ı + u ) = y ı - y , öyleyse 3 («ı + u) =

y ı *' y «ı - u

Şimdi «j = u, demek ki U \ - u = 0 olursa, o zaman, 3 (m + u ) veya 6 u = & du 63

elde ederiz. 6u 'da, u yerine b) denklemindeki değerini Koyarsak, o zaman, /

6 ( x 3 + ax2)

.

du

Bundan başka, x? + ax1 = u ise, o zaman

2

3

X ı + a x\ = « j ve 3

2

x \ + axı - x

3

2

- ax = u \ - u \

dolayısıyla (jcj - x 3) + a(xı - x 2) - m, - u ■ Sonra çarpanlara ayırırız:

( x ı - x ) (x2 + x ı x + x 2) + a(JCj-Jc) (2:1 + 2:) = Mı - « • Bundan ölürü, (* î +

jc jjc

x 2)

+

+

a ( 2 C ı + 2:)

=

——

-

şimdi 2:1 = x , dolayısıyla x \ ~ x = 0 ise,böylece 3.x:2 + 2ax = — . dx türetilmiş 2 fonksiyonu çarparsak, böylece 6(2:3+ a x2) (32:2+ 2ax) = ^

,

ve bunu alışılmış düzene sokarsak, & . âL = & du dx dx 64

= 6 ( x a + ^ 2) (3*2 + 2a r ) .

Besbellidir ki, birinci farkın, f ( x x ) - f(x ), ay nntılan ve her biri x \ - x çarpanını içeren terim lere sık sık güç bölünm esi yüzünden, bir hesap aracı olarak, tarihsel bakımdan eski yöntemle karşılaştırılamaz. ö te yandan, bu yöntemde, verilmiş işlemsel formüller olarak dy, dx ve — ile başlanır; oysa onlann birincide ortaya çıktığı, üstelik katı­ dır şıksız cebirsel bir tarzda ortaya çıktığı görülür. Daha çoğunu da öne sür­ müyorum. Ve [tarihsel bakımdan] birinci yöntemde, işlemsel formüller olarak diferansiyel sembollerin çıkış noktası nasıl elde edilmektedir? Ya gizlice, ya da açıkça metafiziksel varsayımlarla. Bu varsayımların kendile­ ri, metafizikse!, matematikdışı sonuçlara bir kez daha yol açar ve böylcce o noktada zorla örtbas etme kesinleştirilir, türelim işe başlatılır ve nicelik­ ler gerçekten kendilerinden çıkarılır. Şimdi de, karşıt iki kutuptan başlam akla ilgili tarihsel bir örnek vermek için, d(uz) durumunun bir yandan önce N ewton'ca ve Leibnitz'ce _ geliştirilmiş çözümünü, öte yandan Lagrange'm geliştirdiği ile karşılaştı­ racağım. 1) Newton. Bize önce dendi ki, değişken nicelikler artarken x, y vb. onlann fluxionlarinin* hızlarını başka bir söyleyişle, sırasıyla, x, y vb. ile ilgili artma hızlannı gösterir. Bundan başka, olanaklı bütün niceliklerin sayısal büyüklükleri doğru çizgilerle gösterilebildiği için, x,y vb. hızlannın çar­ pımına eşit olarak, sonsuz küçük x zaman aralıklanyla ortaya çıkan m o­ mentler veya sonsuz küçük kuantumlar, ortaya çıktıktan bu zaman aralığıyla = u z , x x ve y‘x 42

(*) Fluxion: akma, akım, akıniı anlamlarına gelen bu Latince sözcüğü New­ ton, matematikte, değişken niceliklerde sürekli değişim oram anlamında kullandı. -Ç.

65

"ÜÇÜNCÜ TASLAK"

Şimdi y diferansiyelini genel biçiminde, dy = f ' ( x ) dx, ele alırsak, f ' ( x ) 'in dy = d(ax) = adx 'teki gibi, ta başlangıçtan beri bir sabit olduğu durum da bile, karşım ızda şim diden tümüyle sem bolik bir işlemsel denk­ lem vardır. ^ 0 nür. Çünkü,

veya^ = f ' ( x ) dx ^

’in bu çocuğu, anası gibi kuşkulu görü-

= jj- 'da p ay ve payda birbirine ayrılmaz olarak bağ­

lıdır; dy = f ' ( x ) d x 'te ise açıkça ayrıdır, öyle ki insan şu sonuca varmaya zorlanır: dy = f ’(x)dx yalnızca 0 = f ' ( x ) . 0; dolayısıyla 0 = 0 için m as­ kelenmiş, kendisiyle "hiçbir şey yapılmak gerekmeyen” (nichts zu wolle) bir anlatımdır. Yüzyılımızda, örneğin Fransız Boucharlat gibi çözümlemeciler (analist), daha dikkatli bakarak burada bir bityeniği olduğunu sezdiler. Boucharlat diyor ki:* = 3 x 2 ' de, örneğin, ^ , öbür adıyla veya daha da çok dx 0 dx , dy onun değeri olan 3xr, y fonksiyonunun diferansiyel katsayısıdır. ^ böylece 3X2 limitini gösteren sembol olduğundan, dx her zaman dy ’nin altmda durm ak gerekir ama, cebirsel işlem i kolaylaştırm ak için yağı kesir ve

rf

= 3*

2

’i bir ba­

'yi bayağı bir denklem gibi işlemden geçiririz;

böylece de dx paydasını denklemden kaldırarak dy = 3x?dx sonucunu, y diferansiyeli denen anlaumı elde ederiz."43 "Cebirsel işlemi kolaylaştırmak" uğruna, böylece yanlış bir formül sunarız.

(*) Bu, aslı Fransızca olup da Marz'ın Almancaya çevirdiği bir parçanın çevi­ risidir. -Trans.

66

Şey (Sache), gerçekte bu biçimde davranm az, jj- 'da (çoğunlukla | yazılır), y! - y veya f(X\) -f(x), veyaf (x) artım ının (increment) en küçük anlatımının (Minimalausdrucks), X\ - x veya baığımsız değişken ni­ celik x artım ının en küçük anlatımına oranı, payın paydadan ayrılmaz ol­ duğu bir biçimdedir. Am a'niçin? ^ *ı, sıfıra eşitlenm iş farklar oranı ola­ rak alıkoym ak için. Bununla birlikte, X\ - x - 0, dx'te onu sıfıra eşitlemiş x farkları olarak gösteren bir biçim alıp böylece yj - y = 0 da dy olarak ortaya çıkınca, pay ile paydanın ayrılması tümüyle yerinde bir işlem olur. Şimdi dx bulunan yerde onun dy ile ilişkisi bu konum değişikliğiyle bo­ zulmadan kalır, dy = df(x), dolayısıyla = f ( x ) d x , yalnızca

[ =f • (x) ] dx iç in , f ’(x) 'in bağım sız olarak elde edildiği vargısına ulaşmak gereken başka bir anlatım dır. Bununla birlikte, dy = df(x) 'in b ir işlemsel form ül (O perationsform el) gibi oluverdiği bu formülün ne denli kullanışlı ol­ duğu, ömeğin şöyle gösterilin y

2

- ax ,

d ( y 2) = d ( a x ) , 2ydy = adx ; öyleyse dx = 2 & a Bu d x değeri, genel formülde teğetaltı, y — dy

, yerine konursa

bulunur ve madem ki y 2 = ax

, [böylece] =

a

= 2x ;

dolayısıyla 2x, apsisin iki kalı, bayağı parabolün teğeialtımn değeridir. Bununla birlikte, dy = df(x) kendisi ancak daha sonra ^ 'e ge­ ar lişen ilk çıkış noktası (Ausgangspunkt) olarak işe yarıyorsa, o zaman, bu y diferansiyelinin hiçbir anlam ı olmadığından, bu dy, dx diferansiyelleri­ nin tanımlanmış bir anlamda semboller olduğu varsayılmak gerekir. Böyle varsayımlar matematiksel metafizikten kaynaklanmış değil de, y = ax gibi birinci dereceli bir fonksiyondan tümüyle doğrudan doğruya türetilmiş ol­ saydı, o zaman bu, daha önce görüldüğü gibi & = a 'ya dönüştürülen dx —— — = a 'ya varırdı. Bununla birlikte buradan önsel (a priori) olarak X\ - x ■ kesin hiçbir şeye vanlm am alıdır. Çünkü ^ mademki — = a olduğunAx dx ca = a 'dır ve Ac, Ay, sonlu farklar veya artımlar (increment) olmakla bir­ likte, büzülmeye sınırsız yetenekli (Kontraktionsfaehingkeit) sonlu farklar veya anlatımlardır; öyleyse, dx, dy, sanki X\ - x = 0 eşitliği gibi y \ - y = 0 da gerçekten kurulduğu için ortaya çıkmışlar gibi, O'a keyfi olarak yaklaş­ maya yetenekli sonsuz küçük nicelikU-r gibi de gösterilebilir, ö te yanda onların yerine = 0 konması, bundan ötürü, dx, dy keyfilikle küçük nicelik­ lerdir varsayımı denli keyfi bir hipotez olarak görünür. IV) altında (sub), d(uz) örneği ile, tarihsel gelişimi kısaca göstereceğim. Ama ondan önce III) altında (sub)44 hazır bir işlemsel formül (fertigen Operationsformel) ile ilk kez sembolik hesap tabanında işlemden geçirilen ve bir ikinci kez cebirsel olarak kanıtlanan bir örnek vereceğim. II) altında (sub) yeterince (soviel) söylendi; dolayısıyla yalnız sonraki yöntem, iki değişkenin çar­ pımı gibi pek basit bir fonksiyona uygulanması aracılığıyla, kendi öz so­ nucu kullanılarak, işlem yapma yönteminin iş görebildiği ölçüde, karşıt kutup olan çıkış noktalarına (die Ausgangspunkte) zorunlu olarak varır. IV’c (ad). 6»

Sonunda (Lagrange izlenerek), diferansiyel katsayıları yerine aslında Ncwton'da arasıra bulunan ve onun hep tümüyle geometrik düşüncelerden (Vorstellungen) türettiği limit 'in veya limit değer'in, sem bolik anlatımlar ister f ' ( x ) limiti olarak görünsün veya tersine f ' ( x ) sembolün limiti ola­ rak görünsün (figurieren), ister ikisi birlikte lim itler olarak görünsünler, bugüne değin hep üstün bir rol oynadığı belirtilmelidir. Lacroix'mn özel­ likle çözümsel bakım dan (analytically) genişlettiği bu kategori, ancak, hesap uygulaması eğrilere konu edilince, ya "ilk türev"e karşıt türevin, ya da

y ı•y

oranının "enküçük anlatımı" (minimal expression) kategori-

X\-X

sinin yerine bir geçme olarak önemli olur. Geometrik olarak daha gösteri­ lebilirdir (vorstellbarer) ve dolayısıyla aslında eski geometricilerde rast­ lanır. Kimi çağdaşlar (M odernen), hâlâ, diferansiyellerin ve diferansiyel katsayılarının yalnızca çok yaklaşık değerleri anlattığı görüşünün ardına gizlenmektedirler.45

69

KİMİ EKLER46

A) uz farklılaşm ası üstüne ek. 47 1)

d(uz) 'nin gelişimi üstüne son elyazmasında bence temel şey, 4)

Û . = Z *L + U *L dx dx dx

denklemiyle ilgili olarak, uygulanan cebirsel yöntemin burada kendisini tersine, diferansiyel yönteme dönüştürmesinin kanıtlanması idi; çünkü o türevin içinde, ve dolayısıyla sağ yanda, yerlerini tutan eşdeğerler, gerçek katsayılar, olmaksızın sembolik diferansiyel katsayılarında gelişir; bundan ölürü böyle semboller bağımsız çıkış noktaları ve hazır işlemsel form üller olur. A) denklem biçim inin kendisi, bu amaca çok daha uygun gelir; çünkü f ' ( x ) türevi içinde — , arasında bir karşılaştırmaya izin verir dx dx \ &f ' (x) 'in sembolik diferansiyel katsayısı olan ve bundan dolayı onun sembolik eşdeğerini içeren ^ dx

karşısında, sol yanda bulunur.

İşlemsel formüller olarak — , — karakterine karşı durularak, u dx dx yerine bir f(x), örneğin 3x2 ve z yerine bir
= y — 'in z — , « — 'e genellikle özdeş bir biçidy dx dx mi olduğundan, her işlemsel formülün geometrik uygulanabilirliğini de gösterebilirdim. 70

Sonunda, şu da belirtilebilirdi: y = uz, kendisiyle konumuzun geliştirilebildiği en basit öğesel (elementary) fonksiyondur (y burada = y l , ve uz ikinci kuvvetin en basit biçimidir). A) — farklılaştırması.48 z 3)

d — ., d(uz) 'nin tersi oldğundan, -birinde çarpma, öbüründe bölz ’

me vardır- d — , 'yi doğrudan doğruya bulm ak için, cebirsel olarak elde z edilmiş d(uz) = zdu + udz işlemsel formülü kullanılabilir. Türelim yöntem i önceden bulunup da şimdi sırasıyla bir işlemsel formül olarak iş gören bir diferansiyel sonu­ cun uygulanması arasındaki fark açıkça göze çarpsın diye bunu yapacağım. a) y =

b)

z

u = yz.

y = — olduğu için z yz = — . z = u . z Böylece, u 'yu, iki çarpanın çarpımına biçimsel olarak basitçe giz­ ledik. H er şeye karşın, bununla görev gerçekten yerine getirildi; çünkü problem, bir kesrin farklılaşlmlmasmdan bir çarpımın farklılaştırılmasına dönüştürüldü. Onun içinse cebimizde sihirli formül var. Bu formüle göre: c)

du = zdy + ydz.

Görüveriyoruz ki, ikinci yanın birinci terimi, yani zdy, kıyam ete dek (genau vor Torschluss) yerinde kalmalıdır; çünkü görev kesinlikle, y |= — | diferansiyelini bulmayı, böylece de onun u ve z difcransiyellcrin-

71

deki anlatımım bulm ayı içeriyor. Bu nedenle, öte yanıtlan, ydz sol yana geçirilmek gerekir. Bundan ölürü: d)

du - ydz = zdy.

Şimdi y değerini, yani — 'yi, ydz 'ye koyuyorum böylcce

du —

dz = z d y ; z

dolayısıyla, zdu - udz

= zdy.

Şimdi dy 'yi "seleeping p artnerinden* kurtarnu» anı geldi; biz de şunu elde ettik: 2du .2

= fi = d“ . Z

(*) Aslında İngilizcedir. -Trans. "îş yönetimine karijmaypn ortak". Ç.

72

DİFERANSİYEL HESAP TARİHÎ ÜSTÜNE 49

DEFTERE KONMUŞ BÎR SAYFA "B (A'NIN ARKASI) H mS0

1) N ewton, doğumu 1642, tl7 2 9 . "Philosophiae naturalisprincipia mathematica", yayımı 1687. L. I. Lem m a XI, Schol. Lib. II. L. II. Lem m a 11, fro m Proposition V II.51 "Analysis p e r quantitalum series, flu xio n es etc.", düzenlenm esi 1665, yayımı 17İ l . 52 2) Leibnitz. 3) Taylor (J. Brook), doğum u 1685, 1 1731, yayım ı 1715-17: "Meihodus incrementorum etc." 4) M acLaurin (Colin), doğumu 1698, +1746. 5) John Landen. 6) D'Alembert, doğumu 1717,+1783. "Traite desfluides", 1744.53 I ) E u ler (L eonard), [doğumu] 1707, +1783. "Introduction â I'analyse de I'infmi', Lausanne, 1748. "Institutions du calcul differentiel", 1755 (p. I ,c . 111)54 8) Lagrange, doğumu 1736. "Thiorie des fo n ctions analytiques" (1797 ve 1813) (bkz. Introduction). 9) Poisson (Denis, Simeon), doğumu 1781, +1840. 10) Laplace (P. Simon, marquis de), doğum u 1749, +1827. I I ) M oigno's, "Leqons de C alcul D iffe re n tiel el de calcul integral".55

75

I. ÎLK TASLAKLAR

Newton: Doğumu 1642, ölümü 1727 (85 yaşında). Philospiae nalural'ıs principia mathematica (ilkin 1687'de yayımlandı; c. f. Lemma I ve Lenuna XI, Schol.) Sonuç olarak özellikle: Analysis per quantitatum series fluxiones etc., ilkin 1711'de yayımlandı, am a 1665'le düzenlenmişti, oysa Leibnitz aynı buluşu 1676'da yapü. Leibnitz: Doğumu 1646, ölümü 1716 (70 yaşında). Lagrange: Doğumu 1736, ölümü İmparatorluk sırasında (1. Nap<> Icon); değişimler yönteminin ( method o f variations) bulucusudur. I h , - , , n e des fonelions analytiques (1797 ve 1813). D 'Alembert: Doğumu 1717, ölümü 1783 (66 yasında). Traite des fl'uides, 1744. 1) Newton. Örneğin x, y vb. değişkenlerinin hızlarını (velocity) veya fluxionlari > , y vb. ile gösterilir, örneğin u v e x sürekli hareketle ortaya çıkmış bağlantılı nicelikler (fluents) ise, o zaman u ve x onların artma oranlarını ve dolayısıyla

artımlarının (increment) ortaya çıktığı x

oranların oranını gösterir. Mademki olanaklı bütün büyüklüklerin sayısal nicelikleri doğru çizgilerle gösterilebiliyor ve momentler veya niceliklerin sonsuz küçük parçalan kendi hızları ile bu hızlann var olduğu sonsuz küçük zaman aralıklannın çarpımlarına = olarak ortaya ,56 öyleyse [elimizde] bu

çıkıyor

sonsuz küçük zaman aralıklarını bildiren x ve anıldıkları sırayla ry

tx

ve

ile gösterilen x ve y momentleri [vardır]. Ö rneğin: y = uz; y , z , u ise, sırasıyla y , z , u 'nun artm a h ız ­

larını gösteriyor; öyleyse y , z , u

76

momentleri

ry , zz , tu

olur ve

y = uz, y + V

=

(w + t u )

(z +

tz )

=

uz

+

u tz

ztu

+

t

+

ztu

+

t 2u z ;

dolayısıyla ty

=

utz

+

2uz

elde ederiz. t sonsuz küçük olduğu için, kendisi, hatta daha çok t 2 uz çarpımı olarak, büsbütün ortadan kalkar; çünkü o çarpım da sonsuz küçük zaman dönemi t değildir, tersine, onun 2. kuvvetidir. ?— , ise, o zaman (t = — m ilyon

t

=

I . 1 m ilyon x 1 m ilyon I

Böylece y = uz + zu elde ederiz veya y = uz fluxionu uz + zu 2)

'dur.57

Leibnitz, uz diferansiyeli bulunacak.

u ,u + du olur; z , z + dz olur; öyleyse uz + d(uz) = (u + du) (z + dz) - uz + udz + zdu + dudz. Verilmiş uz niceliği bundan çıkarılırsa, o zaman artım (increment) olarak geriye udz + zdu + dudz kalır; dudz d 'un infiniment petit du par un autre infiniment p etit dz (sonsuz küçük bir du kez sonsuz küçük başka bir dz)* çarpımı, ikinci sıradan (order) bir sonsuz küçüktür ve birinci şuadan udz ve zdu sonsuz küçüklerinden önce ortadan kalkar; bundan ölürü, d(uz) = udz + zdu.58 [3)) D'Alembert. Genel terimlerle problemi şöyle koyar:

(*) Aslında Fransızcadır. -Trans.

77

Elimizde y = A x) , y ı = Â X + h)

3*ı- y

[var] ise, belirlememiz gereken şudur: h niceliği ortadan kalkınca -------değeri ne olur, dolayısıyla da — değeri nedir?5?

Newton ve Leibnitz, ardılların (haleflerin) çoğunluğu gibi, başlan­ gıçta diferansiyel hesap tabanında işlemler yaptılar; bundan ötiirü de, baş­ langıçtan, diferansiyel anlatımları gerçek eşdeğeri bulunacak işlemsel for­ müller olarak değerlendirdiler. Bütün zekâlarını bunun üzerinde topladılar. x bağımsız değişkeni 'e giderse, bağımlı değişken y! ’e gider. Bununla birlikte, jct - x zorunlu olarak bir farka eşittir; diyelim ki = h. Bu, gerçek değişkenler kavramında içerilir. Ancak, bundan, = dx olan bir farkın sıfıra eşitlenmiş bir [nicelik], dolayısıyla gerçekten = 0 olduğu sonucu hiçbir biçimde çıkmaz. Bununla birlikte, ta başlangıçtan, x ’in, artınca, x + x 'e gittiğini (Newlon'un kullandığı T, temel fonksiyonlarla ilgili çözüm lem e­ lerinde hiçbir işe yaramaz ve dolayısıyla örtbas ed ileb ilir^), veya Leibnitz'le birlikte, x + dx 'e gittiğini varsayarsak, diferansiyel anlatım lar, ce­ birsel kökenleri belli olmadan, işlemsel semboller oluverirler.

78

15'e* (Newton). uz çarpımı için Newton'un farklılaştırılacak başlangıç denklemini alalım: y = y

+V =

uz , (« + ur) (z +

zt)

.

İlk diferansiyel denklemi geliştirdikten sonra, dilerseniz, Newton'un kendisinin de yaptığı gibi, x'yu atarsak, şunu elde ederiz: y + y = (m + u) (z + z) , y + y = uz y

+

y - uz

=

+ uz + zu + zu , uz+

zu

+

uz .

Böylecc, uz = y olduğu için, y =

üz

+ zu + uz .

Ve doğru sonucu elde etmek için uz örtbas edilmelidir (must be suppres­ sed). Şimdi, ister istemez örtbas edilecek uz terimi nereden doğuyor? Tümüyle, düpedüz, asla herhangi bir matematiksel yoldan türetil­ memiş olan y, u, z diferansiyelleri y , « , z 'ye, ta başlangıçtan, tanımla­ ma (definition)** ile, kendilerinden doğdukları değişken niceliklerden ayrı, bağımsız bir varlık tanınması olgusundan. Bir yandan, bu varsayılmış dy, dx veyay , x varlığının ne işe ya­ radığı anlanır; çünkü, ta başlangıçtan, değişkenler artar artmaz, yalnızca cebirsel fonksiyonda y + y , x + x vb. iki terimlilerini karşılık olarak koymam gerekiyor ve sonra onların kendileriyle bayağı cebirsel nicelikler gibi hemen manevra yapabiliyorum (manövrieren). (*) Bkz. Bu basımda s. 49-52. (**) Aslında "Difinition", galiba "Definition". -Trans.

79

örneğin, elimde y = ax varsa, şunu elde ediyorum:

y

+ y = ax + ax ;

dolayısıyla

y - ax + y = ax ; buradan

y = ax . Aynı zam anda şu sonucu elde ediverdim: Bağımlı değişkenin dife­ ransiyeli ax artım ına (increment), yani ax 'e eşittir; ax'ten* türetilmiş ger­ çek a değerine eşittir (bunun burada sabit bir nicelik olması rastlantı so­ nucudur; değişken x 'in burada birinci kuvvetle görünmesi durumundan do­ layıdır). Bu sonucu genelleştirirsem,61 biliyorum ki y =f[x); çünkü bu, y, x 'e bağımlı değişkendir anlam ına gelir. f(x) 'ten türetilmiş niceliği, yani artımın (increment) gerçek öğesini, f ' ( x ) 'i çağırırsam , o zam an genel sonuç şudur

y - f ' (x)x . Böylece ta başlangıçtan biliyorum ki, bağımlı değişken y 'nin dife­ ransiyelinin eşdeğeri eşittir bağımsız değişkenin ilk türetilmiş fonksiyonu çarpı onun diferansiyeli, yani dx veya x . Öyleyse, genel olarak anlatılırsa,

y = f(x) ise, o zaman,

dy = f ' ( x ) d x veya y = x 'li gerçek katsayı (x birinci kuvvetten olduğu için bir sabitin ortaya çıkması durumu ayrı tutulursa) çarpı x . (*) Yani, 2L s o ‘dan. -Trans, x

80

A m a y = ax bana hemen i = a v e genelde x y- = f ' ( x ) X

verir. Böylece, diferansiyel ve diferansiyel katsayılan için, bütün diferan­ siyel hesabın tabanım oluşturan tümüyle geliştirilm iş iki işlemsel formül buldum. Bundan başka, genel terimler göz önünde tutulursa, dx, dy vb.nin veya x , y vb.nin bağımsız, yalıtılmış (isolated) x ve y artımları (incre­ ment) olduklarını varsayarak, diferansiyel hesaba özgü şu pek büyük üs­ tünlüğü elde ettim: Değişkenlerin bütün fonksiyonları, ta başlangıçtan, di­ feransiyel biçimlerle anlatılır. N itekim, değişkenlerin temel fonksiyonları gibi, öğesel (elementa­ ry) trigonometrik fonksiyonları da bu tarzda, a x , a x ± b , x y , —, x n

y a%, log x gibi geliştirmem gerekseydi, o zam an dy , & 'in belirlenme­ kte si, aritmetik çarpım tablosu gibi, tümüyle uysallaştırılmış olurdu. Bununla birlikte, şimdi ters yana bakarsak, görüveririz ki, bütün orijinal işlem matematiksel olarak yanlıştır. Şim di gereğince basit bir örnek alalım: y = x2 . x artarsa, o zaman belirsiz bir h artımını, ona bağımlı y değişkeni de belirsiz bir k artım ını içerir ve böylece bize ikiterim [li teoremi] (binomial theorem) ile verilen bir formül elde ederiz: y + k = fx + A)2 =JC2 + 2hx + /ı2 . Bundan ölürü y + k - X1 veya y + k - y = 2hx + fi2 ; buradan (y + k) - y veya k = 2hx + fi2 ; 81

iki yanı h ’ye bölersek: - = 2x + h . h Şimdi lı — O koyarsak, bu şöyle olur: 2x + h = 2x + 0 = 2 x . k k Bununla birlikte, öte yanda — , — 'a gider. Ama x , x + h 'ye gith 0 liginden, h O'a gidince y + k geriye, >• 'ye gider; dolayısıyla x + h de ge­ riye, x + O'a, Jt'c gider. Öyleyse k de O’a gider ve — = —, ki bu & veya 0 0 dx 2- gibi anlatılabilir. Böylece 0u y = o 2x — veya *0 i elde ederiz. Öte yandan, y + k - jc2 = 2hx + /ı2 veya (y + k) - y = 2xh +

'de

[h = 0 koyarsak] (jı yerine, yalnız önceden, orijinal biçiminde = 0 konduk­ tan sonra dx sembolü konur), k = 0 + 0 = 0 elde ederiz ve vardığımız biri­ cik sonuç, varsayımımızın içyüzünü, yalnızca x , x + h 'ye giderse y 'nin y + k 'ye gittiğini kavramaktır; dolayısıyla x + h = x + 0 = x, öyleyse y + k = y, veya k = 0 Newton’un ona verdiği anlamı hiçbir biçimde elde edemeyiz: k = 2xdx + dxdx veya Newton'un yazışıyla: y = 2xx + xx ;

82

h, O'dan geçen, yani, x \ - x (veya (x + h) - x) farkından sonraki cehenne­ mi yolu aşar aşm az, yalnız x olur; bundan ötürü de k y olur ve dola­ yısıyla yı - y dahi (= (y + k) - y) farkları salt enküçük anlatımlarına (Minimalausdruck) indirgenir,x - x = 0 \ c y - y = 0. Bununla birlikle, Newton x , y vb. değişkenlerinin artımlarını (inc­ rement) matematiksel türelimle bclirleyivermediği, ama bunun yerine dife­ ransiyellere x , y vb. dam galan vuruverdiği için, onların yerine = 0 kona­ maz; çünkü, ters durumda, bu artım yerine ta başlangıçtan = 0 konurken cebirsel olarak anlatılan sonuç 0 olsaydı, tıpkı yukanda (y + k) - y = 2xh + hi2

denklemindeki gibi, h yerine = 0 konuverirdi; bundan ötürü k = 0; dolayı­ sıyla da son çözümlemede 0 = 0 elde ederdik, h 'nin hiçlenmesi (nullifica­ tion), ilk türetilmiş x, burada 2x, fonksiyonu bölm eyle h çarpanından kurtanlmadan önce yer alamaz, böylece: , 2* + A

h

.

Sonlu farklar ancak ondan sonra hiçlenebilir. Diferansiyel katsayı İL = 2x

dx

bundan ötürü de, önceden, biz dy = 2xdx diferansiyelini elde edebilmeden önce, geliştirilmiş olmalıdır.62 Bundan ötürü, ondan sonra, değişkenin h artımlarının sonsuz küçük artımlar olacağını kavrayıp onlara örneğin x , y vb. veya dx, dy [vb.] sembollerinde bu sıfatla bağımsız varlık tanımaktan başka hiçbir şey kal­ maz. Ama sonsuz küçük nicelikler tıpkı sonsuz büyük olanlar gibidir (sonsuz (unendlich) [küçük] sözcüğü, gerçekte yalnız belirsiz (unbestimmt) küçük anlamına gelir); dolayısıyla, dy, dx vb. veyay , x [vb.] de hesaplamada tıpkı alışılmış cebirsel nicelikler gibi yer alır ve yukarıdaki 83

(y + k) - y veya k = 2xdx + dxdx denkleminde dxdx 'in var olm a hakkı, 2xdx 'inkinin aynıdır; bundan dolayı onu zorla, yani sonsuz küçük (unendlich klein) kavramının ilişkinliği (re­ lativity) doğrudan doğruya kullanılarak örtbas eden usavurmaya (Raisonnemenı) pek özgüdür, dxdx örtbas edilir; çünkü dx 'e oranla olduğu gibi, 2xdx 'e veya 2xx 'e oranla da sonsuz küçüktür... Ama (Oder) y = uz + zu + U2 'de uz , uz 'ye veya zu 'ya oranla sonsuz küçük olduğu için örtbas edilirse, o zaman insan, uz + zu 'nun matematiksel olarak ancak yaklaşık, hayalgücünde dilediğinizce yaklaşık, bir değer (Annaeherungeswert) olduğu­ nu kabul etmeye zorlanır. Bu tür manevra alışılmış cebirde de olur. Ama sonra, gidişle daha da büyük bir mucize olur ve bu yöntemle asla yaklaşık bir değer değil, tersine, türetilmiş fonksiyonun biricik kesin değerini (yukarıdaki gibi ancak sembolik olarak doğru iken bile) elde eder­ siniz; y = 2xx + xx . örneğindeki gibi. Burada xx 'i örtbas ederseniz y = 2xx ve

x elde edersiniz ki bu, ikilerim [li teoremi] ile önceden kanıtlandığı gibi, ilk türetilmiş doğru x2 fonksiyonudur. Ama mucize hiç de mucize değildir. Ancak xx ’jn örtbas edilme­ siyle hiçbir kesin sonuç çıkmasaydı bir mucize olurdu. Bu dem ektir ki, değişkenin, yani /ı'nin, uınımlanmamış artımında dx veya * diferansiyeli

84

olarak tüm üyle işlemsel bir sembol getiriveren ve onunla, diferansiyel he­ sapta, ta başlangıçtan, alışılmış cebirden farklı karakteristik bir hesap (ar/.t da ortaya koyan bir yöntemin kaçınılmaz bir sonucu olarak, yalnızca bir hesaplama yanlışı örtbas cdiliypr.

U yguladığım ız cebirsel yöntemin genel doğrultusu aşağıdaki gihi anlatılabilir: f(x ) verilmiş; önce f ( x ) diyeceğimiz "ilk türev"i geliştiriniz:

! ) / ’ (*) = ^ veya ^ = /* (* ). Ax Ax Bu denklemden şu sonuç çıkar Ay = f l (x) A x . Bundan da Af(x) = / ' (x) Ax . (Çünkü y = f(x ), [dolayısıyla] Ay = Af(x)). Xi - x = 0, bundan ötürü ^ - y de = 0 koyarak şunu elde ederiz: (2)]

& = f'(x ). dx

Sonra dy = f ' ( x ) d x ; bundan da df(x) = f ' ( x j d x 85

(Çünkü y ~f(x), dy = df(x) ). 1) Af(x) = f l(xj A x 'i bir kez geliştirdiğimizde, ardından 2 )d f(x) = f ' ( x ) d x yalmzca l)'in diferansiyel anlatımıdır.

[

1)

1

Elimizde x\ 'e giden x varsa, o zaman A) xx - x = Ax ;

dolayısıyla aşağıdaki sonuç çıkarılabilir: Aa) Ax = x x - x ;

a) x x - Ax = x ;

x x ile x arasındaki fark, Ax, bundan ötürü, aru olarak x artımı (inc­ rement) gibi anlatılır; çünkü x x 'den bir daha çıkarılınca, x x bir kez daha orijinal durumuna, x 'c döner. Bundan dolayı, fark, iki türlü anlaülabilir: Doğrudan doğruya artan değişken ile onun artmadan önceki durumu arasındaki fark olarak, ki bu onun eksi anlatımıdır; artım* olarak aru bakımdan, bir sonuç olarak: x 'in daha erişmediği bir duruma x artımı olarak, ki bu aru anlatımdır. Bu iki formülleştirmenin diferansiyel hesap tarihinde nasıl bir rol oynadığını göreceğiz. b) jtj = x + Ax . (*) Mara, buraya, kurşunkalemle "veya eksilim" (decrement) eklemiştir. -Ed.

86

x \ , anm ış x 'in kendisidir; büyümesi ondan ayrılmaz; x t onun bü­ yümesinin tüm üyle belirsiz biçimidir. Bu form ül, artmış x 'i, yani ^ 'i, artmadan önceki orijinal biçiminden, x 'ten, ayırt eder, ama x 'i kendi öz artımından ayırt etmez, jcj ile x arasındaki ilişki, bundan ölürü, yalnız eksi olarak, bir fa r k olarak, X\ - x olarak anlatılabilir. Buna karşıt olarak, x x = x + A x 'te 1) Fark, bir x artımı gibi, artı olarak anlatılıyor. 2) Bu yüzden, artması bir fa rk gibi anlatılm ıyor, ama tersine, onun orijinal biçim indeki kendisi + artımı (increm ent) toplamı gibi anlaülıyor. 3) Teknik olarak x kendi birlerimlisinden (monomial) bir ikiıerimliye (binomial) sürülür v e x 'in orijinal fonksiyonda herhangi bir kuvvetle göründüğü her yerde, kendisinden ve kendi artımından bileşmiş bir ikile­ rindi artmış x 'in yerini; genelde (x + h)m ikiterimlisi xm 'in yerini alır. x artmasının gelişim i, bundan ötürü, ikilerindi teoreminin gerçekten basil bir uygulam asıdır. x bu ikiterimlinin birinci ve Ax ikinci terimi olarak sahneye çıktığı için -ki bu ikiterimli onların gerçek ilişkisiyle belirlenir; çünkü x kendi artımı Ax biçimlenmeden önce [oradaj olmalıdır- ikiterimli­ nin aracılığı ile olayda yalnız x fonksiyonları türetilecektir; oysa Ax onu artan kuvvetlere yükselmiş bir çarpan olarak gösteriverir; gerçekte Ax bi­ rinci kuvvetle [görünjm elidir ki, A x1 ortaya çıkan serinin, birinci fonk­ siyonun, yani ikiterimli teoremi kullanılarak türetilmiş x x 'in ikinci teri­ minin bir çarpanı olsun. Bu, x ikinci kuvvetle verilince eksiksiz gözükür. x2 , (x + h f 'ye gider ki, o da, x + Ax 'in kendisi ile çarpımından başka bir şey değildir [vej x2 + 2xAx + A t2 'ye varır; Yani, birinci terim, oriji­ nal x fonksiyonu ve ilk türetilmiş x2 fonksiyonu olmak gerekir; yani bu­ rada, birinci terime yalnız AxP = 1 çarpanı olarak girmiş Ax1 çarpanıyla birlikle ikinci terimi kapsayan [2]x olmak gerekir. Öyleyse, sonuç olarak, türev, farklılaştırm a ile değil, tersine, ikiterimli teoreminin uygulanma­ sıyla, bundan ötürü çarpma ile bulunur; ve bu, artmış x, değişkeni dolayı­ sıyla, la başlangıçtan, bir ikiterimli, x + A x olarak yer alır.

87

4) x + Ax 'teki Ax, büyüklüğü söz konusu olunca, belirsiz değiş­ ken x ’in kendisi denli belirsizdir; Ax, x 'ten ayrı, başka bir nicelik gibi, daha önce kendisini doğurm uş olan anasının yanında bir meyve gibi (als Frucht neben ihrer Mutter, bevor diese gesefnvangert war) tanımlanır. x + Ax yalnız x 'in bir değişken olarak arttığını belirsiz bir biçimde anlatmakla kalmaz, onun ne denli, yani, A x denli arttığını [da] anlaur. 5) x asla x \ olarak görünmez; türev ikiterim li teoremi ile, yani x yerine belirli bir biçim de (in bestim nten Grad) x + Ax konmasıyla bulu­ nur bulunmaz, bütün gelişm e Ax artımı çevresinde toplanır. Bununla biryı - v likte, sol yanda -------- 'te Ax = 0 olursa, x sonunda gene x x - x olarak A* görünür, şöyle ki;

yı-y Ax

_ yı-y

*

x x- x

■X\ - x = 0 'm yer aldığı, yani x \ 'in x 'e eşit olduğu artı yan, bu yüzden asla gelişime katılmaz; ç ü n k ü * ], bu şifada, gelişen serilerin (Enlwicklungsreihe) yanma girmez; diferansiyel hesabın gerçek sim , kendisini daha önce görülmedik ölçüde açığa vurur. 6) y = f(x ) ve y[ = f(x + Ax) ise, o zaman diyebiliriz ki, bu yöntem kullanılarak, y3 gelişimi türev bulma problem ini çözer. c)

* + Ax = * ] , (öyleyse y + Ay de = y ı ). Ax burada yalnız

Ax = *ı - * biçiminde, dolayısıyla X\ ile * arasındaki farkın eksi biçiminde görünebilir; ve *ı = x + Ax 'teki gibi, * artımının artı biçiminde görün­ mez. 1) Burada artm ış *, büyümeden önceki kendisinden, yani * 'ten, *] olarak ayırt edilir; ama *] , Ax kadar artmış bir * olarak görünmez; bun­ dan dolayı, tümüyle * kadar belirsiz kalır. 2) Bundan başka, * herhangi bir orijinal fonksiyona girerse de, şimdi arıma ile değişmiş orijinal fonksiyondaki artmış değişken olarak x\ (*) Marx, buraya, kurşunkalemle şunu eklemiştin

88

\y — .-E d .

de girer. Ö rneğin, x, x3 fonksiyonuna katılırsa, X\ de x \ fonksiyonuna katılır. O ysa önceden, orijinal fonksiyonda x görünen her yere (x + Ax) koymakla, türev, ikiterimli kullanılarak hazır durum da elde edilmişti; ikiterimli, A x çarpanı, öbür terimlerin birincisi de Ax2 ile yüklenmiş olarak bırakılmıştı vb.; dolayısıyla, şimdi, birterimlinin eldeki biçiminden -x3/ ten- doğrudan doğruya türetilebileceklcr, Xs 'ten elde edilebilenler denli az­ dır. Bununla birlikte, - x 3farkını sağlar. Cebirden biliyoruz k i x 3 - a3 biçimindeki bütün farklar x - a ile bölünebilir; bundan ötürü, x 3; - x 3 'ü X\ - x 'e bölerek (önceki [gibi] (x + Ax) terimini fonksiyonca belirlenmiş dereceye dek kendisiyle çarpmak yerine) (x} - x)P biçim inde bir anlaum elde ederiz ki, bunda x orijinal fonksiyonunun birçok terim (dolayısıyla da çeşitli kuvvetlerde x) veya örneğimizdeki gibi bir tek terim içermesinden, hiçbir şey etkilenm ez. Bu x\ - x, bölm eyle sol yandaki yı - y 'ye payda yı-y olarak -------- ' t» fonksiyonun farkının bağım sız değişken x 'in farkına Xı- X

oranını, onun soyut fark-formülü (Differenzform) ile ortaya çıkarır. x / ve x ile anlatılan iki fonksiyon arasındaki faikın, hepsi de x\ - x içeren terim­ lere gelişmesi, az veya çok cebirsel manevra (Manöver) gerektirebilir, do­ layısıyla da her zaman xft - x 3 biçimi ölçüsünde aydınlatıcı olmayabilir. Bunun, yöntem e hiç etkisi yoktur. O rijinal fonksiyon doğası aracılığı ile (x\ - x)P 'ye doğrudan doğ­ ruya gelişmeye izin vermeyince, f(x ) = uz (ikisi de x 'e bağımlı iki değiş­ ken) durum unda olduğu gibi,

( x j - x ) , — î—

çarpamn[da] görünür.

Xj-X

Bundan başka, iki yanda x\ - x ' e bölünüp Xj - x sol yana geçirildikten so n ra,x x - x , P 'nin kendisinde varolag id er(ö m eğ in ,y = cP'ten türetme­ deki gibi, ki orada

buluruz. Burada x \ - x = O konarak

=

a*

j(a - 1) - I ( a - 1 ) 2 + I ( a - 1 ) 3 - v*.J

çıkarılır); bu, ancak demin verilen örnekteki gibi, X \ - x = 0 koym ak onun ortadan kalkmasına izin verince olanaklıdır ve o zaman geride, onun yerin­ de hep artı (positive) sonuçlar bırakır. Başka bir söyleyişle, P 'de geri kalan (x\ - x) '1er, artakalan P öğeleri ile çarpanlar (çarpılanlar olarak) bir araya gelmeyebilir. Yoksa P .P = p (x x - x) çarpanlarına, sonra da, önceden x x- x = 0 konduğu için, p . 0 çarpanlarına ayrılabilir; buradan P - 0 ,..63

Birinci sonlu fark, z 3! - x3 , ki burada y = x3 v e y x = x 3l ; bundan

ölürü y \ - y = (*ı - x ) P 'ye gelişti; buradan

yı-y

= p

X\-X

x x ile z ’i bir araya getiren bir anlatım olan P , x x - x gibi, (xx - x )2 vb. daha yukarı dereceli olanların da tümüyle ayıklandığı birinci sonlu farkın türevi

f l ’e eşittir. Bundan dolayı x x ve x, yalnız z j + x , x xx, — , ~İx\x vb. x gibi artı anlatım larda bir araya gelebilirler. D olayısıyla, şimdi x x = x ko­ nursa, bu anlatım lar, sırasıyla 2x , x 2 , — veya 1, Vzz veya x vb. olur

x

ve yalnız x } - x 'in paydayı kapsadığı sol yanda 0 , dolayısıyla da sembolik diferansiyel katsayısı ortaya çıkar vb.

90

II. TARİHSEL GELİŞİM YOLU

1) G izem sel Diferansiyel Hesap. X\ = x + A x başlangıçtan, jcj = x + dx'a veya x + x 'c değişir; burada dx metafiziksel açıklama ile varsayılır. Önce var olur, sonra da açıklanır. N e var ki, o zaman y ı - y + dy veya y ı = y + y ■Keyfi varsayım­ dan şu sonuç çıkar; x + A t veya jc + x ikitcrimlisinin açılımında, örneğin birinci türeve ek olarak elde edilen x ’li, A x ’li terimler, doğru sonucu elde etmek için, el çabukluğu ile giderilm elidir vb. vb. D iferansiyel hesabın gerçek temeli bu son sonuçtan, yani öngören ve türeıileccği yerde açıkla­ ma ile varsayılmış diferansiyeller'Acn doğduğu için, ^ dx

veya

semx

bolik diferansiyel katsayıları da bu açıklama ile öngörülür. x anım ı = Ac ve ona bağımlı değişkenin arlımı = A y ise,

'in x Ax ve y artımlarının oranını gösterdiği kendiliğinden anlaşılır (verstehı sich vnnselbsl). Am a bu, Ac 'in paydada görünmesini gerektirir; yani bağımsız <" .'işkenin artması payda bulunacağı yerde paydadadır, tersi değildir, oysa uılcransiycl biçim in gelişmesinin son sonucu, yani diferansiyel, dahi ta başlangıçta varsayılmış diferansiyellerle verilir.* Bağımlı değişken y 'nin bağımsız değişken x 'e olanaklı en basit oranını varsayarsam, o zaman y = x. ö y ley se biliyorum ki, dy = dx veya y = x .B ununla birlikle, bağımsız [değişken] x'in türevini, ki burada = x' lir, aradığım için, iki yanı da sıyla,

x 'e veya dx 'e bölmem gerekir;64 dolayı­

^ veya £- = 1 . dX y (*) Marx, dx ve dy diferansiyellerini (die Differe nitellen) ve 6x ve Uy diferan­ siyellerinin sonsuz küçüklerini, dy = f ( x ) d x diferansiyelinden (
91

Bundan ötürü, ilk ve son kez biliyorum ki, sem bolik diferansiyel laısayısmda [bağımsız değişkenin] artım[ı] [increment) paya değil, puy«aya konmalıdır. Ancak, ikinci dereceli x fonksiyonları ile başlanarak, türev, ikinci Crimdc dx veya x ile, yani, birinci derecenin artımı + clçabııkluğıi\.la jidcrilccek terimler ile bir arada, hazır (fix und fertig) göründüğü yerde, bir açılım sağlayan] ikiterim li teoremi aracılığıyla bulunuverir. Bununla lirlikte, elçabukluğu (Eskamotage), bilinmeden, matematiksel olarak doğ­ udur; çünkü, yalnızca, la başlangıçtaki ilk elçabukluğundan doğan hesap­ lıma yanlışlarını giderir. X\ = x + A r

x ı = x + dx veya x + x 'e leğiştirilmek gerekir; dolayısıyla bu diferansiyel ikiterim li, o zam an, iayağı ikilerindiler gibi işlemden geçirilebilir; bu da teknik bakımdan çok ılverişlidir. Hâlâ sorulabilen biricik soru şudur; Terimlerin o gizemli örtbas ıdilişi neden yol üstünde duruyor? Bu, onların yol üstünde durduğunun ve ürevle gerçekten ilgisiz olduğunun bilindiğini özellikle varsayar. Yanıt çok basittir: Bu, yalnızca deneyle bulunur. Yalnız gerçek tü■evler değil, daha karmaşık x fonksiyonları da, eğri denklemleri olarak on­ arın çözümsel biçimleri vb. de, uzun zam andır bilinmekteydiler; ama, alanaklı en kesin deneyle, yani ikinci dereceli en basit cebirsel fonksiyo­ nun işlemden geçirilmesiyle de bulundular. Örneğin:

y + dy = (x + dx) 2 = x 2+ 2xdx + d x 2 , y + y = (x + x ) 2 = x 2+ 2xx + x 2 . Orijinal fonksiyonu, x 2 (y = £ ). iki yandan da çıkarırsak, o zaman

92

dy = 2 x d x + dxz y = 2xx + x x . Her iki [sağ] yanda, son terimleri örtbas ediyorum: dy - 2 x d x ,

y = 2 xx ,

ve sonra & = 2x dx veya

İ = 2x . x Bununla birlikte, biliyoruz ki (x + a f 'nin ayraç dışındaki birinci terimi X2, İkincisi 2xa'dır; yukarıda 2xdx'i dx'e veya 2xx 'i x 'e böldüğü­ müz gibi, bu anlatım ı da a 'ya bölersek, birinci x2 türevi, yani ikiterimlinin x2 'ye eklediği x 'li artma65 olarak 2x elde ederiz. Bundan ötürü, türevi bulmak için, kendi içlerinde d r 2 v ey a x t * ile hiçbir şey başlayamayacağı olgusu tümüyle görmezlikten gelinerek, dx2 veya xx örtbas edilmek ge­ rekti. Onun için, deneysel yöntemde, -tam ikinci adımda- yalnız doğru sonucu değil, herhangi bir sonuç elde etmek için bile, dx2 'nin veya xx ' in olçabukluğuyla giderilmesi gerektiği zorunlu olarak kavranır. Bununla birlikle, ikinci olarak, 2 x d x + dx2 veya 2xx + xx 'te 2

(x + dx)

*

veya (x + x)

2

ikiterimlisinin gerçek matematiksel anlatımı

(ikinci ve üçüncü terimler) vardı. Bu matematiksel bakımdan doğru sonu(*) Basılmış metinde, dizgi yanlışı yüzünden xx 'tir. -Trans.

93

cun, matematiksel bakımdan temelinde yanlış olan,

- x - Ax başlan­

gıçtan X] - x = dx veya x 'tir varsayımına dayandığı bilinmiyordu.66 Başka bir söyleyişle, elçabukluğuna başvurmak yerine, en basit türden bir cebirsel işlemle aynı sonuç elde edilip matematik dünyasına su­ nuldu. Bu yüzden, m atem atikçiler (man ... selbst), doğru (ve özellikle geometrik uygulamada şaşırtıcı) sonuca, kesinlikle yanlış bir m atem atik­ sel işlemle varan yeni bulunmuş hesaplama aracının gizemli karakterine gerçekten güvendiler. Bu tutumla, kendileri gizcmlileşmiş oldular, yeni buluşa daha yüksek bir değer biçtiler, eski ortodoks m atematikçiler kala­ balığını daha çok öfkelendirdiler ve uzman olmayanların dünyasında bile yankılanan ve bu yolun tutulması için zorunlu olan düşmanlık çığlıkla­ rının atılmasını sağladılar.

2) Ussal (Rational) Diferansiyel Hesap. D'Alembert, doğrudan doğ ruya Ncwton'un ve Leibnitz'in point de depart 'ından [çıkış noktasından, ç j işe başlar: X\ = x + dx. Ama köklü düzeltmeyi yapıverir: x\ = x + Ax, yani x ve d'Alembert'in h dediği tanımlanmamış, ama prima facie [ilk bakışla, -ç] sonlu bir artım (increment). Bu h 'nin veya Ax 'in dx 'e dönüş­ türülmesi (d’Alembert, bütün Fransızlar gibi, Leibnitz işaretlemesini (no­ tation) kullanır) gelişimin son sonucu olarak veya en azından kapı tam ka­ panmadan önce (vor Toresschluss) bulunur; oysa diferansiyel ve integral hesabın gizemcilerinde ve başlatıcılannda, çıkış noktası olarak görünür (d'Alembert, kendisi, sembolik yandan* başlar, ama onu sembolik olarak dönüştürür). Bu araçla, iki yolda başarılı oluverir:67 f ( x + h) - f(x) _ R x + h) - f(x)

a)

i

ÎT *

farkları oranı, d'Alembert'in yapısının (Bildung) başlangıç noktasıdır.

1) Verilmiş x 'li cebirsel fonksiyonun yerini tutan f( x + h) - f(x [farkı], x 'in kendisi yerine x 'li, öm eğin x3 'lü, fonksiyondaki x + h artı­ mını koyduğunuzda, göze çarpıverir. Bu biçim (y - f ( x ) ise, = y, - y), (*) Geleneksel olarak sol yan. -Trans.

94

fonksiyonun fa rkın ın biçimidir; onun, fonksiyonun artımının bağımsız değişkenin artımına bir oranı durumuna dönüştürülmesi, şimdi bir gelişme gerektirir; öyle ki o, yalnız sözde bir rol değil, tersine, gizemcilerde ol­ duğu gibi, gerçek bir rol oynar; çünkü, o yazarlarda A x) = * 3 , f ( x + h) = (x + h f = x 3+ 3j<2 h + 3x h 2 + h 3 görürsem, ta başlangıçtan bilirim ki, A .x+ h) - f{x) = x 3+ 3 x 2h + 3xh2+ /t3-jc 3'le karşı yanlar artım a indirgenmektedir. Bunu yazmaya bile gerek yoktur; çünkü görüyorum ki, ikinci yanda x 3 arlım ı,f(x + h) - f(x ) 'teki de birlikle olmak üzere, kendisini izleyen üç terim e eşittir, y a ln ız ız ), veya dy, artakalır. Birinci fark denklemi (Diffcrenzgleichung), bundan ötürü, ta baş­ langıçtan beri bir rol oynar: Yeniden ortadan kalkmak. Artımlar her iki yanda birbirine karşıt durur ve onlar verilmişse, o zaman, dx, dy tanımın­ dan, ^ veya t- 'in oran olduğunu vb. çıkarırım; dolayısıyla, ^ veya dx x dx 'i kurm ak için, x 'li orijinal fonksiyonun, (x yerine x + h konarak) x değiştirilm iş fonksiyondan (artmış fonksiyondan) çıkarılm asıyla ortaya çıkan birinci farka gerek duymam. D'Alem bert'de bu farka sıkı sıkı tutunmak zorunludur; çünkü ge­ lişimin ilerlemesi (Entwicklungsbewegungen) ona dayanılarak sağlanır. Farkın, yani artımın, artı anlatımı yerine, anım ın, yani farkın, eksi anlatı­ mı, böylece de f ( x + h) -f(x), bundan dolayı sol yanda başa geçer. Bu da, Newton'daki y 'ye karşıt olarak, Leibnitz işaretlemesinde (notation) hiç değilse dy 'de dolaylı anlaulmış artım (Newton'da "fluxion") yerine, farkı vurgular. 2) f( x + h) - f(x ) = 3x2h + 3 x tf + h*

95

İki yan da h 'ye bölünürse, M + K L - .M = 3 x 2 + 3 x h + h2 h elde ederiz. Böylcce, sol yanda, bundan ötürü türetilmiş bir sonlu farklar oranı olarak f(x + h) • K x) = (x + h) - f(x) h X\ - x çıtaya çıkar; oysa bu, gizemcilerde, d x veya x ve d y veya y tanımlarıyla verilmiş, tümlenmiş bir arum lar oranı idi.

3) Şimdi, A x + h) - f(x ) _ f( x + h) - f(x) , te h xx - x h = 0 veya x x = x; dolayısıyla x x - x = 0 konunca, bu anlatım ^

dx

'e

dönüşür; h = 0 koym akla, 3xh + h2 terim leri, hep birlikte, aynı antla [sıfırj olur ve bu, doğru bir m atem atiksel işlem le olur. Böylcce onlar, şimdi, elçabukluğuna başvurulmadan alılır. Şu elde edilir: 4)

2.

veya

0

= 3x2 = f ( x )

.

dx

Tıpkı gizem cilerdeki gibi, x , x + h olur olmaz, bu, verilm iş gibi şimdiden var oldu; çünkü x 3 yerine (x + h)s , X 3 + 3x2h + vb. verir ki, bu­ rada Jx2, serinin ikinci teriminde, h 'nin birinci kuvvetinin katsayısı ola­ rak şimdiden ortaya çıkar. Bundan ötürü, türelim, aslında, Lcibnitz'le ve Ncwton’da aynıdır; ama hazır 3x? türevi, öbür arkadaşlarından tümüyle ce­ birsel bir tarzda ayrılmıştır. Bu, gelişme değildir, te rs in e ,/’(x) 'in -burada 3x? - h çarpanından ve seride sıkışık saflarda ilerleyen komşu terimlerden bir ayrılması 'dır. Öte yandan, gerçekten gelişmiş olan, sol, sembolik yan­ dır, dx, dy ve onların oranı, sembolik diferansiyel katsayısı ^ 'dır. 0 dv (daha doğrusu - = ) ki bu, sembol matematiksel olarak türetilmişse 0 dx de, bir kez daha meiafiziksel ürpermeler yaratır. (*) Formülü

~^ h

96

’ TfrO xt • x

şeklinde yazmak gerekir, -ç.

D'Alembert diferansiyel hesaptan gizemci peçeyi kaldırdı ve ileriye doğru pek büyük bir aidim auı. Onun Traite des flu id c s 'i 1744'tc çıktıysa da (B k/. s. 15*), L eibnitz yöntemi Fransa'da etkisini yıllarca sürdürdü. Newton’un İngiltere’d e, XIX. yüzyılın ilk onyıllanna değin eikili oldu­ ğunu söylem ek de p e k gerekli değildir. Am a orada, Fransa'daki gibi, d'Aicmbcrl'in bulduğu dayanak, bugüne değin başat olmuştur. 3) Katışıksız Cebirsel Diferansiyel Hesap. Lagrange, "Theorie des fonetions analytiques” (1797 ve 1813), Tıpkı 1) ve 2) altındaki gibi, ilk çıkış noktası artm ış .t "tir; y veya f(x ) = vb., ise, o zaman, gizemsel yöntemde yı veya f( x + dx), ussal (rational) yön­ temde y! veya f ( x + h) (= f( x + Ax) 'lir. Bu ikiterimli çıkış noktası, öbür yanda**, ikiterimli açılımı ortaya çıkarıverir, örneğin: x” - m x f ' 1 h + vb. ki burada ikinci terim ınx” ' 1 h, aranan gerçek diferansiyel katsayısını, wum ' 1, şimdiden verir. a) Verilmiş bir orijinal x fonksiyonunda, cebirdeki gelişm em iş genel anlatım, özellikle ikiterimli, örneğin (x +• h)3 = x 1 + 3X2 h

+ vb. de,

kendi eşdeğer seri açılım ı x3 + Jjc2 h + vb. ile ilişkili (x + h p gibi, kendi yerini tutan seri açılımı ile nasıl ilişkiliyse,/(jc + h) de, karşısındaki seri açılımı (Entwicklungsreihe) ile tıpkı o biçim de ilişkilidir. Bütün ce­ birde, (yalnız değişken nicelikler kullanılarak) genel anlatımın kendi açılımı ile ilişkisine, Örneğin _ İL _ = ı a - x

+ £ + £? + £? + vb.de a 2 3

(•) Bk/.. s. 76. (**) Yani sağ yan. -Trans.

97

a - x

'in 1 + vb. seri açılımı ile ilişkisine, veya sin(x + h) = sin x c o s h + cos x sin h 'de

sinfjc + h) 'nin karşısındaki açılım ile ilişkisine, işte o aynı ilişkiye, f ( x + h) bu adımla girer. D'Alem bert, (x + dx) 'i veya (* + jc)'i (x + h)'ye ve böylcce f ( x + h) 'yi y + dy'den, y + y ' yi f i x + h)'ye yalnızca cebirselleştirdi. Am a Lag­ range, bütün anlatımı iGescımlaıısdruck) katışıksız cebirsel karaktere indir­ ger; çünkü onu, gelişmemiş bir genel anlaltnı olarak, ondan türetilecek seri açılımının karşısına yerleştirir.

b) Birinci yöntem / / d e olduğu gibi, ikinci yöntem 2 /d e de, arana gerçek katsayı, ikitcrimli teorem i ile üretilivcrir; dizi açılımının ikinci, bundan ötürü de hx ile zorunlu olarak birleşik olan teriminde bulunuverir. Diferansiyel işlemin bütün artakalanı ise, gerek 7 / de, gerek 2 /d e , bir lükstür. Bu yüzden gereksiz safraları gemiden denize atarız. İkitcrimli açı­ lımından ilk ve son kez biliyoruz ki, birinci gerçek katsayı h çarpanı, İkincisi de /ı2 çarpanıdır vb. Gerçek diferansiyel katsayıları, orijinal fo n k ­ siyonun türetilmiş x 'li fonksiyonlarının ikitcrimli olarak gelişmiş serile­ rinin katsayılarından başka bir şey değildir (ve titretilmiş fonksiyon kate­ gorisinin ortaya konması, en önemli şeylerden biridir). Ayrı diferansiyel biçimlere gelince, biliyoruz ki Ax d x't, Ay d y'yt dönüştürülür ve ^ bolik biçimi birinci türevi, İ t dx2

sem­

sembolik biçimi, ikinci türevi i . h 2 'yi 2

gösterir vb. Tümüyle cebirsel olarak elde etliğimiz sonucun yarısının si­ metrisini böylece bunlarda, onun diferansiyel eşdeğer niceliklerinde (Differentialaequivalenten) görünmeye bırakabiliriz -yalnızca bir adlandırma (no­ menclature) sorunu; her şey, diferansiyel hesaplan dolayı uygun kalır. Öy­ leyse bütün problem "birçok durumda aşırı işlem uzatmaları olmaksızın cıkilcncmeyen, lamsayılı (integral) arlan h kuvvetlerinde her çcşiı x + h fonksiyonları geliştirmekle ilgili”6*4 (cebirsel) yöntemler bulmaya değişti­ rilir. Bu noktaya dek Lagrangc'da d'Alcmbcrl'in yönteminin doğrudan bir 98

sonucu olamayan hiçbir şey yoklu; (çünkü o yöntem, gizemcinin bütün gclişıirimini de, yalnız düzeltilmiş olarak, içerir). Bundan ötürü,y ı veya f i x + h) - vb. gelişimi, şimdiye dek diferan­ siyel hesap alanına girmekle birlikte [ve dolayısıyla, gerçekte y + dy veya y + y , x + dx veya x + x 'ten çıkan yöntemlerin gizini aydınlatır; yani onların gerçek gelişiminin ikiterinıli teoreminin uygulanmasına dayandığını, oysa onların, ta başlangıç­ tan, x + dx olarak artmış Xı 'i, y + dy olarak artmış yı 'i gösterdiklerini, böylccc de bir birtcrimliyi bir ikiteriınliyc dönüştürdüklerini açıklar]/(jc + h) ile önümüzde derecesiz bir fonksiyon, yalnızca gelişmemiş genel an­ latımın kendisi, bulunduğu için, şimdi iş, bu gelişmemiş anlatımdan ge­ nel, dolayısıyla da her kuvvetten x fonksiyonu için geçerli seri açılımını cebirsel olarak türetmektir. Lagrange burada diferansiyel hesabın cebirselleştirilmesi için doğru­ dan çıkış noktası olarak, Newton 'dan ve N ewtonculardan uzun yaşamış Taylor 'un teoremini69 alır. Bu, gerçekte, en genel, en kapsamlı teoremdir ve aynı zamanda işlemsel diferansiyel hesap formülüdür; yani, sembolik diferansiyel katsayılarıyla anlatılmış y»! veya f( x + h), demek ki: >>! veya f ( x + h) = y (veya fix )) + Q - h + ^ 2 - — + ^ 2 - — — + ^ 2 ----- - ------ + vb. * * 2[2] ^ [ 2 - 3] [2.3.4] seri açılımıdır. d) Taylor ve MacLaurin teoremiyle ilgili inceleme buraya eklene­ cek.70 e) Taylor'un

ify

vb.sinin yerine geçen eşdeğer bir seriye Lagrange'

in f i x + h) cebirsel açılımı, o da, ancak cebirsel olarak türetilmiş x fonk­ siyonlarının sembolik diferansiyel anlatımı olabilir. (Bu, buradan sonra sürdürülecek.71) 99

III. ÖZETLERİN ARKASI

c) [5] 25 'in a rkası* jci - xfa rkın ın anlatımı için elim izde başlangıçtan xı - x = Ax var; fark, burada, yalnız bir fa rk olarak taşıdığı biçimle vardır (nitekim y, x 'e bağımlıysa, çoğunlukla - y yazılır). x x - x = Ax koyduğumuz için, farka aslında kendisinden farklı bir anlatım verm iş oluruz. Yalnız belirsiz bi­ çimlerde de olsa, bu farkın değerini farkın kendisinden ayn bir nicelik gibi anlatırız. Örneğin 4 - 2, 4 ile 2 arasındaki farkın katışıksız (pure) a n ­ latımıdır; ama 4 - 2 = 2 ,2 ile (sağ yanda) anlatılmış farkur: a) artı biçim ­ de, artık fark gibi değildir; b) çıkarma bitirilmiştir; fark hesaplanmıştır ve 4 - 2 = 2 bana 4 = 2 + 2’yi verir. Burada 2, orijinal 2 'nin artımının artı biçimindedir. Bundan ölürü, fa rk biçimine doğrudan doğruya karşıt bir bi­ çimdedir (einer der Differenzfonnentgegengesetzen Form). Tıpkı a - b = e, a = b + e örneğinde e nasıl b 'nin arum ı olarak görünüyorsa, x\ - x = A t , xı = x + A x 'ie de At, doğrudan doğruya x artımı olarak ortaya çıkar. Bundan dolayı, basit orijinal x \ - x = Ax anything** konm ası,fa rk biçiminin yerine başka biçim , gerçekte bir toplam biçimi, X\ = x + A k, koyar ve aynı zamanda x } - x farkını, bu farkın değerinin eşdeğeri, Ax ni­ celiği, olarak basitçe anlatır. X] - x = Ax ,x ı - Ax = x't& de tıpkı böyledir. Burada fark biçimini gene sol yanda, ama bu kez artm ış x\ ile kendi öz artımının farkı olarak onun yanı başında buluruz. Onunla jc(= Ac) artımı arasındaki fark, şimdi, aslında belirsiz de olsa tanımlanmış bir x değerini anlatan bir farktır. Bununla birlikle, x^ - x 'in x\ - x = dx olarak ortaya çıkıvcrdiği gi­ zemsel diferansiyel hesap bir yana bırakılırsa ve her şeyden önce*** dx A t olarak düzeltilirse, o zaman ar, - x - A t 'ten; dolayısıyla X\ = x + A t 'ten (*) Bkz. s. 84. (**) Aslında İngilizcedir. -Trans. Bir şey, herhangi bir şey. her şey. -Ç. (**«) /\s||, 1(ja d ’a bord. -Trans.

100

başlanır; öyle ki, x artması gene tanımlanmamış x x biçimini alır, böyle­ likle de hesaba doğrudan doğruya girer. Uygulamalı cebirsel yöntemimizin çıkış noktası budur. d) Bu basil biçim ayrılığından, d’Alembcri’in yönteminin çözüm­ lenmesinde ayrıntılı olarak gösterdiğimiz (ilişikle ayrı gönderilmiş tabaka­ lara bakınız)7^ hesabın ele alınışında köklü bir fark onaya çıkar. Burada, genelde yalnız şunları söylememiz gerekiyor: 1 )x x - x (dolayısıyla d ay ! -y ) farkı hemen kendisinin karşıtı gibi, kendi değeriyle birlikte x x = x + Ax toplamı gibi, dolayısıyla da hemen A k artımının artı biçiminde yazılırsa, ondan sonra, x 'li orijinal fonksiyonda her y erd ex yerine x + Ax konursa, belirli dereceden bir ikilerindi gelişir ve X! gelişimi ikiterimli teoreminin bir uygulamasına değiştirilir, lkiterimli teoremi, kendisiyle m kez çarpılmış birinci dereceli bir ikitcrimliden doğmuş genel anlatım dan başka hiçbir şey değildir. Farkı başlangıçtan kendisinin karşıtı gibi, bir toplam gibi yorum larsak, çarpma, bundan ölürü, jt] [veya] (x + Ax) 'in gelişim yöntemi olur. 2) Genel biçimde x x = x + Ax, x x - x farkı, kendi artı biçiminde Ax, artımın (increm ent) biçim inde anlatımın son veya ikinci terimi olduğu için, x 'li orijinal fonksiyon x + Ax 'li bir fonksiyon gibi gösterilince, x onun birinci ve Ax ikinci terimi olur. Ama, ikiterimli teoreminden biliyo­ ruz ki, ikinci terim, birinci terimden sonra, ancak artan kuvvetlere yüksel­ tilmiş bir çarpan olarak, bir katlayan (multiplier) olarak görünür; öyle ki, x 'li birinci anlatımın çarpanı (ki ikiterimlinin derecesiyle belirlenmiştir) (Ax)° = 1 'dir, ikinci terimin katlayanı (Ax)1, üçüncününki (Az)2 'dir, vb. Fark, anım ın artı biçiminde, dolayısıyla yalnız bir katlayan olarak ve öy­ leyse ilk kez, gerçekten (mademki (Ax)° = 1 ) açılmış (x + Ax)m ikiterimlisinin katlayanı olarak ortaya çıkar. 3) Öle yandan, x 'li fonksiyonun kendisini göz önünde tutarsak, o zaman, ikiterimli teoremi bize birinci terim, burada x, yerine onun türetil­ miş fonksiyonlarının serisini verir. Örneğin, elimizde, h 'nin bilinen, z'in de bilinmeyen nicelik olduğu (x + h f ikitcrimlisi varsa, X4 + 4x? h + vb. dir.

101

İkinci terimde görünen ve birinci kuvvete yükseltilmiş h çarpanı bulunan 4xJ, böylcce ilk türetilmiş x fonksiyonudur; veya, cebirsel olarak: Ikiterimlinin gelişmemiş anlaiıtm olarak elim izde (x + h)4 varsa, o zaman, ge­ lişmiş seriler bize ilk x4 artması için (artım (increment) için) h 'nin kat­ sayısı olarak yazılan 4x* 'ü verir. Bununla birlikte, x değişken bir nicelik­ se ve elimizde f(x) = X4 varsa, o zaman bu, kendi gelişim iyle f( x + h), veya birinci biçimde, f ( x + Ax) = (x + A x f = x? + 4x? A r + vb. olur. Bayağı cebirsel ikitcrimli (x + h)4 'te ikitcrimfli açılımm]in birinci terimi olarak bize verilen X4, şimdi değişkenin ikitcrimli anlatımında, (x + Ax)4 'te, x artıp (x + Ax) olmadan önceki x 'li orijinal fonksiyonun yeniden üretimi (reproduction) olarak görünür. İkiterimli teoremin doğası dolayısıyla, ta başlangıçtan bellidir ki./fjc) = X4 , f ( x + h) = (x + h f olunca, (jc + h)4 'ün [açılımının] birinci üyesi X4 'e eşittir, yani, x 'li oriji­ nal fonksiyona = olmak gerekir; (x + h)4 , x 'li orijinal fonksiyon (burada x4 ) + X4 'ün (x + h)4 olarak edindiği bütün terimlerin toplanmasını içerir; böylcce de, (x + h)4 ıkıterim lisinin [açılım ınm j birinci terimi [orijinal fonksiyondur]. 4) Üstelik, ikiterimli açılım ının ikinci terimi, 4x3h, türetilmiş bi­ rinci X4 fonksiyonunu, yani 4x? 'ü, bize hazır olarak (fix und fertig) veriverir. Böylece f i x + Ax) = (x + Ax)4 'ün açılımıyla elde edilmiş bu türelim (derivation), x x - x farkının başlangıcın­ dan beri onun karşıtı olanı- t + A x toplantı olarak, yorumla elde edilir. Nitekim, birinci türevi (ikiterimli serisinde) h 'nin katsayısını ve gerçekte ikiterim li açılım ının ta başlangıcında, ikinci terim inde, bize veren, fix + Ac) veya y , , ikilcrimlisinin açılımıdır. Türev, böylcce hiçbir biçimde farklılaştırma ile değil, tersine, basitçe f i x + h) veya y\ 'in basit çarpmayla elde edilen tanımlanmış bir açılımı ile elde edilmiştir. Bu yöntemin can alıcı noktası (Angclpunkt), böylece tanım lan­ mamış y, vcya/(x + h) anlaumından, tanımlanmış ikiterimli biçimine gc102

liştirmcdir; am a bu, X\- x 'in, dolayısıyla da y r y' ni n veya f(x + h )-f(x )' in gelişimini farklar olarak hiç kullanmadan yapılır. 5) Bu yöntemle ortaya çıkan biricik fark denklemi, elde edivcrdiğimiz şu denklemdir; f( x + Ax) = (x + Ax)4 = x 4 + 4x? A x + 6x? Ac2 + 4x Ax3 + Ax? ; şöyle yazdığımızda; x 4 + 4x? A x + 6x? Ac2 + 4x Ac5 + Ax4- x? , dizinin başlangıcını oluşturan x? orijinal fonksiyonunu gene arda, geri ko­ yarak, ikiterimli açılımının kullanılmasıyla x 'li orijinal fonksiyonun elde ettiği artımı (increment) karşımızda buluruz. Newton da böyle yazar. Böylcce, 4x? Ax + 6x2 Ac2 + 4x Ax3 + Ax? artımını, orijinal fonksiyonun, x4 'ün, artımını elde ederiz. Öte yandan, bu biçimde, herhangi bir çeşitten hiçbir fa rk kullanmayız; y veya f(x) = x? ise, y artımı, x artımından gelir. Onun içindir ki Newton da şöyle yazıverir. d y , ona göre y = 4 x 3 x + vb. 6) Şimdi artakalan bütün gelişim, hazır 4x4 türevini çarpanı Ac'ten ve komşu terimlerden özgürleştirmemiz, onu çevresindekilerden kurtar­ mamız gerektiği olgusudur. Öyleyse bu bir geliştirm e yöntemi değildir, tersine, bir ayırma yöntemidir. e)f(x) farklılaştırması (genel Ibir] anlatım olarak). Her şeyden önce (d’abord), diferansiyel hesabı asıl bulanlarca ve ilk yandaşlarınca bilinmeyen o sembolik diferansiyel katsayılarının birbirini izleyen gerçek eşdeğerlerine karşılık "türetilmiş fonksiyon" kavramını il­ kin Lagrangc'ın ortaya koyduğunu belirtelim. Eskilere göre bağımlı değiş­ ken, örneğin y, x için farklı değerler varsayılırkcn y 'nin farklı değerler al­ dığı dcnklcmlcrdckindcn daha çok sayıda bilinmeyen bulunan sözde belir­ 10 3

siz denklemlere uygulanmış orijinal cebirsel fonksiyon yorumuna tümüy­ le uygun olarak, yalnızca bir x fonksiyonu gibi görünür. Bununla birlikte, Lagrange'da, orijinal fonksiyon, farklılaştırılacak tanımlanmış x anlatımı­ dır; dolayısıyla y veya f(x ) - x4 ise, o zaman, orijinal fonksiyondur, birinci türevdir, vb. ö y ley se, karışıklığı azaltmak için, Lagrange'a özgü anlamdaki orijinal fonksiyona karşıt olarak, bağımlı y veya f(x ), x fonksiyonu, x *li "türetilmiş" fonksiyonlara uygun olarak x 'li orijinal fonksiyon diye adlandırılacak. Ö nce / ' 'i, başlangıç (prelim inary) türevini veya sonlu farklar [oranınjı geliştirdiğimiz, ondan da ilkin kesin tü r e v i,/' ’nü, geliştirdiği­ miz cebirsel yöntemde, ta başlangıçtan biliyoruz k i,f(x ) = y, dolayısıy­ la a) Af(x) = Ay ve bundan ölürü yanların yerleri değiştirilince A y = Af(x). Ondan sonra geliştirilen, yalnızca A f(x),f(x) sonlu farkının değeridir. Şunu buluruz: f \ x ) = & , dolayısıyla ^ = f\x). Ax Az Gene bunun gibi: Ay = f lM t e . ve Ay = Af(x) olduğu için,

AfM = f'(x) t e . Sonunda df(x) = f ( x ) d x ' \ veren diferansiyel anlatımın sonraki gelişimi, basitçe, daha önce geliştiril­ miş sonlu farkın diferansiyel anlatımıdır. Alışılmış yöntemde, dy veya df(x) = f*(x)d x hiç geliştirilmez; tersine, onun yerine, yukarı bakınız, (x + Ax) veya (x + dx) ikilerimlisiylc hazır v c rilm iş/'fo ), çarpanından ve komşu terimlerin­ den yalnızca ayrılır.

104

TAYLOR TEOREMİ MACLAURİN TEOREMİ YE LAGRANGE'IN TÜRETİLMİŞ FONKSİYONLAR TEORİSİ

1. "TAYLOR TEOREMÎ, MACLAURİN TEOREMİ VE LAGRANGE'IN TÜRETİLMİŞ FONKSİYONLAR TEORİSİ" BAŞLIKLI ELYAZM ASINDAN73

I

N cw ton’un ikitcrimli (onun uygulam asında, aynı zamanda çokterimli) teoremini bulması, büıüıı cebiri değiştirdi; çünkü ilk kez genel bir denklemler teorisini olanaklı kıldı. ikitcrimli teoremi -»İzcilikle Lagrangc’dan beri matematikçilerin ke­ sinlikle tanıdıkları gibi- diferansiyel hesap için de başlıca tabandır (ilauptbasis). Üstünkörü bir bakış bile gösterir ki, gelişim leri trigonometriden gelen çembersel fonksiyonların dışında, x!” , ax , log x, vb. gibi bütün bir­ lerindi diferansiyelleri, yalnız ikilerindi teoreminden geliştirilebilir.74 ikitcrim li teoreminin gerek Taylor, gerek M acLaurin teoremlerin­ den türetilebildiğini ve bunun tersini kanıtlamak, bugünlerde okul kitap­ larında gerçekten modadır (Lehrbuchsm ode)?5 Bununla birlikle, hiçbir yerde -türetilm iş fonksiyonlar teorisi diferansiyel hesaba yeni bir temel sağlayan Lagrangc'da bile- ikitcrimli teoremi ile bu iki teorem arasındaki bağlantı, bütün orijinal basitliği ile saptanmadı. Burada, her yerde olduğu gibi, belirsizlik peçesini kaldırıp almak bilim fçin önemlidir. Tarihsel bakımdan MacLaurin Teoreminden önce olan Taylor Teo­ remi -belirli varsayımlar alımda- arlı veya eksi bir h artımı ile arlan her­ hangi bir x fonksiyonu için,76 dolayısıyla genelde f ( x ± h ) için, f ( x ± h ) ' nin hangi diferansiyel işlem sırasıyla geliştirileceğini gösteren bir dizi sembolik anlatım sağlar. Nitekim, üzerinde durulan konu, x değişir değiş­ mez, keyfi bir x fonksiyonunun geliştirilmesidir. 107

Öle yandan MaeLaurin -gene belirli varsayımlar alltnda- herhangi bir jc fonksiyonunun kendisinin genel gelişimini, gene, çözümü cebirsel olarak pek güç ve karmaşık olan böyle fonksiyonlarm diferansiyel hesapla nasıl kolayca bulunabileceğini gösteren bir dizi sembolik anlatımla sağlar. Bununla birlikle, keyl'i bir x fonksiyonunun gelişimi, bağımsız x değişke­ n i/ nin kuvvetleri) ile bir araya gelmiş sabit fonksiyonların gelişiminden başka bir şey değildir;77 çünkü değişkenin gelişiminin kendisi onun deği­ şimine, böylece de Taylor Teoreminin nesnesine (object) uygun olmak ge­ rekir. İki teorem de büyük genellemelerdir; bu genellemelerde, diferan­ siyel sembollerin kendileri, denklemin içerikleri olurlar. Birbirini izleyen lürciilmiş gerçek x fonksiyonları yerine, / ( jc + h) fonksiyonunun biçimin­ den bağımsız olarak yerine getirilecek pek çok işlem stratejisini gösteren sembolik eşdeğerlerinin biçimiyle, yalnız türevler gösterilir. Böylece de, belirli sınırlamalarla bütün özel x v eya* + h fonksiyonlarına uygulanabi­ len iki formül elde edilir. Taylor'un Formülü: f( x + h) veya y x = y

.+ A

+& h+A jL . +A dx , 2 İ .2 ,3

1.2.3

,4 1 . 2 . 3 . 4

•+ vb.

MacLaurin'in Formülü: f(x) veya y

A

A \d x3

1.2.3

{dxA

1.2 .3 .4

+ vb. Burada yalnız görünüş, gerek tarihsel, gerek teorik olarak, diferan­ siyel hesap aritmetiği denebilecek şeyi gösterir; yani, onun temel işlemle­ rinin gelişimi, şimdiden, iyi bilinir ve hazır varsayılır. Aşağıda bu bilgiyi varsaydığım unutulmamak gerekir. 108

II

M acLuurm Teorem i, 1 jy lo r Teorem inin b ir özel durumu gibi ele alınabilir. Taylor’da, elimizde §u vardır:

y = A*), y , = f i x + h) = fi.x) veya y + dx

+ I & A2 + vb. 2 , 2 dx

dv (Py f ( x + h) ’de ve sağ yanda, y 'de veya f( x ) 'te ve onun — . dx .i dxz biçimli sem bolik lOrctilmiş fonsiyonunda x = 0 koyarsak, onlar, basitçe sab it* öğelerinin {elemeni) gelişiminden oluşurlar,78 öyleyse:

yı = f{ x + h) = f( 0 + h) o zaman aynı A 'li fonksiyon olur, y = f(x ) olan ise * 'lidir; h ,f ( h ) 'yc, tıpkı x , f ( x ) 'e ve (y),

I 'c bölünür gibi bölün\dx

düğü için, bütün jc izleri silinir. Bundan ölürü her iki yanda A yerine * koyabilir ve o zaman şunu elde ederiz:

109

Veya başkalarının yazdığı gibi,

m

= A 0 ) + / '< 0)X + / " ( 0 ) ^ - + / " ' ( O

) ^

+ vb.

örneğin/fr) ’in veya (c + x)m 'nin geliştirilmesindeki gibi: ( c + o r = fCfl) = cm , /w(c + 0) m’1x = m c m' l x = f ' ( 0 ) x vb. Aşağıda, Lagrange’a gelince, MacLaurin Teoremini artık Taylor Teoreminin yalnızca özel bir durumu saymayacağım. Burada, onun da tıp­ kı Taylor Teoremi gibi sözde "başarısızlıkları" (failures)* olduğu belirtil­ sin. Bütün başarısızlıklar ilkinde sabit fonksiyonun irrasyonel doğasında, ikincininse değişkeninkinde J9

olur

Şimdi şöyle sorulabilir: Newton, ömeğin Arithmctica Universalis'teki en güç problemlerde yaptığı gibi, Taylor'un ve MacLaurin'in teoremlerini kendi bulduğu ikile­ rindi teoreminden kişisel kullanımı için tam bir sessizlik içinde önceden geliştirerek dünyaya yalnızca sonucu mu verdi? Bu, salt kesinlikle olum­ suz yanıtlanabilir: O, böyle bir buluşun şerefini (Aneignung) öğrencileri­ ne bırakacak biri değildi. Gerçekte, Newton, Taylor’da ve M acLaurin'de önceden verilmiş ve iyi biliniyor varsayılan işlemleri, diferansiyel işlem ­ lerin kendilerini, çözmek için aşırı didinip durmaktaydı. Üstelik, Newton, (*) Aslında İngilizce vc lımak içinde. -Trans.

ilk öğescl (elementary) hesap formüllerinin gösterdiği gibi, onlara ilkin katışıksız çözümlemeyle ilgili çıkış noktalarından değil, açıkça mekanik çıkış noktalarından ulaştı. ö te yandan, Taylor ile MacLaurin'e gelince, onlar ta başlangıçtan, diferansiyel hesap tabanına dayanarak çalıştılar ve işlem yaptılar; dolayı­ sıyla onun olanaklı en basit cebirsel başlangıç noktasını aramak için hiç­ bir nedenleri (Anlass) yoktu; öyleydi, çünkü yeni bulunmuş, tümüyle ayrı bir matematik dalı olarak [diferansiyel -ç.] hesabın tanımlanmış, önceden bütünlenmiş biçimleri çevresinde Newton ve Leibnitz yandaşlan arasında kopan kavga, alışılmış cebirden dünyalarca uzaktı (von der gewohnlichen Algebra himmelweit verschiednen). Onların ayn başlangıç denklemlerinin ikiterimli teoremiyle ilişkisi kendince anlanıyordu; ama, ömeğin xy veya x — farklılaşlırılm asm da bunların bayağı cebirle elde edilmiş anlatımlar olduğunun kendi kendine anlandığından daha çok anlanmıyordu. Yeni ile eskinin gerçek ve bundan ötürü en basit ilişkisi, yeni, son biçimini alır almaz ortaya çıkarılır ve diferansiyel hesabın bu ilişkiyi Tay­ lor ve MacLaurin teoremleriyle kazandığı söylenebilir. Bundan dolayı Lagrange'm ilk düşüncesi, diferansiyel hesabı sağlam bir cebirsel tabana (a u f slrikı algebraisehe Basis) geri döndürmek oldu. Onun bu konudaki önceli, belki, XVIII. yüzyılın ortasında, Residual Analysis'i ile, Ingiliz Matema­ tikçi John Landen idi. Gerçekle, bu konuda bir yargıya varabilmeden önce [British] M useum'da o kitabı aramalıyım.

I I I . L a g ra n g e 'm F o n k siy o n la r T eo risi

Lagrange, Taylor Teoreminin cebirsel tabanından (Begründung), do­ layısıyla da en genel diferansiyel hesap formülünden yola çıkar. Bu Taylor'un başlangıç denkleminde bile kolayca görülün 111

yı veya f ( x + h) = y veya f(x) + A h + Bh? + Ch3 + vb. 1) Bu seri hiçbir biçimde kanıtlanmaz;/(.x + h) derecesi tanımlan­ mış bir ikilcrimli değildir; f( x + h), daha çok, artı veya eksi bir h artım ıy­ la artan x [değişkeninin] herhangi b ir fonksiyonunun tanım lanm am ış genel anlaumıdır; bu yüzden, f ( x + h), tanımlanmış herhangi bir dereceli x fonksiyonlarını içerir; ama, aynı zamanda, seri açılımının kendisine göre tanımlanmış herhangi bir dereceyi dışanr. Taylor, kendisi, bundan ölürü serinin sonuna "+ vb." koyar. Bununla birlikte, bir artımı kapsayan ta­ nımlanmış x fonksiyonları -ister sonlu bir denklem de,80 ister sonsuz bir seride gösterilebilsinler- için geçerli dizi açılımının, tanımlanmamış genel f ( x) 'e ve bundan dolayı tanımlanmamış genel f ( x x) 'e veya f( x + h) 'yc artık eşit ölçüde uygulanabilir olmadığı önce kanıtlan/nalıdır. 2) Denklem, iki kez yani, yı , bir kez x değişmezken değişken ola­ rak h 'ye göre, am a sonra bir daha, h değişmezken değişken olarak x'c göre farklılaştırılmış olmasıyla, diferansiyel diline çevrilir. Bu yolla, birinci yanlan özdeş, oysa ikinci yanları biçimce farklı iki denklem ortaya çıkarı­ lır. Ne var ki, bu iki yanın tanımlanmamış katsayılarını (ki hepsi de x fonksiyonudur) eşitleyebilmek için, hem tek tek A, B, vb. katsayılarının doğal olarak tanımlanmamış, ama sonlu nicelikler olduğunu, hem de yan­ larındaki h çarpanlarının tam ve artı kuvvetlerle arttığını varsaymak da zo­ runludur.81 Taylor'un,/(x /te k i x genel kaldığı sürece f( x + h) için her şeyi kanıtladığı varsayılırsa -ki durum böyle değildir- o zaman, bu aynı gerek­ çeden dolayı, x fonksiyonları belirli, özel değerler alır almaz, kanıtlama geçerli olmaz. Bu, tersine,

yı = y + ^ - h *

+ & h 2 + vb. A*

serisi aracılığı ile yapılan işlemle bağdaştınlabilir. Sözün kısası, Taylor'un kanıtlanmamış başlangıç denkleminde içe­ rilen koşullar ve varsayımlar, o denklemden türetilmiş teoremde de doğal olarak bulunur: 112

Bu yüzden, varsayımların herhangi biriyle çelişen belirli x fonksiyonlarına uygulanamaz. Teoremin sözde başarısızlıkları bundan. Lagrange, başlangıç denklemi için cebirsel bir lemel sağladı (begriindel die Ausgangsgleichung algebraisch) ve aynı zamanda genel, yani, x fonksiyonunun genel, tanımlanmamış karakterleriyle çelişen karakterleri yüzünden hangi özel durumların dışarıldığını gelişimin kendisiyle göster­ di.

H) 1) Lagrange'ın büyük hizmeti yalnız Taylor Teoremi ve genelde diferansiyel hesap için katışıksız cebirsel çözümlemede bir temel sağla­ ması değildir, aynı zamanda ve özelde bütün ardıllarının, adını anmadan da olsa, az veya çok gerçekten kullandıkları türetilmiş fonksiyon kavramını ortaya koymasıdır. Ama o, bununla yetinmedi. Lagrange, artan tam, artı h kuvvetle­ riyle, olanaklı bütün (x + h) fonksiyonlarının katışıksız cebirsel gelişimi­ ni sağlar ve sonra ona küçük adını (Taufname) koyar. Diferansiyel hesabın kendisinin getirdiği bütün kolaylıklar ve kısaltm alar (Taylor Teoremi vb.), onunla ceza olarak yiıirilir ve çoğu zaman onların yerine çok daha kapsamlı ve karmaşık doğalı cebirsel işlemler konur. 2) Katışıksız çözümlemeye gelince, gerçekte Lagrange, Ncwion'un fluxionlannda, Leibnitz'in farklı düzenli sonsuz küçüklerinde, sıfıra eşitle­ nen niceliklerle ilgili sınır (limit) değer teoreminde, diferansiyel katsayısı yerine bir sembol olarak — (= & I konmasında vb., kendisine mciafizik0 I dx I sel aşım lar (transcendence) olarak görünen her şeyden kurtulmuş olur. Gene de bu, teorilerinin ve eğrilerinin vb. uygulanmasında, onu, bu "me­ tafizikse!" gösterimlerin birini veya öbürünü gereksemekten alıkoymaz.

2. "TAYLOR TEOREMİ" BAŞLIKLI BİTİRİLMEM İŞ ELY AZMASINDAN

Bundan ötürü Taylor Teoreminde,82 1) ikitcriınli teoreminin kendi­ ne özgii bir biçiminden dolayı, o biçimdeki düşünceyi, (x + /ı)m'deki m'nin lam, artı bir kuvvet olduğu ve böylece de çarpanların h = h° , h ‘ , h2 , h3 , vb. olarak göründüğü, yani h 'nin tam, artan [bir] kuvvete [yükseltildiği] varsayımını benimsersek, o zam an, 2) tıpkı genel biçimli cebirsel ikiterimli teorem indeki gibi, türetilm iş x fonksiyonları, tanımlanmış ve do­ layısıyla sonlu, x 'li fonksiyonlardır. Ancak, bu noktada üçüncü bir koşul ortaya çıkar. Türetilmiş x fonksiyonları yalnız = 0, - +«», = -«»olabilir; tıpkı, jc değişkeni özel değerler, örneğin x - a P alınca, H kI 'nin yalnız = k l veya hm/n (örneğin h m ) olabilmesi gibi. Genelde özetlenmiş durum: Taylor Teoremi, genelde yalnızjc, x + h 'ye eşit olduğu veya x 'ten *1 ‘e arttığı x fonksiyonlarının geliştiril­ mesine, 1) bağımsız değişken x genel, tanımlanmış x biçimini korursa; 2) jc'H orijinal fonksiyonun kendisi, farklılaştırma ile, artan artı ve tamsayısal (integral) üslü, demek ki h1 , h 2 ,h 3 , vb.li uygun gelen h çarpanlarıy­ la birlikte, tanımlanmış ve dolayısıyla sonlu, lüretilrmş x 'li fon ksiyo n ­ lardan bir seriye gelişme yeteneği varsa uygulanabilir. Bununla birlikte, bütün bu koşullar, bu teoremin, diferansiyel dile çevrilm iş lam ve artı iislerle ilgili ikiterimli teoremi olduğu gerçeğinin yalnızca başka bir anlaumıdır. Bu koşulların yerine getirilmediği yerde, Taylor Teoreminin uygu­ lanabilir olmadığı yerde, diferansiyel hesapla bu teorinin "başarısızlıklar"ı (failures)* denen şeyler onaya çıkar. Bununla birlikle, Taylor Teorem inin en büyük başarısızlığı, bu özel uygulama başarısızlıklarından çok, şu genel başarısızlıktan oluşur: Belirsiz dereceli bir ikilerimlinin yalnızca sembolik anlatımı olan

(*) Aslında İngilizce. -Trans.

114

y = fix ) [vc] y, = f( x + h) x bütün dereceleri içerir ve dolayısıyla kendisi derecesiz ikcn/fx] 'in bir j: fonksiyonu olduğu8-1 anlatımlara dönüştürülür; öyle ki y l = f( x + h) de bütün dereceleri tıpkı öyle içerir ve kendisi derecesizdir vc dahası, x de­ ğişkeni artar artmaz, herhangi bir jc fonksiyonunun gelişmemiş ge­ nel anlatımı olur. Derecelenm emiş f( x + h) 'nin açıldığı seri gelişimi, yani y + Ah + Bh2 + Ch3 + vb. de, bu yüzden, kendisinin hiçbir derecesi yokken bütün dereceleri içerir. Alışılm ış cebirden, üstelik alışılmış cebir ile, değişkenler cebirine bu sıçrama, un fa it accompli [oldubitti, -ç.] gibi varsayılır; kanıtlanma­ mıştır vc prima facie [görünüşle, -ç .j.y = f(x) ile jy/ = f ( x + h) 'nin asla bu anlamı taşıyamadığı geleneksel ccbirin bütün yasalarına aykırıdır. Başka bir söyleyişle, başlangıç denklemi yı veya f( x + h) = y veya f(x ) + Ah + Bh2 + Ch3 + D id + Eh5 + vb. yalnız kanıtlanmamış değildir, ama gerçekte, bütün cebir yasalarına karşı gelen sabitler yerine değişkenler konmasını bilerek veya bilmeyerek varsa­ yar; çünkü cebir, dolayısıyla da cebirsel ikiterimli, yalnız sabitlere, ger­ çekte yalnız iki türlü sabite, bilinen ile bilinm eyene olanak verir. Bu denklemin cebirden türelimi, bu yüzden, bir aldatmacaya dayanır görünür. Bununla birlikle, Taylor Teoreminin -ki uygulamada başarısızlıkla­ rı üstünde pek az durulur; çünkü gerçekte bu başarısızlıklar farklılaştı­ rılması hiçbir sonuç vermeyen x fonksiyonlarıyla sınırlıdır85 ve bu yüz­ den, genelde, diferansiyel hesapla ele alınamaz- şimdi, pratikte bütün dife­ ransiyel hesabın en kapsamlı, en genel ve en başarılı işlemsel formülleri (Operationsformel) olduğu ortaya çıktı ise, bu, yalnızca, onun bağlı oldu­ ğu Newton okulunun büyük yapısının, ve genelde, diferansiyel hesap ge­ lişiminin ta başlangıçtan beri yanlış öncüllerden doğru sonuçlar çıkaran Newton-Leibnilz döneminin taçlandınlmasıdır. Taylor Teoreminin cebirsel kanılını şimdi Lagrange vermekte ve bu kanıt gencide onun cebirsel diferansiyel hesap yönteminin tabanını (Basis) sağlamaktadır. Konunun kendisine, bu elyazmasının son tarihsel bölümünde, daha ayrıntılı gircccğim.s6 11 5

Bir lusııs historiae [öyküde bir yan j olarak Lagrangc'ın Taylor için bilinmeyen temele -ikilerindi teorem ine, yalnız iki nicelikten, (x + a) veya burada (x + h), oluşan ve bir artı üssü bulunan en basit biçimiyle ikilerindi teoremine de- hiçbir biçimde geri dönmediği belirtilsin. Lagrange, Ncwton'un diferansiyel biçime çevrilmiş ve aynı zaman­ da güçlü bir vuruş (Gewaltsireich) ile cebirsel koşullarından kurtarılmış ikilerindi teoreminin neden kendi kurduğu hesabın baştan sona işlemsel formülü olarak göründüğünü, daha da geriye dönüp kendisine hiç sormaz. Yanıt basittir: Çünkü Newton, ta başlangıçtan, x \ - x = dx, dolayısıyla X\ = x + dx koyar. Böylcce, farkın gelişimi, birdenbire, (x + dx) ikiterimlisindeki bir toplamın gelişimine dönüştürülür ( x \ - x = Ax veya h -dolayı­ sıyla x x = x + Ax veya = x + h- konmak gerekliğine nedense hiç aldınnıyoruz). Taylor, bu temel ilkeyi, ancak diferansiyel hesabın temel işlemleri ortaya çıkarıldıktan sonra, ilk ve son kez olanaklı, en genel ve kapsamlı biçimine yalnızca geliştirdi; çünkü, x Ti bütün başlıca fonksiyonlar için, onun [Taylor’un, -ç.] ^

, — ,

* dx2 vb. geliştirilmedikçe, ne anlamı olur?

vb.sinin, yerlerini tutan

, ^

dx2

Lagrange, tersine, doğrudan doğruya Taylor Teoremine dayandı (schliesstsich direkt an Taylor's Theorem an); bulunduğu noktada, bir yan­ dan doğal olarak, Newton-Leibnitz çığırının ardılları, onu ^ - x = dx ’in düzeltilmiş versiyonu ile, dolayısıyla y t - y =f ( x + h) - f(x ) ile önceden donatmışlardı; öte yandan, o da, Taylor formülünün doğru cebirscllcştirilmesiyle kendi türetilm iş fonksiyon teorisini ortaya koydu. [Tıpkı Fichte'nin Kant'ı, Schelling’in Fichle'yi ve Hegel'in Schelling'i izlediği, ama Fichle'nin de, Schclling'in de, Hegel'in de Kant’m, genelde düşünsclciliğin (idealism), genel temelini incelemediği bir tarzda: Yoksa onu daha çok gelişlircmezlcrdi].

116

"DİFERANSİYEL HESABIN TARİHİ ÜSTÜNE" BAŞLIKLI EL YAZMASINA VE D'ALEMBERT YÖNTEMİNİN ÇÖZÜMLEMESİNE EKLER

"LİMİT" VE "LİMİT DEĞER" TERİMLERİNİN BELİRSİZLİĞİ ÜSTÜNE’

I )* * ;

a) (x + h fi = x3 + 3k>
= ı x *+ 3xh + h 2 . h

h = 0 olursa, o zaman

(* + 0)3 - * 3 veya î ! l î ? = ® veya & 0

0

0

cix

ve sağ yan = 3 £ , dolayısıyla

3 y=x3 ;

3 y ı = Jt! ;

y x- y = x \ - x 3 = ( * j - x) ( x f + x xx + x 2) ; ^ ı ■y rfy ■> -j veya = x 2+ x x + x 2 ; x t-x dx ^ = 3x2 . dx

119

2)

II)

jt) - x = h koyalım. Öyleyse:

1)

(*ı--*) (x}+ X\X. + x 7) = h ( x \ + x ı x + x 2) \

dolayısıyla: y ı- y

=

2

X \ + X ıX + X

h

2

.

1

l)'deki h katsayısı, y u k a rıd a k i/' gibi, bütünlenmiş türev d e ğ ilim , tersine, / 1 ‘dir; iki yanın /ı’ye bölünmesi, bundan ölürü, ^ ’e de varmaz; dx tersine, Ay veya Ay _ x 2 + x ^x + x 2 h Ax vb., vb. I c)’dc, yani veya ^

h

h

= 3x2+ 3xh + /,2 -de,

öbür yandan başlarsak, sağ yanda h değeri ne denli çok azalırsa, 3xh + /ı2 terimlerinin değeri de o denli çok varsayımından dolayı, bütün sağ yanın 3x? + 3xh + /ı2 değeri İjc2 değerine gittikçe daha çok yaklaşır; bu­ nunla birlikte, o zaman şunu belirtmemiz gerekir: "ama ona eşit d a m a ­ dan".

azalır^

3x2, böylece öyle bir değer olur ki, seri ona asla ulaşmaz, dahası, bundan ölürü onu asla aşamaz, ama ona sürekli yaklaşır. 3x2, bu anlamda, 3x3 + 3xh + h2 dizisinin limit değeri89 olur. yı-y

O tc yandan, — -—

veya Z l l Z

niceliği de, h paydası ne denli

X\-X

çok azalırsa, o denli çok azalır.90 Ne var ki/ - - - , 3x2+ 3xh + h 2 ' h nin eşdeğeri olduğu için, serinin limit değeri, gene eşdeğer serinin limit değeri olduğu anlamında, oran ’in da kendi öz limit değeridir. 120

Bununla birlikle, h = 0 koyduğumuzda, sağ yandaki terimler, 3 x * ' yi o yanın değerinin limiti yaparak sıfıra eşitlenir; şimdi 3x3 , x3 'ün ilk türevidir ve böylcce = f ’(x) 'lir. f ’(x) olarak, bir f " W in ondan (o, burada = 6x) da türetilebilir olduğunu vb., böylece d e / ' (x) v e y a .?*2 artımının / W = x ^ ’ten geliştirilebilen artımların toplamına = olmadığını gösterir. / W i n kendisi sonsuz bir seri olsaydı, ondan geliştirilebilen artımlar serisi de, doğallıkla, sonsuz olurdu. Ne var ki, bu anlamda, geliştirilmiş artımlar serisi, ben onu parçalar parçalamaz, gelişimin limit değeri olur ki, burada, limit değer, alışılm ış cebirsel veya aritmetik anlamdadır; tıpkı sonsuz bir ondalık kesrin geliştirilm iş payının (part) onun olanaklı gelişiminin lim i­ ti, pratik ve teorik tabanlarda yeterli görülen bir limit, olması gibi. Birin­ ci anlamdaki limit değer ile bunun, kesinlikle, ortak hiçbir yanı yoktur. Burada, ikinci anlamda, limit değer keyfi olarak artırılabilir, oysa orada yalnız azaltılabilir. Üstelik, y ı-y

h

_ y\-y

x\-x

h yalnız azaldıkça, ancak jj- anlatımına yaklaşır; bu, onun hiç ulaşamaya­ cağı ve asla aşamayacağı bir limittir; ve buraya değin jj- onun limit değe­ ri sayılabilirdi Bununla birlikte, y i- y h

^ = ~ ’e dönüştürülünce, sonraki h 0 dx ’nın lim it değeri olmaktan çıkar; çünkü sonraki kendi limit değey ı-y

rine [doğru, -ç.] görünmez olur.92 Onun ilk biçimine, ------veya yj- y 0 ^ 'e gelince, yalnız diyebiliriz ki, —onun salı enküçük (m inim al) x x- x 0 anlatımıdır; bu anlaüm da, tek başına ele alınırsa, bir değer anlatımı (Wertaıısdruck) değildir, ama —(veya ^ I şim di, onun gerçek eşdeğeri olarak, 0 \ dx I ona karşıt 3x3 , yani f ( x ) olur. 121

Bu yüzden de,

denkleminde, iki yandan hiçbiri öbürünün limit değeri değildir. Onların birbiriyle bir limit ilişkisi (Grenzverhaeltnis) yoktur; tersine, bir eşdeğer­ lik ilişkisi (Aquivalentvcrhaeltnis) vardır. ElimdcÜ. = 2 varsa, 2, — 'ün 6 3 3 limiti olmadığı gibi, — de 2'nin limiti değildir. Bu, basitçe bir niceliğin değeri = onun değerinin limiti diyen o pek eskimiş eşsüzden (tautology) ileri gelir. Lim it değer kavram ı, bu yüzden, yanlış yorum lanabilir ve yanlış yorumlanaduruyor (missdeutet). Bu kavram, diferansiyel denklemlerde93 x\ - x veya h = 0 koyma yolunu hazırlama ve sonuncuyu kendi gösterim i­ ne daha yakın kılma aracı gibi uygulanıyor: Kökeni, gizemli ve gizemleşlircıı ilk hesap yöntemlerinde olan bir çocukluk. Diferansiyel denklemlerin eğrilere vb. uygulanmasında, bu kavram, nesneleri geometrik olarak daha anlaşılır kılmaya gerçeklen yarar.

D 'A L E M B E R T Y Ö N T E M İN İN C E B İR S E L Y Ö N T E M L E K A R Ş IL A Ş T IR IL M A S I D'Alembert Yöntemini cebirsel yöntem ile karşılaştıralım.94 1) f(x) veya y = x 3 ; a) f{ x + li) veya y x = (x + h f = x 3+ 3x'Hi + 3 xh 2+ h 3 ; b) f( x + h) - f(x) veya y ı - y = 3x \ + 3.t/ı2 + /ı3 ; C) A x + h ) - f(x) w ya T r y . = 3jt2+ 3xh + h ı . h h

h = 0 ise, d)

jç veya ^ O dx

= 3x2 = / ' ( x ) .

D) f{x) veya y = .r3; a) A * ı) veya y , = x ] \ = x\-x3

t>) A * ! ) - A * ) vcya y ı - y

= ( x j - jc) (x \+ X ıX + x 2) ;

^ -.c

X jı -- X x JC

x\ = x olursa, o zaman x \ - x = 0 ; bundan ötürü d) — veya = (x2+ x x + x 2) = 3 x 2. 0 dx Şunlar, şimdiye dek, ikisinde de aynıdır: Bağımsız değişken x arlar­ sa, bağımlı IdeğişkenJ y de artar. Her şey, x artmasının nasıl anlatıldığına bağlıdır. x , X\ olursa, o zaman X\ - x = Ax = h (tanım lanmamış, sonsuz büzülebilir (contractible), ama her zaman sonlu bir fark).95 Ac veya h, x 'in arttığı artım (increment) ise, bundan dolayı, a) a:t = x + Ac, ama aynı zamanda tersi, b) x + Ac veya x + h = jcj. Diferansiyel hesap tarihsel olarak a) ile, yani Ac farkının veya h ar­ tımının (Biri, öbürü gibi aynı şeyi anlatır: Birinci eksi olarak Ac farkını, ikinci ise artı olarak h artımım.) artımı olduğu ve dolayısıyla artmış, ama h denli artmış gibi anlattığı x niceliğinden sonra bağımsız var olduğu ger­ çeğiyle başlar. Ona uyarak, bu genel anlatımın yerini tutan değişkenlerin orijinal fonksiyonunun, artar artm az, tanımlanmış bir ikilerimli ile anla­ tılması ve bundan ölürü ikilerimli teoreminin ona la başlangıçtan uygula­ nabilir olması üstünlüğünü kullanır. Gerçekte, genel sol yanda bir ikile­ rimli, yani x + Ar l,şöyle ki f(x+ ûx)] veya yı = vb., şimdiden önümüzde­ dir. 123

Gizemli diferansiyel hesap, (x + Ax) 'i (x + dx) 'e veya Ncwton'a göre, x + * 'e dönüşlürüvcrir.96 Bununla, sağ, cebirsel, yanda da, bayağı bir ikilcrimli gibi ele alınabilen x + dx'U veya* + * 'li bir ikitcrimli elde ediveririz. Ax 'ten dx 'e veya * 'edönüştürme, matematiksel ilkelerle reddedilmektcnsc, a priori [önsel olarak, -ç.] varsayılır; dolayısıyla, daha sonra gelişmiş ikiıcriınliııin terimlerini gizemlice örtbas etm ek olanaklı duruma gelir. D'Alembert (x + dx) ile başlar, ama anlaümı (x + Axj'e, öbür adıy­ la (x + h) 'ye göre düzeltir; şimdi Ax 'in veya h 'nin dx ’e dönüştürüldüğü bir geliştirme zorunlu olur; gerçekten ilerleyen bütün geliştirme de budur (dus isi auch aile Entwicklung, die wirklich vorgehı). Yanlış olarak (x + dx) ile veya doğru olarak (x + h) ile. başlasa da, verilmiş x cebirsel fonksiyonuna konan bu tanım lanmamış ikilcrim li, tanımlanmış bir derecesi olan bir ikiterimliyc -örneğin şimdi I a)'da x? ye­ rine ortaya çıkan (x + h'ji3 'e- ve hatla öyle bir ikiterimliyc dönüşür ki, bi­ rinci durumda dx, öbüründe h, onun son terimi olarak, açılımda ise ancak ikiterimlidcn türetilmiş fonksiyonların kendisine dıştan ilişıirildiği (behafteı) bir çarpan olarak görünür. Bundan ötürü, doğruca I di)'da x? 'ün bütün birinci türevini, serinin ikinci terimindeki katsayı olarak, h 'ye iliştirilmiş buluruz. 3 x2 = f ' ( x ) bundan sonra değiştirilmemiş olarak kalır. Kendisi, asla, hiçbir farklılaş­ tırma süreciyle lürctilmemiştir, tersine, gerçekle la başlangıçtan beri, *, h denli arttığı için, artmış x 'i bir ikiterimli, x + Ax = x + h olarak gösterdiğimizden dolayı, ikiterimli teoremi ile, ta başlangıçtan bu­ lunmuştur. Şimdi bütün problem, embriyonik değil de hazır f ' ( x ) 'i h çar­ panından ve öbür komşu terimlerinden ayırmaktır. II) a)'da, tersine, artmış *, orijinal fonksiyona tümüyle jc'in orijinal olarak girdiği aynı biçimle girer; * 3, x* olur, f ' ( x ) türevi, yalnız sonda ve birbirini izleyen ve gerçekle ayrı karakterli iki farklılaştırma ile elde edilebilir. 124

I b) denkleminde f( x + h) - f(x ) veya yı - y farkı, şimdi, sembolik diferansiyel katsayısının gelişini hazırlar; bununla birlikte, gerçek terim­ lerde, bütün değişen, onun serinin ikinci safından (rank) birinci safına geç­ mesi ve bundan ülürü h 'den kurtulmasını olanaklı kılmasıdır. II) b)'dc, her iki yanda, farklar anlatımını elde ederiz; anlatım cebir3

sel yanda öyle geliştirilm iştir ki, (x\ - x ) . x x - * J 'ün,

- x 'e bölünm e­

siyle elde edilen, x 'li ve jcj 'li bir türetilmiş fonksiyonun yanında bir çar­ pan olarak görünür. Onun iki çarpana ayrılm asını yalnız *? - x 3 farkı­ nın varlığı olanaklı kılar. Madem ki x\ - x = h , x \ - x 3 'ün ayrıldığı iki çarpan, h (xı + x {x + * 2)olarak da yazılabilir. Bu, I b) ile birlikle yeni bir farkın önemini artırır. Başlangıç türevinin çar­ panı h’rim kendisi, yalnız*? - x 3 farkının iki çarpanın çarpımına açılımı ile türetilir; oysa, "türev"in çarpanı olarak h, tıpkı I a)'daki ikinci h gibi, herhangi bir fark hiç geliştirilmeden önce bütünlenmiş olarak vardır. *'len X\ 'e tanımlanmamış artmanın * 'ten sonra h çarpanının ayrılmış biçimini alması, I)'de, ta başlangıçtan beri varsayılır, ama (xx - x = h olduğu için) II)'de türelim ile kanıtlanır. Gerçekte h, bir yandan, I)'de tanımlanmamış­ ım; oysa, öte yandan, şimdiden oldukça iyi tanımlanmıştır; çünkü tanım­ lanmamış x artması, şimdiden, * 'in, kendisi denli arttığı ayrı bir nicelik olarak görünür, böylece de bu sıfatla ondan sonra ortaya çıkar. I c)'de,/Y *j şimdi h çarpanından kurtulmuştur; böylece, sol yanda -

veya

+ ^ '■$ $ ■ böylece de diferansiyel katsayısının gene

sonlu bir anlatımını elde ederiz. Ne var ki, öte y a n d a n , t Q ~AX) ’tie h = 0 koyduğumuz ve bu jj- = ^

'e dönüştüğü zaman o noktaya ulaş­

tık ki, I d)’nin bir yanında sembolik diferansiyel katsayısını, öbür yanında ise I a)'da önceden bütünlenmiş görünen, ama şimdi komşu terimlerinden kurtarılmış ve sağ yanda tek başına d u ran/'fjc) ’i elde ederiz. 12 5

Arlı geliştirm e yalnız sol yanda ilerler; çünkü sem bolik diferan­ siyel katsayısı burada ortaya çıkarılır. Sağ yanda, geliştirme, I a)’da önce­ den bulunan f ' ( x ) = 3 ^ 'y \ ikilerimlinin aracılığı ile orijinal engelinden kurtarmaktır, h 'nin O'a dönüşmesinin veya x x - x = 0 'm sağ yanda yalnız bu eksi anlamı vardır. II c)“de tersine, bir başlangıç türevi, ancak iki yanı x\ - x (= h) 'ye bölmekle elde edilir. Sonunda, II c)'de, ^ = x artı (positive) konarak kesin türev elde edi­ lir. Ancak, bu x x = x, aynı zamanda x x - x = 0 konması dem ektir ve bun­ dan ötürü, sol yandaki

X\ - x

- sonlu oranını 77 'a veya O d x

'e dönüştürür.

I)'dc, liirev artık x x - x = 0 veya h - 0 koymakla bulunmaz; çünkü o, gizemli diferansiyel yönteme göredir. İki durumda da, ta başlangıçtan beri bütünlenmiş görünen f ( x ) 'iıı komşu terimleri, şimdi matematiksel olarak doğru bir anlamda bir coup d'etat [hükümet darbesi, -ç] ile bir yana atılmaktadır.

D 'A L E M B E R T Y Ö N T E M İN İN B A Ş K A B İR Ö R N E K L E D A H A Ç Ö Z Ü M L E N M E S İ 97

Şimdi d'Alembert'c göre geliştirelim; a) f w

ycya y

b) f(x )

vcya m = x ^ + a x 2.

M 12 6

= 3 /<

,

y = 3u 2 ,

0)

= 3u 2

(la)

.

f(u + ti) = 3(u + ti)2 , Au + h) - M

= 3(m + h f - 3 u 2 = 3u2+ 6uh + 3h2 - 3u2 = 6 uh + 3h

(2)

(türetilmiş fonksiyon, ikiterimii teoremi aracılığı ile, h katsayısında şim ­ diden bütün olarak hurdadır), = 6u+3h .

h

f ' ( u ) = 6u, (2 )'de önceden bütünüyle verilm iş olup, bölmeyle h çarpanından kurtarılıyor.

Aü + 0)

-

Au)

_ 6

0 ~yı ^ , öbür adıyla — = & = 6 u . u y- u 0 du Burada, b) denklemindeki u değeri konarak,

du

= 6(jc3+ a x 2) .

a)’daki y, u 'ya göre farklılaştınldığı için, (u\ - u ) = h veya h - (uy- u) ; çünkü u bağımsız değişkendir. Böylece de: du

= 6 (x3+ a x 2) .

(Bu,f(u) ’dan veya y = 3ı? ’den elde edilir.) [Şimdi, b)'yi aynı tarzda geliştiriyoruz; şöyle ki,] 127

3

b)

2

ftx ) veya u = x + ax

,

3

2

f{ x + h) = (x + fi) + a(x + h) , 3

2

3

2

/(x + h) - /(a:) = (a: + h) + a(x+ h) - x - a x 3

2

2

= x + 3x h + 3xh 2

+ a t + 2axh + ah

2

2

3

+ h

/

3

I -x

\

l - at

2

2

3

= (3x + 2ax)h + (3x + a)h + h , = 3 x \ 2 a x + O x + a)h+ h h Şimdi, ikinci yanda h = 0 koyarsak: — veya — = 3x 0 dx

+ 2ax.

Bununla birlikte, f ( x + h) = (x + A)*' + af* + h)2 'de, türetilmiş fonksiyon .önceden bütün olarak içerilir; çünkü bu şunu verir: x 3 + 3 k1 h + 3xht2 + h3 + ax? + 2axh + ah2 . Böylece, x3 + o t2 + fix 2 + 2at^/ı + (3x + a)it2 + h3 . h 'nin katsayısı olarak şimdiden bütünüyle görünür. Onun için, bu türev, farklılaştırma ile değil, tersine f(x ) ’ten f( x + hj'yc ve böylccex 3 + ax2 'den (x + h)3 + a(x + h f 'ye bir artırm a ile elde edilir. x , x + h olunca, ikinci yanda, x + A’li, tanımlanmış dereceli bir ikiıcrimli; h ile çarpılmış (hehaf-

128

letes) ikinci terim i türetilm iş u fonksiyonunu, f ' ( u ) 'yu, hazır durumda (fix und ferıig) içeren bir ikilerindi bulmamız olgusundan dolayı, basitçe elde edilir. İşlemlerin artakalanı, yalnızca böylccc ta başlangıçtan verilmiş f ' ( x ) 'i kendi öz katsayısı lı 'den ve bütün öbür terimlerden kurtarmaya yanır. R x + h) - f x ) _ yb h denklemi iki şey sağlar: Birincisi, birinci yanda f(x ), şimdi = Af(x), farkı olarak payı elde etmeyi olanaklı kılar; ikinci yanda ise, x 'li verilmiş oriji­ nal fonksiyonu, x3 + ax2 'yi, (x + h f + u(x + h f vb. çarpımından çıkar­ manın cebirsel fırsatını sağlar.

Böyle sürdürüyoruz, a) için ^ = 6(x3+ a * 2) , du

b) için —

=

3x2 +

2oz

dx elde ettik. & 'yu — du dx

ile çarpıyoruz; şöyle ki:

dy ıiı

du _ dy dx dx

129

Bulunması gereken buydu. Burada İ L ve — du dx koyalım:

yerine bulunan değerleri

İ L = 6(x3+ a x 2) (3jc2+ 2ax) dx bundan ölürü de, genel bir anlatımla, elimizde .

du

du

dx

İ L . İ L veya & = ® du dx dx du

® dx

«aa. dx

varsa, bundan dolayı,

Şimdi a) denklemine h =

- u ve b) denklemine h = -xx - x koyar­

sak, şöyle bir düzenleniş doğar: y veya f{u) = 3 u 2 , f{u + (« !-« )) = 3(u + ( u i-k ))2 = 3u 2+ 6u(u\ - u) + 3 (« i-k )2 ,

f ( u + ( u j - « ) ) - y îu ) * 3k 2+ 6«(U| - « ) + 3(uj-u) (uj-u) - 3 u 2 ;

buradan: f (u + (k , - u)) - f(u) = 6u(uı - u) + 3(uı - u)2 , f ( u + ( u ı - u ) ) - J[u) Uy- u

13 0

= 6u + 3 ( « ı - «) ,

Bundan, birinci terimdeki u \- u . = 0 [ise], sonuç olarak ^ = 6k + 0 = 6u . du

Bu gösteriyor ki,f(u ) ta başlangıçtan f( u + (u^ - u)) olunca, arlımı, ikinci yanda tanımlanmış bir ikitcrimlinin a n ı ikinci terimi olarak görü­ nür; ikilerim li teoremine göre, (ut - u) veya h ile çarpılan bu ikinci terim de, bulunacak katsayı oluverir, ikinci terim, (x + h)3 + a(x + h p veya (x + (xx - x ))3 + a(x + (x: - x ) f olan x 3 + ax2 'deki gibi, çokterimliyse, h 'nin veya x \ - x 'in katsayısı ola­ rak, birinci kuvvetlen X\ - x, öbür adıyla birinci kuvvetten h, ile çarpılmış terimleri yalnızca toplamamız gerekir. Bu sonuç’şunları gösterir: 1)

D'Alembert'in geliştiriminde x \ - x = h tersine, h = x \ - x olarak

konunca, bununla yöntemin kendisinde kesinlikle hiçbir şey değişmez; tersine, yöntem, orijinal fonksiyonun yerine, örneğin verilmiş durumda 3u2 yerine, öbür yanda cebirsel anlatım için f ( x + h) veya f ( x + (x\ - x)) ile ikitcrimlinin nasıl elde edileceğini basitçe gözler önüne serer. Bu tarzda bulunan, h 'ye veya fzı - x) 'e iliştirilmiş ikinci terim, bütün birinci türetilmiş fonksiyondur. Şimdi problem, yalnızca, onu /ı'den veya *1 - x 'ten kurtarm aktır ki, o da kolayca yapılır. Orada, türetilmiş fonksiyon bütündür; bu yüzden *ı - x = 0 konm akla bulunmaz; tersine, (*ı - x ) çarpanındım ve eklentilerinden (accessory) kurtulur. Tıpkı, X\ - x 131

[ile] ikinci terim olarak basit çarpm a (ikiıcrimli geliştirme) yoluyla bu­ lunduğu gibi, sonunda, iki yanın da x x - x 'e bölünmesiyle, İkinciden kur­ tulur. Bununla birlikte, can alıcı işlem (Miıtelprozcdur), f( x + h) -f(x ) veya f ( x + (xx - x)) -f(x ) = [...] denkleminin geliştirilmesinden oluşur. Denklemin buradaki biricik am acı (Zweck), sağ yanda orijinal fonksiyonu sıfıra eşitlem ektir; çünkü f( x + h) [nin] geliştirilm esi, ikilcrimli aracılığıyla geliştirilmiş artımı ile birlikte, f(x ) 'i zorunlu olarak içe­ rir. Bu \f(x)], böylece ikinci yandan çıkarılır. Bundan ölürü, örneğin (x + h)3 + a(x + h)2 - x? - ax? 'de 'o lan ,* 3 ve ax? ilk terimlerinin (x + h)3 + a(x + hji2 ikiıcrimlisinden çıka­ rılmasıdır; böylece, denklemin birinci terimi olarak önceden bütün olan türetilmiş fonksiyonu, h veya (*ı - x) ile çarpılmış elde ederiz. İkinci yanda birinci farklılaştırma, orijinal fonksiyonun kendi art­ mış anlatımından basitçe çıkarılm asından başka bir şey değildir; bu da bize, onun, kendisi denli arttığı artımını ve h ile çarpılmış birinci terimini verir; o ise aslında bunin türetilmiş fonksiyondur. Öbür terimler, katsayı­ lar olarak yalnız h2 vb. veya (x x - x)2 vb. içerebiliı; onlar, her iki yanın Xı - x 'e ilk bölünmesiyle bir kuvvet indirgenir, oysa birinci terim hiç h 'siz ortaya çıkar. 2) f ( x ı ) -f(x) = vb. yönteminden ileri gelen fark, örneğin elimizde 3

f(x ) veya u = x + ax 3

2

, 2

f ( x ^ veya u x = x x + a x x varken, x değişkeninin birinci artımının (Anwacki), bize f ' ( x ) 'i, la baş­ langıçtan, hazır durumda asla sağlamaması olgusundadır. / ( * ı) - f{x) veya u x- u = x ’l + a x * - (a 3+ a r 2) . 132

Burada orijinal fonksiyonu çıkarmak, asla bir sorun değildir; çünkü 3

2

2

* ! + tit! x ü ve az 'yhiçbir biçim de-içerm e/. Tersine, ilk fark denk­ lemi bize bir geliş'irm e fırsatı (Entwicklungsm oinent), yani orijinal te­ rimlerin ikisini de jq ve x [kuvveilerin]in farklarına dönüştürmeyi sağlar. Yani, = (xj - x 3) + a(x2 - x 2) . Şimdi, bellidir ki, bu iki terimi yeniden X| - x çarpanlarına ayır­ dığımızda, x x - x 'in katsayıları olarak jc/li ve x'li fonksiyonlar elde ederiz; yani: A ^ ı ) - A x) w ya «ı - u = ( x ,- x ) (x 2+ x xx + x 2) + a ( x ı- x ) (x ( + x ) . Bunu, sol yanı da, x x - x 'e böleriz; şöyle ki:

A*d - AX)

U\‘ u

2

2

--------------- veya = ( x x + x x x + x ) + oCki + jc) . X x-X X \- X

Bu bölmeyle başlangıç türevini de elde ellik. Bu türevin her parçası X|'li terimler içerir. Böylccc, sonunda, yalnız x x = jc, dolayısıyla x x - x = 0 koyduğu­ muzda, ilk türetilmiş fonksiyonu elde edebiliriz; ondan sonra ila 2

2

X] - X ,

Jt|JC = x

2

,

böylccc de: (x?+ x t x + x 2) = 3 x 2 ve Xj + x = x + x = 2 x \ şöyle ki: a(2x) = 2x a . 133

Öbür [yan]da sonuç, d{{x) _ da _ 0 dx dx 0 Böylece, lürclilmiş fonksiyon, burada ancak x\ = x, dolayısıyla *1 - x = 0 koymakla elde edilir. x x = x, gerçek x fonksiyonunda kesin arlı (positive) sonucu sağlar. Ama x \ = x , x x - x = 0 'a. da, bundan ölürü, aynı zamanda, bu artı sonucun yanında, öbür yanda, sembolik ^ 'a veya C ~r 'e de varır. 0 dx Ta başlangıçtan beri şunu söyleyebilirdik: Sonunda xj Ti v e x Ti bir türev elde eımemiz gerekir. Bu, ancak x x = x konunca x Ti türeve dönüştü­ rülebilir; ama x x = x koymak, aynı zamanda tıpkı x x - x = 0 koymak gibi­ dir ki, bunun sıfıra eşitlenmesi, türevin bir x fonksiyonuna dönüştürülme­ si için zorunlu olan X) = x formülüyle aru olarak anlatılır, oysa onun eksi biçimi, X] - x = 0, bize sembolü sağlamak gerekir. 3) Bir artımın (örneğin x x - x = Ax veya A), gerçekleştirilmesinden sonra bağımsız olarak ortaya konmadığı bu x Ti işlem önceden iyi bilinseydi bile, çok olanaklı ve [British] Museum'da J[ohn] Landen'e başvur­ makla kendimi inandırabileceğim bir şey; onun köklü farkı daha kavra­ namıyor. Bununla birlikte, bu yöntemi Lagrange’mkindcn ayırt eden şey, onun gerçekten farklılaştırmasıdır; öyle ki, diferansiyel anlatım da sem bo­ lik yanda ortaya çıkar; oysa Lagrange'da türelim, farklılaştırmayı cebirsel olarak göstermez; ama onun yerine, fonksiyonu cebirsel olarak doğrudan doğruya ikiterimlidcn türetir ve onun diferansiyel biçimini "simetri ile" basitçe benimser; çünkü diferansiyel hesaptan bilinir ki, ilk türetilmiş fonksiyon =

13 4

, İkincisi = ^

, vb.

RUSÇA YAYIMLAYANLARIN EKLERİ

EK - 1

IViARX'IN B A Ş V U R D U Ğ U K A Y N A K LA R D A K İ"LİM İT " KAVRAM I KONUSUNDA

M atematikte "limit" teriminin çağdaş kullanım ına alışmış okııra Marx'in bu kavram la ilgili eleştirel sözleri ve onu yorum layışı üstüne doğru bir anlayış vermek için, her şeyden önce, Marx'in bulup eleştirel olaıak incelediği Hind’in ve Boucharlal'nın ders kitaplarındaki "limit" tanımını (ve açıklayıcı örnekleri) ve "limit" sözcüğünün kullanım biçim­ lerini veriyoruz. Hind'in ders kitabı d'AIcmbert'i izler; bu dem ektir kı, o kitapta türev, limit kavramı ile tanımlanmıştır. Bundan ötürü, kitabın giriş bölü­ mü "Limitler Yöntemi" diye adlandırılmıştır. Ama kitabın ne o bölümün­ de bir "limit" tanımı vardır ne de ondan sonrakilerde. Yalnızca, değerinin çokkallılığm a (multiplicity) göre tam üst veya alt sınırlar anlamında, bir değişkenin "limiılcr"inin tanımları vardır. (Bu çokkatlılık, özellikle, de­ ğişkenin °o sembolüyle gösterilmiş "sonsuz büyük" bir değerini içerebilir. Ama, bu sembol ile, kesin olarak tanımlanmış hiçbir doğru işlem yok­ tur: Salt (mutlak) değer kavramı yoktur, +°o ve - «> yoktur; herhangi bir a > 0, 00+ a = tx> için, sonlu [yani, O'dan olduğu gibi, °«'dan da başka| herhangi bir a için, a . °° = °° ve — = 0 , basitçe, kendiliğinden belli OO sayılır.) Bir fonksiyonun limitiyle ilgili bu kavram -örneklerle doğal olarak yalnızca kestirilebilen bir kavram-, sezinlenebildiği gibi, fonksiyonun değerlerinin uygun gelen çokkailılığının "limitlerinden biriyle (tam üst veya alt sınır ile) bu limiti (genliğin değerlerinin verilmiş çokkailılığının 137

tam üst veya alt sınırı ile çakışan noktada) tanılama (identification) yoluy­ la, giriş bölümünde, üstü kapalı olarak sunulur. Bu kitapla yalnız tekdüze (monotonic) ve parçalı tekdüze (piecewise ınonolonic) fonksiyonlar ince­ lendiği için, böyle bir "limit", pratikte, sözcüğün daha çok alışılm ış an­ lamında, kitabın artakalan bölümlerinde Hind'in de limit kavramını ger­ çekten kullandığı anlamda, (tek yanlı) limitle birlikle olacak gibi görünür. N e var ki, sonsuz küçük nicelikler yöntemini "iyileştirecek" sanılan bu kavramın o amaca bilinçli olarak varmadığı ve genellikle güvcncclcnmemiş olduğu ortaya çıkü. Hind, (a, b) aralığında tanımlanmış parçalı tekdüze b ir/(jt) fonk­ siyonunun tek yanlı limitinin değerlendirmesi yerine, x, a 'ya giderken, aşağıdaki iki problemin çözümünü gerçekten koyabilirdi: 1. Belirli öyle bir a sayısı bulunuz ki, a < x < a için fonksiyon tekdüze olsun (yani, geniş anlamda eksilmeyen ve artmayan; örnekle açık­ lamak amacıyla, burada fonksiyonun tekdüze olarak eksilmediğini varsaya­ cağız); 2. (a, a ) aralığında, yani, a < x < a için, fonksiyonun olanaklı değerlerinin sınırındaki (varsayımımızda alt sınırındaki) noktayı değerlen­ diriniz. Açıkça, bu, istenen lim fix ) olacaktır. X -> + Ö

Ama Hind böyle bir yol tutmaz. Newtonu izleyerek ("Ncwton’un Marx'ça Anılan Lemmaları Üstüne" başlıklı eke bakınız), limiti, basitçe, bağımsız değişkenin "son" değerinin fonksiyonunun "son" değeri sayar. Başka bir söyleyişle, lim fix)'& fonksiyonun a < x < a aralığındaki dex —H- a

ğil, a < x < a parçasındaki değerlerinin alı sınırının noktası gözüyle bakar. "Son"/(a) değerini önceden tanımlanmış varsayar; ama bu durumda, yukarıdaki bütün işlem anlam ını yitirir; çünkü a, a değerini alabilir ve fonksiyonun şimdi yalnız b ir/(a ) 'dan oluşan bütün olanaklı değerlerinin alt sınırı, şimdi o aynı fia ) olur. M arx, besbelli Hind'in belirlemesini düşünerek, h sıfıra giderken 3x9 'yi 3x2 fonksiyonunun limit değeri gibi işlemden geçirmenin anlamsız olduğunu belirtirken; daha sonra böyle bir davranışı "pek eskim iş bir eşsöz (tautology)" diye adlandırarak (bkz.: 120-2 ve not 90-92) limite ger­ 138

çek yaklaşım a, fonksiyonun limit değerinin, genliğin "son" değerinde fonksiyonun "son" değeri olarak oruıya çıktığı varsayımına genellikle "ço­ cukça" ve "gizemli ve gizemleştiren ilk hesap yöntem inin kökeni” de­ diğinde, görünüşte, söylemek istediği lam buydu. Bu durum , limite gerçek yaklaşımın sonsuz ktiçük nicelikleri kuşa­ tan güçlükleri asla çözmemesi, bağımsız değişkenin "son" değeri "sonsuz" iken, özellikle belli olur. Bundan dolayı, özellikle, {«,} dizisini göz önün­ de tutarsak, o zaman limit, n 'nin n = «»olduğu serinin o üyesi olmalıdır; böylcce, bir limiti sonsuz (yani, bir sonu olmayan) bir terimler serisinin sonu (son terimi) sayarız. Bu "gerçek limit" kavramı, Marx'in "gizemli" dediği "sonsuz küçük nicelikler" kavramından daha açık olmamak gerekir. iyi bilindiği gibi, sonsuz sayıda basam aklardan geçm eye gerek göstermeyen ve yalnız sonlu değişkenlere ve parametrelere dayanarak tam bir form ülleştirm eye olanak veren bir fonksiyon limiti tanımı, matema­ tikte ancak Cauchy'den sonra, yani geçen yüzyılın 70’lerinde, geçerlik ka­ zandı. Am a o zaman bile, yaygın ders kitapları yazarlarından birçoğu, li­ mitin gerçekten yorumlanmak gerekmediğini; fonksiyonun a noktasında sürekli olduğu, yani x -> a iken f(x ) fonksiyonunun limitinin f(a ) 'ya eşit olduğu durum larda bile, x a 'ya ne denli yaklaşırsa yaklaşsın, ona asla ulaşmaz koşulu ile, fonksiyonun limitinin gene de f(a ) 'ya eşit gösteril­ mek gerektiğini açıkça anlamadı. M arx'in matematiksel elyazmalarma gelince, şunu önemle belirt­ meliyiz k i,f(a ) değeri tanımlanmamış, ama x —>a iken f(x ) limiti ((a - k, a + k) aralığı boyunca x 'e karşmk olarak) var ise, o zaman, a noktasında, f(x )’i,f(a )'yı, tanım ile, basitçe öıııanımlayabiliriz. Fonksiyonun değerinin böyle bir öntanımı (predefinition), aynı zam anda bir süreklilik tanımıdır. x —>a ik e n /fa ) fonksiyonunun değeri, bu durum da, x = a ile birlikle önceden iyi tanımlanmış fonksiyonun değeri olurdu. Ama bu demektir ki, f(a ) değeri, bilinen tek değerli f(x) fonksiyonunun belirlenmesi gibi değil, tersine, yalnızca, x a 'ya ne denli yaklaşırsa yaklaşsın, sonlu bir dizinin (progression) son 'undaki bir nicelik gibi işlemden geçirilebilir. Gerçekte, Ax -> 0 iken

Ax

anlatımının limitine oran'ın "salı en küçük anlatımı"

derken (örneğin, bkz.: s. 121), besbelli Marx'in zihninde de böyle bir "sü139

rcklilik" önlammı vardı; dolayısıyla, bcliıli bir a sayısının varlığı, öyle ki 0 < Ak < a için Ax azalırken

oranının da azalması koşuluyla, A.v Ax -> 0 iken bu oranın limili grafik olarak M arx’in zihnindeydi. Bir fonksiyonun bu tanımı ile, Lacroix, verdiği üriıeğc çözüm yolu buldu (bkz.: s. 147). Ama, Lacroix, matematiksel çözümleme çizimindc, kendi­ liğinden belli bir aksiyom saydığı Lcibniiz'in "süreklilik ilkcsi"nin pek ötesine gitmiş olsa bile, başka herhangi bir fonksiyon tanımını genellikle olanaklı saymadı. M arx'in, Ay - Ax = 0 iken,

oranının başka yoldan Ax tanımını uygun bulduğu olgusu ile ilgili olarak bkz.: s. 13 ve not 18.

Şimdi, Hind'in, Marx'in elyazmalarını okurken gerekli olabilecek ve yukarıda sergilenen sonuçların kaynağı olan kendi öz sözlerinden bir­ kaçını veriyoruz. "Limitler Yöntemi Üstüne” adlı giriş bölüm ünde Hind, bir numa­ ralı tanımla başlar, yani: "Değerce değişmeye bırakılmış bir niceliğin limitleri ile, o niceliğin bütün değişmeleri boyunca alabileceği bütün değerleri ara­ larında içeren; o niceliğin ötelerine geçemeyen ve niceliği oluşturan şeylerden farklı olan değerleri anlatmak istiyoruz; -sonlu terimlerle a n latab ilm eleri koşuluyla" (yani, 0 ve °° sembolleri kullanılm a­ dan. -S. A. Yanovskaya. Bkz. Hind, s. 1, italikler bizim.) Bu tanımı bir dizi örnek izler; ama yazarın sözünü eniği "liın ifin bir numaralı tanımla formülleşlirilen gerekleri gerçekten yerine getirdiği, bir kez olsun gözler önüne serilip açıkça gösterilmez. Bu örneklerin birin­ cisi şudur:

"ax niceliği, içindeki x sıfırdan veya O'dan sonsuza veya °°'a dek olanaklı bütün değerleri alırken, birinci durumda 0, sonuncuda «»olur; bundan ötürü de, ax cebirsel anlatım ının lim itleri 0- ve <»'dur: Birincisi alı (inferior). İkincisi de üst (superior) lim ittir". (Olduğu gibi alıniılanmışlır. Burada açıkça varsayılıyor ki a > 0.)

140

Daha ilk örnek, öğrencinin kafasını karıştırır.. ax niceliği, "sonlu terimlerle anlatılabilcn herhangi bir nicelikten daha küçük olan niceliklerle kendisinden farklı kılınılabilcn bir büyüklük (m agnitude)", sonlu nicelik­ lerle °° değerinden nasıl farklı kılınubilir? Gerçekte, Hind örnek alınırsa,jc sonlu bir değer alınca - ax farkı sonsuza eşittir, am a x = <*>olunca, ax = oo' dur ve 00-00 farkı tanımlanmamıştır. ikinci örnekte (doğal olarak, bu koşullarda x ''C a değerlerini anıldıkları sım yia göz önünde tutmak gereklidir) ax + b anlatım ının alt ve üst limitleri, b 'de ve sonsuzda, yeterince uygun olarak bulunur. Üçüncü örnekte

^ bx + a

kesrinin alt lim iti, yani, — , anlatımda x a

a> — yerine basitçe O konarak, ve üst limiti, — , eşdeğer k e s i r — 'te x b ı a b +~ x yerine °° konarak bulunur. Anıldıkları sıra ile a 'ya v e b 'ye verilen değer­ lerin hangi koşullarda alt ve üst limitlerde gerçekten ortaya çıktıklarının açıklaması örneğe eklenmemiştir. Değerler sınanırsa, kanıt gösterilen "li­ mitler" tanımının koşullarını yerine getirip getirmeyecekleri sorusuna bile hiç dokunulm am ıştır (örneğin, tekdüze (m onotonic) fonksiyonları göz önünde tuttuğum uzu denetlemek). Okur, böylcce, b ir fonksiyonun an­ latımına (veya, veriliveren sürekli anlatımın herhangi bir anlamdan yok­ sun olduğu durumlarda yeniden anlatımına) değerler koymakla o fonksiyo­ na bir limit bulmaya önceden hazırlanır. Dördüncü ve altıncı örnekler, giriş bölümünün ikinci noktasını tü­ müyle gözler önüne seren örneklerdir (o örneklerde, bir fonksiyonun aşağı ve yukarı limitleri kavramından daha geleneksel bir lim it kavramına adım adım "geçiş" görülür ve Hind'e göre gerçek limit karakteri açığa vurulur). O örnekleri burada tümüyle veriyoruz. Bu yazarın, limit kavramının her­ hangi bir genel tanım ına ne denli karmakarışık bir karakter verdiği, bu örneklerle yeterince açıklık kazanacaktır:

141

"Örnek 4: Geometrik serilerin toplamı

a + -

+ — + vb.,

x . İ - .

i- 1

X1 i

x "1

şimdi, n = 0 ise, aşağı lim it açıkça = O'dır; ama n = °° ise ,— , 0

xn

olur; bundan ötiirü de yukarı limit

ac 'dir; buna da çoğu zaman

x -1 ad infinitum [sonsuza dek, -ç.] süren serilerin toplamı denir.

"örnek 6: Bir çem ber içine düzgün bir çokgen çizilirse ve kenarlarının sayısı sürekli olarak ikiye katlanırsa, çokgenin çevresi­ nin gittikçe çembere eşil olmaya yaklaşacağı ve aralarındaki uzun­ luk farkının, belirlenebilen herhangi b ir nicelikten küçük olmak gerekeceği bellidir; bundan ötürü, çember, çokgenlerin çevrelerinin limitidir." (s. 2-3) Burada, anık, Birinci Tanım ı doğal olarak izlemek gereken dizinin 'anımından ve en üst limitten değil, tersine, basitçe, alışılmış anlamdaki imitıcn söz ediliyor.

"2. Bir çember yayının sinüsü ve tanjantı arasındaki oran­ ların limitlerinin ve yayın kendisinin eşitlik oranları olduklarını sınamak. "p ve p \ yarıçapı 1, uzunluğu = 6,28318 vb. = 2 ir olan bir çember içine ve dışına çizilmiş n kenarlı iki düzgün çokgenin çev­ relerini göstersin; öyleyse (trig.) 142

p = İ n sin — , ve p ' = 2n tan — ; n n dolayısıyla 2n sin — ------------— ■= COS — ,

In ta n * n

ve n değerinin belirsiz olarak arttığı varsayılırsa/ros — değeri l'dir; n bundan ötürü d& p = p ' 'Lür; şimdi, çember besbelli p ile p ’ arasında kalır; dolayısıyla, bu durumda ikisinden birine eşittir; dolayısıyla, bu varsayıma göre, çokgenin çevresinin /ı'de biri, çemberin uzun­ luğunun n 'de birine eşittir: Yani,

2 sin - = — n n

= 2 um -

, veya sin — = n n n

= tan n

,

veya bir yayının sinüsü ve tanjantı, son veya sınırlayan (limiting) durumlarında, yayın kendisiyle bir eşitlik oranı içindedirler." (s. 3) "Limit" veya "limitler" sözcüğü, burada, teoremin yalnız sözlü formüllcştiriminde ortaya çıkar, ama o formülleştirimi anımsayarak görürüz ki, is­ tenen, x sıfıra giderken, sın— ile 10/1 x ’in eşitliğini göstermektir. Bux x nunla birlikte, çağının standartlarına göre, Hind'in kanıtlamasını yeterli saymak güçtür. Gerçekte, yazarın

n = °o

iken sin — = — = ta n — n n n

(1)

143

olduğunu göstermek istediği, yukarıdaki açıklamadan bellidir. Ama burada bile, n = °o iken cos — = 1 elde etmek için, n = «. iken — = 0 , dolayın n sıyla da

sin — = sin 0 = 0 ve tan — = tan 0 = 0 olduğunu önceden n n

varsaymaktadır. Yani, (1) denklemini sınamak için -k ix

0 ik e n - ” * x 'in limitiyle ilgili teorem bu denklemden kendi kendine çıkmaz- yazarın bu denklemi sunmasından hemen önce gelen varsayımlar hiç de yerinde değildir. Bütün bu zihin karıştırıcı açıklamanın, harfi harfine yorumlanarak, sonsuz küçük nicelikler yönteminden üstünlüğünü, bu durumda, basitçe, çemberin uzunluğunun sonsuz küçük bir parçasının kirişiyle özdeşleşme­ sini nasıl olup da kanıtlayabileceğini açıklamak da aynı ölçüde güçtür. Boucharlal'nın ders kitabında da (bkz.: S. vıı), lim itler yöntemi, sonsuz küçük nicelikler yönteminde bir iyileştirme gibi ele alınır: "bu so­ nuncuda eksik olabilecekleri gidererek". Bununla birlikle, Boucharlal'nın kitabında, "(şöyle şöyle) bir lim ite yönelmek" ile ne anlatılmak istendiği­ ni tanımlamak (veya şöyle şöyle bir niceliğin şöyle şöyle bir limite yö­ neldiğini belirlemek için) hiçbir çaba gösterilmez. O kitapta, limit kav­ ramı da, "gerçek" kavramı da, ilkin y = z2 fonksiyonunun türevi değer­ lendirilirken görünür. " 'Limit' ve 'sınırlayan (limiting) değer' Terim leri­ nin Belirsizliği Üstüne" adlı clyazmasında Marx'in eleştirel düşüncelerini aydınlığa çıkaran parçayı olduğu gibi buraya alıyoruz. "(2) denkleminin ikinci [sağ] yanına bakarak 2— h

= 3z2+ 3xh + h 2

(2)

görürüz ki, h ne denli küçüldüyse bu oran da o denli küçüldü ve h sıfır olunca bu oran üz2 'ye indirgendi. Dolayısıyla, bu 3x2 terimi, h 'yi küçülttüğümüzde limitidir.

144

h

^

'nin yöneldiği terim olarak, onun

"h = O varsayımına göre y artımı da O olacağı için, , jj-'a indirgenir ve sonuç olarak denklem (2) n

2

5 - 3jI

®

olur. "Bu denklem saçma hiçbir şey içermez; çünkü cebirden bi­ liyoruz ki jj- her türlü niceliği gösterebilir; üstelik, kolayca görü­ leceğ i gibi, bir kesrin iki terimini de aynı sayıya bölmek kesri değerce değiştirmediği için, sonuç olarak, bir kesrin terimlerinin küçüklüğü onun değerini hiç etkilem ez ve dolayısıyla, terimleri son kerteye dek küçültülünce, yani her biri 0 olunca, kesir aynı kalmayabilir." (s. 2-3) M arx'in yukarıda anılan elyazm asm ın doğru anlanabilmcsi için, Boucharlat'nın açıklamasında,— = (xı , x) biçimli bir denklemden (ki Ax burada y = /(jc /tir)^ - = f ' ( x ) biçimli bir denklem e geçişin, yukarıdaki dx denklemde, aşağıdaki parçaların sola ve sağa ayrılm ası gibi sunulduğunu belirtmek önemlidir: — 'ten — 'ev e
'sine karşılık olarak- ^ biçiminde h dx gösterilmiş jj- anlatımının açıkça eşdeğeri sayılmıştır. Böylece, Boucharlal, x diferansiyelini belirlerken,

y*- y

= 1 denklemini çıkarmış olarak,

h şu sonuca varır: "h niceliği bu denklemin ikinci yamna girmediğinden, li­ mite geçmek için ----- 'yi O - 'e değiştirmenin yeterli olduğunu görüh dx rüz; bu, ^ = ı , dolayısıyla da dy = eix verir." (s. 6) dx

145

Limitin sıfıra eşit göründüğü durumda, Boucharlaı, bir lim it yok­ muş gibi davrantr. D olayısıyla, y = b türevini alıp

= 0 denklemini dx elde ederek, "demek ki ne limit vardır ne de diferansiyel" (s. 6) sonucunu çıkarır. Boucharlaı, x —>0 iken sm ~ oranının limitini, aslında tıpkı Hind x gibi, ama daha anlanabilir bir biçim de elde eder. İlkin, ders kitabında bir ömek olarak verilmiş olan "yay, sinüsten büyük, tanjanttan küçüktür" (s. 24) teoremini kanıtlar. Ama, hem en ortaya çıkan şu olguyu hiç anmaz: sin x tan x

sin x < sin x x sin x

yani,

sı- — -oranı c o s x ile 1 arasındadır. Bütün bunlar bir yana, Boucx harlat, Hind'i örnek alarak şöyle yazar: "Yukarıdakilerden anlaşılıyor ki, sinüsün yaya oranının li­ miti birliktir (unity), yay h ... hiçbir şey olunca, sinüs tanjantla çakışır; sinüs, tanjantla sinüs arasında olan yay ile daha da çok ça­ kışır; bundan ötürü de, limit durumunda, Iİ ü J L veya daha doğruyay h su = lclde ederiz." (s. 29) h = 0 için Ş ilA . oranı ^-'a "dönüşmüş"ıür koşulu, genelde tanım­ lı 0 lanmamıştır ve başvurulan sonuç, yay sıfıra değişince "sinüs yay ile ça­ kışımdan başka hiçbir şeye dayanmamaktadır; ama bütün bunlar, Boucharlat'ya Hind'e verdiğinden daha çok sıkıntı vermez. Marx'in bu yazarların limite gerçek geçişini eleştirdiği" 'Limit' ve 'Sınırlayan (Lim iting) Değer'* Terim lerinin belirsizliği Üstüne" adlı (*) Bu elyazmasının adı, M arx’lan çevrilen metinde (s. 119) "On the Ambi­ guity of the terms 'Limit' and 'Limit Value' (" 'L im it'v e 'Limit Değer' Kavramlarının Belirsizliği Üsliinc") iken, burada (IÎK. - I'de), "On the ambiguity of the terms 'limit' and ’limiting value'_ ("limit" ve "Sınırlayan (limiilcycn, lim iting) Değer" Kavram­ larının Belirsizliği Üstüııc)dir. Bu fark, metinlerin iki çevirmenin elinden çıkmasına yorulabilir. -Ç.

14 6

elyazmasındaki o parçalan aydınlatmak için Hind'in ve Boucharlaı'nm ders kitaplarındaki limit kavramı üzerinde, açıkça, yeterince uzun durduk (bu­ nunla ilgili olarak bkz. Not 90 - 92) Elyazmasındaki öbür parçalan ve özellikle Marx'in bugünküne daha yakın olan limit konusundaki oran yöntemini anlamak için, Marx'm ya­ bancısı olmadığı öbür kaynaklardaki, hepsinden önce de Lacroix'nin dife­ ransiyel ve integral hesap üstüne 3 ciltlik Traite'sindcki (1810) limit kav­ ramıyla ilgili belirli kanıları sunmak uygun olur. Lacroix, Lcibniiz’i izleyerek, süreklilik yasasının gereklerine uyan bütün fonksiyon çeşitleri üzerinde durdu, am a limite geçmeyi bu yasanın anlatımı saydı, "c'est-â-dire de la loi qui s'observe dans la description des lignes p ar le nıouvemenl, et d'apres laquelle les points consâctıtifs d'une meme ligne se succedent sans aucım intervalle." (p. xxv) ("yani, doğrulan harekelileri] ile tanımlandıklarında dikkate alan yasa, ki buna göre aynı doğrunun ardışık noktaları birbirini hiç aralıksız izler"). D olayısıyla, böyle herhangi bir nicelik değişmesini, aralarında aralık düşünülen farklı iki değer göz önünde tutulmadan anlamak olanaksızdır; çünkü süreklilik yasası, onunla ilgili olarak, "plus il esi petit, plus on se rapproche de la loi dotıt il s'agit, â laquelle la limite seule corıvient parfaitem ent", (aynı yer: "o ne denli küçük olursa, yalnızca limitin tümüyle uyduğu yasaya o denli yaklaşılır") diye anlatılmak gerekir. Lacroix, matematiksel çözümle­ me sırasında bu süreklilik rolünün, matematiksel çözümlemeyle ilgili sis­ temli bir ders kitabının düzenlenmesi konusunda, "employer la meıhode des limites" (p. x.\ıv) [limitler yöntemini kullanm ak, -ç.] için kendisine uygun göründüğünü de açıklar. Lacroix, "sonsuz" ve "sonsuz küçük" kavramlarını yalnızca olum­ suz bir anlamda belirlenmiş sayar, yani "{'exclusion de tout limite, soit en grandeur, soit en petilesse, ce qui nojfre qu'une suite de negations, et ne sourait jam ais constitıtter une notion positive" (p. 19 "diyelim ki büyük­ lük veya küçüklük olarak her türlü limit dışarılsm; bu, yalnızca bir olumsuzlamalar [veya yadısımalar, negations, -ç.j serisi verir ve hiçbir zaman olumlu bir kavram kurulmasına varmaz"). Ve aynı sayfadaki bir dipnotta şunu ekler: "l'infini esi necessaireme.nl ce dom on affirme que les limites ne peuvent etre atleintes par quelque grandeur conçevable que ce soil", 14 7

("sonsuz, zorunlu olarak odur ki, nc denli büyük olursa olsun, kavranabi­ lir herhangi bir nicelikle sınırlarının aşılam ayacağına inanılır". Başka bir söyleyişle, Lacroix, herhangi bir gerçek sonsuz kabul etmez: N e sonsuz olarak büyük bir gerçek niceliği nc de sonsuz olarak küçük bir gerçek ni­ celiği. Lacroix limit kavramını aşağıdaki tarzda sunar: "x 'in artı olarak sonsuz büyütüldüğü basit bir

fonkx +a siyonu verilsin. Pay ve bölen (divisor) x 'e bölünerek elde edilen a x sonucu, fonksiyonun n'dan hep küçük kalacağını, am a o değere hiç durmadan yaklaşacağını gösterir; çünkü paydadaki — parçası gitlix kçc küçülür ve istenen herhangi bir küçüklük derecesine indirgene­ bilir. Verilmiş kesir ile a değeri arasındaki fark 2 ax a a - ------- = ------x + a x + a ile gösterilir ve bu yüzden, x büyüdükçe küçülür ve istendirince küçük herhangi bir belirli nicelikten daha küçük kılınabilir; sonuç olarak, verilmiş kesir, a 'ya istendiğince yoklayabilir: Bundan ötürü a, belirsiz x artmasına göre

x +a

fonksiyonunun lim it 'idir.

"Şimdi saptamakta olduğum terimler, belirttiği her şeyi an­ lamak için limit sözcüğüne [yüklenmesi gereken] gerçek değeri kapsar." (pp. 13-14) Aslında, Lacroix'de tekdüze (monotonic) veya parçalı tekdüze bir fonksiyon varsayımı yoktur; Lacroix’nm limiti de, genelde ıck-yanlı bir

148

limiLür: Değişken, kendi sınırlayan değerine herhangi bir tarzda yaklaşabi­ lir. Salt (absolute) değer kavramı yerine Lacroix, sürekli olarak değilse de, "işarcısiz değer" deyimini kullanır; am a bunun anlam ı da kesinlikle belir­ tilmeden kalır. Lacroix, fonksiyonun kendi sınırlayan değerine ulaşabil­ mekle kalmayıp, onun çevresinde salınmak (to oscillate) için genelde öte­ sine bile geçebileceğini vurgular. Ama, Lacroix, bağımsız değişkendeki daralttım (restriction) açık terimlerle formüllcştirmcz; lim ite geçişe ilişkin olarak, bağım sız değişkenin kendi sınırlayan değeri a 'ya yaklaşması sırasında a 'ya ulaşmadığı varsayılır, yani, lim it gerçekten anlanmış değil­ dir. İlgilendiği fonksiyon sürekli olduğuna, yani limitleri bağımsız değiş­ kenin sınırlayan değerinde fonksiyonun değeriyle çakıştığına göre, Lac­ roix, amacını, bağımsız değişkenin kendi sınırlayan değerine yaklaşması limite geçişte o değere ulaşılarak bitirilmelidir sanan biri gibi anlatır. Lacroix'mn aynı "limit" sözcüğünü limit 'i -onun çok daha genel, daha kesin bir biçimde ve çağdaş anlam a Boucharlaı’ntn ve Hind'in ders kitaplarında Marx'in eleştirdiği kavramlardaki herhangi bir şeyden daha yakın olarak anladığını gördüğümüz bir sonu- adlandırmak için kullandığı gibi, birçok durumda limit değeri adlandırmak için de kullandığı belirtilmelidir. Lacroix’nm uzun incelemesinde limit kavramıyla ilgili bu düşünme yolu -ki, bildiğim iz gibi, Marx bunu kendisi için fonksiyon, limit, vb. gibi temel m atem atiksel çözüm lem e kavram ları üstüne en güvenilir bi­ lişim (information) kaynağı saydı- Lacroix'nin incelemesindeki limit kav­ ramı konusunda M arx'in kısaca "[matematiksel] çözümlemeye büyük öl­ çüde Lacroix'nin ömeği ile getirilen bu kategori, "en küçük anlatım" kate­ gorisinin yerine geçme olarak büyük önem kazanır" (s. 69) derken ne dü­ şündüğünü açıklam aya belli ki yeter. A çıktır ki, her şeyden önce, Marx "limit" kavramının belirsizliğine değindiği sırada, bugün limit kavramında tanıdığımız aynı anlamda "salt en küçük anlatım" kavramını ortaya koyar­ ken ne yaptığını gerçekten biliyordu. Gene bellidir ki Marx, Lacroix'nin anladığı limit kavramının açıkça daha az yeterli limit kavramının yerine tümüyle konmasından sonra, bizi özel -yeni- "salı en küçük anlatım" kav­ ramının yararsız sunumunun gereğine bakmaya zorladığını; başka bir söy­ leyişle, sonuncunun yerine başkasını koym akla yüz yüze kaldığımızı öngördü.

149

Marx'in elyazmalarından şu anda üzerinde tartıştığımız aynı özelle bağlantılı, ama elyazınalarının başka birçok parçalarıyla da ilgili olarak, Lagrange'm Theory o f Analytic Funcn'ows'indan (Oeuvres Lagrange, Vol. IX, Paris, 1881) limit kavramı üstüne söylediklerini sunmak belki uygun­ dur. Eulcr ile d'Alcmbert'in sonsuz küçük farklar ve salt sıfır konusun­ daki çabalarından, onların yalnız hesaba giren oranlarından söz ederek ve bunları sonlu veya belirsiz olarak küçük farklar oranlarının limitleri gibi görüp, Lagrange, şöyle yazar: "Mais il fa u l convenir que cette idee, quoique just en elle­ meme, n'est pas assez claire pour servir de principe â une science dont la certitude doit etrefondee sur l'evidence, et surtout pour etre presentee aux commençants." (Ama kabul etmek gerekir ki, kendi içinde doğru olmakla birlikte, bu düşünce, kesinliği apaçıklığa da­ yandırılmak gereken bir bitime ilke olmaya ve hele işe yeni başla­ yanlara sunulmaya yeter açıklıkta değildir.") Daha sonra (p. 18), Ncwlon'un ortadan kalkan niceliklerin artakalan oranları yöntemiyle bağlantılı olarak der ki: "cette methode a, comme celle des limites dont nous avons parle plus hant, et qui n'en esi proprem ent que la traduction algebraique, le grand inconvenient de c.onsiderer les quantites dans letat oû elleş cessenı,pour ainsidire, d'etre quantite, car, quoiqu'on conçoive toujours bien le rapport de deux quantities, tant quelles demeurent finies, ce rapport n'offre plus â I'esprit une idee claire el precise aussitot que ses termes deviennent I'un et I'autre nuls a ' la fo is." ("Daha önce sözünü ettiğimiz limitler yöntemi ve onun yal­ nızca cebirsel ötelemesi (translation) olan yöntem gibi, bu yönte­ min de, nicelikleri, deyim yerindeyse, nicelikler olmaktan çıktıkla­ rı durumda ele alma büyük elverişsizliği vardır; çünkü, sonlu kaldı­ kları sürece iki niceliğin oranı iyi unlunsa da, böyle bir oran, iki ıc150

rimi de aynı anda sıfır olmadıkça, Anlığa (understanding) aruk açık ve kesin bir düşünce vermez." Lagrange, ondan sonra, bu güçliiiklcrin üstesinden gelmek için, "zeki İngiliz Gcomclrici [John] Landen'in çabalarına döner; Landcn’in yön­ temini aşın kaba bulursa da, çabalarını epeyce değerlendirir. (Bkz. Ek IV, "John Landen'in Residual Analysis'i, s. 1 62-169.) Lagrange, kendi hakkında, "sonsuJz küçük nicelikler veya limitlerle ilgili bütün düşünceden ayrı diferansiyel hesabın gerçek ilkelerini içeren bir seriye fonksiyonlar geliştirm e teoris ini"ni daha 1772'dc ortaya koy­ duğunu yazar. D olayısıyla, bellidir ki, Lagrangıe, lim itler yöntemini sonsuz kü­ çük nicelikler yönteminden daha yetkin ıtılarak ele almaz ve bu, çözümle­ mede sözü edilen limitin, gerçekten, bağiımsız değişkenin "son" ("ortadan kalkan") değeri için fonksiyonun "son" değeri gibi anlandığı anlayışında olmasıyla ilişkilidir.

151

ek

-n

NEWTON'U^ MARX'ÇA ANILAN LEMMAİLARI* ÜSTÜNE

Matematiksel hcsabm tirihscl gelişim yönü konusundaki taslağına iliştirilmiş ayrı bir yaprakla, Marx, matematiksel çözüm lem esi boyunca Ncwion'un kullandığı iki tcmM kavram a, "limit" ve "moment" kavram ­ larına ayrılmış P m ıc/p ıa'sın ın Birinci Kitabının XI. Lemmasmdaki çık­ maya ve İkinci Kitabın II. Lcmhıasına göndermede bulunur. Newton, Principia malhematica de philosophiae naturalis'in ilk ki­ tabının XI. Lemmasmdaki çıkmada (scholium), pek saydam olmayan bir karşılaştırmayla "son (sınırlayan) oran" ve "son toplam" terimini açıkla­ maya çalışır: Marx, bunu, "matematiksel olmayan, m ctafiziksel bir var­ sayım" olarak niteler. Gerçekten. Newton şunları yazar: "Pek küçük (evufiescent) niceliklerin hiçbir son oranı olm a­ masına belki itiraz ediliri çünkü nicelikler sıfıra eşitlenmeden önce­ ki oran, son değildir Me nicelikler sıfıra eşitlenince hiçtir. Ama, aynı tartışma ile, belirli bir yere ulaşan ve orada duran bir cismin hiçbir son hızı olmadıkı kanıt gösterilebilir; çünkü cisim o yere varmadan önceki hız, cismin son hızı değildir; cisim oraya vardı­ ğında ise hiçtir. Ama yhnıi kolaydır; çünkü son hız ile anlatılmak istenen, cismin son yeıîne varıp hareketinin durmasından önceki hızı da değildir sonraki İle, tersine, tam vardığı andaki hızıdır, yani, cismin son yerine vardığı ve harekelin bittiği andaki hızıdır. Bunun gibi, pek küçük niceliklerin son oranı da, o niceliklerin sıfıra cşil(*) Lemma: Doğru olduğu varsayılan vc birincil önermeyi kamılamada kul­ lanılan ikincil önerme; yardımcı öncılııc. -Ç.

152

lcnmcdcn önceki oranı da değildir, eşitlendikten sonraki oranı da; tersine, sıfıra eşitlendikleri andaki oranıdır. Gene bunun gibi, pek küçük niceliklerin ilk oranı, var olmaya başladıklarındaki orandır. İlk veya son toplam ise o niceliklerin var olm aya başladıkları ve ortadan kalktıkları (veya büyülıüldüklcri veya küçüllüldiiklcri) sıra­ daki toplamdır. Bir hareketin sonunda hızın erişebildiği, ama aşa­ madığı bir sınır (üm it) vardır. Bu, son hızdır. Başlayan ve biten bütün niceliklerde ve oranlarda da, buna benzer bir sınır (limit) var­ dır." (Sir Isaac Newton, Mathematical Principles o f Natural Philo­ sophy, transl. Andrew Motte, rev. Florion Cajori, Berkeley, Univ. of Calif. Press, 1934, pp. 38-39) Bugünkü matematikte "bir cismin belirli bir ı0 anındaki hızı", ma­ tematiksel limit kavramının yardımıyla tanımlanır; böyle bir tanımın bi­ limce kullanılması da, varlıkbilimsel (ontological) olanları da içermek üzere, çeşitli düşüncelere yol açabilir. Bununla birlikte, sıfıra eşitlenen ni­ celikler oranının limiti aracılığı ile bir cismin belirli bir andaki hızının bi­ limsel tanımı, böyle bir limitin var olduğunu kanıtlamaya yarayamayacağı gibi, a fortiori (daha kuvvetli bir nedenle, -ç.] bu limitin "nicelikler sıfıra eşitlenmeden önceki ve eşitlendikten sonraki oran değil, sıfıra eşit­ lendikleri andaki oran" gibi, bir çeşit sıfırlar oranı, bir cisim hareketinin sona erdiği bir yere vardığı anda olması ■ken hızına her nasılsa benzeti­ len bir değer gibi tanımlanması için gerekçe olarak da kullanılamaz. Ama, açıkça, matematiksel hesaplamalarla böyle bir ”tanım"dan herhangi bir uygun limit çıkarmak olanaksızdır ve aslında mantıksal bir döngüdeyizdir: t0 anındaki hız, olgulara dayanılarak belirli bir lim it gibi tanımlanıyor, ama sonra, limitin kendisi, t0 anındaki hız ite tanımlanıyor ki, bu durum­ da limitin varlığı, şimdi, gerçekten bir çeşit "matematiksel olmayan, mctafizikscl varsayım" olarak görünüyor.* Principia mathematica'nm ikinci kitabındaki II. Lemma, "moment" (veya sonsuz küçük) kavramının aşağıdaki açıklamasını içerir (*) Yansımanın yansıtılan nesne gibi anlanmasın' içererek: Soyul matematik­ sel kavramlardan umulan ereklerle ilgili düşüncelerimizdeki beklenti, düşünsel nesne­ nin gerçek varlığı gibi anlanıyor. -EJ.

153

"Burada üzerinde durduğum nicelikleri, sanki sürekli bir ha­ reket veya akım gibi, değişken ve belirsiz ve artan veya eksilen imiş gibi... anlıyorum; onların anlık artımlarını veya cksilimlcrini de momentler adıyla anlıyorum ; öyle ki, artımlar eklenm iş veya olumlu (affirmative) m om entler; eksilim ler ise çıkarılm ış veya olumsuz momentler gibi görülebilir. Ama soıılu taneciklere (par­ ticle) bu gözle bakm aktan sakınınız. Sonlu tanecikler moment değildir, tersine, momentlerle ortaya çıkarılmış gerçek niceliklerdir. Onları, yalnızca oluşmaktaki sonlu büyüklüklerin kökenleri (prin­ ciples) gibi tasarlamalıyız. Bu Lcnnna'da momentlerin büyüklüğü üzerinde de durmuyoruz; tersine, onların oluşmaktaki ilk orantısı (proportion) üzerinde duruyoruz. Momentler yerine artımların veya eksilimlcrin hızlarından birini (ki onlara nicelik hareketleri, değiş­ meleri veya akım lan (fluxion) da denebil■• veya o hızlarla orantılı herhangi sonlu nicelikleri de kullansak, aynı şey olacaktır." Doğaldır ki, Ncwton'un "matematiksel olmayan, metal'izikscl bir varsayım"ı bir daha, bu kez diferansiyellerin ("momentlerin") varlığı ko­ nusunda kullandığı bu açıklama, Marx'i her şeyden önce ilgilendirm iş olmak gerekir. Ama bu lemma, Marx'tn dikkatini, Ncwton'un onda yüksek sıralı sonsuz küçüklerin örtbas edilm esine başvurm aksızın, iki fonksiyonun çarpımının farklılaşurılmasma uygun formülü gösterme çabalarına dok de çekebilirdi. Bu (başarısız) çaba aşağıdaki biçimde ilerler:/! - i- a ,- to noktasın­ da f(ı) fonksiyonunun, B - ^ b

aynı t 0 noktasında g(ı) fonksiyonunun

değeri, a ile b de [ı0 , /, ] parçasında ayrı ayrı / ve g fonksiyonlarının ar­ tımları olsun. (Daha aşağıda bunları, anıldıkları sırayla, A f ve Ag ile gösteriyoruz.) Öyleyse, f i t ) . g(t) çarpımının D0 , J parçasındaki artımı şudur:

yani, Newion'un ın 'd a / v c g fonksiyonlarının türevinin diferansiyeli ("momcnt"i) olarak da anladığı A b + Ba. Ama burada Ab + Ba, f(tf)A g + g(l0)A f değildir, tersine

Ag J A f 'd/>,

yani,/|70)4 ç + g(to)Af 'den, Newion'un örtbas etmekten kaçınmak islediği aynı A f. Ag niceliği kadar farklıdır. Bununla birlikte, Newton, Ab + Ba ile f(h )A g + g(to)Af ’yi alttan alla da olsa özleştirerek, gerçekte böyle bir örıbas etmeyi kullandı. Diferansiyel üstüne olan parçanın ilk taslaklarından kolayca unlan­ dığı gibi (bkz. örneğin s. 76), Marx, önce türev teoreminin tarihini örnek alıp diferansiyel hesap gelişiminin tarihsel yolunu aydınlatmak istedi. Onun için, II. Lcmma'nın, M arx'm dikkatini bu bakımdan çekmiş olmak gerekmesi şaşırtıcı değildir. M arx'in alıntılar yaptığı ders kitapları P rincipia'm n Birinci Ki­ tabının XI. Lcm m asına veya İkinci Kitabının II. Lcmmasma özellikle gönderm ede bulunmadığından, Marx'in onları aslında Newion’un çalış­ masını bir yana auvcrdiklcri için seçtiğine inanmak için her türlü gerekçe vardır. Sıfıra eşitlenen niceliklerle ilgili oranın limitinin bir cismin belirli bir t0 anındaki hızıyla tanımlanması bu limitin hesaplanmasına uygun hiçbir araç içermediğinden, Newton, böyle bir hesaplama yapmak için bu tanımı kullanm az; tersine, sıfıra eşitlenen niceliklerle ilgili oranların li­ mitlerinin hesaplanmasını sayısal değerleri tümüyle ve özenle tanımlan­ mış varsayılan limitlerin kendilerinin hesaplanmasına indirgemeye elverir, varsayımlı (hypothetical) belirli limit özelliklerini kullanır. Newton, bu varsayımlı özellikleri, her şeyden önce, Principia'mn Birinci Kitabının ilk kesimindeki I. Lcmmasıyla bildirir; "Yardımıyla aşağıdaki önermeleri ka­ nıtladığımız niceliklerin ilk vc son oranları yöntemi." Marx, diferansiyel hesap tarihi üstüne notlarında bu Lcmmaya, XI. Lcmmaya konan çıkmay­ la birlikte göndermede bulunur (bkz. s. 75 vc 76). 155

I. Lemma şunu bildirir "Sonlu herhangi bir zamanda sürekli olarak birbirlcriyle eşitliğe yaklaşan vc bu zaman sona ermeden önce birbirlerine belirli herhangi bir farktan daha yakına gelen nicelikler vc nicelik oranlan, sonunda eşit olur." (Newton, Principia, rcv. Florion Cajori, Univ. of Calif. Press, 1934, p. 29) Bununla birlikle, bu limitin kanıtlanm asında, bir limitin varlığı, söz konusu zaman aralığının sonunda gerçekten ulaşılmış gibi, altlan alla varsayılır. Kanıtlama, gerçeklen, "bu zamanın sonunda" elde edilen nice­ liklerin değerinin birbirinden ayırt edilebildiğinin bir yadsınm asından oluşur. Dolayısıyla, Ncwton'un hep gerçek bir anlamda anladığı limit, bu yüzden, iyi bilindiği gibi pratikte Newlon'un kullandığı gerçekten sonsuz küçük, Leibnitz diferansiyellerinden ve onlara karşılık olan momentlerden pek de üstün değildir.

156

ek

-m

LEONHARD EULER'ÎN SIFIRLAR HESABI ÜSTÜNE

M arx'in elyazm alarm da

oranının bir sıfırlar oranı, zaman zadx man bülün x değerleri için x 'e göre y türevinin değerine eşit ve aynı za­ manda bayağı bir kesir gibi işlemden geçirilcbilcn bir şey sayıldığı yer­ leri -örneğin,

— . — çarpımının dv'leri kısaltılarak — "kesrine" dv dx dx ("fraction") eşit olduğu yerler- anlamak, için Euler’in diferansiyel hesabı bir sıfırlar hesabı gibi kurm a çabası üstüne bilgi edinmek önemlidir. Bu çaba, diferansiyel hesap tarihinin ilk taslağına iliştirilmiş yazın listesinde Marx'in Euler'in Diferenıial Calculus'unun III. bölümüne özellikle gönder­ mede bulunması ve Euler'in hesap tanımını "rasyonel" sayması olgusu karşısında da yoruma yaraşır. Büyük M atematikçi ve St Petersburg Bilim ler Akademisi Üyesi Leonhard Euler'in D iferenıial C alculus'u, St Petersburg Akadcmisince, 1755’te yayımlandı. Bu yapıt için temel, diferansiyelleri sıfıra eşil olma noktasında gibi, am a aynı zamanda sıfırdan farklı: kökeninin bir "tarih"i olan, çeşitli ( d y .d x .v b .) biçimlerinde gösterilen ve y = f(x) olan yerde & oranı / ' (x) türevidir olgusuyla ayırt edilmesine izin verilen ve bayadx ğı bir kesir gibi işlemden geçirilcbilcn bir sıfır sayma girişimindedir. Eulcr, diferansiyelleri açıkça çelişik bir karakterli (bir anlamda sıfır ve aynı anda sıfır olmayan olarak görünen) gerçekten sonsuz küçük nice­ likler gibi işlemden geçirm e zorunluğundan matematiksel çözümlemeyi kurtarmak için bu girişimi üstlendi. Eulcr, "Salı usun (reason) bir ayak

157

(foot) küp maddenin binde birinin herhangi bir büyüklükıen yoksun ol­ duğunu varsayıldığı gibi kavradığını" öne sürmeyi "tüm üyle yetersiz" sayar ("kabul edilmez" anlamında, söz gelimi bkz.: L. Euler, Diferential Calculus [Rusça] çevirisi, Moskova-Lcningrad, 1949, s. 90). "Sonsuz küçük bir nicelik, sıfıra eşiılenircesine küçük bir nicelikten farklı değildir, dolayısıyla da sıfıra kesinlikle eşittir. Bu, sonsuz küçük diferansiyellerin onları belirli herhangi bir nicelikten daha küçük sayan tanımını içerir. Gerçekten, nicelik, olanaklı her­ hangi bir belirli nicelikten de pek küçük ise, sıfıra eşit olmaması beklenemez; veya sıfıra eşit değilse, o zaman, varsayıma aykırı ola­ rak, eşit olduğu bir nicelik vardır. Onun için, matematikte sonsuz küçük nicelik nedir diye sorulursa, sıfıra kesinlikle eşit niceliktir diye yanıtlarız. Sonuç olarak, bu kavrama çoğu zaman yorulan ve sonsuz küçük nicelikler hesabını oldukça kuşkulu kılan gizemi gi­ derir." (s. 91) Sıfırlı diferansiyelin basit tanımı diferansiyel hesabı verimli kılma­ dığı için, Euler, sıfırlar için "aritmetik" ve "geometrik" olmak üzere iki türlü cşiüik saplayarak, "çeşitli" sıfırlar sunar. "Aritmetik" anlamda bütün sıfırlar birbirine eşittir ve sıfır olmayan herhangi bir a için, a + 0 , a'ya ek­ lenen sıfır "çeşidinden" bağımsız olarak, her zaman a 'ya eşittir. Sözcüğün geometrik anlam ıyla, iki sıfır, ancak "oran"ları "birlik"e (unity) eşitse, eşittir. Euler, iki sıfırın "oran"ından ne anladığını açıklamadı. Yalnız, bu "oran"a bir sıfır olmayan nicelikler oranının alışılmış karakterini yorduğu ve pratikle iki "sıfır"ın oram -dy ve dx- ile, modem matematiksel çözüm­ lemede Um

terimiyle anlatılan aynı şeyi amaçladığı bellidir; çünkü

Aı -» 0 AJC

Euler'in sıfırlar teorisi, matematiksel çözümlemeyi limit kavramının su­ nulması zorunluğundan (ve bu kavramla birlikte bulunan güçlüklerden) kurtarmaz. Euler'e göre sıfır çeşitli sıfırlar olduğu (ve "geometrik" anlamda bunlar birbirine eşit bile olmadığı) için, çeşitli sem boller kullanmak zo158

runluılur. "İki sıfırın" diye’yazar Eulcr, "birbirine göre herhangi bir geo­ metrik oranı olabilir, oysa aritm etik bakımdan oranlan eşitlik oranıdır. Bundan ölürü, sıfırların kendi aralarında herhangi bir oranı olduğu için, bu farklı oranları anlaunak için, özellikle farklı iki sıfır arasındaki geometrik oranı belirlem ek zorunlu olunca, farklı semboller kullanılır. Ama sonsuz küçük nicelikler hesabında, çeşitli sonsuz küçük nicelikler oranından daha biiyük hiçbir şey ortaya çıkmaz. Onların gösterimi için farklı işaretler kul­ lanmadığımız sürece, her şey büyük bir karışıklık oluşturacak ve hiçbir şey ayırt edilebilir olmayacaktır." (s. 91) dx vc dy. oranları / ' (x)'c eşit "farklı” sıfırlaruır diyen bu yoruma uyarak, l^ ~ =f ( x ) yerine d y '= f ' ( x ) dx koyarsak, sağ vc sol yanı dx gerek "aritmetik", gerek "geometrik" anlamda eşit olacak bir denklem elde ederiz. Gerçekten, sol ve sağ yan çeşitli "sıfırlar" içerecektir, ama önceden belirtildiği gibi, bütün "sıfırlar" "aritmetik" anlamda eşittir. Yalnız dy 'nin d c'e oranı tüm üyle -yani, hem "aritmetik" hem "geometrik" anlamdaf ’(x) 'e eşit oluncaya değin [y = f(x ) olan y e r d e ,^ : f ( x ) oranı, dx f ’(x)~ 0 olsa bile birlik (unity) sayılır] ve sıfırlar oranı alışılmış oran iş­ lemi olarak doğru anlaşılırsa, o zaman

elde ederiz veya, başka bir söyleyişle, dy ve f ( x ) d x "geometrik" anlamda da eşittir.

"tüm" eşdeğerliği, yalnız birinden öbürüne geçiş oranı anlamında değil, ama, Marx bunların birincisini İkincisine dönüştürürken, alışılm ış bir oran (bir kesir) olarak dx ve dy "diferansiyel parçalarının bu orandan söz etme (vc bunun kuvveti üzerinde durma) anlamında da, sıfırlar (çeşit çeşit gösterilmiş, "çeşitli" sıfırlar) olarak dy vc dx "diferansiyel parçaların ın bütün niteliği, Marx'in zihnindeydi. (Bkz: Aynı yer. s. 147)

159

Euler sıfırlarının daha ayrıntılı bir öyküsü ve onlarla ilgili düşünce­ lerin tarihi için, okur A.P. Yuşkeviç'in şu makalesine başvurabilir: "Eulcr und Lagrange über die Grundlagcn der Analysis", Sammelband zu Ehren des 250 Geburtstages Leonhard Eulers, Berlin, 1959, s. 224-244. Burada, Eulcr’in M arx'in elyazmalarını okumada yardımcı olan iki düşüncesi üzerinde durmakla yetiniyoruz. Birincisi, fonksiyonun artımının ana parçası olan diferansiyelin kavram ıyla ilgilidir. Matematiksel çözüm­ lemede, özellikle de onun dayanaklarında köklü bir rol oynayan bu kav­ ramı Eulcr aşağıdaki gibi sunar: "x değişkeninin w artım ı çok küçük olsun, öyle ki U fonksiyonu y'nin Ay artım ına uygun] anlatımda, [yani] Pw + Qw2 + Rw3 + vb. de* Qw2 , Rw3 terimleri ve bütün yüksek sıralar öylesine küçük olsunlar ki, büyük ölçüde kesinlik gerektirmeyen bir an­ latımda, birinci terim Pw ile karşılaştırılınca hesaba katılmayabilsinler. O zaman, birinci diferansiyel Pdx'i bilerek, Pw olacak farkı da, kabul edildiği gibi yaklaşık olarak biliriz; çözümlemenin pratik işlere uygulandığı bir­ çok durumda, bu, sık sık kullanılır" (s. 105, Aynı yer). Başka bir söyle­ yişle, x diferansiyel fonksiyonu y'de (yani, P'nin jc’e g ö rey lilrcvi olduğu Pdx ’te), Eulcr'c göre sıfıra eşit olan dx diferansiyelinin yerine dx değişke­ ninin sonlu [sıfır olmayan] w artım ını koyarak, fonksiyonun artım ının ana parçası olarak diferansiyelin kesin kavramını, modem matematiksel çözümleme derslerinin başlangıç noktasını elde ederiz. Fonksiyonun artımının ana parçası olarak diferansiyelin benzer (ahologous) kavramı, Marx'an elyazmalarında da vardır (bkz.: Elyazması 2768, s. 297 [Yanovskaya, 1968]). ikinci düşünce, diferansiyel hesaba özgü gösterimlerin seçimi, yani diferansiyeller ve türevler sorunu ile ilgilidir. Burada ilgi, her şeyden önce, Eııf ■in Ncwton'un noktalı gösterimlerini türevlerin değil, diferansiyelle(*) Kulcrin Diferenlial Calculus’u, sonlu farklar hesabı vc "değişken nicelik x bir w arlımsa! (incremental) değeri üsılcnirsc, o zaman, herhangi bir x fonksiyonunun artımının bundan doğan değeri, ya sonlu ya da sonsuz olarak süren anlatım ile, Pw + Q w2 + R vA + ... vb. olarak anlatılabilir" diyen teoremle başlar. (Aynı yer, s. 103. 61. sayfaya da bkz.) Bu teoremin kanıtlaması, Kulcr'in üzerinde durduğu fonksiyon sınıfı­ nın kuvvet fonksiyonlarından meydana gelmesi olgusuna dayanır: Çoklcriınlilcr ve öğesel (elementary) aşkın (iranxcenitenlal) fonksiyonlar. Kulcr'in sanki sonlu çokterimlilcmıiş gibi işlemden geçirdiği sonlu kuvvel serilerine açılırlar. -Ed.

160

rin sembolik gösterim i olarak almasından doğar. Gerçekten Euler şöyle ya/.ar: "büyüm e hızının gösterimi için ilkin Newton'un kullandığı "fluxionlar" adı, benzeşim (a n a l g y ) ile, bir niceliğin sanki değişirken üstlen­ diği sonsuz küçük artımlara aktarıldı" (s. 103). Bunun gibi, daha sonra, "[îngilizlcr] "lluxionlar" dedikleri şeyleri harflerin üzerine konmuş nokta­ larla gösterdiler; şöyle ki, onlara g ö rey fluxionu vb. demekti."

birinci, y

ikinci, y üçüncü y

N e var ki, bu gösterme tarzı Euler'e yetmedi. Euler şöyle sürdürür: "Bu gösterim tarzı keyfi bir kurala dayanıyorsa da, nokta sayısı çok değil­ se reddedilmesine gerek yoktur; çünkü noktalar kolayca işaretlenebilir. Bu­ nunla birlikte, birçok nokta gerekiyorsa, bu yöntem büyük bir karışıklığa ve rahatsızlığa yol açar. Gerçekte onuncu diferansiyeli veya onuncu fluxionu

göstermek pek güçtür; oysa bizim gösterme tarzımızla y kolayca be­ lirtilir: d ,0y . Çok yüksek halta sonsuz dereceli diferansiyellerin anla­ tılmasını gerektiren durumlar olabilir; böyle durumlarda Ingiliz gösterme tarzı hiç de elverişli değildir." (s. 103-104) Newton'un ve onu izleyenlerin (çeşitli örneklerde) "fluxionlan" x , y

vb. ve

(t

bir "sonsuz küçük zaman parçası" iken) "momentler"

(yani, diferansiyeller) ile birlikte tx , r y vb. ile buna benzer biçimde göstermeleri konusunda, Marx da, "Newton'un kullandığı t , temel fonk­ siyonlarla ilgili çözümlemelerinde hiçbir işe yaramaz" (s. 78) diye yazıp Newton'un kendisinin de t 'y u seve seve hesaba katmadığım belirtir ( a n ı ­ M arx, "y, u. z diferansiyelleri y , u , z " iken, Newton'un yön­ teminden söz ederek aynı anlatımları kullanmıştır, (s. 79) la n y e r ) .

A yrıca belirtm eliyiz ki, M arx, aslında Lcibnitz'in diferansiyel hesap scmbollemcsinin Newton’un ve onu izleycnlcrinkindcn üstün ol­ duğunu vurgulamıştır (bkz. S. 94).

161

EK -IV JOHN LANDEN'İN

R E SİD U A L

A N A L Y S İS 'İ

M arx, John Landen'in British Muscum'daki yapıtlarını inceleme niyetini elyazmal arının birkaç yerinde açıkça bildirmiştir (bkz. s. 33). Marx, "diferansiyel hesabı sağlam bir cebirsel tabana geri döndür­ m e y e çalışan Lagrange'm olası bir muştucusunu Landcn'de gördü (s. 111) ve Landen'in yönteminin Marx'in "cebirsel farklılaştırma" diye nitelediği yöntemle karşılaştırılmak gerektiğini tasarladı, ama Landen'in bu yöntem­ le başka herhangi bir yöntem arasındaki temelli farkı gerçeklen anladığın­ dan kuşkulandı. Bu tasarının doğruluğunu görmek için Landen'in [British, -ç.] Muscum'daki Residual Analysis'ini incelemek istedi. Marx, elinin altındaki kaynaklarda bu kitapla ilgili eski iki kanı bulabildi: Hind'in ders kitabında (p. 128, 2nd ed.) ve Lacroix'mn uzun 'T reatise "ında (Vol. I, pp. 239-240). Bu kanılar, gerçekte hemen hemen özdeşli; çünkü Hind, aslında uygun parçayı Lacroix'den İngilizceye çevir­ mişti. Hind'de şunu okuyoruz: "Bununla birlikte, bu hesap çeşidini [yani, diferansiyel hesabı] katışıksız cebirsel ilk cf re dayandırm a düşüncesi, XVIII. yüzyılın ortalarında yıldızı parlayan ünlü İngiliz Matematikçi Mr. John Landen’le birlikte doğdu. Onun Residual A nalysis' inde ilk amaç, x v e x ' niceliklerinin, kendi niceliklerinin farkına bölünmüş aynı fonksiyon­ larının farkının cebirsel gelişimini veya

anlatımının gelişimix '- x ni göstermek, sonra da, x ’ x ’e eşit kılınınca ve bundan dolayı x ‘ - x böle­ ninin bütün izleri ortadan kalkınca, sonucun özel değeri denen şeyi bulmaktır." (Lacroix’dc i s e , "... ve x - x böleninin hiçbir izini bırakma­ mak için, bu bölüm [f(x') - f(x ) / (x' - x) ] elde edilince, x ' - x kılınır; çünkü hesaplam anın son ereği, yukarıdaki oranın özel değerine ulaş­ maktır.") 16 2

Marx, görünüşle Landcn'in British Museum’daki kitabını inceleme niyetini gerçekleştiremedi. Bununla birlikte, kitabın içeriğinin çözüm le­ mesi, Marx'in "pek olası" saydığı anılan kanısını tümüyle doğrular. Landen'in kitabının tam adı şöyledir: "The Residual Analysis, a pew branch o f the algebraic art, o f very extensive use, both in pare mathe­ matics and natural philosophy. Book I. By John Landen. London. Printed for the author, and sold by L. Haws, W. Clarke and R. Collins, at the Red Lion in Paternoster Row, 1764." Giriş şu sözlerle başlar: "Bir süre önce, katışıksız cebirsel bir işlemin yardımıyla iki terimli teorem ini incelemenin yeni ve kolay bir yöntem ine rast­ layarak, bu teoremi incelemek için kullanılan aracın başka teorem­ lerde işe yarayıp yaramadığını anlam aya çalıştım ve bu yönteme dayanan belirli bir hesaplama çeşidinin birçok araşurm ada kullanı­ labileceğini buluverdim . Bu özel yöntem e R esidual A nalysis [Artıklı veya Artıksul Çözümleme, -ç.] adını verdim; çünkü bunu kullandığımız bütün problemlerde, islenen sonucu elde etmek için yararlandığımız temel araçlar, matematikçilerin aruksallar (residual) dedikleri nicelikler ve cebirsel anlatımlardır." Yazar, daha sonra, Ncwton'un fluxionlar hesabını ve Leibnilz'in tanımlanmamış yeni "ilkeler" matcmaüğine girişe dayandırılmış diferansi­ yellerini eleştirir. Newlon’un fluxionlar hesabında kullanılanları, sanal ha­ reket (imaginary motion) grafik olarak sürekli akış gibi, herhangi bir açık ve ayrı düşünceler matematiğiyle ilgisi olmayan, ama örneğin zaman ça­ bukluğu (speed o f time), hız hızı (the velocity o f velocity) vb. gibi kanıt­ lamada gereksiz (bundan ölürü de, öte yandan, tam matematiksel birtakım kavramları tanımlama aracı gibi iş gören) gerçekten var olmayan ama gene de açık (kendisi anlanır gibi) kavramları teoriye sokulmuş önemli yeni te­ rimlerin açıklaması sayar. Lcibnilz’le ilgili çözümlemede, yeni "ilkeler" örtüsü altında sonsuz küçük nicelikler ve sonsuz küçük herhangi bir nice­ likten sonsuz olarak daha küçük nicelik öncrilmcsini tanımlanmamış, on­ ların (kabul edilm iş yaklaşık sonuçlar bakım ından sorun olm ayınca) 163

örtbas edilmesini ise, bizi böyle niceliklerden kurtarmanın (yanlış değilse) çok yetersiz bir yöntemi" (p. IV) sayar. Landon şuna inanmıştır: M atema­ tik böyle yabancı ilkelere hiç gerek duymaz ve kendisinin Residual Analysis’i "iluxionlar hesabından veya diferansiyel hesaptan (daha çok kullanılır değilse) daha az kullanılır olmayan", "geometride ve cebirde eski çağlardan beri kabul edilmiş ilkelerden başka hiçbir ilke gerektirmez" (p. IV). Arüksal çözümlemenin başlangıç noktası şu formüldedir: n

h

-— — = a a -b

'-ı

+ a

'•-2

b + . . .+ b

>--ı

(D

(r ’nin bir artı tam sayı olduğu) bu formül ve ondan çıkarılan m-1

l + ” + *

_ -l

Vr - Wr

V

(2)

(r- l)m

2m

V - vv

1+ m-1 -1

V r -w

-V

,w r

2m

V - w

+ *L

(r-l>n

(3)

W

T

V

(im ile r’nin artı tamsayılar olduğu) formüller* yardımıyla, Landen, x-x\ 'de (*) (l)'i kullanarak (2)'yi göstermek için şunu belirtmek yeter:

m

m

Vr - w r

t m\ V” -

- yfm

V — W

Formül (3) Formül (2)*dcn kolayca çıkar:

V™ - W™

i m\r

( v r / ~ \w r I

p X

p -X]

X -Xı

oranının "özel değer" i olarak, lam ve kesirli (arlı veya eksi) p değerleri için xf kuvvet fonksiyonunun türevini elde eder. Başka bir söyleyişle, p

x = X] 'd e

p

- oranını, ( 1), (2) ve (3) formüllerinin eşitliğini yerine x -xı

getirecek biçimde öntanımlar. Landcn, x = X\ 'de, y = f ( x ) , yı = f( x \) durum unda,

y -y ı x - X\

oranı-

nın "özel dcğcr"ini gösterir [x - y ]. Örneklerinde, irrasyonel kuvvetlere geçişi, v = w 'de ( w , v 'ye göre 4/3

4/3

v"3 'ün türevi) - — — — oranının "özel dcğcri"nin belirlenmesiyle başv -w layarak, farklı iki yoldan, birinde m = 4 ve r = 3 ile formül (2)'yi kullana­ rak, öbüründe aynı formülle, ama " 1 = 1,333... olduğu için"(m = 13,333, r = 10,000), (m = 133333, r = 100,000) çiftlerini kullanarak elde eder vb. Landen, 1 + 1 + 1 -ı- 1 + ... (13,333 kez) , in 1 + 1 + 1 + 1 + . . . ( 10,000 kez) 4 "son değer"inin, açıkça, kendisinden 1,333... [sayısı] türetilen — 'ç e ş it olduğunu söyleyerek bu sonsuz işlemin sorumunu üstlenip güçlüklerden sakınır (p. 7). Bundan sonra, ikinci yöntemle işlemden geçirerek, yani, kendisinin de belirttiği gibi, "yaklaşık olarak", ama öyle ki, herhangi bir durumda daha "çok yaklaşık" k ılın ab ilcrck ,^-= V ? = 1,4142... durumuna geçişi yapıp, gene, 165

1 + 1 + 1 + 1 + ... (14,142 ... kez) , jn 1 + 1 + 1 + 1 + ... (10,000 ...Aez) "son değcr"inin "kendisinden 1,4142 vb. [sayısı] (kökün alınmasıyla) türe­ tilen değere,YT 'ye eşittir" (p. 8) sonucuna varır. Landen'in, bir veya başka bir limit kavram ı biçimini kullanarak Residual A na lysis'm kuramaması şaşırtıcı değildir. Bununla birlikle, pra­ tikte, limiti sonsuz (yani herhangi bir sonu olmayan) bir dizinin "son de­ ğeri" (sonu) gibi ele alarak, limitten, Ncwton'un görüş noktasına göre söz eder. Doğal olarak, gerçekte bu tanımı kullanmaz, ama, bu araçla, duru­ mun ve dizisel değerleriyle ilgili ilerlemenin yakınsamasının (veya ıraksa­ masının) ona sorunun somut içeriklerini anımsatan yaklaşık bir değerlen­ dirmesine yaklaşır. Çağının öbür matematikçileri gibi, Landcn, sonsuz serilerin biçim­ sel olarak düzenlenmiş anlatımlarında özgürce ıraksayan seriler kullanmayı olanaklı sayar; yeterki onlar, düzenlemede yalnız zaman zaman ortaya çı­ kan bir rol oynasınlar. Bir seri, hesaplamadan geçmiş bir çeşit niceliğin değerini anlatmak gerekli ise, o zaman, kullanılması için yakınsaması ge­ rekli. Landcn "yakınsak" veya "ıraksak" serilerle ne düşündüğünü kesinlik­ le açıklamayı gerekli görmez; ama, onun yerine, fonksiyonu (bir çeşit bi­ çimlendiriri düzenleme ile) bir seriye açarak, çoğu zaman, türetilmiş seri­ nin yakınsama yarıçapını belirtir ve (serinin yerine, aynı limiti "daha ça­ buk" yakınsayan başka birini koymak için) yakınsamayı "artırmak" am a­ cıyla yöntemler koyar. Landcn, böylece, "aslında, cebirde ve geometride Antikçağdan beri kabul edilmiş "ilkeler"in yanısıra, pratikte (örneğin, yak­ laşık bir hesaplamadan söz ederken) değindiği bir limite geçmeyle ilgili kimi kavramları açıkça hesaba katar. Ama onda, genel hiçbir "yakınsama" veya "limit" kavramı yoktur. Landen'in, çok çeşitli fonksiyon sınıfları içeren limitleri hesaplamak (veya var olmadıklarını kanıtlamak) için de yöntemleri yoktur. Landcn, bundan dolayı, kendi içinde kendi öz algorit­ masını içerecek türevin ("özel değer"in) bir tanımım aramışur. Tıpkı Newton gibi, Landcn de, x fonksiyonuyla ilgili olarak, ger­ çek sayılar kavramının bir benzeri (analogue) gibi konuşur. Ayrıntılarıyla, Upkı gerçek herhangi bir sayı 10 tabanına göre her biri 0, 1, 2 ... 9 ra­ kamlarıyla gösterilen kuvvetlerin (sonlu veya sonsuz) toplamı olarak 166

kabul edilebildiği gibi, Newton’a göre, herhangi b ir* fonksiyonu,* taba­ nının her biri sayılarla (katsayılarla) gösterilmiş kuvvetlerinin (sonlu veya sonsuz) toplamı gibi -yani, bir kuvvet serisi gibi- gösterilmek gerekir. (Bir seri, verilmiş fonksiyondan biçimsel yolla elde edilirse, sonlu bir "ce­ birsel" anlatım la ilgili olarak verilmiş belirli bir fonksiyonu "gösterir" diye düşünülür. Böylecc, örneğin, 1 + * + jc2 + ...+ * " + ... serisi,—î— 1 -* fonksiyonunu "gösterir" diye düşünülür; çünkü o seri, çoktcrimlinin böl­ mesi aracılığı ile, l'in 1 - * 'e bölünmesiyle elde edilebilir.) fix ) fonksiyo­ nunun türevini bulma işi x? kuvveti için yapılan benzer işe ve öğelerin (veya çarpanların) türevleri bir kez bilinince, toplamın türevini bulma işi­ ne eşdeğer gibi gösterilebilir. Landen, Residual Analysis'lc her şeyden ön­ ce işte bu problemleri çözdü. Landen, bazen çok zekice biçimsel (formal) hesaplamalarla, bu yöntemlerin birkaç değişkenli fonksiyonlara ve bir yı­ ğın teknik güçlüğü olan çeşitli sıralardan parçal (partial) türevlere genişle­ tilmesinin gereğini yerine gelirdi. Bunda, fonksiyona karşılık olan kuvvet serisinin lek değerli o l­ duğu, çoğu zaman tümüyle varsayılır, yani, iki kuvvet serisi bir ve aynı * fonksiyonunu göstermek gerekirse, o zaman, onlardaki kuvvetlerin her bi­ ri için katsayılar eşil olm alıdır ("tanım lanm am ış katsayılar yöntemi" (method o f undefined coefficients) adının yaygın kullanımı bundan ölürü­ dür). Landcn'in bu yöntemleri kullanışını gösteren bir örnek olarak, onun, bir gerçek üste yükseltilmiş bir ikiterim linin genel durumu için Newton'un ikitcrimli teoremiyle ilgili olarak (bugün bile kullanılan daha kesin birkaç tanımla birlikte) sunduğu kanıtlamayı veriyoruz. Marx, Ncwton’un bu teoremine önce Taylor ve MacLaurin teoremleri dolayısıyla özci ilgi gösterdiği için (bkz., örneğin s. 107-113), Landcn'in kanıtlaması bu konuya ilgi çekebilir. p herhangi bir gerçek sayı ve A ı , A z ... x 'ten bağımsız oldukları varsaydı tanımlanmamış katsayılar; bu durumda (a + x y = Aı + A2 X + A3 X2 + ...

(1)

16 7

olsun. Denklemin iki yanında da x = 0 denerek A ı =
(?)

( 1) denklemini p ve (2) denklemini (a + x) ile çarparak şunları elde ederiz: p(a + x ) .

P

.p

p(fl + x)

= p A \ + p A 2x + pA-sx

0

*

+ ...,

(1 ')

. 2aA3\ 3a<44\ 2 = aA 2 + —-— \ x + —— \ x + . . . ; A2 ) 2Aj )

,

(i. )

bundan, p(a + x ) p anlatımının bir x kuvvetler serisine açılımının var­ saydı tek değerlemesini (valuation) anımsayarak, aA 2 - p A 1 ,

2&A 3 + A 2 — p A 2 *

îa A 4 + 2A 3 = pA 3 ,

A D t A 2 = — A ı = pa demektir ; a A 3 = Z j± A z = & r J l a

demekti r ;

A 4 = ~—— A 3 3a _ p(p - *) (p - 2) ap 2 .3

demektir ;

bundan ölürü de (a+ x)

p

p p p - '/ K / j - I ) = a + *- a + ^ a 1 1 .2

p-2 2 p(p - 1) (/> - 2) p-3 3 x , + — — -2J1— iL a x 1.2.3

+ . .. elde ederiz ki bu, Newton’un ikitcrimli teoremidir. 168

John Landcn'in arlıksal çözümlemesi m atem atikçiler arasında her gün kullanılan bir alet olmadı -Landcn'in işaretlem esi (noiulion) kulla­ nışsızdı ve (belki de bu yüzden) Landen, Taylor ve MaeLaurin teoremleri­ ne ulaşamadı- ise de, bundan, matematiğin gelişiminde Landcn'in genellik­ le etkisi olmadı sonucu çıkmaz. Landen, Residual /t/ıa/jvıVindcn birkaç teoreminin "M r De Moivrc"ın, Mr Stirling'in ve seçkin başka matematik­ çilerin dikkatlerini çekıi'ğini kendisi yazar (p. 45). Lacroix, Traiıe'sında (Vol. 1, p. 240), ikitcrim li teoreminin kanıtlanması, üstlü ve logaritmik fonksiyonların bir seriye açılımı için Landcn'in yöntemini bir "imitation a l'alg&bre" gibi kullandığını bildirir. Lacroix'nin ders kitabı matematikçiler arasında pek tutulmuştur. Bununla birlikle, Lacroix'nin dikkati, Landen'e, Theorie des fonctions analytique'm\ Traite’ye temel yaptığı Lagrange'ın etkisiyle çekilmiş­ tir. Lagrange, bu kitabın girişinde, Newton'a göre temel çözümleme kav­ ramlarında artakalan güçlüklerden söz ederek, şöyle yazan "Bu güçlükler­ den kaçınmak için, becerikli bir İngiliz geomelrici, o zamana değin bütün İngiliz geom eiricilerin sürekli kullandıkları fluxionlar yöntemi yerine tü­ müyle çözümsel (analytical) ve diferansiyeller yöntemine benzer başka bir yöntem koymayı önerdi; ama bu yöntemde, sonsuz küçük veya sıfıra eşit değişken niceliklerin farkları kullanılacak yerde, önce bu niceliklerin farklı değerleri kullanılır; bunlar sonra eşil düzenlenir, ardından, çarpan bölmeyle ortadan kaldırılarak bu eşitlik sıfıra yöneltilir. Böylelikle, sonsuz küçük ve sıfıra eşil olan niceliklerden doğru olarak kaçınılır; ama sonuçlar ve bu hesabın uygulaması sıkıcı ve elverişsizdir; ve kabul edilmek gerekir ki, hesap ilkesini daha eğilip bükülmez kılmanın bu yolu, aynı zam anda onun üstünlüklerini, yöntem basitliğini ve işlem kolaylığını gözden çı­ karır.” (Lagrange, Residual Analysis'lcn başka, "aynı konuda... 1758'de yayımlanmış makaleyi" anar. Bkz: CEuvres des Lagrange, Vol. IX, Paris, 1881, p. 18). Lagrange'ın son yorumu, açıkça, Landcn’in pek kaba bir işaretleme kullanması ve diferansiyeli ve işlemleri diferansiyel hesap sembolleriyle elde etmemesi olgusuyla ilgilidir. Lacroix, Lagrange'dan ayrı olarak, Landcn'in yöntemi "aslında li­ mitler yöntemine indirger" sonucuna varır (‘Traite, p. XVII).

169

EK -V BOUCHARLAT'YA GÖRE DİFERANSİYEL HESAP İLKELERİ

Marx'in elyazmalarını anlamak bakımından, yararlanabildiği mate­ matiksel çözümleme kitaplarının en önemlisi, açıkça, Boucharlat'nm ders kitabıdır: Elementary Treatise on the Differential and. Integral Calculus. M arx, bu kitabın üçüncü Fransızca basımından Blakclock'ın çevirdiği 1828'de yayımlanmış İngilizce metnini kullandı. Bu ders kitabı pek tutuldu ve birçok kez basıldı. Sekizinci basımı, M.H. Laurent'in yorumları ile Paris'te, 1881'dc yapıldı. Kitap çeşitli ya­ bancı dillere, bu arada Rusçaya çevrildi. Ecole Polytechnique'ten diplomalı, "aşkın" (transcendendal) (yük­ sek) matematik profesörü, bir dizi matematik ve mekanik ders kitabının yazarı, Jean-Louis Boucharlat (1775-1848), aynı zamanda şairdi ve 1823' ten beri Parisian Alhcneum'da yazın öğretmeniydi. Kuşkusuz, Boucharlat'nm yazınsal başarılarının ve anlatım açık­ lığının, ders kitaplarının tutulmasında payı yok değildi. Belli ki Marx, dikkatini Boucharlat'nm kitaplarına durup dururken çevirmedi. Ne olursa olsun, yazarın konusunda büyük titizlik ve limitler yön­ temiyle Lagrange’m "cebirsel" yöntemini yetkinleştirme savlarına karşın (beşinci basımın girişine bkz., 1838, p. VIII) dersin matematiksel düzeyi çok yükseltilmcmişıi. Yalnız üçüncü basımda değil, Marx'in İngilizce çe­ virisine başvurduğu sekizinci (1838) basımında bile, limit, fonksiyon, türev, diferansiyel kavramları şöyle sunulur:* (*) Marx, clyazmalarınııı birkaçında, bu kilaplan alıntılar yapmakla ve yaza­ rın yönlembilimsel denemesinin temellerini polemik konusu çimekle kalmadı, ki­ tabın olgusal (factual) incelemesine de biiyiik emek verdi. Onun için, bu ders kitabı­ nın içeriğini tanıtmadan edemiyoruz. Burada, Boucharlat'nm dersinin ilk yirmi parag­ rafının içeriklerini ayrıntılı olarak yineliyoruz.

17 0

"1. B ir değişken bir İkinciden oluşmuş belirli bir çözümsel anlatım a eşit iken, birinci değişken İkincinin bir fonksiyonudur denir; örneğin, aşağıdaki denklemlerde y bir x fonksiyonudur:

a

0) ve x x + h olunca y de y ' oluyor varsayalım; o zaman şunu elde ederiz: y ‘ = (x + h f veya, bunu açarak y ' = x3 + 3x2h + 3xh? + h3 ; bu denklemden (1) denklemini çıkarırsak y ' - y = 3x?h + 3xh? + h3 kalır ve h 'ye bölerek: ^JL h

= 3 x 2+ 3xh + h 2 .

(2)

Bu sonucun bize ne öğrettiğine bakalım: y ' - y, x [değişkeni, -ç.] h artım ını alınca, fonksiyonun artımını gösterir; çünkü bu / - y farkı, değişken y 'nin yeni değeri­ nin durumu ile ilk (original) durumunun farkıdır. "Öle yandan, değişken x 'in arlımı h olduğu için, bundan şu sonuç çıkar:

yf ~ y

- anlatımı, değişken x'in artımının y fonksiyoh nunun artım ına oranıdır. (2) denklem inin ikinci terim ine bakınca

171

görürüz ki, bu oran, h azalmasıyla birlikte azalır ve h sıfır olunca bu oran 3x3 'ye dönüşür. "Sonuç olarak, 3 x2 terimi 2 L lZ h azalttığımızda o, bu terim e yaklaşır.

oranının lim itidir, /ı'yi

"4. h = 0 varsayımında, y artımı da sıfır olduğu için, Z_lZ_, 0 — 'a dönüştürülür; dolayısıyla da, (2) denkleminden ° = 3x2 0

^ (3)

elde edilir. Bu denklemde saçma hiçbir şey yoktur; çünkü cebir bize öğretiyor ki, jj- asla herhangi bir değeri gösteremez. Ö le yandan, bellidir ki, bir kesrin iki parçasını bir ve aynı sayıya bölmek kesrin değerini değiştirmediği için, bir kesrin parçalarının küçüklüğünün o kesrin değerine hiç etkisi olmadığı ve dolayısıyla, parçaları en son küçüklük derecesine vardığı, yani, sıfıra dönüştüğü zaman bile, kesrin aynı değerde kalabildiği sonucuna varabiliriz. "(3) denkleminde görünen jj kesri, y fonksiyonunun artı­ mının değişken x 'in artımına oranı yerine konmuş bir semboldür; dv bu sembolde değişkenin hiçbir izi kalmadığı için, onu ^ ile gös­ tereceğiz; dolayısıyla ^ bize şunu anımsatacak: Fonksiyon y deric ğişken ise x idi. Ama bu dy ve dx sıfır olup durmayacak; biz de şunu elde edeceğiz: f = 3x2 . dx

(4)

& , veya daha kesin olarak onun değeri 3x3 , y fonksiyonunun dx diferansiyel katsayısıdır.

"Şunu belirtelim ki, İ L 3 * 2 limitini gösteren işaret oldx duğu için, dx hep dy 'nin altına konmalıdır. Bununla birlikte, cebir­ sel işlemleri kolaylaştırmak için (4) denklemini paydadan kurtar­ maya izin verilin biz de dy = 3j?dx elde ederiz. Bu 3x?dx anlatımı­ na y fonksiyonunun diferansiyeli denir." (p. 1-4) Boucharlat, ss.5-S'dc, aşağıdaki örneklerde dy 'yi bulur: y = a+ 3x2, y =

*x ■, y = (x2- 2 a 2) (x 2 - 3a2) . 1 -x

Bütün bu durumlarda, artmış >• değeri için, yani (Boucharlat'nm işa­ retlemesine göre) y ' için anlatım, f ( x + h)'ye eşittir -y = f(x) ise- ve (x 'li katsayılarla) h kuvvetlerine açılm ış bir çoklerim li biçiminde gösterilir ki, ondan sonra

oranı, kolayca, aynı tip bir çok-

^ dv terimli gibi gösterilir. Bu oranda h = 0 koymak

verir, dx ile

çarpma da dy diferansiyeli için anlatım araştırmayı bitirir. "9. dx anlatımının kendisi x diferansiyelidir; y = x olsun, öyleyse y ‘ = x + h, dolayısıyla / - y= h, dolayısıyla da Z İ l Z - ı . h h niceliği bu denklemin ikinci terimine bile girmediği için,

' h

yi İ L 'e değiştirmek yeter; bu, dx varsayımımıza göre, dy = dx.

İ L = 1 verecektir; bundan ötürü, dx

"10. ax diferansiyelinin adx olduğunu aynı yolla buluruz; ama elim izdey = ax + b olsaydı, diferansiyel için de adx elde eder­ dik; bundan ölürü, x değişkeniyle birlikte bulunm ayan b sabiti farklılaştırmada hiçbir terim sağlamaz veya, başka bir söyleyişle, hiç diferansiyeli yoktur.

173

"Bundan başka şu belirtilebilir: y - b ise, o zaman y= ax + b denkleminde a'nın sıfır, dolayısıyla da ^ - = a olduğu önümüzdeki durumda,

dv

dx şimdi l'e indirgenir; limit de, diferansiyel de yok­

tur." (p. 6 )‘ Yukandakilcrdcn anlıyoruz ki, Boucharlafya göre: 1) N e limit, ne de türev veya diferansiyel tanımı vardır. Bütün bu kavram lar yalnız örneklerle ve öyle açıklanır ki,-^* + ® oranı, x' h li katsayılarla, h kuvvetlerine açılm ış b ir çokterimli gibi gösterilir. Bu oranın limitinin h —» 0 olarak değerlendirilmesi, elde edilmiş çoktcrimlide h = 0 varsayımı gibi konu edilir. Burada, başka durumlar var m ı, böyle durumlarda "farklılaştırmak” olanaklı mı ve öyle ise, nasıl, sorulan bile yoktur. 2)

=
(A)

olgusundan, h = 0 için, yani,-^ * + ® bütün anlamını yitirince ( — h 0 'a dönüştürülünce), (A) denklemi anlamlı kalır, yani

|

=

^ , 0 )

elde etmemiz gerekir. Başka bir söyleyişle, -

174

(B)

jj-anlatımı anlamsız ise dc-

h = O için
(C)

her zaman y = A elde etmemiz gerekir.

175

"Çünkü, h 'yi = O kılarsak, ikinci yan A'ya indirgenir. B i­ rinci yana gelince, y 'nin x + h olan x ile belirli bir değişme geçir­ diğini gösterm ek am acıylay 'yi üslendirdiğimiz için, A sıfır iken y 'nin üssünü örtbas etm em iz gerektiği sonucu isler istem ez çıkar ve denklem şuna indirgenin y= A

.

"13. Bu, bize, farklılaştırm a işlem ini genelleştirm enin aracını verecektir. Çünkü, f(x ) ile gösterilen anlatımı bildiğim iz varsayılan y =f(x ) denkleminde x yerine x + h koydu isek; terimle­ ri de h kuvvetlerine göre sıraladıktan sonra, aşağıdaki gelişimi elde edebiliriz: y ' = A + B h + C tf + Dh3 + vb. veya daha doğrusu, önceki makaleye göre, y ' = y + B k + C& + vb. ve y ' - y = Bh + C/t2 + vb. dolayısıyla da 1 - l L = B + Ch + v b. h elde edeceğiz ve limiti alarak & -= B bulacağız ki, bu da bize, didx feransiyel katsayısının, yükselen h kuvvetlerine göre düzenlenmiş f( x + h) gelişiminde birinci h kuvvetini içeren terimin katsayısına eşit olduğunu gösterir. "14. İçerdiği belirli x değişkeninin artımı dolayısıyla değeri­ ni değiştiren bir y fonksiyonu yerine, aynı x değişkeninin iki fonk­ siyonu, y ve z varsa ve bu fonksiyonların diferansiyellerini ayrı ayrı bulmayı biliyorsak, aşağıdaki kanıtlamayla, bu fonksiyonların

176

zy çarpımını bulmak kolay olacaktır. Çünkü, y ve z fonksiyonla­ rında x yerine x + h koyarsak, h kuvvetlerine göre düzenlenmiş, aşağıdaki gibi gösterilebilen iki gelişim elde edeceğiz: y ' = y + Ah + B ir + vb.,

(5)

z' = z + A'h + B'H2 + vb.

(6)

? l =A dt

(7)

Limite geçerek ,

H =A ’ dx

bulacağız; (5) ve (6) denklemlerini çarparak, z ’y ’ = zy + A zh + B zh 2+ vb. + + A 'yh + A A 'h 2+ vb. + + B 'yh 2 + v b . , dolayısıyla zy

y

= A z + A ’y + (Bz + A A ' + B"y)h + vb.

h elde edeceğiz ve limiti alarak ve farklılaştırılacak anlatımı ondan önce konmuş bir nokta ile göstererek. ^ ' zy = A z + A 'y dx ve ortak dx çarpanım örtbas ederek d . zy = zdy + ydz elde edeceğiz. "Dolayısıyla, iki değişkenin çarpımının diferansiyelini bul­ mak için, her birini öbürünün diferansiyeli ile çarpıp çarpımları toplamalıyız." (s. 6-8)

177

Bu, §>15'tc üç değişkenin çarpımının diferansiyelini belirlemek, 16'da ¥- kesrinin diferansiyelini elde etm ek için doğru olarak kullamz lıyor. x, y, z, t, u vb. x ’t eşittir ve m kez alınmıştır varsayımı ile, §.17' de y = x” kuvvet fonksiyonunun diferansiyeli artı (positive) m ıçm d . x y z t u vb. _ dx , dy | dz + dt f d i } yb xy zlu vb. x y z t u

(9)

formülünden elde ediliyor. § .1 8 'd e bir kuvvet fonksiyonunu doğru olarak farklılaştırm aya uygun formülü içeriyor. §.l9'da, diferansiyel sem bollerle işleme uygun formül kullanılarak (problemi önceki durumlarla ilişkilendirerek) kesirli ve eksi üslü örnekler­ de doğru olarak gösteriliyor. § .2 0 ’dc, bir kuvvet [fonksiyonunun diferansiyeli, N cwton’un ikile­ rindi teoremine göre, (x + h T 'nin açılımıyla elde ediliveriyor. Boucharlat'nm ders kitabının üçüncü, M arx’in İngilizce çevirisini kullandığı basımında, "Farklılaştırmanın güvenilirliğini kanıtlayan düşün­ celer..." başlığı ile başlayan eklerde bir "ikinci Not" vardır. Bu yorum Marx'm özel dikkatini çektiği için metni burada (kısmen) veriliyor: "Önceden gördüğümüz gibi, trigonometri formülleriyle bulunuveren çembersel fonksiyon diferansiyelleri sayılmazsa, bütün öbür birterimli diferansiyelleri, örneğin x m , a x , l o g x vb. yalnız ikilerindi teoreminden çıkarılmaktadır. Doğru, üstlü formüllerde A sabitinin belirlenmesi sırasında MacLaurin teoremine başvurm uş­ tuk, ama ondan vazgeçebilirdik." Daha sonra, sonsuz serilerin modem görüş noktasından hiç de sağ­ lam dayanaklı olmayan biçimsel işlemleriyle bunun nasıl yapılabildiği gösteriliyor ve ondan sonra Boucharlat şu sonuca varıyor "Bundan şu sonuç çıkıyor ki, bütün farklılaştırma ilkeleri yalnız ikilerindi teoremine dayanıyor ve bu teorem, cebir öğelcriy17 8

le, olanaklı bütün özenle kanıtlandığı için, ilkelerimizin sağlam bir tabana dayandığına karar verebiliriz." (s. 362) Dolayısıyla, bellidir ki, Boucharlat Lagrange'm "cebirsel" diferan­ siyel hesapla ilgili görüş noktasına bağlı kalıp onu lim it kavram ının yardımıyla iyileştirmeyi denemiştir. A m a onun "iyilcşlirme"si şu olguya indirgenmiştir: Lagrange o zaman henüz sağlam dayanaklı olmayan limit kavramından sakınmak isteyip f(x ) türevini basitçe, A, B, C , ... vb.nin x fonksiyonları olduklan f( x + h ) = f ( x ) + Ah + B t f + Ch? + ...

(1)

açılımında ilk h kuvveti olarak tanımlamıştır; oysa Boucharlat aynı türevi ("diferansiyel katsayısı"nı) limite geçişle "açmıştır"; ne var ki bu, sonunda (1) denkleminden tümüyİc biçimsel olarak türetilen f [ x + h) - / [ x ) _ A + B h + C h 2+ h

(2)

anlatımında basitçe h = 0 almaktan başka bir şey değildir. Boucharlat hiç­ bir "limit" kavramı tanımı veya onunla ilgili herhangi bir yorum verme­ miştir. Lim itin, değişken bir niceliğin sonsuz olarak (yani bir son değeri olmayarak) yaklaşmasının son değeri olduğu anlamında üstü kapalı sözler­ le yetinmiştir. Doğaldır ki böyle bir limit kavramı Marx'a yetemezdi.

179

EK -VI MARX'IN KULLANDIĞI KAYNAK KİTAPLARDA TAYLOR VE MACLAURÎN TEOREMLERİ VE LAGRANGE'IN ÇÖZÜMSEL FONKSİYONLAR TEORİSİ

1) Bu teoremler, Lagrange'ın yakından bağlantılı çözümsel fonk­ siyonlar teorisiyle birlikte, Marx'in özel dikkatini çekti ve Marx daha uzun, daha önemli bir dizi elyazmalarını onlara ayırdı (bkz. elyazm alan 4 000,400 1 ,4 3 0 0 ,4 3 0 2 [çevrilmemiştir]). Bu elyazmalarını, hele Marx'in düzeni üzere defterlerde Taylor teoreminin kanıtlamasına yönelttiği eleşti­ riyi anlamak için, bu kanıtları ve Lagrange’ın onlara uyan düşüncelerini bilmek gereklidir* Taylor Teoremi, İngiliz Matematikçi Brook Taylor'un (1685-1731) 1715'le Londra'da yayımlanmış Melhodus incremenıorum direeta et inversa adlı kitabında, 7. önerme olarak gerçekten yer alır. Aslında, Taylor bu sonucu öğretmeni John Machin'e 1712'de bir mektupla bildirmiştir. "Tay­ lor Teorcmi"ne bu ad, ilkin Condorcet'nin Fransız Ansiklopedisindeki (EncyclopMie m ithodixue) "Yaklaşımlar" (Approximations) adlı makale(♦) Kaynak olarak şunları kullandık: M. Cantor. Vorlesungen über Geschichle der Mathemaıik, 2. basım, C. 3, ss. 378-382; D.D. M ordukhai-Boltovskoi, "Kommenlarii k "Metodu raznosıeei" ("Farklar Yöntemi" Üstüne Yorum) Isaak Nyulon, Matematicheski Roboli adlı kitapta, M oskova/Leningrad 1937, ss. 394-396; M. V. Vygodskii, "Vstupitcl"noc slovo k "Differenlsial'nom u ischislcniyca" L. Eilcra" (L. Eulcr'in "Diferansiyel Hcsabı"na Giriş) L. Eulcr, Diferantsial'noe ichislenie kitabında, Moskova/Leningrad, 1949, ss. 10-12: G. Vilcnitncr, Isloriya matemaliki ol Dakarla do serediny XIX stoleliya, Moskova, 1960, ss. 138-140; O. Bcckcr & J. E. Hof­ mann, Geschichle der Mathemaıik, Bonn, 1951, ss. 200-201, 219; G.G. Tscitcn, I s ­ loriya matemaliki v XVI i XVII vekakh, M oskova/ Leningrad, 1938, ss. 412, 445; D. Ya. Sıroik (Dirk (Slruik) Kralkii oeherk istorii matemaliki, Moskova, 1964, No. 153-154. Daha çok kaynak yazı için M. Cantor'un kilahına bkz. ss. 378-382.

180

sinde verilmiştir. 1786’da, Berlin Bilimler Akadcm isince ödüllendirilen Exposition elem enıaire des c.alculus superieure adlı kitabında bu adı Simon Lhuilicr de kullanm ıştır (Tez, Akademinin açtığı bir yarışma do­ layısıyla sunulmuştur). O zamandan beri bütün matematiksel çözümleme elkilaplanna giren bu teoreme hiç kimse başka bir ad vermemiştir. Bunun­ la birlikte, şimdi biliyoruz ki, İskoç Matematikçi Jam es Gregory bu teore­ mi önceden, 1671-72 yıllarında bulmuştur. Gregory de, Taylor da, "Taylor Teorcm i"nc sonlu farklardan yola çıkarak yaklaşmışur. Bu noktada Taylor, kendisini doğrudan doğruya Newton'un içdeğerleme (interpolation) formüllerinin bilinerek tümüyle bulanık bırakılmış açıklamasını konu edinen probleme vermiştir. Newton, teore­ mini, bağımsız değişkeni önce (sonlu) bir artımla sıfırdan farklılaştırıp ar­ dından -bir dizi dönüştürmeden sonra- "sonsuz büyük sayıda parçalara böle­ rek" sıfıra geri döndürmekle elde etmiştir. Taylor'un aşırı sıkıcı işaretleme­ si yerine daha modem bir işaretleme kullanırsak, kanıtlama aşağıdaki gibi olur: y = f(x ) olsun. Burada x, Taylor'un söylediği gibi, "birbiçimli" (uniform ly), yani, ardışık x, x + Ax, x + 2Ax, ... , x + nAx = x + h değerlerini alarak değişen bir değişkendir. Buna karşılık olan f(x ) değerleri y (veya y 0 ), y , , y2 y n olsun. y k . , ile y k (k = 0 , 1 n - 1) arasındaki ardışık farklar (birinci sıranın (order) farkları) Ay , Ayı ,... Ayn . t olsun; bu farklar arasındaki farklar (ikinci sıranın farkları) A2y , A2y j

A?yn . 2 ' dir; vb. Bütün bunları gözümüzde canlandırmak için

şematik biçimde yazalım: x

x + Ax

y

>ı

x + 2Ax

y2

Ay

Ay, A y,

Ay

>3

y»

Ay2 2

2

x + nAx

x + 3Ar

Ay„. ı 2

A y „ .2

3

A y

A y n-3

181

Öyleyse, bellidir ki:

yı = y + ^

,

y2 = yı+Ayt ,

Ay j = Ay + A y ,

y 3 = y 2+ A y 2 ,

Ay 2 = A y , + A y ı ,

A ^ =

A2y + A y ,

Dolayısıyla, daha sonra şunu elde ederiz: f t x + Ax)

= y i = y + Ay ,

f[ x + 2Ax) = y 2 = (y + Ay) + (Ay + A2y) = y + 2Ay + 2 2 /( x + 3Ax) = y 3 = (y + 2Ay + A y) + (Ay + A y)

AO' ,

2 3 + (A y + A y )

= y + 3Ay + 3A2y + A?y ,

Genel düzenliliği gözleyerek, Taylor bundan şu sonucu çıkanr: f i x + >ıAx) = y + nAy +

A2 1 .2

+

£y 1.2.3

+ ...

+ Ay ,

(1)

Bu ise, Newton’un içdeğerlcme (interpolation) (eşil aralıklar boyunca içdeğcrlemc) formülüdür. Bunun, Newton'un ikilcrimli teoremine benzer­ liği, özellikle Ay , Ay * , . . . , Any açılım ında katsayıların kesinlikle aynılığı olgusu şaşırtıcıdır. nAx = h koyarak (Taylor h yerine v kullanmışur) şunu elde ederiz: n —

h

_ 1 ı

^

^ _ h - Ax *

i

“

...

182

_ ^ _ h - 2Ax

»

n • 2. —

>

, n - (w - 1) = f t . - f r . l i l * * . Ax

n, (n - 1 ) , (n - 2 ) , . . . 'e uygun bu değerleri form ül (l)'e koyarak Taylor (bizim işaretlememize göre) şunu elde eder. Â x + h ) = y

W -.M

+ h * L +

Ax

1 .2

&

^2

+ h ( h - û x ) (h - 2Ax) 1.2.3

A?y + . 3 Ar

^

son terimi bile yazmamış ise de, h(h - Ar) (h - 2Az) . . . ( h - (n - 1) Ax) 1 . 2 ... n

Any „ Ajc

Şimdi h 'yi saptanmış, n ’yi gerçeklen sonsuz büyük ve Ax 'i ger­ çekten sonsuz küçük ("sıfır") varsayarak ve bunun ^ L 'i (Leibnilz'e göre Ajc O- )

dx

birinci y

fluxionuna,

'yi (Leibnilz’e göre İ t

A Z

)

ikinci yy

„2 dx2

a

j

Ajc''

fluxionuna dönüştürdüğü sonucunu çıkarır vb. Bu, formül (2)'yi şuna f( x + K) = y + yA + y

h2

1. 2

. + y

A3

1 . 2.3

yani Taylor serisine dönüştürür. Böylece, sonlu farklarla bile başlayarak ve sonra onları "ortadan kaldırarak", Taylor gerçekten sonsuz büyük ve gerçekten sonsuz küçük ni­ celiklerle ve fluxionlar hesabının sembolik formülleriyle, onların herhangi bir "gerçek eşdeğer"i olup olmadığını düşünmeden ve doğal olarak, elde edilen serinin yakınsamasını (f(x + h) değerine bile) göz önünde tutma kaygısı duymadan, tıpkı Newton ve Leibnitz tarzıyla işlem yapar. Taylor Ncwton-Leibnilz çekişmesinde Ncwton'un ateşli bir yandaşı olmakla ve bu yüzden Lcibnilz'in işaretlemesini (notation) hiç kullanmayıp ondan 183

alınlı bile yapmamakla birlikte, Euler'in kanıtlamayı* Lcibnit/.'in anlatı­ şıyla sunmasının gene de raslantı olmadığı burada belirtilmelidir. D.D. Mordukai-Bolıovskoi'nin belirttiği gibi, Taylor özünde, Newton fluxionlarını Newton'un görüş açısından, yani sonlu farklar bakımından değil, Lcibnitz'in görüş noktasından düzenlem iştir (bkz. Yanovskaya, 1968'de alıntılanmış Kommenlarii, s. 396). MacLaurin Teoremi'nin tarihine gelince, onun önceden, Taylor'da, teoreminin x = 0 'daki özel bir durumu olarak ortaya konduğu her şeyden önce belirtilmelidir. MacLauriıı'den farklı alarak, bu teoremin kullunımıyx

.

X

X

la daha kolay elde edilen açılım lar için, a , sın —, cos — için, Taylor' a a un "MacLaurin scrisi"ni hiç kullanmadığı doğrudur. Bundan başka, "cebirsel açılım"ı doğrudan doğruya MacLaurin'den aldığını özellikle anan M arx'in elyazmalarına göre, MacLaurin Teoremi' nin Boucharlat'nın ve Hind'in ders kitaplarında sunulan (belirsiz katsayılar yöntemiyle) kanıtlamalarının MacLaurin'in kendisinin olduğu da belirtil­ melidir. Teoreme adı verilmiş yazardan böyle doğrudan doğruya alma, do­ ğaldır ki, Taylor Teoremi dolayısıyla da olabilir. Marx'in tarihsel taslağı hazırlarken düzenlediği kayhakça listesi, Taylor'un yapıtını aslından oku­ maya karar verdiğinin görünür kanı udu-; ne var ki, bu niyetini gerçekleşti­ rememiştir.

2) Marx’in elyazm ası 4302'dc Taylor Teoremi'nin kanıtlama eleştirdiği aynı düzeni Boucharlat'nın ders kitabında da görüyoruz (J. -L. B'Hıcharlat, Elemens de calcul differ entiel, 5. basım, Paris, 1838; Marx, besbelli, başka bir basımdan yapılmış İngilizce çeviriyi kullanmıştır). Ş}.30'da (pp. 19-20) -yeri gelmişken söyleyelim ki, üçüncü ax3 türevi olarak 6a elde ettikten sonra, "Burada farklılaştırm a artık ola­ naksızdır; çünkü 6a sabittir" dediği yerde (p. 20)- ardışık farklılaştırma problemini belirledikten sonra, Boucharlal, Taylor Teoremini kanıtlanmış

(*) Eulcr, gene de, Taylor Teorem ini Taylor'u i/.Icycrck kanıtlar. Bkz. L Euler, Differential Calculus, chapter 3, "On the Approximation of finite Differences”, § § 4 4 - 48.

184

varsayarak (sonra, Ş& 55,57, pp. 34-37'dc kanıtlar) MacLaurin Teoremine geçer (§ .3 1 , pp. 20-21). Önceden söylendiği gibi, Boucharlat, MacLaurin Teoremi'ni MacLaurin'in kendisini izleyerek kanıüar. Bununla birlikte, görünüşte onun yapılını okumam ıştır. Gerçekle, "M acLaurin T eorem i” adı dolayısıyla, Boucharlat ”G. Peaeock'ın belirttiği gibi, bu teoremi G. Stirling 1717'dc, demek ki MacLaurin onu kullanmadan önce bulmuştur", diye yazar; ama, önceden belirttiğim iz gibi, M acLaurin, T aylor’un teoremi önceden bul­ duğunu tümüyle onaylar. Boucharlal'nın kanıtlamasını -varsayılmışların doğruluğu konusun­ da bir tek soruya yer vermeyen, gözden geçirilen serinin yakınsamasını an­ mayan kanıtlamasını- aşağıda, nerdeyse harfi harfine çevirerek sunuyoruz: ”y bir x fonksiyonu olsun; onu x ’!i terim lere göre açalım ve y = A + B x + Cx2 + Dx3 + Ex* + vb.

(16)

olduğunu varsayalım; farklılaştırarak ve dx 'e bölerek şunu elde ede­ riz:

dx

İl

= B + 2 C x + 3D x 2+ 4£jc3 + v b . ,

=

2C + 2 . 3D x + 3 . A Ex

+ vb.,

dx

İl

=

2 . 3D + 2 . 3 . 4 E x + v b . ,

dx3

185

x = 0 iken y 'yi (y) 'y e , * = 0 iken & dx M * = 0 iken

ıh '

'yi
| ’ye dönüşmüş gösterelim, \d x 2 ,

Yukarıdaki denklemler bize şunları verir:

bundan şunları çıkarırız:

bu değerleri [formül, -ç] (I6)'ya bölerek

’ ■ - e K

t e h ^ t e )

*3 +

elde edeceğiz ki, bu da MacLaurin formülüdür."

Sonraki§§.32-34’le (pp. 21-22) MacLaurin formülüyle

y =

-— , a+ x

için açılımlar bulunur.

186

y = V a 2+ b x ,

y = (a + x f

(17)

Bu yolla, üçüncü örnekte, ikitcrimli teoremi M acLaurin Teoremi'n den türetilir. Boucharlat'nm ders kitabının elim izdeki beşinci basımının "Newton formüllerinin diferansiyel hesapla kanıUanması" başlıklı birinci ekinde Newton'un ikitcrimli teoreminin (artı tam sayı kuvvetleri için) do­ laysız bir türetimi, ardışık farklılaştırm alar ile verilir. Bu, aşağıdaki gibi yapılır: Boucharlat (1 + z f 1’nin açılım ıyla başlar; ondan, (a + x )m için ge­ rekli açılım , z = — konarak elde edilir. Varsayınız ki, der, a (1 + z)m = A + B z + C22 + Dz3 + E z* + ...

(1)

x = 0 koyarak -4 = 7, sonuç olarak da (1 + z)m = 7 + B z + Cz2 + D z3 + £z* + ... elde eder. Sonra, bu denklemin iki yanını z 'ye göre farklılaştırıp m (] + z)m / = B + 2C z + 3Dz? + 4Ez3 + vb. bulur. Bu denklemin herhangi bir z için geçerli olduğuna göndermede bu­ lunarak, Boucharlat z - 0 koyup bu yolla m - B elde eder. Bir kez daha farklılaştırıp gene z = 0 koyarak m(m - 1 ) = 2C elde eder. Bundan ç

_

m (m - 1)

2 bulduktan sonra şu sonucu çıkarır: "Arta kalan bütün katsayılar aynı tarzda belirlenir ve değerleri denklem (l)'c konup bu denklem

(1 + z)m = i + mz + ^ i > z 2 + / » ( m -B (m - 2) 23+ vb. yc v

1 . 2

1 . 2 . 3

dönüştürülür (pp. 491-492). 187

3) Boucharlat, Taylor Teorem i’nin belirsiz katsayılar yöntem kanıtlanmasını da gösterir. Bu durumda, yalnızca çok değişkenli keyfi bir fonksiyonun, değişkenlerin herhangi birinin bir kuvvetler serisine açılabil­ diğini varsayar; ama bu açılımın tek (eşsiz) olduğunu, yani, böyle herhan­ gi iki (bir ve aynı değişkenin kuvvetleriyle) açılımın katsayılarının eşit olmak gerekliğini düşünür. Bu, belirsiz katsayılar yöntemini uygulamayı olanaklı kılar. Bu olanağa, yani, bir ve aynı fonksiyonun iki açılımının katsayı­ larını karşılaşurm a olanağına kavuşmak için, Boucharlat,/(.r + h) türevle­ rinin x 'e ve h 'ye göre eşit olduklarını öne süren bir yardımcı önerme (lemma) ile işe başlar. Marx elyazması 4302'dc (bkz. Yanovskaya, 1968, s. 540 [çevrilmemiştir]) bu yardımcı önermenin Boucharlat'nm ders kita­ bındaki kanıtlam asını beğenmediğini dile getirdiği için, bu kanıtlamayı öğrenmeden elyazm ası 3888'in 41-42. sayfalarını anlama olanağı da bu­ lunmadığı için, onu buraya tümüyle alıyoruz: "Bir x fonksiyonu olan y ’de x değişkeni x + h 'ye değişirse, hem x değişken h sabit iken, hem h değişken x sabit iken aynı di­ feransiyel katsayısını elde ederiz. "Bunu göstermek için y = f(x ) denkleminde x yerine x + h X\ * koyup yj = f(x ) elde ederiz; f ( x x) diferansiyeli
1 88

cty] =
bulup ondan Ş 1 = dx

+ h)

(35)

elde ederiz. "ö le yandan, x sabil h ise değişken olunca, d(x + h) çarpanı dk 'ye indirgenir ve dyj =
(36)

elde edeceğiz; bu iki
dx

dh

buluruz." Bunu izleyen §.56 'da, Boucharlat, bu yardımcı önermenin kap­ samına yüksek sıralı (order) türevleri alır ve §. 57'de bunu Taylor Teoremi’ni kanıtlamak için kullanır. Bu kanıtlamaya, her fonksiyona uygulana­ bilen ve kendisinin "başlama denklemi" (37) saydığı -Marx'in da o adı verdiği- denklem üstüne şunları söyleyerek başlar: "y, bir x + h fonksiyo­ nu olsun; varsayalım ki, bu fonksiyonu h kuvvetlerine geliştirince yı = y + A k + Bh? + Ch3 + vb. elde ediyoruz. Burada A ,B , C , ■*fonksiyonlarıdır.”

(37)

henüz belirlenmek gereken bilinmedik

1 89

Denklem (37)'yi h 'ye göre ve x 'e göre farklılaştırarak ve böylcce — = A + 2Bh + 3C h2 + v b . , dh

d2 l = £ dx

+ dA h + dB kz vb dx

dx

dx

elde ederek, Boucharlat, yardım cı önermeye göndermede bulunarak, iki eşitlikte karşılıklı durumdaki h kuvvetleri katsayılarını birbirine eşit koyup böylcce A, B, C , ... y katsayıları için gerek duyduğu anlatımları ve y 'nin ardışık türevlerini elde eder. Marx, bu kanıtlamayı MacLaurin Teoremi'nin yukarıda sunulan kanıtlamasıyla karşılaştırdığı elyazması 3888'dc (yaprak 55-56; M arx'in num aralandırm asıyla s. 50-51) bir vesileyle an­ latır. Elyazması 4302'dc, bu kanıtlamayı önce ilk varsayımı dayanaksız olduğu için eleştirir. Boucharlat'nm kitabında sonraki § § -5 8 -6 1 ,/(jc) 'in V I , sin x, cos. x, log x 'e eşit olması durumunda, f ( x + k) 'nin Taylor formülüyle açılımlarının örneklerini içerir. Elde edilen serilerin yakınsaması ile ilgili sorular anılmaz bile. Taylor serilerinin uygulanamaz olduğu durumlar ki­ tabın yalnız birinci (diferansiyel hesaba ayrılmış) bölümünün en son pa­ ragrafında ve küçük harflerle basılmış olarak dikkate alınır. Taylor Teoremi ve uygulamaları üstüne olan kesimin sonuca va­ rılan §. 62, M acLaurin Teorem i’nin Taylor Teoremi’ne dayanan bir kanıt­ lamasına ayrılm ıştır. M arx, elyazm ası 3888'de bu kanıtlamayı tümüyle alınlılar (bkz. yaprak 56-57; Marx'in numaralandırmasıyla s. 51-52).

190

NOTLAR

N O TLAR [A şağıdakiler, bu basım ın 1-134. sayfalarını kapsayan 1968 Rusça basım a (Y anovskaya, 1968 diye gönderm e yapılıyor) konan notların eksik­ siz ve kısaltılm am ış b ir çevirisidir. Ç evirm enin y o ru m la n köşeli ayraçlar içinde gösterilm iştir. -Ed.]

1.

Bu elyazması 1881 'de Engels için yazıldı. Marx'in tasarladığı, diferansiyel he­ sabın doğası ve tarihi üsltinc düşüncelerinin sistemli bir yorumuna ayrıtmış bir dizi elyazmasının ilkidir. Marx, bu çalışm ada, kendi cebirsel farklılaştırma kavramlarını ve belirli çeşitten fonksiyonlar için türevi bulmaya uygun algo­ ritmaları sunuyor. Elyazmasının konduğu zarfın üstünde Marx'in clyazısıyla şu not vardır: "General için". Bu, Marx ailesinin, askeri sorunlarla ilgili makale­ leri dolayısıyla E ngelse taktığı addır. Engels, clyazmasını inceleyip bilgilen­ dikten sonra, 10 Ağustos lS 8 !’dc, Marx'a bir mektupla yanıt verdi (bkz. s. XXXI). Elyazmasının yayımlanmış Almanca metni, Marx'in metnini ayrıntılı olarak yineler. Hazırlık niteliğindeki kimi gereçler (taslaklar ve ekler), Ya­ novskaya, 1968'in 473. sayfasında yayımlanmıştır. Yayımlanmamış taslaklar­ dan çeşitli parçalar dipnotlarda verilmiştir. Elyazması ilkin 1933'lc, Rusça çe­ virisiyle, M arksçtlık ve B ilim (M arksizm i esıesıvoznanie) d e rm e s in d e , Moskova, Partizdat, 1933, s. 5-11; ve M arksçtlık Bayrağı Atlında (Pod znomenem marksizma) Dergisinde, No. 1, 1933, s. 15 ve sonrası; yayımlandı (tü­ müyle değil). Bu, Almanca olarak ilk yayımlanmasıdır. - s. 3

2.

Türevlerle ilgili gösterim lerin karışıklığa yol açm asından sakınmak için, değişkenin yeni değerleri için Marx'in kullandığı işaretleme x ' , y ' ,... yerine, burada ve bütün benzer durumlarda x t , y t ... kondu. Marx'in yararlandığı kaynaklarda salt (mutlak) değer kavramı yoktu. Bu yüz­ den, Marx, sık sık (görünüşe göre, kesin olmak için), yalnız değişkenin değe­ rindeki artmayı göz önünde tutar, ama bazen (bkz. : Elinizdeki kitap, s. 107 ve Yanovskaya, 1968, s. 514) artı veya eksi h artım lı (increm ent) "x a rtm asfndan da söz eder. - s. 3

3.

Marx’in başvurduğu kaynak kitaplarda benimsenen terminolojiye uygun kalına­ rak, burada, sonlu bir fark, hep sıfır olmayan bir fark olarak anlanıyor. - s. 4

4.

Marx, her denklemde her zaman simetrik roller oynamayan iki yanı (şimdi iki parça diyoruz), sağ yanı ve sol yanı ayın eder. Denklemin sol yanına, sık sık, "veya” bağlacı ile birleştirilmiş farklı iki eşdeğer koyar. - s. 4

193

5.

Marx'in elinin alımdaki matematiksel yazında "limit" (bir fonksiyonun limiti) teriminin iyi tanımlanmış bir anlamı yoktu ve limit, pek çok zaman, genlik'in (argument) sınırlandıran değerine yaklaştığı sonsuz bir işlemin sonunda fonk­ siyonun gerçekten ulaştığı değer olarak anlanıyordu (bkz. Ek I, s. 138-139). Marx, " 'Limit' ve 'Limit Değer'Terimlerinin Belirsizliği Üstüne" (s. 119-122) adlı elyazması ile,bu eksikliklerin eleştirisine bütün bir kabaca yazılmış tas­ lak ayırdı, önüm üzdeki elyazmasında, Marx, "limit” terimini özel bir anlamda kullanır: Bağımsız değişkenin tanımlanmamış olduğu değerler için, onıanınıla verilm iş anlatım . M arx'a göre, "hiçlenmiş veya sıfıra eşitlenm iş farklar" 0 oranının, yani, sr 'm sembolik anlatımı olarak yorumlanan oranlan 0

Ay —A (Ax = Az

0 'da bu, — 'a dönüşür) ve — , böyle anlatımlardır. — oranına gelince, 0 de Ax Marx (kavramın Hind ve Lacroix'deki tanımlarından belirli bir ölçüde etkilen­ miştir, (bkz Ek I, s. 137) bunu, Ac * 0 iken özdeş olarak bu orana eşit, ama oran

—

'a dönüşünce süreklilik ile önceden tanımlanmış bir anlatım olarak

0

anladı. Dolayısıyla, o zaman, "limit" "ilk türev" olmak gerekir (bununla ilgili olarak bkz. s. 6 ve not 7). Marx, bunu örnek göstererek, y = ax} oranı üstüne şunu yazar (s. 6 ): " 'Ek Ax Türev' a(Zj + X]X +jt ) + bixy+ x) + c .burada bir sonlu farklar oranının limiti + bx2 + cx + d 2

durumunda, 2

olarak görünür, yani, farklar ne denli küçük olursa olsun,

^ Z değeri burada Ax hep bu 'türev' ile belirlenecektir." [Marx’in bu tümcesi, asıl metinde buradakinden biraz farklıdır, onun için, okur, çevirilerinin de farklı olduğunu görecektir. -Ç.] Daha sonra (s, 7’de) Marx, x j = x koymak, yani Ac = 0 koymak, lim i­ tin "son türevini" vererek, "bu limit değeri salt (mutlak) en küçük değerine in­ dirger", der. Buna benzer biçimde, bu elyazmasında, Marx, "farklar oranının limiti" ile, bu orana uygun değeri sağlayan "gerçek" ("cebirsel" -bkz. not 6 ) anlatımı, başka bir söyleyişle, türetilm iş fonksiyonu amaçlar. Bununla birlikte, Marx,

dy

— = / ’(x) denkleminde, "iki yandan hiçbiri öbürünün limit değeri de­ tir ğildir. Onların birbiriyle lim it ilişkisi yoktur; tersine, bir eşdeğerlik ilişkisi vardır" diye yazar (bkz. s. 122). Ama burada, "limit" (ve "limit değer") kav­ ramını, bugün benimsenene yakın, başka bir anlamda kullanır. Marx, "salt enküçük anlatım" terimini (bkz. örneğin, s. 121), başka bir parçada (bkz. s. 69), onun, Lacroix’nin ona verdiği ve matematiksel çözümlemeler için büyük önem taşıdığı anlamda, limit kategorisiyle değiştirilebilir olduğunu yazarken, çağdaş

194

lim il kavramına daha da yakın bir anlamda kullanır (L 3croix'nın tanımı için bkz. s. 144-147). - s. 4

6.

Marx, "ceb irserd cn , türevin de, diferansiyellerin de sem bollerini içermeyen herhangi bir anlatımı anlar. "Cebirsel anlatım" terim inin böyle kullanılması, XIX. yüzyılın başlangıcında karakteristikti. Marx, "x fonksiyonu" ile "x 'li fonksiyon", yani, bir k a rşılık lım a (correspon­ dence) olarak fonksiyon ile bir anlatım olarak fonksiyon kavram larını, sık sık, ayırt eder (bkz. Yanovskaya, 1968, s. 506). Önüm üzdeki elyazmasıııda, Marx, pek çok zaman, basitçe "x fonksiyonu (die Funklion x [İngilizceye "the function of x ' diye çevrildi])” diyerek, bu tanıma sıkıca bağlanmaz; belki de ka­ fasında, her zaman, yalnız belirli bir "cebirsel anlaiım " ile verilmiş fonksi­ yonlar olduğu için böyle yapar, y 'n in bağımlı değişken, f(x) 'in de x değişke­ ninin onda görünmesi dolayısıyla bir çözümsel anlatım olduğu y = f(x) denkle­ mi aracılığı ile, y bağım lı değişkeninin değerini x bağım sız değişkeninin değerine ilişkili kılarak bir karşılıklaşma (correspondence) sağlar. - s. 6

7.

Marx'm cebirsel farklılaştırm a yönteminin özü, (x t = x iken anlam ı olan) sonlu farklar oranı

W -fc )

(1)

x t -x süreklilik aracılığı ile (x, = x için)

yaptığı öntanımından

oluşur. Bu amacı

anımsayarak, her x x = x için ( 1) ile çakışan ve x t —» x gibi sürekli olan

ilk türetilmiş fonksiyonu; oysa, x 4 = x varsayımı altında,


edilen
m -m

....

= / (*) •

X \ mX 4

Farklılaştırma işleminin kendileri için tanımlanmadığı ünlü fonksiyonlar daha Marx zamanında vardı (bkz. Elinizdeki basım, s. 115 [ve not 85, s. 211)).-s.6

8.

Marx, burada, fonksiyonun elinin altındaki matematik kitaplarında tipik olan bir seriye biçimsel açılımım gösteriyor, böylcce elde edilen serinin sorunlarını ve fonksiyonun değerinin parçasal (partial) toplamların limiti ile uyuşmasını bir yana bırakıyor. - s. 11

195

9.

: Elyazmasında "sonuç olarak" anlam .ja kullanılmış bir sembol. - s. 11

10.

"Bütünleyici" denen m etin, elyazmastna iliştirilmiş vc bağımsız olarak num a­ ralanmış 1. ve (arkası) 2 . sayfalarıyla ayrı b ir yaprağın içeriğini kapsar.-s. 12

11.

Sonlu farklar denklemi ile Marx, açıkça,

A*ı) - to = t o t o «ptoto biçiminin bir anlatımı demek ister. Bkz. Kot 7. - s. 12 12.

Bu noktada S[amuell Moorc, kurşunkalemle şunu yazdı: "Nichl der Fail, diese Factoren sind x, - x - J, x, - x - 2, vb." (Bu çarpanların Zj ■x - 1 -x -2 , vb. olduğu durum değil".) Belli ki, Marx burada (x l - x) çarpanlarını değil, tersine, *ı - x anlatımını amaçlar vc demek ister ki, x t - x farkının ilk türe­ ve uygun anlatımda saklı duran sıfıra dönüşümü, İkinciyi anlamdan yoksun bırakmaz. - s. 12

13.

Elyazması 1881'den kalmadır. Elyazmasına iliştirilmiş zarfın üstüne "II Fred için" (II Für Fred) yazılmıştır. Marx, bu elyazmasına "ikinci bölüm" der (bkz. s. 33); çünkü onda, matematiksel inceleme sürecinde vardığı görüşleri ortaya koymayı sürdürür. Engels clyazm asını S[amuelJ M oore'a gösterdi ve onun görüşlerini 21 Kasım 1882 tarihli mektubuyla (bkz. : s. XXXIV) Marx'a iletti. "Diferansiyel" üstüne adlı elyazması, ilkin, Rusça çevirisiyle 1933’tc, M arksçılık ve Bilim (Marksizmi esteslvoznanie) detmesinde, s. 16-25; ve M arksçılık Bayrağı Alımda (Pod znamenem marksizma) Dergisinde, 1933, No. 1, yayım ­ landı. - s. 15

14.

Marx burada, böylece, u ve z fonksiyonlarının, sonradan açıklık kazanacağı gibi, farklılaştırılabilir x fonksiyonları olan

u = f(x), z =
tanımlandığını varsayar (burada f(x) ve
196

J5.

Burada, diferansiyel hesaba özgü türev ve diferansiyel sembolleri amaçlanıyor. - s. 16

16.

XV11I. - XIX. yüzyılların yazınında, lüreve çoğu zaman "diferansiyel katsayısı" denir. Bu, açıkça, f(x + h) anlatımının bir h kuvvetleri dizisine açılımında, x bağımsız değişkeninin h artımının birinci kuvvetinin katsayısı olarak türevin tanımıyla ilişkilidir. "Gerçek” sıfatı, f '( x ) için kullanılan anlatımın diferansi­ yel hesaba özgülenmiş hiçbir sembol içcıtııcnıcsi olgusuna göndcrm cdir.-s.l 6

17.

Sıfır ile çarpmanın bir sonucu olarak "u ve z değişkenlerinin kendilerinin sıfıra eşit olması" biçimindeki bu konuşma, Marx zamanında, sayılarla ilgili işlemlerin sayıların kendilerini değiştirdiği yolundaki düşüncelerin hâlâ yaygın olmasıyla açıklanır: Artı h sayısının a ile toplanması, "a sayısını artırır", a 'nın 0 ile çarpılması, "a sayısını sıfıra değiştirir", vb. Bu düşünceler, ancak XX. yüzyılda bilimsel bir tabana oturtuldu. - s. 17

18.

"Çünkü hiçlemeye (nullification) keyfi olarak pay veya payda ile başlayabili­ riz" sözü, belli ki, x = a 'da jj.

olan ve dolayısıyla her anlamı yitiren

biçim inin bir öntanımı, x = a için farklı birtakım yollardan saplanabilir an­ lamına geliyor, öntanım da, bayağı kesrin payda sıfıra eşil olunca onu sıfıra eşit kılan özelliğini korumak istersek, o zaman Bu durumda "hiçlemeye payla başlamak",

M

değen sıfır olmalıdır.

'yı basitçe sıfıra eşitlemek dc-

«GO m ektir. Bununla birlikte, 0 paydalı bir kesir olmadığı için, "hiçlemeye payda ile başlamak", sıfır paydalı bir bayağı kesrin özelliklerinden herhangi bir şeyi öntanımda alıkoymayı olanaksızlaştırır. Ama, bütün z ^ a i ç i n ve a -— =
= a (x ), g(x) ise, o zaman, -—- 'yı
ya eşitlemek doğaldır. Payda sıfıra yöneldiği için pay da sıfıra dönüşürse, o zaman, "hiçlemeye payda ile başlamak" sözü, doğal olarak şunu gösteriyor gibi açıklanabilir: Yukarıda anılan tarzda, yani, "sürekliliği kullanarak" önıanım yapınız. Marx'in kullandığı kitaplarda, Lacroix'nin büyük Traiti 'sinde bile, f(a ) = g(a) = 0 durumunda, ^Ü-L= ç(a) ,

denkleminin korunması, gcnel-

de, ne lürctilcbildiğinden bağımsız düşünülüyordu; bu, "bütün gerçek sayılar'tn sürekliliği ile ilgili metafizikse! yasanın zorunlu bir sonucuydu. - s. 18

197

19ı

Meuıin burasında bir kalem sürçmesi vardır: x = a yerine, * 2 = a 2 görünm ek­ tedir. Biri, besbelli Moore, bunu gördükten sonra, düzelteceği yerde, kurşunka­ lemle şunu eklemiştir: "undda x2 = a 2 . , x = ± a = 2 veya 0," yani "ve m a­ demki x2 = a2 , öyleyse x = ± a , \P(x + a) dolayısıyla] = 2Pa veya [=] 0". Ne var ki, böyle bir yorum, sözün bütün gelişiyle açıkça uyuşmuyor. - s. 18

20 .

Marx, burada, bir sonlu farklar oranından türeve geçişle elde edilen lalımına,

Ax ı) - Ax)

-------------- 'e karşılık olan *1 - x

yı

-

dy — dx

an-

y

—1------- ’e uygun sem bolik diferansiyel - x

anlatım demektedir. - s. 19 21.

Bu, görünüşte, bağımlı değişken yeğlemenin zorunlu olarak saptanmadığı; u ' nun da, z 'nin de bağımlı değişken olarak kullanılabildiği durumla ilgilidir. Ge­ nelde, « ve z bir ve aynı bağımlı değişkenin birbiriylc değiştirilebilen fonksi­ yonları sayılabilirse, o zaman, u ile z 'den biri için bir değer belirlemek, ba­ ğımsız değişkenin değerini v e doğal olarak, öbür fonksiyonun da değerini be­ lirler. Başka bir söyleyişle, burada söylenmek istenen, bağım sız değişken yeğleme konusunda sembolik işlemsel denklemin değişmezliğidir (invariance).s. 22

22.

Görünüşte, "der dir bekannte" (sence bilinen) ibaresindeki [okurun anlayıvercceği gerekçelerle Türkçeye "sence" diye çevirdiğimiz, -ç.| "dir" (sana) sözcüğü, not defterlerinde korunmuşsa da, metnin kopyası çıkarılırken atlanmıştır. An­ laşılıyor ki bu, Engcls'in Marx'a yazdığı 30 Mayıs 1864 tarihli mektubunda sözünü elliği Fransız Matematikçi L. B. Francocur ile ilgilidir. Tırnak içindeki "zarif' sözcüğü, Engcls'in "Einzelnes isi sehr elegant" ("Çok zarif biri”) yoru­ muna göndermedir ve açıkça, Engcls'in sözü edilen yazarla alaylı bir ilişkisine dokundurmadır. Francocur, Boucharlat ve kimi başkaları gibi, baştan sona dife­ ransiyel sembolleri ile işlem yaparak, Lagrange'ın "cebirsel" yöntemini (bkz. s. 24) Leibnitz'in diferansiyel hesabı ile kaynaştırmayı denedi. Marx'in bu işin yapıldığı "açıklık"a değgin alaylı notu, hem Boucharlat hem de Francocur ile ilgilidir. Birincisi, "cebirsel işlemi kolaylaştırm ak" için saçma bir formül sundu; İkincisi ise, şunu ileri sürdü: Diferansiyel "türevle anlamdaş görünür ve ondan ancak belirsiz olarak farklıdır"; bundan dolayı da şöyle yazdı: "x türevi x ‘ = I veya dx = J ". - s. 24

23.

Tırnak içindeki 3İıntı 1. -1.. Boucharlal'mn kitaplarının Fransrzcasından çev­ rilmiştir. Bkz. örneğin, Elemens de calcul differential et de calcul integral, 1838, p. 4. - s. 24

198

24.

"Salt cn küçük'unc indirgemek, burada, açıkça, x t = x 'te, oraıı'ın süreklilikle belirlenmiş önıanımını; yani, özünde, Xj -* x lim itine geçişi anlatıyor.- s.25

25.

Bkz. Ek ID, “Leonhard Eulcr'in Sıfırlar Hesabı Üstüne", s. 157. - s. 25

26.

Marx, burada, "kaldırılmış" Ax ve Ay farklarını gösteren siycl parçacıklarını (die Diferenticllen) ve

dx vc dy ifcran-

dy = f ( x ) d x

(D

denklemiyle tanımlanan dy diferansiyelini (das Diferenıial) ayırt ediyor. Bu son denklem,önceden belirlenmiş d y ve dx diferansiyelleri aracılığı ile, ( 1) denklemini eşdeğeri (bkz. Not [24]). (2)

^ = / '( * ) 'e dx

dönüştürerek, f '( x ) türevini bulmayı olanaklı kılan bir işlemsel formül gibi alınabilir. - s. 27 27.

Birinci sıradan (order) cn basil fonksiyonların "cebirsel" farklılaştırtm asında önceden yer alan işlem yapma yöntemini uygulamaya karşı Marx'm kanıtı şun­ lardan oluşur: 1) Xj = x varsaymaktan oluşan ilk adım gereksizdir; çünkü burada ilk türev aslında son türevle uyuşur; yani, "cebirsel" farklılaştırma yöntemine özgü olan ortaya çıkmaz; 2) birinci sıradan diferansiyel farklarla ilgili nitelik­ lerin genel durumuna açılım, yukarı sıradan bütün türevlerin, İkinciden başlaya­ rak, sıfıra eşit olmak gerekliği sonucuna, bu tümüyle yanlış sonuca varabilir. • s. 29

28.

Yani, Lcibnitz'in ve Ncwton'un önceden yaptıktan gibi,

İL dx

'i sonsuz küçük

niceliklerin bir oranı sayınız. - s. 29 29.

Yani, x 'e göre y türevini bulmak için, y 'yi aşağıdaki iki denklemle verilm iş bir x fonksiyonu gibi ele alınız: ]) y = 3 ı t ,

30.

2 ) u = ^ +
Marx, burada, diferansiyeller ile. sanki sıradan fonksiyonlar imişler gibi işlem yapmanın doğru olduğunun önceden saptandığını varsayıyor (bkz. s, 24 vc Ek V, s. 170).-i31

199

31.

Elyazmasımn bu noktasında, Moore, kurşunkalemle aşağıdaki notu düşmüştür: "Bu. incelendiği s. 12(5)'te, somut dtırum için kanıtlandı. Genel durum için de, varsayılacak yerde kanıtlanmak gerekmez mi?" [metindeki İngilizce bozuktur, Rusça çeviriden düzeltilmiştir. -Trans.) Ne var ki, bu not bir yanlış anlamaya dayanmakladır. "verilmiş fonksiyonlardan ölürü gösterilmiş gelişme” bir farklılaştırma sonucu olarak elde edilmiş — ve — tlu dx

sembolik anlatımlarından oluşur. Marx'm öncc-

den varsaydığı gibi, böyle anlatım lar ile, geleneksel kesirlermiş gibi işlem yapmak doğru olduğu için, sonucun d y d u _ dy du dx dx olması doğaldı. - s. 33 32.

Marx, görünüşte, British Museum'da John Landen'in kitabını inceleme niyetini gerçekleştiremediği için, IH. bölümü yazmadı (bkz. Ek IV). - s. 33

33.

Çalışmanın çeşitli kesimlerinin üç taslağı ve bütünleyici birkaç taslak bu başlık, "Diferansiyel Üstüne", alımda birleştiriliyor. Ayrıntılar için bkz. s. 459, 464, 477, 479, Yanovskaya, 1968. - s. 35

34.

Bu alıntı, Marx'm "A, I" ve "B (A'nm arkası). II" diye adlandırdığı defterlerden yapıldı (bkz. s. 459, 464, Yanovskaya, 1968). Alıntı, "A. I" ve "B (A’nm ar­ kası) II" adlı defterlerin son (Marx'm numaralamadığı) sayfasından başlar (bkz. s. 459, 464, Yanovskaya, 1968). "A. I" defterin son (Marx'm numaralamadığı) sayfasından başlar ve "B" defterinde çeşitli yerlere eklenmiştir (Marx onu özel işaretlerle ayırt etm iştir). Anılan taslağın bir parçası, ilkin Rusça olarak 1933’tc yayımlandı (bkz. Marksçılık Bayrağı Ali'n,la, [Pod znamenem marksizm aj No. 1, dahi Marksçılık ve Bilim [Marksizm i eslesluoznanie] s. 34-43). s. 37

35.

Marx, her yerde, ("ccbirscl"dcn ayrı olarak:, bkz. Not 6 ) diferansiyel hesaba özgü dx, dy, vb. sembollerini içeren anlatımlara "sembolik" der. Böyle sem­ boller içermeyen fonksiyonların anlatımlarına "gerçek" der. - s. 38

36.

"Diferansiyel hesap işlem formülleri", burada, bir ve başka türevin gerçek değerini elde etmek için, tanımlanmış bir fonksiyonda yapılmak gereken iş­ lemleri gösteren (aşağıdaki metne bkz.) sembolik anlatımlar anlamına geliyor. - s. 38

37.

"A. 1" defteri bu noktada biter. Sayfanın sonuna Marx’in eliyle “Sieh weiter IIeft II, S. 9" ("Ayrıca 11. deftere bak, s. 9) yazılmıştır. Bu, "B (A’nın Arkası)" olan defteri amaçlamaktadır. - s. 39

200

38.

Süreklilik ile yapılan bu tip önıam m lann bunu veya öbür koşullan sağlayan ayıncı özellikleri ve başka öntanım olanaktan ile ilgili olarak, bkz. Not 18, s. 139 - 140. - s. 46

39.

Yani, alışılmış

cebir alanından bir fonksiyona (bağımlı değişken), x j = x 'le

0

— a dönüşen

/fri) - fe ) xt - x o ran m m önıanımını yapmayı gerektiren geçişi yaparken. - s. 48 40.

Marx, diferansiyel hesaba özgü sembolleri içermeyen anlatımlara çoğu zaman "cebirsel” (bkz. Not 6 ) veya "gerçek" (real) (bkz. Not 2) der. Burada ve başka birkaç yerde ise "actual" (wirkliche) der. Rusça m atematiksel yazında "actual” (sayı) başka bir (yani, "gerçek sayı", -Trans.] anlam taşıdığı için, "actual" (an­ latım ) sözcüğü, [Rusça çevirideki, -T rans.] anlam daşı "real" gibi çevrildi. ["Actual" İngilizcede kanşıklığa yol açmaz. Trans.] - s. 51

41.

İkinci ve üçüncü taslaklann elyazm alan çok kaba bir biçim dedir Birçok silinti ve ekleme vardır. İkinci taslağın ilk d ö n sayfası saklanmadığı için, ilk lam paragrafla başlıyoruz. Bu iki taslak, biraz kısaltılarak, ilkin Rusça ve 1933'te yayım lanm ıştır (M arksçıhk Bayrağı Altında (Pod znamenem marksizma], No. 1 ve M arksçıhk ve Bilim [Marksizm i esıesıvoznanie], s. 26-34. " 'Diferansiyel Üstüne' Elyazmasının ilk T aslaktan ve Değişiklikleri” için bkz. Madde a, s. 477 [Yanovskaya, 1968]. - s. 55

42.

Bütün bu ("değişken nicelikler anarkan...” diye başlayan) paragraf, Hind'in ki­ tabından M arx'in Almancaya çevirdiği bir parçadır (bkz. T. Hind, 2nd edition, Cambridge, 1831, p. 108). İkinci taslak bu noktada kesilmektedir. Marx'in bu paragraftan sonra boş bıraktığı yer (yanm sayfadan çok), istenen alınlıyı Hind’de bulam ayarak, görünüşte bu noktaya yeniden dönmek niyetiyle, tasar­ ladığı araştırmayı bir yana bıraktığının görünür kanıtıdır. Bir türevin Leibnitz ve Lagrange yöntemleriyle elde edilen diferansiyeliyle il­ gili gereçler, Hind'in ve Boucharlal'mn ders kitaplarında vardır (bkz. Ek V, s. 170). Newton'un yöntemine gelince, anılan kitaplar ondan söz etmez. - s. 65

43.

Alıntı, Boucharlal'mn kı'tabındandır (bkz., örneğin, J. -L. Boucharlat, 7th edi­ tion, P aris, 1858, pp. 3-4). - s. 66

44

Marx, burada, bu çalışmanın kesimlerini daha önce i/.lediğiııden biraz larklı lıiı biçimde numaralamışım. İkinci taslakta II. Kesime konmuş gereçleri III. Kesi­ me koymayı; IV. Kesimde ise bir türevin diferansiyeli ile ilgili teoremin tari­

2 01

hini örnek olarak kullanıp diferansiyel hesap tarihini yorumlamayı planlar. s. 68 45-

Bu paragrafla bağlantılı olarak 5. Nota ve lik Te, "Mant'ın Alıntı Yaptığı Kay-

Af naklarda 'Limit' Kavramı Osliine", s. 144 (arada,

— = / '( * ) ek

denkleminin her

iki yanının, Boucharlat’nın ders kitaplannda, nasıl lim iıler gibi işlem gördüğü konusunda bir tartışma vardır) ve s. 145-147'e hkz. (ki, burada, tartışma Lacroix'mn uzun T raiti 'sindeki limit kavramı ve Marx'in bu paragrafta o sözcükle ilgili kavramı üstünedir). Sembolik anlatımı / '( * ) gibi ele alırken Mant'ın tam olarak ne düşündüğü bulanık kalıyor. (Belki de yalnızca şunu düşünfti: X\ = x olunca, yani, — Ax

oranının pay ve paydası, limit değerleri sıfıra birlikte ula-

Ay

şınca, bundan dolayı / '(x) anlatımı — Ax

•

'e değil, tersine,

rfv

-jtk

'e karşılık ol-

mak gerekir varsayımının bir sonucu olarak elde edildi.) M arx’in, Ncwion'un anladığı lim it kavramı üstüne Lagrangc’uı düşüncesiyle ilgili yorumu için 150. sayfaya da bakınız. - s. 69 46.

Marx "Diferansiyel Üstünc"yc birtakım ekler yazmayı tasarladı: bunlardan dördünün taslakları günümüze erişti (daha çok ayrıntı için, bu taslaklardan bir dizi özel sunan 479-490. sayfalara bakınız lYanovskaya, 1968)). Taslaklar bi­ tirilmediği için, burada yalnız daha tam (ve anlaşilabilir) olan iki özet sunu­ luyor. Bunlar, ikinci ve üçüncü taslakların eklerinden uyarlanıyor. • s. 70

47.

Bu, Mani'm "Diferansiyel Üstüne" elyazmasına ekin ikinci taslağının A) kesi­ mine koyduğu başlıktır. Burada, yalnızca, diferansiyelle ilgili temel çalışm a­ nın kısa bir özetini içeren 1) maddesi yayımlanıyor. İkinci çalışmaya ek nite­ liğindeki bu önemli gereçler, burada, işlemsel formüllerin geometrik uygulana­ bilirliğinin doğrudan gösterimidir. D rha çok ayrıntı için bkz. s. 479 lYanovs­ kaya, 1968). - s. 70

48.

Bu, ekin üçüncü taslağının A) paragrafıdır. Başlık Mara'ındır. Burada, yalnız, Marx'in bir türevin diferansiyeliyle ilgili teoremin uygulanmasını, b ir kesrin türevini bulmak için kullanılan bir işlemsel formül gibi sunduğu m adde 3) yayımlanıyor. - s. 71

49.

"Diferansiyel üstüne" elyazm ası ile M arx, diferansiyel hesabın tarihsel geli­ şim yolunu aydınlatan ayrıntılı bir parça yazmak için verdiği bir sözü yerine gelirdi. Bu İkinciden önceki taslaklarda |"Diferansiyel üstüne", Eııgcls'c yazıl­ mış bir mektuptu. -7>o/ıs.|, bir çarpımın diferansiyeli ile ilgili teoremin tarihi

202

aracılığı ile diferansiyel hesap tarihini anlatmaya niyetli olduğunu bildirdi. Açıkça, Marx bu niyetlerin hiçbirini tümüyle gerçekleştirmeyi başaramadı. Yalnızca, diferansiyel üstüne çalışması dolayısıyla yaptığı hesaplamalarla almaşan (alternate) ve "B (A'nın arkası)" deflerinde içerilen denemesi taslakları kalımlı oldu. Bu taslaklar, Mani'm başlıca amacına uygun olarak, Newton ve Leibnitz yöntem lerinin, bir türevin diferansiyeli ile ilgili teoremin bir örne­ ğinde açıklanması ile başlar. Aynı nedenle, d'Alcmbcrı yöntemini yorumlayan sonuç kesimi değil de yalnız başlangıç bunun gibi sürer. Daha sonra M ars, Newton ve Leibnitz yöntemlerinin genelde daha ayrıntılı bir tartışmasına ve eleştirisine geçer. 11u, onu, üç dönemi ayırt edilen diferansiyel hesap tarihinin genel döncmlenmcsine götürür: 1) Newton ile Lcibnilz'in gizemsel diferansiyel hesabı; 2) d'Alembcrt'in ussal (rasyonel) diferansiyel hesabı ve 3) Lagrange'ın katışıksız cebirsel diferansiyel hesabı ki, bunun tanım lanm ası, diferansiyel hesap tarihinin eldeki taslaklarının ikinci bölümünü kapsar. Görünüşte, Marx' m E ngelse üçüncü bir mektup olarak geliştirmeye karar verdiği bölüm buydu. Tarihsel taslakların sonuç bölümü, birinci bötümde içerilen genel düşüncelerin daha ayrıntılı bir açıklamasını sunar. Taslaklar, içerikleri "Diferansiyel Üstü­ ne" başlıklı çak .ya gönderme olup da atlanan notlar dışında, tümüyle ya­ yımlanıyor. - s. ı j 50.

Marx'in bu listeyle sunduğu kaynakçaya, pek çok durumda, başlıca diferansiyel hesap kavram alarının ve yöntemlerinin tartışıldığı kaynaklardan alıntılanmış parçaların doğru gösterimleri eklenmiştir. Bunlar, Marx'm elinin altındaki ders kitaplarında gösterilmemiştir. Bundan ötürü, Marx’in bu parçaları, (görünüşle, British Muscum'un kitaplığındaki) uygun yapıtlara başvurarak seçtiğini varsay­ mak için her gerekçe vardır. Marx'in John Landen'in adını özellikle ayırt etme­ si, çerçeve içine alması, J. Landen'in Resudual Analysis 'ini özellikle öğren­ meye karar vermiş olmasıyla açıkça ilişkilidir. Bununla ilgili daha çok ayrıntı için Ek IV'e bakınız. Marx ' teyc not ettiği doğum ve ölüm tarihlerinin kaynakları bilinmiyor. Ancak, o kaynaklarda Lagrange’ın ölüm tarihinin bu­ lunmadığı bellidir. - s. 75

51.

Principia Mathemalica riın birinci kitabının XI. Lcmmasındaki çıkmada, New­ ton, bizim "türev" ve "diferansiyel" kavramlarımıza karşılık olan temel dife­ ransiyel hesap kavramlarını açıklar. Newton'un bu lcm m alanyla ilgili daha çok ayrımı için Ek Il'ye, s. 152-156, bakınız. - s. 75

52.

Marx'in bu yapıtlarla ilgili (eleştirel yorumlarını içeren) taslaklarına bakınız, s. 272-280 (Yanovskaya, 196S], - s. 75

53.

D'Alembcrt’in T raiti des fluides 'i, diferansiyel hesap temelleriyle ilgili herhan­ gi bir gereç içermez. D'Alembert'in temel diferansiyel hesap kavramları üstüne

203

görüşleri, Eneyloptdie 'de ve Opuscules mathimaliques ‘indeki makalelerinde sunulmuştur. M arx’in dikkatini d'Alemberl'in T raili des Jluides 'iııe çeken şey bilinmiyor. - s. 75 54.

L[eonhard] Eulcr'in Inslituliones calculi differentialis 'inin birinci bölümünün üçüncü kesimi "Sonsuzluk ve Sonsuz küçük" sorunundan söz eder. Daha çok ayrıntı için Ek 111, s. 157-161'c bakınız. - s. 75

55.

Bu kitabı, Abbd M oigno, "Cauchy'nin yöntem lerini ve yayım lanm ış ve yayım lanm am ış çalışm alarını izleyerek” toplam ıştır. M oigno'nun L e c tu res 'ünün birinci cildi 184ü'ıa, İkincisi lS44'ıe çıktı. - s. 75

56.

Bu sonuç (Xewton'dan dolayı) açıklama gerektirir: "Mademki olanaklı bütün büyüklüklerin sayısal nicelikleri doğru çizgilerle gösterilebiliyor", herhangi bir niceliğin değişimi, değişken hızlı bir çeşit doğrusal hareket gibi gösterile­ bilir. Ve sonsuz küçük bir zaman aralığında hareket hızı saptanmış sayılabildiği için, bu küçük zaman aralığına karşılık olan (doğal olarak niceliğimizin değişimine de karşılık oİ3n) yol, nerdeyse bir nokta, bu hızın (fluxion) sonsuz küçük zaman aralığı T ile çarpımına eşittir. Bundan ötürü, "momentler veya niceliklerin sonsuz küçük parçalan, kendi çabuklukları ile bu çabuklukların var olduğu sonsuz küçük zaman aralıklarının çarpımlarına eşittir". Newton’un bizim "fonksiyon", “türev" ve "diferansiyel"imize karşılık olan "fluent", "flu­ xion" ve "moment" kavramları için, onlan mekanik terimleriyle tanımlayarak bir taban sağlama çabalarının metafizikse! doğası konusunda, bkz. Ek II, s. 152-154. - s. 76

57.

Marx'tn, bir çarpımın diferansiyeli ile ilgili teoremin tarihini öm ek alarak di­ feransiyel hesabın gelişim tarihini aydınlatmaya dönmeyi tasarladığı 49. notta açıklandı. Bundan ötürü Hind'in kitabından çıkardığı biımcn.iş özetten sonra boş bir yer bıraktı. O kitapta, bu kesim, bir kez daha yinelendikten sonra, Ncwlon'un işlem inde bir çarpımın diferansiyeli ile ilgili aynı teoremin bir örneği olarak sunulur. (Bu teorem, Hind'in ders kitabında 3. ömek olarak sunu­ lur; bkz. Hind, s. 107.) - s. 77

58.

Hind'in ders kitabında, Leibniız'in yöntemi, bir çarpımın diferansiyeli ile ilgi­ li teoremin örneğinde anlatılmaz; bu yüzden, Marx BoucharlaL'nın ders kitabı­ na başvurdu. Bu paragraf, ikinci kitaptan çıkarılmış bir özettir (bkz. Boucharlaı, s. 162). - s. 77

59.

Bu tümce, Hind'in yukarıda anılan ders kitabından çıkarılan özette görünür (Ifind, s. 104). Bununla birlikle, ilerde, Marx bir çarpımın diferansiyeli ile il­ gili teoremi Hind’in geliştirdiği gibi sunmaz. Marx'in defterinde bu metni iz-

204

lcycn b c; sayfa atlandı. O sayfalar, aslında, kesirli ve bileşik fonksiyonların farklılaştırılması konusundaki teoremlerle ilgili hesaplamalarla birlikle y2 = ax parabolik eğrisiyle ilişkili problemlerin çözüm üne değgindir. Biz, yalnızca sayfa 16-18'de aralıklı yazılmış yorumları alıkoyduk. M arx, bu yorumlarda, Newton ile Lcibnitz'in doğrudan doğruya işlemsel diferansiyel hesap formülle­ riyle başlamaları olgusunu vurgular. Ondan sonra, Marx, "Ad Newton" bölüm başlığı altında, büıiin böyle yöntem­ ler, sağladıkları yarara karşın, kaçınılmaz olarak, gerçekten sonsuz küçük nice­ likler ve onlarla birlikle güçlükler getirmek demek olduğu için, Newton ile Leibniız’in yöntemlerini eleştirir. Burada, gene, bir çarpımın diferansiyeli ile ilgili teorem, temel ömek olarak kullanılır. - s. 78 60. Newton ve onu i/.lcyenler, x , y , z ile, çoğu zaman x , y , zd eğ işk en lerin in değişme oranına (fluxion) türevler (fluent'ler), yani,değişkene göre "zaman" rolü oynayan x , y , z türevleri (fluent) anlamını verdiler; z x , z y , t z ile Leib­ nitz diferansiyellerine veya sonsuz küçük artım lara (increment) karşılık olan "momentleri" gösterdiler. Bkz. Ek İÜ, s. 157. - s. 78 61. Bu,

y

«

(1)

formülünde y riin basitçe belirli bir f(x) fonksiyonu gibi işlemden geçirildiği, o sırada a sabitinin f(x) icn türetilmiş yeni bir f '( x ) fonksiyonu olduğu buldu­ rucu (heuristic) genellemeyi tartışıyor; bu formüle göre ( 1), daha genel bir for­ mül olan (2)

y =f'(x)i m bir özel durumu olur. x , y ,

sonsuz küçük bile olsalar, artımlar gibi işlemden

geçirildikleri için, / '(x) bundan ölürü yalnız x 'in değil,

x

yonudur; formül (2)'dcki "türetilmiş" / ‘(x) fonksiyonu

'ten bağımsız olma­

maktan çıkar, işle bu olgudur ki (x

x

'in de bir fonksi­

formül (2)'yc göre herhangi bir anlam ta-

y — içeren x terimleri ister istemez örtbas etmeye zorladı) y = f(x) fonksiyonunun türevini oranı gibi alan Newloncu tanımın eleştirisi için taban olarak iş görür. Birkaç satır aşağıda Marx buna yeniden döner. - s. 80 şımak için sıfırdan farklı olmak gerekse bile, Newton yandaşlarını

62.

Yani, diferansiyel semboller içermeyen bir "gerçek" anlatım biçiminde elde edilmiş. - s. 83

205

63.

Anlamı belirsiz, birkaç satır daha atlandı. - s. 90

64.

y = ı v e j 'nin kendisi x ise, o zaman, yalnız bir yanı

bolünü içeren bir eşitlik elde etmek için y = x bölüvermek yctcrlidir. - s. 91

x

diferansiyel sem­

eşitliğinin iki yanını da x

‘e

ı . "'/.ınvachs in x" ("x 1i artma” [veya x 'te artma, -ç.]), burada, açıkça, başlangıç

fonksiyonu x 2 'den -buna ek olarak, deyim yerindeyse- ikitcrimli teoremi ile elde edilmiş yeni bir fonksiyonu belirtiyor: (x + dxj2 'nin açılımındaki dx katsayısı gibi. - s. 93 66.

Bu, açıkça, ikitcrimlinin uygulanmasının doğrudan dy = 2xdx değil, dy = 2xdx + dx2 'dir. olgusuna göndermedir. Ama ikinci eşitlik, matematiksel bakımdan, yalnız doğra olmayan bir öncülün (premise) sonucu olarak doğrudur. - s. 94

67.

"İki yolda başarılı oluverir" ibaresinin anlamı karanlık kalıyor. İki noktadan sonra bir b) maddesi olmaksızın bir a) maddesi gelir. Belki de buradaki "iki yol", birincisi, sol yandaki langıçtan beri —

— kesrinin 'e dönüştürülmesi (ve la başAz dx ile bir tutulmaması) olgusu ile, İkincisi, sağ yanda 3xh + I?

dx

terimlerinin şimdi doğra matemaliksel işlemlerle ve el çabukluğuna başvurul­ madan elde edilmesi olgusudur. • s. 94 68.

Tırnak içindeki ibare, Hind'in yukarıda anılan ders kitabından aktarılmıştır ( § .9 9 . s. 123-125). - s. 98

69.

Marx, açıkça, Taylor Teoreminin 1715'lc, onun Melhodes incrementation der­ mesinde, yani yapıtlarında bu teorem görülmeyen Nevi lort'un sağlığında yayım­ landığını anımsıyor. Aynca bkz. Ek VI, s. 180. - s. 99

70.

MacLaurin ve Taylor teoremleriyle ilişkili gereçler için, bkz. s. 107-116 [bu basım], 412, 441, 493, 498 [Yanovskaya, 1968). - s. 99

71.

Lagrange'tn çözümsel fonksiyonlar teorisinin ana düşünceleri üstüne Marx'in yorumu ve eleştirisi için bkz. s. 111-112, bu basım. - s. 99

72.

Bu, parçalan bu basımda "İlk Taslaklar" genel başlığı altında yayımlanan iki kesime ayrılmış kabataslak notlara göndermedir. Bkz. Bu basım, s. 76-90. - s. 101

206

73.

Diferansiyel hesap tarihine ayrılm ış elyazmasında birbirine nerdeyse bitişik iki parça vardır; Manı, onlann araşma şunları eklemeyi tasarlamıştı; 1) Taylor ve MacLaurin teoremlerinin bir incelemesi ve 2) Lagrange'ın çözümsel fonk­ siyonlar teorisinin bir tartışması (bkz. s. 97). M ant, elinin altında bu konuda başvurduğu kaynaklardan derdiği pek çok gereç olmasına ve bu gereçler, Engels'c bıraktığı çalışmalarında sunduğu diferansiyel hesabın özü üstüne vardığı görüş noktasının tem eli olarak iş görmesine karşın, niyetlerini gerçekleştir­ meyi başaramadı. Bu gereçler, öncelikle taslakları kapsar, ama Marx'in özet­ leyen ve eleştiren yorumlarının bulunduğu elyazmalarını da içerir. Elyazmalannda içerilen bu yorumların en önemlileri şunlardır; 1) "Taylor Teoremi, Mac­ Laurin Teoremi ve Lagrangc'ın Türetilmiş fonksiyonlar Teoremi" (daha çok ayrıntı için bkz. s. 441 [Yanovskaya, 196SJ) ve 2) "Taylor Teoremi" (bitiril­ memiş), bundan çıkarılmış özetler, burada, Marx'in yukarıda anılan niyetlerini biraz daha iyi göstermek için kullanılıyor. Aynı konudaki öbiir taslaklardan çı­ karılmış özeller için bkz. s. 281, 412 [Yanovskaya, 1968]. - s. 107

74.

Diferansiyel hesap konusunda Marx'in eli altında bulunan bu elkiıaplarında, bütün öğesel (elem entary) fonksiyonların türevleri, trigonom etrik olanlar dışında, ikilerindi teoremi aracılığı ile gerçeklen hesaplanmıştır. "Taylor ve MacLaurin Teoremleri, Gereçlerin İlk Düzenlenmesi" adlı elyazmasında bunu Marx kendisi belim i (bkz. s. 419-420 [Yanovskaya, 1968]). Marx, sonradan, bu çeşit fonksiyonlar için, "cebirsel" dediği farklı bir farklılaştırma aracı formüllcşiirdi (bkz. "Türetilmiş Fonksiyon Kavramı Üstüne" adlı elyazması). Bun­ dan ötürü, eldeki elyazmasının, zaman sırasına göre, "Türetilmiş Fonksiyon Kavramı" ve "Diferansiyel Üstüne" elyazm alarm dan önce geldiği bellidir. s.107

75.

Nitekim, Hind'in ders kitabında (Hind, s. 84 - 86), (x + h]T açılımı ile ikile­ rindi teoreminin lüreıimini içeren bir örnekten sonra, T aylor ve MacLaurin teoremlerinin ikiterimli teoreminden türelimi sunulur. - s. 107

76.

Burada (514. sayfaya da bakınız [Yanovskaya, 1968]) Marx, değişken x 'in değerinin "artımı" ile, bu değerin herhangi bir artımını, ister artı ister eksi h anımı olsun, düşündüğünü açıkça söylüyor. - s. 107

77.

Çünkü, Marx'a göre, x 'li bir fonksiyon verilmiş bir anlatımdır, bu anlatım, x değişkeninin görünmesi bakımından üzerinde durulan bir semboller kombine­ zonunu gösterir. Verilmiş durum da, önümüzde MacLaurin serisinin terimleri, yani şu iki an­ latımın ("kombinezon”) çarpımı vardır: 1) x* (£ = 0 , /, 2 , 3 ...) ve 2 ) onun ye­ rini iman "sabit fonksiyon"

^

kI

.

- s. 108

207

78.

Marx, x değişkenini içermeyen anlatımlara "sabit x fonksiyonlan" der. jd y ) I d 2y I ( y ) , | — | . l — —J v b ./M ve onun birbirini izleyen,* değişkeni her görün­ düğünde yerine bir sabit -sıfır- konan türevlerine karşılık olan anlatımlardır, y 'de ve onun yerini tutan

I — ^-1 türevinde bu sıfır koymanın sonucu, elyaz-

W

I (Sy\

masında (y) ve ona karşılık olarak I— =j-j olarak gösterilir. Marx'in Bouchar\d x I lat'dan aldığı bu gösterim , elinizdeki basımda alıkonmuşıur (bkz. Boucharial, s. 40). - s. 109 79.

Marx, "sabit (veya değişken) fonksiyonun irrasyonel doğası" ile u m ne demek istediğini açıklamıyor. Görünüşe göre, şu olguya değiniyor: Her iki durumda da, "ayralann" (istisnaların) kökeninin nedeni, açılımda, rasyonel hiçbir m ate­ matiksel anlamı olmayan terim lerin, birinci durumda, herhangi bir süreklilik (örneğin,

0

— biçiminde bir "kesir") olmadan, İkincisinde ise x d eğ işk en in in

tanımlanmış değerleri (örneğin, x = a 'da —î — ) olmadan, hazır bulunmasıdır. x - a Böyle bir anlatımın "irrasyonelliği", isler istemez bir kök işareti içermesi demek değildir ("cebirsel irrasyonellik" ile karşılaştırınız), tersine, bu anlatım anlanabilirlik karşıtı olarak (rasyonellik; Euler ile d'Alembcrt'in rasyonel dife­ ransiyel hesabı" ile karşılı "N ewton ile L eibnitz gizem ciliği"ni karşı­ laştırınız!) kullanılır. M arx, elyazmasının ta sonunda, "Taylor ve MacLaurin Teoremleri, Gereçlerin İlk Düzenlenmesi”, uygulanamazlık durumlarının genel, kısa bir nitelendirilmesini verir (bkz. s. 440 [Yanovskaya, 1968)). - s. 110 80.

Burada, "sonlu bir denklemde gösterilme" ile, açıkça, n 'nin bir artı tamsayı, ve P{ (i = 0, 1 ,2 , ... n) 'nin x fonksiyonları olduğu f[x + h) = P0 + P , h + P ı

+ ... + P , h"

biçiminin bir gösterimi denmek isteniyor. - s. 112 81.

Taylor Teoreminin Marx'ça kullanılan kaynaklardaki daha ayrıntılı bir kanıtla­ m ası, Marx'in aşağıdaki satırlarda yönelttiği eleştiriyi anlamak bakımından gerekli olan bir kanıtlama için bkz. Ek VI, s. 180. - s. 112

82.

Bu, "Taylor Teoremi" adlı elyazmasından bir alınudır; Taylor Teoreminin ken­ disince bilinen kanıtlamasının yetersizliği üstüne, ikilerimli teoremindeki "ce­

208

birsel" kökeni üstüne ve o teoremden köklü farkı üstüne Marx'in görüşlerini daha yoğun bir biçimde içerdiği için bu araya kondu (bitirilmemiş "Taylor Teo­ remi" üstüne daha çok ayrm u için bkz. s. 498 (Yanovskaya, 1968]). Bu alıntının ilk paragrafı önceki metinden ayrı okunmada güçlükler çıkardığı için, Marx'in o paragrafla, Taylor T eorem inin Hind'in kitabındaki kanıtlam asına ayalm iş olan önceki kesimin sonuçlanm özetlediğini burada not ediyoruz. Onda (Bkz. Hind § .7 4 . s. 83-84; §§.77-80, s. 92-96): 1) Taylor Teoremi, f(x + h) anlatım ının f(x + h) = Pha + QhP + R hr + ... biçiminde bir seriye açılabildiği varsayımı alımda kanıtlanır. Burada P, Q, R, ... x değişkeninin fonksiyonlandır ve Ct, P , y ... artan artı tamsayılardır. 2) Taylor Teorem inin "uygulanamazlık durum lan", x değişkeninin belirli özıl değerleri için bu koşulların yerine getirilm ediği sonucu ile birlikte ele alınır (P, Q, R, ... katsayılarından kimileri tanım lanm am ıştır - bu noktalarda "sonlu değerleri yoktur"). 3) Lagrange izlenerek, genel olarak konuşulursa, x değişkeninin belirli özel değerleri ayn tutularak, Taylor T eorem inin kanıtlandığı koşullann (a, P, y ... üstleri eksi veya kesirsel değerler alamazlar, P, Q, R, ... fonksiyonları "sonsu­ za" dönüştürülmez) herhangi bir fix ) fonksiyonu için yerine getirildiği göste­ rilmeye çabalanır. Bundan sonra Marx'in böyle bir çabanın yetersizliği konu­ sundaki sözleri getir. - s. 114 83.

"örneğin, x = a" sözcükleridir) = x 2 + Vx - a olduğunda, f(x + h) anlatım ının bir T aylor serisine açılım ı ile ilgili olarak Hind'in irdelediği bir öm eğe gönderm edir. x = a iken, anlatımın(a + h)2 + •fh anlanabilir (irtelligible) d eğe­ ri vardır, ama Taylor serisinin kendisini gösteren terim leri, Hind'e göre, yal­ nızca, "hiç tanımlanmamış a 1 + 2ah + h2 + 0 + <*>-<*> + <*>- vb." verir (bkz. Hind, s. 93). - s. 114

84.

yı

=

f(x + h) 'nin belirli bir kuvvetin bir ikiıerimlisinin yalnızca sembolik

anlatımı olduğu y = f(x) fonksiyonunda, burada doğal olarak, m 'nin bir artı tamsayı olduğu y = fonksiyonu anımsanır. - s. 115 85.

Bu parçanın sözcüğü sözcüğüne çevirisi "ki farklılaştırma yolunda hiçbir sonuç veremez" (die a u f der Weg der Differerliation kein Resullat liefern können) olurdu. - s. 115

86 . Sözcüğü sözcüğüne: "bu elyazmasımn olanaklı tarihsel bölümünde" (be'ım etwaigen hislorischen Teil dieses M anuscripts). - s. 115

209

87.

"Diferansiyel Hesap Tarihi Üstüne" adlı el' 1■anasında Marx, fonksiyonun değe­ rindeki değişmenin gösterilme biçiminde* basit farktan, diferansiyel hesap işlem tarzındaki köklü farkların türediğini belirtir (bkz. s. 101). Bu konuda, "D'Alembert yönteminin çözümlemesinde" (bkz. Aynı yer), bu düşünceyi geliş­ tirdiği "sunuş sayfalarına" göndermede bulunur. Bu yapraklar iki gruptur: Bir gruptaki yapraklar büyük Latin harfleriyle A’dan H'ye (bkz. s. 471 (Yanovskaya, 19681 öbür grupıakilerse küçük Latin hailleriyle adan n ’ye dek işaretlen­ m iştir (bkz. s. 498 [Yanovskaya, 1968]). D’Alembert türevi limit kavramı aracılığı ile tanımladığı için, Marx, yöntemi çözümlemeye, doğal olarak, yetersizliği Ek l’de sunulan gereçle açıklanan limit kavram ının eleştirisiyle başlar (bkz. "M arx'in Başvurduğu Kaynaklardaki "Limit” Kavramı Konusunda", s. 149-150). Elyazmasımn bu parçası A'd an D'ye dek işaretlenmiş yapraklan içerir (içeriklerine uygun olarak " 'Limit' ve 'Limit Değer' Terimlerinin Belirsizliği Üstüne" başlığı ile yayımlanmışlardır). Dife­ ransiyel hesap iarihi üstüne olan clyazmasındaki yukarıda anılan parçayla doğ­ rudan ilişkili yapraklar, E'den H'ye ise, burada "D’Alembert Yönteminin Cebir­ sel Yöntemle K arşılaştırılm ası" başlığı altında yayım lanm ıştır. Burada "D'Alembert Yönteminin Başka Bir Örnekle Daha Çözümlenmesi" başlığı al­ tında yayımlanan, aslında aynı soruna ayrılmış olan öbür gruptaki yapraklar ise, a'dan g’ye dektir. (Bu grubun artakalan yapraklan için bkz. s. 468-470 [Yanovskaya, 1968].) D'Alembert yönteminin çözümlenmesi konusunda olup da aynca eklenmiş yapraklara Marx'in yaptığı göndermeye uygun olarak, o yapraklar, burada " 'Diferansiyel Hesap Tarihi Üstüne" Başlıklı Elyazmasına ve D'Alembert Yönteminin Çözümlenmesine Ekler" genel başlığı altında, birlikte gruplandırılmışlar (s. 117-134). - s. 119

88 .

Başka bir söyleyişle, h 'nin sıfırdan farklı kalarak sıfıra doğru sınırsız yönel­ diği varsayımı altında, x ve h değerleri için, burada 3x* + 3xh + t? anlatım ı üzerinde düşünmek tasarlanıyor. Anımsatalım ki, Marx'in kullandığı kaynaklar­ da salt (mutlak) değer kavramı henüz yoktu; dolayısıyla Marx, eksi-olmayan bütün terimlerin toplamını göz önünde tutmaya gerek duymuyordu. - s. 120

89.

Marx, burada, sonraki sonucunun kaynağına erişir: "Limit değer kavram ı, bu yüzden, yanlış yorum lanabilir ve yanlış yorumlanaduruyor" (bkz. s. 122). Bunun sonucu olarak, onun yerine belirsizliğe yol açmadan anlanabilcn yeni bir terim koymak uygundur. Böyle olmak üzere, Marx, "salı (absolute) enküçük anlatım” terimini ö n e rir bununla, sözcüğün bugünkü alışılmış anlamıyla limiti anlatmak ister (bkz. s. 122 ve Ek 1, s. 137). Marx'in, burada ve bu kavramın Hind'in ve Boucharlaı'nm ders kitaplarındaki biçimde tanımlanmış "limit de­ ğer" üstüne eleştirisi, her şeyden önce, limitin orada gerçek sayılması olgusu­ na işaret eder, yani, limit, genliğin (argument) "son" değeri için fonksiyonun "son” değeri sayılır, bundan ötürü de "kökeni gizemli ve gızemlcştireıı ilk

210

hesap yöntemlerinde olan bir çocukluğu" gösterir (bkz. s. 122). Bu dikkate de­ ğer paragrafla, Marx, açıkça, "limit değer’i Hind'in sunduğu tanımdaki anlam­ ıyla dikkate alıyor (bkz. Ek I, s. 138-139). Hind, pratikte, lim it değeri, gen­ liğin (argument) sağdan veya soldan belirli bir sayıya yaklaştığı bir fonksiyo­ nun ıckyanlı limitiyle çakışıyor gibi konu eder: Verilmiş durumda, ft -* + 0 iken bir A fonksiyonu sayılan 3x2 + 3xh + I? fonksiyonunun sağdan ıckyanlı limitiyle. Marx ise, Hind'in tersine, bu "limit deger'in ancak olur gibi anlanmayıp A * 0 (burada h > 0) koşuluyla hesaplanırsa anlamı olduğunu vurgular; yani, lim it değeri lıpkı bugün yaptığım ız gibi konu eder. Aynı zamanda, bunun üzerinde durulan fonksiyona, 3x2 + 3xh + h2 'ye, uygulanması, Hind'in ders kitabının başladığı "limit değer" (değişkenin kesin üsl veya alt sının) tanımında içerilen gereklere de aykın düşmez. Gerçekle, Marx'm işaret ettiği gibi, bu fonksiyon ilkin, h sıfıra yaklaşırken, durmadan kendi öz limitine (açıkça, alı sınıra) yaklaşır ve ikinci olarak, bundan dolayı en çoğu asla onun ötesine geçmez; yani, Hind'in tanımındaki iki koşula da uyar (Hind’in kendisi, bu gereklerin yerine getirilmesini çoğu zaman gcrçeklemcmiştir; bkz. Ek I, s. 138-139) - s. 120 90.

A 'nin sıfıra yaklaşımında (sağdan; yani, A azalırken) 3 x 2 + 3xh + h2 fonk­ siyonunun (lekyanlı) limiti gerçeklen yorumlanabilir. Yani, A genliğinin limit ("son") değeri 0'a eriştiği varsayılır; o zaman, kendisine göre limitin kesin alt sınır olmak gerekliği fonksiyonun değerlerinin çokkallılığmdan (Hind'in tanı­ mı uyarınca) ft = 0 'da fonksiyonun yalnız bir değerinden (bkz. Ek I, s. 138139), verilmiş durumda sonuç olarak yalnız bir 3x2 sayısından oluşan kümeyi seçmek yeterlidir. Bununla birlikte, Marx’m aşağıda söylediği gibi, A sıfıra yaklaşırken onu 3X2 için limit değer saymak bir "pek eskimiş eşsöz (tautolg y f olurdu. Başka bir söyleyişle, ft sıfıra yaklaşırken 3r? 'den i z 2 + 3xh + ft2 ' nin limit değeri gibi doğal olarak söz etmek, aynı zamanda, ft sıfıra yaklaşır­ ken 3x2 'yi 3 x 2 'nin kendisinin limit değeri saymak, burada anlanabilir değil­ dir, her şeyden çok da, genelde gereksiz olduğu için öyledir: Bize yeni hiçbir şey vermez. - s. 120

91.

Bu jj-

anlatımı, burada Boucharlat'nın ders kitabında yapıldığı gibi (bkz. Ek I,

s. 144-145)

> ! -y JCj-x

bölümünün limitiolarak

düşünülüyor; ama şu farkla ki,

*1 —r +x iken, x l - x ve yj - y fonksiyonlarının lim it değeri burada (burada gene Hind'dcki anlamda) Mant'ça gerçek bir anlamda anlanmıyor, yani, bir x, * x (burada z , > z) varsayım olarak kalıyor. - s. 121

211

92.

Burada gene - [veya — ] 'i gerçeklen, yani A = O 'da — oranı nı n değeri 0\ dx I « gibi yorumlamanın olanaksızlığı olgusuna göndermede bulunuyor; çünkü bu du­ rumda, Ilind öm ek alınarak ve basitçe h = 0 varsayılıp latımını elde ederek, h değişkenini içermiş

^

sınırlandıran an­

oranından hiçbir iz laşı-

h

0

mayan bu anlatımın h —» +0 iken ("sabit” h fonksiyonu gibi görülmüş) aynı — için sınırlandıran değer olarak düşünülmesi kabul edilmek zorunda kalınır ki bu, yeni hiçbir sonuç vermez. Bununla birlikte, h sıfırdan farklı (burada h > 0 yr y 0 anlatımı için sınırlandıran değer kesinlikle — dır ki, sayıldığında, ------h 0 "türetilm iş fonksiyonun gerçek eşdeğeri olarak" onun karşısında bulunan, Marx'in dediği gibi "onun salt (absolute) en küçük anlatımı"dır. Yani, bugünkü alışılmış anlamda limittir. - s. 121 93.

Aslında sözcüğüne, "yukarıdaki diferansiyel denklemlerde" (auf obige Differenlialgleichungen) 'dir, ama Marx "obige” (yukarıdaki, yukanda anılan) sözcüğü­ nü çizmiştir. Bununla birlikte, bellidir ki burada, önceden olduğu gibi, bu, sözcüğün özel anlamındaki denklemleri değil, tersine, denklem biçiminde olan temel diferansiyel hesap formüllerini ilgilendirir. - s. 122

94.

M arx, burada açık bir kalem sürçmesiyle, "... geometrik ... ile ..." yazmıştır. s. 122

95.

Önceden belirtildiği gibi, Marx'in yararlandığı kaynak kitaplar, sıfırı sonlu bir nicelik saymıyordu. Bundan ötürü, bu parça, Xj - x = h farkının, ne denli küçük olursa olsun, hep sıfırdan farklı kaldığım belirtiyor. - s. 123

96.

x + XX yerine Marx b a sitç e* + x yazıyor. Bu türlü kullanımlarla ilgili olarak bu basımın 78-80. sayfalarına, bir de 60. Nota bakınız. - s. 124

97.

Bu notlar, a'dan g'ye dek işaretlenmiş yaprakların içeriklerini gösteriyor. Anlanması güç ilk taslak parçalar veya bitirilmemiş notlar içeren, h'den n’ye dek işaretli yapraklar burada yayımlanmadı; onlarla ilgili olarak T anım a bkz. s. 468-470 [Yanovskaya, 19681. a'dan g'ye kadarki yapraklar, Marx'in "Diferan­ siyel Üstüne" clyazmasında üzerinde durduğu aynı bileşik fonksiyon örneğine uygulanmış d'Alembert yönteminin bir çözümlemesine ayrılmıştır. - s. 126

98.

f(x), f(u) sem bolleri, burada, "x 'li bir fonksiyon" ve "u 'lu bir (başka) fonk­ siyon” anlatımları yerine kısaltmalar olarak kullanılıyor. Daha sonra yazılmış "Diferansiyel üstüne" clyazmasında, Marx, bu fonksiyonları aynı örneğin çö­ zümlemesindeki farklı harflerle gösterir. - s. 126

212

MARX’IN MATEMATİKSEL ELY AZMALARI ÜSTÜNE EK GEREÇLER

E. Kol'man K ARL M ARX VE M AT E M A T İK : M A R X 'IN " M A T E M A T İK S E L E L Y A Z M A L A R I " ÜSTÜNE*

Uluslararası proletaryanın kapiuılci sistemi yıkmak ve sosyalizmi kurm ak uğruna devrim ci savaşım ının bilim sel teorisinin yaratılm ası, Marx'm kendisinin de gösterdiği gibi, toplumsal koşulları maddesclcilik ve diyalektik görüş noktasından incelemeyi zorunlu kıldı. Bunlar bütün gerçek görüngüler karmaşasından çıkarılmalı, gerek tarih olguları, gerek doğa, toplum ve insan düşüncesi gerçekliğinin çok kaLİı bütünlüğü ile doğrulanmalıdır. Dolayısıyla, bilimsel komünizmin yaratılması için zo­ runlu önkoşul, doğa gelişiminin egemen yasalarını inceleyen bilimlerin üstünlüğü, onların sonuçlarının ve yöntemlerinin üstünlüğüydü. Aynı za­ manda, doğal bilim ler gibi matematiği de tarihlerinin ve ekonomik top­ lum gelişim iyle etkileşimlerinin görüş noktasından incelemek, bilimsel olarak toplum dönüştürmek uğruna iktidara gelen bir sınıf olarak prole­ taryanın pratik etkinliği için zorunluydu: Matematik konusunda, diyalektik maddesclciliğin birbiriylc sıkı sı­ kıya ilişkili iki problemi çözmesi gerekti. Bir yandan, matematik sonuç­ larını felsefi bakımdan genelleştirmek ve bilimsel dünya görüşü, diyalek­ tik maddesclci dünya görüşü ile birleştirmek zorunluydu. Ö te yandan, maddcsclci diyalektik yöntem can alıcı matematik problemleri aydınlat­ mak için kllanılmak, o sırada diyalektik yöntemi de zenginleştirmek gc* Şunun çevirisidir: “K. Marks: Matematika (O "Maıcmaıichcs kikh rukopisyakh” K. Marksa)", Voprosy b la rii eslexlviznaniya i tekhniki, 1968, No. 25, s. 10 1 - 1 1 2 .

215

rekti. Bu iş, büyük ölçüde F [riedrich] Engels’in payına düştü; çünkü, Marx'in hemen hemen bütün zamanı, kapi'.alciliğin ekonomik yasalarının onaylanması ve uluslararası işçiler hareketinin pratik kılavuzluğu ile uğ­ raşmaya adanm ışu. Buna karşın Marx, çağının doğal bilimler gelişimini ve teknik başarılarını sürekli izledi, [18] 50'lerin sonlarından ta ölümüne dek, matematikle epeyce uğraştı. Bu incelemeler, Marx'in gerek matematiğin felsefeye etkisi, gerek özel matematik problem lerinin felsefi açıklam ası ile ilgili yapıtlarına dağılmış birtakım gözlemlerle yansıtıldı. Bu gözlemler, ayrıca birçok ki­ şiyle, özellikle de Engels'le yazışmalarında dile getirildi. Aynca, Marx on­ ları en önemli yapıü K apital' in hazırlanmasında kullandı. Sonunda, bu incelemelerin sonuçlan, M arx'in ölümünden sonra ardında bıraktığı kap­ samlı elyazmalannda korundu. Bu yazılar, çeşitli matematik problemlerine ve matematik tarihine, öncelikle de diferansiyel hesabın manuksal ve fel­ sefi temeli problemine ayrılmıştır. Matematiksel incelemeleri için Marx'in iki güdüsü (motive) vardı: Politik ekonomi ve felsefe. Marx, ekonomik görüngülerin özel doğasını ve olağanüstü karm a­ şıklığını ve onları yaşambilimsel, hele fiziksel görüngülerle karşılaştırma­ nın olanaksızlığını yineleyerek vurgulamışsa da, genel ekonomi yasalarını incelemek için matematik uygulamayı yalnız olanaklı değil, gerçekten zo­ runlu saymışın. Marx, Kapital'de, ekonomik yasaları yazarken matematik­ sel bir biçim kullanm ış, bunu da asla yalnızca açıklama am acıyla yap­ mamıştır. Değer ve para biçimi çözümlemesi, kapital bileşimi, artı değer oranı, kâr oranı, kapital dönüşüm süreci, dolaşımı ve getirisi, yeniden üre­ timi, birikimi, ödünç kapital ve kredi, diferansiyel rantlar: -M arx, mate­ matiği kullanarak bütün bunların üstesinden geldi. Bir formülden Öbürüne basit cebirsel dönüşümlerle ilerleyerek, onları çözümledi, ekonomik ba­ kımdan yorumladı ve yeni yasalar formülleştirdi. Marx, yalnız bu araçla, örneğin kâr oranının

P =

M (C + V)

216

(burada C sabit kapital (Constant capital), V değişen (veya değişken, variable capital) M artı değer (surplus value, [Almancası Mehrwert. -ç.])* organik kapital bileşim ine bağımlılığını ortaya çıkardı.

dolayısıyla, P = 1 + O

M (burada A = — artı değer üretim oranı) ve ortalam a kâr oranının düşme eğilim i yasasını saptadı. Bu aynı araçla, iki kapiıalci üretim kesim inin birbiriyle ilişkisini saptadı: Birinci kesim, üretim araçları üretimidir: C , + Vj + M , = T , / (burada T/ üretici m allan kesiminin toplam değeridir); ikinci kesim ise, tüketim araçlan üretimidir: C2 + V2 + M2 = T2 demek ki, basit üretim için** C2 = V, - M ,

* Sabit kapital, kapital yatırımıdır; değişken kapital, emek ücretleridir; artı değer İngilizce ekonomik metinlerde çoğu zaman S \surplus value ‘nun ilk harfi, - f . 1 ile yazılır. - Trans. ** Basit yeniden üretimde üreticilerin mallarına eklenen büliin değer, tüketici m allan üretmek için makine üretimine yaunlır. -Trans.

217

Marx, böylelikle, tekeller öncesi kapitalcilik koşullarında, üretim fiyat­ larının genel oluşumunun yasasını ve pek dönemli ekonomik bunalımlara kaçınılmaz olarak yol açan ekonomik "mekanizma"yı buldu*. Kapital 'in üçüncü cildi için hazırlık niteliğindeki hâlâ yayımlan­ ıl 0 mamış çalışmalar, Marx'in — — niceliğiyle, artı değer oranı A ile kâr 1+ 0 oranı P farkının ayrıntılı hesaplamalarını içerir. Marx bunun değişimleri­ ni çeşitli eğriler biçiminde göstermiştir. Kapital’in bir bütün olarak kapitalci üretim sürecine ayrılmış üçüncü cildi, birinci cildin -kapital üretimi­ nin dolaysız süreci- ve ikinci cildin -kapital dönüşümü süreci- bir bileşimi olduğu için, Marx, kaba taslaklarında, önceki yapıtında nitel olarak verilen resmi tam ve kapsamlı nicel bir resim olarak eklemeye çalışmıştır. Marx, basit yeniden üretim durumunda bile, basit olmakla birlikte epey karmaşık hesaplamalar gerektiren bu yapıtı bitiremedi. Bununla birlikte, yapıt, her iki kesimde büyük çaplı yeniden üretim koşullarında en yüksek kân elde etmek için artı değer dağılımı problemini doğru olarak koymuş ve dönem­ li bunalımlar yasasını da çıkarmıştır. Bunlar ancak çağdaş doğrusal prog­ ramlanma yöntemiyle çözülebilen problemlerdir. Bununla birlikte, ekono­ mik bunalım ların mekanizm ası deneysel (empirical) olarak da incele­ nebilir. Bu yöntem le ilgili olarak Marx, 31 Mayıs 1873'te şunlan yaz­ mıştır:

"Privatim [özel olarak, -ç ] gümrükten kaçınlm ak gerekmiş bir tarihi Moore'a demin gönderdim. Ama o, bu sorunun çözülmez olduğunu ve hiç değilse bu sorunla ilgili olguların hâlâ ortaya çı­ karılması gereken birçok parçası bakımından pro tempore [geçici olarak, -ç. ] çözülm ez olduğunu sanıyor. Konu şöyle: Fiyatların yüzde ile vb. vb. hesaplandığı, bir yıl içindeki gelişim leriyle vb. yükselmelerinin ve düşmelerinin zigzak çizgilerle gösterildiği tab-

* Bu şemanın sosyalist ekonomik planlama için önemi M. Ebeseldı'in (GDR) "Marx”m Yeniden Üretim Şeması ve Belirsiz Değişkenlerin Yorumu" adlı çalışm a­ sında incelenm iştir, (Rusça) Ekonomika i matematicheskie metody, 1968, Vol. IV, No. 3, S. 531 - 535.

218

lolan biliyorsunuz. Bunalımların çözümlemesi için bu "çıkışları ve inişleri" saym üsal (fictional) eğriler gibi hesaplam aya birçok kez çalıştım ve bundan matematiksel olarak önemli bir bunalımlar ya­ sası çıkarm ayı düşündüm (yeterli deneysel gereçle bunun olabile­ ceğini şimdi bile düşünüyorum). Moore, önceden söylediğim gibi, problemi epeyce uygulanmaz sayıyor. Ben de uğraşmaktan şimdilik vazgeçtim."* M atem atik konusunda Marx'in danışmanı olan Samuel Moore, ne yazık ki yeterince bilgili değildi; karmaşık salınan (oscillatory) süreçlerde belirtisiz dönem liliklerin bulunmasıyla uğraşan m atem atik dalını, Fourier çözümlemesini besbelli bilmiyordu. Bunun tem ellerini Fourier, 1822'de, Analytic Theory o f Heat [Çözümsel Isı Teorisi, -ç. ] adlı yapıtında at­ mıştı. M arx, Paul Lafargue'a göre,** "bir bilim, m atematikten yararlan­ mayı öğreninceye dek gerçekten gelişmiş değildir" inancında olduğundan, toplumsal bilimlerde, özellikle politik ekonomide, araştırm a için matema­ tiksel yöntem in uygulanm ası olanağı, gerçekte zorunluğu, savını ileri götürmüştür. Bu, politik ekonominin genel yasalarının ve yöntemlerinin yerine, İngiltere'de W. Jevons'un, İtalya'da da V. Parcıo ile başkalarının başını çektiği, tükenm iş "tarihsel okul'a karşı [18] 80'lerde doğmuş ve onun gibi bütün kapitalci toplum sınıflarının bir "çıkarlar uyumu"nu sa­ vunmuş olan kaba politik ekonom inin sözde "m atem atiksel okul"unun düşünüşüne uygun matematiğin konması demek de değildir. Marx, 6 Mart 1868'de Engels'e yazdığı bir mektupta bu okulun temsilcilerinden biri olan Macleod için şu gözlemde bulunmuştur: "... şişinen bir eşek, 1) her bayağı eşsözü (tautology) cebirsel biçim e sokar ve 2) geometrik olarak gösterir."*** Böylece, M arx'a göre, öbür özelleşm iş bilimlerin herhangi birinde olduğu gibi politik ekonomide de, m atem atik, ancak o özelleşmiş bilimin teorisinin geçerlik sınırları içinde araştırma için güçlü bir araç ola­ * Karl M arx - Friedrich Engels Werke [Almanca basım] Vol. 33, Berlin, Dietz, 1966, s. 82. ** Reminiscences o f Marx and Engels, Moscow, [1956], p. 75. *** Karl Marx-Friedrich Engels Sochineniya [Rusça basım), Moscow, Vol. 32, s. 33.

219

bilir. Bundan ölürü, tanışı Rus Hukukçu ve Politika Yazarı M. M. Kovalevskii'nin yazdığı gibi,* M arx, m atem atiksel yöntemi uygulam a yete­ neğini kazanmak için olduğu gibi, matematiksel okulun yapıtlarını derin­ lemesine incelemek için de kendisini matematiğe adamıştır. Marx, geom etrik benzeşim i (analogy) m atem atik sorunlarındaki felsefi sonuçlarının bir örneği im işçesine iş görebilirmiş gibi yanlış ola­ rak kullanan [Samuel] Bailey ile bir polemiğe bağlantılı olarak, Kapital' in bitmemiş 4. cildinde, "Artı Değer T eo risin d e, geometri ilkelerinin en önemli problemlerinden biri üstüne düşünülmüş yargısını dile getirmiştir. Marx şöyle yazmıştır: "Bir nesne öbüründen uzaksa, uzaklık gerçekte o nesne ile öbürü arasında bir ilişkidir; ama, aynı zamanda, bu uzaklık o iki nesne arasındaki ilişkiden farklı bir şeydir. Bir uzay boyutudur, kar­ şılaştırılan o nesnelerin yanı sıra, başka iki nesnenin uzaklığını da anlatan belirli bir uzunluktur. U zaklıktan iki nesne arasında bir ilişki olarak söz ettiğim izde, nesnelerin onları birbirinden ayrı kılan bir "özelliğini", "özsel" bir şeyi önceden varsayarız. A hece­ siyle masa arasındaki uzaklık nedir? Soru saçma olurdu. İki nesne­ nin uzaklığından söz ederken, uzayda farktan söz ediyoruzdur. Böylece onların ikisini de uzayda içerilmiş, uzay noktaları olarak düşünürüz. Böylecc ikisini uzay varlıkları olarak birbirine eşitleriz ve onları ancak sub specie spatii eşitledikten sonra, farklı uzay noktalan olarak ayırt ederiz. Uzaya değgin olmak onların birliği­ dir."**

Marx, Burada, geometrik "uzaklık" veya "uzunluk" kavramının tü­ remesine varan soyutlama sürecini çözümlerken, yalnızca kaynağı karşılaşunlabilir iki nesnenin "karakteristik"inde bulunan bu kavramın maddeselci kökenine değil, bir madde, gerçekten var olan bir kendilik (entity) * Reminiscences o f M arx and Engels, p. 325 ** Karl Marx, Theories o f Surplus Value: Volume IV o f Capital, p a n III, Cohen ve Ryazanskaya çevirisi, London, Lawrancc & Wishart, 1972, s. 143. Yayım­ cılar, Ryazanskaya ve Dixon, "Marx bu paragrafı İngilizce yazmıştır" diye belirtirler.

220

olarak anlanm ış uzay ile çözülm ez bağlantısına da dikkat çeker. Ve bu, 1861-1863'te, N ew toncu dünya görüşünün sarsılm am ış egemenliği şura­ sında, Einsıein'ın "uzunluk" fiziksel bir cismin basitçe yüzeysel bir soyut ölçüsü değildir, tersine, iki cismin uzaysal ilişkisinin bütünsel bir karak­ teristiğidir düşüncesini cesurca kullandığı ilişkinlik teorisinin ortaya kon­ masından yaklaşık kırk yıl önce olmuştur. Marx'm, büyük çaplı süreçler mekanizmaları olarak ekonomik me­ kanizmaların istatiksel doğaları üstüne söyledikleri, matematiksel istatis­ tik bakımından olğanüsıü büyük önem taşır. Bu m ekanizm alar, olasılık yasaları içinde bireysel süreçlerin birbirine etkilerini dışavurur; ortalama­ dan herhangi bir değişm eye egemen olur. Marx bu problem e birçok kez dönmüştür, ö rn e ğ in , G rundrisse' de, 1857-1858, para ile ilgili bölümde şöyle yazmıştır: "M etaların emek zam anıyla belirlenm iş değeri, onların yalnızca ortalama değeridir. Bu ortalama, bir çağın ortalama bir ra­ kamı olarak, örneğin, diyelim ki 25 yıllık ortalam a kahve fiyatı bir şilindir biçim inde hesaplanırsa, dışsal bir soyutlama gibi görünür; ama, aynı zamanda, belirli bir çağ boyunca meta fiyatlarının geçir­ diği dalgalanm aların yönlendiren gücü ve devindiren ilkesi olarak tanındığında, çok gerçektir. Bu gerçeklik yalnız teorik bakımdan önemli değildir: Olasılıklar hesabı hem dalgalanm a merkezi olarak görünen ortanca (median) fiyat ortalamalarına, hem de bu merkezin üstündeki ve altındaki ortalama dalgalanma doruklarına ve diplerine dayanan ticari spekülasyonun da temelini oluşturur."* Ekonomik istatistik alanında çalışan M arksçılar çoğunluğu arasında uzun zaman geçerli olan yanlış kavrama, M arx’m seçkisiz (stochastic) sü­ reçler üstüne söylediklerinin yalnız kapitalci ekonomiyi ilgilendirdiği yo­ lundaki o birbirini dışaran iki karşısav (antithesis) olarak rastlantısal ile zorunlunun diyalektik olmayan gösterimine dayanan yanlış kavrama kar* Karl Marx, Grundrisse: Foundations o f the Critique o f Political Economy, lams. M. Nicolaus, Penguin Books, London, p. 137.

221

şm, Marx'm söyledikleri -kuşkusuz, yeni bir yorumla- bir meta ekonomi­ si olduğu için büyük sayılar yasasının asla işlemez olmadığı planlanmış bir sosyalist ekonomi için olağanüstü önemlidir. Hegel'in M antık B ilim î (Science o f Logic), özellikle birinci ki­ tabın ikinci kesimi "Nicelik", kuşkusuz, Marx'in matematiksel inceleme­ leri için felsefi bir uyancı olmuştur. Önünüzdeki satırların yazarının S. A. Yanovskaya ile birlikte yazdığı "Hegel ve M atematik" adlı makale*, bu­ nunla ilgili olarak Engels'ten şunu alınular:

"Kendisine engin bir matematiksel ve bilimsel eğitim yor­ madığınız Koca Hegel konusunda söylediklerinizi yorumlamadan edemem. Hegel öyle iyi m atem atik bilirdi ki, ölüm ünden sonra ardında bıraktığı bir yığın matematiksel elyazmasını yayımlamaya öğrencilerinden hiçbiri yetenekli değildi. Bildiğimcesiyle, böyle bir işi yapabilm eye yeter m atem atik ve felsefe bilgisi olan tek kişi Marx'tir."**

V. 1. Lenin, "Felsefi D efterler”de, Hegel'in "Nicelik” bölümünde sonsuz küçük nicelikler hesabı üstüne söylediklerini, özellikle de şunu eleştirmiştir***: ”... [yüksek sıradan (order) sonsuz küçükleri savsamanın, E. K.] haklı bulunm ası, yalnızca sonuçların ("başka ilkelerle kanıtlan­ mış") doğruluğunu iç e rd i... ve konunun açıklığını içermedi...", k i "... be­ lirli bir sağınsızlık (inexactitude) (bilinçli) önemsenmiyor; elde edilmiş sonuç gene de yaklaşık değildir, tersine, kesinlikle sağındır (exact)", ki "buna karşın Rechtfertigung [justification -Trans. ] [haklı bulma veya bu­ lunma, -ç.] istemek, burada, "doğrunun gösterilmesi için burnu kullan­

* Elinizdeki kitap, s. 236 ** Kapital in 2. Almanca basımına sonsöz. *** V. 1. Lenin, Collected Works, Vol. 38, Moscow, Forcing Languages Pub­ lishing House, 1963, pp. 117-118.

222

mayı önermek örneğindeki kadar" "gereksiz değildir". "* V. I. Lenin şun­ ları yazmıştır: "Hegel'in yanıtı karm aşıktır, çapraşıktır, vb. vb. Bu, bir yüksek matematik sorunudur..." "Hegel'in sonsuz küçük büyüklüklerin bu 'ortadan yitm esini’, bu 'var olma ile olmama arasında ortada bulunanı' ne denli ilginç bulduğunu gösteren alıntılar -N ew ton, Lagrange, Carnot, Euler, Leibnitz, vb. vb- ile birlikte, diferansiyel ve integral hesabın pek ayrıntılı olarak göz önünde tutulması". Bu, yüksek matematik incelenme­ den, tümüyle kavranmazdır. Carnot 'nun kullandığı başlık karakteristiktir: "Refl6xions sur la M dtaphysique du calcul infinitesimal" !!!" [Sonsuz Küçük Hesabının Metafiziği Üstüne Düşünceler, -ç. ] U ygulam ış olduğu diyalektik m addeselci yöntem için, kendi öz sözcükleriyle, "Hegel’inkinden" yalnız temelden "farklı değildir, ama onun doğrudan karşısavıdır (antithesis) diyen Marx'in -çünkü Marx için "düşün­ sel, insan kafasında algılanıp dönüştürülmüş maddeselden başka hiçbir şey değildir"**,- 1873'te "Diyalektiğin Hegel'in elinde katlandığı gizem selleştirm e, onun genel hareket biçimlerinin kapsamlı ve bilinçli bir gösterim i­ ni ilkin Hegel'in sunmuş olması gerçeğini gözden gizlemez. Diya­ lektiğin gizem selleştirme kabuğunun altındaki ussal (rational) çe­ kirdeği açığa vurmak için, diyalektiği ayakta durdurmak zorunlu­ dur."*** diye yazmış olan M arx'in, diferansiyel hesap tabanında var görünen gizi onaya çıkarmak için aşırı dönüldüğü doğrudur. Marx'in matematik incelemeleri Engels'le yazışmalarından, özellik­ le Marx'in Engels'e 11 Ocak 1858, 20 Mayıs 1865, 6 Temmuz 1863 ve 25 Ağustos 1879 tarihli ve Engels'in Marx'a 18 Ağustos 1881 ve 21 K a­ sım 1882 tarihli m ekluplanndan ve M arx’in 22 Kasım 1882 tarihli yanı­ * Lenin metnini yayımlayanın düştüğü not: Schiller'in "Filozoflar" adlı taşla­ masından "Doğru Sorunu" ikiliğine gönderme. Bu ikilik şöyle çevrilebilir: "Uzun zaman bir koklama duyusu yerine kullandım burnumu, "Gerçeklen, ne hakkım vardı bunu yapmaya, söyleyin ne olur?" ** Kar) M arx - Friedrich Engels, Sochineniya, Vol. 33, s. 22. *** Aynı yer.

223

tından öğrenildi. Bu incelemelere, Kapital' in ikinci cildine Engels'in yaz­ dığı önsözdeki göndermelerden, Engels'in yarım kalmış, ilkin Moskova' da, [Rusça] M arx ve Engels Arşivi’nin ikinci kitabında yayımlanmış el­ yazması Doğa Diyalektiği 'nden (The Dialectics o f Nature) dolayı da değer biçilebilir. 1920'de kurulm uş Karl M arx-Friedrich Engels Enstitüsü, Lenin'in 2 Şubat 1921 tarihli mektubunda* Marx ile Engels'in ülke dışın­ daki elyazmalannın (veya fotokiplerinin) satın alınması yönergesini yerine getirirken, M arx'm Alman Sosyal Demokratik Parti’nin arşivinde korun­ muş matematik elyazm alannın fotokopilerini de içermek üzere, bir yığın şey edindi: A çıkça eksik, sık satırlarla yazılmış 863 yaprak; ama, eksik sayfalar daha sonra bunlara eklendi, öyle ki, bütün derme bin yaprağa eriş­ ti. Enstitü, bunlar üzerinde çalışmak için, aşırı güç metni çözmede kendi­ sine R. M ateika ile R. S. Bogdan’m yardım ettiği Alman Matematikçi E. Gumbel'i görevlendirdi. G um bel, 1927'de, Letopisi M arksizm a 'da clyazm alannı kısaca tanıtan bir rapor yayımladı**. Elyazmalannı dört kategoriye ayırdı: Hiçbir metin olm aksızın hesaplam alar; M arx’m okuduğu yapıtlardan özetler; kendi çalışm alannm taslaklan; ve son olarak, bitmiş özgün çalışmalar. G um bel, M arx’m kaynak seçmede Hegel'den etkilendiğini doğru olarak belirtti ve M arx'm özetlediği m atem atiksel yapıtların (tam ol­ mayan) bir listesini sundu: 13 yazar ve 18 başlık. Bu yapıtların en eskisi New ton’un Philosophiae Naturalis Principia M athematica 'sı, 1687, en yenisi de T. J. Hail ile J. W. Hemmings'in ders kitaplarıydı, 1852. Özet­ ler, d'Alembert, Landen, Lagrange, MacLaurin, Taylor'ın klasik yapıtlarını ve Nevvlon'un D e Analysi p er Aequationes Numero Terminorum Infınitias ve Analysis p e r Quantitatum Series, Fluxiones et D ijferenlias adlı öbür iki yapılını da içeriyordu. E lyazm alannın içerikleri, G um bel'in gösterdiği gibi, aritm etiğe (örneğin, bir fiyat indiriminin (discount) değişim (exchange) oranına etki­ si, bir değişim hesabının kapatılması, indirimler ve iskontolar, bir kuvve­ te yükseltme ve bir denklemin kökünü çıkarma, logaritma alma alıştırma­ ları, vb.) geom etriye (trigonometri, çözümsel geometri, konik kesitler), * Leninskii Sbomik, 1942, Vol. 34, S. 401 - 402. ** E. Gumbel, "K. Marx'm Matematiksel Elyazmalan Üstüne", (Rusça) Leto­ pisi Marksizma, Moskova, 1927, Vol. 3, S. 56-60.

224

cebire (denklem ler temel teorisi, sonsuz seriler, fonksiyon kavramı, Car­ dan kuralı, diziler, belirsiz katsayılar yöntem i) ve diferansiyel hesaba (farklılaştırma, enbüyiikler ve enküçüklcr, Taylor teoremi) değinir. Gumbcl, Marx'm bitirdiği özgün çalışm aların Marx ve Engels'in Bütün Yapıt­ ları 'nın (Com plete Works) (Rusça basım ının] 16. cildinde yayımlana­ cağını bildirdi. 1931 'de, Bolşevik Parti'nin ünlü eylem cisi V. V. Adoratskii'nin Enstütü'ye yönelmen atanmasıyla, elyazm alan üzerindeki çalışmaya yeni bir yön verildi. O zaman, Marx İnceleme Merkczi'nin başkanı olarak, elyazmalarının kopyası çıkarılmış bölüğünden haberim vardı ve Gumbel'in gerek onları yayımlamanın önemini, gerek felsefi ve tarihsel-matematiksel anlamını değerlendirecek durumda olm adığına inanmıştım. Benim salık vermem üzerine, Enstitünün yönetm enler kurulu. M atematikçi D. A. Raikov ile A. 1. Nakhimovskaya'nın katıldığı bir takıma önderlik eden S. A. Yanovskaya'yı elyazmalan üzerinde çalışmakla görevlendirdi. 1931'de, Bilim ve Teknoloji Tarihi İkinci Uluslararası Kongresi Londra'da toplandı. Bu kongreye, üyeleri arasında bu saürlann yazan da bulunan bir Sovyet kurulu katıldı. Kurulumuzun bildirileri, Science at the Crossroads [Dönüm Noktasındaki Bilim, -ç. ] adlı ay n bir kitap olarak yayımlandı*. Bildiriler arasında benimki de vardı: "Karl Marx'in Matema­ tik, Doğal Bilim ler, Teknoloji ve B unlann Tarihleriyle İlgili Yayımlan­ mamış Çalışm alan Üstüne Kısa Bir Rapor”. Bu rapor tartışıldı: Birincisi, Marx'in 27 doğal bilim yapıtından kopya edip yorumlarla donatuğı parça­ lar: M ekanik, fizik, kim ya, yerbilim , yaşam bilim İle birlikte elektriksel teknoloji, m etalürji, tanm sal kim ya ve başkaları üstüne; İkincisi, yapımevleri tarihini, dokuma tezgahlan tarihini, mekanikleşmiş fabrikalarda oıomatlaşmış üretimi, aletlerden m akinelere ve makinelerden mekanikleşmiş fabrikalara gelişimi, üretimin mekanikleştirilmesinin ve modernleştirilme­ sinin İngiltere’deki dokuma endüstrisinin gelişim ine ve 1815-1863 döne­ minde proletaryanın durum una etkisini, çeşitli teknolojik gelişim aşa­

• Science al the Crossroads: 29 Haziran - 3 Temmuz 1931'de Londra'da top­ lanmış Bilim ve Teknoloji Tarihi Uluslararası Kongresine SSCB Kurulunca sunulmuş bildiriler, Kniga Ltd., Bush House, Aldwych, London W C2, 1931. I971'de yeniden basılm ıştır.

225

malarından toplumsal üretim sistemindeki değişm eleri, em ek ve bilim, kent ve kır arasındaki etkileşimi vb. konu edinen (önü 1863'e tarihlenen) teknoloji üstüne çalışmaları; üçüncüsü de Marx'm matematiksel elyazmalan. 1932'de, Zürih'te, bir Sovyet kurulunun da katıldığı bir Uluslarara­ sı M atem atikçiler K ongresi toplandı. Kongrenin "Felsefe ve Tarih" bö­ lüğünde, M arx’in elyazm alanndaki çalışmalardan birini tartışan bir rapor sundum: "Karl M arx’a Göre Diferansiyel Hesabın Yeni Bir Dayanağı".* Rapor, gerek matematik tarihi, gerek bilim işçisinin felsefi problemleriyle uğraşanlar bakımından pek ilginçti; çünkü, Marx'in diferansiyel kavramı­ nın tarihsel gelişimi üstüne bir taslağını ve çözümleme (analyis) temeliy­ le ilgili görüş noktasının bir anlatımını içeriyordu. Bu çalışma, elyazmalannın üçüncü kaıegorisindendir ve beş bölüm içerir: 1. Diferansiyel ve Diferansiyel Katsayısı [ o zaman & denen oran]; 2. Diferansiyel ve Didx feransiyel Hesap; 3. Diferansiyel Hesabın Tarihsel Gelişimi; 4. Taylor ve MacLaurin Teoremi; 5. Newton'un Kareleştirmeler Yönteminin Bir Eleşti­ risi. Üçüncü bölümün birinci, bütün çalışmanın çekirdeğini oluşturan parçası, N ew ton, Leibnitz, d'A lem bert ve Lagrange yöntemlerinin kısa birer açıklam asını içerir. Birinciyi özetleyen ikinci parça üç kesimden oluşur ve bunların içerikleri şöyledir: 1. Gizemsel Diferansiyel Hesap; 2. Ussal (Rational) D iferansiyel Hesap; 3. Katışıksız Cebirsel Diferansiyel Hesap. Başka bir parçada, M arx, kendi diferansiyel yöntemini d'Alembert ve L agrange'ınkilerle karşılaştırır. Onun yöntem i Lagrange'ınkinden farklıdır; çünkü Marx gerçekten farklılaştırır; dolayısıyla diferansiyel sem­ boller ortaya çıkar, oysa Lagrange farklılaştırmayı cebirsel ikiterimli açılı­ mına uygular. Her iki parçadan bellidir ki, Marx, Hegel gibi, çözümlemeye katı­ şıksız biçimsel-mantıksal bir dayanak bulmak için gösterilen bütün çaba­ lan, tıpkı, grafik yöntemle işe başlayarak, çözümlemeye katışıksız sezgi* E. Kol'man, "Karl Marx’a Göre Diferansiyel Hesabın Yeni Bir Dayanağı", [Almanca], Verhandlungen des İnlem ationalen M aıhem aıiker-K ongresses, Vol. 2, Seklions-Vertraege, Zürich, 1932, s. 349-351.

226

sel-görsel bir dayanak bulm a çabalarının bönlük olduğunun anlaşılması gibi, umutsuz saymıştır. Tarihsel ve mantıksal görünüşlerin birliğine gü­ venerek, çözümleme için diyalektik olarak bir dayanak bulma işini benim­ semiştir. Marx, yeni diferansiyel ve integral hesabın ögesel (elementary) ma­ tematikten doğup hem "şimdiden kendi tabanından bağımsız olarak işleyen bir hesaplam a biçimi" olduğunu, hem de "cebirsel yöntemin, kendisini tam karşıtına, diferansiyel yönteme dönüştürdüğünü" göstermiştir (bkz. bu kitapta, s. 21). M arx, Lagrange'ın yapıtına büyük değer vermiştir, ama onu, -çoğu zaman sayıldığı, Hegel'in de saydığı gibi- temel çözümleme kavramlarını m atem atiğe tümüyle sığ ve türev tarzında sokmuş bir biçimselci ve gelenekselci saymamıştır. Marx, Lagrange'da bunun tam karşıtını, yani, onun cebir ile çözümleme arasındaki bağlantıyı açığa vurduğunu, çö­ zümlemenin cebirden nasıl geliştiğini gösterdiğini ayırt etmiştir. "Yeni ile eskinin gerçek ve bundan ötürü en basit ilişkisi, yeni, son biçimini alır almaz ortaya çıkarılır ve diferansiyel hesabın bu ilişkiyi Taylor ve MacLaurin teoremleriyle kazandığı söylenebilir." (Bkz. s. 111) Ama M arx, Lagrange'ı bu diyalektik gelişim i anlamadığı için, ce­ bir alanına pek uzun zaman saplanıp kaldığı için, çözümlemeye özgü ge­ nel yasaları ve yöntemleri yetersizce değerlendirdiği, dolayısıyla "bu ba­ kımdan ancak b ir çıkış noktası olarak kullanılm ak gerekir" (bkz. Yanovskaya, 1968, p. 417) olduğu için de kınamıştır. Böylece Marx, gerçek bir diyalektikçi gibi, gerek yeninin XVIII. yüzyıl mekanik maddeselciliğinin yöntembiliminin eski karakterine katışıksız çözüm sel (analytic) indirgen­ mesini, gerek yeninin Hegel’e pek özgü biçimde dışardan tümüyle yapma (synthetic) tanıtımını reddetmiştir. Marx'in matematiksel elyazm alanyla ilgili raporlar, 1932’de, Za M arksislko-Leninskoe Estetsvonanie, Vestnik Kom m unisticheskoe AkacLemii, ve Front Nauki i Tekhniki dergilerinde de yayımlandı*. Sovyetlerde olduğu gibi, yabancı ülkelerde de, bilgili çevreler elyazm alanyla pek çok

* Za M arkssistko-Leninskoe E sleslvoznanie, 1932, No. 5-6, s. 163-168; Vestnik K om m unislicheskoi Akademii, 1932, No. 9-10, s. 136-138; Front Nauki i Tekhniki. 1932, No. 10, s. 65-69.

227

ilgilendi. Ama, yukanda anılan bilim adamları takımının çalışmasının bir sonucu olarak, elyazm alanndan ilk özelleri Pod Znamenem M arksizma Dergisinde ve aynı zam anda M arx'in 50. ölünı yıldönüm ü dolayısıyla Marx-Engels Enstitüsünce yayımlanmış Marksizm i Esıesıvoznanie Der­ mesinde yayımlamak ancak 1933'te* gerçekleşebildi. İki yayında da, takım önderi S. A. Yanovskaya’m n "K. Marx'in Matematiksel Elyazmaları Üs­ tüne" adlı makalesi ekliydi.** Yayımlanmış özetler, Marx'm [18]70’lerden [18]80’lerin başına tarihlenen üç çalışmasıdır. Marx, bunların ilk ikisini "Türev ve Sembolik Diferansiyel Katsayısı" ve "Diferansiyel ve Diferan­ siyel Hesap"- tüm üyle bitirip E ngels'e gönderm ek için hazırlam ıştır. Üçüncü Çalışm a, "Tarihsel B ir Taslak", bitm emiş bir tasarıdır. Bunun içerdiği üç bölümü: 1. G izem sel D iferansiyel H esap (yani, Newton ve Leibnitz); 2. Ussal (Rational) Diferansiyel Hesap (yani, d'Alembert) ve 3. Katışıksız Diferansiyel Hesap (yani, Lagrange), okura Marx’in yorumunu anımsatmak için, burada, takımın çevirisiyle veriyoruz, (s. 91-93) "1) G izem sel D iferansiyel Hesap. X\ - x + Az başlangıç­ tan, X\ = x + dx 'e veya x + x ’e [Marx, Leibııiiz'in dx ve N ewton'un x sem bolünü birlikte kullanır. E.K.] değişir; burada dx metafiziksel açıklama ile varsayılır, ö n c e var olur, sonra da açık­ lanır. "Ne var ki, o zaman y \ = y + dy veya y , = y + y . Keyfi varsayımdan şu sonuç çıkar: x + Az veya x + x ikiterim lisinin açılımında, örneğin birinci türeve ek olarak elde edilen z '1i, Az *li terimler, doğru sonucu elde etmek için, el çabukluğu ile giderilme­ lidir vb. vb. Diferansiyel hesabın gerçek temeli bu son sonuçtan, yani öngören ve türetileceği yerde açıklama ile varsayılmış diferan­ siyellerden doğduğu için, ^ veya 2. sembolik katsayıları da bu dx x açıklama ile öngörülür. * Aslında 1932, belli ki bir dizgi yanlışı. ** Pod znamenem marksizma, 1933, No. 1, s. 14-115; Marksizm i estestuoznanie, 1933, s. 136-180.

228

"x artım ı = Ax ve ona bağımlı değişkenin artımı = Ay ise, ^ ■ ’in r v e y artım larının oranını gösterdiği kendiliğinden anlaAx şılır (versieht sich von selbst). Ama bu, Ax'in paydada görünmesi­ ni gerektirir; yani bağımsız değişkenin artması payda bulunacağı yerde paydadadır, tersi değildir, oysa diferansiyel biçimin gelişmesi­ nin son sonucu, yani diferansiyel, dahi ta başlangıçta varsayılmış diferansiyellerle verilir.* ’’Bağımlı değişken y ’nin bağım sız değişken x ’e olanaklı en basil oranını varsayarsam , o zaman y = x. Ö yleyse biliyorum ki, dy = dx veya y = x

. Bununla birlikte, bağım sız [değişken] x ’in

türevini, ki burada = x ’tir, aradığım için, iki yanı da

x ’e veya

dx ’e bölm em gerekir; dolayısıyla, veya dx

= 1 x

"Bundan ötürü, ilk ve son kez biliyorum ki, sembolik dife­ ransiyel katsayısında [bağımsız değişkenin] artım[ı] (increment) paya değil, paydaya konmalıdır. "Ancak, ikinci dereceli x fonksiyonları ile başlanarak, türev, ikinci terim de dx veya x ile, yani, birinci derecenin artımı + el ça­ bukluğuyla giderilecek terimler ile bir arada, hazır (fix undferlig) göründüğü yerde, [bir açılım sağlayan] ikiterim li teoremi ile bulunuverir. Bununla birlikte, el çabukluğu (Eskamotage), bilinmeden, matem atiksel olarak doğrudur; çünkü, yalnızca, ta başlangıçtaki ilk el çabukluğundan doğan hesaplama yanlışlarım giderir. jc ı = x + Ax x ! = x + dx veya x + x ’e

* İngilizce melinde yıldız konduğu halde dipnot yazılmamıştır, -ç.

229

değiştirilm ek gerekir; dolayısıyla bu diferansiyel ikiterim li, o zaman, bayağı ikiterimliler gibi işlemden geçirilebilir; bu da teknik bakımdan çok elverişlidir. "Hâlâ sorulabilen biricik soru şudur: Terimlerin o gizemli örtbas edilişi neden yol üstünde duruyor? Bu, onların yol üstünde durduğunun ve türevle gerçekten ilgisiz olduğunun bilindiğini özel­ likle varsayar. "Yanıt çok basittin Bu, yalnızca deneyle bulunur. Yalnız gerçek türevler değil, daha karmaşık x fonksiyonları da, eğri denk­ lemleri olarak onların çözümsel biçimleri vb. de, uzun zamandır bi­ linmekteydiler, ama, olanaklı en kesin deneyle, yani ikinci dereceli en basit cebirsel fonksiyonun işlemden geçirilmesiyle de bulundu­ lar. örneğin:

y + dy = (x + dx)2 = x 2+ 2 xdx + d x 2, • 2 2 ' *2 y + y = (x + jc) = x + 2xx + x . "Orijinal fonksiyonu, £ (y = x ? ), iki yandan da çıkarırsak, o zaman 2

dy = 2xdx + dx y = 2xx + xx : Her iki [sağ] yanda, son terimleri örtbas ediyorum: dy = 2xdx , y = 2xx ve sonra

230

"Bununla birlikte, biliyoruz ki (x + a]/2 'nin ayraç dışındaki birinci terimi x? İkincisi 2xa 'dır; yukarıda 2xdx 'i dx ’e veya 2xx 'i x

'e böldüğüm üz gibi, bu anlatımı da a 'ya bölersek, birinci x2

türevi, yani ikiterimlinin 'ye eklediği x 'li artm a olarak 2x elde ederiz. Bundan ötürü, türevi bulmak için, kendi içlerinden dx? veya xx ile hiçbir şey başlayamayacağı olgusu tüm üyle görmezlikten gelinerek, d x2 veya x x örtbas edilm ek gerekti. "Onun için, deneysel yöntemde, -tam ikinci adımda- yalnız doğru sonucu değil, herhangi bir sonuç elde etm ek için bile, dx? ' nin veya x x 'in el çabukluğuyla giderilm esi gerektiği zorunlu ola­ rak kavranır. "Bununla birlikte, ikinci olarak, 2xdx + dx2 veya 2xx + xx 'te (x + dx)

2

*2 veya (x + x) ikiterimlisinin gerçek matematiksel an­

latımı (ikinci ve üçüncü terimler) vardı. B u matematiksel bakımdan doğru sonucun, matematiksel bakımdan temelinde yanlış olan, x / - x = Ax başlangıçtan x ı - x = dx veya x

'lir varsayımına

dayandığı bilinmiyordu. "Başka bir söyleyişle, el çabukluğuna başvurmak yerine, en basit türden bir cebirsel işlem le aynı sonuç elde edilip matematik dünyasına sunuldu. "Bu yüzden, m atem atikçiler (man . . . selbst), doğru (ve özellikle geom etrik uygulamada şaşırtıcı) sonuca, kesinlikle yanlış bir m atematiksel işlem le varan yeni bulunmuş hesaplama aracının gizemli karakterine gerçeklen güvendiler. Bu tutumla, kendileri gi-

zcmlileşmiş oldular, yeni buluşa daha yüksek bir değer biçtiler, eski ortodox m atem atikçiler kalabalığını daha çok öfkelendirdiler, uzman olmayanların dünyasında bile yankılanan ve bu yolun tutul­ ması için zorunlu olan düşmanlık çığlıklarının atılmasını sağladı­ lar." Marx, benzer bir tarzda, hem d'Alembert'in hem Lagrange'ın yönte­ mini eleştirel olarak çözüm leyip, önceden anıldığı gibi, üç yöntem e de kendi yöntemiyle karşı çıkm ıştır. Onun yöntemi, ilkin y = f(x ) için, x 'te sürekli olduğu, değerinin de *ı - x durumunda/Y*J 'e eşil olduğu var­ sayılan "başlangıç türevi”

X x- X

geliştirm ektedir. K uvvet fonksiyonu y = x? durumunda ( x \ - x * ) ! ( x \ - x) x " l + x x * '2 + . . . + x " 2x ı + x n ' çokterim lisine dönüştürülür ki bu, x x = x için f ( x ) = nxn ' 1 verir. Ondan sonra Marx bu sürecin sembolik gösterimini sunar ve onunla, "başlangıç türevi"

, / '( * ) = ^

'ye

indirgenir; burada sembolik diferansiyele katsayısı ^ 'in (parçal iki dy ve dx dx nicelikleri olarak değil) yalnızca bir birim (unit) olarak dolaysız bir değeri vardır. Bununla birlikte, Marx,

dy = f '(x) dx denklemi matematiksel bakımdan doğru olduğu ve

0 = 0

232

(* )

eşsözüne (tautology) indirgenmediği için, onun, bundan dolayı, bileştiren fonksiyonların tam bir farklılaştırmasına indirgemeyi olanaklı kılarak kar­ maşık fonksiyonlara uygulanabilir işlemsel [vurgu aslında vardır, -Trans.] bir formül olduğunu bildirir. Bu yolla, yöntemin diyalektik tersine çevril­ mesini elde ettiğimizi belirtir: Şimdi yalnızca türevin gerçek matematiksel biçimlenme sürecinden onun sembolik anlatım ına ilerlem ekle kalmayız, ama tersine, sem bolik formül (*) ile işlem yapıp ^ oranını geliştirerek dx fonksiyonun türevinin anlatım ına ulaşırız. Sonuç olarak M arx, diferan­ siyelin yalnızca artım ın büyük doğrusal parçası olduğunu değil, ama iş­ lemsel bir sem bol de olduğunu bularak, sonlu bir sayıdaki basamaklarla belirli bir problem sınıfının çözümü için doğru bir öğretim amacıyla bir araştırına olm ak anlam ında, bugün algoritm ik diyebileceğim iz bir yol boyunca ilerlem iştir. Marx, matematiksel gelişim in ana yolu olan bir yol üzerindeydi. Onun elinde güçlü, etkili bir araştırm a aleti olan diyalektik maddeselci yöntemin yardımıyla, Marx, matematikçi değilken, bir işlem­ sel sembol gibi kullanılm ış diferansiyelin özelliğini açıklayabilmiş, böylece, Sovyet M atem atikçi V. 1. G livenko'nun gösterdiği gibi, seçkin Fransız M atem atikçi G. Hadamard'ın bu fonksiyonel çözüm lem e kav­ ram ının uygulanm asıyla bağlantılı olarak 1911 'de bildirdiği düşünceyi önceden görmüştür.* M arx'ça bulunup ortaya konan diferansiyel hesap temeli, tarihsel ve felsefi anlam ına karşın, onun bilmediği başka bir yol izlemiş olan mate­ matiğe girm em iştir. Marx'm incelediği kaynaklar (ki sayılan Gumbel'in, j. -L. B oucharlaı ve J. H ind'inkiler gibi M arx'in ayrıntılı özetlediği çö­ zümleme kitaplannı bile anmadığı makalesinde bildirdiğinden epey çoktur) A. Cauchy'nin 1821-1823'te limitler teorisini geliştirdiği (Cours d'analyse ve Resum e des leçons sur le calcul infinitesim al) y apıtlannı anmazlar; Cauchy'nin teorisi, daha sonra (1880) K. W eierstrasse’in giderdiği kusurlar içermekle birlikte büyük özenle kotarılm ıştır ve M arx’in sunduğu temeli gereksiz kılm ışsa da, tarihsel ve felsefi değerini azaltm am ıştır. M arx,

* V. 1. Glivenko, "M anı'ta ve Hadamard'da Diferansiyel Kavramı", (Rusça) Pod Znamenem M arksizma, 1934, No. 5, s. 79-85.

233

1816-1817'de limit, süreklilik, seri yakınlaşması kavramlarını -bugünkü çözümlemenin temelini atm ış olan kavramları- tanımlayan Praglı seçkin Mantıkçı, matematikçi ve Filozof B. Bolzano'nun yapılını bilmiyordu ve bilemezdi; çünkü küme teorisi ile gerçek sayılar teorisinin başlangıçlarını içeren 1830-1848 tarihli başka çalışm alar gibi, onun çalışmaları da uzun zaman bilinmeden kaldı. Bunlar, ancak bir yüzyıl sonra matematikçilerin eline geçti. Doğaldır ki, Marx, bu yüzden, süreklilik problemlerini, fonk­ siyonların farklılaştırılabilirliğini, çözüm ü aksiyom laştırm ayı vb. göz önünde tutmadı. Bununla birlikte, Marx'm matematiksel elyazmalannm değeri, dife­ ransiyel hesaba bir dayanak sağlaması ve önceki yöntemleri eleştirmesiyle hiçbir biçimde sınırlanmış değildir. Elyazm alannm gerçek önemi, ancak hepsi okunup bilimsel olarak sınıflandıktan sonra ortaya çıkm ışım 1932' de ve (Gumbel'in yaraş tıklan dikkati vermediği) okunmuş elyazmalarından yukanda anılan üçünün 1933’te yayımlanmasıyla birlikte, isveçli M atema­ tikçi Wildhaber, Marx-Engels Enstitüsü adına çalışmaya başladı. Elyazmalanyla ilgili çalışma 1950'lerde gene geri kaldı ve biraz sonra (1960-1962) G. F. Rybkin bu işle ilgilendi. Bütün bu çalışma -okuma, çevirme, araş­ tırma ve kaynak derleme- olağanüstü öğretim ve diplomalı öğrenciler ha­ zırlama yüküne karşın, ağnlı bir hastalığa karşın, matematik tarihi ve fel­ sefi problemleri konusundaki olağanüstü bilgisini bu işe, onu yaşamının yapıüna dönüştürmeye veren S. A. Yanovskaya'nın önderliğinde yürütül­ dü. S. A. Yanovskaya’nın elyazm aları üstüne yorumları (gerek yukanda alıntılanan, gerek SBKP Merkez Komitesi'nin Marksçılık-Lenincilik Ens­ titüsünce hazırlanmış ciltte içerilenler), kendi başlarına, önemli bir bilim ­ sel çalışma oluştururlar. K. A. Rybnikov elyazmalannm yayıma hazırlan­ ması (özellikle çetin araştırm a ve kaynak derleme) için büyük çaba gös­ terdi. Cildi yayıma M arksçılık-Lenincilik Enstitüsü Üyesi, Tarihçi O. K. Senekina ile Nauka Basm'ın yayım cısı, M atematikçi A. Z. Rybkin ha­ zırladı. Birçok yıl süren (S. A. Yanovskaya, 1966 Ekiminde ölünceye dek, elyazm alanna emek verdi) bütün bu çalışmanın bir sonucu olarak, genel­ likle matematik tarihindeki ve ayrı matematik kavram lanndaki en önemli bir dizi problemle birlikte onlann bilgi teorisi bakımından (epistemologi-

234

cat) [aslında "gnoseological", -trans.] anlamı üstüne Marx'm düşünceleri­ ni, geçen yüzyılın 80'lerinde m atem atik gelişim inin baş döndüren özellikle de matematiğin mantıksal- felsefi tabanını kapsayan gidişine kar­ şın çağdaşlıklarından en küçük bir şey yitirmeyen düşüncelerini içeren bir İcitap çıktı. M atematik tarihçileri için ve felsefi m atem atik problemleriyle uğraşan filozoflar için M arx'm görüşleri, her harfi, ivedi gereksenen yiye­ cek torbasındakileri sayarcasm a izlenen bir alıntılam a biçim inde değil, ama tersine, yaratkan, som ut diyalektik düşünm e uygulamasının eşsiz bir örneği biçiminde, bir kılavuz gibi iş görecektir. Ayrıca, M arx’m matem atik elyazm aları, büyük dostunun mezarı başında Engels'in söylediği sözlerin doğruluğunu bir kez daha saptamak­ tadır. İnsan tarihi gelişim inin yasasını ve kapitalci üretim in hareket ya­ sasını bulmuş bir bilim adamı olarak M arx'tan söz ederken Engels şöyle demişti: "Böyle iki buluş bir ömre yeter. Böyle bir tek buluş bile yaptığı onaylanmış kişi mutludur. Oysa Marx incelediği her ayrı alanda -ki hiçbiri boşuna olmamak üzere pek çok alanı incelemiştir-, her alanda, matematik­ te bile, bağımsız buluşlar yaptı."*

* M arx-Engelj, Selected Works, Volume Two, p. 153-154, Foreign Language Publishing House, M oscow. Konuşma Almanca biricik yazıh versiyonundan İngiliz­ ceye yeniden çevrildL Sozialdemokrat, Zurich, March 22. 1883.

235

HEGEL VE MATEMATİK Yazanlar: Ernst Kol'man ve Sonya Yanovskaya M A R K SÇ ILIK B A YR A Ğ I A L T IN D A

' DAN

Sovyeller Birliği'nde Hegel'in bilimsel incelenm esine gösterilen pek büyük ilgi, Lenin'in felsefî kalıtında pek iyi doğrulanır: "M odem doğal bilim ciler (araştırm ayı bilirlerse, biz de onlara yardım etmeyi öğrenirsek), doğal bilimdeki devrimle ortaya çıkan ve aydın burjuva moda düşkünlerini gericiliğe "iten" felsefi bir dizi problemin yanıtlarını, maddeselci tarzda yorumlanmış Hegel diya­ lektiğinde bulacaklardır." Maddeselcilik, militan maddeselcilik olmak isliyorsa, kendisini bu işe verip onu sistemli olarak gerçekleştirmeye çalışmalıdır; yoksa "seçkin doğal bilim ciler, şimdiye dek sık sık olduğu gibi, felsefi tümdengelimlerinde ve genellemelerinde yardımsız kalacaklardır. Çünkü doğal bilim bütün alanlarda öyle çabuk ilerliyor ve öyle büyük devrimci karışıklık geçiriyor ki, belki de felsefi tümdenge­ limleri başaramıyor." ("Militan Maddeselciliğin Anlamı üstüne") Sovyeller Birliği’nde bilim ve m atematik, burjuva düşüncelerin baskısına karşı ve yeniden onarılmaya kalkışılmış burjuva dünya görüşüne karşı savaşımlarını şimdiye değin olduğunca başarılı ve saldırganca sürdür­ mek için, Hegel diyalektiğinin maddeselci görüş noktasından incelenmesi­ nin yardımıyla, felsefi temellerini berkitmeye ve genişletmeye uğraşagelmişıir.

236

Çeşitli yapıtlardan ve M arx-Engels yazışm alarından, özellikle de Anti-Dühring ile D oğa Diyalektiği Lenin'in felsefi çalışmalarından çeşitli parçaların yanı sıra, matematiğin am açlan için, M arx’m daha önce yayım­ lanmamış, M oskova’daki Marx-Engels Enstitüsünde fotokopileri bulunan, sık satırlarla yazılm ış 865 yapraklık elyazm aları da göz önünde tutul­ malıdır. Bu yapıtın özellikle farklılaştırmanın doğası ve Taylor Teoremi ile ilgili parçası önceden okunmuştur. M addeselci diyalektik Hegelci matematik felsefesinin rolünü nasıl değerlendirir? Marksçılık-Lenincilik şu ilkeden yola çıkar: "D iyalektiğin Hegel'in elinde katlandığı gizem selleştirm e, onun genel hareket biçim lerinin kapsam lı ve bilinçli bir gösterimini ilkin Hegel'in sunmuş olması gerçeğini gözden gizlemez. Diyalek­ tik Hcgel’de baş aşağı durur. Gizemsel kabuğun içindeki ussal (ra­ tional) çekirdeği onaya çıkarmak için diyalektiği doğrultup yeniden ayakları üstünde durdurmalıdır." (Marx, Kapital 'in ikinci Basımına Sonsöz, 1873). Marx bundan ölürü, doğal olarak, Hegel'in matematik felsefesini, maddenin olumlu çekirdeğini ve onun doğru ötelenmesini ve dönüşümünü gizem sel olarak çarpıtılm ış düşünselin olum suz kabuğundan ayırmayı bilen bir eleştiriciliğin görüş noktasından da dikkate aldı. Böylece, Hegel' in matematik felsefesinde olumlu ve olumsuz dokum ayı birlikle görüyo­ ruz ve maddeselci çekirdeği düşünselci kabuklan kurtarmayı kendimize görev ediniyoruz. M arksçılığı kuranların Hegel'in m atem atik felsefesiyle ilgili tu­ tumları, Engels'ten alıntılanmış şu parçada görülebilir: "Engin bir matematiksel bilim sel eğitim i olm adığını söyledikleri Koca Hegel konusunda bir yorum yapmadan geçemem. Hegel öyle iyi m atem atik bilirdi ki, öğrencilerinden hiçbiri onun kağıtları arasındaki sayısız matematiksel elyazmasını yayımlayacak durumda değildi. Bildiğime göre bunu yapabilm eye yeter matematik ve fel237

sefe bilgisi olan tek kişi Marx'tir." (Engels, A. Lange'ye Mektup, 29 M an 1865)* Biz diyalektik maddeselciler, matematik alanında Hcgel felsefesinin artamım şu olguda görüyoruz: Hegel, 1. nitelik diyalektiğinin bir sonucu olarak niceliğin nesnel doğu­ munu pek zekice kestiren ilk kişiydi; 2. matematiğin konusunu ve ona uygun olarak bilim ler sistem in­ deki rolünü doğru belirledi ve kendine özgü nicelik tapıncakçılığı (fetis­ hism) ile birlikte burjuva dünya görüşünün çatısını param parça eden, özünde maddeselci bir matematik tanımı yaptı; 3. diferansiyel ve integral hesap alanının yalnızca nicel bir alan ol­ madığını, tersine, som ut kavram a özgü nitel momentleri ve özellikleri önceden içerdiğini (içsellikle çelişkili momentlerin birliği); ve dolayısıyla, 4. sonsuz küçük hesabını öğesel (elementary) matematiğe indirge­ mek, ikisi arasındaki nitel sıçram ayı yok etmek için gösterilen her ça­ banın daha başlangıçtan talihsiz sayılmak gerektiğini; 5. matematiğin, kendi kaynaklarından dolayı, teorik felsefi düşün­ cenin yardımı olmadan, kendisinin kullanadurduğu yöntemleri haklı göste­ recek bir durumda olmadığını; 6. Diferansiyel hesabın kökeninin, matematiğin kendi gelişiminin gerekleriyle belirlenm ediğini, tersine, kaynağının ve dayanağının pratik gereksemelerde bulunduğunu (maddeselci çekirdek); 7. diferansiyel hesap yönteminin belirli doğal süreçlerin bir benze­ rini gösterdiğini ve bundan dolayı kendi içinden kavranamayacağını, tersi­ ne, ancak bu yöntemin uygulamaya kavuştuğu alanın özünün içinden kav­ ranabileceğim bildi. Hegel'in düşünselci sistem inin katı zorunluğuna uyan matematik görüşünün eksikleri, yanlışlan ve yanılgılan, diyalektik maddeselci görüş noktasından, şu olguya dayanır: * Bundan önceki makelede de başka kaynak gösterilerek alm ulanm ı; bu par­ çanın iki çevirisi arasındaki fark okurun gözünden kaçmamı; olmalı. Bu, İngilizce metindeki farklılıktan ileri geliyor, -ç.

238

1. Hegel inanır ki, bir bütün olarak diferansiyel hesap yöntemi ma­ tematiğe yabancı bir yöntem dir, öyle ki m atematiğin içinde öğesel ve yüksek m atematik arasında hiçbir geçiş yaratılamaz; sonuç olarak, yüksek matematiğin kavram ları ve yöntemleri matematiğe ancak dışsal ve keyfi bir tarzda, dışsal yansıma ile sokulabilir iseler de, yeni ile eskinin özdeş­ liğinin ve farkının bir birliği olarak diyalektik gelişim yoluyla doğmazlar, 2. Hegel, böyle bir geçişin, kendi felsefi sistem inde, ancak m ate­ matiğin dışında kavranabilir olduğunu düşünür, oysa genellikle matematik gelişiminin gerçek diyalektiğini kendi felsefi sistem ine aktarm aya zor­ lanır, 3. ama bunu çoğu zaman çarpılan ve gizemleştiren bir yolla yapar, böyle yaparak da o zaman henüz bilinm edik gerçek ilişkilerin yerine düşünsel, fantastik ilişkiler koyar ve böylcce, çözüm lenm em iş bir prob­ lem karşısında kesin tutum takınması gereken durum da, görünüşle bir çözüm yaratır, kendisini de onu gününün matematiğiyle kanıtlama ve sa­ vunma görevini üstlenmek zorunda bırakır ki, bu da çoğu zaman düpedüz yanlıştır; 4. H egel, olgusal m atem atik gelişim ini mantıksal kategorilerin, düşüncenin öz gelişiminin bu momentlerinin bir yansıması sayar ve diya­ lektik yöntemi bilinçli olarak uygulayacak ve bundan ötürü kendi kavram­ larının ve yöntemlerinin gelişiminin gerçek diyalektiğini ortaya çıkarabi­ lecek, nitel ve çelişkili momentleri kendi içine dışsal yansımalarla basitçe almayacak bir matematik kurma olanağını yadsır; 5. buna karşılık olarak, yalnızca m atem atiği diyalektik mantık yöntemiyle yeniden kurm a görevini üstlenme durum unda kalmaz, mate­ matiğin temel kavram larını ve yöntemlerini doğru eleştirm iş olmasına karşın, gününün matematiğinin ardınca ağır ağır ilerlemek zorunda kalır, 6. L agrange'ın sonsuz küçük hesabı kanıtlam asını, o kanıtlam a sonlunun matematiği (cebir) ile sonsuzun matematiği (çözümleme) arasın­ daki gerçek ilişkileri ortaya çıkardığı için değil, tersine, Lagrange diferan­ siyel bölümü (quotient) matematiğe tümüyle dışsal ve keyfi bir yolla sok­ tuğu için yeğler; H egel bununla Lagrange’ın alışılm ış sığ yorum una boyun eğer;

239

7. bir diyalektik m atematik olabilirliğini yadsır ve m atematiğ önemini yaraşmadığından daha çok, aşın küçültmeye çabalarken, öğesel matematikteki (aritmetikteki) nitel (diyalektik) momentleri toptan yadsır. Bununla birlikle, onlann varlığı Hegel gibi bir diyalektikçiye göre belli olduğu için, bir noktada ("Nicelik" bölümünde) onlan kovarken başka bi­ rinde ("Ölçüm") onlan yaratmak zorunda kalır. Hcgel'in matematiğin konusunu doğru olarak kavramadaki artamı, maddesel gerçekliği çarpıtılmış bir yolla yansıttıklan için, pek çeşitlenmiş düşünselci ve seçmeci felsefi eğilimlerde bu sorunun günümüzde bile pek büyük güçlüklere yol açması olgusu karşısında, değerlendirmemizde yük­ sekte tutulmaya yaraşır. Böylece, Kant'ı izleyen sezgiselciler (Weyl, Brouwer), matematiğin konusunu katışıksız a priori (önsel) sezginin biçimlendirdiği görüşünü tu­ tarlarken, Leibnitz'ten beri matematiği mantığın parçası sayan m antıkçı­ lar, aksiyomlarda ve teoremlerde us (reason) yasalarını görürler. H ilben gibi biçimselciler, matematiği yalnızca çeşitli kombinezonlar ve dönüştü­ rümler biçimlendirmemize izin veren bir kurallar dermesi sayarak, onun belirli bir konusu olduğunu tümüyle yadsırlar. M atematiği fiziğin parçası olarak sınıflayan ve özgül doğasım yadsıyan mekanik deneyciler, onun ko­ nusunun fiziksel uzay ve fiziksel zaman olduğunu sanırlar. Başkaları da, Mach gibi, matematiğin konusunu nıhbilimde ararlar, vb. Ama, bütün bu tanımlamalar, bu felsefi sistemlerden hiçbirinin üs­ tesinden gelemediği güçlüklere yol açarlar. Bildiğimiz gibi, yeni-kantçıların (Bieberbach, Nelson) Öklidseldışı geometri ile katışıksız a priori (ön­ sel) düşünmeyi uzlaştırmada karşı koymaları gereken güçlükler birkaç tane değildir. M antıkçılar (Russel, Frege), matematiği konunun yeni bir bilgi­ sini sağlamada yeteneksiz koskoca bir eşsöze döndürmek için, onun nesne­ siz, öznesiz, eylem siz ve yüklemsiz bir gramer, "ve", "veya", "ise", vb. bağlacının bir grameri olduğu görüşünü tutmaya zorlanırlar. Mekanik de­ neyciler, çok-boyutlu geometriyi kendi sistemlerinde sınıflamaya güç yetiremeyip matematiksel bakımdan olanaklı, ama m atem atikten artakalanı dışaran bir geometriyi yeğ tutmakla karşı karşıya kalırlar. Matematiği boş sembollerle bir çeşit satranç oyununa dönüştürm üş olan biçimselciler, 240

onun teknoloji, bilim ve istatistikteki rolünii açıklayacak durumda değil­ dirler. M atem atiksel kavramları ve işlem leri yalnızca kullanışlı, ussal bakım dan ekonom ik uzlaşım lar sayan uzlaşım cılar (conventionalist) (Henri Poincare), sorulmuş sorudan böylece kaçınırlar ve bu kavramların gelişimi konusunda herhangi bir demeç vermeye yeteneksizdirler. Dolayısıyla, her biri gerçekliğin yalnız bir yanını kavrayan bu fel­ sefi okullardan hiçbiri, matematik ile pratik arasındaki bağı ve onun ge­ lişim yasalarını anlayacak durumda değildir. Yalnız Hegel, matematiğe maddenin özünü kavrar gibi bir tanım, H egel'in görüşlerinden tümüyle bağımsız olarak, gerçekten baştan sona maddeselci bir tanım verdi. H egel'e göre m atem atik nicelik bilim idir, yani, nesneleri başka nesnelerden ve gelişimlerinin başka bir aşam asında kendilerinden değil, ama yalnız dışsal ve değişmeye karşı ilgisiz yandan betimleyen bu- belirle­ menin bilimidir. "Katışıksız matematik, gerçek dünyanın uzay biçimleri ve nicelik ilişkileri ile, yani, gerçeklen pek gerçek olan maddesel ile ilgilenir. Bu m addeselin aşırı soyut bir biçim de görünmesi olgusu, onun kökenini dış dünyadan yalnız görünüşte gizler. Ama bu biçimleri ve ilişkileri kendi katışıksız biçim lerinde incelem eyi olanaklı kılmak için, onları içeriklerinden tüm üyle ayırm ak, içeriği konu dışı olarak bir yana bırakmak zorunludur." (Engels, Anti-Dühring, 1878, pp. 51-52) M atematik ile maddesel gerçeklik arasındaki bu bağlantı, Hegel'in m atem atik konusu tanım ının m addeselci yorum unu türetir. Fiziksel uzayımızın uzamsal (spatial) ilişkileri bu tanım ın gereklerine uyar ve uzamsal biçimler, Hegel'e göre, matematiği ilgilendirm eseler bile, mate­ matik konuşudurlar, çünkü çeşitli nicel "yorumlara" olanak veren herhangi bir ilişki matematik konusu olabilir. Dolayısıyla, örneğin vektör çözüm­ lemeyle konu edilen burgaçlar, elektrodinamiği olduğunca bir sıvıyı da il­ gilendirir; am a bu, o m atem atiksel burgaçlar düşüncenin bir ürünüdür demek değildir, tersine, onlar nicel gerçek gerçeklik, yani nicel maddesel gerçeklik ilişkilerini kendileriyle yansıtırlar demektir. 241

Böylece H egel’in tanımı m atem atiğin gerçek özünü kavrar, onun maddesel gerçeklik ile bağını kavrama olanağını sağlar ve aynı zamanda, matematiğin sınırlarım, bir bütün olarak ve gelişimleriyle nesnel (madde­ sel) gerçekliği yansıtan bilim ler sistem indeki yerini ve rolünü gösterir. Yukarıda anılan tanımlar, bu tanımın görüş noktasından, yalnızca a limine (başlangıçtan) red edilebilmez, tersine, gerçekten giderilir. Onlann her bi­ rinde gerçek öğeleri (moment) "bilgi tanınıılanndan, yanlarından, yönle­ rinden biri" tek yanlı abartılmış ve şişirilmiş, "maddeden, doğadan ayrıl­ mış, saltık (absolute) bir tannlaştırılm ışa" gelişir sayılabilir. (Lenin, "Diyalektik Sorunu Üstüne", Volum e 38, Collected Works, p. 363) Bu, Hegel o tanım ların tek yanlılığının üstesinden tümüyle gel­ meye güç yetirem ediyse bile, yapılabilir. Çünkü H egel'de, çoğu zaman epey seçmesellikle (eclectically) karıştırılmış, yalnız Leibnitz'in lojistiği­ ni değil, Kant'ın a priori düşünme öğelerinden yorumlarını, gerçekte mate­ matiksel anlatımların nesnel doğruluğunun uzlaşımcı ve biçimselci yad­ sınmasını bile basitçe yankılayan m otifler işitildiği olur. D olayısıyla Hegel, gerçekte, m atem atiksel yöntemin soyut, biçimsel özünü doğru be­ timler. O yönteme göre "önce tanımlar ve aksiyomlar kurulur; onlara teo­ remler iliştirilir, teoremlerin kanıtlaması yalnızca anlık (understanding) ile o kanıtlanmamış postulatlara indirgenmelerini içerir". (Hegel, System o f Philosophy.) Oysa kendisi, aştırılmış* olan aksiyomların keyfi ve dışsal karakterine yol açan bu yöntemin evrimine -matematikçiler ve matematik filozofları çoğunluğu bunu bugüne değin de tanımamıştır- ve matematiğin evrimi sırasında biçim sel-m antıksal anlık öğelerinin diyalektik öğelerce bir yana itildiğine gözlerini kapayarak, matematikte eşsöz (tautology) öğe­ sini tek yanlı olarak abartır. Hegel'in matematikte duyumsal öğelerin varlığını yanlışsız belirt­ tiği doğrudur, ama matematiğin bütün içeriğini, Kant gibi, soyut duyum ­ sal sezgiye indirgem ekle ona aşın güvenir. Çünkü matematiğin "kavram­ larla değil, tersine, duyumsal sezgilerin soyut belirlem eleriyle ilgili", bu konuda özellikle "geometri [nin, -ç] duyumsal, veya soyut uzay sezgisiyle ilgili" olduğuna inanır ki, bu duyumsal öğenin geom etride açık olarak * Diyalektik bir süreçte, bir bireşimde (synthesis) parçal bir öğe olarak bir öğeyi gcçersizleştirm ek, ama aym zamanda koruyup yükseltmek anlamına gelen to sublate sözcüğü, dilimize aştırmak diye çevriliyor. -Ç.

242

özellikle söylendiği ölçüde doğrudur, ama geom etriyle ilişkili olarak bile saltık (absolute) kılınmamalıdır. Üstelik Hegel kendisi, yalnız o soyul du­ yumsal algılarla ilgilenen bu bilimin bile "gene de kendi yolunda, en çok da sonunda, belirlemede daha ileri gitmek isterse, anlık (understanding) il­ kesinin ötesine sürüklendiği yerde, ölçülem ezliklerle ve ussaldışılıklarla (irrationality) çarpışır" olduğunu kabul edecek denli ileri gider. (Aynı ya­ pıt.) Sonunda, Hegel, deney yasalarını hesaplama sonuçlan gibi sunmayı deneyen "Newtoncu kanıtlann bile el çabukluğu [nu, -ç.] ve şarlatanlığı [nı, -ç.]" haklı olarak eleştirir. Bir matematiksel formülün her bir üyesi­ nin, kendi başına, asla somut bir anlamı olmak gerekmediğini ve sonucun matematiksel doğruluğunun, hesaplam a sonucunun gerçek duyumunun güvencesi olm adığını (yani ona bir varlığın karşılık olmadığını) ileri sü­ rerken tüm üyle doğrudur. Ama bu, Hegel'de, aynı zam anda şuna varır: Hegel, genelde matematiksel önermelerde, böyle olmaları sıfatıyla kendile­ rinde, doğruluğu yadsır; matematiği, bugünkü biçim selciler gibi, nesnel doğruluğu bakımından değil, yalnızca nıanuksal iç bağlamı bakımından, yani bir hesaplam a olarak göz önünde tutar, am a kendi araştırma konusu bulunan bir bilim olarak görmez. Soyut nicelik belirlemenin bilim i olarak m atem atik, gerçekliğin ancak bir yanını tanımlayabilir. Onunla fizik arasında aslında köklü bir fark, bir düğüm , yeni niteliğe bir geçiş vardır. Çünkü fizik maddeyi as­ lında nitel, özsel yanından araştırır. M addenin m olekülleri, atomları ve elektronları artık karşılıklı farklılaşan nesnelerin niteliklerini değiştirme­ den ortaya çıkabilecekleri ilgisiz ilişkiler değildirler. Bu yüzden fizik mate­ matiğe indirgenem ez; matematiğin bilimde rolü sınırlıdır. Bu görüş nok­ tası, K ant'ınkine tümüyle karşı çıkar. Onun görüş noktasına göre, bilim, ancak matematik onda bir yer bulduğu ölçüde adına yaraşır. H er şeye karşın burjuva düzenin soyut para-alışveriş ilişkilerinin yalnızca bir yansım ası olan nicelik tapıncaklaştırm asm a (fetishisation) karşı çıkm akla, Hegel, bu durumda burjuva felsefe çatısını gerçekten çö­ kertir. N e var ki, başka bir sınıfa dayanmadığı, yalnız burjuvazinin bir fi­ lozofu olduğu ve öyle kaldığı için, ancak bunu, özünde tümüyle maddeselci görüş noktasını, düşünselci bir yolla, böylece de gemlenmemiş bir azmanlığa (hypertrophy) geliştirir. Hegel'in görüş noktasında maddeselci

243

olan şey, kesinlikle, fiziğin felsefede ve bilimde düşünselciliğc en büyük hizmeti etmiş kötü ünlü "maıemalikleşıirilmesi" olgusuyla özellikle ay­ dınlatılır. Maddesclciliği küçüm seyen Doğa Filozofu Abel Rey, boşuna şöyle yazmamıştır: "fizikteki bunalım, fizik ülkesinin matematiksel ruhça fethine bağlıdır" (Abel Rey, La Thâorie physique chez les physiciens, Paris 1907, Lenin'ce almiılanm ıştır, Vol. 14, p. 3 0 9 )" 'maddenin yittiği’, yalnız denklemlerin artakaldığı bir bunalım" (aynı yapıt). Ne olursa olsun, bilim de olm uş olan -iki bilimin, fizik ile m ate­ matiğin birlikle betimlenmesi- Lenin'ce bilim için anlamlı bir başarı ola­ rak değerlendirilmiştir. Bu, Hegel'i maddeselcilikle yorumlarsak, Hegel'le tam uyum içindedir. Hegel’in matematikteki kavramların gelişimini tanı­ madığı doğrudur; çünkü m atem atiği felsefenin parçası, yani "kavramlar" ile ilgilenen bir bilim saymamıştır. "Alışılmış matematiğin Anlığın (Understanding) yöntemine göre varsayımlardan çıkardığı şey, Kavramlar ile bir felsefi matematik bilme düşüncesi de kavranabilir. Bununla birlikte, matematik sap­ tanmış ve kendi sonlulukları içinde geçerli kaldıkları ve onun ötesi­ ne geçmedikleri varsayılm ış sonlu büyüklük belirlemelerinin bili­ mi olduğu için, özünde Anlığın bir bilimidir; ve yetkin bir tarzda bu olmaya güç yetirebildiğinden ötürü, öbür bilimler üzerinde bu üstünlüğü sürdürmek, gerek tümüyle farklı bir doğası olan Kavram ile, gerek deneysel uygulamalar ile karışarak anlığının bozulmasını kabul etmemek gerekmesi daha iyidir." (Hegel, Philosophy o f N a­ ture, M iller trans., p. 38) Ama bu, Hegel o gelişim i tüm üyle gözden kaçırm ıştır demek değildir. Hayır, Hegel onu matematikten kendi felsefe sistemine yalnızca aktarmış ve bu noktada tam gelişim birliği istemiştir. Geometri ile mekanik arasında bir birlik olmalıdır, her şey bir diya­ lektik tümdengelim zinciriyle, gelişim zinciriyle bağlanmalıdır. Uzayımı­ zın kesinlikle üç boyutu bulunduğu olgusu bile, açıklanmasını gelişim birliğinde bulm alıdır; oysa bu yalnız m atem atikle başanlam az, ama,

244

Hegel'in söylediği gibi, felsefe ile, diyalektik maddcselciliğin doğruladığı gibi, fizik ile başarılır. Fizik ile matematik arasında bir indirgeme (reduc­ tion) birliği, b ir özdeşlik ve fark birliği değil, bir gelişm e birliği vardır. Çünkü bu iki bilim den yalnız biri değil, öbürü de, doğruladığımız gibi, kendi karm aşıklığının ve gelişiminin farklı düzeylerindeki gerçek, yani m addesel, gerçekliği gösterir. Fiziksel uzay geometri ve mekanik, biri doğrudan doğruya öbürünün üstünde duran böyle iki alandır; kütle çekimi (gravitation) ilkesi ile maddesel uzay-zaman özgülüklerinin öğretisi ara­ sında, bundan ötürü bir bağ, ama aynı zam anda bir de fark olmalıdır. Bu bağı ortaya çıkarm ak için geometriyi daha çok geliştirmeli, deyim uygun görülebilirse, "fizikleştirm eliyiz1'. Geometri kendisini Fiziksel içerikle dolduracak uygun yönde ilerle­ memiş olsaydı, Einstein ilişkinlik (relativity) teorisini geliştirem ezdi. Riemann'ın diferansiyel geometrisi, ö k lid geometrisini geçerliğini yalnız bir öğe gibi bırakarak, değişmeyen "katı" (rigid) uzaylı geometriyi, değişe­ bilen "sıvı” (fluid) uzaylı, Ö klid gemotrisini yalnızca kendisinin sonsuz küçük bir parçasında alıkoyan, "ya uzayın dayandırıldığı gerçekliğin ayrı [veya "soyul" (diserete), -ç] bir çokluk oluşturduğu, ya da ölçü ilişkileri­ nin onlara, onları oluşturmak için etki yapan güçlerin dışında aranması ge­ reken" (aynı yapıt, p. 284) bundan ötürü, alınan yol "tarih'e dayandırıldığı için, cisim lerin karşılıklı 'uzaklık'lannda arlık 'ilgisiz olm adıkları bir uzayı konu edinen geometrinin sürekli eğriliğine bağımlı kılarak ve kata­ rak, -terimi Hegel'deki anlamıyla kullanırsak- o geometriyi aştırır. Fizik aştırılıp m atem atiğe kapsatılm ıyor; tersine, matematik gittikçe daha çok nicel ölçü öğesi kapsayarak gelişip fiziğe yaklaşıyor. Onun için bu geliş­ me, Hegel'in "kavram sız” m atematikte diyalektiği hoş göremeyen siste­ miyle baştan sona çelişse bile, tümüyle onun yönteminin maddeselcilikle yorumlanmış anlamında ilerliyor. Bu yüzden, fiziksel ilişkinlik (relativity) teorisinin başarılan artık Hegel'in düşünselci sistemine ilişkinci (relativist) felsefeye olduğundan daha çok bağlı değildir; bu başarılar, doğru doğa diyalektiğini gönülsüzce yansıtan bilimsel araştırmacıların kendiliğinden diyalektiği dolayısıyla ol­ muştur. Am a Einstein'ın fiziksel ilişkinlik teorisinin gerçekliği gereği gibi yansıtan ve kuantum ilişkilerinin de hakkını gözeten bir dünya imge­

245

si yaratma çabalarında o sırada uğradığı başarısızlıklar, bu gerçekliği bir süreklilik birliği ve ayrı parçalardan yapılmış olarak kavrama yeteneksiz­ liğinden, onu saltık düşünsel (ideal) düşünme sürekliliği gibi gösterme di­ rengen tutkusundan doğmaktadır. Hegel, diyalektiği doğadan, bilimden koparıp doğa üstüne yerleşti­ rilmiş felsefi sistemine aktarm akla, gerçek bir düşünselci gibi davranır, işte bu yüzden de, matematiğin bilinçli olarak diyalektik bir yolda ilerle­ me yeteneğini yadsımakla kalmaz, sözü edilm iş nesnelciliğine (objecti­ vism) karşın, matematikte tümüyle öznel (subjective) bir konuma düşer. "Bir denklemden, değişkenlerinin kuvvetleri potantiation ile gelişti­ rilmiş fonksiyonların bir ilişkisi gibi söz etmek, birincisi, yalnızca bir yeğeleme sorunudur veya bir olanaktır d eneb ilir;... böyle bir dönüştürmenin yararı daha ileri bir erek veya kullanım ile gösteril­ mek gerekir; dönüştürmenin biricik nedeni de yararı idi" (Hegel, Science o f Logic, M iller trans., p. 281) Hegel, Mach'ta ve Poincard'de yeniden gördüğümüz bir tarzda yaz­ maktadır. Çünkü matematikte seriler, limit geçişi. Fluxion, diferansiyel bölümler, sonsuz küçük, vb. biçimiyle ortaya çıkan matematiksel sonsuz, onun görüş noktasından artık yalnızca nicel bir şey değildir, tersine, şim­ diden nitel bir öğe içermektedir; öyle ki, matematik burada kavramdan kaçmamaz, oysa kavram matematiğe yabancı bir şey, matematik yasalarıyla çeliştiği düşünülen bir şey sayılır ve böylece matematik onu matematiğe yabancı bir alandan "keyfi yardımcı-önermesel (lemmaıic) bir biçimde" alabilir. Hegel, öğesel matematiğin çözümlemeyi asla kendi içinden do­ ğurmadığını, "uygulama" gereksemeleriyle, yani pratik, teknik, bilim ge­ reksemeleriyle böyle yapmaya sürüklendiğini doğru olarak söyler. Hegel, "Uygulanmaları sırasında diferansiyel hesapça gösterilen keyfilik görünüşü, uygulanmasının yerinde olduğu kürelerin doğasının ve bu uygulama için özel gerekseme ve koşul olduğunun farkına varılmasıy­ la, basitçe açıklanırdı", (aynı yapıt, s. 284) diye yazdığında, bu maddeselci öz, Engels'in matematiksel sonsuz konusundaki maddesel benzeşimler ile ilgili aşağıdaki savıyla baştan sona aynı anlamdadır:

246

"Bununla birlikle, matematikçiler o ele geçm ez soyutlama kaleleri­ ne, sözde katışıksız m atem atiğe, geri çekilir çekilm ez, bütün bu benzeşim ler unutulur, sonsuz tümüyle gizemli bir şey olur; ve çö­ zümleme sırasında işlemlerin başarıldığı tarz, tümüyle kavranmaz, bütün yaşanu ve us ile çelişen bir şey gibi grünür." (Engels, D ia ­ lectics o f Nature, p. 271) Ama düşünselci güneş gözlükleri yüzünden, Hegel, bütün matema­ tik işlemlerinin ve kavramlarının bu etkiyle nasıl olup da harekete geçtiği­ nin ve bütün m atem atiksel yapının temelinden yenilendiğinin farkına var­ mamıştır; onun çağında bunun farkına varmak da güçtü. Hegel, yeni kav­ ramları eski düşüncelerle özümseme çabalarının başarısızlığını doğru ola­ rak belirtir, am a dünyayı değiştirm eyi değil, yalnızca açıklamayı tasarla­ yan bir burjuva filozof olarak, matematiği diyalektik bakımdan dönüştür­ me işi karşısında hiçbir tutum takınmaz. "Geçen yüzyılın sonuna, gerçekte 1830’a değin, doğal bilimciler es­ ki m etafizikle güzel güzel geçinip gidebildiler; çünkü bilim, dünya­ sal ve evrensel mekanikten öteye geçmiyordu. Gene de, sıradan ma­ tem atiğin öncesiz ve sonrasız doğruluğunu çoklan bırakılmış bir görüş noktası sayan yüksek matem atik, kafaları karıştırmıştır." (,Aynı yapıt, s. 203 [M akalenin aslında, italik sözcükler atlan­ mıştır. -Ed.]) Böylece Engels, buraya değin Hegel'le uyuşmak ister. Ama buradan sonra fark başlar, çünkü Engels şöyle sürdürür: "Burada saptanmış kategoriler giderildi; matematik, katkısız soyut nicelik, kötü sonsuz konusundakiler gibi pek basit ilişkilerin bile tüm üyle diyalektik bir biçim aldığı ve m atematiği, isteğine karşı ve olacağı bilm eksizin, diyalektik olm aya zorladığı bir yere var­ mıştı." (Aynı yapıt.)

247

Hegel'e göre, değişmez büyüklüklerle ilgili öğesel matematiğe ya­ bancı olan bu diyalektik öğeler, matematikçe asla benimsenemez. M ate­ matiğin onları özümsem ek için gösterdiği bütün girişim ler boşunadır; çünkü matematik bir "kavram" bilimi değildir; bu yüzden, doğal olarak, matemaüğin kendi tabanında kavramlarının hiçbir diyalektik gelişimi ve hareketi olanaklı değildir ve ona açık kalan biricik olanak, keyfi olarak "bir uzlaşımı benimsemek", Lagrange’a göre "belirli bir birincil (primary) fonksiyonun Taylor serisinin gelişim inin özel bir üyesinin katsayıları gibi" gösterm ektir. Bunda gösterilebilen, olsa olsa, kesinlikle o "uzlaştm"m -başkasının değil- kolaylığı ve uygunluğudur. Büyük diyalekıikçi, çözüm lem eyi kanıtlam ayı üstlenm ek için çağında gösterilen bütün girişimleri doğru olarak eleştirir, ama böyle ya­ parak, beklenen sonucu, bu girişim lerin çözümlemeyi diyalektik olarak geliştirmedikleri, yalnızca onu öğesel matematiğe indirgemeye çalıştıkları için başarısız kaldıkları sonucunu çıkarmaz. Tersine, bunun matematik alanında olanağı bulunmadığı ve yalnız felsefe içinde ve kendisinin kate­ gorileri birbirinden geliştirm e sisteminde olanağı bulunduğu sonucuna varır. Bu yolla diyalektik gelişimi matematikten sürüp çıkarır ve kendi arı mantık kategorileri sistemine aktarırken, onu çoğu zaman çapraşık, sofist­ çe ve fantastik gizem selleştirm eye uğratır. Bunun bir örneği olarak yal­ nızca kendi karşıtı, yaygın (extensive) nicelik ile birleştikten sonra yoğun (intensive) nicelik sonsuz bir sürece nasıl geçer, okumak gerekir. Hegel’in yapma, gizemli ve gizemleştiren geçişleri, bu alanda da, kavramları kendi içlerinden geliştirmeye yönelen düşünselci diyalektiğin maddesel gerçek­ likle ilgili gerçek ilişkileri ve geçişleri, hareketi ve gelişim i yansıtmadı­ ğını, düşünselci öğesi yüzünden başarısız olduğunu; maddeselci diyalektik­ ten başka hiçbir bilimsel diyalektik olamayacağını doğrular. Bununla birlikte, matematikte kavram iç diyalektiğini yok ederek, Hegel, hiç değilse kendi felsefi sisteminin içinde, matem atikte devrim yapma fırsatından kendisini yoksun bırakır ve etkin çalışma ve dönüştür­ me yerine, yalnızca edilgin olarak dönüştürmeye ve "kanıtlamaya" ve olsa olsa, örneğin "türev" yerine "gelişim fonksiyonu" gibi bir ad değişikliği önermeye zorlanır. Hegel, kendi mantıksal kategoriler sisteminin içinde, daha önceki bütün çözümleme gerçekleştirme çabalarının başarısızlığa uğ­

248

radığı aynı m atem atiksel sonsuzun bütün çeşitleriyle olabildiğini yalnız kanıtlamakla kalmayıp onun doğru gerçeklemesini de verdiğini öne sürer­ ken, gerçekle kendisi pek sertçe polemikleştirdiği aynı ansal (zihni) imge­ lerin buyruğunda çalışıyordur. D olayısıyla, örneğin, yüksek bir sıranın (order) sonsuz küçüklerini nicel önemsizliklerine dayanarak savsama yön­ temini bilimseldışı ve matematiksel karşıtı diye kınarken ve bu büyüklük­ lerin nitel anlam ına dayanarak aynı yöntem in hoş görülebilir olduğunu bildirirken doğrudur. Diferansiyel bir nicel-nitel ilişki olduğu için, (x + dx)n - x n = n x nAdx + P& T-1)- x n'2dx2 + . . .

1.2

gelişim inde, toplam lar biçimi dışsal ve özle ilgisiz bir şey, dolayısıyla kendisinden çıkarm a yapılmak gereken bir şey gibi görünür. "Çünkü ge­ rektirilen bir toplam değildir, tersine, bir ilişkidir, diferansiyel birinci te­ rimce tümüyle verilmektedir," diye yazar (anılan yapıt, s. 265), böylece de sonsuz küçük hesabını yaratanları baştan sona suçladığı aynı kaçamaklar ve kaçış delikleri ile kendisini kurtarır, gerçekte demin kapıdan allığını büyük özenle pencereden içeri almak için o yaratıcıları izler. Kesinlikle, Hegel, düşünselci görüş noktasından yola çıkarak, ma­ tematiği diyalektik mantıkla yeniden kurma işi karşısında bir tutum takın­ madığı ve takınam adığı, tersine, yalnızca onu kendi felsefi sisteminin içinde olduğu gibi "gerçeklemeye" çalıştığı için, pek değerli yorumların eksiksizliğine karşın, bu işi bile başaramayıp, önceden gösterdiğimiz gibi, matematik kendiliğinden diyalektik bir yol boyunca ilerlemişse de, mate­ matiğin sonraki gelişimini neredeyse hiç etkilememiştir. Hegel diyalektiğinin bilim ve m atem atik gelişim inde hiçbir etki göstermemesi olgusundan daha çok sorumlu olan, Hcgel'e "bir köpek leşi" gibi davranan burjuva darkafalılığıdır. Bu, M arx ile Engels'in, proletarya­ nın ideologları olarak, Hegel’in çalışm alarından canlı kalıp da başaşağı duran şeyi onun öğretilerinden alarak ayakları üstüne bastırıp proleter devriminin buyruğuna verdikleri duruma yol açmıştır. M arx, Engels ve Lenin, düşünselci diyalektiği maddeselci bir tarzda alt ederek, Hegel'in tersine, bize kalıt olarak, gerçekten bilimsel teorik an­ latımlar. yani, matematik alanında da, araşurm a, bilimsel öngörü ve yarat­ 249

ma için bize kılavuz çizgiler gibi yardım etmeye uygun anlatımlar bıraka­ bildiler. Buradaki düğüm noktaları, m atem atiğin, özünün, parçalarının bağlaşımının ve anlamının, matematiğin kendisinde diyalektik olan şeyin ve matematiğin öbür bilimlere göre oynaması gereken rolün gelişim kay­ naklarının ve güçlerinin Marksçı-Leninci kavramıyla biçimlendirilir. "Ama a n matematikte usun yalnız kendi yaratmalan ve imgelemle­ ri ile iş gördüğü asla doğru değildir. Sayı ve şekil kavramları ger­ çeklik dünyasından başka bir kaynaktan çıkanlm am ıştır. insanın saymayı, yani, ilk aritmetiksel işlemi yapmayı öğrendiği on par­ mak, usun özgür bir yaratmasından başka bir şeydir. Sayma, yalnız sayılabilen nesneler değil, ama göz önünde tutulan nesnelerin sayı­ larından başka bütün özelliklerini dışarma yeteneğini de gerektirir; ve bu yetenek, yaşantıya dayanan uzun bir tarihsel evrimin ürünü­ dür. Sayı düşüncesi gibi, şekil düşüncesi (idea) de, yalnızca dış dün­ yadan ödünç alm m ışur ve us'ta, an düşünmeden doğmamıştır. Her­ hangi bir kim se şekil d (güncesine varabilmeden önce biçim li ve biçimleri karşılaştınlabilen nesneler olmalıdır... Bütün öbür bilim­ ler gibi, matematik de insan gereksemelerinden doğmuştur: Toprak ölçümlerinden, kaplann oylumundan, zamanla ilgili hesaplamalar­ dan ve mekanikten. Ama, her düşünme dalında olduğu gibi, belirli bir gelişim aşamasında, gerçek dünyadan soyutlanmış yasalar, ona karşı bağımsız bir şeymiş gibi, yasalar dışarıdan geliyormuş, dünya onlara uymak zorunda imiş gibi konur. Toplumda ve devlette işler böyle olm uştur ve bu yolla -başka türlü değil- a n matem atik, bu aynı dünyadan ödünç aünm ış ve onun bağlaşım (interconnection) biçimlerinin ancak bir parçasını gösterir olmakla birlikte, sonradan dünyaya uygulanmıştır ve yalnız bundan ötürüdür ki, uygulanabil­ miştir." (Engels, Anti-Dilhring, pp. 51-52) Ve daha sonra: "Bugün sonsuz küçükler hesabında, diferansiyellerde ve çeşitli dere­ ceden sonsuzlarda kullanılan büyüklükleri saran gizem , burada 250

değindiğimiz şeylerin insan usunun an "özgür yaratmalan ve imge­ lemeleri" olduğunun, nesnel dünyada onlara karşılık olan hiçbir şey bulunmadığının hâlâ sanıldığına en iyi kanatır. Ama durum tersi­ dir. D oğa bütün bu imgesel büyüklüklerin ilk örneklerini sunar." (Engels, Anti-D ühring, p. 436) Bu kavram ın J. S. Mili gibi deneyselcilerinkiyle doğal olarak hiç­ bir ortak yanı yoktur; çünkü bilgiyi tüm evanm la sınırlam az, ama Engels'in güldüğü "tüm -lüm evanm cıların" (pan-inductionist) tersine, man­ tıksalı, üstünden geçilmiş tarihsel gibi düşünür. Böylece, matem atiksel kavram lar ve yasaya uygunluklar saltık, değiştirilemez, öncesiz-sonrasız doğrular gibi değil, insan toplumunun ka­ derine bağlı ideolojik toplum üstyapısının parçalan gibi düşünülür. Onun için, söylem eye gerek yoktur ki, ana toplumsal gelişim yasası, sınıf sa­ vaşımı yasası, matematiği etkilemeden duramaz. "Ünlü bir söz vardır: Geom etrik aksiyom lar insani çıkarlan eıkileseydi, doğal olarak, onlan çürütmek için çaba gösterilirdi. Tannbilimin eski önyargılanyla çatışan doğal bilim teorileri, en kudurmuş karşıtlığa yol açü ve açaduruyor." Kautski ile Cunow'un m atem atik ve doğal bilim ler tümüyle üretim güçleri arasında sayılmalıdır diyen ve onların içinde sınıf savaşımını yad­ sımakla bir olan savıyla hiçbir ortak yanı olm ayan bu görüş noktası, bi­ lim lerin sağınlı (exact) -m atem atik ve doğal bilim ler- ve sağınsız toplumsal bilimler- diye bölünmesini reddeder. Bununla birlikte, matematikte sınıf görüş noktası, eski matematik bir bütün olarak reddedilmeli, onun yerine tümüyle yeni öğelerden kurul­ muş bir matematik yepyeni ilkelere göre konm alıdır biçim inde yorumlan­ mamalıdır. Biz, matematiğin gelişiminin üretken güçlerin gelişim iyle be­ lirlendiği (dolayısıyla matematiğin kendisinin de üretken güçlere karşılıklı etkisi olduğu) ve bundan ötürü maddesel gerçekliği yansıttığı savını tu­ tarız. N e var ki, üretken güçler m atem atiğe etkilerini sınıflı toplumda

251

sınıf ilişkileri olan ve matem atiğe çarpıtan sınıf damgasını vuran üretim ilişkilerinin bağlantısıyla gösterirler. Böylece, matematik ikili bir doğa gösterir. "Felsefi düşünselciiik yalnız kaba, basit, metafizikse! maddeselcilik görüş noktasından saçmadır. Öte yandan, diyalektik maddeselciliğin görüş noktasından, felsefi düşünselciiik, bilgi tanınularmdan, görü­ nüşlerinden, yönlerinden birinin maddeden, doğadan ayrılmış, yü­ celtilm iş bir saltığa tek yanlı, abartılm ış, U bersch w en g lich es (Dietzgen) bir geliştirim idir (şişirimi, yayılım ı);.. İnsan bilgisi doğru bir çizgi değildir (veya izlemez). Bu eğrinin her parçası, kesi­ ti, bölümü bağımsız, tüm, doğru bir çizgiye dönüştürülebilir (tek yanlı dönüştürülebilir); bu da sonradan (ağaçlar yüzünden orman görülmezse) batağa, (egemen sınıfların sınıf çıkarlarıyla oraya de­ mirlemiş) clerical karanlıkçılığa götürür. D oğrusallık ve tek yan­ lılık, kalın kafalılık ve taşlaşm ışlık, öznelcilik ve öznel körlük, voilâ [işte, -ç.] düşünselciliğin epistemolojik kökleri. Clerical karanlıkçılığın (felsefi düşünselciliğin) de doğal olarak epistemolojik kökleri vardır, o da dayanaksız değildir; kuşkusuz kısır bir çiçektir, ama canlı, verimli, gerçek, güçlü, gücü kesin yeterli, nesnel, saltık insan bilgisinin canlı ağacında gelişen kısır bir çiçek." (Lenin , "On the Q uestion o f D ialectics", C ollected W orks, Vol. 38, p. 363) Burjuva matematiği basitçe reddedilemez; tersine, yeniden kurul­ mak gerekir, çünkü, maddesel dünyayı tek yanlı ve çarpıtılmış biçimde de olsa, nesnel olarak gösterir. Ama matematik kaynaklarını pratiğe borçluysa, maddesel gerçek­ likten çıkarılmış gerçek ilişkileri ve durumları (tümüyle soyut ve çarpı­ tılmış bir biçim de olsa da) yansıtıyorsa, bundan ölürü diyalektik olm alı­ dır. Çünkü "diyalektik, nesnel denen diyalekük, bütün doğada yürürlükte­ dir" (Engels, Dialectics o f Nature, p. 211) ve "ve kafalarımızdaki diyalek­ tik, doğada ve insan toplum unda olan ve diyalektik biçim ler alan gerçek gelişm enin yalnızca bir yansım asıdır” (Konrad Schm idt'e M ektup, 1 Kasım 1891). "Bu gizemsel, Hegel'in kendisinde; çünkü kategoriler önce­ 252

den var gibi, gerçek dünyanın diyalektiği ise onlann yalnızca yansıması gibi görünür" (D iyalectics o f Nature, p. 203). Gerçeklen de, önceden söy­ lediğimiz gibi, Engels yüksek matematiğin diyalektik olduğuna inanır; çünkü D escartes'ın değişkenler ortaya koyması, o değişkenlere aynı za­ manda hareket, dolayısıyla da diyalektik katar. Hegel, yeni nitel ve diya­ lektik bakımdan içten çelişik öğelerin matematiğe böylcce girdiğini doğru olarak belirtm iştir. A m a Engels'in vurguladığını, yani, böylece matema­ tiğin kendisinin, bilinçsizce ve istencine karşı da olsa, diyalektik olmaya zorlandığını ve bundan ötürü matematiğin temel kavramları ve yöntemle­ riyle ilgili gelişimin diyalektiğinin onun kendi içinde aranmak gerektiğini gözden kaçırmıştır. Bununla birlikte, öğesel m atem atik, tıpkı biçim sel mantık gibi, saçma değildir, gerçeklik bakımından bir şey yansıtmak ve bundan dolayı belirli diyalektik öğeler içermek zorundadır. Engels, Hegel'in tersine, bunu da gerçekten görebilmiştir. "Sayı, bildiğim iz en katışıksız nicel belirlemedir. Ama nitel fark­ larla dopdoludur... 16 yalnızca 16 birin toplamı değildir, aynı za­ manda dördün karesidir, ikinin dördüncü kuvvetidir... Bu yüzden, H egel'in aritm etikte düşünce yokluğu üstüne söylediği, doğru değildir." (,Aynı yapıt, s. 258-259) Engels öğesel cebirde ve aritm etikte bile "bir biçim in karşıtına dönüşümü"nü görür ki, bu "boş bir oyalama değildir", tersine, "matema­ tiksel bilim in en güçlü kaldıraçlarından biridir ve bugün o olmaksızın daha güç hesaplamalardan herhangi biri güçlükle yapılabilir" (aynı yapıt, s. 258) Oysa M arx, yalnız Hegel'le uyuşmadan kalmayıp, gerek çözüm le­ menin biçimsel-mantıksal bir gerçeklemesini (substantiation) bulmak için gösterilen bütün çabaların olanaksızlığını, gerekse çözümlemeyi duyusal sezgiye, grafiğe, vb. dayandırmaya çalışmanın çocukçalığını görmüştür. Yalnız m atematik diyalektik uğruna değil, özellikle çözümleme diyalek­ tiği uğruna da savaşmıştır; am a daha çok da, tarihsel ile mantıksalın bir-

253

ligine dayandırılmış diyalektik bir temel çıkmak için bağımsız bir girişi­ mi üstlenmiştir. Böyle yapmakla, M arx, demin geçerken andığımız gibi, çözümlemeyi aritm etiğe indirgem e işine karşı tutum takınm ıştır; oysa mantıkçılar, daha sonra, W eiersuass ile başlayarak, bunu yapmayı dene­ m işler, m atem atiksel problem lerin konduğu yolu derinleştirm ek için gösterdikleri bütün girişim lere karşın, çabaları, bu am açla özellikle kurul­ muş, yalnız matematiksel değil mantıksal da olan bütün yapıyı yıkan o ünlü küme (set) teorisi paradokslarına varmıştır. Marx, şunu göstermeyi denemiştir: öz bakımından yeni diferansiyel ve integral hesap, "şimdiden kendi tabanından bağımsız olarak işleyen özel bir hesaplama biçimi gibi" görünerek, öğesel matematiğin kendisinden, onun tabanından gelişir, öyle ki, "bundan ötürü, cebirsel yöntem, kendisini tam karşıtına, diferansiyel yönteme, tersine dönüştürür" ve böylelikle "bütün cebir yasalarına karşı gelen" bir sıçram a olarak, "Alışılmış cebirden, üstelik alışılm ış cebir aracılığı ile, değişkenler cebirine bu sıçrama ... prim a fa cie [görünüşte, ç.] ... geleneksel cebirin bütün yasalarına aykırıdır." (Elinizdeki kitap, s. 20-21 ve 107 .-E d .) Tıpkı Hegel gibi, Marx, kendi çözümleme kanıtlamasında Lagrange'a pek yakındır. Ama onun Lagrange'ı anlayışı, Hegel'inkinden temel bakımından farklıdır, önceden gördüğümüz gibi, Hegel Lagrange'ı, alışıl­ mış sığ yoruma göre anlar, öyle ki, Lagrange temel çözümleme kavram­ larını matematiğe tümüyle dışsal ve keyfi bir tarzda sokan tipik bir biçimselci ve gelenekselci gibi görünür. Oysa, tersine, Marx'in Lagrange’da çok beğendiği, bunun tam karşıtıdır; onun çözümleme ile cebir arasındaki bağ­ lantıyı açığa çıkarması ve çözümlemenin cebirden nasıl geliştiğini göster­ mesi olgusudur. "Yeni ile eskinin gerçek ve bundan ötürü en basit ilişki­ si", diye yazar M arx, "yeni, son biçimini alır alm az ortaya çıkarılır ve diferansiyel hesabın bu ilişkiyi Taylor ve McLaurin teoremleriyle kazandı­ ğı söylenebilir. Bundan dolayı Lagrange'ın ilk düşüncesi, diferansiyel he­ sabı sağlam bir cebirsel tabana geri döndürmek oldu." (Elinizdeki kitap, s. 111. -Ç.) Ama Marx, aynı zamanda, bu gelişimin diyalektik karakterini gözden kaçırdığı ve cebir tabanında aşın beklediği ve çözümlemenin kendi­ sinin yasaya uygunluğunu ve yöntemini küçümsediği için Lagrange'ı eleş­ tirir. Bundan dolayı "o, bu bakımdan ancak bir çıkış noktası olarak kul­ lanılabilir". Böylece M arx, gerçek diyalcktikçi, burada da iki cephede 254

savaşır: Yalnız XVIII. yüzyılın mekanik yöntem bilim ine pek özgü olan o yeninin eskiye tüm üyle çözümsel indirgenm esine karşı değil, bugünün sezgicileri için de pek tipik olan, yetkin matematiksel tümevarım ilkesini dışarıdan, sezgiden gelen yeni gibi sunan ve böylece mantık ile matematik arasında geçişi yok eden, o yeninin dışarıdan tümüyle bireşimsel (synthe­ tic) sunumuna da. Marx burada da diyalektik birlik için, çözümleme ve bi­ reşim (analysis and synthesis) birliği için savaşır. M addesel gerçekliğin hareket yasalarının bir -aşırı soyut olsa da- tanımı olarak diyalektik maddeselci matematik kavramından, diyalektik maddeselciliğin matematiğin ro­ lüne Hegel'inkinden çok daha büyük bir değer biçtiği sonucu çıkar. Engels şunu özellikle vurgular: "diyalektik ve aynı zam anda maddeselci bir doğa kavramı için bir m atem atik ve doğal bilim bilgisi zorunludur", (AntiD ühring, p. 16). Ama onu çeşitli bilgi dallarına uygulama güçlüklerini gözden kaçırm az ve şunu belirtir: "diferansiyel hesap, doğal bilim için yalnız durumları değil süreçleri de matematiksel olarak göstermeyi ilk kez olanaklı kıldı". (Dialectics o f Nature, p. 272) Karm aşık hareket biçimleri matem atiğine gösterilen, mekanikten fiziğe, fizikten kim yaya, oradan yaşam bilim e ve ileriye, toplumsal bilim­ lere sıçramalar sırasında artan bir seriyle yığılarak çoğalan güçlükler, diya­ lektik maddeselci kavramda, matematiğin yolunu tıkamaz; tersine, "kapitalci ekonom ik bunalımlarla İlgili başlıca yasaların matematiksel olarak belirlenmesi" (M arx, Engels'e 31 Mayıs 1873 tarihli mektubu) beklentisi­ ne bile izin verir. Diyalektik maddeselcilik, kavram lar diyalektiğini yalnızca gerçek dünyanın diyalektik hareketinin bilinçli yansım aları olarak düşünür ve bu bağı geçerli, düşünselin maddeselce, teorinin pratikçe belirlenmesi, son çözümleme sırasındaki kılavuz sayar. Bundan ötürü, genelde bilimin ve aynı zamanda matematiğin ileri gelişimi konusunda diyalektik maddeselci­ liğin görüş noktası, Hegel'in görüş noktasının doğrudan karşılıdır. Hegel yalnızca önceden var olanı gerçeklemeye çalışır; oysa buradaki bir dönüş­ türme, bilinçli değiştirme, pratiğin kılavuz rolüne dayanarak bilimi yeni­ den kurma sorunudur. M arksçılık-Lenincilik'i H egel'in felsefesinden ve öbür düşünselci ve seçmeci dünya görüşlerinden keskince ayırt eden bu tutum, ayrı bilim dallarında yeni gelişim yollan görm eyi ve bilimi dur­ gunluktan ve çürümekten korumayı olanaklı kılar. 255

Bugünkü bilim , kapitalci ülkelerin doğal bilimi ve matem atiği, tıpkı bütün kapitalci ekonom ik ve toplumsal-politik sistem gibi, genişle­ mesine ve derinlemesine eşsiz bir bunalımla sarsılıyor. Doğal bilimlerin, felsefe gibi, sözde politikadan bağımsız olduğu yaygın ama tümüyle te­ melsiz inancına karşı kendisi en iyi tanıklık eden bilim bunalımı, hepsin­ den çok yöntcmbilimsel kökleri sarsıyor. Toplumsal alanda egemen sını­ fın düşüncelerini etkileyen perspektif eksikliği ve ürkü, bilimde, çoğun­ luğun gizem ciliğe geri kaçışında yansıyor; oysa "kendilerini, bir bütün olarak tarihsel hareketi teorik bakımdan kavrama düzeyine yükseltmiş bur­ juva ideologların bir bölüğü... proletaryanın yanma geçer" (Marx-Engels, Communist M anifesto), onun dünya görüşünü ve yöntembilimini, diya­ lektik maddeselciliği, anlam aya ve bilime geçirmeye çalışır, doğal olarak da utkulu proleter devrimin bilim ine çekildiğini duyar. Ama bugünkü bi­ lim bunalımı yalnız bilim in felsefi haklı çıkmasını değil, bilimin kendi iskeletini yıkıyor. Bilimi yalnız maddesel araçlardan ve emek gücünden yoksun bırakmıyor, bilimsel teori aygıtının kendisinin köreleceği ve pra­ tik problemleri çözemez olacağı tehlikeli durumu gittikçe yaklaştırarak, bilimin konusallarını (ıhematics) perspektifsizliğin çıkmazına sürüklüyor. N itekim B ertroux (P. B ertroux, L 'ld ie l S cien tifiq u e des M athematiciens, 1920), öm eğin, matematikçinin şim dilerde konularını hangi yollarla seçtiğini gösterip, yeni m atem atiksel çalışm aların ezici çoğunluğunun, eski çalışmaların benzeşenlerini, onlara göre küçük geliş­ tirmeleri ve genişletmeleri içerdiği; Leibnitz'in bile yakındığı o bir dene­ meler tufanına ve "bilimden bıkmaya" yol açan matematiksel araştırmanın ilerlemiş ve ilerlemekte olduğu, ama matematikçilere başka hiçbir yolun salık verilemediği; oysa onların "çağlarındaki genel bilimsel eğilimler"e güvenmeyi sürdürm eleri gerektiği acıklı sonucuna varıyor. Başlangıç, teori ilkesinde düşünselci filozoflara özgü pratikten ayrılmada, genellikle bütün kapitalci sistemce doğurulmuş plansızlıktadır. Ancak maddesel ger­ çeklik hareketini uygun biçimde tanımlamayı amaç edinen bir felsefe, bili­ me, onu paratikten, o "hep-yeşil yaşam ağacı"ndan ayrılmaya, o öldürücü ayrılmaya karşı korum ak için bir işaret feneri gibi yardım edebilir. Ancak ortaya konması üretim araçları özel mülkiyeli ilkesiyle, azınlığın çoğun­ luğa karşı diktatörlüğüyle uyuşmayan planlama ilkesi, bilimi boş soyutla­ malar içinde çürümekten kurtarabilir ve halk yığınlarında uyuklayan bi­ 256

limsel yetenek güçlerini özgür bırakarak, bilime yeni ve düşünülmedik bir çiçeklenme getirebilir. Sovyetler Birliğinde bilim ve onun parçası olarak matematik, elin­ de Hegel diyalektiği bulunduğu; maddeselci olarak düşünselci çarpılm a­ ların üstesinden gelip onlardan kurtulduğu; ve sosyalist planlama ilkeleri, bir kılavuz olarak, diyalekük maddeselcilik öğretilerini kendi paylarına gerçekliğe dönüştürdükleri; ve proleter öğrenci topluluğunun yeni, sayıca artan kadroları kendi içlerinden yeni bilimsel güçler üretükleri için kuvvet­ lidir. Beş Yıllık Planın gerçekleştirilm esi, Sovyetler Birliği'nin elektriklendirilmesi, yeni dem iryolları yapımı, dev metalürji fabrikaları, kömür ocakları, vb. açılm ası, ortaklaşa tanm ın endüstriyelleştirilm esi, sosyalist kentler kurulm ası, okulların politeknikleştirilmesi, sıradan ve teknik bili­ sizliğin ortadan kaldırılm ası, bütün bunlar, matematiğin karşısına, başlıbaşına maddeselci diyalektiğin bilimsel yöntembiliminin kılavuzluğunda, bütün dalların işbirliğiyle, ortaklaşa çalışmayla, planlı bir tarzda başarıyla çözülecek ve matematiksel teorinin gelişmesini verimli yolda etkileyebile­ cek bir yığın sorun getirmektedir. Böylece Hegel felsefesi, Sovyetler Birliği'nde, sözcüğün iki an­ lamında da maddeselleştirilir: İçeriği bakımından ve proletarya diktatörlüğü ile bir yığın eylem i olarak. Böyle olduğu için de, H egel'in matematiksel düşüncelerinde bile, gizem li bir örtüyle korunm uşsa da, ölüm süz olanın, üstüncelikli bir akadem ikler kastının özel mülkiyetinden çıkıp milyonlar­ ca emekçinin ortak mülkü olacağına güvencedir.

257

HEGEL, MARX VE KALKÜLÜS Yazan : C. Smith t

1. Marx’in Matematiksel Yapıtı

Anti-D ühring ’in ikinci basım ının önsözünde, Engels, Marx'm bıraktığı m atem atiksel elyazm alarm a gönderm ede bulunup onların pek önemli olduğunu söyledi. Ama elyazmaları elli yıl erişilmez kalıp ancak 1933’te Rusça çeviriyle yayımlandılar. Elinizdeki cildin çevrildiği Rusça yayımlarıyla, kökensel biçim leri içinde ilkin 1968'de yayımlandılar. O güne dek, elezmalan üzerinde pek az duruldu.* Ama buna karşın, Engels'in onlara biçtiği değer doğruydu. Marx, matematik tarihine duyulan bir m erak olarak değil, tersine, diyalektik maddeselciliğin gelişim ine önem li bir katkı olarak görülmek gereken bu yapıta ömrünün son birkaç yılının büyük bir bölümünü harcadı. Marx bir matematikçi değildi. K apital üstüne çalışması sırasıda, bu alandaki bilgi eksikliğini giderm eye sürekli uğraştı, öyle ki, cebirsel yön­ temleri politik ekonom inin nicel görünüşlerine uygulayabildi. Ama, 1863'ten başlayarak, ilgisi, gittikçe sonsuz küçük hesabını yalnızca mate­ matiksel bir teknik olarak değil, am a matematiğin felsefi tabanı ile ilişkili olarak incelemeye döndü. 1881'de, bu sorunla ilgili birtakım gereçler ha­ zırladı ve bunlar elinizdeki cildin büyük bölümünü oluşturdu. Bu elyazmalannın yayımlanmak için değil, Engels ile kendisini aydınlatmak amacıyla yazıldığı açıktır. Yalnız birinci elyazmasının "General İçin" ve İkincisinin "Fred İçin" diye işaretlenmiş olmasından değil, ama elyazmalannın bu iki insanın çoğu zaman yazıştıkları Almanca, İngilizce ve Fransızca karm a­ sıyla yazılmış olmasından ötürü açıktır.

* Bkz: D. J. Stnıik, "M>rx and Mathematics", Science and Society, 1948, pp. 181-196. V. Glivenko, Der D ifferenlialbegriff bei Marx und. Hadamard, Unter dem Bouner des Marxismus, 1935, pp. 102-110.

258

Engels'in doğal bilim ler konusundaki çalışmasını Marx'in benim­ semediğini gösterm ek için son yıllar çok mürekkep tüketildi. Bu çabalar, doğa diyalektiği düşüncesine düşmanlığın ve bir bütün olarak diyalektik maddeselciliğe karşı genel saldırının parçasıydı. M arx'in yayımlanmış yazılarında ve Engels'le yazışmalarında hiçbir dayanağı yoktu. Bu elyazmaları, başka herhangi bir şeyden ayrı olarak, Engels'in çalışm asının, maddeselci diyalektiğin iki kurucusunun ortak bir tasarısının parçası ol­ duğunu gösterir. Engels'in elyazm alanna tepkisini dile getiren mektubu okuyunca, onların gerçek anlamı üstüne bir ipucu elde ederiz.* Engels şöyle yorum­ lar: "Koca Hegel, farklılaştırmanın temel koşulunun, değişkenlerin farklı kuvvetlere ve hiç değilse birinin en azından ikinci ... kuvvete yükseltil­ mek gerekmesi olduğunu söylediğinde, oranlaması tümüyle doğruydu.1' Bu söz, m atem atiksel anlam ını şu anda bir yana bırakırsak, dikkatim izi Marx'in çalışm asının başlangıç noktasıyla bağlantısına yöneltir: Hcgel'in Science o f L ogic' ine [M antık Bilim i'ne, -ç.] özellikle de N icel Sonsuz bölümüne (M iller translation, pp. 238-313). Engels, Hegel’in adı anılma­ dan, Marx'in buna göndermede bulunduğunu bilir. E lyazm alarını yayım layanların, M arx'in başvuru kaynaklarını büyük özenle izlem elerine karşın, bu pek açık bağlantıyı önemsememiş olmaları şışırucıdır. Hegel'in ve Marx'in sonuçlan düşünselcilik ile maddeselcilik arasındaki çekişm eyi yansıtmakla birlikte, doğaldır ki, ikisi de aynı konuları tartışıp çoğu aynı olan yazarlara başvurur.** Belirtmeye değer ki, Hegel matematiksel biçimlerin felsefi düşünceleri anlatmaya tü­ müyle elverişsiz olduğu kanısını sık sık vurgularsa da, Mantık Bilimi 'nin sekizde birini matem atik sorununa, bunun pek çoğunu da diferansiyel ve integral hesaba ayırır, ö te yandan Marx, Hegel’in matematiği küçümseyen tutumuna hiç öykünmez.

* Engels'lcn M arx'a 10 Ağustos 1881. Bu mektubun bir çevirisi ve MarxEngels yazışmasından başka iki parça için bkz. s. XXXII - XXXUI ** M arx'in Newlon'un Principia 'sına gönderm eleri belki Hcgel’inkilerce özendirilmişim John Landen'e göndermeleri ise kesinlikle öyledir.

259

2. Sonsuz Bunalımı

2.500 yıl geçerken, matematik, hepsi de sonsuz sorununa dek izle­ nebilen derin birtakım bunalım lara uğram ıştır. Grek m atem atikçiler bu güçlükle 1. Ö. V. yüzyılda, iki yönden karşılaştılar. Birincisi, Zeno ünlü paradokslarını ortaya koyduğu sıradadır.* Görünüşte Zeno’nun amacı, çokkatlılık (multiplicity) ile hareketin çelişkiye yol açtıklarını, dolayısıyla da yalnızca görünüş olduklarını göstererek, ustası Parm cnides’in kavgasını, Varlık'ın bir ve değişmez olduğunu, haklı çıkarmaktı. Zcno'nun dört paradoksunun hepsi -"Aşil ile Kaplumbağa", "Ok", "İkiye Bölme" ve "Stadyum"- sonsuz küçük büyüklükle ve sonsuz büyük sayıyla ilgili problem lere çevrilir. Bunlar, uzayın ve zamanın belirsiz bölünebilirliği gibi, harekeün de çelişki olduğunu gösterir. Bunların akademik dünyaya ok gibi atılm asından hemen sonra, o dünya ikinci bir patlamayla sarsılır. Pisagor'un öğrencileri şuna inanırlar: Sayı -ki bu 1, 2, 3 ... tamsayıları kümesi dem ektir- bütün Varlık'ın en önemli temelidir. Ama önderlerinin adını taşıyan geometri teoremi, belirli doğru parçalarının uzunluklarını, örneğin tam bir birim büyüklükteki bir karenin köşegenini, tam sayılı terimlerle ölçmenin olanaksızlığını göste­ rir. Bugün, f l ussal (rational) bir sayı değildir derdik. Pisagor'u izleyen­ lerse, bu yüzkarasını bir giz olarak saklamaya çalıştılar, ama kötü haber yayıldı. Karesi tam 2 olan sayıyı bir ondalık olarak yazmayı denerseniz, bu güçlüğün de sonsuzdan kaynaklandığını görm ek kolaydır. Grek matema­ tiği, ondan sonra, genel bir sayı kavram ına varm aya bile çalışm adan, yalnız doğrular, alanlar ve oylumlar arasındaki ilişkilerle ilgilenir. lyonyalı filozofların -Avrupa'nın ilk fizikçilerinin- kendi atom kav­ ramlarını, boşlukta durmadan hareket eden bölünmez madde parçacıkları kavramını geliştirmeleri, bir yönüyle, bu sonsuz bölünürlük problcmlcri-

* Bkz. Lenin, Collected Works, Vol. 38, pp. 256-260.

260

ne tepkidir. 2.000 yıl sonra yeniden dirilen bu kavram, Galile ile Newton'un mekanikscl bilim ine temel oldu. Göreceğimiz gibi, sonsuz bölünür süreklinin çelişkilerinden bu kaçınma çabası, büyük başarılarına ancak be­ lirli sınırlar içinde ulaşabildi. Rönesans zamanından beri, matematik kendisini hareket sorunuyla gittikçe daha çok karşı karşıya buldu; ve bu karşılaşma, XVII. yüzyılda, Descartes'ın cebirsel geometrisi ile diferansiyel ve integral hesabın doğu­ muna yol açtı.* Hareket, hareket eden nesnenin sürekli bir aralığın "her noktasından" geçmek gerekmesi demekti. Bilim, aralığı "belirsiz olarak", "sonsuz küçük" parçalara yeniden bölm e problem inden kaçam azdı. Hegcl'in yazdığı zamana dek (1813), m atematikçiler, böyle nesneler alışıl­ mış sayılarmış gibi, onlan toplayarak özgürce iş gördüler. Bazen doğru ve yararlı sonuçlar, ama bazen de cebire göre saçma sonuçlar elde eltiler. . Newton'un anlık (instantaneous) hız (velocity) kavramını matema­ tiksel biçim le anlatm ası gerekti. B ir nesne birbiçim (uniform) çabukluk (speeı) ile hareket ediyorsa, bu kolaydır: Yalnızca, alman yol, bu iş için geçen zamana bölünür. Ama, hızlanan veya yavaşlayan bir nesne için ne diyebiliriz? Bir zaman aralığı boyunca ortalama çabukluğu bulmalı ve git­ tikçe daha küçük aralıkları göz önünde tutmalıyız. Ama "bir andaki" ça­ bukluğu elde etm ek, "sonsuz küçük bir uzaklığı "sonsuz küçük" bir zama­ na bölm eyi gerektirirdi. Bu da “sıfıra eşitlenen büyüklüklerin oranı" olurdu. Daha eski yazarlar, G alile'nin anılm aya değer öğrencisi Cavalieri, "bölünmezler", sonsuz sayıda alınınca her nasılsa sonlu bir uzunluk oluş­ turan uzunluksuz nesneler üstüne yazmıştı. Newton bu yolu tutmayı red­ detti. Alınan yola, diyelim ki x 'e, N ew ton "fluent" [akıcı, -ç.], onun değişme oranına veya anlık çabukluğuna ise onun x ile gösterilen "fluxion'u [akması veya akım ı, -ç] adını verdi. Bir t zaman "anını" "o" ile gösterdi -0 ile karıştırılmasın-, dolayısıyla bu an boyunca alınan uzaklık x o idi.

x onlar arasındaki "son oran idi. Newton, bunun "onlar sıfıra

* Boyer'in The History of Culculus’u, hâlâ bunun en iyi öyküsüdür. Baron'un The Origins o f the Culculus' u, Newton ve Leibnitz öncesi dönem üstüne daha ay­ rıntılıdır. Yararlı, kısa bir tarih için bkz. Struik, A Concise History o f Mathematics.

261

eşitlenmeden önceki veya sonraki oran olarak değil, onunla birlikte sıfıra eşitlendikleri oran" olarak anlanması gerektiğini söyledi. Onların kuvvet­ leri -kareleri, küpleri, vb.- ancak o zaman sıfır gibi anlanabiltrdi veya "savsanabilirdi". Diferansiyel hesabı birbirinden bağımsız olarak, aynı dö­ nemde bulan Newton ve Leibnitz, bunun ne demek olduğunu açıklamaya uğraştılar. Leibnitz, kendi "diferansiyelleri" için, oranı "diferansiyel bö­ lüm" ^ - o la n şimdiki "dx" , "dı" işaretlemesini türetti. Kuşkusuz, Pis­ kopos Berkeley, Newton yandaşlarıyla alay etmek için bu çapraşıklıktan Marx buna "gizemselcilik" adını verebilirdi- sonuna dek yararlandı. On­ ların "sıfıra eşitlenen nicelikler"ine "ölmüş niceliklerin ruhları" adını verip böyle şeyleri kabul eden bir kimsenin din gizlerine nasıl karşı çıkabildiği­ ni sordu.* Doğaldır ki, bir İngiliz olarak Newton, yolunu bulup problemden kurtuldu: Nesnelerin hareket ettiklerini ve her zaman anında bir hızları ol­ duğunu "herkes bilirdi". Hareket çelişkileri bilmezlikten gelinebilirdi. Bu, Lcibnitz'in "m etafiziksel dogm acılık"m a karşıt olarak, "deneysel dog­ macılık" diye tanımlanmaktadır. XVIII. yüzyıl boyunca güçlük olduğu gibi kaldı. M atematik seke sıçraya ilerledi, am a Greklerin ölçülü ve özenli kanıtlaması bir yana alıldı. D'Aİembert’in deyimi, zamanın tutumunu özetledi: allez en avant et la fo i vous viendra (yürüyün, size iman da gelecek). Euier gibi büyük bir mate­ matikçi, kendisini, diferansiyel ve integral hesabı farklı sıralardan sıfırların çarpılmasına ve bölünmesine dayandırmaya çalışırken bulabilir.**

* Berkeley'in Ncwton'un öğrencisi H aileye yöneltilm iş polem iğinin (1734) lam adı şöyledir: The Analysis or a Diccourse Addressed lo an Infidel MalherrCatician. Wherein it is examined whether the object principles and inferences o f modern analy­ sis are more distinctly conceived or more evidently deduced than religious mysteries and points o f fa ith . "First Cast the Beam Out o f Thine Own Eye; and Then Shalt Thou See Clearly to Cast the Mole Out o f Thy Brother's Eye". ** E. T. Bell. The Development o f M athem atics 'tc. p. 284, "Hiçin Altın Çağı"na göndermede bulunur. Euler'in yapıtı üstüne bir tartışma için Appendix IH’e bkz.

262

3. H egel ve Sonsuz

Hegel konuyu ele aldığında durum hâlâ budur. Hegel, Leibnitz'i, Özellikle, diferansiyel ve integral hesabı "felsefi olmadığı gibi, matematik­ sel de olmayan" (adı geçen yapıl, p. 793)* bir tarzda kurduğu için kınar. Konuyu tartışırken am acı, "sonsuz küçüğün ... yalnızca sonlu olmayan, belirli olm ayan bir büyüklüğün olumsuz, boş anlamı olm ad ığ ın ı... tersi­ ne, nitel olanın nicel doğasının, aslında bir oranın bir öğesinin özel an­ lamı olduğunu gösterm ek"tir. (Agy., p. 267) Bunun önemini anlamak için, bu "sonlu" ve "sonsuz” düşüncelerinin Hegel'in yapıtında, özellikle onlara Kant'ça verilen anlama aykırı olarak, oynadığı rolü incelemeliyiz. Kanl'a göre, Hegel'den önceki bütün buıjuva felsefeye göre olduğu gibi, düşünce, bilgileri ve anlam a yetileri kendi kişisel yaşantılarıyla sınırlanmış bireysel insanların etkinliğidir. Bu "sonlu varlıklar", şeyleri "kendilerinde" oldukları gibi, veya ayrı şeyler arasındaki bağlaşımları bile­ mezler. Sınırsızlık, özgürlük, sonsuzluk ile ancak ahlâksal yasaya boyun eğdiğimizde ilişkiye gireriz ve bu bile, sonlu varlıkların eylemlerinin ger­ çek vargılarıyla değil, yalnız sezgi ile ilgilidir. Sonsuz erişilmezdir ve hep öyle kalmak gerekir, asla gerçekleştirilemez. Hegel bütün ömrünü bu kavram a karşı savaşıp onun içermelerini (implication) göstererek ve bunu pek seyrek inanılan bir tutkuyla yaparak geçirdi. Ona göre, dünyada bulduğumuz sonlu şeyler sonsuzla birleşiktir ve bireysel kişilerin sınırlı bilinçleri sonsuz U sun veya Ruhun öğeleridir. Dünyayı tıpkı birbirinden ve hepsinin bütünlüğünden kopuk sonlu şeyle­ rin b ir dermesi gibi gören öznel düşünme yollarını kınadı. B öyle b ir görünüş, sonsuzu ancak erişm e alanım ızın dışında, "sonlu olm ayan" gibi görür. Bu "kötü” veya "düzmece" sonsuz, "olması gereken ve olmayan" idi, tıpkı bir sonlu şeyin bir başkasından sonra, boş bir "ve benzerleri" [vb., -ç.] ile sonuçlanm ış bıktırıcı yinelenmesi gibi. Öznelcilik, her-yanlı zorunluk yerine, yalnız sonsuz neden ve sonuç zinci-

* Şuraya da bkz. : Lenin, op. cit., p. 209.

263

rini görür ve insani Ruhun sınırsız gelişimi yerine yalnız yalıtılmış insa­ ni atomların ayrı yaşantılarını tanır (agy., pp. 109-156).* Spinoza, skolastik "infinitum actu non datur'u -"gerçek hiçbir son­ suzluk yoktur- reddetmişti. Bir şeyi belirlemenin, onun çevresine bir sınır çekmenin, başka her şeyi yadsımak olduğunu görmüştü. Sonlu ile sonsu­ zun birliği saptanmış, "süreduran” bir şey değildi, tersine, "kendi"nin (the self) olumsuz birliğini', yani, öznelliği kapsıyordu. Hegel'in "kcndisi-içinVarlık" (Being-for-self) dediği, sonsuzun geriye, sonluya yadsınması, do­ layısıyla, sonluyu "bütünün ortak belirleyici bağlantı"sımn bir parçası ya­ parak, yadsımanın yadsınmasıdır. Hegel bunu idealciliğin temeli, "felsefe­ nin temel kavram ı” olarak gördü. Yalıtılmış sonlu şeyin "hiçbir gerçek varlığı yoktur; onun özünde duran olumsuz öğe, 'bütün hareketin' ve 'kendinden-hareketin' kaynağıdır".** Hegel, sonlunun ve sonsuzun bu kavram ım , Niteliği incelediği sırada. Varlığın "karakteri ve biçim i"inde geliştirir. Nasıl "kendisi-içinVarlık kendisini bastırır. Onun karakterlenmesinin aşın ucuna varan Bir veya birim olan nitel karakter böylcce, atlayıp bastırılmış belirleyiciliğe (niteliğe), yani, Nicelik olarak Varlık'a geçti." göstermeye çalışır. Nicelik çözümlemesinde, büyüklük (belirleyici nicelik) ve kuantum (ne denli), Hegel şununla ilgilenir; "öyle bir çeşit aldırmaz veya dışsal karakter veya biçim (mode) ki, bir şey ne ise o olarak kalır, ama niceliği değiştirilir ve şey daha büyük veya daha küçük olur.” (Encyclopaedia, sections 104-105) Sağduyu, kuşkusuz, sayı düşüncesini bağışlanmış sanmaktan m ut­ ludur. Hegci, onun kendi içinde çelişkiler içerdiğini gösterir. Ama, der Hegel, "o yalnız her nicel belirleyiciliği aşabilmek ile, yalnız değiştirilebilmek ile kalmaz, değiştirilmek gerekliği de sap tan ır... Böylcce kuantum kendisini kendisinin ötesine i t e r ... Bu ötede yeniden doğan sınır, bundan ötürü, kendisini yeniden ve daha ileri bir sınıra ve giderek sonsuza aşim r.” (Science and Logic, p. 225)

* Aynı zamanda Phenomenolgy o f Spirit, Miller taranslalion, pp. 143-145. Encyclopaedia, Sections 93-95. ** Encyclopaedia, end of Sections 95. Aynı zamanda, Lenin, agy., s. 108119.

264

Tikel (particular) bir niteliğin değişmesinin "kötü $onsuz"unda ve onun yadsınm asında, en azından, onun iki terimi arasındaki farkın ilgisini elde ederiz. A m a sonsuz kuantumlar dizisinde, her terim kendi ardılı ile özdeştir, belirleyicilik bastırılmaktadır. Bu Nitel Sonsuz İlerleme sonsuza doğru gider, am a asla ona daha yakın olmaz, d er Hegel, "çünkü kuanıum ile onun sonsuzluğu arasındaki fark aslında nicel b ir fark değildir". Hegel diferansiyel ve integral hesabı işte bu bağlantı içinde tartışır. Hegel, m atem atikçilerin farklılaştırma konusundaki bulanıklığın­ dan hiç de hoşnut değildir, d y , dx diferansiyelleri birbirine bölünebilen sonlu nicelikler midir? Yoksa sıfır mıdırlar? Bu durumda oranlan anlamsız olurdu - veya oranlanna dilediğiniz anlamı verebilirsiniz. Ama dy veya dx "kuantum" değildir: "ilişkileri bir yana bırakılırsa, ikisi de katışıksız hiç­ tir. M atem atikçiler onlan "bir ara durum da ... varlık ile hiçlik arasında" konu etm eyi denem işlerdi, oysa bu var olam az. Çünkü "varlık ile hiçlik b irliğ i... bir durum d e ğ ild ir... tersine, yalnız bu ortalam a ve birlik, sıfıra eşitlenme veya eşil ölçüde oluş (becoming) onlann doğruluğudur (truth). (Science o f Logic, pp. 253-254)

4. Sonsuz Konusunda Marx ve Engels

D em ek ki H egel’in diferansiyel ve integral hesap konusundaki aynnulı incelem esi, hiç de konu dışına bir çıkm a değildir; tersine, onun görüş noktasının tam temelinde bulunan sorunların bilim ve felsefece ge­ reklerinin yerine getirildiği yöntemin soruşturulm asıdır. Marx ve Engels, maddeselciler olarak, hiç kuşkusuz, Hegel'in düşünselciliğini benimseme­ diler. Ama Hegel sistemini yadsımalarında, sonlu ile sonsuz arasındaki ilişki konusundaki aynı görüşe ve onun derinlemesine devrimci içermeleri­ ne dayandılar. Hegel'in "Sonsuz Düşünce" olarak "Ruh"u gördüğü yerde, Marx, sonsuz m adde harekelinin en yüksek biçimi olarak insanlığın son­

265

suz yaşanlısını görüp kavradı, insani üretim güçlerinin gelişimi, bu hare­ ketin, durm adan değişen biçim leri ve bağlaşım ları ile, sürekil anlanmasıdır. Bireysel her erkeğin veya kadının bilgisi, belirli herhangi bir çağda bütün insan soyunun bilgisi gibi, sınırlıdır. Am a her sonlu kişi, doğaya karşı savaşımında, insanlığın doğaya egemen olm a konusundaki sınırsız gücünü, dolayısıyla kendisinin de bir parçası olduğu bu her-yanlı madde hareketini kendisiyle dışavur^r. Yalnız kendi "yaşantısını" bilen olgucunun ve deneycinin kendisi için çözülm ez olan "tümevarım problemi" ile karşı karşıya kalması bun­ dandır. Çünkü onlar, sonsuz "yaşanlılam aya” -onu saym aya, ölçmeye, veya sınıflamaya- ömürleri asla yetmediği için, bir yasanın özsel evrensel­ liğini asla kavrayamazlar ve evrensel hareket ile her-yönlü bağlaşımdan duvarlarla ayrılmışlardır. Engels konuyu çok açık koym uştur. Bitkibilimci Naegeli'nin şu sözünü doğru bulur: "Yalnız sonluyu bilebiliriz", "[amaç, -ç.] bilgi alanım ıza yalnız sonlu nesneler girdiği sürece. Ama önermeye şunu eklemek gerekin 'Aslında yalnız sonsuzu bile­ biliriz.' Gerçekte, bütün gerçek, ayrıntılı bilgi, yalnız, bireysel şeyi düşüncede bireysellikten tikelliğe ve oradan evrenselliğe yükselt­ meyi, sonsuzu sonluda, öncesiz-sonrasızı geçicide aramayı ve sap­ tamayı içerir. Bununla birlikte, evrensellik biçimi, kendindc-bülünlük, dolayısıyla sonsuzluk biçimidir, sonsuzda birçok sonlunun anlanışıdır... Bütün gerçek doğa bilgisi, öncesiz-sonrastzın, sonsuzun bilgisidir; dolayısıyla da özsel olarak saltıktır (absolute). Ama bu saltık bilgi­ nin önemli bir çekincesi vardır. Tıpkı bilinebilir m adde sonsuz­ luğunun tüm üyle sonlu şeylerden oluşm ası gibi, saltığı bilen düşünce sonsuzluğu da, yan yana ve birbirlerini izleyerek bu sonlu bilgiyi işleyen, pratik ve teorik çamlar deviren, yanlış, tek yanlı ve düzmece öncüllerden yola çıkan, düzmece, dolambaçlı ve belirsiz yollar izleyen burnunun ucundaki doğruya bile erişmeyen (Priest­ ley) sonsuz sayıdaki sonlu insan uslarından bileşir. 266

Sonsuzun bilgisi, bu yüzden, çifte güçlükle kuşatılmıştır ve gerçek doğasından ötürüi ancak sonsuz bir asym ptotik ilerlemeyle olur." (Dialectics ofN atture, pp. 237-238) "Sonsuzluk, uzayıda ve zamanda sonsuz olarak açılan somsuz bir sü­ reç olduğu içinditr ki, bir çelişkidir. Bu çelişkinin ortadan kaldırıl­ ması, sonsuzluk so n u olurdu. Hegel bunu gerçekten doğru olarak gördü ve bundan (dolayı, bu çelişki üzerinde ince eleyip sık dokuyan beyefendilere artaımlı küçümsemeyle davrandı." (Anti-Diihring, pp. 75-76)

5. Marx ve Diferansiyel ve integral Hesap

Marx, m atem atiksel çalışm asında, harekelin, sürekliliğin ve son­ suzluğun doğasındaki çeilişkilerden kaçınmak için matematikçilerin göster­ diği boş çabalar karşısında Hegel'in küçümsemesini yineler. Ama matema­ tik karşısındaki tutum ları tümüyle karşıttır. N esnel düşünselci Hegel'e göre, matematik, doğal Ibilim gibi, Düşüncenin açılım ında çok aşağı aşa­ malarda bulunur. Matennatik, diye düşünür Hegel, "parlak tüylerinden kur­ tarılmak’’ g e re k ir."B üyüklü k (magnitude), fark ilkesi Kavram ile belirlen­ mez ve eşitlik, soyut camsız birlik ilkesi, yaşamın ve onun saltık üstünlü­ ğünün eksiksiz kargaşasıyla başa çıkam az... M atematiksel b ilg i... dışsal bir etkinlik olarak, salı ımaddesele doğru kendinden-hareketli olanı, onda aldırmaz, dışsal, cansız b ir içerik kazanacak biçimde indirger."* Oysa M arx, zorıunlu olarak görünm eleri gerekliği gibi tüm üyle biçimsel olan m atem atiksel soyutlamaların kendinden-hareketli madde bil-

* Phenom enology, [p. 27. Bkz. pp. 24-26. Aynı zamanda Encyclopaedia Sec­ tions 259, 267 (Philosophy o f Nature).

267

gisini, ensonu toplumsal pratikten soyutlanm ış ve pratik için zorunlu olan maddesel nesneler arasındaki genelleştirilmiş ilişkilerin bilgisini içer­ diğini görür. Hegel ve Marx, her biri, hareket ve değişme çelişkisini anlatmakla, Hegel’in dediği gibi, "çelişkiye göz yummak veya onu gizlemek yerine, yöntemle açığa vurulmuş çelişkiyi gerçeklen çözmck"le ilgilenir. (Science o f Logic, p. 277) Hegel yalnızca bu belirsizliklerin altında yatan düzmece düşünme yöntemlerini sergilemek isterken, Marx, matematiksel tekniklerin kendile­ rini daha derinden kavramaya ve bir seçenek bulmaya itildiğini anlar. ^ türevini bir yaklaşım (approximation) olarak değil, te rs in e ,/^ ) fonksiyo­ nunun gerçek hareketinin bir anlatımı olarak geliştirebilmek ister. M arx, Hegel'den farklı olarak, bu sorunda d'Alembert 'in yapıtına başvurur (bkz. Ek IV, s. 162). D'Alem bert bu problemi çözmemişti, ama var olan matematiksel yöntemlerin zayıflığına, açık bir limit kavram ının yokluğuna dikkat çekmişti. Marx, bunu, modern işaretlemeyle özetlediği­ miz aşağıdaki yolla yanıtlamaya girişir. B irf(x ) fonksiyonunu farklılaştırmak istersek aşağıdaki yolu izle­ riz: X\ 'i x 'ten farklı alır \& f(x) 'e karşılık olan anlaum ı f ( x x ) 'e karşılık olandan çıkarırız. Buna iki değişkenin, x F(x , * 1 ) - f(x \ ) - f(x )

ile

'in bir fonksiyonu,

diyelim . Şimdi, olanaklıysa

F (x , x r ) 'i,

(x x - x) G(x , Xı ) gibi anlatırız. Sonunda, G fonksiyonunda, Xı = x koyup G(x , x) = f(x ), türev fonksiyondur deriz. Bu yolla, "sonsuz küçük nicelikler" ile ilgili bütün güçlüklerden sakınırız. O şaşırtıcı dife­ ransiyellerin şim di yalnız df(x) - f ' ( x ) d x ilişkisinde anlam ı vardır. (Marx, x \ = x durumunda G 'nin hep sürekli olacağını yeter neden olmadan varsayar). Bunu basit bir örnekle göstermek için f(x) = x 3 alalım,

x ] - X 3 = (X\ - X) (*1 + Xı X + x 2) ,

268

2

böylece G (x , x ı ) = X\ + x t x + x

2

f ' ( x ) = G(x , x) = 3x? ’ye vanr. M arx’in birinci elyazmasmın başındaki sözlerini önemsememişsek, buradaki sorunu hiç kavrayamayız: "Önce farklılaştırmak, sonra da onu or­ tadan kaldırmak, bundan ötürü, gerçekten hiçbir şeye yol açmaz. Diferan­ siyel işlemi anlam ada bütün güçlük, kesinlikle (yadsımanın yadsınması' ndaki gibi), onun böyle basit bir işlemden ne denli farklı olduğunu, do­ layısıyla da gerçek sonuçlara yol açtığını görmededir." Marx, önce X\ 'i x ' ten farklı kılm a, sonra da onu bir kez daha x ile aynı kılm a işlemlerine göndermede bulunuyor. Çünkü ancak bu çift yadsım a ile f(x ) 'in gerçek hareketi f '(x) türevine kaydedilir. Bu, Hegel'in "diferansiyel ve integral hesap yalnızca değişken büyüklürlerle değil, kuvvetlerin ilişkileri ile de il­ gilidir ... kuantum gerçekten nitel bir gerçekliğe bütünlenir; gerçekten sonsuz gibi saptanır" (Science o f Logic, p. 253) derken dile getirdiği (ve Engels'in M arx'a yukarıda alıntılanmış m ektubunda göndermede bulun­ duğu) düşüncedir. Hegel'in diferansiyel ve integral hesap konusundaki yorumlan, ma­ tematik bu sorunların üstesinden gelmek için yeni bir çaba göstermekte olduğu sırada yapılmıştır. (Mantık Bilim i (The Science o f Logic) 1813 ’te yayımlandı.) Sonraki 70 yıl boyunca fonksiyon, lim it ve sayı temel kav­ ramları tüm üyle dönüştürülm üştür. Ama M arx bu yeni düşünceleri bil­ miyordu. Bu cildin açıkladığı gibi, onun bilgisi, çağında hâlâ kullanıl­ makla birlikte, daha yeni gelişmeleri yansıtmayan ders kitaplarından edi­ nilmiştir.* Ama bu değişmelerin bir sonucu olarak, M arx’in ve Hegel'in yapıu değersiz kılınm ıştır demek değildir; çünkü o güne değinki matema­ tiksel bilgi genişlemesi, sürekli olarak aynı problemlerle, ama daha derin bir düzeyde karşılaşır.

* O güne dek, diferansiyel ve integral hesap öğrencilere aslında X V i n . yüz­ yıldan alınmış kanıtlar yardımıyla öğretilir. Marx'm pek çok yararlandığı Lacroix'nm kitabı, 1881'de hâlâ yayımlanıp duruyordu.

269

6. Sonraki Gelişmeler

Matematikçiler 1830’dan önce bir fonksiyon 'dan söz ettiklerinde, kafalarındaki şey, kabaca, Euler'in şu sözcükleriyle tanımlanmıştı: "Eli özgürce götürmekle çizilen bir eğri". Lagrange, böyle "düzgün" bir nesne­ nin bir "Taylor açılım ı” olur diye kabul etti: a + bx + cc2 + dx? ... ve ona "çözümsel" (analytic) adını verdi. (Marx'm savunduğu yöntem yalnız böyle fonksiyonlar için geçerli olacaktır.) Daha genel, modem fonksiyonel ilişki kavramını Dirichlet ve başkaları, 1830'larda açıkladılar. Bu, basitçe, belirli her bir x değerleri küm esine belirli bir f(x ) değeri karşılık olur de­ mekti. Cauchy, mantıklı b ir limit kavram ı vermeye çalıştığı kitaplarını 1821'de ve 1823'te yayımladı. W eierstrass 1860’larda bu düşünceleri sağ­ lamlaştırdı. Şimdi, bir f(x ) fonksiyonu, x x o 'a yöneldiğinde bir limite yö­ nelir demek, aşağıdaki anlam a gelir: Bir L sayısı vardır, öyle ki, herhangi bir artı, ama küçük e niceliğine karşılık bir S niceliği vardır, öyle ki, her ne zaman xo~8<x<Xf)

+ 8 , L - e < f(x ) < L + e .

Bu düşünce kullanılarak, sürekliliği tanımlamak ve / '(x) türevini, 8 0 'a yönelirken,

+ ^

8

'nın limiti gibi anlamak olanaklıydı.*

M atematikçiler, şimdi, Grek öncellerinin kanıtlama sağlam lığına döndüklerini, ama aynı zam anda sonsuz ısırganını tuttuklarını söyleyebi­ lirler miydi? Yeni çözümleme biçimi, sezgisel uzay ve zaman düşünceleri­ nin üstesinden gelebilir miydi? Henüz değil. Çünkü "limit" düşüncesi, hâlâ, iki değerin arasında içerilen sayı­ ların sürekli dermesi (collection) biçimindeki sezgiyle bulaşıktı. W eiers* Bu düşünceler, Canıor'unkilerle birlikte, Bohemyalı Papa?. Bolzano'ca, 1820-40 yıllarında bir ölçüde önceden görüldü ise de, yapıtı daha sonralara dek genel­ likle değerlendirilmedi.

270

trass'ın tanım lan, aslında dinam ik olan için statik b ir kafes sağlamayı amaçlıyordu. D edikind ve başkalarıyla birlikte, m odem çözümleme kav­ ramlarından birçoğunu aydınlatarak, sayılar süreklisi (continuum) ile uğ­ raştı. Sonra, 1872'de, Cantor'un sonsuz nesne kümelerinden ilk kez söz et­ meyi, gerçekten sonsuzu saymayı ve tutarlı bir "sonlu-üstü (transfınite) sayılar" aritmetiği kurmayı denediği yapılı çıktı.* 1900'de, dünya matematiğinin önde gelen kişisi, Henri Poincarö, "kesin sağlam lığa ulaşıldı"ını güvenle açıklayabildi. Bell'in söylediği gibi, Poincarö şuna tümüyle inanıyordu: "Sonunda, XIX. yüzyılın sonlu sınıflar teorisine dayanan sayı felsefeleri, çözümlem e süreklisinden bütün belirsizliği k a ld ırm ıştı... Bütün matematik, diye ilan etti, sonunda doğal sayılar ve geleneksel mantık tasım lan (syllogism) ile ilgilendirildi; Pisagorcu düş gerçekleştirildi. Bundan sonra, diye bir daha güven tazeledi Poicar6, çekingen m atem atikçiler ayaklan altındaki dayanağın kesinlikle sağ­ lam olduğuna g ü v en erek , cesaretle ilerley eb ilirler." (B ell, T h e Development o f M athematics, p. 172. Aynı zam anda p. 295.) Nasıl da yanılıyordu! Bu yüzyılın ilk yıllannda, Kant'ın ve ondan başka hemen hem en herkesin apaçık doğrulara dayandığını öğrettikleri ö k lid geom etrisinin gerçek uzayın doğru tanımı olmadığı gösterildi; daha da kötüsü, mantığın kendisinin temelleri sallanm aya başladı. Matematiğin ve mantığın temeliyle ilgili bu problemler, sonsuz küm eler paradokslarıy­ la doğrudan bağlantılıydı. Bu yüzyıl boyunca, matematiksel bilim için tartışma götürmez bir taban aranm ası, en sert tartışmaları doğurdu. Sonsuzun paradokslarından sakınma girişim inde, karşıt iki eğilim çarpışmaktadır. Bir yanda, matema­ tiği tanım lanm am ış sem bollerle oynanan, satrançtan daha anlam lı ol­ mayan bir oyun gibi görmeyi sürekli deneyen biçim selciler (formalist) vardır. Bu oyunun kurallarını bağlamlı (consistent) aksiyom lar biçiminde belirlemekle, oyunun uydurulmuş nesneleri arasındaki bütün ilişkiler çö­ zülebilir. Sonra, 1931’de, felaket Gödel teorem i biçim inde gelip çatü: Gödel, aritmetik denen oyunun, sistemin içinde karara bağlanamaz iyi formüllcştirilmiş problem ler doğurabildiğim gösterdi. * Ama C antor sonsuz büyüğün gerçek olduğuna inanmakla birlikte, gerçekten sonsuz küçüğün varlığım yadsıdı.

271

Biçim selcilerin karşısında, Brouwer ile Heyting'in önderliğinde, kökenleri Kant'a dek izlenen sezgiciler vardı. Onlara göre, matematiğin ta­ banında a priori (önsel) verilmiş çözümlenemez belirli kavramlar vardı. Sonsuz onlar arasında değildi ve matematik böyle garipliklerle ilgisi kesil­ dikten sonra yeniden kurulmalıydı.

7. Matematiksel Bilgi Nedir?

Bu tartışmalar yalnız matematiksel oyunla uğraşanları ilgilendirir gibi görünür. Ama, gerçekte, fiziğin temellerini yıkıp duran bunalım, ke­ sinlikle, kesikli ile süreklinin, sonlu ile sonsuzun çelişkilerine bağlıda. Kimi fizikçiler, güçlüklerinden kurtulmak için bir "soncusal (finiıistic) matematik" olanağını düşünmeye başlam ışlarda* Marx'in diferansiyel ve integral hesap konusundaki çalışması yalnız sonsuz küçükler problem leriyle ilgili değildi. Marx, kendi farklılaştırma "cebirsel yöntemi"ini açıkladıktan sonra, kendisini XX. yüzyıl m atema­ tiğinin ruhuna çok yaklaştıran bir adım daha atar. Rollerin tersine çevril­ mesine, diferansiyel katsayısına karşılık olan sembollerin "işlemsel denk­ lemleri" sağlayan (satisfying) "işlemsel formüllere" (O perationsformel) dönüştürülmesine dayanarak diferansiyel ve integral hesabın ilerdeki gelişi­ mini tanımlar. Bu düşünceler, bir bütün olarak diyalektik maddeseicilik için pek önemli olan bir maddeselci matematiksel bilgi kavramına uygun bir temel verir. M ekaniksel m addeselciliğe göre, biçimsel soyutlamalar büyük tehlikeler taşır. Bunlar, yalıtılmış durumda, canlı algıdan hareketten toplumsal pratiğe götürülür ve bütün süreç bir fotoğrafın negatifi gibi ters durumda görülür. Çünkü soyut sem bol gerçek bilgi nesnesiyle karıştırılır, oysa somut nesne yalnızca arka plan gibi görülür.

* Bkz. : W cizsaecktr, The W orld View o f Physics, Chapter 5. T. Bastin'in (ed) Quantum Theory and B eyondına katkılarına da bkz.

272

M odem m atem atik, cebir süreçlerini, bilimin nesnelerinin tümüyle tanımlanmamış göründüğü stratosferik soyutlam a düzeylerine genelledi. O nlar üstüne bütün bildiğim iz, birbirleriyle ilişkilerini yöneten kural­ lardır; ve bunlar m atematikçinin istenciyle kararlaştırılmış gibi görünür. Deneyciler, onun için, bu soyut biçimleri maddesel süreçlerin ilişkilerini kesinlikle anlatır kılan görünür örtüşme’ce şaşırtılır. Ama Marx'm diferan­ siyel ve integral hesaba yaklaşım ı, soyut sem boller ile soyutlandıkları madde hareketi arasındaki diyalektik ilişkiyi gösterir. Soyutlamanın doğasını tanışırken Hegel, soyutu "duyumsal, uzaysal ve zamansal, elle tutulur gerçeklikken daha aşağı bir düzeye yerleştiren görüşlere saldırır. "Bu görüşte, soyutlamak, somut nesneden öznel amacı­ mız için şu veya bu işareti seçmek dem ektir". (Science o f Logic, p. 587, Lenin, agy., s. 170-171). Hegel -kuşkusuz, kendi düşünselci görüş nokta­ sından- tersine, "soyut düşünm e ... gerçekliği öylelikle bozulm am ış du­ yumsal maddeselin yalnızca bir yana bırakılması olarak kabul edilmemeli­ dir; o, daha çok, yalnız görüngüsel görünüş olarak o maddeselin özsele aştırılması ve indirgenm esidir." diye düşünür. (Science o f Logic, p. 588) Hegel bu düşüncelerin, hareket ve bağlaşım zenginliklerini ele geçirmeye yeteneksiz saydığı m atem atiğe uygulanmasına izin veremez. M arksçılık, diyalektiği maddesel ayaklarına bastırarak, bütün doğal bilim ve teknoloji gelişimi sırasında görülen matematiksel soyutlam aların, m adde hareketi­ nin gerçek bilgisini içerebildiği yolu kavrar. Engels'in matematiği "kendi­ leri de gerçekliğin yansımaları olan düşünce yaratmalarıyla ilgili soyut bir bilim" (Dialectics o f Nature, p. 218) olarak tanımlamasının anlamı budur. M odem matem atik öğrencisine göre, Marx'm bu elyazmaları, kuş­ kusuz, modası geçmiş bir görünüştedir. Ama gördük ki, bu elyazmalannın gerçekten değindiği sorunlar, sonsuz, düşünme ve varlık arasıdaki ilişki ve hareket, ana felsefî konulardır. M atematik tarihine kısaca göz atmamızın gösterdiği gibi, m atem atiğin temellerini yıkıp duran bunalımın altında işle bu sorunlar vardır. Bu güçlükler, birçok bilim dalında karşılaşılan yöntembilimsel problem lerle, büyük her bilim sel ilerlemeyle derinleşen problemlerle bağlantılıdır. Marx ve Engels, bir yüzyıl önce, doğal bilim ve matematik gelişi­ mine kesinlikle şundan ötürü özel dikkat gösterdiler: Biliyordular ki, diya-

273

lektik maddeselcilik ancak en güncel bilim buluşlanna dayanıp bunlarm durağan, "sağ duyusal" gerçeklik görüşlerine karşı gerektirdiği problem ler­ le ilgilenirse yaşayıp serpilebilirdi. Bugün bu, Engeldin Dühring'e karşı makalelerini ve doğa diyalektiği üstüne notlarını hazırladığı, M arx'in da bu matematiksel elyazmalarını yazdığı zamankinden çok daha yaşamsaldır. Bu yapıta b ir bütün olarak bakarsak, ortak başka bir özellik şaşırtıcıdır: M ani'm ve Engels'in aydınlatm a için H egel'e dönme tarzlan, Marksçılık saltık düşünseldi iğin yadsınmasıdır, ama Hegelci, aynı zaman­ da ortadan kaldırma ve koruma anlamında. Çeşitli revizyonist okullann çe­ kişmelerinin tersine, M arx, Hegel'den ilk ve son bir kopma göstermedi; tersine, kendisinden sonra Lenin'in ve Trotski'nin yaptıkları gibi, Hegel'in düşünselciliğini yadsımak için durmadan Hegel'e döndü. Bundan ötürü, bu elyazm alan, Marx'in Hegel'e dönüşlerinin sonun­ cusu olarak görülebilir. Bunlar, bugünün M arsksçılan için, Hegel'le daha derin bir kavgaya tutuşarak, matematikteki ve doğal bilimdeki en son ge­ lişmelerle bağlantılı olarak diyalektik m addeselci yöntem uğruna savaşı ileri götürmek için bir destek olm ak gerekir.

274

M A R X 'I N B A Ş V U R D U Ğ U K A Y N A K L A R I N D İ Z İ N İ italik sayfa numaralan eklere göndermedir. BOUCHARLAT, J. L., ''Elementary Treatise on the Differential and Integral Calculus", Fransızca üçüncü basımın İngilizce versiyonu, Cambridge-London (1828), 24, 65, 143, 149-151, 173-181, 186-190 D'ALEMBERT, J., "TraitĞ de l’£quilibre et du mouvemenl des fluides", Paris (1754), 75, 76, 97 EULER L., "Introduction in analysi infinitorum", Lausanne (1748) 75 EULER L., "Instituliones calculi differentialis cum ejus usu in analysi finitorum ac doctrina serierum", Berlin (1755), 75, 160-164, 182, 185 HIND L., "The principles of the differential culculus; with its application to curves and curve surfaces", second ed., Cambridge (1831), 99, 143-154, 165, 185 LACROIX, S. F., "TraitĞ du calcul differentiel el du calcul integral", 3 Vol., ikinci basım, Paris (1810-1819), 145, 153, 154, 171 LACROIX, S. F., "Complement dcs elements d'algcbrc", 7. basım, Paris (1863), 171 LAGRANGE, J. L., "Theorie des fonctions analytixues", Paris, 1813, Oeuvres Lagran­ ge. Vol. DC, Paris (1881), 75, 76, 99, 154-155, 172 LANDEN, J., "A discourse of the residual analqsis”, London (1758), 172 LANDEN, J., "The residual analysis", London (1764), 113, 155, 165-172 LHUILIER, S., "Principiorum calculi differentialis et integralis exposito elementaris", Tübingen (1795), 182 MACLAURIN, C., "A treatise of algebra in 3 parts”, 1. basım (1748), 6. basım, Lon­ don (1796), 186 MOIGNO, F., "Leçons de culcul differentiel el dc culcul integral, redig6cs d'aprhs les methodes et les ouvragcs publies ou inedits de M. L.A. Cauchy", 2 Vol., Paris (1840 ve 1844), 75 NEWTON, I., "Philosophiae naturalis principia m athem atics”, London (1687), 75, 76, 156-159 NEWTON, I., "Arithm etics universalis, sive de compositione et resolutione arithmeti­ cs liber", Cambridge (1707), 112 NEWTON, I., "Analysis per quanlitatum series fluxiones et differentias, cum enumera­ tion e linearum tertii ordinis" (1711), 75, 76 TAYLOR, B., "Melhodus incrementorum directa et inversa", London (1715), 75, 182

275

KONULAR DÎZİNİ

A Aldatmaca - s . 115 Artım (Delta) - s. 91, 92, 94, 95 - artı fark anlatımı olarak - s. 86, 87, 100-103 - büzülme yeteneği - s. 68, 121, 123 - değişken artması olarak - s. 80, 88, 102 - diferansiyele geçişi - s. 27, 94, 98, 123, 124 Artı sonuç - s. 90, 134 Ayrılma - diferansiyellerin - s. 24, 25, 66 - türevin - s. 96, 103, 104, 124, 128, 131

B Bağımlı ve bağımsız değişkenler (bkz. Değişkenler) Bahane - s. 7 Birbiçim - s. 18, 29 Boucharlat, Jean-louis (1775-1848) - s. 24, 66 Bölüm, farklılaştırılması - s. 71, 111 Büyücülük - s. 32

C Cebir - s. 29, 98, 107, 113, 115 Cebirsel yönleM - s. 25, 32, 55, 61-65, 71, 85-90, 97-99, 101, 116 - D'Alembert yöntemiyle karşılaştırılması - s. 122-126 - diferansiyel ve integral hesap için temel - s. 51, 111, 116 - ve "gizemsel diferansiyel yöntem - s. 21, 24 , 55, 59, 68-70, 124 Cebiri kolaylaştırmak ■ s. 24, 25, 66

ç Çabukluk - s. 65, 76, 77 Çarpanlara ayırma - s. 18, 46, 47, 64, 89, 90, 119, 124 Çarpım, farklılaştırılm ası - s. 15, 18, 20-23, 37, 39, 42, 48-54 1 70, 72, 77, 79,

111 Çembersel fonksiyonlar - s. 107 Çıkış noktası • s. 41, 48, 51, 58, 65, 68, 94, 111 Çocukluk - s. 122

279

D D'Alembert, Jean Le R ond, (1717-1783) - s. 75, 77, 94-95, 97-98, 101, 122, 124, 126, 131, 134 Değilken değerinin değişmesi - s. 7, 9, 10, 78, 86, 88, 89, 100, 102, 124 Değişkenler - bağımlı ve bağımsız - s. 4, 15, 18. 23, 29, 37 - değişmeleri - s. 10, 15, 26, 28, 30, 39, 62, 63, 94, 101, 109, 127, 132 - ve sabitler - s. 110, 115 Delta (bkz. Artım) Deney - s. 92, 93 Denklemler, İçeriği - s. 19, 48, 51, 56, 108 - içinde sıfır - s. 63 - inisiyatifli yanı - s. 20, 28, 30, 63 - sağ yanı - s. 8, 9, 39, 41, 48, 51, 52 . 55, 63, 70, 119, 124 - sembolik yanı - s. 37, 41, 42 , 51, 94, 134 - sol yanı - s. 8, 20, 30, 48, 52, 63, 94, 95, 119 Diferansiyel - s. 15-23, 51-53, 59. 66, 83, 91, 104 - ayrılmaz oran - s. 24, 66, 67 - bağımsız varlığı - s. 79, 83 - denklemler - s. 15, 19, 22, 25, 27, 41, 45, 79 - hesap yöntemi - s. 20, 24, 37, 91-94, 97, 124 - indirgenmiş anlatım olarak - s. 37, 52, 57 - işlemler - s. 3, 107, 110 - katsayı - s. 24, 28, 53, 59 - keyfi olarak konması - s. 68, 79 - oran, bayağı kesir olarak - s. 24, 31, 33, 52, 53, 61, 63, 66, 79, 130 - sıfır büyüklük olarak - s. 59, 82 - süreç - s. 4, 20 - türelimde varsayılmış - s. 68, 91 Diferansiyel Denklemin kuşkulu doğası - s. 24, 66 Diferansiyel ve integral hesap (bkz, Kalkülüs) Düşmanlık çığlıkları - s. 94

E Eksi artım - s. 107, 112 Eksi fa rk anlatımı - s. 86, 87, 124 Elçabukiugu - s. 91, 92 , 93, 94, 96 En kilçük anlatım - s. 7, 25 , 67, 69, 82, 121 Eşsöz - s. 122 Eylem stareljisi - s. 108

280

F Fait accompli (bkz. Oldubitti) Fark - s. 86-88, 95, 100, 101, 103, 116 ' - sonlu - s. 4, 12. 29, 68, 78, 90, 104, 123 Farkın artı anlatımı - s. 86, 95, 100, 1 0 i, 123 Farklılaştırma, hiçbir şeye varmayan • s. 24, 29, 44, 115 Ficlıte, Johann Gottlieb (1762-1814) - s, 116 Fonksiyon - s. 103, 104, 108, 113 - fonksiyonu - s. 30-33, 60-64, 127 - orijinal - s. 6, 8, 18. 98, 103, 104 - x ‘li - s. 102-104 Francoeur, Louis Benjamin (1773-1849) - s. 24

G Geliştirme - s. 83, 85, 88, 91, 96, 101-103, 108, 114, 124, 132, 133 Genel anlatım - s. 32, 42, 43, 50, 97, 113, 114, 115 Genel sembolik türetilmiş fonksiyon biçimi - s. 19, 20, 103 Geometrik yöntem - s. 65 , 69, 70, 76, 94, 122 Gerçek değerler - s. 56, 70, 197, 200 Gerçek eşdeğerler - s. 16, 20, 21, 22, 27, 55, 70, 78, 121 Gizemcilik, gizem ciler - j. 91, 94, 95, 96, 97, 99, 100, 122, 124, 126 Gölge (görüntü) - s. 16, 20, 21

H Hareket - s. 9, 76 llegel, Georg William Friedrich (1770 - 1831) - s. 116 Hükümet darbesi - s. 126

t Ikiterimli - s. 87, 88, 91, 92, 93, 101, 102, 123 - teoremi - s. 81, 92, 97, 98. 101-103, 107, 110, 111, 114, 123, 124, 129 - teoremi, tanımlanmamış dereceyle ilgili - s. 99, 112, 115 İlk türev - î . 6, 7, 8, 26, 27, 104, 126, 133 İncelenmemiş yöntem temelleri - s. 117 İşlemsel form üller - s. 32, 38. 42, 43, 57, 65, 59, 60, 65, 67, 70, 71, 78, 81 - diferansiyel katsayıları anlamına gelen • s. 9, 21, 26, 38, 41, 42, 48, 51, 54 İşlemse! semboller - s. 21, 48, 51, 52, 78

281

K Kalkülûs, içeriği - s. 55 ' - çıkıç noktası - s. 20, 26, 27, 51, 70, 94, 97, 101, 111, 116 - görevi - s. 22, 60 - karşıt yöntemleri - s. 21, 55, 69 - kendi tabanında işleyen - s. 20, 27, 38, 41, 51, 78, 111 - kurucuları - s. 51, 55, 78, 103, 116 - özel hesaplama tarzı - s. 20, 26, 27, 85, 111 - tarihi - s. 55, 65, 68, 73-90, 91-106 - üç aşaması - s. 20, 55, 91-100 Kant, Immanuel (1724 - 1804) - s. 116 Kuantumlar - s. 65 Kuruntu - s. 5 Kuvvet serilerinde birinci terim - s. 95, 102, 132 Kuvvet serisi - s. 108 Küçük niceliklerin örtbas edilmesi - s. 65, 79, 84, 92, 93, 124

'L

Lacroix, Sylveslre François (1765 - 1843) - s. 69 Lagrange, Joseph Louis (1736 - 1813) - s. 24, 44 , 65, 69. 75, 76, 96-99, 103-104, 107, 110-113 U nden, John (1719 - 1790) - s. 33, 75. I l l Laplace, Pierre Simon (1749 - 1827) - s. 75 Leibnitz, Gottfried Wilhelm (1640 - 1716) - s. 65, 75, 76, 77, 78, 94-97, 111, 113, 115, 116 Limit - s. 7, 69, 119-122 Limite yaklaşma - s. 7, 29, 68, 120 Logaritma - s. 12

M MacLaurin, Colin (1698 - 1746) - s. 75, 99, 107-116 M etafizik - s. 65, 68, 91, 97, 113 Moigno, A b b i (1804 - 1884) - s. 75 Momentler - s. 65, 76 Mucize - s. 8, 29, 84

N Newton, Isaac (1642 - 1727) - s. 65, 69, 75, 76, 78-84, 94-97, 99, 103, 107, 110, 111, 113, U S , 116, 124

282

o Oldubitti - s. 115 Oran - diferansiyellerin - s. S, 6, 29, 95 - sıfırların (bkz. Sıfır) - sonlu farkların - s. 4, 6, 89, 94-96, 104

P Parabolün teğetaltı - $. 29, 43, 44, 60, 67, 70 Pay ve payda - s. 17, 18, 24, 25, 66, 67, 91, 92 Poisson, Simeon Denis (1781 - 1840) - s. 75

S Sabit fonksiyon - s. 108, 110 Saflar, terimlerin ilerlediği - s. 96, 125 Safra - s. 98 Salt enküçük anlatım!Nicelik (bkz. Enküçük anlatım) Schelling, Friedrich Wilhelm Joseph (1775 - 1854) - s. 116 Sem bolik - diferansiyel anlatım - s. 38, 41, 55, 99 - diferansiyel katsayısı - s. 16, 17, 19-21, 30, 42, 48, 49, 50, 56, 70, 91, 92 - işlemsel denklem - s. 22, 26, 51, 57 yanlışlık - s. 8 Seri - de tanımlanmamış katsayılar yöntemi • s. 112 - fonksiyon açılımı - s. 97, 99, 115 - sonsuz - s. 8, 112, 121 Sıfır denklemlerde - s. 63 oranı - s. 16, 29, 37, 45, 96 oranının keyfi değeri - s. 18, 38, 41, 46, 47 Sıfıra eşitlenmiş fark/nicelikler - s. 5, 8, 25, 59, 67, 78, 113 Sonlu fa r k - s. 4 , 12, 29, 68, 78, 104, 123 Sonsuz küçük - s. 5, 29, 65, 68, 77, 83, 94, 113 - ikinci sıradan - s. 77, 83 - ile hesaplamalar - s. 83 Sonsuz seri (bkz. seri)

283

T Taban (bkz. KalkiUüs) Taylor, Brook (1685 - 1731) - s. 50, 75, 99, 107-116 Taylor Teoremi • s. SO, 99, 107-116 Taylor ve MacLaurin Teoremlerinin başarısızlıkları - s. 110, 113, 114, 115 Terimleri elçabukluğu ile gidermek - s. 91, 92, 93 Toplam ve fark, k o c a la r - s. 86, 87. 88, 95. 100, 101, 102, 116, 123 Titretilmiş fonksiyon - s. 8-14, 80, 84, 98, 104, 107, 113, 114, 116, 134 Türev - s. 7, 8, 88, 92, 108 - biliniyor varsayılmış - s. 50, 51, 57, 109, 116 - hazır durumda - s. 89, 92. 97, 98, 102, 104, 124, 128, 131 - kuvvet serilerinde ikinci terim olarak • s. 87, 92, 96, 98, 102, 124, 126, 128, 130

Üst - s. 13 - tam artı sayı • s. 112, 113, 114 Üstlü Fonksiyon - s.10, 89

Y Yadsımanın yadsınması - s. 87, 88, 89, 123 Yanlış âncûller ■ s. 81, 94 - doğru sonuçlara varan - s. 92, 94, 115 Yararsız ayrıntılar yığını - s. 10 Yinelenmiş farklılaştırma - s. 8, 18, 98, 108, 134 Yöntemin ters dönmesi - s. 21, 25, 26. 27, 38, 51, 55, 56, 57, 60, 70

7, Zaman aralıkları - s. 65, 76

284