Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger: Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet

9.6 Am Ziel

9.6 .3

157

Konstruktiver Algorithmus?

Ich suchte noch einen Algori thmus , der alle mögli chen Sitz ordnungen bzw . alle möglichen P erl enketten erze ugt . Schli eßlich habe ich eine n gefunden (sieh e cas [26]) und in PHP neu implem enti ert . Dieser klein e 'Halsba nd-Ge ne rator' ist auf dem Matheplanet en verfügbar (siehe [25]) , man kann ihn dort gern ausprobieren und den Source-Cod e einse hen .

9.6.4

Nachbetrachtung

Die Aufgabe führt e mich in die Algebraische Kombinatorik ode r Polya-Theorie . Zit at au s eine r Vorlesungsankündigung zu diesem Gebi et von P. Paule [23]:

Viele kombinatorisch e Situationen und Objekte könn en durch Operationen von Gruppen auf M engen in natürlich er' Weis e beschrieben werden. Anwendungen dieses vereinh eitlichenden algebraischen Konzeptes (sogen annte Polya-Theorie) ergeben sich sowohl für Abzählungs- und Kla ssijikationsproblem e (z . B . chem isch e Mol eküle) als auch für die Konstruktion bzw . Aufiistung komb inatorischer Obj ekt e (z. B . Li stingalgorithmen fü r P ermutation en , Pa rtitionen , Graph en u. s. w.) . Ich hab e die T heorie nur so weit angesproche n, wie es für diese Aufgab e erforderlich war. Die von mi r herangezogenen Quellen sind im Lite ra turverz eichnis aufgeführt . Mehr üb er Gruppenoperat ionen findet der Leser hie r im vorliegenden Buch in Kapit el 5.

Martin Wohlgemuth ist Dipl.-Math. und Bet reib er der Mat he pla ne te n .

10 Summenzerlegungen

Übersicht 10.1 Zählen kann doch jeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.2 Äquivalente und verw andte Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.3 Die An zahl der Summen zerl egungen von n

163

10.4 Rekursive An sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.5 Dualität. . . . . ... . . . . . ... . . . . ... . . . . . .. .. . . . ... . . . . ... . . . . . .. 168 10.6 Leer e Beh älter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.7 Erzeugende Funktionen

171

10.8 Au sblick und Schlus s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Ein Ausflug in die Kombinatorik Wir starten mi t der Frage:

Auf wie viele Arten kann man eine Zahl als Summe von Zahl en schreiben? Diese Fr age ist nicht einde ut ig zu beantworten . Die Präzision in der Fragest ellung mu ss verbessert werd en .

Auf wie viele Arten kann man eine nat ürlich e Zahl als Summe natürlicher Zahlen schreiben ? Au ch dies lässt Raum für Interpretationen . Nächster Versuch:

A14 wie viele A rt en kann man eine natürliche Zahl als Summ e beliebig vieler positi ver natürlicher Zahl en darstellen, wobei zwei Darstellungen nur dann als versc hieden gelten, wenn sie sich hin sichtlich der vorkommend en verschiedenen Summanden oder der Vielfachheit der versc hiedenen Summanden unterscheiden ? Eine Dar st ellung in diesem Sinne heißt Summenzerl egung od er a uch numerische Partition.

160

10 Summenzerlegungen

B eispiel 10.1 Die Dar st ellungen von 17 als 5+5+3+ 4 od er 4+3+5+5 sind nicht ver schi ed en , denn beide Darst ellungen verw enden die gleiche n Summanden (die 3, die 4 und die 5), die 5 kommt in b eid en Darst ellungen 2-mal vor, die 3 und die 4 kommen jeweils I-m al vor. Dagegen sind die Darst ellungen 17 = 10 + 3+4 und 17 = 3+5+5+4 ver schi ed en , denn ein Summand (etwa die 10) kommt nicht in b eid en Darst ellungen vor. Au ch die Dar st ellungen 17 = 5 + 4 + 4 + 2 + 2 und 17 = 5 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 sind ver schi ed en . Zwar sind die ver schi ed en en Summanden in b eid en Fällen die 2,4 und 5, jedoch die Vielfachheiten de r Summanden sti m me n ni cht üb erein einmal kommt die 4 2-mal, das ande re Mal nur I-mal vor . •

Zwei Summenzerlegungen sind also gleich , wenn die eine Darst ellung zur a nderen umsortiert werden kann .

Es ist gewollt , dass die Darst ellung von 17 = 17 eine Summen zerl egung ist . Die Au sdrucksweise 'beliebig viele positive Summanden ' erla ubt die 1 für die Anzahl de r Summanden. Die 1 ist mit Ab sicht eingeschlo ssen . Das mu ss man nicht so machen , ab er es ist mein e Entscheidung und ich b egründe sie damit , dass es dadurch leichter (i. S. v. üb ersi chtlicher, weniger Fallunter scheidungen) wird , die Summen zerl egungen zu zä hlen . Nun denkt man sich bei eine r Summe a be r do ch ehe r mindest en s zwei Summanden . Ich mus s die Aufgab en st eIlung no ch genaue r formulier en und komme nun nicht mehr umhin , die sprachliche Fassung des Problem s durch eine form ale zu erse tzen:

D e fin itio n 10 .2 (Mul t im e nge) Eine Multim enge a uf ein er Menge A ist eine Menge geordneter Paare (v, a) , wob ei a a us A und v ein e natürliche Zahl oder das Symbol 00 mi t der Bedeutung "unendlich" ist . •

Beispiel 10.3 Eine Multimenge soll man sich als Men ge mit Vielfa chheiten vor st ellen . Folgen des ist ein Beispi el für eine Mul timenge: {(4, Glas Wein) , (3 , Col a) , (8, Bie r) , (2 , Wasser )} (J a , Kellner müs sen mit Mult imengen umgehen können!)

•

161

Definition 10.4 (Summenzerlegung) Eine Summ enz erlegung eine r natürlichen Zahl n ist eine Mult ime nge

mi t ver schiedenen

ti ,

E

N, für die gilt : r

LVi· n i = n i= l

für r

> 0, Vi> 0, n i > 0, i = 1, . . . , r.

•

Die Meng e aller Summ enzerlegungen einer natürlichen Zahl n ist eine Menge , de ren Elemente Multimengen sind. Wir wollen die Anz ahl der Elemente der Menge der Summenzerlegungen von n be stimmen.

Beispiel 10.5 Bei spiel für eine Summenzerlegung der Zahl 9: {(1 ,5) , (1 ,2) , (2,1)} Zu lesen: ,,I-mal 5, I-mal 2, 2-mal 1". Dies ist eine Summen zerl egung der natürlich en Zahl 9, weil 1 ·5 + 1 ·2 + 2 · 1 = 9 ist . Eine a nde re Summen zerl egung der 9 ist {( 1,5) , (2,2)} • Wenn man weiß , was man mein t , dann kann man auch gerne wied er mit weniger form alem Aufwand schreibe n. Die ver schi ed en en Summen zerl egungen der 9 sind: 9 =9 9 = 8 +1 9 =7 +2 9 =7 +1 +1 9 =6 +3 9 = 6 +2 +1 9 =6 +1 +1 +1 9 = 5 +4 9 =5 + 3 +1 usw . Die Fr age , die wir beantworten wollen , lautet also:

Frage 1: Wi e viele verschiede ne Summen zerl egungen gibt es für eine natürliche Zahl n?

162

10.1

10 Summenze rlegungen

Zählen kann doch jeder

Das sagt man so leicht! Es ist aber kein Kinderspiel , die Kombinatorik. Bei der ersten Bekanntschaft mit der Kombinatorik lern t man Permutationen , Kombinationen und Variationen. Dafür werden Formeln gelehrt , die Potenzen, Fakultäten und Binomialkoeffizienten enthalten. Das ist die elementare Kombinatorik. Das hier gestellte Problem kann man damit nicht lösen . Was ist das Ziel der Kombinatorik? Nun , Formeln für An zahlen zu geben, ist die falsch e Antwort . Richtig ist : Ziel der Kombinatorik ist die Lösung von Abzä hl problem en . Alle rdings ist eine Lösung nicht notwendig eine Formel, sondern allg emeiner , eine Lösung ist eine Methode, mit der Ab zählungen vorg enommen werden können. Das ist allgemein ein Algorithmus , denn a uch eine Formel mit Fakultäten ist nic ht s anderes als die komprimierte Fassung eines Algorithmus. Die Kombinatorik ist die Wissenschaft von diesen Methoden , von den Denkweisen und Wegen , auf denen man zu einer Lösung gelangt . Manche glauben , dass Kombinat orik kein wesentliches Feld der Mathematik sei. Meiner Meinung nach ist Kombinatorik eine Methode des mathematischen Den kens , die sich als unsagbar pr oduktiv erwiesen hat und dab ei häufig höc hst intuitive und vom ästhetischen Standpunkt (des Mathematikers ) schöne E rgebnisse hervorbringt - Ergebniss e, die a ußerdem für die Ber echnung m it Computern unmittelbar einsetzbar sind. J ede Beschäftigung mit eine m Abzählproblem b eginnt dam it , die Aufgab ensteIlu ng zu versteh en, nöt igenfalls zu präzisieren un d präzise auszudrücken (sieh e ob en) . Es macht sch ließlich eine n wesentlich en Unterschied , ob man die Reihenfolge der Summand en in eine r Summen zerl egung un t erscheidet od er nicht.

10.2

Äquivalente und verwandte Fragen

Die Fr age 1 ist äquivalent zur Frage 2 (d . h ., wenn man das eine zählen kann, dann kann man a uch das andere zählen) : Frage 2: Auf wie viele verschied ene Weisen lassen sich n nicht unt er scheidbar e

Kugeln in nicht unterscheidbare Behälter vert eilen, so dass kein Behälte r leer bleibt ? Dieses Problem ist wiederum nahe verwandt mi t dem Folgenden: Frage 3: Auf wie viele verschieden e Weisen las sen sich n nicht un t er scheidba-

re Kugeln in k nicht unterscheidbare Behälter verteilen , so dass kein Behälter leer bleibt? Äq uival ent zu Frage 3 ist:

10.3 Die Anzahl de r Summenzerlegungen von n

163

Frage 4: Wi e viele Summenzerl egungen m it genau k El em enten hat eine natürliche Zahl n ? Und eine n aheliegende Variation von Frage 3 ist diese: Frage 5: Auf wie viele verschiedene Weisen lassen sich n nicht unterscheidbare Kugeln in k nicht unterscheidbare Behälter verteilen? (Behälter dürfen also leer bleib en .)

Die Anzahl der Summenzerlegungen von n

10.3

Die Anzahl der Summenzerlegungen einer natürlichen Zahl n wird mit p(n) bezeichnet. Man nennt die p(n) die P artitionszahlen. Dieser Name geht zurück auf Euler [29]. Wir wollen nun unsere Frage 1 a ngehen. Das Angenehme bei den kombinatorischen Problemen ist , dass man zum Warmwerden das P ro blem mi t kleinen Zahlen für n oder k betrachten kann . Nach einigem Probieren und Nachdenken hat man schnell eine kleine Wertetab elle und bereits etwas von der Struktur des Problems begriffen. Bei manchen Proble men findet man nun schnell eine Vermutung für eine Anzahlformel (als geschlossener Ausdruck unter Verwendung von elementaren An zahlbegriffen) . Bei den Summenzerlegungen bzw . numerischen Partitionen ist aber keine geschlossene Formel be kannt . Hier ist eine Wertetabelle (Tabe lle 10.1) für die Anzahl der Sum menz erlegungen p(n) bis n = 29: Tab. 10.1: Wertetabelle für die Anzahl der Summenzerlegungen p(n) für n :::; 29

n 0 1 2

p(n ) 1 1 2

n 10 11 12

3 4

3

13 14 15

5

5 7 11

p(n ) 42 56 77 101 135 176

16

231

17 18

297

8

15 22

9

30

19

6 7

385 490

n 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

p(n) 627 792 1002 1255 1575 1958 2436 3010 3718 4565

Um diese Tabelle so weit und a uch noch weit er zu füllen , muss es eine genügen d einfache Ber echnu ngs met hode geb en . Um unterschied lich e Berechnungsmethoden soll es im Folgend en gehen . Wi r b eginnen mit rekursiven Ans ätzen .

164

10 Summenze rlegungen

10.4

Rekursive Ansätze

Der Grundgedanke für die Su che nach rekursiven Beziehungen ist : Finde geeignete disjunkte Auft eil ungen der zu zä hlende n Gesamtheit und versuche, die Mächtigkeit der Teilmengen zu bestimmen . (Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben .] Für die Summenzerlegungen bie ten sich zwei mögliche Ansätze an. Gruppier e die Summenzerl egungen

I. 11.

nach ih rem größten Summanden , nach der An zahl der Summanden .

Beide werden zum Ziel führen .

10.4.1

Summenzerlegungen nach GröBe der Summanden

Ich b ezeichne die An zahl der Summenzerl egungen von n , in denen der größte vorkommende Summand gleich m ist , mit b(n,m) . Die Aufteilung der Summenzerlegungen für n nach dem größten vorkommenden Summanden ist disjunkt . In Tabelle 10.2 sind a lle Summenzerlegungen der 7 und der jeweils größte Summand dargestellt. Es ist

p(n) = b(n,l)

+ b(n,2) + ... + b(n, n) .

Weiter muss man nicht gehen , denn b(n, n + 1) , b(n, n führt auf die Fr age nach der Berechnung der b(n, m) .

+ 2)

(10.1 ) usw . sind O. Das

Wi e man sich leicht überzeugt, gelten die Anfangsbedingungen :

= 0, wenn m > n ~ O. b(n,O) = 0 fü r all e n > O. b(n,l) = 1 für a lle n > O. b(O ,O) = 1, allein a us logis chen Erwägungen .

b(n ,m)

'Wenn eine Summenzerlegung einen maxima len Summanden m hat , dann ergibt sich daraus durch Weg lassen dieses Summanden eine Summenzerlegung von n - m , in der der größte vorkommende Summand m' höchstens gleich mist . Hat man zwei verschiedene solche Summenzerlegungen von n , dann erhäl t man nach die sem Verfahren verschiedene Summenzerlegungen von n - m (mit maximalem Element kleiner oder gleich m). Es ist somit

b(n ,m) :::; b(n - m , 1) + ... + b(n - m ,m - 1) + b(n - m ,m) .

(10.2)

165

10.4 Rekursive Ansä tze

Tab. 10.2: Summenzerlegungen der 7 und grö ßter Summ and Größter Summand

Ifd. Nr. 1 2

3 4 5

6 7 8 9 10

11 12

13 14 15

••••••• •••••• ••••• ••••• •••• •••• •••• ••• ••• ••• ••• •• •• ••

•

7

•

••

•

• •• ••

6 5

•

• • • • •• • •• ••

•

•• ••

• •

5 4 4

•

4

3

••

• •

• • •• • • • • • • •

3 3

• • • • • • •

3 2 2 2 1

Umgekehrt: Ausgehend von einer Summenzerlegung von n - m mit maximalem Summanden kleiner od er gleich m bildet man eine Summen zerl egung von n mit maximalem Summanden m, indem man eine n Summanden m hinzufügt. Hat man zwei ver schi ed en e solche Summen zerl egungen von n - m , dann erhält man nach diesem Verfahren verschiedene Summenzerlegungen von n (mit maximalem Element m) . Es gilt :

:s: b(n ,m)

(10.3)

b(n - m , 1) + .. .+ b(n - m ,m - 1) + b(n - m ,m)

(10.4)

b(n - m , 1) + ... + b(n - m ,m - 1) + b(n - m ,m)

Aus (10 .2) und (10.3) folgt Gleichheit: b(n ,m)

=

Dieses erste Ergebnis ermöglicht schon die Ber echnung der b(n , m) mit eine m Computer. Unschön ist hierbei all erdings die variable Länge der Rekursion. Wir b et racht en das Problem nun von einer ander en Seite. Wesentlich ist folgende Übe rle gung: Die Summenzerlegungen von n in Summanden kleiner m kann man disjunkt aufteilen nach der Häufigkeit des Summanden m. Wenn der Summand m genau einma l vorkommt , dann kann man eine Summenzerlegung von n - 1 mit größtem Summanden m - 1 konstruier en , indem man von dem Summanden m eins wegnimmt. Wenn der Summand m aber mehrfach vorkommt, dann ergibt das Streichen dieses Summanden eine Summen zerl egung von n - m , in der der größte vorkommende Summand immer noch mist.

166

10 Summenzerleg ungen

Somit gelangt man zu der Gleichung:

b(n,m)

= b(n - l, m - 1) + b(n - m ,m)

(10. 5)

Gleichung (10 .5) ist das Erkennungsmerkmal vieler Varianten von Summenzerlegungen . Wir werden dieser Identität noch mehrmals begegnen. Anmerkung: Gleichungen wie (10.5) werden a ls DijJerenzengleichungen be zeichnet. Für bestimmte T ypen von Differenzengleichungen sind Verfahren b eka nnt , eine explizite Form der durch die Differenzengleichung und die Anfangswerte implizit gegebenen Funktion zu be stimmen. Diese Verfahren ä hneln oft den Methoden zur Lösung von Different ial gleichungen . Wa s für stetige Funktionen die Differentialgleichungen, sind in der Kombi nat orik die Differenzengleichungen! Und genau wie nich t jede Differentia lgleichung eine explizit b ekannt e Lösung ha t , ist es auch hier : F ür die Differenzengleichung (10.5) ist keine explizite Form der Lös ung b ekan nt .

10.4.2

Summenzerlegungen nach Anzahl der Summanden

Ich verwende weiter die Bezeich nung p( n) für die An za hl der Summenzerlegungen und b ezeichne die An zahl der Summenzerlegungen von n in genau k Summanden mit a(n , k). Tab. 10.3: Summenzerlegungen der 7 und Anzahl der Summanden Ifd. Nr.

Anzahl Summanden

1 2

•••••••

3 4

••••• •••••

5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

•••••• •••• •••• •••• ••• ••• ••• ••• •• •• ••

•

1

•

••

•

• •• ••

2 2

•

• • • • •• • •• ••

•

•• ••

• •

2 3 3 3

•

3 4 4

••

• •

• • •• • • • • • • •

•

4

• • • • • •

6 7

5 5

Die Auft eilung der Summen zerl egungen für n nach der An zahl der Summanden ist disjunkt .

167

10.4 Rekursive Ansätze

In Tabelle 10.3 sind alle Summen zerl egungen der 7 und jeweils die Anz ahl der Summanden dar gest ellt . Es gilt: p(n)

=

a(n ,l ) + a(n ,2)

+ ... + a(n ,n)

(10.6)

Mit der Erfahru ng au s dem vori gen Abs chnitt wag e ich sogleich folgenden Ansatz : Die Summen zerl egungen von n in genau k Summanden kann man di sjunkt a uft eilen nach dem klein st en Summa nd en . Der klein st e Summand ist ent wede r eine 1, oder er ist größer als 1. Wenn der kleinste Summand größer als 1 ist , dann kann man von jedem Summanden eins wegn ehmen und es ergibt sich eine Summen zerl egung von n - k mi t genau k Summanden . 'Wenn der klein st e Summand 1 ist , dann kann man eine n Summanden 1 weglassen und es verbleibt eine Summen zerl egung von n - 1 in k - 1 Summanden . Das bed eutet: a(n , k) = a(n - 1, k - 1) + a(n - k , k)

(10.7)

Für die Berechnung de r a(n , k) nach Beziehung (10.7) benötig en wir die Anfangswer te : a(O,O) = l.

o.

a(n ,O)

0 für n >

a(n ,l)

1 für n > O.

a(n , k) = 0, wenn k

>n

~

o.

Es ist st ets a(n , k) = b(n , k) , denn die Rekursion en (10.5) und (10.7) sind gleich und die Anfangswerte ebe nfalls. E ine Tabelle der a(n , k) ist zugleich eine Tabelle der b(n ,m) (Tabelle 10.3): Tab. 10.4: Tabelle der a(n , k) bzw. b(n, m ) k (m)

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 3 1 1 2 3 4 5 7 8 10 12 14 16 19 21 24 27 4 1 1 2 3 5 6 9 11 15 18 23 27 34 39 47 5 1 1 2 3 5 7 10 13 18 23 30 37 47 57 6 1 1 2 3 5 7 11 14 20 26 35 44 58 7 1 1 2 3 5 7 11 15 21 28 38 49 8 1 1 2 3 5 7 11 15 22 29 40 9 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30 10 1 1 2 3 5 7 11 15 22

Mit (10.1) und (10.5) bzw. (10.7) lassen sich die p(n) ber echnen .

19 20 1 9 30 54 70 71

65 52 41 30

1 10 33 64 84 90 82 70 54 42

168

10 Summenzerlegungen

10.5

Dualität

Die Beziehung a(n , k) = b( n , k) signalisiert eine Dualität der beiden Probleme. Es gibt einen einfachen und a nschaulichen Weg , die zueinander dua len Summenzerlegungen gemäß I. oder 11. (aus Abschnitt 10.4) zu bestimmen. Ab bi ldung 10.1 zeigt eine Summenzerlegung der 7 im sog . Ferrers -Diaqramm. Die Zerlegung 7 = 4 + 2 + 1 wurde in den Zeilen eingetragen. Dreht man das Diagramm um 90' od er liest die Anzahl der gefü llten Kästchen in den Spalten, dann erhä lt m an 7 = 3 + 2 + 1 + 1. 4 2

1 3

2

1

Abb. 10.1: Ferrers-Diagramm zu r Verdeutlichung der Dualität der Probleme I und 11

Die eine Zerlegung hat das maxima le Element 4 und die andere hat 4 Summanden . Zwei Summen zerl egungen, die durch diese Oper at ion aus einander hervo rgehen, nennt man konjugiert. Summenzerlegungen sind eelbetkonjuqiert, wenn das Konjugierte einer Summenzerlegung mit der Summenzerlegung übereinstimmt. Mit Hilfe der Duali t ä t lässt sich die Anza hl der "Summenzerlegungen in lauter verschiedene ungerade Summanden" a ngeben . Sie ist nämlich gleich der An za hl der selbstkonjugierten Summenzerlegungen. Man ka nn nämlich eine Bijektion zwischen beiden herstellen , die a uf der in Abbildung 10 .2 gezeigt en Idee beruht. 4

7

2

1

1 1

Abb. 10.2: Aus dem Ferrers-Diagramm einer selbstkonjugierten Summenzerlegung von

n = 8 entsteht eine Summenzerlegung mit verschiedenen ungeraden Summanden.

Ge zeigt werden Ferrers-Diagramme einer selbstkonjugierten Summenzerleg ung von n = 8 und einer Summenzerlegung von 8 in vers chiedene ungerade Summanden. Das rechte Diagra mm entsteht a us dem link en , indem man die Käst chen

169

10.6 Leere Behälter

aus Zeilen und Spalten mit eine m gem ein samen Diagon alfeld in Zeilen a nordne t. Das linke Diagramm ents teht aus dem rechten , indem man die Zeilen 'ze nt riert' und dann ent la ng der Mittellinie zum rechten 'W inkel 'knickt'. E rwähne n möchte ich auch asymptotische Formeln für die An zahl der Summen zerl egungen p(n) und die An zahl P( n) der Summen zerl egungen in lauter ver schi ed en e Summanden:

Sie stammen von Hardy und Ramanujan [31] und sind Beispi ele für viele b eachtliche und zugleich ungeheure E rgebnisse, die der geniale indische Mathem atiker Srinivasa Ramanuj an (1887-1920) gefunden hat. In [30] find et sich der Beweis.

" A symptotis che Formel" bed eutet, dass für wach sende n die prozentuale Abw eichung der Nähe ru ng vom tatsächlichen Wert gegen 0 geht. So ist z. B . p(lO) = 42 und die Nähe ru ng ergibt 48,1. Es ist p(lOO) = 190569292 und die Näherung liefert 199280893 .

10.6

Leere Behälter

Die bish erigen Üb erl egungen ga lte n Summen zerl egungen mit po sitiven Summanden . Nun noch ein Blick auf Zerl egungen in nichtnegative Summanden . Zur genauen Unte rsche idung nenne ich diese Surnmen zerlegungen" . Nun macht es keinen Sinn, nach de r Anz ahl der Sumrnenzerlegungen" einer natürlichen Zahl n zu fragen , denn schließlich kann m an durch Hinzufügen von weiteren Nu llen beliebig viele a ndere Summenzerlegungen" erzeugen . Ich will a b er die Anzahl de r Sumrnenzerlegungen" betrachten , die eine natürliche Zahl n in gen au k ni chtnegative Summanden zerlegt . Die se Anzahl nenne ich c(n, k) . Es ist

c(n , k) = a(n

+ k , k) ,

(10.8)

denn a us einer Sumrnenzerlegung" von n mi t k nicht negativen Summanden wird eine Summenzerlegung von n + k mi t k po sitiven Summanden, wenn man zu jedem Summanden 1 addiert und vice ver sa . Unmit telba r haben wir damit die Rekursion :

c(n, k) = c(n, k - 1) + c(n - k , k)

(10.9)

170

10 Summen zerlegungen

Diese Bezi ehung lässt sich nach dem ob en schon vorgeführten Muster auch direkt zeigen: Eine Sumrnenzerlegung" von n in k Summanden enthält eine Null oder enthält keine Null . Die Anzahl der Sumrnenzerlegungen" von n ohne eine Null ist gleich der Anzahl der Sumrnenzerlegungen" von n - k in k Summanden. Die Anzahl der Sumrnenzerlegungen" mit einer Null ist gleich der Anzahl der Sumrnenzerlegungen" von n in k - 1 Summanden . Die Anfangswerte für c( n , k) sind:

c(O ,k) = 1

(k

c(n,O) = 0

(n > 0)

c(l, k) = 1

(k > 0)

c(n ,l) = 1

(n > 0)

~

0)

Die erst en Werte für c(n , k) zeigt Tabelle 10.5. Tab. 10.5: Tabelle c(n,k) k

n 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 4 4

2 3 4 5 7 8 10

2 3 4 6 9 11 14

2 3 4 7 10 13 17

3 3 4 7 11 14 19

3 3 4 7 11 15 20

3 3 4 7 11 15 21

6 7 8

5

Aus jed er Summen zerl egung von n in weniger als k Summanden erhält man eine Summen zerlegung" von n in k Summanden, indem man die erforde rliche An zahl Nullen hinzufügt . Darum gilt

k

c(n, k) =

L a(n , i).

(10 .10)

i= l

Mit (10 .8) wird daraus k

c(n, k) =

L c(n -

i, i) .

(10 .11)

i= l

Interessanter ist nun , dass man a uch mit den c(n , k) die p(n) berechnen kann . Es gilt:

p(m) =

L n +k =m

c(n, k)

(10 .12)

171

10.7 Erzeugende Funktionen Beweis : Zur Übung überlassen .

Das b ed eutet: Die Summe der m-ten Gegendiagonalen in der Tabelle der c(n, k) (Tabelle 10.5) ist gleich der An zahl der Summenzerl egungen von m . Die Beziehung (10.8) zwische n den a(n , k) und den c(n, k) ist aufschlussreich , denn sie zeigt , wie m an et wa die Frage nach den Summenzerlegungerr' angehen kann . Mit Summenzer legung' meine ich Zerlegungen von n in Summanden, die all e mindestens 2 sind. Im nächsten Abschnitt werde ich über die erzeugenden Funktionen für die Summenzerlegungen berichten und erklären , welche zusätzlichen Aufschlüsse man durch erzeugende Funktionen über die Struktur des Problems erhält . Wer mag , kann sich vor ab selbst mit folgender Frage beschäftigen: Frage 6: Wi e viele Möglichkeiten gibt es, eine n Betrag von 1 Euro in Münzen

zu zahlen ?

10.7

Erzeugende Funktionen

D efin it io n 1 0 .6 (Erzeugende Funkt io n ) Als erzeugende Funktion eine r reellen Zahlenfolge an be zeichnet man die formale Potenzreih e 00

2..::: a n x n

(10 .13)

n =O

bzw . die durch diese Reihe in ihrem Konvergenzintervall dargestellte Funktion (falls Konvergenzradius r > 0). •

Wir wollen nun die erzeugende Funktion der p( n) und einiger a nderer Folgen bestimmen und sehen , was wir davon haben.

Sat z 1 0 .7 Die erzeugende Funktion der Anzahl der Summenzerlegungen p(n) lautet: 00

TI 1 -

i=O

1 xi

(10.14)

172

10 Summenzerlegungen

Der Herkunft, Relevanz und Nützlichkeit dieses Ergebnisses werden wir nun nachgeh en . Beim Um gang mit Poten zreih en ist es zweckmäßig, die alg ebraischen Rech enregeln von Konv erg en zfragen zu trennen . Für zwei form ale Poten zreih en

2:: 00

P :=

n

anx

und

n =O 00

definiert man eine Addition und eine Mul tiplikation: P

+ Q :=

2:: 00

(a n n=O

2::

+ bn) x n

(10.15)

2::

00

p . Q :=

c nx

n

mit

Cn

n=O

=

a ibj

(10.16)

i+j=n

Die derart defini erte Addition und die Multiplikation st imme n im Fall e konv ergenter Poten zr eih en mit den dort beweisbaren Rech enregeln üb er ein . Eine formale Poten zreih e ist eine Schreibw eise, die man ohne Rücksicht auf mögliche Konvergen z verw endet. Die formalen Poten zreih en sind nicht mehr als eine Wäscheleine, an der die Folgenglieder aufgehängt , platziert werden. In formalen Potenzreihen wird niemals ein x eingesetzt . In der form alen Potenzreihe der Folge p(n) ist der Koeffizient der n-ten Potenz der Unbestimmten x das Folgenglied p(n), d .h., der Platz von p(n) ist bei z ".

10.7.1

Die Brücke

Um eine Brücke zum Verständnis der erze ugende n Funktionen zu bauen , b etrachte ich für ein fest es m die Folge

g( n , m) := An zahl der Summen zerl egungen von n in Summanden gleich m. Für m = 1 ist für alle n g(n ,I) = 1, denn ist nur der Summand 1 erla ubt , so gibt es nur eine Möglichkeit die Zahl n als Summe (von Einse n ) darzu st ellen . Die Poten zr eih e

2:: g(n ,l)x 00

P :=

n=O

2:: x 00

n

=

n

n =O

ist für lxi< 1 konv ergent und ste llt die Funktion l~ X dar. (Hinweis: L: ~=o x n ist eine geome t rische Reih e, deren Konvergen zverhalten und Gren zwert l~ X bekannt sind. )

10.7 Erzeugende Funktionen

173

g(n ,l) hat som it die erzeugende Funktion _ 1_ . I - x

Für m = 2 ist g(n ,2) = 0 für un ger ade n und g(n ,2) = 1 für gerade n , denn es gibt kein e Möglichkeit , eine un gerade Zahl als Summe von Zweien dar zust ellen , und es gibt genau eine Möglichkeit , eine ger ade Zahl als Summe von Zweien zu schre ibe n. Die P otenzreihe

L

CXJ

P :=

n=ü

ist für

lxi<

L

L (x t

CXJ

n

g(n ,2)x =

CXJ

x

2n

2

=

n=ü

n=ü

1 konv ergent und stellt die Funktion

1!x 2

g(n ,2) hat also die erze uge nde Funktion _1_

I - x2

dar.

,

Es ist scho n zu raten , wie die erze ugende Funktion von g(n ,3) lautet , nämlich 1!X3 ' und dass g(n , m) für m > 0 die erze ugende Funktion l -~ ~ hat.

10.7.2

Über die Brücke gehen

Wir betrachten nun für feste s m folgende Folge

h(n ,2) := An zahl der Summen zerl egungen von n in Summanden klein er od er gleich 2. B ehaup t u n g : Es ist :

L

CXJ

L

CXJ

h( n ,2)x n =

n=Ü

n=Ü

Plausibilisierung von ( 10.17):

L

CXJ

g(n ,l)x n

.

g(n ,2)x n

(10.17)

n =Ü

Berechne das Produkt

(1 + x + x +x 3 +x +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 +x lO ) . (1+x +x +x 6 +x 8 +x 2

4

2

4

Ergebnis:

Man liest ab , dass h(7 ,2)

= 4 ist .

Tatsächlich gibt es 4 Summen zerl egungen mit Summanden 1 od er 2: 7 =2 +2 +2 +1 7 =2 + 2 +1 +1 +1 7 =2 +1 +1 +1 +1 +1 7 =1 + 1 +1 +1 +1 +1 + 1

1Ü

) .

174

10 Summen zerlegungen

Beweis von 10.17. Das Produkt I:~=og(n,l) xn . I: ~= og(n,2) x n ist eine formale P otenz reihe I: ~=o c(n )x n. Der Koeffizien t c(n ) von x n in diesem Produkt ist gleich der An zahl der Mögli chkeiten , das x n als Produkt von ver schi ed en en x-Poten zen zu erhalten. Genau die Produkte g( i ,l )x i ·g (j ,2)x j mit i+ j = n ergeb en die Poten z z " . Der Koeffizient von x n ist gleich der Summe der g(i ,l) ·g(j ,2) mit i + j = n . Folglich ist c(n) = I:i+j =n g(i ,l) . g(j,2) . Die c(n) sind wohldefiniert, denn die rech t e Summe hat nur endlich viele Summanden . D In der An schauung der Kombinatorik bedeute t diese Formel: Man erhäl t alle Summenzerlegungen von n in Summanden a us {1,2}, indem man zu einer vorgegebenen Anzahl E insen (nämlich i Einsen) die erfo rderliche Anz ahl Zweien a uffüllt. Es gib t g(i ,l) · g(n - i ,2) Summenzerlegungen mi t gen au i Einsen . Man beachte, dass g(n - i ,2) gleich 0 ist , wenn n - i eine ungerade Zahl ist .

10.7.3

Der Bauplan ist klar

Nach diesem Bauplan ist es nun leicht, die erze uge nde Funktion für die Folge

d(n)

:=

Anz ahl der Summenzerlegungen in Summanden {2,3}

a nz ugebe n . Sie lautet: 1 1 - x2

.

1 1 - x3

(10 .18)

Au ch die weiter ob en gest ellte Fr ag e 6; Wie viele Möglichkeit en gibt es, 1 E uro in Münzen zu zahlen? kann ich nun beantwo rt en. Die einsetz bare n Münzwerte sind (in Cen t) : 1,2,5 , 10,20,50, 100. Sei e(n) die An zahl der Mög lichkeiten, n Cent in Münzen zu za hlen. Die erzeugende Funktion von e( n) ist 1 1 1 - x . 1 - x2

.

1 1 - x5

.

1 1 - x lO

1

1

1 - x 20

1 - x 50

1 1 - x lO O '

(10 .19)

Gut und schön , was ist nun e(100)? Ist man nicht genauso schlau wie zuvor? Ich sage : "Schlaue r!", denn: 1.

2.

Mit erzeugenden Funktionen können viele P roblem e sehr sch nell au f die Berechnung der Koeffizienten von Potenzreihen zurückge füh rt werden . (Siehe das Problem de s Geldwechsels.) Ein einfache s Bere chnungsverfahren für die Koeffizienten ist leicht anzugeb en und zu programmier en .

10.8 Ausblick und Sch luss

175

Der Koeffizient von x lO O in der erze ugende n Funktion von e(n ) gibt die Antwort auf die Frage:

1 Euro od er 100 Cent können auf 4563 ver schi ed en e Weisen m Münzen bezahlt werden! Die Berechnung habe ich mit einem P rogramm durchgeführt , das der Leser auch selbst a usprobier en kann , siehe [33]. Die Folgenglieder werden über die erzeugende Funktion (10.19) berechnet. Dabei mü ssen mehrere Polynome bis zu eine m m aximalen Grad, der durch den zu zerlegende n Betrag b estimmt ist , multipliziert werden.

10.7.4

Zurück zu Summ enzerlegungen

Sei p(n) di e An zahl der Summen zerl egungen der natürlichen Zahl n. Die erzeugende Funktion de r p(n) lautet: 00

TI 1 -

i=O

1 xi

(10.20)

Das sollt e nun plausibel sein . Für jede gegebene Zahl n kann das unendliche Produkt auf das Produkt der Faktoren l!xi mit i ::; n einge schränkt werden . Mit dem Programm für Münzzerl egungen kann man die Anza hl der Summen zerlegungen eine r natürlichen Zahl n ber echnen : Set ze bei den Münzwerten alle Zahlen klein er od er gleich n ein , dann sind die vom Programm geliefer t en Anza hlen bis einschließlich n gen au die An zahl der Summen zerl egungen für die jeweilige Zahl. Einige ander e, in mein en Augen effekt ivere Ber echnungsmethoden war en schon weiter ob en genannt worden, z. B. (10.12) .

10.8

Ausblick und Schluss

Mit et was Geschi ck holt man aus eine r erze ugende n Funktion auch noch explizite Formeln für die Koeffizienten her aus . Für die Summen zerl egungen ist aber kein e explizite Formel bekannt . Im folgenden Kapitel über P entagonalzahlen wird no ch eine weitere, ganz unglaubliche Rekursionsb ezieh ung für die An zahl der Summen zerl egungen p(n) hergeleitet werden . Martin Wohlgemuth aka Mai roid.

11 Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung

Übersicht 11.1 Pe ntagonalza hlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.2 Ka rt enhau s-Zahlen . . . . .. . . . . . ... . . . . . .. . . . . . ... . . . . ... . . . . . .. 178 11.3 Erstes Wunder

179

11.4 Verallgemeinert e Pent agonalz ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.5 Euler und Kartenhäuser ?

180

11.6 Zweite s Wunde r

180

11.7 Nachlese

182

Abb. 11 .1: Kartenhaus, gebaut von meiner Tochter Antonia.

Was hab en P entagon alzahlen mit Kartenhäu sern zu t un? Und in welch er Weise helfen b eide bei der Frage nach den möglichen Sum menze rlegungen einer natürlichen Zahl? Mathe mat ik bringt oft un glaubliche Beziehungen zut age.

178

11 Pentagon , Kartenhaus und Summ enzerlegu ng

11.1

Pentagonalzahlen

Für die P ythagoräer war alles Zahl. Besondere Beach tung wurde den figurierten Zahlen gegeben (siehe Gärtner [36]) . Man untersuchte Dreieckzahlen , Quadratzahlen , Fünfeckzahlen usw . Aus Fünfeck- oder P entagonalza hlen lassen sich in rege lm äßiger Weise Figuren zu Fünfecken legen. Die folgende Abbildung 11.2 zeigt die ers ten 4 Pentagonalzahlen, nämlich 1, 5, 12 und 22. Mit 5 Punkten kann man ein regelmäßiges Fünfeck legen . Mit 12 Punkten kann man in der gezeigten Weise zwei Fünfecke legen.

(]

•

k= l f(k )

=1

k =2 f(k)

=5

Gi

k =4 f (k) = 22

k =3 f( k ) = 12

Abb. 11.2 : Visualisierung der ersten Pentagonalzahlen

Sei f (k ) die k-te Pentagonalzahl. Für die Pentagonalza hlen gilt die Berechnungsformel

= k. 3k - 1

(11.1 )

= 3f (k - 1) - 3 f (k - 2) + f (k - 3).

(11.2 )

f (k)

2

un d die Rekursion

f (k)

11.2

Kartenhaus-Zahlen

Kartenhaus-Zahlen hab en keinen antiken Hintergrund. Die erst en 4 KartenhausZa hlen zeigt Ab bildung 11.3. Es sei g(m) die Anzahl der Kart en (oder Bierdeckel) , die man für ein Ka rte nhaus mit m Etagen benötigt - wenn man es in der gezeigten Weise errichtet. Für ein Kartenhaus mit 5 Stockwerken , wie es meine Tochter gebaut hat (siehe Ab bi ldung (11.1)), benötigt man 40 Karten (oder Bierdeckel) . (Ri chtig vermutet : während mei ne Tocht er Karten häuser baute, ha be ich mic h der Frage gewidmet, wie viele Deckel sie für eine weitere Etage benötigt .) Sin d die P entagonalza hlen eine Spi elerei für Za hlenmyst iker? Sin d die Kartenhauszahlen eine Spie ler ei für Wirtshaustische?

179

11 .3 Erst es Wunder

/\ m = 1

g(m) = 2

JA

m =2 g(m) = 7

m= 3 g(m) = 15

m= 4 g(m) = 26

Abb. 11.3: Visua lisierung der ersten Karten hausza hlen

Für die Kartenhauszahlen gilt die Formel

g(m) =m .

3m

+1

(11.3)

2

und die Rekursion

g(m) = 3g(m - 1) - 3g(m - 2) + g(m - 3) .

11.3

(11.4)

Erstes W unde r

Für P entagonalzahlen und Kartenhaus-Zahlen gilt die gleiche Rekursion ((11.2) und (11 .4))! Und nicht nur das, die eine Folge ist in bestimmter Weise die Fortsetzung der anderen . Set zt man nämlich in (11.1) k = - m , find et man:

f( - m ) = (-m) . 3( - m) - 1 = m . 3m 2

+1

2

(11.5)

Man erh äl t die Kartenhaus-Zahlen, wenn man in der Formel der Pentagonalzahlen (11.1) neg ative Zahlen ein setz t . Die ser Zusammenhang war schon Euler bekannt . Die Zahlen g(m) werden üblicherweise als .Pentagonalzahlen zweit er Art" oder a uch als ,,negative Pentagonalzahlen" bezeichnet .

11.4

Verallgemeinerte Pentagonalzahlen

Die Folge

3n - 1

h(n) = n· - 2- ' für n = 0, ± 1, ± 2, ±3, ± 4, . . .

(11.6)

180

11 Penta gon, K art enhaus und Summ enzerlegung

beginnt : 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40. Man nennt sie die verallgem einerten P entagonalzahlen, engl.: generalized pentagonal numbers. Sieh e dazu auch A001 318 [371 in th e On -L ine En cyclopedi a 0/ Integer S equen ces.

11.5

Euler und Kartenhäuser?

Die Deutung der P entagonalzahlen zweite r Art als Kartenhaus-Zahlen ist mein es Wissen s ni rgendwo erwähnt . Ich weiß nicht, wie ich das a nsc haulich deuten soll. Den Formeln nach gehören die Zahlen h( n) und h ( - n ) zusamme n. Es ist h(3) = 12 un d h ( -3) = 15. Dazu gehören die Bilder (sieh e Abbildung 11.4):

h (3) = 15

h( - 3) = 12

Abb. 11.4 : V isualisierung von h(3) und h(-3)

Das eine hat so viel von eine m Fünfeck, wie das andere mit Dr eiecken zu tun hat. Vielleicht find et ein Leser eine "Dualität".

11.6

Zweites Wunder

Eu lers Ergebnis bzg l. de r Anz ahl der Su mmenzerlegungen (siehe Kapitel 10) laut et : 00

00

n= I

n=-(X)

(11.7) In de r Summe recht s st ehe n die verallgeme ine rten P entagonalzah len im Exponenten . Um zu sehe n, dass diese Formel vernünft ig ist , multip liziere m an einige Fak to reIl. Dann ste llt man fest , dass die ers ten Ex ponenten t atsächlich mit den verallgem einert en Pent agon alzahlen üb erei nstimmen. Den Beweis findet ma n z. B . in Hitz ier [351 . Die linke Seite in Euler s Pentagonalzahlen satz ist der Kehrwert der erzeuge nde n Funktion der P a rt itionszahlen bzw. der Summen zerl egungen (sieh e (10 .14).

181

11.6 Zweites Wunder Die direkte Folgerung daraus ist : Für die An zahl der Summen zerl egungen p(n) der natürlichen Zahl n gilt

f

p(n) x n = (1 - x - x 2

+ x5 + x7

_

x 12

_

x 15

+ ... )-1

(11.8)

n=1

und som it gilt auc h (11.9) Durch Vergleich der Koeffizienten der x-Poten zen in der Gleichung (11.9) find et man schließlich 1

= l +(p(l) - p(O» . x + (p(2) - p(l) - p(O» . x 2

+ (p(4) - p(3) p(3) + p(O» . x 5 + ...

+ (p(3) - p(2) - p( l» . x + (p(5) - p(4) -

3

(11.10) p(2» . x

4

und das b ed eutet:

p(l) = p(O)

+ p(O) p(3) = p(2) + p(l) p( 4) = p(3) + p(2) p(5) = p(4) + p(3) p(2) = p(l)

p(O)

In allgemei ne r Formulierung:

Satz 11 .1 (Allge m eine Rekursion fü r d ie P art it ionszahlen p(n»

Für die Partitionszahlen p(n ) gilt: 00

p(n) =

2:)

_ 1)k+1 (p(n - h(k»

+ p(n -

h( - k» )

(11.11)

k =1

Für n < 0 definiere p(n) = O. h(k) ist definiert als h(k) = k .

3k; 1 .

Anmerkung: Die hier notierte Reihe ist immer eine endliche Summe, denn a b einem ko , das groß genug ist , sind alle weiteren Summanden null. Nun st ellt sich die Frage, ob die se Formel nützlich ist , und ob sie verglichen m it den a nder en Formeln (10.6) oder (10 .12) a us Kapitel 10 einen Vorteil hat?

182

11 Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung

Die Beziehungen (10 .6) und (10 .12) haben die gesuchte An zahl p(n) mit eine n Umw eg üb er andere Folgen b erechnet. Die Rekursion (11.11) ist eine Rekursion der p(n) untereinander! Wa s so unhandlich aussieht wie (11.11) , ist dennoch einfach zu verwenden . Die ersten Summanden lauten :

p(n) = p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7)

+ p(n

- 12)

+ p(n

- 15) - p(n - 22) - p(n - 26)

+ ...

Man berechnet also die P artitionszahl p( n), indem m an gen au die p( n - h(k)) für 0< h(k) ::; n addiert bzw. subtrahiert , jeweils 2 mal positives Vor zeich en, dann zweim al negativ usw. Aufhören kann man, sobald die nächste ver allg em ein erte Pentagonalzahl h(k) größ er ist als n . B e is p ie l 1 1. 2 Man ber echnet p(lOO) wie folgt:

p(100) = p(99) + p(98) - p(95) - p(93)

+ p(88) + p(85) + p(65) + p(60) + p(30) + p(23) -

p(78) - p(74) p(49) - p(43) p(8) - p(O)

• In Hassen [34] ist der Algorithmus für diese Rekursion in Basic implem entiert. Er hat nur weni ge Zeilen.

11.7

Nachlese

Wa s bedeutet es, das s die Pentagonalzahlen bzw . Kartenhauszahlen die entscheid ende Roll e in der allgem ein en Rekursion für die Part it ionsz ahlen haben ? Weil diese üb errasch ende Beziehung wahr ist, kann es kein Zufall sein. Ein a nsch auliches Argument, warum es gerade die verallgem ein erten Pentagonal zahlen sein müs sen, kenne ich nicht . Mögliche rweise hatten die Pythagoräer doch recht : "Alles ist Zah l". Ma rt in Woh lgemuth aka Matro id.

12 Das Heiratsproblem

Übersicht 12.1 Kleine mathematische Hilfe für potentielle Schwiege rmüt te r . . . . . . . 183 12.2 Ein Dorf will heir aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.3 Die gr aphentheoreti sche Dar stellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.4 Graphentheoreti sche r Algori thmus für das Problem de s gewichtsm aximalen Matchi ngs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188 12.5 Lösungsweg mit linear er Op timierung

194

12.6 Zurück ins Dorf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

12.1

Kleine mathematische Hilfe für potentielle Schwiegermütter

Sehr geehrte potentielle Schwiegermütter, dieser klein e B eitrag soll Ihn en helfen, die liebreizend e Tochter bzw. den werten S ohn endlich zufr iedenstellend unter die Haube zu bringen. Dabei wird nur- erklärt werden, wie man solch ein zufr iedenst ellend es Schwiegerkind find et. Die Aufgabe, das eigene Kind von dieser Wahl ans chließend zu überzeugen, obliegt Ihn en und den Fr-ücht en Ihrer Erziehung . Die Frage laut et, wie find en Sie , wert e potentielle Schwieg ermutter, aus den Unverheirat eten Ihres Dorfes den zufriedenstellendsten Partner für Ihr Kind ? Aus ein er subj ektiven Sich t ist diese Frage oftmals leicht zu beant worten. N atürlich ist der ledige Dorfarzt dem Trink erhannes vorzu ziehen; die Miiller-Ediili mit ihrer hoh en Aussteuer allen and eren Jungfern . Leider bringt eine Ehe, die nach solch subjektiven Kriteri en gestifte t wurde, oftmals N eid und Gerede im Dorf m it sich. Die positiven Eigenschaft en des Schwiegerkind es werden dann mit j ahrelan-

184

Das Heiratsproblem gern Nachbarschaftsstreit aufgewogen. Das ist natürlich nicht wünschenswert.

12.2

Ein Dorf will heiraten

Un s st ellt sich also die Aufgabe: Wie findet man das optimale Schwiegerkind und erhält gleichzeitig den Dorffrieden? Zur Lösung dieser heikl en Aufgabe schlagen wir vor, regelmäßig eine Konfer en z der potentiellen Schwi egermütter des Dorfes (kurz: Koschwi) ab zuhalten. Die Beratungen der Koschwi legen die Grundlage, um anschließend mit ein paar mathematischen Tricks festlegen zu können, wer mit wem zu verheiraten ist , um alle rel ativ glü cklich zu machen und so den Dorffrieden zu wahren. Die Koschwi hat die Aufgabe , a lle denkbaren potentiellen Ehen zwischen einem unverheirateten Mann und einer unverheirateten Frau des Dorfes zu bewerten. Die Bewertung sollte objektiv erfolgen. Um dies zu gewährleisten , ist zu Sitzungsbeginn ein Punktekatalog zu ver abschieden. Die Bewertung jedes Paares erfolgt nach diesem Katalog. Pluspunkte werden beispielsweise für sozia le Stellung, eingebrachtes Vermögen, erle rn t e Berufe, Ausbildung, Kochkünste et c. ver geb en , Minuspunkte für zu großen Altersunterschied, zu nahen Verw andtschaftsgrad und ander es mehr. Die Dorfgemeinschaft könnte auch "Liebe", "Schönheit" und "Cha rakter" bepunkten, wenn sie dafür eine n an erkannten Bewertungsmaßstab find en kann . Schli eßlich , wie immer zustande gekommen, hat j ed es Paar eine Punktzahl. Machen wir es an einem Beispiel fest. Nach der Bewertung der Koschwi kann das Ergebnis beispielsweise so aussehen wie in Tabelle 12.1.

Tab. 12.1: Präferenzentabelle, Beispiel

~ Bernd ~ Hans I Horst I Hugo ~ OUo I Peter I Anna Brit Edith

60

Franzi Moni Uta

13

-2

43

-32

13

57

-10

39

62

9

0

12

-50

28

43

12

-41

19

20

-22

13

-11

15

2

45

-11

59

60

3

65

71

21

-23

44

30

34 5

8

4

Die leeren Felder in der Tabelle zeigen an, b ei welchen Paaren sich unser e Bei spiel-Koschwi einfach keine Ehe vorstellen kann , z. B . weil die b eiden poten ti ellen Eheleute Geschwister sind od er es aus irg endwelchen ander en Gründen völlig undenkbar ist.

12.3 Die graphentheoretische Darstellung

185

W ir möchten den Dorffried en wahren, indem wir durch geschickte E hesc hließungen alle möglich st zufrie de nstelIen. Die Schwiegermütter sind zufriede n, fall s die Heir at ihres Sprösslin gs eine möglichst hoh e Punktzahl laut Tab elle bringt . Das Dorf ist zufriede n, wen n die Summe der Punktzahlen aller E hesc hließunge n möglichst hoch ist . Das heißt a ber, dass Paare mit eine r negativen Punktzahl ebe nfalls ni cht in Betracht kommen . Eine negative Punktzahl macht wed er eine Schwi egermutter glüc klich, no ch hilft eine zum Scheitern verurteilte Ehe dem Dorffried en weiter. Es ergibt sich also sinnvollerweise eine neu e modifizierte Tabelle (12.2) . Tab. 12.2: Modifizierte Präferenzentabelle

~ Bernd ~ Hans Anna Brit Edith

I Horst I Hugo

~ Otto

I Peter I

12

43

-

-

13

2

45

-

-

57

-

-

39

59

60

3

60

62

9

-

-

65

71

21

Franz i

0

12

-

19

20

-

44

30

Moni

28

43

-

-

13

-

34

-

Uta

13

-

-

-

15

5

8

4

Nach Fertigst ellung der Tabelle ist der wirklich schwierige Teil der Aufgabe der Ko schwi schon beendet . Vielleicht t rinkt man jet zt ein T ässchen Kaffee und tauscht die allern euesten Ne uigkeit en a us. Natürlich kann man a uch ein wenig üb er die Planlosigkeit der Eheschli eßungen in Nachbardö rfern herzieh en. Klüger als die war man ja schon allem al! Die Arbeit mit den Zahlen , daraus eine optimale Lösung zu b estimmen , die kann die K oschwi nun den Mat he mat ikern üb erlassen .

12.3

Die graphentheoretische Darstellung

Das in der Einleitung sp ielerisch dargest ellte Heirat sprobl em ist ein sp ezielles Ma tchingproblem . "Mat ch" kommt au s dem Englischen und bedeutet in die sem Fall "P aa r". Philip Hall (en gl. Ma thematiker, 1904-1982) zeigte 1935 im sogenannten Heirat stheo rem ; dass für das Heirat sproblem für n Männer und n Fr auen genau dann eine Lösung exist iert , wenn es zu jed er b eliebi gen Teilmenge von Männern mindest ens ebe nso viele Fr auen gibt, die eine n der Männe r dieser Teilmen ge heiraten würden (sieh e [41]). Dieses Ergebnis wird im Folgenden ab er nicht verwendet, die darin ent haltene Bedingung "gleich viele Männe r und Fr auen" wird un s aber noch beschäftigen . Für eine n Graphen G = (V, E ) mit eine r Knotenmenge V und eine r Kanten menge E defini eren wir : Ein Matching (auf deutsch : Paarung) ist eine Au swahl

186

Das Heiratsproblem

111 der Kant en von C , so dass kein e zwei Kan t en a us NI adjazent sind , d . h ., keine zwei Kant en b esit zen einen gemeinsamen Knot en . Abbild ung 12.1 zeigt eine n Graphe n mi t einem Matchi ng. Kanten im Matehing sind fet t eingezeichne t. Dieses Mat ching ist maximal, denn es deckt a lle Knoten a b und durch Hinz unahme jeder weiteren Kan t e würd e gegen die Ma t chingEige nsc haft versto ßen .

Abb. 12.1 : Ein Graph. Die fett eingezeichneten Kanten bilden ein Matching.

F ür die ModelIierung als Matehingproblem ab strahier en wir nun die Unverheirateten unseres Dorfes zu Kno ten eines Gra phen . Eine Ka nte symbo lisiert die De nkbarke it der Eheschließ ung und jede Ka nte ist mit einem Gewicht verseh en . F ür unser Heirat sp ro blem sind die Gewichte die von de r K oschwi zu gesp ro chenen Punk tzahlen fü r ein mögliche s P aar . Der so ent st andene Graph gehört einer b esonder en Sorte von Gr aphen an , denn unsere Knot en können wir in zwei Kl assen aufteilen (Männlein und Weiblein) . Jede Kant e verbindet nur Knoten verschied en er Klassen . Ei nen Graphen mi t dieser E igensc haft nennt man bipartiten Graph en:

Abb. 12.2: Bipartiter Graph mit Kantengewichten und einem Matching

Für unser Beispi el mi t der P räfere nz t ab elle 12.2 ist die Darst ellung a uf Grund der nicht ga nz geringen Kno t en anza hl do ch et was unübersichtlich. Deswegen gibt Ab bildung 12.2 ein et was klein er es Beispi el eines bipartiten Gr aphen mi t

12.3 Die graphentheoretische Darstellu ng

187

Kantengewichten . Darin ist ein Matehing eingeze ichne t (fette Kanten) . Dieses Matehing ist nicht maximal, denn es besteht nur aus 2 Kanten und es gibt hier auch Matchings mit 3 Kanten . Obwohl das eingeze ichnete Matehing nicht maximal ist , kann es nicht einfach durch Hin zunahme einer anderen Kante zu einem maximalen Matehing erweit ert werden. Dennoch kann der Leser sich erlich recht schnell ein maximales Matehing selbst find en . Das eingeze ichnete Matehing ist ab er gewichtsmaximal. Die Summe der Gewichte der Kanten dies es Matchings ist 51. Die maximalen, aus 3 Kanten bestehenden Matchings haben kleineres Gesamtgewicht. Der Leser üb erz euge sich auch davon selbst . Auf einem solchen Graphen suchen wir nun ein gewichtsmaximales Matehing. Die Bipartität garantiert un s P aare aus Mann und Fr au. Die Eigenschaften eines Matchings ga rantieren uns , dass wir niemanden doppelt verheiraten. Jedes Matehing beschreibt also einen zulässigen ,,verheiratungsplan". In der Literatur wird die Suche nach einem gewichtsmaximalen Matehing auf einem bipartiten Graphen oft durch das Beispiel Arbeiter-Maschine illu striert . Jeder Arbeiter (=die erste Knotenklasse) hat gewisse Erfahrungen (=Kantengewichte) mit der Bedienung einer Maschine (=andere Knotenklasse). Welcher Arbeiter sollt e jetzt welche Maschine bedienen? Oftmals ist man nicht auf der Suche nach eine m gewichtsmaximalen Matching , sondern einfach nach einem maximalen Matching: Man sucht die maximale Kantenanzahl, die ein Matehing haben kann . Das ist aber kein gänzlich anderes Problem. Setzt man alle Kantengewichte auf 1, liefert das gewichtsmaximale Matehing ein maximales Matehing und der Wert des gewichtsmaximalen Matchings verrät , wie viele Kanten ein maximales Matching bilden. Nicht garantiert ist , dass ein gewichtsm aximales Matehing auch maximal ist . Das zeigt schon das Beispiel in Abbildung 12.2. Für unser Dorffriedensoptimum suchen wir ein gewichtsmaximales Matching. Es werden nun zwei Lösungswege vorgestellt. Der erste Lösungsweg ist ein graphentheoretischer Algorithmus . Das ist naheliegend b ei eine r graphentheoretisch formulierten Aufgabenstellung. Der zweite Lösungsweg ist der eigentliche Grund für dies en Beitrag. Die Lösung kann auch mit lin earer Optimierung gefunden werden. Als der Autor erstmals damit in Berührung kam, war er ganz fasziniert davon - vielleicht kann der Leser das am Ende nachvollziehen.

188

12.4

Das Heirat sproblem

Graphentheoretischer Algorithmus für das Problem des gewichtsmaximalen Matchings

Um besser arbeiten zu können, müssen wir jetzt ein wenig Notation einführen. Gegeben sind ein bipartiter Graph C = (VI + Vz , E) mit den beiden (disjunkten) Knotenklassen VI und Vz und der Kantenmenge E <;;; VI X Vz sowie eine Gewichtsfunktion w : E -+ lE.+ . Gesucht wird ein gewichtsmaximales Matehing NI. Wir erweitern unseren Graphen C nun, denn wir möchten erreichen , dass lVI I = IVz l = n ist . Diese Bedingung kann durch Einführung neuer, künstlicher K not en sichergestellt werden. Des Weiteren forde rn wir, dass ein vollständiger bipart it er Graph vorli egt , d . h ., jeder Knot en aus VI ist mit all en K not en aus Vz ver bunden (und damit auch jeder Knot en aus Vz mit a llen aus VI). Um diese Bedingung zu erfü llen , wer den gege benenfalls ne ue kü nstliche Ka nt en eingeführt und mit einern Kantengewicht von 0 versehen . Den so entstandenen Graphen ne nnen wir Cl. Man m uss sich überlegen, dass ein gewichtsmaximales Mat ching auf dem erweiterten G raphen Cl und ein gesuchtes Mat ching auf dem Originalgraphen C einander entsprechen, da die neuen O-Kantengewichte das Gesamtgewicht nicht verä ndern . Dafür überlegt man sich einerseits, dass in Cl jedes gewichtsmaximale Matchi ng M; von C durch Hinzunahme von Kanten mit Gewicht 0 immer zu einem gewichtsmaximalen Matehing Mz von Cl ergänzt werden kann . Das Gewicht b eider Matchings ist gleich . Da in Cl nur Kanten mit Gewicht 0 hinzugenommen worden sein können, ist NIz gewic htsmaximal auch in Cl . Das Matching M', kann in Cl sogar immer zu einem maximalen Matching ergänzt werden, de nn Cl ist ein vollständige r bi partiter Graph . Andererseits ergibt ein gewichtsmaximales Matehing Mz von Cl auch ein gewichtsmaximales Matching M; von C, denn man lässt die Kanten weg , die ergänzt worden sind. Deren Gewicht ist O. Für unser Heiratsproblem heißt das nichts anderes, als dass wir bei gleicher Anzahl n von Männern und Frauen im vollständigen Heiratsplan auch n Paare haben. War es notwendig, künstliche Knoten oder Kanten einzuführen, dann bedeutet die P aarung mit einem solchen Knoten oder über eine solche Kante leider die Ehelosigkeit. Bevor wir zum eigentlichen Algorithmus kommen können , müssen wir noch et was rumbastein. Es ist notwendig, aus unserem Maximierungsproblem ein Minimierungsproblem zu machen. Das erreichen wir, indem wir die Gewichte manipulieren: Ist v das größte Gewicht einer Kante im Graphen Cl , so ersetzen wir für jede Kante k von Cl ihr ursprüngliches Gewicht w(k) durch w/(k) := v - w(k).

Graphentheore tischer Aigorithmus

189

E in gewichtsm inimales Matehing im so modifizier t en Graphen C ' liefer t uns das ges uchte gewichtsmaximale Matehing in C , denn d urch die Tr ansformation der Gewi cht e er hält man neu e nichtnegative Gewicht e, wob ei a us dem grö ßten Gewi cht das kleinst e gewor de n ist usw. So wie unser Gr aph C nun zum Graphen C' erwe itert ist , ist er ein vollständiger bipart it er Graph mi t gleich vielen Knot en in den beiden Knot enklassen . Zur Repräsen t a ti on des Graphen C' und seiner modifizier t en Gewi cht e verwende n wir eine qu adrati sche Matrix , der en E inträge die Kantengewi chte w ' (k) sind . 'Wenn wir im Folge nde n eine solche Ma trix b ezeichnen wollen , nennen wir sie W .

W ist die Knoten-Knoten-Inzidenzmatrix m it de n Kantengewi cht en . W stellt unser P roblem dar. Die Lösung ist ein Ma t ching. E in Matehing M , das fü r n konkret e P aare (Frau i mi t Mann j ) st eht , lässt sich a ls eine P ermut a tionsm a trix X d arst ellen : X

~ (x'j)",j~" . .

,n) ,

wobei X; j

~ {~

für (i, j ) E M sons t

Am Besten ist es wohl, wir vers uc hen das an unserem Bei sp iel nachz uvollziehen.

12.4.1

Beispiel: Unser Dorf

In unserem Do rf leben ac ht unverheira tet e Mä nne r , aller di ngs nur sechs Frauen . W ir füh re n a lso zwei künstliche , "weibliche" Kno ten ein. Den bipa rt it en Graphen m ach en wir nun noch vollständi g, indem wir die von der K oschiui nicht vorgeseh en en Paa rungen mi t 0 be wert en. Es ergibt sich analog zur Tab elle 12.2 die folgende Gewi cht sm at rix . 12

43

0

0

13

2

45

0

0

57

0

0

39

59

60

3

60

62

9

0

0

6.5

71

21

0

12

0

19

20

0

44

30

28

43

0

0

13

0

34

0

13

0

0

0

15

5

8

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Die größte P unktzahl haben Edit h und Otto m it 71 P unkten erreicht , a lso ist v = 71. Um a uf unser Minimierungsproblem zu t ransfor miere n, werd en nun a lle Gewi chte j eweils von 71 subt rahiert.

190

Das Heirat sproblem

Wir erhalten die im vorigen Abschnitt beschriebene Matrix:

w=

59

28

71

71

58

69

26

71

71

14

71

71

32

12

11

68

11

9

62

71

71

6

0

50

71

59

71

52

51

71

27

41

43

28

71

71

58

71

37

71

58

71

71

71

56

66

63

67

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

71

Wir suchen ein optimales Matching, d . h ., es sollen Zuordnungen getroffen werden fü r Paare , die vor den Traualtar treten sollen . Was können wir mit dies er Matrix nun anfangen?

12.4.2

Suche em optimales Matching

In der zuletzt aufgestellten Matrix gehört jede Zeile zu einer Frau und jed e Spalte steht für einen Mann. Wählt man ein Matrixelement aus, ist damit auch ein Brautpaar ausgewählt . Natürlich d arf a us jeder Zeile und aus jeder Spalte nur je ein Element gewählt werden. Eine Auswahl, die diese Bedingung erfüllt , soll Diagonale der Länge n heißen. Es gibt n! solche Diagonalen. Für n = 8 macht das 40320 Mög lichkeiten. Unter a ll diesen Kombinationsmöglichkeiten suchen wir diejenige, bei der die Summe der ausgewählten Elemente minimal ist. Ein gewichtsminimales Mat ehing ist unser Ziel und optimal wäre es, wenn es eines gäbe, das nur Kanten mit Gewicht Null ent hä lt . Und dies können wir a uch tatsächlich erreiche n, denn es gilt die praktische Eigenschaft, dass Addition einer Konstanten p zu jedem Element eine r Zeile od er zu j edem eine r Spalte das optimale Mat ehing nicht verändert, son dern nur dessen Gewicht um p erhöht. Wird nämlich für eine b eliebi ge Zahl p (für die wir p E lII? vorauss etzen können, obwohl wir dies e Eigenschaft tatsächlich nur für p E Z verwenden wer den) zu jed em El em ent der h-t en Zeile der Matrix W der Wert p addiert , so ergibt sich eine ne ue Mat rix W' mit Einträgen W;j = W ij fü r all e i i- h sowie Whj = Whj + p , und fü r das Gesamtgewicht eine s b eliebi gen Matchings NI, welch es von der P er mutationsmatrix X repräsentiert werd e, gilt

w' (M )

=2..: i, j

W;j X ij

=2..: i, j

W ij X ij

+ P 2..: X h j j

=w(M) + p.

Graphentheoretischer Aigorithmus

191

Die Hauptidee unseres Lösungsalgorithmus ist die Ausnutzung dieser Eigenschaft: Durch Subtraktion in eine r Zeile bzw . Spalte werden Nullen erzeugt. Dabei ist darauf zu achten , dass keine Einträge negativ werden . Dies wird solange wiederholt , bi s eine Diagonale der Länge n ausgewählt werden kann , für deren El emente das Gewicht j eweils 0 ist . Di e zugehörigen Paarungen bilden offensichtlich das gesuchte Matehing minimalen Gewichtes . Wenden wir das au f unsere Matrix W a n. Zunächst ziehen wir von allen Ele menten einer Zeile h das jeweilige Zeilenminimum Ph ab . Also konkret PI

= 26,

PZ

= 11,

P3

= 0,

P4

= 27,

P5

= 28,

P6

= 56,

P7

= Ps = 7l.

Damit ergibt sich die neue Matrix:

33

2

45 45 32 43 0 45

60

3

60 60 21

1

0 57

11

9

62 71 71

6

0 50

44 32 44 25 24 44 0

14

15

0

43

2

15 15

15

0

10 7 11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

43 43 30 43 9

Nun könnte man ebenfall s von den Spalten einen entsprechenden Wert qh abziehen. Da sich a ber in jeder Sp alte schon bereits eine 0 befindet , ist qh stets O. Damit kommen wir al so nicht weiter . W ir benötigen eine neue Idee. Halten wir zunächst einmal fest , dass man in unser er aktuellen Matrix eine O-Diagonale höchstens der Länge 5 find en kann , z. B. durch W]7 , W5Z, W65 , W71 , W S 3 . Es gilt : Falls eine Matrix ein e O-Diagonale der maximalen Länge m hat , existi eren r Zeilen und s Spalten mit r + s = m , so dass all e (!) Nullen der Matrix durch diese Zeilen und Spalten abgedeckt werden . Der Beweis dafür soll hier nur kurz skizziert werden. In der Graphentheorie lernt man , dass die Größe des minimalen Tr ägers gleich der Größe eines maximalen Matchings eines Graphen ist. (Anmerkung: Eine Menge U E V ist ein Träger de s Graphen G , falls jede Kante aus G mit einem Knoten aus U inzident ist . In einem bipartiten Graphen ist z. B . jede Knotenklasse ein Tr äger.) Wir konstruieren eine n Hilfsgraphen , der all e Knoten des ursprünglichen Graphen ent hält und Kanten dort , wo der ents pre che n de Matrixeintrag 0 ist . Ein Mat ehing in diesem Graphen ent spricht eine r O-Diagonalen in der Matrix, ein Träger ent spricht eine r Auswahl von Zeilen und Spalten.

Das Heiratsproblem

192

In unserem Beispiel decken beispielsweise Zeilen 5, 7 und 8 sowie di e Spalten 5 und 7 all e Nullen der Matrix. Da wir noch kein e vollständige O-Diagonale haben, können durch di e ausgewählten Zeilen und Spalten nicht alle Matrixelemente abgedeckt werden. Sei w das kleinste nicht abgedeckte Matrixelement. Wir subtrahieren w von all en Elementen nicht abgedeckter Zeilen , anschließend addieren wir 1/) zu allen abgedeckten Spalten. Dieses Subtrahieren und Addieren verändert ein optimales Matehing wiederum nicht , nur sein Gewicht. Für die neuen Matrixelemente W~j gilt: W

W ij

ist unbedeckt

+W

Wij

von Zeile und Spalte bedeckt

Wij -

W~j: =

Wij {

sonst

W ij

Nach dieser Transformation liegt also wiederum eine Matrix mit nichtnegativen Einträgen vor. Insgesamt gibt es r . s doppelt bedeckte und n 2 - n . (r + s) + r . s gar nicht bedeckte Einträge. Sei W g := 2: i ,j Wij das Gesamtgewicht der alten Matrix und W~ analog das der neuen, dann gilt mit den Vorüberlegungen

W; - W g = (eJ)w - (n 2 da ja laut Annahme r

+s < n

-

n(e

+ J) + eJ)w

=

(n( e + J) - n 2)w < 0,

ist.

Das Gesamtgewicht hat also abgenommen , es bleibt aber stets nichtnegativ. Da alle Matrixeinträge ganzzahlig sind, folgt daraus, dass dieses Verfahren, endlich oft angewendet, schließlich zum Ziel führt und eine O-Diagonale der Länge n erzeugt. Was heißt das für unsere Beispielmatrix? Wir überdecken di e Zeilen 5, 7, 8 und die Spalten 5 und 7. In der Restmatrix befinden sich keine Nullen.

33 60 11

44

Xi: 2

>0: >0:

2

45 45 ~ 43 >0: 45

)( 0

>0: 57 62 71 )( 6 >0: 50 9 32 44 25 X 44 >0: 14 >0: :;W::;W::ßQ:;W: )( :;w: 15 15 15 >0: 10 ';J( 11 >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: >0: 3

60 60

Das kleinste unbedeckte Element ist

w=

W26

= 1.

Graphenth eoret ischer Algorith mus

193

Durch Subtraktion der 1 von allen unbedeckten Zeilen und Addition zu allen bedeckten Spalten erhält man eine neu e Matrix:

32

1

44 44 32 42

0

44

59

2

59 59 21

0

0

56

10

8

61 70 71

,5

0

49

43 31 43 24 24 43

0

13

43 43 31 43 10 43

1,5

0

1

14 14 14

0

9

7

10

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

Im nächsten Schrit t kann man nun zusätzlich die zweite Zeile oder die sechste Spalte a b decken. Anders gesagt, man hat nun schon eine O-Diagonale der Länge 6 innerhalb der Matrix. Man kommt nach zwei weiteren It erationen zum Ziel, falls man die Spalten 2, 5 un d 6 und die Zeilen 6, 7 und 8 abdeckt und w = W 31 = 10 wählt . Im let zten Schritt lass en sich die Spalt en 1, 2, 5, 6, 7 und die Zeilen 7 un d 8 abdecken und w = W48 = 3 wäh len . Man erhäl t :

@

31

0

43

,5

0

36

33 31 30 11 14 43

@

5

@

0

30 30 21 43

10

30

1

24

17

7

3

13

@

19

4

13 14

0

3

13

0

4

13 14

0

22

1

31 31 22 42

49

2

46 46 11

@

8

48 57 61

@

11 11 0

@

@

Das Problem ist gelöst , und wir geb en hie rmit folgende Vermählungen bekannt : Edith und Bernd (60 Punkte) Moni und Fred (43 Punkte) Ut a und Hugo (15 Punkte) Brit und Kar! (59 Punkte) Anna und O tto (45 Punkte) Fr anzi und Peter (30 Punkte) Die Gesamtpunktzahl b eträgt 252. Ha ns un d Horst geh en leider leer aus . Sie werden J unggesellen bleib en .

194

12.4.3

Das Heirat sproblem

Der graphentheoretische Algorithmus kurz und knapp

Gegeben sei eine n x n-M atrix der Gewichte

W ij E

No.

Erstens

Subtrahiere für i = 1, . . . , n von allen Elemente n der i-t en Zeile das kleinste Elemen t P i = min(j , W i j ) dieser Zeile . Subtrahiere für j = 1, . . . , n von allen E lement en de r j-ten Sp al te das kleinste Element qj = min (i , W ij ) dieser Sp al te.

Zweitens

Su che eine minimale Üb erdeckung der Nu llen, das ist eine Ausw ahl der Zeilen und Spalten , so dass alle Nullen der Matrix darin ent halte n sind. Hat die Üb erdeckung weniger als n Zeilen und Sp alten, gehe zu Dritten s, sons t zu Viert en s.

D rittens

Sei 11) der klein st e unbed eckte Eint rag. Subtrahier e 11) von allen unbedeckten Einträg en , addiere 11) zu Einträgen , die von eine r Zeile und eine r Spalte bed eckt werden . Geh e zu Zweitens .

Viertens

Bestimme O-Diagon ale der Länge n .

12.5

Lösungsweg mit linearer Optimierung

12 .5 .1

Ein schönerer Lösungsweg?

Schönheit ist rela t iv. Vie lleicht ist dieser Lösu ngsweg nicht schöner, a be r es ist inter essant und für den einen od er a nde ren sogar übe rrasche nd , dass es üb erhaupt so funkti oni ert . Un ser Hei ratsproblem ist op t im ierungst echnisch gesehen ein Maximie rungsproblem. W ir mö chte n schließlich das Gl ück des Dorfes maximieren . Vielleicht geling t es uns ja, das Ganze als 0815-0ptimierungsaufgabe darzust ellen, d . h. eine schön e Zielfunkti on , ein paar nette Neb enbedingungen , alles möglichst lin ear. Wenn uns das gelingt , haben wir die Hilfsmittel der linearen Optimierung zur Verfügung , um das Problem zu lösen . Und es geht tatsächli ch , ist sogar recht unkompliziert, wie wir im Folgenden sehe n werden .

12 .5.2

Ansatz mit linearer Optimierung

Die übli che Form einer linear en Optimi erungsaufgab e (LP ) lautet: max w T x

(LP)

x

A x ::; b,

x ~ 0

195

12.5 Lösungsweg mit linearer Optimierung

W ir werde n unser e Aufgaben st ellung nun als solches (LP) formulier en und erklären dafür , wie A, bund w sich a us dem Problem heraus ergebe n . Das so formulierte (LP) können wir dann mi t dem a us der Optimierung bekannten Sim plexalgorit hm us lösen . Wir stellen uns vor , wir hab en a lle Kanten des biparti ten Graphen , der a us der Koschwi hervor geh t , von 1 bis m nummeri ert. Das heißt, jed e potentiell denkbar e E heschließung b ekommt eine Num me r zwische n 1 und m . x ist nun ein m-dimen sionale r Vekt or , de ssen Komponenten nur die Werte oder 1 annehmen sollen , a lso x E {O,l}In. Der Wert wird a ngenom me n, wenn wir die entsprechende Kante nicht in unser Ma tehing aufnehmen , der Wer t 1, wenn dieses P aa r den Segen der Kos chwi erhäl t.

°

°

Mom ent , das geh t doch nicht! Wir sch ränken unsere zul ässigen Lösungen von vornherein nur a uf ganzzahlige Werte ein . Das ist etwas, was der Simplex algorithmus nicht ver sp richt . Wir können uns zwar wünschen , dass unsere Optimallö sung ganzzahlig sein soll, ab er der Simplexalgorithmus liefert uns i. A . irgendeine reelle, nicht notwendig ganzzahlige Lösung. Das Optimum unter den ganzzah ligen zulässigen Lösungen zu find en , könnte darum schwieriger sein und nicht so billig, wie wir es uns er hofft haben . Ver schi eb en wir dieses Problem auf sp äter. Ich versprech e (und das ist das Übe rraschende an diesem Weg) , alle s wir d sich in Wohlgefallen auflösen. Modellieren wir also weiter.

12.5.3

Formulierung der konkreten linearen Optimierungsaufgabe

Der Vektor w E IRIn ver sammelt die Kantengewi chte, d . h . die Punktzahlen , die die Koschwi vergeben hat . Die oben geforderten E igensc haft en unseres Lösungsvektors x vorausgesetzt , be schreibt die Zielfunktion das Gewicht de s Matchings - eben die Summe der Gewichte der Kanten , die das Matehing bilden. Angenommen unser bipartiter Graph be steht a us n Knoten, d . h ., wir haben n Unverheiratet e im Dorf. Die n x m- Matrix Knoten i gehört zu Kante j son st heißt Knot en-Kanten-Inzidenzmatrix des Graphen . Dabei geh en wir davon aus , dass wied erum all e Knoten von 1 bi s n durchnummeri ert sind. Übe rle gen wir uns, was passiert , wenn wir nun A und x multiplizier en . Es wird ein n-elementiger Sp al tenvektor en ts tehen. Bei spielsweise ist das erste E lem ent die ses Vektors das Produkt a us er st er Zeile de r Matrix A und dem

196

Das Heiratsproblem

Vektor x . Die erste Zeile von A "gehört" zum ersten Knoten , dies e Zeile besteht aus Einsen und Nullen , je nachdem ob der erste Knoten zur ent spreche nde n Kante gehört od er nicht . Machen wir ein einfaches Beispiel für das Produkt ein er Matrixzeile mit dem Vektor x :

1

(1

0 1 0) .

1 0

= 1+ 0+ 0+ 0= 1

0 Wir erhalten einen Summanden 1, falls der Knoten zur akt uellen Kante gehört und die Kante ins Mate hing aufgenommen wird ; eine Null erhält man in allen ander en Fällen , d . h ., falls die Kante au sgewählt wird , ab er der Knoten gar nicht zur aktuellen Kante gehört, od er falls zwar der Knoten zur Kante gehört , ab er diese Kante kommt nicht in s Matching, od er falls die Kante nicht ausgewählt wird und der Knoten ihr au ch nicht angehört. Da wir ein Matehing su chen , heißt das ab er au ch, dass unser Produkt aus Matrixzeile und x-Vektor nur 0 od er 1 ergebe n darf. Ist das Ergebnis größer , b efind en sich mehrer e Kanten in der Au swahl, die von ein und demselb en Knoten a usgehen, damit liegt a ber kein Matehing mehr vor . Folglich ist b ein Vektor, der komplett a us Einsen besteht. Damit sind alle Komponenten des linearen Programms erklä rt. Die Neb enbedingungen ste llen sich er , dass ein Matehing vorli egt, falls x a ußerde m ganzzahlig ist ; die Zielfunktion beschreibt das zu maximierende Gewicht des Matchings.

Das lin eare Optimierungsproblem (LPH) zur Bestimmung eines gewichtsmaximalen Matchings für das Heiratsproblem lautet: max w T x x

Ax

:s;

(LPH)

e

x ~o

Es ist A die Knot en-Kanten-Inzidenzmatrix des bipartiten Graphen C, der n Knoten und m Kanten hat , welch e jeweils von 1, ... , n bzw. 1, ... , m nummeri ert sind . w ist der Vektor der m Kantengewichte. e ist ein Vektor der genau n Einsen ent hält .

Es bleibt die Frage, warum die Simplexmethode nur ganzzahlige Lösungen für die Optimierungsaufgabe (LP H) erzeugt .

197

12.5 Lösungsweg mit linearer Optimierung

Das ist ni cht sofort einz usehe n, hängt ab er damit zusam me n , dass die Knoten Kanten-Inzid en zm atrix eines bipartiten Graphen eine sehr spez ielle Struktur hat . Wir mü ssen dazu etwas weiter au shol en .

12.5.4

Ganzzahlige Lösungen

Unimodularität

D e fin it io n 12.1 (unimodular) Eine Matrix A E Z m x n mit vollem Zeilenrang heißt unimodular , fall s die Determinante jeder a us m linear un abhän gigen Sp al ten be stehenden Submat rix be tragsm äßig glei ch 1 ist . •

Anmerkung: Unimodula r wird oft nur für qu adrati sche Matrizen de finie rt , so z. B. in Schrij ver [40]. Hier erfolgt die Definition für m x n-Matrizen.

Satz 12 .2 Sei A E Z m x m regulär. Dann ist A - 1 b für alle b E Z m ganzzahlig gen au dann , wenn A unimodular ist .

B eweis:

,,::::}": Zu zeigen ist , dass die Determinante von A b etragsm äßi g 1 ist.

Sei e; ein m -dimensionaler Vektor , de ssen i-te Komponente 1, alle anderen Komponenten 0 sind. A - lei liefer t die i-te Sp al te von A - I und ist laut Voraussetzung ganzzahlig, som it ist A - I eine ganzzahlige Matrix. Des Weiter en gilt 1 = det I = det A -det A - 1 . Da die Determinanten ganzzahliger Matrizen ganzzahlig sind , mu ss die Det erminante von A (und a uch die von A - I ) betragsmäßig 1 sein . ,,~" :

Die Cramer sche Regel liefert sofort die Ganzzahligkeit .

Satz 12.3 A E Zm x n habe vollen Zeilenrang und es sei b E Z m . Alle zulässigen Ba sislösung en von {x ?: 0 : A x dann , wenn A unim odular ist .

= b} sind ganzzahlig gen au

o

198

Das Heiratsproblem ,,=?" : Wir mü ssen zeigen , dass A unimodular ist.

Beweis:

Sei B eine beliebige Basis von A , dann genügt es wegen Satz 12.2 zu zeigen , dass AB - 1 b für a lle ga nzz ahligen b ganzzahlig ist . Dabei ist AB die quadratische Matrix, die au s den Spalten , die in B sind, b est eh t. Sei a lso

s « zm. Wir wählen c E zm so , dass c +

Dann ist

b=

A B(c + (A B) -lb)

=

(A B ) - l b ?: O.

A BC + b E Zm .

Setzen wir XB := c + (A B) -lb und XN = 0, dann ist ii: = (XB , XN ) zulässige Basislösung von { x ?: 0 : A x = b}. Also ist

x nach

Vorau ssetzung ganzzahlig und damit auc h (A B) -lb

x eine mi t x =

=

XB -

C.

,,{=": Ist A unimodular , b E Z m und

zul äs sige Basislösung von {x ?: 0 :

A x = b} , dann gibt es ein e Basis B

(XB , XN ) = ( (A B) -lb ,O).

Nach Sa tz 12.2 ist XB ganzzahlig. Daraus folgt

xE

Zn .

o

Wir haben nachgewiesen , dass, falls A unimodular ist, die Basislösungen de s Systems A x = b für ganzzahlige b ganzzahlig sind . Das ist ja schon etwas. Es gib t aber noch zwei klein e Haken . Zum einen wissen wir noch nicht , ob unsere Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix irgendetw as mit Unimodularität zu tun hat , zum a ndere n t reten in unser em Matehing-Problern al s Ne be nbe dingunge n keine Gleichungen , sonde rn Ung leichungen auf. Wenden wir uns dem zwei ten Haken zuerst zu .

Schlupfvariablen De r Simplexalgorithmus verl angt Gleichungsnebenbedingungen oder einfache Ungleichungsbedingungen in Form von Vorzeichenbesch ränkungen der Variablen. Au s allgemeinen Ungleichungen werden Gleichungen durch Einführen von Schlupfvariablen s. Au s A x

~

b entsteht a lso ein neues System

mit der Vorzeichenbeschränkung s ?: O.

199

12.5 Lösungsweg mit linearer Optimierung

Totale Unimodularität Na ch Satz 12.3 muss (A ,1) unimodular sein, damit die ses System nur ganzzahlige Basislösungen hat. Wa s bedeutet nun die Unimodularität der erweiterten Matrix (A ,1)7 Mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes kann man leicht zeigen , dass die Determinante jeder qu adratischen Untermatrix von A, gleich welch er Dimen sion , den Wert 0, 1 od er - 1 haben mu ss. Das ist offensichtlich eine stärker e Forderung und Anlass für eine weit ere Defin ition.

D efin it io n 12.4 (total unimodular) Eine Matrix A E Z m x n heißt total unimodular , wenn jede quadratische Untermatrix die Determinante 0, 1 oder - 1 hat . •

Eine leicht einzusehe nde Folgerung ist, dass eine total unimodulare Matrix A E {0,1, _ l }m x n sein muss . Des Weiteren gilt auch: A ist total uni modular genau dann , wenn (A, 1) uni modular ist . Diese Folgerung unter Verwendung des Entwicklungssatzes und mi t Induktion zu bewiesen, wird dem Leser überlassen . J etzt kommt der Knackpunkt Nummer 1:

Satz 12.5 (Satz von Hoffman und Kruskal) Sei A E Z m x n total unimodular und b E Z m. Dann sind alle (optimalen) Basislösungen von max c'» unter den Nebenbedingungen Ax ::; b, x ~ x ganzzahlig.

°

~b

Beweis:

Die Neb enbedingungen sind äquivalent zu (A , I). ( :)

mit x , s

0. (A , I) ist aufgrund der vorangegangen en Bem erkungen unimodular.

~

Wegen Satz 12.3 sind die Basislösungen des neu en Optimierungsproblem s mit den Variablen x und s ganzzahlig, und der x-Anteil ist optimal für das Ausgangsproblem . D Wir sind fast fertig . Uns fehlt noch ein einfacher Weg , um herauszufinden, ob unsere Inzidenzmatrix total unimodular ist. Es ist nämlich unpraktisch, für eine Matrix die Determinanten aller qu adratischen Submatrizen nachzuprüfen . Abhilfe schafft folgender Satz , der hier unbewiesen bleiben soll.

200

Das Heiratsproblem

Satz 12.6 (Satz von Heller und Tompkins) Sei A E {O,1, - 1}mX n mit höchst ens zwei von Null verschieden en Einträgen pro Spalt e.

A ist genau dann total unimodular. wenn sich die Zeilen von A in zwei Kla ssen einteilen lassen, so dass zwei Zeilen, die in einer Spalt e beide eine +1 oder beide eine - 1 haben, zur gleichen Kla sse gehören und zwei Zeilen, von denen die eine in einer Spalt e eine +1 und die and ere in der' gleichen Spalt e eine - 1 hat, zu versc hiedenen Kla ssen gehören,

Man üb er zeugt sich leicht , das s unsere Inzidenzma trix die se Bedingung erfüllt . Die Spalten de r Ma t rix sym bolisier en j eweils eine Kante . An gen au zwei Stellen jeder Sp al te steht eine 1, sonst Nullen. Alle Zeilen lassen sich a lso in die er ste Klasse einordnen.

12.6

Zurück ins Dorf

Wenden wir die ses Verfahren auf unser Beispieldorf a n. Wir nummerieren zunächst die Knoten (=die Unverheirateten) von 1 bis 14 und die Kanten (=potentielle P aarungen) von 1 bi s 30 (wie in Tabelle 12.3) :

Tab. 12.3: Präferenzentabelle mit Nummerierung der ' Knoten' und ' Kanten'

Anna

Bernd

Fred

Hans

Horst

Hugo

Kar!

OUo

Pet er

7

8

9

10

11

12

13

14

12

43

-

-

13

2

45

-

3

4

5

-

-

39

59

60

3

7

8

9

10

-

-

65

71

21

14

15

16

-

44

30

20

21

34

-

1

1

2

Brit

-

57

2

6

Edith

60

62

9

3

11

12

13

-

12

-

Franzi

17

4

Moni

28

43

5

22

23

Uta

13

-

6

26

-

19

20

18

19

-

13

-

25

24 -

-

15

5

8

4

27

28

29

30

Damit erg ibt sich die folgende ganz au sführlich a ufgesc hriebe ne Gest alt für das lin eare Programm:

201

12.6 Zurück ins Dorf

+ 43x 2 + 13 x 3 + 2X4 + 45 x5 + .57x 6 + 39x 7 + 59x8 + 60 X9 + 3X lO + 60xl1 + 62x12 + 9X13 + 6 5x14 + 71 x1 5 + 21 x16 + 12x17 + 19x18 + 20X19 + 44 x2 0 + 30 X21 + 28 x 22 + 43x23 + 13x 24 + 34x25 + 13x26 + 1.5X27 + 5X28 + 8X29 + 4 X30

max 12 x l

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

·x :::; e

x ?: O Dieses lineare Problem ist nun also mittels Simplexmethod e zu lösen . Wer schon einmal die Simplexmethode von Hand ger echnet hat , wird zusam me nz uc ken : Das sieht nach einer verdammt mühsamen und langwierigen Re chnung aus. Aber a uch h ier gibt es E nt warnung . Die Uni modularität der Systemmatrix bewirk t , dass alle s immer schön ga nzzahlig bleibt . Und die vielen Nu llen in de r Mat rix sor gen a ußerdem dafür , dass in jeder Iteration nur ganz wenige Zeilen neu b ere chnet wer den mü ssen. Nichtsde stotrotz , die K oschwi wartet ungeduldig auf die Best ä tigung der mi t de r ersten Method e gefundenen Lösung. Desh alb sollten viellei cht doch lieber ein Computer und geeignete Software zum Eins atz kommen . Mit welch en Mit te ln a uch immer , der Simplexalgorithmus liefert die einde ut ig bestimmte optimale Lösung:

x =( 0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0)

Die zur Erzeugung der Normalform eingefüg ten Schlupfvariablen haben im Op timum die Werte: s

=( 0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0 )

Der optimale Wert der Zielfunktion ist 252. Die beid en positiven Schlupfvariablen gehören zu den zu Hans und Horst geh örenden Zeilen im Ungleichungssys te m Ax :::; e. Sie zeigen an , dass das Produkt Ax in diesen beid en Zeilen den Wer t 0 hat. Diese b eid en bleib en ohne Partner.

202

Das Heiratsproblem

Die Einsen im x-Vekt or geb en die Kant en bzw. Paarungen a n , die in s op t imale Matehing aufzunehmen sind . Schli eßlich kann die K oschwi also das Resultat ihrer Bem ühungen verkünden .

Sehr geehrte potentielle Schwiegermütter! Wi ssenschaftl iche Untersuchu ngen haben ergeben, dass fü r eine bestmöglich e Weit erentwicklung un serer Dorfgem eins chaft die Eh eschließ ungen A nn a + Otto Brit -s- Kar!

Ed ith + B errul Franzi + P eier Moni + Fred Uta + Hugo zu erf olgen haben . Wir dank en allen B etroffen en für" die un verzügliche Um setzung dieses Beschlusses. Un d Sie, liebe potentielle Schwiegermüt te r aus allen a ndere n Dörfern , werden mit dem hier neu erwo rbe ne n Wi ssen für sich und Ihr Dorf hoffentlich ebe nso zielst re big die opt imalen P aar e zusam me nstellen können . Viel Erfolg!

Manuel N aum ann ist Dipl. -M athematiker und arbe ite t in Züri ch .

13 Über die Anzahl surjektiver Abbildungen

Im Folgenden zeige ich m it dem Prin zip von Inklusion-Exklusion , dass für die Anza hl T( n , k) surjekt iver Abbildunge n aus ein er Menge mit n E lementen in eine Menge m it k E leme nt en gilt: T (n, k ) =

L

0-::; i-::; k

(-I r·

(~) . (k -

it

(13 .1)

Zu diesem Ergebnis gelangen wir in me hre ren Schritten . Wir beginnen mit der Wi ed erholung der folgenden Definition .

Definition 13.1 (surjektiv) Eine Abbildung f einer Men ge M in eine Men ge N heißt surje ktiv, wenn jed es Eleme nt n E N in der Menge der Bilder von Eleme nte n a us NI unter dieser Abbildung vorkommt . Kurz geschriebe n : f : M =} N heißt surjektiv :q Vn E N :3 m E M:f( m) = n

•

Wie viele verschiedene surjektive Abbildungen gibt es, wenn Mund N endliche Mengen sind?

Was wir suc he n, ist das Bildungsgesetz ode r eine Rekursion für die Folge T( n , k) . Wer öfte r nach Folgen sucht , kennt Sloan e's On-Line Encyclopedia 01 Int eger S equen ces (www . research . att. com/r nj as/ sequences / ). Dort , in Sloan e 's On-Line E nc yclopedia 01 Integer Sequenc es find et man die gesuchte Folge als A019538 (http : / /www . research . att . com/r nj as / sequences / A019538) .

Über die Anzahl surjektiver Abbildungen

204

Da heißt es u . a.: A019538 Triangle of numbers T( n,k)

= k! *Stirling2(n,k) read by rows

Number of onto fun ct ions from an n- element set to a k-element s et .

r o., k ) T(n , k) wi th - Hen ry

= Sum_{ j=O . . k} (-1)-j* c o., j)*(k- j)-n . = k*(T(n-1, k-1)+T(n-1, k)) T (O , 0) = 1 [or TU, 1) = 1] Bottoml e y , Ma r 02 2001

See also the two closely related trian gles A008277(n, k) = T(n, k) /k! Anmerkung : C( n , k) st eht für den Binomialkoeffizienten "n üb er k". Die im Zitat zuerst gen annte Summenformel ist das Gleiche wie (13.1). Diese wollen wir zuerst erklären und beweisen . Der Beweis der als zweites a ngegebenen Rekursionsgleichung folgt danach . Die erste, bereit s in der Überschrift genannte Ident it ät sagt, dass die gesuchte Anz ahl surje ktiver Abbildung von M --+ N eng verw andt ist mit den kP artitionen.

D efinit ion 13 .2 Ei ne P artition ist eine Äq uivalen zr elation a uf eine r Men ge 111 . Eine k- Pa rtit ion ist eine Partition m it der Mächt igkeit k , also m it genau k Äquivalen zklass en.

•

Die Anz a hlen der k-P artitionen einer n-elementigen Menge werden StirlingZa hlen zweiter Art gen annt und üb licherweise mit S(n , k ) abgekürzt (und bei Sloan e's mit Stirling2(n, k ) be zeichnet). Das ist für das Folgende nic ht wichtig, es sei aber erwähnt . Für die Stirling-Za hlen zweiter Art gilt :

S(n ,k) =

~! . I:

(_1)i.

(~) . (k -

i )n

(13.2)

O ~ i ~k

Die For meln (13.1) und (13.2) un t er scheiden sich durch eine n Faktor 1/k!. Bei der Zähl ung von k-P ar ti t ion en kommt es nämlich nicht a uf die Reihenfolge der k

Über die Anzahl surjektiver Abbildungen

205

Äquivalenzklass en an. Bei der Frage nach verschiede nen surj ektiven Abbi ldungen macht es a ber schon einen Untersch ied , welch e Äquivalen zklass e auf welches E lement a us 1, ... , n a bgebil det wird . Das (-1) i deu t et a uf den Urs prung der For mel (13.1) hin . Sie wur de mit dem P rinzip von In klusion und Exklusi on gefun den . Dieses möcht e ich nun erklären .

Das Prinzip von Inklusion und Exklusion Mit dem P rin zip von Inklusion und Exklusi on lassen sich diejenigen E lem ente eine r gegebe ne n Menge zählen , die mi ndestens eine von meh reren vorgegebene n E igensc haft en a ufweisen.

A

Abb. 13.1: Drei sich schneidende Mengen

B eispiel 13.3 Wie viele natürliche Zahlen zwischen 1 und 1000 werden von mindestens einer de r Zahlen 2, 3 oder 5 geteilt? Sei A die Menge der durch zwei te ilbaren Zahlen , B die der durch 3 tei lbaren und C die der durch 5 tei lbar en Zahlen . Es gilt (vgl. Ab bild ung 13.1) :

IA u B u CI = lAI + IBI + ICI - IA n BI - IA n CI - IB n CI + IA n B n CI Dieses elementare und de nnoch starke P rinz ip wird in der Kombinatorik oft angewendet, nämlich immer dann, wen n ein Ab zä hlproblem unü bersicht lich wird . Es beruht darauf, dass die Elem ente des Dur chsch nit t s von A und B bzw. A und C usw . zun ächst doppelt gezählt werden und dann dieser Fehler wied er ausg eglichen wir d , indem die doppelt addierten E lemente einfach subtrahiert werd en . Man mu ss a ber b eachten , dass dadurch wiederu m Elem ente meh rfach subtrahiert werd en , nämlich die E lement e des gem einsamen Durchschnit t s der Men gen A , B un d C . Das muss durch ent sprechende Ad dition ausg eglic he n wer den . _

206

Über die Anzahl surjektiver Abbildungen

Was für drei Mengen gilt , kann man all gemein a uch für n Men gen formulier en : D a s Prinzip von Inklusion und Exklusion lautet:

2..:

1

1

(_1) 1 1+ I

O# 1<;;{1 ,2 ,.. . ,n }

n

Ai I

(13.3)

iE 1

Mit di esem Prinzip zeigt man nun:

Satz 13.4 Die Anzahl der surje ktiven Abbildungen von {I , ... , n} -+ {I , . .. , k} ist gleich

(13.4)

B e w e is : F ür j ed es j E {I , . . . , k} sei A j die Menge a ller Abbildungen f von {1 ,2, ... , n} nach {1,2, . . . , k} , di e j nicht treffen , d . h . für kein i E { I , . . . , n} ist f(i) = j. A j hat so viele Elemente, wie es Abbildungen von

{1 ,2, . .. , n} nach {1 ,2 , ... , j - l ,j + 1, . . . , k} gibt, al so (k - I}" . Für den Durchschnitt zweier Men gen A j l und A h gilt, dass di es di e Anzahl a ller Abbildungen ist, di e j 1 und i z nicht treffen. Da s sind (k - 2)n Stück. Man erkennt, dass der Durchschnit t von t: di ese r Mengen genau (k - r) n verschiedene Abbildungen ent hält, die bestimmte r Elemente ni cht al s Bild haben. Diese Formel zählt a lso ers taunliche rweise das Gegenteil von dem , wa s wir wollt en, nämlich sie zä hlt di e nicht surjektiven Abbildungen . Aber da s hat Me t hode, denn zum Schluss bilden wir das Komplement! Die Me nge de r surj ektiven Abbildungen ist gleich der Menge aller Abbildungen abzüglich de r ni cht sur j ektiven Abbildungen.

Wi e gro ß ist di e An zahl all er Abbildungen von { I , ... , n} -+ {I , ... , k}? Es sind k"; ode r - um in der Sys t ematik zu bleiben - es sind (k - O)" . Anmerkung: Den Summanden (k -O)n ent hält di e zu b eweisende Summenformel für i = O.

207

Über die Anzahl surjektiver Abbildungen Bleibt zu zeigen , dass die übrigen Terme (für i surj ektiven Abbildungen ergebe n.

> 0)

gerade die An zahl der nicht

Somit zurück zur Inklusion-Exklusion: In der Summe der Mächtigkeiten der A j sind alle die Abbildungen doppelt gezählt, die mehr als 1 El em ent a us {I , ... ,m } nicht als Bild (irg end) eines Elem ents a us {I, ... , n} haben . Dieser Fehl er muss durch Addition der Mächtigkeiten der Schnittmengen von jeweils zweien der A j wied er wettgem acht werden. Allerdings haben wir damit zuviel des Guten getan . Die Abbildungen, die mindestens 3 E lemente au s {I , ... , n } ni cht zum Bild haben , sind nun mehrfach sub t rahiert worden . Die ser Fehler wird au sgeglichen durch Addition der Mächtigkeiten der Durchschnitte von jeweils dreien de r A j . Nun darf ich "usw." sagen, einverst anden? Was fehlt denn no ch? Ach ja, " k üb er i", was hat es denn damit auf sich? Wir lesen noch einmal einige Zeilen zur ück: Ich sagte: "von jeweils zweien der Al' und "von jeweils dr eien der Al'. Es kommt darauf an, von welch en 2 od er 3 od er r Me nge n man die gem ein same Schnittmen ge bildet bzw. auf wie viele verschied en e Weisen man solche Durchschnitte von jeweils r Mengen bilden kann . Man kann a uf "n über 2" Weisen zwei ver schiedene der A j au ssu chen, um sie zu schneiden. Man kann auf "n über 3" Weisen drei ver schiedene der A j aussu chen, um sie zu schneid en . Ich erlaube mir ein let ztes "usw." und bitte den Leser , zur Kon trolle no ch einmal a uf die Formel zu bli cken . Nun , ist alles klar?

D

W ie angekündigt werde ich jet zt au ch die zweite bei Sloan e 's angegeb en e Formel, die Rekursion , näher erklä ren und beweisen .

S atz 13 .5 Fü r die Anzahl '1'(n , k) der surje ktive n Abbildungen eine r n- elementigen Menge auf eine k- elementige M eng e gilt : T tn, k) = k · '1'(n - 1, k - 1) + k · '1'(n - 1, k) m it '1'(0,0)

=

1

[oder '1'(1 ,1 )

=

(13.5)

1]

und '1'(n, k) = 0 fü r n < k .

B ewe is : Zunächst sei festgestellt , dass '1'(n, k) = 0 für n < k richtig ist . Es gibt kein e surje kt iven Abbildungen a us eine r endliche n Menge auf eine andere endliche Me nge, die mehr El em ente hat.

208

Über die Anzahl surjektiver Abbildungen

Ist k = n , haben also beide Mengen gleich viele Elemente, so ist die An zahl der surjektiven Abbildungen gleich k! , denn dem erst en Element aus 111 wird eines von k Elementen aus N zugeord ne t, dem nächsten Element aus NI wird eines der verblieb en en k - 1 Elemente zugeord ne t. Dies wird fortgeset zt , bis schli eßlich dem letzt en El ement aus M das einz ig noch verblieb en e Element aus N zugeord net werden muss. Für k! =: fak(k) gilt die Rekursion fak(k) = k· fak(k - 1) und da n - 1 < k , so ist T(n - 1, k) = O. Die Rekursionsformel

T(n , k) erweist sich im Fall n

= k· T(n - 1, k - 1) + k- T(n - 1, k)

(13.6)

= k a ls ri chtig.

Es sei nun n > k. Betrachte nun die Menge F aller surj ekt iven Abbildungen von M nach N. Diese Menge kann man in 2 Teilmengen U und V di sjunkt aufteilen . Dazu wähle ich ein beliebiges x E NI aus, halte es fest, und unterscheide danach, ob dieses x für die Surjektivität der Abbildungen wirklich notwendig ist oder nicht . Nämlich:

U := {f E F I f(M \{x}) = N}

(13.7)

V := {f E F I f(M \{x}) C;; N}

(13.8)

Also - entweder hat das eine beliebig a ber fest ausgewählte x ein Bild in N, a uf das a uch mindestens ein anderes Element a us M abgebildet wird - oder nicht . Die Menge U enthält genau die surjektiven Abbildungen f von M auf N, die eingeschränkt auf die Menge M\ {x} auch eine surjektive Abbildung von M\ {x} a uf N ergeben. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen von M \ { x} --+ N ist T(n - 1, k). Aus jeder dieser surjektiven Abbildungen kann man eine surjektive Abbildung von M --+ N machen, indem man für das zuvor ausgewählte x E M ein beliebiges von k möglichen Elementen a us N als Bild festlegt. Darum ist

IUI = k· T(n -

1, k) .

Die Menge V ent hält genau die surjektiven Abbildungen f von M auf N, die eingesch ränkt auf die Menge M \ {x} nicht mehr surj ektiv sind. Da F ab er nur surjektive Abbildungen ent h ält und wir nur das eine Element x aus NI entfern t haben , kann auch nur genau ein Element y aus N nun ohne Urbild sein. Insofern ist f als Abbildung von M\ {x} --+ N\ {y} wied er surj ektiv. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen von M \ {x} auf N\ {y} ist T( n - 1, k - 1). Jede surjektive Abbildung von M\ {x} auf N\ {y} kann zu ein er surjektiven Abbildung von NI auf N ergänzt werden, indem man dem fest gewählten x ein weiteres Element y EN zuordnet.

209

Über die Anzahl surjektive r Abbildungen

Sofern dieses y E N fest stünde, machte man also aus T ( n - 1, k - 1) surjektiven Abbildungen von M \ {x} au f N\ {y} gen au T (n-1, k - 1) surje kt ive Abbildungen von NI a uf N. Ab er das y E N ste ht nicht fest , es ist b eliebig a us N, denn V ent hält die Abbildungen f E F , für die f (M\ {x}) <;; N ist, also irg end eines der E leme nte au s N im Bild von M \ {x} fehlt . Für die Wahl des 'fehlenden' Elements a us N gib t es k Mögli chkei ten. Darum ist IVI = k · T(n - 1, k - 1). Wem das zu schnell war, der überlege es sich so: Es ist V glei ch der disjunkten Vereinigung der Mengen V y := {f E F I f (M\ {x }) = N\ { y } } für y E N .

(13 .9)

J ed es Vy hat T(n -1 , k -1) Elem ente. Es gibt k verschie de ne Mengen Vy.

D

Zusammenfassung:

Es wurde di e Menge F aller surje kt iven Abbildungen disjunkt zerle gt. (13.10) Weil die Zerlegung disjunkt ist , erhält m an :

IFI = IUI +

2:= lVyl ·

(13.11)

yEN

Mit IUI = k · T( n - 1, k) und schli eßlich :

T(n , k )

lVyl = T(n -

1, k - 1) sowie

INI = k

erh al ten wir

= IFI = k - T(n - 1, k) + k · T (n - 1, k - 1).

Für die sen Beitrag habe ich In ternet-Quellen [44, 45] zu Rate gezogen. Martin Wohlg emuth (Matroid)

14 Potenzsummen

Die Geschi chte des neunjährigen Gauß und seine r cleveren Addition der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 hat , glaube ich , jed en jungen MathematikIn teressierten a nim iert, au f diesem Feld ebenfall s nach Tricks und Lösungsformeln zu suc hen . La nge vor Gauß, zu Begin n de s 17. J a hrhundert s, hat te es die a ufkomm ende Infinitesimalrechnung erfo rderlich gem acht, Summen von Potenzen aufeinander folgender natürlicher Zahlen zu ber echnen . Solch e Summen t reten z. B. bei der näherungsweisen Ber echnung der F läche unter Polynomfunktionen durch Oberund Untersum me n auf. Man kannte bald Formeln für kleine Exp onenten, z. B .: n

Lk

1

k= l n

Lk 2

k =l n

Lk L k4 3

k= l n

k= l

L k5 n

k= l

1 2 1 -n + -n 2 2 1 3 1 2 1 -n +-n + -n 32 6 1 4 -n 4

1 3 1 2 + -2 n + -n 4

1 1 1 5 1 4 - n + - n + - n3 - - n 5 2 3 30 1 6 1 1 5 5 - n + - n + - n4 - - n2 6 2 12 12

Jede die ser Formeln kann man mi t vollständiger Induktion beweisen . Aber wie finde t man eine solche Formel, wenn man sie no ch nicht kennt ? Ansche inend ist die Summe der i-t en P ot en zen der Zah len 1 bis n ein Polynom in n vom Grad i+ 1, dessen Leitkoeffizient i~ l laut et . Der nächst e Koeffizien t ist ~ ,der darauf folgende ist li2 , der dann folgende ist O. Das sind alles Vermutungen, die durch gen au es Hinseh en gefunden werden .

212

Potenzsum men

Es war J akob Bernoulli (1654-1705) , der das allgeme ine .Bildungsgeset z" solcher Summenformeln erkannte und damit eine Met hode fand , durch die zu jed em gegeb en en Exponenten i eine Berechnungsformel für die Poten zsumme n

L

ki

k =l

a ngegeben werden kann . Die von ihm zu die sem Zwecke eingeführten Größen t ragen heute seinen Namen: Die B ernoulli-Zohlen , Zur Definition und für den Umgang mi t die sen Zahlen ist es zweckmäßig, sich des Kon zepts der erzeug enden Funktion en zu b edi en en : Wir betrachten die Funktion x f( x) = - , x E JR , eX - 1 wob ei sich der Funktionswert im Punkt x = 0 durch st etige Fortsetzung ergibt. Die Funktion f lässt sich um den Punkt x = 0 in eine Poten zr eih e mit Kon vergen zradius 2Jr ent wickeln (zur b equem en Begründung benötigt man et was Funktionentheorie) . Die Koeffizienten dieser P otenzreihe dienen uns nun zur Defini tion :

D efi nit io n 14.1 (Be rn oulli-Zahle n) Die Folge der Bernoulli-Zohlen B n , n ~ 0, sei defini ert durch die Gleichung x 00 Bn n e X -1 -- 'L" -n! x '

lxi < 2Jr.

n =O

•

Es gilt demnach : B

(~)n _ x

_

dx

n -

I e X - 1 x=o

Durch Differenzieren er halte n wir leicht die 'Wert e der ersten beiden BernoulliZahlen Bi, = 1, Bet rachten wir nun die Funktion x g(x) = - - eX - 1

B I X

x e - 1

= X

+ -x2 ,

so ergibt eine einfache Rechnung g(x) = g( - x ),

d . h ., die Funktion 9 ist ger ade. Damit wissen wir, dass alle Koeffizienten mit ungeradem Index in der Potenzreihenentwicklung von 9 um den Ur sprung verschwinden . Das bedeutet für die Bernoulli-Zahlen B Zn + 1

= 0 für n

~ 1.

Bevor wir die Bernoulli-Zahlen mit Poten zsummen in Verbindung bringen, be weisen wir eine nützliche Formel:

213

Potenzsummen Satz 14.2 Es gilt für n

Beweis:

~

Für

1:

lxi < 21r gilt : 00

'\"" B n x n = _ x_ = e -x - x o n! eX - 1 e-X- I

n=O

(~ (-~r x n) (~ (-~r Bn x n) =

~ (-~r (~(~) Bk) x

Damit folgt durch Koeffizientenv ergl eich für n

~

n

0 (14 .1)

was sich umstellen lässt zu

Wegen B2n+l = 0 für n ~ 1 verschwindet die linke Seite der letzt en Gleichung für alle n ~ 2, woraus sich die Behauptung ergibt. D

Beispiel 14.3 Berechne B 2 mittels Satz (14.2) :

B o + 3B 1 + 3B2 = 0

=?

B2 =

•

1

- 3 . (B o + 3BI)

Damit lassen sich die Bernoulli-Zahlen leicht rekursiv berechnen: 1

Bo

1

BI

- "2

B2

1 (;

Ba

0

B4

1 - 30

B5

0

B6

1 42

B7

0

usw.

Nun kommen wir zu der gesuchten allg em ein en Formel für Poten zsummen: Satz 14.4 Für j eden Exponenten i E PT gilt

~ki s: k=1

= _ 1_ i +1

~ 0

k=O

(i +k 1) B kn ( + 1)i+ 1 - k , n_. >1

214

Pote nzsumme n

Beweis:

Es gilt für x

> 0:

f ~ (t ki) xi t f i=ü

7.

(k~)i

=

k =ü

=

7.

k= ü i= ü

t

ek x

k= ü

e ( n +l )x - 1

eX - 1 - 1

x

e(n+l )x

x

e - 1 X

(~ ~~: ~~~ (~ ~~ ~ (~(i + 1) ~(i + l )! t:a k k

= =

Es folgt für i

~

x

)

1

k

x

B ( k

)

n+

l) i +l - k)

xi

1 durch Koeffizientenvergleich

D

Damit haben wir einen üb er sichtlichen Weg kennengelernt , um weitere Formeln zur Bere chnung von Pot enz summen zu finden . Zum Ab schluss sei erwähnt, dass die Berechnung solcher Po tenzsummen ein Spezialfall der Frage st ellung nach de r Au swertung von Summen der allgem einen Ges talt ~~=ü f(k) ist , wob ei f eine geeigne te Funktion darstellt . Die Unt ers uchung dieser Frage führt auf die sogenannt e Eulereche Summenform el. J ens Koch, Physiker , Berlin

15 Berechnung großer Binomialkoeffizienten

Übersicht 15.1 Rechnen gemäß Definition

215

15.2 Rekursive Berechnung

216

15.3 Mul tipliziere in günstiger Reihenfolge

216

15.4 Teile und (b e-)herrsche

217

15.5 Der Satz von Legendre

218

15.6 Algorithmische Berechnung

218

15.7 Weiter es Anw endungsb eispi el

219

Wi e ber echnet man

(~) , sprich "n üb er k"? Das ist doch einfach, könnte man

sagen.

15.1

Rechnen gemäß Definition

Die bekannte Definition lautet:

D efinition 15.1 (Binom ialkoeffizie nt ) Für n , k E No, n >= k , definiert man den Binomialkoeffizienten als:

n) n! ( k .- k!·(n -k)! Dabei ist n!

= n - (n - 1) . (n - 2) .... ·2 ·1 für n

Also muss man nur diese Formel ausrechnen.

E

N und O!

=

1.

•

216 Für

15 Berechnung großer Binomialkoeff izient en

C3 0

)

ergibt sich : 10 ·9·8·7 ·6 ·5 · 4 ·3 ·2 · 1 3 ·2·1 · 7 ·6 · 5·4·3· 2·1

(Ta sch enrechn er)

120

Man hätte vorher au ch kürzen können: 10 ·9·8·7·6·5 ·4 · 3 ·2 · 1 3· 2· 1· 7 ·6· 5 ·4 · 3 ·2·1

10 . 9 . 8 = 5 . 3 . 8 = 120 3·2

Diese Rechung ist kein Problem. Aber wie ist es mit e~9\O) ? Wie riesig ist 2010! ? Mein Taschenrechner kann das nicht mehr .

15.2

Reku rsive Berechnung

Binomialkoeffizienten kann man rekursiv b er echnen . Es gilt

(n) (n -1) + (n -1) k

k -l

k

.

(15.1)

Also beispielsweise 2010) = (2009) 890 ( 891

+

(2009) . 891

Diese Rekursionsformel ist für viele formale Re chnungen der Schlüssel, für unsere Ber echnung t aug t sie a ber nicht , denn der Sp eicherb ed arf eine s Programms nach diesem Rekursionsverfahren ist groß und außerdem gibt es besser e Möglichkeiten .

15.3

Multipliziere in günstiger Reihenfolge

Zwar ist 201O! sehr groß, zu groß für den Taschenrechner, ab er die se Zahl mü ssen wir a uch ga r nicht berechnen. Vie l günstiger und schon um einiges gen auer re chnen wir in folgender Weise :

2010) ( 891

= 2010 . 2009 . . .. . 2010 - 891 + 1 891

890

1

15.4 Teile und (be-)herrsche

217

Man fass t jeweils eine n Faktor im Zähler und eine n im Nenne r zu eine m Bruch zusamme n und multipliziert die Qu otienten . Damit erreicht m an , dass die Zah len, mit den en man rechnet (hier sind das die Quotient en) alle eine ä hnliche Größenordnung haben . Für manche Zahlen ist das noch ein beherrschbarer Ausdruck. Führen wir diese Re chnung nun für große n wie 2010 durch , so ist au ch die se Re chnung zwecklos. Das Ergebnis liegt ganz grob in de r Größenordnung von Unendlich (sagt mein Taschenrechner) . Ein prinzipi eller Nachteil dieses Verfahren s ist zude m, dass die Zwischen ergeb nisse Dezimalbrüche sind , obwohl wir eine ganze natürliche Zahl als Gesamtergebnis erwarte n. Wir handeln un s somit unnötig Abbruch- und Rundungsfehl er ein .

15.4

Teile und (be- )herrsche

Es gibt ein ander es, exaktes und von der Rech en zeit schnelles Verfahren . Dabei ber echn et man die Primfaktorzerl egung von n !, k! und (n - k)! und kürzt die Exp one nte n. B e is pie l 15.2

27! 15! ·12!

-:-=-----,--,:-;-

= 22 ·3 2 ·5· 13 · 17 · 19 ·23

denn

= 223 .3 13 . 56 . 73 . 112 . 13 2 . 17· 19·23 15! = 2 11 . 36 . 53 . 72 . 11 . 13

27!

12! = 2 10 . 3 5 . 52 . 7 . 11

•

Es bleibt die Frage, wie man zu den Primzahlexponenten in der Zerl egung der Fakultäten kommt . Zum Glück gibt es dafür eine Formel aus der Zahlentheori e, die auf Leg endre zur ückgeht. Wi r wissen , das s jede positive ganze Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat. Das bedeutet : Es gibt zu einer po sitiven ganzen Zahl m P rimzahlen P1, P2, ... , Pk und Exponenten e(pi ), i = 1, . . . , k, für eine (bi s auf die Reihenfolge der P i) eindeutige Darstellung der Form

TI k

m =

P i e (P;) .

i= 1

Die Faktorisierung groß er Zah len ist im Allg em ein en nicht leicht zu find en . Ab er die Primfak toren von n! sind leicht zu b erechnen .

218

15.5

15 Berechnun g großer Binomialkoeffiziente n

Der Satz von legendre

Sat z 15.3 (Le g endre) In der Primjaktorzerlequnq von m

e(p) =

[~] + [;

= n! (n

E

N) gilt für alle Primzahlen p:

] + [; ] + [; ] + ...

Hier ist [ ] die Gaußklammer; diese steht für " die größte ganze Zahl kleiner gleich ".

Anmerkung: Von den Summanden [ ~] sind nur endlich viele ungleich 0, nämlich die für i E No mit pi ::; n . Wir pro bieren diese Form el an Beispielen mit kleinen n un d paus: B eispiel 1 5 .4 Die 2 hat in der P rimfaktorzerlegung von 27! den Exponenten :

e(2)= [2;] + [2 :] + [2n + [ ~~] = 13 + 6 + 3 + 1 = 23 Die 3 hat in der Primfaktorzerlegung von 27! den Exponenten:

e(3) =

[2;] + [2;] + [ ~~] •

= 9 + 3 + 1 = 13

B eweis : (L egendr e) Kein Primteiler von n ! ist größer als n . Von den n Faktoren in n! sind [ ~] Faktoren einmal durch p t eilbar. Durch p2 sind Faktoren

[?]

teilbar, durch p3 sind [;; ] Faktoren tei lbar usw . Die Anz ahl der Faktoren p in der Primfaktorzerlegung ist also gleich der (endlichen) Summe dieser Anzahlen. D

15.6

Algorithmische Berechnung

Für ein Verfahren, das den Satz von Legendre ben utzt, ist es erforde rlich , die Primzahlen bis n zu kennen.

15.7 Weiteres Anwendungsbeispiel

219

Ein Programm zur Faktorisi erung von n! muss darum zuerst eine Primzahltabelle erstellen , et wa mit dem (b ekannten) Si eb des Eratosthenes. Dann durchläuft man die Liste der Primzahlen und ber echnet die e(p) für alle p klein er oder gleich n. Berechne weiter die Primzahlpoten zen pk und die Quotienten [;] solange, bis pk > n wird. Die Summe der Quotienten ist der Exponent der Primzahl p in der Faktorisierung von n! . Gleichwertig dazu , jedoch mit weniger Rechenoperationen, teilt man n zunächst durch p und dann den jeweils ganzzahlig a bgeru ndet en Quotienten wiederum durch p und bricht a b, wenn der Quotient kleiner 1 ist . Die Summe der ganzzahlig abgerundeten Quotienten ist e(p). Man vermeidet auf diese Weise die explizite Berechnung der Potenzen pk , denn hat man bis zum Abbruch k-fach durch p dividier en können, dann ist pk ::; n und pk+l > n . Diese zul etzt b eschriebene, optimierte Variante des Algorithmus lautet also :

Algorithmus zur Faktorisierung von n! 1:

2: 3: 4:

5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:

Eingabe: n Bestimme die Menge P(n) aller Primzahlen j; n . for all p E P(n) do quotient := Abrunden(njp) sum := quotient while do quotient := Abrunden(quotient jp) if quotient < 1 then Abbruch end if sum := sum + quotient end while Ausgabe: p "~,, sum end for

Den beschrieb en en Algorithmus kann der Leser im Internet ausprobieren , siehe [51]. Die Funktion "Abrunden" realisiert für positive Argumente die Gaußklammer .

15.7

Weiteres Anwendungsbeispiel

Gelegentlich werden Aufgaben wie diese gestellt: Auf wie viele Nullen endet 2010!?

220

15 Berechnung großer Binomialkoeffizienten

Antwort: E ine Null am E nde b edeutet , dass die Zahl durch 10 t eilbar ist . Wi e oft ist 2010! durch 10 t eilb ar ? Sie ist so oft durch 10 t eilb ar, wie in der P rimfaktorzerl egung genügend Zweien und Fünfen vorkommen , um den Faktor 10 zu bilden . Weil es häufiger den P rimfak tor 2 als den Fa kt or 5 gibt , ist diese Anza hl allein durch die An zahl der Fünfen b estimmt . Wi e viele F ünfen sind in der Primfaktorzerl egung von 2010! ? Es sind 2010 ] [ 5

+

[ 2010] 25

+ [ 2010] 125 +

[ 2010] 625

= 501

Fünfen . Also endet 2010! au f 501 Nullen.

Martin Wohlgemuth aka Matroid.

16 Über Permanenten, Permutationen und Fixpunkte

Übersicht 16.1 Einführung

221

16.2 Das Prinzip der Ink lusion und Exklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221 16.3 Permanenten . ... . . . . . .. . ... . . ... . . . . . . . .. . . . .. . . .. .. . . .. . . .. 223 16.4 Das Rencontre-Problem

16.1

226

Einführung

In diesem Kapitel wollen wir den Begriff der Permanente und eine Verbindung zu einer speziellen kombinatorischen Fragestellung namens "Renc ont re-P roblem" vorstellen . Unter dem Rencontre-Problem versteht man die folgende klas sische Frage: n Ehepaare veranstalten einen gemeinsamen Tan zabend. Wie viele Tanzpaarungen aller 2n Pe rsonen sin d möglich, bei den en keine Frau mit ihrem Mann tanzt '? (Frauen tanzen nur mit Männernf) Zur Untersuchung dieser Frage ste llen wir vorber eitend das sogena nnte Prinzip der Inklusion und Exklusion vor , welch es sich hier und au ch im Allg em ein en oft als nützliches Hilfsmittel er weist. Anschließend führen wir den Begriff der Permanente eine r Matrix ein und b eleuchten einige allgem ein e Eigens chaften , um sch ließlich auf die Ver bindung zum Rencontre-Problem einz ugehe n.

16.2

Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

Sind A und B endliche Mengen , so gilt beka nntlich die Anzahlformel:

IAU BI = lAI + IBI-IAn BI

222

16 Über Permanenten. Permutationen und Fixpunkte

Diese Formel find et im Prinzip der Inklusion und Exklusion eine wesentliche Ver allgem ein erung. Zur Formulierung ben ötigen wir einige Definitionen : Sei N eine endliche nichtleere Menge. Eine Funktion w : N --t ce nennen wir Gewichts/ unktion und w( x) heiß t Gewicht von xE N. Sind NI, . .. , N; Teilmengen von N, so set zen wir

n k

NV1" ..,Vk :=

NVi

i =1

und w V l""

für Indizes 1 ::; VI

.-

w(x)

,Vk . -

< V2 < ... < vk

::; r (mi t k ::; r) . Weiter setzen wir

W(O) :=

L

w( x)

x EN

und W(k) :=

für 1

< k < r, Ist 1 < k < r , so definieren wir l\!h := {x

E N I x ist in genau k der Menge n N I, ... , N; ent halte n}

und schließlich sei V(O) := und

\/(k) :=

w (x )

L

w(x)

« e t«;

für 1

< k < r,

Damit können wir das Prinzip formuliere n:

Satz 16.1 (Prinzip der I n klu s io n und Exklusion ) Unter den obigen Vorau ssetzungen gilt

für 0 ::; s ::; r .

Der Beweis, auf dessen Dar st ellung wir hier ver zichten , kann geführt werden , indem für alle x E N das Gewicht w(x ) au f b eid en Seiten gezählt wird . In den nächst en Ab schnitten wird dieses wichtige Prinzip Anwendung find en .

223

16.3 Permanenten

16.3

Permanenten

Im Folgende n füh ren wir den Begriff der P erm ane nte eine r Matrix ein. Man könnte die Permane nte als die klein e kombinatorische Schwest er der Det erminante bezeichnen , wob ei b eid e Begriffe ihrerse its einen Spez ialfall der soge nannt en Immanen t e darst ellen . Obwohl P erm ane nten ni cht den St ellenwer t von Det erminanten b esit zen , spielen sie zum Beispi el eine wicht ige Roll e in der kombinatorischen Theori e der Repräsentanten syst em e (dazu sei zum Be ispiel das Buch "Co mbi natorial Mathe matics" von H . J . Ryser em pfohlen [52]) , und sie t reten sogar in der Quant enmech anik zur Besch reibung bo soni scher Teilchen zust ände a uf [53].

D e fin it io n 1 6 .2 (Permanente) Es sei n eine natürliche Zahl und M (n , lE.) bezeichne die Menge aller (n , n)Matrizen mi t Ei nträgen aus den reellen Zahlen. Für ein e Matrix A = (ai,k) a us M (n , lE.) hei ßt die Zahl n

per(A) :=

2..: TI ai ,o- (i) = 2..:

o- ESn

a l ,o-( l )a2,o-(2)' " an ,o- (n)

o-ES n

i= 1

die P ermanente von A , wob ei S n wie üblich die Menge aller P ermutationen der Men ge {I , ... , n} b ezeichnet. •

Zunächst b etrachten wir einige element are E igensc haft en :

Satz 1 6 .3 E s sei A = (a i,k) eine Ma tri » aus M( n , lE.). Dann gilt : 1. Di e Abb ildung per : M (n , lE.) --+ lE., A M per (A) ist lin ear in j eder Spalt e. 2. E s gilt per(A) = per(A T ) . 3. Fü r 1 :::; j :::; n lässt die P erman ente eine Entwicklung na ch der j -t en Sp alt e zu: n

per(A) =

2..: ai ,j per(Ai,j) , i =1

wobei die Matrix A i,j E M(n - 1, lE.) aus der' Matrix A en ts te ht, indem die i-te Z eile und die j -t e Spalt e weggelassen we rden.

224

16 Über Permanenten, Permutationen und Fixpunkte

Beweis: Der Nachweis der ersten b eid en Ei gen schaften verl äuft ga nz an alo g zu den Beweisen der ents prec hende n E igensc haften bei Det erminanten . Für den Nachweis der dritten Eig en schaft defini eren wir zunächs t für i , j E {I, . . . , n} die Menge n M i ,j :=

{f : {I , .. . , n} \ {j} --+ {I , . .. , n} \ {i} I fi st bijektive Abbildung} .

Für j E {l , ... ,n } gilt dann: per(A)

=

L

al ,o-(l )a 2 ,o-(2 ) ' " an, o-(n )

a ESn

=

L

ao- (I ) ,l ao- (2 ) ,2' " ao- ( n ), n

a ESn

n

=

n

L L TI

ao- (v ) ,v

i = 1 o-E S " v = 1

O-(j) =i

n

n

=L

ai ,j

i= 1

=

L TI

ao- (v ) ,v

o-EMi,j v =1

v of-]

n

~ L....J a 2,' ) . per(A2, ) .) i= 1

Damit ist die dritte Eigenschaft gezeigt .

D

Definition 16.2 und die Aus sagen von Satz 16.3 zeigen eine enge Verwandtschaft zwischen Permanente und Determinante a uf. Die Abbildung det : J\;I( n , JR) --+ JR, A >--+ det(A) ist bekanntlich durch die folgenden drei Eigenschaften vollst ändig be stimmt : 1. det(En ) = 1, wob ei E n E l\!I (n , JR) die Einheitsmatrix b ezeichnet , 2. Die Abbildung det : M(n , JR) --+ JR, A >--+ det(A) ist line ar in jeder Sp al te , 3. det ist altern ier end .

Da die P ermanente die erst en beid en Eigenschaften b esitzt , kann die dritte Eigen schaft folgli ch nicht für Permanenten gelten . Ferner gibt es a uch kein Analogon zum Det erminantenmultiplikationssatz, was sich am Beisp iel der Matrizen

und

:)

R ~(:

schnell einsehen lässt : per(A) per(B) = 10

i-

18 = per(AB)

225

16.3 Permanenten

Es gibt j edoch eine weiter e Formel zur Ber echnung von P ermanenten, welche wir mit Hilfe des Prinzip s der In - und Exklusion b eweisen werd en . Zur Formulierung benötigen wir einige Bezeichnungen : Sind eine Matrix A = (a i,k) a us M(n , lE.) und Spaltenindizes 1 ::::; kl < .. . < k v ::::; n vorgegeben, so verstehen wir unter A (kl , . .. , k v) diejenige Matrix, welche aus A entsteht , indem die Spalten mit den Indizes k» , . . . , k v durch Nullspalten ersetzt werden . Ferner definieren wir

T(A) :=

TI (~ ai'k)

,

sowie

1'0 := T(A) und für 1 ::::; v ::::; n

1'v

'[ ' (A (k l , .. . , k v)) .

:=

Mit diesen Bezeichnungen gilt der folgende Satz:

Satz 16.4 Für A = (ai ,k) E M(n , lE.) gilt : n

per(A) = I: (- 1t 1'v v=o

B ewe is : Wir wollen Satz 16.1 a nwenden. Dafür setzen wir N := {1, . . . , n} n , W(j l , . .. , j n ) := al,j l" 'a n,j" fü r (jl , .. . , j n ) E N , und für 1 ::::; v ::::; n sei

Dann gilt Sn

= N\ U ~= I N v, und es folgt a us Satz 16.1 n

per(A ) = V(O) =

I:(-1t W(v)

v=o mit

W(O) = (Ji ,... ,j ,, ) E N

=

(t

)1 =1

n

al ,jl ) . ..

(I:. an, j,,) ) ,, =1

226

16 Über Permanenten. Permutationen und Fixpunkte

= 1'0, und für 1

~

v

W( v)

~

n

~ <~k",n C,,.. ,j"~N',,,," >
'"(h, ...., j n ))

Damit ist die Forme l b ewiesen .

16.4

D

D as Rencontre-P roblem

Das in der Einleitung be sch riebene Problem lässt sich folgende rm aßen ma themati sch formulie ren : Wie viele P ermutation en der M eng e {I , . .. , n } gibt es, welch e kein e Fixpunkt e besit zen ? Ein i E {I , .. . , n} he ißt Fixpunkt der Pe rmut a tion a E Sn , falls a (i)

= i gil t.

Wir fragen gleich et was Allgemeiner : W ie viele P ermutationen der Menge {I , .. . , n} gibt es, welche genau k Fixpunkte besitzen ?

D efin it io n 16.5 (Rencontre-Zahlen) Seien n E 1'1, k E No mit k ~ n . W ir setzen D( n , k) := I{(j E Sn ja be sitzt gena u k Fixpunk te} I . Die Zahlen D(n) := D(n ,O) heißen R en contre-Zahlen , sie werden jedoch • a uch oft D erang ement-Zahlen genannt .

Um eine Verbindung zwis chen die sen Zahlen und den Pe rm anenten zu formulieren , betrachten wir die folgenden spe ziellen Matrizen : Für ti E 1'1 , k E No mi t k ~ ti sei En ,k diejenige Matrix , welche a us der Einhei tsm at rix E n E M(n , R ) entsteht , indem die letz ten n - k Spalt en durch Nullsp alten er setzt wer den. Ferner sei M n = (m i ,k) E M (n, R ) definiert durch m ik =

,

o

{1

falls i = k fall s i

i- k

227

16.4 Das Rencontre-Problem

und lVln, k be zeichne diejenige Matrix, welch e aus lVln ent steht, indem die ersten k Spalten durch Nullspalte n ersetz t werden . Damit gilt :

Satz 16.6 Für n E N, k E No mit k

D(n , k) =

(~)

~

n gilt:

per (En ,k + Mn ,k)

=

(~)

per (Mn- k)

=

(~) D(n -

k)

Beweis: Zunächst beobachten wir, dass die Zahl per (En,k + Mn,k) nach Definition der P ermanente genau der An zahl der P ermutationen a E S n ent sp richt , für welch e die Bedingung a(i) = i für i E {1 , . .. , k} und a(i) =I- i für i E {k

+ 1, . . . , n }

gilt. Es folgt demnach :

D(n - k) = per (En ,k + Mn ,k) Betrachten wir allgemeiner für beliebige Indizes 1 ~ V I < ... < V k ~ n die Menge aller P ermutationen a E Sn, welche gen au an den Stellen VI , ... , Vk Fixpunkte besitzen, so ents pricht deren An zahl gerade der An zahl D( n - k) der fixpunktfreien P ermutation en der verbleib enden n - k Zahlen {1, . .. , n} \ { VI , ... , Vk} ' Damit folgt :

D(n , k) =

L

I{a E

Sn Ia besitzt gen au a n

VI, ···, Vk

Fixpunkte j ]

I :<:;V l <"'
L

D(n -k)

I:<:;Vl<" '< Vk:<:;n

(~)D(n -k) (~) per (E n,k + M n,k) ' Die Glei chheit per (En ,k + Mn,k) = per (Mn - k) folgt dann leicht durch eine schrittweise Anwendung von Satz 16.3, Teil 3. D Der letzt e Satz besagt, dass das Auffinden eine r expliziten Formel für die Ren contre-Zahlen gleichw ertig zur Frage nach eine m explizit en Ausdruck für die P ermanenten ob en genannter Matrizen ist. Zunächst find en wir eine Darst ellung der Rencontre-Zahlen durch Anw endung des Prinzips der In - und Exklusion .

228

16 Über Permanenten. Permutationen und Fixpunkte

Satz 16.7 Fü r n E N, k E No mit k

n gilt:

~

D(

, n - k ( L)" k) = n . ~ _- _ n, k! L...J v!

v=o

W ir zeigen die Behauptung zunächst für den Fall k = O. Sei dazu N := S n , w (a ) := 1 für alle a E Sn und für 1 ~ v ~ n sei

Beweis:

N ; := {a E S n I a(v) = v}. Nach Satz 16.1 gilt dann: n

D(n)

= V(O) = L( -l)k W (k ) k=O

m it

W(O ) =

L

1

= n!

a ES n

und für 1


L L

W(k) =

INv1" ..,Vk I

l :S=;Vl < " '< Vk:S=; n

(n -k)!

l :S=;Vl < " '< Vk:S=; n

=

(~) (n -k) ! n! k! .

Daraus folgt : D(n) =n !

l) k LT n

(

k =O

Die allgemeine Formel folgt damit au s Satz 16.6:

D

229

16.4 Das Rencontre-Problem

Eine weiter e Darstellung der Rencontre-Zahlen erhalten wir durch eine Anw en dung des Satzes 16.4. Dabei ist zu beachten, dass Poten zen mit Exponent Null hier ste t s der 'Wert 1 zugeordne t wird .

Satz 16 .8 Für n E N, k E No mit k

~

n gilt:

Beweis: Wie im Bewei s zu Satz 16.7 genügt es , die Behauptung für den Fall k = 0 zu zeigen , denn der allgemeine Fall folgt dann a us

D(n ,k) =

(~)D(n -k).

Aus Satz 16.6 wissen wir, dass gilt: D(n) = per(Mn ) . Berechnen wir die se Permanente mit Hilfe von Satz 16.4 , so ergibt sich n

D(n) =

2:)

v=o

- 1t 1~

mit 1~

=

wobei man leicht nachrechnet , dass gilt:

T(Mn(k l , . . . , k v ) ) = (n -vt(n -v -1t - V Damit folgt dann n

D(n) = 2:) - 1t v=o

2:

(n - vt (n - v - 1t - V

1 :S;k 1 <...
o Die Sätze 16.7 und 16.8 liefern eine n kombinatorischen Nachweis für die Glei chheit

(-1)" n I. ~ 0 I - = ~( 0 - 1 )V v. v=o v=o

(n) ( v

n - v )V (n - v - 1)n-v .

230

16 Über Perman enten , Permutationen und Fixpu nkte

Zum Abschluss wollen wir erwähne n , dass dies e Identität ein Spezialfall des folgenden interessanten Zusammen hangs ist (siehe auch H . \ V. Go uld , Combinat ori al Identities [54]): Für x,y , z E C und n E N gilt:

~ (x + Iy )" z n- I/ = ~ n.I L...J L...J v. 1/=0 1/= 0

(n) ( + V

x

z v )1/ ( Y

_

z v ) n - I/ .

Thor sien Neus chel, Dipl. -Mat h ., promoviert a n der Uni Trier.

17 Zählen mit Permanenten

Übersicht 17.1 Definitionen und Vorbereitungen

231

17.2 Zählen mit P ermanenten und Determinanten

233

17.3 Der Satz

235

17.4 Beweis der Aussagen (17 .1) und (17.2)

236

17.5 Beweis des Satzes

237

E inig e Beiträge im Internet-Forum von Matroids Matheplanet (Anmerkung: geschrieb en 2003) haben mich dazu anger egt, eine Verbindung von Kombinatorik, Permutationen, Matrizen, Determinanten und Permanenten zu erkennen und darüber zu schreiben. Nach den notwendigen Vorbereitungen beweise ich das Hauptergebnis:

Die Anzahl der ungeraden Permutation en ohne Fixpunkt ist gleich der Anzahl der P ermutationen mit gena u zwei Fixpunkten.

17.1

Definitionen und Vorbereitungen

D efinition 17.1 Ein Derangement ist eine Permutation von n Elementen, in der kein Element auf sich selbst abgebildet wird . Die Anzahl solcher P ermutationen, also der Derangements von 1, . . . , n, b ezeichn et man mit D n . Die D n heißen Derangement-Za hlen od er a uch Rencontre-Zahlen . • Es gilt (b ekanntlich) :

D n = (n - 1) . (D n -

!

+ (-

1

Dn = n .Dn-

!

+ Dn - 2 )

t

(17.1) (17.2)

232

17 Zählen mit Permanent en

Ich werde diese beiden Au ssag en weiter unten b eweisen . Die Folge der Derangement-Zahlen ist kat alogisier t in "T he On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" (kurz: Sloane's) als A000166 , siehe [55].

D e fin it io n 1 7 .2 (Fixpunkt) Ein i aus 1, ... , n heißt Fixpunkt der Permutation Ir, wenn Ir(i)

z.

•

Anmerkungen: Ein Derangement ist eine fixpunktlo se Permut ation . 'Derangement ' kann man mit 'U nordnung' übersetzen . Sei f(n , k) die Anzahl de r Permutationen von n Elementen mi t genau k Fixpunkten. Es gilt (nach Defini tion) : Dn

= f(n , 0)

(17.3)

Gerade und ungerade Permutationen Man un terscheidet gerade und ungerade Permutationen . Eine Permutation ist gerade , wenn sie das Produkt von gerade vielen Trans p osit ione n (Ver tauschungen zweier E leme nte) ist . An sonsten ist sie ungerade . Man weiß, dass sich jed e Permutation in ein Produkt von Tr anspositionen zerlege n lässt , und hat man zwei Zerl egungen , dann ist die Länge bei b eid en ent wede r gerade od er un gerade. Die Permutati onen mi t gen au k Fixpunkten kann man sortieren (d . h . disjunkt a uft eilen ) in gerade und ungerade Permutati on en mi t genau k Fixpunkten . Ich führe Bezeichnungen ein: Eine n-Permutation ist eine P ermutation von n Elementen. f +(n , k) bezeichne die Anz ahl der ger aden n-Permutationen mi t gen au k Fixpunkten . f - (n , k) bezeichne die Anz ahl de r ungeraden nPe rmut ationen mi t genau k Fixpunkten. Offensi chtlich ist :

f(n , k) = f + (n , k)

+r

(n , k)

(17.4 )

Zur weiteren Motivation Die Folge f -(n , 0) ist bei Sloane's regist riert als A000387 . Die Folge f +(n , 0) ist bei Sloane's regist riert als A003221. Zu A000387 sagt die dortige Beschreibung, dass es sich um die An zahl der Pe rmutat ione n mit genau zwei Fixpunkten handelt . Nicht erwähnt ist , dass A000387 zugleich die An zahl der unger aden P ermutationen ohne Fixpunkte ist . Diese Lü cke mö chte ich nun sch ließen, indem ich den Beweis geb e.

233

17.2 Zähl en mit Pe rmanenten und Determinanten

Die Summe A000387(n)

+ A 0032 21(n)

ist also gleich D n .

Wiederholung bekannter Definitionen Ich b eginne mit einigen weiter e Definitionen und Schreibweisen , die ich verw en den werde: I.

Das S ignum einer Permutation Ir ist 1, wenn Ir gerade ist, sonst - 1; a bgekürzt : Ir gerade sign(Ir) = { 1 - 1 Ir ungerade

11 .

Die D e t erminante eine r Matrix A = lAI := det(A) :=

L

(a i,j)nxn

ist gleich:

sign(Ir) al ,1r(1 )a2,1r (2 )

' " a n ,1r(n )

1T E S n

S n ist die Symmetrische G ruppe vom Grad n ; das ist nichts Ander es als die Menge der n -P er mut at ionen . 111.

Die P e rmanente eine r Matrix A =

L

per(A) :=

(a i, j) n

x n ist gleich:

al, 1r(1 )a2 ,1r(2 ) ' " a n, 1r(n )

1TES n

17.2

Zählen mit Permanenten und Determinanten

Ich werde Permutationen und Derangements mit Hilfe von Matrizen darstellen und zählen. Die Anz ahlberechnung benutzt Determinanten und Permanenten dieser Matrizen.

Aussagen über Permutationen und Matrizen Sei An die Matrix (a', j)" x n

o ausg eschrieb en: A n =

~ {~

1

i =j

i i:j

1

1

101

1

1

1

0

1

1

1

1

0

234

17 Zählen mit Permanenten

Dann ist : (17. 5)

f +(n , 0) - f - (n, 0) = (_1) n-l . (n - 1) = det(A n) f +(n , k) - f - (n, k) =

(~) . det(A n-k)

(17.6) (17 .7)

Beweis (17.5): Eine P ermutation Ir zä hlt in per(A n) genau dann , wenn alle a i ,1r(i) gleich 1 sind. Da die Diagonaleinträge a i ,i gleich 0 sind, zählt keine P ermutation , die ein El em ent auf sich selbst abbildet , aber es zählen all e P ermutationen , die kein Element auf sich selbst a bbilde n. D Beweis (17.6): In der Determinante zählen die geraden Permutationen ohne Fixpunkt mi t + 1 und die ungeraden Pe rmut a tionen mit - 1. Für k = 0 gilt somit f +( n, 0) - r(n , 0) = det(A n). Nun ist noch der Wert der Determinante zu b erechnen . Bekanntlich ist die Det erminante eine in j ed er Zeile lineare Abbildung, und ihr Wert ändert sich nicht , wenn man das Vi elfache eine r Zeile zu eine r ander en Zeile addiert. Addiert man in An (für n ?: 3) das - n ~ z -fache de r Zeilen 2 bis n zur er sten Zeile, dann wird (exemplarisch für n = 5) 0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

- 3"

4

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

zu

Es ist somit

det(A n)

=

n -1 -2 . det(A n n-

- -

1) .

Die Anfangswerte der Folge der Determinantenw erte sind

det(AI)

=0

wor aus sich die Beh auptung ergibt.

und det(A z)

=

- 1, D

235

17.3 Der Satz

Beweis (17.7): Für k > 0 betrachte man Permutationen mit genau k Fixpunkten . Unte r den n El em enten der Grundmenge kann man auf Weisen genau k El em ente aussuchen , die auf sich selbst a bgebilde t werden.

G)

Die übrigen n - k Elemente dürfen nicht a uf sich selbst abgebildet werden, d . h ., eingeschränkt a uf die se n - k Elemente liegt ein Derangement vor . Die folgende Matrix be schreibt die Permutationen mit genau k (ausgewählten) F ixpunkten (0. B . d . A. seien die Elemente 1,2, ... ,k fix) :

A( n,k )

=

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

Die Determinante die ser Matrix ist gleich det(A n - k ) , und wenn man in die zuvor schon bewiesenen Gleichung (17.6) nun n - k für n einsetzt, finde t man:

f +(n - k , 0) - f -(n - k , 0) =

( _l) n -k -l .

(n - k - 1) = det(A n _ k ) .

Mit dem Faktor G), der die verschied en en Möglichkeiten angibt, genau k EleD mente fix zu halten , folgt die Behauptung.

17.3

Der Satz

Die bisherigen Vorbereitungen dienen dem Ziel, folgenden Satz dig te Hauptergebnis - zu bewei sen :

das a ngekün-

Satz 17.3 Für n E N gilt

r (n, 0) = f(n, 2) , d. h., die Anzahl der P ermutationen mit genau zwei Fixpunkten ist gleich der Anzahl der ung eraden P ermutationen ohn e Fixpunkt.

17 Zählen mit Permanent en

236

17.4

Beweis der Aussagen (17.1) und (17.2)

Als Hilfsmittel für den Beweis des Satzes 17.3 zeige ich nun (17.1) und (17.2). B e w e is (1 7. 1 ): Behauptung: D.; = (n - 1) . (D n-l

+ D n - 2)

Nach (17.5) ist D n = per(A n ) . Die Permanente kann man - ähnlich wie von der Det erminante bekannt - nach eine r Zeile od er Spalte ent wickeln . Ab er die Determinante 'alt ern iert ' , das tut die P ermanente nicht: Alle Vorzeich en b ei der En twicklung sind positiv. Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt sich : 1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

D n = (n - 1) . per

1

1

(n - l) x( n -l)

Nun steckt hinter dieser Permanente ein kombinatorisches Problem. Es geht um Permutationen, und in der ersten Spalte stehen nur Einsen , d . h. , diese P ermanente zählt die Möglichkeiten, das Elem ent 1 b elieb ig und kein es der Elem ente 2 bis n auf sich selbst abzu bilden . Die hier auftretenden P ermutationen kann man disjunkt aufteilen auf die Fälle

a.

P ermutationen , die 1 auf 1 abzubilden, und

b. P ermutationen , die 1 nicht auf 1 abzubilden. Ausgedrückt in P ermanenten b ed eutet das:

per

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

= per

Die erste P ermanente hat den Wert D n Dn - 1•

+ per

0 2.

Die zweit e Pe rmanente hat den Wert

Eingesetzt in (17.4) ist das die Behauptung: D n

= (n - 1) · (D n - 2 + D n -

B eweis (17.2) : Aus (17.1) folgt durch Umordnen

D n = n.- D n -

1

+ n.- D n - 2 -

Dn-

1 -

D n- 2 ,

l)

D

237

17.5 Beweis des Satzes und weiter D n - n · D n - 1 = - D n - 1 + (n - 1) . D n - 2 .

(17.8)

bn :=D n - n ·D n - 1,

(17.9)

Set zt man

dann laut et (17 .8) nun

b«

=

(17.10)

- s .;. «.

Es ist b1

= D 1 - 1 . Da = 0 - 1 = - 1,

(17.11)

und som it (17.12)

o

Aus (17.9) und (17.12) folgt die Behauptung.

17.5

Beweis des Satzes

W ir kommen nun zum Beweis des Satzes 17.3:

j -(n , 0) = j (n , 2) Es geh en all e zuvor bewiesen en Aus sag en in den Beweis ein. B e w eis : W ir schreib en gemäß (17.4) un ter Verwendung von (17 .3) sowie (17 .6) un terein ander :

j +(n , 0) + r (n , 0) = D n

(17.13)

f +(n , 0) - r (n , 0) = ( _1)n - 1. (n - 1)

(17.14)

Subtrahiert man (17 .14) von (17 .13) , erhält man:

2 · r ( n , 0) = D n - ( _1) n- 1 . (n - 1)

= Dn

- ( _I) n - n. ( _l) n-l

(17.15) (17.16)

E inse tzen von (17 .2) in (17.16) ergibt: (17.17) Nochmaliges Einsetzen von (17.2) erg ibt :

=

Tt :

(n - 1) . D n -

2

(17.18)

238

17 Zählen mit Permanenten

Zusammenfassend:

Arg ume nt iert man wie im Beweis von (17 .7) , find et man :

G). D n - 2 ist gleich der An zahl der P ermutati on en m it gen au zwei Fi xpunkt en . D

Der Beweis ist st rec kenweise t echnisch, hat ab er au ch a usgep rägte kombinatorischen Argument e. Es mag andere Beweise gebe n, ab er ich wollt e das verwende n, was zuletzt im Forum von Matroid s Mat he pla ne t eine Roll e ges pielt hat . Fall s sich jemand fra gt, wozu P ermanenten gut sind, hier hat er ein Beispi el. Mar tin Wohlgemuth , Dipl.-Ma th . au s Wi t ten a n der Ruhr .

18 Binomialmatrizen und das lemma von Gessel-Viennot

Übersicht 18.1 Die Binomialmatrix

239

18.2 Pfade und Pfadsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241 18.3 Das Lemma von Gessel-Viennot

243

18.4 Die Determinante der Binomialmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

18.5 L U -Zerlegung der Binomialmatrix 18.6 Ein weiteres Beispiel -

246

Spinne und Feind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Was haben Determinanten und gerichtete Graphen gem einsam? Auf den erst en Blick scheinen beide Obj ekte nur wenig miteinander zu tun zu ha ben . Das Lemma von Gessel-Viennot st ellt jedoch ein e interessante Ver bindung her , die auf der Interpretation einer Matrix als gewichtete Inzidenzmatrix beruht . Es wird sich herausstellen, dass die Determinante einer Matrix durch Au szählen bestimmter gewichteter Pfade berechnet werden kann .

18.1

Die Binomialmatrix

Mit Hilfe des Lemmas wird gezeigt, dass für b eliebig es n E N die sogenannte Binomialmatrix (od er Pascal -Matrix) Pn = (Pij) ij mit n X nEinträgen

.._(i+ 2)

P'J -

j -

J. - 1

die Eig ens chaft

det(Pn ) = 1 hat .

240

18 Binomi alm atrizen und das Lemm a von Gessel-Viennot

Anmerkung: W ir verwenden es hier nic ht , aber es sei erwäh nt: Die Bi nomialmatrix ist unimodular. Die Matrix Pn ent h ält di e Zeilen des Pascalseh en Dreiecks in den Gegendiagona len . 1 2

CD

Zum Beispiel ist P4 =

4

1

CD

CD 4

6

10

10

10

Die eingekreisten Zahlen stehen im P ascal sehen Dreieck in der vierten Zeile . Die Determinante einer Binomialmatrix auf naive Weise zu berechnen ist für große n recht aufwändig. Für n = 3 ist es dank der Regel von Sarrus noch einfach:

m ) (~ ~ ~) m = det

136

= 1 · 2· 6+ 1 · 3 · 1+ 1· 1· 3- 1 · 3 ·3- 1 · 1 · 6- 1 · 2· 1 = 12 + 3 + 3 - 9 - 6 = 1 Den Beweis , dass det Pn = 1 fü r alle n E N, kan n man mit einigem Aufwand m it dem Gaußschen Algo rithmus schaffen . Das ist aber hi er nicht unser Ziel. Das Lemma von Gessel-Viennot bietet einen ganz unerwarteten und vie l einfacheren Weg zu diesem Ergebnis . Ma n kann nämlich Eintrag P ij der Binomia lm a t rix a ls die Anzahl gerichteter Pfade von A i na ch B i in einem gerichteten Graphen ident ifizieren. Wir er klären das a nhand von P3 und dem folgenden Graphen 18.1.

A3

~---~~---~

Abb. 18.1: Gerichteter Graph !h zum P3

Von A l na ch B j gibt es stets nur eine n P fa d . Auch von A i nach B I gibt es stets nur eine n Pfad. Die Anzahl der möglich en Pfade von A i nach B j kann

18.2 Pfade und Pfadsysteme

241

man rekursiv zä hlen. Nennen wir die An zahl der Wege von A i nach B j für den Moment c(i,j) . Von A i kann man zunächst eine n Schritt nach ob en , also nach A i - l , geh en oder man geht eine n Schritt nach rechts. Die An zahl der Weg e von A i - l nach B j ist c(i - 1,j) . Ist man aber einen Schritt nach rechts gegangen, so hat man von dort c(i ,j - 1) Möglichkeiten, denn es gibt von dem erre icht en Knoten nach B j eb enso viele Möglichkeiten wie von A i nach B j - l ; das Problem wird als o einfach ein Kästchen nach links verschoben . Somit ist : c(i, j )

= c(i - 1,j) + c(i, j - 1) c(l , j ) = c(i,l) = 1

(18.1)

Diese Rekursion gilt a uch für die Matrixelemente, denn dort stehen die Binomialkoeffizienten des Pascalsehen Dreiecks in den Gegendiagonalen. Bezogen auf die se Indizierung ist die gefundene Rekursion identisch mit der des Pascalsehen Dreiecks. Da a uch die Anfangswerte, nämlich Einsen an den Außenseiten des Dreiecks bzw. der Matrix, übereinstimmen, ist klar, dass die Matrixelemente P ij und die Wegezahl von A i nach B j in einem solchen Graphen gleich sind. Jetzt wollen wir aber erfahren , auf welche Weise das Lemma von Gessel-Viennot aussagt , dass die Determinante der Matrix Pn gleich eins ist. Auf dem Weg zu di esem Ergebnis brauchen wir einige Definitionen , die im folgenden Abschnitt gegeben werden .

18.2

Pfade und Pfadsyst eme

Wir betrachten von jetzt a n einen endlichen , gerichteten , azyklischen, gewichteten Graphen 9 = (V, E) mit der Eckenmenge V (engl: vertices) und der Kantenmenge E (engl: edges) . Außerdem seien noch zwei Mengen A , ß <;;; V mit jeweils genau n Elementen festgelegt , wobei die beiden Mengen nicht notwendigerweise disjunkt sein müssen.

Definition 18 .1 (Pfad) Sei A i E A und B j E B . Ein gerichteter Kantenzug von A i nach B j in 9 heiße Pfad. Einen konkret festgelegten Pfad von A i nach B j notieren wir kurz als • A i -+ B j . D efinitio n 18 .2 (Pfadsy stem zu Sn) Es sei a eine Permutation aus Sn . Ein Pfadsystem Pfaden

Al

-+

Ber (l ) "'"

An

-+

Ber (n)'

P er

ist eine Sammlung von n •

242

18 Binomialmatrizen und das Lem ma von Gessel -Viennot

Natürlich wird es im Allg emein en zu jed er P ermutation a mehr er e oder a uch einm al kein e ver schiedenen P fadsysteme geb en. Abbi ldung 18 .2 gibt zwei verschi edene Pfadsystem e zur identischen Permutation id an (d . h ., es müssen dr ei Pfade Al -+ B I , A2 -+ B2 und A 3 -+ B 3 existieren , dafür gibt es mehrere Mög lichkeiten) .

BI I I I I I

I I I I I

----- 1

Al i - - - - 1

I I I I

A 2 +----.+- - - - - -

I

BI

-----1

Al i - - - - -

I I I I

1 1

I

-!

1

A2

-----3~ -

+ 1 -

- - -

~

I I

I 1

I

I

I

A 3 l...

A 3 l... - - - - ~ - - - - ~

I

~ - - - - - -J

Abb. 18.2: Zwei verschiedene Pfadsysteme zu P3: Im erste n berüh ren sich die einzelnen Pfade nicht , im zweit en gibt es eine gem einsame Ecke, solche Pfad e werden später durch das Lemma aussortiert.

Wir wollen jedem solchen Pfadsystem ein Gewicht zuordnen:

D efinition 18.3 (Pfadgewicht ) Das Pfadgewicht des P fades A i -+ B j ist defin iert als Produkt der Kan tengewichte in diesem P fad . Wir schreiben dafür w (A i -+ B j ) . Ist A i -+ B j der triviale Pfad , d. h. A i

= B j , so sei das P fadgewicht

1.

•

Diese Definit ion weiten wir a uf Pfadsysteme a us:

D efinition 18.4 (Gewicht e ines Pfadsyste m s ) Das Gewic ht w( P er) des Pfa dsys tems Per ist definiert als w (P er) :=

TI

w(Ai -+ Ber(i))'

A i -+B~ ( i ) EP~

das ist das P rodukt der P fadgewichte der enthaltenen Pfade.

•

D efinition 18.5 (Signum e ines Pfadsystems) Für ein P fadsyst em Per zu einer P ermut at ion a E Sn ist das Signum des Pfadsystems definiert als sign (P er ) := sign (a ), d . h., das Signum des P fadsyst ems ist das Signum der Permutation. Sch ließlich definieren wir :

•

243

18.3 Das Lemma von Gessel-Viennot

D efinition 18.6 (Pfadmatrix) F ür den Graphen 9 und die Eckenmengen A und ß mi t jeweils n Ecken A i und B j definieren wir die Pfadmatrix M = (rnij ) durch

rnij:=

2::

w(A i --+ B j)

Ai-+ B j

für i , j E {I , . . . , n} . rnij ist also die Summe der Pfadgewichte aller Pfade von A i nach B i - Sind alle Kant engewichte gleich 1, so ist rnij gerade die An zahl der • P fad e von A i nach e. . Nun kann die Leibniz-Formel für die Berechnung der Determinante eine r quadratischen Matrix M

2:: sign(a) · rnlo-(l) .... . rnno- (n)

det(M) =

(18.2)

a ESn

umformuliert wer den , denn wir können die in de r Summe auftauchenden Matrixeint räge nun als Pfadgewichte von Pfadsystemen zur Permutation a inter preti eren . Mit den obigen Bezeichnungen gilt demnach

(18.3)

sign(a) . w( Po-) .

det (M ) = P fadsystern e P a

Definition 18.7 (eckendisjunkt) E in Pfadsystem, in dem die Pfade keine gemeinsamen Ecken haben , heißt eckendisj unkt. •

18.3

Das lemma von Gessel-Viennot

Das Lemma la utet : Satz 18 .8 (L emma von G ess el-V ie n n o t ) S ei 9 = (V, E ) ein endlicher geri chteter azyklischer gewichteter Graph. Seien A = {Al , . .. , An} un d ß = {B I , .. . , B n } zwei n -elem entig e M engen mi t A, ß <;;;; V gegeben und sei M die zugehörige Pfa dm atrix .

Dann gilt: sign(P) . w( P)

det M =

(18.4 )

P e ckendisjunk t

Den vollen Beweis dieses Lemmas findet man in

T HE B O OK

[561.

Im Beweis zeig t man, dass nur die eckendisjunkten Pfadsysteme etwas zur Summe beitragen .

244

18 Bino m ia lmat rize n und das Lemma von Gessel-Viennot

Bet rachten wir nämlich ein Pfadsyst em mit zwei Pfaden , die nicht eckendisj unkt sind , so gibt es eine erste Ecke, an der die b eid en Pfade sich berühren . Dann kann man a be r bei diesen beid en P fad en den "Schwa nz" tauschen (en gl. tail swap, d . h ., a b dieser Ecke setz t man Pfad 1 fort mit Pfad 2 und um gekehrt (sieh e Abbildung 18 .3) . Zu den b eid en nicht eckendisjunkten P fade n gibt es damit zwei andere ebe nfalls nicht eckendisj unkte Pfade, die in sgesamt üb er dieselb en Kanten füh ren, a be r sie haben ein ander es Signum. Folglich wird der Beitrag eines nicht eckendisj unkten Pfadsyst em s durch ein anderes ebe nfalls nicht eckendisj unkte s Pfadsyst em gleich en Pfadgewichts, das mit ander em Vorzeichen b ewertet wird, a usgegliche n. Ai

Ai

.- - - - ~.....

.- - - - ~.....

-,

.....

.....

.....

.....

.....

.....

..... "-

"-

"- -,

~-

- -

~. B(j (j )

Abb. 18.3: Beisp ielhafte r tai/swap. Die Ecke X se i die erst e, an der sich die Pfad e Ai --+ B U(i) und Aj --+ B u(j) berühren . Durch die Operation tt wird der "Schwanz getausch t".

18.4

Die Determinante der Binomialmatrix

Um nun det(P3) zu ber echnen , b enutzen wir das Lemma von Gessel-Viennot und sum miere n üb er die signierte n Gewichte aller eckendisj unkten Pfadsystem e. Wi e viele eckendisj unkte Pfadsyst em e gibt es für den Graphen a us Abbildung 18.1 ? Nur eines, nämlich Al --+ B1 ,A2 --+ B 2,A3 --+ B 3; dieses ist in Abbildung 18.4 mit fetten Kanten eingezeichne t.

Würde nämlich ein Pfad von Al nach B2 od er B 3 führen , so mü sst e ein Pfad zu B1 diesen Pfad berühren. Somit muss in eine m eckendisj unkte n Pfadsyst em

245

18.4 Die Determinante der Binomialmatrix

BI

AI 1 - - - - -

Bz

I I I I I

Az + - - - -...f- - - - - -

Abb. 18.4: Der Graph zu P3 mit dem einzigen eckendisjunkten Pfadsystem

der Pfad Al -+ B I en thal ten sein. Würde dann ein Pfad von A z nach B 3 füh ren , so müsste ein Pfad zu B z die sen Pfad be rühren . Somit muss in einem eckendisjunkten Pfadsystem der P fad A z -+ B z en thal ten sein. Dann bleib t noch der Pfad A 3 -+ B 3 zur Vervoll st ändigung de s P fad systems. Zu dem Pfadsystem Al -+ BI , A z -+ B z , A 3 -+ B 3 gehört die identische Permutation id . Der en Signum ist 1. Wenn wir a ußerde m alle Kantengewichte als 1 festl egen, dann ist bei allen dr ei Pfaden in diesem Pfadsyst em das P fadge wicht gleich 1. Es ergibt sich demnach : sign (P ) w (P ) P e c ke nd is ju n k t

sign (id) . w(A I -+ B I) . w( A z -+ B z ) . w (A 3 -+ B 3 )

z

1 ·1 · 1 ·1

4

1

Die Verallgemeinerung auf beliebiges n ist völlig a nalog, indem man den Graphen um weite re Ecken und Kanten erweitert . Wieder kann es nur ein eckendisjunktes Pfad system geben , woraus sofort die Behauptung folgt : det(Pn

)

=1

Die Wahl des Graphen in diesem Beispi el ist entsche ide nd für die Komplexität der durch zuführenden Berechnungen . Der hier gewählt e Graph stellt sich als sehr güns t ig heraus, da es nur ein eckendisj unktes Pfadsyst em gibt . Im Allgem ein en ist die Su che nach geeignet en Graphen keine einfache Aufgabe.

246

18.5

18 Binomialmatrizen und das Lemm a von Gessel-Viennot

L U-Zerlegung der Binomialmatrix

Teilen wir den Graphen entlang der Diagonalen , so wie in Abbildung 18.5.

,,

,,

,,

,,

,

,,

,,

,,

,,

,

'.

Abb. 18.5: Geteilte r gerichteter Graph zum P3

Den linken , unteren Teil des Graphen nennen wir L n . Den rechten , oberen Teil nennen wir Un . Für beide Graphen stellen wir die Pfadmatrizen auf. Ln = (lij) sei die Pfadmatrix zu L n (L für .Lower") und Un = (Uij) die zu Un (für "Upp er"). Die Knoten auf der Diagonalen nennen wir für den Moment D l (links oben) , D 2 (Mitte) und D 3 (rechts unten). Wir zählen nun in L n die Pfade von A i zu den Ecken auf der eingezeichneten Diagonalen: Von Al gibt es nur einen Pfad, nämlich zu D l . Von A 2 gibt es genau einen Pfad nach D'; und genau einen Weg nach D l . Von A 3 gibt es genau einen Pfad nach D l , zwei Pfade nach D 2 und einen Pfad nach D 3 . Es ist

Dann zählen wir in Un die Pfade von den Diagonalknoten zu den B i: Von D l gibt es nur einen Pfad, nämlich zu B I. Zu B 2 gibt es genau einen Pfad von D l und genau einen Weg von 02 . Zu B 3 gibt es genau einen Pfad von 01, zwei Pfade von 02 und ein en Pfad von 0 3. Somit ist

Jeder Pfad von A i nach B i führt üb er die Diagonale. Die Anzahl der Pfade, die von Ai nach B j führen , ist gleich der Anzahl der Pfade, die von A i zu einem

247

18.5 LU-Zerlegu ng der Binomialmatrix

Diagonalknoten Di; führen , multipliziert mit der Anzahl der Pfade, die von dem erreicht en Diagonalknoten Di; zu B i führen . Diese Anzahl ist also gleich l il . Ulj + lcz . UZj + Iss : U3 j + .. ., für all e i ,j E {I, . . . , n} . Das bed eutet: (18.5) Nun ist Ln eine untere Dreiecksmatrix und Un eine obere, somit ist det Ln = det Un = 1, denn in beiden Matrizen sind alle Diagonalelemente gleich 1. Weil nach den Rechenregeln für die Determinante det Pn = det Ln ·det Un gilt , haben wir, ganz unerwartet , einen zweiten Beweis für die Behauptung det P n = 1. Zudem haben wir eine sogenannte L U-Zerlegung für die Matrix Pn gefunden . Es ist immer ein wichtiges Ziel bei der numerischen Lösung von Gleichungssystemen oder für die Invertierung von Matrizen, dass man Probleme so aufbereitet, dass sie numerisch stabil lösbar sind. Eine gefundene LU-Zerlegung vereinfacht die Rechnung wesentlich. In numerischen Berechnungen treten Binomialmatrizen in a llerlei Zus ammenhängen auf, u. a . im Zusammenhang mit Berechnungen von Fouriertransformation und bei der "f ast multipole method (FFM)" , eine m Verfahren zur Beschleunigung gewisser Berechnungen , die im Zusammenhang mit dem N-Körper-Problem auftauchen . Betrachten wir noch einmal die Matrix Ln. Welche Eigenwerte hat sie ? Da es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt , stehen die Eigenwerte a uf der Diagonalen, es ist somit 1 der einzige Eigenwert. Unt er den Eigenvektoren zum Eigenwert 1 findet sich ein ganz besonderer, nämlich der, in dem die Bernoulli-Zahlen (siehe Kapitel 14) stehen. Für die Bernoulli-Zahlen gilt (sieh e (14 .1) im Beweis von Satz 14.2): (18.6)

Schreiben wir (18.6) a ls Matrixgleichung (am Beispiel n 1

0

0

0

- 1

- 1

0

0

1

2

1

0

- 1

-3

-3

- 1

BI Bz B3 B4

= 4) :

B1 Bz B3 B4

so hat das bis auf die Vorzei chen die gleiche Gestalt wie das Eigenvektorproblem für Ln . Für einen Eigenvektor v zum Eigenwert 1 muss nämlich L 4 ·v = v gelten.

248

18 Binomialmatrizen und das Lemm a von Gessel-Viennot

Am Beispiel n = 4:

L4' Y =

1

0

0

0

VI

VI

1

1

0

0

V2

V2

1

2

1

0

V3

V3

1

3

3

1

V4

V4

= Y

Mit Hilfe eine r n x n Mat rix J n = (jk lh l, jk l = ( _l)k-l für k = 1 und 0 sonst , können wir sch reiben:

J« : L 4 ·

y

=

1

0

0

0

1

0

0

0

VI

VI

0

- 1

0

0

1

1

0

0

V2

V2

0

0

1

0

1

2

1

0

V3

V3

0

0

0

- 1

1

3

3

1

V4

V4

=

y

Die Zeilen der Matrix J n . L n enthalten genau diese Bedingungen . Die Bernoulli- Zahlen als Eigenvektor , das ist ein int er essanter Ged anke, denn mit Hilfe von Eige nvekt ore n lassen sich Lösungen für Gleichungen leichter errechnen . Die Mat rix J n mu ss dabei nicht störe n, denn sie hat nur gute Eigensc haften, wie et wa detJn = 1, J;; 1 = J n und = E n (di e n x nEinhe its mat rix).

J;,

Die Matrizen L n und Un wer den für gewöhnlich eb enfall s Binomialmatrizen gen a nnt, denn auc h da rin st ehe n die Zahlen de s P ascal sehen Dreiecks, ledi glich in anderer R ichtung. Die Binomialmatrix hat no ch weiter e inter essante E igensc haft en , siehe [57] und [58]. Ger ade in der an gewandten Mathematik find et die Binomialmatrix erneut e Au fmerksamkeit . Ich bin kein Sp ezialist für diese Themen , darum zit iere ich Aburden e und Dorband [59]:

Pas cal's matrix plays an important role in the computaiion of the dis cret e Legend re, Laqu erre, Hermite, and binomial tran sforms . In parti cular, Pas cal's matrix helps to un ify the [ormulaiion of these orthogonal transforms an d demonstrate th e similarity of the computat ion of the transform m atrices. It also allouis the ident ijication of the id entical computations needed f or th ese transform s. Th e fundam ental jinding is based on th e discovery of the relationship beiuieen Pas cal's matrix and th e binomial coeffic ient.

18.6 Ein weit eres Beispiel -

18.6

249

Spinne und Feind

Ein weiteres Beispiel -

Spinne und Feind

Zum Abschluss dieses Kapit els geben wir ein weiteres Beispiel für eine Anwendung des Lemmas von Gessel-Viennot. Angenommen , zwei Wanderer, nennen wir sie Spinne und Fein d, starten gemeinsam a n einem Ort . Beide hab en das gleiche Ziel und gehen gleich schnell. Sie hassen sich aber so sehr, dass sie weder den gleichen Weg gehen noch es ert ragen , des ander en Weg a uch nur zu ber ühren . Dass die beiden am Start und am Ziel zusammentreffen , ist nicht zu verhindern, es ist ab er auch akz eptabe l, den n dort , am Start und am Ziel , ist durch die Anw esenheit a nder er Men schen ein spontanes Aus brechen des Streits ausgeschlossen . Die bei den Wanderer sollen sich auf einem rechteckigen Gitter bewegen , dessen Kant en gerichtet sin d und st ets nur nach Norden oder O st en führen . Sie starten in der linken unt er en Ec ke. In Abbi ld ung 18.6 sind in einem 8 x 5 Sch ritte großen Gebiet zwei einander nic ht kreu zende und (mit Ausnahme von Start und Ziel) einander ni cht b er ührende Wege eingezeichnet . Ziel

:

Start

:

:

Abb. 18.6: Ein möglicher Wegverlauf für die beiden Wanderer

Wir wollen der Frage nachge hen , wie viele verschiedene einander außer an St a rt und Ziel nicht berührende oder überkreuzende Wege es für die Wa nderer in einem gegebenen rec hteckigen Gebiet gibt. Um so ein P roblem zu lösen , bietet sich das Lemm a von Gessel-Viennot an . E s be sagt , dass die An zahl eckendisjunkter (a lso einander nicht berührender) P fade gerade die Determinante einer bestimmten Ma t ri x ist .

250

18 Binomialmat rizen und das Lemma von Gessel-Viennot

Bezeichnet man mit N die Anzahl st reitfreier Wege für ein n x m groß es Gebi et, dann wir d sich herausst ellen, dass

N

=

~ n

(n + 1)(n+ 2). m -

m -

n -l

n -l

Gegeben sei also ein festes Ge biet der Größe n x m , n und m be liebige natürliche Za hlen . Wi r konst ruieren einen endlichen gerichteten azyklischen, gewic hteten Graphen , so wie in Abbildung 18.7 bei spie lhaft gegeben. Die Ka nte ngewichte setzen wir alle auf 1. B1

A2 Abb. 18.7: Ein Beispiel für einen Graphen, wie er zur Verwendung des Lemmas von Gessel-Viennot für das Wandererproblem in einem 4 x 3 Gebiet notwendig ist .

Die beiden Ecken für St art und Ziel sind in Abbildung 18.7 entfernt . Den Start müssen Spinne und Feind über vers chiedene Kanten verlassen , da sie sich sonst schon nach dem er sten Schritt wiederträfen . Der eine geh t nach Ost en , der a ndere nach Norden (od er umgekehrt). Ab de r nächsten Ecke, die sie er reichen (A l bzw. A 2 ) werden zwei eckendisjunkte Pfade nach B 1 bzw . B 2 gesucht. Von B 1 oder B 2 führt der let zte Schritt zwangslä ufig ins Ziel. Für den oben eingefü hrten Graphen mit A wir die Pfadmatrix

!vI

=

(

m ij

{ A l , A 2 } und B

m mll

m21 a uf und best immen die Anzahlen

=

= {B 1 , B 2 } st ellen

12)

m22

(a nhand von Abbi ldung 18.7) wie folgt:

Alle Wege von Ai nach B j hab en die Länge n

+m

- 2 .

Für je den Weg von A l nach B 1 sin d n - 1 Schritte in Ost richtung und m - 1 Schrit t e in Nor drichtung zu abso lvieren . Man b est immt alle möglichen Wege, indem m an von den n + m - 2 Schritten, die m an machen mu ss, diejen igen n - 1 a uswählt , die nach Nor den führen sollen . Das geht a uf mll = (n ~:;-2) Weisen . Analog für die Wege von A2 nach B2.

18.6 Ein weiteres Beispiel -

251

Spinne und Feind

Hin gegen ent halten die Wege von Al nach B2 genau m - 2 Schritte in Nordrichtung und n Schritte in Ostrichtung. Die An zahl dieser Wege ist gleich der An zahl Möglichkeiten m - 2 Schritte au s n + m - 2 Schritten auszuwählen, die nach Norde n führen sollen . Alternativ kann man au ch die n Schritte nach Osten au swählen . Für die Wege von A 2 nach B I sind m Schritte nach Norden und n - 2 Schritte nach Os ten notwendig. Wir haben also :

Daraus folgt mit Hilfe der Regel von Sarrus:

(n +m -2)!

(n +m -2)!

(n - 1)! (m - 1)!

(n - 1)! (m - 1)!

(n +m -2)! ( (n - l)!(m - 1)! =

)2

(n +m -2)! (n -2)!m!

(n +m -2)! n! (m - 2)!

n +m -1 mn

~(n ::;l) (n ::;2)

Damit ist die Anzahl N der Wege mi t gemeinsamem Start- und Endpunkt ohne Streit (d . h ., ohne dass sich Spinne und Feind unterwegs treffen) gegeben durch

N

=

2.det

M =

~ n

(n + 1) (n +n -1 2) . m -

n -l

m -

(18 .7)

Der Fak tor 2 trägt dem Umstand Rechnung, dass Spinne und Feind a uf 2 Weisen auf die beiden Knoten Al und A 2 verteilt werden können . Im Beispiel aus Abbildung 18.7 ist n = 4 und m = 3. Es ist

M=

10 ( 10

und somit ist N = 2· det(M) = 2· (100 - 50) = 100.

Peier Keller ist Dipl.-Math. und lebt in Berlin.

Teil 111 Geometrie und Konstruierbarkeit

19 Mathematik des Faltens Winkeldreiteilung und der Satz von Haga

Übersicht 19.1 Winkeldreiteilung

255

19.2 Sa tz von Haga und Verallgemeinerung

257

19.3 Konstruktion eines Silbernen Rechtecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261 19.4 Schlussbem erkung

264

Bei Falten denkt sicherlich der eine oder andere sofort an Alterserscheinungen, doch soll es hier um Origami gehen, die japanische Kunst des P apierfaltens . Das Wort Origami setzt sich a us den Teilen "ori" und "kam i" zus ammen (das k des zweit en Wortteils wird in der Zusammens et zung wie ein g ausgesp ro chen) und bed eutet sch licht Papierfalten. Mit den Mitteln, die Origami bietet, wollen wir im Weiteren zeigen, wie man einen beliebigen Winkel in drei gleich große Stücke teilt . Anschließend werden wir mit Hilfe des noch zu formulierenden Satzes von Haga ein Silbernes Rechteck in ein Quadrat einbeschreiben. Die Arbeiten von Kazuo Haga umfassen noch weitere Sätze, insbesondere Alternativen zu der hier vorgestellten Konstruktion, siehe z. B. [62] oder den Artikel Fold Pap er and enjoy Math: Origamics [61].

19.1

Winkeldreiteilung

Das klassische Problem der Winkeldr eiteilung mit Zirkel und Lin eal beschäftigt auch heut e noch viele Schüler (und auch so manchen Erwachs enen) , den n es klingt auf den erst en Blick unglaublich, dass m an den dritten Teil eines beli ebi gen gege be nen Wi nk els so nicht kon struieren kan n .

256

Winkeldreiteilung und Satz von Haga

Die Un möglichkeit liegt ab er in der Natur der erlaubte n Hilfsmittel und wurde schon in der Antike vermutet, konnte aber erst im 19. Jahrhundert von Pi erre Laurent Wen zel bewiesen werden . Der Beweis verlangt et was ti efere Kenntnisse der Algebra, er soll deswegen hier ausgelassen werden. Einen vollständigen Beweis find et man z. B . in [601 . Die Beschränkung der Hilfsmittel für die Kon struktion ist sogar notwendig, um die Unmöglichkeit der Kon struktion sicher zu ste llen. Läs st man zu, dass das Lin eal mi t Markierungen ver seh en werden darf, so gibt es eine Kon struktion. Diese hat Ar ehirned es vor et wa 2200 J ahren gefunde n. Die Markierungen dienen dabei ab er nicht zum Abmessen , vielmehr muss das Lin eal ent lang eines fest en Punktes so gedreht und vers chob en werden , dass zwei Markierungen auf bestimmten Lini en zu liegen kommen . Es wird nun eine Mögli chkei t vorgestellt, eine Winkeldreiteilung allein mi t einem Blatt P apier und ein paar Falten (sprich: Faltvorgängen) zu bewerkstelligen. Alles, was man zum Nachfalten benötigt , ist ein rechteckige s Blat t P apier (handelsübliches DIN A4 Kopierp apier) ; es geh t natürlich a uch qu adrati sches Orig amipapier . Die genaue Anleitung gibt Abbildung 19.1.

Schritt 1: Wir falten zunächst zwei zur P apierkante parallele Hilfslinien ins P apier , wob ei die ent ste he nde n Rechtecke gleich groß sein mü ssen , d. h ., die Strecken AB und B C mü ssen gleich lang sein, die t atsächliche Länge spielt kein e Ro lle. Schritt 2: In diese Konstruktion hin ein falt en wir eine n b eliebigen Winkel a. Schritt 3: Als näch st es falt en wir den linken Rand des Papier s so um , dass Punkt D a uf de r St recke E B und Punkt P auf der St re cke DG zu liegen kommt . Schritt 4: Die Punkte P, E und D b estimmen nun neu e Punkte tr, E ' und D' . Wir markieren die Gerade durch diese Punkt e durch eine n weiteren Knick. Schritt 5: Falte Knicke durch D und D' sowie D und E' . Dann drittelt der "Knick" durch DD' und der durch DE' den Winkel a . Das sechste Bild zeigt alle Falten und die Ben ennungen der Punkte. Wir wollen nun b eweisen, dass die Kon struktion t atsächlich den Winkel a dritt elt. Satz 1 9 .1 Der in Abbildung 19.1 gegeben e Wink el zwischen den Stre cken DG und DC wird durch die St recken DE' und DD' in drei gleich groß e Wink el zer legt. B eweis : Bezeichne [ den Punkt, der durch das von D' auf die Strecke DC gefällte Lot ents te ht. Dann sind nach Kon struktion die Dreiecke DP' E ', DE' D' und DD'[ kongruen t und der Winkel ist damit exakt gedrittelt . D

19.2 Satz von Haga und Verallgemeinerung

~I 1-_-___-_-_---1-:

I, eD

I I

I

I

I

I

I

257 I

,

I

I~\

t-t'-y-~--1 B

Abb. 19.1: Die Anleitung zum Falten der Dreiteilung eines beliebigen Winkels o . Man wähle s beliebig, die genaue Länge der Strecke spielt keine Rolle, der Winkel wird unabhängig von der Wahl von s stets korrekt gedrittelt.

B eme rkung: Der wesentlich e P unkt der Konstruktion ist Schritt 3, in dem eine Falt e so gelegt wird , dass zwei Punkte geeignet zu liegen kommen . Dieser Schritt ist mit klassisch en Mit t eln (also mit Zirkel und Lin eal) nicht konst rui erbar, a uch nicht mit einem markierten Lineal. Es stellt sich also insbesondere heraus, dass mit Origami Konstruktionen möglich sind, die in der klas sischen Geometrie so nicht au sführbar sin d. An ders heru m kann man a ber mit Origami alle Konst ruktionen der klassischen Geometrie durchführen . Ori gami ist damit ein wenig ,,mächt iger" als die klas sische Geometrie.

19.2

Satz von Haga und Verallgemeinerung

Der Satz von Haga t rifft in sein er klassischen Form zunächst eine Aussage üb er die Ähnlichkeit von Dreiecken, die nach eine r noch vorzustellenden Faltseq uen z ents te he n . Er erlaubt insbesonder e eine gegeb en e Quadratseite in drei gleich große St reckenabschnitte zu t eilen . Zum Nach- un d Mitfalt en ist nun ein qu a-

258

Winkeldreiteilung und Satz von Haga

dratisches Blatt Papier notwendig. Die genaue Faltanleitung find et sich in Abbildung 19.2. Schritt 1: Man faltet ein qu adrati sches Blatt Papier zunächst in der Mitte, so dass zwei kon gruente Rechtecke ent st ehe n. Schritt 2: Fa lt e A auf B . Schritt 3: Markier e die Punkt e D , F , G und I. Das let zte Bild in der Sequen z zeigt alle Falten und die Ben ennungen der Punkte. I-- ~ - l B

A

CD

E

D

B

c

D F

G

G

H

8)

A

Abb. 19.2: Die Anleitung zum Nachfalte n des Sat zes von Haga Im Folgenden sei die Seitenlän ge des Qu adrate s ste t s ein s. Der Satz von Haga laut et :

Satz 19.2 (Haga) Di e Dreiecke [HG, BDG und BEF in Abbildung 19.2 sind ähnlich zueinander und es gilt das S eitenv erhältnis

IBDI : IB GI : IGDI

= 5 : 4 : 3.

259

19.2 Satz von Haga und Verallgemeinerung

Beweis: Aus Schritt 2 der Konstruktion ergibt sich sofort die Ähnlichkeit der Dreieck e. Man b enutze die Winkelsätze, um das einzusehe n. Am besten sieht man es, wenn man das Quadrat wie in Schritt 2 der Anl eitung gefaltet lässt .

Nach Konstruktion ist nun Strecke BC ist ~ .

IBDI

=

IDAI , ICDI + IDAI

= 1 und die Länge der

Da das Dreieck BDC rechtwinklig ist, kann der Satz von Pythagoras angewendet werden. Sei hierzu zunächst x die Länge der Strecke CD und y die Länge der Strecke BD .

+ y = 1 und y2 a us x + y = 1 au ch

Daraus folgt x Nun folgt

x2

= :i-.

x = 1 - y,

dies eingesetzt in die Gl eichung y2 - x 2 =

"41 =

y2 -

(

1 - Y )2

= Y2

:i-

ergibt

- 1 + 2y - Y 2

=

2y - 1,

woraus y = ~ folgt und damit x = ~ . Somit ist weiter

1 513 y: -: x = -: -: - =5:4:3 2

8

2

8

o

und damit das behauptete Verhältnis gezeigt. Bemerkung: Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt auch

IBDI: IBCI : ICDI = !FBI : IEFI : IE BI = ICfl : IH fl : ICHI = 5 : 4 : 3. Aus diesem Satz kann man noch weitere Schlussfolgerungen ziehen: Korollar 19.3

Die Strecke FE hat eine Länge von ~ . B ewe is : Aus dem Satz von Haga folgt zunächst, dass FE : EB = 4 : 3 gilt. Nun ist aber nach Konstruktion schon IEBI = ~ .

Daraus folgt

!FE I =

.! ·4

_2 -

3

2

o

= - .

3

Insbesondere ist es dank des Korollars 19.3 möglich , die oben erwähnte Dreiteilung der Quadratseite vorzunehmen. Man konstruiert also zunächst den Punkt F und erhält IFE I = ~ und IFH I = 1 - ~ = Daher ist nur noch die Strecke EF zu halbier en . Das geht, indem der Punkt E mit dem Punkt F zur Deckung gebracht und das Papier ent spreche nd gefaltet wird. Die ent st andene Gerade t eilt die Strecke EF nach Konstruktion genau in zwei gleich lange Strecken zu j e eine m Drittel der Länge der Quadratseite.

k.

260

Winkeldreiteilung und Satz von Haga

Die entstande ne Einteilung kann b eispi elsweise als Ausgangs punkt für die Faltung eines 3 x 3 Gitternet zes verw endet werden. Die Seitenverhältnisse in den Dreiecken erge be n no ch mehr konkret e Werte für die Seitenl ängen, ins bes onde re auc h für das kleine Dreieck G H I : Korollar 19.4 Die Strecke G H hat eine Läng e von

i.

Beweis: Au s Lemma 19.3 erg ibt sich die Länge von FB zu ~ . Nun gilt nach Kon struktion 1 IHII = 1 -!FBI = - . 6

Damit folgt aus den im Satz von Haga b ewiesen en Seitenverhältnissen

I GHI= ~ .

o

Eben haben wir nur be t rachtet , was der Satz von Hag a liefert , wenn man von einer in iti alen Teilung der Quadrat seite in zwei Hälften a usgeht . (Zur Erinnerung: Die Strecke EE en t sprach in der Länge der halben Quadratseite) . Man kann dies jedoch a uf b eliebige Längen der St rec ke EB verallgem ein ern. Das Faltmuster, das dabei en t steht , un te rscheidet sich im Wesen tlichen nicht von dem zuvor vorge stellten , es werden nur die einzelnen Punkte etwas verschob en . Das mach t man sich am Besten durch einfaches Nachfalt en klar . Satz 19.5 Sei die Länge der Strecke B C glei ch nungen aus dem Satz von Haga :

±für z E ~ + . Dann folgt mit den B ezeich-

(i) Di e Dreiecke F E B, BC D und HG I sind ähnlich zu einander . (ii) Es gilt das Teilungsverhältnis der Seiten BD : B C : C D = z2

+ 1: 2z

: z2_ 1.

B e m e rkung : Der P ar ameter z a us dem Satz kann nun eine b eliebige reelle Zahl größer 1 sein. Der Grenzfall , wenn z gegen unendlich strebt, ist mit ein er Teilung der Qu adrat seite in unendlich viele Teilstücke äquivalent . Es passiert a ber ni cht s Aufregendes, es wird dabei lediglich A a uf C gefal te t und damit das Qu adrat in zwei gleich große Hälften geteilt . Alle im Satz be trachteten Dreie cke sind dann verschwunden, denn die Dreieckspunkte liegen dann a uf einer Ge raden.

±

B ewe is : Es gilt an alog zum Satz von Haga x + y = 1, IEFI = und 1/ z2 = y2 _ x 2, dabei ist wie vorhin wied er x := ICDI und y := IBDI. Mit eine r einfache n Rechnung analog zum Satz erg ibt sich das allgeme ine Teilungsverhältnis. 0

261

19.3 Konstruktion eines Silbe rne n Rechtecks

Mit z = 2 erhä lt man dann wied er den ursprünglichen Satz von Haga. Analog lass en sich auch di e Folg erungen für b eliebiges z formulier en . Tabelle 19 .1 listet , ohne ausführliche R echnung, di e exakten Längen all er Strecken in Abhängigkeit von z auf. Zusätzlich sind noch einm al all e Längen für z = 2 angegeben. Ta b. 19.1: Die Seiten längen der einzelnen Strecken in Abhängigkeit von z

I Strecke(n) I Länge allg . BC

1

CD

2Z"2

AD ,DB

2"Z""2

1

"2

z

z2_ 1

z 2+ 1

3

"8 5

"8 1

EB

~

FE

7=l

"3

Al ,BF

z 2+ 1 z( z+ l)

"6

"2

z

2(z- 1)

( z _1)2

GH

19.3

1z = 2 1

2

5

1

~

"8

Hl

z- l z (z+ l)

"6

FG,lG

(z2+ 1 )(z- 1) 2 z 2 (z+ l)

24

GD

IVZ2+1 z

~V5

1

5

Konstruktion eines Silbernen Rechtecks

Wir werden jetzt den Satz von Hag a benutzen, um ein Silbernes Re chteck zu konstruieren . Während der bekanntere Goldene Schnitt das Verhältnis zweier Strecken durch 1+ 2

V5 ~ 1 618

' beschreibt , ist es beim Silbernen Schnitt das Verhältnis

1

V2

~

0,707.

Ein Rechteck mit solchem Seitenverhältnis nennt man Silbernes Rechteck .

262

Winkeldreiteilung und Satz von Haga

Ein solches Seitenverhältnis ist die Grundlage des DI N A4 Format s (ein DI N A4 Blatt ist 210 x 297m m groß) , Nachrechne n erg ibt 210 ~ 0 707. 297 ' Die Kon struktion eines solchen Re chte cks nur m it Hilfe von P apier erfordert ein bissehen mehr Vorlei stung, daher verfolgen wir zunächst allgemeinere Fragen, die später wieder auf das gew ünschte Resultat zurückführen werden . Für den Satz von Hag a ist es nun eine int eressant e Frage , was passiert , wenn die Strecken B C und C D gleich lang sind , das Dr eieck B C D also gleichsche nklig ist. Zunäch st sind dann auch die anderen beid en Dreiecke wegen der Ähnlichkeits bez iehung ebenfall s gleichschenklig und die Forderung ist äquivalent zu der Bedingung (siehe den Satz von Haga in de r allgemeinen Form) 2z

=

1

Z2 -

od er umgeformt 0=

Z2 -

2z - 1.

Diese quadratische Gleichung hat nur eine positive Lösung, nämlich z = 1 + V2.

Mit Hilfe der Tabelle 19.1 und des b erechneten z = 1 +

V2 folgt

nun

1

V2 ' Das heißt, die b eid en Strecken BD und F B st eh en im Verhältnis des Silbernen Schnittes zueinande r , wenn das Dreieck B C D gleichschenklig ist . Es bleibt nun nur noch die Frage, wie man ~ = l+1y'2 = V2 - 1 kon struiert. Eine Mögli chkei t ist in Abbildung 19.3 gegeben. Dort wird zunächst die Länge der Quadratseite a uf eine der Diagonalen üb ertragen . Der ents tehe nde Punkt t eilt die Diagonale in zwei Teilstrecken . Die länger e hat eine Gesamtlänge von 1 und die kürzer e eine Länge von V2 - 1. Durch eine weiter e Faltung wird diese Länge auf eine der Quadratseiten üb ertragen . Mit klassischen Hilfsmitteln könnte man das mit eine m Zirk el schnell bewerkst elligen , hier ist es die in Abbildung 19.3 gegebene Origami-Konstruktion , die das bewerkstelligt . Zum Verglei ch sind au ch die nötigen Zirkelkreisbögen eingetragen (gestrichel t) . Der in der Abbildung kon struierte Punkt B' ist dann als Au sgangspunkt für die zum Satz von Hag a gehörende Kon st ruktion zu seh en . Die Faltung liefert a ber nur zwei der Re chteckseiten. Es sollte dem aufmerksamen Leser a be r leicht fallen , die letzt en beid en Seiten zu ergänze n . Ein klein er Tipp: Kein esfall s sollte man die ebe n vorgestellte Kon struktion von V2 - 1 ein zweite s Mal anwenden . Abbildung 19.4 liefert dann (nach Entfernen der Lini en aus der Hilfskonstruktion) das Ergebnis der Konstruktion .

263

19.3 Konstrukt ion eines Silbernen Rechtecks

J2 -

1

o Abb. 19.3: Faltanleitung zur Konst ruktion von

J2 -

1 an einer de r Quadratseiten

Abb. 19.4: Nach Ergänzung sollte das Faltmuster zur Konstruktion eines Silbernen Rechtecks in etwa so aussehen (plus einiger Extra-Falten aus de r Hilfskonstruktion, die hier aber wegge lassen wurden).

264

19.4

Winkeldreiteilung und Satz von Haga

Schlussbemerkung

Die beiden vorgestellten Sätze sind nur ein kleiner Ausschnit t a us dem Katalog möglicher Kon st ruktionen mi t Hilfe einfacher Fal t ungen . Fa szinierenderwei se sind unte r diesen Konstruktionen au ch Lösungen andere r klassischer Probleme , wie etwa die Konstruktion de r drit ten Wurzel a us 2, die ebenfall s mi t klassischen Mitteln nicht durchführbar ist . Mit t lerweile ist Origami ni cht nur ein probates Mitt el für den Schulunterricht zum spielerischen Erle rnen der Grundlagen der Geometrie, es gibt sogar schon Mat he mati ker , die die Geometrie der Origamifaltungen vollständig axiom at isiert und zu eine m, wenn a uch no ch kleinen , Teilgebi et der Mathe mat ik gemacht haben . Wer sich für eine axiomat ische Beschreibung des Origami a ls eigenst ändige Geometrie intere ssiert, sei a uf Origami and Geometri e Const ru etions von Robert La ng [62] verwiesen. Wer nun no ch denkt , Origami sei trot z a llem nur Spielerei oder bes tehe nur daraus, taus en de von Kranichen (Senbazuru} ' zu fal ten , frage sich einmal , wie man einen Airbag möglich st platzsp arend zu sa mmenfal ten kann , wie In sekten ihre Flügel unte r ih ren P anzer legen od er wie m an dünnwandige Spiegelteleskope platzsp arend in s All transporti eren kann. Für a ll die s (und na türlich no ch vieles mehr) sind ernst hafte Anw endungen entstande n, die längst ihren Platz und ihre Berechtigung in de r "ri cht igen" Wi ssen sch aft gefunden haben . Ich hoffe, dieses Kapit el ist fü r den einen oder a nderen ein Einstieg in die faszinierende Welt de s Origami . Wei tere Referenzen und eine Reihe von Anwendungen de s Origami findet man z. B . a uf Robert Langs Webseite www.langorigami. corn unter dem St ichwo rt "Scienc e".

P eier Keller ist Dipl.-Math. und lebt in Berl in .

1 Senbaz ur u - t au send Krani che. Der japanischen My thologie nach wir d ein Wu nsch gewährt , wenn man t au send Kraniche faltet. Die oh ne Unterbrechung zu faltend en Orizurus (Papierkra niche) stellen eine Opfer gabe an die Kranich-Got t heit dar.

20 Das regelmäßige Siebzehneck

Übersicht 20.1 Das Problem und die Rechnung

265

20.2 Die Konstrukti on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270

20.1

Das Problem und die Rechnung

Carl Friedrich hat seinen 17. Geburt st ag . Zur Feier hat er 16 Gäste eingeladen, und es soll einen runden Kuchen geben . Nun sind die Gäste eifer sü chtig darauf bedacht , alle ein Kuchenstück in ex ak t der gleichen Form wie das von Carl Friedrich zu bekommen, denn keiner möchte sich ungerecht behandelt fühlen . Und da die Gäste alle glühende Verehrer der Euklidischen Geometrie sind , sollen bei der Ku chenvertei lung nur Zirk el und Lineal zum Einsatz kommen . Carl Fri edrich hat diese Aufgabe gelöst . Wi e und mit welch en Baustein en er das wohl geschafft hat , das werden wir nun Schritt für Schritt vorst ellen . Die Übe rlegungen des jungen Carl Fri ed rich sollte n spät er in dessen erste m gro ßen Werk veröffentlicht wer den : den berühmten Disqu isitiones A rithmetica e.

266

20 Das regelmäßige Siebzehneck

Erste Vorbereitung : Gerade in der vorigen Woche war es Carl Fri edrich gelungen zu zeigen, dass die komplexen Lösungen der Gl eichung 2 X "+ 1 -

1

=

°

eine zykli sche multiplikative Gruppe der Ordnung 2 n + 1 bilden. Er wu sste überdies, dass man die El em ente einer solchen Gruppe nur dann mit Zirk el und Lineal würde kon struier en können , wenn 2 n + 1 eine Primzahl wäre, was mit der Struktur ihrer Automorphism engruppe zus am me nhing - der en Ordnung 'P(2n + 1) musst e eine Zweierpoten z sein. Und als er no ch ein Kind war , hatte er schon herausgefunden , dass 2 n + 1 nur dann prim sein konnte, wenn n selbs t eine Zweierpoten z war , die Zahl a lso zu den bekannten Fermatprimzahlen gehörte. Dagegen sind Zahlen der Form 2 n + 1 ni cht prim, fall s n einen ungeraden Faktor u ent hält, denn in diesem Fall zerfä llt das Polynom

xn

+ 1 = X 2 k ,u + 1 =

(X

2k

) u

+1

in die Faktoren X

2k

+ 1 und

und folglich muss auch 2 2k lichkeit p = 2 + 1. Zweite Vorbereit ung:

k

(x 2 ) U -

2k 'U

1

k

- (x 2 )U- 2

+ - .. . -

+ 1 zus am me ngesetzt

x2

k

+ 1,

sein. Es bleibt nur die Mög-

Für k = 2 ergibt sich gerade 2

22

+1 =

17 -

eine Prim-

zahl. Daher bilden die Lösu nge n (j der Gl eichung x 17 - 1 = 0, j E {O, ... , 16} , eine Gruppe C, die isomorph zu Z17 ist, und die Aut omorphisme n dieser Gruppe bilden ihrers eits eine Gruppe der Ordnung 16. Der Schlüssel zur Konstruktion des regelm äßi gen Siebzehnecks lieg t in der Aufklä ru ng der Struktur die ser G ruppe. Die Au tomorphism en {'PP : C -+ C , ( j

H

(J I p E {1 , .. . , 16}}

der Gruppe de r Lösungen von x 17 - 1 = 0, die durch das Bild ( p von ( 1 unter 'PP zu ch ara kterisieren sind (und von den en ein einziges zu kon struier en das ganze Konstruktionsproblem darstellt) , bilden eine gleichfall s kommut a ti ve Gruppe, gen annt g , die zu Z]'7 ~ Z 16 isomorph ist . Die se Isomorphie erkennt m an daran , dass jedes 'P E 9 durch it eriertes E rhebe n der E rzeuger zur dritten P ot enz darstellbar ist ; der durch 'P3 : (j H ( } = (f 'j definier te Automorphismus ist von der Ordnung 16 und erzeugt g . Durch die Abbildung eines fest en Erzeugers von C (0. B . d . A. ( 1) a uf irgendeine n der 16 Erzeu ger kann eine Perm ut at ion a uf der Menge der Nullst ellen von x 17 - 1 induziert werde n , die mit der multiplikativen Struktur von dessen Zerfällungskörper L verträglich wäre, die al so zu eine m Körperautomorphismus fortgeset zt werden kann .

267

20. 1 Das P roble m und die Rechnung

Dritte Vorbereitung: Von dem b erühmten , leid er tragisch jung ver storben en französisch en Mathe mati ker Evariste Galois hatte Carl Fri edrich geh ört, dass den normal en Un t er gruppen

{id}

=

Go
=9

die ser Automorphismengruppe gewi sse Zwischenkörper L

= tc;

~

Kn-

1 ~ .. . ~

K o = Ql

zwische n Ql = K« und L = K n , in dem a lle Nullst ellen eine r a lgebraische n Gl eichung liegen , entspräc he n, und di e Grade [Ki+1 : K i ] der Körper erweit erungen ents präche n gen au den Indizes IGn - i/ Gn - (i + 1) I der Unterg ru p pen . Da diese Indizes in g , wie Carl Friedrich wu sste , alle 2 sein müssen, kann L ais Körperturm über Ql beschrieb en werd en , dessen "St ockwerke" sä mt lich qu adrati sch e Erweiteru nge n des jeweils darunter liegenden "Stockwerks" darst ellen . "So vie l Glü ck kann man au ch nur an seinem Geburt stag haben ", denkt Carl Friedri ch, Das vertrac kte Ku chenproblem kann also angegang en we rden. Vierte Vorbereitung: Rein re chnerisch scheint die Sache ja einfa ch: Die komplexen siebzeh nten Einhe its wurzeln haben di e Form

(k

=

e i . 2~;~

=

cos (

2

.

:7'7r) +

i . sin (

2

.

:7'7r) ,

denn sie a lle genügen de r Gleichung x 17 - 1 = 0. In der Gaußschen Ebene bilden sie gerade di e gesu ch te Zerlegung de s Ei nhe itskr eises. Praktischerweise gel ten für die se Einheitswurzeln die Re chenregeln (0 = 1,

(m ' (n

(0

+ (1 + (2 + ... + (16 =

= (m +nmod 17 V m , n

E

°

und

{O, . .. , 16}.

Damit bilden di e siebzehnten Einheitswurzeln eine zy klische multiplikative Gruppe der Ordnung 17, und j ed e außer ( 0 = 1 ist ein Erzeuger di eser Gruppe. J ed em Erzeuge r (p di eser Gruppe wied erum ents pricht ein Körper automorphismus CPP' der durch (j M für a lle j E {I , ... , 16} induziert wird . Die Me nge der E rze uge r werde im Folgenden mit E16 b ezeichnet.

(J

Fünfte Vorbereitung:

Do ch es gib t einen kleinen Un terschied zwi schen den Elementen von g , der mit der Untergru ppenstrukt ur von 9 ~ ;L16 zu sammenhängt : Wenn m an di e von CP2 erz eugte Untergruppe (CP2) untersu ch t , d . h . die (j iteriert quadriert , so stellt sich heraus, dass (CP2) von de r Ordnung 8 ist , 9 a lso in eine Unter gruppe U und eine gleich m ächtige Ne benklasse N zerfällt. Folglich zerfä llt a uc h E 16 in zwei ver schi ed en e Bahnen : Die, di e durch Anwende n von Automorphismen a us U aus ( 1 hervorgeh en , und d ie, di e durch Anwende n von Aut om orph ismen aus der en Ne benklasse N a us ( 3 hervorgeh en.

268

20 Das regelmäßige Siebzehneck

Mit Hilfe der obigen Rech enregeln kann man leicht herausfinden, wie diese Bahnen zusam me ngesetz t sind. Carl Fri edrich erkennt, dass für das Folgende diese Unterscheidung bedeutsam werden wird . Die erste Bahn fasst er in Q1 zusammen , die zweite in Q2 : E16 = Q1 U Q2 . Es sind

und

Für die Aufgabe der Ku chenteilung nutzt Carl Fri edrich die Darstellung der Einheitswurzeln als Ausdrücke mit transzendenten Funktionen wie exp , sin und cos herzlich wenig. Er muss versuchen , sie in algebraische Ausdrücke zu transformieren , die auf ganzen Zahlen und den Grundrechenarten sowie dem Zieh en der Quadratwurzel beruhen. Nur dann b esteht Au ssicht, sie mit Zirk el und Lin eal konstruieren zu können . Sechste Vorbereitun g:

Dazu stellt er die Summen

und a uf, die sogenannten Gaußs ehen Perioden. Für diese gilt a ufgru nd der Rechenregeln PI

+ P2 =

- 1

und , was etwas aufwändiger zu prüfen ist, PI ' P2 = - 4.

Diese Üb erprüfung kann mittels folgender Tabelle 20.1 erfolgen. Tab. 20.1: Zu r Auswertun g des P rodu kts der Gaußsehen Per ioden

(3 (5 (6 (7 (10

(1 (4 (6 (7 (8 (11

(12 (12 (13 (14 (15 (11

(2 (5 (7 (8 (9 (12 (13 (14 (16

(4 (7 (9 (10

(8

(9 (13 (11 (12 (16 (13 (14 (1 (14 (15 (2 (11 (1 5 (16 (3 (14 (1 (2 (6 (1 5 (2 (3 (7 (16 (3 (4 (8 (1 (5 (6 (10

(1 5 (1 (3 (4 (5 (8 (9 (10 (12

(16

(2 (4 (5 (6 (9 (10 (11

(13

In der Tabelle tritt jed es (j , j E {I, ... , 16} genau viermal auf, folglich ist das Produkt beid er Gaußseher Perioden gleich - 4.

269

20.1 Das Problem und die Rechnung

Sowohl Summe al s auch Produkt von PI und P2 sind ganzzahlig. Das kann nur heiß en, da ss beide mit Hilfe der Quadratwurzel ausgedrückt werden können :

(x - PI) . (x - P2) womit {Pi ,P2}

=

{ -~

-

~

= x2 -

(PI

+ P2) . x + PI ' P2 = x 2 + X -

. V17 , - ~ + ~ . V17}

4,

ist .

Ein Größenvergleich ergibt schnell: 1 PI = - 2

+ -1 . vTI 2

1 1 P2 = - - - - . ' 2 2

vTI

Ql zerfällt gleichfalls in zwei Bahnen, nämlich die Zahlen Q11, die beim iterierten Erheben zur 4. Potenz aus (1 hervorgehen, und die Zahlen Q 12, die dabei aus (2 hervorgehen. Siebte Vorbe reit ung:

In Q2 passiert das Gleiche; hier ergeben sich verschiedene Bahnen , wenn man (3(-+ Q2I) bzw. (6(-+ Q 22) iteriert in die 4. Potenz erhebt. Über Q11 , Q 12 , Q21 und Q22 bildet Carl Friedrich nun die Summen

P4

+ (4 + (13 + (16, (2 + ( S + (9 + (IS ,

Ps

( 3 + (S

(1

P3

+ (12 + (14 (6 + (7 + (10 + (11.

P6

Er fährt weiter fort wie im ersten Durchgang und findet P3 + P4

PI =

P3 ' P4

- 1,

p» + P6

P2 =

PS' P6

- 1.

- -1 + -1 . vTI 2

2

- -1 - -1 . vTI 2

2

'

'

Damit und mit zwei weiteren Größenvergleichen kann er d ie Werte von P3, P4, Ps und P6 erm it teln , indem er PI und P2 als Koeffizi enten quadratischer Gl eichungen einset zt und diese mit der ihm aus der Schule bekannten p-q-Formel löst: P3

- -1 + -1 . vTI + )17 - - -1 . vTI

P4

- -1 + -1 . vTI -

Ps

- -41 - -41 . vTI + )17 - + -1 . vTI 8 8

P6

- -41 - -41 . vTI -

4 4

4 4

8

)17 -8

)17 -8

8

- -81 . vTI

+ -1 . vTI 8

270

20 Das regelmäßige Sieb zehneck

Achte Vorbereitung: Carl Fri edrich erkennt, dass er der Dar st ellung der 17. Einhe itswurzeln als algebraische Au sd rücke dicht au f den Fersen ist . Er braucht das er pro bte Verfahren nun nur noch mit den ver schi ed en en Bahne n in Q l1 wied erholen , die als it er ierte 16. Po t en zen von ( 1 bzw. ( 4 a uft reten: {(I , (16 } und {( 4 , ( 13}. P7 Ps

x

2

P3'

-

P7 + Ps

P3

P7 ' Ps

P5

X

+ P5

(x - P7) . (x - ps) P3

2 ±

=? P7,S

~ V'4 - P5

P7 = ( 1+ ( 16 liegt weiter rechts des Urspru ngs als

der Wurzelausdruck mi t P7 =

= - -1

8

ps = ( 4 + ( 13, daher ents pricht

,,+" dem numerischen Wert von

P7. Also ist

r;;r-P5

1-

P3

2 +V

+ -1 .

8

) -17 - _ 1.

vTI +

32

32

vTI

+

17 16

. TI - V~ ~. +~ 16 V 11 128 + 128

TI

V 11

.

Am Ziel: Damit ist er am Ziel, denn P7 ist ni chts a nderes als die Summe von ( 1 und "0 und damit de r do ppelte Re al teil von ( 1, der sich gut m it Hilfe der cos-Fu nkt ion darstellen lässt .

Er finde t nun no ch schnell die et was schönere Darstellung:

cos

C;77l")

11 -1+ vTI + V34 -

= 6.( +

20.2

~.

J

17 + 3 .

vTI -

2 . vTI)

V34 - 2 . vTI - 2 . V34

+ 2.

vTI

Di e Konstruktion

Der Rest ist nun - wie b ereit s einiges von der Vorarbeit - rein e Fl eißsach e: Die Vorgeh en sweise zur Kon struktion eine r Strecke, die so lang ist , wie die Wurzel einer b ereits zuvor kon struierten St recke, hatten Carl Fri edrich und seine Freunde im Geom etrieunterricht b eh andelt . Damit können sie nun endlich den Geburtst agskuchen in 17 völlig gleiche Stücke sch neide n, und es gib t kein en Anl ass zum Streit .

271

20 .2 Die Ko nstr uktion

Eine besonders kurze, platzsparende und sogar leicht zu merkende Vorgeh ens weise, wie man dieses auch auf sein er eigenen Geburtstagsparty erreiche n kann , möchte ich hier aufzeigen (sieh e Abbildung 20.1) .

c

E

A

B =Po

Abb. 20.1: Konstr ukt ion des regelmäß igen Siebzeh necks

Konst ru kt ion sa nleitu ng :

• • • • • • • •

Zeichnen eines au srei chend großen Kreises kl um O. Zeichnen eines Durchmesser s AB und Konstruktion der Mittelsenkrechten ml, die den Kreis k l in C und D schneidet . Konstruktion de s Mit telpunktes E von CO. Konstruktion des Mittelpunkt es F von E O. Zeichnen von F B . Konstruktion der Winkelhalbierenden W l des Winkels L OF B . Konstruktion der Winkelhalbierenden Wz des Winkels zwischen ml und W l , die mit AB den Schnittpunkt G hat . Konstruktion eine r Senkrechten SI zu un durch den Punkt F . Konstruktion der Winkelhalbierenden W 3 zwische n SI und Wz mit dem Schnit tpunkt H von W 3 und AB.

272

• •

•

20 Das regelmäßige Siebzehneck

Kon strukt ion des T haleskre ises k2 üb er der St rec ke H B mi t den Schnittpunkten J und K von k2 und C D = m 1 . Kon struktion eines Kr eises k3 um C , der durch J und K verl äuft und der AB in den Punkten L und N schneide t (Achtung: N liegt seh r nahe am Mittelpunkt M des Thaleskreises k2). Kon struktion eine r Tangente t 1 zu k3 durch N.

Die Schnittpunkte der Tangente mit k: sind die Punkte P3 und H 4 des regelm äßi gen Sieb zehnecks. Diese Nummerieru ng ergibt sich au s dem vollst ändig kon struierten Sieb zehneck . Au sgeh end von B = Po lassen sich durch fort geset zt es Abtragen des Ab standes POP3 auf der Kr eislini e k1 alle weiter en Punkte des Sieb zehnecks kon struier en . Ein a nde res Thema ist , nachzuweisen , dass die x-Koordinate des let zten E ndes kon struier t en Punktes H tat sächlich den ob engen annten Zahlen wert hat man möge sich auf lange, fehl erträchtige Rechnungen mit horrenden Wurzelausdrücken eins te llen ! No ch eine Legende: 1894 lieferte ein Doktorand der Ma thematik, Johann Gust av Her me s, an der Mathematischen Fakult ät der Universität Königsberg einen Koffer a b. Der Inhal t waren etwa 10.000 handgeschriebene Seiten , a uf denen er mit vergleichbar en Methoden die Kon struktion eines a nde re n regelm äßi gen nEcks beh andelt : des 65.537-Ecks. Es handelte sich um den Ertrag seine r zehnjährig en Bemühungen , den Doktorgrad zu erlange n . Die Professor en hatten b ereits geglaubt , er werde dies niemals zu eine m Ende bringen. Nun hatten sie, die ihm die Aufgabe a us mangelnder Sympathie gestellt hatten , ein ordentliches Problem am Hals: Sie mu ssten Hermes nachweisen, dass seine Konstruktion fals ch war , um zu verhindern, dass er den Dokto rhut bekam. Davor kapitulierten sie, und Hermes wurde Doktor.

Der Koffer übrigen s üb erstand b eid e Weltkriege und ist heute im Mu seum der Mathematischen Fakultät der Univer sit ät Göttingen zu best aunen . Norb ert Engb ers ist Dipl.-Math. und lebt in Osnabrück.

21 Ein Satz von Carnot

Übe rsicht 21.1 Satz von Carnot

273

21.2 Umkehrsatz von Carnot

275

Die erste Regel, an die man sich in der Mat hematik halten muss, ist, exakt zu sein. Die zweite Regel ist , klar und deutlich zu sein und (Lazare Nico las Marguer ite Carnot) na ch Möglichkeit einfa ch. In diesem Kapitel wollen wir dem Leser einen klein en, aber sehr interessanten und ich denke nicht all zu bekannten Satz am Dreieck vor st ellen . Die Grundfrage laut et : Welche Beziehungen müssen gelten , wenn drei a uf den Dreiecksseiten senkrecht st ehende Geraden ein ander in einem Punkt schneiden?

A

c

p

B

Abb. 21.1: Drei auf den Dreiecks seiten senkrech te Ge rade n sch neiden eina nder in eine m Pun kt.

Einen Sonderfall kennt jeder: Die Höhen , die einander in einem Punkt schneiden. Aber wie kann man dies ver allgemeinern?

21.1

Satz von Carnot

La zare Nicolas Marguerite Carnot (1753- 1823) war französisc her Offizier , Politiker un d bedeuten der Mathematiker. Sein mathematisches Hauptwerk Geometrie de position ersch ien 1803. Unter a nde re m hat er sich die Frage gest ellt, welche

274

21 Ein Satz vo n Carnot

Beziehung zwische n den Streckenabschnitten am Dreieck gelten müsse, damit drei a uf den Dreieck sseiten senkrecht stehe nde Ger aden einande r in eine m Punkt schneiden .

Satz 21.1 (Satz von Carnot) Wenn drei Gerad en, die lotrecht auf den Seiten ein es Dreiecks ABC st ehen, nämlich in den Punkten P auf B C, Q auf A C und R auf AB, ein an der in ein em Punkt schneiden , besteht zwischen den Stre ckenabschnitien BP, C Q, AR, C P , A Q und BR folg ender Zu sammenhang (si ehe auch Abbildung 21.2): (21.1)

B ewe is : Um den Satz zu b eweisen, benutzen wir Grundlagen a us der Schulgeometrie. Zunäch st einmal ergä nze n wir Abbildung 21.1 zu Abbildung 21.2 :

A

C

B

Abb. 21. 2: Skizze zum Beweis

Wir verwenden die Not at ion und Bezeichnungen a us Abbildung 21.2 . Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lass en sich folgende Beziehungen aufstellen :

Cp

2

+ PX 2 =

CX

2

+ PX 2 = BX 2 2 2 C Q2 + QX = CX Bp

2

A Q2 2

2

+ QX =

AX

2

2 2

+ RX = BX 2 2 2 A R + RX = AX

BR

(21.2) (21.3) (21.4 ) (21. 5) (21.6) (21. 7)

Nun führen wir folgende Subtraktionen durch:

2 2 Bp2 _ C p 2 = BX _ CX

((21.3)-(21.2))

(21.8)

2 2 C Q2 _ AQ2 = CX - AX

((21.4)-(21.5))

(21.9)

275

21.2 Umke hrsatz von Carnot

2 2 2 2 AR - BR = AX - BX

((21.7)-(21.6))

(21.10)

Die Summe der Gleichungen (21.8) , (21.9) und (21.10) ergibt:

Bp2 +CQ2 +AR2 _CP2 _AQ2 _BR2 =0 2 2 2 2 {::} Bp + C Q2 + AR = C p + AQ2 + BR Damit ist der Beweis er bracht.

21.2

D

Umkehrsatz von Carnot

Für den vorgestellten Satz von Carnot gilt au ch die Um kehrung. Man hat damit auch ein Kri terium, ob drei Geraden , die in a usgewählt en Punkten auf jeweils einer Dreiecksseite senkrecht st ehen, ein ander in einem Punkt schneiden. Interessant ist be sonders der Beweis.

S a tz 21.2 (Umkehrsatz v o n Carnot ) Gegeben seien ein Dreieck ABC, Punkte P auf BC, Q auf AC und Rauf AB .

Wenn die Gleichung (21.11)

gilt, so schneiden die drei in P , Q bzw. R senkrecht auf den Dreie ckseiten stehenden Geraden einander in ein em Punkt.

B ewe is : Die Idee zum Beweis ist die se : Man kann P und Q a uf BC bzw . CA beliebig wählen, und die Lote zu die sen beiden Punkten treffen einander in einem Punkt X . Das Lot zur Seite AB und dessen Schnit tpunkte mi t den anderen Loten bleiben zunäch st außen vor . Die Frage ist jetzt , ob das Lot von R - wenn dieser Punkt auf AB so gewählt wird , dass

gilt - diesen Punkt X au ch trifft . Dass es irgendwo auf AB den Punkt R' gibt, für den das Lot den Punkt X trifft , leuchtet ja jedem Leser ein : Man muss nur vom Schnittpunkt X aus das Lot auf AB fällen und findet R' . Der Witz ist , dass X auch dann getroffen wird, wenn man nach der Gleichung geht, um den Lotfußpunkt R zu find en - dass also das nach Gleichung gefunden e R mit dem nach Konstruktion gefunden en R' üb er ein stimmt.

276

21 Ein Satz von Carnot

Die Wahl von P und Q als Bestimmende für den Schnittpunkt X erfolgt hier o. B. d . A., denn von den dr ei gegeb en en Punkten P , Q und R wähle man , falls das Dreieck ABC stumpfwinklig ist, die zwei aus , die sich auf den Dreiecksseite n , die dem st um pfen Winkel anliegen , befinden . Ist das Dr eieck ab er nicht st um pfwinklig, d. h ., alle Winkel sind klein er od er gleich 90° , so kann man b eliebig e zwei der drei Punkte für die Argumentation im vorigen Abschnitt nehmen . Der Grund für diese Rücksicht auf stumpfe Winkel ist der, dass man sicher sein muss, dass das Lot von X auf die dritte Seite tatsächlich diese Seite trifft. Aus dem Satz von Carnot und der Voraussetzung 21.11 folgt :

Durch Einset zen von BR = AB - AR und BR' = AB - AR' folgt:

AR2 - (AB - AR)2 = AR,2 - (AB - AR,)2 {:} AR2 - AB 2 + 2 . AB . AR - AR2 = AR,2 - AB 2 + 2 . AB . AR' - AR,2 {:} AR = AR' Somit fallen Rund R' zusammen und wir haben bewiesen, dass bei Gü ltigkeit der Glei chung die Lote ein ander in einem Punkt schneiden. 0

Floruni Modler studiert Mathematik in Hannover.

22 Die Kardioide als Hüllkurve

Bei eine r früheren Gelegenheit [66] be schäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurven sch aren . Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon län gst bekannt ist , mi r ab er bish er no ch nicht auffiel. Ich habe au ch ni cht danach gesu cht , weder in Büchern no ch im Internet . Wählt man auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt auf de r x-Achse liegt und de r durch den Urs prung geh t (Abbildung 22. 1), beliebige Punkte

Abb. 22.1: Kreise durch den Ursprung mit Mittelpunkt auf dem gegebenen Kreis und schlägt um sie Kreise, die ebenfalls durch den Ursprung gehen (Abb . 22.2) ,

Abb. 22.2: Mehrere solcher Kreise so ist die Einhüllende der so ents tehe n de n Kreisschar eine Kardioide (Abb. 22.3) :

278

Die Kardioide als Hüllkurve

Abb. 22.3: Die Hüllkurve ist eine Kardioide

Beweis:

F ür den Kreis KI mit Radius R gilt (siehe Abbildung 22.4) ( XM

2

2

- R ) + YM = R 2 2 XM + YM - 2RxM = 0,

2

(22.1)

und für den Kr eis K 2 um den Punkt P (XM , YM ) gilt:

+ (Y (x - XM )2 + (y 2 2 x - 2XM X + y (X

- XM ) 2

= YM )2 =

YM )2

. a 2 m it a2

XIv/

=

XM 2

+ YM 2

+ YM 2

2YMY = 0

(22.2)

Y

(X,y)

---t":...---.....:..------J'--I------+--- x

Abb. 22.4: Skizze zum Beweis Aus (22.1) folgt YM = v'2 RxM - XM 2 , und das ergibt eingesetz t in (22.2) : (22.3)

279

Die Kardioide als Hüllkurve Dies ist eine a ndere Form der Gleichung für K 2, sie ent hält nicht mehr YM.

Wird darin XM frei gewählt , so ents te he n lauter ver sch ied en e Kr eise K 2, deren Mittelpunkte auf K; liegen und die durch den Ur sprung geh en . D . h ., (22 .3) beschreibt die in den obigen Abbildungen a ngedeute te Kr eissch ar ; dabei ist XM der Scharparameter . Wie in [66] erklärt wird , kü rzt man dies mi t

F(X ,y, XM) = 0 ab , und um die Ei nhüllende der Kreissch ar zu finden, mu ss die partielle Ableitung von F nach x M gleich 0 geset zt werden :

- 2x _ oder

2 · (2R - 2XM )y = 0 2· V2RxM - XM 2

x

+

(R - XM )y = 0 v2RxM - XM 2

(22.4)

Hiermit ist als näch stes XM a us (22.3) zu elim inieren. Dabei gelten die folgenden Re chnungen für Argumente , die den Nenner nicht 0 werden lassen . Mit (22.4) gilt

J2R XM - XM 2 -_ - (R - XM )y , x so dass sich durch Einsetzen in (22.3 ) 2

X

+ y2 -

2

XMX +

2(R - XM )y X

2 =

0

ergibt , woraus (22 .5) folgt . Durch Qu adrieren beider Seiten von (22.3 ) erhält man weiter ( X2

+ y2 ) 2 -

2 (x2

2 2 = + y 2) . 2XMX + 4XMX

2 ) Y2 . 4 ( 2RxM - XM

Die s ist eine quadrati sche Gleichung in XM (22 .6) mit den Lösungen:

Ein Vergl eich mit (22.5) erg ibt:

X(X2 + y2)

+ 2Ry2 = 2Rl + (x 2 + l) x ± J (2R y2 + (x 2 + y2) x )2 0 = J(2Ry2 + (x 2 + y2) x)2 - (x 2 + y2) 3

(x 2 + y2)3

280

Die Kardioide als Hüllkurve

Damit haben wir die paramet erfreie Darst ellung der Hüllkurve: ( 2R y2

+ (x 2 + y 2) x) 2 =

(x2

+ y 2) 3

(22.7)

Einfach er zu ver st eh en ist 22.7 mit Hilfe von P olarkoordinaten x = r . cos 'P, Y = r . sin 'P, mi t r E

JR, r

~

0, 'P E [0,271-).

Damit er hält man:

Daraus ergibt sich die Lösung:

t:

=

2R · (1

+ cos 'P)

(228)

I

Dies ist die Gleichung einer Kardioid e wie der Randkurve in Abbildun g 22.3. Hans-Jürg en Caspar, p ens. Lehrer für Physik und Mathematik.

Teil IV Elliptische Kurven und Kryptographie

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Übersicht 23.1 Motivat ion

283

23.2 Definition ellipt ische r Kurven

284

23.3 Singu lä re Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 23.4 Das Gru ppengesetz

288

23.5 Die Assozia ti vität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 23.6 An der e Ansätze

301

23.7 Abschluss

303

Elliptische Kurven sind seit einigen J ahren in aller Munde : Sie wa ren der wesentliche Schlüssel zu Andrew Wi les' Beweis von Fermats legendär em let zt en Satz, und in For m des EIGamal-Kryptosyst em s halt en sie E inzug in unseren Alltag a uf SmartCards , P ocke tPCs und a nder en Kleingeräten , die eine Re ssourcen schonendere Public-Key-Verschlüs selung benötigen als das sonst üb liche RSA- Verfahren sie bereit st ellen kann. Doch was sind eigentlich ellip ti sche Kur ven und was macht sie so be sonders? Die se Fr age ver su che ich in die sem Kapitel zu be antworte n .

23.1

Motivation

E ben weil elliptische Kur ven ein spannendes un d wichtiges Thema sowohl in reiner als au ch in a ngewandter Mathematik sind , findet man viel Literatur dazu und in keine r Quelle feh lt dabei das Gruppengesetz, um das sich a uch dieser Beitrag hier dreht .

284

23 Das Gruppengeset z elliptischer Kurven

Ich hab e im Laufe der Zeit im me r wied er einm al diese Literatur durchforst et , a ber kein Skript , kein P ap er , das ich fand , enthielt , was ich mir vorstellte. Entwed er war es sehr auf reine Mathe mat ik au sgericht et und die Problem atik des Gruppengeset zes wurde viel allgemeiner und m it schwe re n Gesch üt zen z. B . aus der alg ebrai sch en Geometrie an gegangen ode r es waren prax isorient iert e Texte über Kryptographie, die sich sehr unpr äzise mi t dem Gruppen geset z b esch äft igten, um den Fokus auf die An wendungen zu legen . Sehr oft war es dann so, dass die Defini ti on en nur für Sp ezialfäll e angegeb en wur de n und der Beweis der Assoziativität aufgrund seine r Län ge ganz ausgelassen wurde . Ich habe vor kurzem im Buch .Elliptic Curves - Nu mber Theory and Cr ypto gra phy" [67] das erste Mal einen vollst än digen Bewei s de s Assozi ativgesetzes ent deckt , doch auc h die ser stellt e m ich nicht zufrieden, da er ein en relativ gr oßen Umweg dafür m achte. Kurzum : Ich hab e mi r in diesem Kapitel vorgenommen, die Gruppen st ruktur a uf ellipti schen Kurven in ihrer allgemeinen Form zu definieren und ins besondere die Assozia t ivit ät nachzurechnen , ohne mit allzu großen Kanonen auf Sp atzen zu schieße n.

23.2

Definition elliptischer Kurven

Zue rs t zur Frage, was ellipt ische Kurven eigen tli ch sind: Mit dem Ausdruck ellipti sche Kurve wird eine spezielle Ar t algebraische r Kurven bezeichnet , nämlich die Lösungen von Glei chungen de r Form

Dies ist die sogenannte uerallqeme inerie Weierstmß-Gleichung. Die Bezeichnung de r Koe ffizien ten (insbesondere die Ab wesenheit von a5) ist traditionell so wie hie r a ngegeben. Es ist a lso so, dass wir einen Körp er K und ein Pol yn om

haben . E ine ellipt ische Kurve ist dann im Wesentlichen die Nullstellenmenge eines solche n P olynoms. Die kleinen Untersc hiede liegen in den sogenannten "singulären Punkt en" . Die Me nge S dieser singulären Punkte schli eßen wir nämlich aus dieser Null st ellenmen ge aus . (Was genau singuläre Punkt e sind und wieso wir sie weglassen , darauf werden wir im nächst en Ab schnit t zu sprech en kommen .) Ein weitere r Un t erschied ist der , dass wir eine n weit er en Punkt dazunehmen , den wir mit 00 b ezeichnen werden .

23.3 Singuläre Punkte

285

Als elliptische Kurve im enger en Sinne ist also eine Menge folgender Gestalt definiert: E(K) := { 00 } U { (x , y) E K2 1F(x , y) = 0 } \ s 00 wird der unendlich f erne Punkt genannt , der später noch eine wichtige Rolle spielen wird . Auch wenn zunächst ni cht offensichtlich ist , wieso man da noch einen Zusatzpunkt "küns tlich" dazunehmen sollte, ist er von entscheidender Bedeutung, denn er wird später das neutrale Element unser er Gruppenstruktur sein .

Welchen Körper man für K wählt , ist theoretisch egal. Interessant für die Praxis sind aber vor allem die Körper lFp für groß e Primzahlen p und die Körper lF2 m für groß e m. In der Theori e sind Kurven üb er Q und den p-adischen Zahlen Qp ganz interessant. Sie spielen u . a . eine große Rolle in dem angesprochenen Beweis von Wiles. Elliptische Kurven über Zn und anderen kommutativen Ringen werden in speziellen Problemen a uch betrachtet. Man kommt dann aber mi t der Gruppenstruktur , so wie wir sie hier definieren wollen , in Schwierigkeiten, da nicht durch jede Zahl dividiert werden kann. (Was durchaus gewollt sein kann, da man an einer solchen "Schwierigkeit" bei Kurven über Zn erkennt , dass n keine P rimzahl ist , sod ass man mit solchen Kurven Fak torisierungsalgorithmen , P seudoprimzahlt ests und sogar Primalitätsb eweise implementieren kann .) Ab jet zt wird K immer eine n Körper b ezeichnen , F(x , y) immer ein Polynom aus K [x , y] von oben angegeb en er Gestalt , dessen Koeffizienten wir auch immer wie ob en b ezeichnen werden . E(K) wird au ch immer die durch F defini erte ellipt ische Kurve b ezeichnen. Da wir nie mit mehr als eine r ellipt ische n Kurve zugleich hantier en werden, sollte das kein e Unklarhe ite n b ereiten , denke ich .

23.3

Singuläre Punkte

Die Menge S aus unser er Definition ist die Menge der sogenannten singulären Punkte. Ein P unkt (u ,v) auf der alg ebraischen Kurve F(x ,y) = 0 heißt dabei singulär, wenn VF(u, v) = (0 ,0) , d.h ., wenn ~~(u, v) = ~~(u ,v) = 0 ist. (Dies sind einfach formale Abl eitungen in K [x, y], kein e Abl eitungen im Sinne der reellen od er komplexen Analysis .) Singulär e Punkte haben die unangen ehme Eigenschaft , dass eine ellipt ische Kurve do rt , anschaulich gesprochen , kein e einde ut ig be stimmte Tangente b esit zt. Es gibt b ei alg ebraischen Kurven, die durch kubische Polynome wie unser F defini ert sind, nur zwei Möglichkeiten für singuläre Punkte: Der Neunonsehe Kn oten (ob en in Abbildung 23.1) mit der Gleich ung y2 = x 3 + x 2 hat z. B. in (0,0) eine n singulä ren Punkt (ein en Kreuzungspunkt , um

286

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Abb. 23.1: Newtonscher Knoten (oben) und Neilsche Parabel (unten)

gena u zu sein) und wie man an der Zeichnung sieht, gä be es in diesem P unkt mindest en s zwei Möglichkeit en , eine Tange nt e a n den Graphen zu legen . Ähn lich verhäl t es sich m it der Ne ilsche Parab el (unt en in Abbildung 23.1) , die die Gleichu ng y 2 = x 3 hat. Sie hat ebenfalls in (0,0) einen sing ulä ren P unk t (hi er eine n Rückkehrpunkt ). Dort fällt es un s ebe nso schwer , eine sinnvolle Tangente a n den Graphen zu legen . Da wir Tangen t en jedoch unbedingt brauchen wer de n für die vollst ä ndi ge Defini tion der Gruppenv erknüp fun g, stören un s die singulären Punkt e so sehr, dass wir sie einfach en tfern en. Wi r werden jetz t ein Lemma b eweisen , das sicherstellt , dass wir un s nachher kein e Schwierigkeit en mi t de r Ab geschlossenheit einfangen , wen n wir die Sin gularität en elim inieren : Lemma 23.1 Sei (u , v) E K 2 ein Punkt auf der algebraisch en Kurve F (x , y ) = y 2 + al XY + a3Y - x 3 - a 2x 2 - a4X - a6 = 0 über' K . (u , v) ist gen au dann singulär, wenn alle Geraden durch diesen Punkt die K uro e m ehr als einm al in (u, v) schn eid en.

Was b ed eu t et das konkret ? Jede Gerade in K 2 , die durch (u, v) verl äuft , kann durch (x , y) = (u , v ) + t(r x , ry) parametrisier t werden , wob ei t üb er ganz K variiert und (r x,ry ) i- (0; 0) die "Richt ung" der Geraden a ngibt . Set zt man diese

287

23.3 Singuläre Punkte

zwei Ausdrüc ke für x und y in F ein, erhält man ein Polynom in t, dessen Nullstellen gen au die Schnittpunkte der Ger aden mit der Kurve darst ellen . Wenn (u ,v) a uf der Kurve liegt , heißt das , dass t = 0 eine Nullste lle dieses P olynoms ist . Dass die Gerade die Kurve nun ,,mehrfach in (u, v ) schne ide t", bed eutet dem zufolge nichts anderes, als dass t = 0 eine mehrfache Nullste lle des P olynoms ist . B ewe is : Wir set zen zunächst die beiden Au sdrücke au s der allgemeinen Geradengleichung in F , in ~~ und ~~ ein und erhalten drei Pol ynome F, i; und

Fy

E

K [t]: -

+ tr y) 2 + a l(U + trx)(v + tr y) + a3(v + try) - (U + tr x) 3 - a2(U + tr x)2 - a4(U + tr x) - a6 33 = - rx t + ( - 3r x2 u - a2rx2 + r 2y + alrxr y )2 t 2 + (r y(2v + a lU + a3) + rx(al v - 3u - 2a2U - a4))t + (v 2 + alU v + a3v - u 3 - a2u 2 - a4U - a6) 2 Fx (t ) = al(v + try) - 3(u + tr x) - 2a2(U + tr x) - a4 = -3r; t 2 + (al r y - 6ur x - 2a2r x)t + (alv - 3u 2 - 2a2U Fy(t) = 2(v + tr y) + al(U + tr x ) + a3 = (2r y + alrx)t + (2v + al U + a3) F(t) = (v

a4)

,, ----7 " .. ------'-

Ist (u, v) ein singulärer Punkt der Kurve, so gilt F(O) = Fx (O) Fy(O) = 0, d . h ., alle drei Ab solutglied er sind O. Der Koeffizient des linearen Glied s von F ist nun a b er eine Linearkombination der be iden Ab solutglieder von i; und Fy , also a uch O. Somit ist t = 0 eine (mindestens) doppelte Nullstelle von F für jede ents pre che nde Gerade, also unabhängig von r x und r y. ,,

ß-- " ..

~

Anders her um ist es gen auso einfach : 'Wenn 0 für jed e Gerade eine meh rfache Nullst elle von F ist, dann ist der Koeffizient vor dem linea ren Glied für jed e Wahl von r x und "u gleich 0, insbesonder e für (r x,ry) = (1,0) und für (r x ,ry) = (0 ,1) . Also sind au ch die beid en Absolutglied er von t; und F'y gleich 0, also ist (u , v) ein singulärer Punkt der Kurve. D Man erken nt an den Formeln auch, dass eine Gerade durch (u , v ), deren Richtungsvektor (r x ,ry) "senkre cht" auf (al v - 3u 2 - 2a2u - a4,2v + alU + a3) = \7 F( u , v) steht, auch im nichtsingulären Fall die Kurve mehrfach in (u , v) schneidet. Eine solche Gerade ist die Tangente an den Graphen durch (u,v) (es ist sogar die einz ige mit dieser Eig en schaft, wenn (u,v) nichtsingulär ist , aber das brauchen wir nicht) .

288

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Es sei no ch einm al fest gehalten , dass eine elliptische Kurve E( K) per Defini ti on kein e sing ulä ren P unkte enthält. Die algeb rai sche Kurve F( x , y) = 0 kann dies jedoch durchaus.

23.4

D as Gruppengesetz

Dass elliptische Kurven a uf eine "nat ürliche" Art und Weise mit eine r Grupp en struktur ver seh en werden können, ist ihr entsche ide n de r Vort eil gege nübe r a nde re n algebraischen Kurven und macht sie für die vielfältigen Anwendungen so interessant . Wi r wollen uns nun en dli ch a nsehen, wie die se Verknüpfung definiert ist . Die Id ee ist folgende: Man nimmt sich zwei Punkte a uf eine r ellipt ische n Kurve und verbindet sie durch eine Gerade. Die Hoffnung b est eht dann , das s diese Gerade die Kurve no ch ein drittes Mal schne ide t und man ebe n jen en dri tten Punkt nutzen kann , um die Verknüpfung der ersten beiden Punkte zu erkläre n (sieh e au ch Abbildung23 .2) . In diesem Sinne ist die ents te he nde Verknüpfung "nat ürlich", weil sie sich a us der geometrischen An schauung herl eitet . Dass das, was wir gleich mach en wer de n, a be r wirklich eine Gruppen struktur liefert, ist alles a nde re als offen sichtlich. (Es sei denn , man hat viele, viele Rech enbeispi ele durchexer ziert und zufällig immer darauf geachtet .)

Q

p

Abb. 23.2: Geometrische Idee des Gruppengeset zes: Drei Kurvenpunkte auf einer gemeinsa men Gerade

Dabei st ellen sich folgende Fragen: •

Wi e formalisiert man das, sodass es für alle Körper funktioniert?

23.4 Das Gruppengesetz

• • •

289

Wi e geh en wir mit dem unendlichen fernen Punkt dabei um? Wi e garantier en wir , dass wirklich immer ein dritter Punkt herauskommt? Was macht man , wenn Punkte zusam me nfa llen?

Nun, die erste Frage ist noch die einfachste von a llen : Alle geometrischen Konst ru kt ionen, die wir a us der Anschaulichkei t die ser Idee herleiten werden , können so umformuliert werden , dass sie au sschließlich durch die vier Grundrechenarten bes chrieben werden können , sodass wir einfach die sich ergebenden Formeln als Definition benutzen und a uf sä mtliche Körper ausdehnen . Wir b etreiben im Prinzip al so affine Geomet rie in K 2 und benutzen fü r die Herleitungen und Beweise keine Spezifika der reellen oder komplexen Zahlen .

23.4.1

Der unendlich ferne Punkt

Wi e binden wir nun den unendlich fernen Punkt in unser e Übe rlegungen mit ein? Am b esten t un wir dies, indem wir die Zahlen eb en e, die uns a ls Ver anschaulichung di ent , um eine ob er e und eine unter e Kante erweitern . Der unendlich ferne Punkt wird al so an das ob ere und das unter e Ende geset zt (b eides!) . Konkret können wir uns das so vor stellen , das s jed e Gerade durch den unendlich fernen Punkt eine senkrechte Gerade ist und umgekehrt j ed e senkrechte Gerade durch den unendlich fernen Punkt geht . Ab er wir wollten uns ja nicht all zu sehr an der An schauung festhalten . Daher sei nun defini ert:

D efinit ion 23.2 Sind (u , v) , (u , v') E E (K ) Punkte einer ellipti schen Kurve mi t v =I- V i , so definieren wir (u , v) EB (u , v'): = (u , v' ) EB (u , v) := 00. Ist v = V i und ~~(u, v) = 0, so definieren wir ebe nfa lls (u,v) EB (u, Vi ) := 00. • Ich erwähnte ja scho n, dass 00 das neutrale El ement unserer Verknüpfung werden soll. Zwei Punkte, die di rekt übereinander liegen , de ren verb indende Gerade also senkrec ht ist , sind demzufolge zueinander invers. Ein Punkt , der die Ableit ungsb edingung erfüllt, be sitzt a nalog eine senkrecht e Tangente , die man sich als Verbindungsgerade de s Punktes mi t sich selbst vor stellen könnte , und ist m it dieser Definition selb stinv er s (sieh e au ch Abbildung 23.3) . Da wir uns no ch ni cht sicher sind , dass wir wirklich eine Gruppe vorliegen haben, zeigen wir j etz t aus nahms weise, dass die ses obige Inv er se immer exis tiert und eindeutig b estimmt ist :

Le m ma 23 .3 S ei E(K) ein e f est gewählte elliptische Kurve. Ist (u , v) E E(K) , so gibt es maximal ein en weit eren Punkt aus E(K), dessen x -Koordinate ebenfalls gleich u ist, näm lich den Punkt (u , - al U - a3 -v ) E E(K) . Gilt dabei v = - a l U - a3 - v, so gilt auch ~~(u ,v) = o.

290

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Abb. 23.3: Eine senkrechte Gerade durch inverse Elemente

Beweis: Setzen wir x = U in die Gleichung F( x , y) = 0 ein , welche die elliptische Kurve E(K) festlegt, so erhalten wir eine Gleichung in y, die die Form y2 + (alu + a3)y + ... = 0 hat . Da wir hier mit Körpern hantier en , kann diese Gleichung maximal zwei Lösungen haben , al so kann es nur maximal zwei solcher v geb en . Ist ein Punkt (u , v ) auf der Kurve vorgegeb en , so ist also v eine Lösung der Glei chung. Wir wissen , dass die a ndere Lösung Vi (die dann notwendigerweise a uch in K liegt) die Identität alU + a3 = - (v + Vi ) erfüllt ===} Vi = - a lU - a3 - v.

(U ,Vi) liegt a lso in K 2 und erfüllt F( U,Vi) = O. Wir müssen noch sichergehen, dass (u , Vi ) nicht singulär ist . Dann haben wir gezeigt , dass es zur elliptischen Kurve gehört . Dies folgt a ber au s 23.1, denn wäre es singulär, so wäre (u , Vi) ein mehrfacher Schnittpunkt der alg ebraischen Kurve F(x , y) = 0 mit der Gerade x = u , Wir wissen ab er , dass es höchstens zwei solcher Schnittpunkte gibt. Beide Schnittpunkte müssten a lso identisch (u , Vi) = (u , Vi) sein . Also wäre (u ,v) singulä r , was im Widerspruch zur Voraussetzung (u ,v) E E(K) st eht. Fallen die beiden konstruierten Punkte (u, v) und (u , - al u - a3 - v) zus ammen , dann ist V = - a l u -a3 - V ===} 2v +alu +a3 = O. Dies ist a ber gen au ~~ (u , v) . D

Die obige Definition, wann sich zwei Elemente zum unendlich fernen Punkt addieren , liefert uns a lso wirklich ein eindeutig bestimmtes (und vor allem a uch immer existentes) Inverses , wie wir es uns wünschen.

291

23.4 Das Gruppengeset z

23.4.2

Die anderen Fälle

Nach die sem leider no twendigen Schwenk kön nen wir unsere Idee von oben konkretisieren und die Verknüpfung, a uf die wir es so sehr ab geseh en haben, zu Ende defini er en . Führen wir nämlich unser e Id ee von ob en a us und bast eln a us den Punkten (ui .vi ) und (U2 , V2) E E(K) eine n dritten Punkt (U3, V3) E E(K) , so defini er en wir (vi . vi ) E9 (U2, V2) := - (U3,V3 ) (wob ei hier natürlich das ob en kon struierte Inv er se geme int ist und etwa - (a, b) = (-a , - b)). Lasst uns denn zur Tat schreiten und besagte Konstruktion durchführen : Seien (Ul , VI) ,(U2, V2) E E (K ) und Ul i- U2, dann hat die verbindende Gerade durch diese b eid en Punkte die Gl eichung: y = m x + n mit m = UI V i -V2 und -U 2 n = vl -mUl .

In sb esonder e ist die Ger ade ni cht senkrecht , d . h ., unser e Konstruktion kollidiert nicht mit der Defini tion für inverse E leme nte, die nur den Fall sen kre chter Ger aden b etrifft. Wenn wir di es nun in F( x , y) = 0 einse tzen , erhalten wir die Gleichung (m x

+ n) 2 + al x(mx + n) + a 3(mx + n) = ===}

0

=

x x

3 3

+ a 2x 2 + a4X + a6 + (a 2 - m 2 - a l m )x 2

+ Terme klein er en

Grades.

Wir wissen ber eits, dass diese Gleichung zwei Lösungen hat , nämlich

Ul

und

U2. Daraus können wir nun den dritten Schnittpunkt ermit teln , denn es gilt - (Ul+ U2+ u3 )= a2- m2- a l m ===} u 3 = -a2 +m 2 +alm -ul -u2.

Damit wissen wir schon sehr viel: Wir können a us der Ge radenglei chung die zugehörige Koo rdinate V3 berechnen und erh al ten dann einen Punkt (U3, V3) E K 2 auf de r algebraischen Kurve F( x , y) = O. W ir wissen vor allem a uch , dass dieser P unkt einde ut ig b estimmt ist und immer exist iert . Das einz ige, was uns noch zu zeigen bleibt , ist die Tatsa che, dass der Punkt (U3,V 3) nichtsin gul är ist , al so wirklich in E(K) liegt . Au ch hier leistet das Lemma 23.1 hervorrag ende Dien ste, denn wir haben eine Gerade durch (U3 , V3) und kennen all e Schnittpunkte mit der Kurve. W är e (U3 , V3) sing ulär, so müsst en mindesten s zwei der dr ei Punkte zusamme nfa llen, d.h ., es würde (Ul , VI) = (U3, V3) od er (U2, V2) = (U3 ,V 3) gelt en . In j ed em Fall wäre (U3, V3) nach Vorausset zung schon nichtsin gul är. Wir erhalten al so eine n Wider spruch . Damit ist al so (U3 , V3) ex istent, einde ut ig best im mt und ein El em ent von E(K). Dasselb e trifft damit natürlich auch auf - (U3, V3) zu .

292

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Definition 23.4 W ir defini er en also für (UI , v i ) , (U 2 , V 2 ) E E(K) mi t UI i- U 2 den Punkt (und damit au ch den Punkt (UI , VI) E9 (U2 ,V2) = - ( U3,V3 ) ) durch : m '-

UI -

n := V I -

V 3 :=

U2 mUI

+ m 2 + al m mU3 + n

U3 := - a2

(U 3 , V 3 )

UI -

U2

•

( U I, Vl )

Abb. 23.4: Der Fall zweier verschiedener, nicht übereinander liegender Punkte

Es bleibt un s nur noch der Fall zu untersu chen, dass wir zwei identi sche Punkte haben. Ist nämlich b ei zwei Punkten UI = U 2 , dann gilt ent wede r V I i- V2 und un sere Defini ti on für die Inver sen greift od er es gilt VI = V 2. J et zt setzen wir zusätz lich ~; (u , v) i- 0 voraus, denn den anderen Fall haben wir ebe nfalls in un serer Definition des Inver sen inb egriffen . Die Id ee ist nun dieselb e: Wir b etrachten die "Ge rade durch die Punkte (u , v) und (u , v )". An sch aulich ges proc he n ist das genau die Tangente, denn, wenn wir zwei Punkte aufeinander zu gehe n und sich in (u, v ) treffen lassen , dann geht ihre Verbindungsger ade in die Tangente durch (u , v ) üb er. (Natürlich nur, sofern (u , v) wirklich eine solche besit zt, also ni chtsingulär ist .) Wie finden wir nun die Tangentengleichung? Gew öhnliche s Differenzieren ist mei st nicht mögl ich , da wir ja keine Funktion y(x) haben . Wi r können aber statt de ssen implizit differenzieren:

293

23.4 Das Gruppengesetz

In Punkt en (Ul, vI), in den en ~~ ( U l,v I) -::p 0 ist, gilt dann

Dies liefer t un s wied er eine Tangentengleichung der Form y = m x obi gen mund n = Vl - mUl .

+n

mit dem

Das gleiche Spi el wie ob en liefert un s ein Polynom in x vom Grad dr ei , dessen Nullst ellen die Schnittpunkte der Geraden mit der Kurve angeb en . J etzt kennen wir ebenfalls schon zwei Nullste llen dieses Polynoms, denn im Zusammen hang mit Lemma 23.1 haben wir festgest ellt, dass die Tangente den Graphen in (U l , vi ) mehrfach schne ide t. (In diesem Sinne ist also die Vorst ellung der Tangenten als "Gerade durch (Ul , Vl) und (Ul,VI)" durchaus berechtigt .) Wir können also a uch jetzt U 3 durch - a2 + m 2 + al m - Ul - Ul und Einsetzen in die Geradengleichung erhalten .

V3

durch

Abb. 23.5: Der Fall zweier identischer Pun kte und nichtsen krechter Ta ngente

Die Formulierung "Gerade durch P und Q" werden wir im Folg enden weiterhin so b enutzen , dass eine Gerade durch zwei identische Punkt die Tangente meint. Wi e wir hi er geseh en haben, schadet das ja kein esfall s der Gültigkeit un serer Kon struktion.

23.4.3

Zusammenfassung der Definition

Endlich können wir die Verknüpfung vollständig defini er en :

294

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Definition 23.5 Seien (UI , vi ) , (U2, V2) E E(K) b eliebige endliche Punkte eine r ellipt ische n Kurve. Dann definieren wir: 00 EB 00 := 00. i. ii. (UI ,VI) EB 00: = 00 EB (UI ,VI):= (UI ,VI). iii. (Ul ,VI) EB (U2, V2) := (U2,V2) EB (Ul ,Vl) := 00 wenn Ul = U2 und VI =I- V2 oder wenn (UI , vi ) = (U2, V2) und ~~ (u , v) = O. iv, In allen anderen Fällen : (UI,VI) EB (U2,V2) := (U3, - a 1U3 - a3 - V3), wob ei VI - V2 UI - U2

m '-

~ ( U I, vI)

~~(UI ,VI) U3 := - a 2 + m

2

+ alm

sonst - UI - U2

•

Direkt aus der Definition kann man ablesen, was wir b ereits festgestellt haben: Es gibt ein neutrales El ement und aus Lemma 23.3 folgt, dass jed es Element auch ein beidseitiges Inver ses hat. Eine winzige Rechnung zeigt auch, dass iv. kommutativ ist , sodass die Verknüpfung insgesamt kommutativ ist. (Was ja a uch einleuchtend ist, denn die Gerade durch die beiden Punkte ist ja das Entscheidende für die Definition und dabei ist es natürlich egal, ob die Gerade vom ersten zum zweiten Punkt oder a nders herum geht.) Bis hierhin haben wir also eine sogenannte Quasigruppe vorli egen. Was uns jetzt üb er alle Maßen glücklich machen würde, wär e das Assoziativgesetz, und genau das ist es , was uns wirklich vor Schwierigkeiten stellt.

23.5

Die Assoziativität

23.5.1

Vorbereitung

Wir wollen nun b eweisen, dass für alle P, Q , R E E(K) gilt: (A)

Dies wird leider etliche Fallunterscheidungen und viel Geduld erfordern. Zunächst werden wir ein Lemma beweisen, das wir für die Umformungen sp äter benötigen werden:

295

23.5 Die Assoziativität Lemma 23.6 Es gilt für alle Punkte P, Q aus E (K)

(-(P fBQ)) fBP = - Q und

(-P) fB (P fB Q) = Q. Beweis: Ist P fB Q = 00, so gilt (-(P fB Q)) fB P = ( - 00) fB P = P = - Q. Nat ürlich gilt die Gleichung au ch, wenn P = 00 ode r Q = 00 ist . Wir können also o. B . d. A . nur endliche Punkte betrachten .

Wi r wissen au s der Defini tion, dass - (P fB Q) de r dri t te Punkt auf der nichtsenkrec hten Geraden durch P und Q ist . Umgekehrt kann man a be r auch sagen , dass Q der dritt e Punkt auf der Geraden durch P und - ( P fB Q) ist . Somit gilt nach Definition (-(P fB Q)) fB P = - Q. Vollkommen a nalog bew eist man die zweite Gleichung.

o

Mit Hilfe von Lemma 23.6 können wir den Fall a bhande ln, das s Q fB R = 00 ist , denn dann haben wir R = - Q und die rechte Seite von (A) geht üb er in (P fB Q) fB (-Q) , was nach dem Lemma (man benutze die zweite Gleichung und die Kommutativität) gleich P ist . Und P ist ja a uch das Erge bnis der linken Seite. An alog läs st sich der Fall P fB Q = 00 erledigen. Ebenfalls können wir den Fall behandeln, dass P fB (Q fB R) = 00 ist, denn dann gilt P = - (Q fB R) ===} P fB Q = - R nach 23.6 (er ste Gleichung a uf Q und R angewandt) und somit (P fB Q) fB R = 00 = P fB (Q fB R) . Wir können also eine weitere Einschränkung treffen und sagen , dass nicht nur P , Q, R, sonde rn au ch Q fB R , P fB Q, P fB (Q fB R) und (P fB Q) fB R vom unendlich fernen Punkt vers chieden sind .

23.5.2

Ausschluss der einfachen Fälle

Wi r be trachten je tzt die sechs Ge raden , die bei unserer Verknüpfung a uftauchen (siehe Abbildung 23.6), als da wären: Die Geraden durch

• • •

• • •

Q und R (= : m j ) , P und Q (=: [I) , P fB Q und sein Inverses (= : mz ), Q fB R und sein Inverses (= : [z), P und Q fB R (=: m3) und durch P fB Q und R (=: [3 ) '

296

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Abb. 23.6: Die drei Punkte und sechs Geraden (Auch hier meint eine Gerade durch zwei identische Punkte die Tangente.) St ellen wir die Ge raden und ihre gegens eitigen Schnittpunkte in eine r Tabelle zu sammen , ergibt sich Tab elle 23.1. Da wir davon ausgeh en , dass die vier Summen Q EfJ R , P EfJ Q, P EfJ (Q EfJ R) und (P EfJ Q) EfJ R alle ungleich 00 sind, sind insbesondere die Geraden [1 , [3 , m i und m 3 nicht senkrecht. Anders herum sind a ber [2 und m2 senkrechte Geraden, da sie zwei inverse Punkte verbinden (oder eben einen selbstinversen Punkt mi t sich selb st) . Das erklärt a uch, warum hier 00 als Schnittpunkt dieser beiden Geraden a uftaucht , denn den unendlich fernen P unk t hatten wir ja a nschaulich als oberes und unteres Ende von senkrechten Geraden festgelegt. Wie wir sehen, liegen acht von den neun Punkten in der Tabelle auf der elliptischen Kurve. Der Tr ick wird nun sein , dass der let zte Punkt X , der Schnittpunkt von [3 und m 3 , erstens wirklich existiert und zweitens a uch auf der Kurve liegt . Dann ergibt sich näm lich durch unsere Definition der Gruppenverknüpfung, dass X = - (P EfJ (Q EfJ R)) = - (( P EfJ Q) EfJ R) ist, denn X ist dann jeweils de r dritte P unkt von [3 und m 3 a uf der ellipt ische n Kurve.

297

23.5 Die Assoziativität

Tab. 23.1: Sechs Geraden und (hoffentlich) neun Punkte Q - (P EB Q)

- (Q EB R )

R

00

p

Q EB R

P EBQ X?

Durch Bilden des Inv ers en erhalte n wir daraus direkt die Gültigkeit des Assoziat ivgeset zes. Wir werden also ver suchen zu zeigen, dass es so einen Schnit tpunkt X wirklich gibt, dass also [3 und m3 nicht parallel sind, und dass F(X) = 0 ist . Damit wir den Beweis, den wir also vorhaben, wirklich führen können , müssen wir zunächst sicherstellen, dass [i und mj jeweils voneinander verschieden sind. Sch auen wir also zunächst, was passiert, wenn das nicht so ist . Es stellt sich heraus, dass wir alle sich ergebenden F älle bereits ausgeschlossen haben oder mit 23.6 erschlagen können . Wenn nämlich li = mj gilt, dann sind div erse Punkte ,,zuviel" gleich zeitig auf eine r gem einsamen Gerade und auf der ellipt ische n Kurve. Die Ide e ist also jedes Mal , dass einige der Punkte gleich sein müssen:

Fall 1 : [1 = mi Dann läg en P , Q, R auf einer gemeinsamen, nichtsenkrechten Geraden . Sind P, Q, R paarweise verschieden , so muss dann nach Definition - R sein . ===} (P EB Q) EB R = 00 . Das hatten wir ausgeschlossen .

= P EB Q

Ist P = Q -::P R od er P -::P Q = R, so funktioniert das analoge Argument mit der Tangente durch Q. Ist P = R, so gilt aufgrund der Kommutativität: P EB (Q EB R) = P EB (Q EB P) = (P EB Q) EB P = (P EB Q) EB R. -I

Fall 2 : [1 = m2 Hatten wir ausgeschlossen , da

m2

eine senkrechte Gerade ist , 11 jedoch nicht. -I

Fall 3 : [1 = m3 P, Q EB Rund - (P EB Q) lägen dann auf einer gemeinsamen, nichtsenkrechten Geraden. Sind die drei Punkte paarweise verschieden od er P = QEBR -::P - (P EB Q ), so gilt nach Definition P EB (Q EB R) = - ( - (P EB Q)) = P EB Q ~ Q = Q EB R ~ R = 00 . Das hatten wir a usgeschlossen. Ist Q EB R = - (P EB Q), so folgt P EB (Q EB R) = P EB (-(P EB Q)) 2I!::6 - Q und (P EB Q) EB R = (-(Q EB R)) EB R 2I!::6 - Q Also gilt Assoziativität. -I

298

23 Das Gruppengesetz elliptischer Kurven

Fall 4 :

(2 = rni

Analog zu m Fall 2. -/

Fall 5 :

(2

= m2

Dann liegen QffiR , P ffiQ und - (Pffi Q) auf eine r senkrechten Geraden . Auf eine r sen krecht en Gera den gibt es (mit Vielfachheiten) genau zwei endliche Punkte der elliptischen Kurve . ===}

Q ffi R = ± (P ffi Q)

Ist Q ffi R

=P

ffi Q, so gilt mit 23 .6 P

=R

===}

(1

=

m j . Das ist Falll.

Ist Q ffi R = - (P ffi Q), so gilt n ach 23.6 P ffi (Q ffi R) = - Q und (P ffi Q) ffi R = - (Q ffi R) ffi R = - Q ebenfa lls nach 23.6. Also gilt a uc h hier die Assoziativität. -/

Fall 6 :

(2

= m3

Analog zu Fall 2. -/

Fall 7: (3 = rni R,Q ffiP und - (R ffiQ) lägen dann auf einer gemeinsamen , nichtsenkrechten Ge ra den. Das lässt sich - unter Aus nutzung der Kornm u t at ivit ät - durch denselb en Beweis wie in Fall 3 erl ed igen, m an muss nur P u nd R vertauschen . -/

Fall 8 :

(3

= m2

Analog zu Fall 2. -/

Fall 9 :

(3

=

m3

Dann sind R , P und Q ffi R a uf einer gemeinsamen , nichtsenkrechten Geraden. An a log zu Fall 7 ergibt sich dann die Assoziativität. -/

23.5.3

Der letzte Fall

Nach a ll den F ä llen , in denen wir die Assoziativität schon zeigen konnten , drängt sich einem ja doch d as Gefühl auf, es müsse a uch a llgem ein ge lten. Um d as zu zeigen , bleibt uns in der Tat nur no ch ein ein ziger Fall zu untersuchen , der sich a ber als der kom pli zier t est e herausstellt. J ed e unserer Geraden ka n n a ls Nullstellenmenge eines P olynom s der Form ax

+

by + c E K [x , y] d argest ell t werden , die wir entsprechend den Gera den mit Li und mj b ezeich nen .

E benso ka nn aber auch j ede Ge rad e parametrisiert werden , wie wir es für 23.1 b er eit s getan haben :

(x ,y) = (u ,v)

+ t( rx;r y)

299

23.5 Die Assoziativität

Wir werden jetzt beid es brauchen . Zunächst setzen wir nämlich eine Parametrisierung von 11 in F ein. Wir er halt en dann ein Polynom P E K [t] (wie es genau aussieht , haben wir schon einm al b eim Beweis von 23.1 geseh en) , dess en Nullst ellen genau diejenigen t sind , die den Punkten P, Q und - (P E9 Q) ent sprech en . Wenn Punkte zusam me nfallen, dann hatten wir defini ert , dass 11 als "Ge rade durch mehrer e identische P unkte" die Tangente an E(K) meint. Dann ents pricht ein solcher ,,meh rfache r P unkt" auch eine r mehrfachen Nullstelle von F. Wir setzen diese Parametrisierung von 11 a uch in die Polynomdarstellungen von ffi1 , ffi2 und ffi 3 ein und erhalten Polynome m1,m2 ,m3 E K [t]. Diese sind vom Nullpolynom verschied en, da 11 -::P rn, vorausgesetzt ist , und die Nullstellen ents prechen genau den Schnittpunkten von h mit rn. , also Q, - (Q E9 P) und P . Daraus folgt : m1 . m2 . m 3 und P sind Polynome vom gleiche n Grad, deren Nullstellen mit Vielfachheit üb er ein stimmen. Es gibt desh alb ein a E K X mit

P=

a·

m1 .

m2' m3.

Wir nehmen uns dieses a und defini eren ein weiteres Polynom, nämlich:

Wenn wir di e P arametrisierung von h in dieses Polynom einsetzen, erhalte n wir das Nullpolynom , da ja P - a . m 1 . rh2 . rh3 = 0 herauskommt nach der eben erfolgten Überlegung. C ist natürlich ein Polynom in x und y . Wenn man ab er b -::P 0 (es sind nichtsenkrechte Geraden!) und

yn =

b~ ((ax + by + c) -

(ax

+ c)t

ausnutzt, kann man C als Polynom aus K [x][ax + by + c] darstellen, d . h ., man kann Pol ynome bis E K [x] find en mit :

,0 ,3

C (x, y) =

,3 ( x

)(ax + by + c)

3

+ ,2 ( X ) ( ax + by + c) 2 + , I( X ) ( ax + by + c) + , 0 ( x )

LI , d . h ., d as Pol ynom, des sen Nullstellenmenge gen au 11 ist, hat genau die se Form ax + by + c, und da 11 keine senkrechte Gerade ist , ist b -::P O. Wir können die ses Verfahren also hier a nwenden.

Jetz t setzen wir no ch einmal die Parametrisierung von [1 in C ein. Wir wissen schon, dass das Nu llpolynom herauskommen mu ss. Wir wissen aber a uch weit er , dass LI identisch null wird , wenn man die P arametrisierung einsetz t (LI ist ja ger ade das P olynom, dessen Nullste llenme nge h ist) . Also bleibt nur , o(x ) üb er , denn in den Summanden, wo L1(X,y) vorkommt, kommt das Nullpolynom her aus.

300 ===}

23 Das Gruppengeset z elliptischer Kurven

I'o(x ) = 0

===}

C wird von li get eilt.

Wenn man die Roll en der [ und m vert ausc ht, er hält man analog ein sodass F - ß . lIl 2b von mi geteilt wird .

ßE K

X

,

W ir setzen jetzt D = F - a mI m 2m3 - ßl Il2b. Ziel wir d es sein, zu zeigen , dass die ses Polyn om ident isch dem Nullp olynom ist. Offen sichtlich wird D von I I und von m 1 geteil t. [1 und m 1 sind verschiedene Geraden , al so sind II und m 1 t eilerfremde Pol yn ome. Also wird D sogar vom Produkt I I . m1 geteil t. D ist höchst en s ein kubisches Pol ynom , a lso gibt es ein d ri t tes, (hö ch stens) lineare s Polynom L E K [x , y], sodass

(K [x , y] hat eine einde ut ige Primfakt or zerl egung, woraus sich zus am me n mit den Graden ergi bt , dass L exist iert und höchst en s lin ear sein kann , da L höchst en s Grad drei hat .)

Wir wollen zeigen , dass L schon das Nullpo lynom sein mu ss. Zunächst bemerken wir , dass P EB Q =: (ua,v a) und Q EB R =: (U b, Vb) Nullstellen von L sind, da F (u a,va ) = l3(Ua , Va) = m 2(U a , Va) = 0 und ebens o F (Ub, Vb) = b(Ub ,Vb) = m 2(Ub , Vb) = O. Au s der Faktor zerl egung von D folgt als o, dass li (Ua , va) = 0 od er m i ( Ua , va) = L (u a, v a ) = 0 sein mu ss. W äre lI(Ua,Va ) = 0, läge P EBQ al so auf [1, so wären P, Q, P EB Q kollinear. Das hatten wir b ereits au sgeschlo ssen in Fa ll 2 weiter ob en. W äre mi (u a , va ) = 0, so sind R , P EB Q und Q kollinear. Di es ist der Fall 7 von ob en , fällt a lso ebe nfa lls weg.

o od er

Bleibt a lso L(ua , v a) = 0 übrig. Ganz a nalog können wir L(Ub, Vb) = 0 folgern. Also hat L zwei ver schi ed en e Nullst ellen (son st P EB Q = Q EB R ~ P = R , das ist wiede r Fall 1) . Daraus folgt , dass L ein lineares Polyn om oder das Nullpol ynom ist , eine von Null versch iedene Konst ante kann es nicht mehr sein . W ir wissen weiterhin , dass [2 und mz senkrechte Ge raden sind. l2 und m 2 haben daher die Form ax + c. Also kommt im Produkt lIl 2l3 nirgendwo ein y3 vor . Eb enso kommt y hö chs tens in zweit er Potenz in m im2m3 und in F vor, sodass a uch D nur y bis hö chstens zur zwei ten Potenz ent hält. Da II und mi ab er garantiert y ent halt en (denn dies sind ja nichtsenkrechte Geraden), darf L kein y meh r ent halt en , um das zu gewährleist en. Also ist a uch L von der Form ax + c.

301

23.6 Andere Ansätze

Wäre nun L linea ren Grades , so wär e die durch L definiert e Gerade ~ <:;;; «? also eine senkrechte Gerade durch P EB Q un d Q EB R, d . h . P EB Q = - (Q EB R) . Das ist Fa ll 7. So! Das wa r's! Doch , wirk lich . .Jet zt hat das Asso ziativgesetz keine Chance me hr , sich vor uns zu ver bergen, ab hier ist es geliefert: L muss das Nullpo lynom sein, weil wir inzwischen alle anderen Fälle ausgeschlossen ha ben . Also ist 0

=D=

F - amlmZm3 - ß ll lzl3

W ären

und

pa rall el, dann gäbe es (, .; E

[3

amlmZm3

m3

+ ß ( l l lzm 3 + ß';ll lz .

===}

F

[{ x

= amlmZm3 + ß h lzl3. mit b

=

(m3

+ .;

===}

F

=

J et zt setzen wir z. B . den P unk t X l = - (P EB (Q EB R)) ein . Dieser liegt a uf der ellipt ische n Kur ve und a uf ma , ist also ein e Nu llst elle von F . Ebenso ist er ein e Nu llst elle von m 3. Dem zufolge mu ss a uch l1(X I) = 0 oder lz(XI) = 0 sein . Ist X l Nullstelle von Li; so ist [1 = m 3 , ist X l Nullste lle von la, so wäre [z = rns . Beide Fälle hat t en wir ausgeschlossen ===} [3 und m 3 können ni cht par allel sein ===} ein gemeinsamer Sch nit t pun kt X mu ss exist ieren. Da m 3 und b im P unkt X Null werde n , wird also a uch F an der Stelle X nu ll. Also liegt X auf der ellipt ische n Kurve und endlich ha ben wir auch den allerletzten Fa ll erschlag en. Das Assoz iativgesetz gilt tatsächlich !

23.6

Andere Ansätze

Nac hdem wir es wir klich geschafft haben , die Assoziativität der Verknüpfung zu beweisen , will ich noch einen klein en Aus blick auf a ndere Ansätze geben , die es für diesen Nachweis gibt.

23.6.1

Projektive Geometrie

Der Ansatz , de r in Washingt on [67] verfolgt wird , ist im Grunde ein ähn licher , wie de r , den ich gegangen bin . Der wesentliche Un t er schied ist a ber , dass dort eine an de re Geo metrie betracht et wurde. An st att nämlich elliptische Kurven als P unkt me nge in « ? zu bet racht en , ist es auc h oft sinnvoll, sie als Nullst ellenme nge eines homogen en Polynom s in der pr ojekti ven E bene K p Z zu betrachten .

K p Z ist dabe i die Men ge ( [{3 \ { 0 })/ "', wobe i VI '" Vz : -{::::::::} VI = AVZ für ein A E «<. Die Äquivalenz klasse des Vekt ors (u,v ,w) wird dann als (u : v : w) geschrieben . Was ist de r Vorteil der proj ek tiven Bet rachtungsweise?

302

23 Das Gruppengeset z elliptischer Kurven

Zum eine n kann man die "norma le" Eben e al s Teilmenge der projektiven betracht en , indem man den Punkt (u , v) in J( p 2 als (u : v : 1) einbe ttet. Zum ander en kann man gleichzeitig unendlich ferne Punkte mi t einfü hre n, indem man die Punkte, die nicht von dieser Einbet tung getroffen werden , al s die unendlichen Punkte defini er t . Da kon stante Vi elfa che b ei den Äquival en zkl assen keine Rolle spielen , sind das al so gen au diejen igen Klassen mi t projektiven Koordinaten (u : v :O) . An st elle unseres Pol yn oms P wird ein homogenes P olynom dritten Grades p i b enutz t , das durch p i (x, y , z ) = y2z +a l xy z + a3yz2 _x 3 -a2x 2z -a4xz 2 -a6z 3 gegeb en ist . Es muss ein homogenes P olynom sein , um sicherzustellen , dass die Nullstellenmenge des P olynoms in der projektiven E bene wohldefiniert ist , denn wählt man a us der Nebenklasse (u : v : w) einen Vertreter , al so eine n Vektor (AU, AV, AW) und setzt ihn in p i ein, so erhält man

p '( AU, AV, AW) = A3 pl (U ,V,W). Das rechtfer tigt es al so , auch in der projektiven Eben e von der Nullstellenme nge des P olynoms pi zu sp rec hen. Man erkennt schne ll, dass P( u , v) = pi (u , v , 1) ist und somit die Id entifikati on der endliche n Punkte unser er (affin en) elliptische n Kurve mi t den en der projektiven Variante supe r funktioniert . De r Vorteil liegt a uf der Hand, sobald man etw as mehr über die projektive Geometrie weiß : J et zt kann man das a lles wesentlich verkürzen , da man den unendlich fernen Punkt nicht mehr in jed em Beweis und jed er Definition ext ra unt ersuchen muss. Er entspric ht ganz einfac h dem Punkt (0 : 1 : 0), den man b ehandeln kann wie jeden a ndere n . (Im Geg en sa tz zu unserer Definit ion von E (J( ) gib t es in de r projek tiven Eben e nicht mehr "den" unendlichen Punkt , sondern i. A . mehrere. E s gibt aber nur einen, der Nullst elle von p i ist , daher a uch jetzt no ch die Bez eichnung.) Ebens o wird eine Unters cheidung von senkre chten und nichtsenkrechten Ger aden überflüssig, genau wie man au ch ni cht mehr auf parallele Ger aden b esonders a chten muss. Alle Ger aden schne ide n einande r in eine r projektiven Eben e (notfall s in eine m unendlichen Punkt) . Man kann dann gene re ll sagen: "Liege n dr ei Punkte eine r ellipt ische n Kurve auf eine r geme ins a me n Gerade, so verschwindet ihre Summe." Das konnten wir in de r affinen Variante nur für nicht senkrech te Ge raden sagen. Tr ot z a ll dem schi en mir der Bewei s aus diesem Buch nicht geeign et . E r war a n einigen St ellen sehr schwam mig und t rot zdem für mi ch nicht einfach genug, viel e Schrit te konnten weggel as sen od er wesentlich verkürzt werden . Projektive Koordinaten ext ra für diesen Beweis einz ufü hre n, ersch ien mir a uch zu umständlich. Und die Handhabung des Beweises war schon deshalb schwieriger , da man überall mindesten s eine inhalb Mal so viele Koordinaten und Variablen zu überblicken hatte.

303

23.7 Abschluss

Für eine n Fort ges chrit tene n ist dies siche rlich ein inter essan t er Weg , der von mir gesuc hte eleme nt are Beweis für E insteiger ist es j ed och siche r ni cht.

23.6 .2

Divisoren

Es gibt eine n weitere n Beweisansat z, der ä ußerst elega nt und kurz daherkommt . E r benut zt die sogenannten Divisor en . Technisch geseh en ist die Menge der Di visor en Di v(E) eine r ellipt ische n Kurve E (K) die freie ab elsche Gruppe über den El em en t en von E (K ), d . h ., j ed em Punkt P E E (K ) wird ein Erzeuger [P] zuge ord net, und ein Di visor ist eine formale (a be r en dliche!) Summe a oo [00] + ap [P] + aQ[Q ] + ... mi t a oo , p ,aQ , ' " E Z. ü

Die Divi soren sind eine Gruppe (das lässt sich ja b ei der Bezeichnung "freie abelsche Gruppe" be reits vermuten, ist a ber auc h seh r leicht nachz urechnen) . Der Trick ist nun , dass man eine Untergruppe Divo( E) der Divi sor en betrachtet und davon wied erum eine Faktorgruppe. Dann kann man einen Isomorphismus von dieser Faktorgruppe nach E(K) find en . Da in der Faktorgruppe selb stverst ändlich das Assoziativgeset z gilt , überträgt sich diese Eig en schaft dann auf E(K) . Der Vorteil dieser Herangeh ensweise ist auch klar: Es ist ein ä ußerst schöne r, effizienter und kurzer Beweis. Leider ist er a uch sehr schwierig vorzubereiten. Wenn man es direkt versucht , hat man große P robleme, die Faktorgruppe und den Isomorphismus er stens zu finden und zweitens nachzurechnen , das s der Isomorphismus wirklich eine r ist. Um das zu vermeiden , braucht man wied er neu es Handwerkszeug, und gen au da stecken die Kanonen auf Spatzen , die ich eigent lich vermeiden wollte. Kurzum : Für den Profi ist die s sicherl ich der Bewei s schlecht hin, er hat a lles , was man sich wünscht , a ber wieder ist man weit davon en tfernt , ein en für total e E insteiger lesenswert en Bewei s gefunden zu haben.

23.7

Abschluss

So , das wa r me in Bei t rag über das Gruppengesetz elliptischer Kurven . Ich hoffe , dass er vielleicht dem Einen oder Anderen nu tzen wird , der nach die sem Thema sucht , wie ich es getan habe. Möglicherweise gib t es ihn j a doch , den einfachen , kurzen und elementaren Beweis de s Assoziativgesetzes, nach dem ich lange vergeblich sucht e.

F(miJg , Gockelj) = 0 Johann es Hahn (Gockel) ist Dipl.-Math. und promoviert in J ena.

24 ECC - Elliptic Curves Cryptography

Übersicht 24.1 Einführung

305

24.2 Das Problem des diskreten Logarithmus

306

24.3 Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman

308

24.4 Public-Key-Verschlüsselung nach E lGamal

309

24.5 Sign ierung nach E lGamal und mit ECDSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 24.6 Index Calculus

313

24.7 Abschluss

315

Wi e versprochen, möcht e ich nach dem Gruppengesetz ellipt ischer Kurven nun die hervorstechendste Anwendung elliptischer Kurven in der Praxis vorstellen: Die Verwendung in der Kryptographie. Insb esondere gehe ich dabei auf Schlüsselaustausch, asymmetrische Ver- und Entsch lüss elung sowie Signierung mit Hilfe von ellipt ische n Kurven ein .

24.1

Einführung

Ich werde in diesem Kapitel sehr "universelle" Verfa hren für drei der wesentlichen Grundaufgaben der Kr yptographie vorstellen, die in der Praxis a ber oft a uf die elliptischen Kurven sp ezialisiert werden. Es soll dab ei um ganz wesentlich e Bestandteile des ver schlü sselt en Informationsaustausches gehen: Die Beschaffung eine s geh eim en Schlüssels für symmetrische Verfahren, Versch lüss elu ng mit öffentlichem Schlüssel und Signierung von Dat en .

306

24 ECC -

Elliptic Curves Cryptography

Viele kr yptogr aphische Verfahren basieren auf "asymmet rischen" P roblems tellungen , sogenannten Einweg- und Tr apdoor-Einwegfunktionen . E ine Funkt ion f heißt dabei Einw egfunktion , wenn 1. 2.

y = J(x ) effizient a us x be rec hne t werde n kann und zu eine m gege be ne n y nicht mit vertretbar em Aufwand ein pass endes Urbild gefunde n werde n kann .

"Effizient" meint dab ei in 1., dass es eine n de t ermi nisti schen Algorithmus gibt , der y in Polynomi alzeit aus x ber echnet . Im Gegen satz dazu darf sich die Op eration auch mit eine m probabilisti schen Algorithmus nicht in Pol yn omialzeit umkehren lassen . (Am b est en a uch dann nicht , wenn man st at t des Worst-Case den Average-Case betrachtet , denn auf den kommt es in der P raxis ja an .) Es gibt viele Funktionen , von den en man vermutet , sie seien E inwegfunktionen. Solche verwendet m an z. B . b ei Hashalgorithmen . Die t atsächliche Exis te nz einer solche n Funktion hat allerdings bish er niemand nachweisen können . (E in solcher Beweis hätte übrigen s die Ungleichhe it von P und NP unmittelbar zur Folge.) Zum Beispi el wird vermut et , dass die Mu ltiplikation von Primzahlen eine solche Einwegfunktion ist , denn die Mul tip likation als solche ist seh r schnell durchführbar , während für die Zerlegung in P rimfak toren bishe r kein Algorithmus mi t vert retbarer La ufzeit bekannt ist . Int eressant wird es für Vers chlüsselungen bei den sogena nnt en Trapdoor-Einwegfunktion en . Dies sind Funktionen , die b ei Kenntnis eine r Zusat zinformation ebe n doch die effiziente Umkehru ng ermögliche n . Eine solche t rit t bei vielen PublicKey-Verfahren auf. Beliebter Vertret er dieser Sp ezies ist das RSA-Verfahren , das darauf basier t , dass die Exponentiation modulo n sehr effizient machbar ist , während das Berechnen eine r Wurzel praktisch undurchführbar ist , es sei denn man kennt den privaten zweiten Exponenten , mit dem die E ntschlüss elung erfolgt.

24.2

Das Prob lem des diskreten l ogarit hmus

Die vier Algori thmen , die ich nun vorst ellen werde, machen von einem ähnlichen P roblem Gebrauch . Es geht dabei um das Diskreter-Logarithmus-Problem (a bgekürzt DLP) . In seiner allgemei nen Formulierung ist das DLP folgende Problem stellung: Man hat die zykl ische Gruppe r = (,) (inklusive de s Erzeuger s , ) sowie ein Elem en t 'ljJ E r gegeben . Das Problem be steht nun darin , einen Exponenten k E Z zu find en, sodass 'ljJ = gilt . (Da man meisten s endliche Gruppen betrachtet, geht es genau genom me n nur um die Bestimmung von k mod [T[]

,k

24.2 Das Problem des diskrete n Logarithmus

307

Für bestimmte Gruppen ist dies sehr einfach zu erle digen: Wenn man z. B . die Untergru ppe (2) von ()l x , .) b etrachtet , dann liefert eine Anwendung des binären Logarithmus effizient di e gesuchte Lösung. Auch in den "P rot oty pe n" der zyklische n Gruppen (Z jnZ , + ) ist das Problem sehr einfach, da man nur eine Division mod n durchführen muss. Diese Gruppen eignen sich a lso nicht für kr yptographische Zwecke . Doch schon , wenn man die multiplikativen Gruppen der en dliche n Körper JF~ betrachtet , wird das Problem ungleich schwi eriger. In der Tat lässt sich das DLP in diesen Gruppen nur mit eine m ähnlich hohen Aufwand lösen, wie man ihn zur Faktorisierung natürlicher Zahlen b enötigt. Für uns von besonderer Bedeutung sind aber natürlich die Punktgruppen elliptischer Kurven über endlichen Körpern. Sie sind zwar i. A. nicht selbst zyk lisch, aber man kann einfach ein Element a uswä hlen und die von ihm erzeugte Untergruppe betrachten. Wenn man die Kurve und diese Untergruppe geschickt wählt , dann ist das DLP für diese Konstellation mit keinem bekannten Algo rithmus vernünftig lösbar. Aus diesem Grund sind elliptische Kurven und die Verfahren, die a uf dem DLP beruhen, vom kryptographischen Standpunkt so interessant: Ein diskreter Logarithmus lässt sich bei geeigneter Wahl der Punktgruppe nämlich sogar noch schwerer berechnen a ls die Faktorisierung einer Zahl. Das führt zu dem , was ich einleitend schon erwähnte: Für die gleiche Sicherheitsstufe benötigt ein Algorithmus , der auf Faktorisierung beruht , ungleich größere Zahlen als ein Algorithmus , der auf dem DLP in elliptischen Kurven beruht. Ein weiterer wichtiger Grund, elliptische Kurven zu verwenden , ist , dass die Gruppenoperation rel ativ schnell ausgeführt werden kann . Eine Gruppe ist klarerweise nur dann von praktischem Nutzen, wenn nur das Knacken einer Verschlüsselung oder eines anderen Verfahrens praktisch nicht machbar ist, während das Anwenden des Verfahrens effizient sein muss. Woran aber liegen diese Unt erschiede zwischen den einzelnen Gruppen? Ein elementarer Satz der Gruppentheorie sagt uns doch eigentlich, dass alle zyklischen Gruppen derselben Mächtigkeit zueinander isomorph sind . Wieso sind trotzdem verschiedene Vertreter derselben Isomorphieklasse mal mehr und mal weniger geeignet für kryptographische Anwendungen? Die Antwort liegt in der Art dieses Isomorphismus: Es ist nämlich genau der diskrete Logarithmus , der diesen Isomorphismus zu den "Prototypen" Z bzw. ZjnZ darstellt. Wie schwer das DLP in einer Gruppe I' zu lösen ist , hängt also davon ab , ob man dies en Isomorphismus in eine effizient ber ech enbare Form bringen kann. Und gen au das ist in viel en Gruppen noch niemandem gelungen . Es ist also der vielzitierte Unterschied zwisch en Theorie und Praxis, der das DLP wirklich interessant macht.

24 ECC -

308

24.3

Ellipt ic Curves Cryptography

Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman

Zunächst soll es nun um den Sch lü sselaustausch nach Diffie-Hellmann gehen. Die s ist ein simples Protokoll, welches es zwei Gesprächspartnern, die traditionellerweise mit A(lice) und B (ob) bezeichnen werden , ermöglicht , über einen öffentlichen Kanal (der a lso u . U. abgehört werden könnte) derart Informationen a ust auschen, dass sie danach beide ein und denselben "Wert" haben , a us dem sie einen gemeinsamen Schlüssel für eine geschützte Kommunikation ermitteln können . Das Vorg eh en ist dab ei das Folgende: 1.

2. 3. 4.

A und B verständigen sich öffentlich über eine Gruppe (r) . Sowohl A a ls a uch B wählen geheime Zufall szahlen a bzw. b und berechnen K;A = "(a bzw. K; B = "( b. Diese Werte K;A bzw. K;B schicken sie sich gegens eitig. A b erechnet a us den ihr b ekannt en Werten K;ß und B b erechnet analog K;~.

Wegen K;ß = (rb ) a = "(a' b = ("(a)b = K;~ erhalten sie beide dasselbe Gruppenelement, während ein eventueller Lauscher nur "(, "( a und "( b kennt . Dieses Gruppenelement kann nun auf eine vorher festgelegte V/eise dazu benutzt werden, um einen gemeinsamen Schlüssel für eine symmetrische Verschlüsselungsmethode zu finden. Kann a lso in der zyk lischen Gruppe das DLP effizient gelöst werden , dann kann man auch effizient den geheimen Schlüssel von A und B ermitteln. Wenn man hingegen eine "gute" Gruppe findet , d ann sind die Aussichten für den eventuellen Lauscher, den geheimen Schlüssel zu finden , sehr entmutigend. Diese Fragestellung, ob es möglich ist , aus den drei öffentlichen Werten den Schlüssel zu ermitteln, heißt a uch Dijfie-Hellmann-Pro blem . Die einzige bekannte Möglichkeit , es zu lösen , ist eben genau die Anwendung des diskreten Logarithmus . Solange man a lso eine Gruppe findet, in der das DLP prakt isch ni cht zu lösen ist , ist man mit Diffie-H ellmann auf der sicher en Seite. Selbst das schwächer e Dijfie-Hellm ann-Entscheidungsproblem, b ei dem es nur darum geht, zu überprüfen , ob eine geraten e Lösung die richtige ist, ist in vielen Grupp en (z. B . in endliche n Körpern) bisher nicht ohne diskret en Logarithmus vern ünft ig lösbar. (Wobei hier die endliche n Körper im Vorteil sind. Zumindest dieses Entscheidungsproblem ist nämlich b ei einigen Klass en von ellipt ische n Kurven seh r effizient lösbar.)

24.4 Public-Key-Verschlüsselung nach EIGamal

24.4

309

Public-Key-Verschlüsselung nach EIGamal

Während das Diffie-Hellmann-Protokoll dazu dient , zwei Kommunikationspartnern einen gemeinsamen Sch lüssel für eine symmetrische Verschlü sselung zu beschaffen, wird das nun folgende Protokoll eine asymmetrische Verschlüsselung bereit stellen , d. h . ein P ublic-Key-Verfahren , welches genau wie Diffie-He llm ann auf dem DLP beruht. Benannt ist dieses Protokoll nach dem US-amerikanischen Kryptologen Taher EIG amal (der oft auch Tahir al-Dscham al geschrieben wird) Prinzipiell gibt es drei Stufen des Protokolls (wie üblich sind unsere beiden gesprächigen Kryptographen mit A(lice) und B(ob) b ezeichnet ): i.

Erzeugung des Schlüssels für A a) b) c)

ii.

A wählt eine endlich e, zyklische Gru ppe r = (r). Sie wählt zufällig ein e ganze Zahl x E { 2, . . . , [T] - 2 } un d b erechnet 'ljJ:= , x. A hat nun (r" , 'ljJ ) als öffentlichen un d x als privaten Schlüssel.

Verschlüsselung eine r Botschaft für A von B: a) b) c)

B besorgt sich den öffentlichen Sch lüssel von A und stellt seine Nachricht als ein E lement 11, E r dar . Er wählt eine zufällige ganze Zahl k E { 2, . . . , Irl - 2 } und berechnet a := , k sowie ß := Jl,'ljJk. B üb erträgt an A die Werte a und ß.

iii . E ntschlüsselung de r Botschaft a)

A berechnet mit Hilfe ihres privaten Sch lüssels x einfach Jl,

= ß(a X)- l .

Dies funktioniert deshalb, weil

ß(a X)- l = Jl, .» 'f/ . (k) , - x = 11, (, x)k . (, k) - x = Jl" xk " ( xk )- l = Jl, ist. Der EIGamal-Algorithmus hat wesentlich e Vort eile gegenüber anderen asymmet rischen Verfahren: Dadurch, dass man eine zufällige Zahl k zur Verschlüsselung verwen det, hängt der chiffriert e Text im Idealfall nicht mehr vorh ersehbar vom Klart ext a b : Der gleiche Klartext kann mit dem selben Schl üss el viele verschiedene Chiffretexte ergeben. Dadurch könn en Angriffe, die mit gewähltem Kla rt ext ar beiten, unwirksam gemacht wer de n . Ebenso werde n statistische Angriffe unbrauchbar , da die Verteilung des Chiffretextes einer Gleichverteilung a ngenähert wir d. Nur wenn das Problem des diskreten Logarithmus in r praktisch lösbar ist , ist es bisher möglich, die Verschlüss elung zu br ech en. Das heißt ab er wie im let zten Abschnitt, dass lediglich kein ander es Ver fahren bekannt ist, die Verschlüsselung zu knacken, ohne das DLP zu lösen. In der Praxis ist das aber natürlich völlig ausreich en d.

24 ECC -

310

24.5

Ellipt ic Curves Cryptography

Signierung nach EIGamal und mit ECDSA

Neben der reinen Verschlüsselung von Daten ist eine der Hauptanwendungen der Kryptographie natürlich auch das Sicherstellen der Authentizität von gesendeten Daten. Man braucht also ein Verfahren, mit dem Alice überprüfen kann, ob ihre empfangene Nachricht tatsächlich von Bob stammt. Manchmal ist es möglich , die asymmetrische Verschlüsselung und die Signierung in einem Algorithmus zu kombinieren (z. B. beim RSA -Public-Key-Verfahren ist dies de nkbar) . Ich werde aber zwei eigenständige und allgemeine Signierungsprotokolle vorstellen , die mit jeder Versch lüsselungsmetho de genutzt werden können : Die Signierung nach EIGamal und de n Elliptic Curues Digital Signature Algorithmus (abgekürzt ECDSA) .

24.5.1

EIGamal-Signatur-Algorithmus

Dieser Algorithmus läuft ebenfalls in drei Schritten ab: i.

Erzeugung des Sch lüssels für B. a)

b)

e) d)

ii.

B wäh lt wieder eine endliche, zyklische Gruppe F = (r) mit N Elementen. N wird üb licherweise so gewählt, dass es einige sehr große Primfaktoren hat oder am b est en selbst prim ist. Außerdem wählt er eine Funktion f : I' --+ Z, die die Eigenschaft hat , dass die einzelnen Urbilder nur sehr wenige Gruppenelemente enthalten. Ebenfalls wäh lt er wieder eine Zahl x E {2 , ... , N - 2} und berechnet 1/; =

,x.

B veröffentlicht den Sch lüssel (f" , 1/;, 1). Sein privater Sch lüssel ist wie gehabt x.

Signieren einer Nac hricht von B für A. a) b) e)

B stellt die Nachricht als ganze Zahl m dar (Hashfunkt ionen sind in diesem Zusammenhang üb lich, da sie die Größe von m beschränken) . B wäh lt eine zufällige Zah l k mit ggT(k, N) = 1 und ermittelt p = Sch ließlich wird s = k -I(m - z - f (p)) mod N berechnet . Die Signatur ist dann (m , p, s).

,k.

iii. Verifizieren der Signatur durch A a) b) e)

A hat Kenntnis von (m, p, s) und dem öffentlichen Schlüssel (f", 1/;, 1) von B. Sie berechnet V I = 1/;f( p) . p" sowie V 2 = Ist V I = V2 so akzeptiert A die Signatur als korrekt.

,m.

Zunächst untersuchen wir, warum dies funktion iert , d . h ., wieso b ei einer korrekt signierten Nachricht tatsächlich VI = V2 ist:

311

24.5 Signierung nach EIGamal und mit ECDSA

Ist (m , p, s ) eine korrekt e Sign atur , so gilt k , s = m - x . f (p) + h N für ein h E Z. Daraus folgt : Vi

= 'ljJf(p) . pS

= ('"yx ) f(p)

.

c'l )S

= ,x·f( p ) . - : :

= ,x· f (p )+m -

x·f(p )+hN

= ,m. ('"yN)h

=

V2 ·

1

Die zweite Frage, die sich a ufdrängt , ist nat ürlich , was für eine Funkt ion f denn da verwendet werden soll. ElGamal hat seine Verfahren zunäch st für die multiplikativen Gruppen der endlichen Körper entwickelt. Wenn man dann z. B . als Ausgangspunkt hat , dann bietet sich für f die kanonische die Gruppe Abbildung nach { 1, ... , p - 1 } a n, die a us jeder Re stklasse den passenden Repräsentan ten aus wählt.

JF;

Wenn stattdessen I' eine Unt ergru ppe einer ellipti schen Kurve E (JF p ) ist, dann ist (u, 11) >--+ U eine übli che Wahl für f. Welche Funktion man let zt en Endes benutzt , ist zunächst egal. Aus Sich erheitsgründen sollte jed och die ob en genannte Bedingung sich erg est ellt werden , dass nicht all zu viele Gruppen elem en t e dasselb e Bild unter f haben . Im Beispi el wär e f z. B . inj ekti v, im Beispi el der ellipti sche n Kurven hätten höchst en s zwei Punkt e dasselb e Bild un t er f .

JF;

Au ßerdem mu ss sich f nat ürlich au ch effizient au swert en las sen , sonst würde das Verfahren seinen pr ak ti schen Nu tzen verlieren. Die nächst e Fragest ellung ist die nach der Sicherheit des Verfahrens : Ist es dem Auß en st eh enden C(harles) möglich, fremde Nachrichten mit Bobs Signatur zu ver sehen?

,m

Um dies zu tun , mü sst e C ein Tripel (m , p, s) erzeugen , das 'ljJf( p ) . p" = erfüllt. Bekannt sind ihm dazu nur Bobs öffentlicher Schlüssel (r, I , 'ljJ , f) sowie die Nachricht m. C könnte also ein p fest set zen und versuchen , ein dazu passendes s zu find en . Dazu müsste er die Gleichung pS = . 'ljJ - f ( p ) nach s a uflösen können , er müsste

,m

also eine n di skr et en Logarithmus bestimmen . Nach un serer Gen eralannahme, dass dies prakti sch nicht machbar ist , fällt dieser Weg weg. E in a nderer Weg wär e es , s festzul egen und ein passendes Gruppen elem ent p zu nach p a ufgelöst werden. Es find en . Dazu mü sst e die Gleichung 'ljJ f ( p) . ps = wird allg em ein a ngenom me n, dass dieses Problem mindest en s genauso schwer ist , wie das P roblem des diskr et en Logarithmus, wenn nicht noch schwerer.

,m

24 ECC -

312

Elliptic Curves Cryptography

Sicher ist das allerdings nicht, da dies e Frage noch nicht vollständig untersucht wurde. Jetzt kommt auch die Bedingung ins Spiel, dass das Bild von f nicht wesentlich kleiner als T selbst ist. Wäre im(J) nämlich sehr klein, so könnte C alle möglichen 'lj;- ! (Pi) nach p auflösen Bilder f(p;) durchprobieren, die Gleichung p" = und prüfen , ob f(p;) = f(p) ist. Je kleiner im(J) ist , desto wahrscheinlicher ist es dann , schnell einen Treffer zu landen und so eine gültige Signatur (m, p , s) zu produzieren.

,- ,r .

Da man sich ja o. B. d. A . alle Exponenten modulo N = [I"] reduziert denken kann, muss die Wahl von f eigentlich noch weiter eingeschränkt werden. Auch die Gruppenordnung N darf nicht allzu beliebig sein, da sonst noch weitere Angriffe mög lich wären, wenn N eine ungünstige Primfaktorzerlegung hat. Daher wäh lt man meist solche Untergruppen, deren Ordnung große Primfaktoren hat oder die selbst prim ist. Es ist auch noch offen, ob es vielleicht ein Verfahren gibt, p und s zugleich zu bestimmen. Bisher ist es aber niemandem gelungen und deshalb wird das Signatur-Verfahren nach ElGamal auch als sicher angesehen.

24.5.2

ECDSA

Ein zweiter, dem ElGamal-Verfahren sehr ähnlicher Signaturalgorithmus ist der Elliptic Curves Digital Signature Algorithmus - abgekürzt ECDSA -, der eine Abwandlung des klassischen Digital Signature Algorithmus (DSA) für die Benutzung mit elliptischen Kurven darstellt. Wie auch die ElGamal-Protokolle wurde der DSA nämlich zunächst für endliche Körper definiert. i.

Erzeugung des Schlüssels für B . a)

b) c) H.

B wählt eine (ausnahmsweise multiplikativ geschriebene) elliptische Kurve E(lF p ) , deren Ordnung gleich l'q ist , wobei q eine große Primzahl ist und l eine kleine Zahl. B wählt einen Punkt, E E(lFp ) der Ordnung q und wie gewohnt eine zufällige Zahl x und berechnet daraus 'lj; = Die Information (E , p, q, " 'lj;) werden öffentlich gemacht, x wird geheim gehalten.

,x.

Signierung einer Nachricht für A von B. a) b)

B stellt seine Nachricht wie gehabt als natürliche Zah l m dar. Er wählt zufällig eine Zah l k E { 2, .. . , q - 2 } und berechnet das Gruppenelement p = = (u, v) E lF~.

,k

313

24.6 Index Calculus

c) d)

Daraus berechnet er 8 = k - 1 (m + xu) mod q. Falls einfach ein neues k und versucht es noch einma l. Die Signatur ist wieder (m, p , 8).

8

= 0, so wählt B

iii. Verifizierung der Nachricht durch A . 1

m mod q und b2 =

1

a)

A b er echnet bt =

b) c)

Sie berechnet weiterhin p' = '""/' . 'ljJ b2 • Die Signatur wird akzeptiert, wenn p' = p ist .

8-

.

8-

.

u mod q.

Wir können uns auch hier durch eine winzige Rechnung davon überzeugen, dass der Algorithmus bei einer gültigen Signatur perfekt funktioniert . Dann gilt nämlich:

p'

= /, . 'ljJ b2 = 'Ts

-1

·m .

bX)S

- 1 ·U

= 'Ts - ' .(m+x u ) = 'T

k

= p

Die Sicherheit von ECDSA ist vergleichbar mit der des ElGamal-SignaturAlgorithmus, da ein Angreifer vor denselben Problemen stehen würde. Der wesentlichste Unterschied liegt in der Effizienz: Für die Verifizierung einer Nachricht benötigt Alice beim ElGamal- Verfahren drei Exponentiationen , beim ECDSA-Verfahren nur zwei , die sich auch noch etwas effizienter als normal gestalten lassen. Da dies der rechenaufwändigste Schritt ist , ist jede Verbesserung willkommen in der Praxis.

24.6

Index Calculus

J etzt möchte ich kurz noch den tieferen Grund besprechen , wieso elliptische Kurven gegenüber der zweiten großen Klasse von kryptographisch verwendbaren Gruppen - den multiplikativen Gruppen der endlichen Körper - so sehr im Vorteil sind . Das liegt am sogenannten Irulex-Calculus-Alqoritlimue , der es in endliche n Körpern erlaubt, das Problem des diskret en Logarithmus et was effizienter zu lösen als in ander en Gruppen. Ich deute kurz an , wie der Algorithmus über lF p funktioniert .

24 ECC -

314

Elliptic Curves Cryptography

JF;

,k.

Gegeben ist wie gewohnt ein erze ugendes E leme nt, von und ein weiter es Elemen t 'lj; E Gesu cht ist eine ganze Zahl k mi t 'lj; = Wesentlicher Grundst ein ist , dass die Abbild ung des diskret en Logarithmus auc h in endliche n Gruppen aus Produkten Summe n macht :

JF; .

Dies wir d im Algorithmus a usgenutzt, um log,,(b) fü r gan z be st immte b E T zu b est immen und da raus schließ lich log" ('lj; ) zu ermit t eln. 1.

2.

3. 4.

Man wählt eine soge nannte Faktorbasis B , die die P rimzahlen bi s zu eine r gew isse n Gren ze enthält. Man be rec hne t ver schi ed en e Potenzen und ver su cht, je eine n Repräsent anten in ein Produkt a us Eleme nten von B zu faktori sier en . Anhand eine r solche n " B-Zerlegung" erhält m an eine lin eare Gleichung für die diskreten Logarit hme n der E leme nte a us B. Wenn man genüge nd solche r Gleichungen zusamme n hat, kann m an mittels lin earer Algebra die diskreten Logarithmen der E leme nte von B ausrechnen. Danach ver su cht m an , 'lj; ode r ein Vielfaches von 'lj; ebenfalls in P rimfakt ore n aus B zu zerlegen. Gelingt dies, so erhält man eine lin eare Gl eichung für log" ('lj;), in der nur die in zwischen bekannten Werte log,,(b) für b EB vorkommen.

,k

Zunächst ein Beispi el, um das Wirkungsprinzip zu verdeutlichen : Sei p = 401 " = 6 mod p und 'lj; = 214 mod p. 1. 2.

W ir wählen B = { 2,3 }. Inde m wir für k = 1,2,3, ... ber echnen und jeweils ver su chen , die E rgebnisse zu fak to risieren , erh al ten wir folgende Glei chungen:

,k

, I , 15

3.

== 2 1 . 3 1 mod 401 == 20 . 3 5 mod 401

Umformulier t sind das die Gleichungen: 1 == 1 . L 2 + 1 . L3 mod 400 15

== 0 . L 2 + 5 . L 3 mod 400

Wobei L b die Abkürzung fü r log,, (b) sei. Die s ist ein ganz no rmale s lineares Gle ichungssystem , das wir rela t iv einfach lösen können. Dab ei erhal ten wir nach einer Probe der versch iedenen Möglichkeit en (da 5 und 15 Nullteiler in Z/400Z sind , gib t es mehr als eine Lösung) :

L2 == 238 mod 400 L3

== 163 mod 400

315

24.7 Abschluss

4.

Wir können nun mit Hilfe der Relati on 2 . 'Ij; == 428 == 3 3 mod 401 den diskr eten Loga rithmus finde n: log, (2) + log, ('Ij;) == 3 . log, (3) mod 400 ===} log, ('Ij;) == 251 mod 400.

In sgesamt hat der Algorithmus eine Laufzeit von et wa O(ex p (y!2 . In p . In In p)) . Damit ist er allgem ein verw endbar en Algorithmen deutlich üb erl egen, denn diese haben bish er eine Laufzeit von O( yp) = O(ex p( ~ . In p). Der wichtigst e Effizien zfaktor a m Index-Calculus-Algorithmus ist dabei die Wahl von B . W ählt man B klein er , sinkt die Wahrscheinlichkeit , B-faktorisierbare Körperelem ente und nü t zlich e Relationen zwische n ihnen zu find en . Wählt man B größer, steigt die Laufzeit des Algorithmus jedoch dramatisch an . Man kann den Algorithmus auf offensichtliche Weise auf b eliebi ge endliche Körper üb ertragen , denn diese können ja als Quotienten der Pol ynomringe lFp [x] reali siert werden. Da man au ch in Polynomringen eine einde ut ige Primfaktorzerlegung hat , funktioniert das Verfahren a uch dort. Man mu ss in B dann a uch die Primelem ente des Polynomrings zulassen (d. h . die irreduzibl en P olynome) . Der Punkt ist a be r, dass der Index-Calculus-Algorithmus unbedingt die Möglichkeit zur Faktorisierung benötigt . So et was wie eine Primfaktorzerl egung ist in allg em ein en Gruppen a ber nicht gegeb en . Der Algorit h mus lässt sich also nicht weit er au sdehnen. Vor allem lässt er sich nicht a uf elliptische Kurven um sch reiben , und dort bleiben einem Angreifer im Idealfall nur die wesentlich langsameren , allgem einen Verfahren .

24.7

Abschluss Die vielfältigen Mögli chkeiten, das diskrete-LogarithmusProblem zu kr yptographischen Zwecken zu benutzen, werden in der Praxis vor allem über endlichen Körpern und elliptischen Kurven eingesetz t . Wie wir gesehen haben , sind ellipti sche Kurven a ber heutzutage deutli ch im Vorteil gegenüber den endlichen Körpern . Ich hoffe ich konnte euch die se Anwendungen und Vorteile elliptischer Ku rven etwas näher bringen. log mf 9 (Go ckel)

25 Primzahlen und elliptische Kurven

Übersicht 25.1 Mathematisches üb er ellipt ische Kurven

317

25.2 ECM -

319

Fak torisierung mit elliptischen Kurven

25.3 Zertifizierung von Primzahlen

322

25.4 Abs ch luss. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . .. . . . . 325

Nach den zwei vor angegangenen Kapiteln über das Gruppengesetz elliptischer Kurven und die Elliptic Curves Cryptography soll es nun im dri t t en Kapitel um zahlentheoretische Anwendungen ellipt ische r Kurven gehen . Ich wer de dabei den Faktorisierungsalgorithmus nach Hendrik Lenstra und das Go ldwasser-KilianPrimalitätszertifikat vorstellen .

25.1

Mathematisches über elliptische Kurven

Bevor es richt ig losgeht , möchte ich kurz et was zur Mathematik der ellipt ische n Kurven sag en . Wir benötigen dieses Mal nämlich ein wenig mehr mathematisches Handwerkszeug als das rein e Gruppengeset z.

25 .1.1

Hasses Satz

Ein grundlegender , aber äußerst nützlich er Satz ist nach Helmut Hasse b enannt . Er liefert eine Abschätzung für die An zahl der Punkte ein er ellipt ische n Kurve üb er endliche n Körpern:

Sa t z 25.1 (Satz von H a sse ) Ist E( lF q) eine elliptisc he Kurve, so gilt q + 1 - 2yq 50 IE (lFq)150 q + 1 +

2yq.

318

25 Primzahlen und elliptische Kurven

Ich werde den Satz in diesem Beitrag ohne Beweis benut zen , da der Beweis et was lä nge r ist , wenn man ihn von Anfa ng a n a ufba ue n mu ss, und außerde m keine für diesen Darst ellung int er essanten Er kennt n isse liefer t. Es sind neb en diesem Satz noch viele weitere Au ssa gen zur Gru ppe no rd nung möglich und mit Schoofs Algorithmus ist es a uch mö glich, sie effizient zu b erechnen . (Scho ofs Algorithmus ber echnet die An zahl P unkte eine r elliptische n Kurve über eine m endliche n Kör per in po lynomieller Zeit.)

25.1.2

Elliptische Kurven mod n

Wir werden uns mit Algorithmen beschäftigen, die der Beantwortung wesentliche r Fr agen der algorithmischen Zahlentheorie dien en , nämlich der Fr agen , ob eine natürliche Zahl n prim ist und wenn sie es nicht ist , wie ihre P rimfa kt orzerlegung aussieht . Dab ei werden wir mi t elliptischen Kurven über Z / nZ hantieren . Au ch wenn wir bisher nur ellipt ische Kurven über Körpern unt er su cht hab en , ist das fü r die Praxi s er st einmal kein Problem für uns. Die Algorithmen , die ich gleich vorstellen werde, funkt ionieren bestens, wenn m an das Gruppengesetz der ellipti schen Kurven völlig naiv eins zu eins übernimmt . Es ist trotzd em erwähne nsw ert , dass man mit der bekannten Ber echnungsvorsch rift i. A . kein e Gruppe bekommt , da in der Definition der Verknüpfung Divisionen auftreten. Wi e wir wisse n , gibt es bei zus am me ngesetzten n ab er Nullte iler in Z / nZ, die ein e solche Div ision unmögli ch machen . Die Verknüpfung ist also a uf die se Weise ni cht für a lle Elemente de r Menge defin ierbar. Wie gesag t , fü r die P raxis ist das kein P roblem , denn sobald m an bei de n Bere chnungen der nachfolgen den Algori thmen auf so einen Nullt eiler st ößt, hat man j a einen nicht trivialen Teiler von n zur Hand , indem man de n ggT de s Divisors mi t n berechnet , und damit a uch eine Antwort auf die jeweilige Fragest ellung gefunden . Für die t heoret ische n Üb erlegungen ist die s aber zunächst do ch ein Problem. Indem man jedoch eine verallgemeinerte Defini tion der Gruppenverknüpfung mittels proj ektiver Koordinaten benutzt , kann dies gelöst werden . Dann kann man ellipt ische Kurven über all en kommutativen Ringen mit 1 defini er en (vergleiche hier zu Kapitel 23 Abschnitt 23.6.1 "P rojektive Geometrie") : Die proj ektive Eben e über dem Ring R defini ert man dann wie folgt: Zunäch st führt man auf R 3 diese Relation ein:

25.2 ECM -

319

Faktorisierung mit elliptischen Kurven

Die Äquivalen zklasse von (u ,v ,w) wird dann mit (u : v : w) b ezeichnet, genau wie wir das schon von der pr oj ektiven Geometrie üb er Körpern kennen . Die proj ektive Eb en e ist ab er nur eine Teilmen ge dieser Fa kt orme nge : Rp

2

:=

{ (u : v : w) I :3 r-i , r v , r w E R : r u u

+ r v v + r ww =

1}

Ist R ein Körp er , so ergibt das die übliche Definition , da die Bedingung für jedes Tripel (u ,v,w) =I- (0,0,0) erfüllbar ist . Im Fall R = Z wär e die Bedingung äquivalen t zu ggT(u ,v, w) = 1 un d im Fa ll R = Z/ n Z zu ggT( u ,v,w ,n) = l. E ine ellipt ische Kurve E (R) wird dann genauso defini er t wie b ei den Körpern , nämlich als Nullstellenme nge eines hom ogen en Polynom s der Form

Es gib t i. A . mehrere unendliche Punk t e b ei elliptische n Kurven über Ri ngen , trotzdem ist (0 : 1 : 0) weit erh in das ne utrale E leme nt. E in nü t zlicher Asp ekt a n dieser Definition ist , dass die Redukti on der Punktkoordinat en eine r Kurve E (Z/ nZ ) modulo eine r Primzahl p i n eine n Gruppenhomomorphismus E(Z/nZ ) ---+ E (Z/pZ) liefer t. Das ist vor allem dann inter essan t , wenn man zwei P rimteiler p und q von n sowie eine n P unkt P E E (Z / nZ ) hat , der mod p den un endlich fernen Punkt erg ibt, mod q a be r nicht . Dieser P unkt liegt dann "teilweise im Un endlichen" und die dritte Koordinate ist dann durch p , ab er nicht durch q t eilb ar. Die dritte Koordinate solche r "halbune ndliche n" Punkt e hat also eine n gem ein same n Primteiler mi t n . Man kann zeigen , dass das Auftret en eines solchen P unktes äquivalen t dazu ist , dass bei seiner Berechnung durch das Gruppengesetz, wie wir es kennen , eine unerlaubte Divi sion durch ein en Nullteiler au ftrat.

25.2

ECM Ku rven

Faktorisierung mit elliptischen

Es existiere n dutzende Verfahren zur Faktorisierung von spez iellen natürlichen Zah len . J ohn M. Pollard b eschrieb 1974 ein solches Verfahren , das man auch Pollords (p - 1)-A lgoriihm us nennt . Schauen wir un s doch einm al kurz an , was seine Id ee war : An gen ommen, die Zahl n = pqr sei gegeben, wobei hier p und q verschiedene Primzahlen sind und r einfach ein e natürliche Zahl ist. Nehme n wir a uch no ch an , dass p - l selbs t kein e allzu großen Primfaktoren hat. Wählt man dann eine genüge nd gro ße Schr anke B und ber echnet das P ro dukt e aller P rimp otenze n klein er od er gleich B , dann ist p - 1 ein Teiler dieses P ro dukts.

25 Primzahlen und elliptische Kurven

320

Es gilt dann nach Fermats klein em Satz für jed e natürliche Zahl a, die nicht von p geteilt wird:

a

e

==

1 mod p

Es ist hingegen nicht sehr wahrscheinlich , dass dies a uch für alle Primfaktoren von n zutrifft , sofern man die Schranke B geschickt wählt . Es exist iert also höchstw ah rscheinlich ein zweiter Primteiler q, sodass

ist . Das heißt , dass a e - 1 von p, ab er nicht von q geteilt wird . Bildet man also gg'I' (o" - I, n ) = ggT (a e - 1 mod n ,n), so ist man effizient in der Lage, eine n nichttrivialen Faktor von n zu find en , nämlich p od er zumindes t ein Vielfaches von p . Nun hat man ab er das Probl em , das s man p vorher nicht kennt und daher die Schranke B nur schlecht b estimmen kann. Wählen wir un s irgendein B, so b est eh t zwar eine gewisse Chance, dass p - 1 "B-po te nzglat t" ist - wie man die obige E igen sch aft a uch nennt - a be r wenn p - 1 das nicht ist, haben wir ein Problem . Man könnte größere Werte von B au sprobieren , a be r da die Wahl dieser Schranke den größten Anteil an der Laufzeit des Algorithmus hat , würde dies den Effizienzvorteil zunichte machen. Das Verfahren ist so also nicht für allg em ein e Zwecke zu gebrauche n. Es taugt nur für einige spez ielle Zahlen . Glü cklicherw eise entwickelte Hendrik Lenstra 1980 a be r ein e a bge wa nde lte Ver sion dieses Verfahren s für ellipt ische Kurven , welch e auch Len stras Met hode ode r ECM - Elliptic Curoes M ethod - genannt wird . Sie ist wesentlich vielseitiger einse tz bar und ist auf eine sehr viel größere Menge von natürlichen Zahlen anwendbar. Der Algorithmus ist erst a unlich einfach und rü ckblickend wied er einm al völlig naheliegend. Wir haben wieder eine Zahl n und eine Sch ranke B wie oben. Au s die ser Schranke berechnen wir un s ebenfalls den Exponenten e. Dann geh t es los mi t der ECM: 1.

2. 3.

4.

Wähle zufällig eine ellipti sche Kurve E(Z /nZ) und einen Punkt P E E( Z /nZ) . Ber echne das El em ent e . P. Wird b ei der Ber echnung durch ein Elem ent geteilt, was in Z/nZ ni cht inver ti erbar ist (also geme insame Teiler mit n hat) , so wird abgebrochen. Wenn nicht , dann st a rten wir no ch eine n Ver such.

Warum funktioniert das ? Nehmen wir wied er die Faktorisierung n = pqr an . W ählen wir dann eine ellipt ische Kurve E (Z/ nZ ) und reduzier en sie mod p, so erhalten wir E( Z /pZ) und von dieser Kurve wissen wir, dass sie zwische n p + 1 - 2JP und p + 1 + 2JP E leme nte hat .

25.2 ECM -

Faktorisierung mit elliptischen Kurven

321

J ed e natürliche Zahl im Intervall (p + 1 - 2yp, p + 1 + 2yp) kommt dabei vor und die Ordnungen der elliptische n Kurven mod p sind au ch einigermaßen gleichförm ig verteilt in diesem Intervall , wenn p nicht sehr klein ist (aber klein e Primfak toren schließt man in der P raxis sowieso durch eine Probed ivision von vornher ein au s). Nun gib t es hö chstw ah rscheinlich au ch einige B-potenzgla tte Ordnungen in diesem Int ervall, solange B eine vernünftige Größe hat. Tr effen wir eine Kurve mit so eine r Ordnung, dann ist e· P = 00 in E( Z jpZ) , da e ja ein Vielfa ches der Ordnung IE (Zj pZ)1 ist . Wie schon bei der (p - l)-Methode ist es a ber weniger wahrscheinlich , dass e . P auch modulo anderen Primteilern von ti zu 00 wird . Wir haben also einen "halbune ndliche n" Punkt gefunden , bei dessen Ber echnung Nullte iler von ZjnZ aufgetret en sein mü ssen. In Schritt 2 find en wir somit eine n der gesu chten Teiler von n , Be t rachte t man die Unterschiede zwischen Pollards und Len stras Vorgehen, so fäll t ein wesen tlicher Vorteil der ECM in s Auge: Beim (p - 1)-Algorithmus hatte man wenig Möglichkeiten, wenn p - 1 nun ni cht B-potenzglatt war , und musste den Algorithmus dann ohne Ergebnis abbrechen. Die Faktorisierung mit ellipti schen Kurven lässt sich davon jedoch ni cht a bschrecken, denn wir können einfach eine neue Kurve wählen. Hier kommt es nämlich darauf an, dass die Ordnung der zufällig gewählten Kurve die Glattheit seigenschaft erfüll t und nicht die feste Zahl p - 1. E in weiterer nicht zu ver ach tender Vorteil ist die Tatsache , dass sich der Algorithmus parallel ver arbeiten lässt . Hat man mehrere Prozessoren zur Verfü gung, so kann m an gleichzeit ig mehrere ellipti sche Kurven abarbeiten lassen und den Algorithmus so kräftig beschleunigen. Auch hie r ist aller dings die Größe von B bzw . e der en t scheidende Fak tor in der Laufzeit . W ählt man B kleiner , so sinkt die Dichte von B-potenzglatten Zahlen im Inte rvall , das durch den Satz von Hasse vorgegeben wird . Vergrößert man B, explodiert wieder die Laufzeit . In der Praxis sieht es desh alb heutzutage so aus: Einige High-End-Algorithmen wie das Quadratische Sieb und das allg em ein e Zahlkörper sieb sind erhe blich im Vorteil gegenüber der ECM, was die asymptotische Laufzeit betrifft . Allerdings haben sie groß e Kon st anten , sodass man die Faktorisierung meist aufteilt : Kleine P rimfaktoren findet man durch Probedivision . Für die mi t telgroßen Primfaktoren benutzt man die Methode der ellipt ischen Kurven mit eine m B in der Gr ößen ordnung 108 . Damit find et man Faktoren mit ca . 40 Ziffern (~ 130 Bits) , und nur für die größ eren Faktoren nimmt man dann wied er die richtig schwer en Geschütze.

322

25 Primz ahlen und ell ipt ische Kurven

25.3

Zertifizierung von Primzahlen

25.3. 1

Was ist eigentlich ein Zertifikat?

Dieser Frage geh en wir zue rs t nach. Für viele Anw endungen , z. B . in der Kryptographie, werden Primzahlen b enötigt und nicht immer hat der Anwender diese dabei selbst erzeugt. Oft gen ug b ekommt er öffentliche Schlüssel zugeschickt und m uss sie anwen den . In seh r vielen Algorithmen sind dabei eine od er mehrere Primzahlen im Spi el und die Sicherheit hängt nicht selten genau von dieser Primalität ab. Besonders in sich erheitskritischen Be reichen benötigt man deshalb Bewe ise , dass die jeweilige Zahl wirklich prim ist. Hier kommen dann die Zertifikate ins Spiel. Allgemein formu liert ist ein Zertifikat ein Satz von Daten, die es effizient erlauben, eine be stimmte Eigenschaft zu überprüfen und zweife lsfrei zu beweisen . ("Zweife lsfrei" ist natürlich ab strahiert zu ver stehen. Völlige Sicherheit vor z. B . Hardwarefehlern kann es naturbedingt nicht geben.) Ein sim ples Beispiel: Angenommen, man möchte die Eigen schaft " n ist eine zu sammengesetzt e Zahl" zert ifiziere n . Dazu ist es völlig au sr eichend , eine n Teiler von n anzugeb en. Wer immer das Zertifikat prüfen möchte, kann dies dann durch eine simple Probedivision tun . Ge ht sie ohne Rest auf, so hat der Prüfer damit einen todsicheren Beweis, dass n keine Primzahl ist. Bleibt ein Rest , so wird das Zertifikat abgelehnt und der Kommunikationspartner a ls Betrüger entlarvt. An die sem Beispiel fällt schon ein wesentliches Kriterium für Zertifikate auf: Nur das Überprüfen muss effizient möglich sein . Das konkrete Finden eines Tei lers ist z. B. ziem lich aufwändig, während die Division sehr effizient implementiert werden kann . Noch etwas fällt auf: Zertifikate sind i. A. so angelegt , dass nur die p osit ive Antwort et was bringt . Wenn die Prob edivision aus dem Beispiel feh lsch lägt , da nn wissen wir weiterhin nicht , ob n zusa mme ngesetzt oder prim ist. Wir wollen nun ein Zertifikat kennenlernen , das einer gegebenen Zahl p beschei nigt , wirklich eine Primzahl zu sein.

25.3.2

Das Goldwasser-Kilian-Zertifikat

Das Zertifikat nach Goldwasser-Kilian (b enannt nach der amerikanischen Info rmatikerin Shafi Go ldwasser und ihrem Ko llegen Joe Ki lian) , das die Primalität der natürlichen Zahl n beweist , besteht a us folgenden Daten: 1.

Einer ellipt ische n Kurve E( Z /nZ) zusa mme n mit eine m Punkt P E E( Z /nZ) ,

323

25.3 Zertifizierung von Primzahlen

2. 3.

eine r Primzahl q > (ifi5 + 1)2, sodass es eine Zahl m = k . q gibt mit m· P = 00 und k· P = (u : v : w) mit w E (Z /nZ) X , eine m weiteren Zertifikat, welch es b eweist, dass q prim ist.

Das Goldwasser-Kilian-Zertifikat ist also ein rekursives Zertifikat, das eine Folge von immer kleiner werdenden (q kann immer kleiner als n gewählt werden) Primzahlen und den entsprechenden Daten enthält . Die Folge endet selbstverständlich, sobald die Zahlen klein genug sind, um sie sofort als Primzahlen zu erkennen . Die natürliche Frage ist nun, warum das Zertifikat funktioniert. Das ist ab er schnell zu beantworten:

Satz 25.2 Liegt ein gültiges Goldwasser-Kilian-Zertifikat für n vor, so ist n eine Primzahl. Beweis: Aus dem Zertifikat wissen wir, dass es eine n Punkt der Ordnung q in E( Z /n Z) gibt , nämlich den Punkt k· P (Es ist ja kP -::J 00 = (0 : 1 : 0) und q(kP) = mP = 00).

vn,

Gäbe es nun einen Primteiler p :::; so können wir E(Z /n Z) modulo p reduzieren. Da die dritte Koordinate von k · P teilerfremd zu n ist , ist sie a uch teilerfremd zu p und insbesondere modulo p von Null verschieden. Auch in E( Z /pZ) ist also kP -::J 00. Daher mus s kP mod p a uch die Ordnung q haben . Nun wissen wir a ber aus Hasses Theorem, dass E(Z /pZ) maximal die Ordnung

hat. Das ist ein Widerspruch, denn wenn kP die Ordnung q hat, dann müsste q ein Teiler von IE (Z / pZ )1 sein . Also kann n keine zus ammengesetzte Zahl sein.

D

Goldwasser und Kilian haben neben der Idee für die ses Zertifikat auch gleich no ch einen Algorithmus angegeben, der in einer erwarteten Laufzeit von 0(1og12 n) ein solches Zertifikat für eine Primzahl n generiert (Diese Laufzeit gilt - sofern einige Vermutungen wahr sind, die man a ber heutzutage für richtig hält - für fast alle Eingaben) : Gegeb en sei eine natürliche Zahl n , die höchstwahrscheinlich prim ist (also z. B . eine n Mill er-Rabin-Test mit 10 bis 20 Basen b estanden hat). 1.

2.

W ähle zufällig eine elliptische Kurve E(Z /nZ ) und berechne mit Schoofs Algorithmus die Ordnung m, die E( Z /n Z) haben mü sste , wenn n prim ist . Tritt in Schoofs Algorithmus ein Fehl er a uf, so ist n nicht prim. Spalte klein e Primfaktoren von m durch Probedivision ab und prüfe, ob der Rest eine wahrscheinliche Primzahl (~ + 1)2 < q :::; ~ ist. Ist er das nicht , b eginne mit eine r neu en Kurve von vorn.

324 3.

4.

25 Primzahlen und elliptische Kurven

Wähle eine n zufä lligen Punkt P E E( Z /n Z) und t este, ob !!J . P -::p 00 und m · P = 00 ist . Wenn erstere s nicht gilt, dann wähle eine n ander en Punkt, wenn zweiteres nicht gilt , dann kann m nicht die Ordnung IE (Z/nZ )1 sein, also kann n nicht prim sein. Wi ed erhole den Test mit q. Ist q nicht prim, so b eginne von vorn , ist q prim , so haben wir ein gültiges Zertifikat für n erstellt.

Dieser Algorithmus hat im Gegensatz zu anderen Primzahltests entscheidende Vorteile. Zum einen ist seine Laufzeit für fast alle Eingaben effizient. Zum a nderen ist das Überprüfen des entstehenden Zertifikats no ch einmal deutlich schneller möglich , nämlich in O(log4 n). Die s ist deutlich schneller, a ls es selbst der AKS-Primzahltest sein könnte. Da AKS im Moment sowieso noch unpraktikabel ist, ist der Goldwasser-KilianTest noch immer verbreitet, meistens a llerdings in der verbesserten Version von Atkin und Morain , die das Zertifikat noch einmal ein paar Größenordnungen schneller erzeugen kann , nämlich in erwarteten O(log6 n) . Ihr Vorgehen wandelt den ersten Schritt ab , indem nicht mehr a us der Kurve die Ordnung berechnet wird , sondern stattdessen ein m vorgegeben wird, zu dem eine passende Kurve konstruiert wird . Der Beweis der Primeigenschaft ist mit der Methode nach Goldwasser-Kilian sogar so effizient , dass damit schon für über 20000-stellige Primzahlen Zertifikate erstellt werden konnten . Das Programm PRIMO , welches diesen Test implementiert, ist eines der meistgenutzten Tools für das Testen auf Primalität allgemeiner Zahlen .

25.3.3

Am Beispiel der vierten Fermat-Zahl

Ich möchte das Goldwasser -Kilian-Verfahren nun direkt am Beispiel der vierten 24 Fermat-Zahl 2 + 1 demonstrier en . Wer ein bi sschen programmieren kann od er geduldig mit dem Taschenrechner durch 54 Primzahlen dividier en will, der kann sich natürlich einfach davon über zeugen , dass diese Zahl prim ist . Ab er das ist ja viel weniger spannend als der Weg über die ellipt ische n Kurven . Sei also p = 2 + 1 = 65537. Wenn man ein wenig Glück (oder wahlweise mehr Hintergrundwissen) hat, dann find et man schnell die Kurve EI, die durch die Gleichung y2 = x 3 + 2 über JF p gegeben ist und m = p + 1 Punkte hat (sofern p wirklich prim ist). Durch Probedivision mit den Primzahlen unterhalb von 20 findet man: m = 2.3 2 . 11 ·331 24

331 kommt a lso für das gesuchte q in Frage, denn 331 > (~ + 1)2 ~ 289. Fehlt uns also noch ein Punkt P , der m . P = 00 und !!J P -::P 00 erfüllt. Man sieht sofort , dass P = (-1 : 1 : 1) ein Punkt auf der Kurve ist . Man kann jetzt

325

25.4 Abschluss

überprüfen, ob (2 .3 2 . l1)P i- 00 ist. Nach eine r langwierigen Rechnung, für die man sich am besten Computerunterstützung besorgt , er hält man 198P = (11137 : - 19443 : 1) . Jetzt nehmen wir dies en Punkt und multiplizier en ihn mit 331. Das ergibt in der Tat (0 : 1 : 0) = 00 . P ist also für unser Zertifikat geeignet . Was jetzt noch zu tun bleibt, ist ein Zertifikat find et man schnell die Kurve E2 , die durch y2 = m = q + 1 = 332 Elemente hat , wenn q wirklich

für q = 331 auszustellen. Hier x 3 +x über lF q gegeb en ist und prim ist .

Durch Probedivision erhalten wir m = 22.83 und mit ein wenig Probieren findet man heraus , dass P = (3: 19 : 1) ein Punkt der Kurve ist , der 4P = (14: 21 : 1) und 332P = (0 : 1 : 0) = 00 erfüllt. Da wir 83 ohne Probleme direkt als Primzahl erkennen können und 83 > (~331 + 1)2 ~ 27 ,7 gilt, ist damit bewiesen, dass 331 prim ist, und damit wissen wir wied erum, dass 65537 prim ist.

25.4

Abschluss So , das war dann das letzte K apitel über elliptische Kurven und ihre Anwendungen . Ich hoffe, er hat euch gefallen. Es gäbe noch unendlich viel mehr über ellipt ische Kurven zu erzählen und wer weiterhin Interesse an diesem spannenden Thema zeigt , dem sei ein weiteres Mal das Buch Washington [67] em pfohlen. E(lFmjg) --+ E(lFcockez) Johannes Hahn (Gockel) ist Dipl.-Math. und promoviert in J ena.

26 Primzahlen mit Abstand

Übersicht 26.1 Der Ab st and zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß

327

26.2 In jed er unbegren zt en arithmetischen Progr ession gibt es unend lich viele Prim zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 26.3 Es gib t ar it hmetischen Progression en beliebiger Länge, die nur a us P rim zahlen b est eh en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

26.1

Der Abstand zwischen 2 Primzahlen wird beliebig groß

Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich , das hat schon Euklid , de r vor 2300 J ahren lebt e, bewiesen . Dennoch bilden die P rimzahlen kein Mu ster . Das B ertrandsehe Po stulat sagt zwar , dass es zwischen einer nat ürlichen Zahl n und 2n eine Primzahl geben mu ss (siehe Aigner [68]) . Do ch wenn man die natürlichen Zah len durchgeh t und P rimzahlen sucht, dann weiß man nicht , wie viele Zahlen man prüfen mu ss, bis man die nächste P rimzahl findet . Zu Anfang findet man recht häufi g Primzahlen, die 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 usw . Abe r in höh eren (und sehr hohen) Ber eichen der Zahlen wird der Ab stand von der einen zur nächst en Primzahl beliebig gro ß.

Was heißt das? Denk dir eine Zahl , z. B . 1.000 .000 (ein e Million), und man kann irgendwo in den nat ürlichen Zahlen zwei Primza hlen Pl und P2 find en , zwische n den en keine anderen P rimz ahlen liegen und der en Abstand größer ist als 1.000 .000. Und für je de n ander en gewünschten Abst and, z. B. 1.000 .000.000.000.000, gilt das Gleiche.

Warum stimmt das? Warum kann m an das so sagen , obwohl es kein e Formel für die P rimzahlberechnung gibt? Man b eweist es so:

328

26 Primzahlen mit Abstand

Beweis: Sei m eine beliebi ge natürliche Zahl. F ür das, was wir zeigen wollen , ist es kein e E insc hränkung, wenn wir m > 3 vor aussetzen . Betrachte die Zahlen :

m! +2 m!+ 3 m! + 4 m! + m- 1

m!+ m Alle die se Zahlen sind keine Primzahlen , denn m ! ist durch 2 teilbar und also auch m ! + 2. m! ist au ch durch 3 t eilb ar und darum ist a uch m! + 3 durch 3 t eilbar. Und sch ließlich ist m! + m durch m t eilb ar. J ed e dieser aufeinander 0 folgenden m Zahlen hat eine n echten Teiler.

Was hat man da mit gezeigt ? Es gibt in den na türlichen Zahlen für jed e be liebige Zahl m (den Ab st and) einen Berei ch mit (mindest en s) m - 1 aufeinander folgenden Zahlen , die alle kein e Primzahlen sind. Das b edeutet : Der Ab st and zwische n 2 Primzahlen wird b eliebig groß.

26.2

In jeder unbegrenzt en arithmet ischen Progression gibt es unendlich viele Pri mzahlen

Sie liegen also beliebi g weit au sein ander , machen sich rar unter den groß en Zahlen , dennoch kann man es fast nicht vermeid en, üb er sie zu stolpe rn, wenn man mit eine r fest en Schrittweite durch die Zeilen schreite t . Eine arithmetische Progression ist eine Folge a + n . d, n E N, a und d sind natürliche Zahlen . Es ist t rivial , dass es arithmetischen Progr ession en , wie 2+n · 2, gibt , in den en nicht un endlich viele Primzahlen vorkomme n. Es ist ab er nicht trivial , was Dirichlet b ewies, nämlich dass in jed er a rit hme t ische n Progr ession , bei der a und d rela t iv prim sind, immer unendlich viele Primzahlen vorkommen . Demzufolge gib t es unendlich viele Primzahlen der Form 2+n ·3, unendlich viele der Gest al t 4 + n . 1, auch 4 + n . 3 usw. Die ses Ergebnis sag t ni cht , dass alle Zahlen in ein er solchen a rit hmetischen Progression P rimzahlen sein mü ssen, es sag t , dass - schr eitet man weiter und weiter - man immer wieder a uf eine P rimzahl st oßen wird .

329

Arithmetische Progressionen beliebiger Länge

Dieses Erge bnis int erpretier e ich so: Die P rimzahlen sind zwar im Einzeln en unvorher sagbar , a be r um das zu sein , darf es auf der anderen Seite auc h keine Bereich e in den natürlichen Zahlen gebe n, die au s nicht trivialen Gründen primzahlfrei sind . So geseh en ist das E rgebnis von Dirichlet notwendig.

26.3

Es gibt arithmetischen Progressionen beliebiger l änge, die nur aus Primzahl en best ehen

Die Primzahlforschung geht zurück bis in s Alte rt um, a be r sie ist a uch heute noch ein lebendiges und sehr produktives Arbeit sgebiet in de r Mathematik. Der Leser denkt da siche r sogleich an die populär en Bemühungen groß e und immer größer e Primzahlen zu find en , wenn gleich dies schon nicht mehr mathematisch , sonde rn vielm ehr algorithmisch, t echnisch und logistisch die größere n Herausforderungen bed eutet. E in neu eres E rgebnis a nde re r Art mö chte ich zum Schluss noch nennen ; es wurde von Green und Tao [70] 2008 bewiesen :

Satz 26.1 (Green-Tao-Theorem) Es gibt arithmetis che Progression en beliebiger Läng e, die nur aus Primzahlen best ehen. Das ist eine Existenzaussage . Mittlerweise hat man au ch schon einige Bei spiele für solche Progressionen gefunden .

Beispiel 26.2 Die arithmetisch e Progression 468395662504 823 liefert für n = 0 bis 23 Primzahlen .

+ n · 205 619 ·223092 870

•

Man kann also eine b eliebige natürliche Zahl vorg eb en , z. B . 83843 , und siche r sein, dass es irgendwo in den natürlichen Zahlen eine a rit hmetische Progression der geforderten Länge (z. B. 83843) gibt, in der nur Primzahlen vorkommen . Das find e ich üb errasch end.

Mortin Wohlgemuth aka Mairoid.

27 Faktorisierungsverfahren

Übe rsicht 27.1 Einführung

331

27.2 Probedivision

332

27.3 Fermat-Faktorisierung

333

27.4 Lehman-Algorithmus

335

27.5 Po llard-R ho-Verfahren

337

27.6 (p - 1)-Verfahren

341

27.7 Elli ptische-Kurven-Met hode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 27.8 Qu adra tisches Sieb

2

27

+1 =

352

596495891 2 7497 217 . 5 7046 8920 0 6 8 5 129054 7 2 1

(Morrison & Brillhart, 1970) Bekannterweise ist das klas sische Problem , die Primzahlen von den zus ammen gesetzten Zahlen zu unterscheiden , nach heutigem Kenntnisstand sehr effizient lösbar . Als viel schwieriger erweist es sich aber , die komplet t e Faktorzerlegung einer natürlichen Zahl anzugeben . Obwohl dieses Problem seh r alt und grundlegen d ist , muss man tief in die ma thematische Tri ckkiste greifen , um selbst Primfaktoren moderater Länge bestimmen zu können. Das Kapitel be leuchte t klassische und akt uelle Verfahren zur Faktorisierung. Neben de n Verfahren selb st st ehen Laufzeitanal yse und Hinweise zur effizienten Realisierung au f dem Comput er im Mittelpunkt.

27.1

Einführung

Dass eine natürliche Zah l eine (bis auf die Reih enfolge der Faktoren) einde ut ige Primfaktorzerl egung besitzt, hat t e schon E uk lid et wa 300 v. Chr. gezeigt. La nge Zeit haben sich die meisten Mat hem at iker auch mit diesem Wis sen b egnügt ; die

332

27 Faktorisierungsverfah ren

konkreten Faktoren zu best immen war meist die damit verbunden e Arbeit nicht wer t . Da s ä nde rte sich schlagart ig Mitte der 60er-J ahre des vori gen Jahrhunderts, als leistungsfähige Computer verfügbar wurden und - et was späte r das RSA -K ryptosyst em erfunde n wurde. Daraufhin wurde viel E ne rgie in die Erforschung der Problematik und die E nt wicklung "gut er" Faktorisierungsalgorithmen gesteckt - mit mäßig em Erfolg. Bis heute ist es niemandem gelungen , das Faktorisierungsproblem als effizient lösbar nachzuweisen . Dennoch sollen einige der Ergebnisse bzw. Verfahren in den nachfolgenden Abschnitten besprochen werden .

27.2

Probedivision

Die Probedivision ist die naiv e Methode, Primfaktoren zu erhalte n. Man fängt an, durch 2, 3, usw. zu dividieren , und schaut , ob die Division aufgeht . Wenn ja , hat man eine n Primfaktor gefunden . Das Verfahren hat seine Berechtigung, da das Vorhandens ein klein er Faktoren sehr viel wahrscheinlicher ist als das gro ßer ; eine Divi sion ist auch sehr schnell ausgeführt . Ist N die zu faktorisierende Zahl und gibt es eine n Teiler a > VN von N , so ist der Komplem entärteiler b = N'[o. klein er als VN . Es reicht also, die Probedivisionen bis VN a uszuführen.

A lgorit hm us (Pro b e d ivisi o n) 1:

2: 3:

4: 5: 6:

7:

Eingabe: N for a ll 2 :::; p < if p I N t he n Abbruch end if e nd for Au sgabe: p

VN

do

An dieser St elle soll au sdrücklich darauf hingewiesen werden , dass man sich erst vergewissern sollte, ob N a uch wirklich zusam me ngesetz t ist . Das ist leicht möglich (z. B. mit dem Miller-Ra bin-Test ) und soll hier nicht weiter erläute rt werden .

Ve rb esse ru nge n Eigentlich genügt es, nur Primzahlen p zu te sten. Ist a = p . q zusammengeset zt, so te stet man ja p bzw . q viel früher als a. Dazu mü sste m an vorher eine P rimzahltabelle erst ellen, was sich a ber nicht immer lohnt .

333

27.3 Fermat-Faktorisierung

Man kann sich aber mit folgender Überle gung beh elfen : Hat man b er eits durch 2 getestet, so kann man sich a lle ander en durch 2 teilbare n Zahlen spare n, indem man nur di e ungeraden Zahlen t est et. Will man a uch den Vielfachen von 3 a us dem Weg gehe n, so t estet man nur a lle zu 2 · 3 = 6 t eilerfremden Zahlen (welche von der Form 6k ± 1 sind ). Um zus ätzlich die 5 zu b erücksichtigen , t estet man nur all e zu 30 t eilerfremden Zahlen (di ese sind von der For m 30k ± 1, ± 7, ± ll , ± 13). Das kann man zwar b eliebig weiter treib en, wird a be r schnell ziem lich mühsam. Mit de r P robedivision kann man sehr schnell alle "Trivia lt eiler" erkennen . Bei einer Laufzeit von O(p) für einen Primfaktor p ist sie a ber a b einer gewissen Größe der Fak toren ni cht mehr prak tikabel.

27.3

Fermat- Faktorisierung

Eines der klassisch en Verfahren hat Fermat 1643 in eine m Bri ef er wä hnt . Darin st ellt er die zu zerlegende Zahl al s Differ en z zweier Quadrate dar. Dann gilt N

=

2 x - y2

=

(x

+ y)( x

- y)

und man bekommt eine Faktorzerlegung von N . Au sgehend von der umgestellten Glei chung x 2 - N = y2 kam Ferm at a uf die Idee , zu prüfen , ob die Differenz x 2 _ N (für verschied en gewählte x) ein Quadrat darstellt. Die Wahrsch einlichkeit dafür ist am größt en, wenn x 2 in der Nähe von N lieg t. Das Verfahren definiert also eine Folge X k mi t X o :=

und t estet , ob

Zk :=

x% -

r.JNl

und

X k :=

Xo

+k

N ein Quadrat ist.

Algor ithmus (Fe rmat-Ver fahren) 1:

2:

Eingabe: N (ungerade) for x := to (N + 9)/6 do

r.JNl

2

z := x - N if Z = y 2, y E N t hen 5: Abbruch 6: end if 7: end for 8: Au sgabe: x - y 3:

4:

E ine ob ere Gren ze für x ist der Wer t x = (N + 9) /6. Dann ist y = (N - 9) /6 und wir b ekommen den Faktor p = x - y = 3, fall s dieser existiert. Es macht ab er keinen Sinn, so weit zu geh en , da wir dann b ereits mehr Aufwand als die Probedivision b etrieb en hät t en .

334

27 Faktorisierungsverfahren

Beispiel Am Beispiel von N = 314731 soll das einmal demonstriert werden . Wir beginnen bei Xo := ffi = 562 und bekommen die folgenden Werte:

I 1

k

Xk

o

562

1113

1

563

2238

2

564

3365

3

565

4494

4

566

5625

Zk

= x~ - N = 3·7 ·53 = 2·3·373 = 5·673 = 2·3 ·7 · 107 = 752

Bereits nach vier It erationen haben wir ein Quadrat und bekommen die Zerl egung N = 5662 - 75 2 = (566 - 75)(566 + 75) = 491·641. Man prüft leicht nach, dass es sich um Primfaktoren handelt.

Verbesserungen Überlegen wir uns, wie wir die ses Verfahren effizient umsetzen können. St att jedes Mal eine Quadrierung durchzuführen , nutzen wir die Beziehung

es folgt was sich schneller berechnen lässt. Auch Wurzelziehen ist t euer; wir versuchen daher schon im Vorfeld zu entscheid en , ob Zk üb erhaupt ein Quadrat sein kann . Dazu bestimmen wir den Rest r == Z k modulo einer geeigneten kleinen Zahl m. Ist r kein quadratischer Rest mod m (d . h. , die Gleichung x 2 == r besitzt modulo m kein e Lösung) , so kann Zk auch keine Quadratzahl sein . Für m = 10 gibt es beispielsweise nur die qu adratischen Reste [D, 1,4,5,6, 9}, die beiden ersten berechneten Werte für Z k scheiden also schon aus (diese enden auf 3 und 8) . Noch besser sieht es bei m = 16 aus , dort haben wir nur [O, 1, 4, 9} als mögliche Reste . Man kann also anhand der letzten vier Bit sofort 75 % der Nichtquadrate identifizieren.

La ufzeit J et zt kann man sich fragen, ob der Fermat-Algorithmus eigent lich alle Faktoren findet - und wenn ja, wie lange er dafür braucht. Sei zunächst N ungerade und N = v -q (wob ei p ~ q). Dann sind p , q ungerade und X ·-

.-

p +q 2-

-

und

p -q Y ·.- - 2 -

335

27.4 Lehman-Algorithmus

sind ganze Zahlen und es gilt die geforderte Eigenschaft N = x 2 - y2 . Da alle x get estet werden , werden p und q in jed em Fall gefunden. Weiterhin sieht man leicht, dass der Algorithmus versagt, falls N gerade und nicht durch 4 teilbar ist . Potenzen von 2 sollten also vorher herausdividiert werden .

Satz 2 7. 1 Ist N = P: q ungerade und Ip q in O(c 2 ) Schritten gefunden .

ql S; c · m

mit c

> 0, dann werden p und

Sei o. B. d. A . p :::0: q und N = (x +y)(x -y) die gefundene Lösung (also y = 9 ), welche in Schritt k gefunden wird . Wir benutzen die Ungleichungen x o S; vN + 1 (also x 6 S; N + 2vN + 1) und Zk = y2 S; %-vN und die explizite Darstellung Zk = Zo + 2k xo + k 2 • Für k gilt dann: B ewe is :

Jx6 + Zk - Zo - xo JN + 2vN + 1 + ~ vN - 1 - vN = JN + (2 + %-)vN - vN = VN ( J1+ :~ - 1)

k=

S;

< --

VN (1 + 8+c 8VN 1 + .c 8 2

-

1)

D

m

'Nenn sich die Faktoren p und q also nur um unterscheiden , werden sie quasi sofort gefunden . Je weiter sie a ber auseinanderliegen , desto schlechter wird das Verfahren. Im schlimmsten Fall werden (N + 9) /6 Operationen gebraucht , weil erst dann ein Trivialfaktor wie 3 gefunden wird.

27.4

Lehman-Algorithmus

Eine interessante Kombination von Probedivision und Fermat-Verfahren mit verbesserter Laufzeit wurde von R. S. Lehman [72] vorgestellt. Er b enut zt den folgenden Satz:

336

27 Faktorisierungsverfahren

Satz 27.2 (von Lehman) Ist N = p . q ungerade m it Primzahlen p, q und ist 1 S; r

J

bei r~l S; p S; Eig enschaften:

VN, so

==

1 (mod 2), falls k gerade und x

3. V 4k N S; x S; V 4k N

VN,

wo-

gibt es natürliche Zahl en x , y und k mit den

1. x 2 - y2 = 4k N

2. x

<

+ 4(r~ 1 )

j!i

== k + N

(mod 4), falls k ung erade

Ist N prim, so gibt es solche Zahlen nicht .

Dar auf aufbauend hat Lehman ein Verfahren zur Faktorzerl egung an gegeb en . Damit die Laufzeit möglichst klein wird und die Voraussetzungen des Satzes siche r erfüllt sind, mu ss r =
A lgorith mus (Lehman-Verfahren) 1:

2: 3:

4: 5:

6:

7: 8:

9:

10: 11: 12: 13: 14 : 15:

Eingabe: N for aB 2 S; p S;
337

27.5 Pollard-Rho-Verfahren

Laufzeit Schaue n wir un s die Lau fzeit a n : Die P ro be division kost et O( (IN) Op erationen . Die b eid en geschachtelte n Schleifen seh en zunächst sehr aufwändig au s, der Aufwand ist a be r mit

w m) o I: ( k =l 4Vk

= 0

(

J 4Vk m W

dk ) = O( \IN)

k =l

erforderlichen Opera tionen vergleichb ar mi t der Probedivision . Damit haben wir ein Verfahren kennengelernt , das asym ptotisch be sser als die "reine" Probedivision ist. Dass das über ha upt möglich ist, liegt ja ni cht auf de r Hand!

27. 5

Pollard-Rho- Verfahren

Mit dem folgenden , von J ohn M. Pollard 1975 vorgest ellten Verfahren können wir die Laufzeit , eine n Primfaktor p zu find en , auf O( y'p) herunter schrauben . Das gelingt un s aber nur un te r Aufgabe de r E rfolg sgarantie, die wir ja bei den bisherigen Verfahren hatten . Es handelt sich um eine Monte-C arlo-Methode, bei der der Zufall mit von der Partie ist .

Eine G e b u r t sta gsfo lge Das Verfahren beruht auf der Au snutzung des Geburtstagsparadoxons. Bei diesem Problem geht es eigent lich um die Fr ag e, wie groß eine Gruppe P ersonen sein mus s, um mit mindest ens 50-%iger 'Wa hrscheinlich keit ein Paar mit dem seIbern Geburtsdatum darunter zu haben (Lösung: 23) . Allgem ein er haben wir eine Urne mit p Kugeln und fra gen nach der mittler en An zahl Ziehungen mit Zurücklegen, bis die erste Wi ed erholung a uftaucht. Es stellt sich heraus, dass wir dafür nur ungefähr y'p Versuche b en ötigen . Wi e kann man sich das üb erl egen ? Die Chance auf eine Wi ed erholung bei eine m Ver such st eigt linear mit der Zahl der b ereits durchgeführten Ver su che, die Chance auf eine Wi ed erholung in allen Ver su chen damit quadratisch. Das Faktori sierungsverfahren defini ert nun eine Zufallszahlenfolge ai; modulo N. Ist p ein Teiler von N , so können wir also davon au sgeh en, dass et wa unter den ersten y'p Folgengliedern eine Wiederholung de r Folge modulo p auftrit t. In die sem Fall hä tten wir ein Paa r (a i , aj) mi t der Ei gens chaft a, == a j (mod p). Wenn wir die ses Paar fänden , könnten wir ggT (a, - aj , N ) berechnen und erhielten damit en tweder p oder ein Vielfache s von p . Um nicht N zu erhalten (womi t wir nichts erreicht hä tten), darf der Trivialfall a, == a j (mod N ) natürlich nicht ein treten.

338

27 Faktorisierungsverfahren

Floyd's Zyklenalgorithmus Das P ro blem liegt im Finden , denn wir können schlecht alle P aare testen (das sind immerhin ~ p Stück) . Man kann dieses Problem ab er dennoch lösen : Dazu wählen wir keine "echte" Zufall sfolge ak, sonde rn eine P seudozufall sfolge mit eine r de t erministi schen Bere chnungsvorschrift ak +l = f( a k) . Dad urch ist gewährleiste t , dass a km od P in eine P eriode ein t ri t t , fall s sich ein E lement wiederholt . Die Funkt ion f sollt e einfach geh al ten sein, ab er dennoch hinreichend ,,zufällige" Zahlen erzeugen. Bewährt hat sich ak +l

=

f( ak)

= a~ + c (mod N ), c tt- {- 2, O} .

Nach Durchl auf einer Vorperiode der Länge m kommt die Folge a km od P in eine Periode der Länge l ~ "jP; man kann sich leich t davon üb erzeu gen , dass das bei eine r linear en Funkti on f nicht der Fall ist . An schaulich erg ibt sich eine Schl eife, die a n den griechi schen Bu chstaben p er inne rt, der a uch der Name nsgebe r der Methode ist (Abbildung: 27.1) :

Abb. 27.1 : Verlauf der Pseudowfallsfolge mod p

Die Exi stenz einer Periode bewirkt , dass wir mi t einem sp eziellen Algorithmus das fragli che P aar (ai , aj) finden können, ohne alle P aare zu testen . Wi r können un s nämlich ohne Mühe davon üb erzeugen, dass de r folgende Satz gilt :

Satz 27.3 (von F loyd) Für ein e periodische Folge (a k) mod p mit Vorperiod e m und P eriod e l gilt a i == a j (mod p) =? i == j (mod l ).

Die Differ en z j - i ist dabei ent weder genau l od er ein klein es Vielfaches von l, da man a nnehmen kann , dass die Vorp eriode nicht viel länger ist als die P eri od e.

339

27.5 Pollard-Rho-Verfahren

Der Zykl enalgorithmus von Floyd macht sich diese Eigenschaft zu Nutze, indem er nur die Paare (ak , a2k) für a ufsteigende k t estet . Denn irg endwann ist 2k k = k das ent sprec he nde Vielfache von l. Wir können natürlich nicht die Paare (aa, a k) t esten , da a a mit hoher Wahrscheinlichkeit in der Vorperiode liegt. Wegen l ;:::;:; y'p benötigen wir für das Finden also nur O( y'p) Schritte.

A lgorithmus ( Pollard- Rho- Ve r fa hren) 1:

2: 3: 4:

5: 6: 7:

8:

E inga be: N Wähle 0 < x = Y < N und c t/:- {-2 , O} , p := 1 while p = 1 do x := x 2 + c (mod N ) y := (y 2 + C)2 + c (mod N) p := ggT (x - y , N ) e nd while Au sgabe: p

(Im Algorithmus ist ak = x und a 2k = y.) Rechnen wir dazu ein Beispi el. Gegeb en sei N = 222473; unser e Folge b eginnt mit aa := 1, al s Rekursion b enutzen wir ak+l = a~ + 1 (also ist c = 1). Die einzelnen R ech enschritte lassen sich au s folgender Tabelle ablesen : (mod N )

ggT(a k - a 2k , N )

5

222470

1

5

677

221801

1

3

26

40692

181807

1

4

677

98211

124939

1

5

13384

28790

207067

1

6

40692

97934

165231

1

7

194799

98737

96062

1

8

98211

32201

66010

1

9

83607

23650

59957

1

10

28790

34307

2169 56

1

11

152176

7945

144231

1

12

97934

125980

194427

379

k

ak

a2 k

1

2

2

ai; - a 2k

Wie wir sehen , erh al ten wir nach 12 Iterationen den Fakt or 379 und damit die Zerlegung N = 379 . 587 .

340

27 Faktorisierungsverfahren

Verbesserungen Natürlich bräuchte man die Werte für ak nicht nochmals neu zu b erechnen , da man diese ja schon einmal vorher (für a2k) erze ugt hat . Man kann das Verfahren also et was schneller machen , wenn man die ak sp eich ert . Dann geht aber eine r der Vorteile des Verfahrens - geringer Platzbedarf - verloren . Nachb essern kann man aber no ch an einem anderen Punkt : St att nach jeder Iteration den ggT zu berechnen, können wir das P rodukt k o+ n

P(ko) :=

TI (ak -

a2k) (mod N)

k =k o

der Werte aus n Iterationen bilden (z. B . n = 50) und erst danach den ggT(P(ko) , N ) bestimmen. Für die ggT-Berechnung muss ext ra der Euklidische Algorithmus angeworfen werden , der hier mit Abstand den größten Reche na ufwand verursacht. Ein event ue ller Faktor p geht dadurch nicht verloren. Allerdings ste igt die Gefahr, dass sich a uch ein zweit er Faktor q im Produkt P(ko) wied erfindet . Eine weitere Verbesserung wurde von Richard P. Brent vorgeschlagen. Diese besteht darin , den Algorithmus von Floyd durch einen etwas schnelleren zu ersetzen - der Unterschied ist aber marginal. La u fze it Wie bereits oben erklärt, haben wir eine heuristische Laufzeit von O(.jP). Eine alt ern ative Begründung liefer t folgende Rechnung:

a2k - ak = (a~k - l

+ c) - (aLl + c)

= (a~k -l - aLd

+ ak -d . (a2k - l - ak -t) (a2k - l + a k- t)· ((a~k-2 + c) - (aL2 + c)) (a2k- l + ak -t) . (a~k -2 - aL2) (a2k - l + ak -t) . (a2k -2 + ak -2) . (a2k -2 - ak -2)

= (a2k-l = = =

= (a2k-l

+ ak -t) . (a2k - 2 + ak -2) ... . . (ak + ao) . (ak

- ao)

k -l

= (ak - ao)·

TI (ak+i + ai)

i=O

Die Iterierte aa« - ak ist also ein Produkt aus k Faktoren modulo N (bzw. p). Taucht in nur einem dieser Faktoren unser p a uf, so finden wir p durch Berechnung von ggT(a2k - ak, N) (resp ektive ggT(ak - a2k, N)) . Der Trick besteht also darin , pro It er ation nicht nur eine n potentiellen Faktor auf Teilbarkeit zu t esten (wie b ei der Probedivision) , sondern gleich mehrer e parallel. Nach k It erationen haben wir ungefähr k 2 Faktoren getest et.

27.6 (p - 1)-Verfahren

341

Die gen aue An zahl der erforde rliche n It erationen kann man natürlich nicht vorhersehen . J e nach Wahl von ao und c kommt man mal schneller, mal langsamer zum Ziel. Es kann auch vorkommen , dass von zwei Primfaktoren der größ er e zuerst gefunden wird. Ein weiter er (unwahrsch einlicher) Fall, der eint reten kann , ist der, dass ggT (a 2k - ak , N) = N zurückgegebe n wird . Das ist dann der Fall, falls sich modulo aller Primteiler gleich zeitig eine P eriode bildet .

27.6

(p - l)-Verfahren

Das (p - 1)-Verfahren von Pollard nutzt die Struktur der Gruppe lF; (der Menge {1, 2, ... , p - 1} mit der Multiplikation modulo p) aus. Es basiert auf den bekannten Sätzen von Fermat und Lagrange.

Satz 27.4 (von Fermat) Ist p Primzahl und a E N nicht durch p teilbar, so gilt a P -

1

==

1 (mod p) .

Hier und in den b eid en folgenden Kapiteln wird noch der Primzahlsatz benötigt , weswegen wir ihn hier noch schnell ein schi eb en .

Satz 27.5 (Primzahlsatz) Gegeben ist die Primzahljunktion ;r(x) := I{p Primzahl, p ::; x} l. Dann gilt die Asymptotik lim ;r(x) = 1. x-+oo x /ln(x)

Das heißt, die An zahl der Primzahlen klein er od er gleich x kann durch x/ ln(x ) abgeschätzt werden. Für die nachfolgenden Au sführungen benötigen wir noch den Begriff de r Gla ttheit :

Definition 27.6 (glatt, potenzglatt ) Sind N , B natürliche Zahlen, so heiß t N B -glatt, falls alle Primteiler von N nicht größer sind als B . N heißt B-potenzglatt , wenn das auch für alle • P rimzahlpotenzen gilt. 175 (= 52 . 7) wär e also 7-glatt, 25-potenzglatt, ab er nicht 7-potenzglatt.

27 Faktorisierungsverfahren

342

Ist j et zt P eine P ri mzahl und P - 1 = Pl . P2 . . ... Pk die Primfaktorzerl egung von P - 1 in a bsteigen de r Ordnung (al so Pl ~ P2 ~ .. . ~ Pk) und B eine natürliche Zahl , für die P - 1 B-poten zglatt ist (daraus folgt dann schon B ~ Pl), dann gilt für jed es m E 1'1, das durch all e Zahlen s, B teilbar ist : P - 1 I mund

a

m

==

1 (mod p)

für j ed es nicht durch P t eilbare a . Fall s die Kongruen z o/" == 1 (mod p) für eine n Primteiler P von N gilt (und für kein en ander en!) , so b ekommen wir P durch Berechnung von P = gg'I' (u'" - 1, N ). Abgeseh en von dem Problem , dass wir B ~ Pl wählen mü ssen , müssen wir siche rstellen , dass P - 1 ein Teiler von mist . Eine einfa che Wahl von m wäre m = B! . Bei "normalen" Zahlen P - 1 reicht es a ber , wenn m alle Primzahlen x Pl al s Faktoren enthält ; die großen nur einmal , sehr klein e (z. B . < 50) au ch mehrfach. J et zt wird sich mancher frage n, ob o/" - 1 (m od N ) überhaupt effizient b er eche nbar ist. Da zu betrachten wir die Aufgabe, b == o /" (mod N ) zu bestimmen . m besit zt eine einde ut ige Binärdarst ellung m = L: i EI 2 i (mit eine r Indexmenge 1). Dann gilt i 2i b == a m == aL. iEI 2 == a (m od N ).

TI

iEI

Die Werte . r erh äl t man einfach durch fortgesetztes Quadrieren modulo N. Die Zahl der benötigten Quadrierungen entspr icht der An zahl der Bits von m und wäch st dem zufolge logarithmisch mit m. E s geht al so sehr effizient (di ese Poten zierungsm ethode wird auch "Square & Multiply" genannt) . Der Algor it hmus b er echnet nun nicht a'" - 1 (mod N ) an eine m Stück , sondern sch rit t weise ao := a, ak +l := a%k (mod N ) mit all en in m ent haltenen Primt eilern qk . Zwisch endurch wird sp oradisch getestet , ob ggT(ak - 1, N ) > 1 ist. Wurde B hinreichend groß gewählt , dann bekommen wir den Primfaktor p. Alg orithmus ( (p-1 )- Verfah re n, Ve r s io n 1) 1:

2: 3: 4: 5: 6: 7:

8: 9: 10:

Eingabe: N Wähle 1 < a < N - 1, B E N for a B q ::; B , q P rimzahl , klein e q mehrfach d o a := a'! (mod N ) P := ggT(a - 1, N ) if P I N then Abbru ch e nd if e nd for Au sgabe: P

(m wäre hier a lso das Produkt der q au s Schritt 3) .

27.6 (p - 1)-Verfahren

343

Beispiel Diesmal ist N = 90044497 zu zerlegen. Wir machen einen einfachen Test mi t B = 50; begonnen wird mi t ao = 2. Potenziert wird mit allen P rimzahlen j; 50, mit den Primzahlen 2, 3 dreifach , mi t 5 und 7 zweifach . Es ergeben sich folgen de Werte: -

qk

(mod N)

1, N )

k

qk

1

3

256

1

3

2

2

ak = a k _ 1

ggT (ak -

27611727

1

382914 56

1

4

3 52 72

6393722

1

5

11

441978 45

1

6

13

53185607

1

7

17

72650205

1

8

19

69088449

1

9

23

1465908

1

10

29

32373292

5743

3

Daraus erhalt en wir N = 5743· 15679. Schaut man sich die Zerlegung von P - 1 an , so ergibt sich P - 1 = 5742 = 2 · 3 · 3·11 · 29. In sbesondere sehen wir , dass das mehrfache Vorkommen kleinerer Primzahlen zu be rü cksichtigen ist . Für den Komplement ärteiler gilt 15678 = 2· 3 . 3 . 13 · 67, die ser ist also weniger glat t und wird erst mi t B ::::: 67 ein paar Iterationen später gefunden .

E in e sc hne llere Ve r s io n Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung jed er Untergruppe von lF; ein Teiler von p - 1. Poten zieren wir eine der It eri erten a k mit eine m Teiler von p - 1, so gelangen wir in eine klein ere Untergru ppe von lF; (wodurch sich die Chance erhö ht, späte r ai; == 1 (mod p) zu erhalte n ). Bleibt nur ein Primteiler übrig, d. h ., hat man b := a P 2 · .. · · P k ber echnet, so braucht man nicht mehr mit allen weiter en Primzahlen zu poten zieren . Es genügt , wenn wir bP 1 find en. Das können wir viel einfache r erreiche n, indem wir aufst eigend bqi mit P rimzahlen qi b erech nen , bis qi = PI ist. Wegen bqi + 1 = bqi +d i = bqi . bd i brauchen wir dafür nur mit den zu den ents preche nden Primzahldifferen zen d, zugehö rigen Werten bd i zu multiplizieren . Die Werte für kann man vorberechnen und abspeich ern. Der resultierende Sp eich er aufwand ist gering, da die Ab stände d i nach dem Primzahlsatz von der Größenordnung In Pi sind. Die Berechnungen sind dann insgesamt deutlich schneller.

v-

Der modifizierte Algorithmus sieht also so aus : Wir defini eren zwei Sch ranken B I und B 2 (wob ei BI « B2) und wenden Ver sion 1 des Verfahrens mi t BI als

344

27 Faktorisierungsverfahren

Schranke a n. Danach haben wir ein E leme nt b E lF; bekommen und ber echnen weit er alle P otenze n bqi für Primzahlen BI < qi ::; B 2. Da diese Ber echnungen deutlich sch neller von statten gehe n, kann B 2 sehr viel größer als BI gewählt werden .

A lgorithmus ((p-l)-Verfahren, Version 2) 1:

2: 3: 4:

5: 6: 7: 8: 9:

10: 11 :

12: 13 : 14 : 15 : 16 : 17: 18 :

Eingabe: N W ähle 1 < a < N -1 , Bl ,B2 E N, BI < B 2 for a B q ::; B I, q Primzahl , klein e q mehrfach do a := a q (mod N ) P := ggT (a - 1, N) if P I N then Abbru ch end if end for qo := kleinste Primzahl > B I , b := a qo (mod N ) fo r a ll qo < qk ::; B 2 , qk Primzahl , k = 1,2, . .. do b := b · a q k - q k - l (mod N ) ggT (b - 1, N ) if P I N then Abbruch end if e nd for Au sgabe: P P :=

(Die Werte a 2 , a 4 , . . . , die re chnet und gespeichert .)

a

qk

-q k - l

an nehmen kann , werden vor Zeile 11 b e-

Der Wermutstropfen : Ne be n der Bedingung a us Ver sion 1 (PI ::; B2) mu ss zusätz lich P2 ::; BI gelte n, da sonst der Algori t hmus ver sagt. Unter su chungen haben a be r erge be n, dass im Normalfall P2 « PI gilt, so dass es i. A. kein e Problem e geb en sollte. Weitere Verb esserungen An alog zum Rho-Verfahren sind wir bestrebt , die Zahl der ggT -Bere chnunge n ger ing zu hal ten. Daher werden zu nächst n Stück (z. B. n = 100) de r erzeugten Werte (b - 1) modulo N a ufmult ipliziert und er st dann de r ggT gebildet. Pollard hat in seine r Originalarbeit ein e Methode a ngegeben, Phase 2 (Zeile 11 bis 17) spürbar zu beschl eunigen . Die Id ee ist folgende: Die gesu chte P rimund zahl PI lässt sich einde ut ig darst ellen als PI = V W - u , wenn w := P 1 U < w , v ::; w sind. Ist jet zt P ein Teiler von b 1, so a uch von bV W - b" : Pollard defini er t nun ein Polynom h(x) = ITu<w(x - bU ) (mod N ) und ber echnet

IVB2l

27.7 Elliptische-Kurven-Methode

345

p = ggT ([1v::;w h(b V W ) , N ). Benutzt wird dabei ein schneller Multi plikationsalgorit hmus für P olynome, der das Produkt zweier Po lynome vom Grad n in O( n ln( n)) b erechnet. Auf Kost en von Spei che rplatz kann dadurch die Laufzeit deutlich reduziert werden . Weit ere Verb esserungen hat Peter L. Montgomery a usge ar be itet [731 .

Laufzeit Wi e man sieht, werden O(pI) Op erati on en benötigt. Die Größe des größte n Primfaktors von p - 1 entschei de t also üb er die Laufzeit . Da man diesen ab er nicht kennt, ist das Verfahren wiederum ein Glücksspi el. Um wenigst en s herauszufinde n , was wir so im Mittel zu erwarte n haben , benutzen wir den folgenden Satz:

Satz 27. 7 (vo n H a r d y / R a m a n uj a n ) Ist D( N) die Anzahl aller Primteiler von N, dann gilt im Mittel die Abschätzung D( N) ~ Inln( N) .

Für p - 1 = Pl . .. .. Pk können wir k

k- 1

~ lnln

(:J

~

In ln(p) anne hme n und den Ansatz

= In(1n(p) - ln (p I) ) = In (ln(p). ( 1 -

l~((;/))

= ln ln(p)+ ln (1- 1~(~/ ) ~k +ln(1 -1~~;/) mach en . Als Ab schätzung für Pl b ekommen wir daraus In(pI) ~

(1 -

~ ) ln(p) ~ 0,632 · ln(p).

Die Laufzeit hat dann also einen "Erwart ungswert" von O(pO,632). Die Varianz ist a ber sehr ho ch , so dass man mit diesem Verfahren a uch recht große Fak toren finden kann (auch wenn m an in 90 % der F älle Pech hat). Darüber hin aus gib t es no ch ein Verfah ren (von H . C . Williams) , das sich die Glattheit von p + 1 zu Nu tze macht , was die E rfolgsaussichten erhöht .

27.7

Elliptische-Kurven- Methode

Wie ger ade geseh en , hat das (p - 1)-Verfahren den unschönen Nachteil , dass die Laufzeit von der Glat theit de r Gruppenordnung - a uf die man keinerlei E influss hat - abhängt. Das nachfolgend vorgest ellte (1985 von H. W . Lenstra jr. er funde ne ) Verfahren funktioniert nach dem selb en Prinzip, biet et a be r die Möglichkeit der E influssna hme . Die Chance, einen Primfaktor p zu find en, kann dadurch erhö ht werden .

346

27 Faktorisierungsverfahren

Wir benötigen dazu den Begriff der ellipt ische n Kurve, den wir für unser e Zwecke et was einschränken .

D efin it io n 27.8 (Elliptische Kurve) Seien a , b E lK für eine n Körper lK und sei x 3 + ax + b ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle. Die Menge JE der Punkte (x, y) , die die Gleichung y2 = x 3 + ax + b erfüllt, zuz üglich eine s El em ents 0 heißt ellipt ische Kurve • üb er lK.

Eine typische Kurve üb er lK = lR zeigt die unten st ehende Abbildung 27.2. :

i:

2.

i

3

y = x -

13 16 X

ir-

3 16

'JJ.

:

:

1

1x

1

1···················1··················· :-2

:2

i

1..".

I

-1

1•• ••••• •• • •• • • ••• . 2 . .. . . . . . . . ... . . . . .. :

1

1

Abb. 27.2: Beispiel für eine ellipt ische Kurve über lR Wir interessieren uns hier a ber für den Restklassenkörper JFp für eine Primzahl p . Elliptische Kurven üb er JF p spi elen auch eine wichtige Roll e in der Krypto-

graphie. Die für uns wesentliche Eigenschaft ist die Tatsache, dass eine solche Kurve eine a belsche Gruppe darstellt. Punkte P , Q auf einer elliptischen Kurve las sen sich beliebig addieren bzw. invertieren, wobei der in der Definition erwähnte Punkt o die Rolle des neutralen Elementes übernimmt . Im Einzelnen gelten für zwei Punkte P = ( Xl , yl), Q = (X2, Y2) und deren Summe P + Q = (X3, Y3) folgende Rechenregeln: 1. Invertierung: - P

=

( Xl ,

- y l) und - 0 = O. Aus Q - X l - X2 bzw . Y3 = - Yl

2. Addition: Es gilt X3 = m 2

Y2 - Yl X2 - Xl m =

1

3XI

+a

2Yl

= - P folgt P + Q = O.

+ m(xl

, wenn P =I- Q,

, wenn P = Q.

- X3), wobei

27.7 Elliptische-Kurven-Methode

347

Wi e in jed er Gruppe ist die Ordnung ord(P) eine s Punktes P E JE das kleinste n E N, für das n · P = 0 ist ; wir haben ja hier eine additiv geschrieb en e Gruppe vor uns . ord(JE) ents pricht dab ei der An zahl aller Punkte auf JE. Es gilt der folgende wichtige Satz:

Satz 27.9 (v o n Hasse) Sei JE eine elliptische Kurve über 1F p - Dann gilt für die Ordnung die Schranke 10rd (JE) - p - 11 < 2,fP.

Das bedeutet , dass bei zufälli ger Wahl de r Kurvenparameter a und b die Gruppenordnung innerhalb eines Intervalls um p vari iert . Man kann ungefähr von eine r Gleichverteilung ausgeh en ; an den Rändern des Hasse-Intervalls scheint die Dichte etwas geringer zu sein . Wa s hat das alles nun mit dem Faktori sierungsproblem zu tun? Gegeb en sei wied er eine natürliche Zahl N und ein zu find ender Primfaktor p von N. Wir würden nun gern Punktadditionen auf einer ellipt ische n Kurve JE üb er 1F p an st ellen . Da wir p leid er nicht kennen , werden wir die ob en genannten Op eration en (Addition , Mu ltiplikation , Invertierung der x /y-Werte) modulo N a usführe n. Da N ein Vielfaches von p ist , sind diese konform zu den jeweiligen Berechnungen modulo p - wir rechnen damit nur mit deutlich größ eren Vertretern der "echte n" Wert e modulo p . Unser Ziel ist es, eine Addition P +Q = 0 herbeizuführen. Ist P Q = (xz ,Yz) , so folgt P = - Q und damit : 1. Xl 2 . Yl

= (Xl ,Yl) und

== Xz (mod p) == - yz (mod p)

Wollten wir nun die Punkte P und Q addieren, so mü ssten wir nach den obigen Re chenregeln das Inverse (xz - xI)- 1 (mod N) und (im Falle P = Q) (2Yl) -1 = (Yl + YZ)- l (mod N ) bilden . Aufgrund de r Kongruenzen (1.) und (2.) exist iere n diese nicht und wir bekommen durch Ber echnung von ggT (Xz - z i , N ) und ggT(2Y l , N ) mit hoher Wahrsch einlichkeit un seren Primfaktor p . Das funktioniert natürlich nicht , wenn die Kongruen zen (1.) und (2.) a uch modulo an der er Primfaktoren q von N gelten . Um die gewünschte Addition zu bekommen, bedienen wir un s derselben Methodik wie das (p - l)-Verfahren . Dort sind wir von einem E leme nt a E 1F; und einem geeigneten m E N a usgega ngen. War ord(a) 1m , so gal t a'" == 1 (mod p), und wir hatten un ser Ziel erreicht. Analog ber echnen wir nun das Vielfache m · P . Ist ord(P) 1m , so gilt m- P = O . Da s Vielfa che m - P ber echnen wir mit dem b ereits vor gest ellten "Square & Multiply"-Verfahren , nur auf eine additive Gruppe angewandt (es mü sst e demzufolge "Double & Add" heißen).

348

27 Faktorisierungsverfahren

Bis hierhin haben wir gege nüber dem (p- 1)-Verfahren ni chts gewonne n. Ist ab er nun m · P i- 0 , so mü ssen wir nicht das Handtuch werfen , sonde rn können durch Variation der Kurvenparamet er a und b im me r wied er neu e Ku rven erze uge n. Da deren Ordnung eine n Zufallswert im Hasse-Int erv all a nnim mt , können wir irgendwann doch no ch Glü ck haben und es gilt ord(P) Im. Mit dem Unterschied , dass wir au f eine r a nde ren Gruppe arbeit en , ent spricht das Vorg eh en also gen au dem des (p - 1)-Verfahre ns. Daher wird im Folgenden gleich die erwei terte Fassung a ngegeben.

A lgorit hmus (ECM ) 1: 2:

3: 4: 5:

6: 7:

8: 9: 10:

11: 12: 13: 14: 15:

16: 17: 18: 19:

Eingabe: N W ähle eine elliptische Kurve JE und einen Punkt P E JE; eb enfall s Sch ranken B I , B 2 E N , BI < B 2 for a B q :::; B I , q Primzahl , kleine q mehrfach do P: = q. P if eine Addition (bzw. Verdopplung) ni cht möglich then p: =ggT( X2 - XI , N ) (bzw.p :=ggT(2Y I , N» Abbru ch end if end for qo := klein st e Primzahl > BI, Q := qo . P fo r a ll qo < a» :::; B2 , a» Primzahl , k = 1,2, ... do Q := Q + (qk - qk-I) . P if Addition (bzw. Verdopplung) nicht möglich t hen p := ggT(X 2 - z i , N) (b zw. p := ggT(2YI , N » Abbruch end if end for Bei Misserfolg: Geh e zu 2. Ausgabe: p

(Vor Zeile 11 werden die möglichen Werte von (qk - qk-I) ' P vorbere chnet und gespeiche rt .) An alog zum (p - 1)-Verfahren gilt a uch hie r : Ist ord(P) = PI Primfaktorzerlegung der Ordnung des Startpunktes (wobei PI ?: P2 ?: so haben wir nur dann Erfolg, falls PI :::; B 2 und P2 :::; BI ist .

Pk die ?: Pk) ,

Ein (klein er) Vorteil ergibt sich hier no ch aus der Tatsache, dass wir a uf versch iede ne n ellipt ische n Kurven parallel rechnen ; mit jed em weiteren Primfaktor q von N korresp ondier t ja eine ents p rec he nde Kurve. Die Erfolgsa ussichten wer-

349

27.7 Elliptische-Kurven-Methode

den ab er im Wesentlichen durch den klein st en Primfaktor b estimmt , so dass dieser Vorteil ehe r vern ac hläs sigbar ist.

B eispiel Versu chen wir das an einem Beispiel nachzuv ollz iehen. Die Ei ngab eza hl ist N = 373935877 613. Als elliptische Kurve wählen wir JE : y 2 = x 3 + 11x - 11 und als St artpunkt P = (1, 1) E JE. Au s G ründen der Ei nfac hhe it ver zichten wir a uf die 2. Phase und wählen nur die Schranke BI = 15. E ine gee igne te Zahl, die all e Prim zahlen j; BI a ls Teiler ent hält, ist z. B. rn = 360360 = 2 3 . 3 2 . 5 . 7 . 11 . 13. Für das "Double & Add"Verfahren müssen wir rn als Summe von Zweierpoten zen da rst ellen , d . h .:

Um uns un nötige Additionen zu erspare n, nehmen wir die kürze re Da rstellung

Durch sukzessi ve Punktverdopplung erhalt en wir nun: 2 1 P = (47,373935877290) 2 P

= (227972965300, 183442291117) = (61805727327, 11053Ei328079)

2 17 P

= (280318713435, 342677737184)

22 P 3

2

18

P = (268323296538, 16670570674)

Nun sind wir in der Lage, rn· P durch Additi on der en t sprechenden Zweierpot enzen zu be stimmen : 23 P 3

2 P 3

2 P 3

2 P

+2

5

+2

P _

+2

5

+ 25 P

= (70097302030, 311003332604)

P - 2 P = (346 690843 31, 321123021245 ) 7

+ 2 15 P = 27 P + 2 15 P + 2 16 P = 5

7

P- 2 P

(317161257334 ,1 888429 75469) (120.533742333, 164980145 780)

Nun müssen wir no ch 2 18 P addiere n und stellen fest , dass wir die P unktaddi tion (120 533742 333,164980145780) + (268323296 538,1 6670 570674) ni cht au sführen können , da 26832329 6.538 - 120.533742333 = 147789 55420 5 modulo N nicht inve r tierb a r ist . Wi r bekommen m it p = ggT( 1477895.5420.5, N ) = 157.559 also einen Primfaktor von N. F ür die Kurve JE über lF 1 5 7 5 59 gilt or d ( P ) = 182 = 2 · 7 · 13 und für die Gruppenordnung or d(JE) = 157976 = 23. 72.13 .31. Diese lässt sich übrigen s effizient mit Schoof's Algorithmus bestimmen. Das Beispie l zeigt auch gut, dass für den E rfolg die Ordnung des Startpunktes (und nicht der Gruppe) ent sche ide nd ist.

350

27 Faktorisierungsverfahren

Erweiterungen/Verbesserungen Ein gro ßer Vorteil dieser Met hode ist ihre un ein geschränkte Parallelisierbarkeit . Sämtliche Kurven sind von einander unabhängig, so dass man die Ber echnungen ent sprec he nd verteilen kann. Es hat sich he rausgestellt , dass man B l/ B z so wählen sollt e, dass sich ein Verhältnis von etwa 2:1 zwischen den Laufzeiten von Phase 1 bzw . 2 ergibt . De s Weiteren gibt es noch einige Tricks, mit denen man die Effizienz no ch et was weiter steigern kann . Im Folgenden eine Au swahl: 1) Einsparung von Punkt additionen In Phase 2 be rechnen wir a ufst eigend Punkte q . P für alle Primzahlen q im Int ervall (BI , Bz]. Da s kost et et wa Bz / In(Bz) Punktadditionen. Punktadditionen sind sehr teuer, da sie eine Inv er tierung beinhalten (dazu muss man den Erweiterten Euklidischen Algorithmus aufrufen) . Man kann die Zahl de r Additionen a ber mi t folgendem Trick a uf etw a Vlh verringern: Gegeben sei ein w E N. Mit natürlichen Zahlen u (eindeutige) Darstellung

< w und v ergibt sich die

q = vw -u q 'P = vw 'P -u 'P Fixiert man je tzt w in der G rößenordnung Vlh, so gilt ebenfall s u , v ~ Vlh, Wir können jetzt die Werte v w · P und u - P berechnen und sp eichern , was 2Vlh Punktadditionen kostet . Statt nun die Differenzen vw· P - u · P auszurechnen, be stimmen wir nur den ggT (xz - X l, N) de r x-Koor dinaten von vw· P bzw . u . P und schauen, ob wir den gesu chten Faktor p bekommen. Weiter kann man Re chenzeit sparen , wenn man mehrere Werte (x z - X l ) vor der ggT -Bildung a ufmult ipliziert . 2) Einsparung von Inve rtierungen Unter Verwendung einer anderen Kurvenparametrisierung kann man soga r ganz a uf die Inve rtierungen verzi chten . Die von uns eingeführten Kurven haben die Form JE : yZ = x 3 + ax + b, welch e a uch als Weierstrais-Parametrisierung bekannt ist . Eine Kurve der Form

mit Kurvenpunkten (x , y , z) liegt in der sog. Montgomery-Parametrisierung vor. Eine Addition von Punkten dieser Form kommt ohne Inv ertierung au s; sie wird gern für P hase 1 verw endet . Details zu dieser Parametrisierung kann man in Montgomer y [741 nachlesen .

351

27.7 Elli ptische-Kurven-Methode

3) Erhö hung der Glattheit der Gruppenordnung Man kann d afür sor gen , dass b ei geeigne te r Wahl der Kurvenparamet er gewährleist et ist , dass die Ordnung or d( JE) immer durch bestimmte (klein e) Zahlen t eilb ar ist . Man kann damit also ,,kün stlich" die Gl attheit der Ordnung erhö he n. Besorgen t ut dies ein sogenannter K urvengenerato r. E in solcher liefert zu einem Zufall szahlenwert a E Z Kurvenparameter a, b für eine ellipti sche Kurve JE mit be sag te r E igensch aft . Daneben wird no ch ein gül tiger Star tpunkt P E JE generie rt . Als Beispiel wird kurz ein Generato r für eine Ku rve JE in der oben genannt en Montgomeryform a ngegeben . Sei a E Z zufällig gewählt . Dann bekommen wir mi t 6a u· = - 2 (mod N ) . a +6

a 'P: =

- 3u 4

-

6u 2

4u3

(~~ , - ,1)

+1

(mod N )

(mod N )

den Parameter a und ein en Kurvenpunkt P a uf JE, wobei ord(JE) immer durch 12 teilbar ist . Der P arameter b wird (analog zur Weierstraßform) für Punktaddition en in Montgomeryform nicht benötigt, a uch wird die y-Koordinate des St art punkts P für die Berechnung nicht benötigt (darum der Strich). E inige ander e Erweiterungen werden in [741 b esch rieb en . La ufze it Die Laufzeit hängt en ts cheidend davon ab , wie viele Kurven wir durchprobieren mü ssen , bis ord(P) die erforde rliche Glattheit seigen schaft erfüllt. Wenn wir einerseit s die Schranken BI / B 2 klein er wählen, so sind wir mit der Berechnung einer Kurve schneller fertig und können somit mehr Kurven t esten . Anderer seits könnten wir sie größ er wäh len , um die Wahrsch einlichkeit für die Glattheit zu erhöhen . Für eine An two rt brauchen wir ein e Aussage über die Häufigkeit glat ter Zahlen .

S atz 2 7 .10 ( Can fie ld, E r dös, P omerance) Fü r die " Glattheitsfunktion "

'ljJ (x, y) := I{n E N : n ::; x , n be sitzt keinen Primteilert gilt 'ljJ (x , y) = x · u -u (l +o(I», wobei u := ln(x) / ln(y) .

> y} 1

352

27 Fakt orisierungsverfahren

In Kurzform: F ür eine zufällig gewählte Zahl n ::; x b eträgt die Wahrschein lichkeit , y-glatt zu sein , et wa «» . Für un s bed eutet das, dass wir ungefähr U U Kurven zu t est en haben , um eine n Primteiler p zu find en, wob ei hier u := In(p) jln(B2) ist (man kann u als das Längenverhältnis der Zahlen p und B 2 auffassen) . Da die "Double & Add"-Methode pro Kurve et wa B2 Op erationen b enöti gt , können wir eine Gesamtlaufzeit von L(p) = U U • B2 = U U • v' !" an set zen . Um die Laufzeit zu minimieren, machen wir den An satz dL j du = 0, also:

_ pl / Uu U-2 (ln(p) - u 2I n(u) - u 2) = =}

°

ln (p) = u 2(1

+ ln (u ))

Umste llen liefert uns eine asymptotische obere Sch ranke für die Lösung U opt

U opt :

~ yl 2 ln (p)j ln (ln (p )),

woraus wir mi t

B 2 ~ exp ( ~ yl2 ln(p) ln(ln(p)) ) die ents pre che n de Wahl für B2 er halten. Darüber hinaus ist au ch die Bestimmung der asymptotischen Laufzeit mögli ch . Zur Übe rsicht lichkeit setzen wir q := ln(p) und bekommen nach Einsetzen:

L() p

q = e U ln (u )+ l.. " = e V2 q/ In (q ).~(ln ( 2q ) -ln(ln (q ) ) )+Vln (q ) /2q.q

= e~ v2q / l n (q ) .l n (q ) ( 1 +o (1 ) )+ ~v2q In (q ) =

e h~·(l + o( 1))+~ v2 q l n( q)

= e V q 1n (q ) (2+o ( 1) ) = e V 1n(p) ln(l n(p) ) (2+o( 1) )

Die Laufzeit ist som it su bexponent ieller Natur. Leider gib t es zu wenige glat te Zahlen , um daraus eine n effizienten Algorithmus zu erhalte n. J et zt kommt mögli cherw eise der Einwand , dass man die optimalen Werte für B 2 und die Kurvenanzahl nicht kennt, da ja auch p nicht bekannt ist . In der Praxis geht man von eine r b est im mt en Gr öße von p au s und macht die ents p rec he nden Test s. Sch lag en diese fehl , so wech selt man zur näch st en Größenordnung. Gegenüber dieser ist der Aufwand der ersten Tests vernachl ässigbar klein.

27.8

Quadratisches Sieb

Wir rufen un s no ch mal die Fermatmethode ins Ged ächtnis: Die gegeb en e Zahl N als Differen z zweier (ni chttrivialer) Quadrate dargest ellt liefert uns wegen

353

27.8 Quadratisches Sieb N = X2 - y2 = (x - y)(x

+ y) zwei eb enso nichttriviale Faktoren von N . Wir verallgem ein ern jetzt diese Id ee: Gegeb en sei eine Kongruen z 2

x ==

dann gilt

l

(mod N) ,

(x - y)(x + y) == 0 (mod N) .

Wenn die se Kongruenz nichttrivial ist , d. h ., es gilt weder x - y == 0 (mod N ) noch x + y == 0 (mod N ), so bekommen wir ebenfalls mi t ggT (x - y , N ) und ggT (x + y , N ) zwei Faktoren von N geliefert . Die Idee des Qu adratischen Siebes besteht darin, nicht direkt solche kongruenten Quadrate zu bestimmen, sondern sie aus betragskleinen quadratischen Resten zu kombinieren . Das läss t sich am bes ten durch ein Beispiel demonstrieren: Sei N = 517631, VN = 719 ,4... . Das Fermatverfahren würde jetzt bei Xo = 720 aufsteigend te sten, ob die Differenz N ein Qu adrat ist . Wi r bekommen dabei u . a .: 724 2 == 5 ·7 ·11 . 17 (mod N )

x; -

2 739 == 2 ·5 ·7 ·11 ·37 (mod N) 2 2 741 ==2·5 .17 ·37(mod N ) Bei Ferm at würden wir noch bis 816 2 geh en , b evor wir ein echt es Quadrat erhalte n. Man sieht aber sehr leicht, dass b ereits die drei obigen Zahlen zusammenmultipliziert au ch auf der rechten Seite ein Quadrat ergebe n, nämlich (724 .739 .741) 2 == (2 . 52 .7 .11 .1 7 .37)2 (mod N) 2 2 =} 473961 == 351126 (mod N) und damit ggT (473961 - 351126, N ) = 431 sowie ggT (473961 + 351126, N ) = 1201. Wenn man es also geschi ckt anstellt, kann man sich viel Arbeit er sparen. Die Idee der Kombination quadratische r Reste gab es schon vor 80 Jahren. Eines der ersten darauf basierenden Verfahren war die Kettenbruchmethode, die in den 60er-Jahren recht populär war. Abgelöst wurde sie aber durch das seit 1981 entwickelte Quadratische-Sieb-Verfahren (Pomerance [75]). Dieses a rbe it et in zwei Stufen: Im Siebschritt werden einerseits hinreichend viele qu adratische Kongruenzen (Relationen) erzeugt , im Auswahlsch rit t wird andererseits versucht , diese zu einem Quadrat x 2 == y2 (mod N) zu kombinieren. Haben wir eine solche Kongruen z gefund en, so ist sie mit Wahrsch einlichkeit 1 - (~)k nichttrivial, wenn k die An zahl der Primteiler von N ist - da jed er Primfaktor p von N theor etisch mit gleich er Wahrscheinlichkeit in x - y wie in x + y ent halt en sein kann .

354

27 Faktorisierungsverfahren

Si ebschritt Aus dem Beispiel ist vielleicht schon die Methode ersicht lich , mittels derer wir an die b egehrten Relationen gela nge n können . Wir erze ugen betragsklein e qu adratische Rest e ri , die nur klein e Primteiler ent halt en. Diese kann man mit hoher 'Wa hrsche inlich keit mit a nde ren Rest en kombinier en, die dieselb en P rimt eiler aufweisen . Kombinieren b ed eutet hier multiplizier en , so dass die jeweiligen Primteiler in gerade r Poten z ent halt en sind. Klar ist dabei : J e größer ein Primteiler, de sto weniger Relationen werden wir finden , die die sen en thalten . Wi r sind also a n "glat t en" quadratischen Re sten inte re ssiert . Die P rimteiler, die wir zul assen , fassen wir in einer Faktorb asis zu sammen.

D e fin itio n 27. 11 (Fa k t o r b a sis ) Sei B E N. E ine Faktorbasis zu B ist eine Menge F = { -1 ,P2 , ... Primzahlen P2, ... .t» ::; B.

,pd

mit •

Negative Reste sind eb enso gewollt , weswegen wir PI := -1 mit aufnehmen . Daneben brauchen wir no ch ein Siebpolynom , das die qu adratis chen Re ste erzeugt . Die ses ist von der Form

Q(i) =

(i+ lv'NJf -N.

Wir können ber eits jet zt die Faktorbasis auf b estimmte Primzahlen Pi einschränken , da in von eine m Siebpolynom Q( i) erzeugt en Rest en r i nicht b eliebi ge Primt eiler vorkommen können . Welche das sind, bekommen wir üb er die Ber echnung de s Legendresymbols heraus.

D efinit ion 27. 1 2 (Legen d resymbol) Sei a E Z und P eine Primzahl. Unter dem Legendresymbol versteht man die Sch reibweise

(~)

, wenn P I a , , wenn a qu adratischer Rest modulo P ist , , wenn a quadratischer Nichtrest modulo P ist.

•

27.8 Quadratisches Sieb

355

Eine Primzahl P kann nur dann ein Teiler von Q (i) sein, fall s (i

l

+ VNJ)2 ==

N (mod p) gilt, was sofort (~) = 1 impliziert . Bei Erst ellung der Faktorbasis wird daher zu j ed er Primzahl das Legendresymbol a usgewertet . Das geht a uch für große Primzahlen seh r schnell, da es einige einfache Rech enregeln für das Legendresymbol gibt .

Sieht man von der 0 ab, so gibt es modulo eine r ungeraden Primzahl genauso viele qu adratische Reste wie Nichtreste; im Endeffekt fall en dadurch ca. die Hälfte a ller Primzahlen durchs Raster. Als näch st es b enötigen wir das Siebintervall. Dieses defini ert diejenigen i E Z, für die wir die Werte Q(i) verw enden . Es ist von der Form

wob ei 0 ~ E: ~ ~ gilt . Das b ewirkt , dass die damit gewonnen en quadratischen Reste von der Größenordnung Q(i) E O(N~ +E:) sind. Wir erze uge n uns also fortlaufend Werte Q(i) und sch auen , ob diese über der Faktorbasis F zerfallen , d . h. , Q(i) besitzt nur Primfaktoren aus der Faktorbasis . Die naive Method e, dazu eine Probedivision durch all e Faktoren paus F durch zuführen, ist uns dabei viel zu langsam. Stattdessen bedi en en wir uns eines deutlich schne ller en Siebverfahrens , das a uf der Äquivalenz

mit l E Z , sEN b eruht . Dabei lösen wir zunäch st die Kongruen z Q(i)

== 0

(mod

pj)

für a lle Primzahlen Pj E F und in Fr age kommenden Exponenten s , Man beachte, dass Q ein qu adrati sches Pol ynom ist . Modulo einer Primzahl haben solche Polynome höchstens zwei Nullstellen (wir mü ssen demzufolge au ch alle Lösungen betrachten) . Die Nullst ellen lassen sich au ch für große Primzahlen schnell be stimmen ; das gilt ebenfalls für die Nullstellen modulo einer Primzahlpotenz. Haben wir nun zwei Lösungen il und i2 erhalten , so bekommen wir alle weiteren einfach durch Addition ganzzahliger Vielfache r l . pj zu i l bzw. i2 . Die Ergebnisse wer den in eine r Siebtabelle festgehalten. Die Zeilen markier en den Index i und die Spalten die Primzahlen Pj der Faktorbasis . Die Einträge sind die Vi elfachheiten s des Vorkommens der Pj in der Faktorzerl egung von Q(i) . Untensteh end zu seh en ist die Siebtabelle (Tabelle 27.1) für unser Eingangsb eispi el N = 517631 und das Siebintervall I = [- 24, 24].

356

27 Fa kt orisier ungsverfa hren

Tab. 27.1: Siebtabelle für N = 517631 - 1

2

5

7

11

13

17

1

-

-

3

1

- 22015

1 1

-

1

1

-

-

- 14950

1

1

2

-

-

1

717 721

- 3542

1

1

1

-

1 1

-

2210

1

-

-

724 734

6545 21125

-

-

1

1

1

-

-

3

-

-

i

Xi

Q (i )

- 24 - 15

695 704

- 34606

- 10 - 2

709

2 5 15

23

37

-

-

-

1

-

1

-

1

-

-

-

1

-

1

1

-

-

-

1

-

-

2

-

-

-

20

739

28490

-

1

1

1

1

-

-

-

1

22

741

31450

-

1

2

-

-

-

1

-

1

In die ,,finale" Siebtabelle kommen natürlich nur die Q(i) , die über der Faktorbasi s F zerfall en . Um festzustellen , ob das der Fall ist, müssen wir während des Siebvorgangs Q (i ) durch gefundene Faktoren pj dividieren . Wird dadurch am Ende Q(i) zu 1 reduziert, so ist Q (i ) über F vollständig zerlegbar. Auswahls chr itt Nachdem wir im ersten Teil des Ver fah rens hi nr eichend viele - was "hinreichen d" b ed eutet , werd en wir gleich seh en - Relationen der Form xl == Q(i ) (mod N) gefunden haben, werden diese nun im zweiten Tei l zur gesuchten Lösung kombiniert . W ir haben also insgesamt l qu adratische Reste Q( i I), . . . , Q ( id gegeben und su chen jetzt eine Auswahl {i m u . . . , im,, } <:;; {i r , . . . , iL} , so dass im Produkt

a uch auf der linken Seite ein echtes Quadrat st eht. Dazu müssen die Elemente Pj der Faktorbasis in der Faktorzerlegung der lin ken Seite in einer ger aden Potenz vorkommen . Sind Si j die zugehörigen Exponenten , so muss also die Gleichung

ZrSrj

+ Z Z S Zj + ... + Z l S l j == 0

(m od 2)

mit Koeffizient en Zr, . .. ,Zl E {O, I } gelten. Diese Eigenschaft muss natürlich für alle k Elemente von F gelten , so dass wir ein Gleichungssystem Az == 0 (m od 2) der Form

(::: • C:)

= 0 (mod

2)

b ekommen . Im Lös ungsvektor Z sind genau die n Bit geset zt , die diejenigen Relation en a uswählen, welche sich zur gesucht en Lös ung kombinieren lass en.

27.8 Quadratisches Sieb

357

Zu lösen ist also ein lin eares Gleichungssystem über IF2, wob ei im Fall l > k sogar eine Lösung garantiert ist . Falls sich als Lösung eine triviale Kongruen z ergibt, muss wenigstens ein e weiter e Kongruen z gefunden werden.

B e is p ie l Bleiben wir bei unserem Beispiel N = .517631. Die Siebtabelle haben wir schon gesehen, im zugehörigen Gleichungssystem A z == 0 (mod 2) ist dann

A=

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

und z =

0

Um zwei kongruente Quadrate zu erzeugen , müssen also die Relationen 6, 8 und 9 kombiniert werden (entspricht den Werten i = 5, 20 und 22) .

Erweiterungen j Ve r b e ss e r u n ge n Der Siebschritt ist natürlich parallelisi erbar, da man unabhängig von einander verschied ene Werte Q( i) berechnen und über verschied enen p E F sieben kann . Man kann aber noch weiter e interessante Erweiterungen einba uen. 1) Verwendung von partiellen Re lationen Man kann die Forderung, dass ein quadratischer Rest über F zerlegbar sein muss , etwas abschwächen. Man lässt in der Faktorzerlegung einen Primfaktor q außerhalb von F zu, der aber eine bestimmte (nicht zu hohe) Schranke nicht überschreiten darf. Findet man zwei solche sogenannten partiellen Relationen mi t demselben Faktor q, so lässt sich q durch Kombination beider Relationen eliminieren. Damit man eine Chance auf solche P aare hat, darf q aber nicht zu groß geraten. 2) Verwendung von Heuristiken Weiterhin hat man herausgefunden , dass sich das Sieben nach großen Primpot enzen v' nur für kleine p lohnt und schränkt sich hier ent sprechend ein - auch wenn dadurch möglicherw eise Relationen übersehen werden.

358

27 Faktorisierungsverfahren

Eine weit ere brauchbare Modifikation ist das logarithmische Sieb en . St at t die Wer t e Q(i ) durch gefunde ne Faktor en pS zu dividieren , hält man sich eine Tabelle mit den Logarithmen der v' bzw. der Q(i ). Eine Di vision erse tzt man dann durch eine Subt rak ti on des ent sprechen de n Logarithmus. Dahint er steckt die Tats ache, dass eine Subt rakt ion schneller a usge führt wird als eine Div ision . Die Logarithmen werden mit einer hinreich end groß en Gen auigkeit gespeichert. Ein Rest zerfällt übe r F , fall s die Subtrakt ione n einen Wert sehr dicht b ei 0 ergeb en. Nachteil: die Rundungsfehl er st ellen eine (theor et ische) Fehl erquelle dar. 3) Verw endung von Mehrfachpolyn om en Wi r be nu tz ten bis je t zt ein ein ziges Siebpolynom der Ge st al t Q (x) = x 2 - N . Nur für weni ge x sind die so erzeugte n Re ste wirkli ch klein ; und m an ist nat ürlich a n mögli chst klein en Re sten inte re ssier t , da diese mi t höherer Wahrscheinli chkei t üb er der Faktorbasis zerfallen. Daher gibt es eine erweit ert e Variante, die vari able P olynome der Form

Q( x ) = (ax

+ b)2 -

N

verw endet . W ählt m an hier a und b so, dass a ein Teiler von b2

Q( x) = (ax

+ b)2 -

N = a 2x 2 + 2abx

+ b2 -

-

N ist , so gilt

N = a - (ax 2 + 2bx

+ c)

für eine ganze Zahl c. Das bedeu te t : Q (x) ist immer durch a teilbar , so dass man nur die Wert e Q (x) / a bet rach t en mu ss. Man kann sich also ein a wählen un d erhäl t dadurch meh rere Siebpolynome. Ei n zu groß es a füh rt ab er leider dazu , dass die Wert e Q( x) schneller anwachsen. Um ein zugeh öriges b zu bekommen , löst man die Kon gruen z b2 == N (mod a). Au ch hier kann man tricksen, da die Zahl de r Lösungen dieser Kon gruenz umso größ er ist , je mehr P rimfaktoren a besi t zt . Man wählt daher gern solch e a m it vielen verschiedenen kleinen P rimfak toren und erh äl t entsprechend viele Siebpolynome. 4) Eine Weiter entwicklung: Das Zahlkörper sieb Ende der 80er-Jahre gelang eine deutliche Verbesserung durch E rfindung des Zahlkörper sieb es. Das Verfahren benutzt algebraische Zahlkörper und erzeugt viel glattere Relationen als das ori ginale QS . Wer sich für die ses Verfahren inte ressiert , lese z. B. in Lens t ra [76] weit er. Laufzeit

W ählen wir die Faktorbasis sehr groß , so find en wir a uch schnell geeigne t e Relati onen , benötigen ab er a uch viele davon und mü ssen an schli eßend no ch ein Riesen gleichungssyst em lösen . Ist die Faktorbasis dagegen klein, suchen wir mitunter sehr lange. Gesu cht ist also wied er einm al der gold en e Mittelweg.

359

27.8 Quadratisches Sieb

Fangen wir mit dem Siebverfahren an . F ent hält alle Primzahlen p ::; B . Hat man mit dem Siebpolynom n quadratische Rest e gewonnen , so werden zu jed er Primzahl p E F in sgesamt n lp Eintragungen in der Siebtabelle vorgenommen . F ür den Gesamtaufwand ergibt sich daraus

L ~ ~ n · Jkl~(k) B

pE F p

2

dk

~ n · ln (ln (B )).

Die Integr alabschätzung bekommt man aus dem Primzahlsatz, aus dem man die Größenordnung k ln(k) für die k-te Primzahl folgern kann. Pro berechnetem quadrati schen Re st b enötigen wir also gerade einmal ln(1n(B)) Operationen für das Sieben. Jetzt müssen wir un s natürlich überlegen , wie viele quadratische Reste wir durchprobieren müssen , bis uns eine der gewünschten Relationen üb er den Weg läuft . Für diese muss der Rest üb er F zerlegbar, also B -glatt sein . Dazu b enötigen wir wied er die in Kapitel 6 vorgest ellte Glattheitsfunktion 'ljJ und den Satz von Canfield , Erdös und Pomerance. Nehmen wir an , alle vom Siebpolynom erzeugten Re ste sind im Betrag durch x bes chränkt . Es ist dann x . 'ljJ (x, B )-l die zu erwartende Anz ahl a n benötigten Versuchen, um einen B -glatten Res t zu bekommen. Um im Au swahlsch ritt das Gleichungssystem lösen zu können , benötigen wir etwa Jr(B) Rel ationen . Wir können also eine Gesamtlaufzeit von

L( x) = In(1n(B)) . Jr(B) . x · 'ljJ (x, B) -l an setzen. Der P rimzahlsatz sagt uns Jr (B) ~ B I ln(B) , wir können In (ln( B )) . Jr (B) also mit B großzügig nach oben ab schätzen. Um den Satz von Canfield , E rdös und Pomerance a nzuwenden, set zen wir B := x l / u , also L(x) = x l / u . x· 'ljJ (x,X l /U )- l. Anwenden des Satzes ergibt

Um die Laufzeit zu m inimier en, machen wir wied er den An satz dL I du = 0, was uns a uf 2(1n(u) ln(x) = u + 1) füh rt . Man be ach te die Ähnlichkei t zur Laufzeitanaly se in Kapite l 6. An alog zu dieser bekommen wir U opt ~ J2In( x )1 In(1n(x)) . Fehl t nur noch das Einsetzen und Vereinfachen: L(x) = et In (x )+u In (u ) = e 1n( x) · V ln (l n( x» /2 1n( x)+! In (21 n (x ) / ln(ln (x » )·v21n (x ) / ln t ln fz ) = e V ! In (x ) In(l n (x »+ ! ln(ln (x »·v21n (x ) / ln (l n (x » = e V 2 1n (x )ln(ln (x »

360

27 Faktorisierungsverfahren

W ie scho n erwähnt , sind die qu adrati sch en Reste im Bet rag durch N ~ +E: b esch ränkt , wob ei man mit e --t 0 (für N --t (0 ) a us kommt, al so:

L( N) =

e

\/2 ln (N ! + O(l )

In (ln ( N !+O(l ) )

= e V (l+o( l» ln (N ) ln (ln (N »

Man kann jetzt no ch nachrechnen , dass die optimale Wahl von B in der Größenordnung B

~

~e

(~ +o(l» · vln( N) ln (l n ( N »

liegt. Soweit der Sieb schritt . Das Ganze würde natürlich gar kein en Sinn machen , wenn die eigentliche Komplexität im Auswahlschrit t läge . Dort haben wir ein Gleichungssystem mit einer (I x I)-Mat rix (wobei 1 :":::i B) zu lösen . Die GaußElimina tion hat zwar allgemein eine Laufzeit von O(z3), doch handelt es sich hier um ext re m dünn b esetzt e Matrizen . Man kann j a leicht nachrechnen , dass die An zahl der auf 1 geset zten St ellen in eine r Spalte durch et wa In( N) b esch ränkt ist . In der Praxi s er gibt sich daher eine Laufzeit von B 2 +o ( 1 ) für den Au swahlsch ritt, wob ei man ehe r speziell a uf solche Mat rize n zuges chnit tene Algorithmen verwende t , z. B . das "Block Lanczos"-Verfahren. Der Au swahlschritt ist gegenübe r dem Sieb schritt fast vernachlässigba r. Das ist a uch gut , da sich ersterer - im Gegensatz zu letz terem - schlecht parallelisieren lässt . Die Laufzeit hat starke Ähnlichkeit mi t der Lau fzeit de r Elliptische-Kurven-Methode. Das ist ab er kein Zufall, da die Komplexität beider Verfahren durch glat te Zahlen be stimmt wird . Das QS unterscheidet sich von ECM dadurch , dass de r Aufwand a usschließlich von der Länge der Eingabe N a bhängt und unabhängig von der Größe der Primteiler von N ist. In der Praxis läuft es meist auf eine Arbeitsteilung hinaus. Faktoren bis et wa ifN werden mit ECM schne ller gefunden . Bleiben dagegen genau zwei Faktoren größer al s ifN übrig, so gibt man dem QS den Vor zug, welches in diesem Fall seine St ärken ausspi elen kann .

N a ch t r a g Ein klein es Konsolenprogramm , das auf dem Mathep lanet en verfügbar ist [77], hat einige der vorgestellten Verfahren implementiert , so das s man das Ganze auch einm al ausprobi er en kann. Die Verfahren und die ihne n zugrunde liegenden Id een sollten dem Leser ein Gefühl für die Problematik und die damit verbunden en Schwieri gkeiten gebe n . Wi e schwer Faktorisier en wirklich ist , ist eine noch ungekl ärte Frage. Möglicherweise wird ja doch noch ein "sch ne ller" Algorithmus gefunden . Kay Schönberger ist Dipl.-Informatiker und lebt in Berlin.

Teil V Ausblick auf Weiteres

28 Fouriertransformation

Übersicht 28.1 Motivation

363

28.2 Zeit und Frequenzbereich

364

28.3 Der Weg zur Fouri ertransformation

365

28.4 Beispiele mit dem Oszilloskop

368

28.5 Die Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 28.6 Systeme ........ . .... ......... ...... ... ..... ....... . ........ 375 28.7 Was es sonst noch gibt

28.1

377

Motivation

Gegen das mathematische Ende des E lektrotechnik-Studiums wird man zu den Funktionaltransformationen (oder Int egraltransform at ion en) gelangen. Es ist ein wichtiges Ziel der Ausbildung, diese Transformationen anwenden zu können . Sie sind sozusagen das Schwei zer Sackmesser des Elektroingenie urs. Dieser Beitrag zielt in erster Linie auf die praktische Anwendung ab. Dazu mag es manchem schon genügen, etwas über komplexe Zahlen zu wissen und alge braische Gleichungen lösen zu können . Das ist natürlich komfortabel , denn es ist gut möglich , solchermaßen ausgerüstet Prüfungen zu best ehen und a uch praktische Probleme zu lösen . Wer es ab er genauer wisse n will , kommt nic ht darum herum, sich mit Fu nktionentheorie zu beschäftigen. Auch von linearen Differentialgleichungen sollte man etwas verstehen. Hier geht es vor allem um die Motivation: Wieso und wozu ist das gut? Und die Antwort kann ich zusammengefasst gleich vorw egnehmen : Für nahezu jede Form der Signalvera rbeit ung, seien es optische, akustische od er a nde re Signale.

364

28.2

28 Fouriertransformat ion

Zeit und Frequenzbereich

Die meisten Menschen sind es gewohnt , in zeitlichen Abl äufen zu denken , das ist unsere a llt ägliche Erfahrung. Nahezu jeder wissenschaftlich interessierte Mensch kennt die Signaldarstellungen auf dem Oszilloskop. Was wir a ls Ton hören , wird zu einer Linie der Intensität über die Zeit . Aber wie hören wir diesen Ton? Unser Ohr zerlegt das Signal keineswegs in kleinste Zeiteinheiten , wie es dies das Oszilloskop t ut , sondern es filtert die einzelnen Frequenzen hera us, wie in der Abbildung 28.1 veranschaulicht ist . E

Abb. 28.1: Signalweg im Ohr Im Schallverlauf E(t) , also im Zeitbereich , sieht man die einze lnen Frequenzen nur sch lecht . Im Ohr muss also eine Transformation in den Fr equenzbe reich stattfinden . Umgekehrt, wie in Abbildung 28.2 gezeigt , geht es a uch . Spielt man Töne a uf einer Orgel, so ad dieren sich die Schwingungen und können mit dem Os zillographen b et racht et werden. Aus Signalen verschiedener Frequen z setzt sich also wieder ein Zeit signa l zusammen. E

t Abb. 28.2: Von der Klaviatur zum Zeit signal Man sieht sofort: Die zeitliche Darstellung lässt kaum erkennen , welche Tas ten gedrückt wurden. Das Frequenzgemisch sieht ziemlich chaotisch aus . Wie kann der Mensch aus diesem Tongemisch wieder etwas Sinnvolles hera ushören? Einerseits zerlegt unser Gehör das Signal wieder in seine Frequenzen. Aber das Gehör und seine Nervenzellen tun noch viel mehr. Störgeräusche (z. B. das Blut rauschen ) müssen hera usgefiltert wer den. Tonfolgen müssen er kannt werden usw. Früher hat man versucht , diesen Geh eimnissen durch Ti erversuche a uf die Spur zu kommen. Wichtige Durchbrüche hat man j edoch erst erzielt , als man neue mathematische Methoden auch mit schnellen, logischen , programmier baren Baustein en aus probier en konnte (FPGA, DSP).

365

28.3 Der Weg zur Fouriert ransformat ion

Di e Folgerung: Mathematik rettet Katzenleben! Heute sind di e Funktionaltransformationen und a bge leitete Berechnungen daraus zu einem wichtigen Wirtschaftfaktor geworden . Das Handy ist nur das naheli egendste Beispiel für moderne Signalverarbeitung. Der Röntgentomograph m acht di e Bildgebung auch ni cht m ehr mit Fotoplatten.

28.3

Der Weg zur Fouriertransformation

Nach de r Einleitung jetzt ein wenig Mathematik: Ich habe von Transforma tionen vom Zeit - in den Frequenzbereich gesp ro chen . Man kann nun versu chen , eine solche Transformation m athematisch zu beschreiben . Eine Sinusfunktion mit der Zeit als Parameter lä sst sich a uch folg endermaßen sch re ib en: sin ( t ) =

e i .t

-

e - i-t

---,::-...,--2·i

Anschaulich ist dies die Differenz zweier gegenläufig ro tierender Zeiger auf dem Einheitskreis. Da die Differenz im aginär wird , muss sie mi t der Di vi sion durch 2i no ch um - 90 0 auf die re elle Achse gedreht werden . M an kön nte diese Schwingung a uch a llein durch die beiden Frequenzen +w und -w und die Amplitude

A definieren . Somit ist b er eits so et was wie eine Transformation definiert. Di ese einfa che "Tra ns form at ion" hat all erdings zwei Na chteile: 1. Ist das Signal im Zeitbereich aus Schwingungen verschied en er Fr equen zen zusam menge setzt , so lä sst sich di ese Zusammensetzung nicht erm it teln. 2. Wirkliche Sign a le sind nicht unendlich lang. Außer der Amplitude muss a uch no ch ih re Zeitdauer berücksichtigt werden. Diese Na chteile lassen sich durch eine b essere Methode beseitigen . Zu 1. Durch M ult iplikation mit eine r Testfunktion können di e einzelne n Fr equ en zen er m it telt werden . Di e Testfunktion lautet b ei der Fouriertransformation e- iw t . M an nennt di ese Funktion den Kern d er Transformation . Um zu seh en, wie gut ein Signal auf den Kern passt , wird das Produkt über di e Zeit integriert. Zu 2. Im einfachen Beispiel nahm ich eine unendliche Sinusfunktion a n. Um die sem Umstand gerecht zu werden , könnte m an eine weitere Zahl einführen für die Zeitdauer oder (u nd so wird es gemacht) m an verschmilzt Amplitude und Dauer mittels Integration , wa s j a bereits in der Besprechung zu Punkt 1 nahegelegt wird . Nach diesen prakti schen Überlegungen mag die Fouriertransformation ni cht mehr so fremd erscheinen:

Y(w) =

~ ./ 271"

-0000 y(t) . e-

iw t

.

dt

(28.1)

366

28 Fouriertransformation

Dazu no ch einige E rklä ru ng en: Hier wird die Kreisfrequen z w = 2·7r·f ver wendet . Man kann ebe nso gut f verwenden , mu ss abe r die Vorfak toren anpassen : fällt dann weg. Dies handhabt jedes Bu ch ode r Skript et was ander s.

2\.

28 .3.1

Vo n den Fourierreihen zur Transformation

Eine n weit er en Eins t ieg bilden die Fourierreih en . Damit kann m an das ers te Problem lösen und ein Signal in seine Fr equen zb estandteile zerlegen. Die Ei nsch ränkung aus P unkt 2 (Fourierreih en b eschreib en unendliche p eriodische Signale) muss a be r noch beseiti gt werden . Ein Zr-pe riodisches Signal sei auf [- T, T ] ab solut int egri erbar (J : :IR --+ C). Die Fourierkoeffizient en lauten :

Ck(J ) =:

2~"JT

-T

Die Fourierreihe ist dann:

L CXJ

f(t ) . e- i.\'.' .t dt

Ck(J) . e i . k~rr -t:

k = -CXJ

Der Gren zwert dieser Reihe (fall s sie konv er gier t) ist wied er die ursp rüngliche Funkt ion f . (Dazu muss die Funkt ion a n Un st eti gkeitsstellen das Mittel der links- und re chtsseit ige n Gren zwer t e sein . An Stet igkeitspunkten ist das automatisch erfüllt. ) Dann gibt es eine Bij ekti on zwisc he n f und der Folge Ck (J) der Fourier koeffizienten . Um a uch nichtperiodische Funkt ione n zu b ehandeln , kann man die P eri od e in eine m Gren züber gang unendlich wach sen lassen . Wir haben al so eine a uf :IR ab solut integri erbare Funktion f : :IR --+
Wenn

f

stet ig differ en zierbar ist, gilt (für t E ]- T ,T[):

367

28.3 Der Weg zur Fouriertransformation

Wenn man jet zt T un endlich groß werden lässt , konv ergi ert ft gegen f . Bei diesem Gren züber gang wird au s der Summe ein Integral. Der Au sdruck k · if werde durch den Gren zübergang zur Kr eisfrequen z w und if wird zu dw. Wir gela ngen hiermit zur folgenden Integraldarst ellung:

f(t ) =

2~

i : (i:

f(T) . e-

iW T •

dT) .e

iw t

.

(28.2)

dw

Diese Herl eitung ent hielt nicht nur die Transformation in den Frequen zb ereich , sonde rn a uch gleich wied er die Rücktransformation in den Zeitbereich , es sollte ja die ur sprünglich e Zeitfunktion wied erher gest ellt werden. Darum werden hier no ch einm al Transformation und Rücktransformation separat in eine r Tabelle gezeigt . Dabei habe ich mi ch auf zeit liche Signale besch ränkt . Man kann auch Helligkeit swerte in einem zweidimensionalen Bild t ransformieren usw. Dies wird hier a ber nicht be sprochen.

28.3.2

Tabelle zur Fouriertransformation von Zeitsignal en

In der Tabelle 28.1 sind einige Begriffe zusammengestellt . In de r let zt en Zeile sind die Tr ansform ationsformeln vom Frequenz- in den Zeitbereich (links) und vom Zeit- in den Frequenzbereich (re cht s) da rge stellt. Tab. 28.1: Tabelle zur Fouriertransformation von Zeitsignalen Zeit be reich

Frequen zbereich

Begriffe

Zeitsignal

Spektrum

Paramete r

Zeit : t oder Ort: x

Freq uenz: w oder

Funkti onwert

reell: y(t)

komplex: Y(w)

Transformation in den

2~

00

J -

Y(w) · e i w t dw

00

00

J

f

y(t)· e - i w t dt

-00

Nun sind wir in der Lage, Beispi ele zu rechnen . An dieser St elle wird einfach davon ausgegangen , dass das Integral konv ergi ert und et was Sinnvolles herauskommt , was natürlich nicht selbs t verständlich ist .

Welche Signale lassen sich t ransformieren? Das Oszillo skop kann für jedes technisch erzeugb are Sign al ein e Tr ansformation in den Frequen zb er eich an zeigen . Wo liegen ab er mathem atisch die Gren zen ? Die klein st e Menge der transformierbaren und rück-transformierbar en Funktionen wird Schwarz-Raum od er die M enge der schnell abfall end en Funktion en gen annt (im Wesentlichen sind das Kombinationen au s Gauß-Verteilungsfunktionen).

368

28 Fouriertransformation

Diese Funktionen kann man folgendermaßen spezifizieren: Für jed es k E No und n E N ist lim IxIn f(k )(x) = o. X--+±=

Der Schwarz-Raum ist jedoch eine zu st arke Eingrenzung und für den Elektrotechniker kaum a nwendbar. Erweitern wir ihn deshalb zunächst zu der Menge der Energiesignale.

i:

i:

Ein beschränktes , stückweise stetiges Sign al y(t) nennt man Energiesignal, wenn gilt : y(t) . y *(t) dt

=

2

ly (t )1 dt <

(28.3)

00

Divergiert obiges Integral , aber existiert der Grenzwert lim

T --+ =

~l'fT - T

21

y(t)'y*(t)dt = lim

T --+=

l'l'fTly (t )1

2.1

2

- T

dt <

00,

(28.4)

so spricht man von einem Leistungssignal, da man den Grenzwert als mittlere Leistung interpretieren kann. Diese Signale lassen sich transformier en . Die Transformation kann aber nicht nur zu klassischen Funktionen, sondern auch zu Distributionen führen.

28.4

Beispiele mit dem Oszilloskop

Da dieser Beitrag angewandte Mathematik behandelt, habe ich die Signale mit einem Oszilloskop transformiert . Dieses berechnet die Signale im Frequenzbereich mit der FFT-Methode (fast [ourier transformation) .

28.4. 1

Die Sinusfunktion

Zunächst einmal das einfachst e Signal in diesem Zusammenhang: die Sinusfunktion . Genau genommen kann man dieses Signal nicht transformieren (t echnisch), da es unendlich lang a ndauert . Da es sich aber um ein Leistungssignal handelt (wie oben definiert) , ist die Transformation zumindest t heoretisch definiert . Nun a ber zur Messung. Bis auf die Mess- und Auflösungsfehl er kommt heraus , was wir erwarte n würden .

In

Abbildung 28.3 et wa das

Bei der Frequenz von 1 kHz sieht man den (durch die Messung leicht zerdrückten) Diracstoß. In den Bildern fällt a uch auf, dass nur die positiven Frequenzen vorkommen . Die Fouriertransformation erst re ckt sich aber auch auf die negativen Frequenzen und das sollte man nie vergessen. In der Technik sch einen diese a uf den erst en Blick kein e Rolle zu spielen. Beim Beispi el mit de r Amplitudenmodulation werden wir ab er seh en , dass negative Frequenzen auch in den

369

28.4 Beispiele mit dem Oszilloskop

Fr equenzbereich

Zeit b ereich

1

60 -

~

c:; .: ;j .: .: es

40

0

r-

20 -

[:l.

tI)


o_

.1

L

I.

I

o

o

4

2 Z eit (m s )

2

4

F r e qu e n z ( kH z)

Abb. 28.3: Sinus transformi eren

positiven Bereich gespiegelt wer den und deshalb ni cht verna chl ässigt wer den dürfen . Etwas Weit eres wird bei d ieser Darst ell u ng vernachlässigt : die P hase . Nach der Fouriertransformation haben wir für jede Frequenz einen kom pl exen Wert . Der Oszillograph stellt nur den Bet rag d a r. Man kön nte mit einem zweiten Diagr amm die Pha se über die Frequen z einzeichnen. Diese beiden Darstellungen nennt man auch Bod e-D iagra m m e (Beispiel folgt). Noch ein pa ar Wort e zur d B-Skal a : Di ese bezeichnet das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal bei einer b est im mt en Fr equenz . Die Defin ition la utet : L = 20 10g lO ·(Uou t /Uin) . 0 d B bed eu t et somit Us,« = U i n, 20 d B eine lO-Fache Verstärku ng , 40 d B eine hu ndertfache Verstärku ng und -6 d B ei ne Abschwächu ng auf etwa 1/ 2. Nun soll ei n geeigneteres Signal verwen de t werden . Um die Energie endlich zu hal t en , wird d a s Signal einfach nur in einem gewissen Zeit fenst er eingescha ltet. Vor her u nd n achher sei es Nu ll. In Abbildung 28.4 wird gefensterlt. Freq ue nz bereic h

Zeit b ereich

1 ~

c:; .: ;j .: .: es

0

[:l.

tI)


- 1 -

-1

o

1

30 -

20 -

10 -

o 2

Z e it( ms )

Abb. 28.4: Sinus im Fenster

3

5 F re qu e nz( kH z )

370

28 Fouriertransformation

Wi e sieht das denn au s? Au s dem reinen Dirac-Impuls ist ein ziem lich übel ver schmierter Frequen zgang geword en und das nur, weil wir etwas a bgeschnit t en haben . Zug egeb en , wir haben j a au ch unendlich viel Signal a bges chnit ten. Der "Gipfel" des Signals ist immer no ch et wa b ei 1 kH z (Achtung: die Skala in Abbildung 28.4 ist gegenübe r dem ersten Beispi el et was ander s gewählt) . Das Frequen zsp ektrum hat ab er noch viele kleiner e lokal e Maxi m a, welche b ei dieser Messung nach und nach im Rauschen untergeh en .

28.4 .2

Die Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion hat eine wich tige praktische Bed eutung; sie dient dazu, Funkti onen durch ein Zeit- oder Frequenzfenster zu betrachten . Ein einzelner Rechte ckpuls soll nun zuerst mathematisch transformiert werden : TT

()_{I t -

o

Itl::;

t

sonst

Nun setzen wir die se Funktion in das Fourier-Integra l ein und erhalten eine Funktion der Frequen z: Y (f)

/2 7'

=

e-

i ·2 7rft

dt

T

=

[ 1

i'7rfT

t]

-i .2Jr-j · e _ I

-2

e

2 T

- j·27r f

2

- j'7rf T

- e i · 2 Jrj

j1')

. (

= l' . S ill'L'ttJr ]

- 1'. ' -

"

SIllC

(j1') Jr

Die Bezeichnung sinc (x ) ist eine Abkürzung für sin (x )/x. Die Me ssung zeigt Abbildung 28.5. Fr equen zb ereich

Zeitber eich I

:::.

1

-

0; >: >: >:

;j

05

-

I

lI

[:l.

tI)

0

-

-

I

- 20

I

o

l.

40 ~

'"(j

-

I

(j

v

I

""'"s,

"co

.;1

20 -

:

Cl

-

I

20

tIl

o-

I

0

200

400

F r e qu e n z ( k H z)

Abb. 28.5 : Rechteckpul s t ransformieren Die Funktion im Bild rechts ist von der Form Isinc (a· f) 1Nun machen wir das Gegenteil von vorhin. Die Fouriertransformation und die Rü cktransformation

28.4 Beispiele mit dem Oszilloskop

371

sehe n sehr ähnlich au s. Was passiert also, wen n man die sinc (t ) Funkti on in den Fre que nz bereich t ransform iert? Die Antwort soll die Messung in Abbildung 28.6 gebe n . Bis auf die erwarteten Feh ler ergibt sich b ei dieser Messu ng wied er ein Recht eck. Frequ en zb er eich

Zeitbereich 1

-

Il:l

::.

c:; >: >: >:

;j

3

"'.8"

.:,e

05 -

'"

Cl

[:l,

t.r)

<J

'"ij

o-

>:

tIl""

- 500

0

o

500

Z e i t(fl s )

50

100

F r e qu e n z ( kH z )

Ab b. 28.6: Sinc tra nsformieren

28.4.3

Die Dreieckfun ktion

In Abbi ldu ng 28.7 erkennt man die Koeffizient en der Fourier re ihe. Dank der Tatsache, dass nur ein endliches Signal t ransform iert wurde, sind diese Spi t zen auc h nicht unendlich hoch . Die Fre que nze n liegen b ei der Grundfrequenz, dem 3, 5, 7-fachen usw. Frequ en zb ereich

Zeitbereich Il:l

::.

60 -

3

>: >:

"'.8"

[:l,

'"ij

<J

tIl""

"">:

;j

Cl

.:,e

40

'"

20

>:

t.r)

- 1

0

1

Z e i t (m s )

0 0

10

20

F r e qu e n z ( kH z )

Abb. 28.7: Dreiecksignal t ransformieren

Bei dem gefensterten Dreieck (Abbildung 28.8 ) tauc ht wieder dieser ,,\Terschmiereffekt" auf. Dieser trägt die nic ht ga nz offensichtliche Bezeichnu ng Leck effekt.

372

28 Fouriertransformation

Fr equen zb ereich

Zeitbereich

1

:::.

§""

0

>:: >::

es

[:l.

t1)


.Jv_.

30 -

20 10 -

o-

- 1

o

- 1

1

Z eit (m s )

F r e qu e n z ( kH z )

Abb. 28 .8: Dreieck im Fenster

28.4.4

Gauß

Zum Schluss noch eine Funktion , die ihre Form beh ält (weni gst en s t he oretisch ). Es ist die Nor m alverteilung, oft einfa ch mi t Gauß bezeichnet. Die Mess ung ist in der Abbildung 28.9 dargest ellt . Fr equen zb ereich

Zeitber eich Cl:l

"(j

's,"

.!<

'"

20

.;1

'" ::

tIl"" - 200

o

200

10 0 0

5

10

F r e qu e n z ( kH z )

Abb. 28 .9: Gauß transform ieren

28.5

Die Faltung

In der P raxi s stellt sich oft die Aufgabe, gewisse Frequen zen au szufiltern. Nehmen wir an , a uf der Tonbandaufnahme st ört ho chfrequent es Rausch en und Pfeifen. Es sollen nun die T ön e über 6 kH z gefiltert werden , um das Stück einigermaß en wiede r her zu st ellen. Mat he mat isch biet et sich an , das Sign al im Frequen zb er eich mi t einer Fen sterfunktion zu multiplizier en , wie in Abbildung 28.10 gezeigt. Frequen zen ab eine r gewisse n Höh e werden einfa ch a bgeschnit ten . Das Sp ekt ru m im Bild ist übrigen s nur ein Beispi el. Man kann selbs t vers t ä ndlich j ed es

373

28 .5 Die Fa ltung

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6 k Hz

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6k Hz

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I

I

I

f

6kH z

Abb. 28.10: Tiefpass

Sp ektrum dem Filter unterw erfen . Im Fr equen zb ereich ist das Signal nun einfach zu beschreib en : Die Anteile, die eine Frequen z unter 6 kH z haben , werden nicht be einflusst , alle s darüber wird null. Was passi ert a be r mit dem Zeitsignal, wenn man Im Sp ektrum zwei Signale multipliziert? Die mathem atis che Herl eitung ist nicht allzu schwierig und wird als Faltung od er Faltungsprodukt b ezeichnet. Der Au sdruck Produkt rührt daher , dass die Faltung im Fre que nz be re ich der Multiplikation im Zeitbereich ent spricht. Dies gilt auch umgekehrt . Nun a be r zur Herl eitung der Faltung:

i:

Zwei Signale (J und g) werden im Zeitbereich gefalte t :

(J

* g)( x)

=

f(x - t ) . g(t) dt

i:i:

Dieses Signal wird nun in den Frequen zb er eich transformiert:

f(x - t) . g(t) . e-

=

'OO ]-00 00 f( x - t) · g(t) · j-00

iw x

d t dx

e -iw. ( x -t ) · e -

iw t

dt dx

Nun können wir das Falt ungsintegral in ein Transformationsintegral wandeln durch die Substi tution z = x - t , d z = dx :

]-0000 f( z) . e

-iw z

dz·

]-0000 g(t) . e

-iwt

dt

Die s ist aber das P rodukt der Sign ale im Frequenzbereich . Damit sind wir fer tig.

374

28 Fouriertransformation

Fre quen zb ereich

Zeitbere ich 1 CQ

60

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"'"

40 -

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20 -

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20

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iml~I" II,

500

Z eit (m s )

1,000

F r equ en z (H z )

Abb . 28.11: Amplitudenmodulation Mu lt ipliziert man zwei Signale in eine m Mischer , so en tstehen neue Frequenzen (Abbildung 28. 11). Dies wird b eispi elsweise genutzt, um ho chfrequente Sign ale in eine n t ieferen Frequen zb er eich zu transformier en , wo sie elekt ronisch besser verarbeit et werden können . Im Bild 28.12 links wurde ein Sinuss ignal von 1 kHz mit eine m Sinus von 100 Hz mod uliert . Neben den urs prüngliche n Frequenzen zeigt die Tr ansformatio n noch Sign ale b ei 900 Hz und bei 1100 Hz. W ie diese ents tehe n , sieht man am b est en , wenn man die Fa lt ung graphisch au fzeichnet:

,

,- -

I1 1

-

,r r- I

"1

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T

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I

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T

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1

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- r- - - - ~ I

h

f

Abb. 28.12: Faltung Die Grundfrequen z in dieser Grafik im Frequen zb er eich heißt h (b ei der Messung ob en 1 kH z) . Diese wird modulier t von g . Bei jed er Frequen z bildet man nun ein Fa lt ungs integral. Bei den meist en Integralen erg ibt sich null , da sich die Diracpulse von 9 und h gen au treffen mü ssen , damit et was he rauskommt . Ein Zusamment reffen findet unte r a nder em für die Freque nzen h + 9 (u nte re Pfeile) un d h - 9 (obere Pfeile) st att. (Die gleiche Überlegung gilt au ch für die nega tive Seit e.) Ein Sign al mit aufmodulierter Information benötigt deshalb immer eine gewisse Ba ndbreit e. Ist g die hö chst e a ufmo dulierte Frequen z, so wird das amplituden moduliert e Sign al Frequen zen im Bereich h ±g ent halt en . Diese Frequen zbänder

375

28 .6 Systeme

sind inzwischen knapp und deshalb dem entsprechend t eu er. Dank Digitaltechnik sind die Bänder beispielsweise für s Fernseh en et wa 8-mal schmaler geword en, bei gleichbleib ender od er b esser er (gefühlter) Qualität .

28.6

Systeme

Bish er wurden nur Funktionen transformiert . Ein Signal wurde zum Beispiel aus dem Zeitbereich in den Frequen zb ereich transformiert, b earbeitet und wied er zurückgeschickt. Eine groß e St ärke der Fouriertransformation liegt ab er darin, dass man line are Differentialgleichungen t ransformieren kann . Technisch a usgedrüc kt kann man dies et wa so ver st eh en (sieh e Abbildung 28.13) : Unse r Signal sei weiterhin als E ing ang ssignal eine r Schaltung vorhanden . Das Signal werde nun mit Spulen , Konden sator en und a nde ren linear en Bauteilen beh andelt. Wir wollen wissen , welch es Signal am Au sgang der Schaltung anliegt . Was wir wollen , ist also eine Funktion (genauer ein Op er ator) , die a us eine m E ingangssignal das Au sgangssignal b erechnet.

e(t )

--1

.' ~ a(t)

- - -----'----

Abb . 28.13 : Der Systemgedanke

Um das Ausgangssignal zu erhalten, können wir die ganze Gleichung in den Frequenzbereich transformieren, dort lösen und wieder zurück in den Zeitbereich t ransformieren. Zuerst mü ssen wir unter a nderem wissen , was a us einer n- ten Ableitung im Zeitbereich im Frequenzbereich wird. Ohne Beweis seien in Tabelle 28.2 einige nützliche Korrespondenzen zur Behandlung von Differentialg leichungen aufgeführt . Im Zeitbereich lau ten die Funktionen f(t) und g(t) und im Frequenzbereich P( w) und G(w) . Ta b. 28.2 : Regeln zu r Fouriert ransfo rmation von Zeitsignalen Name

Zeitbe reich

1. Lineari tät

Q'

2 . Ähnl ichkeitssatz

f(t) f( a ·t)

+ ß· g(t)

3. Fa lt ung 4 . Verschiebung 5 . Multipl ikation mit t 6 . Ab leit ung

f( t - T ) t k . f(t)

Freque nzbe reich

Q, P (w)+ß· G(w) (1/ a) . P(w /a ) P( w) . G(w) e- iw T ·P (w)

28 Fouriertransformation

376

Mit diesen Korrespond en zen sind wir nun in der Lage, Syst em e zu t ransformi eren . Als einfaches Beispiel dien e der Ti efp ass mi t W ider st and und Spule in Abbi ldung 28.14.

Abb. 28.14: Tiefpass

Die se Sch altung lässt sich durch eine line a re Differen ti algl eichung 1. Ordnung b eschreiben: (28.5) L · :t i (t) + R· i(t) = Uin(t ) Wir geben ein Sign al u(t) in die Schal tung und wollen den Strom i(t ) wissen . Die Differen ti algleichung wird un ter Benutzung der Kor respondenzen in de n Frequenzbereich t ransfor miert:

L· i . w · I( w) + R · I (w) = U (w)

(28.6)

Das Schöne daran ist : Das ist kein e Differenti algleichung mehr , sondern nur ein e algebraische. Stellt man die se um , so erhäl t man die Übert ragungsfunkti on G :

J(w) = .

I ' W

1

L

+ R' . U (w) =

G(w) . U (w)

(28.7)

Die Üb ertragungsfunktion könnte man in den Zeitbereich zur ück transformieren . Dies ist abe r nicht das, was wir wirklich wollen . Die Schaltung stellt eine n Filter dar. Das heißt , wir wollen wissen , wie die Schaltung auf Signale versch iede ne r Fr equen z rea giert . Das wissen wir a be r ber eit s. Trotzdem ist es no ch nü t zlich , G(w) in Bod edi agramme aufzu tragen. Zuerst wird der Bet rag von G in Abhängigkeit der Fr equen z in Abbildung 28.15 dar gest ellt. Wird die Frequen z und die Ver stärkung (b zw. Ab schwächung) linear in eine m Diagramm a ufgetragen (Abbildung 28.1 5, links) , so sieht die Übe rt ragungskurve kompliziert a us und ist schlecht zu handhaben. Daher verw endet man ein doppelt logarithmisches Diagramm, wie rechts in der Abbildung. Dank die ser Art der Dar stellung kann man nun vereinfachend mit geraden Strecken a rbeit en. Bei Spannungs- oder Stromverh äl tnissen ents prechen 20 dB dem Faktor 10. Bei de r 10fachen Eckfrequenz ist das Au sgangssign al bei diesem Tiefpass noch 10 % vom Eingang. Berauschend ist das nicht gerade, daher werden oft elektronische Fil ter mit größerer Steilheit (höherer Ordnung) verw endet .

377

28 .7 Was es sonst noc h gibt

10° s,

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10-

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Fr e q uen z

F r e qu e n z( H z )

Abb. 28 .15: Bodediagramm für den Betrag, links mit linearen und rechts mit logarithmischen Achsen

Was ich bisher in diesem Beitrag vernachlässigt habe, soll nun noch in der Abbildung 28.16 zu Ehren kommen : Der Phasengang. Bei der Fouriertransformation erhält man ja schließlich eine n komplexen Funktionswert, und der hat eine Phase. Bei einem Tiefpass erster Ordnung dreht sich die Phase um - 90 0 zu den hohen Frequenzen hin .

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- 90

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\

I, i ill

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"" ,.

"

F r e qu e n z

Abb. 28 .16: Boded iagramm für die Pha se

28.7

Was es sonst no ch gibt

Bish er wurde von der Fouriertransformation ges proche n. Es gibt ab er eine Vielza hl von Funktionaltransformationen für ver schi ed en e Anw endungen . Eine Au swahl au s dem Gebi et der Sign alv erarbeitung ist in Tabelle 28.3 gegebe n. Ein gu ter Teil der Transformationen baut a uf der Fouriertransformation a uf. Es mach t also Sin n , dass man diese gründlich studiert . F ür die Bildverarbeitung und a uch die Kompression von Bildern wird oft eine zweidime nsionale Fouriertransformation verw endet . Wavelets wird manchmal au ch als Üb erbegriff verwendet und dann fallen auch Fourier- und Laplacetransformation darunter . Die Laplac etransformation wird in der Regeltechnik und Filtertheori e verw endet.

378

28 Fouriertransformation

Tab. 28.3: Verschiedene Funktionaltransformationen Name

Beschreibung

Anwendung

Fouriertra nsformation

Signale werden in ihr Spektrum "zerlegt "

Signalve rarbeitung, Filter, Bildbearbeitung

OFT (diskrete Fouriertransformation )

Fourier für digitale Systeme

FFT : fast Fourier tran sformation: verbreitete und schnelle Methode zur OFT

Wavelets

Weiterentwicklung der Fouriert ransformation , optimierte Fensterung

Signalanalyse

Laplacetra nsformation

Einseitige Transformation mit Dämpfung im Kern

Lösen von Diff-gl., Regeltechnik

Ähnlich wie OFT, Spektrum "aufgewickelt "

Digit ale Signalverarbeitung

Signale positiver Frequenz werden um _90' gedreht, bei neg. Frequenzen um +90'

Hüllkurven , EinseitenbandDemodulation

z- Transformation Hilbert Transformation

Dank eines Dä mpfun gsgliedes im Ke rn können m it de r La placet ransformati on a uch Funk t ionen transformiert werden , die mit der Zeit ansteigen , a lso zum Beisp iel die linea re Ra mpenfunk t ion . Ueli Hafn er ist Dipl.Ing. F R und leb t in W interthur.

29 Das Brachistochronenproblem

Übersicht 29.1 Einleitung

379

29.2 Formali sierung de s P roblems

381

29.3 Ein m äch tiges Werkzeug: Variationskalkül. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 382 29.4 Bestimmen der opt imalen Lösung

384

29.5 Abs chluss

387

29.1

Einleitung

Im Jahr 1696 stellte Johann Bernoulli, ein Mit glied der b erühmtesten Schweizer Gelehrtenfamilie , de r mathemati schen Welt ein einfach for muliertes, doch bei näherer Betrachtung schwieri ges und recht au fschlussreiches P roblem:

"Wenn in einer verticalen Ebene zwei Punkte A und B gegeben sind, soll man dem beweglichen Punkt e M eine Bahn zuweisen, auf welcher er von A ausgehend verm öge sein er Schwere in kür zester Zeit nach B gelangt." In modernerer Sprache au sgedrückt , würde seine Aufgabe folgendermaßen lauten : Wi e mu ss eine Bahn b eschaffen sein, a uf der ein sich reibungsfrei b ewegender Körper von einem höher gelegen en Punkt A zu einem ni edriger , jedoch nicht senkrecht darunter liegenden Punkt B allein von der Schwerkraft angetrieben die kürzeste mögli che Zeit benötigt ? Zu die sem P roblem hat Bernoulli mögli cherweise das Werk Galileis inspiriert, de r den K rei sbogen fälschli che rweise für den op timalen Bahnverlauf geh al ten hat te . Au ch lag Johann fast ständig im Streit mi t seinem zwölf J ahre ält eren Bruder J akob Bernoulli, de r ebenfalls ein sehr produktiver Physiker und Mathematiker wa r (was man damals nicht so st reng unter schi ed wie heute) . Johann wettete, dass er das Problem schne ller und elegante r lösen könne als alle ander en, darum veröffen tli chte er seine Problem st ellung in der Zeitschrift "A cta Erudiiorum".

380

29 Das Brachistochronenproblem

A

Abb. 29.1: Welche Bahn ist die schnellste von A nach B?

Es ist ein Trugschluss anzunehmen, dass die Bahn mit der kürzesten Länge, nämlich die Strecke AB, au ch die sei, auf der der Körper !VII die kürzeste Zeit benötigt. Das zeigt schon der Vergleich mit der Bahn, auf der der Körper !VI2 zunächst von

(::)

A

senkrecht herunterfällt , um dann mit konstant der Geschwindigkeit , die er am Ende des Freifallabschnitts hat, waagerecht

zu erre iche n (siehe Abbildung 29.1). Bei der direkten Bahn von A nach B wirkt, wie aus der eleme nt a ren Dynamik bekannt ist , die Hangabtriebskraft PH in Richtung AB mit

IpHI

= m·g ·sin(a) .

Dabei ist (mit .6.x a

= arctan

(~~ )

der Neigungswinkel der Bahn gegen die Horizontale und 9 = 9,81m /s 2 die Erdb eschl eunigung. So gilt mit dem fundamentalen Geset z der Newtonsehen Mechanik "Kraft ist gleich Mas se mal Beschleunigung" (P = m · Ci) :

g .

a

(.6.x)2 s

+ (.6.y)2

.

.6.y J(.6. X)2 + (.6.y)2

381

29.2 Formalisierung des Problems x

vI + x

(Dabei wurde die Id entit ät sin (a rctan (x ))

2

verw endet .)

Um damit die l = J (.0.x)2 + (.0.y )2 lange Bahn her abzukommen , b enötigt der Körper also gemäß dem Geset z der beschl eunigten Bewegung l = ~ . a . t 2 :

J

2 · [2

td ire k t

g . .0.y ,---------

r:

v2 ·

(.0. x )2 + (.0.y) 2 s : .0.y

Ausnutzen der Reibungsfreih eit in dem Sinne, dass stets Ekin

+

E p ot

= m· 9 . h

+ 21 . m

.v

2

= const.

gilt , führt ebe nfalls zu diesem Ergebnis. Dies wird später no ch verw endet werden . Bei der .Knickbahn'' b en ötigt er hingegen für den sen kre chten Teil nach .0.y = ~ . 9 . die Zeit

ti

für den waagerechten Teil

V2· 9 · li y' so dass die Ge samtzeit

/2.

tK n ic k

.0.y +

.6.x 2

Vg ·.0.y

beträgt. Der Vergl eich ergibt, dass die Knickb ahn schneller ist, fall s

(.0. X)2 also wenn .0.x

+

(.0.y) 2

> (.0.y +

~x) 2 ,

> ~ . .0.y. Son st ist die schiefe Ebene "sch neller".

Beid e Ver su che schein en also nicht optimal zu sein.

29.2

Formalisierung des Problems

Um die optimale Bahnkurve zu finden , nehme man vernünftigerweise an , dass die se exi stiere und als zweim al st et ig differenzierbare Funktion y(x) darstellbar ist . Ferner möge A mit dem Nullpunkt identisch sein und FG in negativer yRichtung wirken (vgl. Abbildung 29.2) . Zunächst muss ein Au sd ru ck für die Zeit für das Durchl aufen der ganzen Bahn gefunden werden . Auf dem Bahnstück dl , das nach P ythagoras die Länge dl = J(d x )2 + (dy) 2 = Jl

+ (Y'( X))2 . dx

382

29 Das Brachistochronenproblem

\ \

Abb . 29.2: Zum Ansatz für die Lösung

hat , läuft der Körper mit der Geschwindigkeit

v =

'!!!:.9 ' h =

~

V -2 ·g ·y(x )

2

(man beachte, dass y( x ) stets negativ ist). Durch infinitesimales Aufsummieren, also Integrieren des Quotienten ~ , ergibt sich die Gesamtlaufzeit . Dies liefert den Ausdruck

l

T(y)

bl

o

l( x ) -v (x ) dx

_ 1_ ~

y 2 ·g

'l

0

bl

VI +r-:::r:::\ (y' (x))2 y -y(x)

dx ,

der minimal wer den soll.

29.3

Ein mächtiges Werkzeug: Variationskalkül

T = T( x , y , v') ist eine ree llwertige "Funktion", deren Argument nicht nur eine reelle Zah l ist , sondern die zusätz lich von eine r differen zier baren Fu nktion üb er dem Intervall I = [X l, X2 ], Y : I ---+ lR , X H y(x) und deren erster Ableitung y' abhängt . Solch eine "Fu nktion a uf eine r Klass e von Funktionen" nenn t ma n ein Funk tio nal . Im vorli egend en Fa ll kann m an sich a uf die Problemklasse b eschränken , bei der T nicht explizit von x abhängt un d T durch ein Integral mit festen Int egrat ionsva riablen un d st etiger Funktion F : lR 3 H lR definiert ist :

T(y) =

l

X2

Xl

F(x ,y(x) ,y'(x))dx

29.3 Ein mächtiges Werkzeug: Variationskalkül

383

Mit diesen Objekten beschäftigt sich heute die Funktionalanalysis, die Anfang des 20. Jahrhunderts ent wickelt wurde. Tat sächlich aber wurden Problem e dieser Ar t schon weit früher mit den Mitteln der Analysis gelöst. Den wichtigsten allg em ein en An satz zum Auffinden von Funktionen , die gewisse Funktionale minimieren , bildet die Variationsrechnung, die von Joseph Loui s Lagrange ent wickelt und von Euler p erfektioniert wurde. Gegeb en sei also ein ste t ig differen zierbares Funktional T = I X l2 F(x, y , y') dx . Lagranges An satz zur Lösung lässt sich als Analogie zur Vorgeh en sweise b ei der Ex tremwertsuche für differenzierbare Funktionen auffas sen : F ür das Funktional wird eine vereinfachende Darstellung au s kons tantem Wer t T an einer Stelle, line arer Form D T und Termen höherer Ordnung gesucht. Was man hier sieht, ist der Beginn eine r "verallgeme ine rte n Taylor-Entwicklung' für eine Funktion T : IR 3 H IR: X

T( x ,y,y') = T( xo ,Yo ,Yb)

+ DT( xo ,Yo ,Yb) · (x -

Xo, Y - Yo ,y' - yb)T

+ 0(2)

Die Linear form D T (hier dargestellt als Zeilenvektor) stellt dabei das Analogon zur ersten Abl eitung eine r differ en zierbaren Funktion da r, die zwecks Extrem wertsuche gleich null gesetz t wird. Praktischerw eise gilt nach dem Satz von der Abl eitung unter dem Integral zeich en , dass die Differentiation des Funktionals T gleichbed eutend ist mit der Integration der Abl eitung von F . Aber halt - kann man denn nach Funktionen differenzieren? Man kann , und die ser Ans atz ist das eigentlich Geniale a n Lagranges Gedankengang. Der Raum de r für die Lösung in Frage kommenden Funktionen Y ist ein Vektorr aum , nämlich der Vektorraum der au f einem Intervall zweimal st et ig differenzierbaren Funktionen . Man bezeichnet diesen üblicherweise mi t C 2( [XI , X2 ]); im vorliegenden Fall also mit C 2 ([0, bI]) . Die Entsprechu ng zu Geraden durch eine n Punkt Y sind in diesem Raum Mengen von Funktionen der Form z = Y

+ E' TI ,

E

E IR,

wobei TI eine ebenfalls zweimal stetig differenzierb are Funktion a uf [Xl, X2] mit der Einschränkung TI( XI ) = TI( X2 ) = O. ist . Die s deshalb , damit die R andbedingungen des Problems nicht verletzt werden. Die vermeintli che Schwierigkeit, es gebe überabzählbar viele mögli che derartige Funktionen TI , erweist sich als Vorteil, denn die Stetigkeit von F ga rantiert für alle TI: F( x , Y, y' ) = lim F( x , Y + E • TI , Y' + E • TI' ), <--+0

und beim Extremalpunkt YE hat für jed es beliebige TI zu gelten:

dF(x , YE + E • TI , y~

dE

+ E • TI')

= 0

384

29 Das Brachistochronenproblem

Damit ist geme int, dass - egal, in welch er "Richt ung" 7) man die Lösung YE im Funktionenraum durchläuft - man dort stets ein Extremum vor find et , und dieses lässt sich per Differentiation nach E b equem lokali sier en . Diese Richtungsa bleit unge n nennt man Gateaux-Ableitungen . Zunäch st ste llt man unter Zuhilfenahme der Kettenregel ~~ dar als dF

dE

dy 8F dy' -8F . + - .8y d e 8 y' de

Fy(x, y, y' )· 7)

+

Fy' (x , y , y') . 7)

+ (d~

Fy'(x ,y,y')· 7)' (Fy' (x , y , y' ) . 7)) -

(d~ Fy' (x , y , y')) . 7)) .

Hier wurden verw endet , • •

dass das Funktional F ni cht explizit von der freien Variablen x a bhängt, die Produktregel zur Ableitung von F y' (x , y , y' ) . 7).

Falls das Funktional - wie in diesem Fall , a be r a uch in vielen anderen Anw en dungsfällen - durch ein Integral zwische n zwei fest en Gren zen b eschrieb en ist , ver schwindet wegen der Randbedingungen für 7) der mittlere Term , und man erhält:

Zusammengenommen ergibt sich die fundamentale

E uler -Lag range- G le ichung :

Fy -

d~ Fy,

0

Sie muss stets erfüllt sein , wen n ohne weitere Einschränkungen ein Funktional a uf C 2([Xl , X2]) einen ext remalen Wer t a nnehmen soll. Hängt ein Funkt ional von mehreren Variablen und de ren Ableitungen a b, so gibt es für jedes dieser P aare eine Gle ichung, die auf ein System von Differenti algleichungen führ t . Die s ist eine grundlegende Technik de r an al yti schen Mechanik.

29.4

Bestimmen der optimalen Lösung

Mit die sen Erkenntnissen wird nun die hie r gesu chte Lösungskurve, die wegen dieser Eigenschaft Brachisiochrone genannt wird (von gr. ß(2axu:;To~ = kürzest er , X (201/0~ = Zeit) , bestimmt . Direkt a us der E uler-Lag range-Gleichung erg ibt sich als Folgerung

o

y'.

(F - ~F ,) y

dx

y

385

29.4 Bestimmen der optimalen Lösung

y' . Fy ( Fy . y '

+

Fy ' . y" - Fy ' . y" - y' . dd Fy ' X

+

d

Fy ' . y") - ( Fy " y"+d dx Fy ' . Y')

d (

dx F - dx F y ' . y

:X(F

')

- F y ' . y') ,

also ist

F( x , y , y' ) - y' . Fy ' (x , y, y') kon stant, und zwar gleich C. Das zu lösende Problem, formal ver einfacht um den Faktor ~, wird damit zu :

C

y H (y ' ( X» 2

( y'(x»2

v -y (x )

~' V H ( Y ' (x » )2

C· ) -y(x)· )1

+ (y'( x))2

1

+

(Y'( X))2 _ (Y'(X))2

1

Dem zufolge ist C echt po sitiv und a uch

) - y(x) . )1

+ (y'(x ))2

iJ .

auf (0 , bI] kon stant , nämlich Wegen y(O) = 0 erkennt man an die ser Stelle schon, dass y' (x) in x = 0 eine Singularit ät hat , wegen Y x : y( x) ::::; 0 also limx --+o y'( x) = -00 gelten mu ss. M wird sich auf de r op timalen Bahn von A aus also zunächst senkrecht abwärts bewegen . Nach Quadrieren mu ss auc h

(1

+

(y'( X))2) . (-y(x))

im gen annten Bereich kon stant sein. Damit ist di e Differentialgleichung

(1

+

(Y'( X))2) . y(x) = K =

aufgestellt . Mit der Substi tution y'

= cot (ep ) sowie der b ekannten Identität

ergibt sich a us der Differen tialgleichung

Dies leite man nun ab und setze es gleich cot( ep ). Man erhält:

y'

2 · K · sin (ep) . cos(ep) . ep'

386

29 Das Brachistochronenproblem

Division durch y' (= co t(