Mécanique analytique

M´ ecanique Analytique Jean Hare 24 octobre 2005

Table des mati` eres 0 Introduction

1

A – FORMULATION LAGRANGIENNE

3

1 Description du syst` eme 1.1 Configurations d’un syst`eme m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Coordonn´ees g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 3

2 Principe de moindre action ´ 2.1 Enonc´ e du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Equations d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propri´et´es math´ematiques du lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5 5

3 Expression du lagrangien 3.1 Cas d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Forces g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Cas des coordonn´ees d´ependant explicitement du temps 3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Potentiels g´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Particule charg´ee dans un champ ´electromagn´etique . .

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6 . 6 . 7 . 8 . 9 . 9 . 11 . 11

4 Sym´ etries et lois de conservation 4.1 Notion d’int´egrale premi`ere . . . ´ 4.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Th´eor`eme de Noether . . . . . . 4.4 Impulsion . . . . . . . . . . . . . 4.5 Moment cin´etique . . . . . . . . .

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5 Variations sous contraintes 5.1 Multiplicateurs de Lagrange 5.2 Contraintes int´egrales . . . 5.3 Liaisons holonomes . . . . . 5.4 Liaisons non-holonomes . .

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16 . 16 . 18 . 18 . 19

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12 12 13 13 14 15

6 Applications importantes 20 6.1 Modes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7 L’action comme fonction des coordonn´ ees

23

1

` TABLE DES MATIERES

2

B – FORMULATION HAMILTONIENNE ´ 8 Equations de Hamilton 8.1 Point de vue de Hamilton . . . . . . . . 8.2 Lien avec le point de vue de Lagrange . 8.3 Lien avec l’´energie . . . . . . . . . . . . 8.4 Exemple fondamental : particule charg´ee 8.5 Propri´et´es du hamiltonien . . . . . . . . 8.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . 8.7 Trajectoires et portraits de phase . . . .

. . . . . . . . . dans . . . . . . . . .

. . . . . . un . . . . . .

. . . . . . . . . . . . champ . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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25 25 26 27 27 28 28 29

9 Structure symplectique et transformations canoniques 9.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Transformation canonique engendr´ee par l’action . . . . . 9.5 Th´eor`emes de Liouville et de Poincar´e . . . . . . . . . . .

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30 30 31 33 35 36

10 Formalisme de Hamilton-Jacobi ´ 10.1 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 10.2 S´eparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 10.2.1 Equation de H-J stationnaire . . . . . . . . . . 10.2.2 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Application au potentiel central . . . . . . . . . 10.3 Lien avec la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . 10.4 Variables action-angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Transformations engendr´ee par l’action r´eduite 10.4.2 Variables d’action . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Variables d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Applications des variables action-angle . . . . . . . . . 10.5.1 Variables d’action et m´ecanique quantique . . . ´ 10.5.2 Evolution des variables d’action . . . . . . . . .

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36 36 37 37 38 38 39 39 39 40 40 41 41 41

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1

0

Introduction

Motivations Les formalismes lagrangien et hamiltonien, dont l’´elaboration remonte aux ann´ees 1750-1850, que nous allons ´etudier ici, ont le mˆeme (( contenu physique )) que les ´equations de Newton, mais constituent un autre point de vue, conduisant `a des concepts plus g´en´eraux et plus puissants, sur lesquels reposent une grande partie de la physique actuelle. Int´erˆet pratique des nouveaux formalismes lagrangien et hamiltonien : – prise en compte des liaisons sans introduire les forces correspondantes : coordonn´ees g´en´eralis´ees, permettant une r´esolution plus rapide ; – mˆeme description pour syst`emes m´ecaniques discrets et continus, y compris pour des syst`emes que les principe de Newton ne d´ecrivent pas (par exemple l’´electromagn´etisme de Maxwell) : la th´eorie classique des champs repose sur le mˆeme principe que la m´ecanique ! (cf. cours d’´electromagn´etisme) ; – outils puissant pour d´ecrire des syst`emes complexes (non-lin´eaires, chaotiques) ; – applications `a d’autres syst`emes que la m´ecanique (circuits ´electroniques par exemple) ; – prolongement en m´ecanique quantique, th´eorie quantique des champs, et en physique statistique.

Notion de Principe variationnel Le principes variationnels jouent un grand rˆole dans tous les domaines de la physique. Il consistent a` rechercher des fonctions (trajectoires par exemple, mais aussi surfaces, etc...) qui rendent extr´emale une (( fonctionnelle )), c’est `a dire une application (en g´en´eral non-lin´eaire) d’un espace de fonctions (g´en´eralement C 1 ) dans IR.

Exemples Voici quelques exemples, plus ou moins bien connus, dont les deux premiers sont d´evelopp´es cidessous, le troisi`eme et le quatri`eme seront trait´es en TD, le cinqui`eme ´etant laiss´e `a votre sagacit´e. Ex. 1 Courbe d’´equilibre d’une corde pesante (cf. ci-dessous) ; Ex. 2 Principe de Fermat en optique (cf. ci-dessous) ; Ex. 3 Dissipation minimale (cf. TD) ; Ex. 4 Lignes iso-p´erim´etriques et courbes d’´equilibre en capillarit´e (cf. TD). Ex. 5 Courbes brachistochrones (temps minimum) dans un champ uniforme 1 ; Courbe d’´ equilibre d’une corde pesante Une corde de masse lin´eique µ et de longueur L suspendue entre deux points A et B dont la distance relative est inf´erieure `a L. On la suppose inextensible et sans raideur. On cherche sa forme d”´equilibre r(s) sous son propre poids, repr´esent´e par le potentiel gravitanionnel V (r) = g z. On doit donc rechercher un minimum de son ´energie potentielle de pesanteur : U=

Z L 0

µ V (r(s)) ds

o` u s ∈ [0, L]

est l’abscisse curviligne,

avec bien sˆ ur r(0) = A et r(L) = B. De mˆeme qu’une fonction d´erivable est stationnaire –i.e. poss`ede une tangente horizontale – en tout extr´emum, le caract`ere minimal de l’´energie U signifie que son accroissement est nul (au premier ordre) si l’on s’´ecarte l´eg`erement de la forme d’´equilibre. Notons donc r(s) cette forme d’´equilibre, 1

cf. http ://www.mathcurve.com/courbes2d/brachistochrone/brachistochrone.shtml

2

0 INTRODUCTION B

g δt(s ) A

r(s ) r' (s )

δr(s )

Fig. 1 – En trait plein la courbe d’´equilibre r(s), et en tirets la courbe vari´ee (fictive) r0 (s). La variation δr est la diff´erence entre les deux. Noter que le vecteur tangent t(s) et l’abscisse curviligne s sont ceux de r(s), mais peuvent diff´erer (au premier ordre) de ceux de r0 (s).

r0 (s) une autre forme tr`es proche de celle-ci, et δr(s) = r0 (s) − r(s) la petite variation correspondante, v´erifiant les conditions aux limites δr(0) = δr(L) = 0. On peut alors ´ecrire2 : δU =

Z L ³ 0

´

µ δV (r(s)) ds + V (r(s)) δds .

(1)

si le premier terme de l’int´egrale s’´ecrit ´evidement : grad V ((r(s)) · δr ds, le second est plus subtil puisqu’il fait apparaˆıtre la variation de l’abscisse curviligne associ´ee `a δr. On peut toutefois ´ecrire : ds = t · dr

et donc δds = δ(t) · dr + t · δ(dr) = t · d δr ,

o` u t est le vecteur unitaire tangent, tel que dr = ds t. La seconde ´egalit´e d´ecoule de ce que δt est n´ecessairement perpendiculaire `a t, donc `a dr, ce qui annule le premier terme ; en outre, on a utilis´e l’identit´e δ(dr) = d δr. Toutefois cette expression ne permet pas encore de conclure, puisque le premier terme de (1) est proportionnel `a δr, et le second `a sa d´eriv´ee d δr. On peut alors faire une int´egration par parties, et il s’en suit : δU = =

Z L 0

Z L 0

µ grad V (r(s)) · δr ds + µ grad V (r(s)) · δr ds −

Z L ³

Z L 0

Z L 0

µV (r(s)) t · µ

d δr ds ds

´ d³ V (r(s)) t · δr ds ds

´ d (V (r(s)) t) · δr ds ds 0 o` u la deuxi`eme ´egalit´es r´esulte de l’int´egration par partie, la partie toute int´egr´ee ´etant nulle en raison des conditions aux limites. La variation δr ´etant quelconque, on peut en d´eduire :

=

µ grad V (r(s)) −

d (V (r(s)) t(s)) = 0 . ds Pour obtenir la solution du probl`eme initial, on utilise la forme particuli`ere V = gz, et on suppose que la corde peut ˆetre d´ecrite par la z(x). Projet´ee sur l’axe Ox, l’´equation pr´ec´edente s’´ecrit simplement : ¶ µ d gz(x) √ =0 ds 1 + z 02 soit : µ ¶ q z(x) x − x0 √ = a d’o` u z 0 (x) = (z/a)2 − 1 et donc z(x) = a ch a 1 + z 02 o` u a et x0 sont deux constantes d’int´egration, fix´ees par zB − zA et xB − xA . On retrouve donc bien la (( chaˆınette )), de fa¸con un peu technique, mais en partant d’un point de vue global au lieu de la m´ethode locale habituelle. grad V (r(s)) −

2 On utilise le symbole δ· pour d´esigner les variations, afin de les distinguer imm´ediatement des incr´ements infinit´esimaux d· du calcul diff´erentiel ordinaire.

3

Premi` ere partie A – FORMULATION LAGRANGIENNE 1

Description du syst` eme

1.1

Configurations d’un syst` eme m´ ecanique

Consid´erons pour commencer un syst`eme m´ecanique constitu´e de N points mat´eriels en interaction mutuelle, et ´eventuellement soumis `a un champ ext´erieur. On note {rα } (α ∈ {1 · · · N }) leurs positions. L’´etat dynamique du syst`eme `a un instant donn´e est d´ecrit en toute g´en´eralit´e par ces positions, et les vitesses correspondantes {vα } ≡ {˙rα }. Moyennant les lois de forces, ces variables permettent – en principe – de pr´evoir l’´evolution du syst`eme. La (( configuration )) du syst`eme est alors d´etermin´ee par les 6N composantes des positions et des vitesses. Toutefois, il arrive fr´equemment que ces coordonn´ees, soient li´ees entre elles, comme par exemple deux masses reli´ees par une tige rigide, ce qui impose (r1 − r2 )2 − a2 = 0, ou plus g´en´eralement doivent satisfaire des contraintes, comme une condition de (( roulement sans glissement )), etc. . . . La r´esolution des ´equations de Newton implique alors, en g´en´eral, d’introduire les forces de liaison, qui sont autant de nouvelles inconnues, et que l’on doit ´eliminer entre les diverses ´equations diff´erentielles satisfaites par les 3N positions, lesquelles ne sont plus ind´ependantes. Une telle proc´edure n’est gu`ere efficace, et il serait pr´ef´erable de disposer d’un nombre r´eduit de variables dynamiques, dont on rechercherait l’´evolution sans avoir `a introduire les forces de liaison. En outre, il est fr´equent qu’un choix particulier de coordonn´ees, comme des coordonn´ees polaires par exemple, simplifie grandement les ´equations de la dynamique, voire permette d’´eliminer directement certaines forces inconnues. Il serait donc int´eressant de pouvoir les traiter avec un formalisme g´en´eral, qui ne d´epende pas du choix particulier que l’on a fait.

1.2

Coordonn´ ees g´ en´ eralis´ ees

Un tel programme est en partie r´ealis´e en introduisant les (( coordonn´ees g´en´eralis´ees )), que nous allons d´efinir. On suppose qu’il existe n relations du type : fk ({rα }, t) = 0 k ∈ {1, · · · , n},

(2)

qui d´efinissent ce que l’on appelle des liaisons holonomes (les autres types de liaisons seront dites (( non-holonomes ))). On dit alors que le syst`eme poss`ede d = 3N − n degr´es de libert´e, qui est le nombre de variables ind´ependantes parmi les 3N positions. Il suffit donc de 3N − n variables, et de leurs d´eriv´ees, pour caract´eriser la configuration du syst`eme. On appellera alors coordonn´ees g´en´eralis´ees tout jeu de d variables ind´ependantes, not´ees q1 · · · qd , dont la nature et la dimension est indiff´erente, mais telles que les N positions rα s’expriment comme des fonctions de celles-ci. On pourra alors ´ecrire : rα (t) = Rα ({qi (t)}, t) ,

et vα (t) =

X ∂Rα d ∂Rα Rα ({qi (t)}, t) = q˙i + . dt ∂qi ∂t i

(3)

Ceci r´eduit bien sˆ ur `a 2d = 6N − 2n la dimension de l’espace des configurations.

1.3

Quelques exemples

1. En l’absence de liaisons, les coordonn´ees cart´esiennes des positions des particules constituent un exemple trivial de coordonn´ees g´en´eralis´ees.

4

2

PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

2. Pour un pendule pesant, on pourra choisir les angles sph´eriques θ et ϕ comme coordonn´ees g´en´eralis´ees, et si l’on suppose en outre que le mouvement est n´ecessairement plan (liaison holonome y = 0), il suffira de l’angle θ comme unique coordonn´ee g´en´eralis´ee. 3. Pour une perle mobile sur un cerceau tournant `a la pulsation ω autour de son diam`etre vertical, il n’y a, `a nouveau, qu’un seul degr´e de libert´e, et on pourra prendre comme coordonn´ee l’angle θ, de mˆeme que pour le pendule pesant. On ´ecrira donc : 





sin θ cos ωt r(θ, t) = R  sin θ sin ωt  cos θ







cos θ cos ωt − sin θ sin ωt ˙ t) = R θ˙  cos θ sin ωt  + R ω  sin θ cos ωt  . et v(θ, θ, − sin θ 0

4. Pour un corps solide, on a un tr`es grand nombre de points mat´eriels reli´es par presque autant de contraintes. Il suffit de pr´eciser la position de trois de ses points pour caract´eriser le solide, mais ces positions sont contraintes par les trois distances relatives : il reste donc d = 3 × 3 − 3 = 6 degr´es de libert´e. Usuellement, on utilise la position d’un point, et l’orientation d’un tri`edre XY Z li´e au solide par rapport au tri`edre xyz de r´ef´erence, rep´er´ee par les trois angles d’Euler (α, β, γ).

Z

z

β z Y

y ψ

y x

α

X

γ

x

ϕ

` gauche : les trois angles d’Euler : pr´ecession α, nutation β, rotation propre γ. Fig. 2 – A ` droite : les quatre coordonn´ees g´en´eralis´ees propos´ees pour l’exemple 4. A

5. Pour un disque vertical qui roule sans glisser sur un plan horizontal, on a priori 3 positions et 3 angles pour rep´erer le disque, mais il y a une liaison holonome sur la position, et une sur l’angle : il reste donc 4 degr´es de libert´e (la condition de roulement sans glissement, qui relie les vitesses, est non-holonome). On prendra comme coordonn´ees : les coordonn´ees x et y du centre du disque, l’angle ϕ rep´erant le plan du disque, et l’angle ψ mesurant sa rotation. Le roulement sans glissement s’´ecrira alors : R ψ˙ ( cos ϕ , sin ϕ) + (x˙ , y) ˙ =0, qui n’est visiblement pas une liaison holonome (pas d’int´egrale premi`ere).

2 2.1

Principe de moindre action ´ Enonc´ e du principe

Le principe (( de moindre action )) ou principe de Hamilton, est le fondement de tout ce qui va suivre. Il repose sur plusieurs d´efinitions et hypoth`eses : – On se donne une fonction, dite fonction de Lagrange, ou lagrangien, L({qi }, {q˙i }, t), qui est une fonction de la configuration et – ´eventuellement – du temps ;

´ 2.2 Equations d’Euler-Lagrange

5

– On d´efinit l’action S entre les deux positions {qi } ` a l’instant t1 et {qi0 } ` a l’instant t2 , comme une fonction du chemin {qi } = σ(t) dans l’espace des configurations par l’identit´e : S(σ) =

Z t2 t1

L({qi }(t), {q˙i }(t), t) dt ;

(4)

– On postule que que la trajectoire effectivement suivie par le syst`eme entre deux points correspond `a un chemin pour lequel l’action est minimale (ou plus g´en´eralement, stationnaire).

2.2

´ Equations d’Euler-Lagrange

Le principe variationnel ´enonc´e ci-dessus est une propri´et´e globale de la trajectoire, mais ne pourra ˆetre satisfait que si localement, celle-ci se comporte d’une certaine fa¸con, que nous allons maintenant d´eterminer. Pour se faire nous allons ´evaluer la variation δS de l’action pour une variation infinit´esimale {δqi } du chemin, autour de la trajectoire. Nous supposerons que δqi (t1 ) = δqj (t2 ) = 0, car on doit varier le chemin `a extr´emit´es fix´ees. Les coordonn´ees g´en´eralis´es et les vitesses correspondantes ´etant – pour le lagrangien – des variables ind´ependantes, nous pouvons ´ecrire, en d´eveloppant au premier ordre : δS =

Z t2 X ∂L t1

i

∂qi

δqi dt +

Z t2 X ∂L t1

i

∂ q˙i

δ q˙i dt = 0 .

(5)

N´eanmoins les δqi et les δ q˙i ≡ d(δqi )/dt ne sont pas ind´ependantes, puisque les secondes sont les d´eriv´ees des premi`eres. On peut alors effectuer sur le second terme une int´egration par parties, ce qui donne : ¸ t2 µ ¶¸ Z t2 X · X · ∂L d ∂L ∂L δS = − δqi dt + δqi (6) . ∂qi dt ∂ q˙i ∂ q˙i t1 t1 i i Comme les variations δqi s’annulent aux extr´emit´es, le second terme est identiquement nul. La somme, elle doit s’annuler pour des {δqi (t)} arbitraire, ce qui impose la nullit´e de la somme sous l’int´egrale. Les d coordonn´ees ´etant suppos´ees ind´ependantes, chacun des termes de la somme doit s’annuler, et il en r´esulte les d ´equations diff´erentielles : ∂L d − ∂qi dt

µ

∂L ∂ q˙i

¶

=0

pour i = 1 · · · d .

(7)

Ces ´equations, dites ´equations d’Euler-Lagrange, ou de Lagrange pour simplifier, sont donc les ´equations du mouvement, qui seront en toute g´en´eralit´e des ´equations diff´erentielles coupl´ees du second ordre pour les {qi }.

2.3

Propri´ et´ es math´ ematiques du lagrangien

Avant de nous int´eresser aux choix physiquement pertinents pour le lagrangien, nous pouvons relever un certain nombre de propri´et´es math´ematiques : – Les ´equations du mouvement ne sont pas affect´ees par un changement d’´echelle sur le lagrangien ; il est usuel, pour des raisons qui apparaˆıtront bientˆ ot (cf. § 3.1), que celui-ci ait la dimension d’une ´energie, cette ind´etermination correspond au choix de l’unit´e. – Les ´equations du mouvement ne sont pas affect´ees par l’addition au lagrangien d’une constante (origine des ´energies) ou plus g´en´eralement par l’ajout d’une fonction des f ({qi }, {q˙i }, t) qui soit la d´eriv´ee totale par rapport au temps d’une fonction des F ({qi }, t) ind´ependante des vitesses. En

6

3 EXPRESSION DU LAGRANGIEN effet, l’action sera alors modifi´ee par l’addition de la variation de F entre les deux extr´emit´es du chemin, sans affecter son caract`ere stationnaire. Dans les ´equations de Lagrange, en utilisant : f ({qi }, {q˙i }, t) =

X ∂F j

∂qj

q˙j +

∂F , ∂t

on constate que les deux termes sont modifi´es ainsi : ∂L0 ∂L ∂F = + ∂ q˙i ∂ q˙i ∂qi

et

∂L0 ∂L X ∂ 2 F ∂2F = + q˙j + , ∂qi ∂qi ∂qi ∂qj ∂t∂qi j

et que les termes additionnels vont se compenser pour redonner les mˆemes ´equations de Lagrange. – Si le syst`eme physique poss`ede certaines sym´etries qui affectent les ´equations du mouvement, on doit les retrouver dans le lagrangien (nous reviendrons sur ce point, tr`es important physiquement, un peu plus tard). – la fonction de Lagrange est additive : si deux syst`emes sont correctement d´ecrits, l’un par le (1) lagrangien L1 impliquant ses d1 coordonn´ees ind´ependantes {qi }, et de mˆeme pour L2 , alors la (1) (1) (2) (2) fonction L = L1 ({qi }, {q˙i }, t) + L2 ({qi }, {q˙i }, t) d´ecrira bien l’´evolution des d1 + d2 degr´es de libert´e du syst`eme complet (si bien sˆ ur les deux syst`emes n’interagissent pas entre eux).

3

Expression du lagrangien

Nous allons maintenant chercher l’expression appropri´ee du lagrangien, en commen¸cant par les cas les plus simples, pour en inf´erer progressivement la structure g´en´erale.

3.1

Cas d’une particule libre

On se limite pour commencer `a une unique particule, libre de se mouvoir dans l’espace, et on se place dans un r´ef´erentiel galil´een. On utilise en outre les coordonn´ees cart´esiennes comme coordonn´ees g´en´eralis´ees. L’invariance par translation nous permet d’affirmer que le lagrangien de d´epend pas des qi , et l’isotropie de l’espace assure qu’il ne peut d´ependre que du module de la vitesse, et pas de sa direction3 . On ´ecrira donc L(v) = L(v 2 ), et les ´equations de Lagrange peuvent s’´ecrire : d ∂L0 d ∂L d ³ 0 2 ´ ≡ = 2L (v ) v = 0 , dt ∂ q˙i dt ∂v dt qui redonne bien sˆ ur le mouvement uniforme v = Cste attendu (principe d’inertie). Pour achever de d´eterminer la forme de L et donc de L, il faut encore introduire le principe de relativit´e de Galil´ee, qui postule que les ´equations du mouvement sont les mˆemes dans tout r´ef´erentiel galil´een. Nous consid´erons donc le mouvement dans deux r´ef´erentiels galil´eens R et R0 , le r´ef´erentiel R0 ´etant en translation uniforme par rapport `a R ` a la vitesse −V. Le principe de relativit´e nous conduit 0 `a rechercher le lagrangien dans R sous la mˆeme forme que dans R, soit L0 (v0 ) = L(v 02 ), avec la mˆeme fonction L que dans R. Les ´equations de Lagrange conduiront alors n´ecessairement au r´esultat attendu v0 = Cste. Observons alors que, en utilisant la relation (( cin´ematique )) v0 = v + V, cela nous permet de d´efinir dans R un nouveau Lagrangien L00 (v) = L((v + V)2 ). Il est alors naturel de chercher `a relier ce nouveau lagrangien au pr´ec´edent en utilisant l’invariance des ´equations de Lagrange lorsqu’on ajoute la d´eriv´ee temporelle totale d’une fonction de la position. En supposant en outre – pour l’instant – que V est infinit´esimal, on peut donc ´ecrire : ³

´

L00 − L = L((v + V)2 ) − L(v2 ) = 2L0 (v 2 )v · V + O(V2 ) ' 2L0 (v2 )V · v . 3

Les invariances utilis´ees permettent d’affirmer qu’il existe un lagrangien satisfaisant ` a ces conditions.

3.2 Forces g´en´eralis´ees

7

Or la d´eriv´ee totale par rapport au temps d’une fonction de la position est n´ecessairement lin´eaire en v : il en r´esulte que L0 (v 2 ) doit ˆetre ind´ependant de v. On en d´eduit que L(v 2 ) est une fonction lin´eaire, et on est finalement conduit `a ´ecrire : m 2 L(r, v, t) = A v 2 = v , 2 ce qui signifie que, pour une particule libre, le lagrangien est simplement son ´energie cin´etique4 . Coordonn´ ees polaires Il est instructif de consid´erer la mˆeme situation physique, en se r´eduisant `a un mouvement plan, et en adoptant les coordonn´ees polaires. On a alors : ´ m³ 2 ˙ 2 r˙ + (rθ) L= 2 d’o` u les ´equations de Lagrange : d ∂L d ∂L ≡ mr2 θ˙ = =0 dt ∂ θ˙ dt ∂θ

et

d ∂L ∂L ≡ m¨ r= = mrθ˙2 , dt ∂ r˙ ∂r

dont la premi`ere exprime la conservation du moment cin´etique, et la seconde que l’acc´el´eration radiale se r´eduit `a la (( pseudo-force )) centrifuge. Il est `a noter que cette derni`ere s’introduit tr`es naturellement par le terme en ∂L energie cin´etique. ∂r , alors que L ne contient encore que l’´ G´ en´ eralisation Il est alors assez logique de supposer que, dans le cas de plus d’une particule, le lagrangien fera intervenir l’´energie cin´etique totale. Nous supposons, provisoirement, que les fonctions Rα ({qi }) sont ind´ependantes du temps. On peut alors ´ecrire, en utilisant l’´equation (3) : K=

X mα X mα ∂Rα ∂Rα v2α = · q˙i q˙j . α

3.2

2

α,i,j

2

∂qi

(8)

∂qj

Forces g´ en´ eralis´ ees

Il nous reste donc `a voir comment les forces peuvent ˆetre prises en compte dans le nouveau formalisme, de fa¸con `a ce qu’il soit physiquement ´equivalent `a celui de Newton. ´ Ecrivons donc, pour chaque particule, le principe fondamental de la dynamique `a partir de l’´equation (3) : X ∂Rα X ∂ 2 Rα d Fα aα = vα = q¨i + q˙i q˙j = , (9) dt ∂qi ∂qi ∂qi mα i i,j et formons, pour l’´energie cin´etique K, les ´equations de Lagrange : d dt

µ

∂K ∂ q˙k

¶





∂K d X ∂Rα ∂Rα  X ∂Rα ∂ 2 Rα − =  mα · q˙i − mα · q˙i q˙j ∂qk dt α,i ∂qk ∂qi ∂qi ∂qk ∂qj α,i,j =

X α,i

X ∂Rα ∂Rα ∂Rα ∂ 2 Rα mα · q¨i + mα · q˙i q˙j ∂qk ∂qi ∂qk ∂qi ∂qj α,i,j

,

(10)

car la d´erivation temporelle du terme en ∂k Rα · ∂i Rα fait apparaˆıtre deux termes, dont le premier se simplifie avec celui qui ´etait affect´e d’un signe − sur la premi`ere ligne, et le second est celui qui reste sur la deuxi`eme ligne 5 . 4

De fa¸con plus g´en´erale, la fonction F (r, t) dont la d´eriv´ee permet de passer de L a ` L0 pour V fini s’´ecrit F (r, t) = 2 mV · r + mV t/2. 5 2 On remarque bien sˆ ur que si le le terme en q˙i q˙j n’existe que si ∂ij Rα est non-nul, comme c’est le cas en g´en´eral pour des coordonn´ees curvilignes, contrairement au cas des coordonn´ees cart´esiennes.

8

3 EXPRESSION DU LAGRANGIEN

On constate alors une parent´e ´evidente entre les expressions (9) et (10), qui peut ˆetre mise `a profit pour ´ecrire : d dt

µ

∂K ∂ q˙k

¶

−

X ∂K ∂Rα = mα · aα = Fk ∂qk ∂qk α

avec Fk =

X ∂Rα α

∂qk

· Fα ,

(11)

o` u les Fk sont appel´ees forces g´en´eralis´ees associ´ees aux variables qk (notons que la dimension de qk ´etant arbitraire, celle de Fk n’est pas celle d’une force, mais telle que [Fk ] × [qk ] soit une ´energie). ´ Evidement, les forces Fα dont nous sommes partis sont les forces totales subies par les particules et elles contiennent fatalement les forces associ´ees aux liaisons holonomes, qui sont inconnues. C’est l`a que le formalisme des coordonn´ees g´en´eralis´ees d´emontre toute son efficacit´e : ces coordonn´ees d´ecrivant exclusivement les mouvements compatibles avec les liaisons, les termes ∂Rα /∂qk sont tangents aux (( surfaces )) d´ecrites par les Rα lorsque on fait varier les {qi }, tandis que les forces de liaison y sont normales. Il en r´esulte que les forces g´en´eralis´ees Fk ne contiennent plus les forces de liaison !

3.3

Forces conservatives

Une classe tr`es importante de probl`emes est celle o` u les forces mises en jeu sont des forces qui conservent l’´energie m´ecanique, et d´erivent d’un potentiel U ({Rα }) ≡ V ({qi }). Dans cette ´ecriture, nous incluons `a la fois le cas d’un potentiel ext´erieur, comme celui du champ gravitanionnel, ou ´electrostatique, et celui d’un potentiel d´ecrivant l’interaction mutuelle des particules. On ´ecrira alors, pour les forces totales : Fα = −

∂U ∂Rα

et donc Fk = −

X ∂Rα α

∂qk

·

∂U ∂V =− . ∂Rα ∂qk

(12)

En d´efinitive, nous avons ´etabli que, dans le cas ´etudi´e ici, les ´equations de Newton sont ´equivalentes `a des ´equations de la forme : ¶ µ ∂K d ∂K ∂V − = Fk = − , (13) dt ∂ q˙k ∂qk ∂qk et comme ∂V /∂ q˙k = 0, on retrouvera les ´equations de Lagrange en posant simplement : L({qi }, {q˙i }) = K({qi }, {q˙i }) − V ({qi }) . Inversement, on appellera (( lagrangien standard )) un lagrangien qui peut se mettre sous cette forme, et o` u l’´energie cin´etique K est une forme quadratique d´ efinie positive des q˙i , dont les coefficients sont ´eventuellement des fonctions des seuls qj . Remarque 1 Lorsque seulement une partie des forces g´en´eralis´ees d´erive d’un potentiel, on peut utiliser la mˆeme proc´edure tout en conservant dans le membre de droite la partie Fk0 des forces qui est non-conservative. Cela fournit un moyen de prendre en compte la dissipation (frottements, etc...) et nous servira aussi `a prendre en compte des liaisons non-holonomes. Remarque Notons bien, car c’est crucial, que le potentiel utilis´e ici ne contient pas les interactions de liaison. Par exemple, si deux particules sont astreintes, `a garder une distance constante, et qu’elles interagissent en outre par un potentiel U (kR1 − R2 k), le potentiel V ({qi }) sera constant, et on ne fera donc pas apparaˆıtre de force correspondante. Math´ematiquement, la force g´en´eralis´ee comportera en effet un terme : ∂R1 ∂U ∂R2 ∂U ∂U · + · = · ∂qk ∂R1 ∂qk ∂R2 ∂R1

µ

∂R1 ∂R2 − ∂qk ∂qk

¶

=

∂U ∂R1 − R2 · , ∂R1 ∂qk

qui est nul car le premier terme est radial, et le second orthoradial `a cause de la liaison.

3.4 Cas des coordonn´ees d´ependant explicitement du temps

3.4

9

Cas des coordonn´ ees d´ ependant explicitement du temps

Dans le cas plus g´en´eral o` u la relation {qi } 7→ {Rα } d´epend explicitement du temps, les ´equations (9–10), ne sont ´evidement plus valables, mais nous admettrons, sans poser les calculs correspondants, qui sont ´el´ementaires mais affreux (il y a treize termes !), que l’´equation (11) reste valable (en g´en´eral, les forces g´en´eralis´ees Fk d´ependent alors du temps). En outre, une ´eventuelle d´ependance en temps, explicite, ou via Rα , du potentiel V n’affectera en rien la validit´e de l’´equation (12). On en d´eduit le r´esultat plus g´en´eral : L({qi }, {q˙i }, t) = K({qi }, {q˙i }, t) − V ({qi }, t) .

3.5

Exemples

La machine d’Atwood Elle est constitu´ee d’une poulie sur laquelle s’appuie une corde (inextensible, et dont on n´eglige la masse) lest´ee `a ses deux extr´emit´es (cf. Figure). On note x la position verticale de la masse m1 (orient´ee vers le haut). En utilisant les liaisons, on peut alors ´ecrire : L=

x R J

J x˙ 2 m1 x˙ 2 m2 x˙ 2 + + − (m1 − m2 )gx 2 2 2R2

d’o` u: px ≡

∂L = (m1 + m2 + J/R2 )x˙ ∂ x˙

et

Fx ≡

m

∂L = −(m1 − m2 )g ∂x

m

Fig. 3 – Machine

d’o` u l’´equation du mouvement :

d’Atwood

(m1 + m2 + J/R2 )¨ x = −(m1 − m2 )g . Corde qui s’enroule autour d’un mˆ at Ce probl`eme physique n’est pas sans rapport avec un jeu red´ecouvert r´ecemment sous le nom de ”speedball”. Nous nous limitons au probl`eme `a deux dimensions : une balle est fix´ee au bout d’une corde (de raideur et de masse n´egligeables), laquelle s’enroule autour d’un mˆat (cf. figure). En adoptant la coordonn´ee g´en´eralis´ee θ correspondant `a la position du point T = Ru(θ) de tangence de la corde sur le cercle, et en d´esignant par u(θ) le vecteur unitaire correspondant, la cin´ematique donne6 : r(θ) = R u(θ) + (L − Rθ) u(θ + π/2)

⇒

v

L θ

v = −(L − Rθ) u(θ) .

On en d´eduit le lagrangien L (pas d’´energie potentielle) et le moment pθ : ˙ = 1 m(L − Rθ)2 θ˙2 L(θ, θ) 2

L -Rθ

⇒

Fig. 4 – Speedball

pθ = m(L − Rθ)2 θ˙ .

Malgr´e l’absence d’´energie potentielle, L d´epend explicitement de θ et l’´equation de Lagrange s’´ecrit : dpθ ∂L = = −R(L − Rθ) θ˙2 dt ∂θ

⇒

(L − Rθ)θ¨ − Rθ˙2 = 0 .

6 Cette expression, obtenue par d´erivation, montre bien que le point de contact T est ` a chaque instant le centre de rotation : la balle parcourt une (( d´eveloppante )) de cercle.

10

3 EXPRESSION DU LAGRANGIEN

¨ θ, ˙ et on obtient l’int´egrale premi`ere : Cette ´equation s’int`egre ais´ement en exprimant θ/ (L − Rθ) θ˙ = Cste , qui n’est autre que la vitesse7 , que nous noterons v0 . Cette ´equation s’int`egre elle-mˆeme ais´ement, et conduit `a la loi horaire : µ ¶ q L L2 θ(t) = 1 − 1 − t/τ , o` u τ= R 2Rv0 est le temps au bout duquel L − Rθ s’annule, et o` u la balle heurte le mˆat. Le double pendule Soulignons que le formalisme lagrangien n’a en r´ealit´e aucune utilit´e pour les syst`emes `a un degr´e de libert´e, comme ceux envisag´es plus haut, pour lesquels la conservation de l’´energie m´ecanique fournit imm´ediatement une description minimale du mouvement. Nous allons donc nous int´eresser `a un probl`eme `a deux degr´es de libert´e, le mouvement du (( double pendule )) dans un plan vertical (cf. figure). En choisissant les ´ecarts `a la verticale θ1 et θ2 comme coordonn´ees g´en´eralis´ees, on ´ecrit successivement : ( ( v1 = θ˙1 (a sin θ1 uz + a cos θ1 ux ) r1 = −a cos θ1 uz + a sin θ1 ux et r2 = r1 − b cos θ2 uz + b sin θ2 ux r2 = v1 + θ˙2 (b sin θ2 uz + b cos θ2 ux ) d’o` u:

v22 = (θ˙1 a sin θ1 + θ˙2 b sin θ2 )2 + (θ˙1 a cos θ1 + θ˙2 b cos θ2 )2 = (θ˙1 a)2 + (θ˙2 b)2 + 2abθ˙1 θ˙2 (sin θ1 sin θ2 + cos θ1 cos θ2 )

et donc : m1 + m2 2 ˙2 m2 2 ˙2 m1 v21 m2 v22 + = a θ1 + b θ2 + m2 ab θ˙1 θ˙2 (sin θ1 sin θ2 + cos θ1 cos θ2 ) 2 2 2 2 tandis que V (θ1 , θ2 ) = −m1 ga cos θ1 − m2 g(a cos θ1 + b cos θ2 ). On en d´eduit sans peine : K=

∂L = (m1 + m2 )a2 θ˙1 + m2 ab θ˙2 cos(θ1 − θ2 ) ˙ ∂ θ1 ∂L p2 ≡ = m2 b2 θ˙2 + m2 ab θ˙1 cos(θ1 − θ2 ) ∂ θ˙2 et les deux ´equations de Lagrange : dp1 ∂L = = (m1 + m2 )a2 θ¨1 + m2 ab θ¨2 cos(θ1 − θ2 ) − m2 ab θ˙2 (θ˙1 − θ˙2 ) sin(θ1 − θ2 ) dt ∂θ1 = −m2 abθ˙1 θ˙2 sin(θ1 − θ2 ) + (m1 + m2 ) g a sin θ1 , dp2 ∂L = = m2 b2 θ¨2 + m2 ab θ¨1 cos(θ1 − θ2 ) − m2 ab θ˙1 (θ˙1 − θ˙2 ) sin(θ1 − θ2 ) dt ∂θ2 = m2 ab θ˙1 θ˙2 sin(θ1 − θ2 ) + m2 b sin θ2 , p1 ≡

θ1 θ2 Fig. 5 – Double pendule

et apr`es simplification : b b (m1 + m2 ) θ¨1 + m2 cos(θ1 − θ2 )θ¨2 + m2 sin(θ1 − θ2 ) θ˙22 = (m1 + m2 ) g sin θ1 a a a a θ¨2 + cos(θ1 − θ2 ) θ¨1 − sin(θ1 − θ2 ) θ˙12 = g sin θ2 . b b Ces ´equations diff´erentielles non lin´eaires du second ordre ne peuvent ˆetre r´esolues de fa¸con analytique, mais si l’on se limite aux petites oscillations, il est possible de (( lin´eariser )) les ´equations8 . Cela 7´ 8

Evidemment, puisque la force de liaison, port´ee par la corde, est en chaque instant perpendiculaire ` a la vitesse C’est ` a dire n´egliger les termes d’ordre 2

3.6 Potentiels g´en´eralis´es

11

conduit aux ´equations plus simples : b (m1 + m2 ) θ¨1 + m2 θ¨2 = (m1 + m2 ) g θ1 a a ¨ θ2 + θ¨1 = g θ2 . b dont nous laissons au lecteurs la recherche des (( modes propres )), et la discution physique pour les cas limites m1 ¿ m2 ou m2 ¿ m1 .

3.6

Potentiels g´ en´ eralis´ es

L’expression que nous avons obtenue pour la fonction de Lagrange n´ecessite d’ˆetre encore ´etendue aux cas, rares mais physiquement importants o` u les forces non-dissipatives d´ependent de la vitesse : c’est le cas de la force de Lorentz, et celui de la force de Coriolis9 . Si nous voulons rendre compte de cette d´ependance, nous devons chercher un (( potentiel g´en´eralis´e )) V ({qi }, {q˙i }, t) d´ependant des vitesses et ´eventuellement du temps. Il faut remarquer que la structure des ´equations de Lagrange sera automatiquement conserv´ee si, dans l’´equation (13), les forces Fk s’´ecrivent de fa¸con plus g´en´erale : ¶ µ ∂V d ∂V − Fk = , (14) dt ∂ q˙k ∂qk Si nous voulons obtenir, pour les cas physique ´evoqu´ees ci-dessus, une force lin´eaire en vitesse, nous voyons que le potentiel V doit lui-mˆeme ˆetre lin´eaire vis `a vis des {q˙i }, soit : V ({qi }, {q˙i }, t) =

X

µ

ai q˙i

et donc Fk =

i

X ∂ak dak X ∂ai ∂ai − q˙i = − dt ∂q ∂q ∂q i k k i i

¶

q˙i +

∂ak . ∂t

On observe que la force ainsi obtenue repose n´ecessairement sur une relation q˙ 7→ F lin´eaire antisym´etrique, g´en´eralisant le produit vectoriel qu’on obtient en coordonn´ees cart´esiennes. Forme g´ en´ erale du lagrangien Il r´esulte de toute ce qui pr´ec`ede une expression g´en´erale d´efinitive du lagrangien : Si l’´ evolution du syst` eme est r´ egie par des forces int´ erieures ou ext´ erieures, ´ eventuellement lin´ eaires en vitesse, non dissipatives, on peut introduire un potentiel g´ en´ eralis´ e V ({qi }, {q˙i }, t), et ´ ecrire son lagrangien : L({qi }, {q˙i }, t) = K({qi }, {q˙i }, t) − V ({qi }, {q˙i }, t) .

3.7

Particule charg´ ee dans un champ ´ electromagn´ etique

Force de Lorentz On sait depuis l’enfance qu’une particule charg´ee (dont nous noterons la charge ´electrique Q pour ´eviter les confusions avec les coordonn´ees g´en´eralis´ees), est soumise `a la (( force de Lorentz )) : µ³ ¶ ´ ∂A FL = Q (E + v × B) = Q − − grad Φ + v × rot A , ∂t o` u l’on a ´ecrit les champs en fonction des potentiels associ´es. 9

Notons que toute force d´ependant de la vitesse qui ne serait pas normale ` a celle-ci serait forcement dissipative !

12

´ SYMETRIES ET LOIS DE CONSERVATION

4

On notera que le gradient s’´ecrit simplement ∂ · /∂r, mais le produit vectoriel est plus subtil, et peut poser des probl`emes techniques en coordonn´ees g´en´eralis´ees. Aussi nous contenterons nous ici des coordonn´ees cart´esiennes. Cette force peut ˆetre retrouv´ee en formalisme lagrangien en utilisant le potentiel g´en´eralis´e : ³

´

V (r, v, t) = Q Φ(r, t) − v · A(r, t) .

(15)

En effet, on a calcule alors : ∂L = mv + Q A(r, t) ∂v

et

³ ´ ∂L = −Q grad Φ(r, t) − v · A(r, t) ∂r

et en utilisant la formule d’analyse vectorielle : grad (a · b) = (a · grad )b + (b · grad )a + a × ( rot b) + b × ( rot a) , l’´equation de Lagrange s’´ecrit : m

dv dA = −Q + Q (v · grad )A − Q grad Φ + Q v × ( rot A) . dt dt

Il suffit alors d’utiliser l’expression bien connue de la d´eriv´ee totale : dA ∂A = + (v · grad )A dt ∂t pour retrouver exactement la force de Lorentz. Invariance de jauge On pourrait s’´emouvoir de ce que le Lagrangien fasse intervenir les potentiels alors que ceux-ci sont connus pour n’ˆetre pas totalement univoques... Il est bien connu en particulier que la (( transformation de jauge )) : A 7→ A0 = A + grad χ(r, t)

et

Φ 7→ Φ0 = Φ −

∂χ (r, t) ∂t

a la propri´et´e de changer les potentiels sans modifier les champs ´electromagn´etiques qu’ils d´ecrivent. On constate ais´ement que s’il l’on forme le lagrangien L0 `a l’aide des nouveaux potentiels, on obtient : L0 = L + Q

³ ∂χ

∂t

´

(r, t) + v · grad χ(r, t) = L +

´ d³ Q χ(r, t) , dt

qui exploite pr´ecis´ement l’ind´etermination du lagrangien expliqu´ee au § 2.3. NB :L’´etude des ´equations de Lagrange dans un r´ef´erentiel en rotation uniforme sera faite en TD.

4 4.1

Sym´ etries et lois de conservation Notion d’int´ egrale premi` ere

Nous avons d´ej`a utilis´e au § 3.1 certaines lois d’invariance fondamentales pour en inf´erer des informations sur la structure du lagrangien, dans le cas particulier d’une particule libre. Cette d´emarche est en fait beaucoup plus g´en´erale, et se traduit par la mise en ´evidence (( d’int´egrales premi`eres )) ou (( constantes du mouvement )), qui sont des variables dynamiques f ({qi }, {q˙i }, t) qui ne varient pas au cours du mouvement.

´ 4.2 Energie

13

Variables cycliques Un cas particulier, `a la fois trivial et tr`es int´eressant du point de vue du formalisme hamiltonien (cf. infra), est celui d’une variable qi telle que ∂L/∂qi = 0, qui est alors dite cyclique. L’´equation de Lagrange correspondante donne imm´ediatement la conservation de (( l’impulsion g´en´eralis´ee )) correspondante pi = ∂L/∂ q˙i = cste. Cette situation est de fa¸con g´en´erale celle de la variable d’angle ϕ dans un mouvement `a force centrale, et l’impulsion g´en´eralis´ee correspondante n’est autre que le moment cin´etique orbital, ainsi que nous y reviendrons bientˆot.

4.2

´ Energie

Parmi les (´eventuelles) constantes du mouvement, l’´energie joue un rˆ ole particulier. Elle s’introduit naturellement en formant la d´eriv´ee temporelle du lagrangien : µ

¶

∂L X ∂L dq˙i ∂L dqi ∂L X ∂L dq˙i d ∂L ∂L X d dL = + + = + + q˙i = + dt ∂t ∂ q˙i dt ∂qi dt ∂t ∂ q˙i dt dt ∂ q˙i ∂t dt i i i

µ

∂L q˙i ∂ q˙i

¶

.

Si le lagrangien ne d´epend pas explicitement du temps, la quantit´e : E=

X ∂L i

q˙i

q˙i − L

(16)

est ind´ependante du temps. Ainsi, l’invariance par rapport au temps se traduit-elle par la conservation de l’´energie 10 . Dans le cas o` u l’on a affaire `a un lagrangien standard (K forme quadratique des q˙i et V ind´ependant P des vitesses), on montre `a l’aide du th´eor`eme d’Euler sur les fonctions homog`enes que i ∂L q˙i q˙i = P ∂K ecrire : i q˙i q˙i = 2K, et on peut alors ´ E = 2K − (K − V ) = K + V , et on retrouve bien sˆ ur l’expression habituelle de l’´energie m´ecanique. Dans le cas plus g´en´eral, o` u l’´energie cin´etique contient des termes lin´eaires vis `a vis des q˙i , et/ou lorsqu’on a un potentiel g´en´eralis´e lui-mˆeme lin´eaire en q˙i , soit L = K2 − V0 + L1 , o` u les P indices traduisent le degr´e de la d´ependance en q˙i , on a i ∂L q ˙ = 2K + L , et E = K + V , dont i 2 1 2 0 q˙i l’interpr´etation d´epend de la situation consid´er´ee. Par exemple, pour une particule charg´ee dans des champs ´electrique et magn´etiques statiques, le terme en v · A du potentiel (15) s’´elimine, et on retrouve bien l’´energie m´ecanique E = mv2 /2 + QΦ.

4.3

Th´ eor` eme de Noether

Les propri´et´es d’invariance vis `a vis des sym´etries sont syst´ematiquement reli´ees `a des quantit´es conserv´ees par un th´eor`eme g´en´eral, appel´e (( th´eor`eme de Noether )). Si celui-ci ne r´ev`ele toute sa richesse que dans le cadre de la th´eorie des champs, il n’est pas inutile d’en donner un aper¸cu dans le cadre le plus ´el´ementaire qui nous occupe ici. Nous consid´erons donc un syst`eme physique dont la configuration est d´efinie par un jeu de de coordonn´ees {qi }. Nous savons que ce jeu de coordonn´ees n’est pas unique : il existe au contraire une infinit´e de transformations bijectives {qi } 7→ {Qi } permettant, au moins formellement, d’´ecrire un lagrangien L0 et d’en d´eduire des ´equations de Lagrange d´ecrivant le mˆeme mouvement11 . Pour cela, 10

C’est pour cette raison que l’on prend un lagrangien homog`ene ` a une ´energie. Comme indiqu´e pr´ec´edemment, cette ind´ependance formelle vis ` a vis des jeux de coordonn´ees est l’un des int´erˆets du formalisme lagrangien, car il permet de choisir un syst`eme adapt´e, qui simplifie les ´equations ` a r´esoudre ; un nouvel exemple particuli`erement probant en sera donn´e dans le § 6.1 ci-dessous. 11

14

´ SYMETRIES ET LOIS DE CONSERVATION

4

on admet que le lagrangien est une fonction (( intrins`eque )) de l’espace des configurations, ind´ependant de la param´etrisation choisie. On parle alors d’l’invariance ponctuelle, qui se traduit par l’identit´e : ³

´

³

h

i

h

i

´

L0 {Qi }, {Q˙ i }, t ≡ L {qi } {Qj } , {q˙i } {Qj }, {Q˙ i } , t

.

Nous nous restreignons ici `a une classe tr`es particuli`ere de telles transformations qui poss`edent la propri´et´e d’invariance formelle : elles pr´eservent la forme du Lagrangien, c’est `a dire que l’expression de L0 en fonctions des nouvelles coordonn´ees est math´ematiquement identique `a celle de L en fonction des anciennes : un telle possibilit´e, lorsqu’elle existe, est la manifestation explicite d’une certaine invariance dans le syst`eme. Nous supposons en outre que nous avons affaire `a un ensemble continu de telles transformations, c’est `a dire que l’on peut d´efinir une fonction continue d’un param`etre r´eel s qui `a chaque valeur associe une nouvelle transformation {qi } 7→ {Qi }(s) des coordonn´ees, et telle que {Qi }(0) = {qi }. Ceci exclut bien sˆ ur des transformations discr`etes par essence, comme par exemple celles qui changeraient une ou plusieurs des coordonn´ees en leur oppos´e. Dans ce cadre, le th´eor`eme de Noether affirme qu’il existe une constante du mouvement associ´ee `a cette invariance, qui s’´ecrit : X ∂L dQi ¯¯ ¯ I= , ¯ ∂ q ˙ ds i s=0 i et qui sera appel´ee (( g´en´erateur infinit´esimal )) de la transformation ´etudi´ee. Pour l’´etablir, il suffit d’utiliser les deux hypoth`eses essentielles : le lagrangien³est `a la fois ´ponctuellement invariant, et formellement invariant. Consid´erons alors la d´eriv´ee de L0 {Qi }, {Q˙ i }, t par rapport `a s : celle-ci est identiquement nulle en raison de l’invariance ponctuelle. Elle v´erifie aussi : ∂L0 dQ˙ i X d dL0 X ∂L0 dQi = + = 0= ds ∂Qi ds dt ∂ Q˙ i ds i i

Ã

∂L0 ∂ Q˙ i

!

dQi ∂L0 d + ds ∂ Q˙ i dt

µ

dQi ds

¶

Ã

d X ∂L0 dQi = ˙ ds dt i ∂ Qi

!

,

o` u l’on a simplement utilis´e les (nouvelles) ´equations de Lagrange, et permut´e les d´erivations par rapport `a s et `a t. En utilisant alors l’invariance formelle, qui assure que ∂L0 /∂ Q˙ i = ∂L/∂ q˙i , on a bien obtenu la nullit´e de la d´eriv´ee temporelle de I.

4.4

Impulsion

Un cas fr´equent d’invariance est l’invariance par translation, qui est v´erifi´ee par exemple pour un ensemble de particules en interaction mutuelle, et traduit l’homog´en´eit´e de l’espace pour un syst`eme isol´e. Son lagrangien peut s’´ecrire de fa¸con assez g´en´erale, en utilisant les coordonn´ees cart´esiennes : L({rα }, {˙rα }, t) =

X mα r˙ 2α − V ({rα }) , α

2

o` u l’´el´ement essentiel est bien sˆ ur le fait que V ne d´epend que des positions relatives des particules, donc est invariant par translation d’ensemble rα 7→ r0α = rα + a. Une transformation continue possible est alors une translation de la forme rα 7→ rα + su, o` u u est un vecteur unitaire. On a alors dQ/ds = u, et la quantit´e conserv´ee s’´ecrit donc : I=

X X α

X ∂L X ∂L ui = · u = ( mα r˙ α ) · u . ˙α ∂ r˙α,i α ∂r α i=1···3

Comme u est quelconque, on en d´eduit que l’int´egrale premi`ere est l’impulsion d’ensemble : P=

X α

mα r˙ α =

X α

pα ,

4.5 Moment cin´etique

15

qui, dans le cas consid´er´e ici, est la quantit´e de mouvement totale. De fa¸con plus g´en´erale, on appelle (( moment conjugu´ e )) ou (( impulsion g´ en´ eralis´ ee )) associ´e(e) `a la variable qi la quantit´e pi = ∂L/∂ q˙i , qui co¨ıncide avec la quantit´e de mouvement correspondante dans le cas particulier du lagrangien standard et des coordonn´ees cart´esiennes. En revanche, on perd cette propri´et´e si l’on utilise des coordonn´ees curvilignes, ou si le lagrangien implique un potentiel g´en´eralis´e comme celui de l’´electromagn´etisme, pour lequel on aura : pα = mα vα + Qα A(rα , t). Il est pr´ecis´ement tr`es instructif d’´etudier les conditions de conservation de l’impulsion dans ce cas de l’interaction avec un champ ´electrique ou magn´etique : – Bien sˆ ur, on n’aura invariance compl`ete par translation que dans le cas trivial o` u les potentiels sont uniformes, donc les champs nuls. – Dans un champ E = Euz uniforme selon Oz, on a un potentiel d´ependant uniquement de z, et on a donc invariance par translation dans les directions perpendiculaire, d’o` u P⊥ = cst. – Dans un champ magn´etique uniforme B = Buz , on peut prendre A = Bxuy , et alors Px = P P ˙ α , et mˆeme chose pour Pz , tandis que Py = α mα y˙ α + Qα Bxα , et on constate que Pz α mα x (bien sˆ ur !) et Py sont des constantes du mouvement. Un autre choix pour A aurait cependant conduit `a d’autres constantes (cf. infra).

4.5

Moment cin´ etique

Un autre cas important est celui de l’invariance par rotation, que l’on rencontre tant pour une particule en mouvement dans un potentiel central, que pour un syst`eme de particules en interaction mutuelle. Dans ce dernier cas, elle traduit l’isotropie de l’espace pour un syst`eme isol´e. En d´ecrivant `a nouveau la configuration `a l’aide les coordonn´ees cart´esiennes, on peut ´ecrire une rotation infinit´esimale d’axe u et d’angle s : rα 7→ rα + su × rα . Dans ce cas, l’´equivalent de dQ/ds est d(su × rα )/ds, et la quantit´e conserv´ee s’´ecrit : I=

X

pα · (u × rα ) =

α

X

(rα × pα ) · u ,

α

et comme u est quelconque, on obtient la conservation du (( moment cin´etique )) total : L=

X

(rα × pα ) .

α

Dans le cas d’un lagrangien standard, ce moment cin´etique est simplement le moment de la quantit´e de mouvement, appel´e (( moment angulaire )) ; toutefois, il est construit `a partir des impulsions, et pourra donc diff´erer du moment de la quantit´e de mouvement lorsque les impulsions diff`erent de la quantit´e de mouvement. Notons que, de mˆeme que pour l’impulsion, l’invariance de rotation peut n’ˆetre v´erifi´ee qu’autour de certains axes, donc certaines valeurs de u : on n’aura alors conservation que des composantes de L correspondantes. C’est le cas en particulier d’une particule en mouvement dans un champ magn´etique uniforme et constant de direction Oz : le syst`eme est visiblement invariant par rotation autour de Oz, et si l’on choisit un lagrangien v´erifiant cette sysm´etrie, avec le potentiel vecteur A = B × r/2, on obtiendra la conservation de Lz , qui s’´ecrit : Lz = r × p · uz = x py − y px = x(my˙ + Q

Bx By x2 + y 2 ) − y(mx˙ − Q ) = Mz + QB , 2 2 2

o` u Mz est le moment de la quantit´e de mouvement, mais n’est pas une constante du mouvement !

16

5

5

VARIATIONS SOUS CONTRAINTES

Variations sous contraintes

Il arrive souvent que l’on ait `a r´esoudre un probl`eme de minimisation (nous emploierons abusivement minimum et minimiser l`a o` u on devrait dire extr´emum) sous contrainte(s), comme par exemple pour trouver le format de boˆıte de conserve le plus ´economique en fer pour un volume donn´e... Plus pr`es de notre sujet, c’est notamment le cas si le mouvement d’une particule doit satisfaire certaines conditions que l’on a pas pu (ou pas voulu) int´egrer dans le choix des coordonn´ees g´en´eralis´ees. La m´ethode g´en´erale pour r´esoudre ce genre de probl`eme est la m´ethode dite des multiplicateurs de Lagrange (en anglais Undetermined Lagrange Multipliers) que nous allons d’abord introduire dans le cas plus simple de la minimisation d’une fonction et non d’une fonctionnelle.

5.1

Multiplicateurs de Lagrange

Avec une contrainte Soient donc deux fonctions F, C : IRn → IR, et on cherche un point u0 qui r´ealise un minimum de F (u) en mˆeme temps que la condition C(u) = cste, o` u la constante peut ˆetre 1 choisie nulle sans restriction. Les fonctions F et C sont suppos´ees C sur le domaine utile. Le probl`eme est donc de trouver un extr´emum de F (u) sur la une iso-surface S de C, et admet en g´en´eral au moins une solution. De fa¸con assez naturelle, une solution est un point u0 o` u le gradient de F est normal ` a l’iso-surface S : de la sorte, toute variation infinit´esimale du autour de u0 respectant la contrainte sera tangente `a la surface et v´erifiera donc dF = grad F · du = 0. Or la normale `a S est elle-mˆeme dirig´ee par le gradient de la fonction C ; en d´eduit alors que les deux gradients sont colin´eaires, et qu’il existe une constante λ telle que : grad F = λ grad C , (17) et la constante λ est appel´ee (( multiplicateur de Lagrange )). Cela ram`ene le probl`eme initial `a celui de la minimisation de la fonction : F 0 = F − λC , o` u λ sera d´etermin´e en mˆeme temps que u0 . On peut s’assurer que le probl`eme est maintenant un probl`eme `a n + 1 inconnues, et que l’on a bien n + 1 ´equations, `a savoir les n relations de (17), plus la relation de contrainte C(u0 ) = 0. Avec plusieurs contraintes Au lieu d’une relation de contrainte d´ecrite par C, on maintenant m < n contraintes que l’on ´ecrit : Ci (u) = 0

pour i = 1 · · · m ,

(18)

les fonctions Ci ´etant toujours suppos´ees C 1 , et ind´ependantes. Le th´eor`eme de Lagrange affirme alors qu’il existe m (( multiplicateurs de Lagrange )) λ1 · · · λm , tels que la solution du probl`eme soit fournie par la minimisation de la fonction : X F0 = F − λi Ci . i

En effet, le point minimum u0 recherch´e v´erifiera alors : grad F (u0 ) =

X

λi grad Ci (u0 ) .

(19)

i

On s’assure alors de fa¸con imm´ediate que toute variation de du satisfaisant aux contraintes, et donc tangente aux m iso-surfaces, v´erifiera : X

dF = (

i

λi grad Ci ) · du =

X i

λi (grad Ci · du) = 0 ,

5.1 Multiplicateurs de Lagrange

17

Fig. 6 – La fonction F `a minimiser est la distance au point situ´e au premier plan. Les contraintes sont mat´erialis´ees par la sph`ere et le cylindre (n = 3, m = 2). L’intersection des deux surfaces est une ligne gauche, dont la tangente est perpendiculaire aux deux vecteurs repr´esentant la normale aux surfaces de contrainte. La ligne joignant les deux points mat´erialise la direction grad F . Cette ligne ´etant dans le plan engendr´e par les normales, elle est orthogonale `a la courbe, et on a donc bien trouv´e le minimum !

vu que les m termes de la somme sont tous nuls. En termes plus g´eom´etriques, le gradient de F en u0 n’a pas `a ˆetre normal `a chacune des iso-surfaces d´efinies par les contraintes, mais doit ˆetre normal `a tout vecteur tangent `a la vari´et´e d´efinie par leur intersection (plus il y a de contraintes, plus cette vari´et´e et son espace tangent sont de faible dimension, et plus la latitude sur grad F est grande). En conclusion, grad F appartient au (( suppl´ementaire )) orthogonal `a l’espace vectoriel tangent, qui est engendr´e par les gradients des contraintes, et l’´equation (19) s’ensuit. On v´erifie que dans ce cas on a, pour d´eterminer n + m inconnues, les n ´equations de (19), qui sont bien ind´ependantes car les contraintes le sont, et les m ´equations de contraintes de (18). Exemples simples Un probl`eme bien connu est celui de la (( boˆıte de conserve )) cylindrique, dont on doit minimiser la surface `a volume fix´e. Avec des notations ´evidentes, on a V = πa2 h, et S = 2πa2 + 2πah. Plutˆot que d’exprimer h en fonctions de a pour un volume V fixer et de reporter dans S, il est plus int´eressant de chercher l’extr´emum de S 0 = S − λV, d´efini par les ´equations :  ∂S 0   ≡ (4πa + 2πh) − λ2πah= 0 

∂a

0    ∂S ≡ (2πa) − λπa2

∂h

qui est le r´esultat bien connu, (( hauteur=diam`etre )).

⇒ =0

h = 2a ;

18

5

VARIATIONS SOUS CONTRAINTES

Un autre exemple simple p est la maximisation de l’aire A d’un triangle `a p´erim`etre p fix´e. On utilise pour cela la relation : A = p(p − 2a)(p − 2b)(p − 2c)/16 o` u a, b, et c sont les longueurs des trois cot´es. Nous laissons au lecteur le soin de calculer le gradient de A − λp par rapport aux trois variables ind´ependantes a, b, c, et d’en d´eduire, apr`es ´elimination de λ la condition attendue a = b = c.

5.2

Contraintes int´ egrales

Lorsqu’on cherche un extr´emum d’une fonctionnelle Φ : σ(t) 7→ Φ(σ) ∈ IR, o` u σ(t) est un chemin dans l’espace des configurations, c’est la variation : Z

δΦ =

φ(σ(t)) · δσ(t) dt

qui joue Run rˆole analogue `a celui du gradient. Plus pr´ecis´ement, si on observe que la relation (f, g) 7→ hf, gi = f (σ(t)) · g(σ(t)) dt d´efinit un produit scalaire sur l’espace de fonctions, le (( gradient )) de Φ au (( point )) σ est exactement la fonction φ(σ(t)), que l’on pourrait ´ecrire δΦ/δσ. Dans un certain nombre de cas, les contraintes s’expriment `a l’aide de fonctionnelles : Γi (σ) = cste, o` u les fonctionnelles Γi sont g´en´eralement donn´ees par les int´egrales du type : Z

Γi : σ(t) 7→ Γi (σ) ∈ IR

avec Γi (σ) =

˙ Gi (σ(t), σ(t), t) dt .

(20)

On rencontrera ce type de contraintes en ´etudiant des probl`emes de m´ecanique plus ´elabor´es (corde inextensible, courbe brachistochrone), ou des formes d’´equilibre de films de savon, lorsqu’on cherche `a minimiser l’´energie `a p´erim`etre donn´e 12 . On peut alors assimiler les valeurs aux instants successifs de σ(t) aux composantes des vecteurs du paragraphe 5.1 ci-dessus ; si l’on pr´ef`ere, on dira que la contrainte porte sur l’objet σ dans sa globalit´e. On peut donc appliquer les r´esultats pr´ec´edents, et introduire les multiplicateurs de Lagrange λi , qui permettent d’´ecrire : X δΓi δS (( = λi )) δq δq i

soit

d dt

µ

∂L ∂ q˙k

¶

·

X ∂L d − = λi ∂qk dt i

µ

∂Gi ∂ q˙k

¶

∂Gi − ∂qk

¸

,

(21)

et le probl`eme se r´eduit donc `a minimiser la fonctionnelle : S 0 (σ) = S(σ) −

X

λi Γi (σ) .

i

5.3

Liaisons holonomes

Des contraintes de type holonome apparaissent naturellement dans le cas o` u on ajoute une (ou plusieurs) liaison(s) suppl´ementaire(s) apr`es avoir choisi un jeu de coordonn´ees g´en´eralis´ees, ou bien lorqu’il est techniquement plus simple de conserver des coordonn´ees non-ind´ependantes et de prendre en compte la ou les liaison(s) (( apr`es coup )). La forme choisie de ces contraintes reste alors de la forme (2) : fi ({rα }, t) = 0 i ∈ {1, · · · , n} , (2) et ne peut pas ˆetre mis sous la forme int´egrale (20). Il est clair en particulier que ceci est une contrainte beaucoup forte que la contrainte globale ´etudi´ee au paragraphe pr´ec´edent. 12 On parle de ce fait du (( probl`eme √ iso-p´erim´etrique )) ; la contrainte porte alors sur la longueur du chemin, et on aura donc dans ce cas G(σ, σ, ˙ t) = ds/dt = σ˙

5.4 Liaisons non-holonomes

19

Si l’on reprend alors la d´emonstration des ´equations de Lagrange (cf. § 2.2), on retrouve bien sˆ ur l’´equation : µ ¶¸ X · ∂L d ∂L − δqk = 0 , (22) ∂qk dt ∂ q˙k i mais on ne peut pas encore conclure, en raison de la d´ependance des qk , donc des δqk , qui r´esulte des contraintes. D’apr`es (2), celle-ci peut s’´ecrire : X ∂fi k

∂qk

({qj }, t) δqk = 0

pour i = 1, · · · , n ,

(23)

ce qui traduit que l’action n’est plus extr´emale par rapport `a tous les chemins δqj possibles, mais seulement par rapport au sous-ensemble de ceux qui satisfont les contraintes. Il s’en suit que l’´equation (22) n’impose plus au terme entre crochets d’ ˆetre nul, mais seulement d’ˆetre perpendiculaire ` a chaque instant aux δqk autoris´es. Comme dans le cas pr´ec´edent, le suppl´ementaire orthogonal de l’espace des δqk licite est engendr´e par les gradients des fonctions de contraintes. On aura donc une ´equation un peu similaire `a (21) : µ ¶ X d ∂L ∂L ∂fi − = λi (t) , (24) dt ∂ q˙k ∂qk ∂qk i `a la diff´erence pr`es que les multiplicateurs de Lagrange sont ici des fonctions du temps, et non plus des constantes ! On pourrait certes avoir des doutes sur la pertinence d’introduire n fonctions du temps inconnues (et donc de passer de d `a n + d fonctions inconnues) pour rendre compte de ce qu’il a seulement d − n (( vrais )) degr´es de libert´e. Il faut absolument noter que l’´equation ci-dessus s’´ecrit encore (cf. ´equation (13) ) : ¶ µ X ∂K d ∂K ∂fi − = Fk + λi (t) . (25) dt ∂ q˙k ∂qk ∂q k i Nous avions soulign´e au § 3.2 que les forces g´en´eralis´ees Fk ne d´ependaient pas des forces de liaison ; il en va tout autrement ici puisque les termes additionnels sont pr´ecis´ement normaux aux surfaces de contraintes. Nous constatons donc que les multiplicateurs de Lagrange, loin d’ˆetre de simples artifices math´ematiques, sont en fait – `a k∂fi /∂qk k pr`es – les forces de liaison associ´ees aux contraintes additionnelles. Dans nombre de cas concrets, il pourra ˆetre tr`es utile de connaˆıtre cette force (par exemple pour r´ealiser un syst`eme suffisamment rigide), obtenue comme un (( sous-produit )) de la m´ethode que nous venons d’exposer.

5.4

Liaisons non-holonomes

Nous avions laiss´e de cˆot´e, en commen¸cant cet expos´e, le traitement des liaisons non-holonomes, comme en particulier celles qu’introduisent (dans le cas le plus g´en´eral) des conditions de roulement sans glissement. Or il se trouve que leur prise en compte peut maintenant ˆetre r´ealis´ee `a l’aide des mˆemes concepts que ceux que nous venons de d´evelopper pour les liaisons holonomes. En effet, ces derni`eres ne sont intervenues ci-dessus que par leur forme diff´erentielle : dfi =

X ∂fi j

∂qj

dqj +

∂fi dt = 0 , ∂t

(26)

sans qu’`a aucun moment le fait qu’il s’agisse d’une forme diff´erentielle exacte ait jou´e le moindre rˆole. Les liaisons non-holonomes s’expriment souvent comme une liaisons entre les vitesses (c’est le cas en particulier pour le roulement sans glissement), que l’on peut mettre sous la forme : d$ =

X k

aik (q, t) dqj + a0k (q, t) dt = 0 .

(27)

20

6

APPLICATIONS IMPORTANTES

Pour y satisfaire, on ne consid`ere `a nouveau que les variations δqk qui satisfont `a chaque instant : X

aik (q, t) δqk = 0 ,

j

et l’on a donc `a nouveau des multiplicateurs de Lagrange λi (t) v´erifiant une relation identique `a P (24), au remplacement pr`es des ∂fi /∂qk par les aik . De la mˆeme mani`ere, les termes i λi (t)aik (q, t apparaissent dans les nouvelles ´equations de Lagrange comme des forces additionnelles, d´ecoulant de la liaison13 . Contrairement au cas holonome, les forces de liaison n’ont plus de raison d’ˆetre normales aux d´eplacements autoris´es, ce qui ´etait attendu, puisque que les roulements sans glissement ne sauraient ˆetre obtenus sans des forces de frottement tangentielles.

6

Applications importantes

6.1

Modes normaux

Nous l’avons dit, l’un des int´erˆets de l’approche lagrangienne est de pr´esenter un formalisme unique ind´ependamment du choix des coordonn´ees, bien que ce choix puisse ´evidement influer de fa¸con d´eterminante sur la facilit´e de r´esolution des ´equations de Lagrange, une fois celles-ci explicit´ees. Nous allons mettre ces possibilit´es `a profit pour traiter de fa¸con extrˆemement g´en´erale le probl`eme tr`es important des (( petites oscillations )). Soit un syst`eme physique d´ecrit par ses coordonn´ees g´en´eralis´ees {qi }, et par le lagrangien standard L = K({qi }, {q˙i }) − V ({qi }), ind´ependant du temps. Nous supposons que le potentiel V poss`ede un minimum en un point {qi(0) }, qui d´efinit donc une position d’´equilibre stable, et que nous prenons pour simplifier comme origine des coordonn´ees. Nous nous int´eressons aux mouvements de faible amplitude de ce syst`eme autour du point d’´equilibre. L’´energie cin´etique est par hypoth`ese une forme quadratique d´efinie positive des vitesses, dont les coefficients sont ´evalu´es au point d’´equilibre {qi(0) }. De mˆeme, on peut faire un d´eveloppement limit´e du potentiel autour de {qi(0) }, dont le terme d’ordre 1 sera nul par hypoth`ese, et dans le cas g´en´eral on pourra donc repr´esenter V par le terme d’ordre 2, et le lagrangien s’´ecrira donc : L({qi }, {q˙i }) =

1X 1X Mi,j q˙i q˙j − Vi,j qi qj , 2 i,j 2 i,j

o` u la seconde forme quadratique donn´ee par Vi,j = ∂ 2 V /∂qi ∂qj ({qi(0) }) est positive( mais pas n´ecessairement d´efinie s’il existe un ´equilibre indiff´erent pour certaines coordonn´ees). Dans ce qui suit, nous adoptons une notation vectorielle qui simplifie les ´ecriture, les {qi (t)} ´etant repr´esent´es par le vecteur colonne q(t), et les formes quadratiques par les matrices sym´etriques M et V. Cette forme du lagrangien conduit n´ecessairement `a d ´equations diff´erentielles lin´eaires coupl´ees du second ordre, que l’on peut ´ecrire symboliquement : ¨(t) + V · q(t) = 0 . M·q dont les solutions pr´esentent des oscillations de diff´erentes fr´equences, caract´eristiques du syst`eme. De fa¸con g´en´erale, on appelle (( modes propres )) du syst`eme les solutions oscillantes de la forme : qn (t) = <e (qn (0) exp[−iωn t]) , 13

Lorsque la forme diff´erentielle d$ est une forme exacte, et c’est notamment toujours le cas s’il n’y a que deux degr´es de libert´e, on peut en int´egrant en tirer une contrainte holonome ; le cas qui nous int´eresse ici est donc le cas g´en´eral o` u on ne peut pas mettre (27) sous la forme (26).

6.1 Modes normaux

21

ne comportant qu’une seule fr´equence. En reportant cette expression dans la pr´ec´edente, on obtient l’´equation : −ωn2 M · qn + V · qn n = 0 ⇒ det(V − ωn2 M) = 0 , puisqu’un syst`eme lin´eaire homog`ene de d ´equations avec d inconnues (les composantes qn,i ) n’a de solution non triviale que si son d´eterminant est nul. L’´equation ainsi obtenue s’appelle (( ´equation s´eculaire )), en raison d’une ´equation analogue sur l’´evolution lente des orbites plan´etaires en astronomie. Cette ´equation s’apparente `a une recherche de valeurs propres/vecteurs propres de la matrice V, si ce n’est qu’on aurait dans ce cas la matrice identit´e II ` a la place de M. La solution g´en´erale `a ce probl`eme consiste `a op´erer un changement de coordonn´ees g´en´eralis´ees {qi } 7→ {Qi } de telle sorte que le lagrangien puisse s’´ecrire sous la forme canonique : ˙ L({Qi}, {Qi}) =

1 X ˙2 Q − ωn2 Q2n , 2 n n

dans laquelle chaque coordonn´ee correspond `a un mode propre. Cette transformation correspond `a ce qu’on appelle en math´ematiques une (( diagonalisation simultan´ee )) des deux formes quadratiques, dont un th´eor`eme assure qu’elle est possible si l’une au moins est d´efinie positive. Concr`etement, une premi`ere ´etape consiste `a diagonaliser la (( matrice des masses )) M, en faisant ensuite un changement d’´echelle pour la ramener `a l’identit´e. Si P d´esigne la matrice de passage orthogonale form´ee des d vecteur propres de M, on a tP · M · P = D, o` u D est une matrice diagonale dont les ´el´ements sont les valeurs propres de M, positives par hypoth`ese. On peut alors ´ecrire M = P · ∆2 · tP o` u ∆ = D1/2 , et il vient donc : K=

1 1 1 1t ˙ = tR˙ · R˙ . q˙ · M · q˙ = tq˙ · (P · ∆2 · tP) · q˙ = (tq˙ · (P · ∆) · (∆ · tP · q) 2 2 2 2

On a ici introduit des coordonn´ees g´en´eralis´ees interm´ediaires R ≡ ∆ · tP · q. En termes de ces coordonn´ees, le potentiel s’´ecrit : V =

´ ³ ´ 1 ³ 1 1 1t q · V · q = t P∆−1 R · V · P∆−1 R = tR(∆−1 · tP · V · P · ∆−1 ) · R = tR · W · R , 2 2 2 2

o` u la matrice W ≡ ∆−1 · tP · V · P · ∆−1 est toujours une matrice sym´etrique et positive. On peut finalement la diagonaliser sous la forme : W = U.Ω2 · tU, o` u U est une nouvelle matrice de passage orthogonale, form´ee des vecteurs propres de W. En posant enfin Q = tU · R = tU · ∆ · tP · q, on obtient effectivement le r´esultat annonc´e : L=

1 t˙ t ˙ − 1 tQ · tU · (U.Ω2 · tU) · U · Q = 1 tQ ˙ ·Q ˙ − 1 tQ · Ω2 · Q . Q· U·U·Q 2 2 2 2

Cette d´emonstration, bien qu’un peu lourde, a le m´erite d’ˆetre totalement constructive. Dans bien des cas, la (( matrice des masses )) M sera d´ej`a diagonale, avec sur la diagonale la masse des particules, et le probl`eme se r´eduit `a la diagonalisation de M−1/2 · V · M−1/2 . Chaˆıne lin´ eaire Nous pouvons illustrer simplement notre propos en consid´erant une chaˆıne lin´eaire de N (( atomes )) de masse m, s´epar´es `a l’´equilibre de la distance a. Nous utilisons comme coordonn´ees g´en´eralis´ees les ´ecarts aux positions d’´equilibre, not´es qi , avec i = 1 · · · N , et supposons que la force de rappel vers l’´equilibre d´epend uniquement de la distance relative aux deux plus proches voisins. Pour simplifier, nous prenons des (( conditions aux limites p´eriodiques )) (CLP), c’est `a dire que nous introduisons un atome fictif de position q0 ≡ qN . Pour les petites oscillations, le lagrangien s’´ecrit : L=

N N X m 2 X k q˙i − (qi − qi−1 )2 , i=1

2

i=1

2

22

6       W=    

−2

1

0

1

−2

0 .. .

1 .. .

0 1

0

1 .. . .. . .. . ···

··· .. . .. . .. .

0

1

..

0 .. .

1 0

−2 1

.

1





APPLICATIONS IMPORTANTES η

  η2   η3   U=  ..  .   N −1  η

       0   

1 −2

η2

···

η (N −1)

η4

···

η 2(N −1)

η6

···

η 3(N −1)

. ..

1

. .. 2

η 2(N −1)

···

η (N −1)

1

···

1

1



    1     1    1  1

1

Fig. 7 – Matrice W repr´esentant le potentiel, et matrice de passage U vers la base qui la diagonalise. o` u le terme d’´energie potentielle pour i = 1 provient de notre hypoth`ese de CLP, et k = mω02 apparaˆıt comme la raideur d’un ressort effectif. La matrice W `a diagonaliser a alors la structure repr´esent´ee sur la figure 7, et son invariance par permutation circulaire conduit `a chercher la matrice de passage sous la forme Ui,j = η i×j o` u η = exp(i2π/N ) est la premi`ere racine de l’unit´e (cf. figure). On obtient ainsi N modes propres de la forme (qn )i = an exp(inφ), pour n = 1 · · · N , avec φ = 2π/N . Les fr´equences propres correspondantes s’obtiennent en reportant cette structure dans l’´equation, et conduit `a : ωn2 = 4ω0 sin2 (nφ/2)

pour n = 1 · · · N .

On doit noter qu’il y a bien exactement N modes propres, puisque des valeurs de n plus grandes donneraient la mˆeme d´ependance spatiale et la mˆeme fr´equence que n mod(N ). Enfin, notons que la distance a ne joue ici aucun rˆ ole, et qu’elle n’interviendra que si l’on veut r´e´ecrire les r´esultats pr´ec´edents en termes de propagation d’ondes. Les modes seront alors caract´eris´es par leur vecteur d’onde kn = nφ/a, leurs fr´equences ´etant donn´ees par la (( relation de dispersion )) ω(k) = 2ω0 | sin(ka/2)|, et la p´eriodicit´e modulo N restreignant l’intervalle pertinent `a 0 ≤ k < 2π/a, ou, de fa¸con ´equivalente `a la (( premi`ere zone de Brillouin )) −π/a < k < π/a.

6.2

Variables continues

Dans le cas pr´ec´edent, si le nombre N devient infiniment grand et la distance caract´eristique a infiniment petite, avec une longueur L = N a fix´ee, il peut ˆetre int´eressant de remplacer l’indice discret i par un indice continu x, con¸cu comme limite de la fonction x(i) = i × a. Dans cette approche, les coordonn´ees g´en´eralis´ees {qi (t)} c`edent la place `a une fonction ϕ(x, t), et les vitesses g´en´eralis´ees aux d´eriv´ees temporelles ´evalu´ees `a position fix´ee, soit ∂ϕ(x, t)/∂t. De mˆeme, la somme discr`ete sur i devient une int´egrale sur x, en utilisant dx = a, et les diff´erences apparaissant dans le potentiel deviennent a ∂V /∂x. Ceci conduit `a r´e´ecrire le lagrangien : 1 L= 2

Z L 0

µ

∂ϕ m ∂t

¶2

dx 1 − a 2

Z L 0

µ

∂ϕ k a ∂x

¶2

dx 1 ≡ a 2

¶ Z L" µ ∂ϕ 2 0

µ

∂t

µ

−K

∂ϕ ∂x

¶2 #

dx

en introduisant la masse lin´eique µ = m/a, et le module de compression K = limN →∞ ka, qui a un sens physique bien d´efini dans la mesure o` u la raideur d’un ressort est inversement proportionnelle `a sa longueur. La (( th´eorie classique des champs )) repose sur une g´en´eralisation de cette expression, dont nous allons esquisser les grands traits pour un champ scalaire ϕ(r, t) sur l’espace usuel `a trois dimensions : – on d´efinit une densit´e volumique de lagrangien `(ϕ, ∂t ϕ, ∂r ϕ, t) d´ependant ´eventuellement du champ, de ses d´eriv´ees spatiales ∂r ϕ ≡ ∂ϕ/∂r ≡ grad ϕ et temporelle ∂tϕ ≡ ∂ϕ/∂t, et du temps ;

23 – l’action est d´efinie par l’int´egrale temporelle et spatiale : S=

Z t2 ·Z t1

¸

`(r, t)d3 r dt ,

avec des ´etats initial ϕ(r, t1 ) et final ϕ(r, t2 ) fix´es ; – on applique le principe de Hamilton en cherchant les conditions qui rendent S stationnaire vis `a vis des variations du champ δϕ ; – en faisant les traditionnelles int´egration par parties `a la fois temporelle et spatiale, on aboutit `a l’´equation de Lagrange : ∂ ∂t

µ

∂` ∂(∂t ϕ)

¶

µ

∂` + div ∂(∂r ϕ)

¶

−

∂` =0, ∂φ

o` u le premier et le dernier termes sont les analogues exacts des deux termes figurant dans les ´equations de Lagrange usuelles, tandis que le second terme peut ˆetre vu comme une extension du premier aux degr´es de libert´es (( spatiaux )). ` A titre d’exemple, une forme simple de densit´e de lagrangien, poss´edant un maximum de sym´etries, est donn´ee par : " µ # ¶ ¶ µ 1 1 ∂φ 2 ∂φ 2 ϕ2 `= − − 2 , 2 c2 ∂t ∂r Λ o` u c est une vitesse, g´en´eralement celle de la lumi`ere, et Λ une longueur. On calcule ais´ement ∂` ∂`/∂(∂t ϕ) = (∂t ϕ)/c2 , ∂`/∂(∂r ϕ) = −∂r ϕ, et ∂φ = ϕ/Λ2 , d’o` u l’´equation d’onde dite (( de KleinGordon )) 1 1 ∂2φ − ∆ϕ − 2 ϕ = 0 . 2 2 c ∂t Λ Dans le cas o` u Λ−2 = 0, on reconnaˆıt une ´equation de d’Alembert usuelle, d´ecrivant ce que l’on appelle un champ de masse nulle, comme c’est le cas en ´electromagn´etisme, ce qui se traduit par des solutions stationnaires (∂tϕ = 0) de port´ee infinie. Lorsque Λ 6= 0, les solutions stationnaires `a sym´etrie sph´erique prennent la forme d’un potentiel de Yukawa : ϕ(r, t) = A

e−r/Λ r

qui est utilis´e pour d´ecrire de fa¸con ph´enom´enologique l’interaction forte dans les noyaux atomiques. La port´ee Λ du potentiel est reli´ee `a la masse de la particule (( vecteur )) de l’interaction (ici le pion π) par la relation Λ = λc = ¯h/mc (longueur d’onde de Compton), ici de l’ordre de 10−15 m. Tous ces concepts seront approfondis, dans un cadre plus g´en´eral, dans le cours de Relativit´e et ´ Electromagn´etisme.

7

L’action comme fonction des coordonn´ ees

Au paragraphe 2 nous avons d´efini l’action comme une fonctionnelle, qui attribuait une valeur r´eelle a` un chemin d’extr´emit´es fix´ees et nous avons utilis´e le principe de Hamilton pour d´efinir le (( chemin physique )) ou trajectoire. Une fois cette trajectoire connue, on peut consid´erer l’action comme une fonction des positions initiale et finale, l’int´egrale ´etant prise sur la trajectoire, ce qui conduit `a d´efinir la fonction : S (q0 , t0 ; q1 , t1 ) =

Z t1 t0

L(q, q, ˙ t) dt

sur la trajectoire q(t) : (q0 , t0 ) → (q1 , t1 )

´ 7 L’ACTION COMME FONCTION DES COORDONNEES

24

o` u, pour all´eger l’´ecriture, nous notons ici q pour l’ensemble {qi } des coordonn´ees g´en´eralis´ees, et de mˆeme pour les vitesses. Nous allons caract´eriser les propri´et´es de cette fonction S par l’interm´ediaire de ses d´eriv´ees partielles, en utilisant `a nouveau le calcul variationnel. Supposons dans un premier temps que q0 , et t0 et t1 sont fix´es, et consid´erons le point d’arriv´ee q10 = q1 + dq1 . On introduit alors la trajectoire modifi´ee q 0 (t) dont le point final est q10 , qui est tr`es voisine de la trajectoire initiale q(t), la variation correspondante s’´ecrivant δq(t) = q 0 (t) − q(t). La variation de l’action qui en r´esulte s’´ecrit comme `a l’´equation (6) : δS =

µ

Z t1 X · ∂L t0

i

d − ∂qi dt

∂L ∂ q˙i

¶¸

δqi dt +

X · ∂L i

∂ q˙i

¸ t1

δqi

. t0

mais contrairement `a ce qui pr´ec`ede, le chemin emprunt´e est une trajectoire physique et les int´egrales sont donc nulles, tandis que le second terme n’est plus nul. On en tire : dS =

X · ∂L i

∂ q˙i

¸t1

δqi

= t0

X

p(t1 ) i d(q1 )i .

i

Si au contraire on avait fix´e le point q1 et vari´e le point q0 , le mˆeme raisonnement aurait conduit au mˆeme r´esultat, au signe pr`es, puisque c’est alors la borne inf´erieure de la variation qui intervient. On a donc ´etabli : ∂S (q0 , t0 ; q1 , t1 ) = −pi (q0 , t0 ) ∂(q0 )i

et

∂S (q0 , t0 ; q1 , t1 ) = pi (q1 , t1 ) . ∂(q1 )i

(28)

Si maintenant nous voulons obtenir la d´ependance temporelle, nous pouvons ´ecrire d’une part : dS dS = = L(q1 , q˙1 , t1 ) dt1 dt1 et d’autre part :

dS dS = = −L(q0 , q˙0 , t0 ) dt0 dt0

et

X ∂S X ∂S ∂S dS = + q˙i = + pi q˙i , dt ∂t ∂qi ∂t i i

d’o` u l’on tire, en rapprochant la derni`ere expression de la d´efinition (16) de l’´energie : X ∂S = L(q1 , q˙1 , t1 ) − p(t1 ) i d(q1 )i = −E(t1 ) , ∂t1 i

(29)

et de mˆeme – au signe pr`es – pour le temps initial t0 . En d´efinitive, si nous fixons le point et instant de d´epart, nous obtenons la relation : dS (q, t) =

X

pi dqi − Edt

(30)

i

qui nous sera utile pour la suite. La question, cruciale, de savoir si cette diff´erentielle d´efinit bien une fonction (c’est `a dire si elle est ferm´ee) est techniquement tr`es difficile dans le formalisme lagrangien, mais deviendra ´evidente en formalisme hamiltonien.

25

Deuxi` eme partie B – FORMULATION HAMILTONIENNE ´ Equations de Hamilton

8

Nous avons vu dans la section 5 que certaines contraintes peuvent ˆetre prises en compte directement en modifiant la fonctionnelle `a minimiser, au prix d’une augmentation du nombre de variables ind´ependantes, `a hauteur du nombre de contraintes. Or, dans tout ce que nous avons fait jusqu’ici, nous avons dˆ u prendre en compte des contraintes subtiles li´ees `a ce que les vitesses q˙i sont des variables ind´ependantes pour le lagrangien, mais doivent tout de mˆeme d´ecouler, par d´erivation, de la loi horaire {qi (t)}, que l’on ait ou non affaire `a la trajectoire physique. Le premier objectif de la formulation hamiltonienne est pr´ecis´ement de r´esoudre ce probl`eme, et nous verrons ensuite ce que cela ouvre de nombreuses perspectives, qui rendent ce point de vue bien plus f´econd.

8.1

Point de vue de Hamilton

Dans cette nouvelle approche, pour d´ecrire un syst`eme `a d degr´es de libert´e, on introduit, `a cot´e des coordonn´ees g´en´eralis´ees {qi }, et `a la place des vitesses g´en´eralis´ees {q˙i }, d variables ind´ependantes suppl´ementaires, not´ees {pi } et appel´ees (( impulsions g´en´eralis´ees )) ou (( moments (canoniquement) conjugu´es )). La description d’un syst`eme physique n’est plus alors faite dans l’espace des configuration, mais dans un nouvel espace, pour l’instant abstrait, `a 2d dimensions, appel´e (( espace des phases )). On se donne ensuite une fonction de Hamilton, ou hamiltonien, H(qi , pi , t) qui doit d´ecrire la dynamique `a l’aide d’un principe variationnel. Mais comment faire pour construire tout cela de fa¸con `a retrouver une dynamique soit physiquement ´equivalente aux ´equations de Newton ou de Lagrange ? La recette de Hamilton L’approche suivie par Hamilton consiste `a choisir des impulsions pi qui co¨ıncident avec celles de Lagrange. En notant que (pour la deuxi`eme ´egalit´e, on utilise les ´equations de Lagrange) : dL =

X ∂L i

∂qi

dqi +

X ∂L i

∂ q˙i

dq˙i +

X X ∂L ∂L dt = p˙i dqi + pi dq˙i + dt , ∂t ∂t i i

on constate que l’on peut construire une fonction des pi et des qi par transformation de Legendre de L, ce qui conduit `a d´efinir la fonction de Hamilton par : H({qi }, {pi }, t) =

X

pi q˙i − L({qi }, {q˙i }, t)

i

o` u les {q˙i } doivent syst´ematiquement ˆetre remplac´ees par la fonction de {qi } et {pi } correspondante. On pourra alors ´ecrire : dH =

X i

q˙i dpi −

X i

p˙i dqi −

∂L dt . ∂t

(31)

Il suffit maintenant d’exprimer l’action en fonction des nouvelles variables, et le principe de Hamilton doit nous conduire `a des ´equations du mouvement qui soient ´equivalentes aux ´equations de Lagrange. On oublie maintenant tout le formalisme lagrangien et on d´efinit donc la fonctionnelle action par

´ 8 EQUATIONS DE HAMILTON

26 l’identit´e : S(σ) =

Z t 2 "X t1

#

pi q˙i − H({qi }, {pi }, t) dt .

(32)

i

o` u σ(t) est un chemin dans l’espace des phases correspondant `a un choix arbitraire de fonctions qi (t) et pi (t), et on cherche les conditions qui rendent l’action stationnaire, vis `a vis d’une variation δσ du chemin, avec des extr´emit´es enti`erement fix´ees dans l’espace des phases (i.e. δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0 et δpi (t1 ) = δpi (t2 ) = 0). On ´ecrit donc : ¸ X Z t2 · ∂H ∂H δS = pi δ q˙i + q˙i δpi − δqi − δpi dt ∂qi ∂pi t1 i dans lequel on voit apparaˆıtre δ q˙i , que l’on ´elimine comme `a l’accoutum´ee par une int´egration par parties, d’o` u: "

δS =

X i

#t2

pi δqi

+ t1

X Z t2 ·µ dpi i

t1

¶

∂H − − δqi + dt ∂qi

µ

¶

¸

dqi ∂H − δpi dt . dt ∂pi

Comme le premier terme est nul par hypoth`ese, et que les qi et pi sont ind´ependants, la condition δS = 0 entraˆıne l’annulation des 2d termes entre parenth`eses, d’o` u les 2d (( ´equations de Hamilto )) :  ∂H dqi     dt = ∂p i  ∂H dp i   =− 

dt

(33)

∂qi

Comme on peut constater, les d ´equations de Lagrange, du second ordre, ont laiss´e place `a 2d ´equations du premier ordre, ce qui est math´ematiquement ´equivalent, mais souvent plus pratique, qu’il s’agisse d’en faire une r´esolution formelle ou num´erique.

8.2

Lien avec le point de vue de Lagrange

Il est essentiel de faire les observations suivantes : NB1 Le formalisme hamiltonien est totalement ind´ependant du formalisme lagrangien : la premi`ere ´equation de Hamilton n’est pas une r´e-´ecriture de l’impulsion de Lagrange, mais bel et bien une des ´equations du mouvement. En particulier, lorsqu’on varie le chemin σ, on envisage aussi les chemins o` u cette ´equation n’est pas v´erifi´ee. NB2 Les ´equations de Hamilton ne sont pas non plus une cons´equence triviale de l’´equation (31), mais r´esultent uniquement du principe de moindre action, et l’´equation (31) prouve simplement que si la fonction de Hamilton est d´eduite d’une fonction de Lagrange par transformation de Legendre, alors les ´equations du mouvement obtenues dans l’un et l’autre point de vue seront ´equivalentes. NB3 Nous appliquons le principe de moindre action en fixant les impulsions aux extr´emit´es, mais le processus conduisant aux ´equations de Hamilton n’utilise en fait que la nullit´e de δq aux extr´emit´es, et pas celle de δp : malgr´e les apparences, nous n’avons donc pas utilis´e des hypoth`eses plus fortes. Cela dit, le lien entre les deux formulations est tr`es utile pour les deux raisons suivantes : – il permet de comprendre comment et pourquoi (( ¸ca marche )) ; – il fournit une m´ethode pour construire de fa¸con syst´ematique le hamiltonien physiquement convenable, par transformation de Legendre, ce qui implique imp´erativement l’´elimination des q˙i au profit des pi

8.3 Lien avec l’´energie

8.3

27

Lien avec l’´ energie

Dans le cas o` u le syst`eme est (( autonome )), c’est `a dire qu’il ne subit pas d’interaction avec un environnement d´ependant du temps, son lagrangien n’a pas de d´ependance explicite en temps, et nous avons vu que l’´energie m´ecanique est conserv´ee (cf. § 4.2). Il est important de noter que la valeur num´erique du hamiltonien est alors constante, ´egale `a l’´energie du syst`eme. Toutefois, alors que l’´energie peut ˆetre ´ecrite indiff´eremment de bien des fa¸cons, la fonction de Hamilton, elle, doit imp´erativement ˆetre ´ecrite en termes des coordonn´ees qi et de leurs moments conjugu´es pi . Dans le cas, o` u L d´epend du temps, comme par exemple en pr´esence de champs ext´erieurs variables, on sait que l’´energie n’est plus conserv´ee, mais il reste toujours possible de d´efinir une fonction de Hamilton par la mˆeme proc´edure, celle-ci ayant du coup une d´ependance explicite en temps. Cette d´ependance s’exprime de fa¸con apparemment tr`es simple : ∂H ∂L =− , ∂t ∂t

(34)

mais il ne faut pas perdre de vue que la d´erivation de H et de L sont faites en gardant constants des jeux de variables ´eventuellement diff´erents.

8.4

Exemple fondamental : particule charg´ ee dans un champ magn´ etique

Pour illustrer le propos des trois paragraphes pr´ec´edents, il est utile de reprendre le probl`eme du § 3.7, pour voir comment il se pr´esente dans le point de vue de Hamilton. Nous nous placerons pour ce faire en coordonn´ees cart´esiennes. Construction du hamiltonien Il faut partir du lagrangien impliquant le potentiel g´en´eralis´e (15). On peut alors ´ecrire : p=

∂L = mv + QA(r, t) ∂v

d’o` u p · v = m v2 + QA(r, t) · v ,

si bien que le terme de couplage en A · v s’´elimine quand on forme le hamiltonien. Il se manifeste n´eanmoins par le biais du terme d’´energie cin´etique, et on obtient14 : H(r, p, t) =

(p − QA(r, t))2 + QΦ(r, t) . 2m

(35)

´ Equations de Hamilton Les ´equations de Hamilton s’´ecrivent alors :  dr ∂H p − QA(r, t)    = = 

dt

∂p

m

 ∂H (p − QA(r, t))2 dp    =− = − grad − Q grad Φ(r, t) .

dt

∂r

(36)

2m

On peut d´evelopper le gradient en utilisant la formule d’analyse vectorielle : grad(a · b) = (a · grad)b + a × rot b + (b · grad)a + b × rot a , ce qui donne : dp =Q dt

µ

¶

(p − QA(r, t)) (p − QA(r, t)) · grad A(r, t) + Q × B − Q grad Φ(r, t) m m

14 Notons bien que si l’´energie m´ecanique (non conserv´ee en g´en´eral) ne d´epend pas du champ magn´etique, le hamiltonien, lui le fait encore intervenir !

´ 8 EQUATIONS DE HAMILTON

28 et en utilisant la premi`ere ´equation de Hamilton :

d (mv + Q A(r, t)) = Q (v · grad)A(r, t) + Q v × B(r, t) − Q grad Φ(r, t) . dt Si l’on note que dA/dt = ∂A/∂t + (v · grad)A, on constate que le terme en (v · grad) s’´elimine, et on obtient : ∂A d mv = Q v × B(r, t) − Q grad Φ(r, t) − Q (r, t) , dt ∂t qui est bien le r´esultat attendu.

8.5

Propri´ et´ es du hamiltonien

´ Evolution temporelle Un calcul ´el´ementaire donne : dH X ∂H ∂H ∂H = q˙i + p˙i + , dt ∂qi ∂pi ∂t i En utilisant les ´equation de Hamilton, ainsi que la d´efinition de H, ainsi que (34) il vient : ∂L ∂L dH X ∂H ∂H ∂H ∂H = − − =− , dt ∂q ∂p ∂p ∂q ∂t ∂t i i i i i

(37)

et on en d´eduit que pour tout syst`eme autonome, le hamiltonien est une int´egrale premi`ere du mouvement. En d’autres termes, la seule variation possible vient de la d´ependance explicite de H avec le temps. Propri´ et´ es math´ ematiques Le hamiltonien poss`ede les mˆemes propri´et´es math´ematiques que le lagrangien dont il est d´eriv´e : invariance d’´echelle et d’origine (unit´e d’´energie), propri´et´es de sym´etrie ´eventuelles, additivit´e. En ce qui concerne la non-unicit´e, on constate ais´ement que l’on peut, sans modifier les ´equations du mouvement, ajouter librement `a H la d´eriv´ee temporelle (totale) d’une quelconque fonction du temps, des positions et des impulsions. Cela se d´eduit de fa¸con ´el´ementaire de l’expression de l’action et de la d´erivation des ´equations de Hamilton. En revanche les ´equations de Hamilton, elles, seront modifi´ees d’une fa¸con non-triviale, et cette propri´et´e sera tr`es utile dans ce qui suit (cf. § 9.3). Cette mˆeme propri´et´e conduit aussi au r´esultat tr`es important que certains probl`emes peuvent tr`es bien ˆetre d´ecrit par un hamiltonien alors qu’ils ne peuvent pas se mettre sous forme lagrangienne, ou encore que certains syst`emes peuvent avoir un hamiltonien dont la valeur num´erique est identiquement nulle pour toute trajectoire !

8.6

Crochets de Poisson

Les ´equations de Hamilton, grˆace au traitement sym´etrique des positions et impulsions, permettent d’´ecrire de fa¸con tr`es ´el´egante la variation temporelle d’une grandeur physique quelconque. Soit f (p, q, t) une telle grandeur, on a : X ∂f X ∂f ∂H df ∂f ∂f ∂f ∂H ∂f = q˙i + p˙i + = − + . dt ∂qi ∂pi ∂t ∂qi ∂pi ∂pi ∂pi ∂t i i

Il est usuel de r´e´ecrire cette ´equation sous une forme plus compacte en d´efinissant les crochets de Poisson de deux grandeur physiques quelconques par l’identit´e : {f, g} =

X ∂f ∂g k

∂qk ∂pk

−

∂f ∂g , ∂pk ∂pk

(38)

8.7 Trajectoires et portraits de phase

29

ce qui donne :

∂f df = {f, H} + . (39) dt ∂t Il est `a noter bien sˆ ur que ceci est vrai aussi pour les variables dynamiques fondamentales qi et pi , et que les ´equations de Hamilton s’´ecrivent alors sous la forme encore plus sym´etrique : dqi = {qi , H} dt

et

dpi = {pi , H} , dt

puisque, dans chaque cas, seul le terme pour lequel k = i sera non nul et que bien sˆ ur ∂pi /∂qk = ∂qi /∂pk = 0. Propri´ et´ es ´ el´ ementaires Les crochets de Poisson jouent un rˆole essentiel dans tout ce qui va suivre, il est donc n´ecessaire d’en d´egager les propri´et´es essentielles : – Il s’agit tout d’abord d’une forme bilin´eaire, de mˆeme que le produit scalaire usuel. – Au contraire du produit scalaire, il est antisym´etrique, c’est `a dire que {f, g} = − {g, f } (et donc {f, f } = 0). – Comme tout produit antisym´etrique, il v´erifie l’´egalit´e de Jacobi : {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 ,

(40)

qui peut elle-mˆeme ˆetre vue comme le caract`ere associatif du (( produit )) de Poisson. – On a bien sˆ ur, en raison des r`egles de d´erivation du produit de deux fonctions, l’identit´e : {f, g h} = {f, g} h + {f, h} g

(41)

Lien avec la m´ ecanique quantique Il importe de souligner que les propri´et´es des crochets de Poisson poss`edent de grandes analogies avec les commutateurs des observables en m´ecanique quantique. Cela concerne ´evidement les propri´et´es math´ematiques que nous venons d’´enum´erer, mais il y a aussi un parall`ele exact sur les lois d’´evolution temporelle. Les raisons profondes de cette analogie sont ´evidement hors du propos de ce cours ´el´ementaire, mais nous pouvons n´eanmoins souligner que, pour toutes fonctions de l’espace des phases f1 (q, p, t), f2 (q, p, t), et f3 (q, p, t), si l’on a la relation {f1 , f2 } = f3 (q, p, t), alors les op´erateurs quantiques f1 ,f2 et f3 qui repr´esentent ces observables v´erifient la relation de commutation [f1 , f2 ] = i¯h f3 .

8.7

Trajectoires et portraits de phase

(dans le cas o` u H est ind´ependant du temps) Le traitement sur un pied d’´egalit´e des positions et impulsions permet de consid´erer avec un oeil neuf les trajectoire dans l’espace des phases. Nous pouvons noter tout d’abord qu’une telle trajectoire doit ˆetre contenue dans l’espace de dimension 2d−1 d´efini par la valeur de l’´energie H({qi }, {pi }) = E = cste. En outre, la donn´ee d’un point particulier de l’espace des phase d´etermine la totalit´e de une trajectoire le contenant, par int´egration formelle des ´equations de Hamilton. Il en r´esulte que deux trajectoires distinctes ne sauraient se couper, et qu’une trajectoire donn´ee ne revient au mˆeme point que si elle revient exactement sur ces pas (trajectoire (( ferm´ee ))). En fait ces trajectoires peuvent ˆetre vues comme les ligne de champ d’un ´ecoulement stationnaire ∂H ∂H dont le champ de vitesse est donn´e par les 2d composantes (− ∂p , ). Cet ´ecoulement est appel´e i ∂qi (( flot de H )). On note bien sˆ ur que cet ´ecoulement est par construction normal au gradient de H (de ∂H composantes ( ∂H energie. Plus encore, le crochet de Poisson ∂qi , ∂pi ) et donc tangent aux surfaces iso-´ {f, H} peut ˆetre vu comme le d´ebit du flot de H ` a travers une surface f cste, ou sym´etriquement celui du flot d´efini par f `a travers les surfaces iso-´energie.

30

9 STRUCTURE SYMPLECTIQUE ET TRANSFORMATIONS CANONIQUES

pθ

pr

p

q

θ r

Fig. 8 – Portraits de phase (de gauche `a droite) de l’oscillateur harmonique, du probl`eme de Kepler (partie radiale), du pendule pesant Lorsqu’il est possible, le trac´e des lignes du flot hamiltonien dans l’espace des phases est appel´e un (( portrait de phase )) su syst`eme consid´er´e, et celui-ci permet g´en´eralement d’obtenir des informations g´en´erales importantes sur la dynamique du syst`eme. Dans la pratique, ce n’est r´eellement possible que pour des syst`emes `a un degr´e de libert´e, ou marginalement, en projection sur une syst`eme `a deux degr´es de libert´e. Il est par contre toujours possible de repr´esenter une coupe `a deux dimensions de l’espace des phases, que l’on appelle (( section de Poincar´ e )), et dans laquelle une trajectoire sera repr´esent´ee par une suite (finie ou infinie) de points.

9 9.1

Structure symplectique et transformations canoniques D´ efinition

Dans un espace vectoriel, le choix d’un produit scalaire d´efinit une structure euclidien, permettant d’introduire les notions de distance, de projection orthogonale, etc. . . De fa¸con similaire, le crochet de Poisson dote l’espace des phases d’une structure g´eom´etrique dite symplectique. Il existe `a la fois des analogies et de profondes diff´erences entre ces deux types de g´eom´etrie, tenant essentiellement `a ce que le produit scalaire est une forme bilin´eaire sym´etrique, et que le crochet de Poisson est une (( op´eration )) bilin´eaire antisym´etrique et s’apparente donc davantage au produit vectoriel. Cette structure symplectique sera par exemple caract´eris´ee, dans un jeu de coordonn´ees donn´e, par les relations de conjugaison canoniques : {qi , pj } = δij

,

{qi , qj } = 0

et

{pi , pj } = 0 .

(42)

L’int´erˆet de la g´eom´etrie symplectique est d’achever et de syst´ematiser la d´emarche que nous avons entreprise de traiter de la mˆeme fa¸con les diff´erentes coordonn´ees, qu’il s’agisse de positions ou d’impulsions. Pour ce faire, la premi`ere condition est de donner au crochet de Poisson lui-mˆeme une forme plus sym´etrique, ce qui peut ˆetre fait en ´ecrivant : {f, g} =

X ∂f ∂g i

∂qi ∂pi

−

X ∂f ∂g X ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g = δi,j + (−δi,j ) = {qi , pj }+ {pi , qj } ∂pi ∂qi ∂qi ∂pj ∂pi ∂qi ∂qi ∂pj ∂pi ∂pi i,j i,j

et si l’on introduit une notation commune xk pour les 2d coordonn´ees de l’espace des phases : {f, g} =

X ∂f ∂g k,l

∂xk ∂xl

{xk , xl } =

X k,l

∂k f ∂l g Skl ,

(43)

9.2 Transformations canoniques

31

puisque les termes o` u les deux d´eriv´ees sont faites par rapport `a q ou par rapport `a p donnent des contributions nulles. Les coefficients Skl = {xk , xl } sont les ´el´ements de la matrice : q1



q1 ···qn

p1 ···pn

..  .  0



II  

 qn   S= p1   ..  .  −II

   ,    

0

o` u II est la matrice identit´e (d × d).

(44)

pn

9.2

Transformations canoniques

De mˆeme que les propri´et´es g´eom´etriques d’un espace euclidien sont intrins`eques et ne d´ependent pas de la base dans lequel le produit scalaire a ´et´e d´efini, la structure symplectique ne d´epend pas du choix des variables canoniques utilis´ees. Dans le premier cas, on introduit donc des transformations qui respectent cette structure, dites transformations orthogonales, ou isom´etries. Nous allons de mˆeme introduire des transformations respectant la structure symplectique, dites transformations canoniques, qui seront caract´eris´ees par la propri´et´e de conserver les crochets de Poisson15 . L’int´erˆet ´evident de ces transformations est qu’elle permettent de r´ealiser des changements de coordonn´ees, beaucoup plus g´en´eraux que les (( transformations ponctuelles )) utilis´ees dans le point de vue de Lagrange. Soit donc une transformation de l’espace des phases x 7→ X(x, t), suppos´ee bijective, que nous pourrons encore ´ecrire ({qi }, {pj }) 7→ ({Qi (q, p, t)}, {Pj (q, p, t)}) si nous voulons distinguer de fa¸con typographique les impulsions des positions. Pour que cette transformation soit une transformation canonique, elle doit v´erifier, `a chaque instant t : {Xi , Xj } = {xi , xj } = Si,j

pour tous i, j ∈ {1, 2, · · · 2d}.

` l’aide de la d´efinition (43) du crochet de Poisson, nous en d´eduisons : A {Xi , Xj } = Si,j =

X ∂Xi ∂Xj k,l

∂xk ∂xl

Skl

,

ce qui peut ˆetre mis sous la forme matricielle : J.S.tJ = S .

(45)

o` u J est la matrice jacobienne de la transformation, d´efinie par : Jij =

∂Xi . ∂xj

Lorsque cette condition sera r´ealis´ee, on aura alors pour toutes fonctions f et g de l’espace des phases :  Ã ! X ∂f ∂g X X ∂f X ∂g X ∂f ∂g   {xk , xl } = {f, g}q,p = {x , x } = J J k l ik jl ∂xk ∂xl ∂Xi ∂Xj ∂Xi ∂Xj {Xi , Xj } , k,l

k,l

i

j

i,j

qui est bien l’expression du crochet de Poisson dans les nouvelles coordonn´ees. 15

De nombreux ouvrages les d´efinissent en disant qu’elles respectent la (( structure des ´equations de Hamilton )), ce qui est assez vague et n´ecessite d’introduire un hamiltonien, puis disent que cette propri´et´e doit ˆetre ind´ependante du hamiltonien, ce qui est peu coh´erent...

32

9 STRUCTURE SYMPLECTIQUE ET TRANSFORMATIONS CANONIQUES

Exemples Ainsi quelques exemples ´el´ementaires de transformations canoniques seront : 1. Des changements d’´echelle (ou d’unit´e !) {qi , pj } 7→ {Qi , Pj } = {λqi , pj /λ} ; 2. toutes les transformations ponctuelles, pour les quelles la matrice J prend la forme : Ã

0 tA−1

A 0

J=

!

∂Qi . ∂qj

avec Aij =

(46)

3. Des ´echanges entre positions et impulsions {qi , pj } 7→ {Qi , Pj } = {pi , −qj } Les cas 1 et 2 ne tirent pas r´eellement parti de la puissance du formalisme, puisqu’elles ne m´elangent pas les impulsions et les positions, et auraient pu ˆetre faites dans le cadre lagrangien.Notons que pour les cas 1 et 3, le changement d’´echelle ou l’´echange peut, bien sˆ ur, ne concerner que certaines paires de variables conjugu´ees. Propri´ et´ es des transformations symplectiques La matrice S d´efinie `a l’´equation (44) poss`ede les propri´et´es suivantes : S2 = −II

d’o` u

t

S = −S = S−1

et

det S = 1 .

Il en d´ecoule de nombreuses propri´et´es des transformations symplectiques que nous allons rapidement analyser. En premier lieu, on peut constater que l’´equation(45) entraˆıne les relations : det J = 1

et

J−1 = −StJS .

Si on d´ecompose la matrice J en blocs, et que l’on explicite J−1 : Ã

J=

A B C D

!

Ã

,

−1

il vient : J

tD

−tB −tC tA

=

!

,

(47)

qui a donc exactement la structure que l’on aurait si les blocs A, B, C, et D ´etaient de simples nombres ! L’´equation (45) ´equivaut encore avec les ´egalit´es : A.tB = B.tA ,

C.tD = D.tC ,

et

D.tA − CtB = II .

(48)

Transformations canoniques infinit´ esimales Des exemples non triviaux et tr`es importants sont fournis par des transformations canoniques infinit´esimales que l’on construit sous la forme : x 7→ X = (II + ² {·, G})x = x + ² {x, G} , o` u G est une fonction de x (c’est `a dire de {qi } et {pj }), appel´ee (( g´en´erateur )) de la transformation consid´er´ee, et le point repr´esente la variable auquel l’op´erateur est appliqu´e. Son caract`ere canonique d´ecoule de : h

i

{Xi , Xj } = {xi , xj } + ² {xi , {xj , G}} + {{xi , G} , xj } + O(²2 ) = {xi , xj } + O(²2 ) , car le terme entre crochets, d’apr`es l’identit´e de Jacobi, vaut {G, {xi , xj }} est identiquement nul puisque {xi , xj } est une constante. Une autre d´emonstration, utilisant les propri´et´es analys´ees au paragraphe pr´ec´edent, consiste `a ´evaluer la jacobienne G de la transformation : ∂Xi ∂ Gij = = δij + ² ∂xj ∂xj

Ã

X ∂xi ∂G kl

∂xk ∂xl

!

Skl

= δij + ²

X k

Sil

∂2G ⇒ S = II + ²G(2) S , ∂xl ∂xj

9.3 Fonctions g´en´eratrices

33

o` u G(2) est la matrice diff´erentielle seconde de G. On v´erifie alors : G.S.tG = (II + ²G(2) S).S.((II + ²tStG(2) )) = S + ²(G(2) .S2 + S.tS.tG(2) ) + O(²2 ) qui donne bien S au terme en O(²2 ) pr`es car StS = −S2 = II et G(2) est sym´etrique. Le point important est que G est absolument quelconque, et que l’on engendre ainsi une infinit´e de transformations canoniques infinit´esimales ind´ependantes. Un cas tr`es sp´ecial, mais particuli`erement int´eressant, est celui o` u G co¨ıncide avec une quantit´e r´esultant, via le th´eor`eme de Nœther, des grandes sym´etries de l’espace. Ainsi, des choix possibles seront : – la transformation (q(t), p(t)) 7→ (q(t+dt), p(t+dt)) obtenue avec G = H, et ² = dt, ce qui montre que l’´evolution temporelle est une transformation canonique ; – les transformations (r, p) 7→ (r + ², p), et (r, p) 7→ (r + ² × r, p² × p) qui sont de simples translations ou rotations de l’espace des positions, engendr´ees respectivement par G = p et G = L; P – les changements d’´echelle (q, p) 7→ ((1 + ²)q, (1 − ²)p), obtenu avec G = i pi qi ; G´ en´ eralisation Toutes ces transformations infinit´esimales peuvent ˆetre formellement ´etendues `a des transformations finies en utilisant l’exponentiation des op´erateurs. Ainsi par exemple, une translation finie est-elle r´ealis´ee par l’op´erateur fond´e sur l’impulsion p. Pour une fonction f quelconque de l’espace des phase, on a {f, p} = ∂f /∂x, et on peut donc ´ecrire : exp(a {·, p}) f =

X an µ ∂ ¶n n

n!

∂x

f=

X an ∂ n f n

n! ∂xn

= f (x + a)

o` u l’on a reconnu un d´eveloppement de Taylor de f (x + a). Un autre exemple capital est celui de l’´evolution temporelle entre l’instant initial t0 = 0 et l’instant final t1 = t avec le hamiltonien H ind´ependant du temps. Elle peut ˆetre d´ecrite `a l’aide de l’op´erateur : ³

´

T = exp t {·, H} = II + t {·, H} +

t2 t3 {{·, H} , H} + {{{·, H} , H} , H} + · · · . 2! 3!

C’est ´evidement un peu abstrait, mais on en verra une illustration simple en TD.

9.3

Fonctions g´ en´ eratrices

Une m´ethode plus imm´ediatement op´eratoire, pour construire les transformations canoniques, repose sur l’ind´etermination du hamiltonien que nous avons soulign´ee plus haut (cf. § 8.5). De fa¸con naturelle, la conservation des crochets de Poisson en g´en´eral doit en particulier conserver les ´equations de Hamilton, qui n’en sont qu’un cas particulier, mais pas n´ecessairement le hamiltonien. La seule fonction dont le choix est impos´ee par la physique est l’action et son caract`ere stationnaire, ce qui introduit la libert´e d’ajouter la d´eriv´ee totale dG/dt d’une quelconque fonction de l’espace des phases. Si l’on consid`ere deux jeux de composantes ´equivalents, (q, p) et (Q, P ), ceux-ci doivent donc v´erifier : Z Z δ p dq − H(q, p, t) dt = δ P dQ − H0 (Q, P, t) dt , l’int´egrale ´etant prise sur un mˆeme chemin de l’espace des phases, mais param´etris´e de deux fa¸cons diff´erentes, et les deux hamiltoniens d´ecrivant le mˆeme mouvement. Pour que les deux variations soient nulles simultan´ement, il faut et il suffit que les termes sous le signe somme diff`erent par la d´eriv´ee totale par rapport au temps d’une fonction G. Sa diff´erentielle s’´ecrit : dG = p dq − P dQ − (H(q, p, t) − H0 (Q, P, t)) dt ,

(49)

34

9 STRUCTURE SYMPLECTIQUE ET TRANSFORMATIONS CANONIQUES

ce qui conduit `a la consid´erer comme une fonction des variables q, Q et t. On aura donc : ∂G (q, Q, t) = pi , ∂qi ∂G (q, Q, t) = − Pi , ∂Qi ∂G (q, Q, t) = − (H(q, p, t) − H0 (Q, P, t)) . ∂t

(50) (51) (52)

La v´erification du caract`ere canonique, au sens d´efini plus haut, de telles transformations, est un exercice math´ematique laborieux mais sans difficult´e, car il suffit de le v´erifier pour le crochet fondamental {Qi , Pj } = δij . Ces ´equations (50) et (51) ne valent bien sˆ ur que si elles contiennent une caract´erisation compl`ete de la transformation, c’est `a dire que la donn´ee de q et Q d´efinit bien un point et un seul dans l’espace des phases, ou, de fa¸con ´equivalente, si (50) peut ˆetre invers´ee pour d´eterminer Q en fonction des q et p. Dans le cas contraire, l’une des transform´ees de Legendre G2 (q, p0 , t) = G(q, q 0 , t) + p0 q 0 , G3 (p, q 0 , t) = G(q, q 0 , t) − pq ou G4 (p, p0 , t) = G(q, q 0 , t) + p0 q 0 − pq permettra d’y parvenir avec des ´equations extrˆemement similaires. On notera que chaque fois que la fonction g´en´eratrice d´epend du temps, le nouveau hamiltonien H0 ne s’obtient pas simplement en changeant de variables avec (( invariance ponctuelle )) (i.e. H0 (Q, P, t) = H(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t)), mais en lui ajoutant en outre un terme provenant de la variation temporelle de la fonction G : H0 (Q, P, t) = H(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t) +

∂G (q(Q, P, t), Q, t) ∂t

Les exemples, ´el´ementaires mais fondamentaux, de fonctions g´en´eratrices sont les suivants : ∂G2 0 ∂F 2 – La fonction G2 (q, p0 , t) = p0 F (q, t), pour laquelle on a q 0 = ∂G ∂p0i = F (q, t) et p = ∂qi = p ∂qi , et qui redonne une fois de plus les transformations ponctuelles, ´eventuellement d´ependantes du temps (voir en TD l’application au r´ef´erentiel tournant) ; – La fonction G3 (p, q 0 , t) = q 0 F (p, t) qui en est le pendant exact en ´echangeant p et q ; – La fonction G(q, q 0 , t) = qq 0 qui ´echange le rˆ ole de p et q (attention au changement de signe !) ; Identit´ e des deux points de vue Il importe de souligner qu’aucune hypoth`ese n’a ´et´e faite sur les propri´et´es des hamiltoniens H et H0 hormis le fait que les ´equations de Hamilton qui en d´ecoulent soient ´equivalentes. Cela signifie que la relation d’´evolution (39) sera en fait v´erifi´ee pour toute fonction f (Q, P ) et pour tout hamiltonien H0 (Q, P ), donc en fait que tous les crochets de Poisson seront conserv´ees. Il en r´esulte notamment que la d´emonstration explicite, par le calcul de ce que les ´equations (50), est tout `a fait superflue. Par contre, il n’est pas inutile de faire le lien entre le point de vue g´eom´etrique d´evelopp´e au § 9.2 ci-dessus, et la m´ethode de construction que nous venons d’exposer. Nous allons dans ce but montrer que la condition (45) est ´equivalente `a la relation de fermeture de la forme diff´erentielle dG de (49). Il nous faut pour cela comparer les d´eriv´ees crois´ees de G, `a savoir ∂pi /∂Qj et −∂Pj /∂qi . Pour obtenir celles-ci, nous devons partir des diff´erentielles des nouvelles variables par rapport aux anciennes, qui s’´ecrivent : dQi = dPi

=

P i,j

Aij dqj + Bij dpj ,

(53)

i,j

Cij dqj + Dij dpj ,

(54)

P

o` u nous avons introduit les quatre matrices blocs composant la matrice J, comme dans l’´equation (47). Nous supposons, comme pr´ec´edemment, que nous sommes dans le cas o` u la donn´ee des {Qi } et des

9.4 Transformation canonique engendr´ee par l’action

35

{qi } d´etermine enti`erement les {pi }, ce qui ´equivaut `a supposer que la matrice B est inversible. En imposant dqi = 0 dans (53), et en reportant l’expression de dpi ainsi obtenue dans (54), on obtient successivement : ! Ã µ ¶ X ∂pl ∂Pi −1 = Blk et = Cij − Dil B−1 lk Akj . ∂Qk q ∂qj Q l,k Or le second membre de la seconde ´equation peut s’´ecrire comme le produit de matrices : C − D.B−1 .A = (C − D.B−1 .A).tB.tB−1 = (C.tB − D.B−1 .A.tB).tB−1 . Alors les relations (48) entre les quatre blocs permettent de r´e´ecrire le terme entre parenth`eses : (C.tB − D.B−1 .(A.tB)) = (C.tB − D.B−1 .(B.tA)) = (C.tB − D.tA) = −II ce qui se traduit par la relation : Ã

∂Pi ∂qj

!

³

t −1

=− B Q

Ã

´ ij

et donc

∂Pi ∂qj

!

³

−1

=− B Q

µ

´ ji

∂pj =− ∂Qi

¶

, Q

qui est bien la relation de Schwartz pour la forme diff´erentielle dG.

9.4

Transformation canonique engendr´ ee par l’action

Au paragraphe 7 nous avions ´etabli l’expression de la diff´erentielle de la fonction action S (q0 , t0 ; q1 , t1 ) : dS = p1 dq1 − p0 dq0 − H(q1 , p1 , t1 )dt1 + H(q0 , p0 , t0 )dt0

(55)

sans pouvoir montrer qu’il s’agissait d’une diff´erentielle totale. Or nous pouvons maintenant constater que les relations : ∂H1 ∂(p0 )i ∂H0 ∂(p1 )i =− et =− ∂t1 ∂(q1 )i ∂t0 ∂(q0 )i ne font qu’exprimer la seconde ´equation de Hamilton aux instants initiaux et finaux, tandis que les autres relations entre d´eriv´ees crois´ees r´esultent simplement de l’ind´ependance des variables canoniques. Cette fonction action, aussi d´esign´ee comme (( fonction principale de Hamilton )), nous fournit un exemple subtil et tr`es important de transformation canonique. Consid´erons en effet la fonction g´en´eratrice : G(q, Q, t) = S (Q, t0 ; q, t) construite `a l’aide de la fonction action S , les coordonn´ees q1 `a l’instant t sont les (( anciennes )) variables q, et les coordonn´ees Q = q(t0 ) `a l’instant initial t0 sont les (( nouvelles )) variables. On a alors pi = +

∂S = (p1 )i ∂(q1 )i

et Pi = −

∂S = (p0 )i ∂(q0 )i

qui r´ealisent effectivement la transformation attendue sur les impulsions. Le r´esultat important est l’expression du nouveau hamiltonien : H0 (Q, P, t) = H(q1 , p1 , t) + d’apr`es l’´equation (55).

∂S (q1 , p1, t1 ) = 0 , ∂t1

36

9.5

10 FORMALISME DE HAMILTON-JACOBI

Th´ eor` emes de Liouville et de Poincar´ e

Le th´eor`eme de Liouville affirme que, pour un syst`eme autonome, le flot hamiltonien conserve le volume dans l’espace des phases 16 . Cela r´esulte directement de ce que – ainsi que nous venons de l’´etablir – l’´evolution temporelle est un cas particulier de transformation canonique. En effet, l’´egalit´e (??) implique que le jacobien J = |det(J)| d’une transformation canonique, qui exprime le rapport entre les ´el´ements de volume, est n´ecessairement ´egal `a 1. Ce th´eor`eme de conservation est d’une grande importance en physique statistique. Il permet en particulier de montrer que si l’on d´efinit une densit´e de probabilit´e (ou plus simplement une densit´e de particules) dans l’espace des phases ρ(q, p, t), celle-ci est (( emport´ee )) part le flot hamiltonien, et sa d´eriv´ee totale par rapport au temps est donc nulle. Elle ´evolue donc selon la loi dρ/dt = ∂ρ + {ρ, H} = 0. Ceci conduit `a l’´equation dite (( de Boltzmann )) :

∂t

∂ρ ∂ρ ∂ρ + · r˙ + · p˙ = C(ρ) , ∂t ∂r ∂p o` u les deuxi`eme et troisi`eme termes d´ecrivent l’´evolution (( ` a une particule )) sous l’effet de H, tandis que le second membre C(ρ) d´ecrit les interactions entre les particules, non prises en compte dans H, et est appel´e (( terme de collisions )). Le th´eor`eme du retour (ou (( de r´ecurrence ))) de Poincar´e assure que, pour un syst`eme autonome born´e (en position et en impulsion), tout voisinage, aussi petit soit-il, d’un point d’une trajectoire sera n´ecessairement visit´e `a nouveau par la trajectoire. Il r´esulte `a peu pr`es directement de la conservation du volume. Soit en effet l’application g d´ecrivant l’´evolution hamiltonienne durant un temps fini δt, et U0 un voisinage du point x0 ; on introduit alors la suite infinie de domaines Un ≡ g n (U0 ), qui ne peuvent pas ˆetre tous disjoints puisque ils ont tous le mˆeme volume, et que le volume accessible dans l’espace des phases est fini. Il y a donc deux entiers n > m ≥ 0 tels que Un ∩ Um = g n (U0 ) ∩ g m (U0 ) 6= Ø , et on en d´eduit que g n−m (U0 ) ∩ U0 6= Ø : au bout d’un certain temps, certains points du voisinage U0 y reviennent.

10

Formalisme de Hamilton-Jacobi

Nous donnons ici un bref aper¸cu du formalisme de Hamilton-Jacobi, qui peut ˆetre vu `a la fois comme une nouvelle pr´esentation de la m´ecanique analytique, ou comme une m´ethode de r´esolution des ´equations de Hamilton, fond´ee sur l’exploitation syst´ematique des transformations canoniques.

10.1

´ Equation de Hamilton-Jacobi

Nous revenons `a la fonction action S (q, t) en tant que fonction de la position (finale) et du temps, formellement construite par int´egration sur les trajectoires r´eelles. En consid´erant comme fix´es l’instant et les coordonn´ees initiales, l’´equation (55) s’´ecrit plus simplement : dS =

X

pi dqi − H(q, p, t) dt ,

(56)

i

Il est possible transformer cette expression diff´erentielle en une ´equation aux d´eriv´ees partielles, qui prend la forme de l’´equation dite (( de Hamilton-Jacobi )) : ³ ∂S + H q, ∂S ∂q , t) = 0 . ∂t 16

(57)

Ce r´esultat est souvent d´emontr´e ` a grand renfort de calculs plus ou moins rigoureux sur les jacobiens de transformations partielles qui ne sont pas toujours d´efinies (on trouvera cependant un justification math´ematique de cette approche dans l’ouvrage d’Arnold).

10.2 S´eparation des variables

37

Est-il bien raisonnable, en vue de r´esoudre un probl`eme, de remplacer des ´equations diff´erentielles (de Hamilton) par une ´equation aux d´eriv´ees partielles (mˆeme du premier ordre) ? Si la r´eponse est en g´en´eral n´egative, il se trouve que c’est int´eressant ici, comme nous allons l’expliquer dans ce qui suit. Le principal int´erˆet de cette approche est qu’elle permet d’obtenir d’un coup toutes les trajectoires. En outre, dans certaines circonstances, le surcoˆ ut est modique, car cette ´equation aux d´eriv´ees partielles peut ˆetre r´esolue par quadratures. Notion de solution compl` ete Ce dont nous avons besoin pour r´esoudre le probl`eme de m´ecanique n’est pas la solution g´en´erale de l’EDP, mais ce que l’on appelle une solution compl`ete. Il s’agit d’une solution particuli`ere qui prend la forme : S = F (q1 , · · · qd ; α1 , · · · αd ; t) o` u les αn sont d constantes d’int´egration. Une telle solution est alors formellement une fonction g´en´eratrice G2 (q, p0 , t), si l’on veut bien identifier les constantes αn aux nouvelles impulsions, et on peut alors ´ecrire : pi = qi0 =

∂F (qi , ai , t) , ∂qi ∂F (qi , ai , t) . ∂αi

(58) (59)

dont la premi`ere permet d’´etablir l’expression des constantes αn en fonction des pi et qi ` a l’instant initial. La seconde fait apparaˆıtre les nouvelles coordonn´ees qi0 , qui sont aussi des constantes, puisque la transformation canonique consid´er´ee annule le hamiltonien. Ce sont donc d constantes d’int´egration suppl´ementaires, que l’on peut alors exprimer aussi en fonction des qi et pi , et qui manquaient pour finir de sp´ecifier une solution particuli`ere des ´equations du mouvement.

10.2

S´ eparation des variables

Un moyen tr`es efficace, bien que pas totalement g´en´eral, pour obtenir une solution compl`ete consiste `a utiliser la m´ethode de s´eparation des variables, lorsqu’elle est possible. 10.2.1

´ Equation de H-J stationnaire

Consid´erons dans un premier temps que le hamiltonien H est ind´ependant du temps. On peut alors chercher l’action S sous la forme : S (q, t) = S0 (t) + S ∗ (q1 , · · · qd ) , ce qui conduit `a mettre l’´equation de Hamilton-Jacobi sous la forme : ∂S0 = − E = cste , ∂t ´ ³ ∗ ∂S ∗ = E = cste . H q1 , · · · qd , ∂S ∂q1 , · · · ∂qd

(60) (61)

qui ram`ene le probl`eme `a une EDP ind´ependante du temps pour l’(( action r´eduite )) S ∗ , et `a une int´egration triviale donnant : S0 (t) = −E(t − t0 ).

38

10 FORMALISME DE HAMILTON-JACOBI

10.2.2

Cas g´ en´ eral

De fa¸con plus g´en´erale, il arrive que l’´equation (57) ou (61) puisse ˆetre mise sous la forme : ³

∂S ∂S f (q1 , ∂S ∂q1 ) = g q2 , · · · qd , ∂q2 , · · · ∂qd

´

,

o` u q1 apparaˆıt dans le membre de gauche et pas dans celui de droite. Cela introduit naturellement une constante α1 dite (( constante de s´eparation )) telle que : f (q1 , ∂S ∂q1 ) =

³

∂S g q2 , · · · qd , ∂S ∂q2 , · · · ∂qd

α1 ,

(62)

= − α1 ,

(63)

´

dont la solution peut ˆetre cherch´ee sous la forme S = S1 (q1 ) + S2 (q2 , · · · qd ), o` u les deux fonctions S1 et S2 sont respectivement solution des ´equations plus simples () et (). Cette proc´edure s’applique de fa¸con triviale aux variables cycliques ´eventuelles, disons q1 , puisque qu’on peut alors ´ecrire : ∂S = α1 = cste ∂q1 10.2.3

et Sf= α1 (q1 − q1(0) ) + Sf2 (q2 , . . . qd ) .

Application au potentiel central

A titre d’exemple, nous allons montrer que le probl`eme du mouvement d’une particule dans un champ central est, en coordonn´ees sph´eriques, totalement s´eparable. Le hamiltonien s’´ecrit : Ã

1 p2 H= r + 2m 2mr2

p2θ

p2ϕ + sin2 θ

!

+ V (r) .

La variable ϕ ´etant une variable cyclique, on clairement Sϕ = M = Cst, et l’´equation (61) se r´eduit `a 1 2m

µ

∂S ∂r

¶2

1 + 2mr2

õ

∂S ∂θ

¶2

M2 + sin2 θ

!

+ V (r) = E .

(64)

Dans cette derni`ere ´equation, le terme de la seconde parenth`ese est le seul o` u figure la variable θ. Celle-ci peut donc ˆetre s´epar´ee `a son tour en posant : õ

∂S ∂θ

¶2

M2 + sin2 θ

!

= L2 ,

ce qui ram`ene l’EDP (64) aux deux ´equations diff´erentielles ordinaires : q

Sθ0 = ± L2 − M 2 / sin2 θ

(65)

Sθ0 = ± 2m(E − V (r)) − L2 /r2 .

(66)

q

On v´erifie ais´ement que les constantes de s´eparation sont ici la projection M = L · uz du moment cin´etique L sur l’axe Oz des coordonn´ees sph´eriques, et le module carr´e L2 = L2 du moment cin´etique. La solution compl`ete de l’´equation de Hamilton-Jacobi est alors S (r, θ, ϕ; E, L, M ) = Sr (r; E, L, M )+ Sθ (θ; L, M ) + Sϕ (ϕ; M ), o` u les deux derniers termes s’expriment : Sϕ = M ϕ

·

Sθ = ±L sin Θ arcsin

µ

tgΘ tgθ

¶

µ

− arcsin

cos θ cos Θ

¶¸

(67) (68)

d (avec Θ = π/2 − (L, uz ) = arcsin(|M |/L)), tandis que l’action radiale Sr d´epend du potentiel V (r) consid´er´e.

10.3 Lien avec la m´ecanique quantique

10.3

39

Lien avec la m´ ecanique quantique

Nous avons relev´e la parent´e formelle qui existe entre les crochets de Poisson et les commutateurs des observables de la m´ecanique quantique. Il est important dans ce paragraphe d’´etablir un nouveau lien entre la m´ecanique quantique et la m´ecanique classique lagrangienne et hamiltonienne. Consid´erons donc une particule quantique de masse m, et ´evoluant dans un potentiel V (r, t). Son hamiltonien quantique s’´ecrit : P2 H= + V (R, t) 2m et l’´evolution dans la repr´esentation de position : i¯h

h2 ¯ ∂ψ (r, t) = − ∆ψ(r, t) + V (r, t) . ∂t 2m

Nous cherchons une solution sous la forme g´en´erale : ψ(r, t) = A(r, t) exp (iΦ(r, t)) , o` u A est l’amplitude, et Φ la phase de la fonction d’onde, dont nous supposons qu’elle ont des ´echelles de variation tr`es diff´erentes. En reportant dans l’´equation de Schr¨ odinger et en isolant la partie r´eelle, on obtient l’´equation : µ ¶ ¯h2 ∂Φ 2 ∂Φ ∆A + , ¯h + V (r, t) = ∂t 2m ∂r A dont le second membre est, par hypoth`ese, n´egligeable devant les termes du premier. On constate alors qu’en le rempla¸cant par 0, et posant Φ = S /¯ h (ce qui mat´erialise que Φ est tr`es grand `a l’´echelle macroscopique), on retrouve exactement l’´equation de Hamilton-Jacobi. Celle ci est donc la forme asymptotique de l’´equation de Schr¨odinger `a la la limite des courtes longueurs d’onde (de de Broglie), comme l’´equation eikonale ((grad S(r))2 = n2 (r)) est la limite de l’´equation de d’Alembert pour les courtes longueurs d’onde. Dans ce contexte, on comprend le rˆole jou´e en m´ecanique par l’action et en optique par le chemin optique, et le principe de Hamilton et de Fermat apparaissent simplement comme un principe de phase stationnaire, c’est `a dire d’interf´erence constructive, qui tend `a localiser l’onde au voisinage de la trajectoire (( classique )).

10.4 10.4.1

Variables action-angle Transformations engendr´ ee par l’action r´ eduite

Nous avons ci-dessus consid´er´e la transformation canonique engendr´ee par l’action, conduisant `a des variables canoniques ind´ependantes du temps. Pour les probl`emes dont le hamiltonien est ind´ependant du temps, et pour lesquels la surface iso-´energie consid´er´ee est born´ee, il est plus avantageux de consid´erer la transformation canonique engendr´ee par l’action r´eduite S ∗ , ou (( fonction caract´eristique de Hamilton )), en supposant dans un premier temps que le probl`eme est enti`erement s´eparable. En ´ecrivant la solution compl`ete S ∗ (q1 , · · · qd ; α1 , · · · αd ) comme une fonction g´en´eratrice G2 , o` u les αi , qui sont des constantes issues de la s´eparation, sont les nouvelles impulsions Pi , on ´ecrit alors : pi =

∂S ∗ qi

et Qi = −

∂S ∗ , αi

et le nouveau hamiltonien est maintenant une fonction des seules impulsions αi . Il en r´esulte que les positions Qi sont cycliques, et v´erifient : ∂H Q˙ i = = Cste ∂αi

d’o` u Qi =

∂H (t − t0 ) . ∂αi

40

10 FORMALISME DE HAMILTON-JACOBI

Comme le mouvement est born´e, l’´evolution lin´eaire en temps des variables Qi implique que cellesci soient des (( angles )), c’est `a dire des fonctions multivalu´ees des variables canoniques qi et pi , ou en d’autres termes, les qi et pi sont des fonctions p´eriodiques des Qi . Il en r´esulte que le mouvement s’effectue sur un tore `a d dimensions dans l’espace des phases `a 2d dimensions, param´etr´e par les angles Qi . Comme ceux-ci ´evoluent lin´eairement en temps, ce mouvement est dit (( multi-p´eriodique )), ou (( quasi-p´eriodique )), car s’il n’est pas en g´en´eral p´eriodique, chacune des variables de position poss`ede un comportement p´eriodique. De fa¸con plus g´en´erale, on doit `a Liouville un th´eor`eme ´enon¸cant que pour tout probl`eme ind´ependant du temps et born´e, mˆeme non s´eparable, dans lequel on peut identifier d constantes du mouvement ind´ependantes αi (plus pr´ecis´ement (( en involution )), c’est `a dire de crochets de Poisson {αi , αj } tous nuls), le mouvement est un mouvement multi-p´eriodique sur un d-tore. Celui-ci est appel´e (( tore invariant )) car il constitue un ensemble stable vis-` a-vis du flot hamiltonien. 10.4.2

Variables d’action

Il est ´evident que le jeu de constantes {αi } n’est pas unique, et que l’on obtient donc un jeu diff´erent de variables canoniques pour chaque choix des αi s´electionn´e. Nous allons mettre cette ind´etermination `a profit pour choisir une param´etrisation aussi efficace que possible du mouvement. Pour cela, on d´efinit les d (( variables d’action )) du probl`eme comme les int´egrales : Ji =

1 2π

I X γi

I

pj dqj =

j

γi

grad S ∗ · dq ,

prises sur les d lacets irr´eductibles du tore γi pour i = 1 · · · d, c’est `a dire sur les chemins obtenus en faisant ´evoluer un angle sur une p´eriode, les autres ´etant maintenus constants. En d’autres termes, ils correspondent `a un tour dans chacune des d dimensions du tore invariant. Dans le cas totalement s´eparable, les lacets irr´eductibles sont construits explicitement comme les courbes ferm´ees parcourue par le point (qi , pi ) dans la plan de phase correspondant. On a alors plus simplement : I 1 Ji = (69) pi dqi , 2π qui n’est est autre que l’accroissement de l’action r´eduite Si sur une p´eriode, et du point de vue g´eom´etrique, repr´esente l’aire de la courbe ferm´ee correspondante (au facteur 1/2π pr`es). ` titre d’exemple, dans le cas du potentiel central, un premier lacet irr´eductible est obtenu en A faisant varier ϕ de 0 `a 2π, et on a donc une premi`ere variable d’action Jϕ =

1 2π

I

M dϕ = M.

Le lacet irr´eductible associ´e `a θ correspond `a θ variant de Θ `a π − Θ puis inversement o` u Θ = arcsin(|M |/L) est la valeur minimale de θ. L’´evaluation de la variable d’action correspondante est moins imm´ediate, mais peut ˆetre obtenue de diff´erentes fa¸cons, dont l’´evaluation de la variation de l’action polaire donn´ee par l’´equation (68), ce qui conduit `a : 1 Jθ = 2π 10.4.3

I q

L2 − M 2 / sin2 θ dθ = L − |M | .

Variables d’angle

Le choix des variables d’action, telles que nous venons de les d´efinir, comme nouvelles impulsions, conduit `a des variables canoniquement conjugu´ees appel´ees (( variables d’angle )), d´efinies par : wi = −

∂S ∗ . ∂Ji

10.5 Applications des variables action-angle

41

Celles-ci ont toutes les propri´et´es g´en´erales obtenues au § 10.4.1, mais ont aussi une autre propri´et´e remarquable. En effet, on peut encore ´ecrire l’´equation (69) : 1 Ji = 2π

I

1 pi dqi = 2π

I

Ji Ji dwi = 2π

I

I

dwi

d’o` u

dwi = 2π.

Ceci montre que les variables d’angle sont exactement les angles de la param´etrisation naturelle du tore, puisque ils sont sans dimension (la variable conjugu´ee est une action), et que chaque lacet irr´eductible correspond exactement `a une variation de 2π de l’angle correspondant. Par voie de cons´equence, la position et l’impulsion du syst`eme sont des fonction 2π p´eriodiques des variables d’angle, et les vitesses w˙ i = ∂H/∂Ji = Ωi sont exactement les vitesses angulaires correspondantes, c’est `a dire que les p´eriodes temporelles du mouvement sont donn´ees par l’´egalit´e usuelle Ti = 2π/Ωi .

10.5

Applications des variables action-angle

Nous ´evoquons ci-dessous quelques application notables du formalisme des variables action-angle, sans aucune pr´etention d’exhaustivit´e. En particulier, il y manque de fa¸con ´evidente une discussion sur les syst`emes int´egrables ou non int´egrales, les questions de stabilit´e, et la description de l’apparition du chaos dans un syst`eme hamiltonien. 10.5.1

Variables d’action et m´ ecanique quantique

La m´ecanique quantique fait jouer un rˆole tr`es important aux ´etats stationnaires, qui sont en g´en´eral caract´eris´es par leur ´energie et par des (( nombres quantiques )), qui mesurent certaines constantes du mouvement en unit´es de ¯h. Parall`element, la m´ecanique classique met elle aussi en ´evidence une structure stationnaire, d’´energie bien d´efinie, `a savoir le tore invariant, qui est lui-mˆeme caract´eris´e par les constantes du mouvement que sont les variables d’action. ´ Elabor´ ee par Bohr et ses ´emules dans les ann´ees 1913-1925, la (( premi`ere th´eorie des quanta )), fut le pr´ecurseur de la m´ecanique quantique moderne. L’hypoth`ese essentielle en est la r`egle de quantification de Bohr-Wilson-Sommerfeld, qui d´efinit des ´etats stationnaires en imposant aux variables d’action de prendre des valeurs qui soient des multiples entiers (ou demi-entiers) de la constante ¯ h. Cette proc´edure ad-hoc correspond visiblement `a s´electionner dans l’espace des phase certains des tores invariants. La seconde hypoth`ese consistait `a s’interdire de manipuler les variables d’angle, qui n’´etaient pas consid´er´ees comme des observables. La relation que nous avons mise en ´evidence au § 10.3 entre l’action et la phase de la fonction d’onde, ou de fa¸con ´equivalente entre l’action r´eduite et la phase d’un ´etat stationnaire montre bien que cette approche constitue une fa¸con de mettre en oeuvre le principe de correspondance : lorsque l’action est suffisamment grande, les ´etats quantiques stationnaires sont caract´eris´es par le flot hamiltonien sur le tore invariant, avec des valeurs bien d´efinies pour les variables d’action, et une ind´etermination compl`ete des variables d’angle, conform´ement au principe d’incertitude de Heisenberg. 10.5.2

´ Evolution des variables d’action

La d´ecomposition d’un probl`eme de m´ecanique, grˆ ace `a l’approche de Hamilton-Jacobi, en ses variables action-angle, fournit un nouvel outil extrˆemement puissant pour pr´edire l’´evolution du syst`eme si le hamiltonien d’´ecarte un peu de sa valeur initiale. Deux cas particuliers peuvent ˆetre envisag´es, qui ont en commun le fait que les variables d’action qui ´etaient constantes sont alors susceptibles de subir une ´evolution lente, dite (( ´evolution s´eculaire ))17 . Les d´eveloppements qui suivent sont essentiellement 17

En raison de l’application de ces technique aux ´evolutions ` a long terme des param`etres des orbites plan´etaires.

42

10 FORMALISME DE HAMILTON-JACOBI

descriptifs, et on se reportera aux ouvrages de la bibliographie pour une justification plus rigoureuse et plus syst´ematique. Perturbation des syst` emes d´ eg´ en´ er´ es Le premier cas est celui d’une perturbation se traduisant par l’addition d’une petite correction additive h(w, J) sur le hamiltonien. On montre peut alors ´ecrire l’´equation de Hamilton pour J sous la forme : d Ji = {Ji , H + h} = {Ji , h} dt En supposant que h est assez petit pour ne pas affecter notablement l’´evolution des wi , et ne modifier que tr`es faiblement les Ji `a l’´echelle d’une p´eriode de wi , on peut moyenner l’´equation ci-dessus sur un temps grand devant les p´eriodes du mouvement initial, et obtenir ainsi l’´evolution moyenne des variables d’action : d e e , Ji = {Jei , h} dt o` u e d´esigne la moyenne temporelle. La valeur moyenne de la perturbation h(w, J) est en g´en´eral une e ≡ h( e J) e , et on ne pr´ fonction des seules variables d’actions h evoit alors pas d’´evolution significative de celles ci, car le crochets de Poisson correspondants sont nuls. Toutefois, dans de nombreux cas importants, les sym´etries du probl`emes se traduisent par une (( d´eg´en´erescence )) caract´eris´ee par le fait que plusieurs fr´equences Ωi co¨ıncident, o` u sont dans des rapports simple. L’exemple fondamental est celui du mouvement dans un champ central que nous avons analys´e plus haut : l’´equation radiale (66), et donc l’´energie, ne font intervenir que L = Jθ + Jϕ , et on aura donc toujours Ωθ = Ωϕ . Cette ´egalit´e traduit simplement la conservation du plan de l’orbite, r´esultant de la sym´etrie sph´erique, plus contraignante que la seule conservation de M et de L. Dans un syst`eme pr´esentant ce type de d´eg´en´erescence, il est toujours possible de choisir un syst`eme de variables action-angle tel que l’un des angles, disons w1 , soit lui aussi une constante du mouvement, l’´energie de d´ependant pas de J1 . Dans le cas de l’exemple ci-dessus, on effectue simplement la transformation canonique d´efinie par les ´egalit´es18 : J1 = M = Jϕ

J2 = L = Jθ + Jϕ

J3 = Jr ,

w1 = wϕ − wθ

w2 = wθ

w3 = wr .

(70)

Dans ce cas, la moyenne temporelle de h(w1 , · · · wd ; J1 , · · · Jd ) va aussi d´ependre de la valeur jusquee1 r´ l`a constante de w1 , et aura donc `a consid´erer l’´evolution lente de Je1 et w egie par des ´equations de 0 e e e e1 ; J1 , · · · Jd ). Hamilton de hamiltonien H = h(w Invariance adiabatique des variables d’action La seconde situation est celle o` u le hamiltonien H est susceptible de varier temporellement sous l’effet de la modification ext´erieure d’un param`etre λ. Un exemple simple est l’´evolution d’un syst`eme physique dans un champ magn´etique que l’on fait varier. Si la variation du param`etre est rapide, l’´energie va vraisemblablement d´ependre du temps, et la description en termes de variables action-angle perd donc son int´erˆet Si en revanche la variation de λ est (( adiabatique )), c’est `a dire lente `a l’´echelle des temps caract´e˙ ristiques du mouvement (soit λ/λ ¿ Ωi ), on peut consid´erer que le mouvement est `a chaque instant tr`es proche de celui qu’on aurait avec λ constant, mais que ses caract´eristiques ´evoluent lentement ´ du fait de la variation de λ. Etudions dans quelle mesure on peut continuer `a utiliser les variables action-angle construites pour λ constant. Nous supposons pour ce faire que, pour toute valeur fix´ee de λ, il est possible de d´eterminer l’action r´eduite S ∗ (q, J, λ), et de construire les variables action-angle w(λ) et J(λ). 18

V´erifier qu’elle est du type (46).

´ ERENCES ´ REF

43

Consid´erons alors la transformation canonique d´ependant du temps engendr´ee par la fonction : S † (q, J, t) = S ∗ (q, J, λ(t)) , o` u les nouvelles impulsions sont `a chaque instant les variables d’action que l’on aurait `a λ fix´e. Nous noterons vi = ∂S † /∂Ji les variables correspondantes, qui ne sont pas exactement des variables d’angle, puisque S † ne v´erifie pas l’´equation de Hamilton-Jacobi si λ˙ 6= 0. Comme la transformation utilis´ee d´epend explicitement du temps, le nouveau hamiltonien H † diff`ere de l’ancien et s’´ecrit : H † (v, J, t) = E(J, λ(t)) + Λ(v, J, λ(t)) · λ˙ o` u l’on a pos´e :

¯

´ ∂S ∗ ¯¯ ³ q(v, J, λ), J, λ . Λ(v, J, λ) = ∂λ ¯q,J

Il est important de noter que, si S ∗ est une fonction multivalu´ee de la position, en ce sens qu’elle se voit augment´ee de 2πJk , chaque fois que l’angle wk a vari´e de 2π, la fonction Λ, obtenue par d´erivation, est elle une (( vraie fonction )) 2π-p´eriodique des vk . La premi`ere ´equation de Hamilton montre que les vk ´evoluent `a peu pr`es comme les wk `a λ fix´e, c’est `a dire que ce sont toujours des variable rapides `a l”´echelle de temps consid´er´ee. La seconde ´equation de Hamilton s’´ecrit quant `a elle : ∂Λ ˙ ∂H † =− ·λ , J˙ = − ∂v ∂v et d´ecrit a priori une variation lente des (( variables d’action )), en accord l’image qualitative que que l’on se fait du mouvement. En raison de la variation lente de λ, J va rester constant au moins sur quelques p´eriodes, et on peut donc moyenner l’´equation ci-dessus sur des temps longs devant les p´eriodes du mouvement, mais suffisamment courts pour pouvoir n´egliger la variation de λ et de λ˙ ; on obtient ainsi : ¿

∂Λ J˙ = − ∂v

À

· λ˙

o` u la valeur moyenne dans le membre de droite peut ˆetre ´evalu´ee `a λ (et donc J) constant. Or, la valeur moyenne de la d´eriv´ee ∂Λ/∂v sur un grand nombre de p´eriodes de v est donc nulle, et on obtient en d´efinitive le r´esultat J = cste. Ce r´esultat constitue une propri´et´e tr`es important des variables d’action, qui fut discut´ee `a l’initiative de Ehrenfest au tout d´ebut du XXi`eme si`ecle, mais ne fut r´eellement ´etablie qu’en 1916, dans le contexte de la premi`ere th´eorie des quanta.

R´ ef´ erences ´ [1] L. Landau and E. Lifchitz. Physique Th´eorique – M´ecanique. Editions MIR / Ellipses. [2] V. I. Arnold, A. Weinstein, and K. Vogtmann. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag (1989). [3] Richard P. Feynman. Feynman Lectures On Physics. Addison Wesley Longman (1979). [4] Herbert Goldstein. Classical Mechanics. Addison Wesley. [5] C. Gignoux and B.Silvestre-Brac. M´ecanique : De la Formule Lagrangienne Au Chaos Hamiltonien. EDP Sciences.