Lecture Notes in Physics New Series m: Monographs Editorial Board H.Araki Research Institute for Mathematical Sciences Kyoto University, Kitashirakawa Sakyo-ku, Kyoto 606, Japan J. Ehlers Max-Planck-Institut fUr Physik und Astrophysik, Institut fUr Astrophysik Karl-Schwarzschild-StraBe 1, W-8046 Garching, FRG K. Hepp Institut fur Theoretische Physik, ETH Honggerberg, CH-8093 ZUrich, Switzerland R. L. Jaffe Massachusetts Institute of Technology, Department of Physics Center for Theoretical Physics Cambridge, MA 02139, USA R. Kippenhahn Rautenbreite 2, W-3400 Gottingen, FRG D. Ruelle Institut des Etudes Scientifiques 35, Route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France H. A. Weidenmuller Max-Planck-Institut fUr Kemphysik Postfach 10 39 80, W-6900 Heidelberg, FRG J. Wess Lehrstuhl fUr Theoretische Physik TheresienstraBe 37, W-8000 MUnchen 2, FRG J. Zittartz Institut fUr Theoretische Physik, Universitat KOln Ziilpicher StraBe 77, W-5000 KOln 41, FRG
Managing Editor W. Beiglb6ck Assisted by Mrs. Sabine Landgraf c/o Springer-Verlag, Physics Editorial Department V TiergartenstraBe 17, W-6900 Heidelberg, FRG
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R. K. Zeytounian
Mecanique des fluides fondamentale
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest
Auteur Radyadour K. Zeytounian Universite de Lille I, Laboratoire de Mecanique de Lille F-59655 Villeneuve d' Ascq Cedex, France
ISBN 3-540-54441-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-54441-0 Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg ISBN 2-287-00355-X Springer-Verlag Paris Berlin Heidelberg This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, re-use of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in other ways, and storage in data banks. Duplication of this publicatIon or parts thereof is only permitted under the provisions of the German Copyright Law of September 9, 1965, In its current version, and a copyright fee must always be paid. Violations fall under the prosecution act of the German Copyright Law.
© Springer-Verlag BerlIn Heidelberg 1991 Printed In Germany Typesetting: Camera ready by author Printing: Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr. Bookbinding: 1. Schaffer GmbH & Co. KG., Grlinstadt 2153/3140-543210 - Printed on acid-free paper
AVANT PROPOS La mecanique des fluides newtoniens constitue une discipline particulierement remarquable de la mecanique des milieux continus et, historiquement, c'est l'une des premieres a avoir ete elaboree. En particulier, et ceci est essentiel du point de vue que nous adoptons ici, on sait que les lois de comportement liant les contraintes aux deformations peuvent s'exprimer de fa~on relativement simple, sans qu'il soit vraiment necessaire de faire appel a une thermodynamique elaboree*. A l'heure actuelle, trois grands modeles mathematiques sont intensivement exploites en mecanique des fluides newtoniens. II s'agit tout d'abord du modele complet de Navier-Stokes pour les fluides compressibles visqueux et conducteurs de chaleur, puis du modele dit de Navier pour les fluides incompressibles et visqueux, et enfin du modele classique d'Euler pour les fluides non visqueux en evolution adiabatique (fluides dit parfaits). Ce Cours de mecanique des fluides fondamentale (M.F.F.) comprend six chapitres, et traite des questions essentielles qui se posent lors de l'analyse theorique des ecoulements de fluides newtoniens. Ce Cours est done avant tout un Cours theorique, mais non mathematique au sens des mathematiques pures. L'une des questions theoriques fondamentales de la mecanique des fluides newtoniens est de savoir : quelles sont les qui, jointes aux equations, sont propres a determiner les solutions de ces equations en relation avec le probleme d'ecoulements de fluides considere ? ~onnees
On sait bien que Ie choix de ces donnees est avant tout tributaire de l'exigence suivante les problemes d'ecoulements de fluides doivent etre bien poses (ou correctement poses).
Ceci implique les trois proprietes suivantes de la solution: 1) Elle existe, 2) elle est unique et 3) elle depend continument des donnees, c'est a dire qu'elle doit etre stable.
* Pour tout ce qui concerne la mecanique des milieux continus, Ie lecteur est invite a consulter Ie livre de P. Germain et P. Muller (Introduction a la Mecanique des Milieux Continus, Masson, Paris 1980).
VI
Tout ce qui a ete dit ci-dessus concerne les ecoulements dit
laminaires. Malheureusement, dans la realite, les ecoulements de fluides sont presque toujours turbulents. Dans ce cas,
l'ecoulement peut evoluer tres differernrnent a partir de deux situations de depart "presque" identiques, ce qui explique son caractere a la fois detenniniste et imprevisible. Ainsi se pose Ie probleme de deceler les conditions d'apparition de la turbulence (sa genese 1) et de decrire Ie phenomene crucial de la transition, c'est a dire du passage du regime larninaire au regime turbulent. On sait que cette transition debute en general par une phase dite d'instabilite, et la theorie du chaos apporte un eclairage nouveau, via Ie concept d'attracteur etrange, sur les mecanismes fondamentaux de 1 'apparition de la turbulence. Naturellement, l'etat turbulent d'un fluide n'est pas, en toute generalite (surtout dans sa phase developpee), decrit au moyen d'un systeme dynamique dissipatif de dimension finie ; cependant, cela est bien Ie cas dans la phase d'instabilite, lors de la transition vers la turbulence, ou seulement un nornbre fini de modes instables sont excites. En prenant comme fil conducteur les diverses notions introduites ci-dessus, nous avons construit ce Cours de M.F.F. de fa~on telle que Ie contenu des six chapitres qui Ie composent apporte des elements de reponse aux questions theoriques posees. On trouvera aux Chapitres I et II un expose relativement complet sur les equations de la mecanique des fluides newtoniens. Le Chapitre III est entierement consacre a la formulation des problemes mathematiques correspondants aux equations de Navier-Stokes, de Navier ~t d'Euler. On trouvera dans ce Chapitre III divers resultats concernant l'existence, l'unicit~ et la regularite des solutions. Le Chapitre IV se presente comme une courte introduction a la theorie des modeles de la mecanique des fluides newtoniens (il s'agit essentiellernent de modeles asymptotiques). On trouvera dans ce Chapitre IV les premiers elements de la methode des developpements asymptotiques raccordes et de celIe dite des echelles multiples*. Tout Ie Chapi tre Vest cons acre a la stabilite des ecoulements laminaires. II s'agit principalement de la stabilite des ecoulements presque paralleles, de l'instabilite convective de Rayleigh-Benard et des phenomenes d'instabilite dans les ecoulements de fluides parfaits.
* On trouvera dans nos onze le~ons, publiees sous Ie t i t r e : Les mode1es asymptotiques de 1a mecanique des f1uides (vol.245 [1986] et vol.276 [1987] de la serie : Lecture Notes in Physics, chez SpringerVerlag), un inventaire relativernent cornplet des rnodeles asyrnptotiques de la rnecanique des fluides newtoniens.
VII
Enfin, au Chapitre VI, on traite des problemes lies aux e t instabilites et on donne une theorie phenomenologique des comportements chaotiques dans les fluides. On trouvera en particulier dans ce Chapitre VI un expose "qualitatif" sur les attracteurs etranges et les divers scenarios de transition vers Ie chaos. Ainsi, les six chapitres dans leur ensemble donnent une vision globale des questions fondamentales traitees en mecanique des fluides, qui sont a la base de toute recherche scientifique dans ce domaine. On pourra peut-etre regretter l'absence, d'une part, de toute indication concernant les methodes numeriques indispensables a l'heure actuelle pour mener a bien la resolution pratique des problemes que pose la mecanique des fluidep et, d'autre part, des premiers elements d'une "theorie" de la turbulence. Cependant, nous pensons que ces methodes numeriques se presentent plutot comme un "outil" qui doit etre expose dans un Cours de Mathematiques Appliquees a la Mecanique (des Fluides) et c'est pour cette raison que nous n'avons pas juge bon d'inserer un chapitre supplementaire consacre a ces methodes numeriques. En ce qui concerne la turbulence (developpee), il aurait ete effectivement interessant d'ecrire un Chapitre VII base sur les approches analytiques recentes*, mais cela aurait deborde largement du cadre initial fixe lors de la redaction de ce Cours de M.F.F. Le sommaire qui suit cet Avant-Propos donne une idee exacte des questions traitees dans ce Cours et l'index alphabetique des matieres situe a la fin devrait permettre aux lecteurs de s'orienter aisement lors de la recherche d'une reponse a une question precise. II nous reste a esperer que ce Cours sera utile aux etudiants et aux eleves des Ecoles d'Ingenieurs, ainsi qu'aux jeunes chercheurs s'interessant plus particulierement aux problemes theoriques poses par l'analyse des ecoulements des fluides newtoniens. si tel etait Ie cas, ce Cours aurait atteint l'un de ses buts et Ie temps consacre a Ie rediger, avec un certain enthousiasme, n'aurait pas ete "perdu" en vain I
bifurcations
* Citons, pour exemple, la Note aux C.R.A.S., Paris, t.302, serie II, N· 7, 1986, 383-386, ainsi que les trois articles sur la mQdelisation des ecoulements turbulents, dans Ie Numero Special 1986 du J.M.T.A., pages 73 a 140. On trouvera diverses approches asymptotiques dans Ie "minisymposium 3" pub lie dans Ie ZAMM, 69, 6, 1989, pages T 552 a T 563.
VIII
Pour pouvoir lire ce Cours avec profit, il est necessaire avant tout de posseder une bonne connaissance des milieux continus et les premiers elements de la mecanique des fluides newtoniens. Naturellement, si l'on veut assimiler convenablement les resultats mathematiques concernant 1 'existence, l'unicite et la regularite des solutions des equations de la mecanique des fluides, ainsi que ceux relatifs aux chaos, il est egalement necessaire d'avoir une preparation suffisante en analyse fonctionnelle moderne. En ce qui concerne l'analyse mathematique des equations de NavierStokes, citons Ie livre de R.Teman (Navier-Stokes equations, theory and numarical analysis, North-Holland Publ. Company, Amsterdam, 1979) et Ie volume 1431 de la serie Lecture Notes in Mathematics (The Navier-Stokes Equations [Theory and Numerical Methods); J.G.Heywood, K.Masuda, R.Rautman et V.A.Solonnikov Editeurs ; Springer-Verlag, 1990). Enfin, une bonne introduction mathematique au chaos et aux attracteurs etranges est Ie petit livre de D.Rue11e (Chaotic evolution et Strange attractors, Cambridge university Press, 1989). Nos remerciements vont tout d'abord a Mme Petiaux qui s'est, comme toujours, chargee avec competence de la frappe de ce Cours tel qu'il est presente aux lecteurs sous la forme du present volume, ainsi qu'a notre fille Christine qui a bien voulu nous aider pour la realisation de certaines figures. Nous remercions aussi les nombreux Collegues qui durant les annees d'elaboration de ce Cours l'ont lu et emis divers commentaires, remarques et critiques sur Ie contenu des differents chapitres. Nous avons, dans la mesure du possible, tenu compte de ces remarques et critiques dans la version finale. Enfin, notre reconnaissance va, une fois de plus, au Prof.Dr.W.Beiglbock et a la Maison d'Edition Springer-Verlag, a Heidelberg, pour avoir bien voulu assurer l'edition de ce Cours.
villeneuve d'Ascq Mars 1991
R. Zeytounian Laboratoire de Mecanique de Lille C.N.R.S.- U.R.A. 1441 Universite de Lille I
SOMMAlRE
CHAPITRE I. LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES...............
1
1. L' EQUATION DE BOLTZMANN ET LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3
1,1. La description statistique (ou microscopique) • • . • . • . . • • . • • • • • • • . • . . • • • • • 1,2. L'equation de Botzmann....................... 1,3. Les equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait a c p et Cv constants avec un coefficient de viscosite volurninique nul..... 1,4. Domaine de validite de la description macroscopique de Navier-Stokes ••.•.•..•••••••
11
2. FLUIDE NEWTONIEN ET EQUATIONS DE NAVIER-STOKES....
14
2,1. Les trois lois de conservation de la mecanique du milieu continu ••..•••••••••••••. 2,2. Les lois de comportement des fluides newtoniens-. . . • • • . . • • . . . . • . . • • • • • • • • • • . • • • . • . • 2,3. Les equations de Navier-Stokes (cas de l'aero-thermodynamique) •••..•.•••••••••••••.. 2,4. Les equations de Navier-Stokes pour les ecoulements atmospheriques ••..••••••••••••••.
3 6
8
14 17 22 23
3. FORME ADIMENSIONNELLE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3,1. Forme adimensionnel1e des equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait a cp et Cv constants......................... 3,2. Equations de Navier-Stokes adirnensionnelles proprement dites. • . . • . • • . • . . • . . . • • • • . . . • • . . . • 3,3. Les equations de Navier-Stokes adimensionnelles pour les ecoulements atmospheriques •...••••••••••••••• 3,4. Nouvelle forme adimensionnelle des equations de Navier-Stokes proprement dites ••••..•.•••• 3,5. Nouvelle forme adimensionnelle des equations de Navier-Stokes pour les ecoulements adiabatiques de l'atmosphere •.••••.•••••••••.
29
29 31
32 35
36
x CHAPITRE II. QUELQUES FORMES SIMPLIFIEES DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. LES EQUATIONS D'EULER ET DE NAVIER 39 4. LES EQUATIONS D' EULER POUR LE FLUIDE PARFAIT EN EVOLUTION ADIABATIQUE•••••••••••••••••••••••••••••
40
4,1. 4,2. 4,3. 4,4. 4,5.
40 42 44 47
Le fluide d'Euler barocline .•••••.••••••••••• Le fluide d'Euler barotrope •..•...•.•••••.••• L'equation de Steichen •••••..•..••••••••••••• Le cas du fluide d'Euler incompressible •••••• Les ecoulements stationnaires rotationnels baroclines. • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • •
52
5. LES EQUATIONS DE NAVIER POUR LE FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE •••••••••••••••••••••••••••
56
5,1. Le fluide de Navier.......................... 5,2. L'equation regissant l'ecoulement plan de Navier.................................... 5,3. L'equation d'energie associee ••.••.••.•.•••••
56
57 58
5,4. Le cas de MaO et l' ecoulement de Navier.....
59
5,5. Le cas de ReaO; l'equation de Stokes .•••••••
59
5,6. Le cas de Rea 00; l'equation d'Euler..........
60
5,7. Le cas de Re» 1; l'equation de Prandtl pour la couche limite ••••••..••••.••••••••••• 5,8. Le cas de Re« 1; L'equation d'Oseen •.•.•••.
61
CHAPITRE III. FORMULATION DES PROBLEMES MATHEMATIQUES CORRESPONDANTS AUX EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, DE NAVIER ET D'EULER
63
66
6. FORMULATION DES DONNEES INITIALES, AUX FRONTIERES ET A L'INFINI ••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••
6,1. Le probleme des donnees initiales ..••...••••• 6,2. Le probleme des donnees aux frontieres •••.... 6,3. Le probleme des conditions a l'infini ••••••••
72 72 74 78
7. EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
80
7,1. Cas de l'ecoulement dans une enceinte bornee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
7,2. Cas de l'ecoulement monodimensionnel ••.••.•.•
82
XI
8. EXISTENCE, UNICITE ET REGULARITE DES SOLUTIONS DES
85 Le cadre fonctionne1......................... 85 La methode de Galerkin ...•••..•..••..•...•••. 87 Solutions faibles du probleme de Navier ..•••. 90 Solutions fortes du prob1eme de Navier ..••••. 95 Le cas des equations de Stokes ..•••••.••••••. 96 Complements.................................. 101
EQUATIONS DE NAVIER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
8,1. 8,2. 8,3. 8,4. 8,5. 8 , 6.
9. ELEMENTS D' UNE THEORIE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS
D' EULER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 9,1. Surfa~es caracteristiques et hyperbolicite ••• 9,2. Surfaces de discontinuites fortes et faibles. . . . . • . . • . . . . . . • . • • • . . . . . . • . • • . • • • • • •. 9,3. Bicaracteristiques et conoYde caracteristique. . . . . . . • . . • • • • . . . • • • • • . • • • • • •• 9,4. Le theoreme de Cauchy-Kowalewski •.•••.•.••.•• 9,5. Quelques reflexions concernant l'unicite de la solution des equations d'Euler •.•••..••... 9,6. La condition de Joukowski ...•••••.••••.••.•.• 9,7. Les nappes tourbillonnaires ••.•••.••••.•.••.• 9,8. Les ondes de choc............................ 9,9. Quelques resultats d'existence et de regularite de la solution des equations d'Euler ..•.•••...••..•..•.•.....••...•••••••. 9.10. Le probleme avec frontiere libre .•••.••••••. CHAPITRE IV. LE CONCEPT DE MODELES EN MECANIQUE DES FLUIDES THEORIQUE
104 104 111 116 119 126 134 140 145
154 165
171
10. LES GRANDS MODELES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES... 174
10,1. Les modeles lies au nombre de Reynolds ....•• 10,2. Les modeles lies au nombre de Mach •••..•.••• 10,3. Les modeles lies aux nombres de Strouhal et de Prandtl.................................. 10,4. Les modeles pour les ecoulements atmospheriques. . • • . . . • • . • . • . . . • • . . • • . • • • • • •.
174 179 187 188
11. LES MODELES LOCAUX ET LES MODELES SPECIFIQUES PROPREMENT DITS ••••••••••••••••••••••••••••••••• 190
11,1. Les modeles locaux ..•..•.•...•••.••••••••••. 190 11,2. Les modeles specifiques (globaux) •••.••••••• 193
XII 12. LE CONCEPT DE LINEARISATION•••••••••••••••••••••• 198
12,1. Le formalisme de la linearisation .•.•••••••• 198 12,2. Le cas de l'ecoulement eulerien stationnaire (Re a 00 et S. 0) autour d'une aile de faible epaisseur ••.•.•.•••.••. 200 12,3. Linearisation et modelisation asymptotique •• 207 13. LA MDAR •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 211 13,1. Developpements asymptotiques ......••••••...• 211 13,2. Raccords. Quelques exemples ••••••••••.•••••. 213 14. LA MEM •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14,1. Les failles de la MDAR et la MEM .••••••.•••• 14,2. MEM et methode des "moyennes" •••••••.•.•••.• 14,3. MEM et technique d'homogeneisation ..•.•••••• CHAPITRE V. SUR LA STABILITE DES ECOULEMENTS LAMINAIRES
225 225 232 234
238
15. LE CONCEPT DE STABILITE POUR L' ECOULEMENT DE NAVIER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••
241
15,1. Diverses definitions de la stabilite •••••••. 15,2. L'equation de Landau et le probleme de la stabilite non lineaire............................ 15,3. L'equation d'energie de Reynolds-Orr et les criteres de stabilite de Serrin •.•..•..• 15,4. Derivation d'une equation d'evolution. Le critere de stabilite de Sattinger .•.••..• 15,5. La decomposition de Liapounov-Schrnidt pour Ie cas des perturbations confinees ••••••.••• 15,6. Derivation de l'equation de Landau par la MEM •.••..•..•..••.••.•.•......••••.•...••
241 241 253 259 264 269
16. STABILITE DES ECOULEMENTS PRESQUE PARALLELES. • • •• 273
16,1. Le probleme de Poiseuille ••••••••..•.•.•••.. 16,2. Derivation de l'equation de Orr-Sommerfeld par la technique de Bouthier .•....•••••••... 16,3. Solution asymptotique uniformement valable de l'equation de Orr-Sommerfeld .••••.•....•• 16,4. Sur la formation et l'evolution non lineaire d'un paquet d'ondes de Tollmien-Schlichting.
273 282 285 292
XIII
17. L' INSTABILITE CONVECTIVE DE RAYLEIGH-BENARD. • • • •• 307 17,1. Derivation asymptotique des equations de Boussinesq ••...•....••...•..•.•••.••..... 309 17,2. La theorie lineaire classique ....•••.•..••.• 319 17,3. La theorie lineaire de l'instabilite convective profonde ••..•.•.•••.••.••.•.••••• 331 17,4. Interactions quadratiques des modes lineaires les plus rapidement amplifies. L'equation de De Coninck, Guiraud et Zeytounian •••.••••••. 356 17,5. Le modele de Lorenz ••.•.••.••..•••••..•.•••• 363 17,6. Le modele de Lorenz avec effet de profQndeur (00 ~ 0) ..•••.••..••..••••..•••••• 373 17,7. Derivation asymptotique de l'equation d'amplitude .••..••...•..•••..••.•••••.•••••• 378 18. PHENOMENES D' INSTABILITE DANS LES ECOULEMENTS DE FLUIDES PARFAITS.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 393
18,1. Un point de vue thermodynamique sur la stabilite. . • • • . . • • • . . • . • . • • . • • • • • • . . • . . • • • .. 18,2. Les criteres de stabilite de Arnold (1966) .. 18,3. Les theoremes de Rayleigh et de Fj0rtoft ..•. 18,4. Le cas de l'ecoulement isochorique pesant ..• 18,5. Le probleme de Rayleigh-Taylor et l'instabilite de Taylor •.•••..•••••.••.•.••. 18,6. L'instabilite de Helmholtz ••.••••.•..•.•.••. 18,7. L'instabilite de Kelvin-Helmholtz .•.••..•••. 18,8. Stabilite d'un ecoulement de Couette (non-visqueux) en fluide non homogene .....•. 18,9. Les theoremes de Miles-Howard et du demi-cercle de Howard .•••••.•....••••••••••• 18,10. Quelques resultats de stabilite non lineaire. • . • • . • • . • • . . . . • . . • . . . . . . • • • . • • • • •.
393 397 401 403 409 412 416 425 427 430
19. L'ECOULEMENT DE COUETTE-TAYLOR ENTRE CYLINDRES COAXIAUX••••••••••••••••••••••••••••••• 454
19,1. Formulation mathematique du probleme ..•..••• 456 19,2. Etude de la stabilite lineaire de l'ecou1ement de Couette •..•.•...••••.•...••• 458 19,3. Apparition et developpement des cellules de Taylor................................... 466
XIV
CHAPITRE VI. BIFURCATIONS ET COMPORTEMENTS CHAOTIQUES DANS LES FLUIDES
470
20. BIFURCATIONS ET INSTABILITES ••••••••••••••••••••• 480
20,1. Les systemes hydrodynamiques a petit nombre de modes............................. 20,2. Les singu1arites topologiques ......•......•• 20,3. Monodromie et structure homocline ••••..••••• 20,4. Le concept de cycle limite •...•••..•...••... 20,5. Bifurcations et instabilites •••.••..••...••.
481 490 494 498 504
21. STOCHASTICITE ET ATTRACTEURS ETRANGES •••••••••••• 513
21,1. Le concept de stochasticite ••••.•••.•...•••• 514 21,2. Phenomenologie de l'attracteur etrange .••.•• 522 21,3. La loi de Kolmogorov ••••.•......•.•.••.••••• 531 22. LES SCENARIOS DE TRANSITION VERS LE CHAOS ••••••••
534
22,1. La conjecture de Landau et Hopf ...••.••••••• 22,2. L'idee de Ruelle et Takens (vers Ie chaos via la quasi-periodicite) ••••••.••••••...••• 22,3. Le modele de Feigenbaum de dedoublement des frequences en cascade •...•••..••...••... 22,4. Le scenario de Pomeau et Manneville de la transition via l'intermittence ..•.••••....••
535 538 543 550
23. LES ECOULEMENTS DE COUETTE-TAYLOR ET DE RAYLEIGH-BENARD. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 555
23,1. Transition vers Ie chaos en ecoulement de Couette-Taylor •••••.••••••.••.••.••••••••••• 556 23,2. Etapes vers Ie chaos dans la convection de Benard................................... 568 INDEX ALPHABETIQUE DES MATIERES •..•.••••••.••••••••..••.••.•••. 612
CHAPITRE
LES EQUATIONS DE
NAVIER-STOKES
Nous presentons dans ce chapitre I les equations generales de Navier-Stokes qui gouvernent les mouvements d'un fluide classique (appele aussi fluide newtonien ou encore fluide de Navier-Stokes). On trouvera au
§
2 la definition precise de
ces fluides classiques et pour notre part, ici tout le long de ce Cours, nous considererons principalement deux types de fluides classiques : le gaz parfait chaleurs specifiques,c
p
et c ,constantes et le liquide dilatable satisfaisant v
a a
une loi d'etat simple :
p=p(T), oil pest la masse volumique et T la temperature absolue. Nous donnons deux derivations differentes des equations de Navier-Stokes; l'une est obtenue
a partir
de l'equation de Boltzmann de la mecanique statistique
des gaz (ou theorie cinetique) conservation
tandis que l'autre decoule directement des lois de
de la mecanique du milieu continu une fois formulees les lois de
comportement des fluides classiques. Precisons que les equations de Navier-Stokes qui decoulent de l'equation de Boltzmann, lorsque le libre parcours moyen moleculaire tend vers zero, sont celles d'un gaz parfait
a cp
et c
v
constants pour lequel l'hypothese de Stokes est
satisfaite (coefficient de viscosite volumique nul).
2
Par contre, les equations de Navier-Stokes obtenues au
§ 2, dans le
cadre de la mecanique du milieu continu, res tent valablespour tout fluides classiques (gaz ou liquide). Au
§ 2,on trouvera aussi une formulation des equations de Navier-Stokes
pour les mouvements atmospheriques, ce qui necessite la prise en compte de la force de la pesanteur et de la force de Coriolis. Enfin, le la mise sous forme sans dimension
§ 3 est consacre
a
des equations de Navier-Stokes, ce qui permet
de definir les grands parametres (nombres) sans dimensions de la mecanique des fluides. Le probleme des conditions (initiales et aux
~rontieres)pour
equations de Navier-Stokes est examine au chapitre III.
ces
L EQUATION DE SOL TZ~1ANN ET LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES I
1,1. LA VESCRIPTION STATISTIQUE IOU MICROSCOPIgUE) Nous considerons donc les mouvements d'un gaz compose de molecules. gaz, ou theorie cinetique. cinetique, fondee par Boltzmann et Maxwell. Maxwell, La mecanique des gaz. permet de traiter d'une maniere satisfaisante le cas des gaz monoatomiques et la theorie moleculaire des gaz permet d'obtenir une description complete et coherente de leur comportement loin de l'equilibre. Le regime particulier.dit particulier,dit continu, continuo decrit par les equations de Navier-Stokes valable lorsque les deviations par rapport
a.
n'en est qu'un cas limite
l' equilibre local ne sont pas "trop
grandes'; dans ce cas nous ignorons que le gaz est en realite constitue de molecules et que les grandeurs, dites macroscopiques, telles que la vitesse ~,
la masse volumique p et l'energie interne specifique e. e, resultent de moyennes operees sur un element de volume de
diametretlpetit~par
rapport
caracteristique liee audomaine ou le mouvement est analyse .
l'obstacle autour duquel l'ecoulement
1II)
a.
une longueur
(ou encore. encore,
a.
est envisage ). ), tout en contenant un
tres grand nombre de molecules. La description statistique (microscopique) est basee sur l'existence de la fonction de distribution F des vitesses moleculaires; en chaque point ~ et
a.
chaque instant t. t, cette fonction est proportionnelle
a.
la probabilite. probabilite, pour
une molecule voisine de ce point. point, de posseder une vitesse specifiee t instant. Dans le cas d'un gaz monoatomique. monoatomique,
a.
cet
la position et la vitesse d'une
molecule definissent completement son etat dynamique. dynamique, de telle sorte que la fonction de distribution F(~.t;t) F(~,t;t) caracterise la repartition des molecules parmi les differents etats dynamiques possibles. Cette fonction de distribution
F(~,t;!) est definie quantitativement F(~.t;!)
par la formule 1,1) ( 1.1) If) Nous parlerons d'ecoulement plutot que de mouvement du fluide.
4 ou aN represente Ie nombre de molecules situees dans l'element de volume ~,
dont les vitesses
t possedent,a l'instant
dt. des composantes comprises dans
les intervalles (E.;.] ,. ]E.;.. + dE.;.), avec i = 1, 2, 3. ]. La densite numerique n (nombre de molecules par unite de volume) et la masse vOlumique p(t,x),macroscopique, s'obtiennent en integrant la formule ( 1 .1) :
n=~=fIJ
( 1 ,2)
+
dx
ou m est la masse d'une molecule. Dans ce cas,la vitesse macroscopique ~(t,~) est donnee par la formule (1,3)
que l'on ecrira sous la forme 1
+
(1.4)
u =- < n
7: l;
> •
en utilisant la notation
La vitesse moleculaire relative est done definie par la relation +
c =
7:
l; -
+
u
et la definition cinetique de la temperature absolue est basee sur la consideration de l'energie cinetique moyenne des molecules: 1
m +2
-<-IE.;! n 2
+2
>=m
£u2
1 +n
m +2
<-lei> 2
ce qui conduit a ( 1.6)
1m 23 m RT = n < 2
1+12 c
>.
puisque <-;;:> = O. On montre que la temperature absolue T s'identifie bien avec la temperature absolue thermodynamique dans le cas de l' equilibre.
5
Considerons maintenant un element infinitesimal de normale unitaire
t,
sur~ace
dcr et de
entraine par le mouvement moyen. Dans ce cas,le nombre de
molecules animees d' une vitesse absolue
t,
traversant dcr par unite de temps,
vaut :
Pour un etat gazeux di t "parfait", les contraintes macroscopiques qui s'exercent entre masses gazeuses situees de part et d'autre de dcr, ne peuvent
etre attribuees qu' a des echanges de quantite de mouvement causes par l' agi tation thermique. Mais la ~orce macroscopique ~ictive situee du cote de la normale
t
dr,
exercee par la portion de gaz
de dcr sur la portion de gaz voisine,n'est autre
que le flux total de quantite de mouvement moleculaire,
a travers
a~fecte
d'un signe adequat
dcr :
ou encore (1,7)
avec cr
ik
= - <m c
c > , k
i
et nous voyons apparaitre la symetrie du tenseur des contraintes crik ). La trace de
t
I
(de composantes
vaut
= - <m
( 1,8)
1"t1 2
> = 3cr , n
ou crn est la contrainte normale moyenne qui est independante du systeme de coordonnees choisi. Des formules (1,6) et (1,8),on voit que (1,9)
P R T
Mais - p 0ik' ou
a l'equilibre,les
cr
ik
- cr
n
se reduisent
a la
forme diagonale
6
(1,10)
r
°ik
si
i , k
si
i
-
k
de sorte que (1,9) s I identi:fie a. 1 I equation d I Hat des gaz par:faits constants : p = R P T
(1,11)
R
= cp
- c
ac p
et c
v
v
et la de:finition (1,6) de la temperature absolue se trouve bien justi:fiee, ainsi que la de:finition suivante pour la pression (generalisee) ( 1,12)
. . 2> • an = 31 <m I.cl
p
Ainsi, la relation (1,11),d ' etat des gaz par:faits a. c automatiquement veri:fiee
p
et c
v
constants, sera
meme en dehors de l'equilibre thermodynamique.
En:fin, le :flux thermique s'interprete lui aussi, aux niveaux de densite
consideres~), comme
un :flux d'energie cinetique d'agitation moleculaire
et
s'exprimera par:
en posant
....q
(1,13)
formule qui de:finit le vecteur courant de chaleur (flux thermique).
1,2. L'EQUATION VE BOLTZMANN La :fonction de distribution des vitesses moleculaires
F (i,t;t)
verifie une equation integro-differentielle non lineaire qui est celle dite de Boltzmann. Pour obtenir cette equation,il :faut etablir le bilan des molecules .... et appartenant a, une :famille monocinetique '" situees dans un element de volume dx ~)
C'est-a.-dire lorsque la distance moyenneentre deux molecules est tres superieure a. la distance en dessous de laquelle leur energie d'interaction devient comparable a. leur energie cinetique moyenne d'agitation.
7
caracterisee par une vitesse voisine de dt dont les camposantes sont comprises dans les intervalles (E;;., E;;. + dE;;.), ].]. ].
i = 1, 2, 3.
Trois processus dis tincts peuvent provoquer une variation de ce nombre
aN
=F
-+
......
-+-+
(x,t;E;;) dE;; dx, durant l'intervalle de temps dt et nous pouvons ecrire
l' equation suivante :
.!f dt ~ at
(1,14)
ou
A
dt
dt
A+ B+ C ,
dt~ t.\) dt dt
Iff
F
(~,t;t)
dO
-+
V.{Ft) dx
represente l'importation et l'exportation des molecules de la famille
a travers
la frontiere de l'element de volume ~. Le terme B donne l'effet de l'acceleration des molecules par les forces exterieures eventuelles (gravite, actions
electro-
magnetiques, .•• ), tandis que le terme C represente la contribution des collisions intermoleculaires; le terme C est, en fait, un operateur quadratique integral, que nous noterons C{F,F),faisant intervenir la dynamique de la collision. Ainsi, en l'absence de forces exterieures (B
=a),nous
pouvons ecrire
l' equation de Boltzmann sous la forme suivante :
~~
+ V.{tF)
= C{F,F)
La solution la plus simple de l'equation de Boltzmann (1,15) correspond
a l'equilibre
thermodynamique, pour lequel les conditions sont stationnaires et
uniformes dans l'espace. Dans ce cas, le second membre de (1,15) est done nul et la distribution d' equilibre doi t satisfaire l' equation integrale : (1,16)
c{f,F) = a .
8
Boltzmann et Maxwell ont montre que les solutions de cette equation (1,16) sont de la forme F
c'est la distribution dite maxwellienne. Precisons encore que:la conservation du nombre de molecules, de leur quantite de mouvement totale et de leur energie cinetique totale,en presence de collisions, s'expriment par les identites remarquables suivantes :
IIf (1,18)
+
C(F,F) dl; = 0
Iff
c(F,F) mt dt = 0
IfI
+ 2 + C(F,F) m 11;1 dl; = 0 • "2
1,3. LES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR UN GAZ PARFAIT A c -
AVEC UN COEFFICIENT VE VISCOSITE VOLUMIQ.UE NUL
a l'equation
Revenons
a des
ET c
p- v
CONSTANTS
de Boltzmann (1,15) et passons dans cette equation
grandeurs sans dimensions. Soient U ' L et L ' une vitesse, un temps et o o o upelongueur caracteristiques pour l'ecoulement considere et ecrivons : t =
( 1 ,19)
..:L L
o
et aussi F
(1,20)
F
=n /.J3 o
n
avec
Co
uo ) o
2
Lo
' ou
Lo
0
c
=.9-
co
est une echelle de section de collision et no
une valeur caracteristique de la densite numerique n . On notera que l'expression
9
1
A =--o
(1,21)
no
lo
est une echelle caracteristique pour le libre parcours moyen moleculaire. Apres substitution de (1,19) et (1,20) dans l'equation de
Bolt~n
(1,15), en obtient 1 'equation de Boltzmann reduite suivante (1,22)
S
a"F +~. a"f =·.l.c at J ai. Kn
(f,f),
J
oil
(1,23)
est le nombre de Knudsen, tandis que L S = __ 0_
( 1,24) est un
U , o 0
~ombre
de Strouhal base sur le temps caracteristique
'0
Lorsque l'on considere le cas limite:
Kn ... 0
( 1 ,25)
a
t, ~. J
et
x. fixes J
et S de l'ordre de l'unite, le premier membre de (1,22) etant de l'ordre de l'unite, C(f,F) doit egalement tendre vers zero. Ainsi, dans ce cas F devra etre voisine d'une distribution maxwellienne du type (1,17) (reecrite avec des grandeurs sans dimensions). On constate done que le regime des faibles nambresde Knudsen est domine par les collisions et il en resulte une deviation faible par rapport Des 1912
Hilber~
a l'equilibre
thermodynamique local.
avait imagine un processus formel de developpement
asymptotique (regulier) pour resoudre l'equation de Boltzmann (1,22) lorsque Kn «
1-). Plus tard, Chapman et Enskog ont imagine un autre processus de
developpement asymptotique (non regulier) qui a la propriete de redonner,
a un
certain niveau d'approximation, les equations de conservation de la mecanique du -) Le Lecteur interesse par ces questions pourra consulter avec profit le livre remarquable de : Cercignani (~eory and Application of the Boltzmann equation; Scottish Academy Press, Edinburg and London, 1975).
10
milieu continu (voir
a cp
a ce
sujet le
§ 2) avec la thermostatique du gaz parfait
et c v constants, qui est un gaz lIlonoatomique :
(1,26)
R P T,
p
c
R
- c
p
c y =....E.
v
c
v
et avec les lois, dites de comportement,·)
!
0.. ~J
(1,27)
qi
=-
~
i piS. . + ].J (T) [:u + - } ~J xj xi
dT - k (T) dX. ~
On notera quele processus de Chapman et Enskog permet de calculer
les coefficients de viscosite dynamique
].J(T) et de conductivite thermique k(T)
en fonction de la temperature absolue T.
a cp
On retrouve ainsi les equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait et c
v
constants pour lequel l'hypothese de Stokes est satisfaite (le
coefficient de viscosite de volume est nul). En definitive, comme on a (e designe l'energie interne specifique)
( 1,28)
e :: e(T)
on trouve les equations de Navier-Stokes sous la forme suivante
(1,29a) -+
Du
-+;t;
3"2 ;].Jtv.; -+u)
(1,29b)
P Dt = P f - v(p +
( 1, 29c )
DT ;t; -+ ;t;-+ p C v Dt = v.(kVT) - p V.u +
].J
;t;
+ 2V. (vD);
[2D : D -} (V.u)2J + pr,
ou.D est le tenseur des taux de deformations dont les composantes cartesiennes sont 1 dU. dU. d •. = - (~+ ~) ,
(1,30)
~J
2
aX.
J
aX·
~
tandis que .) Dans un systeme de coordonnees cartesiennes Xi' i ..Q...=d
Dt
-+-+-a
a
":rt + u. V = -- + u· - .
at
J dXj
1,2, 3. Precisons que
11
D :]) _ d .. d ..
(1,31)
:LJ
:LJ
1
dU.
dU.
(_:L + -.-J. ) dX. J :L
2
11 dX.
i, j
1, 2, 3.
Au niveau de l'equation (1,29b),f est la densite des forces exterieures donnees, tandis de la chaleur
qu' au niveau de l' equation (1 ,29c), rest la densi te massique
re~ue
par le gaz.
Precisons que le procede de Chapman et Enskog se trouve clairement expose dans le livre de Cercignani de 1975 (voir le chapitre V). Du point de vue physique,le critere de validite de la premiere approximation de Chapman-Enskog, qui conduit aux equations de la faible valeur par rappoT\
a l'unite,des
Navier-Stok~s
(1,29), est
nombres de Knudsen bases sur les
gradients de vi tesse et de temperature absolue. Cela veut dire que la variation de vitesse, existant en moyenne entre deux points,ou une molecule subit des collisions successives, doit-etre "petite" par rapport
a la
celerite typique
d'agitation : (2RT) 1/2 et que la variation de temperature absolue correspondante doit etre faible par rapport
a la
temperature absolue locale.
1,4. VOMAINE VE VALIVITE VE LA VESCRIPTION MACROSCOPIQUE VE NAVIER-STOKES 11 est generalement admis que la description macroscopique, qui conduit " t :Lons . d ' (] -, 29) ,reste val able S:L. Kn < 10-1 ; pour Kn > 10-1 aux equa e Nav:Ler-Stokes
il faut faire appel
a la
theorie cinetique des gaz fondee sur l'equation de
Boltzmann (1,15). On distingue alors le regime de transition, pour lequel 10
-1
< Kn < 10,
ou l'equation complete de Boltzmann doit etre utilisee, et le regime moleculaire libre, lorsque Kn > 10, ou les collisions des molecules,entre-elles, peuvent etre negligees. En fait, les equations de Navier-Stokes (1,29) donnent des resultats valables meme en regime de transition (par exemple, lors de l'analyse de la structure de l'onde de choc ou pour l'ecoulement pres du bord d'attaque d'une plaque plane). 11 existe aussi un troisieme regime dit de glissement,ou on a : 2 2 10- < Kn < 10- 1 • Enfin, lorsque Kn < 10- , les effets de glissement et de saut
de temperature deviennent negligeables - c'est le regime d'ecoulement dit "de continu", pour lequel les equations (1,29) sont satisfaites avec une tres bonne approximation. De toute fa~on,les equations de Navier-Stokes (1,29) restent valables dans un domaine tres vaste d'applications de l'aerodynamique l'aeronautique (avions, engins) et
a l'astronautique
a
(probleme de la rentree dans
l'atmosphere terrestre d'un satellite oud'une navette spatiale).
12
Cependant, une analyse plus fine,que l'on trouvera dans le livre de Cercignani de 1975, montre
qu' en toute rigueur, la description continue d'un
ecoulement de fluide newtonien constitue une bonne approximation de la description dedui te de l' equation de Boltzmann, lorsque le nombre de Knudsen est tres petit, exception faite du voisinage immediat des frontieres et d'un voisinage de l'instant initial. 11 en resulte alors l'existence de zones de transition dans l'espace et dans le temps qui ne peuvent etre decrites
a l'aide
des solutions (normales)
habituelles. C'est Grad (1963) quile premier a pose le probleme de la resolution de l'equation de Boltzmann avec des conditions initiales·). La question etait de savoir : la fonction de distribution
F (~,t;t)
etant donnee
a l'instant
initial
(t = 0), comment l'etat thermodynaInique--d'un:"gal2i evol.ue-t-il vers l'equilibre au cours du temps? 11 est maintenant connu que la description de l'ecoulement
a
l'aide des solutions normales est valable en dehors d'une zone au voisinage de t = 0, qui a pour ordre de grandeur l' ordre du temps de vol d 'un libre parcours moyen (duree moyenne separant deux collisions). En dehors de cette zone temporelle, il est licite d'utiliser les equations de Navier-Stokes,
a condition
de remplacer
les conditions initiales (pour ces equations (1,29)), par. des conditions fictives portant sur les quantites macroscopiques; ces dernierestenant compte de la presence de la petite zone d'adaptation temporelle. En ce qui concerne le probleme stationnaire en presence d'une paroi,qui conduit
a traiter
l' equation de Boltzmann avec des conditions aux limites, il
faut appliquer la methode des developpements asymptotiques raccordes (MDAR)lI'liI). Dans l'etude des ecoulements en regime presque continu une telle methode s'introdui t d' elle-meme, car l' equation de Boltzmann (1,22) contient le parametre Kn« 1 et il est alors logique de rechercher la solution de (1,22) sous la forme d'un developpement asymptotique (1,32)
lI') H. Grad: Asymptotic theory of the Boltzmann equation, dans "Physics of Fluids", vol. 6, nO 2, 1963, p. 147 et aussi dans "Rarefied Gaz Dynamics", Academic Press, 1963 .
•• ) Nous donnerons au Chapitre IV les premieres notions concernant l'application de la MDAR.
13
ou les jauges
~(Kn) ~
0 avec Kn
~
0
et restent a determiner a partir de
criteres de coherence interne lors de l'application de la MDAR. En particulier, pour un gaz simple, lorsque l'ecoulement n'est pas hypersonique (voir a ce sujet la classification donnee au Chapitre IV), il s'avere que la resolution ne peut s'effectuer que par l'intermediaire de trois zones qui correspondent respectivement a:la couche de Knudsen, la couche limite et la zone de fluide parfait (non visqueux et non conducteur de la chaleur). On . . no t era que 1 ,...· epa1sseur de la couche 11m1te est Kn 1/2 et celle de la couche de
Knudsen Kn. Bien entendu,il ne suffit pas d'introduire des sauts de vitesse et de temperature a la paroi pour
~rendre
en consideration, dans une description
macroscopique, les phenomenes dus a une faible rarefaction du gaz, il faut,en outre, modifier les lois de comportement. 11 est certain que c'est la description macroscopique deduite de l'equation de Boltzmann qui prend en consideration, le plus completement possible, la structure microscopique du milieu gazeux. L'origine de la discontinuite apparente entre les valeurs de la vi tesse et de la temperature dans le gaz et les valeurs de la vitesse et de la temperature a la paroi doit etre expliquee par une analyse microscopique de l'ecoulement dans la couche de Knudsen qui vient se placer dans le voisinage immediat de la paroi. 11 faut,selon la MDAR, dans la couche de Knudsen, resoudre l'equation de Boltzmann en recherchant une solution qui se "raccorde" avec la solution dans la couche limitell!).
lI!) On trouvera au chapitre IV une premiere introduction au concept de couche
limite, qui joue un role fondgmental lors de la modelisation des ecoulements de fluide peu visqueux. En particulier, on explicitera comment appliquer une condition de raccord dans le cadre de la MDAR.
w FLUIDE NEWTONIEN ET
EQUATIONS DE NAVIER-STOKES 2,1. LES TROIS LOIS VE CONSERVATION VE LA MECANIQUE VU MILIEU CONTINU Dans tout ce qui suit, et sauf mention explicite, nous supposons que le referentiel dans lequel est observe le mouvement est galileen. Nous designons par x.~ (i = 1, 2, 3) les coordonnees cartesiennes d'un point M dans un repere cartesien 0 +k , +k 2 , + k ) ' lie au referentiel,et par 1 3 Ainsi,
orthonorme~
(
+
.....
x = Xi k i ,
+
et
i = 1, 2, 3;
t le temps.
Ik.1 J
= 1
+
k.·k.=o .. , o .. =O(i:#j),o .. =1. J
~
~J
~J
~~
Par la suite,la masse volumique p (x. ,t), l'energie interne specifique +
e(x. ,t) et la vitesse u(x. ,t) ~
~
~
de composantes cartesiennes u.(x.,t) (qui sont des ~
~
fonctions des variables independantes d'Euler x. et t) jouent un role privilegie. ~
1. En mecanique du milieu
continu·~ on
est la loi de conservation de la masse
~
(2,1)
a trois lois de conservation. La premiere
I
p dv
0,
V
ou JL d_ j = 1, 2, 3, designe la derivee particulaire et dt + u j __ dX' , Dt = JL <2 arbitraire du systeme S suppose~ tridimensionnel.
V un domaine
La seconde loi est la loi de conservation de la quantite de mouvement
(2,2)
D
Dt
I
V
p
+
u dv
I
+
f
dv ,
dV
.) Nous prenons comme livre de reference celui de P. Germain et P. Muller : "Introduction a la mecanique des milieux continus", Masson, Paris, 1980.
15 +
+
+
ou T (M,n) est le vecteur contrainte en M pour la direction n et c'est une densite surfacique de forces s'exer<;;ant sur une surface elementaire normale au vecteur ; (unitaire), tandis que fest une distribution volumique de forces qui represente les efforts exterieurs exerces sur V par les systemes exterieurs On notera que, sur chaque surface
el1~mentaire
a S.
dcr, autour du point M et
normalement au vecteur unitaire ; (normal en M a V), les elements de S,situes dans la region ou pointe le vecteur unitaire ;,exercent une force elementaire
T da
le support passe par le barycentre de la facette dO. En mecanique des milieux continus, on demontre l'existence d'un tenseur
dont
I
de composantes cr .. , qui sont dans S des fonctions continues par morceaux de ; et ~J
de t, tel qu 'en tout point
~e
continuite on peut ecrire :
+
o.. (;,t) n.
T
, +
ou n
= n.J k.J
symetrique
J
~J
et le tenseur rest le tenseur des contraintes; c I est un tenseur (0 . . ~J
= 0 J~ .. ).
Enfin, la troisieme loi de conservation est la loi de la
)
conservation de l'energie et constitue le premier principe de la thermodynamique-. D Dt (2,3)
f V
1
p(e +
'2
+
f
dV
dv u i u.) ~
fV (f.
~
u. + r) dv ~
(T. u. - qi n. ) dcr , ~ ~ ~
ou rest une densite volumique definissant un taux de chaleur fournie systemes exterieurs
q,
as et lea q. (;,t)sont ~
a V par
des
les composantes (cartesiennes) du vecteur
courant de chaleur. On peut ecrire que : ++
- q.n
avec q la densite surfacique de taux de chaleur re<;;ue (par conduction et elle traduit les echanges,
a travers dV, a l'interieur
a travers dV)
de S.
Les evolutions de S sont dites adiabatiques si on a : +
q
=0
et r
=0
.
• ) A chaque instant la derivee particulaire de l'energie d'un systeme est la somme de la puissance des efforts volumiques exterieurs et des efforts surfaciques exerces sur le systeme et du taux de chaleur re<;;ue par le systeme.
16
2. D'autre part, nous savons exprimer
I
D
Dt
U(;,t) dv,
V
ou Vest un domaine borne connexe que l' on suit dans son mouvement et U une
a valeurs
fonction
scalaires continue dans la fermeture de V et derivable dans V.
En effet, si le champ des vitesses ~ est continu et derivable et si la frontiere
av
de Vest lisse par morceaux, alors on peut ecrire :1If)
~
IU
dv =
V
(2,4)
I
au = at
dv +
V
I
av
U ~.; dO,
ou ; designe le vecteur unitaire de la normale exterieure On notera que l'operateur
V(dit
a V en
un point de
avo
"nabla") a pour composantes cartesiennes les -;}ox. Nous pouvons aussi transformer toute integrale de volume en une integral~
de surface et vice versa, d'apres le theoreme de la divergence. Ainsi pour tout champ de vecteurs
(2,5)
Adefini
et continu dans V et sur dV on a :
I (V.A) V
dv =
I
av
... +
A.n do .
D'apres (2,4) et (2,5), lorsque les fonctions considerees sont supposees continfunent derivables, on peut mettre les trois lois de conservations (2,1), (2,2) et (2,3) sous la forme integrale, generale, suivante :
(2,6)
ao.. .
}
(A. u.) + ~ - B~ ~ J oX ~ j
dv
0,
.) On suppose que U et ~ sont continfunent derivables dans V
V +
av.
17
ou
-
A.
~
P => a .. - 0 ~J
A. - P U. => ~ ~
(2,1)
et B. - 0 ~
a .. ~J
et B.
-0 .. ~J
f.
~
A. - P (e + 2"1 u u. ) => a .. ~ i ~ ~J
~
- u. O •• + 'l.
J
~J
~
B.
et
3. Maintenant conune Vest un domaine arbi traire interieur la 'luantite
a integrer
f. u. + r ~ ~
~
aS
et 'lue, par ailleurs,
dans (2,6) est supposee continue dans S, alors cette
derniere est nulle dans S. Cela conduit
a trois
e'luations aux derivees partielles associees aux
trois lois de conservation :
2.2. dt
(2,8a)
d
+ ~
(
~
dU.
pUi
dU.
ax:-J
(2,8b)
p(-~ +
(2,8c)
p(~ + u. de dt J dX.
dt
u. J
)
~
J
ou
1
d .. ~J
= -2
0
dO .. dx. J
=-2:.,1+ f.
~
d'li
o .. d .. - - - + r, dX. ~J ~J ~
dU. dU. (~ ox. + ~ ox. ) . J
~
2,2. LES LOIS VE COMPORTEMENT VES FLUIVES NEWTONIENS Deux tenseurs du second ordre, symetri'lues, jouent un role primordial lors de la formulation des lois de comportement: ce sont, respectivement, le tenseur des contraintes (de compos antes 0 .. ) 'lui, en definitive, caracterise ~J
les efforts interieurs en tout point du systeme etudie, et le tenseur des taux de deformations (de composantes d .. ) 'lui caracterise la deformation de ce systeme mais, construit
a
a partir
~J
du champ des vitesses (de composantes cartesiennes u i ) l'instant t, il ne rend compte 'lue de l'evolution instantanee du systeme pendant
une duree infiniment petite.
18
Les fluides appartiennent, justement,
a memoire
a la
categorie de milieux continus
infiniment courte qui oublient, en quelque sorte, l'histoire qu'ils ont
subie dans le passe pour ne retenir que la deformation en train de se produire. On peut definir, axiomatiquement, un "fluide" comme etant un milieu continu au repos ou le tenseur des contraintes est en tout point spherique et determine par la pression thermodynamique p(~,t) :
(2,9)
a .. ~J
- p
o.. ~J
c'est la base de la definition d'un fluide en thermostatique. Si le fluide se deforme au cours de son evolution, le tenseur des contraintes n'est plus en tout point spherique et dans ce cas,le fluide reel est dit visqueux et la compos ante non spherique du tenseur des contraintes est appelee le tenseur des contraintes de viscosite; on le note T et on a :
-pi +T ,
(2,10)
ou"1 est le tenseur unite du second ordre de composantes i :f. j
I
i - j .
En mecanique des fluides,on admet cependant l'existence d'un fluide fictif, dit parfait, en mouvement, pour lequel le tenseur des contraintes de viscosite est nul en tout point; on verra par la suite comment on peut preciser le domaine de validite de la loi de comportement (du point de vue thermodynamique) d' un tel fluide parfait. D'une
fa~on
assez generale,on a une classe de fluides dit de Stokes pour
lesquels le tenseur des contraintes de viscosite (de composantes T .. ) s'exprime ~J
uniquement en fonction du tenseur des taux de deformations - les contraintes de viscosite s' annulant avec le tenseur J) des taux de deformations
T = T (D) ,T
(0) _ 0 •
1. La loi de comportement des fluides newtoniens (on dit aussi "fluides classiques") precise de plus que le fluide de Stokes est un milieu isotrope et que les visqueuses sont lineaires enD. Cela conduit
a la
compos antes T .. , en fonction des composantes d •. , ~J
~J
contraint~s
relation suivante, pour les
19
(2,11)
T. .
l.J
= A eLk K
0.. + 2 l.l d .. , l.J l.J
avec A et ].l deux coefficients scalaires di ts de viscosite. Lorsque A = 0 et l.l
0 ,
on retrouve la loi de comportement (2,9) des fluides parfaits (non visqueux). Mais, i1 nous faut encore exprimer 1a loi de conduction thermique pour Ie courant de chaleur q.
...
Pour les fluides
newtonien~ on
q=
(2,12)
- k
admet que la 10i de Fourier est satisfaite
V T,
ou Test la temperature absolue et k Ie coefficient de conduction thermique. Lorsque les relatio~s (2,11) et (2,12) sont satisfaite~ on dit aussi que notre f1uide est un fluide de Navier-Stokes. Les coefficients scalaires fonctions de
A,].l et k sont, en toute genera1ite, des
p et de T.
En fait, un f1uide de Navier-Stokes est completement defini par la donnee de son energie libre specifig,ue : (2,13)
1jJ
(p,T) = e(p,T) - T S(p,T),
ou S est l'entropie specifique, une fois que l'on
chois~comme
variables thermo-
dynamiques p et T. Dans ce cas, (2,14)
S
_ a1/J(p,T) aT
et la pression pest determinee par la loi d'etat (2,15 )
p
P(p,T)-
On dit que Ie coefficient
a1/J(p,T) a(1/p)
].lv defini par
(2,16)
est Ie coefficient de viscosite de volume. 2. Une extension naturelIe des enonces elementaires du second principe de la thermodynamique conduit
a l'inega1ite
dite de Clausius-Duhem, dont la forme locale,
pour les fluides monoPhasiques·), est : .) Notre fluide newtonien (de Navier-Stokes) en mouvement est defini par une seule loi de mouvement; on dit que c'est un milieu monophasique.
20
iP
(2,17)
avecD:])
= dij
=2
dij =
llD :
J)
au.
1
'4 (ax~
+
+ (llv - } II )(V.~)2 -
au.
~)
;i.v
2
1.
J
On notera que le scalaire iP (toujours positir volumique. Introduisons,
a la
1.J
= O.
kk
ou nul) est la dissipation
place des d.. , les
D. .
et imposons que D
Log T ~ 0,
1.J
d .• - D
1.J
o.. 1.J
Dans ce cas, on constate que
= 9 II
v
D2 + 2 II D.. D.. + k (VT)2 1.J
1.J
T
~
0
'
une fois que l'on tient compte de (2,12). Ainsi, il faut que : et
llv ~ 0, 11 ~ 0
k
~
0
et on di t que 1 I on a un processus thermodynamiquement admissible. Pour les gaz mono-atomiques, l'hypothese dite de Stokes
o => A est satisfaite.
3. En particulier, pour un gaz parfait
a chaleurs
la loi d'etat (2,15) s'ecrira :
OU Y
c I
p C v
specifiques c et p
v
constantes,
. Dans ce cas, l'enthalpie specifique h est definie par la formule
(2,18)
a cp
etant donne que, pour un gaz parfait (2,19 )
C
e
= cv
et c T
v
constants
21
Tandis que l'entropie specifique sera (2,20)
8
Enfin, l'expression : (2,21)
a
2
Y R T,
= Y Pip
est le carre de la celerite du son, correspondant
a la
temperature (absolue) T;
de fa~on precise, on dit que a est la celerite du son locale (a 2 = (y-1) h).
Lorsque la densite massique des efforts exterieurs derive d'un potentiel
f =-
(2,22)
p
V U,
on peut introduire l'enthalpie specifigue totale H du fluide, definie par (2,23) On
notera que
de la relation (2,20),definissant l'entropie specifique 8,
on peut tirer la loi d' etat suivante des gaz parfaits ii cp et
C
v
constants :
p = pY exp (..§.. )
(2,24)
C
v
Lorsque l'entropie specifique 8 est partout constante, dans l'ecoulement continu considere, de (2,24) on tire la loi de barotropie suivante (2,25)
p
8
ou... ko :: exp (-2. c ) = Constante et 8 0 est la valeur constante de l'entropie specifique. v On
(2,25a)
peut naturellement ecrire (2,25) sous la forme suivante 8 P = P 1/Y exp (- -2. ) cp
et on constate qu'un cas limite particulier : de telle (2,26)
fa~on
mais c-+-O v
que c reste fixe p
22 conduit
a la
loi d'etat limite
(2.27) ou Po
2,3.
p S
==
exp (- c
o
p
= Po
= Const.
). qui est celle des fluides dits incompressibles.
~UATIONS VE
NAVIER-STOKES (CAS VE L'AERO-THERMOVYNAMIQ.UE)
1. Si nous tirons profit des lois (2.10). avec (2.11). et (2.12),au niveau des equations generales (2.8), nous obtenons les equations generales de Navier-Stokes :
f!Q.
(2.28a)
+
+
Dt + P V • u = 0;
D~:± +:± +~ :± P Dt +Yp - f = Y (). 'l.u) + 2 Y.(lJD);
(2.28b) (2,28c)
+ 2 lJ ]) :]) + r, lI)
OU
C
v
= ~;
et on suppose que e
= e(p,T)
est la loi d'etat du fluide.
On notera que les equations de Navier-Stokes (2,28a)-(2,28c) sont
ecrites sous une forme intrinseque, valable pour n'importe quel systeme de coordonnees,
a condition
~
(2,29)
d'ecrire que
= 'ddt
+
~.V
et ])
= %{~
~+ (V ~)T },
,du,tenseur :± ou'" (:± Y +u)T est le tenseur transpose Y + u •
1II) Precisons que De = Dt
2 terme - p
2;:. DT + 2;:. DP . mais Dp
oT
Dt
'dp Dt '
Dt
=-
P~ ~ .
~~ ~.~ au niveau de l'equation (2,28c).
ce qui donne le
23 2. Un cas particulier, interessant, que nous considererons par la suite, est
ac
celui du gaz parfait
et- v c - constants, ...; pour lequel l'hypothese de Stokes Si,de plus les coefficients IJ et k sont supposes constants
~---'=---;;..---p
est bien satisfaite. (ils sont notes: IJ
et k )' il vient les equations de Navier-Stokes suivantes, o ecrites dans un syst~e de coordonnees, xj ' cartesiennes, o
apU.
~ + __ K = 0 at a~
au.
p ( __ l. + u. at J
au.
l.
£J
+ 2L ax. l.
__
f.
l.
+ IJ o
A U
1
a
a~
u i + - IJ (-.,- ): 3 0 aXi a~
(2,30)
= R P T,
p
ou t::. D
Dt =
2
a =~ aX
a at +
1
2
a
a
2
+ ~ + ~
aX
2
aX
a
est l'operateur tridimensionnel de Laplace et
3
u j ax. J
On peut aussi ecrire,
a la
place de la troisieme des equations (2,30),
l'equation suivante : c
(2,31)
DT
p -
Dt
v
IJ
+ -2. 2
a~ + P = k
au.
ax.J
(_l.
a~
2
0
t::. T - -3
IJ
o
a~ 2 (- ) a~
au. 2 + --tl.) + r .
ax.l.
2,4. LES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR LES ECOULEMENTS ATMOSPHERIQUES
1. Un des caracteres dominants de la dynamique de l'atmosphere est l'influence essentielle de l'acceleration de Coriolis·). D'autre part, il faut aussi tenir compte de l'acceleration de la pesanteur
g,
qui est l'acceleration
.) L'existence et l'importance de cette acceleration furent reconnues pour la premiere fois par Laplace dans sa theorie des marees en 1775. Mais Ie theoreme de la composition des accelerations fut enonce seulement en 1835 par Coriolis.
24
gravitationnelle, composee de la force d'attraction newtonienne et de la force centrifuge de la rotation. Naturellement, dans ce cas, le repere dans lequel sont ecrites les equations est non galileen en mouvement de rotation, que l'on peut supposer uniforme,
a la
vitesse
Q= no ;
autour de l'axe Sud-Nord
de la sphere terrestre (la surface du geoide est assimilee
a la
surface d'une
sphere) ayant pour direction celle du vecteur unitaire:
;- = sin ~ k +
(2,32)
ou ~ est la latitude algebrique d'un point
cos ~:r, P situe sur la sphere terrestre
(voir la figure ci-dessous).
O={1oe
Ofo::::::~--r--f----J
Si l'on suppose que test la vraie force gravitationnelle (la force d' attraction de Newton, qui fa,i t tomber "la pomme de Newton") alors :
-+-
(2,33)
g
=-
-+-
g k
= -+-f + no2-+-x~
ou ~ est le vecteur position, d'origine au centre de la sphere terrestre et
'"= 6367 km; o ~. Les vecteurs unitaires
dirige vers l'exterieur suivant les rayons de cette sphere de rayon a l'indice L ' inferieur, designe la composante normale
t,
a
:r et k sont respectivement diriges vers l'Est, le Nord et le Zenith (dans le
sens oppose
a g).
25
....
On note V la vitesse relative du mouvement atmospherique etudie dans Ie repere mobile (P
....
n=n
....
0
.... e
T, j,
k), qui est en rotation uniforme avec Ia vitesse
autour de l'axe Sud-Nord de la sphere terrestre; les composantes de
T, j
V suivant
et
k
(parallele, meridien et Zenith) sont : u, v et w.
2. En toute rigueur,les equations de Navier-Stokes correspondantes doivent etre
A,
ecrites dans un systeme de coordonnees spheriques (r,
~), ou rest la
distance d'un point du voisinage de la surface terrestre au centre 0 de la sphere terrestre; A est Ia longitude. Ainsi, (2,34) II est cependant plus commode, pour la suite, de passer
a des
coordonnees
curvilignes (2,35 ) ou ~
o
x
= const
B) A , y cos·'Yo
= (ao
= a0
(~- ~0 ), z
est une latitude de reference (celIe du point
=r
- a ' o
P0 d'observation a Ao _ O.
sur la sphere terrestre, qui sert d'origine au repere mobile) associee Ainsi on peut ecrire que :
.1... aA
(2,36)
Si maintenant 1
0
= a
~ .1......1 0 ax ' a'l'
cos
0
= a
o
a _ a
a ay
-
ar
=
az
est l'echelle de longueur horizontale caracteristique
du mouvement atmospherique considere, on peut selectionner les mouvements pour lesquels : 1
-2.= a
(2,37)
o
IS
0
«1.
Sous Ilhypothese (2,37) il s'avere*) que lIon peut
repere~ avec
une tres
bonne approximation, Ies mouvements atmospheriques dans un systeme de coordonnees cartesiennes lie au plan normal +
ak
a g.
On notera encore par x et y les coordonnees cartesiennes du plan normal et on supposera que les directions des axes P x, P y et P z coincident avec -7-
-+
-+
- """,.
o
0
"..
0
celles de i, j et k, la coordonnee z etant mesuree vertlcalement ascendante dans Ia direction de
k.
Enfin, u, v et w designant une fois de plus les composantes
*) On pourra a ce sujet consulter Ie livre de 1e Blond et Mysak : "waves in the Ocean", Elsevier Scientific Publ. Company, Amsterdam, 1978; voir Ie § 5 du Chapitre 1.
26 -+-
de la vi tesse relative Y selon les axes Po x, on pourra ecrire, lorsque 0
-+-
o
Poy et Po z du systeme local mobile,
0 ,
(2,38) les variables t, x, y et z restant fixeeslors du processus limite 0 -+- O. o
3. L' atmosphere etant supposee etre un milieu continu en mouvement (du moins en ce qui concerne la troposphere qui s'etend de la surface du globe sur une epaisseur de 12 km en moyenne), on admet que l'air atmospherique (suppose sec) est un gaz parfait
a chaleurs
specifiques c
p
et c
v
constantes. Dans ce qui suit,
au niveau de l'equation de l'energie (1,29c), on supposera que le terme
pr
est
un terme du au rayonnement, suppose connu, et qui est la densite de chaleur re<;ue par unite de volume de la part des milieux exterieurs. On ecrira (en notant par R le rayonnement) (2,39)
pr -
oR az
dans le repere mobile (local Po x, y, z), defini plus haut. Pour l'analyse des phenomenes atmospheriques,il est jUdicieux de postuler l'existence d'une atmosphere dite standard qui est supposee exister de jour en jour sous la forme d'une situation thermodynamique de reference, fonction uniquement de l'altitude, et qui n'est que "legerement" pert"UI'beepar le temps proprement dit. Si l'on note par poo
Zoo '
l'altitude dans cette atmosphere standard et par
Poo'
et Too ' la pression, la masse volumique et la temperature absolue dans cette
derniere, alors on ecrira les relations statiques T
00
(2,40)
dpoo -Zd + gp00 =0, 00
0,
ou k est le coefficient de conduction thermique (turbulente) et Roo(Too ) s'identifie avec le rayonnement (d'apres (2,39» que nous supposons connu. Notons que l'expression :
27
.8. +dT", _ }
(2,41)
R
dZ",
est le carre de la freCluence interne de Viiis8.J.a et Clue l'atmosphere standard est statiCluement stable si
N", (z"') est reel dT
(2,42)
dz
'" <1=.l g y R '"
Precisons Clue nous considerons des ecoulements atmospheriClues pour lesCluels L satisfait 0
a la
relation
R T",(O) g
ou
RT",(O)/g
.< L0 «
a
'\,
0
6367
kIn,
est l'altitude de l'atmosphere dite homogene Clui vaut approxima-
tivement 8 kIn. Pour simplifier,nous admettrons Clue les lois des echanges verticaux par turbulence sont les memes Clue pour les echanges par agitation moleculaire; il faut alors, naturellement adopter pour les coeff'icients d' echange des , super1eures. ~ , valeurs de 10 4..a 106f01S De plus, 51. l' on suppose Clue ces coe ff'1cients turbulents d'echanges sont constants (on les designe par ~o' Ao et k 0 ) et si l'on admet l'hypothese de Stokes (3A
+
o
2V0
= 0), on peut ecrire dans le
systeme local de coordonnees cartesiennes, lie au plan normal
a g (approximation
du plan tangent), les eCluations de Navier-Stokes suivantes, pour la Yitesse relative
Vet
les fonctions thermodynamiClues p, p et T
(2,43) DLogp + ;t Dt v.
+
2
V= 0
,.
p
R P T;
ou ~1 (on notera que ~1 + ko(VT) /T - ~ ~ 0) est la dissipation intrinseClue volumiClue
28
-+-+2 - -2 II ('V. V) + 2 II 3
<1>1
0
0
{ClU (-) Clx
(2,44)
2
+ (Clv -) dy
2
+ (Clw - ) dZ
+ (dV + Clw Clz Cly
2
)2lJ. _
Naturellement, l'hypothese concernant les coefficients d'echanges turbulents (ll
o
et k
0
constants) est physiquement peu acceptable, aussi on
peut tenter de faire une hypothese moins restrictive qui consiste
a supposer
que II et k sont fonctions de Too(zoo)' On trouvera dans le petit livre de Houghton introduction
a la
(1977)~) une excellente
physique de l' atmosphere. Pour tout ce qui concerne la
modelisation des ecoulements atmospheriques, du point de vue de la mecanique des fluides, on pourra consulter les livres de Pedlosky (Geophysical Fluid Dynamics, chez Springer, New-York, 1979) et de Zeytounian (Asymptotic Modeling of Atmospheric Flows, chez Springer-Verlag
~)
Dont le titre est 1977 •
a Heidelberg,
1990).
"The Physics of Atmospheres"; Cl3Jllbridge University Press,
FORME ADIMENSIONNELLE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES 3,1. FORME AVIMENSIONNELLE VES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR UN GAZ PARFAIT A c ET c CONSTANTS --p v Revenons aux equations de Navier-Stokes (2,28), en supposant que le fluide newtonien est un gaz parfait
~= dP
(3,1)
0
,
Nous voulons donc obtenir la
a cp
et c
v
e = C T, v fOl~e
constants de telle
fa~on
que
P = R P T.
adimensionnelle des equations (2,28a)-
(2,28c), en tenant compte de (3,1), afin de placer, au niveau de ces equations adimensionnelles,les parametres (nombres) sans dimensions qui regissent les divers effets aero-thermodynamiques (instationnarite, compressibilite, conduction, viscosite, ••• ). Nous supposerons d'emblee que les grandeurs utilisees dans ce qui suit sont sans dimensions·) en dressant un tableau
o~ nous
mettrons en regard de
chaque grandeur l'unite correspondante: x.
L
t
t
1
u.
0
P P
e S
0
U
1
T
0
0
].10
].Iv
].10
k
k
Po
T ••
Po
q.
lJ
1
Po T =-0 Rpo cv e =-0 To S
].I
c
d.. lJ
0
].IoUo L
k0
0
T
~
L
U -£ L
0
0
v
.) Si cela s'avere necessaire nous noterons eventuellement les grandeurs avec dimensions avec des asterisques; par exemple : x etant sans dimension et L o etant l'echelle de longueur correspondante,on aura que x· = Lo ~.
30
Apres substitution et quelques calculs simples¥) on trouve les equations
a la
place du systeme (2,28), en tenant compte de
~
V.(p~)
adimensionnelles suivantes,
(3,1) (3,2)
8
+
= 0 ;
~~ + (~.V) ~ ]
y~ V p = R~
V.T
(3,3)
P [ 8
( 3,4)
P (8 at + u.v T) + (y-l) p v.u = - Pr Re v.q
aT
+
.... :l:
(3,5 )
:l:.......r...
1 :l: ....
P T,
p
oil
(3,6)
T=2~D+(~v -~3
{q
= - k
V T.
On notera que
T
(3,7)
::J)
J) : J)
=2
'32
~ :J) : J) + (~v -
au.
au.
= !! (--1:.. + --.J. ) 2 ax. ax. J J.
~
)( :l:v. ....u) 2
,
2
Dans ces equations adimensionnelles de Navier-8tokes pour l'aerothermo-
....
dynamique (f
=0
et r
= 0),
interviennent les nombres sans dimensions suivants :
a
¥) Par exemple:(2,28a) conduit
2£.
Po
t o at
ou encore U
o
L
~
0
+ PoUo L
~
V.(p~)
o
0
+
V. (p~)
0
nombre de 8trouhal, 8 = L t ofUo 0 ._) Dans un systeme de coordonnees cartesiennes.
et on voit apparaitre le
31
S
M
L
= __0_
, nombre de Strouhal,
Ut o 0 U
= __0 _ , nombre de Mach,
IYRT" 0
(3,8)
UL o 0 He = - -
, nombre de Reynolds (v
v0
Pr
_ Cpllo ko
llo
0
=- ) ,
Po
, nombre de Prandtl.
3,2. EQUATIONS VE NAVIER-STOKES AVIMENSIONNELLES PROPREMENT VITES Supposons maintenant qu'au
niveau des ~quations (3,3), (3,4)
(c'est-a-dire au niveau de (3,6) et (3,7)),les coefficients II constantes et que
llv
=0
et k soient des
(hypothese de Stokes). Comme nous travaillons avec
des grandeurs sans dimensions, cela veut dire qu' il faut poser au niveau de (3,6) et (3,7) : II Dans ce cas, les
~quations
systeme de
a la
= 1, k = 1 et
place des
~quations
=0
.
(3,2) - (3,5), nous obtenons
de Navier-Stokes adimensionnelles suivantes,
coordonn~es
cartesiennes :
(3,10)
(3,12)
(3,13)
IIv
p =
P T.
~crites
dans un
32
a
C'est ce systeme d'equations (3,10) Navier-Stokes. que nous aurons
a analyser
(3,13), sans dimensions de
tout le long de ce Cours. 11 faudra
lui associer des conditions aux frontieres et initiales (ecrites aussi sous forme adimensionnelle ) et nous revenons sur cette question au Chapitre III
3,3. LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ADIMENSIONNELLES POUR LES ECOULEMENTS ATMOSPHERIQ.UES 1. On a dit que:
= H OIl
etait l'altitude de l'atmosphere dite homogene et habituellement,elle sert d'echelle verticale caracteristique pour l'atmosphere dite standard, satisfaisant aux relations (2,40). Ainsi, il semble logique de non dimensionnaliser Zoo
(l'altitude dans cette atmosphere standard) avec FICO" Soi~
d'autre
par~H
o
l'echelle verticale caracteristique de notre
mouvement atmospherique de telle sorte que Dans ce cas on a
Z
la relation suivante, entre
est non dimensionnalise avec H • o Zoo et z soua forme adimensionnelle
(on garde les memes notations) (3,15 )
Zoo
Bo z,
Bo
Ho R T<»(O)
ou (3,16)
H - H
=-2. oo
,
g est le nombre dit de Bouasinesq. On notera la relation suivante 2
Y~
Fr = - Be
avec (3,18)
ou Fr
est le nombre de Froude (base sur H ) et o
Moo,
le nombre de Mach
33
2. Soient done Lo ' Ho ' to' Uo ' Wo' poo(o). poo(o), Too(o) des echelles caracteristiques de longueur (pour x et y et z respectivement). de temps, de vitesse (pour u et vet w respectivement), de pression, de masse volumique et de temperature (absolue). D' apres (2,35) et (2,37), on a
o y+
(3,19)
°
~ , 0
a t,
ou y est sans dimensions. LorsClue 00 .... 0,
x, y et z fixes (approximation
dite du plan tangent), on doi t supposer Clue Ie rapport 1Il)
8
(3,20)
2
n cos ~
== _-:;0
0.:.-
a
2
L
°
U
o
o
reste de l'ordre de l'unite; cela permet de tenir compte de l'effet 8 au niveau des eCluations adimensionnelles de l'atmosphere. Ainsi, sous la condition (3,20),
00
10rsClue l'effet
....
O,l'approximation du plan tangent emerge tout naturellement avec
8 , Clui est une trace de la sphericite de la Terre. 8 est,en fait, significatif uniCluement pour les phenomenes meteorolo-
Cet effet
giClues d'echelle L , dite synoptiClue, telle Clue: o
e:
II
= --£« L
o
1.
o
On notera Clue l'on doit admettre Clue (3,22) pour avoir une ecriture coherente de l'eCluation de continuite sous forme adimensionnelle. 1Il) Si l'on introduit Ie nombre de Rossby : U
Ro =.e.
~
o
avec.e.0 0
2
no
n sin-'Po
Ie parametre de Coriolis, on peut ecrire pour 8 la relation suivante
8 = tg -
oo
1IJ
0
Ro
Pour Clue 8 reste de l'ordre de l'unite,il faut Clue Lo
% 106
m et U0
(petit nombre de Rossby), tandis que ~o doit etre tel Clue tg ~0 (latitudes moyennes).
%1
~
m /s
10
34 ....
3. Notons : u = u
"7 -t 1 + V J
la vitesse horizontale relative, w la vitesse
verticale, p la pression, p la masse volumique et T la temperature absolue, toutes sans dimensions. Ces fonctions satisfont alors aux equations de Navier-Stokes adimensionnelles suivantes :
r,.... ....
LD •u
+
a.u
= 0;
az]
(3,24) + _1_ 2 M Yeo
a~
Dp
1 ....
........ ai aw )Jl
- - + - D (D.u + az2 3
7J
1 .... Ro U.1
(3,25)
+
Bo 7Yeo
rl:o
1
p
2 ....2 D w
= Re
a2
+ _1_ M2 Yeo
w
1
ap
az a ........
aw.l )J
+ az2 + 3" az (n.u + az
(3,26)
1
1 Bo
(J0
d Reo
-----+-fl-~~ +Pr-Re £2 dz £
o
Re
o
(3,27)
p =
P T.
Au niveau de ce systeme (3,23) - (3,27),il faut noter que l'on
s
....
D
a
D _
.... n
Dt = S at + u.
a7
=: ax
,0%.....
1
v =: u +
+
aya-t-J
£0 W
£0
k,
az
W
± .... , lJ.k
,+
V=:D+..1... ..Lit
+
'
a
ai :=
0,
a~
35
_ ,g 3
Enfin,
0
0
l]
(au + av + aW)2 ax ay dZ
J .
:: --lL R (T (0)) est le parametre de rayonnement. @to 00
00
Ainsi, nous voyons apparaitre les nouveaux parametres sans dimensions suivants :
u
Ro = 2 n sin°~ L o
Bo =
gH
0
' nombre de Rossby,
0
o
( nombre de Boussinesq, RTooo)' H
£0
°
= ~ , parametre hydrostatique,
°
./1 L2 2 ",., cos _o. ljl =. __o=--_ 0 a U o 0
a
o
parametre
"e",
«
= _R_ g k
Roo Too (0 )), parametre de rayonnement.
o
3,4. NOUVELLE FORME AVIMENSIONNELLE VES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES PROPREMENT VITES Lorsque lIon s'interesse
a l'ecoulement
autour d'un obstacle, on
suppose habituellement en aerodynamique, qu' il existe un ecoulement de base, loin de l'obstacle, tel que:
(3,30)
p =
1, P
1 et T = 1,
avec des grandeurs sans dimensions. Sous cette hypothese, revenons aux equations (3,10) introduisons,
a la
(sans dimensions)
a (3,13)
et
place de p, p et T, les perturbations thermodynamiques n, w et
e
telles que;
36
= 1 + M2 TI
p 1
,
..
appar~t~on
P
= 1 + M2 W
a la
2 ....
de M etant directement liee
,
T
= 1 + M2 e,
2 presence de M dans les
equations (3,11) et (3,12). En substituant (3,31) dans (3,10) - (3,13) on trouve, respectivement, les equations reduites suivantes : du.
dWU.
+ M2 (8 dW + __ 11: d~ dt d~
U,32)
__ 11:
dt
=
--l. Re
=0
;
d~u . . ,0 2 TI + u. +(-) + M J dx. dX. Y
dU.~
8 -
U,33)
)
[a
J
2
3
J
a~
+ .2 ~
(Y-1) -
d~
_d_
aXi
{aeat 8 -
(d~ d~
e
., ox.
ou 0(M
=
W
+
e+
Re
M2
W
dt
dU.~ ]
+ u. J dX.
J
;lJ .'
ae
[-
J
TI
dU.~
8 -
+ u. + (y-1) J dxj
d2 ~ - 2 + Y (y-1) -
=l Pr
t
~
u i +.1.
dX~
W
d'\ }
TI a~
+ OeM4 )
2 d'\ 2 1 au. au. 2 - ( - ) + - ( - l + ~) ; 3 aX. 2 dX. ax.~ 11: J
J
e,
4 ) est un terme de l'ordre de M4 que nous n'avons pas ecrit. Ce systeme
(3,32) - (3,35) est commode pour analyser les ecoulements Mach (M
-+
a faible
nombre de
0).
3,5. NOUVELLE FORME AVIMENSIONNELLE VES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR LES ECOULEMENTS AVIABATIQUES VE L'ATMOSPHERE. On revient aux equations (3,23) - (3,27) et on suppose que Re
=00;
c' est Ie cas de l' atmosphere adiabatique. Dans I' atmosphere, les fonctions qui sont significatives, du point de vue thermodynamique, sont cel1es qui tiennent compte des ecarts relativement
a l'atmosphere
standard, dont il a ete question
a la
section 2,4 du
§ 2.
37 Ainsi, il est jUdicieux d'introduire, dans les equations de l'atmosphere adiabatique (3,23) - (3,27), ou Re :: 00, les perturbations thermodynamiques
, w =
avec Zoo
= Bo
z. En substituant (3,36) dans les equations (3,23) - (3,27) on
trouve les equations adimensionnelles suivantes, pour ~, w, n, w et (3,37)
Dw
......
S Dt + (1+w) (D.u +
(l+w)
e
dW az
~ ~ + (R~ + f3Y)(k A ~)
e:
+_0_ tglfJ o
( 3,39)
(3,40)
n
(3,41)
= w+ e + we.
Pour obtenir les equations (3,38) - (3,40) nous avons tire profit des relations suivantes : d Log Poo
1 Too
dzoo ( 3,42)
d LogPoo dzoo
dToo - (1 + - dzoo
1
Too
qui decoulent de larelation hydrostatique et de la loi d' etat pour l' etat standard:
Le systeme des equations (3,37) - (3,41) permet aisement d'obtenir les equations approchees dites "de Boussinesq" qui correspondent au cas de Bo ... 0 et Moo'" de telle
0,
a t,
x, y et z
fa~on que ~ reste de l' ordre de l' uni te .) •
fixes,
38 " ma~ntenant So~t
2( 0 ) une valeur caracteristique du carre de la Noo
frequence interne de V~is~l~, definie par la relation (2,41). Introduisons la frequence sans dimension (3,43) et soit (3,44) une mesure de la stabilite statique (adimensionnelle). Dans ce cas l'equation sans dimension (3,40) peut se mettre sous la forme suivante, en tenant compte de la relation (2,41), ( 1+W) S D6 -
Dt
X:.! Y
S Drr + (1+7T)
Dt
a.~ r_ (z_) w = 0 • -
-
-
Precisons, enfin, que pour les ecoulements atmospheriques les valeurs de
7T, W et •
q~
6 sont toujours tres petites devant l' unite et c I est justement cela
permet d I effectuer le passage a" la
1II) On pourra
a ce
••
l~~te
de
1II111)
•
Bouss~nesq.
sujet consulter le chapitre 8 de notre livre sur la modelisation
asymptotique des ecoulements atmospheriques (en langue anglaise), publie chez Springer-Verlag 1II111)
a Heidelberg
en 1990.
Le Lecteur peut aisement se convaincre, avec un peu de reflexion, que l'on doit associer au passage
i,
a la
limite de
.
: Bo
Bouss~nesq
= .....B M,."
M,.,
-+-
0 avec
x, y, z et t fixes la representation asymptotique suivante (voir le § 13,
chapitre IV) : ii = iio + ••• , 7T = ~ 7T 2 + ••• , Lea equations limites ainsi obtenues pour iio ' dites de Boussinesq.
W 7T
2,
= M,.,
w1 + ••• , 6 = M,., 6 1 + " •. et 6 1 sont alors celles 1
W
CHAPITRE II
QUELQUES FORMES SIMPLIFIEES DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. LES EQUATIONS D'EULER ET DE NAVIER
Le systeme des equations de Navier-Stokes, (3,10)
a
(3,13), est tres complique et afin d'avoir la possibilite d'analyser divers types d'ecoulements, il s'avere necessaire de simplifier ce systeme general. Le probleme de la simplification des equations (3,10)
a
(3,13) est un probleme crucial en mecanique theorique des fluides et a l'heure actuelle, des methodes tres elaborees existent qui permettent d'effectuer de telles simplifications en tirant profit du fait que les parametres sans dimensions, qui interviennent dans les equations de Navier-Stokes, peuvent dans diverses circonstances etre petits ou grands devant l' uni te. Ces methodes asymptotiques, di tes de "perturbations singulieres", permettent de tirer, des equations "exactes" de Navier-Stokes, des equations
mOdeles~) Au chapitre IV on trouvera les premiers elements d'une theorie de la modelisation (asymptotique). lei,
a ce
Chapitre II, nous voulons de
II
fa~on
comment l'on peut obtenir, d'une part, les equations d'Euler (Re part, les equations de Navier (M
= 0).
\\
assez heuristique montrer
=00)
et, d'autre
Puis, de ces dernieres, obtenir d'autres
equations simplifiees usuelles (celles de Prandtl, Stokes et Oseen) •
• ) Sur ce sujet le Lecteur interesse pourra consulter notre monographie, en deux volumes parue chez Springer-Verlag (Heidelberg, R.F.A.) en 1986 et 1987, SOllS le tire: "Les 1Il0deles asymptotiques de la lIlecanique des nuides", dans la serie "Lecture Notes in Physics" (volumes 245 et 276).
w LES EQUATIONS D'EULER POUR LE FLUIDE PARFAIT EN EVOLUTION ADIABATIQUE 4,1. LE FLUIVE V'EULER BAROCLINE Un fluide est dit parfait si le tenseur des contraintes, en tout point
et
a tout
instant, est spherique
cr ••
(4,1)
l.J
- p
a.. l.J
ce qui implique (4,2) au niveau de la loi de comportement (2,11). Maintenant si, avec (4,1) (ou 4,2), on a aussi:
...
(4,3)
q =
au niveau de l'equation (2,8c), (4,4)
° et
r = 0,
par exemple, ce qui implique, d'apres (2,12), k == 0,
alors,on dira que notre fluide est un fluide d'Euler. Ainsi, le fluide d'Euler est un fluide parfait (non visqueux) en evolution adiabatique. Dans ce cas,on sait que (evolution reversible) 1
de :: T dS - Pd(p) ou encore
(4,5)
De::TDS_ D (1) Dt Dt PDtP Mais,comme notre fluide est parfait,on a
cr .. l.J
d .. - P l.J
D Log Dt
P
41
et de ce fait. il vient
a la
suivante. grace aussi
(4.5) •
a
place de l'equation (2.8c). avec r _
o.
l'equation
(4.6) Comme consequence de (4.6) et (4.3).on constate que pour un fluide d'Euler on a necessairement la relation DB = 0
(4.7)
Dt
et l'entropie specifique de toute particule que l'on suit dans son mouvement reste constante (elle peut changer d'une trajectoire
a une
autre).
En definitive.les equations regissant l'ecoulement d'un fluide d'Euler sont
Dp + P~.~ Dt
(4.8)
= 0;
DS Dt = O. auxquelles il faut associer. en toute generalite. la loi d'etat du fluide d'Euler p = p (S.p).
(4.9)
en prenant comme variables thermodynamiques principales S et p. Avec la loi d'etat (4.94 les equations d'Euler (4.8) forment un systems ferme de trois equations pour les trois inconnues ~. p et S. Le fluide d'Euler est toujours en evolution reversible etant donne que sa dissipation volumique ep est identiquement nulle
a tout
instant et en tout point de l'ecoulement.
On supposera. en general. que
(4.10)
f
=0
(cas de l'aerodynamique classique).
Si notre fluide d'Euler est un gaz parfait
a cp
= _1-1 y-
= .1.
e( s,d
T 1-y
exp (.§..) et c v
T
et c
v
constants,alors on a:
- p
la loi d'etat (4.9) peut donc s'ecrire sous la forme explicite suivante (4.11)
p
42
Mais,quelque fois il est judicieux de garder p et T comme variables
a la
thermodynamiques principales et dans ce cas, (4,12)
p=RpT,
R
c -c p
avec des grandeurs dimensionnees. Dans ce cas,
place de (4,11),on aura
v
a la
place de la
troisi~e
des equations d'Euler (4,8) on prendra l'equation d'energie suivante : DT_1::..l !DP=O
(4,13)
Y
Dt
pDt
Tout ce qui vient d'etre dit,
a cette
•
section 4,1, concerne essentielle-
ment la classe des fluides d'Euler baroclines, caracterisee par (4,9) ou encore (4,11) ou (4,12) pour le cas du gaz parfait
a cp
et c
v
constants.
4,2. LE FLUIVE V'EULER BAROTROPE Une classe plus restreinte est celle des fluides d'Euler barotropes pour lesquels,
a la
place de (4,9), on a :
(4,14)
p
=g
(p) •
Ce cas se presente lorsque l'ecoulement de fluide d'Euler est suppose continu, partout dans tout le domaine d'ecoulement considere, et si Be fluide d'Euler est mis en mouvement
a partir
d'un etat de repos dans lequel :
S = SO = Const. En effet, dans ce cas : DS = 0 Dt
implique S _ SO = const.
et de ce fait dans (4,9),on a : P (S,p)
= P(SO,p)
= g(p).
En particulier, pour le cas du gaz parfait aura, la loi de barotropie suivante (4,15)
p = k
o
pY, avec
k
SO
o
a cp
_ exp (-- ) c v
et c
v
= Const.
constants,on
43
Si l'on tire profit de (4,15), on peut aisement ecrire, pour le
~
barotrope, les equations d'Euler suivantes :
!
~+V-+-=O Dt .u -+Du + k Y Py-1 V Log P Dt 0
(4,16)
0,
qui forment un systeme ferme pour ~ et p • Introduisons l' enthalpie specif"ique ''barotrope'' (4,17)
h
d'apres (2,18) , ou a
2
=....:L.y-1
k
0
y-1 P -
2 a y-l
Y Pip • Dans ce cas, on peut reecrire (4,16) sous la
forme
{
(4,18 )
D Log p Dt
+ V.~ = 0
Du+Vh=O Dt
Ainsi, si nous introduisons le tourbillon (4,19) nous obtenons aisement les relations :
~.V ~ =
-+-2
V (~ )
-+- -++2wAu,
-+-::1: -+""::1: -+- -+-::1: -+-+-::I:-+V A (u.v u) = 2 (u.V)w-2(w.v)u + 2 w(v.u) ,
::I:
et
ce qui fait que, des equations d'Euler barotropes (4, 18),nous pouvons former une equation pour le tourbillon : -+-
a-+-::I:) (~) ( at + u. V p
(4,20) -+-
w
-+-
w p
.V ~
= 0 •
Cette equation (4,20) est une equation differentielle ordinaire pour
pie long des trajectoires, dont on peut expliciter l'integration quand on connait le mouvement par une formule dite de Cauchy; introduire le tenseur
F de
compos antes
aJS.
£
aj
a cet
effet, il faut
,ou les a. sont les coordonnees J
44 .
0'"
lagrang~ennes
assoc~ees
If)
.
, ce
qu~
.
condu~t
F,
(4,21) ou ~o et lorsque
...
a la formule
pO sont les valeurs initiales, O W _
at
= 0, de ~
et de p • En particulier,
0 (en ecoulement continu) on a : -+
(4,22)
w
=0
et
-+
u
= -+'il
J\ ljI
,
ou la fonction ~ (~,t) est le potentiel des vitesses de l'ecoulement de fluide d'Euler barotrope irrotationnel (~= 0). La relation (4,22) traduit le theoreme dit de Lagrange qui est une consequence directe de l'equation (4,20)
dite d'Helmholtz.
4,3. L'EQUATION OE STEICHEN Pour un fluide d'Euler barotrope en evolution irrotationnelle l'equation
+
Du + Dt
Vh = 0
devient (avec (4,22)) :
o .
(4,23)
De ce fait, si le domaine d'ecoulement est simplement connexe, il vient la premiere integrale de Bernoulli :
(4,24) avec B(t) une fonction arbitraire ne dependant que du temps t. Cependant, on remarquera que l'on peut toujours ajouter une fonction du temps arbitraire
a~
sans changer ~ et de ce fait nous pouvons, en toute generalite, supposer qu'au
(4,24) nous avons une constante, que nous noterons Bo • 11 s'agit maintenant de construire, a la place des equations (4,18), une seule equation pour ~ . A cette fin, considerons (4,24) (avec B(t) =Bo = constante)
second membre de la formule
(If) Si (xi' t) sont les variables d'Euler et (a j , t) celles de Lagrange, alors
on a les relations suivantes a. = a.(xo ,t) J
Da. (la. -.J.=~+ Dt (It
J
(lao
~
~~=o
et
a i - xi' lorsque
t
o
de plus on a aussi
45
a t;
et derivons relativement
fl+~-..DL+
(4,25 )
pui s que
il vient :
Clt 2
Clh
at =
1 Y-1
Cla
2
Cl~ Clt Cl~
a
2
~_ Clt
- 0,
_ Y 2£ _ 2 ClLog p = yk o P Clt - a Clt
at
de la premiere des equations (4,18) on tire
Ensuit~
(4,26) oil
2 ,,_ fl2 +~ Cl .n d + 2
t.ljf -
Clx
1
Clx
Clx
2
3
Enfin, de la seconde des equations (4,18), on tire I 'equation suivante apres l'avoir multipliee scalairement par V~, (4,27)
puisque
Vh
_ a2
V Log
p.
Une combinaison simple du systeme compose des trois equations (4,25), (4,26) et (4,27) conduit a 2 t.
(4,28)
a l'equation
~
_
Cl2~
= 2
Clt
en ~ cherchee (oil p n'apparait plus) :
~ 2!.- + EL EL Clt Cl~ a~
Clx j ~
qui est l'equation dite de Steichen. Naturellement, l'equation de Steichen (4,28) n'est veritablement une equation pour Ie potentiel des vitesses ~ (x., t) que parce que la celerite du son locale,a, peut etre aussi exprimee En effet, revenons
a l'integrale
J.
a l'aide
des derivees partielles de ~.
de Bernoulli (4,24);dans Ie cas
considere ici on a :
Cl~ Clt et pour determiner la
+
..!2
I~12 Cl~
+
2 a B = Const., y-1 = 0
constant~ supposons
que l'on puisse remonter continUment
dans une region amont oil Ie module de la vitesse est constant - c'est Ie cas classique de l'aerodynamique, lorsque l'ecoulement loin en amont d'un obstacle est uniforme
46
-
i~~nd ~I = I~ I~ amont Si l'on designe par a
'"
dans cette region amont
a",2
U = Const.
'"
la valeur constante de la celerite locale du son = Y p"'/p -- Cons t .,
'"
OU P", = Const. et P", = Const. caracterisent l'etat thermodynamique uniforme de l'ecoulement loin en amont,
a vitesse
2 U
Constante: - '" 2
constante, il vient : 2
a + - '"
y-1
= B
0
et de ce fait, on trouve que
(4,29) Ainsi, il vient finalement l'equation de Steichen, en ~, suivante
(4,30)
Cette equation de Steichen (4,30) peut aussi s'ecrire sous la forme adimensionnelle suivante
(4,31)
ou
U
M
'"
tiques.
=~ a
'"
et S
L 0
= U", to
sont les nombres de Mach et de Strouhal caracteris-
47
4,4. LE CAS VU FLUIVE V'EULER INCOMPRESSIBLE 1. Revenons
a la
loi d'etat (4,11), qui est equivalente
l'entropie specifique S, pour le gaz parfait c
S
( 4,32)
v
a Cp
et
C
v
a la
relation donnant
constants,
Log ...E....
OY
cy Log P - c
Log p,
P
c puis que Y = J C v Considerons maintenant le cas limite de :
{
(4,33)
Y~ c
p
00
de telle
,
fa~on
reste fixe mais c --
v
~
que, 0
Dans ce cas, on obtient de (4,32), la relation suivante (4,34)
S
- c
P
Log P
et de ce fait
DS
(4,35)
Dt = 0
implique
DP
Dt = 0 •
Ainsi, dans ce cas,du fait de l'equation de continuite (~+ pV.~
0),
on trouve que l'ecoulement est incompressible
V.~ = 0
(4,36)
On abt'i:entainsi, sous la condition (4,33), Ie systeme d'Euler incompressible, dit isochorique, suivant :
{
(4,37)
l2.e = 0, V.~ = 0 Dt ~
P Du Dt + S
VP -- 0,
= - cp
T
= ...R..c P p
Log p.
2. Dans un cas particulier, lorsque l'ecoulement est continu partout dans tout Ie domaine d' ecoulement considere et si Ie fluide d 'Euler (isochorique) est mis en mouvement que :
a partir
du repos de telle fa~on que p
= po
= Const., on constate
48
= 0,
~
=>
avec p
= pO = Const
pour t o ,
= pO, partout,
P
c'est le cas du fluide incompressible et on trouve,
a la
place du systeme (4,37),
les equations d'Euler incompressibles suivantes ++
(4,38)
\l.u
+
Du + ~ (.L ) =
0,
pO
Dt
°,
qui forment un systeme ferme pour ~ et p. On retrouve ce systeme (4,38)
a partir
du cas barotrope en tirant profit
de (4,15) sous la forme: p = p
et en effectuant le passage
(4,39 )
a la p
= p
1/
SO Y exp (_ ) c p
limite (4,33). Dans ce cas.il Yient o
- exp
ce qui nous donne la valeur de pO, qui s' introduit au niveau de (4,38). 3. Comme
~.(~)
-
V.(~ A~)
0,
on trouve que
(4,40) ou les fonctions scalaires A et U sont les fonctions tourbillons de notre ecoulement de fluide incompressible d'Euler, de telle
(4,41)
2
~.V
A =
° et
2
~.V U =
fa~on
que :
°
Cela veut dire que les lignes tourbillons de notre ecoulement incompressible d'Euler s'obtiennent comme etant les intersections des surfaces tourbillons :
A = Const. et U = Const. Ainsi, on constate de (4,40) que :
VA~=VAAVU, ce qui veut dire que
49
V II
(4,42) ou
[
~
+
}l
V AJ
= 0 =>
~ = V ep
- ].J
VA
,
est la fonction potentielle des vitesses associee.
a l'equation
Revenons
du mouvement de notre ecoulement de fluide
incompressible d'Euler, que nous pouvons ecrire sous la forme suivante la relation :
+;l:>-
\.l·vu
=
+2 + u + +\ 'iJ (""2) + 2 w II u). : +
~~
(4,43) +2
+~ 2
avec H =~ Po
+
(V
II
~) II ~
+
VH =
0
,
Substituons ~ d'apr~s (4,42), il vient
D].J+
(4,44)
DA ±
(d'apr~s
a la
place de (4,43)
±
-'iJ A- V].J= V J Dt Dt '
avec
(4,45) De (4,44),il en decoule que:
ou encore
( 4,46)
J = J(A,].J,t) • Ainsi,
(4,47) et nous obtenons,
a la
place de (4,44), les deux equations canoniques suivantes
( 4,48) avec 1~12
t) = ~ + ..E.... + .£.P. _ aA \ J ( A, ].J , 2 0 at ].J at ' P
et
+
+
+
u = 'iJ ep-].J 'iJ A
Mais d'autre part,comme : V.~ = 0, on peut introduire deux fonctions de courant
~
et X de telle
fa~on
que
(4,50) et
a un
instant t fixe,les lignes de courant de notre ecoulement d'Euler
incompressible s'obtiennent comme etant les intersections des surfaces de courant :
50 ~
= Const
X = Const ,
et
puis que
~.V ~
=0
et ~.V X
=0
•
Donc en combinant (4,50) avec (4,42), on trouve la relation (4,51) Un cas particulier interessant correspond
a l'ecoulement
de
~luide
d'Euler incompressible stationnaire avec la condition supplementaire que
aJ
a]1
aA et dans ce cas, comme at
= 0
= 0, on aura -+;t
u.Y A
= (V-+- ~
-+
+-
A V x).V A = 0
Ainsi, il vient pour ce cas particulier la relation suivante pour la fonction tourbillon (4,52)
]1
Mai~
_ V <j>.V - IVAI 2
A
....
au dans le cas stationnaire, at = O,et l'equation (4,43) montre que
~.V H = 0 et aussi et de ce H
=X -
~ait
nous pouvons toujours
~aire
2~.V H = 0
le choix particulier suivant :
A • Les surfaces de courant H = Const. sont dites Ainsi, l'ecoulement de
~luide
sur~aces
de Lamb.
d'Euler incompressible stationnaire
est irrotationnel si :
V ep.V
(4,53)
H = 0 ,
puisque dans ce cas, d'apres (4,52), on aura ~ = 0 et aussi ~ = 0, d'apres (4,40) • Donc, si les
sur~aces
equipotentielles, = Const., et les surfaces
de Lamb, H = Const., forment un reseau orthogonal, alors l' ecoulement de ;fluide d'Euler incompressible stationnaire est irrotationnel.
51
V.; = 0,
4. Dans le cas rotationnel (~ t O~ 1 'equation de continuite,
implique
l'equation suivante : (4,54) et lorsque V
=0
(ecoulement irrotationnel),on retrouve l'equation classique
de Laplace pour la fonction potentielle des vitesses : (4,55)
Ii cP = 0 .
Dans le cas rotationnel mais stationnaire on a l'equation -+
(4,56)
-+
-+
(V A u) A u
=-
±
V
H
D'apres (4,50),on a la representation
et comme la surface de Lamb
H = Const. est une surface de courant on aura
= H (lji,X)
H
a la
Ainsi, on peut ecrire,
(V ou encore
lji A
V X)
•
place de (4,56), l'equation suivante
A 2 <:i
*
*
*
+ + + + ~ aH aH (2w.V lji) V X - (2w.v X) V lji = a1)l V 1)1 + ax V X
et cette derniere equation vectorielle est equivalente scalaires :
{
(4,57)
+ ~
2w.v lji
a deux
equations
aH = ax aH
+ ~
2w.v X =- alji
On notera l'analogie de (4,57) avec (4,48) qui pour le cas stationnaire devient
{
(4,58)
On sait que pour partou~
aJ
u. V V = aA '
~.V A=_aJ
aV
un ecoulement stationnaire on a,H
= Constante,
dans une certaine region de l'ecoulement suppose continu (par exemple,
a l'infini done
+ ~
amont loin d'un obstacle perturbant, cet ecoulement uniforme de base);
du fait de la conservation de H sur les lignes de courant de l' ecoulement
perturbe stationnaire
contin~on
aura aussi :
52
VH
= 0 =>
(V
A
~)
A
~
=0
De ce fait, dans ce cas,les equations d'Euler incompressibles stationnaires Be reduisent
a. v.~
(4,59)
=0
VA ~
et
= 0 ,
et on retrouve
~ ~ = 0 , avec ~ =
(4,60)
V ~.
4,5. LES ECOULEMENTS STATIONNAIRES ROTATIONNELS BAROCLINES 1. Considerons maintenant le cas des ecoulements stationnaires d'Euler
baroclines; on a les equations suivantes
{
(4,61)
V.p~ = 0 ; +
u.
V +u
~.V
S
Comme
~.V ~ =
P1 +'iJ
=0
o ,
p
•
1::1 2
V (~ ) +
2
~ 11. ~
1;t + + Vp = 'iJ h - T 'iJ S, P
et avec h
+
-
=e
+ Pip' nous pouvons ecrire,
a.
la place de la seconde des equations
(4,61), l'equation dite de Vazsonyi : (4,62) avec H = h +
1~12 2
Comme dans le cas stationnaire on a
;.V S
= 0, on constate de (4,62)
que l'on a aussi (4,63)
;.V Ainsi, les surfaces H(~)
H
=0
•
= Const.
(de Lamb) et les surfaces S(;)=Const.
(isentropiques) sont des surfaces de courant de notre ecoulement stationnaire d'Euler, barocline (rotationnel).
53
Plus generalement, soient ~ (;) = Const. et X (;) = Const. les deux familles de surfaces de courant qui caracterisent geometriquement (cinematiquement) notre ecoulement stationnaire tridimensionnel d'Euler barocline. Pui s que
=0
~.V ~
(4,64)
~.V X = 0 ,
et
il vient la representation suivante de la vitesse
(V
~ = -.1.
(4,65 )
~ A V X)
P ce qui integre l'equation de continuite :
V.(p
~) =
V.(V
~ A V X)
=V.[VA(~VX~ =0. ~. V S = 0,
Ainsi, comme consequence de
~. V H = 0 et de (4,65),
on constate que 1~12
(4,66)
ou
t
H= ~ 2
S
=s
(~,X)
+ h
,
H et S sont des fonctions arbitraires de
et de X qui se conservent le
~
long des lignes de courant de notre ecoulement stationnaire de fluide d 'Euler barocline. 2. Revenons maintenant
a l'equation
....
de Vazsonyi (4,62) et substituons u, H
et Sd'apres(4,65) et (4,66); onobtient : ;t;t
aH
....
aH
;t
;t
as
;t
as
;t
(v ~ A v X) A 2 w = p (a~ v~ + ax v X - T a~ v~ - T ax VX)
ou encore, en tirant profit de la formule du double produit vectoriel,
(2~.V~)
VXp
(;~
(2~.VX) -
V~
T ~)V X
+ p (aH _ T as a~ aljl
);t ,"
v~'
Cette derniere equation vectorielle est equivalente scalaires, qui s'ecrivent sous la forme suivante :
a deux
equations
54 +;:t"
2w. v 1/1 = p
{
(4,67)
aH
(ax -
+;:t"
T
aH
as
ax); as
2w.v X = -p(a1/l - T a1/l)'
et qui peuvent s'interpreter comme lJs integrales pre~eres de l'equation
(4,62). Ces integrales premieres (4,67) ont ete obtenues par Zeytounian en 1966~). L'ensemble des relations (4,65) a (4,67) donne une
de
Va~sonyi
nouvelle formulation des equations d'Euler pour les ecoulements stationnaires baroclines rotationnels. Au sujet de ces ecoulements,on pourra consulter notre monographie ("Notes sur les Ecoulements Rotationnels de Fluides Parfaits", dans la serie : Lecture Notes in Physics chez Springer-Verlag, Heidelberg 1974, vol. 27) ou l'on trouvera une analyse detaillee de ces ecoulements d'Euler (voir plus particulierement les Chapitres III et VIII de cette monographie). 3. Dans le cas particulier de l' ecoulement plan, ayant lieu dans le plan
(Ox , x ), on peut imposer que 1
2
x-
x
_ .l...£!t.. ,
.l!L - 0, u - p aX 1 3 , ax 2 3
Dans ce cas le tourbillon
tii
u
2 =
_ .l...£!t.. p aX 1
s'ecrit sous la forme simplifiee
et il n'y a done qu'une seule compos ante qui est perpendiculaire au plan de l'ecoulement. Ainsi, la seconde des relations (4,67) conduit
a la
formule suivante,
pour w3 '
(4,68) ouH
o
=H (1/1) etS 0
0
=S (1/1). 0
Cette formule (4,68) indique de
fa~on
explicite comment le tourbillon
est genere en ecoulement barocline rotationnel plan. On verra lors de la discussion des relations dites de chocs, pour les ecoulements discontinus, que la fonction H ne subit pas de discontinuite
a la
traversee d'une onde de
choc (cela est du au fait qu'il y a continuite de la quantite de mouvement
a
la traversee du choc); par contre l'entropie specifique, S, elle. subit une discontinuite (un accroissement) sur les lignes de courant en aval du choc If) Voir l'article : "Three-dimensional rotational motion in a compressible fll"id".
Academy of Sciences of USSR, Izvestya Atmospheric and Oceanic Physics, vol. " Feb. 1966, p. 61.
55
(suppose, en toute generalite, courbe). Ainsi, en fluide d'EUler, la production de tourbillon est causee par la variation d'entropie specifique d'une ligne de courant
a une
autre lors de la traversee de l'onde de choc. Ce cas se presente
lors de l'ecoUlement hypersonique •
pOJ.nte
1lI)
au~our
d'un
pro~il ~nce
dont Ie nez est en
•
a ce sujet lire avec profit Ie Cours de J.P. Guiraud : "Topic in hypersonic flow theorytl publie par Ie Department o~ Aeronautics and Astronautics, Stanford University (California, U.S.A., 3963). Ce Cours a ete traduit en langue russe par les Editions :MIR de Moscou:-erl 1965 et edite sous la forme d'un livre (Osnovnye voprozy teorii giperzvukovyh te~enij).
1lI) On pourra
LES EQUATIONS DE NAVIER POUR LE FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE 5,1. LE FLUIDE DE NAVIER Si le fluide n'est plus parfait, mais reste par contre incompressible, il faut faire intervenir les contraintes de viscosite T ... Comme l.J
~ :: ~.~ = 0 il vient T •.
l.J
=
2
~
d ..
l.J
~
dUo
dUo
(_l. + --.J.. ), dx. dx. J l.
avec des coordonnees cartesiennes. Ainsi, dans ce cas, le tenseur des contraintes de viscosite, propor· 1 . (qUl. . est un devl.ateur " . .)) , represente " t l.onne au t enseur des t aux de d"eformatl.ons = - p 0.. + T •• ), l.J l.J l.J ce qui n I est pas le cas en general pour un fluide visqueux compressible, pour
donc le deviateur du tenseur des contraintes (de composantes
lequel,
a la
0 ••
place de (5,1), on a la relation (2,11).
Le coefficient
~"
au niveau de (5,1) est toujours positif, ce que
· 1 es experl.ences " . .JIl) c , est le coeffl.cl.ent • . . . . ,. 10 rsque con f l.rme dynaml.que de Vl.scosl.te.
l'on suppose que: ~
-
~o
= Constante,
on di t que le fluide visqueux incompressible est un fluide de Navier. Le rapport ~o -= V 0 = Constante Po
est le coefficient de viscosite cinematique. Ainsi, on a la loi de comportement suivante, pour les fluides de Navier,
o .. = l.J
po l.J ..
+
2~
0
d .. ,
l.J
lI!)Precisons qu~ pour tout tenseur du second ordre A, on a la relation suivante, ~o~r le deviateur de A = (a .. ) : Dev A = A - 1/3 tr (A)jl,.lo~ tr(A) = ~ , 1.,J,k = 1,2,3(nos tenseurs ~~ second ordre sont tous symetrl.ques). lI!lI!) En particulier celle$effectueespar Poiseuille, physicien frangais (1799-1869). Ces experiences lui permettent d'etablir en 1844 les lois de l'ecoulement laminaire des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques et elles <3onduisent a la determination du coefficient de viscosite.
57
et une fois de plus,la pression (hydrodynamique) p, au niveau de (5,3), est un multiplicateur de Lagrange, qui est une inconnue au meme titre que la ->
vitesse u. Les deux fonctions ~ et p, deter~nant l'ecoulement d'un fluide de Navier (incompressible et visqueux), satisfont aux equations de Navier, qui decoulent des equations generales (2,28a) et (2,28b), P
= Po = Const.;
->->
(5,4)
'V.u = 0; -> dU
->->->
7:
n
"t + u. 'V u + v (--",- ) a Po
= \) 0
->
De maniere precise,les fonctions u et p, satisfaisant au systeme de Navier (5,4), caracterisent l'hydrodynamique de l'ecoulement de Navier. Comme ->->->
u. 'V u
avec
->
w=
217:V A ->u,
ls. troisieme
->2 u = 7:v jiL 2
->->
+ 2 wA u
7:
on trouve en prenant le rotationnel (vA.)des deux membres de
des equations (5,4), l'equation du tourbillon suivante :
une fois que l'on tient compte du fait que: ->
potentielle des forces exterieures f/
f
= - Po
V U,
ou U est la fonction
. On notera que cette equation (5,5),
Po pour le tourbillon d'un fluide visqueux incompressible,
t:i,
s'apparente
a une
equation du type de celle de la chaleur (parabolique). Naturellement, cela est bien le cas en theorie lineaire (diffusion du tourbillon sous l'action de la viscosite).
5,2. L'EQUATI0N REGISSANT L'ECOULEMENT PLAN OE NAVIER Un cas particulier interessant est celui de l'ecoulement plan. Soit (OX"
x ) le plan ou s'effectue l'ecoulement; dans ce cas le champ des vitesses 2 u ) est determine a partir d'une fonction de courant plan 1/J (t, x" x 2 ), 2 telle que : (u"
(5,6)
(5,7)
58
:02
avec
+
2
2
2 aX 1
aX
=a- - + a- -
+2
• Mais d' autre part, dans le cas plan,
2 2
aW
+
et !1w= (D w ) k 3
aW
3 ?j A (~ A ;) = (u - -3+ u - 1 ax, 2 aX 2
+
k
3
3
Ainsi, de l'equation generale (5,5), il vient pour la fonction de courant
W(t,
x , x ) l'equation scalaire suivante 1 2
o ,
(5,8)
W
qui est une equation quasilineaire du quatrieme ordre pour Cette equation (5,8) mise
SOllS
forme sans dimension
s'ecrira
(en gardant les memes notations) : (8
(5,9)
..l.. at
+ ~ l_~..l.._...l.. ay ax ax ay Re
:02 )
:o2 W= 0,
UL L o0 ou W (t,x,y), x - x , Y - x , 8 =_0_ et Re = 1 Ut 2 o 0 "0
5,3. L'EQUATION V'ENERGIE ASSOCIEE Lorsque p = p conduit
a ecrire
o
= Const. et ?j.~ = 0, l'equation generale (2,28c)
l'equation pour
~a
temperature absolue T
SOllS
la forme suivante
(5,10)
une fois que l'on suppose que le coefficient de conduction thermique k est constant k et r
= O.
=ko
= Constante,
Pour le champ des vitesses ; conuu
a partir
des equations de Navier
(5,4), l'equation (5,10), pour la temperature absolue T,est lineaire. Ainsi,
a chaque
ecoulement de Navier (dynamique) de fluide visqueux
et incompressible on peut associer un champ de temperature absolue satisfaisant
a l'equation
lineaire (en T) (5,10).
59
5,4. LE CAS DEM=O ET L'ECOULEMENT DE NAVIER Considerons les equations adimensionnelles de Navier-Stokes (3,32) -
(3,34). Faisons dans ces equations M = 0; on trouve alors pour ~,
TI
et
e
les equations simplifiees suivantes o~
-=0
o~
2
au.
a + _ (!!.) = lOu.1. ox. ox. y Re a 2
_1.
J
S
(5,11)
+
~
at
+
X
1.
j
~ - l ...L 02 e u j ox. - Pr Re a 2
V(vY--l1)I 2
~
J
X
aUi ox.
1
j
au;
(-+~)
Re
2
ox.
J
1.
Ce systeme (5,11) est equivalent au systeme constitue par les equations (5,4) et (5,10).
De plus,la relation (3,35) implique que: (5,12)
W
=
TI -
e,
ce qui permet de calculer la perturbation de masse volumique, w, une fois les perturbations de pression et de temperature,
TI
et
e,
calculees a partir du
systeme (5,11).
5,5. LE CAS DE Re
= 0;
L'EQUATI0N
DE STOKES
Revenons a l'equation (5,9), pour qu'au
niveau de (5,9), on impose Re
= 0;
~
(t,x,y), adimensionnelle. Supposons dans ce cas il vient, pour
l'equation simplifiee :
c'est-a-dire (5,14)
o ,
~
,
60 qui est l'equation dite de Stokes (dite aussi "biharmonique").A cette equation de Stokes est associe
le paradoxe celebre de
~
(lie
au "mauvais II comportement a l' infini). L' equation (5,14) est une equation elliptique. On notera que si l'on ne fait aucune hypothese sur le nombre de Strouhal, S, au niveau de l' equation "exacte II (5,9), valable que] que soit le nombre de Reynolds, Re, alors on perd la derivee temporelle en lorsque Re
=0;
de ce fait si une condition initiale sur
~
est associee a
~
(5,9), on ne pourra pas satisfaire a cette contrainte initiale au niveau de l'equation approchee
(5,1~),
valable lorsque Re
=O.
Il Y a la un probleme
de degenerescence singuliere et on pourra a ce sujet consulter la
Le~on
VII de
notre mooographie de 1987 (Lectures Notes in Physics, "Vol. 276 chez Springer-Verlag, Heidelberg).
5,6. LE CAS VE Re
=
00
;
L'E~UATrON
V'EULER
Considerons une fois de plus l'equation (5,9) pour
~
avec l'hypothese
que : S
=0
Dans ce cas, il vient pour
~
et
Re
=
00
•
(x,y) l'equation approchee suivante
ou encore
o ,
ce qui veut dire que (5,16)
au
F(~)
est une fonction arbitraire de
~
seulement qui doit-etre determinee,
par continuite, a partir de conditions a la limite a l'infini (amont). L'equation (5,16) est celle d'Euler et elle gouverne les ecoulements plans stationnairesde fluide parfait incompressible. C'est encore une equation elliptique qui se reduit a l'equation de Laplace, lorsque
F(~)
= O.
En fait,
61
a la
pour obtenir.
place de (5.16). l'equation de Laplace
il suffit que le tourbillon (perpendiculaire au plan de l'ecoulement) Boit nul
a l'infini
(amont). ce qui entraine. par continuite. qu'il est nul partout.
5, 7. Lf CAS Of Re» 1 ; L' fQ.UAT1 ON Of PRANVTL POUR LA COUCHE LIMITE Lorsque Re »1. il s'avere que la non dimensionnalisation qui conduit
a l'equation de Navier
(5.9) est satisfaisante uniquement si l'on examine l'ecoulement
a des
distances de l' ordre de L de la paroi de l' obstacle autour o duquel l'ecoulement peu visqueux incompressible est considere.
= O.
Supposons. pour simplifier. que l'equation de cette paroi est y On s'interesse. pour Re »1.
=0
y
a l'ecoulement
au voisinage immediat de cette paroi
et de ce fait.il semble logique dans ce cas.de garder x. puisque l'abscisse
reste la meme que l'on
//,/,/"///////////////////////,/,1'1 FP
soit pres de la paroi (a une distance.e.
o
«L) 0
Lo
ou loin de celle-ci (a une distance L ). o
Bar contre,il faut "distordre"convenablement y = 0
m
m
·.e~
m
..···· ·..·..···
·..
C"L--~
l' ordonnee y ainsi que la foncti on de courant 1jI. afin que y et 1j! restent de l' ordre de un, avec des variables sans dimension. dans la region tout pres de la paroi y = 0 ; ainsi. on pose:
•
y = t-
(5.18)
o
....
ou y
If
et 1j!
~
et
~ =
&• 0
0 .....
sont avec des dimensions. tandis que y et 1jI
et sont de l'ordre de un dans le voisinage d'epaisseur l
sont o
~
dimensions
de la paroi y = 0 .
Mais l'equation (5.9) a ete obtenue (cas stationnaire) lorsque (5,19 )
y =
t-•
-L
et 1jJ - U L
000
Par comparaison de (5,18) et (5,19) on trouve (avec des grandeurs sans dimension
~ =-!-o
62
oil apparai:t le petit parametre
oo
(5,21)
.t
=~« 1 • L o
Done. au voisinage immediat de la paroi y = 0,
a la
place de l'equation
(5,9), il nous faut, dans le cas stationnaire, considerer l'equation suivante (on tire profit de (5,20» : (5,22)
(
~ay
..l.. -
ax
1
~..l.. ) {o fl2 +...L fl ax ay ax 0 ay2 0
o
1
= Re Naturellement,lorsque
Re reste de l'ordre de un et que.t
les equations (5,9) et (5,22) sont equivalentes; de toute
fa~on
o
~ L
0
(5,9) et (5,22)
sont deux formes differentes sans dimensions de la meme equation dimensionnee
(5,8), pour le cas stationnaire (8
=0).
11 nous faut maintenant considerer la forme limite de l'equation
lorsque simultanement Re
et 0
+ ~
0
+
0, de telle
fa~on
(5,22)
que l'equation limite
ainsi obtenue contienne "au moins" un des termes du second membre de (5,22). On voit aisement que la seule possiblite consiste la relation de similitude suivante entre Re et 0 1
1
Re -. 02
a imposer
o
1 ,
o
ce qui nous donne pour 0
o
la relation
Ainsi, on constate que l' epaisseur de la region, pres de la paroi y = 0, qui nous interesse est :
(5,24)
.t
o
L
= __0_
IRe
c'est l'epaisseur (avec des dimensions) de la couche limite et qui gouverne la fonction de courant limite
l'~uation
63
~o
(5,25)
I')
est alors
a. i
Lim ~ -+ 00
Re o
3$0 3
-+
et
Y fixes,
0
3$0
a
(----ay 3x dX 3y
Cette derniere equation s'integre une fois, en
y,
et conduit
a.
l'equation suivante : (5,26) Lorsque f 0 (x) := 0, on obtient l' equation de Prandtl de la couche limite:")
5,8. LE CAS VE
Re «
Lorsque Re «
1;
L'EQUATION V'OSEEN
1 (fluide fortement visqueux) il s' avere que la
non dimensionnalisation qui a conduit
a l' equation (5,13) est
satisfaisante
uniquement que si l' on examine l' ecoulement de Navier dans une region pres de la paroi de l'obstacle, E , dont l'epaisseur reste de l'ordre de L ' L'equation o de Stokes (5,13) n'est pas adequate pour representer, meme pour Re tres petit devant un, l' ecoulement
a des
grandes distances de la paroi de E . A des
grandes distances, E "apparai:t" comme un petit domaine evanescent au voisinage de l' origine et nous supposerons qu' a des grandes distances de E, l' ecoulement est uniforme, ce qui veut dire 1j!
(5,27)
'V
Y
a.
qu' en variables sans dimensions, des grandes distances de
E.
Soit Yo une grandeur infiniment grande (qui tend vers l' 00 ); nous devons done au voisinage de l'infini,
a des
grandes distances de E , introduire
de nouvelles grandeurs adimensionnelles (5,28) et l'equation (5,9) devient, avec les grandeurs (5,28),
(5,29)
a un ecoulement uniforme, de vitesse constante parallele la plaque = 0, loin du bord d'attaque de cette plaque supposee semi-infinie (0 ~ X < 00).
lI!) Le cas fo(X) :: 0 correspond
a
y
64
On constate qu'il y a un choix particulier, qui est y
:=
o
1
Re
Ainsi, pour etudier ce qui se passe au voisinage de 1'00 il faut introduire les nouvelles grandeurs sans dimensions '\,
ou ~
satisfait
a l'equation "'\,,,
= Re
~
Re x,
x
Clx
= Re
ljJ
sans dimension
suivante
,,'}>
~2
'\,
_ ~.l... ) +n2 (ill!...L '\, '\, '\, '\, ay
~
et
y
Clx Cly
= n
'P ~
'\,
(+n2 'P) ~
.
COlllID.e l'obstacle E est un petit domaine (evanescent avec Re
+ 0)
dans le plan (~, ~), au voisinage de l'origine, on peut supposer que l'ecoulement uniforme
a l'infini,
correspondant
a:
(5,33)
sera peu perturbe par cet obstacle, de telle sorte que la solution de (5,32) pourra etre recherchee sous la forme du developpement suivant
~ =~
(5,34)
ou
~
(Re)
+
0, avec Re
+
+
~ (Re) ~1
+ ...
0, est une jauge qui reste
a determiner.
En substituant (5,34) dans (5,32) on constate qu 'a l' ordre la fonction ~1 satisfait
a l'equation .l...
(5,35)
Cl~
'\,
(+n2 'P) ~1
]..l
(Re),
dite d'Oseen '\,
'\,
=n
n
+2 (+2 'P )
1j!1 '
qui est lineaire. Ainsi, lorsque Re« 1, l' equation de Stokes (5,13) fourni t une solution approchee valable au voisinage de l'obstacle, tandis que l'equation d'Oseen (5,35) donne
une solution approchee valable au voisinage de l'infini, a de
grandes distances de cet obstacle : ce n'est que par la conjonction des deux
65
solutions que l'on parvient
a construire
une solution uniformement valable
partout. Le fait que la solution de Stokes (de l'equation (5,13)) devient singuliere
a de
grandes distances de l'obstacle constitue justement le
paradoxe de Stokes: on ne peut pas obtenir une solution de (5,13), qui satisfaisant condition
a des
conditions sur la paroi de E , satisfasse aussi
a l'infini
(5,27) ?
a la
CHAPITRE III
FORMULATION DES PROBLEMES MATMEMATIQUES CORRESPONDANTS AUX EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, DE NAVIER ET D'EULER
La question fondamentale qui nous interessera. dans ce chapitre III. est de savoir : Quelles sont les
donn~es
chapitres I et II. sont propres relation
avec le probleme
qui. jointes aux
a d~terminer
Naturellement. le choix de ces pos~s).
les solutions de ces
dans les
~quations
en
d'~coulement consid~r~.
l'exigence que les problemes ("correctement"
~quations formul~es
donn~es
est avant tout tributaire de
d'~coulements consid~r~s
doivent etre bien
pos~s
Ceci implique que:
1) le probleme ait une solution (existence) 2) que cette solution soit unique
(unicit~)
3) et cette solution unique. qui existe.
d~pende
continUment des
donn~es (stabilit~).
La des
donn~es
stabilit~
de la solution veut dire qu'une
tout de suite qu'il s'agit ici des possible de mettre en de
alt~ration
tres petite
ne peut changer que tres peu les valeurs de cette solution.
l'~coulement.
~vidence
~coulements
Pr~cisons
dits laminaires. lorsqu'il est
l'existence physique des filets fluides au sein
Cependant,il faut bien comprendre que sous l'effet de la
variation de divers parametres. ou encore thermodynamiques.un
li~s
a des
~coulement,
donn~es g~om~triques.
qui
~tait
au
d~part
devenir ensuite turbulent. De ce fait, se pose le probleme de d' appari tion de la turbulence et de
d~crire
le
ph~nomene
dynamiques
laminaire. peut d~celer
lesconditions
crucial de la transition,
67
c'est-a.-dire du passage du regime laminaire au regime turbulent. Disons ici. uniquement.que cette transition debute. en general. par une phase dite d'instabilite. Le Chapitre Vest cons acre au probl~me de la stabilite hydrodynamique. tandis qu' au chapitre VI on exposera une theorie phenom~nologique de la trans i' -. ° t1° on vers le chaos"'). On verra que le phenomene de , dependance sens1tive aux conditions initiales (DSCI) est une des caracteristiques essentielles de la turbulence et elle est intimement liee a. l'apparition d'attracteurs dits etranges dans l'espace des phases du systeme hydrodynamique (dissipatif) etudie. D'apres Ruelle et Takens ("On the nature of turbulence". article dans: Corom. Math. Phys.
20. 1971. 167-192). on peut definir un attracteur etrange corome un attracteur presentant le phenomene de DSCI; ce caractere de la dynamique des trajectoires attirees vers l'attracteur etrange. et qui y restent confinees. etant plus directement relie a. un comportement chaotique (resultats d'un petit nombre de bifurcations successives). Nous n'en dirons pas plus. ici.sur ce sujet. 1. En fait. pour le mecanicien des fluides. le probl~me formule au depart
(equations. avec donnees initiales et aux frontieres) sera bien pose s'il arrive a. mener a. bien le calcul de la solution de ce probl~me. Les methodes qui servent au calcul de la solution etant. bien souvent. les plus propres
a la
"demonstration"
de son existence et de son unicite. Le probleme de la stabilite de cette solution devant faire l'objet d'une etude speciale (voir le Chapitre
V
). C'est la. un
point de vue que nous appelerons "constructif" et qui n' est pas. naturellement. , ° .... celui du mathematicien. A cet ,egard, le 11vre de Roger Temam"'.)• qU1° compren d pres
de 500 pages consacrees a. l'analyse mathematique rigoureuse des equations de Navier d'une part. et de Stokes. d'autre part. est tres revelateur des positions radicalement differentes du mathematicien puriste (specialiste de theoremes) et du mecanicien des fluides confronte aux applications et qui raisonne en mathematicien applique. au sens que les Anglo-Saxons donnent
a ce
terme.
Nous avons deja. precise que les equations de Navier-Stokes forment un systeme ferme. en ce sens qu'il y a autant d' equations (au nombre de quatre si l'on tient compte de la loi d'etat) que d'inconnues (~. p. p et T). C'est la. un point important. pour nous mecanicien des fluides.qui laisse "presager" que ce systeme de Navier-Stokes admettra. en general. une solution 1If) Le chaos n'est qu'un cas particulier de la turbulence dans les ecoulements
fluides. Le chaos decrit le caract ere irregulier (non laminaire) de l'ecoulement. lorsque un nombre fini de modes deviennent instables. tandis que lors de la turbulence les modes instables sont en nombre infini. excitant un nombre infini de degres de liberte dans le systeme hydrodynamique considere (turbulence developpe~. 1If1lf) Dent le titre est: "Navier-Stokes equations" (theory and numerical analysis). North-Holland Publ. Company. Amsterdam. 1979.
68
et une seule, si le choix des donnees initiales et aux frontieres est fait de
fa~on
convenable. En particulier, si l'on peut s'assurer que le systeme
de Navier-Stokes ne peut admettre plus d'une solution, on est, par la meme, "presque" assure qu'il en admet une seule. 2. Du pmint de vue mathematique, en ce qui concerne le systeme de N-S, une difficulte majeure est liee au fait que ce systeme ne rentre pas dans le cadre de la classification habituelle qui regroupe les equations et systemes d'equations aux derivees partielles suivant le type elliptique, parabolique oUhyperbolique. De toute
fa~on
il n'existe pas, a l'heure actuelle, de theorie
mathematique rigoureuse pour ce systeme de N-S complet (visqueux, compressible et conducteur de la chaleur, dans l'espace-temps a
4
dimensions); on trouvera
des resultats dans l'article de Solonnikov et Kazhikhov de
1981~).
Dans le but de formuler les donnees initiales et aux frontieres appropriees, on doit done se contenter d' arguments "plausibles". L'une des difficultes les plus fondamentales de l' analyse mathematique du systeme de N-S tient au caractere quasi-lineaire des eCluations. Une autre difficulte, a surmonter
malaisee
tient au fait que, contrairement a ~ et T, la masse volumiClue p
n'intervient pas au niveau de l'equation (2,28a)
par ses derivees secondes
spatiales. Enfin, les derivees interviennent non lineairement des que les coefficients de dissipation
~
, A et k ne sont pas constants.
L'un des arguments plausibles consiste a se laisser guider par les resultats concernant les systemes lineaires dits "incompletement paraboliques", dont l'etude est assez recente et on llflf
base de Gustafsson et Sundstrom
).
pourr~a
ce sujet,consulter l'article de
En convenant de faire
~, ~v=
A + } l.l et k
constants dans les eCluations (2,28b) et (2,28c) du systeme de N-S et d'y traiter les coefficients des divers derivees comme des constantes on peut voir, en prenant comme fonctions inconnues ~, T et p , que les equations (2,28b) et (2,28c) forment un systeme parabolique (puisque ~ > 0,
lly::: 0 et k > 0) pour
tandis Clue l'equation (2,28a) est hyperbolique relativement
ap
•
lIf) Voir: Annual Review of Fluid Mechanics, N° 13, 1981, pp. 79-95 .
• lIf) Article dans: SIAM J. of Appl. Maths, 35, 2, 1978, pp~ 343-357.
~ et T,
69
=
=
=
3. Lorsque p 0, ~v 0 et k O,on retombe sur les equations d'Euler (4,8); les equations instationnaires(4,8) forment un systeme hyperbolique. En effet, pour se convaincre que le systeme des equations d'Euler (4,8) est bien un systeme hyperbolique,il suffit de l'ecrire sous forme matricielle relativement
a p,
~
au + A. (U) ~ - 0 at J ax. , J
ou A.(U) J
=d
s'explicite
F.(U)/dU J
a partir
j
= 1,
2, 3, est une matrice carree 5 x 5 qui
des expressions:
U
p
p u.
P u1
P u 1 u. + P °1j J P u 2 u j + P °2j
J
F.(U) J
P u2 P u
P u 3 u j + p °3j
3
p E
une fois que l'on suppose que
P E u j + P ~ 0jk
f _0
au niveau de la premiere des equations (4,8).
Soit alors L une variete de dimension trois, dans l'espace-temps euclidien
a quatre
dimensions, d' equation
s et soient
Ci.
p
,
a l'equation det
ou
~
l.
"0" correspondant au temps t) des reels
P = 0, 1, 2, 3 (l'indice
non nuls satisfaisant
(et
o
=0
(t, x.)
r
caracteristique +
et.
J
A.) = 0 J
j=1,2,3,
est la matrice unite (de composantes 0.. ). La famille de varietes L definie
par l'equation
S (t, x.) l.
l.J
S sont les solutions de
= 0, ou les fonctions
as
at =
et
as
o et ~ = J
et .
J
est appelee famille de varietes caracteristiques. Pour se convaincre que le systeme des equations d'Euler est bien du type hyperbolique, il suffit et i l
70
est necessaire de montrer que: pour tous les reels a,. j = 1. 2. 3. non nuls. la matrice
A=
J aj~j a toutes ses valeurs propres reelles et est diagonalisable.
On peut se convaincre que c'est effectivement le cas. Le t
'1 deJa " ' . .anc~en ... de
rava~
. lJ) • qU1. recherche les
Serr~n
. .
cond~t~ons
garantissant 1 'unicite des solutions des equations d'Euler. etant mis les resultats des etudes plus recentes··) sont relatifs des equations d'Euler et l'on ne dispose pas d'un
a la
theorem~
version linearisee
d'existence global
(relativement au temps) pour ces equations d'Euler compressibles sont. elles. quasilineaires. Il faut toutefois signaler la
a part.
tr~s
compl~tes
qui
abondante
litterature consacree aux equations hyperboliques de conservation de la forme
au at
aF.(U)
+ --~-- = 0
ax.
~
La theorie mathematique est done manifestement incomplete. ce qui fait que nous devons. dans ce qui suit. au § 6. nous contenter d'hnposer des donnees initiales et aux frontieres plausibles confirmees. en particulier. par l'experience. 4. Pour ce qui concerne les equations de Navier (5.4). pour la vitesse
! et la
pression P. disons tout de suite que ces equations (5.4) ne rentrent pas dans la categorie des syst~es incompletement paraboliques, puisqu ' ~ la place de l'equation de continuite complete (DP/Dt + P v.~ d'incompressibilite (V.~
= 0).
= 0)
pour p.on a la condition
qui est. en fait. une contrainte sur ~. . . • 19 73.JJlf) • part~e du l~ vre de Sh~nbrot de
On trouvera dans la seconde
un expose des premiers resultats rigoureux concernant l'existence et l'unicite des solutions du systeme de Navier (5.4). qui prennent leur origine dans les travaux de base de Leray
+.
• ) Article dans : Arch. Ration. Mech. Anal.. 3. 1959. 271-288 • •• ) Voir. par exemple. le travail de Oliger et Sundstrom dans SIAM J. of Appl. Maths •• 35. 3. 1978. 419. ***) Dent le titre est "Lecture on Fluid MeChanics"; publie chez Gordon and Breach. N-Y • ..12TI. Ces travaux ont ete publies dans : J. Maths. Pures et Appl.. 12. j 933. 1 a 82 et 1934. 331 a 418. ainsi que dans: Acta Math •• 63. 1934:-193 it 248.
n.
71
Au
§ 6,nous donnons des indications concernant la formulation des
donnees initiales et aux frontieres pour les equations de N-S, de Navier et d'Euler. Au
§
7~on
trouvera divers renseignements sur l'existence et l'unicite
des solutions des equations de N-S. Au § 8,on discute de l'existence, de l'unicite et de la regularite des solutions des equations de Navier. Enfin, au § 9, on expose les elements d' une theorie mathematique des equations d' Euler, du point de vue du mecanicien des fluides.
w FORMULATION DES DONNEES INITIALES, AUX FRONTIERES ET A L'INFINI 6,1. LE PROBLEME VES VONNEES INITIALES Pour un systeme incompletement parabolique, tel que celui de N-S compressible et conducteur de la chaleur, il y a lieu de se donner Ie champ complet des
••
-+-
: u, p et T, comme
fonct~ons ~nconnues
donn~e
initiale. Ainsi, nous
imposons :
~ =~, p = po et T = TO, pour t = 0 ,
(6,1)
au ~o, pO et TO sont des donnees connues, fonctions des yariables spatiales
Xi' i = 1, 2, 3. Les donn~es initiales (6,1) sont celles du probleme d'evolution de Cauchy, permettant de determiner
l'~tat
instants t > 0 voisins, puisque les
ulterieur de l'ecoulement fluide
~quations
de N-S completes
a des
fournissent
explicitement les derivees partielles de ces fonctions relativement au temps t. Pour les
~quations
d'Euler compressibles (4,8) les
donn~es
initiales
seront
(6,2) ou
= SOe'
et S
~ pO e' e
pour t
=o
,
et SO sont des fonctions connues de x. e ~ On notera que Ie passage a la limite (Re -+-
conduit (des
~quationsde
N-S)aux
car il ne fait perdre aucune
~quations
deriv~e
d'Euler est
00
a t, xi fixes) qui
r~gulier
relativement at,
partielle relativement au temps.
Par contre, si l'on considere les ~quations d'Euler barotropes(4,16)
= O,les
on constate qu'il suffit de slimpose~ a t la valeur initiale SO e
=
valeurs de ~ et de p uniquement;
SO = constante intervenant alors au niveau de la loi
d'etat barotrope (4,15), dans la constante k En ce qui concerne
l'~quation
o
de Steichen (4,31),pour Ie potentiel des
vitesses ~ (t, x.),il faut ~
imposer deux conditions initiales
(6,3)
~ = f>
avec
4f
et
(xi) et
O
W des fonctions connues de x.
~
~
73 Par contre, au niveau des equations d'Euler incompressibles il suffit de s'imposer
a l'instant
initial uniquement ~ : +
(6,4) de telle
a la
~. (x.]. ),pour t e].
u
fa~on
que:
=0
,
;t; +0
v.uei = O. La valeur initiale (constante) de p etant liee
valeur initiale (constante) de S, par la relation (4,39),
De meme, pour les equations de Navier (5,4), il est necessaire de se donner uniquement le champ des vitesses
(6,5) avec
+ +0
V,~
= O.
Si les equations de Navier (5~4), avec (5,10), sont considerees
comme un cas limite de (3,32)
a (3,34),
lorsque M + 0 a t et xi fixes, alors il
y a une "incompatibilite" entre les donnees initiales +
(6,6)
u
+0
= UN'
T _
-
0
_
TN ' pour t - 0 ,
et les donnees initiales (6,1) de N-S. On sait bien maintenant que c'est justement cette incompatibilite qui nous oblige a considerer les equations de l'acoustigue, representatives de l'ecoulement de N-S, faiblement compressible, au voisinage de t = 0 , Bien souvent,en aero-hydrodynamique,on s'interesse plus particulierement aux ecoulements periodiques dans le temps et,dans ce cas,les donnees initiales sont remplacees par des conditions de periodicite relativement a t. Faisons encore une remarque. Considerons l'equation de Steichen (4,31) a laquelle il faut associer (6,3). Si nous faisons au niveau de ce probleme de Cauchy : Moo
+
0 a t et
~
fixes, nous retrouvons l' equation de Laplace pour le
cas incompressible :
(6,7)
£;
~
=0
.
Ainsi, le passage a la limite "incompressible"
(6,8)
Moo +
0
at
et
~
fixes,
a la f8.cheuse consequence de transformer un probleme de type hyperbolique en un probleme de type elliptique qui ne contient plus de derivees temporelles. C'est la l'indication que le double passage a la limite: Moo certainement singulier au voisinage de t
= O.
+
0 et
t
+
0, est
11 faut alors, au voisinage de t
0,
74 considerer un nouveau passage a. la limite (dit local; -voir a. ce sujet Ie Chapitre IV), permettant de recuperer les derivees partielles en temps et a. cette
fi~
il faut renormaliser Ie temps de telle
fa~on
que 1e temps adimen-
sionne1 soit bien adapte au phenomene ayant lieu au -voisinage de t = 0 - de cette fagon emerge l'equation c1assique de l'acoustique 1ineaire t
A
(6,9)
, a-vec t
M
00
a. 1aque11e on peut associer deux conditions initia1es pour t o .
6,2. LE PROBLEME VES VONNEES AUX FRONTIERES 1. Pour ce qui concerne 1es donnees aux frontieres a imposer aux equations de
N-S pour ~, p et T (la pression p etant, en fait, une inconnue intermediaire
1iee directement a p et a T),les choses sont malheureusement beaucoup moins c1airesque pour 1es donnees initia1es. Cependant, si l'on s'en tient uniquement au nombre de donnees a imposer, 1a question est assez simple: i1 faut s'imposer autant de donnees que 1a partie parabolique du systeme de N-S contient d' equations (dans notre cas deux, pour ~ et T) et i1 .faut en outre s'imposer 1e nombre de donnees correspondant a 1a partie hyperbo1ique consideree iso1ement (c'est-a.dire a l'equation de continuite pour p ). De maniere plus precise,
i1 y a lieu
de se donner ;, T et p it 1a .frontiere si, par cette frontiere, 1e f1mde de N-S penetre dans 1e domaine d' ecoulement, tandi s qu' i1 ne .faut se donner que ; et T si,
a.
1a frontiere, Ie fluide sort du domaine d' ecoulement.
Ces indications sont corroborees par un resultat theorique du a Serrin (dans son tra-vai1 de 1959, deja cite), qui garantit l'unicite de 1a solution, pour l'ecoulement prenant place dans un domaine borne, si a 1a .frontiere de ce domaine,on s'impose des donnees aux frontieres definies de 1a maniere suivante. Soit ; 1e vecteur unitaire de 1a normale a 1a frontiere
an, du domaine
borne n a l'interieur duquel l'ecoulement est confine; ~ est dirige yers 1e fluide a l'interieur de n et on precise que l e s t 1e. derivee 1e long de + ± an a cette normale (an = n.v). Dans ce cas sur an,on doit ecrire : +
(6,10 )
oU;p
+
u = up'
sur
an,
est la -vitesse des points de 1a frontiere
(c'est une donnee du prob1eme).
an,
supposee en mouvement
75 De plus, lorsque an a travers
est impermeable (pas de
d'aspiration
soufflag~ni
an ),il faut associer l'une ou l'autre des trois conditions suivantes,
pour la temperature :
T = Tp ,
(6,11a) ou
- k aT an
(6,11b) ou encore
- k aT +
(6,11c)
an
=r
sur an
cr (Tp- T )
=r
ou Tp ' cr et r sont des fonctions (eventuellement des constantes) donnees sur an. Les equations de N-S completes (2,28), avec une loi d'etat (e = e (p,T), par exemple),pour~, pet T, avec les conditions initiales (6,1), la condition dite d'adherence de la vitesse a la paroi, (6,10) et l'une des conditions (6,11) forment un probleme aux valeurs initiales et ala frontiere"bien pose", en ce sens que l'on peut calculer une solution physiquement valable de ce probleme I -+-
2. Considerons maintenant le cas des equations d'Euler (4,8) pour u, p et S. Dans ce cas, sur toute paroi impermeable, la composante normale de la vitesse relative ala paroi doit etre nulle - c'est la condition dite "de glissement". Ainsi : -+--+-
u.n
(6,12) -+-
W
n
sur an,
-+-
- Up.n
En particulier, si la fonction E (t, xi)
=0
represente l'equation de
an, a tout instant t, dans le systeme de coordonnees cartesiennes xi' alors. lorsque w - 0, on devra ecrire sur an : n (6,13)
o . On notera que cette condition, cinematique, qui est toujours necessaire,
devient ici, pour le cas du fluide d'Euler, aussi suffisante. Ainsi, on constate que lorsque l'on passe du fluide de N-S (suppose peu visqueux et peu conducteur de chaleur) au fluide d' Euler, il y a sur la paroi delimitant l'ecoulement une perte importante d'information : la condition d'adherence (6,10) doit etre remplacee par la condition,(6,12),de glissement. Cette perte d'information a des repercussions importantes sur l'ecoulement d~ fluide d'Euler, qui se traduisent par la necessite d'introduire des contraintes
76
complementaires, et en particulier apparait le phenomene de couche limite au voisinage immediat de la paroi. En particulier, si l' equation L
0 est de la forme
(6,14) "'" . " . et S1. u 1 ' u 2 et u des1gnent les composantes cartes1ennes de +u, alors, de 3 (6,13), on obtient
(6,15)
Dans le cas eulerien,il n'y a pas de condition
a la
sur la temperature
paroi; cela est dU, au fait, que l'equation de l'energie est reduite
a
une equation de conservation de l'entropie, le long des trajectoires de l'ecoulement eulerien, ce qui necessite uniquement la connaissance d'une condition initiale. De toute
fa~on,
il faut bien comprendre que le choix des conditions
doit etre coherent avec le type des equations et leurs ordres. On constate bien que le systeme des equations d'Euler (4,8),
OU seules figurent les
derivees premieres des inconnues, est d'ordre moins eleve que le systeme des equations de N-S ou figurent, en particulier, les termes
V.(~
V~)
et
V.(k VT)
qui font intervenir des derivees spatiales du second ordre. Si l'on sait bien que
la
condition necessaire de glissement est suffisante dans le cas d'un
fluide eulerien,en ce sens qu'il n'est pas possible d'ecrire alors sur la paroi des conditions plus fortes (il n'en resulte pas,neanmoins que l'unicite soit toujours assuree; voir
a ce
sujet le
§ 9), il convient par contre, dans le cas du fluiae
de N-S, d'ecrire des conditions supplementaires et c'est bien ce qui est fait quand on remplace la condition de glissement (6,12) par la condition d'adherence (6,10) . 3. Pour les equations de Navier (5,4),regissant l'ecoulement d'un fluide visqueux incompressible de vitesse ~ et dont la pression hydrodynamique est p, on doit ecrire uniquement la condition d'adherence (6,10). En particulier, si l'on represente le vecteur vitesse ~ sous la forme (6,16)
-+
u
-+
up +
-+ ~
-+
+ un n
-+ -+ ~.n
= 0,
77
alors l' adherence de ~ sur
an
se traduit par : -+~
(6,17)
=0
et
un
= 0,
sur
an.
Precisons encore que, si l'ecoulement est effectivement confine dans un domaine borne n (une enceinte), alors il faut que la condition suivante soit aussi satisfaite
fan
(6,18)
ou do est l'element d'aire de
o , -+--+-
an
puisque 'Y.u
o dans n,
d'apres le theoreme
de la divergence. On notera que lorsque la paroi est impermeable on a toujours -+-
(6,19a)
up) = 0 ~ cette paroi.
D'autre part, de la theorie cinetique des gaz, lorsque le nombre de Knudsen, (1,23), Kn
-+- 0,
on a -+-
-+-
-+-
n A (u - up) = 0 ,
(6,19b)
sur la paroi. De (6,19a) et (6,19b),on retrouve (6,17). La condition (6,19b) est la forme faible de la condition d'adherence.
4. En ce qui concerne la temperature, la theorie cinetique des gaz permet de preciser que, sur toute paroi : (6,20) ou
T
-+- -+-
Tp - S q.n,
S est une fonction scalaire. Il est bon de preciser que, d'une maniere generale, la theorie des
systemes incompletement paraboliques donne des indications sur la nature des donnees aux frontieres
a imposer.
Ce qui est important
a retenir
c'est que
ces donnees aux frontieres peuvent faire intervenir les fonctions ~, p et T ainsi que les derivees normales de ~ et de T, mais pas de p • NollS laissons, pour l'instant, de cote les conditions
a imposer
sur les interfaces (entre
deux fluides), les nappes tourbillonnaires (qui sont des surfaces de contact; voir
a ce
sujet la section 9,7 du § 9)et les ondes de choc (voir
la section 9,8 du
§ 9).
a ce
sujet
78
6,3. LE PROBLEME VES CONVITIONS A L'INF!N! Naturellement, lorsque l'on considere l'ecoulement autour d'un corps, de dimensions finies, dans tout l'espace, il faut aussi associer aux equations des conditions de comportement
a l'infini.
La situation la plus simple est celle d'un ecoulement uniforme
a
l' infini aussi bien du point de vue cinematique que thermodynamique. Dans ce cas, on ecrira que: (6,21) ou ~, Too et poo sont des grandeurs constantes bien definies,supposees etre des donnees du probleme d'ecoulement considere. Cependant, dans bien des cas, l'ecriture des conditions faite de telle
fa~on
a l'infini
est beaucoup plus delicate et doit etre
qu'elle permette de privilegier la bonne solution du
probleme mathematique formule, modelisant le phenomene d'ecoulement considere. De ce fait, bien souvent, il est assez illusoire de vouloir s'imposer des conditions de comportement
a l'infini
qui peuvent paraitre a priori physiquement
evidentes. D'ailleurs, pour certains problemes,les conditions de comportement
a l'infini complexes
traduisent des conditions de "raccord" et elles sont alors plus
a ecrire.
Donnons un exemple afin d'illustrer quelque peu notre propos. Considerons l'equation (6,9) et recherchons sa solution sous la forme d'une onde monochromatique :
~
(6,22)
=x1 +
Reel {
(x) e.xp (-iwt)}
11 vient alors pour ep (x) une equation elliptique du type de celle d'Helmoltz (6,23) Le probleme lie tout S
~
a l'equation
des ondes (6,9) est hyperbolique pour
0; c'est en general un probleme de"diffusion"(scattering,en anglais)
d'ondes par un obstacle borne de paroi
r et,sous des conditions aux limites
et initiales adequates (que nous ne prec1serons pas ici),il admet une solution unique!!!). Par contre, le probleme lie
a l'equation
d'Helmoltz (6,23) est lui
.) Voir a ce sujet le livre de Wilcox (Scattering theory for the d'Alembert equation in exterior domain), Lectures Notes in Mathematics, vol. 442, Springer-Verlag, 1975 .
79
elliptique et une condition classique pour (6,23) est (6,24)
= 0 .
Du fait du changement de type (hyperbolique + elliptique), on perd l'unicite de la solution et depuis Sommerfeld cette unicite est retablie en imposant une condition complementaire de comportement
a l'infini,
dite de
radiation (ou de r-++
(6,25)
oo ;
iSW~=O,
... 2 2 2 2 ou r = x, + x + x • En particulier, pour un probleme plan, lorsque l'obstacle 2 3 est un contour ferme dans Ie plan = r cos a et X = r sin e, il vient a la 2 place de (6,25) Ie comportement suivant :
x,
2S
~ ( TI~) r+ + 00
(6,26)
1/2
sin a Reel
{
G (cos a)exp [i (Swr -
*
ou la fonction G (cos a) est arbi traire et depend de la forme du contour dans Ie plan (Xl' x ). Si l'ecoulement est symetrique et que l'on considere unique2 ment Ie demi-plan x > alors, la perturbation devant s'annuler a l'infini 2 amont (x, + - 00), d'apres (6,22), il faut imposer:
°
G (cos a)
(6,27)
=0, pour cos
a < 0 .
On notera que, des qu'il y a perte de l'hyperbolicite dans les problemes d'ecoulements en domaine infini (filtrage des ondes acoustiques), il faut s'attendre
a l'infini.
a des
difficultes en
ce qui concerne les conditions de comportement
Ce cas se presente tout naturellement dans les problemes 'ineteo-
rOlogiques" pour lesquels on a en altiauae un domaine semi-borne (0,00).
w EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES 1,1. CAS VE L'ECOULEMENT VANS UNE ENCEINTE BORNEE Les resultats concernant l'existence et l'unicite du probleme aux valeurs initiales et a la frontiere pour les
e~uations
de N-S sont principa-
lement relatifs aux ecoulements confines dans une enceinte En
ce
~ui
n bornee.
concerne l'unicite de ce probleme citons le travail de
Serrin (de 1959, deja cite; voir les §§ 3 et 7); il s'agit de solutions lisses et les coefficients de dissipation
~'~v
et k sont supposes constants. Dans ce
travail de 1959, Serrin demontre un premier theoreme d'unicite pour le cas de ~o
> 0,
~
Vo
> 0 et k 0
~
0; un second theoreme d'unicite concerne le cas de
> 0, k > 0 mais ~vo = 0 et dans ce cas, il faut supposer o au niveau de la loi d t etat :
~o
~ue
ClP/3p > 0,
p = P (p,T) •
De plus, Serrin note
si les coefficients de dissipation sont des
~ue
fonctions differentiables de p et de T, telles ~
> 0, k > 0 et
~v
~ue
> 0 ,
alors les resultats du premier theoreme d'unicite restent yalables. Serrin, dans ce
weme
travail de 1959, obtient aussi un theoreme
d'unicite pour le cas du fluide dit'a'Euler-Navier' e~uations
suivantes (A = ~
=0 et k
> 0) :
Dp + ->-->Dt p'V.u=O
(7,2)
P (7,4)
~ui
DT
p c v Dt +
->-
;t;
->-
f
->-
P Y.u = V.(k 'V T) + P r
p =
pour le cas du gaz parfait a cp et
R P T, e = Cv T , C
v
constants.
est gouyerne par les
81
Comme consequence des theoremes d'unicite de Serrin on
obtient aussi
que la solution depend continUment des donnees initiales; en d'autres termes cette solution,quelque soit t, reste uniformement bornee. Malheureusement, ces theoremes d'unicite
de Serrin necessitent implicitement l'existence des solutions
pour tous les t > 0 (existence globale) et
a l'heure actuelle
un tel theoreme
d'existence globale pour les equations de N-S n'existe pas I On a par contre des theoremes d'existence locaux. Le premier theoreme d'existence local pour les equations de N-S est du a Nash·); il s'agit de l'existence de la solution classique du probleme de Cauchy aux valeurs initiales pour une enceinte bornee deJR 3 et l'existence n'est assuree que pour un "petit" intervalle de temps (0, t 1 ) dependant des donnees initiales. Le resultat deLNash ". . . "", a-.... ..) a T a ete,quelque peu,genera11se par Itaya et aUSS1 par VOl'pert et Khudyaev .
.. . . ~**) ont demontre ........ Recemment,Matsumura et N1sh1da
. . . de Cauchy, pour que Ie probleme
les equations de N-S completes tridimensionnelles, est resolvable ~u sens larg~'; respectivement au temps t, si les donnees initiales (6,1) sont tres proches de constantes. En ce qui concerne Ie probleme de l'existence (locale) de la solution du probleme mixte (avec valeurs initiales et a la fronti ere), il faut noter Ie
.
.
trava11 de Solonn1kov
.~~.)
.
,.".
.... .
....
.
....
qU1 demontre la resolub111te locale du probleme m1xte
de N-S pour Ie cas barotrope, lorsque p
= g(p),et
en supposant que
A et
~
sont
des coefficients de viscosite constants; dans ce cas la seule condition a la
.....
frontiere de l'enceinte bornee est la condition d'adherence de la vitesse. Un ... ... .... .... . " .... .. ). .... .... cas plus general a ete cons1dere par Tan1 qU1 a obtenu un theoreme local d'existence pour Ie probleme mixte de N-S, lorsqu' a la frontiere de l'enceinte bornee on s'impose pour la temperature la condition (6,11a); de plus certaines conditions de compatibilite etant requises (Tani suppose, cependant,
~p
=0)
que
sur les donnees initiales (6,1) et la temperature de paroi Tp . On trouvera,dans l'article de synthese de Solonnikov et Kazhikhov (de 1981, deja cite; voir les pages 83 a 86),les details de la demonstration de ce theoreme de
Tani . • ) Dans: Bull. Soc. Math. France, t. 90, nO 4, 1962, 487-497 . •• ) Voir: Proc. Japan Acad., vol. 46, nO 4, 1970:-379-382. :+= Dans: Math. USSR-Sbornik, .l2., 1972, 517-5~ ••• ) Dans: J. Math. KYoto Univ., 20, 1980, 67-104 . •••• ) Voir: Zapiski Nauchn. Semin. Leningrad Otd. Math. Inst. Steklov, t. 56, 1976, 128-142 (en russel . ••••• ) Dans: Publ. Res. Inst. Math. Sci. KYoto Univ., 13, nO 1, 1977, 193-253.
82
7,2. CAS VE L'ECOULEMENT MONOVIMENSIONNEL On a vu que la question concernant la resolubilite des problemes de Cauchy et mixte pour les equations de N-S completes dans un intervalle de temps arbitraire, independant des donnees (theoreme global d'existence), reste encore largement ouverte. Cependant, pour les problemes monodimensionnels instationnaires, de tels theoremes globaux d'existence sont demontres. Supposons donc que u 1 (la seule compos ante de la vi tesse le long de P, T, p soient des fonctions de t et de x, uniquement. Dans
l'axe des x,) et ce cas,
a la
place des equations (2,30), on doit considerer le systeme mono-
dimensionnel instationnaire suivant ap apu 1 -+--=0 ; at ax, P
(7,6)
aU 1
(at"
au, + u 1 ax,
aT
au,
aT
(-)
P cv(at + u 1 ~ p
2
ax,
= R P T.
10rsque l'on considere le mouvement du gaz dans un intervalle borne
o
< x, < 1 , on doit associer aux equations
0 et initiales suivantes :
(7,6) les conditions aux limites
o,
(7,7a)
ou les fonctions
1
o
pO(x,) et TO(x ) sont supposees strictement positives et 1
bornees dans l'intervalle [0, 1 ]. 0 11 faut alors demontrer la resolubilite du probleme mixte (7,6), (7,7) pour ~ intervalle arbitraire,t € [0, to] . Puis, ensuite, etudier le comporte-
ment de la solution lorsque t o
+
00.
On notera que la demonstration d' un theoreme
d'existence global est grandement facilite par le fait que le systeme (7,6) prend une forme beaucoup plus simple si l'on passe des yariables d'Euler (t, xl) aux variables de 1agrange (t, a,), avec a, :::: xl lorsque t
=0
.
En effet, dans ce cas l'equation de continuite s'ecrit SOllS la rorme aa 1 p (a" t ) = pO(a 1 ) aX 1
83
et de ce fait, nous pouvons introduire la coordonnee (7,8)
pO(a ) d a = dE;, E; (a ) = fa 1 1 1 On peut alors ecrire que :
(7,9)
Xl = a 1 (1;) + Ainsi, il vient
a la
r o
E; telle que 1
peen) dn.
o
ul(al(E;),~)) d~
place de (7,6) les equations suivantes pour
p(E;,t), u 1(E;,t) et T(E;,t) (7,10a) ap ) - aE; + f 1
(7,10b)
(7,10c)
(7,10d)
p
=P
o S o~t T l 1 e vo 1 ume
p
= geT);
=R
" . spec~
P T
fO~que e t
cons~° d" erons
1 e cas b arotrope:
dans ce cas, il faut resoudre pour les fonctions T et u
simplifie suivant
1
le systeme
aT au] at =
ar
(7,11)
~tUl = _ ~ + .!±.', .1... as 3 "'0 aE;
a
(1. T
a,,:l ) a."
= O. Ce systeme (7,11) a ete analyse par 1 probleme de Cauchy, avec l.es conditions initiales : lorsque f
.) Dans
Diff. Eqs., 4, 1968, 374-380.
Kanel~)
qui a etudie le
84 et demontre un theoreme global d'existence, pour la solution du probleme (7,11),
(7,12), lorsque la fonction g(,), avec, > 0, est monotone decroissante et que
'0(~)
la donnee
> 0 tend vers une constante pour
s: . . ±
co
•
Un resultat semblable a ete obtenu par Itaya·), lorsque g(,) =: Const/, • De plus, Ie resultat de Kane I , a ete etendu a une f'onction g(') non monotone par . Q) • L a resolub111te / . . / globale du probleme " -.( 7,11 ) , ( 7,12 ) Kaz h 1'khov et N1kolaev m1xte
et
(7,13)
u 1(0, t) = 0,
t
a ete demontree par KaZhikhov
u,(L
o
' t)= 0 ,
pour Ie cas de g(,) = Const/,S, S
~
"
et par
Kazhikhov et Nikolaev (travail de '979; deja cite) pour Ie cas d'une fonction g(,)
.rum
monotone.
Pour les equations completes (7,6), les resultats d'existence globale / / . / / aUSS1. b1en . Ie probleme " I es p 1 us generaux sont dus a"Kazh'kh 1 ov***). qU1 a cons1dere A
de Cauchy que Ie probleme mixte pour les equations completes (7,6), sans faire d'hYpotheses complementaires sur la grandeur des donnees initiales (7,7b); il a aussi etudie Ie comportement des solutions pour les grands temps et on pourra a ce sujet consulter Ie chapitre II du livre de Antontsev, Kazhikhov et Monakhov~~~~) . Precisons, pour terminer, que les resultats de Kazhikhov sont bases sur des estimations concernant p strictement positif et que p
et T; il demontre d'abord que Test toujours
est borne,
puis.ensuit~ il
etablit une estimation
inferieure pour p .
~
) Voir: J. Math. Kyoto Univ., 16, J976, 223-240.
lit.) En langue russe dans: Chislennye Metoely Mekh. Sploshnoi Sreely,
+
77-84.
10, 1979,
Voir l'article en langue russe dans: Dinam. Sploshnoi Sreely, 21, 1975, 18-48.
~ •• )
Dans: Sib. Math. Journal, t. 23, nO 1, 1982,60-64 .
•••• ) Dont Ie titre est : Probleroes aux limites de la mecanique des fluides non homogenes. Ed. Nauka, Novosibirsk, 1983; en langue russe.
EXISTENCE, UNICITE ET REGULARITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER 8,1. LE CAVRE FONCTIONNEL Sur l'existence, l'unicite et la regularite des solutions des e'luations de Navier (avec conditions initiales et a la f'rontiere),trois livres nous paraissent dignes d I interet, parmi d I aut res . Tout d I abord, le livre de Shinbrot (de 1973; deja cite), ou l'auteur en une centaine de pages, donne divers resultats obtenus jus'lu'au debut des annees 1970. Le second livre est
. est complete .. .. par 1 I ' I 6 .ll) , celUl. de L adyzhenskaya. )'lUl art~cle de 1 auteur de 19 7
et ou l'on trouvera une theorie mathemati'lue relativement complete des e'luations de Navier. Des resultats plus recents se trouvent dans l'article de synthese ll . de Ladyzhenskaya de 1975 • . •) Enf'~n, le
..,.
tro~s~eme l~vre
est
.
celu~
de Temam de
1979 (deja cite). La lecture de ces trois ouvrages necessite la connaissance des espaces de Sobolev; ils sont notes wm,p(n),ou n
est un ensemble ouvert dans
En. 11 faut aussi connaitre les resultats classi'lues d'injection de Sobolev (a ce sujet voir le § 1 du chapitre II du livre de Temam de 1979). Mais, il est necessaire pour conduire l'analyse mathemati'lue des e'luations de Navier, d'introduire, ensuite, des espaces fonctionnels specifi'luement adaptes
a la
contrainte
d'incompressibilite du fluide vis'lueux de Navier; ce sont les completes de l'espace (sans topologie) : (8,1)
dans divers espaces fonctionnels, ou
V(n) est l'espace des f'onctions de classe
Coo, a support compact, contenu dans n.
Soit ~(t, x.) une fonction continue definie dans n ~
et ayant des
derivees partielles continues et 'lui est nulle dans un voisinage du bord an; on dit alors 'lue ~ n'
c
n sur le'luel
est une fonction a support compact dans n
et le domaine
~ t 0 est le support de ~ •
ll) Dont le titre est
The mathematical theory of viscous incompressible flow. Gordon and Breach, New-York, 1963.
lllf) Dans "The 1Ilathematical Problems in Fluid Mechanics". Polish Acad. of Sci.,
Warszawa,1967,60-86. ltltlt)
Dans: Annual Review of Fluid Mechanics, nO 7, pp. 249-272,1212.
86 L'essentiel des resultats mathematiquessuppose n
borne (une enceinte
dans laquelle l'ecoulement a lieu) et dans ce cas,il faut considerer Ie probleme
....
de Navier suivant, pour la vitesse u et la pression hydrodynamique
TI
= p/po,
avec po = constante :
....
au + ............ u.';7 U + at
r
V TI
\}
0
!:J.
....
u',
v.~ = 0 ;
(8,2)
1
.... 1
u an =
ou an, la frontiere de
n,
....
Up
....1
....0........
-
, u t=o = u (x); f = 0,
est un ouvert borne regulier de JRn (n=2 ou 3).
Mais Ie cas ou n n'est pas borne, est egalement envisage et dans ce OO
cas, si n
designe Ie domaine infini (exterieur a un obstacle de frontiere
lisse L), il faut analyser Ie probleme de Navier suivant :
v.~
....
(8,3)
u
.... u
=0
o sur L
-u
Pour Ie cas stationnaire (;t
lorsque
= 0),
I~I
....
00
du fait du caractere quasi-
lineaire de ces equations de Navier, il est necessaire d'introduire une forme n trilineaire definie et continue, dans un certain espace, quelque soitJR , et pour
n
borne ou non. Outre les techniques habituelles de compacite, il faut
faire appel au theoreme du point fixe de Brouwer pour etablir Ie theoreme d'existence. L'unicite n'est garantie que pour des nombres de Reynolds, U L
o opo~nt . " ou pour des donnees suffisamment petites; c'est Re = --\}-trop "1 e eves o
la qu'apparatt la possibilite de bifurcation de la solution (voir a ce sujet Ie chapitre VI de ce Cours). Dans Ie cas des equations de Navier instationnaires, il faut remplacer les espaces de Sobolev WID,p(n) par les espaces La(O,T;X),avec T > 0 et 1 < a < +
00
X etant un espace de Banach. La(O,T;X) est l'espace des fonctions
integrables a la puissance a avec la norme Buivante :
sur rO,T] dans X, et c'est un espace de Banach
87
On trouvera,dans le livre de Temam de 1979 (voir le chapitre III) deux demonstrations differentes du theoreme d'existence : l'une correspond une methode de Galerkin relativement de dimension n
~
a la
4) et l'autre correspond
a
variable spatiale (l'espace etant
a une
discretisation temporelle en
differences finies (et reste valable pour n quelconque). On retiendra que l'unicite est garantie, en dimension deux, pour tous les coefficients
et en dimension trois pour des nombres de Reynolds
V0
assez petits; on "frole" ici le phenomene de turbulence, phenomene essentiellement tridimensionnel.
8,2. LA METHOVE VE GALERKIN Considerons l'ecoulement de Navier dans une enceinte,
m3 ,
dont la paroi est E :::
{
(8,4)
-+
au at
-+-+
an.
-+
au - at
+ L (~) =
'Y.u
n
11 faut resoudre dans
+ ~. ~ - v fJ. ~ =-ti 0
n,
bornee, de
les equations de Navier
7T,
= 0,
avec
(8,5 ) Nous recherchons la solution du probleme (8,4), (8,5) dans un espace fonctionnel H, de champs vectoriels paroi E, de
n, a la
a diyergence
condition d'adherence; dans
(~,~)
(8,6)
nulle, satisfaisant sur la
H
le produit scalaire est note
- f ~.~ dx, -+
n
-+
oil dx est l' element de volume dans m3 . Representons la solution de (8,4), avec (8,5), dans
H,
sous la forme
approchee suivante : (8,7)
-+
-+
u (t,x) n
n
=L k=l
~(t) \(~),
et prenons comme base {Xk(~)} le systeme complet des fonctions Yectorielles propres, orthonormees, du probleme lineaire associe designe par ~ la valeur propre associee
a Xk(~)'
a
(8,4), (8,5). Si on
on pourra ecrire que
88
{
(8,8)
v0
D.
= - llk
-+
xkl r
~
0,
-+
-+
~ + 'IJ
-+
-+
1T ; v.~
-+
dx= 0, ~'\n J n
= 0;
n ". m,
avec la condition de normalisation
f IXk(~)12 a1 =
1.
n
En substituant (8,7) dans (8,4), puis en mUltipliant scalairement par ~(~)
le resultat, on obtient apres integration:
d\
-+
--+
(8,10)
dx
dt
=0
•
Pour obtenir (8,10) on a tire profit du fait que
In V 1T'Xk(~) a1 = nI V.(1T Xk(~)) 01, puisque
V'Xk
0, et de ce fait on trouve bien que
a;
=
f 1T Xk·n do
0,
1:
ou do est l'element d'aire de
r*).
Ainsi, la methode de Galerkin permet d'eliminer, des equations de Navier, le champ
1T.
La relation (8,10) est equivalente au systeme galerkinien de n equations differentielles ordinaires suivant :
d\
--
dt
(8,11)
+
k=1,2, ... n.,
ou (8,12) lit) La condition
I
Xk r = 0 implique naturellement que : Xk .; = 0, sur r, puisque a la paroi r.
fi est le vecteur unitaire de la normale
89
Ainsi,les amplitudes ~(t) sont solutions du systeme (8,11) auquel il faut associer les conditions initiales : (8,13)
Zk0- =
~ (0) ::
fu
+ (+ + x}.\. x} dx = (+0 u, +) \. .
+0(+
n Precisons que les coefficients Yklm' definis par (8,12), satisfont a l'egalite (8,14)
qui exprime la conservation de l'energie cinetique de l'ecoulement non visqueux associe (lorsque
V
o
oj; cela veut dire que:
_
D
(8,15)
o.
Dt
Dans le cas visqueux, lorsque \b;.! 0, a la place de (8,15), on aura l'equation de l'energie suivante :
~
:t nf 1~12 ~
+
V
o
f Iv ~12
n
+
dx
=0
ou encore, apres integration,
(8,16)
1 2
+
2
II u l1 2
+
V
o
o
ou 11;11 2
,
U
2
1;1 01
r 2
.
L'egalite (8,16) sert bien souvent de point de depart pour demontrer l'existence de solutionsditesfaiblesdu probleme mixte de Navier (8,2). On consultera le livre de Temam (de 1979; deja cite, voir le § 1.2 du chapitre 2 et le § 3 du chapitre 3) pour l'application rigoureuse de la methode de Galerkin a la demonstration de l'existence de la solution des equations stationnaireset instationnaires de Navier, a partir de la construction d'une solution approchee et passage a la limite :tol'sque n +
00
•
90 Precisons, enfin, que cette methode de Galerkin donne aussi la possibilite effective d'elucider la stabilite de divers ecoulements de fluide visqueux incompressible, regis par les equations de Navier, en analysant au cours du temps les equations d'amplitudes qui en decoulent; nous aurons l'occasion de revenir sur cette question aux chapitres V et VI de ce Cours.
8,3. SOLUTIONS FAIBLES VU PROBLEME VE NAVIER Considerons le probleme de Cauchy pour les equations de Navier +
au + ~.V ~ + at (8,17)
Soit ~
e H une
V.~
O',
~It=o
= ~(~)
V 1T
\!
0
f:,
+
u·,
fonction test; integrons par parties les divers termes
de l'equation de Navier, apres l'avoir prealablement multipliee scalairement par ~. On obtient ainsi
~ = -f (~.V) ~.~
+
dx;
n
f ~~ .~ ~
n
= aat
f~· ~ ~ - f ~. ~~ ~
n
n
et aussi, en tirant profit du theoreme de Green
deux fois,
Nous pouvons done ecrire la relation sui:vante : (8,18)
En tenant compte de la notation (8,6), pour le produit scalaire dans H, il vient apres integration par rapport suivante,
a la
place de (8,18),
a t,
de t = 0
at
= 00, l'expression
91
r{
(8,19 )
:d
+ (u, Clt ) + (u.Vlp',u) +
a
+~+
\1
++}
(u,61/1)
0
+0 , :t. dt = - (u lJ71
t=o
),
une fois ~ue l'on tient compte du fait ~ue la fonction ~ est a support compact. ° . ° lIi) , A ~ns~, on constate ~ue tout e solut~on class~~ue du probleme de Cauchy o
pour les
~
€
e~uations
de Navier doit satisfaire a la relation (8,19)
~uel~ue
soit
H. Naturellement, il existera des solutions ~ satisfaisant a (8,19), mais
n'ayant pas des proprietes de differentiabilite suffisantes pour etre des solutions
du probleme de Cauchy pour les
classi~ues
e~uations
de Navier.
Par definition une fonction
est dite solution faible du probleme de Cauchy pour les equations de Navier, H. 1'espace W2 ,2 (n')
si elle satisfait a la relation (8,19), pour tout ~ €
n' c n est un espace de Sobolev; c'est l'espace des fonctions appartenant (n') dont les derivees partielles (au sens des distributions) jus~u'a 2 l' ordre deux sont aussi dans 1 en') et c' est un espace de Hilbert avec une norme avec 2 a 1
definie a partir des derivees partielles des ~onctions. On demontre
~ue
:
2
+0 +
2
Si la valeur initiale u (x) € L
(~ui
est un sous-ensemble lineaire
de 1 , de fonctions a divergence nulle), alors le probleme (8,17) a, au moins, une solution faible et ce resultat reste valable si le domaine
n
n'est pas
bornee. Naturellement, en toute rigueur lors~ue n°O est le domaine exterieur a un obstacle ayant une frontiere lisse L, il faut considerer le probleme (8,3). En general, au niveau de (8,3), le vecteur ~
est un vecteur constant.
On demontre alors ~ue ~ est une solution faible de (8,3) si
et si le vecteur (~o
-
(8,20)
+ pour tout ~ €
\1
0 satisfait
0
+00
U
a la relation suivante :
- ;:, ~I t=o ) + [ {
(~ + O,t.~)}
dt
+
~
+00
(cr, Clt ) +([u
+ a + oJ.V1j), a + +
+
0)
0,
H et on notera ~ue 1 est une fonction vectorielle lisse ~ui
lIi) C'est une solution ayant des proprietes de differentiabilite suffisantespour ~ue
les termes de
l'e~uation
de Navier aient un sens.
92
appartient a l'espace H et qui est telle que-) :
On notera que la solution faible ; du probleme (8,3) est continue comme fonction de t dans une topologie faible de L2 (convergence faible). Elle est aussi continue dans une topologie forte de L2 (convergence forte), pour t
=0
et elle satisfait a la relation -+Ilu - +0 u I I2 -+- 0
pour t yO.
Precisons que sur un ensemble donne, il existe beaucoup de topologies, mais,pour les ensembles de fonctions (les espaces), deux topologies ont un reel interet. On dit que l'espace est muni d'une topologie faible si on a une convergence faible; de
plus precise:
fa~on
Soit B -+- {B } un operateur borne; si n
(u, B v) -+- (u, B v) comme n -+- 00 , n pour tout u et v appartenant a un espace de Hilbert, alors la suite {B } est dite converger faiblement vers B. n
Dans les espaces de Hilbert,la suite f converge faiblement vers n e L2 si :
l'element f
= (f,
Lim (f , F) n
n+OO
F) pour tout F
e
2 L .
La convergence forte (dite aussi, improprement, convergence en norme) veut dire: f
n
f pour n -+-
-+-
Ilf
n
00
- fll
,
-+-
en ce sens que 0, avec n -+-
00,
ou encore si
liBn
v - B
vii
-+-
0, avec n -+- "", pour tout v appartenant
a un espace de Hilbert. Dans ce cas,la suite {B } est dite converger fortement vers B• n • ) Cette fonction vectorielle a a ete introduite par Leray dans ses travaux de 1933 et 1934, deja cites.
93
La convergence en norme implique la convergence forte, puisque
liBn v - Bvii
~
liBn - BII Ilvll
et la convergence forte impligue la convergence faible. En ce qui concerne l'unicite de la solution faible du probleme (8,17), on demontre que : +
+
si u 1 et u sont deux solutions faibles de (8,17), satisfaisant ala 2 .... . . . .. +0 . -+ ...... meme cond1t10n 1n1t1ale u , pour t = 0, alors S1 u j appart1ent a un "
",.. bon " espace de 8obolev, on a necessa1rement que u 2+ -- + u ' pour tout 1 t EO [O,t'] , t' > O.
Comme nous l'avons dit, les theoremes d'unicite et d'existence sont, d'une maniere generale, obtenus a l'aide de la construction de solutions approchees des equations de Navier par la methode de Galerkin puis passage a la limite. Cependant, on ne sait passer a la limite dans le terme quasi-lineaire gue si on a convergence presque partout de certaines approximations. En ce qui concerne l'unicite, precisons que l'idee naturelle consistant a soustraire les -+
-+
--+-
-+-
equations en u 1 et u et a multiplier par u - u ne marche pas si n> 2, car 2 1 2 les integrations par parties ne sont pas alors licites. 8i n = 2 la solution du probleme de Navier est unique, tandis que si n > 2 on a unicite de solutions un peu plus
regulier~3(dont
on ne connait pas
l ' existence) . L'unicite est, en general, acquise que si le nombre de Reynolds est suffisamment petit et que si les donnees du probleme sont aussi
suffisamment
petites; dans le cas contraire il n'y a pas, en general, unicite et il apparait eventuellement un phenomene de bifurcation. Dans le cas instationnaire, la solution du probleme d' evolution de Navier est unique dans la classe des solutions faibles pour le cas des ecoulements bidimensionnels. Dans le cas de l'ecoulement tridimensionnel instationnaire,il y a une lacune entre la classe des solutions, pour laquelle l'existence a lieu, et la classe plus restreinte des solutions pour laquelle l'unicite est demontree. Dans le cas de l'ecoulement bidimensionne~on peut demontrer l'existence de solutions plus regulieres en supposant une regularite plus grande des donnees et un resultat analogue a lieu pour les ecoulements tridimensionnels pour des solutions locales, definies sur un petit intervalle de temps, en supposant que les donnees (en particulier, la donnee initiale) sont
suffisrolli~ent
petites.
De plus, lorsque les forces volumiques exterieures sont absentes, il y a
94 "stationnarisation"vers le repos de la solution pour t ....
00,
dans un domaine
borne. Dans le cas bidimensionnel on peut obtenir des theoremes de regularite, soit en travaillant sur le systeme de Garlerkin
passage a la
associ~puis
limite, soit en considerant les proprietes de regularite du
p~obleme lineair~
associe. Pour n > 2,seule la premiere methode marche eton n'obtient alors que des solutions regulieres locales (sur un intervalle [O,To),avec TO inconnu) qui peuvent etre uniques; on n'obtient des solutions globales que si les donnees sont suffisa.mment'petites' dans certains espaces. 11 semble que ce soit Leray (1934; travaux deja cites) qui ait le premier demontre l'existence de sOlutions faibles du probleme de Navier. La classe de solutions faibles de Leray ayant "" ete arne"1°" ~oree par LO.) ~ons . La stabilite asymptotique··) dans L2 de solutions faibles du probleme de Navier suivant :
[
(8,21 )
....u-Liu+v'IT .... ~
, , a "" ete recemment analysee par
.....
....0 . . . . . (
.... 1
.... )
u t=O = u, LJm u t,x
Ixl+oo
.••• ) ,
Secch~
.1
- f
dans nT '
0, pour t €)O,T[,
."" T €) 0,+00 [ et "T ('\ = ) O,T [ xm 3 .
o~
La decroissance des solutions faibles, des equations de Navier, appar,
2" ,
,
tenant a l'espace L , a ete analysee par par Schonbek
)
.. .
KaJ~k~ya
.
•••• )
et Miyakawa
et
°
auss~
.
• ) Dans deux Notes aux C.R. Acad. Sci., Paris, t. 248, pp. 2847-50 de 1958 et pp. 3519-21 de 1959 • •• ) Pour la definition de la stabilite asymptotique nous renvoyons le Lecteur au chapitre V (section 15,1) de ce Cours • ••• ) Voir l'article dans: Indiana Univ. Maths. J., vol. 36, nO 3, 1987, pp. 685-691 • .... ) Voir l'article dans: Math. Z. ~, 1986, 135-148 • ..... ) Dans : Arch. Rational Mech. Anal. 88, 1985, 209-222.
95
8,4. SOLUTIONS FORTES VU PROBLEME VE NAVIER Les solutions fortes du probleme de Navier sont telles pour ces
solutions,cha~ue terme
dans les
e~uations
~ue
de Navier existe et, de
plus, il est un element de l'espace de Hilbert L2 . Un resultat s'il
du a Sather et Serrin
lf
)
existe une solution forte des
dit
~ue
:
e~uations
de Navier, alors
il n'existe pas de solution faible satisfaisant a l'inegalite energeti~ue:
(8,22)
+
t
\J
o
J o
Ilv ~II ~
dt'
pour t € [ 0 , t '] , t' > o. L'existence de solution forte pour le probleme d'evolution de Navier //
.,
"
lflf)
a ete obtenue pour la premlere f01S par Kiselev et Ladyzhenskaya
pourra a ce sujet consulter aussi le travail de Kaniel et Shinbrot ~ui
et on
lflflf
).
En ce
concerne l'unicite des solutions fortes, elle decoule d'un theoreme de
comparaison avec les solutions faibles (voir, a ce sujet, le livre de Shinbrot, de 1973, deja cite). D'autre part, on demontre pour tout domaine e~uations
n
~ue
:
borne, si ~o appartient a un bon espace, les
de Navier ont une solution forte
uni~ue
[0, t' ], avec t' > 0 suffisamment petit; de plus, si
suffisamment petit, les dans [0,00
h
e~uations
dans l'intervalle
Ilv ~ 11 2
de Navier ont une solution
est uni~ue
s'agissant du probleme de Cauchy.
Dans l'article assez recent de
GUillOpe~
on trouvera des resultats
rigoureux sur le comportement a l'infini d'une solution forte, definie sur tout l'intervalle (to' +00), des "10
de~\
2
e~uations
de Navier dans un ouvert regulier
3
n
" / ' / , et de= ; 11 s . aglt, plus preclsement, du comportement a, 1" In f"lnl dune "10
solution forte definie sur l'intervalle semi-infini (t 2
0
~
0, +00) et continue
a valeurs dans l'espace de Sobolev construit sur L (n), ou n est un ouvert / connexe de ill2 ou de ill 3 , de fron t"lere r de c 1 asse COO ,te 11 e ~ue "r. SOl't borne, situe localement d' un seul cote de
r.
La propriete de "bornitude" de la solution
forte, ainsi obtenue, generalise les proprietes de regularite de l'ensemble ,.:) Dans : "Non linear Problems", R.E. Langer Editor, University of Wisconsin Press, 1963, 69-98. '':If) Dans lzvestya Akad. Nauk USSR, ser. Mat., 21, 1957, 655-680. ,.:,.:,.:) Dans: Arch. Rat. Mech. Anal., 21, 1966, 270-285. Dans : Ann. lnst. Fourier, Grenoble, 1982, 32, 3, pp. 1 a 37.
+)
96
des solutions stationnaires ou periodiques des equations de Navier. Notons que la regularite des solutions periodiques ne semble vraie qu'en dimension deux, en appliquant des theoremes de regularite lineaire. Pour n > 2,on peut demontrer l'existence de certaines solutions periodiques regulieres si les donnees sont suffisamment petites. Enfin, precisons que dans le cas enceinte
+
n bornee)
sur l'intervalle
(8,2), avec up
[n,
,V
+00]
n
=0,
a deux
dimensions,le probleme (dans une
admet une solution unique forte definie
> O. Par contre, dans le cas
a
trois dimensions,
i l existe un reel T (~o), dependant de
n
de Navier (8,2), toujours avec ~p V t dans 0 , t < T(to ).
admet une solution forte unique sur [O,t],
= 0,
,V
o
et ~o, tel que le probleme mixte
8, 5. LE CAS DES EQ.UATI ONS DE STOKES Comme
a la
section 5,5 du
a nombre
§ 5, considerons un ecoulement
de
Reynolds Re tres petit devant un (fluide fortement visqueux ou ecoulement lent). Si l'on part de l'equation de Navier (avec des dimensions) +
+ ± + ± (It + u. v u + V
(lu
on voit que lorsque
V
que :
o
+
00
7T
=
V0
fj.
+
u ,
il faut renormaliser la pression
7T
de telle
fa~on
~~ 1 vo '
et dans ce cas,
a la
limite
V
o
+
00,
on trouve l'eguation de Stokes classique
(8,23) avec
v.~
(8,24)
=° .
1. Pour le systeme de Stokes (8,23), (8,24),1'ecoulement dit de Poiseuille
a etudier paralleles a l'axe consiste
l'ecoulement dans un cylindre fini (disons de generatrices
x ). Les conditions aux limites etant l'adherence a la 3 paroi du cylindre, la vitesse etant normale a l'entree et a la sortie, la pression etant constante
a l'entree
et
etant donnee (voir la figure ci-apres).
a la
sortie, et la difference de pression
97
o
r1
Ains i, ~ et
1T
sont solutions du probleme suivant
- v
0
/';, ~ + ~1T
dans
n
~.~ = 0
dans
n,
+
u
1T
o1
sur
r1 ' sur r et r 22 ' 21
~A;= 0
(8,25)
ou
=0
et
1T
02
sur
r 21
sur
r 22
sont des constantes donnees.
Si le cylindre est de longueur 1 , sa section droite etant w, et si 0 l'entree r est situee dans le plan x = 0, il est bien connu qu'une solution 21 3 explicite de ce probleme est donnee par : (8,26a)
1T = 02 1
1T
1T
01
x
0
(8,26b)
u1
3
+
1T
01
= u2 = 0 ,
est une fonction qui ne depend que de x et x et qui est solution u 2 1 3 du probleme suivant
tandis que
(8,27)
{
-
V
u
0
3
/';, u
=0
1T
3
+
02
-
1
1T
0
01
0
dans w sur dW.
98
a base
Dans le cas ou le cylindre est
no2 - no' (r2
4v
(8,28) ou r
o
L
circulaire, on a la solution de (8.2TI: 2
- R),
0'
r ,
R
0
2 + 2 '/2 ( x, x2 ) , et ou Rest le rayon de la section circulaire W du cylindre.
2. Une generalisation du probleme de Stokes (8,25) est la suivante
.
.... . . . A-; . A;}
- v
f
o
V.u
0
u = u
(8,29)
u
0
dans n dans n
,
(a)
sur f ' 2
(b)
sur f,
= a
'IT = 'IT 0
-+ -+
-+-+
u.n=b.n
(V
b et h sont n . On notera
A ~) A -;
= h A -;
},urr
3
,(0)
ou ~o' ~, 'ITo'
des fonctions donnees, et ou -; est la normale exterieure
au bord de
qu'en
ce qui cone erne les conditions aux limites, on
suppose qu'elles sont de trois types differents : vitesse donnee sur une partie de la frontiere de
n
(notee f,), pression et compos ante tangentielle de la
vitesse donneessur une deuxieme partie de la frontiere (notee f 2 ), vitesse normale et composante tangentielle du tourbillon donnees sur une troisieme partie du bord (notee f ). La condition (a),du probleme (8,29),est une condition classique: 3 c'est l'adherence a la paroi f" que celle-ci soit fixe (~o = 0) ou mobile (cas d'un obstacle qui se deplace dans l'ecoulement). Les conditions (b) et (c),du " (8 ,29h\ sont en revanche non standard. 11 s'avere .... .) que la der1vee " . ;- normale probleme peut etre calculee de fa~on explicite a partir des donnees. 3 Dans les applications, on trouve frequemment des problemes dans lesquels les de la pression sur f
conditions aux limites (a) et (b), du probleme (8,29),interviennent d'une
fa~on
naturelle. Exemple, ecoulement dans une tuyauterie. Le domaine n represente l'ensemble de la tuyauterie (voir la figure ci-dessous). nans ce cas, f, est forme des parois des tuyaux et f 2 est l'union de toutes les entrees et sorties ~)
Pironneau, 0., Conditions aux limites sur la pression pour les equations de Stokes et de Navier-Stokes; C.R. Acad. Sc. Paris, serie I, 303 (9), '986. 403-406.
99
du reseau de tuyaux. Ainsi, f 2 = Ui f ou chaque f 2i represente une entree 2i ou une sortie sur 1aque11e i1 est nature1 de donner 1a pression; f est vide. 3 ... On suppose alors que U et a sont nuls; ce qui veut dire que 1es parois o de 1a tuyauterie sont rigides et que 1e f1uide adhere aux parois. De p1us,le
...
f1uide entre et sort du reseau avec une vitesse tangentie11e nul1e. Dans 1e travail de : Begue, Conca, Murat et Pironneau·) on trouvera une formulation variationne11e du prob1eme (8,29),qui est equiva1ente au prob1eme de depart, ainsi que des resultats d'existence et d'unicite pour 1e prob1eme variationne1 associe.
rl
rl
rl
L' equiva1ence,entre 1es formulations variationne11es et 1es prob1emes aux 1imites de depart,se demontre de fa~on c1assique
en uti1isant des fonctions
tests et en integrant par parties. Les resultats d'existence et d'unicite demontres dependent de 1a geometrie des prob1emes, c' est-a.-dire de n et de 1a partition {r l' f 2' f 3} • ¥) Dans 1es Publications du Laboratoire d' Analyse Numerique de l'Universite
P. et M. Curie (Paris 6); vol. 6, fasc. 2, 1987, 75 pages.
100
de 1a frontiere, 3 est determinee exp1icitement en
11 est demontre que, d'une part, sur 1a partie f 1a derivee norma1e de 1a pression an/an
fonction des donnees. D'autre part, 1es flux de 1a vitesse sur 1es composantes connexes de
r 2 sont determines explicitement en fonction des donnees du
et de certaines fonctions w ' ••• , w _ (r etant 1e nombre de 1 r 1 composantes connexes de r ) qui ne dependent que de 1a geometrie du prob1eme. 2 Ces resultats ont leurs analogues dans le cas des equations de Navier
prob~eme
stationnaires. t' recent, P ogu e Tournemlne 3 . Dans un t raval' l "
a l'ecoulement
d'existence et d'unicite
lIi)
. " certalns • " t ats ont app11que resu1
c1assique de Stokes, satisfaisant
a
l'equation (5,13) : (8,30) La solution de cette equation de Stokes,dont l'existence et l'unicite est prouvee pour l'ecoulement autour d'un profi1 que1conque, presente l'inconvenient physique de conduire
a des
vitesses non bornees
a l'infini
(c'est juste-
ment 1e paradoxe de Stokes). Divers auteurs, dont Oseen fut 1e premier, ont propose de lever 1a difficulte en mettant en doute 1a va1idite de l'equation de Stokes. D'autres ont cru voir dans ce paradoxe de Stokes 1a demonstration de 1a non existence physique d'ecoulements soit plan soit permanent. En rea1ite, ces tentatives d'exp1ication sont incorrectes et 1e paradoxe de Stokes n'a ete .
.,
~
•
blen comprls qu en 1955,a 1a sUlte des travaux de Kap1un et Lagerstrom
lIilli)
,
dune
part et de ceux de Proudman et Pearson', d'autre part. Ces quatre auteurs uti1isent 1a methode des deve10ppements asymptotiques raccordes (MOAB) dont i1s sont
a l'origine.
En fait, 1e paradoxe de Stokes a ete
1eve ana1ytiquement par Kap1un ••• ) dans 1e cas d'un profi1 circulaire. Dans 1e cas general d'un profi1 regulier que1conque,Pogu et Tournemine mont rent que 1a solution au premier ordre, uniformement va1ab1e et done echappant au paradoxe de Stokes, est representee par deux descriptions :
.) Dans 1e Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, vol. 1, nO 4, 1982, pages 645 a 670. ft) Dans 1e livre :"F1uid Mechanics and Singular Perturbations", a collection of papers by S. Kap1un. Academic Press, 1967. , Dans: J.F.M., t. 2, 1957, 237 a 262. ----lIillill') Voir l'artic1e danS:J. Math. and Mech., 6, nO 5, 1957,595-603. I --
101
1) dans n (dans un voisinage de quelques cordes du profil):
L U 0 0 ~ Log Re
=-
1/1
(8,31 )
x.
~
x. = L
~
o
oil ~ est la solution du probleme suivant
~2
(;2
~)
~av- o
~= 0,
ti aX 1
(;:
sur
2
a ~
( -2 '
(8,32)
= 0 dans 51 ,
o quand
r ...
00
,
/-2 x + 1 - 47T,
2) dans ~ (quand
r
1 devient de l'ordre de Re- ) :
L U
(8,33)
1/1
=~ i: Re
sin
e , i:
Re r
a 2 a - represente I v. ~x-. ; V 1 et V2 etant les composantes de av _ i=1 ~ a la normale unitaire a aQ,exterieure au~profil. On notera que la condition On notera que
integrale intervenant en (8,32), compliquee a priori, a une signification physique simple: elle est liee x
1
a la D
oil
trainee (c'est la composante sur l'axe
de la resultante des actions du fluide sur la paroi an) :
]10
= 7T
]10
est Ie coefficient de viscosite dynamique (constant).
8,6. COMPLEMENTS Tout d'abord, comme pour les equations de Stokes (8,23), (8,24),on peut poser un probleme analogue Navier stationnaires
(8,34)
mais relativement aux equations de
-v0
!:J.
...u +
~ V -+ (u. ) u + -+ 'i17T
~.~
;:
0
dans Q,
{
avec les conditions
a (8,29)
...f
dans Q,
102
....
u =
.... U
o
sur f
1
~ A ; = : A ;, 7T
(8,35)
........ u.n
1:::,2
+ J1!.L = 2
7T
}
0
........ = b.n,
(V A u) -+
sur
-+
An
-+-
-+
= hAn
On demontre que la solution de (8,34), (8,35) est unique si la viscosite Vest assez grande par rapport aux donnees (ou bien, si les donnees o
sont petites par rapport
a vo ).
Lorsque les donnees sont petites,il y a aussi
existence de la solution du probleme (8,34), (8,35). On trouvera des resultats sur la regularite des solutions de Navier dans le livre de Ladyzhenskaya (de 1963 , deja cite) et l'article de Fujita·) Des
" " • resultats plus recents se trouvent dans 1 , artlcle de HeywoodIf!JIf) ou"- l'on
trouvera aussi des resultats concernant la decroissance des solutions du probleme de Navier, et divers theoremes d' existence pour les cas stationnaire et instationnaire, s'agissant de solutions classiques. Le theoreme d'existence
a la
de Heywood, pour le cas instationnaire, impose
...
donnee initiale ~o d'avoir
uniquement une integrale de Dirichlet finie. En ce qui concerne l'analyticite des solutions de Navier,on pourra
.
.
consulter les travaux de FOlas et Prodl
)
~
et de Kahane r.
Le comportement des solutions du probleme de Navier, lorsque Re .... 00,
a fait l'objet des recherches de Lions 7 et aussi de YudovitCh F et on pourra, sur cet aspect des choses consulter les divers articles parus dans le livre T • Mais,nous reviendrons sur ces questions au Chapitre VI. edite par Temam Tout recemment, Galdi et Maremonti..··) ont demontre
un theoreme d'unicite
pour la solution des equations de Navier, avec conditions initiales et condition d'adherence sur la paroi d'un obstacle borne. L'unicite a lieu pour l'ecoulement
a 102 • a 681 •
.) Dans: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, section 1, 9, 1961, 59 •• ) Dans: Indiana Univ. Maths. J., vol. 29, 1980,639
a 34. a 405.
••• ) Voir: Rend. Sem. Mat. Padova, 1967, 39, 1
-+ Dans:
Arch. Rat. Mech. Anal., 1969, 33, 386
7 Dans le livre : Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Dunod, 1969, Paris. F Dans: P.M.M., 30, 1966, 4,688-698, en langue russe. T Dont le titre est: "Turbulence and Navier-Stokes equations". Lecture Notes in Mathematics, vol. 565, 1976, chez Springer-Verlag • •••• ) Dans: ARMA, vol. 91, 1985/1986, 375-384.
103
a l'exterieur
de cet obstacle et cette derniere est acquise grace
estimation sur
TI (
au ni veau du terme
V TI
a une
dans l' equation de la quantite
de mouvement de Navier).valable loin de l'obstacle. On demontre de
fa~on
precise que si (~,
et (~, +~,
,TI')
+
TI'
TI)
sont deux solutions classiques des
equations de Navier, alors on a
....
au
....
....
;:l;""
"";:l;"" = -
at; + (u'+ u).v u + u.V u'
....
V TI + /: ,. u,
(8,36)
.... (y,t) e a n avec
\i 0 -
x [O,T],
....
",.
-+,
-+
1 et oil nest exterieur a an ; si maintenant on suppose que u ,u, ....-+
-+-+
V u' et TI sont bornes, alors u
_
° dans n
T
=
n
%u
x (O,T), T > 0.
Ainsi, on obtient un theoreme d'unicite sans avoir impose de conditions precises
a l'infini. On trouvera aussi un theoreme d'unicite, de la solution des equations
de Navier, en domaine de Man)
~
borne, dans le travail de Heywood·)et aussi dans celui •
Enfin, signalons aussi l'article de Galdi et R1onero
lIElIElIE)
la stabilite des ecoulements de Navier en domaines exterieurs.
6, 1979, 427-444 . .. ) Dans : Pacific JL Math., 93, 1981, 387-405. lIE) Voir: Ann. Sc. Norm. Pisa, ser. IV,
lIEn) Dans: ARMA,
81, 1983,333-347.
concernant
ELEMENTS D'UNE THEORIE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS D'EULER
9,1. SURFACES CARACTERISTIQUES ET HYPERBOLICITE En toute generalite, les
e~uations
D Log P + v.~ Dt
-+Du P Dt
,D
ou Dt
a
= at
-+- ;t; + u. V
+V P
d'Euler s'ecrivent sous la forme
=0
0
Au systeme nous associons la loi d'etat generale
=P
p
(p,s).
La celerite locale du son est donnee alors par la formule a
ap (p,S) > 0 dP
2
et dans ce cas
.l22. - --l.. .!?J2.
(9,4)
Dt -
a
2 Dt '
ce ~ui fait ~ue nous pouvons ecrire les e~uations d'Euler (9,1) sous une forme symetri~ue
-+Du
;t;
PDt+VP=O;
;t;-+-u +_1_.!?J2. V.
DS
Dt
2
a P
=0
Dt
=0
•
Ce systeme d'Euler (9,5) est dit symetri~ue etant donne ~ue sous forme matricielle, il s'exprime
a partir
de matrices 5 x 5
effet, on a pour (9,5) la forme matricielle suivante :
symetri~ues;
en
105
A dU +A
(9,6)
odt
~ = 0,
k
kd~
1, 2, 3 ,
ou u
1
P
0
0
0
0
2
0
P
0
0
0
0
0
p
0
0
p
0
0
0
S
0
0
0
u U
u
A=
3
0
(9,71
0
0
0
0
~
0
0
0
~
°kl
°k2
°k3
2a p
0
0
0
0
0
~
p~
~
1/ 2 0 a p
0
°kl °k2 °k3 uk
0 0
la matrice A etant definie positive. 0
1. On peut former,
a la
place du systeme d' Euler (9,5), une equation ne
contenant pas de derivees d'ordre superieur
a deux
et dans laquelle les seules
derivees secondes sont celles de la pression. Pour cela derivons totalement l'equation de continuite du systeme d'Euler (9,5); il vient : D {1
(9,8 )
Dt De maniere
2
a p
(.£E. dt
a faire
........)}
+ u. V'p
D (;:1: .... )
+ Dt
V. u
= 0 •
usage de l'equation de la quantite de mouvement,
il est indique de permuter les operateurs ~ et divergence (ti.); mais cela l5) introduit des termes supplementaires car :
Ainsi, en prenant la divergence de l'equation vectorielle de la quantite de mouvement, il vient : ~ . . dUo ;:l:+ ........ T 1I!) Prec~sons que s~les~ sont les composantes de vu, celles de (V'u) seront les dUo Xj ~ de sorte que (%) (%)T, en coordonnees cartesiennes) s' exprimera par: xi dUo duo --~ ~ ax. dx. ' i, j 1, 2, 3.
J
~
106
de sorte que (9,8) s'ecrit sous la forme suivante :
Le premier terme de (9,9) est transforme en remarquant que, pour le gaz parfait a
Cp
et
constants, on a : a
Cv
2
p = y p, avec y = cp/c
aussi que 2
12(12-) =_ -D 2 = -a 2 Dt Dt Dt at 2
+
a
+
+ +
+ 2u . i,I - + u u "t (]
de sorte qu'il vient l'expression
G-L2
12Dt
ap
(9,10) + +
~J Dt
2 ap
1
++
at
2
u. ;!;~ v Clt 1
Vn;!;
Dp 2
a p
yp
En reportant (9,10) dans (9,9) on trouve : 2
l...£2 at
+ ±
lP.
+ 2 u. V (at )
Vn;!;
2
++
- .:..;;:.. .V P = a p(i,lu) p
++T
(i,lu)
1 nn 2 + - (=) P Dt
ou encore, etant donne que
2
~
(9,11)
at
++lP.
)
- -.:..;;:.. v p - (-) 2p' 2Dt
+ u u . i,li,Ip
.
2
= _1_ (a p + 2+
++
2 + 2 u.i,I at + (u u - a
2..1
J.)
++
1
nn Dt
(i,lu)T + - (= ) P
2
v
et
107
i
en designant par le tenseur unite de composantes 000 • Cette equation (9,11) J.J presente bien la forme voulue; les seules derivees secondes qu'elle comporte sont celles de la pression p et il est immediat qu'elle se reduit a l'equation classique des ondes pour la perturbation de pression, lorsque celle-ci est supposee petite relativement a la pression Poo = const. de reference 0, p'
=p
2
- Poo ' aoo
ou Poo= const. est la masse volumique de reference. On sait que les surfaces dites
caracteristiques~) de
l'equation (9,11) doivent verifier l'equation du
premier ordre suivant : aG)2=
at
(~G). v
( 2.i
a
............ G ........) aG '1. - u u)."iJ - 2 (u."iJ G at •
11 Y a naturellement une autre famille de surfaces caracteristiques .~ DS = e t qUJ.° verJ. ~ 'f'J.ent l'~equat'J.on : assocJ.ees a'l'~ equatoJ.on Dt
°
aG .... ± -at+u.vG=O. L'equation (9,12) peut, en fait, se mettre sous la forme simple suivante :
et cela etablit que, si les evenements (t ,;-) et (t + dt, ;- +
sont sur une
meme onde, l' on a la relation suivante
(
(9,15 )
dt)V G =
+a
dt
Iv G I
Ainsi, les surfaces caracteristiques sont toujours reelles, c'est-adire que l' equation (9,11) est toujours du type hyperbolique et meme du
~
hYJlerbolique normal (c' est-a-dire du meme type que l' equation des ondes classiques) •
~)
=
L'hypersurface G(Xa) = Const., a = 0, 1, 2, 3, x t, est surface caracteristique si et seulement si le vecteur a quatreOcomposantes
t
ou
= {aG/
axa
} est solution de l'equation caracteristique : Det
A(t) = Aa ~a = A0
aG + A Ok
at
~ k a~ ,
= 1" 2 3 .
A (t)
= 0,
108
2. Le cas de l'ecoulement stationnaire, lorsque aG/at = 0, merite une attention particuliere. 11 vient alors :
~.VG = 0,
(9,16a) et
~.VG = :I: a
(9,16b)
Iv GI .
La relation (9,16a) definie les surfaces caracteristiques dites de contact, sst, tandis que la relation (9,16b) definie les surfaces caracterisc st S + ' stationnaires. Ainsi, on cons tate que, dans un
tiques di tes soniques,
ecoulement stationnaire
s-eulerien, les surfaces caracteristiques de contact
sont necessairement des surfaces de courant. D'autre part, il est presque evident que la relation (9,16b) ne peut avoir lieu que si I~I > a; c' est-a.-dire que si l'icoulement stationnaire eulerien est supersonique (le nombre de Mach local
M= ~ a
est alors plus grand que un).
Ainsi, les surfaces caracteristiques soniques ne peuvent exister que dans les ecoulements stationnaires euleriens supersoniques et de ce fait,le systeme d'Euler stationnaire
{
(9,17)
V.(p ~)= -+-±
-+
0,
p(u.v) u +
~.V S V p = 0,
0,
-+
est du type hyperbolique uniquement si l'ecoulement stationnaire correspondant est supersonique . Lorsque l'ecoulement stationnaire correspondant a. (9,17) est subsonique (M < 1), les seules surfaces caracteristiques sont des surfaces de contact qui sont aussi des surfaces de courant.
3. Pour se convaincre que l'equation de Steichen (4,28) est bien du type 2 hyperbolique (lorsque a "t 00), il suffit de lui associer sa forme quadratique ' . t·1que.) : carac t er1S
Q(!) = ,2 + 2 ~a x1
.) Les composantes de
t
~,+
sont (',~,n,s). On remplace dans l'equation de Steichen ~21\
2
(4,28) les derivees du second ordre : .d-1Il par , , at 2
a2./\ at ax 1
~
par
,~,
etc .••
109
Mais Q(t) peut s'ecrire sous la forme compacte suivante (9,18)
et on constate que les racines de l'equation caracteristique Q(t) relati vement au vecteur
t
de compos antes (T,
~,
=0
,
11, r;) dans ]R4, sont de la
forme: (9,19)
Ainsi, nous avons deux surfaces caracteristiques
~~
(9,20)
V$.V
+
G
=:
Iv
a
G
I,
ce qui implique bien que l'equation de Steichen (4,28) est hyperbolique, quelque soit la solution ~ (t, ~). On notera qu'il n'y a pas de surfaces caracteristiques de contact dans un
ecoulement
eulerien barotrope irro-
tationnel (a potentiel des vitesses). Pour l'equation de Steichen stationnaire,il est interessant d'introduire la notion de surface caracteristique d'un point de vue quelque peu different. Dans le cas stationnaire,l'equation de Steichen devient
(9,21) ce qui est equivalent
a ecrire
{
(9,22)
a
:
2-;1;+
V.u
+
+++
u. (u.'i7 u),
V A ~ = 0,
~
= V~ .
De (9,22) on forme la combinaison lineaire suivante a avec
t
2-;1;+
+
+-;1;+
-t--;I;
+
v.u - u.(u.V u) + A.vAu = 0,
un vecteur arbitraire . Dans un ecoulement continu de fluide d'Euler,la derivee normale de
la vitesse peut etre discontinue sur certaines surfaces particulieres,mais les derivees tangentielles de cette vitesse restent,elles, continues sur ces surfaces. Cela est, en fait, possible que si les equations d'Euler stationnaires en evolution barotrope irrotationnelle peuvent s'exprimer
a l'aide des derivees t de telle fa~on
tangentielles seules ! 11 s'agit done de choisir le vecteur
que la relation (9,23) ne contienne que des derivees tangentielles de la
110
ti,
vitesse '
•
-+
sur la surface E qui est une surface sur laquelle
d ~seont~nue
(d on
= n.
-+ -+V
-+
, avec n le vecteur
,
•
un~ta~re
IE
~~
,
de la normale a
peut etre '" ~
en un
point arbitraire). Reecrivons (9,23) sous une forme tens orielle (a
2J
j
+-+
-+-
-++
1- u u + 'LA ft.) : V u = 0,
ce qui fait que la condition pour que les derivees normales soient absentes sera ou encore
L'equation vectorielle (9,24) a une solution relativement a t et seulement si le vecteur a 2 ; - ~ ~.; est perpendiculaire a ;; done
si
qui est une condition pour l'existence de la surface E , sur laquelle 0;1 on E m3 l'equation de la surface E
peut-etre discontinue. Si on note dans -+
par G (x)
= 0,
on aura que
o
(9,26) ce qui nous redonne bien (9,16b).
4. Terminons cette discussion sur l'hyperbolicite, en considerant le cas de ,__ ,. 1 ecoulement plan stat~onna~re, lorsque
11 vient alors,
a2
avec
a
2
a la
oJI
~ =
0
-
, et notons : xl = x et x 2
=y.
place de (9,21),
(fl + fl ) = (:Pi ox2 ay2 ox
l
a 2 + 1:1. Iu2 _ 00 2 00
r(~
L ox
)2 +
)2
~ ox2
i:L (:E1. oy
+ 221 ~ + ox oy ox oy
)2
tl ol
(~ )2l}. oy J
L'equation (9,27) a des solutions qui se comportent tres differemment selon le signe de l'expression (9,28)
111
c'est-a-dire suivant le caractere localement subsonique (0 > 0) ou localement supersonique (0 < 0); le cas de 0 = 0 devant faire l'objet d'une analyse particuliere (c'est le cas dit "transsonique"). Dans le cas subsonique,on montre que les solutions sont pourvues de derivees de tous ordres et une propriete essentielle est une interdependance de tous les points de l'ecoulement (caractere elliptique du probleme). Dans le cas supersoniqu~ certaines derivees de ~ peuvent etre discontinues le long de certaines lignes, en
outr~et
cela est plus important, il peut apparaitre des
chocs qui entrainent une variation d'entropie specifique S, mais pas de variation de l'enthalpie totale, specifique H (voir l'equation de Vazsonyi (4,62». De ce fait, dans ce cas, a la traversee du choc,il y a perte du caract ere irrotationnel de l'ecoulement supersonique et il faut revenir aux equations d'Euler, avec ~ f O. En particulier, d'apres la relation (4,68), on aura le systeme eulerien suivant :
P u l =-~ , P u 2 = .1!i!... aX ax~ l u2 + u 2 + h l H - Ho (1/J00 ) 2
(9,29)
a l'infini amont (a l'amont loin du choc) 1/J
prend la valeur 1/J00 '
9,2. SURFACES OE OISCONTINUITES FORTES ET FAIBLES • • (->' • • On dlra que l'ensemble des fonctlons u, p , p, e ) , deflnles dans E 4 ,
caracterise un ecoulement eulerien generalise si,pour toute hypersurface fermee lisse par morceaux, S €E
4,
on a la relation integrale suivante :
IfSI (~~\COS(~,t)
dv
P E )
+
=e
III ( ~(~::) S (pE
+ p)
+..,.pi~ u.N )
sin
(~,t) dv
0,
1~12
+ ~ et ~ le vecteur unitaire de la normale exterieure a S 2 ->On notera que si ~ designe le vecteur unitaire de l'axe des temps t et N le
avec E
vecteur unitaire de la normale exterieure a la section hyperplan t
= Const.,
alors on peut ecrire la relation
n,
de S, par le
112 ~
v =
~
~
~
~
T cos (V,t) + N sin (v,t).
En particulier, si ~, p , p et e sont des fonctions continUment differentiables,on retrouvera de (9,30) les equations d'Euler classiques D Log P -+-+ + 'Y.u Dt -+ Du P Dt + Vp = 0
(9,31)
De
p;:t;-+
-Dt + -P v •u
0
o
Par contre, lorsque ~, p , p et e subissent des discontinuites sur
certaines surfaces dans
S, il faut utiliser (9,30),
a la
place de (9,31).
Si dans le domaine de definition de l'ecoulement generalise d'Euler 4 -+ il existe une hypersurface E C JR sur laquelle u, p, pet e ont des disconti. , ., ,"') . ., , nu~tes de prem~ere espece , tandis que en dehors de cette dern~ere,cet ecoulement generalise reste continu, alors cet ecoulement est dit etre un ecoulement avec discontinuites (tres fortes). Dans ce cas la section B(t) EJR 3 de l'hypersurface
E avec les hyperplans t = const. est dite surface de discontinuites
fortes. 11 s'avere que les sauts des champs euleriens ne peuvent etre arbitraires, mais doivent necessairement satisfaire aux relations de saut fort; de (9,30) il decoule que l'on doit avoir :
N,in
(9,32)
(;;,tl ]
o •
1. Maintenant, si l'on designe par W la vitesse de deplacement de la surface
N
de discontinuites fortes B(t) dans la direction de la normale
N,
alors on
-+ -+ constate que le vecteur W N + T est dans le plan tangent a E et il est N donc perpendiculaire au vecteur V defini plus haut. Ainsi, il s'avere que
et de ce fait on trouve,
a la
place de (9,32),
"') Dans ce cas les limites des fonctions ~, p, p, e a droite (aval)et a gauche (amont) de E, existe~t sur L mais sont distinctes. Soit f, l'une de ces fonctions, notons : f = Lim f et f- = Lim f , ou L+ est la face aval (t ,i)-+E+ . (t ,i)-+l:et L la face amont de l\fiypersurface E sur laquelle f est discontinue. Dans ce cas I [r] I = f + - f est le saut de f a travers E.
113
sin (v,t)
= - W). N
Mais : ~ - WN (~ la vitesse du fluide relativement
o .
v, ou vest la composante normale de
a la
surface de discontinuites, B(t), car
designe le champ des vitesses de B(t) dans son mouvement propre. Comme WN est une vitesse bornee,il faut que sin (v,t) ~ 0 et de ce a la place de (9,33),
fait on trouve,
o , 1~12 2
+ e) v + p
uJl
o •
Les relations (9,34) sont les equations de saut fort pour les ecoulements de fluide eulerien. -+
Soit maintenant u
la composante tangentielle, de la vitesse du T -+ fluide u, situee dans le plan tangent a la surface de discontinuites B(t). Projetons sur ce plan tangent la seconde des equations (9,34); on trouve :
(9,35)
p v
I[;J I =
0 ,
ce qui donne la possibilite de distinguer deux cas pour les sauts forts : i) v normale
a B(t)
= 0,
~
= WN et
est egale
a la
la vitesse de l'ecoulement dans la direction vitesse de deplacement de cette surface B(t)
dans la meme direction. De ce fait,le fluide ne traverse pas la surface de discontinuite B(t) et on a alors:
I[~I =
0,
I~] I
o ,
mais en general
on dit alors que l'on a affaire
a une
discontinuite de contact;
W
114
ii) v f 0, ~ f WN et dans ce cas
1[;JI=o , mais en general
on dit que l'on a affaire
a une
onde de choc et dans ce cas le fluide traverse
la surface de discontinuite (le choc) B(t). La difference qualitative entre une discontinuite de contact et une onde de choc consiste en ce que cette derniere se propage avec les particules fluides, tandis que la discontinuite de contact separe deux domaines d' ecoulements qui sont chacun constitues des memes particules fluides
a tous
les
instants. 2. Disons quelques mots sur les surfaces de discontinuites faibles. L'hypersurface S C JR4 est dite surface de discontinuite faible pour l' ecoulement eulerien, satisfaisant aux equations (9,31), si la solution de (9,31) ainsi que ses derivees premieres, d'apres les directions tangentes
as,
sont partout
continues(y compris sur S), tandis que certaines derivees premieres d'apres la normale
a
discontinues
S, continues en dehors de S et sur les faces S+ et S-, sont traversee de S ; ces discontinuites sur S etant de premiere
a la
espece. On notera que dans un ecoulement de fluide d 'Euler, barotrope, irrotationnel, une discontinuite faible sur les surfaces caracteristiques de contact est impossible; cela veut dire que : toute discontinuite sur une surface caracteristique de contact est necessairement une discontinuite forte; naturellement
cela est le cas lorsque les ecoulements d'Euler continus baro-
tropes, qui prennent place de chaque cote de la surface de discontinuite de contact, sont tous les deux irrotationnels.Si, par contr~,l'un de ces ecoulements est rotationnel , alors sur la surface caracteristique de contact, de separation, nous aurons une discontinuite faible. Une discontinuite faible est admissible aussi
bi~n
sur une surface
caracteristique de contact que sur une surface caracteristique sonique. Soient (9,38)
{
+
+
u.r.N = 0,
;t;
V
3+ = 3N N
+
++
+ D, D.N
0,
115
...
ou N est un vecteur normal unitaire a la section r (t) de l'hypersurface de 4 discontinui te faible S de lR , par t = Const.; N est suppose etre dirige d'un certain cote de necessaire.
r
(t), ~ue l'on precise cha~ue fois ~ue cela est
...
Si WN N designe la vitesse de deplacement normal, vectorielle, de l'hypersurface S, on a les relations de sauts suivantes
P(~-WN) I[~~JI+ I[~~JIN=O; (~ -
ou
I[
f ]
I
WN )
I[ ~~ ] I
denote la discontinui te de f
Lors~ue ~
+ a
2
P
I[ ~~ ] I·N =
a travers
0
S
- WN ~ 0 on trouve aussi ~ue
(9,40)
Surface d'onde d'entropie. Dans ce cas :
~
=WN et
on a
I[ ~~ ] I = 0, I[ ~~ ] I. N = 0
Ib~ ]I ~ I~:~ 1= +
I[ ~; ] I Surface d'onde
(9,42a)
acousti~ue.
{
,
0 ,
est arbitraire.
Dans ce cas
I[ ~; ]I = 0
~ ~
;
WN et on trouve
116
[I
/[~~I
a
2
/[#]I;
~~ I = ~ ~ I[~~J I; I~ ]I reste arbitraire, Ie signe
etant choisi de
fa~on
.
que la vitesse de deplacement normal de la surface +
(
+
d'onde acoustlque : WN N = ~ ~ a) N •
9,3. BICARACTERISTIQUES ET CONOIVE CARACTERISTIQUE Nous avons vu que si l'equation de la surface caracteristique (dite aussi variete caracteristique) est donnee sous la forme: G (t,~) alors cette fonction
= Const.,
G(t,~) satisfait aux equations: DG Dt
= 0,
DG + a Dt -
Iv
GI
= 0,
D
a
+:l:
Dt = at + u.v
Mais,il faut aussi avoir en vue qu'au niveau de ces equations (9,43) et (9,44),la vitesse ~ (qui intervient au niveau de ~~ ), ainsi que la celerite du son a, considerees comme des fonctions de t et de x, sont supposees connues, puisque la variete caracteristique est toujours recherchee relativement
a une
solution U des equations d'Euler (9,6). Pour les equations aux derivees partielles du premier ordre (9,43) et (9,44) nous pouvons formuler un probleme de Cauchy, avec valeur initiale trouver G (t,x), satisfaisant a (9,43) ou (9,44), lorsque l'on s'impose la donnee initiale
Dans ce cas, si la vitesse ~ est une fonction suffisamment lisse, pour toute donnee initiale (9,45), continue, il existe une solution unique (au moins localement dans Ie temps, c'est-a-dire pour des t > 0 assez petits) pour G (t,~). D'un point de vue geometrique,la donnee de GO(~) est equivalente
a la
donnee d'une surface, a deux dimensions, initiale dans m3(~), dont l'equation est
GO
G(t,~)
Const. et par laquelle passent les surfaces caracteristiques
= Const.
caracteristiques
Pour une meme surface initiale,nous aurons trois surfaces une de contact (entropique,
satisfaisant a (9,43)) et deux
soniques (sonores, solutions de (9,44))respectivement avec +a et -a.
117
Les courbes caracteristiques (on di t simplement "les caracH ristiques") de l'equation (9,44), au sens qui est donne dans la theorie classique des equations aux derivees partielles du premier ordre, et qui sont des caracteristiques au second degre pour l'equation hyperbolique de depart (9,11), ont "t".... , . ,... .) . e e denommees b1caracter1st1ques par Hadamard . Pour ce qU1 concerne plus particulierement l'equation (9,43), ces caracteristiques sont les courbes integrales du systeme +
dx
dt
+ U
c'est-a.-dire que les bicaracteristiques de contact coincident avec les trajectoires des particules fluides danslR
4
+
(t,x).
Pour l'equation (9,44), avec + a, qui determine la surface caracteG+ (t,~) = Const., les equations des bicaracteristiques s sonores correspondantes sont ristique sonore
dt
V G+s u + a--Iv G+I s
d dt
a G+ s a x a
+
dx
(9,46)
+
.v G+s -
+
au - aX a
a = 0, 1, 2, 3,
x
o
aa ax a
Iv
G+ s
I,
- t.
Les equations des bicaracteristiques sonores qui correspondent a. G
s
Const,
s'obtiennent de (9,46) en faisant le changement de +a en -a.
Lors de la recherche des bicaracteristiques sonores, a. partir de l'integration des equations aux bicaracteristiques correspondantes (disons, les equations (9,46»il faut prendre en compte que les donnees initiales pour t
a
(9,46) et qui imposent la connaissance des 'dG+ lax
s
a
= 0,
associees
, a = 0, 1, 2, 3,
doivent etre compatibles avec l'equation (9,44), ou ori- a:+a, et aUSS1 avec la donnee (9,45). Une surface caracteristique particuliere est obtenue, si l'on considere la surface engendree par les courbes bicaracteristiques issues d'un point instant Q(~, to). Cette surface caracteristique particuliere est le conoide caracteristique de sommet Q; les generatrices de ce conoide caracteristique issues de Q sont donc les
bicaracteristiques et les surfaces caracteristiques
,If) On peut consulter a. ce sujet son livre : tiLe problEl:'le de Cauchy et les
equations aux derivees partielles hYJ?erboli que s ", che z Hermann, Paris, 1932.
118
passant par Q sont tangentes au conoide caracteristique le long des bicaracteristiques. Naturellement, la forme du conoide caracteristique est liee a la solution U des equations d'Euler (9,6) et plus precisement a la vitesse ~ et a la celerite locale du son a associee. Un cas simple, est celui de :
=
+-+ U u
o
et a :: a
0
ou ~o et a
sont les valeurs de ~ et de a au point instant Q(~O,to). Dans ce o cas,la seconde des equations (9,46) donne
a (1+
~
( ax s)= 0,
a
ce qui veut dire que
aG+
aG+ s aXa
s
axa -
Const to ,x +0
le long des bicaracteristiques et ce quelque soit
a
= 0,
1, 2 et 3. De ce fait,
la premiere des equations (9,46) conduit, apres integration, a la solution
(9,47)
;t =;to +
[~
o
+ a 0
(VIVG+I G:)
J(t-t
O
).
0+0
t,x
s
Ainsi, dans ce cas particulier, les bicaracteristiques forment une famille de droites d'equations (9,47).
G+s I)k 0
En eliminant le terme constant
+0
,x
' on
obtient
l'equation du conoide caracteristique sous la forme suivante (pour la solution constante (~ , a )) : o 0
(9,48)
I
~
-
~
-
~o ( t-t 0 ) 1 2 = a 02 (t-t 0 ) 2
'
~ ~ +) . . . qUl. represente un cone dans 1 , espacem 4( t,x qu~ a pour sommet le po~nt-~nstant Q(t O, ~o). On demontre que le cone d'equation (9,48) modelise avec une bonne
approximation le conoide caracteristique au voisinage du sommet Q(tO,~) pour toute solution U , lisse, des equations d'Euler (9,6). On notera
= const
qu'une coupe t
de ce cone (9,48) est une sphere
dont le centre se deplace avec la vitesse I~
o
1 et
dont le rayon crolt avec la
vitesse a . En particulier, pour les ecoulements stationnaires ~les surfaces o Iu. I d'ondes sont des spheres et si I~ I > a , c'est-a-dire si M = ~ > 1, ces o
0
0
a
spheres ne contiennent pas le point Q et elles sont tangentes alor~ au cone circulaire droit, dans l'espace euclidienm3(~), dont le sommet est en Q
119
et l'angle d'ouverture est 2a ' ou o
c'est le cone dit de Mach. Enfin, la projection du vecteur vitesse ~ normale au cone de Mach est egale
a la
o
sur la
celerite du son constante ao' ce Qui
veut dire Que ce cone de Mach est le cone caracteristiQue de l'ecoulement d'Euler stationnaire supersoniQue constant considere.
9,4. LE THEOREME OE CAUCHY-KOWALEWSKI Le probleme de Cauchy, ou probleme avec donnees initiales, pour les eQuations d'Euler consiste le choix de to :: 0)
a s'imposer
= to
pour t
(mais on peut toujours faire
les valeurs de ~, p et S satisfaisant au systeme hyper-
boliQue : ap V .... at + .(pu)
0
....
1 au .... V .... at + u. u + p
(9,50)
as .... V at + u. S
(9,51)
Vp
0
0
....
o ,
u
....0
OU u , pO et SO sont des fonctions de ;::
e]R3
Le probleme de Cauchy (9,50), (9,51) peut etre considere dans diverses classes de fonctions
a la classe C des fonctions analytiques, la classe COO
des fonctions indefiniment differentiables, la classe
Jk
des fonctions lisses
par morceaux ou encore la classe C des fonctions continues. Si on se limite a la classe Ca , il faut supposer Que la fonction P(S,p), Qui est une donnee du probleme et Qui caracterise la loi d'etat du fluide d'Euler considere p = P (S,p),
(9,52)
est aussi analytique. De plus, on suppose Que la donnee initiale pO, dans (9,51), satisfait (9,53)
a la
relation :
pO
>
o.
120
Sous les conditions ci-dessus,nous pouvons appliquer le theoreme de Cauchy-Kowalewski au systeme (9,50); i l garantit que le probleme de Cauchy est bien pose dans la classe Ca. Ce theoreme d'existence et d'unicite affirme que "pour toutes donnees initiales (9,51), analytiques, il existe une solution unique, analytique,des equations d'Euler (9,50)
qui
satisfait aux conditions initiales (9 51)' cette uni ue solution analytique est definie dans un domaine dem
ou, T("'") x > 0, pour tout "'x" € m 3 , est une fonction dependant continfunent des donnees initiales (9,51) dans la metrique de l'espace des fonctions analytiques" . Ce theoreme donne une garantie de l'existence de la solution du probleme de Cauchy (9,50), (9,51) localement dans le temps (dans un petit voisinage de t
= 0)
et il en est de meme pour les solutions appartenant
a la
classe C des
fonctions continues. On ne sait pas demontrer sous quelles conditions il y a resolubilite du probleme de Cauchy (9,50), (9,51),quelque soit (existence globale) t > O.
1. Pour les
.
.,
appl~cat~ons
a la
.
dynam~que
• • ~ t de mettre des gaz lI!),~l est ~nteressan
en evidence les conditions sous lesquellesl'unicite du probleme de Cauchy, pour les equations d' Euler (9 ,~O), a effectivement lieu. Soit done U =( u 1 ' u 2 ' u , 3 p, S)T, une solution de (9,50) definie pour t ~ O. Considerons un domaine borne 11
C m
4 dont la frontiere est constituee d'un domaine d'espace w ' contenu dans o
l'hyperplan t = 0, et d'une hypersurface lisse par morceaux ayant une frontiere commune avec le domaine w • Soit encore o le vecteur de la normale exterieure a r.
r, pour t
> 0, et
t= {~a ; a =0,1,2, 3},
Il s t avere que l' unici te de U dans 11 est, en fait, intimement liee
a
la propriete d'hyperbolicite des equations d'Euler (9,50); elle se revele sous l'hypothese complementaire suivante : en chaque point de l'hypersurface r doH etre satisfaite l' ine~alite 2 2 2 1/2 ~o + u 1 ~1 + u 2 ~2 + u 3 ~3 ~ a (~1 + ~2 + ~3)
lI!) En dynamique des gaz on s'interesse presque exclusivement
des equations d'Euler compressibles (9,50).
a la
resolution
:
121
Considerons maintenant les coupes w (t) de Const > 0 (w (0)
t
V
=wo )
definie sur
{v. } ].
~
par les hyperplans
2
, sa norme dans L , pour les coupes w (t),
IIV;t I12 =fJf
(9,55)
~
et introduisons pour toute fonction vectorielle
Ivl
2
dw,
w(t)
+ ou, 1+12 V = ~ v.2 (t,x); la norme (9,55), comme fonction de t, etant definie ].
].
pour tout t
~
O.
On peut alors etablir l'estimation suivante : 1 "si la solution U du systeme (9,50) est dans C (n) et que cette solution U, ainsi que le domaine et
a l'inegalite
~,
satisfont aux conditions (9,54)
: inf pO(~) > 0 ,
wo
alors pour toute autre solution on trouvera une constante k
a l'inegalite
o
U' € C1(~), du systeme (9,50),
> O,telle que 0 U = U' - U satisfasse
II 0 U ;t II ~ k o I IoU; t =0 II,
t ~ 0 ".
Pour demontrer l'unicite, a partir de l'inegalite (9,56), il faut 1 noter que:si l'on se donne une solution U € C , t ~ 0, alors pour un domaine w € m3 (x) fixe, il existera un ensemble de domaines, ayant pour support w , o
qui sont tels que sur leurs frontieres Soit done
~
0
r, l'inegalite (9,54) est satisfaite.
(w ) la reunion de tels domaines; on peut alors affirmer que: o
"si l'egalite
U' = U est satisfaite sur wo' pour t = 0, alors elle
est aussi satisfaite en tout point-instant (t ,~) € ~ (w )", o
et cela confirme bien l'unicite du probleme de Cauchy pour les equations 1 d'Euler (9,50) dans la classe C . On dit que le domaine
~
(w ) est le domaine de determination de la o
solution du probleme de Cauchy (9,50), (9,51), avec des donnees initiales sur w • o
De plus, on peut demontrer que : "si la frontiere
r
(w ) du domaine ~ (w ), de determination de la o 0 j
solution, est une hypersurface lisse (de classe C ), alors sur cette derniere la relation (9,54) a lieu avec le signe d'egalite".
122
Cela veut dire que dans ce cas
r (wo ) est une surface caracteristique
des equations d' Euler( 9, 50~, pour la solution U. En particulier, si pour un +
-
point arbitraire Q( t,x), ou t > 0, il existe un conoide caracteristique K (Q), dirige vers les dt <
° et coupant 1 'hyperplan t ° d' apres wo '
coincide avec le domaine
n
alors ce conoide
(w ); si cela est bien le cas, on dira que le domaine o
W = wo(Q) est le domaine de dependance du point Q et dans ce cas la solution
o U(Q) se determine uniquement
a partir
de ses donnees initiales sur le domaine
w (Q) et n'est aucunement fonction des valeurs des donnees initiales en dehors o
1
de ce domaine (pour une solution de la classe C ) • D' autre part, si pour t = 0, on considere un certain ensemble
n
n o et
qu 'en chaque point Q e on construit un conoide caracteristique K+( Q ), o 0 o dirige vers les dt > 0, alors la reunion de tous ces conoides (ouverts, notee E+
(n o ))
sera telle que la valeur de la solution en chaque point Q
e
E+
(n )
est necessairement fonction des valeurs des donnees initiales sur l' ensemble De ce fait, E+
(n o ) est
di t : domaine d' influence de l' ensemble
n
0
n. 0
et, en
particulier, le domaine d'influence du point Q sera le conoide caracteristique +
K
0
(Qo)'
L'existence des domaines de determination, de dependance et d'influence bornes permet de faire des predictions quantitatives sur le caract ere de l'ecoulement d'Euler, en dehors de tous calculs. 2. 11 est bon de preciser que les donnees de Cauchy, c'est-a-dire les valeurs de ;, p et S, peuvent etre imposees sur une hypersurface necessairement avec l'un des hyperplans t a affaire
a un
= Const.
E qui ne coincide pas
Dans ce cas on dit que l'on
probleme de Cauchy generalise. Cependant, ce probleme de Cauchy
generalise, qui est alors un probleme aux limites, sera bien pose seulement si, sur l'hypersurface
ou
t
E , est satisfaite l'inegalite
= {~a' a = 0, 1, 2, 3} est le vecteur de la normale exterieure
aE
. Si
des courbes bicaracteristiques sont contenues dans 1 'hypersurface E ou encore si elles sont tangentes a E , alors le probleme de Cauchy generalise peut etre mal pose.
o
123
On dira que l'on a affaire a un probleme de Cauchy mixte lorsque, simultanement, avec les donnees initiales (pour t
0) on s'impose aussi
des conditions aux limites (pour un t = t') sur une hypersurface L (satisfaisant a (9,57»
contigUe a l'hyperplan t
= O.
Lorsque l'on s'impose sur L
des conditions complementaires,il est necessaire de prendre en compte la disposition de L , non seulement vis-a-vis des bicaracteristiques soniques, mais aussi vis-a-vis des bicaracteristiques de contact, c'est-a-dire des trajectoires fluides. D'un point de vue general,la question de savoir si le probleme d'ecoulement considere est alors bien pose ou non est tres souvent difficile a resoudre, et jusqu'a present la theorie est encore loin d'etre achevee Parmi d' autres, un probleme d' ecoulement relati vement simple, mais tres instructif, est celui dit "du piston". C'est un probleme de Cauchy mixte, pour lequel l'hypersurface Lest une surface caracteristique de contact; dans ce cas sur L
c
on a :
o ,
t'" --
{~
~
~
~}
"'0' "'1' "'2' "'3
est le vecteur de la normale a
L
Dans ce cas,le fluide ne s'ecoule pas a travers L
c
L' ensemble des
c
sections 0 (t) de l'hypersurface L par des hyperplans t = Const peut alors C
etre considere comme une surface impermeable en mouvement dans l'espace m3(~), qui refoule le fluide se trouvant devant elle, et
o(t) joue le role d'un piston
dont la forme change au cours du temps. Le probleme du piston est pose correctek ment et, en particulier, il est resoluble dans la classe C (localement en t) si sont realisees certaines conditions "de concordance" des donnees initiales avec la forme de l'hypersurface L au voisinage de C
0(0), d'apres laquelle L C
est
coupee par l'hyperplan t = O. Cesconditions sont liees au fait que le domaine de determination de la solution, avec des donnees initiales en t
=0
,
pour le
probleme du piston, est toujours separe de L par une surface caracteristique sonique
r,
c
passant par 0(0). Les conditions de concordance, d'ordre zero,
consistent a egaliser les valeurs de la vitesse ~Io(o) et de la vitesse de deplacement de la surface L ,aux points se trouvant sur c
0(0) dans la direction
du vecteur ~Io(o)' Les conditions de concordance, d'ordre un, consistent, en plus, a egaliser les derivees premieres de ces vitesses (la derivation se faisant le long de L ). Dans ce cas,la surface caracteristique c
r sera, de maniere
generale, une surface de discontinuite faible. De maniere plus precise
si sont
realisees les conditions de concordance d'ordre zero uniquement alors le long
124
de
r, les derivees premieres des fonctions decrivant la solution peuvent etre
discontinues; par contre,si sont realisees les conditions de concordance d'ordre un, uniquement, alors les derivees premieres sur
r restent continues, mais les
derivees secondes peuvent etre discontinues. S~'maintenan~ sur a
(0) les conditions de concordance d'ordre zero
ne sont pas realisees, alors il n'existe pas de sOlution continue du probleme du piston dans un domaine ferme; dans ce cas apparait un ecoulement avec des singulari tes du type "ondes de choc" et "ondes de rarefaction centrees". Le theoreme d'unicite de la solution du probleme du piston dans la 1
classe C
r) se demontre de fa~on
(qui tolere une discontinuite faible sur
classique, en tirant profit que sur E la forme quadratique: c
non negative.
oU.A(!)oU
est
Un cas particulier du probleme du piston est l'ecoulement au-dessus d'une surface solide immobile; dans ce cas 0 (t) est independant du temps t et o € :m 3 (;-) est une surface frontiere impermeable qui joue le role de la surface solide immobile sur laquelle glisse le fluide d'Euler considere. Soit h(~) l'equation de a
(9,59)
= 0,
la condition (9,58) devient -+ -+
-+
-+
u.V h (x) = 0 , sur
h (x) = 0 .
Un autre probleme peut aussi s'interpreter comme etant un probleme de piston. Supposons que, sur une surface caracteristique de contact, l'on s'impose la pression p; dans un tel cas on dira que cette surface caracteristique de contact est une surface libre. Mais,la donnee de p sur une surface caracteristique de contact rend le probleme de Cauchy mixte indetermine ! Pour qu'il soit determine,il est necessaire de considerer la surface libre comme l' une des inconnues du probleme de Cauchy mixte; cela veut dire que si l' equation de cette surface libre est r; (~, t)
=0,
alors la fonction r; (~, t)
est l'une des inconnues du probleme au meme titre que la vitesse, par exemple. Dans ce cas,le probleme avec surface libre s'interprete comme un probleme de piston, dont la forme est a priori une surface libre inconnue sur laquelle la pression est imposee. Le cas classique correspond
a une
pression imposee
constante et alors il faut imposer les conditions aux limites suivantes :
(9,60)
.£1
........
Clt + u.Vr;
0, p
p
o
= Const, sur r; (;-,t)
o .
125
Lorsque pour Po l'on prend la pression atmospherique constante au niveau de la mer, on obtient les problemes lies a la prevision des ondes de surface produites par une masse liquide en mouvement. Pour ce qui concerne la demonstration de l'unicite enoncee au debut . 9 , 4,on pourra consulter le l1vre .de. . lIi),en langue de cette sect10n Ovs1ann1kov russe. On trouvera aussi un theoreme d'unicite pour la solution des equations d'Euler (9,50), dans un domaine
n
borne, satisfaisant aux conditions initiales
(9,51) et a des conditions aux limites sur la frontiere
an
de
n
(lorsque
an
est immobile et impermeable, il faut tout simplement imposer que : ~.-; = 0, sur
an ,
ou -; est le vecteur unitaire de la normale a
an
dirige vers l'interieur
de n), dans l'article deja cite de Serrin (1959; voir les pages 279 a 283). On notera que ce theoreme de Serrin suppose l'existence de la solution pour tout t > 0 et que, de plus, cette solution soit une fonction continillnent derivable, definie dans
n .
Naturellement, le cas interessant est celui pour lequel une partie de
an
est une paroi materielle et dans ce cas,il faut considerer la vitesse
normale relative des particules fluides de cette paroi materielle, soit (d'apres ce qui a deja ete dit a la section 6,2 du v
§ 6) :
++
u.n - w
n
n
ou w est la vitesse exterieure normale de an . En tout point de an ou v < 0 n n (le fluide rentre alors dans n ) il faut s'imposer la vitesse, la masse volumique et l'entropie specifique. Par contre,lorsque v
n
> 0 (le fluide sort de + +
n), il
n'y a pas lieu de s'imposer autre chose que la donnee de u.n aux points correspondantsde
an .
En outre, il s'avere, que si pour une solution du probleme d'Euler
aux valeurs initiales et aux limites considere,nous avons
an· de an· sont
an,
sur une partie
la frontiere
cette partie
surabondantesrelativement aux conditions initiales
alors les conditions aux limites sur
imposees en t = 0; cela veut dire que les conditions imposees sur le restant de la frontiere et pour t
lIi) Dont le titre est :
=0
determinent de
fa~on
unique la solution.
Le~ons sur les fondements de la dynamique des gaz, ed. Nauka de Moscou, 1981, en langue russe (voir le § 7).
126
9,5. QUELQUES REFLEXIONS CONCERNANT L'UNICITE VE LA SOLUTION VES EQUATIONS V'EULER II faut bien se rendre compte que Ie modele d'Euler, regi par les equations (9,50) pour un fluide parfait en evolution adiabatique, est une approximation assez "grossiere" de la realite physique
qui,elle,correspond
(sous les hypotheses du "continu") au fluide visqueux, conducteur de la chaleur dont l'evolution dans l'espace - temps est gouverne par les equations de Navier-Stokes dont i l a ete question au § 2 (du chapitre I). Comme nous l' avons deja souligne, cette approximation se revele, en particulier, par une perte d'information sur la paroi delimitant l'ecoulement ou il faut imposer la condition de glissement, a la place de la condition (exacte !) d'adherence. Cette perte d'information sur la paroi a des consequences facheuses qui conduisent, dans divers cas, a la perte d'unicite de la solution des equations d'Euler et il est alors necessaire de faire appel a des informations complementaires (non contenues dans Ie modele d'Euler 7) afin de retablir cette unicite Un cas simple est celui de l' ecoulement plan autour d' un obstacle borne: la condition de glissement avec les conditions a l'infini (dont il a ete deja question a la section 6,3) ne garantissant aucunement l'unicite de la solution des equations d'Euler correspondantes. Pour simplifier, encore plus, on peut se restreindre a l'ecoulement stationnaire plan irrotationnel d'un fluide d'Euler incompressible autour d'un cercle C (qui est la section droite o dans Ie plan (x , x ) d'un cylindre de revolution dont les generatrices sont 1
2
perpendiculaires au plan (x , x ), c'est-a-dire dirigees dans la direction x ). 2
1
3
II s' avere alors que cet ecoulement ne devient bien determinee que si l' on se fixe la circulation du vecteur vitesse autour de ce cercle Co
r
(9,61 )
f
->--..
u.do
--+-
do
=->-T
dO,
C
o
ou ~
est Ie vecteur unitaire tangent d'un point de C oriente vers les
croissants (l'abscisse curviligne etant notee par
o
0
0). En restant dans Ie
cadre du modele de fluide parfait, au sens strict, nous n' avons aucun argument pour determiner cette circulation. D'une maniere
generale, l'observation montre que Ie modele d'Euler
ne convient pas pour les corps non profiles, au sens que l'on donne a ce terme en aerodynamique. Pour les corps non profiles,il faut completer Ie modele d'Euler en y incluant des nappes tourbillonnaires qui sont des surfaces de
127
discontinuites de contact. Le procede de calcul de ces ecoulements d'Euler, comportant des nappes tourbillonnaires, qui est essentiellement numerique, doit incorporer une information complementaire qui n'est pas donnee par le modele de fluide parfait et qui concerne le depart de la nappe sur la surface de l'obstacle. On sait que c'est une information qui doit etre contenue dans le passage a la limite Re => oo,lie au concept de fluide peu vi:rueux, d'une maniere qui n'est pas encore tres bien connue a l'heure actuelle Pour les corps profiles aerodynamiquement, c'est-a-dire aplatis au voisinage d'une portion
de plan contenant le vecteur vitesse a l'infini amont
et termines, a l'aval, par une arete jouant le role de bord de fuite, on subodore que la nappe s'echappe de l'arete et que cette nappe est unique. Dans ce cas l'existence de la nappe tourbillonnaire a pour fonction de realiser la condition dite de Joukowski*-): Si le modele de fluide d'Euler provient, par la limite Re =>
....
t, x
00,
a
fixes, d'un ecoulement de fluide peu visqueux et faiblement
conducteur de la chaleur, alors cet ecoulement limite d' Euler ne peut contourner une arete. Precisons qu'un tel contournement conduit a des valeurs non bornees de la vitesse, lorsque l'on tend vers l'arete.
Naturellemen~ le
fluide visqueux
peut contourner le bord de fui te, mai s vu au niveau du modele d' Euler de fl ui de parfai~
cela intervient dans une region tres localisee, au voisinage de ce bord
de fuite, qui est evanescente avec Re =>
00.
De part et d'autre de l'arete, sur
la paroi, le fluide converge vers elle et la nappe ne fait pas autre chose que de permettre a ces deux ecoulements convergents, non continus sur l'arete, de se prolonger au-dela de celle-ci. A la verite ce qui vient d'etre dit est relatif a une arete qui est un rebroussement pour la paroi; toute arete avec un angle diedre non nul, provoque necessairement l'apparition d'une zone decollee de plus ou moins grande etendue • • ) Le lecteur interesse par cet aspect theorique pourra consulter, en particulier, l'article de Guiraud et Zeytounian (J. de Mecanique, vol. 18, nO 3, 1979, pages 423 a 431), ou un critere relatif a l'emplacement de la ligne de separation, sur une paroi reguliere, d'une nappe tourbillonnaire est obtenu pour le cas d'un fluide compressible qui est un gaz parfait a Cp et Cv constants. L'ecoulement est stationnaire et la paroi est supposee athermane ou maintenue a une temperature constante. Enfin, la compos ante de la vitesse parietale, normale a la ligne de separation, est supposee subsonique . • lI<) On dit aussi condition de Kutta, car il semble que la condition "d'ecoulement regulier au bord de fuite" fut emise, independamment de Joukowski, par Kutta. On pourra consulter sur ce sujet le livre de Theodore Von Karman ("Aerodynamique", Interavia, Geneve 1956) ou l'on trouvera des "Themes" choisis a la lumiere de leur developpement historique.
128
En ecoulement plan instationnaire d'un fluide incompressible on dispose de la theorie mathematique des fonctions analytiques pour construire des ecoulements avec nappes. 1. Le defaut d' unicite, sans information complementaire, pour Ie modele de
fluide parfait est transparent sur l'exemple des ecoulements plans stationnaires de fluide d'Euler incompressible homogene (a masse volumique constante), qui sont regis par l'equation (5,16), de la section 5,6 :
Le raisonnement que l'on fait habituellement pour determiner l'expression de cette fonction arbitraire F(W) consiste a chercher sa valeur dans une region ou les caracteristiques de l'ecoulement considere sont connues par les conditions a l'infini; il s'agit en general de l'infini amont. Toutefois ce procede echoue si les lignes de courant ne vont pas a l'infini amont ? Dans ce cas les informations qu'il faut rechercher sont intimement liees au passage a la limite Re => 00. 11 faut donc revenir aux equations de Navier du § 5 qui peuvent s'ecrire sous la forme adimensionnelle suivante
{ avec
Re
=U
00
vement a Uoo
L /
o Vo
et
= 0,
v.~
' pour la vitesse (~) et la pression (TI) reduites relati2
PooUoo ou Uoo caracterise une vitesse de reference constante.
Comme dans Ie cas plan,le tourbillon n'a qu'une seule composante, perpendiculaire au plan de l'ecoulement, que nous avions deja note (voir la section 5,2) w ' nous pouvons ecrire, a la place de (9,63)
3
+ +
{
(9,64)
u·JXu
~
3
= Re -1
j)2
= { u 1 = dW/if.1
w3 ; w3 ' u2
D W, = -"21 +2
= -dW/dX
}.
Lorsque l'on effectue la limite dite d'Euler (Re =>00, a x et y fixes est note LimP Re+oo
il vient : . P
L1m w Re+oo 3
129 - + . . . f"'· "''' es t t e11 e que: L·~mP +u = u = +e A fld, -r ; l' ~ndice ~n er~eur "zero 3 o '" . '" Re-+oo .0 0 caracter~sant l'ecoulement non v~squeux obtenu a partir du passage a la
ou... ,I,~
limite d'Euler defini plus haut. Posons maintenant
{
(9,66)
wo
=- -21 F
+
+
u0 +
+ He
')f
')f
+
+ Re
w = w + 0 3
+ Re
u
0
-1 .+
u +
-1 -1
~
')f + ~
w +
(1jJ ) et supposons que les lignes de courant de l'ecoulement limite 0
d'Euler associe (qui satisfait
a
(9,62)) soient fermees. Soit donc y o une
ligne de courant generique de cet ecoulement limite; en portant les developpements de ~ et ')f , (9,66), dans les equations de Navier, il vient
(~
o
.n)
+~
~ + (~.D) ~
+ D')f
0
+ + D. u
= +2 D
a l'ordre
Re-
1
+
u
o
o
=0
+
~o·~) + ~ (~3 A ~o)
mais comme
nous pouvons aussi ecrire que j)2
~o
= j)
(rr
~
+ w (~3 A ~). o
Soit maintenant ~o le vecteur unitaire tangent multiplie scalairement (9,67) par ~
o
+
puisque u w o
o
+ 1 + 1Uo T. 0
a Yo'
on a, apres avoir
et integre le resultat,
On a designe par do
0
l'element d'arc le long de Yo.
. Ma~s
=-.IF (1jJo) est constant sur Yo' puisque cette derniere est l'une des lignes 2
de courant 1jJo
on obtient
Const, et de ce fait en appliquant le theoreme de la divergence
130
~Yo
+
+
+
fJ
A e ).u do 3
W (T
000
, +
domaine!::"
~o
-1
0
0,
o
!::"o
a Yo
ou no est le vecteur unitaire de la normale Re
V.~ dE
dirige vers l'i£te:ieur du
qui a pour frontiere y . Ainsi, le calcul des termes u, 0
~
, d'ordre
, au niveau des developpements (9,66), implique que le champ des vitesses
satisfasse
a la
contrainte-): +
0='
(9,68)
+2 +
T .D o
u
0
dO
{DA(DA~
o
o
}dO. 0
Cette information complementaire (9,68) n'est pas incluse a priori dans le modele de fluide d'Euler; elle apparait comme une trace laissee sur le modele de fluide d'Euler, par le modele de Navier, lorsque la viscosite est evanescente. Cette derniere relation de compatibilite (9,68) peut encore s'ecrire sous la forme : 0
=,
~ .(D A w o 0
~3) do0
Yo
=, -
(~
0
~3) '~o
A
do
0
Yo 1
-"2
dF (1}! ) 0
d1}!o
(~ + Yo
0
A
~3) .DtPo do 0
d1}!
-.2. dO dn o
0
De (9,69) on obtient defini tivement que
(9,70)
~)
d F (1}! ) o
o
=> F (1}!o) - Constante.
On notera que l'on a la formule suivante
ou!::" est
V(V.V) - VA (V A v) = ~ V, l'operateur de Laplace et V, l'operateur
gradient (nabla).
131 lf
La condition (9,70) est celle dite de Prandtl et Batchelor
)
:
le tourbillon d'Euler incompressible d'un ecoulement stationnaire plan est constant dans toute region parcourue par des lignes de courant fermees. Precisons
~ue
la valeur de la constante ne peut-etre determinee
par le
~ue
raccord (dans un sens asymptoti~ue) avec le modele associe de couche limite de Prandtl et on pourra
a ce
2. Continuons a supposer
sujet consulter le travail de Wood--) • ~ue
le fluide d'Euler incompressible irrotationnel
est en mouvement stationnaire et
~ue
l'hypothese de Joukowski est verifiee
(c'est-a-dire ~ue la vitesse reste finie a la pointe arriere du profil autour
du~uel
l'ecoulement est considere).
Mais,en
realit~il
stationnaire et de ce n'a de signification
n'existe pas d'ecoulement rigoureusement ecoulement stationnaire envisage par la theorie
fai~un
physi~ue ~ue
si l'on montre
~ue
cet ecoulement peut-etre
obtenu, a partir du repos, soit effectivement au bout d'un temps fini, soit asymptoti~uement lors~ue
t
+
00
(mais alors dans ce cas, se pose le probleme de
la possibilite d'intervertir le double passage a la limite: t Bien
~ue
+
00
et Re
+
(0).
la viscosite de l'air soit faible, on ne peut en faire tota-
lement abstraction,
puis~u'on
sait
~ue
l'adherence du fluide le long de la paroi
du profil entraine necessairement l'existence d'une couche limite et, par suite, l'existence d'un frottement tangentiel le long de la paroi. Considerons done (nous reprenonsles grandes lignes d'une argumentation ~ue
l'on trouvera exposee dans le livre de Germain et Muller (1980; deja cite,
voir les pages 297 a 300», dans un repere lie au profil fluide incompressible,
vis~ueux,
P, l'ecoulement d'un
baignant la paroi de P et mis en mouvement
a partir du repos. Immediatement apres l'instant initial, l'ecoulement est globalement un ecoulement instationnaire et irrotationnel d'un fluide d'Euler incompressible, sauf au voisinage meme de la paroi P ; eela est une du theoreme de Lagrange, p
= po = Const
~ui
conse~uence
decoule de la formule de Cauchy (4,21), oil
(on notera ~ue tout ecoulement d'Euler incompressible irrota-
tionnel represente un ecoulement de Navier (incompressible), satisfaisant a l'e~uation
(5,8)
dans le cas plan, a condition d'etre assez loin d'un voisinage
If) G.K. Batchelor, "On steady laminar flow with closed streamJines a~ large
Reynolds rumbe:r", Journal of Fluid Mechanics, vol. 1, p. 1'77, 1956.
lflf)
Voir l'article dans: J. of Fluid Mech., vol. 2, 1957, p. 77.
132
de la paroi). En toute generalite, le point de detachement de la ligne de courant contournant le profil, de l'amont vers l'aval, est distinct de la pointe arriere du profil (du bord de fui te) et de ce fai 1:, les composantes des gradients de
vitesses sont tres grandes au voisinage de cette pointe, ce qui
fait que la condition de Joukowski n'est pas verifiee. Dans ce voisinage du bord de fuite, les effets de la viscosite, qui sont proportionnels aux gradients de
vitesses, ne sont pas negligeables et, en particulier, il apparatt un champ
de tourbillons intenses qui seront entraines, ulterieurement, par le fluide en mouvement pour former en aval du profil un sillage rotationnel (tourbillonnaire). Envisageons maintenant l'ecoulement a un instant posterieur et schematisons-le en supposant, provisoirement, le fluide denue de viscosite (il est incompressible et non conducteur de la chaleur) - malgre
q~'en
aval du profil
il existera un sillage borne dans lequel l'ecoulement est rotationnel. Le long d'un contour tres eloigne du profil (notons ce contour par (L) ),la circulation est nulle, etant donne que la circulation le long d'un contour ferme (entourant le profil) que l'on suit dans son mouvement reste constante et que cette circulation etait nulle au repos. Ainsi, on constate que la somme des circulations
P et
prises l'une le long d'un contour plus petit, mais entourant le profil
l'autre le long d'un second contour, aussi plus petit, entourant lui le sillage ,l5)
borne
~
,
, est nulle. Autrement dit, l'existence du sillage rotationnel,a 1 aval,
entratne l'existence d'une circulation non nulle le long du profil
P lui-meme.
Cela veut dire que: l'existence de la viscosite (si faible soit-elle, elle existe physiquement) laisse une trace sur le schema de l'ecoulement obtenu a un instant determine en supposant le fluide non visqueux, a savoir, un sillage rotationnel et, correlativement, une circulation non nulle autour du profil
P
lui-meme. Lorsque le temps varie, cette circulation croissante a pour effet de rapprocher du bord de fuite le point de detachement de la ligne de courant entourant le profil de l'amont vers l'aval. Par suite, les gradients de vitesses au voisinage de la pointe deviennent moins importants et il en est de meme, par consequent, des effets de viscosite et de 1 'intensite du tourbillon s'echappant du profil pendant une duree donnee . • ) Le sillage, du aux effets de viscosite, qui apparatt inevitablement en arriere du profil est d'autant moins important que le profil est mieux dessine aerodynamiquement; il entratne toujours l'existence d'une trainee non nulle. Si le profil est mince, c'est-a-dire si il a une epaisseur relative faible et si l'incidence de la vitesse a l'infini amont est aussi faible, alors ce sillage aura lui-meme une epaisseur faible et on pourra,a la limite,le schematiser suivant une ligne, lieu de tourbillons singuliers ponctuels.
133
Lorsqu'
enfin, le temps augmente indefiniment, le point de detachement
de la ligne de courant contournant le profil tend yers le bord de fuite et la circulation tend vers une valeur finie et, plus generalement, l'ecoulement tend vers un ecoulement stationnaire, qui est alors unique des lors que la condition de Joukowski est realisee au bord de fuite. Cependant, i l reste
a comprendre
pourquoi l' ecoulement limite stationnaire
(d'Euler incompressible) peut-etre considere comme irrotationnel, alors que dans toute la phase transi toire il etait rotationnel dans le voisinage du bord de fui te ? La raison en est simple: la rotation qui s'est echappee du profil se trouve, au bout d'un temps infini, emmenee
a l'infini.
loin en aval
bien que le long de tout contour arbitraire situe tion est egale
a la
du bord de fuite, si
a distance
finie, la circula-
circulation autour du profil.
Naturellement il convient d'ajouter que le fluide reel etant faiblement visqueux (Re »
,) il existe toujours une couche limite au voisinage immediat
de la paroi du profil et aussi un sillage en aval du profil dans lesquels se manifestent les effets de la viscosite; mais ces regions echappent, tout naturellement,
a la
description
a partir
du modele approche d'Euler. D'autre part,
il est vrai que l'intensite de la rotation dans cette couche limite et dans ce sillage est relativement tres faible par rapport
a celle
que l'on observe durant
la periode d'etablissement de l'ecoulement stationnaire, ce qui fait qu 'en premiere approximation il est (asymptotiquement) legitime de supposer irrotationnel l'ecoulement stationnaire du fluide d'Euler qui schematise l'ecoulement reel peu visqueux incompressible. Les effets de la viscosite localises dans la couche limite expliquent, d'une part, l'existence d'une trainee non nulle, et, d'autre part, les differences entre les valeurs de la pression donnees par la theorie d'Euler et celles obtenues
a partir
des experiences, dans le voisinage du profil proche du bord de
fuite. On notera que si, dans la region du nez du profil.la couche limite
peu
epaisse reste laminaire, elle devient par contre turbulente sur la partie arriere du profil. Enfin, si l'incidence du profil (dans le plan (Ox , x 2 ), l'incidence 1 est l'angle du vecteur vitesse, a l'infini amont, avec l'axe Ox,) devient importante, les variations de pression le long du profil sont tres rapides et la couche limite decolle : le long de la paroi. la derivee de la pression devient positive et suffisamment grande et de ce fait,il apparait au voisinage de cette paroi un courant de retour qui fait justement decoller l'ecoulement incident.
134
Dans ce dernier cas,il apparatt en aval du profil un sillage turbulent relativement large que l'on ne peut plus schematiser suivant une ligne, lieu de tourbillons singuliers
ponctuels~) .
Naturellement, les divers paradoxes decoulant de l' etude des ecoulements d'Euler, de fluide non visqueux en evolution adiabatique, sont intrinsequement lies au fait que ces derniers ne sont qu'une grossieTe approximation des ecoulements reels, du moins au voisinage de parois solides en contact avec le fluide, ou la condition d'adherence doit etre imposee en toute rigueur. On . .
~.
n)
pourra a ce sUJet consulter le llvre de Blrkhoff
.
L'un des paradoxes les plus celebres estcelui dit de d'Alembert (1717-1783) enon~ant que "La resistance d'un corps, se un fluide
~
visqueux
depla~ant
d'un mouvement uniforme dans
incompressible et homogene, est nulle si
le fluide se referme derriere le corps" . On trouvera dans l'article de revue de Keith Stewartson-·*) une discussion theorique des divers aspects du paradoxe de d' Alembert.
9,6. LA CONDITION DE JOUKOWSKI En 1858, pres de cent ans apres les travaux de d'Alembert, Helmoltz
**•• )
demontrait un theoreme fondamental sur les mouvements tourbillonnaires S'il n'y a pas initialement de regions tourbillonnaires dans un fluide (autrement dit, si a l'origine le fluide est au repos), les tourbillons ne peuvent etre crees que par le frottement (la viscosite) ou par la presence de bords (d'aretes) effiles sur un corps, et dans ce dernier cas, une discontinuite peut etre formee relativement aux deux courants fluides qui se rejoignent le long du bord de fuite - cette discontinuite pouvant etre consideI1ee- ~omme une suite continue de tourbillons ou une nappe tourbillonnaire.
*) Nous ne pouvons que recommander, une fois de plus, aux lecteurs desireux
d'approfondir le cote physique des phenomenes aerodynamiques lies a l'ecoulement autour d'un profil, de lire le livre de Von Karman (1956, en frangais; deja cite) ou ils trouveront un expose remarquable de ces question par l'un des Mattres de l' Aero dynami que .
*llf) Dont le titre est : "Hydrodynamics" - a study in logic, fact and sirnilitude; Princeton Univ. Press, New Jersey, 1960 .
••*) Dans: SIAM Review, vol. 23, 3, 1981, 308 a 343.
*ll!•• )
Dans le Journal fUr die reine und angewandte Mathematik, 55, 1858, 25-55.
135
Ainsi, du bord de fuite
effile d'un profil,on aura necessairement
formation d' un tourbillon 'lui est le "tourbillon de depart de Von Karman". Ce tourbillon de depart est laisse en arriere a mesure 'lue le profil avance et, simultanement une circulation s'etablit autour du profil et tant 'lue des tourbillons s'echappent du bord de fuite des divers profils, formant l'aile tridimensionnelle, sous forme de nappe de tourbillons, la circulation augmente. Cependant, on peut raisonnablement supposer 'lue, lors'lue le tourbillon de depart est chasse au loin en aval de l'aile, la difference de vitessffientre les ecoulements 'luittant les surfaces extrados (superieures)et intrados (inferieures)de l'aile tend vers zero et 'lue la circulation a alors atteint sa valeur 'maximale. Cette hypothese dite condition de Joukowski, est donc une condition de regularite de l'ecoulement au bord de fuite et elle est le point essentiel de la theorie de la portance, parce 'lu'il determine la valeur de la circulation·) . Ainsi, grace a l'hypothese (condition) de Joukowski, l'ensemble du probleme de la portance devient purement mathemati'lue Il suffit de determiner la valeur de la
circulatio~ de
telle
fa~on
'lue
la vitesse de l'ecoulement 'luittant au bord de fuite l'extrados soit egale a celle de l'ecoulement 'luittant l'intrados. Enoncee de cette
fa~on,
la condition de Joukowski s'appli'lue aux ailes
dont l' intrados et l' extrados forment un angle nul au bord de fui te. Si les tangentes aux surfaces extrados et intrados de l' aile forment un angle fini, le bord de fuite est un point d'arret pour l'ecoulement, c'est-a-dire 'lue la vitesse calculee de part et d'autre doit etre nulle. Naturellement, pour les fluides reels (vis'lueux), a cause de l' effet de frottement, les lignes de courant (en ecoulement stationnaire) ne suivent pas la surface de l'aile jus'lu'au bord de fuite (surtout si l'aile est relativement epaisse), mais se separent de la surface en un point 'luelcon'lue laissant en aval de l'aile une region tourbillonnaire, 'lui est le sillage de l'aile. Comme nous l'avons deja precise, la formation du tourbillon de depart n'assure
*) Lors'lue l'on considere la resultantegenerale des efforts globaux exerces
sur un profil par l'ecoulement fluide, on cons tate 'lue sa compos ante normale a la vitesse a l'infini (qui est justement ce que l'on appelle la portance) est proportionnelle a la circulation. Par contre, sa composante sur la d~rec tion de la vitesse a l'infini (dite "trainee") est toujours nulle dans le cadre du modele de fluide parfait. De ce f~ t, pour des ecoulements de fluide parfait sans circulation, la resultante des efforts globaux est toujours nulle et on retrouve le paradoxe de d'Alembert.
136
que l'existence de la portance, mais pas de la trainee, car une trainee ne se fait subir que si l'arriere du corps est le siege d'une "eau morte" ou tout au moins si la viscosite et la compressibilite ne sont plus negligeables au voisinage de la paroi du corps. C' est le mecanisme dissipatif, laminaire ou turbulent, inherent a. tout ecoulement de fluide reel qui commande 1 'intervention de la condition de Joukowski. Les travaux recents (de l'Ecole Anglaise, principalement) ont mis en evidence le lien etroit entre la condition de Joukowski et le passage a. la limite Re => "" En ecoulement stationnaire, pour des profils minces et en regime subsonique, on constate que,pour CJ)le la condition de Joukowski joue son role, il faut 1 16 que l'incidence du profil tende vers zero comme Re- / , OU Re est le nombre de Reynolds construit a. partir de la vitesse a. l'infini U"" et de la corde profil (c'est la largeur de l'aile dans la direction de la vitesse En regime oscillatoire, caracterise par le nombre de Strouhal S
lo du
a l'infini).
= wo
l 0 /U"" ' ou
west la pulsation, il y a une situation privilegiee correspondant a. O/1/4 ru ., ~ S Re = 1 et ~l s avere que : a. haute frequence le mecanisme realisant la condition de Joukowski ne joue que pour des amplitudes considerablement reduites. Pour des nombres de Strouhal suffisamment eleves, le bord de fuite engendre un sillage epais qui est du a. la persistance des decollements qui auraient,a. frequence plus basse, tendance a. se produire alternativement d'un cote et de l'autre. -2 -1/16 En regime oscillatoire,l'incidence doit tendre vers zero comme S Re , ce qui indique qu'aux frequences elevees,il y a plus facilement decrochage au bord de fuite. On peut encore affirmer que : si a. tres grand nombre de Reynolds un angle au bord de fui te, meme tres petit, provoque un decollement, on peut atteindre des incidences "non negligeables", pourvu que le bord de fui te presente un rebroussement, sans craindre de declencher le decollement. Le mecanisme fondamental,par lequel la dissipation etablit la condition de Joukowski,est le schema asymptotique de couplage singulier en triple couche invente simultanement, mais independamment, par Stewartson et Williams
et
Neiland*) • Precisons ici, uniquement, que ce schema en triple couche est une ¥)Voir:Proc. Roy.Soc., A312, 1969, 181 a.206,etaussi Izv. AN SSSR, Mecanique des liquides et des gaz, nO 4, 1969, en langue russe.
137
locale~)
structure d'ecoulement
et il interesse une zone (au voisinage du bord
de fuite, en particulier) dont l'etendue longitudinale est, en ordre de grandeur, o Re -3/8 . D' une man~ere . '" I ~ I a condit~on . . ~o genera de Joukowsk~. qui exprime une absence de singularite de la vitesse, ou encore du coefficient de pression
= (p-poo)/1/2
2
Uoo )' au bord de fuite est d'une application malaisee dans les traitements numeriques. Naturellement, il y a un cas simple qui est celui du (Cp
Poo
fluide parfait incompressible ce qui donne, en ecoulement plan : dU + dV dX dY
=a ,
lorsque Ie plan, dans lequel l'ecoulement est etudie, est rapporte a deux axes rectangulaires Ox et Oy et les vitesses correspondantes notees u et v. L'ecoulement etant partout irrotationnel, ce qui implique naturellement qu'a l'infini il soit uniforme, on a aussi dU dV dY - dX
=a
•
Ainsi, il existe une fonction de courant o/(x,y) et une fonction potentielle ~ (x,Y) de telle fagon que :
.£.l =.£!l!. ~ = _.£!l!. dX dY' dY dX avec Z
=>f(Z)
=~
+ ilj!
'
x + i y. En particulier, on sait que la fonction if
- -2.. Log Z, 27f
est Ie potentiel complexe de l'ecoulement stationnaire plan, irrotationnel, = Const autour d'un cercle de rayon R ' o o centre a l'origine dans Ie plan des Z, et place dans un ecoulement uniforme a
qui s'etablit avec une circulation f
l'infini de vitesse complexe Ivool exp (-i8) donnee; Ie vecteur vitesse a l'infini faisant l'angle 8 avec l'axe Ox.
*)
bdistance, ' 0 Re -3/8 ,la couche l~~te . . . Sur une auss~. fa~"Ie ~ class~que, se trouvant a l'amont de la zone sigguliere locale, repond comme une couche de cisaillement de fluide parfait, par simple transport Ie long des lignes de courant deplacees verticalement par l'effet de deplaceme~t d'une souscouche visqueuse de paroi d'epaisseur de l'ordre de l Re- 5 / B dans laquelle les equations de la couche,limite de Prandtl sont val~bles. Mais dans ce schema en triple couch~ la pression et l'effet de deplacement sont relies par un probleme d' eco1Jl~ment de fluide parfait dans une zone dont les deux dimensions sont lo Re-3/~ et c'est justement par ce biais que se produit Ie couplage reciproque dit singulier. On trouvera un exemple d'application de ce schema en triple couche dans Ie travail de Daniels (Quart. Journal Mech. Appl. Math., vol. 31, pt. 1; 1978, pp. 49 a 75).
138
Considerons maintenant un profil aerodynamique, presentant a. l'arriere un point anguleux saillant, trace du bord de fuite de l'aile "d'envergure infinie". On sait qu'il existe une representation conforme du domaine exterieur a. ce profil sur l'exterieur d'un cercle centre a. l'origine, et une seule. La fonction
Z'
(9,75)
= H (Z),
effectuant cette representation admet a. l'infini un developpement de la forme 00
Z' Le rayon Ro du cercle, dans Ie plan Z, est a priori inconnu, mais il ne depend que du profil donne, dans Ie plan Z' = x' + i y'. Supposons que dans Ie plan Z' l'ecoulement autour du profil se comporte a. l'infini (pour Z'+ 00) comme un ecoulement uniforme de vitesse complexe l'angle a
Iueol exp (-i a) donnee;
du vecteur vitesse a. l'infini avec l'axe Ox' etant l'incidence du
profil par rapport a. Ox' . Le cercle de rayon Ro ' dans Ie plan Z, est contourne, d'apres (9,74), par un ecoulement ayant comme vitesse complexe a. l'infini Ivoo lexp(-i8). Pour l'uniformite de la representation conforme (9,76) exigeons que Ie point a. l'infini du plan Z' se transforme en un point eloigne a. l'infini du plan Z et ia que la direction de la vitesse Uoo Iuool ecoincide avec la direction de la i8 vitesse Voo IVoo le- • Dans ce cas, il faut que a 8 et, d'autre part, si f(Z') est Ie potentiel complexe pour Ie profi~ on doit avoir la relation:
=
df dF/ dZ -dZ' = -Z-,- , f(H (Z» d /dZ
=F
(Z),
et pour les points homologues, a. l'infini, i l vient, grace a. (9,76), (9,78)
IUoole
-ia
Ivoole k
-ia => k
0
en particulier, on pourra faire Ie choix de k correspond
a une
0
jvool
0
-
-
1,
ro IU""I -
Ivool, ce qui
transformation canonique.
Soient main~enant Zr l'affixe du point anguleux saillant arriere du
= Ro e ~cr I' affixe du point homologue de la circonference dans la representation conforme canonique envisagee plus haut. La fonction (9,75) est
profil et Zf
necessairement singuliere au voisinage de Z = Zr et on
a
139
En
particulie~
si l'angle des tangentes au profil au bord de fuite
d' affixe Zf' est O'IT (0 , 0 < 1), alors p = 2-0 et de ce fait au yoisinage de Zf: dZ' _ (Z-Z ) 1-0 Lim ~ = a p (2-0) Lim f Z+Zf Z+Zf
o ,0
< 1 •
Or la formule (9,77) montre alors que la vi tesse complexe, df/ dZ ' = u'-iv', au voisinage de la pointe du profil aura un module arbitrairement grand! Toutefois, il n'en est pas ainsi si Ie point Z = Zf de la circonference de rayon R est un point de vitesse nulle pour l'ecoulement F(Z) autour o du cercle defini, d'apres (9,74) et les contraintes a 8 et Ivool k luool, o par :
=
=
1 Z
En effet, Z - Zf etant un zero simple de dF/ ' on a que df/ ' est dZ dZ z'f si 0 < o < 1 et il reste borne si o = 0 (ce dernier cas est celui ou la trace du bord de fuite de l'aile est un point de rebroussement du
nul pour Z' = profil) •
En definitive"onarrive a la conclusion que la condition de Joukowski s'exprime par la contrainte suivante
(9,80)
dF
en Z
k
dZ
uool{eo l
et on peut faire Ie calcul de la circulation
r*o
2 'IT i R k o
0
ia _ ei(a-2a)} +
r*
o '
r
0
2 'IT i R o
e
-ia
0,
correspondante
luool {e-i(a-a) _ ei(a-a)}
4 'IT k o R0 lu00 I sin (a-a). Lorsque a
= a,
on a
r: =
0 et on dit que l'angle a definit la direction
de portance nulle. On notera que la circulation est une grandeur qui se conserve dans une transformation conforme pour des contours homologues et de ce fait,la circulation
r*o
est celIe qui s'etablit autour du profil lorsque Ie point d'arret
aval de l'ecoulement autour du profil se trouve exactement a la pointe arriere du profil, c'est-a-dire lorsqu'il coincide avec Ie bord de fuite. Compte tenu
140
de la condition de Joukowski,il existe donc un ecoulement et un seul autour du profil donne lorsque l'incidence a est donnee. Malheureusement, dans le cas compressible,les choses ne sont plus si simples, car on ne sait pas traduire simplement le schema d'ecoulement quand la condition de Joukowski n'est pas satisfaite ! Si l'on introduit la fonction de courant plan
~
(x,y), telle que: Clpu + Cle v = 0 => Clx Cly
alors pour determiner
~'
axCl 1 1
22 p
p Cly
, v
il faut resoudre le probleme
(.l~) p Clx
+..2....
(.1.~) p Cly
Cly
[(.£1Clx )2 + (~Cly )2J (p/p )y
~
u=.1.~
==
(poo/p
0
+ -Y...- p y-1
)y
2 U
=~+-Y...-p
/p -
2
y-1
oo/poo
,
00
= 0, sur le profil, ~ => ~oo ' a l'infini amont; ICl~/Clxl + ICl~~yl=> 0,
lorsque r = (x
2
2 1/2 + y) => 00.
9,1. LES NAPPES TOURBILLONNAIRES Pour un ecoulement de fluide d'Euler (parfait, en evolution adiabatique), dont la loi d'etat est, par ailleurs, quelconque, on traduit toutes les conditions en une nappe tourbillonnaire (qui est une discontinuite de contact) en ecrivant, d'une part que c'est une variete materielle, (9,84) de part et d'autre de cette derniere, notee ici N(t), c'est-a-dire sur
N+
et
N-,
et d'autre part que la pression y est continue
I[pJI
=0
•
La relation (9,84) exprime tout simplement que: la vitesse de l'ecou-
N (t) (N est le vecteur unitaire de la N (t) oriente vers l'aval) est egale a la vitesse de deplacement de
lement dans la direction normale a normale a
141 N(t) dans la meme direction; de ce fait,le fluide "glisse" sur
chaque cote
N(t), de
N+ et N-.
Les nappes tourbillonnaires supportent des discontinuites (fortes) de la composante tangentielle de la vitesse relative et de la densite. Representons le vecteur vitesse de l'ecoulement fluide d'Euler sous la forme
= u.r
+
(9,86)
+
u
et naturellement W est continu N
+
+ WN N,
+ u.r.N =0 4-
a travers N (t).
Considerons maintenant le vecteur
(9,87)
=>
construit
a partir
de la discontinuite de la composante tangentielle de la
vitesse. Il s'avere que
Irl est la valeur du vecteur tourbillon
(V A ~)
concentre sur la nappe tourbillonnaire et on dit que rest le vecteur "intensite tourbillonnaire" de la nappe est
N( t).
Si maintenant on suppose, en plus, que l'ecoulement de fluide d'Euler => +V A +u = 0 ) de part et d'autre de la nappe N ( t),
" " (4-;:!; ,n ~rrotat~onnel u = V 0/
on est amene
a introduire
la fonction scalaire
et dans ce cas
(9,88) On notera que, naturellement, la discontinuite du potentiel des vitesses
r n'est definie que sur la nappe N (t); cette fonction scalaire r,
par l'intermediaire de la formule (9,88), caracterise localement l'intensite de la nappe tourbillonnaire
N (t).
Rappelons que lorsque l'ecoulement d'Euler barotrope est irrotationnel, " "1 " / on peut t~rer prof~t de ' ~ntegrale de Berno ull"~ lI' )
*) En fait, au second membre de l'integrale de Bernoulli apparait nne fonc-
tion arbitraire de t et cette derniere peut, en principe, prendre des formes differentes des deux cotes de la nappe. Mais dans toute region qui ne coupe pas la nappe N (t) on peut toujours supposer que cette fonction est nne constante, la meme des deux cotes de la nappe.
142
avec h, l'enthalpie specifique (pour un gaz parfait a
2 h = (Y/Y-1) Pip = a / y _ 1)' Ainsi, on constate que
c~
et Cv constants
on a
et pour tirer avantage de cette derniere relation on introduit la valeur moyenne de ~ :
c'est-a-dire la valeur moyenne des deux potentiels des vitesses au meme point, mais de part et d'autre de la nappe (~+
e
N+ et ~-
e N-).
Dans ce cas, on peut
aussi definir l'operateur
OU
Q
U
++.= 1/2 (u + u ), qui est la derivee particulaire moyenne
elle a un sens meme pour une fonction qui n'est definie que sur
N (t) et N (t); cela a
sur
done un sens d'ecrire un expression telle que
'D'
Dt (
-+
1[u.rJ! ).
Maintenant on peut, avec 'f,ecrire (9,89) sous la forme suivante
mai s comme on a
il vient l' equation suivante
o et en particulier, en incompressible,
143
Dans le cas general d'un fluide d'Euler compressible, non barotrope (barocline) on peut etablir la relation suivante (obtenue en ecrivant que l'equation de quantite de mouvement est satisfaite de part et d'autre de N(t) ):
ce qui generalise (9,93). Mais de (9,95) il vient auss~ pour le cas incompressible, lorsque p ala meme valeur de part et d'autre de
N (t),
la relation:
Naturellement lorsque l'ecoulement de fluide d'Euler est incompressible, avec la meme valeur de p de part et d' autre de N (t), et que de plus il est irrotationnel alors le potentiel des vitesses ~ satisfait
~ I [~] I :: { ddt + ~ [(v 4»)+ + (v1/I)-].V }
(9,97)
I c ~ J I ::
y
~+ - 1/)-,
Revenons
a
t
e
(9,87)
(purement tangentiel
N+,
VJ- e
a l'equation
I[1/)] 1
(9,94)
0,
N- .
on peut se rendre compte que le champ superficiel
a N (t))
definit tres precisement Ie rotationnel au sens
+
des distributions d' un champ u tel que
I[~]I. ~ = 0, sur N (t), par ailleurs irrotationnel au sens classique dans ce
ca~
(V A ~ = 0).
La nappe
N (t) est,
le support de la distribution correspondante, d'ou la justification
de l'idee d'un champ de tourbillon "concentre" sur la nappe. On sait d'ailleurs qu'une
couche rotationnelle, ayant une epaisseur evanescente (la surface en
laquelle elle degenere etant la nappe tourbillonnaire un sillage du
a l'existence
N (t)), est en general
d'une faible viscosite du fluide reel et engendre
par la confluence "tres reguliere" de deux couches limites. L'interet fondamental du concept de nappe tourbillonnaire est qu'il permet d'evacuer tout
a la
144
fois la viscosite du fluide et Ie caractere rotationnel de l' ecoulement. Le fluide etant suppose parfait les relations fondamentales pour les sauts forts (9,34) et (9,98) entrainent immediatement que la pression p doit etre continue a travers
N (t).
Par ailleurs, il existe un potentiel des vitesses
~, lequel
peut etre a priori represente par une double couche : (9,99) dont on sait que la derivee normale est continue a travers
N (t),
done (9,98)
est automatiquement verifiee. Finalement, la rapide description ci-dessus rassemble l'essentiel de la theorie "cl ass ique" des nappes tourbillonnaires. Elle est bien loin d'en constituer une theorie
generale~),pour la
raisons principale qu'elle ne
cherche pas a decrire - ni meme simplement a definir - l' evolution dans Ie temps d'une nappe (il est vrai que des formules telles que (9,93), (9,95) ou (9,97), donnent deja des elements de la dynamique des nappes
), laquelle constitue
pourtant une inconnue d'un probleme d'ecoulement, au meme titre que Ie champ des vitesses. 11 est bon de preciser aussi que les methodes numeriques puissantes
qui ont permis de mener a bien des calculs d'ecoulements de fluide parfait avec nappes
.
.
tourb~llonna~res
( par exemple, Rehbach lflf)) se heurtent, lorsque la
.
paro~
de l'obstacle ne presente pas d'arete vive, au probleme du choix de la ligne a partir de laquelle se separe la nappe. Par contre,dans le cas d'une aile avec un bord de fuite formant un diedre d'angle non
n~
on peut donner certaines
regles, du moins en ecoulement irrotationnel et stationnaire et pour un fluide parfait incompressible. En effet, une analyse asymptotique coherente permet de se
.
conva~ncre
que 1 " argumentat~on de
.
MangleretS~th
~ •• ) selon laquel 1 e la nappe
ne peut partir que tangentiellement a l'une des faces du diedre au bord de fuite est, en fait, incorrecte. Nous ne disons pas que la nappe ne part pas selon Ie plan tangent a l'une des faces du diedre, nous disons que Mangler et Smith ont tort d'eliminer la possibilite de faire partir la nappe selon Ie plan bissecteur; .) A ce sujet on consultera Ie travail de These de Michel Mudry (liLa theorie enerale des na es et filaments tourbillonnaires et ses a lications a l'aerodynamique instationnaire").Universite Paris , soutenue Ie juillet ~.
~.) Article dans ~~~) PUbliee dans
: "La Recherche Aerospatiale ", nO 5, 1977, pp. 289-298). "Aeronautical Journal of the Roy. Aero. Soc", 74, nov. 1970, pages 905 a 907. --
145
nous pensons meme que crest la situation la plus plausible. Notre argument est que si l' on adopte l' autre terme de l' alternative il faut fournir un modele local, coherent, qui explique le basculement d'une face a l'autre ?
aynamiquement
A notre connaissance un tel modele local n'existe pas. D'autre part, en bidimensionnel,on demontre que la ligne de courant issue du bord de fuite bissecte l'angle du bord de fuite et comme l'analyse asymptotique conduit a considerer toujours, localement, un modele bidimensionnel, nous voyons la un argument tres persuasif pour eliminer les nappes partant tangentiellement aux faces du diedre au bord de fuite de l'aile. 11 est bon de preciser que lorsque l'ecoulement est tridimensionnel, du bord de fuite de l'aile il y a toujours une nappe tourbillonnaire qui prend naissance, independamment du fait que l' ecoulement tridimensionnel soit instationnaire ou stationnaire. Dans ce dernier cas,stationnaire tridimensionnel, la presence de la nappe tourbillonnaire en aval de l'aile est due a la variation de la circulation de la vitesse d'un profil a l'autre le long de l'envergure de l'aile. On notera que dans le cas instationnaire tridimensionnel,la continuite de la pression sur la nappe jusqu'au bord de fuite inclus assure en meme temps la condition de Joukowski au bord de fuite; la continuite de la pression aux points du bord de fuite de l'aile assure que la vitesse sera finie en ces points, si toutefois le potentiel des vitesses ~
est borne en ces memes points du bord
de fuite. En theorie lineaire, lorsque l'aile est mince et est tres proche de sa forme en plan
A,
on peut donner des formules simples qui expriment la condition
de Joukowski au bord de fuite et la continuite de la pression sur la nappe qui s'en echappe. On notera que dans ce cas lineaire,la condition de glissement est reportee sur la forme en plan de l'aile, tandis que les conditions sur la nappe tourbillonnaire sont elles, ecrites sur le sillage correspondant; celui-ci joue, par rapport a la nappe, le role que joue la forme en plan par rapport a l'aile.
9, 8. LfS ONDES Vf CHOC Pour que la formulation d'un probleme d'ecoulement autour d'une aile soit complete
a l'infini,
il faut,en plus
de la condition de glissement, de la condition
de la condition de Joukowski
e~
des conditions sur la nappe tour-
billonnaire, inclure aussi les ondes de choc.
146
1. Revenons done aux relations (9,34) de la section 9,2. Ces relations doivent en fait etre completees par une information concernant la discontinuite de l'entropie a travers un choc (v
~
0).
Lorsqu' une surface de discontinuite B (t) est presente au sein de l' ecoulement de nuide parfait en evolution adiabatique, il convient de rempla. cer 1 ,....equat~on
DS
Dt = 0 par 1
I · . . . . · .... ~negal~
te
~ IIIps
(9,100)
dV
V
~
0 ,
qui traduit,dans le cas des fluides parfaits en evolution adiabatique
(q = 0 et r =O),le
second principe de la thermodynamique et qui est un cas
particulier de
une fois que l' on passe a la forme locale, dans le cas des ecoulements continus. COlllIl1e V contient une surface de discontinuite (qui est une onde de choc notee E ) il faut ecrire que
JJI V
p
~
dV +
JJ
J[
P v s]
E
I
den 0
et il decoule que pvl[s]l~o.
(9,101)
Ainsi, l'entropie specifique
s
subit une discontinuite a travers le
choc (v # 0) et celle-ci est necessairement positive (puisque l'on peut toujours choisir
p v > 0). La presence d'une onde de choc denote une irreversibilite
dans l' ecoulement : l' evolution etant adiabatique, l' entropie specifique d 'une particule fluide reste constante dans les regions de continuite et augmente + N,
lorsque la particule traverse l'onde de choc. Orientons done le vecteur unitaire de la normale a l'onde de choc
E, de maniere que m = p v > 0;
on dit alors que le fluide traverse l'onde de choc aN, indice
"00"
E, de l'amont (cote oppose +
vers l'aval (cote vers lequel est oriente N; les grandeurs
sont indicees "a" et apparaissent cOlllIl1e des inconnues, vis-a-vis de celles avec des indices "00").
147
2. Posons
....
....
....
Nous pouvons alors ecrire,
(9,103)
I[p
vJI=
l [p
+ P
l[h+
v
+
= v N
u - W N N
(9,102)
2
2
a la
.... U
T
place de (9,34),
0 ,
v~ I
= 0 ,
JI=0,
ou h designe l'enthalpie specifique et pour un gaz parfait,
a Cp
et Cv
constants, on a :
Lorsque .... u = 0, on di t que le choc est droit, sinon on dit qu' il T est oblique. En general, les diverses relations de choc (d'Hugoniot, de Prandtl,
pour la variation d'entropie, etc ••• ) sont obtenues sous l'hypothese d'une onde de choc plane separant deux ecoulements uniformes. En fait, lorsqu 'en tout point d'une onde de choc courbe, localement on assimile cette derniere plan tangent, normal
aN,
a son
les relations de choc plan restent valables meme
quand l'onde de choc est courbe et les ecoulements amont et aval non uniformes. e
alors
a
choc .... V
=u
±
~+
=....Va'
on note : V
4-+
-+-+-
- W ~ = v N + u ' avec u T N = 0, T N l'infini amont, devant le cho~ on a la vitesse V00 et a l'aval du meme S~
S~
•
Q
~
",.
des~gne
,
1 angle du plan tangent en un
....
•
po~nt
de 1 , ondede choc
courbe, avec la vitesse locale amont Voo et 0 = 8 - 800 la deviation de la a de (9,103), le systeme :
vitesse~)on obtiendra
(9,104a)
{
Poo
q,., sin
Poo + Poo
q,., cos
a
a = Pa 2
q,.,
q
. 2
s~n
a
qa sin (13-0);
a =P
2 a + Pa qa
. 2
s~n
(13-0) ;
cos (13-0),
1Ii) Voir la figure se trouvant apres la formule (9, 104b), pour la signification
des notations.
148
OU
q,.,
9a AMONT ~
N
~
N
=
0 et alors 0 - Sa et On notera qu'en genera l, on prend toujou rs Soo de plus, comme nous travail lons avec une onde de choc plane, ~
V
=v
-+
+
N + U T,
+-+
T.N
=0
•
Nous pouvons ecrire (9,104) sous la forme
et Pour elimine r v comme un systeme de compa tibilite :
.00
tro~s
et ventr e ces relatio ns (9,105) conside rons les 2 2 a. / on de equat~ons en Voo et va et ecrivon s la conditi
149
2
2
Poo
- Pa
0
Poo
- Pa
Pa - Poo
..5::L
-1
Y-1
0
,
(Pa _ pOO) Pa Poo
ce qui donne la relation dite d'Hugoniot ( 1887 et 1889) (9,106)
Cette relation d'Hugoniot, qui donne le lien entre masse volumique et pression eValuees de part et d'autre du choc, differe fondamentalement de la loi dite de Poisson, valable pour les evolutions adiabatiques :
c'est cela qui explique l'evolution irreversible
a travers
l'onde de choco
Nous savons que l' entropie specifique du fluide ne peut que croi:tre
a la
traversee de l'onde de choc et cela veut dire que la pression et la masse volumique croissent aussi lorsque le fluide traverse l'onde de choco En d'autres termes, l'onde de choc est necessairement une onde de compression:
cela veut dire aussi que le fluide ralenti t en travers ant l' onde de choc (9,107)
v
> 1
0
a
30 En ecoulement stationnaire (pour un observateur l i e
a l' onde
de choc
le mouvement est stationnaire) nous savons que:
\v12 2
et a2 = y Pip
2
+~=C y-1 ons t
0,
h=--.1...- y-1 Pip ,
Par definition on atteint un point sonique ou "critique" de
l'ecoulement stationnaire lorsque
Ivl = q
- a
= alii
et la Const. peut alors s'exprimer en fonction de la "vitesse" dite "critique" '\ par:
150
-=t!:.L.
2
Const == 2(y-l) alf et nous pouvons alors ecrire que 2
V + _oo =....Y..- p
(9,108)
y-1
2
alp
+
a
v
2
a
2"
ou De (9,108) noustirons : (9,109a)
-~
(9, 109b)
-
2y
Or,de la seconde des relations (9,105) on tire, grace
a la
premiere
de ces relations, Poo
Pa Pa va
-----=v
Poo V oo
a
- v 00
ou encore, avec (9,109 ) 2 => v 00 v a = ~. '
c'est-a-dire que v
(9,110)
v 00
a
=
2 _ r::l u 2 '\ y+ 1 0 0 '
qui est la relation dite de Prandtl. Mais v00 > a 00
(9,111)
Voo
> va et de ce fait necessairement
puisqu'on a 2 2 v00 (v00 - v a ) = ~ y+ 1 (v00 - a0)0 '
ce qui est une autre forme de la relation de Prandtl. Ainsi,la vitesse normale de l' ecoulement amont relativement fait,l'onde de choc se propage
a l' onde
a vitesse
de choc est supersonique et de ce
supersonique dans un fluide au repos;
151
par contre, par analogie,va < aa ' c'est-a-dire que la vitesse normale de a l'aval de l'onde de choc est subsonique. Mais, pour l'instant
l'ecoulement
nous ne pouvons rien conclure quant au fait que q superieure a a
a
a
= Iva I
est inferieure ou
?
Soit maintenant
Veo
Meo =aeo
i l vient
M = M sin (S-o), a a
(9,112)
ou (9,113) est le nombre de Mach local. Nous obtenons alors aisement :
et en eliminant les rapports de pression et de masse volumique entre ces trois relations, nous obtenons : (9,114)
yM2
eo
v-l 2
_..I....-.:..
Cette derniere relation (9,114) permet d'exprimer (9,115a)
(9,115b)
(9,115c)
• 2
sJ.n
Ta
4y
T"=--""2 eo
(y+1)
[~ sJ.n
. 2
S
+
.Y.:.1. 2
J. '
152
On peut maintenant exprimer la variation d'entropie specifique (l'accroissement) il. la traversee de l'onde de choc oblique plane pour un gaz parfait il. Cp et Cv constants :
(9,116)
La
kL g
y+1
M2 sin 2 13 _ '"
2
2+(Y-1 )M", sin
~
r:..!.. 2
(y+1)~ sin 2 13
Pour des valeurs de M",
=M",
'"
y+1
I3
-y
J
sin 13 voisines, mais superieures il. l' uni te,
l'expression (9,116) se developpe en serie pour donner + .•. ou encore 8 -8 a '"
Cv
4. Une application des relations de choc est,tout d'abord,celle relative aux ecoulements supersoniques. Lorsqu'un ecoulement supersonique de vitesse
~'"
(I~",I > a", ) attaque un obstacle presentant un "nez" emousse, ou une pointe
de trop grande ouverture, l' onde de choc, qui est toujours attachee pour une pointe de fai ble ouverture, se detache devant cet obstacle de sorte que l'ecoulement entre le choc et la paroi de l'obstacle comporte un domaine mixte, subsonique - transsonique, s'etendant jusqu'il. la ligne limite formee d'un ou plusieurs arcs de caracteristiques tangentes il. la ligne sonique. En particulier, lorsque le nombre de Mach de l'ecoulement amont, est tel que 2>M",>1,
la ligne sonique part de l'obstacle en formant un angle aigu et la ligne limite formee d'une seule caracteristique est tangente il. la ligne sonique sur l'onde de choc (voir la figure ci-dessus, il. droite).
153
Supposons l'ecoulement supersonique stationnaire et travaillons avec des coordonnees cylindriques (r,e,z). L'equation qui simule la paroi de l'obstacle est
=g
r
(e,z)
et il faut imposer la condition de glissement u.£g - v + !!..£g az g ae
=0'
sur r
= g(e,z)
,
OU u, v et w sont, ici, les composantes de la vitesse selon z, r et e . Soit maintenant r = f(e,z) l'equation qui simule l'onde de choc (qui est une inconnue du probleme); la conservation de la vitesse tangentielle
a travers
cette onde
de choc entraine, sur la face aval du choc : u - u00
af/ ou uoo '
Voo
a l'amont
et
Woo
az
w-w00 af/ ' ae
= ---1- = f
.
...
sont les composantes de la vitesse unJ.forme uoo ' supersonique,
du choc; cette relation (9,118) donne deux relations entre u, vet w.
a satisfaire a la
Il en resulte que le systeme des equations
traversee de l'onde
de choc s'ecrit :
1
2
h(p,p) +-v 2 n
h 00
1
2
+-v oo 2 n
oU (9,120)
v
n
Enfin, si on designe par a
l'incidence (angle forme par la direction
des z et le vecteur vitesse ~) on a aussi : C100 cos a, v"" = - C100 sin a cos e Woo
avec C100 -
I~oo I.
C100 sin a sin e,
154
Une autre application. des plus importantes. est relative aux ecoulements dits hypersoniques. lorsque Moo
» 1
Pour Ie lecteur interesse par les ecoulements hypersoniques nous ne pouvons ici. que recommander Ie li~e remarquaole de Hayes et Probstein (HYPersonic flow theory. Academic Press, New York. 1959 1•
9,9. QUELQUES RESULTATS V'EXISTENCE ET VE REGULARITE VE LA SOLUTION VES EQUATIONS V'EULER Nous n'aborderons presque pas Ie probleme de l'unicite de la solution des equations d'Euler. etant donne que nous avons eu l'occasion de discuter de cette question
a la
section 9,4. De toute
fa~on.ce
probleme de l'unicite reste
encore. dans une grande mesure, ouvert et en aerodynamique appliquee c'est la confrontation du calcul avec les visualisations et les experiences (en souffleries, par exemple) qui permet de se convaincre de la realite physique des resultats obtenus. Ort not era que les resultats d' existence ne concernent principalement que les ecoulements. sans obstacle. encore les ecoulements
a l'interieur
de domainesbornes(des enceintes); les
lJ)..
prem1ers resultats de Gunter 0 " ,
et de
dans tout l'espace ou
L~chtenste~n
ul etant "'
. au cas dune ,
relat~f
enceinte avec une paroi impermeable. La plupart du temps.il s'agit d'un ecoulement de fluide incompressible ou eventuellement isochorique (a masse volumique conservative Ie long des trajectoires) et les theoremes d'existence sont locaux, dans Ie temps, du moins en dimension trois. Par contre, en dimension deux, si Ie tourbillon est initialement borne (en norme de Holder), alors il existe pour tout temps t > 0 une solution unique qui reste aussi reguliere que les donnees 0.0
~n~t~ales;
ce resultat a ete "'
"'"'"'
0
etabl~
pour la
".p0
prem~ere ~o~s
par
"111!1I!1II)
Wol~
Naturellement. cette condition de regularite des donnees initiales
ner
n'est pas
satisfaite dans Ie contexte de l'instabilite de Kelvin-Helmholtz; l,ou la vitesse initiale est discontinue au travers d'une nappe tourbillonnaire; dans ce cas, l'existence de la nappe pendant un court intervalle de temps n'est assuree que si la nappe et la densite de tourbillon initiales sont analytiques. lI')voir, par exemple, son article dans les "Isvestya de l'Institut de Physique et Mathematique" de l'Acad. des Sciences de l'OOSS; nO 1 du tome 2, pp. 1 a 168. 1927 (en langue russel; lI'lII) Dans Math. Z. vol. 23, 1925 • ••• ) Dans Math. Z, vol. 37. PP:- 727-738 • .12ll.
'I )
Le probleme de l'instabilite de "Kelvin-Helmholtz" est lie a la stabilite de la nappe tourbillonnaire a l'interface de deux fluides superposes de masse volumique differente (voir a ce sujet la section 18,7 du § 18).
155
De toute fa\
et I 'ecoulement ne peut alors
~tre
defini que dans un sens faible (au sujet
de l'apparition de cette singularite,on pourra consulter l'article de l~ore· ). Dans Ie cas isochorique, il faut resoudre : a~ +:!: + :!: P (at + u.y u) = -y p
ap + +u. at
(9,122a)
v
P = 0
dans V
V.~ = 0 ,
~.~
(9, 122b)
0, sur
av;
(9, 122c) (9,122d)
ou ~ est Ie vecteur normal unitaire,de la paroi immobile et impermeable oriente vers l'exterieur. Lorsque pO(~) modele d'Euler incompressible :
a~ at
+ +U •V +U
= poo = Const,
=- V(JLp~) ,
V.~
av,
alors on retrouve Ie
0,
++1 u.n av = 0 ; +1u t=O = +0 u (x). On notera, que dans Ie cas a deux dimensions,on peut associer au modele incompressible (9,123) l'equation de conservation du tourbillon (9,124)
W
:!:
= y A
+
U
=>
aw+
+:!: +
at + u. Y W = 0
c'est-a-dire, en fait, que =>
ou encore, comme
aU
aU
1 2 -~ 0 = -- 1!t. aX 1 + aX-2 => u 1 - ax2 ' u 2 = aX 1 et w = - 2 1/1 , on trouve pour 1/1 : 3
- n
• Dans les: Proc. Roy. Soc.,London A, Volume 365, 105-119,1979.
156
(.1at
+
.1!L _a__ aX2 aX 1
-+-_ a -+D = aX e 1
ou
1
Dans le cas
a trois
+
~
0,
aX 1
a-+aX e 2 2
dimensions, (9,124) n'est plus vrai; par contre
on a (9,126) ou S est l'entropie specifique satisfaisant systeme d'Euler isochorique (9,122a),on peut
a l'equation DS/Dt = O. a la place de (9,126),
Pour le dans le
cas tridimensionnel, ecrire que :
~.
et on pourra a ce sUJet consulter le
. , lfl
trava~l
de
Zeytoun~an
•
11 semble que l' on n'ait pas tire parti des equations de conservation
(9,126) et (9,127) pour obtenir des resultats d'existence et de regularite dans le cas tridimensionnel ! Ainsi, la situation est fondamentalement differente en ecoulement plan et en ecoulement tridimensionnel. En ecoulement tridimensionnel on ne dispose que de theoremesd'existence locaux en temps, pour des solutions regulieres (avec un tourbillon holderien) pendant un laps de temps inverse
a la
taille du tourbillon initial. On notera que les premiers resultats de Gunter et de Lichtenstein ne concernent que le probleme de Cauchy avec un ~ suffisamment lisse en ~ et
V.~ = 0 .
Ces premiers resultats ont ete ameliores et on a obtenu des versions de plus en plus precises, mais sans que l'esprit general ne soit modifie. On pourra consulter Vol. 92, 102-163,
a ce
sujet les articles de : Ebin et Marsden (Ann. of Math.,
,2212),
Kato (J. Funct. Anal., Vol. 9, 296-305, 1972) et
Temam (J. Funet. Anal., Vol. 20, 32-49, 1975). Ensuite, on a essaye d'analyser la perte de regularite (eventuelle) de la solution et on a montre que si la donnee initiale etait analytique, elle restait analytique tant que le tourbillon restait holderien. Voir
a ce
sujet
a 598, 1979 ou encore "Lecture Notes in Physics", Vol. 27, chapitre II, 1974, cii'e'ZSpringer-Verlag, Heidelberg.
If) Dans "Lecture Notes in Physics", Vol. 90, pp. 594
157
le travail de : Bardos
It)
et Benachour (Ann. Sc. Norm. Sup. PISA, serie IV,
vol. 4, 647-687, 1211), mais on peut aussi se referer a : Foias, Frisch et Temam (C. R. Acad. Sci., Paris, A, vol. 280, 505-508, 1975); en fait la regularite est deja enoncee, plus ou moins bien, dans l'article de Ebin et Marsden (de 1970, deja cite). La situation pour les ecoulements plans, a deux dimensions d'espace, est radicalement differente car,alors,nous avons la conservation du tourbillon le long des trajectoires (equation (9,124)).Cela permet de faire essentiellement trois choses : (1) prouver l'existence de solutions faibles pour tout temps t > 0, avec des 1 donnees initiales dans H ; (2) prouver l'unicite de la solution dans la classe des fonctions a tourbillon borne; (3) prouver la regularite ou l'analyticite de la solution, pour des donnees initiales regulieres ou analytiques. Les points (1) et (2) sont assez faciles (du moins, d'apres Bardos !) et on peut se referer a Bardos (J. Math. Anal. Appl., Vol. 40, 769-790, 1972). Mais, en fait, le travail de Bardos n'est qu'une amelioration (legere, d'apres !ardos !) d'un article de Youdovich (J. Math. Numer. Phys. Math., Vol. 6, 1032-1066, 1965). Par contre, la regularite de la solution, pour tout t > 0, n'est pas un resultat trivial; on pourra a ce sujet consulter les articles de Schaeffer, A.C. (Transc. of the A.M.S., Vol. 42, 497-513, 1937), Kato (Arch. Rat. Mech. Anal., Vol. 25, 302-324, 1967), qui ignorait "vraisemblablement" le travail precedent, et Bardos et Benachour (voir article de ~, cite), qui l'ont adapte a l'etude de l'analyticite. On trouvera dans l'article recent de C. Sulem, Pl. Sulem (J. de Mecanique theorique et appliquee, Numero special 1983, p. 217 a 242, 1983) une revue des resultats d'existence et de regularite de l'equation d'Euler pour un fluide parfait incompressible en dimension deux. On notera aussi que certains resultats peuvent s'etendre, dans le cas a deux
1 dimensions, a des domaines qui sont infinis sur un intervalle de temps [0, t ], suffisamment petit; le probleme d'Euler correspondant a une solution unique. ~)
Nous profitons de l'occasion pour remercier Mr. Claude Bardos, de l'Universite de Paris VII, d I avoir eu l ' amabilite de nous fournir, sous forme ecrite, une synthese des resultats mathematiques sur l'existence et la regularite de la solution des equations d'Euler incompressibles.
158
Sous certaines conditions, on peut demontrer aussi la resolubilite du probleme d'Euler, lorsque Ie domaine
V n'est
pas simplement connexe
(Ie lecteur interesse par cet aspect des choses consultera les pages 199 a
201 du livre de Antonsev, Kazhikhov et Monakhov (1983, deja cite)). II s'avere que lIon peut aussi montrer que Ie probleme d'Euler pour un fluide incompressible, avec une donnee initiale pour ; en t = 0 et les conditions aux limites :
(9,128)
un
= 0,
... = g
sur f S ' u
, sur f e
et p
= P,
sur f
a
avec g.~ < 0 et P une fonction scalaire donnee sur la frontiere non materielle de sortie (en aval) est bien pose. On notera que les frontieres non materielles amont, d'entree fe' et aval, de sortie fa' peuvent etre en contact avec la frontiere materielle Le cas de l'ecoulement stationnaire est beaucoup plus delicat et
f ' S
a l'heure actuelle,peu de resultats de caractere mathematique existent. On trouvera dans Ie travail de Viviand et Veuillot-tme discussion des conditions aux limites a imposer, basee sur l'utilisation de relations de compatibilite, lorsque l'ecoulement stationnaire plan est obtenu comme la limite, pour les grands temps, d'un ecoulement instationnaire
~ui
est sans signification physique
precise) jusqu'a convergence vers l'etat stationnaire; methode dite "pseudoinstationnaire" . Le travail de viviand et Veuillot est
applique au calcul numerique
d'ecoulements transsoniques stationnaires bidimensionnels (plans ou de revolution). . de V1V1and " l t l, lune f ) "etude systemat1que ". "On trouvera" dans le trava1l des systemes
pseudo-instationnaires pour des ecoulements iso-energetiques et en general rotationnels. L'approche pseudo-instationnaire generale developpee dans ce travail de Viviand est centree sur la condition essentielle que le systeme d'equations du premier ordre a resoudre soit hyperbolique par rapport a la variable temps. Cette condition apparait comme naturelle pour assurer que les perturbations restent bornees en temps (en theorie linearisee). La nature hyperbolique du systeme pseudo-instationnaire permet le traitement des conditions aux limites de
fa~on
systematique au moyen des relations de compatibilite.
Les conditions aux limites usuelles (dans le cas d'un fluide d'Euler compressible) sont les suivantes: sur une frontiere amont supersonique, on se donne toutes les grandeurs : la vitesse ; et la pression ou la masse volumique (qui sont liees par l'integrale de Bernoulli, ecrite pour un ecoulement iso-energetique), .) Voir la Publication ONERA, nO 1978-4, 1978 . • ) Voir la Publication ONERA,1983-4-, dec;-e 1983.
159
soit quatre grandeurs scalaires; physiquement, c'est plutot l'entropie qui est donnee et on en deduit p et p Sur une frontiere amont subsonique, on se donne l' entropie et en general,la direction de la vitesse (deux angles) soit trois grandeurs scalaires. Sur une frontiere aval subsonique on se donne la pression, et sur une frontiere aval supersonique on n'impose aucune condition aux limites. Ces conclusions restent valables en fluide incompressible
a condition
de considerer qu'une
frontiere est toujours subsonique (la celerite du son devenant infini) et de remplacer entropie par pression totale p +
On aura trois conditions
1
2" Po
a imposer
+2 u
,
Po :: Const.
sur une frontiere amont et une condition
sur une frontiere aval. Malheureusement,
a l'heure
actuelle, il n'existe pas de resultats
mathematiques rigoureux garantissant que les problemes d'ecoulements correspondants soient bien poses ! Notons que le probleme d'Euler compressible barotrope
{
a~ at
+
2..e. at
+) = 0, + ±v. ( pu
1 u.V +u + P
+
v
p
p
+
f
pep)
avec la condition de glissement :
++1 u.n an = 0 oil.
n est
,
un domaine borne de lR 3 , les equations (9,129) etant considerees dans
n , est bien pose et on demontre qu'il est resoluble localement dans le temps (voir le travail de Ebin~ ). Mais,revenons aux ecoulement stationnaires et considerons plus particulierement le cas bidimensionnel plan, irrotationnel. Pour l'aerodynamique,le probleme fondamental est celui de l' ecoulement autour d' un profil. Les equations sont : ~
Dans
Comm. Pure Appl. Math., V. 32, nO 1, pp. 1
a
19, 1979.
160
(9,131)
(u
2
2 - a )
~~
~;
+ 2 u y
2 2 ~ + 2
a2
--?y-1
2
+ (y2 _ a )
=.r:t..!. y-1
~;
a
=
2
'it '
et elles restent valables en dehors du profil. A (9,131),il faut associer Lim ~
(9,132)
r-><'O
++
(9,133)
u.n =
sur le contour du profil, ou r
2
x
a
2
+ y
2
+
et n, la normale au contour du profil.
On se donne la loi d'etat (pour un gaz parfait barotrope on aura p
= ko
a oo = Y Poojp
pY) et aussi la pression Poo et Moo
= ltiool jaoo
a l'infini;
sont aussi connues
a entropie
constante
de ce fait
a l'infini.
00
M=
1~lja
Dans le cas subsonique, il faut qu' en
tout point de l' ecoulement
< 1 ; pour cela il est necessaire que Moo <
1, mais celan'est pas
suffisant. On sait que, pour que l'ecoulement soit continu partout, il faut qu'il y ai t sur le contour du profil uniquement deux points de "ramification". Au point amont de ramification.la ligne de courant se separe en deux et forme le contour du profil, pour ensuite de nouveau se confondre en une seule ligne de courant au point aval de ramification. D'autre part, on sait que lorsque le contour est lisse alors la solution n'est pas unique; il existe un parametre arbitraire qui est la circulation du vecteur vitesse : (9,134)
rL
=,
L
~.~
=, u
dx
+ v dy ,
L
ou L est un contour ferme simple qui englobe le profil. Si, sur le contour du profil, il existe un point anguleux, alors il faut imposer que ce point anguleux soit le point de ramification aval. Cette condition est en fait la condition de Joukowski et elle determine la valeur de la circulation
r L de fagon univoque.
Dans le probleme d'ecoulement autour d'un profil en regime subsonique,il est tres important d'elucider le comportement asymptotique de cet ecoulement l'infini. On peut demontrer que le comportement asymptotique du potentiel
a
161
des vitesses ~ r
+
00,
(u
= d~/dX
' v
= d~/dY)
et du vecteur vitesse ~, lorsque
dans un systeme de coordonnees tel que l'axe des x coincide avec la
..
.
de la
d~rect~on
+ ". u (c, est-a-d~re
v~tesse
que
+ U oo
= (~,)0) ,
est donne.-
par
les formules arc tg (koo tg e) + 0 (r
(9,135)
ou r et
e
k oo
+
+ u
u
00
-1+£
);
rL
+ -2'T1" --
sont les coordonnees polaires (x = r cos
e,
y = r sin
e),
£
> 0
est un scalaire arbitraire aussi petit que l'on veut et
u enfin O(r ) est une grandeur qui reste bornee, lorsque r
+
00,
une fois qu'elle
U
est divisee par r • De (9,136) en tirant profit de l'integrale de
Bernoull~ on
peut aussi
obtenir : p
(9,137a)
P
koor L Pm +-P""Cj" ~
x
2
Pm ~ k oo r L Poo+~~ 00
y
2
+ k oo y
2 +0
(-2) r
,
y x
2
+
k2
00
Y
2
Grace aux comportements ...(9,137), on peut etablir le theoreme de Joukowski pour notre ecoulement subsonique : la resultante generale des efforts globaux exerces sur le profil par l' ecoulement est portee par perpendiculaire egale
a-
Pm ~
a la rL •
vitesse
a l'infini,
1m
axe directement
sa mesure algebrique sur cet axe etant
On notera que le module de la vitesse q
= I~I
locale atteint sa valeur
maximum ~ uniquement en un point du contour du profil et de ce fait le caractere subsonique de l'ecoulement autour du profil,dans tout le domaine exterieur au profil, sera preserve si :
162
p < ~
alf '
MaXql
P€
Profil
On peut formuler un theoreme d'unicite sous Ill. forme suivante : avec les
a l'infini
conditions de glissement (9,133) et est determine de
fa~on
(9,132), l'ecoulement subsonique
unique lorsque Ie contour du profil a un point anguleux.
Cela reste vrai pour un obstacle avec un contour lisse si on se donne en plus Ill. circulation. On peut aussi demontrer l'existence de Ill. solution du probleme d'ecoulement subsonique correspondant, lorsque l'inegalite (9,138) reste lf
satisfaite. On pourra trouver les details dans Ie travail de Serrin
).
Revenons au fluide d'Euler incompressible; il est pratique bien souvent de considerer,
a Ill.
place de l'equation pour ~,l'equation correspondante pour
Ie tourbillon :
(9,139)
{
a<:i + at
+
++
+
u.~ w-w.~ u = 0 +
~A~= w , ~.~ = 0 +
Pour t = 0, on se donne Ill. vitesse u (9,140) ou
n est
+ x
~ = ~(x), t = 0,
e n,
++0
V.u
= 0
un domaine d'espace borne, simplement connexe dont Ill. frontiere
an
a une forme cylindrique composee de trois surfaces : une surface laterale Si' une surface d' entree Se et une surface de sortie S Ss sont des surfaces de classe, C et S
.KaZhikov~uppose que Si' S
et
s . . e ,0 < a. < 1 et que 1 'lntersectlon de Si avec Se
2+a.
se fait d'apres les lignes Le et L sous un angle droit. On s'impose les s conditions aux limites suivantes s
1II) Dent Ie titre est: "Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics",
dans Handbuch der Physik, Band VIII/1, ed. S. FLUGGE, Springer-Verlag, 1959, voir les §§ 10, 11, 22 et 23. lIIlf) Dans : PMM, 2, 947 a 950, 1980.
163
ou
Ii est
a. an.
Ie vecteur unitaire de la normale interieure
tandis que ge et
gs sont des fonctions donnees respectivement sur Sp et s~. II s'avere (pour que Ie probleme ci-dessus soit bien pose) qu'il est suffisant de se donner sur Se la composante tangentielle du vecteur W + +( 1) = b ( 1 ) .
e'
W.T e
1) ou.. +( T et +(2) T sont des vecteurs tangents (lineairement independants ) e e
a.
la
surface d'entree Se' On peut aussi se donner sur cette surface d'entree S les composantes e normales de et de V A Sit enfin. sur Se on se donne la composante normale de
W Wet une
W.
W,
des composantes tangentielles de
wpeut etre
composante tangentielle de
determinee
a.
alors la seconde
partir d'une equation
aux derivees partielles du premier ordre (comme la courbe L
est caracterise tique pour cette equation, il faudra se donner sur une partie de L des e conditions complementaires en accord avec la formulation classique des problemes aux limites pour les equations aux derivees partielles du premier ordre). Terminons en disant quelques mots des problemes que posent les ecoulements de fluide parfait avec chocs. D'une maniere generale, Ie probleme de l'unicite des solutions faibles d'un systeme hyperbolique d'equations de conservation·) non lineaire fait l'objet depuis plusieurs annees de divers travaux (voir. pour exemple,Majda et Osher" ~ Ces etudes mettent en evidence l'interet d'une condition d'irreversibilite associee role tout
a fait
a.
une loi de conservation supplementaire, et qui joue un
semblable
a celui
de la condition d'entropie pour les equations
completes compressibles baroclines d'Euler (voir la relation (9,101)a la section 9,8). Mais.lorsque les equations d'Euler sont incompletes les choses ne sont plus aussi simp15et il faut savoir caracteriser les solutions faibles ~)
Une equation de conservation se presente dans le cas+general comme la divergence d'un champ de vecteur dans l'ea~ce m4(t,x) :
it = {A
, ex = 0, 1, 2, 3}; ax = 0, xo == t ; ex ex on dit que U est une solution faible de l'equation de conservation, si pour toute fonction "test" l' on a : 00
Aex ..
Dans
==
Aex (U) '. f f o V
(A
o
.£!I!. +
at
.1!)
A 'K a~
dt
~
0, k
Comm. Pure and Appl. Math., XXXII, pp. 787-838, 1979.
1, 2, 3.
164
physiquement admissibles. Pour Ie cas particulier
des ecoulements potentiels
stationnaires plans compressibles, on a Ie systeme des equations d'Euler suivant :
(9,144)
div (p~) = 0, rot ~ = 0,
la masse volumique p q
= I~I.
etant une fonction connue du module de la vitesse
Le systeme (9,144) est mixte, hYperbolique si q> a, elliptique si
q < a, oil a
2
_pq.9& dp
est Ie carre de la celerite du son. Les discontinuites des solutions faibles de (9,144) verifient les relations de saut classiques
I~ uJ\
(9,146) oil
~
0:); ;
=u.N
+:;t
I[;JI=
....
et N est un vecteur unitaire normal
est la projection de ~ sur (E), et
quantite F(~) de
= 0,
a travers
0 ,
a la
surface de discontinuite
I [F(~)J Irepresente
(E), pris dans Ie sens correspondant
Ie saut de la
a l'orientation
it : Mais ces relations (9,146) autorisent aussi bien des discontinuites
de type detente (p+ < p-), sans realite physique en aerodynamique et
a rejeter,
que des discontinuites de type compression qui representent des ondes de choc pour les ecoulements consideres; on passe d'ailleurs d'un type de discontinuite
a l'autre
simplement en inversant Ie sens de la vitesse. De ce fait, un critere
de selection des discontinuites (ou condition d'irreversibilite, du type de celIe ecrite en
(9,101)) doit-etre ajoutee aux equations (9,144) pour eliminer
les discontinuites de type detente. La forme la plus simple d'un tel critere est
mais elle n'est pas aSSOClee a une equation de conservation supplementaire. lf Recemment, Morice et Viviand ) ont montre que la fonction vectorielle 1Il) C.R. Acad. Sci. , Paris, B, t.
291, 235-238, 1980.
165
dn
-+
-+
=)pu-eqv pq
(9,148)
ou test le vecteur unitaire directement normal lement et
e,
a~
dans le plan de l'ecou-
l'angle que fait la vitesse ~ avec un axe de reference, telle
que : div
A
0,
I[A.~ I
o
permet (dans le cas d'un ecoulement plan) de caracteriser les solutions faibles de (9,144), physiquement admissibles,par une inequation de conservation
I A (~).;
(9,150) s'appliquant
a tout
dS , 0 ,
dV
domaine
V, plan, entierement occupe par le fluide ou ;
est le vecteur normal unitaire oriente vers l'exterieur. Cette inequation de conservation (9,150) permet de selectionner les seules discontinuites du type onde de choc apparaissant dans l'ecoulement plan regi par les equations (9,144).
9,10. LE PROBLEME AVEC FRONTIERE LIBRE Nous n'avons rien dit des problemes avec frontiere libre, malgre les diverses applications geophysiques de ces problemes. On pourra consulter,
a
ce sujet,le travail de : Ovsyannikov ("Dynamique des milieux continus", Institut d'Hydrodynamique, Novosibvisk, nO 8, 22-26, 1971) et le petit livre de : Nalimov et Poukhnachev ("Mouvement instationnaire d'un fluide parfait, avec surface libre", Novosibirsk, ed. de l'Universite, 1975). Citons aussi le travail recent de Vol. 17, nO 1, pp. 5
Bardos et Kuo Pen Yu (R.A.I.R.O. Analyse numerique,
a
16, 1983) ou les auteurs considerent l'equation d'Euler
pour le tourbillon dans un domaine dans cette
situatio~ils
a deux
dimensions variant avec le temps;
demontrent l'existence d'une solution faible et
l'existence et l'unicite d'une solution forte quand la taille du domaine augmente avec le temps. Nous revenons, ci-dessous, au probleme classique avec surface libre et nous donnons un theoreme d'existence et d'unicite.
166
On etudie les petits mouvements d'un fluide parfait incompressible
.=
contenu dans un recipient rigide lll). On designe par 11 de point generique x
.
(x l' x , x 2
un ouvert borne de:ffil
et de frontiere al1 = 1: U r
3)
.
ou r (x
3=0)
represente la surface libre du liquide au repos;
an
et nest la normale exterieure. On designe par
(x,t) Ie potentiel du champ
~
est suposee"assez reguliere"
de vitesse et g l'acceleration de la pesanteur. Le probleme linearise se pose en termes suivants
n x]
On donne 0, T [
(9,151a)
= Q et
~o et ~1 sur
r.
Determiner ~ (~,t) definie dans
verifiant ~ ~
= 0, dans Q. avec les conditions aux limites et
initiales (9,151b)
~=
(9,151c)
.£1+1n= .., 2 on
~ (x
a
0, sur 1: x] O,T [ •
g
0, sur
at
r
x] 0, T [ ,
,0)
(9,151d) On utilise les espaces usuels :
V
(11) - espace des fonctions
a support
valeurs reelles indefiniment differentiables sur 11 et dans
n;
V'(I1) - espace des distributions sur
de fonctions de carre sommable sur
Ilfll
n
n;
2
a
compact
L (11) espace des classes
muni de la norme
= (
J
If(~) 12
a:t)
1/2
11
1 H (11) - espace de Sobolev d' ordre 1, muni de la norme hilbertienne
On rappelle que H1 (11)
= {vlv e L2 (11), CJa:. e
2 L (11), i
= 1,2,3 } ,
~
et les derivees sont prises au sens des distributions sur 11. lll) Nous reprenons les grandes lignes d'un travail de J. Boujot (Journal de
Mecanique, vol. 11, nO 4, 1972,649-671).
167
On pose ~ (t) : ~
+
~ (~,t) (fonction en t
a valeurs
dans un
espace des fonctions en ~). Il est trivial de dire que: si ~ (t) est une 1 solution reguliere du probleme (9,151) dans H (n), elle verifie l'equation
f n
;t;
;t;
v ~.v
+ 1 ljJ dx + g
ce qui est une consequence de la formule de Green generalisee. Reciproquement : lorsque ~ (t) est solution reguliere de (9,152) 1 dans H (n) pour des conditions initiales (9,151d) alors elle est solution des equations (9,151, a, b, c). 1. Formulation fonctionnelle du probleme D'apres un theoreme de traces (voir le livre de J.L. Lions et E. Magenes : "Problemes aux limites non homogenes et applications", Dunod, Paris, 1968; page 44),on rappelle que lorsque ~ e H1(n) et 6 ~ e L2 (n) on 1 2 peut definir : ~Ian = Yo ~ e H / (an), ou Yo ~ est la restriction de ~ a an; -1/2 1/2 -1/2 a~/anlan = Y1 ~ e H (an), les espaces H (an) et H (an) sont deux espaces de Sobolev fractionnaires en dualite sur la variete an. Par definition, n
=n
n
{Qc1' x 2 ' x 3 ); x < O} 3 Ainsi, il vient : L'application
On est alors amene
~
+
est un domaine normal.
~Ir
a introduire
1 1 2 est continue surjective de H (n) dans H / (n). la variete
r
(qui correspond
a la
surface libre
du liquide au repos) dans la formulation du probleme. A cet effet, on note:
«.))
2 - le produit scalaire dans L (n);
( )
2 - le produit scalaire dans L (r) ;
<.>
- le produit scalaire dans la dualite sur r , par exemple entre
.
VCr) et V' (r),
et le probleme, faible, s'enonce de la maniere suivante 1 Determiner ~(t) dans H (n) tel que
(9,153)
{
«V~' V ljJ)) + 1. < a2~bi at g
~(xa.,O)
~o(xa.)'
*
ljJlr > = 0,
(xa.,O)
~1(xa.)'
On notera que si l'on suppose toutes les fonctions regulieres, on peut integrer (9,153) dans le temps et on retrouve la formulation variationnelle donnee dans: Moiseev et Rumyantsev ("Dynamic stability of bodies
168
Determiner rp qui minimise la
containing fluids", Springer-Verlag 1968).
.
fonctJ.onnelle
(.)
L
(
2. Existence d'une solution sur la variete Pour
f
e H 1/ 2 (r),on
considere le probleme suivant
= 0,
L'i
~= 0, sur an
(9,154)
n
dans ~
rp = f, sur r On montre que le probleme (9,154) a une solution 1 H (n) et cette solution verifie :
«v
~I r
- < A f, Wl r > = 0,
unique dans
1
Y W e H (n),
' avec A un operateur pseudo-differentiel sur r.
Soit maintenant A un scalaire positif quelconque. On considere l' operateur
8
la trace sur r
=A+
t. designe
Ai, OU
d'une fonction
vient : 8
l' operateur identite. Si ~ designe
harmonique dans
~=~I Cln r
+ A
~
n (probleme
(9,154)~il
•
On montre que : a) 8 est un operateur auto-adjoint positif et 2 coercif sur H1/ 2 (r), b) 8 -1 est compac t dans L (r) • 11 resulte alors que·ll') - B a une infinite de valeurs propres
°
< P 1 ~ P2 ~ "'Pn ~ ••. , Lim n-+OO
Pn
- la decomposition spectrale de Best donnee par les fonctions propres $i
On peut a ce sujet consulter: R. Kh. Zeytounian ("Probl~mes d'oscillations d'une masse liquide en etat d'impesanteur"; Note Technique ONERA, n0153, 1969) •• ) Voir, T'~r exempl~, le livre de Mikhlin) S,~G., "Variationnal methods in MathematJ.cal PhysJ.cs", Pergamon Press, ~ ~)
169
2 - les ~. forment un systeme orthonormal complet dans L (f) et un systeme 1/2
1.
complet dans H
(f), soit < B ~., ~.> = ll.(~., ~.) = 11·0 •.• 1.
J
1.
1.
J
1.
1.J
11 est important de noter que la plus petite valeur propre de Best
A . Revenant au probleme (9,151), si l'on pose
~I
A ~(t)
Cln f
¢(t)
=~
(t), alors
et le probleme devient le suivant
n Determiner une fonction o/(t) dans H1/2 (f) telle que A
~ +.1.g
~
(0)
~ Clt
n =° Clt 2
= ¢o
'
f x ]O,T [,
sur
donne sur f ,
(0) -- ¢1 donne sur f
,
on formule ainsi notre probleme sur la variete f . On a le theoreme d'existence suivant On suppose
¢o et ¢j donnes tels que :
~
il existe alors une fonction
unique telle que-)
et verifiant les equations (9,155). Cette solution ~ est, apres modification eventuelle sur un ensemble 2
de mesure nulle de [O,T], continue de [O,T] + L (f). Elle s'explicite sous la forme:
~ (xex ,t)
=
1 (¢1'~.) ..1wi
-)
Y {(¢ , ~.)
i=1
1.
0
sin w. t} 1.
cos w· t +
1.
1.
~.(xex ) 1.
X etant un espace de Banach, on designe par Loo(O,T;X) l'espace des fonctions t+f(t) de ]O,T[ +X, mesurables a. valeurs dans X telles que sup ess telO,T[
Ilf(t) IILoo(O,T;X)
<00.
170
3. Etude du probleme (9.153). Theoreme d'existence.
a la
Si l'on revient
formulation (9.154) du probleme. alors
\J9·(x) i l existe une solution
J Cl
o
O--.:-L.=
dans
!:J.
J
J
• an
o
1 H (0) telle que
e
sur E •
= ~. sur
J
r.
au sens suivant : 2
((V
(9,157 )
.v 1jJ» - Jw. g
(~ .• J
On est maintenant ramene
1jJlr)= o.
a un
\J
I/J
1
eH
(0).
resultat de Friedman et Shinbrot
(J. Math. and Mech., vol. 17. nO 2. 1967. p. 107-180) 1 2
Pour
--0-0.
2
L (r). il existe au probleme
(9.153) une solution unique sous la forme 00
e CO
L
j=1
{
0
.~.) cos w. t J
J
+
..l (
J
J
= ~ (xCl.t).
(O.T; H1(0) ) lIE).
On a enfin une propriete de regularite de la solution de (9.153). Du point de vue physique, les resultats precedents caracterisent l'etat vibratoire d'un liquide dans une coque rigide de forme quelconque. En particulier. il existe une infinite denombrable de frequences propres Wj '
w.
telles que
~im
fonctions
J-><X>
J
=
00
•
Les fonctions propres correspondantes sont les
J
lIE) CO(O.T;X) est l'espace des fonctions continues de [O,T] dans X.
CHAPITRE IV
LE CONCEPT DE MODELES EN MECANIQUE DES FLU IDES THEORIQUE
Nous voulons, tout d'abord, repondre a une question, malheureusement encore trop souvent posee, qui est : alors que la puissance des ordinateurs et le savoir faire des numericiens-mecaniciens sont devenus tels que l'on peut deja envisager de calculer l'ecoulement autour d'un avion entier ou encore predire le temps a moyenne echeance pour une dizaine de jours, et que l'on entrevoit l'epoque ou des simulations de problemes canoniques permettront de traiter avec efficacite le probleme des ecoulements turbulents, pourquoi revenir sur les modeles approches qui ont fait la fortune des etudes theoriques des annees 30 a 60 ? A notre avis il y a, au moins, deux raisons qui font qu'il nous semble, au contraire, necessaire de revenir sur ce qui paratt ne se rattacher qu'au passe. La premiere,c'est qu'une discipline vivante et complexe comme la mecanique des fluides ne peut pas, sans risquer de perdre une partie essentielle de son arne, abandonner les modeles, en apparence perimes, qui ont fait sa renommee sans avoir auparavant essaye d'en eclairer les contours obscurs ou delicats. Si la quete de modeles nouveaux et la recherche de codes numeriques dES plus performants et adequats a des situations physiques de plus en plus complexes doit constituer le souci majeur de la communaute des Mecaniciens des Fluides Theoriciens dans son ensemble, il nous paratt capital de maintenir en permanence ouverte une voie de recherche sur le fondement des modeles theoriques. Quiconque a une experience de l'enseignement connait bien l'existence de cet incorruptible comptable qui enregistre fidelement toutes les "pirouettes pedagogiques" qui esquivent, parfois meme brillamment, les difficultes inherentes
172
a tout
enseignement de la mecanique des fluides theoriques, mais que l'on
retrouve ulterieurement sur sa route comme autant dechausse-trapes pernicieuses. S'il n'est pas necessairement indispensable d'encombrer l'esprit des etudiants
a la
avec l'analyse detaillee des difficultes liees
justification des modeles,
il importe malgre tout que l'etudiant ait conscience des problemes que cela souleve et surtout que le pedagogue,lui, y ait serieusement reflechi ! De meme, s'il n'est pas necessaire d'encombrer l'esprit de l'1ngenieur voir du Chercheur, embarque dans une direction de recherche precise, avec la discussion des subtilites afferentes aux modeles qu'il utilise directement ou indirectement, il importe qu'un certain nombre de Mecaniciens des Fluides Theoriciens aient une activite de recherche orientee vers l'etude precise de ces subtilites. C'est la l'essentiel de la premiere raison que nous evoquions plus haut. En ce qui concerne la seconde raison elle decoule de ce que toute reflexion sur les fondements d'un modele qui s'est revele tres fecond est souvent generatrice d'idees, qui peuvent nourrir a leur tour de nouveaux champs de recherches. Comme illustration de ce qui vient d'etre
di~
nous mentionnerons deux exemples
tires de nos propres recherches sur la modelisation asymptotiques des ecoulements a grand nombre de Reynolds, d'une part, et des ecoulements a faible nombre de Mach, d'autre part. Le premier exemple est lie a une observation toute simple, presque triviale : la degenerescence d'Euler, qui conduit aux equations des fluides parfaits en evolution adiabatique, ne fait perdre aucune derivee temporelle, lorsque Re
+ 00,
alors que celle dite de Prandtl, qui conduit aux equations de
la couche limite, fait perdre la derivee temporelle de la composante normale, a la paroi, de la vitesse. Dans un tel cas,il faut s'attendre a ce que la modelisation asymptotique fasse apparattre un nouveau modele, associe a un nouveau passage a la limite et
a une
nouvelle representation asymptotique
locale, valable simultanement au voisinage de l'instant initial et de la paroi (Zeytounian
(1980)~));
c'est la troisieme degenerescence significative
des equations de Navier-Stokes, lorsque Re
+ 00,
qui conduit aux equations dites
de Rayleigh pour l'ecoulement monodimensionnel instationnaire d'un fluide visqueux, compressible et conducteur de la chaleur, ne dependant que du temps et de la coordonnee verticale, normale a la paroi de l'obstacle autour duquel l'ecoulement peu visqueux est analyse. 11 convient de comprendre, ensuite, par quel processus le comportement temporel, pour les grands temps locaux, du modele de Rayleigh et le comportement temporel, pour les petits temps, du modele de Prandtl de la couche limite instationnair~ se raccordent. Ce raccord
*)
Note aux C.R. Acad. Sci., Paris, A, t. 290, 567-569, 1980.
173
permettant de se convaincre que le modele de Rayleigh fournit bien l'initialisation du modele de couche limite de Prandtl.
a une
Le second exemple est aussi lie
observation triviale : si
au niveau des equations compressibles instationnaires d'Euler on considere un ecoulement irrotationnel, barotrope,
a potentiel
des vitesses, alors on
obtient pour ce potentiel une seule equation aux deri vees partielles, quasilineaire, de type hyperbolique, qui est l'equation de Steichen (4,31). Le passage
a la
limite S fixe; M + 0 , avec t et ~ fixes,
conduit
a l'equation
limite de Laplace qui est une equation elliptique ne
comportant aucune derivee au passage
a la
temporelle.
Ainsi, le regime incompressible, lie
limite ci-dessus, ne peut-etre compatible avec des donnees
initiales relatives au regime compressible ! 11 ne faut pas non plus oublier que les ecoulements ont toujours
une origine temporelle et l'etude du processus de mise en vitesse merite d'etre
exploree.O~ ce
processus entre dans le cadre de la modelisation
asymptotique via le passage S +
a la 00
limite :
et
M+ 0 .
Le T.G.V., par exemple, peut passer
a proximite
d'obstacles qui perturbent
sensiblement son aerodynamique, creant des phenomenes transitoires qui peuvent etre significatifs; ces derniers relevent tout naturellement de la modelisation liee au passage
a la
limite ci-dessus.
a
D'autre part, la mise en vitesse, fait intervenir, par le passage la limite: M+ 0 , S +
00
,M S = 0(1), avec t et ~ fixes
un phenomene acoustique qui decrit un processus d'adaptation instationnaire vers l'etat incompressible. On trouvera aux est cons acre
a la
§§
10 et 11 une discussion sur les modeles. Le
linearisation, le
§
MDAR et le concept de raccord, tandis
§
12
13 donne les premiers elements de la qu'au
§
14 on trouvera une idee de la
methode des echelles multiples (M.E.M.),avec la technique d'elimination des termes seculaires.
LES GRANDS MODELES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES Les grands modeles theoriques de la mecanique des fluides sont ceux qui sont omnipresents
dans la presque totalite des travaux de recherche
en
mecanique des fluides theoriques et que l'on retrouve dans Ie mode d'expose traditionnel de la mecanique des fluides sous la forme de grands chapitres. Ces grands modeles s'obtiennent
a partir
du modele exact, general,
de Navier-Stokes, lorsqu'un petit (ou un grand) parametre sans dimension, dans ce modele de Navier-Stokes, prend sa valeur limite (zero, ou l'infini). Dans ce ca~ les variables d'Euler t,
t,
de l'espace-temps peuvent
elles-memes prendre des valeurs petites ou grandes devant l'unite, ce qui conduit tout naturellement limite principale : LimP, ... 1
a
a
.,
1~m1te
locaux :
.
a considerer, et t fixes
at
.e.... , ou
l~m
conjointement avec un passage
a la
de l'ordre de l'unite, divers passages
+
t et x peuvent prendre des valeurs
•
pet~tes
ou
grandes devant l'unite. Ainsi,on arrive
a l'idee
que l'on peut presenter les divers Chapitres
classiques de la mecanique des fluides newtoniens comme issus d'un modele unique exact qui est celui de N-S, en ayant la modelisation asymptotique comme fil directeur
lll
)
10,1. LES MOVELES LIES AU NOMBRE VE REYNOLVS Le nombre de Reynolds est l'un des parametres sans dimensions les plus importants dans Ie systeme exact de Navier-Stokes
car il prend en compte les
effets visqueux qui impliquent l'adherence du fluide sur toute paroi materielle delimitant l'ecoulement. D'autre part, Ie nombre de Reynolds, Re, se trouve place devant les termes d'ordre Ie plus eleve dans ces equations de N-S. 1II) A ce sujet,on pourra consulter notre monographie : "Les lIlodeles asymptotiques
de la mecanique des fluides"; VoL 245 et VoL 276 dans la serie "Lecture Notes in Physics" chez Springer-Verlag, ]986 et 1987, Heidelberg, R.F.A.
175
1. Comme nous l' avons dej a. vu au Chapitre II, on peut
tout d' abord,
considerer au niveau des equations de N-S (disons_les equations (3,10)
a
(3,13)),
avec la condition d'adherence (6,10), le cas des 8rands nombres de Reynolds Re »
(10,1)
1 •
Dans ce cas, on considere, tout naturellement, le cas limite lie au passage
a la
Re
+00
,
limite principale,dit d'Euler, suivant : LimP
( 10,2)
Re+oo
{Re +
00,
at
et ~ fixes } ,
tous les autres parametres etant supposes etre de l'ordre de un (ni trop grands, ni trop petits). Les equations qui emergent,
a la
limite (10,2)
des equations exactes
de N-S,sont alors celles d'Euler, pour un fluide parfait, compressible en evolution adiabatique (a entropie specifique conservee le long des trajectoires de l'ecoulement instationnaire). On sait que cet ecoulement eulerien ne peut satisfaire d'adherence (6,10) et satisfait uniquement
a la
a la
condition
condition dite "de glissement"
(6,12) . On sait tres bien maintenant que cette condition de glissement est une consequence toute naturelle du raccord avec l'ecoulement dit "de couche limite" qui est realisee au voisinage immediat de la paroL 2. Ainsi, le passage pas adequat
a la
limite (10,2)
d'Euler, n'est certainement
au voisinage immediat de la paroi baignant l'ecoulement de fluide
peu visqueux (Re »
1).
De ce fait, il faut remplacer ce passage d'Euler, par un passage
a la
a la
limite principale(10,2),
limite localequi prenne bien en compte le fait que
l'ecoulement de fluide peu visqueux a lieu au voisinage immediat de la paroi. A cette fin,il est necessaire, tout d'abord, d'introduire une coor-
a la
donnee normale
paroi, qui soit dilatee de telle
fa~on
qu'elle tienne
compte de la faible epaisseur de la region, au voisinage de la paroi, ou s'effectue l'ecoulement peu visqueux. +
Soit n le vecteur unitaire de la normale le fluide. Introduisons la coordonnee normale ++
x.n = x
et notons
n
a~
a.
la paroi
~,
dirige vers
176
ou
0
L
= ~ o
0
«
1, avec L
une echelle de longueur liee
o
= Uo L0 /"
intervient dans le nombre de Reynolds (Re
v
a la
paroi et qui
), tandis que i
0
est
E, qui nous interesse au niveau
l'epaisseur de la region, au voisinage de du passage
o
a la
limite locale. Toutes les grandeurs sont, ici, sans dimensions.
Dans ce cas le passage
a la
limite locale
limite principale d'Euler (10,2), est le passage
i
lim E Re-+<x>
(10,3)
{Re
le temps t, les deux coordonnees sur
+ 00
et 0
0
+
associe au passage
a la
0,
a la
limite de Prandtl :
a Xn
fixe},
E et tous les autres parametres etant
supposes etre de l'ordre de l'unite. Mais cela n'est pas tout; pour obtenir les equations dites "de la couche limite" (de Prandtl) il faut faire le ''bod' choix pour 0 aussi un changement sur la composante normale de la vitesse
o
et effectuer
(10,4) On sait que ce bon choix conduit
a
1 oo =--
(10,5 )
comme cela a ete le cas
a la
IRe
section 5,7 du
§ 5 (yoir la
~ormule
(5,23) ).
Une relation, telle que (10,5), est dite de similitude. En fait, comme nous avons un grand parametre (Re) et un petit parametre (0 ), nous pouvons considerer trois situations limites (locales) : I) 0
0
fixe; Re
II) Re fixe; 0 III) Re
+ 00
puis 0
+ 00
0
+
et 0 0
0
0, puis Re +
+ +00
o
°
° de telle fac;;on que
(10,6) ou A est un parametre de similitude suppose, en toute generalite, de l'ordre o de un et a > un exposant reel a preciser. Dans notre cas,ici, on a : A = 1 et a
= 2.
°
o
La troisieme situation III) devient necessaire lorsque les modeles
issus des situations I) et II) respectivement, sont (a un certain niveau d'approximation) de nature differente; cette situation III) conduisant alors
177
au modele approche le plus significatif et lorsque A
-+-
0
on retrouve la situation
A
-+-
00
on retrouve la situation II) .
0 0
I) ,
3. Une seconde situation limite liee au nombre de Reynolds est celle qui correspond aux faibles nombres de Reynolds : Re «
(10,7)
Ce cas se rencontre lorsque le fluide est tres visqueux (theorie de la lUbrification) ou encore l'ecoulement tres lent. Bien souvent l'ecoulement est
tres lent et le fluide tres visqueux aussi.
Une fois de plus, il faut considerer le passage
a la
limite principal,
di t de Stokes, { Re -+- 0
(10,8)
at
et ~ fixes}
tous les autres parametres etant fixes, de l'ordre de un lors du passage
a la
limi te (10,8).
Mais,lorsque le domaine d'ecoulement est non borne (cas de l'ecoulement autour d'un obstacle de dimension caracteristique L , borne, se trouvant o au voisinage de l'origine du systeme de coordonnees x.), on constate que le modele approche (de Stokes) obtenu
a partir
J.
de (10,8) ne saurait etre valable
aux grandes distances de l'obstacle. De ce fait, comme
a la
section 5,8 du
§ 5,
il faut introduire des nouvelles coordonnees (adimensionnelles) : -+X
L
-+-
'V
(10,9 )
X
=-
Yo
y
o
= -5d. L
»1,
o
ou Lest la longueur caracteristique pour les points de l'ecoulement loin o de l'obstacle. On peut alors considerer le passage a la limite locale suivant, (10,10)
o
tOO
L J.m
Re+O
qui est celui dit de Oseen.
{Re -+- 0
at
'V
et ~
fixes } ,
178
Le choix adequat
de
Yo»
1 est
(10.11) et dans ce cas. Ie nombre de Reynolds disparatt des equations sans dimensions pour l'ecoulement au loin de l'obstacle. Mais!ce nombre de Reynolds apparatt dans l'equation de l'obstacle. relativement au systeme de coordonnees ~. et lorsque Re reduit
a un
+
~
0 l'obstacle se
point. qui est celui de l'origine des coordonnees. lorsque l'on
suppose que cette origine se trouve
a l'interieur
de l'obstacle.
De ce fait. en premiere approximation. l'ecoulement limite de Oseen est celui qui est donne
a l'infini
loin de l'obstacle; cet ecoulement d'Oseen
etant faiblement perturbe par l'obstacle.lorsque Re
+
0
Dans la litterature.on considere habituellement deux cas: celui de l'ecoulement plan autour d'une section circulaire d'un obstacle cylindrique et l'ecoulement tridimensionnel autour d'une sphere en mouvement de translation uniforme.
4.
Ainsi. pour ce qui concerne Ie nombre de Reynolds, nous devons
considerer les modeles limites qui sont indiques sur Ie schema ci-dessous:
179
Un probleme important est celui du raccord des divers modeles entreeux
Euler-Prandtl et Stokes-Oseen. Ce raccord est intimement lie au comportement de la solution du modele
approche local correspondant. Par exemple, pour le cas de Re »
1, il faut que la solution du modele
de la couche limite ait un comportement "aux grandes distances" de l'obstacle, lorsque
tel que la SOlution de couche limite existe et puisse se raccorder avec le comportement de la solution du modele d'Euler, lorsque
I~I
+
0 ,
c'est-a-dire pour les distances proches de l'obstacle. Nous revenons au § 13 a cette notion de raccord qui joue un role fondamental dans la mise en evidence des modeles approches, coherents, issus du modele exact de N-S. Enfin, nous n'avons rien dit sur le modele dit "en triple couche" qui permet de rendre compte du comportement de la couche limite dans les diverses circonstances ou elle subit "un accident" localise
au voisinage
d'une ligne sur la paroi de l'obstacle autour duquel l'ecoulement peu visqueux (a Re »
1) est considere. Ce modele local en triple couche est analyse, dans
un cas simple,
a la
Lelt0n IX du vol. 276 de la serie "Lecture Notes in Physics 11
(1987) et on trouvera a la section 11,1 (point 3) quelques indications quantitatives. 10, 2. LES MOVE LES LI ES AU NOMBRE VE MACH Le nombre de Mach joue aussi un role important, au niveau des equations exactes de N-S
car il prend en compte les effets de la compressibilite du
fluide. Ces effets de compressibilite compliquent l'analyse des ecoulements en ce sens que les effets dynamiques et thermiques sont en general fortement couples. De plus, l'equation de continuite fait intervenir de la masse volumique
fa~on
essentielle
p, variable.
1. Afin, de retrouver le modele de fluide incompressible qui est, en generalite, celui de Navier dont il a ete deja question au § 5, il faut tout d'abord considerer le cas des fluides faiblement compressibles, pour lesquels
180
(10,12)
M < < 1 •
Dans ce cas,on considere, tout naturellement, Ie cas limite M ->- 0, lie au passage a. la limite principale, dit de Navier, suivant { M ->- 0, a. t et ~ fixes},
(10,13)
tous les autres parametres etant supposes etre de l'ordre de un. Les equations qui emergent, a. la limite (10,13), des equations exactes de N-S sont alors celles de Navier pour un fluide incompressible, les effets thermiques etant alors decouples, comme nous l'avons deja. vu a. la section 5,4 du
§ 5.
Cependant, en toute rigueur, ces equations de Navier limites tombent en defaut au voisinage de l'instant initial t = 0 et aussi au loin de la paroi de l'obstacle en mouvement dans Ie fluide faiblement compressible. De ce fait, il faut
considere~par exempl~un
passage a. la limite locale, en temps, au
voisinage de t =0; pour cela,on introduit un temps local: t t= M A
(10,14)
et on postule Ie passage a. la limite locale {M->-O, a. t = ~ et;- fixes} •
( 10, 15)
M
Le modele approche qui en decoule est celui de l'acoustique lineaire classique et il faut, une fois de plus, effectuer Ie raccord avec Ie modele de Navier correspondant, en elucidant Ie comportement de la solution acoustique locale pour les t ->-
00.
En relation avec Ie
raccor~il
faut noter que les domaines d'ecoulement
sont : soit des domaines bornes (enceintes remplies de gaz), soit des domaines non bornes qui s'identifient avec l'exterieur d'un obstacle (une aile) en mouvement dans l'atmosphere infinie au repos.
2. Pour preciser un peu plus,
considerons l'equation de Steichen (4,31)
qui gouverne les ecoulements de fluide parfait compressible, irrotationnel, evolution barotrope. On a done l'equation exacte suivante :
en
181
~
[1 - (y-1)
(10,16) Me: { S2
u
00
{ S
4 dt
~+~
+ S ddt
[
I~ ~12 -
1 ]}}
~
(~~)2 + ~ 11. (~ ~.V V~) }
est le nombre de Mach suppose «
1 et S le nombre de Strouhal
suppose etre de l'ordre de un. A cette equation (10,16), il faut associer, en particulier, deux conditions initiales :
(10,17) ou
f
et
pour t
°,
et 1jio sont des fonctions de ? supposees connues. Lorsque nous appliquons a l'equation (10,16), sous l'hypothese
Moo «1
mais avec S
= 0(1),
le passage a la limite (10,13)
~=lo
(10,18)
nous retrouvons le cas incompressible pour lequel
tl"iIJo
(10,19) Nous constatons alors
=0.
~u'~~
niveau de l'equation limite principale
(10,19) pour ~o (qui est l'equation de Laplace), toutes derivees temporelles
ont disparu
et de ce
fai~le
regime incompressible ne peut-etre compatible,
en toute generalit~ avec les donnees initiales (10,17) relatives au regime compressible regi par l'equation de Steichen (10,16). Cette derniere equation
(10,16), lorsque S
~
0, est toujours de type hyperbolique, tandis que l'equa-
tion de Laplace (10,19) est, elle, de type elliptique. Nous sommes la en presence d'un probleme typique de perburbation singuliere lie au changement de type de l'equation exacte de depart (hyperbolique -+
elliptique). En fait, le caract ere singulier du probleme, lorsque Moo
+
provient du fait que nous ne pouvons pas permuter les passages a la limite " P L~m
M+O 00
et
Lim t+O
Ainsi, il est manifeste que le voisinage de t =
° est singulier et
pour analyser l'ecoulement a faible nombre de Mach au voisinage de t = O,il
0,
182
faut introduire un temps fin (rapide). Un peu de reflexion (on doit retrouver le caractere "acoustique" de l'equation (10,16) au voisinage de t = 0) montre qu'il faut introduire la nouvelle variable temps :
t
(10,20)
t
= Moo
Soit alors
et on constate que
S~
~(~,t) satisfait
maintenant,on applique le passage
1 lim t M.x,+
°
( 10,21)
a l'equation
=> {t\,
+
°a~ et t
a la
=:
limite locale
fixes}
~"oo
alors
~o
(10,22)
satisfait
a l'equation
classique de l'acoustique lineaire
°.
-to ~o
(10,23)
A cette equation(10,23\10cale valable au voisinage de t
0, nous
pouvons associer les deux conditions initiales suivantes (10,24)
4l = ~ o
et S
a~
---;:9- = 0,
at
pour t
=0
,
qui decoulent de (10, 17) 1lI1l1) • 1lI) La notation O(M",,) designe des termes proportionnels 1lI1l1)
On suppose que la donnee initiale limite locale (10,21).
a la
W n'est O
a Moo
pas affectee
• par le passage
183
Ensuite, il faut elucider Ie comportement de ~ lorsque t o
+
00, pour
se convaincre que Ie raccord est possible avec l'ecoulement limite principal regi par l'equation limite (10,19) pour ~ Le passage
a la
o
limite principale
) a, en fait, pour but
d'eliminer, au niveau de la solution de
l'equation de Steichen
exact~
(10,16), les ondes acoustiques internes qui sont liees aux effets de compressibilite du gaz. En domaine borne (enceinte),il apparait que ces ondes acoustiques, generees en phase initiale de mise en mouvement de la paroi, E, de l'enceinte (et qui sont gouvernees par l'equation limite locale (10,23)), persistent sans attenuation (nous ne tenons pas compte ici de la viscosite) durant toute cette phase initiale et de ce fait, "penetren~'avec toute leur intensite dans la phase ulterieure t = 0(1) liee
a l'ecoulement
limite principal,
fondement. Ainsi"on conc;oit bien que Lim 1P limite n' est pas definie lorsque
t:- 00)
o
qu'elles affectent pro-
n' existe pas (dans Ie sens que cette
. Precisons que cette circonstance a lieu
precisement lorsque la paroi de l'enceinte, E, est mise impulsivement en mouvement ou encore lorsqu'elle est mise en mouvement "tres rapidement". Le phenomene ci-dessus, lie pour ~o lorsque t
+
a la
non existence d'une limite definie
00, a une incidence profonde sur Ie concept meme d'ecoulement
incompressible et plus particulierement sur l'integrale de Bernoulli classique (4,24). En effet, dans cette integrale de Bernoulli s'introduit un terme complementaire lie au carre des amplitudes des oscillations acoustiques - ce terme etant Ie resultat de la persistance des ondes acoustiques au sein de l'enceinte au cours du temps. Ce phenomene a ete mis en evidence, pour la premiere fois, dans un travail de Guiraud et Zeytounianll!) qui ont mis en oeuvre une technique .. . . , de la metho , d · asymptot1que directement 1nsp1ree e d1te des '" echel 1 es mult·1p1 es "lI!lI!) . En fait, il s'avere qu'il faut appliquer cette methode en introduisant une infinite (denombrable) de temps rapides
(10,25) ou les w sont les frequences propres des oscillations acoustiques de l'enceinte. n Dans ce cas, d'apres la theorie de Guiraud et Zeytounian, l'ecoulement ·)Voir : Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, t. 290, serie B, 75-78, 1980. lI!.) Nous donnerons au
§ 13 une idee de l'application de cette methode des
eChelles multiples (MEM).
184
limite incompressible dans l'enceinte s'interprete comme etant un ecoulement moyen1II)
" . . . . • t auquel sont superposees des osclllatlons acoustlques qUl provlennen
de la phase initiale du mouvement. Ains~
dans ce cas, il n'y a pas adaptation des donnees initiales au
sens classique de la MOAR. En domaine non borne, il apparait que les ondes acoustiques generees par le deplacement de l'aile, a partir du repos, at>
0, a faible vitesse
devant la celerite du son, laissent une trace au loin de l'obstacle a l'infini dans l'espace. L'analyse de ce phenomene de perturbation singuliere releve alors de la MOAR et precisons ici que la solution au voisinage de l'aile (productrice d'ondes acoustiques, at> 0) est approximativement incompressible alors que celle qui vaut au loin, a l'infini, releve des equations de l'acoustique lineaire. , " " •• 1II111) . ". " Ce probleme a ete analyse" par Vlvland et aUSSl• Crow1II•• )qUl ont reallse le
raccord des sOlutions incompressibleset acoustiques. On notera
qu~
dans le cas d'un ecoulement dans un domaine non borne,
exterieur a une aile, les perturbations acoustiques associees a l'adaptation des donnees initiales s'attenuent par dispersion de l'energie acoustique dans un domaine dont le volume tend vers l'infini. De ce fait, on ne s'attend pas a une persistance importante de la perturbation acoustique initiale au niveau du champ d'ecoulement proche de l'aile, lorsque t
= 0(1).
Ainsi, en domaine non borne,il faut distinguer trois regions liees aux passages a la limite suivants : (a) S fixe; ~
+
0 a ; et t fixes
(region dite "proximale" au voisinage de la paroi de l'obstacle); (b) S fixe; Moo
+
0 a t
et
'"x = MooX+
+
fixes
(region dite "distale", loin de la paroi de l'obstacle); (c) S fixe; ~
+
0 a
t =~
et
t
fixes
(region di te "initiale", au voisinage de l' origine des temps, t o ) . • ) On dit aussi ecoulement homogeneise et on a la un exemple ou la teChnique de l'homogeneisation est tres performante. La microstructure liee aux ondes acoustiques apparaissant au niveau de la macrostructure (ecoulement moyen) sous la forme d'un terme complementaire dans l'integrale de Bernoulli, comme il a ete explique plus haut • .. ) Voir: J. de Mecanique, 9, nO 4, 573-599, 1970. 1II111111)
Dans: Studies in Applied Maths., vol. XLIV, nO 1,21-44, 1970.
185
3. Une autre situation liee au nombre de Nach est celle des ecoulements subsoniques(M < j) et supersoniques (M > 1). Habituellement, i l est admis de considerer l'etude des ecoulements potentiels de
~luides par~aits,
autour
de profils minces, en prenant cOl!lllle modele exact de depart celui regi par l'equation de Steichen stationnaire, bidimensionnelle. Dans le cas subsonique et supersonique,il s'avere que l'on peut tirer profit de la linearisation et on trouvera au § 12 de ce chapitre IV le cas de l'ecoulement eulerien (Re =~) autour d'une aile de ~aible epaisseur. Mais,il s'avere que les resultats du § 12 ne sont plus valables pour les ecoulements ditstranssonigues (M ~ 1) et hypersoniques(M»
1). En theorie aussi bien le cas transsonique
que le cas hypersonique,sont traites, en general, pour les
pro~ils
minces
avec des lois de similitude. En particulier, pour le cas hypersonique les relations de choc jouent un role tres important pour modeliser l'ecoulement hypersonique autour d'un profil mince. Aussi bien le cas transsonique que le cas hypersonique necessitentune modelisation basee sur deux parametres; dans le premier cas: l'epaisseur relati ve faible du pro~il
E:
et le parametre petit ~ - 1, tandis que dans
le second cas : l' epaisseur relati ve grand
M~
»
du profil mince
~aible
1. Cela conduit, dans les deux cas,
a.
et le parametre
E:
introduire un parametre
de similitude :
~
- 1
= --3---~
( 10,26a)
E:
( 10,26b)
/2
E: N~
4.
, pour le cas transsonique;
, pour le cas hypersonique.
11 Saut encore dire quelques mots concernant l'interaction entre
ecoulements faiblements compressibles,
a.
N«
et ecoulements
j,
Re »1 et
Re «
1. Pour les ecoulements peu visqueux (Re »
(M «
1), il s'avere que le cas le plus signiSicatiS correspond
(10,27)
N
4 Re =
1) et
a.
(10,28)
1), il
~aut
que
1i ~ Re -
Kn
compressibles
a.
o( l).
Pour ce qui concerne les ecoulements lents (Re compressibles (M«
~aiblement
«
j
,
«J) et Saiblement
186
afin que l'on reste dans Ie cadre du milieu continu qui correspond au nombre de Knudsen petit devant un, comme nous l'avons vu au § 1 (sections 1,3 et 1,4). On notera que Ie cas classique correspond Re fixe, M +
a
0, puis Re
+
°
et dans ce cas,la contrainte (10,28) est toujours satisfaite. Enfin, il faut encore noter Ie cas des ecoulements hypersoniques (M» 1) peu visqueux (Re »
1), qui a
des applications en astronautique (probleme de
la rentree d'une navette spatiale dans l'atmosphere terrestre). Sur Ie schema ci-dessous nous avons indique les diverses situations qui ont ete mentionnees dana cette
~ection
)0,2
Navier-Stokes
ecoulement autour d' obstacle
M«1 Re» 1
M« 1Lmodele de Re«UStokes peu compressible
187
10,3. LES MOVELES LIES AUX NOMBRES VE STROUHAL ET VE PRANVTL 1. Pour ce qui concerne le nombre de Strouhal S, disons, tout d'abord,
que dans le cas instationnaire,les equations de la couche limite sont obtenues sous l'hypothese que S reste fixe, de l'ordre de un, lors du passage
a la
limite
de Prandtl (10,3). En toute rigueur, il s'avere que ces equations de la couche limite instationnaire ne sont pas valables au voisinage de l'instant initial t =
° et de ce fait,le cas de
(10,29)
Re
» 1 et S
»1
permet l'etude de ce voisinage de l'instant
initia~
1
caracterise par un laps de
«~ 1a situation (10,29) se rencontre des que o Uo l'on etudie le voisinage de l'instant initial en vue de determiner des condi-
temps caracteristique t
tions initiales
a appliquer
aux equations de Prandtl de la couche limite ins-
tationnaire classique obtenues avec S = 0(1). 1es equations modeles, issues du modele exact de Navier-Stokes, sous l'hypothese (10,29), sont celles dites "de Rayleigh" pour les ecoulements instationnaires monodimensionnels d'un fluide visqueux, conducteur de la chaleur qui ne dependent que du temps : t
'V
( 10,30)
t =-1 IRe
et de la variable d'espace,normale
a la
xn_ __
'V
(10,31)
X
paroi de l'obstacle
n
liRe
2. Un autre type particulier d'ecoulement conduit ecoulements as»
a analyser
les
1; il s'agit de l'ecoulement lie aux mouvements oscillatoires 10 °0
d'un obstacle, avec soit une periode T « o
-Uo
soit une frequence w »--
(oscillationsa haute frequence). Done, dans ce cas, outre Re »
0
1, il faut
introduire le parametre de frequence
( 10,32)
U
a. = _ _0_ « w 1 o 0
o
1,
qui est l'inverse d'un nombre de Strouhal base sur To. Ainsi, on est conduit a considerer le double passage a la limite
(10,33)
Cl.o....
°
et
Re....
00
10
188
et diverses situations peuvent etre considerees en fonction du parametre
(10,34 ) En particulier, le modele dit de "Riley et Stuart" l'hypothese que ReS »
est obtenu sous
1·}
3. Pour ce qui concerne le nombre de Prandtl Pr, 10rsque Pr « Pr» deux
1 et
nous sommes en presence d'un probleme de perturbation singuliere. Ces cas singuliers peuvent etre etudies dans le cadre de l' analyse de la
couche limite thermique pour le probleme de Blasius; lorsque Pr «
1 cette
couche limite thermique est plus epaisse, que la couche limite dynamique de Blasius, tandis que pour Pr »
1,elle est moins epaisse.
10,4. LES MOVELES POUR LES ECOULEMENTS ATMOSPHERIQUES
1. Pour les ecoulements atmospheriques un modele souvent analyse est celui dit "de Boussinesq" qui consiste ii faire tendre simultanement le nombre de Mach M et le nombre de Boussinesq Bo vers zero, de telle
fa~on
que le
rapport Bo
(10,35)
B=
Moo
O( 1)
Dans ce cas,on constate que la validite de ces equations de Boussinesq est limitee ii une couche atmospherique d'epaisseur HB telle que: (10,36)
IL --r1
=B
Uo
g
V~. ---f- '
lorsque B ~ 1 on trouve que H ~ 200 ii 300 m. On trouveradans notre article B de synthese de 1985 (Intern. J. Engng. Sci. vol. 23, pp. 1239-1288) une derivation asymptotique de ces equations de Boussinesq. 2. Un autre modele souvent utilise en meteorologie est celui dit quasi-geostrophique", qui s 'obtient sous 1 'hypothese que le nombre de Rossby, Ro, est petit devant un. Ce modele quasi-geostrophique doit-etre, en toute rigueur, complete par le modele dit
d'~
qui decrit la couche limite
atmospherique et qui est lie ii la petitesse du nombre d'Ekman devant un : .) A ce sujet on peut consulter la Leqon XI (page 263 a 310) du s~cond tome de notre 1DOnographie "LeS' Modeles AsymptotiqueS' de la Mecanique deS' Fluides", pUbliee chez Springer-Verlag, 1987.
189
( 10,37) avec l
EK
=2 n
sin ~
000
v = l
o
o
H2 0
le parametre de Coriolis.
D'apres Zeytounian on montre que la situation la plus significative correspond
a
(10,38)
O( 1) •
ou BRo - Ki
1
est le nombre de Kibel.
to lo
3. Enfin, pour les ecoulements d' echelle "synoptique" on peut considerer les modines issus de l'approximation dite "quasi-statique" qui correspond au passage
a la
limite : H
(10,39) de telle
£0 fa~on
= ~o o
+
° et Re
+
00
que £2 Re
(10,40)
o
_ Re.l. = O( 1) .
En particulier, lorsque Re.l. :: primitives" du meteorologue qui est numerique du temps
a courte
00
,
on retrouve le modele "awe equations
a l'heure
actuelle
a la
base de la prevision
echeance (de l'ordre de 4 jours).
Pour tout ce qui concerne les modeles approches pour les ecoulements atmospheriques on pourra consulter l'article de synthese de 1985,de
Zeytounian·~
.) Dont le titre est : Recent Advances in asymptotic modelling of tangent atmospheric motions. On peut aussi consulter le livre tout recent de Zeytounian : "Asymptotic Modelling of Atmospheric Flows"; Springer-Verlag, avril ~.
LES MOOELES LOCAUX ET LES MOOELES SPECIFIQUES PROPREMENT OITS
11,1. LES MOVELES LOCAUX A la difference des grands modeles, dont il vient d'etre question au § 10 et qui sont fondamentalement lies au mode d'exposition de la mecanique
des fluides, les modeles locaux sont plutot lies a des problemes de recherche. 11 s'agit de problemes ou l'analyse asymptotique ne peut s'appliquer qu'a une region tres localisee de l'ecoulement et c'est sans doute au niveau de ces mOdeles locaux que l' analyse asymptotique est destinee a garder pour longtemps encore, droit de cite a cote des grands codes de calculs numeriques. 11 s'agit, avant tout, de reperer et de decrire les singularites qui se presentent dans un champ d'ecoulement en prenant le concept de singularite dans une acceptation assez large. En termes numeriques, cela se produit lorsqu'un , • 1I1} , • ., S" • . probleme est ra1de dans une reg10n loca11see. 1 1 on ne d1spose pas d e rense1-
gnements precis sur la region singuliere, le code numerique peut echouer completement, ou perdre considerablement en precision, ou encore conduire a des temps de calculs prohibitifs. 1. A cet egard,on peut citer le cas de la modelisation d'un ecoulement " " . . , lHl) comportant une nappe tourb111onna1re fortement enroulee. Une mode11sat1on locale
permet de decrire approximativement le comportement de l'ecoulement dans le coeur de la nappe tourbillonnaire fortement enroulee, la, ou les spires de la nappe sont tres serrees. Numeriquement,ce probleme,dans le coeur de la nappe tourbillonnaire fortement enroulee,est tres raide,mais, en contre partie, il y a un petit parametre co' dit d'ecartement, qui est le rapport entre la distance .) C'est-a-dire difficile et mal aise a calculer numeriquement, du fait de la presence des diverses echelles 0aracterisant localement-l'ecoulement) qui peuvent avoir des ordres de grandeur tres differentes • •• ) Voir, par exemple, l'article de Guiraud et Zeytounian dans "La Recherche Aerospatiale", nO 1977-4, Juillet-Aoiit, pp. 205-212, 1977.
191
(normalement a. la nappe) d'une spire a. l'autre, A, et le diametre, L, du coeur. Pour l'essentiel l'analyse asymptotique de Guiraud et Zeytounian conduit
A.
- .. CO L
a. une regle assez simple, permettant d'etablir une correspondance entre deux
Co «
1
ecoulements. Le premier est un ecoulement rotationnel
L
continu de fluide parfait, tandis que le second est un ecoulement irrotationnel comportant une nappe tourbillonnaire enroulee, egalement de fluide parfait. La correspondance ne vaut qu'en un sens asymptotique, dans le coeur de la nappe enroulee, la. ou les spires sont tres serrees et elle repond bien a. l'image physique que l'on peut se faire de l'ecoulement dans le coeur de la nappe: le tourbillon concentre
~
la nappe peut-etre remplace par une distribution equivalente
continUment repartie du rotationnel du vecteur vitesse. 2. Lorsque l'on a bien compris la signification que nous donnons au concept de modelisation asymptotique,on se rend compte que le nombre de situatioIlS que l' on peut faire entrer sous la rubrique "modeles locaux" est tres grand. Par exemple, les solutions dites auto-semblables (ou encore homogenes, ou simplement semblables; en anglais "self-similar") qui paraissaient encore ces dernieres annees quelque peu artificielles prennent maintenant leur veritable signification (qui est celle de modeles asymptotiques locaux) si on les soumet a. l'eclairage de la modelisation asymptotique et cette optique devient particulierement enrichissante si on les considere comme complementaire de codes numeriques. Au sujet de ces solutions auto-semblables,on pourra consulter l'article de Barenblat et Germain···).
Zel'dovich~·)et aussi
les conferences dePaul
On a un exemple typique de solution homogene, lorsque
•• ) Dans "Annual Review of Fluid Mechanics", vol. 4, pp. 285-312, 1972. Il Y a aussi le livre de Barenblatt : "Similarity, Self-similarity, and Intermediate Asymptotics". Guidrometeoizdat, Lenigrad, 1982 (Edition en langue russe) . ••• ) Dans: Fluids Dynamics, pp. 1 a. 147; Ed. Gordon and Breach, Sci. Publishers, London, 1977.
192
l'on analyse le probleme dit de Blasius de la couche limite sur une plaque plane placee dans le lit d'un vent uniforme. D'une
fa~on
generale,on peut dire
que : ces solutions homogenes fournissent le comportement dominant de
solutions
quelconques pour certaines valeurs remarquables ou singulieres des variables. Ainsi, les termes dominants du developpement asymptotique d'une solution complete au voisinage d'un point remarquable ou au voisinage de l'infini sont des solutions homogenes; elles apparaissent done comme determinant des comportements asymptotiques locaux. 3. Naturellement l'un des modeles locaux le plus important et le plus enrichissant est celui dit "en triple couche" de Stewartson et Williams ·
1Il1ll)
Ne~land
. I
1
permet de
'
.
decr~re
ce
..
qu~ sur~ent
lorsqu
,. .
au
vo~s~nage
lll
)
et de
d , une
ligne singuliere,la couche limite classique de Prandtl d'epaisseur f o = L / o lRe subit un "accident". A cette fin,il faut retourner aux equations exactes de Navier-Stokes sous l'hypothese que Re
+
00.
Dans le cas plan, supposons qu I il y a: "accident" au voisinage de 1 I abscisse du contour C de l'obstacle autour duquel l'ecoulement peu visqueux o (Re » 1) est considere. On introduit alors au voisinage de X une nouvelle o abscisse locale : curviligne
X
( 11 ,1)
OU £ = _1_
et
£ < < <5
(£)«
1. Le modele en triple couche, qui est une dege-
, IRe.. .... old ' t. t d e Na~er. St 0 k es, es t a 1 ors nerescence s~gn~~~cat~ve es equa ~ons exac es caracterise par le passage ( 11 ,2)
a la
£ + 0
limite locale suivant : ~
, u1 +
.... tV
0 , a x
• " f~xe,
une double distorsion sur l'ordonnee y devant etre effectuee de 11 s' avere que
(11,3 )
Re
adequate.
-3/ 8
1Il) Article dans: Proc. Roy. Soc., A 312, 181-206, 1969. 1Il1ll)
fa~on
I
Article, en langue russe,dans : Mekh. Zhidkosti i Gaza, nO 4, 53-57, 1969.
193
Parmi les nombreuses applications du modele en triple couche a l'aerodynamique,citons : I) contournement d'un coin convexe, II) interaction: choc-couche limite supersonique, III) probleme du bord de fuite d'une plaque plane, IV) probleme du bord de fuite d'un profil, V) ecoulement decolle au voisinage du bord de fuite, d'une aile mince, VI) probleme de la separation d'une nappe, VII) ecoulement au-dessus d'une petite bosse, VIII) interaction entre une couche limite d'Ekman et une circulation locale induite par un site thermiquement non homogene, IX) mecanisme de Sytchev pour la separation laminaire, X) interaction entre deux ecoulements d'echelle ristique
de longueur caracte-
differente
XI) schema en triple couche instationnaire; le probleme de l'adaptation au schema en triple couche stationnaire associe, XII) accident cause par une tache thermique locale. Au sujet de ces problemes, on pourra consulter la
Le~on
IX du livrell!)
de Zeytounian, de 1987, ou l'on trouvera aussi les references bibliographiques correspondantes.
11,2. LES MOVELES SPECIFIQUES (GLOBAUX) Partant de l'un des grands modeles
dont il a ete question au
§ 10,
il s'agit maintenant de considerer un probleme specifique et de mener a bien sa modelisation par une analyse asymptotique globale - c'est-a-dire une analyse du probleme dans son ensemble, tenant compte aussi bien des equations modeles de depart que des conditions aux limites et initiales. 1. L'un des grands modeles de depart que nous pouvons considerer est celui d'Euler, du § 4, et qui a fait l'objet aussi du § 9. La modelisation asymptotique de l'ecoulement a travers une roue d'une turbomachine axiale est un exemple type de ces modeles specifiques globaux ayant comme point de depart le modele d'Euler. 1II) Dont le titre est : "Les modeles asymptotiques de la mecanique des fluides II", dans la serie Lecture Notes in Physics, vol. 276, chez Springer-Verlag, Heidelberg, 1987.
194
L'idee est qu' il y a un grand nombre d' aubes par roue ce qui fait que l'inverse de ce nombre d'aubes, grand, est un petit parametre natureI du probleme; plus precisement on a
s = 27T « 1 N
ou
N»
'
1 est Ie nombre d' aubes dans la roue.
--~lr AMONT
ROUE
AVAL
---'-7)Z
Dans Ie cas Ie plus simple, lorsque l'on considere qu'une seule roue mobile, un ecoulement stationnaire avec une alimentation uniforme, Ie probleme
a resoudre
a I' infini
amont
est simple : il faut que la vitesse ~ satis-
fasse simultanement aux deux equations
(11,4 )
v.~ = 0
comme cela a ete indique
a la
Comme on suppose axiale sont des cylindres on r,
e,
(11,5)
z et de ce fait, on a
et
VA ~
fin de la section
= 0,
4,4 du § 4.
que Ie carter et Ie moyeu de la turbomachine doit travailler avec des coordonnees cylindriques
195
l'axe des z etant l'axe de la turbomachine axiale, comme cela est indique sur la figure,page 194 . Les equations (11,4) sont tres si~plesmais par contre la configuration (du fait de l'aubage de la roue garni d'aubes) est complexe et de ce fait le probleme tridimensionnel est un probleme numeriquement raide, (essentiellement du a la dependance az_imuthale en Lorsque
£ +
0, on efface la dependance en
e
e ).
et on peut remplacer,
en premiere approximation, le systeme (11,4), tridimensionnel, par un systeme "equivalent" d'equations bidimensionnel en r et z uniquement - la structure fine en
e-
ayant ete modelisee (homogeneisee), au niveau du systeme equiva-
lent, par l'introduction d'un champ de forces fictives simulant l'action des aubes de la roue. 2. Le second grand modele de depart est celui de Navier qui regit les ecoulements d'un fluide visqueux, incompressible (voir le § 5). L'analyse de l'ecoulement d'un fluide
~
visqueux incompressible
autour d'une plaque plane de longueur finie, sans epaisseur, placee parallelement a la direction d 'un ecoulement uniforme amont est un exemple des plus interessants de mise en place d'un modele specifique, ayant comme point de depart le modele de Navier. Si l'on suppose que l'ecoulement est stationnaire il n'y a, dans l'enonce global du probleme, qu'un seul parametre sans dimension Uoo Lo qui est le nombre de Reynolds, Re = ----calcule avec la longueur de la Vo
plaque L ' la vitesse constante a l'infini amont Uoo et la viscosite cinematique o du fluide V o = constante. L'objectif est de decrir~avec le maximum de finesse possible,la structure asymptotique de cet ecoulement stationnaire laminaire, lorsque Re
+
00
•
Nous ecartons, naturellement, le phenomene de turbulence,
ce qui veut dire que le modele specifique asymptotique correspondant, a Re» 1, est deja significatif pour des nombres de Reynolds qui excluent la transition, au moins sur la plaque plane et dans son proche sillage. A l'heure
actuelle·~ la
structure asymptotique en question est bien
elucidee qualitativement et quantitativement;elle fait intervenir neuf regions d'ecoulements, deux d'entre elles necessitant, pour resoudre les problemes mathematiques qui leur sont associes, l'emploi de codes numeriques elabores qui n'ont ete acquis qu'en 1970 et lIf)
197~respectivement.
On pourra consulter, a ce sujet, les pages 230-232 du livre de M. Van Dyke "Perturbation Methods in Fluid Mechanics"; The Parabolic Press, Stanford, California, 1975.
196
Sur la figure ci-dessous,nous avons represente schematiquement les neuf regions qui interYiennent pour elucider la structure de l'ecoulement laminaire,a Re »
1,au voisinage de la plaque plane de longueur finie.
1.
R·I/l
.'
1
,.... . ...··R·· ,.
:~
Les regions 3 et 7, sur cette figure, sont des regions de Navier ou il faut resoudre les equations completes numeriquement (voir Zeytounian (1987; Le~ons
VI et IX)). La region 2 est celle de la couche limite stationnaire
classique de Blasius et la region 1 est celle de l'ecoulement potentiel de fluide parfait exterieur
a la couche limite de Blasius. Les trois regions
4, 5 et 6 sont celles du modele en triple couche au bord de fuite et les regions 8 et 9 sont celles de Goldstein pour le sillage proch~ ou une solution homogene reste valable,qui se raccorde avec la solution du modele en triple couche du bord de fui te si tu~ a l' amont • Le fait qu'un certain nombre de regions interYiennent pour decrire l'ecoulement specifique approche est une caracteristique Sondamentale de la modelisation asymptotique, lorsque le petit parametre principal du probleme est un petit parametre de perturbation singuliere. On peut dire que: l'ensemble de toutes les representations significatives approchees, d'un probleme specifique global avec un petit (ou grand) parametre sans dimension principal, forme un modele specifique proprement dit, associe
a ce
probleme specifigue global, une fois que l'on a efSectue tous les
raccords correspondants entre les diverses representations valables dans di verses regions.
197
Ce qui vient d'etre dit est relatif, naturellement,
a la
MOAR; mais
certaines representations approchees significatives, dans certaines regions, peuvent avoir une structure en ecnelles multiples et les raccords sont alors quelque fois plus subtils. Ces raccords jouent d'ailleurs un role fondamental car ils permettent d'obtenir un probleme specifique global approche bien pose. 11 ne peut manquer d'arriver que la frontiere, entre grands modeles et modeles specifiques globaux, soit mal definie et on amene
a des
a cerner
peu~
de ce fait,etre
recouvrements inevitables. Mais,nous n'avons pas chercher, ici,
avec precision les contours de la classe des grands modeles et celui
des modeles specifiques proprement dits. Precisons, seulement, que le cas des ecoulements Mach, instationnaires, peut justement etre sujet
a des
a faibles
nombres de
recouvrements. On pourra
sur la modelisation asymptotique des ecoulements de fluides newtoniens consulter l'article de Guiraud et Zeytounian*)
"Asymptotic modelling of flows: General features", dans le nO special 1986 du Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, pages 1 a 24, 1987. La-seconde partie de cet article : "Asymptotic -modelling of' flows- : a f'ew exa;mples" est publiee dans Atti Accademia Peloritana dei Pericolanti, Classe 1 di Scienze Fis. Mat. e Nat., vol. LXV (1987) - Adunanza del 27-11-1987 (Messina 1988), pp. 103 a 122.
198
LE CONCEPT DE LINEARISATION
12,1. LE FORMALISME OE LA LINEARISATION Soit L (U;a) = 0 ,
(12,1)
une equation reduite, c'est-a-dire ecrite avec des grandeurs sans dimensions, faisant intervenir un petit parametre a «
1.
On a note par U = U (t,~;a) la fonction inconnue,ou ~ et t engendrent .. ,.. ( t,x +) d~mens~ons; en aerodynam~que le couple
4 , , 1 espace-temps lli a quatre
appartient a un certain domaine une frontiere
n
delli
4 et la geometrie de n fait intervenir
r et nous notons par
( 12,25
c(U,r;e:) = 0 ,
les conditions aux limites associees a l'equation (12,1). Au niveaude (12,2),£ est un parametre sans dimension dit "de configuration" qui peut aussi etre petit devant un. Enfin, il faut aussi associer a (12,1) des conditions initiales; par exemple ( 12,3) La linearisation constitue une methode heuristique pour operer, sous certaines conditions, une simplification du probleme (12,1) - (12,3), lorsque a«
1. La validite de la solution lineaire ainsi obtenue etant a discuter et
a apprecier dans chaque cas concret considere. Nous revenons a la section 12,2 suivante
sur cette question cle dans le cadre de l'ecoulement d'un fluide
parfait, en evolution adiabatique, lorsque le petit parametre a de Mach, M, caracteristique, tandis que
£
«
est le nombre
1 est l'epaisseur relative,faible,
d'une aile. Par definition meme, le probleme lineaire associe s'obtient formellement de (12,1) - (12,3) une fois qu'est donneeune solution U de base de ce o
probleme. On a alors :
199
U = Uo + a U' + ...
(12,4)
et U est supposee etre une solution particuliere, simple, du probleme (12,1)o
(12,3) valable a l'interieur d'un domaine n de frontiere f o
L'equation (12,5 )
L'(U0' U') = 0
0
,
U' , constitue l'equation linearisee pour U'.
lineaire et homogene en
A
cette equation linearisee (12,5),il faut associer les conditions aux limites linearisees suivantes : (12,6)
f f'·e:) = 0 , 0' U' '0"
C'(U
qui decoulent de (12,2) et oli
f' = lim
f-f
a-+O
a
o ).
On notera que dans certains cas,on a (12,71 avec
E
E
a
E
a
= 0(1) et a > 0 un reel qui reste a determiner au mieux; dans ces cas
la, naturellement, a la place de
E, dans (12,6), apparattra E, qui est un
parametre de similitude, et l'equation linearisee (12,5) devra etre compatible avec un bon choix de l'exposant a . Enfin, a (12,5) et (12,6) nous devons imposer aussi (12,8) si nous admettons que U satisfait a (12,3). o
La solution du probleme dans
no
linea~ise
(12,5), (12,6), (12,8) est recherchee
de frontiere f ; cette solution doit-etre uniformement valable relati0
vement a t et ; dans tout....,n0
..,;.,;==:....;~:....;::..;:...;,;,....;;:=::....;;.;;;.::.;;
Malheureusement, on n'est pas toujours assure que Uo + a U' definit, uniformement dans n , l' approximation lineaire de la solution exacte U pour a infiniment petit.
o
Bien souvent, la solution du probleme linearise ne represente pas le premier terme en a du developpement asymptotique de U uniformement valable dans tout le domaine d'ecoulement
no
considere.
200
Pour que la linearisation reste valable.il faut que le terme a U' (la perturbation) soit le terme
d'ordre un d'un developpement asymptotique
regulier de U • valable uniformement dans tout le domaine espace-temps n ; c'est-a-dire que a
o
soit un parametre petit de perturbation reguliere ayant
dans no des effets petits partout. Si cela n'est pas le cas. alors il y a certainement une singularite dans no : soit au voisinage de t =
o.
soit au voisinage d'une partie de f ' o soit au voisinage de l'infini. lorsque le domaine d'espace considere est
l'exterieur d'un obstacle de dimensions finies autour duquel l'ecoulement est considere; ce sont les cas les plus usuels. mais il peut apparattre une singularite au voisinage de certaines surfaces E ' particulieres. contenues S dans n . o
S"il
Y a une region singuliere. alors pour obtenir une solution
uniformement valable dans no' il faut considerer pour cette region singuliere un developpement asymptotique local. lie a un passage a la limite locale. en introduisant au prealable des variables locales adaptees a cette region singuliere.
12,2. LE CAS VE L'ECOULEMENT EULERIEN STATIONNAIRE (Re _ V'UNE AILE VE FAIBLE EPAISSEUR
00
ET S _ 0) AUTOUR
1. Considerons donc le cas de l'ecoulement stationnaire (S
=0)
de
fluide parfait en evolution adiabatique autour d'une aile de faible epaisseur dont la forme en plan est confondue avec une plaque de dimension caracteristique L o
(12.9a)
Les equations adimensionnelles de depart sont u
d 'a~ ...£Q...+p",~=o. D
j 'ax. J
o •
( 12.9b)
(12.9c) ( 12.9d)
j.k
u.
E!- - .r.::l 1. u . .EL =
J dx. J
y P
p
J dx. J
pT.
0
1. 2. 3;
i = 1. 2. 3;
201
ou les ui sont les camposantes de la vitesse, p, P et T respectivement la pression, la masse vOlumique et la temperature ausolue. Le nombre de Mach est note (12,10)
a l'infini (amont) parallele a l'axe OX 1 > 0, Y = Cp/Cv (le fluide est assimile a un gaz parfait a chaleurs specifiques Cp et Cv constantes), R = Cp - Cv et Too = Const, la temperature absolue dans OU Uoo = Const. est la vitesse
l'ecoulement uniforme amont de vitesse Uoo ' Dans notre cas, ici, l'ecoulement de base (la solution U , au niveau de (12,4)) estlll) : 0 1 , u
-
U =>
( 12,11)
0
{::o. Po
T
0
u
20
30 -
0,
- 1
L'aile est definie geometriquement par l'equation (adimensionnelle) x
(12,12) (12,13)
E:
3
+ g- (x"
E:
h0 =- « 1 L
x 2 ),
(x"
x 2 ) € Ao '
,
0
OU h
o
est l'epaisseur (dimensionnelle) de l'aile supposee de faible epaisseur
devant la largeur (la corde) de l'aile, tandis que A est une aire finie du plan x
= 0,
o
de diametre caracteristique de l'ordre de l'unite - on dit que
3 c'est la forme en plan de l'aile.
Dans notre cas,le domaine n
de :ffi3(~) est tout l' espace exterieur
a
l'aile et fest constitue des surfaces extrados (g+) et intrados (g-) de l'aile et aussi d'une surface non materielle situee est lui, constitue par tout l'espace exterieur
a la
a l'infini.
Le domaine no
plaque finie Ao ' tandis + que f est A et A ' les deux races de Ao,et la surface non materielle a o o o l'infini OU l'ecoulement est uniforme (cinematiquement et thermodynamiquement). D'apres la theorie lineaire,les ronctions inconnues,qui caracterisent l'ecoulement perturbe par l'aile de raible epaisseur. doivent etre definies dans tout l'espace:ffi3(~) entaille par la coupure faite par la plaque plane 1II) Nous travaillons avec des grandeurs adimensionnelles en prenant comme grandeurs de references : Uoo ' Pm' Pm et Too, qui sont les valeurs constantes prises par la vitesse, p, P et T dans l'ecoulement uniforme de base a l'infini amont.
202
solide et
~ixe
parfait, il nous
A situee dans Ie plan x o
~aut
3 ecrire sur les deux
= O. De plus, en theorie de ~luide + de cette coupure, A- , la
~aces
condition de glissement linearisee. La condition
o
~
de glissement sur
I' aile, d' equation (]2, 12). etant (12,14)
0, sur x
3
=£
+
g- (xl' x 2 )·
2. La solution des equations (]2,9) est done recherchee sous la forme suivante u] = + u2 = o + u o+
(12,15 )
lineaire suivant,
a la
u' +
v' +
£
w' +
= 1+£7T
+
p
=
+
£ W
+
T
=
+
£
e
+
p
Pour u', v', w',
3
£
£
7T, wet e, nous obtenons aisement
lll
)
Ie systeme
place des equations (12,9),
yM2
~+~= 0 ; ax] ax]
y~
av' + a7T = 0 aX2 ax]
y~
-aw' - + -d7T- = 0 ax] aX 3
00
(]2, ]6)
7T=W+e _) Considerons, par exemple, l'equation (]2,9a) :
(]+£u'+",)(£~ + ... )+(£v'+",)(£~ +
... ) +(EW'+ ... )(£
] 2 dV' tlw' + (H£w+ ... )(£ Pu' +'''+£dx + ... +£lh-_ +... ) = 0 , puis
ax--]
2
R!lL + •.• ) X
a3
-~~j
+ au' + ~ + ow' )+£2 {u'~ + v' dW + w' ~ + Wfdu' + /)V' + ~]+ ... } oX 1 oX2 oX3 dx] Ox 2 dx dx] dx 2 oX3 3 + •• , = 0 , et apres avoir divise par £ et fait tendre £ + 0 il reste bien la premiere des equations linearisees (12,16). £
(dW
ax]
203
Le systeme (12,16) est le systeme lineaire associe au systeme exact (12,9), relativement
a l'ecoulement
de base (12,11).
A partir de (12,16),nous pouvons former une seule equation aux derivees partielles du second ordre pour TI • En effet, des trois equations contenant y
~ on obtient, par derivation
ou
_ a2 6. = --2 + aX l
a2 2 aX2
+
a2 2 . Puis, grace aX3
a la
premiere des equations (12,16),
on peut ecrire que
Mais les deux dernieres equations de (12,16) conduisent aTI
aX
-
l
aw
aX
.1!!:...
(1 _ .1.)
Y"Ox
-
1
a
0,
l
aw 1 aTI ~ = y aX
ou encore :
1
Ainsi, on constate que l'on a l'equation suivante en TI 2
(12,17)
(1 -
M~) a ~ aX 1
+
2
a~ Ox
+
2
2
a~ aX3
= 0 •
Lorsque ~ < 1,cette equation (12,17) est de type elliptique (ecoulement subsonique), tandis que lorsque ~ > 1, elle est de type hyperbolique (ecoulement supersonique). 11 nous faut maintenant lineariser aussi la condition de glissement
( 12, 14) le long de l' aile donnee par (12,12). D' apres (12,15), on a : +
+
e: {[l + e: u' (xl' x ' e: g-) + ••• J 2 +[e: v' (xl' x ' e: 2
+ •••
O.
/)
+
+ ••• J
ag- } aX2
2L aX 1
- e: w'(x , x ' e: 2 1
+ g-)
204
Ou encore, en effectuant un developpement taylorien de u', v' et w' a £ g±
relativement
+ ... J
± ~ aX + 1
En divisant par
[£ v'(x , x ' 0)
£
1
2
et en faisant tendre
£ +
0, on trouve la condition
linearisee suivante : (12,18) On notera que (12,18) est la consequence directe du bon choix de la sequence (en puissances de £ ) dans (12,15), etant donne que £ directement au niveau de (12,14). Cette condition (12,18), grace
a la
intervient
quatrieme des equations (12,16),
peut encore s'ecrire sous la forme suivante
- y
(12,19)
II00
e Ao Ainsi,
a l'equation
lineaire (12,17), il faut associer la condition
de glissement linearisee (12,19). Naturellement, il faut encore imposer des conditions de comportement de la solution lineaire de (12,17) au loin. En particulier, on ecrira que:
~" = ~ ax,
( 12,20) Les conditions complexes et sont liees
+
0 , 1 orsque xl +
a l'aval (lorsque a la valeur de
Xl
+
- 00.
+ 00) sont en general plus
Moo' plus petit ou plus grand que un.
205
3. Precisons, maintenant, que la linearisation effectuee ci-dessus tombe en defaut lorsque Moo ~ 1 (cas transsonique) et Moo »10as hypersonique) et il est alors necessaire d'efSectuer une analyse asymototique avec deux petits .... parametFes lorsque lIon
•
"
s'~nteresse
au cas des
•
•
lIE)
prof~ls m~nces
.
II s'avere que les developpements (12,15), selon les puissances de E, ne sont pas valables au voisinage du bord de l'aile (l'extrados et l'intrados se raccordent Ie long d'une courbe dA bord de l'aile).
o qui renferme l'aire Ao et qui est Ie
Cela est la consequence directe du fait que la partie dAa qui o
correspond au bord d'attaque de l'aile (c'est la partie tournee vers l'ecoulement de base venant de l'infini amont) est en general arrondie. Pour modeliser l' ecoulement au voisinage du bord d' attaque de I' aile, lorsque
E+
0, il
faut, tout d'abord, rechercher une nouvelle formulation adimensionnelle du probleme exact de depart, dite locale, qui soit bien adaptee a cette region du bord d'attaque arrondi. A cette fin,il faut ecrire l'equation du bord d'attaque arrondi de l'aile avec des variables locales curvilignes nouvelles variables locales "distordues" : avec
€=
(a,~,n),
O(~E)
puis introduire des
et n = OCE)
OU 0 (E)+ 0,
E+ 0 . Dans les variables
~,n
Ie bord dlattaque est alors forme de deux arcs
de parabole et Ie probleme local revient a la recherche dlun ecoulement de fluide parfait plan compressible (en evolution adiabatique) autour de cette parabole, ayant un "bon" comportement aI' infini, lorsque En
fait~~),
I
g2 +
~2 ~
00
•
ce probleme etant de la classe de ceux qui peuvent etre
resolus par la MDAB, les conditions aux limites, qulil faut imposer a l'infini pour resoudre Ie probleme local, sont donnees par les conditions de raccord avec la solution lineaire, reecrite dans les variables locales curvilignes (a,~,n)
lorsque
~
et n tendent vers zero (c'est-a-dire vers Ie bord d'attaque
arrondi). Chemin faisant,on constate que cette solution lineaire, dite exterieure, nlest pas valable dans un voisinage du bord d'attaque de l'ordre de O(E) E2 , ce qui precise la distorsion de ~ et n
=
lIE) La trace de l'aile de faible epaisseur, dans un plan 0, x j x
donne un 3 profil mince; l'aile etant supposfe alors d'envergure tres grande.
a ce sujet consulter la Note Technique ONERA nO 1976-16, d' Octobre 1976, de J. S. Darrozes.
lIElIE) On pourra
206
Tout ce qui vient d'etre dit concerne le cas subsonique, lorsque < 1; toute solution deduite du formalisme classique de la theorie linearisee (solution dite t1exterieure tl ) se raccordant alors avec la solution locale (dite
~
aussi t1interieuretl) valable dans un voisinage 0(£2) du bord d'attaque arrondi et la recherche d'une approximation uniformement valable releve bien de la MDAR.
4. En fait, le probleme etudie ici contient deux petits parametres lorsque l'on considere les ecoulements faiblement compressibles autour de l'aile de faible epaisseur : £ , l'epaisseur relative de l'aile et Moo' la valeur du nombre de Mach
a l' infini
amont.
On peut alors effectuer, dans la theorie lineaire obtenue des developpements lorsque
~ =~ +
1 et cette
au niveau du probleme de depart exact, au passage (12,21)
Moo
fa~on
a la
fixe; £+0 , puis Moo +
plus haut,
de proceder correspond,
limite:
0 •
Dans le cas stationnaire considere, ici, le parametre
£
est un petit
parametre de perturbation singuliere vis-a.-vis des variables d'espace lorsque l'on tend vers un point du bord d'attaque arrondi de l'aile, mais c'est un parametre de perturbation reguliere pour la valeur zero de Moo
(cas incompressib10
considereecomme une variable particuliere. En d'autres termes, que l'on soit dans la region locale, du bord d'attaque arrondi de l'aile, ou la region exterieure a. ce bord d'attaque, la limite de la solution correspondante lorsque Moo € [0, M:] , avec M:
fixees des variables d'espace, £ +
0 et Moo + 0
(12,22)
£ +
0 est uniforme vis-a.-vis de
< 1. Par consequent, il est possible pour des valeurs
d'intervertir l'ordre des passages a. la limite
et d'adopter le nouveau processus limite : £
fixe; Moo
+
0, puis
£ +
0 •
Vu sous cet aspect, le probleme revient en premiere approximation, pour Moo = 0, a. l'etude des ecoulements incompressibles autour d'ailes de faible epaisseur. 11 existe neanmoins une expression approchee de la solution,lorsque £
et Moo tendent simultanement vers zero de telle
fa~on
que
207 (12,23) avec Moo fixe pond
a faire
de l'ordre de un. La description intermediaire (12,23) correstendre simultanement vers zero les deux petits parametres
Moo de sorte que la correction due de
a l'effet
~
en ecoulement
et
d'epaisseur (qui est de l'ordre
£) soit du meme ordre que la correction due
(qui est d'ordre
£
a la
faible compressibilite
stationnair~·) •
La relation de similitude (12,23) permet de retenir le maximum de termes dans le modele approche issu dumodele exact sous le passage
a la
limite (12,23) (principe dit "de moindre degenerescence U). 5. Une premiere conclusion importante se degage qui vient d'etre dit
a cette
a la
lumiere de ce
section 12,2 :
" toute solution deduite du formalisme classique de la linearisation doit etre consideree, en toute generalite, comme une solution principale valable uniquement dans un certain domaine de l'espace-temps; il faut de ce fait,la raccorder avec une solution locale valable dans la region singuliere ou cette solution linearisee principale tombe en defaut - en d'autres termes, il faut savoir inserer la solution principale linearisee dans une hierarchie de solutions qui releve de la MDAR " . En verite il peut arriver, pour certains problemes, que le comportement de la solution locale (valable dans la region singuliere)
~
la solution prin-
cipale, correspondant au probleme linearise, n'existe pas et dans ce cas il n'y a pas de possibilite de raccord entre ces deux solutions - il faut alors faire appel
a la MEM.
12,3. LINEARISATI0N
ET
MOVELISATI0N ASYMPTOTIQUE
Au vu de ce qui a ete dit et fait apparaitre
a la
section 12,4 il pourrait
qu'une fois que l'on a un petit parametre, a , dans le probleme
d'ecoulement considere, on recherche necessairement une solution linearisee du probleme, voisine d'une solution U simple connue. En fait, il n'en est o rien et le plus souvent, a l'heure actuelle, les efforts sont plut6t portes .) La theorie des ecoulements stationnaires faiblement compressibles, correspondant a S == 0 et Re == 00, est due initialement a Rayleigh et Janzen et on pourra a ce sujet consulter le travail de I~i (dans: Tech. Note BN-95, march 1957, University of Maryland. The Inst. for Fluid Dynamics and Applied Maths.-)-.-
208
vers la recherche du ''modele'' qui permet d'obtenir U , au niveau du developpement (12,4), lorsque
o
O. C'est-a-dire que l'on recherche la forme limite
~ +
du probleme exact (12,1)-(12,3) a partir d'un passage a la limite principale: {~
(12,24)
+
0,
at
et ~ fixes} .
Bien souvent, il arrive que la solution approchee
Ii (t,i) = LimP U(t,i;~),
(12,25)
~+O
o
correspondant
a cette
forme limite, n'est pas une approximation uniformement
valable de U dans Ie domaine
~'t,
de JR4 (t ,i), d I ecoulement. C I est souvent Ie
cas en aerodynamique et on dit alors que l'on a affaire
a un
probleme de
perturbations singulieres. Ainsi, plutot que de parler de linearisation, on parlera de modelisation asymptotique; cela veut dire que l'on n'aura pas en vue necessairement la recherche explicite (analytique) de U ' comme cela etait necessaire pour o effectuer la linearisation. De telle sorte que l'effort sera porte, principalement, sur la mise en evidence consistante de modeles rationnels, obtenus
a
partir de passages a la limite du probleme exact de depart. Les regions singulieres sont, en general, des voisinages de l'instant
initial, de parois solides delimitant l'ecoulement ou encore de l'infini.
° est singulier (du fait,
Par exemple, si Ie voisinage de t =
en
particulier, de la perte de derivees partielles en t dans Ie modele approche, principal, dont la solution est Ii
o
= LimP U) alors il faut considerer, ~
a la
place de (12,24), un passage a la limite locale (12,26)
it
Lim
={a + 0,
at
~
=
~+O
avec p >
, i fixes} ,
~
° un scalaire reel a determiner, de telle
local, valable pres de t
=0
fa~on
que Ie modele approche
et issu du modele exact sous Ie passage
limite locale (12,26), soit Ie plus significatif possible. Soit maintenant ( 12,27)
i = Lim t U ~+O
t
t = ~P
a la
209
la solution du modele approche local (a ce modele local nous pouvons associer, en t
0, toutes les conditions initiales imposees au modele exact de depart
a la
en t o ) , issu du modele exact par le passage A
limite local (12,26).
Il peut arriver deux cas : A-+-
(I) Lim U (t ,x) existe et alors, "bien souvent", on peut appliquer la condition
t->oo
0
---
de raccord, simplifiee, suivante (12,28)
Lim t+O A
(II) Lim U
t--
-+-
Ct ,x)
A
-+-
uo (oo,x)
n I existe pas, dans un sens "large", c I est-a.-dire que cette
0
limite peut, en particulier, ne tendre vers aucune valeur bien definie (comportement oscillatoire, par exemple) et alors il n'Y a pas de possibilite de raccord avec la limite de
Uo (t,~),lorsque
t
-+-
0.
Ainsi, on constate que lIon est en presence de deux grands types de problemes de perturbations singulieres : a) celui dit de type "couche limite" qui correspond au cas (I), ci-dessus, et qui conduit tres souvent a. ecrire la condition de raccord (12,28); b) celui dit de type "cumulatif" ou "seculaire" qui correspond au cas (II), ci-dessus. La methode la plus indiquee pour traiter les problemes de type cumulatif ou seculaire est la MEM, tandis que la MOAR est adequate pour resoudre les problemes singuliers de type couche limite, car elle prend directement en compte le fait que les solutions approchees, principale U et 0
A
locale U ' representant la solution exacte, U ,dans des sous-domaines de ~'t de o E4(t,~), ou est considere l'ecoulement, ne font intervenir que l'une des variables: soit lente (dans notre cas t), soit rapide (c'est-a.-dire t), qui apparaissent de
fa~on
essentielle dans la formulation meme du probleme exact
de depart. Insistons sur le fait que ces methodes de perturbations singuliere s ne suffisent pas pour obtenir un resultat d'approximation rigoureusement etabli (au sens des mathematiques pures). Ce sont ~iquement des methodes fondamentalement heuristiques de construction d'approximations asymptotiques uniformement valables. L'etude de ces methodes consiste
a preciser
les regles
de coherence interne sur lesquelles on peut s'appuyer dans les applications
210
et,plus ces regles sont le
~ormul~es
r~sultat convenable*). A l'heure actuelle, grace
avec soin plus on a de
a l'exp~rience
chances d'obtenir
acquise depuis les premiers
travaux de Kaplun et LagerstrOm de 1'i/54, on peut avec une grande faire appel qui se
a ces
pr~sentent
1II) On pourra
m~thodes
s~curit~
pour attaquer des problemes nouveaux et difficiles
dans divers domaines de la
m~canique
des fluides.
a. ce sujet consulter le livre de Eckhaus : "Asymptotic Analysis
of singular perturbations". che z North-Holland ed. Amsterd.aJn, 1979.
LA MDAR 13,1. VEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQ.UES Soit un systeme d'equations aux derivees partielles, note (13,1)
L (U;£)
=0
,
relativement aux grandeurs representees en abrege par U et ou intervient un petit parametre E « ,. Formons Ie developpement formel (13,2)
U = U + E U, + o
E
2
U + .,. 2
et dans ce cas on a (13,3)
On dit que la suite de systemes L (U ) o 0
=0
. '
L1 (U o 'U 1 ) = 0
(13,4)
L2 (U o 'U 1,U2 ) =
0
est la hierarchie de systemes obtenue par substitution formelle de (13,2) dans Ie systeme de depart (13,1). On parle alors de systemes de rang zero, rang un, rang deux, .•• On dit aussi que ( 13,2 ) de U
~
est Ie terme de rang k dans Ie developpement
" et que Ie developpement en
Ie developpement
a
I' ordre k •
- .tronque - - " au terme Ekes k U t
quest~on
212
Un developpement tel que (j3,2), dans lequel il est sous entendu que les termes successifs Uk ne dependent pas du petit parametre £ regulier. Ceci par opposition ou £
a d'autres
est dit
developpements de forme plus generale
intervient aussi dans les Uk et qui sont aits singuliers. Le developpement (13,2) de U est un developpement en puissances
entieres de £ ; cependant dans les applications il est souvent necessaire de manipuler des developpements reguliers plUS generaux (13,5)
U
avec la propriete
(13,6)
-+-
0 , avec
£ -+-
0 .
Dans ce cas,les V (£) sont appelees des fonctions de jauge. k Pour ne pas alourdir l'expose qui suit,nous supposons maintenant que la solution recherchee est notee U (x;£),ou x designe l'ensemble des variables et
£«
1; dans x il peut y avoir des parametres (consideres ici comme fixes)
mais aussi des variables independantes parcourant un domaine. Une methode tres souple consiste
a rechercher
une approximation de
la forme
N-1
L on (E)
n=O
U (x;£), n
ou les 0 (£) constituent une sequence asymptotique caracterisee par n
(13,8)
{
0
n
Lim £+0
(E) > 0, pour 0 < £ < £
°n+1 (£) ° n (£)
=0
0
,
ce que l'on ecrit encore ( 13,9)
w) Cela veut dire que 0n+1 est un petit zero de on' en ce sens que
Lim £+0
°n+1 (£)
on (El = o.
213
On dit que
u(N)(~;E),
un developpement aaymptotique
II .II ,
l' on
a:
donne par la
a
IIU(-x;d -
(13,10)
~ormule
(33,7), repreaente
N termes de tI si, selon une certaine norme
U(N) (x;d
II
< 0
N-1
(d
Une fois de plus le developpement asymptotique (13,7) est dit regulier si les Un ne dependent pas de E et un developpement non regulier est dit singulier. 11 est important de noter qu'un developpement asymptotique n'a
reellement de sens que comme developpement limite car le plus souvent,le developpement
a un
formelilli~te
nombre fini de termes,
ne sera pas convergent.
Cependant,certaines procedures permettent quelque fois de tirer profit d'un grand nombre de termes dans le developpement asymptotique et donnent la possibilite de retrouver des resultats tres precis·).
J 3,2. RACCORVS. QUELQUES EXEMPLES Soit, maintenant, de faqon quelque peu precise, U (X;E) definie pour
o<
x < X
o
et 0 < E < Eo, representee par deux developpements asymptotiques : n
L op (d
U
(13,11)
p=O
lip (x) + 0(On+3)·1Il)
= E U + O( 0n+3) ; n m
L
U
(13,12)
q=O I
etant entendu que cS p+ J«
10.
A
x
Yq(E) Uq()JE) ) + 0(Y m+1)
U + 0(Y1O.+3) ,
°, P
1Il) On pourra a ce sujet consulter l'article de M. Van Dyke dans les : Lectures Notes in physics, vol. 594, pages 506-517, Springer-Verlag, Heidelberg, 1977. lHl) 0 (0 1) veut dire grand zero de 0 ] et c' est -une grandeur qui est du meme n+ 1:• n+ ordre que u n+1 llll-meme. A
214
On dit que les deux developpements (13,11) et (13,12) sont raccordes
a.
l' ordre
].l
= Jl (e:) s 'il existe une liJnite intermediaire
Lim = { e: + 0 , avec ~ = ;( e:) fixe } ,
( 13 , 13 )
n
avec A«n (e:) «1 ,
et une jauge
].l
(e:) telle que E U - I U Lim { -=n_ _-=m:..-_}
(13,14)
n
1. A titre pour la fonction y
d'exempl~ considerons
=y
o.
le probleme aux limites suivant,
(x;e:), e: {
.9:22 + .2l. = dx
dx
y(O;e:)
= a,
( 13, 15)
y(1;e:)
= b,
avec a et b deux reels donnes. La solution de (13,15) est simple x
(13,16)
=x
y(x;e:)
+ a +
b - a -
-1/
1
(1 _ e
e:
:= Yex
e:
1-e
Comme
(1 - e
1 1 2 + ~ + (~) + ... , e e
e: )-1
de la solution exacte (13,16) on construit, lorsque e: «
1, une approximation
de la forme : (13,17)
et lIon a
y
(N)
ell: ;e:)
N-1 ';' f..
n=O
1 n -rilE)
e
( Yn x;e:)
215
YO ( X;E )
(13,18) {
Y (X;E) 1
=
b - :l - x + (a - 0 + 1) e
= (b
,
X
- a - 1) (1 _ e- / E ) ,
-----
~------
N/
et l' erreur commise est alors O( e~
_X/E
•
\I
£), qui est enormement petit, meme pour N
tres grand. Mais supposons que la solution exacte (13,16) du probleme (13,15)
ne soit pas connue et cherchons a priori un developpement de y (lorsque
0.
SOliS
la forme
« 1) :
(13,19) Par sUbstitution, dans l'equation du probleme (13,15), on trouve
aYo ax=
(13,20)
yo (x)
1 =>
= (X + x 0
et on ne peut pas choisir la constante (Xo de maniere a satisfaire aux deux conditions a la limite du probleme (13,15). C'est la le signe qu'il faut essayer de representer la solution du probleme (13,15), lorsque 0
~
x,
1,
par, au moins,deux developpements asymptotiques raccordes. Posons donc : X -
Y(X;E~
(13,21) {
ou x
o
x = A (E) X,
= Y(xo
+
A(E) X;E) - y(x;E) ,
A(E) « 1,
est un point de [0,1] pour l'instant inconnu et la transformation (13,21)
est introduite afin d'etudier le voisinage d'ordre A (E) de ce point,ou
x
reste de l'ordre de un. Avec (13,21) (13,22)
y verifie
l'equation
2 il4?' ~ + :::>L = A (E) 2 5.(E) dX dX A
0.
et le principe
A (E) ==
0.,
qui permet de garder au niveau de l'equation (13,22) le plus de termes possibles.
216
Avec (13,23) essayons le developpement asymptotique local, valable dans un voisinage
E de xo'
on trouve d2
rl~ ~o
A
~ a.x2
(13,25)
-- + --
Il Y a trois cas la solution
yo (x)
di
=0
a considerer
y
=>
0
(x)
= y0
+ (3
~
0
e.
pour raccorder la solution
:
yo (x)
avec
1, il faut alors appliquer la regle de raccord·)
y (-00) = o
y0 (1-0)
ce qui ne peut manifestement pas avoir lieu (d'apres (13,25)). (II) 0 < x
o
< 1, il faut que
y (+ 00) o -
= y(x
0
+_ 0)
ce qui est aussi impossible au vu de la solution locale (13,25); (III) x
= 0, c'est le bon cas et dans ce cas en toute generalite, d'apres o (13,14), il faut ecrire que (a l'ordre zero, avec P (E) 1 et A (E) E)
lorsque
=
E «
n « 1, x
raccord simplifiee
= n xn o =
(13,26)
et x
yeO) -
n
fixe; on retrouve alors la condition de
y(oo) => ex
o
= y
.) Une regle de raccord simplifiee est (lorsque Lim i-+-oo
y(x) = Lim
x:+ 1-0
y(x).
=
0
~o
1)
217
La representation de y par Yo (a l'ordre zero) est done valable partout dans (0,1]
sauf au voisinage de x = 0, tandis que celle par
if 0
est,
elle,valable uniquement au voisinage de x = 0 . Nous pouvons done appliquer trouvons
a yo
la condition en x = 0 et nous
( 13,27)
tandis que l'application
a Yo
de la condition en x = 1 donne
( 13,28)
a la
Les deux conditions
limite (13,27) et (13,28) jointes
a la
condition de rae cord (13,26) determinent CLo,e o et Yo et on trouve que:
(13,29 )
=Y (x) = a
Io Y
0
+ (b - a - 1) (1 - e
-x ),
x=~
avec
e:
Si maintenant on fait la somme des developpements exterieur et interieur, de laquelle on a soustrait la partie commune ments., on trouve un developpement compos i te ( 13,30)
b -
qui s'identifie avec le
a l' ordre
a ces
deux developpe-
zero
1 + x + (a - b + 1)
(x;e:) de (13,18), ce qui montre que le developpement -1/e: composite (13,30) est valable avec une erreur qui est O(e ). Sur les y
o
figures ci-dessous,on trouvera les graphes des diverses representations de la solution du probleme (13,15).
b 'F------7I'
b r----y
b-i
b-~
a.. o
1
o
f-----1
1
x
o
218
x
o
2. Considerons maintenant Ie probleme. aux valeurs initiales suivant trouver la fonction f(X;8) solution de 8
2
.u2 + dx
df + f = O.
x > 0
dx
( 13.31)
1 = dfl dx x=O
f(0;8) = 0
lei. encore. on connait la solution qui est: f(x;8) = (1 - 48)
(13 .32) -( 1-48)
_ 1.
~
2 exp [
-1/2
[
exp
1
28( 1 - .11=1+£)
_.1.-( 1 28
+ .11=1+£) x
dont une approximation est (lorsque 8« 1) :
£o (X;8)
( 13.33)
= e-x _ e-X/ 8
et on peut verifier que
1£-£ I <.M
sup
O<x<.x
o
0
0
8 • .M o
Const.
]
=f ex •
219
Revenons
a la
solution e.xacte (j3.32) et, apres avoir 1'i-xe x,
effectuons un developpement en appliquant une technique de passage
a la
limite repetee; noUs obtenons : f(x;£) = f (x) + £ .f1 (x) + 0(£2), 0
(13,34) avec
{
(13,35)
f 0 (x) = e -x
.................
Faisons ensuite x
passage
a la
(13,36)
= £:X
x et
et tixons
appliquons une technique de
limite repetee; nous obtenons alors
f 0 (~)
t(x;E) =
avec
f 0 (x)
( 13,37)
-x
f 1 (x) = (2-x) e
- e
~l(x) = 2 (1
.............
+ £
f 1(x)
+ 0(£2),
-x
-
Un peu de reflexion montre que
e
-x
) - x (1 + e
-i
)
Ie developpement (13,34) est valable
uniquement pour xl ~ x ~ xo' avec xl > 0, tandis que Ie developpement (13,36) reste valable pour 0 , x , £
X. .
On constate aussi que f (x;£) de1'inie par (13,33) n'est autre que o
(13 ,38)
~ x ~ f (x·£) = f (x) + t (-) - t (00) 0' 0 o£ 0
=f c 0
et de plus
(13,39)
l' (00)
o
= f 0 (0)
;
f'c est une representation composite a 1 'ordre zero de t , uniformement valable o ex en x • Voyons comment se deduit la condition de raccord simplifiee (13,39), de la regIe de raccord plus generale (j3,14). On a :
220
LimP f"
-=
Lim f" = f ex) e:-+Q 0 xfue
Lim! f
-=
Lim f = e:-+Q
(13,40)
puis de meme
{
(13,41)
f-f 0 LimP ( -e:Lim! (
f-f 0_ __
e:
r
(~)
0
,
= f (x) 1
)=f (X) 1
et on constate que les deux developpements (13,34) et (13,36) sont engendres par des passages
a la
limite differents.
Introduisons maintenant la variable intermediaire ( 13,42) et definissons la limite inter.mediaire Lim
==
n
Lim e:+0. ,
Xn
fue
On peut verifier que Lim (f-f ) = Lim (f-f ) o
n
Lim
et de ce fait
n
o
n
(f-o - f 0 )
o ,
o .
Mais Lim (f - f ) = Lim
n
0
0
{ ; (~ x ) - f (n x-)} oe:
e:~
n.
0
![
xrfixe
-=
( 13,43) puis que
f
o
(00) -
f0 (0) '
n/e: » 1• Ainsi (13,39) s'identifie avec le resultat que l'on obtiendrait de
(13,14) lorsque A (e:)::: e: et Jl (e:).=
1.
221
3. Precisons que le developpement asymptotique (J3.J1) est dit exterieur. tandis que le deyeloppement asymptotique (]3.12) est dit interieur. Une regle de raccord. dite "de Van Dyke" s'enonce ainsi : " le deyeloppement interieur jusqu'a O(Oq) du deyeloppement exterieur jusqu'a _ _ _ _0(0 _ m ) est egal au developpement exterieur jusqu'a 0(0111 ) du deYeloppement interieur jusqu'a O(Oq)
fl.
les jauges etant les lIlemes dans les deux developpements (y .= 0 ) et les deux n
n
membres de l'egalite etant exprDmes avec les 1IIeme variables (soit x. soit i
= A(~)
). afin de pouvoir ecrire l'identite. Enfin. les nombres entiers
q et m ne sont pas necessairement egaux entre eux. Considerons. pour illustrer cette regle de raccord "a la Van Dyke" le probleme suivant : d2 + £ .9:..L (1 + £2) ~ + (1 - £2 ) y 2 dx
= 0,
O<x < 1 ,
(13,44)
y(O)
=a
• y( 1)
=~ ,
£ «
1
On trouve. tout d'abord, un developpement exterieur (£ ....
0, a
x fixe) de la forme Y
(13,45)
= B e ]-x
+ £ B (j-x) e
1-x
puis ensuite, apres ayoir introduit la variable locale interieur (£ .... 0, a
x
fixe) suivant
+ ••••
x = ~£
(a-b) o
(13.46) ou les constantes b
o (13,45) avec (13.46).
et b
1
x + b ie-x} + 0
doivent etre determinees a partir du raccord de
D'apres la regle de Van Dyke : (I) developpement exterieur
, le developpement
a.
deux termes
B e 1- x + £ B( ]-x) e J - x
... ,
222
reecrit en variable interieure..x ::; ~ Be
J-e:i
E
+E6(] -EX) e
J-e:i
developpement pour E-+-O
+ E B e( 1 - E x) (] - E X + •.• )
a deux
developpement interieur
termes
Be+EBe(1-x) , (II) developpement interieur
a deux
reecrit en variable exterieure x::; a - b
+ b
+ b: e-
o
o
.! e-X / E E
X
/
E
termes
E
X
+ E {- b, + b,
eX/ E -
(a - bo)
~
};
developpement pour E-+-O (a - bo) (, - x) - E b] + termes exponentiellement petits;
developpement exterieur
a deux
termes
(III) en egalisant le resultat de (I) avec le resultat de (II) et en exprimant les deux membres avec la .meme variable x, on trouve que
ou encore termes EO
-+-
Be-
Be x ::; (a-b o ) - (a-b 0 ) x •
En definitive Be •
223
Pour cet exemple,le developpement x
e
~iformement
valable,quelque soit
[0,1] , ou encore developpement composite,est e
l-x
( 13,48)
et c'est le resultat de la samme des developpements exterieur et interieur de laquelle on soustrait la partie commune
a ces
deux developpements.
4. Une autre regle de raccord "hybride" s 'avere efficace dans de nombreuses applications
a la mecanique
des fluides.
Raisonnons sur une fonction f(x;£), sOlution d'une equation differentielle ordinaire,avec un petit parametre £ «1
venant se placer devant
la derivee de plus haut degre. De ce fait, on peut supposer qu
au voisinage
de x = O,il existe une singularite de telle faqon que l'on est oblige d'introduire la variable locale
ax
Ainsi, lorsque £ .. 0
fixe, nous avons un developpement exterieur
(13,49) et lorsque £ .. 0
a x fixe,
un developpement interieur
f(x;£)
(13,50)
11 est clair que si la MDAR est applicable, alors les valeurs limites fo(~)' f1(~)' f2(~)' '" existent et sont bien dei'inies. D'autre part, on suppose que le developpement exterieur de f(x;£), (J4,49), reste valable au voisinage de x
=0
de telle fa~on que l'on puisse effectuer un developpement
taylorien
2
+L?,,(O)+ ... f(x;£l =fo (0) +x~'(O) 0 21 0 +
£
fJ(O) +
£ x
+ £ 2 -f ( 0) + .•• 2
f,(O) + •••
224
Dans ce cas, la regIe de raccord "hybride u s' exprime par I I egalite suivante, en tirant pro.fit de x =
f o (0) + (13,51)
+
2 £
£
A2
{~
£
{x
x,
f'(O) + f:l(O)} 0
f~(O) +
x fj(O)
+
f 2 (0)}
Ainsi, on constate que l'on a les conditions de raccords
f (13,52)
i
o
(0) =
f 0 (00)
f~(O) +
f 1(0)
En particulier, en appliquant (13,51) au probleme (13,44) avec (13,45) et (13,46), on trouve la relation:
ou encore Be
=a
- b
o
et
- b 1 = Be,
c'est-a-dire que l'on retrouve automatiquement (13,47).
LA MEM
14,1. LES FAILLES OE LA WAR ET LA MEM
Si l'on a bien compris l'expose du § 13, sur la MDAR, on doit etre conscient
~ue
cette methode n'est pas toujours applicable et
~ue
certains
problemes de perturbation singuliere peuvent ne pas etre resolus au moyen de la MDAR. Pour illustrer ce typi~ue
sur
le~uel
~ui
vient d'etre dit,nous donnons un exemple
nous verrons diverses failles de la MDAR et pour
le~uel
I' emploi de la MEM donne un tres bon resultat. Considerons done Ie probleme suivant 2 d f
df
dx2
dx
x = 0 : £(0)
:: £
-- + f + 2 a -
(14,1)
x ....
Lim
+00:
o
= 0,
00
f(x)
< a «
1
Const, O.
;x++oo
La solution exacte de (14,1) est f(x;a) = fe-ax cos (
(14,2)
00
et on constate
~ue
la variable x intervient
a deux
~-a2'x) niveaux
a) au niveau du terme d I amplitude, exp (-a x), comme 'V
x=a
b) au niveau du terme d'oscillation,
x, cos (
A-a2 ~),
2' 2 / 1-a x=(1-(J.2
(14,4) On verra
~ue
comme
4
+ ~ 8 + ... ) x. 'V
c'eat juatement cette double atructure,en x et
couplee ~ui fait que la MDAR ne peut s'appliquer du probleme (14,1), lorsque
(J. .... 0 .
a la
x,
resolution approchee
226
1. Puisque a«
J recherchons la solution de (J4,J) sous la ~or.me
du developpement principal (a
0
+
ax
suivant
~ixe)
ce qui conduit aux equations d
2
f
dx
d2 f
(14,6)
0
+ f
2 1
+ f
a.x 2
0
0
, df
- 2 ----2.
1
dx
2 d ~ 2+ df __ 1 ~2 = - 2dx 2 dx
.............. dont les solutions sont f (x) = A cos (x + ~ ) 0 0 0
f 1 (x) = - A
o
A0
f 2 (x) = 2 x
X
2
cos (x + ~ ) 0
A
x sin cos(x + ~o) + ~ 2
Ainsi, on trouve la solution approchee : 2
a 2 f = A cos (x + ~ ) { 1 - a x + --2 [x + x tg (x + ~ )] + ... } o 0 0
(14,8)
qui reste valable pour des x de I' ordre de un (pas trop grand). Comme la condition
Lim
il ~aut
~ postuler l'existence d'un developpement local au voisinage
de l'infini et
f = 0 n'est
Eani~estement
a cette ~in,il ~aut x'" = a x et
pas garantie au niveau de (14,8),
introduire la variable distale (14,3) : ~
'" ; " ' '~ '(x;a) ' (ix a) -=
Soit donc Ie developpement local (distal, au voisinage de
l'in~ini)
227
"''''
Comme f(x;a) satisfait
a l'equation
:
d ~ '" 2 df a 2 --;v;r-+f+2a -;;=0, 2
(14,10 )
dx
dx
on constate aisement que
(14,11) et naturellement,il n'est pas possible de raccorder la solution identiquement nulle
a l'infini
avec Lim~, ou ~ est donne par (14,8). x++<x>
De toute fa<;
x++<x>
0
0
n'a pas de sens,
et d' autre part Ie terme a f 1 (x), quelque soit a« 1, tend vers I' infini avec x + + "', de telle fa<;
If I \a f11
_ _0 _ ::
_1_« 1 I
alxl
Ainsi, la MDAR tombe en defaut du fait que Ie raccord n'est pas possible et de plus,il y a dans Ie developpement principal (14,8) des termes, dits seculaires,qui deviennent tres grands devant un lorsque x croft vers l'infini.
2. En se basant sur la solution exacte (14,2), qui met en evidence Ie role simultane de ~ et i, on arrive a l'idee qu'il faut representer la solution de notre probleme (14,1) en fonction, simultanement, des deux variables :
f:
(14,12) avec g(a.)
a.x et
n = g(a) x
228
ou les wn ' n = 2, 3, .•. , sont des Gonstantes a determiner "au .mieux" au cours de la resolution approchee du probl~e (j4,1). Ainsi, lorsque a«
1,
a la
solution f(x;a) de (j4,1), fonction
de la seule variable x, il faut faire correspondre la solution en double echelle f·(~,n;a) des deux variables (14,12), avec (14,13), ou ~
est une
variable lente (elle caracterise l'evolution de l'amplitude de la solution) et n une variable courte (rapide, distordue, qui caracterise l'oscillation de la solution). Naturellement, on a : f*(a x, g(a) X; a) ~ f(x;a)
I1 faut 1IlS.intenant reformuler Ie
probl~e
(14,1) pour f
•(1;, n ;a) ;
comme df
(14,14 )
dx
•
= ~• ~ + E.L• a~
ax
an
~f*+ g(a) af• an = a ~ ax a<,
on trouve que f (1;,n,a) doit satisfaire
an
a l'equation
suivante (en tirant
profit de (14,13))
(14,15)
+
On suppose alors que la solution f * (~,n;a), satisfaisant aux derivees partielles (14,15), admet, lorsque a « asymptotique uniformement valable
(14,16)
a l'equation
1, un developpement
en puissances de a , + ...
• ) On notera que
2
avec g (a)
229 ;J Dire que Ie developpement (14,16), de f , est uniformement valable relativement
a
~
et
a
n signifie :
chaque approximation ne doit pas avoir de singularites plus fortes que l'approximation precedente, ou encore, ne pas tendre moins vite vers zero que la precedente, lorsque a
+
0, pour toutes valeurs arbitraires
(grandes ou petites) des variables independantes
~
et
n ; de plus
toutes Ies derivees liees aux diverses approximations doivent avoir Ies memes proprietes. En particulier, cela veut dire que les rapports
,
(14,17)
restent uniformement bornes, lorsque a
... +
0, pour toutes valeurs de ~
et
de n .. ) developpe, De plus, pour determiner completement un terme f ; J ~,n (du k ment (14,16), i l ne suffit pas de resoudre, I' equation ou i l apparait pour la premiere fois. Les indeterminees qui demeurent necessairement sont
a choisir
en imposant que l'equation dans laquelle apparait Ie terme suivant f:+1(~,n) du developpement (14,16) pourra conduire
a une
solution qui ne detruise pas
la validite de l'approximation cherchee, mais, au contraire, assure au mieux cette validite - c'est Ie processus d'elimination des termes seculaires. 3. De (14,15), avec (14,16), on obtient la hierarchie d'equations suivantes : a 2 f;J __0_+ f;J 2 0 an
(14,18 )
°
a l_ _ 1 + lIE f 1 =- 2 2 an a 2f;J __ 2 + lIE f =- 2 2 2 an 2 . 2 a f d l'1 0 - d~2- 2 a~dn 2
E
llf;J 7lf0 --...2. 2 a~an dn df'"
0
~-
2
d l' af 1 0 2 - - 2w- _ _ an 2 an2 1II
.........................................
230 La solution de la premi ere CEsequations (14,18) est
et la condition
a la
limite en x = 0·) conduit A (0):::
( 14,20)
f
o
et
00
~
0
a
(0) ::: 0
Pour f~(;,11),il faut done resoudre l'equation suivante
'll~
011 21 +
f~
dA
2
(d~O
~o(O]
+ Ao ) sin [11 + d~
+ 2 Ao (;) d;o cos [11 + ~o(~)]
dont la solution est :
•
f1(~,11) = A1(~) cos [11 + ~1(~)] dA
o
( 14,21)
- (~+Ao) 11 cos [11 + ~o(~)] d~
+ Ao(~) d~o
Lorsque
11
+
+
~
11 sin [11 + ~o(t)] •
il y a deux termes seculaires qui apparaissent
au niveau de la solution (14,21) pour f~(~,11), la premiere des conditions ( 14,17) n' etant pas verifiee . dans f~ ,donne par (14,21),
Pour eliminer les deux termes seculaires il faut imposer que : dA
d.,~o
+ A = 0,
A (0) = f
o
0
.
00'
(14,22) ~(o)=o,
o
ce qui conduit
a Ao(t) = f 00 e-~ , po(t) ::: 0
et on constate bien que A0 (~) = 0
.) x = 0 veut dire t = o et 11 = 0
,
231
Ainsi, l'elimination des termes seculaires dans la solution d'ordre
.
un, permet de preciser la solution d' ordre zero ( 14,23) et ~ +
a ce + ~
f o (~,n) = f 00 e
-~
cos n ,
=
stade n x . La solution d'ordre zero (14,23) tend bien vers zero lorsque et elle est l'approximation fidele,
exacte (14,2) puisque : cos (
~ x) ~
a l'ordre
zero, de la solution
cos x + ...
.
Avec, (14,22) la solution f~(~,n) est donc de la forme A1(~) cos [ n + ~1(~)]
et pour determiner A1(~) et ~1(~) il nous faut consi
derer l'equation pour f;(~,n) :
a2 f lll an 22
(W 2
+ f: = 2 foo
+
d4>l
dt
+ 2 A1 (~) dA
+ 2 (d~
1
t) e-~ cos n cos [n + ~1 (~)]
+ A1 ) sin [n +
~1(~)]
dont la solution est
+ f
(14,24)
oo
t ) e-~ n sin n
(W 2 + d~l
+ A1(~) ~ n dA
sin [n + 4>1(~)]
1
- (~+ A1 ) n cos [n + ~j(~)]
On voit ainsi apparaitre dans la solution (14,24) pour trois termes seculaires qu'il faut eliminer; cela conduit W
2
(14,25)
d4>l d~
+1.=0 2
=0
+
W
, avec ~1(0)
2
=_1..
=0
2 '
+ ~1(~)
dA 1 ~ + A1 = 0, avec A (0) = 0
1
a:
+
- 0 Aj(s)
= 0,
JI
f2(~,n)
,
232 les conditions
~1(0)
= 0 et A (0) decoulant de la condition a la limite en 1
x = 0 du probleme (14,1).
•1
Ainsi, la solution d'ordre unestf (/;,n) - 0 et on precise la forme de la variable rapide : (14,26)
n=(1-
En
definitiv~nous
f(x;a) = f
a
2
2
)x.
pouvons ecrire la solution approchee suivante
00
e
2 2 -ax cos [(1 - ~ ) xJ + O(a )
qui est une approximation fidele de la solution exacte (14,2) jusqu'a l'ordre 2
a . On remarquera que l'introduction d'une seconde variable independante ne conduit pas a la resolution d'equations aux derivees partielles par rapport aux deux variables a la fois, mais a la resolution, successive, d'equations differentielles ordinaires par rapport a n puis a/;.
14,2. MEM ET METHOVE VES "MOYENNES"
Considerons Ie probleme,avec donnee (14,28)
{
initiale,suivant
dX(t) _ . dt - a F(X,t,at,a) O
X(O) = X
•
D' apres la forme du second :m.embre il nous .faut :m.anifestement introduire un temps lent : T = a t et considerer t et T comme deux variables independantes. Dans ce cas,nous sommes conduitsa rechercher une solution X·(t,T;a) de l'equation aux derivees partielles
ax· ( 14,29)
{
aT
+
• = ~T>1(.
ax at
u..1'
(
X, t, T ;a , •
)
X·(O, 0; a) = XO ~ Admettant qu'on peut representer F"'( X , t, T; a), pour a
'"
voisin
de zero, par Ie developpe:m.ent asymptotique :
= F. (X. , t, T ) + a F 3 ( X, • t, T ) + ... , 1 o on cherche une solution de (14,29) sous la forme d'un developpement uni.for(14,30)
F1(.
me:m.ent valable, en t et T ,
233
( 14,31) Par sUbstitution dans (14,28), on trouve,
ax*o at" =
(14,32) puis,
a l'ordre
°
=>
x·o -
( , )
a l'ordre
aO
,
1
a ,
d' oil
(14,33) Admettant que les developpements asymptotiques qui precedent sont valables pour,
e
[O,T]
et t
e
[O,T/a], l'on voit d'apres la solution
(14,33) que le tenne a x~ du developpement (14,31) ne peut tendre vers zero unifonnement par rapport
a
("t)
que si
(14,34)
e
[O,~]
[O,T] x
t
M. d,
= Lim
t--
[t f
F: (<1>(,), t 1 ,,)dt 1
o
, lorsque a
+
O-~
J.
Ainsi, on constate qu'il convient d'identifier Ie premier tenne du developpement uniformement valable (14,31), X· := <1>(,), o
<1>(,) du systeme, issu d'une moyenne,
d~~')
a une
solution
= G(<j>(,), ,);
<1>(0) = xO,
oil
(14,36) Dans Ie cas oil la fonction F- est periodique en t, ou presque o
periodique en t, la limite introduite existe • • ) Condition necessaire pour legitimer Ie developpement (14,31). Naturellement ~l reste a dete~ner :a fonction Y1(') de fa~?n adequate et a c;tte fin 11 faut pousser Jusqu'a l'ordre a 2 , pour pouv01r lever cette indetermation apparaissant aI' ordre a I
234
On voit que l'elimination du terme seculaire, au niveau de la · (14 , 33) pour 1 e t erme Xliil ' cond · ·~c~ · . .a. ·~ntro dui re une moyenne 1II) . so1 ut ~on mt
14,3. MEM ET TECHNIQUE V'HOMOGENEISATION Raisonnons, une fois de plus, sur un exemple simple; considerons pour la fonction U (t,x), des deux variables independantes t et x, une equation d'evolution de la forme
au at
(14,37) avec
E:«
+ U
On demande
a quelle
(x, e(tE,x) ; E ),
,J,
'Y
= e (t,x) E
1 e t ou... 1 a f t '~on y onc
" .
caracter~se
une
.
t ure.
m~crostruc
contrainte doit satisfaire la fonction e (t,x),
afin d'etre en meSure, lorsque solution
au .. ax
E: +
0, de decrire la double structure de la
U de (14,37) ? II nous faut donc supposer que
(14,38)
{
U(t,x) .. U-(t,x,y;e:), y= e(t,x) E
Ensuite,on admettra que 1II
(14,39)
U (t,x,y;e:) .. < U-(t,x;E» + (tlII(t,x,y;e:),
oil est la partie moyenne de la solution
U-,
fluctuante (la fluctuation). La moyenne de U-,
tandis que
lr
est sa partie
, s 'el'fectue de fa~on
adequate en fonction du probleme et de la classe des solutions considerees; dans un cas simple, si on considere la classe des solutions, y-periodique alors la moyenne revient
a imposer
U-
une condition de periodicite,
avec une periode de base Y de I' espace de la variable fine (microscopique) y. Naturellement, on a toujours : (14,40) ·)Cette constation est a la base d'une comparaison instructive entre l'application de la MEM et l'application des moyennes de Bogoliubov (voir, a ce sujet, Ie livre de Mitropolski : "Problemes de la theorie asymptotique des oscillations non stationnaires" chez Gauthier-Villars, Paris 1966).
235
On dira que
caracterise la macrostructure, tandis que
caracterise la microstructure (intimement liee L'operation de moyenne
<.>
~
la fonction
e
'"cl'
(t,x)).
efface la dependance en y (liee
a
la microstructure):
D'apr~s
(14,38),on doit ecrire que
( 14,41) ce qui conduit pour U·(t,x,y;£) ~ l'equation suivante, ~ la place de (14,37),
(14,42) +
ou encore,
( 14,43)
£
d'apr~s
+
£ {(
• • {m!... at + tf ~ ax -
o
,I, ( x,¥;£ ) } 'i'
la decomposition (14,39),
a
..lII> ax) a
at +
at!
'" a~'JII
aU-
•
-+t.! +at ax
~ a
" - <1jJ> } = W + ~x + U -----Q ax ' une fois que l'on fait
l'hypoth~se
'\>
que la fonction 1jJ (x,y;£), au second
membre de l'equation (14,37), se decompose sous la forme (14,44)
1jJ (x,y;£) = <1jJ> (x;£) +
1£ ~ (x,y;£)
cette decomposition est necessaire si l'on veut obtenir une equation coherente
(~ l'ordre zero) pour decrire la micro-structure en y de U·(t,x,y;£). I I faut maintenant developper et et aussi <1jJ> et ~ en puissance de £; dans ce cas,a l'ordre £0, on obtient l'equation suivante
U-
(14,45)
(~ at
+ 0
~ dx
a~
) -2. +
ay
~ ax
"'. aUUo ':>.~ = $o(x,y), u;y
236 et a l'ordre
8
1
l'equation
(14,46)
Au vu de (14,45),un cas relativement simple, qui permet de decoupler l'influence du champ moyen , sur la fluctuation ~ , est lie o o a la contrainte suivante, sur la fonction B(t,x) ( 14,47) ce qui veut dire que B (t,x) est une variable lagrangienne relativement au champ moyen (t,x). Sous cette hypothese (14,47) le champ fluctuant, o microscopique, ~(t,x,y) doit satisfaire, d'apres (14,45),a l'equation locale suivante : ( 14,48) ce qui justifie la decomposition (14,44), En tirant profit de (14,47), revenons a l'equation (14,46); nous pouvons alors reecrire cette derniere sous la forme suivante : "'lI!
~
"'-
U + U o 0
E
U ]} 1
B.
237
Ainsi, nous obtenons l'equation
dA
dY
=B
qui conduit a la condition de compatibilite suivante
=0
,
c'est-a-dire, grace a (14,40), a l'equation moyenne
( 14,50) L'equation (14,50) s'interprete comme une condition d'integrabilite, pour l'equation (14,49), qui est equivalente a l'elimination des termes seculaires dans la MEM. Cette equation (14,50) est l'equation macroscopique . '" ",. '" - un terme mem01re: "'. d dite homogene1see, dans laquelle appara1t 21 < dX
('\II!U )2 >, 0
trace de la microstructure qui, elle, satisfait a l'equation locale (14,48). Ainsi, on constate que la technique dite d'homogeneisation est un processus asymptotique, en double echelle, de derivation de proprietes macroscopiques en fonction d'informations microscopiques. Elle
perm~t
de
substituer a un milieu fortement heterogene un milieu homogene que l'on souhaite "equivalent" au precedent et cela avec une certaineapproximation. Onnotera que cette technique de l'homogeneisation permet, en particulier, de modeliser avec un certain succes des ecoulements turbulents a deux echelles
(~ir
a ce
sujet le N° special 1986 du JMTA,pp. 95 a
j07)~) .
• ) Le titre de ce N°-special de 1986, du Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, edite par J.P. GuiraUcr et R.Kh. Zeytounian est : ''Modelisation asymptotique d' ecoulements de fluides". Precisons, encore, que l' on trouvera dans la Note aux C.R.Acad.Sc. Paris (t. 302, serie II, nO 7, 1986) de J.P. Guiraud et R. Zeytounian, l'amorce d'une-methodologie (basee le concept de moyenne, lie a la MEM) pour la modelisation asymptotique des structures non simulables dans les ecoulements turbulents.
su:r--
CHAPITRE V
SUR LA STABILITE DES ECOULEMENTS LAMINAIRES
Nous savons que le probleme d'ecoulement considere sera bien pose si, en particulier, sa solution depend continUment des donnees. Cela veut dire que
de tres petites erreurs dans les donnees du probleme doivent
conduire a de tres faibles changements dans l' evolution de sa solution. Si cela est bien le cas,nous dirons que la solution consideree est stable (vis-a-vis des donnees), s'agissant ici de solutions d'ecoulements dits laminaires. Pour ces ecoulements laminaires il est possible de mettre en evidence l'existence physique des filets fluides au sein de l'ecoulement et on pourra, a ce sujet, consulter les tres belles visualisations d "Henri Werle effectuees au Laboratoire de Visualisation Hydrodynamique de la Direction Aerodynamique de l'O.N.E.R.A. a Chatillon¥). Malheureusement, dans la realite, les ecoulements sont presque toujours turbulents et dans ce cas, les filets fluides "diffusent" tres rapidement dans tout le domaine d'ecoulement et ont un comportement chaotique, ce qui montre que l'ecoulement ne reste laminaire que si certaines conditions de stabilite sont satisfaites. Par exemple, lorsque l'on considere les equations de Navier pour un fluide visqueux incompressible (ecrites avec des grandeurs sans dimensions), au-dela d'un certain nombre de Reynolds Re-, dit critique, on obtient des ¥) Voir dans "Annual Review of Fluid Mechanics", vol. 5 de 1973, pp. 361 a 382, son article : Hydrodynamics FLow Visualization. ----
239
solutions "turbulentes" qui correspondent it des regimes d I ecoulements pour lesquels la vitesse en un point de l'ecoulement en fonction du temps cesse d'etre decrite par une fonction continUment derivable et
identi~iable
expe-
rimentalement. Cependant, les equations de Navier restent valables pour decrire ce regime turbulent, a condition de tenir compte des fluctuations turbUlentes instationnaires qui apparaissent lorsque Re > Re~. Ainsi, on doit distinguer un regime laminaire suivi d'un regime de transition, puis un regime turbUlent proprement dit. D'ailleurs, on sait que si le nambre de Reynolds augmente, le nombre des mecanismes de perturbations non amorties (qui sont autant d'effets d'instabilites) s'accroit tant et si bien qu'a partir d'un certain seuil,le regime devient "completement" If) turbUlent. Notons que l'on a Re = 105 ( ce qUl. est une valeur proche de Re 1Il pour beaucoup d'ecoUlements) pour l'ecoulement de l'eau dans un tuyau de 10 cm de diametre
a une
vitesse moyenne de 1 m/s.
On arrive donc
a l'idee
fondamentale que:
une fois obtenueune solution des equations de Navier-Stokes, avec des conditions initiales, aux limites et a. l'infini, il convient imperativement d'etudier sa stabilite afin de s'assurer que le probleme de depart est bien pose et que sa solution represente effectivement un ecoulement reel En particulier, se pose le probleme de deceler les conditions d'apparition de la turbulence (sa genese) et de decrire le phenomene crucial de la transition, c'est-a.-dire du passage du regime laminaire au regime turbulent. On sait que cette transition debute, en general, par une phase dite d'instabilite. On doi t distinguer deux types d' ecoulements du point de vue de la theorie de la stabilite: il s' agi t d' une part des ecoulements confines et d I autre part des ecoulements non confines. Le terme "confinement" etant pris dans un sens assez large: le domaine d'ecoulement est
alors borne
dans l'espace,soit par des parois, soit par des interfaces ou une surface libre, soit encore par des conditions de periodicite de periodes imposees. La litterature concernant la stabilite dite "hydrodynamique" est relativement abondanteet ncull! citerons, tout d'abord, trois livres : "The theory of hydrodynamic stability" de C.C. Lin (Cambridge University Press, 1955), puis "Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability" de S. Chandrasekhar (Oxford University Press, 1961) et enfin "Hydrodynamic Stability" de P.G. Drazin et W.H. Reid (Cambridge University Press, 198]). ~)
On est alors en presence d I une turbulence di te "developpee".
240
Un livre Vlus comvlet, ou l'on trouvera des analyses mathematiques rigoureuses est celui de D.J. Joseph : "Stability o.f .fluid motions" (deux volumes dans la serie "Springer Tracts in natural Philosophy", vol. 27 et 28, 1976, Springer-Verlag, Berlin). Citons encore le livre de G. Iooss et D.D. Joseph: "Elementary stability and bif'urcation theory" (chez Srpinger-Verlag 1980) et aussi celui de A. Georgescu : "Hydrodynamic stability theory" (Martinus Nijhof'f' Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1985),ou l'on trouvera une theorie rigoureuse de la stabilite basee sur l'analyse f'onctionnelle. En ce
qui concerne la theorie non lineaire de la stabilite hydro-
dynamique ci tons, l' article de synthese de J. T. Stuart : "Non-linear stability theory" (dans le volume 3 de 1971, pp. 347-370, de 1 'Annual Rev. of' .fluid mechanics), celui de J.P. Guiraud : "Ef'f'ets non lineaires en theorie de la stabili te des ecoulements laminaires" (dans : Ann. Phys. Fr. 5, 1980, pp. 33
a 59)
et aussi l'article de F. de Coninck, J.P. Guiraud et R. Kh. Zeytounian
"A short look at nonlinear hydrodynamic stability theory" (Quart. J1. Mech. Appl. Math., vol. 36, pt. 1, 1983, pp. 1 On
a la
trouver~au
a
18).
§ 15,divers resultats generaux sur la stabilite lies
def'inition meme de la stabilite hydrodynamique (tous ces resultats etant
tires des equations de Navier dont i l a ete question au § 5). Le § 16 est
consacre,entieremen~au
probleme de la stabilite des
ecoulements dits "presque paralleles", qui conduit, en theorie lineaire,
a
1 I equation d I Orr et Sommerf'eld pour les ondes dites de "Tollmien et
Schlichting". Tout ce qui concerne l'instabilite convective, liee au probleme de Rayleigh-Benard, f'ait l'objet du § 17. Au § 18 nous exposons divers phenomenes d'instabilite dans les ecoulements de f'luides parf'aits. Enf'in, le
§ 19 est consacre au probleme de Couette-Taylor de l'ecoulement entre
cylindres coaxiaux. On trouvera au Chapitre VI, suivant, un expose plus complet sur l'instabilite via les bifurcations qui conduisent au chaos hydrodynamique.
LE CONCEPT DE STABILITE POUR L' ECOULEMENT DE NAVIER
15,1. VI VERSES VEFINITIONS VE LA STABILITE
n,
1. Considerons dans
un ouvert connexe de]R3, le probleme de
Navier suivant (avec des dimensions) +
au at
+
v.~
(~.V) ~ + ...L V p
=0
Po
= "1
+
\I
0
6
~
,
(15,1)
Lorsque le domaine
n
n'est pas borne (ecoulement non borne), il
~aut associer au probleme (15,1) une condition de comportement pour ~ et p au loin (I~I + 00) ou encore des conditions de periodicite. Nous noterons (15,2)
u -(:)
une sOlution de (15,1) et soit U une sOlution de base satis~aisant a (J5,1), B . '" mais avec la donnee initiale +0 ~ (+) x d~~.ferente de +0 u (+ x): (15,3) +0
La perturbation initiale u ecoulement perturbe U , tel que: 1
1
+
(x), d'apres (15,3), genere un
242
(15,4) qui satisfait aux equations suivantes
(15,5) -+
u
-+
1
(x,O)
-+ = -+0 u (x) 1
,
qui est un probleme de Cauchy d'evolution instationnaire avec valeur initiale, dans la classe des fonctions vectorielles -+-+
(15,6)
V.u
1
= 0
a divergence
nulle et nulles sur
an :
o •
et
Naturellement, pour Ie probleme (15,5), avec (15,6), la solution zero correspond
a l'ecoulement
de base.
Dans tout ce qui suit.nous vOulons caracteriser la stabilite de cette solution zero de base,
supposee etre definie pour tout t > 0 •
Cette caracterisation de la stabilite etant relative a la perturbation ~ (i) de la condition initiale. Disons tout d'abord que l'etude rigoureuse (du point de vue mathematique) de la stabilite est intimement liee a l'analyse de l'existence globale de la solution zero, de base, et de la solution perturbee U] (pour tout t > 0). D'une
fa~on general~
une telle etude est effectuee dans le cadre
fonctionnel des solutions "generalisees·) " du probleme de Navier, appartenant a des espaces specifiques
H,
de Hilbert, qui sont les completes d'espaces
fonctionnels de fonctionscontinues. C'est pour cela qu'il faut definir la stabilite de ces solutions un choix donne de
a partir
de normes liees
a H.
Par exemple, pour
H, l'ecoulement sera dit stable (asymptotiquement) si : pour t
-+
00
,
.) C'est-a-dire des solutions fa~bles (voir la section 8,3 du
§ 8, chapitre III).
243
et pour un autre chou de H , si (15,8)
lorsque
t
+ m •
2. Stabilite au sens de Liapounov - Par definition, nous dirons que la solution de base zero est stable, si pour tout
£
> 0, il existe un
n(£) > 0 tel que :
(15,9) une ibis que l'on sait que II~
(;)11
< n (£).
Cela signifie qu' au sens de la norme,
II .11,
utilisee pour
caracteriser la "distance" de deux fonctions des variables spatiales dans la classe des fonctions vectorielles considerees, les deux solutions U et ~
restent "voisines" ii tout instant t > O. pourvu seulement qu' elles Ie
soient ii l' instant initial t
= o.
La sOlution de base ~ est dite instable
si elle n'est pas stable. Lorsque l'existence de solutions classiques des equations de Navier est assuree.on peut remplacer la norme
11·11
par Ie
sup (~.t)
1.1
On notera que la definition ci-dessus de la stabilite (ii la
Liapounov) de la solution de base ~ correspond bien ii l' exigence que cette solution de base depende continiiment de la condition initiale. comme il avait ete mentionne au debut du Chapitre III lors de la definition d'un probleme bien pose.
3. Stabilite asYJI!Ptotique - Souvent en mecanique des fluides. on introduit une definition de la stabilite qui est dite "stabilite asYJI!Ptotique" et qui est plus forte que celIe de la stabilite au sens de Liapounov. Dans ce cas,on exige. en plUS de (15.9). la condition de comportement suivante : (15.10)
Lim
t--
lI~l(i.t)11
= o.
la limite etant supposee uniforme relativement a~. Lorsque (15.9) et (15.10) sont satisfaitesla solution de base
~
est dite asymptotiquement stable.
244
Si, avec (15,9) et (15,10) on a aussi (15,11) oil
ct > 0 et t
> 0, alors, on dit que l' on a une stabilite asymptotique
"de tyPe exponentiel". Precisons que les perturbations (~1' P1),solutions du probleme (15,5), avec (15,6), decroissent vers zero,lorsque l'ecoulement de base (;, PB) est asy:mptotiquement stable (lorsque t base
(UB'
->- 00);
et cet ecoulement de
PB) est asymptotiquement instabl~lorsque ces perturbations sont
amplifiees. 4. Stabilite en moyenne - Une
fa~on
evidente de caracteriser le fait
que les solutions U et U sont "voisines" est d I etudier le comportement B ->de l'energie cinetique de l'ecoulement perturbe (caracterise par u1 et satisfaisant, avec Pl' au probleme (15,5), avec (15,6)) lorsque t
->- 00 •
Formons done (15,12) et si E(~l) "reste petit", alors, on pourra
conclure que U reste voisin
de UB • Ainsi, Si l' on peut montrer que E(~1) reste arbitrairement petit, pour tout t > 0,
a condition
que E(~) soit suffisamment petit, on
pourra dire que la solution de base ~ est stable (en lIloyenne) aux: perturbations ~ de la condition initiale. Si, de plus, on arrive
a se
E(~1)
(15,13)
->-
convaincre que 0, lorsque t
->- 00,
quelque soit +0 u , alors, on dira que la solution de base U est "universellement" 1 B stable. Precisons qu 'une condition sufsisante pour la stabilite en moyenne est donnee par: dE (~1)
(15,14)
dt
->-
< 0, pour tout t > 0
et tout u 1 dans l' ensemble des perturbations.
245
La stabilite asymptotique de l'ecoulement de base en ce sens qu'aucune borne n'est imposee
a l'amplitude
UB
est universelle
de la perturbation
initiale mesuree par E( ~). C' est la., rndemment, 1lll resultat tres fort d' un certain point de vue, mais aussi tres faible d 'un autre point de vue. En effet, un ecoulement peut tres bien etre stable aux perturbations d'amplitudes faibles sans etre universellement stable On di t aussi que 1 I ecoulement de base U est attractif (en moyenne) B
lorsque la relation Lim
t--
est satisfaite. Un ecoulement est asymptotiquement stable s 'iI est stable ~n moyenne) et,de
plu~attractif,
Quelquefois
ces deux proprietes etant independantes l'une de l'autre.
on di t que I I ecoulement de base U est globalement stable ou B
encore inconditionnellement stable,si la relation (15,15) est satisfaite quelque soit E(~). Par contre, I I ecoulement de base U est conditionnellement stable, si (15,15) reste vraie seulement lorsque
E(~) <
(15,16)
15
B
> 0 •
5. Stabilite lineaire - Revenons au probleme (15,5)
avec (15,6),
et considerons Ie cas lineaire associe, lorsque Ie terme quasi-lineaire ±) +u est negl~ge. " . " Supposons alors que toute perturbat~on . (+ (+ U "V u ' P1 ) est
1
1
obtenue par superposition de modes normaux +0 +
(15,17)
u (x) e 1
- P10(+) ou... P1 (+ x, 0) = x, S
=a +
.
~w
+St
1
et
•
Dans ce cas, a. la place de (15,5), (15,6), il vient Ie probleme aux valeurs propres suivant :
246
(15,18)
~Icm = 0
,
V.~
O.
... pour la fonction propre -+0(....) u "X assoc~ee a. la valeur propre S ( on peut toujours 1
eliminer p~ du problene (15,18». La SOlution;; est dite lineairement asymptotiquement stable. si le problene (15.18) n I a pas de valeurs propres lIVec des parties reelles positives. S 'il existe au moins une -valeur propre lIVec une partie reelle positive. alors ;; est dit asy:m:ptotiquement (lineairement) instable. Nous avons une stabilite ~ (ou marginale) pour
....
1.l:B' lorsqu'il
eriste au moins une valeur propre avec une partie reelle nulle. toutes les autres valeurs propres
ayant des parties reelles soit positives au nulles.
Precisons encore que les resultats de la theorie lineaire de la stabilite restent valables.pour le cas non lineaire. uniquement.lorsque E (~) est "petit" et de ce fait. on constate qu
I
:
un ecoulement stable selon
la theorie lineaire ne peut-etre que conditionnellement stable, d'apres la definition liee Ii (15.16). que nous avons donne Ii la fin du point 4 de cette section 15.1.
6. Instabilites pure et par etapes On saito d'apres les resultats du Chapitre II. que le problene ( 15.5), avec (15.6). peut s I ec~ sous forme sans dimension
(15.20)
et
247 en conservant les memes notations pour les grandeurs adimensionnelles, ou S est le nombre de Strouhal, tandis que Re est le nombre de Reynolds. 11 s' avere que pour les f'aibles nombres de Reynolds, la solution du probleme (15,19), avec les contraintes (15,20), est toujours stable ce qui veut dire que le probleme de Haner admet une solution de base ~ qui est unique et stable. Supposons que cette solution de base
0+-
~
perd sa
stabilite pour Re = Re11', ou Re III est le premier Reynolds critique. Dans ce cas, il peut apparaitre deux types d'instabilite : une instabilite dite pure et une instabilite par etapes. Lors de l' instabilite pure,
les perturbations
pour Re ) Re III sont amplif"iees lorsque t ....
co
ti: 1
qui sont generees
et l' ecoulement chang~ de ce f'ait
f"ondamentalement de caractere, devenant turbulent. Dans le cas de l' instabilite par etapes, pour Re = Re11', lorsque . .... , '" , ....(1 ) . . t .... co, les perturbatJ.ons u 1 generent un nouvel ecoulement ~ qUJ. est dit ecoulement secondaire et ce dernier reste stable jusqu' au second Reynolds . ... ....( 1 ) . '" . . cntJ.que Re , pour lequel '13 deVJ.ent a son tour J.nstable; ensUJ.te nous pouvons avoir, soit une instabilite pure, soit une instabilite par etapes On pressent bien que l' instabilite par etapes (du moins lorsqu' il
y a "quelques etapes") est tres intimement liee au probleme de la bifurcation des solutions du probleme de Haner (15,19), (15 ,20), lorsque le nombre de
.
.
lJ)
Reynolds He augmente; nous y renendrons au ChapJ.tre VI •
15,2. L'EQ.UATION VE LANVAU IT LE PROBLEME VE LA STA81LITE NON LINEAIRE Dans le cas de l'analyse lineaire de la stabilite d'un ecoulement
.... ....
de base stationnaire ~(x),on pose
V(;,t)
~ (~)
= A(t) ; (~) + AlJ(t) ~ (;) ,
(15,21) ou les
=~ -
"lII",
designent les complexes conjugues.
Dans ce cas, il apparait : .) A ce Chapitre VI, nous def"inirons la stabilite au sens de Liapounov dans l'espace desphases, qui est l'espace decrivant l'evolution des inconnues du systeme dynamique, associe au sys-teme de Hmer et qui s' obtient, en particulier, partir de la methode de Galerkin (voir la section 8,2).
a
248
('5,22)
A (t)
exp (+ St), avec S =
~
°+i
w.
Soi~maintenant,Re¥ le premier nombre de Reynolds critique; lorsque Re <
Re¥ toutes les perturbations sont stables avec
Lorsque Re
= Rellf,un
mode normal, avec S
lequel est "lIlarginallement" stable (o,(Re
lll
= 0,
)
,. Lorsque Re croit au-dela de Re
lll
,
= S, =
° < 0.
0, + i
w"
apparait
mais 0, > 0, pour Re '" Re
0, >
llf
).
° mais ° < ° pour tous
les autres modes, mais (ensuite) lorsque Re est suffisamment grand, ces autres modes deviennent aussi instables a tour de role. Ainsi, on ecrira que : 1Il
k o (Re - Re ) + lorsque Re
1Il
lll
, avec k une constante positive. De ce fait pour o « 1, le mode le plus instable croit lentement mais les autres modes decroissent et la theorie lineaire montre que le mode le plus instable
° < Re -
Re
+
Re
° { (Re - Re) 2 },
lll
devient dominant rapidement. Mais, on sait bien que l' auto-interaction non lineaire dumode dominant engendre des harmoniques et deforme l'ecoulement de base et de ce
fai~modere
la croissance exponentielle faible. Dans le cas
de la stabilite non lineaire il faut ecrire
(15,24) ou les
{~j(~)} forment un systeme complet (total) de fonctions complexes
satisfaisant a des conditions aux limites adequates. Divers choix peuvent etre faits sur les
{~j(t>}
• Par exemple, pour les equations de Navier, regissant
l' ecoulement dans une enceinte
n bonree,
on peut considerer dans
systeme des equations de Stokes stationnaires :
{
~o ~
('5,24) avec
~o
+
u -
Vp = f(x), +
~Ian = 0,
= constante
>
°.
+
x €
n,
V.~ =
°,
n
€ ]R3 le
249
... D 'apres
Ladyzh enskayaOJ), on
.
sa~t
que Ie probleme (15,24), pour un
f
quelconque dans L (n), a une solution unique 2
Au probleme (15,24) est associe Ie probleme aux valeurs propres
~ en, ~I
an
On demontre alors qu propres negatives
~,
= O.
il existe une suite denombrable de valeurs
auxquelles correspondent les
vecteurs-~onctions propres
~k qui forment une base dans l'espace des vecteurssolenoidaux, obtenus par 1 la ~ermeture des fonctions finies d'apr~s les normes de L (n) et W ,2(n). 2 Dans I' enceinte n, les fonctions ~k(~) sont inde~iniment di~ferentiables et si : (15,26) ou Ca(n) avec 0 < a < 1 designe la classe des ~onctions continues d'apr~s Holder d'exposant a. Le systeme des fonctions propres {~k} du probleme aux valeurs propres (15,25) est justement celui qui est utilise comme base lors de la construction de la solution de Navier, (dont il a ete question
a la
~
partir de la methode de Galerkin
section 8,2 du § 8) pour l'ecoulement dans une
enceinte n bornee. On impose aux fonctions la condition (15,27)
f I~k
n
2
(~) 1 ch = 1
•
lit) Voir son livre : "Problemes mathematiques de la dynamique des ~luides visqueux incompressibles", edite a Moscou, 1970, 2e edition avec complements, Nauka (en langue russel. ----
250
2. La methode de Galerkin permet alors d' obtenir une equation d'amplitude (qui est une equation d'evolution) pour les A.(t) que nous J
pouvons ecrire sous la fO:nDe ~nerale suivante
( 15,28) j = 1, 2, •.•
Nj ' des ~ (t), representant l' action non lineaire de tous
les fODetions
les modes sur Ie mode d'indic.e j (tenant compte de l'auto-interaction). Les termes lineaires sont simplement modelises par les S. A. (t) (sans sOllllll8.tion) et
.
J
J
~J et la fonction propre ~ant S. comme valeur propre associee. J
II semble que l'on puisse conjecturer que l'equation classique dite de Landau·) emerge de la i"orme tronquee de (15,28) lorsque Ie proble- possMe une s~trie telle que N.(~) est Ie produit de A. (t) et d'une i"onction
2
J
dependant de l' ensemble des I~ (t) I
. Dans
J
ce cas, en efiet pour j = 1, on
retrouve bien l' equation de Landau sous la i"orme suivante (15,29)
ou, en ~neral,
t =tr
+ i l. et S ~
= C1
+ i
1Il
sont des nombres complexes.
En fait, cette equation de Landau (15,29) est lineaire pour 2 IAI- ; en effet on peut 1 'ecrire sous la i"orme
(15,29')
puis comme une equation lineaire pour IAI - 2 :
.) Cette equation a ete obtenue pour la premiere i'ois Par Landau dans 1 'article publie dans les : Camptes Rendus de l'Acad. des Sci. de l'URSS, 1944, 44, pp. 311 A 314. On pourra aussi consulter Ie § 21 du livre de Landau et Lifshitz (~canique des milieux continus, edite A )k)scou, 1954, en langue
russel.
--
251
L'intE;gration donne (15.31)
IAI
-2 = l-r hi 1-2 2(1 + ~A(O)
~]-2<Jt e
- 2er
• cr :/. 0 ,
et on trouve que (15.32)
IAI
Lorsque
2
\A(0)1
= -::-l------l~-----
~
2~
2 IA(O) 1 + [1 -
cr > 0 et l
e
a la
J
2 IA(O) 1
a la
> 0 il vient
r
(15.33) ce qui correspond
2
2ert
e-
2ert
limite
.pour t-+-- ... et IA(O) I-+-O •
thE;orie linE;aire.
Par contre ...
(15,34)
2cr
IAI -+- A :: ( r )
1/2
, pour t -+- + ....
r
et quelque soit IA(O)I • Pour 1 'E;coulement de Navier. d 'apres (15.23). cr
est une fonction
du nombre de Reynolds Re. et au voisinage du premier Reynolds critique Re- • on a (par dHinition cr (Re·) (15.35)
(J
= 0)
'"= k o (Re
~
.
Re ) , avec
k
o
> 0
une constante.
Ainsi on trouve la relation : 2k 1/2 r .1 1/ 2 A'" '" ( r ) LRe - Re J
(15.36)
r
ou
l
r
•
pour Re '" Re
•
,
>0. On constate donc que l'instabilitE; absolue (cr > 0) de l'ecoulement
(lineaire) de Navier pour Re > ReI! conduit
a 1 'emergence
d'un ecoulement
instationnaire pE;riodique et lorsque Re est "voisin" de Re·cet E;coulement ... " .p ............ + ,... t peut etre represente sous la ...orme : ~ + u , ou u est perJ.odique, ayan une 1 1 amplitude "petite", mais non infinitE;simale. qui croit avec Re proportionnellemeIJt Ii la racine carrE;e de(Re - Re*) .
252 Une evolution type de IAI, en fonction de t, est representee sur la figure (a) ci-dessous, tandis que la figure (b), ci-dessous, represente la dependance des wnplitudes, des solutions d'equilibre
IAI
=0
et IAI
= A~
avec Re croissant. La branche de la courbe de la solution d'equilibre a Re
= Rellf ,
= 0,
IAI
est une bifurcation. AlAI
A'(O) t
(a) Evolution de IAI comme fonction
stable 0
instable Re
lli
(b) Courbe de bifurcation
:
du temps t pour deux valeurs
aJIlPlitude de la solution
initiales de A(O).
d'equilibre comme fonction de Re pour l r _ >_ 0
Ainsi, l'equation de Landau montre que la solution IAI = 0, laquelle represente l'ecoulement de base stationnaire, est stable pour Re < Re~ mais instable pour Re > Re
llf
et IAI = A~, laqueuerepresente un
nouvel ecoulement laminaire, est stable la ou eIle existe, c' est-a-dire pour Re > Re
llf
,
Si l
r
> 0 mais Re < Re
llf
alors cr < 0 et la solution (15,32) confirme
bien que les perturbations decroissent en accord avec la theorie lineaire de la stabilite : IAI ~IA(0)le2crt , t +~, IA(O)I+ 0; cr < 0 . 4 Dans ce dernier cas,le terme -lr IAI , au niveau de l'equation de Landau (15,29'), lie a la non linearite,reste petit pour tout t, initialement petit.
s'il est
Re
253
15,3, L'EQUATI0N V'ENERGIE VE REYNOLVS-ORR ET LES CRITERES VE STABILITE VE SERRIN 1, Revenons au probleme (15, 19), avec (15,20), et s upposons que
est un domaine borne. Multiplions scalairement par ~1 l'equation du probleme (15,19); apres avoir effectue l'integration sur tout pos~
n
et
S'= 1, on trouve
dE(~1 )
---+
I n
(;,V)
+
I n
(;1
,V)
I n
tJ.
dt
+ -L Re
-+ U
-+ U
-+ U
-+
1 'U 1
-+
1 'U 1
-+
1 'U 1
-+
dx+
-+
dx=
In -In
V -+
-+
(u 1 ' )
-+
-+
'13'U
u1'
V P1
-+
_ -+
-+
1
dx
-+
dx
~
Mais -+v-+-+
( '13 •
)
et comme
u1' U 1
.=
-+v '13'
I (~,V~) ~
n
condition ~Ian
1~112
(
- - ) et 2
(~1'V)
-+ U
1 'U 1 = u 1 '
V 1~112
(-2-)
= 0, d'apres le theoreme de la divergence et la
0, on trouve l'equation suivante
(15,37)
puisque, apres integration par parties,on a aussi la relation
I
n
tJ.
-+ U
-+
1 'U 1
-+
dx = -
f
n
Iv
~112
-+
dx
L'equation (15,37) est celle de Reynolds-Orr et on peut aussi l'ecrire sous la forme suivante
n
254
f
-+ -+ -+ 1 u1.~dx-Re
(15,38)
a.
car pour un champ de vecteur vitesse
et en integrant sur 0
o
\*-+ulI2 -+ V dx,
divergence nulle,
et en tenant compte du theoreme de la divergence
avec la condition d'adherence de la vitesse sur
ao,
on deduit bien
(15,38) de (15,37). On notera que Ie premier terme du second membre de (15,38), ." l~e
•
au gradient de
+~,
a tendance
a.
induire de I' instabilite, tandis que
Ie second terme, de ce second membre, lie
a.
la viscosite,a au contraire,
un role stabilisant. 2. D'apres l'equation (15,37),on constate que si
(15,39)
-+
alors, en accord avec (15,14), on pourra dire que ~ est stable en moyenne. De ce f"ait, i l est interessant de f"ormuler Ie probleme variationnel
(isoperi.metrique) suivant trouver 1/~ tel que : (15,40)
~
= Max
Re .
-+
ou Ie champ vecto=el u
J1 o
1
1- J(~l·V) ~.~1
l
satisf"ait aux contraintes
= 1,
*V -+ull2 dx -
....
....-+
I
ch },
0
et a la condit~on u 1 arl = 0 .
*V • -+ u
1
= 0
255
Ce probleme variationnel (15,40), (15,41) avec la condition
~11
an
= O,est
equivalent au probleme aux valeurs propres : +
*
+
(u 1 ·v) ~
=-
*
v A+
P1 A +u 1
J IV~112 ~ = 1, V'~1 = 0, ~1lan = 0
,
n 1
pour lequel
'"
est valeur propre et oil A est un multiplicateur de
Re Lagrange. De ce :fait, nous pouvons :formuler Ie theoreme suivant, du
(voir
"Arch. Rat. Mech. Anal.", 3, nO 1, 1959, pp. 1
a 13>:
a Serrin
!lSi Ie probleme variationnel (15,40), (15,41) avec la condition + U an = 0, admet une solution, alors ~1 R est la plus grande valeur 1 e
I
propre du probleme aux valeurs propres (15,42) et dans ce cas, '" I' ecoulement de base +~ est stable en moyenne, lorsque
-.1...>-.1... .. ~
Re
Comme consequence de (15,43),nous pouvons reecrire l'equation de Reynolds-Orr (15,37) sous la :forme suivante :
dEC u
)
1 - +-
(15,44)
dt
~
2
+
J Iv u I
n
1
+
dx
I~ } 1
Re
- -
1
Re
ne:finissons maintenant la constante Qo' telle que
J Iv ~112 ~ ~ n
Qo
f 1~112 ~
,
n
cette derniere pouvant etre deduite du probleme variationnel suivant -
(15,46)
I n
1u 1
+
= 1,
+ 12 dx = MaxJ.lllUlll, .
dans la classe des 1~1Isatis:faisant *+ 2 J IV u 1 I
n
dx
*+
v .U 1 = 0
et
a
256
Avec cette constante ao,il vient, a la place de (15,44), l'inegalite: (Re-Re)
'" Re Re pour tout t
~
0, ce qui veut dire aussi que
(15,47) et de ce
E(~1)'
~ait
Lim t--
E(~)
1E(~l) }= E(~)
exp
[
- 2 a
Re-Re
o
-",-- t
]
Re Re
0 , lorsque Re < Re.
En ~ai t, la ~ormule (15,47) montre que, pour tout E (~), les perturet, de ce ~ait, Re < i{e est une condition -+pour la stabilite globale (inconditionnelle) de ~.
bations tendent vers zero avec t -+su~~isante
<xl
3. A~in de ~ormuler les deux criteres universels de Serrin¥) , revenons a l'equation de Reynolds-Orr (15,37) et ecrivons la sous rorme dimensionnelle (en gardant les memes notations) :
d dt
I
Q
u l l-+l
2
ax-+-
= -
I
Q
ou encore
( 15,48) ou VB est Ie tenseur des taux de de~ormations de I' ecoulement de base les composantes (cartesiennes) sont :
d~J'B 4
1
= -2
(
aU' B
-+-
~
dont
aU' B
-~ax. + ---s1E. ax. ) • J
~
Soit, maintenant, - mo la borne in~erieure, relativement a t 6 [0,1"] , des valeurs caracteristiques de la matrice (d. 'B); nous pouvons alors ecrire que
~J
.) Ces deux criteres de Serrin ont ete obtenus dans son article de 1959, deja cite.
257 (15,49) Notons aussi par a un nombre tel que l'inegalite
f n
(15,50)
,.. . 1 12 u
....
dx
~
....
soit satisfaite dans la classe de fonctions vectorielles u
ayant des derivees 1 d'espace continues et satisfaisant aux conditions (15,6), oui est Ie diametre de la sphere contenant Ie domaine tridimensionnel a =
n.
o
Serrin montre que
3+1i3 2'" 2 n = 32,6 ,
mais Velte, sous la condition que n est contenu dans un cube de cote i , o llf obtient )
La bonne valeur de
"ll! a, notee a , peut etre dedu1te a part1r du A
" . . .
•
probleme variationnel :
. dx.... = Maximum, fn l.ull2
(15,51)
....
dans la classe des u 1 tels que
I Iv ~112 ch
= 1,
n
V'~l
0,
o .
2 • Dans ce cas,le rapport i fa est l'extremum de (15,51) et il est aussi o
la plus petite valeur propre de l'equation
....
dans la classe des u
tels que (15,52) soit satisfait. 1 llf Pour des domaines spheriques,il s'avere que a = (8,98)2, d'apres
Payne et Weinberger (dans "Nonlinear Problems", ed. R.E. Langer, 1963; University of Wisonsin Press, Madison) • • Le resultat a ete obtenu dans son article de 1959, deja cite, tandis que celui de Velte est publie dans "Arch. Rat. Mech. Anal.", 9, 1962, pp. 9a20.
258 D'apr~s
(15,49) et (15,50),on peut obtenir,
a partir
de (15,48),
la relation +
dE(u ) 1 ~ 2 (m ------dt o
ttv
t2
.... 0) E(u )
o
1
ou encore
De ce fait,nous pouvons formuler Ie premier criti!lre de stabilit€
de Serrin :
"Si Ie nombre de Reynolds Re
....
E(u 1 ) .... 0, 10rsque t ....
mt
2
=~ v
est petit devant 32,6, &lors
... 0
et I' ecoulement de base
~,
.... ~
est asympto-
tiquement stable en moyenne". On
notera que ce criti!lre de Serrin donne une borne universelle de
• stabilit€ valable quelque soit Ie dOlll8.l.ne
.... et la perturbatl.on u . 1
n
" borne, l'ecoulement de base
-+ ~
"
Pour d€river Ie second criti!lre de Serrin revenons " . " . . . " .... (1 5,38) et_ utl.ll.sons 1 ,l.negall.te : )
(15,54)
. . * ........
(u 1 ·v) u1·~ ~
a l'equation
21 { Vo
Maintenant tirons profit aussi de l'in€g&lit€ (15,50) et introduisons UB
= Max 1;1 , t€(O,.r>
ce qui permet de tirer
de (15,38),
.... dE(u1) - - t; - 1 dt
"0
0-?
2
.... u:::: - a v 0 ) E(u) B t2 1 o
notera que pour tout tenseur du second ordre T on peut €crire I' identit€ : 2 2 .... + I.... .... .... o ~T : T - 2 .... u1.r.~ u 1 1 I.... ~ 1 .: (T- ........ u 1 ~).(T-u1~). 11 suffit donc de substituer T .: vol V ~1 I pour €crire l' in€galit€ (15,54).
.) On
259
ou encore
a v
; ].
2
_ _ _0_
(15.55)
)
l2
o
o
Ainsi. "Si Ie nombre de Reynolds ...
E( u ) ... 0 avec t ... 1
e
ul
est plus petit que 5.71. alors
0
0
<Xl
...
et. de ce fait. I' ecoulement de base ~ est
asymptotiquement stable en moyenne". Le meilleur resultat est obtenu en
10.
= 5.71
par
Ia!"
rempla~ant
la valeur de Serrin
= 8.98.
Finalement. pour un domaine
n
avec une parDi rigide et lorsque
1;I=o.on obtient de (15.53) l'estimation suivante
2a-
...
(15.56)
-+-0
E(u ) 'E(u ) e 1 1
-
V
---ro
t
0
ce qui implique l'existence globale de la sOlution generalisee des eguations de Navier.
15,4. OERIVATION O'UNE EQUATION O'EVOLUTION. LE CRITERE OE STABILITE OE SATTI NGER 1. Revenons au probl~e de Navier pour
... +
au at
(~.V) ~ + V (...pPo O.
) =
V
1t et
0
b.
p
~
;
j
dans
n
Po = Constante.
(15.58)
, n ou..
. " " .. est un dOlIl8.l.ne borne de JR 3 suppose unmob~le.
. . . . e t PB une
So~ent ~
solution de base de ce syst~ (15.57). (15.58) dont nous voulons elucider la stabilite. Nous posons
260
et
et il vient,pour les perturbations
V.V = 0
Vet
vl,lrl = 0
,
Decomposons TI sous la forme: TI vectoriel
P
TI le systeme suivant
de telle fa~on que
.
= TI2
- TI
1
et definissons l'operateur
(15,60)
Papplique a V donne V + V TI 1 •
ce qui veut dire que cet operateur Maintenan~
choisissons TI
1
de telle
fa~on
que
o ,
( 15,61) et aussi ~
(15,62)
-+-
Y(V)
.nl an -+-
= 0 .
Ainsi, par construction meme,la compos ante TI , de TI, doit satisfaire 1 au probleme de Neumann suivant
{::l.._::~~~n~.
Introduisons alors l'operateur lineaire en de base
(15,64)
-+-
~
et du gradient de TI l ' suivant :
V,
dependant de la vitesse
261
...
et designons par M (V,V) l' operateur quadratique ... ± ... ± - V.V V - V n 2
(15,65)
en V, suivant
...... =M(V,V),
qui contient le terme en gradient de n2 . Imposons, une fois de plus, la contrainte ±
(15,66)
......
V.M(V,V) = 0
On trouve alors que n 2 , dans la decomposition n = n 2 - n , doit 1 necessairement satisfaire a une equation de Poisson (15,67)
...
une fois que Vest suppose connu. Cette equation (15,67) doit etre resolue sous la condition
a la
limite :
aV'"
(15,68)
...
(at + V.W).n =
dn 2 dn
' sur
an,
...
ce qui determine bien n 2 , lorsque Vest connue, dans le domaine borne
n e]R3.
Ainsi, comme consequence de tout ce qui vient d'etre dit ci-dessus, on obtient pour
V une
equation d'evolution de la forme
(15,69)
a laquelle
on peut associer la condition initiale
vi t=o = yo
(15,70) Precisons que
et de plus la condition (15,68), sur n 2 , assure aussi que
262 2. La premiere etape, en theorie de la stabilite,consiste Ie systeme linearise (autour de la solution de base zero) associe
a etudier a (15,69)
avec (15,70) :
On sait alors qu'il y a stabilite lineaire (ou, encore, aux perturbations infinitesimales), si pour toute solution
Ilvll ou la norme est liee
a un
V de
(15,71)"on a :
reste borne pour tout t > 0,
espace fonctionnel (un Hilbert) adequat. En fait,
dans ce cas, tres souvent,
Ilvll--- 0,
exponentiellement avec t ---
Si pour certaines solutions
V,
il s'avere que
Q).
IIvl I ne
reste pas
bornee, alors il y a instabilite aux perturbations infinitesimales. La seconde etape, en theorie de la stabilite, consiste
a passer
au systeme "non lineaire" (15,69) et alors il s'agit de savoir,d'abord, si la stabilite pour (15,71) entraine la stabilite du probleme (15,69), avec (15,70)?
On a pu montrer que la reponse etait affirmative dans certaines
situations uniquement. Ensuite, la question est de savoir, lorsqu'il y a instabilite aux perturbations infinitesimales, ce qu'il advient de ces perturbations, supposees initialement tres petites, lorsqu'elles sont devenues d'amplitudes suffisantes pour que Ie terme quasi-lineaire,
V.vv,
lie
a M(V,V)
au niveau de (15,69),
joue un role essentiel. En ce qui concerne la question de savoir si la stabilite lineaire
entraine la stabilite pour Ie probleme d'evolution complet (15,69), (15,70), on pourra consulter l'article de Prodi (dans: Rend. Sem. Univ. Padova, 1962, 32, p. 374-397), qui semble etre l'un des premiers resultats dans cette voie. Pour d'autres resultats on consultera les deux articles de
IQOSS
dans l'ARMA
(40, 1971, pp. 166-208 et 47, 1972, pp. 301-329). Pour ce qui est du role joue par les termes quasi-lineaires dans (15,69), on trouvera des
M(V,V)
reponses dans Ie livre de Sattinger ("Topics in Stability and Bifurcation Theory"; Lecture Notes in Mathematics, vol. 309, Springer-Verlag, 1973).
263 3. Revenons au probleme d' evolution (15.69. avec (15.10) et multiplions scalairement par (15.12)
OU
(t.;)
==
I 1.;
V I' equation
E(V)
a~
= (L
(~)
(15.69). On obtient.
V. V)
(V.V). V)
+ (M
a
Mais. on sait que
I v.v [ IV!2
v.v • +V)
( M( + +)
a
+
1fJ
d' apres le theoreme de la divergence et la condition
== 0
VIaa = 0
.
Introduisons done le scalaire Yo tel que
y
avec les contraintes
=
o
V.V= 0
et
VIan = O.
variationnel classique pour determiner y
ce qui nous donne un probleme .
o Ainsi. nous arrivons ii I' inegalite +
aE(V) + 2 E(V) , 0 at Yo ou encore (15.13) Lorsque Yo > O.toutes les perturbations decroissent zero avec t
+ ......
exponentiellement~rs
2
dans la norme L • independamment de l'amplitude initiale
de la perturbation et on retrouve Ie critere de stabilite inconditionnelle. Mais lorsque I' opEirateur lineaire L(~) n' est pas symetrique. i l est possible que Yo devienne negatif. tandis que toutes les valeurs propres de L(~) ont des parties reelles positives - il s'avere que cette derniere condition est suffisante pour garantir la stabilite relativement aux perturbations suffisamment petites.
I
De maniere
precis~
on a Ie theoreme suivant :
"si toutes les valeurs propres de L(;) ont des parties reelles positives. c' est-ii-dire si Ie probleme aux valeurs propres
264
a1T,
-vo ~~.~ (15,74)
a~.
ax.~ --
+--
ax.
~
0 ,
$'1 an ~
~
a des valeures propres
o ,
a parties
-+-
reelles positives, alors ua est
inconditionnellement (universellement) asymptotiquement stable 2"
dans la norme L
15.5. LA VECOMPOSITION VE LIAPOUNOV-SCHMIVT POUR LE CONfINEES 1. Revenons
a l'equation
v, a.
VES PERTURBATIONS
d'evolution generale (15,69); la
decomposition dite de "Liapounov-SchmidtU consiste ( 15,69), pour
CAS
deux equations pour
Xet y (qui
a.
reduire cette equation sont definies plus bas)
dans des espaces complementaires. Supposons, ici, que l'ecoulement de base (~, PB) ne depend pas -+-
du temps t et dans ce cas,l'operateur lineaire L(ua) est aussi independant de t. De plus, precisons que le domaine d'ecoulement . .. 3 toutes les tro~s dlrect~ons, dans:R .
n
est borne dans
Considerons le probleme lineaire (15,71) (15,71' ) et effectuons une transformation de Laplace
~= -+-
Comme V
=V
~
r
e-
St
Vdt
S
(J
+ i w
o
lorsque t =
~on
-+-
trouve pour V l'equation suivante
(15,76) et on sait que la stabilite du probleme lineaire (15,71') est liee Ala -+-
localisation du spectre de l'operateur lineaire L(ua), suppose independant de t. Ce spectre est forme par l'ensemble des valeurs (en general complexes)
265
.; de S pour lesquelles l'equation (15,76), en V, n'est pas resoluble d'une maniere unique par une fonction dependant continUment de la donnee initiale
YO.
De plus, et cela est le plus important pour nous ici, le domaine d'ecoulement etant
born~
le spectre en question sera constitue uniquement
de valeurs propres discretes que nous supposerons de multiplicite un
a l'hydrodynamique).
(situation qui est souvent realisee dans les applications Ainsi,
a chaque A
+
valeur propre Sn , n = 1, 2, ... ,sont associeesune A
.
+
fonction propre V et une fonct~on propre W de l'operateur adjoint n n telle fac;;on que le produit scalaire
(Vp ' ~q ) ou l'asterique
"~,,
-
~
-+.
V .W P q J n
->dx
(~
0pq -
~+
L(~)
de
p - q p 'f:. q ,
designe le passage au complexe conjugue. On peut done ecrire
la solution de notre probleme linearise (15,71') sous la forme suivante :
L (YO, n ~ 1
(15,77)
) n
~
S t .; e n V
S
n
n
=(j
Cette solution (15,77) indique bien que, si tous les il y a stabilite, tandis que si au moins un
n
+ i
wn
crn sont negatifs
crn est positif, alors y a
instabilite. Dans le cas instable, pour les grandes valeurs du temps t, la
->-
solution V sera constituee, uniquement, par une combinaison lineaire des ~ modes propres Vn (instables) correspondants aux valeurs propres S+n dont la ~partie reelle cr+ > 0 - ce sont lea modes amplifies; les aut res Vn etant n amortis. ~ Mais lorsque l'ecoulement de base (->~, PB ) varie, en fonction du
nombre de Reynolds, par exemple, certains modes propres peuvent passer du caract ere amorti au caractere amplifie et les Sn correspondants traversent alors l'axe imaginaire pur de 1& gauche
Yer~
la droite.
2. Une situation typique eat celle ou un petit nombre de modes propres est
caracterise
par des valeurs de cr
n
voisines de zero et positives,
tandis que pour tous,les autres modes propres,on a : cr
n
< 0, avec Icr
n
I
= O(J).
266
Par consequeIIt.,
designant un petit
E«
param~tre,
lorsque
n eN;
lorsque
neE,
nous ecrivons
(15,18)
oil
q > 1 est un exposant qui devra etre choisi, ulterieurement, "au mieux",
a partir
de considerations de "coherence interne" lors de 1a :mise en oeuvre
d 'une technique de perturbation singuli~re (MEM). Au niveau de (15,18) N et E sont deux sous-suites de la suite des indices n
et N ne comprend
qu'un nombre limite de termes.
a
Lorsque (15,18)
lieu on di t
que l' on est dans le cas d' une
"faible instabilite". Dans les situations hydrodynamiques usuelles N est compose d 'un seul element, avec un S
S
n
an + i wn et S·n
n
- a
n
= an
reel, ou encore de deux elements, avec
- iwn , complexes conjugues.
Admettons donc que l'operateur lineaire totale de fonctions propres
---
~
n
V
L(;) gen~re une suite
dans l' espace fonctionnel considere.
{V}
Dans ce cas, une fonction quelconque de cet espace fonctionnel peut-etre , , , ' . .) representee sous la forme d un developpement de Four~er
....
(15,19)
.+ (v, w) V n n ~
I
V=
nOll
et si l'on tient compte de ( 15,18), on pourra aussi ecrire que
....
V =
I nSN
(v, W ) ....Vn + n ....
(15,80)
en convenant que
X=
I
....
~
.... Y
....
+
PV
(v, w) vn n ~
neE
+
X
=
Y = QV,
~
QV
pV ne contient que des modes propres du type N et
des modes propres du type E . Les operateurs P et
Qjouent
d'operateurs de projection. Naturellement (15,81)
Q L (;)
*) Dans ce cas on a aussi :
X=
0
et
.. ..
L (u-) V = ~
L
n~1
..
~
*
Sn (V, W ) V n n
le role
267
Introduisons encore les notations
(15,82)
ce qui nous conduit,
o
(15,83) {
a la place
de (15,69), aux deux equations suivantes
~ = l.p x+ PM (x + i,
X + i)
dY = L Q
x +
dt
-+
Y
-+
+ QM (x +
-+
-+
Y,
ll
)
-+
Y)
3. Mais nous pouvons expliciter encore un peu plus Ie systeme (15,83) en faisant apparaitre Ie petit parametre
E
(voir (15,78». En e:ffet, de (15,78)
i l resulte que (15,84)
3
= Eq
n
0
+ i
n
hl
n
' lorsque n eN,
et de ce :fait, on peut ecrire la decomposition suivante
(15,85) E
q
A
X+ B X+ ~ y
Naturellement On et hl sont supposes etre de 1 'ordre de un et n Ie terme £q A, dans (15,85), correspond a £q tandis que Ie terme B, n dans (15,85), correspond a i hi et tous les deux pour n e N.
°
n
-+
En de:finitive, on arrive pour X et
Y aux
deux equations couplees
suivantes :
(15,86)
{
-+
dX
dt
= £q
-+
dY = L
dt
Ie terme LQ correspondant
Q
A
X+B X+PM
Y+
a 3n
Q M
eX + Y,
x+ Y);
(X+Y, X + y) ,
pour neE.
lI) Nous n' a:f:fichons plus la dependance rel.ativement
a la
variable d' espace,
qui reste implicite; seule la dependance temporelle apparait explicitement.
268
Comme
£
1, on voudrait bien resoudre le systeme (15,86) par
«
......
.
une methode asymptotique. Pour cela, on note que, si X et Y sont petl.ts dans la phase initiale d'evolution, ils le restent tant que t est petit devant £
-q
-+-....
,
...
et meme, durant cette phase, Y a tendance a decrol.tre exponen-
tiellement. En revanche, lorsque
...
l'amplification de X est telle que les termes non lineaires deviennent importants et l' evolution de
Yest alors
forcee par celle de
-X.
Ainsi, on constate que deux echelles de temps jouent necessairement un role important pour decrire l'evolution non lineaire; il s'agit de t et de T :
(15,87) et l'on est amene de
T
a considerer
que X et
Ydependent
simultanement de t et
•
D'autre part, pour des raisons de symetrie, on peut se convaincre que
PM(X,X)
=0
et dans ce cas
(15,88) oil G
PM
d, y ) est
d
+
Y, X + Y)
= PM
(Y, y)
une forme bilineaire de X et de
Sous cette
hypothes~ on
X=
(15,89)
£ ;
+ PG
s'interesse uniquement
a la
y),
Y.
peut faire le choix de q
2 et supposer que:
(t,T) ,
En fait, on ignore la phase transitoire,liee
aT
(x,
at
= 0 (1) et on
phase d'evolution temporelle non lineaire liee
= £2 t = 0(1).
Ainsi, le systeme (15,86) devient un systeme aux derivees partielles en t et en T de la forme suivante :
(15,90)
Ensuite, il faut developper; et ~
formellement sous la forme:
269
{
( 15,91)
-rP
-r
= Po +
8
-rP
1 +
8
2-+-
~2
+ .• ,
ce qui veut dire que I' on met en oeuvre une MEJi'I et on sait que 1 'une des cles, pour son application, est l' annulation des termes seculaires qui apparaitront lors de la resolution de (15,90) au moyen de (15,91),qui est suppose etre uniformement valable en t et en T.
OERIVATION OE L'EQUATION OE LANVAU PAR LA MEM
75,6
On considere ici la resolution asymptotique du systeme (15,90), lorsque
8
a partir
-+- 0,
des developpements asymptotiques (15,91).
Si nous portons (15,91) dans (15,90),nous obtenons une hierarchie d'equations pour $0' $1' $2' -+a
~o' .••. -B$0 = 0
(15,92a)
at
( 15,92b)
at
( 15 ,92c)
at
(15,92d)
al2 alo + P G (lo' B $ = at 2 ,IT+ A $0
a~0
al 1
- L ~ Q 0 - B $1
QM ($0' lo)
o ,.
~o)
................................. Notons que
X= E $
parcourt un espace de dimension finie (c' est
l'espace des modes propres correspondant .
.
.
"",.. .
an
6 N) tandis que B est sur 2
..
l'axe 1mag1na1re pur, car la decompos1t10n Lp = 8 A + B correspond a S = 8 2 a + iw . D'autre part, de (15,92a), on constate que $ ne sera n n n 0 determine que dans sa dependance en t. Si l'on veut determiner la dependance de $0 en
T,
il faudra resoudre l'equation (15 ,92d) pour $2 et ecrire
une condition d'annulation des termes seculaires; cette derniere condition conduit,en fait,
a l'equation
composee d'un seul element.
de Landau, lorsque la sous-suite n 6 Nest
270 Comme B a un spectre imaginaire pur
iw
, n 6 N, on peut ecrire
n
1a solution de l' equation (15, 92a), pour ;0' sous 1a forme suivante
.0
; o =n6N,n L
(15,93)
exp (i w t) n
et en substituant (15,93) dans (15,92b),on trouve $ (15,94)
OU
$
o
= peN L q6N L
~
o,pq
o
sous 1a forme
exp {i(w + w ) t} P q
$o,pq est sOlution de l'equation
H(wp
(15,95)
+
wq ) 1 -
L } Q
-- Q G (7 Cjlo,p
t ) , 'f'o,q
etant donne que nous nous p1a<;ons apres 1a phase transitoire . Grace a (15,93) et (15,94) nous obtenons, a 1a place de (15,92d)
.
....
l'equation non hamogene s~vante pour 4>2
....
iw t d4> n ~-A 7 ) dT Cjlo,n e
L
n6N
(15,96)
+
~ L.
~ L.
~ L.
PGCt
to
Cjlo,p , 'f'o,qr
peN q6N r6N
)e
i(w +w + w }t p q r
De (15,96) on voit que tous 1es termes du second membre, qui sont en exp (iwn t), avec n 6 N, entrent en resonance et donnent dans ;2 des termes seculaires t.exp (iw t), qui sont inadmissibles si l'on veut que 1es deve10ppeo
ments (15,91) soient uniformement valab1es ! II Y a une possibi1ite d'annuler ces termes seculaires (et c'est 1a justement l'une des soup1esses de 1a MEM) : i1 faut annuler Ie coefficient de chaque terme en exp - (iwn t),- avec resonance) •
0
6 N et wp + + -wr -:=-w - -wq n (condition de
Ainsi, apres 1a phase transitoire (car on a remp1ace $ approximation de regime permanent dans (15,96» (temps lent) suivante pour --
'$0,0 :
par son o on obtieot 1 'equation en T
271
r
( 15,97)
(R )
PG
n
ou (Rn ) symbolise la condition de resonance et
(~o,p' ~o, ...,.l ,
r
(R ) n
"""
est la somme sur tous
les (p. q, r) resonants pour un n donne. On notera que (15.97) fournit un systeme differentiel ordinaire pour determiner les coefficients ~ de la o,n solution (15,93) en fonction du temps lent T • Lorsque la sous-suite n e Nest composee d'un seul element, la solution ~o donnee par (15,93) est determinee par un seul scalaire d' amplitude
que nous noterons, maintenant, par A(T). Dans ce cas. d'apres (15.97), A(T) eet solution de l'eguation classigue de Landau. (15,98)
et A(T) est reel; dans (15,98), 0 est l'unique 0 de la relation (15,84), 2 n avec q = 2. L'absence de terme en A est une consequence directe de l'hypothese PM X) = O.
(x,
Lorsque la sous-suite N contient deux elements, les S
n
correspondants
sont complexes conjuguees et ~ est alors definie par un scalaire complexe o
C(T) qui est solution de l'eguation de Landau-Stuart d C(T) = 0 C + K C dT
(15,99)
IcI 2
L'etude de l'equation de Landau (15,98) a ete effectuee
a la
section
15,2 (voir Ie point 2). Precisons ici que cette equation de Landau permet de rendre compte des situations ou une valeur propre reelle se trouve au voisinage de I' axe imaginaire, d' un cote ou de I' autre de celui-ci, suivant les valeurs prises par les parametres qui definissent l'ecoulement de base. La valeur propre en question est precisement egale
a
0 et on dit que l'ecoulement de
base est sous-critique si 0 < 0 et qu' il est sur-critique si
0>
o.
Dans Ie premier
cas, 1 'ecoulement de base (ou ecoulement primaire) est stable (0 < 0), au sens de la theorie lineaire, tandis que dans Ie second cas,il est instable (0 > 0) dans ce meme sens.
272
L'evolution de A (T) selon (15,98) depend des signes de 0 et de K. Comme K peut etre considere comme etant independant de discussion selon le signe de K. Si~,
toute perturbation imposee
(ayant une composante suivant
Yqui
X qui
0, on peut faire une
a l'ecoulement
sous-critique
est O(e:) au plus, une composante suivant
est O(e: 2 ) au plus) tend vers zero, lorsque T
+
~ et cela exponentielle-
ment; on peut alors dire qu'il y a stabilite aux perturbations d'amplitude finie mais suffisamment petite. Par contre, si une perturbation est imposee
a. un ecoulement sur-critique elle croi:t tant qu'elle est dans le domaine 2 ~ 0 1/2 lineaire (A «0) et elle tend vers une limite finie A (- K) , lorsque T++~
Si K > 0, alors une perturbation apportee ne tend vers zero, lorsque T + +
a l'ecoulement
sous-critique
que si son amplitude initiale est inferieure ...a ( - K 0) 1/ 2 . 1 . ,. . A devenant J.nfJ.nJ. . . . au bout d' un ' sJ.non el e augmente J.ndefJ.nl.1Jlent; ~,
temps fini, mais toutefois l'equation de Landau (15,98) cesse d'etre valable bien avant cette eventualite. Enfin, si une perturbation est apportee
a. un
ecoulement sur-critique (lorsque K > 0), elle augmente et tend vers l' infini de nouveau pour une valeur finie de
T.
Il faut,enfin,bien preciser que les solutions non nulles de (15,98), independantes de T , n'existent que si 0 K < 0; elles correspondent
a une
bifur-
cation sous-critique si K > 0, et a une bifurcation sur-critique si K < O. La · , A = (- K 0) 1/2 et la branche non b"J.furquee ,echangent 1 eurs branche b J.furquee caracteristiques de stabilite ou d'instabilite. ~
~
A
A
--
......
""
STABLE
"-
"
""
STABLE
INSTABLE
--------..:>~
K > 0
sous-critique
,, ,
\
0
K
" , ...
--
sur-critique
STABILITE DES ECOULEMENTS PRESQUE PARALLELES
16,1. LE PROBLEME VE POISEUILLE Il s'agit de l'ecoulement d'un fluide de Navier,ayant une vitesse de profil parabolique
a l' entree
d' un canal plan (dans le plan (Ox, y)).
On considere des perturbations du champ des vitesses le long du canal, vers l'av~
qui sont periodiques de periode A et a
21r =II
est le nombre d'onde
associe. Avec des grandeurs sans dimensions cet ecoulement de base de Poiseuille plan
limite~par
les plans y = ± 1, est caracterise par la
fonction de courant :
( 16,1) qui satisfait aux conditions d'adherence de la vitesse
(16,2)
-d1J.lB dy
I
y=±1
=0
.
On sait que, dans le cas plan instationnaire, l'ecoulement de Navier caracterise par la fonction de courant
a l' equation (avec
(t,x,y), adimensionnelle, satisfait
le nombre de Strouhal S ::: 1) :
o ,
(16,3)
Ecrivons done que
( 16,4)
1J.I
1J.I
(t, x, y)
274
8i l' on suppose que 15 = o( 1) on obtient pour la perturbation
(t. x. y)
l'equation quasi-lineaire suivante :
(16.5)
etant donne que : f1 2 (f1 2 \jiB)
= O.
A cette equation (16.5). il faut associer
les conditions :
(16.6)
aep _ aep ± ax - 0 et ay = O. sur y = 1.
et aussi une condition initiale (16.7)
ep
epo(x.y). pour
1. En theorie lineaire. lorsque 0 «
t = 0 .
j.
on doit remplacer l'equation
(16.5) par l'equation lineaire associee : (16.8) et dans ce cas lineaire.on peut envisager des solutions de (16.8)
avec (16.6).
sous la forme d' ondes planes : (16.9)
ep (t. x. y) = F(y) exp ~i a(ct - x>]
qui sont des perturbations dont la structure spatiale. en x. est periodique lorsque a est reel. Naturellement. cette solution (j6.9) ne satis.fait pas la condition initiale (16.7). car elle n' est pas adequate pour decrire la phase transitoire. fortement instationnaire. qui prend naissance en t = O. En substituant (j6.9) dans (16.8) on obtient 1 'equation dite de
Orr et Sommer.feld (pour l' ecoulement de Poiseuille) pour F(y) :
a
275
(i a. Re
-1
)
d
2
2
2
2
F(y) + (1 - Y
=0
,
[ dy2 - a. J
F(y)
( 16,10) + 2 F(y)
qu'il faut resoudre avec les conditions aux limites
F(± 1)
(16,11)
o
dFl dy y=±1
'
o •
On trouvera une analyse detaillee du probleme (16,10), (16,11) dans le livre de Drazin et Reid (1981, deja cite; voir les §§ 28, 31 et 32). Ce probleme (16,10), (16,11) admet toujours la solution triviale F
=0 et
c'est,
de ce fait, un probleme aux valeurs propres (dans un sens quelque peu generalise): pour des valeurs arbitraires de a., Re et c,il n'y a, en general, que la solution F
=0
et de ce fait il y aura une solution non triviale, differente de zero, que
si une condition est satisfaite. Cette condition peut s'ecrire implicitement sous la forme
S (a., c; Re)
(16,12)
=0
.
L' equation (16,12) est 1 I equation "seculaire" de notre probleme (16,10), ( 16,11) et elle est definie pour a. et c complexes, en toute generalite. Considerons maintenant le cas particulier ou a. est fixe et reel. Cela veut dire que l'on s'interesse aux perturbations dont la structure spatiale en x est periodique et de longueur d'onde
A = 2rr/a.. Dans ce cas,l'equation
seculaire (16,12) nous donne c en fonction de Re et il y a une infinite de valeurs ~omplexes)
qui satisfont 1 I equation. c=C(Re;a.),
(16,13)
deduite de (16,12), lorsque a. est un reel fixe, car le graphe de (16,13) a en general une infinite de branches. Ainsi, si nous introduisons (16,14 )
c
= cr
+ i c.1.
>
-ia.( ct-x) +a.ci t = e e
-ia.( c r t - x) , e
276
de telle sorte que c r donne la vitesse de propagation de la phase des perturbations. Posons wi a c i ' alors
=
a) lorsque w. > 1
b) lorsque w. < 1
oo-
les perturbations sont amplifiees dans le temps; elles sont attenuees et il y a stabilite.
Ainsi, dans ce cas,la frontiere de stabilite (lineaire) est donnee par la courbe : W. 1
= 0,
qui est dite "courbe neutre de stabilite ".
(16,10) , on a
I l est bon de noter que, d'apres 1 'equation
S(a, c
r
+ ic.; He) 1
= O=>S(-a,
c
r
- i c.
1
He)
o
et de ce fait le signe de Wi ne depend pas du signe de a Mais on peut aussi convenir que c est un nombre reel et qu'il est fixe, tandis que a
= ar
+ i a
i
(16,15 ) Lorsque a > 0 , les perturbations sont amorties vers l'aval, lorsque x + + i et il y a stabilite, tandis que si a. < O,ces perturbations sont amplifiees
00
1
et il y a instabilite. Comme l'intervalle en y est fini (+ 1, - J), pour chaque paire de He et a , l'equation seculaire (16,12) permet de determiner un spectre discret de valeurs propres complexes cn' avec n
=
1,2, ... , et l'integration du
probleme d' Orr-Sommerfeld (16,10), (16,11) donne la possibilite de determiner les fonctions propres F (y) associees. n
Les perturbations ~ , determinees suivant (J6,9), d'apres ces F (y) n
n
sont dites constituer "des ondes de Tollmien-Schlichting" et elles se presentent sous la forme suivante :
et on peut construire une solution generale pour
( 16,16)
~
1
= 2'ff
I
~
sous la forme
00
00
L
n~1
t A (a) F (y) e -ia (cn -x) da , n n
la sommation port ant sur tous les modes propres,et en supposant que les {Fn (y)} forment un systeme total.
277
L'analyse du probleme (16,10), (16,11) montre que la solution est la somme de deux fonctions de y dont l'une est paire et l'autre impaire, chacune de ces deux fonctions etant fonction propre du probleme (lineaire)
(16,10), (16,11). De plus, il s'avere que, le spectre d'ondes de T.S. corres,. propres 1mpa1res, l1e aux f requences cimp est t oUJours n stable, tandis que pour celui correspondant aux fonctions propres paires, lie aux
pondant aux
~onctions
o
0
0"
0
frequences cpa , seul le premier mode est susceptible d' etre instable. Ainsi, n
la condition:
o
(16,17)
fixe la courbe de stabilite pour l'ecoulement de Poiseuille plan dans le canal y
=+ Les calculs montrent que le mode critique correspond a Re*
ce qui fait que le nombre d'onde correspondant est a~
= 1,0205.
,.;tI)
Cependant des etudes numer1ques, assez recentes ,.
,.
0
= 5772,2, bOlo ,.
, de la sta 1 1te
(non lineaire) d'un ecoulement de Poiseuille plan,ont mis en evidence des instabilites sous-critiques (apparaissant pour des Re < Re* de la theorie lineaire). L'instabilite apparatt
d'autant plus vite que l'amplitude
initiale de la perturbation est grande - les grandes perturbations initiales fournissent des resultats en bon accord avec les experiences en laboratoires et tendent a montrer l'existence d'un Re~ minimum (de l'ordre de 1000) en dessous duquel l'ecoulement de Poiseuille est stable quelque soit l'amplitude initiale de la perturbation. Sur la figure, ci-dessous, nous avons represente schematiquement la frontiere de stabilite de l'ecoulement de Poiseuille (16,1), c'est-a-dire la courbe neutre : c.
1
=0
I IIIII I I I I I
5
l'article de pp. 639-662.
~)Voir
8 10
20
I I I I I I
30 40 50
I
I
I I I
Re', 10
1
80 100
Flandroy et Platten dans le J. de Mecanique, vol. 19, 1980,
278
2. En theorie di te ".faiblement non lineaire ", on a pour but d'obtenir une equation du type de celle de Landau
(16,18) dont le developpement peut etre pousse jusqu'a n'importe quel ordre. Les coefficients d'indice impair sont souvent nuls pour des raisons de symetrie (ainsi, si A satisfait a (16,18), - A aussi). Par ailleurs, cette equation et en particulier le signe des coefficients ai'dits de Landau permettent de determiner le type de bifurcation qui a lieu et nous reviendrons sur ce probleme au chapitre VI suivant. Stuart (J.F.M., vol. 4, 1958 et J.F.M., vol. 9, 1960) et Watson (J.F.M., vol. 9, 1960) ont ete, semble-t-il les pionners de l'application de ces techniques faiblement non-lineaires en theorie de la stabilite hydrodynamique. Par la suite Itoh (Trans. Japan Soc. Aero. Space Sci., vol. 17,
1974), Reynolds et Potter (J.F.M., 27, 1987), Herbert (J.F.M., 126, 1983), Guiraud (Ann. Phys. Fr. 5, 1980), Guiraud et Zeytounian (J. de Mecanique, vol. 17, 1978) et De Coninck, Guiraud et Zeytounian (Q. J. Mech. Appl. Math. 36, 1, 1983) ont utilise et ameliore ces techniques (voir la section 15,5 du § 15). On revient donc a l'equation complete (16,5), avec 0 1 et on
=
admet que la solution de cette equation peut s'ecrire sous la forme
(16,19 )
e
inex(x-c t) r,
ou ex et c r sont pris reels (on s'interesse a une theorie temporelle) et on se limite donc aux solutions periodiques en x. Par ailleurs, dans (16,19), pour que
soit reel, on doit imposer
un systeme infini d'equations couplees :
=1,
et on trouve
279
d
a
-1(_d2
a
_
2 2 2 ( - - k a)- i k a(u... - c ) - "t
dy2
r
.t\
dy2
(16,20)
2 - Y •
OU '13
A partir de la, on fait l'hypothese
~ue
dans la serie de Fourier
(16,19) c'est la composante fondamentale ~1 ~ui est predominante. L'idee alors est, d'apres Herbert (1983), de definir une amplitude A(t) de ~1 par rapport a
la~uelle
on va effectuer des developpements en serie entiere
(en puissance de A). Pour le cas de l'ecoulement de Poiseuille,on prend A(t) = 1~1 (O,t) I,
(16,21)
OU Y
0 designe le plan central, milieu des deux plans delimitant le canal
en y
et y = - 1. On developpe alors les
~k
00
IAI 2n L n=O
(16,22)
OU
~
0,0
:: 0 et les
P1 k
~k
N ( ) ,n y , k e ,
sont normalisees facilement dans le cas de
,
l'ecoulement de Poiseuille grace a (16,21) : ( 16,23)
~1
,0
(0):: 1 et ~ 1
,n
(0):: 0,
n > 0 •
On reporte ensuite (16,22) dans (16,20) et on identifie les termes suivant les memes puissances de A. On obtient ainsi une hierarchie ~ui
montre
~ue
(16,20) fournit
d'e~uations
le procede est iteratif. En particulier, au premier ordre, l'e~uation
A(t)
{1 '
2
- ( d- - a 2 ) -ia Re dy2
(16,24) - 2ia}
~1,0
dA
dt
d
2
(Ug-cr~ 2
2dy - a ) ~1 , 0
i
(-- ( 2)
dy2
o .
280
Soient maintenant L
et
deux operateurs tels que (16,24) se
U
mette sous la forme A
dA
L <1>1 , 0
dt
o
U <1>1 , 0
on ecrit alors 1 dA
- -
( 16,25)
A dt
=
L<1>l 0 U<1>l , 0'
---:.L
ou
A
~
Par consequent, t et y sont separables et A
=
a une
et L<1>l,o;lU <1>1,0
meme constante que l'on note a c i wi de sorte que Ie premier terme du developpement (16,22), lorsque k = 1, corresponde au cas sont egaux
lineaire; l'operateur
L-
Wi U est celui d'Orr-Sommerfeld (16,10) et donc
au premier ordre,on a
(L - wi
( 16,26)
U) <1>1,0 = 0
dont la resolution fournit les valeurs propres c
et c
i
r
et la fonction propre
<1>1,0'
Par ailleurs, cette succession d'equations obtenue en reportant (16,22) dans (16,20) permet bien de trouver I I equation
"a
la Landau". On cherche
a priori ( 16,27)
d'apres Itoh (J.F.M., 181, 1987); en fait, il faut bien voir que l'on reporte dans ( 16,20)
a la
fois (16,22) et
suivant les puissances de
IAI·
(16,27) pour pouvoir identifier les termes
En particulier, d'apres (16,25), on a i
( 16,28)
On continue en determinant
~
't'0,1
w.1
W.
1
et 't'2,0 ~
_
a c. 1
dans des equations qui ne
seront plus homogenes. Et ainsi de suite; en regIe generale, les coefficients de Landau A., dans (16,27) sont obtenus grace 1
a des
par rapport au noyau de l'adjoint de l'operateur (16,26) •
relations d'orthogonalite
L - Wi U , singulier d'apres
281
On notera que la serie (16,27) ne converge que si, au depart, on est parti d'un mode instable pour la theorie lineaire, c'est-a-dire si c 1' > 0 (en fait pour c. = 0 la serie reste convergente); pour c. < 0, 1
1
l'hypothese faite au debut consistant a dire que
~1
est predominant dans
(16,19) devient fausse. Ainsi, donc, la demarche est valable pour a a l'interieur de la courbe neutre. On peut aussi aborder Ie probleme de la stabilite non lineaire (faible) en recherchant la solution pour un "paquet" d'ondes instables (en theorie lineaire) sous la forme approchee suivante :
(16,29) ou a
c
A (X, T) e
is c
It
+ A
(X,T) e
-is c
ec = ac x-w ct '
est Ie nombre d' onde du mode Ie plus instable et w sa frequence. c It 1/2 Au niveau de (16,29):X = E x, T E t, avec E= IRe-Re I «1.
La modulation "faible" de A en espace et en temps represente un paquetd' ondes et comme l'ont montre Stewartson et Stuart (J.F.M., 48, 529-545, 1971) cette amplitude A des modes les plus instables est gouvernee par l'equation aux deri vees partielles suivantes : (16,30) ou A1 =
~ =
£A ' c
ce qui permet de tenir compte des termes non lineaires,
=E
=2
t) et T = E T E t avec c = (i dS g g daa=a vitesse groupe et S Ie taux d'amplification tel que c X -
g
T
(x - c
la
(16,31 ) et
Re
->-
Re
lJ
On notera que wc et c g sont des constantes reelles, tandis que a 1 et a 2 sont des constantes complexes ~ant des parties reelles positives. lt Pour l'ecoulement de Poiseuille,on a c > 0 et l < O. Si Re > Re et g
r
lr < 0, alors A1 peut tendre vers 1 'infini lorsque T tend vers une valeur finie pour un ~ fixe - ces solutions dites explosives sont revelees par des etudes numeriques en resolvant Ie probleme avec valeur initiale, la donnee initiale est
la solution
~ondamentale
ou
de la solution lineaire.
La raison pour laquelle on prend cette donnee initiale tierrta ce que, si les perturbations initiales sont quelconques et resultent de la superposition
282
d' un spectre continu de modes (pourvu seulement qu' elJ.es soient franchement dans 2 le domaine lineaire) il faut un temps 0 (E- ) pour que les effets non lineaires deviennent appreciables et alors tous les modes non amplifies sont devenus parfaitement negligeables (nous revenons sur cette question
a la
fin de ce
a la
section 16,4,
§ 16). Ces solutions explosives pourraient avoir un rapport avec
les bouffees de turbulence,observees dans le phenomene de la transition laminaireturbulent (transition via l'intermittence qui est caracterisee par un melange de phases d'evolution reguliere,presque periodiques, interrompues temporairement par un comportement d'apparence anarchique (boufrees de turbulence)). On trouvera, dans l'article de Benney et Maslowe (Stud. Appl. Math. 54, 181-205, 1975),une theorie complete pour l'obtention d'equations du tyPe de celle ecrite en (16,30). Signalons aussi l'article de synthese de Maslowe dans le livre edite par Swinney et Gollub (Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence, Springer-Verlag, 1981; voir le chapitre 7 cons acre transition et aux instabilites de l'ecoulement cisaille). Pour notre revenons
a cette
a la
par~nous
equation dans le contexte de l'etude de la formation et de
l'evolution non lineaire d'un paquet d'ondes de Tollmien-Schlichting (voir la section 16,4) - d'apres un travail de Guiraud et Zeytounian (J. de Mecanique, vol. 17, nO 3, 1978).
16,2. VERIVATION VE L'EQUATION V' ORR-SOMMERFELV PAR LA TECHNIQUE VE BOUTHIER Nous partons de l'equation (16,3) pour
~(t,
x, y) et nous recherchons
la solution de cette derniere sous la rorme ~(t, x,
(16,32) ou
0«
1 en theorie lineaire. Comme
stationnaire, associee ( 16,33)
= ~B
y)
a
(x, y) + 0 lj>(t, x, y) , ~B(x,
y) doit satisfaire
a l'equation
(16,3),
a~B
(ay-
a a~B i:l 1 ax - a;z- i:ly - Re
6. 2 ) 6. 2 ~B = 0
il vient, en theorie lineaire, pour lj> (t, x, y) l'equation lineaire suivante
(16,34) + (alj>
ay
a ax
et les conditions aux limites pour
o lj>, satisfaisant
a
(16,34), sont homogenes.
283
Bouthier (J. de Mecanique, vol. 11, nO 4, 599-621, 1972) a montre que, lorsque le defaut de parallelisme est faible (ecoulement presque parallele), on pouvait employer une MEM en faisant intervenir une modulation lente de l'amplitude des modes en x. Dans ce cas, on constate que l'equation generale d 'Orr-Sommerfeld regit la premiere approximation d'un developpement de la perturbation en echelles multiples et qu'en poussant aux approximations d'ordre superieur et en ecrivant une condition d'annulation d'un terme seculaire, on obtient une equation regissant la variation (avec x) des perturbations. Fosons done, avec Bouthier,
(16,35) oil
e:«
I;=e:x,
T=e:t,
Tl -
Y
A
= 8(s,T) e:
,
1 est un infiniment petit qui caracterise le "non-parallelisme" de
l'ecoulement, tandis que la fonction
6(I;,T) dans (16,35) est, pour l'instant,
arbitraire. Des lors avec ces nouvelles variables nous avons :
(16,36)
~B(x,y)
= F(I;, Tl;
e:);~(t,
x, y) = f(A, Tl,
S,
T; E),
avec les formules de derivations suivantes
(16,37)
_ ax a~
af a8
(16,38)
Si nous substituons (16,37) et (16,38) dans l'equation (16,34), alors la perturbation en E apparait, selon la MEM, comme etant reguliere, d'oil pour F et f' les developpements asymptotiques suivants :
(16,39)
F(I;,
1'];
e:) = Fo(I;,Tl) + e: F (I;,Tl) + ... ; 1
F(A,Tl,I;,T;E) = fO(A,Tl,I;,T) + e: f 1(A,Tl,I;,T) + A l'ordre e:o,nous obtenons ainsi l'equation suivante, pour fo' dont
les coefficients ne contiennent pas la variable courte A :
284
(16,40)
Comme les coefficients de cette equation (16,40) ne contiennent pas la variable A, nous pouvons rechercher sa solution sous la forme suivante
et il vient pour Xo
(16,41)
11 suffit ainsi de poser
aF o an
(16,42) pour retrouver l'equation d
I
= UB ,
ae
~ =
- c ,
a,
Orr et Sommerfeld ecrite sous sa forme habituelle 1
-.~aRe
(16,43)
~
a2 an 2
-
- a
J
2 2 X + (U 0
B
a2 an 2
2
- c) [ - - / a X _
0
Cependant, il y a une difference notable qui est liee au fait que a et c ne sont pas des constantes et que U est aussi fOl1ction de I; ; dans la B theorie classique de la stabilite lineaire a et c sont des constantes et UB == UB(n).
Cette equation (16,43) avec les conditions aux limites
aX
( 16,44)
Xo
=--2.=0
lln
sur n
+
= h~
(I;) ,
lorsque l'on suppose que l'ecoulement a lieu entre deux parois "presque" paralleles (I;
=£
x ,
£
< < 1; x variant lentement)
(16,45) determine la fonction ~o = X exp(iA),a une fonction amplitude Ao(I;,T) pres. o Pour obtenir l'equation donnant la variation de A ' en fonction de I; et de T, o il faut pousser jusqu'a l'ordre £ et ecrire l'annulation d'un terme seculaire
285
en
£
Aexp( iA) apparaissant au niveau du terme
£
f 1 du developpement (16,39).
On notera ~ue l'e~uation (16,41) avec (16,44),impli~ue l'existence d'une relation
caracteristi~ue
G (~
de dT ' d~
(16,46) ~ui
:
est, en fait, une
e~uation
o
t") ..
aux derivees partielles non-lineaire portant
sur la fonction de phase (arbitraire)
e
(~,T).
En definitive, a l'ordre £0, on obtient une solution approchee, uniformement valable, pour la perturbation sous la forme ( 16,47)
f
=A
o
(~,T) X (Tl,~) 0
exp
lfi ~J + 0 £
(£)
16,3. SOLUTION ASYMPTOTIQUE UNIFORMEMENT VALABLE VE L'EQUATION VE ORR-SOMMERFELV·) Nous considerons, ici, Ie probleme
classi~ue
de Orr-Sommerfeld
(16,48a)
(16 ,48b)
En fait, on sait ~ue les solutions de l'e~uation (16,48a) (dite "e~uation
OS") se separent en fonctions paire et impaire. Les solutions
impaires sont toujours stables et de ce fait,nous nous interessons
uni~uement
aux solutions paires. Pour ces dernieres, a la place de (16,48b),on peut imposer les conditions
.) Nous nous inspirons directement de l'article de L.N. Long publie dans: J. of Engineering Mathematics 21, 1987, 167-178. On pourra aussi consulter
Ie chapitre 5 du livre de Drazin et Reid (de 1981, deja cite).
286
MI -U-I
(16,48c)
dy y=O - dy3
y=O
eJ>(1) =
MI
dy y=1
o •
Etant donne que l'instabilite a lieu pour les valeurs du nombre de Reynolds suffisamment grandes, on introduit le parametre ( 16,49)
£
= i
1
Ct
Re
«1 ,
qui est un petit parametre de perturbation singuliere, etant donne qu'il se 4 trouve place devant la derivee d eJ>/dy4.
1. Lorsque
1£1
+
0, avec y fixe, on obtient de (16,48a) l'eguation
dite de R;rleigh (16,50)
ou
(j)
LimP eJ>(y) avec LimP
= Lim a y
fixe.
£+0
Les solutions de l'equation de Rayleigh (16,50) sont dites "non visqueuses" ou exterieures en ce sens qu'elles ne sont certainement pas valables au voisinage des parois. 2. Pour obtenir les solutions dites "visqueuses" ou interieures,il faut introduire la variable interieure
n = ~£
( 16,51)
et
eJ> (£n)
=~(n),
ce qui permet d' obtenir l' equation dominante suivante (16,52)
dite equation tronquee de Reid (voir
a.
ce sujet "Basic development in fluid
dynamics", vol. 1, Academic Press, New-York, 1965).
3. Ci-dessous,on suppose que
2
U
~ et (UB - c) restent toujours de
l'ordre de un. On va tirer profit de la eJ> (y) par:
d
m~hode
en deux echelles,en
rempla~ant
287
<j>(y)
1Il
<j> (y,T) ;e:)
ou (16,53)
T)
avec g(y) et
V
des inconnues
g(y)
a determiner.
Dans ce cas, on a :
er aussi des relations(que nousn'explicitons pas ici) pour d
2
<j>/dy2 et
d <j> /dy4 En substituant dans l'equation os ces relations il vient une equation aux derivees partielles pour <j>~(Y,T);e:),que nous pouvons mettre sous la forme suivante : - e:
2 -1
,,2 lI! dO' 2 0- ,t, ( =dy) (u -c) .:::...-...:I:. B (IT)2
(16,54) _
+ e: 2V (dyndO') e: 4V-1 N (,t,1Il) OJ' -=
2
(1Il) +Oe:,e: (3V 4v) =0, Q<j>
ou L, M, N et Q sont des operateurs differentiels qui sont explicites dans l'article de Long (j987; voir pages j70 et 171). L'equation tronquee de Reid (16,52) nous donne
a penser
que les
deux premiers termes de (16,54) doivent etre dominants, ce qui fait que:
o = 2v -
(16,55)
1
=>
V
=
1
2'
Ainsi, on voit apparaitre au niveau de l'equation (16,54) des termes proportionnels
a e:O,
1 2 e: / , e: ,
uniformement valable de
1Il
• De ce fait, le developpement asymptotique
<j> (y, T); e:) doit etre de la forme suivante :
288
(16,56)
(16,57)
4
o
( 16,58)
<1>1
2
0
2
<1>1
- - r - - r(y) - 011 '+ 13 011 2
=-1- [dg/dy
2 B
]
L ( ) + K (y) M( ) 0
0
(16,59 )
2
avec KB(y)
On notera que (16,60)
N ( ) o
est l'operateur de Rayleigh pour , et se trouve dans le second membre de o l'equation pour <1>2 . On precise aussi que les descriptions visqueuse (interieure) et non visqueuse (exterieure) sont, en
~ait,
inclusesdans les trois premieres
equations (16,57) - (16,59) du modele en deux echelles. La premiere equation (16,57) a pour solution generale A (y)
o(Y,l1)
= -o2 -
+
B (y)
_0 __
exp
~(y)
KB(y)
[-
~(Y)l1 ]
( 16,61) + D (y) 11 + E (y) , o
ou Ao ' Bo , D0 et E0 et
K-13
sont des
0
~onctions
complexes de y.
289
Le second membre de l'equation pour ~1(Y'~) est, grace
a la
solution
(16,61), de la forme suivante :
'~6
A
0
+ 5
_'~6
~ + 2 dy
-13
2 d g / 2 dy
B
0
~ + 2 dy
~-+oo
o
. ,+~-~ proportlonnels a e e
et
a imposer
dB 0 Ie dy -13
= O(l),il ~(y)
~ dy
0
Ie -13
~
exp
dg/dy
~1 Pour assurer que Lim ~
Cela conduit
o Ie - 2 A
dA dy
~aut
2B
0
~ dY
eliminer les termes seculaires
!
:
( 16,62)
( 16,63)
et D (y) o
( 16,64)
Ainsi, on trouve les expressions suivantes, pour g(y), A (y), B (y) o 0
290
{
(16,65)
-5/4
A (y)
a ( U - c) B
D (y)
4 d (U - c)-1/ B
0
0
(y) = b(UB-c)
B
0
-5/4
ou a, b et d sont des constantes arbitraires complexes. 11 reste
a determiner
l'equation (16,59) pour
P2
E (y). o
Pour cela, il
~aut
prendre en compte
(y,n). Si Eaintenant on veut que
P2
Lim -
n-- Po
= O( 1)
,
on constate, d'apr~s le second membre de l'equation (16,59), que E (y) et o D (y) doivent satis~aire a l'equation de Rayle1gh o
( 16,66)
N (E (y) )
o
Ainsi, d'une part, il
(16,67)
=N
s'av~re
d = 0
o .
(D (y) 0
que
si
et d'autre part que 2
(16,68)
[
a laquelle probl~me
il
~aut
d _ E0 _
dy2
-ciE J
d
2
U B =--E 2 0'
0
dy
associer les conditions aux liEites habituelles pour le
de Rayleigh.
2
2
En conclusion, lorsque U - c et d UB/dy restent de l'ordre de un, B on trouve une solution approchee, uni~ormement valable de l'equation OS sous la forme suivante
Po ( 16,69)
ou
(y, n)
291
(16,70) et
n
4. On trouvera dans le travail de Long (1987) le cas ou 2
d UBI
2
UB(y) - c
et
ont des zeros simples (en un meme point). Pour le cas plus general,
d,v.
concernant les
2
.
de U - c et d U 2 , on pourra consulter le l~vre B B/dy de Drazin et Reid (1981; voir les §§ 36-41). Supposons, ici, qu' en un point prof~ls
y = Yc on ait
dans ce cas, au voisinage de y
= yc ,
il faut resoudre localement un probleme
dit "de point tournant". Pour cela on introduit une variable locale
y-yc
y =-8-
avec 8 (Re) + 0, lorsque Re +
00
•
Dans ce cas, l'equation OS (16,48a) pour la fonction <j>(y)
(16,73)
conduit
a l'equation
dominante :
dUBl dy
y=y
c
ce qui implique que (ex Re)
-1/3
Ainsi, il vient pour ~o(y) l'equation suivante
292
(16,75)
i
d~~O +~EI J ~
Y=Yc qui s'ecrit sous la forme d'une equation d'Airy, en introduisant (16,76)
-
·l ' o
dUB J!3
(-) dy
(16,77)
y=Yc
)
o .
is )
Cette equation (16,77) peut toujours se ramener a une equation de 2 Bessel classique pour la fonctionC s 1/ 2]d $O/ds 2 ' ce qui fait que l'on a / les deux solutions suivantes ~(
S
t/J o
s
I I
1)
(s)
ds
+00
(16,78)
~(2\s)= 0
t
ds
-00
et
+00
r
s 1/2 H( 1) 1 1/3
(~
(i (1)
3/2 ) dS 1
s1/2 H(2) (~ (i s )3/2) dS 1 ' 1 1 1/3 3
-00
(2)
H / sont,respectivement,les fonctions de Hankel de premiere et 1 3
de seconde espece d'ordre 1/3. Les deux autres solutions de (16,77) sont triviales et elles correspondent aux comportements des deux solutions non visqueuses de l'equation de Rayleigh, lorsque y
+
y
c
.
16,4. SUR LA FORMATION ET L'EVOLUTION NON LINEAIRE V'UN PAQUET V'ONVES VE
TOLLMIEN-SCHLICHTIN~) La situation que nous avons en vue, ici, concerne l'evolution en regime non lineaire, des perturbations
a un
ecoulement parallele, independant du temps
et "faiblement" instable. Nous notons x et y les coordonnees dans le plan auquel l'ecoulement est parallele, et z la coordonnee normale.
*) Nous nous inspirons directement de notre article avec J.P. Guiraud (J. de Mecanique, vol. 17, nO 3, 1978, 387-402).
293
Soit
U la matrice (colonne) des trois composantes du vecteur vitesse
de perturbation et U verifie une equation d'evolution (voir (15,69))
=L
dU
dt
U + M (U,U) .
15,4) que (16,79) est deduit des equations
On sait (voir la section
de Navier (15,57) pour un fluide incompressible. Dans (16,79), L est un operateur lineaire dependant de l'ecoulement parallele dont on etudie la stabilite et M est un operateur quadratique. Tous deux sont des operateurs differentiels, qui contiennent chacun un terme en
a realiser
gradient d'un scalaire, destine
la condition d'incompressibilite
pour L U et M (U,U), etant entendu que U elle-meme est assujettie
a cette
contrainte. Enfin, la somme des deux gradients n'est autre (au signe pres) que le gradient de la perturbation de pression. On notera que nous sommes,ici,dans le cas de perturbations non confinees. L'invariance de l'operateur lineaire L par translation suivant x et y incite
a
utiliser la transformation de Fourier :
U==
( 16,80)
FU
If
et l'on definit un operateur L
e
-i(a.x+SY)
i(a,S) tel que
dU = L
( 16,81)
dt
U dx dy
U.
Si, comme nous le supposons, l'ecoulement de base est confine dans la direction des z, par exemple d.ans l'intervalle (0.1), l' operateur L
admet une
suite complete (totale) de fonctions propres an, avec pour valeurs propres associees ~n' n = 0,1,2, ... A chaque
Un
1II)
est associee une fonction propre de l'operateur adjoint,
~n
soit V , et l'on a la relation d'orthonormalite
( 16,82)
I Un V"'m 1
k
k
dz
onm
o
OU 0nm designe le symbole de Kronecker, l'indice muet k etant somme de 1 a 3 et "1II" designant le passage au complexe conjugue. Naturellement,
l'asterisque
~ . l'indice inferieur "k" deslgne
~n
~~m
les trois composantes de U et V
.
294
1. L'hypothese fondamentale que nous formulons sur I' ecoulement de base non-perturbe est qu'il est au voisinage de la stabilite neutre. Cela se traduit sur les valeurs propres
supposees classees dans l'ordre decroissant de leurs
~n'
parties reelles. On a d'abord (16,83)
n ~ 1
ce qui revient
a dire
quels que soient a
Reel
n
) < 0,
. Ensuite, on suppose qu'il existe dans Ie plan des
~
(a,~)
un petit domaine 6 tel que
{
(16,84)
(a,~)
e
6 => Reel
(~
2
o
) = 0 (£ ) ,
ou 0 (£) est une fonction de jauge telle que: £ « Le petit parametre du diametre de 6
(~
que tollS les modes, sauf eventuellement un, sont attenues,
et
variables de Fourier
(a,~) =>
\I
£
«
0 (£) « 1.
1 est manifestement, ici, de l'ordre de grandeur
et il s'avere que c'est aussi l'ordre de grandeur de l'amplitude
des perturbations dans Ie regime non-lineaire. On notera que (16,84) signifie ceci Ie mode ~
o
associe
a UO
est attenue dans la majeure partie du plan (a,~) et seul
un petit domaine 6 de ce plan conduit
a une
amplification et celle-ci est 0 (£2).
Les conditions (16,83), (16,84) constituent la maniere precise de traduire Ie fait que la stabilite de l'ecoulement de base est marginale. L'etude de l'operateur
1
montre que
6 = E+ U E- OU E+ est un petit domaine de forme ovale autour du point (a , 0) et E- est o
Ie domaine obtenu par symetrie relativement
a
(0,0). Au point (a , 0), on suppose que
Reel ~
o
(~
) est maximal. Ainsi, on ales
.0.
.)
symetr~essU1vantes
:
0,0
(16,85)
ou S designe l'operation qui consiste
a changer
Ie signe de la seconde composante
de la matrice Un (oude celIe de son conjugue complexe (i*n). II resulte maintenant de (16,83), (16,84) et (16,85) et du choix effectue pour (ao ' 0) que si, sur E+, l'on pose: ~) C'est bien Ie cas qui correspond aux ondes de Tollmien et Schlichting (ondes TS).
295
( 16,86)
ex = exo +
'U
'U
B de
avec ex et
l'ordre de un sur
r;; ( 16,87)
o
= r;;
0
(a
0
+
E
E
'U
, B=
ex
E
~
alors on peut ecrire
~
6:, E~)
= - i A - E i 0
.e. 6:
une fois que l' on tient compte du fait que :
or;; Reel (~) oa ex
,0
or;;
0; =0 du fait de la symetrie en B de r;;o'
= 0 et
o
On notera qu 'au niveau de la relation (16,87), A , constantes reelles, tandis que a On designe par pl~n
F-1
2
et b
2
.e.
et y
0
sont des
l'inverse de la transformation de Fourier dans le
(x,y); dans ce cas on ecrira que U
o
sont des complexes.
F- 1
00
{L
n=O
(16,88)
.)
(FU,r) Un }
X+ Y ,
ou
( 16,89)
{
1 X = F- {1(~) (F U , vOl DO}
y
pU;
F- 1 {l(c~) (F U, vOl DO +
L
n#O
OU (.,.) est le produit scalaire (voir (16,82))
(F U, vn) un}
a partir
QU,
duquel l'adjoint de L
est defini. Les relations (16,89) definissent, en fait, les operateurs de projection P et Q; dans ces relations (16,89) intervient la fonction caracteristique du domaine (16,90)
l(~)
=
1,(a,B)
e ~;
{ O,(a,B)
e b,
et aussi celle de son complement,C b,dans le plan (a,B), de fa~on analogue (0 si (a,B)
e
~ et 1 si
(a,B)$
~)
~'
qui est defini
.
• ) A la difference de (15,80) nous ne mettons plus de "fleches" sur X et Y.
296
On a maintenant :
et du fait de la normalisation, d'apres (16,82),
Done
(16,91)
De meme
{
( 16,92)
PY=X-PX=O QX
= X - PX = 0 .
et aussi QY = Q {U-X} = QU - QX - QU Done ( 16,93)
QY = Y . D'autre part LPU
=LX
= F-
!I
1
= F- 1{
=
n=O
I
n=O
'-V
n=O
'n(Fl<,
V"I U"l}
vn )
Sn ( 1(1I) (FU, vo)
fIo,
sn 1(1I) (FU, Vo)
(0°, yn)
on }
un}
297
et de meme PLU
= F- 1 =
{1 (1I) (F L U,
F- 1 {1 (1I)
(I
vOl
Uo}
~n(FU, vn ) un,
vOl DO}
n~O
=
F- 1 {1(1I) ~ (FU, vOl Uo} = LPU .
°
Ainsi (16,94) De meme,on montre que: QLU
= LQU = QLQU = F- 1
{~o
1 (ell) (FU, vOl DO
(16,95)
Mais ( 16,96)
QLPU Si on applique
a
= PLQU = 0
.
(16,79) les operateurs de projection P et Q respec
tivement on trouve de nouveau (voir (15,83)) :
~ =
Lp X + PM (X + Y, X + Y)
~~ =
LQ Y + QM (X + Y, X + Y) ,
( 16,97)
ou Lp
= PLP
et LQ = QLQ .
298 On notera que lorsque (a,e)€
x = F- 1
( 16,98)
Lp x
=
~,
d
on a
U"},
1(c~) ~ = a ,
F- {~o ~ Uo } 1
~
,
= (FU
, vOl ,
et on constate que la dimension de l'espace dans lequel X varie est en fait "petite", puisque la mesure de
~
est petite. On notera aussi, que pour calculer 1II)
PM (X,X), il suffit de se restreindre
a
(a,B)€
. Pour Ie cas des ondes TS,il
~
s'avere que dans l'expression de PM (X,X) interviennent trois facteurs 1(~) ce qui fait que 1 'on a bien :
(16,99)
PM (X, X)
a .
D'apres (16,94), ou (16,98), et (16,87) on constate que
(16,100) avec A, B et C des operateurs que l'on peut expliciter; on notera que l'operateur A est obtenu, par exemple, en rempla~ant dans l'expression de Lp ' (16,98), ~o par Ie terme 0(1) de son developpement. Ainsi, dans Ie cas de perturbations non confinees, s'agissant de l'evolution des ondes TS,il faut considerer,
a la
place de (16,86), Ie systeme
suivant pour X et Y : dX = AX + £ B X + £2 C X + ..•
dt
(16,101)
+ PM (X + Y, X + Y)
dY - = L Y + Q M (X + Y, X + y) • dt Q 2. L'evolution temporelle de X dans la phase lineaire est essentiellement regie par Ie facteur exponentiel
exp(~
o
fait en trois phases correspondant
t) et (16,8 ) montre que cette evolution se
a trois
echelles de temps. II y a d'abord un
temps rapide, qui s'identifie au temps physique, t, puis ensuite un premier temps lent
T
= £ t et enfin un second temps lent
e=
£2
t. Le temps
T
decrit Ie
1II) M(X + Y , X + y) = M (X,X) + M (Y,Y) + b (X,Y), avec b(X,Y) la forme bilineaire
de X et Y associee.
299 phenomene lineaire de convection avec la vitesse de groupe, qui est toujours present quand il y a un continuum de modes, tandis que Ie temps e decrit Ie phenomene (toujours lineaire) de diffusion et d'attenuation associe. On suppose maintenant que la condition initiale sur U est arbitraire, mais d'amplitude 0(£2) et dans ce cas on a, initialement, X = 0 (£4) et Y
= 0(£2).
Par ailleurs, en ce qui concerne X et Y, on peut montrer qu'au cours de la phase non lineaire,ils sont respectivement 0(£) et 0(£2); c'est un resultat que l'on peut justifier en supposant que X et Y sont respectivement O(£q) et O(£r) et en cherchant
a determiner
q et r de maniere
a obtenir
une degenerescence
significative des equations retenant les termes non lineaires. Pour alleger •
,~
1 expose,nous posons
!If)
d~rectement
{
(16,102)
T
X
e
t
£
'V
X
£
Y
en convenant que ~ et ~ sont fonctions des trois echelles de temps : t,
T,
e.
Ainsi, la substitution de (16,102) dans Ie systeme (16,101) conduit aux deux equations suivantes :
a~
a:t-
+ £2 {
(16,103)
t~~ -B ~ ]
'V
AX + £
1
a~ _
ae
c
Pb(t~)}
'V
X -
a~ at - LQ Y - Q M (x, ~) + ...
Nous cherchons de la
~~,
'V
a trouver
'V
0
+ •..
o .
la solution de ce systeme (16,103),
a partir
satisfaisant aux donnees initiales
(16,104)
~
et
=~
,pour t
=0
,
sous la forme d'un developpement asymptotique, uniformement valable,
(16,105)
~)
i
'V
X
'V
Y
'V
X + 0
'V
= Y0
£
'k 1 +
£
2
'V
X2 + ...
+ .•.
On notera que l'on fait aussi un changement d'echelle sur les variables horizontales x et y : ~ ~£ x et n = £ y, pour tenir compte d~ relations (16,86). Naturellement Ie X de (16,102) n'a rien a voir avec Ie X de (16,98) I
300
La substitution de (16,105) dans (16,103) conduit
a une
hierarchie
d'equations et, au rang zero, l'on a
o
(16,106)
a'1 o a:t-
(16,107)
L Q
'10 = Q M (~0 ,
~0 )
Comme l'operateur A est lie au terme 0(1) de ~o,d'apres (16,87),on peut ecrire une solution pour ~
o
sous la forme suivante
~o
(16,108)
AO
ou E =: exp [-i (A
AO
13
t - a x)] et U est la valeur prise par U en a a o et o 0 0 O. On constate que ~ est aussi fonction des variables lentes ~ E X et 0
n
E y horizontales. On notera que la premiere condition initiale (16,104)
donne
xo
(16,109) Ainsi, ~
o
a sa
(O,O,~,n)
=0
.
se trouve etre l'onde TS d'amplification maximale relativement
dependance aux variables rapides (t et x) et X joue le role d'une amplitude o modulee par les variables lentes. 'V
11 faut maintenant considerer l'equation (16,107) pour Yo ; on peut
mettre sa solution sous la forme suivante :
(16,110)
et on notera, ici, uniquement que le premier terme de (16,110), r(t)
'1(0) , o
tend vers zero comme exp (-0 (O(E))t) et il est done (en raison de ce que E «
O(E) «
quand e
1) exponentiellement petit en E quand Test 0(1) et a fortiori
est 0(1). Pour preciser la fonction X
o
(T,e,~,n),il
faut progresser dans la
hierarchie d'equations deduites de (16,103) par substitution de (16,105). Si l'on ecrit l'equation en ~ au rang 1, on trouve 'V
(16,111l
aX
at
l
o
301
et on voit tout de suite que les termes en ~o induisent des termes seculaires dans la solution de ~1' L'annulation de ces termes conduit, d'apres (16,108),
a l'equation
:
(16,112) En introduisant c
g
=
,C 1
(vitesse de groupe de 1 I onde TS), cela permet 'V
de preciser la solution (16,108) pour X o
3co
( 16,113)
= "Reel
{q
(e, F; - c
0
g
T,n) E
[jO0 } ,
ou l'amplitude qo reste indetermine. II faut pousser jusqu'au rang deux pour esperer obtenir une equation regissant l'evolution de qo relativement F; ,
a e,
n . 'V
Au rang deux.on trouve, pour X2 , l'equation suivante 'V
aX 1 'V ¥ - A X2 + -at'- - B X1 a3c 2
( 16,114)
'V
a3c
+~-c3c
ae
Pb(3co , ~0 ) .
0
Si l'on tient compte de (16,112) et de la solution (16,113) pour 3c et que l'on impose (par analogie avec (16,112)) la condition:
o
(16,115) 'V
on trouve pour Xl la solution suivante :
( 16,116) Pour comprendre l'origine rn1 second terme dans la solution (16,116), il faut se rappeler que &0, dans la solution (16,~13), provient d'un developpement o + E~, e~). Ainsi, l'annulation des ternes seculaires (16,115), o engendres par les termes en ~1 d~~s l'equation (16,11 h ), permet d'ecrire la en E de &o(a
'V
solution (16,116) pour X satisfaisant
a l'equation
(16,111). Maintenant, il faut annuler les termes en 3c au niveau de cette meme equation (16,114), pour ~2' o 1
302
afin d'obtenir l'equation sol~tion
a laquelle
la fonction q
o
(qui intervient dans la
(16,113)) doit satisfaire. Si l'on tient compte de la signification
de l'operateur C au niveau de (16,100), en relation avec la decomposition ( 16,87), on obtient l' equation di te "de I' onde enve~", pour qc' Sllivante 2
(16,117)
as
2
1 aqo dqo Yo qo - - (a - - + b - - ) = F(qo) • 2 2 d~2 2 an2
ou F(qo) designe un operateur non lineaire, cubique, qui se trou,re explicite par Davey, Hocking et Stewartson (~.F.M., vol. 63, 1974, p. 29-36). La formation de l'operateur Fest la seule partie laborieuse des operations dans les applications.L'avantage de la presente methode (due initialement
a J.P.
Guiraud) est
evident si I' on remarque que l' on peut formuler simplement la regIe
a appliquer
pour former ce terme non lineaire de l'equation enveloppe : on substitue ~ ( 16,113)
et
o
d'apres
'{o donne par (16,110), mais I 'on ne retient que les termes dont
la dependance relativement
a la
variable temporelle rapide est en exp (-A
En appliquant cette regle,il faut prendre garde que
a assurer
gradient d'un scalaire destine
o
t).
b(~, '{ ) contient Ie o 0
la condition d'incompressibilite; cela
introduit une complication qui se trouve decrite dans Ie travail de Davey, Hocking et Stewartson de 1974. Nous pouvons ecrire que : ( 16,118) avec l' equation suivante pour
n:
( 16,119) ou K0 et K1 sont des constantes. Pour achever de determiner qo,il faut tenir compte de la condition initiale (16,109) qui donne: (16,120) et sous reserve d'unicite, il en resulte que l'on a (16,121) Cette conclusion paratt etrange
o
pour
s
(~
; 0)
= 0(1)
En fait, la condition S = 0(1) dans (16,121)
est essentielle. Si l'on considere l'equation (16,117) comme une equation dominante
303
regissant le terme principal de l'onde enveloppe et non pas sa £
+
0, on voit
remplaqant
~u'en
~o
par
~
dans
limit~ lors~ue
(16,117), on doit
l'e~uation
~ui est 0 (£3). Comme la
resoudre cette derniere avec une donnee initiale
solution ~ = 0 de (16,117) est instable,on voit ~ue l'on a ~ = 0 (£3),pour
e = 0(1),
ce
~ui
conclure en ce
est en accord avec (16,121), mais
~ue
coneerne toute phase ulterieure,ou
~ui
pousser plus loin le developpement pour elucider cette
l'on ne peut rien
e
»
1. Il nous faut
~uestion.
3. Nous voulons done comprendre comment se forme l'onde enveloppe. Si l'on tient compte de (16,121) alors
r
(16,122)
(t)
1'( 0) o
(16,123) tandis
~ue
'V
,
...
/
pour Y1,1 on ale probleme lineaire 'V
o ce
'V
ce
~ui
It=o
0,
'V
Y == o. 1 Pour X on retrouve alors une 2 fait ~ue, d'apres (16,116) ,
~ui impli~ue :
YJ
e~uation
Reel {~2 (e, ~ - c g
Re"
(16,124)
T,
du meme type
n) E
{i [',~1 (',~ ),
~ue
'V
celle pour Xl '
Doo }
ou l'on a anticipe sur l'annulation, necessaire, du premier crochet dans /
•
l'e~uatJ.on
'V
ci-dessous pour X : 3
(16,125) +
{aEf-C
a~l
Pb(~l'
l'o )'Vne
'V
donne aucune contribution seculaire dans X3 en raison du comportement de Yo pour t + 00, mais les deux premiers termes du Le terme
second crochet donnent une tElle contribution seculaire et cela donne une
e~uation
pour
~1
:
~u'il
convient d'annuler
304
o et comme ql(O, ~, n) facilement ensuite
= 0,
l'on en deduit que ql -
que,aussi'~2
=0 et ~2 =0
o
et done
'V
Xl - 0 . On voit
Finalement, le premier terme non nul dans le developpement de ~ est ~3 'V
'V
et l'on a (d'apres (16,125) ou X2 et Xl sont nuls)
'V
tandis que l'elimination d'un terme seculaire dans X conduit a 5
o .
(16,126) Mais cette i'ois q3(0, ~,n)
= q~ :f
0 et la solution de (16,126) est
la solution fondamentale de (16,126),ce qui donne, pour 8 fini, ~-c
T
(--g-
(16,127)
18
ou la fonction
A peut
etre explicitee.
Tout ce qui precede montre que la formation de l' onde enveloppe est essentiellement un phenomene lineaire qui a lieu sur une duree tres longue
o (~ ). Ce phenomene de formation se produit en plusieurs phases. Au cours
e: d'une premiere phase dont la duree est 0(1), toutes les composantes amorties de la perturbation s'evanouissent. Au cours d'une seconde phase dont la duree
est 0 ( 1/ e) ;la composante non amortie de la perturbation se redui t a l ' onde de TS d'amplification maximale, convectee avec la vitesse de groupe, concentree dans l'espace des variables spatiales lentes
(~,n),
dont l'amplitude est,
sous les hypotheses faites concernant l'ordre de grandeur des perturbations
. . . ". . . 1n1t1ales, de 1 , ordre de e: 4 , c est-a-d1re 0 (2) e: en compara1son de 1 , amp11tude de la perturbation initiale. Ce n'est que durant la troisieme phase de duree
o
(11'e: 2 )' que l'onde formee durant les phases precedentes est amplifiee et diffusee comme indiquee par la formule (16,127). Ce processus d'amplification et de diffusion est essentiellement
lineaire et coincide avec le resultat d'une analyse asymptotique ei'fectuee sur une representation integrale de la solution lineaire, par Gaster (J.F.M., vol. 32, 1968, pp. 173-184).
305
4. Maintenant si lIon revient ala solution(16,127) on constate que la perturbation devient effectivement de llordre de £ lorsque :
et cela incite
a.
e
remplacer l' echelle de temps
par la nouvelle echelle T
(16,128) •
11 faut donc reprendre tout ce
'" ont la meme forme que celle Y 0....
l'equat~on
qu~
obtenue
........
'V
tV
precede et on trouve que Xo' Xl et
au point 2 de cette section 16,4, mais
'"
pour X2 ' (16,114), est remplacee par
::2 -A~2 la~~ -B~1 ] +
(16,129)
l -
+
T
e)
(Yo T -
'"
aXo aT
Il faut noter que lorsque Test O( 1 ), alors
'"
e
est O( 1/ ILog £ I) .
L'annulation des termes seculaires de X2 provenant du second crochet de (16,129) conduit a. l'equation :
(16,130)
et on notera que s~ relative
a.
T
= 0(1)
alors ~«
1 dans (16,130). La donnee initiale
cette equation (16,130) doit etre remplacee par une condition de
raccord, impliquant que, dans un domaine de recouvrement, la solution convenable de (16,130) et celle de (16,126) avec q3(0, ~, n) Or l'equation (16,130) est identique
a.
= q~
# 0, doivent se raccorder.
(16,117),au changement pres de
de sorte que rechercher une solution de (16,130) satisfaisant raccord mentionnee revient (16,131)
e
a. Lim £-+{)
a.
e
en T,
la condition de
chercher une solution de (16,117) telle que qo £3
ye
e 0 =-- A e
(.516
etant fixe et 0(1). L'etude de ce probleme a
ete
...!l. )
16
,
presentee par divers auteurs,
306
notamment par Hocking (Mathematika, vol. 21, 1974, p. 134-146) et Haberman (SIAM J. Appl. Math., vol. 32, 1977, p. 154-163). L'equation (16,117) qui, en
~ait,
peut s'ecrire sous la
Iqo I2
( 16,132)
~orme
suivante
o ,
=
du moins dans le cas des ondes de TS bidimensionnelles, est identique
a celle
ecrite en (16,30) pour l'amplitude A1 du paquet d'ondes instables. Le processus, de developpement adopte, ici, pour l'obtenir est sans doute le premier qui permet de suivre l'evolution des perturbations depuis l'instant initial jusqu'a la phase non lineaire. En outre, ce processus permet de traiter, d'une maniere non detournee et finalement plus simple que la methode des modes discrets de Diprima, Eckhaus et Segel (J.F.M., vol. 49, 1971, p. 705-744), la
di~ficulte
liee
a la
presence
d'un spectre continuo Dans un sens, on peut dire que la methode de developpement utilisee combine la MDAR et la MEM. Le developpement principal (ou exterieur), . "a t = 0 (""2 1 )' est un developpement / / au sens de la MDAR, valable Jusqu en echelles
multiples: t,T = £ t et e = va1 abl e pour t = 0 [ -1 Log 2 £2 T = -t£ exp (y £ t),ou exp lineaire.
o
£2 t, tandis qU~ le developpement local (interieur), (-£1 ' est auss~ en echelles mult~ples t, T et 2 (y £ t) est le ~acteur d'ampli~ication de la theorie
)J
0
.
/
.
L'INSTABILITE CONVECTIVE DE RAYLEIGH-BENARD
Le probleme di t de "Rayleigh-Benard", que noUE considerons Ii. ce paragraphe
1~
est celui d'une convection interne entre deux parois planes
de temperatures differentes. Soit To une temperature (absolue) constante de reference qui est celIe de l'ambiance et supposons que la paroi solide inferieure x Ii. la temperature
avec
~
T > 0 o
3
=0
est
un accroissement (positif) de la temperature. La paroi solide
superieure, situee Ii. une distance d de la paroi inferieure x
= 0 et parallele 3 Ii. cette derniere, reste Ii. la temperature To < T1 • On suppose donnes l' ecart de temperature ~ To et la distance d qui separe l'une de l'autre les deux parois
paralleles. L'analyse qui suit conduit Ii. imposer une contrainte sur d, si l'on veut retrouver les equations dites de Boussinesq qui servent de point de depart Ii. l'analyse mathematique de l'instabilite convective. Dans tout se qui suit on considerera un liquide dilatable caracterise, du point de vue thermodynamique, par la loi d'etat simplifiee suivante : p
P (T) ,
ou Pest la masse volumique et T la temperature absolue. Dans ce cas, il est clair que l'energie interne specifique du liquide e est aussi fonction de T seul, e = e (T) ,
et de ce fait,
~; = C(T) , ou C(T) est la chaleur specifique du liquide.
308 Enfin, les coefficients de viscosite >.
et
]l,
ainsi que le coefficient
de conduction k seront aussi des fonctions uniquement de la temperature absolue
T . Du point de vue physique, ce phenomene de convection, dit libre, consiste essentiellement en un transport de chaleur dii Ii des mouvements de fluide provoques par un champ de pesanteur
(forc~ dit~
d'Archimede). La convection libre, interne,
prend naissance lorsque des perturbations du champ des temperatures, correspondant Ii un regime de conduction pure, croissent au lieu de s'amortir (instabilite convective). Cela se produit pour une certaine valeur critique du nombre sans dimension Ra V
o
K
qui est le nombre dit "de RaYleigh", forme pesanteur), V
o
=]l
So
0
a partir
de g (l'intensite de la
(le coefficient de dilatation vOlumique du li qui de ) ,
(T 0 )/p(T) 0
et K
!J. T , d , o
k(T ) o o
C(T ) P (T ) o 0
Par exemple, pour l'espace compris entre deux plaques rigides horizontales isothermes, si la plaque inferieure est la plus chaude, le nombre de Rayleigh dit critique Ra* est egal Ii ]708. Dans ce cas, lorsque Ra > Ra· , le flux de chaleur qui traverse l'enceinte est superieur
a celui
qu'on aurait eu par conduction pure
seule, et le rapport des deux flux croit en fonction de Ra. Cette augmentation de flux est due
a la
presence de tourbillons en rouleaux ou encore polyedriques, au
sein de l'espace fluide entre les deux parois, qui sont les tourbillons dits de Benard - on est alors en presence d'un phenomene d'instabilite convective qui est celui de Rayleigh-Benard. Il apparait des mouvements organises dans l'espace sous forme cellulaire;
ces cellules (dites aussi de Benard) sont disposees reguliere-
ment et chacune d'elle est le siege d'un echange de chaleur par conduction entre les deux faces de la couche, sans qu'il y ait passage du fluide d'une cellule Ii '" une autre. Ce phenomene appara1t seulement lorsque Ra > Ra • et c , est la' un ph"enoA
mene typique de bifurcation sur lequel nous reviendrons au chapitre VI suivant.
309
le nombre de Rayleigh peut aussi se mettre sous la
Notons,enfi~que
forme du produit de deux nombres sans dimensions Ra = Pr.Gr, ou Pr
=VO/ K
o
a partir
est le nombre de Prandtl (forme g B !J. T
Gr
de C(T ))' tandis que o
o
est le nombre de Grashof.
11,1. VERIVA.TION ASYMPTOTIQUE VES EQUA.TIONS VE BOUSSINESQ
, i = 1, 2 et 3, un systeme de coordonnees cartesiennes dans est dirige vers la direction inverse a celle de la gravite. Les
Soit {X.~ } lequel l'axe x
3 equations de depart sont celles de Navier-Stokes avec dimensions
++ Op
Du~ ~
a;:-~
P Dt
+
(17,1)
~
_a_
=
1:
g P Ui3
au. ax.
"\
axi /\
_0_ (
,
~,
_-K )
~
-'"k
au.) ] ; ax.
II (-~ + --.J..
ax. J
J
~
D a~ Dt Log p + -a- = 0 ~
(17 ,2)
DT au. a aT + p --.J.. = (k Dt ax. ax. ax.
p C(T) -
J
au.
2
+A(aJt) J
a et ou,-.!2-=.l....+ Dt at u. ~ J
1:
U
J
On notera que:
~~
13
J
J
+~t::~+
= C(T) ~;
Si les parois sont fixes,
0,
1:
u
33
= 1.
et aussi A
= A(T),
II
= II
(T), k
rigides et,aussi,isothermes, alors on peut
associer aux equations (17,1) - (17,3) les conditions aux limites : (17 ,4)
u.
~
o ,
i
= k(T).
1, 2, 3, sur
x
3
o et
d
310
T
T
o
+!:J. T
= 0
0
1. Equations sans dimensions. Soient Co' AO ' ].l
,
et
~o'
T
T
o
sur
d.
k o et Po les valeurs de C, A,
k et P pour la valeur T = T . Nous pouvons alors definir les grandeurs sans o
dimensions (avec des ''barres'') (17 ,6)
C =
C
Co
Maintenant, on designe par: d,
\J
2
Id,!:J. T , d Iv et
o
0
0
p
0
g d
des
echelles caracteristiques pour les longueurs, les vitesses, la temperature, le temps et la pression,respectivement. Les nouvelles grandeurs sans dimensions de notre probleme sont done x. -
(17,7)
1
x.
~
d
-
'
u
u.
= __1_
p - Po g d
a la
place de (17,1) - (17,5), pour u ' T, p i les equations et les conditions aux limites adimensionnelles suivantes : Comme resultat,il vient,
et p
- _ ---lL-
T
T = !:J.T ' o
void
i
d~ D ---:- Log p + - Dt d~
(17,8)
Du.
-
-11k
p-+-
lit
0'0
ax.
1
(17 ,9)
a
1-
+-p<S. = 0'0 13 ax.
o
[ ]l
au. + --.J.. aU')J
__ 1
ax.
J
J
a;;:.1
pC
au. DT+ - --.J.. 1 (T) Bo P - =Dt ax. Pr J
(17,10)
A
+ -.2. ~o
n
0
J
(k aT
-[- -r
au. 2 ].l A (ax. ) +n o -2
- -J.
a ax. J
(lUi ax.
p
au. (lx.
__ +--J. J
p (T)
)
ax.
1
J
ax.
1
311
ou
- -a- et .12-=.1...+ u. J ilx. at Dt
X (T) ,
A
].1
= :ll (T) et k = k
(T)
J
(n,12)
u.
(n,13)
1 +
T
sur
0
~
,
sur x
0
x
X
T= , 0
et
0
3
et
0
3
3
sur x
3
1
Dans les equations et conditions aux limites sans dimensions (17,8)
a
(17,13),nous voyons apparaitre cinq parametres sans dimensions:
(v Id)2 0
(v Id)2
0
C
o
(n,14) C
].10
'0
0
Le parametre 0
0
!:J. T
0
0
T
0
Pr = - k
no Bo =0 -
0
no
gd
0
= -0!:J. T
0
est l'analogue d'un nombre de Froude pour notre liquide,
tandis que le parametre no est l'analogue d'un nombre de Mach. De ce fait,le parametre Bo est le nombre de Boussinesq pour notre liquide. Enfin" parametre de temperature.
2. Au repos, lorsque ui
=0,
o
est le
on constate que:
(n, 15)
p (T)
et
a
(n,16)
ai. J
k(T) il~
~
ilx.
] = 0 •
J
Supposons que la seule solution de (17,16), satisfaisant x
3
=0
et x
3
= 1,
soit :
aT
= ,
o
sur
312
Dans ce cas, (17,18)
et
P -
p - 1 - x
3
Lorsque u. F O,on suppose que Ie repos est "peu" perturbe; on ecrit ~
donc
T ou A = ~ o v o
h. p 0_ ,
g Po d
correspondant
a h.
T
o
+ 6
avec h. Po la fluctuation caracteristique de la pression
To; on verra que l'on peut toujours faire Ie choix de
A _
(17 ,20)
o
Pour la masse vOlumique p , on trouve que (17,21) grace
a
(17,11), ou
( 17 ,22) avec
.9£1 dT T=T
Ie coefficient de dilatation volumique du liquide. o
Au niveau de l'expression (17,21),on a introduit Ie coefficient
ao
h.T 2
o
[
d~
Log (BP)l JT=To
Si I 'on admet que la grandeur
reste bornee, lorsque
£0
+
0, alors on peut ecrire,
a la
place de (17,21),
313
p
(17 ,23)
avec
w = 8 + I:
a celIe
p
£
0
8
2
+ '"
De la meme fa~o~ on trouve,pour ecrite pour p
{
(17 ,24)
K
o
(8 + I: k
£0
8
2
k et C,des expressions analogues
en (17,23) : ;\
1 -
k
=1 -
£
£
,
II
X,
c=
0
0
I/J
X = 80
U,
~,
1 1 -
M
= 0~o0
r ,
£0
No
~o
I/J ,
0
(8 + I:
r="Q(8+I:
+ •.• ),
£
c
£
8
0
£
II 2
0
8
2
+ ... ) ,
+ ... ) ,
avec des grandeurs A ' M ' K et N analogues a 8 , tandis que les expressions o o 0 0 0 I:;\, I: , I:k et I: c sont les analogues de I: p et ellessont supposees rester bornees ll lorsque £ .... O. 0
3. Si nous prenons maintenant en compte tous les resultats ci-dessus, nous pouvons ecrire, pour u ' i
(17,25)
'IT
et 8,les equations adimensionnelles dominantes suivantes :
Clu.
_J
Cli.
=
J
(1 -
(17 ,26)
F:.
Du.
8) __ J. + A
£
Dt
o
U.J.
+
£
- Gr 8 <5. 13
Cli.
J.
Cl Clx.J.
0
Clx. [ J
0
., ..£:!I...
Clu. Clx.J
ClU.] Clx.J.
8(_J. + -..J.. )
D8 Dt
314
(17,27)
au.
au. 2 _
(_1.
+ ---->l.)
-
-
ax.
e:
ax.
J
{ ....2K 8
0
0
1.
ae a (e ax.J ax.J
Pr
aU.)2 J + 0 (e: 2) 0
au.
(---2:. + ---->l.
ax.J
ax.
1.
A ces equations (17,25) - (17,27),nous pouvons associer les conditions aux limites suivantes
{
(17 ,28)
u. = 0
sur
x
e
sur
x
1.
1
3
= 0
et
x
0
et
e
3
3 0
sur
x
3
1
Precisons qu ' au niveau de l'equation ( 17 ,26), on a (17 ,29)
Gr -
Introduisons,
a la
place de
e
(17 ,30)
e, Ra
la nouvelle perturbation de temperature
(X
3
-
1 + e)
ce qui permet d'ecrire des conditions aux limites homogenes
e =0
(17,31)
sur x 3
=0
=
et
x
3
=1
•
On supposera ensuite que A 1 et de ce fait,on introduira, o place de ~, la nouvelle perturbation de pression
a la
II
(17 ,32)
Enfin, faisons le changement suivant et le temps,
sur les composantes de la vitesse
315
u.
~
=..l v. et Pr ~
Pr T
et designons par 00 le produit de £0 par le nombre de Boussinesq Bo
Si,maintenant,nous effectuons le passage
a la
limite
(17 ,35) de telle
fa~on
que Pr, Ra et
° o
restent aussi fixes, on obtient pour V., e , n , ~
comme etant des fonctions de xi et T, les equations limites suivantes : avo -..1. = 0 ; ax.
(17 ,36)
J
DV. an 1 - -~ + - - - e 0i3 Pr DT ax.
ti v.
~
~
°
[1 + 0 (1 - x 3 )]
°
= ti e +-.£ 2
(17 ,38)
(De - - Ra V )
DT
avo
av. + --S! ai. ai.
(_~
J
3
)
2
~
Lorsque les deux parois sont des parois
~ixe~
rigides, il faut associer,
aux equations (17,36) - (17,38), les conditions aux limites : V. = 0 ~
Lorsque 00
~
et
e
= 0
sur
1.
0, on retrouve les equations classiques de Boussinesq
(dites "de la convection
~ pro~onde"),habituellement
utilisees lors de l' analyse
mathematique du probleme de Rayleigh-Benard-). De ce fait, on dira que les equations (17,36) - (17,38) sont celles de la convection profonde, ou intervient,en plus de Pr et Ra, un troisieme parametre "de profondeur" 00 (qui reste cependant petit devant un) :
a ce sujet le livre de base sur la stabilite (principalement lineaire) de Chandrasekhar ("Hydrodynamic and hydromagnetic stability"; Oxford, Clarendon Press, 1961).
*) Voir
316
Precisons que si, au niveau de I'equation (17,27), on suppose que Bo
~
1,aIors on retrouve toujours les equations de Boussinesq :
av.
_J
ax.
=0
J
dV. __ J.+ Pr DT
(17,41)
an
ax.J.
80 i3
l,. V. J.
D8 DT -RaV3 =t:.8 et dans ce cas,
(17 ,42)
d ~
d'apres les relations (17,14). 4. Pour tenir compte de l'influence du parametre de profondeur 0o,il faut supposer que Bo> 1,de telle grand" que
E:
•
fa~on
que 00' restant petit
devant un, soit malgre tout "plus
C'est Ie cas interessant pour l'analyse de la convection oceanique.
Mais dans ce cas,il faut naturellement remplacer la paroi superieure fixe et rigide par une surface libre. Les conditions sur
8
, au niveau de (17,39),ne changent naturellement
pas, mais il faut preciser Ies conditions composantes de Ia vitesse !
,.
,
a imposer,
sur cette surface libre, aux
...
On supposera qu J.I n est pas tenu compte de la tensJ.on superfJ.cJ.elle
.)
sur cette surface libre, dont l'equation est supposee etre (avec des dimensions) (17 ,43)
Sur la surface libre,on doit ecrire deux conditions: l'une cinematique traduit, en fait, que la surface libre est une surface materielle
( 17 ,44) l'autre, dite dynamique, traduit la continuite de la contrainte
a travers
l'inter-
face (la surface libre) entre Ie liquide (l'ocean) et Ie gaz (l'air atmospherique) • • ) On notera cependant que ce phenomene de tension superficielle sur la surface libre est essentiel pour expliquer les experiences de Benard en couche tres mince ("Les tourbillons cellulaires dans une nappe Ii qui de " , Revue generale des Sciences pures et appliquees, 11, 1261-71 et 1309-28, 1900).
317
Si dans l'atmosphere on admet
~ue
la contrainte se reduit
a une
pression constante
sur toute la surface libre, notee Pa' alors (17,45)
-p
dU.
dU.
d~
J
1.
11:
+ {].I (~ + -...l. ) + A aX. dX. dX,
n1.'
O•• } 1.J
n.
J
ou n
1
- TfhTT
1
dh dX
J
' n2 =
1
- TfhTT
dh
dx 2
n
3
+
1
TJhTT
(17 ,46) Ilhll
= [1 +
(dh dX
... = (n , 1
la direction de la normale n
1
(.£...£... )2-11/2 , dX _
)2 +
2
n , n ) etant dirigee vers l'atmosphere. 2
3
Soit h o = Max Ih (t, xl' x 2 )1, lorsque t, xl et x 2 varient sur la surface libre; l'equation adimensionnelle de la surface libre sera alors
et on ecrira,
a la
place de (17,44) et (17,45), les relations adimensionnelles
suivantes, valables sur la surface libre simulee par (17,47), (17 ,48)
o.. 1.J avec (]
o
=
(Void)
2
gd
caracteristique,
=£o~r
J
n.J
o ,
' une fois que l'on a pris pour Pa la meme echelle
Po g d , que celIe utilisee pour la pression du liquide p.
Mais d'apres la seconde des relations (17,19) et la relation donnant II, (17,32 ), on a (17,50)
p
318
=
puisque A 1. On notera qu' o temperature absolue.
et II
et
e
a cette
pression du liquide p correspond une
Pr ui,aux equations
satisfont, avec les composantes de la vitesse Vi
generales (17,36) - (17,38). Naturellement au repos relation (17,52)
(ui
- O),on aura sur la paroi (rigide) x
=> Pa = -
.1. 2
g d
~.S!£) T=TJ6
edT
D'autre part, si l'on tient compte que lorsque £
T
o
0
+
1 la
3
•
0, avec Gr fixe, on
a aussi que 00 + 0, on constate aisement que, pour hold de l'ordre de un, la surface l'b t etre s~mul"ee, a... 1 a 11m1te, .• . . de f1xe . 11) ~ re peu par la paro1. r1g1 x- = 1. 3 Dans ce cas de (17,48) on a A
•
o , sur
(17,53)
1 ,
puis de (17,49),il vient (17,54)
oil i
1 ,
et 2. Ainsi, dans Ie cas d'une
sur~ace
libre,il faut appliquer les conditions
aux limites suivantes, sur les composantes Y de la vitesse : i aV
llV
- -1= - -2= O,sur
( 17,55) aV 1 aV 2 Mais comme - - + - - + ll~l llx 2
o,
x
3
= 1 •
en derivant par rapport
a x 3,
on
trouve que l'on a aussi :
o ,
(17 ,56)
sur
En particulier, si l'on introduit la camposante normale du tourbillon :
a la limite, la relation (17,49) avec 0, hold restant fixe.
11) D'apres (17,50) et (17,52) on constate que,
(17 ,47) implique bien Ii
+
319
on constate que (17,57a)
W
3
=0
, sur une paroi rigide x
3
=0
OW
3 = 0 , sur une surface libre x ---
(17,5Th)
oX
3
1 •
3
Enfin, on a
e
(17 ,58)
libre
(x3
0, aussi bien sur une paroi rigide
1).
(x3
0), que sur une surface
11,2. LA THEORIE LINEAIRE CLASSIQUE Revenons aux equations generales (17,36) - (17,38) pour les fonctions inconnues Vi' II et
e .
Dans ces equations, le parametre 15
0
est un petit parametre.
En theorie lineaire,nous pouvons postuler une solution de la forme suivante :
(17 ,59)
u +
...
V2
15 Ov +
., .
II = 15 0 p +
.. .
e
15 0 T +
...
V1
15
0
V 3
15
0
...
w +
,
Si maintenant nous introduisons ( 17 ,60)
t
-
1"
x
-
xl
y ::: x-
2
et
z
-
x
3
et si nous substituons (17,59) (ou u, v, w, p et T sont supposes etre des fonctions des variables t, x, y et z) dans les equations (17,36) - (17,38) nous obtenons le systeme lineaire associe (17,61) (17 ,62)
suivant
320
(17 ,64)
( 17 ,65)
Sur une paroi fixe rigide,on devra imposer ( 17 ,66)
T = 0 ,
dw az =0
u=v=w=O
,
tandis que sur une surface libre,on imposera : (17 ,67)
T
=0
dU = dV = 0
,
dZ
dZ
Derivons (17,62) par rapport
2
(h = dZ2
ax
0), w = 0 •
et (17,63) par rapport
ay
puis faisons
la somme des deux equations ainsi obtenues. Ensuite,tirons profit de (17,61) en dU
dV
dw,.
remp1 a~an t dX + dY par - dZ
et
Maintenant appliquons
der~vons
a
,
par rapport a z. II
(17,64) l'operateur
soustraction de l'equation ainsi obtenue avec celIe
d2
...
~ent a~ns~
d2
~ + ~
:
et faisons la
ci~aessug~ On obtient alors
l'equation suivante entre w et T (17 ,68)
oil
Ainsi, pour w et T,nous avons les deux equations lineaires (17,65), (17,68). Nous recherchons la solution de ces deux equations sous la forme de "modes propres" : w = W (z) exp {
T
= e (z)
[i (R,x + lIlY) + wt]
exp [i (R,x + lIlY) + wt]
321
ce qui nous donne
(17 ,70a)
(17,70b) ou k 2 =
t2
2
+ m est le nombre d'onde horizontal.
Les solutioP'3 du systeme (17,70) doivent satisfaire aux conditions (Z _ z)
e=
0
W = 0,
et
sur
Z
0
et
Z
et dW dZ = 0 ,
sur une paroi rigide (Z = 0);
( 17 ,72)
1).
sur une surface libre (Z On peut naturellement eliminer
e
du systeme (17,70) et obtenir pour W
l' equation suivante w
( 17,73)
Pr
1. Le principe de l'echange des stabilites. Nous voulons montrer que w= 0 .
toujours reel et que l'etat marginal est caracterise par So it
(17 ,74)
G
et
(17 ,75)
F
On a alors
(17,76 )
2 2 (d - k 2 ) (d -2 - k 2 2 dZ dZ (puisque
e =0 F
0,
2
w
) W
Pr
sur Z
=0
sur
Z
(L _ k 2 dZ
2
(rigide) et Z 0
et
w ) G • Pr
Z
=1
(litre ))
west
322
a
et l'equation (17,73) est equivalente d
2
(--- - k
dZ
2
2
- w) F =
Nous voulons done montrer que cr
- Ra k
2
W.
est reel pour tout Ra > O. Multiplions,
pour cela, l'equation (17,77) par le conjugue complexe de F, F-, et integrons en
a 1;
Z de 0
r
nous obtenons :
r
0
2 d F- (--2 dZ
k 2 - w) F dZ = - Ra k 2
-
llf
F W dZ .
0
Et apres integration par parties,il vient:
r 0
grace
a
rI
2 F- ~ dZ 2 dZ
2
dF
dZ
dZ,
1
0
(17,76). Ainsi, (.2 +
wi IFI 2
} dZ • Ra ,2
J' • F'
dZ
o
Considerons l'integrale au second membre de (17,78)
r
W F- dZ
0
r r 0
1II 2 2 W ( L _ k -~ ) G- dZ 2 dZ Pr
2
llf
W~dZ _ (k 2 dZ
0
2
( 0
=-
r
d
2
2
1II
dW .9Q.... dZ dZ dZ
0
1 I I .
r
successive~,on
en tenant compte des conditions aux limites 1II
Pr
lII
W G dZ •
0
Par integrations par parties 2 lII d G W--dZ 2 dZ
1II
+~
r 0
:
G-
a
2
L.!r dZ
2
dZ
dW W = 0 et dZ
= O,ou •
G = (-;2 - k ) W = 0 , en fonct~on de la nature des paro~s. dZ
bien
323
Ainsi,
=
o
1
= J IGI
2
r o
1II
~r
dZ -
o
J1 0
Mais,de nouveau, 1
2
J
( 17 ,80)
lit
WLLdZ 2 dZ
o
En definitive, en tenant compte de (17,78), (17,79) et (17,80) on obtient la relation suivante :
J1 { 1~12 + k2 IFI 2+ w IFI 2} dZ
(17,81)
o
- Ra k
2
J 0
1 {
2
IGI
+
1II
~r
La partie reelle et la partie imaginaire de (17,81) doivent done, separement,etre nulles.Pour la partie imaginaire,cela conduit
Jo 1 [I
Imag (w)
ce qui implique bien que (17 ,82) puisque le crochet {
Imag tw)
=0
} > 0, lorsque Ra > 0 •
,
dW dZ
a la
12
relation
324
Ainsi
west bien reel et on constate, donc,que pour trouver la
courbe neutre de stabilite (la frontiere de stabilite),il suffit de poser w
= 0,
puisque les perturbations varient avec le temps de
fa~on
monotone :
elles croissent ou decroissent lorsque le temps cro1t - ce qui est justement le principe de l'echange des stabilites. Comme nous pouvons poser
w = 0, il suffit d'analyser le probleme
suivant, en theorie lineaire de l'instabilite convective classique : d
2
dZ
2
- k 2 )3
w
- k
2
Ra W
2 d 2 W = 0, (-2 - k )2 W = 0 , sur Z 0 et dZ 2 dW d W et soit - = 0, ou --2 = 0, en fonction dZ dZ
o
de la nature des parois Z
et Z
Z
1 ,
1.
Le probleme (17,83) admet une solution W 1 0, uniquement pour des 2 valeurs particulieres de Ra (pour un k donne) et de ce fait,nous avons un probleme aux valeurs propres pour Ra. Soit Rajune valeur propre du probleme (17,83) et W. la solution (propre) J
correspondante. Multiplions l'equation satisfaite par W., par F.1. (auquel corres• . J ." pond une valeur propre R1.a rJ. RaJ) et 1.ntegrons en Z de 0a' 1 • Nous 0 b tenons 1
J
d2
F. ( - - k
1.
o
dZ2
2
.
) F. dZ = -RaJ k
2
J
1
f
d2
2
W. ( - - k ) G. dZ .
J
o
dZ2
1.
" . Par integrations par parties successives,on obt1.ent alors . la relat1.on.)
(17 ,84)
r 0
dF. dF. 2 1.-J1 dZ dZ dZ + k F.1. F.) J
(
RJ
1
k2
J
G. G. dZ 1. J
0
r(df
Si l'on change i en j dans l'equation ci-dessus, on constate que dF. dF. 2 dZ dZ1. + k F j F.) 1.
0
R~
k
2
f
G. G.1. dZ, J
0
.) Voir, pour comparaison, la relation (17 ,81) oil
w
o
•
et w
0
325
ce qui fait que
(R~
(17,85)
G. G. dZ = 0 , si i
~
J
1.
j
et les Gj forment un ensemble orthogonal.
Pour i = j on obtient, de (17,84),
G~ dZ J
ce qui conduit
a considerer
r[ at) dF.
2
+ k
2
F
2 ]
j
dZ,
o
la formule
(17 ,86) avec J1
r[(:: )
2 + k
2
F~
dZ
o
(17,87)
1
J
G2 dZ _
o
2. Le principe variationnel. On montre tout d'abord,
(17,86), avec (17,87), que: si
a W(Z)
a partir
de la formule
correspond une petite variation oW
satisfaisant aux conditions a) les integrales J 1 et J 2 existent;
( 17 ,88)
alors oRa
= 0,
b)
of -
c)
of
i
( - - k 2 )2
dZ
2
oW et
d
oW ;
dZ (oW), ou
2d
2
(OW), sont nuls en
dZ fonction de la nature des parois,
lorsque W satisfait au probleme de stabilite et qu'elle est une
fonction propre; inversement, si West une fonction propre du probleme de
326
stabilite alors Ra est stationnaire, c'est-ii-dire que le rapport J stationnaire. On montre ensuite que ce meme rapport est un vrai minimum et que pour les perturbations marginallement Ra
(17 ,89)
1/k 2J 2
est
stables~),on a toujours :
min
le minimum etant pris sur toutes les fonctions reelles W(Z) satisfaisant aux conditions (17,88), ou
of et oW doivent etre remplaces par F et W. En fait
la formule (17,89) nous donne la valeur du Rayleigh critique Ra~ (de la theorie lineaire classique). On
que pour une valeur donnee de k, la
noter~enfin,
fonction W(Z) "minimisante" est une fonction propre pour la stabilite marginale. Pour illustrer le principe variationnel (17,89), prenons comme fonction cos [n (Z - 1 ) ] et dans ce cas, on trouve que:
F
2
W (Z)
+ B (Z -
avec
A
- n
{cos [n(z -
(n 2 + k 2 )2
~)
sh [ k (Z
sh(k/2) et sh k + k
B
~ )J
- ~ )J
2 n
+ A ch [k(Z -
~)J
1'
ch(k/2) pour le cas de deux parois sh k + k '
rigides. Ainsi, dans ce cas on peut faire le calcul de J est
1
et J
2
et le resultat
lIE) Precisons, une fois de plus, qu ' un mode est di t marginallement stable si ll
w = 0 pour Ra = Ra
,
mais w > 0 pour certaines valeurs voisines de Ra
(en fonction eventuellement de la valeur de k). On notera que la stabilite neutre d'un mode (w = 0) n'entraine pas necessairement sa stabilite marginale.
327 Apres un petit calcul. on trouve les valeurs indiquees sur Ie graphe ci-dessous _J_1_
k
2
J
2
o > 0 instable
o
0
1718
•
Ra
0<0
,
stable I
I I I
2
4
3
.
k
On obtient ainsi une valeur approchee pour Ra¥ qui est en bonne concordance avec celIe calculee (Ra
= 1707,8 ~
~
pour k
= 3,12). ~
3. II est interessant de noter que dans Ie cas ou les deux parois sont rigides, la courbe neutre de stabilite, dans Ie plan (k, Ra), est Ie lieu des points pour lequel Ie probleme aux valeurs propres
( 17 .90)
o et Z
1,
admet une solution non nulle. De part et d'autre de la cour.be neutre de stabilite (0
O),on a
!mag (0) = 0 , mais Reel (0) ~ 0 ; d'un cote Reel (0) < 0 et il y a stabilite, de l'autre cote Reel (0) > 0 et il y a instabilite. 11
~aut
naturellement tenir compte aussi du
~ait
que cette
courbe neutre de stabilite a, au moins, deux branches comme indique sur Ie graphe ci-dessus.
328
On voit aisement que le probleme (17,90) admet une symetrie relatiZ = 1/2 et de ce £ait,les perturbations sont paires
vement au plan horizontal ou impaires relativement
a la
valeur Z
=~ .
Les perturbations paires peuvent
etre recherchees sous la £orme suivante : J'(Z) = A1 ch
+ A
3
ch
[a 1 (Z - ~)J [a ~)J (Z -
3
+ A2 ch
'
~2
(Z
~)J
ou a 1 , a 2 , a sont les racines de l'equation caracteristique 3 (17,92) D'autre part, les trois conditions aux limites homogenes du probleme (17,90) conduisent
a un
systeme homogene de trois equations pour A , A et A . 2 1 3 Ainsi, la condition d'existence d'une solution non nulle peut se mettre sous la £orme de l'equation seculaire suivante :
a a 1 th (-1 2 )
(17 ,93)
o .
En ce qui concerne les perturbations impaires, elles peuvent s'ecrire sous une £orme analogue WI (Z)
(17 ,94)
a
(17,91) :
[a
(Z -
~)J
+ B 3 sh [a 3 (Z -
~)J
B
1
sh
l
+ B
'
2
sh
[a
2
(Z -
~
) ]
ou a , a et a sont toujours les racines de (17,92). La condition d'existen&~ 1 2 3 1 d'une solution non nulle s'obtient, elle aussi de (17,93) en rempla~ant th (2 a"1
par cth (2
),
avec i = 1, 2 et 3.
Par exemple, pour les perturbations tion transcendante suivante :
paire~on obtient
de (17,93) l'equa-
329
13 a. 1 th
2 i
a.
1 (2
+ (3 - i
)
-
(3+il3) a.
a.
) 13) a. 3 th (-..J. 2
a.
2
2 th (2
o ,
oil.
k2 +
(17 ,95)
1
2
(1 + i
(k 2 Ra) 1/3 .
13)
Les calculs effectues par divers auteurs montrent que le nombre de Rayleigh critique, minimum, pour l'instabilite, Ra~ (c'est-a-dire le minimum de Ra sur l ' ensemble des branches de la courbe neutre de stabilite), est egal a 1707,762 et que la valeur de k, en ce minimum, k-
3,117. Pour ce qui concerne
le calcul proprement dit de Ra-,on consultera Ie travail de Reid et Harris (Phys. of Fluids, 1, 1958, 102-110). Dans le cas oil. les deux parois sont libres, il faut remplacer les conditions du probleme (17,90) par
(17 ,96)
sur
o
Z
et
Z
1 •
,
et d'une maniere generale on peut montrer que
(17 ,96')
d2p W dZ2p = 0 ,
1, 2, 3, ...
avec p
sur
Z
o
et
Z
1 ,
Cela conduit a rechercher une solution de l ' equation:
o
(17,97) Sous la forme simple : W
A sin( n 11" Zl, n
= 1,
2, 3, ••. , avec A une constante
et n un nombre entier. Par substitution de cette solution dans l'equation (17,97), on trouve l'equation caracteristique suivante Ra " la plus petlte . et pour un k 2 donne, valeur d e Ra es t ce 1"~e qUl correspon d a... n
=1
:
Ra
330
Pour trouver le Ra~ qui correspond au declenchement de l'instabilite convecti ve, il faut trouve1" la solution de
o ce qui donne pour k la valeur klJ
ff et de ce fait
7T /
•
(17 ,98)
Ra
Enfin, dans le cas ou la paroi inferieure est rigide et la paroi superieure libre~la solution impaire correspondant au probleme avec les deux parois rigides reste valable, a condition de l'appliquer a deux parois rigides ... '" separees par une
2.
. " egale a.... d
d~stance
(17 ,99)
•=
Ra
Ainsi, il vient :
1100,65
et
k
lJ
= 2,682,
puisque la solution impaire du probleme avec les deux parois rigides donne comme Ra minimum 17610,39 et cela correspond
ak
= 5,365; si on divise cette valeur de
Ra par 16 (puisque dans l'expression de Ra intervient d
4), on trouve la valeur de
Ra* pour le cas rigide-libre et si on divise la valeur correspondante de k par 2 on retrouve bien la valeur de k
ll
pour le cas rigide-libre.
4. Revenons aux deux equations (17,65), (17,68) pour Wet T et recherchons la solution de ce systeme sous la forme
{
(17,100)
W = W(Z)
ep (x,y) exp (wt)
= e(z)
ep (x,y) exp (wt)
T
Imposons sur la fonction ep (x,y) la contrainte
o
(17,101) dans ce cas,on retrouve pour W(Z) et
e
(Z) les equations (17,70).
Une premiere classe de solutions de l'equation (17,101) est donnee par ep (x,y)
et elle conduit
a la
=cos
(kx)
convection dite en rouleaux.
331
Une seconde classe de solutions de (17,101), conduisant en cellules rectangulaires, correspond
$ (x,y)
a
= cos!
!2 + m2
x.cos my,
Enfin, une troisieme classe, conduit
a la
a la
=k 2
convection
•
convection en cellules
hexagonales (ce sont celles qui correspondent aux experiences de Benard de 1901) $ (x,y) (17,102) + cos
= $0 {cos[~
[~
(13 x + y)J
(13 x - y)J + cos
k
y} ,
la longueur b d'un cote de l'hexagone etant donneepar la relation b = 41Td 3k On notera que la solution (17,102) est symetrique en + x,
~
yet
elle est periodique en x et y de telle faqon que :
$ (x + 4m1T/!3k, y + 4n1T/k) (m, n
= 0,
=$
(x,y)
+ 1, ~ 2, ... ) .
Pour tout ce qui concerne la configuration des cellules convectives, on pourra consulter le travail de Stuart (J. Fluid Mech.,J8, J964, 491-98). D'une maniere
general~
on trouvera dans le livre, de Platten et Legros
("Convection in Liquids", Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1984), un expose detaille des phenomenes de convection dans les liquides.
11,3. LA THEORIE LINEAIRE VE L'INSTABILITE CONVECTIVE PROFONVE Nous revenons au systeme complet (17,36) - (17,38), avec 0o
mais nous considerons le cas bidimensionnel : (l (lx
2
-
0, V2 - 0 V 1
u
,
Xl - x,
V = W. 3
-
x
Z 3 -
,
~
0,
332
11 vient a10rs pour u, W, II
et
e
1es equations adimensionne1les
suivantes (17,103) (17,104)
(17,105 )
[1 +
(17,106)
~ (l-Z)] {~~ + u ~~ + w ~~ -
2
2
ax 2
az 2
= a e+ a e+ /)
Ra W
I
[2 (au)2 + 2 (aw )2+ (au+ dW )2J. ax dZ az ax
-2.
D'apres (17,103),on peut introduire une fonction de courant ~
= ~ (T,X,Z) te1le que
u=~
(17,107)
w=-~
az '
ax
et en eliminant II, des equations (17,104) et (17,105), on obtient l'equation suivante pour
~
:
J....[..l.. Pr aT
(17,108)
+
.£!l!. ..l.. - ~..l..J az ax ax az
6.
2
~
+
~xe []
= 6.
2 (6. 2
~)
L'equation (17,106) devient
[1 + -
( 17 ,109)
<5
0
(l-Z)' { CJ
U- + .£!l!...l.. dZ ax
LaT
= 6. e + 2
On a done pour
~
et
ax aZJ
2 axaz
e + Ra.£.1l!. } ax
4 ( l l )2 +
/)
e
~
.£!l!...l..1
0
2 2 (n - 2.::.Y!. az 2 ax2
)
2J
•
les deux equations couplees (17,108), (17,109)
333 A ces
equation~ il
faut associer Ies conditions aux Iimites, en Z, suivantes
( 17, 110a)
e
(17,110b)
1jJ =
(17, 110c)
a2,,, 1jJ = ~ = 0, sur Z
sur Z
= 0
~
0
et
= 0 , sur Z = 0
Z
(paroi rigide); (paroi libre).
az2
1. Le systeme Iineaire de Ia convection profonde (8
o
( 17 ,109) est : /',.2 1jJ +
~
0) associe
a
(17,108),
ae
ax = 0
(17,111)
(~~
[1 + 80 (1-Z)J
+ Ra
~
) = /',.2
Au niveau de (17,111), introduisons Ia fonction I' equation pour
e
relativement
a x;
il vient alors pour
e .
=
~ ~
ae ax
et
et derivons 1jJ
Ie systeme
Iineaire suivant :
{
(17,112)
1 Pr
D
a
-- - /',.2) /',.2
aT
+ 8o ( l-Z)
J
,I, 'f'
+ ~
'f'
=0
.,
2
(~+ Ra.Dl!.2 ) aT
dX
= /',.2
~ .
Au systeme (17,112),il faut associer Ies conditions aux Iimites en Z suivantes :
~
= 1jJ
=
~
~
= 1jJ
=
.n. az
(17,113)
Soit maintenant (17,114)
2
= 0 , sur Z = 0
x (x)
sur Z '
0
(paroi rigide), (paroi libre).
une fonction telle que
334
et recherchons la solution du probleme lineaire (17,112), (17,113) sous la forme
{
(17,115 )
lji =
W (Z) X (x) e 01"
e
01"
11 vient alors pour W(Z) et T(Z) le systeme
2 d [;r - ( -2 - q2)J dZ
(17,116)
~
1 +
<5
(d~ _ q2 W) 2
1 (l-Z)
0
dZ
+ T
°
2
(d -2 - q2)J T - q 2 Ra W = dZ
°,
avec les conditions
(17,117)
I
dW T=W = dZ
=
°,
d~
T = W = -2 = 0, dZ
sur
Z
sur
Z
°
(paroi rigide), (paroi libre).
Nous revenons un peu plus loin sur le probleme lineaire (17,116), (17,117); precisons pour le moment que ce probleme n'est pas auto-adjoint
et de ce fait la technique utilisee a la section 17,2 ne peut etre mise en " .de" " lIE) " " oeuvre; en partlculler pour demontrer le prlnclpe 1 echange des stab'l' l ltes. 2. Revenons aux equations (17,112), pour
et
lji, et considerons le cas de
deux parois libres (peu realiste mais tres simple pour l'analyse qui suit) :
a2,10 lji = ~ = O,sur Z 2
(17,118)
° et Z
az
1 •
Au probleme (17,112), (17,118) nous associons aussi les conditions en x suivantes : (17,119)
lji =
~ ax 2
= 0, sur
x
° et
x = .e
o
ou .eo est la longueur horizontale (adimensionnelle) dtune cellule convective. Recherchons une solution du probleme (17,112), (17,118), (17,119), sous la forme suivante : .) Lorsque les deux parois sont liores, il s'avere que cette technique conduit au resultat recherche. Pour cela il faut introduirela fonction : 2 _ q2) W et G = G = (d sur Z = et Z = 1. 2 dZ
°
°
335
(17,120)
f:
= T (T,Z) x (x) = W (T,Z) X (x)
,
ou la fonction X (x) est fonction propre du probleme de Sturm-Liouville (17,121)
X (0) =
X
(l ) = o
0
Dans ce cas, il vient pour T et W les deux equations suivantes 2 oT 2 o2T OT - Ra q W = oz2 - q T
(17,122a)
- 00 [(1-Z)
~~
- Ra (1-Z) q2 W];
1 (_CJ_ ,,2 _ 2 ) _oW + T = (_ 0 2 _ q 2"~ 2 W) ) (_CJIN_- Pr oZ2 q OT dZ 2 az2 q •
(17, 122b)
Comme on a, en Z, les conditions aux limites (17,123)
sur
Z
o
et Z
1 ,
On peut rechercher 1a solution du systeme (17,122) sous la forme co
W (T,Z) (17,124) T (T,Z)
L
An(T) sin (n7TZ)
L
Bn (T) sin (n7TZ)
n=1
n=1
L'equation (17,122b) donne directement, par substitution, a. dA 2 ---!!. ---..!!. - B + a. A Pr dT n n n
(17,125 ) n
2
7T
2
+ q
=0
'
2
Pour obtenir la seconde equation, qui determine avec (17,125) les amplitudes An (T) et Bn (T), il faut utiliser, au niveau de l'equation (17,122a) une technique de Galerkin; elle consiste puis
a multiplier
par sin(n 7T Z) et
a substituer
a integrer
Z = 1. On obtient ainsi l'equation suivante :
(17,124) dans (17,122a)
le resultat en Z, de Z = 0
a
336
( 17 ,126)
avec JSs mn
( 17,127)
=
l
J
(l-Z) sin (n n Z) sin (m n Z) dZ •
o
Si l'on introduit A
An = P~ , t = Pr
( 17 ,128)
20 T
et e:
== 2
+~
o
on peut reecrire les equations d'amplitudes (17,125), (17,126) sous la forme suivante
aXn 2 -a. n Pr = a. Pr A dt n n
(17,129) (17 ,130)
Pr {
~tn +
a.
M
2 e:
2
- B
n
B
n n 2 ISS dBn } + -----0;:;= q Ra Pr mn dt 1 + .-Q m 1 2
M
{An + 2e:m:
m~n
r" mn
m~n
ou
(17,131)
- _1_ ] 2
(m+n)
,
si m
~ n •
En premiere approximation lorsque n = m = 1, on trouve un systeme de deux equations pour A1 et B : 1 - 0.
1
(17,132)
Pr avec
0.
_
1 = n
2
+ q
2
Pr dB
dA 2 dt1 = 0. 1 Pr A1 2
- B ; 1
-
dt1 = q Ra Pr A 1 -
+ 0o /:2
1
An
'
337 L'equation caracteristique du systeme (17,132) est (17,133)
>..2 +
oil
~r
(11+
~
=
r
q
~
) +
2
2
0. 1 -----'---.0--- r Pr(l+"f
0.1 >..
Ra( 1+ 2
0 -f
-
Nous constatons alors que 0.1 4 ) 27 n -(a) si r < 0, c'est-a-direRa < ----~~---
o
j
=0
,
•
, les parties reelles des
4(1+--2. 2
valeurs propres >"1 et >"2 sont toutes deux negatives et il y a stabilite (asymptotique, lineaire); -(b) Sl r
= 0,
c'est-a-dire Ra
- Ra-, on aura une racine nulle,
o0
4( 1 + 2
)
>"1 = 0, ce qui correspond a l'~e~t~a~t~n~e~u~t~r~e-=de~s~t~a~b~l~·l~i~t~e, la racine >"2 ayant une partie reelle toujours negative; -(c) si r > 0, c'est-a-dire Ra >
la partie reelle de >"2 reste toujours
o0
4( 1 + 2
)
negative par contre celIe de >"1 change de signe et devient positive indiCluant Clue la solution est devenue instable. En seconde approximation, du systeme (17,129), (17,130), avec (17,131), 10rsClue n
=1
et 2 et m
=2
et 1, il vient pour
Cluatre eCluations suivant :
cJA 1
- 0. 1 Pr ~ = 0. 1 Pr
cJA - 0. 2 Pr
2
~
= 0.2
Pr
A1
@, + 2 Pr { ~
IS
a @2 dt
B ,
1
A2 ,
B
J+
B
. = TI 2 2'/qUl
Ie systeme de
2 ; 0.
1 B 1 0 +--2. 2
q
2
Ra Pr
oil . de q2 - ) On fait Ie cholx
2
- Bj
A2 -
( 17,135)
A1 ,
dr -correspon d'"a ~ dq
°•
{X, + 2
IS
a A2
};
338
Afin d'ecrire (17,132) et (17,135) sous la forme de systemes dynamiques (lineaires) classiques, il est necessaire de passer amplitudes :
A
1 X1 =0.- et 1
( 17 ,136)
B 1 Y1 = 3 0. 1
a T = 0. 1 t
et aux nouvelles
, pour le systeme (17,132);
A B1 A2 B2 1 X2 =0.- , Y2 = - , Z = - et W = - , pour le systeme (17,135). 1
0.
3 1
0.
1
0.
3 1
a (17,136) il vient, a la fonctions de T = 0. t) le systeme 1
Dans ce cas, grace Xl et Y
1 (comme des suivant :
dX
1
- Pr if-[ (17,137)
= Pr
place de (17,132), pour de premiere approximation
Xl - Y1
Y dY 1 R 1 Pr --- = Pr ~ Xl - - - 0 dT R: 1 + ---2. o
2
4 lII -27'IT . , ou'R a = --4-- . T and~s que pour le systeme de seconde o
obtenons,
a la
..
approx~at~on
nous
place de (17,135), les equations suivantes, pour X , Y , Z et W, 2 2 0. 1 t :
comme fonctions de T
- Pr dZ = 3 Pr Z - ~3 dT
dY 2
£~w
Pr dT =
( 17 ,138)
o
1 + ---2. 2
Pr dW dT
BZ - 3 --0 +---2. 2
ou
w+
2
£
aB
---0- Y2 ' 1 + ---2. 2
• De (17,138),nous trouvons pour le Rayleigh critique
l'expression suivante :
339
14 - 1196-277e']
lI!
Ra
(17,139 )
[
1/8
Sur la figure 1, ci-dessous, on a represente pour trois valeurs de r l'amplitude X1(T) obtenue du systeme de premiere approximation (17,137), pour Pr
= 10,
00
= 0,1
et les conditions initiales : X1
= Y1 = 0,01,
en T
= O.
Sur
la figure 2)on a represente l'amplitude X2 (T) du systeme de seconde approximation (17,138), toujours pour Pr 10 et 00 0,1 et les memes conditions initiales : ~ = Y = Z = W = 0,01, en T = O. Enfin la figure 3 represente le rapport X1/X2 2 en fonction du temps T, pour r = 0,034. Ces figures sont tirees d'un travail
de these de M. Errafiy (soutenue
X
a l'Universite
de Lille I, en juin 1990)._
1
00040
o 0035
o 0030 o 0025 o 0020
o 0015 00010
'00
Figure
200
340
0.0040
. X 2
0.0035
r = 0.034
0.0030
0.0025
0.0020
r
= 0.00
0.0015
0.0010
1.----------;-=--------;:;-;';::;--7,
r =-0.034
Figure 2 1.0160 1. 0150 1.0140 1.0130 1.0120 1.0110 1.0100
i
X X
1
2
1.0090 1.0080 1.0070 1.0060 1.0050 1.0040 1.0030 1.0020 1.0010 50
100
Figure 3
150
200
'
341
On notera que lorsque
=0
€
(0
o
=0)
Ie systeme de seconde approxima-
tion (17,138) se decouple en deux systemes, l'un pour X2 et Y2 et l'autre pour Z et W. Lorsque € F 0, si petit soit-il, il y a couplage et l'instabilite des modes (lineaires) X2 et Y2 entraine l'instabilite des modes Z et W. C'est la, toute la difference avec Ie cas de la convection (peu profonde) classique et naturellement cette difference sera plus sensible en theorie non lineaire de l'instabilite convective profonde, lorsque l'on s'interessa a l'evolution temporelle des modes instables qui conduit au chaos (voir a ce sujet la sect~on
17,6 et la section 23,2 du § 23 du chapitre VI). On trouvera dans la
These de Errafiy (1990) divers resultats numeriques qui caracterisent l'influence de 0 sur les scenarios de transition vers Ie chaos. o 3. Revenons au systeme (17,116) pour T et W, avec les conditions (17,117), et voyons voir si Ie principe de l'echange des stabilites est verifie,
oo F o.
lorsque
On designe par T¥ et W¥ les conjugues complexes de T et de W. Multiplions
par W¥ la premiere des equations de (17,116) puis integrons en Z, de Z = 0 a Z = 1, nous obtenons
1
1
Pr
f
f
(J
Mais, apres
integ~ations
Wlf< T dZ
O.
o
o
o
par parties et applications des conditions
aux limites (17,117), on trouve que : 1
f o
o
[I ~~ 1
2
d~ • {{ I dZ2
2 1
+ q
2
J
2
IW1
dZ
+ 2 q21 dW
dZ
aussi bien pour la paroi rigide (Z = 0) que pour la paroi libre (Z
1).
Ainsi, on obtient une premiere relation integrale (J
r [I r
Pr
dW dZ
0
(17,140) =
l'T
0
1
2
+ q
2
2
1 W1
] dZ +
{{ 0
dZ
I
d~2 dZ
1
2
+ 2 q
2 IdWI dZ
2
+ q 4 IWI 2}dZ
342
Ecrivons maintenant la seconde des equations (j7.j16) sous la forme 2 d T 2 (Z) a T - ----+ q T 2 dZ
~
ou ~ (Z)
aZ=
=1 +
q
2
Ra ~ (Z) W •
0o (1 - Z). et multiplions-la par T~ et integrons. en Z. de Z
=0
1; il vient
o
o
o
q2 Ra
J1 ~(z)
WT- dZ •
o
On notera que
(Z) > O.lorsque 0
~
~
Z
~
1
De (17.140) et (17.141) on obtient que-) :
lmag (a) { q
2
( 17.142) q2 Ra 0
0
~~
!mag
r[I: 1 2
{f1(1 -
+ q
2
1W1
2
J
dZ +
r~
(Z)
Z) W T- dZ} •
o
= O.
et on ne peut pas conclure que !mag (a)
Naturellement. lorsque 0
o
=0
on
retrouve que lmag (a) = 0 . Dans le cas libre-libre on peut. cependant. se convaincre que le principe de l'echange des stabilites est bien verifie. On constate ainsi qu'il faut. dans le cas de la convection profonde. analyser le probleme lineaire
a partir
du systeme (17.129). (17.130) avec
(17.131). obtenu au point 2 precedent, du moins dans les cas rigide-libre et rigide-rigide. 4. Nous voulons maintenant obtenir le systeme adjoint de (j7.116).en supposant que a
= O.
Dans ce cas on trouve
{
(n .116')
-) On a que
f1
o
a la
place de (17.116) :
2
(d-2 - q2)2 W = T dZ 2 (d-2 dZ
-
q2) T = - q 2 Ra
~
(Z) W •
(W- T + W T-) dZ est toujours reel. Dans le cas de deux parois libres
on montre que : Imag(a) {
f1 [I
o
~~
1
2
+ q2
ITI 2
+ q2 Ra Pr
IGI 2 ]dZ}
= O. avec
G==
d 2 W/dZ 2_q 2 W•
343
Posons
z
1 -
I;;
et
et il vient pour T(I;;) et W(I;;) Ie systeme
{ ou A
T=-).(l+o
q2 Ra. Comme ii Z
0
1 et ii Z
correspond I;;
1;;) W ,
o
=1
correspond 1;
0, on
peut associer au systeme (17,143) les conditions (2 parois rigides) : (17,144)
W==DW
T == 0 ,
sur
I;;
et
I;;
o
Supposons que la solution de (17,143), avec (17,144), puisse s'ecrire sous la forme
L
T
Bn sin(n n 1;;) et W
n
n
B W n n
ou W est la solution (supposee unique) de l'equation n (17,146a)
sin (n n 1;;)
qui satisfait aux conditions (17,146b)
= D Wn
W
n
0,
sur
I;; == 1
et I;; == 0
Ayant determine Wde cette fagon, substituons (17,145) dans la seconde n
des equations du systeme (17,143); il vient : B n
n
(n
2
TI
2
2
B W
+ q ) sin (nnl;;) ==
n
Multiplions cette equation par sin (n n 1;;) et integrons en I;;
n
de
I;; = 0 ii I;; = 1; on obtient alors pour les coefficients Bn un systeme infini d'equations lineaires et homogenes et de ce fait,il faut imposer la condition de compatibilite (equation seculaire) suivante
(17,148)
{
det
fk
[2~
r
o
(n
2
n
2
+ q2) 0nm -
6=]
== 0 , avec
Wm (1 + 00 1;;) sin (nnl;;) dl;;.
344
Maintenant considerons le systeme "associe"
{
(D
(17,149)
2
2 2 T - q) W = (1 + 0
o
a.
1;) T
(17,143) suivant
T
T T 2 (D 2 - q ) T = - A W
satisfaisant aux conditions
T W
(17,150)
T
T
= T = 0,
DW
sur
1;
=0
=1
et 1;
.
En appliquant la meme methode que ci-dessus on arrive, a la place de (17,148), a l'equation seculaire ; 1
det [ 2A
(17,151) {
ou
13 T
mn
(n
=
I
1
2
TI
2
+ q2) 0nm - 13:' ]
o ,
WT sin (nTI1;) d1;. m
o
T Nous voulons montrer que les matrices (Smn) et (Smn) sont transposees c'est-a-dire que ; (17,152) et que, de ce fait,les systemes (17,143), avec (17,144) et (17,149), avec (17,150), sont adjoints entre eux. Pour cela notons que, par analogie avec (17,146a), nous avons 222 T (D -q) W n
= (1
+ 0
0
1;) sin (nTI1;)
et de ce fait, (17,153)
13mn
=
I
1
2 2 2 T W (D -q) W d1; . m n
o
Integrons (17,153) par parties; on obtient ; (17,154)
Smn =
I
1
2 [(D _q2)
wm]
2 [(D _q2)
w~J
d1; .
o
De faqon analogue, grace a (17,146a), on peut ecrire que 1 T = WT (D 2 - 2)2 W d1; 13 mn m q n
I
o
345
ou encore
J
T = fl1,2 TJI,2 Smn L(D - Cl 2 ) Wm L{D - Cl 2 ) Wn
(17,155 )
o
5. Comme nous avons trouve Ie systeme adjoint,essayons d'obteni~maintenant, la condition d! orthogonalite, pour notre systeme lineaire de convection profonde (toujours avec cr
= 0).
Soient done les sOlutions W., T. correspondant
les solutions wJ ' TJ correspondant
a ~ '"
J
J
On ales eCluations
Aj
>'.(1 + 8 J
0
s) W. , J
et
Considerons l'integrale
~r Wk Tj T
2 2 f1 Tj (D _Cl )
ds
T~
ds
o
0
par integration par parties,il vient
~r Wk Tj T
ds
0
-r r
TT (D 2_Cl 2 ) T. ds k J
0
T + Cl 2 TT Tj [{D Tk ) (D T.) k J
J
ds .
0
D'autre part,
T
~r Wk Tj 0
ds
~r W: (D _Cl )2 Wj 2
2
ds
0
~r [(D2_Cl2 ) W~ J~D2_Cl2) 0
Maintenant,il faut definir les fonctions
wjJ ds .
a AJ"
et
346
et dans ce cas,on obtient que : ( 17,156) o
o
Mais de (17,155) et aussi de l'equation qui exprime (D 2_q2) T., on peut ecrire,
a la
(
~(D
TT) (D T ) + q 2 TT T j k k j
0
A.
J
(
ou encore, en rempla,.ant ( 1 + 0
r~(D
J d1;;
T T (1 + 0 1;;) W. d1;;, 0 k J
0
T 2 1;;) T par (D _q 2)2 WT k k
0
T T) (D T ) + q 2 TT T ] d1;; j k k j
0
A.
J
(17,157)
J
place de (17,156), la relation
A. J
A.
J
r
t 0
W (D 2_q 2)2 WT d1;; j k
2 [(D _q 2)
r
w~J [(D 2_q2)
Wj ] d1;;
GT G. d1;; . k J
o
De (17,156) et (17,157),il vient la relation
(~ -A j )
r
o
T
G G k j
d'"
"
=0
et on constate que l'on a la condition d'orthogonalite suivante (17,158)
1
f o
T G G d1;; = 0 , si j k j
~
k
Lorsque j = k, les relations (17,156) et (17,157) donnent la relation
347
r
f
[(D TT) (DT) + q2 TT TJ dZ;;
o
Ra
( 17.159)
q2
[(D 2_ q 2) W] [(D 2_q2) W]dZ;;
o
qui remplace celle exprimee par la formule (17.86). Cette formule (17.159) est
a la
base du principe variationnel pour le probleme lineaire de la convection
profonde. En erfet. si.maintenant.on suppose. une fois de plus. que: B
T
n
n
on trouve.
a partir 1
Ra ="2" q
ou encore. grace
L
sin (nrrZ;;) et TT =
A sin (nrrz;;) n
n
de (17.159). l'expression suivante pour Ra
L L Bm An
mn
/1 [(D 2_q2) W~ ][
0
a l'expression
T
de
~mn (formule (17.155))
\
1
Ra ="2"
(17.160)
2
q
L B
111
111
A
111
2
(111
LL B111 ~Tmn
nlll
rr
2
2
+ q )
A n
11 suffit donc de trouver l'extre1l1um de (17.160) considere comme une
fonction des "parametres" An et B
lIl
•
A cette fin. il faut calculer l'extremum
de la fonction : 1
J =2Ra et cela conduit
L 111
a ecrire
B111 Am les deux conditions suivantes
aJ
~ 111
=
'dJ
()A
n
=0
•
111.
n
=
1. 2. . ••
On peut verifier que cela conduit aux equations seculaires. (17.148) et (17.151).
348
6. Considerons, maintenant le cas rigide-libre pour le systeme lineaire (avec a = 0) de la convection profonde. Nous considerons done le systeme (17,116') :
[
(17,116")
oil
2
6. (Z)
1 + 8
0
2
(d - - q2)
2 dZ 2 (d2 dZ (1-Z)
-
W
T
q2) T = - q 2 Ra 6. (Z) W , 8 + ~- 8 (Z 2 0
1
-2
).
Les conditions aux limites sont
(17,162)
W=dW=T dZ W=
d~2
dZ
= T
,
sur
Z
o·,
0,
sur
Z
1
0
Nous ecrivons, une fois de plus, que: T
T sin (Jn1rZ) m
et de ce fait nous devons resoudre l'equation T sin (mrrZ). m
La solution de cette equation (17,163) est de la forme W(Z)
1 ) 2
]
(17,164)
Les constantes d'integration A , B , C et D sont determinees par m m m m les conditions (17,162); cela conduit au systeme algebrique de quatre equations suivant :
349
(17,165)
2 Am ch (%) + D sh (~) 2 111
0
(~) B ch (~) 2 + 2 Cm sh 2 m
0
(~) D ch (~) 2 + Bm sh 2 = 0 m
[B + q (Cm - D;m
)J
ch (%) -
~m +
q (A - Bm)] sh (%) =-m7f • m 2
La solution de (17,165) est A
= _ m7f
m
(17,166)
sh
3
(q/2)
sh(q)ch(q)-q coth 2 (~)
B
m
=2
A
Dm
=-
2 Am coth (~2) .
m
2
11 faut,maintenant,substituer les solutions obtenues, pour T et W, dans la seconde des equations (17,116"); cela conduit
+
~m +
Dm
(Z -
~ lJ
,h
[q(Z -
a l'expression
suivante
~ IJ + ,in 1m "Zl } .
D'apres la technique de Galerkin,on doit multiplier l'equation ci-dessus par sin (n 7f Z) et integrer, en Z, de Z suivante, apres integration :
= 0 a Z = 1;
il vient alors la relation
350
( m2 7T2 + {
q
2
q
2)3 <5 0
Ra (1+ 2
<5
lllIJ
-
lDIl
)
+m0' 1%1 [<_1}n +lID D
2
+
ou E et
ISS
lDIl
4 n 7T
<5
q
( n 2 7T 2 + q 2)2
Tm
'f':
D m
sh
sont donnes par les ~ormules (17,128) et (17,131). Le systeme
(17,167) est un systeme lineaire homogene pour les T (m = 1, 2, ••• ) et pour m ne pas avoir une solution tri vi ale nulle, il ~aut que le determinant de ce systeme soit nul. Cela conduit
a une
equation seculaire que l'on peut resoudre par
approximations. En premiere approximation)on pose
E
= n = 1 et
l'expression approchee suivante pour Ra :
(17,168)
Ra=
<5
0
q2 (1 + 2
;-]'
)
[a -
E
BJ
4 7T q B1 sh (q/2) (7T2 + q2)2 47Tq C1 ch (q/2) (7T2 + q2)2
on obtient alors
351
avec
et
51) 2 A1 coth 2 (2 '
sh(q) ch(q) - q
C
1
7. Nous avons deja indique que le parametre de profondeur 0 etai t petit 0
devant un et de ce fait, il semble interessant de tirer profit de 0 « 1, 0
afin de construire une solution asymptotique du probleme (17,143) avec les conditions aux limites (17,144). Du systeme (17,143),on peut eliminer la fonction T et il vient pour W le probleme : - A (1 + 0 ~) o
(17,169)
w
w;
et
sur
~
1 et
°.
~
Au niveau du probleme (17,169), faisons le changement e:
20
o ----
2+0
, ].I
o
ce qui nous donne, a la place de (17,169), le probleme suivant pour la fonction W (n;e:) : (D 2_q 2)3
(17,170)
W
= (D2
D
-
]l
- q2) W
(1 + e:rt) W
=°
et
+ 1
sur n
ou
w=
-2'
=~ - dn
Lorsque
e:
= O,nous
retrouvons le probleme classique de la theorie
lineaire. Supposons que les
]l.,
J
propres de l'equation suivante :
pour j = 0, 1, 2, ... , soient les valeurs
352
- lJ
e ,
II == q
2
I) 0
Ra (1 + 2
),
avec les conditions aux limites sur et par la suite e. sera la fonction propre correspondant J
On sait que les fonctions
311)
sont mutuellement orthogonales, lorsque j normalisees de telle
fa~on
2
On
= 0 et +1/2 forme: f , G
DG
2
=0
sur
222
G.(D -q)
2 2 2 alors (D -q) G = - p e avec les conditions
n = -+ 21 .
f
G. dn
1/2
p. J -1/2
integrant par parties,rintegrale proportionnelle
f ~'1/2~(De.)(De.)+q2
-1/2
J
k et nous supposerons qu'elles sont
~
J
J.
-1/2
valeur propre lJ ••
que :
1lI) En effet, soit G = (D -q ) e
e =0
a la
J
J.
= -
f
devient
Jdn,
e . eJ. J.
etant donne les conditions aux limites sur n i l vient
a p.J
±
21 . De
fa~on analogue,
+1/2
-1/2
f
1/2
-1/2 Ainsi p. J
f
+1/2
-1/2
[(D e.)(D e.) + q2 e. e.l dn
et de ce fait:
J
J.
f
+1/2
-1/2
J.
j-'
QD ek)(D e.) + q2 e . ekJ dn = 0 J J
si j
~ k
.
En integrant par parties Ie premier terme de l'integrale ci-dessus,on trouve que +1/2 2 2 +1/2 0, (j ~ k). e. (D -q ) ek dn = f e j Wk dn f J -1/2 -1/2
353
(17,172)
On sait que dans le cas rigide-rigide, pour le probleme classique lI' 2 00 lineaire, on a : Ra = 1708 pour q = 3,117; comme p q Ra (1 +:2 ),on trouve que, dans notre
ca~
a l'approximation
=
zero (£ = 0), le nombre de Rayleigh
critique sera : 1708
lI!
Ra
(17,173)
o
+....2. 2
Pour obtenir une correction d'ordre superieur en £,nous developpons en serie entiere en £
(17,174)
Apres substitution dans le probleme (17,170) on obtient les equations suivantes : (D 2
(17,175)
(D 2 _ q2)3 w( 1)
(17,176) ( 17,177)
(D 2 _ q2)3 W(2)= _
q
- }lo ]10
e0
2)3
W(2)_
w( 1)
]10 T1
]10
e0
- ]10 T1
e0
-
w( 1)
-}l
-
]1
(1)
(1) w( 1)
e0 -]1
( 1)
T1
e0
-}l
(2)
L'equation (17,175) est toujours satisfaite. Pour resoudre l'equation (1)
(17,176) pour W
, on suppose que
( 17 ,178) et de ce fait,il raut que la relation suivante soit satisraite 00
(17,179) puisque (17,171).
]10
p. et J
e.
J
L
j=O
A~1) e. J
J
T1
+]1 0
e 0
+}l(1)
e 0
sont les valeurs propres et fonctions propres de l'equation
e0 '
354
n
-
~
Multiplions la relation (17,179) par W et integrons en n de k an = + ~ • Si nous tirons profit de la condition (17,172),nous obtenons
(17,180) avec
-I
+1/2
J~(n)
(17,181)
Wk
-1/2
n 8.J dn
, , • •• If) et on notera que les J j( n ) sont les elements d I une matr1ce non herm1t1que . k
Pour k = 0, il vient de (17,180) 11
(1)
=-11o
I+ 1/ 2 W n8 0
0
dn
-1/2
et comme les fonctions propres W et 8 ,correspondant o l'integrale JO(n) et de ce fait 0 11 (1)= 0··) o
=°
a 11
0
sont paires,
,
Pour k ; 0, cette meme equation (17,180) donne
I
+1/2
(17,182)
(j
Wk n 80 dn,
-1/2
0) •
Naturellement, la formule (17,182) ne permet pas de determiner Ie .. . I , on verra que cela n " coeff1c1ent A(1) ,ma1s a pas . d 1mportance I o Comme 11(1) (n
= 0,
l'equation (17,177) donne
2 _ q2)3 W(2)
= _ ....0 11
W(2)
}Io
-
W( 1)
n
- 11
(2) 8
0
'
et on recherche sa solution sous la forme W(2)
= ~
j=O
A~2)
8.
J
J
ce qui conduit a la relation (analogue de (17,179)) (17,179' )
(.) C'est-a-dire que cette matrice n'est pas egale a sa matrice adjointe. (iIl¥) Puisque, dans ce cas, la fonction won 8
0
est impaire.
355
Multiplions cette equation (17,179') par W et integrons en n
n
=- 21 ,a
.. = + 21 ; ~l v~ent
n
de
0
+1/2
f
= II A(2) + II 00000
A(2) II
W n W(l) dn 0
+ ,,(2) ...
-1/2 et de ce fait, II
(2)
- llo
(1/2 -1/2
Substituons dans (17,183) l'expression de W(l), d'apres (17,178); on obtient : II
(2)
+1/2
co
- llo
L
j=O
f
-1/2
Wo n 6.J dn
ou encore (17,184 ) COlmne JO (n ) ne donne pas de
= 0,
le terme correspondant
~ontribution.
aj
= 0, dans (17,1 84) ,
Si nous substituons maintenant pour
A~l)
(j
~
0)
l'expression (17,182), nous obtenons p(2) sous la forme suivante : J
(17,184 a )
Ainsi, si l'on ne tient compte que d'un terme dans la somme figurant dans (17, 184 a), on trouve la f'ormule approchee
J.l = llo
{1 -
£
2
llo ]ll-ll o
(17,185 ) + .....
+1/2
+1/2
f
-1/2
}
W n 6 1 dn o
f
-1/2
W1 n 6 dn 0
356
Cela nous donne pour le Rayleigh critique de la convection (lineaire) profonde, l'expression suivante
R-a
(17,186)
=~ 2 + <5 o
1
{
2
<5
-
0 7, 61.10-3 (2+T
)
0
+ ...
} ,
d'apres Chandrasekhar (deja. cite; 1961, p. 313).
11,4. INTERACTIONS QUAVRATIQUES VES MOVES LINEAIRES LES PLUS RAPIVEMENT AMPLIFIES. L'EQUATION VE VE CONINCK, GUIRAUV ET ZEYTOUNIAN. 1. Revenons aux equations de la convection classique (17,41) et faisons le changement suivant : (17,187)
T=...:L Vi. = Pr u i ' II=Prp ' P r et x.:L - x :L. .
e=Rae,
Dans ce cas, pour les fonctions e, u. et p,nous pouvons ecrire les :L
equations suivantes :
au.
__ :L + at
aUi
ap + - Gr J aX aX i i
U. - -
ae u. ~ Pr (~+ - u3 ) at J :L
(17,188 )
au. --...l = 0 ax.
,
e b,
is' = b, u. i3:L
s
i, j = 1, 2, 3
J
Afin d'ecrire ce systeme d'equations (17,188) sous la forme (15,69), .
"
-+-+
-+
decomposons la V:Ltesse : u = uT + W e du tourbillon:
;:!;
W = (v
+
A u).e z .
Notons par U = (w , b,
( 17 ,189)
dU dt
=
+
w,
Z
. .
et :Lntrodu:Lsons la composante verticale
e)T et nous pouvons former l'equation suivante
w
b,-1{ b, b, W + Gr (6
2
a
- az 2
)
e}
357
+
!:J.
-1
-
.... ;:t; Cl;:t; ............ {- /:::,(u,VW) + ClZ [V.(u.V u)] }
~.V
e
ou /:::,-1 est l'operation inverse qui permet de resoudre l'equation de Poisson (de /: :, u = f, on passe
au
= /: :,
-1
.........
f) et x ::: x
r
.... + Z e
Z
Si l'on tient compte de la notation (16,80) (pour la transformee de Fourier), on obtient de l'equation de continuite
.UT :;.
( 17,190)
........
ou k. X
T
=a
=
r> ClW LJ.k ClZ -
1.k. 1- 2
....-:1 wJ'
.... (e z l\. ik)
x + By; x - xl et y - x 2 •
Ainsi, on constate que l'operateur quadratique, au second membre de l'equation matricielle (17,189), est bien de la forme M (U,U)lIf).
2. Ici,l'ecoulement de base est la configuration purement convective et elle est invariante par rotation autour d'un axe parallele
a la
direction des Z, qui
est celle ou la configuration est confinee (par les plans Z
=0
et Z
1).
Dans ce cas, on a toute une superposition de modes amplifies formant un spectre continu et on verra qu 'au voisinage de la stabilite neutre, se sont les interactions binaires qui sont preponderantes. Precisons, tout de suite, que dans les premiers travaux, cons acres
a la
theorie non lineaire, de Segel
et Stuart (J.F.M., 13, 1962, 289) et de Stuart (J.F.M., 18, 1964, 481) ce sont essentiellement les interaction ternaires entre modes propres isoles ou paquets isoles de modes propres qui ont ete utilises. Done, ici, le domaine /: :, (dont il a ete question au debut de la section 16,4) est une couronne dans le plan (a,B) dont
....
1If) On notera que les compos antes de u T sont u
1
et u
2
et que u
3
a ete note W.
358
a l'origine;
l'epaisseur est E (faible) et qui est centree
de ce fait, au
niveau de (16,84) on a : S Comme
o
est une couronne circulaire,il est jUdicieux de passer a
~
des coordonnees polaires definies par ....
(17,191) ou ;(cj»
k = (k
c
+
E
'V
....
k) e(cj»
,
est un vecteur unitaire qui precise l'angle cj>
et on notera que
; (cj> + ~ ) + ; (cj> - ~ ) = ; (cj»
n
Sur
~
~ = 0(1). D'apres (16,98), on a deja dit que la
, on a
dimension de l'espace,dans lequel X que la mesure de
n
=P U varie,etait
petite, etant donne
est petite. Une expression generale pour X peut s' ecrire
~
sous la forme X =_1_
(17,192)
(2TT)2
d'apres (16,89). En substituant (17,191) dans (17,192) on trouve que 2TT
(17,193)
X
=...f... 2TT
J
o
ou no,o est la valeur de ~
Ikl
DO evaluee pour
= k , tandis que la fonction c
(A,cj>,t) s'exprime sous la forme suivante (voir (16,98))
(17,194 )
~
(A,cj>,t)
= 2TT1 J e i~A
'V 'V
'V
X(k,cj>,t) dk ,
I
ou A
E
xT
....
....
.e (cj»
'V
et I est un petit segment balaye par k.
Comme 1',;0
,,,
ax
on trouve que 1 operateur dt - Lp X, au
.
n~veau
(16,97), conduit a l'operateur differentiel : (17 ,195) applique a
~.
. . . . . "equat~ons .
de la premere des
359 Pour la suite,le point le plus delicat concerne l'evaluation du terme PM
(X,X)~)
qui s'avere, ici,
di~~erent
de zero. Ce terme traduit
l'interaction binaire entre des modes repartis continUment sur la couronne
~
et il est constitue par des produits de convolutions, de sorte que seuls 7T 7T • t erag1ssen . t avec le mode + 3 et '"~ - 3 1n correspondant a cp.
1 es mo des correspon d ant s a' '"~
On trouvera les etapes du calcul formel du terme PM (X,X) dans l'article de De Coninck, Guiraud et Zeytounian (Q. Jl. Mech. Appl. Math., vol. 36, Pt. 1, 1983, pp. 1
a
18; voir les pages 14 et 15 de la section 5.3).
Le resultat de ce calcul conduit
a la
:
~ormule
k
....£).
(17,196)
PM(X,X)
ou a = constante et
+
~-
E:
~
o +
+
().-, CP-, t),
cP
±
~+ ~-
00 ,0
dCP)
,
7T
= cP ± 3
On montre que a est bien une constante independante de
cP,
tandis
qu ' au ni veau de (17,195) 0 et y sont des constantes reelles. Ainsi, en tenant compte de (17,195) et (17,196),on trouve que la premiere des equations (16,97) donne, en premiere approximation, suivante pour
~
1 'equation
(A,CP,T) :
(17,197)
T
=
E:
2
t ,
c'est l'equation de De Coninck, Guiraud et Zeytounian (DGZ). Le cas particulier de
y
=0
a ete considere par De Coninck (Note
aux C. R. Acad. des Sciences, 288, A, 1979, p. 665) et dans ce ca~ on met aisement en evidence une famille de solutions stationnaires de (17,197). Cette famille est un systeme
a deux
parametres :
.) NoUE supposons que nous sommes sortis de la phase transitoire (voisinage de t = 0), ou l'ap~roximation lineaire s'applique et noUE faisons l'hypothese de raccordement Ixl» IYI. Dans ce cas, en calculant Y en fonction de X, grace a la seconde des equations (16,97), on montre que les termes preponderants dans la premiere des equations (16,97) sont bien obtenus en posant Y= 0 .
360
S
(17, J98)
(¢J +]!.3 ) = (.9.) a
2
1A
oA
a B
Nous pouvons etudier la stabilite lineaire de ces solutions (17,198) en posant
~ (¢J + (k - 1) } )
I; (¢J + (k - 1) St
7T
'3 )
+ ~ ,
(k = J, 2, 3, 4, 5 et 6) ou I;St est la solution stationnaire de (17,J97),avec Apres linearisation,il vient un systeme premier ordre ).. =
a six
y
= 0.
di~ferentiel
lineaire du
variables dont la matrice associee a pour valeurs propres
° (double); ).. = 20
(double); A = - 0 et A = 30.
Ces solutions stationnaires sont done toujours instables (il faut ajouter ~aut
~
(¢J)
pousser
= 0,
pour tout
jus~u'aux
~, ~ui
est elle aussi instable). Ainsi, il
interactions ternaires pour voir apparaitre une
stabilisation eventuelle des perturbations. En toute
generalite,l'e~uation de
/ de six e~uations pour les
s'ecrit sous la
~orme
=~
DGZ est k-1
"3'
)7T
suivante
Cll;1
aT"Cll;2
aT Cll;3
aT ( 17,199)
~
«A, ¢J +
Cll;4
aT Cll;5
aT Cl/;6
aT -
Cl2~
o~
1
1
- y - - = a ~2 ~6
Cl)..2
Cl2~ 2= 01;2 - Y - a 1;3 ~1 2 ClA Cl2~ 3 o~ - y-a 1;4 ~2 3
d)..2
2 Cl 1;4
= 'a 1;5 ~3 01;4 - y - 2
dA
Cl2~5
01;5 - y - - = d)..2
2 Cl /;6
01;6 - y - - = a d)..2
a 1;6 ~4 ~
t;, 1 5
. T ),. .ou
k
=
a un
systeme "'6 ... 1 a ; ce systeme
e~uivalente
361
Le systeme (17,199) ne semble pas avoir ete analyse, malgre son interet evident. II est interessant de preciser ~u' une veri~ication minutieuse du travail de Schluter, Lorz et Busse (J.F.M., 23, 1965, 129), effectuee par J.P. Guiraud, montre que l'assertion concernant la disparition des interactions binaires non lineaires dans les problemes de stabilite pour la convection d'amplitude finie est erronee,en toute generalite. II ~aut bien voir ~ue au niveau de la formule (17,196),le coefficient a est obtenu par integration d'un produit, de ~onctions dependantes de Z, ~ui est lie
a la
structure des
modes normaux.
3. Une caracteristi~ue importante de l'e~uation (17,197) de DGZ est de contenir la convection en hexagones et Ie systeme (17,199) est un systeme pour les ~k' avec k
1
a6
et qui s'ecrit sous la ~orme de l'equation
indicielle suivante
( 17 , 199' )
~-1 • On notera toutefois que les hexagones correspondent au cas ou tout
les six ~ sont egaux entre eux et de ce fait, vient l'equation
uni~ue
a la
place de (17,199'), il
:
(17 ,200) Si la perturbation initiale est en hexagones dans la phase lineaire, elle doit rester en hexagones dans la phase non-lineaire. Dans Ie cas general, pour chaque
~,
chaque ~ (k =1
a 6)
de~init
un mode pseudo-hexagonal et
chacun de ces modes evolue pour son propre compte. Au niveau du systeme (17,199),on peut considerer un cas particulier ~ui
correspond
(17 ,201)
a y =0
et aussi au choix de solutions d'equilibre pour
362
ou a = ~ Dans ce cas,les trois modes hexagonaux restant doivent satisfaire au syst eme hydrodynamique suivant
(17 ,202)
a a Cll;5
;l-[ - 0 1;5
=a
a
2 2
2 1;3 1;1 1;5 2
1;5 1;3 1;1 '
qui devrait faire l'objet d'un traitement numerique.
4. Enfin, pour ce qui concerne la convection en rouleaux on notera que dans ce cas: PM(X,X) :: 0 et cela est du au fait que le mode unique ne peut interagir avec lui-meme I La description de l'evolution temporelle des deformations d'une structure convective en rouleaux paralleles, a ete abordee par Newell et Whitehead (J.F.M., 38, 1969, 279) et Segel (J.F.M., 38, 1969, 203). Ils ont considere un systeme de rouleaux convectifs paralleles de nombre d'onde k ' c ayant une vi tesse d' amplitude complexe A( t, x, y) representant une modulation spatiale lente de la structure, et ont calcule
a partir (17,203)
l'equation d'evolution pour A
des equations classiques de Boussinesq (17,41). Le resultat est: ClA Clt
r A + I;
2 Cl (-;:;o oX
i 2k
c
ou rest l'ecart relatif au seuil de convection, et, 1;0 et y sont des constantes positives dependant des conditions aux limites et du nombre de Prandtl. Nous n'en dirons pas plus au sujet de l'equation (17,203), mais nous aurons l'occasion de revenir sur sa derivation asymptotique section 17,7. Nous voulons maintenant
a la
a la
section 17,5,suivante,obtenir et
discuter le celebre modele de Lorenz qui est, en fait, le point de depart des diverses discussions sur le chaos qui feront l'objet du chapitre VI.
363
11,5. LE MODELE DE LORENZ
W(T,X,Z)
Revenons aux e~uations bidimensionnelles (J7,108) - (17,109) pour
e
et
(T,X,Z). On notera
~ue
au niveau de ces
e~uations
bidimen-
sionnelles,on a
_ dW
u -
_.2.Y!.
w
et
(lZ
dX
1. Pour exiber Ie celebre modele de Lorenz (J. Atmospheric Sciences, vol. 20, 1963, 130-141), on considerera, ici, une convection en rouleaux; une dimension horizontale liee aux rouleaux etant notee par t (A = ~ est sans dimension). Ainsi, notre domaine de convection est
o
~
Z
~
et 0
1
~
x
~
A ,
et les conditions aux limites seront-}
w
0 ,
u
=0 ,
e
o
(17,204)
d~
=
dZ 2
0, sur Z
d~ = 0, -2 dX
sur
de dX = 0 , sur x
Z
sur x
o
et Z
o
et x
=A
= 0 et Z = 1
o
A.
et x
Si on pose :
e on peut,
a la
Pr ep
Ra T ,
T
t
= Pr'
Ra - Pr Gr,
place de (17,108) et (17,j09), ecrire les deux e~uations
suivantes pour ep
et T
(17,205)
.) Ces conditions sont celles classi~ue de
~ui
correspondent
a l'obtention
du modele
Lorenz, de 1963, et elles permettent de postuler une solution
simple de la forme (17,209) et (17,210).
364
Les conditions aux limites associees au systeme (17,205), (17,206) s'ecrivent :
{
( 17 ,207)
2
¢ =
" ~
a az 2
= T = 0, sur Z
¢=
~ ax2
= aT = 0, sur x = 0 et x = A . ax
0 et Z =
Pour resoudre le probleme (17,205) - (17,207), methode de Galerkin (voir,
a ce
a partir
de la
sujet, la section 8,2 du § 8), on postule
une solution approchee du probleme, satisfaisant aux conditions (17,207) et aux e'luations (17,205) - (17,206), sous la forme suivante 00
¢
L L j=1
i=1
A.. (t) sin (iifX A J.J
sin (j if Z)
(12,208) 00
T
00
L L
i=O j=1
Le probleme consiste
B .. J.J
(t) cos ( iTIx) sin (j if Z). A
a trouver
des e'luations dirferentielles ordinaires
(non lineaires) pour les amplitudes A.. (t) et B.. (t). Lorenz, pour obtenir son J.J
systeme de _trois e'luations, se limite pour ¢ = A
( 17 ,209) et pour T
ai
1 et i
1 et j
T (17,210)
11
(t) sin
¢
J.J
ai
= 1 et j = 1
sin (ifZ) ,
0 et j = 2, ce 'lui conduit
B (t) cos (if:) sin (ifZ) 11 + B
o2
(t) sin (2 if Z).
a:
365
On notera que l'addition du second terme, independant de x, au niveau de (17,210), s'avere necessaire pour tenir compte d'une partie, au moins, des non linearites de l'equation (17,206). Naturellement, dans le cas de Lorenz (de la convection peu profonde),il faut supposer que 00
=0,
au niveau de l'equation (17,206). Si,maintenant,on remplace
~
et T dans l'equation (17,205) par leur
representation (17,209) et (17,210), on obtient, tout d'abord, la relation suivante : 2
d.A 11
2
Pr rr (r +1) sin (rrrx) sinrrZ
4
2
Pr rr (r +1)
2
~
+ Ra B
11
rr r sin(rrrx) sinrrZ
All sin(rrrx) sin rr Z,
ce qui fait que
o
(17,211)
c'est la premiere des equations du systeme de Lorenz, ou r On remplace,maintenant,~
= I1
et T dans l'equation (17,206) (ou
° t 0) o
par leur representation (17,209) et (17,210); on obtjent la relation suivante Pr[l + 0o(l-Z)] { cos (rrrx) sin(rrZ) - All B11 rr
2
r sin(rrZ) cos(rrZ) - 2 rr
(17,212)
+ ,
B
11
(r
2
dBll
+ 1) rr
2
dB
02 d:t + sin (2rrZ) d:t 2
r All B 02
r A"
cos (rrrx) sin(rrZ)- 4 rr
00'
2
cos (rrrx) cos (2rrZ)
('rx) ,in ('Z) }
B sin(2rrZ) 02
222.2 2 l All Sln (rrrx) sin (-rrZ)J'
4 (r -1)
+
D' apres la methode de Galerkin, il faut, tout d' abord, multiplier l'equation (17,212) par cos (rrrx) Z, de 0
a
sin~Z)et
integrer en x, de 0
a A,
et en
1; il vient alors l'equation suivante, apres avoir effectue les
integrations
366
dB
<S
11 ---a::t
Pr (1 +--..2. 2
(17,213)
0 0 + Pr 7T r (1 + 2
)
= O,on
Si l'on fait 0
0
+ 7T
2
<S
0
r Pr (1 + 2
A + 7T 11
)
A11 B02
22 (r + 1) B11 = 0 .
obtient la seconde des equations de Lorenz.
Pour obtenir une troisieme equation,il faut multiplier l'equation
a A,
(17,212) par sin (27TZ) et integrer en x, de 0
et en Z, de 0
a
1; on
obtient alors, apres avoir effectue les integrations, l'equation suivante
(17,214)
0 Pr (1 +--..2. 2
---a::t - "2
+ 4 7T 2 B 02
o ,
qui est (lorsque 0
o
= 0)
1
dB 02
Pr
7T
2
0 r (1 +--..2. ) A11 B 11 2
la troisieme des equations de Lorenz. On not era que
le terme quadratique de (17,206) proportionnel integration au niveau de (17,213) et (17,214).
a <S o
PGr r
disparait apres
11 est commode d'ecrire les equations (17,211), (17,213) et (17,214)
sous une forme plus concise, en introduisant le changement suivant :
x (17 ,215) Y
ou q
= 7T
r
=~
7Tq
2 2
2
12(7T +q )
=
-~ 2 2
Z -
B 11
7T +q
Ainsi, on obtient le systeme
amplitudes X(T), Y(T) et Z(T), lorsque 0
0
(17 ,216)
, b
"a
B02
la Lorenz" suivant pour les
# 0
Pr dX dT
=-
Pr X - Ra Y ;
Pr dY dT
=-
~ Y - a Pr X - Pr X Z
Pr dZ dT
=-
b ~ Z + Pr X Y ,
2
ou a = -~q",--- (7T2 + q2)3 (17 ,217)
7Tq A ,l2( 7T 2+q2) 11'
7T
2
47T 2 + q
et
2
_
~
1
= --01+--..2. 2
367
2. Le "vrai" systeme de Lorenz s' obtient, lui, avec
a la
).l _
1 et en introduisant
place de X, Y et Z les amplitudes : A -= X,
B -= - Ra Y et
C - - Ra Z
T/ Pr
ou A, B et C sont des fonctions de t -= dA - = Pr (B-A)
dt
dB
(17 ,218)
dt
=-
dC dt
-=
ou
(17 ,219)
AC + r
0
A- B
AB - bC
r
<J,.
0
2
(-rr 2 + 0. 2 )3
Ra ,
est le parametre de bifurcation du systeme de Lorenz (17,218). Un point important, au niveau du modele de Lorenz (17,218), est de se convaincre que la troncature appliquee (tres severe !) n'a pas subrepticement introduit de "catastrophe" indesirable dans le modele. A cette fin, il suffit de montrer qu'aucune solution de (17,218) ne va
a l'infini;
en d'autres termes,
que le champ des vitesses dans l'espace des phases (A, B, C) est partout dirige vers l'origine sur une surface entourant celle-ci
a grande
distance.
Soit h (A, B, C) l'equation d'une telle surface dans l'espace des phases; pour que la condition enoncee ci-dessus soit satisfait~ il faut (et il suffit) que le produit scalaire du vecteur vitesse et de la normale exterieure
a la
surface soit partout negatif
<
°.
Si l'on choisit comme surface h, l'ellipsoide d'equation h (A, B, C)
> 0, arbitrairement grand, alors en tenant compte des equations dA dB dC (17,218), qui expriment dt ' dt et dt on obtient l'inegalite :
avec
u
o
°
- (A
2 + B2 + b C2 ) + (r + 1) bC o
< 0,
u > suffisamment grand. Ainsi, aucune trajectoire issue d'un point o distance finie de l'origine ne peut s'eloigner a l'infini.
pour
a
368
Autre point meri tant d' etre souligne : la contraction des volumes de l'espace des phases (A, B, C), d'aprils laguelle le "flot" (17,218) est bien du type dissipatif, comme les eguations de depart. En effet, le champ des vitesses
a une
divergence constante et negative d (dA ) + d (dB) d (dC ) dA dt dB dt + dC dt
(17 ,220)
- (Pr + b + 1),
et de ce fait,le volume de phase decroit continuellement au cours du temps. Si
a un
instant donne (t
occupant un volume
n
= to),
(to), les extremites des trajectoires issues de celui-ci
rempliront au temps t un volume
n
(17 ,221)
(t)
on considilre un ensemble de conditions initiales
n (t)
egal
a:
n (t o ) exp [ - (Pr + b +
1) (t - to)J .
On notera que l'etat conductif decrit par le modele de Lorenz (17,218) est lineairement instable pour ('IT 2
+ q2)3
(17 ,222) q
2
Les fluctuations correspondant au seuil d'instabilite sont evidemment celles pour lesquelles le membre de droite de (17,222) est minimal; en ce cas, le nombre d'onde q est tel que et
(17,223)
Ra
= 27
4
4 'IT
lIE
Ra
On retrouve les valeurs critiques classiques calculees pour la premiere fois par
R~leigh
(Proc. Roy. Soc., A 93, 1916, 148-154). Dans ces conditions
= 8/ 3 ,qui est la valeur frequemment utilisee dans les simulations numeriques du modille de Lorenz, qui lui a adopte les valeurs : Pr 10, b = 8/ 3 et r > 0 variable, jouant le role du paramiltre de bifurcation. o On trouvera dans le livre de Sparrow (The Lorenz equations le paramiltre b
Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. Springer 1962) une analyse relativement complete du modele de Lorenz. Pour notre par\ nous aurons l'occasion d'y revenir au Chapitre VI en relations avec les bifurcations et les divers scenarios de transition vers le chaos (voir la section 23,2).
369
3. Si l' on tient compte de (17,223) on constate qu ' au ni veau du modele de Lorenz classique (17,218), le parametre de bifurcation est: r
o
Ra
_
ll!
Ra
Ce systeme (17,218) admet une solution stationnaire qui satis~ait aux equations : A
=B
B
,
=A
(c - r ) et o
C
= 1b AB '
ce qui nous donne les solutions suivantes
± Ib£
A
St
B = ± St
(17 ,224)
CSt -
Ib£
,
E
ou (17 ,225)
E
•
Ra - Ra
- r0
'II
Ra
-
1
Nous pouvons tester la stabilite de cette solution stationnaire, (17 ,224), en ecri vant que : A
A
St
'V
+ A e
-at
, B
'V -at St + B e , C
'1!
CSt + C e
B
-at
et en substituant dans le systeme de Lorenz (17,218). Dans ce cas il vient pour
a l'equation caracteristique du 3eme degre suivante
(17 ,226)
Pr-a
- Pr
-1
1-a
o + Ib£
o .
b-a On sait qu'il existe une valeur parti culi ere de
E
,
notee
E
•, pour
laquelle la partie reelle d' au moins une des racines de l'equation (17 ,226), pour
a
•
est negative et il y a instabilite. D'apres le critere de Routh et
370
Hurwitz·), cette valeur
8~
( 17 ,227)
~ormule
s'obtient a partir de la 8
(1 + Pr) (1 + Pr + b)
lIE
(Pr - 1 - b)
ce qui nous donne, pour Pr
10 et b
= 38 '
la valeur
(17 ,228)
La solution stationnaire (17,224) du mod~le de Lorenz classique est •
• •
donc 1nstable lorsque 8 > 8
....
I
. Ma1s comme le modele de Lorenz n admet pas
d'autres solutions stationnaires que (17,224),on peut en conclure que la solution du mod~le de Lorenz, lorsque
8
> 8
l1E
est necessairement dependante
du temps. Lorsque
< 8-, on doit considerer deux cas en ~onction de
8
est la valeur de 8
a partir de laquelle des oscillations
8os ' qui c
reguli~res
apparaissent au sein de la convection; a) si 8 < 8
lIE
< E , dans ce cas,l'equation (17,226) admet trois racines osc reelles et positives et la solution stationnaire de Lorenz est stable et
les perturbations decroissent de
~ac;;on
monotone, ce qui permet, "assez vi te ",
de retrouver l'etat stationnaire, ;tE:
b ) si 80s
I....
•
. . . . .
< 8 < E , 1 equat10n admet une racine reelle posit1ve et deux c racines complexes conjuguees dont les parties reelles sont aussi positives
la perturbation est oscillatoire avec une amplitude decroissante en fonction du temps. Sur la
~igure ci-apr~s
nous avons trace dans le plan (Pr, 8~) le
graphe correspondant a la formule (17,227) pour b = role privilegie joue par la valeur Pr de
8
lIE
= 10
38 ;
..
on V01t b1en alors le
qui correspond a une valeur minimum
Le syst~me de Lorenz classique (17,126) pour X, Y et a ete integre numeriquement pour diverses valeurs de (17,225»
8 (8
z, ou
II -
1 ,
est donne par
par Errafiyau C.I.T.I. de l'Universite de Lille I; l'ordinateur
employe etant un DPS 8. lIE)
Le crit~re de Routh et Hurwitz donne une condition necessaire et suffisante pour que toutes les racines d'un polynOme(reel) aient des parties reelles negatives et on pourr~a ce sujet,consulter le livre de Gantmacher (Applications of the theory of Matrices. New York; Interscience 1959; voir la page 231) .
371
50
45
40
35
30
25
23,74
- -------:-:.:.----
15
10
L-~:-'------~10~-----~15l-------:;20:-----1~P:r
Sur 1a figure ci-dessous_ on trouvera 1e graphe de l' amplitude X en fonction du temps
x " 10
0'
.. , -, 0
-"
'00
l
pour
E:
= 27,5,
b
= "38
et Pr = 10 .
372
."
o
o
372
373
On notera que Ie caractere chaotique, en fonction de T , de
'"= 130.
" 1 ' ampli tude X demarre pour T
Ci-avant,nous avons trace Ie graphe de X comme fonction de Y pour differents temps T , toujours (17,225), pour b
= 8/3,
a partir
II == 1, Pr
= 10
de la resolution numerique du systeme et
= 27,5.
£
Ce dernier graphe nous
donne tine idee de la forme de l'attracteur etrange de Lorenz et on constate que la trajectoire reste bien confinee dans un domaine fini de l'espace des phases.
17,6. LE MOVELE VE LORENZ AVEC EFFET VE PROFONVEUR
(0 0f-0). -
Nous revenons au systeme des equations de la convection profonde bidimensionnelle (17,205), (17,206), pour ~ et T. Nous introduisons Ie parametre 20 (17 ,229)
o
£=~
o
et nous pouvons ecrire, Pr [1 +
£
a la
(.1. _ 2
place de (17,206), l'equation suivante
Z)J {
(17 ,230) "'2 '1' 0 1 + -2. 2
+
£!:L2 Ra
3'1' +
at
E.t aT _ E.t aT
az ax
[42 (~ )2
ax az
ax az
+
E.t }
ax
2 _ I2I + (li az 2 ax2
Ainsi, pour ~ et '1', lorsque 0 f O,nous devons considerer les o equations (17 ,205) et (17,230). A ce systeme d' equations,nous associons les conditions aux limites suivantes, relatives au cas dit "libre-libre" : (17,231)
'1'
sur
z
o et Z
1 •
Comme nous voulons tenir compte de I'influence de Ia profondeur (qui est decrite, au niveau de (17,230), par Ie parametre
£
),
il nous faut,
en accord avec Ia theorie Iineaire de Ia section 17,3 (voir Ie systeme (17,138»,
374 tenir compte, dans la decomposition de Galerkin, des modes qui sont "destabilises"
a£
par la presence des termes proportionnels
•
Ainsi, nous prenons la re-presentation app!l.'ochee suivante pour ep et T
(17 ,232)
= A11
(t) sin (r.Z) sin (qx)+ A (t) sin (21TZ) sin (qx); 21
T
= B 11
(t) sin (1TZ)COS (qx) + B
+ B
10
(t) sin (1TZ) + B
20
21
(t) sin (21TZ) cos (qx)
(t) sin (21TZ)
.
La substitution de (17,232) dans les equations (17,205) et (17,230), apres la mise en oeuvre de la technique de Galerkin,telle qu'elle a ete decrite
a la
"a
section 17,5, lors de l'obtention du systeme, • ~ • ,. • lIE) condu~t aux equat~ons d ampl~tudes s~vantes : (17 ,233)
dA 11 Pr all ~
la Lorenz", (17,216),
2
=q
Ra B 11 + Pr a 11 A11
(17 ,234)
(17,235)
21Tq
(17 ,236)
~ A21
+ 1T q [ All B20 -
~~1
l:2 A11 B 10 + a4 A21 B20
£
+ q A21 + 2
- 2 1T q
B 10 ]
£
[
£
a2
J
[~~ 1 + q A1
a 3 A 11 B 20 + ;
<5
Pr( 1 +.....2. 2
J J
A21 B lO
<5
0
Pr( 1 + 2
lIE) La derivation des equations (17 ,233) - (17 ,238) a ete e.ffectuee par ErraSiy dans le cadre de sa these (1990). 11 a aussi derive un systeme a 15 equations,
a
pour le cas libre-libre (voir, la section 23,2 du Chapitre VI, quelques resultats de ses calculs numeriques).
375
dB 20 a:t+ 2
dB a 2 --lQ. _ .:!!.9. 2 All B 11 dt
£
(17,237)
a 20 is Pr(l + 2°)
1Tqo
(A
-2£
B + 20
£
B
11
+
21
A B ) a6 21 11
Pr c Ra All A21
60
Pr (1 + 2
Au niveau de ce systeme (17,233) - (17,238) nous avons les coefficients constants suivants all = 1T
a2
2 + q2
8 = 97T 2
,
a
a
3
21
= 4 7T
16 =-----2 2257T
2
+ q
2
,
a
10
= 7T
2
a
20
4 1T
2
,
16 416 , a4 =---2 , a 5 = 2257T 2 , 2251T
(17 ,239)
a
4 = -37T
(7T
4
4 + q ) ,
Pour mettre le systeme (17,233) - (17,238) sous une forme plus "canonique",il est jUdicieux de faire le changement de variables suivant
T
(17,240)
z
= all
t
,
X
=
7Tq 0_
12 a 11
All'
y
7Tq
12
2
3
all
376
Si l'on suppose que q X, Y, Z, U, V et
~
2
=TI22 '
alors il vient pour les amplitudes
le systeme d'equations suivant : - Pr dX = Ra Y + Pr X dT
( 17 ,241a) (17,241b) Pr
~~ = r Pr X + Pr X Z
(17,241c)
+ -Y=----,o,-- +--.2.
i
Pr U Ttl
2
+ 2 £ Pr {a
dV + r a U - a 2 X W - a4 U Z 2 dT 2 2
dZ b 20 - Pr dT = - Pr X Y + ---0;;-
1
+
Pr {2 a 2
£
Z
+2
(17,241d)
Jt;
~~ -
~~ d 11
a6 [X V + U Y ] -
- Pr dV = r Pr U _ Pr X W + _~3'-.-_ M 2 ~
XU};
V
+2
(17,241e) + 2
£
Pr {a2
~~ + a 2 r
U W}
X - a3 X Z - ;
b
10- Pr dW = Pr (X V + U Y) + o W + 2 dT 2 1+ --.2.
£
Pr (d 2 2 ] - 2 a4 U V - 2Ra 12 X + d 13 U)
(17 ,242)
- a 22 X Y
2
(17,241f)
ou
dZ
Pr [ a 2 dT
{
2 8 b 20 = 3 ' b 10 =3' d 11 d
12
representation,
"a
=~
2464 40 =-=-- , d 2 2 13 135'lT 27'lT
On notera que si l'on se limite, la Lorenz", suivante :
,
135TI2
4
,r=~
a la
27'lT
place de (17,232),
a la
377
All sin(lTZ) sin(qx)
T E l l sin(lT Z)cos(qx) + E20 sin(2nZ) alors, a la place du systeme (17,241), il vient Ie systeme suivant - Pr ax dT
= Ra
Y + Pr X
°
- Pr dY = r Pr X + Pr X Z + _Y---;;~ dT
+-2. 2
b
_ Pr dZ
- Pr X Y +
dT
avec
r
4 =--4 et 27 IT
20 --'=-=--;o=--
Z ,
1 +-2. 2
8
3'
c'est-a-dire que l'on retrouve Ie systeme (17,216). Errafiy a effectue un calcul numerique du systeme (17,241) pour Pr
= 10
et 00
= 0,1.
Sur la figure de la page
378, on a trace Ie graphe du rapport
des amplitudes X calculees selon Ie systeme complet (17,241) (note X ) et Ie
E
systeme "a la Lorenz" (17 ,243) ( note XL)' On constate que la grandeur K
Ra pour r o - 1 = Ra* - 1 = 27,5, est negligeable jusqu'au temps T = 150 puis soudain devient importante et a un comportement chaotique pour T > 150. Cela est du au fait que pour T ~ 150 apparait Ie caractere chaotique de l'evolution des amplitudes avec Ie temps T . Ainsi, meme une petite valeur de 00 change Ie comportement du systeme complet (17 ,241), en comparaison avec celui "a la Lorenz" (17 ,243). On
trouver~
a la section 23,2 (Chapitre VI) des resultats de calculs
numeriques qui montrent comment l'attracteur de Lorenz se deforme en fonction du parametre de profondeur 00
378
K
15 10 5 0
50
100
150
YI J 0
I
T
-5 -10 -15 -20 -25
I",. VERIVATION ASYMPTOTIQUE VE L'EQUATION V'AMPLITUVE*) On considere les equations de Boussinesq de la convection en rouleaux de Rayleigh-Benard :
v.~ (17 ,244)
h
1
a (at
=0 a
; +;:l;
+;:l;
(at + u. v) u + V'IT + ± + u. v) 8 - Ra w
-
=M
+
+
= t::,.
8 k
u
.
Aux equations (17,244),on va associer les conditions aux limites usuelles, les plus simples, correspondant au cas dit "libre-libre" : (17,245 )
8
( 17 ,246)
w
0,
=0
sur Z
et
azau = 0
et
0
,
av
az~o,sur
Z
Z
o
et Z
1,
ou encore (17,247)
w
=0
et
o
et Z
1 •
*) Cette derivation est directement inspiree de l'article de Coullet et Huerre (voir: Physica 23D, 1986, pp. 27-44).
379 1. L'hypothese de depart, fondamentale,
est que : (17 ,248)
Ra
Ra
ce qui signi'fie
~ (Ra - Ra )1/2
£
c
puisque r
=0
(1).
Ra
c
On dira que r (de l'ordre de un) est le parametre de "supercriticite". On notera
qu~
pour le cas
-i------+-------+-k k
"libre-libre", on a Ra
c
c
On s'interesse,dans le cas de Ra > Rac,aux modes correspondant a (k - k )2
c
~(Ra - Ra c) qui vont croitre exponentiellement ! Pour Ra un peu superieur a Rac,nous pouvons nous attendre a ce que
ces fluctuations domineront la dynamique a basse frequence du systeme juste aU-dela de l'approximation lineaire -
ains~
nous sommes dans le cas d'une
instabilite "faible" et cela conduit a effectuer une analyse faiblement non lineaire. Cela veut dire que l'amplitude A des rouleaux
periodiques convectifs
(en x) va etre une fonction (complexe) de variables lentes (17 ,250)
£
Les exposants des
£
X
,
£
1/2
Y et
T
devant x et y sont dictes par le fait que k
est le nombre d'onde selon x et que nous avons fait l'hypothese (17,248); de plus,on tient compte de l'invariance rotatoire relativement a ce nombre d'onde et pour un
£
fixe,l'echelle des fluctuations transversalement a la
direction des x est de l'ordre de la racine carree de l'echelle longitudinale. En fait, le choix des variables lentes (17,250) est essentiellement lie au comportement du taux de croissance lineaire au voisinage de k c et il peut se justifier par des considerations de coherence interne lors de l'application formelle de la MEM, qui va nous permettre d'obtenir l'equation d'evolution pour A (~,n,T) - equation qui est du type de celle ecrite en (17,203).
380
11 s'avere que,lors de cette mise en oeuvre de la MEM,la variable longitudinale
x est la seule qui intervienne dans la decomposition en harmoniques et de ce fait,on doit tirer profit des formules, d'apres (17,250),
...£...=...£...+
(17,251)
ax
ax
E
a
ai;
Dans ce cas,
(17 ,252) U ...£... + w ...£... + ata + +;!; u. V = ax az E 1/2
v
ana + E
U
a + E 2 aT a
ai;
Maintenant, si on note
u
(17 ,253)
alors la solution du probleme (17,244) avec (17,245) - (17,247)
et
(17,248)-
(17,250) est recherchee sous la forme (17,254)
ou (17 ,255) avec i
=Y ~1 - I et
k =: 1 + 12. - 0" 1 2" 3 , 4 ... 2' p -
Le probleme de la mise en oeuvre formelle de la MEM
consiste
a tirer
profit de (17,251), (17,252), (17,254) et (17,255), simultanement, dans (17,245)
(17,247 avec (17,248) 1
2. Ordre E
. On constate, tout d'abord, que
u;o)
=: 0
et qu'il suffit
prendre en compte une seule harmonique (m = 1) et on obtient pour
w; 1 ),
Tr; 1)
et 8;') les eCNations suivantes
u,(1) ,
381
i k
" (1)
(1)
aWl
c u1
+
sur Z
=0
i k
--az- = 0
2 (1) 2 (1) 1 (1) =
(17,256)
Comme
:~
=0
et Z
= 1 on
constate que v;1)
ce cas de (17,256), on obtient deux equations pour w de la theorie lineaire bidimensionnelle
(1)
1
et
e(1) ,
=0 .
et dans
qUl sont celles
1
o (17,257)
o , avec
o sur Z
(17 ,258)
0
et
Z
1 •
La solution de (17,257), (17,258) qui va decrire une rangee periodique de rouleaux convectifs peut s'ecrire sous la forme generale suivante
(17,259)
{
(1)
w 1
i k
e(
3 1) = _ 9'IT
1
c
212
A (I;,T),T) sin ('IT Z); i A (I;,T),T) sin('IT Z\
puis que
Ra
c
pour k
c
'IT =-
382
Ensuite,on trouve aussi TI A
(17,260)
(~,n,T)
cos(TI Z)
et (17 ,261)
Dans la solution (17,259) - (17,261) la fonction reste arbitraire et pour trouver
l'e~uation
a
la~uelle
"amplitude",A(~,n,T),
elle doit satisfaire il
faut pousser jus~u'a l'ordre £3; au niveau des e~uations regissant les inconnues liees a £3 une condition de resolubilite fait justement apparaitre l'e~uation recherchee pour A
(~,n,T).
Ainsi, on cons tate
~u'
a l' ordre
E,
on a la solution
TI cos (TIZ)Reel (A e - k (17 ,262)
v
TI 6
Oll A
(~,n,T)
1
1
1
c
ik x c );
sin(TIZ) Reel (i A e
ik x c)
- 0
=:
(TI 2 + k~) cos(TIZ) Reel (i A e
c
ik x c )
9TI 3 ik x - sin(TIZ) Reel (i A e c )
212
reste pour l'instant arbitraire.
U;/~ = 0
et on ne tient compte (1) (1) seule harmoni~ue (m = 1); dans ce cas,il vient pour u / 2 ' w / 2 3 3 (1) (1) TI / 2 et 63 / 2 les e~uations suivantes : 3 (1) a W3 / 2 (1) 0 ik u / 2 c 3 a2 (1) ( 17 ,262a) u 3 / 2 _ k 2 (1) . (1) J.k c TI 3/2 2 c u3 / 2 az 3. Ordre
£3/2. Une fois de plus
I
+--az-=
d'une (1)
~ue
v 3/ 2
383
(17 ,262b)
(1)
2
a w3/ 2 ----:"-= az2
(17 ,262c)
(1) 63/ 2 --;;::.c.::-.
k
2
w
c
(1)
3/2
2
( 1)
- Ra w c 3/2
=
a
az2
-
k
2
c
( 1) -e 3/2
De l' equation (17 ,262b), on deduit :
et de ce fait (17 ,263)
v /2 3
7T
=k
COS(7T Z)Reel
c
1 aA
(I
aT] e
Les equations (17,262a) et (17,262c) conduisent .
(1)
(1)
le meme que le systeme (17,257),mals pour w /
ikcX
).
a un
systeme qui est
et 6 / ,et de ce fait,il est 3 2 3 2
logique de postuler que : (17 ,264)
3. Ordre £2. Ici,il faut tenir compte de U(o) et de U(1) . Pour ce qui concerne les composantes de
U~o), on
2
a les equations suivantes a2
aw(o) __2_ = 0
az
(17 ,265)
az
a7T (0) 2 -az-97T
4
412
(0)
u2
kc
k
2
2
= 0 ,
c 6(0) = --7T
IAI
2 2
2Pr
IAI 2
2
a2 v (0) 2 = 0 2 az
sin (27TZ) ;
sin(27TZ) - Rac w(o) 2
a 2 e(o) 2
dZ 2
384
e t on no t era que 1 es termes
." proport~onnels a
IA 12
. prov~ennent
des termes non
lineaires. Voyons, par exemple, comment on obtient la derniere des equations (17,265). De l'equation pour e (derniere des equations du systeme de depart (17 ,244 )), i l vient Ii l' ordre £2 ae
az
l
a2 e an
+ - - 1+ 2 maisel = %3 2/2
sin ('ITZ')(A
sink
r
ae l __ %3 ax 2/2
x+A.cosk
c
~
k c
sin ('ITZ) (A
x),puisqueA=A
c
r
cos k
c
x-A. sin k ~
+ i
r
c
A. et ~
x),
ae l 9'IT 3 -= --'IT cos ('ITZ) (A sin k x + A. cos k x), aZ 212 r c ~ c
et comme u
u
l
=
'IT cos ('IT Z) (A
r
cos k
c
x-A. sin k ~
c
x), on a
4 A cos 2 (k x)- 2 A A. sin(k x)cos (k x) -ae 1 = -9'IT k sin(2'IT Z) [ 2 l ax 412 c r c r ~ c c
et aussi, puisque w = k c sin('IT Z)(Ar sin k c x + A.~ cos k c x), l w
1
4 ae 1 9'IT [2 2 ,,--Z = k sin(2'IT Z) A sin (k x)+ 2 A A. sin(k x)cos(k x) CJ 412 c r c r ~ c c + A.2 cos 2 (k ~
c
x)]
Ainsi, ae
l
u 1 ~ + wl
(17 ,266)
ae 1
az
4 2 2 'IT = -9 k sin (2 'IT Z)( A + A.) 412 c r ~ 4 9'IT = 412
k
c
IAI
2
(sin(2'IT Z),
CQFD.
385 (1)
Pour les eomposantes de U ' on a le systeme suivant 2 aw(1) a (1) a (1) i k
e
(1) + _2_
U2
az
= _ .-l _ a1;
v 3/2
all
ae( 1) 1
+ 2 i k e -a-1;-
On a done que, d'apres (17,265),
= -
(17,268) (0)
7T 2
3
97T 32 2
7T = 13
1
.
s~n(2 7T
(pr +
Z)IA! 2 ,
9
8 ) eos(27T
Z)
IAI
2
,
et aussi, d'apres la troisieme des equations (J7,267), (17 ,269) .
..
Ens~te,~l v~ent
(17 ,270)
(1) pour w 2
et
e(1) le systeme non homogene suivant 2
386
ou 4
F2
aA i 3'IT -2(~-~
G 2
_ 9'IT 2
2
a A
c
( 17 ,271)
4
aA
all
2
) sin('lTz);
2
i
a A
(at;-~~ ) sin('lTZ) c
11
Pour resoudre (17,270) on doit associer les conditions aux limites
=0
(17 ,272)
, sur Z
o et Z
1 •
Pour resoudre (17,270) avec (17,272), il faut ecrire une condition de resolubilite.
11 s'avere,tout d'abor~qu'il suffit de rechercher la
solution pour 6(1) sous la forme: 2
(1)
62 pour voir que
w~ 1.)
= 3'IT et
2
1J~ 1)
2 aA i a A ,,( 1) (~- ~ ~ ) sin('lTZ) + 6 2 c all
satisfont au meme probleme lineaire que (17 ,257),
(17,258) et de ce fai~ on trouve que
o
(17 ,273)
et 6(3)
sin('lTZ)
2
. • • ~ •• ~1IE) Ensulte,on constate que la condltlon de resolublllte :
(17,274) o
est identiquement satisfaite. Dans (17,274),les fonctions ~ et ~
sont les fonctions propres
adjointes du probleme homogene (17,257), (17,258) et elles sont donnees par
1II) On pourra,
a ce
sujet, consulter le chapitre 15 du livre de Nayfeh ("Introduction
to Perturbation Techniques"; J. Wiley et Sons, 1981).
387
(17 ,275)
~
=-
3 sin(~Z) et
~
= sin(~Z)
En effet, la matrice adjointe associee au systeme (17,257) est 'V
L
et si ~ = ~ sin (~Z) et ~ = ~ sin (~ Z) sont les fonctions propres adjointes du probleme (17,257), (17,258), alors il faut que
Ainsi, 'V
a - (k
. k2 pUlsque c
2
~ = ""2
et Ra
2 2 'N + ~ ) ~ c
=0
=>
'V
a
=
27~4
c =-4-
En tirant profit de (17,273) et (17,269) on obtient des equations
(17,267) : (1)
(17,276)
7f
(1)
2
ClA
~
1
'iA
- TIC (~+Ik2
u2
c
. 3
=7c ~~
c
'lA
2 + 2 i
(-
an
an
k
) cos (~Z)
ClA ) cost 7f Z) . c~
Naturellement,c'est l'equation qui resulte de l'elimination de w, ou de
e,
au niveau du systeme homogene (17,257), qui est autoadjointe. Ainsi, il faut pousser plus loin pour obtenir l'equation d'evolution
pour l'amplitude A (~,n,T).
388
4. Ordre f.5/ 2 . Une fois de plus,il faut admettre que (0) ikCX e ) = 3, m = 1. U5/ 2 = U5/ 2 + Reel (U(1) 5/2 ' r On trouve alors que
o
o ,
(17 ,277)
et
e (0)
5/2
o ,
mais - -3
(17 ,278)
32
( 1- + -3 ) cos (27TZ) Pr 8
a an
l A I2 ~
Ensuite, i l vient (1)
(17 ,279)
(1 )
o ,
u5/ 2
o
w5 / 2
e( 1)
et
5/2
o ,
mais (1) v 5/ 2
(17 ,280)
2 4 a aA i aA = TI an (a~ - 2k~
c
n
)COS(7TZ).
5. Ordre f.3 . Dans ce cas,il faut,en toute generalite,supposer que: U 3
U(o) + Reel (U( 1) e 3
ik x c
3
+ Reel
(U(3) e 3
3ik x c )
+ Reel
(U(2) e 3
2ik x c )
,
mais, en fait, une fois de plus pour obtenir l'equation d'evolution pour A (~,n,T),
U~ 0 )
et
il suffit de determiner les conditions de resolubilite pour
U~ 1 ) • Tout d'abord, on trouve que
(17 ,281)
ou
389
(17 ,282)
1 =-323 (Pr
Q
3
cos (27fZ)
~ all
+ -3 ) cos (27fZ) 8
a2 1AI 22 all
Et de ce fait,il faut imposer les deux conditions de compatibilite suivantes :
r
(17 ,283)
8
3
dZ = 0
et
r
Q
3
dZ = 0 ,
0
0
si l'on veut satisfaire aux conditions aux limites
a (0) az
~=
(17 ,284)
0 e t w(0) 3
0
sur
Z
0
et
Z
1
11 s'avere que les relations (17,283) sont identiquement satisfaites. e(31 , 2 ), un ) systeme de la forme ( 17 ,70
on retrouve,ensu1te,pour . w(1) et 3 ou les seconds membres sont :
11 faut done ecrire la condition de resolubilite suivante
o, o
qui conduit apres quelques calculs
A
(~,ll,T)
:
a l'equation
d'evolution recherchee, pour
390
(17 ,286)
2
aA i a A 2 + 4 (~- 2k~) c oT)
6. On peut mettre l'equation (17,286) sous une forme canonique. Pour cela, on passe aux variables X, Y et T de telle faqon que :
{
X
=2
T
=
k
Y
~
c
16 Pr k 2 T Pr+ 1 c
Dans ce cas, pour la fonction (17 ,288)
A(
X, Y, T
)
Tf
= 16kc
A
(-...L
Y
T
2k c ' 2kc ' (Pr+ 1) / 16k 2 Pr
)
c
il vient l'equation d'evolution canonique suivante*) (17 ,289)
oil
De l'equation (17,289),on peut obtenir l'equation d'evolution de la phase correspondante. Tout d'abord, on a une famille de solutions periodiques de l'equation (17,289) sous la forme suivante (17 ,290)
et dans ce cas,l'amplitude Q est donnee par
¥) C'est l'equation de Newel et Whitehead et aussi de Segel (1969; deja cites).
391
( )l - q 2) 1/2 .
(17,291)
Pour etudier la stabilite de cette configuration,on ecrira que [ Q + p (X, Y, T)J e i (qX + 8)
A (X, Y, T)
(17 ,292)
,
avec 8 = 8 (X, Y, T). Dans ce cas,de (17,289),on obtient les deux equations (17 ,293a)
.£Q _
aT - -
2 Q2
p - 2 P Q
a8 ax
+
i2.2 + 2 q -a2p ay 2
ax
( 17 ,293b)
Le mode d'amplitude associe avec la variable pest gouverne par l' equation (17 ,293a); en approximation "d' onde longue", lorsque
;Y
«
a ax
« 1 et
1, ce mode d'amplitude decroit fortement. Par contre,le mode de phase 8,
qui en limite "d'onde longue" satisfait
a
a8 _ aT - 0 , est en stabUite "neutre" (il est sur la courbe de stabilite
a
=0
).
Pour decrire la dynamique en "ondes longues" du mode de phase 8, on peut supposer que l' ampli tude p
est '~diabatiquement"liee
lentement; on peut donc en premiere approximation ecrire,
a la a la
phase variant place de (17,293a),
et la substitution dans l'equation (17,293b) donne (17 ,294)
a8 aT
- = (1
2 2 _ .s.cL Q2
a28 --+ 2 q 2 ax
a28 ay 2
2 1/2 , alors on trouve que Si l'on tient compte que Q = ()l-q)
392
Ainsi, il vient pour
e
ae
(17 ,295)
aT Les signes de
8
l'~quation d'~volution
de la phase suivante
=8
et de q d~terminent respectivement les instabilit~s
dites "zig-zB.,lP;u et d'Eckhaus".On notera que cette ~quation (17,295) peut-etre d~riv~e
a partir
d'un principe variationnel en prenant comme fonctionnelle de
densi t~ de Lyapunov la fonction
H=.§.
(17 ,296)
2
ae ( ax
De plus avec la variable ~ = l'~quation
q
)2
+ q
xll8'
(ae ay
)2
on aura,
a la
place de (17 ,295) ,
"de la chaleur"
(17 ,297) et si q > 0 la phase diffuse, en Y, et il n'y a pas
d'instabilit~
en zig-zag.
PHENOMENES D'INSTABILITES DANS LES ECOULEMENTS DE FLUIDES PARFAITS
78,7. UN POINT DE VUE THERMODVNAMIQUE SUR LA STABILITE Considerons les equations d'Euler-Fourier*) pour les ecoulements instationnaires monodimensionnels; les equations de depart, avec des dimensions, seront done les suivantes (l'evolution n'est pas adiabatique)
( 18,1)
apu at
a + -ax
(P
+ P u 2) = 0 2
2
u (e + :E. + 2:L ) _ k p 2
+2:L 2
aT.l
aXJ
o ,
Ie fluide etant compressible. Pour ce qui suit,il est judicieux de reecrire les equations (18,1) en coordonnees lagrangiennes(t, m), ou la nouvelle coordonnee d'espace m est la masse; cette derniere satisfait (18,2)
dm
=P
dx -
a la
relation
P u dt
etant donne que Ie long d'une trajectoire dx
=u
=P
(dx - u dt),
pour toute particule fixee on a
dt et m = 0 Ie long de cette trajectoire. Dans ce cas, en coordonnees lagrangiennes (t,m) on peut ais~ment etablir
les relations suivantes
~)
Le fluide est non visqueux mais conducteur de la chaleur; Ie courant de chaleur etant donne par la loi de Fourier.
394
¢
_p { p ¢
(18,3)
¢
(u dIn - P dt) .:;
[u (p dx-u dt) - P dt ]
=0
2
u dx - (p + P u ) dt }
2 aT [(e + ~ ) dIn - (p u - k P am ) dt]
_¢
{p
(e +
~2
G
) dx -
~ + ~2
u (e +
) - k
~~J
dt}
0
Si toutes les fonctions intervenant au niveau des trois lois de conservation (18,3), ci-dessus, sont supposees suffisamment lisses, alors on peut ecrire le systeme differentiel associe suivant, qui est, equivalent
a
(18,3) : a at
(18,4)
(.2. ) = au p
3m
au + .£l2. at am
= 0,
a(e +
2
u
/2
+ ~
am
at Soit ( 18,5)
T
1 =P
et p
k
ae a:r(T,S)
o
a la
am
(k aT )
am'
Constante. On sait que
- P (T,S) et
et de ce fait on peut ecrire, aT at
:: X
=..l..
~~ (T,S) = T
place de (18,4),
au au a (ae ). am , at = am aT '
-=-
(18,6)
1
a at (e
2
+~
ou S est l'entropie specifique.
2
a = - (u ae am
aT
+ x
2 a o am2
(~~
),
a la
limite,
395 On constate done que la donnee de la loi d'etat, e = e (T ,s),
(18,71
et du coefficient de conduction x solutions du systeme (18,6).
constante
o
determinent completement les
Dans ce qui suit,nous considerons une theorie lineaire de la stabilite, relativement
a un
etat homogene au repos :
u
E U' + ••• ,
T
T
e
=e
(18,8)
= So
(To' So) + E T'
~=~I aT aT
=as
==
constante,
So
= constante, ae (T , S ) + E S' o 0 as (To' So)
~I
aT
10+ E
ae
aT
,
. .. , eo + E [T' aT 0 + s' ael} as 0
a2el + E [T' 2
ae
+ E S' + •••
TO
+ E T' +
o
+ ...
ae as
S
+ S' 0
2 a aT eas I0
J+
2 + S' T' a e aT aTas 0
,2~1}
I
0
...
,
...
En premiere approximation (en theorie lineaire il Saut negliger les 2 termes d'ordre E ), il vient pour u', T' et S' le systeme lineaire suivant, avec des coefficients constants :
( 18,9)
a:t =
aT'
au' am
au'
a2 e
a:t ae as
I
o
aT2
Io
~= am
0
as'
a:t
une fois que l'on a multiplie la premiere equation, obtenue de (18,6) avec (18,8), par
~~
10
et fait la difference avec la troisieme equation de (18,6),
toujours avec (18,8).
396 On s'interesse maintenant aux solutions de (18,9) de la forme suivante
(18,10)
pour
Si l'on suppose que u', T ' et S' sont donnes pour t = 0 alors, si a + + 00 , Imag (- A) reste borne superieurement, on pourra dire que
le probleme aux valeurs initiales lie stabilite. Par contre, si Imag (- A)
+
a
(18,9) sera bien pose car il y aura
00
plus vite que aa , a
> 0, alors
le probleme aux valeurs initiales sera mal pose. En substituant (18,10) dans (18,9) on trouve pour u, T et S le systeme algebrique suivant : i
A f- i a
u. = 0
2 ~ a 2e a e i A u - i a --2 T- i a aT as § =0 aT 0 0 2 2 a e ~ [2 a::'e S a x T+ a Xo ~ + i A 1 ] o as aT o as 0 0
I
I
I
I
~~
o ,
et ce systeme homogene a une solution non nulle si (18,11)
L'analyse de l'equation cubique en a +
00,
A, (18,11),montre que, lorsque
on a :
(8,12a) + 0 (1)
(8,12b)
,,2e
a
as
2
loa
2
+ O( 1) .
397
On sait que pour avoir un probleme bien pose (aux valeurs initiales) il faut que les parties reelles des expos ants iA, au niveau de la representation (18,10), soient bornees superieurement lorsque a ~ 00. · ae · .• Comme on a t oUJours as > O ,on obtlent donc les conditlons de stabilite suivantes (8,13)
et
Ainsi, la condition de stabilite est liee au fait que la matrice
doit-etre definie positive, ou encore que la fonction thermodynamique (l'energie interne specifique) e(t,S) est une fonction convexe dans l'ecoulement de base caracterise par t
o
et S . La convexite de e(t,S) entralne que les 0
parties reelles des trois racines iA, de l'equation caracteristique (18,11), sont necessairement bornees superieurement. On trouvera dans Ie livre de Glansdorff et Prigogine (Thermodynamics theory of structure, stability and fluctuations; Wiley-Interscience, 1971) une theorie thermo dynami que,
a la
lumiere de divers
critere~de
stabilite.
18,2. LES CRITERES VE STASILITE V'ARNOLV (1966)· On considere l'ecoulement dans un domaine V avec une frontiere
an = r
fixee. Le champ des vitesses de l'ecoulement de fluide parfait
incompressible, ~, et la pression p satisfont aux equations d'Euler incompressibles (18,14)
•
Dans
a , Journal de Mecanique, vol. 5, 1966, pp. 29
V.u
~~
a 43.
a ,
398
a
ou la masse volumique est supposee etre egale
l'unite. A (18,14),il faut
associer la condition
........
(18,15)
U.n
o
r
sur
a r,
ou ~ est le vecteur unitaire de la normale
orientee vers
V
(vers le
fluide) . On sait que les equations (18,14) admettent une integrale d'energie
JfIV
(18,16)
....2 u
.... dx
et l'on peut former les variations
JJf~o~
oE
(18, Ha)
....
dx
(premiere)
V
III {I' ~)2
(18,17b)
et on notera que 0
2
+ 2
~.,2 ~} <:
(seconde)
E est une forme quadrati que .
On peut alors enoncer deux resultats l'ecoulement stationnaire ~ est stable, par rapport
a une
perturbation finie
(mais "assez" petite), si la forme quadratique (18,17b) est definie positive ou definie negative; si une perturbation tend vers zero, alors une autre augmente indefiniment et
par
consequent
l'ecoulement stationnaire est instable.
1. Considerons maintenant le cas des ecoulements plans et stationnaires; dans ce cas, (18,18)
.... u
u
-r J.
-t
+ v J
, u
_2.Y!.
- ay
et
v
- 2.Y!. ax
399
dans un systeme de coordonnees rectangulaires cartesiennes Oxy. Dans ce cas, la fonction de courant ~ (x,y) satisfait
])2 ~ = F (~) ,
(18,19)
ou
a l'e~uation
2
2
])2 = _d_ + _d_ et 2 - dX
dl
une fonction arbitraire de ~ .
F(~)
Ainsi
=0
j) ~ A ]) ( j)2 ~) et les vecteurs j)~ et j)(j)2~)
sont colineaires.
De plus, d~ns ce cas plan, la variation seconde (18,lTb) peut s'ecrire sous la forme suivante
(18,20) Ainsi, on constate
-+
(18,21 ) alors 0
si le profil des vitesses est anti-convexe
~ue
-+2
D (D
2
~)
-+
> D~ ,
E > 0 et de ce ~ait on peut dire ~ue tous les ecoulements stationnaires
plans admettant des profils de vitesse anti-convexes sont stables. 11 faut bien preciser pour tout
£
~u'il
s'agit de la stabilite non lineaire
> 0 il existe un 0 > 0 tel ~ue, si l'on perturbe le champ des
vitesses ii, au moment t
= 0,
"assez peu",
II ~ alors
II~
-
~,
II
< 0
~'II <
pour t = 0 , pour tous les 0 < t < +
£
00
•
2. Considerons de nouveau le cas tridimensionnel mais stationnaire. Supposons ~ue
les e~uations d'Euler admettent une integralepremiere J,telle ~ue l'ecou-
lement stationnaire de vitesse ~(~) satisfasse
(18,22)
oJ
HI
V
-+
-+
A.ou dx,
a la
relation
400 oil on suppose que l'on peut trouver
A A rot
( 18,23)
Aet
h de telle fa<;on que
~ = grad h .
11 est clair que cette derniere condition (18,23) est bien satisfaite
pour le cas du fluide incompressible satisfaisant on a
=....u
....
=E
J
A
a
(18,14) et dans ce cas,
....2 h=p+1L
et
2
D'apres Arnold,il s'avere que pour assurer la stabilite du champ de vitesse ~(~), il suffit qu'une combinaison lineaire guelconque, (18,24) soit definie positive ou negative. En particulier, pour un ecoulement stationnaire plan,il suffit que (18,25 )
o
2
E+].Io
2
J
P
>0,
oil ( 18,26)
0
2
J
-.!.
p - 2
II
D
y (rot 0 ....2( ....2)
V D D 1/1
~)2
dx
dY •
a.
l ' axe des Ox > 0, lorsque 1/1.... ~o (y), si le profil des vitesses n'a pas de points d'inflexion (D (D 2 1/10) t O),on peut choisir le scalaire ].I de telle fa<;on que: Par exemple, pour les ecoulements paralleles
=
.... D
(18,27)
(1/1 o
+].1
....
:t2
y) > D (lJ
1/1), 0
ce qui fait que la condition (suffisante) (18,25) est satisfaite. Ainsi, on constate que l'ecoulement parallele est stable si le profil des vitesses n'a pas de points d I inflexion. Precisons enfin que tous ces criteres d ' Arnold donnent des conditions suffisantes de stabilite qui sont, dans le cas des ecoulements plans, tres proches des conditions neces saires .
401
18,3. LES THEOREMES VE RAYLEIGH ET VE
FJ~RTOFT
1. En fait, Ie critere de stabilite enonce
a la
fin de la section 18,2,
precedente,est bien connu sous Ie nom de "theoreme de Rayleigh" (voir les Proceed. London Math. Soc., 11, 1880, 57-70). Pour demontrer directement ce theoreme de Rayleigh,considerons
l'e~uation
de Rayleigh (16,50) :
o .
(18,28)
Multiplions (18,28) par: - ~~/(UB-c), ou ¢~ est Ie complexe conjuge de
¢, et integrons Ie resultat, en tirant profit des conditions
aux limites (¢ (-1)
= ¢(+1) = 0), lors
de l'integration par parties. On
obtient alors aisement la relation suivante :
o
( 18,29)
et, en particulier, la partie imaginaire de (18,29) doit-etre nulle Imag (c)
( 18,30)
o •
De (18,30),on retrouve Ie theoreme de Rayleigh, mais pour la stabilite aux perturbations infinitesimales - ce theoreme n'etant ~u'une condition suffisante.
2. Toujours dans Ie cas de la stabilite aux perturbations infinitesimales on peut demontrer Ie theoreme dit de Fj~rtoft (publie dans: Geofys. Publ. Oslo, 17, nO 6, 1950, pp. 1
a 52)
:
"S' il existe une constante K ' telle ~ue o (18,31 )
2 d U B (U - K ) --2- ;:: 0, B o dy
alors l' ecoulement parallele de fluide parfait est stable".
402 Pour demontrer ce theoreme de Fj~rtoft,il suffit de considerer la partie reelle de la relation (18,29)
(18,32)
(1
(U - c ) r B
-1
IUB - cl
2
1~12
(1{ I ~12
2 d U __ B dy dy2
+ a.
2
-1
1~12J dy < 0
,
= Reel (c) par r une constante arbitraire K ' puisque c est un coefficient devant une integrale o r egale a zero, d'apres (18,30).
et de noter que dans (18,32), on peut toujours remplacer c
Ainsi, on constate que
U
B
- K
0
dy2 et de ce fait, si UB(y) est une fonction monotone avec un seul point d'inflexion, une condition necessaire pour l'instabilite est
( 18,33)
< 0 .
On notera que le theoreme de
Fj~rtoft
celui de Rayleigh, si l'on suppose que d2 UBI l'on fait le choix de
dy
contient comme cas particulier 2
ne change pas de signe et si
( 18,34) - 1 l; y l; + 1
et K de meme signe que o
2 UB _d_ _
dy2
dans l'intervalle [-1, +1]. d
Un second cas particulier est celui de flexion y~ tel que
(18,35 )
d
2
U B
dy2
2
U B
dy2
ayant un point d'in-
2
Iy=/~ = 0
malS
et il faut alors faire le choix de K
0
[ uB(y) - UB(/II)J
- UB(/I).
UB d _ _
dy2
~
0,
403
Ci-dessous nous donnons quelques profils de vitesse UB(Y) pour lesquels Ie critere de Fj¢rtoft peut s'appliquer.
1Il
Y1Il
Y--
0, mais
2
--!- ~ 0, cas stable; d
U
dy
d
U
--J. ~
o , mais
18,4. LE CAS VE L'ECOULEMENT
2
dy2
IS0CHO~IQUE
0 , "peut-etre" instable.
PESANT
Jusqu'a present,il ne s'agissait que d'un fluide parfait incompressible non pesant et homogene. Afin de tenir compte de la compressibilite et de la force de la pesanteur, considerons maintenant un ecoulement isochorique (a masse volumique conservative Ie long des trajectoires). Dans Ie plan (x, z), nous avons, pour les composantes de la vitesse (u, w), la pression p et la masse volumique
p, les equations dimensionnelles suivantes :
404
p (au + u au + w au
.2E.
aw p (dW + uaw+w
_ .2E. _
at
at
(18,36)
ax
az
ax
ax
az
az
g p;
.£2. + u .£2. + w .£2. = 0 at
ax
dZ
1. L'eeoulement de base dont nous voulons analyser la stabilite, relativement aux perturbations infinitesimales, est earaeterise par ( 18,37) de telle fagon que
dPB dz
--- + g PB(z) = 0 .
(18,38) Soient done
u
=~
(z)
+
u'
+ ...
w = 0 + w' + ... ( 18,39)
En theorie
lineair~on
remplaee le systeme eomplet (18,36) par le
systeme lineaire assoeie suivant, pour u', w', p' et p',
_ .£1L. _ az
(18,40)
o
g p'
405
1ntroduisons au niveau du de courant
syst~me
lineaire (18,40) la fonction et w' = + a~'/ax et
~'(t, x, z) telle que: u ' = - a~'/az
eliminons la pression p' des deux
equations de (18,40). 11 vient
premi~res
alors
a (z)"x) a
( 18,41)
[i.JL - ~+ i..i.J ~
Q
ax 2
d~)~=
- 8
dz
ox
az
az2
~
1 g P (z)
ax
B
ou - P-1 -dpB dz
(18,42)
B
a~
Maintenant si l'on applique l'operateur equation (18,41) et si l'on tire profit de la on obtient une equation unique en
~'(t,
(18,43)
d
2
uE
- (~- 8
d~
~
troisi~me
a:
a cette derni~re
des equations (18,40),
x, z)
a2,,, I
( - a + u...(z) - a ) 2 at ~ ax
+
a2", '
a2
a,I, ,
d"
(~+2- 8~)+ g8 ~
ax
d7 )
az
a
ax
a
~
(at + ~ ( z) ax) ax
=0
Si l'on suppose que ( 18,44) alors
~
= ~ (z) exp (i a (x-ct) ), avec Z _ z,
~'(t,x,Z)
(Z) satisfait
a l'eguation
classique de Taylor-Goldstein (voir
Proceed. Roy. Soc. London, A 132, 1931, pp. 499 a 523 et 524 a 548) ecrite a la fin de cette section 18,4 (voir l'equ (18,57)). 2. Voyons maintenant les conditions aux limites
qui est
a associer a l'equation
fondamentale (18,43). Tout d'abord, sur toute paroi rigide plane
parall~le
a l'axe
des x,
il faut imposer la condition de glissement : al/J " = ax: x
(18,45) Precisons que
~'est
0
=>~'
= constante.
une perturbation infinitesimale liee
fonction de courant ~ (t, x, z) des equations compl~tes (18,36) :
a la
406 u =
~ et w
- az
=
+.£!l!. ax
au + aw = az ax
=>
o.
Cela veut dire
~
(18,46)
(t, x, z)
~ ~B
(z) +
I ~(Z') Z
~'
= -
dz' +
~'(t,x,z).
o
Ainsi, si l'equation de la paroi rigide plane est z = H
o
( 18,47)
~'
=0
(t, x, H ) o
cte, alors
•
Mais si la paroi rigide est curviligne, d'equation z = h
0
h' (x),
h
(18,48)
0
= Max Ih'(x) I
- i.0 z - 0
pour
x < - £.
0
~
x~i.
et
x>£.
0
0
alors (18,48) ~'(t, x, 0) = ~(O) h
o
h'(x),
selon le principe de la linearisation, puisque h etre une elevation infinitesimale. Cette condition (18,48) est valable lorsque -£. ~'
(t, x, 0)
=0
lorsque x < - £.
o
et x > £.
o
o
h'(x) est supposee
< x < £.
0
et devient
0
Supposons que le milieu fluideconsidere (en evolution isochorique) est constitue de deux fluides isochoriques .!!Q.!!. -miscibles, de masses volumiques +
p
et p
(18,49)
differentes, separes par une interface d'equation z=Ho+Z:oZ:'(t,x). On sait qu'il faut ecrire sur cette interface (18,49) deux conditions:
une condition cinematigue (la particule fluide reste toujours sur l'interface). et une condition dynamique (la pression reste continue a la traversee de l' interface) • Pour ce qui concerne la condition cinematique, en toute generalite, on doit admettre que la vitesse peut subir une discontinuite a la traversee de l'interface.SoientU;(z) et U;(z) les deux vitesses de l'ecoulement de base. On supposera que le fluide de masse volumique p+ est situe au-des sus de l'interface; p- etant alors relatif au fluide se trouvant sous l'interface.
407
Dans ce cas, apres linearisation, on ecrira 0,
(18,50)
OU
sur z
+
H-
o
caracterise la face superieure du "plan interface" z = H ' tandis o que z = H~ sa face inferieure, l'elevation ~o ~'(t, x) etant supposee infiniZ
= H:
tesimale (c'est une inconnue du probleme). En fait, en theorie lineaire on peut eliminer cette inconnue ~o
~' (t, x), des deux conditions cinematiques (18,50) en appliquant l'operateur
a a at + '13 (z) ax
a (~+ ax )
a et l' operateur at +
'1+3( z)
a ax
a
~
(ax
11 vient ainsi la condition cinematique linearisee suivante :
a
-
a]
at ax b-+1L(Z).tj
(18,51 )
sur z
.. " cont~nu~te
Naturellement, lorsque U;(z) de w
= ax
,~,
=U;(z),
= Ho
on retrouve la condition de
a travers l'interface (qui est le plan z
theorie lineaire).
= Ho ,
en
On notera de plus que la condition obtenue (18,51) est plus faible que la condition (18,50), etant donne qu'elle a ete obtenue par derivation de (18,50) - De ce fait,il sera necessaire de se convaincre que (18,50) est bien verifiee par la solution obtenue avec (18,51). Voyons maintenant ce que donne l'application de la condition dynamique. On a
Apres linearisation et en tirant profit de (18,38) on obtient ( 18,52) puis (18,53)
(p')
-
- (p')
+
408
Au niveau de la condition lineaire dynamique (18,53), nous avons neglige les effets lies a la tension superficielle; en theorie lineaire, pour tenir compte de cette tension superficielle,il suffit d'ajouter au second membre de (18,53) le terme-)
Revenons
a la
condition (18,53) et exprimons la par l'intermediaire
de (l/J'/ A cette fin,il faut appliquer a (18,53) l'operateur (aa + U;(Z) aax)aax t et prendre en compte (18,50) ainsi que la premiere des equations du systeme (18,40) . On obtient alors la condition dynamique suivante
la
a
~
t(at + ~(z) ax ) at (18,54)
une fois que l'on designe par
a travelS
le saut de f
l'interface; cette condition (18,54) est naturellement
plus faible que celle ecrite en (18,53).
3. En particulier, si le fluide est homogene (S
=0)
et incompressible ( p' - 0)
alors on trouve : a a a 2", , a2,,, , ( - + ~ (z) ) (~+ at ax ax az
2
(18,55)
a la place de (18,43). La condition cinematique (18,51) ne change pas, mais la condition dynamique (P
+
B
= P-B =
Po = constante) (18,54) devient
(¥) En toute generalite on a :an an+ - p + P = T (~+ ~ ) , sur z = H + ~
~', Oll n et n sont oZ 0 0 x z S oX les composantes du vecteur de la normale unite dirigee-vers le fluide (+) et T le coefficient de la tension superficielle. S
409
[ (ata
( 18,56)
~ _ dd~Z ~1jJx'] []
a ) az + ~ (z) ax
= 0 ,
= Ho
sur z
a travers z = Ho Revenons au cas general, mais supposons que l'on a la representation
qui exprime la continuite de p'
(18,44), ou Cl est le nombre d'onde dans la direction des x et c la vitesse de phase de l'onde consideree. Dans ce
ca~
pour 1jJ
(Z), on trouve l'eguation de Taylor-Golstein
2
1jJ 2 d,l, } --Cl1jJ-S~ [(~ (Z) -c] 2 {d
dZ2
:~
S
et lorsque
S =0,
) [
dZ
~ ( Z)
- c
J
=0
1jJ + g S 1jJ
on retrouve l'equation de Rayleigh (18,28). Pour cette
equation (18,57),on a les conditions suivantes sur Z=0 H
(interface, en
theorie lineaire) : ( 18,58a)
[~(Z) [
cJ
1jJ+
[~(Z)
-
~(Z) - cJ[PB {[~(Z) - cJ
( 18,58b) -
:~
1]
1jJ
= g
[PB ]
*
C ]
1jJ
1jJ+
Sur toute paroi rigide plane, on aura ( 18,59)
1jJ
18,5. LE PROBLEME VE RAYLEIGH-TAYLOR
ET
O.
L'INSTABILITE VE TAYLOR
1. Le probleme de Rayleigh-Taylor est des plus classiques. On suppose que le milieu fluide
est indefini et qu'il est occupe par deux fluides non miscibles,
de masse vOlumique respective : P 1 (ce fluide occupe tout le demi-espace Z < 0) et P2 (ce fluide occupe tout le demi-espace Z > 0) - Z = 0 etant l'equation de l'interface au repos.
410
De l'equation generale (18,57), avec
S - 0 et uB(Z) -
0, on
trouve l'equation c2
(18,60)
(~_ 2
a2
dZ
et lorsque c
2
~
o
)
~ 0, on doit prendre comme solution de (18,60)
( 18,61)
~
{
(Z)
A
o
e
-aZ
Z > 0
Bo e-taZ
Z
< 0
puisque la solution de (18,60) doi t rester bornee aussi bien pour Z pour Z
-+
+
-+ -
00
que
00.
Pour determiner les constantes A
o
et B il suffit de tirer profit 0
des conditions (18,58a) et (18,58b). La condition (18,58a), avec Ho ( 18,62)
Ao
=0,
donne
=B
0
tandis'lque la condition (18,58b) donne la relation suivante : (18,63)
P2 [_ - c
2.9&+ .1 dZ g ~J Z=+O
Enfin, en tenant compte de la solution (18,61) avec (18,62),on tire
de
(18,63) la relation suivante :
( 18,64) En conclusion, on constate que : Lorsgue P ~P2 (Ie fluide plus lourd est alors au-dessus du fluide 1 plus leger), il y a instabilite. 2. L'instabilite due
a la
croissance de la masse volumique avec l'altitude est
dite "instabilite de Taylor". Dans ce cas, on considere un fluide avec masse volumique variable, avec Z, qui est place entre deux parois rigides planes : Z = 0 et Z = h Boit donc ( 18,65)
P
Const.
S-
So
Const.
o
411
L'equation generale (18,57) conduit a, ( 18,66)
C
d -
2 (d2 .1,
2 (X
1jJ) + flo (- c
2 d,l,
~ + g 1jJ)
o ,
= o.
le fluide etant pesant, mais ~(z)
La solution generale de l'equation (18,66) est de la forme suivante 1jJ (Z) = A
(18,67)
e
o
A1Z
+ B
0
ou Ao et B sont des constantes et A et A les racines de l'equation algebrique o 1 2
c'est-a-dire que (18,68) D'autre part,les conditions
o et
1jJ (0)
1jJ (h ) o
=0
conduisent a
o ,
A + B o 0
o
et de ce fait ( 18,69) avec S un nombre entier arbitraire. Mais, on a
(18,70)
>"1 + A2
flo =>
t"
]
="2
(flo + h211" is) 0
1 _ 211" is) >"2 = -2 (flo h 0
Enfin, on sait que
fl2 (18,71)
0
A1 >"2 =11
+
11"2 S2
- -2= h
0
-
(X
2 +gflo -2 c
412
Ainsi, il existe pour chaque a
fixe, une infinite de c, differents,
tels que (18,72)
c
2
2 o
8
4"" et Ie signe de c
2
+ a2 + (~S )2 h o
coincide avec celui de
80
,
En conclusion, on constate que: pour
80 < O,il y a instabilite
de Taylor.
18,6. L'INSTABILITE VE HELMHOLTZ 1. Considerons Ie cas simple ou la masse vOlumique est la meme dans les deux fluides et constante. La vitesse ~(Z) a, elle, une discontinuite sur l'interface Z
=
° separant les deux fluides.
Si,maintenant,l'on considere un systeme d'axes en mouvement uniforme, avec une vitesse qui est la moyenne des deux vitesses, supposees uniformes, au-dessus et en-dessous de Z = 0, alors on voit que pour Z < o 0 ~ et pour Z > 0, cette vitesse sera + ~ .
-
Ainsi, on est conduit
a considerer
° la vitesse est
les deux equations suivantes
Z >
°
Z <
°.
De plus, dans ce cas, les conditions sur l'interface sont
(~ + p) (18,74)
1// = -
(~ - c) ljJ-
sur
+
(~-c) ~ = - (~+c) ~ dZ dZ
J
Manifestement,il y a une solution simple, qui est
( 18,75) {
c = -
O , avec ljJ- une fonction arbitraire
U
bornee, nulle pour Z
= O,et
ljJ+ -
0 .
z
°.
413
En fait,les deux valeurs c
=-
o
~
=+
et c
0
~
sont des valeurs
propres degenerees et elles caracterisent des perturbations en mouvement avec l'ecoulement de base.
! ~,il vient
Par contre, lorsque c f
et 1jJ et les conditions (18,74) conduisent
B
o
e
+aZ
a
(18,76) Ainsi, il y a instabilite dynamique, qui est celle dite de Helmholtz.
8 f 0, c'est-a-dire que
2. Supposons maintenant que
= PB (0)
PB(Z)
exp
(-8 Z).
a une
La discontinuite de la vitesse conduit toujours dynamique, d'apres (18,76), tandis que lorsque 8 > 0 et ~
instabilite
= O,il Y a
toujours
stabilite, d'apres (18,72). Ainsi, se pose la question d'elucider, lorsque
8f
0 et ~ f 0, quel est le facteur qui predomine du point de vue de la stabilite.
Revenons pour cela a l'equation fondamentale (18,57) pour 1jJ Afin de simplifier
l'analys~on
(Z).
fait habituellement l'approximation dite de
Boussinesq qui consiste, en fait, a ne retenir au niveau de l'equation (18,57) que le terme du derivees de 1jJ -
a la
force d'Archimede : g
et de ~(Z)
lI!)
.
Comme pour Z > O,la vitesse est
o
const, l'equation pour 1jJ
~
8 et de faire 8 o
~
=0
devant les
const et pour Z < 0 elle est
devient :
lI!) Si lIon met l'equation (18,57) sous forme adimensionnelle, alors on voit appa-
,,,..
~
01
les deux parametres redu~ts su~vants : ~ a et le nombre sans dimension ui(O) a/g joue le ra~tre
et
1'8
22
a
~(O)
-= 2
81a
~(O)
a/g
role d'un nombre de Froude caracteristique au carre. Pour obtenir l'equation
N::~ -
qui correspond
["B IZh
a l'auproximation 0
il faut supposer que
2
-}-
8
a
["BIZ)
+
2;;'2 o
de Boussinesq 2
~ , ] :zi" "+
g
B"
o ,
~(O)a 0 et ------ + 0 de telle fagon que -g _ a
2 g8 ui(O)
On pourra,au sujet de cette approximation de Boussinesq,consulter notre
.
art~cle
'8 ' ITnt. J. Engng. de synthese de ~ ( dans
pages 1239-1288; voir la section 6).
.11
Sc~.,
vol. 23 , n O 11,
414
(~o - c)
(18,77)
2[d2,I,
~ - '"
dZ
N
2
2
J
ljJ
+ g l3 ljJ
o .
Les solutions de cette equation (18,77) sont de la forme exp(± A Z), avec A - A+
(18,78a)
-
(18,78b)
A- A
[ a. 2
_
[ a. 2
_
o
g l3
(~ -c)
2
gl3 (~ + c)
T/2
'
] 1/2 2
'
pour
Z > 0;
pour
Z > 0;
Supposons que l'une de ces racines, disons A+, soit imaginaire pure; dans ce cas, pour Z < 0, toutes les solutions sont bornees
a l'infini
et on peut prendre comme solution correspondante
Meme si la seconde racine A- n'est pas imaginaire pure et que de ce fait,il faut, pour Z < 0, prendre la solution amortie : Co e Reel (A-) > 0, nous avons
a notre
A-Z
, avec
disposition trois constantes arbitraires, A ' o fa~on que l'on puisse
Bo et C0 . Ces dernieres doivent etre choisies de telle
verifier les deux conditions lineaires et homogenes sur I' interface - ce qui
est toujours possible. Ainsi, on constate que les valeurs de c, pour lesquelles A+ est imaginaire pure,appartiennent au spectre des valeurs propres recherche et on cons tate que ces valeurs propres sont reelles et recouvrent l'intervalle:
[~-
Ii$/a.,
~ + 19B'/a.] .
Par symetrie, on peut faire Ie meme raisonnement pour A-, imaginaire pure, ce qui conduit
a la
consideration de l'intervalle :
[-~ - Ii$/a., - ~ + li§/a. ] . l3
=~on
On a donc trouve deux intervalles du spectre continu et lorsque constate que ces derniers degenerent en deux points ± u~ , qui sont ceux
consideres au point 1 de cette section 18,6. Naturellement, Ie spectre continu ne conduit pas etant donne qu' i l est reel !
a une
instabilite,
415
Voyons maintenant le cas de Reel (A+) et Reel (A-) differentsde zero. Dans ce cas,
et pour obtenir des solutions bornees
a l'infini,il
faut faire le choix de
La condition sur l'interface devient alors (18,79) ou encore, d'apres (18,78),
(~ -
(18,80)
f L
c)4 a 2 -
og
e
('13- c
21 = )_
(
i_'
'103 + C )4
a2 -
0
g e2 ] .
('13+
c)
On constate ainsi que, soit
(~
+ c)2
=>
c
=0
,
soit
ce qui conduit
a 02
-'13
( 18,81) Ainsi, si a 2 <
ge/2 ~2,alors les racines sont reelles, tandis que 2 si a > ge/2~2, elles sont imaginaires pures. Il faut noter que la racine c = 0 est artificielle et provient de ce que l'on a eleve au carre l'expression (18,79). Ainsi, lorsque c = + i
(18,82 )
ce qui veut dire que
'102 3
> ge/2a
2
, il y a instabilite dynamique.
416
On peut dire que : il y a stabilite pour les ondes relativement longues, les ondes courtes etant toujours instables. En fait, on voit aisement que c ne peut pas etre reel, car pour de tels ~ l'equation (18,79) ne pourra pas etre satisfaite, puisque Reel (A+) et Reel (A-) ont necessairement des signes differents I On notera aussi que les ondes courtes (grandes valeurs de
a) sont
concentrees pres de l'interface dans une couche limite et de ce fait,elles ne
a>
sont pas affectees par 1 'effet stabilisateur de
0
En conclusion de cette analyse,on notera que la formule (18,82) peut s'ecrire sous la forme sans dimension suivante c
(18,83)
avec A2 Fr > o
-
o ~
""2 Fr o
2a
2 a 02
g
~
/1 -
c = + i
• -Si- -Fr0 < -1 ,,::o=....,,--::::.....;=::...::..::==:..=--:::o.z..:::=:..::I..:::::: i l y a instabilite aynamigue,
tandis que pour
1 il y a stabilite.
18,1. L'INSTABILITE VE KELVIN-HELMHOLTZ Considerons un fluide isochorique, non visqueux, stratifie en altitude. On suppose que ce fluide s'ecoule dans la direction des x avec la vitesse arbitrair~uniquement fonction
de l'altitude Z. En theorie lineaire,on doit
considerer les equations suivantes : (18,84a) (18,84b)
(18,84(')
P
( 18 ,84g.)
at
(18,84e)
~(z),
B
aw
(aw
at
+
+ ~
ax
aw
~
aw)
ax
+w
= - an az -
dPe a.z:=
0
gw"
417
ou P = PB (Z) est la masse volumique liee a l'ecoulement de base caracterisee B par ~ (Z), Tf et w sont les perturbations de la pression et de la masse volumique. Une analyse en modes normaux conduit
(18,85)
() u v
U =
li
w
Tf
(Z) exp
a poser
~
(ix + my + nt)]
w
ce qui nous donne,
a la
place de (18,84),
dUB i P (n+i ~) u + P dZ w = - i i Tf B B
(18,86)
i P (n + i ~) B
v =-
]..
w
PB
(
n+
i
~
) _
i (n + i
(i
i
u + m v)
dTf = dZ _ dP
~) w +
i m Tf
W
+ dw dZ
- g w B
dZ = 0
=0
Du systeme (18,86) ci-dessus, on forme aisement la relation
ou
k
2
=i 2
2
+ m .
D'autre part, du meme systeme
(18,86~
on forme une seconde relation
( 18,88)
-
En eliminant Tf de (18,87) et (18,88), on obtient 1 'equation suivante
(18,89) _ k2
pour la fonction
~ (n + i ~)
w(z).
w
=g
P k2 d B dZ
w
n + i
~
418
Si PB(Z) et
~(Z)
sont discontinus en un point Z
= Zo'
alors de
(18,89) nous pouvons obtenir une condition de saut, en Z = Z , en integrant o ( 18,89) sur un petit intervalle (Z -£, Z +£) et en passant a la limite £ ... o. o
0
a l'interface
On notera que la condition cinematique
entraine que 1 'expression
w/(n+l ~) est continue en Z = Zoo En definitive on trouve que: (18,90)
OU [ f ] designe Ie saut de f en Z
1.
~onsiderons
Z
o
plus specialement Ie cas de deux ecoulements fluides uniformes,
paralleles au plan de l'interface. Dans ce cas on note par et
~2)
p~1)
et
p~2)
les masses volumiques et
les vitesses des deux ecoulements fluides separes par Ie plan Z = (1)
(1)
(2)
(2)
,
~1)
o.
supposons que P
=0
.
L'equation (18,89) conduit d
2
2-
(--- - k )
dZ 2
et du fait que w/(n+l~)
w= 0
Z < 0
( 18,91b)
Z > 0
~1)
et
~2)
'
Z > 0 et Z < 0,
reste continu,on trouve :
( 18,91a)
ou
a
sont des constantes.
Maintenant de (18,91) et (18,90) on a
et on trouve que n
=-
(18,92) -
[~ 1 ) ~ 1 ) + ~ 2 ) ~ 2 ~ ~ {g k [~ 1 ) - ~ 2 )J
l D
2
.(.
(1)
aB
a(2) [ ( 1 ) B uB -
(2) ~
J
2 }1/2
'
419
ou
Ainsi, pour avoir stabilite,il faut que
(18,93)
k <
En
(1)..Lr
. '1'1te "... . fa1t, 1'1 y a 1nstab1 des que
~
(2)
~
. car on peut t oUJours
trouver une valeur de k pour laquelle l'inegalite (18,93) ne soit pas satisfaite Ainsi, lorsque d'onde satisfait
A
p~2)< p~1)
, sont amplifiees les ondes dont la longueur
relation A> All!: 2 fT g 0
( 18,94)
ou
a la
= 2'[[ k
2. Supposons maintenant que
~(Z) = ~ th
(18,95) et dans le cas de
l 'f O,mais m
=
(i ),
° on aura, a la place de
(18,89), __w__
(18,96)
n
=
°.
'13+"k Soit pour PB(Z) la distribution classique ( 18,97)
PB(Z)
= PBo e -BZ
, avec
B
const.
Dans ce cas, de (18,96),on obtient,sous forme adimensionnelle, (18,98)
-
w+J
w
o
--C-=O,
'13-
ou la longueur et la vitesse ont ete adimensionnees par d et
o
.
~,respect1vement,et
420
c
n
=
et
k~
J
o
si
=~
02 "13
En fait, il est facile de se convaincre que,pour trouver la courbe de stabilite,il suffit de considerer l'equation (on fait C = 0) : (18,99 )
1.1.l:S
i
(- -
dZ2
2
W
k )
..Y.. 0"13
J
=o •
D'apres une idee de Drazin,on prend "13 comme variable independante; on a, avec des variables sans dimensions,
d'13
""dZ=
1 _
sch;; Z
2
1-1J
et de ce fait, l' equation (18,99) devient d d"13
(18,100)
avec les conditions
[(1-~) d~ ] ~
= ~ 1
+
{2-~ 1-"13
J
+
0 2 2 "13 (1-1-1J)
}w
o,
w = 0 •
L'equation (18,100) a pour points singuliers : 1-1J
=+
1 et 0 .
Pour elucider le comportement de la solution de (18,100) aux points singuliers, 1-1J =
~
1,on pose
(18,101 )
1-1J=
+ Y ,
y «
1 ,
et dans ce cas, i l vient, de (18,100),
o ,
(18,102) droll
(18,103)
W'V YV, avec Ainsi, on constate que la solution de (18,100),reguliere en"13
doi t avoir le comportement suivant (18,104)
+
W 'V
(1_~)V ,avec Reel (V) ~ 0 .
+ 1,
421
De fa~on analogue,le comportement de
W'V
(18,105)
~,
wpour ~
0 est
l.l=..!.+..!. 11-4J 220
avec
De (18,105) et (18,104),on voit que l'on peut rechercher une solution de la forme
w ou X reste reguliere en ~
= ~l.l =~
(
2
1 -~)
\I
X,
1. Dans ce cas de (18,100) i l vient pour X
l'equation suivante
( 18,106) ( 2\1+l.l+2 ) ( 2v+l.l-1 )
2 1 - ~
X = 0 •
Si, X = constante, alors (18,107) donne ( 18,107) et si l'on note que de (18,103) et (18,105) on a
25
2\1+l.l+2 =
+
on trouve que (18,108) conduit 2\1+W 1 =
/ k 2 -J '+12 o
a:
~ - ..!. + ..!. 11 - 4 J \ = 022 o
d'ou
J
o
= k2
2 (1 _ k ).
Ainsi,
et la solution caracteristlque correspondante est
w'V ou encore ( 18,108)
(1 _
~)
2 k /2
~ 1-k
2
)
0 ,
422
On notera que J 1
est stable pour J o 2.."4-=
0
est maximum lorsque k 2
= 12
et de ce fait,l'ecoulement
3. Stabilite d'une interface entre un liquide et un ecoulement de gaz. On suppose que les ecoulements ont comme potentiel expressions :
et DOl) [x + cP(x,y,t)
;g
J (2~)'
A
(27f)
3/2
de vitesse les
~ (x,y,t), pour Ie liCluide
pour Ie gaz, ou A est la longueur d'onde de
l'interface (qui a une forme sinusoidale). En theorie lineaire,il faut considerer les equations (ecoulement plan): (18,109a)
y < n
(liquide) ;
r~ 2 0 ax at L
(18, 109b)
(gaz),
..
ou
~
U
=
1 I rg 2IT U-
DOl)' Enfin, y =
~
est suppose
n (x,t)
«1 et MOl)
est Ie nombre de Mach construit avec
est l'eCluation de l'interface perturbee. II faut prendre
en compte les conditions suivantes sur l'interface (18,110 )
y
o
(18,111) (18,112) , C1
X=-2
M
ax
-20
M
at
et TS est la tension superficielle, tandis Clue Pi et P sont les masses volumiques g du liquide et du gaz.
423 Les conditions
a l'infini
( 18, 113a)
y +
sont :
-
21ay-
00
0
~ ay -- 0
(18,113b)
si l'ecoulement de gaz est subsonique.
Pour une solution en "onde
t;
=x
- ct, et dans ce cas,
a la
progressive'~
place de (18,109) - (18,113) on obtient1Il)
n_ .
(18,114a)
y < 0
d
(18,114b)
y > 0
y2ft +
(18, 114c)
y
(18,114d)
y = 0 :
(18,114e)
y = 0 : n=C ~ + ko (l-oC)
(18,114f)
y + _
(18,114g)
y++oo
at;
2+
ay
at;2
i= -
=0
on pose:
2- 0 ,
~ =0 ay2
an
c~
~ = ay
(1 - oC) an
at;
a~
00
~ at;
+ k
2
2
2a n at;
~
ay + 0 ,
~ ely
+0
,
(cas subsonique),
ou Dans le cas subsonique,on pose
n (t;) = A cos t;
et alors de (18,114)
i l vient
~ (t;,y)
(18,115 )
= A C eY sin
t;,
~ (t;,y)
= $ (1
- 0 C) e-YY sin t; •
En particulier, de (18,114ehon obtient
et de ce fait, 1Il) On neglige les termes avec 0 «
1 mais on garde les termes couples avec oC •
424
1~
C =kcrl'i ( - + m 2m3
(18.116) / k 2 _ kcr + 1 m •
ou
+ /::, •
m=
Les nombres d'ondes de coupure correspondent
a
(18.117) Ainsi. grace
a l'effet
statilisateur de la tension superficielle.il
y a deux nombres d'onde de coupure et toutes les perturbations avec des nombres d'ondes en-dessous ou en-dessus de ces valeurs. se propagent sans croitre.ou sans decroitre Pour le cas supersonique il ne faut pas tenir compte de la condition (18.114g). Soit encore n (I;) = A eil;. alors.de (18.114a) - (18.114d). (18.114f). on obtient (18.118a)
(18.118b)
~ (I;.y)
_ iA (1-l'iC) ei(I;-/::,y)
(I;.y)
/::,
-
. A C e y+il; •
:1
Ensuite. de (18.114e). il vient la relation de dispersion (18.119 )
1
et on trouve.
a la
+
ikcr( 1-l'iC )2 /::,
ikal'i C = 2m 3
Ik 2 _ ikcrm + 1
L
2
place de (18.116).
( 18.120) ou
=C
et
m=
Irl - 1 <Xl
•
11 est clair que la condition physique est toujours celle de l'insta-
bilite. du fait de la presence de la tension superficielle; les effets d'inertie de l'ecoulement de gaz aggravant cette instabilite. 11 est curieux de noter que les effets d'inertie de l'ecoulement de gaz disparaissent (en theorie lineaire !) pour
rl
<Xl
= 2 !
425
18,8. STABILITE V'UN ECOULEMENT VE COUETTE (NON Lorsque ~(Z)
=~
Z, l'equation,
VIS~UEUX)
a la
EN FLUIVE NON HOMOGENE
Boussinesq (voir la section 18,6)
devient
ou encore
o
(18,121) avec (Z
c ) ex et o
1/J (..£.- + 0
~
~
S.
_ ~
ex
(s)
Au niveau de l'equation (18,121),nous voyons apparaitre le nombre sans dimension: ~=> ({)
2
_M__ = R•• dUB
(a:z)
2
~,
qui est le nombre de Richardson, fonction de Z sauf pour l'ecoulement de Couette. Ri est une mesure de la stabilite pour un fluide non homogene (8 ". 0). Au plus grand nombre de Richardson correspond des etats plus stables. Soit,maintenant,
~=R~ = 111 - v 2 02
(18,122)
u
B
et il vient,
a la
.' ~+[ '/
place de l'equation (18,121),
(18,123)
ds
2
4- } s2
- 1]
1/J = 0
qu'il faut resoudre avec les conditions aux limites :
(18,124)
{
1/J
=o
I~I
<
c , pour S = - -ex o U
B
00,
lorsque s++
00
426
a l'aide
La solution du probleme (18,123) - (18,124) s'exprime fonctions cylindriques d'ordre
V
et la condition pour
~ +
+
des
impose de retenir,
00
comme solution physiquement acceptable,la fonction de Mac Donald uniquement :
(18,125) 11
reste donc
o >4 1 Lorsque R1 ~n
'
a elucider
'ai' re que V c , est-a-
°.
les valeurs ~n qui donnent K (~) = V n = i ~ ( imaginaire pure ) , on montre que les
forment une suite denombrable de racines positives pour K
et les valeurs
v
propres correspondantes c
sont toutes reelles - il a donc stabilite. n Precisons que lorsque le nombre d'onde a croit, toutes les valeurs
propres se concentrent vers la valeur nulle, mais les frequences a c restent pres constantes. Pour ce qui concerne les fonctions propres associees
a peu
~ (~ ),elles n n
ne sont differentes de zero que uniquement dans un voisinage de la paroi, simulee par Z
= 0,
lorsque a
d'epaisseur l/a et de ce fait, se rapprochent de cette paroi, Z croit. '" ° Lorsque la stab 1OlO1te'" decro1t, c , est a' d"1re lorsque R~~
propres
~n
= 0,
,l
+ 4 ' 1 es
' va~eurs
se concentrent tres rapidement vers la valeur nulle. Lorsque
R~ <
±'
vest reel, Iv
1< ~ ,
et la fonction Kv
(~)
n'admet
pas de zeros qui conviennent au probleme stationnaire (18,123)-(18,124) - ce qui veut dire que ce dernier n' admet pas de solutions en modes normaux. En fait, dans ce cas il faut
resou~e
le probleme de Cauchy correspondant avec des conditions
initiales et elucider le comportement de sa solution lorsque t fluide est homogene (8
= 0)
cela revient
a considerer
+
00
!
Lorsque le
le probleme de Cauchy suivant :
°, (18,126 ) ~(a,t)
(b,t)
~
0,
~
(Z,t=O)
~
(z,t) dt
Soit
(18,127)
'V
~(Z,c)
Iooexp (-iact) o
et apres integration de l'equation (18,126), multipliee par exp (-iact), de en t et integration par parties, on trouve pour ~ (Z, c)
°a
00
427
(18,128)
oil
f
=-
"
d 2 tI,o
~ (~ ex dZ 2
-
$0) est une fonction connue
On trouvera dans le
" l~vre
a partir
de la donnee initiale.
. . 51) une analyse de D"k" ~ ~~.lIf) ( pages 46 a
complete de ce probleme qui montre qu'il y a stabilite aussi pour
18,9.
R~ ~ ~
•
LES THEOREMES VE MILES-HOWARV ET VU VEMI-CERCLE VE HOWARV
a ] 'equation (18,57) obtenue a la a cette equation les conditions aux
1. Revenons
fin de la section 18,4. Nous
associons
limites :
{
(18,129)
$
= 0,
sur les deux parois planes rigides
et paralleles
Z
=0
et Z
= Ho
On demontre que :
.e.a. c.onciUi.on Ri ~ ~ , leI.> valeWtl.> p/tOp/teA c du. p/tObame a.we va.f.eWtl.> p/tOp/teA (78-51) - (18,129) com totLteA /tee.Ue.I.>.
SOU6
En effet, soient fonction X (Z)
w= ~ -
satis~ait a l'equation d dX dZ (PB W dZ )
(18,130)
d~ 2 1/ 4 (dZ)
+ PB
w
c
et
X
suivante r1
d
- g
a
_"2 dZ
]x
= Jl .
Dans ce cas,la nouvelle
IW d~
(P B dZ
)
+ ex
2
PB W
o ,
avec S =
:t')
Dont le titre est: Stabilite Hydrodynamique et Dynamique de l'atmosphere. Guidrometeoizdat, Leningrad, 1976, en langue russe"
428
A cette equation (18,130), il faut associer les conditions homogenes
x
(0)
=X
(H ) o
o .
Multiplions l'equation (18,130) par le complexe conjugue de X (Z), soit X*(Z), et integrons de 0 (18,131), on trouve que:
J
HO{ o PB W
[
dX
a Ho •
2 +
IdZ I
a
En tenant compte des conditions homogenes
1 +2
2
d dZ (PB
d~ dZ
)
Ixl 2
(18,132) +
PB
d~
r1
2
L4 (~) -
.1 * I ~
o ,
8JW
g
ou W* est le complexe conjugue de W. Supposons maintenant que Imag (c) n'est pas possible lorsque Ri
~
~
0; nous voulons montrer que cela
1/4.
En effet,dans ce cas,la partie imaginaire de l'expression complexe (18,132) conduit
a:
1~12 }
o
ce qui pour Howard
lI!)
4g 8 ~
d~
(~)
2
1
=> Ri ~ 4
dZ ,
n' est pas possible !
Ainsi, c est toujours reel et on retrouve le theoreme de Miles et
"L'ec.ouieme.n.t plan pM.ClUUe. d'un 6.e.uJ.de. paJL6aLt l;:tJr..o..;t,[&<-e (non homogen.e, 8 1= 0) POWl. le.que1. Ri ~ 1/4 el;,t l;.ta.b.te.". Donc, pour un profil
~(Z)
quelconque il n'y a stabilite que si le
nombre de Richardson (local) est plus grand que 1/4.
2. Afin d'aller
a l'essentiel, considerons,maintenant, 1 'equation, a la
Boussinesq,
o . lI!)
Voir
J. Fluid Mech.vol. 10,n04,
1961 pages 496-508 et 509-512.
429
Observons l'ecoulement dans un systeme de coordonnees en o
mouvement avec la vi tesse moyenne
~
="21
(m ~
M)
-.
m
+ ~ , ou ~
et
M
sont les
~
valeurs extremes de ~(Z). Dans ce cas, la vitesse varie dans l'intervalle [- ~ , +~]
et cela veut dire qu 'au niveau de l'equation (18,133),il faut
effectuer le changement suivant
~(Z)
~ + ~(Z)
+
et
Supposons que c est un scalaire quelconque n'appartenant pas l'intervalle
a
[- ~ + ~ ] de telle fagon que l'on peut introduire la nouvelle
fonction
X
(18,134)
-~ ~-c
, avec
~
Cette nouvelle fonction X (Z) satisfait
- c
~
0 .
a l'equation
(18,135)
- g
Multiplions alors (18,135) par
I {"B-
(18,136)
o )2
{I~ 12 +.2
B x·
x*(Z) et integrons en Z 2
Ixl J
dZ
J g B Ixl 2
dZ
De cette relation (18,136), on constate que: le scalaire c ne peut pas etre un nombre reel, lorsque le fluide est homogene (B:: 0) !
Donc en
supposant que c n'est pas un nombre reel, on tire, de la relation (18,136), l'expression : (18,137)
OU
C
= cr
0, + i c . Donc, il faut que i
o
-~
<
430
D'autre part, la partie reelle de la relation (18,136) est
J
(18,1381
[1'yO)2-
on{I~~12+a2IXli .z= J g8lxl 2 .z
et en combinant (18,138) avec (18,137) on trouve que
J [{ Ains~
on arrive
2
10 1]
a la
J.z
{1~12 +a2 IXI 2
=
Jg 8 IxI 2 .z, o.
conclusion que
(18,139) ce qui demontre le theoreme du "demi-cercle" de Howard
~ "Toutel> £.el> vai.eWL6
~
-60n.t
pMpJr.e..6
non ILee.Uel>
{c r -
'2
)
:
(e.t lttL6-6,[ ILeeUel> £.OMque B :: 0)
-6.U:ueel> -6UIL £.e c.e!Lc1.e ltyltn.t POUIL cU.ametJr.e £.e -6egment
Ainsi, pour les modes instables, c 1
lll
m M 2 (~+~)} +
[~,
{]".
doit etre situe sur le demi-cercle
2 [1 M m J2 C i ~ @" (~-~) ,et c i > 0 .
18,10. QUELQUES RESULTATS VE STABILITE NON LINEAIRE 1. L'instabilite de Rayleigh-Taylor de deux fluides superposes Dans un formulation classique il faut resoudre les equations suivantes (18,140)
.~p
(18,141)
{1- - -
. =0 J
an aT
a(j>. an _ J ax ax
n a(j> . _J = ay
n ,
y <
et
y >
+
0
, y=n
j = 1, 2 ;
(1
(18,142)
[1 Oll
1II) Voir
J. Fluid Mech. 10, 1961, 509-512.
+
(~
)2
-3/2
J
, y =n ,
t =
T;
431
Aux equations (18,140)
t=o:n
(18,143 )
{ Oll £
(18,142),il faut associer les conditions
21T
a)\
y .... (-1)
cos x
£
(lcj>.
j 00:
avec a l'amplitude et
an at
= 0
-.-:..J. .... 0
ay
A la longueur 