Mécanique des milieux continus

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Deuxième édition Revue et augmentée Serge DUBIGEON

Professeur au Laboratoire de Mécanique et Matériaux de l’Ecole Centrale de Nantes

ECN 1997

Avant propos ________

Cet ouvrage est scindé en quatre parties dont les objectifs sont assez distincts. On a cru bon de mettre en annexe des différents chapitres soit des notions moins importantes soit des notions très difficiles qui chargeraient inutilement un premier exposé mais que le lecteur analysera en second lieu à bon escient. La première partie introduit le lecteur à la mécanique des milieux continus déformables en s’attachant à l’essentiel. La deuxième partie traite de l’élastodynamique des petits mouvements. L’analyse modale décrit la façon dont se présentent les problèmes lorsqu’on accorde une importance particulière au champ des déplacements. On présente ensuite des exemples de mise en équations plus ou moins classiques relatifs à la mécanique des milieux solides déformables. Le lecteur fera ainsi connaissance avec différents modèles de description, modèles imaginés au cours des temps et qui permettent de quantifier des grandeurs essentielles à la caractérisation d’un système : les contraintes et les déplacements (ou les vitesses), cette connaissance étant obtenue en se limitant à la classe des matériaux solides déformables isotropes. Des méthodes de résolution approchée systématiques sont alors les bienvenues, elles sont abordées dans la suite. La troisième partie traite des éléments finis en commençant par des cas simples puis en généralisant pour aboutir à la formulation en déplacements de problèmes linéaires ou à non linéarité géométrique. Une description de toutes les méthodes variationnelles permet alors d’étendre le champ d’application de la méthodologie décrite initialement. La quatrième partie complète l’exposé succinct fait dans la première partie sur les lois de comportement. Disposant d’outils plus puissants que ceux décrits au début, le lecteur sera en mesure de traiter des problèmes plus complexes (plasticité, cas des milieux orthotropes, thermoplasticité). Il notera au passage que de nombreux modèles peuvent être construits pour décrire le même phénomène, ces modèles pouvant varier dans le bon sens ou dans le mauvais ! Il attachera alors, nous l’espérons, plus d’importance aux hypothèses de départ, si évidentes aux jeunes débutants mais qui commandent tout le reste des processus et qui finalement n’ont rien d’évident. Pour beaucoup de problèmes nouveaux rencontrés, il constatera qu’il ne peut plus s’appuyer sur des résultats analytiques qui n’existent plus, il devra avoir le réflexe de compléter et d’assurer la validité de ses travaux par des essais expérimentaux et parfois il devra courageusement changer de modèle ou bannir tel ou tel programme qui tournait si bien mais avait ses limites. En fait toutes les parties de ce cours sont couplées et certaines peuvent être enseignées en parallèle. L’ensemble est finalement orienté vers la mécanique des solides déformables. Si on a accordé une importance limitée aux méthodes de résolution exacte, c’est plutôt pour mettre en évidence leur liens avec les solutions approchées et permettre au lecteur de tirer le meilleur profit des ouvrages consacrés à ces méthodes, dont certains sont cités en bibliographie.

Ce cours n’a nullement la prétention de couvrir tous les domaines de la mécanique mais dans cette seconde édition la partie consacrée aux lois de comportement a été plus développée ; c’est pour donner au lecteur le goût de consulter des ouvrages de spécialistes comme ceux cités en bibliographie. Ce domaine est en pleine expansion avec l’apparition de matériaux nouveaux et aussi des ambitions de plus en plus grandes des scientifiques et des ingénieurs qui disposent d’outils informatiques de plus en plus performants. J’ai évidemment emprunté beaucoup d’idées à l’ensemble de mes collègues mécaniciens de France et d’ailleurs, particulièrement à mes collègues J.L. Lemaître et J.L. Chaboche en ce qui concerne leur point de vue original sur la thermodynamique et la mécanique et à mon ami O.C. Zienkiewicz dont les ouvrages sur les éléments finis font autorité. Je les remercie ici de l’aide réelle qu’ils m’ont fournie. Je tiens à remercier spécialement Monsieur Matthieu Dubois, ingénieur de l’E.C.N. qui s’est chargé de la tâche ingrate d’impression de mon manuscrit, tâche certes, facilitée par le fait que je sais bien qu’il en a déjà compris toutes les nuances.

Table des matières

TABLE DES MATIERES Première partie : Introduction Introduction Chapitre I : Géométrie de la transformation des milieux continus 2 I.1. Introduction des tenseurs classiques I.2. Décomposition canonique de la transformation I.3. Considérations sur les transformations de longueurs, d’angles, de surfaces et de volumes Annexe I : Conditions de compatibilité des déformations Annexe II : Invariants associés au tenseur de Cauchy 17 Annexe III : Décomposition canonique de F Chapitre II : Cinématique des milieux continus déformables II.1. Gradient spatial des vitesses et tenseur des taux de déformation 22 II.2. Equation de continuité : conservation de la masse Annexe : Compléments sur le tenseur D Chapitre III : Analyse des forces en présence - Tenseur des contraintes 28 III.1. Les forces de volume III.2. Les forces de surface Annexe I : La quadrique des contraintes de Cauchy Annexe II : Représentation de Mohr du tenseur de Cauchy Σ C

1

2 4 8 13

20 22

23 25

28 28 32 34

Chapitre IV : Les équations du mouvement - Le théorème de l’énergie 38 IV.1. Les équations locales IV.2. Le théorème d’Euler IV.3. Variables de Lagrange et variables d’Euler IV.4. Le théorème de l’énergie 44

38 40 41

Chapitre V : Lois de comportement - Premières notions 48 V.1. Les milieux élastiques matériellement simples V.2. Les milieux fluides V.3. Autres types de loi de comportement Annexe I : L’objectivité Annexe II : Relations contraintes déformations pour un milieu homogène et isotrope pour des petites déformations isothermes

48 59 61 65 68

Table des matières

Chapitre VI : Les problèmes linéarisés VI.1. Les données du problème VI.2. Les grandeurs recherchées VI.3. Les démarches VI.4. Quelques exemples Rappel de mathématiques

73 73 73 74 75 81

Deuxième partie : Elastodynamique des petits mouvements II.1. Analyse modale des systèmes linéaires Chapitre I : Généralités I.1. Les méthodologies de mise en équations 108 I.2. Position du problème pratique I.3. Résolution par décomposition modale du problème type 116

108

114

Chapitre II : Exposé des méthodes conduisant à des équations matricielles 123 II.1. Les méthodes énergétiques II.2. Les méthodes d’annulation d’erreur Annexe : Justification de la méthode de Galerkin par le principe du maximum de Pontryagin

123 127

Chapitre III : Méthodes particulières 132 III.1. La méthode des matrices de transmission de Falk Myklestad III.2. Méthode d’itération de Stodola Annexe : Analyse modale. Résolution des systèmes linéaires matriciels du second ordre

132 138

129

139

II.2. Mise en équations de problèmes classiques Chapitre I : L’approximation des poutres droites (modèle de Timoshenko) I.1. Analyse des forces 155 I.2. Champ des déplacements et tenseur des déformations I.3. Relation entre contraintes intégrées et déformations généralisées 157 I.4. Mise en équations par les théorèmes généraux I.5. Mise en équations à partir du principe des travaux virtuels

155

Chapitre II : Plaques minces chargées dans leur plan II.1. Analyse des forces II.2. Champ des déplacements et tenseur des déformations II.3. Loi de comportement et relation entre contraintes intégrées et déformations

170 170 171 172

156

160 168

Table des matières

II.4. Mise en équations par les théorèmes généraux II.5. Mise en équations à partir du principe des travaux virtuels Annexe : Action d’un couple sur une plaque en contraintes planes Chapitre III : Plaques minces en flexion (Théorie de Kirchhoff) 176 III.1. Champ des déplacements - Tenseur des déformations III.2. Analyse des forces en présence - Contraintes et contraintes intégrées III.3.Loi de comportement III.4. Mise en équations par les théorèmes généraux III.5. Mise en équations par le principe des travaux virtuels III.6. Séparabilité - Caractère auto adjoint du problème en oscillations libres 187

Chapitre IV : Plaques minces (Théorie de Hencky) 189 IV.1. Equations du mouvement (théorèmes généraux) IV.2. Loi de comportement IV.3. Point de vue énergétique

172 172 175

176 177 180 182 184

189 192 193

Chapitre V : Problèmes en milieux curvilignes 196 V.1. Petits mouvements d’une poutre plane courbe 196 V.2. L’approximation des poutres courbes (selon Massoud) 207 V.3. Théorie linéarisée des petits mouvements des coques minces (Novozhilov) 214 Chapitre VI : Problèmes d’élasticité du second ordre VI.1. Poutre droite cylindrique en flexion plane soumise à un chargement longitudinal VI.2. Vibration des membranes VI.3. Vibrations de plaques minces fortement chargées dans leur plan (Théorie de Kirchhoff Von Karman)

231 231 237 243

Troisième partie : Eléments finis et méthodes variationnelles Introduction Chapitre I : Présentation d’éléments simples 254 I.1. L’élément barre à deux noeuds I.2. Elément barre assurant la continuité de l’effort normal I.3. L’élément poutre à deux noeuds I.4. Un élément poutre simplifié pour la flexion avec l’hypothèse de Timoshenko I.5. L’élément triangulaire plan à trois noeuds I.6. L’élément triangulaire à trois noeuds utilisé pour les problèmes de statique à symétrie de révolution

253

254 263 266 274 279 283

Table des matières

Chapitre II : Construction d’éléments finis 288 II.1. Système de coordonnées naturelles II.2. Fonctions de déplacement II.3. Généralisation : éléments courbes et intégration numérique 1. Eléments courbes - Classement en éléments iso sous ou hyper paramétriques 2. Utilisation des éléments 2.1. Matrices et forces généralisées associées à un élément 2.2. Le choix des fonctions de déplacement - Les méthodes semi analytiques

288 302 312 313 318 318 321

3. Organisation d’un logiciel d’éléments finis 326 4. Application de la méthode à la thermoélasticité linéarisée 327 Annexe I : Le jacobien et le calcul des dérivées secondes 330 Annexe II : Intégrales de surface 332 Annexe III : Introduction à la discrétisation en temps 333 II.4. Le contrôle qualité des éléments finis 339 1. Les éléments finis et l’erreur de discrétisation 340 2. Les éléments finis et la conformité (Notions) 342 Chapitre III : Application de la théorie de partition des matrices au calcul des structures 346 III.1. Statique 346 III.2. Dynamique - Méthodes de condensation 349 III.3. Sous structuration et condensation 356 III.3.1. Utilisation des modes des sous structures frontières bloquées 356 III.3.2. Utilisation des modes des sous structures frontières libres 360 Annexe : Matrices de flexibilité et matrices de flexibilité résiduelle Matrice D 368 Chapitre IV : Eléments finis en non linéaire 371 IV.1. Le point de vue variationnel IV.2. Formulation matricielle IV.3. Formulation matricielle incrémentale IV.4. Application des résultats précédents à la résolution des problèmes non linéaires de l’élastodynamique IV.5. Exemples classiques d’applications simples IV.5.1. Etude d’une poutre droite chargée longitudinalement 381 IV.5.2. Plaques minces chargées dans leur plan 382

371 373 376 379 381

Table des matières

Annexe I : Méthodes sécantes - Méthodes tangentes 387 Annexe II : Formulation matricielle avec un champ de déplacement généralisé (Frey) Annexe III : Point de vue Eulérien Chapitre V : Les principes variationnels généraux 395 Introduction V.1. Le principe général de Hu Washizu à trois champs V.2. Les principes à deux champs V.3. Les principes à un champ 406 V.4. Les méthodes d’équations intégrales sur la frontière V.5. Application de la méthode des éléments finis V.6. Extension aux problèmes de dynamique ou aux problèmes non linéaires Annexe I : Conditions de régularité des systèmes linéaires d’équations obtenus par des méthodes mixtes (stability) Annexe II : Les milieux incompressibles isotropes

390 392

395 399 404

415 422 428 430 433

Quatrième partie : Les lois de comportement Introduction

437

Chapitre I : Mécanique et thermodynamique I.1. Le premier principe de la thermodynamique I.2. Le deuxième principe la thermodynamique I.3. Autre point de vue concernant l’expression du deuxième principe

438 439 441 442

Chapitre II : Essais classiques et modèles II.1. Les méthodes d’essais classiques 448 II.2. Les modèles analogiques 452

448

Chapitre III : Les milieux élastiques solides non isotropes 458 III.1. Rappel sur les changements de repère en bases orthonormées directes 458 III.2. Matrices d’élasticité particulières 461 III.3. Détermination des constantes des matrices d’élasticité 466 III.4. Le cas des déformations non infiniment petites 473 Annexe : Relations contraintes déformations pour un milieu orthotrope pos-sédant une isotropie transversale dans le cas de déformations isothermes 474

Table des matières

Chapitre IV : Elastoplasticité 478 IV.1. Résultats expérimentaux 479 IV.2. Fonction seuil - Critère de plasticité IV.3. Formulation des lois de la plasticité IV.4. Exemples de modèle de plasticité IV.5. Méthodes incrémentales 507 Annexe : Compléments sur le tenseur des contraintes 511

480 490 496

Chapitre V : Thermoélasticité linéaire V.1. Rappel sur l’équation de conduction et l’énergie interne 514 V.2. Expression des énergies - Potentiel thermodynamique Loi de comportement V.3. Thermoélasticité linéaire 519

514

Bibliographie

521

514

Cet ouvrage est scindé en quatre parties dont les objectifs sont assez distincts. Dans la première partie on introduit le lecteur à la mécanique des milieux continus en s’attachant à l’essentiel. La deuxième partie traite de l’élastodynamique des petits mouvements en utilisant comme mode de description l’analyse modale. De nombreux exemples plus ou moins classiques relatifs à la mécanique des solides déformables permettront au lecteur de se familiariser avec les notions développées. La troisième partie traite de la méthode des éléments finis, et de ses extensions en aboutissant aux méthodes variationnelles générales. La seconde édition de ce cours a été complétée par une quatrième partie fournissant un complément sur les lois de comportement permettant au lecteur d’étendre le champ d’application de la méthodologie décrite initialement à des problèmes plus complexes. Le professeur Serge Dubigeon travaille actuellement au laboratoire Mécanique et matériaux de l’Ecole Centrale de Nantes dans la division Mécanique des structures.

PREMIERE PARTIE Introduction

Introduction

Introduction ________

Beaucoup de milieux naturels ont une structure continue ou presque et le mécanicien pour les étudier fait l’hypothèse des milieux continus. Un milieu continu est un milieu dans lequel les propriétés physiques varient de façon continue d’un point à un autre. Un tel milieu se déplace et se déforme sous l’effet des forces auxquelles il est soumis et presque partout le champ des déplacements et le champ des vitesses sont continus. L’hypothèse des milieux continus est un point de vue macroscopique permettant de construire un modèle raisonnable de la réalité et nous la faisons car l’expérience a montré son bien fondé. Nous pouvons alors utiliser tout l’arsenal du calcul différentiel et intégral et envisager des éléments de volumes tendant vers zéro et contenant toujours des particules matérielles aussi petit que soit le volume. De même toutes les fonctions rencontrées seront supposées continues et suffisamment différenciables dans l’approche élémentaire qui sera présentée. Ce modèle pourra ensuite être étendu sans grandes difficultés à des cas où certaines de nos hypothèses ne sont pas vérifiées mais a l’avantage de ne pas alourdir inutilement cet exposé introductif. (on décomposera en domaines d’espace ou de temps tels que les discontinuités n’apparaissent qu’aux frontières). Ceci étant, on n’oubliera pas que dès que les distances considérées deviennent très petites des discontinuités peuvent apparaître. Par exemple si les distances deviennent de l’ordre de grandeur des distances atomiques le modèle tombe en défaut et même beaucoup plus tôt dans certains cas (sables). On peut aussi observer des discontinuités locales de certaines fonctions rencontrées. Sont donc exclus provisoirement de cette étude : • Les fissurations et les glissements : le déplacement est discontinu • Les chocs et les ondes de choc : la vitesse est discontinue • Les changements d’état physique. Nous commencerons par étudier la transformation d’un milieu qui se déforme (géométrie, cinématique). Ceci permettra de définir plusieurs tenseurs utilisés classiquement et de mettre en évidence deux types de description possible. Ensuite nous analyserons les forces en présence et nous définirons les tenseurs des contraintes. Les équations du mouvement seront alors présentées. Il restera à donner des informations précises sur les milieux pratiquement étudiés ce qui fera l’objet du dernier chapitre de cette partie sur les lois de comportement. Nous récapitulerons ensuite ce qui aura été exposé pour vérifier que nous avons bien autant d’équations que d’inconnues c’est à dire que le problème de mécanique est bien posé. La résolution des équations sera l’objet d’autres chapitres, ainsi les méthodes variationnelles ne sont pas abordées ici. A la fin de cette première partie le lecteur trouvera un rappel de mathématiques pour mécanicien qu’il pourra consulter avec profit au moins au début.

1

Introduction

Chapitre I

Géométrie de la transformation des milieux continus.

Nous considérons un volume matériel occupant le volume D0 limité par ∂D0 à l’instant t=0 que nous choisissons comme instant initial. Dans cet état le milieu n’est pas chargé c’est à dire sollicité par des forces, on dit qu’il est dans un état naturel. Sollicité par différentes actions il occupe à l’instant t le domaine constitué par le volume D limité par ∂D. La transformation F fait passer de D0 à D. r e3 ∂D0 r F da Q0 D0 P0 ∂D

r a

D

P

r x

r Q dx

r e2

O

F P0 ∈ D0 r r r OP0 = a = a I e I

→

P∈D r r r OP = x = xi ei

Par définition, les aI sont les coordonnées matérielles d’une particule en P0, les xi sont les coordonnées spatiales de la même particule à t, une particule étant un élément de matière de très petites dimensions.

r e1

On adoptera des indices majuscules pour l’état non déformé, des indices minuscules pour l’état déformé et, l’étude se faisant dans l’espace tridimensionnel réel, nous choisirons r r toujours des bases orthonormées directes {ei } ou {e I } . Nous travaillerons en cartésiennes r r donc les bases {ei } et {e I } coïncident (bien que ce ne soit pas nécessaire), mais les résultats seront donnés aussi sous forme intrinsèque. Nous cherchons à analyser la transformation F. I.1. Introduction des tenseurs classiques. Pour caractériser la transformation F on définit un certain nombre de tenseurs. • Les tenseurs gradients Considérons Q0 ∈ D0 infiniment voisin de P0, Q son transformé.

P0 Q0r r OP0 = a r r r OQ0 = a + da

F → →

P Qr r OP = x r r r OQ = x + dx

2

Introduction

r r r Si on considère x comme fonction vectorielle de a , dx a les composantes dxk :

dxk = xk,I daI + ...

r r r rw r r dx = grad a x ⋅ da = x ∇ a ⋅ da = F ⋅ da

Nous écrirons :

F est le tenseur de la transformation linéaire tangente à la transformation en P0. On dit r qu’on effectue un transport convectif de da par F .

La transformation étant supposée continue, les fonctions xi(aj) définissent une correspondance biunivoque entre les points de D0 et de D et le déterminant de la matrice du tenseur, noté J, est non nul (J pour Jacobien).

 ∂x1   ∂a1 ∂x matrice de F =  2 ∂a  ∂x 1  3  ∂a1

∂x1 ∂a 2 ∂x 2 ∂a 2 ∂x 3 ∂a 2

∂x1   ∂a 3  ∂x 2  ∂a 3  ∂x 3   ∂a 3 

F tenseur gradient r r r T dx = F ⋅ da = da ⋅ F det F = J

Nous pouvons aussi considérer la transformation G = F -1, transformation inverse de F r r faisant passer de D à D0. Les a sont alors des fonctions vectorielles des x : daI = aI,k dxk + ...

Nous écrivons :

r r r rw r r da = grad x a ⋅ dx = a ∇ x ⋅ dx = G ⋅ dx

Le terme I k de la matrice de G est aI,k . Comme F -1F = I la transformation identique :

G=F

−1

xk,I aI,l = δkl

G tenseur gradient aK,I xI,,h = δKh r r r T da = G ⋅ dx = dx ⋅ G

F ⋅G = I G⋅F = I F ⋅G = I

F a des propriétés de groupe multiplicatif

P0 r a O

r t=0 da P1 r r t = t1 x dx r y P2 dyr t = t2

r r dx = F 1 ⋅ da r r r dy = F 2 ⋅ dx = F 2 ⋅ F 1 ⋅ da

3

Introduction

• Les tenseurs des dilatations (stretch) r Lorsque le milieu se déforme deux points distants de ds = dx proviennent de deux r points distants de dS = da avant la transformation :

r r r T r r r ds 2 = dx ⋅ dx = da ⋅ F ⋅ F ⋅ da = da ⋅ C ⋅ da T

C = F ⋅ F est le tenseur de Cauchy des dilatations CIJ = xk,I xk,J On peut aussi écrire : r r r T r def r −1 r dS 2 = da ⋅ da = dx ⋅ G ⋅ G ⋅ dx = dx ⋅ B ⋅ dx −1

−1T

B = F ⋅F Bij-1 = aI,i aI,j

−1

• Tenseur des déformations (strain)

Les tenseurs des déformations sont très souvent utilisés et sont définis à partir de différences de carrés de longueurs infinitésimales : r r r r r r def r r ds 2 − dS 2 = da ⋅ C ⋅ da − da ⋅ da = da ⋅ ( C − I ) ⋅ da = da ⋅ 2 E ⋅ da

On pose 2 E = C − I

E est le tenseur de Green-Lagrange

−1 ∗ r −1 r r r r r def r r dS 2 − ds 2 = dx ⋅ B ⋅ dx − dx ⋅ dx = dx ⋅ ( B − I ) ⋅ dx = − dx ⋅ 2 E ⋅ dx ∗

On pose 2 E = I − B

−1

∗

E est le tenseur d’Euler-Almansi

I.2. Décomposition canonique de la transformation. F est un tenseur de E 3 ⊗2 on sait qu’on peut de deux façons le décomposer en produit (voir rappel de mathématiques IV.2. et annexe III) F = R ⋅U F=RU

Q0

(Si det F ≠ 0 ) r à une translation P0 P près.

F =V ⋅R F=VR

U

R Q

P0

R

V

P

La transformation tangente apparaît comme le produit de deux transformations du milieu : soit une affinité U suivie d’une rotation R, soit une rotation R suivie d’une affinité V.

4

Introduction

det R = 1

R le tenseur de la rotation R est une isométrie V est le tenseur de l’extension à droite (affinité) U est le tenseur de l’extension à gauche (affinité)

les matrices de V et U sont symétriques et définies positives F transforme un voisinage de P0 en un voisinage de P.

Entre tous les tenseurs qui interviennent il existe des relations simples que nous résumons ici mais auxquelles on n’attachera qu’une importance limitée. F ⋅G = I

F = R ⋅U = V ⋅ R

R G =U

−1

−1

T

T

=R

⋅ R = R ⋅V

2

T

T

R est orthogonal R ⋅ R = I

−1

T

C =U = F ⋅F 2

B =V = F⋅F

C et U ont les mêmes directions propres

T

B et V ont les mêmes directions propres B et C ont les mêmes valeurs propres.

B et C

−1

sont les tenseurs de Fingers.

On a aussi : T

T

T

B = F ⋅ F = R⋅C⋅ R ⇒ C = R ⋅ B⋅ R

C

−1

=F

−1

⋅F

−1T

T

T

−1

= G⋅G = R ⋅ B ⋅ R −1

On retiendra que les directions propres de E , C , U , C sont les mêmes : ce sont celles de la déformation observée dans l’état initial, les valeurs propres associées sont différentes évidemment. ∗

Les directions propres de E , B , V , B déformation observée dans l’état final.

−1

sont les mêmes : ce sont celles de la

Ce sont les transformations U et V qui contribuent à la déformation du milieu et qui ont été négligées dans l’étude de la mécanique générale lorsqu’on a fait l’hypothèse de corps rigides. ∗

La relation entre E et E s’obtient en partant de la définition : r r ds 2 − dS 2 = da ⋅ 2 E ⋅ da ∗ ∗ r r r T r dS 2 − ds 2 = dx ⋅ ( −2 E ) ⋅ dx = da ⋅ F ⋅ ( −2 E ) ⋅ F ⋅ da T

∗

Ainsi E = F ⋅ E ⋅ F

T

ou

5

G ⋅ E ⋅G = E

∗

Introduction

Expression des tenseurs en fonction des tenseurs gradient des déplacements r Q0 da

r r r En écrivant OP = OP0 + P0 P on r r définit le vecteur déplacement P0 P = u

r r u + du

P0 r u

r a

P

r x

r dx

Q

Le champ des déplacements et les quantités qui lui sont associées joueront un rôle très important dans la suite. Deux points de vue sont r envisageables pour définir u .

O

• Le point de vue Lagrangien r r r r r r On écrit x (a , t ) = a + u (a , t ) u dépends des coordonnées matérielles r r r r r r comme dx = da + du = I ⋅ da + grad a u ⋅ da on a : r rw avec h = grad a u = u ∇ a [h]IJ = uI,J F = I +h

où [h]IJ désigne le terme I J de la matrice du tenseur gradient des déplacements. T

T

T

D’où C = F ⋅ F = ( I + h) T ⋅ ( I + h) = I + h + h + h ⋅ h = I + 2 E T

T

h + h h ⋅h E= + 2 2

EIJ = ½(uI,J + uJ,I + uK,I uK,J) avec : , J =

∂ ∂a J

• Le point de vue Eulérien r r r r r r On écrit a ( x , t ) = x − u ( x , t ) u dépends des coordonnées spatiales r r r r r r comme da = dx − du = I ⋅ dx − grad x u ⋅ dx on a : w ∗ ∗ r r avec h = grad x u = u ∇ x [h*]ij = ui,j G = I −h ∗

h est un tenseur gradient des déplacements . D’où B

−1

*

h +h E = 2 *

∗

T

∗

∗

= G ⋅ G = (I − h )T ⋅ (I − h ) = I − h − h *T

*T

−

h

⋅h 2

∗T

+h

∗T

*

E*ij = ½(ui,j + uj,i - uk,i uk,j) avec : , j =

6

∂ ∂x j

∗

⋅ h = I − 2E

∗

Introduction

Il est apparu deux tenseurs gradients des déplacements qu’on peut toujours décomposer en somme par exemple décomposons le tenseur h : T

T

r r h+h r h−h r du = h ⋅ da = ⋅ da + ⋅ da 2 2 def r r r r r r du = E linéarisé ⋅ da + Φ ⋅ da = E linéarisé ⋅ da + ϕ ∧ da On fait ici apparaître : - la partie linéaire du tenseur de Green-Lagrange

r - un tenseur antisymétrique Φ de vecteur adjoint ϕ tel que : 1 r 1 r r r Φ = rot u ϕ = rot u 2 2 T r où le tenseur rotationnel * est défini ici par h − h = rot u La décomposition présentée n’a d’intérêt qu’en petites déformations et aurait aussi pu ∗

être faite pour h en n’oubliant pas que les variables indépendantes ne sont pas les mêmes. Le cas des petites déformations T

Si les termes de la matrice du tenseur h ⋅ h sont petits devant l’unité E peut être remplacé par sa partie linéaire, on parle de petites déformations. Si en plus tous les termes de h sont petits devant l’unité, de telle sorte que la partie antisymétrique de h soit petite devant r r l’unité alors l’opération ϕ ∧ da peut être assimilée à l’effet d’une rotation. On dit que D reste

voisin de D0 à une translation près, F comme R , U et V sont voisins des tenseurs unités. Nous allons dans ce paragraphe analyser les conséquences d’une transformation de petits déplacements. Nous écrivons les deux décompositions possibles de F en décomposant en plus convenablement R , U et V : F = R ⋅ U = ( I + Ω 1 ) ⋅ ( I + E 1 ) = I + Ω 1 + E 1 +... = I + h F = V ⋅ R = ( I + E 2 ) ⋅ ( I + Ω 1 ) = I + Ω 1 + E 2 +... = I + h T

avec R ⋅ R = ( I + Ω 1 ) T ⋅ ( I + Ω 1 ) = I + Ω 1T + Ω 1 +... = I Donc E 1 = E 2 = E linéarisé et − Ω 1 T = Ω 1 = Φ

U = V = I + E linéarisé R = I +Φ _______________________________________________ *

Nous appelons ici le tenseur antisymétrique Φ le tenseur

1 r rot u puisque son vecteur 2

r adjoint est classiquement le demi rotationnel de u . On ne confondra pas Φ avec le v w rotationnel d’un tenseur T : ∇ ∧ T ou l’autre T ∧ ∇ dont les définitions sont différentes.

7

Introduction

Dans la transformation tangente les transformations de rotation et d’affinité sont permutables. Dans les dérivations on peut prendre comme état de référence l’état initial ou l’état ∂u final. Pour mieux le voir, calculons 1 : ∂a1 ∂u1 ∂u1 ∂x1 ∂u1 ∂x 2 ∂u1 ∂x 3 = + + ∂a1 ∂x1 ∂a1 ∂x 2 ∂a1 ∂x 3 ∂a1 r avec ui = xi − ai = ui ( x , t ) ∂u1 = u1, x1 (1 + u1,a1 ) + u1, x2 u2 ,a1 + u1, x3 u3,a1 ≈ u1, x1 ∂a1 Les tenseurs de Green-Lagrange et d’Euler-Almansi coïncident. Enfin les propriétés de groupe multiplicatif pour F se transforment en propriétés de groupe additif pour h :

F 2 ⋅ F 1 = I + h 1 + h 2 +... = I + h 12

avec

h 12 = h 1 + h 2

Ainsi la transformation totale du milieu s’obtient en faisant une translation, une rotation et une affinité, l’ordre étant indifférent.

I.3. Considérations sur les transformations de longueurs, d’angles, de surfaces et de volumes. Grâce à l’introduction des différents tenseurs faite dans les paragraphes précédents nous allons pouvoir analyser la façon dont se transforment par F les longueurs, les angles, les surfaces et les volumes.

I.3.1. Transformations de longueurs et d’angles. • Transformations de longueurs

P0 + r e3

r N r da

Q0 +

r n Q P r+ + dx

r r r P0 Q0 = da = NdS r r r PQ = dx = nds

S

s

r r r r ds 2 − dS 2 = 2 N ⋅ E ⋅ NdS 2  ds 2  ⇒ 2 = N ⋅C⋅ N dS  2E = C − I

r e2 r e1

De même on trouvera

dS 2 r −1 r = n ⋅ B ⋅n ds 2

r r ◊ Si N est l’unitaire e1 de la base de référence ou lui est équipollent, ses composantes sont (1,0,0) et C11 = 1 + 2E11

8

Introduction

On voit donc que la dilatation C11 caractérise l’extension d’un élément unité porté par r r e1 . Si e1 coïncide avec une direction principale de C , la valeur propre associée C1 ne pouvant être négative, comme la transformation est supposée régulière ( det F ≠ 0 ), les valeurs propres de E ne peuvent être inférieures à -½ puisque C1 = 1 + 2E1 r On caractérise aussi l’extension de l’unitaire ei par une autre grandeur, l’extension unité E(i) ou l’allongement unitaire tel que : ds − dS E (i ) = ou ds = ( 1 + E(i) )dS dS on a ( 1 + E(i) )2 = Cii = 1 + 2Eii (sans sommation) E (i ) 2 donc E ii = E (i ) + 2 E ii 2 et E (i ) = Cii − 1 = E ii − +... 2

Ainsi, en cartésiennes : 1 E 11 = u1,1 + (u1,12 + u2 ,12 + u3,12 ) 2 1 r E (e1 ) = u1,1 + (u2 ,12 + u3,1 2 ) +... 2 1 r E (e2 ) = u2 ,2 + (u1,2 2 + u3,2 2 ) +... 2

E112 = u1,1 2 +...

et

Ces expressions qui sont approchées seront utilisées plus loin pour l’étude des poutres fortement chargées selon leur axe longitudinal et des plaques chargées dans leur plan et effectuant des petits mouvements (théorie d’Euler, de Bernoulli ou de Timoshenko ou théorie de Kirchhoff-Von Karman pour les plaques). On retiendra que E(i) et Eii sont différents par définition mais que leurs valeurs coïncident en déformations infiniment petites. Dans le cas de déformations infiniment petites on sait que U = I + E linéarisé et 2

C = U = ( I + E linéarisé ) 2 donc si les λ i sont les valeurs propres de E linéarisé celles de C sont (1 + λ i ) 2 . On peut définir aussi l’extension unité d’un élément de direction quelconque par ds = ( 1 + ε )dS

r r r r r Ainsi ds 2 = (1 + 2 ε + ε 2 )dS 2 = N ⋅ C ⋅ NdS 2 = N ⋅ ( I + 2 E ) ⋅ NdS 2 et si N composantes α i :

1 + 2ε + ε = 1 + 2α I E IJ α J 2

9

a les

Introduction

Si ε est très petit devant l’unité alors r r r r r ε = α I E IJ α J = N ⋅ E linéarisé ⋅ N = N ⋅ du = Q0 H

H r du

Q0

r u

r N

A ε positif ou négatif on associe la quadrique de Lamé d’équation xi E ij x j = ±1 ( ε petit)

Q

r A partir d’une origine locale en P0 portons rsur P0 Q0 la longueur P0R avec pour composantes de P0 R

R P0

r u

xi =

P

αi

ε

alors

ε = xi E ij x j ( ε ) 2

ou

xi E ij x j = ±1

Le signe est choisi pour rendre la surface réelle.

On n’attachera qu’une importance limitée à cet ellipsoïde qui n’est qu’une représentation associée au tenseur E des petites déformations. r ◊ Si n a pour composantes (1,0,0) on a : B11 −1 = 1 − 2 E ∗11 r B11 −1 caractérise l’extension d’un élément finalement sur e1 et les valeurs propres de ∗

E ne peuvent être supérieures à ½. • Transformations d’angles r N1

P0

r r Soient deux directions d’unitaires N 1 et N 2 en P0 qui se r r transforment en deux directions d’unitaires n1 et n2 en P.

r N2 r n1

r n2

r L’angle de ces deux éléments matériels situés sur Pn1 et r r r Pn2 après déformation est caractérisé par cos( n1 , n2 )

P

r r dx1 ⋅ dx 2 r r cos(n1 , n2 ) = r r = dx1 dx 2

r N1 r n1

r r N1 ⋅ C ⋅ N 2 r r r r ( N 1 ⋅ C ⋅ N 1 )( N 2 ⋅ C ⋅ N 2 )

r r Si N 1 a les composantes (1,0,0) et N 2 (0,1,0) soit si r r r r N 1 = e1 et N 2 = e2 on a :

r N2

θ12

T r r da1 ⋅ F ⋅ F ⋅ da 2 = r r r r (da1 ⋅ C ⋅ da1 )(da 2 ⋅ C ⋅ da 2 )

r n2

ϕ12

sin ϕ 12 = cos θ12 =

C12 C11C22

=

2 E12 (1 + 2 E 11 )(1 + 2 E 22 )

sin ϕ 12 ≈ ϕ 12 ≈ 2 E12 si la transformation est infiniment petite, alors ϕ 12 porte le nom de glissement.

10

Introduction

Pour fixer les idées analysons les expressions approchées de cos θ 12 en cartésiennes : 3 3   cos θ 12 = 2 E12 (1 − E11 + E11 2 +...)(1 − E 22 + + E 22 2 +...)  2 2   2 E12 = u1,2 + u2 ,1 + u1,1u1,2 + u2 ,1u2 ,2 + u3,1u3,2

cos θ 12 = (u1,2 + u2 ,1 + u1,1u1,2 + u2 ,1u2 ,2 + u3,1u3,2 )(1 − u1,1 − u2 ,2 −...) cos θ 12 = u1,2 + u2 ,1 + u3,1u3,2 − u1,1u2 ,1 − u2 ,2 u1,2 +... On ne retient souvent pour caractériser le glissement que les trois premiers termes r r (analyse des plaques fortement chargées dans leur plan e1 , e2 par les théories de Timoshenko, Kirchhoff, Von Karman) mais ces approximations ne sont valables que si les plaques effectuent des petits mouvements.

r r r Si N 1 , N 2 , N 3 sont les axes principaux de E ils sont orthogonaux, les EIJ sont nuls r r r et n1 , n2 , n3 sont orthogonaux, ce sont les directions propres de E (ou de C ), directions uniques en général, ce sont donc les directions propres de B

−1

en P.

Il est évidemment aussi possible d’étudier les variations angulaires à partir des tenseurs Eulériens, ce que nous ne ferons pas. Finalement, à partir de cette étude géométrique un peu longue on peut observer comment dans une transformation infinitésimale de déformation U se transforment certaines formes géométriques. Ainsi une sphère unité en P0 se transforme en ellipsoïde et un parallélépipède rectangle se transforme en un parallélépipède oblique (Cf. annexe II).

I.3.2. Transformations de surfaces. r r n N

P0 r da

r δa

R0 dA0

r dx

r δx

P dA

R

Q

r r r r r r NdA0 = da ∧ δa ndA = dx ∧ δx N I dA0 = ε IJK da J δa K nr dA = ε rst dx s δx t N I dA0 = ε IJK a J ,s a K ,t dx s δx t

Q0

N I dA0 a I ,r = ε IJK a J ,s a K ,t a I ,r dx s δx t =

Ainsi :

: r Par la r transformation r tangente r P0 Q0 → PQ et P0 R0 → PR r N est normal à la surface de mesure dA0 r et n est la normale à la surface transformée r pas la transformée de la normale N

1 1 ε rst dx s δx t = nr dA J J

r −1 r ndA = JN ⋅ F dA0 r 1 T r NdA0 = F ⋅ ndA J

11

Introduction

I.3.3. Transformations de volumes. r r r r dx1 = F ⋅ da1 dx 2 = F ⋅ da 2

r r r Le produit mixte (dx1 , dx 2 , dx 3 ) a pour valeur le volume d’un parallélépipède construit en P, transformé d’un parallélépipède en P0.

r da 3

P0 r da 2

r r r r r r (dx1 , dx 2 , dx 3 ) = det F ( da1 , da 2 , da 3 )

P +

r da1

r r dx 3 = F ⋅ da 3

ou

dV = det FdV0 = JdV0

Les particules matérielles dans dV proviennent de particules matérielles dans dV0 de masse dm dm = ρdV = ρ 0 dV0 Ainsi

ρ étant la masse volumique

ρ 0 = ρJ

Cette relation exprime la conservation de la masse en variables de Lagrange. Le Jacobien de la transformation J = det F qui vaut un à l’instant initial n’est jamais nul si la transformation est continue. T

Comme :

C = F ⋅F,

det C = (det F ) 2

Si Ci, Ei, et Ei* désignent respectivement les valeurs propres des tenseurs C , E et E on a :

J = C1C2 C3 = (1 + 2 E1 )(1 + 2 E 2 )(1 + 2 E 3 ) =

1 ∗

(1 − 2 E1 )(1 − 2 E 2 ∗ )(1 − 2 E 3 ∗ )

Enfin si la transformation est infiniment petite : r J = (1 + E1 + E 2 + E 3 ) +... = 1 + traceE linéarisé +... = 1 + div u

dV − dV0 r est une mesure approchée de la variation relative de Ainsi div u = J − 1 = dV0 volume.

12

∗

Introduction

Annexe I

Conditions de compatibilité des déformations

On peut se demander si lorsqu’on se donne les termes du tenseur E de Greenr Lagrange on peut reconstruire le champ des déplacements u par intégration. E étant symétrique on dispose de six équations scalaires pour déterminer les trois r composantes du champ u . Il est évident que les composantes de E ne sont pas indépendantes r r et il faut pour qu’il y ait effectivement un champ u (a , t ) associé écrire que la métrique ds2 est Euclidienne c’est à dire annuler les composantes d’un tenseur de Riemann-Christoffel. On obtient alors des conditions dites de compatibilité des déformations.

Ces conditions ne sont pratiquement exploitables que dans le cas des petites déformations ainsi nous nous bornerons à traiter dans ce cas d’abord le cas bidimensionnel avant d’aborder le cas tridimensionnel.

• Le cas bidimensionnel  E11 Soit E =   E 21

E ∈ E2 ⊗ E2

{

E12  r r la matrice de E dans une base ei ⊗ e j  E 22 

}

r r s’il existe u associé à ce champ, u vérifie :

[

]

r r du = E + Φ ⋅ da

avec

0 matΦ =  ϕ 3

− ϕ3  ou 0 

r r ϕ = ϕ 3 e3

Soit :

du1 = E11da1 + ( E12 − ϕ 3 )da 2 du2 = ( E 21 + ϕ 3 )da1 + E 22 da 2

sont des différentielles totales si :

E11,2 = ( E12 − ϕ 3 ) ,1 ( E 21 + ϕ 3 ) ,2 = E 22 ,1

Pour éliminer la fonction auxiliaire ϕ 3 introduite, il faut écrire que dϕ 3 est une différentielle totale : dϕ 3 = ϕ 3,1da1 + ϕ 3,2 da 2 ⇒ ϕ 3,12 = ϕ 3,21 donc

( E12 ,1 − E11,2 ) ,2 = ( E 22 ,1 − E12 ,2 ) ,1

soit

E11,22 + E 22 ,11 = 2 E12 ,12

avec

E12 = E 21

La condition est nécessaire et suffisante pour un domaine simplement connexe mais pour un domaine multiplement connexe de degré de connexité n il faut rajouter 3(n-1) conditions de fermeture.

r r En effet les fonctions de déplacement u et v deviennent multiformes et il faut exprimer des conditions spéciales pour les rendre uniformes (single valued).

13

Introduction

Pour fixer les idées envisageons le cas n = 2 (un seul trou) + B (1) + A

r Si u A est connu on a :

r r r u B = u A + ∫ du ) AB

(2)

Mais il y a deux chemins d’intégration possibles qui doivent évidemment conduire au même résultat.

r Par le chemin (1) on obtient u B (1) , ϕ 3 B (1) r Par le chemin (2) on obtient u B ( 2 ) , ϕ 3 B ( 2 ) r r ϕ 3 B (1) = ϕ 3 B ( 2 ) Avec u B (1) = u B ( 2 ) et scalaires de fermeture à imposer.

soit 3(2-1) c’est à dire trois relations

• Le cas tridimensionnel r Si u existe, E est tel que

antisymétrique de vecteur adjoint

Tr 1 r ( grad u + grad u ) 2 r 1 r r ϕ = rot u 2

E=

et

il

existe

Φ

Le calcul de rot d E va permettre d’introduire Φ . Nous travaillerons en cartésiennes.

1 r r r r r r r rot d E = E km,n ek ⊗ em ∧ en = E km,n ε mnj ek ⊗ e j = (u k ,mn + um,kn ) ε mnj ek ⊗ e j 2 v r v ∇∧u Tr r r rot d E = ek ⊗ ( ε mn , j um,n ) ,k ⊗ e j = ∇( ) = grad ϕ 2 r rw Sous forme condensée avec h = grad u = u ∇ nous avons trouvé : T r r T Tr rot u h+h rot d E = rot d ( ) = rot d h = grad ( ) = grad ϕ 2 2

(la matrice de h en cartésiennes a des lignes formées des composantes du gradient des ui et on prend, en cartésiennes le rotationnel de ligne ainsi rot d h = 0 ) r Finalement : grad ϕ = rot d T E r Il reste à exprimer que dϕ est une différentielle totale : r r r r dϕ = grad ϕ ⋅ da = rot d T E ⋅ da

Il faut écrire

K = rot d (rot d T E ) = 0

Ce résultat a été obtenu en raisonnant implicitement en cartésiennes où on obtient la matrice du tenseur rotationnel en changeant les vecteurs lignes en composantes de leur rotationnel mais est évidemment intrinsèque.

14

Introduction

T r En résumé le tenseur symétrique K ( E = E ) de trace divϕ nulle, est identiquement nul ce qui impose six conditions dites de Saint Venant (1860) :

T

rot d (rot g E ) = 0 ⇔ rot d (rot d T E ) = 0 car v w ou (∇ ∧ E ) ∧ ∇ = 0 qui s’écrit aussi

E=E v w ∇ ∧ ( E ∧ ∇) = 0

indépendamment de la symétrie de E puisque

rot d (rot g T ) = rot g (rot d T )

En cartésiennes, on a :

r r E km,nl ε mnj ε kli e j ⊗ ei = 0

conditions donnant lieu à deux sortes de relations :

i≠ j

E kk ,ij = ( E kj ,i + E ik , j − E ij ,k ) ,k

3 conditions

j =i ≠k

avec k ≠ i ≠ j et sans sommation sur k E ii ,kk + E kk ,ii = 2 E ik ,ik

3 conditions δ ij

δ im

δ in

On peut donner une autre forme à la relation trouvée en notant que ε ikl ε jmn = δ kj δ lj

δ km

δ kn

δ lm

δ ln

ce qui implique, par calcul direct du déterminant en utilisant les propriétés du symbole de Dirac δ ij :

soit

ε ikl ε jmn E km,ln = E ik , jk + E jk ,ik − E kk ,ij − E ij ,kk + ( E kk ,ll − E kl ,kl )δ ij = 0 r r r 2 sym grad (div d E ) − grad ( grad (traceE )) − ∆ E + ( ∆ traceE − div div d E ) I = 0 1444424444 3 0

expression où le dernier terme est nul. rr r En effet : traceE = div u et ∆ traceE = div div d E 1 1 r r r r r r (ui ,ij e j ) ,k ⋅ ek = ui ,ijj = [ (ui , j + u j ,i )ei ⊗ e j ⋅ ek ],r ⋅ er = (ui , jji + u j ,iji ) ,k 2 2

(

)

Ces conditions, suffisantes pour un milieu simplement connexe pour que E soit un r véritable tenseur des déformations (c’est à dire tel que l’on puisse obtenir un champ u par intégration) ne sont pas totalement indépendantes puisque la divergence à droite, c’est à dire r r r r de ligne en cartésiennes, de K est nulle : div d K = 0 ⇔ E km,nli ε mnj ε kli e j = 0 Remarque : Il correspond à ces dernières relations, pour des déformations non infiniment petites, des relations connues sous le nom d’identité de Bianchi mais les six équations de compatibilité des déformations du tenseur de Green-Lagrange sont elles mêmes si compliquées que l’ensemble est pratiquement inexploitable.

15

Introduction

Pour un milieu multiplement connexe, de degré de connexité n on doit, puisque les r fonctions u trouvées sont en fait multiformes, écrire sur n - 1 contours fermés irréductibles γk r r intérieurs au domaine considéré que du et dϕ sont des différentielles totales.

r Pour dϕ ceci implique

∫

r r r r r grad ϕ ⋅ da = 0 ⇔ ∫ rot d T E ⋅ da = 0

r Pour du ceci implique

∫

r r ( E + Φ) ⋅ da = 0

γk

γk

γk

r r r Φ ⋅ da = ϕ ∧ da et on a l’identité : r r r r  grad (ϕ ∧ a ) ⋅ da = ( grad ϕ ∧ ar ) ⋅ dar + ϕr ∧ dar  r r r ( ε ijk ϕ j a k ) ,l da l ei = ε ijk ϕ j ,k a k da l ei + ε ijk ϕ , j a k ,l da l ei {  δ kl 

Mais

D’où, puisque

∫

γk

∫

γk

r r r r grad (ϕ ∧ a ) ⋅ da = 0 :

r r r r r ( E + Φ) ⋅ da = 0 ⇔ ∫ ( E + a ∧ rot d T E ) ⋅ da = 0 γk

on a donc 6(n - 1) conditions de fermeture à satisfaire.

P +

+ M

L’intégration des champs est alors possible théoriquement et s’écrit formellement : r r r ϕ M = ϕ P + ∫ ) rot d T E ⋅ da et comme PM r r r r r u M = u P + ϕ P ∧ ∫ ) da + ∫ ) E ⋅ da + ∫ PM

PM

r r r r du = E ⋅ da + ϕ ∧ da r r T ) ( ∫ ) rot d E ⋅ da ) ∧ da

PM

PM

Le déplacement en M est connu si le déplacement en P l’est. En statique les r r déplacements sont définis à un mode rigide près (u P , ϕ P ) .

16

Introduction

Annexe II

Invariants associées au tenseur de Cauchy

Nous allons nous intéresser ici au changement de forme d’un voisinage de P0 et aux invariants associés au tenseur de Cauchy des dilatations. r N3

r r r Soit ( N 1 , N 2 , N 3 ) une base cartésienne en P0 et R ⋅ U une des décompositions canonique de la transformation linéaire tangente en P0.

D0

r da Q0

r N2

P0

r r r Soient ( X 1 , X 2 , X 3 )

principales (ou propres) de C donc de E et de U car on sait

r N1

T

U

r X3

que

r N3

r dx1

Q1 r N2

r X2

2

F ⋅ F = C = U = I + 2E .

Par l’extension à droite U, Q0 devient Q1 tel que r r dx1 = U ⋅ da . r r Par la rotation R, Q1 devient Q tel que dx = R ⋅ dx1 .

P r N1

Posons U = I + E J

r X1

E J est par définition le tenseur de Jaumann, ou le tenseur des ingénieurs, des déformations r r r dont les directions propres sont aussi portées par X 1 , X 2 , X 3 et dont les valeurs propres sont notées Λ (1) , Λ ( 2 ) , Λ ( 3) .

R

r dx

Q

P

r Désignons par x ′ , y ′ , z ′ les composantes de PQ1 sur r r r r ( X 1 , X 2 , X 3 ) et par x , y , z les composantes de P0 Q0 sur la même base.

r r PQ = ( I + E J ) ⋅ P0 Q0 , ainsi, en utilisant la base matriciellement :

x ′    y ′ = z′   ou

x=

les unitaires des directions

1 + Λ (1)    

1 + Λ (2)

 x     y  1 + Λ ( 3)   z 

x′ y′ z′ ,y= ,z= 1 + Λ (1) 1 + Λ (2) 1 + Λ ( 3)

17

r r r ( X1, X 2 , X 3)

nous avons

Introduction

Une sphère unité en P0 a comme image par U une quadrique (ellipsoïde) d’équation, r r r relativement aux axes d’unitaires ( X 1 , X 2 , X 3 ) : x′2 y′2 z′2 + + =1 (1 + Λ (1) ) 2 (1 + Λ ( 2 ) ) 2 (1 + Λ ( 3) ) 2 Enfin par la rotation R cette quadrique se transforme en une quadrique de même forme mais qui a seulement tourné autour de P. Bref le changement de forme n’est dû qu’à l’extension à droite. L’image de Q1 ( x ′ , y ′, z ′ ) par U -1 étant Q0 et celle de R1 ( x ′′ , y ′′, z ′′ ) étant R0, R0 a pour x ′′ y ′′ z ′′ , , et on a : composantes 1 + Λ (1) 1 + Λ ( 2 ) 1 + Λ ( 3)

r r P0 Q0 ⋅ P0 R0 =

x ′x ′′ y ′y ′′ z ′z ′′ =A 2 + 2 + (1 + Λ (1) ) (1 + Λ ( 2 ) ) (1 + Λ ( 3) ) 2

r r r r Si A = 0, P0 Q0 et P0 R0 sont orthogonaux et PQ1 et PR1 sont deux directions conjuguées de la quadrique puisque, d’après un théorème classique de géométrie, on reconnaît dans la ligne précédente (avec A = 0)l’équation dédoublée de la quadrique. r r r En particulier N 1 , N 2 , N 3 se transforment par U en trois directions conjuguées r r r r r r n1′, n2′ , n3′ qui se transforment elles mêmes par R en trois directions conjuguées n1 , n2 , n3 . r n3

1 + E(3)

r n2

1 + E(2) r 1 + E(1) n1

D

Si nous appelons 1 + E(i) le rayon de l’ellipsoïde r dans la direction ni nous voyons que ces quantités E(i) de Jaumann coïncident avec les définitions classiques des allongements unitaires dont il a été question précédemment dans ce chapitre. Soient C1, C2, C3 les valeurs propres de C , comme 2

C = U = ( I + E J ) 2 ⇒ Ci = (1 + Λ (i ) ) 2 2

EJ Enfin, comme C = I + 2 E ⇒ E = E J + 2 E et E J sont indiscernables en déformations infiniment petites.

Intéressons nous maintenant aux invariants de C , symétrique. 18

Introduction

I 1 = traceC = C1 + C2 + C3 = trace( I + E J ) 2 = ∑ (1 + E ( i ) ) 2 i

La somme des carrés des rayons est invariante. 1 I 2 = [(traceC ) 2 − trace(C ⋅ C )] = C1C2 + C2 C3 + C3 C1 2 r r I 2 = ∑ (1 + E ( i ) ) 2 (1 + E ( j ) ) 2 − ∑ Cij 2 Cij 2 = (1 + E (i ) )(1 + E ( j ) ) cos 2 (ni , n j ) r r I 2 = ∑ (1 + E ( i ) ) 2 (1 + E ( j ) ) 2 sin 2 (ni , n j ) La somme des carrés des surfaces des parallélogrammes construits à partir des rayons (voir figure précédente) est invariante. T

I 3 = det C = C1C2 C3 = det F ⋅ F = J 2 = det( I + 2 E ) 1 + 2 E11  mat ( I + 2 E ) =   

sin ϕ 12 1 + 2 E11 1 + 2 E 22 1 + 2 E 22

avec   2  et 1 + 2 E ii = (1 + E (i ) )  

Un calcul fournit finalement : J = (1 + E (1) ) 2 (1 + E ( 2 ) ) 2 (1 + E ( 3) ) 2 [1 − sin 2 ϕ 23 − sin 2 ϕ 12 − sin 2 ϕ 31 + 2 sin ϕ 23 sin ϕ 31 sin ϕ 12 ] 2

Le carré du volume de l’ellipsoïde est invariant. Il faut bien comprendre que lorsqu’on parle d’invariance il s’agit de traduire le fait que certaines grandeurs associées à trois directions conjuguées associées elles mêmes à trois directions orthogonales de D0 sont invariantes quand on change ces trois directions. Tous ces résultats n’ont pas à notre connaissance été mis à profit en mécanique jusqu’ici, disons qu’ils semblent actuellement peu exploitables.

19

Introduction

Annexe III

Décomposition canonique de F

T 2  F = R ⋅ U = V ⋅ R C = F ⋅F =U  Cas tridimensionnel

avec

L’équation caractéristique de U est λ3 − I 1λ2 + I 2 λ − I 3 = 0 I 1 = λ 1 + λ 2 + λ 3 I 2 = λ 1λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ 1 I 3 = λ 1λ 2 λ 3

L’équation caractéristique de C dont les valeurs propres sont les λ i 2 fait intervenir les invariants I ′ avec I 1′ = λ 12 + λ 2 2 + λ 3 2 I 2′ = λ 12 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 12 I 3′ = λ 12 λ 2 2 λ 3 2 Donc : I 1 2 − 2 I 2 = I 1′ ; I 2 2 − 2 I 1 I 3 = I 2′ ; I 3 2 = I 3′ On peut alors obtenir les invariants de U à partir des invariants de C , connus, en calculant les solutions acceptables des équations : I 14 − 2 I 12 I 1′ − 8 I 1 I 3′ + I 1′ 2 − 4 I 2′ = 0 I 24 − 2 I 22 I 2′ − 8 I 2 I 3′ + I 2′ 2 − 4 I 1′I 3′ = 0

I 3 = I 3′

( U est défini positif donc seule intervient la détermination positive)

Ces grandeurs serviront à évaluer U et à décomposer F comme suit : Le théorème de Cayley-Hamilton s’écrit pour U : 3

2

4

3

U − I1U + I 2 U − I 3 I = 0 2

U − I1U + I 2 U − I 3 U = 0

après multiplication par U

soit en additionnant à la première relation multipliée par I1 : 4

2

U − ( I 12 − I 2 )U + ( I 1 I 2 − I 3 )U − I 1 I 3 I = 0 2 2 1 et comme C =U U= [C + ( I 2 − I 1 2 )C − I 1 I 3 I ] I 3 − I1 I 2 −1

On calcule ensuite R par F ⋅ U , V par F ⋅ R

−1

T

= F ⋅ R = F ⋅U

−1

⋅F

T

−1

Le calcul de U peut d’ailleurs se faire directement à partir du théorème de CayleyHamilton : −1 2 2 I1 1 1 U = [U − I 1 U + I 2 I ] = [C − (C + ( I 2 − I 1 2 )C − I 1 I 3 I ) + I 2 I ] I3 I3 I 3 − I1 I 2 U

−1

=

1 {( I − I I ) I + I I 2 } I − C ( I ( I − I 2 ) − I + I I ) − I C 2  1 2 2 3 1 1 2 1 3 1 2 1  I 3 ( I 3 − I 1 I 2 )  3

Le cas bidimensionnel est encore plus simple.

20

Introduction

Résumé du chapitre I Géométrie

Point de vue Lagrangien

r r dx = F ⋅ da

r r du = h ⋅ da

T

T

F

det F = J F = R ⋅U = V ⋅ R

Interprétation géométrique de la transformation

r 1 T r NdA0 = F ⋅ ndA J

Transformation de surfaces

r r r x = a +u

F ⋅G = I

Point de vue Eulérien

∗ r r du = h ⋅ dx

r r da = G ⋅ dx B

−1

T

h+h h ⋅h E GL = + 2 2 (ρ0 = ρ J) transformation de volume

C = F ⋅ F = I + 2E

T

= G ⋅ G = I − 2E

G

21

∗

∗

E EA

h +h = 2

∗T

*T

−

h

⋅h 2

∗

Introduction

Chapitre II P0

r da r a

Q0

(ϕ)

P

Cinématique des milieux continus déformables

r dx

r x r x′

r v

P’

Q

Q’ +

r r v + dv

Nous allons nous intéresser ici au champ des vitesses et aux quantités associées. Une particule matérielle en P0 à l’instant initial est en P à l’instant t et en P’ à l’instant t’ = τ et le r vecteur vitesse v en P est tangent à la trajectoire (ϕ ) de la particule.

O

r r r ∂u (a , t ) dP r r = v (a , t ) = en variables de Lagrange ∂t dtr dP r r = v ( x , t ) en variables d’Euler dt r r A chaque point ( x ) on considère le champ v vitesse de la particule qui y passe à cet

instant.

II.1. Gradient spatial des vitesses et tenseur des taux de déformation. r r r r r r r Si en P ( x ) la vitesse est v ( x , t ) en Q( x + dx ) la vitesse est v + dv r dx r r rw r r T dv k = v k ,m dx m et nous écrivons dv = L ⋅ dx = v ∇ ⋅ dx = dx ⋅ L = d ( ) dt

L est le gradient spatial des vitesses

 ∂v1   ∂x1  ∂v 2 matrice de L =  ∂x  ∂v1  3  ∂x1

∂v1 ∂x 2 ∂v 2 ∂x 21 ∂v 31 ∂x 2

∂v1   ∂x 3  ∂v 2  ∂x 3  ∂v 3   ∂x 3 

r dx r r d ( ) = dv = L ⋅ dx dt

{dv } k

colonne

r r T dv = dx ⋅ L

{dv } k

ligne

[ ]

= v k ,n {dx n }

[

= {dx n } ∂ n v k

avec

rw L=v∇ vr T L = ∇v

]

décomposition du tenseur gradient spatial des vitesses Nous pouvons décomposer le tenseur L en sa partie symétrique et sa partie antisymétrique : L=

T T 1 1 (L + L ) + (L − L ) = D + Ω 2 2

22

Introduction

Tr 1 r ( grad v + grad v ) 2 1 Dkm = (v k ,m + v m,k ) 2 Tr 1 r Ω = ( grad v − grad v ) 2 1 Ω km = (v k ,m − v m,k ) 2 r r r r dv = Ω ∧ dx + D ⋅ dx

D=

est le tenseur des taux de déformations

de vecteur adjoint

r traceD = div v

r 1 r r Ω = rot v 2

r 1 r r Le vecteur Ω = rot v porte le nom de vecteur tourbillon en mécanique des fluides. 2 r Si D est identiquement nul, Ω est le vecteur rotation du mouvement du corps indéformable, vecteur déjà rencontré en mécanique des solides rigides.

On trouvera en annexe une interprétation des termes de D et de Ω , mais ces résultats ne sont pas essentiels pour la suite.

II.2. Equation de continuité, conservation de la masse. r v

∂ D(t)

Nous avons déjà écrit l’équation de conservation de la masse en variables de Lagrange, nous allons l’écrire en variables d’Euler.

dS r n

D(t)

A l’instant t les particules initialement dans D0 occupent le volume D dont la frontière dépends du temps.

Ecrivons que la masse se conserve en utilisant le théorème de Reynolds :

M=

∫ ρ( x , x D

1

2

, x 3 , t )dV

dM r r = 0 ⇔ ∫ ρ ,t dV + ∫ ρv ⋅ ndS = 0 D ∂ D dt soit en utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradsky r comme ce résultat est valable pour tout domaine D : ∫ (ρ,t + div (ρv )dV = 0 D

∂ρ r + div (ρv ) = 0 ∂t

On peut modifier le résultat :

r r r r div (ρv ) = ρdiv v + grad x ρ ⋅ v

dρ r r = ρ ,t + grad x ρ ⋅ v dt

(

dx dρ ∂ρ = + ρ , xi i ) ∂t dt dt

23

Introduction

On suit les particules dans leur mouvement, on dit qu’on effectue une dérivée particulaire. Donc : dρ r + ρdiv v = 0 (équation d’Euler) dt Cette équation porte aussi le nom d’équation de continuité. r Nous pouvons interpréter la signification de div v en notant que la formule de Reynolds permet d’écrire :

d 1 dρ r r r dV = ∫ v ⋅ n dS = ∫ div v dV = ∫ − dV ∫ D ∂ D D D dt ρ dt 1 dρ r div v = − est le taux de dilatation volumique. ρ dt Remarque :

La formule de dérivation d’une intégrale de la forme

∫

D

Tρ dV peut être

utilement simplifiée lorsqu’on tient compte de l’équation d’Euler dρ d dT r Tρ dV = ∫ ρ dV + ∫ T ( + ρdiv v ) dV ∫ D (t) D D dt dt dt dT d Tρ dV = ∫ ρ dV ∫ D (t) D dt dt

Cette formule, facile à retenir, reste valable si on remplace T par un vecteur ou un scalaire : en effet elle dit simplement qu’on peut dériver sous le signe somme par rapport au temps en ne dérivant pas le terme ρdV = dm comme il y a conservation de la masse dm de la particule ( P, dm) .

24

Introduction

Annexe

Compléments sur le tenseur D

• P’ joue par rapport à P le même rôle que P par rapport à P0 et on peut considérer la transformation du milieu entre t et τ (à l’instant τ la particule est en P’). Nous utiliserons les notations :

r F t ( x , τ)

r F t ( x , τ ) = R t ( τ) ⋅ U t ( τ)

avec

C t ( τ) = I + 2 E ( t , τ) d 1 dC E ( t , τ) = τ=t dτ 2 dτ

= τ=t

E (t , τ)

τ=t

τ=t

=I

=0

T 1 1 ( F ,τ T ⋅ F + F ⋅ F ,τ ) = ( F ,τ T + F ,τ ) 2 2 τ=t

F a des propriétés de groupe multiplicatif. r x k′ ,a J = x k′ , xm x m,a J ⇔ F ( τ ) = F t ( x , τ ) ⋅ F (t ) . . . d F ( τ) = F t (t ) ⋅ F (t ) F (t ) = F t (t ) ⋅ F (t ) τ=t dτ soit . d & ( x ) = x k , K = v k , K = v k ,m x m, K F (t ) = L ⋅ F dt k , K . ∂ 2 xi′ dE donc L = F t (t ) ⇒ (t , τ ) = D ⇔ vi , x j = dτ ∂x ′j ∂t τ =t

. . . r F t ( x , τ) = R t ( τ) ⋅ U t ( τ ) + R t ( τ ) ⋅ U t ( τ)

et à τ = t

. . . F t (t ) = R t (t ) + U t (t ) . . Rt + Rt T = 0

Rt ⋅ Rt = I . donc R t (t ) est antisymétrique. . . . R t (t ) = Ω ; D = U t (t ) = V t (t ) T

∗

dE dE • Nous allons maintenant chercher des relations entre D , , . dt dt T d r d r r r r r (ds 2 ) = 2dx ⋅ dx = 2dx ⋅ L ⋅ dx = 2dx ⋅ D ⋅ dx puisque Ω = −Ω dt dt 1 1 mais D est différent de E& car (v k ,m + v m,k ) ≠ (v k , M + v m, K +...) 2 2 ∗

et D est aussi différent de E& . Précisons :

d r d r r dE r r r r T r (ds 2 ) = (dx 2 − da 2 ) = 2da ⋅ ⋅ da = 2dx ⋅ D ⋅ dx = 2da ⋅ F ⋅ D ⋅ F ⋅ da dt dt dt dE IJ = x m,a I Dmn x n ,a J dt

T dE 1 dC = F ⋅ D⋅F = dt 2 dt

25

Introduction

d d r d d r ∗ r r (ds 2 ) = (dx 2 − da 2 ) = 2 (dx k E ∗ km dx m ) = 2 (dx ⋅ E ⋅ dx ) dt dt dt dt ∗ T ∗ ∗ d r r r r r r r r (ds 2 ) = 2(dx ⋅ L ⋅ E ⋅ dx + dx ⋅ E& ⋅ dx + dx ⋅ E ⋅ L ⋅ dx ) = 2dx ⋅ D ⋅ dx dt ∗

T ∗ ∗ dE = D− L ⋅E − E ⋅L dt

• Nous signalons que les conditions de compatibilité du tenseur D s’écrivent : v w (∇ ∧ D) ∧ ∇ = 0 • Propriété caractéristique des taux de déformation

T0

O

+ M’ T1

r dx + M

repère galiléen

r r r r v e ( M ′) = v e ( M ) + Ω 1 ∧ MM ′

Soit T1 lié à l’espace en mouvement par rapport à un repère T0 d’un espace fixe : un repère galiléen. r v a ( M ) est la vitesse d’une particule en M, r vitesse absolue et v1 sa vitesse relative par rapport à T1. r La vitesse d’entraînement de M’ est v e ( M ′) .

r ou Ω 1 est le vecteur rotation de T1 par rapport à T0.

r r r v a ( M ′) = v e ( M ′) + v r ( M ′ ) Nous avons : r r r va ( M ) = ve ( M ) + vr ( M ) avecl’indice a pour absolu.

r où les v r désignent les vitesses relatives et

r r Ainsi avec MM ′ = dx r r r r r r r r r r r v a ( M ′) − v a ( M ) = dv = Ω 1 ∧ dx + dv r = Ω 1 ∧ dx + Ω ∧ dx + D ⋅ dx def r r r r v a ( M ′) − v a ( M ) = L a ⋅ dx = ( D a + Ω a ) ⋅ dx

donc Ω a = Ω 1 + Ω ; D a = D Le tenseur des taux de déformation est indépendant d’un mouvement d’entraînement, on dit que le tenseur D est objectif.

26

Introduction

Résumé du chapitre II Cinématique (vitesses)

Point de vue Lagrangien

Point de vue Eulérien

r r ∂u (a , t ) r r v P (a , t ) = ∂t r r v ( x, t) r r r dv = L ⋅ dx L = grad x v r r r r dv = D ⋅ dx + Ω ∧ dx

D tenseur des taux de déformation r 1 r r Ω = rot v vecteur tourbillon 2 dρ r + ρdiv v = 0 conservation de la masse dt

27

Introduction

Chapitre III

Analyse des forces en présence, Tenseur des contraintes

III.1. Les forces de volume. r ρFdV

Considérons une particule de masse dm en P. Le milieu extérieur peut exercer des actions sur la masse dm.

P D

Nous admettons quer ces actions peuvent être représentées par une force ρFdV , ce faisant nous excluons tous les cas très particuliers où le milieu serait soumis à des couples de masse. On sait que les dimensions d’un corps aimanté (ou polarisé) varient lors de l’application de champ magnétique (respectivement électrique) pour donner lieu aux phénomènes de magnétostriction (ou d’électrostriction). L’étude de tels cas sort du cadre de cet ouvrage mais son importance est croissante dans l’étude des structures adaptatives de demain. III.1. Les forces de surface. r TdS ∂D

dS D

P

Sur sa frontière ∂D le système considéré est soumis à l’action du milieu extérieur. Nous admettrons que sur un élément r dS n de surface r r le torseur des actions extérieures se réduit à une r force TdS , T ne dépendant que de la direction de la normale n à la surface en P.

r r T (n P ) est la tension sur la surface, par définition. Comme le système matériel que nous avons isolé est arbitraire, le fait que les actions de surface ne dépendent que de la direction de la normale est vrai quelque soit la surface considérée dès qu’il est admis axiomatiquement pour la surface extérieure.

III.2.1 Le tenseur des contraintes de Cauchy. r nP 1

ψ

r TdS D∩ψ

dS P 2

Effectuons un partitionnement du domaine D en le coupant par une surface ψ. Sur l’intersection D∩ψ, r des forces de surfaces TdS ψ sont dues à l’action de la r partie 1 sur la partie 2 de normale extérieure n P en P

{

}

r r T (n P ) :tension due à l’action de 1 sur 2 r r T ( − n P ) : tension due à l’action de 2 sur 1

Le théorème de l’action réciproque nous montre que :

28

r r r r T (n P ) = −T ( −n P )

Introduction

r r r r La tension dépend aussi du point P de D∩ψ et nous la noterons T (n P ) = T ( P, n P ) .

Isolons autour de P un tétraèdre infinitésimal et appliquons lui le théorème de la résultante dynamique : r TdS ψ

Soit hj la longueur de l’arête OAj, O étant ici une

r r n = ni ei

Qi Qj O P

Aj

r ej

Qk

origine locale :

h j = OA j

def

max h j = ε j =1, 2 , 3

Soit dSψ la mesure de la surface de la base du tétraèdre.

La contribution à l’équation du mouvement des forces de volume, comme des quantités d’accélération est en ε 3 donc négligeable devant celle des forces de surface de l’ordre de ε 2 .

r r r La tension s’exerçant sur une face de normale − e j est − T (Q j , e j ) , la mesure de la r r surface étant dS ψ n ⋅ e j . de la résultante dynamique r Le théorème r r 3s’écrit alors : r r r r r dS ψ T ( P, n j e j ) − dS ψ (n ⋅ e j )T (Q j , e j ) = 0 + o ( ε ) valable ∀ε suffisamment petit. Si ε tend vers zéro on a

r r r r T ( P, n j e j ) = n j T ( P, e j )

r r L’opérateur qui à n fait correspondre T est donc linéaire, on le nomme tenseur des

contraintes de Cauchy Σ C

r r TC = Σ C ⋅ n

Ti = σ ij n j r TC est la tension de Cauchy définie sur l’état déformé. r T

Tn

r n

r r T − Tn n contrainte dans le plan tangent est une contrainte r de cisaillement notée parfois τ

r

dS τ

Les

r r Tn = n ⋅ T est la contrainte normale sur dS. Si elle est positive, on dit que le milieu extérieur exerce sur dS une traction ; si elle est négative on dit que le milieu exerce une pression.

σ ij

i ≠ j sont des contraintes de cisaillement.

Différentes notions sont associées au tenseur Σ C (cercle de Mohr, quadrique des contraintes). On les trouvera exposées dans l’annexe de ce chapitre.

29

Introduction

III.2.2 Les trois tenseurs des contraintes (stress). Dans le chapitre suivant nous présenterons les équations de Newton relatives aux milieux déformables, avec des variables de Lagrange ou d’Euler. Il est alors nécessaire de faire intervenir trois tenseurs des contraintes. Nous les définissons ici. r e3

Le tenseur de Cauchy Σ C est défini à partir d’une configuration déformée

r σ3

r σ2 σ 32 σ 22

r e1

r e2

σ 12

σ 11 σ 12 σ 13    matΣ C = σ 21 σ 22 σ 23  σ 31 σ 32 σ 33  r r r σ1 σ 2 σ 3

r σ1

Les colonnes de la matrice de Σ C ont une r signification physique : la colonne j est constituée des composantes de la tension σ j sur la r facette de normale e j : r r r r r σ j = σ ij ei = Σ C ⋅ e j et σ ij = ei ⋅ Σ C ⋅ e j

r La force extérieure s’exerçant sur la surface dS de ∂D est dF telle que : r r r r dF = TC dS = Σ C ⋅ ndS TC est la tension

r −1 ~ dF = F ⋅ dF r TK

∂D0

r N

r N

r n

F

r TC

dS0

dS0

∂D

r r dF TL

dS

r On peut rapporter dF à la surface non déformée dS0 r r r dF = TL dS 0 = Σ L ⋅ N dS 0 r Σ L est le tenseur de Piola-Lagrange, TL est une pseudo tension

r −1 ~ Par transport convectif F -1 on a dF = F ⋅ dF r r ~ on pose dF = Σ K ⋅ NdS 0 = TK dS 0 r Σ K est le tenseur de Piola-Kirchhoff, TK est la pseudo tension associée à la force obtenue par transport convectif.

30

Introduction

Relations entre les différentes tensions et les différents tenseurs

On sait que

donc :

r r −1 −1 T r ndS = JN ⋅ F dS 0 = J  F  ⋅ NdS 0 r r −1 T r dF = Σ C ⋅ ndS = J Σ C ⋅  F  ⋅ NdS 0 −1 Σ L = J Σ C ⋅  F  r r TC dS = TL dS 0

T

−1 r −1 −1 T r ~ dF = F ⋅ dF = J F ⋅ Σ C ⋅  F  ⋅ NdS 0

−1

donc :

T

−1 −1 Σ K = J F ⋅ Σ C ⋅  F  = F ⋅ Σ L r −1 r F ⋅ TL = TK

On notera au passage que si Σ C est symétrique, Σ K l’est.

31

T

 F −1  noté souvent F − T  

Introduction

Annexe I r T

r e3

La quadrique des contraintes de Cauchy

r n

Tn

P

R

Nous admettrons ici provisoirement que Σ C est symétrique. Soit

{er }

une base locale en P. Portons sur la 1 r normale n un point R tel que PR = avec Tn i

Tn = ni σ ij n j . r r La composante xi de PR sur ei est : ni

xi =

Tn

3

i =1

r e2

dS

r e1

∑n

r T

1

3

2 i

= 1 ⇒ ∑ ( xi Tn ) 2 = 1 i =1

Tn = xi Tn σ ij Tn x j

donc

xi σ ij x j = ±1

Le signe est choisi pour rendre le lieu de R réel. Ce lieu est la quadrique des r r contraintes associée au tenseur et T = Σ ⋅ n est normale à cette surface. Les contraintes principales notées σ 1 , σ 2 , σ 3 sont associées aux directions principales r X solution de : r r ( Σ − σI ) ⋅ X = 0 traceΣ = σ 1 + σ 2 + σ 3 est un des invariants du tenseur pour une transformation orthogonale de coordonnées. Dans ses axes principaux l’équation de la quadrique s’écrit : σ 1 X 12 + σ 2 X 22 + σ 3 X 32 = ±1 r La notion de quadrique associée permet d’analyser la façon dont varie T en fonction de l’orientation de dS qu’on a l’habitude d’appeler facette. Nous allons envisager trois exemples.

• σ i > 0 ∀i (traction)

r X3

Il faut choisir le signe + La quadrique est une ellipsoïde

r X1 32

1 σ2

r X2

Introduction

• σ i < 0 ∀i (compression)

r X3

Il faut choisir le signe La quadrique est une ellipsoïde

r X2 r X1

• σ1 > 0 ,

σ2 > 0,

σ3 < 0

La quadrique est formée de deux nappes hyperboloïdes σ 1 X 12 + σ 2 X 22 + σ 3 X 32 = −1 ( S1 )

σ 1 X 12 + σ 2 X 22 + σ 3 X 32 = +1 ( S 2 ) r X3 S1

S2

r X2 r X1

Suivant l’orientation de la facette Tn peut être contrainte de traction ou de pression. Pour une direction sur le cône asymptote R est à l’infini et Tn = 0.

33

Introduction

Annexe II

Représentation de Mohr du tenseur de Cauchy Σ C

r T r TC = Σ C ⋅ n ( Σ C = Σ C admis provisoirement) r r r r r r r TC = (TC ⋅ n )n + τ = σ n + τ t (définition de σ et τ)

Dans les axes principaux on a :

r r TC = ni σ i X i

σ 12 σ2 + τ2 = T 2  r r   σ = T ⋅ n  ⇔ σ1 r  1 n 2 = 1 

σ 23  n12  σ 2 + τ 2      σ 3  n22  =  σ  1  n32   1 

σ 22 σ2 1

La résolution de ce système va permettre de chercher dans le plan (σ,τ) le lieu de r l’extrémité M du vecteur de composantes σ et τ lorsque la direction n varie.

n12 =

n12 =

1 det

σ2 + τ2

σ 22

σ 23

σ

σ2

σ3

1

1

1

τ 2 + (σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 )

n22 =... n32 =...

n22 =... n32 =...

Pour fixer les idées supposons σ 3 < σ 2 < σ 1 . Alors les dénominateurs sont positifs et le lieu des points correspondants à n1 constant est un cercle d’équation : σ 2 + τ 2 − σ(σ 2 + σ 3 ) + σ 3 σ 2 = Kn12 > 0 ou K est le dénominateur. Le centre a pour coordonnées σc , τc avec : 2 τ c = 0 , 2σ c − (σ 2 + σ 3 ) = 0 , τ = τc + T σ + σ3 2 alors : σ 2 = σ c2 + 2σ c S + S 2 = S 2 + ( 2 ) + (σ 2 + σ 3 ) S 2 1 avec : σ(σ 2 + σ 3 ) = (σ 2 + σ 3 ) 2 + (σ 2 + σ 3 ) S 2 Posons :

σ = σc + S

Ainsi : S 2 + T 2 − (

σ2 + σ3 2 ) = Kn12 2

n12 ∈[0,1]

34

Introduction

τ

• n1 = 0 M décrit le cercle (C1) r quand la facette tourne autour de X 1

C2 (n2 = 0)

r • n1 = ±1 la facette est normale à X 1 σ = σ1 ; τ = 0

C1 (n1 = 0)

σ σc

σ3

σ2

σ1

• n12 > 0 ⇔ τ 2 + (σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) > 0 , M est à l’extérieur de (C1).

C3 (n3 = 0)

En raisonnant de façon analogue pour étudier le lieu des points correspondant à n2 (ou n3) constant on trouve que M est dans la zone grisée à l’intersection de trois cercles (M est unique pour un triplet n1, n2, n3). Enfin M est toujours à l’intérieur du plus grand cercle, ici (C2) le cercle de Mohr. Description des cercles principaux r X2 τ

C3

σ1

cos ϕ   r n  sin ϕ   0    σ2

− sin ϕ  r  t  cos ϕ   0   

ϕ P

c

σ

2ϕ M

M décrit un cercle principal si n1 (ou n2 ou n3) est nul, par exemple M décrit (C r 3) lorsque la facette contient X 3

r X1

r T

r r σ1 + σ 2 σ1 − σ 2 cos 2ϕ σ = T ⋅ n = σ 1 cos 2 ϕ + σ 2 sin 2 ϕ = + 2 2 r r σ 2 − σ1 τ = T⋅ t = sin 2ϕ 2

σ 1 cos ϕ  r   r T r r σ 2 sin ϕ  ( X1 , X 2 , X 3 )    0 

r Si la facette tourne de ϕ autour de X 3 , M tourne de 2ϕ, en sens inverse, autour de C, sur (C3).

Il est à noter que le calcul de σ et τ aurait pu se faire d’une autre manière plus générale. r r r Soit Σ1 la matrice de Σ relativement à la base ( X1 , X 2 , X 3 ) de E3 et Σ2 celle relative à la r r r base (n , t , X 3 ) . S la matrice de passage orthogonale droite dont les colonnes sont formées des composantes des nouveaux unitaires sur l’ancienne base.

35

Introduction

cos ϕ − sin ϕ 0   S =  sin ϕ cos ϕ 0 Σ 2 = S −1 Σ 1 S = S T Σ 1 S  0 0 1 Il suffit de revenir à l’interprétation des termes de la première colonne de Σ 2 : nr ⋅ Σ ⋅ nr = σ  σ 11 σ 12 0    r   r Σ 1 = σ 21 σ 22 0  ⇒ Σ2 = t ⋅ Σ ⋅n = τ    0  0 σ 33  0 0 σ 33   avec σ 11 = σ 1

, σ 22 = σ 2

, σ 12 = 0 on retrouve les formules précédentes.

Détermination des contraintes principales lorsque : • on connaît un plan principal r • on connaît les composantes de T sur deux facettes contenant la normale à ce plan et orthogonales entre elles

r e2

σ22

r n( 2 )

r r Par exemple X 3 = e3 est principal. On connaît les quantités σ 11 , σ 21 ; σ 22 , σ 12 sur deux facettes (1) et (2). σ 21 = σ 12 (admis).

σ12

r t( 2 )

r t (1)

P2

σ21

r

On peut alors construire le cercle de Mohr en connaissant, par les données, deux points diamétralement opposés.

σ11 n(1)

P1

r e1

ϕ

r r e3 = X 3

τ

σ1

σ2

σ22

M1

σ12 σ1

2ϕ

σ11

σ

σ 11 + σ 22 1 2 ± (σ 11 − σ 22 ) 2 + 4σ 12 σ2 2 2 2σ 12 tan 2ϕ = σ 11 − σ 22 =

M2

36

Introduction

Résumé du chapitre III Forces

de volume

r r dF = ρFdV

de surface

r r dF = TC dS

s’exerce sur dm de D.

r  Tc est le vecteur contrainte ou tension :  Σ C : tenseur de Cauchy

r r TC = Σ C ⋅ n

r s’exerce sur dS de ∂D dF r r dF = TL dS 0

Σ = J Σ ⋅ F −1T  L C  Σ L : tenseur de Piola - Lagrange

r r TL = Σ L ⋅ N

r r −1 ~ dF = F ⋅ dF = TK dS0

n’est pas une force réelle.

Σ = F −1 ⋅ Σ  K L  Σ K : tenseur de Piola - Kirchhoff

r r TK = Σ K ⋅ N

37

Introduction

Chapitre IV

Les équations du mouvement. Le théorème de l’énergie

Nous avons défini certains tenseurs associés au champ des déplacements et au champ des vitesses, analysé les forces en présence et défini au passage la notion de contrainte. Il est temps de voir maintenant comment se présentent les théorèmes généraux en mécanique des milieux déformables. Il apparaîtra deux points de vue, selon que l’intérêt se porte sur le champ des déplacements ou sur le champ des vitesses et en fin de chapitre nous essayerons de bien différencier les variables d’Euler de celles de Lagrange et l’usage qui peut en être fait. IV.1. Les équations locales. Les particules matérielles occupent D0 à l’instant t = 0, D à l’instant t. D est r u limité par ∂ D. r FdV s’exerce en P sur la masse dm et • ρ t=0 r P a D est dû au champ de forces extérieur. r r • dS∈∂D est soumis à TC dS dV v r • O est fixe, c’est l’origine d’un repère dS x r r O galiléen. TC TC dS t r r r • u désigne le déplacement, v la vitesse, n r γ l’accélération. Nous allons écrire les théorèmes généraux pour le système matériel occupant à t le domaine D de E3. D0

P0

r ρFdV

Si [ A ] D désigne le torseur des quantités d’accélération de D et [ V ] D le torseur r r cinétique du premier ordre de D (torseur des dmγ P et des dmv P respectivement), comme O est fixe : d [ A ]D = [ V ]D dt résultat établi dans le cours de mécanique générale. r Le torseur des forces extérieures à D est constitué par le torseur des ρFdV et le torseur

[ ]

r des TdS , ce torseur est noté Fe

galiléen en O :

D

. La loi de Newton s’écrit donc en utilisant un repère

[F ]

e D

r

r

= [ A ] D soit

d r ρv P dV ) ∫ ∂D D D dt D (théorème de la résultante dynamique) r r r r r d r ∧ TdS + ∫ OP ∧ ρFdV = ∫ OP ∧ ργ P dV ( = ∫∂OP D D D dt (théorème du moment dynamique en O) r

∫ TdS + ∫ ρFdV = ∫ ργ

P

dV

(=

38

∫

D

r r OP ∧ ρv P dV )

Introduction

En introduisant le tenseur de Cauchy des contraintes nous pouvons faire apparaître la r normale n puis transformer les intégrales de surfaces en intégrales de volumes en utilisant le théorème d’Ostrogradsky. r r r Ainsi ∫ TdS = ∫ Σ C ⋅ ndS = ∫ div d Σ C dV ∂D ∂D D w r avec div d Σ C = Σ C ⋅ ∇ x r r r ou en cartésiennes TdS ∫ = ∫ σ ij n j dSei = ∫ σ ij , j ei dV . ∂D

r

∂D

r

D

r

r

r

r

∫ OP ∧ TdS = ∫ OP ∧ Σ ⋅ ndS = ∫ (OP ∧ div Σ + θ:( Σ ⋅ I ))dV r r ou en cartésiennes ∫ ε T x dSe = ∫ ε x σ n e dS = ∫ ε ( x σ + x Et

∂D

avec : xq , j = δ jq .

C

∂D

∂D

pqr r

q

p

pqr

∂D

q

C

d

D

rj

j

p

D

C

pqr

q

rj , j

q, j

r σ rj )e p dV

La loi de Newton s’écrit : r r  (divr Σ C + ρF − ργr )dV = 0 d P ∫D  r r r r r ∫ OP ∧ (div d Σ C + ρF − ργ P )dV + ∫ θ: Σ C dV = 0 D D

Or le système que nous avons isolé est arbitraire donc : r divr Σ C + ρF = ργr P  d  r θ: Σ C = 0

T

ou ε pqr σ rq = 0

ou

ΣC = ΣC

On obtient l’équation locale et la symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy (le milieu est sans couple de masse).

r r r r div d Σ C + ρF = ργ P ( x , t ) σ Cij , j + ρFi = ργ i T

ΣC = ΣC σ Cij = σ C ji

avec

r r TC = Σ C ⋅ n

dans D ∂ ,j= ∂x j

équation locale w r et div d Σ C = Σ C ⋅ ∇ x

symétrie du tenseur Σ C

Ces résultats sont relatifs au domaine déformé mais on peut, par simple changement de variables, les transformer en résultats relatifs au domaine non déformé. Le théorème de la résultante dynamique s’écrit :

r r r Σ L ⋅ NdS 0 + ∫ ρ 0 F0 dV0 = ∫ ρ 0 γ P dV0 ∂D0 D0 D0 r F0 .

∫

avec

39

r r ρF( xr ,t ) dV = ρ 0 F0 ( ar + ur ,t ) dV0

pour définir

Introduction

Il est inutile de refaire des calculs et on obtiendra : r r r r div d Σ L + ρ 0 F0 = ρ 0 γ P (a , t ) dans D0 ∂ σ L IJ , J + ρ 0 FI = ρ 0 γ I avec , J = ∂a J r r T T F ⋅ΣL = ΣL ⋅F TL = Σ L ⋅ N ou

avec

ΣL = F ⋅ΣK

et

w r div d Σ L = Σ L ⋅ ∇ a

r r T Σ K = Σ K , TK = Σ K ⋅ N

r γ désigne toujours l’accélération du même point mais exprimé en fonction de variables différentes, nous reviendrons sur ce point. IV.2. Le théorème d’Euler. Dans le paragraphe précédent nous avons considéré un domaine contenant toujours les mêmes éléments matériels, domaine qui se déplaçait et se déformait en fonction du temps. On peut aussi s’intéresser à la variation de quantité de mouvement des particules matérielles dans le volume D. On a :

[ A ]D

[

r = ρFdV

] [ D

r + TdS

]

O fixe ∂D

=

d [ V ]D dt

et on utilise le théorème de

d Reynolds pour calculer [ V ] D : dt r d ∂(ρv ) r r r r ρvdV = ∫ dV + ∫ ρv (v ⋅ n )dS ∫ D D ∂ D ∂t dt r r r r r r d ∂ r r ∧ ρ = ( ∧ ρ ) + ρ ( ∧ v )(v ⋅ n )dS OP v dV OP v dV OP P ∫D ∂t ∫∂D dt ∫D r r ∂ r r r r r d r OP v dV OP ρ v dV ρ OP ∧ ρ = ∧ ( ) + ( ∧ v )(v ⋅ n )dS P ∫D ∫∂D dt ∫D ∂t r ∂OP r est nul car les variables x et t sont indépendantes. En effet ∂t

r r r r Donc le torseur des dmγ P dans D est équivalent au torseur des vecteurs v (ρv ⋅ n )dS ∂ r sur ∂D et (ρv )dV dans D. ∂t Et la loi de Newton s’écrit :

r r ∂ r  r r r ( ρ v ) dV + ρ v ( v ⋅ n ) dS = ρ FdV + TdS [ ] [ ] [ ] ∂D  ∂t  ∂D D D C’est le théorème d’Euler qui exprime une équivalence entre torseurs.

40

Introduction

IV.3. Variables de Lagrange - Variables d’Euler. Si nous récapitulons ce qui a été exposé, c’est peu de choses ! Nous avons défini des tenseurs dans les deux premiers chapitres et écrit au passage que le milieu était continu. Nous avons écrit différentes équations ou relations traduisant la loi de Newton (théorèmes généraux). Il faut pourtant faire un choix entre les variables à utiliser : déplacements ou vitesses et les domaines d’intégration : D et ∂D ou D0 et ∂D0. IV.3.1 Le point de vue Lagrangien - Les variables Lagrangiennes. En mécanique des solides déformables, en résistance des matériaux, pour les problèmes de propagation d’ondes, on préfère souvent faire intervenir le domaine non déformé car en général on en connaît la géométrie. Les variables indépendantes sont les trois coordonnées de P0 : les composantes du r vecteur a et le temps. r r Le champ des déplacements u s’exprime en fonction de a et du temps et constitue l’inconnue vectorielle à déterminer.

r Par exemple si l’espace E lié à D0 de repère ei cartésien est fixe on a :

 a1  r {OP0 } = a2  a   3

 u1 (a , t )  r {u ( P, t )} = u2 (a , t ) u ( a , t )   3 

∂u1   v = 1  ∂t   ∂u  {vr ( P, t )} = v2 = ∂t2    v = ∂u3   3 ∂t 

r (base ei , cartésiennes)

 ∂ 2 u1  γ =  1  ∂t 2   2 ∂ u { γr ( P, t )} = γ 2 = ∂t 22    2  γ = ∂ u3   3 ∂t 2 

Mais on a des formules plus compliquées si l’espace lié à D0 est mobile par rapport à un espace attaché à un repère galiléen. r La masse spécifique ρ, la tension T s’exprimeront aussi en fonction des composantes r de a et du temps.

On dispose d’informations, sur la frontière du domaine matériel considéré, qui constituent les conditions aux limites. ∂D0 se partitionne en général en deux parties disjointes ∂D01 et ∂D02 :

r r r Sur ∂D01 on connaît la tension TL = TLdonné notée TLd . r r r Sur ∂D02 on connaît le déplacement u = udonné noté ud .

41

Introduction

∂D01

r N

dV0

∂D02

r r TL dS 0 = Σ L ⋅ NdS 0 constitue une condition aux limites sur les forces ou condition naturelle et exprime que le tenseur de PiolaLagrange n’est pas quelconque sur ∂D01 mais est imposé par la force extérieure donnée.

r TL r ρ 0 F0 dV0 r ud

∂D1

∂D2

r r u = ud sur ∂D02 exprime que le champ r r des déplacements u (a , t ) doit vérifier une condition géométrique.

Les équations dont on dispose sont alors les suivantes : r r r r div d Σ L + ρ 0 F0 = ρ 0 u&&(a , t ) dans D0 équation locale avec r r TLd = Σ L ⋅ N sur ∂D01 (ou ∂D0σ )   conditions aux limites r r sur ∂D02 (ou ∂D0u )  u = ud équation de continuité ou de conservation de la masse ρ 0 = ρJ r r r Inconnues u (a , t ) , ρ, ... T

T

F ⋅ΣL = ΣL ⋅F

T

r On connaît les conditions initiales sur u (champ des vitesses et champ des

déplacements) mais pour résoudre il faut éliminer Σ L ce qui fera l’objet du chapitre sur les lois de comportement où nous chercherons des relations entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations de Green-Lagrange E ou d’autres. On notera que le tenseur Σ L n’est pas symétrique, Σ K tel que Σ L = F ⋅ Σ K l’est mais les équations exprimées en fonction de Σ K deviennent non linéaires. Si on linéarise les équations, il n’y a plus de distinction à faire entre les trois tenseurs des contraintes ( F ≈ I ) mais les résultats ne sont valables que pour des petits mouvements autour d’un état non contraint dans l’état de référence. C’est le domaine de l’élastodynamique linéarisée où ρ = ρ0. Remarque : Signalons enfin qu’on rencontre parfois des conditions aux limites de type mixte où, en un même point géométrique le déplacement est imposé dans une direction (ou plusieurs) et la tension imposée dans les autres (ou l’autre).

IV.3.2. Le point de vue Eulérien - Les variables Eulériennes. En mécanique des fluides principalement, les conditions initiales sur les déplacements sont inconnues et d’ailleurs d’intérêt très limité. r r L’inconnue principale est la vitesse v ( x , t ) en un point géométrique P fixé par ses coordonnées spatiales (les xi en cartésiennes) :

42

Introduction

r r r dx ∂u ( x , t ) r r r r r v ( x, t) = à x fixé v (x,t) = ∂t dt r r r dv ∂v r w r ∂v r r r r = + v ∇x ⋅v = + grad v ⋅ v γ ( x, t) = ∂t ∂t dt

r r x = xP

En effet, en cartésiennes par exemple : r dx j ∂vi ( x , t ) ∂ γi = + vi , j v j avec , j = vj = ∂t ∂x j dt r 1 r r r On écrit souvent γ en faisant intervenir le vecteur tourbillon Ω = rot v 2 r T T ∂v r r r r r r r γ (x, t) = + ( grad v − grad v ) ⋅ v + grad v ⋅ v r r r ∂t avec rot v = 2Ω r ∂v r r r r r 1 r r γ (x, t) = + rot v ∧ v + grad (v 2 ) ∂t 2 Tr 1 r Le vecteur tourbillon est l’adjoint du tenseur antisymétrique ( grad v − grad v ) = Ω 2 Les conditions aux limites portent sur les tensions et les vitesses

r n D

r ρFdV

Sur ∂D1 on connaît la tension r r r r TC = TCdonné et on doit avoir : TC = Σ C ⋅ n .

r r r TC = TC d ( x , t )

∂D1

r r v = v donné

∂D2

Sur r r v = v donné

∂D2

on

connaît

la

vitesse

les équations dont on dispose sont alors les suivantes :

dρ ∂ρ r r ou Equation de continuité + ρdiv v = 0 + div ρv = 0 ∂t dt r ou conservation de la masse ρ( x , t ) r T r ∂v r r r r 1 r r div d Σ C + ρF = ρ( + rot v ∧ v + grad (v 2 )) dans D ΣC = ΣC ∂t 2 r r TC d = Σ C ⋅ n sur ∂D1  conditions aux limites  r r v = vd sur ∂D2  r r r Inconnues v ( x , t ) , ρ, T

*

r On connaît les conditions initiales sur v (le champ des vitessses) mais pour résoudre il

faut éliminer Σ C ce qui fera l’objet du chapitre suivant sur les lois de comportement où nous chercherons des relations entre le tenseur Σ C et le tenseur des déformations d’Euler-Almansi *

E ou d’autres. ___________________________________ * ou bien le théorème d’Euler

43

Introduction

IV.4. Le théorème de l’énergie. Comme corollaire des théorèmes généraux nous pouvons écrire une relation énergétique qui porte le nom de théorème de l’énergie (mécanique). L’équation locale qui exprime la loi de Newton pour un élément de masse dm en P est multipliée scalairement par la vitesse du point Pet intégrée dans D.

IV.4.1 Point de vue Eulérien. r ργ P

L’équation du mouvement de dm en P s’écrit : r r r (div d Σ C + ρF )dV = ργ P dV

r div d Σ C

r r Après multiplication par le déplacement réel entre t et t + dt dP = v P dt et sommation dans D nous obtenons : r r r r r ∫ (divd Σ C + ρF )dV ⋅ vdt = ∫ ργ P ⋅ v P dVdt

r ρF

D dm P

Mais

∫

D

D

D

r r r r div d Σ C ⋅ v = − Σ C :( grad x v ) T + div (v ⋅ Σ C ) σ ij , j vi = − σ ij vi , j + (σ ij vi ) , j

Ainsi, après division par dt : r r r r r r − Σ C :( grad x v ) T dV + ∫ div (v ⋅ Σ C )dV + ∫ ρF ⋅ vdV = ∫ ργ P ⋅ v P dV D

Mais

D

D

Σ = Σ T C  C  r rw  grad x v = v ∇ x = L = D + Ω

T

avec

Ω = −Ω

T

Donc, dans le produit doublement contracté nous pouvons remplacer L par sa partie symétrique. r div (v ⋅ Σ C )dV peut être transformée en utilisant le théorème de la r r divergence et en notant que TC = Σ C ⋅ n : r r r r r ∫ div(v ⋅ Σ C )dV = ∫ v ⋅ Σ C ⋅ ndS = ∫ v ⋅ TC dS

L’intégrale

∫

D

∂D

D

L’intégrale

∂D

r

∫ ργ D

P

r ⋅ v P dV

égale au travail par unité de temps des quantités

d’accélération est aussi égale à la dérivée de l’énergie cinétique par rapport au temps (chapitre II §II.2. Remarque) : dE c dA d 1 r r r ∫D ργ P ⋅ v P dV = dt = dt ∫D 2 ρv 2 dV = dt D’où : 44

Introduction

dE c r r r r − Σ C : D dV + ∫ v ⋅ TC dS + ∫ ρv ⋅ FdV = D ∂D D dt

∫

Théorème de l’énergie mécanique : La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique du système mécanique considéré est égale à la puissance des forces extérieures (de masse et de surface) augmentée de la puissance des forces extérieures qui sont les forces de rappel ( − Σ C ) ou diminué de la puissance de déformation. Remarque : Sans diviser par dt nous aurions obtenu une relation portant sur les travaux entre t et t + dt : r r T r r r r r − Σ :( grad du ) dV + du ⋅ T dS + du C C ∫ ∫ ∫ ⋅ ρFdV = ∫ ργ P ⋅ dudV = dA x ∂D

D

D

D

IV.4.2. Point de vue Lagrangien.

∫

D0

Le calcul se présente de la même manière. r r r r r (div d Σ L + ρ 0 F0 )dV0 ⋅ vdt = ∫ ρ 0 γ ⋅ vdV0 dt D0

dA d r r r r r − ∫ Σ L :( grad a v ) T dV0 + ∫ v ⋅ TL dS 0 + ∫ ρ 0 v ⋅ F0 dV0 = = D0 ∂D0 D0 dt dt

dE c 1 r2 ρ 0 v dV0 = D0 2 dt

∫

d r r r Mais ( grad a v ) T = ( grad a u ) T puisque a et t sont des variables indépendantes dt T d r r ( grad a v ) T = F puisque F = I + h = I + grad a u . dt De plus Σ L = F ⋅ Σ K T

dF dV0 La première intégrale s’écrit donc : − ∫ F ⋅ Σ K : D0 dt T T dF T dF T dF 1 d 1 dC Or F ⋅ Σ K : = ΣK ⋅ F : = ΣK:F ⋅ = Σ K : (F ⋅ F) = Σ K : dt dt dt 2 dt 2 dt

Et finalement comme 2E = C − I :

− ∫ ΣK: D0

dE c dE r r r r dV0 + ∫ v ⋅ TL dS 0 + ∫ ρ 0 v ⋅ F0 dV0 = ∂ D D 0 0 dt dt

dE qui n’est pas égal à D mais ces deux formules dt coïncident si on fait l’hyphothèse des petites déformations et des petits déplacements. On notera qu’il intervient ici

45

Introduction

Remarque 1 : Nous aurions pu obtenir ces relations directement à partir du calcul des intégrales par changement de variable. Ainsi, puisque (Annexe du chapitre II) T dE = F ⋅ D⋅ F : dt

∫

Σ C : D dV =

∫

T −1 −1 1 dE F ⋅ Σ K ⋅ F :( F ) T ⋅ ⋅ F JdV0 J dt

∫

Σ C : D dV =

∫

F ⋅ ΣK:

∫

Σ C : D dV =

∫

Σ K ⋅ F :( F ) T ⋅

D

D

D

D0

D0

D0

−1 dE ⋅ F dV0 dt

T

−1

( Fij Σ jk Fsk Fps−1 E& pl Fli−1 )

( Fij Σ jk E& kl Fli−1 )

dE dE dV0 = ∫ Σ K : dV0 D0 dt dt

Remarque 2 : La relation portant sur les travaux entre t et t + dt s’écrit : r r r T r r r r − Σ :( grad du ) dV + du ⋅ T dS + du ⋅ ρ F L 0 0 0 dV = ∫ ρ 0 γ P ⋅ dudV0 = dA L ∫ ∫ ∫ a D0

0

∂D0

D0

D0

__________

46

Introduction

Résumé du chapitre IV • Equations du mouvement

F ∂D01

∂D02

∂D1 ∂D2

Point de vue Lagrangien r a,t

Point de vue Eulérien r x,t

r r r div d Σ L + ρ 0 F0 = ρ 0 γ P T

T

F ⋅ΣL = ΣL ⋅F r r TLdonné = Σ L ⋅ N sur ∂D01 r r u = ud sur ∂D02 r r conditions initiales sur u et u&

r r dv r div d Σ C + ρF = ρ dt T

ΣC = ΣC r r TC = Σ C ⋅ n sur ∂D1 r r v = vd sur ∂D2 r conditions initiales à t1 sur v

• Théorème de l’énergie mécanique

PF ext + F int =

dEc dt

Il manque les lois de comportement

____

47

Introduction

Chapitre V

Lois de comportement : premières notions

Les équations écrites dans les chapitres précédents ont fait apparaître la contribution de tenseurs de contraintes donc de neuf quantités scalaires en général qui apparaissent comme inconnues supplémentaires. En fait les relations entre le tenseur des contraintes et certains tenseurs attachés au champ des déplacements ou des vitesses dépendent du milieu matériel considéré et constituent les lois de comportement de ce milieu. Si les lois de comportement d’un certain nombre de milieux ont été trouvées plus ou moins empiriquement il est apparu que pour formuler une théorie purement mécanique on pouvait chercher des lois obéissant à certains principes directeurs permettant d’élaborer des lois raisonnables : • Le principe du déterminisme : à l’instant t, les contraintes dans un corps ne dépendent que du mouvement de ce corps avant l’instant t, c’est à dire de son passé • Le principe de localisation spatiale : les contraintes en un point P ne dépendent que des valeurs des champs proches (ou de leur gradient) au voisinage du point considéré (champ des vitesses ou des déplacements) • Le principe de l’indifférence matérielle ou de l’objectivité : deux observateurs en déplacement l’un par rapport à l’autre doivent observer les mêmes contraintes dans un corps donné. Cette notion est largement expliquée dans l’annexe I de ce chapitre. Nous étudierons principalement, à titre d’exemple deux milieux idéaux : les milieux élastiques matériellement simples et les milieux fluides ; nous réserverons un paragraphe spécial à d’autres types de milieux. V.1. Les milieux élastiques matériellement simples. Définition : un milieu élastique matériellement simple est un milieu solide où le tenseur des contraintes Σ C ne dépend que des dérivées premières, par rapport aux variables d’espace, des fonctions déplacements. Σ = g( F ) Nous allons chercher l’allure générale d’une loi de comportement satisfaisant les principes énoncés.

V.1.1. Relation entre Σ K et E . • Préliminaire sur les changements de base

48

Introduction

r E 3 (0) r X

r e3

D0

P0 r E 1 (0)

Soit Q0 D r E 2 (0)

r r E2 r E i = Sij (t )e j (matrice r e2 orthogonale droite)

r E1

r e1

r r Soit X le vecteur P0 Q0 :

i

galiléen

orthonormé, repère I orthonormé mobile par rapport au précédent mais dont les directions des unitaires coïncident à l’instant de référence t = 0 avec celles du premier repère.

r E3

dm P

{er } un repère r {E } un autre

S

associée

Le second repère est lié au point P r r en son r sommet. P0 Q0 = PP0 + P0 Q0

r P0 Q0 s’écrit de deux façons en notations matricielles selon que l’on considère ses r r composantes dans la base {ei } ou dans la base {E I (t )} . r Base {ei } : X

r Base {E I (t )} : X*

tel que X = SX*

r r Soit Y transformé de X par une application linéaire (tenseur T ) : r r Y =T⋅X r r Base {ei } : Y = TX Base {E I (t )} : Y* tel que Y = SY*

On sait que finalement, comme S est orthogonale : Y* = STTSX* = T*X* T* = STTS Telle est la formule classique de changement de composantes d’un tenseur de l’espace vectoriel tangent en P0. r Considérons maintenant en vecteur dx de l’espace vectoriel tangent en P à la particule

et cherchons comment se transforme le tenseur gradient F , tenseur à deux points : r r dx = F ⋅ da r Base {ei }

dx = Fda

r Base {E I (t )} *

dx = Fda

dx = S ( t ) dx * avec :  * da = S ( 0) da

*

Calculons dx* : dx * = S (Tt ) dx = S (Tt ) Fda = S (Tt ) FS ( 0) da * = S T Fda * puisque S(0) = I. F* = STF

Ainsi :

49

en effet da = da*

Introduction

Les composantes d’un tenseur à deux points se transforment donc comme des vecteurs pour le changement de repère considéré. • Forme de la loi de comportement La loi Σ C = g ( F ) vérifie visiblement le premier et le deuxième principe et, pour être objective, doit être indépendante d’un changement de repère du type de celui dont nous venons de parler ; il reste alors à écrire g(STF) = STg(F)S Mais nous savons que F se décompose en R ⋅ U

r (base {ei } )

F = R ⋅U

ou

Alors, si nous adoptons pour S la matrice de R : g(RTRU) = RTg(RU)R Rg(RTRU)RT = RRTg(RU)RRT avec RTR = I Rg(U)RT = g(RU) = g(F) 1/ 2

or

C

=U

et

2E = C − I donc ΣC s’exprimera sous la forme très générale : ΣC = Rg(U)RT ΣC = Rf(C)RT ΣC = RG(E)RT

g(U), f(C), G(E) étant des fonctions assez générales. Nous allons en déduire que les composantes du tenseur des contraintes de PiolaKirchhoff s’expriment en fonction des composantes du tenseur des déformations de GreenLagrange. Σ K = Ψ (U ) −1 −1 T Σ K = J F ⋅ Σ C ⋅  F   ou Σ K = Η (C ) −1 −1 −1 T −1 T −1 T Σ = χ( E ) Σ K = JU R Rg (U ) R ( R ) (U ) = JU g (U )U = Ψ(U )  K

Nous posons :

ou

Σ K = D: E σ ij

en supprimant l’indice K pour alléger

r base { ei }

= DIJKL E LK

Ce faisant nous définissons les milieux élastiques par cette relation linéaire entre E et

ΣK . T

D est un tenseur de E 3⊗4 et possède 34 = 81 coefficients mais comme Σ K = Σ K et T

E = E on a : DIJKL = DJIKL et

DIJKL = DIJLK

Le tenseur est donc caractérisé par 62 = 36 coefficients.

50

Introduction

On notera qu’en choisissant une telle loi on élimine implicitement les milieux dissipatifs puisque Σ K ne dépends pas de

dE . dt

V.1.2. Les milieux hyperélastiques. V.1.2.1. Généralités. Les milieux hyperélastiques ou parfaitement élastiques de Green sont des milieux pour lesquels il existe une énergie de déformation par unité de volume indéformé Wd ( ε ) . L’existence d’une telle énergie est liée à des considérations de thermodynamique que nous ne développerons pas mais pour des déformations isothermes de nombreux milieux, en particulier les milieux métalliques, nous l’admettrons. La différentielle de l’énergie de déformation par unité de volume dWd est indépendante du chemin de charge suivi pour aller de l’état non chargé à l’état chargé. Ainsi dWd ( ε ) = Σ K : d E GL = σ IJ dE JI est une différentielle totale donc : σ IJ = Wd ( ε ) , E JI . On peut développer cette énergie en ne conservant, pour un modèle simplifié, que les premiers termes. Wd ( ε ) étant choisi nul dans l’état non déformé où les contraintes sont nulles et en admettant que les contraintes sont linéaires en fonction des déformations, on peut alors écrire Wd ( ε ) sous la forme d’une expression quadratique des déformations. : 1 1 Wd ( ε ) = E JI DIJKL E LK = E: D: E 2 2

Mais dWd étant une différentielle totale : (Wd , E JI ) , E LK = (Wd , E LK ) , E JI ⇔ (σ IJ ) , E LK = ( σ KL ) , E JI ⇔ DIJKL = DKLIJ symétries supplémentaires. Ainsi Σ K = D: E GL ou D ne fait intervenir que

D possède donc des

6(6 + 1) = 21 coefficients indépendants qui 2

s’expriment en N/m2, souvent en MégaPascal. Cette écriture n’est pas pratique et on associe à Σ K et E deux vecteurs { σ} et { ε} et à D une matrice D dite matrice d’élasticité [D]. { σ} T = {σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 12 , σ 23 , σ 31 } on pose { ε} T = {E11 , E 22 , E 33 ,2 E12 ,2 E 23 ,2 E 31 }

2 E IJ = γ IJ

 ∂W     ∂ε  [ D] = [ D] T pour un milieu hyperélastique 1 1 1 T T T Wd ( ε ) = { ε} [ D]{ ε} = { ε} { σ} = { σ} { ε} 2 2 2

{ σ} = [ D]{ ε}

notation condensée

=

51

I≠J

Introduction

On notera un premier résultat important : T dWd ( ε ) = Σ K : d E = { σ} { dε}

alors le terme

∫

D0

Σ K : d EdV0 s’écrit d ∫ Wd (ε )dV0 . D0

Ainsi le travail de déformation qui apparaît dans le théorème de l’énergie est égal à la variation de l’énergie élastique emmagasinée dans le milieu, la puissance de déformation est égale à sa dérivée par rapport au temps. V.1.2.2. Les milieux hyperélastiques isotropes. A titre d’exemple nous allons étudier de façon approfondie le cas des milieux hyperélastiques homogènes et isotropes. Un milieu est homogène si les grandeurs physiques qui le caractérisent sont indépendantes du point considéré. r r Pour un milieu homogène Σ K (a , t ) ne dépend pas explicitement de a c’est à dire que les coefficients d’élasticité sont constants.

Un milieu est isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, ainsi le tenseur des contraintes est indépendant d’un changement de répère. Lemme : Fonction isotrope d’un tenseur de E 3⊗2 . r Soit T un tenseur de E 3⊗2 de matrice T dans une base {ei } , R une matrice orthogonale, f une fonction scalaire des composantes de T, F une fonction matricielle de T : un polynôme.

Les trois définitions suivantes sont équivalentes : {f est isotrope} ⇔ {f est invariante par changement de base orthonormée} ⇔ f ( R T TR ) = f (T ) Les invariants d’un tenseur de E 3⊗2 déterminent complètement les valeurs propres donc toute fonction isotrope de T peut s’exprimer en fonction des invariants. Le théorème de Cayley-Hamilton dit qu’un tenseur vérifie son équation caractéristique 2

n

donc T s’exprime en fonction de I , T , T ,...., T alors tout polynôme en T à coefficients réels peut s’écrire :

F (T ) = ϕ 0 I + ϕ 1 T + ϕ 2 T

2

où les ϕ sont des polynômes des invariants de T . Nous allons déterminer le tenseur Σ K en exprimant l’énergie de déformation par unité de volume non déformé en polynôme des invariants I1et I2 de E :

52

Introduction

I 1 = traceE = E II

I2 =

[

]

1 1 (traceE ) 2 − traceE ⋅ E = ( E II E JJ − E IJ E JI ) 2 2

Il est inutile d’utiliser le troisième invariant det E puisque nous cherchons une approximation quadratique de Wd . Posons Wd = A1 I 12 + A2 I 2 .

σ K 11 = W, E11 = W, I1 I 1, E11 + W, I 2 I 2 , E11 = 2 A1 I 1 + A2 ( E 22 + E 33 ) = (2 A1 + A2 )traceE − A2 E11 σ K 12 = W, E12 = W, I1 I 1, E12 + W, I 2 I 2 , E12 = − A2 E 12 Donc : Σ K = (2 A1 + A2 )(traceE ) I − A2 E posons : λ = 2 A1 + A2 , 2µ = − A2 on obtient : Σ K = λ(traceE ) I + 2µ E T

Loi de « Hooke »

T

h+h h ⋅h avec : E = + 2 2

Σ K s’exprime sous la forme attendue en ce sens qu’on a une relation tensorielle entre E et Σ K indépendante d’un changement de repère.

D’où l’expression de Wd : λ + 2µ 1  Wd ( ε ) = (traceE ) 2 − 2µ  (traceE ) 2 − traceE ⋅ E  2 2  1 Wd ( ε ) = λ (traceE ) 2 + 2µ E: E ( E: E = traceE ⋅ E ) 2

[

[

]

]

Relations entre les traces des tenseurs Σ et E Σ: I = λ (traceE ) I : I + 2µ E: I

avec

I: I = 3

trace Σ = (3λ + 2µ )traceE Nous pouvons alors exprimer les déformations en fonction des contraintes :

λ (trace Σ ) I + 2µ E 3λ + 2µ 1 λ E= ΣK − (trace Σ ) I 2µ (3λ + 2µ )2µ

ΣK =

Ces formules s’écrivent en fonction de deux coefficients E et ν dont la signification physique est intéressante (nommés parfois coefficients des ingénieurs)

53

Introduction

Posons : λ ν λ    (3λ + 2µ )2µ = E ν = 2( λ + µ ) ⇒  1 + ν = 1  E = (3λ + 2µ )µ  E  2µ λ+µ

comme

λ (1 − 2 ν) = 2µν =

2 νE 2(1 + ν)

λ et µ sont les coefficients de Lamé Eν  λ = (1 + ν)(1 − 2 ν) et  E µ =  2(1 + ν)

3λ + 2µ =

E 1 − 2ν

µ = G est le module de cisaillement (Pression) E est le module d’Young (Pression) ν est le coefficient de Poisson sans dimension E 1 = 3K si ν ≠ où K est le module de rigidité à la dilatation encore appelé module de 1 − 2ν 2 compressibilité (Bulk modulus) Alors : 1+ ν ν E= Σ K − (trace Σ K ) I E E 1+ ν ν ε IJ = σ IJ − σ KK δ IJ E E Eν E E ΣK = (traceE ) I + (1 + ν)(1 − 2 ν) 1+ ν Eν E σ IJ = E KK δ IJ + E (1 + ν)(1 − 2 ν) 1 + ν IJ

trace Σ K = 3KtraceE On notera que si Σ = − pI où p est une pression uniforme, le milieu est en état de compression hydrostatique alors E , comme Σ , est sphérique : (1 − 2 ν) (1 − 2 ν) E= Σ et traceE = −3 p ou encore : E E d’où le nom donné au coefficient K. − p = K ( E11 + E 22 + E 33 ) • Restrictions sur les coefficients Tous les coefficients qui interviennent ne peuvent pas prendre n’importe quelle valeur et l’analyse des énergies de déformation par unité de volume Wd fournit quelques informations.

54

Introduction

{

}

2 1 1 2 Σ ( ε ) : E = λ (traceE ) 2 + 2µtraceE i≠ j γ ij 2 2 2 avec 2ε ij = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Wd ( ε ) = {λ ( ε 11 + ε 22 + ε 33 ) + 2µ ( ε 11 + ε 22 + ε 33 + 2ε 12 + 2ε 23 + 2 ε 31 )} 2 2 1 1  (1 + ν) ν 1  (1 + ν) ν   Wd (σ) = Σ: E ( σ ) =  Σ − (trace Σ ) I : Σ =  trace Σ − (trace Σ ) 2  2 2 E E 2 E E  

Wd ( ε ) =

Wd (σ) =

2 1  (1 + ν) 1  [trace Σ − (trace Σ ) 2 ] + (trace Σ ) 2   2 E E 

Ici les invariants du tenseur des contraintes de Kirchhoff interviennent : 1 Wd (σ) = {σ 2 + σ 222 + σ 233 − 2 ν(σ 11σ 22 + σ 11σ 33 + σ 22 σ 33 ) + 2(1 + ν)(σ 122 + σ 223 + σ 231 )} 2 E 11 ces différentes expressions sont utilisées dans le calcul des structures (élastodynamique, plasticité,...) mais c’est la troisième expression qui va plus spécialement nous intéresser : celle qui intervient lorsque l’on décompose les tenseurs en tenseurs sphériques et déviateurs : 1 Σ = (trace Σ ) I + S 3 S et L déviateurs de trace nulle 1 E = (traceE ) I + L 3
tenseurs sphériques ou moyens isotropes

( 1 + ν) 1 ν (1 − 2 ν ) Ainsi : L = E − (traceE ) I = Σ − (trace Σ )( + )I 3 E E 3E

en

utilisant

la relation exprimant (traceE ) en fonction de (traceΣ ) :

1+ ν  1  S Σ − (trace Σ ) I  = E  3  2G Nous notons que, pour les milieux isotropes les tenseurs sphériques et les déviateurs sont séparément proportionnels. En introduisant ces expressions ou ces grandeurs, nous aboutissons à :  1 1 1  1  1  (trace Σ )(traceE ) Wd = Σ: E =  (trace Σ ) I + S :  (traceE ) I + L  =  + trace(S : L )  2 2 3 3  2   3  L=

2 2 1  1  (traceE ) traceE = E : E =  (traceE ) I + L :  (traceE ) I + L  = + L: L 3 3  3 

Wd ( ε )

La première expression a son charme ! La seconde permet de modifier l’écriture de

1 3λ + 2µ 1 Wd ( ε ) = [ (traceE ) 2 + 2µ L: L ] = [ K (traceE ) 2 + 2µ L: L ] 2 3 2

avec : L: L = trace L

2

Cette expression, pour que le milieu soit stable, doit être positive pour tout champ E , non identiquement nul, physiquement réalisable.

55

Introduction

Envisageons une transformation infiniment petite à volume constant soit telle que r traceE ≈ div u soit nul alors µ doit être positif. Envisageons une transformation due à une compression isotrope, c’est à dire telle que Σ = − pI alors L = 0 et K doit être positif. et ⇒µ>0 ou encore :

E >0 ;

−1< ν <

3λ + 2µ > 0

1 2

• Notations matricielles La loi de Hooke s’écrit : ν ν 1 − ν   ν  1− ν ν    ν  ν 1− ν   1 − 2ν E 1  { ε} ν ≠ { σ} = 2 (1 + ν)(1 − 2 ν)  2  1 − 2ν     2  1 − 2ν     2  ou { σ} = [ D]{ ε} ce qui définit la matrice [ D] d’élasticité (ou de raideur) ou bien : ν ν  1  − −  E  E E   ν 1 ν  − − E E  E  1  − ν − ν   E E E { ε} =  { σ} 1   G   1     G 1   G  −1 ou { ε} = [ C ]{ σ} ce qui définit la matrice [ C ] = [ D] de compliance (ou de souplesse).

Pour tous les matériaux élastiques isotropes ν est positif, cependant certains matériaux r (caoutchouc,...) sont incompressibles ou presque, ν est voisin de 0,5 et traceE = div u +... ≈ 0 dV r puisque = 1 + div u +... dV0 La matrice [ D] égale théoriquement à la matrice [ C ] n’est plus définie à cause de la liaison entre les trois premières lignes de la relation { ε} = [ C ]{ σ} qui s’écrit ε 11 + ε 22 + ε 33 = 0 . Le haut de [ C ] est singulier. Nous reviendrons sur le cas dans l’étude des méthodes variationnelles. −1

56

Introduction

V.1.2.3 Etats « spéciaux » de contraintes Pour simplifier le traitement de certains problèmes on peut être conduit à faire des hypothèses suggérées par l’expérience et revenant à négliger certaines déformations ou certaines contraintes devant celles qui sont prédominantes. C’est ainsi que l’on parle d’état de déformations planes (ou d’hypothèse des tranches) lorsqu’on étudie des barrages ou des tunnels très longs, d’état de contraintes planes lorsqu’on étudie des plaques ou des coques, d’état antiplan lorsqu’on étudie des poutres. Les matrices d’élasticité [ D] voient leur taille diminuer, les difficultés mathématiques sont moindres en ce sens que les problèmes deviennent bidimensionnels ou monodimensionnels... mais la solution n’est plus, sauf cas exceptionnel, la solution exacte, les relations oubliées n’étant pas en général vérifiées. Nous allons présenter ici de telles approximations pour un milieu isotrope, l’extension à un milieu orthotrope se faisant par analogie. V.1.2.4.1. Etat de déformations planes.

On admet (hypothèse des tranches) que l’état du milieu est indépendant de la coordonnée a 3 = z avec ε 33 = 0 . r r z = e3

Barrage

Tunnel

 0   mat E = r E r r = mat E 22 0 ⇒ mat Σ = Σ = ( e1 ,e2 ,e3 )  0 0 0 def

 0    mat Σ 22 0   0 0 σ 33 

Les matrices des tenseurs étant indépendantes de z (u3 = constante = 0) :

ε 33 = 0 ⇒ σ 33 = ν(σ 11 + σ 22 ) ⇒ trace Σ = trace Σ 22 (1 + ν) Les lois s’écrivent alors dans E 2⊗2

 ε 11  1 − ν − ν 0  σ 11  1+ ν   1+ ν    E 22 = Σ 22 − ν(traceE 22 ) I 22 ⇔ ε 22  = − ν 1 − ν 0 σ 22   E E γ   0 0 2  σ 12   12  (1 + ν)(1 − 2 ν) trace Σ 22 avec : traceE 22 = E

[

]

57

Introduction

Inversement :

   σ 11  ν   ε 11  1 − ν E νE E     ε  E 22 + (traceE 22 ) I 22 ⇔ σ 22  = ν 1− ν Σ 22 =    22  1+ ν (1 + ν)(1 − 2 ν) σ  (1 + ν)(1 − 2 ν)  1 − 2 ν  γ   12   12   2  u3,1 = u3,2 = u3,3 = 0 avec u3 = constante  en cartésiennes u1,3 = u2 ,3 = 0  Le problème devient un problème plan. V.1.2.4.2. Etat de contraintes planes. L’état de contraintes est dit de contraintes planes localement si, la normale extérieure en P au milieu  h h r étant e3 sur la surface de cote z ∈ − ,+  , on a :  2 2 r r Σ ⋅ e3 = 0 ∀z

r e3

+h/2 P -h/2

r e1

σ 11

σ 21

r e2 σ 22 σ 12

plaque (plate) coque (shell)

  0 0     mat r Σ r r = mat Σ 22 0 ⇒ mat E = mat E 22 0  ( e1 ,e2 ,e3 )  0 0 0  0 0 ε 33  σ 33 = 0 ⇒ trace Σ = trace Σ 22

et

ε 33 = −

ν traceΣ 22 E

Les lois s’écrivent alors dans E 2⊗2  ε 11   1 −ν 0   σ 11  1+ ν ν   1   E 22 = Σ 22 − (trace Σ 22 ) I 22 ⇒ ε 22  = − ν 1 0  σ 22  E E γ  E  0 0 2(1 + ν)  σ 12    12  ε 23 = ε 13 = 0 1− ν −ν traceE 22 = trace Σ 22 et ε 33 = traceE 22 E 1− ν Nota : La loi exprimant les déformations en fonction des contraintes s’écrit pour le cas de E 1 ν déformations planes avec E ′ = et ν′ = (ou 1 + ν ′ = ) comme 2 1− ν 1− ν 1− ν pour l’état de contraintes planes à condition de changer E en E ′ et ν en ν ′ .    σ 11  1 ν 0   ε 11   E νE E      E 22 + ν 1 0  ε 22  Ainsi : Σ 22 = 2 ( traceE 22 ) I 22 ⇒ σ 22  = 2 1{ +ν 11−2ν3 1 − ν   σ  (1 − ν )  0 0   γ 12  12   2µ λ′ 2   58

Introduction

V.1.2.4.3. Etat antiplan. r e2

r τ

r n

r e1

r e3

r La contrainte normale sur une facette de normale n r r perpendiculaire à e1 est nulle, le cisaillement τ porté par e1 .

σ 11  mat r r rΣ = σ 21 ( e1 ,e2 ,e3 ) σ 31

σ 12 0 0

trace Σ = σ 11

ε 22

1  σ 11  σ 11   ε 11    1     γ 12  =  2(1 + ν)  σ 12  ⇒ σ 12  = γ  E  2(1 + ν)  σ 13  σ 13    13 

ε 11 σ 13    0  ⇒ mat E = ε 21 ε 31 0  ν = ε 33 = − σ 11 E

E   

ε 12 ε 22

ε 13    ε 33 

  ε 11    G  γ 12  G   γ 13 

On trouvera dans l’annexe II un récapitulatif des lois utilisées pour les milieux solides isotropes et les caractéristiques de quelques matériaux. V.2. Les milieux fluides. Un fluide est un milieu isotrope par rapport à n’importe quelle configuration de référence et nous n’envisageons ici que les fluides homogènes. L’expérience montre qu’un fluide au repos ne peut encaisser de contraintes de cisaillement σ ij i ≠ j ainsi le tenseur des contraintes est purement sphérique pour un fluide au repos : Σ = − pI p est la pression du fluide par définition. Pour un fluide en mouvement un modèle utilisable pour des écoulements non turbulents (laminaires) est le modèle du fluide visqueux Newtonien où le tenseur Σ C des contraintes de Cauchy s’écrit : r Σ C = − pI + λdiv v I + 2µ D = − pI + f ( D) fluide de Newton, loi de Navier-Poisson r avec div v = traceD D tenseur des taux de déformations. D est une grandeur objective (Cf. annexe du chapitre II) : un changement de repère

n’affecte que la partie antisymétrique de L . Ainsi la loi de comportement satisfait aussi les deux premiers principes directeurs exposés au début du chapitre.

λ et µ n’ont pas les mêmes dimensions que les constantes rencontrées pour les solides.

59

Introduction

µ µ ρ

est la viscosité dynamique est la viscosité cinématique ν r On notera que traceD = div v puisque D est linéaire en fonction des composantes de

L.

Relation entre les traces des tenseurs Σ C et D , pression moyenne. Les tenseurs Σ C et D peuvent être décomposés en tenseurs sphériques et déviateurs ′ ( Σ et D respectivement).

′

′ 1  Σ = ( trace Σ ) I + Σ C C  3   D = 1 (traceD) I + D ′  3

avec

trace Σ C = −3 p + (3λ + 2µ )traceD

′ 2µ Σ = ( − p + λtraceD) I + 2µ D + [ p − ( λ + )traceD]I 3 ′ 2µ (traceD) I + 2µ D Ainsi Σ = − 3 ′ ′ Σ = 2µ D Comme pour les solides isotropes hyperélastiques les tenseurs sphériques et les tenseurs déviateurs sont proportionnels et on peut écrire : ′ 2µ r Σ C = [− p + (λ + )div v ]I + 2µ D 3 ′ Σ C = − p I + 2µ D 2µ est le module de rigidité à la vitesse de dilatation : χ . p est la pression moyenne, λ + 3 2µ r p = p − (λ + )div v 3 On voit que la pression moyenne p n’est égale à la pression p (pression thermodynamique) que si :

ou bien

r div v = 0 2µ λ+ =0 3

c’est à dire si le fluide est incompressible condition de Stokes

60

Introduction

Puissance de déformation - potentiel de dissipation. La puissance de déformation par unité de volume est : ′ ′ r r Σ C : D = − pdiv v + χ(div v ) 2 + 2µ D : D ′ ′ ′ ′ 2µ r puisque 2µ D: D = avec D: D = D : D (div v ) 2 + 2µ D: D 3 Nous appellerons potentiel de dissipation la fonction : ′ ′ 1 r Wd = χ(div v ) 2 + 2µ D : D  2  r Si la première partie − pdiv v de la puissance de déformation peut correspondre à une énergie récupérable associée à une transformation réversible, la seconde 2Wd correspond à une énergie dissipée de façon irréversible et nous admettons qu’elle ne peut être négative. Alors χ ≥ 0 µ ≥ 0 . Si χ et µ sont nuls le fluide est dit parfait. Equation d’état Nous avons introduit ici une nouvelle fonction p : la pression thermodynamique et elle est donnée par une équation supplémentaire l’équation d’état F ( p, ρ, T ) = 0 , où T est la température absolue. Par exemple pour un gaz parfait :

p = ρRT

Tandis que pour un gaz subissant une transformation adiabatique : P = constante ργ Mais pour un fluide parfait incompressible : ρ = constante p = p p est une fonction de point à déterminer dans chaque cas particulier en résolvant les équations du mouvement.

V.3. Autres types de loi de comportement. • La température et son influence Nous avons exceptionnellement parlé de la température mais il est bien évident que cette variable, provisoirement cachée, a une influence sur le comportement d’un milieu mécanique. Il est alors nécessaire pour en tenir compte d’introduire en mécanique le premier et le second principe (principe de Carnot-Clausius). L’exposé de la thermodynamique des milieux continus dépasse le cadre de ce chapitre nous nous bornerons ici à donner à titre d’exemple certaines informations concernant la thermoélasticité linéaire des solides isotropes homogènes hyperélastiques. 61

Introduction

Si nous adoptons la loi de Fourier comme loi de conduction de la chaleur il apparaît que la température est régie par une équation de la forme : r d d r ∇ 2 (T − T0 ) − (T − T0 )b − a (div u ) = − Q0 dt dt avec des conditions sur (T − T0 ) sur ∂D0 par exemple. a et b sont des coefficients constants, Q0 est lié à la densité volumique du taux de chaleur reçu de l’extérieur. T0 est la température absolue du milieu dans l’état de référence (D0,∂D0).

[

]

r Avec : Σ K = λdiv u − (3λ + 2µ )α T (T − T0 ) I + 2µ E linéarisé α T coefficient de dilatation linéaire

Il y a donc couplage entre T et les variables mécaniques mais ce couplage est très faible et, pour un milieu où les échanges thermiques sont peu intenses on peut admettre que, après un régime transitoire, T reste constante, la seule contribution nouvelle de la température apparaîtra alors par le terme linéaire dans la loi de comportement. • La plasticité Si pour les milieux solides hyperélastiques la loi de comportement s’exprime sous la forme, en notations matricielles : { σ} = [ D]{ ε} avec [ D] = [ D] T Ces milieux ne représentent que très imparfaitement la réalité. Pour être moins pessimistes nous dirons que les modèles associés ne sont valables que pour des déformations modérées, à température constante. Simplement, pour une éprouvette en traction, la loi contraintes normales, déformations longitudinales présente l’allure suivante : σ xx rupture

F

ε xx O

zone linéaire

Courbe à contraintes normales croissantes pour un métal. Si on effectue des essais de traction cycliques on obtient des résultats schématisés par la figure suivante :

62

Introduction

σ

A

ε

A’

Courbe pour un matériau plastique : métal en grandes déformations, matériau du type polymère. A partir du point A (flou !) il y a début de plastification. La surface décrite au cours d’un cycle est proportionnelle à l’énergie perdue. Nous reviendrons plus loin sur les lois de comportement (quatrième partie) mais ces premières notions suffisent pour aborder tout une classe de problèmes.

63

Introduction

Tableau récapitulatif solides r r r r div d Σ L + ρ 0 F0 = ρ 0 u&&(a , t ) r r T = Σ L ⋅ N sur ∂D Ld 01 r r u = ud sur ∂D02 ρ 0 = ρJ Σ K = f ( E , T − T0 )

ou Σ = f ( E , T − T0 ) aux limites convenables

T

F ⋅ΣL = ΣL ⋅F

dans D0

conditions aux limites avec

T

ΣL = F ⋅ΣK

T constant : transformation isotherme

et T est régi par une équation de conduction munie de conditions + conditions initiales

r T → ΣK → ΣL → u fluides r r r ∂v ( x , t ) r r r r 1 r r div d Σ C + ρF = ρ( dans D + rot v ∧ v + grad (v 2 )) ∂t 2 r T = Σ C ⋅ nr sur ∂D Cd 1 r r v = v d sur ∂D2 dρ r + ρdiv v = 0 dt Σ C = − pI + λdiv vr I + 2µ D fluide visqueux newtonien   F ( p, ρ, T ) = 0 + conditions initiales r p → ΣC → v

T

ΣC = ΣC

Le théorème de l’énergie fournit une relation non indépendante des équations précédentes.

64

Introduction

Annexe I

L’objectivité

Les lois de comportement doivent s’exprimer en fonction de grandeurs ayant une signification indépendante du repère de projection (même si ce repère est mobile et dépend du temps), c’est à dire de grandeurs objectives. Cette notion doit être bien comprise et nous allons la préciser. r r e3′ e3 Soient deux repères : Q R galiléen

r e2′

P O r e1

r e2

r e1′

l’un fixe associée.

{O; er , er , er } 1

2

3

r r r et la base (e) : {e1 , e2 , e3 }

r r r l’autre mobile { P; E1 , E 2 , E 3 } et la base (E) : r r r {E1 , E 2 , E 3 } associée

r Soit PQ un vecteur représenté matriciellement par X* sur (E) et X sur (e).

r r Enfin soit Q(t) la matrice de passage orthogonale droite telle que ei = Q ji E j ou r r E i = Qij e j . Cette matrice de passage de (E) à (e) a ses colonnes formées des composantes des unitaires de (e) sur (E) et c’est à la base mobile nous attacherons spécialement de r (E) que r T l’importance dans ce paragraphe ( Q = S si E i = S ji e j ) Nous avons classiquement : avec QQ T = I donc X = QX T & ω = QQ ω + ωT = 0 *

& T + QQ& T = 0 QQ

soit en posant

La matrice ω est antisymétrique et : Q& = −ω T Q = ωQ Recherchons la signification de ω. Considérons un vecteur particulier lié à l’espace (E), tel que : dX * & + QX& = 0 soit : = X& * soit nul, alors : QX dt & T X * + QX& = 0 QQ ωX * + QX& = 0 def

X& = − Q T ωX * = − Q T ωQX = Ω 1 X La matrice Ω 1 est la matrice antisymétrique associée à la rotation de l’espace lié à (E) r r r r dX = Ω1 ⋅ X = Ω 1 ∧ X ) . par rapport à l’espace lié à (e) exprimée dans la base (e) ( dt 65

Introduction

QΩ 1Q T = −ω est la matrice associée à la même transformation mais exprimée dans la base (E) dont le vecteur adjoint est le vecteur de rotation de (E) par rapport à (e). Finalement le vecteur adjoint de ω représente le vecteur rotation de (e) par rapport à (E) exprimé sur (E). r r Considérons maintenant un problème mécanique où PQ = dx est infinitésimal, le r r r transformé de P0 Q0 par la transformation tangente en P, tel que : dx = F ⋅ da .

Sur la base (e) : Sur la base (E) :

dx = Fda dx * = F * da *

dx & ⇒ F& = LF = x& ⇒ dv = Ldx = LFda = Fda dt Posons dx * v* = = x& * ⇒ dv * = L* dx * = L* F * da * = F& * da * ⇒ F& * = L* F * dt v=

Si le repère mobile est tel que à t = 0 (e) et (E) coïncident (Q(t=0) = I) on sait (§ V.1.1.) que F = QF . *

Ainsi F *−1 = F −1Q −1 = F −1Q T ce qui va nous permettre de transformer l’écriture de L* : & −1Q T + QLFF −1Q T = ω + QLQ T L* = F& * F *−1 = (QF &) F −1Q T = QFF L* et L peuvent se décomposer en parties symétrique et antisymétrique : r 1 r r L* = D * + Ω * avec Ω matrice antisymétrique associée au vecteur tourbillon Ω = rot v . 2 L = D+Ω D’où : D = QDQ T

 F Ω * = ω + QΩQ T  *

Comme on passe de D à D* par les formules F on dit que D est une grandeur objective, on dit en revanche que Ω ne l’est pas pourtant Ω est un tenseur ! Abordons l’analyse d’une autre façon en considérant que le mouvement de r PQ provient d’un mouvement d’entraînement par l’espace lié à (E) et d’un mouvement relatif par rapport à (E) : r r r r r r r r dv = Ω 1 ∧ dx + dv relatif avec dv relatif = Ω relatif ∧ dx + D ⋅ dx r r r dv = (Ω 1 + Ω relatif ) ⋅ dx + D ⋅ dx

⇒ Ω absolu = Ω 1 + Ω relatif

et

D = D relatif

Nous sommes ainsi conduit à noter que les secondes relations des formules F ne sont pas des formules exprimant les matrices d’un même tenseur dans deux bases différentes en

66

Introduction

effet v et v * , F& et F& * ne sont pas les mêmes grandeurs : v et F& sont des dérivées absolues, v * une vitesse relative F& * une dérivée relative et Ω * ne peut être comparé à QΩQ T : les rotations associées ne sont pas les mêmes. & T + QΩQ T La seconde relation s’écrit : Ω * = QQ

D’où : Q& = Ω * Q − QΩ Si nous choisissons Q& = − QΩ tel que Ω * = 0 alors ω = −QΩQ T Ainsi Ω 1 s’identifie à Ω , le repère mobile tourne avec le matériau et L = D* , Q = R T . *

Considérons maintenant un tenseur T : r r r r T = Tij ei ⊗ e j = Tij* E i ⊗ E j T et T& sont des tenseurs mais la matrice de terme T&ij* n’a aucune raison d’être une grandeur

tensorielle en effet : T * = Q( t ) TQ(Tt ) soit avec : Q& = Ω * Q − QΩ : * T T T & & & & T = QTQ + QTQ + QTQ & T + (Ω * Q − QΩ)TQ T + QT (Ω * Q − QΩ) T T& * = QTQ T& * = Ω * T * + T * Ω * = Q(T& − ΩT + TΩ)Q T C’est la quantité T& − ΩT + TΩ dans le changement de base dépendant du temps, caractérisé par Q et Ω qui se transforme comme un tenseur et possède un caractère intrinsèque, elle est appelée dérivée de Jaumann et notée DJ. Si T = Σ C , la dérivée de Jaumann de Σ C est appelée taux de contraintes corotationnel pour une raison évidente. La dérivée de Jaumann n’est pas la seule dérivée à laquelle on puisse attacher une qualité intrinsèque ainsi DT + TD est une grandeur qui se transforme lors d’un changement de base en D * T * + T * D * avec : D * T * + T * D * = QDQ T QTQ T + QTQ T QDQ T = QDTQ T + QTDQ T c’est un grandeur T T objective comme DJ T − DT − TD qui s’écrit avec D + Ω = L et D + Ω T = LT : D J T − DT − TD T = D J − ( L − Ω)T − T ( LT − Ω T ) = T& − LT − TLT On désigne cette expression sous le nom de dérivée convective DC ou dérivée d’Oldroyd et on a la relation : T& = DC + LT + TLT = D J + ΩT − TΩ

67

Introduction

Annexe II relations contraintes-déformations pour un milieu homogène et isotrope pour des petites déformations isothermes Milieu tridimensionnel

3

σ32

  mat Σ =  

r σ2

σ22 σ12

1

avec :

2

σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 {{{ r r r σ1 σ 2 σ3

  ε 11    mat E = ε 12  ε 31

ε 12 ε 22 ε 32

ε 13   ε 23  ε 33 

La loi de Hooke généralisée fournit les formules de Lamé :

Σ = λ (div ur ) I + 2µ E   1+ ν ν Σ − (trace Σ ) I E = E E  div ur = traceE 1 − 2ν  ⇒ traceE = trace Σ  Eν E E , µ=G= λ = (1 + ν)(1 − 2 ν) 2(1 + ν) 

on pose :

{ σ} T = {σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 12 , σ 23 , σ 31 }  T { ε} = {ε 11 , ε 22 , ε 33 , γ 12 , γ 23 , γ 31 }

ainsi :

 1 −ν −ν  − ν 1 − ν      − ν − ν 1 1 { ε} =  { σ} 2(1 + ν) E    2(1 + ν)   2(1 + ν)  

γ ij = 2 ε ij

i≠ j

ν ν 1 − ν   ν  ν 1− ν    ν  ν 1− ν   1 − 2 ν E  { ε} ⇔ { σ} = [ D]{ ε} { σ} = 2 (1 + ν)(1 − 2 ν)   1 − 2ν     2  1 − 2ν     2  1 1 1 1 T T W ( ε ) = Σ ( ε ) : E = [ λ (traceE ) 2 + 2µ E : E ] = { σ} { ε} = { ε} [ D]{ ε} 2 2 2 2

68

Introduction

Milieu bidimensionnel • Etat de contraintes planes généralisé 3

σ 11  mat Σ = σ 21  (0)

σ33

σ 12 σ 22 (0)

 ε 11 ε 12 (0)  (0)     (0)  mat E = ε 12 ε 22 (0)  (0) (0) ε 33  0 

σ 33 = 0

2

1

ν νE ν traceE = − ( σ 11 + σ 22 ) = − ( ε + ε 22 + ε 33 ) E E (1 − 2 ν) (1 − 2 ν) 11 ν ε 33 = − traceE 22 1− ν ν 1 − 2ν r div u = ε 11 + ε 22 + ε 33 = ( ε 11 + ε 22 )(1 − )= traceE 22 1− ν 1− ν Eν E  Σ 22 = 1 − ν 2 (traceE 22 ) I 22 + 1 − ν E 22   E 22 = 1 + ν Σ 22 − ν (trace Σ 22 ) I 22  E E

ε 33 = −

 ε 11   1 −ν   σ 11    1   ε 22  = − ν 1  σ 22  γ  E  2(1 + ν)  σ 12    12  W (ε ) =

 σ 11  E   σ 22  = 2 σ  1 − ν  12 

  1 ν   ε 11  ν 1  ε  ⇔ { σ} = [ D]{ ε}    22  1 − ν   γ 12   2 

1 1 Σ ( ε ) 22 : E 22 = ( σ 11 ε 11 + σ 22 ε 22 + σ 12 γ 12 ) 2 2

• Etat de déformations planes

3

 ε 11  mat E = ε 12  0 2

ε 12 ε 22 0

0  0 mat Σ = 0

σ 11  σ 21  0

σ 12 σ 22 0

0   0  σ 33 

ε 33 = 0 ; σ 33 = ν( σ 11 + σ 22 )

trace Σ = σ 11 + σ 22 + σ 33 = ( σ 11 + σ 22 )(1 + ν) = trace Σ 22 (1 + ν)

1

69

Introduction

1+ ν  E = ( Σ 22 − ν(trace Σ 22 ) I 22 ) 22  E  Eν E Σ 22 = (traceE 22 ) I 22 + E 22  (1 + ν)(1 − 2 ν) 1+ ν

   σ 11  ν 1 − ν   ε 11  E     ε  ⇔ { σ} = [ D]{ ε} 1− ν ν σ 22  =    22  σ  (1 + ν)(1 − 2 ν)  1 − 2 ν  γ   12   12   2  1 1 W (ε ) = Σ ( ε ) 22 : E 22 = ( σ 11 ε 11 + σ 22 ε 22 + σ 12 γ 12 ) 2 2

 ε 11  1 − ν − ν   σ 11    1+ ν    − ν 1 − ν  σ 22  ε 22  =  E γ   2 σ 12   12 

• Problème axisymétrique (solide de révolution chargé axisymétriquement) r z

r ez

dz

r eθ z

r er dθ

θ

ε rr  mat E =  0 ε zr σ rr  mat Σ =  0 σ zr

0

ε θθ 0 0

σ θθ 0

ε rz   0 ε zz 

E ,θ = 0

σ rz   0  σ zz 

r dr

u( r , z ) r ur r v (r , z )

r ( er ,ez ,eθ )

ε rr = u,r

ε θθ =

0

u r

ε zz = v ,z

γ rz = u, z + v ,r  ε rr   1 −ν −ν   σ rr  − ν 1 − ν  σ  ε   θθ  1    θθ   =   σ zz   ε zz  E − ν − ν 1    γ rz  2(1 + ν)   σ rz  

et par inversion :

ν ν    1  1− ν 1− ν   ε rr   σ rr   ν ν   ε  σ  1 E (1 − ν) 1 − ν  θθ  1− ν   θθ  ⇔ { σ} = [ D]{ ε} =   ν ν   ε zz   σ zz  (1 + ν)(1 − 2 ν)  1    1− ν 1− ν  σ rz  γ  1 − 2 ν   rz    2(1 − ν)   1 1 W ( ε ) = Σ: E = ( σ rr ε rr + σ θθ ε θθ + σ zz ε zz + σ rz γ rz ) 2 2

70

Introduction

Milieu monodimensionnel • Etat antiplan généralisé

r n

r e1

r τ r e2

Dans la théorie des poutres on admet que la r pression sur une facette de normale n , perpendiculaire à r e3 est nulle ; la contrainte de cisaillement étant portée r par e3 . r e3

 0  Σ= 0 σ 31

0 0 σ 32

σ 13   σ 23  σ 33 

ε 11  E= ε 31

ε 22 ε 32

ε 13   ε 23  ε 33 

σ 11 = σ 22 = σ 12 = 0 trace Σ = σ 33 ν ε 11 = ε 22 = − σ 33 E  ε 33  1  σ 33    1    γ 13  =  2(1 + ν)  σ 13  γ  E  2(1 + ν)  σ 23    23  σ 33   E   ε 33       G σ 13  =    γ 13  ⇔ { σ} = [ D]{ ε} σ   G  γ 23   23   1 1 W ( ε ) = Σ ( ε ) : E = (σ 33 ε 33 + σ 13 ε 13 + σ 23 γ 23 ) 2 2 Pour tenir compte du gauchissement des sections droites, on adopte parfois des coefficients de forme k1 , k 2 : σ 13 = k1Gγ 13 σ 23 = k 2 Gγ 23

On trouvera dans le tableau suivant les caractéristiques de quelques matériaux.

71

Introduction

Caractéristiques de quelques matériaux (à titre indicatif)

ρ

E (N/m2)

ν

7800 7800 8900 2750 8250 1000 2500 1100

2,2.1011 2.1011 1,1.1011 0,7.1011 1.1011 0,01.1011 0,4.1011

0,25 0,3 0,35 0,33 0,31 0,5 0,31 0,3

470 470 690

0,17.1011 0,01.1011 0,1.1011

0,45 0,79

3

(kg/m ) isotropie Acier Fer ordinaire Cuivre Aluminium Bronze Caoutchouc Béton Altuglass non isotropie Pin (sens des fibres) Pin (sens transversal) Chêne (sens des fibres) K= σE σR

E 3(1 − 2 ν)

G (N/m2)

K (N/m2)

0,88.1011 0,76.1011 0,37.1011 0,263.1011 0,381.1011 0,003.1011

1,46.1011 1,66.1011 0,523.1011 0,348.1011 0,483.1011 ∞

σE

2

σR

(kgf/mm )

(kgf/mm2)

26-145

40-165

4-40 4-20

20-45 12-23

5

8,7

10,4 9

module de compressibilité limite élastique à 0,2% limite de rupture (traction)

1kg / mm 2 ≈ 10 7 N / m 2 = 10 7 Pa 1kgf = 9,81N M : Méga : 106 Ces valeurs sont des valeurs moyennes données à titre indicatif en admettant que ces matériaux sont sans viscosité et parfaitement élastiques.

72

Introduction

Chapitre VI

Les problèmes linéarisés

Avant d’aborder les méthodes de résolution exactes ou approchées des problèmes auxquels est confronté le mécanicien il est utile de présenter, dans des cas simples, les démarches possibles en récapitulant les informations données dans les chapitres précédents. Nous avons choisi de commenter les problèmes linéarisés où les points de vue Lagrangien et Eulérien sont indiscernables, le système mécanique analysé étant soumis à des sollicitations modérées. VI.1. Les données du problème. Ne serait ce que le choix du système à isoler, ceci demande déjà réflexion en ce sens que les frontières doivent être choisies aux endroits où on dispose d’informations suffisantes sur les conditions aux limites c’est à dire sur ∂D limitant D. Pour simplifier nous supposerons que ∂D se partitionne en deux domaines disjoints (d’intersection nulle). r n

D r ∂D2 ud

∂D1

∂D = ∂D1∪∂D2 r Td

∂D1∩∂D2 = ∅

r ρFd

(déplacements exagérés à dessein) Nous utilisons l’indice d pour donné ou connu. Pour simplifier nous supposons aussi que l’ensemble du domaine D n’est formé que d’un seul matériau (ou d’un seul fluide) dont on connaît la loi de comportement. (LC en abrégé). Σ = Σ ( E ,...) ou E = E ( Σ ,...)

VI.2. Les grandeurs recherchées. Théoriquement on cherche tout ce qui est inconnu ! C’est à dire les valeurs des champs tensoriels dont nous avons parlé afin de prévoir des évolutions, de vérifier que les contraintes ne dépassent pas des valeurs limites (limites élastiques, exceptionnellement limites de rupture) dans le but de vérifier que les structures satisfont aux exigences imposées, faute de quoi on sera conduit à effectuer des modifications.

73

Introduction

On peut faire un schéma clarifiant l’ensemble des grandeurs en présence et leurs relations.

Conditions de compatibilité des déformations de de Saint Venant (avec éventuellement des conditions de fermeture)

r u

•

r r ρF , T

∂

∂T • •

E

Equations du mouvement

Σ=Σ

Σ

T

Loi de comportement

La relation de conservation de la masse se réduit ici à ρ = ρ 0

J ≈1

Il s’agit de faire le tour du problème soit dans le sens direct (méthode des déplacements) soit dans le sens rétrograde (méthode des forces) soit en zigzaguant (méthode mixte).

VI.3. Les démarches. La méthode des déplacements. S’il s’agit d’étudier un milieu solide déformable, la méthode des déplacements (ou de Lamé-Clapeyron) consiste à utiliser la loi de comportement pour n’avoir à résoudre d’abord qu’un problème en déplacements : r r r div d Σ ( E ) + ρF = ρu&& dans D r r Td = Σ ( E ) ⋅ n sur ∂D1 r r u = ud sur ∂D2 r Si la démarche a abouti, on calcule ensuite Σ puis T sur ∂D2.

La méthode des forces. En statique la méthode des forces consiste à chercher à calculer les contraintes en premier lieu et à en déduire un champ de déformations acceptable (Méthode de Beltrami). On doit trouver Σ tel que :

r r r div d Σ + ρF = 0 r r Td = Σ ⋅ n 74

dans D sur ∂D1

Introduction

Il y a trois équations dans D pour six inconnues en contraintes le champ Σ est alors indéterminé. La loi de comportement fournit les déformations en fonctions des contraintes. Les déformations ne vérifiant pas les relations de compatibilité, il faut exprimer les conditions de compatibilité des déformations en fonction des contraintes (éventuellement ajouter des conditions de fermeture). Si la démarche a abouti on dispose des contraintes dont le niveau d’indétermination a été levé. On en déduit les vraies déformations et par intégration les déplacements qui doivent encore satisfaire les conditions géométriques : r r u = ud sur ∂D2 La méthode mixte Pas de démarche ! du doigté... On connaît quelques solutions pour des problèmes traités par la première méthode, beaucoup moins pour des problèmes utilisant la seconde démarche. La troisième méthode est déconseillée aux néophytes. VI.4. Quelques exemples. Il n’est pas question dans ce chapitre de résoudre les problèmes mais de montrer plutôt comment on les pose. • Exemple 1 : Etude par la méthode des déplacements des petits mouvements d’un milieu homogène et isotrope en petites déformations isothermes.

L’équation locale s’écrit avec :

r Σ = λdiv u I + 2µ E r r r r div d (λdiv u I + 2µ E ) + ρF = ρu&& soit en cartésiennes :

[ ( λu

]

r r r δ ij ) , j + µ (ui , j + u j ,i ) , j ei + ρFi ei = ρu&&i ei r (λu k ,ki + µ (ui , jj + u j ,ij )ei +... r r r r r (λ + µ ) grad (div u ) + µ∆ u + ρF = ρu&&

ou

k ,k

ou en utilisant :

r r r r r r rot (rot u ) = grad (div u ) − ∆ u

Equation de Lamé :

r u ( P, t )

soit :

r r r r r r r (λ + 2µ ) grad (div u ) − µ rot (rot u ) + ρF = ρu&& r r u = ud sur ∂D2 r r r r Td = λ(div u )n + 2µ E ⋅ n sur ∂D1

dans D

Tel est le problème à résoudre pour obtenir en premier lieu le champ des déplacements

75

Introduction

• Exemple 2 : Etude par la méthode des déplacements (des vitesses plus exactement) des petits mouvements de fluides visqueux. La loi de comportement s’écrit : r Σ C = − pI + λ(div v ) I + 2µ D

ou p est la pression

En utilisant la même démarche on obtient : r r r r r r r r Equation de Navier : ( λ + 2µ) grad ( div v ) − grad p − µrot (rot v ) + ρF = ρv& r r v = vd sur ∂D2 r r r r r Td = − pn + λ (div v )n + 2µ D ⋅ n sur ∂D1

dans D

Où on n’oubliera pas que λ et µ n’ont rien à voir avec les λ et µ du problème précédent. • Exemple3 : Etude par la méthode des forces de l’équilibre d’un milieu homogène isotrope faiblement chargé.

Il faut écrire les conditions de compatibilité des déformations en fonction des contraintes, deux expressions sont possibles.


T

rot d (rot d E ) = 0

E E = (1 + ν) Σ − ν(trace Σ ) I

avec T

Il faut calculer rot d (trace Σ ) I et rot d de cette expression : r r r r r r r rot d (trace Σ ) I = − σ ii δ jk (e j ⊗ ek ) ,l ∧ el = − σ ii ,l δ jk ε klp e j ⊗ e p = − σ ii ,l ε klp ek ⊗ e p T r r r r r rot d rot d (trace Σ ) I = σ ii ,lj ε kpl e p ⊗ e k ∧ e j = σ ii ,lj ε kpl ε kjr e p ⊗ er T r r r r rot d rot d (trace Σ ) I = σ ii ,lj δ lpjr e p ⊗ er = σ ii ,lj (δ lj δ pr − δ lr δ pj )e p ⊗ er T r r r r rot d rot d (trace Σ ) I = σ ii ,ll e p ⊗ e p − σ ii ,lp e p ⊗ el

d’où : T r (1 + ν)rot d (rot d Σ ) − ν( ∆ (trace Σ ) I − grad grad (trace Σ )) = 0



(

)

r r 2 sym grad div d E − ∆ E − grad grad (traceE ) = 0 avec E E = (1 + ν) Σ − ν trace Σ I

)  − ν grad (divr ( traceΣ) I ) + grad (divr ( traceΣ) I ) r − (1 + ν) ∆Σ + ν∆( trace Σ ) I − (1 − 2 ν) gradgrad ( trace Σ ) = 0 r r r div ( trace Σ ) I = grad ( trace Σ ) et grad grad opérateur symétrique (

)

(

T r r (1 + ν)  grad div d Σ + grad div d Σ 

avec :

CΣ

T

d

d

d

d’où :

(

)

(1 + ν)  grad divd Σ + grad 

r

T

( divr Σ) − ∆Σ − gradgradr ( traceΣ) + ν∆( traceΣ) I = 0 d

Une relation annexe nous servira : 76

C’Σ

Introduction

r ∆ traceE − div (div d E ) = 0

comme on l’a vu dans l’annexe 1 du chapitre I.

Or ceci se traduit en utilisant la loi de comportement : r (1 + ν) ∆ trace Σ − ν∆ trace((trace Σ ) I ) − div div d [(1 + ν) Σ − ν(trace Σ ) I ] = 0 r r ou (1 − 2 ν) ∆ trace Σ − (1 + ν)div divd Σ + νdiv div d (trace Σ ) I = 0 r r r r le dernier terme s’écrit : ν[σ ii , p δ kl ek ⊗ el ⋅ e p ],r ⋅ er = νσ ii ,ll = ν∆ trace Σ r d’où : (1 − ν) ∆ (trace Σ ) = (1 + ν)div div d Σ (relation annexe)

(

)

En utilisant l’équation de l’équilibre on obtient les équations dites de Beltrami (1892) Michell (1900) à partir de C’Σ : r r div d Σ = −ρF est porté dans C’Σ r T r r (1 + ν) ∆ Σ + grad grad (trace Σ ) − ν∆ (trace Σ ) I + ρ(1 + ν)( gradF + grad F ) = 0 Avec : ∆ (trace Σ ) = −ρ d’où : ∆Σ +

r 1+ ν div F 1− ν

extrait de la relation annexe

r r T r 1 ρν r grad grad (trace Σ ) + div F I + ρ( grad F + grad F ) = 0 1+ ν 1− ν

B

En résumé on dispose de six équations scalaires sous trois formes différentes (CΣ,C’Σ,B) pour les six inconnues (les composantes de Σ symétrique) à ajouter aux trois r r r r r équations d’équilibre, ceci dans D ; Σ devant vérifier Td = Σ ⋅ n sur ∂D1 (n ∈ (e1 , e2 )) . Il faudra en plus, si le domaine n’est pas simplement connexe rajouter les conditions de fermeture exprimées en fonction des contraintes. Excepté dans des cas très particuliers cette démarche est inutilisable car il n’existe pas de méthodologie simple pour résoudre ce problème mathématique compliqué. • Exemple 4 : Equilibre en élasticité plane dans le cas de contraintes planes pour un matériau isotrope. Avec σ 33 = 0 , la loi de comportement s’écrit : Eν  λ ′ = 1 − ν 2 Σ 22 = λ ′ (traceE 22 ) I 22 + 2µ E 22 avec :  traceE 22 = div ur dilatation carrée 2  Méthode des déplacements Après élimination des contraintes, on doit résoudre : r r r r r r r r r (λ ′ + µ ) grad 2 (div 2 u ) + µ∆ 2 u + ρF2 = 0 u et F2 ∈ (e1 , e2 ) r r sur ∂D2 avec u = ud

77

Introduction

Le problème est plan, ∂D2 est une courbe limitant partiellement D qui est une surface r r dans le plan (e1 , e2 ) Méthode des forces Les conditions de compatibilité se réduisent à quatre : E11,22 + E 22 ,11 = 2 E12 ,12

E 33,11 = E 33,22 = E 33,12 = 0 La loi de comportement s’écrit : 1+ ν ν E 22 = Σ 22 − (trace Σ 22 ) I 22 E E ν traceE 22 avec : E 33 = − 1− ν Ainsi E 33 , donc traceΣ 22 doit, en cartésiennes, être affine des coordonnées ce qui est exceptionnel. La première relation de compatibilité s’écrit : (σ 11 − νσ 22 ) ,22 + (σ 22 − νσ 11 ) ,11 = 2(1 + ν) σ 12 ,12 = − (1 + ν)[σ 11,11 + ρF1,1 + σ 22 ,22 + ρF2 ,2 ] Compte tenu de l’équation d’équilibre : r r r r r r div d Σ 22 + ρF2 = 0 avec : F2 = F1e1 + F2 e2 D’où :

r ∆ 2 (trace Σ 22 ) + ρ(1 + ν)div 2 F2 = 0 r r sur ∂D1 avec : Td = Σ ⋅ n r En toute rigueur on devrait avoir div 2 F2 = 0

Pratiquement on oublie les dernières conditions de compatibilité très rarement réalisées et on calcule un champ Σ approché. Enfin si le domaine plan est n uplement connexe il faut compléter par des conditions de fermeture. • Exemple 5 : Equilibre en élasticité plane dans le cas de déformations planes pour un matériau isotrope. Avec ε 33 = 0 la loi de comportement s’écrit :

(

)

Σ 22 = λ traceE 22 I 22 + 2µ E 22

avec : σ 33 = ν( σ 11 + σ 22 )

Méthode des déplacements On doit résoudre, après élimination des contraintes : r r r r r (λ + µ ) grad 2 (div 2 u ) + µ∆ 2 u + ρF2 = 0 r r sur ∂D2 avec : u = ud

78

Introduction

Méthode des forces Les conditions de compatibilité se réduisent à une seule : 1+ ν avec : E 22 = Σ 22 − ν trace Σ 22 I 22 E11,22 + E 22 ,11 = 2 E12 ,12 E soit : (1 − ν)σ 11 − νσ 22 ,22 + − νσ 11 + (1 − ν)σ 22 ,11 = 2σ 12 ,12

[

ou :

]

[

[

]

(

) ]

r σ 11,22 + σ 22 ,11 − ν∆ 2 (σ 11 + σ 22 ) = 2σ 12 ,12 = −(σ 11,11 + σ 22 ,22 ) − ρdiv 2 F2

Compte tenu de l’équation d’équilibre r 1 ∆ 2 trace Σ 22 + ρ(1 + ν ′)div 2 F2 = 0 avec : 1 + ν ′ = ou : 1− ν r r r r r avec : div d Σ 22 + ρF2 = 0 avec : Td = Σ ⋅ n sur ∂D1 Là encore on doit éventuellement compléter par des conditions de fermeture. Remarque 1 : On notera que dans les deux cas (contraintes planes ou déformations planes), si r div 2 F2 , les équations à résoudre ont la même allure et sont indépendantes du comportement du matériau isotrope. Ceci est à la base d’une méthode de mesure des contraintes dite de photoélasticimétrie. Remarque 2 : Fonction d’Airy. Airy a proposé une méthode qui porte son nom dans le cas où les forces de masse dérivent d’un potentiel w, soit, sont telles que : r r r F2 = − grad w(a1 , a 2 ) , ce qui implique div 2 F2 = −∆ 2 w r Σ = ∆ 2 ϕ I 22 − grad 2 ( grad 2 w) + ρwI 22 Il pose : ϕ (a1 , a 2 ) est la fonction de contraintes d’Airy. Ainsi :

σ 11 = ϕ ,22 + ρw  σ 22 = ϕ ,11 + ρw  σ 12 = − ϕ ,12

 1 1 σ rr = ϕ ,r + 2 ϕ ,θθ + ρw(r , θ) r r  en cartésiennes et : σ θθ = ϕ ,rr + ρw en cylindriques  σ = − ( 1 ϕ )  rθ r ,θ , r

L’équation d’équilibre s’écrit : r r r r div d ( ∆ 2 ϕ I 22 − grad 2 ( grad 2 ϕ) + ρwI 22 ) − ρgrad 2 w = 0 r r r r r ou : grad 2 ∆ 2 ϕ − grad 2 ∆ 2 ϕ + ρgrad 2 w − ρgrad 2 w = 0 Elle est donc identiquement vérifiée et il reste à écrire l’équation de compatibilité dans

D: ∆ 2 ( ∆ 2 ϕ ) + 2ρ∆ 2 w − ρ(1 + ν ′) ∆ 2 w = 0

79

Introduction

1 − 2ν ∆ 2 ( ∆ 2 ϕ ) = −ρ(1 − ν ′ ) ∆ 2 w = −ρ ∆ w dans D 1− ν 2 r r r r avec : Td = ( ∆ 2 ϕ + ρw)n − grad ( grad ϕ) ⋅ n sur ∂D1

ou :

ϕ est la seule inconnue à déterminer. On peut d’ailleurs calculer une solution particulière ϕ part de l’équation avec second membre vérifiant : ∆ 2 ϕ part = − (1 − ν ′)ρw Une solution générale de l’équation sans second membre sera harmonique et pourra s’écrire à partir de trois fonctions harmoniques H1 , H 2 , H 3 (théorème de Boggio). Ainsi en cartésiennes : comme on le vérifie aisément et : ϕ 1 = a1 H1 + a 2 H 2 + H 3 ϕ = ϕ 1 + ϕ part Il n’y a rien d’autre à imposer si le domaine est simplement connexe. La méthode peut aussi être utilisée pour les problèmes de contraintes planes. Sur les quelques problèmes envisagés le lecteur aura pu se rendre compte que tout n’est pas si simple, qu’il se rassure cependant grâce a ce qui a été formulé par de Saint Venant pour la première fois et est considéré comme un principe. Le principe de de Saint Venant r n ∆S

+P

Q

r Pour un problème donné les champs de déplacements u et de

contraintes Σ en P ne dépendent pratiquement, en ce qui concerne l’effet des efforts sur une portion petite ∆S de la surface extérieure, portion contenant Q, que du torseur réduit des actions en Q, si P est éloigné de Q, toutes choses étant non modifiées par ailleurs.

Autrement dit la distribution des champs en P est pratiquement la même pour deux distributions différentes sur ∆S mais ayant le même torseur réduit. Or la distribution exacte étant souvent mal connue sauf pour des problèmes académiques, cette insensibilité est la bienvenue : la nature est bien faite ! Pour une poutre, par exemple, éloignée signifie à des distances de trois ou quatre fois la plus grande dimension transversale de la section droite.

80

Introduction

Rappel sur certains résultats classiques de mathématiques utilisés en mécanique. Ces notes ont pour but d’exposer simplement les différents outils mathématiques utilisés par le mécanicien. Les fonctions sont supposées continues, munies de dérivées partielles jusqu'à l’ordre qui apparaît dans les formules. Les domaines sont simplement connexes. Les cas particuliers surchargeraient inutilement et doivent être étudiés cas par cas. On trouvera un rappel de calcul tensoriel en cartésiennes mais les résultats sont intrinsèques.

Sommaire

I. E3 et les éléments de ses puissances tensorielles II. Autre interprétation des tenseurs III. Changement de base dans E3 IV. Décomposition d’un tenseur de E3⊗2 V. Calcul différentiel - Formulaire VI. Calcul intégral Formules de Gauss Formule de Stokes Dérivée d’une intégrale (domaine mobile)

81

82 86 87 88 91 100 100 101 102

Introduction

I. E3 et les éléments de ses puissances tensorielles. r Considérons l’espace Euclidien E 3 rapporté à une base cartésienne orthonormée {ei } . r r Un élément de E 3 est un vecteur A = Ai ei tenseur d’ordre 1.

Considérons l’espace E 3⊗2 = E 3 ⊗ E 3 ( E 3 étant muni de la base

{er } )

seconde r r puissance tensorielle de E 3 . Un élément T de E 3⊗2 est un tenseur d’ordre 2 T = Tij ei ⊗ e j . r r Les neuf quantités Tij sont les composantes du tenseur sur la base ei ⊗ e j .

{

i

}

Considérons l’espace E 3⊗3 = E 3 ⊗ E 3 ⊗ E 3 troisième puissance tensorielle de E 3 . Un r r r élément S de E 3⊗3 est un tenseur d’ordre 3 S = S ijk ei ⊗ e j ⊗ ek . Les vingt sept quantités Sijk r r r sont les composantes du tenseur sur la base ei ⊗ e j ⊗ ek .

{

}

Etc. Eléments particuliers de ces espaces Certains tenseurs sont souvent rencontrés, nous en présentons quelques uns :

r r I = δ ij ei ⊗ e j ou δ ij est le symbole de Kronecker. r r r • Tenseur d’orientation de E 3⊗3 θ = ε ijk ei ⊗ e j ⊗ ek ou ε ijk est le symbole de Levi-Civita • Tenseur unité de E 3⊗2 :

tel que ε ijk = 1 si la permutation {i , j , k } est paire, ε ijk = −1 si elle est impaire, ε ijk = 0 si deux indices au moins sont égaux.

• Tenseur d’antisymétrisation de E 3⊗4 : tenseur δ . Le terme général de ce tenseur est : δ ip δ iq δ ijpq = = δ ip δ jq − δ jp δ iq = ε ijk ε pqk ⇒ δ = θ ⋅ θ δ jp δ jq • Tenseur

d’antisymétrisation

de

δ ip

δ iq

δ ir

δ ijkpqr = δ jp

δ jq

δ jr = ε ijk ε pqr

δ kp

δ kq

δ kr

E 3⊗6 .

Le

terme

général

de

ce

tenseur

est :

terme de θ ⊗ θ

On vérifie simplement les relations : δ ii = 3 δ ij δ ij = 3 δ ip δ pj = δ ij ε ijk ε pjk = 2δ ip

ε ijk ε ijk = 6 δ ijkpqk = δ ijpq

δ ijpj = 2δ ip

Enfin det T est noté T ou T et ε ijk Tip T jq Tkr = ε pqr det T d’où en multipliant par 1 ε : 6 pqr

⇒

1 ε ε T T T = det T 6 ijk pqr ip jq kr

82

Introduction

Opérations sur les tenseurs d’un même espace E 3⊗ n Loi interne : addition (T1 + T2 ) + T3 = T1 + (T2 + T3 ) T + T = T + T  1 2 2 1 structure de groupe abélien (T1 + T2 ) ij = (T1 ) ij + (T2 ) ij  T1 + 0 = 0 + T1 T1 + ( − T1 ) = 0 Loi externe : multiplication par un scalaire de R (tenseur d’ordre zéro). (α + β)T = αT + βT α(T + T ) = αT + αT  1 2 1 2 (αT ) ij = αTij  α(βT ) = (αβ)T 1T = T Les espaces E 3⊗ n ont une structure d’espace vectoriel.

Multiplication tensorielle r r r Soit S = S ijk ei ⊗ e j ⊗ ek ∈ E 3⊗3

P = S ⊗ T ∈ E 3⊗5 si Pijkpq = S ijk Tpq

r r T = Tpq e p ⊗ eq ∈ E 3⊗2

et

{

}

r r r r r (base ei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ e p ⊗ eq ).

P tenseur de E 3⊗5 est le produit tensoriel de S par T à droite (non commutatif).

De telles opérations sont associatives. Exemples :

r r r r A ⊗ B = Ai B j ei ⊗ e j ∈ E 3⊗2 Dyad r r r r r r A ⊗ B ⊗ C = Ai B j Ck ei ⊗ e j ⊗ ek ∈ E 3⊗3

Multiplication tensorielle contractée une fois

Q = S ⋅ T ∈ E 3⊗(5−2 ) si Qijq = Sijk Tkq

{

}

r r r (base ei ⊗ e j ⊗ eq )

On égale le dernier indice k de S avec le premier p de T et on somme sur k en r r r r remplaçant ek ⊗ e p par ek ⋅ e p = δ kp . Remarque : On définit aussi la contraction d’un tenseur

r Exemples : S contracté = Sijj ei

; T contracté = Tii = traceT

83

Introduction

Exemples de multiplication contractée : r B

θ

r A

r r r r r r • A ⋅ B = Ai Bi = A B cos θ = trace( A ⊗ B) produit scalaire classique r r r • Y = T ⋅ A = Tij A j ei : multiplication à droite d’un tenseur par un vecteur

notée matriciellement Y = TA ou Y et A sont des vecteurs colonnes. r r r • Z = A ⋅ T = Ai Tij e j : multiplication à gauche d’un tenseur par un vecteur notée matriciellement Z T = A T T (ou T est le symbole de transposition). r r • R = T (1) ⋅ T ( 2 ) = T(1)ij T( 2 ) jk ei ⊗ ek opération associée à la multiplication matricielle classique notée R = T(1) T( 2 ) . Multiplication contractée deux fois

r P = S: T ∈ E 3⊗(5−4 )

Pi = S ijk Tkj

r Base {ei } . On décide de toujours contracter par indices

proches. Exemples : r r r r r r r r r r r r r C = θ: B ⊗ A = ε ijk Bk A j ei = A ∧ B = A B sin θn = 2 S OPR n = S OPQR n = B ⊗ A: θ r r r C = A∧ B r n C’est le produit vectoriel classique auquel on associe des r mesures de surfaces. B R O

θ

r A

r r r On notera que e j ∧ ek = ε ijk ei

P Q

r r r r r r r r r θ: C ⊗ B ⊗ A = ε ijk Ck B j Ai = ( A, B , C ) = A ⋅ ( B ∧ C ) = 6VOPQR = VOPQRSTUV r A

R

r B

O r C

P

U V

T

C’est le produit mixte classique auquel on associe des mesures de volume algébriques.

Q S

Σ: E = Σ ij E ji = trace( Σ ⋅ E ) c’est un scalaire.

84

Introduction

On note que chaque contraction diminue de deux unités l’ordre du tenseur qu’on obtiendrait sans contraction. r r Onrrappelle r des r r formules r r :r A ∧ ( B ∧ C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B)C double produit vectoriel r r r r r r r r r r r r ( A ∧ B) ⋅ (C ∧ D) = ( A ⋅ C )( B ⋅ D) − ( A ⋅ D)( B ⋅ C ) Cette formule se démontre à rpartir r der la précédente en considérant que le terme de gauche est un produit mixte de type U ⋅ (C ∧ D) . r r r r r r r r r r r r ( A ∧ B ) ∧ ( C ∧ D ) = ( A, B , D ) C − ( A, B , C ) D r r r r r r r r r r r r r r r r d’où : ( A, B, C ) D = ( B, C , D) A + (C , A, D) B + ( A, B, D)C

85

Introduction

II. Autre interprétation des tenseurs. • Tenseur d’ordre 2 r r T est un opérateur linéaire qui ∀X ∈ E 3 fait correspondre Y ∈ E 3 tel que : r r r r Y = T(X) si T (e j ) = Tij ei r r r La donnée de T (e1 ) T (e2 ) T (e3 ) c’est à dire de la matrice T suffit pour connaître T.

r r linéarité r T ( X j e j ) = Tij X j ei = Y ⇔ Yi = Tij X j

r r Si on pose T = Tij ei ⊗ e j

(Y = TX )

r r Y =T⋅X

Forme bilinéaire associée :

def r r r r Z ⋅ T ⋅ X = Z i Tij X j = T ( Z , X ) ( Z T TX )  r r avec T (ei , e j ) = Tij

Ainsi l’étude des tenseurs du deuxième ordre s’identifie à l’étude des matrices carrées (1 indice de ligne, 2ème indice de colonne). er

Si quelque soit la base Z i Tij X j est un scalaire invariant alors T est un tenseur. Exemples de tenseurs comme opérateur linéaire : Ω ij = −Ω k {i , j , k } = {1,2,3} ou {2,3,1} ou {3,1,2} r si : Ω =Ω∧  Ω ij = −Ω ji et Ω ii = 0 r r r T r r r T T :∀U et V U ⋅ T ⋅ V = V ⋅ T ⋅ U

• Tenseur d’ordre 3 r S est un opérateur linéaire qui ∀X ∈ E 3 fait correspondre W ∈ E 3⊗2 tel que : r r r W = L( X ) = Sijk X k ei ⊗ e j ou : Wij = Sijk X k

Forme trilinéaire associée :

r r r def S( X , Y , Z ) = Sijk X i Y j Z k

86

Introduction

III. Changement de base dans E3. Si r que : E i

{er }

r est une base de référence et { E i } r r r = S ji ei (ici ei et E i sont quelconques) i

nouvellebase

une nouvelle base telle

anciennebase

S est la matrice de passage dont les colonnes sont constituées par les composantes des nouveaux vecteurs de base sur l’ancienne base. r r r Soit X ∈ E 3 : X = X i ei , T un opérateur linéaire de matrice T dans la même base tel r r r que : Y = T ( X ) = T ⋅ X r r r Y = TX est l’écriture matricielle de Y = T ( X ) dans {ei } . r Mais on peut aussi utiliser la base { E i } où on pose : r r r r X = X i* E i Y = Yi * E i

r r Ainsi : X i* E i = X i* S ji e j ⇔ X j = S ji X i* ⇔ X = SX * ,

de même :

Y = SY *

Alors : Y = TX ⇔ SY * = TSX * ⇒ Y * = S −1TSX * S ≠0

Finalement :

Y * = S −1TSX * = T * X * T * = S −1TS

On dit que T * est transmuée de T par S ou que T et T * sont semblables. Cas de changement de bases orthonormées. r r Si {ei } et { E i } sont des bases orthonormées S est orthogonale. On fait toujours choix de bases directes alors S est orthogonale droite. S −1 = S T S = det S = 1

X * = ST X

T * = S T TS

r r Plus généralement E 3 étant rapporté à des bases orthonormées {ei } et {ei* } on a en utilisant les propriétés de linéarité des opérateurs : r r r r Tkl* = T (ek* , el* ) = T ( S ik ei , S jl e j ) = S ik S jl Tij

Sijk* = S pi S qj S rk S pqr

De telles formulations peuvent être utilisées comme critère de tensorialité.

87

Introduction

IV. Décomposition d’un tenseur de E 3⊗2 .

r r Soit T = Tij ei ⊗ e j ∈ E 3⊗2 . On peut le décomposer en somme ou en produit. IV.1. Décomposition en somme. T

T

T +T T−T T= + =S+A 2 2 S est symétrique, A est antisymétrique et comme trace A = 0 , traceS = traceT .

IV.1.1. Le tenseur symétrique S . S peut être décomposé en un tenseur moyen isotrope et un déviateur : δ ij  r r 1 S = (traceS ) I +  sij − (traceS ) ei ⊗ e j 3 4243  3  1 1 4444 24444 3 tenseur moyen isotrope déviateur de trace nulle

r r r ∀X ∈ E 3 on peur faire correspondre Y = S ⋅ X

r r Y = S( X )

r r r Si S ⋅ X = λ I ⋅ X ou λ est un scalaire, X est un vecteur propre par définition et λ la valeur propre associée : r r S − λI ⋅ X = 0 ou matriciellement ( S − λI ) X = 0

[

]

SX = λIX ⇔ SX et X sont colinéaires Donc :  det (S-λI)=0 est l' équation caractéristique indépendante de la base

[

]

det( S − λI ) = − λ3 − I 1λ2 + I 2 λ − I 3 = 0

[

]

1   det( S − λI ) = λ3 det I − traceS λ2 + − trace( S ⋅ S ) + (traceS ) 2 λ − det S  2    I = traceS = s + s + s = λ + λ + λ 11 22 33 1 2 3  1 1  2  I 2 = 2 − trace( S ⋅ S ) + (traceS ) = s11 s22 + s22 s33 + s33 s11 − s12 s21 − s23 s32 − s31 s13 avec :  1  = ( sii s jj − sij s ji ) = λ 1λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ 1 2    I 3 = S = det S = λ 1λ 2 λ 3

[

]

I 2* = trace( S ⋅ S ) = S: S 3 1  I 3* = traceS = traceS ⋅ S ⋅ S ⇒  ( I 13 − 3I 1 I 2* + 2 I 3* ) = I 3  6 

88

Introduction

I 1 , I 2 , I 3 ou I 1* , I 2* , I 3* sont les invariants du tenseur. On sait que : Les valeurs propres sont réelles. Les vecteurs propres sont orthogonaux si les valeurs propres sont distinctes. Les vecteurs propres sont définis à une constante multiplicative près et on peut toujours r construire une base de trois vecteurs b orthonormée telle que : r r r r r bi 2 = 1 S ⋅ bi = λ i bi bi ⋅ b j = δ ij

{}

Cette base est unique si les λ i sont distincts. La transformation S conservant trois directions privilégiées orthogonales s’appelle une affinité symétrique. Quadrique associée à S

r r r r Soit X quelconque, une base {ei } telle que X = X i ei (matrice colonne associée X). Soit S la matrice de S dans la même base. X T SX = ϕ( X 1 , X 2 , X 3 ) est une forme quadratique associée. Le lieu des points tels que ϕ ( X 1 , X 2 , X 3 ) = ±1 , le signe étant choisi pour rendre le lieu réel, est la quadrique associée au tenseur. r r 1 r r X T SX = X i Sij X j = ϕ et gradϕ = S ij X j ei = S ⋅ X ⇒ S ⋅ X est normal à la quadrique. 2

r X O Mi

x1( i )

r OM i x 2( i ) x 3( i )

r S⋅X

r S⋅X

Sur les r axes principaux colinéaire à X .

r S ⋅ OM i

r Ainsi sur OM i associée à λ i

Direction principale

1 (i )  2 ϕ ,1 = λ i x1  1 (i ) 1 (i )  ϕ ,2 = λ i x 2 ⇒ ( x j ϕ , j ) = 2 2 1  (i )  2 ϕ ,3 = λ i x 3

r λ i OM i2

ϕ homogène de degré 2

=

ϕ = ±1 ⇒ λ i = ±

sans sommation sur i

1 r OM i2

Exemples λ 1 , λ 2 , λ 3 > 0 ϕ = +1

λ 1 , λ 2 , λ 3 < 0 ϕ = −1

λ 1 , λ 2 > 0 λ 3 < 0 ϕ = −1

3 ϕ = +1

Ellipsoïde

Ellipsoïde 89

ϕ = −1

2

1 Deux nappes hyperboloïdes

est

Introduction

IV.1.1. Le tenseur antisymétrique A . r A A on associe un vecteur adjoint A :

r θ 1 r r A = : A = ε ijk Akj ei = Ai ei 2 2  0 A12 A13  A1 = − A23 r   Aij =  A21 0 A23  Ar A2 = − A31 base { ei }  A31 A32 0  A3 = − A12 r r r r r A ⋅ X = A ∧ X = Aij X j ei ∀X ∈ E 3 r r r r r comme A⋅ A = 0 A∧ A = 0 r Inversement A jk = − ε ijk Ai ⇔ A = − A ⋅ θ r r A = Aij ei ⊗ e j

Aij = − A ji

[ ]

r r r r r r θ r r r r Exemple : La partie antisymétrique de B ⊗ A est :( B ⊗ A − A ⊗ B) = θ: B ⊗ A = A ∧ B 2

IV.2. Décomposition en produit (si det T ≠ 0 ). On peut écrire T = R ⋅ U = V ⋅ R , R étant orthogonal droit, U et V étant symétriques à valeurs propres positives tels que V = R ⋅ U ⋅ R

T

démonstration : T

P = T ⋅ T est symétrique et sur ses axes principaux Pii 3

=

sans sommation sur i

Tki Tki ≥ 0 l’égalité

étant exclue puisque P = ∏ Pii = T > 0 2

i =1

Si T = R ⋅ U (avec R orthogonale droite) P = U ⋅ U = U

2

et U possède les mêmes

directions propres que P , ses valeurs propres élevées au carré sont celles de P (théorème de Hilbert-Dirac). Celles de P sont positives, si on choisit de prendre des valeurs propres positives pour U , elles sont uniques et U est unique et inversible ( det U = det T ) et 1/ 2

finalement son existence en tant que P

R = T ⋅U T

−1

−1

est indépendante de la décomposition espérée de T . T

est T

R ⋅ R = (U ) T ⋅ T ⋅ T ⋅ V

−1

orthogonale −1

= (U ) T ⋅ U ⋅ U ⋅ U

T

car −1

R ⋅R = I .

En

effet

=I

Posons V = R ⋅ U ⋅ R alors T = V ⋅ R où V est symétrique mais rdiffère de U par ses directions principales, les valeurs propres étant les mêmes. En effet si Gi est vecteur propre r r r r T de U associé à la valeur propre λ i : V ⋅ ( R ⋅ Gi ) = R ⋅ U ⋅ R ⋅ R ⋅ Gi = R ⋅ U ⋅ Gi = λ i R ⋅ Gi r (sans sommation). En plus R ⋅ Gi est direction propre de V .

90

Introduction

V. Calcul différentiel (cartésiennes). Gradient - Opérateur Nabla ∂ r r r L’opérateur ei noté aussi ,i ei ou ∂ i ei est l’opérateur gradient ou grad et on l’écrit ∂xi r symboliquement ∇ , on dit qu’on utilise la notation nabla non orientée.

Il est agréable, pour alléger certaines écritures, en particulier lorsque les opérations de transposition apparaissent, d’introduire les nabla orientés. On pose : v v ∂ r ∇= e ou > signifie que ∇ agit sur le premier indice rencontré à la gauche du tenseur ∂xi i placé à droite. w w ∂ r ∇= e ou < signifie que ∇ agit sur le premier indice rencontré à la droite du tenseur placé ∂xi i à gauche. On travaille dans E 3 et dans les espaces tensoriels associés. ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) désigne une fonction réelle à valeur dans R (scalaire) r r A( x1 , x 2 , x 3 ) = Ai ei ∈ E 3 r r T = Tij ei ⊗ e j ∈ E 3⊗2 r n désigne un unitaire, M a les coordonnées xi ϕ fonction scalaire v w r r r r r ∇ϕ = ϕ∇ = grad ϕ = ϕ ,i ei définit le vecteur grad ϕ ; grad ϕ ⋅ dM = dϕ v v w w v r ∇ ⋅ ∇ϕ = ϕ∇ ⋅ ∇ = div grad ϕ = ϕ ,ii définit le Laplacien de ϕ : ∇ 2 ϕ ou ∆ ϕ , c’est un r scalaire. C’est aussi : trace( grad grad ϕ ) .

r A vecteur

w rw r r r r ∂ r r r r A∇ = Ai ei ⊗ e j = Ai , j ei ⊗ e j définit le tenseur grad A ; grad A ⋅ dM = dA ∂x j les lignes de la matrice associée sont les gradients des Ai . v vr r r T r T r ∂ r r r r ∇A = e j ⊗ Ai ei = Ai , j e j ⊗ ei définit le tenseur grad A ; dM ⋅ grad A = dA ∂x j les colonnes de la matrice associée sont les gradients des Ai . On note que, dans une écriture matricielle, dans la première écriture dM et dA apparaîtront sous forme de vecteurs colonne et dans la seconde sous forme de vecteurs ligne.

91

Introduction

Par contraction : r w v r r r T r A ⋅ ∇ = ∇ ⋅ A = Ai ,i définit le scalaire div A = trace( grad A) = trace( grad A) v r r w r ∂ r r r r r définit le vecteur rot g A = − A ∧ ∇ ∇∧ A= ei ∧ A j e j = ε ijk A j ,i ek = θ: grad A ∂xi r r r e1 e2 e3 r r symboliquement : rot g A = ,1 définit le vecteur rotationnel classique ,2 ,3 A1

A2

A3

(sans l’indice g pour à gauche). r r T r r r On définit le tenseur rotationnel par rot A = grad A − grad A = ( Ak , j − A j ,k )ek ⊗ e j r rot A 1 r r alors le vecteur adjoint au tenseur est rot A 2 2

r r r θ rot A = : rot A 2 r r r r rot A r rot A r ⋅X = ∧ X ∀X 2 2 v vr rw w r r r ∇ ⋅ ∇A = A∇ ⋅ ∇ = Ai , jj ei définit le Laplacien vectoriel de A noté ∆A . T tenseur

v ∂ r r r r r r ∇T = ek ⊗ Tij ei ⊗ e j = Tij ,k ek ⊗ ei ⊗ e j c’est un tenseur de E 3⊗3 ∂x k v (∇T ) kij = Tij ,k w r r r T∇ = Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek c’est un autre tenseur de E 3⊗3 w (T∇) ijk = Tij ,k Par contraction : v r ∇ ⋅ T = Tij ,i e j est un vecteur :

r div g T (lire divergence à gauche de T )

On forme le vecteur en prenant la divergence des colonnes de la matrice de T (inutilisé)

w r T ⋅ ∇ = Tij , j ei est un vecteur : r r T On a : div g T = div d T

r div d T (lire divergence à droite de T )

v r r def ∇ ∧ T = Tkm, p ε pkq eq ⊗ em = rot g T

est le rotationnel du tenseur T . On le nomme rotationnel

à gauche ou de colonne. w r r def T ∧ ∇ = Trs , p ε spq er ⊗ eq = − rot d T

On le nomme rotationnel à droite ou de ligne.

92

Introduction

w On construit la matrice du tenseur T ∧ ∇ en remplaçant chaque ligne de T par son rotationnel et en changeant les signes (peu utilisé).

w v T On a : T ∧ ∇ = − (∇ ∧ T ) T et :

T

rot g T = (rot d T ) T

v v v r r ∇ ⋅ ∇T = ∇ 2 T = Tij ,kk ei ⊗ e j définit le Laplacien tensoriel noté ∆T . Dérivée directionnelle On a parfois besoin de certains produits contractés : r v A ⋅ ∇ϕ = A j ϕ , j est noté r r r grad X ⋅ A = X i , j A j ei est noté w r dϕ r v = n ⋅ ∇ϕ = ϕ∇ ⋅ n dn r dA r v r r w r = n ⋅ ∇ A = A∇ ⋅ n dn w r dT r v = n ⋅ ∇T = T∇ ⋅ n dn

r ( A ⋅ grad )ϕ parfois r r ( A ⋅ grad ) X parfois

On trouvera dans les pages qui suivent un formulaire. Dans la première page les formules sont données sans démonstration, on ne fait pas usage de la notation nabla. Dans la seconde page les formules sont démontrées avec l’écriture en nabla orienté mais les démonstrations sont faites en cartésiennes seulement. Enfin quelques résultats en coordonnées quelconques, mais toujours avec des bases orthonormées complètent ce paragraphe de rappel sur le calcul différentiel.

93

Introduction

Formulaire I

r r r r r r r r r r r r r r r r θ: B ⊗ A = A ∧ B ; θ: C ⊗ B ⊗ A = ( A, B, C ) = A ⋅ ( B ∧ C ) ; rot A = θ: grad A r r  div (rot A) = 0 r r r r r  ∆ ( grad r r f grad ) = (∆ f ) rot ( grad f ) = 0  r r r r r r  ⇒ ∆ (rot A) = rot ( ∆ A) v def r r r r div ( grad f ) = ∇ 2 f = ∆ f  div A div A) ∆ ( ) = ( ∆ r r r r r r r rot (rot A) = grad (divA) − ∆A r r r r r  grad ( fg ) = f grad g + g grad f ⇒ ∆ ( fg ) = f∆ g + 2 grad f ⋅ grad g + g∆ f r r r  r  grad ( fA) = f grad A + A ⊗ grad f ⇑ r r r r r r r  div ( fA ) = f div A + A ⋅ grad f ⇒ div ( f grad g ) = f∆ g + grad f ⋅ grad g  r r r r r r rot  ( fA) = f rot A + grad f ∧ A r  grad ( f T ) = f grad T + T ⊗ grad f  r divr ( f T ) = f divr T + T ⋅ grad f d  d r r r rot d ( f T ) = f rot d T − Tgrad f ⇒ rot ( f I ) = − I ∧ grad f antisymétrique de vecteur adjoint − grad f  r r r r r r r r   grad ( A ⊗ B) = A ⊗ gradB + grad A ⊗ B + grad A ⊗ B: δ avec: δ = θ ⋅ θ r r r r r r r r   grad ( B ∧ A) = grad (θ: A ⊗ B) = θ: A ⊗ grad B − θ: B ⊗ grad A r r r r  r r r div d ( A ⊗ B) = A div B + grad A ⋅ B r r  T rot d (OM ∧ T ) = OM ∧ rot d T − T + (traceT ) I  r r T r rot d symétrique ⇒ div d T − grad (traceT ) = 0  r r r r r r r r r r r r r r r divr ( A ⊗ B − B ⊗ A) = rot ( A ∧ B) = grad A ⋅ B − gradB ⋅ A + A div B − B div A d  r r r r r r r r div ( A ∧ B ) = B ⋅ rot A − A ⋅ rot B r r r r r r r r r r r r r r r r r  grad ( A ⋅ B ) = A ⋅ grad B + B ⋅ grad A = gradB ⋅ A + grad A ⋅ B + A ∧ rot B + B ∧ rot A  r r r r r r r  r r r r r r r r r r r  grad ( A ⋅ B ) + rot ( B ∧ A) = A ∧ rot B + B ∧ rot A + 2 gradB ⋅ A + B div A − Adiv B r r r r r r r r r r C ⋅ gradB ⋅ A = A ⋅ gradB ⋅ C + ( A, C , rot B) div ( Ar ⋅ T ) = divr T ⋅ Ar + T: grad T Ar  d  r r r r r r T div (T ⋅ A) = div g T ⋅ A + T: grad A avec div g T = div d T r r r r 1 r r T r T r r r r grad A ⋅ A = ( grad A + grad A − grad A) ⋅ A = grad ( A 2 ) + rot A ∧ A 2 r r r div d (T ⊗ A) = grad T ⋅ A + Tdiv A T

T = T ⇒ trace(rot d T ) = trace(rot g T ) = 0 r r r T T r T = − T de vecteur adjoint T ⇒ rot d T = div T I − grad T puisque T = −θ ⋅ T

94

Introduction

Formulaire II

v w r rw r v r r w rw r r r v r grad f = ∇f = f ∇ ; grad A = A∇ ; div A = ∇ ⋅ A = A ⋅ ∇ ; rot A = ∇ ∧ A = θ: A∇ v v r  ∇ ⋅ ∇ ∧ A = 0 ← ε ijk Ak , ji = 0  v v r r r r v v ∇ ∧ ∇f = 0 ← ε ijk f , kj ei = 0  ∆ ( ∇f ) = ∇( ∆ f ) r v r v v v v r r  ∇ ⋅ ∇f = ∇ 2 f = ∆ f  ⇒ ∆ (∇ ∧ A) = ∇ ∧ ∆ A v r v r r v v r v v r v v r  ∆ ( ∇ ⋅ A ) = ∇ ⋅ ( ∆ A) ∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇(∇ ⋅ A) − (∇ ⋅ ∇) A  r r r ε ijk ( ε klm Am,l ) , j ei = (δ il δ jm − δ im δ jl ) Am,lj ei = ( A j ,ij − Ai , jj )ei  v v v v v r r ∇( fg ) = f ∇g + g∇f ← ( fg ) ,i ei = ( f ,i g + g ,i f )ei ⇒ ∆ ( fg ) = f∆ g + 2∇f ⋅ ∇g + g∆ f  r w rw r v ( fA)∇ = fA∇ + A ⊗ ∇f ← ( fAi ) , j = fAi , j + Ai f , j ⇑ v w w w r w r v  r w ( fA) ⋅ ∇ = fA ⋅ ∇ + A ⋅ ∇f par contraction ⇒ ( f ∇g ) ⋅ ∇ = f∆ g + f ∇ ⋅ g ∇ v v r v r r r w ∇ ∧ fA = f ∇ ∧ A + ∇f ∧ A = θ:( fA)∇ ← ε ijk ( fAk ) , j = fε ijk Ak , j + ε ijk Ak f , j w w v ( f T )∇ = f (T∇) + T ⊗ ∇f ← ( fT ) = f T + fT ij , k , k ij ij , k  w w w ( f T ) ⋅ ∇ = f (T ⋅ ∇) + T ⋅ f ∇ par contraction  w w w ( f T ) ∧ ∇ = f (T ∧ ∇) + T ∧ f ∇  r rw r  r r w r rw rw ( A ⊗ B)∇ = A ⊗ B∇ + A∇ ⊗ B + ( A∇ ⊗ B ): δ r r r  Ai ,q Br δrqjk e ⊗e ⊗e i j k  64444 4744444 8 ( A B + A B )er ⊗ er ⊗ er = ( A B + A B + A B − A B )er ⊗ er ⊗ er i j ,k i j k i j ,k i, j k i ,k j i, j k i j k  i ,k j w r r w r r w r r w r r  (θ: A ⊗ B)∇ = θ: A ⊗ B∇ − θ: B ⊗ A∇ = ( B ∧ A)∇ ( ε A B ) = ε A B − ε A B  rlji i r j w, k rljiv i r j ,k r w lji r i ,k j ( A ⊗ B) ⋅ ∇ = A∇ ⋅ B + A∇ ⋅ B par contraction  w w r r T (OM ∧ T ) ∧ ∇ = OM ∧ ( T ∧ ∇ ) + T − traceT I (utiliser θ ⋅ θ = δ )  w w T w r w T w  T ∧ ∇ = ( T ∧ ∇ ) ⇒ T ∇ − ( traceT ) ∇ = 0 (calculer θ : T ∧ ∇ )    v r r r r r r w rw r rw r r r w r r w ∇ ∧ ( A ∧ B ) = ( A ⊗ B − B ⊗ A) ⋅ ∇ = A∇ ⋅ B − B∇ ⋅ A + A( B ⋅ ∇) − B( A ⋅ ∇)  r r r r ε lmi ε ijk ( Bk A j ) ,m el = δ lmjk ( Bk A j ) ,m el = (δ lj δ mk − δ mj δ lk )( Bk A j ) ,m el = ( Al Bm ) ,m − ( Bl Am ) ,m el r v r r v r v r r ∇ ⋅ ( A ∧ B ) = B ⋅ (∇ ∧ A) − A ⋅ (∇ ∧ B ) ← ( ε ijk Bk A j ) ,i = ε ijk A j ,i Bk + ε ijk A j Bk ,i v r v r r r w r rw r rw rw r rw r r r ( A ⋅ B )∇ = A ⋅ B∇ + B ⋅ A∇ = B∇ ⋅ A + A∇ ⋅ B + A ∧ (∇ ∧ B) + B ∧ (∇ ∧ A)  r r r ( A j B j )ei = ( B j A j ,i + A j B j ,i )ei = ( A j ,i − Ai , j ) B j + Ai , j B j + Bi , j A j + ( B j ,i − Bi , j ) A j ei  r rw r r rw r r r v r C ⋅ B∇ ⋅ A = A ⋅ B∇ ⋅ C + ( A, C , ∇ ∧ B )  ε ijk ε kqr Br ,q C j Ai = δ ijqr Br ,q C j Ai = (δ iq δ jr − δ jq δ ir ) Br ,q C j Ai = C j B j ,i Ai − Ai Bi , j C j

[

[

]

]

95

Introduction

w r w r rw ( A ⋅ T ) ⋅ ∇ = A ⋅ (T ⋅ ∇) + T:( A∇) T ← ( A T ) = A T + A T i ij , j i ij , j i , j ij   v r w r rw (T ⋅ A) ⋅ ∇ = (∇ ⋅ T ) ⋅ A + T: A∇ ← (Tij A j ) ,i = Tij ,i A j + Tij A j ,i v r rw r 1 v r r rw r 1v r r A∇ ⋅ A = ∇( A 2 ) + (∇ ∧ A) ∧ A ← ∇( A 2 ) = A j ,i A j ei = ( A∇) T ⋅ A 2 2 w r v r r w (T ⊗ A) ⋅ ∇ = T∇ ⋅ A + T∇ ⋅ A ← (Tij Ak ) ,k = Tij , k Ak + Tij Ak ,k

Coordonnées non cartésiennes

r r dP = hi dq i ei

h1h2 h3 = g 1 1 ω ji = h j ,i dq j − hi , j dqi hi hj

r r dei = ω ji e j

Opérateur gradient orienté : w 1 r w ∇ = ⊗∂ i ei hi

v 1 rr ∇ = ei ∂ i ⊗ hi

rw r w 1 r h = u ∇ = u ⊗ ∂ i ei hi vr 1 rv T r h = ∇u = ei ∂ i ⊗ u hi

v w 1 r ∇f = f ∇ = f ,i ei hi r r df = grad f ⋅ dP

dV = gdq1dq 2 dq 3 r r r r dei = ω ⋅ ei = ω ∧ ei

r r du = h ⋅ dP r T r du = dP ⋅ h

h+h E= 2

T

h−h Ω= 2

T

r n r u

dS dV

 r r w v r g 1 ( ui ) ,i div u = u ⋅ ∇ = ∇ ⋅ u = traceE = g hi   r r  r u ⋅ dSn ∫ div u = lim dV → 0 dV 

 r 1 r r Ω = 2 rot u est le vecteur adjoint de Ω r h1e1  1  r r v r rot u = ∇ ∧ u et en déterminant symbolique ,1 g  h1u1  r r u ⋅ dl ∫ r r r n ⋅ rot u = dSlim →0 dS

r h2 e21

r h3 e3

,2

,3

h2 u2

h3 u3

w divr T = T ⋅ ∇  d     r  Tki  r Tkk 1 1  hk , j Tij + ∑  hi ,k − hk ,i  ei div d T = ∑ ∑ Tij , j + ∑ ∑ h h h h h h h   i j j k k j j k k i k i    j≠k 

96

r dl

r u r n

dS

Introduction

v v Laplacien ∇ ⋅ ∇ w w v v r f f ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ = div grad f = ∇ 2 f = ∆ f   1  g  1  h j hk  v v    f f ∇ ⋅ ∇ = = f  2 , i  h  h1h2 h3  hi ,i  ,i g   i ,i  r r r r r r  2r ∇ u ou ∆ u = grad (div u ) − rot (rot u )

i≠ j≠k

Cylindriques dθ θ z

r ez

r P

r r r r dP = drer + rdθeθ + dzez r eθ r er

h1 = 1 h2 = r h3 = 1 h2 ,1 = 1 r r r r u = u r er + u θ eθ + u z e z r r r r der = dθeθ deθ = −dθer

r r ω 21 = + dθ ω = dθez

− uθ 1 1      0  u r , r ur ,θ ur ,z  0 ( u r ,θ − uθ ) u r , z  r r r      ur 1 1 0 = uθ ,r uθ ,θ uθ , z  + 0 (uθ ,θ + ur ) uθ ,z  r r r      1 0 0  1 0  u z ,θ u z , z u z ,r u z ,θ u z ,z       r r     1 1 1 1 r div u = ur ,r + uθ ,θ + ur + u z ,z = (rur ) ,r + uθ ,θ + u z , z r r r r u 2    1  ∆ ur − 2r − 2 uθ ,θ  r r r  r r u z ,θ − u θ , z  er reθ ez    uθ 2  r  r r 1 r rot u = = u − u ∆ u = ∆ u − + u     ,θ ,z r ,z z ,r θ r r r r r r r ,r r r 2 r ,θ  ( er ,eθ ,ez ) ( er ,eθ ,ez )    uθ 1 u r uθ u z ∆ uz  uθ ,r − ur ,θ +   r r      f ,r   1  1 1 1 1 r grad f =  f ,θ  ∆ f = f ,rr + f ,r + 2 f ,θθ + f , zz = rf ,r + 2 f ,θθ + f , zz ,r r r r r ( err ,erz ,erθ ) r  f  ,z  1 1    Trr ,r + r Trθ ,θ + Trz ,z + r ( Trr − Tθθ )    1 1 r divd T = Tθr ,r + Tθθ ,θ + Tθz ,z + ( Trθ + Tθr ) r r r r r ( er ,eθ ,ez )   1 1   Tzr ,r + Tzθ ,θ + Tzz ,z + Tzr   r r uθ 1 1 1    u r ,r 2 ( r u r ,θ + r ( r ) ,r ) 2 ( u r , z + u z ,r )   h + hT  1 1 1 E= = ( u θ ,θ + u r ) ( u θ , z + u z ,θ )  2 2 r r   sym u   z ,z  

 u r ,r  rw mat (u ∇) = h = uθ ,r  u  z ,r

( )

97

Introduction

Sphériques r er r eϕ

r sin θ P

ϕ θ

r

r cos θ

dϕ

derr  r deθ  r deϕ

r eθ

dθ r r = dθeθ + sin θdϕeϕ r r = − dθer + cos θdϕeϕ r r = − sin θdϕer − cos θdϕeθ

r r r r dP = drer + rdθeθ + r sin θdϕeϕ h1 = 1 h2 = r h3 = r sin θ h2 ,1 = 1 h3,1 = sin θ h3,2 = r cos θ ω 21 = + dθ ω 31 = + sin θdϕ ω 32 = + cos θdϕ  cos θdϕ  r   r ω r r = − sin θdϕ  ( er ,eθ ,eϕ )  dθ    r r r r u = u r er + u θ eθ + u z e z

1 u r r ,θ 1 u r θ ,θ 1 u r ϕ ,θ

1   ur ,ϕ  0 r sin θ   1 uθ ,ϕ  + 0 r sin θ    1 uϕ ,ϕ  0 r sin θ  

− uθ r ur r

  r sin θ  uϕ  r cos θ − 2  r sin θ  uθ ur r cos θ + sin θ 0 2 r sin θ r sin θ  1 1   (ur ,ϕ − uϕ sin θ)  ur ,r r (ur ,θ − uθ )  r sin θ   w 1 1 r  mat (u ∇) = h = uθ ,r ( u θ ,θ + u r ) (uθ ,ϕ − uϕ cos θ) r r sin θ   1 1   u (u + uθ cos θ + ur sin θ)  uϕ ,r r ϕ ,θ r sin θ ϕ ,ϕ  1 1 1 1 r div u = 2 (r 2 sin θur ) ,r + (r sin θuθ ) ,θ + (ruϕ ) ,ϕ = 2 (r 2 ur ) ,r + (sin θuθ ) ,θ + u r sin θ r sin θ ϕ ,ϕ r sin θ r  1  r r r  r sin θ (sin θuϕ ) ,θ − uθ ,ϕ  er reθ r sin θeϕ  1  1 1 r r   rot u = 2 =  u − (ruϕ ) ,r   ,θ ,ϕ r r r r  sin θ r ,ϕ r sin θ ,r   ( er ,eϕ ,eθ )  ur ruθ r sin θuϕ 1   (ruθ ) ,r − ur ,θ   r   1 1 1 f ,r   ∆ f = 2 ( r 2 f ,r ) , r 2 (sin θf ,θ ) ,θ + 2 2 f ,ϕϕ   r r sin θ r sin θ  1  r grad f = f ,θ  r r r f ,r 1 1 1 1 ( er ,eϕ ,eθ )  r  ∆ f = f ,rr + 2 + 2 f ,θθ + 2 f ,θθ + 2 f ,θ + 2 2 f ,ϕϕ 1   r r r r tan θ r sin θ  r sin θ f ,ϕ    u r ,r  rw mat (u ∇) = h = uθ ,r  u  ϕ ,r

[

−

]

[

[

98

]

]

uϕ

sin θ

Introduction

2 2 2   ∆ ur − r 2 ur − r 2 sin θ (sin θuθ ) ,θ − r 2 sin θ uϕ ,ϕ    uθ 2 2 cos θ   r ∆ u =  ∆ u θ − 2 2 + 2 u r ,θ − 2 u ϕ ,ϕ  2 r r r r sin θ r r sin θ ( er ,eϕ ,eθ )   uϕ   2 2 cos θ + 2 u r ,ϕ + 2 u θ ,ϕ   ∆ uϕ − 2 2 2 r sin θ r sin θ r sin θ   1 2 1 1 1    r 2 (r Trr ) ,r + r sin θ (Trθ sin θ) ,θ + r sin θ Trϕ ,ϕ − r (Tθθ + Tϕϕ )   1  1 1 1 cos θ r 2 div T = r T + T + T + T − T θ ( ) ( sin ) ( )   d r r r , , , 2 θ θθ θ θϕ ϕ θ ϕϕ r r r r sin θ r sin θ r sin θ ( er ,eϕ ,eθ ) r  1 cos θ  1 (r 2 T ) + 1 (T sin θ) + 1 T + (T + T ) ,θ ϕr ,r  r 2 r sin θ ϕθ r sin θ ϕϕ ,ϕ r rϕ sin θ θϕ 

99

Introduction

VI. Calcul intégral. Formules de Gauss : passage d’une intégrale de volume à une intégrale de Surface (fermée) r  n1′′ e2 w   r n ′′ = n2′′ grad T = T ∇ n ′′ r D  3 r n ′′ P ′′ P′ n′ dσ i = ni′′dS ′′ = ni′dS ′ + dσ + dS ′ Σ

dS ′′

Σ

D

M M M M w r contraction r T ∇dV = ∫ T ⊗ ndS ⇒ ∫ div d T dV = ∫ T ⋅ ndS

D

r r r Tij ..l ,m ei ⊗..⊗el ⊗ em dV =

∫ ∫

r e1 r e3

∂D

D

∫

D

Formules de Gauss-Ostrogradsky

Démonstration : XP ′′ r r r ∫D T ,i dV ⊗ ei =  ∫Σ dσ i ∫XP′ T ,i dxi  ⊗ ei = ∫Σ (T P′′ − T P′ )dσ i ⊗ ei w r r r grad TdV = T ∇ ∫ ∫ dV = ∫ Tni′′dS ′′ + ∫ Tni′dS ′ ⊗ ei = ∫ Tni ⊗ ei dS = ∫ T ⊗ ndS

(

S ′′

)

S′

∂D

∂D

Applications :

∫

D

r r Si T = ϕ I , A, θ ⋅ A : r r gradϕdV = ∫ ϕndS ;

∫

∂D

rr T θ vr : ∇ A − ( ∇ A) dV = ∫D 2

[

]

D

θ

r r grad AdV = ∫ A ⊗ ndS ; ∂D

rw

vr

ε ijk

[

∫

D

r div( f grad g )dV =

]

r r r r r r div d ( B ⊗ A)dV = ∫ B( A ⋅ n )dS D ∂D r r ( Bi A j ) , j ei Bi ( A j n j )ei dS

∫

et

∂D

D

∂D

( Ak n j − A j n k )

2

et en contractant : r r r ∫ div AdV = ∫ A ⋅ ndS

D

r r r r rot A dV = ∫ n ∧ AdS

θ r r r r : A ⊗ n − n ⊗ A dS ∂D 2

∫ 2 :[ A ∇ − ∇A]dV = ∫ D

∫

∫

D

v v ∇ ⋅ ( f ∇g )dV =

∫

D

v v (∇f ⋅ ∇g + f ∆ g )dV = ∫ fg ,n dS ∂D

(1ère formule de Green)

∫

∂D

( fg ,n − gf ,n )dS =

∫

D

èmè

( f ∆ g − g ∆ f )dV

(2 formule de Green) r r r r r r r r r r r r r r r r r r ∫D div d A ⊗ B + B ⊗ A − grad ( A ⋅ B) dV = ∫D ( A div B + B div A − A ∧ rot B − B ∧ rot A)dV r r r r r r r r r = ∫ [1 − 444 (formule de Durand!) B (44 A ⋅ n4 )2 ( A ⋅ B3 )n + A( B ⋅ n )]dS ∂D r r r A∧ ( B ∧ n )

{ [

]

}

100

∂D

r r r Tij ..l ei ⊗..⊗el ⊗ ndS

Introduction

Formule de Stokes : passage d’une intégrale de surface à une intégrale curviligne r e3

r A

r A ∈ E3

r n

r dl

r r r ϕ dl ∫( C ) = ∫S n ∧ gradϕdS r r r r r ∫ A ⋅ dl = ∫ rot A ⋅ ndS

dS

(C)

r t

(C )

S

(formule d’Ampère-Stokes) r e2

r r r r dl = dlt = dxi ( s ) ei = xi ,s dsei

(C) est fermée, S s’appuie sur (C) r n est orientée convenablement par rapport à l’orientation de (C).

r e1

r e2

r t

r A ∈ E2

r A r n

r

∫ T ⊗ ndl = ∫

S

(C)

dl

r

r r A ∧ e3 r e1

T ∈ E 2⊗2

grad TdS

r

r

∫ A ⊗ ndl = ∫ grad AdS r r r ∫ A ⋅ ndl = ∫ div AdS (C)

S

(C)

S

par contraction :

v ϕ ,n dl = ∫ ∇ 2 ϕ dS (C) (S) r r r r r r r Si on applique à A ∧ e3 A ⋅ t dl = rot ∫ ∫ A dS ⋅ e3 r r Si A = gradϕ :

∫

(C)

S

(Formule de Green-Riemann) r r Formule de l’opérateur n ⋅ grad

r A ∈ E3

r r (n⋅grad ) A 6474 8 r r r rT r r r r r r r r r ∫( C ) A ∧ dl = ∫( S ) (n div A − grad A ⋅ n )dS = ∫S (n div A − n ∧ rot A − grad A ⋅ n )dS r r r r r r r r La dernière égalité est évidente puisque : ( grad A − grad A T ) ⋅ n = rot A ⋅ n = − n ∧ rot A r Si B est constant on peut démontrer le première égalité en calculant r r r r r r r r r r r r B A dl ⋅ ( ∧ ) = ∫ rot ( B ∧ A) ⋅ ndS = ∫ ( + BdivA − grad A ⋅ B) ⋅ ndS ∫( C ) S S r r rT r r = ∫ B ⋅ div A − grad A ⋅ ndS ∀B S

[

]

101

∫

(C)

r r r B ⋅ ( A ∧ dl )

Introduction

r Dérivée d’une intégrale par rapport au temps (domaine mobile à la vitesse v )

• dérivée de l’intégrale d’un tenseur

I (t ) = ∫ T ( P , t )dV D

r v

Le domaine D est en mouvement, chaque particule a r une vitesse vr ( P , t ) . n

P dS + D(t)

 dI 1 = lim  ∫ T ( P , t + dt )dV − ∫ T ( P , t )dV  dt dt → 0 dt  D ( t + dt )  D(t )

D(t+dt)

∂ TdV . La partie du domaine commune à D(t) et D(t+dt) fournit la contribution ∫ D ∂t r r Le reste du domaine fournit la contribution due aux volumes v ⋅ ndSdt : 1 r r r r r r Tv ⋅ ndSdt = ∫ T ⊗ v ⋅ ndS = ∫ (T ⊗ v ) ⋅ ndS En utilisant le fait qu’un scalaire est un ∫ ∂D ∂D dt ∂D tenseur d’ordre zéro et que la multiplication tensorielle est associative.

dI = dt

∂T r r dV + ∫ (T ⊗ v ) ⋅ ndS D ∂t ∂D

∫

(théorème de Reynolds)

Cette formule de dérivation particulaire peut revêtir une autre forme si on utilise le théorème de Gauss-Ostrogradsky : dI ∂T ∂T r r r =∫ [ + div d (T ⊗ v )]dV = ∫ [ + grad T ⋅ v + Tdiv v ]dV D D ∂t ∂t dt dI = dt

∫

D

(

dT r + Tdiv v )dV dt

Le résultat est aussi valable si T est remplacé par un tenseur d’ordre plus bas (un vecteur ou un scalaire). • dérivée d’une intégrale de flux

t ′ = t + dt r n′

ds Σ ′

r N

r v

t

dσ

Σf

r r Φ(t ) = ∫ B ⋅ ndS

r τ

r n

Σ

dΦ 1 = lim [ Φ(t + dt ) − Φ (t )] dt dt → 0 dt r r r Φ ′ (t ′) = ∫ B ( x , t ′ ) ⋅ ndS (t ′ = t + dt ) Σ′ r r r Φ(t ) = ∫ B ( x , t ) ⋅ ndS Σ r r à t + dt : ∫V div B( x , t ′)dV vaut r r r r r r r r ∫ B( x , t ′) ⋅ n ′dS − ∫ B( x , t ) ⋅ ndS + ∫ B( x , t ′) ⋅ NdS Σ′

(C ) r r r Ndσ = τ ∧ vdtds

Σ

Σ

r r r r τ, N , n , n ′ unitaires

102

Σf

Introduction

Φ′ − Φ =

r r

r r

r

∫ [ B( x , t ′) − B( x , t )] ⋅ ndS − ∫ Σ

(C)

r r r r r r ( τ, v , B)dtds + ∫ div B(n ⋅ vdS )dt Σ

r r r r r r r ∂B r dt ndS + ∫ B ∧ vdt ⋅ τds + ∫ div B (n ⋅ vdS )dt =∫ Σ ∂t (C) Σ r rr r dΦ ∂B r r r =∫[ + rot ( B ∧ v ) + div B v ] ⋅ ndS Σ ∂t dt r r r r r r r r r r r ou encore puisque rot ( B ∧ v ) = gradB ⋅ v − gradv ⋅ B + Bdiv v − vdiv B : r r r r ∂B dΦ r r r r =∫[ + gradB ⋅ v + Bdiv v − gradv ⋅ B] ⋅ ndS Σ ∂t dt r dB r dΦ r r r r =∫[ + Bdiv v − gradv ⋅ B] ⋅ ndS Σ dt dt • dérivée d’une intégrale curviligne r r v ( x, t) r t

P

P0

r x

r a

r K=∫

(C)

r r f ( x , t )dx

f fonction scalaire, (C) fixe La particule en P à t était en P0 à t = 0

(C)

r dx r r r r r r r r dx = grad a x (a , t ) ⋅ da ⇒ d ( ) = grad a v (a , t ) ⋅ da = dv dt r r r r r dv = grad x v ( x , t ) ⋅ dx = L ⋅ dx

r ds dx

O

r r r Sur (C) dx = t ds , t unitaire. (C) est fixe, on peut dériver sous le signe somme :

d dt

∫

(C )

r r f ( x , t )dx =

∫

(C )

103

(

df r r dx + f L ⋅ dx ) dt

DEUXIEME PARTIE Elastodynamique des petits mouvements II.1. Analyse modale des systèmes linéaires

Analyse modale des systèmes linéaires

Préambule ________

Ami lecteur, si le cours de tes pensées te conduisait dans les espaces de Sobolev, prête l’oreille à la musique des vibrations et ne dit pas comme le philosophe : Le silence éternel de ces espaces infinis m’effraie mais plutôt qu’importe le flacon pourvu qu’on ait l’ivresse *

_____________________________________ *

Pour établir un isomorphisme de bon goût entre l’intérieur du flacon et l’espace considéré il est nécessaire de faire une transformation préliminaire (Réf. Les Précieuses ridicules Molière (1659))

107

Analyse modale des systèmes linéaires

Chapitre I

Généralités

L’élastodynamique des petits mouvements concerne l’étude dans le domaine linéaire de petits mouvements de structures solides déformables faiblement chargées. Il y a donc deux linéarisations sous-jacentes : celle de la loi de comportement et celle des équations du mouvement. Grâce à ces linéarisations les points de vue Lagrangien et Eulérien deviennent indiscernables. On rappellera les résultats fournis dans ce cas par les théorèmes généraux et on montrera une autre façon de les obtenir en présentant le principe des travaux virtuels. On exposera alors les méthodes de résolution théoriques et approchées. Un certain nombre de problèmes ou de modélisations classiques souvent rencontrées par le mécanicien seront abordées dans la suite. I.1. Les méthodologies de mise en équations.

I.1.1. Les théorèmes généraux et le théorème des travaux virtuels.

P0 r a

∂D2

r ud r u

D0

r n

dS

P

∂D1

r Td

D r ρF

r x

On rappelle que l’on a un système mécanique (S) occupant D0 dans l’état non déformé non chargé. O désigne l’origine du repère (ou du référentiel galiléen).

O

Nous supposons ici D très voisin de D0 , sur la figure les déplacements sont très exagérés pour des raisons de clarté car on suppose les sollicitations très faibles et les déformations induites, comme les déplacements, très petits. Les trois tenseurs des contraintes sont indiscernables.

Les théorèmes généraux permettent d’écrire : r u doit vérifier des conditions aux limites géométriques :

Σ doit vérifier des conditions dites naturelles :

r divr Σ + ρF (ar + ur (ar , t )) = ρu&&r (ar , t )  d  T Σ = Σ r r u = ud sur ∂D2 r r r Td = Σ (u , t ) ⋅ n sur ∂D1

r h = gradu est le tenseur gradient des déplacements dont la partie symétrique est E et la partie

antisymétrique Ω .

108

Analyse modale des systèmes linéaires

On dispose de la loi de comportement (LC) du matériau dont est constitué (S).

r On cherche les champs u , E , Σ en tout point si possible et les intégrations éventuelles se feront dans D0 très voisin de D d’ailleurs inconnu. Le théorème des travaux virtuels. Avant d’aller plus loin il est important de comprendre un théorème dit des travaux virtuels qui permettra ultérieurement de proposer une autre méthode d’obtention des équations à résoudre. Considérons à un instant t le système (S) dans l’état déformé, donc satisfaisant les équations citées précédemment et les conditions aux limites associées. Considérons aussi, en tout point P un champ virtuel ou varié ou de pondération (Weighting functions dans la littérature anglo-saxonne). Pondérons l’équation locale exprimant l’équation de la particule ( P , dm) en la r multipliant scalairement à gauche par δu et en intégrant dans D0. r ρFdV0

&&r ρudV 0

∫

D0

r div d ΣdV0

r r r r δu ⋅ div d ΣdV0 + ∫ δu ⋅ ρFdV0 = D0

∫

D0

r &&r δu ⋅ ρudV 0

T r r r r r div (δu ⋅ Σ ) = δu ⋅ div d Σ + Σ: grad δu

or :

T r Tr T Avec : Σ: grad δu = Σ: δ grad u = Σ: δ h puisque ∂ et δ sont permutables en variables Lagrangiennes comme nous sommes en petites déformations.

T

T

Σ = Σ donc Σ: δ h = Σ: δ E

De plus :

−∫

D0

La relation pondérée devient en utilisant le théorème d’Ostrogradsky : r r r &&r Σ: δ EdV + δu ⋅ Σ ⋅ ndS = δu ⋅ ρudV 0

∫

∂D0

∫

0

D0

ou encore :

r r − ∫ Σ: δ EdV0 + ∫ δud ⋅ TdS 0 + ∫ ∂Du

D0

∂Dσ

0

r r r r r &&r δu ⋅ Td dS 0 + ∫ δu ⋅ ρFdV0 = ∫ δu ⋅ ρudV 0 D0

D0

∂D01 ≈ ∂D1 = ∂Dσ  ∂D02 ≈ ∂D2 = ∂Du

où l’on a posé :

L’indice u signifiant déplacements imposé, l’indice σ contraintes imposées.

∫ Σ: δ EdV

porte le nom de travail virtuel de déformation, c’est l’opposé du travail virtuel

des forces intérieures.

109

Analyse modale des systèmes linéaires

Nous aboutissons au théorème des travaux virtuels : r ∀δu

δT forcesintérieures + δT forces extérieures = δA

Relation où la loi de comportement a été prise en compte comme la symétrie de Σ . Théorème des travaux virtuels Le travail virtuel des quantités d’accélération de (S) est égal au travail virtuel des forces intérieures et extérieures agissant sur (S), à chaque instant, pour tout déplacement virtuel.

r Remarques : On notera bien que les champs u , E , Σ sont les champs effectifs à l’instant t. Les champs variés sont quelconques mais peuvent être particularisés ; ainsi, si on adopter un champ r de déplacement virtuel cinématiquement admissible ou compatible (tel que δud = 0 sur ∂Du ) r r alors une des intégrales de frontière disparaît : δ u ∫ d ⋅ TdS 0 = 0 ∂Du

Le système étant supposé élastique possède une densité volumique d’énergie de déformation Wd ( ε ) (ou l’indice d signifie ici de déformation) : 1 Wd ( ε ) = Σ ( ε ) : E 2 Ainsi :

∫

D0

Σ ( ε ) : δ EdV0 = δ ∫ Wd dV0 = δE d D0

où E d = ∫ Wd ( ε )dV est l’énergie de déformation emmagasinée par le matériau.

I.1.2. Le principe des travaux virtuels ou de d’Alembert. Le théorème des travaux virtuels a surtout de l’importance par le principe de d’Alembert auquel il conduit naturellement. Oublions les théorèmes généraux, en partie et considérons (S). Imposons qu’à chaque instant le travail virtuel des forces intérieures et extérieures soit, pour tout déplacement virtuel, égal au travail des quantités d’accélérations, en conservant, axiomatiquement, la symétrie du tenseur des contraintes. Soit :

Σ=Σ I

T

− Σ: δ EdV + ∫ ∫14 4244 3 D0

0

−δEd r r avec u = ud

∂D0

r r r r δu ⋅ TdS 0 + ∫ δu ⋅ ρFdV0 = D0

sur ∂Du

r r Td = Σ ⋅ n sur ∂Dσ

∫

D0

r ∀δu

à introduire en temps voulu

principe des travaux virtuels.

110

r &&r δu ⋅ ρudV 0

Analyse modale des systèmes linéaires

Nous avons ici le principe des travaux virtuels classique utilisant la variation des déplacements. Ce principe est équivalent à l’écriture des théorèmes généraux s’il est écrit effectivement pour toute variation virtuelle, en effet, transformons la première intégrale avec Σ: δ E = Σ: δh

T

T

(car Σ = Σ ) et utilisons le théorème d’Ostrogradsky :

∫

D0

r r δu ⋅ div d ΣdV0 − ∫

∂Du ∪ ∂Dσ

soit :

∫

D0

II

r r r r δu ⋅ Σ ⋅ ndS 0 + ∫ δu ⋅ TdS 0 + ∫ ∂Du

r r r r δu ⋅ (div d Σ + ρF − ρu&&)dV0 + ∫

Σ = Σ avec  r r u = ud

∂Du

∂Dσ

r r r r r &&r δu ⋅ Td dS 0 + ∫ δu ⋅ ρFdV0 = ∫ δu ⋅ ρudV 0 D0

r r r δu ⋅ (T − Σ ⋅ n )dS 0 + ∫

∂Dσ

D0

r r r r δu ⋅ (Td − Σ ⋅ n )dS 0 = 0 ∀δu

T

r sur ∂Du à imposer (u compatible)

Ainsi comme le champ varié est quelconque, les fonctions sous les signes d’intégration doivent être nulles d’où : r r r div d Σ ( ε ) + ρF = ρu&& dans D0 r r Td = Σ ⋅ n sur ∂Dσ r r sur ∂Du T = Σ ⋅n T r r avec u = ud sur ∂Du à imposer et Σ = Σ

Il y a bien équivalence avec les résultats obtenus par les théorèmes généraux. On dispose ici d’une autre méthode pour la mise en équations, la loi de comportement étant prise en compte dans le travail virtuel des forces intérieures. Remarques : • Les champs variés rpeuvent être particularisés, on voit que si on adopte un champ varié r compatible ( δud = 0 sur ∂Du ), l’intégrale de frontière sur ∂Du disparaît, alors que r r r r l’information T = Σ ⋅ n sur ∂Du est perdue directement (on obtiendra T sur ∂Du une fois u ,

donc E connu). • Le principe peut être utilisé sous la forme I ou la forme II : Forme I : c’est la méthode dite de Rayleigh-Ritz avec : r r r u compatible (ou cinématiquement admissible) ⇔ u = ud sur ∂Du r δu compatible ou non, c’est un choix. Forme II : c’est une méthode qui se présente sous la forme d’une méthode de pondération (et qu’on appelle parfois méthode de Galerkin), avec : r u compatible r δu compatible ou non, c’est un choix.

111

Analyse modale des systèmes linéaires

On notera que les deux formes sont strictement équivalentes et on rappelle que E est calculé en prenant la partie symétrique de h il n’y a donc pas à écrire, comme nous l’avons déjà dit de conditions de compatibilité des déplacements. r Enfin si on travaille avec un champ u qui vérifie déjà toutes les conditions aux limites

soit : r r u = ud sur ∂Du

r r Td = Σ ( E ( u )) ⋅ n sur ∂Dσ

r le champ u est dit champ de fonction de comparaisons (test functions). L’observation de la forme II montre que l’intégrale sur ∂Dσ est identiquement nulle. Si en plus on fait choix d’un champ varié compatible, l’intégrale sur ∂Du disparaît aussi. Il ne reste qu’une intégrale de r volume à annuler ou si l’on veut il ne reste qu’à pondérer l’équation locale, le champ u n’ayant plus que l’équation locale à satisfaire pour être le champ solution. C’est cette approche qu’a proposé historiquement le premier Galerkin et qui porte le nom de méthode de Galerkin proprement dite.

Nous avons insisté lourdement sur le principe, à dessein, en espérant que le lecteur ne confondra pas les champs cherchés et les champs variés confusion qui serait désastreuse. En fait, pour le moment, au stade ou en est l’exposé, les champs variés sont obtenus à partir des champs r u par simple calcul des variations. Le principe pourra aussi être écrit sous une forma affaiblie en l’écrivant non pas pour tout r r δu mais pour quelques δu . C’est là toute sa puissance comme nous le verrons dans la suite. Il permettra d’avoir des champs approchés satisfaisant au sens du travail le principe sans que les équations ou les conditions aux limites soient satisfaites localement en P. I.1.3. Le principe d’Hamilton. Un principe a été proposé par Hamilton pour obtenir les équations à résoudre et les conditions aux limites. Nous le présentons ici dans le cadre de l’exposé relatif à l’élastodynamique, telle qu’elle a été définie, bien qu’on puisse en faire facilement une présentation plus générale. Ce principe ne nécessite pas de déterminer le travail virtuel des quantités d’accélération. Nous allons montrer comment il est équivalent au principe de d’Alembert. Définissons les énergies qui interviennent : 1 L’énergie de déformation : E d ( ε ) = ∫ Σ ( ε ) : EdV 2 D0 1 r L’énergie cinétique : E c = ∫ ρu& 2 dV 2 D0 Nous aurons besoin de δT le travail virtuel des forces extérieures à (S) en présence : r r r r δT = ∫ δu ⋅ TdS + ∫ δu ⋅ ρFdV . ∂D0

D0

112

Analyse modale des systèmes linéaires

Il est essentiel de rappeler que cette quantité n’est pas en général r rune différentielle totale r d’une quantité T mais une forme linéaire de δu : les grandeurs T et F peuvent dépendre des déplacements mais conservent la valeur qu’elles ont à l’instant t et ne sont pas affectée par les r variations δu , ceci étant valable pour tout ce qui a été dit jusqu’ici relativement à δT . Enfin les informations sur les frontières sont évidemment absolument nécessaires pour avoir finalement un problème bien posé, à savoir : r r r r u = ud sur ∂Du T = Td sur ∂Dσ

[

r δu

t1 r u

t0

]

On considère un intervalle de temps arbitraire t 0 , t 1 et un champ de déplacements variés tels que : r r r δu (t 0 ) = δu (t1 ) = 0  conditions dites de transversalité

O

On considère une intégrale d’action t1

I = ∫ ( E c − E d ( ε ) )dt ou E c − E d ( ε ) est appelé Lagrangien L. t0

Le principe s’écrit :

[

t1 r δI + ∫ δTdt = 0 ∀δu ∀ t 0 , t 1 t0

]

Passons au calcul des variations : t1



r r& r r r r  δu& ⋅ ρudV + ∫ δu ⋅ TdS + ∫ δu ⋅ ρFdV dt = 0 D0 ∂D0 D0 

∫ ∫ − Σ: δ EdV + ∫ t0

D0

Intégrons par parties, en temps la deuxième intégrale qui s’écrit : t  δur ⋅ ρur&  1 − t1 δur ⋅ ρu&&r ⋅ dVdt ∫D0  t0 ∫t0 ∫D0 La première intégrale est nulle compte tenu des conditions de transversalité ; il reste une intégrale : t1 r &&r r r r r r  + ∫ δu ⋅ TdS + ∫ δu ⋅ ρFdV dt = 0 ∀δu ∀[t 0 , t 1 ] ∫t0 ∫D−0 Σ: δ EdV − ∫D0 δu ⋅ ρudV ∂D0 D0 

[

]

L’intervalle t 0 , t 1 étant arbitraire, il est facile de voir que la partie entre crochets qui doit être nulle exprime le principe des travaux virtuels (Forme I).

I.1.4. Les modélisations supplémentaires. Quelle que soit la façon d’obtenir les équations du mouvement et les conditions aux limites à leur associer, le problème mathématique, même pour les milieux isotropes, présente de grosses difficultés. Le mécanicien utilise souvent des approximations supplémentaires dans le cas de milieux bidimensionnels (coques, plaques) ou monodimensionnels (milieux curvilignes, poutres). Les éléments de masse dm considérés ont alors une ou deux dimensions qui ne tendent pas vers zéro quand dV tend vers zéro. Ceci est illustré sur les schémas suivants : 113

Analyse modale des systèmes linéaires

poutre r u ( s, t )

coque

r θ( s, r , t ) r θ( s, t )

s G

r

h

s

r u ( s, r , t )

G ds ⇓

⇓

G

G

Aux trois équations de la résultante dynamique il faudra rajouter trois (ou deux) équations de moments. Les lois de comportement seront abîmées en conséquence. I.2. Position du problème pratique. Nous venons de voir que les équations aux dérivées partielles de la mécanique des milieux déformables étaient relativement compliquées. Nous allons présenter ici les méthodes du type déplacement où l’utilisation de la loi de comportement permet d’éliminer les contraintes pour avoir à résoudre des équations où apparaissent les déplacements (éventuellement des déplacements généralisés, par exemple des angles). Les contraintes (ou des contraintes généralisées, forces ou couples) sont alors déterminées en fin de calcul comme variables auxiliaires. La méthode des déplacements est la plus simple et c’est celle qui est le plus souvent utilisée. La formulation sera toujours faite sous forme différentielle. On aurait pu adopter un point de vue intégral, mais ceci conduit en général à des difficultés mathématiques plus grandes, cependant les méthodes dont nous parlerons ont leur reflet dans les méthodes de résolution d’équations intégrales. Les équations les plus générales sont couplées et nous préférons présenter sur un cas relativement simple les méthodes de résolution habituelles. Il ne sera pas fait mention ici de la température. Le problème qui servira de modèle est celui ci : && ( P ,t ) + C( P ) w& ( P ,t ) + L( P ) w( P ,t ) = f ( P ,t ) + ∑ F j ( t ) δ ( P − Pj ) • M ( P) w j

est l’équation locale que doit vérifier la fonction déplacement w( P ,t ) définie dans le domaine D occupé par le système (S) considéré. P désigne un point courant, w( P ,t ) est une fonction scalaire. M, C, L sont des opérateurs différentiels linéaires. L est en général d’ordre pair 2p f ( P ,t ) correspond à une densité continue de forces 114

Analyse modale des systèmes linéaires

F j ( t ) est une force localisée en Pj telle que :

∫

D

δ( P − Pj )dD = 1 ; δ( P − Pj ) étant le symbole de la fonction de Dirac.

• Bi w( P ,t ) = 0

i = 1,2,..., p

représente les conditions aux limites homogènes que doit

satisfaire w( P ,t ) sur ∂D limitant D. Bi est un opérateur différentiel linéaire homogène d’ordre 2 p − 1 au plus (la dérivée d’ordre 2 p de w est fixée par l’équation locale). Les conditions aux limites peuvent être du type déplacement imposé (conditions essentielles) ou forces imposées (conditions naturelles) Si les conditions aux limites ne sont pas toutes homogènes et si k d’entre elles s’écrivent : Bi w( P ,t ) = ei ( P ,t ) i = 1,2,..., k P ∈∂D les ei ( P ,t ) étant des fonctions connues, on

analyse cas par cas en faisant éventuellement des changements de fonctions. • Les conditions initiales sont connues :

{w

( P ,0 )

= w0

; w& ( P ,0) = w& 0

}

Le problème étant posé deux cas peuvent se présenter : Une solution analytique exacte est possible.

Il ne faut pas s’en priver ! Il existe d’ailleurs un certain nombre de problèmes dits classiques dont les solutions sont connues, tabulées. Certains des résultats pourront être utilisés pour résoudre des problèmes plus complexes ou serviront de test. Le problème n’admet visiblement pas une solution analytique exacte raisonnable.

On utilise alors des méthodes de résolution approchées qui se classent en deux catégories. C.1. Les méthodes qui transforment la résolution de l’équation aux dérivées partielles en un problème d’un autre type : • La méthode des différences finies (méthode de Runge-Kutta...) • La méthode des matrices de transfert (méthode de Falk-Myklestad) • La méthode de Holzer

Ces méthodes dont le champ d’application est de plus en plus étroit dans l’ordre où elles sont citées ici sont des méthodes de discrétisation plus ou moins brutales. • La méthode de Monte-Carlo (calcul des probabilités)

C.2. Les méthodes qui transforment l’équation aux dérivées partielles en un système matriciel [ n × n] . En bref ces méthodes consistent à écrire le principe des travaux virtuels avec : • un champ w approché dépendant d’un nombre fini de paramètres (trial functions) 115

Analyse modale des systèmes linéaires

• un champ varié δw dépendant d’un nombre fini de paramètres (weighting functions) On passera alors à un système matriciel linéaire en écrivant le principe pour quelques δw au lieu de pour tout δw. Ces méthodes peuvent être classées finalement en deux catégories : • Les méthodes énergétiques On rencontre ces méthodes sous les noms de méthode de Rayleigh-Ritz, méthode des fonctions présumées ou de Lagrange, méthode des éléments finis • Les méthodes d’annulation d’erreur Les mathématiciens classent ces méthodes dans la catégorie des méthodes de fonctions pondérées. On utilise des méthodes d’annulation intégrale de l’erreur (méthode de Galerkin) ou d’annulation locale (méthode de collocation) Bien souvent le domaine occupé par le système considéré a une géométrie si compliquée qu’il est d’abord nécessaire de le fractionner en sous structures elles mêmes discrétisées en domaines de géométrie simple où les champs considérés (ici les champs de déplacement) aient une expression analytique simple. Suivant Zienkiewicz nous décidons d’appeler méthode des éléments finis l’ensemble de toutes ces méthodes C.2. Cette terminologie commence à être généralement acceptée, bien qu’il y ait un certain abus de langage puisqu’on commence à construire depuis quelques temps des éléments infinis dans les méthodes, actuellement en pleine évolution, de calcul des structures. Lorsque le problème est ramené à un problème matriciel on le résout en utilisant tous les résultats connus de l’analyse modale. I.3. Résolution par décomposition modale du problème type. Avant d’aborder les méthodes matricielles nous dirons quelques mots des méthodes de résolution analytique permettant d’obtenir la solution exacte de systèmes à géométrie très simple. I.3.1. Résolution du problème d’oscillations libres. && + Lw = 0 dans D ( E )  Mw  w( P ,0) = w0 w& ( P ,0) = w& 0

Bi w( P , t ) = 0 sur ∂D

Séparabilité des opérateurs différentiels Cherchons une solution particulière w de la forme : wr part ( P , t ) = Wr ( P )q r (t ) sans sommation sur r indice de numérotation. Portons dans l’équation locale (E) et divisons par q r M (Wr ) : 116

Analyse modale des systèmes linéaires

L(Wr )q r + q&&r M (Wr ) = 0

d’où :

L(Wr ) q&&r =− = λ r = + ω 2r M (Wr ) qr

La quantité λ r est supposée positive dans l’hypothèse de petits mouvements stables ( λ r est exceptionnellement nul). La relation écrite précédemment vient de ce que les deux quotients fonctions l’un d’une variable d’espace, l’autre du temps ne peuvent être égaux qu’à une constante. Ainsi le problème se sépare en : q&&r + ω r2 q r = 0 ( E1 )   L(Wr ) = λ r M (Wr ) = 0 ( E 2 )

qr = e

Une solution particulière de (E1) est :

+ jω r t

une autre q r = e

− jω r t

.

La deuxième équation définit un problème aux valeurs propres avec les conditions aux limites : BiWr ( P) = 0 . λ r s’identifie au carré d’une pulsation propre ω r , elle est associée à la fonction propre

Wr . Dans la suite les parenthèses derrières les opérateurs L et M seront supprimées. Nous supposerons que la solution du problème aux valeurs propres est possible : on cherche Wr soit sous la forme de séries (Méthode de Frobenius) soit en utilisant des transformations fonctionnelles (Fourier, Hankel, Laplace,...). Les valeurs propres sont en général en nombre infini mais sont dénombrables et les fonctions propres constituent des fonctions W très particulières. A ce propos notons que pour tous les problèmes qui nous intéressent on distingue trois types de fonction W : 1. Les fonctions compatibles (ou cinématiquement admissibles). Ces fonctions vérifient les conditions aux limites géométriques ou essentielles et sont p fois différentiables dans D. 2. Les fonctions de comparaison (ou fonctions test). Ces fonctions vérifient les conditions aux limites géométriques et naturelles (sur les forces) et sont 2p fois différentiables dans D. 3. Les fonctions qui vérifient les conditions aux limites et l’équation locale (E2) : les fonctions propres. Caractère auto adjoint ou non des opérateurs L et M. Souvent L et M sont auto adjoints, ceci est lié à l’existence d’une énergie de déformation. Introduisons d’abord les notations de produit scalaire brackets < > afin d’établir en particulier des correspondances intéressantes ; Soient u et v deux fonctions d’espace :

117

Analyse modale des systèmes linéaires

def

< u, Lv > = ∫ uL(v )dD def

< u, Mv > = ∫ uM (v )dD

def

< Lu, v > = et

def

< Mu, v > =

∫ L(u)vdD ∫ M (u)vdD

Soient maintenant u et v deux fonctions d’espace de comparaison. : Si < u, Lv >=< Lu, v > L est dit auto adjoint Si < u, Mv >=< Mu, v > M est dit auto adjoint Si les conditions aux limites sont homogènes, ce qui est le cas envisagé ici, alors le problème lui même est dit auto adjoint. On notera que le caractère auto adjoint des opérateurs qui s’obtient (ou non) en utilisant les conditions aux limites et en faisant des intégrations par parties ne nécessite pas de connaître explicitement u et v qui servent à tester L et M. Théorème d’expansion Plaçons nous dans le cas d’un problème auto adjoint et montrons que les fonctions propres sont L et M orthogonales. Soit λ r associé à Wr , λ s associé à Ws avec λ r ≠ λ s .  LWr = λ r MWr  d’où : < Wr , LWs > − < Ws , LWr >= λ s < Wr , MWs > − λ r < Ws , MWr >    LWs = λ s MWs 

Le premier membre est nul, le second s’écrit, M étant auto adjoint : (λ s − λ r ) < Wr , MWs >= 0 et comme λ r ≠ λ s :

de même :

< Wr , MWs >= 0 < Wr , LWs >= 0

Nous dirons que les fonctions propres sont « L et M orthogonales ». Ces fonctions peuvent être normalisées et on peut établir la correspondance suivante entre le problème étudié et les problèmes décrivant les systèmes discrets à n degrés de liberté et à matrice de masse et de raideur symétriques.   KX + MX&& = 0 && = 0 Lw + Mw    < Wr , MWs >= ∫ Wr MWs dD = δ rs  ⇔ < Zi , MZ j >= ZiT MZ j = δ ij D   T 2 < Zi , KZ j >= Zi KZ j = δ ij ω i < Wr , LWs >= ∫ Wr LWs dD = δ rs ω r2  D  où δ ij représente le symbole de Kronecker nul si i ≠ j et égal à l’unité si i = j . Les fonctions propres forment en général un ensemble dénombrable complet en ce sens que l’on peut développer toute déformée du système sur l’ensemble de ces fonctions : c’est le théorème d’expansion (E) :

118

Analyse modale des systèmes linéaires ∞

(E ) : w( P , t ) = ∑ Wr ( P )q r (t ) ⇔ X = Zq r =1

Wr cos ω r t ou Wr sin ω r t est la r forme propre et on a pour la fonction q r (t ) : & q r (t ) = q r (0) cos ω r t + q r (0) sin ω r t ième

Il reste à introduire les conditions initiales fixant q r (0) et q& r (0) . Appliquons l’opérateur M (ou L) à w( P, t ) , multiplions par Ws dD et sommons dans D, les fonctions propres étant normalisées : ∞

< Ws , Mw( P , t ) >=< Ws , ∑ MWr q r ( t ) >= δ rs q r ( t ) r =1

Et en faisant de façon analogue mais en utilisant w& ( P, t ) : < Ws , Mw& ( P, t ) >== δ rs q& r (t ) Nous obtenons q s (0) et q& s (0) en faisant t = 0 et là encore une correspondance avec ce qui est connu dans le cas de systèmes matriciels d’ordre n est intéressante : Z T MZ = I Z T M = Z −1 < Wr , MWs >= δ rs    q s (0) =< Ws , Mw0 >  ⇔ q (0) = Z −1 X 0 = Z T MX 0 q i (0) =< Z i , MX 0 >  −1 & T & & q& s (0) =< Ws , Mw& 0 >  q& (0) = Z X 0 = Z MX 0 q& i (0) =< Z i , MX 0 >

w( P, t ) étant connu à ce stade on calcule ensuite les contraintes (ou les contraintes intégrées) à partir de ses dérivées. Si les deux opérateurs L et M ne sont pas auto adjoints il existe théoriquement une façon de résoudre le problème. Il faut, après avoir défini les opérateurs adjoints aux opérateurs L et M et les conditions aux limites adjointes chercher les fonctions propres du problème adjoint. On peut alors développer w( P, t ) sur les fonctions propres du problème donné en utilisant certaines propriétés de biorthogonalité entre les deux familles de fonctions propres. Cette théorie ne sera pas faite ici comme l’étude des cas où les valeurs propres sont multiples.

I.3.2. Résolution d’un problème auto adjoint.  Mw && + Cw& + Lw = f ( P, t ) + ∑ F j (t )δ( P − Pj ) dans D ( E )  j   Bi w( P, t ) = 0 sur ∂D L et M auto adjoints w( P ,0) = w w& ( P ,0) = w& 0 0   En utilisant le théorème d’expansion on peut chercher à développer w( P, t ) sur les fonctions propres Wr ( P ) associées aux oscillations libres avec les mêmes conditions aux limites homogènes : ∞

w( P, t ) = ∑ Wr ( P )q r (t ) (E ) r =1

119

Analyse modale des systèmes linéaires

Cette expression est portée dans l’équation locale puis après multiplication par Ws ( P )dD on somme dans D. Si on utilise toujours la même normalisation on a : ∞

q&&s (t ) + ∑ ∫ Ws ( P)CWr ( P)dDq& r (t ) + ω 2s q s (t ) = r =1

D

∫ W ( P) f ( P, t )dD + ∑ W ( P , F (t )) s

D

s

j

j

j

s = 1,2,... ∞

ou :

q&&s + ∑ Csr q& r + ω 2s q s = Φ s (t ) r =1

s = 1,2,... Les conditions initiales se calculent de la même façon que dans le paragraphe précédent. Deux cas peuvent alors se présenter :

• Les Csr sont nuls ∀s ≠ r . Il y a découplage complet et on a, par les formules de Vaschy que nous rappelons dans le cas d’un amortissement très faible ( ε s < 1 ) : −ε ω ( t −τ) t q& (0) + ε s ωs qs (0) Φ s ( τ)e s s sin Ω s (t − τ) −ε ω t  qs (t ) = e s s qs (0) cos Ω s t + s sin Ω s t  + dτ Ωs Ωs   0

∫

avec : Ω s = ω s 1 − ε 2s

( ε s < 1) 2ε s ω s = Css

ms = 1

*

• Les Csr ne sont pas nuls. Une solution exacte est en général impossible à trouver simplement ; si les Csr sont petits on peut éventuellement les négliger en faisant une hypothèse de Basile généralisée à condition que Csr = Crs , sinon on résout numériquement en tronquant le développement de w( P , t ) . ________________________________________________ *

Résolvante de Green

Si on cherche le régime forcé constituant la réponse à une excitation harmonique f ( P , t ) = F ( P ) cos ωt on peut calculer simplement q s (t ) et w ce qu’on fera ici dans le cas d’amortissement nul pour simplifier. r F ( Pi )dD ∫D Ws ( P) F ( P)dD q s (t ) = cos ωt ω 2s − ω 2 Pi ∞ ∫D Wr ( P)Wr ( Pi ) F ( Pi )dD +P w( P , t ) = ∑ cos ωt ω 2r − ω 2 r =1

Soit avec λ = ω 2 w( P , t ) =

∫

D

λ r = ω 2r :

Γ ( P , Pi , λ ) F ( Pi )dD cos ωt

∞

w( P , t ) = ∑

∫ W ( P)W ( P ) F ( P )dD cos ωt D

r

r

i

i

λr − λ W ( P )Wr ( Pi ) avec : Γ( P , Pi , λ ) = ∑ r λr − λ r résolvante de Green. r =1

120

Analyse modale des systèmes linéaires

I.3.3. Problèmes avec conditions aux limites dépendant de la valeur propre λ. Après séparation des variables, on peut rencontrer des problèmes du type :

LW = λMW dans D  Bi W = 0 i = 1,2,..., k   B jW = λC j W j = 1,2,..., l

sur ∂D

(1) (2)

Les Bi , B j et C j étant des opérateurs d’espace d’ordre 2p-1 au plus. Soient u et v deux fonctions W de comparaison, c‘est à dire satisfaisant les conditions aux limites homogènes du type (1) ; le problème est dit auto adjoint si : l

∫

D

uL(v )dD + ∑ ∫ uB j (v )dS = j =1

∂D

∫

l

∫

D

uM (v )dD + ∑ ∫ uC j (v )dS = j =1

l

vL(u)dD + ∑ ∫ vB j (u)dS

∂D

D

∂D

j =1

∫

D

l

vM (u)dD + ∑ ∫ vC j (u)dS j =1

∂D

Les fonctions propres sont alors L et M orthogonales. Démonstration Soient λ r et λ s deux valeurs propres distinctes et Wr et Ws les fonctions propres associées : L(Wr ) = λ r M (Wr ) et L(Ws ) = λ s M (Ws ) D’où :

∫

D

(Ws L(Wr ) − Wr L(Ws ))dD = ∫ ( λ r Ws M (Wr ) − λ sWr M (Ws ))dD ( R) D

Mais si le problème est auto adjoint on a aussi : l

∫

(Ws L(Wr ) − Wr L(Ws ))dD = ∑ ∫ (Wr B j (Ws ) − Ws B j (Wr ))dS

∫

Ws M (Wr )dD =

D

D

j =1

∫

D

et :

∂D

l

Wr M (Ws )dD + ∑ ∫ (Wr C j (Ws ) − Ws C j (Wr ))dS j =1

∂D

soit en portant dans (R) : l

∑∫ j =1

∂D

l

(Wr B j (Ws ) − Ws B j (Wr ))dS = ( λ r − λ s ) ∫ Wr M (Ws )dD + ∑ ∫ ( λ r Wr C j (Ws ) − λ r Ws C j (Wr ))dS D ∂D 123 j =1 λ sC j (Ws )

l   (λ r − λ s )  ∫ Wr M (Ws )dD + ∑ ∫ Wr C j (Ws )dS  = 0 D ∂D j =1  

D’où :

∫

D

l

avec λ r ≠ λ s

Wr M (Ws )dD + ∑ ∫ Wr C j (Ws )dS = 0 ⇔ M orthogonalité j =1

∂D

r≠s

121

Analyse modale des systèmes linéaires

Revenons à l’expression de (R) :

∫

D

Ws L(Wr )dD =

∫

D

l

l

j =1

j =1

Wr L(Ws )dD + ∫ ( λ s ∑ Wr C j (Ws ) − λ r ∑ Ws C j (Wr ))dS ∂D

= ∫ Wr λ s M (Ws )dD +... D

l

l

l

j =1

j =1

= − λ s ∑ ∫ Wr C j (Ws )dS + ∫ ( λ s ∑ Wr C j (Ws ) − λ r ∑ Ws C j (Wr ))dS ∂D

j =1

∂D

  ∫D Ws L(Wr )dD + ∫∂D λ r Ws ∑ C j (Wr ))dS = 0   j =1   ⇔ L orthogonalité l  Ws L(Wr )dD + Ws ∑ B j (Wr ))dS = 0  r ≠ s ∫∂D j =1  ∫D  l

Autre démonstration l   Ws B j (Wr )dS = λ r  ∫ Ws M (Wr )dD + ∑ ∫ Ws C j (Wr )dS  ∫D Ws L(Wr )dD + ∑ ∫ ∂D D ∂D j =1 j =1   l l   W L ( W ) d D + W B ( W ) dS = λ W M ( W ) d D + W C ( W ) dS   ∑ ∑ r s r j s s r s r j s ∫D ∫∂D ∫D ∫∂D j =1 j =1   l

Par différence, en utilisant le caractère auto adjoint des opérateurs : l   0 = ( λ r − λ s ) ∫ Wr M (Ws )dD + ∑ ∫ Wr C j (Ws )dS  D ∂D j =1  

∫ ⇒

l

D

Wr M (Ws )dD + ∑ ∫ Wr C j (Ws )dS = 0 j =1 l

∂D

∫ W L(W )dD + ∑ ∫ D

r

s

j =1

∂D

si r ≠ s

Wr B j (Ws )dS = 0

l l   W L ( W ) d D + W B ( W ) dS = λ W M ( W ) d D + Ws C j (Ws )dS   ∑ ∑ s j s s s s ∫D s s ∫ ∫ ∫ ∂D D ∂D j =1 j =1   la relation étant d’ailleurs vraie terme à terme.

Enfin :

En conclusion, les problèmes du type présenté se résolvent finalement avec la même méthode que celle présentée dans le cas où les conditions aux limites ne dépendent pas de λ (absence de masse ou d’inerties localisées).

122

Analyse modale des systèmes linéaires

Chapitre II Exposé des méthodes conduisant à des équations matricielles II.1. Les méthodes énergétiques. II.1.1. Le quotient de Rayleigh. Pour les systèmes mécaniques à opérateurs L et M auto adjoints on a des propriétés de stationnarité d’un quotient que nous allons définir ici. Considérons un système mécanique régi par les équations : { Lw + Mw&& = 0 dans D Bi w( P, t ) = 0 sur ∂D} L et M étant auto adjoints. On sait que le problème est séparable et si Wr est la fonction propre associée à λ r : LWr = λ r MWr

λr =

donc :

∫ W LW dD = λ ∫ W MW dD r

D

r

r D

r

r

∫ W LW dD < W , LW > = < W , MW > W MW d D ∫ D

r

r

r

r

D

r

r

r

r

• Soit u une fonction de comparaison, par définition le quotient de Rayleigh de u est la quantité : < u, Lu > R ( u) = < u, Mu > Comme pour les systèmes discrets, on peut démontrer que R (u) est stationnaire au

voisinage de chaque fonction propre et on a : R (u) = ω 2r u = Wr - Si < u, Lu >> 0 ∀u de comparaison L est défini positif Si < u, Mu >> 0 ∀u de comparaison M est défini positif Si L et M sont définis positifs : 0 < ω 12 ≤ R - R (u) est minimum pour u = W1 ( R (W1 ) = ω 12 ) - Si on calcule R (u) en restreignant u à l’ensemble des fonctions de comparaison M orthogonales aux s-1 premières fonctions propres, alors R (u) est minimum pour u = Ws : ω 2s ≤ R (u) si < u, MWi >= 0 ∀i = 1,2,..., s − 1 ∀u (on suppose toujours les λ i = ω i2 classés par ordre croissant) • Soit u une fonction cinématiquement admissible, le quotient de Rayleigh peut aussi être défini à partir des énergies par : 2 Ed r (avec 2 E c* = ∫ u P2 dm ) R ( u) = * 2 Ec Cette relation entre le quotient de Rayleigh et les énergies peut d’ailleurs s’obtenir cas par cas par intégration par parties de l’expression de R (u) précédente. Elle exprime la conservation de l’énergie en régime harmonique établi. 123

Analyse modale des systèmes linéaires

Annexe : théorème de fermeture (énoncé du résultat) • Systèmes discrets à matrices de masse et de raideur symétriques, X vecteur quelconque. KX = v1 ; MX = v 2 v Si on pose i1 = λ*i ⇒ λ min < λ*i < λ max alors il existe au moins une valeur propre vi 2 comprise entre λ min et λ max Lu • Systèmes continus (L et M auto adjoints), u fonction de comparaison. = λ* varie Mu * lorsque le domaine est parcouru : λ min < λ < λ max . Alors il existe au moins une valeur propre comprise entre λ min et λ max . Ces résultats admis peuvent être utiles pour chercher à localiser grossièrement les valeurs propres. II.1.2. La méthode de Rayleigh-Ritz et les méthodes apparentées.

II.1.2.1 Oscillations libres sans amortissement (problèmes auto adjoints). La recherche des fonctions propres des problèmes auto adjoints (sans opérateur C) peut se faire en utilisant les propriétés du quotient de Rayleigh. Historiquement ce sont Rayleigh et Ritz qui ont les premiers mis au point ces méthodes. On s’intéressera au problème suivant : { Lw + Mw&& = 0 dans D Bi w( P, t ) = 0 sur ∂D} L et M auto adjoints Les fonctions propres W vérifient LW = λMW ; on se propose de les déterminer approximativement. •Wr est recherchée sous la forme d’une série de fonctions de comparaison ui : ∞

Wr = ∑ ui ( P )a i = Ψ

(n)

+

i =1

∞

∑ u ( P)a

i = n +1

i

i

On calcule le quotient de Rayleigh de Ψ ( n ) en effectuant une troncature limitant évidemment la précision. On calcule les ai optimaux en cherchant les extremums de R( Ψ ( n ) ) .

R( Ψ

(n)

< Ψ ( n ) , LΨ ( n ) > )= est un quotient de deux formes quadratiques en effet, posons : < Ψ ( n ) , MΨ ( n ) >

[

Ψ ( n ) = [ u]{ a} avec : [ u] = u1 , u2 ,..., un <Ψ

(n)

, LΨ

de même :

(n)

>=

n

]

{ a} T = {a1 , a 2 ,..., a n }

n

∫ ∑ u a ∑ Lu a dD = ∑ a ∫ D

i =1

i

i

j =1

j

j

< Ψ ( n ) , MΨ ( n ) >= a T Ma

ij

i D

ui Lu j dDa j = a T Ka

avec : k ij =

avec : k ij = ∫ ui Mu j dD D

Les matrices K et M sont symétriques comme L et M sont auto adjoints.

124

∫

D

ui Lu j dD

Analyse modale des systèmes linéaires

Il faut encore écrire

R,ai = 0 i = 1,2,..., n

ou dR = 0

a T Ka dR = d ( T )=0 a Ma

Or on sait que si on appelle Λ( n ) la valeur du quotient lorsqu’il passe par un extremum, écrire dR = 0 revient à résoudre : [ K − Λ( n ) M ]{ a} = 0

A la valeur propre Λ(rn )

a1(rn )     M  correspond le vecteur propre air( n )  et la fonction propre :  M   ( n)  a nr  Ψr( n ) = ∑ ui a ir( n ) = [ u]{a r( n ) } . n

La famille minimisante est {Ψ

(n) 1

i =1

, Ψ2( n ) ,..., Ψn( n ) } dans cette approximation d’ordre n et

lim R( Ψr( n ) ) = lim Λ(rn ) = λ r = ω 2r .

n →∞

n →∞

Les ui sont choisis parmi les fonctions propres de systèmes simples voisins du système étudié, si on en connaît, ou parmi les éléments d’un ensemble complet de fonctions de comparaison.

• Wr est recherchée sous la forme d’une série finie de fonctions vi satisfaisant les conditions aux limites géométriques (dites encore cinématiquement admissibles) : n

Wr = ∑ vi ( P )bi i =1

ou les bi sont des constantes à déterminer.

Le procédé est analogue mais l’expression du quotient de Rayleigh à utiliser est : 2Ed r (avec 2 E c* = ∫ u P2 dm ) R= * 2 Ec n

On peut aussi procéder ainsi en écrivant :

w( P , t ) = ∑ vi ( P )bi (t ) i =1

D’où :

2E c = b&i mij b& j

2 E d = bi k ij b j

Les équations de Lagrange en bi s’écrivent :

T avec : {b} = {b1 , b2 ,..., bn }

[ M ]{b&&} + [ K ]{b} = { 0}

On cherche des solutions particulières {b(t )} = {b }e

système homogène [ K − Λ M ]{b } = 0

jωt

ce qui revient à résoudre le

( n)

Les différents vecteurs {b } trouvés sont évidemment ceux qui permettront de déterminer une approximation de chaque fonction Wr . 125

Analyse modale des systèmes linéaires

II.1.2.2. Le cas général. Soit un système mécanique dont on cherche les équations approchées des petits mouvements au voisinage d’un état d’équilibre relatif où toutes les vitesses ne sont pas nécessairement nulles. On pourra utiliser une méthode énergétique de la façon suivante : on cherchera w( P, t ) sous forme d’une série finie de fonctions au moins admissibles (sinon il faudrait introduire des n

multiplicateurs pour les liaisons géométriques non satisfaites). On pose : w( P , t ) = ∑ vi bi (t ) i =1

On écrit les équations de Lagrange en bi pour le système à un nombre fini de degrés de liberté bi (t ) . Sous forme d’un schéma nous rappelons d’où peuvent, en général, provenir les termes du système matriciel linéaire finalement obtenu :

Ed s Mb&& + Bb& + Kb = F ( t ) a a s en général

Ec

δTC

énergie cinétique Ec Ed énergie de déformation (l’énergie de déformation est associée au travail des forces intérieures dérivant d’un potentiel) δTC travail virtuel compatible des forces intérieures ou extérieures s partie symétrique a partie antisymétrique Si les opérateurs L et M des équations locales sont auto adjoints les matrices M et K associées seront symétriques, sinon non ! La méthode que nous venons de décrire que certains appellent méthode de Rayleigh-Ritz ou des fonctions présumées, d’autres résolution par formulation faible, qu’importe ! est à la base de la méthode classique des éléments finis mise en œuvre à partir des énergies. Nota : Pour des raisons de simplification on calcule parfois de façon approchée l’énergie cinétique en concentrant la masse en certains points du système considéré. (méthode des masses concentrées). Il reste pour résoudre le système matriciel à déterminer les conditions initiales sur les bi (t ) , ce qui se fait de façon analogue a ce qui a déjà été vu et sera rappelé dans le paragraphe qui va suivre (* remarque 2 du paragraphe II.2.1.).

126

Analyse modale des systèmes linéaires

II.2. Les méthodes d’annulation d’erreur. Nous considérons toujours un problème du type :  && + Cw& + Lw = f ( P, t ) + ∑ F j (t )δ( P − Pj ) dans D  Mw j  w( P,0) = w0 w& ( P,0) = w& 0

 Bi w( P, t ) = 0 sur ∂D  

On peut chercher à développer w sur des fonctions de comparaison vi il restera à satisfaire l’équation locale. n

Posons w = ∑ vi ( P )a i (t ) . L’équation locale s’écrit finalement : i =1

n

∑ Mv a&& i =1

i

i

+ Cvi a& i + Lvi qi = f ( P , t ) + ∑ F j (t )δ ( P − Pj ) j

II.2.1. la méthode de Galerkin. Considérons un déplacement virtuel δw compatible (ou cinématiquement admissible) : n

δw = ∑ v r ( P )δa r (t ) (calculé par les variations de w) r =1

Si on multiplie l’équation locale par δwdD et si on intègre dans D , comme l’équation locale exprime la loi de Newton, on ne fait qu’écrire le principe des travaux virtuels : n n  &&i + v r Cvi a& i + v r Lvi a i )dD − ∫ v r f ( P , t )dD − ∑ v r ( Pj ) F j (t )  = 0 δa ∀δa r ∑ r ∑ ∫D ( v r Mv i a D r =1 j r =1,2,...,n  i =1 

Chaque facteur de δa r doit être nul on obtient les n équations de Galerkin qui s’écrivent sous forme matricielle : Ma&& + Ba& + Ka = F (t )

M ri = ∫ v r Mvi dD D

avec :

Fr (t ) =

∫

D

Bri = ∫ v r Cvi dD D

K ri = ∫ v r Lvi dD D

v r f ( P, t )dD + ∑ v r ( Pj ) F j (t ) j

Les matrices M et K sont symétriques si M et L sont auto adjoints. On notera qu’en considérant comme une mesure de l’erreur dans l’approximation à n fonctions la quantité ε ( n ) telle que : n

ε ( n ) = ∑ ( Mvi a&&i + Cvi a& i + Lvi ai ) − f ( P, t ) − ∑ F j (t )δ ( P − Pj ) i =1

j

les n équations de Galerkin s’obtiennent formellement en écrivant que l’erreur pondérée par les fonctions v r intégrée dans D est nulle :

∫

D

v r ε ( n ) dD = 0 r = 1,2,..., n

127

Analyse modale des systèmes linéaires

On peut d’ailleurs obtenir ce résultat très général et valable pour d’autres domaines de la physique à partir du principe du maximum de Pontryagin (renvoi en fin du paragraphe II). Remarque 1 : Dans certains problèmes (par exemple celui de flexion d’une poutre) l’équation locale peut ne pas être valable partout, et en écrivant le principe des travaux virtuels on n’oubliera pas le travail de couples localisés ou de moments dynamiques. Remarque 2 : Pour résoudre complètement le système d’équations obtenues, il faut connaître les conditions initiales sur les ai (t ) . Partant de w = ∑ vi a i (t ) , il faut faire une intégration sur w0 donné pour calculer les i

ai (0) . On peut écrire :

∫

D

∫

ou

D

v j w0 dD = ∑ ∫ v j vi a i (0)dD D

i

j = 1,2,..., n

v j Mw0 dD = ∑ ∫ v j Mvi a i (0)dD i

D

j = 1,2,..., n

ou encore utiliser l’opérateur L. On utilisera un procédé analogue pour le calcul des a& i (0) et on aura finalement deux systèmes linéaires matriciels [ n × n] à résoudre : E = Qa (0) ou il est agréable d’avoir Q diagonale ! F = Qa& (0)

II.2.2. la méthode de collocation. Dans la méthode précédente l’annulation d’erreur était du type intégral. Dans la méthode de collocation on cherche à annuler l’erreur en un certain nombre de points choisis au mieux (collocation par points). On exprime d’abord la discontinuité de certaines contraintes intégrées aux points Pj où il existe des forces concentrées. S’il existe l forces concentrées ( j = 1,2,..., l ) on dispose de l relations. Il restera à écrire que l’équation locale est satisfaite en n-l points Pr du domaine, points autres que les précédents. n

∑ Mv ( P )&&a i =1

i

r

i

+ Cvi ( Pr )a& i + Lvi ( Pr )a i = f ( Pr , t ) r = 1,2,..., n − l

Finalement on obtiendra un systèmes matriciel mais sans intégration : n  w ( P ) = vi ( Pr )a i (0) ∑  0 r  i =1 Ma&& + Ba& + Ka = F (t ) [ n × n] avec :  n w& ( P ) = v ( P )a& (0) ∑i r i  0 r i =1

128

Analyse modale des systèmes linéaires

La structure des matrices est quelconque et la solution peut être sensible au choix des points. Cette méthode est actuellement peu développée (en fait c’est une méthode de résidus pondérés par des fonctions de Dirac). On peut a priori s’étonner de ce qu’il semble que l’erreur ne puisse être annulée aux points Pj où agissent les forces concentrées. En fait on écrit bien que l’erreur est nulle en ces points en écrivant les l premières équations. Il ne faut pas oublier que la notation de la fonction de Dirac δ( P − Pj ) n’est qu’un artifice commode qui doit toujours être associé à

∫

D

δ( P − Pj )dD=1

Remarque d’ordre général : Nous avons présenté les méthodes de résolution matricielle approchées. Il peut être très intéressant d’utiliser des méthodes dites semi analytiques en faisant des changements de fonctions comme l’ont fait avec succès Levy et Kantorovitch par exemple. On pose : w( P , t ) = R ( P ) S ( P , t ) où R ( P ) vérifie une partie des conditions aux limites du problème. L’équation locale relative à S ( P , t ) et les conditions aux limites sur S ( P , t ) doivent être déterminées mais le problème en S ( P , t ) peut être plus simple à résoudre par les méthodes matricielles que le problème en w( P , t ) . _____________________________________ Annexe : justification de la méthode de Galerkin par le principe du maximum de Pontryagin (analyse de l’article de Bonnemay et compléments : CR PARIS t 272 11/1/71 série A p 132-135)

*

Soit l’équation aux dérivées partielles : X ( Q) + T ( Q ) = g ( x , t ) où X est un opérateur différentiel linéaire par rapport aux variables d’espace, composantes du vecteur x et T un opérateur différentiel linéaire par rapport à t, et d’ordre µ. µ−1 ∂µ ∂k T = τ + T′ avec : τ = µ T ′ = ∑ bk k ∂t ∂t k =1 Soit Q * la solution exacte, elle vérifie toutes les conditions aux limites et : X ( Q * ) + T ( Q * ) = g ( x , t ) ∀t .

En particulier à t = 0 instant initial où le phénomène spatio-temporel est bien défini : (Q ( x ,0), Q& * ( x ,0),..., Q *( µ−1) ( x ,0)) sont fixés. *

On peut chercher une solution approchée de la forme : ν

Q( x , t ) = ∑ a i (t ) f i ( x ) où les f i ( x ) vérifient toutes les conditions aux limites (naturelles et i =1

géométriques) du problème et appartiennent à une famille complète c’est à dire susceptible de représenter par combinaison linéaire n’importe quel état du système à ε ( ν) près. Les fonctions

(Q

*

( x ,0), Q& * ( x ,0),..., Q *( µ−1) ( x ,0)) se développent sur les

l’approximation d’ordre ν et fixent les a

(k ) i

fi (x) à

(0) conditions initiales des équations en ai (t ) .

129

Analyse modale des systèmes linéaires

Posons, en portant Q dans l’équation locale : dµ  a i X ( f i ) +  µ ai + T ′ (a i )  f i = h( x , t ) ∑ i =1  dt  h( x , t ) est différent de g ( x , t ) à cause de l’erreur de troncature sur la série définissant Q( X , t ) . La fonction h − g , erreur dépendant de t peut être rendue extrémale (si possible minimum) sur un ν

[ ]

intervalle de temps d = 0, t 1 . La méthode de Galerkin consiste à minimaliser la norme de l’erreur ε d . def

εd =

t1

∫ ∫ 0

D

∫

D

(h − g ) 2 dxdt = S (t 1 )

(h − g ) 2 dx

εd 0

t1

t

Introduisons les variables d’état et les multiplicateurs associés : ai ( t ) = ai 1 ( t ) a&i1 (t ) = ai 2 (t )

λ i1

M

M

a& ij (t ) = a ij +1 (t )

λ ij

M

M

a& iµ−1 (t ) = aiµ (t ) a& iµ (t ) = ui (t ) (contrôle)

λ iµ−1 λ iµ

L’intégrale à minimiser s’écrit :

∫

t1

∫

t1

0

0

2 µ −1   ν   ∫ ∑ ai1 (t ) X ( f i ) + ui f i ( x ) + ∑ bk a i ,k +1 f i − g  dx dt k =1  D  i =1  

L(ai1 ,..., aiµ , ui (t ))dt

où L désigne le Lagrangien.

L’Hamiltonien du système est : ν µ−1

ν

i =1 j =1

i =1

H = − L + ∑ ∑ λ ij ai , j +1 + ∑ λ iµ ui avec : λ 0 = −1

130

Analyse modale des systèmes linéaires

∂H ∂H a& iµ = ∂λ ij ∂λ iµ ∂H & ∂H λ& ij = − λ iµ = − ∂aij ∂aiµ

On a : a& ij = et :

pour le système adjoint.

Q(t = 0) diffère de Q * (t = 0) d’une quantité de l’ordre de ε ( ν) comme ses µ − 1 premières dérivées, mais Q(t 1 ) n’est pas fixé. Dans l’espace de phase l’extrémité finale de la trajectoire étant libre les conditions de transversalité sont : λ ij (t 1 ) = 0 λ iµ (t1 ) = 0 . Le contrôle optimal (u1 , u2 ,..., u ν ) devant rendre extrémal l’Hamiltonien :

  ν  ∂H = 0 ⇔ −2 ∫  f j ( x ) ∑ ai1 X ( f i ) + ui f i ( x ) + ∑ bk ai ,k +1 f i ( x ) − g dx + λ jµ = 0 D  i =1  ∂u j k  j = 1,2,..., ν Cherchons la solution du système auto adjoint :  ν  ∂  λ& ij = − λ i , j −1 + 2 ∫ bk a i ,k +1 f i ( x )  ∑ a i1 X ( f i ) +...− g  dx  ∑ D ∂a    i =1  k ij j ≠ 1 j = 2,..., µ − 1, µ et pour j = 1 : λ& ij = − λ i , j −1 + b j −1λ iµ ν &λ = 0 + 2 ( X ( f ) + b f ) a X ( f ) +...− g  dx ∑ i1 i 0 i i ∫D  i =1 i1 

 ν  λ& i1 = b0 λ iµ + 2 ∫ X ( f i ) ∑ ai1 X ( f i ) +...− g dx D  i =1  Comme X ( f i ) est linéaire par rapport aux variables d’espace, la dernière intégrale est une forme linéaire des λ iµ . Alors, compte tenu des conditions de transversalité, les λ& ij (t 1 ) et λ& (t ) sont nuls (à ε ( ν) près) et en adoptant comme solution approchée du système adjoint i1

1

λ ij (t ) = 0 ∀t

j = 1,2,..., µ les conditions d’extremum de l’Hamiltonien s’identifient, dans

cette approximation, aux conditions de Galerkin.

131

Analyse modale des systèmes linéaires

Chapitre III

Méthodes particulières

III.1. La méthode des matrices de transmission (ou de transfert) de Falk-Myklestad. La méthode des matrices de transmission est particulièrement bien adaptée aux problèmes monodimensionnels (petits mouvements de poutres). Un vecteur d’état { X } caractérisant les variables cinématiques et les forces généralisées en des points d’une discrétisation convenablement choisie, est déterminé de proche en proche en parcourant la structure. III.1.1 Flexion plane d’une poutre droite. r y

coupure

coupure

X iD

X iG i

i-1

i+1

xi M v

T θ

r n

On adopte une (Σ) du discrétisation système réel S en fractionnant les poutres en tronçons numérotés (indice i).

T*

On exposera la méthode dans le cas où il n’existe pas de chargement linéique et avec les approximations classiques de Bernoulli et les conventions de signe ci-dessus (voir deuxième partie II.2. mise en équations chapitre I). On a : θ = v , x

M = EI i v , x 2

T = − M ,x = −T *

EI i v , x 4 + mi v&& = 0 mi = ρV Si

[ ]

x ∈ 0, li

Le vecteur d’état { X } est par définition :

{ X } T = {v, θ, M , T * }

Nous nous intéresserons d’abord aux oscillations libres ; dans ce cas, en un point courant de l’élément i d’abscisse xi notée x : jωt jωt jωt jωt vi = Vi e θi = Θ i e Mi = Mi e Ti * = Ti * e ou ω désigne une pulsation propre ω k . Avec : EI i vi , x 4 − mi ω 2 v&&i = 0 ou

vi , x 4 − λ v&& = 0 4 i i

mi ω 2 avec : λ = EI i 4 i

132

Analyse modale des systèmes linéaires

λ i étant constant sur chaque tronçon de section constante (après discrétisation). On cherche classiquement une solution en e sx alors s est solution de : s 4 − λ4i = 0

D’où : Vi ( x ) = Ai cos λ i x + Bi sin λ i x + Ci cosh λ i x + Di sinh λ i x Les constantes Ai , Bi , Ci , Di se calculent en utilisant les composantes de { X } à

gauche { X iG } pour x = 0 :

Vi (0) = Ai + Ci M i (0) = EI i λ2i ( − Ai + Ci ) Θ i (0) = λ i ( Bi + Di ) Ti * = EI i λ3i ( − Bi + Di ) D’où : li Θ i (0)   Vi (0)(cos λ i x + cosh λ i x ) + λ l ( shλ i x + sin λ i x )  1 i i  Vi ( x ) =  2  M i (0)li2 Ti (0)li3 + 2 (cosh λ i x − cos λ i x ) + 3 ( sinh λ i x − sin λ i x ) EI i ( λ i li )  EI i ( λ i li ) 

{ }

 Ml s2 Tl s3  X ( s ) = V , l s Θ, ,  EI s EI s   Ii  αi = Is   li  βi =  où ls et I s sont des longueurs et des inerties de référence. ls  λ i li = ui   

Posons :

T

βi   Vi (0)(cos λ i x + cosh λ i x ) + l s Θ i (0)( shλ i x + sin λ i x ) u  1 i  Vi ( x ) = 2 l s2 β i2 l s3 β i3  (cosh λ i x − cos λ i x) α u 2 + Ti (0) EI (sinh λ i x − sin λ i x) α u 3  + M i (0) EI s s i i i i   On peut alors calculer les composantes de { X iD } du vecteur { X i } à droite en fonction

[ ]

de celles de { X iG } et construire une matrice de transfert Pi ( s ) On a :

{ X } = [ P ]{ X } iD ( s )

i ( s)

iG ( s )

133

Analyse modale des systèmes linéaires

[P ] i ( s)

  C0i  ui4   S 3i β i = 4 u α C i i  2i β i2  4  S ui α i  1i β i3

ui4 =

et :

S1i β i C0i ui4 S 3i α βi i ui4 α i C2 i 2 βi

β i2 C2 i αi βi S1i αi

β i3  S 3i  αi  β i2  C2 i  αi  S1i β i   C0i  

C0 i ui4 S 3i βi

1 (cosh ui + cos ui ) 2 1 (sinh ui + sin ui ) S1i = 2 ui

C0i =

avec :

C2 i =

1 (cosh ui − cos ui ) 2ui2

S 3i =

1 (sinh ui − sin ui ) 2ui3

ρS i li4 ω 2 EI i

Deux cas sont à envisager selon que { X } est continu ou non à la traversée d’une coupure.

• premier cas { X } est continu partout aux n − 1 coupures

1 X 1G X ( s )1D = P1( s ) X ( s )1G

2 X 1D

X 2G

X ( s )1D = X ( s ) 2 G

n

... X 2D

X nG

X nD

X ( s ) iD = X ( s )i +1G

X ( s ) 2 D = P2 ( s ) X ( s ) 2 G = P2 ( s ) P1( s ) X ( s )1G soit :

M

X ( s ) qD = Pq ( s ) X ( s ) qG = Pq ( s ) Pq −1( s ) ... P1( s ) X ( s )1G M

X ( s ) nD = Pn ( s ) Pn −1( s ) ... P1( s ) X ( s )1G

{X } = [P ( s ) nD

( s)

]{

(S ) X ( s )1G

} avec :

n

P( s ) (S ) = ∏ Pq ( s ) q =1

Or en oscillations libres, compte tenu des conditions aux limites, quatre des huit quantités qui interviennent aux extrémités sont nulles.

encastrement

v 0

θ

libre posé sur roulettes

M

T

0

clamped 0

0

0

hinged pinned

0 0

134

free

0

sliding

Analyse modale des systèmes linéaires

Dans tous les cas il reste à résoudre un système linéaire homogène de quatre équations à quatre inconnues. Les zéros du déterminant associé fourniront les pulsations propres et les vecteurs d’état associés permettront de déterminer les modes et les forces généralisées associées (le calcul pouvant être fait aux coupures ou partout). • deuxième cas { X } est discontinu en certains points La discontinuité a une position connue et on choisit des coupures aux endroits où { X } est discontinu. Pour fixer les idées nous étudierons deux cas : Appui de raideur k Ti

On adopte un élément supplémentaire de largeur et de masse

Ti+1 vi

nulles. vi +1 = vi

k

θ i +1 = θ i

M i +1 = M i

Ti +1 − Ti − kvi = 0 ⇒ Ti +*1 = Ti * − kVi

la matrice de palier à introduire s’écrit :

P( s ) palier

   =  − 

1 0 0 kl s3 EI s

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1 

Appui infiniment rigide v q −1D = v qG = 0 θ q −1D = θ qG

q-1

q D

Tq*−1D e

Tq*−1D + F − TqG* = 0

M q −1D = M qG

(permet de calculer F)

G

jωt

TqG* e

Fe

jωt

jωt

 X ( s ) q −1D = P(1) X ( s )1G   X ( s ) nD = P( 2 ) X ( s ) qG

Compte tenu des conditions aux limites (4) on a 16-4=12 équations pour les douze inconnues. Possibilités et limites de la méthode

La matrice de transfert peut être utilisée pour les problèmes de statique ainsi :  β i2 β i3  1 β i  2α i 6α i   βi β i2   lim Pi ( s) =  1 λ →0 αi 2α i    1 βi    1  ce qui donne les relations classiques : 135

Analyse modale des systèmes linéaires

Mli2 TG* li2 v D = VG + li θ G + + 2 EI i 6 EI i

Mli TG* li2 θ D = θ G + li θ G + + EI i 2 EI i

M D = M G + TG* li

TD* = TG*

En dynamique le calcul des valeurs propres conduit à la recherche de zéros par dichotomie ce qui peut être un inconvénient mais fournit les valeurs exactes des formes propres. Visiblement on peut adapter la méthode à l’étude de la réponse forcée à une sollicitation harmonique, tenir compte de l’énergie cinétique de rotation ou de la déformation de glissement sous l’effet de l’effort tranchant. Mais l’ordre des déterminants à annuler croît rapidement avec le nombre des appuis ce qui présente des inconvénients numériques. III.1.2. Torsion d’une poutre droite. X iD

X iG i

i-1

i+1

xi

[ ]

xi ∈ 0, li

On adopte une (Σ) du discrétisation système réel S en fractionnant les poutres en tronçons numérotés (indice i).

M θ( x , t ) r n

On exposera la méthode dans le cas où le gauchissement n’est pas gêné, alors la loi de comportement s’écrit : M i = GJ i θ i , x et l’équation locale :

− GJ i θ i , xx + ρI i && θi = 0 T On adopte comme vecteur d’état { X } = {θ, M }

J i = S i k i2

On pose :

;

GJ i αG = ci2 2 = ρ ρSi k i

En oscillations libres, à la pulsation propre ω j on a :

xi xi + B sin ω j θ i = Θ i ( xi ) cos ω j t ci ci avec : GJ i xi xi M i = M i ( xi ) cos ω j t M i ( xi ) = ω j ( − A sin ω j + B cos ω j ) ci ci ci Θ i ( xi ) = A cos ω j

Posant

{Θ , M } = { X } i

i

T i

on a, en calculant pour xi = 0 :

136

Analyse modale des systèmes linéaires

0  A 1 Θi       = 0 ω GJ i    j  M i  G  ci   B 

d’où :

{X } i

D

l  cos ω j i  ci = GJ li − ω i sin ω j j  ci ci

ci l  sin ω j i  GJ i ω j ci { X i } = Ti G li  cos ω j  ci

[ ]{ X } i

G

Ti est la matrice de transfert de l’élément. • { X } est continu aux coupures X 1D = T1 X 1G = X 2 G X 2 D = T2 X 2 G = T2 T1 X 1G = X 3G X nD = Tn ... T1 X 1G = T (S ) X 1G Sur les quatre composantes de X nD et X 1G deux sont nulles compte tenu des conditions aux limites en oscillations libres. Il reste donc à résoudre un système linéaire homogène dont le déterminant fournira les pulsations propres du problème et les vecteurs d’état associés, les modes et moments de torsion associés. • { X } est discontinu Si en un point P M possède une discontinuité due à une raideur extérieure à la torsion C, on introduit en P une matrice supplémentaire construite en utilisant un élément de largeur nulle. − Cθ

M PD − Cθ − M PG = 0 M PG

M PD

 1 0 XD =   XG C 1

La résolution se poursuit comme précédemment. Enfin on peut adapter la méthode pour l’étude de la réponse à des sollicitations harmoniques imposées.

137

Analyse modale des systèmes linéaires

III.2. Méthode d’itération de Stodola. Lorsque l’analyse modale d’une structure conduit à des équations de comportement matricielles avec matrice de masse diagonale, on peut calculer simplement la première pulsation propre en utilisant la méthode des puissances si K est régulière. x

mi+1

mi yi

y ( x , t ) y i +1

On a : MY&& + KY = 0 en oscillations libres avec : {Y } = { y1 , y 2 ,..., y n }e jωt M = diag (mi ) K = ξ −1 jωt yi ( x , t ) = y i e T

{y , y

on pose :

1

2

,..., y n } = V T

A la pulsation propre ω i V coïncide avec un mode Zi et : Mω = KV 2

V( n +1)

ou

V = ω 2 ξMV = ω 2 ξdiag (mi yi ) ( E )

On définit la récurrence : = ξMV( n ) avec V( 0) arbitraire

(E * )

y ( n +1) i est le déplacement au point i sous l’effet du chargement m j y ( n ) j (si les y sont des

déplacements les m j y j s’expriment en Newton) On sait que V( n +1) converge vers le mode le plus bas Z1 et que le rapport des composantes de même rang i tend vers

y ( n +1)i

1 : ω 12

y ( n )i

→

1 ω 12

En effet si n est élevé, comme V( n ) vérifie à peu près ( E ) , V( n ) ≈ ω 12 ξMV( n ) donc

V( n ) ω 12

≈ V( n +1) .

On disait autrefois qu’en chargeant avec des masses m j y j on obtient des déformées ω fois plus faible que les déformées réelles ce qui est une façon d’exprimer que la relation ( E * ) n’est pas l’équation ( E ) . 2

Finalement on obtient ω 1 et Z1 par ce procédé simple à mettre en œuvre.

138

Analyse modale des systèmes linéaires

Annexe

Résolution des systèmes linéaires matriciels du second ordre

Nous proposons ici de rappeler la façon de résoudre le système matriciel linéaire : MX&& + CX& + KX = F (t ) avec : dim X (t ) = n X ( t = 0) = X 0 X& (t = 0) = X& 0 F (t ) étant une force généralisée. Nous écrirons une formulation assez générale et en excluant toutefois le cas des valeurs propres multiples ou nulles. L’extension à ces cas particuliers se fait en utilisant la même démarche avec éventuellement des orthogonalisations supplémentaires. Cependant nous supposerons que le système matriciel est sans défaut (Pas de matrices défective dans la terminologie anglo-saxonne, c’est à dire que le cas où à une valeur propre de multiplicité q on ne pourrait pas associer q vecteurs propres linéairement indépendants n’est pas envisagé, ce cas plus compliqué, qui demande un traitement spécial est cependant très particulier et reste un cas d’espèce). Le principe consiste à chercher des solutions particulières de l’équation sans second membre et à utiliser ensuite la méthode de variation des constantes de Lagrange. 1. Recherche de solutions MX&& + CX& + KX = 0 ( E )

particulières

de

l’équation

sans

second

membre

Une solution particulière numérotée i est recherchée sous la forme X part = U i e

si t

si scalaire éventuellement complexe. U i vecteur colonne éventuellement complexe

[

En reportant dans l’équation, nous voyons que MX&& + CX& + KX = F (t ) doit vérifier st Msi2 + Csi + K U i = 0 après division par e i non nul.

]

Associons à l’équation ( E ) , l’équation ( E ′) où les matrices sont transposées : && M R + C T R& + K T R = 0 ( E ′ ) T

L’inconnue étant le vecteur R.

[M

Une solution particulière de cette équation s’écrit R part = Vl e T

]

sl2 + C T sl + K T Vl = 0 ou

[

]

Vl T Msl2 + Csl + K = 0

slt

avec Vl tel que :

en transposant.

Il apparaît que les s sont solutions d’une équation caractéristique algébrique : det[ Ms 2 + Cs + K ] = 0 A toute solution si (il y en a 2n) sera associé : Un vecteur propre à droite U i Un vecteur propre à gauche Vi 139

Analyse modale des systèmes linéaires

Les valeurs propres si complexes apparaissent par paires : Si si est valeur propre, si l’est aussi et les vecteurs propres U i et Vi lui sont associés. La matrice S = diag ( si ) peut s’écrire par blocs de trois matrices diagonales : S C  diag ( si ) =  

 }r lignes  }r lignes  S R  }2n − 2r = q lignes

SC

 sl = ξ l + jΩ l  Posons sl + r = sl s < 0  Rl

(q pair)

l = 1,2,..., r Ω l > 0 ξ l < 0 l = 2r + 1,...,2n

On a supposé ξ l < 0 et s Rl < 0 , les parties réelles des si étant supposées négatives dans le cas, le plus souvent rencontré, où le systèmes est stable (le cas où certains sl sont à parties réelles positives se traite sans difficultés). Le symbole C est utilisé pour complexe Le symbole R est utilisé pour réel. A cette écriture par blocs est associée une partition des matrices formées des vecteurs colonnes U i et Vi . Nous posons donc :

[

U = U C ;U C ; U R

]

[

V = V C ; VC ; V R

↓ ↓ de colonne U i de colonne Vi

]

Relations générales d’orthogonalité Les relations définissant U i et Vl permettent d’écrire :

[ [ Ms

] + K ]U

Vl T Msi2 + Csi + K U i = 0 Vl T

2 l

+ Csl

i

=0

− sl

1

−1 s 14243i multiplicateurs

En utilisant des combinaisons de ces relations, avec des multiplicateurs convenables, nous faisons apparaître des relations d’orthogonalité très utiles ainsi :

Vl

T

[ [

Par soustraction : M ( si + sl ) + C U i ( si − sl ) = 0

]

Par soustraction, après multiplication par sl et si

]

Vl K − sl Msi U i ( si − sl ) = 0 T

140

Analyse modale des systèmes linéaires

Donc : si ≠ sl ⊥ si = sl

[ [2 Ms

]

Vl T M ( si + sl ) + C U i = 0 Vl T

l

]

et

+ C U l = al

[

]

[ ] [ K − s M ]U

Vl T K − sl Msi U i = 0 Vl T

2 l

l

= bl

avec : bl = − sl a l puisque Vl T Msl2 + Csl + K U l = 0 Il intervient 2n constantes a Cl , a Cl , a{ qui peuvent être classées dans une Rl 123 l∈(1, r ) l∈( 2r + 1,2n) matrice diagonale A. 2. Solution générale de l’équation sans second membre { F (t ) = 0} La solution générale que nous allons rechercher sera la solution complète en oscillations libres : nous allons l’obliger à satisfaire les conditions initiales. Pour ne pas surcharger inutilement, commençons par traiter le cas où il n’y a pas de valeurs propres sl réelles. Le problème étant linéaire, X est recherché sous la forme : st st X = ∑ U l e l k l + U l e l hl k l et hl étant complexes. r

l =1

r

d’où : X 0 = ∑ U i k i + U i hi i =1 r

X& 0 = ∑ si U i k i + si U i hi i =1

Nous construisons des expressions faisant intervenir les conditions d’orthogonalité en multipliant à gauche ces expressions, c’est à dire en multipliant : la première à gauche par

slVl T M + Vl T C

la seconde à gauche par

Vl T M

et en additionnant : Vl T MX& 0 + ( slVl T M + Vl T C ) X 0 = ∑ (Vl T Msi U i k i + Vl T Msi U i hi ) i

+ ∑ (Vl T MslU i k i + Vl T MslU i hi ) i

+ ∑ (Vl T CU i k i + Vl T CU i hi ) i

(

)

(

)

= ∑ Vl T M ( si + sl ) + C U i k i + Vl T M ( si + sl ) + C U i hi i

Le second membre ne donne une contribution que pour si = sl ⇒ V T MX& + ( s V T M + V T C ) X = a k (C pour complexe) l

0

l

l

l

0

Cl

l

141

Analyse modale des systèmes linéaires

En multipliant de façon analogue par des expressions faisant intervenir sl et Vl T nous obtenons de la même façon hl : Vl T MX& 0 + ( slVl T M + Vl T C ) X 0 = a Cl hl Ainsi k l = hl Dans le cas ou certaines valeurs de sl sont réelles nous aurions : r

(

X = ∑ Ule l =1

sl t

kl + U l e

slt

avec : V RlT MX& 0 + ( s RlV RlT

)

2n

∑U M + V C) X hl +

l = 2 r +1

T Rl

sRlt

Rl

e

0

+ a Rl j l

(R pour réel)

jl

Les scalaires k l , hl , jl sont donc connus à ce stade. Finalement : st X = ∑ U l e l a Cl−1 Vl T MX& 0 + ( slVl T M + Vl T C ) X 0 + la quantité conjuguée r

l =1

+

{

2n

∑

l = 2 r +1

[

{U

Rl

e

sRlt

}

]

[

a Rl−1 V RlT MX& 0 + ( s RlV RlT M + V RlT C ) X 0

]}

3. Solution générale de l’équation complète MX&& + CX& + KX = F (t ) Nous allons ajouter à la solution trouvée une solution particulière nulle comme sa dérivée à l’instant initial, ceci en utilisant la méthode classique de Lagrange.

X part

Nous posons : r st st = ∑ U l e l k l (t ) + U l e l hl (t ) si tous les si sont complexes. l =1

Construisons MX&& + CX& + KX pour cette solution particulière : r

X = ∑U i e i =1

sit

st k i (t ) + U i e i hi (t )

imposé nul 64444 4744444 8 r r s t s t s t s t X& = ∑ siU i e i k i (t ) + siU i e i hi (t ) + ∑ U i e i k&i (t ) + U i e i h&i (t ) i =1

i =1

r

r

i =1

i =1

st st st st X&& = ∑ si2U i e i k i (t ) + si2U i e i hi (t ) + ∑ U i e i k&i (t ) + U i e i h&i (t ) En sommant membre à membre : r st st F (t ) = ∑ MU i e i si k&i (t ) + MU i e i si h&i (t ) i =1

142

Analyse modale des systèmes linéaires

Nous disposons de deux relations. Multiplions le second membre Vl T à gauche et la relation que nous avons imposée nulle par Vl T ( Msl + C ) . Nous obtenons respectivement : r

Vl F (t ) = ∑ Vl T MU i e T

i =1

sit & st si k i (t ) + Vl T MU i e i si h&i (t )

r

0 = ∑ Vl T ( Msl + C )U i e

sit

i =1

si k&i (t ) + Vl T ( Msl + C )U i e Vl T = a Cl e

Soit en sommant membre à membre : des orthogonalités. Ainsi : k l (t ) =

1 a Cl

t

∫e

− slt

0

sit & si hi (t )

slt & k l (t )

en tenant compte

avec : k l (0) = 0

Vl T F ( τ ) d τ

hl (t ) =

de même en agissant avec Vl T et sl :

1 a Cl

t

∫e

− slt

0

Vl T F ( τ ) d τ = k l ( t )

On notera que X& (t = 0) = 0 pour cette solution particulière puisque k l (0) = k l (0) = 0 . Finalement la solution à rajouter dans le cas général est : r t s (t −τ) X part = ∑ U l ∫ e l a Cl−1Vl T F ( τ )dτ + la quantité conjuguée l =1

{

}

0

2n

∑ V ∫ es

+

t

l = 2 r +1

Rl

(t − τ)

Rl 0

a Rl−1V RlT F ( τ)dτ

Autre expression de la solution générale Pour simplifier l’écriture posons : 1  −1 T a Cl U lVl = Dl = ( M l + jN l ) 2 2 ( j = −1)  − 1 T a U V = D Rl  Rl Rl Rl

Dl et DRl étant singulières, M l et N l réelles.

Avec toujours sl = ξ l + jΩ l l’expression de X devient :

∑ e ξ t  D e jΩ t + D e − jΩ t  ( MX& r

l

l =1

+

l

l

l

2n

∑

l = 2 r +1

l

{e s t D Rl

Rl

( MX&

0

+ CX 0 ) + s Rl e

0

+ CX 0 ) + e

sRl t

DRl MX 0

ξl t  jΩl t (ξ l + jΩ l ) + Dl e − jΩlt  (ξ l − jΩ l ) MX 0   Dl e

}

 t ξ (t − τ)  D e jΩl (t − τ) + D e − jΩl (t − τ)  F ( τ )dτ  + ∑ ∫ e l  l  l  0  l =1  r

+

2n

∑ ∫ es

l = 2 r +1

t

0

Rl

(t − τ)

DRl F ( τ)dτ

La contribution de la partie complexe peut s’écrire, en utilisant les formules d’Euler :

143

Analyse modale des systèmes linéaires

][

]

 ξl t M l cos Ω l t − N l sin Ω l t MX& 0 + (C + ξ l M ) X 0 e r  ξt − e l M l sin Ω l t − N l cos Ω l t Ω l MX 0 ∑ l =1  t + ∫ e ξl (t − τ) M l cos Ω l (t − τ ) − N l sin Ω l (t − τ ) F ( τ)dτ  0

[

[

]

[

]

4. Etude de quelques cas particuliers Remarquons d’abord que si les matrices M, C, K sont toutes symétriques, les vecteurs propres à droite et à gauche coïncident et les matrices M l , N l , DRl sont symétriques. 4.1. La matrice C est identiquement nulle. L’équation caractéristique, invariante si s se change en -s n’admet, si le système est supposé stable, que des racines complexes à partie réelle nulle donc : S C = diag ( jω l ) sl = jω l

sl2 = −ω l2

SR = 0 On peut choisir U et V réelles. Leurs colonnes sont les modes. Les relations d’orthogonalité entre modes impliquent :

si ≠ sl  ⊥ si = sl 

Vl T MU i = 0 Vl T KU i = 0 (biorthonormalité) al Vl T MU l = Vl T KU l = bl + Vl T MVU l sl2 2 jω l

Si nous imposons a l = 2 jmω l , en normalisant, les deux dernières relations s’écrivent : Vl T MU l = m

Vl T KU l = − jω l 2 jmω l − mω l2 = mω l2

m étant une masse de référence

1 1   Ml = 0 −1 T T U l a l Vl = 2 jmω U lVl = 2 ( M l + jN l ) T Alors  l  ⇒ N = − U lVl l U V T est réelle  mω l  l l  Notons que pour si = − sl , Vl T MU i ( si + sl ) s’annule sans que Vl T MU i soit nul. Mais le vecteur U associé à − sl est U l et il n’est nécessaire que d’avoir des relations d’orthogonalité entre les colonnes de U C et de VC puisque U C = U C et VC = VC . Le fait que le facteur cité soit nul sans que Vl T MU i le soit n’a donc aucune importance.

Finalement :

VCT MU C = mI  VCT KU C = mdiag (ω l2 )  −1 1 T U C = VC M m 

144

Analyse modale des systèmes linéaires

X = U C diag (cos ω l t )VCT

t sin ω l t T M sin ω l (t − τ ) T M X 0 + U C diag ( )VC X& 0 + ∫ U C diag ( )VC F ( τ)dτ 0 m ωl m mω l

donc résoudre simplement MX&& + CX& + KX = F (t ) en faisant X = U C q (t ) VCT MU C q&& + VCT KU C q = VCT F (t ) avec U C matrice des vecteurs propres à On

peut

droite de K − Mω 2 , VC matrice des vecteurs propres à gauche, comme dans le cas classique où K et M sont symétriques mais avec VC ≠ U C (les matrices sont aussi notées Z d et Z g ). Les q l (t ) sont les paramètres propres du problème, non couplés entre eux. Si q l (t ) ≠ 0 , tous les autres étant nuls, le système vibre selon une forme propre, on dit aussi selon un mode propre, à la pulsation ω l . A chaque instant X est proportionnel à U l puisque X = U l q l (t ) . C’est pour cette raison que par extension, la méthode générale présentée ici porte le nom d’analyse modale bien que les U i et V j en général complexes n’aient qu’exceptionnellement une interprétation physique. 4.2. La matrice C vérifie l’hypothèse de Basile. Si M et K sont symétriques, on sait que si C, symétrique notée B, se diagonalise en même temps que M et K par utilisation de la matrice des modes Z on dit que l’hypothèse de Basile (découplage visqueux dans la base propre) est vérifiée. Ce cas intervient par exemple si on sait que B = αM + βK . Si M et K sont quelconques et si Z d et Z g constituent leur matrice des modes à droite et à gauche, en l’absence de matrice C alors si en plus Z gT CZ d est diagonale : Zd = U C

Z g = VC

Les matrices U C et VC sont réelles. Par extension on dira que C vérifie l’hypothèse de Basile. On raisonne alors dans ce cas de façon analogue au cas classique des matrices symétriques. On pose : Vl T CU l = 2ε l mω l Vl T MU l = m ξ l = − ε l ω l a Cl = 2 jmΩ l

Ω l = ω l 1 − ε 2l

(

S C = diag − ε l ω l + jω l 1 − ε 2l sl

I ωl

Ωl

εlω l

M = MT

Vl T KVl = mω 2l

(si ε l < 1)

)

ε l est le coefficient d’amortissement.

 Ml = 0  1 ⇒ R N = − U lVl T l  mΩ l  plan complexe 4.3. Le cas du couplage gyroscopique pur. avec C notée G K = K T C T = −C

145

Analyse modale des systèmes linéaires

Dans ce cas l’équation caractéristique est invariante si s se change en -s. Si le système est stable, les racines sont imaginaires conjuguées mais les vecteurs propres sont complexes. Si U l est vecteur propre à droite associé à sl :

I

[ Ms

R

2 l

]

[

]

+ Gsl + K U l = 0 ⇒ U lT Msl2 + G T sl + K = 0

U l est vecteur propre à gauche associé à − sl = sl et la structure des matrices est la suivante :

SC S= 

 U = U C ;U C S C 

[

]

[

]

V = U C ;U C = U

a C A= 

 a C 

S C = diag ( jω l ) Avec :  a C = diag (a Cl ) Nous allons montrer que les matrices a Cl sont imaginaires pures en partant des conditions d’orthogonalité ( ⊥ ) écrites sous forme matricielle.

S TV T MU + V T MUS + V T CU = A V T KU − S TV T MUS = B

avec : B = − SA

(b

l

= − sl a l )

La première relation va nous servir pour calculer a C = diag (a Cl ) a C = S C U CT MU C + U CT MU C S C + U CT GU C Posons : U C = P + jQ P et Q étant des matrices carrées de vecteurs colonnes réels

U CT MU C = ( P − jQ) M ( P + jQ) = P T MP + Q T MQ + j ( − Q T MP + P T MQ) T

U CT GU C = ( P − jQ) G( P + jQ) = P T GP + Q T GQ + j( − Q T GP + P T GQ) T

Ainsi : a C = S C ( P T MP + Q T MQ) + ( P T MP + Q T MQ) S C + j ( − Q T GP + P T GQ)

+ jS C ( − Q T MP + P T MQ) + j ( − Q T MP + P T MQ) + P T GP + Q T GQ

La seconde ligne est antisymétrique, donc nulle puisque a C est diagonale, la première ligne est symétrique, imaginaire pure et diagonale. Nous pouvons encore normaliser U C en posant : a C = diag (2 jmω l ) ou a Cl = 2 jmω l Dans ce cas a Cl−1U lVl T s’écrit :

146

Analyse modale des systèmes linéaires

(

)

1 1 1 T Pl + jQl )( Pl − jQl ) = Pl Pl T + Ql QlT + j (Ql Pl T − Pl QlT ) = ( M l + jN l ) ( 2 jmω l 2 jmω l 2

a ClTU lVl T =

Par identification :

1  T T  M l = mω (Ql Pl − Pl Ql )  P  N = − 1 ( P P T + Q QT ) l l  l mω P l l

D’où X (t ) :

{[

n

][

] [

]

X (t ) = ∑ M l cos ω l t − N l sin ω l t MX& 0 + GX 0 − M l sin ω l t + N l cos ω l t ω l MX 0 l =1

t

[

}

]

= + ∫ M l cos ω l (t − τ) − N l sin ω l (t − τ) F ( τ )dτ 0

5. Réponse forcée à une excitation harmonique pure F (t ) = F cos ωt Nous avons vu que la solution faisait intervenir une intégrale de convolution correspondant à la solution complète avec des conditions initiales nulles. Cette intégrale peut aussi donner lieu à un régime transitoire mais contient souvent un terme dépendant du vecteur F (t ) ne tendant pas vers zéro au bout d’un temps infini et qu’il est convenu d’appeler solution forcée ou terme du régime permanent. Ce terme est le terme qui caractérise finalement rapidement le mouvement, les systèmes physiques réels étant toujours très légèrement amortis. Si l’excitation est harmonique pure soit si F (t ) = F cos ωt , le calcul direct de la réponse forcée peut se faire classiquement en écrivant, comme on le sait : jωt { } jωt { } X perm = R [ K + jCω − Mω 2 ]e F = R A (ω ) e F où A (ω ) est la matrice

{

}

{

}

admittance et R signifie partie réelle. Nous allons obtenir une décomposition de cette matrice mettant en évidence la contribution des vecteurs propres en extrayant de k l (t ) et hl (t ) les termes convenables. Si F (t ) = F cos ωt , il suffit de raisonner avec une force F * (t ) = Fe

k l (t ) = a

t −1 l 0

∫

( jω − sl ) τ T e Vl Fdτ

avec :

t

∫e

( jω − sl ) τ

0

jωt

complexe :

t ( jω − sl )t  e ( jω − sl ) τ  e −1   dτ = = j ω − sl  jω − sl  0

Nous nous bornons ici au cas où tous les sl sont complexes. hl (t ) s’écrirait de façon analogue mais est différent de k l (t ) , F * (t ) étant dans ce paragraphe exceptionnellement complexe (il faut changer sl en sl ).

147

Analyse modale des systèmes linéaires

Ainsi : X part = ∑ U l e

slt

k l (t ) + U l e

sl t

hl (t )

st st jωt jωt  −e l −e l T e T e −1 −1 = ∑ a l U lVl + a l U lVl jω − sl jω − sl 

 { F } 

st −s t les termes en e l et e l donnent lieu au régime transitoire dont il a été question, le reste constitue le régime forcé dû à { F * } et la matrice admittance complexe est donc :

A (ω ) =

l =r =n

∑ l =1

Dl Dl + jω − sl jω − sl

avec : Dl = a l−1U lVl T (ou l’indice C a été supprimé)

Cette expression peut être modifiée en posant classiquement :

sl

sl = ξ l + jΩ l = − ε l ω l + jω l 1 − ε 2l si ε l < 1 cas seul étudié ici

I

ωl

 sl + sl = −2 ε l ω l  avec : sl sl = ω l2  Z (ω ) ( jω − sl )( jω − sl ) = ω l2 − ω 2 + 2 jε l ω l ω = l m 

ω l 1 − ε 2l R

εlω l

plan complexe

où Z l (ω ) est une impédance complexe

[

A = ∑ Dl ( jω − sl ) + Dl ( jω − sl )

A s’écrit :

] Z 1(ω) l

D’où en normalisant par a l = 2 jmω l 1 − ε , Dl s’écrit : Dl = 2 l

U lVl T 2 jmω l 1 − ε 2l

de plus jω − sl = jω + ε l ω l + jω l 1 − ε 2l L’expression de A (ω ) devient : U lVl T  1 jω + ε l ω l A (ω ) = ∑  + Z l (ω )  2 2 jω l 1 − ε 2l 

 U V T  1 jω + ε l ω l l l +  −  Z l (ω )  2 2 jω l 1 − ε 2l

  

Ou encore : jω + ε l ω l 1  1  + Z l (ω )  2 2 jω l 1 − ε 2l  2 avec : Z l (ω ) = m ω l − ω 2 + 2 jε l ω l ω A (ω ) = U C diag

[

]

 jω + ε l ω l 1  1 T VC + U C diag  − Z l (ω )  2 2 jω l 1 − ε 2l  

  1  ε ω + jω  l l   A ik = ∑ R ( uil v kl ) +  I( uil v kl ) 2  l =1  ω 1 − ε    Z l (ω ) l l 

 T VC 

n

Soit :

148

(I : partie imaginaire de)

Analyse modale des systèmes linéaires

Nous pouvons enfin faire intervenir les parties réelles et les parties imaginaires des vecteurs propres : U C = R (U C ) + jI (U C ) et VC = R (VC ) + jI (VC ) A (ω ) s’écrit : 1 1 R (VC ) T − I (U C )diag I (VC ) T Z l (ω ) Z l (ω )

A (ω ) = R (U C )diag + R (U C )diag

jω + ε l ω l jω + ε l ω l I (VC ) T + I (U C )diag R (VC ) T Z l (ω ) Ω l Z l (ω )Ω l

Ces expressions sont souvent utilisées dans les méthodes d’analyse modale expérimentale ayant pour but le recalage de modèles, le premier terme ayant toujours une contribution prédominante car I (U C ) et I (VC ) , comme ε l sont souvent très petites devant respectivement R (U C ) , R (VC ) et l’unité, en l’absence de couplage gyroscopique. Dans le cas de couplage gyroscopique pur l’expression de A (ω ) s’écrit avec U C = P + jQ VC = P − jQ :

A (ω ) = Pdiag

1

m(ω − ω 2 l

2

)

P T + Qdiag

1

m(ω − ω 2 l

2

)

QT

  1 1 T T + jω Qdiag P − Pdiag Q  mω l (ω l2 − ω 2 ) mω l (ω l2 − ω 2 )   6. Remarque sur le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres La résolution du problème homogène : [ Ms 2 + Cs + K ]U = 0 n’est pas directement possible sur les ordinateurs ainsi, à l’équation MX&& + CX& + KX = 0 on associe un système d’ordre double en passant dans l’espace de phase c’est à dire en posant X& = U Y T = {U T ; X T } . Il faut résoudre :  0 M  U&  − M 0  U  0  =   M C  &  +  0 K   X  0   X   st dont on cherche des solutions Y = Yi e i .

ou

AY& + BY = 0

On doit donc résoudre une équation matricielle qui n’est plus du second mais du [ B]{Yi } = si [ − A]{Yi } premier degré : Asi + B {Yi } = 0 ou

[

]

Cette fois ce problème est un problème aux valeurs propres si = λ i classique, le si U i  vecteur propre associé étant {Yi } =   (défini à une constante multiplicative près)  Ui 

149

Analyse modale des systèmes linéaires

La détermination des si et de tous les Yi aboutira à une matrice Y US  que : Y =   . U 

[ 2 n × 2 n ] telle

C’est du bas de cette matrice qu’on extraira {U } formé de 2n colonnes de dimension n. On travaillera avec le faisceau { B T ,− A T } pour obtenir les vecteurs propres à gauche constituant la matrice V. Le cas des systèmes gyroscopiques purs peut se traiter d’une manière un peu différente en posant : M A= 0

0 K 

G B= − K

K = −BT 0 

S C on aura avec nos notations : S = diag jω l =   avec : S C = − S C

U C S C U C S C  − U C S C − U C S C  Y=  W=  UC  UC   UC  UC matrice des vecteurs matrice des vecteurs propres à droite propres à gauche Soit Yl = α l + jβ l le vecteur propre associé à sl = jω l , α l et β l étant deux vecteurs réels de dimension 2n, Yl satisfait : BYl = − jω l AYl

ou

Soit en séparant parties réelles et parties imaginaires : Bα l = Aβ l ω l Bβ l = − Aα l ω l 1 −1 1 −1 βl = A Bα l α l = − A Bβ l ωl ωl

(si A −1 existe)

Soit en multipliant à gauche par B : 1 BA −1 Bα l = − Aα l ω l ωl − Soit − Aω 2l + B T A −1 B

[

]

2 n×2n

1 BA −1 Bβ l = Aβ l ω l ωl

{α } = 0 [ l

comme − Aω l2 + B T A −1 B

]

2 n×2n

{β } = 0

BT = −B :

l

Les vecteurs α l et β l sont les vecteurs propres d’un problème à deux matrices symétriques :  G T M −1 G G T M −1 K  M 2 − ω  { α} = { 0} −1 K  KM −1 K  KM G Toutes les valeurs propres ω 2 sont doubles.

150

 S C 

Analyse modale des systèmes linéaires

Les matrices étant symétriques on peut construire une base de 2n vecteurs orthogonaux (A et B) entre eux. Ainsi, si U l = Pl + jQl est associé à Yl : U l jω l  ( Pl + jQl ) jω l  − Ql ω l  = = +  U l   Pl + jQl   Pl 

{Y } =  l

Par identification : − Q ω  {α l } =  Pl l  l  

 Pl ω l  j   Ql 

 Pl ω l    l 

{β } =  Q l

Les conditions de A orthogonalité s’écrivant : α Tl Aβ l = 0 soit Pl T KQl − ω 2l QlT MPl = 0 La condition de normalisation a l = 2 jmω l s’écrit :

(P

l

T

[

]

− jQlT ) 2 jMω l + G ( Pl + jQl ) = 2 jmω l

Soit, après avoir développé et tenu compte de l’antisymétrie de G : ω l Pl T MPl + QlT MQl − m + Pl T GQl = 0

[

]

Cette relation aurait pu s’écrire directement à partir de la démonstration que nous avons faite pour prouver que a l était imaginaire pur. Ainsi, le vecteur U l de multiplicité deux (c’est à dire dépendant de deux constantes arbitraires puisque la valeur propre associée est double) est maintenant déterminé avec la relation d’orthogonalité et de normalisation, ceci de façon unique. En conclusion, l’avantage de cette approche réservée aux systèmes linéaires à coefficients constants est de faire apparaître la contribution de chaque terme d’indice l associé à une notion fréquentielle. Compte tenu du contenu fréquentiel de l’excitation, bien souvent seuls quelques termes doivent seulement être calculés. Les études faites sur le développement limité des intégrales de convolution (Thèse LiMing Nantes ENSM 1990) ont expliqué pourquoi dans l’autre approche d’intégration numérique par éléments finis en temps certains schémas de récurrence étaient meilleurs que 1 d’autres comme celui de Crank-Nicholson avec θ = . 2

151

DEUXIEME PARTIE Elastodynamique des petits mouvements II.2. Mise en équations de problèmes classiques

Mise en équations de problèmes classiques

Chapitre I L’approximation des poutres droites (Modèle de Timoshenko) On se propose d’établir les équations approchées des petits mouvements de poutres droites cylindriques dont le centre de surface G des sections droites ne coïncide pas avec le centre de cisaillement C. r L’état de référence est non contraint. Le milieu est e1 homogène et isotrope. Le lieu des centres de surface G r r r σ 13 r des sections droites d’aire S est Oe3 et les axes e1 et e2 σ3 sont principaux d’inertie pour la section droite. a σ 33

C0 +

σ 23

C+

P

G

O

r e3

I1 0 

b

r e2

x3

l

r r r r OC0 = GC = ae1 + be2 r x 3 ∈[0, l ] 0 r r = mat GP ⊗ GPdS est diagonale. ∫S I 2 

[

]

I 3 = I 1 + I 2 est le moment d’inertie polaire.

I.1. Analyse des forces, contraintes intégrées sur S. Soit une section droite d’abscisse x 3 , la tension sur un élément de surface dS de r r normale e3 est σ 3 :

σ 11 r {σ 3 } = σ 21 σ 31

r r r r r σ 3 = Σ ⋅ e3 = σ 13 e1 + σ 23 e2 + σ 33 e3

r On pose T =

∫

S

σ 12 σ 22 σ 32

σ 13  0 σ 13      σ 23  0 = σ 23  σ 33  1 σ 33  r σ3

σ 13   T1      { T } = ∫ σ 23 dS = T2  S σ  T   33   3

r σ 3 dS

Les deux premières composantes de T sont les efforts tranchants, la troisième est l’effort normal. r r r e1 e2 e3 r r r r r On pose : M = ∫ GP ∧ σ 3 dS = ∫ GP ∧ Σ ⋅ e3 dS → x1 x2 0 S

r { M} =

S

σ 13

σ 23

σ 33

   M1  σ 33 x 2     ∫S  − σ 33 x1 dS =  M 2  x σ − x σ  M  2 13   1 23  3

Les deux premières composantes sont les moments fléchissants la troisième est le moment de torsion (réduit en G). 155

Mise en équations de problèmes classiques

Chargement linéique sur la ligne des centres de surface r Σ L ⋅ n L dldx3

r n dl

G

Isolons un élément d’épaisseur dx 3 . Sur la surface latérale L élémentaire dldx 3 , le matériau est soumis à des actions de r r surface Σ L ⋅ n L dldx 3 . Dans le volume dx 3 dS il est soumis à ρFdx3dS r des forces de masse ρFdx 3 dS . Le torseur de tout ce

[ ]

chargement est réduit en un torseur linéique en G : T( dx3 ) .

dx3

r  pdx 3 est la résultante r γ dx 3 est le moment résultant r r = pdx 3 , γdx 3

[ ] [

Symboliquement T( dx3 )

]

Les forces ou les couples localisés s’introduisent éventuellement par l’intermédiaire de r r fonctions de Dirac (la plupart du temps γ = 0 ). Chargements d’extrémités

est :

r En x 3 = 0 le torseur des actions extérieures sur la surface de normale − e3 réduit en G r r r r F (0), Γ (0) = [− T (0),− M (0)] .

est :

r En x 3 = l le torseur des actions extérieures sur la surface de normale + e3 réduit en G r r r r F (l ), Γ (l ) = [ + T (l ),+ M (l )] .

[ [

]

]

I.2. Champ des déplacements et tenseur des déformations. On adopte le champ de Barré de Saint Venant : r r r r r r u P = uG + θ ∧ GP = uG + θ ⋅ GP r r r r r r avec : uG = uG ( x 3 , t ) = uiG ( x 3 , t )ei θ = θ( x 3 , t ) = θ i ( x 3 , t )ei

 0  matθ =  θ 3 − θ 2

θ2   − θ1  0 

− θ3 0 θ2

Ainsi toute section droite reste plane après déformation. Finalement : r e1

r r puisque : θ ∧ GP = θ 1 x1

u1 P = u1G − θ 3 x 2 r r e2 e3 θ2

θ3

x2

0

u2 P = u2 G + θ 3 x1

u3 P = u3G − θ 1 x 2

en déterminant symbolique.

Dans la suite, pour simplifier, uiG sera noté ui .

156

Mise en équations de problèmes classiques

Calculons le tenseur des déformations E et le tenseur rotationnel Φ de matrices r respectives E et Φ à partir du tenseur h = grad u P de matrice h. 1   0 0 u1,3 − θ 2 − x 2 θ 3,3    0  2 − θ3 u1,3 − x 2 θ 3,3   1     h =  θ3 0 u 2 , 3 + x1θ 3, 3 = E + Φ d’où : E = 0 u + + x θ θ  1 1 3, 3 2 2 ,3   − θ  u3,3 + x 2 θ 1,3 − x1θ 2 ,3   2 θ 1 u3,3 + x 2 θ 1,3 − x1θ 2 ,3  sym   1   1  − θ3 θ 1 − u2 ,3 − x1θ 3,3  u1,3 + θ 2 − x 2 θ 3,3   0  2 2    1 r  1 Φ= et : ϕ =  θ 2 + u1,3 − x 2 θ 3,3  u2 ,3 − θ 1 + x1θ 3,3  0 2   2  antisym θ3 0         r ϕ vecteur adjoint.

( (

( (

) )

( (

) )

) )

Hypothèse supplémentaire de Bernoulli Dans le cas de matériau isotrope, pour des poutres élancées on adopte souvent une hypothèse simplificatrice supplémentaire en imposant des liaisons pour que les sections droites déformées, planes, restent en plus normales à la ligne moyenne déformée si G et C sont confondus ou pour que le glissement soit nul en C si G et C ne sont pas confondus. r r r r Ainsi, si G et C sont confondus on écrit : θ = rotuG + θ 3 e3 u1,3 = θ 2 soit : ( L) u2 , 3 = − θ 1 r r Φ(o, o, x 3 , t ) = θ ce qui implique : ϕ (0,0, x 3 , t ) = θ ou

Finalement il reste comme inconnues du type déplacements généralisés six inconnues fonctions de x 3 et de t : les ui et les θ i (seulement quatre si on a fait l’hypothèse de Bernoulli).

I.3. Relations entre contraintes intégrées et déformations généralisées.

ou

Le matériau étant isotrope, la vraie loi de comportement s’écrit : Eν E r Σ = λdivu I + 2µ E avec : λ = µ=G= (1 + ν)(1 − 2 ν) 2(1 + ν) 1+ ν ν E= Σ − (trace Σ ) I E E

Ces formules portent parfois le nom de formules de Lamé, elles sont écrites pour des r petites déformations ( traceE linéarisé = divu ) et nous adopterons des petites lettres pour les petites déformations ε 11 , ε 22 , ε 33 .

157

Mise en équations de problèmes classiques

Dans la théorie que nous présentons, on adopte un état de contraintes antiplan mais la matrice E n’a pas l’allure associée à un tel état ( ε 11 ≠ 0 ε 22 ≠ 0 ). En adoptant la loi donnant les contraintes en fonction des déformations on est conduit à des raideurs excessives à la flexion. Le calcul direct de M 3 donnerait GI 3θ 3,3 au lieu de GJθ 3,3 , celui de T1 (ou T2 ) avec l’hypothèse de Bernoulli, si C et G sont confondus conduit à : T1 (ou T2 )=0. En fait une section droite ne reste pas tout à fait droite : elle gauchit. Placé devant ces contradictions internes on ne peut qu’adopter une solution de compromis ce qui est fait de la façon suivante : on adopte avec I 1 = ∫ x 22 dS et I 2 = ∫ x12 dS

σ 33 = Eε 33 d’où M 1 = EI 1θ 1,3

M 2 = EI 2 θ 2 ,3

T3 = ESu3,3 .

On définit le vecteur des contraintes intégrées (ou généralisées) :

{σ$ } T = { T1 , T2 , T3 ; M 1 , M 2 , M 3 + bT1 − aT2 } def

r M 3 + bT1 − aT2 est le moment de torsion selon e3 , réduit en C, des efforts de cisaillement sur S.

On définit le vecteur des déformations généralisées : def

{

{ε$} T = γ 13 C , γ 23 C , u3,3 ; θ1,3 , θ 2 ,3 , θ 3,3

}

γ 13

C

et γ 23

C

sont les glissements en C.

On introduit alors des coefficients de forme k1′, k 2′ , J qui dépendent de la géométrie de la section et tiennent compte du gauchissement tels que : T1 = k1′GS γ 13 C T2 = k 2′ GS γ 23 C M 3 C = GJθ 3,3 . La justification de ces coefficients peut se faire maintenant rigoureusement à partir de méthodes variationnelles mixtes que nous développerons plus loin. Finalement on écrit : T1   k 1′GS    T2 k 2′ GS    T3     = M1       M2     M 3 + bT1 − aT2  

ES EI 1 EI 2

[ ]

 u1,3 − θ 2 − bθ 3,3   u + θ + aθ  1 3, 3    2 ,3 u 3, 3      θ 1,3     θ 2 ,3   θ 3,3 GJ   

ou {σ$ } = D$ {ε$} ⇐ LC On donne quelques résultats utilisés classiquement : k 1′ = k 2′

rectangle 0,833

rond plein 0,9

losange 0,974

Dans la littérature on trouve aussi les coefficients : 1 1 avec : β 1 = u1,3 − θ 2 β 2 = u2 ,3 + θ 1 k1 = k2 = C C k1′ k 2′ 158

tube mince 0,5

poutre IPN 0,5

k′

Mise en équations de problèmes classiques

T

Vol. 33 p. 335-340 159

GR Cowper

Mise en équations de problèmes classiques

On se gardera d’utiliser abusivement ces relations approchées ainsi si la poutre n’est pas très élancée il faut écrire : M 3 C = GJθ 3,3 − ECu θ 3,333 si le gauchissement est gêné, Cu étant un coefficient de forme (Cf. Timoshenko : théorie de la stabilité élastique). r e1 P ( x1 , x 2 ) M 3 − aT2 + bT1

r T1

a

r T2

G

C

r e2

b

Schéma : action sur la facette de normale

Si les contraintes intégrées sont connues on peut en déduire un ordre de grandeur des contraintes, nous disons bien ordre de grandeur par les formules approchées : T x −b σ 13 = 1 − ( M 3 + bT1 − aT2 ) 2 S J T x −a σ 23 = 2 + ( M 3 + bT1 − aT2 ) 1 S J T M x M x σ 33 = 3 + 1 2 − 2 1 S I1 I2 r e3

Une expression sérieuse des cisaillements demanderait de connaître les fonctions de gauchissement. Quant aux contraintes σ 11 , σ 22 , σ 12 elles sont inaccessibles avec ce modèle mais dans la pratique très inférieures aux autres sauf au voisinage de charges localisées. On n’oubliera pas ce qu’il est convenu d’appeler le principe de de Saint Venant : loin (deux à trois fois la dimension maximale de la section droite) le champ des déplacements, donc des contraintes est assez peu sensible à la répartition locale des efforts mais ne dépend que de leur torseur réduit, ce que l’expérience vérifie et ce que la théorie exacte justifie.

I.4. Mise en équations par les théorèmes généraux. M

r p

r T

M + dM

dx3

Isolons une tranche d’épaisseur dx 3 .

r r T + dT

Le théorème de la résultante s’écrit : r u1

r γ

θ3 r u3 avec :

ext

θ1 r u2

r

∑F

θ2

r r r Ainsi : pdx 3 + T,3dx 3 = ρSu&&G dx 3 Le théorème du moment dynamique en G s’écrit :

rt

∑M

(G)

r r = ∫ GP ∧ ρu&&P dx 3 dS S

160

=

r

∫ dmγ S

P

(

)

r r &&r + && u θ ∫S ∫S G ∧ GP ρdx3dS r r &&r = ρSu&&G dx 3 + θ ∧ ∫ GPdSρdx 3 S 4 1 4244 3 =0 r dmγ P =

Mise en équations de problèmes classiques

avec :

∧ ρu&& dx dS + ∫ GP ∧ (θ ∧ GP)ρdSdx ∫ GP ∧ ρu&& dx dS = ∫1GP 44 42444 3 r

r

r

P

S

3

G

S

&&r

r

r

3

r

S

3

=0

 I1    avec : mat I =  I2   I 3  où I 1 et I 2 sont les moments quadratiques, I 3 = I 1 + I 2 le moment d’inertie polaire de la section droite.

r r r r &&r Ainsi : M ,3 dx 3 + γdx 3 + e3 dx 3 ∧ T = ρ I ⋅ θdx 3

r r r p + T,3 = ρSu&&G r r r r &&r M , 3 + γ + e3 ∧ T = ρ I ⋅ θ

donc :

après division par dx 3 .

On dispose donc de six équations scalaires :

p1 + T1,3 = ρSu&&1 p2 + T2 ,3 = ρSu&&2

γ 1 + M 1,3 − T2 = ρI 1&& θ1 γ + M + T = ρI && θ

p3 + T3,3 = ρSu&&3

γ 3 + M 3,3 = ρI 3&& θ3

2

2 ,3

1

2

2

Avec les lois de comportement on dispose de douze relations pour les douze inconnues (ui , θ i , Ti , M i ) . r Les vibrations longitudinales (selon e3 ) sont découplées des autres mais la flexion r r r r dans le plan (e1 , e3 ) est couplée à la flexion dans le plan (e2 , e3 ) par la torsion. r r r Cependant si par exemple a = 0 , C étant sur l’axe e2 la flexion dans le plan (e2 , e3 ) est découplée de la torsion, les mouvements de torsion (θ 3 ) restant couplés au mouvement de r r flexion dans le plan (e1 , e3 ) caractérisés par les variables u1 et θ 2 .

Examinons de plus près le cas de découplage total où C et G sont confondus (a et b nuls). On obtient immédiatement les équations de Timoshenko :

ESu3,33 + p3 = ρSu&&3 && GJθ + γ = ρI θ

T3 = ESu3,3 M 3 = GJθ 3,3

(

T1 = k1′GS u1,3 − θ 2

3, 33

)

M 2 = EI 2 θ 2 ,3

(

T2 = k 2′GS u2 ,3 + θ 1 M 1 = EI 1θ 1,3 LC

)

3

(

3

← traction

← torsion

3

)

&& EI 2 θ 2 ,33 + k1′GS u1,3 − θ 2 + γ 2 = ρI 2 θ 2

(

k 1′GS u1,3 − θ 2

(

)

,3

+ p1 = ρSu&&1

)

&& EI 1θ1,33 + k 2′ GS u2 ,3 + θ 1 + γ 1 = ρI 1θ 1

(

k 2′ GS u2 ,3 + θ 1

)

,3

+ p2 = ρSu&&2

Equations de Timoshenko

En général γ 1 , γ 2 , γ 3 sont nuls. 161

r r ← flexion plan (e1 , e3 ) r r ← flexion plan (e 2 , e3 )

Mise en équations de problèmes classiques

Pour résoudre le système il faudra introduire les conditions aux limites imposées : r r - celles géométriques portant sur uG et θ en x 3 = 0 et x 3 = l - celles naturelles portant sur les contraintes intégrées en x 3 = 0 et x 3 = l et citées en fin du paragraphe I 1 de ce chapitre. Cas où l’hypothèse de Bernoulli est introduite

r r r r L’hypothèse de Bernoulli consiste à écrire : θ = rotuC + θ 3 e3

θ 2 = u 1,3 −bθ 3,3 = u1,3

C

θ 1 = − u 2 , 3 − aθ 3 , 3 = − u 2 , 3

soit :

C

Dans ce cas les lois de comportement fournissant T1 et T2 ne doivent pas être prises en compte, cependant T1 et T2 sont obtenus à partir des équations de moment. Les équations obtenues en conservant les termes dus aux moments dynamiques && (ρI 1θ1 , ρI 2 &&θ 2 ) portent le nom d’équations de Rayleigh, elles n’ont plus qu’un intérêt historique en effet le calcul montre qu’elles donnent lieu à des solutions où les petits termes supplémentaires qui apparaissent sont du même ordre de grandeur que ceux négligés en θ 1 et ρI 2 && θ2 . faisant l’hypothèse de Bernoulli. On néglige donc les termes ρI 1&& Pour fixer les idées écrivons les équations de la théorie de Bernoulli relatives à la r r flexion dans le plan (e1 , e3 ) lorsque C et G sont confondus avec γ 2 nul. Nous obtenons :

θ 2 = u1,3

(liaison)

M 2 = EI 2 u1,33

T1 = − M ,3 = − EI 2 u1,333

− EI 2 u1,3333 + p1 = ρSu&&1 l’équation régissant u1 est donc du quatrième ordre pour la variable d’espace x 3 . Nous allons analyser un peu plus cette équation classique où les indices 1 et 2 seront supprimés pour alléger l’écriture. Séparabilité En oscillations libres ( p = 0) avec des conditions aux limites homogènes (déplacements généralisés ou forces ou couples nuls aux extrémités) le problème est séparable. Cherchons une solution particulière u part = U ( x 3 ) f (t ) && EI f EIU ,3333 + f + ρSUf&& = 0 ⇒ U ,3333 = − = ω 2 ρSU f  f = eiωt ω 2 = λ   EIU ,3333 − λρSU = 0

162

Mise en équations de problèmes classiques

∂4 Ici l’opérateur L est EI 4 et M = ρSI où I désigne l’opérateur unité (cette ∂x 3 équation a déjà été écrite dans le paragraphe III méthodes particulières de l’analyse modale des systèmes linéaires). Les solutions U sont de la forme : U = A cosh Λx + B sinh Λx + C cos Λx + D sin Λx ρSω 2 4 avec : Λ = . EI

(fonction propre)

Les constantes A, B, C, D dépendent des conditions aux limites. On obtient un système homogène dont le déterminant doit être nul et fournit les Λ n solutions souvent d’une équation transcendante EI la fonction propre associée étant U n ( Λ n ) . ω 2n = Λ4n l 4 ρSl 4

Caractère auto adjoint M est évidemment auto adjoint L aussi, en effet soient U et V deux fonctions de comparaison :

J=

∫ EI (U l

0

[

)

V − V,3333U dx 3 = 0

, 3333

Pour le démontrer il suffit d’intégrer par parties deux fois :

J = EIU ,333V − EIV,333U − EIU ,33V,3 + EIV,33U ,3

] + ∫ EI (U l

l

0

0

V

, 33 , 33

)

− V,33U ,33 dx 3 = 0

La partie intégrée est nulle étant formée de produits dont un terme ou l’autre est toujours nul dans le cas de conditions aux limites homogènes et l’intégrale est identiquement nulle. Ainsi les fonctions propres sont L et M orthogonales. On trouvera dans les trois pages qui suivent des résultats classiques dans le cas où C et G sont confondus, pour les problèmes de vibrations longitudinales, de torsion et de flexion.

163

Mise en équations de problèmes classiques

Barres oscillations libres (milieu isotrope) θ( x , t )

u( x , t )

l

O

Lieu des C et des G

r x

l

O

x

r x

x M = GJθ , x

N = ESu, x

&& M , x = ρI 0 θ

N , x = ρSu&& u part = U ( x ) f (t ) c=

E ρ

c=

U = A cos Ωx + B sin Ωx

si Ω ≠ 0

LU = λMU

problème auto adjoint :

f =e

jωt

λ = ω 2  ∂2  avec :  L = − ES 2 ∂x   M = ρSI 

GJ ρI 0 Ω=

ω c

( I opérateur unité)

l

normalisation

U0 =

libre libre

1

0

sin Ωl = 0

2

Ω n l = nπ

U n = cos Ω n x

l/2

n = 0,1,2,... cosΩl = 0

encastré libre

Ω n l = (2n + 1)

U n = sin Ω n x

π 2

l/2

n = 0,1,2,... sin Ωl = 0

encastré encastré

Ω n l = nπ

U n = sin Ω n x

n = 1,2,... def

*

∫U

Normalisation (Ω i ≠ 0) avec U i( k ) =

l/2

1 U k ⇒ U i , xx = Ω i2U i( 2 ) = − Ω i2U i Ω ik i , x l

l  U iU i(1)  Z = ∫ U dx = − ∫ U U i dx = − + ∫ U i(1) 2 dx  0 0 Ωi  0 0  1 l l Z = ∫ (U i2 + U i(1) 2 )dx = ( A 2 + B 2 ) 2 0 2 l

2 i

l

(2) i

164

ωi =

1 E (Ω l ) l ρ i

2

dx

*

Mise en équations de problèmes classiques

r y O

Poutre droite cylindrique - Flexion plane - Oscillations libres (milieu isotrope) trièdre principal central d’inertie - C en G θ v l r T + M ,x = 0  LV = λMV et λ = ω 2 x  T, x = ρSv&& ∂4  L = EI  z x ∂x 4 θ = v , x Bernoulli  T  M = ρSI M M = EI z v , xx 

(

v part

)

 V ( x ) = A cosh Ωx + B sinh Ωx + C cos Ωx + D sin Ωx   jωt = V ( x ) f (t )  f = e Ω≠0  2 Ω 4 = ρSω le problème est auto adjoint  EI z l

normalisation

∫V 0

2

dx = l

 V00 = 1   x 1 V0 = 12  l − 2     V = cosh Ωx + cos Ωx + cosh Ωl − cos Ωl (sin Ωx + sinh Ωx )  sin Ωl − sinh Ωl cosh Ωl − cos Ωl ( sinh Ωx − sin Ωx ) V = cosh Ωx − cos Ωx + sin Ωl − sinh Ωl V = cosh Ωx − cos Ωx +

cosh Ωl + cos Ωl ( sin Ωx − sinh Ωx ) sin Ωl + sinh Ωl

V = cosh Ωx − cos Ωx +

cosh Ωl − cos Ωl ( sinh Ωx − sin Ωx ) sin Ωl − sinh Ωl

x  V0 = 3 l  V = sinh Ωx + sin Ωx  sinh Ωl sin Ωl V0 = 1   cosh Ωx cos Ωx V = cosh Ωl + cos Ωl V = cosh Ωx − cos Ωx +

Ω 00 = 0  Ω 0 = 0 cosh Ωl cos Ωl = 1 

cosh Ωl cos Ωl = −1

Ω0 = 0 tan Ωl = tanh Ωl

Ω0 = 0 tan Ωl = − tanh Ωl

sinh Ωl + sin Ωl ( sinh Ωx − sin Ωx ) cos Ωl − cosh Ωl

165

Mise en équations de problèmes classiques

normalisation

l

∫V 0

2

dx = l / 2 cos Ωl = 0   π Ω n l = ( 2n + 1) 2 n = 0,1,2,...

V = sin Ωx

Ω0 = 0

1  V0 =  2 V = cos Ωx

Ω n l = nπ  sin Ωl = 0

V = sin Ωx

def

Normalisation (Ω i ≠ 0) avec Vi ( k ) =

1 V k ⇒ Vi , x 4 = Ω i4Vi ( 4 ) = Ω i4Vi Ω ik i , x

l

Z=

l

∫V

i

0

2

l

dx = ∫ ViVi

(4)

0

l

l l ViVi ( 3)  Vi (1)Vi ( 2 )  (1) ( 3) (2) 2 dx =   − ∫0 Vi Vi dx = −   + ∫0 Vi dx Ω Ω i 1 42i4 3 1424 3 =0 0 =0 0

4 Z = ∫ (Vi 2 + Vi ( 2 ) 2 − 2Vi (1)Vi ( 3) )dx l

0

Z=

l 2 ( A − B2 + C2 + D2 ) 2

(avec : cos 2 + sin 2 = 1

et

cosh 2 − sinh 2 = 1 )

166

ωi =

EI z 2 4 (Ω i l ) ρSl

Mise en équations de problèmes classiques

Table de valeurs numériques

avec : Ω r l ≈ ( 4r − 1)

tan Ω r l + tanh Ω r l = 0

r 1 2 3 4 5

Ωr l

(Ω l )

(Ω l )

2,36502 5,49780 8,63938 11,7810 14,9226

5,59332 30,2258 74,6389 138,791 222,683

2

r

1 2 3 4 5

Ωr l

(Ω l )

1 2 3 4 5

(Ω l )

3,92660 7,06858 10,2102 13,3518 16,4934

15,4182 49,9649 104,248 178,270 272,031

2

1 2 3 4 5

π 4

3

(Ω l )

60,5412 353,181 1064,39 2380,22 4486,71

(Ω l )

1,87510 4,69409 7,85476 10,9955 14,1372

3,51602 22,0345 61,6972 120,902 199,860

2

r

π 2

3

6,59290 103,432 484,617 1329,38 2825,45

4,73004 7,85320 10,9956 14,1372 17,2788

22,3733 61,6728 120,903 199,859 298,556

(Ω l )

2

r

3

r

105,827 484,329 1329,41 2825,45 5128,67

Table extraite de l’ouvrage de Bishop cité en bibliographie. 167

(Ω l )

4

pour r > 5

(Ω l )

4

r

avec : Ω r l ≈ ( 2r + 1)

(Ωλ l )

pour r > 5

237,721 2496,49 10867,6 31870,1 74000,8

r

Ωr l

4

r

avec : Ω r l ≈ ( 2r − 1)

Ωr l

(Ω l )

31,285,2 913,602 5570,963 19263,0 49587,7

r

cos Ω r l cosh Ω r l − 1 = 0 r

13,2283 166,176 644,834 1635,10 3323,00

r

pour r > 5 r

avec : Ω r l ≈ ( 4r + 1)

cos Ω r l cosh Ω r l + 1 = 0 r

3

r

tan Ω r l − tanh Ω r l = 0 r

π 4

12,3624 485,519 3806,55 14617,3 39943,8 π 2

pour r > 5

(Ω l )

4

r

500,564 3803,54 14617,6 39943,8 89135,4

Mise en équations de problèmes classiques

I.5. Mise en équation à partir du principe des travaux virtuels r r r r δu P = δuG + δθ ∧ GP

Le champ virtuel des déplacements est :

Travail virtuel des quantités d’accélération : r r r r r &&r δA = ∫ δuG + δθ ∧ GP ⋅ u&&G + θ ∧ GP ρdSdx 3 soit avec D l r l r r &&r δA = ∫ δuG ⋅ u&&G ρSdx 3 + ∫ δθ ⋅ ρ I ⋅ θdx 3

(

(

)

0

)

r

r

∫ GPdS = 0 S

0

Travail virtuel de déformation

∫

Nous avons : 2 E d ( ε ) =

D

Σ ( ε ) : EdV =

∫ [ Eε D

2 33

]

2 + G( γ 13 + γ 223 ) dV

δE d ( ε ) = − δT forcesintérieures

et il faut calculer :

Mais avec cette façon de procéder, l’introduction de coefficients de forme différents pour la flexion et la torsion n’est pas possible nous écrivons plutôt : 2 E d (ε) =

∫ {σ$ } {ε$}dx

δE d ( ε ) =

∫ {δε$} {σ$ }dx

l

T

0

l

3

=

∫ {ε$} l

0

T

[ D]{ε$}dx 3

T

0

3

Soit : δE d ( ε ) =

∫ {δu − δθ − bδθ ; δu + δθ + aδθ ; δu {T ; T ; T ; M ; M ; M + bT − aT } dx l

1, 3

0

2

3, 3

2 ,3

1

3, 3

3, 3

; δθ 1,3 ; δθ 2 ,3 ; δθ 3,3

}

T

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Soit en intégrant par parties les termes faisant intervenir

δE d ( ε ) = [δu1T1 + δu2 T2 + δu3 T3 + δθ 1 M 1 + δθ 2 M 2 + δθ 3 M 3 ]0

∂ et en regroupant : ∂x 3

l

l

(

(

)

(

)

)

− ∫ δu1T1,3 + δu2 T2 ,3 + δu3 T3,3 + δθ 1 M 1,3 − T2 + δθ 2 M 2 ,3 + T1 + δθ 3 M 3,3 dx 3 0

Travail virtuel des forces extérieures r r r r r r r r r r r r δT = ∫ (δuG ⋅ p + δθ ⋅ γ )dx 3 δuG ( l ) ⋅ F( l ) + δuG ( 0) ⋅ F( 0) + δθ ( l ) ⋅ Γ( l ) + δθ ( 0) ⋅ Γ( 0) l

0

Il reste à écrire :

δA = δT − δE d

r r ∀ δuG , δθ

Soit en regroupant les termes :

168

Mise en équations de problèmes classiques

∫ [δu (ρSu&& l

0

1

1

(

)

(

)

(

)

− T1,3 − p1 + δu2 ρSu&&2 − T2 ,3 − p2 + δu3 ρSu&&3 − T3,3 − p3 +...

)

(

)

(

)

δθ1 ρI&& θ1 + T2 − M 1,3 − γ 1 + δθ 2 ρI&& θ 2 − T1 − M 2 ,3 − γ 2 + δθ 3 ρI&& θ 3 − M 3,3 − γ 3 ]dx 3 r r r r r r r r r r r r + δuG ( l ) ⋅ T( l ) − F( l ) + δuG ( 0) ⋅ − T( 0) − F( 0) + δθ ( l ) ⋅ M ( l ) − Γ( l ) + δθ ( 0) ⋅ − M ( 0) − Γ( 0) = 0

[

]

[

]

[

]

[

]

Or toutes les variations sont indépendantes tous les facteurs entre parenthèses ou entre crochets doivent être nuls. Le principe restaure bien les équations locales et fournit les relations entre contraintes généralisées et efforts aux extrémités. Il restera à introduire les conditions géométriques aux limites imposées. Sur cet exemple on voit comment le choix de déplacements virtuelsr compatibles fait r perdre certaines informations en effet supposons que uG ( l ) soit donné alors F( l ) est inconnu, si r r r r on adopte δuG ( l ) = 0 l’information F( l ) = T( l ) est perdue. Remarque 1 : Inversement, en partant des équations locales pondérées nous aurions obtenu l’expression du principe des travaux virtuels c’est à dire en calculant : r r l r l r l r r r &&r δu ⋅ ρSu&& dx + δθ ⋅ ρ I ⋅ θdx = δu ⋅ ( p +...) + δθ ⋅ M +... dx

∫

0

G

G

3

∫

∫[

3

0

0

(

G

,3

)]

3

Il faut alors introduire en cours de calcul les lois de comportement et en fin de calcul les conditions naturelles pour obtenir : δA = δTF ext − δE d ( ε ) ∀δ Remarque 2 : L’utilisation du principe d’Hamilton est équivalente, comme nous l’avons vu au principe des travaux virtuels et aurait nécessité le calcul de l’énergie cinétique E c et de sa variation.

(

)

r& r 2 r r 2 E c = ∫ ρu& P2 dV = ∫ ρ u& G + θ ∧ GP dSdx 3 D

D

(

)

r r& r 2 r& r  r& 2  dSdx 3 ρ u + 2 u ⋅ θ ∧ GP + θ ∧ GP ∫0 ∫S  G G  r r l r & & = ∫ ρSu& G2 + ρθ ⋅ I ⋅ θ dx 3

=

l

0

δE c =

∫

t1

t0

(

∫( l

0

)

)

r& r& r r δu& G ⋅ ρSu& G + δθ ⋅ ρ I ⋅ θ dx 3

[

l r r δE c dt = ∫ δuG ⋅ ρSu& G 0

]

t1 t0

[

]

[

]

r r& t1 r l t1 l r r &&r dx 3 + ∫ δθ ⋅ ρ I ⋅ θ dx 3 − ∫ ∫ δuG ⋅ ρSu&&G + δθ ⋅ ρ I ⋅ θ dx 3 dt 0

t0

t0 0

t1

= − ∫ δAdt t0

compte tenu des conditions de transversalité. Le reste de la mise en oeuvre ne pose aucune difficulté.

169

Mise en équations de problèmes classiques

Chapitre II r z

+h/2 h −h/2 r x

O

Plaques minces chargées dans leur plan.

∂S02

r ud

∂D02

r ρFdV ∂D03 dS

r y

∂S01 ∂D01 r Td

r n

Considérons un solide occupant le volume D0 limité par deux plans parallèles de h r cote ± et une surface réglée de normale n 2 dans le plan xOy . On parle de plaques minces si les dimensions du solide dans le plan xOy sont très supérieures à l’épaisseur h. Nous nous intéressons dans ce chapitre au cas ou le chargement est plan et indépendant de z comme le champ éventuel de déplacement imposé.

r D0 est limité par ∂D01 où les charges sont imposées (tension Td ), ∂D02 où les h r chargées non déplacements sont imposés ( ud ) et ∂D03 , les deux surfaces de cote ± 2 normalement. On fait l’hypothèse de Kirchhoff : le tenseur les contraintes est plan (le milieu est dans l’état de contraintes planes) et indépendant de z :

σ 11  Σ = σ 21  (0)

σ 12 σ 22 (0)

(0)   (0)  0 

 ε 11  E = ε 21  0

ε 12 ε 22 0

0  0 ε 33 

 0  Φ = − ϕ 12  0 r r ϕ = −ϕ 12 z

ϕ 12 0 0

0  0 0

Le milieu étant sans couple de masse, Σ est symétrique.

II.1. Analyse des forces. Chargement surface sur la surface moyenne S 0 notée S Considérons un élément de volume hdS , le torseur réduit des actions de surface sur les r h plans ± et des charges de volume ρFdV se réduit à une résultante. 2 h 2 h − 2

∫

+

r r r r ρFdzdS + Σ + h ⋅ zdS − Σ − h ⋅ zdS = ρ S Féquivalent dS 2

2

170

Mise en équations de problèmes classiques

On notera que si les surfaces appartenant à ∂D03 sont chargées le tenseur Σ n’a pas l’allure que nous avons supposée cependant σ 31 , σ 32 devront être nuls en moyenne sur l’épaisseur. r r r On pose ρ S = hρV , F est indépendant de z, on note Féquivalent : Fe dont les

composantes seront

py px r r et sur { x , y} . ρS ρS

Contraintes intégrées h + 2

On pose : σ xx

N xx −

 N xx mat ∫ Σ 22 dz =   N yx h 2 h − 2 +

σ yx

σ xy

σ yy

N yy N yx

N xy dx

h 2

dy

{

{ σ} T = σ xx , σ yy , σ xy

}

def N xy  = N = mat N  N yy 

soit en notation

matricielle :  N xx    h σ xx +     {σ$ } =  N yy  = ∫ h2 σ yy dz  N  − 2 σ   xy   xy  avec N xy = N yx en général.

Ces contraintes intégrées sont des forces par unité de longueur (exceptionnellement si r la plaque est chargée par un couple d’axe z en un point Q N xy présente une singularité). Sur ∂D01 coupant z = 0 en ∂S 01 on pose

h 2 h d − 2

∫

+

r r T dz = N donné

II.2. Champ des déplacements et tenseur des déformations. r champ u ( P , t ) est caractérisé r r r def r r = u( x , y , t ) x + v ( x , y , t ) y + wz = u plan + wz

Le

r utotal

par

u( x , y , t )

et

v( x, y, t )

tel

que :

w est ignoré.

Le tenseur des déformations associé est E 22 (noté E dans la suite pour simplifier les notations).

mat E 22

  u, x = u + v ,x  ,y  2

{

u, y + v , x   2  v, y  

} {

T On pose { ε} = ε xx , ε yy , γ xy = u, x ; v , y ; u, y + v , x r r sur ∂D02 coupant z = 0 en ∂S 02 u = ud

171

ϕ3 =

et

}

v , x − u, y 2

= − ϕ 12

Mise en équations de problèmes classiques

II.3. Loi de comportement et relation entre contraintes intégrées et déformations.

Σ 22

Pour un milieu homogène et isotrope on a, en contraintes planes : E Eh r r = 2 νdiv 2 u I + (1 − ν) E 22 ⇒ N = 2 νdiv 2 u I + (1 − ν) E 22 1− ν 1− ν r avec : div 2 u = traceE 22 ou, sous forme matricielle :

(

ou

)

(

)

  σ xx  1 ν   ε xx    E    ε  { σ} = [ D]{ ε} ν 1 σ yy  = 2    yy  σ  (1 − ν )  1 − ν  γ   xy   xy   2     N xx  1 ν   ε xx    Eh   ε  {σ$ } = D$ {ε} ν 1 avec  N yy  = 2    yy  1 − ν ( ) N  1 − ν  γ    xy   xy   2 

[ ]

[ D$ ] = h[ D]

II.4. Mise en équations par les théorèmes généraux. L’équation locale s’obtient en isolant un élément parallélépipédique d’épaisseur h :

r r r div d N + ρ S Fe = ρ S u&&plan r Une équation de moment par rapport à z donne en général N xy − N yx = 0

r r Les conditions aux limites géométriques sont constituées par u = ud sur ∂S 02 . Les conditions aux limites naturelles s’écrivent : r r r r r Td = Σ ⋅ n sur ∂D01 ou N d = N ( ∂S01 ) ⋅ n ( n ∈ xOy )

En cartésiennes on a donc :

px  678  N xx , x + N xy , y + ρ S Fex = ρ S u&& ur plan = urd sur ∂S 02  r r N && + N + p = ρ v N sur ∂S 01 yy , y y S d = N ⋅n  yx , x

Relations auxquelles il faut adjoindre la loi de comportement : Eh r N= 2 νdivu I + (1 − ν) E 1− ν

(

)

II.5. Mise en équations à partir du principe des travaux virtuels. r r δA = ∫ ρ S u&& ⋅ δudS

δTcompatible = r r (δud =0)

∫

S

 r r r  r N d ⋅ δudl +  ∑ Γ( Q j ) ⋅ δϕ ( Q j )  ∂S01  Qj 

r r ρ S Fe ⋅ δudS + ∫

172

Mise en équations de problèmes classiques

Le travail de déformation peut se calculer à partir de l’énergie de déformation E d : 2E d = ∫ Σ: EdV = δE d =

∫

S

∫

S

c’est une forme quadratique des ε .

N ( ε ) : EdS

N ( ε ) : δ EdS

Ainsi, pour des déplacements compatibles : − δE d + δTcomp = δA ou : r r r r r r − ∫ N : δ EdS + ∫ ρ S Fe ⋅ δudS + ∫ N d ⋅ δudl = ∫ ρ S u&& ⋅ δudS S

∂S01

S

S

Calcul sans expliciter N en fonction des déformations Tr N : δ E = N : δ grad u et δ et grad étant permutables en Tr T r r r r déformations infinitésimales : − N : δ grad u = − N : grad δu = − div δu ⋅ N + div d N ⋅ δu

Comme N est symétrique

∫( S

(

)

Donc en utilisant le théorème d’Ostrogradsky : r r r r r r r r div d N + ρ S Fe − ρ S u&& ⋅ δudS + ∫ δu ⋅ N d − N ⋅ n dl = 0 ∀δucomp

)

∂S 01

(

)

r divr N + ρ F = ρ u&&r sur S d S e S Ainsi :  r r u = ud sur ∂S 02

(

r r N d = N ⋅ n sur ∂S 01

)

Eh r νdivu I + (1 − ν) E on peut éliminer N 1 − ν2 r r r r r r r r div d divu I = grad ( divu ) ui ,i δ jk e j ⊗ ek ⋅,k ek = ui ,ik ek

Avec N =

(

)

(

(

)

)

1 r r r r r div d E = ∇ 2 u + grad ( divu ) 2 r r r r r r r grad (divu ) = rot ( rotu ) + ∇ 2 u

On a :

(

)

r 1  ui , jj + u j ,ij ei  2 

r Eh 1 + ν r r 1 − ν r 2 r r grad (divu ) + ∇ u  + ρ S Fe = ρ S u&&plan 2  2 1− ν  2  On explicite N en utilisant les relations contraintes intégrées déformations 2 E d = ∫ N : EdS = S

Eh 1 − ν2

∫ ( ν( traceE ) I + (1 − ν) E ): EdS = 1 − ν ∫  ν( traceE ) 2

r avec : divu = traceE et E : E = traceE ⋅ E Eh r r ( ) δE d = où 2 ∫S νdivu δ( divu ) + 1 − ν E : δ E dS 1− ν r r r r r f = divu avec : div( fA) = fdivA + grad f ⋅ A r r T r r div A ⋅ T = div d T ⋅ A + T: grad A T=E

(



Eh

)

( )

173

2

 + (1 − ν) E: E  dS

T r r δdivu = divδu et δ E = δ E r r A = δu T r E : δ E = E : grad δu

Mise en équations de problèmes classiques

Ainsi :

{[

]

]}

[ ( )

Eh r r r r r r r r ( ) 2 ∫S ν div( δudivu ) − grad ( divu ) ⋅ δu + 1 − ν div δu ⋅ E − div d E ⋅ δu dS 1− ν Eh  r r r r r r r r r δE d = νdivu δu ⋅ n + (1 − ν)δu ⋅ E ⋅ n dl − ∫ νgrad (divu ) + (1 − ν)div d E ⋅ δudS  2  ∫∂S S  1 − ν  01 Eh r r r r r r r ( ) ( ) δE d = 2 [ ∫∂S δu ⋅ νdivu I + 1 − ν E ⋅ ndl − ∫S νgrad ( divu ) + 1 − ν div d E ⋅ δudS ] 01 1− ν 14442444 3

δE d =

[

(

)

]

(

(

)

)

N

Le principe des travaux virtuels s’écrit finalement : r r r Eh r r r r r r r r ( ) divu div E udS F udS u ν ∇ + 1 − ν ⋅ δ + ρ ⋅ δ + δ ⋅ N d − N ⋅ n dl = ∫ ρ S u&& ⋅ δudS ( ) 2 ∫S d S e ∫ ∫ ∂ D S S 01 1− ν

(

)

r r N 22 ⋅ n = N d Soit :

(

sur ∂S 01

r Eh 1 + ν r r 1 − ν r 2 r &&r sur S ∇ + ∇ + ρ divu u F ( )   2 S e = ρS u 2 1− ν  2  ____

174

)

Mise en équations de problèmes classiques

Action d’un couple Γ sur une plaque en contraintes planes

Annexe

r r r u P = u( x , y ) x + v ( x , y ) y

r z

 u, x rw  matu ∇ = 0 v , x 

r Γ P v( x, y)

u, y v, y 0

0  0 0

r r r r du = E ⋅ dP + ϕ ∧ dP

r r 1 r r v , x − u, y r avec : ϕ = ϕ 3 z = rotu = z 2 w v 2 r u ( x , y ) r r x u ∇ − ∇u terme 21 du tenseur h 2 Γ δTΓ = δ v , x − u, y Q 2 r Le résultat peut paraître bizarre mais s’interprète très bien. Γ Envisageons un élément de hauteur h de côté 2ξ centré en Q. 4ξ C Γ L’action du couple est équivalente à l’action de quatre forces D 4ξ Q B xQ , yQ agissant à la distance ξ de Q avec ξ → 0 , ces forces agissant sur le h reste de la plaque. A Γ lim δT = δv ( x Q + ξ) − δu( y Q + ξ) − δv ( x Q − ξ ) + δu( y Q − ξ ) 2ξ ξ→0 4ξ Q

r y

(

)

[

]

ξ2 avec : v ( x Q + ξ) = v ( x Q ) + ξv , xQ + v 2 +... 2 , xQ Γ Γ lim δT = δ 2ξv , xQ − 2ξu, yQ = δ v , xQ − u, yQ ξ→0 4ξ 2 En Q la discontinuité de N xy associée n’apparaît pas elle existe cependant. Isolons

(

)

(

)

l’élément précédent et écrivons l’équation de moment par rapport à R :

ξN yx A × 2ξ × 2 − N xy B × 2ξ × 2ξ + Γ = 0( ξ 4 )

r Γ N yxC N xy D D

C

R Q A

N yx A − N xy B = −

B

N xy B

Γ 4ξ 2

Γ r y est la force exercée par la plaque 4ξ ABCD en A et donne lieu à Γ Γ Γ =− = − 2 de même : N xy B = + 2 4ξ × 2ξ 8ξ 8ξ

Or −

N yx A

sur N yx A ce qui est cohérent.

Si ξ tend vers zéro la discontinuité tend vers l’infini mais mécaniquement on ne peut r appliquer un couple par un système mécanique d’axe z de dimensions tranversales nulles !

175

Mise en équations de problèmes classiques

Chapitre III

Plaques minces en flexion (Théorie de Kirchhoff)

On se propose ici d’exposer la théorie de Kirchhoff relative aux petites déformations de flexion des plaques minces isotropes. Un certain nombre d’hypothèses (plus ou moins contradictoires) sont faites. H1 Les déformations normales à la plaque ( ε zz ) sont petites par rapport à l’épaisseur ainsi w r le déplacement selon z est indépendant de z. H2 Les contraintes σ xx , σ xy , σ yy sont nulles dans le feuillet moyen et à valeurs moyennes (sur l’épaisseur) nulles. Les bords de la plaque sont libres de se déplacer dans le plan moyen. En somme la plaque n’est pas chargée dans son plan (flambement exclu de ce chapitre). r H3 La plaque est chargée normalement par des forces de masse selon z ou par un chargement surfacique normal à ses faces, et sur ses bords par des forces ou des moments (par unité de longueur). Ce chargement est suffisamment faible pour que, restant dans l’hypothèse des petits mouvements et des petites déformations, on puisse faire une hypothèse équivalente à celle de Bernoulli pour les poutres : un élément matériel infinitésimal normal au plan moyen ( z = 0 ) reste normal à ce plan déformé après déformation (ainsi la déformation de glissement sous l’effet d’effort tranchant est négligeable).

Il existe bien d’autres théories des plaques, Hencky a fait une théorie équivalente à celle de Timoshenko pour les poutres, Reissner développe une théorie à partir d’hypothèses sur le champ des contraintes. On trouve aussi des théories sur les plaques épaisses où le déplacement w( x , y , z , t ) reste comme principale inconnue à déterminer (cf. Timoshenko, Mindlin, Hencky, Vekua ...). III.1. Champ des déplacements - tenseur des déformations. Déplacements, pentes, courbures

zw, x

r z r y

w, x dx

z

w

dx

Q z P

h + 2 h − 2

D’après l’hypothèse H3, ron r r r r peut poser : uQ = u P + rotu P ∧ PQ P étant dans le plan moyen (feuillet moyen) z = 0 . r r Avec u P = w( x , y , t ) z

r x

w est la flèche.

épaisseur h

r r r r r θ = rotu P = θ x x + θ y y  θ x = w, y θ y = − w, x

ainsi

r r r r uQ = − zw, x x − zw, y y + wz r r r uQ = − zgrad 2 w + w ⇒ divuQ = − z∆w

176

r r PQ = zz

Mise en équations de problèmes classiques

r La pente du plan moyen dans un plan perpendiculaire à Oy est − w, x = θ y et le rayon

1 où w, xx est la courbure. w, xx r La pente du plan moyen dans un plan perpendiculaire à Ox est w, y = +θ x et le rayon

de courbure rx =

de courbure ry =

1 où w, yy est la courbure. w, yy

1 est le rayon de torsion et w, xy est la torsion. w, xy Le transformé de l’élément PQ reste perpendiculaire au plan moyen déformé. rxy =

Déformations

r Le tenseur des déformations E est la partie symétrique de h = grad uQ  − zw, xx − zw, xy − w, x    r h = mat grad uQ = − zw, yx − zw, yy − w, y   w 0  w, y  ,x ww r E = − zgrad grad w = − zw∇∇ ε xx = − zw, xx

− zw, xx  ainsi : E = mat E = − zw, xy  0

− zw, xy − zw, yy 0

ε yy = − zw, yy

ε zz = 0

γ xy = −2 zw, xy

0  0 0

Le tenseur E ∈ E 2⊗2 est au terme ε zz près celui d’un système en état de contraintes planes. III.2. Analyse des forces en présence - contraintes et contraintes intégrées. dy

σ xx

r z

σ yx

r y r x

P

dx

σ xy

σ yy

h

σ zx σ zy + dσ zy

σ zy

σ xy

σ zx + dσ zx σ yx + dσ yx

σ xx + dσ xx

P N yy

M xy

N xy

M xx N yx M yx

N xx Qx

Qy + Qy M yy + dM yy

N + dN xy M xy + dM xy Q y Q + dQ xy N dN + yy yy x x M yx + dM yx + dN xx N + dN M xx + dM xx yx yx Fig. : contraintes et contraintes intégrées

M yy

N xx

σ yy + dσ yy + dσ xy

177

Mise en équations de problèmes classiques

Contraintes intégrées Les deux premières colonnes de la matrice Σ du tenseur des contraintes sont formées r r des composantes des tensions sur des facettes de normales x et y .

σ σ  σ   xx  xy  xz  Σ = σ yx σ yy  σ yz    σ  σ  σ   zx  zy  zz  L’épaisseur de la plaque étant h, on associe à Σ des contraintes intégrées définies de la façon suivante :  N xx     N yy  = N   xy 

h 2 h − 2

∫

+

σ xx  Qx    σ yy dz   = Q y  σ   xy 

N xy = N yx =

h 2 h − 2

∫

+

σ yx dz

h 2 h − 2

∫

+

 M xx  σ zx     dz  M yy  = σ zy  M   xy 

h 2 h − 2

∫

+

σ xx    z σ yy dz σ   xy 

h 2 h − 2 +

M xy = M yx = ∫ σ yx dz

Qx et Qy sont les efforts tranchants (force par unité de longueur). M xx et M yy sont des moments de flexion, M xy et M yx des moments de torsion. Ces grandeurs, moments par unité de longueur, ont les dimensions d’une force. Chargement surfacique r ρFdV dS

La plaque peut être chargée normalement sur ses faces h h supérieure ( z = − ) ou inférieure ( z = + ) et être soumise à des h 2 2 r forces de masse selon z . Le torseur réduit en z = 0 des forces agissant sur un élément infinitésimal ( h, dS ) permet de définir un chargement r r surfacique q ( x , y ,t ) z (actions sur la surface latérale non comprises). qdSz

z=0

Torseur des actions extérieures sur ϕ frontière limitant S z=0

r Sur le bord de la plaque, sur une facette de normale n ∈ xOy s’exerce la tension r r r r T = Σ ⋅ n . Soit t l’unitaire du plan xOy directement perpendiculaire à n , déterminons r r r d’abord la matrice de Σ dans la base n , t , z .

178

Mise en équations de problèmes classiques

cos α − sin α 0   Nous avons : cos α 0 r r = S rΣ rΣ r r S =  sin α ( n ,t , z ) ( x , y ,z )  0 0 1 r r r r r r r r n sur ( x , y , z ) ↑ ↑ t sur ( x , y , z ) r r σ nn = n ⋅ Σ ⋅ n σ nn σ nt σ nz  r   r σ tt σ tz  avec : σ tn = t ⋅ Σ ⋅ n r r =  σ tn rΣ ( n ,t , z ) r r σ zn σ zt σ zz  σ zn = z ⋅ Σ ⋅ n T

r La première colonne de cette matrice est constituée des composantes de T sur la nouvelle base. σ nn = σ xx cos 2 α + σ yy sin 2 α + σ xy sin 2α

(

)

Soit : σ tn = σ yy − σ xx sin α cos α + σ yx ( cos 2 α − sin 2 α)

σ zn = σ zx cos α + σ zy sin α Ces relations de Mohr ne font qu’exprimer les équations du mouvement d’un petit élément A,B,C triangulaire ( dx , dy , dz ) d’épaisseur dz où les quantités d’accélération et les forces de masse sont d’un ordre infinitésimal par rapport aux forces agissant sur les bords. r r Y r z y A r r α r ds t T = Σ⋅n r r M tn n σ xx t σ nn r r Qn Qx A n y α r α σ tn ds t dy = cos αds σ yx M nn B C Qy ϕ r σ r r xy r x B n x X σ yy C dx = sin αds

r  cos α n   sin α  r  − sin α t   cos α  Nous pouvons définir les contraintes intégrées Qn , M nn , M tn h 2 h − 2 +

Qn = ∫ σ zn dz

M nn =

h 2 h − 2

∫

+

zσ nn dz

M tn =

h 2 h − 2

∫

+

zσ tn dz

Qn = Qx cos α + Qy sin α D’où : M nn = M xx cos 2 α + M yy sin 2 α + M yx sin 2α

(

)

M tn = M yy − M xx sin α cos α + M yx ( cos 2 α − sin 2 α ) Certaines de ces grandeurs peuvent être imposées sur ϕ . 179

Mise en équations de problèmes classiques

III.3. Loi de comportement. Le matériau est en état de contraintes planes, telle est l’hypothèse faite par Kirchhoff et nous traitons ici le cas de plaques isotropes.   σ xx σ xy (0)  σ xx  1 ν   ε xx  E       ε  { σ} = [ D]{ ε} 1 Σ = σ yx σ yy (0)  ⇒ σ yy  = ou 2 ν   yy  1− ν     1 − ν  (0) (0) 0    γ xy  σ xy   2  où [ D] est une matrice. Le calcul direct des cisaillements transverses (0) n’a alors pas de sens et comme σ zz ν est supposé nul, ε zz = − σ + σ yy est non nul en général (excepté dans le plan z = 0 E xx d’après l’hypothèse H2). Mais l’hypothèse H1 suppose ε zz partout nul.

(

)

En conclusion, comme pour la théorie des poutres de Timoshenko des contradictions existent inévitablement mais le modèle reste acceptable pour des plaques minces. Comme les déformations sont linéaires en z, les contraintes membranaires N xx , N yy , N xy sont nulles comme l’hypothèse H2 le supposait, nous nous bornons en effet dans cette étude à l’analyse de la flexion. Le calcul direct des efforts tranchants n’a pas de sens ( ε zx et ε zy sont nuls). Il reste les moments :  M xx  h +   E 2  M yy  = ∫− h 1 − ν2 2 M   xy  D=

Eh 3

12(1 − ν 2 )

    2 1 ν   − w, xx  1 ν   − z w, xx  3 Eh ν 1   − z 2 w dz = ν 1  − w    , yy , yy     12(1 − ν 2 )  2    1 ν 1 ν − −   − 2 z w, xy    − 2 w, xy    2  2 

est appelé coefficient de rigidité à la flexion.

On est conduit à définir naturellement des contraintes et des déformations généralisées : { σ} T = M xx , M yy , M xy { ε} T = − w, xx ,− w, yy ,−2 w, xy {σ$ } = D$ {ε$} où telles que :

[

[ D$ ] est une matrice.

]

( = − D( w

[

]

[ ]

) [ ] ) = − D[∆w − (1 − ν) w ]

M xx = − D w, xx + νw, yy = − D ∆ w − (1 − ν) w, yy D’où : M yy

, yy

+ νw, xx

M xy = − D(1 − ν) w, xy vv M = − D ν∆ wI + (1 − ν) ∇∇w

[

, xx

ou sous forme tensorielle :

]

I étant le tenseur unité de E 2⊗2 et avec

 M xx mat M =   M yx

180

M xy  M yy 

Mise en équations de problèmes classiques

Détermination approchée de certains termes de Σ σ xx , σ yy , σ xy sont linéaires en z en effet :

{ σ} = [ D]{ ε}  

{σ$ } = [ D$ ]{ε$} 12 12  −1 { ε} = z{ε$}  ⇒ { σ} = [ D] z{ε$} = [ D] z h 3 [ D] {σ$ } = h 3 z{σ$ }  3 h  D$ = [ D]  12 

[ ]

σ xx =

6 M h 2 xx

σ yx =

6 M h 2 yx

M xx

−

Les cisaillements tranverses σ zx , σ zy peuvent être

σ zx

3Qx 2h h 2

M yx

déterminés en adoptant une répartition parabolique avec

+

r z

h 2

σ zx

±

h 2

= σ zy

±

h 2

= 0.

Posons : h 2 h − 2

Qx = ∫

σ zx

+

 h2  σ zx = k  − z 2   4 

 h2 h 6Q h3  h3 σ zx dz = 2 k  − ⇒ k = 3x =k 6 h  4 2 8 × 3

6Q y  h 2   6Qx  h 2 2 = 3  − z  et de même : σ zy = 3  − z 2  h  4 h  4  

Expressions de M nn et M tn

[ ]

[ ]

[ ]

 M nn T mat r r r M = [ S ] mat r r r M [ S ] avec : mat rr r M =  ( n ,t , z ) ( x , y ,z ) ( n ,t , z )  M tn

[

(

M nt  M tt 

M nn = − D ν∆w + (1 − ν) w, xx cos 2 α + w, yy sin 2 α + w, xy sin 2α

[(

)

)]

M tn = − D(1 − ν) w, xx − w, yy sin α cos α + (cos 2 α − sin 2 α ) w, xy

181

]

Mise en équations de problèmes classiques

III.4. Mise en équations par les théorèmes généraux.

III.4.1. Equations locales. Isolons

un

dm = ρV hdxdy = ρ S dS

élément

(ρ

S

infinitésimal

= hρV ) .

( h, dS )

d’épaisseur

h,

de

masse

r Ecrivons le théorème de la résultante dynamique en projection sur z et le théorème des moments (par rapport aux bords) en négligeant le moment dynamique :

(Q dx)dy + (Q dy)dx + qdxdy = ρ dxdyw&& (− M dx)dy − ( M dy)dx + (Q dx)dy = 0 ( M dy)dx + ( M dx)dy − (Q dy)dx = 0 x,x

y,y

yx , x

xy , y

r && divQ + q = ρ S w d’où : r r Q = div d M

S

yy , y

y

xx , x

x

r r r en posant Q = Qx x + Q y y

Introduisons les lois de comportement :

[(

)

]

v r r r r r div d M = − D νw,kk δ ij + (1 − ν) w,ij ei ⊗ e j ⋅ er = − Dw,ijj ei = − D∇∆ w ,r r divQ = − Dw,ijji r r Q = − Dgrad∆w v Soit : && − D∇ 4 w + q = ρ S w v ∂4 ∂4 ∂4 avec en cartésiennes ∇ 4 = ∆∆ = 4 + 2 2 2 + 4 . ∂x ∂x ∂y ∂y v r r r On note au passage que Qn = Q ⋅ n = − D∇( ∆w) ⋅ n = − D∆w,n

III.4.2. Conditions aux limites. Considérons un élément de frontière de ϕ de longueur ds. Les conditions aux limites sur les forces ou les déplacements doivent être précisées. v r - Pour un bord encastré on a w = 0 w,n = ∇w ⋅ n = 0

- Pour un bord appuyé on a

w=0

M nn = 0

Le troisième cas pratiquement rencontré est celui d’un bord libre et mérite une étude spéciale. La première condition exprime que le moment de flexion est nul : M nn = 0 . La deuxième condition relie Qn et M tn et son interprétation est due aux travaux de Kelvin, Tait et Boussinesq (1871).

182

Mise en équations de problèmes classiques

M tn qui a les dimensions d’une force est équivalent à une distribution d’effort tranchant Qn′ d’intensité M tn ,s par unité de longueur.

M tn + M tn ,s ds Qn M tn

r t

L’autre condition s’écrit : Qn ds + Qn′ ds = 0 avec : Qn′ = M tn ,s = M tn ,t (dérivée de M tn dans la r direction t ).

ds

r n

r  cos α n   sin α 

Cette quantité Qn + Qn′ est souvent désignée par K n l’effort tranchant de Kirchhoff. def

K n = Qn + Qn′ = 0 .

Pour un bord libre la seconde condition s’écrit donc : Par exemple en cartésiennes :

r r r r α = 0⇒n = x t = y

- si

[

]

K n = 0 ⇔ − D∆w, x + M yx , y = 0 ⇔ − D w, xxx + ( 2 − ν) w, yyx = 0

π r r r r ⇒ n = y t = −x 2 Il faut faire attention à la définition du moment de torsion : r n M − xy , − x = M xy , x σ yy

α=

- si

r t

[

]

K n = 0 ⇔ − D∆w, y + M xy , x = 0 ⇔ − D w, yyy + ( 2 − ν) w, xxy = 0

σ ( − x ) y = − σ xy = − σ yx - α quelconque : v r w,n = ∇w ⋅ n

(

)

r r r r r r r r r w,nt = grad ( grad w ⋅ n ) ⋅ t = grad w ⋅ grad n + n ⋅ grad ( grad w) ⋅ t r r r avec : grad n ⋅ t = 0 r r r r r r w,nt = n ⋅ grad ( grad w) ⋅ t = t ⋅ grad ( grad w) ⋅ n = w,tn v r K n = Qn + Qn′ = − D ∇( ∆ w) ⋅ n + (1 − ν) w,tnt = − D  w,nn + w,tt + (1 − ν) w,ttn  ,n  

[

[

K n = − D w,nn + ( 2 − ν)w,tt

]

]

(

)

,n

Le remplacement de M tn par une distribution d’effort tranchant Qn′ est en fait incomplet. Considérons une frontière PQ et calculons le travail virtuel des M tn couples de torsion le long de PQ : Q δw,s − M δw ds = − M δw + M δwds

∫

) PQ

P

Q

r n

tn

,s

[

tn

] ∫ P

) PQ

tn , s

M tn travaille dans la rotation virtuelle − δθ ou δθ est la rotation autour r de n , pente tangentielle.

183

Mise en équations de problèmes classiques

M tn ( P )

Ainsi M tn est non seulement équivalent à une distribution d’efforts tranchants Qn′ , mais doit être complété par des forces r r concentrées M tn ( P ) z en P et − M tn ( Q ) z en Q.

Qn′

Q M tn ( Q )

P

Dans une décomposition de la plaque en sous structures ces forces concentrées s’additionnent algébriquement par exemple dans le cas de figure, au point P quatre bords se raccordent et il faut sommer quatre forces concentrées. A un point anguleux d’une plaque non décomposée localement en sous structures, deux bords se raccordent etc. On devra donc compléter les conditions M nn = 0 et K n = 0 par des conditions aux coins. Pour un coin à déplacement imposé w la somme des forces concentrées est égale à la force extérieure imposant le déplacement. Si le coin est libre, cette somme doit être nulle. Remarque sur les solutions de problèmes de plaques Peu de solutions existent et il est hors de question de les lister ici. On pourra consulter les ouvrages cités en bibliographie et les publications suivantes : A.W. Leissa : The free vibration of rectangular plates, Journal of sound of vibration (1973) 31 (3), pp. 257-293 N.J. Pagano : Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates, Journal composite materials vol 4 (Janvier 1970) pp. 20-34. S. Yguchi : Die eigens Schwingungen und Klangfiguren den freien rechteckingen Platte, Ing Mech, XXI pp. 303-322 Helf 1953

II.5. Mise en équations par le principe des travaux virtuels. r z qdS

• Travail d’accélération :

B

∂S 01 r u (Q, t )

∂S 02 dS

r y

Q( x , y , z )

Qn

P( x, y,0)

A

r x

M tn

r n

∫ δwρ S

S

&& wdS

des

quantités

(avec ρ S = hρV )

en ne tenant pas compte du moment dynamique.

r t s

δA =

virtuel

Nous aurions pu utiliser l’énergie cinétique dépendant des paramètres w; w, x ; w, y en effet pour un élément hdS :

M nn

184

Mise en équations de problèmes classiques

[ (

]

)

[(

]

)

r 2 r r r r r r2 & + − w& , x y + w& , y x ∧ PQ dSdz = ρ w& 2 + 0 + − w& , x y + w& , y x ∧ zz dSdz d (2 E c ) = ρ wz   h 2 +   h 2 E c = ∫ h2 ∫ d (2 E c ) = ∫ ρ S  w& 2 + w& ,2x + w& ,2y dS S S − 12   2

(

)

d  d  d  δA =  E c , w& − E c ,w  δw +  E c ,w& , x − E c , w, x  δw, x +  E c ,w& , y − E c ,w, y  δw, y en utilisant  dt   dt   dt  un résultat classique de Lagrange. Là encore il ne faut pas conserver l’énergie cinétique de rotation ce qui donnerait une précision illusoire compte tenu du champ de Kirchhoff adopté.

• Travail virtuel de déformation : Ce travail virtuel peut s’obtenir à partir de la variation de l’énergie de déformation : = δE d ( ε )

δTdef

E dV = − ∫ M ( ε ) : TdS = S z r T = grad ( grad w)

∫ {σ$ } {ε$}dS

2E d = ∫ Σ: EdV = ∫ z Σ: V

V

en posant : E = − zT

[ ]

T

S

T 2E d = ∫ {ε$} D$ {ε$}dS S

Ainsi δE d =

∫ {δε$} [ D$ ]{ε$}dS = ∫ {δε$} [σ$ ]dS = − ∫ M: δTdS T

T

S

S

(

)

r r r r div grad δw ⋅ M = grad δw ⋅ div d M + M : grad ( grad δw) 1442443 δT r r grad δ = δ grad r r r δE d = ∫ grad δw ⋅ div d MdS − ∫ div grad δw ⋅ M dS

Mais avec

(

S

)

(

S

)

(

)

r r r r div δwdiv d M = δwdiv div d M + grad δw ⋅ div d M

avec

(

)

r δE d = − ∫ δwdiv div d M dS + ∫ S

∂S 02

S

∂S 01

r r δwdiv d M ⋅ ndS − ∫

∂S 02

r r grad δw ⋅ M ⋅ ndS

en décidant ici de prendre des déplacements virtuels compatibles, c’est à dire nuls sur (arc AB où les déplacements sont imposés).

Nous avons utilisé le théorème d’Ostrogradsky et nous allons maintenant utiliser les r r r composantes de grad δw sur n et t pour modifier la dernière intégrale : r r r r r r − ∫ grad δw ⋅ M ⋅ nds = − ∫ δw,n n ⋅ M ⋅ n + δw,s t ⋅ M ⋅ n ds ∂S01

∂S 01

(

)

soit en intégrant par parties le dernier terme : B∂S 01 r r r r r r r r − ∫ grad δw ⋅ M ⋅ nds = − ∫ δw,n n ⋅ M ⋅ nds − t ⋅ M ⋅ n δw + ∫ t ⋅ M ⋅ n δwds ∂S01 ∂S 01 ∂ S ,s A∂S 01 01 144244 3 =0 r r r r r r r δE d = ∫ − δwdiv div d M dS + ∫ δwdiv d M ⋅ nds − ∫ δw,n n ⋅ M ⋅ nds + ∫ δw t ⋅ M ⋅ n ds

[

S

(

)

∂S 01

]

∂S01

185

(

)

∂S 01

(

)

,s

Mise en équations de problèmes classiques

• Travail virtuel du chargement : En prenant toujours des déplacements virtuels compatibles et en utilisant l’expression déjà trouvée du travail de M tn nous obtenons : δT = ∫ δwq ( P, t )dS − ∫

∂S 01

S

δw,n M nn

−∫

∂S01

∫ δw[− ρ S

[

δw,n M nn

donné

ds + ∫

∂S01

(

δw Qn + M tn ,t

)

ds − [ M tn δw] A∂S donné 01 14 4244 3 =0 B∂S 01

δA = −δE d ( ε ) + δT pour tout champ virtuel compatible.

Il reste à écrire : D’où :

donné

S

]

(

(

 δw  Qn + M tn ,s ∂S01  ∀δwc , δw,nc

r r − n ⋅ M ⋅ n ds + ∫

[

)] r ) − (t ⋅ M ⋅ nr)

r && + q ( P, t ) + div div d M dS w donné

]

r avec : M = − D ν∆ wI + (1 − ν) grad ( grad w)

,s

r r − div d M ⋅ n ds = 0 

LC

Les termes entre crochets doivent être nuls, nous obtenons ainsi l’équation locale régissant w, les conditions aux limites naturelles sur ∂S 01 : r r M nn donné = n ⋅ M ⋅ n r et (Qn + Qn′ ) donné = divrd M ⋅ nr + t ⋅ M ⋅ nr

(

)

,s

Il restera à imposer w = wdonné (ou w,n = w,n donné ) sur ∂S 02 Remarque : Il est possible d’obtenir directement les relations précédentes en fonction de w et de ses dérivées à condition d’utiliser dès le début la loi de comportement pour avoir l’énergie de déformation en fonction de w et de ses dérivées.

(

)

(

)

2 E d ( ε ) = D ∫ ν∆ wI + (1 − ν) T : TdS = D ∫ ν∆2 w + (1 − ν) traceT ⋅ T dS S

avec

S

∆ w = traceT

Soit en cartésiennes :

[ = D∫ ( w

] )dS

2 E d ( ε ) = D ∫ w,2xx + w,2yy + 2 νw, xx w, yy + 2(1 − ν) w,2xy dS S

S

ou encore :

, xx

+ w, yy

(

)

2

(

+ 2(1 − ν) w,2xy − w, xx w, yy

 2 E d ( ε ) = D ∫  traceT S

)

2

 − 2(1 − ν) det T dS 

Ces expressions font apparaître les invariants de T mais l’algèbre n’est pas plus simple.

186

Mise en équations de problèmes classiques

III.6. Séparabilité - caractère auto adjoint du problème en oscillations libres. En oscillations libres :

v && − D∇ 4 w = ρ S w les conditions aux limites étant homogènes.

sur S

• Séparabilité Le problème est séparable, en effet cherchons une solution particulière w( P, t ) part = W ( P) f (t ) soit en reportant dans l’équation localev: D ∇ 4W f&& − = = −ω 2 = − λ ρS W f ± jωt f&& + ω 2 f = 0 ⇒ f part = e D v4 de la forme LW = λMW avec : M = I ∇ W = λW ρS L’opérateur identité I est auto adjoint, l’opérateur L =

D v4 ∇ aussi ρS

v • Caractère auto adjoint de l’opérateur ∇ 4

I=∫

S

Soient u et v deux fonctions de comparaison d’espace, il faut démontrer que : v v ( u∇ 4 v − v∇ 4 u)dS = 0

v4

∫ u∇ vdS

Calculons

S

avec :

v v v v v ∇ ⋅ ( u∇ ∆ v ) = u∇ 4 v + ∇ u ⋅ ∇ ∆ v  r  r Qn (u) = − D∆ u,n Qn′ = t ⋅ M ⋅ n   M = nr ⋅ M ⋅ nr M = tr ⋅ M ⋅ nr tn  nn

(

Ainsi : v4

(

,s

K n = Qn + Qn′

)

v v v v r 1 r   u∆ v ,n ds − ∫ ∇u ⋅ ∇∆ vdS = − ∫ u  K n (v ) − t ⋅ M ⋅ n ds − ∫ ∇u ⋅ ∇∆ vdS ∂S S S ,s  D ∂S = ϕ 

∫ u∇ vdS = ∫ S

)

v r r Avec : ∇u = u,n n + u, s t nous intégrons par parties le terme en , s

v4

( uK (v) + u tr ⋅ M ⋅ nr) ds + D1 [utr ⋅ M ⋅ nr] 1 1 r r r r = − ∫ ( uK (v ) − u n ⋅ M ⋅ n ) ds + [ ut ⋅ M ⋅ n ] D D 1

∫ u∇ vdS = − D ∫ S

∂S

n

,s

∂S

n

,n

(v)

bornesdescontours

(v )

187

bornesdescontours

v v − ∫ ∇u ⋅ ∇∆ vdS S

+J

Mise en équations de problèmes classiques

Avec : v v v v vv T v v 1 1 r r J = − ∫ ∇u ⋅ M ( v ) ⋅ nds − ∫ ∇u ⋅ ∇∆vdS = − ∫ ∇u ⋅ div d M − (∇∇u) : M ( v ) dS − ∫ ∇u ⋅ ∇∆ vdS S S D ∂S D S

(

( (

)

))

v ww w r r r ∇  ( ∆ v ) = (v∇∇) ⋅ ∇ div d grad grad v = grad ( ∆ v ) avec :  v v ww ∇∇u = u∇∇ vv M ( v ) = − D ν∆v I + (1 − ν) ∇∇v

[

]

v r Soit en regroupant les termes en grad u = ∇u v vv vv vv vv r J = ∫ ∇u ⋅ div d ν∆v I + (1 − ν) ∇∇v − ∇∇v dS + ∫ ∇∇u: ν∆ v I + (1 − ν) ∇∇ v dS S S v vv vv vv r J = ∫ ∇u ⋅ div d ν∆v I + ∇∇v dS + ∫ ν∆ u ∆ v + (1 − ν) ∇∇u: ∇∇v dS S S 144244 3 =0

[ [

]

]

[

[

]

]

J intervient avec deux signes opposés dans l’expression de I donc disparaît. Ainsi 1 1 I = − ∫ uK n (v ) − vK n (u) − u,n M nn (v ) + v ,n M nn (u) ds − ∑ uM tn (v ) − vM tn (u) Al D ∂S D l où les Al sont les points anguleux éventuels ou les points d’appuis du contour et où

(

symboliquement :

)

[[ f ]]

Al

= f

Al +

−f

Al −

[[

]]

désigne les sauts d’une quantité f (ici M tn ).

Quoi qu’il en soit I est nul pour tout type de conditions aux limites homogènes.

188

Mise en équations de problèmes classiques

Chapitre V

Problèmes en milieux curvilignes

V.1. Petits mouvements d’une poutre plane courbe. Nous nous proposons ici de présenter l’analyse d’une poutre courbe dont la ligne moyenne est plane de rayon de courbure R constant (indépendant de l’abscisse curviligne) et de section droite constante. La poutre n’a pas de torsion géométrique et nous n’introduisons pas pour simplifier de forces de masse. r r Les axes Gez , Ger , Geϕ sont principaux et centraux d’inertie pour la section droite de

mesure S.

r TdS S

r F( s )

σ ϕϕ G

z

dS

r eϕ

r er

rO ez

σ rϕ

ϕ

s

M ϕ + dM ϕ N ϕϕ + dN ϕϕ

N r ϕ + dN rϕ

N zϕ + dN zϕ r eϕ

P

r σ zϕ

r M ( s)

r er

dϕ

ϕ

Mr

M r + dM r

Mz ds = Rdϕ N zϕ N ϕϕ

N rϕ M z + dM z

Mϕ

r ez

dm = ρdSds P = ρdS ( R + r ) dϕ V.1.1. Champ des déplacements - tenseur des déformations. Nous adoptons comme pour la poutre droite :

r r r r u P = uG ( s, t ) + θ( s, t ) ∧ GP

r Ici s est l’abscisse curviligne de G centre de surface mais l’angle ϕ , angle polaire de er tel que dsG = Rdϕ sera en fait utilisé.

196

Mise en équations de problèmes classiques

r r r Nous utilisons le trièdre de projection er , eϕ , ez ainsi : r  u G + zθ ϕ = u   uG ( ϕ , t )   θ r ( ϕ , t )  er   r  r  r  u v ( ϕ , t ) θ θ ( ϕ , t ) u v + r θ − z θ = v       ⇐ θr G G ϕ P G z r r r r er ,eϕ ,ez       r wG (ϕ, t )  θ z (ϕ, t )   w G − rθ ϕ = w 

r eϕ θϕ 0

r ez θz z

∂ ∂ La distance polaire est R + r et ds P = ( R + r ) dϕ donc = ∂r ∂( R + r ) r rw la matrice de grad u P = u ∇ = h est donc : * u ,ϕ − v   1  u, z  u + zθ ϕ , ϕ − ( v G + rθ z − zθ r )  u ,r  0 R + r R + r G ,ϕ    v ,ϕ + u 1 v + rθ z , ϕ − zθ r , ϕ + u G + zθ ϕ h =  v ,r v , z  ou : h =  θ z   R+r R + r G ,ϕ    1 w,ϕ − θ w − rθ ϕ , ϕ w, z   w,r ϕ  R + r G ,ϕ  R+r  

[ (

(

] )

)

 θϕ   − θr   0  

T

h+h La matrice E du tenseur des petites déformations E = s’en déduit : 2 1  ε ϕϕ = R + r uG + v G ,ϕ − zθ r ,ϕ + zθ ϕ + rθ z ,ϕ  0 ε rϕ 0    1  E = ε ϕr ε ϕϕ ε ϕz  soit : γ rϕ = u G , ϕ + zθ ϕ , ϕ − v G − rθ z + zθ r + ( R + r ) θ z R + r   0 ε 0  zϕ  1  γ zϕ = R + r wG ,ϕ − rθ ϕ ,ϕ − ( R + r ) θ r 1  ε ϕϕ (r = 0, z = 0) = R uG + v G ,ϕ  1  u − v G + Rθ z Nous notons que : γ rϕ ( r = 0, z = 0) = R G ,ϕ  1  γ zϕ ( r = 0, z = 0) = R wG ,ϕ − Rθ r

( [ [

)

]

]

( [ [

)

]

]

Classiquement, pour une poutre en matériau isotrope, on fait l’hypothèse simplificatrice de r r r r Bernoulli : γ rϕ ( r = 0, z = 0) = γ zϕ (r = 0, z = 0) = 0 θ = rot uG + θ ϕ eϕ .

____________________________________________________ r r r r r r r w r * u P = ui ei ⇒ du P = dui relatif ei + ui dΩ ∧ ei = (u P ∇) ij h j dq j ei r r h1 = 1 h2 = R + r h3 = 1 dΩ = dϕez avec :  dq 2 = dϕ dq 3 = dz dq1 = dr r r r r du = ( du − vdϕ ) er + ( dv + udϕ) eϕ + dwez

197

Mise en équations de problèmes classiques

wG ,ϕ v G u G ,ϕ − ; θr = R R R wG ,ϕϕ r  + zθ ϕ − z − uG ,ϕϕ  R R  θz =

Cette liaison entre les paramètres conduit à :

ε ϕϕ =

1  R+r  uG + v R+r R G ,ϕ

γ rϕ =

wG , ϕ  z   θ ϕ ,ϕ +  R+r R 

γ zϕ =

wG , ϕ  −r   θ ϕ ,ϕ +  R+r R 

IV.1.2. Contraintes et contraintes intégrés.

r r r Un élément de surface dS, de normale eϕ en P est soumis à la tension T = Σ ⋅ eϕ  σ rr  Σ = σ ϕr σ  zr

σ rz   σ ϕz  σ zz 

σ rϕ σ ϕϕ σ zϕ

Nous posons : r

r

r

∫ TdS = ∫ Σ ⋅ e dS = F ( s, t ) S

r r GP ∫ ∧ TdS =

ϕ

∫

S

(

)

r r r GP ∧ Σ ⋅ eϕ dS = M ( s, t )

En utilisant le déterminant symbolique :

 N = σ dS   rϕ ∫S rϕ  r { F ( s, t )} =  N ϕϕ = ∫S σ ϕϕ dS     N zϕ = ∫S σ zϕ dS   M = − zσ dS  r ∫S ϕϕ   r  { M ( s, t )} =  M ϕ = ∫S zσ rϕ − zσ zϕ dS    M z = ∫ rσ ϕϕ dS   S

(

r er

r eϕ

r ez

r

0

z

σ rϕ

σ ϕϕ

θ zϕ

)

r r Les composantes de F et M constituent les contraintes intégrées.

V.1.3. Expression des contraintes intégrées en fonction des déformations généralisées Le milieu étant homogène et isotrope, nous adoptons, par analogie avec ce qui a été fait pour les poutres droites, la loi de comportement d’un état de contraintes antiplan. σ ϕϕ = Eε ϕϕ

(σ

rϕ

= Gγ rγ

198

σ zϕ = Gγ zγ

)

Mise en équations de problèmes classiques

Ce qui fournit :

(N

rϕ

= G ∫ γ rϕ dS S

)

M r = − E ∫ zε ϕϕ dS S

N ϕϕ = E ∫ ε ϕϕ dS S

(

(N

)

M ϕ = G ∫ zγ rϕ − rγ zϕ dS S

zϕ

= G ∫ γ zϕ dS S

)

M z = E ∫ rε ϕϕ dS S

Mais, compte tenu de l’hypothèse de Bernoulli utilisée, les expressions de N rϕ , N zϕ n’ont pas de sens et M ϕ sera éventuellement modifié. r Dans l’intégration on devra développer en puissances de , supposé petit devant l’unité, R r r r r uG θ uG 1 θ et l’expression . Les termes en 2 , 2 seront négligés devant les termes en r R R R R  R 1 +   R 1 ∂ ∂ 1 1 mais comme = , ϕ et 2 ,ϕϕ seront conservés dans cette théorie les termes en ∂s R ∂ϕ R R approchée. Nous obtenons avec dS = drdz

∫ zdS = ∫ rdS = ∫ zrdS = 0 S

S

S

wG ,ϕ  zdS   N rϕ = G  θ ϕ , ϕ + = 0+... R  ∫S R + r  wG ,ϕ  − rdS   = 0+... N zϕ = G  θ ϕ , ϕ + R  ∫S R + r  Ce résultat attendu provient du champ de déplacement choisi, N rϕ et N zϕ seront obtenues à partir des équations de moment. wG ,ϕϕ  r    EI z r ES   u G +  1 +  v G ,ϕ + z  θ ϕ −  − uG ,ϕϕ  dS = uG + v G ,ϕ + 3 uG + uG ,ϕϕ r  R  R R R R   1+  R wG ,ϕϕ  r  wG ,ϕϕ   EI  E −z  r   u G +  1 +  v G ,ϕ + z  θ ϕ −  − uG ,ϕϕ  dS = − r  θ ϕ −  Mr = ∫ r   R S R R  R R  R    1+ R wG ,ϕ  z 2 + r 2 GI ϕ  wG ,ϕ  G ∫  θ ϕ ,ϕ +  M ϕ =  θ ϕ ,ϕ + dS = r R R  S R  R  1+ R wG ,ϕϕ  r   EI E r  r   u G +  1 +  v G ,ϕ + z  θ ϕ − Mr = ∫  − uG ,ϕϕ  dS = − 2z u G ,ϕϕ + uG r  R S R R  R R   1+  R

N ϕϕ =

E R ∫S

1

199

(

)

(

)

(

)

Mise en équations de problèmes classiques

Soit matriciellement :

Mz    N ϕϕ + R    Mr  = Mz    M  ϕ  

(

 ES     

)

1   u G + v G ,ϕ R   wG ,ϕϕ θ ϕ −  2 R   R   uG ,ϕϕ + uG  − GI ϕ   R2  θ ϕ ,ϕ wG ,ϕ + 2  R  R

EI r

(

EI z

)

          

{σ$ } = [ D$ ]{ε$}

où le terme GI ϕ doit être remplacé par GJ ϕ si la section n’est pas circulaire pour tenir compte du gauchissement à la torsion.

V.1.4. Mise en équations par les théorèmes généraux. Nous isolons un élément de longueur dsG noté ici ds , de volume dV : r r&& u dm = F , s ds ∫ P r r r r && dm = M ds + er ∧ Fds GP ∧ u P ,s ϕ ∫ r r r&& r&& r &&r &&r avec : ∫ u P dm = ∫ uG dm + ∫ θ ∧ GPdm = u&&s ρSds + θ ∧ ∫ GPdm r r r r r &&r r ∫ GP ∧ u&&P dm = ∫ GP ∧ u&&G dm + ∫ GP ∧ θ ∧ GP dm

(

mais

r

)

r

r

r

r Iz ρds ) r R

∫ GPdm = 0 sensiblement (en fait ∫ GPdm = 0 + e dV

Le dernier terme

  z2 0   2 2 ∫  0 r + z  − rz 0   Ainsi :

I r  IS =  

(

)

r &&r r GP ∫ ∧ θ ∧ GP dm s’écrit en écriture matricielle :

&&   θ − rz  r  &&   0 ρdS ( R + r ) dϕ  θ ϕ   θ &&  r 2   z  r

r

∫ GP ∧ u&& dm = ρ I P

Iϕ = Ir + Iz

Finalement :

S

avec : ds P ≈ dsG ≈ Rdϕ = ds

&&r ⋅ θds . La matrice I S du tenseur d’inertie de surface intervient :

   I z 

r r ρSu&&G = F,s  r r r &&r ρ I S ⋅ θ = M ,s + eϕ ∧ F

200

Mise en équations de problèmes classiques

r r r r Calcul de F,s et de M ,s + eϕ ∧ F r r d0 r d Ω r d0 d Ω r dΩ r dΩ F,s = F+ ⋅ F avec : ⋅F = ∧F représente la dérivée relative ; ds ds ds ds ds ds r dΩ est le tenseur antisymétrie de vecteur adjoint . Les colonnes de la représentation matricielle du ds tenseur sont constituées des composantes des dérivées des unitaires. dϕ      0 − ds 0 r 0      dΩ   dΩ dϕ  mat = 0 0  = 0  ds  ds  r ds  dϕ 1  r r 0 0 0 er ,eϕ ,ez    ds = R    r r deϕ der composantes de ↑ ↑ composantes de ds ds

r M ,s est calculé de façon analogue. N ϕϕ  r  N rϕ  r r  r  er +  N ϕϕ , s +  eϕ + N zϕ ,s ez ⇒ F, s =  N rϕ ,s − R  R   

(

)

Mϕ r r  r  M r r r M , s + eϕ ∧ F =  M r , s − + N zϕ  er +  M ϕ ,s + r  eϕ + M z , s − N rϕ ez  R R   

avec : , s =

1 ,ϕ R

L’analyse des résultats montre que les mouvements dans le plan sont découplés des mouvements hors du plan. • mouvement dans le plan (variables uG , v G , θ z ; N ϕϕ , N rϕ , M z ) ρSu&&G = ρSv&&G =

N rϕ ,ϕ R

N rϕ R

+

−

N ϕϕ

M z ,ϕ

R

R

N ϕϕ ,ϕ

avec : θ z =

R

(

Mz ES + N ϕϕ = u + v G ,ϕ R R G

)

− N rϕ = ρ

(

Iz v&& − u&&G ,ϕ R G

)

v G u G ,ϕ − R R

Mz = −

(

EI z u + uG R 2 G ,ϕϕ

)

Soit en éliminant les contraintes intégrées :

( (

)

(

)

( )

)

Iz EI z EI z ES  ρSu&&G = −ρ R 2 v G ,ϕ − uG ,ϕϕ − R 4 uG ,ϕϕϕϕ − R 2 v G ,ϕ + uG − R 4 2uG ,ϕϕ + uG  EI z EI z ES ρSv&& = −ρ I z v − u u + u G ,ϕ 2 G G ,ϕ − 4 uG ,ϕϕϕ + u G ,ϕ + 2 v G ,ϕϕ + uG ,ϕ +  G R R R R 4 G ,ϕϕϕ

)

(

)

201

(

(

)

Mise en équations de problèmes classiques

• mouvements hors du plan (variables wG , θ ϕ , θ r ; N zϕ , M r , M ϕ ) M r ,ϕ N zϕ ,ϕ

&& G = ρSw

R

 wG ,ϕϕ θ ϕ  M r = EI r  2 −  R  R

−

Mϕ

+ N zϕ =

ρI r && w R G ,ϕ

R R M r M ϕ ,ϕ + = ρI ϕ && θϕ R R  wG , ϕ θ ϕ , ϕ   M ϕ = GI ϕ  2 + R   R

avec : θ r =

wG ,ϕ R

Soit en éliminant les contraintes intégrées :   wG ,ϕϕ θ ϕ ,ϕϕ   wG ,ϕϕϕϕ θ ϕ ,ϕϕ  ρI && = 2r w && G ,ϕϕ + GI ϕ  4 − 3  − EI r  − 3  ρSw R R  R   R  R4    wG ,ϕϕ θ ϕ   wG ,ϕϕ θ ϕ ,ϕϕ   && ρI ϕ θ ϕ = EI r  R 3 − R 2  + GI ϕ  R 3 + R 2  

V.1.5. Mise en équations par la méthode énergétique. • Energie cinétique

(

)

(

) (

)

r& r& r 2 r r 2 r r r r& r 2 E C = ∫ u& P2 dm = ∫ u& G + θ ∧ GP dm = ∫ u& G2 + 2u& G ⋅ θ ∧ GP + θ ∧ GP ρ( R + r ) dϕdS 4244 3   14 ≈ρRdϕdS

Nous devons utiliser des approximations équivalentes à celles utilisées dans l’écriture des théorèmes généraux. 2EC =

2EC =

r ∫ (u& ϕ2

2 G

ϕ1

∫

ϕ2

ϕ1

r& ϕ2 r r r & + v&G2 + w& G2 )ρSRdϕ + ∫ θ ⋅ I S ⋅ θρRdϕ ϕ1

(

ρI z  2 2 (u& G + v&G )ρS + R 2 v&G − u& G ,ϕ 

)  Rdϕ + ∫ 2

ϕ2

ϕ1

ρI r 2  2 &2   w& G ρS + R 2 w& G ,ϕ + ρI ϕ θ ϕ  Rdϕ  

• Travail virtuel élémentaire des forces extérieures r Γ2

r R2 G2

R

ϕ2 ϕ1

r Γ1

r R1

Les sections d’extrémités sont chargées, les éléments des torseurs réduits en G1 et G2 respectivement sont indiqués sur la figure r r r r r r r r δT = δuG1 ⋅ R1 + δθ 1 ⋅ Γ1 + δuG2 ⋅ R2 + δθ 2 ⋅ Γ2

G1

202

Mise en équations de problèmes classiques

• Energie de déformation

2 E d = ∫ Σ: EdV =

∫ [ Eε

2 ϕϕ

)]

(

+ G γ 2rϕ + γ 2zϕ dS ( R + r )dϕ 2

2   wG ,ϕϕ  wG ,ϕ    dS   r = ∫  E uG + v G ,ϕ + v G ,ϕ − uG ,ϕϕ + z  θ ϕ − dϕ  + G ( r 2 + z 2 )  θ ϕ ,ϕ +   R R  R    R + r     

(

  = ∫  E  u G + v G ,ϕ  

(

)

2

)

(

r2 + 2 v G ,ϕ − uG ,ϕϕ R

)

2

2

(

)(

)

wG ,ϕϕ   r  + z θϕ −  + 2 uG + uG ,ϕ  v G ,ϕ − uG ,ϕϕ  R  R   2

2 wG ,ϕϕ  2rz  wG ,ϕϕ  wG ,ϕ   1      r r2 2 2 + z θ ϕ − + θϕ −  v G ,ϕ − uG ,ϕϕ  + G( r + z )  θ ϕ ,ϕ +    1 − + 2 +... dSdϕ R  R  R  R  R R R      2 2  wG ,ϕϕ  wG ,ϕ  2 2   EI = ∫  ES uG + v G ,ϕ + EI r  θ ϕ −  + GI ϕ  θ ϕ ,ϕ +  + 2z  v G ,ϕ − uG ,ϕϕ − 2 uG + v G ,ϕ R  R  R     2 dϕ v G ,ϕ − uG ,ϕϕ + uG + v G ,ϕ   +...  R 2 2 2 wG ,ϕϕ  GI ϕ  wG ,ϕ  2 ϕ2   u G + v G ,ϕ  EI r  EI = ∫  ES   + 2 θϕ −  + 2  θ ϕ ,ϕ +  + 4z uG + uG ,ϕϕ  Rdϕ ϕ1 R R  R  R  R  R    

(

(

(

)

)

(

) (

)

(

)

(

Finalement :

2Ed =

)

∫ {ε$} [ D$ ]{ε$}ds ϕ2

T

ϕ1

Nous avons maintenant la possibilité d’obtenir les équations à résoudre et les conditions aux limites associées en utilisant le principe d’Hamilton pour des déplacements virtuels quelconques par exemple. Puisque visiblement certaines variables sont découplées, nous nous bornerons à analyser le problème en faisant intervenir les variables {uG , v G ,θ z } c’est à dire le mouvement dans le plan. Nous devons écrire avec les conditions de transversalité habituelles : t1 r δ ∫ ( E c − E d )dt + ∫ δTdt = 0 ∀ t 0 , t 1 ∀δu

[

t1

t0

t0

]

(

)(

)

ρI z  v&G − u& G ,ϕ δ v&G − u& G ,ϕ  Rdϕdt soit 2 t0 t0 R  intégration par parties en temps et compte tenu des conditions de transversalité : t1

• δ ∫ E c dt = ∫

t1



∫ ρS (u&

G

δu& G + v&G δv&G ) +

t1 t1  ϕ 2  ρI ρI  δ ∫ E c dt = − ∫ ∫ ρS ( u&&G δuG + v&&G δv G ) + 2z v&&G − u&&G ,ϕ δv G + 2z v&&G ,ϕ − u&&G ,ϕϕ δuG  Rdϕ t0 t0 R R   ϕ1  ϕ2  t1  ρI  −  2z v&&G − u&&G ,ϕ δuG  R dt = − ∫ δAdt t0 R  ϕ1 

(

(

)

)

203

(

)

après

)

Mise en équations de problèmes classiques

Nous avons aussi fait une intégration par parties en espace pour obtenir sous le signe somme le travail virtuel des quantités d’accélération : 1   δA =  E C ,q&i − E C ,qi δq i avec pour qi : uG , v G où θ z = v G − uG ,ϕ ,t   R

(

)

(

)

[(

) ]

t1  ϕ 2  ES δuG ES δv G  δE d dt = ∫ ∫  u G + v G ,ϕ − uG ,ϕ + v G ,ϕϕ  Rdϕ + uG + v G ,ϕ δv G t0 t0 R R R   ϕ1  R t1 ϕ 2 EI z uG ,ϕϕ + uG δ uG ,ϕϕ + uG Rdϕdt +∫ ∫ t 0 ϕ1 R 4

∫

•

(

t1

)

(

(

)(

)

 dt ϕ1  ϕ2

)

Le dernier terme s’écrit : t1  ϕ 2 EI EI z z ∫t0 ∫ϕ1 R 4 uG ,ϕϕϕϕ + 2uG ,ϕϕ + uG δuG Rdϕ + R 4 uG ,ϕϕ + uG δuG ,ϕ R − uG ,ϕϕϕ + uG ,ϕ δuG R

(

[(

)

)

Finalement nous obtenons le principe des travaux virtuels :

∫

ϕ2

ϕ1

(

)

(

)

(

)

(

]

(

)δu

G

)

ρI z  ES   + ρSv&&G + 2 v&&G − u&&G ,ϕ − 2 uG ,ϕ + v G ,ϕϕ δv G  Rdϕ R R    EI z  r r ρI z  + − R2 ⋅ er − 2 v&&G − u&&G ,ϕ R − 3 uG ,ϕϕϕ + uG ,ϕ δuG R R  

(

)

(

)

(

)

(

)

ϕ=ϕ2

EI z  r r ρI z  + − R1 ⋅ er + 2 v&&G − u&&G ,ϕ R + 3 uG ,ϕϕϕ + uG ,ϕ δuG R R   ϕ = ϕ1 r r   r    r Γ1  r Γ2  r ES ES + −  R2 +  ⋅ eϕ + uG + v G ,ϕ δv G + −  R1 +  ⋅ eϕ − uG + v G ,ϕ δv G R R R R       ϕ = ϕ1 ϕ=ϕ2 r r  M 2 r EI z   M 1 r EI z  r + ⋅ ez + 3 uG ,ϕϕ + uG δuG ,ϕ + ⋅ ez − 3 uG ,ϕϕ + uG δuG ,ϕ = 0 ∀δu R R  R   R  ϕ =ϕ 2 ϕ = ϕ1

(

(

)

(

)

(

)

)

Le lecteur peut vérifier que le résultat est équivalent à celui du paragraphe 4.

204

 dt ϕ1  ϕ2

r δE d + δA − δT = 0 ∀δu

ρI z EI z  ES ρSu&&G + 2 v&&G ,ϕ − u&&G ,ϕϕ + 2 uG + v G ,ϕ + 4 uG ,ϕϕϕϕ + 2uG ,ϕϕ + uG R R R 

(

)

Mise en équations de problèmes classiques

Annexe :

Expression en fonction des allongements et des courbures de l’énergie de déformation

On peut r aussi r calculer l’énergie de déformation à partir du travail des contraintes généralisées F ( s); M ( s) . r r r r 2E d I = ∫ F ( s) ⋅ uG ,s ds = ∫ F (ϕ) ⋅ uG ,ϕ dϕ

  0 r EI z  ES  F (ϕ ) =  v G ,ϕ + uG + 3 uG ,ϕϕ + uG  R  ( err ,erϕ ,erz )  R 0   2 EI ES  z = ∫ u G + v G ,ϕ + u G + v G ,ϕ 3 uG ,ϕϕ + uG R  R

{

2Ed I

(

}

)

(

2E d II =

) (

r

r

∫ M ( s) ⋅ θ( s)

,s

)dϕ

r r ds = ∫ M (ϕ) ⋅ θ(ϕ) ,ϕ dϕ

}

(

)

 ES 2 E d = ∫  2 u G + v G ,ϕ  R

(

{ }

)

) (

 EI r  wG ,ϕϕ  − θϕ       R  R r  GI ϕ  wG ,ϕ  M (ϕ) =  + θ ϕ ,ϕ     ( err ,erϕ ,erz )  R  R  EI z   − R 2 uG ,ϕϕ + uG    2  EI  wG ,ϕϕ GI ϕ  2 E d II = ∫  r  − θϕ  + R   R  R

{

(

 u G ,ϕ − v    r uG ,ϕ = uG + v G ,ϕ   w  G ,ϕ  

)

 wG , ϕ  R r  θ = θϕ 1  v G − u G ,ϕ R

{}

(

)

2

      

{θ } r

,ϕ

(

)(

2

(

)

 1  wG , ϕ  + θ ϕ ,ϕ  R R  1 − 2 uG ,ϕϕ + uG R

(

est l’allongement de la ligne moyenne est la courbure de la déformée :

1 Rz′

est la torsion de la déformée : τ

)

(

est la variation de courbure de la déformée :

Ces affirmations sont justifiées dans le paragraphe qui suit.

205

1 Rr′

)

       



)dϕ 

GI ϕ  wG ,ϕ   EI  wG ,ϕϕ EI + r − θϕ  + + θ ϕ ,ϕ  + 4z uG ,ϕϕ + uG  R  R R  R R  

On peut donner une signification à ces termes : 1 u + v G ,ϕ R G  1  wG ,ϕϕ  − θϕ  R R 

(

 wG , ϕ  EI  + θ ϕ ,ϕ  − 3z uG ,ϕϕ + uG v G ,ϕ − uG ,ϕϕ R  R  2

2

 wG ,ϕϕ − θϕ  R  w  G ,ϕ = + θ ϕ ,ϕ R  1 v −u G ,ϕϕ  R G ,ϕ

)

2

  Rdϕ 

Mise en équations de problèmes classiques

Allongement - courbure - torsion L’allongement de la ligne moyenne est ε ϕϕ ( r = z =0)

 uG + v G , ϕ   Rdϕ ds ′ = 1 + ε ϕϕ ( r = z = 0) ds =  1 + R   r er′( s + ds ′) r eϕ′ ( s + ds ′) M’ r eϕ′ r eϕ θ ds′ rϕ ez′( s + ds ′ ) G’ θr Rr′ r M uG r ez′ G

[

]

1 ∂ ∂ = ∂s ′ R 1 + ε ∂ϕ ϕϕ ( r = z = 0 )

(

et

r er′ r er

)

err′ = err + θ z erϕ − θ ϕ erz  r r r r eϕ′ = −θ z er + eϕ + θ r ez r r r r ez′ = θ ϕ er − θ r eϕ + ez r r ei′ = I + Θ ⋅ ei

[

]

θz

Rr

r ez

P

) ( )[ v ) = R1 (1 + θ − ε ) ≈ R1 1 +

][

1 1 1 r r r r r r r r r r r = − eϕ , s′ ⋅ er′ = − − θ z ,ϕ e r − θ z e ϕ − e r + θ r , ϕ e z ⋅ e r + θ z e ϕ − θ ϕ e z eϕ′,ϕ ⋅ er′ = − Rr′ R 1 + ε ϕϕ R 1 + ε ϕϕ

(

(

)(

1 1 − ε ϕϕ +... 1 + θ z ,ϕ R 1 1 (notation) avec = R Rr ≈

z ,ϕ

( ) ( )[ [) − θ + θ ] = R1  − θ

ϕϕ

G ,ϕ

− uG ,ϕϕ

R

−

][

u G + v G ,ϕ  1 1  ≈ − 2 uG ,ϕϕ + uG R  R R

1 1 r r r r r r r r = eϕ′,s′ ⋅ ez′ = − θ z ,ϕ + 1 e r − θ z e ϕ + θ r ,ϕ e z ⋅ θ ϕ e r − θ r e ϕ + e z Rz′ R 1 + ε ϕϕ ≈+

(

R 1 + ε ϕϕ

r r τ = ez′ ⋅ er′ = ≈+

1

(

(

ϕ

1

R 1 + ε ϕϕ

θ )[

r ,ϕ

ϕ

+

(

]

wG ,ϕϕ   R 

][

r r r r r r r e + θ ϕ e ϕ + θ r e r − θ r ,ϕ e ϕ ⋅ e r + θ z e ϕ − θ ϕ e z

ϕ ,ϕ r

]

)

wG ,ϕ  1 1 θ ϕ ,ϕ + θ r =  θ ϕ ,ϕ +  R R R 

1 1 1 , − − 0, τ sont respectivement les variations de courbure et de torsion de la poutre. R ′ Rr Rz′

206

] )

Mise en équations de problèmes classiques

V.2. L’approximation des poutres courbes (selon Massoud) Nous nous proposons ici d’établir les équations approchées des petits mouvements des poutres courbes. L’état de référence est non contraint. Le lieu des centres de surface G des sections droites est une courbe gauche (abscisse curviligne s). Enfin la poutre n’est pas nécessairement prismatique mais faite d’un matériau isotrope. L’exposé s’inspire d’un élégant travail de synthèse dû à Massoud. Rappels de géométrie C

dϕ

r j

R ( s) r n

Rg r i3

s r i1

r k

r i

ρ P

S

ψ

r r n i2 s r dϕ dk r k sphère unité

r r r r ds dk = k ,s ds = ndϕ = n R def r r  G k =  ,s  r r r k ∧ n = b  r r r b ∧ k = n 

ds = Rdϕ

G r b

r b

r n

G r r r (i , j , k ) principal d’inertie pour la section droite r r r (n , b , k ) trièdre de Frenet

r def nr r G,ss = k ,s = R r r r r r r def n b,s = k , s ∧ n + k ∧ n,s = T r r r r r r n b k r n,s = b,s ∧ k + b ∧ = − − R T R

r Nous pouvons définir un vecteur de rotation géométrique Ω G et un tenseur antisymétrique Ω G associé.

  1 0 −   1 r  T Ω G =  0  ; mat Ω G =  r r R ( k ,nr ,b )  1  0  R   r k ,s ↑

{ }

r r r r avec : k ,s = Ω G ⋅ k = Ω G ∧ k

 0 1  0 T 1 − 0  T r r ↑ n, s ↑ b,s

−

1 R

etc.

207

Mise en équations de problèmes classiques

r r r De même nous définissons un vecteur de rotation associé au trièdre (i , j , k ) Ω T tel r r r r que : Ω T = Ω G + ψ , s k noté Ω dans la suite.

r b

 1  − + ψ ,s = τ   r  T  Ω = 0   T r r 1 ( k ,nr ,b )     R

r ΩT

{ }

1 R r n

r k

τ

1 est la courbure, T est le rayon de torsion de la ligne des centres de section droites, R τ est la torsion totale.

V.2.1. Analyse des forces. r i S

r σk

P G

r j

Contraintes intégrées sur S

r k

La tension sur un élément matériel de surface dS et de r r r r r r r normale k est σ k = Σ ⋅ k avec σ k = σ ik i + σ jk j + σ kk k . Nous r r T = ∫ σ k dS S

r M=

posons r r ∫ GP ∧ σ k dS

classiquement :

S

Chargement linéique sur la ligne des centres de surfaces - chargement d’extrémités Comme pour les poutres droites, le chargement de masse et le chargement éventuel sur la surface latérale sont réduits en un torseur linéique [ T ] ds ,G sur la ligne des centres de surface. r r [T ] ds,G = [ pds , γds] Quant au chargement d’extrémités il est réduit en G en s = 0 et s = l respectivement :

[

r r s = 0 F0 , Γ0

]

[

r r s = l Fl , Γl

]

V.2.2. Champ des déplacements et tenseur des déformations. Dans l’état non déformé G est en G0, P en P0. Nous posons : r r r r r r G0 P0 = xi i + x j j = x n n + xb b = ρ ( s ) r r r OP0 = OG0 + G0 P0 La relation de Chasles s’écrit :

208

Mise en équations de problèmes classiques

par

différenciation : r r r r r r r r r dOP0 = OP0,s ds + OP0, xi dxi + OP0, x j dx j = OG0,s ds + Ω ∧ ρds + i dx i + jdx j r r r r r = k + Ω ∧ ρ ds + i dxi + jdx j r (noté dP0 dans la suite).

[

]

Les trois paramètres de position sont en effet s, xi , x j r k r n

G

r i

xi

r j r b

ρ

ψ ( s) r k P0

xj r r r uQ = u P + du P Q0

r dP0 r uP

Q P

Nous adopterons comme champ de déplacement un champ où toute section droite reste droite et ne subit pas de variation de forme. C’est donc le champ de de Saint Venant où il est entendu que les dimensions de la section droite sont beaucoup plus petites que R, T, et l la longueur de la ligne moyenne (théorie des poutres).

r r r r r r r r u ( P , t ) = uG ( s, t ) + θ( s, t ) ∧ GP ou uG ( s, t ) et θ( s, t ) seront notés u et θ Par différenciation :

(

r r r r r r r du = u,s + (θ ∧ GP ) ,s + θ ∧ i dxi + jdx j

r r Le tenseur r r de Green-Lagrange est défini par : dP ⋅ dP − dP0 ⋅ dP0 = 2 E mn dx m dx n avec : r r r r dP0 = em dx m du P = u,n dx n x1 = s Ainsi :

)

x 2 = xi

x3 = x j

r r r r r r r r r r r r 2 E mn dx m dx n = (dP0 + du P ) ⋅ (dP0 + du P ) − dP0 ⋅ dP0 = dP0 ⋅ du P + du P ⋅ dP0 + du P ⋅ du P r r r r r r = em ⋅ un + en ⋅ um + u,m ⋅ u,n dx m dx n

(

)

Nous conserverons la partie relative au tenseur des petites déformations ce qui exclut de faire intervenir les termes où il apparaît des produits de dérivées. * ________________________________________________ Dans sa publication (A generalized formulation of the vectorial equations of motion for non prismatic thin space beams, Transaction of the ASME vol. 38 série E n°4 décembre 1971 pp. r 955-960) M.F. Massoud n’a pas retenu les termes dûs à Ω ∧ ρ , à juste titre. Nous les avions conservés en croyant améliorer la précision dans la première édition de cet ouvrage, c’était un tort, comme nous l’avons observé ultérieurement certains résultats étant nettement faussés par cette pseudo précision.

*

r r Les produits em ⋅ un peuvent être effectués dans le tableau suivant : 209

Mise en équations de problèmes classiques

r r θ∧i

r r r u,s + (θ ∧ ρ) ,s

r r ↓ em u n → r r r k +Ω∧ρ r i r j

r r θ∧ j

0 0

Ainsi : ε xi xi = ε x j x j = ε xi x j = 0 r r r r r r r r r r r r ε ss = ε kk = k ⋅ u, s + θ ,s ∧ ρ ⋅ k + k ⋅ θ ∧ (Ω ∧ ρ) + (Ω ∧ ρ) ⋅ u,s r r r r r r r r γ ki = i ⋅ u,s + θ ,s ∧ ρ ⋅ i + i ⋅ ( k ∧ θ) r r r r r r r r γ kj = j ⋅ u,s + θ ,s ∧ ρ ⋅ j + j ⋅ ( k ∧ θ)

(

( (

[

)

) )

]

r Nous pouvons alors définir un vecteur { ε} tel que : r r r r r r r εr = ur − θ ∧ k + θ ∧ ρr + k (Ω ∧ ρr ) ⋅ ur − θ ∧ k  ,s ,s ,s r r r r ε = γ ki i + γ kj j + ε kk k

[

)]

(

V.2.3. Relations entre les contraintes intégrées et les déformations. Compte tenu de l’allure de E nous adopterons un état approché de contraintes : l’état antiplan tel que :

ou :

 σ ik  G    G σ jk  =  σ    kk   r r σ k = C1 ⋅ ε r Soit T =

∫C S

1

  γ ik     γ jk  (milieu isotrope) E   ε kk 

(

r r r r ⋅ εdS = SC 1 ⋅ u, s − θ ∧ k

)

puisque

r

r

∫ ρdS = 0 S

Finalement, en introduisant des coefficients de forme liés à la géométrie de la section droite qui gauchit sous l’effet des cisaillements :

r r r ′ r T = SC 1 ⋅ u,s − θ ∧ k

(

)

G  f  1   ′ G 1   matC 1 = (avec f i = k i = selon les auteurs)   f2 k i′  E     r Les moments, composantes de M , s’obtiennent par : 210

Mise en équations de problèmes classiques

{(

) [

(

r r r r r r r r r r M = ∫ ρ ∧ C 1 ⋅ θ ,s ∧ ρ + k (Ω ∧ ρ) ⋅ u,s − θ ∧ k S 

)]}dS

r r r r Le calcul des termes s’effectue ainsi avec θ = θ i i + θ j j + θ k k r r r r r r r ρ ∧ C ⋅ θ ∧ ρ dS = ρ ∧ − x θ Gi + x θ Gj + E x θ − x θ k dS 1 ,s j k ,s j k ,s j i ,s i j ,s ∫S ∫S r r r = ∫ E x 2j θ i ,s − xi x j θ j ,s i + E xi2 θ j ,s − xi x j θ i ,s j + G xi2 + x 2j θ k ,s k dS r r r = EI i θ i ,s i + EI j θ j ,s j + GI k θ k ,s k r = C 2 ⋅ I S ⋅ θ ,s

[

(

)]

E  avec : matC r r r 2 =  i , j , k ( ) 

∫

S

[(

{ (

E

(

)

 I i   r r Ir S =   mat i , j , k ( )  G 

(

)

}

   I k 

Ij

{ {(

)]

)(

) ]) ) (

[(

) }}

r r r r r r r r r r r r r r ρ ∧ C 1 ⋅ k Ω ∧ ρ ⋅ u,s − θ ∧ k dS = E ∫ ρ ∧ k ρ ⋅ u,s − θ ∧ k ∧ Ω dS

(

)

r r r r r Soit en posant provisoirement K = u,s − θ ∧ k ∧ Ω et en utilisant la formule du

double produit vectoriel : r

∫ ρ∧C S

1

[(

)]

)(

[ ( ) ( ) ] ) } {( )]) ( [ (

r r r r r r r r r r r r r ⋅ k Ω ∧ ρ ⋅ u, s − θ ∧ k dS = E ∫ ρ ∧ ρ ∧ k ∧ K + ρ ⋅ k K dS r r r r = E ∫ ρ ∧ k ∧ − K ∧ ρ dS S r r r r r = E I S ⋅ k ∧ Ω ∧ u, s − θ ∧ k

Finalement nous obtenons : r r r r r ′ r r M = C 2 ⋅ I S ⋅ θ , s + k ∧ Ω ∧ u, s − θ ∧ k

(

 E ′  matC r r r 2 =  (i , j ,k )   

[ (

E

    G f 3 

(avec

)])

GI k = GJ module de rigidité à la torsion) f3

Le coefficient J est utilisé pour tenir compte du gauchissement sous l’effet de la torsion. r Remarque : Si le centre de cisaillement C ne coïncide pas avec G, la composante sur k du r r r r r r r moment des forces par rapport à G est GJ θ ,s ⋅ k − CG ∧ T − (T ⋅ k )k

(

)

211

[

]

Mise en équations de problèmes classiques

V.2.4. Mise en équations par les théorèmes généraux. r r M + dM G r k r r −T r r γds T + dT r r s ds δ = GC +Cr

r −M

Nous isolons une tranche dépaisseur ds et nous désignons par ρ P la masse spécifique uniforme.

pds

Le théorème de la résultante s’écrit r r : r r r r && && ρ P SdsuG = T,s ds + pds ⇒ ρ P SuG = T,s + p

Le théorème du moment dynamique s’écrit en G : r r r r r r r r r r r ∫ GP ∧ u&&P dm = dM + kds ∧ T + d δ ∧ T − (T ⋅ k )k + γds r r r r r r r r r &&r ρ P I S ⋅ θ = M , s + k ∧ T + δ ∧ T − (T ⋅ k ) k +γ

{ [

{ [

]}

]}

,s

Le système évoluant au voisinage de sa configuration non déformée et n’étant pas soumis à un mouvement d’entraînement. A ces six équations scalaires, il faut associer les lois de comportement ce qui constituera un système de douze équations à douze inconnues et, dans chaque cas particulier, des conditions aux limites adaptées. V.2.5. Energies. On ne connaît des solutions simples de ces types de problèmes rencontrés dans l’analyse des ressorts ou des câbles que dans des cas assez particuliers. L’expression des énergies est utile si on recherche une solution approchée par une méthode variationnelle. Evaluation de l’énergie cinétique

(

)

(

)

r& r& r& r r r 2 E C ≈ ∫ u& G + θ ∧ GP dsdS = ∫ ρ P Su& G2 + ρ P θ ⋅ I S ⋅ θ ds Evaluation de l’énergie de déformation r r 2 E d = ∫ ε ⋅ C 1 ⋅ εdSds

[

(

r r r r r r r r r r r r avec ε = u,s − θ ∧ k + θ ,s ∧ ρ + k (Ω ∧ ρ) ⋅ u,s − θ ∧ k

matC = diag ( G; G; E ) r r r 1 (i , j ,k )

[(

)

]

)]

r r r r r r r La composantes de ε sur k peut s’écrire : ρ ⋅ u,s − θ ∧ k ∧ Ω r r r r rr r r r r r r Nous avons l’identité : k ∧ Ω ∧ u, s − θ ∧ k ∧ ρ = − k ρ ⋅ Ω ∧ u, s − θ ∧ k r r puisque ρ ⋅ k = 0 r r r r r r r r r r r r ε = u, s − θ ∧ k + θ , s + k ∧ Ω ∧ u, s − θ ∧ k ∧ ρ D’où l’expression de ε :

[ [

(

[

212

)]]

[ (

[ (

(

)]]

)) ]

Mise en équations de problèmes classiques

(

)

(

)

r r r r r r r r l r l r 2 E d = ∫ u,s − θ ∧ k ⋅ SC 1 ⋅ u,s − θ ∧ k ds + ∫ ∫ (C ∧ ρ) ⋅ C 1 ⋅ (C ∧ ρ)dSds 0

0 S

[ (

r r r r r r r En posant provisoirement C = θ ,s + k ∧ Ω ∧ u, s − θ ∧ k

(C ∧ ρr ) ⋅ C ⋅ (C ∧ ρr ) = C G( x + x ) + (C r r r r ∫ (C ∧ ρ) ⋅ C ⋅ (C ∧ ρ)dS = C EI + C EI r

r

2 3

1

2 i

2 1

1

2 j

2 2

1

)]

)

2 1

x 2j + C22 xi2 − 2C1C2 xi x j E

2

+ C32 G I i + I j

(

)

r r r r ′ l r r 2 E d = ∫  u, s − θ ∧ k ⋅ C 1 S ⋅ u, s − θ ∧ k ds 0   r r r r r r r r r ′ l r r r + ∫ θ ,s + k ∧ Ω ∧ u,s − θ ∧ k ⋅ C 2 ⋅ I S ⋅ θ ,s + k ∧ Ω ∧ u,s − θ ∧ k ds

(

0

)

[

(

)

)]]

[ (

[

[ (

)]]

en introduisant des coefficients de forme.

Utilisation de la théorie vectorielle de Massoud dans le cas d’une poutre sans torsion à rayon de courbure constant.

r eϕ

r k

r er

R ϕ

r ez

r n

Il est instructif de comparer le modèle proposé par Massoud à la théorie présentée dans le G=C chapitre précédent.

r b

r r r r r r er = − n eϕ = k e z = b

(

)

r r r Les calculs sont effectués sur la base er , eϕ , ez :

tel que :

r ∂ r ∂r r r r V = V + Ω ∧ V ∀V ∂s ∂s

r r r r uG = uer + veϕ + wez r r r r θ = θ r er + θ ϕ eϕ + θ z ez r r ez Ω= R

vr  ur  r r u , s =  u , s −  e r +  v , s +  e ϕ + w, s e z   R R r r r r θ ∧ k = − θ z er + θ r ez r θϕ  r   θr  r r θ , s =  θ r −  er +  θ ϕ , s +  eϕ + θ z , s e z  R R 

213

Mise en équations de problèmes classiques

on obtient successivement : r r v ur r r  r  • u , s − θ ∧ eϕ =  u , s − + θ z  e r +  v , s +  e ϕ + w, s − θ r e z    R R soit avec l’hypothèse de glissement moyen nul : v θ z = − u, s et θ r = w,s R

(

L’effort normal étant :

(

r r u  T ⋅ eϕ = ES  + v ,s  R 

)

r r r 1 ur r Ω ∧ u, s − θ ∧ eϕ = −  v ,s +  er R R • r r r 1 ur r r eϕ ∧ Ω ∧ u,s − θ ∧ eϕ =  v ,s +  er  R R

( (

)

d’où l’expression des moments :

))

θϕ  θϕ  r r   M ⋅ er = EI r  θ r , s −  = EI r  w,ss −  R R   w, s  r r θ    M ⋅ eϕ = GJ  θ ϕ ,s + r  = GJ  θ ϕ ,s +   R R  r r  v,s  EI  u 1u    M ⋅ ez = EI z  θ z , s +  + v , s   = EI z  − u,ss  + z  + v , s     RR  R  R R 1 , ϕ on voit que les résultats sont analogues mais l’effort normal R r et le moment de flexion autour de ez diffèrent de termes petits.

En notant que , s =

V.3. Théorie linéarisée des petits mouvements des coques minces. Si la théorie des poutres courbes est déjà plus complexe que celle des poutres droites, la théorie des coques l’est encore plus par rapport à la théorie des plaques. Nous nous bornerons donc à exposer ici la théorie la plus simple en suivant la démarche de V. V. Novozhilov. Il s’agit de construire un modèle pour étudier les petits mouvements de coques minces (la flèche restant de l’ordre de l’épaisseur de la coque). La théorie linéaire permet d’obtenir quelques solutions analytiques pour les coques dont la géométrie est simple (sphères, cylindres, tores,...). On a développé autrefois de nombreuses théories pour les coques épaisses en déformations non infiniment petites, mais ces travaux souvent remarquables ont perdu de leur intérêt compte tenu des moyens de calcul dont on dispose actuellement en application des méthodes variationnelles que nous verrons dans la suite.

214

Mise en équations de problèmes classiques

Rappel de géométrie des surfaces

Q N1

Sn S

N2

n er n r r e1 P e2

h1dq1 M 1

M2

q 2 = cste

h2 dq 2 q1 = cste R2

R1

 x = f 1 ( q1 , q 2 )  S  y = f 2 (q1 , q 2 )  z = f 3 (q1 , q 2 ) 1 r r e1 = P,q1 h1

r r r r dP = h1dq1e1 + h2 dq 2 e2 + dnen hn = 1 14444244443 ∈ plan tangent

1 r r e2 = P h2 ,q2

r r r en = e1 ∧ e2

On définit S n parallèle à S, à la distance n. On choisit un système de coordonnées curvilignes orthogonales en tout point de S, alors R1 et R2 (par définition positifs sur la figure) sont les rayons de courbure principaux. Alors :

1 h1,n = R1 h1

h2 ,n 1 = R2 h2

dérivation des unitaires

r en r r en + ∆ en

h1dq1 Π

R1

h1 r r r en ,1 = h1,n e1 = e R1 1

h2 r r r en ,2 = h2 ,n e2 = e R2 2

r ∆ en est dans le plan Π puisque les rayons de courbure sont principaux (théorème de Rodrigues). 1 r 1 r r r r r e1 = P,q1 e2 = P,q2 ⇒ (h1e1 ) ,2 = (h2 e2 ) ,1 h1 h2 r ∆ en h1dq1 r = R en 1

r r r r r r Ainsi : h1e1,2 + h1,2 e1 = (h2 e2 ) ,1 et h2 e2 ,1 = (h1e1 ) ,2 − h2 ,1e2

r r e1⋅e1 =1  h2 ,1 r  h1,2 r r r r r r r 1 r r h1 r e2  = − e1 ⋅ e1,2 − (e2 ⋅ e2 ) ,1 = 0 ⇒ e2 ⋅ e1,1 = − e1 ⋅ e2 ,1 = − e1 ⋅  (h1e1 ) ,2 − h2  h2 h2  h2  r r h1 r r r r r r r r et e1,1 ⋅ e1 = 0 comme e1 ⋅ e1 = 1 (en ⋅ e1 ) ,1 = 0 ⇒ en ⋅ e1,1 = − e1 ⋅ en ,1 = − R1 

h1,2 r r h2 ,1 1 r r r r r r r r r r e2 ⋅ e1,2 = − e1 ⋅ e2 + (h2 e2 ) ,1 ⋅ e2 = et e1,2 ⋅ en = (e1 ⋅ en ) ,2 − en ,2 ⋅ e1 h1 h1 h1

215

Mise en équations de problèmes classiques

Finalement :

h1,2 r h1,n r h1,2 r h r r e1,1 = − e2 − en = − e2 − 1 en h2 h1 h2 R1 h2 ,1 r r e1,2 = e h1 2

h2 ,1 r h2 r r e2 , 2 = − e − e h1 1 R2 n h1,2 r r e2 ,1 = e h2 1

Ce sont des cas particuliers des formules classiques : 1 1 r r r e = − h e − hi ,k ek i ≠ j ≠ k i , i i , j j  hj hk   er = 1 h er i ≠ j  i , j hi j ,i j h1,2 h2 ,1  0 dq − dq 2  1 h h 2 1  r r mat d Ω =  0 On peut écrire dei = d Ω ⋅ ei antisym   r r de1 ↑ ↑ de2

h1  dq1  R1  h2 dq 2  R2 0    r ↑ den

Relations entre les quantités (h1 , h2 ) (paramètres de Lamé) et ( R1 , R2 ) h  r h r h  r h r r r • en ,12 = en ,21 ⇒  1  e1 + 1 e1,2 =  2  e2 + 2 e2 ,1 R1 R2  R1  ,2  R2  ,1

r  h   r  h  r 1 1  1  − h1,2 e1 −  2  − h2 ,1 e2 = 0  R1  ,2 R2   R2  ,1 R1   h1   h2  1 1   =   = conditions de Codazzi h1,2 h  R1  ,2 R2  R2  ,1 R1 2 ,1  h1,2  r h1,2 r  h1  r  h2 ,1  r h2 ,1 r h1 r r r • e1,12 = e1,21 ⇒  −  e2 −  e + e2 , 2 −   en − en ,1 =  e h2 R1  h2  ,2  R1  ,2  h1  ,1 2 h1 2 ,1

  h1,2  r h1,2 h2  r  h2 ,1   r   h1  hh −   en = 0  − 1 2 −   e2 +  −   +   h2  ,2 R1 R2  h1  ,1    R1  ,2 h2 R2   h1,2   h2 ,1  hh   +  + 1 2 =0 conditions de Gauss  h2  ,2  h1  ,1 R1 R2 1 est la courbure gaussienne R1 R2

r r • e2 ,12 = e2 ,21 ne donne pas de relation supplémentaire.

216

Mise en équations de problèmes classiques

V.3.1. Champ des déplacements r en′

θ3

r en

r e1′

Q’ P’

Q

r r r r r u P = u( q ,q ) e1 + v( q ,q ) e2 + w( q ,q ) en = ui ei 1 2 1 2 1 2 w r w r r r du P = u P ∇ ⋅ dP = u P ∇ rel ⋅ dP + d Ω ⋅ u P 1 r r r r r du P = ui , j ei ⊗ e j ⋅ hk dq k ek + d Ω ⋅ u P hj

− ψ = θ1

P

r e1

déplacement d’un point P de la surface moyenne

θ2 = ϑ r e2′

r e2

vh1,2 w 1  h u,1 + h h + R = ε 1 1 2 1  1 uh1,2 r w  1 mat (u P ∇) =  v − = ω1 h1 ,1 h1h2  1 u  w,1 − = −ϑ R1  h1

vh2 ,1 1 u,2 − = ω2 h2 h1h2 uh2 ,1 w 1 v ,2 + + = ε2 h2 h1h2 R2 1 v w, 2 − = −ψ h1 R2

       

r rF r r P = a ⇒ a + uP comme r r r r w r dP = F ⋅ da = I + h ⋅ da = I + u P ∇ ⋅ da r r si on choisit comme vecteur da les unitaires ei , les colonnes de I + h sont les transformées des unitaires.

(

)

(

)

Déplacement d’un point Q de la normale On fait l’hypothèse de Love Kirchhoff : P’Q’ reste normal à la transformée de la surface (hypothèse 1) et sa longueur ne varie pas. r r r r r r r r r en′ = en + θ ∧ en = en + θ 2 e1 − θ1e2 ≈ e1′ ∧ e2′ r r θ = θ i ei

r r r r (ε 1 + 1)e1 + ω 1e2 − θen r r r e1′ = ≈ e1 + ω 1e2 − θen 2 (1 + ε 1 ) + ω 12 + θ12 (ε 2 + 1)er1 + ω 2 er2 − ψern r r r r e2′ = ≈ e + ω e − ψ e 1 2 2 n (1 + ε 2 ) 2 + ω 22 + θ 22 r r r r en′ = θe1 + ψe2 + en +...

avec

⇒ ϑ ( q ,q ) = + θ 2 1

2

ψ ( q ,q ) = − θ 1 1

2

r r ( θ 1 et θ 2 composantes de rot u P )

217

Mise en équations de problèmes classiques

Allongements - glissements r r e1′ ⋅ e2′ = ω 2 + ω 1

c’est le glissement γ 12 = 2 E 12

ε 1 est l’allongement unitaire de ds1 = h1dq1 ds1′ = (1 + ε 1 )h1dq1

ds2′ = (1 + ε 2 )h2 dq 2

ε 2 est l’allongement unitaire de ds2 = h2 dq 2

r r r w r r r Compte tenu de ces résultats on peut calculer grad uQ = uQ ∇ avec uQ = u P + θ ∧ nen Les rayons de courbure de la surface S n parallèle à S étant R1 + n et R2 + n :

 R + n ds1 ( n) =  1  ds ( 0) = h1 ( n) dq1  R1  1  R2 + n  ds2 ( n) =   ds ( 0) = h2 ( n) dq 2  R2  2

avec :

 n h1 ( n) =  1 +  h1 R1    n h2 ( n) =  1 +  h2 R2  

r r r r r w r r w grad uQ = grad u P + grad (nθ ∧ en ) = u P ∇ + (θ 2 e1 − θ1e2 )n∇ r r r w r r r w r r avec (θ 2 e1 − θ1e2 )n∇ ⋅ dP = (θ 2 e1 − θ 1e2 )n∇ rel ⋅ dP + nd Ω ⋅ (θ 2 e1 − θ 1e2 ) r ↑ et non dQ   θ 2 ,1 θ 1h1,2    θ 2 ,2 θ 1h2 ,1  − n  + n θ2    h1h2  h1h2   h2   h1   Hn   def  1 w θ θ h θ θ h  1,1  1,2 r r 2 1, 2  2 2 ,1  n −  n − θ 1  =  nτ 1 mat n(θ 2 e1 − θ1e2 )∇ =  − − + h1h2  h1h2   h2  h1   θ2n θ2n θ 1n   − −    R1 R1 R2  

[

]

(ε + H1n) n 1 R1 Alors : 1 ε 2 ( n) = ( ε + H 2 n) n 2 1+ R2 1 1 ω( n ) = ω 1 + nτ 1 ) + ( (ω 2 + nτ 2 ) n n 1+ 1+ R1 R2 ε 1 ( n) =

=

1

1+

   ω2 ω1  1 n2 + τ2 + τ 1 R1 + τ 2 R2 ) ( + ω 1 + ω 2 + n τ 1 + R1 R2  R1 R2  n  n   1 +  1 +   R1   R2  

218

 θ2   H2 n − θ1  θ 1n   R2  nτ 2

Mise en équations de problèmes classiques

  h1 n + θ2 = 0  γ 1 ( n) = − θ 2  1 +  × R1    n  h1  1 +  ↑h3 (n)=1  R1   On note que :   h2 n  ( ) − θ1 = 0 γ 2 n = θ1  1 + R  ×  n 2  h2  1 +  R2    ce qui est normal étant donné les hypothèses de Love Kirchhoff utilisées. Modification de l’écriture de ω( n)

τ1 +

θ 1,1 ω2 θ 1  u,2 vh2 ,1  =− − 2 h1,2 +  −  R1 h1 h1h2 R1  h2 h1h2  w,2  1  u w,1  h1,2  v 1  u,2 vh2 ,1  = −  − −  +  −   R2 h2  ,1 h1  R1 h1  h1h2 R1  h2 h1h2  u, 2  w,2  1 w,1 h1,2  v  1 v h2 ,1 u h1,2  + − + =  − −  R2  ,1 h1 R1 h1h2 R1 h1h2 h2 R1  h2  ,1 h1 h1 h1h2 ↓codazzi  v  1 v  h2  1  1 uh1,2  w2 ,1 w,2 h2 ,1 w,1 h1,2   +  − − =  − + + h1 h22 h1 h1h2  R2  ,1 h1 h1h2  R2  ,1 R1  h2 h1h2  h1h2 =

τ1 +

v ,1 R2 h1

+

vh2 ,1 uh1,2  v 1 v 1 1 1   − −   +  u, 2 −  +... h1  R2  ,1 h1h2 R2 h1  R2  ,1 R1  h2 h1h2 

 ω2 1  u,2 uh1,2  1  v ,1 vh2 ,1  1  1 1  +  − −  w,12 − w,2 h2 ,1 − w,1h1,2  = − R1 R1  h2 h1h2  R2  h1 h1h2  h1h2  h2 h1  τ2 +

On vérifie aisément que :

ω1 ω 2 def = τ1 + =τ R2 R1

alors τ 1 R1 + τ 2 R2 = ( R1 + R2 )τ − ω

ω( n ) =

 1 n2 ω + 2nτ + R1 R2  n  n 1 +  1 +  R1   R2  

ω( n ) =

1  n  n 1 +  1 +  R1   R2  

et :

{( R

1

 + R2 )τ − ω  

}

 n 1 n2  1      ω  1 −  + 2 nτ  1 +  +     R1 R2   2  R1 R2     

219

Mise en équations de problèmes classiques

Récapitulatif

(ε + H1n) n 1 1+ R1 1 ε 2 ( n) = ( ε + H 2 n) n 2 1+ R2 ε 1 ( n) =

ω( n ) =

1  n  n 1 +  1 +  R1   R2  

avec :

   n 1 n2  1     + 2nτ 1 +  +    = γ 12 ( n) ω  1 − R1 R2   2  R1 R2     

ε 1 ( n) =

w 1 v h1,2 + u,1 + R1 h1 h1h2

θ1 = − ψ =

ε 2 ( n) =

u w 1 v ,2 + h2 ,1 + h2 h1h2 R2

θ2 = ϑ =

ω = ω1 + ω 2 =

H1 =

w, 2 h2

−

v R2

u w,1 − R1 h1

h2  v  h  u   + 1  h1  h2  ,1 h2  h1  ,2

θ1h1,2 h1,2  w,2 1 1  u w,1  v  θ 2 ,1 − = − − +  −  −  h1 h1h2 h1  R1 h1  ,1 h1h2  h2 R2 

H2 = −

τ=−

1

θ 2 h2 ,1 w, 2  h2 ,1  w,1 u  1 1 v θ 1,2 + = − − +  −  −  h2 h1h2 h2  R2 h2  ,2 h1h2  h1 R1 

h1,2 h2 ,1  1  u,2 uh1,2  1  v ,1 vh2 ,1  1   w,12 −  +  −  w,1 − w, 2  + − h1h2  h1 h2  R1  h2 h1h2  R2  h1 h1h2  14 4244 3 14 4244 3 h1  u  h2  v      h2  h1  ,2 h1  h2  ,1

220

Mise en équations de problèmes classiques

Courbure - torsion r en′

↓ ds2′ = h2 (1 + ε 2 )dq 2 r r  r e2′ + ∆ e2′ r e1′ P’ e2′ r r ds1′ = h1 (1 + ε 1 )dq1 → R ′ e1′ + ∆ e1′ 1
r r r r r r en e2 e1′ + ∆ e1′ e2′ + ∆ e2′ r e1 P ds 2

ds1 = h1dq1




R1

r  ∆ e1′ r  1 1 r r ⋅ en′  = lim  e1′,1 ⋅ en′ = − ∆s1′→ 0 ∆ s ′ R1′  (1 + ε 1 )h1 1 r  ∆ e1′ r  1 r r lim  ⋅ en′  = e1′,2 ⋅ en′ = τ ′q2 ∆s2′ → 0 ∆ s ′  (1 + ε 2 )h2 2

(torsion)

1

1 r r e2′,2 ⋅ en′ = − R2′ (1 + ε 2 )h2 1 r r e2′,1 ⋅ en′ = τ ′q1 (1 + ε 1 )h1

de même

(

)

1 1 r r r r r r r r e1,1 + ω 1,1e2 + ω 1e2 ,1 − ϑ ,1en − ϑen ,1 ⋅ ( ϑe1 + ψe2 + en ) =− R1′ (1 + ε 1 )h1  ω 1 r  h r  h r  1 h1,2 − ϑ 1  e1 +  − h1,2 + ω 1,1  e2 +  − 1 − ϑ ,1  en  ⋅ (  R1   h2   R1   (1 + ε 1 )h1  h2 h1,2  1 ϑ ,1 h1,2  h1 1 =− − ϑ ,1 − ψ = 1 − ε1 ) − − ψ +... ( − h2  R1 h1 h1h2 (1 + ε 1 )h1  R1

=−

de même :

1

)

ε 1 1 − = H1 − 1 R1′ R1 R1 ε 1 1 − = H2 − 2 R2′ R2 R2 τ ′q1 = τ ′q2 = τ

H1 , H 2 et τ sont liés à la variation de courbure et à la torsion de la surface déformée.

221

Mise en équations de problèmes classiques

V.3.2. Contraintes généralisées. σ 33 négligeable (hypothèse 2)

n σ 11

h er3 + 2 r r e2 e1 σ 33 σ 31 σ 32 h − σ 21 2 σ 12

q1

N 31

σ 22

M 21

N 32

M2

N 12 N 22 M 12 M1

 n h1  1 +  dq1 R1  

  n n    σ 1 + dn N = σ 1 + 21 ∫ 11  R2  ∫ 21  R2  dn (forces par unité de longueur) h +   n n N 12 = ∫ h2 σ 12  1 +  dn N 22 = ∫ σ 22  1 +  dn − R1  R1    2 N 11 =

N 21

N 11 q2

 n h2  1 +  dq 2 R2  

r e2

r e1

h 2 h − 2 +

 n M 1 = ∫ nσ 11  1 +  dn R2  

 n M 21 = ∫ nσ 21  1 +  dn R2  

 n M 2 = ∫ nσ 22  1 +  dn R1  

 n M 12 = ∫ nσ 12  1 +  dn R1  

 n N 31 = ∫ σ 31 1 +  dn R2    n N 32 = ∫ σ 32  1 +  dn R1  

V.3.3. Loi de comportement - expression des contraintes généralisées en fonction des déformations.

 σ 11  E   On a σ 22  = 2 σ  1 − ν  21 

N 11 =

N 11 =

  1 ν   ε 11 ( n)  ν 1  ε ( n)     22  1 − ν  γ ( n)    12   2 

γ 12 ( n) = ω( n)

h 2 h − 2

 n E 1 +  (ε (n) + νε 2 (n))dn R2  1 − ν 2 1 

h + 2 h − 2

     n E 1 ν  dn ε + H n + ε + H n 1 +  ( ) ( ) 1 2 n 1 n 2 R2  1 − ν 2    1+ 1+   R1 R2

∫ ∫

+

222

Mise en équations de problèmes classiques

N 11 E = M1 1 − ν2

h + 2 h − 2

∫

 1+ 1   n 1+ 

n   R2 ( ε + H1n) + ν( ε 2 + H2 n)dn n 1   R1

h  n 1 N 12 + 1  E n2  1    dn 2   = 1 − ω + 2 n τ 1 + +       h M 12 2(1 + ν) ∫− 2 n  R1 R2   2  R1 R2    1 + n R2

N 22 E = M 2 1 − ν2

h + 2 h − 2

∫

 1+ 1   n 1+ 

n   R1 ε 2 + H 2 n) + ν( ε 1 + H1n)dn ( n   R2

h  n 1 N 12 + 1  E n2  1    dn 2   = − + n + + 1 ω 2 τ 1       M 21 2(1 + ν) ∫− h2 n  R1 R2   2  R1 R2    1 + n R1 n devant 1 dans une approximation raisonnable. Mais on a négligé les termes en Ri

N11 =

Eh (ε + νε 2 ) 1 − ν2 1

N12 =

Eh ω = N 21 2(1 + ν)

M1 =

Eh 3 ( H1+νH2 ) 12(1 − ν2 ) 3

M12 =

Eh τ = M 21 12(1 + ν)

Eh (ε + νε1 ) 1 − ν2 2    N11  1 ν   ε1  Eh     ε  ν 1  N 22  = 2   2  N  1− ν  1 − ν  ω   12     2  Eh 3 M2 = ( H2+νH1 ) 12(1 − ν2 ) N 22 =

   M1  1 ν   H1  3 Eh   ν 1  H  = M  2 2   2  12 1 − ν ( )   1 − ν  2τ      M12   2 

approximations de Love Luré a obtenu des expressions plus compliquées en développant en puissances de n mais ces 1 1 expressions ne sont pratiquement intéressantes que pour des sphères ( apparaît). − R1 R2 V.3.4. Equations du mouvement. r r M1 F 1 r e3 r q dS r r r r F2 r F + F e 2 2 ,2 dq 2 2 e 1

P

r M2 r r r r M 1 + M 1,1dq1 F1 + F1,1dq1

r r M 2 + M 2 ,2 dq 2

r r en =e3 r + N 31en ) r + N 32 en )

r r r F1 = h2 dq 2 ( N 11e1 + N 21e2 r r r F2 = h1dq1 ( N 12 e1 + N 22 e2 r r r M 1 = h2 dq 2 ( M 1e2 − M 21e1 ) r r r M 2 = h1dq1 ( M 12 e2 − M 2 e1 )

(En notant les M ij avec des M pour plus de clarté)

223

Mise en équations de problèmes classiques

Mouvement du centre de masse r r r r F1,1dq1 + F2 ,2 dq 2 + qh1h2 dq1dq 2 = ρV u&&P hdS Soit : (ρV h = ρ S ) 14243 dS r r &&r (h2 N 11 ) ,1 + (h1 N 12 ) ,2 e1 + (h2 N 21 ) ,1 + (h1 N 22 ) ,2 er2 + (h2 N 31 ) ,1 + (h1 N 32 ) ,2 ern + qh 1 h2 = ρ S u P h1 h2

{

} {

} {

{

}

{

}

  2 1

 hh r N 11 en R1  

r − h1,2 N 11 e2

 h h r + h1,2 N 21 + N 31 1 2 e1 R1  

}

− 

r + h2 ,1 N 12 e2

{

 h h r +  N 32 1 2 e2 R2  

}

r − h2 ,1 N 22 e1

[ [ [

  1 2

 hh r N 22 en R2  

− 

] ]

N 31 1 h2 N 11 ) ,1 + (h1 N 12 ) ,2 + h1,2 N 21 − h2 ,1 N 22 + + q1 = ρ S u&& ( h1h2 R1 N 32 1 h2 N 21 ) ,1 + (h1 N 22 ) ,2 + h2 ,1 N 12 − h1,2 N 11 + + q 2 = ρ S v&& ( h1h2 R2 N 11 N 22 1 && h2 N 31 ) ,1 + (h1 N 32 ) ,2 − − + q3 = ρ S w ( h1h2 R1 R2

]

Equations de moments (par rapport à P en négligeant le moment dynamique). r r r r r r M 1,1dq1 + M 2 ,2 dq 2 − N 31h1h2 dq1dq 2 e2 + N 32 h1h2 dq 2 dq1e1 + ( N 21 − N 12 )h1h2 dq1dq 2 en = 0

{

Soit :

} {

}

r r r r − (h2 M 21 ) ,1 − (h1 M 2 ) ,2 e1 + ( h2 M 1 ) ,1 + ( h1 M 12 ) ,2 e2 + ( N 21 − N 12 )h1h2 en = 0

{

}

{

}

{

}

 h h r +  M 21 1 2 en R1    h h r −  M 12 2 1 en R2  

r + h1,2 M 21 e2

r + h1,2 M 1 e1

{

}

r r − h2 ,1 M 12 e1 − h2 ,1 M 2 e2 r + { N 32 h1h2 }e1

r − { N 31h1h2 }e2

[ 1 (h M ) hh [

] ]− N

1 (h M ) + (h1 M 2 ) ,2 − h1,2 M 1 + M12 h2 ,1 − N 32 = 0 h1h2 2 21 ,1 2

1 ,1

+ ( h1 M 12 ) ,2 − h2 ,1 M 2 + M 21h1,2

1 2

N 21 − N 12 +

31

=0

M 21 M 12 − =0 R1 R2

La dernière relation est une identité car : étant symétrique. 224

h 2 h − 2

∫

+

 n  n  1 +   1 +  (σ 21 − σ 12 )dn = 0 , Σ R1   R2  

Mise en équations de problèmes classiques

V.3.5. Energie de déformation.

 n  n 2 E d = ∫ (σ 11ε 11 + σ 22 ε 22 + σ 21 γ 21 )h1h2  1 +  1 +  dq1dq 2 dn V R1   R2     1 ν  E   pour un matériau homogène isotrope. avec : { σ} = [ D]{ ε} [ D] = ν 1  1 − ν2  1− ν   2 

{ σ} T = {σ 11 , σ 22 , σ 21 }

2Ed = ∫

S moy

∫

h 2 h − 2

2Ed = ∫ ∫

h + 2 h − 2

+

{ ε} T = {ε 11 , ε 22 , γ 12 } = {ε 1 ( n) , ε 2 ( n) , ω( n)}

      σ ( ε + nH ) σ ( ε + nH )  ω + nτ   ω 2 + nτ 2  n  n  11 1  1 22 2 2 1 1  + + + σ 12 h1h2  1 +   1 +  dndq1dq 2  n n  n  R1   R2    1+ n  1+ 1+  1+  R1 R2 R1 R2    

h h h + + +     n n n n 2 2 2 σ 11  1 +  dnε 1 + ∫ h nσ 11  1 +  dn H1 + ∫ h σ 22  1 +  dnε 2 + ∫ h nσ 22  1 +  dn H 2 − − − R2  R2  R1  R1      2 2 2

h    +  ω  ω  n n n  n   + ∫ h2 σ 12 ω 1  1 +  + ω 2  1 +  + n  τ − 2   1 +  +  τ − 1   1 +  dnh1h2 dq1dq 2 − R2  R1  R1   R2   R2   R1      2  1444444444444444444 2444444444444444444 3

=

h 2 h − 2

∫

+

    n n  n  n n  n  n n   − −  1 +   + τn 1 + + 1 +  σ 12 dn  1 +   + ω 2 1 + ω 1 1 + R1   R2   R1     R2 R2   R2  R1 R1 

     M 12  M 21   M 12 + M 21   2 E d = ∫  N 11ε 1 + N 22 ε 2 + M 1 H1+M 2 H 2 +  N 21 − ω +N −  ω + 2τ    h1h2 dq1dq 2   R2  1  12 R1  2 2  Smoy    =H =S =S 2Ed = ∫

S moy

{N

ε + N 22 ε 2 + M 1 H1+M 2 H 2 + Sω + 2 τH} h1h2 dq1dq 2

11 1

S = N 21 − Nota : δE d =

M 12 M 21 = N 12 − R2 R1

∫ (N

11

H=

M 12 + M 21 2

δε 1 +...)h1h2 dq1dq 2

L’expression de l’énergie de déformation est compliquée et on peut faire l’approximation suivante dans la pratique (Novozhilov a montré que c’était justifié). 2E d

est calculée avec des formules approchées de contraintes intégrées et M l’approximation supplémentaire N 21 − 12 ≈ N 21 app R2

225

Mise en équations de problèmes classiques

Alors :  Eh Eh 3 + + + + ε ε νε ε ε νε ( ) ( ) ( H1 + ν H 2 ) H1 + ( H 2 + ν H1 ) H 2  1 1 2 2 2 1 S moy 1 − ν 2 12(1 − ν 2 ) 

[

2Ed = ∫

+

[

]

Eh Eh 3  ω 2 + 2τ 2 h h dq dq 2(1 + ν) 12(1 + ν)  1 2 1 2

 Eh  S moy 1 − ν 2 

2Ed = ∫ 2Ed =

]

  2  Eh 3 ω2 2 2 2 2 ( ) ( ) + + 2 + 1 − + H + H + 2 H H + + 2 1 − ε ε νε ε ν ν τ ν ]dS  1  2 1 2 2 1 2 2 [ 1 2   12(1 − ν ) 

  ω2  2 ( ) ε + ε − 2 1 − ν ε ε −   h h dq dq ( )  ∫Smoy  1 2 4  1 2 1 2  1 2 Eh 3 2 + H1 + H 2 ) + 2(1 − ν)( H1 H 2 − τ 2 ) h1 h2 dq1 dq 2 ( 2 ∫S 12(1 − ν ) moy

Eh 1 − ν2

[

]

V.3.6. Conditions aux limites. Sur un bord le moment de torsion est équivalent à une répartition des forces généralisées (linéiques). On considérera ici le cas le plus simple où la frontière coïncide avec une ligne de courbure principale (cas général : voir par exemple Love : théorie de l’élasticité). ϕ r en r M 21 + M 21,s ds M 12 + M 12 , s ds en r r B e2 e1 M 12 M 21 D C q1 r r q2 ϕ e2 e1 M 21 M 12 R2 E A M 12 + M 12 , s ds M 21 M 12 M 21 + M 21,s ds ϕ R1 ϕ M + M ds 12 12 , s ϕ q1 = cste q 2 = cste M 21 + M 21,s ds Fig.1 C milieu de AB 2 R2 ϕ = ds = AB = BE = CD

Fig.2

On remplace la distribution de moment par la distribution de forces en pointillés. On a, en projetant : r sur en → M 21,s ds

(

)

ds r sur e2 → 2 M 21 + M 21,s ds ϕ ≈ M 21 R2

(Fig. 1)

Donc le moment de torsion M 21 peut être remplacé par une distribution de forces de M 21,2 cisaillement normale d’intensité M 21,s = par unité de longueur et une distribution de h2 M 21 . forces tangentielles d’intensité R2

226

Mise en équations de problèmes classiques

M 12 ,1 r sur en → M 12 ,s ds = ds h1 M r (Fig. 2) sur e2 → 12 ds R2 Ainsi les conditions aux limites portent en ce qui concerne les contraintes intégrées sur quatre quantités par frontière. H S +2 R 647418 M 12 ,1 M 12 Sur N 32 + ; N 12 + ; N 11 ; M 1 ( q 2 = cste ) h1 R1 M 21,2 M 21 Sur N 31 + ; N 21 + ; N 22 ; M 2 ( q1 = cste ) h2 R2 14243 H S +2 R2 M 12 ,1 M 12 ,2 N 32 + et N 31 + font aussi intervenir H. h1 h2 Les conditions géométriques portent sur u, v , w, ψ , θ (4 au plus).

Annexe :

Calcul à l’ordre supérieur (Luré)

n   1+   R E 2  N 11 = ∫ (ε + H1n) + ν(ε 2 + H2 n)dn n 1 1 − ν2   1 + R1  n 1+  1 R2 1  n2  1 1 avec = 1 + n − −  −  +... n  R2 R1  R1  R2 R1  1+ R1 h + 2 h − 2

E N 11 = 1 − ν2 N 11 =

h 2 h − 2

∫

+

 + h2  n   ∫ h σ 11  1 +  dn R2     −2

   1 1  n2  1 1  − −  −  +...( ε 1 + H1n) + ν( ε 2 + H 2 n)dn 1 + n  R2 R1  R1  R2 R1    

 Eh Eh 3  1 1  ε ε + νε + −   − 1 + H1   ( ) 1 2 2 2 1− ν  12(1 − ν )  R2 R1   R1

n   1+   R1 E  N 22 = ∫ ε + H n + ν ε + H n ( ( 1 1 )dn 2 ) n 2 1 − ν2   1+   R2 par permutation 1,2 → 2,1 .  Eh Eh 3  1 1  ε2    N 22 = ε + νε + − − + H ( ) 1 2 1 − ν2 2  12(1 − ν 2 )  R1 R2   R2 h + 2 h − 2

227

Mise en équations de problèmes classiques

M1 =

h 2 h − 2 +

∫

   1 1  n2  1 1  n 1 + n − − −  +...( ε 1 + H1n) + ν( ε 2 + H 2 n)dn   R2 R1  R1  R2 R1    

   1 1   ε 1 + ... H 1 + νH 2 ) +  −  (  R 2 R1   12(1 − ν 2 )     1 Eh 3 1 M2 = H 2 + νH1 ) +  −  ε 2 +... par permutation. ( 2   R1 R2  12(1 − ν )   Eh 3

M1 =

h 2 h − 2

 n 1  E   n2  1    n n2 + 2 +...dn  + 2nτ 1 +  +   1 − ω  1 − 2(1 + ν)   R1 R2   2  R1 R2    R2 R2 

h 2 h − 2

   1 ω 1    E  n n2 2   + τ +  1 − + 2 +. ..dn ω + 2nτ + n − 2(1 + ν)   R1 R2    R2 R2  R1 R2 

N 12 = ∫ =

∫

+

+

   1 Eh Eh 3 ω 1  2τ ω + τ +  − + 2 +... [ω ] + − 2(1 + ν) 2 × 12(1 + ν)  R1 R2  R1 R2  R2 R2  ω  1 Eh Eh 3 1 N 12 = ω+ −  +...  − τ  2(1 + ν) 2 × 12(1 + ν)  R2  R2 R1  =

N 21

ω  1 Eh Eh 3 1 ω+ =  − τ  −  par permutation 2(1 + ν) 2 × 12(1 + ν)  R1  R1 R2  h 2 h − 2 +

    1 ω 1    E n n2 n ω + 2nτ + n 2  − + τ +   1 − + 2 +...dn 2(1 + ν)   R1 R2    R2 R2  R1 R2 

M12 =

∫

M 12 =

E h3  1   2τ − ω +... R2  2(1 + ν) 12 

M 21

E h3  1   2 τ − ω +... par permutation. = R1  2(1 + ν) 12 

 1 M 12 M 21 Ehω Eh 3 1   1 1 1  1  S = N 21 − = + + 2  − τ +   = N 12 − ω  2 − R2 2(1 + ν) 12(1 + ν) 2   R1 R2 R1 R2  R1  R1 R2   M 12 + M 21 Eh 3 1  ω 1 1   2τ −  +   H= = 2 12 2(1 + ν)  2  R1 R2  

228

Mise en équations de problèmes classiques

Energie de déformation

2 E d = ∫ ( N 11ε 1 + N 22 ε 2 + M 1 H1 + M 2 H 2 + Sω + 2 τH )h1h2 dq1dq 2 S

  ε 22 Eh 3  1 1   ε 12  −  − + H ε + − H ε (ε 1 + νε 2 )ε 1 + (ε 2 + νε 1 )ε 2 +  1 1 2 2 R2  12(1 − ν 2 )  R2 R1   R1    1 Eh 3  1   + H + ν H H + H + ν H H + − ε H − ε H ( ) ( ) ( )  2 2  1 2 1 2 1 2  R2 R1  1 1 12(1 − ν 2 )  

Eh =∫ 1 − ν2

 1  1 Ehω 2 Eh 3 1  2  1 1 1  1  1   + + + 2  − τω  +   + 4 τ 2 − ωτ +  dS ω  2 − 2(1 + ν) 12(1 − ν) 2   R1 R1 R2 R2   R1 R2    R1 R2  

 Eh  2  ω2 Eh 3 2 ( ) 2Ed = ∫  1− ν  + H 2 + 2 νH1 H 2 + H 22 + 2 τ 2 (1 − ν)] 2 ε 1 + 2 νε 1 ε 2 + ε 2 + 2 [ 1 2 1 − ν   12(1 − ν )  ε 22 Eh 3  1 1   ε 12 + − − + 2 ε H + − 2ε 2 H2      1 1 2 R2 12(1 − ν )  R2 R1   R1   ω2  1  1 1 1  1    + (1 − ν)  2 + 2 −  − τω  +   dS  R1 R2     2  R1 R2 R1 R2  2Ed = ∫

Eh 1 − ν2

[

  ω2  Eh 3 2 2 H1 + H 2 ) + 2(1 − ν)( H1 H 2 − τ 2 )  + ( ( ε 1 + ε 2 ) − 2(1 − ν) ε 1 ε 2 − 2 4   12(1 − ν )  

]

2 2     ε1  ε2  R1   R2   2  1 − +   H1 −  − H1  +  1 −   H 2 −  − H 22  2 R2   R1  R1   R2  12(1 − ν )     ω 2  1  1 1 1  1      2 + 2 −  − τω  + (1 − ν)  +    dS R1 R2  R2  R1 R2      2  R1  Eh  ω2  2 2Ed = ∫ ε + ε 2 ) − 2(1 − ν) ε 1 ε 2 −  2  ( 1 4   1 − ν 

Eh 3

+

  ω2  1 1 1  ωτ  1 1   2 2  ( ) H H ν H H τ + + 2 1 − − −  2 + 2 − + +     ( 1 2) 1 2 2 4  R1 R1 R2  2  R1 R2    R2 12(1 − ν )   Eh 3

2 2       R1   ε1  R2   ε2  2 2  1 −     − H + 1 − H − − H + H −        1 2  dS R1   2 R2  R2   1 R1  12(1 − ν 2 )        

Eh 3

On peut mettre sous une forme encore plus symétrique : 2Ed = ∫

Eh 1 − ν2

  ω2  2  ( ε 1 + ε 2 ) − 2(1 − ν) ε 1 ε 2 − 4   

2 2 R   R1 2 R1   R2   ε1  ε2  1 2  + H1 + H + 2 H1 H 2 +  1 −   H −  + 1 −  H −  R2 2 R2   1 R1  R1   2 R2    12(1 − ν 2 )  R2   1 1      ωτ  1 1  ω2  1  2 + 2 −     dS − 2(1 − ν)  H1 H 2 −  τ 2 − +  − 4  R1 R1 R2      2  R1 R2  R2   

Eh 3

229

Mise en équations de problèmes classiques

Ce qui donne si R1 = R2 : 2  Eh     ω2  ω     Eh 3 2 2  ε + ε 2 ) − 2(1 − ν) ε 1 ε 2 − 2Ed = ∫  ( H + H 2 ) − 2(1 − ν)  H1 H 2 −  τ −  +    dS 2 ( 1  4   12(1 − ν 2 )  1 2 R      1 − ν   

dS = h1h2 dq1dq 2

______

230

Mise en équations de problèmes classiques

Chapitre VI

Problèmes d’élasticité du second ordre Préliminaire

Dans les chapitres précédents nous avons supposé les chargements faibles, les déformations faibles, les déplacements faibles, sachant bien que les résultats obtenus étaient sans valeur dès que l’une de ces hypothèses n’était pas vérifiée. Les figures qui pouvaient aider à la compréhension étaient faites dans l’état non déformé et l’intégration se faisant dans la géométrie non déformée. Nous nous proposons ici de présenter les modélisations classiques de problèmes relatifs à des systèmes effectuant de petits mouvements (supposés) autour d’un état de chargement initial : des systèmes précontraints. Pour la catégorie de problèmes étudiée, la forme de la structure sera très peu modifiée par rapport à la géométrie initiale cependant les calculs devront se référer à la géométrie légèrement déformée au cours des petits mouvements. Nous étudierons successivement les poutres droites soumises à un chargement longitudinal puis les membranes tendues ou comprimées. On peut parler ici de description lagrangienne relative. VI.1. poutre droite cylindrique en flexion plane soumise à un chargement longitudinal. Une poutre droite cylindrique est soumise à un chargement purement longitudinal dû à des forces aux extrémités et éventuellement à un champ de forces longitudinal, l’ensemble étant en équilibre. La poutre s’allonge légèrement, sa longueur finale est notée l et l’effort normal induit sur une section droite est noté P( x ) . p( x ) dx

P( l ) − P( 0) + ∫ p( x ) dx = 0 l

P( 0)

P( l ) x

0

P, x + p( x ) = 0

l

r r Soumise à de nouvelles sollicitations, la poutre fléchit dans le plan ( x , y ) . (Le repère

( yr , zr ) est principal d’inertie pour la section droite).

VI.1.1. Théorie classique d’Euler - Bernoulli (allongement longitudinal négligé). r r r r r Le champ des déplacements uQ est le champ de Bernoulli : uQ = v( x , t ) y + θ ∧ GQ r r θ = v , x rot (vy )

(

r r T et P représentant les composantes des efforts sur la section droite selon y et x .

231

)

Mise en équations de problèmes classiques

r y T

Q

P

G T + dT

M + dM

P + dP

G

M

pdx

P

v,x

v

T

≈ v , x dx

v + dv

r x

dx

x

lieu des centres de section droite Nous supposons que l’effort normal n’est pas modifié par le nouveau champ de r déplacement, de plus la poutre n’est pas soumise à un chargement supplémentaire selon l’axe x . • utilisation des théorèmes généraux

&& dT = ρSvdx pour un élément de longueur dx isolé déformé.  dM + Tdx − Pv , x dx = 0 Nous disposons de la loi de comportement M = EIv , xx

T, x = ρSv&&  soit, en posant le problème en déplacements : Ainsi : T = − M , x + Pv , x   M = EIv , xx   M = EIv , xx  pour x ∈[0, l ] T = − EIv , xxx + Pv , x  ρSv&& = − EIv , xxxx + Pv , x , x  Avec des conditions aux limites géométriques sur v et v , x = θ et naturelles sur M et T.

(

)

Nota : Dans cette analyse on aurait pu introduire le véritable effort tranchant T1 et l’effort normal N 1 :  N 1   cos θ sin θ   P  r avec θ = v , x  = T  T N r t 1 T1 T − sin θ cos θ 1       n r r r r r r θ ↑ y sur ( n , t ) x sur (n , t ) ↑ P  N 1 = P + Tv , x +...  T1 = − Pv , x + T +... 232

Mise en équations de problèmes classiques

Tv , x est du second ordre car T est, comme v , x , nul dans l’état non déformé. T1 + dT1

N 1 + dN 1 v,x + d v,x

( )

dx

(

)

T + N v && 1 , x , x = ρSv  1, x  M , x + T1 = 0   M = EIv , xx

v,x

N1

Nous écrirons encore les équations linéarisées :

T1

  M = EIv , xx  Soit : T1 = − EIv , xxx  ρSv&& = − EIv , xxxx + Pv , x , x  L’équation locale est la même, N 1 s’identifie à P, T1 est la composante des efforts sur r la section droite mais selon la tangente t .

(

)

• utilisation du principe des travaux virtuels Le calcul des énergies cinétique et de déformation, dans l’approximation où nous nous plaçons, n’est pas nouveau : l

2 E c ≈ ∫ ρSv& 2 dx 0

2 E d = ∫ EIv ,2xx dx Mais, la poutre étant maintenant supposée inextensible, nous devons tenir compte du travail de P. Le point d’application de P recule de dl :

P + dP dx

dl

v,x P

θ2 1 2 = v , x dx 2 2

θ = v,x

dx

dT( P ) = − Pdl = − P

dl = dx(1 − cos θ) ≈ dx

v ,2x 2

dx pour un élément de longueur initiale dx . Avec ce point de vue, on

peut considérer que ce travail élémentaire dérive d’un potentiel de densité linéique + r Γl

r Γ0 Foy

l

Fly

Pv ,2x

2

.

Enfin le travail virtuel des forces généralisées d’extrémité est δT

δT = Foy δv( 0) + Fly δv ( l ) + Γ0 δv , x ( 0) + Γl δv , x ( l ) r Nous écrivons le principe : δA + δE d = δT ∀δu quelconque

  avec : δA dx =  E c ,v&  δv  ( dx )  ,t 233

Mise en équations de problèmes classiques

∫ (δvρSv&& + δv l

Soit :

0

, xx

)

EIv , xx + δv , x Pv , x dx = Foy δv ( 0) + Fly δv( l ) + Γ0 δv , x ( 0) + Γl δv , x ( l )

ou après intégration par parties :

∫ δv(ρSv&& + EIv l

0

(

( −F)

, xxxx

+ Pv , x − EIv , xxx

− Pv , x l

x =l

)

,x

)dx + [+ EIv

, xx

− Γl

(

]

x=l

[

δv , x ( l ) + − EIv , xx − Γ0

δv( l ) + − Pv , x + EIv , xxx − F0

)

x=0

]

x =0

δv , x ( 0)

δv( 0) = 0

Il est visible que l’équation locale finalement obtenue et les conditions aux limites aux extrémités font que le résultat est équivalent à celui trouvé par les théorèmes généraux. On notera que si P est positif et indépendant de x et si la contribution des termes EI est négligée on obtient : x ∈[0, l ]

ρSv&& − Pv , xx = 0

( Pv

,x

− Fl

)

x=l

( − Pv

δv( l ) = 0

,x

− F0

)

x=0

δv( 0) = 0

On reconnaît l’équation et les relations régissant le problème des petits mouvements plans d’une corde fortement tendue par une tension P.

VI.1.2. Modélisation prenant en compte les déplacements longitudinaux. La théorie simplifiée précédente peut être améliorée car l’hypothèse d’inextensibilité de la fibre moyenne n’est pas en fait essentielle. Nous définissons ici le champ des déplacements par : u − yv , x    r r r r r r r uQ = u( x , t ) x + v( x , t ) y + v , x z ∧ ( yy + zz ) d’où : uQ =  v  r r r x , y ,z  0    Un petit élément de longueur dx en G voit son 2 allongement u, x modifié par l’existence du déplacement 1 + v , x dx dv = v , x dx tranversal v . v,x v

L’allongement moyen est donc : dx

ε ′xx = u, x σ σ0

← σ 0 δε ε0

ε

( +

)

1 + v ,2x dx − dx dx

= u, x +

1 2 v +... 2 ,x

Nous supposons encore que l’effort normal auquel est associé une contrainte normale σ 0 n’est pas modifié si le déplacement v reste petit. l

La variation de l’énergie de déformation est donc :

234

∫ Pε ′ dx 0

xx

Mise en équations de problèmes classiques

(Dans le plan (σ , ε ) la variation de densité d’énergie est sensiblement la surface du rectangle grisé). l 1 l 1   EuQ2 , x dSdx + ∫ P u, x + v ,2x  dx ∫ ∫ 0  2 0 S 2  l 1 l E d ≈ ∫ ESu,2x + EIv ,2xx + Pv ,2x dx + ∫ Pu, x dx 0 2 0

Ed ≈ Finalement :

(

)

2 E c ≈ ∫ ρS ( u& 2 + v& 2 )dx l

nous avons aussi :

0

r Γl

r Γ0

Foy

P( 0) F0 x

(

Fly

P( l ) Flx

)

(

Le travail virtuel du chargement , en supposant pour simplifier qu’il n’y ait pas de chargement r linéique supplémentaire selon y est :

)

δT = Fox − P( 0) δu( 0) + Flx + P( l ) δu( l ) + Foy δv( 0) + Fly δv( l ) + Γ0 δv , x ( 0) + Γl δv , x ( l ) + ∫ δup( x )dx l

0

Le principe des travaux virtuels s’écrit : l 1 l 2 2 2 ( ) && && ρ S u δ u + v δ v dx + δ ESu + EIv + Pv dx = δ T − , xx ,x ∫0 ∫0 2 ,x ∫0 Pδu,x dx

(

l

)

Le second membre s’écrit, après intégration par parties du dernier terme :

(

)

Fox δu( 0) + Flx δu( l ) + ∫ δu P, x + p( x ) dx + Foy δv ( 0) +... l

0

Mais P, x + p( x ) = 0 puisque le système était initialement en équilibre et l’on voit que les termes faisant intervenir le travail de P aux extrémités disparaissent. Finalement nous devons écrire : l ES 2  && − δ ∫ 2 u, x dx + F0 x δu( 0) + Flx δu( l ) = ∫0δuρSudx  l − δ 1 EIv 2 + Pv 2 dx + F δv + F δv + Γ δv && , xx ,x ly (l) oy (0) l , x ( l ) + Γ0 δv , x ( 0 ) = ∫0δvρSvdx  ∫ 2

(

)

Visiblement, dans cette approximation les oscillations longitudinales ne sont pas perturbées par P.

VI.1.3. Flambement. Le problème qui régit la flèche v dépend de P( x ) , l’équation locale est séparable, le principe de résolution, classique. Un cas spécialement digne d’intérêt est celui où P est uniforme, négatif, la poutre étant soumise à une compression N C = − P ( N C > 0) .

235

Mise en équations de problèmes classiques

L’étude dynamique montre que les pulsations propres diminuent si N C augmente, la plus faible non nulle s’annulant si N C atteint une valeur dite force critique d’Euler. Si N C dépasse cette force critique le système devient instable. Ce résultat peut être retrouvé par une étude statique : la solution générale de l’équation EIv , x 4 + N C v , xx = 0 est :

NC NC x + D sin x EI EI où les coefficients sont tous nuls si N C < N critique mais la flèche est définie à une constante v = Ax + B + C cos

multiplicative près pour des valeurs discrètes de N C dont la plus faible est pour des conditions aux limites données la force critique d’Euler. Le phénomène associé est connu sous le nom de flambement : la poutre chargée longitudinalement progressivement reste au début droite puis change brutalement de configuration si N C atteint N critique pour atteindre une géométrie que l’étude linéarisée ne peut évidemment fournir, ou plus simplement se briser ! On dit que la poutre flambe. Le tableau ci dessous fournit les résultats relatifs à cette force critique.

libre

rotule

glissant

encastré

libre

rotule

glissant

encastré

EI π2 2 l

EI π2 2 l

T=0 EI π2 2 4l

T=0 EI π2 2 4l

RT

R T=0 EI π2 2 l

T T=0 EI π2 2 4l

*

T T=0 EI π2 2 l

T=0 EI π2 2 l

*

T=0 EI 4π 2 2 l

*

*

symétrique

*

NC symboles :

2,045π 2

NC

T = 0 ⇔ EIv , xxx + N C v , x = 0 T : présence d’un mode rigide de translation R : présence d’un mode rigide de rotation

236

EI l2

Mise en équations de problèmes classiques

?

NC ?

cas pratique : une poutre n’est jamais parfaitement droite ni symétrique.

N critique  l v   2

flèche au centre ( x =

l ) 2

VI.2. Vibrations des membranes. On entend par membranes des plaques minces uniformément tendues dont la rigidité à la flexion est négligée devant celle induite par la tension T. Considérons une membrane dans le plan z = 0 dont la surface, dans l’état précontraint est S. La précontrainte est caractérisée par T tel que N = T I . r y ∂S σ

r y r dsTn

1 + w,2x dx

ds dy

T

w, x ( x + dx , y , t )

dS

w, x

T

∂S u

w

r x

dx

dx

w + w, x dx r x

r r r Tdl n = N ⋅ ndl est la force qui s’exerce sur un élément surfacique de normale n r r appartenant au plan ( x , y ) de longueur dl d’épaisseur h, que l’élément soit à l’intérieur du domaine ou sur sa frontière. r Sur ∂S u le déplacement selon z , w peut être imposé. r Sur ∂S σ s’exerce éventuellement un chargement linéique Fl dsz r r dS = dxdy peut être soumis à un chargement selon z tel que ρ S FdSz où ρ S désigne la masse surfacique. r Le modèle considéré suppose que tout point du plan moyen ne se déplace que selon z r r donc u = w( P , t ) z où w est la flèche. Si w reste faible T est sensiblement indépendant du mouvement.

VI.2.1. Mise en équations par les théorèmes généraux. r Isolons un élément (dS , h) et écrivons le théorème de la résultante selon l’axe z :

(

ρ S FdS + Tw, x dy

)

,x

&& ρ S F + T∆ w = ρ S w w = wdonné

(

dx + Tw, y dx

sur ∂S u

)

,y

&& dy = ρ S dSw

sur S

v r T∇w ⋅ n = Tw,n = Fl

;

237

sur ∂S σ

Mise en équations de problèmes classiques

VI.2.2. Mise en équations à partir du principe des travaux virtuels. Un élément de surface dxdy dans l’état contraint voit ses dimensions augmenter si la membrane se déforme :

T T

∆ dS = 1 + w,2x dx 1 + w,2y dy − dxdy T

Comme T est supposé rester constant, l’énergie de déformation s’écrit : v 2 ∇w w,2x + w,2y E d = ∫ T∆ dS ≈ T ∫ dS = T ∫ dS S S 2 2 1 && δA = ∫ δwρ S wdS L’énergie cinétique : E c = ∫ ρ S w& 2 dS S 2 T

( )

(

)

Si nous choisissons un champ virtuel, le travail élémentaire virtuel compatible dû au chargement s’écrit : δT = ∫ δwρ S FdS + ∫ δwFl dS ∂S σ

S

Il reste à écrire : − δE d + δT = δA

r ∀δuc , ici ∀δwc (indice c pour compatible)

v v && Ainsi : − T ∫ δ∇ w ⋅ ∇wdS + ∫ δwρ S FdS + ∫ δwFl ds = ∫ δwρ S wdS S S ∂S σ S v v v v avec : ∇ ⋅ ( f ∇w) = f∆w + ∇f ⋅ ∇w qui peut s’appliquer avec f = δw , la première intégrale v peut être transformée en sachant que les symboles δ et gradient ∇ sont permutables. v − T ∫ div( δw∇w) dS + T ∫ δw∆wdS + ∫ δwρ S FdS + ∫ δwFl dS = S

S

∂S σ

S

∫ δwρ S

S

&& wdS

soit en utilisant le théorème d’Ostrogradsky :

∫ δw(T∆w + ρ S

S

v r && )dS + ∫ δw( Fl − T∇w ⋅ n )ds = 0 δwc F − ρS w ∂S σ

avec δw = 0 sur ∂S σ et w = wdonné sur ∂S u Les relations sous le signe intégral doivent être nulles ce qui fournit le même résultat que celui obtenu précédemment.

VI.2.3. Analyse du problème en oscillations libres. En l’absence de forces extérieures (autres que la tension) le problème à résoudre s’écrit : c 2 ∆ w = w && sur S ρ 1 où nous avons posé S = 2 trouver w tel que :  w = 0 sur ∂S u T c w,n = 0 sur ∂S σ c ayant les dimensions d’une vitesse de propagation.

238

Mise en équations de problèmes classiques

Le problème est séparable Si nous cherchons une solution particulière w P telle que w P = f ( t )W ( P) nous avons : ∆W f&& c 2 ∆Wf = Wf&& soit c 2 = = −ω 2 = − λ W f 2 f +ω f = 0  &&  2 − c ∆W = λW Pour la fonction d’espace W on a un problème aux valeurs propres LW = λIW où I est l’opérateur unité et L = − c 2 ∆ Le problème est auto adjoint Soient u et v deux fonctions de comparaison W du problème d’espace, I est auto adjoint, L aussi en effet :

∫ (uL( v ) − vL( u))dS = 0 Il suffit de raisonner avec le Laplacien : v v v v v ∫ u∆ vdS = ∫ div( u∇v) dS − ∫ ∇u ⋅ ∇vdS = ∫ uv ds − ∫ ∇u ⋅ ∇vdS S

S

S

Ainsi :

∫ (u∆ v − v∆ u)dS = ∫ (uv ∂S

S

,n

∂S

S

,n

S

)

− vu,n ds = 0

en effet u ou u,n ; v ou v ,n sont nuls sur les bords. Les fonctions propres du problème sont I et L orthogonales.

VI.2.4. Etude de quelques cas classiques • Le cas de la membrane rectangulaire Pour le problème d’espace, en posant W = X ( x )Y ( y ) on peut obtenir une séparabilité supplémentaire :

(

)

− c 2 X , xx Y + XY, yy = ω 2 XY ω2 − = + 2 =H X Y c X , xx

2

soit après division par c XY : soit encore : r y

Y, yy

 X , xx + HX = 0 ω2 avec : 2 = H + χ  c Y, yy + χY = 0 Traitons le cas d’une membrane à bords fixés. En oscillations libres :

b

w(0, y , t ) = w( a , y , t ) = 0 ⇒ X ( 0) = X ( a ) = 0

P( x , y )

a

r x

w( x ,0, t ) = w( x , b, t ) = 0 ⇒ Y ( 0) = Y ( b) = 0

239

Mise en équations de problèmes classiques

D’où : X = sin

nπ nπ x Y = sin y m et n entiers positifs. a b

 m2 n 2  ω 2mn = c 2 π 2  2 + 2  b  a mπ nπ x sin y( Amn cos ω mn t + Bmn sin ω mn t ) est la fonction propre associée (à a b la fonction du temps près). wmn ( x , y , t ) = sin

Les lignes nodales sont des droites parallèles aux axes en général (si a = b on peut avoir les diagonales). Plus on monte en fréquences, plus le nombre de fréquences situées dans une bande de fréquences fixée augmente ce que le schéma suivant suggère :

3/b

D = OP

2/b

P

1/ b 0

dD

D

1 a

2 a

3 a

4 a

ω 2mn m2 n 2 = + c2 π2 a 2 b2

Les pulsations propres correspondent aux points d’intersection des droites. Plus OP est élevé, plus on observe de points dans la couronne de largeur dD .

5 a

On notera que si la solution analytique en oscillations libres est relativement aisée elle fera cependant intervenir des séries doubles de Fourier puisque w sera développé sur les wmn , de même en oscillations forcées si l’on veut déterminer la solution complète or ces séries convergent lentement. Si la membrane devient une lanière soit si b est très inférieur à a et s’il n’y a pas de r tension selon y , on retrouve naturellement le modèle de la corde tendue vibrant dans le plan.

pdx

T

T

v

Tv , xx + p = ρ l v&& avec v( 0, t ) = v(l , t ) = 0 ρ l étant la masse linéique avec ρ l = SρV T étant la tension ayant les dimensions d’une force

Section droite S

240

Mise en équations de problèmes classiques

• Le cas de la membrane circulaire L’usage des coordonnées cylindriques est tout indiqué et poser W ( r ,θ) = R( r ) Θ( θ) permet d’obtenir une séparabilité supplémentaire : 1 1   − c 2  W,rr + W,r + 2 W,θθ  = ω 2W d’où :   r r 1  1 c 2 RΘ  2  2 − c  R,rr + R,r  Θ + 2 RΘ ,θθ  = ω RΘ et après division par − 2 r  r r   2 2 2 r  1  Θ ,θθ ω r R R,r  + + =− 2 ,rr  R r  Θ c

Θ ,θθ = − H 2 Θ  d’où :  2  2 r2  2 r R,rr + rR,r +  ω 2 − H  R = 0 c   

241

Mise en équations de problèmes classiques

Traitons le cas d’une membrane avec bords fixés. a r

θ

w(r , θ + 2 π, t ) = w(r , θ, t ) (continuité de w∀θ ) Θ est donc périodique de période 2π et H = n entier

w(a , θ, t ) = 0 donc R( a ) = 0 L’équation qui régit R est une équation différentielle linéaire du second ordre, c’est une équation de Bessel dont les solutions se développent sur la base J m , N m telles que :  ωr   ωr  R = AJ n   + BN m    c  c N m fonction de Bessel de seconde espèce est infinie à l’origine, elle interviendrait dans le cas d’une membrane limitée par deux cercles de rayon a et b, mais ici B doit être nul, R étant fini à l’origine.  ωa  La condition R( a ) = 0 impose J m   = 0 qui est l’équation aux pulsations propres.  c  c Soit emn le nième zéro de J m alors ω mn = emn a  (1) r  ± jω mnt wmn = J m  ω mn c  cos mθe  Des solution particulières s’écrivent donc :  w ( 2 ) = J  ω r  cos mθe ± jω mnt m  mn  mn c  La solution générale se développe donc en série de fonctions de Bessel I et L r orthogonales. Le cas m = 0 correspond au cas de déformées de révolution autour de l’axe z en O, normal au plan de la membrane (modes axisymétriques). Certaines lignes nodales sont des diamètres ou des cercles de centre O.

242

Mise en équations de problèmes classiques

VI.3. Vibrations de plaques minces fortement chargées dans leur plan (théorie de Kirchhoff - Von Karmann) Nous nous intéressons ici à une plaque précontrainte : soumise à un état de contraintes ( 0)

planes caractérisé par le tenseur N . La géométrie est définie à partir de cet état déformé. Nous utiliserons deux types de contraintes généralisées N ij dans les deux approches présentées en nous bornant aux milieux isotropes. L’étude n’est encore valable que pour des petits déplacements et nous n’avons toujours en vue que la construction d’un modèle linéaire. VI.3.1. Analyse par les théorèmes généraux r r r r Le champ de déplacement approché est le champ de Kirchhoff u P = u z =0 + θ ∧ GP r r r r r r r r GP = zz . avec u z= 0 = ux + vy + wz θ = rotw z

r r r r r Ainsi θ = θ x x + θ y y = w, y x − w, x y r r r Dans ce paragraphe nous utiliserons un trièdre mobile (e1 , e2 , e3 ) se déduisant du r r r r trièdre fixe ( x , y , z ) par la rotation infinitésimale θ donc par le produit de deux rotations r r r commutatives (voir figure). (e1 , e2 , e3 ) est quasi orthogonal. Les N ij par hypothèses finies (au

sens de non infiniment petites) désignent les composantes des contraintes intégrées sur (er1 , er2 , er3 ) . Enfin les dérivations ( , x ou , y ) seront notées ,1 ou ,2 respectivement. r z

q( x , y , t )

w, y

w, y dy r y

dy r e3

N 12

w, x

M12

dx

r e2

M11

M 21

r e1 +G

Q1 + dQ1 M 22

Q2

N11 + dN11

N11

N 21 Q1

Q2 + dQ2 M 22 + dM 22 N 22 + dN 22 N12 + dN12

M 21 + dM 21 N 21 + dN 21 M11 + dM11

w, x dx

r x

r u P s’écrit : 243

M12 + dM12

Mise en équations de problèmes classiques

(

) (

)

r r r r u P = u( x , y ,t ) − zw,1 x + v( x , y ,t ) − zw,2 y + w( x , y ,t ) z

Nous isolons un élément parallélépipédique déformé r La force et le moment élémentaires agissant sur une facette de normale e1 sont respectivement : r r r r F1 = N 11dye1 + N 21dye2 + Q1dye3 r r r M 1 = − M 21dye1 + M 11dye2 r et sur une facette de normale e2 : r r r r F2 = N 12 dxe1 + N 22 dxe2 + Q2 dxe3 r r r M 2 = − M 22 dxe1 + M 12 dxe2

Les Qi et M ij sont infiniment petits. r r r r A l’abscisse x + dx , F1 croît de dF1 ; à y + dy , F2 croît de dF2 tels que : r r r d r F1 r dF1 = dx + dΩ x ∧ F1 (indice r pour relatif) dx

 N 11,1dxdy  r   avec d r F1 =  N 21,1dxdy  r r r ( e1 ,e2 ,e3 )    Q1,1dxdy 

{

}

r e1

r e2

r e3

r r et dΩ x ∧ F1 = w,21dx − w,11dx 0 (symboliquement) N 11dy N 21dy Q1dy

r r r r et dF2 = d r F2 + dΩ y ∧ F2 r r r  N 12 ,2 dxdy  e1 e2 e3 r r r   0 avec d r F2 =  N 22 ,2 dxdy  et dΩ y ∧ F2 = w,22 dy − w,12 dy ( er1 ,er2 ,er3 )  Q dxdy  N 12 dx N 22 dx Q2 dx  2 ,2 

{

}

r L’accroissement des moments est caractérisé par la quantité dM : r r r dM = − M 22 ,2 − M 21,1 e1 + M 12 ,2 + M 11,1 e2 dxdy

{(

) (

) }

Les six équations du mouvement s’écrivent en utilisant le trièdre fixe comme trièdre de projection et après linéarisation : N 11,1 + N 12 ,2 = ρ S u&& r r ⇔ di v d N = ρ S u&&plan N 21,1 + N 22 ,2 = ρ S v&& r r où on a implicitement supposé, pour simplifier, l’absence de force de masse selon x et y , les précontraintes étant dûes à des chargements aux frontières. 244

Mise en équations de problèmes classiques

q + Q1,1 + Q2 ,2 + N 11 w,11 + N 12 w,12 + N 21 w,21 + N 22 w,22

(

)

r r && ⇔ q + div Q + div grad w ⋅ N = ρ S w && + N 11,1 w,1 + N 12 ,2 w,1 + N 21,1 w,2 + N 22 ,2 w,2 = ρ S w

h2 2 && w 12 2 ⇔ divr M = Qr − ρ h grad &&r w ( N 12 − N 21 = 0) 2 d S h 12 && M 12 ,2 + M 11,1 − Q1 = −ρ S w 12 2 h2 Les termes faisant intervenir ρ S ne doivent pas être conservés car le calcul montre 12 que ces termes de moment dynamique donnent une contribution du même ordre que ceux dus aux glissements sous l’effet des efforts tranchants Qi , glissements qui ont été négligés. (Ces termes interviendraient dans une théorie du type Hencky - Mindlin). − M 22 ,2 − M 21,1 + Q2 = ρ S

Les lois de comportements associées s’écrivent :  N 11   N 11( 0)  Eh    (0)   N 22  =  N 22  + 2  N   N (0)  1 − ν  12   12 

  1 ν   u,1   ν 1  v    ,2  1 − ν  u + v   ,1   ,2  2 

   M 11  1 ν   − w,11      − w   M 22  = D  ν 1 , 22   M   1 − ν   − 2 w,12   12   2 

avec D =

Eh 3

12(1 − ν 2 )

Ces relations portées dans les équations locales, finalement linéarisées fourniront un problème posé en terme de déplacements avec des conditions aux limites à préciser.

r ( 0) r r Ici on notera que div d N = 0 donc l’équation de la résultante selon z s’écrira : ( 0) r r && q + divQ + N : grad ( grad w) = ρ S w Les relations finales ne seront pas écrites, nous les obtiendrons plus loin dans un cadre un peu plus général.

VI.3.2. Analyse par le principe des travaux virtuels. Dans ce paragraphe N xx , N yy et N xy désignent les composantes des contraintes intégrées par unité de longueur sur la base fixe, contrairement au paragraphe précédent. En suivant les travaux de Timoshenko, nous allons faire intervenir les allongements moyens ε ′xx et ε ′yy et les glissements moyens. Les raisonnements s’appuient sur des constatations géométriques illustrées sur les figures page suivante.

245

Mise en équations de problèmes classiques

r z

r z

w, x

1 + w,2y dy

w, x w, y dy }w, y dy

w, y dy

w, x w dy

r y

w

w, x dx

r x

dy

r y

dx

r x

1 2 w +... 2 ,y z =0 1 ε ′xx = u, x + w,2x +... 2 z =0 ε ′yy = v , y +

de même :

γ ′xy = u, y + v , x + w, x w, y +... z =0

Timoshenko détermine les contributions supplémentaires aux termes linéaires classiques des allongements ou des diminutions de l’angle droit en fonction de la flèche w. Les lois de comportement à utiliser s’écrivent :

 N xx   N xx( 0)   N xx( 1)     ( 0)   ( 1)   N yy  =  N yy  +  N yy   N   N ( 0)   N ( 1)   xy   xy   xy 

 N xx(1)    avec  N yy(1)  infiniment petit.  N (1)   xy 

  w,2x u, x − zw, xx +     2  N xx(1)    1 ν   2 h w +  (1)  E   , y   2 1 v , y − zw, yy +  N yy  =  dz soit : 2 ∫ h ν  −  N (1)  1 − ν 2  1 − ν  u + v − 2 zw +2w w  ,x , xy ,x , y   xy   ,y  2     

 N xx(1)   (1)  Eh  N yy  = 2  N (1)  1 − ν  xy 

     M xx  1 ν   ε ′xx  1 ν   − w, xx  ν 1 ε  ;  M  = D ν 1  − w  ′     yy yy , yy           1 − ν 1 − ν   γ ′xy    − 2 w, xy  M xy     2  2 

Il faut calculer les énergies et les travaux virtuels.

246

Mise en équations de problèmes classiques

Energie de déformation L’énergie de déformation s’écrit :

(

)

(

)

2 E d = 2 E d flexion classique + 2 ∫ N xx( 0) ε ′xx + N yy( 0) ε ′yy + N xy( 0) γ ′xy dS + ∫ N xx(1) ε ′xx + N yy(1) ε ′yy + N xy(1) γ ′xy dS S

S

où le deuxième terme tient compte du fait que les contraintes déjà présentes travaillent. Nous ne conserverons au plus que les termes quadratiques puisque nous cherchons les équations linéarisées.

(

))

(

(

)

2 E d = 2 E d flexion et déformation + 2 ∫ N xx( 0) u, x + N yy( 0) v , y + N xy( 0) u, y + v , x dS + ∫ N xx( 0) w,2x + N yy( 0) w,2y + 2 N xy( 0) w, x w, y dS S

plane classique

2 E d = 2 E d classique + 2 ∫ N

(0)

S

avec N

( 0)

 N xx( 0) de matrice  ( 0)  N yx

S

(0) r r r : grad u plan dS + ∫ grad w ⋅ N ⋅ grad w dS S

N xy( 0)   N yy( 0)  Energie cinétique

h 2 h S − 2

2Ec = ∫

∫

+

(

)

h2 2 r& 2 2 2 2 & & & ρu P dzdS = ∫ ρ S (u + v + w )dS + ∫ ρ S w& , x + w& ,2y dS S S 12 Travail virtuel élémentaire des forces extérieures

r y

∂S σ dl

z=0

r r r N d = N d( 0) + N d(1) r r r n ∈ ( xOy ) r (0) ρ S Fplan dS r x

Si nous supposons qu’il n’y a pas de nouveau r r chargement de masse selon x et y nous avons en choisissant un champ virtuel compatible :

δT = δTmoments , efforts tranchants , chargement surfacique selon zr r r r ( 0) r r + ∫ δu plan ⋅ ( N d( 0) + N d(1) )dl + ∫ δu plan ⋅ ρ S Fplan dS ∂S σ

S

Le principe des travaux virtuels s’écrit : − δE d + δT = δA ( 0) ( 0) 1 r r r avec : δE d = δE d classique + ∫ N : δ grad u plan dS + δ ∫ grad w ⋅ N ⋅ grad w dS S 2 S ⇓

∫ div δu

r

S

plan

⋅N

(0)

 dS − divr N ( 0) ⋅ δur dS plan ∫S d 

D’où l’expression du principe, en utilisant le théorème d’Ostrogradsky :

247

Mise en équations de problèmes classiques

(0) r (0) 1 r r ( 0) r r r − δE d classique + − ∫ δu plan ⋅ N ⋅ ndl + ∫ div d N ⋅ δu plan dS − δ ∫ grad w ⋅ N ⋅ grad w dS S ∂S σ 2 S r (1) r ( 0) r ( 0) r r r + ∫ δu plan ⋅ N d dl + ∫ δu plan ⋅ N d dl + ∫ ρ S F ⋅ δu plan dS +δT ( M , Q, q ) = ∂S σ

∂S σ

∫

S

S

r r && δwdS ρ S u&&plan ⋅ δu plan dS + ∫ ρ S w S

Mais le champ de précontraintes est en équilibre : r r r ( 0) div d N + ρ S F ( 0) = 0 sur S (0) r r N d( 0) = N ⋅ n sur ∂S σ

D’où un premier résultat : divr N (1) = ρ u&&r sur S  d S plan (1)  r (1) r  N d(1) = N ⋅ n sur ∂S σ  Il reste : (0)   1  r r && − δ E d flexion + ∫S grad w ⋅ N ⋅ grad wdS  + δT ( M , Q, q ) = ∫S δwρ S wdS 2 ( 2)  ∀δw, δw compatible avec w compatible ,n 

Finalement, en négligeant comme nous l’avons fait l’énergie cinétique de rotation, pour des raisons évidentes expliquées dans le paragraphe précédent, il n’apparaît qu’un terme supplémentaire dans l’énergie de déformation. Le résultat (1) indique que, dans cette approximation, le mouvement dans le plan est découplé du mouvement hors du plan (satisfaisant le principe explicité dans (2)). Le résultat (2) explicité un peu plus fournira la nouvelle équation locale régissant w et les conditions naturelles. δE d nouveau =

∫  grad w ⋅ N r

S

(0)

( 0) r  ⋅ grad δ w dS ( est symétrique) N 

(0) r r r r r Soit en utilisant div fA = f divA + grad f ⋅ A avec f = δw et A = grad w ⋅ N

δE d nouveau =

∫

∂S σ

( 0) ( 0) r r r δw grad w ⋅ N  ⋅ ndl − ∫ δw div  grad w ⋅ N  dS S

248

Mise en équations de problèmes classiques

L’équation locale s’écrit donc : ( 0) v4 r ( 0) r r && − q −  div d N ⋅ grad w + N : grad ( grad w) = 0 D∇ w + ρ S w 14444444 4244444444 3 ( ) 0 r div  grad w ⋅ N    Le facteur de δw,n est le même que celui trouvé dans la théorie des plaques non contraintes. Le terme relatif à δw sur ∂S σ conduit à :

{

(0) r r δw Qn + M sn ,s +...− grad w ⋅ N ⋅ n

}

=0 ∂S σ

Ces résultats sont en accord avec les résultats trouvés par les théorèmes généraux. Dans des cas particuliers des solutions analytiques sont connues, ainsi si une plaque r rectangulaire est uniformément comprimée suivant l’axe des x (parallèle aux côtés !) la plaque voit sa rigidité diminuer, des phénomènes de flambement peuvent être mis en évidence et les charges critiques effectivement calculées dans le cas d’appui simple (rotules en x = 0 , x = a ) par exemple. ( 0)

Enfin si N = T I en si on néglige tous les termes dus à la flexion on obtient les équations régissant le mouvement d’une membrane uniformément tendue.

Conclusion du chapitre VI Dans ce chapitre nous avons fait un exposé non exhaustif de problèmes dits d’élasticité du second ordre problèmes qui présentent des points communs : Les coefficients d’élasticité n’interviennent pas explicitement dans les relations qui apparaissent par contre ces relations dépendent du chargement de précontraintes. Les résultats sont obtenus de façon relativement simple mais sans une grande rigueur et le domaine de validité des résultats n’est pas connu. Il reste que, malgré tout, l’approche présentée est très intéressante car elle aboutit à des conclusions palpables : l’explication de phénomènes vérifiés par l’expérience décrits par des équations d’une relative simplicité. Nous aurons l’occasion dans les chapitres qui suivent de faire des études plus rigoureuses mais au prix d’une lourdeur beaucoup plus grande.

249

TROISIEME PARTIE Eléments finis et méthodes variationnelles

Eléments finis et méthodes variationnelles

Introduction

Nous abordons ici la méthode dite des éléments finis dont il est essentiel de bien comprendre la finalité. Il ne s’agit pas de chercher la forme analytique exacte de solutions d’équations aux dérivées partielles mais de fournir des représentations approchées des champs tensoriels. Un système physique est décomposé en petits éléments de géométrie simple, ces éléments sont caractérisés par des matrices, des forces généralisées, obtenues en utilisant un nombre fini de déplacements. Ils sont ensuite utilisés pour l’assemblage aboutissant à un système matriciel d’équations différentielles régissant le problème. Nous présenterons d’abord la méthode des déplacements dans le domaine linéaire en consacrant quelques chapitres à l’analyse des éléments les plus simples puis nous généraliserons pour expliquer la façon d’aborder des problèmes linéaires et de construire des éléments finis à la demande. Un exemple d’application de la méthode à la thermo élasticité linéarisée montre la puissance de la méthode puis un chapitre sur la qualité des éléments finis clôturera cette première partie. Nous développerons ensuite l’analyse des problèmes non linéaires par la méthode des déplacements. La troisième partie abordée concernera les principes variationnels généraux dont l’utilisation est de plus en plus d’actualité.

253

Eléments finis et méthodes variationnelles

Chapitre I

Présentation d’éléments simples

I.1. L’élément barre à deux noeuds. r y

u( x , t )

1

2

Q

u1

S

P1

p( x , t )dx P2

P

r z

u2

r x

Considérons un élément matériel rectiligne de longueur l, de section droite S, cylindrique. Le milieu est homogène, isotrope, de masse spécifique ρ . L’élément est appelé barre. Bornons nous, provisoirement à n’étudier que les déformations longitudinales dans l’approximation classique.

x l

I.1.1. Champ des déplacements. En négligeant les déformations transversales, avec l’hypothèse de de Saint Venant nous adoptons comme champ approché : r r u ( Q, t ) = u( x , t ) x avec

a 0  u( x , t ) = 1 x   soit  a1 

[

]

u( Q, t ) = [Φ( x ) ]{ A( t )}

Par définition { A} est le vecteur des coordonnées généralisées. Nous pouvons exprimer ces paramètres en fonction des déplacements aux noeuds 1 et 2, les extrémités :

u( 0, t ) = [Φ( 0) ]{ A} = u1 def

 u1  ⇒ = u2  u( l , t ) = [Φ( l ) ]{ A} = u2 def

1 0 a 0  −1 1 l  a  ⇒ {U } = [ T ] { A}   1 

T −1 est la matrice dite de connexion notée parfois C.

Par inversion :

a 0   =  a1 

 1 0  u1   1 1   ⇒ { A} = [ T ]{U } − l l  u2 

T est une matrice de changement de paramètres permettant de passer des coordonnées généralisées aux variables nodales, composantes de {U } . Le champ des déplacements s’écrit :  x x   u1  u = [ Φ][ T ]{U } = 1 −   ⇒ u = [ N ( x ) ]{U ( t )}  l l  u2 

( )

 x La matrice N = 1 −  l

[

x  def = N1 l 

N2

N i Pj = δ ij ici

254

]

est la matrice d’interpolation telle que

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.1.2. tenseur des déformations - contrainte intégrée. Le tenseur E se réduit à son élément 1 1 : ε xx

[ ]

BA = 0 1

[ ]

 1 1 BU = −  l l 

on pose ε xx = ε , B A = Φ , x ⇒ ε = B A { A}

[ ]

[

[ ]

ε xx = u, x = Φ , x { A}

]

on a aussi ε xx = u, x = N , x {U }

BU = N , x ⇒

on pose

et comme [ N ] = [ Φ][ T ] :

ε = BU {U }

[ B ] = [ B ][ T ] U

A

Pour ce milieu élastique, la loi de comportement monodimensionnelle s’écrit : σ xx = Eε xx { σ} = [ D]{ ε} ⇒ D = E on pose σ xx = σ D est la matrice d’élasticité 1 × 1 ici. L’effort normal, est par définition des contraintes intégrées σ$ :

[ ] { ε} = [ B ]{ A} { ε} = [ B ]{U } F = [ ES ][ B ]{U }

σ$ = F = ∫ σ xx dS = ∫ [ D]{ ε} dS = [ ES ] B A { A} = ESa1 A

ou encore :

U

U

On

s’intéressera à la  1 1  u1  F = ES −   ⇒ {σ$ } = D$ [ BU ]{U }  l l   u2 

[ ]

deuxième

avec

expression :

[ D$ ] = [ ES ]

I.1.3. Calcul des énergies. • Energie cinétique l T & } T  Φ T ρSΦdx { A& } = { A& } T [ M ]{ A& } & & u ρ Sudx = A { A ∫0 ∫0  l   x 1 2  l 1 M A = ρS ∫  dx = ρSl  ou encore en utilisant u = [ N ]{U } : 0 x l l2  x 2     2 3 

2 E c = ∫ ρdSu& 2 dx =

avec

def

l

l T T 2 E c = {U& }  ∫ N T ρSNdx {U& } = {U& } [ M U ]{U } 0  1 1   avec M U = ρSl  13 61  avec comme { A& } = [ T ]{U& }   6 3

255

[ M ] = [ T ] [ M ][ T ] T

U

A

Eléments finis et méthodes variationnelles

• Energie de déformation 2 E d = ∫ ε T σdV = ∫ ε T σ$ dx = { A} 2 E d = { A} avec

T

T

[∫ [ B ] [ D$ ][ B ]dx]{ A} l

T

A

0

[∫ Φ ESΦ dx]{ A} = { A} [ K ]{ A} l

T

T ,x

0

A

,x

A

0 l 0  0 0 K A = ES ∫  dx = ESl    0 0  1  0 1 Nous pouvons aussi utiliser N telle que u = [ N ]{U } :

2 E d = {U }

T

[∫ B l

0

T U

]

$ dx {U } DB U

T T 2 E d = {U }  ∫ N ,Tx ESN , x dx {U } = {U } [ KU ]{U } 0   ES  1 − 1 avec KU = l − 1 1  l

la relation entre KU et K A étant :

[ K ] = [ T ] [ K ][ T ] T

U

A

Notons que cette matrice KU aurait pu s’obtenir en calculant le travail virtuel de déformation (même remarque pour K A ) : δTdef = ∫ δε T σdV = { δU }

T

[∫ B l

0

T U

]

[ ]

$ dx {U } = { δU } T K {U } DB U U

I.1.4. Calcul du travail de certaines forces : les forces extérieures de masse. Si le système considéré ne travaille qu’en déformations longitudinales, le chargement r volumique doit permettre de définir une densité linéique p( x , t ) de chargement selon x dont le travail s’écrit : δT = ∫ δu T p( x , t )dx = δU T ∫ [ N T ]{ p}dx = {δU } def

l

0

T

{ψ}

ψ 1  est une force généralisée ou force nodale équivalente,  0  2 force travaillant dans l’espace de configuration des ui , mais sans existence physique.

{ ψ} = ∫ [ N ] { p} dx = ψ l

T

1

2 ψ1

ψ2

I.1.5. Applications. Indépendamment du chargement aux deux extrémités de l’élément, qui doit cependant être longitudinal, nous avons caractérisé la barre chargée par un champ de déplacement, un champ d’effort normal, une matrice masse, une matrice raideur et un vecteur force généralisée. Plusieurs problèmes simples peuvent alors être traités.

256

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.1.5.1. Vibrations longitudinales de poutres droites.

i −1

ui −1

i

ui

i +1 ui +1

Soit à étudier les vibrations longitudinales d’une poutre à section variable par morceaux.

La poutre est d’abord convenablement partagée en morceaux, c’est à dire discrétisée en tronçons {i , i + 1} . Aux extrémités de chaque élément fini on définit les noeuds i où les déplacements sont ui . Il intervient donc une seconde numérotation propre à la poutre étudiée et différente de celle définie au début. Ecrivons que l’énergie cinétique totale de l’ensemble analysé est la somme des énergies de ses constituants, additionnons les formes quadratiques associées. Nous sommes conduits à assembler des matrices de masse pour déterminer la matrice M globale, matrice bande. On procède de même pour construire la matrice K globale. Les travaux virtuels des forces de masse et des forces aux extrémités de l’ensemble ou éventuellement aux noeuds s’additionnent, ce qui conduit à définir, aussi par assemblage, un vecteur force généralisée.

Les conditions aux limites naturelles sont déjà introduites comme information par l’intermédiaire de leur travail virtuel, il reste à introduire les déplacements imposés. Les équations de Lagrange du système pour les paramètres ui , ici les variables nodales

T rassemblées dans le vecteur {U } , s’écrivent pour un champ virtuel { δU } quelconque :

M assU&& + K ass = ψ ass

Il reste à introduire les conditions aux limites géométriques c’est à dire à imposer les déplacements donnés aux extrémités de l’ensemble. Nous reviendrons plus loin sur ce problème, notons seulement que si par exemple u1 est nul (encastrement), les termes des énergies faisant intervenir u1 sont nuls et si nous adoptons un déplacement virtuel compatible, aucune force ne travaille au noeud 1. Si le déplacement du dernier noeud n’est pas imposé, les équations de Lagrange ne faisant intervenir que u2 , u3 ,... s’obtiennent en supprimant la première ligne et la première colonne de M et K et en ne faisant pas intervenir le terme première composante du vecteur force généralisée. La résolution du système matriciel est classique et fait intervenir les conditions initiales sur les ui obtenues par un lissage numérique convenable éventuellement. Les valeurs des grandeurs telles que u, F = σ$ ou σ peuvent ensuite être obtenues à partir des fonctions d’interpolation mais il s’agit d’expressions approchées qu’il convient comme nous le verrons de bien interpréter. 257

Eléments finis et méthodes variationnelles

C’est ainsi que pour cet élément fini l’effort normal tout au long de la poutre est représenté par une fonction en escalier ! Ici le champ u est continu, dans chaque élément fini bien sûr et entre éléments car la continuité est assurée par l’assemblage : on dit que l’élément barre est conforme. I.1.5.2. Vibrations de torsion d’arbres droits. u( x , t )

1 u1 x

r x

2

p( x , t )dx

θ1

θ( x , t )

1

u2

x

θ2 2

γ ( x , t )dx

L’élément étudié peut servir à l’analyse des oscillations de torsion d’arbres droits puisqu’il y a isomorphisme entre les deux problèmes ; on peut en effet établir la correspondance suivante :

u = a 0 + a1 x θ = a 0 + a1 x {u1 , u2 } {θ1 , θ 2 } ES GJ ⇔ ρS ρi x p( x , t )dx γ ( x , t )dx r i x moment d’inertie par unité de longueur par rapport à l’axe x r Ces résultats sont écrits sans hypothèses supplémentaires et en supposant que x soit le lieu des centres de section droite (G et C coïncidant).

I.1.5.3. Etude de treillis. On peut définir par treillis un assemblage de barres dans l’espace, assemblage se faisant par des liaisons aux noeuds ne pouvant pas transmettre de moment de flexion ou de torsion. Avec une telle modélisation, très simplifiée, d’une structure réelle, on peut admettre que chaque élément matériel entre noeuds ne travaille qu’en traction. r y r y

E

r uP r u1

i =1

r z

P G E

Dans la base locale E , considérons r r une barre B d’axe x dont le déplacement est u2  x  parfaitement caractérisé par le déplacement   r r x P  y  uG de la ligne moyenne. z j=2   r r r r uG = u x + v y + w z r x

r z

258

Eléments finis et méthodes variationnelles

r  Nous choisissons comme champ approché un champ affine uG =  1 − 

ainsi

 u1  u  2 u  N         v1  N v  =    v  avec N =  1 −  2 w  N      G   w1     w2   u1   v    1  U 1 u   w1      v  = I 33 N 1 I 33 N 2   w   u2    G  v 2  U 2     w2  

[

x  l

x = N1 l 

[

N2

x r x r u + u l 1 l 2

]

ou encore :

]

en regroupant les variables nodales par noeuds, I 33 étant la matrice unité (3,3). Pour un point courant P d’une section droite, nous adoptons un champ avec l’hypothèse de Bernoulli : r r r r r r r r r u P = uG + rot uG ∧ GP avec rot uG = − w, x y + v , x z r r r r u P = u − yv , x − zw, x x + v y + w z

(

)

r D’où la matrice h du tenseur grad u P et la matrice E :

 u, x  h =  v,x w  ,x

− v,x

− w, x     

u , x  E=0  0

0 0  0 0 0 0

la barre ne travaille qu’en traction.

Matrice K

La matrice de raideur K relative aux variables expansant la matrice de raideur trouvée précédemment :

K

(U ,U ) 1

2

1 0 0 − 1  0 0 0  0 0 ES  =  1 l   sym  

0 0 0 0  0 0  0 0 0 0  0

259

{U ,U } 1

2

s’obtient en

Eléments finis et méthodes variationnelles

Matrice M Si les barres sont élancées, nous pourrons négliger l’énergie cinétique de rotation de chaque tranche d’épaisseur dx (la prise en compte des termes supplémentaires peut se faire d’ailleurs sans difficulté).

2Ec = ∫

l

0

r ρSdxu& G2 =

∫ { u& l

0

v&

 u&    w& } ρS  v& dx w&   

soit en utilisant la seconde forme du déplacement :

M U 1 ,U 2

(

)

1/ 6  1 / 3   1/ 3 1/ 6    1/ 3 1 / 6 ρSl 2 I 33 = ρSl  = 1/ 3 6  I 33     sym 1/ 3   1 / 3 

I 33  2 I 33 

Vecteur force généralisé r Si le champ de forces extérieures est caractérisé par une résultante p( x , t )dx de

composantes { p1 , p2 , p3 } sur E , le travail virtuel associé s’écrit :

 p1   I 33 N 1    δU } ∫    p2 dx 0 0 I N  33 2     p3  ce qui définit une force généralisée ψ :  ψ 11  ψ   12   p1  N 1    ψ 13  def  ψ 1  l  I 33 ψ =∫  p2 dx =    =   0 I ψ 21  ψ 2   33 N 2     U 1 ,U 2  p3  ψ 22     ψ 23  r r δT = ∫ δuG ⋅ pdx = {δU 1T l

(

T 2

l

)

Changement de variables Les barres ayant une orientation quelconque dans l’espace, nous sommes conduits à exprimer les déplacements sur une même base de référence E pour toutes les barres. Soit S la matrice de passage permettant de passer de E (ancienne base) à E (nouvelle r r r r r r base), elle est formée des colonnes de composantes de x , y et z sur { x , y , z } et les deux bases étant choisies directes de même sens, S est orthogonale droite ( S T = S −1

260

det S = 1 ).

Eléments finis et méthodes variationnelles

λ x  S = µ x ν  x

λy µy νy

λz   µz  ν z 

r ↑ composantes de z sur E r ↑ composantes de y sur E r ↑ composantes de x sur E

Donc : U 1 = SU 1 U 1 = SU 2 ψ 1 = Sψ 1 ψ 2 = Sψ 2 r r r r ei = S ji e j ⇒ ui ei = ui S ji e j ⇔ u j = S ji ui

(

)

les quantités non surmontées d’une barre représentent des composantes sur E. Pour simplifier posons : U 1   S U = = U 2   0  ψ 1  S ψ= = ψ 2   0

0  U 1    S  U 2  0  ψ 1    S  ψ 2 

U = SU ψ = Sψ

D’où, relativement aux nouvelles variables : K = S T KS

M = S T MS

Immédiatement, on trouve :  λ2x λ x λ y λ x λ z  ES   avec K1 = λ2y λ yλ z   l  sym λ2z  r r r r (il n’intervient que les composantes de { x , y , z } sur x  K1 K= − K1

M=M

− K1  K1 

ψ = STψ

Le dernier résultat pouvant aussi s’obtenir à partir du travail des forces généralisées : δT = δU T ψ = δU T S T ψ = δU T ψ

Finalement, après assemblage nous obtiendrons une équation matricielle du type :

MU&& + KU = F ( t ) Il ne faudra pas oublier dans la construction du vecteur second membre de tenir compte de forces extérieures aux noeuds.

261

Eléments finis et méthodes variationnelles

Une remarque s’impose sur la détermination de l’effort normal dans une barre B et la détermination des forces extérieures agissant sur la barre. Effort normal r y

Tous les déplacements nodaux étant connus, il est possible d’obtenir dans chaque barre la valeur approchée de l’effort normal.  ui  ES Dans la barre {i , j} : F = −1 1   l u j 

F

E

r x

[

j

i

r z

[

]

avec, en utilisant les lignes1 et 4 de S telle que {U } = [ S ]{U }

ui = λ x

λy

 ui    λ z  vi  w   i

]

D’où : F = σ$ =

[

uj = λx

u j    λz v j  w   j

]

λy

[ (

)

(

)

(

ES λ x u j − ui + λ y v j − vi + λ z w j − wi l

)]

Forces extérieures agissant sur la barre r ψ il i

r ψ jl

Isolons la barre ij, noeuds non compris. j

Soit {ψ l } le vecteur force généralisée associé aux deux coupures, les théorèmes généraux s’écrivent : M U&& + K {U } = { ψ} + {ψ }

[ ]{ } [ ] ( y)

( y)

l

↑ vecteur force nodale équivalente.

Avec {U } vecteur des degrés de liberté de l’élément tel que {U } = [ S ]{U } r r on en déduit {ψ l } constitué des trois composantes des vecteurs ψ il et ψ jl sur E  Si  T Remarque : en statique {U&&} = { 0} si nous considérons que { ψ} + {ψ l } =   représente S j  r r une force généralisée formée des composantes sur E de Si et S j , nous avons : r Si

i

j

F

r Sj F

262

Eléments finis et méthodes variationnelles

 λx  0   Si  ES  0   = [ K S ]{U } =  l − λ x S j   0   0

λy ... ...

λz

− λx

− λy

− λy ... ...

− λz

λx

λy

− λ z   ui  − F   v   0   i      wi   0     =  λ z  u j   F   v j   0       w j   0 

Nous trouvons un vecteur tel que l’on ait la disposition de la figure mais qui exprime l’équilibre dans l’espace de configuration. I.2. Elément barre assurant la continuité de l’effort normal. Pour l’étude de la traction, l’élément linéaire à deux noeuds et un degré de liberté par noeud n’assure la continuité que de u le déplacement et pas de u, x qui peut être discontinu à la traversée d’un noeud. Physiquement, c’est l’effort normal F = ESu, x qui est en général continu. L’élément que nous allons présenter peut assurer la continuité de cet effort normal et possède deux degrés de liberté de plus. Il n’est cependant pas à utiliser directement si le noeud est chargé par une force extérieure bien qu’il donne des résultats interprétables. On peut l’utiliser au mieux en n’assurant dans l’assemblage que la continuité de u. 1 u1 F1

u( x , t ) Q

x

2 u2 F2

p( x , t )dx

I.2.1. Champ des déplacements.

[

Posons u( Q, t ) = 1 x

x2

a 0  a  3  1 x   = [Φ( x ) ]{ A( t )} a 2  a 3 

]

choisissons comme variables nodales les déplacements et les efforts normaux :

 u1  F   1  =  u2   F2 

 Φ( 0)  a 0      ESΦ , x ( 0)   a1  =  Φ( l )  a 2     ESΦ , x ( l )  a 3 

1 0 0 ES  1 l  0 ES

0  a 0  0 0   a1     ⇔ {U } = [ T ] −1 { A} l2 l 3  a 2   2 ESl 3ESl 2  a 3  0

263

Eléments finis et méthodes variationnelles

 1 a 0   0 a    1 Par inversion :   = − 3 a 2   l 2 a 3   2  l 3

0 1 ES 2 − ESl 1 ESl 2

0   u 0  1  F  1   1  ⇔ { A} = [ T ]{U }  u − ESl   2  1   F2  ESl 2 

0 0 3 l2 2 − 3 l

[

]

Ainsi u( Q, t ) = [ Φ][ T ]{U } et F = ES Φ , x T {U } Nous en déduisons les matrices d’interpolation pour u et aussi pour F :  2 3  1 − 3ξ + 2ξ u    =  ES F Q  ( − 6ξ + 6ξ 2 )  l avec ξ =

l ( ξ − 2ξ 2 + ξ 3 ) ES 1 − 4ξ + 3ξ 2

3ξ 2 − 2ξ 3 ES ( 6ξ − 6ξ 2 ) l

u  l  1 − ξ 2 + ξ 3 )   F  ( 1 ES u  − 2ξ + 3ξ 2   2  F   2

∂ 1 ∂ x et = ∂x l ∂ξ l

I.2.2. Calcul des énergies. L’énergie de déformation ne fait intervenir que le terme non nul de E . r r Comme E = u, x x ⊗ x l

[

]

∫ ESu

avec

0 0  1 l 0 K A = ES ∫  0 0 2x  2 0 3 x

0

2 ,x

[ ]

T T dx = { A} Φ ,Tx ESφ , x dx { A} = { A} K A { A}

2Ed =

0 0 0  0 l 2  3x dx = ES 0 l 2 6x 3   4  3 9x  0 l 

0 2x 4x2 6x 3

0 2

l 4l 2 3 3l 4 2

L’énergie cinétique s’écrit : T 2 E c = ∫ ρSu& 2 dx = { A& } l

0

avec

[∫ Φ ρSΦdx]{ A& } = { A& } [ M ]{ A&} l

T

T

A

0

1 x x  l x ... M A = ρS ∫  0 ...  ...

2

 x  l   2 dx = ρS  l  2   ...    ... 3

264

l2 2 ...

l3 3

l4  4      

0  l3   3l 4  2  9l 5   5 

Eléments finis et méthodes variationnelles

Changement de variables : pour obtenir M U et KU nous utilisons { A} = [ T ]{U } 1 6 1  5  −  6l 10 ES 5l 10 ES    2l 1 l   − − 2 2 10 ES 15( ES ) 30( ES )  T  KU = [ T ] K A [ T ] = ES 6 1   −  5l 10 ES    2l  sym  2  15( ES )  11l 9 13l   13 −  35 210 ES 70 420 ES    2 l l2 13l   − 2 2 420 ES  105( ES ) 140( ES )  T M U = [ T ] M A [ T ] = ρSl  13 11l  −   35 210 ES   l2 sym  2  ( ) 105 ES 

[ ]

[

]

Nous retrouverons ces coefficients numériques dans l’étude de l’élément poutre à deux noeuds. r I.2.3. Vecteur force généralisée associé au chargement linéique p( x , t ) x .

Ce vecteur se construit à partir d’un travail virtuel, il a quatre composantes dont deux (4 )

ψ associées aux degrés de liberté F1 et F2 ont les dimensions d’un déplacement.

 (1) ψ   (2 )  l ψ u T { ψ} = ∫0 [ N ] { p} dx =  (3) ψ     ( 4 ) ψ 

avec

u( Q, t ) = [ N u ]{U }

265

(2 )

ψ et

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.3. L’élément poutre à deux noeuds. r − yv , x x

r y

+P

r n

Nous considérons un solide cylindrique l de section droite S, de masse spécifique ρ ; le milieu est homogène et isotrope.

θ = v,x

vG θ1 1

θ2

v1

v 2 2r x

+P G x

r z

l

r x est le lieu des centres G de section r droite, z est principal d’inertie pour la section droite.

Nous nous proposons d’abord d’étudier la flexion plane de cette poutre r r dans le plan Ox , Oy , évidemment ici, à partir d’un état non contraint.

I.3.1. Champ des déplacements. Nous adoptons un champ avec l’hypothèse de Bernoulli r r r r r u P = uG + θ ∧ GP r r r r avec θ = θ z z = rot uG = v , x z (où v est la flèche) r r uG = v( x , t ) y

− yv , x  r {ur Pr}r =  v  O; x , y ,z  0   

r u ne dépends que de v que nous choisissons cubique en x : a 0  a  2 3  1 v= 1 x x x   = [Φ( x ) ]{ A( t )} a 2  a 3 

[

]

Les degrés de liberté choisis sont les flèches et les rotation aux extrémités, les noeuds de l’élément. La matrice de connexion T −1 s’obtient facilement :  v1  θ   1  = v2  θ 2 

 Φ( 0)  a 0   ( )   Φ , x 0   a 1  =  Φ( l )  a 2     ( ) Φ l  , x  a 3 

1 0  1  0

0  a 0  1 0 0   a1  −1   ⇒ {V } = [ T ] { A} 2 3  l l l  a 2   1 2l 3l 2  a 3  0

0

et par inversion :

266

Eléments finis et méthodes variationnelles

 1 a 0   0 a   3  1 − 2 ==   a  l 2    2 a 3   l 3

0 1 2 − l 1 l2

0   v1  0   1 θ 1  −    ⇒ { A} = [ T ]{V } l v2  1  θ   2 l 2 

0 0 3 l2 2 − 3 l

Enfin nous obtenons la matrice d’interpolation : v P = [ Φ]{ A} = [ ΦT ]{V } ⇒ v P = [ N ]{V } 

[ N ] = 1 − 

3x 2 2 x 3 + 3 l2 l

 x 2x 2 x 3  l − 2 + 3  l l  l

3x 2 2 x 3 − 3 l2 l

 x2 x3  l − 2 + 3   l   l

Cette matrice vérifie certaines propriétés que nous préciserons plus loin.

I.3.2. Tenseur des déformations. r La matrice h du tenseur grad u P donne la matrice E du tenseur des déformations telle que E=

h + hT : 2 − yv , xx  h =  v,x  0

− v,x 0 0

− yv , xx 0   0 ⇒ E =  0  0 0

0 0  0 0 0 0

nous posons ε xx = − yv , xx classiquement. La loi de comportement pour cette modélisation se réduit à σ xx = Eε xx = − Eyv , xx Nous définissons trois contraintes intégrées : F = ∫ σ xx dS S

T = ∫ σ yx dS S

σ yx σ xx

dS

x

T

S

xx

dS

Dans ce cas de flexion, comme σ xx varie linéairement, F, l’effort normal, est nul.

(le moment dynamique est négligé)

γ dx

pdx

∫ − yσ

T est donné par une équation de moments Tdx + γdx + dM ≈ 0 ou T + γ = − M ,x

G

M

M=

M= M + dM T + dT

∫

S

Ev , xx y 2 dS = EI z v , xx

{ }

Nous posons {ε$} = v , xx

267

{σ$ } = { M }

[ EI ] = [ D] z

Eléments finis et méthodes variationnelles

{σ$ } = [ D$ ]{ε$} avec avec

[ ]

σ xx = −

[ ]

ε$ = Φ , xx { A} = B A { A}

σ$ y Iz

[ ]

[ ]

ε$ = N xx { v} = BV {V }

ou

I.3.3. Calcul des énergies. Nous procédons de la même façon que précédemment. L’énergie de déformation permet d’obtenir la matrice de raideur : l  ε  2 E d = ∫ σ xx ε xx dV = ∫ ( − yσ xx ) − xx  dSdx = ∫ σ$ T ε$ dx 0  y 

[ ]

T 2 E d = ∫ {ε$} D$ {ε$}dx l

0

[ ]

Si nous utilisons la première expression de ε$ : ε$ = B A { A} :

[ ]

T 2E d = { A} K A { A} avec

[ K ] = [∫ Φ l

A

0

T , xx

] [∫ B DB$ dx]

EI z Φ , xx dx =

[ ]

l

T A

0

A

Si nous utilisons la deuxième expression ε$ = BV {V } :

[ ] [ K ] = [ ∫ N EI d’ailleurs [ B ] = [ B T ] et [ K ] = [ T K T ] T 2 E d = {V } KV {V } avec

V

V

V

l

T , xx

0

z

] [∫ B DB$ dx]

N , xx dx =

l

T V

0

V

T

[K ] A

A

[ 0]  [ 0]  4l 6l 2  = EI z [ 0]  6l 2 12l 3  

A

[K ] V

6  12  l3 l2  4  l = EI z     sym 

12 l3 6 − 2 l 12 l3

−

6  l2  2   l  6 − 2  l 4   l 

L’énergie cinétique permet de calculer la matrice de masse : r 2 E c ≈ ∫ ρu& G2 dV en négligeant l’énergie cinétique de rotation des tranches. l

& 2 E c = ∫ v& T ρSvdx 0

Soit

et

avec

v = [ Φ]{ A}

avec

v = [ N ]{V }

[ M ] = [T V

 l  2 l M A = ρS  2  ...  

l2 2

T

M AT l3 3

] l4  4      

[∫ Φ ρSΦdx]{ A&} = { A&} [ M ]{ A& } = {V& } [ ∫ N ρSNdx ]{V& } = {V& } [ M ]{V& }

T 2 E c = { A& }

0

T

l

2Ec

l

T

T

A

T

T

V

0

 13 11l  35 210  l2  105 M V = ρSl      sym 

268

9 70 13l 420 13l 35

13l  420  l2   − 140  11l  − 210  l2   105  −

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.3.4. Vecteur force généralisée associé au chargement. Le torseur du chargement sur la surface latérale et des forces de masse se réduit (doit r se réduire, s’il n’y a que la flexion! ) sur la ligne des centres de surfaces à une résultante pdxy r et à un couple γ dxz pour une longueur dx . Nous devons calculer le travail virtuel de ce chargement. γ dx

p dx

ψ=∫

l

0

[

δT = ∫ (δvp + δθγ )dx = δV T ∫ N T l

l

0

0

]

 p N ,Tx  dx γ 

Ceci définit un vecteur de forces nodales équivalentes ψ  F1  Γ  Γ1 Γ2  p  1 N T N ,Tx  dx =   F1 F2 γ   F2  Γ2 

[

]

Remarque : Avant de passer aux applications notons que la matrice N d’interpolation de la flèche peut être utilisée pour calculer des valeurs approchées d’autres grandeurs : v = NV

soit avec ξ =

θ = N , xV x l

M = EI z N , xxV

T + γ = − EI z N , xxxV

∂ 1 ∂ = ∂x l ∂ξ

 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 l ( ξ − 2ξ 2 + ξ 3 ) 3ξ 2 − 2ξ 3 l ( − ξ 2 + ξ 3 )   v  1 1 1  ( − 6ξ + 6ξ 2 ) 1 − 4ξ + 3ξ 2 6ξ − 6ξ 4 ) − 2 ξ + 3ξ 2    ( l l   θ1  1 1 1 v  1 − 6 + 12 ξ − 4 + 6 ξ 6 − 12 ξ − 2 + 6 ξ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 l  2  l l l   θ 2  12 6 12 6   − 3 − 2 − l l l3 l2   Les moments de flexion varient linéairement.

 v   θ   M     EI  = z   T + γ   EI z 

I.3.5. Applications. I.3.5.1. Petits mouvements de flexion plane de poutres droites. Les résultats précédents peuvent être utilisés pour l’étude des petits mouvements de flexion plane d’une poutre droite. La poutre est discrétisée convenablement en tronçons de longueur li , les énergies s’additionnent comme les travaux virtuels. En assemblant les matrices et les vecteurs forces généralisées, on assure la continuité du milieu déformé et on obtient un système différentiel matriciel exprimant les équations de Lagrange relatives aux variables nodales.

269

Eléments finis et méthodes variationnelles

[ M ]{V&&} + [ K ]{V } = { ψ} ass

ass

Les variables nodales étant réunies dans {V }

(E)

ass

Les matrices masse et raideur sont encore des matrices bandes. Introduction des conditions aux limites Le champ des déplacements, continu dans chaque élément est continu dans tout le domaine, l’élément est conforme. Il reste à introduire les conditions aux limites géométriques pour rendre le champ compatible (ou encore cinématiquement admissible). Le principe des travaux virtuels, qui a en fait permis d’écrire les équations ( E ) s’écrit : r δA − δTF int − δTF ext = 0 ∀δu

soit en partitionnant le vecteur {V } en {Vdonné } et {Vinconnu } et en effectuant une partition associée sur les matrices et les forces généralisées :

{δV

T d

  M 11 δVi T }    M 21

M 12  V&&d   K11  + M 22  V&&i   K 21

K12  Vd   ψ i    −   = 0 K 22  Vi  ψ d 

∀{δVdT } ∀{δVi T } ou ψ i désigne un vecteur de forces généralisées inconnues mais contient cependant des forces nodales équivalentes connues. Imposons

{δV } = {0} T d

c’est à dire : prenons un champ de déplacements virtuels

compatibles, il ne subsiste plus que le second groupe d’équations régissant {Vi } :

[ M ]{V&& } + [ K ]{V } = {ψ } − [ M ]{V&& } − [ K ]{V } 22

i

22

i

d

21

d

21

d

On voit qu’un déplacement imposé non nul crée un type d’excitation du type déplacement et accélération sur {Vi } .

{V } {V } . i

Le premier groupe d’équations associé au déplacement virtuel incompatible permet, étant connu, de déterminer les forces généralisées {ψ i } imposant les déplacements

d

Cas particuliers

270

Eléments finis et méthodes variationnelles

* Les conditions aux limites géométriques nulles s’introduisent simplement en supprimant des termes dans les équations. θ1

θP

v1

θ1

vP

Encastrement v1 = θ 1 = 0

v1

Appui vP = 0

Encastrement glissant θ1 = 0

• Cas d’un appui dénivellable de raideur k Il suffit d’inclure l’appui dans le système considéré. L’énergie de 1 déformation supplémentaire étant k v 2 il faut rajouter le terme k i à 2 i i l’élément i i convenable de la matrice K.

vi ki

• Cas d’une inertie concentrée θP

vP

P

L’énergie cinétique due à la présence du solide de dimensions transversales non négligeables doit être prise en compte : 2 E c = Mv& P2 + I Z θ& 2P Si P est un noeud, deux termes diagonaux de M sont à modifier.

I.3.5.2. Etude de structures formées d’assemblages de poutres dans l’espace. En utilisant les résultats obtenus pour l’élément barre et l’élément poutre, on peut étudier des assemblages de poutres dans l’espace en appliquant le principe de superposition. Les calculs ne sont directement utilisables que si toutes les poutres de la structure ont leur ligne des centres de surface qui coïncide avec la ligne des centres de cisaillement. Le champ des déplacements vérifie l’hypothèse simplificatrice de Bernoulli et on construit des matrices 12 × 12 associées aux variables nodales de chaque base locale E .

r y

r z

θ y1

θ y2

v1 u1

w1

r z

θ z1

θ x1 T y

+

v2 w2

My

u2 r x

θx2 θ z2

Tx Mx Tz M z 271

w, x

r⊗ y

dx

r x

Eléments finis et méthodes variationnelles

θ z = v,x

θ y = − w, x

M z = EI z v , xx

M y = − EI y w, xx

Tx = ES u, x

Ty + γ z ( x ) = − EI z v , xxx

− Tz + γ y ( x ) = EI y w, xxx

M x = GJ θ x , x

Le fait que θ y = − w, x nécessite de changer certains signes dans les matrices

d’interpolations N ( x ) , N , x ( x ) ,... utilisées pour le calcul de w et des variables nodales associées. r r Comme θ y = − w, x la matrice raideur associée à la flexion dans le plan ( xOz ) r r s’obtient à partir de celle déjà calculée pour la flexion dans le plan ( xOy ) en changeant de

6 6 signe les termes rectangles associés à des produits vθ  2 → − 2  . l l  La matrice masse se construit de façon analogue.

 ES + 1 − 1     l − 1 + 1  K = ( u1 ,u2 ;θx 1 ,θx 2 ;v1 ,θz 1 ,v2 ,θz 2 ;w1 ,θ y 1 ,w2 , θ y 2 )     

(u

1

GJ l

+ 1 − 1 − 1 + 1  

[

r r EI z K flexion ( xOy )

]

[

r r EI y K flexion ( xOz )

Les matrices sont écrites en utilisant un ordre différent pour les variables nodales : v1

θ x1

w1

θ y1

θ z1

u2

v2

θx2

w2

θ y2

)

θz2 .

Si on utilise une même base de référence E pour toutes les barres, la matrice de passage étant S, alors on pourra définir une matrice S telle que : K = S T KS

M = S T MS ψ = STψ avec :

λ x  S = µ x ν  x

λy µy νy

λz   µz  ν z 

et

r ↑ composantes de z sur E r ↑ composantes de y sur E r ↑ composantes de x sur E

(Il

y

a

en

général

autant

de

272

S  S=   

S

matrices

S

     S

S

que

de

poutres)

]

         

Eléments finis et méthodes variationnelles

Matrices des poutres droites  ES  l             K =   *             

− 12 EI z l

6 EI z

3

l 12 EI y

−

l3

−

2

12 EI z l3

6 EI y

−

l2

12 EI y

−

l3

GJ l

− 4 EI y l

*

l −

6 EI y l2

GJ l

6 EI y 4 EI z l

*

2 EI y l

2

6 EI z l2

ES l *

12 EI z

* *

l3

*

12 EI y

6 EI y

l3

l2 GJ l

* *

*

*

u1  ρSl  3              M=  *             

ES l

*

v1

13ρSl 35

13ρSl 35

θ y1

θ x1

w1

− ρI 0 l 3

*

11ρSl 2 210 ρSl 3 35

*

*

*

θ z1

11ρSl 2 210

u2 ρSl 6

v2

w2

9ρSl 70

9ρSl 70

− ρSl 3 105

ρSl 3

* *

13ρSl 2 420 13ρSl 35

*

13ρSl 2 420

13ρSl 35

* * *

I0 = I y + Iz

4 EI y l

*

*

* *

*

Les * sont les termes symétriques. 273

θ y2

θx2

ρI 0 l 6

13ρSl 2 420

−

ρI 0 l 3

ρSl 3 140

11ρSl 2 210 ρSl 3 105

  6 EI z   l2         2 EI z   l    6 EI z  − 2  l         4 EI z  l 

θ z2   2  13ρSl  − 420         3  ρSl  − 140    2  11ρSl  − 210          ρSl 3  105 

Eléments finis et méthodes variationnelles

Après assemblage on obtient une équation matricielle linéaire régissant le système. • Equations du mouvement d’une poutre isolée Le système matriciel étant résolu, on peut connaître les forces et couples agissant aux extrémités de chaque poutre.

r y

Γ11

Γ12

Γ21

Γ22

X2

Γ31 X 1

Γ32

Y2

E

Z2

Y1 r z

Si on isole une poutre située entre deux noeuds (les noeuds d’extrémité et les forces localisées aux noeuds n’étant pas incluses dans le système isolé) on a, en désignant par {ψ nod } la force généralisée associée au chargement linéique de la poutre considérée :

r x

Z1

[ M ]{&&δ} + [ K ]{δ} − { ψ } = {F } nod

{ δ } = {u {F } = { X T

en posant :

v1

1

T

soit, puisque { δ} = [ S ]{ δ} base de référence E :

1

w1

Y1

θ x1 Γ11

Z1

θ y1

θ z1

Γ21

Γ31

u2

v2

X2

Y2

w2 Z2

θx2 Γ12

θ y2 Γ22

θz2

}

Γ32 }

où { δ} désigne les composantes des variables nodales sur la

[ M ][S ]{&&δ} + [ K ][S ]{δ} − { ψ } = {F } nod

Cette relation permet de calculer les composantes de {F } . Ces composantes n’apparaissent pas dans les équations générales car ce sont des forces intérieures de liaison dues aux coupures effectuées. Notons que la même démarche peut être effectuée si l’on désire connaître les forces extérieures agissant sur un ensemble de plusieurs éléments finis, la démarche est d’ailleurs générale : quelque soit le type d’élément considéré. I.4. Un élément poutre simplifié pour la flexion avec l’hypothèse de Timoshenko. r y M

P

M + dM γ dx

γ xy

pdx

G r z

O

T + dT

T x

v,x

θ

Nous nous proposons ici de construire un élément poutre en tenant compte du glissement sous r l’effet de l’effort tranchant, selon la théorie de n Timoshenko.

r x

r La poutre est cylindrique droite, l’axe Ox r est lieu des centres de section droite, z est principal d’inertie pour la section droite.

x + dx

274

Eléments finis et méthodes variationnelles

r r Nous nous intéressons aux petits mouvements de flexion dans le plan xOy et nous rappelons brièvement la théorie :

r r r r u P = vy + θz ∧ GP ⇒ u P = − yθ ε xx = − yθ , x γ xy = v , x − θ T, x + p = ρSv&&  && T + γ + M , x = ρI z θ

2 E c = ∫ (ρSv& 2 + ρI z θ& 2 )dx l

( p ,γ )

T = k ′GSγ xy M = EIθ , x l

(

)

2 E d = ∫ EIθ ,2x + k ′GSγ 2xy dx

0

δT =

v P = v wP = 0

0

∫ ( δvp + δθγ )dx l

0

Nous supposerons dans la suite que γ le couple linéique est nul. La méthode des éléments finis peut être utilisée avec deux fonctions v et θ (ou même v et γ xy ). Nous adopterons ici une formulation approchée en utilisant une seule fonction v et un paramètre de perturbation Φ s ( k ′ ) noté δ . Nous adopterons T = − EIv , xxx et M = EIv , xx avec pour v un champ cubique en x. Finalement nous verrons que le glissement est alors constant dans l’élément et l’erreur introduite systématiquement porte sur T. Thomas et Wilson ont testé cet élément (Journal of sound and vibration 1973 vol. 31 n°3 p 315-330) et montré que c’était le plus précis de tous ces éléments connus à quatre degrés de liberté. Cet élément est dû à Przemieniecki. Mise en oeuvre de la méthode des éléments finis Nous posons : a 0  a  2 3  1 v= 1 x x x   = [ Φ ]{ A} a 2  a 3 

[

]

M = EIv , xx

a 0  a  2  1 v , x = 0 1 2 x 3x   = Φ , x { A} a 2  a 3 

[

]

[ ]

a 0  a   1 = EI 0 0 2 6 x   = EI Φ , xx { A} a 2  a 3 

− T = EIv , xxx

[

]

a 0  a   1 = EI 0 0 0 6   = EI Φ , xxx { A} a 2  a 3 

[

6 EIa 3 T =− et γ xy , x = 0 k ′GS k ′GS 12 E I nous posons δ = coefficient sans dimension petit devant 1. k ′ G Sl 2

Ainsi : γ xy =

D’où : γ xy

δl 2 =− a 2 3

δl 2 θ = v,x + a 2 3

275

[ ]

]

[

]

Eléments finis et méthodes variationnelles

Les variables nodales finalement conservées sont {v1 , θ 1 , v 2 , θ 2 } ainsi la continuité du milieu sera assurée mais v , x n’est pas à priori continu aux noeuds. • Construction des matrices d’interpolation  v1  θ   1  = v2  θ 2 

0  δl 2  a 0  1 0  a1  −1 2    ⇒ {V } = [ T ] { A} l l2 l3   a1  δl 2    2 1 2l 3l + a 3  2 

1  0  1 0 

0

0

avec det[ T ]

−1

= (1 + δ ) l 4

Par inversion de la matrice de connexion [ T ] : l 3 (1 + δ )  0 0 0 3 a 0     v1  δ δl 2 3 2 a    θ  l l l − δ 1 + δ −   1  1  2 2    1  ⇒ { A} = [ T ]{V }  = 3 2 2 ( )  v2 l l a1  1 + δ l  − 3l − ( 4 + δ ) 3l − ( 2 − δ )     a 3    2 2  2  θ 2  l l −2   −1

La matrice T permet de calculer les fonctions d’interpolation pour v , θ, M , T :

v = [ Φ]{ A} = [ ΦT ]{V } = [ N V ]{V }  V  δl 2 δl 2 1 θ = v,x + a3 =  N ,x + l − 2 l ]{V } = [ N θ ]{V } 3 [2 2 2 (1 + δ )l  

[ ]

[ ] ]{V }

M = EIv , xx = EIθ , x = EI N ,Vxx {V }

[

T = − EIv , xxx = − EI N ,Vxxx

 3 1 + δ − δξ − 3ξ + 2ξ v   θ  6  − ξ − ξ2 ) (  M  1  l  =  ( ) 1 + δ 1 EI    ( − 6 + 12ξ) T   l2  EI   12  − 3 l 

soit avec ξ =

  δ δ 2 3 2 3 ξ 1 + 2  − ξ  2 + 2  + ξ  δξ + 3ξ − 2ξ   δ 1   1 + δ − 2ξ 2 +  + 3ξ 2 6ξ − 6ξ 2 ) (   2 l 1  δ  1 −  2 +  2 + 6ξ  ( 6 − 12ξ)  l  2 l2  6 12 − 2 l l3

• Construction des matrices masse et raideur

2 E c = { A& }

T

[

]

2

2     & } + ρI a&1 + 2a& 2 x +  3x 2 + δl  a& 3  dx Φ ρ S Φ dx { A ∫0 ∫0  2    l

T

x : l

l

276

 δξ ( 2 − δ ) 2  l − − ξ + ξ 3  2  2  v  δ    1  −  1 −  2ξ + 3ξ 2  θ1   2 v  − ( 2 − δ ) + 6ξ  2   θ 2  l  6  − 2 l 

Eléments finis et méthodes variationnelles

2 E c = { A& }

T

[

 0 0 0   0 1 2x  l T M A { A& } + { A& } ρI ∫  4x 2 0  sym  

]

  0 0 0   l l2     T 4l 3 2 E c = { A& }  M A + ρI    3     sym  

 2 δ l  3x 2 +  2 2   δl   2 x  3x 2 +  dx{ A& } 2   2   2 δl 2    3x +  2    0

0   δ   l 1 +    2  4 l & } = { A& } T M A nouvelle { A& }  A  { (3 + δ)  2 9 δ 2   l 5  + δ +   4    5 3

[

]

où M A est la matrice de masse calculée avec l’hypothèse de Bernoulli. 2 E d = { A}

T

[

]

2

[ ]

l  6 EI  T ∫0 Φ ,Txx EIΦ ,xx dx { A} + ∫0 k ′GS  − k ′GS  a32 dx = { A} Ka { A} + 3δEIl 3a 32 l

 [ 0]   [ 0] T T 2 E d = { A}  K A +   { A} = { A} K A nouvelle { A} 3 [ 0] 3δl EI   

[

]

où K A est la matrice de raideur calculée avec l’hypothèse de Bernoulli. • Changement de variables Nous obtenons KV et M V en utilisant { A} = [ T ]{V }

6l − 12 6l   12  6l l 2 ( 4 + δ ) − 6l l 2 ( 2 − δ )  EI   KV = T T K A nouvelle T = 3 − 6l 12 − 6l  l (1 + δ )    l 2 ( 4 + δ)   sym

[

]

[

]

M V = T T M A nouvelle T = M translation + M rotation soit avec ρI = ρSr 2 où r est le rayon de giration de la section :

277

Eléments finis et méthodes variationnelles

M translation =

ρSl

(1 + Φ ) S

M rotation =

ρSl

(1 + Φ ) S

2

2

1 2  13 7  35 + 10 Φ S + 3 Φ S sym   11 11 1 2 1 1 2 2  1  + ΦS + Φ l + Φ + Φ l   105 60 S 120 S  24 S    210 120  9 3 1 3 1 2  13 ΦS  l + Φ S + Φ 2S + ΦS +     70 10 6 420 40 24  3 1 2 1 1 2 2  1   13 −  420 + 40 Φ S + 24 Φ S  l −  140 + 60 Φ S + 120 Φ S  l 

6   5  1 1 1   2 1  − Φ S  l  + Φ S + Φ 2S  l 2 2    15 6 3   r   10 2    6  1 1   l − − + ΦS l   10 2  5  1 2 2   1 1  1 1  − ΦS l − − Φ + Φ l   30 6 S 6 S   10 2

      13 7 1 2 + Φ + Φ  35 10 S 3 S  11 1 2  1 1 1 2 2  11 − + ΦS + ΦS  l  + ΦS + ΦS  l   210 120 24   105 60 120   sym

      6  5  1 2 2  1 1  2 1 − + ΦS l  + ΦS + ΦS l   10 2   15 6 3   sym

Φ S ( k ′) = δ • Vecteur force généralisée associée au chargement linéique r La force nodale équivalente due au chargement linéique py se déduit de l’évaluation du travail virtuel :

{ ψ} = ∫ [ N ] { p} dx l

V T

0

______

278

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.5. L’élément triangulaire plan à trois noeuds. r y

Considérons un élément matériel triangulaire plan d’épaisseur h.

v3 u3

v2

P3 ( x 3 , y 3 )

y 31

u2

v

P2 ( x 2 , y 2 )

u

P( x , y ) v1

∆ 12 2 x 21

u1 P1 ( x1 , y1 )

r x

Nous nous proposons de le caractériser pour étudier des problèmes de statique, problèmes considérés pratiquement, après analyse, comme de contraintes planes ou de déformations planes. r r r 1 Aire ∆ = ( P1 P2 ∧ P2 P3 ) ⋅ z 2 Epaisseur h

Dans les deux cas le déplacement d’un point Q( x , y , z ) du plan de cote z a ses deux composantes u et v indépendantes de z et le produit σ 33 ε 33 est nul ; la différence apparaîtra dans la matrice d’élasticité [ D] .

I.5.1. Champ des déplacements. r En P( x , y ,0) le champ u est caractérisé par ses composantes u et v et nous posons :

u = [1 x

a 0    y ] a1  = Φ( x , y ) { A } a   2

v = [1 x

b0    y ]b1  = Φ( x , y ) {B } b   2

[

]

[

(

]

)

En Pj x j , y j ,0 sommet du triangle les déplacements sont u j et v j .

 u1  1 x1    u2  = 1 x 2 u  1 x 3  3 

{ U} = [ T] 1

ou

1

−1

y1  a 0    y 2   a1  y 3  a 2 

 v1    v 2  = v   3

1 x1  1 x 2 1 x 3

{ U} = [ T]

{ A}

2

2

le déterminant de la matrice de connexion étant :

[ T] 1

1 −1

x1

= 0 x 2 − x1

0 x 3 − x1

y1 y 2 − y1 = 2 ∆ y 3 − y1

279

−1

y1  b0    y 2  b1  y 3  b2 

{B}

avec

[ T] = [ T] 1

2

Eléments finis et méthodes variationnelles

u et v continus sur le triangle varient linéairement sur les frontières donc le transformé d’un triangle est un triangle et l’élément est conforme puisque, après assemblage, le champ de déplacement d’un domaine décomposé en triangles sera continu partout. Par inversion nous avons :

{ A } = [ 1 T ]{ 1 U }

{ B } = [ 2 T ]{ 2 U }

avec

∆ 23 1  1 T= y 2 ∆  23  x 32

∆ 31 y 31 x13

∆ 12   y12  x 21 

∆ r r r  ∆ ij = xi y j − x j yi = OPi ∧ OPj ⋅ z = 2 S a lg ébrique OPi Pj avec :   xij = xi − x j yij = yi − y j

(

{ A} T = [ A T B T ]

Posons : a 0  ∆ 23 y a   23  1 a 2  1  x 32  =  b0  2 ∆  0  0  b1      0 b2 

)

0

∆ 31

0

∆ 12

0

y 31

0

y12

0

x13

0

x 21

∆ 23

0

∆ 31

0

y 23

0

y 31

0

x 32

0

x13

0

{V } T = { u1 , v1 ; u2 , v2 ; u3 , v3 } d’où : 0   u1  0   v1    0  u2     ⇒ { A} = [ T ]{U } ∆ 12  v 2  y12  u3    x 21  v 3 

La matrice d’interpolation N reliant les déplacements en P aux déplacements nodaux s’en déduit :  u1  v   1 ∆13 + y31 x − x31 y ∆ 12 + y12 x − x12 y 0 0 0  u2  u  1  ∆ 23 + y23 x − x23 y   =    idem idem idem v2  0 0 0 v  P 2 ∆  u3    v3  u    = [ N ]{U } v  P avec

 N1 N= 0

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

0 N 3 

et

(

)

N i x j , y j = δ ij

I.5.2. Déformations et contraintes. • Le vecteur déformation { ε} est associé à la matrice du tenseur E  ε xx  , x  def     u  { ε} = ε yy  =  { ε} = B ( ur ) où B est un opérateur différentiel. , y  v  γ  , y , x    P   xy  

{ ε} peut s’exprimer en fonction de { A} ou de {U }

280

Eléments finis et méthodes variationnelles

a 0  a  1  0 1 0 0 0 0    a  { ε} = 0 0 0 0 0 1  2  ⇒ { ε} = B A { A} b 0 0 1 0 1 0  0   b1    b2   N 1, x 0 N 2,x 0 N 3, x 0    { ε} =  0 N 1, y 0 N 2, y 0 N 3, y {U } ⇒ { ε} = BU {U } N   1, y N 1, x N 2 , y N 2 , y N 3, y N 3, x 

u  Φ 0  Avec   =  { A} v  P  0 Φ 

[ ]

u  Avec   = [ N ]{U } v  P

[ ]

[B ] = [B

avec :

1

U

 y jk 1  0 telle que Bi = 2 ∆  − x jk

0   − x jk  y jk 

[ ] [

B2

B3

]

la permutation ijk étant paire.

Nous avons toujours la relation BU = B A T

]

• Le vecteur de contraintes associé s’obtient à partir de sa définition et de la loi de comportement convenable

def

h 2 h − 2

{σ$ } = ∫

+

σ xx    σ yy dz = D$ {ε} ⇒ σ   xy 

[ ]

{σ$ } = [ D$ ][ BU ]{U }

I.5.3. Energie de déformation et matrice K. 2E d =

∫ {σ$ ( ) } S

ε

T

{ ε} dS = ∫ { ε} T [ D$ ]{ ε} dS S

[ ] [ K ] = ∫ [ B ] [ D$ ][ B ]dS = ∆[ B ] [ D$ ][ B ] avec { ε} = [ B ]{U } [ K ] = ∫ [ B ] [ D$ ][ B ]dS = ∆[ B ] [ D$ ][ B ]

visiblement : avec { ε} = B A { A}

T

A

S

A

U

S

U

T

A

A

U

U

T

U

A

T

U

Les déformations et les contraintes sont uniformes dans l’élément qui porte le nom de C.S.T. (Constant Strain Triangular).

281

Eléments finis et méthodes variationnelles

Pour un état de contraintes planes la matrice K est celle ci : Matrice raideur K élément C.S.T. contraintes planes. 1− ν 2  2 y23 + x  2 23  1+ ν  − x y 2 23 23  ν 1 −  hE  y23 y31 + 2 x23 x31 K= 4 ∆(1 − ν2 )  − νx y − 1 − ν x y 31 23 2 23 31  ν 1 − +y y + x x 12 23  2 23 12  1− ν x y − νx12 y23 − 2 23 12 

1− ν 2 y 2 23 1− ν − νx23 y31 − x y 2 31 23 1− ν x23 x31 + y y 2 23 31 1− ν x y − νx23 y12 − 2 12 23 1− ν x23 x12 + y y 2 23 12 2 x23 +

1− ν 2 x 2 31 1+ ν − x y 2 31 31 1− ν y31 y12 + x x 2 31 12 1− ν − νx12 y31 − x y 2 31 12 2 y31 +

1− ν 2 y 2 31 1− ν − νx31 y12 − x y 2 12 31 1+ ν x31 x12 + y y 2 12 31 2 x31 +

1− ν 2 x 2 12 1+ ν − x y 2 12 12

y122 +

            1− ν 2  2 x12 + y  2 12 

I.5.4. Vecteurs forces généralisées associées au chargements. r • Si l’élément est soumis à une force ρ S F par unité de surface, force de composantes p x , p y le travail virtuel r r r ρ S FdS associé s’écrit : δT = ∫ δu P ⋅ ρ S FdS

r y

3

S

p T x δT = δU T ∫ [ N ]  dS S  py  La force généralisée associée a six composantes : p  { ψ} = ∫S [ N ] T  p x dS  y

2 r x

1

Il y a deux forces nodales équivalentes par noeud.

B

 p x dl     p y dl 

3 P

dl

2

• Si l’élément a une frontière, elle même frontière de l’ensemble du système étudié, soumise à un chargement linéique, la force généralisée associée s’écrit : p  (cas de figure) { ψ} = ∫23) N 23T  p x dl  y

[ ]

A

Dans le cas considéré N 1 = 0 sur AB permet d’obtenir l’équation de AB pour le calcul r de l’intégrale, mais il est bien plus simple comme u varie de façon affine sur AB de paramétrer directement :

N u  =   v  P sur AB  0

* 1

0 N

* 1

N

* 2

0

u2    0  v 2    N 2*  u3  v 3 

282

Eléments finis et méthodes variationnelles

ψ u2  0   ψ  N 2*   p x   v2  dl =    ψ u3  0  p y     ψ v3  N 2* 

 N 1*  0 { ψ} = ∫AB  0   0

ψ v3 ψ u3 ψ v2 ψ u2

et la force nodale équivalente n’a que quatre composantes. Remarque :

Si l’origine locale est prise en G centre de surface de l’élément 2∆ ∑ xi = ∑ yi = 0 ∫SxdS = ∫S ydS = 0 ∆ ij = 3

Si de plus le chargement surfacique est uniforme sur S la force nodale équivalente est :  px  1 0 p   0 1  y   p p    1 0   { ψ} = 21∆ 23∆ ∆ 0 1 p x  = ∆3  p x   y    y 1 0  px       p y   0 1 Finalement après prise en compte de forces ponctuelles éventuellement aux noeuds, on aboutit, pour ces problèmes de statique, après assemblage, à une équation matricielle de la K ass {U } = {ψ ass } forme :

[

]

I.6. L’élément triangulaire à trois noeuds utilisé pour les problèmes de statique à symétrie de révolution. r r ez z Nous considérons une structure de révolution r d’axe z dont le chargement possède la même symétrie r de révolution. Le milieu est isotrope. Nous la eθ r P3 décomposons en éléments toriques d’axe z à section triangulaire d’aire ∆ . P r

z

P1

P2

O

θ

r x

S

r er

r er

∆ P1 P2 P3

=∆

Les champs sont indépendants de θ (nous travaillons en cylindriques).

ρi  Pi   ( err ,erz ) ζ i 

283

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.6.1. Champ des déplacements. Nous choisissons pour les fonctions déplacements des variations linéaires en r et z : a 0  a   1 ρ 1 r z 0 0 0 a 2  ρ = [ Φ]{ A } r r r avec u P = ρer + ζez   =  ⇒  ζ  P 0 0 0 1 r z  b0  ζ = [ Φ]{ B }  b1    b2  Les coordonnées r et z de P joueront un rôle analogue aux coordonnées x et y du problème précédent ; de même ρ et ζ jouent le même rôle que u et v. Nous posons ainsi : AT = {A T B T } ∆ ij = ri z j − r j zi

{U } = {ρ T

1

rij = ri − r j

ρ   = {U } P = [ N ]{U } ζ 

avec

ζ3}

ζ1 ρ2 ζ 2 ρ3 zij = zi − z j  N1 N= 0

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

0 N 3 

I.6.2. Déformations et contraintes. En ce qui concerne les déformations, il n’intervient que quatre composantes pour le vecteur { ε} :

ε rθ = ε zθ = 0 par raison de symétrie ε θθ =

{

2 π( r + ρ) − 2 πr ρ = 2 πr r

T Posons { ε} = ε rr , ε θθ , ε zz , γ rz

Φ 0  Avec {U } P =  { A}  0 Φ

}

, r 0  1  0  ρ r  { ε} =  r   = B (u)  0 , z ζ    , z , r 

ρ ,r ρ r ζ ,r

      { ε} =  =   ρ + ζ  ,r   ,z

284

0 1 r 0   0

1 0 0 0 z 1 0 0 r 0 0 0 0 0 1 0 1

a 0  0  a1    0 a 2    ⇒ { ε} = B A { A} 1 b0   0  b1    b2 

[ ]

Eléments finis et méthodes variationnelles

 ρ1  ζ   1 ρ  { ε} = B1 B2 B3  2  Avec {U } P = [ N ]{U } ζ 2  ρ 3    ζ 3  z jk 0   0   N i ,r  ∆ jk   Ni  z 1  0   + z jk − r jk 0  avec Bi =  r r  ⇒ { ε} = BU {U }  = 2∆  r N 0 − r 0  i z , jk      N i , z N i ,r  − r jk z jk     1 avec N i = ∆ + z jk r − r jk z , la permutation ijk étant paire. 2∆ jk

[

]

[ ]

(

)

Nous avons toujours BU = B A T La détermination des contraintes se fait sans difficulté. T Posons { σ} = σ rr , σ θθ , σ zz , σ rz . Pour le milieu isotrope considéré, nous avons

{

}

{ σ} = [ D]{ ε} où la matrice d’élasticité est ici exacte. ν   1 1− ν  E (1 − ν)  1 D=  (1 + ν)(1 − 2 ν)   sym 

ν 1− ν ν 1− ν 1

   0   0  1 − 2ν  2(1 − ν)  0

σ zz σ rz

σ zr

[ ]

Ainsi { σ} = [ D] BU {U }

I.6.3. Calcul de l’énergie de déformation. 2E d =

∫

tore

soit avec

{ σ} T { ε} dV

avec

{ ε} = [ B A ]{ A}

et avec

{ ε} = [ BU ]{U }

et comme

{ A} = [ T ]{U }

dV = rdrdzdθ

[ K ] = 2π ∫ [ B ] [ D][ B ]rdS [ K ] = 2π ∫ [ B ] [ D][ B ]rdS [ K ] = [T K T ] T

A

A

S

A

T

U

U

S

T

U

[

A

]

KU contient des blocs BiT DB j à intégrer.

285

σ θθ

U

σ rr

Eléments finis et méthodes variationnelles

L’intégration exacte est possible, notons cependant que les déformations ne sont plus ri 1 1 constantes dans l’élément. Le calcul fait intervenir log ri , , , log et nécessite ri − r j zi − z j rj r donc de prévoir des cas particuliers si un ou deux sommets du triangle sont sur l’axe z ou si ri = r j ou zi = z j . On se borne bien souvent, quitte à découper en triangles de petites tailles (mailler en triangles de petites tailles) à faire un calcul approché en calculant au centre du triangle G tel que : r +r +r z + z2 + z3 rG = 1 2 3 zG = 1 KU ≈ 2πrG ∆ BUT DBU en G 3 3

[ ]

[

]

I.6.4. Vecteur de forces généralisées associé au chargement. I.6.4.1. Cas d’une force répartie sur une ligne nodale. r z dθ

zk O

rk

Une analyse mécanique peut conduire parfois à définir un chargement par unité de longueur de circonférence nodale (rk , z k ) ZdS r r caractérisé par Re r + Zez R δT = ∫ δρ k δζ k } rk dθ . La force associée, au noeud k { circonférence Z  RdS R est donc { ψ} = 2 πrk   Z 

I.6.4.2. Cas de forces de masse. r r r r r Soit F = Re r + Zez la force s’exerçant sur le volume unité δT = ∫ δu P ⋅ FdV tore

{ ψ} = 2 π ∫

La force généralisée associée est dans ce cas :

∆ P1 P2 P3

R

[ N ] T  rdS Z  

Par exemple dans le cas de champ uniforme un calcul approché peut être effectué avec une origine locale en G telle que r = rG + r * z = zG + z * R { ψ} ≈ 2πrG ∫ [ N ] GT  Z dS   R Z    1 0 1 0 1 0   ∆ R 1 2∆ avec ∫ [ N ]dS = ∆ ⇒ { ψ} ≈ 2 πrG     2 ∆ 3  0 1 0 1 0 1 3 Z  R   Z 

286

Eléments finis et méthodes variationnelles

r Dans le cas d’un champ de pesanteur − gz

R = 0 Z = −ρV g

Dans le cas, rare, de chargement linéique sur le côté d’un triangle limitant le système considéré, nous pourrions définir de façon analogue à ce qui a été fait pour le C.S.T., une force nodale équivalente. r I.6.4.3. Cas d’un solide en rotation uniforme autour de z .

r z

Rg

ωt r x1

θ

Considérons un solide de révolution tournant r à vitesse angulaire constante ω autour de z

r y1

dmω 2 r P

dm

r er

r r r Soit (er , eθ , ez ) une base locale en P liée à r r l’espace tournant E1 de base ( x1 , y1 , z1 ) . ρ et ζ vont désigner ici les déplacements relatifs de P sur la base locale, en régime permanent établi. Un élément de masse dm a une quantité r r d’accélération dA = − dmω 2 rer .

D’après les théorèmes généraux cette quantité d’accélération est égale à la force qu’exerce le reste du solide sur les éléments matériels constituant la particule dm en P. Inversement, nous pouvons dire (théorème de l’action réciproque) que dm exerce sur le solide r une force dmω 2 rer . Pour déterminer les déplacements relatifs et les contraintes en régime stationnaire, nous pourrons utiliser la théorie précédente et considérer le solide déformable de l’espace E1 dans un champ de forces tel que Z = 0 R = ω 2 rρV .

R dépendant de r, la simplification utilisée plus haut pour le calcul de { ψ} étant trop

grossière, le calcul de { ψ} doit être fait avec précision.

Quoiqu’il en soit, pour ces problèmes de statique ou équivalents à des problèmes de statique, on obtient après assemblage une équation matricielle linéaire régissant les variables nodales.

287

Eléments finis et méthodes variationnelles

Chapitre II

Construction d’éléments finis

II.1. Système de coordonnées naturelles. Nous nous proposons ici de décrire la géométrie de systèmes simples mono, bi ou tri dimensionnels à partir de systèmes spéciaux de coordonnées adaptés à leur propriétés topologiques. II.1.1. Elément monodimensionnel. II.1.1.1. Elément barre à deux noeuds. l2 M

1

x1

l1

r x

2

x

Il faut avoir des informations permettant de repérer le point M, les deux extrémités du segment (1,2) jouant un rôle analogue.

x2 l

1 = L1 + L2 1 ⇔ = Posons   x = x1 L1 + x 2 L2 x Ainsi L1 =

l1 l

L2 =

1 x  1

1   L1    ou x 2   L2 

l2 l

[

x = L1

[

x = N1

ou encore

− 1 1    1   x 

L1 = ξ , L2 = η = 1 − ξ avec ξ =

ou

En revenant à l’expression de x :

 L1  1  x 2  =   L2  l − x1 par inversion

 x1  L2    x2   x1  N2    x2 

]

]

avec

L1 + L2 = 1

avec

N 1 = L1

x2 − x l

N 2 = L2

L1 + L2 = 1

1

Le doublet ( L1 , L2 ) forme un système de coordonnées non indépendantes permettant de décrire la géométrie du système caractérisée par x par deux fonctions d’interpolation.

N 1 = L1

1 N 2 = L2

2 1

A l’élément (1,2) nous pouvons faire correspondre un élément parent sur l’axe des η tel que à M corresponde M0 avec η sans dimension, compris entre 0 et 1.

2

1

Elément parent

0

1

Elément réel

M0

1

M milieu  1 1  ,   2 2

( L , L ) → (1,0) 1

η

2

288

2

(0,1)

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le système de coordonnées ( L1 , L2 ) possède des propriétés intéressantes car : 2 d ∂ 1 ∂ ∂  = ∑ Li , x =  −  dx i =1 ∂Li l  ∂L2 ∂L1 

∫

x2

x1

L1p Lq2 dx =

p! q ! l

( p + q + 1)!

on notera aussi que

∫

x2

x1

( F)

= I pq

f ( x ) dx =

∫ f ( ξ)( − l )dξ = l ∫ f ( ξ) dξ = l ∫ f ( η)dη 0

1

1

1

0

0

démonstration de la formule ( F ) :

la démonstration se fait par récurrence : I p0 =

l p +1

I p1 =

l

( p + 1)( p + 2) I pq =

I pq s’écrit aussi : p

I p2 =

2l

=

p! 2!l

( p + 1)( p + 2)( p + 3) ( p + 2 + 1)! q !l

( p + 1)( p + 2)... ( p + q )( p + q + 1)

q

l   l   l  I pq +1 = ∫  1   1 − 1   1 − 1  dx = I pq − I p +1q l  l  l q !( p + q + 2)l

=

q !( p + 1)l

−

( p + 1)...( p + q + 1)( p + q + 2) ( p + 2)( p + 3)...( p + q + 2)( p + 1) q ![ p + q + 2 − ( p + 1)]l q !(q + 1)l (q + 1)!l = = = ( p + 1)( p + 2)...( p + q + 2) ( p + 1)...( p + q + 2) ( p + 1)...( p + q + 2) I pq +1 =

(q + 1)! p! l ( p + q + 2)!

C.Q.F.D.

Remarque : le système présenté n’est pas le seul possible, nous pouvons aussi écrire :  x1  1− L 1+ L x = N 1 N 2   avec N 1 = N2 = 2 2  x2 

[

]

+1

L 1 -1

3

2

x1 + x 2  x−  x − x3 2 = L = x − x l  2 1  2 2  ∂ 2 ∂ d = L = , x  dx ∂L l ∂L

Le point d’abscisse x 3 étant le milieu du segment.

289

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.1.1.2. Elément barre à trois noeuds.

1

3

2

Nous pouvons aussi faire intervenir le milieu du segment (1,2) :

1

[

x = N1

N2

1 1

 x1    N 3  x2  x   3

]

N 1 = L1 (2 L1 − 1)

ou

N 2 = L2 (2 L2 − 1)

ou

N 3 = 4 L1 L2

ou

avec :

L( L − 1) 2 L( L + 1) 2 −( L2 − 1)

II.1.1.3. Elément barre à quatre noeuds.

1

3

4

1

1

( L , L ) → (1,0) 1

2

2

Nous pouvons faire intervenir les abscisses de points, divisant le segment (1,2) en trois parties égales.

[

x = N1

 2 1  ,   3 3

 1 2  ,   3 3

N2

N3

 x1  x   2 N4    x3   x 4 

]

(0,1)

N 1 = (3 L1 − 2)(3 L1 − 1)

avec

L1 2 L N 2 = (3 L2 − 2)(3 L2 − 1) 2 2 9 N 3 = L1 L2 (3 L1 − 1) 2 9 N 4 = L1 L2 (3 L2 − 1) 2 Les noeuds 1 et 2 sont primaires, les noeuds 2 et 3 sont secondaires. Les fonctions

( )

N i ( L1 , L2 ) vérifient N i x j = δ ij on les appelle fonction d’interpolation (de la géométrie) ou de forme.

290

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.1.2. Eléments bidimensionnels II.1.2.1. Triangle à trois noeuds. r y

L1 = cste

L1 = 1

A

P( x , y )

1 P1 ( x1 , y1 ) r z

3 L1 = 0 P3 ( x 3 , y 3 )

Soit un triangle de surface A posons : 1   1 1 = L1 + L2 + L3    x = x1 L1 + x 2 L2 + x 3 L3 ⇔  x  =  x1  y  y y = y1 L1 + y 2 L2 + y 3 L3    1

A1 P2 ( x 2 , y 2 ) 2 r x

1 x1 y1

1 x2 y2

Le déterminant du système vaut 0 0 r r r x 2 − x1 x 3 − x1 = 2 A = ( P1 P2 ∧ P1 P3 ) ⋅ z y 2 − y1 y 3 − y1

Ainsi par inversion ;  L1  2 A23 b1 1     L2  = 2 A31 b2  L  2 A 2 A  12 b3  3 a1 = x 3 − x 2 a 2 = x1 − x 3 a 3 = x 2 − x1

r

L1

( PPr = (P P

2

1

2

a1   1    a2  x  a 3   y 

b1 = y 2 − y 3 b2 = y 3 − y1 b3 = y1 − y 2

avec

2 A23 = x 2 y 3 − x 3 y 2 2 A31 = x 3 y1 − x1 y 3 2 A12 = x1 y 2 − x 2 y1

r r 2S ∆ ∧ PP3 ) ⋅ z A PP2 P3 r r= = 1 A ∧ P1 P3 ) ⋅ z 2 S ∆ P1 P2 P3

A2 A A L3 = 3 A L2 =

L2 = η M2

En posant L1 = ξ L2 = η L3 = ζ avec ξ + η + ζ = 1 on peut faire correspondre à P un point M de ζ = cste l’élément parent. Le triplet { L1 , L2 , L3 } forme un L1 = ξ système de coordonnées non indépendantes : les coordonnées barycentriques. 1 M1

ξ+η=1 1 +M

M3

élément parent Les courbes Li = cste sont des droites parallèles aux côtés puisque, pour des triangles de même base les aires sont proportionnelles aux hauteurs (on obtient des diagrammes parfois appelées diagrammes ternaires). 291

1   L1    x 3   L2  y 3   L3 

Eléments finis et méthodes variationnelles

En revenant aux expressions de x et de y, nous obtenons : x  =  y

 N1 0 

N2

N3

0

0

0

0

N1

N2

x nT = {x1 , x 2 , x 3 } N i = Li

avec

0  xn    N 3   y n  y nT = { y1 , y 2 , y 3 }

et

Propriétés : L1 + L2 + L3 = 1

∫

S

L1p Lq2 Lr3 dA =

1 p! q !r ! 2 A

L2 = 1 − ξ

( p + q + r + 2) !

L2 = 0

L3 = 0

3 bi ∂ ∂ =∑ ∂x i =1 2 A ∂Li

2

3 ai ∂ ∂ =∑ ∂y i =1 2 A ∂Li

3

L1 = ξ L2 = η

L3 = 1 − ξ − η

En effet : ∂x dx = ( x1 − x 3 )dL1 + ( x 2 − x 3 )dL2 ∂L ⇒ ∂y1 dy = ( y1 − y 3 )dL1 + ( y 2 − y 3 )dL2 ∂L1 dA = dxdy = 2 AdL1 dL2

∫ f ( x , y )dA = ∫ f ( L , L , L )2 AdL dL S

S

1

2

3

1

2

∂x x1 − x 3 ∂L2 = ∂y y1 − y 3 ∂L2

= 2 A∫

x2 − x3

=

y2 − y3

∂( x , y )

∂( L1 , L2 )

= 2A

∫

f ( ξ, η) dξdη

N2

N3

N4

N5

N6

0

0

0

0

0

0

N1

ξ =1 η =1− ξ

ξ = 0 η= 0

II.1.2.2. Triangle à six noeuds. x  N1  =  y  0 avec

x nT = {x1 ,..., x 6 }

N 1 = L1 (2 L1 − 1)

0  x n    ... N 6   y n  ...

y1T = { y1 ,..., y 6 }

N 2 = L2 (2 L2 − 1) M N 4 = 4 L1 L2 M

(

)

Les fonctions N i vérifient N i x j , y j = δ ij et sont des surfaces réglées.

292

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.1.2.3. Triangle à dix noeuds. x  =  y avec

3

8 9 1 10

6 5 N1

0 N1

0  ... N 10  ...

x nT = {x1 ,..., x10 } y1T = { y1 ,..., y10 } L N 1 = (3 L1 − 2)(3 L1 − 1) 1 noeud primaire 2 M 9 N 4 = L1 L2 (3 L1 − 1) noeud secondaire 2 M N 10 = 27 L1 L2 L3 noeud interne Le noeud interne a été introduit pour faire intervenir un polynôme cubique complet. La fonction  1 1 1 N 10 est une fonction bulle valant l’unité en G , ,  .  3 3 3

7 4

 N 1 ... N 10  0 ... 0 

2

1

N4

N 10 1  1 , 1 , 1   3 3 3

1

2 1   , ,0 3 3 

II.1.2.4. Quadrilatère à quatre noeuds (Taig). r y

P4 ( − 1,+1)

t

+ P( x , y )

P3 ( + 1,+1)

Pour décrire une géométrie, on peut avoir besoin de décomposer en éléments quadrilatères :  x   N 1 ... N 4 0 0 0   x n   =    y   0 0 0 N 1 ... N 4   y n 

s

x nT = {x1 ,..., x 4 } P2 ( + 1,−1) r x

P1 ( − 1,−1)

t M4 -1

M1

Les valeurs des couples indiquées sur la figure.

+1

M3 + M ( s, t )

+1

-1

M2

y1T = { y1 ,..., y 4 } 1 N i = (1 + ssi )(1 + tt i ) 4

(s , t ) i

i

Nous pouvons encore écrire :

s

x  =  y

élément parent

293

 N ( s, t )  

 xn    N ( s, t )   y n 

avec :

sont

Eléments finis et méthodes variationnelles

[

N ( s, t ) = N 1

N2

N3

]

[

1 (1 − s)(1 − t ) (1 + s)(1 − t ) (1 + s)(1 + t ) (1 − s)(1 + t ) 4

N4 =

]

s et t ne peuvent s’exprimer en fonction de x et de y et nous aurons dans la suite besoin de dériver par rapport à x et à y. On procède ainsi (on utilise des notations symboliques d’opérateur) : ∂  ∂s  ∂=    ∂t 

 x ,s x  ,t

 N ,s   N  {x n }  ,t  2 × 4

[

{ y }] n

[

1

P2

P1

∂  ∂x  def ∂ = 4× 2    ∂y 

∂  ∂x  J ∂     ∂y 

Par inversion (numérique en général) : ∂ ∂  ∂x  −1  ∂s   ∂  = J ( s, t )  ∂       ∂y   ∂t  J est la matrice jacobienne dont le déterminant est le jacobien.

P3

P4

N 1 ( s, t )

∂ y ,s   ∂x   = y ,t   ∂   ∂y 

]

On rencontre deux types d’éléments rectangulaires à quatre noeuds dont le premier appartient à la famille précédente. r y Ici s et t s’obtiennent directement t =1 a a x − xc y − yc s= t= b a b C s = 1 ou C=G est le centre de l’élément. s = −1 b

t = −1

r Y b

ξ=0

η=0

et

∂ 1 ∂ = ∂y b ∂t

X  ξ = a  X  M = correspond à P =    Y Y  η =  b 

η=1

+ P( X , Y ) ξ = 1

1 ∂ ∂ = ∂x a ∂s

r x

r X

[

N ( ε , η) = (1 − ξ) (1 − η) ξ(1 − η) ξη η(1 − ξ )

a

294

]

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.1.2.5. Rectangle à huit noeuds et plus. L’élément rectangulaire engendre la famille des éléments dits de serendipity. o o o o

o

o

o

o

o o o o

o o o o o

Elément cubique

o

o

o

o 17 o

o

o

o o o o o

Elément quartique

N 17 = (1 − s 2 )(1 − t 2 ) (noeud interne ) Le noeud interne est introduit pour faire intervenir un 1 polynôme quartique complet. s t 2 s t2 st 3 s t3 4 st2 s 2t 4 t s s2t2 st3 s 3t

Elément quadratique 1 N i = (1 + ssi )(1 + tt i )( ssi + tt i − 1) (noeud au coin ) 4 1 N i = (1 − s 2 )(1 + tt i ) ( si = 0) 2 1 N i = (1 − t 2 )(1 + ssi ) (ti = 0) 2

s 4t

st4

II.1.3. Eléments tridimensionnels (Clough - Zienkiewicz - Irons). II.1.3.1. Eléments tétraédriques. • Elément à quatre noeuds r z r y r x

Pi ( xi , yi , zi )

1 P 1

3

P3

S1

1 x   Posons   =  y  z 

+ P( x , y , z ) V1

P4 4

1

1

x2

x3

y2

y3

z2

z3

1   L1  x 4   L2    y 4   L3   z 4   L4 

r r r Le déterminant associé ( P1 P2 , P1 P3 , P1 P4 ) vaut six fois le volume V1234 du tétraèdre. a1 b1 c1   1  a 2 ... ...  x     y ...    z 

P2 2

 L1  6V234  L   2  1 6V341 Par inversion :   =  L3  6V 6V412   L4   6V123

1 x  1  y1   z1

295

Eléments finis et méthodes variationnelles

(

)

où Vijk désigne le volume algébrique du tétraèdre O, Pi , Pj , Pk

et où les ai , bi , ci sont

proportionnels aux projections des surfaces Si sur les plans de coordonnées (mineurs V algébrisés associés à la matrice). L1 = 1 où V1 est le volume du tétraèdre ( P , P3 , P2 , P4 ) etc. V Les surfaces Li = cste sont les plans parallèles aux faces Si . En posant L1 = ξ , L2 = η , L3 = ζ , L4 = µ , on peut faire correspondre à P un point de l’élément parent.

Le quadruplet { L1 , L2 , L3 , L4 } forme un système de coordonnées non indépendantes telles que L1 + L2 + L3 + L4 = 1 .

ζ

M3 ξ + η + ζ − 1 = µ = cste

1

M ( ξ, η, ζ) M4

M2

1

x    y = z  

η

N   

1

N

[ = {x = {y = {z

N = L1

élément parent

ξ M1

 xn     yn  N   z n 

x

T n

y nT z

T n

L2

L3

1

x2

x3

1

y2

y3

1

z2

z3

avec :

] x } y } z } L4 4

4

4

Propriétés :

∫

V

L1p Lq2 Lr3 Ls4 dV =

p ! q ! r ! s!

( p + q + r + s + 3)!

6V

4 4 a ∂ b ∂ ∂ ∂ =∑ i =∑ i ∂x i =1 6V ∂Li ∂y i =1 6V ∂Li L1 + L2 + L3 + L4 = 1

4 c ∂ ∂ =∑ i ∂z i =1 6V ∂Li

dV = dxdydz = 6Vdl1dL2 dL3

∫

V

f ( x , y , z )dV = 6V ∫ f ( L1 , L2 , L3 )dL1dL2 dL3 = 6V ∫

η=1 ζ =1− η

∫

η= 0 ζ = 0

1

∫

ξ =1− η− ζ

ξ=0

f ( ξ, η, ζ) dξdηdζ

{1,0,0,0} η = cste

ζ = cste ζ = 1− η

ζ=0 ξ = 1− η − ζ

4

{0,0,1,0} 3

ξ=0 2 296

{0,1,0,0}

{0,0,0,1}

Eléments finis et méthodes variationnelles

• Eléments à plus de quatre noeuds Le tétraèdre engendre des éléments à 10, 20,... noeuds

__________________________________ Figures extraites des ouvrages de Zienkiewicz cités en bibliographie 297

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.1.3.2. Eléments prismatiques, hexaédriques

Z.I.B. : Zienkiewicz Irons Bricks

__________________________________ Figures extraites des ouvrages de Zienkiewicz cités en bibliographie 298

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe I

Famille de fonctions

__________________________________ Documents et figures extraites de l’ouvrage de Desai et Abel cité en bibliographie

299

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe II

Eléments rectangulaires - Famille de Lagrange

On a utilisé et on utilise parfois des polynômes d’interpolation passant à travers n points et valant l’unité au point d’abscisse ξ = ξ k :

l nk =

(ξ − ξ )(ξ − ξ )... (ξ − ξ )(ξ − ξ )...(ξ − ξ ) (ξ − ξ )(ξ − ξ )...(ξ − ξ )(ξ − ξ )...(ξ − ξ ) 0

k

0

k −1

1

k

1

k

k −1

k

k

n

k +1

k

n

en bidimensionnel, N i = N IJ = l l I indice de colonne, n subdivisions dans la direction associée J indice de ligne, m subdivisions dans la direction associée n I

m J

Ces polynômes de Lagrange sont à déconseiller car ils donnent des termes parasites de haut degré, quoique ! 1 x y 2 x y2 xy 2 x3 y3 n=m=3 x2y xy 3 4 3 2 2 xy x4 xy y xy x3y2 x2y3 x3y3

__________________________________ Figures extraites des ouvrages de Zienkiewicz cités en bibliographie

300

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe III Autres types de paramétrage

η=1

η = cste

ξ, η

ξ =1 ξ=0

η=0

ξ = cste

ζ=0 ξ, η, ζ

ζ = cste

,,} {111

ξ=0 ξ = cste

η = cste

{1,0,1}

La description de la géométrie peut se faire avec d’autres systèmes de variables sans dimension comme le suggèrent les deux figures ci dessus.

301

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.2. Fonctions de déplacement. r Pour caractériser le champ de déplacement u nous pouvons faire intervenir des valeurs du champ aux noeuds de l’élément et plus généralement des valeurs aux noeuds de certaines grandeurs (contraintes généralisées par exemple). Il est même possible de faire intervenir des valeurs moyennes de grandeurs sur les bords des éléments. Dans ce chapitre, court, nous nous bornerons à expliquer comment on peut utiliser des valeurs nodales.

II.2.1. Eléments monodimensionnels. II.2.1.1. Elément barre . u( x , t ) u2 2

u1

1

1 θ1

θ3 3

Pour étudier des problèmes utilisant une modélisation monodimensionnelle nous pouvons construire directement des fonctions d’interpolation de grandeurs en utilisant les résultats du chapitre précédent, à partir d’éléments à deux, trois...noeuds.

θ( x , t ) 2 θ2

Pour un problème de traction on pourra construire, par exemple, un élément linéaire :  u1  u = N 1 N 2   avec N 1 = L1 , N 2 = L2 u2 

[

]

Pour un problème de torsion un élément quadratique (parabolique) sera tel que : θ1    θ = N 1 N 2 N 3 θ 2  θ   3 etc.

[

]

En fait nous avons déjà étudié certains de ces éléments. II.2.1.2. Elément poutre . De la même façon, nous pouvons maintenant construire différents éléments pour l’étude de poutres droites en flexion. • Poutre avec le modèle de Bernoulli θ1

1

v1 x1

θ2

θ

v θ = v,x

v2

2

Un élément à deux noeuds et deux degrés de liberté par noeud utilisant les polynômes de l’Hermite a déjà été étudié.

x2

302

Eléments finis et méthodes variationnelles

La flèche v en fonction des fonctions Li s’écrit :  v1  θ   1 v = N 11 N 12 N 21 N 22   v2  θ 2 

[

avec

]

N 11 = L12 (3 − 2 L1 )

avec

N 12 = lL12 L2

N 11 ( x1 ) = 1

N 11, x

N 11 ( x 2 ) = 0

N 11, x

N 21 = L22 (3 − 2 L2 )

x = x1 x = x2

=0 =0

N 22 = − lL22 L1 N 11

1

pente 1

N 21

N 12

N 22

1

(fonctions spline) • Poutre avec modèle de Timoshenko θ1 θ2 Les flèches et les rotations sont interpolées v v2 indépendamment 3 v3 1 1 2

II.2.2. Eléments bidimensionnels. II.2.2.1. Problèmes de contraintes planes ou de déformations planes. v3

r y

L’élément C.S.T., l’élément de Taig ont déjà été analysés ; il est possible d’en construire d’autres en utilisant les fonctions d’interpolation du chapitre précédent.

3 u 3 v2

v1

1

u2 2 r x

u1

u   = v 

N  

 un    avec N  v n 

élement C.S.T.

{u } {v }

T

n

n

T

= {u1 = {v1

u2 v2

...}

...}

Pour l’étude des plaques on peut faire intervenir un troisième déplacement généralisé : la rotation perpendiculaire au plan lié aux variables caractérisant le déplacement dans le plan de la plaque (état membranaire). r y

θz

r z

1

3 2 r x

(

)

1 v − u, x (cartésiennes) 2 ,y Ces éléments utilisant ces degrés de liberté (d.d.l.) notés drilling dans la littérature anglo-saxonne ne sont pas encore tout à fait au point. θz =

303

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.2.2.2. Eléments finis pour les plaques. Il est hors de question de faire une liste de tous les éléments bons ou mauvais disponibles ou non ! Nous nous bornerons à indiquer les principes : les démarches et les difficultés en partant d’exemples. • L’élément rectangulaire de Melosh (1963) r z r y

Cet élément a quatre noeuds : les sommets du rectangle et trois degrés de liberté par noeud : la flèche w et les pentes ou rotations :

l

θ y = − w, x

k i

[

w= 1 x

Posons :

j

y

x2

Il est donc construit pour la théorie de Kirchoff. On pose en utilisant un polynôme du 4ème degré incomplet :

r x

y2

xy

θ x = w, y

x3

x2 y

{

xy 2

 a T = w w − w, x i ,y { i } i  { a} T = aiT a Tj a kT a lT 

{

i

}

y3

x3y

}

 a1    xy 3  M  = Φ( x , y ) { A} a   12 

]

[

]

La matrice de connexion est déterminée classiquement en se plaçant successivement à chaque noeud. Nous suivons ensuite la routine classique.

{ a} = [ T ] −1 { a} ⇒ { A} = [ T ]{ a}

[

]

w = [ΦT ]{a} = N ( x , y ) {a}

{

T Nous posons : {ε$} = − w, xx

− w, yy

− 2 w, xy

}

ou

{ε$} = B (urG )

 − , xx    r où uG est représenté par w et B =  − , yy  − 2, xy  Les courbures ou torsion (au signe près) travaillent dans les moments composantes de {σ$ } :

{σ$ } T = { M xx M yy

M xy

}

Enfin la loi de comportement, pour un matériau isotrope dont les directions principales r r d’orthotropie sont x et y par choix des axes s’écrit :

304

Eléments finis et méthodes variationnelles

 Dx D1    {σ$ } =  D1 Dy {σ$ } = D$ {ε$} {ε$} ou  Dxy   d’où {ε$} = B A { A} = B A T { a} = Ba { a}

[ ]

[ ]

[

]

[ ]

Le calcul de l’énergie de déformation permet de déterminer la matrice de raideur K : T T T $ dS [ T ]{ a} = { a} T K { a} 2E d = ∫ {σ$ } {ε$}dS = { a} [ T ] ∫ B A DB A a S S 144244 3 K 14442A4443 Ka La matrice à retenir pour l’énergie cinétique étant déduite de l’expression approchée de cette énergie :

[

T T T 2E c = ∫ { w& } { w& } ρ S dS = { a&} [ T ] S

]

[ ]

[∫ Φ ρ ΦdS ][T ]{a&} = {a&} [ M ]{a&} T

T

S

S

a

Le vecteur force généralisé se calcule dans chaque cas particulier ainsi celui associé à un chargement surfacique q s’écrit : ψ =

∫ [ N ] { q} dS . T

S

Pour des chargements éventuels sur les bords, des intégrales rectilignes interviennent. Melosh (1963), Zienkiewicz et Cheung (1964) ont obtenu des expressions explicites de la matrice d’interpolation et de la matrice raideur. Le lecteur notera que le polynôme utilisé ne contient que deux termes du quatrième degré.

1 y

x

x2 x x

4

3

y2

xy

x2 y x3y

xy 2 xy 3

y3 y4

Triangle de Pascal

• Elément triangulaire de Melosh (1968)

Cet élément utilisable pour la théorie de Kirchhoff a six noeuds. Les degrés de liberté sont les déplacements aux sommets du triangle et les pentes normales au milieu r r des côtés : w,n = grad w ⋅ n wi

r n

w ,n

[

w= 1 x

y

305

x2

xy

 a1    y2  M  a   6

]

Eléments finis et méthodes variationnelles

Ce polynôme complet du second degré permet lorsque le maillage s’affine de converger, lentement, mais vers la solution exacte de la théorie de Kichhoff. • Elément de Przemieniecki (1977) Cet élément, qui n’est plus utilisé, construit pour une théorie de type Kirchhoff, possédait neuf degrés de liberté constitués par les flèches et les rotations au sommet du triangle tel que :  a1    w = 1 x y x 2 xy y 2 x 3 xy 2 + x 2 y y 3  M  a   9

[

]

Le fait de prendre xy 2 + x 2 y était légitimé par la constatation suivante : le triangle a neuf degrés de liberté et un polynôme complet du troisième degré possède dix termes. On peut montrer que l’anomalie introduite conduit à des matrices de connexion T −1 singulières, par exemple lorsque deux côtés du triangle sont parallèles aux axes. Cet élément a été amélioré par Zienkiewicz qui a utilisé les coordonnées triangulaires Li en remarquant ceci : les éléments complets linéaires, quadratiques et cubiques sont respectivement : { L1 , L2 , L3 }

{L L , L L , L L , L , L , L } {L , L , L , L L , L L , L L , L L , L L , L L , L L L } 1

3 1

2

2

3 2

3

3 3

3

2 1

2 1

1

2

2 2

2 2

3

2 3

2 3

1

1

2 2

2

2 3

3

2 1

1

2

3

La fonction L1 L2 L3 seule de son espèce est nulle sur les bords et de pente nulle aux noeuds (fonction bulle) alors plutôt que d’utiliser une variable sans noeud ou interne, Zienkiewicz cherche comment doser un coefficient c pour pouvoir avec des fonctions du type L22 L1 + cL1 L2 L3 qui sont au nombre de six, obtenir n’importe quel terme d’un polynôme quadratique complet représentant un état de courbure uniforme avec valeur de la flèche nulle 1 aux noeuds. La démonstration est simple et laissée aux soins du lecteur ; on trouve c = . 2 Le champ proposé est alors :

 w =  L1 

L2

L3

L22 L1 + cL1 L2 L3

 a1  1    L L21 L3 + L1 L2 L3   M  2   a 9 

Les fonctions d’interpolation s’obtiennent en fonction des Li mais l’élément ne converge que pour un maillage régulier engendré par trois directions de droites. Il ne passe pas un test fondamental dont nous parlerons plus loin.

306

Eléments finis et méthodes variationnelles

__________________________________ Figures extraites des ouvrages de Zienkiewicz cités en bibliographie 307

Eléments finis et méthodes variationnelles

L’élément a été modifié en 1977 puis définitivement en 1988 pour aboutir à l’un des meilleurs éléments de plaques triangulaires pour la théorie de Kirchhoff * Il est donc apparu ici une nouvelle difficulté : pour un triangle le nombre de degrés de liberté doit être un multiple de trois si on conserve des noeuds sur les côtés exclusivement et il faudrait recourir à des polynômes du quatrième ou du cinquième degré. En effet listons les polynômes en variables Li : degré 1 : degré 2 :

3 termes 6 termes

3 termes en L2i

3 en Li L j

i≠ j

degré 3 :

10 termes

3 termes en L3i

6 en L2i L j

i≠ j

degré 4 :

15 termes

3 termes en L4i

6 en L3i L j

i≠ j

L1 L2 L3

3 en L2i L j Lk degré 5 :

21 termes

3 termes en L5i

i≠ j≠k 6 en L4i L j

3 en L3i L j Lk

i≠ j≠k

6 en L2i L2j Lk

i≠ j≠k

1 en L1 L2 L3

3 en L2i L2j

i≠ j

i≠ j 6 en L3i L2j

i≠ j

Le nombre de degrés de liberté à utiliser serait assez élevé. En fait la vraie difficulté n’est pas là mais ailleurs : si la continuité de certaines grandeurs flèches ou rotations est assurée aux noeuds par l’assemblage ceci ne veut pas dire que la continuité de ces mêmes grandeurs l’est entre les noeuds. Par exemple supposons que sur une frontière on dispose des noeuds ayant chacun trois

(

)

degrés de liberté w, θ x , θ y et que w soit un polynôme en x et y. Sur cette frontière w sera un polynôme de l’abscisse curviligne s. La continuité de w et w,s la pente tangentielle sera assurée, mais pas celle de w,n .

(E) A

s r n

B

La pente normale sur AB frontière de r s l’élément ( E ) dépendra des autres variables nodales de l’élément ( E ) . Remarque : Si sur le bord AB la pente normale w,n ne dépends que des paramètres nodaux de AB, la dérivée mixte w,sn ne dépendra aussi que d’eux.

De la même façon sur un autre coté AC la dérivée mixte ne dépendra que des paramètres nodaux de AC ainsi la dérivée mixte en A w, xy n’aura aucune raison de satisfaire w, xy = w, yx ce qui en fait n’est pas un défaut gênant mais une anomalie. En bref, avec des polynômes des discontinuités peuvent apparaître entre les noeuds et des anomalies aux noeuds. Si la mise en œuvre des éléments ne conduit pas à assurer la continuité entre éléments, on dit que les éléments ne sont pas conformes. __________________________________ * The finite element method Fourth edition Vol. 2 - O.C. Zienkiewicz p 26 27 • Les éléments de plaques conformes de la théorie de Kirchhoff 308

Eléments finis et méthodes variationnelles

Les éléments présentés ci dessus n’étaient pas conformes mais on a construit un certain nombre d’éléments conformes. - En utilisant des fractions rationnelles en Li , mais ces éléments triangulaires mis au point présentent des difficultés d’assemblage, le nombre de variables nodales n’étant pas le même selon le noeud considéré (sommet ou milieu des côtés). - En utilisant des multiplicateurs Harvey et Kelsey (1971) ont proposé un élément cubique complet triangulaire utilisant comme degrés de liberté les flèches et pentes aux sommets et la flèche au centre du triangle. Après assemblage l’élément devient conforme, la continuité de la pente normale sur les bords étant restaurée par l’introduction de multiplicateurs de Lagrange assurant la continuité de la pente au milieu des côtés. En fait cet élément est hybride, le multiplicateur étant un moment de flexion. - L’élément rectangulaire de Bogner est conforme. Cet élément a seize degrés de liberté, quatre par noeud. r y w w w w 3

{

4

b

a

1

[N

[

x1

N y1

+ N x1 N y 3

2

N x 2 N y1

N x2 N y3

,y

, xy

}

La flèche est formée de produits de polynômes en x et y hermitiens.

+ P( x , y ,0)

w=

,x

N x2 N y2

N x2 N y4

r x

x ∂ 1 ∂ = a ∂x a ∂s

s=

N x1 N y 2

t=

y ∂ 1 ∂ = b ∂y b ∂t

w   ,x 1  w, x  2 N x 4 N y1 N x 4 N y 2 N x 3 N y 2    w, x 3    w, x 4   w 1  , xy  w, xy  2  + N x3 N y3 N x4 N y3 N x4 N y4 N x3 N y4    w, xy 3    w, xy 4

 w1  w   2   + N x 3 N y1  w3  w4 

]

N x1 N y 4

[

w  ,y  w, y    w, y  w, y

]

]

[

]

N x1 = 1 − 3s 2 + 2 s 3

N y1 = 1 − 3t 2 + 2t 3

N x 2 = s 2 ( 3 − 2 s)

N y 2 = t 2 ( 3 − 2t )

N x 3 = as( s − 1)

N y 3 = bt ( t − 1)

2

N x 4 = as 2 ( s − 1)

2

N y 4 = bt 2 ( t − 1)

- L’élément quadrangulaire de Fraeijs de Veubeke et Sander (1964) est conforme

309

   2   3   4 1

Eléments finis et méthodes variationnelles

i

{w

w, x

w, y

}

i

Cet élément a seize degrés de liberté : - aux sommets les flèches et rotations - aux milieux des côtés la pente normale Cet élément est aussi un excellent élément.

w,n

La flèche est définie à partir de trois fonctions. • Les éléments de plaques pour la théorie de Hencky - Reissner (plaques épaisses) Pour cette théorie le glissement sous l’effet de l’effort tranchant du aux cisaillements transverses n’est pas négligé. Les flèches et rotations peuvent donc être représentés indépendamment par des relations de la forme :

{ w} = [ N ( w ) ]{ w} nodal {θ} = [ N

(θ)

ou encore :

]{θ}

avec

{

{θ} T = θ x θ y

}

en cartésiennes

nodal

w  N ( w)  = θ   0

N ( wθ )  wnodal    N ( θ )   θ nodal 

(linked interpolation)

Certains noeuds pouvant être propres à un type de variable. Les éléments finis déduits de cette théorie semblent plus faciles à construire, les dérivées secondes n’intervenant pas dans l’énergie de déformation. Cependant certaines difficultés apparaissent (les mêmes que celles qui interviennent pour des éléments finis poutres adaptés à la théorie de Timoshenko, sans approximations spéciales). On s’attendrait, lorsque la plaque devient mince, à trouver des résultats obtenus à partir de la théorie de Kirchhoff et on doit même obtenir des résultats très voisins ; or ce n’est pas toujours le cas car des phénomènes de blocage peuvent intervenir (locking). Sans entrer dans les détails, nous allons expliquer le phénomène : l’énergie de déformation est la somme de la contribution des termes dus à la flexion et des termes dus au cisaillement. En statique on aboutit à une relation de la forme : K1 + αK 2 {U } = { F }

[

]

Sl 2 où α tend vers l’infini si l’épaisseur tend vers zéro ( α = pour les poutres). I

Une résolution numérique approchée conduira si α est élevé à {U } = avec lim {U } = { 0} . α→∞

C’est le phénomène de blocage : toute l’énergie passe en cisaillement Pour débloquer deux solutions sont possibles :

310

[ ]

1 K α 2

−1

{ F}

Eléments finis et méthodes variationnelles

- La première consiste à rendre K 2 singulière en faisant de l’intégration réduite, c’est à dire, en intégrant mal K 2 mais cet expédient n’est pas sans danger et réclame une grande prudence ou une grande habitude. En effet en ramollissant K 2 on introduit par l’intégration numérique réduite des relations linéaires indépendantes entre les paramètres nodaux et si le nombre de relations introduites est inférieur au nombre total de paramètres nodaux, c’est à dire au nombre de d.d.l. de l’élément, la matrice peut devenir singulière. Le rang de la matrice raideur doit être au moins égal au nombre de paramètres nodaux (les degrés de liberté) diminué du nombre de modes rigides. L’intégration réduite peut conduire à un rang inférieur au rang minimal requis pour K1 + αK 2 et le système possède alors des modes mécamismes (spurious modes en anglais) à énergie de déformation nulle, qui font rejeter l’élément. - La deuxième consiste à assouplir convenablement le système en augmentant son nombre de degrés pour l’un ou l’autre ou l’un et l’autre des systèmes de variables, ceci demande aussi du doigté. Les mêmes remèdes sont utilisés pour empêcher le blocage des poutres analysées avec la théorie de Timoshenko mais pour les poutres, les plaques ou les coques d’autres approches sont possibles, comme nous le verrons plus loin dans l’exposé général sur les méthodes variationnelles. • Les éléments hybriques Si pour un élément de plaques associé à la théorie de Reissner on impose directement la relation de Kirchhoff, l’élément devient intermédiaire entre les deux théories. C’est ainsi que l’on peut imposer que le glissement transverse est nul sur les côtés ou localement en des noeuds :

∫

γ zn ds = 0

γ zn

noeud i

coté

=0

Ces liaisons supplémentaires conduisent à des éléments appelés D.K.T. pour des éléments triangulaires D.K.Q. pour des éléments quadrangulaires par leurs auteurs Batoz et Dhatt Une méthodologie analogue peut être utilisée pour les poutres. Ces procédés ont conduit à une nouvelle famille d’éléments aux performances intéressantes.

311

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.2.3. Eléments tridimensionnels. Le principe de fabrication de fonctions d’interpolation pour décrire un champ de déplacement est le même et peut être mis en œuvre pour des éléments tétraédriques ou prismatiques à section triangulaire ou quadrangulaire... L1 , L2 , L3 ou ξ, η r , s (ui , vi , wi ) t = 1 t =1

L1 , L2 , L3 , L4 ou ξ, η, ζ

t = −1

t = −1

On utilise des variables Li ou r , s,... et aux éléments on peut associer des éléments parents. II.3. Généralisation : éléments courbes et intégration numérique. Introduction Nous allons montrer dans ce chapitre comment il est possible de traiter des problèmes rentrant dans un cadre plus large que celui que nous avons implicitement conservé. Il est d’ailleurs temps de bien le préciser. Nous nous bornons ici, comme nous l’avons fait jusque là, à l’analyse de systèmes élastiques soumis à des chargements faibles tels que les déplacements et les déformations soient supposés petits. Le repère de ( E ) auquel il est fait allusion est implicitement supposé galiléen et le système évolue au voisinage de sa configuration non déplacée et non déformée. S’il n’en est pas ainsi on est dans la situation suivante : r r r r z r Le repère ( x , y , z ) de l’espace E est en mouvement par z E rapport à un autre repère R g galiléen. Les déplacements r (S ) y relatifs peuvent être définis par rapport à ( E ) espace animé r r r d’un mouvement d’entraînement u = ue + ur Rg r x Il y a lieu dans ce cas de bien analyser le problème en r calculant l’énergie cinétique, l’énergie de déformation et le y travail virtuel de forces dans les déplacements virtuels absolus afin d’écrire convenablement les équations de Lagrange. r x

312

Eléments finis et méthodes variationnelles

Les calculs pourront faire intervenir certains des résultats dont nous avons parlé mais ils seront beaucoup plus complexes (l’énergie cinétique relative pourra faire intervenir les matrices masse déjà citées, l’énergie de déformation les matrices raideur). Même si les déplacements relatifs sont petits les équations finalement obtenues seront en général non linéaires bien qu’on puisse leur donner une allure de la forme :

MX&& + CX& + KX = F où les matrices et le vecteur F dépendent des déplacements, des vitesses et des accélérations. C’est à ce type d’équations que l’on aboutit si l’on étudie des mobiles déformables en mouvement, des robots souples, etc. Si pendant un certain laps de temps il est possible de considérer presque tous les degrés de liberté comme variant peu on obtiendra en général un système matriciel à coefficients constants de la forme :

MX&& + CX& + KX = F où M, C et K ne sont pas nécessairement symétriques, la partie symétrique de C pouvant provenir de la contribution de vitesses de déformation dans la loi de comportement (contribution que nous n’avons jamais prise en compte jusqu’ici). - Nous avons envisagé des éléments à frontières rectilignes ou planes, nous nous passons maintenant de ces restrictions. - Nous utilisons toujours le principe de variation des déplacements : δA + δE d - δText = 0

soit :

∫

D

r &&r r r δu ⋅ ρudV + ∫ δ E: ΣdV − ∫ δu ⋅ ρFd dV = D

D

∫

∂Dσ

r r r r δui ⋅ Td dS + ∫ δu ⋅ Ti dS ∂Du

r ∀δu

ceci s’est traduit, au niveau de chaque élément par :

δV T MV&& + δV T KX − δV T ψ nodal équivalent = δV T ψ (les forces généralisées sont toujours jusqu’ici supposées indépendantes des déplacements ou des vitesses : elles dépendent du temps ou sont constantes).

II.3.1. Eléments courbes - classement en éléments iso, sous ou hyper paramétriques. Tous les éléments considérés jusqu’ici avaient des frontières droites. Il est possible d’envisager l’utilisation d’éléments à frontières courbes en raisonnant comme suit :

313

Eléments finis et méthodes variationnelles

Utilisons les fonctions déjà introduites avec les paramètres sans dimension et constituant des systèmes de coordonnées naturelles. Ce faisant nous établissons une correspondance entre les coordonnées d’un point ( x , y , z ) ou ( r, θ, ϕ ) et ( ξ, η, ζ) ou

L1 L2 L3 L4 ou ( s, r , Li ) . Les formules de transformation font jouer à ξ,..., Li , r le rôle de coordonnées curvilignes, éventuellement non indépendantes, intervenant dans les fonctions d’interpolation de forme notées dans ce chapitre N ′ .

Cependant les courbes ξ = cste , Li = cste , etc. ne sont pas connues explicitement en général. Exemples

8

9 1

10 4

5

 x   N 1′ L N 10′  =  y 

3 7

x nT = { x1 L x10 }

avec

6 2

 xn    N 1′ L N 10′   y n  y nT = { y1

N i′ = N i′( L1 , L2 , L3 ) ou

où

avec x  N ′  =  y 

ou encore r y η

3

7

6

 xn    N ′   y n 

N i′( ξ, η) L1 = ξ, L2 = η

 x1 L x10  T  y L y [ N ′] 10   1

ξ

x  =  y

2 4

x  =  y

ou

y10 }

 x1 L x8   y L y  N ′( ξ, η) 8  1

[

]

T

5 8

1

r x

r z

x    y = z  

r y r x

314

N ′   

N′

 xn     yn  N ′   z n 

Eléments finis et méthodes variationnelles

r ez

4

C

ξ =1

3 2

r z

1

ξ = −1

r er

r   = z 

←axe de symétrie

 N ′( ξ )  

N ′′( ξ)

N ′( ξ )

 rn     r,ξ 1   M      r,ξ n    N ′′( ξ)   z n   z ,ξ   1  M  z ,ξ   n

4 points avec ici rnT = {r1 r2 r3 r4 } La courbe (C) étant supposée connue par les coordonnées de quatre points et les pentes en ces dr points . dz r,ξ dr dr Dans ce cas impose une relation en i en effet : r,ξ = r,z z ,ξ = dz i dz i z ,ξ i

∆r r( ξ =1) − r( ξ =−1) on adopte pratiquement r,ξ = = . ∆ξ 2 Un tel élément a été décrit par Delpak (avec deux noeuds). Les matrices N ′ ou matrices d’interpolation de forme servent à décrire la géométrie. La donnée des paramètres permet de déterminer le point original de l’élément ( x , y , z ) , l’inverse n’est en général pas possible ; la correspondance entre un point situé à l’intérieur de l’élément et une liste de coordonnées naturelles, liste associée à un point de l’élément parent, doit cependant être biunivoque sous peine d’avoir des recouvrements inadmissibles.

A

On notera que cette description de la géométrie faite souvent automatiquement à l’aide de programmes de maillage peut être une description approchée que l’on choisira la moins tourmentée possible en évitant certaines erreurs. zone de sécurité ≈ L / pour 3 le point central

≈ L/3

L

quadrilatère avec coin rentrant à proscrire !

315

Eléments finis et méthodes variationnelles

On notera la grande souplesse de ce type de description permettant par exemple de définir des géométries de coques avec un nombre limité de noeuds dans la direction de l’épaisseur.

316

Eléments finis et méthodes variationnelles

__________________________________ Figures extraites des ouvrages de Zienkiewicz cités en bibliographie B Les déplacements sont interpolés par des matrices d’interpolation N qui peuvent utiliser d’autres noeuds. Exemples r y

u   N  = v  

+3 +5 6+ +4

1+ r y

avec

+2

[ = [u

N = N1 L N 6 unT

r x

 un    N  v n 

1

L u6

]

]

+ + +

+

r x

u    v  = w  

N   

N

  un     vn  = N  wn 

[

vnT = v1 L v6

]

 u1 L u p    T  v1 L v p [ N ] w L w  p  1

r z

Pour les poutres et les plaques en flexion une correspondance entre les matrices N et N ′ n’est pas particulièrement intéressante car aux noeuds interviennent les flèches et les pentes. Pour les problèmes de contraintes ou de déformation planes en tridimensionnel, il est possible de faire une classification simple que nous indiquons.

317

Eléments finis et méthodes variationnelles

Les fonctions N et N ′ sont les mêmes et les points utilisés pour interpoler aussi, l’élément utilisé est dit iso paramétrique.

+ + +

+ +

+ +

Les fonctions N utilisés pour les déplacements utilisent moins de noeuds que les fonctions N ′ , l’élément associé est dit super ou hyper paramétrique.

+ + +

Les fonctions N utilisent plus de noeuds que les fonctions N ′ , l’élément associé est dit sous paramétrique.

+ + +

+ + +

+ Ce sont les éléments du premier et du deuxième type qui sont les plus utilisés. +

+

II.3.2. Utilisation des éléments.

II.3.2.1. Matrices et forces généralisées associées à un élément. La géométrie d’un élément étant interpolée par les fonctions N ′ et les déplacements par les fonctions N, il faut construire les matrices caractérisant l’élément. Nous expliquons ceci dans le cas tridimensionnel en cartésiennes ; les fonctions N et N ′ étant exprimées en fonction de ξ, η, ζ . Géométrie : x    y = z   

N ′   

N′

 xn      y n  avec N ′   z n  et

ou encore

{ } y = { y L y } (p points) z = {z L z } [ N ′] = [ N ′( ξ, η, ζ) N ′ ( ξ, η, ζ) x nT = x1 L x p T n

1

T n

p

1

p

1

 x    1    y1   z  x  1     y  = I 33 N 1′ L I 33 N p′  M  z  x      p    y p    z    p  

[

]

318

2

L N p′ ( ξ, η, ζ)

]

Eléments finis et méthodes variationnelles

La détermination du jacobien J c est nécessaire pour les calculs des déformations et les intégrations : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = x ,ξ + y ,ξ + z ,ξ = x ,η +... ∂ξ ∂x ∂y ∂z ∂η ∂x Sous forme d’opérateurs :

∂  ∂ξ    ∂  =  ∂η  ∂  ∂ζ 

soit

 x ,ξ   x ,η x  ,ζ

∂   z ,ξ   ∂x   ∂  z ,η    = ∂y z ,ζ   ∂     ∂z 

y ,ξ y ,η y ,ζ

∂ ∂  ∂ξ   ∂x     ∂  ∂ = J   [ c ]   ∂η   ∂y  ∂   ∂  ∂z   ∂ζ 

[ ]

avec J c

 N ,′ξ     N ,′η  {x n } N ′   ,ζ 

[

 N 1′,ξ  =  N 1′,η N ′  1,ζ

{y } n

∂  ∂x   ∂  z { n }  ∂y    ∂  ∂z 

]

 x1 N 2′,ξ L N p′ ,ξ    x2 N 2′, η L N p′ ,η   M N 2′,ζ L N p′ ,ζ   x p

y1 y2 M yp

Il intervient la matrice jacobienne J c et son déterminant noté det J c =

z1  z2   M  zp  ∂( x , y , z )

∂( ξ, η, ζ)

J c est aussi noté jacobien des coordonnées. D’où :

∂  ∂x   ∂    = Jc  ∂y  ∂  ∂z 

[ ]

∂  ∂ξ    −1  ∂     ∂η  ∂  ∂ζ 

Remarque : le cas où les dérivées secondes sont nécessaires est traité en annexe. Déplacements :

u    v  = I 33 N 1 w  

[

 u   1    v1    w    1  L I 33 N q  M    u    q    v q    w    q 

]

(q points)

en regroupant les variables nodales par noeuds.

319

Eléments finis et méthodes variationnelles

Déformations :  ε xx   u, x   ε   v ,y   yy    ε zz   w,z  { ε} =   =   = B1 L Bi γ xy   u, y + v , x  γ yz  v ,z + w, y       γ zx  w, x + u,z 

[

avec

 N i ,x  0   0 Bi =   Ni,y  0   N i ,z

0 N i,y 0 N i ,x N i ,z 0

0  0   N i ,z   0  N i,y   N i , x 

soit

 u   1    v1    w    1  L Bq  M    u    q    v q    w    q 

]

[ ]

ε = BU {U }

[

Les matrices Bi sont calculées en utilisant les lignes de J c ( N ′ ) Energies :

]

−1

- Dans le cadre envisagé, le milieu possède une énergie de déformation élastique E d ( ε ) telle que : T T T T 2 E  d ( ε ) = ∫D σ ( ε ) { ε} dV = U ∫ B DBdVU = U KU U  avec { σ} = [ D]{ ε} dxdydz 644744 8 T avec KU = ∫ BU DBU det J c dξdηdζ

{ }

- De même l’énergie cinétique s’écrit  u&    r& 2 2 E c = ∫ u ρV dV = ∫ ρV {u& v& w& } v& dV soit avec w&   

[

]

T 2E c = {U& } M U {U& }

avec

u     v  = [ N ]{U } w  

M U = ∫ N T ρV N det J c dξdηdζ

- Forces nodales équivalentes Les forces nodales équivalentes se calculent dans chaque cas particulier à partir du travail virtuel du chargement, en utilisant les fonctions N. On notera que les intégrales de volume s’écrivent : +1 +1 +1

∫ ∫ ∫

−1 −1 −1

fdξdηdζ

quand on somme dans un prisme à section rectangulaire

320

Eléments finis et méthodes variationnelles 1 1− η

1− η− ζ

0 0

0

∫∫ ∫

fdξdηdζ quand on somme dans un tétraèdre.

Ces intégrales, comme le calcul du jacobien, se font en utilisant les procédés classiques d’intégration numérique qui ne seront pas développés dans cet ouvrage. Remarquons enfin que si les fonctions L1 , L2 , L3 , L4 ont été utilisées (tétraèdre) le passage en variables ξ, η, ζ peut se faire en posant :

avec

L1 = ξ L2 = η L3 = ζ ( L4 = 1 − ξ − η − ζ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = L1,ξ + L2 ,ξ + L3,ξ + L4 ,ξ = − ∂ξ ∂L1 ∂L2 ∂L3 ∂L4 ∂L1 ∂L4

etc.

Assemblage : Les éléments ayant été caractérisés peuvent être utilisés dans une étude où une discrétisation les fait intervenir. L’assemblage fait intervenir des matrices de passage des bases locales des espaces E liés aux éléments à une base de référence E et nous ne reviendrons pas sur les transformations associées. Des difficultés peuvent intervenir à ce stade si des éléments ne sont pas compatibles entre eux, ce qui nécessite parfois de construire à la demande quelques éléments particuliers. Dans l’assemblage de plaques (ou de coques) une difficulté intervient car le vecteur déplacement d’un noeud n’est caractérisé souvent que par u, v , w et θ x , θ y soit cinq déplacements généralisés au lieu de six, aucune énergie n’étant associée localement à la rotation normale au plan de la plaque.

θz

Π w

h

θy

θx

v′

v

Π′

θ ′y

u

θ ′x

u′

θ ′z

w′

Sur le schéma on voit que θ ′x et θ y n’ont pas de correspondant lors d’un assemblage de deux plaques à angle droit

h′

Pour pallier à cette anomalie on peut : - Soit ajouter une raideur k telle que pour la plaque Π on ait une énergie de déformation supplémentaire 2 E d = kθ 2z et introduire un terme analogue pour la plaque Π ′ . D’autres possibilités ont été utilisées mais de toute façons la conformité n’est pas assurée. - Soit introduire les rotations θ z et exprimer les énergies en fonction de ces degrés de liberté 1 drilling c’est ce vers quoi l’on tend actuellement avec, en cartésiennes θ z = v , x − u, y . 2

(

321

)

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.3.2.2. Le choix des fonctions déplacements, Les méthodes semi analytiques. Avant de montrer l’allure générale d’un programme et de la mise en œuvre des éléments finis une dernière remarque s’impose en ce qui concerne les déplacements : - On utilise souvent des développements polynômiaux en fait pour des raisons de simplicité numérique, rien n’empêche dans des cas spécifiques, d’utiliser des développements adaptés au problème traité et d’utiliser des fonctions circulaires, hyperboliques, logarithmiques ou exponentielles... - Il est aussi possible dans certains cas de diminuer la taille du système à résoudre en le transformant en un certain nombre de systèmes découplés à traiter l’un après l’autre. A titre d’exemple mentionnons l’utilisation des séries de Fourier. r x

r z

S

P+

exemple1 : analyse d’une poutre prismatique sollicitée r y

L

Longueur L Section droite S

En utilisant la propriété de complétude des développements en série de Fourier, il est r possible de chercher le déplacement u ( P ) caractérisé par ( u, v , w) en décomposant le section r droite en éléments triangulaires, ces éléments constituant les bases de prismes d’axe z . En r développant en série dans la direction z on écrira :  u1c   u1s  N nπz   N nπz   u( P ) = ∑ N ( x , y ) cos u  + ∑ N ′( x , y ) sin u  L  2 c  n =1 L  2s  n=0 u 3 c  u 3 s  et des décompositions analogues pour v et w. r Si les caractéristiques mécaniques ne varient pas dans la direction z , on aboutira à des problèmes découplés pour chaque valeur de l’indice n mais seule la section droite sera maillée.

1 u2

2

u1

+P

Le chargement devra évidemment aussi être décomposé en séries de Fourier et on n’oubliera pas d’imposer les conditions aux limites du problème en z = 0 et z = L .

u3

3 r Exemple 2 : Analyse d’une structure à symétrie de révolution d’axe z

322

Eléments finis et méthodes variationnelles

La démarche est analogue et peut être considérée comme une démarche semi analytique : on travaillera en coordonnées cylindriques et on tiendra compte du fait que, la déformée étant r continue un changement de θ en θ + 2 π doit laisser invariant le déplacement u ( P ) . r z

X

Le milieu sera alors décomposé en éléments r toriques d’axe z et la section S d’un plan Π contenant z et coupant le tore sera seule maillée.

r ez

z θ

r r r r Posons u P = uer + weθ + vez P appartenant par exemple à un élément quadrangulaire de S.

Π

r eθ

r P

r er

OX

Les champs sont décomposables en champs symétriques et champs antisymétriques.

cas de figure : p=4 Les champs symétriques

P

+P

avec

[N ] im

(u , w , v )

i ( err ,erθ ,erz )

i

i

 N i (r , z ) cos mθ  = 

{U }

T

im

 ε rr  ε   θθ  ε  {ε} =  zz  = γ rθ  γ θz     γ zr 

= {uim

vim

i

u  N p   Posons  v  = ∑ ∑ N im {U im } w m= 0 i =1  

[ ]

N i ( r , z ) cos mθ

wim }

   N i (r , z ) sin mθ

Le vecteur déformation s’écrit :

 ,r   1  1 ,θ   r  r  u  , z    p c s 1  v  = [ Bim cos mθ + Bim sin mθ]{U im } 1 , θ − +, r   ∑ i =1 r  w r     1 ,θ ,z   r   ,r  ,z 

Les énergies peuvent alors se déterminer en notant que dV = dθrdzdr et que pour m ≠ n ≠ 0 certaines intégrales sont nulles sur l’intervalle de θ [0,2 π ] . Ces intégrales nulles sont indiquées par des zéros dans le tableau symétrique suivant :

323

Eléments finis et méthodes variationnelles

Cm S m * 0 0 * 0 * sym 0

Cm Sm Cn Sn

m≠n≠0

N

N

Cn 0 * * 0 p

p

Sn * 2π 0 ← ∫ S m S n dθ = 0 0 0 *

{ }

Ainsi : 2 E c ( e ) = ∑ ∑ ∑ ∑ U& jn n = 0 m = 0 i =1 j =1

T

2π

∫ ∫ 0

Se

[N

T jn

Cm = cos mθ S n = sin nθ

]

ρN im rdSdθ{U& im }

pour un élément de surface S e . Il ne reste qu’une somme sur m : N

p

p

{ }

2 E c ( e ) = ∑ ∑ ∑ U& jm m = 0 i =1 j =1

avec

T

  & ∫Se ρN i N j M m rdS {U im }

π    Mm =  π   π 

si m ≠ 0

2 π    Mm =  2π  si m = 0  0

et

Le calcul de l’énergie de déformation fait intervenir la matrice d’élasticité [ D] telle que :

 ρ rr  σ   θθ  σ  { σ} =  zz  = [ D]{ ε} mais si [ D] est axisymétrique c’est à dire telle que : σ r θ   σ θz     σ zr  0 D [ D] =  1 avec D1 carrée 3 × 3 et D2 diagonale alors les énergies de déformation   0 D2  se découplent aussi et il ne reste qu’une somme sur m : p

N

p

{ }

T 2 E d ( e ) = ∫ { ε} [ D]{ ε} dV =... ∑ ∑ ∑ U jm

avec

H m( ji ) =

(

m = 0 i =1 j =1

T

  H rdS {U im }  ∫Se m( ji ) 

)

s π B cjmT DBimc + B jm DBims si m ≠ 0

2 πB DB si m = 0 cT j0

c i0

En effet avec cette structure de [ D] les matrices B cjnT DBims et B jnsT DBimc qui interviennent associées aux intégrales non nulles

2π

∫C S 0

n

m

dθ et

2π

∫S C 0 n

m

dθ , sont nulles si m ≠ n .

Les matrices masses et raideur se décomposent ainsi, après assemblage, en blocs disjoints :

324

Eléments finis et méthodes variationnelles

M0  M=   

M1

    O  MN 

K0  K=   

K1

    O  KN 

r Le vecteur force généralisée se calcule aisément si FP est la force par unité de volume dont une partie de la décomposition en série de Fourier s’écrit : N r r r r F( P ) S = ∑ Frm cos mθer + Fθm sin mθeθ + Fzm cos mθez m= 0

le calcul du travail virtuel conduit facilement à : p

δT = ∑ ∑ {δU im } N

T

m = 0 i =1

1   Fr 0   {ψ i 0 } = 2π ∫Se N i  1  Fz 0 rdS  0  Fθ 0  deux composantes non nulles car Fθ0 = 0

avec

{ψ } im

1   Frm     = π ∫ N i  1   Fzm rdS Se  1  Fθm 

{ψ } im

si m = 0

si m ≠ 0

Il reste à résoudre N + 1 problèmes découplés, le cas m = 0 ( w = 0 ) déjà traité correspondant au cas axisymétrique (c’est à dire au mouvement indépendant de θ ) et permettant de mettre en évidence les modes de respiration. Les champs antisymétriques La démarche est analogue  u*  N p   Posons  v *  = ∑ ∑ [ N im* ]{U im* } avec w *  m=0 i =1  

{U } * im

T

* = {uim

p

{ε } = ∑ [ B *

i =1

c* im

* vim

* wim }

 N i sin mθ [ N ] =   * im

il suffit de changer θ en

N i sin mθ

   N i cos mθ

π −θ 2m

sin mθ + Bims* cos mθ]{U im* }

A cause des dérivations par rapport à θ , Bimc* s’obtient à partir de Bimc en changeant les signes de la troisième colonne et Bims* s’obtient à partir de Bims en changeant les signes des deux premières colonnes de Bims . Ainsi il est plus simple de poser :

325

Eléments finis et méthodes variationnelles

 u *  N  N i sin mθ  *  v  = ∑   w *  m= 0    

  * N i sin mθ {U im } − N i cos mθ π en notant que le changement de θ en θ − est tel que : 2m π  π    cos θ − Alors Bimc* = Bimc et Bims* = − Bims  = sin mθ et sin θ −  = − cos mθ   2m  2m  Compte tenue des structures de H m , les matrices de raideur sont inchangées comme les matrices masses ainsi les pulsations propres pour m non nul sont les mêmes : elles sont doubles et les modes antisymétriques s’obtiennent à partir des symétriques en changeant de signe les composantes wim de {U im } . 0    Pour m = 0 on obtient M 0* =  0   2 π  avec u = 0 v = 0 w ≠ 0 , c’est la torsion.

r FP :

[

H 0*( ji ) = 2 π B sj 0T DBis0

]

Il reste à résoudre N + 1 problèmes découplés avec pour la partie antisymétrique de N r r r r FP ( AS ) = ∑ Frm* sin mθer + Fθ*m cos mθeθ + Fzm* sin mθez m= 0

0 et { ψ *i 0 } = −2π ∫Se N i Fθ*0 0rdS 1   On obtient ainsi un développement complet de la solution à l’ordre N, tout r r r déplacement pouvant s’écrire u = u S + u AS r Si le système tourne à vitesse angulaire d’entraînement constant autour de son axe z , toutes les pulsations propres seront modifiées par cette rotation, quant aux doubles on les verra se dédoubler par couplage gyroscopique (si l’on a convenablement calculé l’énergie cinétique !).

326

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.3.3. Organisation d’un logiciel d’éléments finis. Compte tenu de ce qui a été dit, il est évident que la méthode est d’une grande souplesse et de nombreux logiciels existent dans le commerce pour des problèmes classiques ou parfois ayant une certaine complexité. Ces logiciels disposent d’une bibliothèque d’éléments auxquels on peut faire appel et qui doivent être accompagnés d’une description claire de la modélisation mécanique qu’ils mettent en œuvre. La suite des opérations est alors schématiquement la suivante :

Discrétisation géométrique (maillage)

Calcul des matrices élémentaires M, K, Fnodale

→

définition des noeuds (éventuellement plusieurs catégories)

→

définition des éléments

→

Appel aux fonctions de formes

→

Appel aux fonctions déplacements Intégration (numérique)

Assemblage - construction du → second membre (changement de base)

- nombre - dimension du problème - coordonnées des points - nombre de d.d.l. / noeud - caractéristiques - mécaniques - géométriques

Introduction des conditions

- calcul de Jc - calcul des dérivées

- aux limites - initiales

utilisation des éventuelles symétries

Résolution

Exploitation

→

Appel à des sous programmes

→

$) Détermination de u, Σ (ou σ Passage de la base globale à des bases locales Analyse des résultats et modifications éventuelles

→

- Inversion - Analyse modale - Intégration en temps (numérique)

r

modifications ?

La discrétisation fait intervenir des tableaux de connexion : n° élément↓ n° noeud→

1

2

3

1 2 M N

326

4

...

Eléments finis et méthodes variationnelles

Pour des problèmes non linéaires, dans la résolution il intervient des boucles d’itération supplémentaires et le calcul des matrices raideur est différent comme nous le verrons mais la démarche générale est la même. Il est très rare d’avoir explicitement les matrices par un calcul analytique et on utilise des sous programmes d’intégration numériques (avec des points de Gauss par exemple). Dans le cas non linéaire, la résolution par décomposition modale est évidemment impossible et on utilise l’intégration en temps par des méthodes d’éléments finis en temps parfaitement décrites dans les ouvrages du professeur Zienkiewicz cités en référence. A titre d’exemple on expose une de ces méthodes dans l’annexe III. On notera que la méthode fournit des représentations des champs par leur valeur numérique en certains points ; ces valeurs n’ont aucune raison, a priori, d’être des valeurs exactes, encore moins entre les noeuds. Cependant les valeurs sont parfois, dans des cas très particuliers, exactes aux noeuds pour des raisons qui sortent du cadre de cet ouvrage. Les champs de déplacement étant approchés, dans la méthode des déplacements, le champ des contraintes (ou des contraintes intégrées) est encore plus approché. On ne les calculera jamais aux noeuds mais aux points de Gauss en complétant éventuellement par l’évaluation des contraintes de Von Mises équivalentes pour pouvoir y faire correspondre des cartes colorées du champ des contraintes équivalentes de Von Mises, cartes beaucoup plus parlantes que des suites de chiffres ! II.3.4. Application de la méthode à la thermoélasticité linéarisée. (consulter la quatrième partie chapitre V) Pour traiter les problèmes de thermoélasticité il faut utiliser deux principes variationnels. Nous rappelons d’abord l’équation de conduction de la chaleur et les conditions aux limites associées : . & Θ r − a ( div u ) = − Q0 dans D avec χ r r r r r r sur ∂D1 q ⋅ n est donné q ⋅ n = ( q ⋅ n ) d ∆Θ −

v v v 2 ∆ = ∇ ⋅ ∇ = ( ∇)

sur ∂D2 Θ = T − T0 est donné T est la température absolue r q r r r est la densité volumique de taux de chaleur formé n Q0 = λq dS dans D (source), λ q le coefficient de conduction de la chaleur. r r dV q = ∫ − q ⋅ ndS est la densité surfacique de taux de chaleur fournie à D S D par l’extérieur (conduction) C( σ = 0) − C( ε = 0) 1 C( ε = 0) = a= χ λq 3α T λ q

327

Eléments finis et méthodes variationnelles

C( ε=0) est la chaleur spécifique à volume constant C( σ=0) est la chaleur spécifique à pression constante

(div ur = 0)

( traceΣ = 0)

Enfin :

[

]

r Σ = λ div u − ( 3λ + 2µ ) α T (T − T0 ) I + 2µ E

3λ + 2µ = 3K

α T est le coefficient de dilatation thermique

γ T = 3Kα T r r q = −λ q grad Θ (loi de Fourier)

Ecriture d’un principe variationnel associé Envisageons à un instant donné un champ de température virtuel δΘ , multiplions l’équation locale par δΘ et sommons dans D :

∫ δΘ∆ΘdV − ∫ δΘ D

D

. & Θ r dV − ∫ δΘa ( div u ) dV = ∫ − δΘQ0 dV D D χ

soit en utilisant, après intégration par parties le théorème d’Ostrogradsky avec : r r r div(δΘgradΘ) = δΘ∆Θ + gradδΘ ⋅ gradΘ

∫

∂D1

δΘΘ ,n dS −

& 1 Θ 2 r grad Θ dV − δΘ ( ) ∫D χ dV −... =... 2 ∫D

avec δΘ = 0 sur ∂D2 c’est à dire en choisissant des champs virtuels de température compatibles. Mais Θ ,n = −

(qr ⋅ nr ) λq

d

sur ∂D1

Jusqu’ici nous n’avons que des identités, nous adopterons alors comme principe : . & 1 r Θ r r r dS δ ∫ gradΘ 2 dV + ∫ δΘ dV + ∫ δΘa (div u ) dV = ∫ δΘQ0 dV − ∫ δΘ(q ⋅ n ) d D 2 D D D ∂D1 χ λq

∀δΘ compatible ; Θ devant être compatible c’est à dire vérifier Θ = Θ d sur ∂D2 ( δΘ = 0 sur ∂D1 ) (nous n’avons pas, pour simplifier, envisagé de champs virtuels incompatibles mais l’extension est immédiate). A partir de ce principe, le lecteur pourra vérifier, en intégrant par parties (à reculons !) que le problème est bien restauré dans sa forme initiale si on écrit le principe pour tout champ virtuel compatible.

328

Eléments finis et méthodes variationnelles

Mise en œuvre de la méthode des éléments finis Nous discrétisons le domaine en éléments finis et envisageons un champ virtuel dans r chaque élément (δu, δΘ) . Enfin nous assemblons. Pour ne pas alourdir inutilement l’exposé considérons le cas où l’on n’a qu’un élément fini avec de nombreux noeuds. Nous posons { u} = [ N U ]{U } nodal où { u} est un vecteur de déplacement.

{Θ} = [ N Θ ]{ Θ} nodal

[ ]

{ ε} = [ BU ]{U }

D’où

r mat { grad θ} = BΘ { Θ} nodal

(

)

(vecteur de composantes Θ , x ; Θ , y en cartésiennes)

r T div u = [ I ] { ε} où I T est le vecteur ligne {1 1 1 0 0 0} Ainsi { σ} = [ D]{ ε} − γ T [ I ][ N Θ ]{ Θ} nodal

Le principe de variation généralisé fait ainsi intervenir le principe des travaux virtuels et celui que nous venons de préparer soit, en supprimant les étiquettes nodal.

[∫ N

δU T  

UT

D

]

ρN U dV {U&&} +

[∫ B DB dV ]{U } − [∫ B γ IN dV ]{Θ} = δU D

T U

U

D

T U

Θ

T

T

 N U T FdV −  UT ∫∂Du N dSTd  ∫D

r r (où { F } et {Td } sont les représentants matriciels de ρF et Td et avec des champs de déplacement variés compatibles). Et :

[

 δΘ   T

]

[

]

    &  N ΘT r r ΘT 1 Θ T ΘT & { } B B dV Θ + aN I B dV U + N N dV Θ = δΘ N Q dV − q ⋅ n dS ( ) { } { }      Θ 0 U ∫D ∫D ∫ ∫ ∫∂D1 λ q d χ  D   D  T Θ

Θ

T

D’où le système couplé avec X T = (U T , Θ T ) nodal

 MU  0 

0  0 X&& } +  {  0  BUΘ

0  KU X& } +  {  BΘ   0

− KUΘ  F  { X} =  U   KΘ   FΘ 

avec des notations évidentes.

[

]

Ce système est souvent simplifié si on néglige a, alors BUΘ = [ 0] la température est d’abord calculée et se stabilise en général au bout d’un certain temps ; la première relation matricielle fournit alors {U } etc.

329

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe I

Le jacobien et le calcul des dérivées secondes

Pour la détermination des déformations qui font apparaître des dérivées premières il n’est besoin que de la matrice jacobienne mais dans certains cas des déformations généralisées font intervenir des dérivées secondes, la détermination de ces dérivées est expliquée. Nous travaillerons dans E 2 en supposant x et y exprimés en fonction de ξ et η ,

l’extension au cas tridimensionnel est immédiate. x( ξ, η) y( ξ, η) Nous avons déjà obtenu sous forme opérationnelle : ∂ ∂ ∂  ∂ξ   ∂x   ∂x  et  ∂  = J c ( N ′)  ∂   ∂  = J c ( N ′)        ∂η   ∂y   ∂y 

[

]

que nous noterons

[

∂ ξ = J ( ξ ,η) ∂ x et

]

∂ −1   ∂ξ  ∂    ∂η 

∂ x = J (−ξ1, η) ∂ ξ avec

J −1 = j

Nous cherchons T1 et T2 tels que :  ∂2   ∂2   ∂ξ 2   2  ∂  2   ∂x2   ∂ξ   ∂   ∂   2  = T1  ∂  + T2  2   ∂y2     ∂η2   ∂η   ∂   ∂   ∂x∂y   ∂ξ∂η     

[ ]

[ ]

∂ 2x = T1∂ ξ + T2 ∂ ξ2

que nous noterons

( R ′) Partons de ∂ ξ = J ( ξ ,η) ∂ x et posons : ∂ 2ξ = C1∂ x + C2 ∂ 2x avec des notations du même type que celles utilisées dans la relation ( R ) . Ainsi, à partir de ( R ′) :

∂ 2ξ = C1 J −1∂ ξ + C2 ∂ 2x ( R ′ )

(

et ( R ) s’écrit :

∂ 2x = T1∂ ξ + T2 C1 J −1∂ ξ + C2 ∂ 2x

T1 + T2 C1 J

d’où

−1

)

=0

T2 C2 = I

T2 = C2−1

⇒

T1 = − T2 C1 J −1

Il reste à expliciter calcul de C1 Comme ∂ ξ = J ( ξ ,η) ∂ x , C1 s’obtient en ne dérivant que J :

[

∂   2  = J 11,ξ  ∂ξ  2

J12 ,ξ

∂  ∂x   ∂  et    ∂y 

]

[

 ∂    = J 11,η  ∂ξ∂η  2

330

J 12 ,η

∂  ∂x  ∂    ∂y 

]

(R )

Eléments finis et méthodes variationnelles

 J 11,ξ  soit sous forme symétrique : C1 =  J 21,η  1 J + J 21,ξ  2 11,η calcul de T2

(

J 12,ξ

)

(

J 22,η

1 J + J 22,ξ 2 12,η

     

)

T2 se calcule en notant que ∂ x = j∂ ξ

Pour une fonction f quelconque : ∂f = j11 f , ξ + j12 f , η ∂x

∂2 f ∂x 2

(

)

(

= j11 f , ξx + j12 f , ηx = j11 j11 f , ξξ + j12 f , ξη + j12 j11 f , ηξ + j12 f , ηη

)

ainsi T2 se calcule par dérivation à jij constant en partant des lignes de ∂ x = j∂ ξ ∂ ∂x 2

∂ ∂y 2

∂ ∂x ∂y

= j112

[

j122

2 j11 j12 ∂ 2ξ

]

[

2 j 22

2 j21 j22 ∂ 2ξ

j const

= j212

]

j const

j const

  ∂2 ∂2  ∂2 ∂2  = j11  j21 2 + j22 + j j + j22  ∂ξ∂η  12  21 ∂ξ∂η ∂η 2   ∂ξ

 j112  2 Finalement T2 =  j 21  j11 j21

j122 j

2 22

j12 j22

  2 j21 j 22  j11 j22 + j12 j 21  2 j11 j12

L’expression de C2 est identique à celle de T2 en changeant les jij en J ij

331

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe II Intégrales de surface (calcul de ζ

ζ = cste dA

M ( x, y, z)

ξ

x( ξ, η, ζ)

y( ξ, η, ζ)

avec

z( ξ, η, ζ)

r x x ,ξ x ,η

A

 x ,ξ dξ + x , η dη + x ,ζ dζ  r   dM r r r =  y ,ξ dξ + y , η dη + y ,ζ dζ  ( x , y ,z )  z dξ + z dη + z dζ  ,η ,ζ  ,ξ   x ,ξ  r   dξ =  y ,ξ dξ ( xr , yr ,zr )  z   ,ξ 

r r def r r dM = dξ + dη + dζ

 x ,η    r {rdrηr} =  y,η dη ( x , y ,z )    z ,η 

{ }

r r r Sur la surface ζ constant dζ = 0 dA = dξ ∧ dη r r  x ,ξ   x , η  r y z dζ  r     y ,ξ z,ξ dξdη =  y ,ξ  ∧  y ,η dηdξ   et on utilise dA dζ  z  z  { y ,η z ,η , η , ξ  3 unitaire nr  44  42444 1 module

si la surface est plane ( ζ = z = cste) , ξ et η étant définis dans le plan : r z r y r x

dA ξ

N T fdA )

r r r r r r r r dM = M ,ξ dξ + M ,η dη + M ,ζ dζ = x ,ξ dξx + y ,ξ dξy + z,ξ dξz + x ,η dηx +...

η

r n

∫

η

dA =

x ,ξ y ,ξ

x ,η dηdξ = J c dηdξ y,η

on utilise les fonctions N ′

332

 x ,ζ  r   dζ =  y ,ζ dζ ( xr , yr , zr )    z ,ζ 

{ }

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe III

Introduction à la discrétisation en temps

Soit à chercher la solution approchée à l’instant t du système matriciel linéaire :  MX&& + CX& + KX = F ( t )   X t = 0 = X 0 X& t = 0 = X& 0

dim X = n

Les matrices carrées M, C et K sont obtenues éventuellement par une discrétisation du type éléments finis, on cherche le vecteur solution X ( t ) connaissant les conditions initiales X 0 , X& 0 . Schéma à deux points Posons X& = V et passons dans l’espace de phase de dimension double 2n , nous devons résoudre : K  V   F ( t )   M C  V&   0 +    (E)  0 M &    =     X  − M 0   X   0  Les données étant X 0 et V0 . L’intervalle de temps [0,t ] est discrétisé en segments égaux de durée petite ∆ t , τ τ désigne un temps local et nous introduisons ξ = ∈[0,1] , ξ étant défini sur l’intervalle ∆t

[t

n

]

, t n +1 tel que ∆ t = t n +1 − t n

ξ=0 tn

n∆ t

ξ =1 t n+1

∆t

τ X n +1

Nous cherchons à construire un schéma de récurrence à deux points pour déterminer = X (t n +1 ) en fonction de X n = X (t n ) . X, V, F sont interpolés linéairement :

[

X = Nn où

 Xn  N n +1    X n +1 

]

[

V = Nn

Vn = V (t n ) Fn = F (t n )   N n N n +1 = 1 − ξ ξ

[

] [

]

etc.

 Vn  N n +1   Vn +1 

]

. Alors X& =

[

F = Nn

X n +1 − X n ∆t

 Fn  N n +1    Fn +1 

]

V& =

Vn +1 − Vn ∆t

Les deux équations matricielles régissant X et V considérées comme vecteurs de variables indépendantes et regroupées dans (E) sont pondérées c’est à dire multipliées

respectivement par ϕ( ξ) et ψ ( ξ) deux fonctions positives sur l’intervalle [0,1] de ξ et intégrées sur cet intervalle. Nous obtenons finalement : 333

Eléments finis et méthodes variationnelles

 M − µM∆ t 

C + νK∆ t   Vn +1   M  −  M   X n +1  (1 − µ ) M∆ t

C − (1 − ν) K∆ t   Vn  (1 − ν) Fn + νFn +1  ∆ t   =  M 0   X n  

1

∫ ξϕdξ ν= ∫ ϕdξ ∫ ξψdξ µ= ∫ ψdξ 0

1

En posant :

ϕ>0 ξ ∈[0,1]

0 1

0

1

ψ>0

0

Selon le choix des fonctions ϕ (ou ψ ), ν et µ prennent des valeurs comprises entre 0 et 1. La connaissance des conditions initiales X 0 , V0 , le calcul de F pour différentes valeurs des temps n∆ t permettent de calculer V et X à intervalles réguliers en résolvant un système de taille 2n non explicite (sauf si M et C sont diagonales et si ν = 0 !) car pour obtenir Vn+1 et X n+1 il faut inverser une matrice carrée ( 2n × 2n) . L’analyse de la stabilité de l’algorithme va permettre de préciser les valeurs de ν et µ qui finalement commandent le processus. Nous nous placerons dans le cas où les matrices M, C et K sont symétriques et notées M, B et K et associées classiquement à des énergies cinétiques, des fonctions de dissipation et des énergies de déformation. Nous allons montrer que le bon choix peut être fait à partir d’une interprétation énergétique (la démonstration est due au professeur Debongnie de l’université de Liège). La première ligne matricielle multipliée à gauche par ( X n +1 − X n ) est soustraite de la T

seconde multipliée à gauche par (Vn +1 − Vn ) ; après un peu d’algèbre nous obtenons : T

1 T 1 Vn +1 MVn +1 − VnT MVn ] + [ X nT+1 KX n +1 − X nT KX n ] = [ 2 2 1 T  F + Fn +1  T  + [ X n +1 − X n ]  n  +  ν −  [ X n +1 − X n ] { Fn +1 − Fn } 2 2   1 T [ B] T   − [ X n +1 − X n ] X n +1 − X n } −  ν −  [ X n +1 − X n ] [ K ]{ X n +1 − X n } {  ∆t 2 1 T  −  µ −  [Vn +1 − Vn ] [ M ]{Vn +1 − Vn }  2 Soit

(

)

∆ E c + E p = ∆ T forces extérieures + ∆ T forces visqueuses + dissipation d' algorithme

où E c désigne l’énergie cinétique, E p l’énergie de déformation ou potentielle du système et où les ∆ T sont des travaux.

334

Eléments finis et méthodes variationnelles

On reconnaît un bilan énergétique sur un intervalle ∆ t . 1 s’oppose à la variation de vitesse et n’a pas d’équivalent physique, 2 1 il apparaît donc indiqué de choisir µ = . 2

Le terme en µ −

Il apparaît un terme de dissipation d’algorithme du à ∆ X et ∆ V et il faut visiblement 1 adopter ν supérieur ou égal à pour ne pas diminuer artificiellement l’amortissement. 2 Enfin l’avant dernier terme en ν − matrice d’amortissement Bν telle que :

1 peut être considéré comme un terme du à une 2 1  Bν =  ν −  ∆ t K  2

1 + ε avec ε de l’ordre de 10 −3 on 2 introduit une matrice d’amortissement εK∆ t ayant un effet de filtre pour les termes de haute fréquence générateurs de bruits numériques indésirables. Ainsi on peut penser qu’en choisissant ν =

En conclusion on adopte dans le cas général : µ=

1 1 ν= +ε 2 2

( ε nul ou de l’ordre de 10 −3 )

Ceci correspond, si ε = 0 , à des pondérations par des fonctions ϕ (ou ψ ) de deux ϕ = 1 sur [0,1] :

sortes :

collocation par sous domaines 1 ϕ : une fonction de Dirac centrée en ξ = 2

ou bien :

Schéma à trois points Il est possible de réduire la taille du système en le transformant en un schéma à trois points ; il suffit d’utiliser les relations précédentes écrites pour deux pas consécutifs et d’éliminer les vitesses. Une autre façon d’aborder le problème consiste à partir de l’étude d’une équation matricielle du premier ordre :

N n N n+1 1 n

τ

AY& + BY = F

n+1

∆t

Y = ∑ N i Y (t i ) la démarche est la même en écrivant : et en pondérant par des fonctions Wi Il intervient alors un seul coefficient régissant le procédé : θ

335

Eléments finis et méthodes variationnelles

1

∫ W ξdξ θ= ∫ W dξ i

0

1

0

Wi = Wi +1 =...

i

Là encore pour W identique à l’une ou l’autre des fonctions ϕ citées ci dessus on 1 trouve θ = , c’est le schéma dit de Crank Nickolson. 2 En utilisant deux intervalles de temps consécutifs et en combinant les deux relations obtenues on peut d’ailleurs construire différents schémas à trois points suivant les fonctions de pondération utilisées mais dont la précision n’est pas meilleure que celle des schémas à deux points dont ils sont issus. L’étude de la stabilité est instructive si on raisonne sur une équation scalaire, en oscillations libres : ay& + by = 0 b dont la solution est : y( t ) = y 0 e −ωt avec ω = (avec b > 0 et a > 0 ) a −ω∆ t telle que : y( t + ∆ t ) = y( t ) e Si nous posons :

y n +1 = λ y n

λ exact s’identifie à e

conduit à :

  a   a λ  + bθ +  − + b(1 − θ) = 0  ∆t   ∆t 

−ω∆ t

, mais le schéma itératif

La condition de stabilité évidente est λ < 1

or λ < 1 implique − ω∆ t < 0 ce qui est toujours vérifié ( ∆ t > 0) . Reste la condition : λ > −1 soit ω∆ t ( 2θ − 1) > −2 1 et pour θ ≥ la stabilité est inconditionnelle. 2 1 les schémas sont équivalents si l’on pose : 2 K M C   0 V  A= B = Y =    − M 0   0 M   X 

Ainsi pour λ = µ = θ =

t n−1

0

t n t n+1 ∆t ∆t τ

Signalons enfin que pour l’équation de && & t n = n∆ t départ MX + CX + KX = F ( t ) , il est possible de construire directement un schéma à trois points en utilisant des fonctions N paraboliques :

336

Eléments finis et méthodes variationnelles

[

X = N n −1

[

F = N n −1

N n+1

N n−1

Nn

Nn

N n +1

N n +1

N n −1 = −

 X n −1     Xn  X   n +1 

]

ξ=

 Fn −1     Fn  F   n +1 

1 ξ& = ∆t

]

ξ (1 − ξ ) 2

t ∈[0,1] ∆t

1  1 N& n −1 = ξ −  ∆t  2

1 N&& n −1 = ∆t2

Nn

1

N n = (1 − ξ)(1 + ξ)

tn

t n−1

t n+1

N n +1 =

ξ (1 + ξ ) 2

− 2ξ N& n = ∆t

−2 N&& n = ∆t2

1  1 N& n +1 = ξ +  ∆t  2

1 N&& n +1 = ∆t2

L’équation matricielle multipliée par W ( ξ) est sommée de moins un à plus un et le schéma finalement obtenu s’écrit :

[ M + γ ∆ tC + β∆ t K ] X 2

n +1

  1  + − 2 M + (1 − 2 γ ) ∆ tC +  − 2β + γ  K∆ t 2  X n 2   

   1  1  1   +  M − (1 − γ ) C∆ t +  + β − γ  K∆ t 2  X n −1 = βFn +1 +  + β − γ  Fn −1 +  − 2β + γ  Fn  ∆ t 2 2  2  2     

ξ ∫ 2 (1 + ξ)W ( ξ)dξ β= ∫ W ( ξ ) dξ 1 ∫ ξW ( ξ) dξ γ= + 2 ∫ W ( ξ ) dξ +1

−1

+1

avec :

−1

+1

−1 +1 −1

C’est le schéma de Newmark qui coïncide avec l’algorithme du schéma à trois points 1 1 extrait après élimination des vitesses du schéma à deux points pour γ = , β = et 2 4 classiquement appelé algorithme de l’accélération centrale. Ce résultat est remarquable d’autant plus que on peut montrer que la valeur 1 1 = γ = µ = ν = θ associée à µν = β = correspond à un développement limité optimal par 2 4 rapport à la solution exacte. Les fonctions de pondération ne sont que des intermédiaires de calcul qui n’interviennent plus ensuite. Des valeurs discrètes des différents coefficients sont associées à 337

Eléments finis et méthodes variationnelles

différents schémas connus depuis fort longtemps et dits des différences finies. Le lecteur intéressé par plus de détails pourra consulter le document cité en bas de page* et l’ouvrage de Zienkiewicz. Les méthodes citées peuvent être utilisées dans le cas de problèmes non linéaires où le système est artificiellement écrit (de façon non unique) avec des matrices M, C, K dépendant des déplacements, des vitesses et du temps à condition de changer de matrice à chaque incrémentation. M n +1 ≠ M n

C n +1 ≠ C n

etc.

Mais la convergence est un autre problème et n’est pas toujours assurée ! et peut dépendre de la façon dont le système a été construit.

__________________________________ Ming-Li, Thèse de Doctorat - E.N.S.M. Nantes Contribution à la méthode d’intégration directe et à la méthode de condensation dynamique des modes libres 29 janvier 1990 *

338

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.4. Le contrôle qualité des éléments finis. On sait que les méthodes variationnelles fournissent des solutions approchées et ces solutions doivent tendre vers des représentations de plus en plus proches des valeurs exactes des grandeurs recherchées. L’erreur sur un déplacement : u − uapproché , caractérisée généralement par une norme, doit tendre vers zéro lorsque la taille du maillage caractérisé par une grandeur h tend vers zéro. Par exemple en définissant un produit scalaire par < u, u >=

∫ { u} D

T

[ L]{ u} dV avec L

opérateur différentiel ; on pourra poser que l’erreur e est : e =

[∫ (u − u ) L(u − u )dV ]

1/ 2

D

app

app

Encore faut il que les éléments finis satisfassent certains critères de convergence élémentaires : • Le rang de la matrice raideur ne doit pas être, pour un élément, inférieur au nombre de degrés de liberté de cet élément diminué du nombre de modes rigides, sinon le système possède des modes de mécanisme (spurious modes, hour glass modes) indésirables. Cette condition dite de stabilité sera supposée vérifiée dans la suite. • Un état de contraintes (ou de contraintes généralisées σ$ ) doit pouvoir être atteint dans l’élément (au pire quand la taille de l’élément tend vers zéro), un état de contraintes nulles n’étant qu’un cas particulier correspondant à un mode rigide. Les champs doivent être complets c’est à dire susceptibles de représenter n’importe quels champs des problèmes (de mécanique ici) envisagés. Cette condition supposerait que dans un élément fini occupant un volume V on augmente le nombre de fonctions, donc de noeuds, dans les vecteurs Φ( p) lors

{

}

d’approximations successives mais est équivalente à affiner le maillage à nombre de fonctions prises en compte dans Φ( p) constant.

{

}

Les déformations (ou les déformations généralisées ε$ ) doivent être finies aux interfaces entre éléments, même si elles n’y sont pas continues dans la méthode de variation des déplacements. Elles ne peuvent être infinies aux interfaces (la non convergence des intégrales étant associée à une énergie infinie). On peut admettre sous certaines conditions des éléments finis non conformes. Ces réflexions vont être précisées dans les lignes qui suivent.

339

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.4.1. Les éléments finis et l’erreur de discrétisation. Pour se faire simplement une idée de la façon dont la précision évolue on peut faire le raisonnement suivant : Les fonctions rencontrées sont en général développables en série de Taylor : ordre 2 8 ordre 1 644 4 7444 8 644744 1 r r r r r u ( P ) = u ( Pi ) + u, x x + u, y y +... + u, xx x 2 +... Pi Pi Pi 2! x, y, z coordonnées locales. +P

r Avec une expansion polynomiale de u jusqu'à l’ordre p inclus des dérivées, on introduira une erreur de l’ordre des termes négligés. Si x, y, z sont de l’ordre de grandeur de la plus grande dimension h de l’élément, cette erreur sera de r l’ordre de h p+1 soit o( h p+1 ) sur u .

+ Pi

Si m est l’ordre maximum des dérivées intervenant dans les énergies, les déformations (ou les contraintes) convergeront avec une erreur d’ordre o( h p +1− m ) et les énergies de

(

déformation avec une erreur d’ordre o h 2 ( p +1−m)

)

⇒

p ≥ m.

C’est la complétude qui fixe la vitesse de convergence : l’introduction de termes supplémentaires de haut degré n’accroît la vitesse que si le polynôme est complet. Exemples

1 y

x

r p = 1 erreur o( h 2 ) sur u Contraintes planes 3 noeuds l’erreur est divisée par 4 si on divise par 2 la taille du maillage

p=1 p=2 p=3

8 noeuds

r p = 3 mais non complétude : erreur o( h 3 ) sur u

Dans le cas d’une expansion non polynomiale pratiquement toujours incomplète, l’expérience montre qu’il faut toujours avoir au moins des termes affines (en 1, x, y, z). Test sur les fonctions d’interpolation Enfin avant d’utiliser des fonctions d’interpolation, en particulier si elles ont été déterminées sans faire intervenir les coordonnées généralisées, il est prudent d’effectuer certains tests.

340

Eléments finis et méthodes variationnelles

II.4.1.1. Cas d’éléments a un degré de liberté par noeud. Soit g( P , t ) une fonction scalaire, représentation approchée d’un champ

[

q

g( P, t ) = ∑ N i ( ξ, η,...)α i = f 0 i =0

f1 L

a 0    f q ( P)  M  = [ f ( P )]{a} a   q

]

f j ( P) L

où les f j ( P) sont les premiers éléments d’un ensemble complet.

Au noeud i :

Ainsi :

[

N i ( Pi ) = 1 ⇐ g ( Pi , t ) = α i   ⇒ N j ( Pi ) = δ ij N j ( Pi ) = 0  f 0 = ∑ N i f 0 ( Pi )

]

α i = f ( Pi ) { a} g( P , t ) =

[

]

f 1 = ∑ N i f 1 ( Pi )

donc, par identification

∑ N i f ( Pi ) {a}

M f j = ∑ N i f j ( Pi ) M

Par exemple si f 0 = 1 f 1 = x f 2 = y L on doit vérifier : 1 = ∑ Ni x = ∑ N i xi y = ∑ N i yi

1 = ∑ N i′ x = ∑ N i′xi

et pour les fonctions N ′ :

y = ∑ N i′yi

M

M

Ainsi avec des éléments iso paramétriques polynomiaux, des champs de contraintes uniformes peuvent être engendrés en cartésiennes. Avec les éléments sous paramétriques (deg N ′ < deg N ) c’est aussi la cas car les N ′j sont des combinaisons linéaires des N i (avec un champ polynomial complet de degré n on peut engendrer un champ de degré inférieur).

II.4.1.2. Eléments a deux degrés de liberté par noeud. Soit g( P , t ) une fonction scalaire représentant un champ, g et g , x les degrés de liberté nodaux.

[

g( P , t ) = ∑ N i i

g ( Pi , t ) = α i(1)

g , x ( Pi , t ) = α i

(2 )

(1)

⇒

(2)

Ni

 a i(1)   ( 2 )  = [ f ( P ) ]{ a} ai 

]

( ) (P ) = δ

( ) (P ) = 0

N i(1) Pj = δ ij N i( 2 ) Pj = 0 (2)

N i ,x

341

j

(1)

ij

N i,x

j

Eléments finis et méthodes variationnelles

Ainsi :

g = ∑ N i(1) g ( Pi , t ) + N i( 2 ) g , x ( Pi , t )

[

]

g = ∑ N i(1) f ( Pi , t ) + N i( 2 ) f , x ( Pi , t ) { a}

M

d’où les tests par identification :

f r ( P) = ∑ N i ( P ) f r ( Pi ) + N i( 2 ) ( P) f r , x ( Pi ) M (1)

Enfin notons au passage que si un déplacement sur une frontière ne dépend que des déplacements des noeuds sur cette frontière, la continuité du déplacement sur cette frontière est assurée (un raisonnement analogue peut être fait pour la description de la géométrie). Ceci nous conduit à parler de la continuité globale : de la conformité. Remarque : Les raisonnements sur l’ordre de convergence tombent en défaut si les fonctions déplacement ne sont plus polynomiales en ( x , y , z ) , si un jacobien intervient ou si les éléments sont à frontières courbes. Les déformations et les contraintes ne sont plus polynomiales en ( x , y , z ) . Il faudrait faire les développements en ( ξ, η, ζ) . Cependant, lorsque la taille de l’élément tend vers zéro, le jacobien tend vers une valeur constante et à la limite les conclusions demeurent valables sur l’erreur de convergence des énergies.

II.4.2. Les éléments finis et la conformité (notions). Si la continuité des champs à l’intérieur des éléments est évidente du fait de l’utilisation de fonctions continues, la conformité est moins facile à obtenir et pourtant des éléments finis non conformes peuvent converger. C’est Bruce Irons qui a proposé un test : le patch test ou test du rapiéçage dont le bien fondé n’a vraiment été reconnu que dix ans après, en 1972. Ce test s’il est positif constitue une condition suffisante de convergence vers la solution exacte. Le patch test Considérons un élément fini tel que le champ des contraintes puisse au moins prendre des valeurs constantes (uniformes) dans l’élément, la convergence peut seulement être espérée à ce stade. Comme nous le savons, le principe des travaux virtuels consiste à écrire : r r T r r r r r pour ∫D δu ⋅ divd Σ + ρF ⋅ ργ P dV + ∫∂D δu ⋅ T − Σ ⋅ n dS = 0 avec Σ = Σ r r quelques δu , les δu devenant de plus en plus nombreux au fur et à mesure que le maillage se raffine.

(

)

(

)

L’utilisation de la formule de Gauss Ostrogradsky suppose implicitement la continuité dans D. Or il apparaît des termes supplémentaires sur tous les interfaces (ou les frontières) du maillage où il y a des discontinuités.

342

Eléments finis et méthodes variationnelles

Dans la formule il reste l’intégrale : r + r r −  r δ u ⋅ Σ ⋅ n − δ u ⋅ Σ ⋅ n  dS ∫union desinterfaces  

(

(2)

+ r (1) n

r n (2 )

(1)

) (

)

Ces termes disparaissent pour les éléments conformes car les actions d’interface s’annulent deux à deux d’après le théorème de l’action réciproque. Si la taille du maillage tend vers zéro et si le champ des contraintes converge, il restera l’intégrale : r (δur + − δur − ) ⋅ Σ ⋅ ndS ∫ union des interfaces

Le patch test consistera à vérifier que cette intégrale tend vers zéro lorsque la taille du maillage diminue. En somme si le test est positif, le milieu voit ses plaies se cicatriser à mesure que le maillage devient de plus en plus fin. Le déplacement étant formé sur chaque élément d’une partie conforme et d’une partie non conforme, on ne calculera que la contribution de la partie non conforme pour un seul élément, la somme sur l’union des interfaces, si les éléments sont tous de même nature étant alors nulle si le test par élément est positif. Ce patch test est le patch test dur, qui peut être vérifié si la taille de l’élément est finie mais qui doit au moins l’être sinon si la taille de l’élément tend vers zéro (le jacobien tend vers une valeur constante). L’intégrale à calculer est souvent bien compliquée et le patch test dur est remplacé par des patch test équivalents. Les patch test par noeud j

k i

l

Considérons un maillage avec un noeud i connecté à des éléments l’entourant complètement, i étant intérieur au domaine limité par les noeuds j, k, l,... Choisissons un champ polynomial de déplacement de degré p défini sur les éléments entourant i. Il y correspond un champ de déplacements nodaux en i, j, k, l,... {U } exact .

Notons que la formule d’Ostrogradsky intervient lorsque le travail de déformation est calculé ainsi les tests ne vont porter que sur la matrice raideur provenant de ce travail. Ceci dit nous suivons ici l’exposé de Zienkiewicz. Le test A Soit {U } le vecteur des degrés de liberté, { ψ} le vecteur des forces aux noeuds. A

[ K ]{U } = { ψ} , et pour la ième ligne relative à l’équation de Lagrange en ui : ( E) k ij u j = ψ i Nous introduisons les valeurs des déplacements du vecteur {U } exact et nous devons

l’équilibre :

vérifier que l’équation (E) est identiquement vérifiée.

343

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le test B

{ }

Le système matriciel s’écrit en décomposant K et en notant U j le vecteur de tous les

{ } la force aux noeuds associée :

déplacements nodaux autres que celui en i et f j

 k ii k  ji

k ij  U i   f i   =  k jj  U j   f j 

en utilisant la première ligne matricielle nous avons : k iiU i + k ijU j = f i Nous introduisons des valeurs des déplacements nodaux exacts de {U } exact dans le

{ }

vecteur U j et nous devons vérifier :

[ ][

]

ui = k ii−1 f i − k ijU j = ui exact Le test C Les tests A et B sont des conditions nécessaires de convergence mais non suffisantes. On les complète par des tests sur les chargements. j k i

Les tests C consistent à bloquer les modes rigides (schéma), déterminer le chargement équivalent aux autres noeuds fournissant la solution exacte de référence et vérifier que l’on a bien :

[ K ]{U } = { ψ}

l

pour le système de taille réduite obtenu.

Des test pour plusieurs types de chargement doivent être effectués. Si les tests sont tous positifs on peut conclure que l’élément converge au moins à l’ordre o( h p+1 ) en déplacements. Remarque : Le test C pourrait être effectué sur un seul élément mais a le danger de ne pas révéler la présence éventuelle de mécanismes (spurious modes), inconvénient que n’a pas le test C dans sa forme initiale. Si l’élément passe avec succès tous les tests on dit qu’il est « consistant ».

344

Eléments finis et méthodes variationnelles

Les patch tests d’ordre zéro sont ceux pour lesquels on a utilisé un polynôme du plus petit degré possible (fournissant au moins des valeurs constantes des contraintes). Si des patch tests sont passés avec succès avec des polynômes de degré supérieur, l’élément converge plus vite, est encore meilleur et est dit robuste ! Signalons enfin que des éléments conformes trop raides peuvent être assouplis si on ajoute au champ de déplacement un champ non conforme mais ceci peut donner lieu à des modes parasites hourglass modes à énergie de déformation nulle.

345

Eléments finis et méthodes variationnelles

Chapitre III

Application de la théorie de partition des matrices au calcul des structures

L’analyse de plus en plus fine des structures conduit à des tailles de matrice importantes. Nous allons présenter ici certaines démarches qui permettent de manipuler finalement des systèmes matriciels de taille relativement faible. Nous présenterons successivement plusieurs notions : - La condensation en statique et en dynamique - La sous structuration Certaines de ces notions ont été ébauchées depuis très longtemps mais leur efficacité n’était pas toujours expliquée, ni la raison de leurs défaillances, nous essayerons d’éclairer le lecteur en montrant l’évolution des idées sous-jacentes. III.1. Statique. III.1.1. Partitionnement. Fi

Soit un système linéaire à n degrés de liberté régi par Fe l’équation :

ui ue

[ K ]{U } = { F } ( E )

Schéma dans l’espace de configuration Le vecteur {U } peut être partitionné en variables {ui } et {ue } associées aux vecteurs

forces généralisées {Fi } et { Fe } selon la décomposition k ee k  ie

Ainsi

k ei  ue   Fe   =  k ii   ui   Fi 

k ee ue + k ei k ii−1 { Fi − k ie ue } = { Fe }

k ee ue + k ei ui = Fe

k ie ue + k ii ui = Fi ⇒ u⇑ = k −1 F − k u i ii { i ie e }

[1k 44−2k 4k43]{u } = { F } − [k ee

D’où

ei

−1 ii

e

e

ei

k ii−1 ]{ Fi }

kee réduite

{u } = [k ]{ F − k u } i

−1 ii

i

ie e

346

si k ii−1 existe

Eléments finis et méthodes variationnelles

III.1.2. Applications. III.1.2.1. Les équations (E) sont les équations données par une modélisation où l’on a pas tenu compte des conditions aux limites géométriques. {ue } est le vecteur des déplacements imposés, les forces {Fi } étant données.

    {ui } = k ii−1  Fi − k{  ie u e  terme nul dans le cas d'un encastrement   6 474 8 −1 { Fe } = [ k ei k ii ]{ Fi } + k ee réduite {ue }

Fe ue = udonné

[ ]

Fi ui

[

]

(variable auxiliaire) III.1.2.2.

Fe

ui

Les équations (E) sont les équations obtenues en tenant compte des conditions aux limites géométriques mais les forces {Fi } sont nulles.

{u } = [ k {u } = −[ k

ue

e

−1 ee réduite

i

−1 ii ie

]{F } ]

e

k {ue } (variable auxiliaire)

Les deux démarches pouvant être effectuées en cascade. III.1.2.3. Méthode des sous structures. Une structure S peut être décomposée, judicieusement en N sous structures d’indice J J = 1,2,..., N III.1.2.3.1. Préliminaire. Analyse d’un sous ensemble S J de la structure.

Fi ui

Fe ue

Les {ui } sont les degrés de liberté internes, les {ue } les degrés de liberté externes sur la frontière de S J Dans ce chapitre le mot frontière signifie interface (de liaison avec les autres sous structures), l’interface ne pouvant être qu’une partie de la limite géométrique de S J .

Le déplacement peut être décomposé en deux termes :

347

Eléments finis et méthodes variationnelles

{ u} = { 1 u} + { 2 u}

{ u} 1

est le vecteur déplacement lorsque la frontière est bloquée

({u

e

)

= 0}

 1 ue   0   0   =  1  =  −1  1  ui   ui  k ii Fi 

{ u} =  1

Alors (III.1.2.1.) :

{ u } existe toujours puisqu’il n’y a pas de mouvement d’ensemble possible (det k {F } = [ k k ]{F } est la force généralisée assurant le blocage de la frontière. 1

i

J

e

ei

{ u} 2

Alors

−1 ii

ii

≠ 0)

i

est le déplacement lorsque { Fi } = { 0}

{

2

 2 ue  u} =  2  , le système étant chargé par Fe − FeJ sur sa frontière et (III.1.2.2.)  ui 

{ u } = [k { u } = −[ k e

−1 ee réduite

i

−1 ii ie

2

implique :

2

Finalement :

{u } ≡ { e

2

[

u2 } = k ee−1réduite

F} {u } = [1k42]{4 3 −1 ii

i

i

k

]{F − F e

]{ u }

e

J

}

2

e

    k ei k ii−1 Fi  Fe −  12 4 4 3   J Fe force assurant sous chargement  { Fi } le blocage de la frontière  

]

[

]

− k ii−1 k ie {ue } 1442443

déplacement frontières déplacement sous chargement bloquées Fe − FeJ à chargement Fi nul

Nous avons donné une interprétation physique aux termes qui interviennent dans le partitionnement des matrices et des vecteurs. III.1.2.3.2. Application à la méthode des sous structures. F( J +1, J )

Fi

ue ui SJ

S J +1

Pour chaque sous structure les déplacements de partitionnent en déplacements sur les frontières du découpage (interfaces) frontières éventuellement chargées. F( J +1, J ) s’exerce sur la frontière de S J commune à S J +1

S J −1 F( J , J −1)

Il est suffisant de raisonner pour des structures en chaîne Figure dans l’espace de configuration

pour une structure en chaîne (chaque sous structure n’ayant au plus que deux sous structures adjacentes)

348

Eléments finis et méthodes variationnelles

Nous pouvons considérer le système associé, où seuls les interfaces interviennent. La frontière commune à S J et S J +1 étant chargée par le chargement supplémentaire − FeJ − FeJ +1 (figure).

ue

SJ

Le système est caractérisé par ses matrices réduites. Les équations finales s’obtiennent en assemblant les matrices réduites, les déplacements et les chargements étoilés aux frontières ; toutes ces grandeurs étant exprimées sur la même base de référence étant convenablement introduites telles que :

Fe*( J +1, J )=F( J +1, J ) − FeJ − FeJ +1

S J +1

S J −1 E, des matrices de changement de base T( J )

K e réduit ( J ) = T( TJ ) K e réduit ( J ) T( J )

[K

FeJ = T( TJ ) Fe J

] = U[ K ] N

e réduit assemblée

J =1

e réduit

Le système à nombre réduit de déplacements s’écrira :

[K

e réduit assemblé

]{U

e assemblé

} = {F

* e assemblé

}

Les forces FeJ sont les premières quantités à déterminer. III.2. Dynamique - Méthodes de condensation. La notion de condensation ou de diminution du nombre de degrés de liberté a pris de l’intérêt pour la raison suivante : pratiquement les structures sont excitées dans une bande étroite de fréquences (0 ≤ f ≤ f L ) . Seuls quelques modes apportent leur contribution au mouvement et on ne désire connaître les déplacements et les contraintes qu’en un nombre limité de points. Or si on demande finalement peu d’informations, la taille des matrices à manipuler peut être très grande, le coût des calculs en conséquence ; la capacité de l’ordinateur peut être dépassée. Nous expliquerons les méthodes actuellement mises en œuvre en considérant une équation linéaire du type : M ( n ,n ) X&& + K( n ,n ) X = F ( t ) La présence d’un terme en C( n ,n ) X& ne modifie pas la méthode mais rajoute des termes non donnés ici qui surchargeraient inutilement. Nous nous proposons de faire un changement de variables en prenant de nouvelles inconnues contenues dans le vecteur Y tel que : dim Y = p < n X = TY avec dim X = n

349

Eléments finis et méthodes variationnelles

T étant une matrice rectangulaire ( n × p) et telle qu’avec les nouvelles variables nous ayons une représentation acceptable de la structure S considérée.

III.2.1. Condensation statique de Guyan (1965). Il est intéressant de voir comment ont évolué les idées et nous les présenterons chronologiquement. Considérons un système S et supposons qu’il soit chargé par des forces généralisées constantes telles que : ξ 11 ξ 21

x 

ξ 12   F1    ξ 22   F2 

{ X} =  1  =  x  2

(on suppose ici que K −1 = ξ matrice de flexibilité existe). 0 0   M    Les colonnes de la matrice ξ sont des réponses à des colonnes forces du type 1 , M    0 0   donc sont linéairement indépendantes.

Si F2 = 0 :

= n − p p s67 } 4 4 8   F x ξ  1   11   1   =  0   x 2  ξ 21    

}p }n

(R ) 1

Les p premières colonnes de ξ constituent une base incomplète de déformées admissibles c’est à dire satisfaisant les conditions aux limites géométriques du problème. D’un autre côté, en faisant intervenir la matrice raideur nous avons :

 k 11 k  21

k12   x1   F1   =  k 22   x 2   0 

 x1   =  x2 

[

soit par inversion (III.1.2.2.) :

]

 k − k k −1 k −1 12 22 21  −111 −1 − k 22 k 11 − k 21 k 22 k 21

[

350

]

[ 0]  F1    [ 0]  0 

(R ) 2

Eléments finis et méthodes variationnelles

En comparant les relations ( R1 ) et ( R2 ) , nous observons que : ξ 11 = k11−1réduite  −1 −1 − k 22 k 21 = ξ 21ξ 11

( R)

ξ 11  Si nous adoptons pour matrice T une matrice notée TI telle que TI =   , le vecteur ξ 21  YI associé a, d’après ( R1 ) les dimensions d’une force, c’est ce choix qui était fait au début (méthode des modes présumés).

Fried avait fait la remarque que les résultats s’amélioraient si l’on adoptait :  ξ 11m11 + ξ 12 m21  T=  ξ 21m11 + ξ 22 m21 

c’est à dire si on utilisait les premières colonnes de la matrice K −1 M ce qui, on le sait, a tendance à éliminer les hauts modes et est à la base de la méthode des puissances pour le calcul des valeurs propres. Si nous adoptons pour matrice T une matrice notée TII telle que : −1 YI = ξ 11 YII

 I ( p, p)  −1 X = TI ξ 11 YII = TII YII =  −1 {YII } − ξ 21ξ 11   x1  soit compte tenu de la relation ( R ) :   =  x2 

 I  − k −1 k {Y }  22 21 

(Guyan)

L’interprétation devient simple : les paramètres conservés sont formés par une partie des anciens : les maîtres {x1 } , les esclaves {x 2 } étant liés aux premiers par la relation donnée par la seconde partie de la relation matricielle précédente. Dans ces conditions le système à résoudre finalement s’écrit : T T MTY&& + T T KTY = T T F

Evidemment la relation entre YI et YII étant une transformation linéaire non singulière ( ξ est carrée non singulière), les pulsations propres approchées que l’on obtiendra en utilisant TI ou TII et le déplacement final X seront les mêmes. −1 11

Ramsden et Kusner en ont fait la remarque les premiers, résultat redécouvert par Sowers un peu plus tard. 351

Eléments finis et méthodes variationnelles

Expression des matrices condensées

K c = k 11 − k12 k 22−1 = k 11 réduite

M c = m11 − m12 k 22−1 k 21 − k 21T k 22−T (m21 − m22 k 22−1 k 21 ) 1444424444 3

Le calcul donne :

partie souvent oubliée autrefois

K c = T KT T

 I   − k −1 k   22 21 

p n} −p } p{  k 11 k  21

[

p{ I T

 k11 − k 12 k 22−1  0 

k12  k 22 

(− k

) ] [k

T −1 22 21

k

11

}p

}n − p k  }p 21

 

] [ ]

− k 12 k 22−1 k 21 = K c

M c = T T MT  I  − k −1 k   22 21 

p n} −p } p{ m11 m  21

[

p{ I T

}n − p k  }p

 m11 − m12 k 22−1 21   −1 m21 − m22 k 22 k 21 

m12  m22 

(− k

}p

) ] [m

T −1 22 21

k

11

]

− m12 k 22−1 k 21 − k 21T k 22− T [m21 − m22 k 22−1 k 21 ] = [ M c ]

Les matrices M c et K c sont symétriques si M et K le sont, elles sont alors associées à des énergies et k 21T = k 12 , k 22− T = k 22−1 Le résultat sera d’autant meilleur que les liaisons introduites seront plus faibles (ce qui équivaut à ce que les modes retenus seront plus proches des p modes les plus bas). A ce propos il est intéressant de rappeler un résultat de la théorie spectrale dû à Courant et Hilbert : M et K étant symétriques, lorsqu’on impose s = n − p liaisons la hième pulsation propre approchée se situe dans un intervalle bien particulier, les p pulsations propres s’étalant au plus sur tout le spectre de l’ancien système (le système non soumis à ces liaisons). ω h exact ≤ ω h approché ≤ ω h + s exact 1 ≤ h ≤ n − s  s = n − p liaisons ω1 ω 2

ω3

ωh

ω 1+ s

ωp

ω 2+ s

ωn ω h+s

352

← ω exact

Zones de ω h approché

Eléments finis et méthodes variationnelles

Ainsi lorsqu’on utilise la méthode des éléments finis (méthode des déplacements) avant assemblage chaque élément a une pulsation propre maximum, soit ω max la plus grande de toutes ces pulsations maximum. Après assemblage (liaison !) nous pourrons dire que la pulsation maximum de l’ensemble ne pourra pas être supérieure à cette pulsation ω max la plus grande pulsation propre de l’élément fini le plus raide. Interprétation spectrale de la condensation statique de Guyan Kidder a donné une interprétation de la condensation de Guyan en raisonnant sur l’équation caractéristique exacte du problème associé aux équations :

(k (k

11 21

− ω 2 m11 ) x1 + ( k12 − ω 2 m12 ) x 2 = 0

− ω 2 m21 ) x1 + ( k 22 − ω 2 m22 ) x 2 = 0

C’est à dire en raisonnant en régime harmonique libre établi, donc à une pulsation propre, les xi représentant des amplitudes algébriques de grandeurs sinusoïdales. En utilisant la deuxième ligne matricielle nous avons :

[

x 2 = − k 22 − ω 2 m22

] [k −1

21

]

( R)

− ω 2 m21 x1

soit, en reportant dans la première ligne :

[k

11

− ω 2 m11 − ( k 12 − ω 2 m12 )( k 22 − ω 2 m22 )

−1

(k

21

]

− ω 2 m21 ) x1 = 0

Annuler le déterminant de ce système conduirait à l’équation caractéristique exacte mais non polynomiale matricielle linéaire en ω 2 . Kidder effectue alors un développement en série en ω 2 de l’expression de x 2 de la relation ( R ) avec :

d’où

x2

[k = −[( k

[

]

−1

[

] = [I + ω k +...)( k − ω m )]x k k − k m ) +...] x

= k 22 ( I − ω 2 k 22−1m22 )

22

− ω 2 m22

−1 22

+ ω 2 k 22−1m22 k 22−1

x 2 = − k k + ω ( k m22 −1 22 21

2

−1 22

−1

2

−1 22

]

m22 +... k 22−1

2

21

−1 22 21

21

−1 22

21

1

1

Le problème aux valeurs propres s’écrit :

[k

11

]]

[

− ω 2 m11 − ( k 12 − ω 2 m12 ) k 22−1 k 21 + ω 2 ( k 22−1m22 k 22−1 k 21 − k 22−1m21 )+... x1 = 0

soit en ne retenant que les termes en ω 2 :

ou

[K

[k c

11

)]

(

− k12 k 22−1 k 21 − ω 2 m11 − m12 k 22−1 k 21 + k12 k 22−1 (m22 k 22−1 k 21 − m21 ) x1 = 0

]

− ω 2 M c x1 = 0

353

Eléments finis et méthodes variationnelles

On note d’abord que la matrice masse ne coïncide avec celle de Guyan que si K est symétrique et qu’ici k 21 et k12 interviennent dans M c ce qui ne se produit pas dans la matrice condensée de masse de Guyan. Le développement de x 2 contient ici un terme en ω 2 qui améliore effectivement la forme des modes, mais n’est valable que si ω est très inférieur à la plus petite pulsation propre de l’équation det k 22 − ω 2 m22 = 0 . Il y a donc des limitations à la condensation.

[

]

III.2.2. Condensation dynamique de Kuhar (General Electric 1974). S’inspirant des travaux de ses prédécesseurs Kuhar a proposé une méthode itérative. Il  x1   I  2 pose : X =   =  2  x1 = T ( k ) x1  x 2   R( k ) 

[

]

où R( k 2 ) est la matrice introduite par Kidder et calculée pour ω 2 = k 2

[

R( k 2 ) = − k 22 − k 2 m22

] [k −1

21

− k 2 m21

]

Avec la matrice T ( k 2 ) les matrices K et M sont condensées comme dans le procédé de Kidder et peuvent être utilisées comme telles. Elles dépendent d’un paramètre k 2 qu’il faut au préalable fixer. Pour analyser l’influence de k 2 nous allons analyser les pulsations propres du système condensé. - Si k = 0 les matrices coïncident avec celles données par le procédé de Guyan et les pulsations propres approchées sont :

{ω

* 1

ω *2

ω *3 L ω *p

}

- Si k 2 = ω i2 c’est à dire si k coïncide avec une des pulsations propres exacte : la ième alors dans le spectre des p pulsations propres approchées. On le retrouvera dans la suite.

{ω

1

ω2

ω3 L ω p

}

approché

Kuhar propose alors l’algorithme suivant pour déterminer de proche en proche les p premières pulsations propres : • • • •

{ calcul de {ω calcul de {ω

calcul de ω 1* ** 1 *** 1

ω *2 ω ** 2 ω *** 2

} avec R( 0) L ω } avec R(ω ) L ω } avec R(ω )

ω *3 L ω *p ω ** 3 ω *** 3

*2 1

** p

*** p

** 2 1

etc.

 x1  La suite ω 1* , ω 1** converge vers ω 1 exact,   converge vers le mode associé.  x2 

354

Eléments finis et méthodes variationnelles

La même opération peut être effectuée au voisinage de chaque ω *i pour obtenir p pulsations propres de proche en proche et les modes associés. Si cette démarche n’est sans doute pas la meilleure pour obtenir p pulsations et p modes bien qu’elle ait des points communs avec la méthode de Lanczos on notera qu’elle permet au voisinage d’une pulsation ω = k d’obtenir des matrices de taille réduite modélisant le comportement du système autour de ω = k , ce qui peut avoir de l’intérêt pour une excitation à spectre prédominant au voisinage de k. III.2.3. Les bons maîtres. Les matrices condensées de Kidder (au lieu de celles de Guyan) étant adoptées il reste encore à les construire effectivement en choisissant de bons maîtres. Ce choix n’est pas évident. Les ingénieurs ont souvent fait preuve d’intuition en utilisant par exemple les rotations comme esclaves pour les problèmes de poutres ou de coques.

[

] det[ k

Théoriquement on sait que le développement de I − ω 2 k 22−1m22 inférieur à la plus petite des pulsations propres ω i solution de

−1

converge si ω est

22

]

− ω 2 m22 = 0 . Le

nombre p étant fixé il reste à chercher les variables {x 2 } telles que les pulsations approchées soient inférieures à la pulsation pour laquelle le déterminant s’annule... De nombreux chercheurs se sont intéressés à cette question (Kidder 1973, Henshell et Ong 1975, Shah 1982 etc.). Nous présentons ici la méthode de Shah : Soit ω c une pulsation de coupure choisie telle que l’on cherche a déterminer toutes les pulsations inférieures à ω c (tout au moins une approximation de ces pulsations). Shah propose une méthodologie de sélection qui est la suivante :

- En calculant tous les rapports des termes diagonaux des matrices K et M du système initial à n degrés de liberté, rechercher celui qui correspond au rapport, qui a les dimensions d’un carré d’une pulsation, maximum, soit : Kii M ii

= γ i( 0) max

Si γ (i 0) > ω c2 le degré de liberté associé est baptisé esclave et éliminé en ce sens que les matrices condensées sont déterminées, de taille ( n − 1 × n − 1) et où k 22−1 est un simple scalaire 1 . k 22

355

Eléments finis et méthodes variationnelles

- En calculant tous les rapports des termes diagonaux des nouvelles matrices, rechercher le rapport maximum, soit : Kii M ii

= γ i(1) max

Si γ i(1) > ω 2c , le degré de liberté associé est baptisé esclave et...éliminé... γ (i s ) < ω 2c

Ainsi de suite jusqu'à ce que l’on ait :

A ce stade, les s esclaves sont fixés et c’est à ce stade que le système condensé peut être utilisé. On doit prendre une garde ou considérer les termes provenant des dernières pulsation propres trouvées comme termes de perturbations pour la partie basse fréquence de la solution. Pour des problèmes de flexion de poutre on peut considérer grossièrement que la ω dernière pulsation significative est de l’ordre de c , sinon seule l’expérience guide ! ! 3 Cette méthode de condensation présente un inconvénient inévitable : les matrices bandes deviennent rapidement pleines.

III.3. Sous structuration et condensation. Les techniques précédentes présentent l’inconvénient de faire la condensation dynamique en fin de calcul en considérant l’ensemble des degrés de liberté de la structure. Il est possible de condenser avant en s’inspirant des idées développées à propos de la sous structuration. Nous développerons les deux méthodes dites d’économiseurs de valeurs propres sans tenir compte de couplage visqueux ou gyroscopique ou des deux éventuellement présents pour ne pas surcharger inutilement. De même nous ne dirons rien des méthodes hybrides couplant les deux méthodes et sans justification théorique claire à ce jour.

III.3.1. Méthode 1 : utilisation des modes des sous structures frontières bloquées. (Hurty 1971, Guyan 1965, Leung 1978, Thomas 1982 etc.). On considère une structure (S) décomposée en sous structures d’indices J (1 ≤ J ≤ N ) . Pour ces sous structures on définit les paramètres maîtres et esclaves de la façon suivante : Esclaves s (slaves) : Ils ne sont jamais excités et jamais sur les frontières Maîtres m (masters) : Ils peuvent être excités et sont en nombre suffisant aux frontières de la sous structuration pour que, bloqués, ils empêchent tout déplacement d’ensemble de la sous structure (J) considérée.

356

Eléments finis et méthodes variationnelles

Certains maîtres appartiennent donc à plusieurs sous structures.

e

jωt

Pour simplifier l’exposé, on se place en régime permanent établi sous sollicitation en , les vecteurs colonnes X ou F représentent donc des amplitudes algébriques.

( K) X s( J )

( J)

X m( L )( J )

( L)

Fext

On désigne par D = K − Mω 2 les matrices de raideur dynamique ; K et M n’étant pas nécessairement symétriques. Equations L’équation de (J) isolé s’écrit :  Dss( J )  (J)  Dms

(J)   X s( J )   0  Dsm  J = 1,2,..., N ( J )  ( J )  =  Dmm   X m   Fe 

Par assemblage on obtient l’équation matricielle de (S) :         

O Dss( J ) ( J) Dms

       0        dim X s( J ) }  ( J )    ( J )  X s  =   ⇔ DX = F Dsm      O      ( J )    Σ Dmm   X m   Fext 

Les forces de liaison disparaissent deux à deux ainsi le vecteur second membre est formé des contributions des forces (généralisées) extérieures à (S) . Σ désigne une union de matrice ou une somme de matrices expansées X m désigne l’ensemble des maîtres en réunion Changement de base (J) à { X m( J ) } = { 0} Z d désigne la matrice des modes à droite Pour (J)  ( J ) frontières bloquées Z g désigne la matrice des modes à gauche avec la normalisation :  ω 1( J ) 2   (J)T   (J) (J)2 O ∀p Z q K ss Z d = m  avec ω p ≠ 0  (J)T (J) ( ) J 2  (N) Z g M ss Z d = mI ⇒  ω p    1  −1 (J)T (J)  K ss = Z d diag mω ( J ) 2 Z d

357

Eléments finis et méthodes variationnelles

Posons :  X s(1)   (2)  Xs   M   (J)  = Xs   M     X m 

      0    X s   Z d 0  q s   ( J )  ⇔ X =   =  (J)   Zd  X m   0 I  X m   q s   O    0 I  X m  Z gT 0 Donc, après multiplication à gauche par   , le système s’écrit en posant :  0 I m(ω 1( J )2 − ω 2 )    O   ( J )2 2 diag m( ω −ω ) =  ( J )2 2  m ωp −ω   O  O  M    ( J )2 ( ) ( )  diag m ω Z g J T DsmJ  q s( J )   0  − ω2   =    M    O  ( J) ( J) ( J )  Dms Zd ΣDmm    X m   Fext          

(

(

)

)

  1 ( J )T ( J ) (J) q s( J ) = − diag Z D g sm { X m } ( J )2 2 m( ω −ω )     D’où :   1 ( J )T ( J )   D J − D ( J ) Z ( J ) diag Z g Dsm { X m } = {Fext } mm ms d ∑  m( ω ( J )2 − ω 2 ) J 144444244444 3    contribution des q s( J ) L’approximation consiste à effectuer l’opération de condensation en développant la  (J)  T matrice de raideur dynamique ∑ Dmm − Dms ... et donc q s( J ) au voisinage de ω = 0 .  J  Condensation On utilise les deux identités : 1

m(ω i2 − ω 2 )

=

1 mω i2

 ω2  1 1 +  2 2  = 2  ω i − ω  mω i

 ω2  ω4 1 + 2 + 2 2  2  ω i ω i (ω i − ω ) 

q s( J ) = −diag

 ( J )T ( J ) 1  ω2 (J) 1 + K sm − ω 2 M sm  { X m( J ) } ( J )2 ( J )2 2  Zg  ω mω −ω 

q s( J ) = −diag

ω2 1 1  ( J )T ( J ) ( J) ( J) ( J)  Z K X − diag diag ( J ) 2 Z g( J ) T K sm − Z g( J ) T M sm X m( J ) sm m ( J)2 g  ( J)2 2  ω mω  mω −ω 

[

{

}

]

(

soit en reportant dans le second groupe d’équations : 358

)

{

}

Eléments finis et méthodes variationnelles

∑ K(

J) mm

J

  1 ω2 1  ( J) ( J) ( J) ( J )T ( J ) ( J) T  { X m } = { Fext } − ω 2 M mm − Kms − ω 2 M ms Zd( J ) diag Ksm − diag diag ( J ) 2 Z g( J ) T Ksm − Z g( J ) T M sm ( J )2 Zg  ( J )2 2  m ω ω mω −ω    

[

]

(

)

soit : 

∑  K (

J) mm

( J) ( J) − K ms Z d diag

J

1  ( J )T K sm { X m } ( J)2 Zg mω 

  1 ω2 ( J) ( J) ( J) − ω 2 ∑  M mm + K ms Z d diag  + ( J)2 mω ( J ) 2 ω ( J ) 2 − ω 2  mω J  

(

+ω

2

∑M

( J) sm

J

= { Fext }

(T)

Zd

)

  1 ( J) ( J )   diag ( J ) 2 Z g( J ) T K sm − Z g( J ) T M sm  { X m } ω   

  1 1 ω2  ( J )T ( J) ( J)T ( J) ( J )T ( J)  diag Z K − Z M Z K + diag diag g sm g sm g sm  { X m } mω ( J ) 2 ω( J)2 mω ( J ) 2 ω ( J ) 2 − ω 2   

(

)

avec : (J) (J) Kms Z d diag

1 m 1 1 (J) ( J ) (T ) ( J )T ( J )−T ( J )T (J) Z ( J )T diag Z ( J )T K sm = Kms Z d diag Z g mZ d( J ) −1 Z d( J ) diag K sm ( J )2 Z g ( J )2 Z g 1 4 4 2 44 3 mω ( J ) 2 g mω ( J ) 2 g m ω m ω 14444244443 1 444 2 444 3 M ss( J ) Kss( J ) −1 Kss( J )−1

en utilisant les relations ( N ) . ( J ) ( J ) −1 ( J ) J  K G = ∑ K mm − K ms K ss K sm  J Posons :  ( J) ( J ) ( J ) −1 ( J ) ( J ) −1 ( J ) ( J ) ( J ) −1 ( J ) ( J ) ( J ) −1 ( J)  M G = ∑ M mm + K ms K ss M ss K ss K sm − M ms K ss K sm − K ms K ss M sm J 

  ω2 ( J) ( J) 2 2  { X m } = { Fext } B Le système s’écrit : KG − ω M G − ω ∑ A diag m ω( J )2 − ω 2   J 1 ( J) ( J) ( J) ( J) A ( J ) = M ms Z d − K ms Z d diag mω ( J ) 2 Avec : 1 ( J) ( J) (= A ( J ) T si les matrices sont symétriques) B ( J ) = Z g( J ) T M sm − diag ( J ) 2 Z g( J ) T K sm ω

(

)

- L’approximation classique consiste à ne tenir compte que de K G et M G et donne des résultats acceptables tant que : ω 2 < inf ω ( J )2 Cette méthode ne nécessite pas de calculer les matrices des modes - L’approximation d’ordre supérieur consiste à calculer quelques modes en tronquant en modes la somme sur J et à résoudre par itération l’équation caractéristique :   ω i2−1 (J) (J) 2 2  =0 det K G − ω i M G − ω i ∑ A diag B m(ω ( J )2 − ω i2−1 )  

359

Eléments finis et méthodes variationnelles

ω i2− 2 + ω i2−1 La convergence est oscillante et accélérée si on travaille avec . 2 (J) Les X s( J ) sont calculées par { X s( J ) } = − Dss( J )−1 Dsm { X m( J ) } ou par Zd( J ) q s( J ) Le terme supplémentaire ne doit pas donner d’importantes modifications sur les pulsations propres sinon c’est l’indice d’un mauvais choix des maîtres. III.3.2. Méthode 2 : utilisation des modes des sous structures frontières libres. (Craig 1968, Mac Neal 1971, Livolant 1978, Kerstens 1980, Michon 1980, Li-Ming Dubigeon Peseux 1990) On considère une structure (S) décomposée en sous structures d’indices J (1 ≤ J ≤ N ) . X ( J ) est le vecteur des déplacements de la sous structure J F ( J ) est le vecteur force généralisée associé dû au champ extérieur à (S) F (J)

( J)

X (J)

( R)

( L)

Equations Les structures sont liées ensemble par des liaisons géométriques aux frontières, m au total, liaisons auxquelles on associe le multiplicateur Λ .

∑ [ R ( ) ]{ X ( ) } = {0} J m

Λ

T

dim Λ = m

J

Le travail virtuel des forces de liaison s’écrit : T δT = { Λ} ∑ Rm( J ) {δX ( J ) } = ∑ δX ( J ) T Rm( J )T Λ J

[

]

J

L’équation matricielle de J isolée s’écrit : K ( J ) − ω 2 M ( J ) { X ( J ) } − Rm( J )T { Λ} = {F ( J ) }

[

[

]

]

On se place en régime harmonique établi sous sollicitation F ( J ) e colonnes représentent des amplitudes algébriques. L’équation matricielle de (S) s’écrit :

360

jωt

et les vecteurs

Eléments finis et méthodes variationnelles

O  K( J) − ω2 M ( J)    Rm( J ) 

( J)T

− Rm O 0

     X ( J )   F ( J )   K − Mω 2      = ⇔      R        Λ   0 

T

− R  X  F    =  0  Λ   0 

Changement de base Z d( J ) désigne la matrice des modes à droite Pour (J) isolée  ( J ) Z g désigne la matrice des modes à gauche Chaque structure (J) a au plus six modes rigides. On adopte la normalisation :

(N)

Z g( J )T M ( J ) Z d( J ) = mI ⇒ Z g( J )T K ( J ) Z d( J )

ω 12    = m O  2  ωl 

Certaines pulsations propres étant nulles en général. Posons :

  X (J)     =    

O  Z d( J )   O  

   q ( J )  { X } Z d { q}    ⇒ (J) (J) (J)   { X } = Z d {q }   

[ ] [ ]

 Z gT  Donc après multiplication par   le système matriciel s’écrit :  I mm  O     ( J )2 ( J ) T ( J )T   ( J )   2 Z ( J ) T F ( J )  diag m( ω ( J )2 − ω 2 ) − Z gT R T   q   Z g( J ) T F ( J )  q ω ω diag m − − Z R ( )     g m g   = ⇔   =     O 0 RZ d 0  Λ          (J) (J)  0 Rm Z d 0    Λ  

La solution exacte, d’un intérêt limité, est due à Kerstens : Pour calculer Λ , on multiplie la première ligne matricielle par Ld = RZ d

[ L diag mω d

( J )2

]

{

q  − Ld LTg   = Ld Z gT F Λ 

(

Ainsi : Λ = Ld LTg

)

−1

}

ou on a posé

Lg = RZ g

et utilisé

RZ d q = 0

(

Ld diag mω ( J )2 { q} − Ld LTg

Λ s’exprime en fonction de q qui vérifie : 361

) ( L Z F) −1

d

T g

Eléments finis et méthodes variationnelles

[

[

]

) ]

(

(

− ω 2 mI + I − LTg Ld LTg Ld diag mω ( J ) 2 {q} =  I − LTg Ld LTg 

)

−1

{

Ld  Z gT F 

}

Mais la nouvelle matrice K est non symétrique même si le système initial ne possède que des matrices symétriques et elle est très singulière puisque les paramètres q sont liés ; autant résoudre directement le système initial ! L’approximation consiste à partitionner chaque matrice modale en modes gardés et en modes abandonnés associés respectivement aux q k( J ) et q l( J ) respectivement les maîtres et les esclaves (k pour kept, l pour lost). Les bons maîtres sont associés aux pulsations propres les plus faibles et on voit que ce sont des petits q (pas culs !). Condensation q k( J )  Z l( J )  ( J )  ⇔ { X } = Z k q l  on dispose donc de trois blocs d’équations :

[

]

X ( J ) = Z k( J )

Posons donc

[

q k  Zl   ql 

]

diag m(ω (kJ )2 − ω 2 )q k( J ) − Z g( Jk)T Rm( J )T Λ = Z g( Jk)T F ( J )

(1)

diag m(ω (l J )2 − ω 2 )q l( J ) − Z g( Jl )T Rm( J )T Λ = Z g( Jl )T F ( J )

( 2)

∑ R ( ) Z ( )q ( ) + R ( ) Z

( 3)

J m

J dk

J

k

J m

dl

q l( J ) = 0

J

Le vecteur q l( J ) s’écrit : q l( J ) = diag

On pose :

1 mω (l J )2

  1   ω2 1 −  ( J )2  ωl

(2)

   Z ( J ) T R ( J )T Λ + Z ( J )T F ( J ) gl  gl m  

[

L(dJk) = Rm( J ) Z d( Jk)

L(dJl) = Rm( J ) Z d( Jl )

Lg k = Rm Z g k

Lg l = Rm Z g l

(J)

(J)

(J)

(J)

(J)

(J)

]

⇔

( 2 ′)

Ld = RZ d Lg = RZ g

Approximation à l’ordre zéro Dans cette approximation on néglige le terme en ω 2 dans q l( J )

∀J . Le système s’écrit :

diag m(ω (kJ ) 2 − ω 2 )q k( J ) − L(gJk)T Λ = Z g( Jk) T F ( J ) (1′)

[

q l( J ) = diag

1 ( J )T ( J )T ( J ) ( J )2 Lg l Λ + Z g l F mω l

∑ L( ) q (

+ L(dJl) q l( J ) = 0

J dk

k

J)

J

]

L’équation matricielle ( 3′) s’écrit, compte tenu de ( 2 ′ ) : 362

( 2 ′) ( 3′ )

Eléments finis et méthodes variationnelles

∑ L(

J) dk

q k( J ) + L(dlJ ) diag

J

avec : L(dlJ ) diag

C( J )

1 1 ( J)T ( J) ( J )T ( J ) ( J ) 2 L g l Λ = − Ldl diag ( J)2 Zgl F mω l mω l

1 1 ( J )T ( J )T ( J ) T = Rm( J ) Z d( Jl ) diag = Rm( J ) C ( J ) Rm( J )T ( J )2 Lg l ( J ) 2 Z g l Rm mω l mω l

Il apparaît naturellement une matrice de flexibilité résiduelle C ( J ) . On pose : 1 ( J )T = Z d( Jl ) diag ( J )2 Z g l mω l

C = ∑ Rm( J ) C ( J ) Rl( J )T = RCR T

matrice de flexibilité

C (1)    O   (J)   C= C   O   (N)   C   Pour que C soit régulière (formée de plus de m vecteurs, c’est à dire de rang maximum) il faut que m, le nombre de liaisons soit strictement inférieur au nombre de modes abandonnés. Le système, pour les variables gardées, s’écrit sous forme compacte avec des notations évidentes : mdiag(ω 2k − ω 2 ) − LTg k  q k   Z gT k  (1′)    =  { F } ( 3′ ) Ld k C   Λ  − RC   Avec ce degré d’approximation, on peut considérer qu’on a un certain nombre de O   m 0  . pulsations propres envoyées à l’infini la matrice masse, singulière étant  O    0 0  Λ peut être éliminé à partir de la troisième équation matricielle :

(

  Λ = − C −1  ∑ L(dJk) q k( J ) + Rm( J ) C ( J ) F ( J )  ⇔ Λ = − C −1 Ld k q k + RCF  J 

[− mω I + mdiagω 2

[

2 k

]

+ LTg k C −1 Ld k {q k } = Z gT k [ I − R T C −1 RC ]{ F }

)

( 3′′) (1′′ )

Ou sous forme détaillée des équations du type : N N   − diag mω 2 + diag mω (kJ )2 {q k( J ) } +  Z g( Jk)T Rm( J )T C −1 ∑ Rm( L ) Z d( Lk ) {q k( L ) } = Z g( Jk)T F ( J ) − Z g( Jk)T Rm( J )T C −1 ∑ Rm( L ) C ( L ) F ( J ) L =1 L =1  

]

Approximation à l’ordre 1

363

Eléments finis et méthodes variationnelles

Dans le développement de q l( J ) on conserve le premier terme en ω 2 q l( J ) = diag

1 mω (l J )2

[

 ω 2  ( J )T ( J )T ( J ) 1 +  ( J )2  Lg l Λ + Z g l F  ωl 

]

(2 ′ * )

L’équation ( 3′) s’écrit compte tenu de ( 2 ′ * ) :

∑ L(dJk) q k( J ) + L(dlJ ) diag J

1 mω (l J ) 2

 ω2  ( J)T 1 ( J) 1 +  ( J ) 2  L g l Λ = − Ldl diag mω (l J ) 2  ωl 

 ω 2  ( J)T ( J ) 1 +  ( J ) 2 Z g l F  ωl 

Il apparaît naturellement une nouvelle matrice. On pose :

D ( J ) = Z d( Jl ) diag

1 ( J )T ( J )4 Z g l mω l

Dmm = ∑ Rm( J ) D ( J ) Rm( J )T = RDR T  D (1)    O   (J)   D= D   O   (N)   D   Le système s’écrit sous forme plus compacte :

mdiag(ω 2k − ω 2 ) − LTg k  q k     = Ld k C + ω 2 D   Λ  

  Z gT k  { F } 2 − RC − ω RD

O   m 0   . La nouvelle matrice masse est   O   0 − D  Le rayon de convergence est le même mais la précision est améliorée. Résolution pratique du système obtenu : élimination de Λ mdiag(ω 2k − ω 2 ) − LTg k  q k      = { 0} Ld k C + ω 2 D   Λ   est le problème aux valeurs propres à résoudre.

364

Eléments finis et méthodes variationnelles

Λ = −[ C + ω 2 D] Ld k {q k } avec [ C + ω 2 D] −1

−1

Λ ≈ −[ C −1 − ω 2 C −1 DC −1 ] Ld k {q k }

[

= C ( I + ω 2 C −1 D )

]

−1

≈ [ I − ω 2 C −1 D]C −1

et la première équation matricielle s’écrit :

[mdiag(ω

[mdiag(ω

ou

]

2 k

− ω 2 ) + LTg k [C −1 − ω 2 C −1 DC −1 ] Ld k { q k } = {0}

2 k

− ω 2 ) + LTg k C −1 Ld k − ω 2 mI + LTg k C −1 DC −1 Ld k

(

)]{q } = {0} k

Parfois C −1 est mal conditionné et même à l’ordre 1 rien n’est changé. Introduction d’un décalage de fréquences β 2 pour les modes gardés Partons du système avant élimination de Λ

[mdiag(ω

2 k

{q } = diag k

[ ] + β ){ q } + [ L ]{Λ}]

]

+ β 2 ) − mdiag( ω 2 + β 2 ) {q k } − LTg k { Λ} = 0 soit :

m( ω

[mdiag(ω +β )

1 2 k

2

2

T gk

k

2

(E ) 1

Expression qui est portée dans la seconde équation matricielle :     1 1 2 T   { Λ} = { 0} m( ω 2 + β 2 )  Ld k diag q + L diag L + C + ω D { } k dk g k m(ω 2k + β 2 )  m(ω 2k + β 2 )    Or la matrice Ldk diag E = ∑ Rm( J ) Z d( Jk) diag J

m(ω k

1

( J )2

1

m(ω + β 2 k

+ β2 )

2

)

LTg k + C s’écrit :

Z g( Jk)T Rm( J )T + Rm( J ) Z d( Jl ) diag

1 ( J )T ( J )T ( J ) 2 Z g l Rm mω l

Posons :

 1  diag   m ω (kJ ) 2 + β 2 E ( J ) = Z ( J )  d        1  H d = Ld k diag ( J )2 m ω k + β2 

(

(

[

)

]

)

  Z ( J ) T ⇒ E = ∑ R ( J ) E ( J ) R ( J ) T 1  g J diag mω (l J ) 2  1 H g = diag LTg k ( J )2 2 m ωk + β

(

Alors : m( ω 2 + β 2 ) H d {q k } + [ E + ω 2 D]{ Λ} = { 0}

[ ]

Soit : { Λ} ≈ − m( ω 2 + β 2 )[ E −1 − ω 2 E −1 DE −1 ] H d {q k }

365

)

(E ) 2

Eléments finis et méthodes variationnelles

( E ) porté dans ( E ) s’écrit : 2

{q } = m( ω k

1

2

+ β 2 ) diag

1

m(ω + β 2 ) 2 k

{q } − m( ω



{q } m( ω 1+ β ) = diag m( ω 1+ β ) − H E  k

2

2

2

g

2

F = H g E −1 H d

Posons :

2

k

−1

[ ]

[ ]

+ β 2 ) H g [ E −1 − ω 2 E −1 DE −1 ] H d {q k }

 H d + ω 2 H g E −1 DE −1 H d {q k } 

G = H g E −1 DE −1 H d

− F + ω 2 G = − F − β 2 G + (ω 2 + β2 )G Le problème est non linéaire et s’écrit : 

{q } m ω 1+ β = diag m ω 1+ β − ( F + β G ) + ( ω ( )  ( ) {q } = [ω + β ]{q } k

2

2

* k

2

2

2

2

2

2

 + β 2 ) G { q k } 

ou encore

k

1   2 diag m ω 2 + β 2 − ( F + β G ) G  q k   I 0 q k  1 ( )   *  =   q k  m( ω 2 + β 2 ) 0 I  q k*  I    0  m  Problème aux valeurs propres Ω 2 =

1

m( ω 2 + β 2 )

dont on recherchera les

valeurs propres les plus élevées pour avoir les ω 2 minimum (taille double). Annexe : Calcul de E ( J ) matrice mieux conditionnée que C ( J )

E

( J)

(

 ( J ) β2 ( J) ( J) = K + M Z d k M ( J ) T Z g( Jk) m 

)

T

  

−1

En effet, en supprimant provisoirement ici l’indice J : T β2 Z g k  MZ d k M T Z g k  T  K + m  Z g l 

(

(

 β MZ d k M T Z g k Ainsi :  K + m  2

)

T

  

−1

diag m(ω 2k + β 2 )   Z Z =   dk dl 2 diag mω l   

) [ T

]

1   diag  Z T  2 2 m(ω k + β )   gTk  = Z dk Z dl  1    Z g l  diag 2  mω l   C.Q.F.D.

[

]

366

Eléments finis et méthodes variationnelles

Remarque sur le conditionnement de E (si E est symétrique) Soit Y un vecteur de norme euclidienne égale à 1 (Y T Y = 1) Soient γ max la plus grande valeur propre de toutes les matrices E ( J ) et

γ min la plus petite valeur propre de toutes les matrices E ( J )

Evaluons la forme quadratique Y T EY :

[

(toujours positive)

][

][

]

Y T EY = ∑ Y T R ( J ) E ( J ) R ( J ) Y J

T

Cette forme peut s’écrire de deux façons : Y T EY = ∑ Y T R ( J ) ( E ( J ) − γ min I ) R ( J )T Y + γ min Y T R ( J ) R ( J ) T Y , le premier

- Si nous écrivons :

J

terme de la somme est positif ou nul d’après la définition de γ min et le deuxième terme fait intervenir

∑ R( ) R( ) J

J T

.

J

Les équations de liaisons sont de type tels qu’en général cette matrice a la structure suivante : O    2   ( J ) ( J )T   1 R R = ∑J   2    O Les 1 dans la diagonale correspondant à des déplacements imposés nuls, les 2 à des liaisons entre sous structures. Ainsi : 1 ≤ Y T ∑ R ( J ) R ( J ) T Y ≤ 2

et

Y T EY ≥ γ min

J

C’est à dire que la plus petite valeur propre de E est supérieure à γ min . - Si nous écrivons maintenant la forme quadratique Y T EY en remplaçant γ min par γ max le premier terme de la somme qui apparaît est négatif ou nul d’après la définition de γ max et compte tenu de la remarque précédente sur la forme Y T ∑ R ( J ) R ( J )T Y , Y T EY ≤ 2 γ max J

C’est à dire que la plus grande valeur propre de E est inférieure à 2 γ max . 2γ Ainsi : cond ( E ) ≤ max (E est symétrique) γ min (E) est mieux conditionnée que (C) qui fait intervenir des combinaisons de matrices C ( J ) singulières alors que les matrices E ( J ) ne le sont pas.

- Quelque soit la méthode choisie dans ce processus, les résultats ne seront acceptables que pour des pulsations vérifiant : ω 2 < inf (ω (l J )2 ) (largement) La principale difficulté dans sa mise en œuvre était de déterminer les matrices de flexibilité C ( J ) et D ( J ) , le problème est actuellement surmonté et ne nécessite pas de déterminer tous les modes des N sous structures libres. L’annexe traite de ces problèmes.

367

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe :

Matrices de flexibilité et matrices de flexibilité résiduelle C, Matrice D

• Notion de flexibilité résiduelle Soit un système ( n × n) excité à la pulsation ω

[K − ω

2

M ]{ X } = { F }

K singulière

Soient Z d sa matrice des modes à droite, Z g sa matrice des modes à gauche. Chaque matrice peut se partitionner en modes rigides (r) et modes flexibles (f) et en modes gardés (k) ou abandonnés (l).

Ainsi : Z d ( n × n )

Si on pose :

    =  Z d r Z d f1 Z d f 2  14243 {  Zd l   Zd k 

[

{ X } = Zd r Zd f

1

Zd f2

q r     q1  = Z d k q   2

]

[

]

q k  Z d l   et si on multiplie à  ql 

gauche par Z gT le système se diagonalise : diag m(ω i2 − ω 2 )q = Z gT F

avec

Z gT MZ d = mI ( n ×n ) X = Z d diag

1

m(ω − ω 2 ) 2 i

Z gT F

  I 1 1 T T T  Soit : { X } =  Z d r Z + Z diag Z + Z diag Z d f1 g f1 d f2 g f2 {F} 2 2 − mω 2 g r   m( ω i2 − ω 2 ) ω ω m − j  

(

)

  1 1 T T   = Z d k diag Z g k + Z d l diag Z g l {F} 2 2   m( ω i2 − ω 2 ) m ω − ω j   ↑ avec certains ω i nuls.

(

)

1 T 2 Z g l est une matrice de flexibilité résiduelle qui intervient mω j lorsqu’on fait des approximations pour le calcul des q l . La matrice C = Z d l diag

Plusieurs méthodes sont possibles pour la déterminer, la première étant de calculer la matrice Z d l et les pulsations associées, méthode d’un intérêt évidemment très limité. • Méthodes de détermination de la matrice de flexibilité résiduelle C 368

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le procédé le plus simple finalement trouvé est le procédé du à Li-Ming que nous allons présenter. La matrice ξ est définie par : ξ = Z d f diag

1 T 2 Zg f mω i

A cette matrice de flexibilité totale on soustrait la matrice de flexibilité des premiers modes flexibles antérieurement calculés. - ξ est calculé par :

(

)

−1 def  − 1 Z Z T = K *−1 − 1 Z Z T En effet :  m2 d r g r m2 d r g r 0 0  m 2 I 0 T * T T T Z g K Z d = Z g KZ d + Z g MZ d r Z g r MZ d =   2+  0 diag mω i   0 0

ξ =  K + MZ d r M T Z g r 

K *−1

T

 I  0 2   m Z d−1 K *−1 Z g−T =  1   0 diag  mω i2    I  0  m2  T Zd r T 1 T = Zd  1  Z g = m 2 Z g r + Z d f diag mω 2 Z g f i  0 diag  mω i2  

Et on a bien : K

*−1

−

Z d r Z gTr m2

=ξ

Zd r 1 T D’où : C = K *−1 − 2 Z gTr − Z d f1 diag 2 Z g f1 m443 mω i 1442 ξ - C est calculé par C = K **−1 − Z d k diag

(

1

m α 2 + ω 2j

)

Z gT k

avec

K ** = K +

(

α2 MZ d k M T Z g k m

)

T

α étant une pulsation caractérisant un décalage en fréquence (shift). La démonstration est analogue à la précédente. ωc = f c est la fréquence de coupure, celle au delà de laquelle on a abandonné les modes, 2π l’expérience a montré que choisir α = 10ω c était conseillé pour un bon conditionnement. • Détermination de la matrice D

Si

369

Eléments finis et méthodes variationnelles

On peut d’abord vérifier que D = CMC avec :

[

C = Zd k

Zd l

0  Z T   1   kTg   diag 2   Z g l  ωl  

]

−1

et

[

 Z kT g  M =  T  m[ I ] Z d k  Z g l 

Zd l

]

−1

On peut utiliser une des deux expressions de C ainsi avec l’utilisation de la seconde faisant intervenir K ** :

D = K **−1 MK **−1 − Z d k diag

_______

370

(

1

m α +ω 2

2 j

)

Z gkT

Eléments finis et méthodes variationnelles

Chapitre IV

Utilisation de la méthode des éléments finis pour les problèmes non linéaires

Nous nous proposons ici d’utiliser la méthode des travaux virtuels de variation des déplacements pour obtenir une formulation matricielle de problèmes non linéaires où l’hypothèse des petits déplacements et des petites déformations n’est plus faite ni même parfois l’hypothèse de linéarité de la loi de comportement. IV.1. Le point de vue variationnel. Nous partons de résultats obtenus par les théorèmes généraux pour obtenir une relation qui sera par la suite considéré comme un principe de départ. Un système S occupant D à t vérifie (Cf. chapitre IV première partie) : r r r r div d Σ L + ρ 0 F0 = ρ 0 u&&(a , t )

  T T T  dans D0 Σ L ⋅ F = F ⋅ Σ L ou Σ K = Σ K  r r u = ud sur ∂D0u r r Σ L ⋅ N = TL d sur ∂D0σ en utilisant un point de vue Lagrangien (voir annexe Eulérien). Envisageons à l’instant t un champ de déplacement multiplions scalairement à gauche l’équation locale par

∫

D0

III sur l’utilisation d’un point de vue r r virtuel caractérisé en P par δu ( a , t ) , r δu et sommons :

r r r r δu ⋅ div d Σ L dV0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 F0 dV0 = D0

∫

D0

r r ρ 0 δu ⋅ u&&( a , t )dV0

Soit, en intégrant par parties :

(

)

(

)

r r T r r r &&r − ∫ Σ L : grad δu dV0 + ∫ div δu ⋅ Σ L dV0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 F0 dV0 = ∫ ρ 0 δu ⋅ udV 0 D0

D0

D0

D0

où les opérateurs ∂ et δ sont permutables puisque nous sommes en variables lagrangiennes.

r T r r r r &&r Soit : − ∫ Σ L : δ F dV0 + ∫ δu ⋅ TL dS 0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 F0 dV0 = ∫ ρ 0 δu ⋅ udV 0 D0

∂D0

D0

D0

en utilisant la formule d’Ostrogradsky. Nous allons modifier l’expression du premier terme en notant que :

( A ⋅ B): C = A:( B ⋅ C) car ( A B )C ij

371

jk

ki

(

= Aij B jk Cki

)

Eléments finis et méthodes variationnelles

T

T

T

T

Ainsi : Σ L : δ F ≡ F ⋅ Σ K : δ F = Σ K ⋅ F : δ F = Σ K : δ F ⋅ F T

σ ij Fkj δFki = σ ij δFkj Fki

En effet :

T

D’où : Σ K : δ F =

ΣK = ΣK

car

(C = I + 2E )

T 1 1 Σ K : δ F ⋅ F  = Σ K : δ C = Σ K : δ E GL 2 2

GL

(Le tenseur E GL sera noté E dans la suite). D’où la relation :

−

∫D0 

Σ K : δ EdV0

 ou  

F .Σ

+

T K : δ h  

∫∂D0

r r

r

r

δu ⋅ TL dS0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 F0 dV0 = ∫ D0

D0

r r

r

ρ 0δu ⋅ u&&dV0 ∀δu

Cette relation est considérée comme un principe : le principe des travaux virtuels utilisé à la place du principe fondamental. δTF int + δTF ext = δA T

avec

(

ΣK = ΣK

)

la relation Σ K E GL ... étant connue. Le champ virtuel peut être incompatible mais on doit imposer en écrivant le principe : r r u = ud sur ∂D0u r r  Σ L ⋅ N = TL d sur ∂D0σ

La méthodologie est donc exactement la même que celle déjà mise en œuvre : on obtiendra r des équations approchées en se bornant à écrire le principe pour un nombre fini de δu . r N r r r r TK dS 0 n TL dS 0 = TC dS r ρ 0 FdV0 r ∂D0σ ρ FdV r P0 ∂D0u ud D0

O

D

r a

R galiléen

372

Eléments finis et méthodes variationnelles

IV.2. Formulation matricielle.

( )

r r r Classiquement on choisit comme déplacement u( P ) un champ u( P ) = N u P0i 0 0 où N est un opérateur d’interpolation agissant sur les déplacements d’un certain nombre de noeuds.

- On désigne par { p} le vecteur des variables nodales tel que { p} = { p1 , p2 ,..., pi ,... pn } où les pi sont des fonctions du temps. T

- On pose

{ u} T = {u1 , u2 , u3 } { F } T = {ρ 0 F1 , ρ 0 F2 , ρ 0 F3 }

{T }

= {T1 , T2 , T3 } Les bases étant toujours orthonormées directes. T

L

Matriciellement l’interpolation s’écrit : { u} = [ N ]{ p} où N ne dépend que des coordonnées de P0.

⇒ { δu} = [ N ]{ δp}

{ σ} T = {σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 23 , σ 31 , σ 12 } en adoptant cet ordre par exemple

On pose :

mais en notant que ce sont les composantes de Σ K

{ ε} T = {ε 11 , ε 22 , ε 33 , γ 23 , γ 31 , γ 12 }

et

γ ij = 2 ε ij

avec

i≠ j

en

que ce sont les composantes du tenseur E non linéaire. def r rw Les colonnes de h = mat h sont notées hi (ou θ i ) ( h = grad u = u ∇ )

[

h = h1

h2

h3

]

avec T

[h ] = [u ]↵k i

en cartésiennes

k ,i

T

T h+h h ⋅h comme E = + où h ⋅ h est symétrique. 2 2  h1T h1  h1T    T 0  h2 h2  T  1  h h 1 0 { ε} = { ε} linéaire +  T 3 3 T  ou { ε} = { ε} lin +  2 h3 h2 + h2 h3  20 h T  h1T h3 + h3T h1   3T  T  h2 h1 + h1T h2  h2 1 { ε} = { ε} lin + { ε} non linéaire = { ε} lin + [ A( θ) ]{θ} avec 2  h1    θ désignant le vecteur colonne de neuf composantes h2  h   3

373

0 h2T 0 h3T 0 h1T

0  0 h  h3T   1   h  h2T   2  h h1T   3   0 

{ ε} lin = [ B0 ]{ p}

notant

Eléments finis et méthodes variationnelles

Grâce à la commutativité du produit scalaire nous pouvons écrire [ δA]{ θ} :

δh1T   0  0   0 δh T  3T δh2

0 δh2T 0 δh3T 0 δh1T

h1T 0    0  0    T  h1 δh3    0  h  =  δh2T   2   0 h δh1T   3  h3T   T 0  h2

C’est à dire que

{δε} NL =

0 h2T 0 h3T 0 h1T

0  0 δh  h3T   1   δh  h2T   2  δh h1T   3   0 

[ δA]{θ} = [ A]{ δθ}

soit

T 1 T  δ h ⋅ h + h ⋅ δh s’écrit :  2

1 [[ A( θ) ]{δθ} + [δA( θ)]{δθ} ] = [ A( θ) ]{δθ} 2

{θ} = [ G ]{ p} où G fait intervenir

Pour un système de coordonnées donné on a : les fonctions d’interpolation et leurs dérivées.

[ ]

⇒ { δθ} = [ G ]{ δp} et {δε} NL = [ A( θ) G ]{δp} = B1 { δp} def

En résumé :

B 

 

def B1  p} = [ B ]{ p} {  2

{ ε} lin = [ B0 ]{ p}

{ ε} NL =  1 { p} 2

{ ε} =  B0 +

{δε} lin = [ B0 ]{ δp}

{δε} NL = [ B1 ]{δp}

{δε} = [ B0 + B1 ]{ p} = [ B ]{ δp} def

[ B ] = [ AG] 1

Pour un milieu élastique la loi de comportement s’écrit { σ} = [ D]{ ε} dans la base considérée. Le principe des travaux virtuels s’écrit : T T T T − ∫ { δε} { σ} dV0 + ∫ {δu} { F } dV0 + ∫ { δu} {TL }dS 0 = ∫ { δu} { u&&} ρ 0 dV0 D0

∂D0

D0

∀{ δu}

D0

T

Soit pour un milieu élastique :

[

]

[

]

T T T  + { δp} − ∫ B T DBdV0 { p} + ∫ [ N ] { F } dV0 + ∫ [ N ] {TL }dS 0 − ∫ N T ρ 0 N dV0 { && p}  = 0 D0 ∂D0 D0  D0 

où l’on introduira TL donné . La somme sur ∂D0 devant être remplacée par une somme sur ∂D0 − ∂D0u si on prend

un champ virtuel compatible {δpc } .

374

∀{ δp}

T

Eléments finis et méthodes variationnelles

De toutes façons les conditions géométriques doivent être introduites et fixent certaines composantes de { p} . Le facteur du champ varié doit être nul, ce qui fournit l’équation à résoudre :

[

]

− K sécante { p} inconnues + {F } = [ M ]{ && p} inconnues

(E ) 1

Ce problème est non linéaire, car la matrice de raideur dépend de { p} . Le vecteur final des variables nodales les contient toutes à l’exception de celles connues dont la contribution apparaît dans {F } vecteur de forces généralisées, qui dans le cas le plus général dépends de

{ p} et des déplacements imposés.

En fait, pour obtenir l’équation finale (E1 ) on procède à une décomposition en sous matrices :  K11 −  K 21

K12   pinc   F1   + = K 22   pconnu  F2 

 M 11 M  21

M 12   && pinc     M 22   && pconnu 

La force généralisée {F2 } est celle qui impose les déplacements donnés (connus) et est une inconnue du problème. La première ligne matricielle s’écrit :

[ ]

[

]

[

]

[ ]

− K12 { pconnu } − M 12 { && pconnu } + {F1 } = M 11 { && pinc } + K11 { pinc } Donc : avec :

{F } = { F1 } − [ K12 ]{ pconnu } − [ M 12 ]{ &&pconnu }

{F } = ∫ 1

{ }

T T [ [ N ] { F } dV0 + ∫ N ] TL d dS 0 D ∂D − ∂D 0

0

0u

La seconde ligne matricielle permet de calculer {F2 } lorsque le premier problème est résolu. Pour simplifier l’exposé nous supposerons dans la suite que les déplacements imposés sont tous nuls alors {F } = {F1 } . Les cas les plus généraux se traitant cas par cas comme le cas de problèmes plus complexes où les milieux auraient des mouvements d’entraînement supplémentaires* __________________________________ Dans la description des éléments finis, il était implicitement supposé que les systèmes n’avaient pas de mouvement d’ensemble. Des cas plus généraux peuvent évidemment se traiter. Le lecteur intéressé pourra consulter, par exemple, la publication suivante qui lui permettra en plus de faire connaissance avec les modes cambodgiens, souvent ignorés. Modes for deformable periodic cyclic symetric systems driven in uniform rotation by a flexible shaft S. Dubigeon, J.-C. Michon, Journal of sound and vibration (1986) 106 (1) pp. 53-70 *

375

Eléments finis et méthodes variationnelles

Remarque : Expression de la matrice sécante qui est non symétrique. B K0 x [ K S ] = ∫D0 B T DBdV0  = ∫D0 [ B0 + B1 ][ D] B0 + 21 dV0 KS x 1 1 = ∫ [ B0T DB0 ]dV0 + ∫ [ B0T DB1 ]dV0 + ∫ [ B1T DB0 ]dV0 + ∫ [ B1T DB1 ]dV0 D D D x 0 0 2 0 2 D0 [ K0 ] = ∫ [ B0T DB0 ]dV0 est la matrice symétrique des déformations

F

D0

infinitésimales Schéma

IV.3. Formulation matricielle incrémentale. Le système étant dans un état déformé, à l’équilibre, nous nous proposons de r r r r déterminer le champ u + ∆ u associé à D + ∆ D pour un chargement F + ∆ F dans D et r r TC + ∆ TC sur ∂D mais les variations ∆ (incréments) sont infinitésimales.

r δu( p )

r u( p )

i

i

r δu( p +∆ p ) i

D0

D

i

r ∆u D+∆D

Nous appliquons le principe des travaux virtuels au nouvel état où le nouveau champ r r r virtuel est δu( p + ∆ p ) = δu + ∆ ( δu ) i

i

r Les fonctions d’interpolation étant classiquement indépendantes des pi , δu est r indépendant des pi , ∆ u dépends linéairement des ∆ pi et est indépendant des pα *, donc r r r δ( ∆ u ) = ∆( δu ) = 0

Le principe variationnel s’écrit pour l’état final D + ∆ D et fait intervenir des termes

−∫

D0

(Σ

K

) (

)

+ ∆Σ K :δ E + ∆ E dV0

Ainsi si l’on soustrait les relations écrites pour l’état final D des relations écrites pour l’état final D + ∆ D , en négligeant les termes en ∆2 , on obtient : r r r r − ∫ ∆Σ K : δ EdV0 − ∫ Σ K : ∆δ EdV0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 ∆ FdV0 + ∫ δu ⋅ ∆ TL dS 0 = 0 D0

D

∂D0

D0

__________________________________ Voir l’annexe II dans le cas général

*

376

Eléments finis et méthodes variationnelles

r r Mais de même que ∆ δ u = 0 , δh dépend linéairement des δpi mais est indépendant

des pi et ∆ h dépend linéairement des ∆pi et est indépendant des pi donc ∆ δh = 0 tout comme δ∆h . Ainsi le terme ∆ δE est égal à : T T 1 ∆ δ E =  δ h ⋅ ∆ h + ∆ h ⋅ δ h = ∆ δ E NL 2 La formulation matricielle des résultats précédents s’écrit : T − ∫ { δε} {∆ σ}dV0 − ∫ D0

D0

{∆ δε}

T

{ σ} dV0 + ∫ { δu} T {∆ F }dV0 + ∫ {δu} T {∆ TL }dS 0 = 0 D ∂D 0

0

{∆ δε} = ∆[ A( θ) G]{δp} et {∆ σ} = [ D ]{∆ ε}

Avec : {∆ ε} = [ B ]{∆ p}

1

[ ]

La dernière relation où il intervient une matrice D1 exprime la relation incrémentale

[ ]

entre les accroissements de déformations et les accroissements de contraintes. D1 ≠ [ D] si, bien qu’initialement dans le domaine élastique, le milieu chargé a commencé à rentrer dans le domaine plastique (nous ne dirons rien dans ce chapitre sur la détermination de D1 en

supposant que le milieu reste dans le domaine élastique). En mettant { δp} gauche nous obtenons :

[ ]

T

en facteur à

{δp} T − [ ∫D B T D1 BdV0 ]{ ∆ p} − ∫D [G T ∆ A T σ]dV0 + ∫D [ N ]T { ∆ F } dV0 + ∫∂D [ N ]T {TL } dS 0  = 0 0

0

0u

Cette relation est en faite écrite pour des déplacements virtuels compatibles et se transforme en modifiant l’écriture de ∆ A T σ

[

]

 σ 11  σ  22 ∆ h1 0 0 0 ∆ h3 ∆ h2    σ 11 I 33 σ 12 I 33 σ 13 I 33   ∆ h1   def   σ 33    0 ∆ h 0 ∆ h 0 ∆ h = σ I σ I σ I ∆ h     = [ M ]{∆ θ} 2 3 1 21 33 22 33 23 33 2   σ   23     0    0 ∆ h3 ∆ h2 ∆ h1 0  σ I σ 32 I 33 σ 33 I 33   ∆ h3  σ 31   31 33   σ 12  où I 33 est la matrice unité de dimension ( 3 × 3) et M n’est pas à confondre avec la matrice des masses : ∆ A T σ = [ M ]{∆ θ} = [ MG ]{∆ p}

[

]

Donc nous devons avoir, { δp} étant quelconque : T

−∫

D0

[B

T

D1 B ]dV0 + ∫

D0

[G

T

MG ]dV0 { ∆ p} + ∫

[

]

∂D0

[ N ] T { ∆ TL } dS 0 − ∫D [ N T ]{ ∆ F } dV0

ou − K tan gente {∆ p} + {∆ F } = 0 (E2 )

377

0

=0

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le premier terme est du à la somme du travail des nouvelles contraintes et du travail des contraintes initiales (au signe près), le second au travail des incréments des forces. On pose classiquement si D1 = D cas où nous nous placerons :

[ K ] = ∫ [ B + B ][ D][ B + B ]dV = ∫ [ B DB + B DB + B DB + B DB ]dV [ K ] = [ K ] + [ K ] où K est appelée matrice des déplacements initiaux [ K ] = ∫ [G MG]dV ≡ [ K ] T1

T 0

D0

T1

T 1

0

0

1

1

0

D

T 0

T 0

0

1

T 1

0

T 1

1

0

1

T

T2

σ

0

[ K ] est la matrice des contraintes initiales ou de raideur géométrique. σ

[K ] = [K ] + [K ] + [K ]

Ainsi :

T

0

(symétrique)

σ

1

F K T x + cste

K0 x

Remarque : On peut obtenir facilement les résultats précédents à partir de l’énergie de déformation.

KS x x

Schéma

2 E d = ∫ Σ K : EdV0

(D

Σ K = D: E

avec

D0

klmn

E nm E lk )

T 1 1 δ Σ : EdV + Σ : δ EdV δ Σ = D : δ E = δ Σ K K K K 0 0 2 ∫D0 2 ∫D0 1  1  = ∫  D: δ E  : EdV0 + ∫ Σ K : δ EdV0 = ∫ Σ K : δ EdV0 D0  2 D0  2 D0

δE d =

(on adopte Σ K = λ traceE Green I + 2µ E Green pour un milieu isotrope) et :

(

 2 E d = ∫ λ traceE D0 

)

2

 + 2µ E: E dV0 

Il est plus simple de raisonner avec les notations matricielles et sur la densité d’énergie

Σ: E =W 2 B1  1  T W = { ε} [ D]{ ε} avec : { σ} = [ D]{ ε} { ε} =  B0 + { p} = [ B ]{ p} 2 2  1 T T T {δε} = B0 + B1 { δp} = B0 { δp} δW = { δε} [ D]{ ε} + { ε}[ D]{ δε} = { δε} [ D]{ ε} 2

{

}

δW = { δp} [ B ] [ D][ B ]{ p} d’où T

T

[

∫ δWdV = {δp} 0

378

T

[ K ] sécante { p}

]

[ ]

Eléments finis et méthodes variationnelles

De même on peut, en prenant une incrémentation ∆ , calculer la matrice tangente :

{

∆ δW = { δp} ∆ [ B ] [ D][ B]{ p} T

T

}

( ∆ { δp} = { 0} si les fonctions d’interpolation ne dépendent pas des variables nodales) T

or :

∆ B T = ∆ B1 T

{δp}

T

{[ G] [∆ A] {σ} + [ B ] [ D][ B ]{∆ p}} = {δp} [[ G] [ M ][ G] + [ B ] [ D][ B ]]{∆ p} T

T

T

T

T

T

D’où par intégration la matrice tangente.

IV.4. Application des résultats précédents à la résolution des problèmes non linéaires de l’élastodynamique. Soit à résoudre le système : [ M ]{ &&p} + K sécante { p} = {F } = {F1const } + {F2 ( t )}

[

]

On commencera d’abord par résoudre le problème de statique.

[K

sécante ( p )

]{ p } = { F } 1

1

( F1 indépendant de p : forces non suiveuses) puis on posera { p} = { p2 ( t )} + { p1 } et p2 ( t ) doit vérifier :

[ M ]{ &&p2 } +

[K

sécante ( p1 + p2 )

]{{ p } + p (t )} = { F } + { F (t )} 1

2

1

2

La résolution est classique si F2 ( t ) est petit ce qui implique p2 ( t ) petit en général et nous nous bornons ici à ce cas

[ M ]{ &&p2 } +

[K

sécante ( p1)

]{ p } + [ K ]{ p } +... = { F } + { F (t )} 1

T

2

1

2

et le système à résoudre est de type classique, dans le cas contraire on a des équations non linéaires ! Pour résoudre l’équation relative au problème de statique on obtient la solution de proche en proche soit par des méthodes sécantes soit par des méthodes tangentes itératives ou incrémentales (voir l’annexe I)

(t)

[ K ( p )]{ p } T

1

2

[ K ( p )]{ p } sec

1

1

[ K ( p + p )]{ p + p } sec

1

2

1

2

p1

p 6472 48

[ ]

Schéma dans le cas où D1 = [ D]

379

p

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le schéma ci dessus illustre dans un cas monodimensionnel la démarche indiquée mais ne met pas en évidence ce qui peut se produire dans le cas où non linéarités géométriques et sur la loi de comportement se cumulent comme nous allons chercher à l’expliquer maintenant. σK

A + P

+

O

+ + B Q d

Zone linéaire D = D1 ε GL

d ′′

F

F A′ P′ + +

Q′ + +

B′

Q ′′ F1

d′ x

x1

x1 dynamique x

Non linéarité Non linéarité géométrique géométrique et non linéarité sur la loi de comportement

Schéma : Pénétration dans la zone de plasticité • Le chargement varie infiniment lentement De O à A le point P évolue dans le domaine linéaire de la loi de comportement mais sur le deuxième schéma qui montre la réponse x en déplacement à la sollicitation F le point correspondant P ′ évolue déjà dans une zone non linéaire. Pour Q situé entre A et B, à σ K croissant ∆ σ K = D1 ( Q) ∆ ε mais si en Q le chargement décroît le point figuratif se déplace dans la direction d. Sur le deuxième schéma le point correspondant Q ′ se déplace alors dans la direction correspondante d ′ . • Le chargement dépend du temps et évolue autour d’une valeur moyenne F1 F = F1 + F2 ( t )

Si x1 est la position moyenne obtenue par incrémentation pour un chargement statique F1 (point Q ′′ ) et si le point Q ′′ a son correspondant Q sur la portion où le point Q évolue dans la zone plastique, au cours du mouvement le point figuratif du troisième schéma évoluera sur une droite d ′′ et x autour d’une valeur moyenne x1 dynamique différente de x1 . Si les

amplitudes de F2 ( t ) deviennent importantes, la droite d ′′ peut être remplacée par une trajectoire évoluant vers un cycle limite.

IV.5. Exemples classiques d’applications simples.

380

Eléments finis et méthodes variationnelles

IV.5.1. Etude d’une poutre droite chargée longitudinalement. P( x ) x

v1

θ1

v2

θ2

Nous avons vu que les mouvements de flexion plane d’une poutre droite étaient influencés par un chargement axial important en développant la théorie élémentaire d’Euler. Une énergie potentielle supplémentaire intervenait : l

2 E d supp = ∫ Pv ,2x dx 0

si P( x ) est l’effort normal à l’abscisse x

Une matrice de raideur peut, si l’on utilise la méthode des éléments finis, lui être associée. Ainsi avec l’élément de poutre classique à deux noeuds :  a 0     v = 1 x x 2 x 3  a1  = [Φ( x ) ]{ A}  a 2   a 3     A = TV ⇒ v = [ ΦT ]{V } = [ N ( x ) ]{V } 

[

[ ]

]

[

]

v , x = Φ , x { A}

[

]

[ ]

v , x = Φ , x T {V } = N , x {V }

[ ]

T 2 E d supp = ∫ A T Φ ,Tx PΦ , x A dx = { A} K A { A} l

0

ou bien

[

avec :

]

2 E d supp = ∫ V T N ,Tx PN , xV dx = {V } [ KV ]{V } l

0

[ K ] = [T V

T

K AT

]

T

Dans le cas où P est uniforme on a immédiatement :

K v supp

1  5  6l 10  2l  5 = P     sym 

6 5l 1 − 10 6 5l −

1  10  l  −  30  1 −  10 2l   15 

Cette matrice fait intervenir la dérivée d’un polynôme cubique et il est naturel de retrouver des coefficients numériques déjà rencontrés lors de l’étude d’une poutre en flexion avec l’hypothèse de Timoshenko (matrice due à l’énergie cinétique de rotation des tranches avec δ = 0 ). K v supp est une matrice des contraintes initiales.

Remarque 1 : Si nous adoptons pour un calcul approché v − v1 θ1 = θ 2 = 2 l 381

Eléments finis et méthodes variationnelles

Ceci revient à introduire une relation de liaison caractérisée par une matrice Tl telle que :  1 0  v1   1 1  θ1  − l l   v1   v1  La matrice K supp dans la base réduite (v1 , v 2 ) s’écrit :  v  =  0 1 v  = [Tl ]v  2  2   2     1 1 θ 2   −  l l  1  1 −  * l K supp = Tl T K supp Tl = P  l  1 1 ( v1 ,v2 ) −   l l  Matrice qui, expansée, fournit une matrice supplémentaire approchée :  1 0 − 1 0   P  0 0 0 0 * K supp = l − 1 0 1 0    0 0 0 0

Cette matrice dite de raideur de corde correspond à une énergie telle que P 2 2 E d = (v 2 − v1 ) qui n’a qu’un intérêt anecdotique. Si ce n’est que les résultats fournis avec l celle ci sont très voisins de ceux obtenus avec la matrice exacte. Remarque 2 : Les effets du second ordre mis en évidence dans la théorie analytique et qui peuvent conduire à des phénomènes catastrophiques dans le cas de compression sont évidemment restaurés dans la mise en œuvre des éléments finis avec cette matrice supplémentaire si l’on fait le choix d’un maillage suffisant.

IV.5.2. Application de la méthode à l’étude de plaques minces chargées dans leur plan avec la théorie de Kirchoff - Von Karmann - statique - milieu isotrope. Par abus de langage on parle souvent de grandes déformations dans la théorie qui va être rappelée, en fait il s’agit d’une étude où les déformations sont non infiniment petites, les déplacements restant petits (la flèche de l’ordre de grandeur de l’épaisseur). On part d’un état non contraint dans le plan et on charge progressivement, l’étude permet de voir l’évolution du déplacement w. Préliminaire u, v, w désignent les déplacements du plan moyen, on travaillera en cartésiennes et on pose :

{ε$} T = {ε xx moyen ε yy moyen γ xy moyen − w, xx − w, yy − 2 w, xy } {σ$ } T = { N xx N yy N xy M xx M yy

M xy

}

382

Eléments finis et méthodes variationnelles

1 2 w 2 ,x 1 = v , y + w,2y 2 = u , y + v , x + w, x w, y

ε xx moyen = u, x +

Avec : ε yy moyen γ xy moyen

{ε$} se partitionne en { ε} lin et { ε} NL

1 2   u , x   w, x   v   21  , y    w2  ,y def  ε lin plan  ε NL plan  u, y + v , x   2  $ {ε} =  + =  +  w, x w, y  ε − w , xx   lin flexion   0      − w, yy       0   − 2 w, xy      La loi contraintes généralisées, déformations généralisées s’écrit :

{σ$ } = [ D$ ]{ε$} avec

   Eh 1 − ν 2  $ D =      

[ ]

  0  1 ν ν 1 0   1− ν 0 0  2  

        1 ν 0  Eh 3  ν 1 0  12(1 − ν 2 )  1 − ν  0 0   2 

Introduisons {U } le vecteur des variables nodales puisque nous utilisons la méthode des éléments finis.

u     v  = [ N ]{U } w  

{U i }

T

avec :

{U } T = {U 1 U 2 L U i L}

[ N ] = [ N 1 N 2 L N i L]

    =  ui vi wi wi , x wi , y  123 3 U T plan 14T4244 U flexion i  i 

et :

tels que :

 N i plan ( 2 ×2 ) N = [ i]  0 

 N i flexion ( 1×3)   0

 B0 plan   U plan  D’où : { ε} lin =  en adoptant un nouvel ordre des variables nodales. B0 flexion  U flexion    w, x 0    w, x  def 1 1 { ε} NL plan =  0 w, y    = [ A( θ) ]{θ} Et : w 2  , y  2  w, y w, x 

383

Eléments finis et méthodes variationnelles

def  w, x  Avec : { θ} =   =  w, y 

 N 1 flexion , x N  1 flexion , y

L N i flexion , x L N i flexion , y

{θ} = [ G ]{U } flexion

U 1 flexion  L  M    L U i flexion   M 

1 2 1 = ([ δA]{θ} + [ A]{δθ} ) = [ A]{δθ} = [ AG ]{ δU } flexion 2

{ ε} NL plan = [ AG ]{U } flexion Soit :

{δε} NL plan

En résumé B1 flexion     0   {ε$} = [ B0 ] +  2  {U } 0 0     0 B1 flexion   {δε} =  B0 +  { δU } 0   0 

 B0 plan

[B ] = 

avec :

0

[B

[ ]



1 flexion

] = [ AG]

0 B1 flexion   0 B1 flexion  { ∆U } on pose B1 =   0  0  0 0

{ ∆ε} = [ B0 ] +  



 B0 flexion 

[ ]

Matrice sécante Le travail virtuel des forces généralisées s’écrit :

δT = [ δU T ]{ F } , tous calculs faits où { F } convenablement calculé.

est un vecteur de forces généralisées

Le principe des travaux virtuels s’écrit :

∫ {δε$} S

T

{ σ} dS = {δU } T { F } soit :





B 





{δU } T  ∫ [ B0 + B1 ] [ D$ ] B0 + 1 dS {U } − { F }  = 0 2    S  T

D’où la relation :

∀{δU }

[ K (U )]{U } = { F }  (U )] = ∫ [ B + B ] [ D$ ] B 

T

NL

avec

[K

T

NL

S

0

1

0

+

B1  dS 2 

La matrice K NL est une matrice sécante par définition, on voit que le problème est non linéaire.

384

Eléments finis et méthodes variationnelles

Matrice sécante Pour résoudre le problème nous pourrons chercher à annuler le vecteur { ψ} tel que :

{ ψ} = [ K (U )]{U } − { F }

Nous chercherons alors une relation entre des variations incrémentales telle que : {∆ ψ} = KT {∆ U }

[ ]

[K

Nous avons :

T $ ( ){ } NU U ] U = ∫S [ B σ ]dS

[ B ] = [ B0 + B1 ] def

Passons aux variations ( ∆ ) de la relation définissant { ψ}

{ ∆ψ} = ∫ [ ∆ B ]

T

S

{σ$ }dS + ∫S [ B ]T [ ∆ σ$ ]dS

{σ$ } vérifie : {σ$ } = [ D$ ][ B]{U } def

 

[ B ] =  B0 + • Calcul de

[∆ B ]

[

T

{∆ σ} = [ D$ ][ B ]{∆ U }

et :

B1  2 

∫ [ ∆ B ] {σ$ }dS T

S

 0 T T G ∆ A

{σ$ } = [ ∆ B1 ] {σ$ } =  T

 N xx     ∆ w, x ∆ A T  N yy  =  N   0  xy 

]

0 ∆ w, y

 N xx  N   yy  0  N xy    0  M xx   M yy     M yx 

N  ∆ w, y   xx  N  = ∆ w, x   yy   N xy 

 N xx N  yx

N xy  {∆ θ} = N yy 

 N xx N  yx

N xy  [ G ]{∆ U } flexion N yy 

0 0     ∆ U plan  def N N     xx xy Ainsi : ∫ ∆ B1 {σ$ }dS = 0 T   = K σ {∆ U } G  S G dS  ∆ U flexion  ∫ N N yy     yx    [ Kσ ] est la matrice des contraintes initiales.

[

]

[ ]

T

• Calcul de

∫ [ B ] [ ∆ σ$ ]dS T

S

$ ]{∆ U } [ B ]T [ ∆ σ$ ] = [ B T DB

[B

T

] [

] [

] [

] [

T $ T $ T $ $ = B T DB $ DB 0 0 + B0 DB1 + B1 DB0 + B1 DB1

385

]

si

D$ = D$ 1

Eléments finis et méthodes variationnelles

Ainsi :

∫

S

 B0 plan S 0

[ ] ∫ 

avec : K 0 =

 B0 plan S  0

[K ] = ∫  1

et :

[ ] [ ]

B T ∆ σ$ dS = K 0 + K1

0  0  0   B0 plan   D plan  K 0 plan dS =  0 B0 flexion   0 B0 flexion  K 0 flexion  D flexion   0  0  0 D plan B1 flexion  0  D plan B0 plan 0   0 dS + ∫      S B B0 flexion  0 0 0 O   1 flexion 0  0

0 0  +∫  dS T S 0  B1 flexion D plan B1 flesion   B0Tplan D plan B1 flexion  0 K = [ 1 ] ∫S  B T D B dS T  1 flexion plan 0 plan B1 flexion D plan B1 flexion 

[ K ] est la matrice des déformations infinitésimales [ K ] est la matrice des déplacements initiaux 0

1

[K ] = [K T

0

+ K1 + K σ

]

Ces matrices servent à résoudre le problème non linéaire et donnent des résultats acceptables dans le cadre des hypothèses de départ : celui d’Euler pour la poutre, celui de Von Karmann pour la plaque. Le calcul complet, sans les hypothèses restrictives mais toujours en conservant l’hypothèse de Bernoulli pour la poutre et de Kirchhoff pour la plaque montre que les matrices calculées ici ne sont que les parties prédominantes des vraies matrices lorsque les milieux se déforment peu, les déplacements restant petit. Tout est donc cohérent. Nota : nous n’avons pas parlé d’assemblage, fixant notre attention sur le problème non linéaire, mais le lecteur aura compris que les calculs sont effectués pour construire des matrices d’éléments finis que l’on aura ensuite à assembler. On utilisera les procédés d’intégration numérique décrits précédemment pour le calcul des matrices raideur.

386

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe I

Méthodes sécantes, Méthodes tangentes

I.1. Résolution de k ( x ) x = F par les méthodes sécantes. Pour simplifier nous raisonnerons en monodimensionnel (k est un scalaire) l’extension au cas où le problème fait intervenir des matrices est immédiat. I.1.1. Méthode itérative. On calcule x1 tel que k ( 0) x1 = F x1 = k ( 0) F

k ( x) x

F

−1

{

}

x 2 = x1 + k −1 ( x1 ) F − k ( x1 ) x1 = k −1 ( x1 ) F x 3 = k −1 ( x 2 ) F M

x

x 0 = 0 x1

x n = k −1 ( x n −1 ) F

x solution

x2

M Dans le cas de figure la convergence est de plus en plus lente. Ceci est encore amplifié si on calcule chaque xi avec la même matrice inverse k −1 ( x 0 ) = k −1 ( 0)

{

x 2* = x1 + k −1 ( x 0 ) F − k ( x1 ) x1

}

{

x 3* = x 2* + k −1 ( x 0 ) F − k ( x 2 ) x 2

}

I.1.2. Méthode d’Euler incrémentale. La force F est décomposée en plusieurs incréments ∆ Fp :

F A

B

n

F = ∑ ∆ Fp

B′

∆ F3 A′

p =1

On calcule les ∆ x p

Fapproché

k ( 0) ∆ x1 = ∆ F1 ⇒ ∆ x1 = k −1 ( 0) ∆ F1 x1 = ∆ x1

n=3

∆ F2

k ( x1 )∆ x 2 = ∆ F2 ⇒ ∆ x 2 = k −1 ( x1 )∆ F2 x 2 = x1 + ∆ x 2

∆ F1 x approché x1 x2 ∆ x1 ∆ x 2 ∆ x 3

x solution

x

k ( x 2 )∆ x 3 = ∆ F3 ⇒ ∆ x 3 = k −1 ( x 2 )∆ F3 x3 = x2 + ∆ x3 M n

x approché = ∑ ∆ x p p =1

La méthode ne converge pas vers la solution

( )

On procède par rééquilibrage en déterminant Fapp = k x app x app et la force hors d’équilibre F − Fapp . On repart alors de A ′ en fractionnent F − Fapp , etc. La méthode fournit cependant des points intermédiaires A ′, B ′ ,...

387

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.2. Résolution de k ( x ) x = F par les méthodes tangentes. Soit

ϕ( x ) = k ( x ) x dϕ = k ( x ) dx + k , x dx = k T dx k T est la matrice tangente.

I.2.1. Méthode itérative de Newton Raphson. F

On calcule x1 tel que k ( 0) x1 = F

[ ] ( x )[ F − k ( x ) x ]

x 2 = x1 + k T−1 ( x1 ) F − k ( x1 ) x1

k ( x2 ) x2

x 3 = x 2 + k T−1

k ( x1 ) x1

2

2

(x

0

= 0)

2

M

Dans le cas de figure la convergence est rapide O

x1

x2

x sol

ψ( x) ψ0 ψ1

x

Nota : on peut aussi adopter une autre démarche. ψ = k ( x) x − F Posons : ∆ ψ = k T ( x) ∆ x On part d’un x 0 non nul (solution devinée) x = x0 → ψ( x0 ) = ψ 0 ≠ 0 x1 = x 0 − k T−1 ( x 0 )ψ 0

x sol x 2 x1

x0

x 2 = x1 − k T−1 ( x1 )ψ 1 M

x n = x n −1 − k T−1 ( x n −1 )ψ n −1 M L’algorithme est le même que précédemment puisque ψ = kx − F mais le point de départ n’est pas l’origine.

I.2.2. Méthode incrémentale. F

F est divisé en plusieurs incréments :

A

n

∆ F3

F = ∑ ∆ Fp

A′

p =1

k ( 0) ∆ x1 = ∆ F1 ⇒ ∆ x1 = k −1 ( 0) ∆ F1 x1 = ∆ x1

∆ F2 ∆ F1

x1 x 2 ∆ x1 ∆ x 2

x sol

kT (x1 )∆ x2 = ∆ F2 ⇒ ∆ x2 = kT−1 (x1 )∆ F2 x 2 = x1 + ∆ x 2 kT ( x2 )∆ x3 = ∆ F3 x M Là encore des rééquilibrages sont nécessaires.

388

Eléments finis et méthodes variationnelles

Remarque : Ces méthodes peuvent être utilisées avec de nombreuses variantes par exemple en utilisant k T−1 ( x 0 ) ou en ne calculant la vraie matrice tangente que de temps en temps ; le temps de calcul ne diminue pas nécessairement car la convergence est plus lente en général. Si la force F est importante et si l’on a aucune idée de ce qui peut se produire ; on a intérêt à la décomposer en incréments comme le suggère le schéma ci-contre.

F

x

Des phénomènes de saut peuvent se produire, la matrice K T peut être singulière et des zones instables peuvent apparaître numériquement. F

A cette instabilité correspond une instabilité observée physiquement comme le schéma l’explique et comme on peut le démontrer. Ce phénomène de snap through est bien connu et numériquement maîtrisable évidemment dès qu’il est détecté : il faut décomposer F en incréments et réfléchir un peu...

A

det K T < 0

x ?

B ?

I.3. Résolution de k ( x ) x = F ( x ) (cas de forces suiveuses). On peut résoudre en s’inspirant méthodes précédentes, ou résoudre :

F ( x)

des

def

k ( x) x − F ( x) = ψ( x) = 0

x sol

x ψ( x)

x1

et chercher à annuler ψ ( x ) en partant d’un x1 deviné !

On peut obtenir x solution tantôt par excès tantôt par défaut comme dans toutes les méthodes d’ailleurs.

x

389

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe II

Formulation matricielle avec un champ de déplacement généralisé (Frey)

r On se propose d’utiliser une description du champ u non linéaire en { p} . Cette formulation malheureusement lourde peut être utilisée pour des plaques ou des poutres.

r r On adopte u = g ( pα ) où les pα sont toujours les variables nodales.

pα = pα

pα = 0 +

r F

r r u ( pα ) = g( pα )

+

r δu ( pα ) p α = p α + ∆ pα

+ r g ( pα + ∆ pα )

D0

r r F +∆F

D

r δu ( pα + ∆ pα )

D+∆D

{ u} = g( pα )

[

]

ui = g i ( pα ) → δui = gi , p ( pα )δpα ⇔ { δu} = N ( pα ) { δp} α

[ ]

∆ δui = gi , pα pβ δpα ∆ pβ ⇔ {∆ δui } = {∆ p} U i { δp} T

où U i est une matrice de dérivées

secondes symétrique. • L’équation non linéaire (E1 ) du mouvement s’écrit :

[

]

− K sec { p} + {F } = [ M ]{ && p} mais cette fois {F } et [ M ] dépendent de pα puisque N en dépend. • L’équation relative à la formulation incrémentale utilise pour rechercher une position d’équilibre sous un chargement statique est modifiée. Partons du principe des travaux virtuels en statique : T T T − ∫ { δε} { σ} dV0 + ∫ { δu} { F } dV0 + ∫ { δu} { T } dS 0 = D0

ou

∂D0

D0

r r r r − ∫ Σ K :δ EdV0 + ∫ δu ⋅ ρ 0 FdV0 + ∫ δu ⋅ TdS 0 = 0 D0

D0

∂D0

390

∫

D0

{ δu} T { 0} dV0 = 0

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le principe incrémental s’écrit : T T T T { δε} { ∆ σ} dV0 − ∫ ∆ {δε} {σ}dV0 + ∫ ({δu} { ∆ F } + ∆ {δu} { F })dV0 D D D

−∫

0

+∫

0

({δu} { ∆ T} + ∆ {δu} T

∂D0

T

{T })dS 0 = 0

ou − ∫ ∆Σ K : δ EdV0 − ∫ Σ K : ∆ δ EdV0 + ∫ D0

D0

D0

0

r

r

r

(δur ⋅ ∆ F + ∆ δur ⋅ F )dV + ∫ (δur ⋅ ∆ T 0

L

∂D0

r r + ∆ δu ⋅ TL )dS 0 = 0

Les termes soulignés une fois sont nouveaux, ceux soulignés deux fois modifiés. •

∫

D0

∫

T ∆ { δu} { F } dV0 = { δp}

∂D0

T

∆ {δu} {T }dS 0 = {δp} T

∫ ∑ ([U ] {F }){∆ p}dV T

D0

T

i

i

0

i

∫ ∑ ([U ] {T } ){ ∆ p} dS T

∂D0

i

i

0

i

La somme de ces deux termes s’écrit

{δp}

T

[ H ]{∆ p} où H ( p)

( p ) est une nouvelle

matrice carrée. • Calcul de

∫

D0

Σ K : ∆ δ EdV0 = ∫

D0

{δp} T [∆ B ]T {σ}dV0

T     T  ∆  δh + δh   − ∫ Σ K : ∆ δ EdV0 = − ∫ Σ K :  + ∆ δ h ⋅ h dV0 D0 D0 2     puisque : T T  hT ⋅ h T δ h ⋅ h h ⋅ δh  = ΣK: Σ K : δ + ΣK: = Σ K : δh ⋅ h  2  2 2  

T T = − ∫ Σ K :  ∆ δh + δ h ⋅ ∆ h + ∆ δ h ⋅ h dV0

( )

T = − ∫ Σ K :  I + h ⋅ ∆ δ h + δ h ⋅ ∆ h dV0

Le dernier terme correspond à la matrice K σ déjà trouvée. Le dernier terme s’écrit en cartésiennes :

( )

(

)

− ∫ Σ K : I + h ⋅ ∆ δhdV0 = − ∫ Σ ij δ ik + u k ,i ∆ p T U k , j δpdV0

{δp} T ∫ [ Σ ij (δ ik + uk ,i )U k , j ]{ ∆ p} dV0 = {δp} T [ K σσ ]{ ∆ p} def

Soit

On obtient finalement :

[

]

{

}

− k 0 + K1 + K σ + K σσ − H ( p ) { ∆ p} + ∆ F( p ) = {0}

391

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe III

Point de vue Eulérien

Le point de vue présenté dans ce chapitre est basé sur une description Lagrangienne bien adaptée à la mécanique des milieux solides déformables. Nous nous proposons ici d’observer comme se présente le problème analysé du point de vue Eulérien où les inconnues r dépendent de x et de t. Un système S occupant D à t vérifie : r r r div d Σ C + ρF = ργ P  r  dans D avec ρ ,t + div(ρv ) = 0 dans D T  ΣC = ΣC r r u = ud sur ∂Du r r Σ C ⋅ n = TC d sur ∂Dσ *

*

Rappelons que les tenseurs G , h et E le tenseur d’Euler Almansi sont définis ainsi : r r r r r a( x , t ) = x − u( x , t ) * −1 * r r r rw r da = G ⋅ dx =  I − h  ⋅ dx ⇒ G = F ; h = u ∇ x = grad x u ∂ ∂ avec : hij = ui , j en cartésiennes où : , j = et non ! ∂x j ∂a j *

* * h +h r r r T r r r da ⋅ da = dx ⋅ G ⋅ G ⋅ dx = dx ⋅  I − 2 E  ⋅ dx ⇒ E = 2

*T

*T

−

h

⋅h 2

*

r r On envisage un champ de déplacement virtuel δu ( x , t ) en tout point P et comme r précédemment l’équation locale est multipliée scalairement par δu et sommée dans D.

∫

r r r r r r δu ⋅ div d Σ C dV + ∫ δu ⋅ ρFdV = ∫ δu ⋅ ργ P dV

∫

T r r − Σ C : grad x δudV + ∫ div δu ⋅ Σ C dS + ∫

D

D

D

∂D

D

(

)

D

D’où en intégrant par parties : r r r r δu ⋅ ρFdV = ∫ δu ⋅ ργ P dV D

δ r Notons E la partie symétrique de grad x δu alors dans le produit deux fois contracté δ

seul E intervient comme Σ C est symétrique. Finalement, en utilisant la formule d’Ostrogradsky nous obtenons, en notant que r r TC = Σ C ⋅ n sur ∂D : δ r r − ∫ Σ C : E dV + ∫ δu ⋅ TC dS + ∫ D

∂Du

∂Dσ

r r r r δu ⋅ TC d dS + ∫ δu ⋅ ρFdV = D

r

D

Ceci traduit effectivement le principe des travaux virtuels :

392

r

∫ δu ⋅ ργ

P

dV

Eléments finis et méthodes variationnelles

δTForcesintérieures + δTForces extérieures = δA

r ∀δu

Ce théorème peut être utilisé avec un champ virtuel compatible, alors l’intégrale sur ∂Du disparaît. Considéré comme un principe, la relation précédente fournit une expression formelle du principe des travaux virtuels, expression à laquelle on doit adjoindre la relation de δ

conservation de la masse. Cependant une difficulté apparaît à cause du terme E . Ici les opérations de dérivation ( ∂) et de variation ( δ ) ne sont pas permutables : au r cours du déplacement virtuel les coordonnées ( x ) varient. Ainsi en cartésiennes : ∂ u + δu ( ) ∂ (x + δx ) − ∂∂xu ≠ (δu ) ( )

δ ui , j =

i

i

i

i ,j

j

=

∂( ui + δui ) ∂x j

j

j

δ

−

∂ui r r ⇔ δ grad x u ≠ grad x (δu ) ∂x j

*

Ainsi : Σ C : E ≠ Σ C : δ E GL ≠ Σ C : δ E EA δ

Il y a cependant une relation entre E et δE GL noté δE obtenue en partant de l’expression de r r dx1 ⋅ dx 2 : T r r r r r r dx1 ⋅ dx 2 = da1 ⋅ F ⋅ F ⋅ da 2 = da1 ⋅ C ⋅ da 2 avec : C = I + 2 E T δ r r r r r r def r r δ(dx1 ⋅ dx 2 ) = 2da1 ⋅ δ E ⋅ da 2 = 2dx1 ⋅ G ⋅ δ E ⋅ G ⋅ dx 2 = 2dx1 ⋅ E ⋅ dx 2

Ainsi par identification :

δ

T

E = G ⋅ δE ⋅ G

avec, comme nous l’avons vu dans le chapitre sur la géométrie de la transformation des milieux continus : −T * −1 −1 δ E = δ G ⋅ E ⋅ G  avec : G = F  

(

d δTdef

Ces relations sont difficilement maniables mais cohérentes ainsi la différentielle

) s’écrit avec dV = JdV : d (δT ) = Σ :  G ⋅ δ E ⋅ G JdV 0

T

def

C

0

T =  G ⋅ Σ C ⋅ G  : δ EJdV0 = Σ K : δ EdV0

Le point de vue Eulérien est en fait intéressant si on met en œuvre le principe des puissances virtuelles fort utile lorsque les vitesses jouent un rôle particulier ce qui est le cas en mécanique des fluides. r La champ δu à t, arbitraire ne faisait à aucun moment intervenir un temps ultérieur t ′ r où le point P se serait trouvé, s’étant déplacé de δu pour arriver en P ′ . Imaginons maintenant r ce point virtuel P ′ pour introduire simplement la notion de vitesse virtuelle v * telle que : r r δu = v * dt (ici le symbole * signifie virtuel).

393

Eléments finis et méthodes variationnelles

Avec l’introduction de ce champ virtuel l’expression du théorème des travaux virtuels s’écrit : r r r r r r r − ∫ Σ C : grad x v *dtdV + ∫ v * ⋅ TC dSdt + ∫ v * ⋅ ρFdVdt = ∫ v * ⋅ ρv& P dVdt ∂D

D

*

soit après division par dt avec : D =

D

D

T 1  grad vr * + grad vr *  : x x  2

r * r r r r r − ∫ Σ C : D dV + ∫ v * ⋅ TC dS + ∫ v * ⋅ ρFdV = ∫ v * ⋅ ρv& P dV D

∂D

D

D

C’est le théorème des puissances virtuelles qui traduit un bilan virtuel de puissances : * PF*int + PF*ext = Pquantités d 'accélération

r ∀v *

Le champ des vitesses étant donné cette fois sur ∂Dv . Notons encore que si le champ de vitesses virtuelles est compatible c’est à dire tel que r* r v = 0 sur ∂Dv , l’intégrale sur cette partie ∂Dv de frontière disparaît. Considéré maintenant comme un principe, la relation précédente fournit une expression utilisable d’un principe que l’on appelle principe des puissances virtuelles. On doit lui adjoindre la relation de conservation de la masse. * r Les difficultés précédentes n’interviennent pas puisque v * , donc D , tenseur des taux de vitesses virtuelles, sont définis à t ; t ′ n’étant qu’un intermédiaire pour le raisonnement.

r Le tenseur Σ C devra alors pouvoir s’exprimer en fonction de v * (ou de tenseurs qui lui sont associés). r r On notera enfin que si v * est le champ exact v le bilan énergétique précédent s’identifie au bilan obtenu au début de cet ouvrage et qui exprime le théorème de l’énergie mécanique, ce qui est la moindre des choses.

394

Eléments finis et méthodes variationnelles

Chapitre V

Les principes variationnels généraux

Introduction

Jusqu’ici nous avons utilisé le principe des travaux virtuels de variation des déplacements pour obtenir des champs approchés. Cette formulation faible peut se généraliser. C’est le but de l’exposé qui va suivre. Afin de ne pas surcharger une présentation déjà lourde nous nous limitons d’abord au cas de la statique en petites déformations et petits déplacements pour des solides déformables élastiques formés de matériaux idéaux (non dissipatifs) sollicités par des forces non suiveuses (indépendantes des déplacements). Le principe général de Washizu peut alors être expliqué simplement. Dans un premier temps il est nécessaire de se remettre clairement en mémoire les problèmes auxquels est confronté le mécanicien pour la détermination des champs r r r u , E , T , Σ , F ,... avec les hypothèses précédentes ; tel est le but des deux schémas

(

)

synthétiques qui suivent et des paragraphes suivants.

395

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le système mécanique

Le milieu

( ) E = E ( Σ,...)

∂D = ∂Du ∪ ∂Dσ

Σ = Σ E,...

∂Du ∩ ∂Dσ = ∅ (en général) r Td ∂Du r ud

Lois de comportement : L.C. r r T = Σ ⋅ n : tension sur une facette r de normale n

r n

∂Dσ dV

D

r ρFd

r indice d pour donné, i pour inconnu (sauf pour div d ↵ : divergence à droite !) Ici on confond la géométrie déformée avec la géométrie initiale, points de vue Lagrangien et Eulérien sont confondus, variations et dérivations sont permutables. Le schéma récapitulatif pour les champs

Conditions de compatibilité des déformations de de Saint Venant (avec éventuellement des conditions de fermeture)

r u

•

r r ρF , T

∂

∂T • •

E

Equilibre

Σ

Loi de comportement

h+h ∂↓ E = 2

T

r r r ∂ T ↑ div d Σ + ρF = 0

Σ=Σ

T

ρ = ρ0

Les démarches théoriques pour une résolution analytique 396

Eléments finis et méthodes variationnelles

Il s’agit de faire le tour du problème !

La méthode des déplacements (Lamé) La loi de comportement est utilisée

La méthode mixte

La méthode des forces (Beltrami)

mixte !

r r r div d Σ + ρF = 0  à résoudre  r r ∫ Td = Σ ⋅ n sur ∂Dσ 

pour éliminer Σ T  h+h r  E (u ) = 2  r r  à résoudre r  r div d Σ  E ( u )  + ρFd = 0  ∫ r r  u = ud sur ∂Du  r r Td = Σ  E ( ur )  ⋅ n sur ∂Dσ   r ⇒ Σ ⇒ T sur ∂Du rarement possible

L.C.

⇒ Σ flou compatibilité des déformations exprimées en fonction des contraintes (Beltrami) avec r r u = ud sur ∂Du , ∫ r r Σ⇒u⇒T

mixte !

souvent impraticable

L’énergie de déformation Il est admis que le système possède une énergie de déformation E d ( ε ) de densité volumique W( ε ) telle que : E d ( ε ) = ∫ W ( ε ) dV D

dW( ε ) = W,εij dε ij = σ ji dε ij = Σ: d E ⇒ σ ji = W,ε ji

(R ) 1

Si on utilise la loi de comportement (L.C.) (L.C.) Σ = D: E W( ε ) s’écrit : W( ε ) =

1 Σ (ε) : E 2

Il est aussi possible de définir l’énergie complémentaire de déformation E d ( σ ) de densité volumique Wd ( σ ) telle que : Ed ( σ) = Avec : dW( σ ) = W,σij dσ ij = E : d Σ ⇒ ε ji = W,σij W( σ ) =

∫ W (σ)dV (R ) D

2

1 Σ: E ( σ ) 2

W ( σ) peut être définie par la transformation de Legendre : W ( σ ) = Σ: E − W ( ε )

397

Eléments finis et méthodes variationnelles

En élasticité linéaire, W ( σ ) = W ( ε ) en ce sens que les deux expressions ont la même mesure, ce qui n’est pas le cas en élasticité non linéaire comme le montre le schéma monodimensionnel ci dessous :

σ

σ dW ( σ)

dσ

W ( σ)

dW ( ε )

W ( ε)

W ( σ)

ε

W ( ε)

ε

dε

Elasticité linéaire W ( σ) = W ( ε)

Elasticité non linéaire W ( σ) ≠ W ( ε)

C’est dans l’énergie de déformation qu’apparaissent les coefficients d’élasticité caractérisant le matériau (intervenant dans la loi de comportement L.C.). Les notations matricielles sont utilisées finalement et sont rappelées ici : à Σ la matrice de Σ dans une base est associée { σ} vecteur colonne tel que :

{ σ} T = {σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31 }

à E la matrice de E dans une base est associée { ε} vecteur colonne tel que :

{ ε} T = {ε 11 ε 22 ε 33 γ 12 γ 23 γ 31 }

(avec γ ij i ≠ j = 2ε ij )

D’où les écritures plus maniables et condensées : 1 T W ( ε ) = {σ( ε )} { ε} ⇒ σ = W,ε ( ε ) ( R1 ) 2 { σ} = [ D]{ ε} [ D] matrice ( 6 × 6) 1 T W ( σ ) = {ε( σ)} { σ} ⇒ ε = W,σ ( σ) ( R2 ) 2 −1 { ε} = [ D] { σ} = [ C ]{ σ} Les densités d’énergie sont des formes quadratiques de leurs arguments et on notera que W,ε désigne le vecteur :

W,ε11  W   ,ε 22  W,ε 33  W   ,γ 12  W,γ 23    W,γ 31  Les trois dernières composantes faisant intervenir des dérivations par rapport aux glissements. 398

Eléments finis et méthodes variationnelles

Travail élémentaire d’une force Plusieurs catégories de travaux interviennent. r r ψ (u , t ) r P’ r P du u ( ) ( t + dt ) x t O

r - Le travail élémentaire de ψ appliquée en P ; P se déplaçant de r r r du entre t et t + dt est dT = du ⋅ ψ

r ψ

r δu P

r ψ

r δψ

r r - Le travail virtuel de ψ pour un déplacement virtuel δu est : r r δT = δu ⋅ ψ

r - Le travail virtuel complémentaire de ψ pour une force virtuelle r r δψ est : u r r xO δTc = δψ ⋅ u Tous ces travaux sont des formes différentielles des variations associées et non des différentielles totales de quantités T que nous n’avons d’ailleurs jamais définies. P

Différentielle d’une forme bilinéaire φ Si A est une matrice ; si X et Y sont des vecteurs tels que l’on ait une forme bilinéaire homogène : 1 φ = X T AY 2 1 1 dφ = dX T AY + X T AdY 2 2 1 1 = dX T AY + dY T A T X 2 2 A étant une matrice indépendante des composantes de X et de Y. Alors si X = Y , A étant carrée, φ devient une forme quadratique telle que :

 A + AT  1 dX T   X = dX T AX 2  2  φ ne fait intervenir, comme dφ , que la partie symétrique de A. dφ =

V.2. Le principe général de Hu Washizu à trois champs. Les principes dont nous allons parler sont une généralisation du principe classique des travaux virtuels. Ils seront exprimés en tridimensionnel ; ils revêtent une forme différente si l’on introduit des contraintes intégrées, forme adaptée à chaque cas mais les idées fondamentales restent les mêmes. Il intervient diverses catégories de champs dont la terminologie, spéciale à ce chapitre, doit être précisée. 399

Eléments finis et méthodes variationnelles

r u, E , Σ ′ ′ r u ′, E , Σ

désignent les champs exacts désignent les champs approchés (Trial functions) par la suite le prime sera supprimé.

r δu , δ E , δ Σ , δ T désigneront des champs virtuels (ou variés), ce sont les weighting functions. C’est en utilisant ces derniers champs, par pondération, qu’on essayera de satisfaire approximativement des principes. Les champs variés sont arbitraires comme les champs approchés quoique ! Raisonnons sur u1 défini sur un intervalle de x pour fixer les idées : u1 est u1 ! u1′ est construit sous la forme d’une somme de produits de fonctions d’espace par des constantes (statique ici). : a 0    u1 = 1 x x 2  a1  = Φ( x ) A a   2 δa 0   2  ( Bubnov - Galerkin) δu1 = 1 x x δa1  = Φ( x ) δA δa   2 δb0  2 πx 3πx     πx ( Petrov - Galerkin) ou δu1 = sin sin sin  δb  = J ( x ) δB l l l   1   δb2  Dans le dernier cas le champ δu1 est obtenu par variation d’un champ J ( x ) B alors que le premier champ varié est obtenu par simple variation du champ approché u1′ noté u1 .

[

]

[

]

Les grandeurs δA et δB disparaîtront finalement et ne sont que des intermédiaires. Les champs doivent être complets, il le sont rarement puisqu’ils ne font intervenir qu’un nombre fini de fonctions d’une famille ; cependant on ne peut choisir n’importe quoi : on cherchera à utiliser des champs tels que la représentation de la solution s’améliore régulièrement à mesure que l’on ajoute des éléments de la famille considérée. Champs compatibles - champs admissibles. • Un champ est admissible s’il vérifie une relation dans D. • Un champ est compatible s’il vérifie une relation sur ∂D et s’il est admissible (on utilisera l’indice c pour compatible).

Pour les champs variés, les définitions sont les mêmes à ceci près que si un champ doit vérifier une équation différentielle elle sera homogène et s’il doit vérifier en plus des conditions aux limites, elles seront homogènes. Telles seront les définitions que nous utiliserons ici, cependant la correspondance avec d’autres terminologies est donnée dans de tableau suivant où toutes les sortes de champ sont répertoriées.

400

D

champs r u′ r u′

′ E (symétrique)

′ E (symétrique) ′ Σ (noté Λ ) (symétrique) ′ Σ (noté Λ ) (symétrique) r δu r δu

δE (symétrique)

δE (symétrique)

δΣ (symétrique) δΣ (symétrique) (champ d’autocontraintes)

∂Du

∂Dσ

continu continu

r r T h( u ) + h( u ) r E = ou ∃ u ′ 2 ′ dont E se déduit r r T ′ h( u ) + h( u ) r E = ou ∃ u ′ 2 ′ dont E se déduit r r r div d Λ + ρF = 0 r r r div d Λ + ρF = 0

r r u ′ = ud

r r div d δΣ = 0

abréviations

admissible

cinématiquement admissible intérieur cinématiquement admissible

CAI

CA

CA

CAC

CAI

CA

CA

CAC

statiquement admissible intérieur statiquement admissible

SAI

SA

SA

SAC

cinématiquement admissible intérieur cinématiquement admissible homogène

CAI

CA

CAH

CACH

CAI

CA

CAH

CACH

SAHI

SAH

SAH

SACH

non

retenu

admissible cinématiquement admissible intérieur

r r u ′ = ud

compatible

admissible

r r Td = Λ ⋅ n

compatible admissible

continu

r r T δh( u ) + δh( u ) δE = ou 2 r ∃δu dont δE se déduit r r T δh( u ) + δh( u ) δE = ou 2 r ∃δu dont δE se déduit r r div d δΣ = 0

noms

compatible

′

continu

(Plutôt chez les anglo-saxons) noms

r r δu d = 0

compatibles (avec les liaisons telles qu’elles existent à t).

admissible

r r δu d = 0

r δΣ ⋅ n assure l’équilibre

r r δΣ ⋅ n = 0

cinématiquement admissible

cinématiquement admissible intérieur

compatibles (avec les liaisons telles qu’elles existent à t).

cinématiquement admissible homogène

admissible

statiquement admissible homogène intérieur statiquement admissible homogène

compatibles (avec les tensions telles qu’elles existent à t sur ∂Dσ ). RETENU

Eléments finis et méthodes variationnelles classique

402

Eléments finis et méthodes variationnelles

Dans le principe de Hu Washizu on considère trois champs indépendants : rw r r - un champ de déplacement u (avec h = u ∇ = grad u )

- un champ de déformations E symétrique : E = E - un champ de multiplicateurs

3

T

6

r r r r * un multiplicateur λ associé à la liaison u − u d = 0 sur ∂Du

3   9 multiplicateurs 6 

* un multiplicateur Λ associé aux relations de T

T h+h définition des déformations E − = 0 dans D, Λ = Λ 2

12 4 4 3 nombre de quantités scalaires associées

Washizu introduit trois potentiels : - l’énergie de déformation E d ( ε ) (ou E d ( σ ) ) ou potentiel de déformation - l’énergie potentielle des forces extérieures E p qui existe ici puisque les forces sont supposées indépendantes des déplacements : Ep =

∫

D

r r − u ⋅ ρFd dV − ∫

∂Dσ

r r u ⋅ Td dS

avec

dT = − dE p

- le potentiel de dislocation E D : T    r r h + h r   E D = ∫ Λ: − E   dV + ∫ λ ⋅ (ud − u )dS   D ∂Du    2

Parallèlement trois champs de pondération ou champs variés sont introduits : r r δu , δ E , δλ et δΛ avec δE et δΛ symétriques. Alors le principe s’écrit :

(

)

δ E d (ε) + E p + E D = 0

r r ∀δu , δ E , δλ , δ Λ

Il s’agit de rechercher des champs qui rendent nulle la variation de la fonctionnelle E d (ε) + E p + E D Nous allons montrer que les équations d’équilibre, la continuité du milieu et les conditions aux limites sont bien restaurées si on écrit vraiment pour toutes variations ∀ ! effectivement donc qu’on fait bien le tour du problème. Cependant le résultat reste formel et la puissance de la méthode va consister à écrire le principe pour quelques variations ; ceci conduira à une formulation faible des problèmes, formulation qui, elle, aboutira a des représentations approchées des champs.

402

Eléments finis et méthodes variationnelles

Démonstration La fonctionnelle de Hu Washizu s’écrit : T    r r r r r  W ( ε ) − ur ⋅ ρFr + Λ:  h + h − E   dV − u ⋅ Td dS + ∫ λ ⋅ (ud − u )dS d ∫D  ∫ ∂Dσ ∂Du  2    

Effectuons le calcul des variations pour écrire le principe : T     r r r r r r r  W δε − δur ⋅ ρFr + δ Λ:  h + h − E  + Λ: δh T − Λ: δ E  dV − δ u ⋅ T dS + δλ ⋅ u − u ( ) − λ ⋅ δu dS = 0 d d d ∫D  ,ε ∫∂Dσ ∫∂Du   2     

[

( ) ( )

↑ Σ ( ε ) : δ E d'après R1 ↑Λ = Λ T r r r avec : Λ: δ h = div δu ⋅ Λ − δu ⋅ div d Λ

T

Soit en regroupant et en utilisant le théorème d’Ostrogradsky : T    r r r r h+h r r r r r r r     dV +  r Σ − Λ : δ E − δ u ⋅ div Λ + ρ F + δ Λ : − E d d ∫D  ∫∂Dσ δu ⋅ Λ ⋅ n − Td dS + ∫∂Du δu ⋅ Λ ⋅ n − λ + δλ ⋅ (ud − u )dS = 0  2    

(

)

(

)

(

)

(

)

r r ∀ δu , δ E , δλ , δ Λ indépendants

Donc :

Σ=Λ r r Td = Λ ⋅ n sur ∂Dσ

T

h+h E= dans D 2 r r r r u = ud sur ∂Du λ = Λ ⋅ n sur ∂Du

r r r div d Λ + ρFd = 0

La signification des multiplicateurs apparaît :

Λ r coïncide avec le tenseur des contraintes r λ est la tension imposant le déplacement donné ud

r r r Nota : Si on calcule λ par λ = Λ ⋅ n sur ∂Du on obtient un principe modifié à trois champs (et six multiplicateurs) que nous utiliserons dans la suite, sauf avis contraire :      h + hT  r r r r r r r   δ ∫  W,ε + Λ:  − E  − u ⋅ ρFd  dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ (u d − u ) ⋅ Λ ⋅ ndS  = 0 ∂Dσ ∂Du  2  D       

r ∀ δu , δ E , δ Λ

Si le principe est séduisant, il reste académique à ce stade et est très lourd à mettre en œuvre mais il engendre naturellement des principes de grand intérêt.

403

]

Eléments finis et méthodes variationnelles

V.2. Les principes à deux champs. V.2.1. Le principe de Hellinger - Reissner (ou de Hermann). • Si nous imposons aux multiplicateurs Λ ij d’être les contraintes associées au champ de

déformation par la relation ( R1 ) soit Λ = Σ ( ε ) , le terme en δE disparaît et il faut éliminer E en utilisant la relation W ( ε ) − Σ: E = −W ( σ) qui introduit la densité d’énergie de déformation complémentaire W ( σ) . Nous obtenons :

T     h + h r r  r r r r r    δ ∫ − W ( σ ) + Σ: − u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ (ud − u ) ⋅ Σ ⋅ ndS = 0 ∂Dσ ∂Du   D   2    r ∀ δu, δ Σ

Les équations d’équilibre, la continuité du milieu, les conditions aux limites sont bien restaurés. Démonstration T     r r r r r r r  δ Σ:  h + h − E ( σ ) + Σ: δ h T − −δur ⋅ ρFr  dV − δ u d ∫D   2 ∫∂Dσ ⋅ Td dS + ∫∂Du (ud − u ) ⋅ δ Σ ⋅ n − δu ⋅ δ Σ ⋅ n dS = 0      

[

↑ W,σ δσ = E ( σ ) : δΣ d'après ( R2 ) T     δ Σ:  h + h − E  − δur ⋅ divr Σ + ρFr d d ∫D   2    

(

 r r r r r r  dV + δ u ⋅ Σ ⋅ n − Td dS + ∫ ( ud − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS = 0 ∫∂Dσ  ∂Du  r ∀ δu, ∀ δΣ

)

(

)

• Si nous imposons, en plus, au champ de déplacement d’être compatible la dernière intégrale de surface disparaît et nous obtenons le principe de Reissner proprement dit avec des champs de déplacements virtuels compatibles. T     h+h r r  r r    δ ∫ − W (σ ) + Σ: − u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS = 0 ∂Dσ   D   2    r r r ∀ δuc , δ Σ avec u = ud sur ∂Du

r r r r La démonstration est analogue avec δu = 0 sur ∂Du et u = ud imposé sur ∂Du . Ici les r r r conditions aux limites géométriques u = ud sont vérifiées au départ avec le choix de u , les r r conditions naturelles Td = Σ ⋅ n sur ∂Dσ sont restaurées. 404

]

Eléments finis et méthodes variationnelles

V.2.2. Le principe de Fraeijs de Veubeke. Si nous imposons à Λ et δΛ d’être des champs de contrainte compatibles les termes r en δu disparaissent et nous obtenons : r r δ ∫ + W ( ε ) − Λ: E dV + ∫ ud ⋅ Λ ⋅ ndS  = 0 ∂Du  D  r r r r r ∀ δ E , δ Λ c avec div d Λ + ρFd = 0 dans D Td = Λ ⋅ n sur ∂Dσ

(

)

La continuité du milieu est restaurée et Λ coïncide avec Σ Démonstration

∫ (W δε − Λ: δ E − δ Λ: E )dV + ∫ u ⋅ δ Λ ⋅ ndS = 0 W δε = Σ ( ) : δ E d’après ( R ) r r r r r ∫ (δ E:( Σ − Λ) − δ Λ: E )dV + ∫ (u − u ) ⋅ δ Λ ⋅ ndS + ∫ u ⋅ δ Λ ⋅ ndS = 0 r

,ε

D

∂Du

ε

,ε

∂Du

D

(

r

d

1

d

∂D

r r sur ∂Dσ δΛ ⋅ n = 0

)

T r r r r r   δ E : Σ − Λ − δ Λ:  E − h   dV + ∫ ( u − ud ) ⋅ δ Λ ⋅ ndS + ∫ u ⋅ div d δ ΛdV = 0  D ∂Du D

∫

T   h + h  puisque δ Λ = δ Λ T δΛ:  E −  2  

r r nul dans D div d δΛ = 0

V.2.3. Le principe de Pian. Adoptons un champ de contraintes Σ et un champ varié δΣ admissibles avec, comme r dans le principe de Hellinger - Reissner Λ = Σ ( ε ) , le terme en δu dans l’intégrale de volume disparaît. Après transformation, nous allons montrer que le principe s’écrit : r r r r r δ ∫ − W ( σ )dV + ∫ ud ⋅ Σ ⋅ ndS − ∫ u ⋅ Td − Σ ⋅ n dS  = 0 ∂Du ∂Dσ D  r r r r ∀ δu ∀ δ Σ admissible avec div d Σ + ρFd = 0 dans D

(

)

Démonstration Nous notons d’abord que le terme de la fonctionnelle de Reissner : r T r r r ∫D  Σ:h − u ⋅ ρFd  dV devient, puisque − ρFd = divd Σ : r r ∫ u ⋅ Σ ⋅ ndS ∂Du ∪ ∂Dσ

D’où l’expression du principe. Effectuons la variation de la fonctionnelle : r ∫ − E ( σ): δ ΣdV + ∫ (u D

∂Du

d

r r r r − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS + ∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS − ∫ ∂D

∂Dσ

405

(

)

r r r δu ⋅ Td − Σ ⋅ n dS = 0

Eléments finis et méthodes variationnelles

(

)

r ↓ ∫ div u ⋅ δΣ dV D

∫

D

T δ Σ:  h − E (σ ) dV + ∫

∂Du

(ur

d

Soit :

r r r r − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS + ∫ u ⋅ div d δ ΣdV − ∫

∂Dσ

D

(

)

r r r δu ⋅ Td − Σ ⋅ n dS = 0

↓

nul car δΣ est admissible Ainsi la continuité du milieu est restaurée ; Σ devient compatible. V.2.4. Le principe de Jones-Yamamoto. Si nous adoptons un potentiel de dislocation E D nul dans D, c’est à dire un champ E r r déduit du champ u et exceptionnellement, un multiplicateur λ , δΛ disparaît et nous obtenons un nouveau principe :

( ( )

)

r r r r r r r   δ ∫ W ε ( ur ) − u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ λ ⋅ (ud − u )dS  = 0 D ∂ D ∂ D σ u  

h+h r r r ∀ δu, δλ avec E ( u ) = 2

T

admissible

Démonstration

∫ ( Σ( ε): δ E − δu ⋅ ρF ) dV − ∫ ↑ ( R ) ↑ δh r

r

d

D

∂Dσ

[δλ ⋅ (ur

]

r

r r δu ⋅ Td dS + ∫

∂Du

r r r − u ) − λ ⋅ δu dS = 0

d

T

1

−∫

D

(

)

r r r δu ⋅ div d Σ + ρFd dV + ∫

∂Dσ

(

)

r r r δu ⋅ Σ ⋅ n − Td dS + ∫

∂Du

[

(

)]

r r r r r r δλ ⋅ ( ud − u ) + δu ⋅ Σ ⋅ n − λ dS = 0

r r La variation de u sur ∂Du fournit la tension λ nécessaire pour imposer le r déplacement ud , la variation du multiplicateur rend E compatible ; enfin le champ de contraintes devient compatible.

V.3. Les principes à un champ. L’imposition de conditions supplémentaires sur les champs conduit à des principes à un champ.

V.3.1. Le principe de variation des déplacements.

406

Eléments finis et méthodes variationnelles

Si nous adoptons un potentiel de dislocation nul, le principe de Washizu se réduit au principe classique le plus simple écrit pour des déplacements virtuels compatibles : r r r r δ ∫ W ε ( ur ) dV − ∫ u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS  = 0 D ∂Dσ D 

( )

T

h+h r r r dans D, u = ud sur ∂Du ∀ δuc avec E c soit tel que E = 2 r ou encore δuc E d ε ( ur ) + E p = 0

[ ( )

]

Le champ Σ devient compatible. Démonstration La démonstration a en fait déjà été effectuée dans le cas de la dynamique et ici elle devient :

∫

D

r r W,ε δεdV − ∫ δu ⋅ ρFd dV − ∫

∂Dσ

D

r r δu ⋅ Td dS = 0

↑ Σ: δ E = Σ ( ε ) : δh d’après ( R1 ) r r r r r r r Ainsi : ∫ δu ⋅ Σ ⋅ ndS − ∫ δu ⋅ div d Σ ( ε ) + ρFd dV − ∫ δu ⋅ Td dS = 0 ∂D D ∂Dσ r avec : δu = 0 sur ∂Du r r r r r r et : ∫ δu ⋅ Σ ⋅ n − Td dS − ∫ δu ⋅ divd Σ ( ε ) + ρFd dV = 0 T

(

∂Dσ

(

)

)

(

D

)

Variantes

1 On peut prendre un champ virtuel de déplacement incompatible sur ∂Du pour obtenir en plus les forces de surface imposant les déplacements donnés. On écrira :

( )

r r r r r r δ ∫ W ε ( ur ) dV − ∫ u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS − ∫ u ⋅ TdS  = 0 D ∂Dσ ∂Du D  r ∀ δu admissible avec E c r r En fin de calcul on doit imposer u = ud sur ∂Du

2

On peut aussi utiliser des champs approchés de déplacement vérifiant toutes le

( )

conditions aux limites alors Σ ε ( ur )

est compatible sur la frontière. Les fonctions utilisées

sont dites de comparaison. On utilise plutôt le principe sous la forme suivante : après intégration par parties : E c r  r r r r ∫D δu ⋅ divd Σ ε ( u ) + ρFd dV = 0 ∀ δuc avec Tr = Σ ε r ⋅ nr sur ∂D  d σ (u )

(

( )

)

( )

C’est la méthode de Galerkin telle qu’il l’a présentée initialement.

407

Eléments finis et méthodes variationnelles

r 3 On peut encore construire un principe à un champ avec des fonctions u satisfaisant cette fois l’équation locale mais pas les conditions aux limites naturelles sur ∂Dσ . On écrit alors : E c  r r r r ∫∂Dσ δu ⋅ Td − Σ ⋅ n dS = 0 ∀ δuc avec Σ ε r admissible  (u)

(

)

( )

C’est une formulation d’équation intégrale sur la frontière (Boundary Integral Method : B.I.M.). Souvent on utilise des champs de pondération déduits des champs approchés mais ce n’est pas nécessaire ; ainsi dans la méthode de collocation par points on utilise des fonctions de Dirac et dans la méthode de collocation par sous domaines des fonctions constantes par morceaux (sur le sous domaine). Complément sur la méthode de variation des déplacements.

Le théorème du déplacement unitaire Indépendamment de l’existence d’une énergie de déformation le principe de variation des déplacements peut s’écrire :

∫

D

( )

r r Σ ε ( ur ) : δ EdV − ∫ δu ⋅ ρFd dV − ∫ D

∂Dσ

r r r δu ⋅ Td dS = 0 ∀δuc avec E c

r Mais si le champ u est le champ exact ; E l’est et l’expression est vérifiée à la seule condition que le champ varié soit compatible. r Td

r δu k

Mk

r Pk

r ek

Considérons alors une structure chargée où le champ des r r contraintes est connu et proposons nous de calculer la force Pk = Pk ek assurant au point M k l’équilibre. A cet effet envisageons un champ r r virtuel tel qu’en M k , δu k = δu k ek , soit { δε} un champ de déformation seulement compatible associé.

Si seule Pk travaille :

∫σ

T exact

δεdV = Pk δu k ( Pk : force généralisée : force ou couple u k : déplacement généralisé)

{ε } *

Si la structure est linéaire δε est proportionnel à un champ de déformation compatible r du à un déplacement δu k = 1 appliqué dans la direction ek de Pk tel que δε = ε *δu k .

⇒ Pk = ∫ σ Texact ε * dV r Théorème : La force Pk appliquée en M k d’une structure linéaire, force assurant l’équilibre, est égale au travail de déformation emmagasiné sous l’effet des contraintes réelles pour r des déformations compatibles seulement dues à un déplacement unité dans la direction de Pk . 408

Eléments finis et méthodes variationnelles

Le premier théorème de Castigliano Considérons une structure chargée uniquement par des forces concentrées (connues ou inconnues). Si nous savons calculer l’énergie de déformation en fonction des déplacements u k dans la direction des forces, le principe de variation des déplacements s’écrit : δ u E d ( ε ) = ∑ Pk δu k

∀ δu k

k

soit

E d ( ε ) ,uk = Pk

 k cc K ci  uc   Pi  ou matriciellement avec des matrices bloc :    =    Kic Kii   ui   Pc  où la matrice raideur est symétrique. (Avec i pour inconnu ; c pour connu). La formule de Clapeyron

Considérons une structure chargée et adoptons comme champ virtuel le champ réel :

∫ Σ: EdV = ∫ D

Ainsi :

E d (ε ) =

∂Dσ

r r r r r r u ⋅ Td dS + ∫ ud ⋅ TdS + ∫ u ⋅ ρFd dV ∂Du

D

1 1 r r r r r r Σ : EdV = u ⋅ T dS + u ⋅ TdS + u ⋅ ρFd dV   d d ∫ ∫ ∫ ∫ D ∂ D ∂ D D u  2 2 σ

On reconnaît la formule de Clapeyron, bien connue et obtenue généralement d’une façon plus élémentaire : si l’état final est obtenu par un chargement infiniment lent, lorsqu’une r r r r force P vaudra λP ( λ ∈[0,1]) le déplacement associé sera λu (linéarité) et le travail de λP r r si λ varie de dλ : dλu ⋅ λP . r r r P r r P⋅u r 1 r u Le travail total pour P sera : ∫ dλu ⋅ λP = r 0 2 λP r λu Ce travail est indépendant du chemin suivi (ici une droite) étant donné l’existence d’un potentiel de déformation. r r r Ici les forces P sont les TdS ou les ρFdV . (On a un résultat analogue pour les contraintes et les grandeurs duales associées : les déformations ; il ne reste qu’à écrire le théorème de l’énergie mécanique)..

Le théorème d’extremum de l’énergie potentielle totale

Ici nous avons fait l’hypothèse de l’existence d’une énergie de déformation et les forces dérivent d’un potentiel, le principe de variation des déplacements exprime dans ce cas que l’énergie potentielle totale est extremum à l’équilibre. Cet extremum est un minimum.

Démonstration 409

Eléments finis et méthodes variationnelles

W ( ε ) est une forme quadratique définie positive des déformations ε i composantes du

vecteur { ε} associé à la matrice de E .

1 W ( ε + δε ) = W ( ε ) + W,ε δε + W,εi ε j δε i δε j 24 1 4244 3 w(δε ) exprime l’identité de Taylor. Donc : ∫ [W ( ε + δε ) − W ( ε ) ]dV = ∫ Σ ( ε ) : δ EdV + ∫ W ( δε ) dV D

r r r Ainsi l’accroissement ∆ de l’énergie potentielle totale lorsque u se change en u + δu et ε en ε + δε s’écrit :

(

)

r r r ∆ E ( ε ) + E = [W ( ε + δε ) − W ( ε ) ]dV − δur ⋅ ρFdV − δu ⋅ Td dS d p ∫ ∫ ∫ D D ∂Dσ   ε → ε + δε    = ∫ W ( δε ) dV ≥ 0 D  u → u + δu

Si nous avions utilisé un champ virtuel tel que les forces données ne travaillent pas nous aurions obtenu le résultat suivant : l’énergie de déformation E d ( ε ) est extremum à l’équilibre. Le théorème de Rayleigh - Betti (linéarité de la loi de comportement essentielle)

(

r r r Considérons un système chargé (T1 , F1 ) déformé u1 , E 1 r r r chargement (T2 , F2 ) et l’état déformé associé u2 , E 2 .

(

)

)

et envisageons un autre

Exprimons pour l’énergie de déformation le théorème de réversibilité de la forme polaire : W,ε1 ε 2 = W,ε 2 ε 1

∫

D

(ou Σ 1 : E 2 = Σ 2 : E 1 compte tenu des symétries de D ).

Utilisons le théorème des travaux virtuels : r r r r r r r r u2 ⋅ ρF1dV + ∫ u2 ⋅ T1dS = ∫ u1 ⋅ ρF2 dV + ∫ u1 ⋅ T2 dS ∂D

D

∂D

Ainsi : Le travail du premier ensemble de forces dans les déplacements dûs au second est égal au travail du second dans les déplacements dûs au premier.

410

Eléments finis et méthodes variationnelles

V.3.2. Le principe de variation des contraintes ou de l’énergie complémentaire. Si dans le principe de Hellinger - Reissner, nous prenons des champs Σ et δΣ compatibles, nous obtenons encore un principe à un seul champ. Les champs variés δΣ sont dits d’autocontraintes. Ils doivent maintenir le système en équilibre puisque nous n’envisageons ici que des problèmes de statique. Finalement, après changement de signe, le principe de Pian modifié s’écrit :      r r  δ  ∫ W ( σ )dV − ∫ ud ⋅ Σ ⋅ ndS  = 0 D ∂Du 1 44244 3  14243 énergie complémentaire énergie complémentaire de déformation des forces extérieures    de surface

[

∀ δΣ c avec Σ c

]

δ σ E d c totale = 0

ou

La continuité du milieu est restaurée : E devient compatible. Démonstration

∫

D

Prenons la variation de E d c totale : l’énergie de déformation complémentaire totale : r r E ( σ): δ ΣdV − ∫ ud ⋅ δ Σ ⋅ ndS = 0 ∂Du

r r r r r ∫ E (σ): δ ΣdV − ∫ (u − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS − ∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS = 0 r r ↑ puisque ∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS = 0 ∂Du

D

d

∂D

∂Dσ

soit :

∫

D

T δ Σ:  E ( σ) − h  dV − ∫

∂Du

r −∫ (ur − ur ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS d

D

r r u ⋅ div d δ ΣdV = 0 r r ↑ nul car div d δΣ = 0

Variante On peut prendre un champ virtuel sur ∂Dσ incompatible pour obtenir les déplacements dans la direction des forces de surface données en écrivant : r r r r δ ∫ W ( σ)dV − ∫ ud ⋅ Σ ⋅ ndS − ∫ u ⋅ Σ ⋅ ndS  = 0 ∂Du ∂Dσ D  r r En fin de calcul, on doit imposer T = Td sur ∂Dσ .

411

∀ δΣ admissible avec Σ c

Eléments finis et méthodes variationnelles

Compléments sur la méthode de variation des contraintes Le théorème de la force unitaire (Muller - Breslau) Pour les systèmes linéaires possédant une énergie de déformation le principe de variation des contraintes peut s’écrire, compte tenu de la relation ( R2 ) : r r ∫ δ Σ: E ( σ)dV = ∫ ud ⋅ δTdS ∀ δΣ c avec Σ c D

Mais si le champ Σ est le champ exact, l’expression est vérifiée à la seule condition que le champ varié soit compatible. r Td

r Pk

Considérons alors une structure où le champ des déformations r ek est connu et proposons nous de calculer le déplacement u k dans la r δPk direction de Pr à l’équilibre. A cet effet envisageons une force r k r Mk virtuelle δPk = δPk ek , soit { δσ} un champ de contraintes seulement compatible associé.

En utilisant la variante, on a : ∫ ε Texact δσdV = u k δPk La structure est linéaire ainsi δσ est proportionnel à un champ de contraintes r compatibles {σ * } du à une force unité δPk = 1 appliquée dans la direction ek de Pk telle que δσ = σ *δPk . ⇒ uk = ∫ ε Texact σ * dV

Théorème : Le déplacement u k en un point M k d’une structure linéaire est égal au travail complémentaire de déformation emmagasinée dans les déformations réelles sous l’effet d’un champ de contraintes seulement compatible du à une force unité appliquée dans la direction du déplacement. On peut choisir pour σ * le champ de la structure isostatique associée la plus simple, c’est le théorème de réduction de Pasternak. Si le système est déjà isostatique, le champ σ * est unique et représente évidemment la vraie distribution de contraintes sous l’effet d’un chargement unité en M k . Le deuxième théorème de Castigliano Considérons une structure chargée uniquement par des forces concentrées (connues ou inconnues). Si nous savons calculer l’énergie complémentaire de déformation en fonction des forces Pk s’exerçant dans la direction u k , le principe de variation des contraintes s’écrit : δ σ E d ( σ ) = ∑ u k δPk ∀ δPk k

soit

E d ( σ) , Pk = uk

412

Eléments finis et méthodes variationnelles

E d (σ ) est une forme quadratique homogène des Pk ainsi ceci s’écrit matriciellement avec des matrices blocs : ξ cc ξ ci   Pc   ui  ξ   =    ic ξ ii   Pi  uc  où, à cause du théorème de Rayleigh - Betti, la matrice de flexibilité ξ est symétrique, résultat connu sous le nom de théorème de Maxwell -Betti. - S’il n’existe pas de force dans la direction où on désire calculer le déplacement on peut écrire E d ( σ) , Pk

Pk = 0

= u k ; c’est le théorème du chargement évanescent.

- Notons qu’on peut toujours rendre isostatique un système hyperstatique en y introduisant un nombre convenable de coupures ; ceci est illustré sur le schéma suivant, monodimensionnel. δTcompatible (des forces Pi ) = δPi ui(1) − δPi ui( 2 ) Pi ui(1) u (2) i

Pi

La continuité du milieu est assurée en écrivant ui(1) = ui( 2 ) c’est à dire : E d ( σ) , Pi = 0

c’est le théorème de Ménabréa. Le théorème d’extremum de l’énergie complémentaire totale Avec les hypothèses faites sur l’existence d’une énergie complémentaire de déformation, le principe de variation des contraintes exprime que l’énergie complémentaire totale est extremum à l’équilibre. Cet extremum est un minimum. Démonstration W ( σ) est une forme quadratique définie positive des contraintes. W ( σ + δσ) = W ( σ) + W ( σ ) ,σ δσ + W (δσ ) Donc : ∫ [W ( σ + δσ) − W ( σ)]dV = ∫ E ( σ ) : δ ΣdV + ∫ W (δσ)dV D

Ainsi l’accroissement ∆ de l’énergie complémentaire totale lorsque σ se change en r r r σ + δσ et T en T + δT s’écrit :

r r r  r r r    ( ) ( ) ( ) ∆ E σ − u ⋅ TdS = W σ + δσ − W σ dV − δ u ⋅ ρ FdV − u ⋅ δ TdS [ ] ∫∂Du d ∫D ∫∂Du d   d  ∫D   σ → σ + δσ   r r r = ∫ W (δσ)dV ≥ 0 D  T → T + δT  Si nous avions utilisé un champ virtuel où les forces de surface ne travaillent pas sur ∂Du nous aurions obtenu le résultat suivant : l’énergie de déformation complémentaire est extremum à l’équilibre.

413

Eléments finis et méthodes variationnelles

Comparaison des extremum des énergies Nous avons beaucoup détaillé les principes à un champ où nous avons pu remarquer que l’annulation de la variation de la fonctionnelle aboutissait à la découverte d’un extremum effectif, résultat dont nous allons pouvoir tirer des conséquences alors que pour les autres principes on obtient un col ou point selle sans propriété particulière. Rappelons la formule de Clapeyron qui fournit une mesure (en Joules) E d (ε ) =

(

1 r r r r r r  ∫∂D u ⋅ Td dS + ∫∂D ud ⋅ TdS + ∫D u ⋅ ρFd dV  u  2 σ

(

Evaluons la valeur de l’extremum de l’énergie totale E d ( ε ) + E p r r r r E d ( ε) + E p = E d ( ε ) − ∫ u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS

)

min

D

)

∂Dσ

soit, en utilisant la formule de Clapeyron : 1 r r 1 1 r r r r E d (ε) + E p = − ∫ u ⋅ ρFd dV + ∫ ud ⋅ TdS − ∫ u ⋅ Td dS min 2 D 2 ∂Du 2 ∂Dσ

(

)

Le système étant linéaire, E d ( σ ) et E d ( ε ) ont même mesure. Evaluons l’extremum de l’énergie complémentaire totale : 1 r r 1 r r  r r r r  E ( σ) −  = ∫ u ⋅ ρFdV − ∫ ud ⋅ TdS − ∫ u ⋅ Td dS  u ⋅ TdS d d ∫   min 2 D ∂Du ∂Dσ  2  ∂Du en utilisant la formule de Clapeyron.

(

r r Ainsi :  E d ( σ) − ∫ ud ⋅ TdS  = − E d ( ε ) + E p ∂Du min Les valeurs des extremum monodimensionnel ci dessous : E

sont

)

min

opposées

comme

l’illustre

le

schéma

E d totale

E d totale mini x solution

− E d compl totale

x E d compl totale

Ainsi, si pour résoudre le même problème on utilise successivement les deux méthodes variationnelles, la comparaison des extremum peut renseigner sur l’erreur commise : on obtient pour E d totale des résultats, sur l’énergie, par excès et pour − E d c totale des résultats par défaut.

414

Eléments finis et méthodes variationnelles

V.4. Les méthodes d’équations intégrales sur la frontière. V.4.1. La méthode de Trefftz. r r Si nous adoptons le principe de Jones - Yamamoto avec λ = Σ ⋅ n sur ∂Du r le terme en δu sur ∂Du disparaît et le principe est équivalent à écrire :

∫

D

(

)

r r r δu ⋅ div d Σ + ρFd dV + ∫

∂Du

r −∫ (ur − ur ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS d

∂Dσ

(

)

r r r δu ⋅ Σ ⋅ n − Td dS = 0

r avec E admissible, ∀ δu , ∀ δ Σ sur ∂Du Si nous choisissons un champ Σ admissible dans D, il ne reste plus que deux termes sur la frontière et on obtient le principe de Trefftz qui s’écrit :

(P )

r r r ∫ (u − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS − ∫ d

∂Du

∂Dσ

(

)

r r r δu ⋅ Σ ⋅ n − Td dS = 0

r ∀ δu , ∀ δ Σ avec E et Σ admissibles. r r (Si u = ud sur ∂Du est imposé on obtient le résultat du paragraphe V.3.1. variante 3). Autre forme Avec d’abord les mêmes hypothèses partons de l’expression (P ) et intégrons par r r r r parties les termes u ⋅ δΣ ⋅ n et δu ⋅ Σ ⋅ n :

r

r

∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS = ∫ ∂Du

D

T r r r r u ⋅ div d δ ΣdV − ∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS + ∫ h : δ ΣdV ∂Dσ

D

T r r r r r r − ∫ δu ⋅ Σ ⋅ ndS = − ∫ δu ⋅ div d ΣdV + ∫ δu ⋅ Σ ⋅ ndS − ∫ δ h : ΣdV ∂Dσ

D

∂Du

D

r r r Mais : div d Σ + ρFd = 0 puisque Σ est admissible, choisissons alors un champ de r r contraintes varié admissible : tel que div d δΣ = 0 dans D.

−∫

D

Nous obtenons avec ∂D = ∂Du ∪ ∂Dσ : r r r r r r r r δu ⋅ ρFd dV − ∫ ud ⋅ δ Σ ⋅ ndS − ∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS + ∫ δu ⋅ Σ ⋅ ndS + ∫ ∂Du

∂Dσ

∂Dσ

∂Dσ

(

D

La dernière intégrale s’écrit :   ∫D  E ( ur ) : D: δ E ( σ ) − δ E ( ur ) : D: E ( σ )  dV Elle est nulle si les champs Σ et E sont liés r par Σ = D: E . De plus l’intégrale de volume est nulle s’il n’y a pas de forces de masse Fd . On reconnaît dans l’écriture le théorème de Rayleigh - Betti écrit pour les deux états en équilibre : l’état réel et l’état varié. Finalement le principe modifié s’écrit : 415

)

r r δu ⋅ Td dS + ∫ E: δ Σ − δ E: Σ dV = 0

Eléments finis et méthodes variationnelles

−∫

∂Du

(P ) *

r r r r r r u d ⋅ δ Σ ⋅ ndS − ∫ u ⋅ δ Σ ⋅ ndS + ∫ δu ⋅ Σ ⋅ ndS + ∫ ∂Dσ

∂Du

r r div d Σ = 0 avec r r div d δ Σ = 0

( )

r ∀ δu , δ Σ E ( ur )

∂Dσ

r r δu ⋅ Td dS = 0

r r ρFd = 0 nécessaire

Σ = D: E et δ Σ = D: δ E

Cette forme n’est qu’un principe à un champ alors que le principe P est un principe à deux champs. Démonstration Pour justifier le principe P, il suffit de remarquer que puisque les champs sont r r r r indépendants il implique bien u = ud sur ∂Du et Td = Σ ⋅ n sur ∂Dσ . Pour le principe P * on intègre encore par parties :

r r r ∫ (u − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS − ∫ ∂Du

d

D

T r r u ⋅ div d ΣdV − ∫ h : δ ΣdV + ∫

∂Dσ

D

(

)

r r r δu ⋅ Td − Σ ⋅ n dS

T r r + ∫ δu ⋅ div d ΣdV + ∫ δh : δ ΣdV = 0 D

Soit :

D

r r r ∫ (u − u ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS + ∫ ∂Du

d

∂Dσ

(

)

(

)

r r r δu ⋅ Td − Σ ⋅ n dS + ∫ δ E : Σ − E : δ Σ dV = 0 D

( )

r r r r Ce qui donne bien u = ud sur ∂Du et Td = Σ E ( ur ) ⋅ n sur ∂Dσ . Le lecteur pourra vérifier que ce résultat aurait pu être obtenu en soustrayant les relations obtenues pour le principe à un champ de variation des déplacements de celles obtenues pour le

( )

principe à un champ de variation des forces avec E ( σ ) = E ( ur ) et Σ = Σ E ( ur ) . Ces démarches sont surtout intéressantes dans le cas de forces de masse nulles si on connaît des solutions de l’équation homogène, ce qui est le cas pour les problèmes d’élasticité plane (fonction d’Airy...) et ont l’avantage de ne pas faire intervenir les fonctions de Green singulières utilisées dans la méthode classique que nous allons exposer maintenant.

V.4.2. La méthode d’équation intégrale classique. Dans certaines des méthodes présentées on n’avait pas vraiment des variations de fonctionnelles : seules certaines variables sous les signes somme étaient affectées de variations : on obtenait des relations pondérées. Nous affranchissant de symbole δ , nous allons à partir du théorème de Rayleigh - Betti obtenir une formulation d’équations intégrales proprement dite. Nous nous bornerons à traiter le cas d’un milieu isotrope bien que, en principe, cette méthode puisse être utilisée dans tous les cas. 416

Eléments finis et méthodes variationnelles

On utilise deux champs : r 1 Le champ exact u connu seulement sur ∂Du et qui doit vérifier : r n r Td r r r ur = ur sur ∂D T = Σ ( ε ( ur ) ) ⋅ n = Td sur ∂Dσ d u  r r r r ud div d Σ ( ε ( ur ) ) + ρFd = 0 dans D

+O r 2 Le champ singulier v correspondant à une force localisée en M pour un milieu infini. r F r r v( r →∞ ) = 0 Ce champ satisfait : r r r div d Σ ( ε ( vr ) ) + δ( P − M ) F = 0 dans D P( y ) r r er r S’il est connu on peut lui associer u et T sur la frontière du + r M ( x) domaine D, tel que D (avec F en M) soit en équilibre.

r MP r r = er MP Le théorème des travaux virtuels implique comme nous l’avons vu la relation de Rayleigh - Betti : r r r r r r r r r r r r ∫ u ⋅ T (v ) − v ⋅ T (u ) dS = ∫ u ⋅ ∇ * (v ) − v ⋅ ∇ * (u ) dV

r MP = r

∂D

[

]

D

(

)

en utilisant les équations locales avec : r r r ∇ * = ( λ + µ ) grad ( div ) + µ∇ 2 conventionnellement  r T la tension dans un volume D et sur ∂D où les frontières sont régulières 

ε

D

( y)

M ∈D

∫

∂D + ∂Bε

P( x )

M

∂D

Boule B( ε ) de rayon r = ε

M ∈∂D ε M

D

[

]

r r r r r r u ⋅ T (v ) − v ⋅ T ( u ) dS = ∫

D − Bε

(

)

r r r r r r u ⋅ ∇ * ( v ) − v ⋅ ∇ * ( u ) dV

r r v est la solution associée à une force unité localisée F en M

r r v P = U PM ⋅ F( M ) où U PM est le tenseur de Somigliana r r TP = T PM ⋅ FM où T est le tenseur déduit de U

B( ε )

417

Eléments finis et méthodes variationnelles

[

]

1+ ν r r  ( 3 − 4 ν ) I + e r ⊗ er U = PM  8πE (1 − ν)r   1 r r r r r r r r T PM = − ( ) ( ) 2 ( er ⊗ n − n ⊗ er ) 1 − 2 ν + 1 − 2 ν I + 3er ⊗ er ( er ⋅ n )  ↓ 8π(1 + ν)r r er orienté de M vers P

[

[

]

r r r r r r r r ∫ [u ⋅ ( T ( v ) ) − v ⋅ T ( u )]dS = ∫ [v ⋅ T ( u ) − u ⋅ T ( v ) ]dS + ∫ r

r

r

∂Bε

∂D

[ur ⋅ ∇ ( vr) − vr ⋅ ∇( ur)]dV r*

r

D − B( ε )

]

r

r 1 r r r r ( ) v ⋅ T u dS → 0 : T , dS en r 2 fini , v en ∫∂Bε r r r ∫ u ⋅ ∇ *rdV → 0 (valeur principale) r r r r ∫ − v ⋅ ∇ * (u )dV → ∫ + v ⋅ ρFd dV

Si ε → 0

D

∫

∂Bε

r r r u ⋅ T ( v )dS =

∫

D

r r v ⋅ ρFd dV + ∫

∂D

Il faut chercher la limite de l’intégrale

∫

∂Bε

[vr ⋅ T (ur) − ur ⋅ T (vr)]dS r

r

r r r r r u ⋅ T ( v )dS où er = − n , intégrale dépendant

en général de E, ν et de la forme de la surface vue de M sous un angle Ω stéradians, soit la limite J : r r u (1 − 2 ν) I + 3err ⊗ err dS ⋅ F J = lim ∫ 2 ε → 0 ∂B( ε ) 8π(1 − ν) r

[

]

r r Si ε tend vers zéro, u tend vers u M et d’après le théorème de la moyenne : r 1 r r r ( J = u M ⋅ lim ∫ 1 − 2 ν) I + 3er ⊗ er dS ⋅ F 2 ε → 0 ∂B( ε ) 8π(1 − ν)r

[

]

I dS dS = I ∫ 2 = I Ω 2 ∂B( ε ) r r r r z er

or lim ∫ ε→0

cercle

θM

M

r x

r y ϕ

sin θ cos ϕ  r {err r}r =  sin θ sin ϕ  ( M ; x , y ,z )    cos θ 

Soit I (1 − cos θ max )2 π dans le cas d’un cône à section circulaire. r r er ⊗ er Il reste à évaluer lim ∫ dS ε→ 0 r2 Nous allons effectuer ce calcul en utilisant un repère local en M et en supposant que localement la surface en M est tangente à un cône à section circulaire (figure).

sin 2 θ cos 2 ϕ sin 2 θ sin ϕ cos ϕ sin θ cos θ sin ϕ    r r mat (er ⊗ er ) =  sin 2 θ sin 2 ϕ sin θ cos θ cos ϕ    sym cos 2 θ

418

Eléments finis et méthodes variationnelles

Soit, avec dS = r 2 sin θdθdϕ et après sommation en ϕ : mat ∫

2π

0

∫

θM

0

π sin 3 θ  r r θM  er ⊗ er  dS = ∫  π sin 3 θ 2  dθ 0 r 2  2 π cos θ sin θ  θ

M  cos3 θ  1 cos 3 θ M sin θ d θ = sin θ 1 − cos θ d θ = − cos θ − = 1 − cos θ − + ( )   M ∫0 ∫0 3 0 2 3  2 cos θ M = + [cos2 θ M − 3] 3 3 θ θM  cos 3 θ  M 1 − cos 3 θ M 2 ∫0 sin θ cos θdθ = −  3  = 3 0

θM

θM

3

2

D’où :

mat ∫

2π

0

∫

θM

0

 cos θ M  2 1 + 2 ( cos θ M − 3)  r r   er ⊗ er cos θ M 2π 3   1 cos θ 3 dS = + − ( ) M 2 3  r2  1 − cos 3 θ M    

Or :  cos θ M  − 2 − sin 2 θ M  cos θ M 3  = 1 − cos θ M − 1 + cos θ − 3 = 1 + cos θ sin 2 θ M ( )  M M 2 2 2     3 2 1 − cos θ M = (1 − cos θ M )(1 + cos θ M + cos θ M ) = 1 − cos θ M + cos θ M (1 − cos θ M )(1 + cos θ M ) = 1 − cos θ M + cos θ M sin 2 θ M

mat ∫

2π

0

θM

0

1 ∂B( ε ) 8π(1 − ν)r 2

lim ∫ ε→0

∫

 1 − 2 1  r r  er ⊗ er 2π   2π 2 dS = 1 − cos θ 1 + cos θ sin θ ( ) M  M M   3 3 r2   1  

  1   − 2  1 

 1     2 π(1 − cos θ M )(1 − 2 ν + 1)  1     1    1   r r 1   (1 − 2 ν) I + 3er ⊗ er dS = −   2  ↓ 8π(1 − ν)    sur la base 1  + 2 π cos θ sin 2 θ  locale  − M M  2    1       

[

]

419

Eléments finis et méthodes variationnelles

1  2 1 Ω  r r  cos θ M sin θ M ( ) lim ∫ 1 − 2 ν I + 3 e ⊗ e dS = 1 + r r 2  ε → 0 ∂B( ε ) 8π(1 − ν)r 4π  4(1 − ν)  1

[

]

 1 − 2     

  1   − 2  1 

Etudions le cas où la contribution de la seconde matrice est nulle : - Si θ M = Ω 1 = 4π 2

π , M est un point régulier de la surface qui possède un plan tangent en M et 2

- Si θ M = π , M est à l’intérieur de D alors

Ω =1 4π

T r D’où les résultats après division par F avec U PM = U MP

a) si M est à l’intérieur du volume : r r r T T r r r u M ( y ) = ∫ U MP ⋅ ρFd dV + ∫ U MP ⋅ Td dS + ∫ U MP ⋅ TP dS − ∫ T PM ⋅ u P dS − ∫ T PM ⋅ ud dS D

∂Dθ

∂Du

∂Dθ

∂Du

b) si M est sur ∂D en un point régulier : r r r T T 1r r r u M ( y ) = ∫ U MP ⋅ ρFd dV + ∫ U MP ⋅ Td dS + ∫ U MP ⋅ TP dS − ∫ T PM ⋅ u P dS − ∫ T PM ⋅ ud dS D ∂Dθ ∂Du ∂Dθ ∂Du 2 r u La dernière relation trouvée est en fait une équation intégrale où les inconnues sont r r et T mais où M peut parcourir tout ∂D . On obtient uexact si les intégrales sont calculées exactement, ce qui n’est pas chose aisée.

La méthode est surtout employée en mécanique irrotationnels de fluides incompressibles où le champ r méthode des sources où l’équivalent de l’opérateur ∇ * scalaire.

des fluides pour les écoulements r v dérive d’un potentiel, c’est la ne fait intervenir que le laplacien

On trouvera donc dans la page qui suit un tableau récapitulatif où l’auteur a essayé d’effectuer une certaine classification. Les astérisques dans les trois colonnes de gauche signifient que les relations indiquées en haut sont, au départ, satisfaites. La mise en œuvre du principe permet de satisfaire les relations associées aux cases vides (sans astérisque), satisfaire au sens d’un travail.

420

1 1 1

Λ et Σ symétriques

∂Du

Elasticité linéaire statique

r r h+h u = ud ; E = 2

Galerkin Equation intégrale

∂Dσ

∂Du T

r r λ = Λ⋅n

;

Σ=Λ

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

2

Rayleigh - Ritz - P.T.V. Variation des déplacements Jones - Yamamoto

2

Reissner

2

Fraeijs de Veubeke

X

1

Variation des contraintes - P.F.V.

X

δW ( σ) = E ( σ ) : δ Σ

∫ δu ⋅ ( div r

r

D

X

∫

∂Dσ

; W ( ε) = Σ( ε): E ; 2

δW ( ε) = Σ( ε): δ E

∀

d

)

r Σ + ρFd dV = 0

(

)

r r r δu ⋅ Σ ⋅ n − Td dS = 0

r r r r   δ  ∫ (W ( ε ) − u ⋅ ρFd )dV − ∫ u ⋅ Td dS  = 0 ⇔ E p totale min ∂Dσ D  r r r r r r r δ  ∫ W ( ε ) − u ⋅ ρFd dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ λ ⋅ (ud − u )dS  = 0 ∂Dσ ∂Du D 

(

X

X

X

X

)

T     h+h r r r r δ ∫  − W ( σ) + Σ: − u ⋅ ρFd  dV − ∫ u ⋅ Td dS  = 0  ∂Dσ 2  D      r r   δ  ∫ W ( ε ) − Λ: E dV + ∫ ud ⋅ Λ ⋅ ndS  = 0 ∂Du D 

X

X

;

X

X X

Σ: E ( σ) 2

r r r r r divd Λ + ρF = 0 ; Td = Σ ⋅ n

X

X X

W ( σ) =

(

)

r r δ  ∫ W ( σ)dV − ∫ ud ⋅ Σ ⋅ ndS  = 0 ⇔ E complémentaire min ∂Du  D 

+ variation des forces

variante : les forces données varient

2

Pian

X

X

r r r r r δ  ∫ − W ( σ)dV + ∫ u d ⋅ Σ ⋅ ndS + ∫ u ⋅ Σ ⋅ n − Td dS  ∂ ∂ D D D u σ  

2

Hellinger - Reissner - Hermann ?

X

X

3

Washizu 2

X

3

Washizu 1

(

X

T     h+h r r r r r r r   ( ) δ ∫ − W σ + Σ: − u ⋅ ρFd  dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ (ud − u ) ⋅ Σ ⋅ ndS  = 0 ∂Dσ ∂Du   D   2    T     h+h r r r r r r r δ  ∫  − W ( ε) + Λ: − u ⋅ ρFd  dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ (ud − u ) ⋅ Λ ⋅ ndS  = 0  ∂Dσ ∂Du  D  2     T     r h+h r r r r r r δ ∫  − W ( ε) + Λ: − u ⋅ ρFd  dV − ∫ u ⋅ Td dS + ∫ λ ⋅ (ud − u )dS  = 0  ∂Dσ ∂Du  D  2     r définitions : h = grad u r u admissible : continu ; compatible : admissible et vérifiant ur = urd sur ∂Du

r δλ sur ∂Du

Restitué par

δΛ

dans D r δu sur ∂Du

δ E dans D

)

r δuc δE c r δuc δE c r δuc δE c r r δu δE adm δλ r δuc δΣ

δE δΛ

SACH

δΣ

SACH

δΣ r δu δΣ

SAH

r δu δΣ r δu δE δΛ

r r δu δE δλ δΛ

T

r δu dans D

h+h ou rot d rot g E = 0 ; E= 2 compatible si admissible tel que ur = urd sur ∂Du r r Λ admissible : continu tel que divrd Λ + ρFd = 0 ; compatible : r admissible et tel que Td = Λ ⋅ nr sur ∂Dσ r r r r r r ∫ δu ⋅ Σ ⋅ n − Td dS − ∫ (u − ud ) ⋅ δ Σ ⋅ ndS = 0

E

r δu sur ∂Dσ

Trefftz

X

X

X

r r X ρF = 0

Equations intégrales

X

X

X

X

admissible : continu tel que

∂Dσ

(

)

∂Du

r δu δΣ SAH r δu spécial

Eléments finis et méthodes variationnelles

V.5. Application de la méthode des éléments finis. Dans toutes les applications il intervient toujours la discrétisation en éléments et des changements de base, nous ne parlerons pas de ces opérations classiques conduisant à l’assemblage. Nous essayerons plutôt de comparer quelques démarches en analysant implicitement un seul élément fini. V.5.1. La méthode de variation des déplacements (un champ varié). Cette méthode a déjà été expliquée, nous la rappelons sous forme synthétique. On utilise le principe général classique des travaux virtuels

[ ]

r r à u correspond { u} = Φ P { A} → vecteur de coordonnées généralisées ↓ matrice rectangulaire de fonctions d’espace

[ ]

à E correspond { ε} = ∂{ u} = B A { A} r à δu correspond { δu} = J P { δA ′} ↓ autre matrice rectangulaire de fonctions d’espace

[ ]

à δE correspond { δε} = [ B ′]{ δA ′} à Σ correspond { σ}

[ ]

à Σ = D: E correspond { σ} = [ D]{ ε} = [ D] B A { A} r r à T correspond { T } à ρF correspond { F } Ainsi : δTdef =

∫ δ E:Σ ( ) dV = {δA ′ }[ ∫ B ′

δTF ext =

T

ε

D

∫

D

D

∂D

[

]

DBdV { A}

r r r r δu ⋅ ρFdV + ∫ δu ⋅ TdS = { δA ′ T }

Le principe s’écrit : − δTdef + δTF ext = 0

  Soit : { δA ′ T } −  

T

(L.C.)

[∫ J FdV + ∫ J TdS ] T

D

T

∂D

(statique)

  T T T { } B DBdV A + J FdV + J TdS ′  = 0 ∀ {δA ′ T } ∫D ∫ ∫ D ∂D 1444 424444 3  ↓ Forces nodales équivalentes dont la contribution de forces données éventuelles sur les frontières.

]

{

}

L’annulation du crochet fournit les équations d’équilibre approchées du système considéré. (Base locale). Ici on n’a pas fait intervenir la notion d’énergie de déformation et comme J ≠ Φ la matrice qui joue le rôle de matrice raideur n’est pas en général symétrique.

422

Eléments finis et méthodes variationnelles

Comme le système est élastique nous pouvons en fait calculer le travail de déformation à partir de E d ( ε ) : 2E d ( ε ) =

∫

D

T T Σ ( ε ) : EdV = ∫ { σ} { ε} dV = ∫ { ε} [ D]{ ε} dV D

D

δTdef = δE d = ∫ { δε} [ D]{ ε} dV T

Si nous choisissons un champ varié déduit du champ { u} alors :

(⇔ Φ = J , δA ′ = δA)

{δu} = [ Φ]{δA}

Les équations font alors intervenir une matrice de raideur K A symétrique :

−

[∫ B KDBdV ]{ A} + {∫ Φ FdV + ∫ Φ TdS} = {0} T

T

D

D

T

∂D

A

Ces équations sont des équations approchées différentes des précédentes. Nous supposerons que nous avons choisi la seconde démarche en liaison avec la recherche de l’extremum d’une fonctionnelle. En fait la méthode des éléments finis n’a d’intérêt que par l’introduction des noeuds, on les introduit ici en écrivant :

{ u} nodal = [ T ] −1 { A} ⇒ { A} = [ T ]{ u} nodal ↓ matrice de connexion

def

D’où { u} = [ Φ]{ A} = [ ΦT ]{ u} nodal = [ N ]{ u} nodal En suivant la démarche précédente nous obtenons une relation où { δu} nodal est en facteur à gauche : T {δu} Tnodal − [ KU ]{u} nodal + ∫DN T FdV + ∫∂DN T TdS  = 0 ∀ {δu} nodal   T

avec :

[ K ] = [T U

T

K AT

]

{

}

r (on ne confondra pas la matrice T avec le vecteur T associé à T ) après assemblage : ⇒ ...[ K ass ]{u} nodal réunis = {F } ceci exprime l’équilibre approché.

V.5.2. La méthode de variation des contraintes (un champ varié). Cette méthode, duale de la précédente nécessite, théoriquement, d’utiliser des champs de contraintes admissibles, c’est à dire vérifiant l’équation d’équilibre locale qui fait r malheureusement intervenir le chargement volumique caractérisé, en tridimensionnel par ρF , sinon par des densités linéiques ou surfaciques dépendant du problème à traiter. La méthode souffre donc dès le départ d’un défaut : pratiquement on construit des champs satisfaisant

423

Eléments finis et méthodes variationnelles

l’équation d’équilibre homogène en remplaçant le chargement par un chargement équivalent aux noeuds en utilisant les résultats de la méthode précédente (d’une façon parfois douteuse car les éléments ne correspondent pas nécessairement !). Nous exposerons la démarche à partir du principe d’extremum de l’énergie complémentaire en utilisant une seule famille de fonctions :

( divr Σ = 0r)

à Σ correspond { σ} = [ Φ]{ A}

d

à E correspond { ε} Analyse d’un élément

[ C] = [ D] −1

La loi de comportement s’écrit { ε} = [ C ]{ σ} { ε} = [ CΦ]{ A}

L.C.

à δΣ correspond { δσ} = [ Φ]{ δA}

[

]

Ainsi : − δE d ( σ) = δTdef compl = ∫ δ Σ: EdV = {δA} ∫ Φ T CΦdV { A} = {δA} [ξ A ]{ A} D r r δT(chargement) = ∫ δT ⋅ udS + la contribution des forces rejetées aux frontières T

T

∂D

complémentaire

Pour calculer effectivement le travail virtuel complémentaire du chargement, il faut introduire les noeuds ; on définit alors un vecteur de contraintes nodales : { σ} nodal = [ T ] −1 { A} ⇒ { A} = [ T ]{σ nodal } def

D’où :

{ σ} = [ ΦT ]{ σ} nodal = [ N ]{ σ} nodal

Ce vecteur, dit de contraintes nodales est en fait constitué de forces ponctuelles ou de contraintes intégrées situées à quelques noeuds de l’élément fini. Dans cette première phase les modes rigides de l’élément sont bloqués, la matrice de flexibilité ξ σ qui intervient est régulière et les forces nodales fournissent un travail dans des déplacements généralisés relatifs.

δTdef compl = { δσ} nodal T

[∫ N CNdV ]{σ}

def

T

D

nodal

[ ]

T = { δσ} nodal ξ σ { σ} nodal

δTcompl = { δσ} nodal { u} rel T

[ ] [

Avec : ξ σ = T T ξ A T

]

A ce stade le champ de force de masse (ou surfacique, ou linéique) extérieur est ignoré dans la mise au point de l’élément. Le vecteur appelé des contraintes nodales est lié au vecteur {F } de l’ensemble des

[ ]

forces généralisées aux noeuds par une matrice Be rectangulaire exprimant l’équilibre de l’élément. Les colonnes de cette matrice de déterminent les une après les autres en chargeant { F } = Be { σ} nodal . successivement par chaque composante de { σ} nodal :

[ ]

424

Eléments finis et méthodes variationnelles

Analyse d’une structure En supposant que pour une structure on dispose d’une collection de matrices de flexibilité associée à une décomposition en éléments finis cohérente, il reste à préciser la façon d’obtenir les équations du problème par l’opération d’assemblage. Entre les déplacements généralisés relatifs de chaque sous structure et l’ensemble des vecteurs assemblés { σ} nodaux , il existe une relation matricielle : celle qui fait intervenir toutes les matrices de flexibilité ξ σ non couplées :

ur(1)     M  (i )  ur  =  M     M 

ξ (σ1)  { }     O    M  1)   { σ} (nod ξ (σi )  ou    O   M   O  { }  

{ u} rel = [ξ (σ1) ]{ σ} nod

Le vecteur { σ} nod est inconnu mais lié par une relation matricielle, exprimant l’équilibre du système considéré, aux forces généralisées collectionnées dans le vecteur { F } réduit . Ce vecteur { F } réduit est constitué cette fois de l’assemblage des forces généralisées dues au chargement équivalent volumique (surfacique ou linéique), des forces ponctuelles aux noeuds et des forces de coupure introduites (par paires d’après le théorème de l’action réciproque) lorsque le système a été décomposé en éléments.

{ σ} nod = [ B]{ F } réduit Ainsi pour l’ensemble : T T 2 E d ( σ ) = { σ} nod ξ (σ1) { σ} nod = { F } reduit B T ξ (σ1) B { F } réduit

[ ]

δTdef comp = { δF } red [ξ]red { F } red

[

T

[ξ ]

red

[

= B T ξ (σ1) B

]

et

]

ou

avec la matrice de flexibilité assemblée :

δTcomp = {δF} red { u} T

Il reste à écrire le principe de variation des contraintes :

δE d ( σ ) = δTc

T {δF } Tred [ξ]red { F } red = {δF } red { u}

soit :

[ξ ]

red

T ∀ {δF } red

{ F } red = { u}

Ceci exprime la continuité des déplacements de façon approchée. Le vecteur { u} contient des zéros associés à la fermeture des coupures (Ménabréa) ou à des déplacements imposés nuls, les déplacements imposés et les déplacements inconnus. Le vecteur { F } red contient des inconnues de liaison hyperstatiques (redundant forces) et des forces généralisées connues. 425

Eléments finis et méthodes variationnelles

Remarque : Revenons à l’analyse précédente relative à un élément fini et considérons les déplacements généralisés absolus associés, déplacement constituant le vecteur { u} de l’élément. T T δTcomp = {δF T }{ u} = {δσ} nod Be { u} = {δσ} nod { u} rel

[ ]

T Ainsi : { u} rel = [ B ] { u}

[ ]

[ ]

La matrice ξ σ est régulière, son inverse est une matrice de raideur ξ σ

[ ]

2 E d = { u} rel ξ σ T

[

−1

⇒ [ K ] = Bξ σ−1 B T

]

{ u} rel = { u} T [ Bξ σ−1 B T ]{ u}

−1

telle que :

[ ]

Cette matrice de raideur, de taille supérieure à celle de ξ σ peut être utilisée dans une méthode de déplacements et met en lumière la correspondance entre les éléments finis des deux méthodes (voir Robinson cité en bibliographie). La méthode des forces ou de variation des contraintes s’est peu développée sur le plan informatique. Indépendamment du fait que des changements de base intermédiaires sont en plus nécessaires pour passer de repères locaux à un repère global, l’établissement de la matrice B exprimant des relations d’équilibre n’est pas chose facile. Cette écriture approchée d’un des théorèmes de Castigliano n’a pas été souvent implantée sur ordinateurs malgré des essais courageux (travaux de Denke et de l’école belge). Elle s’y prête mal mais indirectement elle permet de construire des éléments déplacements comme la remarque précédente l’expliquait.

V.5.3. La méthode mixte de Hellinger - Reissner. Cette méthode est d’une certaine souplesse car elle utilise des approximations sur les r champs u et Σ , champs qui ne sont astreints à rien de spécial. La méthode réconcilie deux approches de résolution des problèmes de mécanique en fournissant des relations approchées cohérentes entre les contraintes et les déformations ( { ε} et { σ} ou {ε$} et {σ$ } ), relations obtenues lorsqu’on fait varier le champ des contraintes dans le volume d’un élément par  h + hT   l’intermédiaire du terme ∫ δΛ: − E  dV  2  D   Les opérations qui interviennent sont du même type que celles déjà rencontrées. - Interpolation des champs pour un élément { u} = [ u N ]{ u} nod { σ} = [ σ N ]{ σ} nod - Ecriture du principe sous forme matricielle T

h+h correspond { ε} = [ B]{ u} nod à E= 2 r à Σ ⋅ n correspond [ G ][ σ N ]{ σ} nodal

426

Eléments finis et méthodes variationnelles

n1  Avec : [ G ] =  0  0

0 n2 0

0 0 n3

n2 n1 0

0 n3 n2

n3   0 n1 

T si { σ} = {σ 11

σ 22

σ 33

σ 12

σ 23

σ 31 }

L’écriture matricielle est alors : σ   N T C σ Nσ σ u u u u δ∫  − σ T + σ T N T Bu − u T N T F  dV − ∫ u T N T TdS + ∫ udT N T − u T N T G σ NσdS = 0 D ∂Dσ ∂Du 2 

[

]

où l’on n’a pas indiqué l’indice nod pour alléger T T D’où le système matriciel obtenu en annulant les facteurs de { δu} et { δσ} .

 − ∫ σ N T C σ NdV D   B T σ NdV − u N T G σ NdS ∫∂Du ∫D

∫

D

σ

u N T BdV − ∫ σ N T G T NdS  σ   − ∫ σ N T G T u NdS {ud }  ∂Du  ∂Du    =    0  u  ∫ u N T Fd dV + ∫ u N T Td dS   ∂Dσ D 

- Changement de base et assemblage Ceci correspond à la mise en œuvre du principe pour l’ensemble de la structure - Résolution et exploitation C’est la phase commune à toutes les méthodes On remarquera la forme spéciale des matrices à assembler : une forme en flèche non des matrices bandes.

Le système à résoudre finalement revêt la forme

A B T 

et

B   x   Fx   =  0   y   Fy 

où A est une matrice de flexibilité au signe près. La matrice qui intervient, composée des matrices A et B doit être régulière et l’expérience montre qu’elle peut l’être par élément fini sans l’être après assemblage. Les conditions de régularité ont été clarifiées récemment (Lefebvre 1989). dim y ≤ dim x  dim y = rangB On trouvera dans l’annexe I des détails sur ce problème ou pour des problèmes du même type rencontrés dans les méthodes mixtes.

427

Eléments finis et méthodes variationnelles

V.6. Extension aux problèmes de dynamique ou aux problèmes non linéaires. Nous n’avons dans cet exposé que donné des informations sur les problèmes de statique linéaires, ceci conduisant pratiquement à annuler la première variation d’une fonctionnelle ; par abus de langage à rechercher l’extremum d’une fonctionnelle (puisque ce n’est pas toujours un extremum strict mais souvent un point col). La formulation faible est beaucoup plus générale et conduit à écrire que la variation d’une grandeur est égale à la variation d’une autre, pour toutes les variations élémentaires disponibles, sans qu’il s’agissent de différentielles totales. - La méthode de variation des déplacements s’étend sans difficulté de principe au cas de l’élastodynamique (cas linéaire ou non) et au cas de la plasticité si l’on parvient à définir une matrice élastoplastique tangente Délasto dépendant d’un sens de chargement. Ceci a déjà été expliqué. - La méthode des forces n’est pas directement utilisable en dynamique. En fait c’est un problème ouvert (principe de Toupin, principe de Dean et Plass). En grandes déformations la méthode a donné lieu à des essais théoriques restant du domaine de la recherche (Levinson, Zubov, Fraeijs de Veubeke, Valid). - Les méthodes mixtes se développent actuellement pour les problèmes de statique principalement (détermination de coefficients de forme pour les milieux composites etc.). On trouvera page suivante un tableau récapitulatif des différentes démarches en mécanique, démarches pouvant s’appliquer à d’autres domaines de la physique. En annexe II : des informations sont données sur le traitement particulier du cas des milieux incompressibles −1 ou considérés comme tels et où [ C ] n’existe pas, ce qui ne permet plus de déterminer [ D] tel que { σ} = [ D]{ ε} .

428

Lois de comportement

I

+ Théorèmes généraux

II Principe des travaux virtuels

Equations de compatibilité des déformations

t2

δI + ∫ δTdt = 0 t1

III

Variation des déplacements avec III satisfait

Variation des forces avec II satisfait

Méthode des déplacements virtuels

Méthode des forces virtuelles

Variation des déplacements et des forces

Méthode mixte

~ ~    E. F.  

Discrétisation

Méthode des raideurs

Méthode des flexibilités

Méthode mixte

Variation des déplacements avec III satisfait conditions de transversalité

Variation des forces avec II satisfait conditions de transversalité

Principe d’Hamilton

Principe de Toupin

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe I

Conditions de régularité des systèmes linéaires d’équations obtenus par les méthodes mixtes (stability).

I.1. Cas des systèmes à deux champs. nx {

ny {

nx ny   }}  A B  x   f     =  1  T  B 0  y  f 2     

avec :

dim x = n x dim y = n y

Théorème : pour que le système soit non singulier les deux conditions suivantes sont nécessaires et suffisantes : C1 on ne peut avoir en même temps Ax = 0 et B T x = 0 sans avoir x = 0 C2 on ne peut avoir By = 0 sans y = 0 ⇔ rang B = n y Démonstration

• Les conditions sont suffisantes Si C1 ne tient pas alors on pourrait avoir De même si C2 ne tient pas on pourrait avoir

A B T  A B T 

B   x  0   =   sans x nul ! 0  0  0 B   0  0   =   sans y nul ! 0   y  0

• Les conditions sont nécessaires

A B T 

x Si elles sont vérifiées, supposons qu’il existe un   non nul tel que :  y B   x  0  =  0   y  0

On peut rajouter un multiple α de la seconde équation à la première pour régulariser : [ A + αBB T ] x + By = 0 D’après

C1

A + αBB T

est

inversible

et

la

seconde

équation

s’écrit

B T [ A + αBB ] By = 0 Mais B a le rang n y donc y = 0 et x = 0 ce qui contredit les hypothèses. T −1

On note que si rang B = n y le nombre de lignes de B doit être supérieur au nombre de colonnes ce qui n’est qu’une condition nécessaire. nx ≥ ny ⇒ n y = rang B

430

C.N.

Eléments finis et méthodes variationnelles

On peut aussi raisonner ainsi : Si A est régulière :

x = A −1 f 1 − By et [ B T A −1 B] y = − f 2 + B T A −1 f 1

Le rang de B T A −1 B doit être n y et ne peut être plus élevé que celui de A. Donc n x ≥ n y est une condition nécessaire. By ≠ 0 ∀y ≠ 0 et A −1 définie positive

Si de plus

y T B T A −1 y > 0 et B T A −1 B définie positive est inversible.

nx ≥ n y

Donc :

rang B = n y

A −1 définie positive C.N.S.

Si A est singulière, on peut modifier le système en rajoutant un multiple de la seconde à la première équation :  A + αBB T B B   x   f 1 + Bf 2      =  BT 0  y   f 2   et l’argument précédent conduisant à n x ≥ n y tient si on ne peut avoir en même temps Ax = 0 et B T x = 0 . Mais la condition est nécessaire et By ≠ 0 ∀y ≠ 0 aussi. ________ Remarque : La condition n x ≥ n y n’est pas applicable aux systèmes rencontrés dans les problèmes avec pénalités du type :  A B  x   f 1  y = −αB T x + αf 2 I  T   =   → T y f  B α     2  [ A − BB α ] x = f 1 − Bαf 2 Mais leur performance se détériore si α devient grand si cette condition est violée ; en effet divisons la seconde relation par α : f1 A T  α − BB  x = α − Bf 2 Si α → ∞ avec f 2 nul, à la limite on a BB T x = 0 dont la solution est x = 0 si BB T est régulière ( n x ≤ n y ) (verrouillage) et peut être non nulle si n x > n y . On note que la condition d’égalité n x = n y peut conduire

n BT 67 4 y4 8

nx {

B

parfois au locking ou verrouillage ; il faut alors déverrouiller : assouplir avec n x > n y strictement.

BB T

nx ≤ ny

431

Eléments finis et méthodes variationnelles

I.2. Cas des systèmes à trois champs. A  T B  0

B 0 CT

0  x   f 1      C  y  =  f 2  0   z   f 3 

a) A  ⇒ B T  0

et

 0  x   f1     C   y  =  f 2 + γ Cf 3   0   z   f3  −1 x = A { f 1 − By} B γ CC T CT

− B T A −1 B + γ CC T  CT 

C   y   f 2 + γ Cf 3 − B T A −1 f 1     =  0  z   f3 

Une condition nécessaire de singularité est n y ≥ n z indépendamment de n x . b)

Le système peut encore s’écrire : A  0  B T

0 B  x   f 1  T T T T   γ C B x + γ C Cz = γ C f 2 T   0 C  z  =  f 3  ⇒  T  γ BB x + γ BCz = γ Bf 2 C 0   y   f 2 

Le système peut être régularisé pour champs :  A + γ CC T γ BC  T T γ CTC  γC B  BT C

obtenir un système du type des systèmes à deux B   x   f 1 + γ Bf 2      C T  z  =  f 3 + γ C T f 2   0   y   f2 

⇒ n x + n z ≥ n y est encore une condition nécessaire de régularité.

⇒

n y ≥ nz n x + nz ≥ n y

C.N.

Mais ces conditions doivent être vérifiées par élément et pour l’assemblage global.

_______

432

Eléments finis et méthodes variationnelles

Annexe II

Les milieux incompressibles isotropes.

Pour les milieux élastiques isotropes incompressibles, la loi de comportement s’écrit : ν 1 − 2ν  1 + ν E = trace Σ I avec : traceE = trace Σ Σ −  E  E E

(

)

avec : Wd = A2 I 2 + A1 I12 densité volumique d’énergie de déformation. Si ν = 0,5 le milieu est incompressible, trace Σ ne peut être calculé en fonction de

( )

traceE et la loi Σ E ne peut être définie directement (Wd = A2 I 2 ) . ΣK =

E E à un état de contraintes Σ = − pI près puisque cet état ne modifie pas le 1+ ν

volume ; p, la pression, est une variable supplémentaire à introduire telle que trace Σ = −3 p . Plusieurs solutions pour le calcul de Σ ont été proposées, nous présenterons le point de vue de Debongnie qui s’écrit :

E 3ν 3ν E− pI avec = 1 si ν = 0,5 1+ ν 1+ ν 1+ ν 3(1 − 2 ν) traceE = − p E Σ=

(1)

:δ E

( 2)

3ν δp 1+ ν

Une troisième relation est fournie par le principe des travaux virtuels : r r r r − ∫ Σ:δ EdV + ∫ δu ⋅ ρFdV + ∫ δu ⋅ TdS = 0 (statique) D

D

∂D

( 3)

r ∀δu

La relation (1) est multipliée par δE avec double contraction et additionnée à la 3ν seconde multipliée par δp . L’ensemble est sommé dans D et additionné à (3) pour 1+ ν fournir un nouveau principe variationnel :

P:

E 3ν 3ν 3(1 − 2 ν)     r r r r δ E:  E − δ p traceE  − pδp dV − ∫ δu ⋅ ρFdV − ∫ δu ⋅ TdS = 0  D D ∂D  1+ ν 1+ ν  1+ ν E  

(

∫

)

Soit :   E r r  3ν 9ν p2  (1 − 2 ν) dV − ∫ δur ⋅ ρFdV − ∫ δur ⋅ TdS  = 0 δ ∫  E: E − p traceE − D ∂D 1+ ν 1+ ν 2   D  2(1 + ν)  r r r r r ∀δu , δp avec u = ud sur ∂Du , T = Td sur ∂Dσ 3ν =1 avec : 1+ ν

( )

433

Eléments finis et méthodes variationnelles

(

Les variations restaurent bien les relations de départ, ainsi si l’on note que

)

δ traceE = I : δ E on a :    E 3ν  (1 − 2 ν)  3ν r r  r r   δ E : E − pI − δ p 3 p + traceE − δ u ⋅ ρ F dV − δ u    1+ ν ∫D   1 + ν 1 + ν   E ∫∂D ⋅ TdS = 0     soit :         r 3ν E  (1 − 2 ν )  3ν r r  r r r  − δ ⋅ − + ρ − δ 3 + − δ ⋅ T − Σ ⋅ n dS = 0 u div E pI F dV p p traceE dV u   d   ∫D ∫ ∫  D ∂ D E   1+ ν  1+ ν 1+ ν    1 444 2 444 3   Σ  

(

Nota : Si l’on note A la forme matricielle de la quantité entre accolades du principe P et si l’on pose : e T = {ε 11 def

On obtient :

A=

   E diag 33 1+ ν      Avec : H =     sym      

Avec :

ε 22

ε 33

γ 12

γ 23

γ 31

1 T e He 2

3ν 1+ ν 3ν − 1+ ν 3ν − 1+ ν 0

         0   0  3(1 − 2 ν) 3ν  − (1 + ν )  E      −

0

diag 33

E 2(1 + ν)

3ν = 1 dans le cas limite. 1+ ν

Cette expression peut être utilisée dans la programmation.

434

p}

)

QUATRIEME PARTIE Les lois de comportement

Les lois de comportement

Introduction

Les relations entre contraintes et déformations ou variables associées constituent les lois de comportement d’un milieu. Nous en avons déjà dit quelques mots mais il apparaît vite à l’ingénieur que ces quelques mots ne suffisent pas. Le but de ces notes, imparfaites certainement, est de faire une présentation assez générale de l’état de l’art en permettant au lecteur d’élargir son domaine de connaissances. Nous nous sommes assez largement inspirés dans ce document des travaux cités en bibliographie et auxquels le lecteur pourra se reporter utilement et de l’expérience acquise au laboratoire de l’E.C.N.

437

Les lois de comportement

Chapitre I

Mécanique et thermodynamique.

C’est un fait d’expérience que des systèmes mécaniques soumis à des sollicitations harmoniques n’ont pas des amplitudes infinies à la résonance. Il y a dissipation d’énergie dans les matériaux, dissipation qui s’ajoute à celle due à l’existence d’un milieu extérieur qui n’est évidemment qu’exceptionnellement le vide. Ainsi, il s’est avéré nécessaire d’introduire des considérations de thermodynamique dans les problèmes dits de mécanique, l’énoncé du simple principe fondamental ou de principes équivalents étant insuffisant. Plusieurs démarches sont possibles, nous en présenterons deux, mais le problème est fort complexe car si elles ont leur cohérence interne, certaines anomalies entre elles sont discernables et devraient théoriquement conduire à des différences de résultats, surtout en déformations non infiniment petites. Sauf exception, nous nous bornerons au cas des déformations infinitésimales mais nous essayerons d’écrire les relations sous forme intrinsèque pour faciliter l’extension aux cas plus généraux, extension qui nécessitera encore beaucoup de travail pour les chercheurs. Il s’agit de tenir compte du premier et du deuxième principe de la thermodynamique dans les équations de la mécanique, principes qui jusqu’ici, dans ce cours, n’ont jamais été introduits.

438

Les lois de comportement

I.1. Le premier principe de la thermodynamique : le principe de l’équivalence. Considérons un domaine D de frontière ∂D intérieur au milieu matériel considéré, c’est à dire une partie quelconque du système analysé, à l’instant t. r n

r T

r n

dS

r q

∂D

D dV

Soit E c son énergie cinétique, U son énergie interne, Pext la puissance mécanique fournie par les forces extérieures et Q la quantité de chaleur fournie au milieu. 1 r ρv 2 dV U = ∫ ρudV ∫ D 2 D r r r r Pext = ∫ v ⋅ ρFdV + ∫ v ⋅ TdS

Ec =

r ρF

D

∂D

dQ & r r r = Q = ∫ − q ⋅ ndS + ∫ rdV = ∫ (r − div q )dV ∂D D D dt Q& est le taux de quantité de chaleur reçue r q désigne le vecteur flux de chaleur pénétrant par conduction à travers la surface ∂D dans le volume, r la densité volumique des sources de chaleur dans le milieu. La quantité r peut être due à une action extérieure (par exemple à un chauffage inductif) ou à une transformation de l’énergie à l’intérieur du milieu (frottement, transformation chimique). Nous restreindrons l’exposé au seul cas de transformations de travail de déformation en quantité de chaleur. Les actions dues à des champs magnétiques ou électriques sont exclues, les transformations chimiques et de phase aussi. Ainsi le tenseur des contraintes de Cauchy Σ C est symétrique. Le premier principe s’exprime alors par le relation : d dQ E c + U )=Pext + principe de l’équivalence ( dt dt Il est possible de donner une autre forme à l’expression de ce principe en utilisant le théorème de l’énergie mécanique (aussi appelé de l’énergie puissance) qui s’écrit : dE c = Pext + Pint avec Pint = − ∫ Σ C : D dV dt T

L+L où D est le tenseur des taux de déformations . 2 Ainsi, puisque la relation est valable dans D arbitraire : r def ρu& = Σ C : D + r − div q = u&1 Dans la suite, l’indice 1 signifie : par unité de volume. 439

Les lois de comportement

Autre expression du principe de l’équivalence Selon la thermodynamique la différentielle de l’énergie interne par unité de volume est une différentielle totale. Pour aller d’un état à un autre, nous pouvons choisir des chemins et par exemple décomposer ainsi du1 :

du1 = du1 a + du1 V Le premier terme correspond aux changements adiabatiques de l’état (sans échange de chaleur avec l’extérieur) c’est à dire tel que le flux de chaleur à travers la surface ∂D est nul, ce qui n’exclut pas une production de chaleur dans le volume considéré. Le second terme est associé à des changements à volume constant ce qui n’exclut pas que la forme du domaine D varie. Il est alors intéressant de faire apparaître les parties sphériques et déviatoriques des tenseurs de taux de déformation et de contraintes pour introduire éventuellement les deux types de transformation adiabatiques et isovolumiques dont nous venons de parler. s

ΣC = Σ + Σ s

D=D +D

d

s

avec : Σ =

1 trace Σ I 2

d

Σ = Σ−Σ

s

d

où s signifie sphérique et d déviatorique. Le premier terme s’écrit alors, puisque les tenseurs déviatoriques sont de trace nulle : s s d d r u&1 = Σ : D + Σ : D − div q + r

Autre expression s

s

La source de transformation irréversible ne peut provenir du terme Σ : D (état de changement isotrope travaillant dans des déformations isotropes sans échange de quantité de chaleur avec l’extérieur). Mais la dissipation d’énergie mécanique peut être associée au terme entouré qui fait intervenir la partie déviatorique des déformations, mettant en cause les phénomènes de frottement interne à volume constant. Il est possible de considérer deux types de mécanismes : d

- Une partie des taux de déformation D i est associée au processus irréversible et : s s d d r u&1 = Σ : D + Σ : D r + ri − div q + r d

d

avec : ri = Σ : D i terme qui correspond à la création interne de quantité de chaleur et joue le d

d

d

rôle d’une fonction de source et : D = D i + D r

440

(i pour irréversible, r pour réversible).

Les lois de comportement

d

- Une partie des contraintes de déviation Σ i se dissipe en travaillant sur les taux de déformations déviatoriques et : s s d d r u&1 = Σ : D + Σ r : D + ri − div q + r d

d

d

d

d

avec : ri = Σ i : D terme qui joue encore le rôle d’une fonction de source et Σ = Σ i + Σ r Les deux mécanismes peuvent naturellement coexister.

Les mécanismes cités ne peuvent cependant représenter des évolutions plastiques mais permettent de justifier l’usage de modèles comme ceux de Kelvin Voigt ou de Maxwell ou de modèles dérivés. Dans la suite nous supposerons les densités de source r nulles, d’ailleurs elles n’influent pas sur la nature des transformations thermodynamiques. I.2. Le deuxième principe de la thermodynamique. L’entropie est définie localement comme suit :

r − divq + ri & S1 = où T désigne la température absolue. T dQ1 dS1 = T à volume constant

Ou encore :

Le deuxième principe de la thermodynamique postule que les changements d’entropie dans un domaine volumique D et durant un intervalle de temps dt se présentent comme la somme de deux termes : dS = dS ext + dS int où dS ext représente la variation d’entropie due à un flux d’entropie à travers la frontière du domaine et dS int représente une création irréversible d’entropie à l’intérieur du domaine. Ainsi dS ext peut être positif ou négatif par contre dS int est positif ou nul. dS int ≥ 0 (l’égalité ayant lieu pour un processus réversible) Le deuxième principe postule donc : S&1 ≥ 0 (Clausius - Duhem) Nous pouvons donc écrire : r  div q ri  & & S = ∫ S1dV = ∫  − +  dV D D T T r r r r r r div q q ⋅ grad T q ⋅n q & S ext = ∫ − dS = − ∫ div   dV = − ∫ dV + ∫ dV ∂D D D D T T T T2 r r  ri q ⋅ grad T  & & & S int = S − S ext = ∫  −  dV D T  T2

441

Les lois de comportement

Pour des changements irréversibles nous avons localement : r r ri q ⋅ grad T − >0 T T2

On pose souvent Θ = T − T0 , T0 étant la température de l’état naturel. Selon un principe (attribué peut-être à tort à Curie), nous admettrons que les causes et les effets sont du même ordre tensoriel, alors l’inégalité se subdivise en deux inégalités indépendantes.

r  r grad Θ >0 − q . 2 T   ri > 0

r r (effet associé aux champs vectoriels q et grad Θ) ( effet associé aux champs tensoriels Σ et D )

Le point de vue concernant la thermodynamique que nous venons d’exposer n’a pas, à notre connaissance, encore été développé pour prendre en compte les phénomènes de plasticité. Pour cette raison nous développerons ce qui va suivre à partir d’un autre point de vue mais dont les bases théoriques diffèrent légèrement. Par contre la thermoélasticité linéaire sera développée dans un chapitre à part à partir de ce que nous venons d’exposer.

I.3. Autre point de vue concernant l’expression du deuxième principe. L’entropie exprime une variation d’énergie associée à une variation de température. Elle est définie pour un domaine D à partir d’une densité spécifique par unité de masse s telle que :

S=

∫

D

sρdV

Il est alors admis axiomatiquement que le taux de production d’entropie est égal ou supérieur à la quantité de chaleur reçue divisée par la température. r r dS rdV q ⋅ ndS ≥ −∫ ∂D dt ∫D T T

ou encore, en utilisant le théorème d’Ostrogradsky : r ds q r ρ + div   − ≥ 0 soit, en multipliant par T : T T dt r r ds 1 r grad T ⋅ q r  ρT + T  div q − −  ≥ 0. T dt T T2 Utilisant le théorème de l’énergie puissance qui permet d’écrire comme nous l’avons r div q = Σ: D + r − ρu& nous obtenons : vu :

442

Les lois de comportement

r r q ⋅ grad T  ds du  ρ T −  + Σ: D − ≥0  dt dt  T Ceci est considéré comme une expression du second principe. Cette expression peut être modifiée en faisant intervenir l’énergie libre spécifique par unité de masse de Helmholtz & = u& − T s& − sT& ψ ψ telle que : ψ = u − Ts

Ainsi T s& − u& = − ψ − sT& et l’expression devient − ρ(ψ& + s T& ) + Σ: D −

r r q ⋅ grad T ≥ 0 (Clausius - Duhem) T

Le procédé permettant à partir de ces considérations de construire, aidé de l’expérience, des lois de comportement porte le nom de méthode de l’état local. Avant de présenter cette méthode nous préciserons quelques notations de dérivées : si ψ est une fonction scalaire d’argument ε  ∂ψ  r - ψ ,ε est un vecteur ψ ,εi ei (   en notation matricielle).  ∂ε  L’argument ε représente les six composantes, allongements et glissements du vecteur des déformation dans ces problèmes. r r - ψ ,ε est un tenseur ψ ,ε ij ei ⊗ e j si ε est un tenseur caractérisé par ses neuf composantes ε ij ,

 ∂ψ  la matrice de ce tenseur est notée   .  ∂ε  La méthode de l’état local On peut décomposer, arbitrairement, en déformations infinitésimales le tenseur E en partie élastique et en partie plastique : e

E=E +E

p

. soit D = D + D avec, ici : D = E (déformations infinitésimales) σ La notion de déformation plastique étant supposée connue ou pouvant être définie ici P e comme : E−E e

p

ε

12 4 4 3 12 4 4 3 εe εp

443

Les lois de comportement

Schéma monodimensionnel On admet alors que la fonction énergie libre s’exprime en fonction des composantes du e

tenseur des déformations E , de la température absolue T et de variables cachées V1 ,V2 ,...,Vk ,... (éventuellement tensorielles), variables internes permettant de construire des modèles pour les phénomènes de comportement analysés. p ψ = ψ  E − E , T ,Vk 

Ceci implique :

ψ ,E = ψ ,E e = −ψ ,E p . . e e ψ = ψ , E : E + ψ ,T T& + ψ ,Vk V&k L’inégalité de Clausius - Duhem s’écrit alors :

(Σ − ρψ ): D e

,E

e

p

(

+ Σ: D − ρ s + ψ ,T

)

r r q grad T ⋅ T& − ρψ ,Vk V&k − ≥0 T

Imaginons une première transformation à température constante et uniforme, à taux de déformation plastique nul, telle que V&k = 0 ∀k . L’inégalité sera automatiquement vérifiée si :

Σ = ρψ ,E

Imaginons une autre transformation à taux de déformation plastique nul, à température r p r D =0 grad T = 0 V& = 0 ∀k uniforme telle que finalement : k

L’inégalité sera encore vérifiée si :

s = −ψ ,T

En admettant l’existence de ces transformations hypothétiques, on obtient alors comme expression finale de l’inégalité de Clausius - Duhem : r r q ⋅ grad T Σ: D − Ak V&k − ≥0 T p

avec : s = − ψ ,T

Σ = ρψ , E e

ou

Φ≥0

Ak = ρψ ,Vk

La quantité Φ ainsi définie porte le nom de dissipation, elle a les dimensions d’une e

puissance par unité de volume ; Ak est la variable associée à Vk comme Σ l’est à E et − s à T.

444

Les lois de comportement

On peut alors dresser le tableau suivant pour faire une classification des variables : Variables d’état Observables

Variables associées ou variables normales en dualité avec celles de gauche

Internes Σ −s

E T e

Σ

p

Σ Ak

E E Vk

   non indépendantes  

r Dans Φ on trouve des produits de variables forces Σ , Ak , grad T par des variables . r p q & flux E , − Vk , − T . p Σ: E − Ak V&k porte le nom de dissipation intrinsèque r q r − ⋅ grad T porte de nom de dissipation thermique T

Une hypothèse supplémentaire consiste à admettre que ces dissipations sont découplées. Ce formalisme est insuffisant et pour décrire les processus dissipatifs, il faut le compléter en introduisant un potentiel de dissipation. Rappelons avant en quelques lignes, la notion de convexité. Convexité Une fonction F ( x1 , x 2 ,..., x n ) est convexe au voisinage de l’origine O si :

 F ( 0,0,...,0) = 0 (la fonction passe par l' origine) r r  X ⋅ grad F-F > 0 au voisinage de l'origine Ceci peut s’interpréter simplement sur des schémas monodimensionnels. Q

  F  

P

O

x

    xF, x    r  x

O

Fonction F ( x ) convexe (Q est au dessus de P)

445

Cas limite

r x

O Fonction non convexe

r x

Les lois de comportement

Si F est développable au voisinage de l’origine, ceci suppose des propriétés particulières de la matrice des dérivées secondes (le Hessien). F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = F ( 0,0,...,0) + xi F, xi

0

+

1 x F x +... 2 i , xi x j 0 j

A ce stade on postule l’existence d’un potentiel de dissipation ϕ dont la dimension est celle d’une puissance par unité de volume tel que : . Σ = ϕ ,E p

r r grad T = − ϕ ,qr / T

Ak = − ϕ ,V&k

Ce faisant on dit que les lois complémentaires s’expriment par la propriété de normalité ou de dissipation normale. On admet que : - ϕ est nulle à l’origine dans l’espace des variables flux :

r  p q  & ϕ  E ,V k ,  T  

=0 origine

- ϕ est convexe, définie positive (au voisinage de l’origine) En fait, il est plus simple d’exprimer les variables flux en fonction des variables duales r et de postuler l’existence d’un potentiel dual du précédent ϕ * Σ , Ak , grad T tel que :

(

. * E = ϕ ,Σ p

−V&k = ϕ

* , Ak

r q r − = ϕ *, grad T T

)

(loi de normalité).

ϕ * étant nulle à l’origine, convexe, définie positive. On montre (transformation de Legendre Fenchel) que ϕ et ϕ * sont liés par :

r r p q  r   p & q & ϕ = sup  Σ: E − Ak Vk − ⋅ grad T  − ϕ E ,Vk ,     T T . r 3  p  144444244444 q  E ,V&k ,  Φ  T   *

Relation à rapprocher de W ( σ ) = Σ: E − W ( ε ) On définit ainsi la classe des matériaux standards généralisés qui vérifient automatiquement le second principe grâce aux propriétés de convexité données généreusement à ϕ et à ϕ * .

446

Les lois de comportement

Loi de Fourier Adoptons pour le potentiel de dissipation ϕ * associé à la dissipation thermique : ϕ* =

1r r g ⋅C ⋅ g 2

r r avec g = − grad T

C=

K T

K étant le tenseur défini positif des conductivités thermiques. Par dérivation nous avons : r q r − = C⋅g T

soit : r r q = − K grad T

Nous avons bien :

Loi de Fourier

r r q r r r r − g ⋅ = g ⋅ K ⋅ g > 0 ∀g ≠ 0 T

La loi de Fourier est bien vérifiée par l’expérience et l’adoption n’était pas innocente. Hypothèse d’Onsager Si Aα désigne une variable force duale d’une variable flux V&α , Onsager a suggéré qu’une hypothèse raisonnable était de supposer : 1 A C A donc V&α = Cαβ Aβ 2 α αβ β telle que la matrice associée soit symétrique, définie positive. ϕ* =

avec Cαβ

Il semble que cette suggestion soit raisonnable, elle est souvent acceptée mais n’est pas d’une application générale. En résumé Avec l’hypothèse du découplage entre dissipation thermique et intrinsèque, ce qui n’implique pas le découplage des effets, si on adopte la loi de Fourier, l’inégalité de Clausius Duhem qui reste à satisfaire est la suivante : p

Σ: D − Ak V&k ≥ 0 Avant de donner quelques informations sur les milieux élastiques orthotropes, la plasticité et la thermoélasticité nous ferons un chapitre spécial sur les essais classiques et les modèles. La mécanique de la rupture et la viscoélasticité ne seront pas abordées dans le cadre limité de cet ouvrage.

447

Les lois de comportement

Chapitre II

Essais classiques et modèles

Les théories présentées dans le chapitre I permettraient, si on pouvait déterminer expérimentalement les fonctions ϕ et ϕ * d’obtenir les lois de comportement. C’est hélas rarement le cas, on doit plutôt les considérer comme des guides dans la recherche des lois. L’allure des réponses des matériaux à des sollicitations caractéristiques permet de les classer. Des modèles analogiques qui n’ont qu’un but didactique permettent de mieux comprendre ce qui est observé. Dans ce chapitre, après avoir rappelé les méthodes d’essais classiques nous présenterons les modèles analogiques de comportement (ou modèles rhéologiques) selon l’exposé de Lemaitre et Chaboche cités en Bibliographie. II.1. Les méthodes d’essais classiques. Essais monodimensionnels (matériaux isotropes) • Essais en traction (ou compression) r z

F

C’est l’essai le plus simple effectué à l’aide d’une chauffage machine de traction en régime quasi statique sur des éprouvettes normalisées.

S Jauges

Les forces sont mesurées par des dynamomètres, les allongements par des jauges de contraintes ou plus exactement de déformations.

Les déplacements peuvent être mesurés par des extensomètres à jauges de déformations (précision ≈ 1µm ) ou par des extensomètres optiques (précision ≈ 0,2µm ). Souvent F est mesurée indirectement, les déplacements des extrémités étant imposés. Ces essais sont normalisés, on peut faire varier la température mesurée par thermocouples. F On relève finalement la courbe : σ zz (ε zz ) = S On mesure la diminution des dimensions transversales dans le voisinage du milieu de l’éprouvette. Ceci donne accès à une évaluation de E, de ν , de la limite élastique et de la contrainte de rupture. F

A′

F/S σR

ε& ≠ 0

ε& ≈ 0

σE

E

O

Pente E

Dans la zone d’écrouissage il y a plastification. On parle souvent de R durcissement structural (hardening). Ce vocabulaire est curieux car le système est A bien plus raide que si le point figuratif décrivait le trajet EA relatif à un comportement dit de plasticité parfaite mais par rapport au trajet EA ′ élastique, le système se ramollit ; on devrait dire ε zz = ∆ l / l softening !

Zone Zone d’écrouissage élastique 448

Les lois de comportement

• Essais en torsion Γ

Ce sont des essais effectués sur des éprouvettes cylindriques de section circulaire ; ils permettent de déterminer la rigidité à la torsion.

θ( x )

Γ = GJθ , x

x

(matériau isotrope).

Ainsi si E est connu, on en déduit ν les caractéristiques de la section étant connues ( J = I 0 pour une section circulaire).

Γ

• Essais en traction compression, pression interne

Ces essais sont effectués sur des tubes minces dont les extrémités sont fermées.

F

r ez

M

p

r eθ

P

r er e F

p 2  pR mat Σ ( P) =  r r r e ( er ,eθ ,ez )    au milieu de l’épaisseur.

     pR F  + 2e S 

Dans la zone médiane M on obtient des états de contraintes plus complexes sans utilité pratique. En mécanique des sols on effectue des essais analogues mais sur des éprouvettes pleines avec pression extérieure (oedomètres). • Essais de fluage (creep)

On soumet l’éprouvette à un échelon σ limité dans le temps, on relève l’allongement ε( t ) dans la direction de la sollicitation.

σ

ε

t

t

449

Les lois de comportement

• Essais de relaxation On soumet l’éprouvette à un échelon de déformation limité dans le temps, on relève le contrainte associée σ( t ) .

σ

ε

t

t

• Essais alternés

L’éprouvette est soumise à des sollicitations périodiques, elle évolue éventuellement vers un état permanent caractérisé par un cycle.

450

Les lois de comportement

Essais multidimensionnels Les essais dont nous avons parlé sont relatifs implicitement à des matériaux solides homogènes et isotropes la plupart du temps. Les essais peuvent aussi être effectués sur des matériaux non isotropes. Ils le sont sur les matériaux orthotropes dont nous parlerons plus loin mais, excepté si les axes d’orthotropie sont connus, les résultats sont beaucoup plus difficiles à interpréter : il faut que l’éprouvette soit en état isostatique pour que l’état de contrainte puisse être facilement obtenu dans la zone de mesure en ne faisant appel qu’aux théorèmes généraux de la mécanique. Pour les matériaux artificiellement non isotropes, des techniques d’homogénéisation, qu’il est hors de question de développer ici, sont aussi mises en œuvre depuis quelques années.

Essais autres Des essais dynamiques par choc ou des essais utilisant la réponse à des sollicitations harmoniques peuvent conduire par des méthodes spéciales (problème inverse) à caractériser le comportement du matériau en n’oubliant pas que les lois trouvées doivent être indépendantes du volume ou de la taille de l’élément de volume ∆ V considéré.

451

Les lois de comportement

II.2. Les modèles analogiques. Dans la liste des modèles que nous présentons nous avons emprunté la classification et les figures de l’ouvrage de Lemaitre et Chaboche. Modèles guidant la schématisation de milieux déformables Modèles de base

Solide élastique parfait

452

Les lois de comportement

Fluide visqueux

ε& = f ( σ, σ& )

Modèle de Maxwell

Solide viscoélastique

σ = f ( ε , ε& )

Modèle de Kelvin Voigt

Solide rigide parfaitement plastique

σ < σS → ε = 0 σ = σS ε = ε P arbitraire (patin)

Solide élastique parfaitement plastique 453

Les lois de comportement

σ < σS

ε = εl =

σ = σ S sig( ε ) ε =

σ E

σS + εP E

Modèle de de Saint Venant

Solide élastoplastique écrouissable σ < σS σ ≥ σS

σ E ε = ε e + ε p   σ ε = + f ( σ ) E 

ε = εe =

Généralisation du modèle de Saint Venant : Modèle de Masing - Badrakhan

454

Les lois de comportement

Solide parfaitement viscoplastique

σ( ε& )

σ = λε& 1/ N

Modèle de Norton

Solide élastique parfaitement viscoplastique

σ < σS σ ≥ σS

σ E ε = ε e + ε p   σ& ε& = + f ( σ ) E 

ε = εe =

Modèle de Bingham Norton

Solide élastoviscoplastique écrouissable

σ < σS σ ≥ σS

455

σ E ε = ε e + ε p  σ = Eε e = f ε p , ε& p

ε = εe =

(

)

Les lois de comportement

Solide de Kelvin Voigt e

Σ= Σ +Σ

anélastique

(

)

Σ e = λ traceE I + 2µ E  . .  an  Σ = λ  trace E  θ λ I + 2µθ µ E   

isotropie

Ce modèle est un modèle de solide viscoélastique qui revient à faire une hypothèse analogue à l’hypothèse de Basile et à adopter :

(

1   ψ = 2ρ λ traceE  Σ e = ρψ ,E 

)

2

(

)

+ 2µtrace E ⋅ E  

.2    . .   1  ϕ = λθ λ  trace E  + 2µθ µ trace E ⋅ E    2         an . Σ = ϕ , E

Fluide de Maxwell e

E=E +E

. . . e an E=E +E

anélastique

(

)

ν  e 1+ ν  E = E Σ − E trace Σ I  . . .     E = 1 + ν  Σ + Σ  − ν  trace Σ + trace Σ  I τ 1  E  τ 2  E   

isotropie

Ce corps est imaginé en adoptant comme potentiel thermodynamique ψ * dual de ψ :

(

)

2 2 ν 1 1 + ν  * ψ = trace Σ − trace Σ    E 2ρ  E   e *   E = ρψ ,Σ

(

)

2  * 1 1 + ν 2 ν trace Σ − trace Σ  ϕ =  Eτ 2 2  Eτ 1   .  an *  E = ϕ ,Σ

C’est un modèle de fluide viscoélastique puisque la possibilité d’équilibre à contrainte constante non nulle n’existe pas.

456

Les lois de comportement

Solide de Maxwell C’est le modèle précédent complété par une raideur empêchant le déplacement d’ensemble. En monodimensionnel on aurait : σ = σ 0 + σ 1 +...+ σ j σ avec : ε = 0∞ E

ε& = ε& ej + ε& anj  εe  M égalité de la contrainte dans  6 47j4 8  & E σ σ ε& anj = j ε − ε anj ⇐ le ressort et le dash - pot ε& = j + j ηj Ej ηj   dans une branche j   M  n  ∞ an σ = E ε + ∑ η j ε& j j =1 

(

)

Nous arrêterons là notre présentation car le lecteur aura compris que l’on peut inventer des modèles à l’infini et que le vrai problème est celui du choix et une fois qu’il est fait de la méthodologie à mettre en œuvre pour déterminer les coefficients du modèle. Nous ne dirons rien des formulations fonctionnelles associées aux réponses à des essais de fluage et de relaxation, pour plus ample information on pourra se reporter à l’ouvrage de Lemaitre déjà cité.

457

Les lois de comportement

Chapitre III

Les milieux élastiques solides non isotropes

Nous cherchons ici à caractériser le comportement d’un matériau supposé de viscosité négligeable et sollicité de telle manière que la température Θ reste sensiblement constante et les déformations, provisoirement, infinitésimales. Certaines symétries peuvent jouer un rôle sur la structure de la matrice d’élasticité [ D] . Nous étudierons donc des matrices d’élasticité particulières, leurs transformations lors d’un changement de base et la façon de les déterminer. Notons qu’il s’agit soit de matériaux à l’état naturel, soit de matériaux artificiellement construits : composites ou en sandwichs ; les coefficients dont il sera question sont alors homogénéisés et décrivent un comportement moyen.

II.1. Rappel sur les changements de repères en bases orthonormées directes. r e3 r E3

 y1  Y1      + Q  y2  Y2   y  r Y  r  3  ( O ,e )  3  ( O , E ) i

(O, er ) est l’ancien repère r (O, E ) est le nouveau repère i

i

i

r r  x1   X1  r E i = S ji e j permet     E2 + P x  X   2 2 la matrice  x  r  X  r construire  3  ( O ,ei )  3  ( O , Ei ) orthogonale droite : r e2

O r E1

r e1

r e1 r e2 r e3

r E2 S12 S 22 S 32

r E1 S11 S 21 S 31

r E3 S13 S 23 S 33

det S = 1 Sr −1 = S T r ei = S ji E j Il s’agit essentiellement de rappels et nous adoptons un style concis.

r r r r - OP = x j e j = X i E i = X i S ji e j x j = S ji X i

x = SX

X j = ( S −1 ) ji xi X = S −1 x

458

de S

Les lois de comportement

- Si T est un opérateur linéaire identifié à un tenseur T : r r r r OQ = T ( OP) s’écrit : OQ = T ⋅ OP r r r r y j e j = T jk x k e j définit les composantes de T sur e j ⊗ ek : les T jk r r r r Y j E j = T jk* X k E j définit les composantes de T sur E j ⊗ E k : les T jk*

(

r r r r T = Tij ei ⊗ e j = Tkl* E k ⊗ E l

On a :

Donc :

)

ainsi : Yl = ( S −1 ) lj T jk S ki X i

y j = T jk x k = T jk S ki X i = S jl Yl Y = S −1TSX = T * X T * = S −1TS = S T TS

(

)

puisque :

S T = S −1

Et le fait que S T intervienne à gauche s’obtient d’ailleurs immédiatement : r r r r r r T = Tkl* E k ⊗ E l = Tij ei ⊗ e j = Tij Sik E k ⊗ S jl E l ⇒ Tkl * = Sik Tij S jl

On retiendra :

T * = S T TS T = ST S *

(S T

T

= S −1 )

- Expression des termes des tenseurs E , Σ et D dans un changement de bases orthonormées (directes). Notations tensorielles E

Σ

D

Notations matricielles

r Ancienne base (ei ) de E 3

r Nouvelle base ( E i ) de E 3

Σ ij

Dijkl

E lk = ε lk

Σ *mn

{ σ}

[ D]

{ ε}

{ σ} * [ D] *

* * Σ *mn = Dmnpq Σ ij = Dijkl E lk  E qp  ⇐ Σ = D: E ⇒  * * * { σ} = [ D]{ ε}  { σ} = [ D] { ε}

{ σ} = [W ( σ ) ]{ σ} *

Σ ij = Sim Σ *mn S jn ⇔ Σ = SΣ * S T Σ *mn = Sim Σ ij S jn ⇔ Σ * = S T ΣS

{ σ} * = [T ( σ) ]{ σ}

E lk = S lr E rs* S ks ⇔ E = SE * S T

{ ε} = [W ( ε) ]{ ε} * { ε} * = [T ( ε) ]{ ε} −1 avec : [T ( σ ) ] = [W ( σ ) ] [T ( ε) ] = [W ( ε) ]−1

E rs* = S lr E lk S ks ⇔ E * = S T ES * Dijkl = Dmnpq Sim S jn S kp S lq * Dmnpq = Dijsl Sim S jn S kp S lq

459

* * Dmnpq E qp

{ ε} *

Les lois de comportement

Le calcul effectué est relatif à T ( σ ) ; on obtient :

 S112  2 2  S12  S132 3 T ( σ) =  12  S11 S12  23 S12 S13  31   S13 S11

S 212 S 222 S 232 S 21 S 22 S 22 S 23 S 23 S 21

1

[T ( σ) ] −1

S 312 S 322 S 332 S 31 S 32 S 32 S 33 S 33 S 31

2 S11 S 21 2 S12 S 22 2 S13 S 23 S11 S 22 + S 21 S12 S12 S 23 + S 22 S13 S13 S 21 + S 23 S11

2 S 21 S 31 2 S 22 S 32 2 S 23 S 33 S 21 S 32 + S 31 S 22 S 22 S 33 + S 32 S 23 S 23 S 31 + S 33 S 21

 2 S 31 S11  2 S 32 S12   def  A 2 B  2 S 33 S13  =  S11 S 32 + S 31 S12  C D  S12 S 33 + S 32 S13   S13 S 31 + S 33 S11 

s’obtient simplement en changeant Sij en S ji (S est une matrice orthogonale de

rotation et l’opération inverse d’une rotation est une rotation en sens inverse). Par contre pour obtenir T ( ε ) il faut remarquer que l’on a posé γ ij = 2 ε ij i≠ j

Si nous désignons par { ε} réel le vecteur constitué des composantes du tenseur E de matrice E et par { ε} N le vecteur nouveau constitué des termes ε ii et γ ij nous avons :

{ ε} *réel = [T ( σ ) ]{ ε} réel { ε} *N = [ ψ ]{ ε} *réel 

{ ε} N

{ ε} réel se transforme comme { σ}

 I 33  avec [ ψ ] =  = [ ψ ]{ ε} réel  0

0  2 I 33 

* Donc : { ε} N = [ ψ ][T ( σ ) ][ψ ] { ε} N −1

et

[T ( ε) ] = [ψ ][T ( σ) ][ψ ]

−1

 A 2 B T ( σ) =   C D 

Finalement si l’on écrit :

avec T ( ε ) = T ( σ) T

−1

on a

A T ( ε) =  2 C

B D

compte tenu des relations entre T ( σ ) et T ( σ) . −1

* Il est maintenant possible de calculer une matrice d’élasticité [ D] quand on connaît la matrice D dans une base particulière :

{ σ} = [ D]{ ε} ⇒ [T ( σ ) ]{ σ} = { σ} * = [T ( σ) ][ D][W ( ε) ]{ ε} * avec [T ( σ ) ] = [T ( ε ) ]

−T

= [W ( ε ) ]

T

{ σ} * = [W ( ε ) ]T [ D][W ( ε ) ]{ ε} * = [ D] * { ε} * que le milieu soit hyperélastique ou non.

460

Les lois de comportement

Pour les milieux hyperélastiques : T *T * *T * * * * 2Wd = { σ} { ε} = { ε} [ D] { ε} = { ε} [T ( ε ) ] [ D] [T ( ε ) ]{ ε} ⇒ [ D] = [T ( ε ) ] [ D] [T ( ε ) ] T

T T *T * 2Wd = { σ} { ε} = { ε} [ D]{ ε} = { ε} [W ( ε ) ] [ D][W ( ε ) ]{ ε} ⇒ T

T

[ D] * = [W ( ε ) ]T [ D][W ( ε ) ]

Le passage d’une ligne à l’autre étant évident puisque [T ( ε ) ] = [W ( ε ) ] . On notera que les résultats sont de la même forme que lorsque le milieu est seulement élastique. −1

Nous allons maintenant donner la structure des matrices [ D] pour des matériaux présentant des symétries particulières tels que l’on en rencontre naturellement ou par fabrication spéciale (matériaux composites). A chaque fois nous écrirons [ D] en utilisant les axes par rapport auxquels ces symétries existent étant entendu que la détermination de la * matrice [ D] en utilisant un autre trièdre de projection ne pose aucun problème, compte tenu des calculs précédents. Remarque : Les relations entre les matrices de souplesse sont analogues :

{ ε} * = [T ( ε) ]{ ε} = [T ( σ ) ] − T { ε} = [T ( σ) ]− T [ C]{ σ} *T * *T * 2Wd = { σ} { ε} = { σ} [T ( σ ) ] [ C ][T ( σ ) ] { σ} −T

−1

[ C ] * = [T ( σ ) ]− T [ C ][T ( σ) ] −1 II.2. Matrices d’élasticité particulières. - Cas d’un milieu élastique présentant une symétrie par rapport à un plan r r r e3 Supposons que ce soit le plan (e1 , e2 ) alors les Dij

σ 33

x3 r e1

− x3 * σ 13

r e1′

σ 13

r e2

σ 23 rΠ e2′

σ *23 σ *33 r r e3′ = E 3

doivent être invariants pour un changement de base caractérisé par la matrice de passage S.

1    S= 1   − 1

(réflexion)

S est orthogonale gauche ici S T = S −1 (mais det S = −1 ). Alors on a T ( σ ) = T ( ε ) soit : 1   1      1 T ( σ) =   1     −1   − 1 

461

Les lois de comportement

Donc :

* σ 13 = − σ 13

σ *23 = − σ 23

* γ 13 = − γ 13

γ *23 = − γ 23 12

    Si [ D] =     

23

31

− −     − −    { σ} = [ D]{ ε}   − − *  alors [ D] =   avec : − − { σ} * = [ D] * { ε} *    − − − −      − − − − 

D(1)

* où, conventionnellement, le signe moins : « - » indique que les termes de [ D] sont les mêmes que ceux de [ D] au signe près, donc sont nuls.

Ainsi le matériau est caractérisé par 20 hyperélastique.  D11 D12 D13 D D22 D23  21 D D32 D33 [ D] =  31  D41 D42 D43   

coefficients élastiques et 13 dans le cas D14 D24 D34 D44 D55 D65

      D56   D66 

- Cas d’un matériau présentant une symétrie élastique par rapport à deux plans, donc par rapport à trois (orthotropie). r e3 σ 31

Supposons que le matériau possède une symétrie élastique r r r r par rapport au plan (e2 , e3 ) et par rapport au plan (e1 , e2 ) .

σ 21

r e2

σ 11

r e1

Les Dij doivent être invariants par un changement de base caractérisé par S

r e3 σ *31 σ * 11 σ *21

r r e1′ = E1

r e2

− 1    S= 1   1

Alors T ( σ ) = T ( ε ) , soit :

462

1   1      1 T ( σ) =   −1     1   − 1 

Les lois de comportement

Donc :

σ *21 = − σ 21

σ *31 = − σ 31

γ *21 = − γ 21

γ *31 = − γ 31

r r * Par la symétrie par rapport au plan (e2 , e3 ) , [ D] admet la structure suivante :     [ D] * =  −   −

−

− − −  − −  − −  − −  − − 

D(1) − −

où les termes notés « - » sont nuls.

* Alors, compte tenu des deux symétries, [ D] a la structure suivante qui est aussi celle de [ D] :

    [ D] * =     

D(1) D44 D55

        D66 

Le matériau est caractérisé par 12 constantes élastiques et 9 dans le cas hyperélastique. - Cas d’un matériau orthotrope et isotrope dans un plan, hyperélastique r e3

Supposons que le matériau ait les directions d’orthotropie r r r r r e1 , e2 , e3 et qu’il soit en plus isotrope dans le plan (e1 , e2 ) , on parle d’isotropie transverse. r E2 r e2

r e1 45°

r E1

Si le matériau est hyperélastique, sa matrice d’élasticité dépend au plus de neuf constantes :

 D11 D  21 D [ D] =  31    

D12

D13

D22

D23

D32

D33 D44 D55

463

    T  = [ D]    D66 

Les lois de comportement

r r Si le matériau est isotrope dans le plan (e1 , e2 ) ou peut être considéré r approximativement comme tel (par exemple un matériau avec des fibres selon e3 , noyées dans un milieu homogène, les fibres étant régulièrement réparties) alors [ D] doit être invariant r dans une rotation quelconque autour de e3 , par exemple de 45° pour simplifier.

[ D] = [ T ( ε ) ] T [ D] * [ T ( ε ) ] r r * où [ D] est la matrice dans la base {ei } , [ D] celle dans la base { E i } et où [T ( ε ) ] est calculé à partir de la matrice de passage S. r e1 r e2 r e3

   S =    

 S112  2  S12  0 T ( ε) =  2 S11 S12  0   0

r E2 S12 S 22 S 32

r E1 S11 S 21 S 31

2 2 2 2 0

S 212 S 222 0 2 S 21 S 22 0 0

−

2 2 2 2 0

r E3 S13 S 23 S 33

 0  0 1  

0 S11 S 21 0 S12 S 22 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 S 22 S 33 S 33 S 21

0   0  0   0  S12 S 33   S 33 S11 

* En écrivant que [ D] = [ D] on obtient après quelques calculs simples pour l’identification :

 D11 D  12  D13 [ D] =     

D12

D13

D22

D13

D13

D33

D11 − D12 2 D55

        D55 

Le matériau est caractérisé par 5 constantes d’élasticité.

464

Les lois de comportement

- Cas d’un matériau isotrope Ce matériau est nécessairement hyperélastique et les coefficients de [ D] sont indépendants de l’orientation des axes ainsi : D11 = D33

D12 = D13

D55 =

D11 − D12 2

Il ne reste que deux coefficients : D11 et D12

 D11 D  12  D12  [ D] =       

D12

D12

D11

D12

D12

D11

D11 − D12 2

D11 − D12 2

         D11 − D12   2 

Ce résultat peut aussi être obtenu par les raisonnements suivants : - Plaçons nous dans les axes principaux de E Si [ D] a la structure d’un matériau orthotrope, isotrope :

 D11 D  12 D [ D] =  12    

D12

D12

D11

D12

D12

D11 D44 D44

        D44 

A priori [ D] dépends de 3 coefficients σ ii = ( D11 − D12 )

ε

ii sans sommation

+ D12 (ε 11 + ε 22 + ε 33 )

i = 1, 2, 3

σ ij = 0 i≠ j

Les axes principaux du tenseur des contraintes coïncident avec ceux du tenseur des déformations et la relation s’écrit :

(

)

Σ = λ traceE I + 2µ E

avec : λ = D12

D11 − D12 = 2µ

Cette relation indépendante des axes implique

465

D44 = µ

Les lois de comportement

- Raisonnons à partir des quadriques associées aux tenseurs Dans les axes principaux, les équations de ces quadriques s’écrivent : σ i X = ±1 (Q1 ) en désignant par σ i et ε i les contraintes et les déformations principales. ε i X i2 = ±1 (Q2 ) 2 i

Posons : D11 = λ + 2µ

D12 = λ

D44 = γ

L’équation de (Q1 ) , dans les axes principaux, compte tenu des expressions des contraintes normales s’écrit :

(

)

λ traceE X i2 + 2µε i X i2 = ±1 et dans des axes quelconques :

σ 11 x12 +...2σ 12 x1 x 2 = ±1

(

)

soit :

λ traceE + 2µε 11 x12 +...+2 γ ( γ 12 x1 x 2 +...) = ±1 λ traceE ( x12 + x 22 + x 32 ) + 2µ(ε 11 x12 + ε 22 x 22 + ε 33 x 32 ) + 2 γ ( γ 12 x1 x 2 +...) = ±1 ou

λ traceE X i2 + 2µ(ε 11 x12 +...+ γ 12 x1 x 2 +...) = ±1

la quadrique (Q2 ) écrite sur des axes quelconques.

en utilisant la première équation de

Par identification des deux dernières expression on voit que µ = γ . Remarque : Pour un matériau orthotrope si les axes principaux du tenseur des déformations, en un point P, sont ceux des directions d’orthotropie alors, en P, ce sont celles du tenseur des contraintes. Ce cas est exceptionnel et excepté pour les matériaux isotropes les directions principales de E et Σ ne sont pas les mêmes.

III.3. Détermination des constantes des matrices d’élasticité. Sous réserve que le matériau possède une énergie de déformation, les matrices d’élasticité symétriques possèdent au plus 21 coefficients indépendants à déterminer à partir de théories physiques ou de résultats expérimentaux nécessitant des essais indépendants à préciser. Nous ne parlerons que des essais relatifs aux matériaux orthotropes pour lesquels certains coefficients ont des noms particuliers. Dans les axes principaux, supposés connus, la matrice d’élasticité dépends de neuf coefficients et a la structure suivante :

466

Les lois de comportement

 D11 D  21 D [ D] =  31    

D12

D13

D22

D23

D32

D33 D44 D55

     avec : { σ} = [ D]{ ε}    D66 

En fait c’est son inverse [ C ] que l’on détermine en appliquant des efforts donnant lieu à des champs de contraintes particuliers et en mesurant les déformations associées. [ C ] a la même structure que [ D] .

D −1

C11 C  21 C31 =C=    

C12

C13

C22

C23

C32

C33 C44 C55

        C66 

Essais de traction simple r On exerce une traction simple selon l’axe e1 telle que :

σ 11  Σ= 0  0

0 0  0 0 0 0

soit :

{ σ} T = {σ 11 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0}

La matrice de déformation est : ε 11    E= ε 22  , de vecteur associé  ε 33  avec ε 11 = u1,1

ε 22 = u2 ,2

{ ε} T = {ε 11 , ε 22 , ε 33 ,0,0,0}

ε 33 = u3,3

Comme { ε} = [ C ]{ σ} on en déduit la première colonne de [ C ] et c’est ici que sont définis les modules d’Young et coefficients de Poisson. C11 =

de [ C ]

ε 11 def 1 = σ 11 E1

C21 = − ν 21

ε 11 def ν 21 =− σ 11 E1

def

C31 = − ν 31

ε 11 ν 31 =− σ 11 E1

r De même en exerçant selon e2 une traction simple on détermine la deuxième colonne

467

Les lois de comportement

0 0  Σ = 0 σ 22 0 0

0  0 0 def

def

ε 11 = − ν12 ε 22 ε 22 = ε 22 ν 1 C12 = − 12 C22 = E2 E2

ε 33 = − ν 32 ε 22 ν C32 = − 32 E2

On effectue des essais analogues, pour déterminer la troisième colonne. Finalement, le haut de la matrice [ C ] s’écrit :

Chaut

 1   E1  ν 21 = − E  ν1 − 31  E1

ν12 E2 1 E2 ν 32 − E2 −

ν 31   E3  ν 32  − E3  1   E 3  −

avec :

ν ij

Ej

=

ν ji

Ei

(Attention : certains auteurs utilisent des conventions différentes et nomment ν ji ce que nous notons ν ij ). Les ν ij sont les coefficients de Poisson (sans dimension), les E j sont les modules d’Young (en Pascal). Les essais, normalisés, sont effectués sur des éprouvettes cylindriques avec une machine de traction. Essai de cisaillement simple r e2

1

σ 12

u1,2 σ 21 r e1

Théoriquement un essai de cisaillement simple selon r r r e1 conduit à un champ de déplacement u = u1e1 donc à un 0 u1,2  tenseur gradient h tel que h = 0 0 0 0

  0 u 1, 2 E=  2  0  

La matrice des déformations E étant :

468

u1,2

2 0 0

 0  0  0  

0  0 0

Les lois de comportement

{

}

T T Ainsi comme { σ} = {0 , 0 , 0 , σ 12 ,0 , 0} et comme { ε} = 0 , 0 , 0 , u1,2 , 0 , 0

C44 =

u1,2

def

σ 12

=

1 G12

On pourrait déterminer ainsi la quatrième colonne de [ C ] dûe à un glissement relatif et par des essais analogues : def 1 def 1 Les Gij étant les modules de glissement. C55 = C66 = G23 G31 Les mesures sont pratiquement impossibles à effectuer, les machines de cisaillement ou dispositifs considérés comme tels ne réalisant qu’imparfaitement un état de cisaillement simple (uniforme). On effectue alors des essais de torsion qui font intervenir les coefficients Gij deux par *

deux . Finalement la matrice d’élasticité [ D] s’obtient par inversion :  1 − ν 32 ν 23 ν12 + ν13 ν 32 ν13 + ν12 ν 23     E2 E3 E2 E3    E2 E3 ν 23 + ν 21 ν13  1 − ν13 ν 31  1   det C   E 3 E1 E 3 E1 haut   1 − ν12 ν 21  [ D] =   sym   E1 E 2    G12  [ 0]    avec : det Chaut =

[ 0]

G23

1 (1 − ν 23 ν 32 − ν 21 ν12 − ν 31 ν13 − ν 21 ν13 ν 32 − ν 31 ν12 ν 23 ) E1 E 2 E 3

r r Un cas particulier : le plan (e1 , e2 ) est un plan d’isotropie transverse  D11 D  12  D13 [ D] =     

           G31 

D12

D13

D11

D13

D13

D33

D11 − D12 2 D55

    =    D55 

 Dhaut  

 Dbas 

____________________________ AIAA Journal vol. 30 number 9 September 1992 pp 2355 - 2357 Torsional stiffness for circular orthotropic beams S. Dubigeon *

469

Les lois de comportement

[

det Dhaut = ( D11 − D12 ) D33 ( D11 + D12 ) − 2 D132  1  E  1 − ν12  E1  ν  − 13 [ C] =  E 3        

ν12 E1 1 E1 ν − 13 E3

−

ν13 E3 ν − 13 E3 1 E3 −

1 G12 1 G

]

       C  =  haut       1  G

 Cbas 

2  1 + ν12  1 − ν12 ν13   det Chaut = −2 E 3 E 1  E1 E3  Les matrices inverses peuvent être calculées puis comparées

[ D] −1

[ C ] −1

  1   det Dhaut   =      

    1   det Chaut =       

 D11 D33 − D132    sym 

D132 − D12 D33 D11 D33 − D132

D13 ( D12 − D11 )

  D13 ( D12 − D11 )  ( D11 − D12 )( D11 + D12 ) 2 D11 − D12 1 D55

2  1  1 ν13   −    E 3  E1 E 3      sym  

2  1  ν12 ν13   + E 3  E1 E 3  2  1  1 ν13   − E 3  E1 E 3 

 ν13 1 + ν12 ) ( E1 E 3   ν13 1 + ν12 ) ( E1 E 3  1  2 2 (1 − ν 12 )  E1  G12

           G  G 

−1 Par identification des termes de [ D] avec ceux de [ C ] on obtient les E i , Gij , ν ij en

fonction des Dkl .

470

          1   D55 

Les lois de comportement

[

]

 ( D − D12 ) D33 ( D11 + D12 ) − 2 D132 ν13 D13 D13  E1 = 11 = ⇒ ν13 = 2 2 E3 D11 + D12 D11 D33 − D13  D33 ( D11 + D12 ) − 2 D13   2 D132 ν12 D12 D33 − D132 D312 − D12 D33 ν E = D − = ⇒ =  3 33 12 D11 + D12 E1 ( D11 − D12 ) D33 ( D11 + D12 ) − 2 D132 D312 − D11 D33   D11 − D12 G = D G12 = 55  2 

[

]

[

]

−1 Par identification des termes de [ C ] avec ceux de [ D] on obtient les Dkl en fonction des E i , Gij , ν ij

D11 = D22 =

 E1  2  E 1  1 − ν13 E3   

(1 + ν )1 − ν 12

D12 =

 E1  2  E1  ν12 − ν13 E3   

(1 + ν )1 − ν 12

D13 =

D33 =

2 − 2 ν13

12

12

2 − 2 ν13

ν13 E1  E1  2  1 − ν12 − 2 ν13  E3  

(1 − ν ) E 12

3

 E1  2  1 − ν12 − 2 ν13  E3  

=

=

=

E1   E3 

(1 − ν

E1   E3 

=

E1 (1 − ν13 ν 31 )

(1 + ν )(1 − ν 12

12

− 2 ν13 ν 31 )

E1 ( ν12 − ν13 ν 31 )

(1 + ν )(1 − ν 12

12

− 2 ν13 ν 31 )

E1 ν13 12

− 2 ν13 ν 31 )

E 3 (1 − ν12 )

(1 − ν

12

− 2 ν13 ν 31 )

D55 = G D44 =

D11 − D12 E1 = = G12 2 2(1 + ν12 )

Il intervient une autre caractéristique élastique : le module de compressibilité transversale K12 qui peut être déterminé expérimentalement et est associé à un état de chargement tel que : r e2 σ 11 = σ 22 = − p , tous les autres termes de Σ étant nuls.

Dans ce cas on a :

− p    − p  =  0   

 D11   D12  D13

D12 D11 D13

471

D13   ε 11    D13  ε 22  D33  ε 33 

r e1

Les lois de comportement

La dernière ligne fournit ε 33 : D13 ε 33 = − (ε + ε 22 ) D33 11 La somme

des

deux premières implique : 2  2 D13  − 2 p = ( D11 + D12 )(ε 11 + ε 22 ) + 2 D13 ε 33 =  D11 + D12 − ( ε + ε 22 ) D33  11  On pose : r r p = − K12 (ε 11 + ε 22 ) = − K12 div 2 u où div 2 u est la dilatation carrée, mesurée.. D’où :

K12 =

2 D132  1  D11 + D12 −  D33  2

1 ( D + D12 ) = K12 (ε 33 = 0) est le coefficient de compressibilité transversal à allongement 2 11 r r selon e3 nul mais avec σ 33 = D13 div 2 u

où

Enfin le dernier cas auquel nous nous intéresserons est encore celui du matériau isotrope. Le cas particulier du matériau isotrope Les derniers résultats peuvent être directement utilisés avec : E1 = E 3 = E ν12 = ν13 = ν G12 = G et D11 = D33 D12 = D13 D44 = D55 en notant que (1 − ν − 2 ν 2 ) = (1 + ν)(1 − 2 ν) On obtient immédiatement : E (1 − ν) νE E D11 = D12 = D44 = G = (1 + ν)(1 − 2 ν) (1 + ν)(1 − 2 ν) 2(1 + ν) En posant D12 = λ et D44 = µ on introduit les coefficients de Lamé ayant les dimensions d’une pression (d’une contrainte).

(

D11 s’identifie à λ + 2µ et on obtient visiblement (on reconnaît !)

)

Σ = λ traceE I + 2µ E

σ ij = λε kk δ ij + 2µε ij

Loi de Hooke

Ce résultat trouvé par Cauchy, Poisson, Green et Kelvin entre 1827 et 1857 est r r r évidemment indépendant de la direction des axes (e1 , e2 , e3 ) comme nous l’avons déjà dit. On trouvera dans l’annexe un récapitulatif des relations pour un milieu isotrope transverse et quelques données numériques.

472

Les lois de comportement

III.4. Le cas des déformations non infiniment petites.

Nous avons vu que, pour les matériaux isotropes, les composantes du tenseur des contraintes de Kirchhoff Σ K s’identifiaient aux dérivées de la densité d’énergie de déformation par rapport aux termes du tenseur de Green-Lagrange E GL σ K JI = W, E IJ

(Cf. Lois de comportement, premières notions)

Ceci avait conduit à la loi de Hooke en prenant seulement les termes quadratiques dans l’énergie de déformation, la contribution du troisième invariant de E , I 3 n’étant pas prise en compte. Les coefficients d’élasticité sont mesurés en petites déformations où Σ K ≈ Σ C et E = E GL linéarisé et ce sont ces coefficients qui sont utilisés lorsqu’on étudie un problème où les déformations ne peuvent plus être considérées comme infiniment petites. On écrit encore :

{ σ} = [ D]{ ε} Mais les composantes de { σ} sont associées à la matrice du tenseur Σ K , intermédiaire de calcul et celles de { ε} à la matrice du tenseur de E .

Ce modèle de loi de comportement a fourni pour les milieux isotropes, autrefois, des résultats cohérents avec les observations expérimentales et a permis, par exemple, d’expliquer et de quantifier des phénomènes d’instabilité comme le flambement, le déversement, etc. pour évidemment les éviter.

Lorsque le milieu n’est pas isotrope, la démarche acceptée actuellement est la même et l’utilisation de la méthode des éléments finis (variation des déplacements) ne pose pas de problème particulier ; la prise en compte de termes du troisième degré dans l’énergie de déformation n’est pas justifiée car le phénomène de plasticité entre en jeu avant que les déformations ne deviennent vraiment importantes.

473

Les lois de comportement

Annexe Relations contraintes déformations pour un milieu orthotrope possédant une isotropie transversale dans le cas de déformations isothermes. Milieu tridimensionnel r r Isotropie dans le plan (e1 , e2 )

3

 D11 D12  2 D11   { σ} =      sym

1

D13 D13 D33

D11 − D12 2 D55

    { ε}    D55 

ν ν  1  − 12 − 13 E  E1 E3   1 ν13 1   −   E1 E3   1   E3 { σ} { ε} =    2(1 + ν12 )   E1     1   G  1  sym   G D11 − D12 E1 D11 + D12 D132 G = D55 = = G12 K12 = − 2 2 D33 2(1 + ν12 ) module de compressibilité transversale à σ 33 = 0  D132 ( D11 − 2 D12 ) + D122 D33  D11 + D132 − D11 D33   E1 =  ou bien ( D − D ) D ( D + D ) − 2 D2 12 33 11 12 13  11 2  D11 D33 − D13

[

E 3 = D33 −

]

       

ν 12

2 D132 D11 + D12

D132 − D12 D33 = 2 D13 − D11 D33

ν 13 =

474

D13 D11 + D12

ν 31 =

D13 ( D11 − D12 ) D11 D33 − D132

Les lois de comportement

D11 = D22 =

D13 =

 E1  2  E1  1 − ν13 E3    E  (1 + ν12 )1 − ν12 − 2 ν132 E 1  3 ν13 E1

D12 =



(1 + ν )1 − ν 12

D33 =

 E1  2  1 − ν12 − 2 ν13  E3  

 E1  2  E1  ν12 + ν13 E3  

(1 − ν

12

12

2 − 2 ν 13

E3 )

E1   E3 

 E1  2  1 − ν12 − 2 ν13  E3  

Milieu bidimensionnel

Contraintes planes 3

2

σ 33 = 0

 1  ε 11    1  ε 22  = − ν12  γ  E1   12    σ 11  E1   σ 22  = 2 σ  1 − ν12  12 

1

  1   ν12  

− ν12 1

ν12 1

  σ 11     σ 22  2(1 + ν12 ) σ 12 

ε 33

ε 33 = 0 ν = − 13 (σ 11 + σ 22 ) E3

   ε 11     ε 22  1 − ν12  γ   12  2 

Déformations planes ε 33 = 0 3

E1  2 1 − ν13 E 3  ε 11     1  sym ε 22  =  γ  E1    12  0  

2 1

1 2 1 − ν12 − 2 ν13

E1 E3

2 1 − ν13

E1 E3

E1 E3

0

σ 33 = ν13 (σ 11 + σ 22 )

ε 33 = 0

avec α =

2 − ν12 − ν13

    σ 11   σ  0   22   σ 2(1 + ν12 )  12   0

  E1  E1  2 2  α  ν 12 + ν 13 α  1 − ν13 E3  E3      σ 11   E1  E1    2  1 − ν 13 α sym σ 22  =  E3   σ  1 + ν12   12   0 0  

475

 0  ε    11  0  ε 22    1  γ 12  2 

Les lois de comportement

Contraintes planes σ 22 = 0 2

 1   ε 11   E1    ν13 ε 33  = − γ   E 3  13    0 

1

3

−

ν13 E3 1 E3

 0  σ 11    0  σ 33    1  σ 13   G

0

E E  1 ν13 1 σ 11  E3  E3 E3    σ = sym 1  33  σ  1 − ν 2 E 1  13  13  E3  0 0 

Déformations planes (ε 22 = 0) 2

1

3

1 − ν 2 12   E1   ε 11      ε 33  = sym γ    13    0   

−

(1 + ν )ν 12

E3 2 1 − ν13

E3 0

ε 22 = 0

E1 E3

13

ε 22

σ 22 = 0 σ 11 σ 33 = − ν 12 − ν 13 E1 E3

 ε  0   11   ε 33  0  E1  G  γ 13  2   1 − ν13  E 3  E 3  

 0    σ 11    0  σ 33    1  σ 13   G  

σ 22 = ν12 σ 11 + ν 13

E1 σ E 3 33

 E1   E1  E1 2  1 − ν  ν 1 + ν 0  ( )   13 12 σ 11  E3  E 3  E 3 13    ε 11    1 2  ε 33  sym 1 − ν 12 0 σ 33  =   σ  ∆   E 1   γ 13  G 2  13     0 0 1 + ν 1 − ν − 2 ν ( 12 ) 12 13 E    E3 3  E3 1 Avec : = ∆  E  (1 + ν12 )1 − ν12 − 2 ν132 E 1  3 Milieu monodimensionnel (état antiplan) σ 33    σ 13  = σ   23 

1

3

ε 11 = ε 22

E3   

  ε 33    G   γ 13  G  γ 23  σ 33 = − ν13 E3

2 476

Les lois de comportement

Données numériques

Matériau

Alliage d’aluminium AU4G

Alliage de titane Ti4Al4Mn

Acier XC 10 Fonte grise Acier inoxydable A 316 Aluminium (A5) Bronze Plexiglass Araldite Caoutchouc Composite unidirectionnel verre-epoxy (sens long.) Composite unidirectionnel carbone-epoxy (sens long.) Béton Granit Bois pin sylvestre sens des fibres  sens transversal

Température °C 20 200 500 20 200 315 20 200 600 20 20 200 700 20 180 20 20 20 20 20

Module d’Young MPa 72 000 66 000 50 000 115 000 103 400 95 000 216 000 205 000 170 000 100 000 196 000 170 000 131 000 68 000 61 000 130 000 2 900 3 000 2 19 000

20

87 600

20 20

30 000 60 000

0.2 0.27

20 20

17 000 1 000

0.45 0.79

Pour les métaux et les alliages

TKelvin <

477

TK ( fusion ) 3

Coefficient de Poisson 0.32 0.325 0.35 0.34

0.29 0.30 0.315 0.29 0.3

0.33 0.34 0.4 0.4 0.5

Les lois de comportement

Chapitre IV

Elastoplasticité

Ce chapitre présente les modélisations en général proposées pour décrire les phénomènes de plasticité dans les solides. Ces modélisations supposent les relations contraintes déformations indépendantes des vitesses de déformation (si ce n’est de leur signe) et la température inférieure au tiers de la température absolue K 0 de fusion (à titre indicatif). Nous commencerons d’abord par rappeler les résultats d’expérience mettant en évidence le phénomène et nous introduirons la fonction seuil et les critères classiques. La formulation des lois de la plasticité sera précisée sur quelques exemples puis nous terminerons par la présentation de méthodes incrémentales. La plasticité est présentée parfois en introduisant des pseudo vitesses de r déformation, c’est à dire en considérant qu’entre t et t + ∆ t si la charge s’est accrue de ∆ F , la contrainte de ∆Σ , la déformation de ∆ E la vitesse de déformation est : . ∆E lim =E=D t →0 ∆ t

En régime statique (ou quasi statique plus précisément), on néglige les quantités d’accélération puisque le chargement est effectué infiniment lentement, le temps est alors un temps fictif. En régime dynamique les vitesses de déformation sont les vitesses de déformation effectives. Ici nous introduirons un scalaire λ& auquel, en écriture incrémentale, après multiplication par ∆ t , on pourra facilement associer ∆ λ . A une relation où intervient une puissance, on pourra faire correspondre une relation où intervient un travail. En fait, tant que l’on reste dans le domaine supposé des petites déformations aucun problème sérieux ne se pose.

478

Les lois de comportement

IV.1. Résultats expérimentaux. - Chargement monotone d’une éprouvette en traction Si l’on exerce lentement un effort longitudinal sur une éprouvette cylindrique d’un

(

matériau isotrope, on sait que la relation contrainte normale - allongement unitaire u, x = ε xx

)

a l’allure suivante :

σ σS σY

Q

(

σ ultime σ rupture

E F

ε élastique

G

)

H

ε( Q ) = ε e + ε p

ε plastique

ε

σ S est la limite actuelle (en Q) de plasticité et σ Y est la plus petite valeur du seuil de plasticité (ou limite élastique en traction).

Des travaux relatifs à la théorie des dislocations montrent que la courbe ε p peut être raisonnablement lissée par : σ S = σ Y + KY ε

1 MY p

ou

σ S − σY εp = KY

MY

où la notation x signifie : partie positive de x.

{

La meilleure droite lissant les points expérimentaux dans le graphe bilogarithmique

log e σ S − σ Y , ε p

} fournit les constantes K

log(σ S − σ Y ) = log KY +

Y

et M Y caractéristiques du matériau.

1 log ε p MY

Si la déformation élastique est négligeable, en supposant la limite élastique nulle, on a la relation approchée : M

 σ ε = ε p =   signe( σ )  K La courbe présente parfois un palier pour certains matériaux comme l’acier (trajet OEFGH).

479

Les lois de comportement

Enfin si l’éprouvette est soumise à une torsion selon son axe on obtient une allure analogue pour la relation entre le cisaillement et le glissement en un point d’une section droite. Fonction seuil Avec un tube mince soumis à des efforts de traction et de torsion on peut expérimentalement mettre en évidence dans le plan {σ 11 , σ 12 } un domaine fermé tel que, pour tout point à l’intérieur on ait un comportement élastique, la frontière du domaine constituant la fonction seuil f. σ 12 MPa10 -1 f 10 -5 20

σ 11 MPa10 -1

Allure d’une fonction seuil pour un aluminium. IV.2. Fonctions seuils - critère de plasticité. La généralisation de la notion de fonction seuil évoquée ci dessus conduit à la notion de critère de plasticité. Pour la compréhension de ce qui suit, il est nécessaire de rappeler certaines définitions, d’introduire certaines notations et le lecteur est prié de lire d’abord l’annexe du chapitre où ces précisions sont données et où il fera connaissance avec un certain plan Π et avec J 2 IV.2.1. Critères isotropes. Considérons un matériau isotrope chargé dans le domaine élastique et augmentons progressivement la charge. A un certain stade de chargement, en un point du milieu, le matériau commencera à se plastifier si une relation entre les composantes du tenseur des contraintes est vérifiée. Le seuil de plasticité est atteint et ce seuil ne dépend que des contraintes principales pour un corps isotrope comme les σ i jouent le même rôle. Cette r r r fonction seuil est représentable dans le repère principal (O; E1 , E 2 , E 3 ) par une surface à trois

plans de symétrie (σ 1 = σ 2 ; σ 1 = σ 3 ; σ 2 = σ 3 ) d’axe ∆ donc dont la trace dans ( Π) a l’allure suivante : r E 3′ Plan ( Π) + M′

r E1′

Trace de la fonction seuil f (ou yield surface) dans le plan ( Π) r E 2′ 480

Les lois de comportement

Pour les matériaux très plastiques l’expérience a montré que la fonction seuil f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) ne dépends que du déviateur des contraintes (image M ′ ) donc est indépendant de la trace de Σ . La surface seuil est dans ce cas un cylindre de génératrice parallèles à ∆ . Pour un métal recuit la valeur du cisaillement critique dans une direction donnée est indépendante du sens de ce cisaillement. Un changement de signe du déviateur, changeant le signe des cisaillements n’affecte donc pas la valeur numérique de f dont la trace dans ( Π) est symétrique par rapport à l’origine ; c’est la loi de Schmid. Les critères isotropes correspondent à des états d’écrouissages isotropes. L’équation de la frontière ne fera intervenir que des quantités intrinsèques relatives aux contraintes : les 1 invariants soit J 2 = trace S ⋅ S et le déterminant de S le déviateur des contraintes, si l’on 2 admet, ce qui est raisonnable pour les métaux, l’incompressibilité plastique.

(

)

C’est ainsi que deux critères sont souvent utilisés pour les métaux : le critère de Von Misès et le critère de Tresca. Le critère de Von Misès (1913) Les déformations plastiques des métaux sont les résultats de glissement intercristallins gouvernés par les contraintes tangentielles. Dans le critère de Von Misès on considère que le seuil de plasticité est lié à l’énergie élastique de cisaillement c’est à dire ne fait intervenir que 2

S: S la trace de S .

Nous avons vu que la densité volumique d’énergie pour un matériau élastique isotrope pouvait s’écrire :    trace Σ   1   traceE  :   I + S Wd =   I + L    3   2   3   

1  traceE  1 =  trace Σ + trace L ⋅ S 2  3  2

(

où L =

)

(

)

S est le déviateur des déformations. 2µ

La densité volumique d’énergie de cisaillement est constituée par le second terme : 1 Wcisaillement = S: S 4µ r r En traction unidimensionnelle dans une direction x = e1 les matrices de Σ et S sont respectivement (en utilisant l’indice s pour seuil) :

481

Les lois de comportement

2  σS   σ S  3   1     mat Σ = 0 mat S = − σ   ( xr , yr , zr ) ( xr , yr ,zr ) 3 S    0 1   − σS  3  1 2  4 + 1 + 1 1 2 Wcisaillement = σS  σ si le système était élastique = 4µ  9  6µ S Ecrivons que c’est l’énergie d’un état tridimensionnel chargé en définissant une contrainte équivalente σ eq telle que : 1 1 S ( σ eq ) : S ( σ eq ) = σ 2eq 2 3 1/ 2 def 3  =  S: S  = 3 J 21/ 2 = 3σ 2 

def

J2 = soit :

σ eq

(⇒ σ = J ) 1/ 2 2

Remarque : Les notation varient selon les auteurs, nous avons adopté celles de Zienkiewicz mais Hinton écrit σ eq = σ et Lemaitre et Chaboche σ eq = J 2 ( σ ) . f = σ eq − σ S = 0

La fonction seuil :

Soit compte tenu de l’expression de J 2 fournie en annexe : 1 2 2 2 1/ 2 f = σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) − σS = 0 ( 2 1 2 2 2 2 2 σ 11 − σ 22 ) + (σ 22 − σ 33 ) + (σ 33 − σ 11 ) + 6(σ 12 + σ 223 + σ 13 ( ) 2

[

[

ou

]

]

1/ 2

− σS = 0

2 σ d’axe ∆ comme le calcul suivant le montre : 3 S La fonction seuil est l’équation d’une quadrique qui s’écrit, relativement aux axes ∆ principaux avec X T = (σ 1 , σ 2 , σ 3 )

C’est l’équation d’un cylindre de rayon R =

r E 3′

r E3

σ1    M σ 2  σ   3

r e∆

M′

r u

( Π)

r E2

r σ1 + σ 2 + σ 3 = 0 E1

 2 − 1 − 1 1  T { X } − 1 2 − 1{ X } − σ 2S = 0 2 − 1 − 1 2  Le déterminant caractéristique associé à la matrice admet λ = 0 et λ = 3 comme valeurs propres, la seconde étant double. Une base de vecteurs propres peut être constituée par les colonnes de la matrice suivant rQ formée des composantes des r unitaires de ∆ , u et E 3′ (figure).

Le cylindre de Von Misès dans l’espace des contraintes principales

482

Les lois de comportement

   Q=    

1 1 1  − −  3 2 6 1 1 1  − 3 2 6 1 2  0  3 6  r r r e∆ E 3′ u r r r base ( E 1 , E 2 , E 3 )

avec

Q −1 = Q T

0  1  T {Y }  3 {Y } − σ 2S = 0 Par { X } = [ M ]{Y } l’équation de f devient : 2  3 où les composantes de {Y } sont celles du point dans la nouvelle base 3 2 y2 + y 32 ) − σ 2S = 0 ( 2 On reconnaît l’équation d’un cylindre de rayon R. Dans le cas de traction simple ( σ 11 seul non nul par exemple), on aura si l’on part d’un état non plastifié début de plastification dès que σ 11 atteindra σ Y la plus petite valeur du seuil de plasticité. Par contre, dans le cas de cisaillement simple la plastification apparaîtra dès que σY . σ 12 atteindra 3 Le critère de Tresca (1864) L’analyse des cercles de Mohr faite au début de cet ouvrage (Partie I chapitre III) 1 montre que le cisaillement maximum est sup σ i − σ j . i≠ j 2

Tresca a émis l’hypothèse que le seuil était lié au module de la contrainte de cisaillement maximum 1 sup σ − σ j = K 2 i≠ j i Dans le cas de cisaillement simple on a σ 12 < K d’après les propriétés du cercle de Mohr et dans le cas de traction simple σ 11 < 2 K . τ = σ 12

τ = σ 12

K K σ normale

σ normale 2K = σ S

483

Les lois de comportement

Ainsi pour un même seuil σ S relatif à la traction on voit que K =

(

)

σS et la fonction 2

f = sup σ i − σ j − σ S = 0

seuil du critère de Tresca est définie par :

i≠ j

Ceci correspond à l’équation de six plans parallèles à l’axe ∆ et se coupant dans ( Π) r sur les axes OE i′ .

r En notant que le plan (OE1 , ∆ ) a comme équation σ 2 = σ 3 , on voit que le cylindre

(

)

limitant les images des tenseurs tels que sup σ i − σ j ≤ 2 K est formé par des plans

σ i − σ j = ±2 K et d’axe ∆ . Ce prisme hexagonal est inscrit dans le cylindre de Von Misès, sa

trace dans ( Π) est l’hexagone de Tresca. 2 σ 3 S

R=

r E 3′

A

σ3 − σ2 = 2K

D3 σ 3 − σ1 = 2 K

30°

σ1 − σ 2 = 2 K

O

σ1 2

−

2

=0

La distance OP est donc

θ

σ2 − σ3 = 2K

pur si θ = 0

( ) Hexagone de Tresca dans de plan Π ∆

r E1

2K

−

σ 2 − σ1 = 2 K

r E 2′

cisaillement

σ3 2

2K σ1 − σ 3 = 2 K

normale de

AB

P B

Equation

2

= σS 2

OP = R cos30° =

2 3 σS 3 2

En σ 2 = 0 σ 3 = −σ 1 = K

P

σS 3 1

α

R=

2 σ 3 S

( ) Trace de Π

2

r

r

Disposition de E1 et E1′

La loi de comportement utilisant la fonction seuil de Von Misès pour les matériaux plastiques donne de meilleurs résultats que celle utilisant la fonction de Tresca, au début de l’entrée dans la zone plastique, c’est l’inverse ensuite quand les chargements croissent. Pour mieux décrire les résultats expérimentaux relatifs à d’autres matériaux Edelman et Drucker ont proposé un critère intermédiaire mais d’emploi moins aisé. C’est finalement le critère de Von Misès qui reste le plus utilisé en raison de sa facilité d’emploi mais il n’est pas universel. Nous détaillerons maintenant d’autres critères en suivant la présentation de Zienkiewicz et Hinton. Autres fonctions seuil

484

Les lois de comportement

Dans ce paragraphe on définit les notations suivantes : Soit Σ le tenseur des r r r contraintes caractérisé par sa matrice dans une base orthonormée directe { x , y , z } , S le tenseur déviatorique associé.  σ xx σ xy σ xz   s x σ xy σ xz      mat σ yy σ yz  mat S= s y σ yz  r r rΣ =  r r r ( x , y ,z ) ( x , y ,z )  sym sym σ zz  sz  trace Σ s x = σ xx − σ m s y = σ yy − σ m sz = σ zz − σ m 3 1 1 2  2 2 2 2 2 σ eq = 3 J 21/ 2  J 2 = 2 S : S = 2 s x + s y + sz + σ xy + σ yz + σ zx  σ eq   1/ 2   σ Zienkiewicz = J 2 = 3   2 2 2  J 3 = det S = s x s y sz + 2σ xy σ yz σ zx − s x σσ yz − s y σ xz − σ z σ yx  J1 = σ m =

(

)

La trace de S est nulle mais J 2 et J 3 vérifient l’équation caractéristique : t − J2t − J3 = 0 3

3 1 sin 3 θ − sin θ + sin 3θ = 0 4 4 Ainsi en posant t = r sin θ contrainte déviatorique principale ( s1 ou s2 ou s3 dans les r axes principaux E i ) on a :

Or

sin 3 θ −

J2 J3 2 sin θ − 3 = 0 r r

D’où par identification :

r=

2 3

J 21/ 2 =

2 3 3 J3 σ eq et sin 3θ = − 3 2 ( J ) 3/ 2 2

π π Avec 3θ tel que − < 3θ < on obtient trois valeurs des contraintes principales 2 2 déviatoriques liées aux contraintes principales σ i :

σ i = r sin θ + σ m

2π     σ1  1 sin θ + 3       2  sin θ avec σ 1 > σ 2 > σ 3 ( F )  + σ m 1 σ 2  = σ eq  4π     σ  3 1  3  sin θ + 3     Le critère de Mohr - Coulomb (1773) 485

Les lois de comportement

Ce critère est bien adapté pour les matériaux avec frottements (bétons, sols, rocs). La surface limite est définie à partir d’un cisaillement seuil : τ seuil = c − σ n tan φ

où σ n est la contrainte normale, c le coefficient de cohésion, φ l’angle de frottement interne ; c et φ pouvant dépendre d’un paramètre d’écrouissage (voir plus loin).

σn  P   τ +

τ

σ1 − σ 3 2 τ = c − σ n tan φ

φ

c φ

φ

σ

− σ1

−

(σ

1

+ σ3 )

− σ2

c cot φ

2

− σ3 Soit pour le cas de figure où les contraintes principales sont négatives avec σ 1 < σ 2 < σ 3 et où on a représenté les distances arithmétiques, en P :

+

 σ + σ 3  σ1 − σ 3   1 σ 1 − σ 3 ) cos φ = c +  1 − (  sin φ tan φ  2   2  2

Soit après multiplication par sin φ :

σ1 − σ 3  σ1 + σ 3  +  sin φ − c cos φ = 0  2  2

Or :

2π  4π     sin θ + 3  − sin θ + 3  = 3 cos θ   sin θ + 2 π  + sin θ + 4 π  = − sin θ    3 3

f = σ m sin φ −

σ eq

3

cos θ −

σ eq

3

ou en utilisant les formules (F) :

sin φ sin θ − c cos φ = 0

486

Les lois de comportement

Le critère de Drucker Prager (1952) Ce critère tient compte de la contribution d’une contrainte normale moyenne σ m = f = α ′J 1 + J 21/ 2 − k ′ = 0

et s’écrit : avec :

J1 3

α′ =

2 sin φ

3( 3 − sin φ)

k′ =

6c cos φ

3( 3 − sin φ)

Dans ce cas le cercle de Drucker passe par les points anguleux extérieurs de l’hexagone de Tresca ou :

α′ =

2 sin φ

3( 3 + sin φ)

k′ =

6c cos φ

3( 3 + sin φ)

Le cercle de Drucker passe par les points anguleux intérieurs de l’Hexagone de Tresca.

________________________________________ Figures extraites des ouvrages de Zienkiewicz et Hinton Récapitulatif

487

Les lois de comportement

Avec l’introduction de θ et des formules ( F ) les fonctions seuil décrites pour les milieux isotropes s’écrivent simplement : Fonction seuil f Tresca 2σ eq cos θ − Y ( H ) = 0 3 Von Misès σ eq − Y ( H ) = 0 Mohr Coulomb

σ m sin φ +

σ eq

3

Drucker Prager

cos θ −

σ eq

3α ′σ m +

3

sin φ sin θ − c cos φ = 0

σ eq

− k′ 3 Où Y ( H ) = σ S est la contrainte seuil dépendant de H paramètre d’écrouissage.

{ } {J } + f {J }

Avec ces notations le vecteur {grad f } = f ,σ s’obtient par : def

{ f } = f {σ } + f ,σ

,σ m

m ,σ

{J } = J

Avec : f , J3 = f ,θ θ , J3 et

2 ,σ

, J2

3,σ xx

3, s x

3 ,σ

, J3

s x ,σ xx + J 3,s y s y ,σ xx + J 3, sz sz ,σ xx −1/ 3

2/3

−1/ 3

Le calcul est du à Zienkiewicz et s’écrit :

{ f } = [ f [ M ] + f [ M ] + f [ M ]]{σ} = {σ σ σ τ τ τ } τ =σ ,σ

T Avec : { σ}

0

,σ m

I

II

, J2

, J3

def

xx

yy

zz

yz

zx

xy

Ce vecteur sera utilisé dans les théories exposées plus loin.

IV.2.2. Les critères non isotropes.

488

ij

i≠ j

ij

Les lois de comportement

Pour définir les fonctions seuil initiales c’est à dire limitant le plus petit domaine élastique dans le cas d’une anisotropie complète, on peut essayer de mettre au point des critères quadratiques de la forme :

S: C: S − 1 = 0 ou Σ: C ′: Σ − 1 = 0 Sans être aussi général, citons quelques critères utilisés pour les matériaux orthotropes. Le critère de Hill r r r Hill a proposé un critère qui s’écrit dans les axes d’orthotropie { x1 , x 2 , x 3 } avec six paramètres. 2 F (σ 11 − σ 22 ) + G(σ 22 − σ 33 ) + H (σ 33 − σ 11 ) + 2 Lσ 12 + 2 Mσ 223 + 2 Nσ 231 − 1 = 0 2

2

2

Le critère est invariant si Σ se change en Σ − pI c’est à dire si à un état de contraintes on rajoute un état de compression hydrostatique (comme pour le critère de Von Misès). La relation s’écrit aussi : H + F −F − H   σ 11     2 G+F − G  σ 22  + 2 Lσ 12 + 2 Mσ 223 + 2 Nσ 231 − 1 = 0 {σ11 σ 22 σ 33 }  sym H + G  σ 33  { σ} T [ I ]{ σ} − 1 = 0 ou Où la matrice 6x6 [ I ] a la même structure que celle qui intervient dans la loi de comportement écrite relativement à ces mêmes axes. Les coefficients se déterminent (théoriquement !) par trois expériences de traction simple et trois expériences de cisaillement simple relativement à ces axes : 1 r σ s1 étant le seuil de traction dans la direction de x1 : F + H = 2 σ s1 1 r σ s2 étant le seuil de traction dans la direction de x 2 : G + F = 2 σ s2 1 r σ s3 étant le seuil de traction dans la direction de x 3 : H + G = 2 σ s3 r r σ s12 étant le seuil de cisaillement dans le plan (Ox1 , Ox 2 ) : L =

1 2 2σ 12

σ s23 étant ... etc.

A cette expression on peut faire correspondre, dans l’espace des contraintes principales une représentation par une quadrique centrée à l’origine et d’équation : F ′ ( σ 1 − σ 2 ) + G ′ ( σ 2 − σ 3 ) + H ′ ( σ 3 − σ 1 ) + 2 Pσ 1 σ 2 + 2 Q σ 2 σ 3 + 2 R σ 3 σ 1 − 1 = 0 Le critère de Tsai 2

2

2

489

Les lois de comportement

Pour tenir compte de différencesR de seuil entre la traction et la compression, Tsai Q propose desσcritères du même type que les précédents mais complétés par une forme linéaire S des contraintes normales. Soit dans le axes d’orthotropie : F (σ 11 − σ 22 ) +...+2 Nσ 231 + Sσ 11 + Tσ 22 + Uσ 33 − 1 = 0 2

Dans l’espace des contraintes ceci revient à avoir une quadrique qui n’est plus centrée à l’origine. Comme on le voit les choix sont multiples, certains coefficients doivent être égaux dans le cas d’isotropie transverse, ou non indépendants des autres et peut-être en faut-il plus (on s’attendrait à avoir besoin d’au moins neuf pour un matériau orthotrope). Ce sont évidemment les résultats expérimentaux qui commandent en interdisant ou acceptant tel ou tel modèle. Il reste à préciser, après ces informations fragmentaires, comme se déforme ou se déplace la surface seuil lorsque le taux de contrainte augmente ou diminue, plus généralement varie. Ceci est abordé dans le paragraphe suivant où nous suivons l’exposé du à Lemaitre et Chaboche à quelques variantes près.

IV.3. Formulation des lois de la plasticité.

Classiquement la démarche pour formuler les lois de plasticité utilise trois hypothèses. H1.

Les déformations se partitionnent en parties élastiques et plastiques : e

E=E +E H2.

p

L’énergie libre ψ s’écrit sous la forme associée à cette décomposition :

ψ = ψ e

 E ,T   

+ ψ (pV ,T ) k

où les variables Vk sont des variables d’écrouissage à préciser. H3. La surface f dite fonction seuil (Yield surface) se déforme à chargement croissant en gonflant ou se déplace ou les deux à la fois mais à chargement décroissant cette surface se bloque en limitant à l’intérieur un domaine élastique dont la taille dépend de l’état de chargement actuel et de l’histoire du chargement.

490

Les lois de comportement

σ P

σY

R=

2 σ 3 Y

Q′ P′

ε A

O

Ecrouissage isotrope : S la surface seuil gonfle T Plan Π

σ

R Q

P A

ε

A′

EcrouissageScinématique : la T surface seuil se déplace σ S < σ P : effet Baushinger

Plan Π

L’écrouissage cinématique représente mieux les résultats expérimentaux que l’écrouissage isotrope. Il faut préciser les variables d’écrouissage Vk . IV.3.1. Les variables d’écrouissage Vk . L’expérience a montré que l’on pouvait construire des modèles en adoptant une variable scalaire d’écrouissage isotrope p et une ou plusieurs variables d’écrouissage cinématique. • Variable scalaire d’écrouissage isotrope Si les déformations se font à volume constant on adopte souvent la déformation plastique cumulée p (notée aussi H) : . p . p  1/ 2 def t 2  p = ∫  E ( τ ) : E ( τ )  dτ 0 3   La déformation plastique s’effectuant entre 0 et t (t est un temps fictif en statique). Ceci est suggéré par le fait que dans le cas de traction simple on a :

491

Les lois de comportement

 ε p  p mat E =    

−

εp 2

     εp  −  2

(de trace nulle)

ε p désignant ici un scalaire : la déformation plastique dans la direction de la charge de traction. .p .p 3 E : E = ε& 2p implique : p = εp 2 p est une sorte de déformation équivalente.

On peut aussi adopter le travail plastique dissipé w p . p  1/ 2 def t 2  p w = ∫  Σ: E ( τ )  dτ 0 3   σ

A

Dans le schéma monodimensionnel ci-contre, cette quantité représente, pour le trajet indiqué, la surface grisée ; et : ε (pA )

εp

ε (pB ) B

p( B ) = ε (pA ) + ε (pB ) − ε (pA )

• Variable tensorielle d’écrouissage cinématique p

Une variable tensorielle α souvent utilisée est la déformation plastique elle même Ε : α=E

p

(symétrique)

Les variables duales de p (ou de w p ) et α , variables Vk particulières sont les forces thermodynamiques Ak notées respectivement R et X R = ρψ , p

X = ρψ ,α

⇐ variables Vk

Comme nous l’avons déjà vu à la fin du chapitre I, l’inégalité de Clausius Duhem qui reste à satisfaire est la suivante : Σ: D − A V& ≥ 0 k

Soit avec une écriture adaptée : .p . Σ: E − Rp& − X : α ≥ 0

k

⇐φ≥0

492

(Clausius Duhem)

Les lois de comportement

Schématiquement, en raisonnant dans l’espace des contraintes principales et en supposant, pour simplifier, que le domaine actuel d’élasticité soit une sphère de rayon Γ on peut dire que : r E3

La taille du domaine est une fonction Γ de la variable isotrope R et la position de son centre dépend de la variable X.

σ3 Γ

X

σ2 r E2

r E1

σ1

IV.3.2. Critère de charge décharge - condition de consistance. Lorsque la taille du domaine croit ou lorsque le domaine limité par f se déplace, il y a a

écoulement plastique. Le point représentatif de l’état actuel de contraintes, caractérisé par Σ a ne peut sortir de la surface f  Σ ,Vk  = 0 . Il faut alors écrire une condition dite de consistance : df = 0 . En résumé on a : f < 0 comportement élastique

df = 0 écoulement plastique (ou écrouissage) f =0  df < 0 décharge élastique

  a   Σ a ,V , T  = 0 f Σ , V = 0 plus généralement f k k     avec :  df = f : d Σ + f ,V dVk ,Σ k  Cette écriture condensée mérite quelques commentaires : Avec une écriture tensorielle, dans une base cartésienne quelconque : r r r r f = f ,σij ei ⊗ e j d Σ = dσ lk el ⊗ ek ,Σ

  f : d Σ = f ,σ ji dσ ji = trace f ⋅ d Σ ,Σ

,Σ

b 2 b 2 2 + σ 12 + σ 21 et mat Σ = par exemple si f = aσ 11 2 2

mat f

,Σ

2aσ 11 bσ 12  = 0   bσ 21

σ 11 σ  21

σ 12  σ 22 

(défini sans que l’on ait a tenir compte de la symétrie de Σ )

493

Les lois de comportement

f : d Σ = 2aσ 11dσ 11 + bσ 12 dσ 21 + bσ 21dσ 12 avec Σ symétrique ,Σ

En écriture matricielle, si à Σ symétrique on associe un vecteur à deux composantes : 2 2 f = aσ 11 + bσ 12 et σ T = {σ 11 σ 12 }

f : d Σ s’écrit : ,Σ

[ grad f ]

T

σ 11   = 2aσ 11dσ 11 + 2bσ 12 dσ 12 σ 12 

{ σ} = [2aσ 11 2bσ 12 ]

Le résultat est le même car on calcule une trace mais le tenseur f

,Σ

n’aurait pas été le

même si on avait tenu compte dans l’expression de f de la symétrie σ 12 = σ 21 σ3 dσ a df < 0 f <0

σ2

σa

f ( σ a ,V k ) = 0

σ1

df = 0

f (σ a + dσ a ,Vk + dVk ) = 0

schéma dans l’espace des contraintes illustrant la condition de consistance pour une surface seuil sphérique.

{ } peut être calculé simplement en

Comme nous l’avons vu le vecteur {grad f } = f ,σ utilisant les matrices M 0 , M I et M II

IV.3.3. La loi d’écoulement. La façon dont la surface se déforme est commandée par une fonction F fournissant la direction de l’écoulement :

(

F = F Σ, R, X , T

)

Cette fonction est telle que d’après la règle de normalité, généralisée, on ait :

.p E = λ& F ,Σ

− p& = λ& F, R

. − α = λ& F

,X

normalité r ⇔ grad ϕ * = λ& grad F

λ& ≥ 0 est le multiplicateur de plasticité par définition.

494

Les lois de comportement

On notera que si F est différent de f, ϕ * n’est pas lié à ϕ et φ par la transformation indiquée dans le chapitre I. Ainsi le concept introduit ici (fonction F) ne satisfait pas aux hypothèses concernant les matériaux standards généralisés. Si F ≠ f on parle de plasticité non associée, notion qu’il est nécessaire d’introduire en mécanique des sols, par exemple. Si F = f on parle de plasticité associée. Cependant, l’inégalité de Clausius Duhem pour les matériaux standards ou non standards est réalisée si : Σ: F ,Σ + RF + X : F , X λ& ≥ 0 ⇔ φ ≥ 0

(

)

,R

F étant supposée convexe en Σ et Ak à l’origine, telle que :

 F (0 , 0 ,..., T ) = 0 ∀T    Σ: F ,Σ + RF, R + X : F , X ≥ F ≥ 0

(

)

avec λ& > 0

Evaluation du multiplicateur λ& Pour déterminer λ& on utilise la condition de consistance : df = 0 implique f& = 0

. . & f ,Σ : Σ + f , R R + f : X + f ,T T& = 0 ,X

.   R& = ρ ψ , pp p& + ψ : α + ψ , pT T&  R = ρψ , p  , pα    ⇒ . .   avec : X = ρψ ,α   X = ρ ψ p& + ψ ,αα : α + ψ ,αT T&   ,α p  ρ& = 0 (incompressibilité plastique) . r r r r r r ψ ,αα : α = ψ ijkl ei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el : α& pq e p ⊗ eq avec : r r = ψ ijkl α& lk ei ⊗ e j

(

où

ψ ijkl = ψ ij ,α lk et

)

ψ ij = ψ ,σij

et

α lk = α kl

En effet, nous avons toujours contracté une ou plusieurs fois par indices proches. La condition de consistance s’écrit en utilisant les deux dernières relations déduites de la règle . de normalité fournissant p& et α : .   f ,Σ : Σ + f ,T + f , X : ρψ ,αT + f , R ρψ pT T& − λ&  f , X : ρψ ,αα : F , X + f , X F, R + f , R F , X ρ: ψ α p + ρf , R F, R ψ , pp  = 0 1444444444442444444444443 h

(

)

(

495

)

Les lois de comportement

Le facteur de λ& est le module d’écrouissage h positif dans le cas d’écrouissage positif c’est à dire tel que σ S > σ Y c’est à dire correspondant à un comportement stable. D’où :

[ (

.  1 & si f = 0: λ = < f ,Σ : Σ + f ,T + f h  si f < 0 λ& = 0 (décharge) 

,X

)]

: ψ ,αT + f , R ψ , pT ρ T& >

où le symbole <> signifie « partie positive de » On note que l’introduction de la fonction ψ 1 = ρψ aurait évité l’apparition de ρ dans ces expressions. Nous donnerons quelques exemples de mise en œuvre de ces démarches en renvoyant pour plus amples informations à l’ouvrage de Lemaitre et Chaboche. IV.4. Exemples de modèle de plasticité. IV.4.1. Lois à écrouissage isotrope isotherme. La fonction de charge f s’écrit :

()

f = f Y Σ − Γ( R ) f Y indique la forme du critère de limite élastique, Γ introduit l’écrouissage par l’intermédiaire de R( p ) (ou de R( w p ) ). • Le modèle de Prandtl - Reuss à écrouissage isotrope

Ce modèle utilise les hypothèses suivantes : - incompressibilité plastique impliquant que f ne dépend pas de trace Σ - isotropie initiale et écrouissage isotrope avec f quadratique Ainsi f ne fait intervenir que traceS ⋅ S et la fonction seuil utilisée est celle de Von Misès. f = σ eq − σ Y − R( p ) 1 424 3 { fY Γ - plasticité associée et hypothèse de normalité p

donc : d E = dλ f

,Σ

et dp = − dλf , R

1/ 2

3  3  Ainsi : f =  S ⋅ S  − σ Y − R avec  S ⋅ S  2  2  p 1 3 d E = dλ σ eq S: S et : ,Σ 2 2

( )

496

1/ 2

= σ eq

Les lois de comportement

Or le tenseur

(s

2 11

(s

2 11

∂

∂Σ

( traceS ⋅ S ) est 2S en effet : (

)

s22 s33  2 2 2 + s22 + s33 + 2 s12 s21 +...) ,σ = 2 s11 ,σ + s22 ,σ + s33,σ11 = 2 s11 − −  = 2 s11 − traceS = 2 s11 11 11 11 3 3 3

2 2 + s22 + s33 + 2 s12 s21 +...) ,σ == 2 s12 12

etc. Ainsi, avec nos notations :

J

2,Σ

=S

3 S dλ ⇒ 2 σ eq dp = − f , R dλ = + dλ p

dE =

La condition de consistance s’écrit : dσ eq − R, p dp = 0

dp =

dσ eq R, p

= dλ si dλ > 0 soit R, p > 0

Soit : 3 S 1 dE = dσ eq 2 σ eq R, p p

En résumé on obtient les relations incrémentales de Prandtl Reuss : e

p

dE = dE +dE e ν  1 + ν dE =   d Σ − d trace Σ I  E  E

(

p

dE =

)

f ≤0

3 S < dσ eq > 2 σ eq R, p

avec R, p ≠ 0 Il reste à identifier les variables R et p dans l’essai de traction simple où :  2 σS   3 σ S    1    mat Σ =  0  mat S =  − σS 3    0 1   − σS  3  r pour une traction simple selon x .

σ S = σ eq  Ainsi :  p dσ eq dε 11 = R ,p 

p = ε 11p = ε p

497

Les lois de comportement

σ

σS R

σY

dε

Pente E

dε dε p

e

T

Pente E

O

εp = p

ε

εe

dσ dσ 1 1 ET = = = = 1 1 dε p dε − dε e dε dε e ET − − 1 − ET E dσ dσ E

R, p =

ET ET 1− E

R a les dimensions d’une contrainte et R, p s’identifie à une pente. R est nul dans le cas de plasticité dite parfaite, comme E T , dans ce cas df = dσ eq et dλ comme dε p est indéterminé. Ce cas demande une étude spéciale.

• La plasticité isotrope utilisant le critère de Tresca

Les autres hypothèses étant inchangées, ,pour simplifier nous travaillerons dans le repère principal (supposé déterminé) avec : σ 3 < σ 2 < σ1 Le point de chargement étant situé sur l’une des faces du prisme hexagonal de Tresca (le cas où le point est sur une arête demande un traitement spécial) nous avons : f = sup σ i − σ j − σ S = σ 1 − σ 3 − σ S = 0

D’où : f ,σ1 = 1

f ,σ 2 = 0

f , σ 3 = −1

p

Puisque d E = f ,Σ dλ nous avons : dε 1p = dλ = − dε 3p

dε 2p = 0

Le multiplicateur dλ est identifié dans l’expérience de traction simple dans la direction principale, ici connue : 1 dλ = dε 1p = dσ R, p R, p est sensiblement la pente locale de la courbe σ( ε ) pour la contrainte seuil σ S

atteinte et plus précisément la pente locale de la courbe σ( ε p ) .

En résumé :

dε 1p =

1 R, p

d (σ 1 − σ 3 ) = − dε 3p calculé pour σ1 − σ 3 = σ S

si σ 3 < σ 2 < σ 1

498

dε 2p = 0

Les lois de comportement

• Loi de plasticité isotrope utilisant des critères anisotropes Si le critère est caractérisé par : f = S: C: S − σ Y − R = 0 La condition de consistance s’écrit :   d  S: C: S  − R, p dp = 0   p

on a encore : dp = − f , R dλ et d E = dλ f

,Σ

  d  S: C: S  p p   Finalement d E s’écrit : dE = f ,Σ R, p Cette écriture revêt un aspect plus agréable en notation matricielle. Expression matricielle de {dε p } à C caractérisé par 36 coefficients nous associons une matrice 6x6 à S un vecteur { S } et à Σ un vecteur { σ} , ces vecteurs étant de dimension 6. 1 1  2   3 −3 −3    2 2   3 3   { S} = [ B]{ σ} 2 { σ} ⇔ { S} =  sym [ B] = [ B] T det B = 0   3   1   1    1  f s’écrit : T f = { S} [ C ]{ S } − ( R + σ Y ) = 0

(

)

T T T d { S} [ C ]{ S} = 2{ S} [ C ]{ dS} = 2{ σ} [ B][ C ][ B]{ dσ}

f ne fait intervenir que la partie symétrique de [ C ]

{ f } = 2[ BCB]{σ} ,σ

1 {dε } = R 2({ σ} [ BCB]{ dσ} )2[ BCB]{σ} T

p

,p

Mais le vecteur {dε p } vrai est obtenu à partir de celui-ci en multipliant les trois dernières composantes par deux pour obtenir les glissements.

499

Les lois de comportement

IV.4.2. Lois à écrouissage cinématique linéaire isotherme. IV.2.1. Lois avec l’écrouissage du modèle de Prager. La fonction de charge pour ce modèle s’écrit :

f = f

Y  Σ − X 

−k

Ce modèle utilise les hypothèses suivantes : - incompressibilité plastique - isotropie initiale et écrouissage cinématique Ceci permet en particulier de mettre en évidence l’effet Baushinger observé expérimentalement. - plasticité associée et hypothèse de normalité. p

d E = f , Σ dλ

Dans ces conditions :

dα = − f

dλ = f , Σ dλ ⇒ α = E ,X

p

Ainsi la variable tensorielle d’écrouissage α coïncide avec la déformation plastique et c’est la seule variable d’écrouissage, p n’intervient pas. Enfin k est voisin de σ Y seulement. Classiquement la relation prise entre X et α est choisie linéaire ( ψ est donc choisi implicitement quadratique en α puisque X = ρψ ,α )

X = C0 α ⇒ d X = C0 d E

p

La condition de consistance s’écrit : df = f ,Σ : d Σ + f

,X

: d X = f , Σ : d Σ − C0 f , Σ : d E

p

df = f ,Σ : d Σ − C0 f ,Σ : f ,Σ dλ = 0 D’où l’expression de dλ si f est non décroissante.

dλ =

p 1 < f ,Σ : d Σ > 1 < f ,Σ : d Σ > ⇒ dE = C0 f : f C0 f : f ,Σ ,Σ ,Σ ,Σ

p

On notera que :

dE : f

,Σ

=< f ,Σ :

dΣ > C0

Cette dernière relation peut s’interpréter géométriquement dans l’espace des p

contraintes principales sachant que d E est colinéaire à f donc écrire :

500

,Σ

{ } {

}

ou dε p à grad σ f , on peut

Les lois de comportement

{dε }

r E3

p

r dε p

σ3

σ1

σ2

r E2

r E1

  {grad f } =  dCσ   0 r grad f

T

r dσ C0

T

{grad f }

{dε } est égal à la projection de p

f = cste = 0

dσ sur C0 la normale extérieure à f la surface de charge.

l’accroissement du vecteur

Exemple d’utilisation du critère de Von Misès Compte tenu des hypothèses faites on adopte ici le critère de Von Misès (d’autres choix sont possibles) en posant : ′  1/ 2 S − X  ′  ′ 3   3 f =   S − X  :  S − X   − k d’où f ,Σ =   2 k 2 

′ X est le déviateur de X Ici nous poserons pour simplifier l’écriture : 1/ 2  ′  ′ 3   f Y =   S − X :  S − X   = J    Σ− X       2    2 C 0 = 3 C

   J   = J 2 Lemaitre   Σ − X  

′ ′ 3   S − X : d Σ  S − X : d Σ   2 3 3  D’où : dλ = = ′ 3 ′ 1 2Ck 3  2C k  S − X :  S − X  2  2 k 2 En effet, sur la surface de charge f Y = k

et :

′ ′     S − X   S − X  p   3   3 dE = : d Σ 2 2C  k k     En résumé les lois incrémentales s’écrivent :

501

Les lois de comportement

p

dE = dλ =

′ ′ 9   2 <  S − X : d Σ >  S − X      4Ck

′ 3  <  S − X :d Σ >  2Ck 

dX =

f ≤0

p 2 Cd E 3

Les grandeurs C et k sont identifiées dans l’essai de traction simple : σ 11

C pente 0 k X

ε 11p

2 3 X ′  Avec : mat X =    

Dans ce cas

−

2   3 (σ 11 − X )    ′ 1  mat S − X =  − (σ 11 − X ) 3   1  − (σ 11 − X )  3 

     1  − X 3 

1 X 3

 f = (σ 11 − X ) − k  σ 11 = X ± k  p dσ 11 = C0 dε 11

On voit que k ≠ σ Y puisque c’est ε 11p qui est porté en abscisse. IV.4.2.2. Lois de Prager Ziegler. La modification de Ziegler consiste à écrire :

(

)

d X = Σ − X dµ

Le modèle ne rentrant pas dans le cadre de l’hypothèse de normalité généralisée, utilisant Σ − X à la place de son déviateur permet de tenir compte de l’influence d’une contrainte hydrostatique. dµ est déterminé par df = 0

dµ =

On adopte encore :

dλ =

< f ,Σ : d Σ >

( Σ − X ): f

,Σ

f ,Σ : d Σ C

 Σ   

f ,Σ : f

,Σ

502

Les lois de comportement

p

Ceci exprime encore que C  d E représente la projection de d Σ sur la normale à la  Σ  

surface de charge. r r Prager dX = Cdε p r Prager - Ziegler r r dX r σ− X dσ

r X

r σ f =0

Le problème est évidemment celui de déterminer C  .  Σ

Ces théories, qui ne font que proposer des modèles, sont suffisantes souvent dans le cas de chargements monotones mais l’expérience a montré qu’en cas de chargement cyclique elles donnent lieu à des résultats qui peuvent s’écarter des résultats expérimentaux.

Des modèles ont été proposés pour tenir compte du fait qu’on obtient pas vraiment des parallélogrammes en charges alternées et qu’on observe souvent des effets dits de rochet avant d’obtenir de vrais cycles, c’est à dire des trajectoires fermées. IV.4.3. Lois d’écoulement adaptées aux chargements cycliques. En s’inspirant du modèle de de Saint Venant généralisé, conduisant au modèle de Masing, Mroz a proposé un modèle multicouches avec un nombre discret de surfaces limites, modèle original que nous citons seulement pour développer une théorie non linéaire (et non pas linéaire par morceaux), utilisant seulement deux surfaces et plus intéressant encore que le modèle de Mroz. - La fonction de charge est : f = f Y  Σ − X  − k 



p

- La loi de normalité s’écrit pour ce qui concerne E p

d E = f ,Σ dλ

- La loi linéaire du modèle de Prager est remplacée par : p 2 d X = Cd E − γ Xdp , X étant supposé nul dans l’état initial, 3 loi non linéaire faisant intervenir deux coefficients C et γ coefficients caractéristiques du matériau. - dp représente l’incrément de déformation plastique cumulé soit : 1/ 2

1/ 2

p p 2 2  dp =  d E : d E  =  f ,Σ : f ,Σ  dλ 3  3  - df = 0 est toujours la condition de consistance permettant d’accéder au module d’écrouissage h

df = 0 ⇒ f ou

,X

: d X + f ,Σ : d Σ = 0

(

)

− f ,Σ : d X − d Σ = 0

503

Les lois de comportement

p

Soit, en utilisant l’expression de d X dépendant de d E et de dp : 2 − f ,Σ :  C f 3

Ici :

2  − γ X  f , Σ : f ,Σ  3 

,Σ

2 h = C f ,Σ : f 3

,Σ

1/ 2

  dλ + f ,Σ : d Σ = 0 

2  − γ f ,Σ : X  f ,Σ : f ,Σ  3 

1/ 2

Cas de l’utilisation du critère de Von Misès ′  ′ 3  f =   S − X :  S − X     2 

dλ = dp

Ainsi :

2 f :f 3 ,Σ

,Σ

=

1/ 2

−k

f

,Σ

=

′ 3  S − X   2k 

′  S − X    2 h = C − γ X: 3 k

′  ′ 3  2  S − X : S − X  = 1   2k 

Avec ce formalisme, étant donné l’expression de d X , le modèle ne rentre pas dans le moule général de la théorie présentée avec l’hypothèse de normalité généralisée. On peut le faire rentrer à condition d’abandonner l’hypothèse de plasticité associée en agissant de la manière suivante : ′  ′ 3  3γ X: X − k Prenons F =   S − X  :  S − X   +   4C 2  ′  S − X  p   3 d E = f , Σ dλ = 1/ 2 dp 2 3  ′  ′   S − X  :  S − X   2  1/ 2

p

d α = − F , X dλ = d E −

3γ Xdλ 2C

(

d X: X (avec

dX

) = 2X )

Ainsi, si on utilise le même potentiel thermodynamique ψ pour la loi de Prager, on a bien, ψ étant quadratique des α ij . 2 Cα 3 p 2 2 d X = Cd α = Cd E − γ Xdp (dp = dλ ) 3 3 ′ X = X à cause de l’incompressibilité plastique supposée. X = ρψ ,α =

où

Ici F = f +

3γ X: X 4C

504

Les lois de comportement

En cas d’écoulement plastique C évolue entre 0 et à f = 0. 2γ

(f

= 0) , F n’est pas nul sauf si X = 0 ; en fait F

En effet, si d X = 0 , X est extremum, posons encore pour simplifier l’écriture : 1/ 2 ′  ′ 3    S − X  :  S − X   = J      Σ− X  2 

′  S − X  p  3 X 3 d X = 0 ⇒ d E = γ dp = dp 2 C 2 J ′   Σ− X   

′ X Donc : S − X = γ J  ′  dans le cas où d X = 0 C  Σ− X  



L’expression de J 

 Σ− X   

J

 Σ − X   

3 X X  =  γ : γ J 2    2 C C  Σ − X  

1/ 2

γ 3  Ainsi : sup  X : X    C 2 et :

sup F = f = 0 ,d X = 0

devient :

γ 3  =  X: X   C2

1/ 2

=1

1/ 2

J

 Σ − X   

3  d’où :  X : X  2 

1/ 2

≤

C γ

3 γ 2 C2 C 2 = 4C3γ 2γ

Afin de mieux comprendre tout ceci, il est instructif d’analyser le cas de la traction simple en s’aidant des figures page suivante* La figure 1 représente une vue, dans l’espace des contraintes r r rprincipales,rl’œilrsur ∆r ! La trissectrice se projette en O sur le plan Π , les axes OE1 , OE 2 , OE 3 selon OE1′, OE 2′ , OE 3′ . r r Ainsi sur OE 3′ l’échelle est celle de OE 3 etc. p La figure 2 représente la courbe d’écrouissage σ 33 (ε 33 )

_____________________________ Figure extraite de l’ouvrage de Lemaitre et Chaboche déjà cité.

*

505

Les lois de comportement

Fig. 1

Fig. 2

f = σ − X − k comme pour le modèle de Prager relatif aussi à un modèle d’écrouissage cinématique avec le critère de Von Misès.

( σ − X ) dσ 1 (σ − X ) < dσ > = signe( σ − X ) k k k k dX = Cdε p − γX dε p

avec : ( σ − X ) dσ > 0

dε p =

k = C − γ X signe( σ − X )

Ici l’intégration est exceptionnellement possible et fournit : p p C  νC  − ν ε − ε 0 X = ν +  X0 − avec : ν = ±1 e γ  γ  σ = X + νk

(

J

 Σ   

 3 au facteur    2

)

1/ 2

près est une norme matricielle de Frobenius.

J

 Σ   

= J

 Σ − X + X   

J

 Σ   

≤ J

 Σ − X   

+ J

≤ k + J

 X   

Ainsi : J 

 Σ   

506

≤k+

C γ

 Σ   

Les lois de comportement

Le modèle ne présente que deux surfaces (Fig. 1) : - La surface limite d’élasticité confondue avec la surface de charge J 

 Σ− X   

- Une surface associée au J 

 X    max

=k

dont nous avons parlé

Le cylindre baladeur de Von Misès ne peut sortir d’un domaine limité par un cylindre d’axe ∆ constituant cette surface limite en question. La stabilisation cyclique n’est possible que pour une contrainte symétrique, sinon il y a rochet ; c’est d’ailleurs à partir des cycles stabilisés que k, C et γ sont déterminés expérimentalement à partir d’essai traction-compression alternés. D’autres modèles sont possibles et ont été mis au point par exemple par Chaboche et Marquis, Amstrong et Frederick ... IV.5. Méthodes incrémentales. IV.5.1. Une loi incrémentale pour l’écrouissage isotrope (d’après Zienkiewicz). Pour mettre en œuvre ces méthodes il faut adapter le formalisme à l’outil numérique qui sera l’ordinateur et nous nous proposons de donner quelques informations à ce sujet. Pour simplifier l’écriture les accolades limitant les vecteurs seront omises, comme les crochets limitant les matrices. Nous avons : ∆ ε = ∆ εe + ∆ ε p

avec : ∆ ε e = D −1 ∆ σ où D −1 = C est la matrice de souplesse.

∆ ε p = F,σ ∆ λ

(plasticité non associée et règle de normalité)

Le critère étant :

f ( σ, H ) = 0

( H : paramètre d’écrouissage)

∆ H = σ T ∆ ε p = σ T F,σ ∆ λ La règle de consistance s’écrit : f ,σT ∆ σ + f , H ∆ H = 0 Nous utiliserons deux relations pour obtenir une relation reliant d’abord ∆ ε à ∆ σ et ∆ λ :

∆ ε = D −1 ∆ σ + F,σ ∆ λ 0 = f ,σT ∆ σ + f , H H ,λ ∆ λ

Soit en posant :

( vecteur flux)  f ,σ = a   f , H H ,λ = − A

507

Les lois de comportement

−1 ∆ ε   D  = T  0   f ,σ

F,σ  ∆ σ    − A  ∆ λ 

A se calcule à partir de sa définition et de ∆ H :

A = − f , H H ,λ = − f , H σ T F,σ Comme A peut être nul (plasticité parfaite), il faut éliminer ∆ λ sans utiliser A −1 , ceci est fait en multipliant la première ligne matricielle par a T D pour obtenir a T ∆ σ :

a T D∆ ε = a T ∆ σ + a T DF,σ ∆ λ et en reportant dans la seconde :

0 = a T D∆ ε − a T DF,σ ∆ λ − A∆ λ

(

)

D’où : A + a T DF,σ ∆ λ = a T D∆ ε La première ligne matricielle devient :

[

∆ ε = D −1 ∆ σ + F,σ A + a T DF,σ

[

(

)

]

−1

a T D∆ ε

]

∆ σ = D − DF,σ A + a T DF,σ a T D ∆ ε

D’où :

def

[

]

∆ σ = Délastoplastique ∆ ε

[ ]

C’est cette matrice qui est notée D1 dans le chapitre concernant les éléments finis dans le domaine non linéaire. dσ S ET Dans le cas de plasticité associée F = f et A = T = E dε p 1− E Nous allons préciser comment, à partir de la loi incrémentale, il est possible de construire une méthode de résolution incrémentale.

IV.5.2. Méthode de résolution incrémentale (Hinton - Owen). La résolution du problème de calcul de la réponse en quasi statique d’une structure fortement chargée et dont une partie au moins reste dans le domaine plastique est souvent faite en utilisant un schéma de Newton - Raphson. Pour que le lecteur puisse s’y retrouver dans l’ouvrage de Hinton qui nous sert de référence, nous utiliserons dans ce paragraphe des notations spéciales. σ 11

F

F final

σY Q ∆F

Fcourant

ou σ r −1

Q

x solution

x Schéma monodimensionnel

508

Q

ε r −1

ε 11

Les lois de comportement

Partant d’un point courant Q représentant l’état actuel de chargement, il s’agit par incrémentation de déterminer le déplacement solution associé au chargement total F final . Au point Q est associé le point Q de la courbe de traction du matériau σ 11 (ε 11 ) .

ε r −1 .

Le seuil actuel σ S est noté σ YQ = σ r −1 et est associé à la déformation équivalente totale On cherche dans l’algorithme à passer du stade r − 1 (point Q) au stade r. ET est notée ici H Q′ et évidemment dans le cas d’une courbe ET 1− E bilinéaire on a : σ YQ = σ Y0 + H 0′ ε rp−1

La quantité A( Q ) = σ 11 (ε 11 )

σ Y0 étant la plus petite valeur du seuil plastique (noté auparavant σ Y ) σ YQ et ε rp−1 étant des scalaires Les quantités surmontées d’une barre sont des scalaires comme σ , ε , sinon ce sont des vecteurs : σ et ε représentent des vecteurs matriciels associés aux tenseurs Σ et E respectivement : σ r = σ r −1 + ∆ σ r = σ r −1 + D( ∆ ε r − a∆ λ )

= σ r −1 + Délastoplastique ∆ ε r

a = grad σ f Avec :  vecteur flux

noté ici grad σ F , si F = f ( Σ ) − σ Y ( H ) (notation Hinton) ∆ σ er = D∆ ε r

Da∆ λ

r E1

F =0 σ r −1

B

A Da∆ λ = D∆ ε rp

O

r E3

r E2

K′

K

σ r final

Figure dans l’espace des contraintes principales Si la plasticité pour le point de Gauss de l’élément fini considéré est déjà atteinte, le point figuratif doit rester sur la surface seuil ce qui nécessite d’utiliser un facteur W tel que :

σ r final = Wσ r calculé

( point K ′ )

( point K )

Or :

σ r calculé

σr

=

σ r vrai

σ r −1 + H Q′ ∆ ε rp

509

d’où :

W=

σ r −1 + H Q′ ∆ε rp σr

Les lois de comportement

Si la plasticité n’est pas atteinte au pas r mais qu’un test a montré que le seuil σ Y0 a été dépassé après l’incrémentation, il faut faire une modification supplémentaire caractérisée par un facteur R pour éviter que le point représentatif ne traverse la surface seuil car il a été calculé dans l’hypothèse élastique. Cette modification expliquée sur la figure suivante doit être faite avant celle toujours nécessaire faite pour passer de K à K ′ . ∆ σ er = D∆ ε r

r E1

(1 − R) ∆ σ er

F =0

C σ r −1

B

A

∆ σr

Da∆λ = D∆ ε rp

σ r final K′

O r E2

R∆ σ er

Kr E3

σ re − σ Y AB R= = AC σ re − σ r −1

La portion de contrainte supérieure à la contrainte seuil doit être réduite. La portion de contrainte qui satisfait le critère de seuil est : σ r −1 + (1 − R ) ∆ σ er (Point B) Le point B joue le même rôle que le point B de la figure précédente, ainsi : σ r = σ r −1 + (1 − R ) ∆ σ er + R∆ σ er − Da∆ λ (Point K) Il reste à passer de K à K ′ en utilisant la méthode précédente avec le facteur d’échelle W mais avec BA = R∆ σ er ou de A à K ′ en utilisant un procédé itératif convenable si le point K ′ est visiblement trop imprécis. Ainsi, à part ces modifications dues à l’existence de seuils le schéma algorithmique reste le même que celui décrit dans le chapitre IV de la partie III.

510

Les lois de comportement

Annexe au chapitre IV : Compléments sur le tenseur des contraintes A un tenseur de E 3⊗2 symétrique S sont associés des invariants et des tenseurs déviatoriques et isotropes comme nous l’avons vu (Voir : rappels mathématiques § IV.1.1.). Pour le tenseur symétrique Σ , tenseur des contraintes de Kirchhoff ou de Cauchy il est utile de revoir ces notions en les précisant et en donnant des définitions supplémentaires. Une représentation de l’état de contraintes dans un espace E 3 se révèle aussi fort utile. • Σ , S et leurs invariants La matrice de Σ est notée r ainsi selon qu’elle est écrite dans une base quelconque ou dans sa base propre d’unitaires E i : σ 11  mat Σ = σ 21 r r ( ei ⊗e j )  σ 31

σ 13   σ 23  σ 33 

σ 12 σ 22 σ 32

σ 1  mat r rΣ =  ( Ei ⊗ E j )  

σ2

   σ 3 

Les bases sont orthonormées, les valeurs propres σ i sont les contraintes principales.

[

L’équation caractéristique s’écrit :

]

[

]

det Σ − λ I = 0 ⇒ − λ3 det I − I 1λ2 + I 2 λ − I 3 = 0 Les invariants associés étant classiquement :  I1  I 2    I  3

def

= trace Σ = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ 1 + σ 2 + σ 3 = J 1

( ) (

)

(

)

2 1  1 = − trace Σ ⋅ Σ − trace Σ  = σ ii σ jj − σ ij σ ji  2 2 = σ 11σ 22 + σ 22 σ 33 + σ 33 σ 11 − σ 12 σ 21 − σ 23 σ 32 − σ 31σ 13 = σ 1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1

= det Σ = σ 1σ 2 σ 3 On utilise aussi les I i* définis ainsi :

( ) ( )

 I * = trace Σ ⋅ Σ = σ 2 + σ 2 + σ 2 + 2σ σ + 2σ σ + 2σ σ = σ 2 + σ 2 + σ 2 = I 2 − 2 I 11 22 33 21 12 23 32 31 13 1 2 3 1 2  2  3  I 3* = trace Σ ⋅ Σ ⋅ Σ = trace Σ  avec 6 I 3 = I 13 − 3I 1 I 2* + 2 I 3*  Cette dernière relation provient du théorème de Cayley - Hamilton qui s’écrit : 3

2

Σ = I 3 I + I1 Σ − I 2 Σ D’où, en prenant les traces : I 3* = 3I 3 + I 1 ( I 12 − 2 I 2 ) − I 2 I 1 = 3I 3 + I 1 ( I 12 − 3I 2 ) ou bien :

I1   I 3* = 3I 3 + I 1  I 2* + ( I 2* − I 12 )  ce qui fournit l’expression de 6 I 3  2 511

Les lois de comportement

A Σ on associe son déviateur S :  trace Σ  I S = Σ −    3 

2

 traceΣ     Σ +  trace Σ  I avec : S ⋅ S = Σ ⋅ Σ − 2   3   2   

{

r r Les matrices de S peuvent s’écrire dans les bases ei ⊗ e j  2σ 11 − σ 22 − σ 33  3  mat S= σ 21 ( eri ⊗er j )   σ 31  s1    mat s2 r rS =   ( Ei ⊗ E j )  s3  

σ 12 2σ 22 − σ 11 − σ 33 3 σ 32

} ou {E ⊗ E } r

r

i

j

    de terme sij par définition σ 23  2σ 33 − σ 11 − σ 22   3 σ 13

Les invariants étant notés

I 1S = traceS = 0

( ) ( ) (

( ) ( ) [ ]

)

2 def 1 1 1  I 2S = − trace S ⋅ S = −  trace Σ ⋅ Σ − trace Σ  = − J 2   2 2 3 2 1 1 2 2 2  2 = − 3trace Σ ⋅ Σ − trace Σ  = − ( σ 11 − σ 22 ) + ( σ 22 − σ 33 ) + ( σ 33 − σ 11 ) + 6( σ 12 + σ 223 + σ 231 ) 6 6  1 2 2 2 = − ( s1 − s2 ) + ( s2 − s3 ) + ( s3 − s1 ) 6 1 = s1 s2 + s2 s3 + s3 s1 = − s12 − s22 − s32 − s1 s2 − s2 s3 − s1 s3 = − ( s12 + s22 + s32 ) 2

[

↑ traceS = 0 def

I 3S = det S = J 3

• Σ et sa représentation spéciale Au tenseur Σ on peut associer un point M qu’on affecte des coordonnées σ 1 , σ 2 , σ 3 r r r dans le repère principal local {O; E1 , E 2 , E 3 } . Ce point est dit image du tenseur. L’espace associé est l’espace des contraintes principales qui n’a évidemment rien à voir avec l’espace physique.

512

]

Les lois de comportement

r E 3′

r E3 M image de Σ

( Π)

1 / 3    3 r ∆ r r = 1 / ( E1 , E2 , E3 )   1 / 3 

M′ image du déviateur

S de Σ

O

r E1′

r E2 r E 2′

r E1

Soit ( ∆ ) la trissectrice du repère, ( Π) plan normal à ∆ en O. r r r Le plan ( ∆, OE i ) coupe ( Π) selon une droite d’unitaire E i′ : (OE i′) (i = 1,2,3) . Ces trois droites du plan ( Π) partagent ce plan en trois secteurs de 120° : Les tenseurs sphériques ont leur image sur ( ∆ ) r Les tenseurs uniaxiaux ont leur image sur les axes E i Un tenseur de révolution (qu’on peut considérer comme somme d’un tenseur sphérique r et d’un tenseur uniaxial) a son image dans un des plan ( ∆, OE i ) Les déviateurs ont leur image dans ( Π) ainsi le déviateur d’un tenseur uniaxial a son r image sur (OE i′) D1

r E 3′

( Π) O

r E1′

D3

r E 2′

Un tenseur de cisaillement par exemple obtenu par la somme de deux tenseurs uniaxiaux d’intensité opposée s’exerçant r r selon la bissectrice extérieure des axes OE1 , OE 2 a son image sur D3 r normale à E 3′ et dans ( Π) (sa trace est nulle).

D2

513

Les lois de comportement

Chapitre V

Thermoélasticité linéaire

Nous nous proposons de donner ici quelques informations sur la thermoélasticité linéaire pour les milieux isotropes élastiques. V.1. Rappel sur l’équation de conduction et l’énergie interne. • Le taux de chaleur reçu par un milieu occupant D à t est r Q& = ∫ rdV − ∫ div qdV comme nous l’avons indiqué au chapitre I.

r n

q

D

D

r Donc Q& 1 = r − div q = S&1T

D

Avec la convention que l’indice 1 signifie « par unité de volume ». Pour un milieu isotrope de coefficient de conduction de la chaleur λ q , la loi de Fourier, loi de conduction qui joue le rôle d’une loi de comportement s’écrit : r r q = − λ q grad T λq > 0

(

)

En portant dans l’expression précédemment écrite nous obtenons l’équation de conduction de la chaleur : r S&1T = r + div λ q grad T Equation de conduction

(

)

• Le premier principe de la thermodynamique s’écrit après utilisation du théorème de l’énergie puissance : r U& 1 = Σ: D + r − div q (noté u&1 précédemment)

Soit en utilisant l’expression de Q& 1 : U& 1 = Σ: D + TS&1 Ainsi l’énergie interne U dépends de l’entropie et des déformations :

(

U = U S , ε ij

)

avec : dU 1 = TdS1 + σ ij dε ij

V.2. Expression des énergies - Potentiel thermodynamique - Loi de comportement. La mesure des températures phénoménologiques T est beaucoup plus simple que la mesure de l’entropie, on introduit alors l’énergie libre de Helmholtz ou le potentiel thermodynamique de Gibbs.

514

Les lois de comportement

(

)

V.2.1. L’énergie libre de Helmholtz : F T , ε ij (noté ψ précédemment) Cette énergie F où apparaissent des variables cinématiques va nous permettre d’introduire simplement la chaleur spécifique à volume constant. Par définition :

(

)

F T , ε ij = U − TS dF1 = dU 1 − dTS1 − TdS1 = − S1dT + σ ij dε ij

On voit que F1 dépends ces variables ε ij et T. Développons F1 en fonction de T et des invariants de E : r I 1 = div u = traceE = ε kk

I 2 = E : E = ε ij ε ij F1 ( I 1 , I 2 , T ) = F1 (0,0, T ) + F1, I1 (0,0, T ) I 1 + F1, I 2 (0,0, T ) I 2 + Posons :

F1, I 2 (0,0, T ) = µ(T )

1 F (0,0, T ) I 12 +... 2 1, I1 I1

module de glissement

F1, I1 I1 (0,0, T ) = λ( T ) module de rigidité à la dilatation volumique Par identification on en déduit les expressions de S1 et de σ ij 1 F (0,0, T ) I 1 2 1, I1 I1T = F1, I1 (0,0, T )δ ij + 2 F1, I 2 (0,0, T )ε ij + F1, I1 I1 ( 0,0, T ) I 1δ ij

S1 = − F1,T = − F1,T (0,0, T ) − F1, I1T (0,0, T ) I 1 − F1, I 2 T (0,0, T ) I 2 − σ ij = F1,εij

D’après la définition de la chaleur spécifique à volume constant C( ε= 0) on a :

C( ε = 0) = T S1,T

donc

ε=0

C( ε= 0) = − TF1,TT ( 0,0, T )

D’où :

dT où T0 est la température naturelle du milieu en supposant T0 T0 T que S1 (T0 ) = F1 (T0 ) = 0 pour ε ij = 0 F1 (0,0, T ) = − ∫ dT ∫ C( ε = 0) T

T

On en déduit :

r σ kk = trace Σ = 3F1, I1 ( 0,0, T ) + ( 3λ + 2µ ) div u r div u =

[

d’où :

]

1 trace Σ − 3F1, I1 (0,0, T ) 3λ + 2µ

515

Les lois de comportement

La température cause des allongements libres (à Σ = 0 ) ε ij( T ) et si α ij est le coefficient de dilatation associé : ε ij( T ) =

∫

T

T0

α ij dT =

∫

T

T0

α *δ ij dT pour un milieu isotrope

avec : α * = α T (constante : dépendant de T mais moyennée) T 1 αT = α * dT (coefficient d’expansion thermique) ∫ T − T0 T0 Ainsi : ε ij( T ) = α T (T − T0 )δ ij

r div u Σ= 0 = 3α T (T − T0 ) = −

et :

3F1, I1

( 3λ + 2µ)

Les relations précédentes deviennent :

[

]

r trace Σ = ( 3λ + 2µ ) div u − 3α T (T − T0 )

r trace Σ div u = + 3α T (T − T0 ) 3λ + 2µ On peut en déduire les expressions de l’entropie, de l’énergie libre de Helmholtz et la loi de comportement : T dT 1 r r 2 S1 = ∫ C( ε = 0) − (3λ + 2µ )α T ( T − T0 ) div u − µ ,T E: E − λ ,T (div u ) ,T T0 T 2 T T dT 1 r r 2 − (3λ + 2µ )α T (T − T0 )div u + µ E: E + λ (div u ) F1 = − ∫ dT ∫ C( ε = 0) T0 T0 T 2 r Σ = λdiv u − (3λ + 2µ )α T (T − T0 ) I + 2µ E

[

]

[

]

Remarque : Des résultats précédents on peut facilement déduire l’expression de E en fonction de Σ et celle de Σ: E - Utilisant

D’où :

et avec :

r trace Σ div u = + 3α T (T − T0 ) 3λ + 2µ

on obtient :

 λ  Σ= trace Σ + 3λα T (T − T0 ) − ( 3λ + 2µ ) α T (T − T0 ) I + 2µ E  3λ + 2µ   Σ  λ E= − trace Σ − α T (T − T0 ) I 2µ  2µ( 3λ + 2µ )  3λ + 2µ =

(

E 1 − 2ν

λ=

Eν (1 + ν)(1 − 2 ν)

)

µ=

1+ ν ν Σ− trace Σ I + α T (T − T0 ) I E E r 2 r Σ: E = λ(div u ) − ( 3λ + 2µ ) α T (T − T0 )div u + 2µ E: E E=

516

E 2 (1 + ν )

Les lois de comportement

V.2.2. Potentiel thermodynamique de Gibbs : enthalpie libre G Pour pouvoir faire apparaître la chaleur spécifique à pression constante on définit le potentiel de Gibbs dépendant de la température absolue et des contraintes.

(

)

G1 T , σ ij = F1 − Σ: E

Par définition :

dG1 = − S1dT − ε ij dσ ij (compte tenu de l’expression de dF1 ) On voit que G1 dépends effectivement des variables σ ij et T. Pour trouver l’expression de G1 on peut partir de l’expression de F1 trouvée précédemment : T T dT  1 r r 2 G1 = − ∫ dT ∫ C( ε = 0) + − (3λ + 2µ )α T ( T − T0 )div u + µ E : E + λ( div u )  − Σ: E T0 T0 T  2  où l’expression entre accolades vaut, compte tenu de l’expression de Σ: E

Σ: E ( 3λ + 2µ ) r − α T (T − T0 )div u 2 2 T

T

T0

T0

G1 = − ∫ dT ∫ C( ε = 0) −

(3λ + 2µ ) 2

D’où :

(

 trace Σ  α T ( T − T0 )  + 3α T ( T − T0 )  3λ + 2µ 

Ou encore : T

T

T0

T0

G1 = − ∫ dT ∫ C( ε = 0)

)

dT Σ  1 + ν ν  Σ− trace Σ I + α T ( T − T0 ) I  − :  T E 2  E

(

dT 1 + ν ν − Σ: Σ − trace Σ T 2E 2E

)

2

3Eα 2T 2 − α T ( T − T0 )trace Σ − T − T0 ) ( 2(1 − 2 ν)

On peut en déduire la relation entre la chaleur spécifique à volume constant et la chaleur spécifique à pression nulle C( σ =0) plus facile à mesurer. kk

C( σ = 0) = T S1,T

σ ij = 0

= − TG1,TT

σ ij = 0

3  Eα 2 C( σ = 0) = C( ε =0) + T  T − T0 )  ( 2 1 − 2 ν  ,TT 2 T

V.2.3. Energie interne. On peut la déduire des expressions de F1 et de S1 car par définition de F1 on a : U 1 = F1 + TS1 En utilisant donc les expressions de S1 et F1 on trouve : T T T dT dT r U 1 = T ∫ C( ε = 0) − ∫ dT ∫ C( ε = 0) − div u (3λ + 2µ )α T ( T − T0 ) − T (3λ + 2µ )α T (T − T0 ) T0 T0 T0 T T 1 r 2 + µ − Tµ ,T E: E + λ − Tλ ,T ( div u ) 2

[

[

]

[

[

]

517

]

,T

]

Les lois de comportement

V.2.4. Cas des petites variations thermiques. T − T0 << 1 et que les coefficients λ , µ , C( ε = 0) , C( σ = 0) , α T , λ q sont T constants. Dans ce cas l’expression de C( σ=0) devient :

On supposera que

C( σ = 0) = C( ε = 0) + 3α T2

Puis celle de S1 :

soit :

E T 1 − 2ν

T r + ( 3λ + 2µ ) α T div u T0 T E r α T div u S1 = C( ε = 0) log + T0 1 − 2 ν S1 = C( ε = 0) log

Pour l’énergie interne U 1 , le premier terme s’intègre et donne : T T T U 1 = TC( ε = 0) log − C( ε = 0) ∫ log dT +... T0 T0 T0 T    T  T U 1 = C( ε = 0) T log − T log − T   +... T0  T0   T0 

λ r r 2 U 1 = C( ε = 0) (T − T0 ) + ( 3λ + 2µ ) α T T0 div u + µ E : E + (div u ) 2

D’où :

Enfin, l’équation de la conduction de chaleur devient :

S&1T = r + λ q ∇ 2 T .r r E ⇒ λ q∇2T + r = α T T (div u )+ C( ε = 0) T& 1 − 2ν Cas adiabatique : Si S1 (T0 ) = 0 demeure constant, la température est déduite de l’expression de l’entropie S1 : r 3λ + 2µ − α T div u C( ε = 0) T = T0 e En développant : 2  3λ + 2µ  r 1 (3λ + 2µ ) 2 r 2  T − T0 = T0 − α T div u + α div u + ... ( ) T 2 C(2ε =0)  C( ε = 0) 

La loi de comportement s’écrira alors : r Σ = λ S div u I + 2µ E

518

Les lois de comportement

Avec λ S coefficient d’élasticité adiabatique donné par :

λS = λ +

( 3λ + 2µ) C( ε =0)

2

α T2 T0

Toujours dans le cas adiabatique, l’expression donnant l’énergie interne se simplifie et entraîne : 2  3λ + 2µ r 1 (3λ + 2µ ) 2 r 2 α T div u + α U 1 = C( ε = 0) T0 − div u ( ) T 2 C(2ε = 0)  C( ε = 0)  λ r r 2 +(3λ + 2µ )α T T0 div u + µ E: E + (div u ) 2 Il reste :

U 1 = µ E: E +

λS r 2 div u ) ( 2

V.3. Thermoélasticité linéaire. Récapitulons les différents résultats.

V.3.1. Equations indéfinies - Equation de la chaleur :

Posons Θ = T − T0

a=

r = Q0 λq

C( σ = 0) − C( ε = 0) 3α T λ q

et

C( ε = 0) λq

=

1 χ

L’équation de la conduction de la chaleur devient :

. & r Θ r ∇ 2 Θ − − a (div u ) = − Q0 χ Equation valable dans D et à laquelle il faudra rajouter les conditions aux limites : Θ imposé sur une partie de ∂D éventuellement ou plus généralement des conditions du type cΘ + dΘ ,n = e - Equation de Newton :

r r r div d Σ + ρF = ρu&&

dans D

r r Td = Σ ⋅ n sur ∂D1 partie de ∂D avec :  r r u = ud sur ∂D − ∂D1

519

Les lois de comportement

- Loi de comportement (milieu homogène et isotrope). r Σ = λ div u − α T ( 3λ + 2µ ) Θ I + 2µ E

[

]

α T ( 3λ + 2µ ) = γ T . La loi de comportement s’écrit alors : r Σ = λ div u − γ T Θ I + 2µ E

Posons :

[

]

En éliminant Σ , on obtient : r r r r r r λ div d div u I − div d γ T I Θ + div d 2µ E + ρF = ρu&&

(

( (

)

(

)

)

( )

1 r r grad u + grad u T Soit : 2 r r r r r r r r r µ div d grad u + µ div d grad u T + λ grad (div u ) − γ T gradΘ + ρF = ρu&&

Avec : E =

ou encore :

)

(

)

r r r r r r r µ∇ 2 u + ( λ + µ ) grad (div u ) − γ T gradΘ + ρF = ρu&&

qui est l’équation aux déplacements.

V.3.2. Types de problèmes :

- Problèmes statiques :

r r u&& = 0

. (div ur ) = 0

& =0 Θ

Les équations indéfinies se ramènent à : r ∇ 2 Θ = − Q0 r r  r2r r r r µ∇ u + ( λ + µ ) grad ( div u ) − γ T gradΘ + ρF = 0

r r - Problèmes quasi-statiques : u&& ≈ 0

.

(div ur) ≈ 0

Les équations indéfinies sont alors : & r 2 Θ ∇ Θ − = − Q0  χ  r r r r r r µ∇ 2 ur + ( λ + µ ) grad div u − γ grad Θ + ρ F =0 ( ) T  - Problèmes dynamiques : En général on néglige le coefficient a provoquant le couplage, a étant très petit. Dans le cas contraire on parle de thermoviscoélasticité.

520

− soit en parallèle σ = Σ σi ε = εi

page 452

imposé

page 452

i

imposé

ε page 454

σ  r m  OP σ m  σ   m

en P : σ& eq = 0

3

r E 3′

≠ r E1′

page 487

page 506 r E 2′